OVER STRATIFIEERBARE CONGRUENTIES DOOR J. J. DRONKERS Diss. Le de . i959 . OVER STRATIFIEERBARE CONGRUENTIES PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE AAN DE RIJKSUNIVERSITEIT TE LEIDEN, OP GEZAG VAN DEN RECTOR MAGNIFICUS Dr P. C. FLU, HOOGLEERAAR IN DE FACULTEIT DER GENEESKUNDE, PUBLIEK TE VERDEDIGEN OP DINSDAG 7 FEBRUARI 1939 DES NAMIDDAGS TE 4 UUR DOOR JO JOHANNIS DRONKERS GEBOREN TE POORTVLIET AMSTERDAM -H. J. PARIS – MCMXXXIX BIBLIOTHEEK DER RIJKSUNIVERSITEIT UTRECHT. OVER STRATIFIEERBARE CONGRUENTIES AAN M IJ N OUDERS Hooggeleerde Droste, voor Uw colleges over de Analyse, waarvan ik veel geleerd heb, dank ik U ten zeerste; evenals voor de discussies, die ik met U mocht hebben. Zeergeleerde Kloosterman, sinds ik van U de grondslagen der Ideaaltheorie leerde zijn onze wegen uiteengegaan. Voor Uw onderricht ben ik U zeer erkentelijk. In dankbare herinnering zal ik altijd wijlen de Hoogleeraren Ehrenfest, Kluyver en de Sitter gedenken. Voorts wend ik mij tot U, Hooggeleerde van der Woude. De invloed, dien Gij op mijn wetenschappelijke vorming, vooral als Promotor, hebt gehad, is moeilijk naar waarde te schatten. Het begrip, dat Gij voor mijn persoon hebt getoond, is voor mij een onvervangbare aanmoediging geweest. Van Uw waardevolle raadgevingen en Uw scherpzinnige critiek heb ik zeer veel geleerd; ze zijn voor dit proefschrift van groote beteekenis geweest. Ik dank U voor dit alles. Ten slotte richt ik mijn dank tot al die ongenoemden, die mij bij mijn studie tot steun zijn geweest. Nu ik mijn academische studie inde faculteit der Wis- en Natuurkunde met het schrijven van dit proefschrift heb mogen beëindigen, betuig ik mijn dank aan allen, die tot mijn wetenschappelijke vorming hebben bijgedragen. Bldz. INLEIDING XIII I- DE CONGRUENTIE K' IS STRATIFIEERBAAR TEN OPZICHTE VAN DE CONGRUENTIE K. § 1- Notatie 1 § 2- Bepaling van congruenties K', stratifieerbaar t.o.v. K, op de wijze, die door Fubini gevolgd is 2 § 3- Analytische bepaling van twee congruenties K en K', tusschen welker stralen een correspondentie één aan één bestaat, volgens de methode van Finikoff 7 § 4- Eén oppervlak S wordt in het snijpunt met elke straal r van K aangeraakt dooreen vlak, waarin de correspondeerende straal r' van K' ligt. De voorwaarden voor stratifieerbaarheid van K' t.o.v. K, uitgaande van het vergelijkingenstelsel van Finik o r f 15 § 5- Bepaling van de congruenties K', stratifieerbaar t.o.v. K, wanneer nog één der oppervlakken S, die de stratifieerbaarheid teweegbrengen, gegeven is 20 § 6 – Groepeering van de congruenties K', stratifieerbaar t.o.v. K, volgens Vincensini 22 § 7- Zijn er congruenties K', stratifieerbaar t.o.v. K, waarvan de straal r', die met de straal r van K homoloog is, steeds gelegen is in het correspondeerende raakvlak vaneen gegeven oppervlak T, tusschen welks punten en de stralen van Keen gegeven correspondentie één aan één bestaat? 25 II – BIJZONDERE GEVALLEN. 1-Stratifieerbaarheid van K' t.o.v. K, of omgekeerd, wordt niet aangenomen. Inleiding 31 § 1- De voorwaarden, opdat de congruentie K' ontaard is ineen regeloppervlak. Wanneer is dat oppervlak ontwikkelbaar ? . . 32 § 2- De rechten van de congruentie K' gaan door één punt. ... 33 § 3- De rechten van de congruentie K' liggen ineen plat vlak . . 36 § 4- Overzicht van de bijzondere vormen, waarin de congruentie K' kan voorkomen 38 § 5- De ontwikkelbare oppervlakken of de brandpunten of beiden van de congruentie K' zijn onbepaald . . . . 39 INHOUD Bldz. 2-K is stratifieerbaar t.o.v. de congruentie K. Bijzondere gevallen. § 6 – Definities voor de stratifieerbaarheid vaneen regeloppervlak F t.o.v. de congruentie K en vaneen congruentie K t.o.v. F. ie Het regeloppervlak Fis scheef 41 § 7- Voorwaarden, opdat een scheef regeloppervlak F stratifieerbaar is t.o.v. de congruentie K 44 § 8 – Een ontwikkelbaar oppervlak Fis stratifieerbaar t.o.v. de congruentie K § 9 – Een kegel is stratifieerbaar t.o.v. de congruentie K 48 § 10 – De congruentie K' is een stralenschoof of een vlakke congruentie, terwijl K' stratifieerbaar is t.o.v. de congruentie K 50 § 11 – De ontwikkelbare oppervlakken van de congruentie K of K' of van beide zijn onbepaald, terwijl K' stratifieerbaar is t.o.v. K. 53 § 12 – Het aantal oppervlakken S, door de stratifieerbaarheid van de congruentie K' t.o.v. de congruentie K bepaald, dat ontwikkelbaar kan zijn ' g4 111 – EEN CONGRUENTIE K' IS STRATIFIEERBAAR TO V EEN CONGRUENTIE K, TERWIJL K EN K' RESP. GECONJUGEERD EN HARMONISCH ZIJN T.O.V. HET OPPERVLAKKENSTELSEL, DOOR DEZE STRATIFIEERBAARHEID BEPAALD. § 1- Definitie vaneen congruentie, geconjugeerd t.o.v. een net en vaneen congruentie, harmonisch t.o.v. een net 56 § 2- Een congruentie K' is stratifieerbaar t.o.v. een congruentie K, terwijl K en K' resp. geconjugeerd en harmonisch zijn t.o.v. het oppervlakkenstelsel S, door de stratifieerbaarheid bepaald . 58 § 3- Bewijs vaneen bekende stelling g2 § 4- Groepeering van de congruenties K', stratifieerbaar t.o.v. een gegeven congruentie K, waarbij tevens K en K' resp. geconjugeerd en harmonisch zijn t.o.v. het oppervlakkenstelsel 5, door de stratifieerbaarheid bepaald, volgens de methode van Vin- CENSI N I gg § 5- Stellingen van Darboux gg IV – DE CONGRUENTIES K EN K' VORMEN EEN STRATIFIEERBAAR PAAR. § I – Afleiding van de voorwaarden, opdat, inplaats van stratifieerbaarheid van K' t.o.v. K. K stratifieerbaar is t.o.v. K' ... . 68 § 2- De voorwaarden, opdat de congruenties K en K' een stratifieerbaar paar vormen. Verband met het permutabiliteitstheorema van BIANCHI gg § 3- De congruentie K van het stratifieerbare paar (K, K') is geconjugeerd t.o.v. het oppervlakkenstelsel S en harmonisch t.o.v. het oppervlakkenstelsel S'. Voor K' geldt het omgekeerde 71 RESUMÉ 74 Definitie: Een congruentie K' is door Fübini stratifieerbaar t.o.v. een congruentie K genoemd, als er een stelsel oppervlakken S, afhangend van één parameter, bepaald kan worden, waarvan elk dooreen vlak, dooreen willekeurige straal r' van K' gebracht, wordt aangeraakt, terwijl de raakpunten van de vlakken dooreen zelfde straal r' op een straal r van K liggen. Is K bovendien stratifieerbaar t.o.v. K', dan zijn K en K' dubbel stratifieerbaar; wij zeggen dan, dat K en K' een stratifieerbaar paar vormen. Reeds Darboïïx bewees verschillende eigenschappen, die betrekking hebben op paren congruenties, die men nu stratifieerbaar in één richting zou noemen. De term „stratifieerbaar” gebruikte hij echter niet; bij hem is er ook geen sprake vaneen stelsel oppervlakken, maar slechts vaneen tweetal. Verder gaat bij Darb ou x de stratifieerbaarheid steeds van de eigenschap vergezeld, dat K en K' resp. geconjugeerd en harmonisch zijn t.o.v. een net op ieder dier beide oppervlakken. In hoofdstuk 111, § 7 worden deze stellingen vermeld en bewezen; uit de bewijzen blijkt dan direct, dat hierbij K' inden aangegeven zin stratifieerbaar is t.o.v. K. Het stratifieerbare paar staat in nauw verband met het permutabiliteitstheorema van Bianchi. In hoofdstuk IV, § 2 wordt deze betrekking nader uiteengezet. Het doel van dit proefschrift is niet om een overzicht te geven van alle onderzoekingen over de stratifieerbare congruenties. Metrische kwesties, verbonden aan deze congruenties, komen ook niet ter sprake. Evenmin gaan we diep in op die projectieve eigenschappen, die betrekking hebben op stratifieerbare paren; ze vormen het overgroote deel van de artikelen, die inde literatuurlijst genoemd zijn. Wij houden ons in hoofdzaak bij het geval van stratifieerbaarheid in één richting (uitgezonderd in hoofdstuk IV). Hierbij werd tevens aangenomen, dat geen der congruenties K of K' parabolisch is, zoodat K en K' steeds twee verschillende brandoppervlakken hebben. INLEIDING De methoden, door de vroegere schrijvers gebruikt, zijn verschillend. We hebben inde eerste plaats getracht om verschillende eigenschappen, die met behulp van die methoden bewezen worden, te rangschikken en te bewijzen, uitgaande van het zoogenaamde vergelijkingenstelsel van Finikoff, afgeleid in hoofdstuk I, § 3. Van de methode Finikoff wijkt deze dissertatie dikwijls af in uitgangspunt, doordat hier herhaaldelijk niet wordt uitgegaan van twee congruenties K en K' en een oppervlakkenstelsel S, dat de stratifieerbaarheid bewerkt, maar van K, K' en één oppervlak S(°), dat een correspondentie één aan één tusschen de stralen r en r’ van K en K' teweegbrengt. Het gevolg was, dat enkele dezer stellingen konden worden uitgebreid. Verder wordt een definitie vastgesteld voor de stratifieerbaarheid vaneen regeloppervlak t.o.v. een congruentie K en omgekeerd. Deze stratifieerbaarheid wordt voor het geval vaneen scheef regeloppervlak, ontwikkelbaar oppervlak en kegel nader onderzocht, Enkele eigenschappen, aan deze stratifieerbaarheid verbonden, worden bewezen. Tenslotte wordt nog het geval behandeld, dat alle lijnen van de congruentie K', stratifieerbaar t.o.v. een congruentie K, dooreen vast punt gaan (lijnenschoof) of ineen vast vlak liggen (vlakke congruentie). Hieronder volgt een kort overzicht van de inhoud der hoofdstukken. Hoofdstuk I: De oplossingen van Fubini en Finikoff voor de bepaling van de congruenties K', stratifieerbaar t.o.v. K, worden behandeld en hun resultaten met elkaar in verbandgebracht. Verder wordt, volgens de methode van Vincensini, de groepeering aangegeven van de congruenties K', stratifieerbaar t.o.v. K. Inde laatste paragraaf van dit hoofdstuk worden enkele vragen beantwoord, die bij het voorgaande aansluiten. Hoofdstuk II: In het eerste deel worden systematisch de gevallen behandeld, waarbij de congruentie K' ontaard is ineen regeloppervlak, lijnenschoof of vlakke congruentie. In het tweede deel wordt tevens aangenomen, dat K' stratifieerbaar is t.o.v. K. Hoofdstuk III: Stellingen van Darboux, e.a. over congruenties, geconjugeerd of harmonisch t.o.v. een net, worden bewezen Hoofdstuk IV: Hierin worden inde eerste beide paragrafen de rollen van K en K' inde stratifieerbaarheid verwisseld om over te kunnen gaan op stratifieerbare paren. Daarvan worden enkele der belangrijkste eigenschappen, door Fubini en Finikoff aangegeven, bewezen. Na het verschijnen van het artikel van Fübini, waarin hij de stratifieerbare congruenties definieerde en verschillende eigenschappen van hen bewees, zijn er tal van artikelen gepubliceerd, die betrekking hebben op deze congruenties. Inde hierachter gevoegde literatuurlijst zijn [s], [6], [7], artikelen, waarnaar in dit proefschrift herhaaldelijk wordt verwezen. Dan volgt nog een lijst van artikelen, die op dergelijke onderwerpen betrekking hebben, maar die niet genummerd zijn, daar we ze niet behoefden te citeeren. LEERBOEKEN. [l] Da r b o u x, G., Leijons sur la théorie générale des surfaces. (I—IV) (Gauthier-Villars, Paris; 1914, 1915, 1925, 1894). [2] La n e, E. P., Projective differential geometry of curves and surfaces. (The University of Chicago Press Chicago; 1932). [3] Tzitz É i c a, G., Géométrie différentielle projective des réseaux. (Gauthier-Villars, Paris; 1924). [4] H o r n, J., Partielledifferentialgleichungen. (Göschens Lehrbücherei, Berlin; 1929, Zweite Auflage). ARTIKELEN. [s] F u bi n i, G., Su alcune classi di congruenze di rette e sulle trasformazioni delle superficie R. (Annali di matematica pura ed applicata, serie IV, tomo I; 1924). [6] F i n I k o FF, S., Sur les congruences stratifiables. (Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, tomo LUI; 1929). [7] V i n c en s i n x, P., Sur les congruences stratifiables. (Journal deMathématiquespuresetappliquées,Paris, tome 13; 1934). Pa n t a z i, A., Sur les couples de congruences stratifiables. (Bulletin Mathématique de la Société Roumaine des Sciences, tome 33—34; 1932). Idem Sur les couples de congruences stratifiables par families de surfaces réglées. (Idem, tome 36; 1934). en uitgebreid. Verder wordt een uitbreiding gegeven van het geval, tot dusver gewoonlijk over het hoofd gezien of vermeden, dat dit net op een ontwikkelbaar oppervlak ligt. PA n t a z i, A., Sur les couples de congruences stratifiables appartenant a des complexes linéaires. (Idem, tome 38; 1936). F i n i k o F F, S., Congruences stratifiables paraboliques. (Mathematische Zeitschrift, Berlin, Band 36; 1933). Metrische eigenschappen, verbonden aan stratifieerbare congruenties zijn o.a. behandeld door; B Ia N c h i, L., Sopra une classe di coppie di congruenze rettilinee stratificabili. (Atti della Reale Accademia dei Linceï, Rendiconti. vol. 33; 1924) Idem Sulle coppi di congruenze rettilinee stratificabili. (Idem, Rendiconti, vol. 33; 1924). V i n c en s i n l, P., Sur certaines questions métriques liées aux congruences stratifiables. (Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. 