|| □ BEKNOPÉLEERBOM g || |j PROJECTIEVE MEETKUNDE | Dr. HL DE VEIBS ^NrNOORDMOPF. 1923 GRONINOEH. p3 kJWA.LECLUSE. NOORDHOFF's VERZAMELING VAN WISKUNDIGE WERKEN. DEEL 8. kJWA.LECLUSE. NOORDHOFFs VERZAMELING van WISKUNDIGE WERKEN. DEEL 8. Dr. Hk. DE VRIES. BEKNOPT LEERBOEK DER PROJECTIEVE MEETKUNDE. P. NOORDHOFF. — 1923. — GRONINGEN. BEKNOPT LEERBOf^^ER PROJECTIEVE MEjfKUNDE, DOOR Dr. Hk. DE ^jVRIES, HOOQLEERAAR AAN DE UNIVERSITEIT VAN AMSTERDAM. IR.JWA.LEeLUSE. p. noordhoff. — 1923. — groningen. kJWA.LECLUSE. ■ VOORWOORD. Op het voorstel, mij gedaan door den Heer J. Noordhoff, een beknopt leerboek der Projectieve Meetkunde te schrijven, ben ik met vreugde ingegaan. De poging toch, indertijd door mijn leermeester Wilhelm Fiedler in zijne „Darstellende Geometrie in organischer Verbindung mit der Geometrie der Lage" in het werk gesteld om de Beschrijvende en de Projectieve Meetkunde tot één organisch geheel te vereenigen, acht ik, practisch gesproken, mislukt, en wel omdat geen lezer ter wereld in staat is zóóveel leerstof in eens te verzwelgen; en zoo was dan ook het effect bij zijn Zürcher toehoorders, voor wie het boek toch in de eerste plaats geschreven was, en die wel genoodzaakt waren het te gebruiken, geen ander dan dat hij met taaie volharding een onoverwinlijken afkeer van beide vakken bij hen aankweekte. Ik acht het mogelijk het gestelde doel te bereiken door middel van twee werken van matigen omvang. Het eene, mijn leerboek der Beschrijvende Meetkunde, was Sedert jaren voorhanden; de opdracht, mij verstrekt door den Heer Noordhoff, heeft mij in staat gesteld het tweede er aan toe te voegen, en daarom heb ik dit boek met zooveel enthousiasme geschreven. Er is nóg iets. Naarmate ik ouder word ga ik steeds meer het ontzaglijke belang van de Geschiedenis in het algemeen, en dus óók van die der Wetenschap, beseffen, en daarom heb ik getracht dë historische ontwikkeling van het vak aan de wetenschappelijke parallel te doen loopen; ik koester de verwachting dat de §§ die meer in het bijzonder betrekking hebben op de geschiedenis der Projectieve Meetkunde dezelfde belangstelling zullen wekken als de andere. Rest mij nog ook nu weer den Heer P. Wijdenes hartelijk dank te zeggen voor de hulp die hij mij verleend heeft bij het teekenen der figuren, alsmede den Heer G. S. Veltrop, leeraar aan de R. H. B. S. te Coevorden, voor de groote zorg die hij besteed heeft aan de drukproeven; en waar dit leerboek naar alle waarschijnlijkheid het laatste geweest is dat ik schrijven zal, daar wil ik den Heer Noordhoff hier nu eens openlijk mijn dank betuigen voor de gelegenheid die hij mij geboden heeft om jaren lang in mijn vrije uren een weg te bewandelen die, naast het geven van mondeling onderwijs, het meest strookt met mijn aanleg en neiging. De Wetenschap een waarlijk aanzienlijk stuk vooruit te brengen, werkelijk nieuwe wegen te banen of reeds bestaande belangrijk te verbeteren, vind ik natuurlijk bewonderenswaardig; nuttiger echter dan stukjes te schrijven die niemand leest dan ik zelf acht ik het de gedachten van de waarlijk grooten onder ons onder het bereik te brengen van de leergierige, en voor het geniale gelukkig nog altijd ontvankelijke jeugd. Amsterdam, 2 Maart 1923. Hk. de Vries. ERRATUM. § 6, p. 26. De ontdekker van het kringproces was niet L. N. M. Ca mot, maar diens zoon, de physicus Sadi Carnot. OPMERKING. De .Systematische Entwickelung der Abhangigkeit geometrischer Gestalten von einander" van Jacob Steiner is als zelfstandig werk opnieuw verschenen als N°. 82 en 83 van Ostwald's „Klassiker der exakten Wissenschaften". B 1 INLEIDING. § 1. Wanneer wij beginnen met te zeggen dat de Projectieve Meetkunde zich slechts interesseert voor een bepaalde soort van eigenschappen der figuren, dan moet dit bij den nog niet ingewijden lezer den argwaan wekken dat het gebied, waar deze wetenschap heerscht, waarschijnlijk wel vrij beperkt zal zijn, doch bij nader onderzoek valt de uitgestrektheid van het terrein mede. Niet beperking, beënging, maar samenvatting, concentratie, beschouwing van tal van schijnbaar geheel verschillende, en daardoor schijnbaar onvergelijkbare figuren tegelijk is de vrucht van de studie der Projectieve Meetkunde, en het gevolg er van is een ongekende verdieping van het meetkundig inzicht. In dit opzicht kan de Projectieve Meetkunde als een model van echte wetenschap gelden, want wat is het doel eener wetenschap, naast het verzamelen van feiten natuurlijk, anders dan het verdrijven van den schijn, het terugbrengen van het schijnbaar onsamenhangende tot een gemeenschappelijken wortel, het aantoonen van de mogelijkheid om het geheele gebied, in zijn ontzaglijke complicatie, te kunnen overzien van uit één centraal gezichtspunt? Weinige wetenschappen, zelfs weinige onderdeden der mathematische wetenschap, bereiken dit doel zóó volkomen als juist de Projectieve Meetkunde. Ieder heeft wel eens hooren spreken van ellipsen, parabolen, en hyperbolen; voor de meesten, die dagelijks met deze kromme lijnen in aanraking komen, als technici en dgl., zijn dit drie geheel verschillende krommen, die wel is waar enkele eigenschappen gemeen hebben, als daar zijn dat een rechte lijn er hoogstens twee punten mee gemeen kan hebben, of dat uit een punt hoogstens twee raaklijnen getrokken kunnen worden, maar die overigens essentieel verschillend zijn; ellips en hyperbool hebben een middelpunt, de parabool heeft er geen; ellips en hyperbool hebben twee assen van symmetrie, de parabool heeft Dr. Hk. de Vries, Projectieve Meetkunde. 1 § 1. 2 •er slechts één; ellips en hyperbool hebben twee brandpunten, en twee richtlijnen, de parabool bezit er van elk slechts één; de ellips is gesloten, de parabool open, en de hyperbool bestaat uit twee verschillende takken, die zóózeer allen samenhang missen dat men in oude leerboeken onder de afbeeldingen der hyperbool het onderschrift kan vinden: „twee hyperbolen"! Wat meer zegt: toen de groote Blaise Pascal, die zich als mathematicus onsterfelijk gemaakt heeft door de ontdekking van het Hexagramma mysticum, aan de Sluze (in 1657) het vraagstuk opgaf een kegelsnede te bepalen die 5 gegeven rechten aanraakt, voegde hij er uitdrukkelijk bij dat hij „twee tegenover liggende hyperbolen als één kegelsnede beschouwde" (Zie „GEuvres de Blaise Pascal, par Léon Brunschvicg et Pierre Boutroux, Paris, 1908, t. II, p. 225). De hyperbool bezit twee asymptoten, ellips en parabool hebben er geen; genoeg, de verschillen hoopen zich zóó zeer op, en de punten van overeenkomst zijn zóó schaarsch, dat het alleszins begrijpelijk en vergeeflijk is dat men van af de oudste tijden tot op heden de drie genoemde krom men als wezenlijk verschillend heeft beschouwd; en toch gaat het hier juist zoo als in de Astronomie, waar óók alles in werkelijkheid ongeveer juist andersom is als het zich aan het oog van den waarnemer voordoet (de geweldige, alles overheerschende zon is niet geweldig, maar kleine, nauwelijks zichtbare sterretjes zijn vele malen grooter; de lichtende maan is donker, en een zandkorrel vergeleken bij de vaste sterren; de dagelijksche beweging van het hemelgewelf bestaat in het geheel niet, maar is niets anders dan de beweging der Aarde, en de Aarde zelve, voor ons menschen het summum van importantie, .... is voor het heelal eenvoudig van géén belang!) De Projectieve Meetkunde heeft ons leeren inzien dat ellips, parabool, en hyperbool in waarheid nagenoeg identisch zijn, althans ieder oogenblik, en zonder eenige moeite, in elkaar overgevoerd kunnen worden, en dat die schijnbaar zoo treffende verschillen in werkelijkheid van zeer ondergeschikt belang zijn, en van tal van andere families van kromme lijnen geldt volkomen hetzelfde; zoo is bijv. de welbekende lemniscaat, die-slechts één dubbelpunt vertoont, in het wezen der zaak niet verschillend van zekere andere krommen, die er 3 bezitten, en óók niet van wéér andere, die er in het geheel geen hebben, en daarbij uit één, óf twee van elkaar volkomen gescheiden ovalen bestaan. 3 Doel der Projectieve Meetkunde nu is de systematische studie van die eigenschappen der figuren, die door de hierboven bedoelde vormveranderingen, zoogenaamde projectieve transformaties, ongewijzigd blijven, en het merkwaardige daarbij is dat uit die zoogenaamde projectieve eigenschappen de andere, de zoogenaamde metrische eigenschappen, die dus door projectieve transformaties wèl veranderen, door specialiseering op hoogst eenvoudige wijze gewonnen kunnen worden. Zóó laat het zich dan ook begrijpen hoe de Projectieve Meetkunde, door hare aandacht op de projectieve eigenschappen der figuren te concentreeren, feitelijk toch alle eigenschappen ontdekt; de projectieve eigenschappen zijn de algemeene, de voornaamste, als het ware de eigenschappen der soort, de metrische slechts diegene van het individu, en deze laatste zijn, in tegenstelling met wat wij in de levende Natuur ontmoeten, door specialiseering, en met behulp van eenvoudige en vaste regels, uit de eerste af te leiden. De Projectieve Meetkunde sluit dus geen eigenschappen uit, maar classificeert de eigenschappen, en ook dit is doelwit van alle wetenschap. Wij kunnen op deze plaats nog niet nauwkeurig uiteenzetten wat men onder een algemeene projectieve transformatie heeft te verstaan, maar wel een aanschouwelijk bijzonder geval er van noemen, een bijzonder geval tevens, waaraan het algemeene zijn naam te danken heeft: het is de bewerking van het projecteeren, en wel liefst van het projecteeren van een vast centrum uit. Denken wij een horizontaal projectievlak of, om de oude, aan de leer der Perspectief ontleende terminologie te gebruiken, een „tafereel", op een zekeren afstand daarboven een projectiecentrum O, en hierdoorheen het vlak evenwijdig aan het tafereel. Het is duidelijk dat alles wat in dit laatste vlak ligt, door projectie van uit O verdwijnt; vandaar dat men aan dit vlak den naam van verdwijnvlak gegeven heeftv). Laat nu een cirkel gelegen zijn onder dit verdwijnvlak, dan zal zijn centrale projectie uit O op het tafereel een ellips zijn, en hetzelfde is het geval wanneer de cirkel geheel boven het verdwijnvlak ligt, in welk geval men echter de projecteerende stralen, ten einde ze tot snijding te kunnen brengen met het tafereel, door O heen verlengen moet; !) Vergel. Hk. de Vries, „Leerboek der Beschrijvende Meetkunde", 2e druk, Deel I, § 6, p. 12. Delft, J. Waltman Jr., 1919. § 1. 4 indien echter de cirkel het verdwijnvlak in twee punten snijdt, dan wordt hij door het projecteeren als het ware vaneengescheurd; de projecties der beide punten in het verdwijnvlak verdwijnen in het oneindige, en de projectie bestaat uit twee stukken: men heeft den cirkel in een hyperbool omgezet. En wanneer eindelijk de cirkel het verdwijnvlak raakt, dan is de projectie een parabool. Men vindt dit alles o.a. uitvoerig beschreven in het „Leerboek der Beschrijvende Meetkunde" van schrijver dezes, 2e druk, Deel I, § 19—23, p. 52—66. Gaan wij, ten einde in het begrip „projectieve transformatie" alreeds dadelijk eenig inzicht te verkrijgen, het verband tusschen den cirkel en zijn projectie eens meer in bijzonderheden na, en wel eerst voor het geval dat de cirkel het verdwijnvlak niet snijdt, en dus de projectie een ellips is. Door de bewerking van het projecteeren wordt blijkbaar aan ieder punt van den cirkel één punt van de ellips toegevoegd, en omgekeerd, en indien het punt op den cirkel een continue beweging uitvoert, dan doet het punt op de ellips desgelijks; tusschen de punten der beide figuren wordt dus door het projecteeren een zoogenaamde één-éénduidige en continue punttransformatie te voorschijn geroepen. Dat daarbij de verbindingslijnen van overeenkomstige punten steeds door het vaste punt O gaan is van ondergeschikt belang; immers indien men aan alle paren toegevoegde punten letters toegekend denkt, bijv. A, A'; B, B'; C, C' en nu de beide figuren in een willekeurigen stand brengt ten opzichte van elkaar, ze bijv. in eenzelfde vlak legt, dan blijft de één-éénduidige en continue transformatie bestaan; de perspectivische ligging, die van secundair belang is, is opgeheven, maar de hoofdzaak, de éénéénduidige verwantschap, is bewaard gebleven. Indien de cirkel het verdwijnvlak snijdt en dus de projectie een hyperbool is, ontmoeten wij een moeilijkheid; immers de beide snijpunten hebben geen projectie, en de één-éénduidige verwantschap gaat dus niet zonder uitzondering door, maar schijnt gestoord. Men is aan dit bezwaar tegemoet gekomen door het scheppen der hypothetische, zoogenaamde oneindig verre punten, ingevoerd met het uitgesproken doel om uitzonderingen, die zich anders bij massa's in de Mathesis zouden voordoen, te doen verdwijnen; aan iedere rechte lijn wordt één zoodanig punt toegekend, en het wordt behandeld als ware het een punt, net als ieder ander van 5 de rechte lijn. Aangaande de vraag of het invoeren van zulke hypothetische punten in de Meetkunde eigenlijk wel geoorloofd is, en of de goede naam der Mathesis als exactste van alle wetenschappen door dergelijke gewaagde manoeuvres geen gevaar loopt, moge de lezer § 7, p. 12 van het eerste deel van het reeds geciteerde leerboek der Beschrijvende Meetkunde van schrijver dezes nalezen; wij zullen trouwens ook in dit boek herhaaldelijk in de noodzakelijkheid komen te verkeeren ons ernstig met deze kwesties te moeten bèzig houden. Een één-éénduidige en continue punttransformatie is nog lang geen projectieve transformatie; hiervoor moet zij nog verder gespecialiseerd worden. Nu bezit de transformatie der Centrale Projectie inderdaad nog een andere belangrijke eigenschap, die wij nog niet genoemd hebben, nl. dat de projectie' eener rechte lijn een rechte lijn is (met uitzondering van de lijnen door O, wier projectie een punt is); de transformatie der Centrale Projectie is een zoogenaamde Collineatie, en ook dit is een wezenlijke eigenschap eener projectieve transformatie. En ten slotte bezit de projectieve transformatie nóg een kenmerkende eigenschap, die echter, omdat zij geroepen is den grondslag voor al onze verdere beschouwingen te vormen, een grondige en uitvoerige behandeling eischt; deze geven wij in de volgende §§. De deelverhouding AC : BC. § 2. Wij willen op de inderdaad niet geringe moeilijkheden die verscholen liggen in de begrippen punt, rechte lijn, en getal, vooral onmeetbaar getal, hier niet ingaan, en wel om de eenvoudige reden dat deze moeilijkheden geen specifiek projectiefgeometrische zijn, maar zich voordoen bij alle geometrisch onderzoek; zij moeten eens voor al overwonnen worden, en dit heeft te geschieden in de theorie der zoogenaamde puntverzamelingen; z ij n zij eenmaal overwonnen, wat op het oogenblik nog geenszins in allen deele het geval is, want voor zoover schrijver dezes het beoordeelen kan verkeert de theorie der puntverzamelingen nog altijd min of meer „in statu nascendi", dan heeft men daarmede aan de Meetkunde de solide basis verschaft die zij anders ontbeert, zeer ten nadeele natuurlijk van haar goeden naam als strenge § 2. 