KOSMOS











Sir William Herschel
Plaat I



KOSMOS
NAAR HET GELIJKNAMIG BOEK VAN
PROF. DR. W. DE SITTER
UIT HET ENGELSCH VERTAALD DOOR DR. J. C. PROOST-THODEN VAN VELZEN
HERZIEN EN BIJGEWERKT
DOOR
Dr. W. DE SITTER
Directeur van de sterrewacht en hoogleeraar in de sterrekunde te Leiden
DEN HAAG W. P. VAN STOCKUM & ZOON N.V. 1934



HÉ



Aan mijn Vrouw







WOORD VOORAF
De Lowell-lezingen, gehouden op uitnoodiging van het Lowell-instituut te Boston in de herfst van 1931, hadden tot onderwerp de evolutie in de opvattingen over den bouw van het heelal. Zij gaven niet, en konden dat ook onmogelijk doen, een volledig historisch overzicht van het onderwerp. Eenige belangrijke punten werden uitgekozen en min of meer volledig behandeld, terwijl lange perioden geheel en al werden overgeslagen. Mijn doel was niet zoozeer nauwkeurigheid in de historische details te bereiken — alhoewel ik er natuurlijk naar gestreefd heb nauwkeurig te zijn — als wel de leidende principes en de evolutie in de algemeene kijk op het onderwerp weer te geven. En in het bijzonder hoop ik duidelijk gewezen te hebben op de fundamenteele beginselen, die aan de zienswijzen in verschillende tijdperken, in schijn dikwijls zoo verschillend, gemeenschappelijk zijn, en aangetoond te hebben hoe



in alle tijden de krachten van groote menschen gericht waren op de ontdekking van het groote beginsel der eenheid, dat ik niet beter kan uitdrukken dan door het Grieksche woord, dat ik als titel van dit boek gekozen heb.
Oorspronkelijk zou de cursus uit acht lezingen hebben bestaan, die door omstandigheden tot zes moesten worden teruggebracht. Enkele sporen van de gevolgen van deze bekorting zal men wellicht nog opmerken aan het einde van de tweede en aan het begin van de vierde lezing. Het is niet onmogelijk, dat de neergeschreven lezingen in hun bewoordingen zeer verschillen van de oorspronkelijke tekst, daar ik mij niet aan een geschreven tekst had vastgelegd, toen ik ze hield. Maar in wezen is de inhoud dezelfde gebleven. Het boek is tot op heden bijgewerkt, vooral de beide laatste hoofdstukken hebben belangrijke toevoegingen en veranderingen ondergaan. De gevolgtrekkingen, waartoe deze laatste twee hoofdstukken leiden, mag men beschouwen als een weergave van de tegenwoordige stand van de wetenschap, of liever van mijn persoonlijke waardeering van deze stand in April 1934.
Voor de voorbereiding van deze lezingen



heb ik veel te danken gehad aan mijn medewerkers aan de Leidsche sterrewacht, in het bijzonder aan dr. Oort, en bij de omwerking van de laatste twee hoofdstukken heb ik zeer geprofiteerd van de gesprekken met vele astronomen en physici gedurende mijn aangenaam verblijf in de Yereenigde Staten en Canada, speciaal in Cambridge en Pasadena.
Het is mij een aangename plicht, de Mount Wilson sterrewacht te danken voor haar toestemming, verscheidene van haar photographieën te reproduceeren.
Leiden, April 1934 de S.



INHOUD
I. Inleiding: Het doel en de methode van het wetenschappelijk onderzoek. De Ouden. Ptolemaeus en
Copernicus 1
II. De geboorte van de moderne astronomie. Kepler, Galileï, Newton. De
achttiende eeuw 27
III. Het begin van de stellaire sterrekunde. William Herschel en zijn
opvolgers 52
IY. Verdere vooruitgangin de waarnemingen. Overzicht van het „locale stelsel". Levenswerk van J. C. Kapteyn 81 Y. Photographie en spectroscopie. De groote telescopen. De galactische en extra-galactische stelsels ... 122 VI. De relativiteit en de moderne
theorieën over het heelal. Slotsom. 164



Illustraties
I. Sir William Herschel titelblad
II. Professor J. C. Kapteyn 81
III. Dr. Easton's diagram ter illustratie
van de spiraalvormige structuur van het melkwegstelsel 186
IV. De spiraalnevel Messier 101 ... . 137 V. Zuidelijk gedeelte van de groote spiraalnevel in Andromeda 138
VI. Sterwolken in Sagittarius 139
VII. De spiraalnevel N.G.C. 4565 .... 149
Teekeningen in de tekst
1. Het stelsel van excentrische cirkels en
het stelsel der epicykels 21
2. De stelsels van Ptolemaeus en Coper-
nicus 23
3. Doorsnede door het melkwegstelsel
volgens de eerste theorie van Sir
William Herschel 62
-4. William Herschel's diagram ter illustratie van zijn tweede theorie (1817). . 70



5. Het stelsel van Kapteyn (1922) ... 116
6. De bolvormige sterrehoopen en de
melkweg volgens H. Shapley (1918) 138
7. Het stelsel van Kapteyn en de bol¬
vormige sterrehoopen 144
8. Diagram ter illustratie van de rotatie
van het melkwegstelsel 145
9. Gedeelte van figuur 8 vergroot. ... 146
10. Dr. Oort's diagram van het melkweg¬
stelsel 149
11. De drie families van niet-statische
universa 208



I.
Inleiding: het doel en de methode van het wetenschappelijk ondekzoek. De ouden; Ptolemaeus en Copeenicus.
Wij leven in een tijd van een zeer merkwaardige ontwikkeling in de wetenschappelijke denkbeelden. Nooit is er in de geschiedenis der wetenschap een tijdperk geweest, waarin nieuwe theorieën en hypothesen in zoo snelle volgorde opkwamen, bloeiden en opgegeven werden, als in de laatste vijftien of twintig jaar.
Een enkele lezer zal zich de publicatie in 1914 van het boek van Eddington: „On Stellar movements and the structure of the Universe" herinneren. Dit boek bracht toen het allernieuwste op een gebied, waarop zich sedert een tiental jaren de belangstelling der astronomen sterk geconcentreerd had. Het was een samenvatting van de stand van de wetenschap na



het buitengewoon vruchtbare tijdperk in de ontwikkeling, dat op Kapteyn's ontdekking van de sterstroomen in 1904 was gevolgd, en dat door alle astronomen, ook door de schrijver zelf, werd beschouwd als een rustpunt op de weg, waar de gegevens, die op verschillende wijze verzameld waren, samengebracht, gemonsterd en geordend werden, om daarna nieuwe plannen te maken tot voortzetting van de ontdekkingstocht in dezelfde richting. Wanneer wij daar nu op terugzien, dan maakt het op ons den indruk de afsluiting van een vroegere periode te zijn. Het is waar, dat de onderzoekingen in die richting zijn voortgezet; de beraamde plannen zijn uitgevoerd en hebben tot de belangrijke resultaten geleid waarop men gehoopt had, maar zij hebben niet, zooals men verwacht had, de ontwikkeling der wetenschap beheerscht, noch de hoofdrichting der ontwikkeling aangegeven.
Integendeel, het lijkt eerder alsof wij sedertdien in 't geheel niet meer van een hoofdrichting, of van een lijn in de voortgang der wetenschap kunnen spreken. Nieuwe takken der wetenschap zijn ontsproten, schijnbaar onafhankelijk van elkander, en dikwijls leidend tot tegenstrijdige resultaten.



In hetzelfde jaar, 1914, zag Einstein's „Entwurf einer verallgemeinerten Relativitatstheorie und Theorie der Gravitation" het licht. Ik behoef niet te herinneren aan de groote pennestrijd, die, niet altijd op waardige wijze gevoerd, door deze theorie ontketend werd. In November 1915 werd de theorie voltooid en begon zij haar triomftocht over de wereld; zij behaalde haar uiteindelijke overwinning reeds in 1919 dank zij de uitkomsten van de Engelsche eclips-expedities. Het leek eerst alsof hier tenslotte een veilige haven was bereikt, waar wij konden rusten en op ons gemak de schatten uitzoeken, die de avontuurlijke reis in onbekende gebieden ons had opgeleverd. Maar weldra bewoog zich de verdere ontwikkeling in onverwachte banen en zij bracht de meest vreemde en paradoxale uitkomsten.
Op het gebied der atomaire natuurkunde is de verwarring nog grooter geweest. Ongeveer terzelfder tijd, nu bijna twintig jaar geleden, had Bohr zijn theorie ontwikkeld. De quantumtheorie nam een nieuwe gedaante aan en steeg weldra tot hoog aanzien. Maar deze roem was niet van lange duur. De theorie van vijftien jaar geleden is nu een historisch curiosum,



bekend onder de naam van de „klassieke quantumtheorie". Zij is successievelijk vervangen door de „nieuwe quantumtheorie", de theorie der matrices, de golfmechanica, ieder vreemder en paradoxaler dan haar voorgangster. Wat men gewoon was als de meest fundamenteele begrippen der natuurwetenschap te beschouwen, determinisme en causaliteit, wordt in twijfel getrokken, de grondslagen der wetenschap schijnen te schudden en het lijkt alsof het geheele bouwwerk bezig is te wankelen.
Is dan de eenheid der wetenschap verloren gegaan? Is het eenige resultaat van de ontzaglijke inspanning der laatste twintig jaar slechts geweest, een vernietigen van onze vroeger zoo goed geordende kosmos, terwijl ons daarvoor in de plaats slechts chaos werd gelaten?
Het zou onjuist zijn zoo te denken. Vooreerst al is zonder een vast vertrouwen in het bestaan van regelmaat en wetmatigheid geen wetenschap mogelijk. En de moderne wetenschap, hoe revolutionair en ongedisciplineerd zij ook schijnen moge, is zekerlijk wetenschap. Zij poogt te doen wat de wetenschap altijd gedaan heeft, wat haar belangrijkste, zoo niet haar eenige gerechtvaardigde functie is, nl. de



verschillende verschijnselen in onderling verband te brengen. Het uiteindelijk doel der wetenschap is, zooveel mogelijk van de realiteit achter de verschijnselen te ontdekken. Dat er achter de verschijnselen een realiteit is, die bestaat onafhankelijk van het feit of zij al of niet wordt waargenomen en op welke wijze dit geschiedt, is daarbij de fundamenteele vóóronderstelling, waaraan de natuurwetenschap even weinig twijfelt als het eenvoudige gezonde verstand. Strikt genomen behoort iedere uitspraak over wat niet is waargenomen niet tot het gebied der physica, maar tot dat van de metaphysica. En ofschoon er niets is, dat een orthodox natuurkundige meer verafschuwt dan de metaphysica, toch aarzelt hij absoluut niet te gelooven, dat zijn wetten universeel zijn en dat de verschijnselen zullen doorgaan er op dezelfde wijze aan te gehoorzamen als niemand kijkt. En, aangezien het onmogelijk zou zijn te bewijzen dat zij het niet doen, is hij ten volle gerechtvaardigd in zijn geloof. De waargenomen verschijnselen zijn de wisselwerking tusschen deze realiteit, waarvan wij het bestaan aannemen, en onze zintuigen of instrumenten, die slechts uitgebreide en verfijnde zintuigelijke organen



zijn. Zoo gezien bevatten zij dus wel degelijk iets van die realiteit, en dat gedeelte ervan, dat zij bevatten, is alles wat wij er ooit over te weten kunnen komen. Maar zij bevatten ook veel dat afkomstig is van onszelf, en de moeilijkbeid is, deze verschillende elementen te scheiden. De natuurwetten zijn de uitdrukking van de regelmaat, die in de verschijnselen wordt gevonden en van het onderling verband tusschen de verschillende verschijnselen, en deze regelmaat en dit onderling verband zijn het, die wij aan de werkelijkheid en niet aan de waarnemer toeschrijven. De natuurwetten — nadat alles wat betrekkelijk is, wat behoort bij de waarnemer, geëlimineerd is —zijn voor ons de realiteit.
Ongetwijfeld heeft de opvatting over de beteekenis en het doel der wetenschap zich in verschillende perioden gewijzigd, en in sommige tijdperken is de nadruk meer gelegd op opvattingen, die in andere tijden als van ondergeschikt belang beschouwd werden, maar dit verschil in houding is meer schijnbaar dan reëel. De beslissende kriteria volgens welke de wetenschappelijke theorieën beoordeeld worden, blijven steeds dezelfde.



Iedere physische theorie moet beginnen en eindigen in de waarneming. Haar oorsprong is de poging rekenschap te geven van de waargenomen verschijnselen op de grondslag der rede, en daaruit volgt dat het noodzakelijk is haar in laatste instantie te toetsen aan waarnemingen; geen theorie kan zich handhaven, als zij niet in staat is deze proef met succes te doorstaan. Deze waarheid is somtijds uit het oog verloren. Zoo bijvoorbeeld genoten in die periode der middeleeuwen, waarin nog van eenige wetenschap sprake mag zijn, de werken van Aristoteles een onbetwiste autoriteit en men vergeleek, om uit te maken of een theorie al of niet waar was, deze niet met waarnemingen, maar met Aristoteles. De Grieksche philosophen zelf echter waren zich zeer goed bewust van het feit, dat de wetenschap op de waarneming moet berusten. Aristoteles zelf, Archimedes, Hipparchus en Ptolemaeus moeten zonder eenige twijfel tot de experimenteele physici en astronomen gerekend worden. Zelfs in de veel gesmade middeleeuwen ontbrak de kritische geesteshouding niet geheel. De afbrekende opmerkingen van koning Alfonso X ten aanzien van het wereldbeeld van Ptolemaeus zijn welbekend,



maar pas in de zestiende en zeventiende eeuw, wordt de noodzaak, waarnemingen te doen, weer zeer sterk gevoeld. Misschien is nooit in de geheele loop der geschiedenis op de eisch, iedere theorie aan waarnemingen te toetsen, zoo sterk de nadruk gelegd als door de twee groote mannen, wier werk het nieuwe tijdperk der wetenschap inleidde, Kepler en Galileï.
Gedurende de geheele ontwikkeling der wetenschap is er zoo een voortdurende wisselwerking tusschen de theorie en de waarneming. Nieuwe waarnemingen doen nieuwe theorieën en hypothesen geboren worden, terwijl aan den anderen kant de ontwikkeling en de generalisatie van bestaande theorieën aangeven, waar nieuwe waarnemingen noodig zijn.
Er zijn twee methoden, volgens welke de wetenschap voortwerkt aan de opbouw van haar theorieën. De eene is door generalisatie en inductie, de andere door hypothese. Beide zijn algemeen erkende hulpmiddelen der wetenschap, en beide zijn ten allen tijde gebruikt. In sommige tijdperken echter stond de eene methode in hooger aanzien, en in andere tijden de andere.
De beste voorbeelden van zuivere generalisatie of abstractie worden in de ontwikkeling



van de wetenschap der mechanica gevonden, en in het bijzonder in het werk van Sir Isaac Newton, wiens uitgesproken afkeer van hypothesen bekend is. Door zijn invloed en de groote autoriteit van zijn naam, werd de zuiver inductieve methode door zijn volgelingen beschouwd als de eenig correcte, en Laplace vindt het zelfs noodig een speciale verontschuldiging te maken, wanneer hij een hypothese invoert.
Aan den anderen kant zijn de atoomtheorie en de theorie der straling typische voorbeelden van een succesvolle toepassing van de methode, die uitgaat van een hypothese, en vooral in de laatste vijf en twintig jaar groeien de hypothesen weelderig in deze hoek van de tuin der wetenschap.
Maar of het geteelde gewas generalisatie of hypothese is, het zaad is altijd uit waarnemingen verkregen, en de vruchten moeten bevestiging door en correlatie van meer waarnemingen zijn.
De richting, waarin zich de ontwikkeling der wetenschap doorzet in ieder afzonderlijk tijdperk hangt natuurlijk in hooge mate af van de algemeene tendens in de overheerschende philosophische denkbeelden. Een voorbeeld van contrasteerende gezichtspunten, die men in de



loop der eeuwen telkens kan terugvinden, is de antithese tusschen een statische en een dynamische kijk op het heelal. Bij het eerste begin der Grieksche philosophie, ongeveer 500 v. Chr., maken wij kennis met de tegenstrijdige stelsels van Heraclitus en de Eleatische philosophen; de eerste legt de nadruk op het eeuwig veranderende aspect van de natuur, terwijl de anderen het „Zijn" als de oergrond der dingen beschouwen en verandering als iets min of meer schijnbaars. De Grieksche geest was in hoofdzaak statisch; Heraclitus is nogal een uitzondering. De geheele ontwikkeling der Grieksche mathematica, die haar hoogtepunt bereikt in Euclides en Apollonius, is in de geest van de Eleatische school. Zij beschouwt slechts opzichzelf staande begrippen; het begrip beweging en continuïteit, dat van het oneindig kleine en het oneindig groote ontbreekt volkomen tot de tijd van Archimedes, die als de eerste moderne mathematicus beschouwd moet worden, zooals hij ook de eerste theoretische physicus was. Archimedes echter was een uitzonderlijk genie, wiens ideeën zijn tijd verre vooruit waren, en weinig invloed gehad hebben op de ontwikkeling der Grieksche wetenschap in zijn eigen tijd en in de direct



daarop volgende eeuwen. Pas wanneer Galileï ze weer opneemt dragen zij vrucht en worden zij verder ontwikkeld.
Ook in de latere ontwikkeling der wetenschap, en in onze eigen tijd, vinden wij dan eens meer de nadruk gelegd op de evolutie in de natuur en dan weer meer op de permanentie der wetten. Ongeveer in het midden van de vorige eeuw kreeg de idee der evolutie een groote stoot dank zij het werk van Charles Darwin. Het is niet geheel toevallig, dat onze tegenwoordige kijk op de ontwikkeling van het planetenstelsel en het heelal nauw verbonden is met de naam van Sir George Darwin. Daar zijn vele typische trekken in het werk van de zoon die zeer sterk aan dat van de vader doen denken.
Gedurende lange perioden der geschiedenis schijnt de ontwikkeling der wetenschap langzaam te gaan, terwijl op sommige oogenblikken een plotselinge herleving intreedt. Deze plotselinge ontwikkeling van nieuwe ideeën komt altijd na een groote vooruitgang in de technische waarnemingsmiddelen. In de geschiedenis der sterrekunde zijn drie van dergelijke tijdperken van versnelde vooruitgang aan te wijzen.
Het eerste, dat gekarakteriseerd zou kunnen



worden door de naam van Hipparchus, ligt zoo ver weg dat de reconstructie der omstandigheden niet dan zeer hypothetisch kan zijn, maar het houdt zeker verband met de algemeene technische vooruitgang gedurende de eeuw, waarin de Grieksche beschaving zich uitbreidde na de veroveringen van Alexander de Groote.
Het tweede, in de zeventiende eeuw, komt na de uitvinding van de verrekijker en bereikte zijn climax in Newton's werk.
Het derde wordt ingeleid in het laatste kwartaal der negentiende eeuw door de ontdekking van de photographie en de spectroscopie. Wij staan er nog midden in, en er zijn nog geen teekenen, die erop wijze dat zijn activiteit zou verminderen of dat het stadium bereikt is, waarin het verzamelen van nieuwe resultaten wordt gevolgd door een ordenen ervan in een allesomvattend systeem.
Een algemeene trek in de ontwikkeling der wetenschap van haar eerste, bijna onbewuste begin tot het zeer doorwrochte bouwwerk van nu, is het meer en meer kunstmatige aspect, dat de theorieën voor de oppervlakkige beoordeelaar krijgen. De generalisatie wordt ruimer en ruimer; algemeene principes, als dat van



het behoud van energie, en andere van een even universeele beteekenis komen op naast de bijzondere wetten en vervangen deze voor een deel. Nieuwe begrippen, volkomen verschillend van die, welke berusten op directe zintuiglijke indrukken, worden door de hypothesen ingevoerd. Het beeld dat de wetenschap schildert van de realiteit achter de verschijnselen lijkt zeer weinig op de direct waargenomen verschijnselen zelve.
Dit is onvermijdelijk. De wezenlijke eenheid der natuur ligt diep onder haar oppervlakte verborgen, en alleen die oppervlakte vermag de directe waarneming ons te toonen. Het geloof in het bestaan van deze eenheid ligt natuurlijk, en zal altijd ten grondslag liggen, aan alle wetenschap, de overtuiging dat er orde en wet in de natuur is, dat de geheele uiterlijke wereld, het universum, een goed geordend stelsel is, is praewetenschappelijk en dieper in ons bewustzijn verworteld dan de wetenschap. Zij is het die wetenschap mogelijk maakt. Toen de Kosmos werd geboren uit de Chaos, was de bodem voorbereid waarop de wetenschap kon groeien.



De oorsprong der Grieksche wetenschap ligt verloren in de wazige verten der vóór-historische tijden. De voorspelling van de zonsverduistering van 585 v. Chr. door Thales is zeker slechts legendarisch. Als beginpunt van de Grieksche wetenschap zou men misschien de school van Pythagoras (570—490 v. Chr.) kunnen nemen, alhoewel het moeilijk is de waarheid te scheiden van de fabels die de mythische persoon van de stichter omringen. Het schijnt echter wel zeker dat Pythagoras een groote invloed gehad heeft op de geheele geest der Grieksche wetenschap. En in het bijzonder is de vorm der vroegste theorieën over het planetenstelsel voor een groot deel bepaald door de sterke voorkeur die in de Pythagoraeïsche philosophie aan de bol en de cirkel als de meest volmaakte vormen gegeven werd. De ontleding van de beweging der planeten in reeksen van uniforme bewegingen in cirkels, die nog in haar algebraïsche vorm van goniometrische functies iedere dag gebruikt wordt, kan tot deze oorsprong teruggebracht worden. Het lijkt waarschijnlijk dat Pythagoras de eerste is geweest, die de moed had de aarde als vrij in de ruimte zwevend te denken in het midden van het heelal, zonder de hulp



van eenige stoffelijke drager ter ondersteuning te behoeven.
Ook wordt door sommigen, al is het op volkomen onvoldoende gronden, aan Pythagoras toegeschreven, wat stellig een van de meest merkwaardige ontdekkingen in de astronomie is, nl. de identiteit van de morgen- en de avondster. Het tijdstip waarop deze ontdekking gedaan is, is echter geheel onzeker. In de Grieksche kosmologie ten tijde van Homerus, zoowel als in de oude Babylonische inscripties, zijn het nog steeds twee verschillende sterren. Het lijkt waarschijnlijk dat de identiteit pas door de Grieksche wetenschap gerealiseerd werd ongeveer ten tijde van of kort na Pythagoras. Deze ontdekking kan men vergelijken met de gelijksoortige ontdekking van de identiteit van een komeet voor en na zijn periheliumdoorgang. Dit laatste was natuurlijk een direct gevolg van Newton's gravitatietheorie, volgens welke de baan van een komeet een kegelsnede moest zijn en in het bijzonder een parabool, inplaats van een rechte lijn zooals men vroeger aangenomen had. Op dezelfde wijze staat misschien de identificatie van de twee verschijningen der binnenplaneten als



morgen- en avondster, in verband met de theorie van de cirkelbeweging der planeten.
Ongeveer terzelfdertijd, omstreeks 500 v. Chr., verschijnen de eerste pogingen een algemeene theorie van alle physische verschijnselen op te stellen, al is het dan voor onze oogen nog zeer onbeholpen. De atoomtheorie van Democritus dateert uit deze zelfde tijd, evenals het stelsel van Heraclitus, die alles verklaarde uit beweging.
Deze theorieën waren echter nog hoogelijk speculatief; de oorsprong der empirische, op waarnemingen berustende wetenschap valt later.
Het eerste, historisch met zekerheid vast te stellen, voorbeeld van een wederzijdsche beïnvloeding van theorie en waarneming is het stelsel der homocentrische sferen, door Eudoxus (408—855 v. Chr.) uitgedacht en dertig jaar later door zijn leerling Kalippus, een tijdgenoot van Aristoteles, gewijzigd om het te doen aansluiten aan de waargenomen feiten binnen de grenzen der nauwkeurigheid, die door de waarnemers uit die tijd bereikt kon worden.
Korte tijd daarna werd het stelsel heelemaal verlaten en vervangen door de theorie der excentrische cirkels, voornamelijk om reken-



schap te geven van de groote wisselingen in helderheid van de planeten in de verschillende gedeelten van hun banen.
Aristoteles (884—322 v. Chr.), die voor de latere middeleeuwen de groote autoriteit was, leefde in een tijd toen de Grieksche wetenschap nog in haar kinderschoenen stond. Ongeveer een eeuw later vinden wij een stadium van veel verdere ontwikkeling. Van de groote namen uit die tijd zullen wij er slechts drie memoreeren: Eratosthenes, Aristarchus en Archimedes.
Eratosthenes, ongeveer 200 v. Chr., meet de diameter van de aarde door het breedteverschil tusschen Syene in Egypte en Alexandrië te meten. Zijn uitkomst is slechts ongeveer 1% fout.
Aristarchus was de eerste die de afstand van de zon tot de aarde uit directe meting bepaalde. Hij bepaalde ook de schijnbare diameter van de zon, die hij vindt als 1/720 van de omtrek van de ecliptica. Aristarchus vindt dan de afstand van de buitenste planeet van het zonnestelsel, Saturnus, uit de evenredigheid b : a = a : E, waarin b is de straal van de aarde, a de afstand van de aarde tot de zon en R de straal van de bol die het geheele zonnestelsel bevat.
2



De merkwaardige overtuigingskracht van analogieën als deze, die voor ons denken absoluut ongegrond zijn, heeft zich gedurende een groot aantal eeuwen weten te handhaven; een dergelijke wijze van redeneeren is niet alleen door Archimedes, maar zelfs door Kepler toegepast.
Aristarchus was ook de schepper van het heliocentrische planetenstelsel. Zooals Dreyer aangetoond heeft, werd dit stelsel waarschijnlijk ontwikkeld uit dat van de excentrische cirkels, door alle centra tot coïncidentie te brengen in de zon, waardoor het praktisch tot het stelsel van Tycho getransformeerd was. Toen hij eenmaal zoover gekomen was, heeft Aristarchus direct de volgende stap gedaan — van het stelsel van Tycho naar dat van Copernicus — door de aarde om de zon te laten wentelen inplaats van de zon met al de planeten om de aarde.
Aristarchus zag in dat zijn stelsel ontzaglijke afstanden voor de vaste sterren met zich meebracht en hij zegt dat de sfeer van de aarde zich verhoudt tot die van de sterren, als het middelpunt van een bol tot zijn oppervlak. Archimedes, concientieus mathematicus als hij was, maakt hier bezwaar tegen, aangezien het middelpunt geen afmetingen heeft en



dus geen verhouding tot het oppervlak bezit. Deze wiskundige spitsvondigheid wordt echter niet gebruikt als argument tegen het stelsel. Nergens blijkt duidelijk of Archimedes het heliocentrische stelsel aanvaardde of verwierp.
Archimedes (289—212 v. Chr.), de grootste van allen, is de grondvester van de theoretische physica, de eerste die experimenteerde met de uitgesproken bedoeling de experimenten aan een wiskundige behandeling te onderwerpen. Hij legde de grondslagen voor de wetenschap der mechanica door zijn ontdekking van de wetten van het zwaartepunt, van de hefboom en die van drijvende lichamen. Zijn mathematische methoden bevatten de kiemen der differentiaalen integraalrekening; hij is de eerste die een kromme definieert door de beweging van een punt inplaats van door statische eigenschappen, en die de begrippen van continuïteit, van het oneindig groote en van het oneindig kleine invoert. In zijn opmerkelijke kleine verhandeling, ^a^t-nrj? genaamd, of in de Latijnsche vertaling „Arenarius", bewijst hij dat het aantal zandkorrels, dat voldoende zou zijn om het geheele heelal te vullen, wel buitensporig groot, maar niet mathematisch oneindig groot is.



Ongeveer een eeuw na het tijdperk van Aristarchus en Archimedes leeft Hipparchus (190—125 v. Chr.), die terecht de vader der astronomie genoemd wordt. De problemen, die door hem voor het eerst werden aangepakt, zijn de groote problemen der fundamenteele sterrekunde, die ons nog steeds bezig houden: de bepaling van het aequinoxium, de bepaling van de lengte van het jaar, de elementen van de banen van zon en maan. Hij maakte ook de eerste stercatalogus, en is de ontdekker der praecessie. Men geeft gewoonlijk als de waarde van de praecessieconstante, door Hipparchus bepaald, 36" per jaar op; dit is echter niet de werkelijk door hem afgeleide waarde. Hij bepaalde het verschil in lengte tusschen de ster Spica en de maan gedurende een maansverduistering, en vond een verschil van twee graden in 150 jaar, d.i. 48" per jaar, wat maar 4% van de juiste waarde afwijkt.
De ontdekkingen van Hipparchus werden mogelijk gemaakt door de verbetering der instrumenten, in het bijzonder door het invoeren van diopters en verdeelde cirkels.
Alle astronomische kennis der ouden is ge-



kristalliseerd in het werk van Ptolemaeus, ongeveer 130 n. Chr., in de „Almagest". Dit boek bevat de bekende theorie van het planetenstelsel; de bewegingen der planeten worden ontleed in uniforme bewegingen langs cirkels, welker middelpunten op hun beurt uniform langs andere cirkels loopen, enz. De aarde is het middelpunt van het heelal. De nauwkeurigheid der waarnemingen is zoo groot geworden, dat één cirkel voor iedere planeet, zooals in het stelsel der excentrische cirkels en in het heliocentrische stelsel van Aristarchus, niet langer voldoende was, maar dat verscheidene epicykels voor iedere planeet vereischt werden.
Het verband tusschen de beide stelsels kan men in figuur 1 zien, waar de doorgetrokken lijnen het Ptolemaeïsche stelsel der epicykels voorstellen, en de gestippelde lijnen het stelsel der excentrische cirkels. De aarde is in A, de planeet in P. In het oude stelsel beweegt de planeet zich langs de „excentrische cirkel", en het middelpunt C van deze cirkel beschrijft de „concentrische cirkel". In het latere stelsel beweegt de planeet zich langs de „epicykel", welks middelpunt geleid wordt door de „deferent". De zon beweegt zich in beide stelsels in



een cirkel om de aarde. Haar plaats op het beschouwde oogenblik is in het diagram aangegeven door de stip met een kleine cirkeltje eromheen. In het stelsel der excentrische cirkels liggen
Figuur 1
Het stelsel der excentrische cirkels en het stelsel der epicykels
de middelpunten van alle excentrische cirkels altijd op de lijn, die de zon met de aarde verbindt; in het stelsel van Ptolemaeus loopt de straal DP altijd evenwijdig aan de richting van de aarde naar de zon. Het is duidelijk, dat de beide stelsels op dezelfde wijze de waargenomen relatieve positie weergeven.



In het stelsel der excentrische cirkels ligt
natuurlijk de vereenvoudiging nogal voor de
hand, de zon (waarvan wij alleen weten dat \ ... \
zij op de lijn AC ligt, niet waar op die lijn) in
C te plaatsen, waardoor wij slechts één concentrische cirkel voor alle planeten noodig hebben
Figuur 2
Het Ptolemaeïsche en het Copernieaansohe stelsel
(nl. de baan van de zon). Dit voert tot het stelsel van Tycho Brahe. De volgende stap naar het stelsel van Copernicus is niet groot. Hij bestaat slechts hierin, C vast te houden als middelpunt van den wereld, en A om C te laten wentelen in plaats van C om A.



Figuur 2 laat ons onmiddellijk de gelijkwaardigheid zien van het stelsel van Ptolemaeus, voorgesteld door de linker helft der figuur, en het stelsel van Copernicus, voorgesteld door de rechter helft. A is de aarde, Z de zon, en P de planeet. De figuur toont duidelijk de grootere eenvoudigheid van het Copernicaansche stelsel.
Deze winst in eenvoudigheid zou echter niet zoo frappant zijn, als wij het stelsel niet hadden teruggebracht tot zijn eenvoudigste vorm, door alle secundaire epicykels weg te laten, die Hipparchus en Ptolemaeus aan het stelsel hadden toegevoegd, om het beter aan de waarnemingen te laten aansluiten.
Het verschil tusschen het stelsel van Ptolemaeus en dat van Copernicus is een zuiver formeel verschil, een verschil alleen in interpretatie, niet in de wiskundige inhoud van de theorie. Dat het heliocentrische stelsel in de Grieksche wetenschap na Aristarchus nimmer werd vermeld, moet zonder twijfel worden toegeschreven aan de grootere ingewikkeldheid van de latere planetentheorieën. Nadat er zoovele epicykels ingevoerd waren, was de vereenvoudiging, die men verkreeg



door de zon in het middelpunt te plaatsen, zooveel minder frappant dan in het geval van de eenvoudige theorie in de dagen van Aristarchus, dat zij nauwelijks de moeite waard scheen. Men besefte echter de gelijkwaardigheid van het geocentrische en het heliocentrische stelsel volkomen. Maar de Grieken lieten, tenminste sedert de eerste eeuw voor Chr., het onderzoek naar de „ware oorzaken" aan de physica, d.i. aan wat wij metaphysica zouden noemen, over. De sterrekunde had als eenige taak de bewegingen der planeten te beschrijven op een formeel juiste wijze, om van de waargenomen verschijnselen rekenschap te geven: -ra cpouvófxsva — dat wij moeten oppassen niet te letterlijk te vertalen als „de schijn te redden".
In de latere middeleeuwen, de tijd der scholastiek, kregen de werken van Aristoteles een groote autoriteit, en zij werden verondersteld alle wijsheid der ouden te bevatten. Er ligt echter een tijdsverschil van bijna vijf eeuwen tusschen Aristoteles en Ptolemaeus, en het is natuurlijk historisch volkomen onjuist het voor te stellen alsof het werk van deze beide mannen practisch tot hetzelfde stadium in de



ontwikkeling der wetenschap behoort, een fout die zelfs in onze eigen tijd nog dikwijls gemaakt wordt.
Ptolemaeus is de laatste Grieksche sterrekundige .Niets is er na zijn tijd aan de wetenschap toegevoegd, en de Grieksche cultuur is ten slotte vernietigd toen het Christelijk gepeupel in 389 n. Chr. de bibliotheek van Alexandrië in brand stak.
Dan komen de duistere eeuwen van orthodoxe onwetendheid. De Grieksche schrijvers werden pas herontdekt in de twaalfde en dertiende eeuw in Arabische vertalingen, maar het onderwijs in de leer van Aristoteles was aan de Universiteit van Parijs nog in 1215 verboden. Slechts zeer geleidelijk werd de weg voor Copernicus geëffend, die dezelfde stap zou doen, die Aristarchus achttien eeuwen voor hem gedaan had.