111, 1934). Rossinski, Sopra una classe di coppie di congruenze rettilinee stratificabili. (Recueil math. de la Soc. math. de Moscou 36, 1929). Busche quence et Rossinski, Sur les couples de congruences stratifiables et sur la déformation des surfaces. (Idem, Recueil math. de Moscou, 1929). In het leerboek van Fubini-Öech x) komen ook enkele stellingen voor van Cech afkomstig waarbij een congruentie voorkomt, die t.o.v. een andere stratifieerbaar is. Het begrip „stratifieerbaar” noemt hij echter niet. !) G. Fubi n i- E. Cec h, Geometria proiettiva differenziale, tomo I, § 25 (C), (D); N. Zanichelli, Bologna (1926). DE CONGRUENTIE K' IS STRATIFIEERBAAR TEN OPZICHTE VAN DE CONGRUENTIE K § 1- NOTATIE. De notatie, die gevolgd wordt, is er een, die gebruikelijk is in de projectieve differentiaalmeetkunde (zie bijv. [3]) i). In het vervolg wordt een geconjugeerd stelsel op een oppervlak kortweg een „net” genoemd. (Fransch: réseau). Wij wijzen er op, dat we verschil maken tusschen de woorden „focaalvlak” en „focaaloppervlak”, die vaak door elkaar worden gebruikt. Een focaalvlak is hier een plat vlak. Een focaaloppervlak vaneen stralencongruentie wordt door focaalvlakken omhuld. Laten de homogene coördinaten vaneen oppervlak als functies van u en v gegeven zijn; aan die functies stellen wijde gebruikelijke eischen van differentieerbaarheid. In het vervolg bedoelen we dan met een «-kromme een kromme, waarlangs v constant is en die dus alleen van u afhangt. Eveneens spreken we van het focaaloppervlak v = constant of u = constant vaneen congruentie. We bedoelen dan het focaaloppervlak, waarop de keerkrommen v = constant of u = constant vaneen der beide stelsels ontwikkelbare oppervlakken van de congruentie liggen. (Op ieder van die focaaloppervlakken bevinden zich natuurlijk krommenstelsels v = constant en u = constant). De krommenstelsels, die door de ontwikkelbare oppervlakken vaneen congruentie op haar focaaloppervlakken worden bepaald, vormen netten; we noemen ze de focaalnetten van de congruentie. Het «-focaalnet is het net, dat op het focaaloppervlak v = constant ligt en waarvan de raaklijnen aan de «-krommen samenvallen met de rechten van de congruentie. Het andere net is dan het v-focaalnet. De congruentie, gevormd door de raaklijnen aan eender stelsels x) [3] verwijst naar het aldus genummerde leerboek uit de literatuurlijst, vermeld inde inleiding. In het vervolg wordt steeds een leerboek of artikel uit die lijst op deze wijze aangeduid. HOOFDSTUK I krommen vaneen net, wordt wel een congruentie van Laplace, van dat net genoemd. Bij ieder net behooren dus twee dergelijke congruenties. Is een van hen de eerste congruentie van Laplace dan wordt de andere de min-eerste congruentie van Laplace genoemd. Het tweede focaalnet van de eerste congruentie van Laplace bezit ook weer een, van deze verschillende, congruentie; we noemen haar de tweede congruentie van Laplace. We kunnen zoo verder gaan en de pde congruentie van Laplace van het oorspronkelijke net definieeren. Op dezelfde wijze volgt uit de min-eerste congruentie van Laplace, een min-tweede enz. (zie bijv. [2], §2B). In verband met het hiervoren gedefinieerde wordt b.v. een congruentie de eerste congruentie van Laïlace van haar p-focaalnet genoemd en de min-eerste congruentie van Laplace van haar M-focaalnet. §2 – BEPALING VAN CONGRUENTIES K', STRATIFIEERBAAR T.O.V. K, OP DE WIJZE, DIE DOOR F U B I N I GEVOLGD IS[S]. Voordat deze methode wordt aangegeven, wordt opgemerkt, dat inde inleiding de definitie van stratifieerbaarheid wordt weergegeven. Daarbij blijkt: bestaat er stratifieerbaarheid, dan is hierdoor een correspondentie tusschen de stralen van K en K' vastgelegd. Het ligt voor de hand, twee vragen te stellen: I°. Is misschien K' steeds stratifieerbaar t.o.v. K, hoe beide ook zijn aangenomen? 2°. Als men een bepaalde correspondentie tusschen beider stralen aanneemt, welke zijn dan de voorwaarden, opdat K' stratifleerbaar t.o.v. K zal zijn en deze stratifieerbaarheid juist de hier gegeven correspondentie zal vastleggen? De schrijvers over stratifieerbaarheid schijnen steeds van de tweede vraag uitgegaan en merkwaardig genoeg de eerste voorbijgegaan te zijn; misschien wel, omdat ze na de tweede gemakkelijk te beantwoorden is. Om die reden stellen wede beantwoording van de eerste vraag, die o.i. toch stellig een antwoord verdient, uit tot § 4. Dat antwoord zal dan blijken ontkennend te zijn. Fu bi n i neemt, behalve de congruentie K, eender omhullende oppervlakken S n.l. Sx, die door de vlakkenbundels met de stralen van K' als dragers worden omhuld, als bekend aan. Bekend zijn dus b.v. eender focaaloppervlakken van K hier verder door y (u,v) aangegeven en het krommenstelsel daarop gelegen, waaraan de raaklijnen de congruentie K vormen; verder het oppervlak Sx. De andere oppervlakken S en de congruentie K' worden dan bepaald door te eischen, dat de raakvlakken in homologe punten aan de oppervlakken S een vlakkenbundel moeten vormen. De dragers van die vlakkenbundels vormen dan de congruentie K'. Laat Sx' een tweede willekeurig exemplaar van het oppervlakkenstelsel S zijn. De homologe punten van Sx en Sx' zijn xen x', terwijl de coördinaten van de bijbehoorende raakvlakken f en l worden genoemd. Met homologe punten worden hier de snijpunten van een zelfde straal met de verschillende oppervlakken S bedoeld. Verder zijn *, x', f en l bewegelijk, resp. langs de oppervlakken Sx en SX’. Het homologe punt van ieder ander oppervlak wordt bepaald door * + qx', het homologe raakvlak door f + al (o en a zijn functies van u en v). Nu bestaan de relaties: 271 + ai', x + QX' =0 (1) 27 i + ai'. xu + qx'u + QuX =0; 27 i ai'. Xv "h qx'v d~ QvX = 0 De betrekkingen (1) reduceeren zich krachtens: Zi.x =27 i.xu = Z i.xv=X i' .x' =Z i'.x'u=Z i' .x'v=Q tot: l q 27 i.x' + 0-27 i'.x = 0 (2) ]e 1 f •*'« + 1 ?-x» +e« z f •*' = 0 \ q 27 i.x'v “t~ a 27 i' .Xv -f- Qv -27 i.x = 0 Aan deze drie vergelijkingen moeten 5 en ƒ/ De differentiaal-vergelijkingen, waaraan de coördinaten van de brandpunten voldoen, gaan met weglaten der accenten over in: ( Xu =Q («, v) y \ (1°) j 1 \ yV —o (u, v) X j Het geval, waarbij q of a identiek nul is of dit voor beiden geldt, zonderen we niet uit. De focaaloppervlakken van K zijn, als o en o beide nul zijn, vervangen door ruimtekrommen; de ontwikkelbare oppervlakken zijn dan een dubbel stelsel kegels, elk met de top op eender ruimte- *) s- Finik o Fr. Congruences stratifiables paraboliques. (Mathematische Zeitschrift, Band 36. Berlin (1933) ). krommen gelegen, terwijl de andere dan steeds richtkromme is. Als een van beide functies nul is, hebben we met één stelsel kegels te doen, het andere stelsel ontwikkelbare oppervlakken is dan niet ontaard. Op elk ligt dan de ruimtekromme, die eender focaaloppervlakken vervangt. Hiervoor is af gesproken, dat x een punt is van het focaaloppervlak, omhuld door de ontwikkelbare oppervlakken u = constant, terwijl y dit is van v = constant. Ook wordt nog opgemerkt, dat de functies q en a in (10) de congruentie K niet tot op een projectieve transformatie bepalen. Als we uit (10) y elimineeren, blijkt, dat x voldoet aan de differentiaalvergelijking van Laplace: QXuv QvXu — 0 De oplossing hiervan hangt af van twee willekeurige functies van één variabele ([4], § 51) Nu heeft Finikoff een stelsel differentiaalvergelijkingen opgesteld, waaronder (10), waardoor tegelijkertijd met K nog een tweede congruentie K' tot op een projectieve transformatie na bepaald wordt. Tusschen de stralen van K en K' is een correspondentie één aan één gegeven. Een straal van de congruentie K' stellen we voor door haar snijpunten (X) en (Y) met de focaalvlakken van de homologe straal van K n.l. (x, y, xv) en (x, y, yu). We herinneren er aan, dat (x, y, xv) in het punt *, raakvlak is aan het focaaloppervlak v = constant, (niet aan u = constant) en aan het ontwikkelbaar oppervlak u = constant volgens de rechte (x, y); voor (x, y, yu) geldt het analoge door u en v te verwisselen. We kunnen derhalve stellen: X (xx -j- By “t- yXv (11) Y = ftlx + axy + yxy« Snijdt een straal (XY) van K', de rechte (x, y) van K, dan kunnen we haar niet volgens (11) voorstellen, tenzij ze geheel gelegen is ineen der focaalvlakken van K. Dit laatste is het geval, als een der coëfficiënten y en yx nul is. Zijn beiden nul, dan vallende stralen (x, y) en (X, Y) van Ken K' samen. Dit geval is in § 2 reeds uit- (12) X =px + qy + xv Y = 9i* + pxy +yu of ook: ( xv = X px —qy yu =Y qxx pxy De grootheden p, q, px en qx kunnen geïnterpreteerd worden als de vier niet-homogene lijncoördinaten van de rechte (X, Y) t.o.v. het tetraëder, dat de hoekpunten x, y, xv en yu heeft. We werken dus hier met een beweeglijk coördinatenstelsel. We stellen nu formules op voor de partieele afgeleiden van A en 1 naar uen v. De afgeleide functies Xu en Yv volgen uit (12). Door tevens gebruik te maken van (10) immers x„v —xvu en Vuv yvu vinden we dan: Yu —Mx Ny -)- q\ Yv Nxx Mxy -)- qxX waarin: XL ftu qq± ~t“ QQ I N —qu Ptf +pg+ Qv Mx —p\v qqx +ga Nx q\v pqx 4 pxa 4- au De partieele afgeleiden Xv en Y» drukken we eveneens in x, y, X en Y uit en voeren daarvoor acht nieuwe functies in nl. P, Q, R, S, P1( Qx, Rx, Sx. We stellen dan: (16) Xv PX —QY—Rx Sy Yu = QyX PjY Sxx Rxy Deze functies zijn echter niet geheel willekeurig, ze moeten aan de integrabiliteitsvoorwaarden voldoen, die volgen uit Xuv =Xvu enz. Het volgende stelsel vergelijkingen wordt daarvoor gevonden: gesloten. We kunnen dus, door in X en Y een geschikte evenredigheidsfactor op te nemen, schrijven: Pu qqi M Piv = QQi qqi Qu =PIQ-Pq-qv-S Qiv = PQ\ -Pi?i qiu s4 ( ) Ru =_Mv M(P p)+QS1 + Sq1 —Na Nlq Rlv=—Miu M1(P1 pl)+QiS + SlqNIQ—Nq1 Su = QR4 + Sp4 —Rq+ (M Ml)q —PN— Nv Su = QjR + Sjp Rja + (M1 —M)q4 P4N4 Ni» Door het stelsel betrekkingen (10, 13, 14, 16), waarbij de functies (a) q, o, p, q, pv qlt P, Q, R, S, PQv Rv S1 aan de integrabiliteitsvoorwaarden (17) voldoen, zijnde beide congruenties K en K' tot op een projectieve transformatie na bepaald *). Bewijs: We behoeven slechts te bewijzen, dat het focaaloppervlak x van K tot op een projectieve transformatie na bepaald is. Daarna zijn door (10) en (13) y, Xen Y volkomen bepaald. De congruentie K' is dus dan volkomen bekend. Met behulp van (10), (13), (14) en (16) worden achtereenvolgens xUu, Xuuu en Xuuuu in .r, y, Xen Y uitgedrukt. Elimineeren we daarna deze laatsten, dan vinden we dat x moet voldoen aan de lineaire differentiaalvergelijking: (a) Xuuuu + AXuuu + Bxuu + Cxu +Dx O Hierin zijn A, B, C en D volkomen bepaalde functies van u en v, die we niet nader aangeven. In (a) treedt v als parameter op. De algemeene oplossing luidt: X = C>(1) + C2v(2) + Cav(3) + C4xA) waarbij Cv C2, C3 en C4 geen u bevatten, terwijl *0), ... ~ *0) vier particuliere oplossingen van de differentiaalvergelijking zijn. J) Wilczynski (zie bijv. [2] § 61) stelde een vergelijkingenstelsel op om één congruentie K tot op een projectieve transformatie na te bepalen. Hij voerde daarvoor een hulpcongruentie K'(AT, Y) in (AT = xv, Y = yu) en ging daarna op dezelfde wijze te werk als Finikoff, die deze twee congruenties tegelijkertijd tot op een projectieve transformatie na bepaalt. Als integrabiliteitsvoorwaarden verkrijgt hij dan ook een stelsel betrekkingen als (17); daarin moet dan echter /> = ')+b'i (u',v') w' (I) (of korter door: x a + bw, x' =«'-}- b'w'). Door: u' =fi iu> v)’> v' =fi (u> v) wordt een correspondentie één aan één tusschen de stralen van K en K' tot stand gebracht. Beschouwen wij inde eerste der vergelijkingen (I) w als een functie van u en v, dan stelt deze een oppervlak 5 voor; op elke straal van K is een punt P bepaald. Het vlak door Pen de correspondeerende straal van K' heeft met z als loopende coördinaat de vergelijking: V = (z, x, a', b') = 0 Evenals te voren eischen we nu, dat dit vlak in het punt P aan 5 raakt. dV dV Dan moeten de vlakken = 0 en = 0, eveneens het punt P du dv r bevatten. We lossen dan uit de betrekkingen, die daaruit volgen, wu en wv op en stellen daarna