6 wetenschap. Men zal dan zeker weten, wat wij tegenwoordig nog min of meer op goed geloof aan moeten nemen, dat men, indien men in een rechte lijn een nulpunt en een positieve richting aanneemt, en bovendien een lengte-eenheid vast stelt, aan ieder punt dier lijn een bepaald getal kan toewijzen, en omgekeerd bij ieder gegeven getal een punt kan construeeren welks afstand tot het nulpunt door dat getal wordt gemeten. Kan men echter den afstand van ieder punt der lijn tot het nulpunt meten, of heeft men althans de zekerheid dat die afstand door een bepaald getal wordt weergegeven, dan kan men natuurlijk ook spreken van den afstand van twee punten A en B der lijn; immers deze is gelijk aan het verschil of de som der afstanden tot het nulpunt, al naar gelang A en B aan dezelfde, of aan verschillende zijden van dit punt liggen. August Ferdinand Möbius, geboren in 1790 in Schulpforta als zoon van een dansmeester, gestorven in 1868 te Leipzig als professor der Astronomie, „ein hervorragender Mathematiker deutscher Nation, und ein hervorragender Geometer aller Nationen", zooals zijn biograaf Baltzer het uitdrukt (vgl. M's Gesammelte Werke, Bd. I, p. XX), en een van de grondleggers der Projectieve Meetkunde, heeft „in seinem nie genug zu bewundernden Werke: Der barycentrische Calcul", zooals niemand minder dan Alfred Clebsch zich uitlaat, voor het eerst het doodeenvoudige, en toch voor de Analytische Meetkunde zoo ontzaglijk belangrijke denkbeeld in zwang gebracht aan de opeenvolging van letters een zekere beteekenis toe te kennen. Reeds onmiddellijk in de Inleiding zegt hij dat AB niet alleen zal beteekenen den afstand der punten A en B, maar dien a/stand gemeten van A naar B; men heeft dan onmiddellijk: BA = — AB, of AB + BA = 0. Élpl Het groote voordeel hiervan springt aanstonds in het oog indien men op de lijn AB nog een derde punt C aanneemt; waar dit ook gelegen moge zijn, men zal altijd vinden: AB + BC = AC, of: BC + CA + AB = 0, en alle soortgelijke betrekkingen krijgen algemeene geldigheid, hoe ook de punten op de lijn gelegen mogen zijn (voor 4 punten A, B, C, D zal bijv. altijd BC + CD + DA + AB = 0 zijn, enz). Aan het § 2. 7 slot der „Vorrede" zegt M ö b i u s dat dit idee reeds door verschillende andere schrijvers in praktijk is gebracht, en hierbij doelt hij ongetwijfeld o.a. op Kastner's „Geometrische Abhandlungen, Erste Sammlung; Anwendung der ebenen Geometrie und Trigonometrie," Göttingen, 1790, p. 463, waar de schrijver het volgende zegt (men denke zich een rechte lijn, met aan het linker uiteinde de letter W (West), aan het rechter O (Ost), en daar tusschen in, van links naar rechts, de letters A, C, B. „Wer also angeben will wie weit man von A gegen Osten ist wenn man von A aus nach B 20 Schritte, aus B bis C 7 getan hat, der setzt AB = 20, BC = — 7, und von dem wirklich zurückgelegten Wege AC + BC den Erfolg in Absicht auf die Entfernung von A 20—7. Da ist nun schon die Linie BC negativ, die mit AB eine Granze gemein hat, und zwischen dieser Granze und der andern liegt. Ware man aus B 20 Schritte bis A zurückgegangen, so ware die Entfernung von dem Puncte A von welchem man ausging AB + BA = 20 — 20 = 0. Es ist also was ganz bekanntes, dass von zwo geraden Linien die zwischen einerley und denselben Puncten liegen eine bejaht, die andere verneint ist." Dit is volkomen duidelijk, en M ö b i u s heeft dus dit denkbeeld, zooals hij ook zelf zegt, van anderen overgenomen; pas door den „Barycentrischen Calcul" echter is het werkelijk tot de mathematici doorgedrongen. Wij hebben nu in het bijzonder na te gaan wat geschiedt indien de punten A en B vast blijven, C echter de geheele oneindige rechte doorloopt. Teneinde de gedachten te bepalen, denken wij AC de lijn horizontaal, en B rechts van A gelegen; de breuk ^7, = k BL noemen wij de deelverhouding van C ten opzichte van het segment AB. (Möbius zelf, Baryc. Calcul § 181, Ges. Werke I, p. 220, schrijft AC : CB, maar het is natuurlijk symmetrischer te schrijven AC : BC, wat dan ook tegenwoordig algemeen gebruikelijk is). Dan is allereerst duidelijk dat k slechts negatief is indien C tusschen A en B ligt, positief daarentegen zoowel voor C links van A, als rechts van B; voor C links van A echter is A: < 1, rechts van B > 1. Valt C met A samen, dan is k = 0; beweegt zich C dan naar B toe, dan wordt k < 0; voor C in het midden tusschen A en B is k = — 1, en nadert C tot B, dan nadert k tot —co; voor C in B moet men dus in dit geval zetten k = — co. § 2. 8 Vertrekt C opnieuw van A, maar nu naar links, dan wordt k > 0; zij blijft echter < 1, nadert asymptotisch tot 1, maar bereikt deze waarde nooit; immers AC AB + BC , , AB AB < BC=—BC-~= 1 +BC' Waar BC<0' en nu is AB constant, terwijl BC hoe langer hoe grooter wordt; de limiet van is dus nul, die van derhalve + 1. tSL. HL. Ligt C even rechts van B, dan is k > 0, en zeer groot, en gaat C nu nóg meer naar links, dan nadert k tot + co; komt dus nu C in B aan, dan moet men k = -f- co stellen. Beweegt zich C daarentegen naar rechts, dan neemt k voortdurend af, maar blijft steeds > 1; ook ditmaal nadert k asymptotisch tot +1, maar nu van den grooten kant, en ook ditmaal wordt de waarde + 1 nooit werkelijk bereikt. Samenvattend zien wij dus dat k alle reëele waarden kan bereiken, en elk voor slechts één punt der lijn, met uitzondering van de waarde + 1; de oneigenlijke waarden ± co worden daarentegen werkelijk bereikt, en wel in B. En nu verzoeken wij den lezer er zich door berekening van te willen overtuigen dat aan iedere waarde van k, behalve +1, één AC punt der lijn beantwoordt (is — k, dus AC = k . BC, dan tSL. schrijve men hiervoor AB + BC = k . BC, en berekene hieruit BC; uit het teeken van k weet men dan reeds van te voren of C rechts óf links van B moet liggen). Dat in B k zoowel + als — co kan zijn, is een gering bezwaar, aangezien co feitelijk in het geheel geen waarde is, en men bovendien weet met C in B te zijn zoodra die oneigenlijke waarde zich voordoet; dat echter de waarde + 1 niet werkelijk bereikt wordt is een gróót bezwaar, en wel omdat hierdoor de overigens zonder uitzondering geldende één-éénduidige verwantschap tusschen de punten der lijn en de verzameling der reëele getallen gestoord wordt. Daar komt ons nu als deus ex machina de. geniale gedachte der oneindig verre punten van den grooten astronoom Johannes Kepler (1571—1630), en van den zonderlingen, maar ver boven zijn tijdgenooten uitstekenden franschen architect en geleerde Girard Desargues (Lyon 1593—Lyon 1662) te hulp; wij scheppen oneindig verre punten, kennen aan iedere § 2. 9 rechte één zoodanig punt toe, en verbinden daaraan de waarde k = + \. Door de schijnbare tegenstrijdigheden die wij daarbij ontmoeten, vooral hierin gelegen dat men, naar links en naar rechts gaande, aan moet nemen dat men hetzelfde oneindig verre punt benadert, laten wij ons daarbij niet van de wijs brengen; wij willen een uitzonderingslooze één-éénduidige correspondentie tusschen de punten der lijn en de reëele getallen; hiertoe ontbreekt ons één punt .... welaan dan scheppen wij dat punt, en spreken dus voortaan van het oneindig verre punt der rechte. Of wij hieraan goed doen, moet de verdere ontwikkeling leeren; deze echter heeft honderd- en duizendvoudig geleerd dat het invoeren der oneindig verre punten in de Meetkunde een absolute noodzakelijkheid, een conditio sine qua non voor verder succes was, en dat de vraag naar de al of niet strengheid der Meetkunde hier geheel naast staat; onderzoekingen aangaande de al of niet strengheid der Wiskunde voeren op heel ander terrein dan dit. Ten einde bij den lezer geen valsche voorstellingen te wekken, moeten wij aan het voorgaande toch noodzakelijk toevoegen dat niet Kepler en Desargues degenen geweest zijn die aan de rechte lijn één oneindig ver punt hebben toegekend; zóó beslist hebben zij zich niet uitgelaten; zij hebben eenvoudig het eerst de mogelijkheid van oneindig verre punten uitgesproken, en te kennen gegeven dat zij evenwijdige lijnen beschouwd wenschten te zien als lijnen die zulk een punt, zulk een „but", zooals Desargues het uitdrukt, gemeen hebben; maar over het aantal dier punten op een rechte lijn spreken zij niet (vergelijk „GEuvres de Desargues" par M. Poudra, Paris, 1864, t. I, p. 104: „Pour donner a entendre Pespèce de position d'entre plusieurs droites en laquelle elles sont toutes parallèles entr'elles, il est ici dit que toutes ces droites sont entr'elles d'une mesme ordonnance, dont le but est a distance infinie, en chacune d'une part et d'autre". Met deze woorden zijn de oneindig verre punten in de Mathesis ingevoerd, en hoewel hier nu niet met even zooveel woorden gezegd is dat aan een rechte lijn slechts één zoodanig punt moet worden toegekend, wettigt toch de uitdrukkelijke verzekering dat men, langs de rechte lijn in beide richtingen gaande, tot hetzelfde oneindig verre punt nadert, het vermoeden dat Desargues dit wel degelijk bedoeld heeft. Dat aan een rechte lijn slechts één oneindig ver punt moet worden toegekend, en § 2. 10 dat alle oneindig verre punten van een vlak ondersteld moeten worden op een rechte lijn te zijn gelegen, heeft pas Jean Victor Poncelet (Metz 1788—Parijs 1868) uitgesproken, wiens nog veelvuldig te citeeren standaardwerk: Traité des propriétés projectives des figures, dat verschenen is in 1822, gewoonlijk als oorsprong en bron der Projectieve Meetkunde wordt aangezien (vgl. N°. 96 en 107, 2e éd. pp. 49, 52). Dit werk, een mijlpaal op den weg der meetkundige ontwikkeling, is ontstaan, of althans de grondslagen er van zijn gelegd onder zóó buitengewone omstandigheden, dat wij niet na kunnen laten er hier een enkel woord van te zeggen. Poncelet, geboren te Metz in het jaar 1788, en opgevoed aan de Ecole polytechnique te Parijs, waar hij o.a. leerling was van Monge, was genie-officier in het fransche leger, en maakte als zoodanig den tocht van Napoleon naar Rusland mede. Te Krasnoë met tal van lotgenooten gevangen genomen werd hij, slecht gekleed en gevoed, midden in den uiterst strengen winter getransporteerd naar de vesting Saratow aan de Wolga, waar hij uitgeput en ziek aankwam, en pas tegen het volgend voorjaar weer eenigszins herstelde; in zijn eigen bewoordingen: „vêtu des lambeaux d'un uniforme francais, mangeant le pain noir des paysans russes, il parcourut a pied les longues étapes qui séparent Krasnoï de Saratoff; plaines silencieuses et glacées oü, dans ce fatal et exceptionnel hiver de 1812, se faisaient souvent sentir des froids par lesquels le mercure du thermomètre se solidifiait!" Ten einde nu in de geestelijke woestenij, waarin hij toefde, niet der wanhoop ten prooi te vallen, begon hij terug te denken aan de dingen die hij vroeger in Parijs, vooral van den bewonderden Monge, geleerd had, maar die hem, door alles wat hij daarna ondervonden had, vrijwel ontschoten waren, en hij ving aan te trachten het weinige wat hem nog bijgebleven was, met eigen middelen te reconstrueeren, en nieuwe resultaten er bij te vinden, en zoo ontwikkelden zich geleidelijk de groote beginselen waarop later de „Traité des propriétés projectives" zou berusten. Intusschen, zijn „Traité" zou voor hem een „Schmerzenskind" worden; toen hij in September 1814 weer in Frankrijk was terug gekeerd diende hij bij de Fransche Akademie van Wetenschappen een verhandeling in die in hoofdzaak overeenkwam met hetgeen later in het eerste gedeelte van den „Traité" zou komen te staan, en de drie groote leidende beginselen bevatte. § 2. 11 De Akademie droeg aan hare leden Ara go, Cauchy en Poisson op om verslag over deze verhandeling uit te brengen, en toen deze Commissie zich bij monde van C a u c h y van hare taak kweet meende zij, hoezeer het werk in zijn geheel ook waardeerende, toch de algemeene geldigheid der genoemde beginselen in twijfel te moeten trekken; tegen een al te vast vertrouwen er op te moeten waarschuwen, en den jeugdigen schrijver, zij het ook in zeer beleefde bewoordingen, te moeten verwijten al te stoutmoedig geweest te zijn. Poncelet werd door deze kritiek, die hij, en terecht zooals later gebleken is, voor onjuist en onbillijk hield, ten zeerste gegriefd, en jaren van zijn leven zijn er door vergald; de drie rapporteurs, hoe groote mathematici zij ook mochten zijn, waren helaas tè eenzijdig analytici om de synthetischgeometrische vlucht van Poncelet te kunnen volgen. De dubbelverhouding (A, B, C, D). § 3. Aan de drie punten A, B, C der vorige § voegen wij nu nog een vierde, eveneens op de lijn ABC gelegen punt D AC toe, en beschouwen naast de deelverhouding van C ook die AD van D, dus en van deze beide deelverhoudingen het quotiënt, dus: AC BC AD' BD Deze grootheid, een onbenoemd getal natuurlijk, wordt door Möbius (Baryc. Calc. § 182, Ges.-Werke I, p. 220) Doppelschnittsverhdltniss (ratio bissectionalis) genoemd; dit woord is later afgekort tot Doppelverhdltniss, wat tegenwoordig in Duitsche boeken algemeen gebruikelijk is, en hiervan hebben wij het Hollandsche woord dubbelverhouding afgeleid; op dit getal, de dubbelverhouding dus van vier punten op een rechte lijn, zullen wij de geheele Projectieve Meetkunde opbouwen. Door de definitie zelve worden de 4 punten A, B, C, D verdeeld in twee groepen: de beide fundamentaalpanten A en B, en de beide deelpunten C en D van welke de deelverhoudingen genomen worden ten opzichte van de fundamentaalpunten. Denken wij behalve de beide fundamentaalpunten ook nog C § 3 12 vast, terwijl D de geheele rechte doorloopt, dan is gemakkelijk in te zien dat de dubbelverhouding continu verandert, en alle reëele waarden doorloopt, terwijl omgekeerd ook op eenvoudige wijze is aan te toonen dat bij iedere reëele waarde der dubbelverhouding één punt D behoort; immers, noemen wij de afstanden der vier punten van een vast nulpunt, O, voorzien van het hun toekomende teeken, a, b, c, d, dan is: AC S = BC • AC • BD = (c — d) (d — b) AD ~ BC . AD ~ (c — b) (d — d)' BD en als nu a, b, c en S gegeven zijn, dan ontstaat hieruit een vergelijking van den eersten graad voor de onbekende d. M ö b i u s heeft de behoefte gevoeld aan een beknoptere schrijfwijze voor zijn dubbelverhoudingen, en heeft daarvoor gekozen (Baryc. Calc. § 183, Ges. Werke I, p. 221) het symbool (A, B, C, D); tegenwoordig laten wij de komma's nog weg, en schrijven dus: 3 = (ABCD). Nadert het punt D tot het oneindig verre punt der rechte, hetzij AD van links, hetzij van rechts, dan nadert de deelverhouding AC (vgl. § 2, p. 8) tot -4- 1, (J dustot-^; voor D in het oneindige tSL. gaat dus de dubbelverhouding <5 over in een enkelvoudige deelverhouding. Zal # nul worden, dan is dit slechts mogelijk voor c = a of d = b, en zal $ oneindig groot worden, dan moet c = b, of d — a zijn. En zal 3 — + 1 zijn, dan moeten blijkbaar de punten C en D samenvallen. De waarden 0, oo, en + 1 worden dus slechts bereikt indien twee van de 4 punten samenvallen; voor 4 verschillende punten zijn deze waarden dus uitgesloten. Zelfs zijn deze waarden — en dit is een fundamenteele opmerking — uitgesloten indien men, de dubbelverhouding een oogenblik los makende van meetkundige beschouwingen, en dus de breuk: (c -a)(d- b) (c -b)(d — a) uit een zuiver algebraïsch standpunt beschouwende, voor de daarin voorkomende grootheden ook complexe waarden toelaat, bijv. § 3. 