II
De geboorte van de moderne astronomie Kepler, Galileo, Newton. De achttiende eeuw.
De grootste waarnemer uit de vóórtelescopische tijd is Tycho Brahe. Yan geboorte een Zweedsch edelman, reisde hij in zijn jeugd en werd hij bij koning Frederik II van Denemarken aanbevolen door de hertog-astronoom Willem IV van Hessen. De koning gaf hem het eiland Hveen, waar hij zijn beroemde observatoria Uraniborg en Stjerneborg bouwde. Hij was een geboren waarnemer, en hij beschouwde het maken van waarnemingen als een eerste vereischte. Men heeft het in Tycho dikwijls gelaakt, dat hij het stelsel van Copernicus verwierp en dit verving door zijn eigen stelsel met de aarde de als middelpunt. Hij verdient hiervoor echter geen blaam maar eerder



lof. Hij aanvaardde Copernicus' stelsel voor zoover het met zijn waarnemingen overeen te brengen was, d.w.z. hij liet alle planeten om de zon wentelen. Maar wat de volgende stap betreft, het plaatsen van de zon in het middelpunt, daar kon hij Copernicus niet volgen, omdat hij een bewijs hiertegen in zijn waarnemingen meende gevonden te hebben. Hij had de paralaxen der vaste sterren pogen te bepalen en gevonden dat zij kleiner waren, dan wat met zijn instrumenten kon worden waargenomen. De enorme afstand, die dit voor de vaste sterren impliceerde, was natuurlijk een van de gangbare argumenten in die tijd tegen het stelsel van Copernicus. Maar dit was niet het bezwaar van Tycho; hij was overtuigd dat hij de schijnbare diameters der vaste sterren had gemeten, en zijn argument was, wijl hij geen paralax vond, dat de werkelijke diameters veel grooter zouden moeten zijn dan de baan van de aarde om de zon, en dit was iets wat hij niet kon aannemen. Galilei heeft aangetoond waar de fout in het bewijs lag, nl. dat de diameters die Tycho gemeten meende te hebben, niet de werkelijke schijnbare diameters waren, maar door verstrooiing van het



licht in het oog werden teweeggebracht. Het oog, zegt Galilei, omgeeft de ster a.h.w. met een krans van haren, die door de telescoop wordt afgeschoren. Kepler had al eerder dezelfde verklaring gevonden.
Na de dood van koning Frederik ontstonden er moeilijkheden voor Tycho in Denemarken en ging hij naar Praag, waar Kepler bij hem kwam om daar als zijn assistent te werken. Het is zeer belangwekkend Keplers waardeering van Tycho te lezen, zooals hij deze formuleert in een brief aan Maestlin. Hij schrijft:
Mijn oordeel over Tycho is als volgt: Hij is overmatig rijk maar verstaat, zooals de meeste rijken, niet de kunst een goed gebruik van zijn rijkdom te maken. Daarom moet men zich veel moeite getroosten, (en wat mij betreft heb ik dit met alle gepaste bescheidenheid gedaan) zijn rijkdommen van hem los te krijgen, hem het besluit af te bedelen zijn waarnemingen, en wel alle zonder onderscheid, te publiceeren.
En nog eens, in een andere brief aan dezelfde vriend, waarmede hij zijn leven lang correspondeerde, kort na Tycho's dood geschreven:
Wat Tycho tot stand heeft gebracht, heeft hij vóór het jaar '97 tot stand gebracht; sedertdien ging zijn gezondheidstoestand achteruit; hij werd door overmatige zorgen gekweld; en begon kindsch te worden.



Het overijlde vertrek uit zijn vaderland drukte hem zwaar. Het hof hier [d.i. in Praag] heeft hem geheel te gronde gericht. Hij was er de man niet naar om zonder hevige botsingen met iedereen te kunnen verkeeren, laat staan met mensohen die zoo hooggeplaatst waren, de zelfbewuste raadgevers van koningen en vorsten. Tycho's hoofdwerk zijn zijn waarnemingen, evenveel eerbiedwaardige deelen, als hij zich jaren aan dit werk heeft gewijd. Maar ook zijn Progymnasmata (waarin hij de vaste sterren en de beweging van zon en maan voor onze tijd behandelt) rieken waarlijk naar ambrozijn. Ik hoop ze tegen de volgende jaarmarkt te publiceeren. Ik ben hiervoor ijverig bezig; ik voeg er een aanhangsel aan toe. Wat de maan betreft: in de laatste jaren is het werk voornamelijk gedaan door een zekere Christiaan Severini Longomontanus uit Denemarken onder leiding van Tycho. Dit werk bezit niet de superioriteit die men vindt in de theorie van de zon. Over de kometen was Tycho van plan een boek te schrijven; over alle planeten heeft hij zeer geleerde, ijverige onderzoekingen opgesteld, maar zoo ongeveer op de manier van Ptolemaeus, mutatis mutandis, zooals ook Copernicus gedaan heeft. Gij kunt hieraan zien hoe God zijn gaven verdeelt; geen van ons kan alles. Tycho heeft hetzelfde verricht als Hipparchus, d.w.z. wat de grondvesten van het gebouw betreft; hij heeft daarmede een ontzaglijk werk volbracht. Maar de eenling kan niet alles. Hipparchus had een Ptolemaeus noodig, die de theorieën der overige vijf planeten daarop opbouwde. Nog ten tijde van Tycho's leven heb ik dit volbracht.
Deze lange aanhalingen behoeven geen verontschuldiging. Zij zijn niet alleen belangrijk



omdat zij laten zien dat Kepler de beteekenis van Tycho's werk op volkomen juiste wijze naar waarde schatte, alsook het verband daarvan met het zijne juist inzag, maar evenzeer omdat zij een inzicht geven in het karakter van de zeer opmerkelijke figuur van Johannes Keplek. Deze was in 1571 geboren, studeerde in de theologie in Tübingen, en werd op zijn drie en twintigste jaar benoemd tot staatsmathematicus en professor in Graz, waar hij trouwde en zijn eerste boek „Prodromus dissertationum cosmographicarum seu mysterium cosmographicum" schreef.
Hij had een rijke fantasie en was mystisch ingesteld; hij stond nog geheel onder de invloed der scholastici en was zeer toegankelijk voor hun wijze van redeneeren; zoo aanvaardt hij bv. met volle overtuiging het bewijs van Aristarchus voor de evenredigheid tusschen de straal van de aarde, de afstand van de aarde tot de zon en de straal van de bol, die het geheele zonnestelsel omvat. Hij voegt zelfs nog een lid aan deze reeks toe. Zijn methode om de totale massa van het heelal te vinden mag men als een tweede voorbeeld van deze invloed beschouwen. Hij verdeelt de geheele



massa in drie gelijke deelen, te weten de massa van de zon, die van de planeten, tezamen met die van de aether binnen de bol der vaste sterren, en de massa der vaste sterren en het materiaal waaruit die bol is samengesteld. Hij past in zijn redeneering een dergelijke evenredigheid toe, berekent zoo de straal en het volumen van de sfeer der vaste sterren en vindt daaruit de dichtheid van de aether.
Aan de andere kant zijn zijn uitspraken dikwijls zijn tijd verre vooruit. Zoo oppert hij bijv. in brieven, ongeveer in dezelfde tijd geschreven, de mogelijkheid dat de zon een vaste ster is en dat de vaste sterren zonnen zijn, omringd door planeten.
Klaarblijkelijk voelt hij zich zeer verwant aan de Pythagoraeïsche school; de naam Pythagoras komt dikwijls in zijn brieven voor, terwijl Aristoteles nimmer genoemd wordt.
In de Prodromus zet hij het systeem van de vijf regelmatige lichamen uiteen (hij noemt ze Pythagoraeïsche lichamen), die hij gebruikt om de afstanden der planeten te verklaren. Hij onderstelt dat Saturnus gebonden is aan een bol; in die bol is een kubus beschreven; aan de bol in deze kubus beschreven, is Jupiter



gebonden. Dan komt een tetraheder, waarbinnen de bol van Mars ligt, enz. De groote afstand tusschen Jupiter en Mars wordt verklaard door het feit dat het de tetraheder is, die zich tusschen hun bollen bevindt. De dikte der bollen wordt gebruikt om rekenschap te geven van de excentriciteiten der planetenbanen.
Hoe fantastisch deze eerste pogingen ook waren, zij toonen de onafhankelijkheid van zijn geest. Hij wil zelf de waarheid vinden, onafhankelijk van traditie en zonder een autoriteit te erkennen boven het getuigenis der vaststaande feiten. In Praag, toen de waarnemingen van Tycho voor hem toegankelijk werden, zag hij de mogelijkheid nieuwe theorieën over de planeten op te stellen, die vrij van alle hypothesen waren en alleen op waarnemingen berustten, en hij maakte dit onverwijld tot zijn levenswerk. Hij is de eerste geweest, die tenslotte met de cirkel en de uniforme beweging afgedaan heeft. Van zijn standpunt uit was er niet veel verschil tusschen de stelsels van Ptolemaeus en Copernicus. Kepler zette zich aan het werk zonder eenig vooropgestelde gedachte over wat de ware vorm van de planetenbaan zou blijken te zijn.
3



Hij probeerde de eene kromme na de andere, vóór hij ten slotte de ellips vond. Maar hij liet zich door zijn mislukkingen nimmer ontmoedigen: „wie nimmer twijfelt, kan nooit van iets zeker zijn", zegt hij en hij zet zich neer tot het doen van een nieuwe poging.
Speciaal het vinden van de tweede wet kostte hem lange tijd; hij probeerde verscheidene relaties voor hij de ware wet vond, die uitdrukte hoe de snelheid afhangt van de afstand. Eerst onderstelde hij dat de snelheid evenredig zou zijn met de diameter van de zon, zooals deze van de planeet uit gezien zou worden; later maakt hij haar evenredig aan de hoeveelheid licht die de planeet van de zon ontvangt, wat de juiste wet is. Gelijktijdig met deze onderzoekingen geeft hij zich over aan de wildste speculaties. Maar deze waren voor hem nimmer meer dan „werkhypothesen" en het gemak waarmede hij ze opgaf was even groot als de vruchtbaarheid waarmede hij ze uitvond.
Gilbert's boek over de magneet, dat ongeveer in deze tijd verscheen, maakte op hem een diepe indruk en sterkte hem in zijn overtuiging dat de kracht die de planeten ondervinden haar oorsprong in de zon vindt.



Als een bewijs van zijn enthousiasme, optimisme en geestkracht moge een andere aanhaling uit dezelfde brief aan Maestlin, na Tycho's dood geschreven, dienen. Hem was de zorg voor Tycho's instrumenten en ongepubliceerde waarnemingen opgedragen, maar hij weet nog niet of hij Tycho ook als keizerlijk astronoom zal opvolgen, en of hij met het salaris aan deze positie verbonden (welk salaris echter slechts zelden werd uitbetaald) in staat gesteld zou worden Tycho's werken te publiceeren en zijn onderzoekingen voort te zetten. Hij schrijft:
Hoe het antwoord zal uitvallen, zal de tijd leeren. Ik zelf ben vol goede hoop. Want wanneer God gezorgd heeft voor dat wat het belangrijkste is, nl. voor materiaal in dienst waarvan ik mijn talent kan stellen, dan zal Hij ook voor het benoodigde geld zorgen. Wanneer God echter iets aan de hemelkunde gelegen is, wat de godsvrucht ons dwingt te gelooven, dan hoop ik, dat ik op dit gebied iets volbrengen zal, vooral wanneer ik zie hoe God mijn lot voordurend met dat van Tycho verbonden heeft en ons zelfs niet door de grootste oneenigheden uit elkaar heeft laten gaan.
Men laat de moderne natuurkunde gewoonlijk beginnen met Galilei (1564—1642). Hij werd geboren in een tijd toen de nieuwe



ideeën alreeds algemeen waren, en de twijfel aan de autoriteit van Aristoteles begon op te komen. Zijn opvoeding was zoo goed als in die tijden mogelijk was. Aan de universiteit van Pisa, waar hij drie jaar verbleef, volgde hij in zijn derde jaar colleges over sterrekunde. Op deze colleges werd het stelsel van Copernicus genoemd, als ketterij natuurlijk, evenals dat van Pythagoras en Aristarchus, maar ook werd daar Copernicus' nieuwe bepaling van de lengte van het jaar, die de grondslag is van de Gregoriaansche kalender, besproken. Na de drie jaar te Pisa ging hij naar Florence, en daar zette hij zijn werk zelfstandig voort. In deze tijd bestudeert hij de werken van Archimedes, die een groote indruk op hem maakten. Men kan hem de directe opvolger van Archimedes als theoretisch physicus noemen. Zoo handelen zijn eerste onderzoekingen over het zwaartepunt, de hydrostatische druk, en de bepaling van het soortelijk gewicht met behulp van de hydrostatische balans.
De belangrijke gebeurtenis, die zijn lot bepaalde, was de uitvinding van de verrekijker. Het schijnt wel zeker, dat Galilei voor zichzelf uitvond, hoe hij een verrekijker moest



construeeren, en er ook werkelijk een maakte, nadat geruchten over in Holland gemaakte instrumenten hem bereikt hadden. De vele belangrijke ontdekkingen die hij met zijn telescoop gedaan heeft, zijn van de grootste invloed geweest op de ontwikkeling der sterrekunde. Hij was de eerste die de satellieten van Jupiter zag, de phasen van Yenus en de vreemde aanhangsels van Saturnus, die later door Huygens als ringen werden geïnterpreteerd. Hij ontdekte de zonnevlekken en leidde daaruit de rotatie van de zon af. Hij nam waar, dat de melkweg bestaat uit een groot aantal sterren; dit was de eerste maal in de geschiedenis dat de vaste sterren om hun zelfswille tot voorwerp van onderzoek werden gemaakt, en op deze waarneming is de eerste theorie van de melkweg, die van Kepler, gebaseerd, die veronderstelde dat deze een ring van sterren was.
Al deze ontdekkingen, speciaal die van de satellieten van Jupiter en de phasen van Yenus, zijn van groot gewicht geweest bij de beslissing tusschen de stelsels van Copernicus en van Ptolemaeus. Het is welbekend dat Galilei's kampioenschap voor het stelsel van Copernicus geleid heeft tot zijn martelaar-



schap, dat voor een groot gedeelte verantwoordelijk is voor de voorname plaats die hij in de geschiedenis inneemt. Het is nogal merkwaardig dat dit formeele verschil tusschen de algemeen aanvaarde en de nieuwe planetenstelsels door de kerk, de roomsch-katholieke zoowel als de protestantsche, en door de publieke opinie, uitgekozen moest worden als de in het oog springende moderniseering en ketterij. Als verklaring van de waargenomen verschijnselen zijn zij volkomen gelijkwaardig, zooals alreeds bij de ouden bekend was. In de sterrekunde heeft het werk van Kepler veel meer revolutionaire beteekenis en is het van veel grooter fundamenteel belang. En hetzelfde geldt in nog sterker mate van Galilei's eigen werk op het gebied der mechanica. De publieke opinie is geen goede rechter, wanneer zij moet oordeelen welke de essentieele punten zijn, waar de ingrijpendste veranderingen in de opvattingen in ieder tijdperk hebben plaats gevonden. In de eerste tientallen jaren van de zestiende eeuw was het reëele conflict de strijd tusschen nieuw en oud, tusschen wetenschap, gebaseerd op waarneming en wetenschap, gebaseerd op autoriteit. Het stelsel



van Copernicus werd, foutievelijk, gekozen als zondebok. Op dezelfde wijze wordt in onze eigen tijd de relativiteitstheorie door de massa gehouden voor iets, dat alles omverwerpt en in tegenspraak staat met traditie en gezond verstand, terwijl zij in werkelijkheid een vervolg is van Newton's werk, in de geest van Newton, en het uit dezelfde tijd stammende werk van Eutherford, Bohr en hun opvolgers veel meer revolutionaire beteekenis heeft.
Het werkelijk belangrijke deel van Galilei's werk is niet zijn verdediging van het stelsel van Copernicus, maar, behalve zijn waarneming, zijn onderzoekingen op het gebied der mechanica, die een directe voortzetting zijn van het werk van Archimedes. Tot de tijd van Galilei werden de leerstellingen van Aristoteles, waarin de plaats van een lichaam als het primaire wordt beschouwd, algemeen aanvaard: een verandering van plaats, d.i. een snelheid vraagt een kracht om haar te veroorzaken en te onderhouden. Yoor Galilei is de snelheid het primaire, die geen verklaring behoeft: het is de versnelling waarvoor een oorzaak gevonden moet worden. Zijn wetten over vrij-vallende lichamen, de slinger en zijn traagheids-



wet dateeren uit zijn eerste jaren, ongeveer 1604. Hij verkondigde voor vrij-vallende lichamen de wet dat de snelheid evenredig met de tijd toeneemt, dus dat de versnelling constant is. Hij heeft de definitie van massa, traagheid en het constant zijn van de hoeveelheid van beweging dicht benaderd, al die fundamenteele begrippen der mechanica, die pas door Newton driekwart eeuw later tot een samenhangend systeem vereenigd zijn.
In zijn verdere leven werd Galilei van deze theoretische onderzoekingen afgetrokken door zijn waarnemingswerk met de verrekijker, en zijn belangstelling richtte zich meer op practische doeleinden. Onder meer richtte hij zijn belangstelling op het vinden van de lengte op zee, en wees hij op de mogelijkheid, de verduisteringen van de satellieten van Jupiter voor dat doel te gebruiken.
In zijn laatste jaren, toen hij oud en blind was, maakte Galilei plannen om de slinger voor tijdmeting te gebruiken; en hij kwam zeer dicht bij de uitvinding van het slingeruurwerk, welke uitvinding in werkelijkheid ongeveer 15 jaar na zijn dood door Huygens gedaan werd.



Door de uitvinding en verbetering van de verrekijker wordt een periode van groote vooruitgang ingeleid. Het komt niet plotseling maar rijpt slechts langzamerhand. De telescoop was in de eerste tijd, zelfs nadat zij optisch veel verbeterd was, slechts een ontdekkingsinstrument. Waar de theoretische sterrekunde, nadat Kepler uit de waarnemingen van Tycho alles wat zij geven konden had afgeleid, behoefte aan had, was een grootere meet-nauwkeurigheid in de plaatsbepalingen. Vóór dit bereikt kon worden, moesten de mechanische gedeelten der instrumenten, de opstelling, de verdeelde cirkels enz. zoo verbeterd worden, dat zij gelijken tred konden houden met de plotselinge enorme optische vooruitgang.
In deze algemeene vooruitgang der mechanische uitvindingen is Picakd (1620—1682, de stichter van de Connaissance des Temps) één van de leidende persoonlijkheden. Men kan hem de eerste moderne waarnemer noemen, de Bessel van de zeventiende eeuw. Hij was de eerste, die een verrekijker verbonden aan een instrument voor hoekmeting gebruikte, en ook de eerste die een theorie over de fouten van het instrument gaf.



Zoo kreeg men slechts langzamerhand de beschikking over de voordeelen der nieuwe waarnemingsresultaten, en niet vóór Newton's tijd werd de daaraan beantwoordende stap vooruit in de theorie gedaan. Hetzelfde onvermijdelijke achterblijven van de theorie bij de vooruitgang in de waarnemingen kan men in onze tijd opmerken: de photographie en spectroscopie werden omstreeks 1865 ontdekt, terwijl de groote revolutie in theoretisch opzicht niet voor ongeveer 1915 plaats greep.
De overheerschende figuur in de tijd der theoretische ontwikkeling is Sib Isaao Newton (1643—1727).
Zijn belangrijkste daden zijn de ontdekking van de gravitatiewet en de schepping van het systeem der mechanica op de grondslag van de traagheidswet.
Zijn hoofdwerk, de „Principia", is verreweg het schoonste voorbeeld van zuiver inductief redeneeren, zonder een enkele hypothese.
Hij gaat uit van zijn definities:
Definitie I. De hoeveelheid materie wordt gemeten door het product van haar dichtheid en haar volume.
Definitie II. De hoeveelheid van beweging wordt



gemeten door het product van de snelheid en de hoeveelheid materie.
Wat I betreft, zijn wij tegenwoordig gewoon de dichtheid als quotiënt van massa en volumen te definieeren, maar voor Newton is de dichtheid blijkbaar het fundamenteele begrip.
Newton voegt daaraan toe dat, indien er een medium is dat de ruimte tusschen de verschillende deelen geheel vult en in staat is zich vrijelijk tusschen hen te bewegen, dit niet in rekening moet gebracht te worden.
Newton's definities zijn geen axiomata maar zij verklaren eenvoudig de beteekenis van de technische termen die hij gaat gebruiken.
Het hoofdstuk der definities wordt afgesloten door het scholium, waarin Newton uitlegt dat het niet noodig is ruimte en tijd te definieeren, daar men hiermede voldoende vertrouwd is, maar hij zegt nadrukkelijk dat er een absolute ruimte en een absolute tijd bestaan, onafhankelijk van de materieele inhoud en goed te onderscheiden van de relatieve ruimte en tijd die gebruikt worden om de absolute ruimte en tijd met behulp van materieele middelen te meten.



Dan volgen de drie bewegingswetten, waarvan de eerste de traagbeidswet is.
Wet I. Ieder lichaam volhardt in zijn toestand van rust of rechtlijnige, eenparige beweging, behalve voorzoover het door uitwendige invloeden gedwongen wordt, die toestand te wijzigen.
Wet 11. De verandering in de hoeveelheid van beweging is evenredig met de uitgeoefende kracht en geschiedt langs de lijn, volgens welke de kracht werkt.
Blijkbaar is dus voor Newton de massa (afgeleid uit dichtheid en volumen) fundamenteel, want de hoeveelheid van beweging wordt gedefinieerd als het product van massa en snelheid, en de verandering van hoeveelheid van beweging is evenredig met de kracht. In de mechanica van het begin van de twintigste eeuw is men gewoon de tweede wet als de definitie van de (trage) massa te beschouwen, aldus uitgaande van de versnelling en de kracht, waarbij de kracht een fundamenteel begrip is. Einstein keert tot Newton's opvatting terug, door niet de kracht maar de dichtheid als het fundamenteele te beschouwen, en de kracht, of de potentiaal, waarvan zij de gradiënt is, uit de materieele dichtheid af te leiden.
Wet III. De reactie is altijd tegengesteld en gelijk aan de actie: of de acties van twee lichamen op elkaar zijn altijd gelijk en tegengesteld gericht.



Deze wet verliest min of meer haar beteekenis wanneer de mechanica ook wordt toegepast op krachten die niet centraal werken. Op de wijze waarop Newton het uitdrukt, geldt zij alleen voor krachten, in de richting van de verbindingslijn der beide beschouwde lichamen, en kan zij uit de wet van behoud van hoeveelheid van beweging worden afgeleid. Daar zij een combinatie is van de wetten I en II is zij minder fundamenteel dan deze.
Na de inleidende hoofdstukken van definitie en bewegingswetten, worden de twee eerste boeken gewijd aan het in detail uitwerken van het systeem der kinematica en dynamica dat daarop berust. Het derde boek brengt de algemeene gravitatiewet, die stap voor stap uit de waarnemingen wordt afgeleid:
le verschijnsel: de banen van de satellieten van Jupiter om de planeet volgen de wetten van Kepler.
2e verschijnsel: hetzelfde geldt voor de satellieten van Saturnus.
3e verschijnsel: de planeten beschrijven banen om de zon.
4e verschijnsel: in de banen der planeten wordt de tweede wet van Kepler gehoorzaamd.



En zoo voort. Zoo komt hij geleidelijk door zorgvuldige inductie tot de algemeene wet der gravitatie.
De „Principia" eindigen met het „Scholium Generale" dat eenigszins de indruk maakt van een geloofsbelijdenis. Het begint met de woorden: „De hypothese van de vortices heeft met vele moeilijkheden te kampen." en eindigt:
Ik ben echter nog niet in staat geweest het bewijs van deze eigenschap der gravitatie uit de verschijnselen af te leiden en ik maak geen hypothesen. Watnl. niet uit de verschijnselen is af te leiden, moet een hypothese genoemd worden; en hypothesen, het/ij metaphysische, hetzij physische, hetzij van occulte aard, hetzij mechanische, vinden in de experimenteele philosophie geen plaats. In deze philosophie worden de bijzondere voorstellingen afgeleid uit de verschijnselen en tot algemeene gemaakt door de inductie. Zoo werden de ondoordringbaarheid, de bewegelijkheid en de stootkracht der lichamen en de wetten van beweging en zwaartekracht ontdekt. En het zij ons genoeg, dat de zwaartekracht inderdaad bestaat, en werkt volgens de wetten, zooals zij door ons uiteengezet zijn en in staat is voldoende rekenschap te geven van alle bewegingen der hemellichamen en van onze zee.
Newton's groote naam en autoriteit hebben veel bijgedragen tot de hooge waardeering waarin de zuiver inductieve redeneerwijze zich verheugd heeft. De periode van zuivere lo-



gische inductie begon met Kepler, bereikte haar hoogtepunt in het werk van Newton, en zette zich gedurende de geheele achttiende en negentiende eeuw verder door; zij schijnt nu echter afgesloten te zijn: in onze tijd is de theorie weer vol met hypothesen.
Interessant is de vraag, waarom Newton zoolang wachtte, voor hij zijn „Principia" publiceerde. Het is bijna zeker dat hij de gravitatiewet in 1665 ontdekte, terwijl het boek pas 1687 verscheen, en hij had het zóó geheim gehouden, dat alleen eenige van zijn zeer intieme vrienden ervan wisten. Men heeft dikwijls aangenomen dat de reden van dit uitstel de onvoldoende kennis van de straal van de aarde was, waardoor de vergelijking der theorie met de waarnemingen bedorven werd. Een meer plausibele verklaring is echter in 1887 door Adams en Glaisher gegeven. Newton had het zeer moeilijk gevonden te bewijzen dat de resulteerende kracht, waarmede een homogene bol op een punt er buiten werkt, dezelfde is als wanneer de geheele massa van de bol in het middelpunt geconcentreerd is. Zoolang dit schijnbaar betrekkelijk onbelangrijke maar in werkelijkheid fundamenteele punt nog niet



tot zijn volkomen tevredenheid was opgelost, beschouwde hij de theorie nog niet als voltooid en deinsde hij voor publicatie ervan terug.
Men moet niet meenen dat Newton's theorie ineens algemeen aanvaard werd. Verre van dien. Huygens en Leibnitz voelden een tegenzin tegen haar formeele karakter, een antipathie tegen een werking op een afstand. Huygens zag zeer goed dat Descartes' theorie der vortices in vele opzichten niet houdbaar was, maar zij verklaarde tenminste hoe de kracht werd voortgeplant, en maakte geen gebruik van die geheimzinnige werking op een afstand. Vele van de tijdgenooten van Huygens hadden hetzelfde bezwaar, en pas in de tijd van het rationalisme, de eeuw van Voltaire, gaven de philosophen en wetenschapsmenschen zich algemeen over aan Newton's denkwijze.
Geleidelijk heeft de geest van Newton de geheele wereld veroverd. De gravitatiewet werd langzamerhand beschouwd als de ideale physische wet, het model naar hetwelk alle wetten gevormd moesten worden. En zoo komt het dat wij aantrekkingen en afstootingen omgekeerd evenredig aan een of andere



macht van de afstand door de geheele physica heen verspreid vinden gedurende lange tijd. De uitwerking van de gravitatiewet zelf en de toepassing ervan op de storingen in de planetenbanen was het werk van de groote mathematici der achttiende eeuw: Euler (1707—1783), Clairaut (1713—1765), Lagrange (1736—-1813), en vond haar hoogtepunt in het groote werk van Laplace, „Mécanique céleste".
Behalve deze mathematische ontwikkeling was er ook een vooruitgang in de ontwikkeling der practische sterrekunde. Belangrijke gebeurtenissen zijn de stichting van het observatorium te Parijs in 1669, en dat van Greenwich in 1675; de eerste „Astronomer Royal", Plamsteed (1646—1719), mag hier wel genoemd worden. Zijn groote opvolger, Halley (1656—1742) heeft de sterrekunde verrijkt met vele belangrijke ontdekkingen. Hij was de eerste, die de eigenbewegingen der vaste sterren ontdekte en de seculaire term in de lengte van de maan, doordat hij de waarnemingen, in zijn eigen tijd gedaan, vergeleek met die van de Grieksche sterrekundigen en met Arabische waarnemingen uit de tiende en
4



elfde eeuw. Hij maakte de eerste catalogus van de Zuidelijke sterrehemel, waarvoor hij een expeditie naar St. Helena uitrustte. Hij was niet alleen een waarnemer, maar evengoed een theoretisch astronoom; hij paste de gravitatietheorie toe op de kometen, en zijn planetentafels waren lange tijd de beste die bestonden.
Het kan niet ons doel zijn een geschiedenis van de sterrekunde in de achttiende eeuw te geven, noch zelfs de belangrijkste gebeurtenissen uit die geschiedenis te memoreeren. Ik wil echter nog twee namen noemen, vóór wij een eeuw overspringen van Newton naar Herschel.
Öle Roemer (1644—1710) ontdekte uit de verduisteringen der Jupiter-satellieten de eindige snelheid van het licht, hij bouwde de eerste meridiaancirkel, en waarschijnlijk ook de eerste paralactisch opgestelde telescoop.
James Bradley (1693—1762), „vir incomparabilis" ontdekte de mutatie en de aberratie en legde de grondslag voor de moderne fundamenteele astronomie.
Al deze ontdekkingen zijn het natuurlijke



resultaat van de ontwikkeling van de waarnemingskunst ten gevolge van de ontwikkeling in de techniek van het instrumentmaken. De astronomische waarneming bereikte voor een tijd haar hoogtepunt in Bradley, wiens prestaties pas veel later overtroffen zijn.



III
Het begin van de stellaire sterrekunde.
William Herschel en zijn opvolgers.
Gedurende de geheele ontwikkeling der sterrekunde tot aan het einde van de achttiende eeuw werd er nauwelijks eenige aandacht aan de vaste sterren geschonken. De opvatting van de ouden dat de vaste sterren vastzaten aan een bol en dus alle dezelfde afstand van ons hadden, werd slechts langzamerhand overwonnen. Kepler nog spreekt over de vaste sterren als waren zij begrensd in een laag tusschen twee bollen en zegt er niet veel meer van.
De eerste werkelijke afstandsbepaling van een ster is die van Sirius door Huygens. Het licht heeft twee eenvoudige eigenschappen die als grondslag voor de afstandsbepaling kunnen dienst doen: de rechtlijnige voortplanting, die



de grondslag is van de trigonometrische methode der paralaxbepaling, en de vermindering van intensiteit omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand. De trigonometrische methode is de meer fundamenteele; wij nemen pas onze toevlucht tot het tweede alternatief voor afstanden die te groot zijn voor het eerste. Zoo is het altijd geweest, maar tot bijna het midden van de negentiende eeuw waren alle afstanden te groot voor de directe trigonometrische methode. Het was door Tycho beproefd; Kepler had er Galilei op gewezen, de juiste waarnemingen aangegeven en de dagen, waarop ze gedaan moesten worden, genoemd. De voornaamste prikkel echter voor het doen van deze waarnemingen was niet de afstanden der sterren te bepalen maar om in de paralactische beweging een bewijs voor het stelsel van Copernicus te vinden. De afstand, zooals zij uit de lichtintensiteit werd bepaald, zou er natuurlijk practisch onafhankelijk van zijn, welk planetenstelsel het ware was.
Huygens vergeleek het licht van Sirius met een klein gedeelte van de zonneschijf, dat door een diaphragma uitgesneden en door een



kleine bol van glas gereflecteerd werd. In de vooronderstelling, dat de ware lichtkracbt van Sirius dezelfde is als die van de zon, vond hij de afstand 28000 maal zoo groot als die van de zon, en maakte hij daaruit de gevolgtrekking dat de paralax te klein was om gemeten te kunnen worden. Dezelfde conclusie trok hij hij uit het feit dat de sterren Mizar en Alcor geen beweging ten opzichte van elkaar met een jaarlijksche periode vertoonden. Hij loopt hier dus meer dan een eeuw vooruit op Herschel's voorstel relatieve paralaxen te bepalen uit de verplaatsing van heldere sterren ten opzichte van zwakke sterren, die aan den hemel dicht bij elkander staan. Waarbij hij dan, evenals Herschel deed, vooronderstelt dat de werkelijke lichtkracht dezelfde is. Het is bekend dat Herschel, toen hij deze methode in verschillende gevallen werkelijk probeerde, geen paralaxen vond, maar de ontdekking der dubbelsterren deed. Had Huygens geweten, wat wij nu weten, nl. dat de lichtuitstraling van Sirius ongeveer vijf en twintig maal grooter is dan die van de zon, dan zou zijn afstand slechts vier maal te klein zijn uitgevallen inplaats van twintig maal.



William Herschel is de eerste geweest die de overtuiging had, dat de vaste sterren een stelsel van een zekere structuur vormden, die het plan opvatte deze structuur om haarzelfs wille te bestudeeren en dit onderzoek op werkelijke waarnemingen baseerde.
Kepler en Huygens hadden de meening uitgesproken dat de zon een ster was, en de sterren zonnen, omringd door planetenstelsels.
Kant en Lambert hadden beiden — uitgaande van zeer verschillende principes en langs verschillende lijnen hun redeneering opbouwend — wereldsystemen samengesteld die volkomen speculatief waren. Het eenige feit aangaande de bouw van het sterrenstelsel, dat zeker bekend was, vóór Herschel zijn werk begon, was, dat de melkweg bestond uit een menigte van sterren. Dit was door Galilei ontdekt.
Afzonderlijke aandacht moet echter aan Herschel's oudere tijdgenoot John Michell geschonken worden, die (in 1767) eenige opmerkelijke opvattingen over sterrehoopen publiceerde, en over de eigen beweging, die hij meende dat gedeeltelijk de afspiegeling van de beweging van de zon moest zijn.



