Bibliotheek Universiteit van Amsterdam 01 2768 0189   L. van KEULEN'S W I S K*U NDIGE VOORSTELLEN OPGELOST.  «  LUDOLF van KEULEN'S MATHEMATISCHE VOORSTELLEN, bekend onder den tytel vam KUNSTIGE VRAAGEN zonder ONTBINDINGEN, OPGELOST en verrykt met aanmerkingen en uitbreidingen, door LAURENS PRAALDER, ï.eeraar in de wiskunde te utrecht» MET P L A AT E N. Te AMSTERDAM, by I. W. S M I T>— m D c c x c. A#  I  O P L O S S I N GE N der < HONDERD KONSTI GE VRAAGEN van LU DOL F van KEULEN. Ij VRAAG. Plaat I. Fig. i. IN deeze Maan, geteekend met AD BC, is de Boog */r AC?B=;42aS, en.de Pees AB=t 367.4, ook is de Maan m haare breedfte middel-breedte 906 Roeden .Vraa. Sd^MzS " ^ buitenfte Bo0g ADB> en hoe groot OPLOSSING. 1. Aangezien de lengte, van den Boog AC B'=4228, en de Pees. AB ==§624 gegeeven is, zo is derhalven DeBoogAC = 2ii4, en AE=:iS?i2 _ 3C2 Q Dat is in reden als 7 tegen 6. Dewyl nu F het Centrum van deo Boog A C B is , zyn ?f) * ^ > * B alle ftraalen van deezen Cirkel, en dus is de Boog AC gelyk den hoek AFC, als mede de lyn A L deszelfs Sinus. Derhalven moeten wy een Boog AC vinden , zodanig; dat deszelfs lengte in reden is tot deszelfs Sinus , als 7 tot 6. 2. Om dit op de bekwaamde wyze te doen, zullen wv de lengte van de ftraal AF, gelyk die der Sinm-Titel , op 100000000 Hellen , en 'derhalven ook de ■ lengte van deezen Boog A C in zodanige gêlyke dealen moeten neemen , om daar mede de le-lrgte van den jeheelen Cirkel, en gevoigelyk ook de lengte van dea Boog AC,tegen deszelven Sinus te vergelvken. Indien ,wy dan de ftraal zodanig neemen, zo is de geheele middel-lyn 200000000. DerhalvenDiatn. .- Omtr. Diam. ioooooooo^3i4I50265 — aoocooooo 628318530 voor den geheelen Omtrek. ( A ) 3. Om  4 OpkJJingen der hnjilge Vraagen «5. Om nu te bepaalen, hoe veel Graaden de Boog AC moet bevatten, op dat deszelfs lengte tot zynenS»««f in reden zy, als 7 tot 6; zo is het klaar, dat,indien de lengte van den Boog AC door 7, en die van den Sinus AE door 6 gedeeld wordt, de Quotiënten gelyk zullen zyn. (A) Te« esr/ie»,ftellende den Boog AC = 60 Graaden, zo is: 0600:628318530:: 6o°: 104719755 den Boog AC. 7 De finus van 600 is 8660154 14950965 6 »4433757 -f- 526208 Ten tweeden. Stellende den Boog AC=50 Grad., zo is: <ï6o° : 6283185301:50°: 87266462 den Bo»g A C 7 1246Ó643 De finus van 500 is 7660445 • u 6 12767408 —300744. Derb. 600 .. . + 526208] I826y5a 50° . • • —300744II >3 26310400 18044640 44355°40 54 Graaden. (B) Ten eerfteni treilende den Boog A C = 54 Graaden, zo is: 36o: 628318530:: 54° -942477S de lejïg* I34639J De Sinus van 540 is 8090170 ó- 134836a — W7 Ten  van LUDOLF van KEULEN. 5 Ten tvueeaen. Stellende den lioo^ A C =55 Grad., zo is: 3öo,:62Ö3i853o::jj°:95993ii de lengte van den 7 - (Boog r . 137 i33o De finus van 55* is 8191520 6 + 6077 Derhalven 54» ... - i977[Ln_ 55' . . . +6077118°5+ 108735 328158 436rf93 8054 54° H' (C) Ten eerften. Srellende den Boog A C=54° 14', zo is; 30c0:628318530 : :S46i4':946550a 7 . I35?ai6 De finus van 54'14' is 8114040 6 1353340 — 124 Ten tweeden. Stellende den Boog AC = 54" 15', zo is: 3600:628318530 '• '• 54*'5' 9468411 7 1352630 De yï«af van 54°i5' is 8115740 6 1352623 + 7 Derh. 54'»4' of 3254Min...—124!I 54° 15' of 3.'65 Min... . + 7||l3l (.A 2) 403623  & Óploffingen der konjlige Vraagen j 403020 - ^ 22778 426398 ~3254'56* '"> dus deBo°g AC=54*i4'5689 4. Hier door hebben wy dan den Boog AC, ea gevolgelyk den hoek AF C, gevonden, naamelyk 54° HW» zodanig, dat de lengte van den Boog AC, in reden is tot deszelven Sinus (A E), als 7 tot 6. Nu is noodi<ï,dat wy alvoorens deezen Sinus, en dien van zyn Complement C35°45*3*'O v00r den hoekE AFvinden, om daar door de lengte E F en FC te bepaalen. Teneerjlen. Sinus 54°i4':= 8114040 .54° i5' = 811574° 60" :—17CO 56*" ! 1612 ■ - • J 8114040 j 8115652^. ö Roede meer of min van de waare Grootheid verfchilt. II. VRAAG. Plaat I. Fig. 2. In een halven Cirkel is een ongelykzydige Vierhoek A B C D befchreeven, waar van alle de zyden gegeeven zyn , als AB = 24 , BCr=it , CDr=8, en AD=i4. Indien nu uit het Centrum E, tot den hoek C, een regte lyn C E getrokken wordt , welke den Vierhoek in twee deelen brengt, vraagt men, hoe groot elk deel in 't byzonder is? AANMERKING. 1. Om dit Voorftel klaar, duidelyk, en uit den grond op te loflen, zonder eenige Eigenfchappen te onderftellen , of uit andere Schryvers over t!e neemen, zullen wy die,welke tot de Óploffingnoodig zyn, voor» af bewyzen. Daar toe is ons dienftig het volgende LEMMA. Be Regtboek van de beide Diagonaalen eens Vierhoeks, in een Cirkel bejcbreeven, is gelyk aan de Sdm der beide Regtboeken, onder de overftaande zyden begreepen. (*) Om (*) Dit Theorema is ook te vinden in de Gronden der Meetkunjl Boek III. Tbeor. XVII., en aldaar op eenanr dere wyze betoogd. (A 4)  io Oplojjlngen der konfiige Vraagen , °™ duk r,e bewyzen, zo laat ABC O de voorgeftelde Verhoek m den Cirkel zyn, en AC, BD de Dia. gonaalen. Zie Plaat I. Fig. 3. Bereiding en Bewys. Trek BE, zodanig, dat de hoek CBE = ^ABDisDan zyn de Driehoeken A BE, CBD gelykvormig. ' Want, ^CBE=^ABD Bereid. ^EBD = -SEBD ■ verg. Dus ^CBDn^ABE Ax. 4. Meetk. ^BDCzr^BAE Meetk. III. 5 ^BCD=^BEA IO, Derhalven AB:AE::BD:DC Ibid. IV. 1 r. □ A B. D C= □ A E.B D Ibid. IV. 9. Wederom zyn de Driehoeken BCE,en DAB gelykvormig, want: s * ^CBE=r^ABD Bereid. ^BCE-^ADB JMert*. III. 5 -s:BEC = ^BADiWrf. I. i0. Derhalven BC:CE::BD:AD Ibid. IV. 1 r. □ AD.BCrzzDCE.BD Ibid, IV. 9. □ AB.DC:=rO AE.B D bov. bew. D A D. B C + □ A B.D C := □ A C. BD Ax~. "uuiki 2, Deeze Eigenfchap, van den Vierhoek in den Cirkel, beweezen zynde, kunnen wy daar door de lengte van deeze Diagonaalen bereekenen; en dewyl dezelve , tot de oploffinge van dit Voorftel, volftrekt moeten gevonden worden, zullen wy dit op eenige verfchillende wyzen doen, EERSTE W Y Z E. Plaat I. Fig. 2. Aangezien de Driehoeken ABL, CDL, als mede BCL,  van LUDOLF vaU KEULEN. IC BCL, ADL, twee aan twee, gelykvormig zyn, zo zyn de zyden evenredig. Hier door kan men de Proportie van deeze Diagonaalen vinden. Neemende CL = i. 1. CD : AB :: CL : BL 8 24 1„ bl=3. BC : AD :: CL : DL 11 14 1 „ DL=i7i. bd = 4ï} 2. BC : AD :: BL : AL lt i4 3 fi al = 3t? CL—1 AC=4;i 3. Derhalven b d : A C :: 4Tf : 4ïi Dat is, als 47 tot 53 Dienvolgens 53BDz=47AC. Vervolgens worden deeze Diagonaalen door het voorgaande Lemma bepaald. AB=r24 AD —14 CD= 8 BC=u • verm. .— verni> 102 i54 192 □ AB .C d + □ AD. B C=^T ^ I. Nu is 53 BD=47AC BD = ^~AC ' : AC ' □AC.BD = ^AC1=346//AC1==3l£lI3 v iU AC = y390f*. 2. We-  12 OphJJlngen der konjiige Vraagen 2. Wederoii' 4?AC = 53BD AC=|' B D , BD □ AC.BD={|BD*=34tf 2 346X47 BD =_— V B 0 = 1/306^ TWEEDE WYZE. Door de Algebra kan dit mede verricht worden, want Stellende BC = n=« I AL = *) CD= 8 = *ICL = jUeeftinen A 0 = 14 —c I B L = zf AB = 24 = dl DL = f J 1. Door de gelykvormige Driehoeken BCL,enADL. BL : CL :: AL : DL z : y x : s zs xy — zs. Dusy = — = CL. BC : BL :: AD : AL a : z :: c : a; cz = ax. Dus z= — BL. 2. Door de gelykvormige Driehoeken ABL en CDL heeft men AL:AB::DL:DC x : d :: * : '6 ij = Éa;. Dusf = — = DL ...x = -^- = DL. zs &bx Dit, voor s, in y =. - j- gefield, zo is 31= -^r = CL. ojc 3. Komt  van LUDOLF van KEULEN. % 3. Komt d«,BD=^±t£l cd abx + cdx cd ' ad+bc Neemende —--—=f, zo is BD=/X ab + cd ~d—=S> - • • AC=gX. 4. Nu is volgens her Lemma, Art 1. □ 'ÏD.AC-DCD AB+DBC.AD Derhalven fgxx~bd+ae hd-jrac xx~~~7g Maar a— 11, l = 8, c= 14, d=z 24, en ƒ — £i±l£ cd ab-j-cd Hier dooris /=il^+8^=i£i±i^_,7S_47 * 14x24 330 — «• 11x8+11x24 884-^6 £ 14x24 336~:=*,1*=*'' BvX^=8-^-^=-^^--^. 4" x f3 47x^3 —47x53 42x4a 42x42 42x42 —x (34gX42 3j6x 1764 47* J3 2491 —z _ 346x42 xyx47 3*^*47 16262 47XJ3 X42x4a-"-B_~"5T =3°^ 1/  ï% 1 Opjojfingen der konjlige Fraagen } 346x42 X.53X53 346x53 18338 _ „ gg xx 47x53 x42x42 47 "~ 47 — 35°+7 . . y •A 0 = 1/3904?. DERDE WYZE. I. Indien wy nu deeze genomene waarden in de gevonden Vergelykingen brengen, zullen wy een eigentlyk Theorema vinden, waar door de Diagonaalen altoos direSb kunnen bepaald worden, als de vier zyden van een Vierhoek, in den Cirkel, bekend gegeeven zyn. Want bd + ac , • ~M+ac.f xx =.—7-—, dusfixx——: —* T5 g — ad+bc bd + acx-—-— _____ s ca bd+ac .ad + bc a ab+cd ~ ~ab + cd ■'* cd bd+dc , bd + ac.g »= fg ■ , dus ggxx— j * . ab+cd bd + acx c(i _JJ^c.q-ï^rd Q==" öd+Tc F ad + bc * cd , Dat is ab+cd:ad+bc:ibd+ac:BD ad+bc: ab+c d::bd+'ac: AC _Derh. iix8+_4x i4„_4x 11+8x14598x24+11x14 of88 + 336 ,» 264-+-112 „ 192+154 424 5» 376 „ 346 komt BD= —— . 53 En  t>a« LUDOLF van KEULEN. i£ En I4x- + 24K-ii„i4Ka4 + 8xu„8x24+'iixu ofiia + aö4,, 33ö +88 „ i92 + , * 37Ó „ 424 „ gjj komt A?~-346x^:. 47 3. Hebbende dan in dit 2 »„r * ^ I/861886 94 1 1 — 1 ■ verm. Inhoud ACDzr*| 1/41615 Inhoud ABC=_r7||v/4i6i5 vers. Inh.ABC 0=1^41615. _= Men kan den Inhoud van den Vierhoek wel direSb vinden, volgens het Theorema van Ptolomèüs, dat men beweezen vindt by A. de Graaf Inleiding tot de Wis* kunfl pag. 295. Aldus: 24 11 8 H •— verg. 57 Som der zyden a 28' halve Som, 28} , _3| , 28! 24 11 8 142 ■ j . ■ afget. 4; % 17} , 20} , ï4f v , 11 4' "~ m Bee-  ï8 Öphjfingen der hnfiige Vraagen Deeze vermenigv., komt gf*3^x41x29 of Tfxai6i5 V — Inhoud ABCD-__'1/41615. 4. Vermits de Deel-lyn, uit het Centrum E van den Cirkel tot den hoek C getrokken, deezen Vierhoek in twee deelen fnydt, zo is nu noodig, de Diameter des Cirkels te vinden. Hier toe zy getrokken de Diameter AEG, en laat vervolgens de Figuur óp deeze wyze bereid worden, naamelyk: Trek G C, G B, en C E, welke A B in F doorfnydt, als mede EK perpendiculair op AB; dan is ACG een regthoekige Drieho;k (Meetk. III. 7.), zo wel als BIC, hebbende, behalven den regten hoek, den hoek AGC=ABC (Meetk. III. 5.). Derhalven zyn deeze Driehoeken ACG, BIC gelykvormig, en dus Cl : BC :: AC ; AG 331/41615 1/861886 7J2 11 47 . 0f 33^4l6i5 — "X752 itZZ V861886 31/4*615 7J2 — ■ • 47 3 x 47 V 41615 — 752 — V 861886 47' 31/41615— 16 —1/861886 V9X41Ó15 1/256x861886 V 374535 1/220642816 " komt A G = V yèMüH , j/ AB* __ 576 ■ afget. BGS  van LUDOLF van KEULEN. ip BP.'r—in *v»i V Dewyl nu de Perpend. EK in het midden van AB valt {Meetk. \U. 2.), zo is AB : BG :: AK : KE a4j__lj3_^H—12 KE— 1/3»of l/i?Hlf? 1227664x374535 374535^374535 ___Q8y 374535 374535 11081/9x41675 374535 BI=_ 6ïfi 1108x31/41615 rSK.___I2 • 374535 IK= SU} 33H , „ 5. Nu zyn ook de regthoekige Driehoeken ICF KEF rebtrde'halven:C ^ "» gdyken h'oek F Cl: IF s: EK : FK Meetk. IV. u. Cl : EK:: IF : FK CI-f-EK;IC::IF+FK:IF IK CI + EK:IC:: IK : IF Cl=yf}K4l6i5 Art. 3. E K = jffiy 1/41615 ^rr. 4. —v 1— . verg. (B 2) 14859303  to ,1 OploJJingen der konjiige Vraagen il__23£3__. v 4l6lJ ^ „ 16 _ m 374535X75^ I43593°3 4»i7 374535 752 752x14 859303 33 x 374535 4al7 komt IF= 5-i2Q6Q_35 I7373555°45 752x14859303 752x4953101 is ge- 23800T56507 vonden BI =_$ft - - - 0f _l£__>5_!iJL 752x4953101 1 verg. — 4118311155a 54764776 752x4953101 4953101 §€1=^1/41615 • ■ 1 ■ -—-verm. -. 2738a388x33 . A rnh.BCF=7.2x4pJ3iQ1 ^416.5 _^ 145611x33 6 ~4 x 4953Ioi 41 IJ 145611x33 , > _. xil/41615 495310* 4806483 , , j : ^xll/4l6l5. 495310I + * J Nu hebben wy door ^rï. 3. laatfte lid Inh. ABCD= 3x11/41615 480648^ Door Art. 5. Inh. BCF=^^x{ ^41615 . afg. 10052820 het deel ADCF=——x|/4i6is Dewyl nu gemeenelyk zulke antwoorden in zuivere Sur-  van LUDOLF van KEULEN. ar Surdifcbe Waarden worden uitgedrukt, zullen wy deeze nog zodanig herleiden. De Inhoud van 145611x33 BCF was —- — Xr 1/41615. Art. rw _, 4806483 _ 4806483 Dat is y 4i6i<_— —— vA1611 4953iOI>«4 * 5 19812404 V4I*IJ y 4806483 x 480648^ x 41615 19812404 x19812404 ___ 23102278829289x41615 3925313522J9T16 - 9614013334808617^ 392531352259216 Inhoud BCFz___;|/2449^l-I__l_7IL. 39253135225921Ö De Inhoud van , „ _ „ 10051820 ADCF was — xii/41615. Art. < 4953101 *K •*»'• 5- ^ 25 '3205 x 25'3»05jU ïO_r 4953101X4953101 . 26284863686682037^ " K 24533209516201 Inhoud ADCF = K,o7i3-^3i97590^ 24533209516201 III. VRAAG. Plaat I. Fig. 4. Van een Driehoek ABC, in een Cirkel befchreeven zyn de drie zyden bekend, als AB_=40, BC^w" en AC = 28. Nu heeft men uit de hoeken B, ene' op hunne overftaande zyden, twee Perpendiculairs BD' CE, en uit den hoek A den Diameter AH getrokken^ CB 3) wel-  a_? Ophfiingen der kvnfttge Vvmgen , welke deeze beide Perpendiculairs in K en L doorfnydt, en daar door een anderen Driehoek L K G, binnen den eerften maakt. Men vraagt, na de lengte der zyden (GL, GK, KL) van den binnenften Driehoek? OPLOSSING. I. Dewyl de drie zyden AB, AC, BC, ieder byzonder, bekend zyn, kunnen wy ligt de Perpendiculair op iedere Bafis vinden. AB = 4o, BC=32, ACr=_=28 — _-_ — V AB = 1600, BC ±2 1024, AC =784 BC _r= 1024 - verg. 2624 AC = 784 . afget. 2DBC.BN=i840 -BC = Ö4 jij , ——* 13225 BN = 28| of dus BN =z BC = 3* aj6oo —r- IÓ0O-—"AB NC_= 3) i&_ 16 /235 x 55 Y • AN=~ V55. ' \i j \ ' ïttuiH .1 '• •! .').',■ Op de zelfde wyze kunnen de Perpendiculairs, die op de twee andere zyden vallen, gevonden worden; doch wy zullen ons liefft, om de verandering, van de evenredigheden bedienen, die uit de gelykvormige Driehoeken afgeleid worden. De  ïwz LUDOLF van KEULEN. $3 De regihoetuije Driehoeken ABN , C B E hel&en een gemeenen hoek B» en zyn dus gelykvormig. Derhalven AB: AN :: BC : EC 4055 32 komt 3V5j__/>er/>.EC, of, dat het zelfde is, EC* AB : BN :: BC : BE (-=iö5/?f. 40—.32 „ 23r_:BE 40 = AB i7_rAE. Wederom zyn de regthoekige Driehoeken BDC, ANC gelykvormig, om dat zy^en gemeenen hoekC hebben. Daarom AC : AN :: BC : BD 28— -'|l/55- 3^ komt V5S = Perp. BD , of,dat het zelve is, ( BD = 235'1/ « AC : NC :: BC : DC *5' tT 28 — 3i 32„3^_-DC 28 = AC 24^_=AD 2. Dewylnuin de Driehoeken NB A, CHA, de hoeken N enCregt,en -£CHA = _:CBAzyn (Meetk. III. sO, zo zyn dezelve gelykvormig, en dus kunnen wy de Diameter A H daar door bepaalen. Want NA : AB :: AC : AH !kV55—40 28 „ 298'Vï^AH ~y 1621*1 = AH* 1600 : : AB afget. 2i£i=— BH* V CB 4) 3. No  'H Oplofltngen der hnfiige Vraagen 3. Nu kunnen wy de deelen van de Perpendiculairs, en by gevolg de tuflchen-deelen, of de zyden van den Driehoek LKG, vinden. De regthoekige Driehoeken EBC, NCG zyn gelykvormig. EC : CB :: NC : GC 105^—32 3Ï » 34>VTïGC De regthoekige Driehoeken ABH, AEL zyn gelykvormig. AB : BH : : AE : EL 4o-34*Vï? —17 „ J4-:|^t? = el 165 i/^rrzzEC ïJOrf^T^^CL 34f Vy\ = CG ■ afget. iij}l/ï}___LG 4. Op diergelyke wyze worden nu de beide overige deelen ook gevonden. Om GK te vinden; zo is AH r_= iö2iiff AC = 784 ■ afget. HC =z 837^, dus is HC = 2i4^tj. Nu zyn de regthoekige Driehoeken ANC, ADG gelykvormig. Dus AN : NC :: AD : DG ^^5-3? —34' // ziïW^ — DG. Wederom zyn de regthoekige Driehoeken ACH, ADK gelykvormig. Ons AC : CH :; AD : DK 28 — 214^/^-245 II iSó^v/^-r-DK Eiji/^-rz-DG 1l6j|/^___GK ' Om  van LUDOLF van KEULEN. 25" Om de zyde KL te vinden. De regthoekige Driehoeken ACH, ADK zyn gelykvormig. Dus AC : AH : : AD : AK 28— 29^/^—247 // 259ii/ï? = AK. De regthoekige Driehoeken ABH, A E L zyn gelykvormig. Dus AB : AH : : AE : AL 40 — 298^1—17// 126!? V7i = AL 132^ ^=LK AANMERKING. Het zal een veel fraaijer bewerking voorftellen, en teffens veel korter zyn, indien wy vooraf de leiding der gelykvormige lynen nagaan; waarom wy die nog eens, door de zelfde gelykvormige Driehoeken, zullen bepaalen; en om dat wy gemakkelyk kunnen begrypen, dat die zyde (K L), welke in den Diameter ftaat, een byzonder voorregt heeft, zullen wy deeze maar alleen vinden, en de overigen, na dat wy deeze Figuur een weinig nader zullen ingezien hebben. Want het hoofdzaakelyke van deeze Figuur behelft, dat 'er een Driehoek ABC in een Cirkel gefteld zy, en uit twee van de hoeken, als B en C, Perpendiculairs BD en CE, als ook uit den derden hoek A een Diameter, getrokken worden. Dewyl dit nu eene regelmaatige verkiezing is, zal ook blyken, dat de Eigenfchappen mede regelmaatig zullen zyn, waarom wy deeze twee volgende Tbeoremata zullen ftellen. THEOREMA I. Plaat I. Fig. 4. 5. Indien een Driehoek ABC in een Cirkel geplaatfl is, en uit twee van de boeken, als BeraC, Perpendiculairs getrokken worden, alsmede, dat de Diameter uit den derden boek A getrokken zy, zal de afgefneedenèbrieboek GKL geljkvormig zyn aan den gejielden Driehoek ABC. (B s) 1 BE-  _-6 Oplojjingen der konjfige Vraagen B E W Y S. i°. Om dat AEGD een Vierhoek is , waar van de. twee hoeken E en D regte hoeken zyn; daarom ^EAD+E GD__2Regte. Meetk. I. n. ^BGE + EGD=rraRegte. Ibid^Lu*" Dus ^EAD + EGD=___EGD + BGE EG D = _EGD ■ ■ afget. Derhalven .fow. AH.AC.AD.AB___AH.AC.AN.AK AH AC —— ■——-—-__-_________» O A D.A B — □ A N. A K □ A CA E —□ AN.AL bov. brat. afget. □ AD.AB —□ AC.AE:=_r__ AN.LK Dat te bewyzen was. COROLLARIÜM. 7. Het volgt dan, dat het Voordel, met behulp van deeze twee Tbeoremata^ op een veel fraaijer wyze, als wy het hier voor gedaan hebben, kan opgelott worden. Want AB=40 , BC =32 , AC =28 _____ _ - V AB=_i6oo, BC =1024, AC — 784 AC ==; 784 AB*—1600 1808 2384 AB =1600 BC =—.1024 2C_BC.NC_-:208, 2D AB.AErr.1360 2BC=fj4 2AB=8o NC = 3i AE = i7 ■ V AC_=28 —— _ 1 NCj-5- lorJ □AE.AC-475 AC =784 ANl  QploJJingen der hnjiige Vraagen ANl__773T£ 12375 22T V AN=-^V55 aD AC. AD--—=1360 2 AC-tt-5Q < 170 AD=T AB_r__4o □ AD.AB = 971^ □ AE. ACr___47ó — ■ ■ " afget. 2 Tbeor. . . □AN.LK----:495! AN='|l/55 — LK— i33l-Ji/Tf. Nu is, door Theorema I. BC :AC : : KL : LG 32 _. as _ $33 V j\ I' usW ï* =—--L G BC : AB : : KL : KG 32 40 __ ,s-}4 j/T«// l6j. ,/_ . -__KG SCHOL I' UM I. 8. Dewyl wy gezien hebben, dat de gegeeven Driehoek ABC, en de Driehoek GKL, op deeze wyze afgefneeden, gelykhoekig, en dus altoos gelykvormig zyn , zo kan dit Voorftel ook omgekeerd ■worden, zulks, dat, indien de zyden van den Driehoek GKL bekend gegeeven zyn, wederom de zyden van den Driehoek ABC kunnen gevonden worden. By voorbeeld : Indien een Driehoek ABC in een Cirkel gefield „ is, en uit twee hoeken, als B en C, Perpen„ diculairs BD, CE getrokken zyn, en zo me„ de, uit den derden hoek A, een-Diameter AH, „ ontftaat daar door de Driehoek GKL. Zo „ nu  van LUDOLF van KEULEN. 29 „ nu de drie zyden van deezen Driehoek be„ kend gegeeven zyn , als KL__ 132,* 1/?J, „ L G = 115» V T«, en G K = 165I v T{, vraagt ,, men na de drie zyden van den Driehoek ABC? OPLOSSING. KL = i32TjV ta . l G = 115;V7j, GK = 1-5^j 132^ 115! 165; " ■ -■ 3J 4Ö24, 4046 s78o 578 . In Prop. K L __: 8 tot LG==_ 7 tot GK=_=io Nu zyn de Driehoeken KGL, en ABC gelykhoe* kigj en daarom, ftellende BC__8ar, KL : LG :: BC : AC g 7 8* // 7ï=AC KL : GK :: BC : AB 8 10 8x H igx=AB. Dewyl nu de drie zyden,by Helling,bekend zyn,'zo kan men wederom de zyde K L vinden, volgens Tbea+ rema II. BC _= 8* , AC =7X , AB —jox BC =640:*, AC _=49„„, AB = iooxx AC —_ 4qxx _ 149XX BC 643a: 2OAB.AE=r 85»-" 2 AB~20x , AK=4ix AC = 7 x —— ■ verm. □ AC.AE_=— xx 4 AC*  jo Opbjfingen der konflige Vraagen ? AC : AE :: AB :: AD i-jox ix — 4X„-iox//-^-=AD lo*r-_-AB ■ "■ verm. HOXX —7— = □ AC.AE 4 -' ■ — afget. D A N. K L == =□ A B. AD- □ A C. A E BC == 64XX AC =___ 4oa:a; 1 H3„~ A B .. 100 a;„ 2-.BC.NC iqatx _BC___i6x NC— i|ar y r—1 169 256 - TTT* 12544 256 ^m~^fx7 250 V AN-=ï{acj/12375 ,ci OAN*  van LUDOLF van KEULEN. 3I □ AN.KL=_=84-7„„ 28 A N=_T.* V12375 . 28/12375* i6x867 x=z I32r*x .8 V rfx"i2375 IÖX 867 X= i32^x 28/225 16x8673;-=-: 132^x28x15 ar—__: 4 By gevolg BC= 8x=z3z ABr_r_ ioï____4o enz. S C H O L I U M II. 9. De menigvuldige Eigenfchappen , welke in deeze Figuur te vinden zyn, verfchaffen een ruim veldI vafi fraaije en nuttige befpiegelingen. Het zal derhalven niet ongevoegelyk zyn, een korte aanleiding hier toe te geeven , en deeze Eigenfchappen by wyze van Tbeoremata te vervolgen. * y a THEOREMA III. Plaat 1. Fig 5. 10. Als, in een Driehoek ABC, uit twee van de boeken, alsBenC, Perpendiculairs BD en CE fetrl kenzyn,zal de lyn,mtden derden boek A,door dit/nl ?BfjJ Perpendiculair op de derde zy. B E W Y S. BEDCyfe°nP An "PBC7 als D^Mn'> de Cirkels . 1? ^-AD^E^ deeze zullen beide door de ?E!Lffl.7.j?gaan'om dat die hoeken reS£ W Nu  3 a Oplojfingen der konjlige Vraagen Nuis--:GAD = _5£5r? liur a. m ^GBN-= GËD (Meetk. III. 5. Dus -_GAD=^GBN 1 __DGA = -~:NGB Meetk. I. 3. Derh. ^ADG-r^BNG 7W_. I. 10. Cor. r. A D G z= Regt. Gegeeven Dus -BNG _r_Regt. By gevolg fnyden de drie Perpendiculairs malkanderen in 't zelve punt G. THEOREMA IV. Plaat I. Fig. 6. 11. een Driehoek ABC ira eera Cir£ei yïaaï, e» aiï de drie boeken Perpendiculairs op bunne overftaande zyden getrokken, en verder tot aan den Omtrek des Cirkels verlengd zyn, dan zullen GP, GQ, en GR, door de zyden des Driehoeks, tra twee gelyke deelen gedeeld worden. B E W Y S. Om dat de regthoekige Driehoeken DCB, ACN behalven den regten hoek, eenen hoek C gemeen hebben, daarom __NAC=_-_DBC Meetk. I. 10. Cor. 1. AC==_r-_NBP Ibid. III. 5. __DBC of GBN:____-NBP N===.N___rRegt BN BN gemeen Derhalven GNr__NP Meetk. I. ij. Zo ook GD_==_DQ GE_=ER COROLLARIA. 12. Hier uit volgt I. Dat altoos de drie lynen, uit iederen hoek getrokken,  van LUDÖLF van KEULEN. 33 ken , aan malkandereri gelyk zullen zyn, dat is AG=AR=J3R; PC==GC = QC; AQ_=, II. En om dat □ AN.NP___QBN. NC C^ert*. SV-^rnRMK^^0 is'zo.blykt' dat □ AN. —□ BN.NCis; en zo is wederom □ B D. DG —□CD. DA , als mede □CE.EG=_* □ AE.EB, enz. THEOREMA V. Plaat L Jïg. 6. 13. Indien een Driehoek ABC in een CirkelJïaat, en uit twee boeken B en C Perpendiculairs BDe«CEgetrokken worden, dan zal, trekkende uit den derden boek A «en Diameter AH, de Figuur BHCG altoos een Parallelogram zyn, B E W Y S. D5Y4u A^7^ een reSte hoek (Meetk. III. 7.) 77, 1 7 '? (Stell-)> zo is ook BH parallel aan CE (Meetk. I. 7.). ^o6^ ^^,H= een regte hoek (Meetk.lll.7.) 77,,9C (.Stel1-); daarom HC parallel aan BD (Meetk. I. 7.). Dienvolgens is de Figuur BHCG een Parallelogram. DusHC—BG, en B H ==z GC (Meetk. l.ai.). Om dat de hoeken P en N regt zyn, zo is HPparallel aan BC, de Boogen, en de lynen PC___BH en by gevolg -_BAH____PAC (Meetk. III. S\ Vervolgens zyn de Driehoeken ABH, CAP gefykhoekig, en gelykvormig. 0 J ö' COROLLARIUM. I4Uhtc de Tev^y^e Jynen BH en EC is de hoek BHL=_LKG (Meetk. 1. 7.;, en HBL_=_KGL; dienvolgens zyn de Driehoeken BHL, GKLgelykTw!gi fD^der felykvormig met den geheelen Driehoek ABC, volgens Theorema I. CC) SCHÖ-  34 OploJJingen der konfiige Vraagen S C H O LI U M III. 15. Indien wy deeze Figuur nog een weinig nader befchouwen, zien wy, dat daarin ABHC, ABPC 'Vierhoeken zyn. Dat de Vierhoek ABHC in een Cirkel ftaat, en één van zyne Diagonaalen, als AH, de Diameter des Cirkels is. Dat de Vierhoek ABPC ook een zodanige Vierhoek is, die in een Cirkel ftaat, zulks dat de Diagonaalen malkanderen regthoekig fnyden. IV. VRAAG. Plaat I. Fig. 7. In een gelykzydigen Driehoek, waar van iedere zyde 20 doet, is uit eiken hoek een Cirkel befchreeven, waar van de Diameter is 52. Indien nu de punten D, E, F daar deeze boogen malkanderen fnyden , door lynen faamengevoegd worden, ontftaat daar uit de binnenfte Driehoek DE F. Men vraagt na de lengte deezer zyden, en na het vermogen des Driehoeks? OPLOSSING. ï. Dewyl deeze Driehoeken ABC, DE F gelykzydig zyn, zo is het klaar, dat ieder Perpendiculair op het midden van iedere zyde valt. Hierom, (tellende iedere zyde van den Driehoek ABC-__2a, is AK__ BM — a. Neemende nu nog den ftraal der Boogen BF____>, dan is: 2. In den regthoékigen Driehoek A B M, de zyde A B r=r aa, dus AB r__4_a; hier af BM—aa , zo is AM ___ 3 aa, en by gevolg . . AM=zaV3. 3. Wederom is in den regthoékigen Driehoek FBM, *BF2___iÈ, hier van BM =aa,blyft FM —11 * — aa, en by gevolg .... YM — Vbb — aa. Deeze F M dan van A M getrokken, is het overblyffel AF_=a/3 — Vib — aa. •6hDS . 4- veiv  van LU DOL F van KEÜLÊN. |f %. Vervolgens zyn, in den Driehoek ABF, de drie ?ydei\,AJY^F> AF' ieder byzonder, bekend, waar door de lengte Al kan gevonden worden. volgens de Gronden der Meetkunft II. 8. AB = _a ,BF_rS ,AF=_ ay3-ybb^gj ~> —1 ~ ? T ABz-4-a,BF=^,AF__2 aa + Sa-.2a 1/300—3^1" AB ==4aa " " verg. —* ö aa -f ||—_ at/3 3 a« ~' ' ■ afg. 2 A B _= 4 /aAB'AI=J*«^*a/ 3M- 3 m A1= i|a * v 3ié —3aa ' AKrzrr a ~ -~ '2 FD==— « + Vzbb—Zaa 5. Indien wy nu deeze uitdrukking in getallen overbrengen, zo is hier mede de zyde van den aelvkVv digen Driehoek DE F gevonden. Want, a —ij?" en b = z6 gegeeven zynde, zo is 4ï9 FD = —I4I + I/3X2S1-- JjJ* 14. + 1/3x676— 2IOi I4H-l<3x46j^ • — Hl + V 1397* = — I4l + I/-IX69 = — HI + ÏV69 =—141 + 41 f69 * Nu kan het vermogen, of de Inhoud des gelvkzydigen Driehoeks DE F getnafckelyk gevonden worden; want zoekende, de Perpendiculair LE.Ïverme„ mgvuldigd men die met de halve Ba%t om het beCC a)  _ 6 Oplojfwgen der konfiige Vraagen i geerde te verkrygen; of men kan de bewerking, o_» eene gemakkelyker wyze, dus inrichten. Vermenigvuldigende AM=aV 3 met de halve Bafis BC=a, komt de Inhoud des Driehoeks ABC z=aaV3> en om dat a~i^\ is, daarom aa___aiOp, jen dus de Inhoud A B C _= 210? V 3; dat is, in eene aljjemeene Surdifcbe waarde, = v'2io*x2io|x3___ * 7. Dewyl nu de Driehoeken ABC, DE F gelykvormig _yn, Haan hunne Inhouden tot malkanderen in reden , als de vierkanten der zyden (Meetk. IV. 23.). Nu is de zyde AB=:2Q, dus AB ==841; wederom, de zyde DE =z— 14-J + 4IV'69, dusDE =e £430 —522^69 4 Derhalven AB*: AABC ::"dË*: ADEF 6430—522^69 4__ „ aaV3 » ~ c . ./ 6430 — 5221/69 of 4» V7, »> ~ 16 » V3s> 6430—5221/69 8-» V3 » 3215—2611/69 52151/3 — 2611/69x3 komt 8 -Inh. DEF Om deeze uitdrukking in algemeene Surdifcbe Termen te vinden, zo is: , 3215x3215x3 261x261x207 V 64 K 64 „1033622^x3 68121x207 = " 64 V 04 — «—-K'  van LUDOLF van KEULEN. 37 31008675 14101047 _ 64 64 Dat is, de Inhoud DE F ==484510^-/2203281^ AANMERKING. By deeze vierde Vraag tekent Lüdolf aan, en zegt; „ De eerfteVraage van deeze vier,hebbe ikCGedezy „ alleen deEer^ gefolveerd, door de Tafel Sinuum; de „ andere drie opgeloft, en het begeerde gevonden in KlZT™1'^^'' Gd*k ^ nu ook gedaan hebben; en alhoewel Ludolf op deeze Vraagen geene antwoorden geeft, zal het nogthans zeker genoeg zyn, dat wy het waare doel-wit derzelve getroffen hebben. Men kan un deeze aanteekening gevoegelyk befluiten, dat deeze vier Voorftelien, in dien tyd, voor zwaare, ofkunftige, Voorftelien zullen gehouden zyn, daar dezelve, myns bedunkens, echter niet zwaarwigtig zyn, en volgens de eerfte gronden der Meetkunft, met behulp van'de Theorie der Surdifcbe grootheden gemakkelyk opgeloft kunnen worden. ' V. VRAAG. Plaat I. Fig. 8. Daar zyn twee ftukken Lands, hebbende elk de pLF op. dit Voorftel aanteekent. Dewyl nu dit Voor- jwa'l ' 0) «el  m» LUDOLF van KEULEN. 35> ftel van weinig belang is, en niet veel moeitevereifehr . om tot eene Vergelykinge te komen, ziet men ligt,dat de geheele hoofdzaak van hetzelve, en zo ook v,n eenige volgende Voorftelien, voornaamelyk behelft den Wortel, uit deeze en diergelyke hooge Verselv kingen , door nadering te vinden. Het fchvnt fat Ludolf, en muTchien meer andere Schry vers van cW tyd, hiertoe eene algemeene Leerwyze gehad hebbenmaar hoe, en op wat wyze, die geweeftly, is my onbekend. Indien men nu geene moeite in het Rekenen ontziet, gelyk Ludolf dit veelvuldig, 8n voornaame lyk in dit Boek over den Cirkel, getoond heeft f Het" niet veel kunft, om deezen Wortel door nadering tl vinden: echter is het noodzaakelyk, dat 'er een J» gebaand worde , langs welken men den wortel, door n? dering, uit de hoogere Vergelykingen kan vinden aU zo men, zonder denzelven,deeze Voorftelien wel'tot eene Vergelyking kan brengen, doch geenzins de antwoorden vinden Ik zal derhalven eenige wegen voor. tellen, langs welke men tot de ontdekking der beeeeïde Wortelen kan komen. oegecr- SCHOLIUM I. Om dan deeze hoogere Vergelyking, door nadering te bepaalen, kan men zulks op de volgende wyze doen!, i. Zoek altoos eerft tuffchen welke bepaalhnr  van LUDOLF van KEULEN. 