13 a = of: (c + b) (d — b) + (c — b) (d + b) = 0. Maakt men de haakjes weg, dan blijft er niets anders over dan b2 = cd, of: OA2 — OB2 = OC. OD, § 5. 24 een veel gebruikte metrische betrekking tusschen de afstanden van 4 harmonische punten van het midden van twee toegevoegde. Zij doet o.a. zienhetnauwe trekken van uit C de beide raaklijnen en verbinden de raakpunten» dan heeft men in den rechthoekigen A ORC: [Hoe heeft de constructie te geschieden indien A, B, D gegeven zijn, en het 4e harmonische C van D gezocht wordt?] Men noemt de contactkoorde RD de poollijn of polare van C ten opzichte van den cirkel, en heeft dus de stelling: de middellijn door de pool snijdt de polare en den cirkel in 3 punten, die met de pool een harmonische groep vormen. Beweegt zich C naar B toe, dan doet D desgelijks, en valt C met B samen, dan doet D dit ook: de polare van een punt van den cirkel ts dus de raaklijn. Verwijdert zich echter C van B, dan doet D hetzelfde, en komt D in O aan, dan ligt C in het oneindige, en is de harmonische groep overgegaan in een symmetrische. Komt D dan links van O te liggen, dan verschijnt C opnieuw, maar eveneens aan den linker kant van O, en voor D in A valt ook C met A samen. De hier gegeven constructie, hoewel hoogst eenvoudig en daarom veelvuldig in gebruik, is om twee redenen verwerpelijk, in de eerste plaats omdat men ter bepaling van slechts één enkel punt (nl. D) gebruik maakt van den passer, wat overdaad is; want de vergelijking, waardoor bij 3 gegeven punten het 4e harmonische van één dier punten bepaald wordt, is van den eersten graad, en een vergelijking van den eersten graad moet meetkundig opgelost kunnen worden door een zuivere liniaalconstructie. In de tweede A c verband dat er bestaat tusschen den cirkel en zekere harmonische groepen op zijn middellijnen, en geeft ook een eenvoudige constructie voor harmonische groepen aan de hand. Beschrijven wij nl. in Fig. 5 op AB als middellijn een cirkel, Fig. 5. OR2 = OC . OD, en dus ook: OA2 = OB2 = OC . OD, zoodat (ABCD) = — 1. § 5. 25 § 5. plaats onderstelt zij verschillende kundigheden uit de Planimetrie, berust zij dus niet uitsluitend op de grondeigenschappen der dubbelverhouding, en is zij dus uit een oogpunt van methode verwerpelijk; de ware constructie der harmonische groepen, dus met de liniaal alleen, zullen wij trouwens weldra leeren kennen (vgl. § 6, p. 33). Is (ABCD) = — 1, dus: AC AD BC~ BD' AC . BD + AD . BC = 0. Hieruit volgt: AC (AD — AB) + AD (AC — AB) = 0, 2 AC . AD = AB . AC + AB . AD, of: Deze betrekking wordt toegeschreven aan Colin Maclaurin, (1698—1746), den beroemden professor uit Edinburgh, denzelfden, wiens naam men in de Differentiaalrekening zoo tallooze malen ontmoet; zij drukt uit dat de afstand van twee toegevoegde punten harmonisch middenevenredig is tusschen de afstanden der beide andere toegevoegde punten van één van de twee van de eerste groep, onverschillig welk. Men noemt nl., zooals welbekend is, een reeks van getallen harmonisch, indien de reeks der reciproke waarden rekenkundig is, en in het bijzonder een getal harmonisch middenevenredig tusschen twee andere, indien de reciproke waarde ervan rekenkundig middenevenredig is tusschen de reciproke waarden der beide andere, zooals hier met AB, AC, AD inderdaad het geval is, en deze benaming is afgeleid uit de lengten van drie snaren die grondtoon, groote terts en quint aangeven. Stelt men nl. het aantal trillingen van den grondtoon c voor door 1, dan zijn de trillingsgetallen van^de andere tonen van de toonladder, dus van d, e, f, g, a, b, en de octaaf c: en nu is voor grondtoon, groote terts en quint, dus c, e, g: 2 --L+JVö i 2/3' AC t AD BC ' BD 1, dan is: AB ~~ AC AD' 26 Zijn (Fig. 6) a, b, c, d 4 harmonische stralen, is o een bisectrice van ^ (ab) x), en .4D _L 70, dan is: OA2 m OB2 = OC . OD; deelen wij deze vergelijking door OT2, dan vinden wij onmiddellijk: t&pa) = tg2(ob) = tg{oc) . tg(od). T En is (Fig. 7) (abcd) weer = — 1, en AD 1 TA, dan is volgens Maclaurin: -2-=^+±; AB AC AD' deelt men alle noemers door AT, dan vindt men: (o*) te (ac) T te (flrf)' Naast de harmonische dubbelverhouding, wier waarde — 1 is, ontmoet men nog de zoogenaamde aequianharmonische dubbelverhouding, hoewel dadelijk gezegd moet worden dat deze laatste véél minder belangrijk is dan de eerste, en véél minder voorkomt. De Ouden, en ook de oudere schrijvers uit den nieuweren tijd, kenden haar niet; integendeel, zij is pas ingevoerd door den italiaanschen geometer Luigi Cremona (Pavia 1830—Rome 1903). Zooals wij ons herinneren (§ 3, p. 15) bezitten de 24 dubbelverhoudingen van 4 punten slechts 6 verschillende waarden, die bovendien nog twee aan twee reciprook zijn, nl.: $> T' 1 -A r=l- -T? ï=H- 1 r) _ 1 Beschouwen wij nu eens de waarden o, ^ j, —^—, behoo- rende bij de groepeeringen: (ABCD), (ACDB), (ADBC), !) In de figuur is bij vergissing z ac middendoor gedeeld, zoodat OA = OC in plaats van =» OB geworden is,; de zaak is echter zóó eenvoudig dat de fout wel niet zal storen. § 5. 27 waarbij dus het element A steeds op de eerste plaats staat, de andere echter uit elkaar zijn afgeleid door letterverschuiving: BCD, CDB, DBC, en stellen: y 1 3 — iJ2 = L 3» = 1 o — 1 (ABCD) = (ACDB) = (ADBQ. De drie fundamenteele dubbelverhoudingen zijn dus aan elkaar gelijk geworden; vandaar de naam „aequi-anharmonisch", want het Latijnsche woord aequus beteekent gelijk. Hoe groot is nu die aequianharmonische dubbelverhouding? Uit: 0*2 _ 3 + i _ o volgt onmiddellijk: 3 ±/K3); de aequianharmonische dubbelverhouding kan dus niet voorkomen zoolang alle vier punten reëel zijn. Volledige vierhoek en vierzijde. Liniaalconstructies voor harmonische groepen en waaiers. § 6. Onder de voorloopers van de eigenlijke grondleggers der Projectieve Meetkunde ontmoet menLazareCarnot(l 753— 1823), wiens naam in de Natuurkunde van algemeene bekendheid is van wege zijn beroemd „kringproces". Ook op het wiskundig denken van zijn tijd heeft hij onmiskenbaar invloed geoefend, en wel omdat hij als de hoofdvertegenwoordiger der gedurende geruimen tijd bij de onderzoekers zoo bijzonder geliefde transversalentheorie moet gelden, welke theorie wel is waar reeds van af de oudste tijden af beoefend werd (men denke aan de stelling van Mendaos en de, pas veel later zoo genoemde stelling van Ce va), maar die toch pas door de hoofdzakelijk in Section V, p. 351 van Carnot's hoofdwerk „Géométrie de position", Paris, An XI, (1803) gegeven toepassingen geschikt bleek ook voor onderzoekingen van minder elementairen aard, en er nóg geschikter voor geweest zou zijn indien Carnot op het idee § 6. 28 gekomen was consequent de betrekking AB + BA = 0 toe te passen, wat intusschen, zooals wij weten (vgl. § 2, p. 6) pas Möbius gedaan heeft in zijn „Barycentrischen Calcul". Jacob Steiner (Utzenstorf in het kanton Bern, 1796—Bern, 1863), over wien wij nog uitvoerig zullen spreken, omdat hij voor ons dè hoofdpersoon is in dit boek, zegt in zijn „Systematische Entwickelung der Abhünglgkelt geometrtscher Gestalten von etnander", Berlin, 1832, (Ges. Werke L p. 287) dat Carnot (nl. in zijn „Géométrie de position," § 103, p. 120) de eerste geweest is „der auf die Vollstandigkeit oder auf das Umfassende der Figuren aufmerksam gemacht hat". Vier punten in een vlak, en waarvan er geen drie op een rechte lijn liggen, laten zich op 4 3 —'— = 6 manieren door rechte lijnen verbinden, en van deze noemen de Grieken er 4 de „zijden", en twee de „diagonalen" van den vierhoek; maar deze onderscheiding heeft slechts zin indien men zich, wat de Grieken inderdaad consequent deden, beperkt tot vierhoeken waarbij geen enkel hoekpunt gelegen is binnen den driehoek, gevormd door de drie andere. Laat men deze beperking varen, en er is geen enkele redelijke grond om haar te handhaven, dan verdwijnt het verschil tusschen zijden en diagonalen volkomen, omdat immers dit verschil niet ligt in het wezen dier lijnen, maar slechts in uiterlijkheden, en het was dus ongetwijfeld een uitstekende gedachte de definitie van het begrip „vierhoek" (of „vierzijde') zooals deze gegeven werd door de Grieken, te laten vervallen, en te vervangen door de volgende: een vierhoek is de volledige figuur die ontstaat indien men 4 punten in een vlak, waarvan er geen drie op een rechte lijn liggen, op Fj 8 alle mogelijke manieren door rechte lijnen verbindt. (Fig. 8). Noemt men de 4 gegeven punten A, B, C, D de hoekpunten, dan moet men hunne zes verbindingslijnen de zijden noemen, zoodat de volledige vierhoek zes zijden heeft; deze § 6. 29 § 6. snijden elkaar twee aan twee in 3 nieuwe punten Dlf D2, D3, de zoogenaamde diagonaalpunten, en de verbindingslijnen van deze (de stippellijnen der figuur) worden nu diagonalen genoemd. En nu bestaat er wel degelijk verschil tusschen de hoekpunten en diagonaalpunten eenerzijds, en de zijden en diagonalen anderzijds; want door een hoekpunt gaan telkens drie zijden, door een diagonaalpunt slechts twee; en op een zijde liggen twee hoekpunten en telkens één diagonaalpunt, op een diagonaal twee diagonaalpunten en geen hoekpunten. De beide zijden die elkaar in een diagonaalpunt snijden worden overstaande genoemd; de volledige vierhoek bezit dus 4 hoekpunten, 6 zijden, en wel 3 paar overstaande, 3 diagonaalpunten, en 3 diagonalen. Nu echter maakt Steiner de fundamenteele opmerking dat men naast den volledigen vierh o e k nog een andere figuur moet beschouwen, die er wel is waar uiterlijk veel op lijkt, maar er toch geenszins identisch mee is, nl. de volledige vierzijde. Bezit de volledige vierhoek zes zijden, dan moet de volledige naalpunten Dlt D2, Ds, de snijpunten der drie diagonalen (vgl. het „Leerboek der Beschrijvende Meetkunde" van schrijver dezes, Delft, J. Waltmann Jr., 1919, Deel I, 2e druk, § 16, p. 41, § 17, p. 45). Steiner zal ongetwijfeld door de lectuur van C a r n o t's „Géométrie de jposition," p. 114—121, wel op het idee gebracht zijn van zijn volledige vierhoek en vierzijde, maar niettemin zijn deze fundamentaalfiguren zijn onvervreemdbaar eigendom. Het is waar dat Carnot op p. 120 uitdrukkelijk spreekt over „le quadrilatère complet", dus de volledige vierzijde, en op p. 121 zelfs ontdekt dat zij drie diagonalen heeft, maar hij merkt volstrekt niet dat zij 6 inplaats van 4 hoekpunten heeft, evenmin als hij zich bewust wordt dat er naast zijn „quadrilatère complet" a Fig. 9. vier z ij d e een andere figuur zijn, n.1. met vier zijden a, b, c, d (Fig. 9), 6 hoekpunten, en wel drie paar overstaande, nl. ab, cd; ac, bd; ad, bc; drie diagonalen dlt d2, d3, die de drie paar overstaande hoekpunten verbinden, en drie diago- 30 noodzakelijk een „quadrigone complet" behoort te treden; hij beschouwt beide figuren eenvoudig als combinaties van 3 op een eigenaardige manier verbonden gewone vierhoeken, waardoor hij weer tot het oude standpunt terugkeert, en blijft op deze verder zijn aandacht vestigen; dat hij begrepen heeft dat hij op het punt was de door hem zoozeer bewonderde antieke meetkunde op een cardinaal punt te verbeteren, blijkt uit niets. Deze beide figuren nu, de volledige vierhoek en de volledige vierzijde, zijn voor de Projectieve Meetkunde van fundamenteel belang, omdat zij eenerzijds door projectie niet veranderen, anderzijds ware voorraadschuren zijn van harmonische groepen; geen lijn in beide figuren, of er ligt een harmonische groep op, geen punt, of het is de top van een harmonischen waaier. Beschouwen wij bijv. Fig. 8, en hier in het bijzonder de puntengroep A, B, P, Dx. Projecteer deze uit D2 op CD, dan vindt men: (ABPDj) - (CDQDj); en projecteert men nu de laatste groep uit D3 weer terug op de lijn AB, dan vindt men: (CDQDJ = {BAPDJ, dus: (ABPDi) = (BAPDJ. Volgens § 3, eigenschap II van Möbius, p. 14, moeten echter de laatste beide dubbelverhoudingen reciprook zijn; zij zijn dus beide gelijk aan +1, of — 1. De waarde + 1 is uitgesloten omdat de 4 punten verschillend zijn, dus blijft slechts over — 1. Aangezien iedere waaier, die op een harmonische groep staat, zelf ook weer harmonisch is (§ 4, p. 18), zooals dus in ons geval de waaiers aan de toppen D2 en D3, drukken wij de hier gevonden grondeigenschap van den volledigen vierhoek liefst als volgt uit: aan ieder diagonaalpunt van een volledigen vierhoek vormen de beide zijden en de beide diagonalen die er doorheen gaan een harmonischen waaier (stelling van Steiner, 1. c. p. 289). De harmonische puntengroepen op de zijden en diagonalen ontstaan dan uit deze waaiers door snijding. Beschouw nu verder Fig. 9; verbind de punten ab en cd met het snijpunt D1 van d2 en d3, en noem de verbindingslijnen p en q; neem dan in het bijzonder den waaier (abpd{). Snijd dezen met d2, en projecteer de doorsnijdingsgroep uit het punt cd, dan heeft men: (abpdj = (cdqdi). § 6. 31 Snijd nu dezen laatsten waaier met ds, en projecteer de doorsnijdingsgroep opnieuw uit ab, dan vindt men: (cdqdi) = (bapdj, en dus: {abpdx) = {bapdx) = — 1. Onder woorden brengen wij de gevonden eigenschap liefst als volgt: op iedere diagonaal eener volledige vierzijde vormen de beide hoekpunten en de beide diagonaalpunten die er op liggen een harmonische groep (stelling van Carnot, komt echter reeds, zij het ook anders geïnterpreteerd, voorin Pap pos' „Collectiones" (Lemma V voor de Porismen van E u c 1 i d u s, 1. c. p. 243, en in Lemma VI voor het bijzondere geval dat de eene diagonaal de tweede juist in het midden tusschen de hoekpunten snijdt; de derde is dan evenwijdig aan de tweede); zie ook voor nog een ander bewijs Steiner's „Geometrische Constructionen etc." Werke I, p. 467). Wij bevelen de beide hier gegeven bewijzen ten zeerste in de aandacht van den lezer aan. Dat er verband tusschen bestaat zal men gevoeld hebben; dat dit verband echter zóó nauw is dat men uit het eene het andere zoo te zeggen gedachteloos, of althans mechanisch, kan afleiden, wellicht nog niet, en toch is dit zoo; vervang de hoofdletters door de kleine, het woord „punt" door „rechte lijn" en omgekeerd, het woord „projecteeren" door „snijden", en omgekeerd, en men heeft uit de eerste stelling, mèt haar bewijs, de tweede, mèt haar bewijs, afgeleid, zonder dat men eigenlijk werkelijk aan de zaak gedacht heeft. Het ontdekken van stellingen dus langs mechanischen weg; eenvoudiger kan het toch, dunkt ons, al niet! Wij wijzen in het kort nog een anderen weg aan om de harmonische eigenschappen van volledige vierhoek en vierzijde te bewijzen, vooral omdat die weg uit een historisch oogpunt belangrijk is. Eerste doel der Projectieve Meetkunde is, zooals wij reeds in § 1, p. 3, uiteengezet hebben, het opsporen van die eigenschappen der figuren die door projectie niet verloren gaan, en tot deze behoort, zooals wij nu weten, de eigenschap van 4 punten op een rechte lijn, of 4 stralen van een waaier, een dubbelverhouding te bezitten van de waarde — 1; heeft men dus een figuur, waarvan men gemakkelijk kan aantoonen dat er harmonische groepen of waaiers in voorkomen, dan weet men ook zeker § 6. 