de integrabiliteitsvoorwaarde op, zoodat een functie w gevonden kan worden, die behalve u en v nog een Voor de congruenties K en K' hebben we, als K' stratifieerbaar is t.o.v. K, de volgende tabel van afgeleide functies: parameter bevat. We vinden dan drie betrekkingen tusschen ai, bi, a\, bi', f1 en /2 en na eliminatie van fl en /2 een betrekking tusschen flj, bi, a {, en bi. Derhalve is K' in het algemeen niet stratifieerbaar t.o.v. K. Ook enkele andere, eerder verkregen uitkomsten worden, indien de congruentie K' stratifieerbaar is t.o.v. K, eenvoudiger. Dan is de vergelijking der ontwikkelhare oppervlakken van K', (zie 19): (29) MR1 du2 + (M2 —RR1 + SSX) du dv —RM dv2 = 0 De brandpunten op een straal (X, Y) van K' worden bepaald door, (zie 20): (30) MSy l2 (M2 + RR1 SSJ l MS=0 Tenslotte bepalen we nog de vergelijking der asymptotische krommen op een oppervlak S, zooals dat in het opschrift van deze § werd bedoeld, d.w.z. een oppervlak gegeven door: z = x -j- Ay waarbij A voldoet aan (24), (25) en dus ook aan (26). We moeten dan de coëfficiënten L', M’ en N' (zie y) berekenen, na x vervangen te hebben door 2 = x -)- Ay. Na eenige herleiding blijkt: L' =A2 ( R1 + (x, y, X, Y) M' = A2 (M1 NXA) (x, y, X, Y) N' = A (Ai? S) (x, y, X, Y) De vergelijking van de asymptotische krommen op het oppervlak S is, als A noch nul noch oneindig verondersteld wordt, daar (x, y, X, Y) 0 (31) A (AS* i?t) du2+2k (Mx rfv+(A R— S) dv2=0 Is A nul of oneindig dan is de vergelijking der asymptotische krommen onbepaald. Het oppervlak S valt dan resp. samen met de focaaloppervlakken x en y van K. Deze zijn dan in krommen ontaard, zooals reeds eerder in deze paragraaf is aangetoond. Indien de congruentie K' stratifieerbaar is t.o.v. K, is de vergelijking der asymptotische krommen op ieder der oppervlakken S, (zie 27): (32) A(ASI R}) du2 2AM du dv +(AR S) dv2=O. Van dit vraagstuk is in § 2 de oplossing van F u bi n i weergegeven. Nu beschouwt Vincensini in zijn artikel, [7], waartoe we inde volgende paragraaf overgaan bovendien nog één congruentie K' als gegeven. Hierbij is K' stratifieerbaar t.o.v. K; de oppervlakken S brengen haar stratifieerbaarheid t.o.v. K teweeg. Daarna bepaalt hij de overige congruenties K', stratifieerbaar t.o.v. K, die eveneens eender oppervlakken 5, s(°) genaamd, als een oppervlak bezitten, dat bij haar stratifieerbaarheid behoort. We laten nu eerst zien, met behulp van het stelsel van FinikoF F, dat we bij een gegeven oppervlak S(°) minstens één dergelijke congruentie K' kunnen vinden. Tevens vinden we dan de uitkomst van Fuß i N i betreffende de uitgebreidheid der congruenties K', terug. We beschouwen weer de congruentie K als gegeven, bijv. door de brandoppervlakken (x) en (y). Het oppervlak S(°)(z) wordt bepaald door: z(°) = x + X°ïy. Vaneen geheel willekeurige congruentie K, die dus niet stratifieerbaar t.o.v. K behoeft te zijn, ligt een straal r in het raakvlak aan S(°) in het snijpunt P0 vaneen willekeurige straal r van K met S(°). Hierdoor is een correspondentie één aan één tusschen de stralen van K en K vastgelegd. We kunnen K bepalen op de wijze, waarop dat tevoren, in § 3, is geschied; de lijncoördinaten geven we nu aan door p, q, plt qy en schrijven eveneens M, Mv N, Ny. Dan is dus gegeven: (24) A„(°) = °>2 + faX® q (25) A„() = oW)2 —pX o) + ~q Hieruit volgt tevens: (26) NtX°)2 (M + Mi) A(<» + N = 0 Een congruentie K', stratifieerbaar t.o.v. K, door middel van een oppervlakkenstelsel S, waartoe S(°) behoort, stellen we eveneens voor, als in § 3 en § 4. De oppervlakken 5 zijn bepaald door: § 5- BEPALING VAN DE CONGRUENTIES K', STRATIFIEERBAAR T.O.V. K, WANNEER NOG ÉÉN DER OPPERVLAKKEN S, DIE DE STRATIFIEERBAARHEID TEWEEGBRENGEN, GEGEVEN IS. z x + A (m, v, a) y, terwijl S<°) hieruit volgt door: A (u, v, a°) —A° (u, v) Voor de congruentie K geldt: (12) X=px+ q y + x„\ Y =qx x+ px y y» Eveneens, als p, q, px, qr de lijncoördinaten zijn van de straal r' van K', die met de straal r van K correspondeert: (12) X=px + q y + xv) Y=qxx+ px y + y«. Tevens liggen de punten X en A' op de raaklijn in P„ aan de v-kromme op S<°), derhalve: (33) X=X + m (u, v) z(°); Y=Y + n [u, v) z(°). Hieruit volgt, in verband met (12) en (12): p=p + m] p-, = p-, + (34) ft-'’ fi fi q=q + mAW; qx —qx +n. We kunnen nu de betrekkingen tusschen M, N, Nv M1 en M, N, Nv Mx afleiden. Deze zijn: SM —M+ mu m—qn A(°> nm N = N + (mu A(°>ft m—q n A(%m) A(°> Nx —Nx+ nv A(°)crn —pn qxm —mn Mx =Mx + (nv + A(°)tr n—pn qxm w«)A(°) Nu moet de congruentie K' stratifieerbaar t.o.v. K zijn door middel van de oppervlakken S; dus geldt: N =N1=M + M1 = 0 Hieruit en uit (35) volgt: 1 N + {mu m— q n A(°)wt») A<°) = 0 |NI-f nv + A(°) een We vragen nu of er oo1 congruenties te vinden zijn, waarvan de homologe stralen in n steeds een bundel vormen als n de raakvlakken aan het oppervlak S(°) doorloopt. Hierbij laten we ook de congruentie K behooren. Dit is geen bijzondere eisch, daar we iedere congruentie uit het stelsel als K kunnen laten fungeeren. Laat Teen punt zijn op de straal (X, Y) van K, dat de coördinaten (X —cp (u, v) Y) bezit. Nu moet

2cr —mp A„(°) B=iP+

. Laat 71 zoo’n vlak zijn. integrabiliteitsvoorwaarde luidt: s=o; deze kan wegens (24), (25) en (28) geschreven worden als: (39) cpuv (fu vervangen denken, gelden nu in het algemeen niet. De rechten van de congruentie K', die de punten: (33) X = X + m (u, v) z ; Y = Y + n (u, v) z verbinden, zijn nu eveneens inde correspondeerende raakvlakken o (M> v) gelegen. De lijncoördinaten van de rechten van K' noemen we p, q, pi en q{, het verband met de lijncoördinaten van K is: p=p -f- m ; pi =pi + wco q = q + ma> ; ?i = u c°2

  • x> Y, x + vy) = 0 (z loopende coördinaat), als voor elke waarde van z, voldaan is aan: (6) (2> X> Y’ x + vy)» + a {*> x> Y, x + vy) = 0 (z, X, Y, x + vy)v + b (z, X,Y,x+ vy) =0 = bu) Na eenige herleiding, vinden we hieruit de voorwaarden: Er moet een functie v bestaan, die voldoet aan: («) N-vM = O (6) M1 vN1 = O (c) S vR = O (d) Rt —vSt =0 en bovendien aan: (8) (e) vu + v2qtv +q= 0; (/) vv v2a +vp— q =0 Dank zij (7, a) en (7, b) is voldaan aan vUv = vvu. De betrekkingen (8) zijn identiek met (I, 24) en (I, 25). Uit (7) volgt, dat de matrix: (c) AT Mi S R, M R Sj van de eerste rang moet zijn. Het is gemakkelijk in te zien, dat als twee der matrices (o), (b) en (c) van de eerste rang zijn, dat met de derde matrix ook het geval moet zijn. Is de matrix (a) van de tweede rang dan bestaat de congruentie K' uit oo2 rechten (§ 1). Dan zal de functie v, die aan (7) voldoet, automatisch een oplossing zijn van (8), zoodat (8) weggelaten kan worden. Om dat aan te toonen, hebben we weer drie gevallen te beschouwen: «: v kan iedere waarde hebben. /?: v = 0 of 00. y: v is noch nul, noch oneindig. Het geval a behoeven we niet te beschouwen, daar dan alle functies van de matrices nul zijn en dus K' uit één rechte bestaat. /?: v=0 of co. De redeneering verloopt analoog met die onder /? van § 2. We geven haar daarom hier niet weer. Als v=O, is het vlak (x, X, Y) een vast vlak. Het focaaloppervlak x van K. is dan ineen vlakke kromme ontaard, in dat vlak gelegen. Dit is het duale beeld van de kegel x met X als top, waarvan onder van § 2 sprake is. y. Het bewijs is nu analoog aan dat onder y van § 2. We moeten dan (7, a) en (7, b) resp. naar u en v differentieeren. Na eenige herleiding waarbij o.a. de vier laatste betrekkingen van (I, 17) Stelling 2: Zijnde matrices (o), (b) en (c) alle van de eerste rang en voldoet v, door (7) bepaald, aan (8), dan raken de rechten van K' aan een vlakke kromme. De brandpunten en de ontwikkelbare oppervlakken van de congruentie K' zijn voor deze gevallen onbepaald. Is bovendien x, die aan (4) voldoet, een oplossing van (4'), dan vormen de rechten van K' een waaier. § 4- OVERZICHT VAN DE BIJZONDERE GEVALLEN, WAARIN DE CONGRUENTIE K' KAN VOORKOMEN. De klassificatie wordt beheerscht door de volgende matrices: M N Sy Ry S R M N N Mx S Ry RSNyMy ’ { l My Ny Sy Ry 1 MNyRSy en door de twee stelsels vergelijkingen: I = xu + QyX2 Pyx + q —0; K = vu + v% qx vpx + q = 0 J= xv fax2 d- Px —Q— 0; L Vv —v2 a -j- vp— q =0 Zijn twee der matrices (a), (b) en (c) van de eerste rang, dan is dat ook met de derde het geval. Nu zijn voor K' de volgende gevallen mogelijk: 1: M=iV=S=i? =My =Nx —Sy =Ry =0: K' bestaat uit één straal. 2: (a) rang 1; (b) rang 2; (c) rang 2: K' vormt een scheef regeloppervlak. 3: («) „ 2; (b) „ 1; (c) „ 2: „ ~ ~ stralenschoof. 4: (o) „ 2;(b) „2; (c) „ 1: „ „ ~ vlakke congruentie. 5: (a) „ 1; (b) ~ 1; (c) „ 1: „ ~ ~ ontwikkelbaar oppervlak. toegepast worden, vinden we dan, dat, als Ml\IX RRl 0, v tevens aan (8) voldoet. Is echter MMX RRX = 0 dan is de matrix (a) van de eerste rang, hetgeen uitgesloten is. Dus: Stelling 1: De congruentie K' is een vlakke congruentie, indien de matrix (c) van de eerste rang is en de matrices (a) en (b) van de tweede rang zijn. C 5(a): x = =Jf— • • • (zie (b)) voldoet bovendien aan N1 3 I=J=o: K' is een kegel. 5(/l): x=m = =• • • (zie (c)) voldoet bovendien aan K = L 0: De congruentie K' omhult een vlakke kromme. 5(y): Gelden zoowel de voorwaarden van 5 (a) als van 5 (ft), dan vormt K' een waaier. Tenslotte vermelden we nog twee bijzondere gevallen: 3(a): M =N =R =S =Q =q =0 De top van de stralenschoof is het punt X\ bovendien is het focaaloppervlak x van Keen kegel met X als top. Naar analogie hiervan: 3(0): Mx =N1=R1=S1=Q1=ql=0. De top van de stralenschoof is het punt Yj het focaaloppervlak y van K is een kegel met Y als top. 4(a): N =MI=S =RI=q1=q =e = 0 De vlakke congruentie is gelegen in het vlak, waarin de focaalkromme % van K is gelegen. Naar analogie hiervan: 4(/9): M = Nl=R=S1=qI=a=o. De vlakke congruentie is gelegen in het vlak, waarin de focaalkromme y van K is gelegen. »S R In het geval 3 wordt door (zie (b)) automa••. N M tisch aan /=/ = 0 voldaan; in 4 eveneens door v = =—l = M N1 (zie (c)) aan K = L=O. § 5- DE ONTWIKKELBARE OPPERVLAKKEN OF DE BRANDPUNTEN OFBEIDEN VAN DE CONGRUENTIE K' ZIJN ONBEPAALD. Bij de bijzondere gevallen, waarin de congruentie K' kan overgaan en waarvan in § 4 een overzicht is gegeven, zijn steeds öf de brandpunten öf de ontwikkelbare oppervlakken óf beiden onbepaald. We bewijzen hier alleen: Zijnde ontwikkelbare oppervlakken van K' onbepaald, dan gaan alle rechten van K' dooreen vast punt of zijn ineen plat vlak gelegen, of K' is ontaard ineen ontwikkelbaar oppervlak. Bewijs: De ontwikkelbare oppervlakken van K' zijn volgens (I, 19) onbepaald, als («) NSt —M Rx = O (9) [b) NIS MIR = O (c) M Af, —JV Nt + RRx —S Sl = O Elimineeren we Sen Sx in (c) met behulp van (a) en (b), dan vinden we na eenige herleiding, dat (c) kan vervangen worden door: (d) (M M1 —NNJ (N —RRJ = 0 Voegen we MM1 —N Nx =0 toe aan (a) en (b), terwijl NN1 RRi O, dan blijkt dat de matrix (c) van de eerste rang is; met (a) en (6) is dat niet het geval. We verkeeren in het geval 4 van § 4: K' is een vlakke congruentie. Wordt aan (a) en (b) NNx R =0 toegevoegd, terwijl MMj— N N1 0, dan is de matrix (b) van de eerste rang, terwijl (a) en (c) van de tweede rang zijn. Dus is K' een stralenschoof. Zijn beide termen van het product (d) gelijk aan nul, dan zijnde matrices (a), (b) en (c) alle van de eerste rang, zoodat K' een ontwikkelbaar oppervlak is. Het bewijs verloopt analoog, indien verschillende functies der matrices nul zijn. Hiermede is de stelling bewezen. Op overeenkomstige wijze is aan te toonen: Zijnde brandpunten van K' onbepaald, dan zijnde rechten van K' ineen plat vlak gelegen of K' is ontaard ineen regeloppervlak. We toonen nu aan: Als van K' de brandpunten of ontwikkelbare oppervlakken onbepaald zijn, verkeeren we in één der bijzondere gevallen van § 4. § 6 – DEFINITIES VOOR DE STRATIFIEERBAARHEID VAN EEN REGELOPPERVLAK Y T.O.V. DE CONGRUENTIE K EN VAN DE CONGRUENTIE K T.O.V. Y. I°. HET REGELOPPERVLAK Y IS SCHEEF. Als K' ineen regeloppervlak F ontaard is, is het duidelijk, dat de definitie, die gegeven is van de stratifieerbaarheid vaneen congruentie K' t.o.v. K niet meer geldt. Er is dan niet een één-éénduidige correspondentie tusschen de stralen van K en F aan te brengen. Daarom geven wij voor dit geval een nieuwe definitie der stratifieerbaarheid van F t.o.v. K. Door elke straal van het regeloppervlak F kunnen oo1 vlakken gebracht worden. Deze vlakken, oo2 in aantal, kunnen op oneindig veel manieren gegroepeerd worden, zoodat