Hij wees er op dat de seculaire paralax in de loop der tijden een middel kon zijn om de afstand te bepalen. De directe meting der paralaxen, zegt hij, zal de constructie van betere verrekijkers moeten afwachten, waarmede men een twintigste boogsecunde kan meten, wat hij geen hopelooze opgave voor de toekomst acht.
Herschel wijst er op dat wij uit de directe waarneming slechts twee coördinaten der sterren kennen; de derde, de „diepte" zooals hij hem noemt, is onbekend.
De sterren zijn zeer verschillend in helderheid. Is dit alleen te wijten aan hun verschillende afstanden, of verschillen zij ook in werkelijke helderheid, in „lichtkracht", zooals wij dit nu noemen met een woord door Kapteyn ingevoerd ?
De verdeeling van de sterren over de hemel is ook zeer ongelijkmatig. Is hun werkelijke verdeeling in de drie-dimensionale ruimte regelmatig en homogeen of niet? Wij hebben dus is werkelijkheid twee onbekenden: de lichtkracht en de dichtheid. Pas Kapteyn pakte dit probleem in zijn geheele omvang aan. Herschel begon slechts. Hij maakte de veronderstel-



ling dat de lichtkracht van alle sterren dezelfde is, en dat de dichtheid constant is. Het is duidelijk dat deze beide veronderstellingen elkaar tegenspreken, d.w.z. niet a priori: er zou een heelal kunnen bestaan waarin aan beide onderstellingen voldaan was, maar dat zou er geheel anders uitzien dan het onze.
In Herschel's eerste mededeeling „Over de paralax der vaste sterren" (1781) gaat hij expliciet uit van de twee volgende
Algemeene hypothesen
1. De sterren worden verondersteld ongeveer van de grootte van de zon te zijn.
2. Het verschil in hun schijnbare grootte wordt verondersteld het gevolg te zijn van hun verschillende afstanden, zoodat een ster van de tweede, derde, of vierde grootte twee, drie of viermaal zoo ver weg staat als een van de eerste grootte.
Wat de eerste hypothese betreft merk ik op, dat uit verschillende plaatsen blijkt dat Herschel aanneemt dat de oppervlaktehelderheden van de zon en de sterren gelijk zijn; „grootte" slaat hier dus op de werkelijke afmetingen.
Wat de tweede hypothese betreft zegt Herschel zelf in een noot dat dit neerkomt op een



definitie van de grootteklasse. De schaal der magnitudines volgens welke de schijnbare helderheid der sterren gemeten wordt, is uit traditie ontleend aan de Grieksche astronomen. Het verband tusschen de conventioneele schaal en de werkelijke intensiteitsverhouding zou met behulp van photometrische methoden gevonden moeten worden. Herschel doet geen poging hiertoe, maar stelt in de plaats daarvan zijn definitie. Aangezien hij de wet van het omgekeerd evenredig zijn met de tweede macht van de afstand accepteert en gebruikt, wordt hierdoor de grootte gedefinieerd als omgekeerd evenredig te zijn met de vierkantswortel uit de intensiteit. Sir John Herschel bevestigt dit, dank zij een photometrisch onderzoek aan de Kaap, en vindt de formule i = l/(m+0.414).2 De logarithmische schaal, die wij nu gebruiken, is natuurlijk pas veel later aangenomen. Herschel beschouwt deze wet, ra = A, blijkbaar als bijna vanzelf sprekend, en hij heeft er gedurende zijn geheele leven consequent aan vastgehouden. Zelfs keerde hij haar om en sprak hij bv. van een ster van de magnitude 1342, waarmede hij een ster op een afstand van 1342 maal de ge-



middelde afstand van een ster van de eerste grootte bedoelde. In de genoemde noot brengt hij de mogelijkheid van absorptie in de ruimte onder de aandacht, die, zooals hij zegt, hem gesuggereerd is door het feit dat hij „in 't algemeen de zeer zwakke telescopische sterren rood, of roodachtig gekleurd heeft gevonden". Indien er absorptie is, dan zou natuurlijk de afstand veel kleiner zijn dan het getal dat de magnitudo aangeeft. Maar deze noot is de eenige plaats in zijn werken waar de absorptie genoemd wordt. Hij houdt er in zijn verdere afleidingen geen rekening mede.
Herschel's groote werk zijn zijn sterpeilingen, die hij begon zoodra de 6-meter telescoop (brandpuntsafstand 6 meter, opening 47.5 cm.) voltooid was, in 1784. Als eerste resultaat van zijn nauwkeurige navorsching van de hemelen komt hij tot de conclusie dat de meeste der zoogenaamde nevels opgelost zijn in sterren, en hij vermoedt dat zij met grootere telescopen alle op die manier op te lossen zullen zijn. De melkweg — het melkwegstelsel zouden wij zeggen — is zoo een ontzaglijke „sterrelaag". Zijn opvatting wordt duidelijk gemaakt door een figuur, die duidelijk de zwij-



gend gemaakte onderstelling van een gelijkmatige verdeeling, d.i. van een constante dichtheid,laat zien, waarop zijn eerste theorie berust.
In de tweede publicatie begint hij met zijn ideeën aangaande verschillende stadia in de ontwikkeling der nevels mede te deelen: alle nevels worden nog steeds ondersteld uit sterren te bestaan. Dan komt zijn conclusie: „Wij bewonen de planeet behoorend bij een ster, die lid is van een samengestelde nevel van de derde klasse". Een „samengestelde nevel van de derde klasse" is in zijn nomenclatuur een stelsel, dat bolvormige sterrehoopen, onregelmatige clusters, en sterren in „rissen en kronkelingen enz." gerangschikt bevat. Zijn gedetailleerde structuur is er dus niet een van uniforme dichtheid. Toch gaat Herschel door, de hypothese van de uniforme dichtheid consequent toe te passen, maar men krijgt de indruk dat hij deze zelfs in die tijd beschouwde als niet meer dan een eerste benadering. Hoe dit zij, hij gaat verder: „ik zal nu in het volgende aan toonen dat het kolossale sterrestelsel, dat wij bewonen, deze uitgestrekte sterrelaag en haar secundaire zijtak, bestaande uit vele



millioenen sterren, in alle waarschijnlijkheid, een vrijstaande nevel is", d.i. in Herschel's vocabulaire, een geïsoleerd systeem, overal omringd door leege ruimte.
Indien de dichtheid constant is, dan is de afstand waarop het systeem zich uitstrekt in een bepaalde richting direct evenredig met de derdemachtswortel uit het aantal sterren in die richting gezien, aangenomen dat wij tot de grens ervan zien kunnen. Herschel stelt het zoo:
Probleem: De lengte van de straal in de gezichtslij n te bepalen, als ondersteld wordt dat de sterren zoo goed als gelijkmatig verspreid zijn, en haar aantal in een gezichtsveld van bekende diameter in hoekmaat gegeven is.
Dit hangt natuurlijk af van de rangschikking, of de sterren ondersteld worden in de hoekpunten van een kubus te liggen of van een tetraëder, of in andere mogelijke regelmatige verdeeling. Hij neemt als plausibele verdeeling die in de hoekpunten van kubussen aan. Dan is de oplossing van het probleem eenvoudig. De „Table of Star-Gages" bevat het resultaat van 683 peilingen .De aantallen sterren varieeren van 0.5 tot 588. Ieder getal is het gemiddelde van verscheidene velden in de omgeving,



dikwijls tien. Het is opmerkelijk dat vele van de zeer ster-arme velden in de melkweg liggen; zoo ligt bijv. het armste veld van alle, met 0.5 sterren (het gemiddelde van 10 velden), in de Schorpioen. Herschel noemt het „een opening in de hemel". Uit deze aantallen leidt hij dan de afstanden af volgens de regel die uit zijn oplossing van het bovengenoemde probleem volgt. Zoo is hij in staat een model van het stelsel te construeeren. In zijn ge-
Figuur 3
Doorsnede door het melkwegstelsel volgens de eerste theorie van Sir William Herschel (1785).
schrift geeft hij alleen een doorsnede in een vlak loodrecht op het centrale vlak van de melkweg. Deze doorsnede, die berust op 129 peilingen en bij benadering ligt in een groote cirkel door de sterrebeelden Aquila, Coma, Canis Major, Cetus (galactische lengten 191° en 11°), is hier in figuur 8 gereproduceerd.



Men ziet dat de hypothese van de gelijkmatige dichtheid een tamelijk onregelmatige omtrek geeft. De kortste afstand van de zon tot de grens is 75 eenheden naar Coma (de bovenkant van de figuur) en 83 eenheden in tegengestelde richting, naar Cetus. De langste stralen naar links, in Aquila, zijn 420 en 497 eenheden respectievelijk, tegen 352 eenheden in de richting van de Groote Hond. De eenheid is de afstand van Sirius, of twee parsec. Herschel gaat dan verder de gronden aan te voeren waarop hij zijn meening, dat hij werkelijk de grenzen van het stelsel bereikt heeft, baseert.
Want het is waar dat het niet veel waarde zou hebben zeer gedecideerd te verzekeren dat wij ons op een eiland bevonden, tenzij wij onszelve werkelijk overal door de oceaan begrensd hadden gezien.
Maar, zegt Herschel, indien daar nog meer sterren achter waren, te zwak om afzonderlijk in de telescoop waar te nemen, dan zouden de peilingen een melkachtige onoplosbare nevelachtigheid als achtergrond geven, en dit doen zij nergens:
Zoodat het uit deze overwegingen wederom zeer waarschijnlijk lijkt, dat de telescoop, die ik nu gebruik, daar zij een dergelijke nevelachtigheid in de



melkweg niet vertoont, aireede verre buiten de grenzen van het stelsel reikt.
Ons stelsel is dus, concludeert hij, „een zeer uitgestrekte, vertakte, samengestelde opeenhooping van vele millioenen sterrenHet aantal sterren dat het volgens Herschel's gegevens zou bevatten bedraagt 75 tot 100 millioen, maar Herschel zelve geeft geen nauwkeuriger opgave dan „vele millioenen".
Dit is dan het stelsel van 1785.
Aan het einde van zijn publicatie noemt hij vele andere nevels op die, volgens zijn meening, ook galactische stelsels zijn. De dichtst bijzijnde en grootste van deze is de Andromedanevel. Haar afstand wordt op twee duizend maal de afstand van Sirius geschat, d.i. op 4000 parsec of 13000 lichtjaar. Combineeren wij deze geschatte afstand met Herschel's schatting van de schijnbare diameter, „meer dan anderhalve graad", dan vinden wij voor de ware doorsnede 50 tot 60 Herschel-eenheden, of 100 tot 120 parsec, terwijl de doorsnede van ons eigen stelsel volgens Herschel's teekeningen, ongeveer 850 eenheden, dus 1700 parsec is.
De grondslag, waarop Herschel's eerste the-



orie (1785) berust, is zijn overtuiging, dat alle nevels in sterren oplosbaar zijn. Zijn voortgezette waarnemingen deden hem echter inzien, dat dit niet het geval is. In een publicatie uit 1791 maakt hij onderscheid tusschen oplosbare nevels of clusters en „melkachtige nevelvlekken", waarvan hij aanneemt dat zij bestaan uit „een lichtgevend fluïdum van een ons geheel onbekende aard". Hij wijdt dan uit over verschillende hypothesen aangaande de aard van dit „lichtgevende fluïdum": „Mogen wij het vergelijken met de flikkeringen van het electrische fluïdum in het noorderlicht?" Deze onderstelling wijst hij af, evenals de hypothese dat het van dezelfde aard als het zodiakale licht zou zijn, aangezien dit te zwak is om op eenige afstand nog zichtbaar te zijn, en hij waagt ten slotte een poging door te onderstellen dat het uit lichtpartikeltjes bestaat, die onder verschillende invloeden van hun rechte weg door de ruimte zijn afgeweken, waartoe ook de aantrekking tengevolge van de gravitatiekracht van sterren en sterrestelsels behoort. „Echter", zoo besluit hij:
Wij zullen niet de nadruk op een dergelijke gissing leggen, daar de midelen om deze te verifieeren ontbre-
5



ken: ook is het voor ons niet van eenig direct belang de oorsprong van deze lichtgevende materie te kennen. Laat het voldoende zijn, dat haar bestaan bewezen is door de nevelvlekken.
De groote 12-meter telescoop (met opening van 1.20m.) werd tegen het einde van 1789 voltooid, en hoewel zij zeer onhandig in het gebruik was, en er slechts zeer weinige nachten goed genoeg voor waren, heeft zij zeer zeker Herschel grootelij ks geholpen tot klaardere inzichten te komen. Zelfs één goede nacht met deze kijker zou voldoende geweest zijn de evolutie in zijn denkbeelden te weeg te brengen, die ten slotte zijn tweede theorie over het melkwegstelsel tot resultaat gehad heeft. Behalve het bestaan van onoplosbare nevelvlekken, bracht het feit, dat hij met de groote kijker meer sterren in hetzelfde veld zag dan met de 6-meter telescoop, hem er toe zijn opvatting dat hij de grenzen van het heelal bereikt had te laten varen: „De 6-meter telescoop kon de diepte van de melkweg niet peilen". De 12-meter kijker kan het evenmin; er blijft altijd een achtergrond.
Daarom mogen wij concludeeren, dat wanneer onze peilingen de melkweg niet langer in sterren kunnen



oplossen, dit niet 't geval is omdat haar "wezen tweeslachtig is maar omdat zij onpeilbaar is.
„Tweeslachtig" beteekent bij Herschel: sa mengesteld uit sterren en nevelachtige materie door elkaar.
Bovendien was hij er langzamerhand toe gekomen in te zien, dat een gelijkmatige dichtheid zelfs niet als benadering te gebruiken is: hij had in het melkwegstelsel het „groepeeringsvermogen" ontdekt; de sterren hebben de neiging zich in groepen te vereenigen, en hij gelooft dat de melkweg uiteindelijk geheel zal worden opgelost in afzonderlijke groepen en clusters. Het melkwegstelsel is als gevolg van de onderlinge aantrekking der sterren „onderworpen aan een groepeeringsstreven 
en moet ten slotte in afzonderlijke gedeelten uiteenvallen, en ophouden een laag van overal verstrooide sterren te zijn".
Hij geeft hiermede de uniforme dichtheid als leidend principe op, en gebruikt in de plaats daarvan de uniforme lichtkracht.
De sterren, tenminste zij die onsystematisch verdeeld schijnen te zijn, hebben waarschijnlijk alle een bepaalde grootte.
Hoe zwakker sterren wij daarom in een be-



paalde richting zien, hoe verder wij in de ruimte kijken. Wanneer men dan de grootte omgekeerd evenredig aan de vierkantswortel uit de intensiteit stelt, volgens zijn definitie van grootteklasse, dan kan men de grootte van de zwakste sterren theoretisch uit het vermogen van de kijker afleiden. Of beter nog, men geeft het gebruik van grootte-klassen heelemaal op en werkt met de afstanden alleen. Om deze te bepalen berekent hij wat hij noemt het „doordringingsvermogen" van zijn kijkers. Het lichtverlies door absorptie en reflectie in het oculair wordt zorgvuldig bepaald en behoorlijk in rekening gebracht. De opening van de pupil van ons oog wordt op 5 mm. geschat. Het doordringingsvermogen van het bloote oog, dat in deze publicatie, in tegenstelling met wat hij gewoonlijk doet, ondersteld wordt tot de zevende grootte te reiken, wordt als eenheid genomen. Voor het doordringingsvermogen van de 6-meter kijker, in de vorm van Newton gebruikt, wordt dan 61.2 eenheden gevonden, bij recht doorzicht is het 75; voor dat van de 7.5-meter kijker wordt 95.85 en voor dat van de 12-meter kijker 191.69 eenheden gevonden. Later (in 1817) drukte hij de eenheid uit in de gemiddelde



afstand van de sterren van de eerste grootte. Toen hij de aantallen sterren van verschillende magnitudo tot aan de zevende grootte onderling vergeleek, bevond hij dat de wet, dat de magnitudo gelijk aan de afstand zou zijn, niet juist was. Na werkelijke photometrische vergelijking (door de helderheid met behulp van diafragmas gelijk te maken) vond hij voor verschillende sterren van de zesde grootte, die nu weer als de grensmagnitudo voor het bloote oog wordt genomen, een helderheid tusschen (1/10)2 en (1/15)2 van die van een ster van de eerste grootte. Hij neemt dan als gemiddelde voor de „zichtbaarheidsstraal" van het bloote oog het getal 12 aan, waarbij de eenheid, zooals reeds gezegd werd, de gemiddelde afstand van een ster van de eerste grootte is. De zichtbaarheidsstraal van de 6meterkijker wordt dan 75x12=900 eenheden, en die van de 12-meter 2300. Zelfs op die afstand was de grens van het stelsel niet bereikt. De „Slot-op merkingen" van zijn publicatie, gedateerd Slough, bij Windsor, 10 Mei 1817 kan men opvatten als een weergave van zijn laatste beschouwingen over de „bouw der hemelen", het onderzoek waaraan hij zijn



beste krachten gewijd heeft. Zij luiden als volgt:
Slot-opmerkingen.
Wat over de uitgestrektheid en de samenstelling van de melkweg in verschillende van mijn geschriften over de bouw van de hemelen gezegd is, waar de waarnemingen, waarop deze poging berust, bijgevoegd waren om een zuiverder idee te geven van de diepte in de ruimte, zal wel bijna alle objectieve kennis, die wij ooit over deze schitterende verzameling sterren kunnen verkrijgen, omvatten. Het zou verre buiten het bestek
Figuur 4
William Herschel's diagram ter illustratie van zijn tweede theorie (1817).
van>' dit geschrift vallen in te gaan op de vraag, wat de hemel in de twee vergelijkenderwijze leege ruimten, die aan beide kanten de melkweg begrenzen, bevat, op de ligging van de bolvormige sterrehoopen, van



de planetaire nevels en van de uitgestrekte nevelvlekken.
Afgezien van het feit dat hij de planetaire nevels en de uitgestrekte nevelvlekken, waarmede hij de onregelmatige nevels als die in Orion bedoelt, bij de extra-galactische objecten rekent, kon dit bijna vijftien jaar inplaats van honderdvijftien jaar geleden geschreven zijn. Een kleine figuur is daar bijgevoegd, hier in figuur 4 gereproduceerd. De overeenkomst met het diagram van Shapley uit 1918 (zie vijfde hoofdstuk figuur 6) is zeer opvallend.
De diameter van de cirkel, die een doorsnede is van een bol die alle met het bloote oog zichtbare sterren bevat, bedraagt 24 eenheden, of wanneer wij één van Herschel's eenheden als twee parsec aannemen, — voor de paralax van een ster van de eerste grootte heeft Herschel gedurende zijn geheele leven 0".5 aangenomen, — 48 parsec. De dikte van de melkweglaag is 2 x 89 eenheden = 156 parsec. Deze afmetingen, die Herschel en zijn tijdgenooten kolosaal groot voorkwamen, lijken ons zeer matig.
Herschel's eerste theorie leidde tot een af-



gerond systeem; zijn latere waarnemingen en deducties maakten deze conclusies waardeloos, en hij begon — op de leeftijd van ongeveer 60 jaar — zijn vroegere inzichten te herzien, en zijn wereldstelsel volgens geheel nieuwe richtlijnen op te bouwen. In zijn groote geschrift van 1785 zegt hij reeds dat hij zijn tegenwoordige resultaten als voorloopig beschouwt en vatbaar voor verandering op grond van verdere waarnemingen.
Ik zal daarom wachten tot de waarnemingen, waarmede ik op het oogenblik al bezig ben, mij zullen voorzien van materiaal noodig voor de navorsching van een zoo nieuw onderwerp. En al zullen de pogingen van mijn persoon alleen er niet in slagen een werk te voltooien dat de gezamelijke krachten van alle sterrekundigen schijnt op te eischen, toch is het misschien niet te gewaagd te hopen, dat wij, wanneer wij onszelf met al onze macht wijden aan de verbetering der verrekijkers, die volgens mij nog in hun beginstadium zijn, en wanneer wij deze met onverdroten ijver op de bestudeering van de hemel richten, na verloop van tijd eenige zwakke kennis zullen verkrijgen van, en misschien in staat zullen zijn een gedeeltelijke uitbeelding te verkrijgen van de inwendige bouw van het heelal.
En hij karakteriseert zijn methode met de volgende woorden:



Maar laat mij er eerst op wijzen, dat wij, als wij hopen eenige steenen bij te dragen tot een zoo delicaat onderzoek, twee tegengestelde uitersten moeten vermijden, waarvan ik haast niet zeggen kan welke de gevaarlijkste is. Indien wij ons overgeven aan een al te levendige verbeelding en werelden van onszelf gaan bouwen moeten wij ons niet verbazen wanneer wij ons verre verwijderen van de paden van waarheid en natuur; maar zij zullen verdwijnen evenals de vortices van Cartesius, die weldra werden opgegeven toen betere theorieën voorgesteld werden. Aan de andere kant, als wij waarneming op waarneming stapelen, zonder een poging te doen hieruit niet alleen een zekere conclusie te trekken, maar ook niet gissenderwijze ons een inzicht trachten te verwerven, dan zondigen wij wederom tegen het uiteindelijke doel, waarvoor toch de waarnemingen alleen behooren te worden gedaan. Ik zal mijn uiterste best doen de juiste middenweg te houden; maar zoo ik er vanaf moet wijken, dan kan ik slechts wenschen niet in de laatste fout te vervallen.
De publicatie van 1811, gedateerd Slough, 26 Mei begint:
Kennis van de bouw van het heelal is altijd het laatste doel van mijn waarnemingen geweest, en nu ik mij vele jaren lang heb bezig gehouden om met mijn 12-meter, 6-meter en groote 3-meter kijker, van wege hun groot ruimte-doordringend vermogen, de belangrijkste objecten, die ik binnen het bereik van mijn kijkers ontdekt had, zoowel als die welke daarvóór al gepubliceerd waren in de Connoïssance des Temps, vóór 1784 [d.i. Messier's catalogus], nog eens te herzien, vind ik dat men deze objecten, wanneer men ze op een bepaalde regelmatige



wijze rangschikt, in een nieuw licht kan zien, en, als ik mij niet vergis, Zal een nader onderzoek daarvan tot consequenties leiden die een onderzoekende geest niet onverschillig kunnen laten.
Wanneer men de opmerking zou maken, dat ik in deze nieuwe rangschikking niet geheel in overeenstemming blijf met wat ik reeds in vroegere publicaties over de aard van sommige objecten, die onder mijn aandacht gevallen zijn, gezegd heb, dan moet ik openhartig bekennen, dat bij het voortzetten van mijn onderzoekingen van de hemel, mijn meening over de rangschikking van de sterren en hun magnitudines, en van eenige andere bijzonderheden langzamerhand een verandering heeft ondergaan; en inderdaad, wanneer wij bedenken hoe nieuw het onderwerp is, kunnen wij niet verbaasd zijn dat vele dingen die vroeger als vaststaand werden aangenomen, bij nader onderzoek blijken anders te zijn dan in het algemeen, maar zonder grond ondersteld werd.
In een vroegere publicatie zeide hij eens:
Het is somtijds zeer nuttig in de natuurphilosophie te twijfelen aan dingen die algemeen als vaststaand wordt aangenomen.
Hij had de geestkracht niet alleen aan algemeen aanvaarde opvattingen te twijfelen, maar ook aan zijn eigen vroegere conclusies.
In het begin van dit hoofdstuk is er op gewezen dat men twee onbekenden moet bepalen om de bouw van het sterrestelsel te kennen:



de lichtkrachtwet en de dichtheidswet. Herschel zag geen kans deze beide onbekenden te bepalen. Hij baseerde zijn onderzoekingen op onderstellingen dienaangaande, en koos natuurlijk de eenvoudigste veronderstelling, nl. dat de lichtkracht en de dichtheid constant waren. De conclusies, die hij uit zijn waarnemingen trok met behulp van deze twee onderstellingen waren met elkander in tegenspraak en hij was gedwongen te bekennen dat hij het probleem niet had opgelost. Desondanks is er geen enkel astronoom, noch vóór hem, noch na hem geweest, die zooveel voor de uiteindelijke oplossing van het probleem gedaan heeft als William Herschel.
Zijn zoon, Sir John Herschel, zette zijn vaders waarnemingen voort en breidde ze speciaal uit over het zuidelijk halfrond. Hij bracht echter de oplossing van het groote probleem niet verder.
De volgende, die het algemeene probleem weder opvatte, was F. G. W. Struve, de stichter van de Pulkowa sterrewacht. Hij ook moest een onderstelling maken ten aanzien van de dichtheidsverdeeling: hij neemt aan dat deze



alleen een functie is van de verticaal gemeten afstand z van het melkwegvlak, d.i. hij onderstelt voorloopig een volkomen symmetrie tenopzichte van het melkwegvlak, en in alle richtingen, en verder neemt hij, zooals Herschel in zijn laatste theorie doet, aan, dat het stelsel zich oneindig ver uitstrekt in een richting evenwijdig aan dit vlak. Het eenige verschil met Herschel is dat hij de dichtheid doet afnemen met 2 inplaats van haar als constant aan te nemen. Uit deze onderstelling en de waarnemingsgegevens verkregen uit W. Herschel's peilingen (de waarnemingen van John Herschel aan de zuidelijke hemel waren nog niet gepubliceerd) leidt hij dan een dichtheidsverdeeling af, d.w.z. berekent hij empirisch de coëfficiënten van een zekere algebraïsche formule, die de dichtheid als een functie van z moet voorstellen. De formule is nogal ingewikkeld en ziet er niet erg overtuigend uit. Wat het werk van Struve speciaal karakteriseert is, dat hij zeer opzettelijk alle details, die Herschel zoo zeer fascineerden, buiten beschouwing laat. Het eenige wat hij zoekt te vinden zijn de groote lijnen, d.w.z. hij zoekt een „typeerend" beeld (volgens de uitdrukking van Seeliger) en



laat het invullen der details over aan latere tijden. De discussie van het materiaal is zeer zorgvuldig en een voorbeeld van degelijke wetenschappelijke kritiek.
Nadat hij de dichtheidswet uit Herschel's peilingen heeft afgeleid gaat hij verder en bepaalt dezelfde wet voor de sterren, in Argelander's Uranometria en in Bessel's zones. Van de laatste mag men niet veronderstellen dat ze volledig zijn. Daarom leidt hij „aanvullingsfactoren" af door met de Uranometria en met Piazzi's zones te vergelijken. De dichtheidswet is op deze wijze afgeleid uit Bessel's sterren van de zevende grootte en uit die van de achtste grootte. Om nu de eenheden van afstand in de drie gevallen onderling te vergelijken worden deze omgekeerd evenredig met de vierkantswortel uit de aantallen met galactische breedte = nul aangenomen. Hij berekent dan als controle de dichtheid op twee lineaire afstanden van het melkwegvlak uit de verschillende wetten, en vindt een bevredigende overeenstemming.
Zijn volgende stap is, uit zijn dichtheidswet te berekenen, hoe groot de straal is van de bol die alle sterren tot een bepaalde grootte-
?



klasse omvat. De straal van de bol die alle sterren van Argelander tot de zesde grootte bevat wordt als eenheid genomen. Dan is de straal van de bol die Argelander's sterren van de eerste grootte bevat 0.142, van de tweede grootte 0.241 enz. Voor Bessel's sterren van de negende grootte is de straal 4.25, en voor Herschel's sterren, de zwakste, die nog met de 6-meter kijker te zien zijn, is de straal 25.67. Deze zijn dan alle nog uitgedrukt in een willekeurige eenheid. Maar in Struve's tijd bestonden er reeds eenige parallax-bepalingen. Deze waren door Peters bediscussieerd en Struve neemt uit dit onderzoek de gemiddelde parallax van een ster van de tweede grootte aan als p = -f- 0".116 i 0".014, wat overeenkomt met een afstand van 28 lichtjaar. Dit getal gebruikt hij om de relatieve afstanden om te zetten in absolute. Op deze manier wordt voor de afstand van de zwakste sterren door Herschel gezien 3541 lichtjaar gevonden.
Struve gaat nu verder deze getallen te bediscussieeren. Inplaats van ze direct met waarnemingen met het bloote oog te vergelijken, en de opening van de oogpupil op 5 mm. aan te nemen, zooals Herschel had gedaan, constru-



eerde Struve een kleine telescoop, die hij zijn „Herschelsche modulus" noemde, met dezelfde opening (0.211 duim), en driemaal vergrootend. Met deze modulus zag hij 183 sterren op hetzelfde oppervlak waarop Argelander's Uranometria, waarvan de opzet was dat zij alle sterren die voor het bloote oog zichtbaar waren zou bevatten, er 100 had. Het doordringingsvermogen van Herschel's telescoop was 61.2, maar dit heeft betrekking op een opening van 5 mm. — dus op de „modulus" — als eenheid. Aangezien de modulus 1.83 maal meer sterren geeft dan het aantal sterren van dezelfde grootte uit Argelander's catalogus, moet dit getal met de vierkantswortel uit 1.83 vermenigvuldigd worden, wat het tot 74.8 maakt, of practisch driemaal de afstand in de tabel gegeven en afgeleid uit de dichtheidswet.
Struve vindt op deze manier een contradictie. Dit is niet te verwonderen, want bij zijn berekening van de afstand neemt hij stilzwijgend aan, zooals ook Herschel deed, dat de lichtkracht een constante is en ook dat de dichtheid langs het melkwegvlak constant is. Struve echter verklaart deze contradictie niet uit deze oorzaken, maar uit absorptie in de



ruimte. Hij vindt op die wijze een absorptie van ongeveer 1% van het licht per eenheid van afstand, d.i. de afstand van een ster van de eerste grootte.
Het is duidelijk dat de schijnbare contradictie, die Struve verklaart door extinctie, evengoed op andere wijze verklaard kan worden. John Herschel had het idee geopperd dat de sterren in de melkweg, die hij evenals Kepler, als een ring beschouwt, in werkelijkheid zwakker waren dan die in onze omgeving. Het is duidelijk, dat de tegenspraak ook opgelost kan worden, indien wij een afneming van de dichtheid met de afstand aannemen, zooals Kapteyn later deed. De volledige behandeling van het probleem, waarbij zoowel de dichtheid als de lichtkracht als onbekenden worden beschouwd, die uit de waarnemingen bepaald moeten worden, is eerst door Kapteyn opgelost. Deze oplossing, die wij in het volgende hoofdstuk zullen bespreken, was niet mogelijk voordat vertrouwbaarder gegevens over de afstanden der sterren evenals over hun aantallen en grootteklassen beschikbaar waren.







Plaat II
Professor J. C. Kapteyn



IV.
Verdere vooruitgang in de waarnemingen.
Overzicht van het „locale stelsel".
Levenswerk van J. C. Kapteyn.
Het werk van Kapteyn, dat ongeveer een eeuw na dat van Herschel viel, werd mogelijk gemaakt door de vooruitgang in de waarnemingsmogelijkheden, in die eeuw tot stand gekomen. In het vorige hoofdstuk haalde ik een zin van William Herschel aan, waarin hij zijn hoop en overtuiging uitspreekt, dat onze kennis van de bouw van het heelal zal toenemen met de verbetering van de kijker, die volgens zijn meening nog in zijn beginstadium is. Niet alleen zijn de kijkers enorm verbeterd, maar de uitvinding van de photographie en de spectroscopie, waarvan Herschel met geen mogelijkheid kon droomen, heeft het aspect der wetenschap volkomen veranderd.
6



Wat het probleem van de bouw van bet melkwegstelsel betrof, was de bepaling der parallaxen het eerste vereischte. Zonder kennis van de afstanden der sterren was geen verdere vooruitgang mogelijk. Herschel onderstelde altijd voor de parallax van een ster van de eerste grootte 0".5; hij geeft niet op hoe hij deze waarde afleidt waarschijnlijk uit de photometrische bepaling in 1760 door Lambert gedaan, die de lichtkracht van de zon met die van de sterren van de eerste grootte had vergeleken, waarbij hij Saturnus als tusschenstap gebruikte. Michell deed hetzelfde eenige jaren later maar minder nauwkeurig en hij was slechts in staat te constateeren dat de parallax van sterren van de eerste grootte kleiner moet zijn dan een boogsecunde, wat reeds aan Bradley bekend was. Eenige tijd later bepaalde Olbers, met Mars en Saturnus als tusschenstap, de afstanden van Aldebaran en Procyon.
De eerste gemeten parallaxen zijn die van 61 Cygni door Bessel, van Wega door F. G. W. Struve, beide in 1838, en die van a Centauri door Henderson aan de Kaap, in Januari 1839 gepubliceerd. Toen Struve dus werkte aan de bouw van het sterrenstelsel, zooals wij dat in



het laatste hoofdstuk besproken hebben, had hij de beschikking over enkele parallaxen, maar het aantal was nog te klein om betrouwbare conclusies op te baseeren.
Het meten van de afstanden der sterren, moet, zooals al het andere dat wij van ze weten, berusten op de studie van het licht dat wij ervan ontvangen. Twee eenvoudige eigenschappen van het licht worden, zooals reeds gezegd, voor dit doel gebruikt, te weten de rechtlijnige voortplanting, en de afname van de helderheid, omgekeerd evenredig met de tweede macht van de afstand. De tweede methode was, zooals we gezien hebben, reeds door Huygens, Michell, Lambert en Olbers gebruikt. Maar men mag deze nauwelijks bepalingen noemen, omdat zij alle de willekeurige aanname impliceeren, dat de werkelijke helderheid van alle sterren gelijk is aan die van de zon. De eerste methode die onafhankelijk is van deze of eenig andere vooronderstelling kon pas gebruikt worden na de uitvinding van de draad-micrometer (en de heliometer) door Fraunhofer ongeveer 1820, en de verbetering der optische instrumenten, ook hoofdzakelijk door Fraunhofer.