45 503;*== 58512.003225014048781360a i4xi= 5569.1544722231439x4 39800 103881.1576972371926953602 1833 ra = 99144.8021844033 6443; = 4736.30444 103881.1066244033 103881.15769723719-6953*02 103881.1066244033 *==7'35451 "f • • • o.0510728238926953602 —7- 3545' • • —. • . 0.01382503454875 3756i5o833183280265909 1016763548492273625 4773914381680553890909 6489785844144 komt x — 7.35450213043 . Dus hebben wy dan het antwoord gevonden, gelyk Ludolf fielt, naamelyk, dat * = 7.35450213 te min, en x = 7.35450214 te veel zy, Waar uit men ziet, dat deeze nadering, door den Regel Falcis , veel gemak aanbrengt, en den arbeid niet weinig verkort, voornaamelyk, als 'er veele deelen zyn, en dat dus de verfchillen klein worden. S C H O L I U M III. Algemeene Wyze, om de Wortels, door nadering, te •vinden, uit eene Vergelykinge van eene ixillekeurize Magt. 6 Niet tegenftaande de voorgaande Leerwyze zeer dienftig is, om de Wortels der hooge Vergelykingen, door nadering te vinden, is nogthans de bewerking eenigzins laïlig , om dat de getallen , die fomtyds al vry groot zyn, tot zulke hooge vermogens moeten vermenigvuldigd worden. Wy zullen derhalven nog eene an-  46" Opbffingen der konfiige Vraagen andere Leerwyze voordragen, die , behalven dat dezelve fterker aantrekt, in de bewerking veel gemakke» lyker is. Wy zullen dus onze gevondene Vergelyking nog eens neemen, en derzelver Wortelen, volgens dee. ze Leerwyze bepaalen. De Vergelyking is 20x*+i$x3->i222xx — 644» * ( + 398oo==o. By het eerfte onderzoek, vindt men x—% te groot en ar=7 te klein ; daarom j neemende *—7-4-4 behoorden afgetrokken te zyn geweeft. Stel nu wederom x =7.35 + 3/, zo is: aox* — 58368.610125 + 31765.23 3+6482.73,3, (+5883/3+2031* I4a:3= J5j8.9ij2jo+ 2268.9457 + 308.7 yy (-+-1431* -1833x5;=—99023.2425—26945.1 y—1833 yy — 644 x =— 4733-4 644 y +3°8oo — 29.117125+6445.0757+49^8.4 / yy+602 313 + ao3i4=o Neemende 4958.43/3/ + 6449.07531=29.117125 a * ( — Ó02JI3— aoy* 3222.5375 ** v 10384747.93890625 H4374-3526ooo=29.ii7I2jx4958.4 10529122.29150625 3244.8609048 3222.5375 22.3234048 4958.4 komt 3/=0.004502137 7-3S x== 7.3S4502I37 te groot. Want van de Surdifcbe waarde j/ 10529122.2915062* behoorde nog 602^+203* afgetrokken géweeft te zyn. Doch om dat y nu zeer klein is, daarom yy nog veel kleinderi wederom y> nog veel kleinder, err>* nog on- ge-  48 Ophjjïngen der konfiigé Frddgén gemeen veel kleinder, en derhalven is dit kleine vef* fchil van zeer weinig belang; dat nog nader blykt, door dat wy hier mede reeds het begeerde antwoord van Ludolf gevonden hebben, naamelyk, x meer als 7. 35450213, en minder als 7'354502I4. AANMERKING. Wy kunnen nu, met weinig moeite,- de waarde van y nog veel naauwkeuriger bepaalen. Want, in dien wy aanmerken, dat de Ruimte A BCD (Plaat I. Fig. 0.) het Surdifcbe Quadraat (1/1052012229150625 — 602* ^3_20yerbeelt, zo is BC na genoeg =3244.*■ 8609048. Stellende dan den Haak ECG=6o2[y' + # ao;y4, zo is de Regthoek EBCH na genoeg =301 * y* + ioy*', neemende hier in 3?=0.004502137, zo is 30131' -+• 1031* = 274693206762694401Ó0 (24) , deeze gedeeld door 60 = 3244.8609048, komt na genoeg H C = 8465485 BC of DC =0.004502137 Blyft 31=0.0045021362534515 7-3J *=7-3545°2i36i5345I5 VI. VRAAG. Daar zyn twee andere (lukken Lands, hebbende elk vier regte hoeken, waar van de breedte des kleinften in reden is tot zyne lengte, als 2 tot 5. Als men tot de grootheid van beide, het getal der beide lengtens vergaart, komt'er 750; en vergaarende den Inhoud van het kleinfte tot de lengte van het grootfte, is de Som 200. Men vraagt na de lengte en breedte van ieder ftuk Lands? a OPLOSSING. Plaat I. Fig. 10. Laat zyn, de Inhoud ACr=io» de Inhoud FI 33131 an 5» FH= 3y ■ • verg. IOffff*  van LUDOLF van KEULEN. 49 loarar + 3 yy+5 x + 3 y=z 750 ioaar +331 = 200 • 1 — » afget. 337+J* 550 10 aar + 3 y == 200 of 331 ir»n—ioara:* 3 ( 200— 10 ara; f verm. " = 3 J 40000—4000 ara; +100 ar* 2yy~— 1 Sx—sx • verg. 40000 — 4000 ara; + ico X* 3W + Js = s;M - X —550 ,. .(■;..Tcrfiros o 4- fo'ir' —■ 3 15x+40000 — 4000XX-t- inni4 1650 100 x* — 4000373; +15 x + 38350=0 100 ■ 1 _ ar4 —403737 + 0. 1537 + 383.5=7=0 of a;+ + o. 15^ + 383.5==4o*a; De waarde van x wordt door nadering, volgens den Regel Paleis gevonden. Men befpeurt aanftonds, door een naauwkeurig onderzoek, dat xz=$ een weinig te klein is. Want 1. Neemende « = 4, zo is 3737=16, en ar* = 250. x*=rr 2j6 , 4037»:==; 640 0.15 ar o. 0*0 383-5 640.1 640 0.1 te klein. CD) fi. Nee-  5f>. OploJJingen der konjlige Vraagen 2. Neemende *=4. ooi, zo is *»• 16.00801, ar* = 256.256096016001 0.153;==: 0.60&15 383-5 640.356246016001 40 ara: = 640.320040 te klein 0.036206016001 3. Neemende «=4,002, zo is ara; = 16.016004, a;* = 256.512384128016 0.153;= 0.60030 383-S 640.612684128016 40 ara: ==640.640160 4.002 . . . +0.027475871984 4.001 . . . —0.036206016001 14489647603600a 109930963807984 254827439843986 63681887985 1 . «=4.0015683 Derh. a;=4.ooi56 te klein, en 1=4.00157 te groot. Is nu gevonden x=—= 4.00157, zo is 23; = 8.00314 53;= 20.00785 —— —— verm. Inhoud van tgrootfte 10*3;= 160.125624649 van 200 3y= 39.874375351 y= 13.291458450 # I In-  van LUDOLF van KEULEN. 51 Inhoud van 't kleinfte syy=:529.9886032 10 xx . 160.1256246 i,x= 20.00785 3y= 39-8743753 749.9964531 moert zyn 750 Het geen nog geen -t^ van een Roede verfchilt, en derhalven is het antwoord na genoeg gevonden. AANMERKING. 1. Ludolf tekent by dit Voordel aan, dat bet ligter is, als bet voorgaande, het geen ook waar is, alzo 'de Vergelyking, wegens de getallen , zodanig is; dat men de waarde des Wortels, met weinig moeite, door nadering kan vinden; doch voor het overige is die van de zelfde natuur, als de voorgaande. 2. Hier op volgen nu vier byzondere regtlynige Figuuren, te weeten; een Vierhoek, Vyfhoek, Zeshoek , en Zevenhoek, welke begeerd worden, in een Qiiadraat te veranderen. Deeze hebben geen N"., en fchynen van het getal der Voorllellen uitgefloten te zyn ; het is nogthans niet waarfchynelyk, dat dezelve als een aanhangfel der voorgaande zyn opgegeeven , alzo zy van een gantfeh andere . Natuur zyn. Wy zullen de wyze aantoonen, hoedanig dit gefchied , het geen iemand klaar genoeg zal voorkomen, die zich de 37^Prop. I. Boek, en 14 Prop. II. Boek van Euclides herinnert. 1. Om een Vierhoek in een Quadraat, of gelykzydig regthoekig Vierkant, te veranderen. OPLOSSING. Plaat I. Fig. 11. Laat ABCD de gegeeven Vierhoek zyn. 1. Trek B D , en uit C , daar aan evenwydig, de regte CH, ontmoetende AD, of deszelfs verlengde, in H. (D 2) 2. Trek  52 Qplojftngen der konfiige. Vraagen 2. Trek uit B op AD de Perpendiculair BE; deel de zelve in twee gelyke deelen in Q, en trek door Q de onbepaalde lyn FG, parallel aan AH; vervolgens ftel AF en HG perpendiculair in de punten A en H. 3. Verleng AH, maak HM=HG, en befchryf op AM een halven Cirkel. 4. Verleng dan GH tot deezen Omtrek in I, en maak op Hl een Quadraat, dan zal het begeerde verricht zyn. B E W Y S. ABCD=BDH Meetk. II. 2. Cor. 1. AABD=ABD verg. ABCD=A ABH AABH = AFGH Meetk. II. a. Cor. 1,2. AFGH = DHI Meetk. IV. 16. Dienvolgens AB CD . . . = □ HI. Dat te bem V io//FL=$-,g*r V —» 184633744 2805625 AN : NK :: FA : KL |$f? V 10 - 24^ - 2£ V 10//K L = B?if* BK=8| BLI^JST.' V — _ 638370756 2805625 ~» 184633744 2805625 verg. 8*3004500 2805625 Dat is BF affi20$f$Ö ^ CÖ O VUL AN : NK :: FA : KL l$f? V 10 - 24ïm- 2^ ✓ 10//K L=ö?#$  SÓ OphJJingen der konjlige Vraagen VIII. VRAAG. Plaat I. Fig. i.NT=ACDN. 3. Trek dan de lyn DX, en uit Y, parallel aan deeze DX, de lyn YP; deeze zal AD in P ontmoeten. Trek dan eindelyk uit P de lyn PR, evenwydig aan DC, dan",zal deeze de begeerde lyn zyn. Want, de Driehoeken NDX, en NPY zyn gelykvormig. Dus ND : NP :: XN : NY Meetk.lV. 11. Fig. NDC:Fig. NPR::NX «NY*Meetk. IV.23. Fig. NDC=NX door 't Werk Art. 2. Derh. NPR=NY ==ANBF Art. 2. NAB .... rrrANAB Dienv. ABRP . . . =AABF. X. VRAAG. Plaat II. Fig. 4. Men vraagt, op wat wyze men, in den bygevoegden Zeshoek, meetkundig een lyn, die evenwydig aan DC is, kan trekken, deelende denzelven in twee deelen; zodanig, dat het deel naar de regterhand gelyk zy aan een gegeeven Figuur GHIK? OPLOSSING. Ten eerften, in de Figuur GHIK. 1. Verander de gegeeven Figuur GHIK, in een Driehoek GKL; dat is, trek KH, en uit I de lyn IL Parallel aan KH; vervolgens trek KL, zo is de Driehoek GKL gelyk aan den gegeeven Vierhoek GHIK. 2. Breng dan deezen Driehoek GKL onder de hoogte van  6© Ophjjingen der konftige Vraagen van het punt B; dat is, trek uit B, evenwydig aan t ,T? »,lyn BM' ontmoetende het verlengde van LK in M. Dan trek GM, en uit K de lyn KN Para«rf aan MG, vervolgens trek MN; zo is den Driehoek MNL gelyk asn de Figuur GHIK, en onder de hoogte van B. Ten tweeden, in de Figuur A B C D E F. 3. Trek BF, en uit A de lyn AO Parallel aan BF; inJJ^BO getrokken wordt, zo is de Vyfhoek °™n êelyke «rootte als de Zeshoek AB £ °,eoud Ne!m £u- 0R=NL , zo is de Driehoek OBR= den Driehoek LMN, en dus ook = üei£g™DGHIK- Pienvo'gens blyft 'er het ftuk RBCDER nog overig. 4. Verleng dan B A tot Q , en trek BP Parallel aan de zyde DC, waar tegen de begeerde Deel-lyn evenwydig moet getrokken worden. Daar blyft dus alleen nog overig, om den Driehoek QXY gelyk aan den Driehoek QRB, en gelykvormig aan den Driehoek Q PB te maaken, het geen wy, als op de voorgaande wyze, zullen verrichten. 5. Trek doorQ, de Perpendiculair QS, om daar dooide lengte der Perpendiculairs, tot de Driehoeken QBR, QBP te verbeelden; neem daarom QT~' BafisQK, en Qv = } Bafis QP, 7.0 is daar uit □ S Q.Q T= den Inhoud Q B R, en □ S Q. O v = den Inhoud QBP. ,zo zyn 'er ook aan deezen kant twee hoe! "?«S«nee zo is de Driehoek V Wv van de zelfde grootte als de Figuur D, en onder de hoogte van den Driehoek F G K. 3. Deell dan den Driehoek FGK, ofwel, de BafisF K. 111 vyf gelyke deelen zo dat FC het f van FK zy,* 1° ïSi&£nehoek GFL het ' deel van den Driehoek FGK, en gevolgelyk het « van de Fisuur C. Neem nuLX= Wv, zo is nog GLX=VWb~ u? F1fu,u,rkD».en .dienvolgens GXBAIG het overblyllel. Dus is alleen nog overig, om deeze Deellyn GX te verleggen, zodanig, dat die uit Hkomt; hier om trek XH en uit G de lyn G Y parallel aan deeee XH, vervolgens h y, deeze zal de begeerde Deel-lyn zyn. Want AHGXrrrrHYX XBAIH = XBAIH komt GXBAIG:==~H yIlaTh. En  6*4 Ophffingen der konjlige Vraagen En derhalven fnydt deeze HYhet gelyke overblyffel af, door een Deel-lyn, welke uit een.gegeeven punt H, in de zyde GI, getrokken is, naar den eifch der Vraage. AANMERKING. De eenigfte bedenking, die men by deeze Ontbinding kan hebben, is; dat het zou kunnen gebeuren, dat de Deel lynenGX, HY, het zy een van beide, of beide te faamen, met hunne buitenfte punten X of Y, buiten de Bajis B C, of een zyde van de gegeeven Figuur C , vielen; doch deeze zwaarigheid is van weinig belang, dewyl deeze dan flegts behooren verplaatfl: te worden, zodanig; dat dérzelver inhoud binnen de Ruimte der Figuur afgefneeden worde. Nu is het 1. Dat het punt X no^jt in aanmerking komt, het zy hetzelve in de lyn BC, of in dérzelver verlengde valt; want dit heeft alleen plaats met opzigt tot het punt Y, als het zelve in de verlengde BC valt. 2. Laaten wy hier toe een voorbeeld uitdenken; zodanig, dat de Figuur D, of ook het punt H, zodanig gegeeven worde, dat, .door de Conjtrufitie, het punt Y buiten de Bafis B C valt, als in Plaat III. Fig. 2.; dus moet dan, zo als gezegd is, de lyn HY flegts verplaatfl: worden. Trek, tot dat einde HC, en uit Y de lyn YZ parallel aan HC, ontmoetende DC in Z; vervolgens trek de begeerde Deel-lyn HZ, zo zal deeze, binnen de Figuur, wederom het begeerde deel affnyden. Want AHCY=AHCZ Derhalven HYBAIH = HZCBAIH Maar HYBAIH was het begeerde overblyffel. Dienvolgens HZCBAIH mede het begeerde overblyffel. XII.  van LUDOLF van KEÜLEN. 65* XII. VRAAG. Plaat III. Hg. 3. Zoek een vlakke Figuur, gelykvormig aan de Figuur A. welke in reden is tot den Driehoek B A C, als de lyn E tot de lyn F, of als 11 tot 16. Indien nu de zyden des Driehoeks, zo als die in de Figuur geteekend daan, gegeeven zyn, en dat het begeerde Meetkundig voldaan is, vraagt men, hoe lang iedere zyde van de Figuur A moet zyn? OPLOSSING. I. Telkunfiig. 1. Om dit Voordel door Rekening, of Telkundig, te beantwoorden, is van weinig belang. VVant, aangezien de drie zyden van den Driehoek ABC bekend zyn, vindt men gemakkeiyk den Inhoud ABC = 84. 2. Nu is de Proportie van den Inhoud A BC tot den Inhoud van de Figuur GHIK, als li: 16:184:122T^ voor den Inhoud GHIK. 3. Wederom kan de Inhoud van den Vierhoek DEFG ook met weinig moeite gevonden worden. Want de drie zyden van den Driehoek DEG zyn 8', of-, io* en de drie zyden van den Driehoek E FG zyn's, 6' 10; waar door de Inhoud van ieder Driehoek , en gevolgelyk van den geheelen Vierhoek DEFG gevonden zal worden te zyn 6i'. .. Dewyl nu begeerd wordt, dat deeze Figuuren GH* IK, en DEFG malkauderea gelykvormig moeten zyn, en men bekend heeft, den Inhoud van deeze beide Figuuren, als mede alle de byzondere deelen van den Vierhoek DEFG, kunnen alle de byzondere deelen van den Vierhoek DEFG ook gemakkeiyk gevonden worden , na het 23fte Theorema des vierden Boeks van de Gronden der Meetkunfi. m Inh.  66 . Ophjjlngen der honjiige Vraagen < Inh. Inh, DEFG-GHIK ~|t 33 253 8 5024 ~ 4032 "ÊF =64 //li'= ■^4— ö ' ' 253 253 5C4 z , 1296x14 FG =36 //GK =—— GD =7j.j//GH =—•—1 ƒ'ƒ 253 rrr2 - —2 3600x14 GE =100// GI =- - 253 Derhalven HI == 56V£fJ IK = 48v/^| J n ir , ... 1+ I de byzondere deelen u K 3° k m >. van de„ vierhoek Gü=52Vilt[ GHIK. GI=r=6o^5*?J II. Meetkunjlig, Indien men dit Voordel Meetkundig begeert op te loden , komen 'er twee zaaken in aanmerking, 3b Dewyl de reden van den Inhoud ABC tot die van GHIK, als 11 tot 16 gegeeven is, moet men een Driehoek vinden, tot welken de gegeeven Driehoek ABC in reden is, als de gegeevene Proportie, dan zal men de grootheid van de begeerde Figuur, onder de gedaante van eenen Driehoek, kunnen bepaalen. 2. Dan wordt 'er nog begeerd, om deeze gevondene Figuur in een andere, van de zelfde grootte te veranderen , zodanig, dat dezelve gelykvormig zy, aan de gegeeven Figuur DEFG. Om dit in een gefchikte orde te doen, heeft men de volgende ConftruEtie met aandagt in te zien. Plaat III. fig. 4. 1. Maak AB=i,BC=n, en BD = 16 gelyke deelen  van LUDOLF van KEULEN. 67 len; befcbryf, op A C en A D halve Cirkelen , en ftel BF perpendiculair op AD, dan zyn de Vierkanten BE en BF tot malkanderen in reden , als 11 tot 16. _ Want, AB : BE :: BE : BC » 1 : : 11 //BE =11. AB : BF : : BF : BD 1 : : 16 // BF =16. 2. Maak B GI gelyk den gegeeven Driehoek ( Ü3114,15), en trek EG, als mede F H parallel aan dezelve, ontmoetende BG in H; dan UK parallel aan GI, zo is BHK de grootheid van de begeerde Figuur. Want BE : BF :: BG :BH BE: B F* : ♦ BG*: BH* Meetk. IV. 4. AGBDAHBK^B^Bl^.ftid. IV. 23. AGBI:AHBK:: BE*:BF*Ibid. IV. 5. Cor. 2. :: 11 : 16. 3. Verander den Driehoek H B K in een Ouadraat; dat is, trek de Perpendiculair HL, en regthoekig door het midden derzeive de lyn QR; dan is □ BÓ RK* = AHBK. x Neem MK==KR, befchryf op BM een halven Cirkel, en trek uit K de Perpendiculair KN, zo is het Quadraat KNOP = BQRK=:BHK. 4. Verander ook de gegeeven Figuur A in een Quadraat (Plaat III. Fig. 5.); dat is; trek va parallel aan T W, ontmoetende de verlengde S W in a. Trek Ta, zo is de Driehoek STa gelyk aan de Figuur A; dan door het midden van de Perpendiculair Tg de lyn ic getrokken, evenwydig aan Sa, zo is de Regthoek Sa&c = ASTa = Fig. A. Maak dan Sd=z Sc, en befchryf op da een halven Cirkel, zo is Sc r=Fig. A. Neem dan Sf=KN, zo is Sf =4 . A B ü K. ' J (E 2) 5. Ver-  68 Oplojfingen der konfiige Vraagen 5. Vervolgens trek e W, en uit ƒ de lyn ƒ V parallel aan eW. Maak dan op SV de Figuur SVXY gelykvormig aan S W v T, zo is het begeerde verricht. Want Se : Sƒ :: SW : SV. Meetk. IV. ii. s7* : s/ :: Fig. A:Fig.SVXY. Sc =Fig.A, dus s/ = Fig. SVXY. By gevolg S/l=Fig. BHK = Fig.S VXY. XIII. VRAAG. Zoek een getal, dat, vermenigvuldigd zynde met 52I, het ProduSl 41J minder zy, als 11 maal de Cubic van dat zelve getal. OPLOSSING. - Stel het Getal =ös x : 52? . 52!* • - \ De Cubic x* 411 verg. 11 . na5 ==52! £+41! 11 zr—r4|a;+3| .tt .hm: verg, x' -f- *x = xx+4i a -j- 31 x-f1 Komt aa rz= x -f- 3| 3— ? ■ verg. ^ a —-—2 ■ XIV.  van ludolf van keulen. <5£ XIV. V R A A G. Zoek een Getal, welks Cubic 192 minder zy, dan 16 maal deszelfs Quadraat. OPLOSSING. Stel het Getal — X zo is x3 r. 16 xx 192 64= .... 64 , ■ afget. re3—64 = l6xx 256 4 xx + 4x+ 16= 16Z + 64 xx — i2x = 48 36 = 36. ., verg. xx — i2rc +36:== 84 \S - X — 6= T/84, komt alzo (x = 6 + V8+ XV. VRAAG. Daar is een getal; als men tot deszelfs Cubic driemaal deszelfs Quadraat vergaart, is de fom 18 meer, als 7 maal het zelve Getal. Vraage na het getal? OPLOSSING. Stel het Getal =x zo is xl + 3xxz=z-jx-i-18 4= .... 4 afget. *'-f-3*x —4 = 7*+ 14 x + a : -■ < xx-\-x — 2 =7 nl ol g xx-tx+$ = 9h « + § = ✓9? *=='— ï + »/9J. ce 3) iXVL  i7o . Oplqffingen der-.kpnflige Vra&gèn XVI. VRAAG. Zoek een getal, zódanig, dat zo men tot deszelfs Cubic tweemaal deszelfs Quadraat vergaart, de Som 15 meer zy, dan 8 maal het zelve getal. OPLOSSING. Stel het Getal = x. zo is x3 + zxx: 8x+ 15 9= ... 9 ■ verg. x3 +1 xx 9 = 8 x •+■ 2 j. * + 3 » xx 1 j . 3 « afget. XX — = 5? 1/ ■ * = ï + V5l XVII. VRAAG. Vindt twee getallen, zodanig, dat, a's men de Som hunner Cuben deelt door de fom der getallen, het Qjiotient 400 zy; en dat 'er 600 kome, als men het verlchil dier Cuben door het verfch.il der getallen deelt. Welke zyn die getallen ? OPLOSSING. Stel de getallen =zx+y f dan zyn fx+4- axxy + ^xyy + y3 en x — y ide Cuben (x3 — ^xxy + ^xyy-. Som lx Som 2a;3 . . +6xyy Verfchil zy Verfchil 6xxy-\-2y3 DcSom der Cuben gedeeld door de Som der getallen, (komt xx +33-31=400 Het verfchil der Cuben gedeeld door 't verfchil der ge(tallen, kömt 3xx+yytzz6oo Derh.  van LUDOLF van KEULEN. ?r Derh. ^xY+yy x 3 = ó°c * 3 + 3 ?]l=400 z^oxx+syy—1800 **-»»• —175 xx-f 3^3/= 4°° — a g* . , afget. 3 yy = 225 8 xx • • . =14°° 3 " 8 ■ yy~ 75 Xx ... = 175 v ~ y. ■ y=zV7S x . . =1/175 Dus x — v 175 of 5 V 7 y~V 75 of 5 v^3 X + y = i/175+^75, dat is 5 V7 + 5 ^3ï?5- 1/75» dat is 51/7-51/3XVIII. VRAAG. Deel 6 in twee deelen, zodanig, dat, als men het vierkant des grootften deels met het kkinfte deel vermenigvuldig!, het Produtf 7 ^ VVelke z?a de dee" kn? OPLOSSING. Stel het grootfte deel ±=x, zo is het kleinfte ==ö-x. x XX 6 — x verm. 6xx —x3 = 7 x* — 6xx — 7 1— .... 1 . i . — verg. #3+ 1 =6 xx — 6 x +i "2 xx — x + i = 6x—6 xx — 7X = — 7 12i= I2| . , .—(.. verg. CE 4)  ?2r Oploflingen der konftige Vraagen xx- 7 x +.121=51 x — tf = v5i X~3ï + V'5l het grootte? ö-x = 2|_|/5j het kleinte s XIX. VRAAG. Vindt twee Getallen, als men het Quadraat van hunne oom, met hun verfchil vermenigvuldigt, komt'er 100; en als men hun verfchil met het Quadraat des kleinsten getals vermenigvuldigt, komt 'er 10. Men vraagt na de Getallen ? OPLOSSING. Stel het grootte getal = x, en het kleinte = y. Zo is de Som = x+y . . □ . . xx + nxy + yy het verfchil—x-y . . ..x — y verin. xx-r-2xy + yy .x — 31— iool y gedeeld, yy.x— yz= 10) xx-f- zxy-\-yy V- - , . Dus x:—— — y-\-yV 10 gedeeld^ ?Zl3L=-*WsV 10 getal. ■y— {/ 2\ + V 27-5 hetkleinfte J Om de Som x + y te vinden- Daar is gevonden x+y —y\/10 JT+yY—y3.ioV 10 Jl CE 5) 3»='  74 OphJJingen der konfiige Vraagen 10 + 5V10 ^zzmz , —— I* too4- root/ 10 x+y\ = of l6Öf+33^lo 3 —_____ Om bet verfchil x — y te vinden. Daar is gevonden x—yz=zy 2+1/ 10 x~y\ == y'.—ö8+"i/ï^ ■v,_..*°+5V/io _ 3 x—-3>|! —140—V16000 3 ■ Dus x — y =^140 — j/16000 XX. VR AA G. Zoek twee Getallen zodanig, dat, als men den Vierkants-wortel uit de Som der getallen met het grootfte getal vermenigvuldigd, het producl, 10 zy; en dat 'er 2g kome, als men het Quadraat des grootften getals met het kleinfte getal vermenigvuldigt. Vraage na de getallen ? OPLOSSING. Stel de getallen —x en y, zo is de fom z=x + y Derh. V x+y x x = 10 gr. get. x // Quadr. xx ' ■ —V kleinfte .... 31 xx.x + y=zioo ' -verm. xx. y=: 20 xxy=z 20 — afget. , a;3__ 80, dus x — y80. We-  van LUDOLF van KEULEN. 75 Wederom, dewyl xxy = *o is zo is xsy' = 8000 I jc3__8o zynde, is x6 =6400 f gedeeld , f = ii V ■ y — Y\\. XXI. VRAAG. Daar zyn twee Getallen, als men het produEt derzeiven nog met j vermenigvuldigt, komt 'er 80 min het Quadraat van de Som der getallen; en als men de Som der Cuben van deeze getallen, door de Som der getallen deelt, is het Quotiënt 16. Men vraagt naar de getallen ? OPLOSSING. Stel voor5x+3>?dan zyn^3+3XX3'+3^3'}'+3'3 de get.^x—y\teCubentx3—3XX31+3X37 —31' ProduEt xx— yy Som 2x3 . . +6xyy 5 2X : 5xx — 5yy xX • • +337 —16 4 xx 9 • 9xx+_73>3>_i44 9xx — 5yy —— 80 . • 9xx—• j37_z8o . . afget. 32 3-3-= 64 53131=—10 3a '■ verg. yy- 2//31=1/2 9 xx . . . _— 90 xx_io//x_v'io Derhalven x+y—V 10+ V2 x—y ■— \f io—1/2 XXII. VRAAG. Deel 8 in twee deelen, zodanig, dat, als men het Quadraat des grootften deels met het kleinfte vermenigvuldigt , het ProduEt 40 zy.  7tf OploJJlngen der konjlige Vraagen OPLOSSING. Stel het eene deel =x, zo is het andere ===8 — x. Derhalven 8 — x verm. met xx Komt 8 xx — x3 140 of x3=üxx 40 8= ... 8 x3+ 8 — 8 xx 32 X-\- 1 - • xx — 2x+4_t:8a; —16 xx — 101=:-— 20 25 — •••25 xx—ioa;+25__ j V x — 5 = V5 Derhalven ar __ 5+ 1/5 het eene f 8 — x — 3 — V 5 het andere ' XXIII. VRAAG. Als men 3 quadrateert, en het komende produel, dat pis, met 7 vermenigvuldigt, komt'er 63. Men vraagt, of het getal 10 niet in twee andere deelen kan gedeeld worden , zodanig, dat als men het Quadraat des kleinften deels met het grootfte vermenigvuldigt, het produel: mede 63 zy? OPLOSSING. Stel voorj 3 — ar... □.». 9 — 6x-\-xx de deelen] 7+x .... 7 + x — 5 verm. 63 — 33 x 4- xx -f- x3 _= 63 — 33x+*x + x3= o x ■ 1 . ■ ■ —•33*  tuin LUDOLF van KEULEN. 77 — 33 +x -f xx— o xx + x = 23 4—— | verg. xx + x+l = 2ti V x + l — y^j x = — I+V33I Derhalven 3 — x ___ 3* — V 33I 7 + * = ó] + ^33tAANMERKING,j. Deeze Vraag is van de zelfde natuur, als Vraagftuk 70, 71, 72 , 73 van de eer(le honderd konftige Vraagen van Marten Wilkens , naamelyk: —In Vraagftuk 70 en 71 wordt begeerd; een gegeeven' getal zodanig te deelen, dat bet Quadraat des kleinjlen deels, met bet grooifte vermenigvuU digd zynde, een bekende Som uitmaakt. z=ln Vraagftuk 72 en 73 wordt begeerd; een gegeegen Getal zodanig te deelen, dat bet Quadraat desgrootften deels , met bet kleinfte vermenigvuldigd zynde, een bekende Som uitmaakt. 2. En dewyl de Ontbinding, zo als die hier gedaan is, ons beter als die van Marten Wilkens voorkomt, zullen wy de Vraag hier nog eens, doch in generaale Termen, oploflen ; Hellende , dat 'er twee getallen gegeeven zyn. Stel voor3 a — x t , ) aa — iax + xx de deelenl ö + * rUS1 b+x - verm. aah-\-aa — 2 ab. * -f-è _ 2 a. xx-4-x* — aai aa— o.ab .x + b— 2a.xx+x} __o x ,. aa — 2ah ■ \ b — ia.x-\-xxz=zo XX D  7$ Ophtfingen der konflige Vraagen xicj-b — 2a. xz=.2.ab — aa \b — op~'(bb — ab+aa —'~— ' verg. xx + b — za.x-r-ib— a]* = \bb + ab V — x + y l —. a — V | bb +~aT Waar door wy hebben x = a — \b~iiVb.\b + a Derh. zyn de deelen a — x = \b^Vb.\b + a b+x—a + {b-+\/ b.{b + a Laat nu in dit Voorftel van Ludolf bekend zyn, . « = 3» b — 7', zo is a — x=z2' — V33l COROLLARIUM. Nu zyn hier door de aangehaalde 70^ en7ifteVraagftukken van Marten Wilkens mede ontbonden, om dat daar in het eene paar getallen gegeeven is. Want, in N°. 70. is a—=3, b~8; dienvolgens a — x=$ —1/40. b-x-x — i +1/40. ïn N°.7i.is 8=2, É=_5;derh. a — x=_2] —1/16|. J + x=-4I2 + V/i6i. XXIV. VRAAG. Zoek twee Getallen, welke 3 verfehillen, van zodanige eigenfchap, dat, als men by het vermenigvuldigde deszelven het grootfie getal vergaart, de Som een . rationaal Quadraat zy. OPLOSSING. Stel de Getallen en x-fa Dan moet xx+ax + x-f-a een rationaal Quadraat zyn. Stel den wortel __x— zo  van LUDOLF van KEULEN. 79 zo is xx + ax-\-x+a = xx — abx+bb 2bx + ax + x — bb — a bb — a 2b + a+ 1 Nu is a=_3 gegeeven, en laat b — 2 genomen wor. den, zo is xz=z\. Dienvolgens x ■ —11 , . , > de getallen. x+az=2lb XXV. VRAAG. Zoek twee getallen , zodanig, dat, als men bet kleinfte van het grootfte trekt, de reft een rationaal Quadraat zy; en als men by het Quadraat des grootften het kleinfte getal vergaart, en by het Quadraat des kleinften het grootfte getal vergaard, elk der komende Sommen byzonder een rationaal Quadraat zy. OPLOSSING. Stel het eene getal — x+ayyf , , f zo moet nog zyn en het andere zrzx—ayy* * — 2yy|* + * + 2yy ƒ j q.xx+4.xyy + 4y*+x~.2yy)rationaale Qua" 1 4xx — 4xyy+4y*+x+2yy* draaten. Verfchil 8a;yy . . —437 De Deelers zyn 2* —• 1, en 4 yy, waar van de halve Som is x — |4-2yy v 4xï+4Kyy + 43'*4-* — 2 yy=*r-H 4-4 y*— * + ^ (i\xyy — 2jy Komt 2ar_=£, dus x-=.\. Nu mag men y naar welgevallen neemen, om dat die door de herleiding verdweenen is. Neemende y=={, zo zyn de getallen Tl en 7|. AN-  8o OploJJingeh der konfiïge Vraagen ANDERS. Indien men de getallen men j fielt, zo moeten + OO' + tf, x-\-y rationaale Quadraaten zyn. De twee eerfte zyn xx-\-y ;'yy~t*; , Verfchil xx — yy — x+y Deelers x — y, enx + j—i Hier van is de halve Som *—f V xx+y = xx — * + ? *-B' = i- Waaruit blykt, dat x en y naar welgevallen kunnen genomen worden, en dat alle de getallen zullen voldoen; indien hunne Som r—rjis. XXVI. VRAAG. Daar zyn twee Getallen , waar van het eene driemaal zo veel is als het andere; en zo men het kleinfte getal tot de derde magt verheft, en van het komende het Quadraat des grootften aftrekt, is de reft een rationaale Cubic. Vraage na de getallen V OPLOSSING. Stel de getallen _x en 3 a;, zo moet x3 — 9xx een ra'Aona'ile Cubic zyn. Stel den Wortel z=zax zo is x3 — 9xje__a* x' XX 1 a * — 9r_r«! x of x —'■ a' x=z 9 I_aB , 9 1—a3 Neemende <.= §, zo is x=. 10* het eene f getal , 3 * — 30* het andere f enz. , XXVII.  van LUDOLF van KEULEN. gr XXVII. VRAAG. Zoek twee Getallen, zodanig, dat, als men tot de Cubic des grootften het Quadraat des kleinften vergaart, de Som een rationaale Cubic zy. OPLOSSING. Stel de Getallen —a*, en Sar,zo moet a' x'+lbxx een rationaale Cubic zyn. Stel den Wortel — cx , rr V a' xs -f- bh xx c' x' XX ——. fl' x-\-bb = c' x c's — aJ x — hb c> — a' . , bh X c>—a? Derhalven ax==-r——r . _ B' ex—_ — - c! — a! Nu moet, volgens het Voorftel, a grooter genomen worden als 5, om aan de Conditiën te voldoen; en vol» gens de Vergelyking moet wederom c grooter zyn als a, om 7iegative getallen te vermyden. Neemende a__ 2, £_ri, enc__3, zo zyndegetal- C len Tf, T|. Neemende fl_r 2i, en c=4, zo zyn de getal- Cien 7f, U. XXVIII. VRAAG. Zoek twee Getallen , waar van het eene tweemaal grooter is als het andere, zodanig, dat zo men hunne Quadraaten te faamen vermenigvuldigt, en tot het proauSt het Quadraat van 't grootfte getal vergaart, dat'er kome een rationaal Quadraat. Cf; op-  8 a- OploJJïngen der konjlige Vraagen OPLOSSING. Stel de Getallen —x enw, zo zyn de Quadraaten xx en 4.XX; deeze vermenigvuldigd, komt $x*; hierby het Quadraat des grootften getals vergaard, heeft men 4 x4 + 4 xx, dat een rationaal Quadraat moet zyn. Laat de Wortel ■ iax zyn; v Dan is 4 x4+4 xx = 403 xx 4 xx xx +• i " aa xx___aa— i; dit moet noï? een rationaal (Quadraat zyn. Stel den Wortel —a — b ; j/ aa—- i__aa — zah+bb aabr.