ze telkens een stelsel van oo1 ontwikkelbare oppervlakken 5 omhullen. leder der ontwikkelbare oppervlakken van zoo’n stelsel wordt daarbij aangeraakt door één vlak van iedere bundel, die een rechte van F als drager heeft. We denken ons nu één dezer stelsels S zoo gekozen en K zoo op gebouwd uit regeloppervlakken Q, dat hierdoor de beschrijvenden van F en de oppervlakken Q één aan één aan elkaar toegevoegd kunnen worden, op de volgende wijze: Laat q een beschrijvende van W zijn; elke rechte van de oppervlakken S, die ineen raakvlak door q ligt, wordt gesneden door alle rechten van Q. In dit geval noemen we W stratifieerbaar t.o.v. K. Deze definitie kunnen we als grensgeval opvatten van die der stratifieerbaarheid vaneen niet ontaarde congruentie K' t.o.v. K. Wordt van het voorgaande, waarbij het regeloppervlak W stratifieerbaar is t.o.v. K, de poolfiguur t.o.v. vaneen quadratisch oppervlak genomen, dan verkrijgen we het volgende: (we noemen dan de reciproke poolfiguur van W, W; van K, K' en van ieder der regeloppervlakken Q, Q'). We nemen op Ween stelsel krommen a aan, die alle elke beschrijvende in één punt snijden, terwijl er door elk punt van elke beschrijvende één dezer krommen gaat. 2- K' IS STRATIFIEERBAAR T.O.V. DE CONGRUENTIE K; BIJZONDERE GEVALLEN. Laat q' een beschrijvende zijn van ¥'\ de raaklijnen aan de krommen oin de punten van q' worden alle gesneden door beschrijvenden van Q'. We noemen dan de congruentie K' stratifieerbaar t.o.v. het regeloppervlak ¥'. Van deze beide dualistisch tegenover elkaar staande gevallen behandelen wij alleen het eerste: het regeloppervlak ¥ is stratifieerbaar t.o.v. de congruentie K. Met iedere straal van ¥ correspondeert dus een regeloppervlak Q, dat volgens de definitie een quadratisch oppervlak moet zijn, daar het twee regelscharen bevat. De stralen van K moeten dus gegroepeerd worden inde beschrijvenden van oo1 quadratische regelscharen Q. Het tweede stelsel rechten der oppervlakken Q, die wij richtlijnen noemen, vormt een nieuwe congruentie, die we als de complementaire congruentie L aanduiden. De rechten van L kunnen op twee manieren samengevat worden inde rechten vaneen stelsel ontwikkelbare oppervlakken; één van deze stelsels hebben we 5 genoemd. Verder kunnen de raakvlakken aan de oppervlakken 5 in bundels vereenigd worden, waarvan de dragers het regeloppervlak ¥ vormen; elke rechte van ¥ draagt een bundel vlakken, die elk der oppervlakken 5 raken ineen richtlijn van het correspondeerende oppervlak Q. Daar ieder vlak dooreen rechte van ¥ tevens raakvlak aan ¥ is, volgt hieruit onmiddellijk, dat ¥ een focaaloppervlak van de congruentie L moet zijn. Ook blijkt, dat iedere rechte van ¥ alle richtlijnen van de correspondeerende regelschaar Q moet snijden, zoodat ze tot de beschrijvenden van Q moet behooren. Men kan dus hieruit concludeeren, dat de rechten van ¥ tot de congruentie K behooren. Het ligt dus voor de hand, uitte gaan vaneen congruentie L, die voldoet aan twee eischen: 1 Zij wordt gevormd door de richtlijnen vaneen stelsel tweedegraads oppervlakken. We denken ons deze krommen zoo bepaald en tevens K' zoo opgebouwd uit regeloppervlakken Q', dat de beschrijvenden van ¥' en de oppervlakken Q' één aan één aan elkaar toegevoegd kunnen worden op de volgende wijze: 2° Zij heeft een regeloppervlak W als één van haar focaaloppervlakken. Dan blijkt het, dat volgens de voorgaande definities de congruentie K, die weer de complementaire congruentie van L is, d.w.z. de congruentie, gevormd door de beschrijvenden van dezelfde tweedegraads oppervlakken, stratifieerbaar is t.o.v. XF, terwijl ook XF stratifieerbaar is t.o.v. K. Dus: Stelling 1: Is een regeloppervlak xIJ stratifieerbaar t.o.v. een congruentie K, dan is omgekeerd K stratifieerbaar t.o.v. x¥. Er blijft nog de vraag, hoe een congruentie L voort te brengen, opgebouwd uit quadratische regelscharen, die een regeloppervlak als één harer focaaloppervlakken bezit. Daarvoor kunnen we dat regeloppervlak willekeurig aannemen en daarop een krommenstelsel als één der stelsels focaalkrommen van L, dat de beschrijvenden van XF in projectieve puntreeksen snijdt; drie van deze krommen kan men willekeurig aannemen 1). Tenslotte kan nog het aan het begin van deze § genoemde stelsel S van ontwikkelbare oppervlakken onmiddellijk worden aangegeven. Het wordt nl. gevormd door één der beide stelsels ontwikkelbare oppervlakken uit L, nl. dat stelsel waarvan de raakvlakken W omhullen, dus wier keerkrommen niet op ¥ liggen. We bewijzen nu nog een eigenschap. De complementaire congruentie L bezit twee stelsels ontwikkelbare oppervlakken, zoodat er hoogstens twee regeloppervlakken 'F kunnen zijn, stratifieerbaar t.o.v. de congruentie K. Deze beide regeloppervlakken zijn dan volgens voorgaande de focaaloppervlakken van de congruentie L. Dan is echter de karakteristiek (C4), die op ieder quadratisch oppervlak Q gelegen is, ontaard in vier rechten op Q, twee van elke regelschaar. De focaaloppervlakken van de complementaire congruentie K zijn dus ook regeloppervlakken, die nu ook stratifieerbaar t.o.v. L zijn *). Dus: Stelling 2: Als twee regeloppervlakken W stratifieerbaar zijn t.o.v. 1) Zie: W. van der Woude and J. J. D ro n k e rs. Rectilinear congruences in the threedimensional space built up of quadratic reguli. (Kon. Ak. van Wet. Proc. Vol. XLI, no. 8, p. 867—872 (1938)). § 7- VOORWAARDEN, OPDAT EEN SCHEEF REGELOPPERVLAK STRATIFIEERBAAR IS T.O.V. DE CONGRUENTIE K Vo gens § 4 worden een congruentie K en een scheef regeloppervlak / tot op een projectieve transformatie na bepaald, als in het stekd van Finikoff de matrix (a) van de eerste rang is, maar (o) en (') van de tweede rang zijn. Het is dan gemakkelijk in te zien, dat ook nu voor de stratifieerbaarheid van W t.o.v. K, de voorwaarden: (J- 27) M+Ml = N = = 0 noodig zijn. Het bewijs is geheel als in (I, § 4); het gegeven, dat («) e rang een heeft, brengt in dat bewijs geen verandering. Wel volgt hieruit nog: b (10) S =S1 =M2 + RRx =0 Daar (b) en (c) de rang twee hebben, zijn M, Ren R, ongelijk aan Omgekeerd: Is in het stelsel van Finikoff de matrix (a) van de eerste rang, en dus K' ineen regeloppervlak V ontaard, dan vormen, opdat ¥ stratifieerhaar zal zijn t.o.v. K, de vergelijkingen (I, 27) voldoende voorwaarden. Bewijs als in (I, § 4). We herhalen het hier even. Op elke straal (x, y) van K nemen we een punt: p = x -\- Xy waarin X voldoet aan (I, 24) en (I, 25). Dan beschrijft p, als de parameter a in X (u, v, et) constant wordt gehouden, een oppervlak 5. Het raakvlak in p aan 5 wordt voorgesteld door: V (z, p, pu, pv) =0 (z loopende coördinaat) dus wegens (I, 10, 13, 24, 25, 27) door: V = (z, p, X, Y) = 0 Hieruit blijkt, dat V = O door de correspondeerende rechte van 'P gaat. Hieraan kunnen we nu toevoegen: Gaan we uit vaneen rechte (uO, v„) van K, dan zal, als wij uen v zoo laten varieeren, dat voldaan wordt aan: de congruentie K, zijn er ook twee regehppervlakken stratifieerhaar t.o.v. de complementaire congruentie L. Hierbij zijn W de brandvlakken van de congruentie K en V de brandvlakken van de congruentie L. (11) Mdu Rdv = 0 deze rechte een regeloppervlak Q in K voortbrengen, waarmede steeds dezelfde rechte van W correspondeert. Op iedere straal van Q ligt een punt p = x + Xy; deze punten vormen in het algemeen een kromme. Ze vormen echter een rechte lijn, indien X aan (I, 24) en (I, 25) voldoet en a constant gehouden wordt. De vergelijking van het raakvlak in het veranderlijke punt p, is nl. invariant, immers: »dV , „„ <*• P> q. Pi, ?i. P, Q, R, Plt Qv Rv M die de congruentie K en het regeloppervlak W volgens het stelsel van F i n i k o F F definieeren, voldoen aan dertien betrekkingen, verkregen uit (I, 15, 17, 27) en (10). Hierbij kunnen drie functies! bijv. M, R en R1 dadelijk uitgedrukt worden inde overige. Er blijven tenslotte tien functies over, die voldoen aan tien differentiaalvergelijkingen. De congruentie K mag dus niet willekeurig worden aangenomen. Zooals is gebleken, kan ze opgebouwd worden uit oo1 quadratische regelscharen Q. Bovendien moet L, de complementaire congruentie van K, als één harer focaaloppervlakken het regeloppervlak 'l' hebben, terwijl de focaalkrommen op dat regeloppervlak bepaald gekozen moeten zijn (zie § 6). q =q =o Volgens (I, 10) is dan (x) alleen van v afhankelijk. Uit de op één na laatste betrekking van (I, 17) en (10) volgt dan, dat Q = O. Na eenige herleiding, waarbij van (I, 12, 16, 27) en (10) wordt gebruik gemaakt, vinden we dan, dat (x) een oplossing is van de differentiaalvergelijking: (12) xvv -f- xv (P + />) + x (Pp R pv) =0 terwijl volgens (I, 15, 17, 27) en (10) (P + p)u =0 en (Pp +R -f pv)u = o Het focaaloppervlak % is dan ineen rechte ontaard ([2l, p. 4). Het punt X beweegt zich bij veranderlijke v langs de rechte x (zie I, 12). De oo1 vlakken (x, X, Y) vormen een bundel met de rechte * als drager. Inde vlakken van dien bundel zijnde stralen van K gelegen. De congruentie Kis dan opgebouwd uit oo1 quadratische regelscharen Q, die alle een rechte, behoorende tot de complementaire congruentie L, gemeen hebben. De rechten van het regeloppervlak P snijden eveneens die rechte. § 8 – EEN ONTWIKKELBAAR OPPERVLAK ¥ IS STRATIFIEERBAAR T.O.V. DE CONGRUENTIE K. De definitie van stratifieerbaarheid vaneen regeloppervlak V t.o.v. K(§ 6) kan nu geheel worden overgenomen; de oppervlakken Q, waarin de stralen van K gegroepeerd worden, zijn nu echter platte vlakken, zooals dadelijk zal worden aangetoond. De voorwaarden, opdat K' gevormd wordt door de beschrijvenden vaneen ontwikkelbaar oppervlak W zijn: De matrices (o), (b) en (c) moeten van de rang één zijn (§4). Geldt verder: N =NX =M+Ml=O, dan is stratifieerbaar t.o.v. K. Daar de matrices (a), (6) en (c) de rang één hebben, volgt dan: (13) M=oenófß=S = 0, óf Rx = = 0 Als M = R = S=0 volgt uit de vijfde en de op één na laatste betrekking van (I, 17): Q = 0. Dus is (x) een ontwikkelbaar oppervlak en K opgebouwd uit stelsels van oo1 rechten, die inde raakvlakken u = constant van (x) gelegen zijn Tenslotte nog een opmerking: Het focaaloppervlak x van K is ineen rechte ontaard, als Wt.o.v. K stratifieerbaar is en X = 0 aan (I, 24) en (I, 25) voldoet, zoodat: Volgens deze rechten worden dan tevens de oppervlakken S, die de stratifieerbaarheid teweegbrengen, door de vlakken door q aangeraakt. We toonen nu aan, dat het punt P op de keerkromme van het ontwikkelbare oppervlak W gelegen is. Laat (X -j- t Y) de keerkromme van ¥ zijn. In § 1 is aangetoond, dat dan x aan de betrekkingen (2) moet voldoen. Daar het ontwikkelbare oppervlak F stratifieerbaar is t.o.v. de congruentie K, geldt dus: M —My = N =Nj =0 Uit deze enM=R=S=o volgt dan uit (2), dat r = 0, zoodat het punt X of Y de keerkromme van het ontwikkelbare oppervlak P doorloopt. Nu ligt echter het punt X steeds in het focaalvlak (x, y, xv), dus X en P vallen samen en P ligt op de keerkromme van W. Het voorgaande geldt ook, als de rechten van K' een vlakke C D kromme omhullen. Dan moet bovendien v=— of v =—- aan (8) voldoen (zie § 4,5 (/S)). ° Opgemerkt wordt, dat in tegenstelling tot het geval, dat de rechten van Ween scheef regeloppervlak vormen, de rechten van het ontwikkelbare oppervlak'l?' niet tot de congruentie K behoeven te behooren. Daarvoor zou o.a. noodig zijn dat de rechten van W inde vlakken liggen, die het ontwikkelbare focaaloppervlak van K omhullen, dan kan echter niet meer van stratifieerbaarheid inden eigenlijken zin gesproken worden. Het blijkt verder, dat aan het ontwikkelbare oppervlak W, stratifieerbaar t.o.v. de congruentie K, geen enkele voorwaarde behoeft te worden opgelegd. Wij bewijzen nl. de volgende stelling: Stelling: Is van de congruentie K één der focaaloppervlakken D ontwikkelbaar, dan is ieder, overigens willekeurig, ontwikkeïbaar oppervlakW, stratifieerbaar t.o.v. de congruentie K, mits de keerkromme van W niet op het ontwikkelbare oppervlak D ligt of de rechten van W de raaklijnen zijn vaneen vlakke kromme ineen raakvlak van D. We beschouwen nu één dezer raakvlakken één punt gemeen hebben. Evenals in § 8 vinden we ook nu: M —N= Mx =iV1 R = S=Q = 0 waaraan hier toegevoegd moet worden: q =O. Verder kunnen we evenals daar, (§ 8), de stelling uitspreken: Is van de congruentie K één der focaaloppervlakken een kegel D, dan is elke andere kegel W+ met dezelfde top stratifieerbaar t.o.v. K. Die stratifieerbaarheid kan op oneindig veel verschillende wijzen worden vastgelegd. De correspondentie, die daarbij aangenomen moet worden tusschen de rechten van W+ en de regeloppervlakken {hier platte vlakken) van Kis dan deze: de rechten van W+ correspondeer en één aan één met de raakvlakken van D [of liever met de rechten van Kin zoo’n vlak); deze correspondentie is overigens willekeurig. Deze ruimtestelling volgt door centrale projectie uit de volgende hulpstelling: Laat een correspondentie één aan één gegeven zijn tusschen de punten L(x) en L'(x') van twee in hetzelfde vlak gelegen krommen C en C , dus ook tusschen de punten L(x) en de raaklijnen l' van L'. Dan kunnen de oo1 bundels rechten, met toppen inde punten van L, zóó gerangschikt worden als raaklijnen aan een krommenstelsel, dat de rechten, die ineen punt Leen bundel vormen, deze krommen steeds aanraken inde punten van de correspondeerende rechte l'. Hierbij is aangenomen, dat het punt L(x) (in het algemeen) niet op V ligt. Bewijs: Schrijven wij: (i) x+ =x'+