Het principe is zeer eenvoudig: van een driehoek worden één zijde (de basis) en de twee hoeken aan beide kanten gemeten en de derde hoek (de hoek bij de ster, parallax genaamd) en de beide andere zijden (de afstanden tot de beide einden van de basis) kunnen daaruit berekend worden. De basis moet bekend zijn. In de astronomie is de eenheid de astronomische eenheid, d.i. de gemiddelde afstand van de aarde tot de zon, en bij de gewone zoogenaamde trigonometrische afstandsbepalingen is de basis de diameter van de baan van de aarde om de zon of twee astronomische eenheden. Om deze in onze gewone eenheid van afstand, bijv. de centimeter, uit te drukken, zouden wij haar moeten meten, d.i. een maatstaf van bekende lengte aanleggen en tellen hoeveel maal wij deze achter elkaar moeten leggen om het eind te bereiken. Dit is natuurlijk onmogelijk. De grootste afstand die direct met meetstaven of kettingen gemeten kan worden is er een van een paar km. Yandaar moeten wij met behulp van driehoeksmeting opklimmen eerst naar langere afstanden langs het aardoppervlak, dan, met behulp van astronomische waarnemingen, naar de straal van de aarde en ten-



slotte, met behulp van planeetwaarnemingen, tot hun afstand van de aarde. Deze laatste afstand is bekend, uitgedrukt in de astronomische eenheid uit de theorieën over het planetenstelsel. De geheele keten van op elkaar volgende stappen is dus tamelijk lang, maar voor de meeste astronomische doeleinden behoeven wij ons om het langste gedeelte ervan, de koppeling van de astronomische eenheid aan aardsche maten, niet te bekommeren. Alles wat wij noodig hebben is de afstanden der sterren, uitgedrukt in astronomische eenheden. Deze worden door de laatste stap, de trigonometrische bepaling van de parallax, gegeven.
In deze methode is de basis, zooals reeds gezegd is, de diameter van de aardbaan, of om nauwkeuriger te zijn, de afstand tusschen twee plaatsen van de aarde in haar baan, die zoover uit elkaar gekozen worden, als de omstandigheden dit toelaten. Is de baan van de aarde bekend, dan is de lengte van de basis gemakkelijk uit te drukken in de astronomische eenheid. Als eenheid, waarin de afstanden der sterren worden uitgedrukt, gebruiken wij de „parsec", een leelijk woord, dat helaas burgerrecht verkregen heeft. Het is de afstand van een ster



waarvan de parallax één boogsecunde is, en bedraagt iets meer dan 200.000 astronomische eenheden, of ongeveer drie en een kwart lichtjaar. (Een lichtjaar is ongeveer tien billioen kilometer). Met behulp van deze methode der gewone trigonometrische parallaxbepalingen, kunnen wij met onze grootste moderne telescopen afstanden van ongeveer vijfhonderd lichtjaar bereiken. De parallax van een ster op een afstand van 500 lichtjaar correspondeert op de photographische platen met onze grootste, moderne kijkers opgenomen met een afstand van ongeveer een derde mikron. Wij kunnen onze waarnemingen zoo inrichten, dat wij bijna tweemaal die afstand meten, dus een zesduizendste millimeter. Dit is een goed voorbeeld van één van de meest karakteristieke eigenschappen van de practische sterrekunde: de belangrijkste resultaten hangen af van de meting van uiterst kleine grootheden. Als gevolg van de verbeteringen in de constructie van de verrekijker, en de toepassing van de photographie, kunnen wij nu, met behulp van de methode der trigonometrische parallaxen afstanden meten die ongeveer vijftig maal zoo groot zijn als die door Bessel en Struve bijna een eeuw geleden



bepaald werden. Het lijkt twijfelachtig of de nauwkeurigheid, die met deze methode te verkrijgen is, vatbaar is voor een nog verdere uitbreiding.
Willen wij grootere afstanden meten, dan moeten wij uitzien naar een driehoek met een grootere basis. Hiervoor kunnen wij gebruik maken van de beweging van de zon met de aarde door de ruimte. Deze basis, d.i. dus de afstand die de zon heeft afgelegd van een zekere begintijd af, wordt evenredig met de tijd grooter en kan op deze manier willekeurig groot gemaakt worden, als men maar lang genoeg wacht. Een eeuw geeft een basis van meer dan 400 astronomische eenheden. Zooals reeds gezegd is, werd de beweging van de zon voor de eerste maal bepaald door William Herschel, naderhand door Bessel, Airy en anderen, en nog eens door Kapteyn. De schijnbare verplaatsing van de sterren als gevolg van de zonsbeweging wordt hun „seculaire" parallax genoemd. Zij gaat natuurlijk altijd in dezelfde richting, terwijl de „jaarlijksche" paralaxis, als gevolg van de beweging van de aarde om de zon, periodiek is. De methode van de seculaire parallaxen kan natuurlijk geen individueele



parallaxen geven, omdat iedere ster ook nog haar „eigenbeweging" heeft. De sterren staan niet stil gedurende de tijd dat de meting gedaan wordt, maar hebben een beweging van zichzelf. In het geval van de jaarlijksche parallax hindert dit niet: de eigenbeweging wordt geëlimineerd, omdat de aarde na verloop van een jaar weer in haar beginpositie terugkeert. Maar in het geval van de seculaire parallax is het onmogelijk de parallaetische beweging, ten gevolge van de beweging van de zon, te scheiden van de eigenbeweging van de ster. Deze methode kan dus alleen gemiddelde parallaxen van een aantal sterren geven, waarbij de eigen beweging even vaak de eene als de andere kant uitgaat, en in het gemiddelde is weggevallen. Maar voor de kennis van de bouw van het heelal zijn deze gemiddelden juist wat wij noodig hebben, en belangrijker dan individueele parallaxen.
Met de tegenwoordige gegevens, d.z. nauwkeurige waarnemingen sinds de tijd van Bradley, gedurende ongeveer één en driekwart eeuw, kunnen wij een paar duizend lichtjaren ver in het heelal doordringen. Wij kunnen dus, dank zij een successievelijke toepassing van de me-



thode der triangulatie, van een afstand van een paar kilometers opklimmen, via de straal van de aarde, de astronomische eenheid en de be weging van de zon door de ruimte, tot een afstand die meer dan tien duizend billioen maal zoo groot is. Voor nog grootere afstanden laat de methode der triangulatie ons in de steek en wij moeten onze toevlucht nemen tot het tweede principe, dat van de wet van het omgekeerd evenredig zijn met de tweede macht. Maar wij zullen de discussie over de methoden die op dat principe gebaseerd zijn uitstellen totdat wij deze grootere afstanden in onze beschouwingen zullen moeten opnemen.
Toen Kapteyn ongeveer 1890 zijn onderzoekingen over de bouw van het sterrestelsel begon, waren er een 180 direct gemeten parallaxen bekend, waarvan hij er vijftien zelf bepaald had. Deze waren hoofdzakelijk van heldere sterren; de gegevens voor zwakke sterren waren toen nog buitensporig schaarsch. Ongeveer veertig jaar geleden werd een ster van de negende grootte als zeer zwak beschouwd. Heden ten dage wordt zij natuurlijk als een heldere ster gequalificeerd. Het is feitelijk voor een groot



deel aan Kapteyn's invloed te danken dat de sterrekundigen sedertdien zooveel waarde hebben gehecht aan het krijgen van gegevens over zwakke sterren. Zijn resultaten zijn voor een groot deel naast deze individueele parallaxen gebaseerd op seculaire parallaxen. Om in staat te zijn deze te bepalen, was een nauwkeurige kennis van de zonsbeweging een vereischte, en een groot deel van Kapteyn's energie en tijd heeft hij gegeven aan de bepaling van het bedrag en de richting van die beweging. Dit onderzoek heeft geleid tot de ontwikkeling van verschillende nieuwe methoden en een kritische beschouwing van vroegere resultaten; het is het meest grondige onderzoek van dit onderwerp, dat ooit gedaan is. Alle groote problemen van de fundamenteele sterrekunde moesten onder de oogen worden gezien; Kapteyn's werk omvatte een nieuwe bepaling van de praecessie constante, van systematische fouten in het fundamenteele systeem der declinaties, enz. enz., en het leidde, als bijproduct, tot de ontdekking van de twee sterstroomen, waarover wij straks meer zullen te zeggen hebben.
Al deze onderzoekingen en vele andere, van zeer verschillende aard, doen ons een blik staan



in Kapteyn's helder inzicht en zijn beheersching van de meest heterogene bestanddeelen van de sterrekundige wetenschap. In ieder nieuw gebied dat hij betreedt is, wat hij tot stand brengt, nieuw, zorgvuldig in alle onderdeelen onderzocht en met een diepgaande kritiek uitgewerkt. Hoe zeer verschillend deze onderzoekingen ook schijnen te zijn, zij staan in Kapteyn's geest niet los van elkander, maar zijn alle onderdeelen van een groot geheel, het probleem van de bouw van het stelsel der vaste sterren. Hoe diep hij zich ook verloren moge hebben in de details van een speciaal onderzoek, het groote probleem blijft altijd in zijn geest aanwezig en wordt nimmer ook maar een oogenblik uit het oog verloren. Dat is het geheim van zijn succes. Men ziet bij hem het zeldzame verschijnsel dat hij twee verstandelijke vermogens tot één harmonisch geheel vereenigt, die juist krachtens hun wezen zelf aan elkaar tegengesteld schijnen te zijn en die inderdaad in werkelijkheid dikwijls tot conflicten aanleiding geven en zelden in dezelfde persoon vereenigd worden aangetroffen — nl. de ruime blik en de beheersching van groote problemen aan de eene kant, aan de andere kant het zich



met onverdroten inspanning wijden aan de technische details van waarneming en berekening. Nooit was hem eenig werk te veel indien het kon dienen een twijfelachtig punt tot klaarheid te brengen, dat misschien opzichzelf onbelangrijk was, maar noodig bleek voor het geheel. Maar ook heeft hij zich nimmer laten verleiden een zijpad, hoe fascineerend dit ook mocht zijn, verder te volgen, of een secundair resultaat met meer verfijning of elegantie uit te werken, dan voor de oplossing van het hoofdprobleem noodig was.
Ieder wetenschappelijk probleem heeft twee kanten, nl. het verzamelen van de gegevens en de afleiding daaruit van de algemeene resultaten „het vermalen van ontzaglijke massa's feiten tot wet" zooals Darwin het noemt. Deze twee gedeelten van het werk vereischen een volkomen verschillende geesteshouding en een volkomen verschillende aanleg, en wij zien ze daarom in de geschiedenis van de wetenschap in het algemeen uitgevoerd worden door verschillende individuen. Het karakteristieke van Kapteyn's methode van werken is de parallele groei van deze twee kanten van het probleem en zijn oplossing terzelfdertijd in voortdurende



wisselwerking. Telkens weer zien wij hem een nieuwe methode toepassen op het materiaal, dat op een zeker oogenblik beschikbaar is, zelfs al zijn de gegevens misschien nog niet zoo volledig als noodig ware geweest; en ook de methode is nog niet in alle details uitgewerkt, met het dubbele doel, om aan de eene kant de mogelijkheid van de methode te beproeven, en aan de andere kant aanwijzingen te krijgen over de richting waarin de gegevens aanvulling vereischen.
In het gepubliceerde werk van Kapteyn worden verschillende uitingen aangetroffen die een duidelijk licht werpen op deze werkmethode. Hier wordt met nadruk de aandacht op gevestigd in de voortreffelijke voordracht, die hij bij gelegenheid van de opening van het Astronomische Laboratorium te Groningen (1897) hield, en later weer in een van zijn laatste publicaties (1920):
Daar de voortgang van een dergelijke oplossing noodzakelijkerwijze zeer langzaam gaat, werd deze voorloopige behandeling opgezet, hoofdzakelijk met het doel de meest belovende richtlijnen voor de verdere behandeling van het stellaire probleem te vinden.
Evenals William Herschel had Kapteyn zijn



leven gewijd aan het onderzoek van de bouw van het sterrestelsel. Het probleem, in zijn algemeenste vorm is voor iedere klasse van sterren, bijv. voor alle sterren van een bepaald spectraal type, of ook voor alle sterren te samen, de onbekende functie D (x, y, z, M) op te lossen die de dichtheid (d.i. het aantal sterren per eenheid van volume), voor een bepaalde absolute grootte M, op verschillende plaatsen (x, y, z) in de ruimte aangeeft.
William Herschel wijdde veel tijd aan de details van de structuur maar hield altijd het idee, een gemiddeld beeld van het heelal op te bouwen, dat de groote architektonische lijnen aangaf en waarin alle details waren uitgewischt, in zijn geest vast.
Kapteyn ontzegt zich opzettelijk iedere bespreking van de gedetailleerde structuur; zijn doel is, wat Seeliger het „typische beeld" noemt, te vinden. Hij vooronderstelt symmetrie ten opzichte van de melkweg, zoodat slechts twee van de drie coördinaten overblijven: de afstand r en de galactische breedte b. De sterk in het oog vallende symmetrie ten opzichte van het melkwegvlak is de hoofdtrek van de bouw van het sterrestelsel. Bij zijn beschouwing hier-



over haalt Kapteyn Sir John Herschel aan, die de melkweg kende zooals weinig anderen. In het boek over zijn waarnemingen aan de Kaap, schrijft de laatste:
Men zal natuurlijk begrijpen, en een zeer oppervlakkige beschouwing van het boven gegeven overzicht der peilingen is voldoende om in te zien, dat er groote plaatselijke afwijkingen van de algemeene distributiewet, die in deze tabel is aangegeven, voorkomen, en dat wel nergens opmerkelijker dan in de melkweg zelf, welker ongelijkheden in breedte en structuur zeer in het oogvallend en eigenaardig zijn. Over dit belangrijke punt heb ik straks meer te zeggen. Maar, met uitzondering van deze gedeelten van de melkweg zelf, vind ik niets bij deze afwijkingen van de zuivere regelmatigheid, dat ook maar in de geringste mate in aanmerking komt als systematisch beschouwd te worden, welk gedeelte van de hemel ik ook onderzocht heb. In tegendeel, zij zijn zoo zuiver plaatselijk dat ik het, nu ik de geheele kaart nog eens nauwkeurig overzie, moeilijk vind eenigszins belangrijke gebieden te specificeeren waarin een gemiddelde dichtheid van sterren de de overhand heeft, die in belangrijke mate verschilt van wat volgens de dichtheidswet (gezien als een functie van de galactische poolsafstand), zooals deze hierboven is aangegeven, verwacht mocht worden.
Toen Kapteyn zijn werk begon had hij zelfs niet genoeg gegevens om het probleem van het „typische beeld" op te lossen en hij bepaalde zich daarom tot de bouw van het „schematische



r
beeld" zooals Seeliger het noemt, waarin slechts één coördinaat, de afstand, wordt beschouwd. In plaats van de drie coördinaten x, y, z, die de plaats van de ster bepalen, nemen wij er dus maar één in beschouwing, de afstand r, en de onbekende functie D (r, M) hangt van slechts twee variabelen af.
Natuurlijk is dit „schematische beeld", waarin de melkweg om zoo te zeggen gelijkmatig over de geheele hemel wordt uitgedoezeld, geen benadering van de waarheid, maar het is een zeer geschikt probleem om mee te beginnen en om er de werkmethoden op te toetsen. In dit hoofdstuk wil ik mij ook bepalen tot dit vereenvoudigde probleem, waaraan alle essentieele punten van het meer omvattende probleem zeer voldoende kunnen gedemonstreerd worden.
Kapteyn's methoden zijn volkomen statistisch; hij werkt met gemiddelden. Onderstel voor een oogenblik dat wij de afstanden van alle millioenen sterren kenden, die het melkwegstelsel opbouwen. Wij zouden ons dan een nauwkeurig beeld van het stelsel kunnen vormen. Indien wij dit model hadden, wat zouden wij er dan meedoen? Aangezien wij de groote lijnen



van het plan volgens hetwelk het gebouwd is wenschen te leeren kennen, zijn algemeene architektuur dus, zouden wij onze aandacht niet vestigen op de individueele sterren maar zouden wij gemiddelden moeten opmaken; wij zouden de sterren tellen om het aantal per eenheid van volume te vinden, d.i. de dichtheid in verschillende punten van de ruimte. Zoo zijn dus niet de individuen belangrijk maar de gemiddelden. Daarom maakt Kapteyn zich op, de gemiddelden te vinden, zonder de lange en vervelende (en ook onmogelijke) weg te gaan, het eerst de individueele paralaxen bepalen. Zijn methoden zijn gebaseerd op de wetten der waarschijnlijkheidsrekening, op de wet van de groote getallen, of, zooals wij paradoxaal kunnen zeggen, de toevalswet. Paradoxaal, omdat een toeval bij definitie iets is, dat geen wet gehoorzaamt. Maar juist omdat zij geen wetten gehoorzamen, moeten toevalligheden op den langen duur elkaar te niet doen en de wet van de groote getallen is inderdaad een van de betrouwbaarste wetten der natuur — en niet alleen in de onbezielde natuur maar even goed in de menschelijke samenleving en in de oeconomie.
Neem het voorbeeld van een verzekerings-
7



maatschappij. Zij heeft vele levens van menschen van een bepaalde leeftijd verzekerd. De eene leeft misschien tot hij honderd jaar is, de ander sterft misschien morgen. Het interesseert de maatschappij niet in het minst, welke individuen dit zijn; wat zij weten wil is de gemiddelde levensduur die voor een man van een bepaalde leeftijd verwacht mag worden. Haar heele berekening is gebaseerd op de wet der gemiddelden, de wet van de groote getallen. En het feit dat verzekeringmaatschappijen dividend uitkeeren bewijst, dat de wet van de groote getallen een betrouwbare wet is.
Oorspronkelijk had Kapteyn een methode voor de bepaling van de functie D uitgewerkt, die er theoretisch volkomen goed uitzag, maar die een zeer gecompliceerd mathematisch apparaat vereischte. Dit apparaat was al van te voren in orde gemaakt, maar toen men het wilde gaan toepassen, bleek het volkomen onbruikbaar. De reden, waarom het niet wilde werken, bleek naderhand het bestaan van de twee sterstroomen te zijn. Waarschijnlijk heeft deze ondervinding veel bijgedragen tot Kapteyn's voorkeur voor numerieke boven formeele mathematische methoden, en tot zijn gewoonte



stap voor stap voort te gaan en voortdurend zijn methoden op de proef te stellen, terwijl hij ze ontwikkelde.
In zijn tweede methode nam Kapteyn, om het probleem handelbaarder te maken, aan, dat het mogelijk is de dichtheidswet en de lichtkrachtwet te scheiden, met andere woorden, dat de verdeeling van de sterren over de verschillende grootteklassen onafhankelijk is van de afstand, d.i. overal dezelfde. Wiskundig uitgedrukt beteekent dit dat de functie D (r M) het product is van twee functies, A (r), de dichtheidswet, en O (M), de lichtkrachtwet. Deze hypothese is alleen gemaakt om het probleem gemakkelijker te kunnen aanpakken; men kan baar later verifieeren, en als zij niet juist blijkt te zijn, kunnen de noodige correcties worden aangebracht.
William Herschel had in zijn eerste theorie practisch ondersteld dat de dichtheid constant was; in de tweede theorie neemt hij aan dat de absolute grootte M dezelfde is voor alle sterren. Noch de ééne, noch de andere van deze hypothesen is natuurlijk juist.
Kapteyn s bepaling van de beide functies A en O is vrij van hypothesen, behalve van de



fundamenteele, dat de wet der groote getallen toegepast kan worden. Zijn methode is in wezen zeer eenvoudig, en kan haast zonder technische termen te gebruiken uitgelegd worden. Zij berust op het van te voren bepalen van drie andere functies, nl.:
(1) de aantallen N (m, {x), dit zijn de totale aantallen sterren aan de hemel die de schijnbare grootte m en de eigenbeweging [i hebben,
(2) de gemiddelde parallax tc (ra, (j.) voor de sterren met schijnbare grootte m en eigenbeweging [X,
(8) de functie (*/-), de frequentiefunctie van de verhoudingen der ware en gemiddelde parallaxen.
Wij zullen een paar woorden ter verklaring van elk van deze functies zeggen.
(1) De aantallen N (ra, fi) zijn natuurlijk eenvoudig het resultaat van tellen. Maar dit tellen is niet zoo'n eenvoudige zaak. De eerste vereischte, voor wij kunnen beginnen te tellen, is een juiste magnitudenschaal. In de schaal, die sedert ongeveer het midden van de negentiende eeuw is aangenomen, is de grootteklasse evenredig met de logarithme van de intensiteit, en



wel zoo, dat een verschil van vijf magnitudines een afname in intensiteit in de verhouding honderd op één beteekent: een ster van de eerste grootte geeft honderd maal zooveel licht als een van de zesde grootte enzoovoort. Nu is de vierkantswortel uit honderd tien, zoodat als de beide sterren een gelijke werkelijke helderheid hadden, de eene, die schijnbaar de zwakkere is, de ster van de zesde grootte, op een tien maal zoo groote afstand zou moeten staan als de ster van de eerste grootte. Indien het verschil in schijnbare helderheid slechts één magnitudo bedroeg, zou de verhouding der intensiteiten de vijfdemachtswortel uit honderd zijn, dus ongeveer 2.51 en de verhouding der afstanden zou weer de tweedemachtswortel hieruit of 1.58 zijn. Maken wij nu dezelfde berekeningen in de omgekeerde richting, dan kunnen wij zoo, indien de afstand en de schijnbare grootte bekend zijn, de grootte van de ster berekenen die zij zou hebben indien zij op eenig andere afstand stond, en in het bijzonder, op de eenheid van afstand. Voor deze eenheid heeft Kapteyn altijd een afstand van 10 parsec gebruikt. We zullen dit de eenheid van Kapteyn noemen. Haar waarde bedraagt een weinig



meer dan twee millioen astronomische eenheden, of 82.6 lichtjaar. De schijnbare grootte die iedere bepaalde ster zou hebben als zij op deze eenheid van afstand geplaatst werd, wordt haar „absolute grootte" genoemd, en is een maat voor de werkelijke helderheid of „lichtkracht" van de ster, op dezelfde wijze als de schijnbare grootte een maat is voor haar schijnbare helderheid. De woorden „lichtkracht", „absolute grootte" zijn, evenals zoovele andere, die nu in de sterrekunde een ieder gemeenzaam zijn, het eerst door Kapteyn ingevoerd, toen hij de noodzakelijkheid inzag de meer of minder vage terminologie, die gebruikelijk was toen hij zijn werk begon, door nauwkeurige definities te vervangen.
Kapteyn heeft veel zorg besteed aan het reduceeren van de empirische magnitudenschalen van alle diverse stercatalogi tot één standaardschaal, en het bepalen van de grensmagnitudines van de kijkers van William en John Herschel; van de peilingen van John Herschel heeft hij een uitgebreid gebruik gemaakt, liever dan van die van de oudere Herschel, omdat ze gelijkmatig over de hemel verspreid lagen volgens een bepaald schema, zonder de voorkeur



te geven aan speciaal belangrijke gebieden, zooals die van William. Het is natuurlijk onmogelijk alle sterren te tellen; er zijn er te veel. We moeten steekproeven nemen, maar om de wet der groote getallen te kunnen toepassen is het noodig dat deze proefgebieden geheel willekeurig worden uitgekozen, zonder eenige mogelijke voorkeur, hetzij voor sterrijke of voor sterarme of voor op eenig andere wijze uitzonderlijke gebieden.
Behalve de schijnbare grootten, moeten wij de eigenbewegingen der sterren kennen. Zij worden in boogsecunden per eeuw gemeten. Evenals de grootte, zijn ook de eigenbewegingen schijnbare grootheden, die afhangen van de afstand. Indien een ster tweemaal zoo ver weg staat als een andere, terwijl de componenten van hun reëele snelheden loodrecht op de gezichtslijn dezelfde zijn, dan zal de eigenbeweging van de ster op de grootste afstand slechts de helft van die van de andere zijn. Indien dus alle sterren dezelfde reëele snelheden hadden, en indien deze geen voorkeur voor één bepaalde richting vertoonden, zoodat in het gemiddelde van een groot aantal sterren de component loodrecht op de gezichtslijn ook



dezelfde zou zijn, dan zou de eigenbeweging een maat voor de afstand zijn; inderdaad zou zij evenredig zijn aan de parallax. Aangezien de sterren niet alle dezelfde reëele snelheid hebben, evenmin als ze alle dezelfde absolute grootte hebben, kan men noch de eigen beweging, noch de schijnbare grootte als een directe maat voor de afstand gebruiken. Maar het is duidelijk dat de verdeeling van de schijnbare grootten en de schijnbare eigenbewegingen statistisch moet afhangen van de distributie over de verschillende afstanden, d.i. van de dichtheidswet. Daarom beginnen Kapteyn's onderzoekingen met het tellen van de aantallen N (m, [*).
Wat de eigenbewegingen betreft, was Kapteyn's werk oorspronkelijk geheel gebaseerd op de resultaten door Auwers afgeleid uit de waarnemingen door Bradley (gemiddelde epoche 1755) gedaan, en uit de Greenwich catalogi van 1860 en 1864 (gemiddelde tijdstip 1863). Het gemiddelde interval is dus 108 jaar. Het aantal eigenbewegingen in Bradley's catalogus zooals deze door Auwers is uitgegeven bedraagt ongeveer 3600. Voor de zwakkere sterren, waarvan geen eigenbewegingen bekend zijn, kan het aantal N (ra, fj.) natuurlijk niet bepaald



worden, en moeten wij er ons mee tevreden stellen het aantal N (ra) van de sterren met schijnbare grootte ra te gebruiken onafhankelijk van hun eigenbeweging.
(2) Het tweede gegeven, waarop Kapteyn's onderzoekingen gebaseerd zijn, is de gemiddelde parallax 7t (ra, jjl) van een ster van schijnbare grootte ra en eigenbeweging jx. Toen Kapteyn zijn werk begon, waren er, zooals wij reeds zeiden, slechts ongeveer 130 gemeten parallaxen beschikbaar. De berekening van de functie n berust op deze 130 individueele sterren, en op de seculaire parallaxen, die met behulp van de zonsbeweging uit gemiddelde eigenbewegingen werden afgeleid, welke zonsbeweging, zooals wij boven reeds vermeldden, opnieuw door Kapteyn was bepaald. Het is wonderlijk te bedenken hoe schaarsch de gegevens waren waarop Kapteyn zijn theorie opbouwde. Slechts een man van groote moed en zelfvertrouwen kon zelfs maar op de gedachte komen een zoo groote bovenbouw op te trekken op zulke zwakke grondvesten. Maar fortes fortuna juvat en het is zeer merkwaardig om te zien hoe zuiver zelfs nu nog de eerste gemiddelde parallaxen van Kapteyn de ontzaglijk veel rijkere en



nauwkeuriger waarnemingsgegevens van de tegenwoordige tijd weergeven. In later jaren, toen de waarnemingen zich ophoopten, werd de berekening natuurlijk herhaald en verbeterd. Kapteyn geeft een bepaalde formule voor de gemiddelde parallax n (m, (i) als een functie van ra en (x, waaruit voor iedere grootteklasse en eigenbeweging de gemiddelde parallax berekend kan worden.
(3) Een ster van een gegeven parallax en eigenbeweging heeft de gemiddelde parallax, gegeven door de formule voor n; indien wij dus bijvoorbeeld een groot aantal sterren nemen, alle van de magnitudo 6.1 en met een eigen beweging per eeuw van 4".5, dan zal het gemiddelde van hun parallaxen 0".0102 zijn, wat correspondeert met een afstand van 9.8 Kapteyneenheden. Maar de individueele afstanden zullen alle zeer van dit gemiddelde afwijken, omdat de sterren niet alle dezelfde absolute grootte hebben, noch dezelfde werkelijke snelheid. Sommige afstanden zullen grooter, andere kleiner zijn dan het gemiddelde. De functie <]/ geeft de frequentie van de verhouding van de werkelijke tot de gemiddelde afstanden. De functie door Kapteyn aangenomen is afgeleid door de bekende indi-



vidueele parallaxen met de formule voor de gemiddelde parallax re (m, (j.) te vergelijken. Zij wordt weergegeven door een speciale wiskundige formule, waaruit wij de kleine tabel I hebben berekend.
Tabel 1
Yerdeeling der werkelijke afstanden
Grenzen van de verhouj. , ... ., Aantal per honderd
ding waar/gemiddelde
kleiner dan J 1
i tot \ 7.5
£ tot 1 29
1 tot 2 40
2 tot 4 19 grooter dan 4 3.5
Op de honderd sterren staat er dus één op een afstand die kleiner is dan een kwart van het gemiddelde; van veertig ligt de afstand tusschen het gemiddelde en tweemaal die waarde, enzoovoort.
Wij hebben nu alle gegevens verzameld, en kunnen nu verder uitleggen hoe Kapteyn hiervan gebruikt maakt. Zijn methode is zeer eenvoudig. Hij begint met een tabel van de aantallen N (m, jx) te maken. Naast ieder van deze



getallen kan de gemiddelde parallax n (m, jx) of de ermede correspondeerende gemiddelde afstand berekend uit de formule, geschreven worden. Een proef uit deze tabel geven wij in tabel II.
Tabel II
Aantallen sterren en gemiddelde afstanden
Eigen bewe- Schijnbare grootte
ging per * ~~
eeuw 3-5-4-5 4.5-5.5 5.5-6.5 6.5-7.5
l'.O—2".0 52 (17.5) 194 (19.6) 638 (21.7) 1896 (23.8)
2".0—3".0 41 (12.0) 177 (13.5) 595 (14.9) 1910 (16.4)
r.0—r.0 27 ( 9.5) 188 (10.5) 542 (11.6) 1910 (13.0)
4".0—5".0 27 ( 8.0) 93 ( 8.8) 461 ( 9.8) 1490 (10.8)
5".0—6".0 22 ( 6.9) 86 ( 7.7) 357 ( 8.6) 1249 ( 9.4)
6".0—7".0 25 ( 6.1) 77 ( 6.8) 252 ( 7.4) 963 ( 8.3)
7".0—8".0 18 ( 6.6) 71 ( 6.7)|247 ( 6.8) 752 (7.5)
De tabel is er één van dubbele ingang; de argumenten zijn de grootte en de eigenbeweging De aantallen met gewone cijfers gedrukt zijn de N (m, fj.), die tusschen haakjes de daarbij behoorende gemiddelde afstanden. Daar zijn dus bijv. aan de hemel 461 sterren met magnitudo tusschen 5.5 en 6.5 en eigen beweging tusschen 4".0 en 5".0 en de gemiddelde afstand van deze sterren bedraagt 9.8 Kapteyn-eenheden.



Nu verdeelt Kapteyn de geheele ruimte in verschillende bolschillen met hun grensoppervlakken op zoodanige afstanden van elkaar, dat de verhouding van de afstanden tot het binnenste en de buitenste boloppervlak correspondeert met een verschil van één magnitudo zooals wij boven reeds uitgelegd hebben. De verhouding tusschen het binnenste en buitenste grensoppervlak van iedere bolschil is dus 1.58 en wanneer wij ons door vijf bolschillen heen bewegen, dan vergrooten wij onze afstand tien maal. De eerste bolschil (of liever de kern) wordt genomen van het middelpunt tot een boloppervlak met een straal van 0.63 Kapteyneenheden, de tweede bolschil loopt dan van 0.63 tot één eenheid, enzoovoort, de zevende van 6.3 tot 10 eenheden, en de twaalfde van 63 tot 100.
Indien de afstand van iedere ster gelijk was aan zijn gemiddelde afstand, zou het gemakkelijk zijn aan iedere ster haar plaats aan te wijzen: de eerste 52 sterren van onze tabel II (met |x = 1".5 enm = 4.1) zouden direct in bolschil IX geplaatst kunnen worden, de volgende 41 in bolschil VIII, de 27 met jx = 3".5 en de 27 met (j, = 4".5 in bolschil VII enzoovoort.



Dit zou ons reeds een indruk van de verdeeling geven, maar deze indruk zou zeer onnauwkeurig zijn. Het is van wezenlijk belang rekening te houden met het feit dat de afstanden in tabel II gegeven, slechts gemiddelden zijn, en dat de werkelijke afstanden ver uit elkander liggen; bovendien zijn ze zelfs niet symmetrisch ten opzichte van het gemiddelde verdeeld. Wij moeten dus de formule, die de frequentie van de parallaxen geeft, gebruiken, waarvan tabel I een verkorte voorstelling geeft.
Laten wij als voorbeeld de 461 sterren beschouwen die een (i = 4".5 hebben en een m = 6.1 en waarvan de gemiddelde afstand 9.8 Kapteyn-eenheden bedraagt. Wanneer de formule, die ^ uitdrukt, toegepast is, vindt men een distributie, zooals deze in tabel III gegeven wordt (zie tabel hiernaast).
Op deze manier zijn alle aantallen uit tabel II behandeld, en daarna wordt het totale aantal sterren van een gegeven schijnbare grootte, dat iedere bolschil bevat, door een eenvoudige optelling gevonden. Wij kennen nu het aantal sterren van een gegeven schijnbare grootte in iedere bolschil, maar de individualiteit der sterren is verloren gegaan.