—:bb + x zb _bb+ i a zb Neemende5__2, zois«=_ii, enx_=|7de getal- 2X=i| f len. XXIX. VRAAG. Men vraagt naar twee Getallen, welker verfchil is een rationaal Quadraat, en, als men tot ieder byzon. der de eenheid vergaart, dat 'er kome een rationaale Cubic. OPLOSSING. Stel voor de J a3x3 — i ï dan heeft men rationaale Cuben, getallen! b3x3—i [ wanneerde eenheid tot elk der ( getallen vergaard wordt. Het verfchil is a' x! — b' x' ftel __cf xx een rat. Quad. xx • a' x —-b' x:——cc cc Nee»  van LUDOLF van KEULEN. 83 Neemende a __ 2, b_r 1, c — y; zo is se _= 7; dus Derhalven a! x' z=z 2744, en «'i' — 1 = 2743 I de Ge* 343, b'x1 —1__ 342 [lallen. XXX. VRAAG. Vind twee getallen, zodanig; als men tot de Cubic des kleinftet» het Quadraat des grootften vergaart, dat de Som een rationaale Cubic zy. OPLOSSING. Stel aa: en lx voor de getallen,zo moet a'ar'+fiö** een rationaale Cubic zyn. Stel den Wortel z==.cx zo is a'x'+hh rr c' X1 XX a'x+hh r> x c' x — a' xz=zbb bb~ * c' -a' Derhalven ax=z~ • c' —i a' bx=z— - cJ — a' Nu moet a kleinder genomen worden als l, om aan 1 de Conditie van 't Voorftel te voldoen, en wederom a kleinder als e, volgens de Vergelyking. Neemende a_=■ 1,b =_7, c —=2 ,zo zyn deget. 7 en 49. AANMERKING. De zes laatfte Voorftelien , als mede het volgende 3_«e .worden ook gevonden by Marten Wilkens in de eerjte bonderd konjlige Vraagen, naamelyk; (f 2; n°.  84 ' Oplojfingen der konjiige Vraagen N°. 24 van Ludolf is by M. Wilkens N<\ ï. 25 . . ...... 5. 20" 6. 27 • .... 4. 28 ...... -. 3° . 8. 3a 10. XXXI. VRAAG. Vind twee rationaale getallen, welker Som is eeil rationaal Qjtadraat, en zo men de eenheid by ieder getal vergaarc, dat 'er rationaale Cuben komen. OPLOSSING. Stel de get. __aJ —3MX + 3 axx — — i?dan heeft en b' -\-%bbx + 3b xx+ xl— 1 £ men rat. Cuben, als de eenheid by elk der getall. vergaard wordt. De Som is a,-{-b,+%bbx— $aax + 3 axx-{- <$lxx—2, C welke een ration. Qiiadraat moet zyn. Stel den Wortel ~cx—d y zo is fl!-H!+3 blx-iaax^axx+^lxx—2 — ccxx * ( — zcdx-\-dd Neemende 3 a ct 4 3 £ ara—-ccxx zo vindt men hier door 3a-f-3#=——:cc En dan is nog a'+ 3WX—saaar — 2 = — zcdx + dd 2 c dx + ^bb x — 3 aa x = dd -j- 2 — a' — bs dd + 2 — a1 —b' X 2cd + 3^—300" Na moet maar alleen in agt genomen" worden 30+35 rrz-cc cc — 3 & Want, daar door is a:—— — 3 Neemende c=2, 5 = 1; zo is a=_2; en d — \ nee-  van LUDOLF van KEULEN. 8_r neemende;zo isx~— f ; dm a — x ==i* ;enfi 4-x= if; welkers Catera zyn j4}, en {§i,. hier van de eenheid getrokken, zyn de overblyffelen en fff-, welker Som is of "f een rationaal Quadraat, zo als be* geerd was. XXXII. VRAAG. Vind twee getallen, zodanig; als men tot de Cubic des grootften het kleinfte getal vergaart, dat 'er even veel kome, als of men tot de Cubic des kleinften het grootfte getal vergaart. OPLOSSING. Stel voor de getallen x en y, dan is door het Voorftel x* + y =-y'-f-x x' — y3: x — y x — y xx+xy + yy=. i XX-\-xy~— I yy iyy=^ziyy * " , verg. xx + x y + 1 yy ==. i — | yy dat een ration. Qua( draat moet zyn. Stel den Wortel ——r i — ay -4 ■ V zo is i — \yyz=^=.\ —nay + aayy aayy+^yy=:2ay y . aay + iy = a a 2 a y aa+% Neemende a=_ 2j, komt 31 = 1, en x — \ voor debe- ( geerde getallen. XXXIII. VRAAG. Van drie getallen is het eerfte 4 minder als het twee(F 3) de  86 OploJJingen der konjlige Vraagen de. Zo men hunne Som met het eerfte vermenigvuldigt, komt 600; en dezelve Som met de Som van het eerfte en derde getal vermenigvuldigd zynde, is het produEt 2400. Men vraagt naar deeze drie getallen? OPLOSSING. Stel de Getallen z=.x, x+4, en y. De Som is 2 a; 4- 4 + )" >met * verm., k*. nx+i+y. x~6co 2a;4-4 + y mela;+4+;y vermen..i« 93:4-4+31. (a;-»-4-+-3'__240O. Deeze Vergelykingen, de kleinfte in de grootfte gedeeld zynde, 2a;-f-4 4-;y-a;-MH- 3>" Komt: ==^1? x+4+y Dus —" = 4 4+y==3x y = 2X — 4. . x xyz=Z2xx — 4X. Wederom 2x+4+y.x = 6co 2xa?4-4a; + a;3'==_6oo . xy 33:3;—4* 5 aia; _,„':..' 600 5 xx __r 120 V f x=.V 120 ar-f-4=:4 -f-t/120 2) = 3 x — 4z=—4 -f 3 V 120. XXXIV.  van LUDOLF van KEULEN. 87 XXXIV. VRAAG. Vind drie getallen, waar van de Som des eerften en tweeden, vermenigvuldigd met het derde , doet 264; de Som des tweeden en derden, vermenigvuldigd met. het eerfte doet 102; en de Som des eerften en derden, vermenigvuldigd met het tweede , doet 234. Welke zyn de getallen ? OPLOSSING. Stel de getallen y, z Dan is x4- y .z, of zx + y z:___2(>4 y + z.x, of yx4-zx_=_ 102 ütf+z.y, of xy+yz:-~.234 , • verg. 2*y+ 2X24-2 yz = 600 2—. i x y + x 7,4 y f-: de drie laatfte xz-\-yz. ;264 ( Vergel.ieder by« xy-\-xz • . ' 102 ( zonder van de xy • • 4-y2^1-=a34J tfteafgetrokken. Komt x y 36 -f yz___ 193 >verm. xz 6óJ xx yy zz 470448 1/ ! xyz=.396V2i yz==i^ l , _z=_= ó6 f gedeeld xy= 36 J xz : 21/3 y= 61/3 z___ni/3. XXXV. VRAAG. Zoek drie getallen, waar van het eerfte zo veel min(F 4) der  88 OptoJJingen der konjlige Vraagen der is dan het tweede, als het derde meer is dan het tweede; en zodanig, dat, als men het eerfte met het derde vermenigvuldigt, het product ZV30, en dat het produEt 20 zy, als men het tweede met het eerfte vermenigvuldigt. OPLOSSING. Stel voor de getallen x — yt %, en x + y. Zo is, door het Voorftel xx — yy == 30 XX — xy=20, of x - y . v. ->p Düsxy—yy==10, of x-y .y=w ' 1 ged, x _ 7 2 : y * = 2>> ' V xx. 4 yy yy= yy afget. aa—yy===3yy===30 ' 3 yy _=_ 10 V-—■ ■ 31 = 1/10 Derhalven zyn de getallen x — y=zV 10 x... r__2j/xo x + yz=3V 10. XXXVI. VRAAG. Welke zyn de getallen, waar van het eerfte en derde te faamen zo veel doen, dan tweemaal het tweede; en dat het vermenigvuldigde des eerften en tweeden zy 20; als mede, zo'men het derde met het eerfte vermenigvuldigt, en tot het produEt het Quadraat des tweeden getals vergaart, dat de Som zy jof ? 9h  \ van LUDOLF van KEULEN.. g9 OPLOSSING. Stel de getallen —x—-, x, enx + y. Zo is xx — xy — *o, en 2xx — yy~^6\ of xy = xx — 20 yy~2xx — yöf • y . xx XXyy = x*-40xx + $QO xx jy=z 2^-56(xx Derhalven 25c*—^6\xx=zx* — 4oa;x+4oo x* — 16? xx __z 400 ' ~ verg. x4—ïóixx+ti^z—±m V r- -■ xx = *f = 30, dus * =z V 3Q — 2 2 XX .. . 1 , , 60 Derh. zxx — 56\ = 2{=yy, dus y—y3\. Nu is v-r 30 yy = 3} verm. ¥xyy___ioo,dusa;;y__ 10, en2*}>-__2o a;x + ;y:y-_33;- verg.enafg. XXfrïxy;^.yy — $$ xx — Tf Li x.. .r__|/ 3f- We getallen. W AANMERKING. Alle deeze, behalven de eerfte twaalf, Voorftelien, » tpt hier toe voorgedragen, zyn van'weinig belang, en vereifchen niet veel kundigheid, zo wegens deOn. CFj) lot  qo öplojfingen der konjlige Vraagen lodingen der Vraagen, als de hoedanigheid en eigenfchappen der getallen, welken maar liegt en eenvouwdig zyn. Wy hebben daarom op deezen ook niets in aanmerking kunnen bybrengen , en de Ontbindingen derzelven ook flegts na de eenvouwdige wyze verkozen,' zonder het een of ander 'er by te voegen. Alleenlyk zegt Ludolf , dat de vier volgenden hem van een Meefter gezonden zyn, dat ze mede weinigbe» heizen, behalven dat de getallen vreemd vallen. Zie zyne aanteekening by de 38fte Vraag. XXXVII. VRAAG. Daar zyn drie getallen, continue Proportionales; het eerfte is V 5, en het derde |/8 meer als het tweede. Men vraagt naar de Getallen? OPLOSSING, Stel de getallen_=* + 1/5, ar, en * + i/8. Dan is, door de eigenfchap,in bet Voorftel bepaald, het Quadraat van het middelfte gelyk aan het ProduEt van de uiterften. Dat is; x + V8 + xV2 + V$o x . . . v' xx + xV 5 + XV8 + V 4.0= xx xV5 + x\/ 8=2 — VAO V4Q *—"ï/y+Vs Derhalven ^J+V8 gedeeld in —1/40 — V5 + V8 —V5+VS — 5 + 8 -fjt/8—8^5 3 X — l V 8 - \ V 5 het middelfte;  van LUDOLF van KEULEN. 9t x=\Y8— |i/s, x=.\V8 — \Y5 1/5— . ... -11/5, y 8=-»i/8 *-i-5 = I VS — \V5 x+V8 = *V8->y5 Dat is jc +1/5 __ \/1{ x 8 - V' l x 5 — Vii\ — v/13$ ï a: . . . _=V/?|x8 —^<4x5rz: 1/221 — ^35^>de §e* *4- V 8 — Vl-\* 8 - V *t*5 = 1/ 56JV/3j^tallen' XXXVIII. VRAAG. Men vraagt na drie getallen als in de voorgaande zodanig; dat het tweede V5 meer zy als het eerfte* en Y 8 meer als het derde? ' OPLOSSING. Stel de getallen =*— Y5, x, en x —1/8 Pan is x — j/ 5 x — V 8 * middelfte verm. -—Y xx — xy 5 — xv 8 4- Y40 x* x V 5 + x V 8 == V 4 o I/40 * V5+Ï/8 Derhalven 1/5+^8 gedeeld in Y40 — 5 + 8 — 5K8+8V5 x — — lys+Ws x==: — YH 8 + Vi+5 »==— yi|? + i/i|S Nu is — jl/8+f 1/5-^ = -11/8 + 4^5 /5= ïl/5 ^Sr-Aj/S f-V/J = ïV/J~^8 8=11/5-f 1/8 Der-  pa Oplojjingcn der konflige Vraagen Derh. z=z - = V iS| — y a.| XXXIX. V R, A A G. Nog vraagt men na drie getallen, van de zelfde eigenfchap als vooren, zodanig, dat het eerfte Y 5 meer zy als het derde, en het derde Y S minder zy dan het tweede? OPLOSSING. Stel de getallen — x + V 5, x+YS, x. Danisx+Vs x + Y8 x. ï+/8 • verm. -—' .— xx + xY 5 =xx + 2x Y 8 + 8 xY 5—qx Y 8 = % 8__ * Y5—2Y8 of x =— $ V 5 — 1' Y 8 Dienvolgens x+ Y 5 = y"2\*l — V _|ff x+Y8=zY i'7'2' — vm x... =—Ym—y2!" XL. VRAAG. Zoek drie getallen, in Proportie als vooren, zoda* nig; dat het eerfte Y 8, en het tweede Y 5 minder zy als het derde. OPLOSSING. Stel de getallen ar — V 8, x — V" 5, x Pan is .x—V8 ar—v'5 X x—Y5 . verm. ■ ■ verro. • xx — 9  van LUDOLF van KEULEN. 93 xx—xVh: xx—ix V 5 + j x==—i 2 V J— V 8 of x = iV 5-{-TlV 8 Derhalven a; — Y 8:—: V — Y a}| ar—yj = V iff—V ?| * • • • =V2&+Y AANMERKING. 1. Hier mede zyn dan deeze vier Vraagen beantwoord en de zelve getallen gevonden , welken door Ludolf worden opgegeeven; alleenlyk zegt hy; deeze laatfte is de gefcbiktfte van allen; mogelyk, om dat de antwoorden derzelven Po/uwe Sara^ra zyn; daar in tegendeel onder de antwoorden der anderen; altoos eene Negative Surdifcbe grootheid gevonden wordt ; want anders zyn deeze vier Vraagen even gefchikt en genoegzaam de zelfde. 2. Hier kunnen wy ook aanmerken , dat deeze vier Voorftelien mede gevonden worden by Marten Wilkens in de eerfte honderd konftige Vraagen, alleenlyk dat aldaar andere getallen zyn genomen; naamelyk Y 7 en Y i \ , in plaats dat deeze by Ludolf zyn Vj en Y 8\ zo is dan Vraag 37 gelykluidende met Marten Wilkens 94 38 - - - - met - n2 39 • - - - met 0I 40 - - - - , met 93 Van welken in de Ontbindingen van die van Marten Wilkens de zelfde Helling, en dienvolgens ook' de zelfde bewerking gevolgd is. S C H O L I U M. Nu zullen wy ieder van deeze vier Voorftelien, op eene algemeene wyze befchouwen , waar dopr die van Ludolf, als mede die van Marten Wilkens, te gelyk ontbonden zyn. 1. Stel, in N°. 37', voor de geduurige Evenredigen ï+Va, x, x+j/b . Dan  94- Ophjftngen der konjlige Vraagen Dan is x-\-]/a x + Vb ... verm. xx + x V a+x v b 4- V a l = x x xVa+xv'b — V ab * 'Va' + Vb p{ x - V ~ V>a het middelfte getal. b — a aVb— aV'a x4-V'a = r het eerfte getal. 1 b — a bVb—bVa x + ybz=: \~~Z~a het derde Seta1, — Neemende de getallen van Ludolf in deeze 370e Vraag; zoisa = 5, b~8, en dus zyn de Evenre» digen; V 22| — V 13! > V "f — VS5|, 1^ ï6J - V' 35f• = Neemende de getallen van Marten Wilkens 94fte Vraag; zo is a = 7,É=:ii,en dus de Evenredigen. VyóH-VïiJ, ^33H-V52^, V 83,1-V jaff Zynde de zelfde antwoorden, die by M. Wilkens gevonden worden. 2. Stel, in N°. 38, voor de geduurige Evenredigen x—V'a, x — Vb Dan is x — Va x— Vb . ■ verm. xx~x V a—x V b-\-V ab——xx x V a-\-xVb = V ab v ab  van LUDOLF van KEULEN. 95 P IV a — aVh oi * — het middelfte getal. aV a — a-y~b x—y a YlZZ~a het «rfte getal. x—V o b~^~a het derde SetaI« — Neemende de getallen van Ludolf in deeze 38fte Vraag fl=j, 5 — 8; dan zyn de getallen — Neemende de getallen van M. Wilkens N" 02 a = 7, S=ii; dan zyn de Evenredigen ' 3. Stel, in.N». 30, voor de geduurige Evenredigen x-f-y a, x-f-y 0, x; Dan is x-f^a x-^y b x x + y b .' verm- verm. xx + ay a xx-\-zxy b+B xy a — axy h-—-j, x b " * Va-ayb ( ■—by a — iby b 01 x AT^~a het derde getal. . $b-aVa-2bVb x-f-y a 4 b~^a~ het eerfte getal. x-t-v o 4b — a het tweedegetal. Neemende de getallen van Ludolf N°. x i Dan is x — f« x— Vb x x—Vb _ - verm. ■ verm. xx — xV a-- ■ 'xx — 2xVb + b 2xV b xV a^=.b b x 2Vb-V<* of ar —-—z het derde getal. \b — a 2bV b±a — = i, 3=1, r = o, en dé a + b — n/ab — b + Vab b ge a en Va — 2Yb > Va — zVb ' Va^2~vl' Gegeeven zynde ar=5, 5 = 3, zo zyn deEvenredi13 — 21/8x5 — 84-V 8x5 8 gen i/5-2K8 * 1/5-2^8 ' l/j —2K8 * Deeze wederom gedeeld, zo hebbenwe voordezel ven V — V 2f>° ,y i;»;—•/1;;, _ -/ gj> _ ^aj|-4 4. In N°. 40. is dan /> =— 1, 3 = —1, r —0 , en de getallen zyn a-f-b — iV ah —b + Vab b — Va + 2yb * —Va + zyb1 —Va+2Vb' Gegeeven zynde a = 8, 5 = 5, dan zyn de EvenreI3~2_i^8xg_ — S + V8*J_ 5 di§en -1/8 + 4K5 ' -Y8+2VS * -V8+~S' Deeze in orde gedeeld, zullen wy voor de getallen Verkrygen V 3\l — V 2]?, V i}$ — ^ T{ * 1/ 3J5 + V1 & II. COROLLARIUM. In deeze vier opgegeeven Voordellen zyn altoos de Tekens van de zelfde foort gegeeven, alleenlyk is hier in agt genomen * dat één van deeze Grootheden p, q,r gelyk nul gedeld zynde, daar door het ledige getal ar,dan eens in 't midden komt, en dan eens voor één der uiterden genomen is. Dus blykt^ dat wy op dezelve wyze wederom vier andere Voordellen kunnen formeeren, zodanig, dat de ledige Term x mede, dan eens in 't midden, en dan eens één der uiterden zy, met dé (Ga) Ta-  ioo OphJJingen der konfiige Vraagen Tekens der twee overige leden van verichillende fosr» ten te ftellen, naamelyk het eene + , en het andere —, en die dan ook op dezelve wyze als de voorgaande kunnen opgeloft worden; waarom wy dezelve op de navolgende wyze zullen voordragen. I. VOORSTEL. Zoek drie geduurige evenredige Getallen, zodanig; dat bet eerfte V a meer zy als bet tweede , en bet tweede V c minder als bet derde. Dat x+Va, x, x—Vc de geduurige Evenredigen zyn; zo is, volgens dit Scbolium, in dit geval p=.i, 2=o, r=='ij waar door de geduurige Evenredigen a Vac c ^ V a — v'c' va — V' c ' V a — V c' Gegeeven zynde a=8, 0 = 5, zo zyn de getallen 8 V8x5 _5 1/8-1/5' V8-V5 ' VU —I's' Deeze wederom naar behooren gedeeld, zo komt 'er . V561 + V251, \/35i+V22*,. V22\+Vl$. ÏI. Voorstel. Zoek drie geduurige evenredige getallen, zodanig; dat bet tweede |/ a meer zy als bet eerfte en " bet derde V c meer als bet tweede. . Dat x — Va, x, x + Vc de Evenredigen zyn; dan is p=—1, 2 = o, r=+i , en men heeft + a V ac c — Va+vc1 —Va+yc* —\Za-\-Vc* Laat gegeeven zyn & — c = 8; dan zyn degetal- 5 1/5x8 8__ kn-V 5 + l 8' -1/5+1/8» —v/j + l/8* Deez; wederom behoorlyk gedeeld zvnde, zal men verkrygen V 131+v7 22%, V35-* + V 22*, V 355 + V50^. III. Voorstel.. Zoek drie geduurige evenredige getallen, \ zodanig; dat bet eerfte V a meer zy als bet derde, en bet tweede V b minder als bet derde. Daê  van LUDOLF van KEULEN. 101 Dat ai-f-l/fl, x — Vb, x de Evenredigen zyn ; dan is p —+ i, q =—i, r —o, en men heeft a4ri + 2]/ab — b — Vab h i a + 2 yb ' v a + 2]/b' Va + zVb ' Laat wederom a = 5, 5 = 8 genomen worden, zo zyn de getallen ïS + av^xJ —8 —^8x5 _8 + » I/5 + 21/8 'Kj + 21/8* Deeze naar behooren gedeeld zynde, zal men verkrygen l/a-'+'+Va1*», — vA»*° — v' i-jj;, —•l/ïff+«' IV. Voorstel. Zoek drie geduurige evenredige getallen, zodanig; rfai ieï eer/£e 1/ a TMÏKder, e/i £et ztueede 1/ b «zeer zy, als bet derde. Laat x — Va, x + Vb, x de geduurige Evenredigen zyn; dan isp = — 1, q =+ 1, rrrro, en daarom de' a+b + ^\/ab —b — Vab b_ Seta • —ya — iVb * —\/a—2vl> » -v'a — ivb ' Laat gegeeven zyn a=s, 5 = 8., dan zyn de begeerde getallen _ 13 + 21/8x5 —8 —l/8x5 8 — V/5 — 21/8 ' —1/5 — 21/8' — V5 — 2VZ ' Deeze naar behooren gedeeld zynde,zal men verkrygen 1/2^-1/2;», i/|i;+i/i^S v^°_i/2>-. IÏI. COROLLARTUM. Hier mede hebben wy dan alle de gevallen aangeWeezen, welken hier omtrent plaats kunnen hebben, als men één der gegeevene Surdifcbe- Waarden weg laat, of gelyk nul ftelt. Nu zullen wy het zelfde Voorftel hier nog eens by voegen, met de Tekenen + en — te neemen , waar toe de volgende Voorbeelden dieneu kunnen. ( G 3 ) ï. Voor-  10a OploJJtngen der konftige Vraagen I. Voorbeeld. Men vraagt naar een getal , zodanig\ dat, als men hetzelve tot drie gegeevene Surdifche I¥aar~, den, als V2, 1/3, en 1/5, vergaart, de drie uitkomJien geduurige evenredigen zyn. Hier is dan p =+i, q = + 1 ,r = +1 ,en derhalven de Waarde van x=z ~Vac— envervol- Va-\-yc — zy 0 , t. a + B— aVah gens de Evenredigen; . . . - — B+Val 4-VI c—Vac B4-c — o.VBc Va + VC — 2VB » ya + Vc—2Vh ' Nu is gegeeven a = 2 t .l = 3, en c=5; derhalven zyn de Evenredigen ——~2! 6 .■■ e 1/2 — 21/3 + 1/5» — j+V(y\-V 15 — Vio 8 — 2k_i 5 pÓ2 — 21/3 + 1/5 * V2 — 2V3+V5 Deswegens moet men de Noemers zodanig vermenigvuldigen , dat 'er rationaale Waarden komen , die eigentlyk gedeeld kunnen worden. Om dit nu duidelyk voor te ftellen, zullen wy eerft den Noemer 1/2—21/3 + 1/5 rationaal vermenigvuldigen, om te weeten, waar mede de Grootheden, zo Noemer als Teller, moeten vermenigvuldigd worden, om den Noemer rationaal te hebben, of wel, dat men daar mede kan deelen. Vi — 21/3 + 1/5 1/2 + 21/3 + 1/5 Refiduum. - ■ •■ ] verm. — 5 + 2 V iq eene tweenaamige Waarde. + 5 + 2V/io .—, . verm. komt +15 eene rationaale Waarde. Hier uit blykt dan, dat men, de beide Refidw te faamen vermenigvuldigende, eene waarde verkrygt, waar mede de Noemer rationaal zal worden. V21  van LUDOLF van KEULEN. 103 5-f-ai/xo " ■ verm. komt 151/2 +101/34-91/5+41/30 de gemeene vermenigvuldiger, waar mede de Noemer rationaal wordt, en bepaaldelyk 15 zal zyn. Hier door worden dan de getallen zelve gemakkelyk gevonden; want, om het getal x zelve te vinden, zo moet V2— 21/3 + 1/5 gedeeld worden in 3 — V xo, en wy vinden, volgens deeze aanleiding, x = — Vi\—Vi+V-ri. Om nu vervolgens de evenredige getallen te vinden, zullen wy de gegeevene Surdifcbe Waarden by die van a: moeten vergaaren. Want x=z — |-1/3 — «V5 + T* y30. Hier by vergaard V 2, v/3, enyy, komt Het eerfte getal =y2 — \V3 — \V5 + xW%o, Het tweede getal z= . . . ..;.y 3 — ^5+ -^30. Het derde getal = . . . ^3 + ^5 + 1^30. Voor de begeerde evenredige getallen, die als vooren in algemeene Surdifcbe Termen kunnen gefield worden. II. Voorbeeld. Men vraagt naar een getale, zodanig', dat, als men van hetzelve aftrekt drie gegeevene Surdifche waarden, Vi, V 3, V 5, de overblyffelen drie geduu* rige evenredigen zyn. Hier is dan p— — 1, q — — 1, r—— 1, en der- halven de waarde van x =3 5 —r—: rr' — Va — vc + enr = + i genomen is; derhalven Vac — b — x~— -— 2Vb — Va — Vc Wederom az=z2, £ = 3, cz=z5gegeeven zynde,zo — O -L \/ iq is het begeerde getal x =—;—--— • 6 8 21/3 — Va.—1/5 Deswegens moeten wy wederom een gemeen Refiduum vinden , om daar mede den Noemer en Teller te vermenigvuldigen, zodanig, dat 'er een rationaal getal voor den Deeler kome. 21/3 — 1/2 — j/5 2T/3 + V/2 + l/5 Refiduum • ——verm. 5—tv' 10 — 5 — 2V10 Refiduum ■ verm. komt — 25 40= 15 Derhalven moeten wy wederom deeze beide Refidua te faamen vermenigvuldigen, om het gemeene Refiduum te hebben. 2,/34.v/2+Vj — 5— 2I/10 • " • verm. — 151/2—101/3 — 91/5 — 41/30 het gemeene Re- Cfiduum. Hier mede worden nu de beide waarden vermenigvuldigt, om door een rationaal getal te kunnen deelen; en dus vindt men x=z— l/if — V\4-V7?*» Om nu vervolgens de evenredige gerallen te vinden , zo moet deeze waarde van x, van ieder der gegeevene, afgetrokken worden, dat is; van 1/2, 1/3, 1/5; dan zyn dezelven (Gy) Het  io£ i /OploffingenAder rkonfiigè kWtageh Het eerfte sk'a + ^-fii/ 5 _» 1/30. Hettweede = .. i\V3+\V5'—-,-'1/30. Het derde = . . . f 1/3+ ifi/5 — ^1/30. Voor de begeerde Evenredige getallen, enz. AANMERKING,. Eer wy van dit Voorftel affcheiden, zal het niet ondienftig zyn te melden, dat hetzelve zodanig herleid is, dat wy daar mede een fimpele Vergeïykinge verkree. gen hebben, gelyk het in der daad zodanig is; doch als men een zodanige fimpele Vergelyking heeft, die met Suratyebe Grootheden is aangedaan, kan dezelve ook tot eene Vierkants-Vergelyking gebragt worden ; dewyl nu alle Vierkants-Vergelykingen twee Wortelen hebben, zo zou het fchynen, als of hier toe nog één antwoord konde gevonden worden. Om deeze zwaarigheid op te lollen , zullen wy de voorgaande 37ftB Vraag tot een voorbeeld neemen, en de Vergelyking zodanig herleiden, dat dezelve tot een Vierkants-Vergelyking gebragt wordt. Om dan drie geduurige evenredige Getallen te vinden , waar van het eerfte 1/5 , en het derde V 8 meer als het tweede is; Zo ftel de Getallen =«-{-1/5, 35,. enar-f-J/S. Indien wy dan de uiterfte en middelfte byzonder met malkanderen vermenigvuldigen, zo hebben wy xx+x V 5 + ar V 8 -f- V 4 o = xx x V 5 + x V 8 + V 4 o =: o of xV5- — aV8 —1/40 . , y 5 xx = 8 xx + 2 x V 3 20 4- 40 3 xx+2 xV 320 = — 40 » 3 ex» 4-6 «1/320:=:—120 320= 320 •'■' — verg, <)XX«  van LUDOLF van KEULEN. 107 9*Jr-r-6xl/320 + 320==r 200 1 • y" . 3 x+V 320=ir V 2co of 3 £ = ±751/8.— 8V5 • x=z±:5y'S—81/5. Hier mede kunnen wy dan de begeerde evenredigs getallen vinden, door by dit middelde x de gegeevene verfchillen te vergaaren. Dus vinden wy dan, in het eerfte geval, voor dezelve x+vi5 = Vi%% — V 13! het eerfte } * • • • =1/221 — j/3ji het tweede \ getal. ac+V8 = l/j6-J —y35i het derde J In het tweede geval zyn dezelve x + ]/5=z — J/22J — Vi^l het eerfte "I x . . . == —1/22| —1/35? het tweede > getal, a? + l/8 = — V 3|—1/35! het derde J I. COROLLARIUM. Nu hebben wy hier mede twee Antwoorden gevonden ; dus ftaat nog te onderzoeken, of die beide goed zyn, en proef kunnen houden. In het eerfte geval worden de zelfde antwoorden gevonden, die Ludolf ftelt, en kunnen ook aan de Proef voldoen, weshalven wy zullen onderzoeken, of dezelve geduurig evenredig zyn. Deui-c{l/8 — \V% fl/8 — {Vode midterften}|i/8 — \V$ {VI — \V5\ delften. — —— — verm. — Verm. komtm — j;i/4o==i-j£ — ^1/40, en derhalven voldoen deeze aan de gefielde Conditie. In het tweede geval, alwaar de andere negative wortelen genomen zyn, heeft men — fl/8 — W5 —{VS — Ws — \Y% — fl/5 — fK8— \Vs —— ■ verm. ■ ■ verm. komt Sf* + /fV49 Oi H°- ■+< V 40. II. CO-  io8 Oplqffingen der konjlige Vraagen II. COROLLARIUM: Hier uit blykt, dat dit laatfte antwoord in geenen deele voldoet, en derhalven moet men zich niet verbeelden, dat hier meer als één antwoord plaats kan hebben, waar van wy nu de reden zullen nafpeuren. In de eerfte plaats is het zeker, dat de beide gevon51/8 — 81/5 dene Waarden, x— - , en x=- . . — 51/8— 81/5 — , voldoen zullen aan de gevondene Vergelyking 3 xx -f a * V 320 == — 40, of aan 5 xx * = 8 xx + 2 x [/ 320 4- 40. & v —51/8 — 81/5 Want x = zynde, 3 5204-801/40 zo is x*= ; . y 520+801/40 3 3« = —3 Wederom * = -^8—-^l ■ ' ^hijoii RS&BilsOïq na tnys —— 2 — 10V8 —161/5 21= i. - - ,ü ' 3 ' ; 1/320=1/320 • 1 — ■ verm. — 801/40—16x40 2x1/320 — 3 ' 1/320 = 1/320 + 801/40+520 3xx = •—'■—'— ■ • : ; verg. 3 xx+2 xi/320== — i\t-—; — 40 zo als de (Vergelyking was. Nu hebben wy gevonden ,5 #x = 8*x + 2*1/3 2o , ' +40;  van LUDOLF van KEULEN. 109 + 40, dat beide Quadraaten zyn, van «1/5,en — xV » 8— 1/40; eri fcüoon het wel waar is, dat, de Quadraaten van twee Grootheden gelyk zynde, hunne wortels ook gezegd worden gelyk te zyn, moet dit echter zodanig verftaan worden , dat die wortelen van één foort moeten zyn, naamelyk; beide pofitif , of beide negatif, dewyl men anders zou kunnen zeggen, dat de Quadraaten gelyk, en de wortels ongelyk zyn. Neem eens de Qjiadraaten 4 en 4 zyn gelyk, en ook hunne wortels 4-2 = + 2, en —2 = — 2, om dat het anders tegen de reden zou zyn, dat de pofitive wortel uit 4, dat is +2, gelyk zou zyn, aan de negativcworteluit4, die —2 is. Nu zyn de wortels xYs, en xV8—1/40, de eene pofitif, en de andere negatif; waar uit blykt, dat wel hunne Quadraaten sxxe = 8xx+2xy'220 + 40 aan malkanaeren gelyk kun- —-5VS-8V5 nenzyn, met x=- i te ftellen ; maar dat de gelykftelling van hunne wortels xy's = — ys>' — V40 onmogelyk is. Dienvolgens kunnen de begeerde evenredige getallen ook niet voldoen, gelyk door proefneeming is aangetoond. S C H O L I U M. Het geen wy op deeze 37^ Vraag hebben aangemerkt , kan insgelyks op de drie volgende toegepaft worden , waar in, op de zelfde wyze, de tweede wortel uit de Vierkants-Vergelykinge niet voldoen zal- en dus is het klaarblykelyk, dat de antwoorden, welken wy door middel van de fimpele Vergelykinge gevonden hebben, de waare antwoorden zyn, en dat 'er geene andere, die voldoende zyn, op deeze Voorftelien kunnen gegeeven worden. XLI. VRAAG. Vind drie getallen, van natuur als de voorgaande welker Som doet 24, en de fom van haare Quadraaten 346. OPLOSSING. Stel voor de Evenredigen *, xy, xyy; zo is x+y*  iio OploJJtngen der konjiige Vraagen x + xy + xyy= a, derh. xx+xx yy+xx y»4-2 xx y+i xxyy+a xx y*=aa en xx + xxyy + xxy* * —5 ' • afgi zxxy-f-2xxyy+ 2xxy3=aa— b x+x y+xyy= a *—• —. aa—b 2xy~—: ■ 2 -—. _ aa — b\ Xy " aa V gedeeld. x-\-xy + xyy r—r: a J i-H+jiy 2aa y aa — b • herli aa + aay + aa yy — J—5y — £yyr=2flay aa — aay+aa^y — b — 5y — £yy; o aayy — èyy — aaji — byz=b — aa aa—6 ' aa + B aa + b 1 a^+zaab + bb ~2~^a~^b ~ 4a*-ïfaab + 4bb — -—■ ' verg. aa+b aa+b 1 — %a*+\oaab — %bb yy~'aTZby*'^=b — 4a« — 8aflê + 4^ v aa + b V~ 3a*+\Qaab-%bb 2.aa — b 2.aa—b  van LUDOLF van KEULEN. iir 2.aa — b aa — b xy: «yy aa+b^--^+\oaa^hh flfl+£ + y -zz^+2oaab^hb" 4« lóaa ~ " Om nu het eerfte getal te vinden, zo kan men y i„ xy deelen, waar door dan alles openbaar is. Daea^in y~~ 2.a7zu~~ gedeeld in xy=* aa — b xy ~2~a~ 5 komt ~=x=z* Nu is gegeeven a=z 24, aa=57ó, a*=25i77a 346", £==346, bb=.ii91i Vergaard en vermenigvuldigd. . , ay;y + ay+a_ a* komt :rr —j—r=i'9' jcjj x*y3 ■ J (of *y==ya. Maar 22&2±*-* ■ — 1 — hérl. yy+y + 1 aa — — -*W '. " aa. „ + ,+ 1= — r 1 1 a°y Of T)V + 7 + I = JJ ' J xxyy Maar xx yy • a; ! aay Derhalven 3/3/+? +1 = = ay yy+y — ay=.— 1 1 — a 1 1 — 2a+aa a — 4 ' ' verg. i — a 1 aa —2 a — ó yy + y — ay+—- = " - y i i L (H) y+,  114 Opïojjïngm der konflige Vraagen i — a V' aa—$.a — <\ y+^—= 2 y — 2 Deelende nu a— i+i/aa-^lta— 3 in 21/a; . irnm, ^±V a ~ aa ~ a ^3 V a 't'ïa:-; — _2 ' — ■ - ■$ xyzzzVa a—1 Varftaa-^za — ^i/a xyy = ' Of, dat het zelfde is, axaa — 2«+i , axaa — 2a — 3 *= V ' " ' 4-V - — a 4 - 4.. x j — y» axaa-ia+t .axaa—2 a — 3 g.yy--^ 1 — ^ 4 - - ■ 4 . Nu is gegeeven 0 = 40 a —1 = 39 y aa — 2a4-i = tJ2i, dus aa— aa—«3=1517 | a 10 v ■ j«= 10 . ■ ———- verm. j j-n verm", axaa — 2 a-4-1 axaa — 2a — 3 4 w?nB 4 - = 15170 _____ axaa —aa-fi • axaa-^aa-3 «/ = 1/15210 V/ 7 = f 1517e. '—r- —4— Derhalven g?—g-^/15210—1/15170; ary =1/40; *yy==y Haio-4 |/i«7o. ..  van.L U DO L F van K E ÜJL E N. i rS ANDERS. Stel voor de Evenredigen x, Va, en -. Deelende nu elk derzelven in het getal I, zo hebben wy; i JL. r * » »/a » x a or Va, x, en dus de zelfde getallen, die wy gefield hebben; waar uit blykt, dat de Som der Quotien. ten gelyk is aan de Som der getallen; dus blyft nog alleen maar overig, dat de Som der getallen aan het produet derzelven gelyk zy. Daarom . , — i"_!___*' x + ]/a + -z=aVa xx + xVa + a = axVa * xx+x Va — ax.i/a = - a l _ t '' a ~ iVa + Va* -zaa — va komxz= 1- het eerfte ' — a-iVa — Va* — 2aa — <\a x — 2 ' ^et derde (getal. Zynde dezelfde waarden als vooren, en daarom ook de zelfde getallen. Maar indien gegeeven was 0 = 30, zo is het de88fte van M. Wilkens eerfte honderd Vraagen. XLIII. VRAAG. Vind drie Getallen, van natuur als. boven , die te raamen vergaard doen 55-f-V^^U èn zo men die met malkanderen vermenigvuldigt,dat het Produel; zy22sr.. 4-1/4280668. ' JJ . OPLO SSING. Stel voor de Evenredigen xt xyt xyy (Ha) dan  ii6 OploJJingen der konfiige Vraagen dan is hunne Som x+xy + xyy—a hun produtt. x*y3=zh} dus ar}>_=:v/£, ftel = c. Zo heeft men *4-#:y+*;y:y — a *3i = f ! i i + y + yy a_ y ~ c , herl. c + cy+cyy=:ay of cyy+cy — ay~ — c ccyy+ccy —acy = — cc c — al* cc — zac+aa a J 4 verg. .... i . c —a* fla.:—sac — <\cc ccyy + ccy — acy+ __:—< - v : i. . c—a V aa— XLIV.  