    resp. (m) 2 MMU -j- Su S± -j- SSiu = O (n) 2 MMV +Sv + SSlv = O Uit (tn) berekenen we Slu door M„ en Su met behulp van (ƒ) en (/e) te elimineeren: (o) Si» = 2 M Qx 2 5j Pj + S2 pv Eveneens volgt uit (n), (i) en (/): (p) Sv =—2 MQ +Sp —2 SP. Berekening en gelijkstelling van Suv en Svu, door middel van (k) en (p), leidt tot Spu = splv Dan moet óf 5=0 óf pu = p\v zijn. In het eerste geval is volgens (15): M=0 terwijl dit in het tweede geval ook geldt, zooals blijkt, door inde uitdrukking voor M+Ml = 0, (zie I, 15), plv door pn te vervangen. Berekening van Su,u = Siuv leidt eveneens tot: {pu piv) = 0 Hieruit kunnen dezelfde conclusies getrokken worden. De matrices (o) en (c) zijn dus van de eerste rang. Dan vormen de rechten van K' een kegel. We verkeeren in het geval, dat in co1 § 9 behandeld is. B. Als v, —O is M—R—S = 0 en één der functies S1 en R1 zeker ongelijk aan nul. De congruentie K' is ook dan ontaard in rechten, die een kegel vormen (zie weer § 9). C: Dan vormen de rechten van K' een kegel, met Y als top. Dus: Stelling 1: Gaande rechten van K' door één punt en is K' stratifieerbaar t.o.v. K, dan vormen de rechten van K' een kegel. Stelling 2: Liggen de rechten van K' ineen vast vlak en is K stratifieerbaar t.o.v. K', dan omhullen de rechten van K' een vlakke kromme. Nu volgt het geval, dat de rechten van K' ineen vast vlak (X, Y, x _f- vy) gelegen zijn (zie § 3). De functie v moet dan aan (7) voldoen, terwijl de matrices (a) en (b) van de tweede rang moeten zijn. Als K' t.o.v. K stratifieerbaar is, volgt uit (7), wegens (I, 27): (16) M = SSi RRX = 0 Uit M = 0 volgt, dat de parameterkrommen (u, v) op de oppervlakken 5 harmonisch gescheiden worden door de asymptotische krommen op S (zie I, 32). De congruentie K noemen we dan geconjugeerd t.o.v. de oppervlakken S. Dus: Stelling 3: Zijnde rechten van K' ineen vast vlak gelegen, en is K' stratifieerbaar t.o.v. de congruentie K, dan is K geconjugeerd t.o.v de oppervlakken S, door de stratifieerbaarheid van K' t.o.v. K bepaald. Deze stelling is ook door Fubini [s] bewezen. Nemen wede poolfiguur t.o.v. een quadratisch oppervlak, dan vinden we: Stelling 4: Gaande rechten van K dooreen punt en is K' stratifieerbaar t.o.v. de congruentie K, dan is K' harmonisch t.o.v. de oppervlakken S, door de stratifieerbaarheid van K' t.o.v. K bepaald. In hoofdstuk 111, § 1 wordt het begrip harmonische ligging vaneen congruentie t.o.v. een net, op een oppervlak 5 gelegen, nader uiteengezet. We geven het hier in het kort even weer. Laat tusschen de punten van het oppervlak S en de stralen van de congruentie een correspondentie één aan één gegeven zijn. Indien nu de brandpunten van iedere straal r van die congruentie gelegen zijn op de raaklijnen aan het net in het correspondeerende punt op S, wordt de congruentie harmonisch t.o.v. het net genoemd. Bestaat K' uit oo1 rechten, die een vlakke kromme omhullen, Beschouwen we van dit geval de poolfiguur t.o.v. een quadratisch regeloppervlak, dan vinden we in verband met de definitie van stratifieerbaarheid vaneen congruentie K t.o.v. een regeloppervlak W (§6): § 11 – DE ONTWIKKELBARE OPPERVLAKKEN VAN DE CONGRUENTIE K OF K' OF VAN BEIDE, ZIJN ONBEPAALD, TERWIJL K' STRATIFIEERBAAR IS T.O.V. K. We vermelden eerst enkele gevallen, die door Fubini zijn aangegeven [s], Laten de ontwikkelbare oppervlakken van K, zoowel als van K', onbepaald zijn. Dan zijn twee gevallen mogelijk: of alle rechten van K gaan dooreen vast punt P of ze liggen ineen vast vlak (§ 5). Fubini neemt aan, dat de congruentie K niet ontaard is ineen regeloppervlak. Als alle rechten van K dooreen vast punt P gaan, kunnen niet alle rechten van K' dooreen vast punt Q gaan. Want dan zouden alle oppervlakken S kegels moeten zijn met Q tot top; alle rechten van K, die eenzelfde beschrijvende van zoo’n kegel snijden, zouden dan echter met dezelfde rechte van K' correspondeeren, hetgeen strijdig is met de vooropgezette correspondentie één aan één tusschen de stralen van K en K'. Gaan dus alle rechten van K door een vast punt P en zijn ook van K' de ontwikkelbare oppervlakken onbepaald, dan moeten alle rechten van K' ineen vast vlak ,-r liggen. Nu zijn nog twee gevallen mogelijk: a. Het punt P ligt in n. Nemen we voor het oogenblik Cartesiaansche coördinaten en voor n het oneindig vergelegen vlak. De vlakkenbundels door de rechten vanK'zijn dan evenwijdige stelsels, terwijl ook alle rechten van K evenwijdig loopen. De raakvlakken aan de omhullende oppervlakken Sin de snijpunten met eenzelfde rechte van K zijn dus evenwijdig. Dooreen translatie // aan de rechten van K zijn deze oppervlakken derhalve in elkaar over te voeren. b. Het punt P ligt niet in n. Nemen we voor n nogmaals het oneindig vergelegen vlak, dan reduceert zich het systeem oppervlakken S tot een stelsel homothetische oppervlakken met P als centrum van homothetie, daar ook nu homologe raakvlakken evenwijdig zijn, terwijl homologe raakpunten dooreen rechte, die door een vast punt gaat, verbonden worden. dan zijn alle oppervlakken 5 ontwikkelbaar. Dan moet, daar dan de matrices (a) en (b) van de eerste rang zijn, voldaan zijn aan(l3). We behandelen nog het geval, dat de ontwikkelbare oppervlakken van K' onbepaald zijn, terwijl die van K bepaald zijn. Volgens (I, 19) en (I, 27) zal dan moeten gelden: A: M=0 ; SS! RR1 = 0 of: B: R = =0 ; M2 + SS1=O. In het geval A hebben wede voorwaarden (16) gekregen. Van de congruentie K', liggen dus de stralen ineen plat vlak. De voorwaarden van B zijn identiek met (14) en (15). Volgens stelling 1 van § 10 vormen dan de rechten van K' een kegel of lijnenbundel. De brandpunten van K' zijn onbepaald, als voldaan is aan het hiervoren vermelde geval A of aan: C: 5 =Sj = 0 ; M2 + RRX = 0 zoodat we dan de voorwaarden (10) verkrijgen. Dan is K' ontaard ineen regeloppervlak (zie § 7). §l2-HET AANTAL OPPERVLAKKEN S, BEPAALD DOOR DE STRATIFIEERBAARHEID VAN DE CONGRUENTIE K' T.O.V. DE CONGRUENTIE K, DAT ONTWIKKELBAAR KAN ZIJN. Als er onder het stelsel oppervlakken S een ontwikkelbaar oppervlak aanwezig is, moeten de rechten van de congruentie K' inde raakvlakken van dat ontwikkelbare oppervlak gelegen zijn. Deze raakvlakken vormen dan tevens een stelsel ontwikkelbare oppervlakken van K'. Daar de congruentie K' hoogstens twee stelsels ontwikkelbare oppervlakken bezit, (tenzij de vergelijking der ontwikkelbare oppervlakken onbepaald is), kunnen dus hoogstens twee oppervlakken 5 ontwikkelbaar zijn. Uit het stelsel van Finikoff is dezelfde conclusie te trekken: Een oppervlak S (x -j- Xy), waarin X aan (I, 24) en (I, 25) voldoet, zal ontwikkelbaar zijn, als de discriminant van de vergelijking der asymptotische krommen op S, twee samengevallen wortels bezit. Dan moet X tevens voldoen aan de quadratische vergelijking: (17) — X (M2 -f RRX + SS,) + R£ = 0 (a) M=oenófS=R = 0 óf Sx = = 0 (b) De gevallen, die onder BenCin § 11 behandeld zijn. De betrekkingen onder (a) zijn identiek met (13), zoodat de rechten van K' dan een ontwikkelbaar oppervlak vormen en dus K' steeds uit oo1 rechten bestaat. Alle oppervlakken S zijn dan ontwikkelbaar (§ 6). Eveneens is dat zoo met de gevallen onder (b) vermeld. zoodat er hoogstens twee waarden voor X te vinden zijn. Is (17) onbepaald, dan moet één der hieronder genoemde gevallen (a) of (b) optreden: EEN CONGRUENTIE K' IS STRATIFIEERBAAR T.O.V. EEN CONGRUENTIE K, TERWIJL K EN K' RESP. GECONJUGEERD EN HARMONISCH ZIJN T.O.V. HET OPPERVLAKKEN STELSEL, DOOR DEZE STRATIFIEERBAARHEID BEPAALD. § 1- DEFINITIE VAN EEN CONGRUENTIE, GECONJUGEERD T.O.V. EEN NET EN VAN EEN CONGRUENTIE, HARMONISCH T.O.V. EEN NET. Men noemt een congruentie K geconjugeerd t.o.v. een net, op een oppervlak S gelegen, als door ieder punt van het oppervlak één lijn van K gaat, die niet in het raakvlak aan het oppervlak S is gelegen, terwijl de ontwikkelbare oppervlakken van K, 5 volgens dat net snijden. Verder worden een net en een congruentie K' harmoniscl\ t.o.v. elkaar genoemd, als in elk raakvlak van het oppervlak één straal van K' ligt, die niet door het raakpunt gaat, terwijl de mitwikkelbare oppervlakken met het net correspondeeren, d.w.z. dat de raakpunten van de raakvlakken, gebracht aan S door de rechten vaneen ontwikkelbaar oppervlak uit K', een kromme van het net vormen. De beide begrippen staan dualistisch tegenover elkaar: Laat een oppervlak 5 gegeven zijn en een congruentie K harmonisch (of geconjugeerd) t.o.v. 5; polariseert men beide t.o.v. eenzelfde quadriek, dan ontstaat een oppervlak S' en een congruentie K', geconjugeerd (of harmonisch) t.o.v. S'. Meetkundig is gemakkelijk in te zien: De focaalpunten vaneen rechte s' vaneen congruentieK.', harmonisch t.o.v. S, vallen samen met de snijpunten van s' met de raaklijnen aan het correspondeerende net. Deze stelling staat nl. dualistisch tegenover het volgende: Laat s een rechte zijn vaneen congruentie K, die t.o.v. S geconjugeerd is en het punt P haar snijpunt met 5. Volgens de definitie zijn dan de vlakken door s en één der beide raaklijnen aan de net- HOOFDSTUK 111 Dan blijkt tevens: Doorloopt Peen «-kromme van het net op s', dan hebben de correspondeerende raakvlakken aan S' de raaklijnen aan de vkromme van het net inde achtereenvolgende punten van de kromme als karakteristieken. Als dus X het snijpunt is van de raaklijn aan de v-kromme met s' en Y met de andere raaklijn, dan raakt s' in X aan de u-kromme en in Y aan de v-kromme op de focaalvlakken van de congruentie (X, Y). Inde hiervoren gegeven definitie van harmonische ligging van een congruentie K' t.o.v. een oppervlak S' kunnen we dus de eisch, dat de ontwikkelbare oppervlakken van K' met die van het net correspondeeren, vervangen door: De focaalpunten van iedere straal s' van de congruentie K' moeten samenvallen met de snijpunten van s' met de raaklijnen aan het net S'. Volgens de definitie kunnen we nu niet spreken vaneen congruentie K', die harmonisch is t.o.v. een net S+ op een ontwikkelbaar oppervlak E gelegen, want de rechten van E vormen steeds één der stelsels van het net en voor de hiervoren bedoelde correspondentie is dan noodig, dat in elk raakvlak van E oneindig veel stralen van K' liggen. Willen we toch aan een net op Zeen congruentie toewijzen, die daarmede harmonisch is, dan moeten we een wijziging inde hiervoren gegeven definitie aanbrengen. Dit kan als volgt geschieden: Van elk net S+ op E vormen de beschrijvenden één der stelsels; we noemen ze de v-krommen (u constant), de «-krommen zijn willekeurig . Van K' eischen we inde eerste plaats, dat E één harer brandoppervlakken is. Op E hebben we nu, behalve de rechten van E, nog twee krommenstelsels aangewezen, de «-krommen van S+ en het stelsel focaalkrommen van K'. We kunnen dan op oneindig veel manieren correspondenties tusschen de punten van beide krommenstelsels bepalen, zoodanig dat met iedere kromme v = constant van S+ een focaalkromme van K', krommen door P op 5 bepaald door de ontwikkelbare oppervlakken van de bedoelde congruentie tevens de focaalvlakken door s. die op X gelegen is, correspondeert en waarbij tevens twee correspondeerende punten op een beschrijvende van X gelegen zijn. De congruentie K' wordt nu harmonisch genoemd t.o.v. het net S , op een ontwikkelbaar oppervlak gelegen, indien er een correspondentie te bepalen is tusschen het focaalnet van K', dat op X gelegen is, en het net S+, die, behalve aan de hiervoren genoemde