Tabel III Distributie over de bolschillen
461 sterren
t>,j Straal m = 6.1 , .
bo1" , _ _ , Absolute
„„Uil der grens- = 4".5 Volumen
8C1U1 vlakken (gemidd. gr°°tte
afst. 9.8)
I 0 0.63] 1.0 7.45
II 0.63 1.00 [ 0.4 3.1 6.45
III 1.00 1.58 J 12.5 5.45
IV 1.58 2.51 3.1 49.7 4.45 V 2.51 3.98 16.5 198 3.45
VI 3.98 6.31 54 788 2.45
VII 6.31 10.00 104 3137 1.45
VIII 10.00 15.85 127 12490 0.45
IX 15.85 25.12 96 49730 —0.55
X 25.12 39.81 45 198000 — 1.55
XI 39.81 63.10 13 787600 —2.55
XII (63.10 100.00 2 3137000 —3.55
Ten gevolge van de wijze waarop de grenzen van de bolschillen gekozen zijn, kunnen de schijnbare grootten direct omgezet worden in absolute grootten. Wij kennen dus de absolute grootte van iedere ster, en de voorgaande tabel kan worden omgezet in een, die het aantal sterren van iedere absolute grootte per bolschil geeft. Terzelfdertijd kunnen wij deelen door de



inhoud van de bolschil en zoo het aantal sterren van een gegeven absolute grootte per eenheid van volumen op iedere afstand vinden. Op deze manier is tabel IV afgeleid. Het gedeelte van de tabel dat tusschen de vette lijnen is ingesloten wordt als goed betrouwbaar beschouwd. De rand daarbuiten kent Kapteyn minder groote nauwkeurigheid toe.
Tabel IV
Aantallen sterren per 1000 volumen-eenheden
Bol- Absolute grootten Dicht_
schil —2.55—1.55—0.55|0.45 1.45 2.45 3.45 heid
V 10 33 89 299 719 1860 1.000
VI .... 9 "28— 94 265 780 1970 1.031
VII 2 7.5 24 79 265 766 1680 0.985
VIII 1.6 5.2 20.4 72 232 590 1680 0.869
IX 0.98 4.25 15.5 53 160 520 0.656
X 0.71 2.68 9.8 35 130 0.418
XI 0.39 1.54 ë|g" 28 0.234
XII 0.21 1.2 5.2 0.122
Wij kunnen de dichtheid van iedere bolschil, bijv. de vijfde, als onze eenheid nemen. Deelen wij dan het aantal sterren in iedere andere schil door het aantal van bolschil V,



dan vinden wij de dichtheid in die speciale bolschil. Iedere verticale kolom van de tabel geeft ons op deze wijze een afzonderlijke bepaling van de dichtheidswet. Het gemiddelde der zoo afgeleide dichtheden wordt in de laatste kolom van de tabel gegeven. Op dezelfde wijze geeft iedere horizontale regel een bepaling van de lichtkrachtfunctie <ï> (M). Aangezien al deze verschillende bepalingen praktisch tot hetzelfde resultaat bleken te leiden, volgde hieruit, dat de, oorspronkelijk ter wille van de eenvoudigheid gemaakte hypothese, dat de functie D (r, M) gesplitst kan worden in O en A, voldoende juist is.
Kapteyn heeft deze methode steeds weer op nieuwe gegevens toegepast; eerst gebruikte hij alle sterren tezamen; toen werd het hem mogelijk de methode met meer verfijning toe te passen, door de verschillende galactische breedten apart te beschouwen, en nog later, toen hij de beschikking kreeg over meer gegevens, kon hij zelfs de verschillende spectraaltypen apart behandelen.
De resultaten, zooals zij in de Groninger Publicaties 11 (1901) gegeven worden, zijn: de dichtheid is bijna constant tot aan de zesde
8



bolschil; daarna neemt ze af, en bereikt ongeveer tweederde van haar beginwaarde in de negende schil, een vierde in de elfde, en ongeveer een achtste in de twaalfde. In de latere bepalingen is de dichtheidswet natuurlijk verschillend voor de verschillende galactische breedten.
De tabellen I tot IV zijn ontleend aan Kapteyn's eerste behandeling van het probleem, die in 1901 gepubliceerd is. Zij zijn hier alleen gegeven ter illustratie van de methode. De resultaten in 1920 afgeleid, worden in de tabellen V en VI gegeven.
Tabel V Kapteyn's dichtheidswet (1920)
Aantal sterren
Afstand per kubieke lichteeuw
In Kapteyn- jn lichtjaren me^" Naar de pool
eenheden weg toe
0 0 1300 1300
10 326 1300 716
25 818 1300 520
63 2060 750 160
158 5160 270 21
398 13000 65 1.5
1000 32600 10 



Tabel YI Kapteyn's lichtkrachtwet (1920) (De eenheid van lichtkracht is een ster van magnitudo 0 op de afstand van één lichtjaar) Van de duizend sterren
heeft 1 een lichtkracht grooter dan 1000
hebben 18 een „ tusschen 100 en 1000
122 „ „ „ 10 en 100
328 „ „ „ 1 en 10
» 352 „ ,, „ 0.1 en 1
» 151 „ „ „ 0.01 en 0.1
„ 27 ,, „ kleiner dan 0.01
Men zal zien dat de dichtheid snel afneemt in de richting naar de polen van de melkweg toe, en veel langzamer in het vlak van de melkweg zelf. De lichtkrachtkromme heeft een maximum in de buurt van de lichtkracht, die hier als eenheid is gekozen en die ongeveer een vijftiende van de lichtkracht van de zon bedraagt. Latere onderzoekingen hebben twijfel doen rijzen aangaande de echtheid van dit maximum. De zwakke sterren zijn waarschijnlijk talrijker dan uit Kapteyn's werk zou volgen.
Het beeld van de bouw van het melkwegstelsel, dat Kapteyn zich tegen het einde van zijn leven heeft gevormd, wordt in figuur 5 gegeven. De dichtheidsbepaling is voortgezet



tot op een honderdste van haar beginwaarde; deze wordt bereikt op een afstand van 8465 parsec in het melkwegvlak en 1660 parsec in de richting daar loodrecht op. De figuur geeft een doorsnede van het stelsel, loodrecht op het melkwegvlak, dat een symmetrievlak is. De ellipsen zijn doorsneden van de oppervlakken van gelijke dichtheid, die omwentelingsellipsoïden zijn. Het aantal zwarte puntjes
Figuur 5 Het stelsel van Kapteyn (1922)
geeft de dichtheid aan: zij bedraagt 100 bij het middelpunt tegen 1 bij de buitenste ellipsoïde. De zon heeft hierin niet langer een centrale plaats, maar bevindt zich op een afstand van ongeveer 65 Kapteyn-eenheden van het centrum verwijderd, en 3.8 eenheden ten noorden van het vlak van symmetrie. Het middelpunt van de melkweg, zooals dit van de zon uit



gezien wordt, wordt op 77° galactische lengte aangenomen.
In zijn laatste publicatie geeft Kapteyn dynamische beschouwingen over het melkwegstelsel; hij schrijft de afplatting aan een rotatie toe en berekent, door de afname van de dichtheid in het melkwegvlak met die in de richting daar loodrecht op te vergelijken, het gravitatieveld en de rotatiesnelheid, noodig, om de waargenomen afplatting te veroorzaken. De lineaire snelheid op een afstand van ongeveer 700 parsec van het middelpunt, waar de zon zich bevindt, zou op ongeveer 20 km. per secunde komen. Kapteyn geeft hiervan de volgende voorstelling: het melkwegstelsel bestaat uit twee afzonderlijke stelsels, die elkander doordringen en in tegengestelde richting roteeren, en op deze manier verklaart hij de waargenomen relatieve snelheid van 40 km./sec. van de twee sterstroomen. De richting van de beide stroomen moet dan een rechte hoek maken met de richting naar het centrum van het stelsel, en hieruit is de lengte van 77° voor dat middelpunt, waarop wij boven wezen, bepaald.
Natuurlijk heeft Kapteyn, zooals wij reeds meermalen opmerkten, in de loop van zijn diep-



gaande onderzoekingen verscheidene bijkomstige resultaten verkregen. Het belangrijkste hiervan is ongetwijfeld de ontdekking van de twee sterstroomen, die door hem het eerst is medegedeeld aan het „International Congress of Science" in St. Louis in 1904, maar die pas algemeen bekend werd, toen hij het aan de „British Association" in Kaapstad in 1905 voorlegde. Het was een buitengewoon belangrijke ontdekking, die een enorme invloed op de ontwikkeling van de sterrekunde gehad heeft. Vóór 1905 was Kapteyn ongeveer de eenige die op het gebied der stellaire astronomie werkte, daarna werd het aantal onderzoekers op dat gebied plotseling enorm veel grooter. Het werk dat gedaan is en de conclusies, waartoe men tot 1914 gekomen was, zijn bewonderenswaardig uiteengezet in Eddington's uitstekende boek: Stellar Movements and the Structure of the Universe. Gedurende de laatste 15 jaar heeft de studie der sterstroomen niet die vooraanstaande plaats in het werk der sterrekundigen ingenomen, die daaraan nog tot 1914 werd toegekend. Zij mag dan niet zoo'n overheerschende bijzonderheid van het stelsel zijn, als algemeen direct na haar ontdekking werd aangenomen,



toch is de ontdekking van de sterstroomen buitengewoon belangrijk. Niet alleen wegens de groote stoot die zij aan de studie van de stellaire astronomie gegeven heeft, maar ook als eerste voorbeeld van een zekere regelmaat in de beweging van de vaste sterren.
Gedurende de laatste jaren zijn nieuwe waarnemingsgegevens gepubliceerd, die twijfel aan sommige van Kapteyn's conclusies hebben doen rijzen, en die er ons toe gebracht hebben aan het stelsel van Kapteyn niet meer die centrale positie in het heelal of liever in het melkwegstelsel toe te kennen, die er ten tijde van zijn ontstaan algemeen aan toegekend werd.
Zelfs al moet het beeld van het melkwegstelsel, zooals Kapteyn dat ten slotte uitwerkte als het resultaat van zijn onderzoekingen, heden ten dage reeds als verouderd beschouwd worden, toch is Kapteyn een van de belangrijkste figuren in de geheele geschiedenis der sterrekunde. Zijn grootste verdienste is dat hij de statistische sterrekunde geschapen heeft. Kapteyn's geheele leven is gewijd geweest aan het probleem van de bouw van het sterrestelsel, en door zijn wonderbaar meesterschap in het behandelen van groote hoeveelheden waar-



nemingsgegevens is hij in staat geweest een enorme stap vooruit te doen, en een geheel nieuw tijdperk in de studie der stellaire sterrekunde in te leiden.
Het gebruik van de statistische methode, door Kapteyn ingevoerd, gecombineerd met de enorme vermeerdering van waarnemingsmateriaal door onze instrumenten, als gevolg van de photographie en de groote kijkers, geproduceerd maakt het meer noodzakelijk dan vroeger onze krachten te concentreeren. Het is essentieel zich bij de keuze der waarnemingen, zoowel van de objecten die waargenomen worden, als wat er speciaal van waargenomen wordt, te laten leiden door de theorie. Kapteyn's „Plan of selected Areas" is een grootsch opgezet schema van onderling samenhangende waarnemingen, die door internationale samenwerking bijeengebracht moeten worden, en inderdaad reeds voor een groot gedeelte bijeengebracht zijn.
Kapteyn's werk heeft zijn stempel gedrukt op de geheele moderne sterrekunde; vele van de gebruikelijkste begrippen, waarmede wij iedere dag werken, en waaraan wij zoo gewend zijn geraakt, dat wij geneigd zijn te den-



ken, dat zij er altijd geweest zijn, werden in werkelijkheid eerst door Kapteyn ingevoerd; zooals bijv. de kleurindex, de absolute grootte en andere.
En nog is er niets gezegd over het ontzaglijke waarnemingswerk, het verzamelen van het waarnemingsmateriaal, dat Kapteyn volbracht heeft, de duizenden parallaxen en eigenbewegingen die in het Groningsche Laboratorium gemeten zijn, en in het bijzonder de „Cape Photographic Durchmusterung", die op zichzelf genoeg zou zijn als levenswerk voor een astronoom, en hem een eervolle plaats temidden van de grootsten van zijn tijd zou verzekeren.



Y
Photographie en spectroscopie. De groote
telescopen. het melkwegstelsel en de extra-galactische stelsels.
Het essentieele verschil tusschen het werk van Kapteyn en dat van Herschel van meer dan een eeuw geleden is het gevolg van de ontzaglijke toename van de waarnemingsgegevens in die tusschentijd.
Ook Kapteyn's eigen werk en de groote invloed van zijn methode op de ontwikkeling van de wetenschap hebben er veel toe bijgedragen, dat de nadruk sterk op één van de dingen, die karakteristiek voor de moderne sterrekunde zijn, gelegd werd, nl. het verzamelen van gegevens over steeds zwakkere sterren, en in het bijzonder het ontwikkelen van methoden om de afstanden van zwakke en verweggelegen objecten te bepalen. Wij zullen op dit punt later terugkomen.



In het laatste derde gedeelte van de negentiende eeuw waren twee nieuwe waarnemingsmethoden ontwikkeld, die deze groote vermeerdering der gegevens mogelijk hebben gemaakt, nl. de photographie en de spectroscopie.
De photographie heeft niet alleen de productiviteit van de waarnemer met een aanzienlijke factor vermenigvuldigd, maar zij heeft ook de waarneming minder persoonlijk gemaakt. Het resultaat is op de photographische plaat vastgelegd, en het is altijd mogelijk daartoe terug te keeren en de conclusies die men eruit getrokken heeft te verifieeren of te verbeteren.
Het is niet noodig in details te treden, maar het is een feit dat wij ons heden ten dage de sterrekunde moeilijk kunnen voorstellen zonder de photographie. Ik behoef in uw geest niet alle belangrijke ontdekkingen, die met haar hulp gedaan zijn, terug te roepen. En niet alleen hebben deze ontdekkingen het veld dat de astronomie bestrijkt belangrijk uitgebreid, ook de oude, fundamenteele sterrekunde heeft grootelijks van de opmerkelijke eigenschappen van de photographische plaat geprofiteerd. Photographische methoden zijn speciaal geschikt voor het



meten van eigenbewegingen en parallaxen; men bereikt een grootere nauwkeurigheid in minder tijd dan met de oude methoden. Ook voor de plaatsbepaling begint de photographie tegenwoordig tot resultaten te leiden.
De tweede nieuwe methode is de spectroscopie; deze heeft een geheel nieuwe wereld ontsloten, en dingen mogelijk gemaakt waarvan een halve of tweederde eeuw geleden nog niemand kon droomen. Nadat de oorsprong van de spectraallijnen door Kirchhoff was ontdekt, stond het onderzoek naar de chemische samenstelling van de steratmosfeeren de „chemie der sterren" wel in het brandpunt der belangstelling. Dadelijk werd ontdekt dat het mogelijk was de sterren volgens hun spectra in een continue reeks van typen te rangschikken, en wel zoo nauwkeurig dat men tegenwoordig zelfs decimalen van een spectraaltype gebruikt. Natuurlijk nam men al gauw aan, dat deze rangschikking een rangschikking in evolutie was. Zelfs onafhankelijk hiervan, en indien men deze simplistische opvatting heeft moeten opgeven of aanzienlijk wijzigen, het feit, dat deze rangschikking in een continue reeks mogelijk is, blijft een van de belang-



rijkste gegevens bij de studie van het heelal.
We hebben reeds gesproken over de ontdekkingen van Kapteyn, die als pionier op dit gebied de eerste was, die statistische relaties tusschen het spectraaltype en de eigenbeweging, de absolute grootte, de verdeeling in de ruimte enz. vond.
Uit de sterrespectroscopie is in de laatste vijftien jaar langzamerhand een geheel nieuw soort physica gegroeid. Er bestaat een sterke wisselwerking tusschen astronomie en physica; de astronomie levert de physicus vele omstandigheden van bijzondere aard, die hij in zijn laboratorium niet verwezenlijken kan: ontzaglijke afstanden, lange tijdsduren, groote dichtheden, kleine dichtheden, hooge temperaturen. De physica op haar beurt geeft de astronoom veel waardevolle hulp. De nieuwe wetenschap der astrophysica is iets geheel verschillends geworden van wat men een halve eeuw geleden gewoon was physische sterrekunde te noemen. Het valt buiten het bestek van dit boekje in bijzonderheden over deze tak der wetenschap te treden; toch wil ik niet nalaten op de belangrijke onderzoekingen over de inwendige bouw der sterren van Ed-



dington, Milne, Pannekoek en zoo vele anderen te -wijzen. De moderne theorieën over de bouw der sterren en de processen die hun uitstraling gaande houden zijn onverbrekelijk samengeweven met de theorieën over atomaire processen. De moderne physica zou onmogelijk zijn zonder astrophysica. Een typisch voorbeeld van de onderlinge samenhang van deze beide is de titel van het alleraardigste boekje van Sir Arthur Eddington „Sterren en atomen" van 1927 1), hetgeen teekenend is voor de geesteshouding van de physica en de astrophysica van tegenwoordig.
Met deze ontwikkeling is nauw verbonden de evolutie in het wetenschappelijk denken, die ons meer en meer van Newton's strenge standpunt, dat slechts zuivere generalisatie en inductie is toegestaan en het maken van hypothesen niet, verwijdert en de hypothese een veel overheerschender plaats in de moderne wetenschap inruimt.
De spectroscopie heeft echter nog meer gedaan. Behalve dat zij de mogelijkheid voor
•) Vertaald door J. H. Beucker Andreae (W. P. van Stockum & Zoon 1928)



de nieuwe wetenschap der astrophysica heeft geschapen, heeft zij ook een nieuw gebied opengesloten voor de nauwkeurigheids-astronomie. Door het principe van Doppler toe te passen, zooals dit voor 't eerst door Huggins in 1868 en door Vogel in 1871 geschiedde, kunnen nu de radieele componenten van de snelheden der sterren, de snelheid waarmede zij zich van ons af bewegen of ons naderen, met groote nauwkeurigheid gemeten worden, hoe groot de afstand van de waargenomen ster ook is, (mits zij natuurlijk niet te zwak is om een waarneembaar spectrum te geven).
De inzameling van de oogst van al deze nieuwe methoden heeft zelfs nog onze verwachtingen overtroffen tengevolge van de ontwikkeling van de optische en mechanische techniek, en van de groote kijkers. Herschel's 12meter telescoop (met een opening van 1.2 meter, in 1789 gereed gekomen) was eigenlijk te groot voor de mechanische mogelijkheden van die tijd. Zij was buitengewoon moeilijk te hanteeren en zelfs een enthousiast waarnemer als Herschel kon er zelden mee werken. Op die manier bleef de grootte van Herschel's 6-meter telescoop (met een opening van bijna een halve meter)



waarmede practisch het geheele werk van William en John Herschel gedaan is, tot het midden van de negentiende eeuw, de standdaardgrootte.
In Februari 1845 werd de reflector van Lord Rosse met een opening van 1.80 meter in Parsonstown in Ierland voltooid, en reeds in April van dat jaar werd daarmede de eerste spiraalnevel ontdekt. Zij was in de meridiaan opgesteld, had slechts een kleine mogelijkheid van zijwaardsche beweging, en was in de practijk niet gemakkelijk te hanteeren. De enorme vooruitgang in de mechanische constructie kan nauwelijks beter beoordeeld worden, dan door de opstelling van de telescoop van Lord Rosse te vergelijken met die van de moderne reflector van dezelfde opening in de sterrewacht te Victoria, in Britsch Columbië, in 1918 gebouwd. Gedurende meer dan zeventig jaren blijft Lord Rosse's kijker de grootste die er bestaat. Zij werd pas overtroffen door de Hooker telescoop van de Mount Wilson Sterrewacht, met een opening van twee en een halve meter, die in 1918 gereed gekomen is, en misschien zal binnenkort de 5-meter-kijker gereed komen.
Het groote voordeel van de enorme spiegel



is natuurlijk, dat dank zij de groote hoeveelheid licht die men opvangt, de massa der waarnemingsgegevens zeer belangrijk vermeerderd wordt, veel zwakkere objecten kunnen worden waargenomen, en onderzoekingen over de bouw van het melkwegstelsel, voortgezet volgens de methode van William Herschel, kunnen over veel verdere afstand worden uitgestrekt. Ook met behulp van de photographie worden vele details aan het licht gebracht, en de structuur kan veel vollediger bestudeerd worden dan bij visueele waarnemingen mogelijk is.
Zooals reeds gezegd is, ligt het verschil tusschen Herschel en Kapteyn daarin dat de laatste over goede afstandsbepalingen beschikte, terwijl Herschel de afstand van geen enkele ster met zekerheid kende. Sedert de voltooiing van het stelsel van Kapteyn zijn nieuwe methoden om de afstanden te bepalen gevonden, nl. die van de spectroscopische parallaxen en de afstandsbepaling met behulp van cepheïden.
De methode der spectroscopische parallaxen was in 1914 ontdekt door Adams en Kohlschütter. Zij vonden dat de werkelijke hel-
9



derheid van een ster afgeleid kon worden uit zekere eigenschappen van het spectrum, door de intensiteiten van zekere lijnen vergelijken. Daaruit kan men, als de schijnbare helderheid ook bekend is, de afstand bepalen.
Het meten van afstanden met behulp van de cepheïden is gebaseerd op dezelfde eenvoudige eigenschap van het licht, nl. dat de intensiteit omgekeerd evenredig is met het kwadraat van de afstand. Cepheïden zijn een speciaal soort veranderlijke sterren, zeer regelmatig en met een karakteristieke lichtkromme, die hun identificatie gemakkelijk en onmiskenbaar maakt. In 1912 vond Miss Leavitt van de Harvard sterrewacht een empirisch verband tusschen de periode en de lichtkracht van deze sterren, zoodat men, wanneer men de periode kent, de gemiddelde absolute helderheid uit de kromme kan aflezen. Deze methode, om afstanden af te leiden, werd het eerst gebruikt door Hertzsprung in 1914. Hij bepaalde de parallax van de kleine Magelaansche wolk. Bailey had in 1900 in eenige bolvormige sterrehoopen verscheidene veranderlijken ontdekt, zgn. cluster-variabelen. Dit zijn waarschijnlijk geen werkelijke cepheïden,



maar zij passen in de kromme, die het verband tusschen de periode en de lichtkracht aangeeft. Tengevolge daarvan kon dezelfde methode worden uitgebreid om de afstanden van bolvormige sterrehoopen te meten. Het zwakke punt is de bepaling van het nulpunt van de schaal. Dit moet uit de bekende afstanden der cepheïden gevonden worden, maar daar de meeste cepheïden zeer kleine parallaxen hebben, is de directe bepaling van hun afstand zeer onzeker, en moet deze gevonden worden uit hun eigenbewegingen. Dit brengt echter alle moeilijkheden van de fundamenteele astronomie in het probleem, zooals de systematische fouten in de declinatie enz.
Nadat wij nu dus zeer kort en oppervlakkig de nieuwe hulpmiddelen, die het moderne onderzoek ter beschikking staan, hebben beschreven, gaan wij verder de voornaamste resultaten te beschouwen, die daarmede verkregen zijn.
De voornaamste ontwikkeling in onze opvattingen aangaande de afmetingen en de bouw van het sterrestelsel direct na Kapteyn's onderzoekingen, is te danken aan Shapley's werk, waarvan de resultaten in een reeks



publicaties genaamd „Studies based on colours en magnitudes in stellar clusters", loopend van 1915—1920, zijn neergelegd. Dit werk is geheel met de kijker van anderhalve meter opening van de Mount Wilson sterrewacht verricht. De voornaamste resultaten zijn de bepaling van de afstanden van de bolvormige sterrehoopen en hun verdeeling, in de ruimte en de aanduiding dat het stelsel der bolvormige sterrehoopen in verband met het melkwegstelsel staat. Shapley's klassieke reeks publicaties in de Mount Wilson Contributions werd in 1920 afgesloten, maar de hoofdresultaten zijn in nummer XII van April 1918 samengevat, genaamd „Bemarks on the arrangement of the sidereal universe" en in nummer XIV „Further remarks on the structure of the galactic system", dat in November 1918 het licht zag. Het diagram in figuur 6 is aan deze laatste publicatie ontleend. Het stelt het stelsel der bolvormige sterrehoopen voor, zooals dit het resultaat is van Shapley's werk. Latere onderzoekingen hebben aanleiding gegeven tot eenige veranderingen in de details, maar de groote lijnen zijn onveranderd gebleven. De bolvormige sterrehoopen, waarvan er ongeveer



een honderdtal bestaan, zijn symmetrisch gerangschikt ten opzichte van het melkwegvlak. Ruw gesproken vullen zij een bol 'en de af-
Figuur 6
De bolvormige sterrehoopen en de melkweg volgens Shapley
standen aan beide kanten van het vlak van symmetrie bedragen ongeveer 15000 parsec. (Wij geven hier de afmetingen, zooals deze tegenwoordig meestal worden aangenomen, niet



Shapley's origineele afmetingen van 1918). In deze bol met een straal van 15000 parsec is de verdeeling der bolvormige sterrehoopen bij benadering gelijkmatig, met een zwakke condensatie naar het middelpunt. In een ruimte tusschen twee evenwijdige vlakken aan beide zijden van het vlak van symmetrie, in het diagram gearceerd, komen geen of zeer weinige bolvormige sterrehoopen voor; tenminste, zoo zij er al zijn, zien wij ze niet. Wij zullen op dit punt later terug komen. In diezelfde centrale strook liggen natuurlijk de wolken van de melkweg.
Het is zeer merkwaardig het diagram van Shapley uit 1918 (figuur 6) te vergelijken met datgene wat William Herschel's laatste opvattingen weergeeft, zooals dat in 1817 gepubliceerd werd (figuur 4). In beide gevallen hebben wij de centrale schijf die de melkwegwolken bevat, en die zich onbepaald uitstrekt in de richting van het centrale vlak; en aan beide zijden van deze centrale schijf bevindt zich „het gebied der bolvormige sterrehoopen". En niet minder belangrijk is de vergelijking van Herschel's eerste theorie van 1785 (figuur 8) met het stelsel van Kapteyn (figuur 5). Kapteyn's resultaten waren in wezen voltooid ongeveer



1900. En zoo zien wij de geschiedenis zich een eeuw later herhalen. Ongeveer aan het begin van de negentiende eeuw hebben wij de beide theorieën van William Herschel, die met een tusschenpoos van ongeveer dertig jaar gepubliceerd werden, en in de eerste jaren van de huidige eeuw bezitten wij twee gelijksoortige theorieën, binnen een ietwat korter interval gepubliceerd, maar ditmaal het werk van twee verschillende vorschers. Natuurlijk berusten de moderne edities op veel vollediger waarnemingsgegevens, en rigoureuser onderzoek, terwijl Herschel's resultaten voornamelijk gebaseerd waren op onderstelling en redeneering naar analogie. Maar dit maakt slechts dat onze bewondering voor de wonderbaarlijke intuïtie van deze groote man nog grooter wordt, en het is zeker hoogst merkwaardig dezelfde evolutie en opvatting, die in zijn geest plaats vond, een eeuw later herhaald te vinden in wat wij de collectieve geest der astronomische wereld zouden kunnen noemen. Omstreeks het jaar 1800 bestond de astronomische wereld, tenminste wat de stellaire sterrekunde betreft, uit William Herschel alleen.
Binnen de centrale schijf van Shapley's



diagram liggen, zooals wij reeds zeiden, de melkwegwolken, waarvan het stelsel van Kapteyn er mogelijk een is. Het middelpunt van het stelsel van Kapteyn ligt op een afstand van ongeveer 1000 parsec van het centrum van het stelsel der bolvormige sterrehoopen, dat ook het middelpunt van het geheele melkwegstelsel is, terwijl, volgens de meest algemeen aanvaarde opvattingen, de dichtheid afneemt op grootere afstand van het middelpunt van het stelsel van Kapteyn, niet alleen in de richting loodrecht op het melkwegvlak, maar ook in dat vlak. Zij kan dan weer toenemen, als wij bij andere wolken komen. Dit is ongeveer het beeld, dat wij ons van het melkwegstelsel vormden na Shapley's werk, ongeveer tien jaar geleden.
Op 26 April 1920 vond het homerische gevecht over de schaal van het heelal, de discussie tusschen Shapley en Curtis plaats. Shapley verdedigde toen de schaal van zijn nieuwe model van het melkwegstelsel, die hoofdzakelijk afhing van de waargenomen afstanden der bolvormige sterrehoopen, tegenover de tegengestelde opvatting van Curtis, die aan een tien maal kleinere schaal de voorkeur gaf. In







Dr. Eastons diagram dat de spiraal-structuur van het melkwegstelsel illustreert.
Plaat III



Plaat IV
De spiraalnevel Messier 101







deze discussie is ook een toespeling gemaakt op wat bekend is onder de naam van „de theorie der eiland-universa", ofschoon het een zeer ondergeschikte rol speelde in de argumentatie. De opvatting van deze theorie, nl. dat ons melkwegstelsel een nevel is en dat enkele van de nevels, die wij aan de hemel zien, stelsels zijn van dezelfde afmetingen en aard als het onze, dateert reeds van William Herschel. Dat het melkwegstelsel een spiraalvormige structuur bezat is, voorzoover ik weet, het eerste geopperd door Easton in 1900, en de analogie hiervan met de spiraalnevels is van groote invloed geweest op onze denkbeelden aangaande de bouw van het melkwegstelsel.
Easton's diagram, dat door hem was geconstrueerd als een illustratie en verklaring van zijn theorie, is gereproduceerd op plaat III. Aan de rand is een zuivere photometrische kaart van de melkweg zooals wij deze zien: wij moeten ons de melkweg geprojecteerd denken op de binnenzijde van een cylindrisch oppervlak waarna de cylinder tot een plat vlak uitgebogen is. Het beeld is natuurlijk negatief; de donkerste schaduwen vertegenwoordigen de helderste gedeelten aan de hemel.



In het midden staat het schematische beeld van een spiraal. Het is de bedoeling niet geweest een of andere bepaalde nevel voor te stellen, maar zij lijkt zeer veel op bijv. M. 88 of M.101 (zie plaat IV). De zon wordt ondersteld in S te staan, en er zijn gezichtslijnen getrokken om aan te toonen dat, wat wij van deze positie uit zouden zien, in algemeene trekken overeenkomt met de werkelijke melkweg zooals wij deze aan de hemel zien. Easton verklaart de twee takken van de melkweg door te veronderstellen dat de beide armen van de spiraal niet precies in hetzelfde vlak liggen. Men weet nu dat dit niet juist is. Ook staat de richting naar het middelpunt in Easton's diagram, in het sterrebeeld de Zwaan, ongeveer loodrecht op de richting waarin wij nu weten dat het zich bevindt. Op die manier blijft er niet veel van Easton's theorie over behalve de algemeene opvatting dat het melkwegstelsel een spiraalvormige structuur bezit. Deze opvatting echter is bevestigd door de gedetailleerde structuur van de grootere spiraalnevels, op photographische platen met de kijkers van anderhalve en twee-en-een-halve meteropening te Mount Wilson genomen, te







Plaat V
Zuidelijk gedeelte van de groote spiraalnevel in Andromeda.



Plaat VI
Sterwolken in Sagittarius.







vergelijken met de melkwegwolken. De gelijkvormigheid bijv. van het Zuidelijke gedeelte van de groote nevel in Andromeda (plaat Y) en de sterwolken in Sagittarius (plaat VI) is zeer opvallend. De verhouding van de vergrootingen van deze heide beelden is ruw genomen dezelfde als de verhouding van de afstanden van de beide afgebeelde objecten.
In de veertien jaren, die sinds Shapley zijn werk over de bolvormige sterrehoopen voltooide, verloopen zijn, zijn er drie nieuwe gezichtspunten naar voren gekomen, die van groot belang zijn geweest voor de ontwikkeling van onze voorstellingen van het melkwegstelsel.
De distributie van de sterren in de melkweg is zeer onregelmatig. Er zijn vele donkerder gedeelten tusschen de wolken en er loopen donkere lanen en paden zonder sterren kris kras door de melkweg heen. Eenige van de opvallendste voorbeelden vindt men in het sterrebeeld Ophiuchus. William Herschel was gewoon deze „gaten in de hemel" te noemen en men heeft lang gedacht dat het werkelijk plaatsen waren waar geen sterren waren. De overtuiging dat het in tegendeel plaatsen zijn waar iets is dat ons verhindert de sterren te



zien, is slechts langzaam tot ons doorgedrongen. Het begon met Barnard's ontdekking der „donkere nevels". Langzamerhand, door de onderzoekingen van Pannekoek en anderen, heeft men de zekerheid gekregen dat er in het melkwegvlak zeer uitgestrekte wolken van verduisterende stof bestaan, hetzij gasvormige, niet lichtgevende nevels, hetzij wolken van kleine stofdeeltjes.
De analogie met verscheidene spiraalnevels, die van opzij gezien worden, en een donkere band vertoonen welke langs de geheele lengte van hun aequatoriale vlakken loopt, zooals bijv. N.G.C. 4565 (Plaat VII), leidt ertoe dat ons geloof in de gelijksoortigheid van ons eigen systeem met de spiraalnevels en ons geloof in het bestaan van deze zone van verduisterende materie overal langs het melkwegvlak wordt versterkt. Deze zelfde absorbeerende laag verklaart waarom wij geen enkele bolvormige sterrehoop in de melkweg zien, noch eenige extra-galactische (spiraal-) nevel. Een tweede zeer belangrijke theoretische conclusie die men uit het bestaan van deze verduisterende band kan trekken is, dat de vermindering van de dichtheid met het grooter worden van de af-



stand, zooals deze door Kapteyn's theorie is afgeleid, slechts schijnbaar kan zijn en voor een groot gedeelte of misschien wel heelemaal het gevolg van absorptie is. Een absorptie van één grootteklasse per duizend parsec zou voldoende zijn om de schijnbare vermindering in dichtheid, die door Kapteyn is afgeleid uit de waargenomen aantallen sterren voor de verschillende grootteklassen te verklaren, als de werkelijke dichtheid langs het melkwegvlak constant was. In de richting loodrecht op het melkwegvlak is het bijna zeker dat er geen waarneembare absorptie is. In die richting is het afnemen van de dichtheid, zooals dit door Kapteyn bepaald is, waarschijnlijk reëel. Nemen wij aan dat de dikte van het centrale segment 2000 parsec is, dan zou de dichtheid aan de grenzen ongeveer een veertigste van haar waarde in onze omgeving zijn. In de richting van het melkwegvlak kan niets met zekerheid gezegd worden; wij weten niet of de dichtheid afneemt, constant blijft of misschien in sommige richtingen toeneemt, en het eenige wat wij zeggen kunnen is hetzelfde als de conclusie, waartoe William Herschel kwam aan het einde van zijn leven: dat de melkweg onpeibaar is.