LUDOLF van KEllLEN. iip XLIV. V R A A G. Daar zyn drie getallen, als boven; het eerfte en derde doen te faamen 100, en de Quadraaten der getallen doen te faamen 8000. Men vraagt naar de getallen? OPLOSSING. Stel voor de Evenredigen x, xy^xyy; Zo is de Som van de eerfte en derde x + xyy— a« en de fom der Quadr. xxArxxyyArxxy*z=.b ? xx + a xx yy+xx y*zzz.aa farget« xx yy =.aa — b V xy — Vaa— b. Stel z=e. Wederom ar 4 xyy~a xyzzzzc i+yy a_ y c • ■ herl. c + cyy __: a y cyy — ay — — c komt cy=.\a+V'\aa — cc e ■ \a+v"\aa — cc y= xy=zc xyy = la + V\aa — cc la + yiaa — cc . Deelende nu y = in ry—c- komt x=fa— V\aa — cc. CH 4) N»  X20 Oplojftngen der kmfiige Vraagen Nu is gegeeven a = 100 aa = loooo b = 8000 b— 8000 aa—6 = 2000; dus c=xy==.y 2000, CC = 2COO | aa r_ 2500 * afget \aa — cc— 500; dus j/|aa—cc=1/500/verg. en I a . . , 50 f afget. 1 <• + V \ aa — cc =_ 50+ K JOO * a — 1/ i aa — cc 50 — V 500 Derhalven arr__ 50 — 1/500") *y = 1/2000 >de begeerde getallen. * B ==50+1/500 J Gegeeven zynde a = 6o, 6 = 3000, zo is het de go«e van M. Wilkens eer/Ie honderd konftige Vraagen. XLV. VOORSTEL. Zoek drie geduurig evenredige Getallen , zodanig; dat,als men de Som des tweeden en derden door het eerfte, des eerften en tweeden door het derde, en de fom des eerften en derden door het tweede de*lt, de fom der drie Quotiënten zy loU + Vs^d- OPLOSSING. Stel voor de Evenredigen ar. xy, xyy, zo is _ i±yy __ _L±_! * 1 yy x+xy _ i + y i+y Xyy yy ~ yy x + xyy i-fyy y + y3 xy y yy ■ verj. y*+  van LUDOLF. van KEULEN. fff M =I°U+|/jiii 3yy | " yy T-==f3^+X5hl V-. yy+y+ï —j ='AV96 + x yy+y+i=U yvgó+y of yy — jlyvoczzzzzz-^l mi- -1**1 ' ss+ ïïï ■ '" verg. yy-liyvi#+m}=fö 4K24 41/24 64 Dewyl nu*, door de herleiding,verdweenen is* zo mag die naar welgevallen genomen worden. Want hoe men die ook neemt, zal de fom der Quotiënten evenwel altoos de zelfde, en dus gelyk aan oe gegeeven Waarde blyven. Indien men derhalven * op 't kleinfte neemt, zal het antwoord in de kleinfte Getallen gevonden worden. Neemende xz=z t, dan zyn de getallen 1, V io| ,en io^. Indien gegeeven was tói7£}f+*/79£ 20 is het de pofte van M. Wilkens eerfte honderd konftiee Vraagen , en de Getallen zyn dan 1, y i7if en i7% (Hj) XL VI.  i2* .. 'QplAfimgpni ér kfinfiigz Ftaagm XLVI. VRAAG. Zoek vier Getallen, zodanig; dat het f van het twee. de en derde zy h van het vierde , en het f van het derde en vierde zy 5| maal zo veel als het eerfte; als mede., dat het vermenigvuldigde des eerften en tweeden getals zy iaö, en dat des derden en vierden 756. O P L O S I N G. Stel voor de getallen x, y, z, J>. zo isfy+z=|p of 431 + 4*—=Jf ,'en p = ^~^-- |z+p:_5£x of32 + 3^=213;, en/>_r7x—z xyzzziió . " 4J+4Z z? = 75ö ~r--=7*-z . 5 43>+4z_z_3jx,— 52 9z_=35x — 43. 9 35 x — 4 3> z — 9 63X ?x = -é— ' . Q 28x + 43? 7x —z = —=P 9 35X—43' 28^+431 Derh. zyn de begeerde get. x,y, . .. , —. Nu is nog gegeeven xyzz=zi26; En zp, dat is 35X-4y a8x+4y 98oxx+28xy—löyy • —--X—— = - §1 -756 . . 81 980 s>  «0b L ÜDOL F v a »> KEULEN. 123 98cx* + 28xy — 163131 -±±01230 23x7 .... — 3528 . afget. 98oX* . . . . — lftyy —— J77C3 245*x . . . . — 43/3-___ 14427 " ■ " . 6002 j x4 — 1960 xx yy +16 3>4 z—- 208138329 3920 x* yyj. . . z= 62233920 y 600 25%*+ x96o*xyy + i6y* — 270372249 ^ 245 xx 4- 4 313- == 16443 245 xx—4 yy BSM& 14427 ■ ■ Verg. 490xx . . . =_3087o 490 1 xx . . . =63, ar=n'63 Verder is de aftrekking «yy optg 8 — yy== 2j-2, 3J=Va5 r. Zo is dan xz= 31/7: y g3; 3- = 6 t/?_=_K'252. 3_x_-43- ■ J p ~ 2=9^7 = 1/567. 9 121/7 1/1008. XLVIT. VRAAG. Zoek eene Geometrifcbe Progrefiie van vier Ter»»*», zodanig,-dat,als men den eerften met den tweeden Term vermenigvuldigt, het produEt zy 10, en dat het vermenigvuldigde des derden en vierden Terms zy 2560. OPLOSSING. Stel voor de Geometrifcbe Progrefiie x,xy, xyy,xy\ Het vermenigv. van den iften en 3den Termxxy = 10 van  124 1 Opkjjïngen der konjiige Vraagen van den 3denen4 axy =_ io xxy ? io y*= 2jö y==4 y ~ xx-—: af yy= 16, ^"~7==I^r dusy=4. 3C J| =__ 4 l/ 8f V 40. jjyry - \6V 2\Z=Z.V 64O. xy3 64»/ a| =_V 10240. XLVIII. VRAAG. Vind vier Getallen, zodanig; dat het verfchil tusfchen het tweede en vierde , zy | van het verfchil tulfchen het eerfte en derde getal; als mede , dat het verfchil tuffchen het tweede en derde zo veel doet, als | des verfchils tuffchen het eerfte en vierde getal, en als men het eerfte en vierde getal te faamen vermenigvuldigt , komt 'er 20, en het tweede met het derde vermenigvuldigd, doet 16. OPLOSSING. Stel voor de Getallen x, y, z, ƒ>, dan is: y -pzrzj.x — z; derh. 8y — 8p = 3* — 3» y—z = '-x—p 0f 8p = 8y + 3Z —3» Xp—_120 yz=_r_i<5 Dewyl ook y — ï==>.» — pis; zo b gy — oz — ïK — ip 2p=aï-f-9Z —9y üpr=:8*+3Öz —* Derhalven 8'y4>32'— 3*== 8*4-3** — 3^y Daarom 44y___ux+33z li — 4y*  van LUDOLF van KEULEN. 125' — z 43> 2 xz + 2zz 4 1 XZ + 3ZZ yz =__ —— z=z 16. Wederom 4 y =• x 4- 3 2, — 2 8y=_cax4-62 — 3^+32 = -3^ + 32 verg. —3*+3*4-83f____ — x-j-gz: 8j> p -*+__ , x —xx-f-gxz . XPJ== § == ao. _ x 24322 Door yz= —-— = 16, hebben wy*2+322=04; — XX + 9XZ xpzz =20.,.—xx -f 9xz— 160 9xz = jrx4160 O* j xx + 160 z = x4 4- 320 xx 4- 25500 22 n ——— 81 XX i 3 X44-320XX+256co ' 3 22 = Aww / 27 ax ■ **4- I6o 9 -■  126 Oplofltngen der konjlige Vraagen 4x*+800xx + 25600 xz + 2zz = 64 » ■ 27 ar* 1 4 x4+800 ia;+25600 __z 1728 xx 4X4 —9a8xx + 25600=0 4" —' x* — 232 xx + 6400 = O 7056 ___ 7056 . verg, x4 — 232 xx +13456 __• 7056 v ; xx— 116 = 84 xx == 200 V *__r 1/200 9#:__9l/20O. xp—— 20 x V aoo • ƒ>__• 1/2 xx +160 ^ ;yz 16 y——Vyi Dienvolgens zyn 1/200, V32, 1/ 8, V2 de begeerde getallen. AANMERKING. Dewyl de Wortel van de gevondene Vergelyking %i —'232xx + 11456=7056 ook kan zyn xx—116» — — 84, kunnen wy, op deeze Vraag, nog een ander antwoord vinden; want, dan is ex = 32, derhalven X=l/32. 20 » **  van LUDOLF van KEULEN. iz7 ■ 2Q_ 20 16 16 Derh. zyn ook de getallen |/3a, 1/18, ^14*, |/I9|, xlix. vraag. Zoek vier getallen, die geduurig evenredig zyn* zodanig, dat,.trekkende het eerfte van het derde getal de relt zy 6, en dat het vierde 10 meer zV, als het derde. - 3 * oplossing. Stel voor de Evenredigen *, xy, xyy, xy3. Zo is xyy —*—6, en X313.— *yy = 10. Deèlende nu de eerfte van deeze Vergelykingen door de laatfte zo hebben wy yy— ~_ ( f—yy. T 6 6 jy,— IOJ—*° - y = ~ o"". 42 -_V J + jV8s 110+101/85 7 yy= -ö Du*  ia8 Oplojfingen der konjlige Vraagen 74+ ie V 85 , 45o+30^ 8* Dusyy-irz — en xy3 = -- • 7 7 L. VRAAG. Daar is eene Aritbmetifcbe Progreflte van vier Tèr«jenj als men de Som des eerlten en tweeden Term* met den derden vermenigvuldigt, komt 'er 20,^ als men de fom des tweeden en derden Terms met den vierde vermenigvuldigt, komt 'er 40. Men vraagt naar de Progrefiie? OPLOSSING. S tel voor de Aritbmetifcbe Progrefiie *,a;+y,x + 2y, a; + 3y. Dan is volgens de conditiën der Vraagej • 2X+~;y x x + 2 y = a xx+5 xy + 2 yy = 201 f 2X+3D1 x ^+3 3» =13 xx+9 * y + 9 yy= 40 J ■■ 4 *y+73'3' = 20 4x31 = 20 —7 yy 4y 20 —7yy 4y v 400 — 280 yy + 49 xx ~= ■ IÓ37 f 400 — 28oy3> + 49y 8 3>y < looy— 35 15x7= 1 \*yy= 2yy f : -verg.  van LUDOLF van KEULEN. 12$ 400— 80 yy—sy* 2xx+5xy + 2yy= > — - = 20 — 83131 400 — 80 331 — 5 3* —: 160 331 5 0>4 + 240313' = 400 5— 34+ 483-3-= 80 dus 3-3- = — 24+1/656 , s y*z= 1232 —48 j/656 7 7 y*=8624 — 3361/656 49 y*= 60368 — 23521/ Ó567 Dewyl yy — — 24 + 1/656 is , zo is —28037__:672o — 2801/656 400 ___ 400 verg. 49 34— 28037 + 400-67488 — 26^2 !/6ï6 I63i3i_:i6x-2.j+1/656 49 34 — 280331 + 400 4218— 164'\V 65 6 16 37 — 24+T7056_" = XXm Dat is xx=z— 83I + 1/7472I 1/ — , — * = !/— 831 + 1/7472!: het eerfte getal. Ora de „wiere Getallen te vinden. Daar is gevonden yy=z — 24 + 1/ 656 7 yy — -168 + 7V 656 / f 20= 20 ^""6ti« 20 —73-3>-= 188-71/6562=4*3' Dus 2*3»—— 94—3I1/656 **=_ — 83I+ÏJV656 yy=—24 + 1^656 —_____ verg. (I) **+#  f SO " ÜploJJingeh der konjiige Vraagen v : —— ■—: x + y=V—iti+V joal het tweede get. Wederom 83I+3I1/656 4xyz=z 188 —7 V656 4yy=— se + 4 1/656 . verg. xx + 4xy + 4yy= 8| + V 9ï\ V — xArzy=.V %\-\rV 92% het derde getal. Eindelyk xx —83I+ 3I1/656 6xy—— 282 — io| 1/656 9yy=- — 216 + 9 V656 ft* ! verg. xx + 6a; 31 + 93Ö' ~— — 17J + V 2306^ ; — x + 3y___v/— 171 + 1/23061 Derhalven is de begeerde Aritbmetifcbe Progrefiie x == l^^+?747Ï| * + 31 ___ V — 13I + 1/ 5o2i « + 231— ^ 8H-1/ 92^ ï + 33-__=l/-i7H-^2306i AANMERKING. Om te onderzoeken, of deeze getallen aan het begeerde voldoen, dat is, als men de Proef op het voorgeftelde begeert te vinden ; hier van zegt Ludolf ;de Proeve is vermaakelyk, zoek de gemeene differentie, gy zult vinden V656; de fom des eerften en tweeden getals is V— 170+1/36900 ; deeze vermenigvuldigd met bet derde, komt 20. Ook is de fom des tweeden en derden 1/14+1/1476, deeze vermenigvuldigd met bet vierde, komt 40, enz, Deeze Proef fctiynt Ludolf te willen gemaakt hebben, door de gemeene differentie, waar voor  van LUDOLF van KEULEN. 131 voor wy gevonden hebben, y=y~24 +1/656 , of yy = — 24 + ^/656 ,• en, om dat, van de gefielde Progrefiie , de fom des eerften en tweeden terms is 2x + y, of deszelfs Quadraat 4xx+4x3» +33" zo hebben wy derhalven; xx =83I+ 31 ^ 656 4 4arx= -334+ 13? V656 4xy__— 188— 7 v/656 3y~= —24 + 1/656 4XX+4xy+yy_—: —170+ 7I1/656 =--170+ 1/36900 _x+y____i/- 170 + k 3Ó900 de fom des tien - j . (en 2^en. De 3de isx+ 2y = j/ 8| + | 1/ 65.6 verm. komt 1/400 , zynde gelyk aan 20, (het ProduEi. Wederom de gemeene differentie isy = 1/-24+K656. Nu is de Som van den tweeden en derden Term 2 x+3y, en by gevolg dérzelver Quadraat 4xx + i2*y+9yy. Hierom 4xx = — 334 +13' y 656 I2xy=__ 564 — 211/656 933—=r —216+ 9V656 4XX+l2X3 + 9jy __~ 14+ i}V6$6 x= 14+ 1/ 1476 V . __________ 2x+3y__—V 14 + 1/ 1476 de Som des (tweeden en derden. x + 3y__—:i/- -7I+1/23064 de vierde f-1— verm. komt V1600 gelyk aan 40; (dat getoond raoeft worden. Cl ») Li  13» OploJJmgen der konfiige Vraagen LI. VRAAG. Zoek vier geduurig evenredige Getallen, die te faamen doen -10, en van welke de Som der Quadraaten is So. ^ OPLOSSING. Stel voor de geduurig Evenredigen x, xy, xyy,xy3. Dan is x + xy + *yy + xy*__—. a xx + xx yy + xx y4+xx y6 z=z h ' ged. i + y + yy + y3 a X' i + yy+ y4+ y~ * 0f i+ y -f-yy + y* ax i + yy + y4+y< 6 Maar ï+y H-yy + y3 is=_i+^. ~~ ax i+yy+y'+y' is = i+j4.i-f yy i+y ax ï+y4 "F -herl. flat. i + y»—r b.i+y a. ï+y4 Wederom * + *y+ xyy + xy?——a a ar ■* ■ j ——————— ________ I + y+yyi-3iJ v hl±2 a. 14-34 £-.1+5  van LUDOLF yan KEULEN. 133 b- i-ty a a.i+y4~ r-f- y-t-yy+y3 Derh. b. y+1. y*+yy + y + iz=zaa. y*+ï of b.f+2by3 + 2èyy + 2by + b=■.aay'+aa aay*-by*~2by3-2byy-2by+aa-bzzo aa — b ged. „4 2* , zb ab In deeze Vergelykinge zyn de Coëfficiënten, ter wederzyden , twee aan twee malkander geiyk, of wel de zelfde Grootheden; en dewyl alle zodanige Vergelykingen, door 'er zekere Grootheid by te vergaaren, of van dezelve af te trekken, rationaal kunnen opgeloft worden, zodanig, dat men door het vergaaren, of aftrekken, van die Grootheid, een andere Grootheid verkrygt, daar men de Vierkants-Wortel uit kan trekken; zullen wy onderflellen, dat de Wortel, uit het voortkomende Quadraat, zy yy — ~—^ y+ 1, dan is het Quadraat zelve y* - —,L,»+ l^=±a^+lhl, , J aa-bJ a*-aaa+bb ab yy~aa~^by~^l; duswordtdan de gevonden Vergelykinge aldus opgeloft: 2b ab 2b y-aa^y3-ll^byy-aa^b' + I=0 aa* — aaab-+bb a a*-aaab+h5 a* — aaab+bb yy a*-aaab-f-bb yy 4___&_ 3 2a+—4aab+%bb ab y aa-by + a*-aaaTïWyy~aa~=by+l=' 2a*—2aab+bb C a*—2aab+bFyy' v ; _ C13) yy~.  .134 Ophgingm der. konfiige Vraagen ft , 2a*—2aab + bb n aa^byTI—yv a*—Q.aab+W ofyy ~ , = __ y^aa^.aair+ir aa — aa — £ ■ ■ — ■ .1 5 --oa-rï y=-1 Door deeze algemeene Vergelykinge kan nu de waarde van y gevonden, en vervolgens die van x gemakkelyk bepaald worden. Laat,als in dit Voorbeeld, gegeeven zyna=io,/& = 8o; zo isyy— 4 + 1/26.3)——1 2 + 1*726^=— IQj+2 V 26 313- — 4 + V72T.3?+2~+7v726|* __r9! + 2V/26 V —■—. , y 2 + 1 1/26 = l/Q| + 2l7_ó" 3>=Z2+1Ï726 "± 1/ 91 + 21/26 Indien deeze Waarde van y eenigzins van eene gefchikte gedaante was, zou men hier door de Waarde van x gemakkelyk kunnen vinden; maar aangezien dezelve, in deeze Vraag, geheel ongefchikt is, en om dat de geheele hoofdzaak van dit Voorftel 1'chynt te zyn, om zodanige ongefchikte Surdifcbe Waarden te behandelen, zuilen wy de waarde van jc, door de reeds gevondene Vergelykingen, moeten vinden. Wy heb. ben b.y+i a a.yï+ï """y'+yy+y+i £.y + i.y3+yy+y+i—raa.^ + i "V~y. ~™_ L <{  van LUDOLF van KEULEN. i3j of b .y*+uy3+2yy + 2.y+ i —raa.y*+ i 1 l. y* + 2 y3 + 2yy + zy+i =rft =« £ . y*+2y*+ 2yy-4-ay + i aa 34+i "~—T 34+i y4+i —1 ■' verg. en afget. 2y4+2y>4-3yy+gyH-2 oa y4+i —'6 +I 3j3+2yy+23' y*+i ~". 1 , , 23i«+2y3+2yy + 2y+2 aa Derhalven van — -—-—iJ J --4-t Ï4 + i l ^ afgetrökkën^S^pf^^^ 8 31*4-1 j » Ui — b T,,..g. .._ g34+23'3 + 23)y oa 2az Blyft er -—+,_--_- ' . aj3 + 233 + 2y ca Ditged. door -<~ —: —— i aa aax komt yz=z J aa T 1 Om deeze waarde van y onder eene gefchikte gedaante te brengen, zo heeft men (I 4) f».  i-3ö- .; OploJJïngen der konflige Vraagen aa . ,—; . aa 2ax 1 1 te deelen m -y + i- -j— of aa — 5 In aa +6 — 2aa; Derhalven 7 = f aa — £ aa — b .y — aa + b— 2a* of s a x _= aa -f- £ — aa — &. 7 aa-f-S aa — b Dus *==—•— 2a 2a ^ Nu is wederom, volgens het Voorftel, gegeeven, a—io, b = 8o , en gevonden ■ y = 2+fj/ 26 t± * Vgl + 2]/ 26, waar uit openbaar is, dat wy tot dit Voorftel twee byzondere antwoorden kunnen neemen, agt geevende op het Teken ~c, welk in de Waarde van y is. Om nu de Getallen te vinden. Ten Eerften. Nee mende y _— 2 -f- J y" 26 -f y" 9^42 V 26, aa+b aa—b ~ zo isx = — _.2 + |l/26 + v/9. + 2j/26< Maaraz= 10, £:_8o gegeeven zynde, zo heeft men x= lil — p + J i/ 26 4 y/ yj+ 2 V 26 _=_ 9 — 1.24.^1/06 + Vy\Ar 2 K2ö = 7 — ï ^26 — 1/ 974- 2 1/ 26 = 7 — 1^6} — J/ 9' 4 1/ 104 het eerfte- ge- ,■- ' ïi»a »_ 10 ■ 9b| ■ • (tal. Ep ven is ge vonden x±=z? — -V26 — V 9} + 2 vTó ' y == 2 4* 1V 26 4- VhT+l v~6 7-r-  van LUDOLF van KEULEN. 137 7 — \ V 26. 2 + \V 26 +1 — \ V 26.V 9\ + 2 t 26 Of 9I+2 V 26 ~ 2 + } 1/ 26 w v/ 9} + 2 y -ó>. *y = 7—IV 26.2 + ij/_.ó + 5 — 1/26.1/9! + al/a6*, Cf 9I + 21/26. DewyJ nu 1/ 26, in den middelflen Term, meer bedraagt als 5, in dien zelfden Tem, zo kan dit aldus uitgedrukt worden: 7 — 1 y aó . 2 + 11/ 264- — 5 + 1/ 26 * C V 9] 4- 2PT6 49Ï +2 K 26. Deeze vermenigvuldigingen werkelyk verrichtende, zo is . 7 —11/26. 2-H1/26 —-.71 + 2]1/26 f—5+ 1/26.1/91+21/26=4-—5+V 26i/9j+2l/aö f 9|+2l/26 . . . = 4- 9] + 21/ 26 Derh,xy__z— 2 + li/aö —— 5 +1/ 261/9I + 2 v" 26 —r — 2 + J1/2Ö f 1/ — 5 + 1/ 2ó|1 • 9I+21/26 = — 2 + }i/26-r v/ 51 —101/26.plr+21/26 2 + IV 26~V — 35 I + 7 1/26 == — 2 +1/ ÖJ — 1/ — 3jl +1/1274 het twee- Cde getal. Op dezelfde wyze, vermenigvuldigende de Waarde van ay met y, en vervolgens die van xyy met y,heeft men *yy (*) JFy zwtfe» fcl> Zo is x=-—-ïi— j> 12 — 3— *— Dus zyn.de getallen 1 .... — 1 1 ax . . . . —^ \ zynde de gexx~2x 'Hallen, die — of ïx— 1 = i 1 Ludolf op- 2a; 9J geeft. ANDERS en ALGEMEEN. Stel voor de getallen x, y, z; dan is hun vermenigvuldigde *yz, hier by ieder getal byzonder vergaard , zo moeten & » a-yz*  van LUDOLF van KEULEN. i4i; aryz+sl xyz + y>rationaale Quadraaten zyn. xyz + zj Stel xyz+x=z-aaxx yz+iz=aax _ yz+i x aa yz 77 zz+yz Kyz ; — — J aa hier by y :—- J ^ aa yyzz + yz + aay *yz+y__— zynde de tweede Waarde, die mede een rationaal Quadraat moet zyn. Stel den Wortel uit den Teller = bz + z.y, Dan is yyzz + yz+aay = bbzz + 2bzz+zz.yy of yyzz+yz + aay=zzbbyyzz + abyyzz+yyzz""yz + uay = bbyy zz + 2 6yyzz y ■ , z+aa =bbyzz-f.2by zz z+aa z+aa — bbzz+2bzz——Éf=p—• Neemende hier inbb + 2b =p, zo is y== - +a~ J zzp z + aa yz=~zT zj>  14- OphJJingen der konjlige Vraagen y z-f-1 z + aa + zp X aa — aazp z~\-aa * zzp z— z ■■ verm. z + aa + zp.z + aa.z xyz = 1—~ aa z3pp _ z + aa-{.zp. z +aa aazzpp , ■ ■ -- . i zz4-2aaz + zzfi-4-a4 + aazö of xyz = ! — J aa zz pp aa z3pp f — > aazzpp aazippArzzArzaaz-\-zzp + a*+aazp xyz+z=:~ a— X____. zynde de derde waarde, die mede een rationaal Quadraat moet zynj de Noemer is zodanig: dus blyft maar alleen overig, dat de Teller een Quadraat zy. Stel den Wortel uit den Teller =aa + dz. Dan is aaz3pp-{-zz-\-aaaz-\-zzp +a*+»q7.p—a4-}-- (2aadz + d_zz aaz,/>p + zz +_aaz+zzj>-f.aaz^ = 2a__z* (+ddzz Neemende 2aaz+aazp__2_a„z zo is z+pzizzd Dus d==jj)+i Nu blyft nog overig ö3 23/>;>4>„z4>z~p=ddzz ZZ ■ , aazpp-jri +p=dd maat  van LUDOLF van KEULEN. 143 maar dd — ipp+p-L- 1, om dat d=ip +1 is aazpp+\+pz=Jpp4rp-{.i aazpp — \pp, derhalven zr— 4u.t Dit nu in de plaats van z gebragt, in de gevondene y~ z^èT+^-^T-T-"5 vervo,seDS om dat dan y en z bekend zyn , zo kan aa gevonden worden, zo dat x = ±*-+l+hl+*LrjA aa .bb-+-2b zyn» Hierom «yn dan de getallen, 4 -4+1 + bb + 2 b x— - . aa.bb + 2b 4a4.4a4 4-1 IV— -V" » 1 -. aa.bb + zb ■ 1 2 4aa Neemende a = 1, 6 == 2; 4+1 + 4 + 4 zo is x — »_ — __ ï» r_ 1' 4.4+1 8~ f*sM=*h 2 + * — +• PROEVE. 'Het ProduSt «3^xfc*=^+i|$==i«*drie ratïbiuia. x y z+y =_ 4| +1|| — Cfe Quadraaten, 1 a-^z+z — «'-I- '< — 8.CWaar van de xyz-r-z —„4. n _ s4)Wortels zyUt !J IJ !• Wan-  144 Oploffingen der konjlige Vraagen Wanneer a en b anders genomen worden, zo vindt men ook andere Getallen. LUI. VRAAG. Vind drie getallen, naaft in hunne Progrefiie Maande, zodanig, dat, zo men de Trigonaalen van het eerfte en derde te faamen vermenigvuldigt, het ProduEt zy 420. OPLOSSING. Stel voor de Trigonaal-Wortels , „ fxx — 2x+i+x—i se — 1 "1 dan zyn de Trigonaa- j i— X > len van het eerfte en< *+ 1J derde getal f *s + 2*+i +x+ 1 L 2 . XX — 2X+1 +X— I XX —X Nu is = het eerfte> ay+2E+i+*+_i 55+3_a:+2L , en - == het derde " •- ' verm. — XX—2X 4 =420 —— 4 a:4 + 2*3 — xx — 2x= 1680 1= 1 ~ ' verg. x*-f-2x3—xx — 2ar+i-—1681 xx-\-x — 1 -=41 14= If ;—r;— ver«- « + 1=6} a;__:6 Derh.  van LUDOLF van KEULEN. 145 Derh. zyn de Wortels x — 1 ==5 «1 en de Tri_ 1 15 x.. . —6 S gonaaien >2t * + i -=7i J28. ' AANMERKING. Ludolf zegt, dat het begeerde, buiten Cox, ligt te doen is; doch dan wordt vereifeht , één der Eigenfchappen, van zulke drie Trigonaal - getallen, by wyze Van een Lemma, vooraf te bepaalen. Nu kan men, met weinige moeite , gewaar worden, dat, wanneer van drie Trigonaalen, die malkander naait in haar Progrefiie volgen, de twee uiterften te faamen vermenigvuldigd worden, het ProduEt altoos een Pronté-getal zy, wiens Wortel de eenheid minder is, als het middelfte Trigonaal-getal. Daarom den Pronik-wortel getrokken uit deeze gegeevene 420, komt 20; hier by de eenheid vergaard, zo heeft men 21, voor het begeerde middelfte Trigonaal- getal, waaruit de TrigoTiaal-wond 6 is: dus moet dan de wortel van het ■voorgaande 5, en van het volgende 7 zyn. Want de Wortels der Trigonaal-getMen, die malkanderen in orde volgen, verfchillen altoos de eenheid onder malkanderen. Ook klimmen de TWgwzaai.getallen zelve altoos op, met de Eenheid meer als hunne Wortels; zo moet dan het grootfte 28, en het kleinfte 15 zyn. De Prom'£-wortel uit 420 wordt aldus gevonden: 420 Vergaar ~ 420| V 20* afg- f komt 20 voor den Pronlk-wortel. (K} LIV.  146 Ophjfingcn der konjlige Vraagen L i V. VRAAG. Daar zyn drie Trigonaal-getaUen als boven, zo men het eerde met het derde vermenigvuldigt, en van het Product drie maal het tweede afcrekt is het overblyfïel 546117. Vraage, als vooren ? OPLOSSING. Stel voor de Trigonaal-wonds x — 1, x, x 4-1; dan , .n . , xx — x xx -4- x xx 4- 'X x 4- 2 zyn de Trigonaalen , ———. TJ-I;i. 2 2 * 2 Het eerfte __: ——2 „ „ , , *x4-3x4-? Het derde = 2 • verm. a4 4 2 x3 — xx — 2 x komt het Prorfarï van het 4 (eerfte en derde 6rx-\-6x driemaal het tweede. ■ ;- ■ afget. x*+2x3 — 7 xx—8x 4 = S4öli7 1 . 4 x4+ 2x3 — 7XX — 8 x—r 2184408 16= ... 16 x+ + 2x3 — 7a:x — 8x+ 16 = 2184484 V . xx + x — 4 rzr 1478 4ï== 4? ; verg. xx+x+l —= 14821 V tt+j == 38] x = 38 Derh.  van LUDOLF van KEULEN. 147 Derh. de Wortels x — 1 — 37 -t en de Tri r 703 * —38 \gonaal-ge-< 741 x+ 1—39 i tallen .780. ANDERS. Stel voor het middelfte Trigonaal-getal x 3 hier toe gegeeven 54617 komt 54617+ 3* voor het Prodiut. van het eerfte en derde Trigonad-getal, dit nu is een Prom'A-getal, wiens wortel de eenheid minder is, als het begeerde middelfte Thgo/zaa/'getal. Wy zullen derhalven hier uit den Pronik- wortel zoeken , volgens den Regel , die in de Aanmerking, der voorgaande Vraag, toepaflelyk voorgefteld is. Op deeze wyze; Het gegeevene Pionik-getal 3 x+54617 vergaar . . . « 3x4-54617^ V . ^3 * + 546i7* AFget \ — 5 + 1/3^ + 540X71 Vergaar . . 1 {+ V' 3 x + 54-6174 voor het mid« delfte rrzg072flfl/-getal, dat gel>k x gefteld is. Daarom: *==f+1/3*+54617$ of x — \ — V$x + 54617I" . v • x+j ==■ 3 x+54617 % xx—4»=:546i7 4= 4 ' •— verg. (K 2) xx—'«  148 OploJJingen der hnjlige Vraagen xx—- 4x-f 4 —— 54621 x — 2= 739 of X- 741 Dewyl nu het begeerde middelfte Trigonaal - getai C740 gevonden is, zo kan, daar door, ook het eerfte en derde getal gevonden worden; want,trek den Trigonaal wortel uit 741, volgens den Regel van Wouter Verjtap, in zyne Aritbmetica Pbikfopbica pag. 24, en 25 , ot die van J. J. Fergufon, in zyne Labyrintbus Algebras pag. 70; zo komt 'er 38; deeze eerrokken zyftde van 741, zal 'er 703, voor htt eerfte Trigonaalgetal,overblyven. Vervolgens, vergaarende de eenheid by deezen wortel38, komt 'er 39;hier by 741 vergaard, zo heeft men 780, voor het derde Trigonaal-gnal. L V. VRAAG. Zoek drie TngOBaaf-getallen, van zodanige natuur; als men het eerfte met het derde vermenigvuldigt, en tot het ProduEt vergaart, tweemaal het Quadraat van het dubbeld des tweeden getals, met nog viermaal dat zelve getal, dat 'er köme 23011560. OPLOSSING. Stel voor de rngoraoflJ-wortelen x— 1, x, x+1 ;• _ 1 m . XX—X XX + X XX4-VX+2 Dan zyn de Trtgon. get. ■, , —- 27a' 2 Het middelfte xx+x, 2 1 • 2 Het dubbeld xx + x „ x*+2x3 + xx Viermaal het middelfte . . ixx + ix *♦•+■ 2X1 + 2XX + 2* , ... xx—% ■ I 2 '  van LUDOLF van KEULEN. 149 het eerfte. xx+ 3x4-2 het derde 1 verm. X4 + 2 X3 XX — 2 X 4 4%'+8x3+ I2xx+8x — ■ Of X4 + 2X? + 3XX+2# " verg. 5X4+ icx3+ uxr+^x = 23011560 4 5 a4+ iox34- u xx + 6x=92046240 *■ 5 2J x* + 50 x3 + JJ XX + 30 X — 460231200 " ■ verg. 2 5 x*+ jox'-f JJ ax+30 x + 9 =: 460231209 y 5xx + jx + 3 = 2i453 5 xx 4- 5 x r= 21450 5 xx-{- x ~ 4250 dus x=zz 65 x — 1 zrr 64 X+ 1=66. 64 X65 Derh. zyn de Trigon. getall. —-— 2080 6^x66 —2~ = 2I45 ' S 66x67 = 2211. 2 (K 3) AL-  Ijo OploJJingen der konjiige Vraagen < ALGEMEENE AANMERKING Op de drie voorgaande VRAAGEN. 'LEMMA. Alle TrigonaaUProgreffnn, van drie Termen, hebben deeze eigenfchap, wanneer dezelve onder malkander m de naafte orde ftaan , dat het vermenigvuldigde van de uiterften altoos gelyk is, aan het RrpduSt, dat voortkomt, als men de middelfte met de eenheid minder, dan zich zelfs, vermenigvuldigt. Want, laa, ^Tgg drie M. gorcaaZ - getallen zyn , die malkander in orde volgen. Dan is f xx —x Lj Ta t xx + * uiterfte I 2— middelfte lerm ■—• Termen< x+ [ —-—■ middelfte min 1.. —— l 2 o " verm. ■ verm. ■ * +2X —2ar x*+ IX3 —XX-IX 4 — 4 >det' halven zyn de beide ProduSten even groot. Door dit Lemma kunnen dan de voorgaande drie Vraagen, en alle andere van het zelfde foort, tot eene Vierkants-Vergelykinge gebragt worden; om dat, wanneer de middelfte Term gelyk y gefteld wordt, men door denzelven zeer ligt het vermenigvuldigde van de uiterften kan vinden. Want, ftellende voor het middelfte jreral y, zo is het Product van de uiterften altoos y>y-~ 1, dat is yy — y, een Pronik-getal. Hierom zullen wy ons verledigen, om de drie voorgaande Vraagen, door deezen Regel, nog eens op te loüen. SCHO-  van LUDOLF van KEULEN. ijr S C H O L I U M. Om nu deeze drie Vraagen, naamelyk N°. 53, 54, en 55, door deezen Regel, op te koffen, welke dan gezegd wordt , buiten de Algebra te beltaan, zo kan men flegts den Regel volgen; coch wy zullen, klaarheidshaiv|, de ftelkundige Vergelykingen 'er by voegen. 1. De LUI. Vraag. Stel het middelfte getal s=y. Zo is het Produel: van het eerfte en derde yy— yr=42o + + yy — y + i=:420| V ■ y —' -—~- 8oj y= 21 het middelfte getal.' Stel nu den Wortel uit het middelfte getal zzzx, __ . arx-f-x zo is het Trigonaal-getal —-— 21 xx-\-x :42 xx+x + l: :42i V • x + l'- • 6) X 6 Dus zyn ■ = ij de begeerde Wortels x — 1 = en de | 2 x z^f^rk^^- I -— = 28, L 2 (K 4) 2. De  152 Ophjjingen der hnfiige Vraagen 2. De LIV. Vraag. Stel wederom het middelfte ge? tal = y , zo is het Product van het eerfte en derde getal yy — y hier af 3 maal het tweede . . . 3 y yy~4y=54611? *_ 4= 4 ; yy — 4y + 4=54öi'il 1/—. y — 2=739 y zzzz 741 het middelfte (getal. Stellende wederom den Wortel, uit dit Trigonaal-getal, zzzzx; . xx + x zo is —: ==741, of xx-f-arr=i482; waar door xzzzz38, en dienvolgens 703, 741 ? 780, de begeerde TngonaaZ.getallen. 3. De LV. Vraag. Stel wederom het middelfte g«;tal=y;zo is het ProduB van het eerfte en derde yy~y Het dubbeld van het middelfte is dan zy 1/ Ayy nog viermaal het middelfte 47 ;—kt. 4 yy + 43? — verg. syy+$y Derhalven 577+39=23011560 5——'■— yy+17=4602312 y —., %, , ' yy + } y + Tf 5 = 460231 aTf 5 1 , f y+Tl=2i45Ti 7=2145 net middelfte getal. Site  van LUDOLF van KEULEN. 153. Stel wederom den TngonaaZ-wortel = zo is het TrigonaaUgetzl -■ = 2145, of xx + x » ( = 4290; waar door x = 65, en derhalven 2080, 2145, 22,11de begeerde TrigonaaZ-getallen. LVI. VRAAG. Zoek drie getallen , zodanig , dat het eerfte tvoee minder zy , dan het tweede, en het derde drie meer dan het tweede; dat ook het vermenigvuldigde der drie getallen, meer 100, een rationaale Cubic zy. OPLOSSING. Stel het eerfte getal -=x zo is het tweede = x-f- 2 het derde =*+5 < 1 ' ■■■ verm» ft' + 7**+ \ox 100 by *3 + 7**+ ïox-f- ico moet een ( rationaale Cubic zyn. Stel den wortel = x+a. Dan isx' -f-7 xx+ïox-f- ïco—x' -t-^axx-f-^aax-f-a' 7 *x +1©* + 100— 2axx+ 3aax+a5 Laat 7 xx = 3 a xx genom en worden, dan is a zs \ En iox+ 100 = 3aa*4-a.' 3 aax — loïrr 100 —a' 100 — a' *=Saa-io ? en dewyl fl==i SenoJ (men is, zp heeft men *=I3^J. (KJ) AAN-  Ï54- Oploffingen der konjlige Vraagen AANMERKING. Deeze Oplcfllig is zodanig ingericht, dat men door dezelve maar een enkeld antwoord kan vinden, gelyk dit ook zo by Ludolf gegeeven wordr; niettemin zou de Vraag konftiger zyn, indien men andere antwoorden, als de reeds gevondene, begeerde, èn fcboon dit niet zeer gemeen is, zullen wy onderzoeken, of wy, door het reeds gevonden antwoord, hier in niet kunnen flaagen. Stel voor de begeerde get. , im+x> ofSϱJZi£. ' 171 Dan hebben die dè geëifchte verfchillen. Deeze Getallen dan met malkanderen vermenigvuldigd, en by het ProduEt 100 vergaard, moet de fom een rationaale Cubic zyn. Dat is 2357-f- 171a:. 2699+ 171 * .3212+ 171 x =-rr f-roo=... 1711 30933297215+3864841965x4-241764588^x4-5000211*3 5000211 ( een rationaale Cubic. Om nu deeze gevondene Grootheid tot een rationaale Cubic te brengen, heeft men aan te merV»n, dat de voorfte en agterfte leden beide rutionaale Cuben zyn; door welke befcliouwing men dan gemakktlyk aan den eifch kan voldoen. Docti, om het zo algemeen te hebben, als mogelyk is, zullen wy den Wortel van den Teller in algemeene Termen uitdrukken ; dat is te zeggen, wy zullen die b + ax noemen; derhalven is zyn Cubic b'-i-zabbx + saabxx-r-a^3 ; deeze dan met de  van LUDOLF van KEULEN. 