32 dat men deze terug zal vinden in alle mogelijke projecties dier figuur. Zulk een figuur nu is het parallelogram. Beschouwt men dit als bijzonder geval van den volledigen vierhoek, dan zijn de beide diagonalen der Grieken eveneens zijden, het snijpunt dier diagonalen, alsmede de beide oneindig verre punten der twee paar evenwijdige zijden, de drie diagonaalpunten. Projecteert men nu dit parallelogram uit een willekeurig centrum op een willekeurig vlak, dan ontstaat een figuur die van Fig. 8 in geen enkel opzicht afwijkt, en projecteert men omgekeerd Fig. 8 zóódanig dat DxDz de verdwijnas wordt (§ 1, p. 3), dan gaat de vierhoek ABCD over in een parallelogram; in het parallelogram nu vindt men aan de punten D2, Dlx, Ds* onmiddellijk harmonische waaiers (aan Dlx, D3oo symmetrische, die tot harmonische worden aangevuld door de oneindig verre rechte uit het vlak, en aan D2 een die op een symmetrische groep staat) dus vindt men in de projectie harmonische waaiers terug. Even gemakkelijk vindt men de harmonische groepen op de diagonalen eener volledige vierzijde, indien men het parallelogram opvat als volledige vierzijde; wij laten dit aan den lezer over. De hier besproken bewijsmethode, die dus hierin bestaat dat men de figuur, waarvan men de een of andere eigenschap wil bewijzen, door projectie omzet in een andere waarvoor diezelfde eigenschap gemakkelijker te bewijzen is (algemeene vierhoek en vierzijde in parallelogram, kegelsnede in cirkel, enz.), en daarna terug projecteert, is waarschijnlijk afkomstig van Desargues, en door dezen en zijn tijdgenooten, Ph. de la Hire, Blaise Pascal, Newton (in zijne „Enumeratio linearum tertii ordinis") veelvuldig toegepast; bij Poncelet vormt zij zelfs een van de drie grondpijlers, waarop het geheele gebouw van den „Traité" (vgl. § 2, p. 10) is opgetrokken, en ook Steiner maakt er in de „Systematische Entwicklung etc." (zie boven p. 28) nog gebruik van, hoewel hij in de zoogenaamde „Aufklarungsbroschüre" 1833/34, die men gevonden heeft onder zijn nagelaten papieren, uitdrukkelijk zegt dat hij de „Unzulanglichkeit" er van wel degelijk gevoeld heeft, en er slechts gebruik van gemaakt heeft om der wille van de traditie, en om niet al te zeer van zijn voorgangers af te wijken. Inderdaad is het bezwaar, dat men tegen de projectiemethode kan inbrengen dit, dat de te bewijzen eigenschap niet wordt afgeleid uit de elementen, dus bij vierhoek en vierzijde bijv. niet uitsluitend uit de eigenschappen der dubbelver- § 6. 33 houding, zooals bij de eerste bewijzen die wij gegeven hebben wèl het geval was, maar uit andere, in den regel metrische, eigenschappen van figuren (in ons geval parallelogrammen), die zelve toch óók weer op die elementen steunen, en dikwerf niets anders zijn dan bijzondere gevallen van de eigenschappen die men feitelijk bewijzen wil; en nu is het ongetwijfeld uit een oogpunt van methode beter een algemeene eigenschap af te leiden uit de grondelementen, en daarna te specialiseeren, dan den omgekeerden weg te bewandelen, wat niet weg neemt dat de methode der projectie bij den opbouw der Projectieve Meetkunde groote diensten bewezen heeft, en uit een heuristisch oogpunt belangrijk blijft. Op de harmonische eigenschappen van volledige vierhoek en vierzijde berusten de zuivere liniaalconstructies van harmonische waaiers en groepen, waarop wij in de vorige §, p. 25 reeds doelden. Moet (Fig. 8, p. 28) van den straal d2 de 4e harmanische d± geconstrueerd worden ten opzichte van D3A, D3B, dan neme men op d2 een willekeurig punt aan, trekke hierdoor twee willekeurige rechten D^C, D±AB, en verbinde D3 met het snijpunt D2 van AC en BD; en is dx gegeven, d2 gezocht, dan ga men uit van het punt D2, trekke hierdoor willekeurig AC en BD, en verbinde D3 met het snijpunt Dv Men kan echter uit Fig. 8 ook uiterst gemakkelijk een zuivere liniaalconstructie afleiden voor het 4e harmonische punt P van Dy ten opzichte van A en B bijv., en dezelfde, of aequivalente, constructies, zijn af te leiden uit Fig. 9. De lezer moge dit doen, en zich daarbij oefenen in het streng afleiden van de eene constructie uit de andere, uitsluitend door middel van de hierboven aangegeven omzetting van woorden. De liniaalconstructie der harmonische puntengroep vindt men voor het eerst bij Ph. de la Hire: „Sectiones conicae in novem libros distributae" uit het jaar 1685. Het dualiteitsbeginsel. § 7. Wij keeren terug tot de, reeds in de vorige §, p. 31 gemaakte opmerking, dat er in de Meetkunde stellingen bestaan die, met bewijs en al, uit andere stellingen mechanisch zijn af te leiden door een eenvoudige omzetting van woorden; beperkt men zich tot de Planimetrie, dan zijn die woorden slechts vier in getal, Hk. de Vries, Projectieve Meetkunde. 3 § 7. 34 nl. „punt" en „rechte lijn", „projecteeren" en „snijden". Men noemt deze merkwaardige, en in de hoogste mate belangrijke eigenschap der Projectieve Meetkunde het Dualiteitsbeginsel, en zegt van twee stellingen die op de hier bedoelde wijze samenhangen dat zij dualistisch tegengesteld zijn. Het belang van het dualiteitsbeginsel is voor ieder onmiddellijk duidelijk: beheerscht, zooals inderdaad het geval is, dit begjnsel de geheele Projectieve Meetkunde, dan wordt hierdoor de moeite, verbonden aan de studie dezer wetenschap, teruggebracht juist tot op de helft; in de plaats der andere treedt zuiver wetenschappelijk genot, want het is een gewaarwording die ieder ondergaat die zich met het dualiteitsbeginsel bezig houdt, dat er van het afleiden van de eene stelling uit de andere door middel van dit beginsel een groote bekoring uitgaat, de bekoring nl. van zijn kennis met waardevol bezit te vermeerderen zonder dat daarvoor de daarmee in den regel onafscheidelijk verbonden inspanning gevorderd wordt; een wetenschappelijk „koopje" dus, om het eens huiselijk uit te drukken. Hoe komt het dat het dualiteitsbeginsel de geheele Projectieve Meetkunde beheerscht? Antwoord: omdat de grondfiguren, waaruit alle andere, ook de meest ingewikkelde, worden opgebouwd, zelve dualistisch tegenover elkaar staan, en omdat hetzelfde het geval is met de bewerkingen, die op die figuren worden toegepast; immers het is toch wel zonder meer duidelijk dat indien men op dualistische grondfiguren steeds maar door dualistische bewerkingen toepast, ook de uitkomsten noodwendig dualistisch moeten zijn. De grondfiguren nu, ons steeds nog beperkende tot de Planimetrie, zijn: de puntenreeks, de reeks der punten op een rechte lijn, en de stralenwaaier, het inbegrip van alle rechte lijnen door een punt, en de bewerkingen zijn het projecteeren, d.i. het verbinden van punten met een punt door middel van rechte lijnen, en het snijden, d. i. het opzoeken van de gemeenschappelijke punten van rechte lijnen met een rechte lijn. Afzonderlijke voorbeelden voor het dualiteitsbeginsel behoeven wij hier niet te vermelden, om de eenvoudige reden dat alle volgende §§ tot voorbeeld kunnen strekken; wij willen volstaan met nog eens opnieuw te verwijzen naar den volledigen vierhoek en de volledige vierzijde van Steiner (§ 6, p. 28), en hieraan nog de opmerking toevoegen dat het dualiteitsbeginsel niet onvoorwaardelijk iets nieuws behoeft voort te brengen; zoo bijv. is de 35 driehoek, bepaald door drie punten die niet alle drie op een rechte lijn liggen, identisch met de drie z ij d e, een figuur die bepaald is door drie lijnen die niet alle drie door eenzelfde punt gaan; toepassing echter van dualistische bewerkingen op deze figuur voert natuurlijk tot dualistische uitkomsten. Neemt men in zijn beschouwingen begrippen op die geen dualistischen tegenhanger bezitten, dan is het natuurlijk met het dualiteitsbeginsel gedaan; dit geschiedt vooral indien men aan het oneindige een bijzondere beteekenis gaat toekennen, wat een aanwijzing er voor is dat men het gebied der zuivere Projectieve Meetkunde verlaten, en dat der Metrische Meetkunde betreden heeft; immers in de zuivere Projectieve Meetkunde speelt het oneindige geen bijzondere rol (omdat men het door projectie ten allen tijde in het eindige kan brengen), in de Metrische daarentegen een des te belangrijkere. Zoo bezit het oneindig verre punt eener puntenreeks geen analogon in den waaier, omgekeerd de rechte hoek in den waaier (wij zullen later aantoonen dat de loodrechte stand als een zuiver projectieve betrekking geïnterpreteerd kan worden) geen analogon in de puntenreeks. In de driedimensionale ruimte staan dualistisch tegenover elkaar het punt en het platte vlak, terwijl de rechte lijn zoowel als de verbindingslijn, alsook als de snijlijn van twee vlakken optreedt, en dus dualistisch tegengesteld is aan zich zelve. Drie punten,' niet op één rechte lijn gelegen, liggen slechts in één vlak, en drie' vlakken, niet door één lijn gaande, gaan slechts door één punt. Tegenover de puntenreeks, inbegrip van alle punten op een rechte, staat de vlakkenwaaier, inbegrip van alle vlakken door een rechte; tegenover het puntenveld, inbegrip van alle punten in een vlak, staat de vlakkenschoof, inbegrip van alle vlakken door een punt; tegenover het stralenveld, inbegrip van alle rechten in een vlak, de stralenschoof, inbegrip van alle stralen door een punt. Tegenover den stralenwaaier, die ontstaat door projectie van een puntenreeks uit een punt, niet op den drager van die reeks gelegen, staat de stralenwaaier, die ontstaat door de doorsnijding van een vlakkenwaaier met een vlak, niet door de as van dien waaier gaande; tegenover het snijpunt van een rechte lijn met een puntenveld staat het verbindingsvlak van een lijn met den top van een vlakkenschoof; en als de lijn in het vlak komt te liggen, § 7. 36 en dus het gemeenschappelijke punt onbepaald wordt, gaat in het andere geval de lijn door den top van den vlakkenwaaier, en wordt dus ook het gemeenschappelijke vlak onbepaald. Enz., enz. In de vierdimensionale ruimte zouden tegenover elkaar komen te staan het punt en de lineaire driedimensionale ruimte, de rechte lijn als verbindingslijn van twee punten, en het platte vlak als doorsnijding van twee driedimensionale ruimten; doch met ruimten van meer afmetingen dan drie zullen wij ons in dit leerboek niet bezig houden. Uiterst leerrijk is een, zij het ook slechts beknopt, overzicht van de geschiedenis van het dualiteitsbeginsel, vooral hierom, omdat er weer zoo duidelijk uit blijkt met hoeveel moeite de Mensch zijn weinigje kennis moet vergaren, hoeveel vernuft, inspanning en volharding er geëischt wordt, hoeveel noodelooze omwegen, ja fouten zelfs, gemaakt moeten worden om eindelijk te komen tot een helder inzicht in dingen die achteraf eigenlijk doodeenvoudig blijken te zijn, en met een paar woorden afgedaan kunnen worden. Het juiste inzicht in het eigenlijke wezen van het dualiteitsbeginsel is jaren lang vertroebeld geworden door het eigenaardige verschijnsel dat er een zekere, vooral door Poncelet Sterk gepropageerde theorie bestaat, door hem zelf „théorie des polaires réciproques" genoemd, die als twee druppelen waters op het dualiteitsbeginsel gelijkt, zich in haar uitkomsten met die van het dualiteitsbeginsel volkomen dekt, en toch het dualiteitsbeginsel zelf niet is; de verwarring, die hierdoor ontstaan is, en die helaas zelfs aanleiding gegeven heeft tot een jaren lang durenden, vinnigen, en zelfs op persoonlijk terrein overgebrachten strijd tusschen twee hoogst verdienstelijke mannen, nl. Poncelet en Gergonne, heeft een helder inzicht in het eigenlijke wezen van het beginsel langen tijd in den weg gestaan. Trekt men uit een punt de beide raaklijnen aan een cirkel of andere kegelsnede, en verbindt de beide raakpunten, dan ontstaat een rechte lijn, de „poollijn" of „polare" van het punt genaamd (vgl. § 5, p. 23), en die reeds voorkomt bij ApolIonius en Euclides; (vgl. Pap pos, Lemma XXVIII, 1. c. p. 256); het punt zelf heet dan de „pool", (van deze twee namen is de laatste het eerst ingevoerd, en wel door Servois, in Gergonne's „Annales de Mathématiques", Dl. I, p. 337, § 7. 37 naar aanleiding van de oplossing door Servois van het op p. 259 van dat deel gestelde vraagstuk om met de liniaal alleen een driehoek te construeeren die in een gegeven driehoek en óm een gegeven kegelsnede beschreven is; de pool eener rechte lijn is het punt waarom de contactkoorde draait indien uit de punten van die lijn de raaklijnen aan de kegelsnede getrokken worden; Gergonne zelf heeft dan in Dl. III, p. 297: „Théorie analitique des póles des lignes et des surfaces du second ordre" (p. 293—302) de lijn zelve de „Polaire" van het punt genoemd, en op p. 301 de namen „Pöle" en „Plan polaire", op p. 302 den naam „polaire conjuguée" van een lijn t. o. v. het kwadratisch oppervlak toegevoegd, en deze namen zijn onmiddellijk ingeslagen, want reeds het volgende stuk (van Roe hat, i. c. p. 302), draagt den titel: „Démonstration de quelques propriétés des póles des lignes et surfaces du second ordre." Doorloopt nu de pool P een rechte /, dan draait de polare p om de pool L van /, en hier heeft men nu onmiddellijk de beide dualistisch tegenover elkaar staande fundamentaalfiguren puntenreeks en stralenwaaier. Doorloopt P een of andere kromme k, dan omhult p een andere kromme k', en met de snijpunten van k met een willekeurige rechte / correspondeeren de raaklijnen van k' uit de pool L. Allerlei eigenschappen van de kromme k worden hierdoor dualistisch overgedragen op k', en het systematisch onderzoek van deze verwantschap tusschen k en k' vormt de „théorie des polaires réciproques," die terug gaat tot op Desargues, algemeen bekend geworden is door de „Sectiones conicae" van de la Hire, en, zooals reeds gezegd, door Poncelet in zijn „Traité" en in afzonderlijke monographieën tot een algemeen beginsel van meetkundig onderzoek verheven is. Hier naast nu staat Joseph Diaz Gergonne (Nancy 1771—Montpellier 1859); jaren lang professor in Montpellier, en redacteur van de door hem zelf opgerichte, en nog steeds naar hem genoemde „Annales de mathématiques", die in drie verhandelingen, waarvan vooral de tweede en derde belangrijk zijn, en nog talrijke andere, door den pennestrijd met Poncelet noodig geworden publicaties, als korte opmerkingen in zijn „Annales", besprekingen van publicaties van Poncelet en van zich zelf, toevoegingen aan deze, enz. het doel vervolgt aan te toonen dat het, buiten alle polariteit, en dus ook buiten alle kegelsneden om, in het § 7. 