Dit behoeft echter niet altijd zoo te blijven, en zelfs nu is deze pessimistische kijk hierop te drastisch in zijn algemeenheid. Als de stertellingen worden uitgestrekt over steeds zwakkere sterren is het niet onmogelijk het effect van een reëele vermindering der dichtheid te scheiden van die der absorptie, en uit onderzoekingen kort geleden gepubliceerd door dr. Bok van de Harvard sterrewacht en dr. Seares van de Mount Wilson sterrewacht, schijnt te volgen, dat het mogelijk is, niet alleen bij benadering de grenzen van ons eigen „locale stelsel", de bijzondere sterrewolk waar wij ons in bevinden, af te teekenen, maar ook te bepalen waar de volgende sterrewolk begint na een tusschenliggend gebied van geringe dichtheid. In den allerlaatsten tijd heeft Dr. Oort, ook weer uit statistisch onderzoek van stertellingen, zeer belangrijke gevolgtrekkingen gemaakt, waarop wij nog terugkomen. Het is in het bijzonder verheugend op te merken dat het in wezen met behulp van Kapteyn's eigen methoden is, dat deze resultaten bereikt zijn.
Het is hier natuurlijk niet de plaats voor een kritische discussie van deze recente onderzoekingen. Wij kunnen niet meer doen dan ze



vermelden en de conclusie trekken dat, ondanks de moeilijkheden uit de absorptie gerezen, Kapteyn's statistische methode bruikbaar zullen worden bevonden en dat zij zeer waardevolle resultaten zullen geven ver buiten de grenzen van het stelsel van Kapteyn zelf.
Toch stelt het bestaan van absorbeerende materie een natuurlijke grens aan de toepassing van deze methode, ofschoon de grens verder weg kan liggen dan men dacht, toen voor de eerste maal gerealiseerd werd dat Kapteyn's conclusies, die gebaseerd waren op de hypothese dat er geen absorptie was, niet ongewijzigd geaccepteerd konden worden. Wanneer wij afstanden bereiken waar de absorptie zoo groot is dat wij de sterren niet meer zien, dan is er een einde aan alle tellen en weten wij niet hoe veel daar achter ligt. Toch moet het melkwegstelsel eindig zijn. Hoe ver het zich echter in zijn geheel uitstrekt moet met andere middelen gevonden worden.
Het tweede belangrijke nieuwe feit van de laatste tien jaar is de rotatie van de melkweg, ontdekt door Lindblad en Oort.
Wij hebben gezien dat het stelsel der bolvormige sterrehoopen gelegen is buiten het



stelsel van Kapteyn maar symmetrisch ligt ten opzichte van het symmetrievlak van dat stelsel en van de melkweg. Het diagram (figuur 7),
Figuur 7
Stelsel van Kapteyn en de bolvormige sterrehoopen
afkomstig van Oort, laat de relatieve positie van het stelsel van Kapteyn en het stelsel der bolvormige sterrehoopen zien. Nu heeft men uit metingen van de radieele snelheid van



deze sterrehoopen gevonden, dat dit laatste stelsel een systematische beweging heeft ten opzichte van de sterren in de buurt van de zon, d.i. ten opzichte van het stelsel van Kapteyn. Of, wat hetzelfde is, het stelsel van Kapteyn
Figuur 8
Diagram ter illustratie van de rotatie van het melkwegstelsel
heeft een relatieve beweging ten opzichte van het stelsel der bolvormige sterrehoopen. Deze beweging bedraagt ongeveer 300 km/sec. in een richting, loodrecht op de richting naar het middelpunt en in het melkwegvlak gelegen. In-
10



dien dit nu geïnterpreteerd moet worden als een rotatie, moet er zoowel een effect in de eigenbewegingen als in de radieele snelheden zijn. Het diagram van figuur 8 dient om dit te verklaren. De zon en baar directe naburen worden in het punt S gelegen gedacht. In de punten A, B.... H bevinden zich andere sterrengroepen alle op dezelfde afstand van de zon. Lijnen zijn getrokken van ieder van deze punten naar het centrum der rotatie, dat buiten het diagram
Figuur 9 Gedeelte van figuur 8 vergroot
aan de onderkant ligt. De rotatiesnelheid in ieder van deze punten is aangegeven door een zware lijn, met een pijlpunt om de richting aan te geven, zooals Aa in figuur 9, die een deel van figuur 8 op grootere schaal geteekend weergeeft. Deze staat natuurlijk loodrecht op de richting naar het middelpunt. Vervolgens is bij ieder van de acht punten een gestreepte lijn, zooals Ab, gelijk en parallel aan de snelheid van de zon getrokken. De lijn Ac die het parallelogram Acab voltooit,



is de relatieve beweging van A terq opzichte van S. Deze is het die wij waarnemen. De relatieve snelheid Ac is dan in ieder van de acht punten ontbonden in haar beide componenten Ad, loodrecht op, en Ae in de gezichtslijn. De eerste wordt waargenomen als een systematische eigenbeweging in hoekmaat, de andere als radieele snelheid. Zooals duidelijk uit het diagram blijkt is er een rotatie-effect zoowel in de transversale eigenbewegingen als in de radieele snelheden. Indien het geheele stelsel als een vast lichaam roteerde zouden er klaarblijkelijk geen afstandsveranderingen en geen systematische radieele snelheden ten gevolge van de rotatie zijn, maar indien, zooals in de figuur, de rotatiesnelheid met de afstand verandert, zal de relatieve radieele snelheid een dubbele periode vertoonen: zij is nul in H, naar buiten gericht in A weer nul in B, naar binnen gericht in C enzoovoort. Een gelijksoortig effect vertoonen de eigenbewegingen, maar dat kan slechts in de projectie in hoekmaat worden waargenomen, en is zeer klein tengevolge van de groote afstand. De radieele snelheid wordt in haar ware grootte spectrographisch waargenomen; de waarneming is onafhankelijk van de afstand



en het effect wordt zelf grooter met de afstand. Deze is dus veel gunstiger voor het ontdekken van de rotatie dan de transversale component. Het waargenomen rotatie-effect in de radieele snelheden (en de eigenbewegingen) levert ons gegevens voor de bepaling van de verhouding V/R tusschen de snelheid en de afstand tot het middelpunt, en van de waarde van de verandering dV/dR, waarin V de rotatiesnelheid op een afstand R van het middelpunt is. Uit deze gegevens en de waargenomen snelheid V kunnen wij zoowel de afstand tot het middelpunt R als de centripetale kracht afleiden en de wijze waarop deze kracht van de afstand afhangt, d.i. van de massaverdeeling. De afgeleide afstand van het middelpunt bedraagt iets van de orde van 1000 parsec maar kan kleiner zijn. Wat de verdeeling van de massa aangaat, het blijkt dat de massa zeer sterk naar het middelpunt geconcentreerd moet zijn. De totale massa is van de orde van één of tweehonderd duizend millioen maal die van de zon.
Als het resultaat van zijn onderzoekingen heeft Dr. Oort het in figuur 10 gereproduceerde diagram samengesteld. Het stelt een doorsnede door het stelsel voor, door een vlak loodrecht







Plaat VII
De spiraalnevel N.G.C. 4565



op het vlak van symmetrie. Uiterst links ligt het stelsel van Kapteyn. Rechts daarvan bevindt zich de doorsnede in het vlak van teekening door de kern en de andere sterwolken in de armen der spiraal. De bolvormige sterrehoopen
Figuur 10
Dr. Oort's diagram van het melkwegstelsel
zijn door stippen aangegeven. De smalle band van verduisterende materie in het centrale vlak is in dit diagram niet voorgesteld, maar zij is er en verhindert ons het middelste gedeelte van de kern (en alles wat daarachter is), te zien en



veroorzaakt op deze manier het optreden van de beide takken in de melkweg. Men zal opmerken dat Oort's diagram zeer veel overeenkomst vertoont met een spiraal van terzijde gezien, zooals bijv. N. G. C. 4565 (plaat VII).
Deze theorie van de rotatie van het melkwegstelsel maakt het mogelijk verschillende verschijnselen te verklaren, die de waarnemingen ons leerden maar die tot nu toe niet verklaard konden worden. In de eerste plaats de sterren met groote snelheid. In 1922 was door Oort ontdekt dat er een duidelijk onderscheid bestaat tusschen sterren met een snelheid kleiner dan 63 km/sec. ten opzichte van het zwaartepunt van de sterren in de buurt van de zon en die met een snelheid grooter dan deze. De kleine snelheden zijn geheel toevallig verdeeld; de groote snelheden zijn alle naar een helft van de hemelbol gericht. Het middelpunt van deze halve bol, waar de groote snelheden naar toe gericht zijn, is in het vlak van de melkweg gelegen, in een richting loodrecht op die naar het middelpunt van het stelsel der bolvormige sterrehoopen. Indien dus de snelheden berekend worden ten opzichte van het middelpunt van het stelsel der bolvormige sterrehoopen, dat in



de theorie der rotatie het middelpunt van rotatie is, zijn de sterren met groote snelheid die sterren, waarvan de rotatiesnelheid kleiner is dan het gemiddelde; met andere woorden, de sterren die achterblijven bij de zon en haar naburen uit het stelsel van Kapteyn, die zich voortspoeden in hun rotatie rondom het middelpunt. Er zijn geen sterren waarvan de rotatiesnelheid het gemiddelde van 300 km/sec. met meer dan 60 a 63 km/sec. overschrijdt. De verklaring die zichzelf opdringt, nl. dat deze snelheid van ongeveer 360 km/sec. de ontsnappingssnelheid uit het melkwegstelsel is, is in numerieke overeenstemming met de afstand tot het middelpunt en de massa zooals deze boven afgeleid zijn. Een ster met een snelheid ten opzichte van het zwaartepunt van de sterren in den buurt van de zon, die grooter dan 63 km/sec. in de richting der rotatie is, zou uit het stelsel ontsnappen.
Een ander verschijnsel, waarvan de rotatietheorie een dynamische verklaring geeft, is dat van de twee sterstroomen, door Kapteyn in 1904 ontdekt. Niettegenstaande de enorme belangstelling die deze ontdekking wekte, en het groote aantal studies dat men aan deze



ontdekking wijdde, was er gedurende meer dan twintig jaar geen bevredigende verklaring voor dit opmerkelijke verschijnsel gevonden. Indien de lineaire rotatiesnelheid toeneemt als wij het middelpunt van het stelsel naderen, hetgeen het geval is zooals uit de waargenomen radieele snelheden blijkt, of zelfs indien zij minder snel afneemt dan het geval zou zijn in een roteerend vast lichaam, dan moeten de volgens toeval verdeelde relatieve snelheden der sterren, dit is dus het bedrag, waarmede de ware snelheden van de uniforme beweging in een cirkel afwijken noodzakelijkerwijze een voorkeur hebben voor de radieele richting. De overeenstemming van de waargenomen richting der sterstroomen met de richting naar het middelpunt is niet zoo goed als wij zouden wenschen. Of de afwijking zoo groot is dat zij werkelijk verontrustend is, is moeilijk te zeggen.
Yan sommige spiraalnevels, de Andromedanevel, M. 38, N. G. C. 4594, en enkele andere, is een rotatie waargenomen uit de radieele snelheden door Slipher in Flagstaff en door de waarnemers in Mount Wilson. Dit versterkt weer de analogie waarop wij reeds eenige malen gewezen hebben.



De jongste onderzoekingen van Dr. Oort, die wij reeds even vermeldden, hebben onze kennis van de structuur van het melkwegstelsel een groote stap vooruitgebracht. Door statistische discussies zoowel van de aantallen als van de snelheden der sterren van verschillende helderheid, kleur, enz., gecombineerd met dynamische overwegingen, is hij er in geslaagd de verdeeling der sterren buiten het melkwegvlak met aanzienlijke nauwkeurigheid vast te leggen. De oppervlakken van gelijke dichtheid, die hij bepaalt, zijn gedeelten van zeer afgeplatte ellipsoïden die het middelpunt van rotatie tot middelpunt hebben.
De derde van de ontdekkingen van de laatste tijd, waarvan wij boven spraken en die van groot belang geweest zijn voor de vorming van onze denkbeelden over het melkwegstelsel, is de volgende:
Men wist reeds eenige tijd dat in- de spectra van eenige van de helderste en heetste sterren de calciumlijnen H en K een andere radieele snelheid vertoonden dan de andere lijnen van het spectrum. De verklaring van deze „stationaire lijnen", zooals zij gewoonlijk genoemd werden, die door Plaskett geopperd en door



Eddington theoretisch uitgewerkt werd, is dat zij te danken zijn aan absorptie in de uitgestrekte en zeer ijle, uit geïoniseerd calcium bestaande wolken, die de interstellaire ruimte tusschen de ster en de aarde opvullen.
Onlangs is gebleken dat deze calciumwolk dezelfde rotatie-effecten in radieele snelheid vertoont als de sterren zelf en dus aan de rotatie van het geheele stelsel deel heeft.
Nog een belangrijk feit is de verdeeling der planetaire nevels. Planetaire nevels zijn tamelijk sterk gecondenseerd naar het vlak van de melkweg toe en, in dat vlak, naar de richting van het middelpunt der bolvormige sterrehoopen. Het aantal planetaire nevels per eenheid van volumen is grooter in de richting naar het middelpunt dan in de richting ervanaf. Terloops mogen wij opmerken dat wij hier weer een statistisch resultaat hebben dat buiten de grenzen van het stelsel van Kapteyn reikt. Bovendien vertoonen de planetaire nevels duidelijk het Oort-effect in hun radieele snelheden en nemen zij dus ook aan de rotatie van het geheele stelsel deel.
Overzien wij nu de stand van zaken, dan



komen wij tot de conclusie dat het model, dat wij na de voltooiing van Shapley's reeks geschriften uit de periode van 1915 tot 1920 van het melkwegstelsel hadden, slechts weinig verbetering behoeft. De sterren, de galactische nevels, de donkere nevels, de planetaire nevels, de open sterrehoopen, de melkwegwolken enz. zijn verdeeld over een smal segment dat zich niet verder dan 1000 a 1500 parsec aan beide zijden van het melkwegvlak uitstrekt. Zij zijn sterk gecondenseerd naar het midden van deze strook. In de omgeving van de zon is de helft van de massa besloten binnen grenzen van ongeveer 270 parsec aan beide kanten van het centrale vlak. Vlak bij het middelpunt kan de breedte wel (en is zij dat waarschijnlijk ook) grooter zijn. Dit geheele stelsel roteert om een middelpunt dat samenvalt met het middelpunt van het stelsel der bolvormige sterrehoopen. De afstand waarop het zonnestelsel zich van het middelpunt bevindt is van de orde van 10000 parsec, en de rotatiesnelheid op die afstand ligt in de buurt van 300 km/sec. De omloopstijd is dus van de orde van tweehonderd millioen jaar. Het lijkt waarschijnlijk dat de sterren, sterrehoopen, nevels enz. in dit platte



stelsel groote plaatselijke afwijkingen in dichtheid vertoonen en verzameld zijn in wat gewoonlijk beschreven wordt als galactische sterwolken. Het stelsel van Kapteyn is mogelijk één van deze sterwolken. Het is natuurlijk niet onmogelijk dat de dichtheidsverandering in de richting van de melkweg, volgens Kapteyn's methode gevonden, slechts schijnbaar is en het gevolg van absorptie door donkere materie. Of er al of niet een „locaal stelsel" bestaat kan nog niet met absolute zekerheid uit onze waarnemingsgegevens worden afgeleid, alhoewel sommige der jongste onderzoekingen een heel eind op weg schijnen te zijn, de realiteit ervan te bevestigen.
De dichtheid in de richting loodrecht op het melkwegvlak vermindert waarschijnlijk min of meer in overeenstemming met de resultaten door Kapteyn gevonden, volgens welke de dichtheid ongeveer een tiende zou zijn geworden op een afstand van 500 parsec.
Het middelpunt van het groote melkwegstelsel ligt in de richting van 325° galactische lengte, ongeveer op de grens tusschen de sterrebeelden Sagittarius en Scorpio, tusschen de beide takken van de melkweg; de condensatie der massa in



het middelpunt is voor ons oog verborgen door de verduisterende materie.
De analogie van ons melkwegstelsel met de spiraalnevels is zeer sterk en het is zeer verleidelijk ons stelsel als een spiraalnevel op te vatten. Als echter ons melkwegstelsel een spiraalnevel is, moet onze plaats in de uiterste en minder dichte gedeelten van de nevel gezocht worden.
De oppervlaktelichtkracht van dat gedeelte, waarin wij ons bevinden, kan, van buiten afgezien, niet veel verschillen van tweemaal de lichtkracht van de hemel zooals deze van ons uit in de richting van de pool gezien wordt. Deze is zeer zwak en het lijkt twijfelachtig of het geheele stelsel van Kapteyn helder genoeg zou zijn om zichtbaar te zijn op een photographische opname, die op een afstand van bijv. een millioen lichtjaar in een richting loodrecht op het melkwegvlak van ons stelsel gemaakt zou worden. Enkele van de helderste sterrehoopen, als de Pleïaden of Praesepe bijvoorbeeld, zouden waarschijnlijk zichtbaar zijn, maar op die afstand ietwat wazige, op sterren gelijkende puntjes schijnen. Aan de andere kant schijnt het waarschijnlijk dat het stelsel van Kapteyn van dezelfde afstand uit in het



melkwegvlak als een helderder gedeelte dicht bij het einde van de nevel zichtbaar zou zijn, zooiets als in de linker benedenhoek van de photographische opname van N. 6. G. 4565, op plaat YII gereproduceerd, voorkomt.
Deze opvatting van het grootere melkwegstelsel zal zeker nog veranderd worden voorzooverre het de details betreft, maar één ding schijnt wel zeker en dringt zich sterk aan ons op, nl. dat het geheele stelsel een eenheid is. De rotatietheorie verklaart zoovele waarnemingsfeiten, de sterke afplatting, het gedrag van de sterren met groote snelheden, de sterstroomen, dat deze niet langer meer in twijfel getrokken kan worden. Verder toont het feit dat allerlei verschillende soorten sterren, de planetaire nevels, de interstellaire calciumwolken, alle dezelfde rotatie geven, overtuigend aan dat het geheele stelsel een eenheid is. Binnen het stelsel komen zeer waarschijnlijk tamelijk groote verschillen in dichtheid voor, plaatselijke opeenhoopingen van sterren, maar deze zijn niet, zooals men ondersteld heeft, afzonderlijke stelsels die een meer of minder toevallige opeenhooping vormen. Zij hebben alle het zelfde vlak van symmetrie en zijn blijkbaar een deel



van één geheel, één organisme om zoo te zeggen. Ten gevolge van de rotatie zelf moeten deze plaatselijke conglomeraties noodzakelijkerwijze van tamelijk korte levensduur zijn en kunnen zij niet meer dan een bepaald aantal omwentelingen overleven, tenzij zij zeer geconcentreerd zijn.
Aan de andere kant zien wij ook in andere melkwegstelsels, de spiraalnevels, dergelijke conglomeraties van materie, en daar deze nevels ook een rotatie moeten hebben, hetgeen blijkt uit hun afplatting en in sommige gevallen ook is waargenomen, hebben wij hier precies hetzelfde probleem. De afmetingen van de spiraalnevels zijn tamelijk groot in vergelijking met hun onderlinge afstanden; de verhouding is van de rode van 1/20 tot 1/50. De verhouding echter, waarin de onderlinge afstanden van de sterren tot hun diameters staan, is van de orde van verscheidene malen tienmillioen. Dat twee spiraalnevels elkander dicht naderen is waarschijnlijk een veel minder zeldzaam verschijnsel dan een ontmoeting tusschen twee sterren, en het effect van een dergelijke dichte nadering zou er waarschijnlijk toe leiden de homogeniteit te vernietigen, indien deze bestond.



Er bestaat echter één sterk argument tegen de identificatie van ons melkwegstelsel met deze spiraalnevels, en dat dat is der grootte. Wij hebben gezien dat de aequatoriale afmetingen van het melkwegstelsel van de orde van 80000 parsec zijn, en de ware diameters der spiraalnevels, zooals deze uit de best verkrijgbare schijnbare diameters en afstanden worden afgeleid, zijn zeer veel kleiner. Het gemiddelde van ongeveer dertig stuks geeft 2700 parsec. Ons eigen stelsel zou dus zeer uitzonderlijk zijn. Nu houden wij er in de tegenwoordige tijd niet van uitzonderlijk te zijn. Er zijn tijden geweest in de geschiedenis van de menschheid, waarin ieder argument dat scheen te bewijzen, dat wij een bevoorrechte plaats in het heelal innamen, met instemming zou zijn begroet, maar deze tijden zijn voorbij. Het moderne wetenschappelijke geweten maakt bezwaar tegen de opvatting dat er uitzonderingen gemaakt zouden worden ten gunste van ons, en dienovereenkomstig vragen wij ons af of er niet een zwakke plek is in het bewijs, en of misschien ons stelsel kleiner is dan wij denken dat het is, of dat misschien de spiraalnevels grooter zijn dan wij denken dat zij zijn. Wat het laatste punt be-



treft, kunnen aan de eene kant de waargenomen schijnbare diameters der spiraalnevels te klein zijn; het is niet onmogelijk dat de gedeelten der spiraalnevels, die zoover buiten het centrum liggen als wij van het middelpunt van ons stelsel verwijderd zijn, te zwak zijn om indrukken op de photographische plaat te geven.
Deze veronderstelling is op merkwaardige wijze bevestigd door een publicatie van Stebbins (Februari 1934) die met de photoëlectrische cel den diameter van den nevel in Andromeda meer dan tweemaal zoo groot vond als op de photographische plaat gemeten was.
Aan de andere kant kan de aangenomen afstand te klein zijn. Op slechts twee uitzonderingen na hangen zij praktisch alleen af van de aangenomen grootten van hun helderste sterren, waarvoor Hubble de absolute grootte — 6.3 aanneemt. Veronderstelt men echter dat de objecten, welker schijnbare grootte in de spiraalnevel is bepaald en waaraan deze absolute grootte is toegekend, geen sterren maar bolvormige (of andere) sterrehoopen zijn, dan zou de ware absolute grootte vier of vijf grootteklassen helderder zijn; en de afstand en daarmee ook de werkelijke afmeting, zou met een
11



factor negen of tien vermenigvuldigd moeten worden, hetgeen de spiraalnevels van dezelfde afmetingen als ons melkwegstelsel zou maken.
Onlangs heeft Hubble een onderzoek gepubliceerd van ongeveer 140 objecten in de Andromeda-nevel, die hij met groote waarschijnlijkheid als bolvormige sterrehoopen kan identificeeren. Een vergelijking met de bolvormige sterrehoopen in ons eigen melkwegstelsel leidt tot één van twee conclusies: óf de bolvormige sterrehoopen van de Andromedanevel zijn alle kleiner en zwakker dan de onze, of de afstand is grooter dan de tot nu algemeen aangenomene. De bepaling der helderheden van zulke zwakke objecten is evenwel zeer moeilijk en onzeker.
Het geheele probleem van de bepaling der schijnbare diameters en grootte en van de afstanden der extra-galactische nevels is één van de belangrijkste en één van de moeilijkste problemen van de tegenwoordige tijd.
Wij zijn in dit hoofdstuk gekomen tot een bepaald beeld van de bouw van het heelal, dat natuurlijk niet definitief, maar zeer waarschijnlijk in zijn hoofdtrekken juist is. Wij zien al deze spiraalvormige stelsels, als eilanden



drijvend in een groote zee van leegheid. Of ons eigen stelsel van de aard van een vastland is, of precies gelijk aan alle andere eilanden, is nog onzeker. Wij kennen natuurlijk maar een heel klein gedeelte van het heelal, dat wij onze „nabuurschap" noemen, maar wij denken gaarne dat deze omgeving slechts een gewoon onderdeel is van het heelal, en dat die gedeelten die wij met onze waarnemingen nog niet bereiken kunnen van dezelfde aard zijn.
In het volgende hoofdstuk zullen wij spreken over de uitdijing van het heelal. Dat is een zeer opmerkelijk iets, maar opmerkelijker is de jongste uitdijing van onze kennis van het heelal. Onze „nabuurschap" heeft zich ongeveer duizendvoudig uitgedijd in de laatste vijftien jaren, laten wij zeggen van een straal van een honderdduizend tot een honderd millioen lichtjaar, als resultaat van de waarnemingen met de groote verrekijkers, in het bijzonder met de twee-eneen-hal ve-meter-reflector op Mount Wilson.



VI.
De relativiteit en de moderne theorieën
over het heelal. ölotsom.
De laatste vijftien jaar hebben ons de meest merkwaardige ontwikkeling in de physische en astronomische theorieën en in onze opvattingen over het heelal laten beleven. Het ligt buiten het bestek van dit boek de nieuwe theorieën der atoomphysica en de daarmede correspondeerende nieuwe ontwikkeling in de astrophysica te beschouwen, maar wij moeten eenige woorden aan de relativiteitstheorie wijden, die nu bijna twintig jaar oud is.
Men kan de relativiteitstheorie zien als de logische afsluiting van Newton's gravitatietheorie, de directe voortzetting van de gedachtegang die de ontwikkeling van de wetenschap der mechanica beheerscht, van Archimedes af, die als de eerste relativist beschouwd mag wor-



den, via Galileï tot Newton. Newton's theorie had haar grootste triomfen gevierd in de achtiende en negentiende eeuw; alle onregelmatigheden in de bewegingen der planeten en van de maan waren de één na de ander uit de onderlinge zwaartekrachtwerking dezer lichamen verklaard. In het begin van de negentiende eeuw voltooide het monumentale werk van Laplace de toepassing van de theorie op de bewegingen der planeten.
De uiteindelijke triomf kwam in 1846 door de ontdekking van Neptunus, waardoor de voorspelling van Adams en Leverrier, die gebaseerd was op de gravitatietheorie, werd bevestigd.
Langzamerhand was Newton's gravitatiewet een model geworden, volgens hetwelk alle physische wetten gevormd werden, en alle physische verschijnselen werden tot wetten teruggebracht die als aantrekkingen of als afstootingen, omgekeerd evenredig met de een of andere macht van de afstand geformuleerd werden, zooals bijv. de theorie over de capillariteit van Laplace, die zelfs als een hoofdstuk in zijn „Mécanique céleste" gepubliceerd werd. Langzamerhand echter, in de tweede helft van



de negentiende eeuw begon het onplezierige gevoel van tegenzin dat men gevoelde tegen een werking op een afstand en dat zoo sterk geleefd had in Huygens en andere tijdgenooten van Newton, maar dat gedurende de achtiende eeuw tot zwijgen was gekomen, weer op te komen en het won snel in kracht.
Dit werd begunstigd door de zuiver wiskundige transformatie (in zekere zin vergelijkbaar met die van het stelsel van Ptolemaeus in dat van Copernicus), die Newton's eindige vergelijkingen verving door de differentiaalvergelijkingen, waarin de potentiaal het primaire begrip werd inplaats van de kracht, die slechts de gradiënt van de potentiaal is. Deze ideeën kwamen, zooals bekend is, het eerst in de theorie van de electriciteit en het magnetisme op — of misschien moet men liever zeggen in het brein van Faraday. In het electromagnetisme is de wet van het omgekeerd evenredig zijn met het kwadraat van de afstand ook souverein geweest, maar dank zij het werk van Faraday en Maxwell werd deze verdrongen door het veld. En dezelfde verandering vond plaats in de gravitatietheorie. Langzamerhand komt men er toe materieele deeltjes, electrisch geladen licha-



men en magneten — hetgeen de dingen zijn die wij werkelijk waarnemen — slechts als „singuliere" punten in het veld te beschouwen. Tot zoover is deze transformatie van de kracht in de potentiaal, van de werking op een afstand in het veld niet meer dan een zuiver wiskundige bewerking. Of wij van een „materiedeeltje" of van een „singulier punt in het gravitatieveld" spreken is slechts een questie van nomenclatuur. Maar dit geven van namen is niet zoo onschuldig als het er uitziet. Het heeft de poort geopend waardoor de hypothesen zijn binnengetreden. Zeer gauw daarop is het veld gematerialiseerd en aether genoemd. Yan een wiskundig gezichtspunt uit is „aether" natuurlijk nog steeds niets anders dan een ander woord voor „veld" of misschien beter voor „ruimte" — de absolute ruimte van Newton —, waarin al of niet een veld kan voorkomen. Wat de physische kant van de zaak betreft, (en het is speciaal in de theorie van het electromagnetisme dat deze revolutie plaats vond), is de „aether der ruimte", zooals hij ongeveer veertig jaar geleden speciaal in Engelsche boeken veel genoemd werd, niet eenvoudig ruimte, maar iets substantieels; hij is de drager van het veld, en mecha-



nische modellen bestaande uit hefboomen en tandraderen werden uitgedacht om te verklaren hoe hij het draagt. Deze mechanische modellen heeft men natuurlijk lang geleden laten varen: zij waren te grof. Maar hypothesen zijn van alle kanten blijven opduiken: electronen, atoomkernen, protonen, golfpaketten enz. Eerst ging men door zich mechanische modellen voor te stellen. Vijftien, of zelfs nog tien jaar geleden dacht men zich atomen, electronen en protonen, (ofschoon een atoom niet langer was, wat de naam impliceert, een stukje materie dat niet in kleinere deeltjes verdeeld kon worden), nog steeds van een mechanische structuur en men maakte zich een atoom-model dat de mechanische eigenschappen der gewone materie bezat. De inconsequentie, die er in, lag eerst materie te verklaren met behulp van atomen en daarna atomen met behulp van materie, drong slechts langzaam tot ons bewustzijn door, en het is pas betrekkelijk kort geleden dat wij er toe gekomen zijn in te zien dat er niets paradoxaals ligt in het feit, dat een atoom of een electron, die geen materie zijn, andere eigenschappen kunnen bezitten dan die van de materie en dat men de mogelijkheid moet aanvaarden dat zij dingen



doen, die een materieel deeltje niet kan doen.
Terwijl echter in alle andere gebieden der physica hypothesen met succes rekenschap bleken te kunnen geven van de waargenomen feiten, en de formeele wetten konden vervangen, bleef het geval der zwaartekracht apart staan. De gravitatie bleef onvatbaar voor deze algemeene infectie. Door dit woord te gebruiken is het niet mijn bedoeling te suggereeren, dat de weelderige groei der hypothesen in de physica een besmettelijke ziekte is, — het is geen ziekte, maar een natuurlijke ontwikkeling, — maar het is zeker besmettelijk. De zwaartekracht echter schijnt er immuun voor te zijn. In de loop der geschiedenis heeft men een groot aantal hypothesen voorgesteld om de zwaartekracht te „verklaren", maar geen van deze heeft ooit het geringste succes gehad; zij zijn alle mislukkingen geweest. Waarom? Hoe komt het dat wij in staat zijn geweest bevredigende hypothesen te maken om de electriciteit en het magnetisme, het licht en de warmte, in het kort alle physische verschijnselen te verklaren en alleen in het geval der zwaartekracht geen succes hebben kunnen boeken ? De verklaring moet gezocht worden in de bijzondere plaats die de



zwaartekracht tusschen de wetten der natuur inneemt. In het geval der andere physische verschijnselen is er iets waar men houvast aan heeft, zijn er omstandigheden waarvan de werking afhangt. De zwaartekracht is volkomen onafhankelijk van alles wat andere natuurverschijnselen beïnfluenceert. Zij is niet onderworpen aan absorptie of refractie, geen voortplantingssnelheid heeft men ooit waargenomen. Men kan doen wat men wil met een lichaam, men kan het electriseeren of magnetiseeren, men kan het verhitten, smelten of verdampen, men kan het chemisch ontleden, zijn gedrag ten opzichte van de gravitatie blijft ongewijzigd. De zwaartekracht werkt op alle lichamen op dezelfde wijze; overal en altijd vinden wij haar volgens dezelfde strenge en eenvoudige formule werkzaam, en dit maakt al ons pogen in haar inwendige mechanisme door te dringen vruchteloos. De zwaartekracht gelijkt in haar algemeenheid en strengheid geheel op de traagheid, die men nooit heeft beschouwd als iets dat een bepaalde hypothese ter verklaring noodig had, zooals alle gewone speciale physische wetten of verschijnselen. De traagheid heeft men van den beginne af opgevat als één van de fundamen-



teele feiten van de natuur, die men zonder verklaring had te accepteeren, evenals de axiomata der geometrie.
Maar de zwaartekracht gelijkt niet alleen op de traagheid in haar algemeenheid, zij wordt ook door hetzelfde getal gemeten, massa genaamd. De trage massa is wat Newton de „hoeveelheid materie" noemt: zij is de maat voor de weerstand die een lichaam biedt aan een kracht, die zijn bewegingstoestand tracht te veranderen. Zij zou de „passieve massa" genoemd kunnen worden. De zware massa aan de andere kant is een maat voor de kracht, die door een lichaam wordt uitgeoefend wanneer het andere lichamen aantrekt. Wij zouden haar de „actieve" massa kunnen noemen. De gelijkheid van actieve en passieve massa, of van de zware en trage massa was in Newton's systeem een zeer opmerkelijke toevallige coïncidentie, zooiets als een wonder. Newton zelf voelde het zeer gedecideerd als zoodanig, en deed proefnemingen om deze te verifieeren, door een slinger met een holle schijf, die met allerlei verschillende materialen gevuld kon worden, te laten slingeren. De kracht die op de slinger werkt is evenredig aan de zware massa ervan,



de traagheid aan de trage massa: de trillingsperiode hangt dus af van de verhouding tusschen deze heide massa's. Het feit, dat de periode altijd dezelfde is bewijst dus, dat de zware en de trage massa even groot zijn. In de achttiende eeuw gewenden de natuurkundigen en de philosophen zich langzamerhand zoo aan Newton's gravitatiewet en aan de gelijkheid van de zware en trage massa, dat de wonderbaarlijkheid ervan vergeten werd en alleen een scherpe geest zooals die van Bessel voelde nog de noodzakelijkheid deze proeven te herhalen. Door de proeven van Bessel in ongeveer 1830, van Eötvös in 1909 en van Zeeman in 1917 is de gelijkheid van de zware en de trage massa één van de best bekende empirische feiten of misschien wel het best bekende in de physica geworden.
In Einstein's algemeene relativiteitstheorie is de identiteit van deze twee coëfficiënten, de zware en de trage massa, niet langer een wonder, maar een noodzakelijkheid omdat zwaarte en traagheid identiek zijn.
Er is een andere kant aan de relativiteitstheorie. Wij hebben er in het begin op gewezen hoe de wetenschap zich ontwikkelt in een rich-