155 de bover.tiaancle Waarde vergelykende, kan men drie byzondere' Onderftelinigen manken. Ten eerften. Neemende Z>3 = 20933297216, zo is £ = 2756. en a3a;3 = .. ..5oco2iiac3,zo is a = 171. Dan is nog 3864841965 x + 241764588 xx=3 a IIx + 3 aa l xx x —~ - ■ 3864841965 + 241764588 x =3abb+2aahx 24:764588» — 3 aal/ xz=2abb — 3864841965 — sa^ — 3804841965 * 2417643 88 — 2aab Nu is gevonden, door de onderftelling, 0 = 171, 31668003 £ = 2756, derhalven *= ;—-—■*!■, en dus a; oneindig groot, dat geen Getallen geeft. Ten tweeden. Neemende, uit de twee vergelykende Cuben, 5000211 a;3 : a? xi ~3 | 50002n == a3; dus 0=171. En 241764588:0;— 2 aai xx xx 7-7 , 80588196" 24176458S : ^aaby duso = ——-r$ 80588196 Maar a— 171; derh. 5= ~g 9~ =2756. Dan is nog 20933297216 + 3864841965x — ¥Ar2allx of 3864841965a; —-3 a££* = 53 = 20933297216 b3 — 20933297216 X 3864841965 — $abb Jndien nu 0 = 171, en 5 = 3756 genomen wordt, zo  ïjó* Oplojjingen der konfiige Vraagen zo vindt men g==_iQV en dus is x oneindig klein, het geene wederom geen getallen geeft. Tenderden. Neemende b3zz=. 20933297216, zo is Wederom 3 a 11 «=3864341965 x ^ 27&' X ~allllT^86^ig~6:5~duS az=l^°Éll Ib Maar £=2756 zynde, zo is fl = !255!«*2.. 7J95530 Nu is nog 2447643 88 xx -f- 5000211 x3 ~ 3 aa b xx -f a' xi xx — ■ 244764588 + 5000211 arrz: 312a 6-f-a3 x ■ • — of 5000211 x —x — ^aal — 244764588 _ 3aa5_—244704588 5000211 — a3 1288280655 Maara=r— 95336» en 5 = 2756 genomen zynde, kunnen wy nu x, en vervolgens ook de andere getallen bepaalen. Doch alzo deeze getallen zeer groot, en by gevolg moeijelyk zyn, om, door dezelve, de waarde van * te bepaalen, zullen wy de bewerking niet verder voortzetten. Die lull heeft, kan zyne kragten hier aan beproeven, en zal, naar myne gedagten , nog een ander antwoord kunnen vinden. LVII. VRAAG. Vind drie getallen, zodanig, als men, van de Cubk van haare Som , ieder getal byzonder aftrekt, dat de overblyffelen drie rationaale Cuben zyn. I. AANMERKING. 3. Ludolf geeft op deeze Vraag twee antwoorden, en  tan LUDOLF van KEULEN. 157 494424 472696 4.48000 en zegt: „ Antw. • . — , —- . 0f 8 ' 2352037 ' » 01 466607104 346734792 408877504 „ OOk -' . ■ , ——■- , ■ LiJ-Z. rje I97Ö65Ö375 '6 „ eerfte drie doen te faamen jïf, en de andere drie „ doen te faamen 7£ff, is ligt te proeven. Dit is een „ kunftige Vraage, en voor veele Jaaren gèdigtet,door „ den zeer ervaaren Diopbahti; maar niet gefolveert „ vermag veel Facits: Maar een te vinden iskunft,hoè ,, ik die door Cos gevonden hebbe, zal in myn groote „ Werk gevonden worden." 2. Abraham de Graaf loft deeze Vraag op, in het 330de Voorftel van zyne Inleiding tot de Wiskunft pag. 341, en zegt aan het einde van zyne Oploffing: „ Dee„ ze Queftie is nooit volkomen gefotveerd, noch door „ Diopbantes, noch door zyne Uitleggers , noch door „ Ludolf van Keulen , maar alleenlyk door Adrianus „ Twilt, volgens het getuigenis van D. de Hollander, si in een Trachatje (*) over deeze Queftie alleenlyk „ handelende. In het welke verfcheide middelen zyn „ aangeweezen , om deeze Queftie op te lollen; en „ ook om vier zodanige Getallen te vinden, welke ma„ nier ook ligtelyk kan befpeurd worden uit de voor» gaande Solutie; ja tot meer als vier." If. ("O Dit TraÜaatje, dat de Heer Praalder zegt nooit gezien te hebben , zie de volgende III. Aanmerking, u door Dirk de Hollander in 't Licht gebragt, na het overlyden van Adrianus Twilt, waar van by de beweeg-redenen voorfielt, in zyne Voorrede voor dat Werkje. Het zelve is getytelt: Toets-fteen van de Algebra Speciofa alwaar door den konftryken en zeer hoog-geleerden Mathematicus Adrianus Twilt, zalr., byna op eene oneindelyke manier, proef-vaft getoetft wordt, de s7As Queftie van Ludolf van Keulen, in zyn Boek des Cirkels, of de 19de Quteftie uit het vyfde Boek van den wydvermaarden Griek Diophantes van Alexandrie, enz. by een gefield en gecorrigeerd door JDirk de Hollander, enz. gedrukt te Amfterdam, voorden Autheur, in het Jaar 1669.  158 OphJJïngen dér hhjlige Vraagen II. AANMERKING. Niettegenftaande nu de Graaf zegt, dat deeze Ques* tïe nooit volkomen gefolveerd is, noch door Diopbantes, noch door anderen , maar alleen door Adrianus Twilt, komt my zulks nogthans zeer onwaarfchynlyk voor; want Ludolf geeft op dit Voorftel voldoende antwoorden , die waarlyk niet radender wyze; maar volgens een Wiskunftige manier gevonden zyn ({); en om dit nader aan te toonen, zal ik hier eene wyze van Ont- (t) Wat bier van te oor deelen zy, kan ligtelyk opgemaakt worden uit den eigenbandigen Brief van Ludolf , gedateerd Leiden den 1 May Anno 1610, waar in zynE. de Oplojjing ,van deeze57fteKunjlvraag,aan zynen vriend N. Huybertsz van Percyn , Landmeeter tot Naarden, toezendt. Deeze Brief, benevens fie Oploffing, wordt gevonden , in bet zo even gemelde Werkje van Adrianus Twilt pag. 51. Docb alzo dit Werkje niet zeer bekend Jcbynt te zyn, oor deelen wy niet ondienftig de Oploffing van Ludolf, gelyk dezelve aldaar gevonden wordt, bier nog by te voegen. ,, Ik Jtel , zegt Ludolf , voor de Som der Getallen 4X, diens Cubic is 64 x3; nu voor '£ eerfte getal ge„ fteld jóx', voor bet tweede 37 x3 ,voor bet derde 63X3, „ deeze elk genomen van 64 x3, rejten 8x3 , 27 x3, en j, x5, deeze rejlen zyn alle drie rationaale Cuben, die „ addeert te faamen, komt ij6x3, deeze moeten gelykzyn „ aan 4X ; divideert-over beide zyden met 4X, k»mt „ 3yxxr=ri; waar nu 39 een rationaal Quadraat-ge!aJ, „ dan was de Ojicejtie gefolveerd: maar dat niet zynde, ,\ zo Jtel ik voor de Cubic wortelen (welker Cuben zul, len reflen, als elk getal van de Cubic van baar Som 3, gefubftrabeerd wordt) voor de eerfte x— 1, voor de „ tweede 4 — x, en voor de derde 2 ; baar Cuben zyn „ x3 —3XX + 3X— 1 , 64 —48X+i2xx —x', en 8 , deeze , verjtaat elk byzonder, gefubftrabeerd van 64, „ zullen reften 65 -f- 3 xx — x3 — 3 x , 48 x -j- x3 — 12 xx, en 36, voor de getallen, welke net den geftelden Cu„ bic 64 doen, diens Somme is 1214-4jx.--.9xx, deeze  van LUDOLF van KEULEN. i59 Ontbinding voorftelien, die de zelfde Getallen voortbrengt , als Ludolf die opgeeft. Stel „ ze Somme door 4 gedivideert, komt 30$ +1 \ 1 x — 2i xx „ dit is nu gelyk aan een Quadraat, voor zyn worteYftei » ^ 5* + |x, om my bet ledige getal qityt te maaken „ dewyl sl de Quadraat-teone/ is uit 30+. Nota Dit „ Quadraat is 3c| + j£ x+ l xx =30^4-11? x — zixx, „ dat is 2 \ xx = 5| x, Aomf x = 2T|; nu is boven gelteld „ voor de eerfte Cubic-uwtó, x— 1, dat is 1» WOr „ de ïtaeede Cubic-tuorfe/ 4 — x, Uat'is iT|', e»'ï>oor de 3, derde Cubic-raorje/ 2, &wre Cuben z/w «■> en 8; Jubfirabeerd elk van 64, rejlen 6i£%£™$$%, ' „ era 56. Deeze re/few zyra «ara die natuur ]°dat, zo°men „ e/& raeemt uara 64, de rejlen drie rationaale Cubic-ge„ tallen zyn, en dat 'er, zo men dezelve addeert, eera ra„ tionaal Quadraat-getal komt. Nu wederom gefield voor de Som der begeerde getallen 4X, zyn Cubic doet „ 64X*, en voor bet eerfte gefield 6iT*°^x', voor bet ,, tweede sfiT*|5 x' , era voor bet derde jóx', doen tefaa„ men 176^* x', die moet gelyk zyn 4X, dat is 44 „ 9, xx—1; komt x = ,*°, deeze met 4 gemultipliceerd. ,, komt r*?, voor de fom der getallen, diensCubois ;-*0§c „ (yerjlaat van x), deeze multipliceert met 6irli>*l'komt „ Mor iet eerjte getal &ü\f; en met 59jïh -.'komt voor „ fet tweede ge?*/ jfjjf**; e» met 56 , komt voor bet 5, derde getal -2$iS~, doe» te Jaamen T*f. PROEF. „ Cubeert de Somma, komt sHflff, Wer -oara gefubflra^ „ £eerd re/i 5fKfty, eera Cubic is , diens „ wortel is -1\6I, nog van de Cubic baarer Som gefubftra„ beerd het tweede getal, reft ^Ih » diens wortel is ,, T||; als mede van i3''22??° gej'ubfirabeerd 2tt82'°°» re/f »> '2?T°I°y» löwZeJ doet zyn alzo de getallen regt gevonden, daar van Godt alleen de eere toekomt.". L. v. KEULEN»  160 Oplojfingen der konjlige Vraagen Stel voor de getallen 65~3^4" Zxx— xs .y' )Laat ook de Som van dee- _ - s Cze getallen = 47 genomen + 48»;— 12XX + X'. ys f"WC)rden, zo is haare Cubic 56 f '=-Hf' Van deeze 6431* ieder getal byzonder afgetrokken zynde , zo zyn de overblyffelen, — 1 -4- 33c— 3xx + x' . 7'1 Welke alle rationaale Cu- ^ v ben zyn , doende de 64 — 48x4-i2a;x —x5 . 7'f „T , — — * t" ' ^ t Wortels—-i + x,7» g y5-» 4-x.y, 27. Derhalven blyft maar alleen overig, dat de Som vin de gefielde Getallen gelyk zy, aan de Som 47, volgens de onderftelling. Dat is iai-f-45* — 9xx. ys =4?" 12I + 4J* —9**==^J nais ^Teen mi0' naai Quadraat, en dienvolgens moet ook 121+45*" ^-9 xx een rationaal Quadraat zyn.ï Stel den Wortel = n+5x; dan is: 1214- 45 x — 9 xx sz 1214/ 22 5 x 4- 55 xx 55 xx 4 9 xx = 4 5 x — 22 5x x — — 1 55x + 9x =45 — 22 5 45 — 22»; x— bb + 9 Dewyl nu 1214.45 x — 9 xx( = ^) =114 lx f U 4 _ a gefield is, zo is ook it.*frkx\ = —, of 11+5x- du3?=rïT5x' Nee- _ 2  van LUDOLF van KEULEN. 161 Neemende 8==i, zo is _ = »TJ, y = 1>°i en daar door de getallen ; 65 — 3X + 3XX —x' • y'=j,fjy}$ ^ 48 x —12 xx + x'. y* r= £7~%£ <6 „i_._441.0o —— verg. Komt de Som en deCubic van deeze Som is ï{-||f.f|. Hier van ieder getal byzonder afgetrokken , 'zo is 512000 — 494424 1 T 2352°37 2if2ï37 rationaale I »»ï* 1 Cuben. • 2352637 '7j Wortelen! 510000—448000 ,,,„1 zyn' i 2352637 j j COROLLARIUM. Het blykt nu klaar, dat deeze manier van Ontbindinge zeer moeyelyk is , en een groot vooruitzigt vereifcht, ook tevens niet algemeen is, om andere getallen te bekomen ; fchoon nu hier nog een ander antwoord kan gevonden worden, dunkt my nogthans, dat het de moeite niet waard is, om dat zelve op te zoeken, te meer, om dat ik dit Voorftel volledig, en algemeen , zal oploffen, en dat op zulk een wyze, die ik vertrouwe, zo kort, duidelyk, en zo algemeen te zyn, dat ze tegen alle andere Ontbindingen mag gefield worden. Ik heb de voorgaande Ontbinding alleenlyk bygebragt, om daar mede aan te toonen, dat miffchien Ludolf zyne getallen, na die zelfde, of ten minften op diergelyke, wyze, zal gevonden hebben, te meer, om dat ze juift dezelfde zyn, die hy opgeeft, cl) m.  162 Ophijjïngen der konjlige Vraagen III. AANMERKING. Ik heb nooit het groote Werk van Ludolf (*), noch ook nooit het Traktaatje van Twilt gezien. Alles wat ik van het laatfte kan zeggen, "is volgens het getuigenis van A. de Graaf, by de boven aangehaalde Oploffing van deeze Vraaff, in het 30de Voorftel van zyne Inleiding tot de Wiskunft. Dewyl nu aldaar van vericheide wegen van Oploffiogen gemeld wordt, die in het gemelde Traktaatje te vinden zyn, zo heeft my dit aangezet, om ook een andere wyze van Outbindinge na te fpeuren, eensdeels, om die gemakkelyker en eenvouwdiger te hebben,- en ten anderen, om ook die Calculatie te ontgaan, tuffchen welke paaien de bekende Termen moeten genomen worden , om voldoende antwoorden te hebben; en eindelyk, om tevens een weg te baanen , waar door niet alleen drie zulke Getallen, maar ook zo veel getallen van die natuur, als men begeert, kunnen gevonden worden. I. SCHOLIÜM. Om nu, langs een anderen weg, dit Voorftel van Ludolf te ontbinden, zo ftel voor de getallen; a3 e (*) Indien men in aanmerking neemt, dat dit groote Werk van Ludolf, in hei Jaar 1610, nog niet bet licht kan gezien hebben , om dat by toen de Oploffing van de 57de Vraag, aan zyn Vriend N. Huybertsz van Percyn toezond welke Oploffing voor zyn groote Werk was voorbehouden ^waar in zyn Vriend, zo bet 'er reeds geweeftwas, de Oploffing zou hebben kunnen vinden, zonder dat Ludolf noodig badt, die in 't byzonder aan hem te zenden. Wanneer men hier nog byvoegt, dat Adrianus Twilt, naauwlyks 50 J nar en laater , zegt, dit groote Werk nooit gezien te hebben (zie den Toets ftcen van de AlgebraSpeciofa pag. 5.),zo kan men.mynes bedunkens, metgenoegzaamegrond, bejluiten . dat dit groote Werk, waarfcbyniyk door bet ontydig overlyden van Ludolf , nooit is aan den dag gebragt.  van LUDOLF van KEULEN. 163 a's;' — b'x'1 En neemende de Som van deeze getal- at Xi cs X! V, len _=ax, zo is dérzelver Cubic =.* ,. , , f a' x1 ; hier van ieder getal byzonder a x a x j afgetrokken zynde, dan zyn de overblyffelen rationaale Cuben. Daar blyft nu wederom slleen maar overig, dat alle. deeze getallen te faamen genomen, gelyk moeten zyn aan de gefielde Som. Dat is 3a!x'— b^x'—c'x' —d'x'=ax x 3 a' xx-—b'xx— c'xx — d'xx — a xx=3a'-b'-c' -d' het Seen esn rationaal Quadraat moet zyn. Nu is het niet noodzaakelyk,dat den Teller en Noemer ieder bvzondereen rationaal Quadraat zyn, gelyk A. de Graaf zegt; want, het zal genoeg weezen, dat de Breuk zelve maar alleen een Quadraat is, om dat,zo men twee getallen neemt, die, in malkanderen gedeeld zynde, een rationaal Qua. draat voortbrengen, haar vermenigvuldigde ook altoos een rationaal Quadraat zal zyn. Daarom vermenigvuldige ik den Teller (a) met den Noemer (3 a5 — b' —* c* — d'), komt 3a4 — ab' — ac'—ad' , dat een rationaal Quadraat moet zyn. Stel den Wortel — 2 aa—^aei Dan is 3a4 — ab' —ac'—ad' — 4 a4 — i2a!e+9 aaee -— a44-i2a3e — gaaee—ab' — ac' —ad' — o a ■ —a3 -J- 12 aae — gaee — h' — c' —d3 o of — a'-f- \aaae— gaee — b' — c, = d', dat een rationaale Cubic moet zyn. Stel deszelfs Wortel —# «4-40, zo heeft men, — a*+ izaae — gaee — b' — c' ——a' 4. 12 aae — 48? {. a ee + 64 e' (L s) 39aee*  ÏG4 Oplojfingen der konftige Vraagen a • 39 ee Hier mede is niet alleen alles rationaal; maar men is ook aanftonds in ftaat, om, zonder eenige Calculatie, Voldoende getallen te hebben. Want a moet maar alleen grooter zyn, als 5, e, ofd, dat is — a-j-4e, en derhalven moet a kleinder zyn, als 4e, het geen zeer gemakkelyk aanftonds zodanig kan genomen worden. Neemende Jrr 10, c=zn , ene:__3,zo is a = *{£, vervolgens =ff. Hier door zyn de getallen " ■* ~—C » Biilïï't.' a' a;5 —x' =TfJJ||fAr. De Som . . . m = ax en de Cubic van deeze Som is T§}I'if?T> hiervan ieder getal byzonder afgetrokken, zal komen 91733851-32414851 1 r _ _ DJISOïO !JO 167284151 ? ty*&>tr\%4ffi*? ■91733851-1-780862 ^,Vm4«^W 167284151 ~~ 7ï72S+rr' j Wortels 1 ■rV' 91733851-91728938 _ 4)I! f zyn 167284151 J L II. S C H O L I U M. Hier zullen wy nu byvoegen, op welke manier, men vier of meer zodanige getallen zal kunnen vinden,waar toe wy de handleiding van A, de Graaf niet zullen volgen, alzo men ligtelyk kan befpeufen, dat die manier niet alleen moeijelyk en laftig zal zyn, maar ook, zich over vyf of zes zodanige getallen uitftrekkende, byna ondoenlyk zou worden, te meer, dewyl het veel moeite na zich fleept, om, ter verkryging van voldoende getallen, de paaien aan te wyzen, tuffchen welke de be-  van LUDOLF van KEULEN. 165 bekende Termen moeten genomen worden. Wy zullen derhalven van deeze laatfte manier gebruik maaken, om dat men, ten aanzien van de meerderheid der getallen, welke begeerd worden, allengskens meer ruimte heeft, om voldoende getallen te bekomen, het geen in de volgende Voorbeelden klaarblykelyk zal getoond worden. t, VOORBEELD, zynde de LXIX. Vraag van Lu DO Li'. Om vier getallen te vinden, zodanig; dat als men ieder byzonder van de Cubic van baar Som aftrekt, de everblyffelen rationaale Cubeu zyn. Stel voor de Getallen a' x' L^a B'x') En {tellende ax voor de Som van deert' x' ■— c' x' L ze Getallen, zo is a' X' deszelfs Cuü' x' — d' x' f 'bic, hier van ieder getal byzonder afü' x* — e' X3 * getrokken zynde, zyn de overMyffe- (len rationaale Cuben. Derhalven moet maar alleen de Som van deeze getallen , gelyk zyn aan de gefielde Som. Dat is 4 a5 x' — £'x3 — c' xs — d3 x' — e' x' —ax x • " 4a5 xx — 53 xx — c' xx — d'xx—e' xx—ji x =—; : e r dat 4 a3 — bs — c! — d> — e1 een rationaal Quadraat moet zyn; derhalven moet ook het vermenigvuldigde van Teller en Noemer, dat is 4a4—.a6' — ac' ->-ad3—ae', een Quadraat zyn. Stellende „■deszelfs Wortel 2-aa — 3 af-, zo heeft men, 4a4 — aÈ' — ac' —a d3 — ae' =4a4^-i2 a'f+gwf — a5' —ac' — ad' — ae3 __: — 12 a'f + gaaff a ' ; — 6' — c' — d' — e' =— izaaf-t- gaff Stellende —b= — a+f, zo is — 5' = —a' +3 * (aaf—znf+p (L3)  i66 Oplojjingen der hnfiige Vraagen — c3 — — c3 — d3_= — d3 Derh. —a3+3aa/—3«if+/5—e' — rfs- eJ=_ -12* (aaf+yaff . — a3 + ij aa/— maff+p —c} — d3 — e3 = 0 of __a3 + i5aaf— izaff+ f3 — c3 — d3 =_e5 Dewyl nu e3 een Cuèic is, zo moet ook — a! + ij * aaf —\2aff-\-f* — c3 —d3 een rationaale Cubic zyn. Stel deszelfs Wortel --: — a + jA Dan is —a3+ 15 aaf—\aaff+f3 — c*-d'as * " — uaff+p — C — d'_= — 75 /+- '2j/3 63 aff—c3 — d3__:i?4/'3 63a f_=i24/3+e3 + d3 i24/3 + c'4-^3 fl= 63? Neemende nu, c, d, f naar welgevallen, alleenlyk met deeze bepaalingen; 1, Dat a grooter zy, als b, c, d, of e; om dat de Som, b3-\-c3 + d3+ e3, anders niet van 4a' kan afgetrokken worden. 2. Dat a kleinder moet zyn als 5/, om dat e = ^-» Qa + sf is. Neemende c = 13,d _= 14,f= 3, zo i?ƒ =9, ƒ3 = 27 ,• Vervolgens 0=14^, £==11^, en e — £,dasx=z&. En de getallen a?x3 — ï» at» = a3a:3-d3x3_r:?3-f^li? a' — e3 *3 ___ ||f De Som |f4^f, of J». II. VOOR.  van LUDOLF van KEULEN. 167 II. VOORBEELD. Om vyf getallen te vinden, dat als men ieder byzonder van de Cubic van baar Som aftrekt, de overblyfjelen rationaale Cuben zyn. Stel voor de Getallen flj x3 — b3 x3 j En Hellende aa; voor de Som van deefl3 xi — C3 x3 | ze getallen , zo is a'a;3 deszelfs Cu- a3 x% d3 x3 y bic> hier van ieder getal byzonder af. 3 , ,1 getn kken zvnHe , zyn de overblyffe- a x £, x 1 len rationaale Cuben. a* x3 —f3 x3J Derhalven moet de Som van deeze getallen gelyk zyn aan de gefielde Som. Dat is 5^'a;3 — b3x* — c3x3 —d3a;3 —e3ac3 —f3x3 = ax $a3xx — b3xx — c3xx — d3xx — e3 xx—f3xx~a a XX~ ~5a3 - b* — c3-d3 — e*—f3 dat een rationaal Quadraat moet zyn, derhalven moet ook he; virm> nigvuldigde van Teller en Noemer , dat is 5a4 — ah3 — ac3 — ad3 — ae3 — af3,een rationaal Quadraat zyn. Stel den Wortel van hetzelve __: aaa— 3ag; Dan is 5a4 al3 — ac3 — ad3— ae3 — af'3 =z$a* — * CI2a3g + 9aagg a* - ab3 -ac3 — ad3 — ae3 — af3 = — 12asg+gaagg a44- I2a3g — gaagg — ab3 — ac3 — ad3 — ae3 — af3 * C=o a ■ as+ i2aag — oagg — b3 — c3— d3 — e3—f3 = o a34ri2aag—9dgg — b3 — c3 — d* — es=:f3 (L 4) Stel-  i<58 Oploffingen der konjlige Vraagen Stellende b rra — g, zo is 5'_r:a5 —3aag + 3agg—g' c = a — 2g,zois c3—a' — 6aag+izagg — 8g' d3 = d3 . e3__:eJ i' +c' -f-d' -f- e5 _= 2 a'— öoag+ijagg—9gJ+d3 f (+«' a' + \iaag — gaggzzza* -f- i2aag — pagg a3 + I2aag — 9agg — l' — c' — d3 •—e' —a' +21 * ( aag — 24 agg -f- 9 g3 — d5 — e' =f' Dit moet nu een rationaale Cubic zyn. Stel den Wortel derzeive — — a-f^g, zo is — a3-f-2iaag — 24 agg + 9g3 — ds — e,=z—a3-f2i* : : (aag—147 q,gg-f343gs — 24agg + 9g3— d3 — e3 = — H7a«ff + 343_ï I23agg+9g3 —^3-e3 = 343g3 123agg— ö'3— «3 = 334gs I23agg___:334g3 + d34.e3 1 334g3+^3+6ï a=_ • I23gg Neemende dz= 12, e-= 13, g — 2, zo is ö —ig*£|, i = iiTis8jSSSt u i, » JS7STTÏÏ??? «.••3 ƒ3 rs—*at±tzs**£ "3 * / * 3 97 91 f si J44- " De  vdfi LUDOLF van KEULEN. T5? De Som H>im8$"> dat is fj*?,en de Cubic \^l\^ïlï* Vafi deeze Cjé&z'c dan ieder getai byzonder afgetrokken , zo zyn de overblyffelen, 10633486299 — 4083787288 1 '■ —— .*7' 3iJ79I521944 3f7Sir2is++» WUriCl ïï,+o 10633486299—6959836592 ■~■ : —— _ 3 <7J « foOor ,,mrt.A1 114! 39791521944 —.»7.»«ï.*»»*ïi wortel -3?ï$» 10633486299 — 301137 5367 39791521944 ==t/7-ïm!Hï» wortel |*f|* 10633486209 — 942642631 39791521944 — w»trn»»f» worcei 3ÏT+-« 10633486299— 10632573926 39791521944 ~ F^ïjpitiiïsïïjWortéïJ^» COROLLARIUMé Men ziet derhalven, dat deeze wyze van OpIofïïW algemeen is, en altoos zal ftand houden, tot hoe veel getallen men die ook bepaalt; ook blykt tevens daar uit, tuücnen welke bepaalingen de bekende Waarden moeten genomen worden: want men zal ten laatften altoos eene Vergelykinge verkrygen, in welke de Cu* len denwee gefteide letteren zyn, die men zo na aan malK-anderen gelyk neemt, als mogelyk is; naamelyk; dat die flegts de eenheid veffchillen, om dat ze, volgens het Voorftel, kleinder moeten zvn , sis a Dit dan maar alleen in agt genomen zynde, zal men aanftonds kunnen befpeuren, hoe de derde letter in de gevondene Vergelykinge moet zyn. Ik heb, in deeze Ontbindlnge, niet zo zeer na de kleinfte getallen gezogt, die aan het Voorftel voldoen met tegenftaande 'er mogelyk kleinder kunnen gevonl den worden, alzo dit alleen hier van afhangt, dat men het getal, voor a, fomtyds zal kunnen verkleinen, en fomtyds niet; evenwel ben ik verzeekerd, dat men, langs deeze weg, zeer kleine getallen zal bekomen, en wel ten aanzien van andere wegen, gelyk, by voorbeeld, (Ljj die,  170 Oplojfingen der konflige Vraagen die, welke A. de Graaf voorftelt; want zo men, langs dien weg, vyf getallen wilde bepaalen , zouden die zelfs onhandelbaar groot worden. En of fchoon gezegd wordt, dat in het Traktaatje van Twilt verfcheiden wegen van Oplolïïngen getoond worden, verbeelde ik my nogthans, dat dezelve daar niet eenvouwdiger, en algemeender zullen zyn, zo dat ze tevens kleinder getallen voortbrengen; waarom wy ons hier mede vergenoegen , laatende het andere Liefhebbers aanbevolen, om. dit onderwerp tot meerder volkomenheid te brengen. LVIII. VRAAG. Zoek drie getallen, zodanig, dat als men de Cubic van haar Som by ieder getal byzonder vergaart, de uitkomften drie rationaale Cuben zyn. OPLOSSING. Stel voor de getallen js xi — a3 } En (lellende a x voor de Som van deeze • _fl3aA getallen, zo is a3 x1 dérzelver Cubic; r deeze ieder getal byzonder vergaard, ds x'—a' s3} Zyn de uitkomften rationaale Cuben. Dus blyft 'er alleen maar overig, dat de Som van deeze getallen gelyk moet zyn aan de gefielde Som. Dat is Px3-\-c3x34rd3x3—3 a?x3—ax x •■ ' ¥ xx 4- c3xx + d3 xx — 3 a? xx _= a xx■= , 'r^—rrsi dit moet m 0 -J- c -f- a —3 a* nog een rationaal Quadraat zyn; de Teller kan zodanig genomen worden, en dan moet de Noemer ook zodanig zyn. Neem ï=f-v, zo is ¥ =ƒ5-3jfc + 3/<* — c' c3r_:c5 d' = d3 — 3a3 — — 3a5 Der-  van LUDOLF vaIn KEULEN. 171 , Derhalven fc3-f-c3 + d3 — 3 a' =ƒ3 — 3/c + 3 f cc» 4-d3—3a3 hetgeen dan een rationaal Quadraat moet zyn. Stel den Wortel — cg + h; Zo isf'—2fc + 3fcc-{-di — zai = ccgg + 2cgh + hh gg Neem 3 fcc . . . = cc gg,zo is ƒ= — En dan is nog/3 — s/t-r-d' — 3a3 — 2cgh + hh — herl. /3-4-d3 — 3 a3— hh (— •$?+»_>' Hier mede is dan alles rationaal, en dus zyn de bsgeerde getallen gemakkelyk te bepaalen. Want Neemende a~i, g = 3, zo is ƒ=3. Neemende h = 2, d = 3> zo is c — *l, en 6 = i'; vervolgens x=. sjlf.,. en daarom 53a3 — a3 *3 =,UHSHHï- a'ar — a a, —2ïö7ï'^,sï|^ï• De Som is slIHI|*tlr» of Vw?=-3*> dus a'a;3* f ——■ „ij»!»! 843_ Welke tot ieder getal byzonder vergaard zynde, zo heeft men: <$23247i5,7 -4130323843 _ 7Jmi80, , ,„ -3070099423 ~ worcel^?« 9777y?88 + i303a3343 _ „,.„,„ ,„ 23076099423 —iTOTsmip wortel 3388419918+ 130323813 £______- '—J J ■■> ,J, —_!M874!z«' wortel Ui? 23076099423 *15?Ï&55*J1 > WUriCl il + 7-, ANDERS. Stellende de getallen als vooren, zo zal men ook de zelfde  J72 OphJJïngen der konftige Vraagen de Vergelykinge vinden, & = J-—£^- het geen een Qiiadraat moet zyn; doch hier in behoeft q geen Quadraat te zyn; het zal genoeg weezen, dat het gedeelte, of het vermenigvuldigde, van Teller en Noemer een rationaal Quadraat is. Wanneer men dan den 1 eller met den Noemer vermenigvuldigt, zo heeft men . a is + a c! -f a d' — 3 a* het geen een rationaal Quadraat moet zyn. ■•>■•. Stel den Wortel = 2 aa -f3 a e; zo is a¥ + a c'-t a^~3a*=:4a*12 a3e Ar 9 aaee aiiAracsAradt = 7a^Ari2a,eAr9aaee a- — ._ 5' + cl Ar d3 =: 7 a3 +12 aa e 4- gaee Neem cz=z2a— e3 €0 is c5 ~8a3 — i2aaeAr6aee—e% d> = ds c3 +d' — $ a' —12 aie A-6aee - e!-f-dsgetrokk. vat* 4-cJ4-d3_: 7 a5 +12 aae-f 9a ee reft8' . . — a'-f^aae-j-saee+e3 — d! dit moet nog een rationaale Cubic zyn. Stel den Wortel =: — a-f-8e; so is —a3 4-24aae-f-3afe-fe' _d3 = — a3 +24 aae* C — '192 aee-f 512 e* 3aee + e5 — d3 =—I£)2aee4-5I2 e' 1950*2 =-511 e3+d3 5iie3+d' fl—z: 1 — 195 ee Neemende d=_4, é~ 1, zo is a=_2fj, £ = —* ffl4-ae=-5v;-, c_=2a — e—4fj; vervolgens *=Ti£, «n de getallen : '■  van LUDOLF van KEULEN. 173 zjj VJ . />5 —r-iI7! 1+1 «■ a * 4 , y$\92 i ' ?!lt^!;,*»tis de der get. ax. _ , , 6124498 + 1520875 Derhalven ^^ffS?» wortel^. 5446996 + iSaqg71_ é,67!7, • 41781923 — +ï7»i»3»wortBI ,+7. 2275541 + 1520875 , ■ i£ , ' 41781923 —+17«,S2»>worLei ji7. ANDERS. Stel voor de getallen j&'x'— a'x'1 En de Som der Getallen =ax geno- ci X! fl'a;3> men' 20 vindt meu» als v°or.2ii, xx» d3*3 — a'x'j -=^ + c>^d3_3-p-, het geen een Quadraat moet zyn; derhalven den Teller en Noemer tcYaamen vermenigvuldigt,zo heeft men a£3 + sc3 +* ad3 — 3 a4 een ration. Quadraat. Stel den Wortel =20^+30^; zo is a5s+ac' + ad5 —3a4=4a4 + i2 a' d+oaadi d + oaadd a 4 £J + c3+d3 — 7a! + i2aad + 9add £3r=7 a3 + i2aad + 9add—d'—cs dit moet een rationaale Cubic zyn. Stel den Wortel z= — d+33. perhalven 7 a3 + 12 aa a" + 9 a di — d' —• cJ =—d* + * (oadd — 27 aad +27 a' 7a5#  i?4 OphJJingen der konjïlge Vraagen 1 fl' +12 aa d — c3 zzz — 27 aa d -f- 27 a5 39 aad — 2oa3+c3 2oa34-c3 a=: 39 «« Neemende a— 1 ,c=z$, zo is d=z*? ,h — — d-f-* 3a — Vervolgens vindt men x = -'|; en dus zyn 283681, 1542294, 44514 de. getallen • 10503459 AANMERKING. Deeze laatfte wyze is de eenvouwdigfte, en zo alge* meen, dat men, door dezelve, zo veel getallen van die natuur.kan vinden, als men begeert; het geen wy met de twee volgende Voorbeelden zullen aanwyzen. I. VOORBEELD. Qm vier Getallen te vinden, zodanig; dat ah men deCu* bic van baar Som tot ieder getal byzonder vergaart, de uitkomjlen vier rationaale Cuben zyn. Stel voor de getallen ï3x3—a3x3] En neemende de c3 x3 —a3 x3 klom van deezeged3x3 —a3x3 f tallen = ax, zo e3x3—a3x3Jis a3»3 deszelfs Cubic, welke by ieder getal byzonder vergaard zynde '4 komen 'er rationaale Cuben, Derhalven moet maar alleen deeze fom der getallen, gelyk zyn aan de gefielde Som, dat is; , j&3 x3 +c3 x' + d' x' +e' x3 — 4a3 xs = ax Sb - . I1 xx + c1 xx + d' xx -f-e3 xx — 4 a3 xx — a .,11. , i ■ a xxz=zrr-,—r. 1* 1 r 7 net geen eeti b>c3 + d* + es— 4 a3 ö nationaal Quadraat moet zyn; derhalven , den Teller * en.  van LUDOLF van KEÜLËN. 175 en Noemer te faamen vermenigvuldigende, heeft men , ab3 + acs-\-ads + ae3 — 4 a4, dat een rationaal Quadraat moet zyn. Stel den Wortel =z2aa4r2ae. Danisa5s + flc3+ads-fae3 —4a4=r4a4+i2a3 e+gaaee a — js >j_ £s_l.d3 -{- e3 — 4 a3 = 4 a3 +12 aa ee -f- 9 a e« J3;=r8a3 + i2aae + 9aee —e3 — d3 —c3 dit moet nog een rationaale Cubic zyn. Stel den Wortel = — e-f*3a, Derh. 8a3-f- I2aae + 9aee —e3 —d3— c*=z—es+ ( 9 a — 27 aa e-|- 27 a9 8as + i2aae — d3 — c3 =— 27 aae-.-27 a3 39 aae = i9Ci3+csArds iga34rc34rd3 6 39aa Neemende a = i , c = 3» d=2 , zo is e = '*, t —— e + 3a=fj; waardoor men vindt x = Hi en voor de Getallen: 7064 57122 15379 3Ö35 Noem. 512000 2197 2197 2197 0197 verg, x3 a5 — , , , ——— Noem. 512000 9:61 59319 I7576 5832 Komt , , , —— Noem. 512000 21 39 2(S 18 Wortels — , — , — —. Noem. 80 II. VOORBEELD. ' Öm vyf Getallen te vinden, zodanig, dat zo men de Cubic van baar Som tot ieder getal byzonder vergaart, de uitkomjlen Vyf rationaale Cuben zyn. Stel  17 6" OploJJingen der kohjiige Vraagen — Stel voor de Getallen llx3 —filï*^ c3a3 nix3 \ ^n neemende ax voor de Som der Ge« 3 jj i I tallen, zo is o3 a3 deszelfs Cubic; dee ■ « * fl 31 j" ze vergaard by ieder getal byzonder> e3x3 — a3 at3 1 zyn de uitkomften rationaale Cuben. ƒ 3*3 — a3xlJ Dus moet deeze Som der Getallen gelyk zyn aan de gefielde Som ; Dat is hsx3-\-csxa + dsxs-i-e3xs-{-f3 xs — 5asxszza3B x b3 xxAr c1 xx-i-d* xx-\-e3 xx-\-f3 xx — sa3 xx=a a xx — j,3 i „3 . wp ,—, , r, T dit moet dan een rationaal Quadraat zyn. Hierom Teller en Noemer te faamen verin-enigvuldigd, komt ab3 Arac3 -\-adlf 4-ae3+a/3—5 a4 een Quadraat; Stel den Wortel —203 + 30/, dan is ab3 -f-ac3-j-ad3 4-ae!