38 oereigenste wezen der Meetkunde ligt dat tal van stellingen in paren voorkomen, en uit elkaar zijn af te leiden door een eenvoudige omzetting van enkele woorden. In zijn eerste verhandeling, die betrekking heeft op veelvlakkige lichamen: „Recherche de quelques-unes des lois générales qui régissent les polyèdres", Ann. 15, p. 157 — 164, vindt hij reeds dat tegenover iedere stelling, die betrekking heeft op de hoekpunten, ribben en zijvlakken, een andere moet staan die betrekking heeft op de zijvlakken, ribben en hoekpunten, dat dus bijv. naast de stelling: „er is geen veelvlakkig lichaam mogelijk dat door ieder hoekpunt meer dan 5 ribben heeft", noodzakelijk de volgende moet bestaan: „er is geen veelvlakkig lichaam mogelijk dat in ieder zijvlak meer dan 5 ribben heeft," enz. In zijn tweede verhandeling echter: „Considérations philosophiques sur les élémens de la science de 1'étendue", Ann. 16, p. 209—231, beschouwt hij de zaak uit een veel hooger standpunt, en ontdekt hij de noodzakelijkheid van het beginsel in de dualistische natuur der elementen zelve; in de inleiding bijv., waarin ook voor het eerst het woord „dualité" optreedt, zegt hij uitdrukkelijk dat er in de Meetkunde, afgezien van metrische betrekkingen, geen enkele planimetrische of stereometrische betrekking bestaat waaraan niet een andere door verwisseling van de woorden punt en lijn, respectievelijk punt en vlak, tegenover gesteld kan worden. In de derde verhandeling: „Recherche sur quelques lois générales qui régissent les lignes et les surfaces de tous les ordres", Ann. 17, p. 214—252, past hij het beginsel op kromme lijnen en gebogen oppervlakken toe. Oppervlakkig beschouwd schijnt nu de zaak eenvoudig: Gergonne heeft het dualiteitsbeginsel ontdekt en ook werkelijk begrepen, en Poncelet heeft niet ingezien (misschien ook wel niet in willen zien!, hoewel het tweede stuk van Gergonne in dit opzicht aan duidelijkheid niets te wenschen overlaat) dat zijn „théorie des polaires réciproques" bij lange na niet zóózeer het eigenlijke wezen der Projectieve Meetkunde blootlegde als het dualiteitsbeginsel van zijn tegenstander. Maar zóó eenvoudig is de zaak toch niet, want er komt de complicatie bij dat Gergonne zelf (1. c. p. 210) zegt dat het dualiteitsbeginsel is „une suite inévitable des propriétés des póles, polaires, plans polaires et polaires conjuguées des lignes et surfaces du second ordre," terwijl juist het omgekeerde het geval is, waardoor men zich § 7. 39 afvraagt of Gergonne zelf den diepsten grond van zijn beginsel wel altijd goed gevoeld heeft. En zoo heeft Gergonne in deze kwestie wel is waar het hoogst verdienstelijke éérste, maar niet tevens ook het laatste woord gesproken; het laatste is ongetwijfeld aan Jacob Steiner geweest, wiens „Systematische Entwickelung", zelfs naar het uiterlijk, geheel op het dualiteitsbeginsel is gebaseerd, het ten volle exploiteert, en als één doorloopend bewijs er van kan worden aangezien; sedert de „Systematische Entwickelung" neemt het in de Meetkunde de alles beheerschende plaats in die het innemen moet. Wij willen niet te uitvoerig worden, maar mogen toch niet verzwijgen dat Möbius in zijn „Barycentrische Calcul," dus in 1827, § 288 (Ges. Werke, Bd. 1, p. 376 sqq.) blijk geeft het dualiteitsbeginsel, althans voor het platte vlak, volkomen doorzien te hebben, endatJuliusPlücker (Elberfeld 1801—Bonn 1868) zijn bestaan, eveneens voor het platte vlak, in zijn beroemde „Analytischgeometrische Entwickelungen" uit het jaar 1831, Bd. II, 2e Af deeling: „Das Princip der Reciprocitat", p. 242—251, bewezen heeft door zijn geniale vondst de coëfficiënten u en v in de vergelijking: ux + vy + 1 =0 eener rechte lijn de „coördinaten" dier lijn te noemen; hieruit toch volgt dat indien men omgekeerd x en y constant, u en v als veranderlijk beschouwt, dezelfde vergelijking beschouwd moet worden als die van een punt, en in deze dubbele interpretatie van iedere vergelijking der Analytische Meetkunde spreekt zich analytisch het dualiteitsbeginsel volkomen helder en overtuigend uit (vgl. § 43). Door het invoeren der homogene coördinaten eindelijk, waardoor het metrische ook uit het coördinatenstelsel verbannen is, is de zaak ook analytisch op een vorm gebracht die voor verdere vervolmaking niet vatbaar is. De twist tusschen Poncelet en Gergonne heeft niet uitsluitend wrange vruchten gedra*gen; één goede was er althans onder, nl. de ontdekking — door Poncelet — van de waarde en de beteekenis van het begrip „klasse" eener vlakke kromme als dualistischen tegenhanger van het begrip „graad". Is de graad het aantal snijpunten met een rechte, dan is de klasse het aantal raaklijnen uit een punt, en het is de onmiskenbare verdienste van Poncelet ingezien te hebben dat een kromme van den nen graad in het algemeen van de klasse n(n — 1) is, want Gergonne, § 7 40 wellicht verleid door het voorbeeld der kegelsneden, waar graad en klasse aan elkaar gelijk zijn (nl. 2), hield het voor van zelf sprekend dat een kromme van den nen graad ook van de ne klasse was. Poncelet genas hem van dien waan, wat het voor hem onaangename gevolg had dat hij terug moest komen op de derde zijner hier boven geciteerde verhandelingen, en er op moest wijzen, „altijd in de onderstelling dat graad en klasse werkelijk ongelijk blijken te zijn," zooals hij zich uitdrukt, dat zijn stellingen rechts op de pagina's slechts gelden voor krommen van de ne klasse (Gergonne was nl. de eerste die op het idee kwam twee dualistische theorema's steeds naast elkaar te laten drukken, met een kleine afscheiding in het midden, „a doublés colonnes" zooals hij zich uitdrukt, een vernuftig denkbeeld, dat door Steiner, en op zijn voorbeeld door tal van anderen, is overgenomen, maar dat Poncelet niet moede geworden is te bespotten). „Altijd in de onderstelling dat graad en klasse ongelijk blijken te zijn"!; als een bewijs hoe conservatief de Mensch, ondanks al zijn „woelen om verandring" toch eigenlijk is, hoe moeilijk het hem valt, en hoe onaangenaam het hem is van stokpaardje te moeten verwisselen, kan het feit dienen dat Gergonne nog herhaaldelijk de gelegenheid gezocht en gevonden heeft om zijn bedenkingen tegen de stelling van Poncelet in het midden te brengen, nadat reeds vroeger Cajichy, Legendre en Poinsot, in hun rapport aan de Akademie over de verhandeling van Poncelet betreffende de „polaires réciproques" er met ernst op gewezen hadden dat deze stelling, alvorens haar te aanvaarden, toch wel extra deugdelijk bewezen diende te worden! Poncelet liet zich echter gelukkig ook ditmaal niet van zijn stuk brengen; hij redeneerde verder als volgt. Is de polair-reciproke eener kromme van den ne"-graad, dus een kromme van de klasse n, van den graad n(n — 1), dan is de polair-reciproke van deze van den graad n(n — 1) . {n(n _ i) _ i}; maar dit is de oorspronkelijke kromme, en die is slechts van den graad n\ Hoe komt dit? Het pleit zeker wel in hooge mate voor het buitengewone mathematische talent van Poncelet, dat hij heeft ingezien dat hier de singulariteiten, dubbelpunten, keerpunten, dubbele en buigraaklijnen in het spel zijn, en dat de kromme van den graad n(n — 1) geenszins de algemeene kromme van dien graad is, maar dubbelpunten en keerpunten bezit (nl. net zooveel als de oorspronkelijke kromme § 7- 41 van den nen graad dubbele en buigraaklijnen), en zoo heeft Poncelet mede den weg gebaand die leidde naar de beroemde en algemeen bekende formules van Plücker. Jacob Steiner. § 8. Wij zijn aangekomen bij onzen hoofdpersoon, Jacob Steiner, het jongste van de vijf kinderen (waaronder slechts één dochter) van den landbouwer Niklaus Steiner en Anna Barbara Weber, uit Utzenstorf in het dal van de Emme in het kanton Bern, geboren den 18en Maart 1796; een van die onevenwichtige naturen die, evenals zooveel andere eminente mannen op het gebied van wetenschap of kunst (denk bijv. aan Beethoven) hun leven lang het stempel van hun afkomst op het voorhoofd blijven dragen, er nooit in slagen zich de zelfbeheersching en de uiterlijke beschavingsvormen eigen te maken, die de samenleving met anderen mogelijk maken, hierdoor ondanks alle bewondering, goeden wil, en lankmoedigheid welke die anderen aan den dag leggen, herhaaldelijk met hen in botsing komen, en daardoor zich zelf ongelukkig gevoelen. Bij Steiner komen daar nog twee andere factoren bij. In de eerste plaats is hij gedurende de tweede helft van zijn léven nagenoeg nooit geheel gezond geweest; galsteenen, jicht, waterzucht hebben hem doorloopend gekweld, en ten slotte hebben drie beroerten met, als gevolg daarvan, tijdelijke verlammingen, in den tijd van enkele weinige jaren zijn oorspronkelijk krachtig organisme gesloopt, en hem op 1 April 1863, pas 67 jaar oud dus, ten grave gesleept. De tweede factor is van geheel anderen aard, en doet hem voor ons verschijnen als een held uit de antieke tragedie, die met reuzenkracht tegen het noodlot worstelt, maar natuurlijk tóch voorbestemd is om te gronde te gaan. Zijn noodlot was het niet weg te doezelen feit dat de Meetkunde, behandeld met zuiver synthetische methoden, ook al worden deze in werking gesteld door een genie van bijna onbeperkte kracht (wat Steiner was), in laatste instantie toch niet opgewassen blijkt tegen de Analyse, en de hulp van deze niet geheel kan ontberen. Steiner's aanleg in synthetische richting, zijn combinatie-, zijn voorstellings-, zijn generalisatievermogen waren grooter dan bij wien ook vóór hem of na hem, maar hij was uitsluitend groot in déze richting, en zijn aanleg voor de Analyse was, om het zacht uit te drukken, middelmatig. „Grauel" § 8. 42 noemde hij op de hem eigen humoristische wijze de formules van zijn congenialen jongeren, in synthetisch opzicht niet zóó boven alle mate begaafden, maar oneindig geleerderen en veelzijdiger vriend en landsman LudWig Schlafli, terwijl hij hem een andermaal schrijft: „denn Sie wissen, sowie Formeln kommen, bin ich blödsinnig". Natuurlijk is dit overdreven, maar een feit is het dat hij de analytische hulp van zijn trouwe en hem waarlijk toegewijde vrienden Schlafli, Jacobi, LejeuneDirichlet, later Weierstrass, vooral voor het controleeren van de juistheid zijner uitkomsten, telkens weer heeft moeten inroepen, wat hem in hooge mate verdroot, en werkelijk iets tragisch aan zijn wetenschappelijk bestaan gegeven heeft, hem ook wel, zooals bijv. bij de X uit de vergelijking van den bundel, wanneer hij zag dat daarmee letterlijk spelenderwijze uitkomsten bereikt werden die hèm de grootste inspanning gekost hadden, verleid heeft tot, natuurlijk volkomen onredelijke, min vleiende uitdrukkingen aan hun adres. Niklaus Steiner was een arme boer, die de hulp van zijn kinderen bij zijn bedrijf zeer van noode had, en zoo moest ook de kleine Jacob helpen waar hij kon. Zoo moest hij bijv. in den herfst op de gemeenteweide vader's koeien hoeden, waar hij zich den tijd verdreef door met zijn buitengewoon scherp gezicht te zitten turen naar de bewegingen van de grazende koeien op de weiden van de hellingen van de Jura; en dit buitengewoon scherpe gezicht, dat hem bijgebleven is, stelde hem ook op lateren leeftijd nog in staat om, zooals hij het op zijn sarcastische manier placht uit te drukken, „das Rindvieh auf die weiteste Distanz zu erkennen"! Onderwijs ontving hij voor zoover het op de dorpsschool te krijgen was, meer niet, en hierdoor kwam het dat hij, zooals hij zelf vertelt, op zijn 19e jaar nog nauwelijks lezen en schrijven kon. Op school onderscheidde hij zich uitsluitend door zijn vaardigheid in het uit het hoofd rekenen, waarmede hij des zaterdags op de markt van Solothurn een weinig geld verdiende, door voor de boeren hun bedragen van koop en verkoop uit te cijferen; toen hij wat geld bij elkaar had begon hij zelf in schapen te handelen; dat hij op het laatst van zijn leven, als de door allen bewonderde Geometer, de koninklijk pruisische professor, „Inhaber des rothen Adlerordens drifter Klasse mit der Schleife"! — hij, de geboren republikein, die zich zoo dikwijls over alles, wat den § 8. 43 pruisischen ambtenaar heilig was, grof had uitgelaten! — lid van de Pruisische Akademie van Wetenschappen, met een zekeren weemoed aan deze periode van zijn leven terug gedacht heeft, kan blijken uit het feit dat hij bij uiterste wilsbeschikking aan de gemeente Utzenstorf een bedrag van 750 francs gelegateerd heeft om op rente te zetten, en uit die rente alle 2 jaar een examenpremie uit te keeren aan die drie leerlingen der dorpsschool, die in het uit het hoofd rekenen den eersten, tweeden, en derden rang behalen. Steiner bleef boerenjongen tot 1814; toen kwam de beslissende wending in zijn leven. Zijn dorst naar ontwikkeling, naar kennis, liet zich niet meer bedwingen, en onder heftig verzet van de zijde zijner ouders verliet hij zijn geboorteplaats, en begaf hij zich naar Yverdon aan het meer van Neufchatel, waar de wijdvermaarde paedagoog Pestalozzi destijds zijn inrichting van opvoeding en onderwijs had. Het zou ons natuurlijk veel te ver voeren, wilden wij hier Steiner's levensloop verder vervolgen, maar wij kunnen toch niet nalaten te wijzen op het allermerkwaardigste, en voor de Wetenschap allergelukkigste toeval dat hij juist bij Pestalozzi terecht kwam, want krachtens zijn geheelen aanleg was hij voor Pestalozzi eigenlijk dè ideale leerling, ja men kan gerust zeggen dat in den geometer Steiner de leermethode van Pestalozzi haar hoogste triomphen gevierd heeft, of, zoo men nog anders wil, dat Pestalozzi's ideaal in Steiner belichaamd is geworden, zooals dan ook Steiner nooit moede geworden is in woord en geschrift Pestalozzi de bewijzen zijner dankbaarheid te doen geworden. „Die in der Pestalozzi'schen Anstalt in Ausübung gebrachte Methode, die mathematischen Wahrheiten als Gegenstande des freien Nachdenkens zu behandeln", zoo zegt hij zelf in een „Eingabe" aan den pruisischen minister van onderwijs van 16 Dec. 1826, waarin hij om een geldelijke ondersteuning vraagt ter voorzetting zijner meetkundige onderzoekingen (vgl. Julius Lange, „Jacob Steiners Lebensjahre in Berlin", 1821—1863, R. Gaertner, Berlin, 1899, p. 19), „veranlasste mich, als Schüler dieser Anstalt, für die bei dem Unterricht aufgestellten Satze nach anderen, womöglich tieferen Gründen zu forschen als die, welche meine damaligen Lehrer für dieselben aufstellten, welches mir denn auch oft gelang, so dass die Lehrer meine Beweise den ihrigen vorzogen, wodurch es geschah, dass man mir, nach einem anderthalbjahrigen Auf- § 8. 44 enthalt in jener Anstalt, einen mathematischen Unterricht anvertrauen zu können glaubte .... Durch die fortgesetzte Beschaftigung mit dem Unterrichte erweiterte sich, ohne dass ich es wusste und wollte, mein Streben nach wissenschaitlicher Einheit und Zusammenhang. Wie die in besonderen Abtheilungen verbundenen Satze einer mathematischen Disciplin, so, glaubte ich, müssten auch alle besonderen mathematischen Disciplinen auseinander hervorgehen; es schwebte mir die Idee der organischen Einheit aller Objekte der Mathematik vor, und ich glaubte damals, diese Einheit auf irgend einer Hochschule, wenn auch nicht als einen objectiv zu Stande gebrachten Lehrgegenstand, doch in der Form bestimmter Andeutungen zu finden. Es erweiterte sich nun zwar auf der Universitat (nl. Heidelberg) meine Kenntniss der mathematischen Objekte; ich lernte die combinatorische Analysis, die Differentialrechnung u. m. dergl. kennen, für den von mir gesuchten Gegenstand aber fand ich keine Befriedigung, vielmehr glaubte ich zu bemerken, dass der Mathematik noch im Allgemeinen jene organische Einheit fehle, dass nicht nur die Disciplinen nach der blossen Zufalligkeit ihrer Erfindung und ihres Gebrauchs zusammengestellt seien, sondern dass auch die Theile einer und derselben Disciplin gewöhnlich nur durch künstliche, und darum willkürliche Mittel aneinander gereiht werden, weshalb der Zusammenhang der einzelnen Satze oft ein gezwungenes, nicht naturgemasses Ansehen erhalte. Durch das Verfahren in der Pestalozzi'schen Anstalt früh schon zur Selbstthatigkeit angeleitet, versuchte ich nun, an denjenigen Disciplinen, denen ich am meisten gewachsen war, das zu erzeugen, was ihnen, meiner Meinung nach, so sehr Noth that. So stand ich auf mich selbst zurückgewiesen, und hatte nun bereits für einzelne Momente des wissenschaftlichen Zusammenhangs in einigen Disciplinen (in der Arithmetik, Algebra und Geometrie) manches nicht nur mich, sondern auch einige Sachkenner Befriedigende ausgemittelt, als sich mir endlich mein Gesichtskreis in der geometrischen Synthesis insbesondere so erweiterte, dass ich hoffen durfte, durch ein fortgesetztes Bemühen diesen Theil der Mathematik dem ihm organisch zukommenden Entwicklungsgange naher zu bringen. Die objektive Einsicht, wie auf solchem Wege zu verfahren sei, gewann ich in den letzten Jahren, wiewohl mir die erste Anlage § 8. 