ting die haar minder subjectief maakt, die meer en meer in de waargenomen feiten datgene, wat tot de realiteit achter de verschijnselen behoort, het absolute, scheidt van het subjectieve element, dat door de waarnemer is aangebracht, het relatieve. De theorie van Einstein is een groote stap in die richting. Wij kunnen zeggen dat de bedoeling van de relativiteitstheorie is het relatieve geheel in al te verwijderen en het zuiver absolute bloot te leggen.
De physische wereld heeft drie ruimte-afmetingen en één tijdafmeting; de plaats van een materieel deeltje op een zeker oogenblik t is bepaald door drie ruimtecoördinaten x, y, z. In Newton's systeem der mechanica wordt dit zonder aarzelen als een eigenschap van de buitenwereld aangenomen: er is een absolute ruimte en een absolute tijd. In Einstein's theorie zijn tijd en ruimte dooreengeweven en de wijze waarop zij dooreengeweven zijn hangt af van de waarnemer. Inplaats van drie plus één hebben wij vier dimensies.
Is het feit dat wij de uitwendige wereld waarnemen als een vierdimensionaal continuum een eigenschap van de buitenwereld, of is dit een gevolg van de bijzondere aard van ons be-



wustzijn? Behoort dit tot het absolute of tot het relatieve? Ik geloof niet dat het antwoord op die vraag reeds gegeven kan worden. Voor het oogenblik moeten wij het accepteeren als een empirisch vaststaand feit.
De reeks verschillende posities van hetzelfde deeltje op verschillende tijden vormt een ééndimensionaal continuum in de vierdimensionale tijdruimte, dat de wereldlijn van het deeltje genoemd wordt. Alles wat de physische experimenten of waarnemingen ons kunnen leeren heeft betrekking op de snijpunten van de wereldlijnen van verschillende materieele deeltjes, lichttrillingen enz., en hoe de loop van de wereldlijn tusschen deze snijpunten is, is geheel onbepaald en ligt geheel buiten het gebied der physica. Men kan dus het stelsel der elkaar snijdende wereldlijnen vervormen zooals men wil, zoolang maar geen snijpunten vernietigd of geschapen worden en hun volgorde niet veranderd wordt. Hieruit volgt dat de vergelijkingen die de natuurwetten uitdrukken invariant moeten zijn voor willekeurige transformaties.
Dit is de wiskundige formuleering van de relativiteitstheorie. De metrische eigenschappen van het vier-dimensionale continuum worden,



zooals in verhandelingen over differentiaalmee tkunde aangetoond wordt, beschreven door een zeker aantal, (in feite tien) grootheden, als g^ geschreven en gewoonlijk „potentialen" genoemd. De physische toestand der stof en der energie aan de andere kant wordt door tien andere grootheden, Tap, beschreven, die samen de zg. „materieele tensor" te vormen. Men heeft deze speciale tensor gekozen omdat zij een eigenschap heeft, die mathematisch uitgedrukt wordt met de woorden: de divergentie is nul, wat beteekent dat zij iets permanents voorstelt. De fundamenteele grondslag van de mechanica is de wet der traagheid, die men het eenvoudigst kan weergeven als de eisch dat de fundamenteele natuurwetten differentiaalvergelijkingen van de tweede orde zijn. Zoo was dus het probleem geworden, een differentiaalvergelijking van de tweede orde te vinden die een verband gaf tusschen de metrische tensor ga[3 en de materieele tensor Tap. Dit is een zuiver wiskundig probleem, dat men zonder de physische beteekenis van de symbolen in aanmerking te nemen kan oplossen. De eenvoudigst mogelijke vergelijking (of liever stel van tien vergelijkingen, omdat er tien g'a zijn) van die aard, die men



vinden kon werd door Einstein als de fundamenteele vergelijking van zijn theorie aangenomen. Zij bepaalt het tijdruimte continuum, of het „veld". De wereldlijnen der materieele deeltjes en lichtquanta zijn de geodetische lijnen in het vier-dimensionale continuum, bepaald door de oplossingen grj^ van deze veldvergelijkingen. De vergelijkingen der geodetische lijnen zijn op die manier aequivalent aan de bewegingsvergelijkingen der mechanica. Wanneer wij de veldvergelijkingen trachten op te lossen en de oplossingen in de bewegingsvergelijkingen substitueeren, vinden wij, dat in eerste benadering, d.i. voor kleine materieele snelheden (klein vergeleken met de lichtsnelheid) deze bewegingsvergelijkingen dezelfde zijn als die uit Newton's gravitatietheorie volgen.
Het verschil tusschen zwaarte en traagheid is verdwenen; de zwaartekrachtswerking tusschen twee lichamen volgt uit dezelfde vergelijking en is hetzelfde als de traagheid van een lichaam. Een lichaam dat niet aan een uitwendige kracht onderworpen is (d.i. aan een andere dan de gravitatiekracht), beschrijft een geodetische lijn in het continuum, op dezelfde manier als het een geodetische oftewel een rechte lijn



in de absolute ruimte van Newton beschreef onder de invloed van de traagheid alleen.
De veldvergelijkingen en de vergelijkingen van de geodetische lijn bevatten samen de geheele wetenschap der mechanica, met inbegrip van de gravitatie.
In eerste benadering, hebben wij juist gezegd, geeft de nieuwe theorie dezelfde resultaten als de gravitatietheorie van Newton. De enorme massa experimenteele verificaties van Newton's wet, die zich gedurende twee en een halve eeuw heeft opgehoopt, is daarom terzelfdertijd een even sterke verificatie van de nieuwe theorie. In tweede benadering zijn er kleine verschillen, die door de waarnemingen zijn bevestigd voor zoover zij groot genoeg zijn om een dergelijke bevestiging mogelijk te maken. Zoo is bijvoorbeeld nu van de anomale beweging van het perihelium van Mercurius, die alle pogingen om haar te verklaren gedurende meer dan een halve eeuw weerstand had geboden, volkomen rekenschap gegeven. Verder had de relativiteitstheorie eenige nieuwe verschijnselen voorspeld, zooals de afwijking van de lichtstralen die vlak langs de zonsrand scheren, wat werkelijk bij verschillende gelegenheiden gedurende eclipsen
12



is waargenomen; en de verschuiving van de spectraallijnen naar het rood, die in een sterk gravitatieveld hun oorsprong hebben, wat ook door de waarnemingen bevestigd is, bijv. in het spectrum van de zon en ook in het spectrum van de begeleider van Sirius, die een zoogenaamde witte dwerg is, d.i. een kleine ster met een zeer groote dichtheid en dientengevolge een sterk gravitatieveld. Deze geeft een belangrijke verschuiving naar het rood. Wij kunnen niet blijven stilstaan bij een verklaring van deze verschijnselen in details. Het zij voldoende dat wij ze hier genoemd hebben.
Op twee punten in verband met de algemeene relativiteitstheorie moet speciaal de nadruk gelegd worden.
Ten eerste dat zij een zuiver physische theorie is, uitgevonden om empirische physische feiten te verklaren, speciaal de identiteit van de zware en de trage massa, en om de verschillende hoofdstukken van de physische theorie samen te voegen en tot een harmonisch geheel te maken, en om de verklaring der fundamenteele wetten te vereenvoudigen. Er is niets metaphysisch aan haar onstaan. Zij heeft natuurlijk zeer de aandacht der philosophen getrokken en heeft



in het algemeen een zeer heilzame invloed op de metaphysische theoriëen gehad. Maar hiertoe was zij niet ontworpen en men moet dit slechts als een bijproduct beschouwen.
Ten tweede dat zij een zuivere generalisatie, of abstractie is evenals Newton's theorie der mechanica en zijn gravitatiewet. Zij bevat geen hypothese, in tegenstelling met andere moderne physische theorieën, de electronentheorie, de quantentheorie enz. die vol hypothesen zijn. Zij moet, zooals wij reeds zeiden, beschouwd worden als het logische vervolg op en de voltooiing van Newton's Principia.
Een speciale trek in de ontwikkeling der physica in de negentiende eeuw is het opkomen van algemeene principes naast de bijzondere wetten geweest. Zooals de principes van het behoud van massa en van energie, het principe van de kleinste werking, en dergelijke. Deze verschillen van de bijzondere wetten niet alleen omdat zij algemeener zijn maar zij streven om zoo te zeggen naar een hoogere plaats dan de wetten. Zij maken er aanspraak op fundamenteele natuurfeiten tot uitdrukking te brengen, algemeene regels, waaraan alle bijzondere wetten zich hebben te onderwerpen. En zij sluiten dienten-



gevolge a priori alle pogingen ter „verklaring" door hypothesen of mechanische modellen uit. Het is karakteristiek voor de relativiteitstheorie dat zij het ons mogelijk maakt al deze „behoud-principes" in één enkele vergelijking samen te vatten.
Wij hebben slechts van dat gedeelte van het heelal, dat wij kunnen waarnemen, directe kennis. Ik heb dit reeds „onze nabuurschap" genoemd. Zelfs binnen de grenzen van dit gebied vermindert onze kennis zeer snel als wij ons van onze eigen speciale plaats in tijd en ruimte verwijderen. Alleen binnen het zonnestelsel strekt zich onze empirische kennis van de grootheden, die de toestand van het heelal bepalen, de potentialen ga^, uit tot de tweede orde van kleinheid (en dat nog maar alleen voor de gM en niet voor de anderen), waarbij de eerste orde correspondeert met ongeveer één eenheid in de achtste decimaal. Hoe de gap buiten onze omgeving eruit zien, weten wij niet en hoe zij zich in het oneindige gedragen, hetzij in ruimte, hetzij in tijd, zullen wij nimmer weten, anders zou het geen oneindigheid meer zijn. Dat is het wat Archi-



medes bedoelde toen hij zeide dat het heelal niet oneindig kon zijn. Het heelal dat wij kennen kan niet oneindig zijn, omdat wijzelve eindig zijn. Oneindigheid is niet een physisch, maar een mathematisch begrip, dat ingevoerd is om onze vergelijkingen symmetrischer en eleganter te maken. Van physisch standpunt gezien, is alles wat buiten onze omgeving valt zuivere extrapolatie, en wij zijn volkomen vrij te extrapoleeren, zooals wij willen, om onze philosophische of aesthetische voorkeur — of onze vooroordeelen te bevredigen. Het is waar dat sommige van deze vooroordeelen zoo diep verworteld zijn dat wij nauwelijks kunnen ontkomen aan het geloof, dat zij boven iedere mogelijke verdenking van twijfel verheven zijn, maar deze overtuiging berust op geen enkele physische basis. Een van deze overtuigingen waarop de extrapolatie natuurlijkerwijze gebaseerd wordt, is, dat het speciale gedeelte van het heelal waarin wij ons toevallig bevinden op geen enkele wijze uitzonderlijk of gepriviligieerd is; met andere woorden, dat het heelal, wanneer de schaal waarop men het beschouwt maar groot genoeg is, isotroop en homogeen zal blijken te zijn. Men moet echter niet vergeten dat er tijden



geweest zijn in de evolutie van het menschdom waarin dit in het geheel niet vanzelf sprak en waarin men eerder algemeen de tegengestelde overtuiging was toegedaan.
Gedurende de laatste jaren zijn de grenzen van onze „nabuurschap" geweldig uitgebreid door de waarneming der extra-galactische nevels, die hoofdzakelijk in de Mount Wilson Sterrewacht gedaan zijn. Deze wonderbare waarnemingen hebben ons in staat gesteld tamelijkbetrouwbare schattingen van de afstanden van deze objecten te maken, en iets over hun verdeeling in de ruimte te zeggen. Het blijkt dat zij bij benadering gelijkelijk over „onze nabuur schap"verspreid liggen. Zij hebben ook alle ruwweg dezelfde afmetingen, zoodat wij een schatting kunnen maken van de dichtheid der materie in de ruimte. Verdere waarnemingen hebben ons het opmerkelijke feit geopenbaard dat er in hun spectra een verplaatsing van de lijnen naar het rood is, die correspondeert met een snelheid van ons af gericht, die toeneemt met de afstand en wel, voor zoover de afstandsbepalingen betrouwbaar zijn, evenredig er mede. Indien de snelheid evenredig is met de afstand, dan is niet alleen de afstand, die iedere nevel



van ons heeft, bezig aan te groeien, maar zijn alle onderlinge afstanden tusschen ieder tweetal van hen in dezelfde mate bezig toe te nemen. Ons eigen melkwegstelsel is slechts één van een groot aantal, en waarnemingen van ieder van de andere uit zouden precies hetzelfde effect vertoonen: alle stelsels zijn bezig zich te verwijderen, niet van een bepaald middelpunt maar van ieder ander: het geheele stelsel van melkwegstelsels dijt uit.
Wij moeten hier de onderstelling die somtijds geopperd is, vermelden, nl. dat de waargenomen verschuiving van de spectraallijnen naar het rood niet op een beweging van ons af van de spiraalnevels zou wijzen, maar dat daar op een of andere andere wijze rekenschap van gegeven kon worden. Inderdaad, alles wat de waarnemingen ons leeren is, dat licht dat van groote afstanden tot ons komt — en dat daardoor een lange tijd onderweg is geweest — rooder is dan toen het zijn bron verliet. Licht wordt rooder naarmate het ouder wordt, het verliest energie naarmate het langer door de ruimte reist. Of mathematisch uitgedrukt: de golflengte van het licht is evenredig met een zekere grootheid R, die met de tijd toeneemt. Volgens de



algemeene vergelijkingen van de relativiteitstheorie zijn dan de in natuurlijke maat gemeten afstanden in een homogene en isotrope wereld noodzakelijk evenredig met dezelfde grootheid B, tenzij er de een of andere van buiten komende oorzaak voor de vergrooting van de golflengte of het energieverlies aanwezig is. Met van buiten komend bedoel ik vreemd aan de relativiteitstheorie en aan de opvatting over de aard van het licht, die in deze theorie past. Bovendien zou deze hypothetische oorzaak geen andere waarneembare gevolgen mogen hebben; in het bijzonder zou zij een energieverlies moeten veroorzaken zonder eenige daarmee samengaande dispersie, die de beelden zou verdoezelen en de zwakke nevels onwaarneembaar zou maken. Het zou een hypothese ad hoe vereischen, en een zeer zorgvuldig opgestelde ook, om niet het doel voorbij te streven. Geen dergelijke hypothese, die ernstige overweging verdient, is tot op heden verschenen.
Het is misschien wat moeilijk zich de uitdijing van een drie-dimensionale ruimte voor te stellen. Een twee-dimensionale analogie kan misschien ter verduidelijking dienen. Laat het heelal slechts twee dimensies hebben, en



laat het het oppervlak van een caoutchouc bal zijn. Het is alleen het oppervlak, dat het heelal voorstelt, niet de bal zelf. Alleen langs het oppervlak kunnen waarnemingen worden gedaan, en afstanden worden gemeten en het is duidelijk dat geen enkel punt van het oppervlak verschilt van eenig ander punt. Men stelle zich voor dat er kleine stofdeeltjes op het oppervlak zijn bevestigd die de verschillende melkwegstelsels voorstellen. Indien de bal wordt opgeblazen, dijt het heelal uit en deze stofdeeltjes zullen zich van elkander verwijderen; hun onderlinge afstand, langs het oppervlak gemeten, zal indezelfde mate toenemen als de straal van de bal. Een waarnemer in ieder van de stofdeeltjes zal de anderen zich van hem zien verwijderen, maar daaruit volgt niet dat hij het middelpunt van het heelal is. Het heelal (dat het oppervlak van de bal is, niet de bal zelf) heeft geen middelpunt.
Het is natuurlijk niet essentieel dat wij als voorbeeld een caoutchouc bal gekozen hebben. Wij hadden even goed ieder ander oppervlak kunnen kiezen; het is zelfs niet noodig dat het een gesloten oppervlak is. Zelfs een vel rubber zou even goed kunnen dienen,



als de uitrekking, waaraan het onderworpen moet worden ter illustratie van het uitdijend heelal, maar dezelfde is in alle richtingen.
Dit zijn dus de twee waarnemingsfeiten in onze nabuurschap, waarvan door de theorie rekenschap gegeven moet worden: er is een eindige dichtheid van materie en er is uitdijing, d.i. de onderlinge afstanden nemen toe, en dus neemt de dichtheid af. Natuurlijk kunnen wij slechts zeker van deze feiten zijn voor zoover onze waarneming reikt, d.i. voor onze „nabuurschap", maar wij breiden deze waarnemingen uit over het geheel van het heelal in overeenstemming met ons principe van extrapolatie.
Wij moeten dus een heelal vinden, d.i. een stel potentialen gap, dat voldoet aan de veldvergelijkingen van de algemeene relativiteitstheorie en dat zoowel een eindige dichtheid der materie heeft als uitdijt. En omdat wij het heelal alleen op zeer groote schaal beschouwen, en afzien van alle details en plaatselijke onregelmatigheden, moet ons heelal homogeen en isotroop zijn. Uit deze voorwaarde der homogeniteit en isotropie volgt direct dat de driedimensionale ruimte ervan, wat de mathematici



een ruimte van constante kromming noemen, moet zijn. Zelfs met deze beperking bieden de mathematici ons nog de vrije keuze uit verschillende soorten ruimten. De kromming kan positief, negatief of nul zijn. Het is niet mogelijk deze verschillende soorten drie-dimensionale ruimten uit te beelden of zich voor te stellen. Wij denken dat wij een beeld van een Euclidische of vlakke ruimte, d.i. van een ruimte waarvan de kromming overal nul is, in onze geest hebben, maar ik ben er niet zeker van dat dit geen zelfbedrog is, te danken aan het feit dat de meetkunde van deze speciale ruimte op de scholen gedurende de laatste twee duizend of meer jaren onderwezen wordt. Het staat vast dat de Euclidische ruimte voor physische verschijnselen op de schaal die onze zintuigen vermogen waar te nemen, d.i. niet te groot en niet te klein, een zeer dichte benadering is van de werkelijke physische ruimte, maar voor het electron en voor het heelal schiet deze benadering te kort. Tweedimensionale analogieën kunnen zeer nuttig zijn om ons te helpen drie-dimensionale ruimten te begrijpen (alhoewel zij ook somtijds misleidend zijn). Wij kunnen ons verschillende soorten twee-dimensionale ruimten voorstellen, om-



dat wij ons daarbuiten kunnen plaatsen. Een twee-dimensionale ruimte met een kromming nul is een plat vlak, bijv. een vel papier. De tweedimensionale ruimte met positieve kromming is een convex oppervlak, zooiets als het oppervlak van een ei. Het is van het platte vlak in alle richtingen naar dezelfde kant weggebogen. De kromming van het ei is echter niet constant: zij is het grootste aan de punt. Het oppervlak van constante positieve kromming is de bol, bijvoorbeeld onze caoutchouc bal van een oogenblik geleden. De twee-dimensionale ruimte van negatieve kromming is een oppervlak dat convex is in sommige richtingen en in andere concaaf, zooals het oppervlak van een zadel of het middelste gedeelte van een zandlooper. Yan deze twee-dimensionale ruimten kunnen wij een beeld in onze geest vormen omdat wij ze van buiten kunnen zien, daar wij in een drie-dimensionale ruimte leven. Maar voor een wezen, dat niet in staat is het oppervlak waarop het leeft te verlaten, zou dit onmogelijk zijn. Hij zou slechts kunnen uitmaken op welk soort oppervlak hij zich bevond, door de eigenschappen der geometrische figuren die daarop geteekend zijn te bestudeeren. Want de meet-



kundige figuren hebben op de verschillende oppervlakken verschillende eigenschappen. Op een vel papier is de som van de drie hoeken van een driehoek gelijk aan twee rechte hoeken, op het ei of de bol is deze som grooter, op het zadel kleiner. Op het vlakke papier — en op het zadelvormige oppervlak — kunnen wij onbepaald in dezelfde richting voortgaan, op het ei en de bol moeten wij, als wij ons voortdurend in de-zelfde richting bewegen, ten slotte in ons beginpunt terugkeeren. De ruimten met een kromming, die nul of negatief is, zijn oneindig, die met een positieve kromming zijn eindig. Op deze wijze zou een bewoner van het twee-dimensionale oppervlak zijn kromming kunnen bepalen indien hij in staat was zeer groote driehoeken of zeer groote lijnen te meten. Indien de kromming zoo klein was dat de som van de hoeken van de grootste driehoek die hij kon meten nog steeds een bedrag, te klein om meetbaar te zijn met de hulpmiddelen die hem ter beschikking staan, van de som van twee rechte hoeken zou verschillen, dan zou hij niet in staat zijn de kromming te bepalen, tenzij hij over een of ander middel beschikte om zich in verbinding te stellen met iemand die in de derde dimensie leefde. Nu is



ons geval met betrekking tot de drie-dimensionale ruimte precies hetzelfde. Wij hebben geen intuïtieve kennis van de ruimte waarin wij leven. Wij moeten dus uitvinden van welke aard zij is door driehoeken of andere meetkundige figuren erin te bestudeeren. Daar wij bezig zijn met de bestudeering van de physische ruimte zijn de driehoeken en lijnen, die wij moeten onderzoeken, door de banen van materieele deeltjes en lichtstralen gevormd, en natuurlijk moeten wij, om in staat te zijn de verschillende soorten ruimten goed te onderscheiden, zeer groote driehoeken en lichtstralen die van zeer groote afstand komen bestudeeren. De beslissing hangt dus noodzakelijker wijze af van astronomische waarnemingen.
Zelfs de meest verfijnde astronomische waarnemingen echter vertoonen niet het minste spoor van kromming. De driehoeken, die wij meten kunnen, zijn nog niet groot genoeg, en zullen naar ik vrees, nimmer groot genoeg zijn om de kromming te ontdekken. Wij zijn echter zoo fortuinlijk in zekere zin verbinding te kunnen krijgen met de vierde dimensie. De relativiteitstheorie heeft ons een inzicht in de structuur van het werkelijke heelal gegeven: het



bestaat niet uit een drie-dimensionale ruimte en een één-dimensionale tijd die onafhankelijk van elkaar bestaan, zooals in Newton's mechanica maar is een vier-dimensionaal bouwwerk. De studie van de wijze waarop de drie ruimteafmetingen verweven zijn met de tij d-afmeting verschaft ons een soort kijk van buiten af op de drie-dimensionale ruimte, en het is denkbaar dat wij van dit uitwendige gezichtspunt uit, in staat zouden zijn de kromming van de drie-dimensionale wereld te leeren kennen.
Er is een tijd geweest dat men dacht dat dit het geval was en dat wij werkelijk bewijzen konden dat de kromming positief moest zijn. De jongste mathematische onderzoekingen echter hebben aangetoond dat dit een vergissing was. Wij kunnen niets over de kromming van het heelal zeggen zonder zekere hypothesen in te voeren. Deze tamelijk vage woorden zullen duidelijker worden als wij dieper doordringen in de aard van het onderlinge verband tusschen tijd en ruimte in het vier-dimensionale heelal. Het is natuurlijk moeilijk dit zonder gebruik van wiskundige formules uit te leggen, maar ik zal pogen door de historische ontwikkelingslijn te volgen tot een



begrip van de huidige stand van zaken te komen zonder een al te technische taal te gebruiken.
Beginnen wij met de beschouwing van de eindige dichtheid der materie in het heelal. De gemiddelde dichtheid is zeer klein. De materie is in werkelijkheid zeer ongelijkmatig verdeeld, zij is opeengehoopt in sterren en melkwegstelsels. De gemiddelde dichtheid is de dichtheid die wij zouden krijgen als al deze groote stelsels in waterstofatomen of protonen konden worden opgelost en wanneer deze gelijkmatig over de geheele ruimte gedistribueerd werden. Er zou dan waarschijnlijk niet meer dan één proton in iedere tien of twintig liter voorkomen. Dat is inderdaad een zeer geringe dichtheid: zij is ongeveer een billioen maal zoo klein als die van het volkomenste luchtledig dat wij in onze physische laboratoria kunnen verwezenlijken. Het heelal bestaat dus voornamelijk uit leegheid en het ligt wel voor de hand een leeg heelal als een goede benadering te beschouwen om mee te beginnen bij het bouwen van ons model op groote schaal. De melk wegstelsels zijn details die wij later kunnen aanbrengen. Maar ook kunnen, wij als eerste benadering een heelal nemen dat dezelfde hoeveel-



heid aan materie bevat als het werkelijke, maar gelijkmatig gedistribueerd, d.i. dus met een eindige dichtheid van één proton per tien of twintig liter. De plaatselijke afwijkingen van het gemiddelde, veroorzaakt door de opeenhooping van materie in sterren en sterrestelsels, worden dan in het model op groote schaal verwaarloosd en pas in rekening gebracht wanneer wij de details gaan bestudeeren.
Vijftien jaar geleden nu, in het begin van 1917 had men twee oplossingen van de veldvergelijking voor een homogeen isotroop heelal gevonden, die ik voorloopig de oplossingen „A" en „B" zal noemen. Men moet bedenken dat men in die tijd slechts zocht naar statische oplossingen. Men meende dat het heelal een stabiele structuur moest hebben, zoodat het zijn eigenschappen op groote schaal in alle tijden onveranderd zou behouden, of tenminste ze zoo langzaam zou veranderen, dat de verandering verwaarloosd mocht worden. In een van deze oplossingen (B) was de gemiddelde dichtheid nul, het was leeg; de andere (A) had een eindige dichtheid. Beide waren natuurlijk, zooals men zich zeer wel bewust was, slechts benaderingen van het wer-
13



kelijke heelal. In B zouden wij om het werkelijke heelal te verkrijgen een paar melkwegstelsels moeten inbrengen, in A zouden wij de gelijkmatig verdeelde materie tot melkwegstelsels hebben te condenseeren. Het heelal A is waarlijk en essentieel statisch; geen systematische bewegingen zijn daarin mogelijk. Het heeft een gemiddelde dichtheid, doch geen expansie. Het wordt daarom het statische heelal genoemd. B aan de anderen kant is niet waarlijk statisch, het expandeert, en het kon zich slechts vertoonen in de vermomming van een statisch heelal omdat het niets bevat, dat de uitdijing kenbaar maakt. B wordt daarom het ledige heelal genoemd. Wij hebben zoo de twee benaderingen: het statische heelal met materie en zonder expansie, en het leege zonder materie en met expansie . Het werkelijke heelal bezit, zooals wij zagen, zoowel materie als expansie en kan dus noch door A noch door B vertegenwoordigd worden. In 1917 was het dilemma nog niet urgent geworden en nog nauwelijks gerealiseerd. De werkelijke waarde van de dichtheid was nog geheel onbekend, en de expansie nog niet ontdekt.
Nu is in beide oplossingen A en B de krom-



ming positief, in beide de drie-dimensionale ruimte eindig: het heelal heeft eindige afmetingen, wij kunnen van zijn straal spreken en in geval A, van zijn totale massa. In het geval A, het statische heelal, bestaat er een bepaalde relatie tusschen de kromming en de dichtheid ; inderdaad is de kromming evenredig met de dichtheid waarbij de evenredigheidsfactor een zuiver getal is indien geschikte eenheden gekozen worden). Indien wij dus een eindige dichtheid in een statisch heelal willen hebben, moeten wij een eindige positieve kromming hebben.
Op dit punt moeten wij een paar woorden over de beroemde latybda zeggen. De veldvergelij kingen bevatten in hun algemeenste vorm een term, met een constante vermenigvuldigd, die met de Grieksche letter X (la)(ibda) wordt aangeduid, en die somtijds de „cosmische constante" genoemd wordt. Dit is een naam zonder eenige beteekenis, die er alleen aan toegekend is, omdat men het geschikt oordeelde dat zij een naam zou hebben, en omdat zij iets met de bouw van het heelal scheen te maken te hebben; maar men moet daaruit niet concludeeren, dat nu wij de X een



naam hebben gegeven, wij ook weten wat zij beteekent. Wij hebben inderdaad niet het geringste vermoeden wat haar werkelijke beteekenis is. Zij is in de vergelijkingen gezet om deze wiskundig zoo algemeen mogelijk te maken, maar zij is voor zoover het haar wiskundige functie betreft volkomen onbepaald: zij kan positief of negatief, zij kan ook nul zijn. Zuivere mathematische symbolen hebben geen beteekenis op zich zelf; het is het privilege van de zuivere mathematici, zooals Bertrand Eussell zegt, niet te weten waarover zij spreken. Zij — de symbolen — krijgen pas beteekenis door de wijze waarop de vergelijkingen geïnterpreteerd worden, wanneer zij op de oplossing van physische problemen toegepast worden. Het is de physicus, en niet de mathematicus, die weten moet waarover hij spreekt. Oorspronkelijk, in Einstein's publicatie van November 1915, waarin de theorie haar definitieve gestalte kreeg, was de term met X eenvoudig weggelaten, had men dus met andere woorden ondersteld dat X de speciale waarde nul had. Dat was de eenvoudigste manier om de verantwoordelijkheid, er een naamkaartje aan te moeten vasthechten, te vermijden,



en natuurlijk een volkomen gewettigde manier: het is physisch niet verantwoord, meer willekeurige constanten in te voeren dan men noodig heeft om de verschijnselen weer te geven. Maar vijftien maanden later, in Februari 1917, vond men dat een statische oplossing met een positieve kromming — oplossing A ■— niet mogelijk was zonder de X. In een statische oplossing is de kromming namelijk evenredig met X (in oplossing A is X gelijk aan de kromming, in B, wanneer men deze behandelt als een statische oplossing, is zij driemaal de kromming). In den tijd dus dat wij slechts twee statische oplossingen A en B hadden, en meenden dat deze de eenig mogelijke waren, bestond er een plausibele interpretatie voor de beteekenis van X: zij was de wereldkromming, en men kon zich denken dat de vierkantswortel uit haar omgekeerde, de straal van de wereld, ons een natuurlijke eenheid voor de lengtemeting verschafte. Zij gaf het electron iets om zichzelf aan af te meten, zoodat het zou weten hoe lang het behoorde te zijn, zooals Sir Arthur Eddington het uitdrukte.
Weyl heeft het eerst aangetoond dat er een standaardmaat voor de lengte (en voor de tijd)



in de structuur van het heelal verweven moest zijn, omdat anders de vergelijking van lengten op verschillende plaatsen en tijden iedere beteekenis zou missen. In een niet-statische oplossing, waar de afstanden met de tijd varieeren, is een alomtegenwoordige en onveranderlijke standaardeenheid natuurlijk a fortiori een vereischte. Bddington drukt dit alleraardigst uit in zijn hoekje: „Het Uitdijend Heelal" (1933)x). Om er zeker van te zijn dat er een verschil in afmetingen tusschen de Lilliputters en de bewoners van Brobdingnag bestaat, zijn de bezoeken van een van buiten komende standaardeenheid — een Gulliver — aan beide eilanden noodzakelijk. Nu bestaat er in ieder heelal, hetzij statisch hetzij niet-statisch, dat materie (of energie) bevat, een zekere grootheid Blt die een maat is voor de materieele inhoud van het heelal, en die constant blijft dank zij de wet van behoud van energie. Deze „eenheidsstraal" is daarom uitstekend geschikt voor de rol van Gulliver. Indien X niet nul is, heeft de verhouding tusschen Bl en de vierkantswortel uit het omge-
*) In het Hollandsch verschenen bij W. P. van Stockum & Zoon (1933).



keerde van X — of van minus X indien X negatief zou zijn — een vaste waarde (verschillend voor iedere oplossing), en zijn wij vrij, deze of gene tot onze standaardeenheid te kiezen. Indien X nul is hebben wij nog steeds onze eenheid Bj In leege universa echter is R1 nul, onafhankelijk of X positief, negatief of nul is. Dit ligt tamelijk voor de hand: als er geen eilanden om te bezoeken zijn, is er ook geen behoefte aan een Gulliver. De bestudeering der leege universa is een wiskundige oefening, geen physisch probleem.
Na deze uitweiding over X, in de loop waarvan wij op eenige overwegingen hebben vooruitgegrepen, die wij later zullen noodig hebben, nemen wij de draad van ons verhaal weer op, waar wij haar een wijle geleden lieten vallen. Wij hadden dus twee mogelijke oplossingen: het statische heelal met materie en zonder expansie en het leege heelal met expansie, doch zonder materie.
Nu leert de waarneming dat de snelheid waarmede het heelal expandeert, groot is: het heelal verdubbelt zijn afmetingen in ongeveer anderhalf milliard jaar, wat astronomisch gesproken een korte tijd is. In het „statische" heelal



is expansie onmogelijk, het „leege" heelal dijt uit. Wij zouden daarom geneigd zijn het leege heelal als de meest nabijkomende benadering op te vatten; en wij kunnen verder gaan en de kromtestraal van het heelal berekenen uit de waargenomen grootte der expansie in de onderstelling dat het van het leege type is. Zij blijkt ongeveer twee milliard lichtjaren te zijn.
Het heelal is echter niet leeg maar bevat materie. De quaestie is, hoeveel materie. Benadert de dichtheid ongeveer de waarde dien correspondeert met het statische heelal, of is zij zoo klein dat wij het leege heelal als een goede benadering kunnen beschouwen? Wij hebben gezien dat het heelal eenige billioenen malen leeger is dan het meest volkomene luchtledig op aarde. Maar dit is niet de juiste manier de leegheid van het heelal te meten. Wij moeten niet onze aardsche ondervinding als vergelijkingsstandaard gebruiken, maar de theoretische dichtheid van het statische heelal. Het is gemakkelijk de dichtheid van een statisch heelal met een straal van twee milliard lichtjaar te berekenen en deze blijkt maar weinig grooter te zijn dan de waargenomen



dichtheid. Het werkelijke heelal is dus verre van ledig; het is integendeel bijna vol.
Wij komen zoo tot de conclusie, waarop wij boven al even doelden, dat het werkelijke heelal noch statisch noch leeg is. Het verschilt zoo zeer van beide, dat geen van de twee als een passend model op groote schaal gebruikt kan worden. Wij moeten dus naar andere oplossingen van de algemeene veldvergelij kingen uitzien. Om rekenschap te geven van de expansie moet onze oplossing niet-statisch zijn en een eindige dichtheid geven. Er is slechts één mogelijke statische oplossing, die een eindige dichtheid bezit, nl. onze oude vriend A, maar van de nietstatische oplossingen met eindige dichtheid bestaat een groote variëteit. Ik zal nu de zuiver historische lijn van het verhaal loslaten en deze verschillende mogelijke oplossingen opsommen, niet in de volgorde waarin ze ontdekt zijn, maar in de volgorde van haar natuurlijke classificatie.
In de oplossingen A en B was de kromming der drie-dimensionale ruimte noodzakelijk positief en de geheimzinnige „cosmische constante" X was ook positief. In de niet-statische



universa is dit niet het geval. Dit realiseerde men zich in het eerst nog niet. Wij waren er zoo aan gewend geraakt X als een essentieel positieve grootheid te denken, en een eindige wereld met positieve kromming, dat de gedachte, om te onderzoeken of oplossingen met negatieve of nul-waarden van X en de kromming mogelijk waren, eenvoudig bij niemand opkwam. Maar toen deza vergissing hersteld werd bleek direct, dat in het nietstatische geval zoowel de X als de kromming niet positief behoefden te zijn, maar evengoed negatief en nul konden zijn. Ik zal daarom de waarde van X, of liever van Rj2 X, waarbij Bx de eenheidsstraal is, en het teeken van de kromming als de hoofdkenmerken voor de classificatie gebruiken. De staat van het heelal op een bepaald oogenblik is gekarakteriseerd door een zekere grootheid die in de vergelijkingen voorkomt en aangeduid wordt met de letter B, en die, als er een kromming is, geïnterpreteerd kan worden als de kromtestraal, of kortweg „de straal". De wijze waarop het heelal expandeert is bepaald door de variatie van deze B met de tijd. Er zijn drie typen of families van niet-statische universa, die ik de



oscilleerende universa en de uitdijende universa van de eerste en de tweede soort wil noemen. Zij worden graphisch voorgesteld in figuur 11. De horizontale coördinaat is de tijd, de verticale de „straal". Er is van ieder type
Figuur 11
De drie families van niet-statische universa
slechts één voorbeeld in de figuur gegeven maar men moet zich realiseeren dat ieder van hen een geheele familie vertegenwoordigt, die een oneindig aantal leden, in vorm en afmeting verschillend, omvat.