+a/3 —5 a4 =r 4 a4-f * (-f- 12a3 f+gaaff a 1 i3-fc5+d3 + e»+/8 —ya3=:4a3 + i2aa/4-9ajf b* =ga3 Arizaaf+gaf—p — e3—d3 — c3 dit moet wederom een rationaale Cubic zyn. Stel den Wortel /+3a, zo hebben wy: ca3 + i2afl/+9a#— f3 — 6* — d3 — e» = — ƒ * + * (gaf—27 aa/-f- 27 as 39 aa ƒ = 18 a3 -f13 -f d3 + e3 i8a»4-c3-t-d3 + g3 f 3yaa Neemende a = a, c =3 , d = 4, «rrj, zo i$ f=. Daarom ax=^ de Som der Getallen. Dus  van LUDOLF van KEULEN. 17.7 Dus b-x3—flV — /sisUsj") voor de getallen; hierby c3x3—a3x3 = -*\ZV^ I de Cubic vaD haar fom, ' d3ïW,*— !• !. a>x> = *jSflS.,ver- ax—ux —53ri3Sï f gaard, zullen 'er vyf ra- é'x3—aVrzr^l;"»? ' tionaale Cuben komen, te fJT3—/i'ic3— '414 J weétén : H0592 , 593 '9 1 140608 , 347625 , 27000 2863288 Welks Wortelen zyn 48 , 39 , 52 6.-? , 30 J42 LIX. VRAAG. Vind drie getallen, zodanig, dat zo men de Cubic van haar fom van ieder getal byzonder aftrekt, de overblyffelen rationaale Cuben zyn? OPLOSSING. Stel voor de getallen b*xs+a>xi') en neemende de fom der getallen £3x'-f-a'x! yr=axi 20 is deszelfs Cubic =a'x! y d>x'Ma>rs I deeze afgetrokken van ieder getalbyT J zonder , zyn de overblyffelen ratio, male Cuben. Derhalven moet maar alleen de fom van deeze getallen gelyk zyn aan de gefielde fom; dat is b'x* + Cx* + d'x' + 2a3x' =z ax b'xx-l-c^xx + d'xx-tsa'xx — a . xx=b>+c>+d>+2u> het geen een 'tonaal Quadraat moet zyn; dus,Teller en Noemer te faamen vermenigvuldigende , komt ab3+ac'A-ad'+30*1 (M; dar  178 Oplqfflngen der konjiige Vraagtvt dat by gevolg een Quadraat moet zyn. Stel den Wortel =aaa+ $ad; zo is dan rib' Arac' -f ad' +3a4=4a4+i2»,a'+Qaadi a •'• ■. 1 5* -f-e* -f-d* -f- 3a' = 4a1 + I2aai + 9add b'=za' + i2aad-i-Qadd — dt — ct dit moet een rationaale Cubic zyn. Stel den Wortel = — d+30. Derhalven fl»+i2aad-f9add—i»—c»=—d»+9aii—27afla,+27a» 12 aai — c1 — — 27 aad + 26 a' 39 aad; : 26 a1 -f- c* 26 a' -f-c» d 30fla Neemende a =. 1 , c = 1 , zo is d ==: ,f , en é = _d+3a = 2Tf. Derhalven ïï =itH? » dus ^rrr^f» en *x = f'; En de getallen b' *'+a3*s =T^fH wanneer nu de Cubic a'x5=* van ieder getal byCI+liï —ï+ïr'7 1 zonder wordt afgetrokken, d'*J+ a!a;5 =ï«mj zyn de overblyffelen rationaale Cuben. Want 29197 — 2197 ,7..."| j f,_. ÏÏS877 " OT | ^j'"' 4394 2197 „7_ >.|< xt a92g —2197 ~ i , A A N-  van LUDOLF van KEULEN. 179 AANMERKING. Op de zelfde wyze kan men zo veel getallen, van die natuur, vinden, als men begeert, het geen wy door twee Voorbeelden zullen doen zien. L VOORBEELD. Om vier getallen te vinden , zodanig, dat als men dê Cubic van baar fom van ieder getal byzonder aftrekt, de tverblyffelen vier rationaale Cuben zy». Stel voor de getallen b'x' + a'x'-) c'x'4-a'x' I en neemende ax voor de fom dee>"zer getallen, zo is de Cubic a' x', a x +a x | weike Van ieder getal byzonder afe'x' 4-a'x'J getrokken zynde, zullen de overblyffelen rationaale Cuben zyn. Derhalven moet nog de fom der getallen gelyk zyn aan de gefielde fom; dat is b'x' + c'x' + d'x' +e'x' + A.a'x' =ax b'xx-{-c'xx + d'xx + e'xx-r-4a'xx=a xx—b> + c> + d*+e>+4a> hetWeIk nu een rationaal Quadraat moet zyn. Daarom Teller en Noemer te faamen vermenigvuldigd , komt ab' -f ac5-Mo'3+ 0^+40* een rationaal Quadraat j ftel den Woftel =2aa + 3ae, zo heeft men ab' +ac» -f ad' +ae' -f 40+=:4a4+ i2a'e+9aaee ab' 4-ac' -{-ad' -f-aes — \ia'e-\-qaaee 0 ; . £! + c' + a* + e3 z=z 12 aae-h 9 aee b'zzziiaae+oaee — e'— d' —c' het welk een (rationaale Cubic moet zyn. (M fl) Stel  ■ t8p öphjfingeh der konjlige Vraagen Stel den Wortel = — ieder gedeeld door 1953125. ^3x3 =142805 1 J e3x' +a'x3= 38134J «—II. VOORBEELD. - Om vyf getallen te vinden, zodanig, dat alt men den Cubic van baar fom van ieder getal byzonder aftrekt, de overblyffelen rationaale Cuben zyn. Stel voor de getallen bix3-i-a3x,~) c}x' + a3x3 I en neemende ax voor de fom der i'*»_L/2'*» Uetallen , zo is de Cubic a3 x*; f a x pdeeze van ieder getai byzonder «3a;3 + a3*' J afgetrokken, zyn de overblyffelen /'a' + a'x3J rationaale Cuben. .ny.x jsoc: $$tQ aittH^ai > Dus  van LUDOLF van KEULEN. igf Dus moet de fom van deeze getallen gelyk zyn aan de gefielde fom; dat is *'*' + c'*s + dsx' + e'x' +f>x> +5 a'x' =ax b'xx + c'xx + d'xx + e'xx+fxx + 5a'xx = a xx—+ e>+P + 5a"'dh m0Ct een rationaal Quadraat zyn. Daarom Teller en Noemer te faamen vermenigvuldigd, komt ah' A-ac' + 0 tad' + ae' + a/3 + ja4, hetgeen een rationaal Quadraat moet zyn. Stel den Wortel —203 + 30/; èsnis al'+ac'+ad'+ae'-i-qf>+sa*=4a4+iaa3/+9aa.f t'+c'+<*'+«»+ƒ» +Sa» — 4a3 + ,2afl/+Qflj &! = — a' +i2aa/+9 0jf—p — d'—c' Öit moet een rationaale Cubic zyn. Stel den Wortel =f — /+3a, zo is --aJ+i2aa/+9nj7T--/3-.e'_dJ-c)==--./'+9af—2730/^ ( + 273' — g' + iaaaf-e» - rf3 - c» = -27a«/+ 27 a» 39 aa/= 28 a3 + c3 + d3 + e3 ^ 28a3+c* + d' + És 393a * Neemendea=i,c—i,d = 2,a=3;zois/=^; * = — /+3a=3'»j derhalven ijjjsstf, si=a,;, en de getallen CM 3) 5*,  j82 Ophjfingen der hnflige Vraagen i*x*4-asx'— 208196") c»*»+fl»J.»= 118638 j ieder gedeeld door d*x3 + a*x*= 533871 > 19683000. e3xs-4-as.x9=1660932 i /3Jt3 + a?x3= 321463 J LX. VRAAG. Vind eene Aritbmetifcbe Progresfie van drie Termen, aodanig, dat wanneer men den eerften met den tweeden Term vermenigvuldigt, en tot het produtt het Quadraat van den derden Term vergaart, de fom zy 9088; en dat het vermenigvuldigde van den tweeden en derden Term zy 4928. OPLOSSING. Stel voor de Aritbmetifcbe Progresfie x — y,x,*+y. Dan is xx— xy het vermenigvuldigde van den eerften (en tweeden Term, en ac*+2*y-j-yy het Quadraat van den derden ( Term. Derhalven 2xx-f-xy+yy=9o88 „ ,. , 4928-xr sn asx + xy.....—4928, dienvolg. y — . m afget. x xx -fyy=4ióo V «. 24285 i84-p856xa:-{-a4 of yy = 4i6o-xx T3— Xx 242 85184—9850**+a4 Dus 4160—xx =— — — . XX 4160XX — *4= 2428 5184—98563c* + x4 2X*— i4oi6xx= — 24285184 a " ■ ■ ». — ac4—*  van LUDOLF van KEULEN. 183 7003 *x=—12142592 3504I öéb X22780I6 —7008ÏX+3JO4I = 135424 V ' xx — 3504 =— 368 ac» = 31361 151=56. Waardoor > dus yy:—-1024 J 331=32. En de Progresfie x — y = 24, x = 56, a;+y = 88. COROLLARIUM. Uit de voorgaande Oplosfing volgt, dat op dit Voorftel nog een antwoord kan gegeeven worden, als men den wortel pofitif neemt. Wantx4—7008JCX + 3504I == 135424 y 1 xx — 3504 = 368 Dus xx== 3872 f ] «=44^2; Waardoor V en yy——: a88J J y=iV/2. Dienvolgens de Progresfie x—y = 32 ^2, * =441/3, x + :y=56V2. LXI. VRAAG. Vind drie getallen, zodanig, dat,als men die tefaa» men vermenigvuldigt, en van het produft ieder getal byzonder aftrekt, de overblyffelen rationaale Quairaor ten zyn. OPLOSSING. Stellende het eerfte getal = 1, het tweede =2», en het derde rsrc - 5 ' (M4) Zo  i84 Oplojfingén-der hnftige Vraagen Zo is haar vermenigvuldigde ~ xx 4- i ; hier van ieder getal afgetrokken , zyn de overblyffelen xx xx+i * xx — 2X + i} xx+i- —waarvan maar alleen XX +1 . 0XS — XX+2X— i 3^4.! __}datls __ ^ rai.^ naai Quadraat moet zyn. Stel dm Wortel r= * — |; „ . 5X*—XX + <1X—1 Dan is =xx — {x+ T£ ' ■—3 1 1 ' >■ <2X ÜXS—XX + 2X—I==2X'-.XX + IX ïlxzz^z i, dusar^^. Derhalven i = i ~l 2 x zz=z 'f I '"de begeerde getallen. —— M s | ax —145 J I. AANMERKING. i Deeze en de voorgaande Llf. Vraag zyn van gelyke natuur , behalvén dat hier ieder getal van het product moet afgetrokken worden , daar men in tegendeel dezelve in de LIL Vraag moeft vergaaren. Ludolf geeft in deeze beide Voorftelien zodanige getallen, waar van het eerfte de eenheid is ; om dit te ontgaan, en het Voorftel algemeen op te lollen, heb* ben wy by de LIL Vraag eenen anderen weg ingeflagen, welke uit A. de Graaf (*). genomen is. Men zou derhalven mét ;wa*aifchynlykheid kunnen vermoeden, 00 Inleiding m de Wiskunfl Voorftel 3-12. p, 320.  van LUDOLF van KEULEN. 185 den, dat dit Voorftel op de zelfde wyze kan opgeloft worden; maar de ondervinding zal leeren , dat dit zo niet is. Want ftellende even eens als wy by Vraag LIL gedaan hebben , niet de getallen =j, y, z te neemen, zo is haar vermenigvuldigde xyz; hiervan ieder getal byzonder afgetrokken fxyz—x« moeten < xyz y yationaaïe Quadraaten zyn , die ) Jwy ook op de zelfde wyze zul- XJZ z len behandelen; om te doen zien, dat men genoodzaakt is, de Vraag op eene andere wyze aan te vatten. ax V Stellende xyz —x-=zaaxx x . Dan is yz— 1 — aax yz — i x=- ■ , ' n _ qa yz yyzz —yz X^ aa hier van y zr: y afgetr, yyzz — yz — aay ■ reft xyz-y = -- -, dit moet een (rationaal Quadraat zyn. Stel den Wortel rrryz — byz, Dan is yyzz — yz — aayzzzyyzz — abyyzz + bbyyzz — yz —aayzzz — ib yy zz-j-èéyyzz y . — z — aa =— zbyzzArbbyzz z-f-aa y = ~; ftellende zb--bb=p; zb-bb.zz r> (M 5) Dan  4 8 6 OploJJïngen der konjlïge Vraagen z+aa Dan is y== — J pzz • z z+aa yz= —-— ' pz _ z+aa—pz Dus yz— i : — pz yz — i maar :—- * aa z+aa—pz . z+aa *=~^^-">vermemsv-met^::=ir» z + aa. z + aa — pz. z komt xyz=z . J pzz^aapz Dienvolgens zz 4- 2flaz —pzz+q4— qqpz — aappz' xyz — z aappzz ' i dit moet wederom een rationaal Quadraat zyn ; de Noemer is zodanig. Stel derhalven de Wortel uit den Teller = aa + dz. Dan is zz+zaaz—pzz+a*—aapz—aappz3—a*+iaadz+ddzz zz+zaaz—pzz—aapz—aappz3—zaadz+ddzz Neem aaaz.... —aapz z=.iaadz; dan is d—i~\p. zz —pzz —aappz3=....ddzz zz r......—p —aappz-=. dd maar i—p+}pp=z dd  van LUDOLF van KEULEN. 187 i-p — aappz = i—p + ~pp aappz = — Ipp PP 4 4aoz=-i, dus z = — — ; 4a4—1.430 bb-2b+i-4twee rationaale Quadraaten zyn, aa— zabJfbb J waarvan 4aè het verfchil is. Van dit verfchil nu zyn de deelbaare deelen ia en 2b; en om dat de halve fom derzelve (a + b) de wortel is van het grootfte Quadraat, zal a — b het halve verfchil, en de wortel van het kleinfte Quadraat zyn. SCHO-  138 Oplo(fingen der konfi'ige Vraagen SCHOLIÜM, Dewyl dee^e Vraag drie gevallen behelft, van welke Ludolf en de Graaf 'er twee opgeeven zullen wy hier het derde nog bydoen , en door dit Lemma algemeen oplofien. Deeze gevallen worden dus voorgemeld : i. Om drie getallen te vinden , zodanig, dat ah men ieder derzelve tot -baar vermenigvuldigde vergaart de uitkomjlen rationaale Quadraaten zyn. Zynde de voorgaande LU. Vraag. Stel voor de getallen bx, c, en aax~~l'. z0 is het vermenigvuldigde derzelve aaxx — bx , hier toe ieder getal byzonder vergaard, zo heeft men aaxx, aaxx — bx+c, en aaxx — bx+a-aX~~~ •/ bc ' Het verfchil van de twee laatften is c— — ) • bc 9 ■ -■ ~ of, dat hetzelfde is — bc " Neemende de deelbaare deelen —, en ^^—2ax4~^- • Dan is de halve fom — ax4-~ 4- — 4-~ 4bc a r a ' Stel, om het werk te verkorten, -—- + — 4-— A $bc^ a T'o, • zo is deeze halve fom =—-ax + d. Der-  van LUDOLF van KEULEN. 189 Derhalven aaxx — lx + c = (—ax +71*==) aaxx - uix+dd „ da*— c Dus x = ——7. aad — b Neemende a = 4, b = i, c—=2; zo is d = l, en X jjlg . Dienvolgens de getallen bxz=z -\i 3 c- g> en aax—-b bc~ " 2. Qm drie getallen te vinden, zodanig, dat ah men ieder derzelve van baar vermenigvuldigde aftrekt, de overblyffelen drie rationaale Quadraaten zyn. Zynde deeze LXI. Vraag. ' , , „ r aaxA-b Stel voorde getallen bx,c, en—7—; zo is het bc * vermenigvuldigde aaxx + hier van ieder getal byzonder afgetrokken, zyn de overblyffelen aaxx, aaxx -f * aa*-j-£ en aaxx-f-Jx——y-—. Het verfchil van de twee laatften is — c- 0e * Of. dat het zelfde is, . b » 7 bc ' Neemende de deelbaare deelen -7-, en 2ax4-— — 2_Ëf£. 20C' t- a fl , Dan is de halve fom ax+ -r- + — —• \bc ' a a Stel, om het werk te verkorten, ~t + —— — — 4. zo is deeze halve fom ;—~ ax+d. Der-  jtoo Oplojfingen der kotijtige Vttogeh Derhalven aaxx+bx — c — aa xx -f 2 adx + dd £ dd+e Dus J~—: 1 -. b - z ad Neemende az===$,bz==zi, c=z2-t zo is d—\9 en x=^j. Dienvolgens de getallen bx=f's, c=.z, —j~ —6. 3. Om drie getallen te vinden, zodanig, dat als men baar vermenigvuldigde van ieder getal byzonder aftrekt, de overblyffelen drie rationaale Quadraaten zyn. o 1 1 „ b — aax Stel voor de getallen bx, c, en—^— ; zo is het vermenigvuldigde derzelve bx — aaxx; dit van ieder getal byzonder afgetrokken, zyn de overblyffelen aaxx, J) — aax aaxx—bx + c, en aaxx—.È*-f—y—. Het verfchil van de twee laatften is e — - ~a?— • bc 3 bcc — b+aax of, dat het zelfde is, ' " . . ' bc a é bcc 2 5 Neemende de deelbaare deel. —r, en 4. aa*i zbc' - a a a bcc b Dan is de halve fom —r-+ t-ax. $bc ' a a Stel, om het werk te verkorten, -4- + — —=zd' zo is deeze halve fom =zd + ax: Derhalven aaxx — bx+c = aaxx+2 adx+dd c — da* Dus x —-r—r. 2ad + i Neej  van LUDOLF van KEULEN, ipr Neemende az=Z2,è==4,cz=:i j zo is d=zj, en x=x=fJ. 6-aa:* Dienvolgens de getallen ft*=|, c = i, en ■■ ^ -=*|. I. COROLLARIUM. Uit deeze Ontbinding volgt, dat, naar dérzelver inrigting, altoos een der begeerde getallen (c) naar welgevallen kan genomen worden; waar door blykbaar is, dat wy het Voorftel zouden kunnen en mogen veranderen , in alle die gevallen, op deeze wyze: 1. By een gegeeven getal twee andere te vinden, welke ieder byzonder tot baar vermenigvuldigde vergaard zynde, de uitkomjlen drie rationaale Quadraaten zyn. 2. By een gegeeven getal twee andere te vinden, welke ieder byzonder van baar vermenigvuldigde afgetrokken zynde , de overblyffelen drie rationaale Quadraaten zyn. 3. By een gegeeven getal twee andere te vinden, zodanig , dat baar vermenigvuldigde van ieder derzelve afgetrokken zynde, de overblyffelen drie rationaale Quadraaten zyn. IU COROLLARIUM. Uit de Ontbinding volgt nog , dat 'er nog andere Conditiën by het Voorftel kunnen gevoegd worden, weshalven wy de voorgaande gevallen onder een naauwer bepaaling zullen brengen, naamelyk : dat de Wortels der voortkomende begeerde Quadraaten in eene Aritbmetifcbe Progresfie ftaan. Wy zullen hier by nog de zelfde orde in agt neemen. I. Om drie getallen te vinden, zodanig, dat als men ieder getal byzonder tot baar vermenigvuldigde vergaart, de uitkomjlen drie rationaale Quadraaten zyn, wier Wortelen in eene Arithmetifche Progresfie Jtaan. Stel  ï9'2 Oplqffingen der hn'Jlige Vraagen Stel voor de getallen 2 5x, 4 5x + bb,en —■« 2È*. 4£x-}-££ (x —25, v . -. , * ~ Sbbx + zb1) 20 1S het ve™emgvuldigde der- zelve xx — 2b x; hier by ieder getal byzonder vergaard , komt xx een Quadraat welks wortel is x xx+2bx+bb x-j-b ; t x — ib xx — 2bx + ^x + 2l)3, dat geen Quadraat is , en nogthans als zodanig moet gefield worden , dat 'x — b de wortel zy. Derhalven b ' XX-2bx+~^~3=zXX~2bX+bb Dus ÏUxTïP = ib x— 2 Z> —S/^x-faè5 — 8è4x —2is + aö 2b. b*+ 1 * T^8è* * Neem & = zo is x=17g; en de getallen 2bx=*, 4to+6i=^en~™ip===i. 'V Bi :3>5 , 2. Om dne getallen te vinden, zodanig, dat als men ieder getal byzonder van baar vermenigvuldigde aftrekt, de uit&omjlen drie rationaale Quadraaten zyn, voier Wortelen in eene Arithmetifche Progresfie fiaan. - ' Stel  van LUDOLF van KEULEN. I03 Stel voor de getallen ibx ,4 bx^ bb,en -^LtlÈl^^ zbx.^bx-bb / x + 2b v V —Sbbx-^Vb"3)'7 20 1S het vermenigvuldigde derzelve xx-j-2^; hier van ieder getal byzonder afgetrokken , zyn de overblyffelen xx een Quadraat welks wortel is x xx — zbx + bb # b 7 x + 2& ax + 2fix —8^_— dat geen Quadraat is, xV^Sworïel ^ m0tt ë*dd Worden» dat Derhalven XX + 2bx-8b^ili==xx + *bx + bb _x-f- 2 6 3bbx~^7b3'===bb xA-2b 8bbx — a b3 r—^ — w ,: —-Si4 x+a/js" 8fc4x-f x=a è5 — 2 ft ' a fcs — 2 b X " 8£4-4-i * Hier vervalt men nu in de zelfde zwaarigheid als in ' de algemeene Oplosfing; dewyl het eene S4 L-S W7*al komen. Want x = zynde § ZQ . . 8/S° — 8bb Zh'A-hi u4fa = -8P+r.hiervantt,of *t±» afge. W ^ trok. '  ip4 Ophjjingen der konfiige Vraagen — 9bb trokken, ntitibx—bb — ^p+ï* zYnde eene mèatt' ve waarde, die daarom niet aan het begeerde kan voldoen. 3. Om drie getallen te vinden, zodanig, dat als men bet • vermenigvuldigde derzelve van ieder getal byzonder aftrekt, de overblyffelen drie rationaale Quadraaten zyn , wier Wortelen in eene Arithmetifche Progresfie Jlaan. zbx—xx Stel vóór de getallen 2lx,4bx + &&,en- -f===f* ■ s 2bx. qbx+bb (, — *b~x ) zo is haar vermenigvuldigde 2bx-xx9 \ Zbbx + aPj dit van ieder getal byzonder afgetrokken , zyn de overblyffelen xx een Quadraat welks wortel is x xx + 2bx+bb x+b _ 2b*~- zbxA-xx dat geen Quadraat is, 8llx+2b* en nogthans als zodanig moet gefteld worden , dat * — b de Wortel zy. Derhalven _ tt lx4.xx=«f - 2 lx + bb -3-—13 =z bb; dus 2b-x =r ib*x + ^ Sibx-i-zb* 8fc%4-a:=2&-2/;s _ 2b. 1—b* x—TF¥~i' Nee-  van LUDOLF van KEULEN. 195 Neemende b~{, zo is x==.{i dienvolgens de begeerde getallen 2bx — \, c,bx -f- bb =£ ii , en 2b — x &'blx+2D1 * ' III. AANMERKING. Dewyl wy nu in het II. Corollariumonderfteld hebben, dat de Wortels van de 'komende Quadraaten in eene Aritbmetifcbe Progresfie moeiten liaan , hebben wy daar door ook het tweede geval onvoldoende gevonden , waaróm wy alie die gevallen nog eens zullen hervatten , door het Lemma der II. Aanmerking daar op toe te pallen. 1. Om drie getallen te vinden , zodanig, dat als men tot baar vermenigvuldigde ieder getal byzonder vergaart , de tdtkomjten ranon. Quadraaten zy», wier Wortelen in eene Arithmeufche Progretfk fiaan. o , , „ aax—b Stel voor de getallen lx, c, —^—,zo is haar vermenigvuldigde aaxx — bx; hier by ieder getal byzonder vergaard, zyn de uitkomften r. . r aax--b aaxx, aaxx—bxA-c, aaxx — bxA z ; van wel- b c ke de twee laatften tot rationaale Quadraaten moeten bepaald worden. Nu is het verfchil derzelve c— ■aa^ ^, waar van a 2lcc 2b de Deelers zyn -7-, en 2axA- —. * 2bc' a ' a „ , , , a bcc b Dus de halve fom — a£4- —r-A- —+ ■—. 1 qbc^ a a * en het halve verfchil — aa: ^- 4- — -u ~. . 46e 1 a T a (N 2) ' De-  iqö OploJJingen der konjligé Vraagen Dewyl wy nu het grootfte Quadraat =z aaxx elx + c gefield hebben, zyn de Quadraaten en hunne Wortels Quadraaten. Wortels. , a. icc l aaxx — ox -f- c —• ax + -y- 4 \- — aaxx —ax , aax — l ° a icc l aaxx—1x4-—= —ax — 4. 1 bc 4 bc a cl Nu moeten de Wortelen in.eene Aritbmetifcbe Progresfie ftaan ; en dus , vergaarende de beide uiterlten, moet de fom gelyk aan het dubbeld der middelfte zyn. ah cc ab Derhalven — 2ax-\ f- — -= — aax a a al cc al + — = o, dus cc—— i, dat a a 3 ' (onmogelyk is. By gevolg kunnen de Wortels. naar deeze Oplosfing, niet in eene Aritbm. Progresfie ftaan. Doch wy kunnen nog onderzoeken, of men de Wortels niet anders kan fehikken. Want neemende De Quadraaten. De Wortels. aaxx —ax 7- . a Icc . I aaxx — bx + c —ax-{—— ■+• u — ' 46c a r a aax — l a Icc l ai xx — bx -j r ■ — ax r H 1- —■ bc tsbc ' a a Stel-  van LUDOLF van KEULEN. 107 Stellende nu de Wortels in eene Aritbmetifcbe Progresfie, zo hebben wy a icc b aa ibcc ab —iax—~-\ + — = — zax-\--r-\ 1—- 40c a a * 4 6c a a _ 30 Dcc & Dus o— —r- H -j- —: zynde wederom ne- *bc a a (gatif. Derhalven kan dit geval niet op deeze wyze worden opgeloft, als men de Wortelen in eene Aritbmetifcbe Progresfie begeert. 2. Om drie getallen te vinden, zodanig, dat als men' ieder dérzelver byzonder van baar vermenigvuldigde aftrekt, de overblyffelen drie rationaale Quadraaten 23172, mier Wortelen in eene Arithmetifche Progresfie ftaan. o , , „ aax + b Stel voor de getallen bx, c, —\~c~~ > zo is haar vermenigvuldigde aaxx — bx, en de Quadraaten, benevens hunne Wortels , volgens het Scbolium dei 1. Aanmerking. Quadraaten. Wortels. aax—b 3 Icc a aa xx + bx 7 ax-l bc a a 4&c aa xx ax , b b cc a aaxx — bx -— c ax + — — -— + ■ 1 a a qbc De uiterften vergaard, en de fom met het tweevouwd de* middelfte vergeleeken, komt 2 b ihcc aax-i ■ — aax - a a ab abcc (N 3) Hier  198 Oplpjfmgen der konjlige Vraagen Hier uit blykt, dat de Wortels der Quadraaten in eene Aritbmetifcbe Progresfie zullen zyn, wanneer c=r is, derhalven is door de voorgaande Oplosfing van dit b bcc a geval, alwaar genomen is d = — — ~^~*r Tj^enge» dd+c a ' vonden g — j,___aad; ^ = ^ > en by gevolg 16 4- aa Zb.ibb—'aa Neemende a~j, b~$; zo is x — 4|', en de getallen aax 4- b bx = *t', c = i, en -frc ■==1nr. 3. O1» drie getallen te vinden , zodanig, dat als mefi baar vermenigvuldigde van ieder getal byzonder aftrekt, de overblyffelen drie rationaale Quadraaten zyn, wier Wortelen in eene Arithmetifche Progresfie ftaan. b — aax Stel voor de getallen bx, c, —yc— , zo is haar ver» menigvuldigde bx — aaxx, en de Qiiadraaten, benevens hunne Wortels, volgens het Scbolium der I. Aanmerking* Quadraaten. Wortelf. bcc b a aaxx — bx+c a* + — T + ïbc aaxx ax b — aax 5cc b a aaxx — bx + -j— + — — -1 De uiterften vergaard, en de fom met het dubbeld der middelfte vergeleeken, komt zax*  van LUDOLF van KEULEN. 199 zax + — a ==2ax abcc 2 S , - = 0: dus cc—X} 01 c — i, a a Nu is volgens de voorgaande Oplosfing van dit gea bcc b , „ val genomen d=-j^+~ — , en gevonden 3!=C™?; maar in dit geval c— 1 zynde, zo is 2 aa o a i6bb — aa d— —r, en x = ^* 4Ö 8 6.2/36+aa Neemende a=2, S=4> 20 is x — C\u=) »l» en 5 — aa 3; de getallen bx =5, c = 1, en — H • LXII. VRAAG. Vind eene Aritbmetifcbe Progresfie van drie Termen , zodanig, dat als men van ieder Term 4| aftrekt, de overblyffelen drie rationaale Quadraaten zyn. OPLOSSING. Stel voor de Progresfie xx~2xy-{-yy + a'l xx-r^j-rjj-r ren als men a aftrekt Zyn x* + 6 wy+yy + aJ de Quadraaten xx — 2xy + yy xx+axy+yy xx + óxy+yy; dit laatfte moet nog tot een ration. Quadraat gemaakt worden. (N 4) Stel  Soo Oploflingen der konfiige Vraagen Stel den Wortel = x4-?— ■ 2 ' zo is **+6*;y + Ty — xx + ?-^- -L. « «? . , ZXpy ppyy 6xy + yy = —^4. J ? ^ 22 6xyxpq-r=zppy — qqy Neem x pp-qq, zo is y=6qq- 2pq. DeezR Waarden voor * en y geplaatfl; dan is de Progresfie ' •P4 +4 P32 — 10 ƒ>ƒ> ?g — 28 />a3+ 49 ?4+ a i P*~AP3q+HPPqq — 2o^3+a524+<ïj p*-i2p'q + 38ppqq — ia/>a3-f 044-fl. Neemende p = o, $ = 1; dan is de Progresfie 49+a 2J-M, .i + aj en dewyl 0=4*- is, zo zyn de getallen 53f, 295, en 5f; enz. AANMERKING. Dit Voorftel behelft niets anders, dan Om drie rationaale Quadraaten te vinden, die sehie verfcbillen hebben, en dus eene Arithmetifche Progresfie tiitmaaken. ° . Want het gegeeven getal (a), dat hier begeerd wordt om af te trekken , is 'geheel onafhangkelyk van het \00rltel, en kan derhalven drie verfchillende gevallen uitleeveren, als: s 4 .1. Om  van LUDOLF van KEULEN. sor i. Om drie getallen te vinden, die in eene Aritbmetifcbe Progresfie ftaan , zodanig, dat als men van ieder Term byzonder 4J aftrekt, de overblyffelen rationaale Qua'draatén zyn. Zynde deeze LXII. Vraag. 1. Om drie getallen te vinden, die in eene Arithroeti» fche Progresfia ftaan , zodanig, dat als men ieder Term van 4j- aftrekt , de overblyffelen rationaale Quadraaten zyn. 3. Om drie getallen te vinden, die in eene Arithmetifche Progresfie ftaan, zodanig , dat als men by ieder Term 4} vergaart , de uitkomjten rationaale Quadraaten zyn. OPLOSSING. 1. Om de getallen van Ludolf te vinden, zo heeft PP — ??• J men x = — • 6qq-zpq Neemende p — i, 5 = 3, en y = T*;; zo is xz=zi', Dus x — y=-tl de Qjiadr. zyn , , fff x+y = U hier by 4} , 4} , 4' vergaard. * + ~=Vo Derh. , 6,l~ , hH de ge- H 1 (tallen. 2. De zelfde Qjiadr. zyn T« , , deeze afge¬ trokken van 41 , 4^ , 4' Dan zyn de getallen 3^* , aj'l , r||i. 3. Et als men het gegeeven getal 4{ van de gevondene Qnadraaten moet aftrekken, kan dit op de zelfde wyze Kefchieden. Want niet tegenftaande de gevondene Qjiadraaten minder zyn dan 4{, kan men dezelve veruoogen , door haar met een Quadraat te vermenigvuldigen , dan zullen deeze verhoogde Quadraaten aan den eifch voldoen. (N s) By  202 OphJJingen der hnflige Vraagen By voorbeeld De gev. Qjiadr. Tlf , f|? t fi> o een Quadr. lbo 5 |«5 » ïoo hier afgetrokken...4«- , 4» , 4| komt T|| , io|ll , aïfll de getallen. LXIII. VRAAG. Een rationaal Quadraat in vier deelen te deelen, zo? danig, dat, zo men tot ieder deel byzonder de eenheid vergaart, de uitkomften vier rationaale Cuben zyn. OPLOSSING. Stel voor de deelen sax+saaxx + aPx3-] wanneer dan by 7 —11 ax + 6aaxx — a?x3'I ieder 1 vergaard ,3 >wordt, zyn de uit- — lArü | komfien rationaale — 1 Ar c3 J Cuben. De fom is 5 + b3 + c3 —• 9 ax Ar 9 aa xx, het geen een ration. (Quadraat moet zyn. Stel den Wortel r=r 3 a*+d; Dan is j + b3 Ar c3 — 9ax Ar 9aaxx — gaaxx Ar 6adx 4- dd 6 adx + 9 ax t=z j -f 6* Ar c3 — dd 5A-b3A-c3-dd 6 ad -f- 9 a Nee.  van LUDOLF van KEULEN. 203 Neemende a~ 1, b — n, c —3, en d = 5, zo is x — jl, en de getallen ' " . 3 -f-3 0tf + n3*3 ~ 1 j4!?» 7 — 12 ax -f- 6 aa xx — üsjc3 — 3^* — i + b* . = 7 — i-fc» =26 zynde de fom 37 een rationaal „ ■ (Qiiadraat. LXIV. VRAAG. Zoek vier getallen, zodanig , dat zo men tot bet vermenigvuldigde derzelve, twee aan twee genomen, de éénheid vergaart, de uitkomften rationaale Quadraaten zyn. OPLOSSING. Stel voor de getallen K "\ ,1 2 | deeze twee aan twee vermenigvuldigd, > en by het pfodufl, de eenheid vergaard, 4*+ 4 | zo heeft men de zes volgende grootpa-f-6 J heden XX + *~l . _i_ a t l welke alle rationaale Quadraaten " ' I zyn, behalven gxx 13, Sht ox + i ^ waarom deeze roaar alleen tot 4JCX + i2.v+ 9i een rationaal Quadraat moet ge9.W + 24X+13 J maakt worden. 36 xx -j- 60 x + 25 J Stel den Wortel =333? — a; J Dan is 9x1 +24X-I-I3=r9ïx — 6ax+aa 6 ax+2$x — aa—13 aa — 13 . * 604-24 Nee-  204 OphJJingen der konjlige Vraagen Neemende az=5, zo is * — j ; derhalven de getallen • 6 x-+2 —2? l zynde het zelfde Antwoord, dat 4x-j-4 = 4jf by LüD0LF gevonden wordt. ' 9x + 6=z8 J ANDERS Stel voor de getallen * 1 4x-f 41 deeze twee aan twee te faamen verme0x4-6 f mSvuldlgd>en by het produel de eenheid v -r vergaard , zo heeft men de volgende zes i6x + 8j grootheden 4xx-f- 4x4- O 9xx+ 6x + il deeze alle zyn wederom ratio. i6xx4- 8x-f- i l Tak Quadraaten, behalven " , , ' > 64xx+o6x4-33, welke dus 36xx4- 6ox + aj l maar alleen tot een rationaal 64XX+ 06X+33 Quadraat moet gemaakt wor- 144XX+168X+49J den* Stel den Wortel = 8 x -f a, ' Dan is 64XX-f 96x4-33 = 64XX +i6ax+aa 96 x— \6axz=zaa— 33 • x__ aa— 33 96 — ióa Neemende 0==^ ; zo! is x=i • derhalven de ge* tallen ' 6  van LUDOLF van KEULEN. 205 ^"j"4- 41 ^ zynde het tweede Antwoord van gx + 6—7^ t Luijolf. l6x + 8 — ii\J COROLLARIUM. Hier uit volgt , dat wy de getallen, op de zelfde wyze, met een ontkennend Teken hadden kunnen Hellen , aldus: i.'Stellende voor de getallen x, x — a, qx — 4, $x — 6; deeze twee aan twee te faamen vermenigvuldigd, en tot het product de eenheid vergaard, zyn de uitkomften alle Quadraaten, behalven qxx — 2.\x-\- 13. Stel den Wortel =3» 00 a. Dan is qxx — ï> + 2ï; + i, 8^ + 16-0 + 1 \ deeze twee ' \ moeten Quadr. %vv\- 6u+iJzyn. verfchil sot + ioï» van dit verfchil zyn de deelbaare deelen 5*0, en «+2; wier halve fom is 3 v +1. Stel 8vv+i6v + l = 9,vv + 6v + i = 3V-i-i\ Vv irwi; dus v=. io,envv-\-zv» (nzz:i20. Derhalven 1, 3, 8, en 120 de getallen. ANDERS. Stel voor de getallen 2, zaa — 2a, 2aa + 2a, en axx+2x, neeze twee aan twee te faamen vermenigvuldigd, en tot het produtt de eenheid vergaard, zyn de uitkomften 4aa — 4a+ 1 4aa+4a+1 43cï + 4X+1 4a* — 4«a + l Aaa*  208 Oplojjingen der kovjlige Vraagen qaaxx — 4axx+4aax — 40x4-1 j deeze moeten } rat ion. Quadr. qaaxx + ^axx + 400x4-40x4-1 J zyn. Verfchil 8axx -4-Sax, waar van de Deelers zyn ^ax, en 2x4-2. En de halve fom der Deelers is nax+x + i. Dürh. 4aaxx+4axx+4aax-t4ax-t- i=4aaxx+4axx-t é C* 4 «4 xx+2x4-1 == llïx+x+l |1 4aax:^=xx4-2x x - . 