45 dazu in der Pestalozzi'schen Anstalt ward, weil dort die synthetische Methode, soviel als möglich, an der Hand der Anschauung geübt wurde". Verder gaande deelt hij dan den Minister een en ander van zijn plannen mede aangaande de publicatie van de uitkomsten zijner onderzoekingen, en verzoekt tenslotte „mich zum Behuf einer vollendeten Durchführung der von mir begonnenen Arbeiten der dringenden Sorgen für meine Subsistenz auf irgend eine Weise gnadigst zu entheben". De Minister, die Steiner geenszins kwalijk gezind was, vroeg over zijn werk het oordeel van F. W. Bessel, destijds in Königsberg, en aangezien dit uitermate gunstig uitviel, antwoordt de Minister dat hem tot zijn spijt in het geheel geen fondsen ter beschikking staan tot ondersteuning van litterair werk, maar dat hij hem zoo spoedig mogelijk zal benoemen tot leeraar aan een gymnasium waardoor, indien het geschied ware, Steiner juist het tegenovergestelde bereikt zou hebben van wat hij wenschte; niet nog méér, juist minder beslag wilde hij op zijn tijd gelegd zien, en hij hoopte dan ook op een geldelijke ondersteuning ten einde niet langer genoodzaakt te zijn zoo vele privaatlessen te geven. Hij heeft dan ook van het aanbod van den Minister geen gebruik gemaakt, integendeel zijn verzoek herhaald tegenover de pruisische Akademie van Wetenschappen, en van deze een som van 300 Thaler ontvangen ter bestrijding der drukkosten van het door hem uit te geven werk. Het desbetreffende besluit werd door de Akademie genomen op 3 Mei 1827, en het eerste deel der „Systematische Entwickelung" zag het licht in 1832; het staat te vreezen dat toen van de 300 Thaler wel niet zoo heel veel meer over geweest zal zijn! Steiner zweefden grootsche plannen voor den geest. De „Systematische Entwickelung" zou bestaan uit niet minder dan 5 deelen (vgl. de voorrede, Ges. Werke I, p. 235), en hierop zouden nog twee afzonderlijke werken volgen; de werkelijkheid is dat van dit alles verschenen is het eerste deel der „Systematische Entwickelung"! Dit povere resultaat zou natuurlijk in de hoogste mate te betreuren zijn indien wij van alles wat nog had moeten volgen onkundig gebleven waren, maar dit is gelukkig in geenen deele het geval. In de eerste plaats is het deel dat werkelijk verschenen is verreweg het belangrijkste van de vijf, omdat het het wezenlijk § 8. 46 nieuwe, nl. de methode bevat, die in de andere deelen zou worden toegepast, doch waarvan ook reeds in het eerste deel allerbelangrijkste voorbeelden voorkomen, o.a. toegepast op de kegelsneden en de éénbladige hyperboloïde en hyperbolische paraboloïde; in de tweede plaats zijn van de rest allerlei brokstukken als afzonderlijke verhandelingen in tijdschriften verschenen, en in de derde plaats is ons het vijfde deel, welks inhoud Steiner later als hoogleeraar te Berlijn met bijzondere voorliefde op zijn colleges behandelde, vrijwel volledig bekend in den vorm van twee afzonderlijke boekwerken, waarvan het eene, getiteld „Die Theorie der Kegelschnitte in elementarer Darstellung" geschreven is door C. F. Geiser, een achterneef van Steiner, gewezen hoogleeraar aan de Technische Hoogeschool te Zürich, en het tweede, onder den titel „Die Theorie der Kegelschnitte, gestützt auf projective Eigenschaften,"door Steiner's leerling Heinrich Schröter, in leven hoogleeraar te Breslau, en aldaar in 1892 gestorven. In 1832, toen de „Systematische Entwickelung" verscheen, was de schrijver (nl. van 1829 af) Oberlehrer aan de Berlijnsche „Gewerbeschule", de eerste duitsche Oberrealschule, het prototype onzer H.B.S., en het stemt ons eenigszins weemoedig indien wij lezen dat hij zich in hetzelfde jaar, waarin hij zich tegenover de geleerde wereld documenteerde als een geometer zooals er nog nooit een geweest was, tegenover het Curatorium zijner school, ja zelfs tegenover den „Stadtrat", herhaaldelijk te verantwoorden had wegens tekortkomingen in de uitoefening van zijn ambt, insubordinatie tegenover zijn directeur K1 ö d e n, die overigens zijn waarde als geleerde ten volle besefte, en tegenover hem van een werkelijk verheven lankmoedigheid blijk gaf, maar toch niet mocht dulden dat hij in het bijzijn der leerlingen van zijn leeraar aanmerkingen op zijn beleid te hooren kreeg, of dat Steiner buiten hem om zijn leerlingen beval de „Systematische Entwickelung" aan te schaffen, om die bij zijn onderwijs te gebruiken, wat ten eenenmale in strijd was met het programma. De ernstigste grief echter die men tegen hem had was, dat hij zich zelf niet meester was, en in zijn boosheid zijn leerlingen uitdrukkingen naar het hoofd placht te slingeren, die met den besten wil van de zijde der autoriteiten niet door den beugel konden. Genoeg, ingevolge zijn geringe zelfbeheersching was hij, om het zacht uit te drukken, geen geboren paedagoog, en een van zijn toenmalige § 8. 47 leerlingen, de latere dichter Theodor Fontane, drukt dit zeer treffend uit door te zeggen („Lebensjahre", p. 41): „Was sich mir aber am tiefsten eingepragt hat, ist das, dass sich in seinem ganzen Wesen eine gewisse Resignation aussprach" (ten minste zoolang hij niet boos gemaakt werd!) „eine leichte Schwermut darüber, sich mit einem, an ihm gemessen, so minderwertigen Material abquaïen zu müssen. Vielleicht waren Einige von Talent unter uns, aber was wollte das sagen! Aufs Ganze hin angesehen, stand ein Aristoteles vor aöc-Schützen." En intusschen werd hij den 29en December van hetzelfde jaar 1832 door de Universiteit te Königsberg honoris causa tot doctor gepromoveerd, en in 1834 tot lid der pruisische Akademie van Wetenschappen gekozen! School- en stedelijke autoriteiten waren breed genoeg van blik om te beseffen, dat zij met een in alle opzichten buitengewoon man te doen hadden, en behandelden hem dienovereenkomstig: Herr Director Klöden, blijkbaar een hoogstaand man, was gaarne bereid al het gebeurde te vergeten, en nam dan ook, toen speciaal voor Steiner in het jaar 1834 aan de Berlijnsche Hoogeschool een professoraat voor hoogere meetkunde gecreëerd was, in het schoolprogramma van 1835 in hoogst waardeerende bewoordingen afscheid van hem, en het stadsbestuur verleende hem eervol ontslag onder toevoeging van de woorden: „Wir danken Ihnen für Ihre erfolgreichen und ausgezeichneten Leistungen." Zoo eindigde deze ietwat stormachtige periode in rust en vrede, en kon Steiner met opgewekt gemoed de schoolmonarchie verlaten, om de vrije universitaire republiek te betreden waar hij rechtens thuis behoorde; en hier, in de vrije lucht der Hoogeschool, heeft hij geleefd, gewerkt, maar helaas ook lichamelijk zwaar geleden, tot aan zijn dood. Ook hier heeft hij van de zijde der autoriteiten steeds de meeste tegemoetkoming ondervonden, die zich o.a. duidelijk uitspreekt in de talrijke, en somtijds langdurige verloven (soms tot twee volle jaren toe) die hem tot herstel van gezondheid werden toegestaan, en wanneer hij, wat hem geweldig ergerde, nooit tot ordinarius bevorderd is, dan lag de oorzaak hiervan uitsluitend in de uiterlijke omstandigheden, en geenszins in den onwil der regeering. Perspectieve en projectieve puntenreeksen. § 9. Wij zagen in de vorige §, p. 44, uit Steiner's eigen § 9. 48 woorden, dat de eenheid, de organische samenhang van alle mathematische wetenschappen het doelwit vormden van al zijn bemoeiingen, en hoe hij naar dien samenhang gezocht heeft in de Rekenkunde, de Algebra, en de Meetkunde. Dat hij hem tenslotte in de Meetkunde gevonden heeft, daarvan legt de „Systematische Entwickelung" een schitterend getuigenis af. „Das vorliegende Werk", zoo zegt hij zelf in de met enthousiasme geschreven voorrede, „enthalt die Endresultate mehrjahriger Forschungen nach solchen raumlichen Fundamentaleigenschaften, die den Keim aller Satze, Porismen und Aufgaben der Geometrie, womit uns die altere und neuere Zeit so freigebig beschenkt hat, in sich enthalten. Für dieses Heer von auseinander gerissenen Eigenthütn^ lichkeiten musste sich ein leitender Faden und eine gemeinsame Wurzel auffinden lassen, von wo aus eine umfassende und klare Uebersicht der Satze gewonnen, ein freierer Bliek in das Besondere eines jeden und seiner Stellung zu den übrigen geworfen werden kann .... Gegenwartige Schrift hat es versucht, den Organismus aufzudecken, durch welchen die verschiedenartigsten Erscheinungen in der Raumwelt mit einander verbunden sind. Es giebt eine geringe Zahl von ganz einfachen Fundamentalbeziehungen, worin sich der Schematismus ausspricht, nach welchem sich die übrige Masse von Satzen folgerecht und ohne alle Schwierigkeit entwickelt. Durch gehorige Aneignung der wenigen Grundbeziehungen macht man sich zum Herrn des ganzen Gegenstandes; es tritt Ordnung in das Chaos ein, und man sieht, wie alle Theile naturgemass in einander greifen, in schönster Ordnung sich in Reihen stellen, und verwandte zu wohlbegrenzten Gruppen sich vereinigen. Man gelangt auf diese Weise gleichsam in den Besitz der Elemente, von welchen die Natur ausgeht, urn mit möglichster Sparsamkeit und auf die einfachste Weise den Figuren unzahlig viele Eigenschaften verleihen zu können. Hierbei macht weder die synthetische noch die analytische Methode den Kern der Sache aus, der darin besteht, dass die Abhangigkeit der Gestalten von einander und die Art und Weise aufgedeckt wird, wie ihre Eigenschaften von den einfacheren Figuren zu denzusammengesetzteren sich fortpflanzen. Enz." En iets verder: „Wenn nun wirklich in diesem Werke gleichsam der Gang, den die Natur befolgt, aufgedeckt wird, .... In deze woorden ligt geenerlei overdrijving, zoolang men zich beperkt tot figuren van den graad 2 (dus, om niet verder te gaan § 9- 49 dan drie dimensies, tot kegelsneden en kwadratische oppervlakken) en tot onderzoekingen die door déze figuren beheerscht worden. Niet dat men bij krommen, oppervlakken en stralenstelsels van hoogeren graad niet onophoudelijk de zoogenaamde „Steiner'sche stoommachine" („Ste i n e r's weefgetouw" lijkt ons een veel treffender beeld) in werking kan stellen, maar bij deze figuren van hoogeren graad begint een zeker fundamenteel getal, het zoogenaamde „geslacht" (dat bij figuren van den tweeden graad nul is) zijn storenden invloed te doen gelden, zoodat men bijv. niet kan zeggen dat de algemeene vlakke kromme van den 3en graad op Steiner's weefgetouw te weven is. Wat er echter wèl op te weven is, is van een omvang om een groot deel van een menscheneven te vullen .... en te verfraaien. Wij gaan er nu toe over de „wenige Grundbeziehungen" te ontwikkelen, waarvan hierboven sprake was, zullen echter daarbij de „Systematische Entwickelung" geenszins op den voet volgen, want als Leerboek hebben wij tegen dit werk allerlei bezwaren, waaronder er één is dat wij ook tegen andere beroemde boeken hebben, o.a. in de hoogste mate tegen de „Géométrie" van Descartes (vgl. Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde, 4e jaargang, 1916—17, p. 145), nl. dat de hoofdzaken niet genoeg op den voorgrond gebracht en niet fel genoeg belicht worden; bovendien geeft Steiner zelf in de reeds vroeger (§ 6, p. 32), geciteerde „Aufklarungsbroschüre" te kennen dat hij met de in de „Syst. Entw." gegeven uiteenzetting niet in allen deele tevreden is. Denken wij in één vlak twee rechten / en /' en een willekeurig punt O. De rechten, opgevat als dragers hunner punten, noemen vfi\puntenreeksen, en indien wij nu de reeks / uit het punt O op l' projecteeren, dan wordt aan ieder punt A van / een punt A' van /' toegevoegd, e n omgekeerd, en wel, ingevolge onze afspraken aangaande het oneindige (vgl. § 1, p. 4), zonder uitzondering; want de parallelstraal door O aan /', die / snijdt in het verdwijnpunt W, ontmoet /' in het, volgens onze opvatting bepaalde punt W'x, en de parallelstraal door O aan /, die /' ontmoet in het vluchtpunt V', snijdt / in het bepaalde punt VK. Het snijpunt S van / en /' is aan zich zelf toegevoegd, en draagt dus tevens de notatie S'; en volgens de grondstelling van de onveranderlijkheid der dubbelverhouding bij projectie (§ 4, p. 17) geldt voor elke 4 punten A, B, C, D van / en hunne toegevoegde van l' de fundamenteele betrekking: (ABCD) = (A'B'C'D'). Hk. de Vries. Projectieve Meetkunde. 4 § 9. 