voorwaarden, de eigenschap bezit, dat de raaklijn aan een kromme v = constant van s_r door de raaklijn in het correspondeerende punt aan de jocaalkromme v = constant van K', in het niet op X liggende focaalpunt van K' gesneden wordt. Er is geen nieuwe definitie noodig om te kunnen zeggen, dat een congruentie K geconjugeerd is t.o.v. het ontwikkelbare oppervlak X. Het is duidelijk, dat alle rechten van K, die eenzelfde rechte van X snijden, in eenzelfde vlak moeten liggen. Eender focaaloppervlakken van K is dus een ontwikkelbaar oppervlak of een kromme. §2 – EEN CONGRUENTIE K' IS STRATIFIEERBAAR TO V EEN CONGRUENTIE K, TERWIJL K EN K' RESP. GECONJUGEERD EN HARMONISCH ZIJN T.O.V. HET OPPERVLAKKENSTELSEI S, DOOR DE STRATIFIEERBAARHEID BEPAALD. Laat de congruentie K gegeven zijn, door haar brandoppervlakken % en y. De congruenties K' en K worden, als in (I, § 3), tot op een projectieve transformatie na bepaald met behulp van het stelsel van Finikoff. Als aan (I, 27) voldaan is, is K' stratifieerbaar t.o.v. K (I, § 4). De congruentie K zal nu geconjugeerd zijn t.o.v. al de oppervlakken s(x + ty), door de stratifieerbaarheid bepaald, als (zie I, 32): M = 0 Opgemerkt kan worden, dat K geconjugeerd is t.o.v. alle oppervlakken S, indien gegeven is, dat ze die eigenschap t.o.v. één oppervlak bezit. Dan is tevens K' harmonisch t.o.v. al deze oppervlakken. Uit (I, 14) volgt nl.: Xu =qY ; Yv = qxX zoodat de brandpunten van iedere straal van K', X en Y, gelegen zijn op de raaklijnen in het correspondeerende punt der netten S (u, v). Dus: Stelling 1: Voldoen de lijncoördinaten p, q, px en qx der rechten van de congruentie K' aan: (1) M =Mx =N =NX =0 dan is K' stratifieerbaar t.o.v. K en zijn K en K' resp. geconjugeerd en harmonisch t.o.v. het oppervlakkenstelsel S, door de stratifieerbaarlieid bepaald. De lijncoördinaten p, q, p1 en ql zijn dan volgens (1) afhankelijk van vier willekeurige functies van één variabele. Stelling 2: Zijn K en K' resp. geconjugeerd en harmonisch t.o.v. eenzelfde net op een oppervlak S(°), dan is K' stratifieerbaar t.o.v. K en zijn beide congruenties resp. geconjugeerd en harmonisch t.o.v. eenzelfde net op ieder der oppervlakken S (waaronder S(°>), door de stratifi'eerbaarheid van K' t.o.v. K bepaald. De stelling geldt ook als S(°) ontwikkelbaar is, mits we dan de definitie voor de betrekking van harmonische ligging bij een congruentie en een oppervlak wijzigen, zooals in § 1 is aangegeven. Bewijs: De brand vlakken van de congruentie K noemen we weer x (u, v) en y (u, v). Hiervoor geldt: (I, 10) xu =qy ; yv —ox Doordat K en K' geconjugeerd en harmonisch zijn t.o.v. een zelfde net, is reeds een correspondentie één aan één tusschen de stralen r en r' van K en K' bepaald, n.l. zóó dat r door het punt P op S(°) gaat, in welks raakvlak r’ ligt. De snijpunten van de straal r' van K' met de focaalvlakken van r, die met r' van K' correspondeert, noemen we als tevoren X en Y. Hierbij ligt Xin het focaalvlak (x, y, xv) en Yin het focaalvlak (#. y> y«)- Dan kunnen dus weer de betrekkingen (I, 12,14 en 16) worden opgesteld met de integrabiliteitsvoorwaarden (I, 17) (zie I, § 3). Verder stellen we het gegeven oppervlak S(°) voor door z x + A(°) y. Elke straal r van K snijdt S(°) ineen punt z, waarvan het raakvlak 1° (I. §4) hebben we gezien, dat voor de eerstgenoemde eisch noodig en voldoende is, dat de functie M (u> *,) moet voldoen aan: (1,24 en 1,25) A*(°) = Q ; A„(°) =oM2—pM+q Volgens (I, 31) zal K t.o.v. S(°) geconjugeerd zijn als: (2) Mx NXM = o Vroeger is ook gevonden, dat uit (I, 24, 25) volgt: Nxm* —(m + Mx)m +n = o zoodat AM ook moet voldoen aan: (3) MAM N = 0 We nemen nu eerst aan, dat SM niet een ontwikkelbaar oppervlak is. De congruentie K' zal harmonisch zijn t.o.v. het net (u, v) op SM, als de ontwikkelbare oppervlakken van K' met dat net correspondeeren. Behalve (2) en (3), moet dus volgens (I, 19) ook gelden: (4) NS.-MR, =0 NXS MXR = 0 Daar s(°)geen ontwikkelbaar oppervlak is, voldoet volgens (I, 31) en (2), A(°) niet tegelijk aan één der betrekkingen: (5 en s') 5 A«» R =0; SjAW Rx = 0 Uit (2), (3) en (4) kunnen we dan concludeeren, dat (1) geldt. In verband met stelling 1 is in dit geval stelling 2 bewezen. Tenslotte rest nog het geval, datS(°) een ontwikkelbaar oppervlak is. We nemen aan, dat dan (5) geldt. De rechten van S(°) worden wegens (2) en (3) door u = constant bepaald (zie I, 31). Wordt 5 (0) = in (I. 24) gesubstitueerd, dan vinden we na eenige herleiding, waarbij van (I, 17) wordt gebruik gemaakt, dat Q = 0. Het focaaloppervlak x van K is dan een ontwikkelbaar oppervlak. Dit is in overeenstemming met hetgeen aan het slot van § 1 is opgemerkt. Het geval, dat (s') geldt, is hiermede analoog; gelijktijdig kan aan S<°) door de correspondeerende straal r' van K' gaat (I, § 4); bovendien is K geconjugeerd t.o.v. S(°). niet aan (5) en (s') voldaan zijn, daar dan S(°) ineen kromme ontaard is. Dan moet S(°) focaalkromme van K zijn. De congruentie K' zal t.o.v. het net (u, v) op S(°) harmonisch zijn, als (4) geldt en de brandpunten van de straal (X, Y) van K' met de punten X en Y samenvallen (zie § 1). Volgens (I, 20) moet dus ook voldaan zijn aan: S1M1 N1R1=0 U MS NR = 0 Nu kunnen we uit (2), (3), (4) en (6) besluiten, dat aan (1) moet voldaan zijn. De stelling is hiermede ook voor dit geval bewezen. We merken nog op, dat, als K en K' resp. geconjugeerd en harmonisch zijn t.o.v. het net S(°), iedere congruentie (z = x + Xy, X) waarin X een oplossing is van (I, 24) en (I, 25), harmonisch is t.o.v. het net x (u, v) en tevens geconjugeerd is t.o.v. het net X (u, v). Door de parameter, die behalve u en vin X voorkomt, te varieeren, krijgen we oo1 congruenties harmonisch t.o.v. # (u, v) en geconjugeerd t.o.v. X (u, v). Ten slotte bewijzen we nog de stelling van Finikoff [6], Stelling 3: Als een zoodanige correspondentie één aan één bestaat tusschen de stralen r en r' van Km K', dat de brandpunten van r' liggen inde correspondeerende focaalvlakken van K en daarbij tevens de ontwikkelbare oppervlakken van beide congruenties met elkaar correspondeeren, is de congruentie K' stratifieerbaar t.o.v. K en zijn K en K' resp. geconjugeerd en harmonisch t.o.v. eenzelfde net op ieder der oppervlakken van het stelsel S, door de stratifieerbaarheid bepaald. Bewijs: De congruenties K en K' definieeren we door het stelsel van Finikoff. De ontwikkelbare oppervlakken van K' correspondeeren volgens (I, 19) met die van K als (4) geldt, terwijl als aan (6) voldaan is, de brandpunten van K' inde focaalvlakken van K liggen (zie I, 20): Laat: RR± SS10 Dan kunnen we uit (4) en (6) besluiten, dat (1) geldt en dus stelling 1, waarmede stelling 3 bewezen is. Is aan de hiervoren vermelde ongelijkheid niet voldaan, dan is § 3- BEWIJS VAN EEN BEKENDE STELLING. Inde verschillende leerboeken wordt de stelling, die hieronder volgt en inde volgende paragraaf wordt toegepast, bewezen ([2], p. 158; [3], § 75). We bewijzen haar hier, aansluitende aan het voorgaande. Stelling: Als twee congruenties L1 en L2 harmonisch zijn t.o.v. een net N, zijn ze tevens geconjugeerd t.o.v. een net Nx (bepaald door de snijpunten van twee correspondeerende stralen van Lj en L2). Hieraan kunnen we nu toevoegen'. Er bestaan dan co1 congruenties, harmonisch t.o.v. N en geconjugeerd t.o.v. Nv Het net N mag ook op een ontwikkelbaar oppervlak gelegen zijn. We moeten dan de definitie voor harmonisch zoo opvatten, als in § 1 is aangegeven. Bewijs'. Het net N duiden we aan door x (u, v). De congruentie van Lapiack van het krommenstelsel v = constant van N noemen we Ken haar tweede brandoppervlak y (u, v). Laat X (u, v) het snijpunt zijn van de rechten van en L2, die in het focaalvlak (%, y, %v), tevens het raakvlak in v aan het net N, van K gelegen zijn; hun snijpunten met de rechte (x, y) noemen we resp. zx = en z2 = x -f A2V. We kunnen nu stellen: X =px + qy + xv Daar Lj en L2 harmonisch zijn t.o.v. het net x (u, v) zijnde krommenstelsels (u, v) op de oppervlakken z1 en z2 ook netten (§ !)• Dit blijft ook gelden, als het net x (u, v) op een ontwikkelbaar oppervlak gelegen is. De raaklijnen aan de krommen v = constant van de netten zx en tevens de matrix (c) van de rang 1 (zie 11, § 4). De congruentie K/ is dan een vlakke congruentie (zie 11, § 4,4). De ontwikkelbare oppervlakken van K' zijn dan onbepaald, zoodat we niet vaneen correspondentie tusschen de ontwikkelbare oppervlakken van K en K' kunnen spreken. Dit geval is door het gegeven uitgesloten. Y = Y. Hierin moet 9? aan (I, 39) voldoen; deze vergelijking gaat, wegens M 0, over in: (7) , want alle congruenties van het deelstelsel zijn harmonisch t.o.v. het net S(°) («, v). Derhalve is de congruentie, gevormd door de raaklijnen (Tij) aan de «-krommen van het net T (u, v), stratifieerbaar t.o.v. de congruentie, gevormd door de raaklijnen (z, Y) aan de «-krommen van het net S(°). Door de oppervlakken Y wordt deze stratifieerbaarheid teweeggebracht. De congruentie (Tij) is zelfs harmonisch t.o.v. de netten Y («, v), terwijl de congruentie (z, Y) geconjugeerd is t.o.v. hen. Deze stratifieerbaarheid bezit dus de eigenschap, waarvan inden aanhef van dit hoofdstuk sprake is. Op dezelfde wijze is de congruentie (TT2) stratifieerbaar t.o.v. de congruentie (z, X). Noemen wede congruentie, gevormd door de raaklijnen aan de «-krommen vaneen net, de eerste congruentie van Laplace, dan kunnen we het resultaat als volgt formuleeren: De eerste congruentie van Laplace A vaneen net is stratijieerbaar t.o.v. de eerste congruentie van Laplace B, van ieder der netten t.o. waarvan ze geassocieerd is. Hierbij is de congruentie A harmonisch en de congruentie B ge- 5 Dezelfde stelling geldt ook voor de tweede congruenties van La p l A c e van deze netten. § 5- STELLINGEN VAN D A RB O U X. Inde inleiding is gezegd, dat Darboux reeds verschillende stellingen heeft bewezen, die met de stratifieerbaarheid in nauw verband staan ([l], deuxième partie, p, 237—246). We vermelden nu deze stellingen. Ze vertoonen veel overeenkomst met de stellingen van § 2 van dit hoofdstuk. Stelling 1: Laat een congruentie K geconjugeerd zijn t.o.v. twee oppervlakken Sx en S2; een tweede congruentie K' wordt gevormd door de snijlijnen van de raakvlakken aan Sj en S2 inde snijpunten met eenzelfde straal van K. De congruentie K' is dan harmonisch x) t.o.v. de oppervlakken Sj en S2 en wel t.o.v. de netten, door de ontwikkelbare oppervlakken van K op Sx en S2 ingesneden. We kunnen nu hieraan toevoegen: De congruentie K' is stratifieerbaar t.o.v. K, terwijl K' harmonisch en K geconjugeerd is t.o.v. al de oppervlakken S, waaronder Sj en S2, door de stratifieerbaarheid bepaald. Bewijs: Voor K en K' stellen we het stelsel van Finikoff op. Dan moet volgens § 2 (zie bewijs van stelling 2), indien z1 (x -f- /,y) en zz (x + ?.2y) de oppervlakken Si en S2 voorstellen, o.a. gelden: mi—N= 0; MX2 —IV = 0 M1 N1l1=0; M, =0 1 1 ** Dus geldt (1) en derhalve stelling 1 van § 2, waarmede de stelling bewezen is. Stelling 2: Tusschen de punten van twee oppervlakken S1 en S2 is een correspondentie gegeven. De lijnen, die correspondeerende punten verbinden, vormen een congruentie K, terwijl de raakvlakken in correspondeerende punten van S1 en S2, aan deze oppervlakken, een congruentie K' bepalen. Laat nu de ontwikkelbare oppervlakken van K met die van K' correspondeeren en bovendien de focaalpunten van iedere straal van K' gelegen zijn inde focaalvlakken van de correspondeerende rechte van K, x) Darboux gebruikte inde formuleering van deze en volgende stellingen het woord „harmonisch” niet. conjugeerd t.o.v. het oppervlakkenstelsel, door de stratifieerbaarheid bepaald. Wordt van het geheele stelsel, in stelling 1 gedefinieerd, de poolfiguur t.o.v. een quadratisch oppervlak genomen, dan volgt: Stelling 3: Gegeven zijn twee oppervlakken en S2 en een correspondentie eén aan één tusschen beider punten. De rechten der congruentie K verbinden correspondeerende punten. De congruentie K' wordt weer gevormd door de snijlijnen van de raakvlakken in correspondeerende punten. Laat K. harmonisch zijn t.o.v. Sj cn S2. Dan ts de congruentie K geconjugeerd t.o.v. de netten op S1 en S2, t.o. waarvan K' harmonisch is. Stelling 2 en 3 kunnen dan eveneens worden uitgebreid met: De congruentie K' is stratifieerbaar t.o.v. K; K is geconjugeerd en K' harmonisch t.o.v. de netten, door de ontwikkelbare oppervlakken van K op het stelsel S ingesneden. Ten slotte merken we nog op, dat één of ook wel beide der oppervlakken en S2 waarvan in deze stellingen sprake is ontwikkelbaar kan zijn. Dan moet daarvoor weer de betrekking van harmonische ligging vaneen congruentie en een oppervlak genomen worden, als in § 1 is aangegeven. Zijnde oppervlakken S1 en S2 beide ontwikkelbaar en is de correspondentie tusschen en S2 zoo, dat met iedere rechte van S1 een rechte van S2 correspondeert, dan vormen de rechten van K' gevormd door de snijlijnen van de oppervlakken in correspondeerende punten een ontwikkelbaar oppervlak. Dit geval moet dus uitgezonderd worden. Uit het bewijs van stelling 1 blijkt dit bijv. direct. Worden de rechten der ontwikkelbare oppervlakken S1 en 5 door u = constant bepaald (zie § 2, bewijs van stelling 2), dan geldt bovendien: S Ax() R= 0; 5 XjC» R= O zoodat 5 = i? = 0 Totaal is dus voldaan aan: M=MI=N=NI=S=R= 0 Dan is K' ineen ontwikkelbaar oppervlak ontaard (zie 11, § 4, se). 