In de oscilleerende universa neemt de „straal" R toe van nul tot een zekere maximale waarde, die voor ieder lid van de familie verschilt, en dan weer af tot nul. De oscillatieperiode heeft een zekere (en tamelijk kleine) waarde, die voor ieder lid van de familie verschillend is. In de uitdijende familie van de eerste soort neemt de straal voortdurend toe van een zeker begin-oogenblik af, waarop zij nul was, om na oneindige tijd oneindig groot te worden. In de uitdijende reeks van het tweede type heeft de straal op het begin-oogenblik een zekere minimale waarde, die voor de verschillende leden van de familie verschilt, en neemt dan toe, om oneindig te worden na oneindige tijd.
Indien X negatief is, zijn er alleen oscilleerende universa mogelijk, ongeacht of de kromming positief, negatief of nul is. Men heeft dan slechts de keuze tusschen de verschillende leden van de oscilleerende familie en met iedere speciale waarde van X correspondeert een lid van de familie.
Indien X nul is, en de kromming positief hebben wij nog een oscilleerend heelal; indien de kromming nul of negatief is, behoort het heelal tot de eerste familie der uitdijende universa.



Indien X positief is, dan zijn voor positieve kromming alle drie families mogelijk; is de kromming negatief of nul dan bestaat slechts de eerste familie der uitdijende universa. De verschillende mogelijkheden zijn weergegeven in de volgende tabel.
Tabel VII
kromming
X 1 
negatief nul positief
negatief oscilleerend oscilleerend oscilleerend
nul uitdijend I uitdijend I oscilleerend
{oscilleerend uitdijend I uitdijend II
Wij weten niet tot welke van de drie mogelijke families ons heelal behoort, en er is niets in onze waarnemingen dat ons leiden kan bij het doen van een keuze. En zelfs indien wij een beslissing aangaande de familie genomen hebben, staat het ons nog altijd vrij ieder speciaal lid ervan uit te kiezen. Dit is niet het geval omdat de gegevens niet nauwkeurig genoeg zijn, maar omdat zij ontoe-



reikend in aantal zijn. De waarnemingen geven ons twee gegevens, nl. de mate der uitdijing en de gemiddelde dichtheid, en er zijn drie onbekenden: de waarde van X, de kromming en de schaal van de figuur, d.i. de eenheidsstraal Rr Om deze drie onbekenden te bepalen zouden wij een derde gegeven noodig hebben, zooiets als bijvoorbeeld de versnelling, d.i. de mate waarin de grootte der uitdijing verandert. Zoolang wij dit of een ander equivalent missen is het probleem onbepaald. Indien wij een hypothese aangaande X of de kromming maken, kunnen wij de andere uit de waargenomen gegevens vinden, of liever dat zouden wij kunnen indien de gegevens voldoende nauwkeurig waren. Wij zouden bijvoorbeeld a priori kunnen beslissen dat de kromming nul moet zijn, dus dat de driedimensionale ruimte Euclidisch is. Indien wij deze hypothese maken, hebben wij een voldoende aantal gegevens tot onze beschikking om de waarde van X te bepalen. Wij zouden aan de andere kant kunnen wenschen X te verwijderen op grond van de overweging dat deze er nooit had moeten zijn, dat zij ongelukkigerwijze in de vergelijkingen is ingevoerd



in een vroeger stadium in de ontwikkeling van de theorie, toen wij nog foutievelijk trachtten een statische oplossing te vinden. Met andere woorden, wij zouden de hypothese kunnen maken dat de ware waarde van X nul is. In dat geval zullen de waarnemingsgegevens indien zij voldoende nauwkeurig zijn, ons in staat stellen de kromming te bepalen.
Intusschen zijn noch de gemiddelde dichtheid, noch de mate der uitdijing op het oogenblik met voldoende nauwkeurigheid bekend, om een werkelijke bepaling mogelijk te maken, zelfs indien een dergelijke hypothese aangenomen werd. Alles wat wij kunnen zeggen is, dat indien de kromming klein is (zooals wij weten dat zij zijn moet omdat zij onmerkbaar is in onze omgeving met de gewone geometrische methoden) dat dan ook X klein moet zijn, en indien de kromming zeer klein is, dat dan ook X zeer klein moet zijn. Aan de andere kant moet, indien X zeer klein of nul is, ook de kromming zeer klein zijn en kan zij zelfs nul zijn voor zoover wij op het oogenblik kunnen zeggen.
Op het oogenblik is de quaestie van de bepaling van X en de kromming slechts van zuiver



academisch belang. Totaan de afstanden die wij met onze tegenwoordige middelen kunnen bereiken, d.i. in „onze nabuurschap" en zelfs op eenige afstand daarbuiten zijn de waarneembare verschijnselen inderdaad dezelfde voor alle universa. Het lijkt echter niet onwaarschijnlijk dat wij, wanneer wij de vijf-meter telescoop tot onze beschikking hebben, zulke groote afstanden zullen kunnen bereiken, of wat op hetzelfde neerkomt, zoo ver in de geschiedenis van het heelal zullen kunnen terugzien, dat het effect van de kromming en de versnelling meetbaar wordt, en het is mogelijk dat wij zoo in staat zullen zijn het derde gegeven, dat een vereischte is om tusschen de verschillende mogelijke universa te kunnen beslissen, te vinden.
Eddington heeft een theorie ontwikkeld die een verband geeft tusschen X en de massa's van het proton en het electron. De theorie is gebaseerd op de hypothese dat het aantal electronen en protonen in het heelal eindig is, d.w.z. dat de kromming van de drie-dimensionale ruimte positief is. E. neemt ook aan dat X positief is, maar voor zoover ik kan zien, zou het aan de theorie niets afdoen als X in minus X



veranderd werd, ofschoon zij alle beteekenis zou verliezen indien X nul was. Ik wil deze theorie hier niet bespreken — ik voel mij niet competent haar verdienste, van de physische kant bezien, te beoordeelen. Indien zij geaccepteerd werd zou zij ons het vereischte derde gegeven verschaffen, en dit zou leiden tot een uitdijend heelal van de eerste soort.
De interpretatie van het uitdijend heelal, het ontwerpen van een beeld of een model ervan in onze geest, wat gemakkelijk was of scheen te zijn, toen wij wisten of meenden te weten dat het heelal eindig was, is niet zulk een eenvoudige zaak nu wij zelfs niet weten of de kromming positief, nul of negatief is, of het heelal eindig of oneindig is. Het klinkt tamelijk vreemd van een oneindig heelal dat nog steeds uitdijt te hooren spreken. Als wij zeker waren dat de kromming negatief was, zouden wij, evenals in het geval van positieve kromming, de zin: „het heelal dijt uit" nog kunnen vervangen door zijn equivalent „de kromming van het heelal neemt af". Maar indien de kromming nul is en altijd nul blijft, welke beteekenis moeten wij dan aan de „uitdijing" toekennen? De werkelijke beteekenis is natuurlijk dat de onderlinge af-
14



standen van de melkwegstelsels, in de zoogenaamde natuurlijke maat uitgedrukt, nl. in veelvouden of onderdeelen van de eenheidsstraal Bv toenemen, evenredig met een zekere grootheid B, die in de vergelijkingen optreedt en met de tijd varieert. De interpretatie van B als de „kromtestraal" van het heelal dringt blijkbaar, als is zij wel mogelijk voor een heelal met kromming, toch niet door tot de fundamenteele beteekenis ervan. De wijze waarop tijd en ruimte met elkander verbonden zijn in het vier-dimensionale continuum is veranderlijk. Het is moeilijk deze veranderlijkheid van de onderlinge relaties tusschen ruimte en tijd in eenvoudige taal uit te drukken, bovendien zijn er verschillende interpretaties mogelijk, die correspondeeren met verschillende mathematische transformaties van het fundamenteele lijnelement, dat wil zeggen die verschillen naar mate wij andere veranderlijken als de „tijd" interpreteeren. Misschien is de beste manier waarop wij het kunnen uitdrukken deze, dat wij zeggen, dat de oplossing van de veldvergelijkingen van de relativiteitstheorie laat zien dat er in het heelal een kracht bestaat die zijn schaal verandert, wat in de tegenwoordige tijd een uit-



dijïng ten gevolge heeft, maar misschien op andere tijdstippen tot een inkrimping kan leiden of geleid kan hebben. Dit geldt voor het model van het heelal op groote schaal. Indien wij de details er inbrengen, de singuliere punten in het veld, nl. de melkwegstelsels en de sterren, dan vinden wij dat er ook een kracht, de gravitatie genaamd, bestaat, die de onderlinge afstanden van deze „singuliere punten" kleiner doet worden. Op korte afstanden, binnen de grenzen van het melkwegstelsel, is deze tweede kracht verreweg de sterkste en de melkwegstelsels behouden hun afmetingen onafhankelijk van de uitdijing of contractie van het heelal; op groote afstanden, zooals de afstanden die de melkwegstelsels scheiden, overheerscht de eerste.
De theorie van het uitdijend heelal is op het huidige oogenblik veel minder zeker dan wij een korte tijd geleden nog meenden, maar dat raakt haar werkelijke beteekenis niet — het brengt alleen maar duidelijker aan het licht wat haar beteekenis wel en wat zij niet is.
Sommige consequenties van de theorie verdienen speciaal, al is het maar kort, genoemd te worden.
Een vraag die de sterrekundigen en physici



lang heeft bezig gehouden is: wat wordt er van de energie, die voortdurend door de zon en de sterren in de ruimte wordt uitgestraald? Op deze vraag is door de nieuwe theorie een volkomen bevredigend antwoord gegeven. Zij wordt opgebruikt, verzwakt of gedegradeerd door de uitdijing van het heelal. Evenals een man, die rent om een bus of een tram in te halen, buiten adem raakt en zijn energie verspilt, of een projectiel, dat een bewegende trein achterna wordt geschoten, deze met minder kracht treft, dan waarmee het op een stilstaand object gestooten zou zijn, zoo verliest ook het licht, dat door het uitdijend heelal reist en als het ware bepaalde sterren of sterrestelsels tracht te bereiken, die met groote snelheid voortdurend terugwijken, zijn energie bij zijn pogingen om in te halen. Het is deze degradatie van het licht, technisch bekend als de roodverschuiving der spectraallijnen, waardoor wij de snelheden der extra-galactische nevels van ons af bemerken. Men kan aantoonen dat het totale bedrag, waarmede de stralingsenergie in het heelal dank zij deze degradatie vermindert, de vermeerdering tengevolge van de uitstraling der sterreu overtreft. Het zou echter niet juist zijn hieruit



te concludeeren dat de expansie veroorzaakt wordt door de bij de uitstraling verloren gegane energie, evenmin als het juist zou zijn te zeggen dat de tram voortbewogen wordt door de energie verloren door de man die haar achterna holt.
Eén consequentie van de theorie heeft in het bijzonder tot vele discussies aanleiding gegeven gedurende de laatste drie of vier jaar, nl. de zgn. paradox van de korte tijdschaal.
In alle oplossingen is er een zekere minimum waarde voor de „straal" B, hetzij nul, hetzij, in de uitdijende familie van de tweede soort, een eindige waarde, die het heelal op een eindig tijdstip in het verleden bezat. Er schijnt een bepaald „begin van de tijd" te zijn, een paar milliard jaar geleden in de geschiedenis zooals er ook een bepaald „absoluut nulpunt" van de temperatuur is, dat correspondeert met minus 273 graden op de gewone schaal (Celsius). Wat beteekent dit ?
De verleiding is groot dit oogenblik, waarop de uitdijing begint, met het „begin van de wereld" wat dit ook beteekenen moge, te identificeeren. Nu vond, astronomisch gesproken, dit begin van de uitdijing eerst gisteren plaats, niet veel langer geleden dan de formatie van de



oudste rotsen op aarde. Volgens al onze moderne inzichten vereischt de evolutie van een ster, of een dubbelster of een sterrehoop enorm veel grootere tijdsintervallen. De sterren en de sterrestelsels moeten eenige duizenden malen ouder zijn dan het heelal.
Hoe moet onze houding tegenover deze paradox zijn? Het ligt voor de hand dat, als twee theorieën elkander tegenspreken, wij of de ééne of de andere moeten opgeven. Het conflict schijnt te bestaan tusschen de moderne theorieën over de evolutie der sterren en de dynamische theorieën over de evolutie van dubbelsterren en sterrehoopen aan de eene kant, en de algemeene relativiteitstheorie aan de andere kant. Indien dit het werkelijke geschilpunt was, zou er geen twijfel bestaan aangaande de uitslag: de relativiteitstheorie zou als overwinnaar uit de strijd komen en de evolutietheorieën zouden herzien moeten worden. Dit schijnt Sir Arthur Eddington's standpunt te zijn als hij schrijft: „wij moeten deze beangstigend snelle verspreiding der nevels aanvaarden met de belangrijke consequenties vandien nl. dat de tijd beschikbaar voor de evolutie belangrijk ingekort wordt". Ik vrees echter dat zeer weinige astronomen,



om van de geophysici niet te spreken, bereid zullen zijn deze drastische reductie van de tijdschaal te accepteeren.
Het is belangrijk te bedenken dat ons geloof in de lange tijdschaal voor de leeftijden der sterren niet op eenige theorie aangaande haar constitutie gebaseerd is, maar op een waarnemingsfeit, door Eddington in 1914 ontdekt, nl. de zgn. massa-lichtkracht-relatie. Er bestaat een bepaalde verband tusschen de massa en de lichtkracht der sterren en dientengevolge tusschen de massa en het spectrum, de temperatuur enz. Dientengevolge kan een ster alleen van het eene type in het andere overgaan als zij massa verliest, en aangezien er geen andere wijze voor een ster schijnt te bestaan haar massa te verliezen dan door straling, moet de verandering noodzakelijkerwijze langzaam gaan. Zoodra dit empirische feit ontdekt was werden er theorieën ontwikkeld, of kwamen, indien zij reeds bestonden, in de gunst, die rekenschap gaven van een lang leven voor de sterren. Later, na de ontdekking van de korte „levensduur van het heelal" kwamen andere theorieën in de mode, die een levensduur voor de sterren gaven van dezelfde orde van grootte als die



van het heelal. Maar deze theorieën zijn in klaarblijkelijke tegenspraak met de massalichtkracht-relatie: zooals wij reeds opmerkten, volgt uit deze relatie dat indien er een evolutie is, zij langzaam moet zijn. Of de sterren zijn ouder dan het heelal, of er is geen evolutie, en alle sterren zijn bij het „begin van de wereld" geschapen vrijwel zooals zij nu zijn.
Het is mogelijk het tijdstip van het begin van de uitdijing naar minus oneindig over te brengen, door inplaats van de gewone tijd de logarithme van de tijd, die sinds het begin verloopen is, te gebruiken. Maar dit is slechts een wiskundige kunstgreep. Wij noemen nul minus oneindig, maar dat beteekent alleen dat wij het heelal een oneindige tijd toestaan om aan de gang te komen op zijn weg ter expansie, maar het maakt de tijd gedurende welke er werkelijk iets gebeurt niets langer.
Niet alleen is de tijdschaal voor het verleden kort, zij is even kort voor de toekomst. Yoor de oscilleerende universa is dit direct duidelijk aangezien de geheele periode van het eene minimum van B tot het volgende slechts een paar milliard jaar bedraagt. Maar ook voor de uit-



dijende universa heeft de tegenwoordige constitutie van het heelal een zeer ephemeer karakter. Na een paar milliard jaar zullen de onderlinge afstanden tusschen de melkwegstelsels tot eenige duizenden malen hun tegenwoordige waarde toegenomen zijn, en het heelal zal praktisch opgelost zijn in afzonderlijke melkwegstelsels die hun geschiedenis onafhankelijk van elkander vervolgen.
Het komt mij voor dat de goede verklaring van de paradox is, dat de identificatie van het tijdstip van het minimum van R met het „begin van de wereld" en van de tijd die sedert dit minimum verloopen is met de „ouderdom van het heelal" te voorbarig was en in werkelijkheid volkomen ongegrond is. Het heelal is eeuwig en heeft geen ouderdom. Het minimum van R is slechts een bijzonder oogenblik in zijn geschiedenis, evenals het oogenblik van perihelium doorgang in het leven van een planeet of komeet.
Indien wij figuur 11 beschouwen zien wij dat, indien ons heelal een uitdijend heelal van de tweede soort is, de onderlinge afstanden der melkwegstelsels een minimumwaarde gehad moeten hebben eenige milliard en jaren geleden.



Maar deze minimum-afstanden waren vermoedelijk nog van de orde van verscheidene malen de diameter van ons melkwegstelsel. In het geval van de uitdijende universa van de eerste soort en van de oscilleerende universa was er in die tijd een zeer sterke opeenhooping der melkwegstelsels, waarbij de minimum afstanden mathematisch nul werden. Aangezien de snelheden terzelfdertijd gelijk aan die van het licht werden, kan de opeenhooping slechts een moment geduurd hebben. De contractie van het heelal tot op een mathematisch punt is natuurlijk een physische onmogelijkheid. De atomen, de sterren en de melkwegstelsels zelve veranderen niet van afmeting. De melkwegstelsels kunnen elkaar gemakkelijk doordringen — indien wij een milliard melkwegstelsels samenproppen in de ruimte die nu door één stelsel wordt ingenomen, zullen de onderlinge afstanden tusschen de sterren nog van de orde van tien tot honderdduizend maal hun diameters zijn — maar het heelal kan nimmer kleiner dan één melkwegstelsel worden. Het heelal moet dientengevolge een middel vinden om aan de contractie tot op een mathematisch punt te ontsnappen, m.a.w. om de scherpe knik in de



kromme zooals hij door de gestippelde lijnen in figuur 11 is aangegeven af te ronden.
De mathematische vergelijking, waaruit de krommen in figuur 11 werden geconstrueerd, is natuurlijk een benadering, die daarin bestaat dat de onderlinge gravitatiewerking tusschen de verschillende melkwegstelsels vervangen werd door de gemiddelde werking van de combinatie van alle melkwegstelsels in het heelal. Deze benadering is volkomen voldoende, zoolang de onderlinge afstanden groot zijn, maar houdt op een benadering te zijn, wanneer deze afstanden zeer klein worden. De onderlinge werking van de verschillende melkwegstelsels op elkaar moet dan in rekening gebracht worden, en men kan aantoonen, dat het effect zal zijn dat zij de minimumafstanden vermeerdert tot een eindige waarde, de snelheden vermindert, zoodat zij kleiner worden dan de snelheid van het licht en de absolute gelijktijdigheid vernietigt. Op deze wijze vinden wij dat alle melkwegstelsels, inplaats van op één en hetzelfde oogenblik met de snelheid van het licht door één en hetzelfde punt te vliegen, elkander gedurende een kort tijdsinterval zeer dicht naderen, elkander gedeeltelijk doordringen en



zich met snelheden bewegen, die, alhoewel groot, toch kleiner blijven dan die van het licht.
Deze groote opeenhooping vond een paar milliard jaar geleden plaats. Nu is het zeer opmerkelijk, dat tenminste twee andere, van elkaar geheel onafhankelijke gedachtengangen ditzelfde tijdstip als een kritiek moment aanwijzen.
De ouderdom van de aardkorst is van de orde van twee of drie milliard jaar. Deze bepaling, die berust op de chemische analyse van mineralen en op de wetten der radio-actieve processen, laat ons slechts een kleine marge van onzekerheid. De ouderdom van de aarde zelve is waarschijnlijk niet meer en mogelijk veel minder dan tweemaal de ouderdom van de korst. Alle moderne theorieën over den oorsprong van het zonnestelsel komen daarin overeen, dat zij deze toeschrijven aan een dicht elkaar naderen of een botsing van de zon met een andere ster. Dientengevolge is de ouderdom van de aarde ook die van het planetenstelsel — de zon zelf is veel ouder en haar constitutie verschilde in die tijd niet aanmerkelijk van die van tegenwoordig. Dichte naderingen zijn in ons melkwegstelsel, zooals het er nu uitziet, uiterst zeld-



zaam. Tenzij wij ons eigen stelsel als een speling der natuur willen beschouwen, practisch eenig te midden van de sterrewereld, moeten wij gelooven dat de ontmoetingskansen ongeveer vijf milliard jaar geleden veel grooter zijn geweest dan nu. De dichte nadering en het elkaar onderling doordringen van vele melkwegstelsels in die tijd verschaft ons deze vergroote ontmoetingskans.
De bouw van ons eigen melkwegstelsel en van die extra-galactische stelsels, die dicht genoeg bij ons zijn om ons in staat te stellen hun structuur te bestudeeren, is, zooals wij in het vorige hoofdstuk gezien hebben, uiterst gecompliceerd. De dichtheidsverdeeling is zeer onregelmatig en zeer ver van homogeen. De stelsels roteeren alle met perioden die van de orde van een paar honderd millioen jaar zijn. Tengevolge van deze rotatie kan het gebrek aan homogeniteit in de structuur niet altijd blijven bestaan, maar moet langzamerhand uitgedoezeld worden. De ouderdom der melkwegstelsels in hun tegenwoordige vorm kan daarom niet grooter zijn dan een klein aantal omwentelingsperioden. Waarschijnlijk kan men in dit verband tien nog als een klein aantal op-



vatten, maar het is bijna zeker dat honderd een te groot aantal zou zijn. Ons melkwegstelsel en de spiraalnevels moeten dus hun tegenwoordige structuur op een bepaald oogenblik in het verleden, een paar duizend millioen jaar geleden, verkregen hebben, dit is in dezelfde tijd als het planetenstelsel geboren werd en het heelal zijn minimum-afmeting had. Weer geeft het dichte naderen van alle melkwegstelsels op dat oogenblik voldoende verklaring voor het beginnen der rotatie, voor de vorming der spiraalarmen en de niet-homogene verdeeling der materie.
De groote toename der dichtheid en de tengevolge daarvan vergroote kans op ontmoetingen, die men noodig heeft ter verklaring van de oorsprong der melkwegstelsels en het planetenstelsel krijgen wij echter alleen op het oogenblik van het minimum, indien het heelal hetzij een oscilleerend, hetzij een uitdijend heelal van de eerste soort is. In de uitdijende universa van de tweedesoort is de toename van de dichtheid nauwelijks voldoende om deze effecten voort te brengen, aangezien de minimale afstanden tusschen de melkwegstelsels waarschijnlijk nog verscheidende malen hun diameters waren.



Het lijkt daarom waarschijnlijk dat ons heelal een uitdijend heelal van de eerste soort is. Het tijdstip, waarop het door zijn minimale-afmeting ging, was zooals wij reeds aantoonden niet het „begin van de wereld" maar een incident in haar geschiedenis, dat min of meer belangrijke gevolgen voor eenige van de haar samenstellende deelen gehad heeft. Deze gevolgen waren zeer ver reikend voor vele der melkwegstelsels, die hun spiraalvormige structuur en hun rotatie verkregen, minder ver reikend voor onze zon, en waarschijnlijk voor enkele andere sterren, die van planeten werden voorzien, terwijl het op haar kleinste bestand deelen, de atomen, waarschijnlijk in het geheel geen effect gehad heeft.
Onze opvatting over de bouw van het heelal draagt alle kenmerken van een voorloopige structuur. Onze theorieën bevinden zich ongetwijfeld in een toestand van voortdurende en juist in deze tijd van zeer snelle evolutie. Het is niet mogelijk te voorspellen hoe lang onze tegenwoordige inzichten en interpretaties onveranderd zullen blijven en hoe snel zij door misschien geheel andere vervangen zullen worden, die op



nieuwe waarnemingsgegevens en op een nieuw kritisch inzicht in hun verband met andere gegevens berusten.
Ondertusschen gaan de eenvoudige werkers in de wetenschap rustig verder, ieder werkende aan zijn eigen bijzondere probleem, ongestoord door de vele vreemde en tegenstrijdige dingen die rondom hen heen en in hun eigen huis gebeuren. En het is op dit rustige werk zonder eenig vertoon, dat de groote vooruitgang der wetenschap berust. Speciaal in de sterrekunde hebben alle gegevens, die de oplossing der groote problemen bepalen, twee eigenschappen gemeen. De eerste is de uiterste kleinheid van de grootheden die gemeten moeten worden. De bepaling van de afstanden, van de eigenbewegingen en de radieele snelheden, die het materiaal vormen, waarmede de groote constructies van de theorieën over het melkwegstelsel en het heelal worden opgebouwd, vragen alle een nauwkeurige meting van uiterst kleine grootheden. Het is altijd een strijd om de laatste decimaal, en de groote triomphen der wetenschap zijn dan behaald, wanneer dank zij nieuwe instrumenten of nieuwe methoden de laatste decimaal tot de voorlaatste is gemaakt. Zooals wij gezien



hebben werd zoo een nieuw tijdperk ingeleid bij het begin van de zeventiende eeuw door de uitvinding van de telescoop en in het laatste derde gedeelte van de negentiende eeuw door de uitvinding van de photographie en de spectroscopie.
De andere eigenschap is, dat de sterrekunde altijd een zeer groot aantal gegevens vraagt. Ten gevolge van het feit, dat het directe experiment in de sterrekunde onmogelijk is, moeten wij waarnemingen hebben van zeer veel sterren en die zich over steeds zwakkere objecten uitstrekken, om ons in staat te stellen betrouwbare conclusies te trekken.
Deze twee eigenschappen van de gegevens die de astronoom noodig heeft om zijn wetenschap op te bouwen maken twee dingen in de sterrekunde meer noodig dan in eenig andere wetenschap: geduld en georganiseerde samenwerking. Geduld omdat vele der verschijnselen zich zoo langzaam ontwikkelen dat het een lange tijd vereischt voor zij meetbaar worden; samenwerking omdat het materiaal te groot en te verschillend is om door één mensch of zelfs door één instelling beheerscht te worden. En samenwerking niet alleen tusschen de ver-
15



schillende werkers en instellingen over de geheele wereld, maar ook samenwerking tusschen voorgangers en opvolgers om de problemen op te lossen die juist uit de aard der zaak meer dan de levensduur van één mensch vragen. De astronoom is zich, terwijl hij werkt aan zijn eigen taak, hetzij hij lange berekeningen uitvoert, theorieën en hypothesen opstelt, of geduldig waarnemingen verzamelt in dagelijksche routine, altijd bewust tot een gemeenschap te behooren, welker leden, gescheiden in ruimte en tijd, zich desondanks verbonden voelen door een zeer reëele band, bijna een van bloedverwantschap. Hij werkt niet voor zichzelf alleen, hij laat zich niet uitsluitend, en zelfs niet in de eerste plaats leiden door zijn eigen inzicht of voorkeur; zijn werk is altijd gecoördineerd met dat van anderen als een deel van een georganiseerd geheel. Hij weet, dat wat zijn speciale werk ook mag zijn, hij altijd een schakel is in de keten die haar waarde ontleent aan het feit, dat er een andere schakel aan de linker en een aan de rechter zijde is. Het is de ketting die belangrijk is, niet de afzonderlijke schakels.
Het is niet twijfelachtig dat op het huidige



oogenblik de wetenschap groote populariteit geniet, veel grooter dan zij dit zelfs een korte tijd geleden deed. Maar ik vrees dat de massa dikwijls niet voldoende scherp onderscheid heeft gemaakt tusschen de wetenschap en de toepassing van de wetenschap voor practische doeleinden. De wetenschap wordt geprezen en geacht omdat de wonderbaarlijke technische ontwikkeling, waarvan wij in de laatste eeuw getuige zijn geweest, de spoorweg en de stoomboot, de auto en de vliegmachine, telefoon en radio, lucifers, badkamers, en zoo voort, aan haar te danken zijn. Dit alles is waar natuurlijk, en zeer wonderbaarlijk en belangrijk. De algemeene levensstandaard is ontzaglijk gestegen; iedere burger geniet nu als dagelijksche comfort en gemakken, wat honderd jaar geleden zelfs voor de kieskeurigste millioenair ongedroomde luxe zou geweest zijn en neemt dit als iets heel gewoons aan. Als wij ons echter afvragen waarom deze vermeerdering van comfort en deze verhooging van de algemeene levensstandaard goed is, kan het eenige antwoord zijn, dat het ons meer vrije tijd geeft om onszelve te wijden aan die dingen, die de werkelijke waarde aan het leven geven, het be-



oefenen van de wetenschap en de kunst. Het is zooals Poincaré gezegd heeft: „je ne dis pas: la Science est utile paree qu'elle nous apprend a construire des machines; je dis: les machines sont utiles, paree qu'en travaillant pour nous, elles nous laisseront un jour plus de temps pour faire de la science". En natuurlijk verschaft, zooals wij al herhaaldelijk aantoonden, ook de verbeterde techniek machtige werktuigen aan de wetenschap en stimuleert zij daardoor haar ontwikkeling. Het is een belangrijk feit, dat in de geschiedenis wordt bewezen, dat alle groote technische vooruitgang gebaseerd is geweest op wetenschappelijke ontdekkingen, die in die tijd volkomen nutteloos schenen te zijn, en door menschen gedaan werden die de wetenschap om haar zelfswille beoefenden, zonder de geringste gedachte aan haar toepassing te wijden. Zij zijn de belooning, die de menschheid toevalt, dank zij de onbaatzuchtigheid van haar grootste vertegenwoordigers.
Een oogenblik geleden verbond ik wetenschap en kunst in één zin. Zij zijn de hoogste manifestaties van de menschelijke geest, de wetenschap van zijn intellectueele, de kunst van zijn emotioneele kant. Er heerscht echter



veel misverstand. Het komt nu en dan voor dat zij, in wie de natuurlijke aanleg of de omstandigheden een uitsluitend artistieke of emotioneele kijk op het leven hebben ontwikkeld, met medelijden vervuld zijn met de ongelukkige wetenschapsmenschen zonder eenige verbeelding, die rondkruipen in het stof der feiten, metingen en berekeningen, inplaats van in de zuivere ether der mystieke contemplatie omhoog te stijgen. Aan de andere kant komt het ook zoo nu en dan voor, maar misschien niet zoo vaak, dat menschen met een speciaal wetenschappelijk inzicht en uitsluitend in die richting opgevoed, neerzien op de arme en onpractische en onlogische artisten. Beide deze oordeelen liggen natuurlijk zeer ver bezijden de waarheid. De wetenschap en de kunst benaderen de groote problemen van het begrijpen der natuur ieder op haar eigen wijze, maar beide vereischen en gebruiken ook de volledige attributen van de menschelijke geest. Verbeelding is even onmisbaar voor de physicus en de astronoom als voor de dichter; logica even noodzakelijk voor de architekt of de componist als voor de wiskundige.
De groote wetenschapsmenschen zoowel als



de groote artisten zijn vervuld met een geest van deemoed; zij zijn zich steeds bewust dat het mysterie en het verhevene in de eenvoudigste en kleinste zoowel als in de grootste dingen en verschijnselen aanwezig is en zij gelooven in de orde en de eenheid aller dingen. Alleen de weg waarlangs zij tot begrip van deze orde trachten te komen en in zijn diepere beteekenis trachten door te dringen is verschillend.
Het is een tamelijk veel voorkomende misvatting dat de wetenschap, doordat zij de natuur analyseert en ontleedt, haar aan de strenge regels der wiskundige formules en de numerieke berekening onderwerpt, alle gevoel voor haar schoonheid en verhevenheid zou verliezen. Het tegendeel is waar. Zelfs de zuiver aesthetische waardeering van een landschap of een onweersbui wordt naar mijn meening eerder bevorderd dan belemmerd door de kennis, voorzoover deze reikt, van de innerlijke structuur en het verband dier verschijnselen, die de wetenschappelijke beschouwer heeft. En het meten en het reduceeren tot getallen, „wijzeraflezingen" zooals Sir Arthur Eddington zegt, is niet het uiteindelijke doel



der wetenschap, maar slechts haar middel. Door de wiskunde te gebruiken, dat zuiverste, meest immaterieele hulpmiddel van de menschelijke geest, trachten wij zooveel mogelijk de begrenzingen, die ons door onze eindigheid en stoffelijkheid gesteld worden, te overwinnen en steeds dieper door te dringen tot het begrijpen van de mysterieuse eenheid van de Kosmos.