50 Men noemt deze onderlinge ligging der beide puntenreeksen de perspectieve (of perspectivische) ligging, en spreekt van twee perspectieve puntenreeksen; O is het perspectiefcentrum (bij Steiner „Projectionspunct", Syst. Entw. § 9, Ges. W. I, p. 259). Wat geschiedt nu indien men de ééneenduidige toevoeging der punten laat bestaan, maar de perspectieve ligging opheft? Het perspectiefcentrum gaat verloren, dus de verbindingslijnen van overeenkomstige punten gaan niet alle meer door één punt, en het snijpunt der beide dragers zal niet meer aan zich zelf zijn toegevoegd, en dus bijv. de notatie A, B' dragen; ja, indien de beide dragers na opheffing der perspectieve ligging niet meer in één vlak liggen, dan Is er geen snijpunt meer; voor de rest verandert er niets, en in het bijzonder zal de gelijkheid der dubbelverhoudingen blijven bestaan. Men noemt in dit geval de onderlinge ligging der beide reeksen de projectieve (Steiner spreekt van „schiefe Lage", 1. c. p. 260), en spreekt van projectieve puntenreeksen. Volgens deze definitie zijn projectieve puntenreeksen dus dezulke, die eertijds perspectivisch geweest zijn, maar daarna uit elkaar genomen zijn; zij zullen dus ongetwijfeld weer perspectivisch wórden, indien men de punten S en S' opzoekt, deze op elkaar legt, en de beide dragers weer denzelfden hoek met elkaar laat insluiten van vroeger. Maar nu is de belangrijke opmerking te maken dat in de eerste plaats die hoek van hoegenaamd geen beteekenis is, en dat men zelfs de punten S en & niet op elkaar behoeft te leggen; zoodra men twee willekeurige toegevoegde punten A, A' op elkaar legt worden de reeksen perspectivisch. Immers indien men het snijpunt van BB' en CC' O noemt, en nu D uit O op /' projecteert, dan ontstaat een punt D*' zóódanig dat {ABCD) = (A'B'C'D*') (waar A' = A); maar anderzijds is (ABCD) = = (A'B'C'D'), dus volgt: (A'B'C'D*') = (A'B'C'D'), wat volgens § 3, p. 12 slechts mogelijk is indien D*' identisch is met D'; de verbindingslijnen van alle paren DD' gaan dus eveneens door O, de beide reeksen zijn perspectivisch. Twee projectieve puntenreeksen kunnen dus op oneindig veel verschillende manieren perspectivisch gemaakt worden, nl. door eenvoudig twee toegevoegde punten op elkaar te leggen. Kan men ook direct twee projectieve puntenreeksen maken, 51 d. w. z. zonder van de perspectieve ligging uit te gaan? Men .neme 3 paar toegevoegde punten A, A'; B, B'; C, C' naar willekeur aan, en schrijve de gelijkheid der dubbelverhoudingen voor; dan is; (ABCX) = (A'B'C'X') een betrekking waardoor aan ieder punt X één punt X' wordt toegevoegd, en omgekeerd, terwijl evenals boven volgt jdat de drie lijnen BB', CC', XX' door één punt gaan zoodra men A en A' op elkaar legt; de reeksen zijn dus projectief, en wij hebben de fundamenteele stelling: Twee projectieve puntenreeksen zijn bepaald door drie paar toegevoegde punten. De drie puntenparen A, A'; B, B'; C, C' spelen hier in zekeren zin een bevoorrechte rol, doordien alle andere punten op hen betrokken worden; dit is echter slechts schijn, want indien alle lijnen XX', nadat de reeksen perspectivisch gemaakt zijn door bijv. A' op A te leggen, door het snijpunt van BB' en CC' gaan, dan volgt daaruit onmiddellijk dat: (X&XaXA = (X^Xz'Xs'X'A, uit welke betrekking de fundamentaalpunten verdwenen zijn. Denken wij eens 4 punten A, B, C, X van / bepaald door hunne, met behoorlijke inachtneming der teekens gemeten afstanden a, b, c, x van een vast nulpunt, en evenzoo op /', dan geeft de gelijkheid der dubbelverhoudingen: (ABCX) = (A'B'C'X') (c — a) (x — b) _ (c' — a') (x' — b') (c — b) (x — a)~ (c' — b') (x' — a1)' en indien men hier de breuken weg maakt, dan ziet men onmiddellijk dat een betrekking voor den dag komt van den vorm: ), of: BW^AV AW B'Vn VA'. WA = VB'. WB, in woorden: in twee A puntenreeksen is het product der afstanden van twee toegevoegde punten tot de tegenpunten constant, een stelling die, natuurlijk geheel los van de theorie der 7\~ reeksen, nl. als eigenschap van een omgeschreven parallelogram eener kegelsnede in verband met een vijfde raaklijn, gevonden is door Brianchon (Syst. Entw. § 37, Ges. W. I, p. 330), en waarvan de diepste grond (vgl. § 4, p. 17) te zoeken is in het feit dat het product VA'. WA de waarden 0 en oo niet aan kan nemen; want valt A' met V' samen, dan is weliswaar VA' = 0, maar daarvoor WA = WVx = oo, en zou, als het product veranderlijk was, door limietovergang blijken dat 0 . oo in dit geval nóch 0, nóch oo was. § 13. 78 Bij den cirkel neemt nu het product VA'. WA een bijzondere waarde aan. Een omgeschreven parallelogram is hier een ruit, en. uit de symmetrie ten opzichte van de diagonalen volgt dat RR' II VW (wat trouwens in het algemeen óók zoo is, vgl. § 12, p. 66), en dus z RMW = z R'MV = *, en z SMW = SMV = 90°. Noemen wij nu de basishoeken van den gelijkbeenigen ASVW&, de beide hoeken met de stip er in (i, en die met het kringetje y, dan is allereerst gemakkelijk in te zien; dat: * = (3 + y. Laten wij nl. de. raaklijn AA' langs den cirkel rollen totdat A met R, A' met S samenvalt, dan wordt z SMR = (3 -f y; maar de rechthoekige AA SMR en SMW zijn gelijkvormig, dus is z SMR = SWM; q. e. d. Beschouwen wij thans A A'VM en A AWM, die de hoeken bij V' en W gelijk hebben, nl. = «. z A' = 90° — /3, z A = 90° — y, dus: z A+ z A' = 180° — «. ^ A' + z A'MV' = 180° — «, dus: ^ A = z A'MV', dus zijn de AA A'VM en AWM gelijkvormig, en wel zóó dat: VA' : WM= V'M: WA, of: VA'. WA = WM . V'M = \ V'W. Omgekeerd is nu gemakkelijk aan te toonen dat indien twee ~A~ reeksen aan deze betrekking voldoen, hun voortbrengsel een cirkel is. Verdere toepassingen van de stelling van Brianchon. § 14. Wij denken een parabool gegeven door 4 raaklijnen (de 5e is /«,); gevraagd het raakpunt op lx. Wij noemen (Fig. 21) de 4 gegeven raaklijnen, in willekeurige volgorde genomen, 1 ... 4, de oneindig verre 5, en met deze laten wij 6 samenvallen. Toepassing van de stelling van Brianchon voert tot het punt Br. 1, en de verbindingslijn hiervan met 23 leidt naar het oneindig verre raakpunt 56. Alle lijnen die naar dit punt toe loopen noemt men middellijnen der parabool, en wij willen nu eens trachten die raaklijn te construeeren die op alle middellijnen loodrecht staat. Te dien einde geven wij door een pijl de richting loodrecht op de middellijnen aan, noemen het oneindig § 14. 79 verre punt van deze 56, en trachten nu de raaklijn te construeeren die lx = 5 juist in dit punt snijdt. Toepassing van Brianchon geeft het punt Br. 2, en de verbindingslijn hiervan met 34 snijdt 1 in eeri punt van de gezochte raaklijn t, die hierdoor bepaald is. Men noemt deze raaklijn de topraaklijn der parabool, haar raakpunt T den top, en de middellijn a door den top de as, alles om redenen die later duidelijker zullen worden: vragen wij thans hier nog slechts of wij den top T, en daarmede de as, kunnen Fig. 21. construeeren. Wij stappen dan, nu het tóch eenmaal zeker is dat onze kromme een parabool is, van de oneindig verre raaklijn af, behouden daarentegen 1, 2, 3, 4. en noemen de topraaklijn 56. Toepassing van Brianchon levert dan het punt Br. 3 op1), en de lijn die dit punt met 23 verbindt gaat door T; de as a is, zooals reeds gezegd, de middellijn door T. Wij zullen later bewijzen dat de parabool ten opzichte van haar as a orthogort aal, ten opzichte van iedere middellijn scheef symmetrisch is, nl. voor de richting der raaklijn in het uiteinde der middellijn als richting der symmetriestralen. Vraagstuk. Van een constanten hoek PAB = a draait het eene been om een vast punt P, terwijl het hoekpunt A een rechte g doorloopt; welke kromme omhult het andere been AB? (Fig. 22). *) Dit punt ligt in de figuur verkeerd; het moet liggen in het snijpunt van de lijn die A met het snijpunt van 4 en 2 verbindt en de lijn CBr. 2. § 14. 80 Oplossing. Wij denken door P nog de lijn // AB getrokken, en zetten den toestel nu in beweging; dan beschrijven de beide stralen door P twee congruente, en dus projectieve, waaiers, en van deze snijden wij den eenen met g, den anderen met /„, waardoor op deze twee rechten twee ~K puntenreeksen ontstaan, voor welke de lijnen AB de verbindingslijnen der paren toegevoegde punten zijn. AB omhult dus een reekskromme die zoowel g als lx aanraakt, d. w. z. een parabool. Nu wij eenmaal weten dat g een raak■9 lijn is, is het raakpunt gemakkelijk te bepalen. Laten wij nl. het punt A naar rechts verschuiven, dan komt er een oogenblik waarop AB met g samenvalt; de, overigens hoogst eenvoudig te con- Fig- 22. strueeren plaats waar het punt A zich dan bevindt, is het raakpunt op g. Wij kunnen echter ook nog iets anders doen, nl. 3 posities uitkiezen voor het punt A, de daaraan toegevoegde punten op 4, bepalen, en nu het XIIIe Lemma van Euclides toepassen (vgl. § 11, p. 62); de rechte lijn die wij dan vinden, en die niets anders is dan de perspectiefas der beide A~ reeksen uit de bijzondere constructie van Steiner (vgl. § 12, p. 65), bevat niet slechts opnieuw het raakpunt op g, maar tevens dat van /«,, heeft dus de richting der middellijnen en van de as der parabool. Ook op AB echter laat zich het raakpunt bepalen; in de eerste plaats natuurlijk door 3 van deze lijnen te nemen (wat met g en lx vijf uitmaakt) en dan Brianchon toe te passen, in de tweede plaats echter, wat hier veel korter is, door een kinematisch beginsel toe te passen dat ook elders veelvuldig gebruikt wordt (vgl. bijv. het „Leerboek der Differentiaal- en Integraalrekening" van schrijver dezes, Deel I, § 54, p. 210, Groningen, P. Noordhoff, 1919), en dat berust op de stelling dat een oneindig kleine beweging van een vlakke figuur, die zich in haar eigen vlak beweegt, beschouwd kan worden als een draaiing om een zeker punt, het oogenblikkelijk rotatiecentrum, dat zelf voortdurend van plaats verandert. Bij een draaiing nl. beschrijven op zeker oogenblik alle punten der figuur cirkelbogen om het rotatiecentrum, en is § 14. 81 § 14. dus voor ieder punt de richting der beweging, dus der snelheid, loodrecht op de verbindingslijn van dat punt met het rotatiecentrum. Trachten wij nu, dit wetende, eens het oogenblikkelijk rotatiecentrum van het mecanisme te bepalen. Het punt A glijdt langs g; de richting der beweging is dus langs g, derhalve gaat de loodlijn in A op g door het rotatiecentrum. Denk verder een punt op PA, oneindig weinig boven of onder P gelegen. Al naar gelang A naar links of rechts gaat, valt één van deze punten met P samen, zoodat wij moeten aannemen dat het zich een oneindig kort oogenblik langs AP bewogen heeft; de loodlijn in P op AP opgericht gaat dus eveneens door het rotatiecentrum, zoodat dit punt, O in de figuur, bepaald is. Nu is het raakpunt ƒ? van AB het snijpunt van AB met een oneindig weinig daarvan afwijkenden stand; laten wij echter uit O de loodlijn OR op AB neer, en geven wij AB een oneindig kleine rotatie, dan begint R met zich te bewegen langs AB; R is dus het snijpunt van AB met een oneindig weinig daarvan afwijkenden stand, d.w.z. het raakpunt. Zet men den hoek oc aan de andere zijde van PA uit, dan ontstaat blijkbaar een tweede parabool, die met de eerste symmetrisch ligt ten opzichte van de loodlijn, uit P op g neergelaten; maakt men echter z a. = 90°, dan vallen beide parabolen blijk¬ baar samen in één enkele, die met zich zelf symmetrisch is ten opzichte van de loodlijn uit P op g, d.w.z. waarvoor die loodlijn de as is. En de constructie van het raakpunt van g levert blijkbaar het voetpunt dier loodlijn op, zoodat dit voetpunt de top, g dus de topraaklijn is. Fig. 23 brengt deze constructie in beeld; P is het vaste punt, en de lijn g is t genoemd, omdat zij de topraaklijn wordt. En het raakpunt R op AB wordt gevonden door in A de loodlijn op t, in P die op PA op te richten, deze in O met elkaar te snijden, en uit dit punt de loodlijn op AB neer te laten. Hk. de Vries, Projectieve Meetkunde. 6 Fig. 23. 82 P wordt in dit geval het brandpunt der parabool genoemd; nemen wij deze benaming over, dan hebben wij blijkbaar de volgende stelling gevonden: de meetkundige plaats van de voetpunten der loodlijnen, uit het brandpunt eener parabool op de raaklijnen neergelaten, is de topraaklijn. Deze stelling, aangevuld door de constructie der raakpunten, geeft blijkbaar een even eenvoudige als korte constructie der parabool uit brandpunt en topraaklijn. Men kan echter nog iets anders doen. De lijn d // t, en even ver van t gelegen als P, heet de richtlijn of directrix der parabool; beschouwen wij nu eens A BPR. De vierhoek APOR is een rechthoek, dus zijn de hoeken met de boogjes er in bij A en P gelijk, z O AS is recht, dus is de hoek bij A met het kruisje er in het complement van dien met de boogjes. Verder is A BPA rechthoekig bij A, en 5 het midden der hypotenusa; dus is SA = SB = SP, en z BPA gelijk aan dien met het kruisje; maar dan is z BPR recht. Eindelijk is AQ = AP, en dus A BQR het spiegelbeeld van A BPR, derhalve de hoek bij Q recht, en RP = RQ. Deze uitkomsten geven aanleiding tot enkele interessante en eenvoudige eigenschappen der parabool. Ten eerste volgt uit AQ = AP dat de meetkundige plaats van de spiegelbeelden van het brandpunt ten opzichte van de raaklijnen der parabool de richtlijn is. Ten tweede volgt uit RP = RQ dat de parabool de meetkundige plaats is van alle punten die even ver verwijderd zijn van een vast punt P, het brandpunt, als van een vaste rechte d, de richtlijn. Hieruit vloeit onmiddellijk voort dat de parabool orthogonaal symmetrisch is ten opzichte van de loodlijn PD, de as, en dat de top T in het midden ligt tusschen P en D en de topraaklijn evenwijdig is aan de richtlijn. Uit z BPR = 90° volgt: Het stuk eener raaklijn tusschen het raakpunt en de richtlijn wordt van uit het brandpunt onder een rechten hoek gezien, een eigenschap die wij bij de ellips en de hyperbool terug zullen vinden (hoe luidt zij bij den cirkel?), en die veroorlooft het punt . 7? nog iets vlugger te vinden dan door middel van het oogenblikkelijk rotatiecentrum O. Maakt men SA* = SA, dan volgt uit SA* = SA = SB = SP § 14 83 dat ABA*P een rechthoek is; maar dan is BA* óók een raaklijn, en wel degene die op BA loodrecht staat, en is R* het raakpunt; dus: De meetkundige plaats der punten, van waaruit aan de parabool twee onderling loodrechte raaklijnen getrokken kunnen worden, is de richtlijn; de verbindingslijn der raakpunten gaat door het brandpunt. Volgens § 7, p. 35 is dus RR* de poollijn van B, maar ook de richtlijn de poollijn van het brandpunt. Vraagstuk. Gegeven een stralenwaaier aan het punt P (Fig. 24), en een daarmee projectieve puntenreeks (A. . ..) op een lijn g. F'g- 24. Fig. 25. Door ieder punt A trekt men een lijn AA*, die met den toegevoegden straal a een gegeven hoek ■ ontbreekt), door één punt gaan. Beschouwt men den M Fig. 31. zeshoek PKNOVQ, dan liggen volgens Pascal de punten (PK, OV) = M, (KN, VQ) = S, (NO, PQ) = ? op een rechte lijn; MS is dus wat wij tegenwoordig de lijn van Pascal noemen. En, zooals gezegd, beweert Pascal uitdrukkelijk dat de stelling óók geldt voor een willekeurige kegelsnede. Een bewijs kan men natuurlijk in den „Essay" niet verwachten; het is echter nauwelijks aan twijfel onderhevig dat hij de stelling door middel van de Transversalentheorie voor den cirkel bewezen heeft en daarna door projectie op de kegelsneden heeft overgedragen. Den naam „Hexagrammum mysticum" ontmoet men in den „Essay" niet; maar in den hierboven aangehaalden brief zegt Leibniz van de tweede der 6 verhandelingen: „Après avoir expliqué (nl. in de eerste: „Generatio conisectionum") la génération des sections du cöne, faite optiquement par la projection 94 d'un cercle sur un plan qui coupe le cóne des rayons, il explique les propriétez remarquables d'une certaine figure, composée de six lignes droites, qu'il appelle Hexagramme Mystique, et il fait voir par le moyen des projections que tout Hexagramme Mystique convient a une section conique, et que toute section conique donne un Hexagramme Mystique". En aangezien aan deze tweede verhandeling een titel ontbreekt, stelt Leibniz voor er boven te zetten: De Hexagrammo mystico et conico. Op eigenaardige wijze komt hier ook tot uiting dat Pascal zijn zeshoek niet zóó onafscheidelijk met de kegelsneden verbonden achtte als wij zulks gewoon zijn, en inderdaad heeft Leibniz een paar figuren van Pascal overgeteekend (CEuvres, t II, p. 232), waarin de kegelsnede niet voorkomt; een Hexagrammum mysticum was dus voor Pascal een zeshoek, waarin de snijpunten van de drie paar overstaande zijden op een rechte lijn liggen, en de hoofdeigenschap van zulk een zeshoek was, dat de zes hoekpunten op een kegelsnede liggen. Dat Desargues met de vondst van zijn leerling ingenomen was laat zich hooren; hij noemde haar steeds met trots La Pascale. Nadat Pas ca I's „Essay" met het geheele werk over de kegelsneden verloren gegaan was, merken wij niets meer van de stelling tot het jaar 1707, toen de 1'Hospi tal in zijne „Sections coniques", p. 140 het volgende bijzondere geval ontdekte, zonder eenig vermoeden echter dat hij hier te doen had met een bijzonder geval van een algemeene stelling: „bezit een in een kegelsnede beschreven