4aa = a; + 2;dus x=4aa-2. Deeze waarde voor x geplaatfl, vindt men voor de ae* tallen 5 2, aaa — 2a, aaa + 2a, en 32a4 —240a+ 4. Neemende a — 2', dan zyn de getallen 2 , 4, 12 en 420. ' * II. AANMERKING. Niet tegenftaande deeze Ontbinding algemeen is " en altoos heele getallen voortbrengt, zo is dezelve nogthans zodanig gefchikt, dat men altoos en bepaaldelyk de' eenheid tot het vermenigvuldigde van twee en twee getallen moet vergaaren. Daarom zullen wy dit Voorftel nog eens oplofl'en , en een weinig algemeender ftellen. VOORSTEL. ' Om vier getallen te vinden, zodanig, dat als men by bet vermenigvuldigde van twee en twee , vervolgens genomen, een gegeeven Quadraat vergaart, de uit kom/ten rationaale Quadraaten zyn. Stel  Mtngel - tVerk. 2 Op Stel voor de getallen x 7 x + zy / c1eeze twee aan twee te faamen ver^menigvuldigd,en by leder product het 4 * •+■ 4 y | Quadraat yy vergaard , zo verSrygt 9X + 6y J men de volgende grootheden xx +■ 2 xy ■+■ yy~) 4.XX+ qxy-f- yy i deeze alle zyn Quadraaten, oxr4- 6xv4- tv Lbehalven 9** + 24*y + >**-r uj-;t j'j >■ waarom rièezt afzonderlyk tot 4xx-f I2xy-|- 9}7ieen Quadraat moet gemaakt 9 4- 24x^4-13 3131 wordtn. 36xa:-r-6oxy + 2j yyj ay Stel den Wortel = 3X-—~t _ . 6axy , ö«yy Dan is 9*ï + 24xy + I3yy =j>xx — — 4- -ry 6 axy aa yy wy+i3jy~ —y—+ -jp 24xy bb+ 13 yy bb=. — 6abxy-t-aayy 24 x66-f- isyift — — 6a6x4-aay aa —13 è6. y ' 24664- 6a6 Neemende y = 24664-6a6, zo is x — aa—1366, waar door men heeft * = au ...«,..♦— 13 66"I deeze twee aan twee « + 231= aa4-i2a6 + '3vuldigd , en daar 4X + 4y=4a*+a4a6 + 44W|bv telkens yy 9x4-6y=9aa4-36a64- 27 66j ver, gaar,-1. zullen' erration.Quadr. komen. (O) VOOR-  zio By voeg/el tot bet VOORBEELD. Om vier getallen te vinden , wélke twee aan twee te faamen vermenigvuldigd, en tot bet product telkens een gegeeven Quadraat (2304) vergaard , de uitkomften rationaale Quadraaten zyn. TVT ■ aa-ivbb.y Nu is x = neemende 2>—1, a=4, dus ar=,fy. Dewyl nu y=r48 gegeeven is, zo is a;=3, en de getallen zyn 3, 99, 204, en 315. ANDERS. Stel voor de getallen x "} ax + 4y I deeze twee aan twee te faamen ver» ^menigvuldigd, en by het produel een 9x + 6y i gegeeven Quadraat yy vergaard, hebi6x + 8yj ben wy de volgende grootheden 4xx+ 4xy+ yy} . qxx+ 6xy+ &e rationaale Quadraa- v J J \ ten zyn,behalven ói\xx+« i6rc+ %xy+ yy\ *96*y + 33yy, welk daar$6xx-r- 6oxy + 2$yy\fom afzonderlyk tot een 64XX+ 96xy + 33yy\ moe£ *eraaakt 344 xx +168 xy + 49 3>yj ay Stel den Wortel == 8 x — -j~ ; dan is iCaxy aayy 64**4.963cy + 33yy=64a;a;- & + oÖ*ys  Mengel. Werk. 9it \Caxy aayy 9ö*y+—r— = — 33 yy 9666x31 + i6abxyz=aayy— 3366yy y . 9666* + i6abxzzzzzaay— 33 bby x aa-y—Wbby 966Ö +16 ab Neemende y=96 66+iöa6 , zo is 11=03 — 3366 ; Waar door men heeft x = aa.., — 33 66~| deeze twee aan 4*+4y:= 400+ 6406 + 25266 I *weete faamen ,.+.<»= 9„a+ 96a>+v9bi>l^XL I6x + 8y = i6aa + i28a6 + 24o66J product yy=» ts9666 + iöa b vergaard, zullen 'er ration.Quadraaten komen. VOORBEELD. Om vier getallen te vinden, -welke twee aan twee te faamen vermenigvuldigd , en tot bet product telkens een gegeeven Quadraat (4096) vergaard zynde, de uitkomjlen rationaale Quadraaten zyn. aa — 33 6. y Nu 18 * = 9666+16365 nemendea=6, 6=i, zo is x=zly. Dewyl dan y = 64 gegeeven is, zo is sc = i j en de getallen zyn 1, 260, 393, en 528. CO 2) III. AAN-  2 ü Bfooegfel tot bet lil. AANMERKING. Tot hier toe hebben wy getoond, hoe dit Voorftel opgeloft kan worden, wanneer men by bet vermenigvuldigde der getallen, twee aan twee genomen, de eenheid of een gegeeven Quadraat vergaart, ten einde de uitkomften rationaale Quadraaten voortbrengen. Doch het zal kunfliger zyn, wanneer wy het vergaar-tal naar welgevallen verkiezen,en het Voorftel in alle deszelfs veranderingen neemen, waar door wy de drie volgende gevallen moeten befchouwen. 1. Om rier getallen te vinden, zodanig, dat als men dezelve twee aan twee te faamen vermenigvuldigt, en by ket_ product een gegeeven getal vergaart , de uithmïften rationaale Quadraaten zyn. 2. Om vier getallen te vinden, zodanig, dat als men dezelve twee aan twee te faamen vermenigvuldigt, en van bet product een gegeeven getal aftrekt, de overblyffelen rationaale Quadraaten zyn. 3. Om vier getallen te vinden , zodanig , dat als men dezelve twee aan twee te faamen vermenigvuldigt, en bet produét van een gegeeven getal aftrekt, de overblyfjelen rationaale Quadraaten zyn. LEMMA. Vooraf zullen wy drie getallen leeren vinden, zodanig, dat indien men by het vermenigvuldigde derzelve, twee aan twee genomen, een gegeeven getal vergaart, de uitkomften rationaale Quadraaten zyn. r. 1 , ,, x*yy — fl xx zz — a Stel voor de getallen x, —£|—, en ■—- ; deeze twee aan twee te faamen vermenigvuldigt, en by het produét een gegeeven getal CO vergaard , zo verkrygt men xx yy  Mengel-V/erh 213 xx yy xx zz x*yy zz — xx yy a —xxzz a 4- aa + axx —: ti — -—1 het geen een (ration. Quadr. (moet zy n. Stel den Wortel uit den Teller ==xxyz — a, ' Dan is x*yyzz— xxyya—xxzza 4- aa + axxz=x*yyzz-iaxxyz-\-a» — xxyy a —xxzz a +axx = — aaxxyz — xx yy — xx zz -{- xx = — 2 xx y z of xx jry-fxxzz—xx — zxxyz XX • yy + zz — 1 = 2 y z yy — 2yz + zz = 1 V ■ y — z=.-+ 1, dus z=y- i;en xxyy — a xxyy—zxxy+xx—a de drie getallen ar, » . COROLLARJUM. Wanneer wy den Wortel negatif neemen , dan is z = 31 +1; en dus zyn de getallen *, - , xxyy+ixxy + xx — a . _lü ; waar uit volgt, dat wy naar deeze Helling nu gemakkelyk vier getallen kunnen vinden, zodanig, dat het vermenigvuldigde van twee en twee derzelven, tot een gegeeven getal vergaard, vyf der uitkomften rationaale Quadraaten zullen zyn , :zo dat 'er ilegts een eenige grootheid tot een rationaal Quadraat zal moeten gemaakt worden. Wy , (O 3) zul-  si 4 By voeg/el tot kt zullen dit gezegde door het volgende nader ophel* deren, I. VOORSTEL. Om vier getallen te vinden, zodanig, dat als men dezelve twee aan twee te faamen vermenigvuldigt, en tot bet produét een gegeeven getal vergaart , de uitkomjlen zes rationaale Quadraaten zyn. _ , , "7 xx yy — a xxyy-zxxy+xx-q Stel voor de getallen x, — , -*—-~ , %%yy + ?» En de begeerde getallen *JJ}*, «5$ 4ff|. II. VOORSTEL. Owi uw getallen te vinden , zodanig . dat ah men deZelve twee aan twee te faamen vermenigvuldigt, e/2 dj« der producten een gegeeven getal aj'trekt, dg overblyfJelen rationaale Quudiaaten zyn. xxyy+a xxyy—oxxyA-xx+a Stel voor de getallen *, —-—, ^— s x* 37 -4- 2 A-xy + xx 4- a Deeze twee aan twee te faamen vermenigvuldigd, en van elk der Producten het gegeeven getal (a) afgetrokken , zullen wy hebben xx yy = xy\x xxyy — 2xxy + xx =xy — x\* sxyy+2xxy + xx , . . ^ — xy-\-x\% CO 5)  ai? By weg/el tot het s4y4 —2 x*y* 4-x4yy+2 xxyy a —2 xx ya + aa xx * r xxyy—xxy-j-a| \ x j «4y* + 2 s4y3-f x*yy + 2xxyya + zxxya + aa _ xx ' / xxyy-fxxy+al* C x 1 x4y4 — 2 a;4yy + 2 xxyya+x*4- xxa + aa — ; dit moet nog- tot een rationaal Quadraat gemaakt worden. Stel den Wortel =z xx yy + a; Dan is x*y*-~ax*yy+'2xxyya-{-x*+xxa-\-aa=x*y'l+2xxyya+aa — 2 x4yy -f- x4 + xx a o xx ■■ ■ — 2 xx yy + xx + a o 2 xx yy — xx . a a xxzrr: • 2yy — 1 I. COROLLARIUM. Indien nu wederom a als een ratiomal Quadraat ger geeven was, moeft alleen nog 2 yy — 1 iut een Quadraat gemaakt worden. Neem y = 6+i; dan is 2 yy—1 = 266+4&4-1, ftel = bbcc — 2k4-t een Quadn  Mengel-Werk. Sip 2 bb 4- 4 W cc — ft b c b 2 b + 4 6 CC 2 c 2C-+-4 i — . CC 2 Laat gegeeven zyn 0=4 een Quadraat, en neemen. de c — a; Dan is 6=4, y—5, ircarf; en de getallen f» X*S J75i welke aan den eifch zullen voldoen. II. COROLLARIUM. Maar indien wy bepaaldelyk a als een gegeeven getal willen aanmerken, zullen wy wederom genoodzaakt zyn eenen anderen weg in te liaan. Hierom de gevondene grootheid x*y*— 2ic4yy-f-2xxyya+ x* + xxa+aa, welke een ration. Quadraat moet zyn,in orde gefchiktj dan is dezelve y4 — 2 yy -f-1. ac4+2 ayy + «.** + aa. Stel den Wortel = yy — 1. xx — b; zo is het Quadraat y* — 2 yy +1. #4—2 byy — 2 b. xx + bb; dit aan de gevondene grootheid gelyk ftellende , is het verfchil 2ayy + a + 2.byy — ib. xx+aa — bb = o 2ayy + fl + 2*yy— 2b xx = bb — ai bb — aa xx = ■—■—r -het geen een 2flyy+a+2 byy -2b rationaal Quadraat moet zyn. Neem  220 Byvoegfel tot het Neem bzzzzzpp+qq ar=pp--qq het geen altoos een gegeeven getal kan zyn, en die voor de waarden van a en b genomen, zo is Appqq xx — '.: l- , dit moet dan nog jppyy—pp\+3ii maar alleen een rationaal Quadraat zyn; de Teller is reeds een Quadraat; dus olyft maar alleen overig, om den Noemer als zodanig te bepaalen. Stel den Wortel =zpy — r; Dan is 4 pp yy—pp + sqq = 4ppyy— 4/>ry-f-rr 4pry = rr+pp + 2qq rr+pp + sqq 4pr Nu is alles rationaal; doch men moet indagtig zyn, dat pp — qq=za een gegeeven getal moet zyn. Hierom p—c+d, en q—c — d neemende, zo is pp = cc + 2 cd + dd qq — cc — icd + dd . afget. a pp — qqz=z4cdz=za, derhalven c — —; 4d enby gevolgp = ^+d, q=~—d. Hier mede is dan alles rationaal en rigtig; en dus kunnen wy de begeerde getallen bekomen. . Laat wederom gegeeven zyn a — 7. Neem dizri^o isp—±i r=2 .... q=z$, derh. bz=.6-{ ; y=-  Mengel-Werk. 22 r /PP+3iq + rr x u \ 2py — r J 7» En dan zyn de begeerde getallen *| , f£*| , |«|, III. VOORSTEL. O/k vier getallen te vinden, zodanig, dat ah men dezelve twee aan twee te faamen vermenigvuldigt, en elk der producten van een gegeeven getal aftrekt, de overblyffelen zes rationaale Quadraaten zyn. Dit Voorftel heb ik niet kunnen oplosfen, door dat ik nergens eenige opening zag, om door de eene of andere weg er toe te komen; zelfs niet om drie zulke getallen te vinden. Ik zal hier nogthans by voegen, welke weg ik tot dat einde ben ingeilagen, en hoe ve^ de bewerking gebragt is. Om drie zodanige getallen te vinden , zo laat voor dezelve gefield worden ax, 1~^y? dgeze twee aan twee te faamen vermenigvuldigd, en elk der produc~ten van het gegeeven getal (a) afgetrokken, dan zyn de overblyffelen aayy aa zz axx+qyy + azz— i — aa yyzz xx • ■ dit laatfle moet een rationaal Quadraat zyn; doch voor hetzelve kan in geenerlei wyze een Wortel gefield worden; derhalven neem  222 Byvoegfel tot het neem ayy 4-azz— aa yy zzzzzro ayy + azz rzzz aayyzz a - • yy+zzzz=.ayyzz a yy zz — yy ~' - zz zz ^ azz— i Derhalven moet azz— i een Quadraat zyn; en dan moet sxx—i, de overige Termen der waarde, mede een Quadraat zyn. Nu is het zeker, dat axx+i, of azz + i, naar de wyze die Fermat opgeeft, altoos tot een Quadraat kan gemaakt worden ; doch niet als het teken — is. Daar zyn in der daad maar eenige weinige gevallen, in welke axx — i , of azz — i, rationaal kan gemaakt worden. Zie hier van breeder de Matbematifche Liefbebbery IV. Deel p. 433. op het laatfte van het 383fte Voorftel, alwaar onder de eerfte honderd getallen, die voor a kunnen genomen worden , 20 getallen zyn , welke toelaaten , om deeze tot een rationaal Quadraat te hebben. Dat is, a zz — 1 kan zyn zzz — 1 = 1, derhalv. a = a jzz — 1 = ,♦... 4 ..... 0 = 5 iozz — 1= 9 a=io i3zz — 1 = .... 324 a = 13 17ZZ — i = . . . . 16 a — 17 26ZZ0  Mengel- Werk. 2i j 2Özz —— i = . . . . 25, derhalv. 4 = 26 20zz — 1 zzzz . . . 4900 a — 29 37ZZ — 1 z= .... 36 a = 37 41 zz — 1 = , , . 1024 a = 41 jozz — 1 — .... 49 a — 50 5322 — 1 = . . 33124 a = 53 58zz — 1 r= . . . 9801 a = 58 61 zz — 1 = 883IJ9524 a = 61 65ZZ — 1 = 64 a = 65 73ZZ — 1 =.,.1140624 a — 73 74ZZ — 1 =......1849 a = 74 82zz — 1 = 81 a = 82 85 zz — 1 = ...142884 a = 85 89 zz — 1 = ,..250000 a = 89 97zx — 1 = .31404816 a r= 97» COROLLARIUM. Hier uit volgt dan, dat wy één van deeze 20 getallen kunnen verkiezen voor het gegeeven getal, van welk de producten, twee aan twee genomen, zouden kunnen afgetrokken worden, zodanig dat 'er drie rationaale Quadraaten zouden overblyven, en dan is het nog een konftig Voorftel; waarom wy hetzelve hier zullen opgeeven, en eene volkomene Oplosfing daar by doen. Voorbeeld. Vind drie getallen zodanig, dat wanneer men bet produel: van twee vervolgens van 41 aftrekt, de overblyffelen rationaale Quadraaten zy». Stel  224 Byióegfel tot het i — ayy T —a zz Stel voor de getallen ax, —-— , —x~^' Deeze twee aan twee te faamen vermenigvuldigd, en de producten van het gegeeven getal a afgetrokken, dan zyn de overblyffelen aayy aa zz a xx 4- ayy 4- azz — i— aa yy zz , • het geen een ratio- x x (naai Quadraat moet (zyn. Neem hier in ayy + azz — aayy zz = o yy 4- zz — a yy zz : o zz Derhalven yyzz±z '. JJ azz—i Nu moet axx—i ook nog een rationaal Quadraat zyn; en neemende dan a-=z 4!, zo blykt tiat 412z— 1 7 \ rationaale Quadraaten moeten zyn. en 41 xx — IJ Om deeze zodanig te bepaalen, zullen wy ons van den regel van Fermat beaienen. Stel 41 zz — i—bz + b^zzzz^zz + iabz+bb i2bz + bbz= 5 zz— 1 Neem z—ib+c,kt. 2obb4-20bc+$cc—iz=2sbb+i2bc , ■ —— Li' 8 bc 4- 5 cc zzzrzzz 5 bb 4- 1 h—or+d3 kt. 2CCc+2ocd+5dd-\-i=2icc4-8cd i2cd + sdd: cc — 1 c~iid+e^t. \44dd-\-24de+ee—\—na.dd4-i2de 12 de 4-ee = 5 dd 4-1 Nee*  MéngelWerh 225 jNeemende hierin d=o, zo is e —r; vervolgens b = 2, en z=T5. Derhalven «=25, en 4izz—1 = 1024 een rationaal Quadraat, Wanneer wy verder met de gevondene Vergelyking i2de+ee = 5dd+i op de zelfde wyze voortgaan tot dat men weder tot de eerfte Vergelyking komtfzal men de tweede waarde verkrygen. Neem fae+^kt.20ee+20ef+sff+i^2See+ 12e/ Sef+Sff===5èe — 1 e—*f+g , kt. 2ü/-f2q^+sgg- l—21ff+8fg 1*fg+5gg=ff+ï ^* /=r2g+/;, kM44gg4.24g/;-r.M4-i=:i49gg4.i2^ l2g/( + /2/; = ygg—-ï Deeze is de zelfde Vergelyking, als die wy in het eerft ontmoet hebben ; derhalven, wanneer in deeJe voor g en h zulke getallen genomen worden, als voor zen gevonden zyn, zullen hiermede de beide leden der Vergelyking aan malkanderen gelyk zyn. Nu was boven gevonden, b — a, z = 5i daarom „gemende g^~ 5, en h — 2, zo is daar mede deeze laatfte Ver gelyking gelyk. Dienvolgens vindt men /=62,e~i2o" d = 32o, c=3969, 6 = 8258, zr=2o48y.' ' Als men een voldoende getal voor z gevonden heefr 20 kan men, volgens de gemeene wyze, ook zo veel antwoorden vinden, als men begeert. Want,ftellende z=zS+p3 zo is zz = 25+iop+pp. Derhalven CQuadr. 4m-i = 10244-410^4.4^ = 1024^64^4-^ een ^j£64.pq + z:=S; 20 is ï —tI» e« ax = 205 ~j 1 — a yy — 1 = ■ I de getallen, waar van de twee x 1024.5}. lMtften „£gatz/ Zyn. 1 —azz — 1024 J » 5 J S C H O L I U M. Het Voorftel zal gemakkelyk op te losfen zyn, indien voor het gegeeven getal een Quadraat (aa) gent., men wordt; want, wy hebben dan niet anders te bepaalen, als dat aazz-i, en aaxx -i ratzon. Quadraa, ten moeten zyn. Of, ftellende voor de getallen a^—yy oa—zz £n deeze mes aan tweg tg faa-  Mengel-Werk. 227 faamen vermenigvuldigd, en de producten van aa afge* trokken zynde, dan zyn de overblyffelen #.q • jM ansrfisi ,,h ,'i jsb ' "o-Maft 5?"sb nr? :wfj«bïrtt 3b :• m z's rwmoi nsfcnosnïint-*. aass-faayy+aazz—yygz—a4 aaxx—zabx+bb 2a&a;r=aa — yy x aa— zz + bb aa — yy x aa — zz + bb zab Laat gegeeven zyn aa = 9; dan is 0 = 3. Neemende y = 1 ,z==2,b = 4, zois* = J-. Der* halven zyn de getallen |, en *f. IV, AANMERKING, Ik zie geen mogelykheid om vier zodanige getallen te vinden, welker product afgetrokken zynde van een gegeeven getal, en zelfs van een gegeeven Quadraat, dat de overblyffelen rationaale Quadraaten zyn; waarom ons dit Voorftel ontvalt om te ontbinden; doch om dit gebrek eenigzins te vergoeden, zullen wy hier nog eenige kunftige Voorftelien byvoegen, welke door de reeds gevondene eigenfchappen gemakkelyk kunnen opgeloft worden, en zonder welke eigenfchappen men dezelve bezwaarlyk zou kunnen beantwoorden. li S C H O L I U M. 1. Vind vier getallen, zodanig dat baar fom by bet vermenigvuldigde van twee en twee , vervolgens genomen ■ vergaard zynde, de uitkomjlen zes rationaale Quadraaten zyn. cp2) Stel  228 Byvoegfel tot het Stel voor de getallen , volgens de I. Aanmerking, ƒ>> 3P> 3p, en nop, indien dan de fom van deeze getallen pp was , zouden de Conditiën van het Voorftel voldaan zyn; dat is, dat 'er telkens rationaale Oa«draaien zouden komen, als men de producten van deeze getallen, twee aan twee genomen, by de fom pp vergaart. Derhalven moet deeze gefielde fom pp gelyk wee zen aan de eigenlyke fom der getallen. Dit is pp —p; dus p— 132; en de begeerde getallen 132,396, 1056, en 15840; enz. 2. Vind vier getallen zodanig , dat wanneer men bet vermenigvuldigde van de drie kleinften , tot de producten van twee en twee getallen,vervolgens genomen, vergaart, de uitkomjlen rationaale Quadraaten zyn. Stel voor de getallen p, 3p, 8p, en 120/», en laat haar vermenigvuldigde pp zyn. Wanneer men dan dit product tot de producten der getallen, twee aan twee genomen vergaart, zullen 'er telkens rationaale Quadraaten komen. Derhalven moet maar alleen het aangenomen product pp gelyk zyn aan het eigenlyk product van de drie kleinfte getallen. Derhalven pp = 2/[p\ 24^ = 1, of />=-=£; en dus de getallen en Hh COROLLARIUM. Op de zelfde wyze kan ook de Oplosfing ingericht worden, wanneer de fom der getallen, of het vermenigvuldigde van drie derzelven, van de producten van twee en twee vervolgens moet afgetrokken worden, zo dat 'er, in die beide gevallen, telkens rationaale Quadraaten voortkomen. Men moet dan van de getallen, in de III. Aanmerking gevonden, gebruik maaken. I. Voor»  Mengel- Werk. 22 9 I. Voorbeeld. Om vier getallen te vinden, zodanig dat wanneer men baar fom van bunne producten, twee aan twee genomen , aftrekt, de overblyffelen rationaale Quadraaten zyn. Stel voorde getallen ±p, -**-p, l\°p, en v/p. Indien nu de fom van deeze getallen \pp was, zou het product van twee derzelven, agtervolgens genomen , en van pp afgetrokken zynde, telkens rationaale Quadraaten voortbrengen. Dus blyft nog maar alleen overig, dat deeze aangenomene fom qpp gelyk zy aan de eigenlyke fom der getallen. Daarom *\°p \pp z$p =5= 450; dus p=z »f*j en de begeerde getallen 112, '2112. II. Voorbeeld. Om vier getallen te vinden , zodanig , dat indien men bet produel: van de drie eerften , van de producten derzelven, twee aan twee genomen, aftrekt, de overblyffelen rationaale Quadraaten zyn. Stel wederom voor de getallen f/>, p, lpp, en L77* p. Indien dan het vermenigvuldigde der drie eerfte getallen 4pp was, zou dit product , van de producten, twee aan twee genomen, afgetrokken zynde, rationaale Quadraaten geeven. Dus moet maar alleen' dit aangenomen product pp gelyk zyn aan het eigenlyke product. Derhalven 4pp — *p x H'P x l\*pi dat is 4# = ,IS,fï» of p=zTW; en de getallen ,f«„ 5ï?f, fff|i ||f|; enz. (P 3) V. AAN-  #3° Byxoegfel tot het V. AANMERKING. Dewyl wy in het ontbinden van dit opgegeeven Voorftel bevonden hebben, dat van de vier begeerde getallen altoos drie zodanig kunnen gefteld worden, dat,ze aan de Conditiën van het Voorftel voldoen, en geene verdere bepaaling vereisfchen , zo zien wy klaar, dat deeze getallen op nieuw nog eene andere Conditie kunnen ondergaan, naamelyk: dat dezelve in eene Aritbmetifcbe Progresfie zyn. Dier van zullen wy fpreeken in dit II. S C H O L I U M. Als wy de drie begeerde getallen in eene Aritbmetü fcbe Progresfie ftellen , kunnen wy neemen 1. die van Ludolf, x I x I x x + ay '4* ~+ 4y J qx S6y. 4W + 43J j 9a: T±I <5y j i6x T± 8y. Deeze twee aan twee te faamen vermenigvuldigd, en yy daar by vergaard, komen telkens rationaale Quadraaten; en om dat daarenboven de getallen in eene Aritbmetifcbe Progresfie moeten zyn, zo is volgens de ifte Stelling geen Progresfie te bekomen, de afstelling ioxS6yz=z8xS 8y; dus ar = y, en (deProg. y,8y,iyy. de ^Stelling ïjxr+Sy = 8*"i; izy; dus a;=:4y,en (de Prog. 4y, 30y,56y. 2. Kunnen wy , volgens de III. Aanmerking, ook deeze getallen neemen, xxyy-a xxyy+zxxy-\-xx—a t op het vergaaren *, —-— , . Dee-  Mengel-Werk. 231 Deeze getallen zyn dan van zodanige eigenfchap, dat zo men dezelve twee aan twee te faamen vermenigvuldigt, en by elk der producten een gegeeven getal a vergaart, de uitkomften rationaale Quadraaten zyn; en om dat de getallen in eene Aritbmetijcbe Progresfie moeten ftaan, daarom . xxyy+zxxy + xx — a axxyy — aa x + — zz; ■■ * x xx+xxyy 4-2 xxy -+-xx—a =. 2 xxyy — 2 a xxyy — axxy — 2xx = a Neemende xzzzi, y = 3; zo is a==i; en de getallen zyn 1, 8, 15. tr Op het aftrekken, ftel xxyy + a xxyy+zxxy+xx+a x, - , ~ • Dan hebben deeze getallen de begeerde eigenfchap; dus moeten dezelve ook tot eene Aritbmetifcbe Progresfie gebragt worden. Derhalven xxyy + 2 xxy+xx-4-a zxxyy + za x+— x = x~ xx+xxyy + 2 xxy 4- xx+a = 2 xxyy + 20 2 xxy + 2 xx — xx yy = a. Neemende x z= 2, y — 1; zo is a —12; en de getallen zyn 2, 8, 14; welke getallen in eene Aritbmetifcbe Progresfie ftaan , en van zodanige natuur zyn, dat als men van de producten derzelven , twee aan twee genomen, 12 aftrekt, de overblyffelen rationaale Quadraaten zyn. (P 4) I. CO-  2sa By voeg/el tot bet I. COROLLARIUM. Hier door kunnen wy wederom andere kunftige Vraagen formeeren. 1. Om drie getallen in eene Arithmetifche Progresfie te vinden, zodanig, indien men de fom der getallen, tot bet vermenigvuldigde derzelven , twee aan twee genomen, vergaart , dat 'er telkens rationaale Quadraaten komen. Stellende voorde getallen y, 8y, i§y. Indien dan dérzelver fom yy was, zou deeze fom, tot de producten der getallen, twee aan twee. genomen, vergaard zynde , rationaale Quadraaten voortbrengen. Laat dus deeze aangenomene fom yy aan de eigenlyke fom de-r getallen gelyk gefield worden , zo is alles naar den eifcb. Derhalven yy = 24 y; dat is y=z2^, en de begeerde getallen 24, 102, 3C0. 2. Om drie getallen in eene Arithmetifche Progrejfie ie vinden , zodanig , indien men de fom derzelven van hunne producten, twee aan twee genomen, aftrekt, de overblyffelen ration. Quadraaten zyn. Stellende voor de getallen 2y, 8y, en 14y. Indien dan dérzelver fom 12yy was , zou deeze fom, van de producten der getallen , twee aan twee genomen, afgetiokken zynde, rationaale Quadraaten voortbrengen. Laat dus deeze aangenomens fom i2yy, gelyk gefield worden aan de eigenlyke fom , zo is alles naar den eifch gcfchikt. Derhalven ayy:=2 24y,dus y = i2; en de begeerde getallen 4, (16,28; enz. 3. Om drie getallen in eene Arithmetifche Progresfie te vinden, zodanig, indien men het produét derzelven tot bunne producten , twee aan twee genomen, vergaart , daf 'er telkens rationaale Quadraaten kamen. Stel-  Mengel-Weri. 133 Stellende voor de getallen y, Sy, 15y. Indien dan het product dérzelver y y was, zou dit product, tot de producten der getallen, twee aan twee genomen, vergaard zynde, rationaale Quadraaten voortbrengen. Laat dus dit aangenomen product yy aan het eigenlyk product der getallen gelyk gefield worden, dan is yy = l203i3; of I20y = 1, en dus 3?=Tf5; derhalven zyn de begeerde getallen ï5ö,t|5.t||; enz. 4. Om drie getallen in eene Arithmetifche Progresfie te vinden, zodanig, indien men bet product derzelve, van hunne producten, twee aan twee genomen, aftrekt , de overblyffelen rationaale Quadraaten zyn. Stellende voorde getallen 2y, 8y, 14y. Indien dan het product van deeze getallen nyy was, zou dit product, van de producten der getallen, twee aan twee genomen , afgetrokken zynde, rationaale Quadraaten voortbrengen. Laat dus dit aangenomen product i2yy gelyk aan het eigenlyke produit der getallen gefield wórden, zo hebben wy 12 yy = 224 y3, dus y==?f; en de begeerde getallen s| y C It j II5 enz, II. COROLLARIUM. Wanneer wy de drie begeerde getallen van eenen rationaalen regthoékigen Driehoek ontkenen, kunnen wy wederom andere en tevens zeer konftige Vraagen formeeren; en dus wordt vereifcht, dat wy die vooraf zodanig (tellen , dat de Quadraaten van twee derzelven gelyk zyn aan het Quadraat van het derde getal, ten einde 'er de eigenfchap van eenen regthoékigen Driehoek in gevonden worde. Volgens de III. Aanmerking hebben wy,by ftelling, drie zulke getallen , welke twee aan twee te faamen vermenigvuldigd, en by de producten telkens a vergaard zynde, de uitkomften rationaale Quadraaten zyn. Waarom wy dezelven voor de zyden van eenen regthoékigen Driehoek zullen ftellen. * (P 5) "Naame-  234 Ryvoegfel tot lét , , xxyy — 2 xxy 4-xx— a Naamelykx, voor de regt- xx yy — fl hoekszyden , en voor de fchuinfche. Nu is, volgens de eigenfchap van een regthoékigen Driehoek , het Quadraat op de fchuinfche gelyk aan de fom der Quadraaten van de twee andere zyden. Hierom xy—■ de regthoekszyden. . | 2y — i J x. 2yy —2y+i ——— — de fchuinfche. ' 2y~— i Hier  Mengel-Werk. 235 Hier door hebben wy de proportie der zyden van den Driehoek gevonden. Want, neemende x zzzz 2 y — 1 , dan zyn de drie zyden, — y-t 1. 2y, 2y — 1, en 2yy—2y + i, Dienvolgens zal daar door a—45*—8y3 + 7yy—4y+ 1 zyn. 1. Dewyl nu voor de eene regthoekszyde — y+i.ay, dat is i — y. 2 y, en voor de andere 2 y — 1 gevonden is, zo blykt, dat aan den eenen kant y minder moet zyn dan 1, en aan den anderen kan 2y meer dan 1; daarenboven, data:=4y4— Sys-{-7yy — 4y+I is; derhalven y = i zynde, zal azro zyn, en y minder dan 1 zynde, zal x altoos negatif worden. 2. Hier uit is dan openbaar, dat dit Voorftel, naar deeze voorwaarde,niet op het vergaaren, en dus maar alleen op de aftrekking van een gegeeven getal van de producten , twee aan twee genomen , kan toe-gepaft worden; en dat wy, in dit geval, de zyden van deezen regthoékigen Driehoek nog wel met eene Conditie kunnen vermeerderen, naamelyk: dat dezelve daarenboven in eene Arithmetifche Progresfie zyn. Want, ftellende voor de zyden. __ 2 yy -f- 2 y I JJ * > de beide regthoekszyden. 2y— ij 2 yy — 2 y +1 de fchuinfche. Dewyl dan dezelve in eene Arithmetifche Progresfie moeten zyn, zo hebben wy 4y—2=r, of 4y = 3, en y = |. Deeze Waar. de in plaats van y gefield, zo zyn de zyden van den regthoekigan Driehoek |, £, {\ of in heele getallen 3> 4» 5. III. CO-  23 Byvoegfel tot btt III. COROLLARIUM. Hier uit kunnen wy nu wederom nieuwe Voorftelien faamenftellen, die, door de voorgevondene eigenfchappen, wel gemakkelyk te ontbinden, doch op haar zeiven m der daad konftig zyn. X. Om eenen regthoékigen Driehoek te vinden , wiens zyden rationaal zyn, en in eene Arithmetifche Progresfie ftaan, zodanig, dat als men de fom der zyden van hunne producten, twee aan twee genomen, af'trekt, de overblyfJelen rationaale Quadraaten zyn. Stellende voor de zyden van den Driehoek ïp.Ap, 5P* en neemende voor haar fom n pp, dan zal deeze fom van de producten der zyden , twee aan twee genomen, afgetrokken zynde , telkens rationaale Quadraaten voortbrengen; derhalven blyft nog overig, dat deeze aangenomene fom upp gelyk genomen worde, aan de eigenlyke fom der zyden ; dat is li pp 7.