5* dan is de congruentie K geconjugeerd t.o.v. S1 en S2 en dus de congruentie K' harmonisch t.o.v. de netten op S1 en S2, door K bepaald. Ze volgt onmiddellijk uit de stelling van Finikoff (S 2 stelling 3). HOOFDSTUK IV. DE CONGRUENTIES K EN K' VORMEN EEN STRATIFIEERBAAR PAAR. § 1- AFLEIDING VAN DE VOORWAARDEN, OPDAT IN PLAATS VAN STRATIFIEERBAARHEID VAN K' T.O.V. K, K STRATIFIEERBAAR IS T.O.V. K'. We noemen Z = X + fj. Y het snijpunt van de straal (X, Y) van de congruentie K' met eender oppervlakken S', omhuld door vlakken van de bundels, die de correspondeerende stralen van K als dragers hebben. Het raakvlak aan het oppervlak S' in het punt Z moet de straal (x, y) van K bevatten, dus zullen de raaklijnen aan de u- en v-krommen van het oppervlak S' in het punt Z, de rechte (x, y) snijden. Aangenomen wordt, dat het oppervlak Z niet ineen kromme ontaard is. Nu moet voor bepaalde waarden van l en m, het punt: IZU +mZ=l (M —//Sj) x+l (N —(tRJ y+X (m —fiQi l) + d- Y [q d- (Uu ftPi) -\- m [Z\ op de rechte (x, y) gelegen zijn. Dit zal het geval zijn als: m [ji Qjl = 0 l (q + Hu fiPi) + m/j, = 0 Eliminatie van m en l geeft dus de voorwaarde: (l) fiu + Qi/P Px/i +q =0 Op analoge manier volgt, door de eisch te stellen, dat de raaklijn aan de i)-kromme de rechte (x, y) moet snijden, dat /< ook moet voldoen aan: (2) iiv qi/^2 + P/* —Q = 0 De integrabiliteitsvoorwaarden van (1) en (2) zijn: Pu + Piv = 2 QQI -2 Wl (3) Qu = Pq qv Qiv = PQi Pi?i qiu Vergelijking met (I, 17) doet zien, dat (3) aequivalent is met: (4) S = 0; 5j = 0 en M + Mj = 0. In hoofdstuk 11, § 6, is de definitie aangegeven van stratifieerbaarheid vaneen congruentie K t.o.v. een regeloppervlak IF. Worden dan de congruentie Ken het regeloppervlak lP met behulp van het stelsel van Finikoff gedefinieerd, dan blijkt ook, dat door (4) de noodzakelijke en voldoende voorwaarden voor die stratifieerbaarheid worden gegeven. Het bewijs geven we hier echter niet weer. §2-DE VOORWAARDEN, OPDAT DE CONGRUENTIES K EN K' EEN STRATIFIEERBAAR PAAR VORMEN; VERBAND MET HET PERMUTABILITEITSTHEOREMA VAN B I A N C H I. De congruenties K en K' vormen een stratifieerbaar paar, indien voor het stelsel van Finikoff (I, 27) en (4) geldt. De dertien functies Q, Cf, p, q, Pv q{, P, Q, R, Pv Qv Ri en M moeten dan voldoen aan de twaalf betrekkingen: pu qq\ —Qcf +M ] Pu —QQi qq\ M piv =qq1 —qo —M ; Piv = QQt qqx + M qu = Ptf —pQ— Qv ; Qu =P1Q Pq—qv qiv —pqi p-sP csu ; Qiv PQi Ptfi 1 ’ j Ru =—Mv—M (P p) I Riv —Mu -f* M (Pi pi) Rq RiQ =2 Mq \ RQi Ri° = 2 Mqi Door middel van de twee laatste betrekkingen van (B) kunnen twee functies worden geëlimineerd. Er moeten dus uiteindelijk elf functies aan tien differentiaalvergelijkingen voldoen. De congruentie K kan dus niet geheel willekeurig gegeven worden. Kiezen we voor Meen bepaalde functie, dan zijn hierdoor de overige tien functies, waaronder q en o, bepaald. De oplossingen zijn dan afhankelijk van tien functies van één variable en één functie van twee variabelen. De brandpunten van de straal (X, Y) van de congruentie K' blijken nu de punten X en Y te zijn; evenzoo liggen de brandpunten x en y van Kin de correspondeerende focaalvlakken van K'. (5) R-ydu2 -\- 2Mdudv R dv2 = 0 De asymptotische krommen op de oppervlakken S en S' correspondeeren dus allen met elkaar. Hieruit concludeeren we: Aan de oppervlakkenstelsels S en S' zijn co2 Tk-congruenties verbonden. Deze zijn nl. de congruenties (x -f- Ay, X -f- /iY). Door ieder stelsel waarden van de twee parameters, die behalve u en vin A en n voorkomen, waarbij A aan (I, 24, 25) en /u aan (1) en (2) voldoen, wordt één fk-congruentie bepaald. Dit blijkt als volgt: De punten, x -\- Ay e nl-f- fiY, zijn n.l. de brandpunten van de stralen van die congruenties, daar het raakvlak in het punt (u, v) aan het oppervlak (x + Ay) het correspondeerende punt van het oppervlak (X + fxY) bevat, hetgeen ook omgekeerd geldt. De asymptotische krommen op de focaaloppervlakken van die congruenties correspondeeren, zooals hiervoren is opgemerkt, met elkaar, zoodat ze fk-congruenties zijn. Nu snijden dus twee correspondeerende stralen van K en K' nl. I en l', de oppervlakken 5 en 5' resp. in focaalpunten, waarvan de focaalvlakken door de correspondeerende straal gaan en dus bundels vormen. Het permutabiliteitstheorema van Bianchi1) luidt nu als volgt: Als twee oppervlakken S0) en SW naast eenzelfde oppervlak So' verkregen worden als tweede focaaloppervlakken van twee W-congruenties, waarvan So' het eerste focaaloppervlak is, (hierbij kan So' willekeurig gegeven worden), kan door quadraturen een stelsel van oo1 oppervlakken S' bepaald worden, waarvan ieder oppervlak, evenals So', zoowel met SW als met S(2), dooreen W-congruentie verbonden is. Hiervoor geldt nu: De raakvlakken aan de oppervlakken S' in correspondeerende pun- J) L. Bianchi: Lezioni di Geometria differenziale, vol. 11, parte I, p. 58 (Bologna N. Zanichella, 1927). Zie b.v. ook A. van Dop: Over IF-stralencongruenties en vlakken (Dissertatie, 1931), blz. 22 e.v. De vergelijking der asymptotische krommen op ieder der oppervlakken der stelsels S en S', door de stratifieerbaarheid bepaald, is nu, (zie I, 32, in verband met (4)): De congruenties, resp. gevormd door de rechten l en l, vormen dus een stratifieerbaar paar. Omgekeerd: Hebben we een stratifieerbaar paar K en K', dan staan het stelsel oppervlakken S, bepaald door de stratifieerbaarheid van K' t.o.v. K, en twee oppervlakken SW' en S(2)' van het stelsel s', bepaald door de stratifieerbaarheid van K t.o.v. K', tot elkaar inde zoo juist besproken relatie. De stelsels S en S' kunnen we hierin verwisselen. Men zegt dan, dat de W-congruenties, waarvan inden aanvang sprake is, een stelsel van Bianchi vormen. Bestaat dus tusschen de oppervlakken S', SM en SM de betrekking, dat SM en SM de tweede focaaloppervlakken van twee W-congruenties zijn, waarvan S' het eerste focaaloppervlak is, dan geeft het permutabiliteitstheorema van Bianchi ons oneindig veel stratifleerbare paren congruenties. § 3- DE CONGRUENTIE K VAN HET STRATIFIEERBARE PAAR (K, K') IS GECONJUGEERD T.O.V. HET OPPERVLAKKENSTELSELS EN HARMONISCH T.O.V. HET OPPERVLAKKENSTELSEL S'; VOOR K' GELDT HET OMGEKEERDE. Dit is een geval, waaraan vele onderzoekingen zijn gewijd. Volgens (5) is daarvoor noodig en voldoende, dat M = 0. Dan volgt uit de twee laatste vergelijkingen van (B) óf o o = QQI óf R =Rx =O. Nemen we aan, dat R =Rx =O, dan is volgens (11, §2) de congruentie K' ineen ontwikkelbaar oppervlak ontaard. Dit geval wordt in het vervolg uitgezonderd. Wordt aangenomen, dat R en R1 niet beide gelijk nul zijn, dan geldt: (I, 23) ea = QQX en de asymptotische krommen op beide focaaloppervlakken X en Y van K' hebben tot vergelijking: (6) Ri du2 R dv2 = 0 Ook de vergelijkingen der asymptotische krommen op|(*) en (y) ml.: ten d.w.z. inde snijpunten met l, die de snijlijn is van de raakvlakken in twee correspondeerende punten van Sil) en SM gaan door de verbindingslijn l van de twee correspondeerende punten van Si1) en SM; de raakvlakken vormen dus een bundel. (I, 21) en (I, 22) q du2 Q dv2=0 en Qxdu2 adv2 0 zijn nu wegens (I, 23) dezelfde. De congruenties K en K' zijn dus IE-congruenties. Van de congruenties K en K' is echter nog iets meer te zeggen. Eerst vermelden we een paar definities: Als de congruenties van Laplacf., bij een net behoorend, beiden W-congruenties zijn, wordt dat net een R-net genoemd. Het oppervlak, waarop dat net gelegen is, heet dan een R-oppervlak. Onder een R-congruentie verstaan we een congruentie, waarvan één der focaalnetten een R-net is. Het is duidelijk, dat dan het andere net ook een i?-net is. Nu is een net S (u, v) (de parameterkrommen op het oppervlak S vormen een net) een i?-net als het volgende geldt ([2], §31): le: Eén der congruenties van La place van het net S is een IL-congruentie. 2e: De vergelijking der asymptotische krommen op het oppervlak S (u, v) luidt: U(u) du2 V(v) dv2=O. Deze tweede voorwaarde wordt door Lane e.a. ([2], §3l) ook als volgt gesteld: Zijnde asymptotische krommen parameterkrommen, dan moet de vergelijking van het /t-net eveneens zijn: du2 dv2=O. Nu geldt de belangrijke eigenschap: Stelling 1: Vormen de congruenties K en K' een stratifieerbaar paar en is M = 0, dan zijnde congruenties K en K', beiden R-congruenties. Bewijs: Daar Ken K' reeds IU-congruenties zijn, moeten we alleen aantoonen, dat de asymptotische krommen op de focaaloppervlakken x van K en X van K', de onder 2e aangegeven vorm hebben. Daar volgens (B) Ru =oen Ru =o,is R = f(v) en Rx = g(u). De functies / en g, die slechts van één variabele afhangen, zijn overigens willekeurig. Uit de twee laatste betrekkingen van (B) volgt nu in verband met (I, 23): (7) e:Q=Ql:o=Rl:R=g(u):f(v) (8) g(u) du2 f(v) dv2 = 0 waarmede de stelling bewezen is. Door de substitutie u' = du; v' = l\/f{v)dv, gaat (8) over in: (9) du2 dv2 = 0 Dan is: (10) R = R, = 1 (De indices in (9) en (10) zijn weggelaten). Aan stelling 1 kunnen wede belangrijke eigenschap toevoegen: Stelling 2: De parameterkrommen op de oppervlakkenstelsels S en S' vormen R-netten; de oppervlakkenstelsels S en S' bestaan dus uit R-oppervlakken. Bewijs: De vergelijking der asymptotische krommen op ieder der oppervlakken van de stelsels 5 en S' wordt weer door (9) bepaald (zie (5) en (10), in verband met M = 0). Alleen moet dus nog aangetoond worden, dat de congruentie (z = x -p Xy, Y), waarin X voldoet aan (I, 24) en (I, 25) en de congruentie (Z = X + [i Y, y), waarin u een oplossing is van (1) en (2), IY-congruenties zijn. Het tweede brandpunt van de rechte (z, Y) van de congruentie (z, Y) is gelegen op de rechte (y, yu) en is dus het punt Y qxz. Na eenige berekening blijkt, dat de asymptotische krommen op het oppervlak (Y qxz) weer door (9) gegeven worden, zoodat de congruentie (z, Y) een IY-congruentie is. Eveneens is het tweede brandpunt van de rechte (Z, y), gelegen op de rechte (Y„, Y) en dus het punt QXZ +y. De asymptotische krommen op het oppervlak [QXZ -|- y) worden ook weer door (9) bepaald, zoodat ook (Z, y) een JY-congruentie is. De vergelijking der asymptotische krommen op de oppervlakken x en X luidt dus, volgens (I, 21) en (6): RÉSUMÉ. I’ übi n ia défini 1 idee de stratifiabilité de deux congruences K et K'. Une congruence K/ est stratifiable par rapport d une congruence K, si chacun des rayons de la congruence K porte les points de oo1 surfaces S, dont les plans tangents passent par le rayon correspondant de la congruence K'. Si en outre la congruence K est stratifiable par rapport a la congruence K', les congruences K et K' forment une couple stratifiable. Un résumé de toutes les recherches des congruences stratifiables n’a pas été donné dans cette thèse. En grande partie les articles se rapportent a des couples stratifiables; ce ne sont que quelques théorèmes de ces couples qui ont été démontrés au chapitre IV. Des questions métriques liées aux congruences stratifiables ne seront pas discutées. Nous traitons spécialement le cas de stratifiabilité dans une direction, dans lequel nous supposons que chacune des congruences K et K' possède deux surfaces focales différentes. A 1 exception du premier chapitre, § 2, oü sont définies les congruences K , stratifiables par rapport è. K, d’après la méthode de Fubini, c est le système de Finikoff qui forme la base des calculs et des démonstrations des théorèmes dans cette thèse. Le système de Finikoff sert è. déterminer deux congruences a une transformation projective prés. Tandis que Finikoff et Vincensini partent dans leurs articles 2) d’un système de Finikoff, dans lequel K' est stratifiable par rapport è. K, dans le travail présent nous avons souvent supposé que chacun des rayons de K' se trouve dans le *) G. Fubini: Su alcune classe di congruenze di rette e sulle trasformazioni delle superficie R (Annali di Matematica pura ed applicata, serie IV, t. I, 1924). 2) S. Finik o k f : Sur les congruences stratifiables (Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo; tomo 111, 1929), P. Vincensini: Sur les congruences stratifiables (Journal de Mathématiques pures et appliquées; 1934, Paris). II s’en est suivi qu’un certain nombre de résultats et de théorèmes dus k des divers auteurs, ont pu être étendus. Ensuite la stratifiabilité est définie par une surface réglée par rapport h une congruence K et vice versa. Des recherches ont été faites concernant le cas d’une surface réglée gauche, d’une développable ou d’un cöne, stratifiable par rapport a une congruence K. Nous avons démontré quelques théorèmes, liés è. cette stratifiabilité. Voici un résumé des chapitres de cette thèse. Chapitre I: II contient les méthodes dues è. Fubini et è. Finikoff, pour déterminer les congruences K', stratifiables par rapport k une congruence K. La connexion entre leurs résultats est démontrée. Nous avons aussi donné le groupement des congruences K', stratifiables par rapport a une congruence K, d’après la méthode de Vincensini. Finalement nous avons résolu la question suivante: Quand y a-t-il des congruences K' stratifiables par rapport k K, dont le rayon homologue avec le rayon r de K se trouve toujours dans le plan tangent correspondant d’une surface donnée Z, tandis qu’il existe une correspondance donnée entre les points de Z et les rayons de K? Chapitre II: Dans la première partie les conditions sont dérivées pour que dans le système de Finikoff la congruence K' soit dégénérée dans une surface réglée Wou les rayons de K' passent par un point fixe ou se trouvent dans un plan fixe. Dans la deuxième partie nous supposons que K' soit stratifiable par rapport è. la congruence K, pour les cas, donnés dans la première partie; dans ce cas la congruence K' est dégénérée. Chapitre III: Des théorèmes de Darboux3), Finikoff4) 8) G. Darboux: Lefons sur la théorie générale des surfaces, deuxième partie; 1915, § 423. *) Voyez note a). plan tangent correspondant d’une surface S, dont le point de contact se trouve sur le rayon correspondant de K. et d’autres écrivains 6) ont été démontrés, partant des équations de Finikoff. Ces théorèmes se rapportent aux congruences conjuguées ou harmoniques è. un ou a deux réseaux. Ils sont rattachés a I’idée de stratifiabilité; K étant conjuguée aux surfaces S et K' étant harmonique aux surfaces S. En outre il a été démontré: Si la congruence K est conjuguée et que K' soit harmonique a un réseau, K' est stratifiable par rapport è. K; K est conjugée aux surfaces S et K' est harmonique aux surfaces 5. Ensuite une extension a été donnée sur le cas, jusqu’ici négligé ou évité, oü ce réseau se trouve sur une développable. Chapitre IV: Dans ce chapitre les congruencesK et K' torment une couple stratifiable. Nous y traitons entre autres la connexion entre ces couples et le théorème de permutabilité de Bianchi, sur lequel Fubini a déja appelé I’attention. Nous démontrons aussi quelques théorèmes importants de couples stratifiables; K est conjuguée aux surfaces S et harmonique aux surfaces S', la congruence K' a les propriétés inverses; ces théorèmes ont été développés par Fubini et Finikoff. S)G. Tzitzéica: Géométrie differentielle projective des réseaux (1924, § 79). I De verschillende stellingen van Guichard e.a. over netten en congruenties, die geconjugeerd of harmonisch t.o.v. elkaar zijn (zie diss. hoofdstuk 111, § 1), zijn ook op eenvoudige wijze met behulp van het z.g. vergelijkingenstelsel van Finikoff te bewijzen. Dan blijkt tevens dat, waar in die stellingen sprake is van twee netten of twee congruenties, dit vervangen kan worden door oo1 congruenties of oo1 netten, waarbij stratifieerbaarheid van twee congruenties optreedt. Zie bijv. G. Tzitzéica, Géométrie differentielle projective des réseaux, § 71—§ 81 (Paris 1924) en dissertatie, hoofdstuk 111, § 3. II Van het oppervlak S worden als parameterkrommen de asymptotische krommen genomen. De coördinaten x voldoen aan de canonieke differentiaalvergelijkingen van Wilczynski: xuu =i>x + (ixv; xvv =q x + yxu. We beschouwen de z.g. reciproque congruenties K en K'. ledere rechte van K wordt bepaald door de punten x en y, waarbij: y = Xuv a(u, v) xu b (u, v) xv. ledere rechte van de congruentie K' wordt bepaald door de punten q en o, waarbij: q= xu b (u, v)x en a— xv a (u, v)x. De noodige en voldoende voorwaarden, opdat de congruentie K' stratifieerbaar zal zijn t.o.v. de congruentie K, luiden: &u by yuF +2b y{b2 p)= pvG + 2ap («2 —?) (F = p bu b2 + ap] G =q —av a2 + by) J. J. Dronkers. STELLINGEN Dan is K' harmonisch en K geconjugeerd t.o.v. het oppervlak S en derhalve t.o.v. alle oppervlakken, door de stratifieerbaarheid bepaald. De congruentie K is stratifieerbaar t.o.v. de congruentie K', indien: bv +au = fly, fiv = 2afi; yu = 2by Dan zijn K en K' de directrix congruenties van Wilczynski van het oppervlak S, dat dan niet willekeurig gekozen kan worden. Zie ook G. Fubini en E. Cech, Geometria proiettiva, differentiale, Tomo I, bladz. 148—151. (Bologna 1926). 111 Voldoen de coördinaten x van het oppervlak S aan de beide dif f erentiaalvergelij kingen: Xuu {\fu iP)x 4“ fxv xvv (\fu ff2)x ri" fxu waarin /= 2A dan vormen de reciproque congruenties K en K' (zie stelling 2) een stratifieerbaar paar, mits: a = 1 (log f)v en b = J (log /)„ IV Laat van de differentiaalvergelijkingen: (1) = P~ + Qs2 en w lx 7>t Y (2) * = B*4 w Dx t>t 1 de coëfficiënten P, Q en B gegeven constanten zijn. Eveneens zijn gegeven, voor x = 0, de randvoorwaarden: h =h0 (t) en s =s0 (t). Stelt men als eerste benadering van de oplossing van (1) en (2): k=( + Qsl)x + h, S_B w'* + S» en substitueert men ze daarna inde rechterleden van (1) en (2) voor hen s, dan vindt men hieruit door integratie naar x een tweede benadering voor de oplossing van de differentiaalvergelijkingen. Op analoge wijze voortgaande krijgt men een derde benadering, enz. Bij directe substitutie van: h= h0 ixx + i2x2 + + inXn +.. . . s=s0 + opr +W2 + + anXH +.. . . inde beide differentiaalvergelijkingen en berekening daaruit van h> h> av a2 enz- worden dezelfde uitkomsten verkregen. V De z.g. paradoxen inde wiskunde zijn door onderzoekingen van Skolem, Carnap en Tarski volledig opgelost in dien zin, dat: le. De wiskundige theoriën langs axiomatischen weg zoo kunnen worden opgebouwd, dat die paradoxen niet meer optreden. 2e. De redeneeringen, die tot paradoxen leiden, nu aanleiding geven tot positieve inzichten ten aanzien van de bedoelde theorieën. In het bijzonder moeten worden genoemd het bestaan van formeel niet bewijsbare en tegelijk onwaarschijnlijke stellingen binnen die theorieën, de relativeering van het machtigheidsbegrip en de semantische definitie van het waarheidsbegrip met betrekking tot zulke theorieën. Onderzoekingen als die van Perelman, Vredenduin, Saarnio, Reach kunnen dan ook, voor zoover ze niet tot verheldering van het bovenbedoelde bijdragen, als overbodig worden beschouwd. LITERATUUR: Whitehead and Russell: Principia Mathematica, I (1910). A. Tar s ki : 1. Der Wahrheitsbegriff inden formalisierten Sprachen, Studia Philosophica I (1935). 2. Actes du Congrès International de Philosoph. Scientifique, Fase. 111, VII (Paris 1936). Skolem: Ueber einige Grundlagenfragen der Mathematik, Skriften utgift av det Norske-Videnskaps-Akademi i Oslo (1929). E. Be t h : De Paradoxen, Alg. Ned. Tijdschrift v. Wijsb. en Psych. 32, (1938/1939). P. G. J. Vr ede n d u In: Alg. Ned. Tijdschrift v. Wijsb. en Psych. 31, (1937—1938). Sa ar n i o : Theoria 3 (1937); R e a c h : Erkenntnis 7 (1938); C h. Perk l ma n : Mind (XLV, N 5). VI De middelbare fouten, die opgegeven zijn voor de periastronlengten van spectroscopische dubbelsterrenbanen met kleine excentriciteit, zijn vaak onjuist en misleidend klein. Zie 0.a.: Publications of the Dominion Astrophysical Observatory, Victoria 111. Publications Minnesota 11, nr. 2, 1935. VII Ten aanzien van de bewering van Dr. Ir. J. P. Mazur e, dat op de Nederlandsche benedenrivieren het hoofdgetij M2 t.o.v. de overige getijden vaneen overwegenden invloed is, kan het volgende worden opgemerkt: Ie De berekende max. vloedstroom, die Mazure voor Af2-getij plus opperwater te Krimpen a/d Lek voor normaal getij zou hebben gevonden, moet met ± 60 % worden vermeerderd, indien het M4-getij eveneens in rekening wordt gebracht. Voor de overige benedenrivieren, uitgezonderd Lek, Waal en Maas, bedraagt de invloed van het M4-getij ± 30 %. 2e. Daarentegen wordt voor den max. ebstroom wel de juiste waarde gevonden, ze treedt echter gemiddeld ± H uur eerder op, dan uit de berekeningen van Mazüee zou volgen. Opgemerkt wordt nog, dat bij de berekening van het M2-getij verondersteld werd, dat de invloed van het S2-getij grootendeels in rekening was gebracht. Zie Ir. J. P. Mazore, De berekening van getijden en stormvloeden op benedenrivieren, Dissertatie 1937, blz. 91: zie ook blz. 105—107. C ar na p : Die Antinomien und die Unvollstandigkeit der Mathematik, Monatshefte für Math. und Physik, 41 (1934). 5 In tegenstelling tot de bewering van Mazure, dat vaneen exacte methode voor de berekening van den stormvloed op de Nederlandsche benedenrivieren van 13/14 Januari 1916 geen sprake kan zijn, is gebleken, dat dit zéér wel mogelijk is en de voorkeur verdient; dan moet deze echter anders worden toegepast, dan Mazure voorstelt. Zie Ir. J. P. Mazure, De berekening van getijden en stormvloeden op benedenrivieren, Dissertatie 1937, blz. 69—71 en blz. 172. IX De stilzwijgende veronderstelling, door Mazure gemaakt, V2 dat het extra verhang, bepaald door y =0,036 dat optreedt in het geval van opwaaiing inde windrichting tegen een dijk, eveneens geldt voor opwaaiing op een zeearm, of benedenrivier, die trechtervormig uitloopt ineen niet inde windrichting gelegen rivier, is in zijn algemeenheid niet juist. Bovendien dient de aandacht er op gevestigd te worden, dat dan de z.g. evenwichtsopwaaiing aanzienlijk later zal optreden dan in het geval van opwaaiing tegen een dijk. Zie Ir. J. P. Mazure, De berekening van getij den en stormvloeden op benedenrivieren, Dis sertatie 1937, § 22, blz. 177—183. X We beschouwen de stroom-afvoerkrommen voor alle plaatsen langs een rivier. Daarna bepalen wede omhullende Evan deze afvoerkrommen. leder dier afvoerkrommen wordt dan door (E) in twee punten, behoorende bij de tijdstippen tx en t2, aangeraakt. Deze tijdstippen tx en t2 vallen dan voor iedere plaats samen met de tijdstippen van hoog- en laag water. Beschouwen we evenzoo de omhullende F der verticale getijlijnen, dan vallende overeenkomstige tijdstippen t\ en t'2 voor iedere plaats samen met de momenten, waarop de algebraïsche som van ver- snellingsterm en term van Bernoulli gelijk en tegengesteld gericht is aan den weerstandsterm inde bewegingsvergelijking, die voor de getij beweging geldt. Is vaneen riviervak, met lengte x, aan één der randen, de verticale en horizontale getijlijn bekend, dan zijnde vergelijkingen van de omhullenden E en F gemakkelijk op te stellen. XI De constante van Eytelwein varieert, gedurende de getij beweging, op de Nederlandsche benedenrivieren in veel geringere mate dan door de Staatscommissie Lorentz uit metingen in het Marsdiep en omgeving werd gevonden. Deze metingen leveren echter onvoldoende gegevens op om de genoemde constante nauwkeurig te bepalen. Berekent men echter de constante van Eytelwein voor een riviervak gedurende die tijds-intervallen, waarbij de verticale getijlijnen van dat vak door hun omhullende F (zie stelling X) worden aangeraakt, dan vindt men over het algemeen afwijkende waarden. Ook inde omgeving van de kentering vindt men vaak waarden, die aanzienlijk van het gemiddelde verschillen, wat echter voor getij berekeningen van minder belang is dan de eerst genoemde afwijkingen. Zie Verslag Staatscommissie Zuiderzee 1918— 1926, blz. 41—44 en blz. 295—297 (’s-Gravenhage 1926).