—= 12 p, dusprrrrfi. En de begeerde Driehoek \ *sr, «f. 2. Om eenen regthoékigen Driehoek te vinden, wiens zyden rationaal zyn, en in eene Arithmetifche Progresfie ftaan, zodanig, dat als men bet vermenigvuldigde der zyden van hunne produélen, twee aan twee genomen, aftrekt, de overblyffelen rationaale Quadraaten zyn. " Stel wederom voor de zyden van deezen regthoékigen Driehoek %p, dp, $p; en neem voor het vermenigvuldigde derzelven \\pp; dan zal dit product der zyden, afgetrokken van de producten derzelven, twee aan twee genomen , rationaale Quadraaten voortbrengen. Dus moet maar alleen dit aangenomen product upp gelyk zyn aan het eigenlyke product der zyden; dat is 6op3 = iipp, duspz=zn, en de zyden van den begeerden Driehoek zyn ff, |T; enz. LXV0  Mengel-Werk. 237 LXV. VRAAG. Deel een rationaal Quadraat in vier deekn, zodanig, dat zo men van tiet eerfte deel het tweede, derde , of vierde aftrekt, de overblyffelen telkens rationaale Quadraaten zyn. OPLOSSING. Stel voor de deelen * 1 . x—aal "idien dan het tweede, derde, of vier- hb> de van het eerfte deel afgetrokken wor- vu den, zullen de overblyffelen rationaale x — cc) Quadraaten zyn. Daar blyft derhalven nog overig, dat ook de fom der deelen 4 x — aa — bb — cc een rationaal Quadraat zy. Stel 4* — aa — bb — ccz=z.dd Dan is 4* : aa -f bb -f- cc 4- dd aa-i-bb-\-cc + dd X . : ! — 4 Neemende as=|, » = c=|, en i=s*J. zo is * —5T}> en de deelen * ==Jw» ' * — aa = 5 , x—bb=A'i , a; — cc =3r. het geheele getal is 18^4, of 'n=TY een rationaai Quadraat; zyude de zelfde getallen die Ludolf geeft. LXVI.  238 By voeg/el tot het LXVI. VRAAG. Zoek een Quadraat, dat men in vier deelen kan deelen, zodanig; dat als men het tweede van het eerfte, het derde van het tweede, en het vierde van het derde aftrekt, dat 'er telkens rationaale Quadraaten overblyven. OPLOSSING. Stel voor de deelen at ") indien men dan het tweede # — aa | van het eerfte, het derde „ „ > van het tweede, en het vier- x aa — bi? j de yan het derde aftrektj X — aa — bb — cc) zullen de overblyffelen rationaale Quadr. zyn. Derhalven blyft nog overig, dat de fom der deelen 4.x— %aa—— zbb — cc een rationaal Quadraat zy. Stel 4» -—300 — zbb—ccz=dd een Quadr. Dan is AXzzz^aa + zbb4.cc4-dd 4 _ 3aa + 2bb4-cc + dd x = 1 4 Neemende a~8l, b=2, c==a, drruif; zo is x =r po|. Dus zyn de deelen. x =90\ x — aa =18 x — aa —- bb . . . —14 x — aa — bb — cc =: 10 het geheele getal is 1324, of s%' = een rationaal Quadraat', zynde de zelfde getallen die Ludolf opgeeft. LXVII.  Mengel-Werk. 23 9 LXVII. VRAAG. Daar zyn vier getallen; het eerfte is 4Ï minder dan het tweede , en zo veel is mede het tweede minder dan het derde , ook doet het vierde zó veel meer dan het derde, gelyk mede haar fom een rationaal j^tiadraat. Welke zyn die getallen V OPLOSSING. Stel voor de getallen x x+ 4' x-{- 9 x + 13I , Dan is haar fom 434-2? dat een rationaal QuaQdraat moet zyn. Stel den Wortel =zd, zo hebben wy 4x+2yzz=zdd 4*——dd — 27 4 dd—27 Neemende d = 6, zo is x—ü\; en de getallen zyn af, 61, ii',?i5j; zynde de zelfde getallen welke Ludolf geeft, waar van de fom 36 een rationaal Quadraat is. LX VIII. VRAAG. Zoek vier getallen van zodanige eigenfchap, als men haar fom met het eerfte vermenigvuldigt , het product een rationaale Cubic zy, met het tweede een rationaal Quadraat, met het derde een2Vonfó,en met het vierde een Trigonaal - getal. O P-  24° Byooegfel tot het OPLOSSING. Stel voor de getallen X hb Indien dan de fom der getallen x waa* re, zou ieder getal, met deeze fom verV. menigvuldigd zynde, de begeerdeConcc + c J ditien voldoen. X dd + d ix Derhalven blyft dan maar alleen overig, dat deeze aangenomen fom gelyk zy aan de eigenlyke fom der getallen. . o' bb cc + c dd+d Dat is — + — -\ j — ==— x x r x ^ x ' ax —x ————— ——— ■ X dd+d o}+bb + cc + c4. — = xx; dit moetnn (een rationaal Quadraat zyn. Stel den Wortel z=b+e; dd+d Dan is a* +bb + cc + c + —-—=bb+2be + ee W Abe = 2a' + 2cc + nc + dd + d — nee j 2at+2cc + 2c + dd + d-2ee 4* ~* Neemende a~2, c — 3, d=9, ene=j;Zois 6 = 4; vervolgens x=zg; en de begeerde getallen |, J>> lï> 5i zynde de zelfde getallen die Ludolf geeft. LXIX.  Mengel-JVerh 24j LXIX. VRAAG. Ik heb gevonden vier getallen, zodanig, dat als men haar fom cubeert, en van deezen Cubic ieder getal byzonder aftrekt, de overblyffelen rationaale Cuben zyn. Ludolf voegt hier nog by, de getallen zyn ^£§*, ïH*I? , jVdnU - en yfliffli , haar fom is ,5f ; de Proef is ligt , en de weg om de getallen te vinden konftig. AANMERKING. Dit Voorftel hebben wy algemeen ontbonden, by het II. Scbolium van het LVII. Voorftel deezer konftige Vraagen; daar wy niet alleen vier, maar ook vyf zodanige getallen gevonden hebben, welke aan de voor8 gefielde conditiën voldoen ; weshalven hetzelve hier voor op pag. i6j kan nagezien worden, LXX. VRAAG. Wat zyn het Voor vyf getallen, van zodanige natuur , dat zo men haar fom quadrateert, en vervolgens één der getallen by dit Quadraat vergaart, of van hetzelve aftrekt, de fommen en overblyffelen telkens rationaale Quadraaten zyn. I. LEMMA. i. Indien men twee rationaale Quadraaten naar welgevallen neemt, zo zal het dubbelde produel dérzelver vergaard by de fom der Quadraaten van deeze getallen, of daar van afgetrokken zynde, telkens rationaale Quadraaten voortbrengen. ^ Bevoyt* Laat x en y twee rationaale getallen zyn, zo is de fom van haare Quadraaten . . . . xx + yy het dubbeld product derzelven is . . 2 xy CQ) ' dee«  242 'Bynoegfel tot het deeze vergaard zo heeft men xx4-zxy +yy ] zynde bei- ide ration. en afgetrokken zyndejkomt'erxff-^^ry J Quadr. Dat te benxsyzen was. OPLOSSING. 2. Stellende nu voor de fom der begeerde getallen Vxx + yy s y zo is . . . xx +yy=ss xx = jj — yy het geen een rationaal Qua(draat moet zyn. Stelden Wortel ==j — — , ©f^-—j; q q * . ipsy ppyy Dan is ss-yy — ss — + — ppyy zpsy qq ~~ q PPyy + qqyyr=zpqsy y . ppy + qqy = *pq* 2111J PP + qq Neemende nu p en q geduurig anders en anders, zo zullen x en y ook geduurig anders en anders zyn, zo dat nogthans xx-jryyz=ss het Qiiadraat van dérzelver fom onveranderd zal blyven, en dus zal nxy mede anders en anders komen. Nee-  Mengel fVtrh 243 Neemende q =71 ,p = 3, zo is y=T| r, en X =r TJ ; r. P = 5 • • . yrr^j....* — ƒ> = 7 . . . yrsiji*. f = 8 . . . y = iix....af = |-'j. p=i8 . . . ya£=Ti*|^..a?=f^x, Neemende nu de fom der getallen, of j—325; zo is y=zi95, en X —360 y = 125 *..*.*=: 300 y— 01 xzzzzyiz y— 80 x—315 36 *=323 Hier door is xx + yy altoos even veel, en bepaal* delyk=xj; zynde in dit geval = 105625, om dat f = 325 genomen is. Het dubbelde product, of 2 ar y, zal nu geduurig veranderen, en hetzelve zal agtervolgens zyn, 101400 75000, 567S4 , 50400, en 23256; deeze getallen by a:*+yy= 105625 vergaard, en ook daar van afgetrokken zynde, zullen, volgens bet Lemma, altoosrationaa* le Quadraaten voortbrengen, 3. Stellende nu voor de begeerde getallen 101400 zz") wanneer dan de fom deezer getallen 75000 zzl 3252 , of wel dérzelver Quadraat niïvRy, 77' J°5625zz waare, zouden deeze getal574 >len , ieder byzonder by 105625ZZ ver50400 zzl gaard, of daar van afgetrokken zyn23256 zz! de, rationaale Quadraaten voortbrengen. Derhalven blyft maar alleen rtog overig; dat deeze aangenomen fom der getallen 325 z gelyk zy aan de eigentlyke fom. CQ 2) Dat  344 Byvoegfel tot het Dat is 30(5840 zzzrzz 325 z jz 61368 zrzrrr 65 z— 3766o3i4Z4 50400 zz =z 2129400001 23256 zz = 9825600J voor de b egeerde ge tallen, ' COROLLARIUM. Hier uit blykt dan genoegzaam , dat deeze Oplos» fing algemeen is , en op zo veel getallen kan toegepaft worden , als men begeert ; dewyl men, om andere getallen te hebben , voor p en q flegts andere getallen moet neemen. L AANMERKING. Dit Voordel wordt woordelyk gevonden by A. de Graaf, Inleiding tot de Wiskunfi p. 323. Voorftel 315, en by P. Venema, Algebra p. 158. Voorft. 81, die het mogelyk beide uit Ludolf genomen hebben, alleenlyk met die verandering, dat zy flegts vier zodanige getallen begeeren, zonder het een of ander daar by te doen. Dewyl nu dit Voorftel, in alle deszelfs veranderingen befchouwd zynde, een van de allerkonftigfte Vraagen is, welke Ludolf opgeeft, .zullen wy alle die veranderingen hier nog by voegen, en dezelve, om mede een weinig verder te gaan, tot zes getallen bepaalen, waar door wy dan vier verfchillende Voorftelien op te loffen hebben. I. VOOR-  Mengel-Werk. 545 I. VOORSTEL. Om zes getallen te vinden, zodanig, dat zo men ieder getal byzonder tot bet Quadraat van baar fom vergaart, of ook daar van aftrekt, de uitkomften rationaale Quadraaten zyn. Stel voor de fom der getallen Vxx-tyy — s zo is xx+yyzzz.ss xx=ss — yy py Py Neemende voor den Wortel * — * — — , of— — 1; q > q » zo vindt men y=r —~—. J PP + qq Neemende de fom der getallen s = 325 , en vervolgens q—i, en p— 3, zo is x = a6o, 7=195. ƒ>= 5 . . . . ar = 3oo, 3»= 125. P= 7 ' • • • * = 3i2» y— 9i. ƒ> = 8 . . . . a;==3is, y— 80. p = i8 .... £ = 323, 7= 30. 9 = 4, }> = 7 • . • • x=i65,y = 28o. Derhalven is arar + yy geduurig =xr= 105625,en vervolgens 2 ar y= 101400"! = 750001 deeze vergaard by ara: -f- yy r=r * _ * 105625, en ook daar van afge- — 507^4 >rrokken , zullen telkens rationaale = 50400 ' Quadraaten voortbrengen. Hier■— 21216 üin bellende voor de begeerde ge- J J tallen = 92400J CQ 3) 101400 zz  246" Byvoegfel tot bet 101400 zzl 7Tocozz| en laat de *°m dérzelver 3252,en dus '~ haar Quadraat 105623 zz zyn; wanneer 56784 Z2>msn dan ieder getal byzonder by het 50400 zz I Quadraat der fom vergaart, of daar van 2„2i.ÖZj; attrekt, zullen de uitkomften rationaale 1 Quadraaten zyn. 92400 zzJ ~ Derhalven moet dan maar alleen deeze aangenomen fom der getallen 3252; gelyk zyn aan de eigentlyke fom, dat is 39924022 = 3252; derhalven z — -£L_, en zz=* ^ 617 !7°J104* Dienvolgens zyn de begeerde getallen 101400 zz = 428415000") 75000x2 = 316875000 | 5678422 = 239912400 -y ieder gedeeld door. 5040022 = 212940000 j 6375703104. 23256x2= 98256600 I 9240O 22 = 3903900O0J II. VOORSTEL. Om zes getallen te vinden , zodanig, dat zo men bet Quadraat van baar fom by ieder getal byz.onder vergaart, of ook daar van aftrekt , de uitkomjlen rationaale Quadraaten zyn. Stel voor de fom der getallen ]/zxy ~s zo is 2xy = jx;dusy = —~. 2 x Hier door zal het Quadraat van de fom der getallen ss geduurig het zelfde kunnen blyven , en de getallen zelve , waar voor wy xx+ yy ftellen, geduurig veranderen, zodanig, dat als het Quadraat van deeze fom 2xy by ieder getal, dat is xx + yy,vergaard,en ook  Mengel-Werk. 247 ook daar van afgetrokken wordt, de uitkomften ratio' naale Quadraaten zyn.' Neemende xrr: a, zo is yz=z |jr. x = 3 . . . . y= iss. x= 4 . . . . y= {ss. X— 6 . . . . yzzz Tï ss. x— 9 . . . . y — ï\ss. x—7z .... y=jUss' Neemende j = I2, zo is s y 1=144, en dienvolgens «=2, y=rr36^ Hierom zal 2Xy, of he Qua- 1 draat van de fom der geti ien 3' ^ ~4 J geduurig het zelfde blyvfi),en x— 4» y= ï8 : bepaaldelyk 144 zyn. Vervolse — 6, y—i2 • gens zullen de getallen zJve, __ 8 dat is xx -1- yy geduurig veran- y' ^ deren. Want dit naar vervolg x — 72> y— *J genomen, zo is *r4-yy:= 1300, 585, 340, 180, 145, en 5185. Stel dan voor de begeerde getallen 1300ZZ") <-QrZZ I Indien nu de fom van deeze getallen 12Z, I ofwel het Quadraat deTzelve 144ZZ waare, 340 zz . 70U het Quadraat van deeze fom , dat is 1S02Z j 144zz, by ieder getal byzonder vergaard , ia^zz en °°k daar van afgetrokken zynde, ratio45 ,' naale Quadraaten voortbrengen. yiSjzzJ * Hierom moet deeze aangenomen fom 12 z gelyk zyn aan de eigentlyke fom der getallen. Derhalven 7735zz=i2z; dat is z=-Ii_ , en by gevolg zz —. Deeze waarde voor zz in de gegeevene getallen geplaatfl:, zo hebben wy voor de begeerde getallen. (Q 4) 1300ZX*  £48 Bymegfel tot het 130022= 18 7200"! 585zz= 84240! 34022= 498601 j8oz2= 259?o ï ieder gedeeld door 59830225. 14522= 20880 I 518522=746640 } III. VOORSTEL. Om zes getallen te vinden , zodanig , dat zo men de fom derzelve by bet Quadraat van ifder getal byzonder vergaan, en ook daar van aftrekt, de uitkomften rationaale Quadraaten zyn. Dit is een der allerkonftigfte Vraagen, die mv ooit wegens deeze ftofRzyn voorgekomen; en om dezelve OP eene klaare en duidelyke wyze op t'e lollen, moeten wy voor af verfcheide andere zaaken verklaaren. II. LEMMA. Alle regthoekige Driehoeken hebben deeze eigenfchap • naamelyk , dat zo men den vierdubbelden Inhoud derzelven bybet Quadraat der fcbuinje zyde vergaart, of ook daar van aftrekt, de uitkomften raiionaale Quadraaten zyn. JSewys. Dit Lemma komt met het eerfte in alles overeen. Want laat de regthoekszyden x en y zyn; dan is het Quadraat op de fchuinfche z=ixx-\-yy de vierdubbelde Inhoud = 2 xy vergaard en afgetr., komt xx + *xy+W=x+y\\\miont en xx — ïxy + yy — x — yfl Q?adr* Doch  Mengel • Werk. 240 Doch om ons oogmerk nog klaarder te doen zien zullen wy den regthoékigen Driehoek rationaal (tellenen dan is het aldus. Het Quadraat op de fchuinfche ==*44-2a:xyy+y> Den vierdubbelden Inhoud.. 4x3y — axy* I ", '—verg-enafff. komt a,4-f-4Ar3;y-f 2*ryy—4*y3+y> en x*-4x3y+nxxyy+Axy3+y* zynde beide rationaale Quadraaten , welker Worte len zyn xx-\-zxy —yy — xx + 2xy + yy zynde de halve fom derzelven 2xy, en het halve ver» fchil xx - yy,overeenkomende met de zyden van denregthoékigen Driehoek. COROLLARIUM. Uit dit Lemma ziet men nu,hoe gemakkelyk wv drie rationaale Quadraaten kunnen vinden,die in zeneAritb metifche Progresfie ftaan. Wantx*-Ax'y + 2xxyy + Axy3 + y^ zyn drie zulke0j^ ar4 + 2 xxyy -j-y* draaten, welke in x* + Ax3y-{-2 xxyy -4xy3 + y'j £n° f$bn*Vcb« waar van het gemeen verfchil qx3y— AXyi ls> aan» En deeze zyn juift die geene, welke wy tot de or> losfing van het gefielde Voorftel noodig hebben. II. COROLLARIUM. Hier uit volgt dan, dat wy voor af noodig hebben zes rationaale regthoekige Driehoeken te vinden wel' ke een gelyken Inhoud hebben,'dat is, dat geduurhr 4*3y — 4xy3, zynde viermaal den Inhoud des Driehoeks, even veel bedraagt, waar door dan de fchuin fche zyde xx+yy, en by gevolg ook deszelfs Qua", draat x*+°xxyy+y* geduurig zal veranderen, waar  350 Byvoeg/el tot bet uit de begeerde getallen kunnen ontftaan;en (lellende, dat de vierdubbelde Inhoud de fom der getallen uitdrukt, dan zal moeten volgen, dat wanneer deeze fom 4X3y — 4xy3 by het Quadraat der fchuinfche a;*-f-,» *2Xxyy-f-y,,dat is,byhet Quadraat van ieder getal, vergaard, en ook daar van afgetrokken wordt, de uitkomlten rationaale Quadraaten zullen zyn. III. COROLLARIUM. Hier uit blykt dan nu, dat wy zes rationaale regthoekige Driehoeken moeten vinden, welke een gelyke Inhoud hebben; het geen, myns weetens, nooit van iemand gedaan is. A. de Craaf (Inleiding tot de Wiskunfi pag. 327. Voorft. 319 ) toont aan, noe men drie zodanige regthoekige Driehoeken zal vinden, waar van de Inhoud gelyk is; en wel op deeze wyze. Laat de drie begeerde Driehoeken zyn f xx — yy xx — zz qq — xx regthoeks z. < t 2*y 2xz 2xq fchuinfche xx +yy xx + zz qq + xx Dan zyn de .Driehoeken rationaal; dus blyft maar alleen overig, dat haare Inhouden aan elkander gelyk zyn. Hierom 2X3y — 2xy3 = 2x3z — 2x2'= 2x3' — 2X3q, Stellende dan 2ac3y — zxy3 = 2X3z — 2xz3 2X • xxy—y3 rzz xxz — z3 xxy — xx z = y3 — z3 y — z — »x = yy4-yz + zz. We-  Mengel-Werk. 2jï Wederom zx*y— 2,xy3z=z2xq3 — 2x3q ix xx y — y3 — q3 — xx q xxy + xxq zzrg'-J-y3 7+2 ■ xx=qq ~qy + yy — yy + yz + zz yz + zz =rr qq — qy yz + qy—qq — zz z + 2 y =z q-z of 2 = 314-z. Derhalven moet een der waarden , die gelyk aan xx zyn, nog tot een rationaal Quadraat gemaakt worden, op dat x mede rationaal zy. Stellende dan x=y — — 1 J b 9 zo is xx=yy+yz+zzzz=yy — 2 ayz aa zz ~+yzz=z-w-tt bb 2abyz-\-bbyzz=zaazz — bbzz z . . naby+ bby =z aaz — bbz. Neemende y = aa — bb, zo is z = 2ab+bb; vervolgens y — z = q =zaa + 2ab, en x = aa+* *ab + bb. Neemende a = z , b — i ; zo is x = j , y —3, s — 5>2 — 8> en derhalven de begeerde Driehoeken regt-  252' By voeg/el tot het f4Q 24 15 regthoeks z.< I42 70 { 112 fchuinfche 58 74 113 AANMERKING. Ik zie geen middel, om meer rationaale regthoekige Driehoeken van gelyken Inhoud te vinden,- nogthans zullen wy, om tot het begeerde oogmerk te geraaken, een anderen weg inflaan , en alvoorens oploflen het volgende ' VOORBEELD. Een regthoekige Driehoek rationaal gegeeven zynde, een anderen te vinden, die mede rationaal,en van gelyken Inhoud is. Laat m, n de regthoekszyden , en a de fchuinfche van een rationaalen regthoékigen Driehoek zyn,welks Inhoud | m n is; dan zullen wy een anderen rationaalen regthoékigen Driehoek moeten vinden, waar van wy de fchuinfche zyde x + a zullen noemen, en dan moet deszelfs Inhoud meue \ mn zvn. Nu zullen 'er, volgens het tweede Lemma; als men het viervouwd van den Inhoud des Driehoeks by het Quadraat op de fchuinfche vergaart,of daarvan aftrekt, niet alleen rationaale Quadraaten komen; maar de Wortelen zullen ook zodanig zyn , dat de halve fom derzelven de eene, en het halve verfchil de andere regthoekszyde zal uitdrukken. Hierom xx-{-2ax+aa het Quadraat op de fchuin- (fche zyde. 2tnn het viervouwd van den Inhoud des (Driehoeks. Dan moeien xx + 2ax + aa + 2.mn-i rationaale Qua- r draaten zyn. xx + 2ax + aa — amnj. Maar  Mengel-Werh 253 Maar in den gegeeven Driehoek is aa=zmm + nn , derhalven zo moeten xx+aax + mm + amn + nn, ratiomale Quadraaxx4.2ax + mm — zmn + nnS reK zyn* Scel wj + « = c, en m — n=zd, zo heeft men xx-t- 2ax-i-cc 1 > dat ration. Quadraaten moeten xx + 2ax + dd J ^ zyn Deeze, het eene met dd, en het andere met ce, dat Quadraaten zyn , vermenigvuldigd , dan zyn de ddxx + 2addx + ccdd ccxx -f 2acca; + c<:dd Hiervan is het verfchil ccxx — ddxx + aaccx — 0 *2af/dx, waar van de Deelers zyn c* + dx, en c#—* eda:-t-2ac--2ad. By gevolg is de halve fom van deeze Deelers cx + * «ac — ad; en dus cc xx+2 a cc x+cc dd =. cx + ac — ad [ ''—cc xx+ aacc C*-\-aadd+2accx~ zacdx — aaacd aa cc 4- aa ddd — cc dd — 2 aa cd komt x=. ■ • _ , aacc+aadd—ccdd Derhalven x4-a — '2fJJd de fchuinfche. Om nu de regthoekszyden te bekomen, zo zullen wy het Lemma volgen ; dat is , wy zullen het viervouwd van den Inhoud des Driehoeks by het Quadraat op de fchuinfche zyde vergaaren , en ook aaar van aftrekken, om dus de Quadraaten, en by gevolg ook de wortels te vinden; welke dan de halve fom en het verfchil der regthoekszyden zullen uitmaaken. Nu  S54 Byvoegfel tot het aacc 4-aadd — ccdd Nu is x+a=z --—: hier boven gevort» 2aca (den. Maar c = m + n, d — m — n zynde,zullen wy dee« ze waarden hier in op de volgende wyze plaatfen. c m-\-n , cc e—: mm 4- 2 mn -f- «ra d = ?» — « , dd = mm — zmn + nn cd —mm-ntif cc-\-dd-=.imm-\-znn aa = mm+ nn • verm. aa cc-4-aadd = amfi+Amm nn+zn* ccddzzzzz m4—immnn+ «4 ■ ! afget. aacc-\-aadd—ccdd= m*-\-6mm nn-\- »♦ Maar m?n-f-72n=:a3, Derhalven m4-r-2m7www + ra4 = a4 Ammnn .... zzr4772772nn — 1'— verg. m*+6mmnn+n*=a4-f- 4*72772 7272 maar m4 -f-6 772772 7272 + n*=aacc-f-aadd—ccdd boven (gevonden, Derhalven aa cc + aadd — cc dd —. a*+&.mmnn Dit gedeeld door 2 acd = 2amm — namn, (aacc 4- aadd-ccdd \ a4 4- Ammnn —— ] m • 2acd / 2amm—2unn de fchuinfche zyde; en het Quadraat x+a!\ — * a8 + %a*mm nn+ i6?B4n4 * . 4 aa. m* — 2 772772 7272 + 724 Maar aa = m7?z+nn zynde, moet deeze waarde van aa in den Teller gebragt worden; dan is ,i m8 4-1g m6nn 4-38 ??247t4+1 <2mmn64- n8 x-\-a\ — =z 1 . 4 aa. 7?i4 — 2 mm 7272 + «4 En.  Mengel - Werk. 255 En brengende den viervouwdigen Inhoud, die 2tnn is, onder den Noemer van deeze breuk , dan is dezelve , %aa. to'/j — n57234-38 m* n4— 8m3ras 4-1 immn64- * 4 aa. m4 — 2 mm n« -j- ra4 ' C * 8»W7-f-728 m*~8m7«+T2m welker Wortelen zyn m*+4m3n—2mmnn+4mn34-n4 ") \ de fom , 2 a. mm — «72 ' , >- der regt- m4—4m3«—zmmnn— 477272M-724 1 hoekszyden = het verfchil J 2 a. mm — 7272 J Deeze vergaard en afgetrokken , dan zyn de helften m*—2 mm nn+n* ^mm — 7272^ a«.«£=™ ° *5 'de begeerde regthoeks4m3n + 4mn' ^ iamn t zyden. la.mm — nn mm — nnj Derhalven zyn de twee Driehoeken van gelyken Inhoud deeze: regt-  6 Byvoegfel tot bet aamn fm mm — nn' regthoekszyden < mm — nn L« —20. tf+Ammnn fchuinfche a =: * 2 a. m m - n n IV. COROLLARIUM. Dewyl wy nu, in het III. Corollarium ^ met A. de Graaf drie byzondere regthoekige Driehoeken, van gelyken Inhoud, gevonden hebben, zo kan men, door de laatfte Aanmerking, tot elk eenen anderen vinden, en daar door zes rationaale regthoekige Driehoeken bekomen, die gelyke Inhoud hebben. Ten eerften. Neem 0=58, 771 = 42, «=40, zo hebben wy voor den anderen Driehoek fü 1 regthoekszyden 4 I dus het Quadr. der fchuin- ] 48720 ^ 1996232720161 L 41 jfche== 1412881 * t 'u"•' r 1 1412881 fchuinfche " Ten tweeden. Neem a = 74- "1 = 70, « = 24, zo hebben wy voor den anderen Driehoek. fiogi "| regthoekszyden ■< 37 dus het Qüadr. der fchuinfche I 62160 ' 6655166817121 L 1081 '. 1599760009 „, 2579761 l fchuinfche —r^z, j ten  van LUDOLF van KEULEN. %57 Ten derden. Neem «=113, «=3=112, « = ij, 20 hebben wy voor dcu anderen Driehoek f 12310 "j1 Regthoekszyden^ ~2_, [ dus het Quadraat der » 379$g2. Lfchuinfche!*== . . t 1-2319 r /-30393375970715521 <,u-rL 17^36961 ^ 775ïi7940=>83ó Schuinfchê ' ■ '■ 5 2784094 J Dewyl wy nu zes rationaale regthoekige Driehoeken, van gelyken inhoud, hebben,zo zyn wy hier mede in ftaat gebragt, om dit III. Voorstel van het II. Scholium op te losfen; want,Hellende de fchuinfche zyden van deeze Driehoeken voof de begeerde'getallen, naamelyk: 58 P\ t" 5^ pp. 74 P j 5476^.- 1412881 j dan zyn de 1996232720161 1189 P yQuadraaten^ Ï41372I , , van deeze ■ • ,<0 2579761 getallen I 66551668171*1 39997 | j 1599760009 174336961 I I 3039337597O7155" 2784094 PJ L 7751179400036 Indien nu de fom deezer getallen s$6opp was, dat is viermaal den Inhoud van deezen Driehoek, dan zou deeze fom, by en van het Quadraat der fchuinfche zy. de, dat is , by en van het Qj,adraat van ieder getal by« zonder, vergaard en afgectonken zynde, door het IL Lemma, geduurig rationaale Quadraaten voortbrengen. Hieroai moet deeze aangenomene fom 3360PP gelyk zyn aan de eigenlyke fom der getallen, Derhalven CR) &  258 OpïoJJtngen der konjiige Vraagen JO-TitT J ll8p 1 ' 2784094 v —■ ■ I4I288I . 2T7976I ITAoogggf o«6o 0 = 245+ 5 r- tt- ? - Jju ^ ^J ^ Il89 39997 2784094 a «; _L 1413881 1 55797 = ' 33<5o Of door herleiding 2064689431400215 87 p : . 4448Ó9308049718720 Deeze waarde voor p in de gefielde getallen gebragt zynde, zo bekomt men voor de begeerde getallen 206468943140021587 x 58 58^ 4448(59308049718720 _ 20646894^140021^87 x 74 7^ 4448^9308049718720 _ 006468943140021587 x 113 444869308049718720 1412881 206468943'40021587 x 1412881 1189" 444809308049718720 x l189 * 2579761 20646894314002IS87 x 2579761 ~39997~ 444869308049718720 x 39997~"" 174336961 20646894314002'587 x 17433696I 2784094 ' 4448093080497I8720 x 2784094 * AAN-  van LUDOLF van KEULEN. 259 AANMERKING. Hier uit blykt nu, dat de Theorie genoegzaam toelaat; om zo veel rationaale regthoekige Driehoeken va^ gelyken Inhoud te vinden, als men begeert; dus kan men ook zo veel getallen hebben als men begeert, welke deeze eigenfchap hebben, dat hun fom vergaard pq afgetrokken zynde, by en van het Quadraat van ied-r getal byzonder, He uhkomflen telkens rationaaleQimdraaten zyn. Doch de ondervinding leert genoegzaam, dat de getallen zo magtig groot worden, dat ze byDa onhandelbaar zyn, en dus gemakkelyk miiretkening kunnen veroorzaaken, voornaamelyk wanneer men dezelve door een lastfgén arbeid gevonden hebbende, vervolgens begeert te beproeven. Derhalven kunnen 'er, in kleine getallen, niet meer dan drie rationaale regthoekige Driehoeken , van gelyken Inhoud, gevonden worden.; Hierom zullen wy dit Voorftel ook tot drie zulke getallen bepaalen, welke dan ook klein vallen, en gemakkelyk beproefd kunnen worden. By voorbeeld. Om drie getallen te vinden, zodanig, dat indien men baar fom, by en van bet Quadraat van ieder getal by. zonder, . vergaart en aftrekt , de uitkom/ten rationaale Quadraaten zyn. CR O OP-  «oy Oplojfingen der hnjiige Vraagen OPLOSSING. Neem uit het III. Corollariüm de drie gevondene regthoekige Driehoeken van gelyken Inhoud,die aldaar 840 is, en fiel de fchuinfche zyden van deeze Driehoeken voor de begeerde getallen, als 58 p l wanneer nu de fom van deeze getallen 3360pp 7^ ? w'as, dat is, de viervcuwdige Inhoud van 113P J deeze Driehoeken, dan zou deeze fom by en van het £)«adraaf der fchuinfche zyde, versaard en afgetrokken zynde, telkens rationaale Quadraaten voort, brengen. Dus blyft dan maar alleen overig, dat deeze aangenomene fom 3360PP gelyk zy aan de eigenlyke fom der getallen. Dat is 3360PP — 58P + 74P+113/» 3360 pp = 245P 5P 672jP = 49; derh.flrz: —, of -7-. ■ ■ 672' gó • Deeze waarde voor p in de gefielde getallen gebragt, zo is 518 ' 74P = —6 > de begeerde getallen. 79i I IV.  van LUDOLF van KEULEN. 261 IV. VOORST E L. Om zss getallen te vinden , zodanig, dat indien men bei Quadraat van ieder getal byzonder by en van de Jom der getallen vergaart en aftrekt, de uitkomften rationaale Quadraaten zyn. AANMERKING. Indien men zes rationaale regthoekige Driehoeken konde vinden, die elk een zelfde fchuinfche zyde hadden, en dus hunne Inhouden van elkander verfchillende, doch alle rationaale Qiiadraaten vvaaren, dan konden wederom de viervouwdige Inhouden deezcr Driehoeken voor de Quadraaten der begeerde getallen genomen worden; en"'het Quadraat der fchuinfche zyde zou de fom vari deeze gecailen kunnen zyn, volgens het II. Lemma; zodanig, dat indien men de Quadraaten van deeze getallen by de fom der getallen verbaart, of ook daar van 'aftrekt, de uitkomften rationaale Quadraaten zyn. Derhalven Zou dit Voorftel nog ais vooren kunnen opgelost worden, door de fom deezer getallen met de aangenomene fom gelyk te ftellen. Maar ik zie geen middel, om eenen raiionaalen reerboekigen Driehoek te vinden , welks Inhoud een rationaal Quadraat is, waarom het my ook niet doenlyk is , dit Voorftel op te losfen. Want Om een rationaalen regthoékigen Driehoek te vinden; welks Inhoud een rationaal Quadraat zy; daar toe wordt vereischt, dat men twee rationaale Quadraats* (M) Qua.  36z Oplojftngen der hnftige Vraagen Quadraaten moet vinden, weiktr verfcbil een rationaal Quadraat is ; of, dat het zelfde is , men zou twee rationaale Quadraaten motten vinden, wlker fom en verfchil rationaale Quadraaten, of ten minften communicanten zyn. Want, ftellende voor de regthoekszyden aaryy en azz, dan is de Inhoud een rationaal Quadraat, en volgens de eigenfchap van den regthoekigeri Driehoek, moet 4 x x y* -f- x x z* een rationaal Quadraat zyn. Stel den Wortel — a:. 2 y y Dan is &xxy*+xxz* — xx.Ay* 4 7 3 z z a . ^ b V bb xx . .„ , , . 4y* W-4y'- b bb 4 yyzza z4aa b bb , bb syyzzab zrz z*aa bbz* Ayyab — zzaa——bbzz; dus zz . * 4-abyy^ v aa—bb' Neemende yy = aa-bb\ deeze moeten ratimaaie Zo is zz = 40& ƒ Quadraaten zyn. Neem  van LUDOLF van KEULEN. 26*3 Neem a = pqqt en b—prr\ Zo is wel het eene, naamelyk <\ab zzzzz Appqqrr een rationaal Quadraat, doch aa — bb zal dnn=.ppq* PPr*> en dus mede een rationaal Quadraat moeten zyn, of, dar het zelfde is, q* — r* moet een rationaal Quadraat zyn; en dewyl deeze grootheid het vermenigvuldigde is van qq — rr zien wy ligtelyk, dat hier toe vereischt wordt, dat deeze Faclores rationaale Quadraaten, of ten minften communicanten zyn. Nu wordt dit by alle Wiskunftenasrs voor eene onmogelyke zaak gehouden, alhoewel het, myns weetens , niet direEt beweezen is, en dus zullen wy dit IV. Voorstel zonder oplosfing moeten laaten. AANMERKING. De ondervinding zal leeren, dat de 30 Konst-Vraagen, welke Ludolf op de voorgaande laat volgen, gelyk hy zelf zegt, niet zwaar, en in der daad van weinig belang zyn. Want het geheele doelwit, dat Ludolf door dezelve beoogde, was, om de wortel of waarde van a: uit alle hooge Vergelykingen, door benadering, te vinden; dat in den tyd, toen Ludolf leefde nog als een groot geheim en verborgenheid wierdt gehouden; doch thans, voor allen die de Stelkunde oeffenen, eene geringe zaak is, waar van men hier voor, by de V. Konst-Vraag, een algemeenen Regel kan vinden, en welke in het II. Deel der Jnleidinge tot de Matbematifcbe Weetenfcbappen, en by andere Schry vers, onder eene gefchikte Leerwyze wordt voor»  26~4 Oplöffïngen der konjïige Vraagen , enz. voorgefteld. Wy zullen daarom ook ^een zwaarigheü maaken, om die Vooffteiten , als van weinig nuttigheid zynde over te flaan, en hier mede de oplosfing der Konst-Vraagen van Ludolf te eindigen. EINDE,    Plaat II.   Plaat III