vijfhoek 2 paar evenwijdige zijden, dan loopt de raaklijn in het hoekpunt tegenover de laatste zijde evenwijdig aan die laatste zijde"; opnieuw ontdekt echter werd de algemeene stelling ongeveer gelijktijdig (1726) door Braikenridge en Mac Laurin, beiden woonachtig te Edinburgh (de laatste heeft haar in 1727 het eerst meegedeeld, maar Möbius schrijft haar in zijn „Baryc. Calcül" uit het jaar 1827 nog toe aan Robert Simson; in 1847 echter spreekt hij in „Crelle's Journal" 36, p. 216—220, Ges. Werke I, p. 591 van eene „Verallgemeinerung des Pascal'schen Theorems etc"), en tusschen deze beiden heeft zij aanleiding gegeven tot een prioriteitsstrijd in den trant van dien tusschen Poncelet en Gergonne over het dualiteits- § 16 95 beginsel; een prioriteitsstrijd over den roem der eerste ontdekking van een stelling die reeds bijna honderd, misschien zelfs wel 2000 jaar oud was! Braikenridge gaat in zijne „Exercitatio geometrica de descriptione linearum curvarum" (1733) uit van de destijds zoo genoemde voortbrengingswijze eener kegelsnede door middel van 3 polen (Fig. 32), zie ook M ö b i u s „Baryc. Calcül § 65, Ges. Werke I, p. 89. Draaien de drie zijden van een driehoek om 3 niet in een rechte lijn gelegen punten (de 3 polen), terwijl 2 van de 3 hoekpunten rechte lijnen doorloopen, dan doorloopt het derde hoekpunt een kegelsnede. (Liggen de 3 polen op een rechte lijn, dan beschrijft het derde hoekpunt geen kegelsnede, maar eveneens een rechte, die bovendien door het snijpunt der eerste twee gaat; de kegelsnede ontaardt dan in deze rechte en de verbindingslijn C der 3 polen, en de geheele figuur wordt eenvoudig die van de stelling van Desargues over perspectieve AA; vgl. Fig. 32. § 10, p.56). Braikenridge bewijst de stelling van de 3 polen langs analytischen weg; voor ons echter is zij niets anders dan de voortbrengingswijze eener kegelsnede door middel van 7\~ waaiers. Draait een rechte om het punt C (Fig. 32), dan worden de reeksen der punten A en B perspectivisch; en worden deze reeksen uit de beide andere polen 5 en 3 geprojecteerd, dan ontstaan twee projectieve waaiers aan de toppen 5 en 3. Deze toppen behooren dus tot de kegelsnede, verder blijkbaar het snijpunt 1 der beide vaste rechten, terwijl, indien CBA met C 5 samenvalt, B blijkbaar op de kegelsnede komt, nl. in 6, en indien CBA met C 3 samenvalt, A op de kromme komt in 2. Wij hebben zoodoende op de kegelsnede 6 punten, en indien wij aan deze de notatie geven der figuur, dan wordt 123456 een ingeschreven zeshoek, voor welken de snijpunten der 3 paar overstaande zijden de punten A, B, C zijn; deze echter liggen op een rechte lijn. In een verhandeling, gepubliceerd in het jaar 1810 in het „Journal § 16. § 16. 96 de 1'école polytechnique", Cahier 10, p. 1—13 brengt Brianchon de voortbrengingswijze der kegelsnede door middel van 3 polen weer in herinnering, bewijst hieruit de stelling van Pascal, en vindt dan door toepassing van de „théorie des polaires réciproques" zonder eenige moeite het naar hem genoemde theorema van den omgeschreven zeshoek. ||S Wij kunnen er niet aan denken hier de volledige geschiedenis te geven van de stelling van Pascal, want deze stelling is langs meer verschillende wegen bewezen dan wellicht eenige andere: door toepassing van het projectiebeginsel, van de theorie der zoogenaamde „bundels" van vlakke krommen, van de transversalentheorie, van beschouwingen ontleend aan de Stereometrie, met name aan de beide lijnenstelsels der éénbladige hyperboloïde, eindelijk door toepassing van de Analytische Meetkunde; wij willen nog slechts de volgende opmerkingen maken. Is in een kegelsnede een zeshoek ABCDEF beschreven, en snijden AB en DE elkaar in G, BC en EF in H, dan kan men, zooals wij later zullen aantoonen, de lijn GH in het onein¬ dige, en tevens de kegelsnede in een cirkel projecteeren, indien ten minste GH de kegelsnede niet snijdt. De figuur neemt dan de gedaante aan van Fig. 33, met AB // DE, BC//EF. Nu is: bg CDEFA = bg F ABCD, dus ook: bg DEF = bg ABC, dus: 6 DCF= z CFA, dus: CD II AF. Ook het snijpunt van het derde paar overstaande zijden ligt dus in het oneindige, waaruit door terug projecteeren volgt dat vóór de projectie de stelling van Pascal gold. Dit bewijs is van Gergonne, „Annales", t. 4, 1813, p. 78—84, en is door Poncelet overgenomen in zijn „Traité", N°. 201; het is belangrijk om de opmerking die Gergonne er bij maakt. Feitelijk immers is de stelling slechts bewezen indien GH de kegelsnede niet snijdt, omdat slechts voor dit geval de lijn GH in het oneindige, en tegelijk de kegelsnede in een cirkel gepro- 97 jecteerd kan worden; maar Gergonne overweegt dat de stelling als zoodanig van de realiteit dier snijpunten onafhankelijk is; de diepere oorzaken der stelling zijn in het eene geval dezelfde als in het andere, dus geldt de stelling algemeen zoodra zij in één geval geldt. Dit is, voor de eerste maal uitdrukkelijk uitgesproken, het Continuïteitsbeginsel, dat Poncelet later tot één van de drie grondprincipes van zijn „Traité" gemaakt heeft; stilzwijgend toegepast was het trouwens reeds menigmaal, zoo door Monge, Brianchon, Carnot, e. a. In de derde zijner verhandelingen over het dualiteitsbeginsel: „Recherche sur quelques lois générales etc", Annales, t. 17, p. 222 (zie boven § 7, p. 38) geeft Gergonne nog een ander bewijs, dat de stelling weer van een geheel andere zijde belicht. Lamé, een tijdgenoot van Gergonne en Poncelet, had het begrip „bundel" ontdekt, zijnde bij vlakke krommen het inbegrip van alle krommen van den nea graad die dezelfde n2 snijpunten bezitten. Gergonne leidde hieruit af dat indien van die n2 basispunten mn op een kromme van den men graad liggen, de overige n(n — m) op een kromme van den graad n — m liggen, en begreep onmiddellijk dat de stelling van Pascal ook van deze zijde kan worden benaderd: beschouwt men de eerste, derde, en vijfde zijde van den zeshoek als een ontaarde kromme van den derden graad, en evenzoo de tweede, vierde, en zesde, dan liggen van de 9 snijpunten 6 op een kegelsnede, dus moeten de 3 overige op een rechte lijn liggen; dit is de lijn van Pascal. Ten slotte geven wij voor kenners der Analytische Meetkunde nog het volgende, uiterst elegante analytische bewijs van G. Salmon (vgl. bijv. Salmon-FrLedler „Analytische Geometrie der Kegelschnitte," 5e Aufl., 2" Teil, p. 285). Zijn de 6 hoekpunten 1 ... 6, en noemen wij de vergelijking van de zijde 12 L12 enz., dan moet de vergelijking van de kegelsnede, die immers de punten 1, 2, 3, 4 bevat, op den vorm: ^12 . L84 — i . L2s . Lu = 0, en omdat zij ook de punten 4, 5, 6, 1 bevat, op den vorm: &5 • — F • ^-56 • Lu = 0 te brengen zijn. Gelijkstelling van de linker zijden geeft: ^-12 • ^34 — ^45 • ^61 ~ Lu. ()• . L23 — u . Lse). Aangezien het rechter lid bestaat uit een lijnenpaar, nl. 14, en een zekere lijn p door het snijpunt van 23 en 56, moet ook het Hk. de Vries, Projectieve Meetkunde. 7 § 16. 98 linker lid dit lijnenpaar voorstellen; één van de bestanddeelen is weer 14, want het linker lid wordt 0 voor L12 = L61 = 0, d.w.z. het punt 1, en L34 = = 0, d. i. het punt 4; het andere, dat dus samen moet vallen met p, bevat het snijpunt van 12 met 45, en van 34 met 61. Q. e. d. Wij mogen van de stelling van Pascal niet afstappen alvorens de opmerking gemaakt te hebben dat Steiner onder den titel „Théorèmes sur 1'Hexagrammum mysticum," in een mededeeling in Gergonne's „Annales", t. 18, „Werke", Bd. I, p. 224, die slechts enkele weinige regels bevat, maar tal van onderzoekers stof geleverd heeft tot uitvoerige studiën, deze stelling heeft uitgebreid en gecompleteerd door op te merken dat men met behulp van dezelfde zes punten 60 verschillende zeshoeken van Pascal, en dus ook 60 verschillende Pascallijnen kan krijgen, die 20-maal drie aan drie door eenzelfde punt gaan (Steiner'sche punten), welke punten zich verdeelen in 10 groepen van 2, telkens in groepen van 4 op 15 rechten liggen (rechten van Steiner-Plücker) enz. enz.; o.a. vormen de 20 punten van Steiner en de 15 rechten van Steiner-Plücker een configuratie van Hesse Cf. (203, 154). Natuurlijk wordt niet vergeten ook de stelling van Brianchon te completeeren. Steiner had zich oorspronkelijk vergist in het aantal rechten waarop telkens 4 der 20 punten liggen waardoor 3 lijnen van Pascal gaan, en voor dit aantal opgegeven 5 in plaats van 15, welk laatste getal het juiste is, omdat elk van die punten op 3 van die rechten ligt (bovendien had hij beweerd dat die 5 rechten door één punt gingen); nadat Plücker in het „Journal für die reine und angewandte Mathematik", Bd. 5, p. 280 op de fout gewezen had, heeft Steiner in den „Anhang" van de Syst. Entw., vraagstuk 54, „Werke", Bd. I, p. 450 de zaak in orde gemaakt. Een uitvoerige behandeling van de gecompleteerde theorema's van Pascal en Brianchon vindt men o.a. bij Steiner-Schröter p. 125, Salmon-Fiedler, „Anal. Geom. d. Kegelsch., 5e Aufl., 2" Teil, p. 459, en voorts in het proefschrift van Kijlstra „Ruimtebeschouwingen in verband met den Pascal'schen zeshoek", 1903. Ook Möbius, „Crelle's Journal" 36, p. 216-220, Ges. Werke I, p. 591—595, heeft de stelling van Pascal uitgebreid, nl. op veel- § 16. 99 hoeken met meer dan 6 zijden; deze uitbreiding is echter veel minder belangrijk dan die van Steiner. Toepassingen van de stelling van Pascal, § 17. Vraagstukken. 1) Gegeven een kegelsnede door 5 punten; gevraagd op een lijn door één dier punten een 6e punt te construeeren, in het bijzonder in dat punt de raaklijn te bepalen. 2) Gegeven een hyperbool door 3 punten en de richtingen der beide asymptoten; gevraagd verdere punten en raaklijnen te construeeren, alsmede in het bijzonder de beide asymptoten. 3) Gegeven een kegelsnede door 4 punten en de raaklijn in één van die punten, of door 3 punten en de raaklijnen in 2 daarvan; construeer verdere punten en raaklijnen. Aangezien deze vraagstukken niets anders eischen dan eenvoudige toepassing van de stelling van Pascal, en er verder niets bij op te merken valt, meenen wij ze met stilzwijgen voorbij te mogen gaan. 4) Gegeven een kegelsnede door 3 punten en de raaklijnen in 2 daarvan; construeert men met Pascal ook de raaklijn in het derde punt, dan bevat de constructie het bewijs van de stelling: Is in een kegelsnede een driehoek beschreven, dan liggen de snijpunten der zijden met de raaklijnen in de overstaande hoekpunten op een rechte lijn, de dualistische van de stelling van Mac Laurin over den omgeschreven driehoek, vgl. § 13, p. 76 (Syst. Entw. § 42, IV 1, Werke I, p. 343). 5) Gegeven een hyperbool door de beide asymptoten en een punt. Op een lijn door dat punt het tweede snijpunt te bepalen. Men late (Fig. 34) in het oneindig verre punt der ééne asymptoot de punten 1 en 2, in dat der andere 3 en 4 samenvallen, en noeme het gezochte punt 6; dan loopt, omdat de lijn 23 geheel in het oneindige ligt, de lijn van Pascal evenwijdig aan de gegeven lijn 56, en vindt men onmiddellijk uit de figuur: I III = 6Sx = 5S2 x), waaruit volgt: 55x = 6S2, dus: op een willekeurige snijlijn eener hyperbool zijn de beide stukken, gemeten tusschen de kromme zelve en hare asymptoten, even lang, !) St en S2 zijn de snijpunten van 56 met de beide asymptoten. § 17. 100 een allereenvoudigst middel om, als de asymptoten en een punt gegeven zijn, andere punten in grooten getale en in den kortst mogelijken tijd er bij te vinden. Wil men in het bijzonder de raaklijn in het punt 5 hebben, dan laat men het punt 6 met 5 samenvallen, past opnieuw de 34. Fig. 34. FiS- 35- stelling van Pascal toe, vindt (Fig. 35) dat de gezochte raaklijn evenwijdig is aan de lijn van Pascal, en dat het stuk eener raaklijn, begrepen tusschen de beide asymptoten, door het raakpunt middendoor wordt gedeeld, blijkbaar een gevolg, en een bijzonder geval, van de voorlaatste stelling. 6) Twee hoeken « en (3 van onveranderlijke grootte draaien zóódanig om hunne hoekpunten dat een been van « en een been van |3 elkaar steeds snijden op een vaste rechte /; gevraagd de meetkundige plaats van het snijpunt der beide andere beenen. De beide beenen die elkaar op / snijden beschrijven blijkbaar twee A waaiers met perspectiefas /, de beide andere dus A, waaruit onmiddellijk volgt dat hun snijpunt een kegelsnede beschrijft die door de hoekpunten T en T' gaat. Dit is de zoogenaamde descriptlo organica van Newton (Syst. Entw. § 46 V, Werke I, p. 359), door dezen zelf zeer gewaardeerd, en op verschillende plaatsen in zijn werken besproken; onze groote Raadpensionaris Johan de Witt, eveneens een wiskundige van beteekenis in zijn dagen — hij moet o.a. als de § 17. 101 grondlegger der levensverzekeringswiskunde worden aangezien — heeft in zijn „Elementa curvarum linearum" (1683; het werk bestaat uit twee „boeken"; in het eerste behandelt de schrijver langs elementair planimetrischen weg, en in groote uitvoerigheid, de hier in het kort meegedeelde constructies, in het tweede past hij de nieuwe coördinatenmethode van Descartes toe) voortbrengingswijzen voor de parabool en de hyperbool aangegeven, die als bijzondere gevallen van de descriptio organica beschouwd kunnen worden, wat de Witt zelf echter niet heeft opgemerkt. Laat z. a = 0 worden, en het hoekpunt T in het oneindige verdwijnen, dan krijgen wij een stel evenwijdige stralen. Elk van deze stralen snijdt nu het ééne been van f3, zeggen wij het onvrije been, op /, en het vrije been in een punt P; de meetkundige plaats van P is blijkbaar een kegelsnede die door T' en T„ gaat. De raaklijnen in deze twee punten zijn de toegevoegde stralen van den gemeenschappelijken straal T'TX; laten wij nu het onvrije been met dezen samenvallen, dan geeft het vrije de raaklijn in T.', laten wij het vrije er mee samenvallen, dan snijdt het onvrije de lijn / in een punt, waar doorheen de asymptoot in Tx moet gaan; in het algemeen is dus de kegelsnede een hyperbool. Is echter f3 gelijk aan een van de hoeken die de evenwijdige stralen met / insluiten, en valt het vrije been samen met T'TX, dan kan het zijn dat het onvrije evenwijdig wordt met /; dan komt de raaklijn in Tx in het oneindige te liggen, en wordt de kegelsnede dus een parabool. Laat in de tweede plaats z a. = 0 worden, maar zóó dat het punt T in het eindige blijft, terwijl z f3 uit twee evenwijdige stralen van voorgeschreven afstand bestaat, die zich evenwijdig aan de ééne asymptoot bewegen, terwijl de lijn / samenvalt met de andere; het voortbrengsel is de hyperbool die df-»» asymptoten heeft en door T gaat. kJWA.LECLUSE 7) Qegeven (Fig. 36) een A 1 23 met het hoogtepunt 4; het is duidelijk dat door deze 4 punten slechts hyperbolen kunnen gaan. Laat nu 5X de ééne asymptotenrichting aanwijzen; hoe vindt men de andere? Noemt men deze 6,,, dan is dus de lijn 56 de oneindig verre rechte uit het vlak. De lijn p van Pascal § 17. 102 wordt evenwijdig aan 23, en verder heeft men de volgende betrekkingen: 14 1 p, 34 1 1 I, dus 4 het hoogtepunt van A 1 IIII, dus I 4 JL 16^. Maar I 4 is // 15^, dus is 15,,, ± d.w.z. de asymptotenrichtingen, en dus ook de asymptoten zelve, staan loodrecht op elkaar. Zulke hyperbolen worden orthogonaal, of gelijkzijdig genoemd, en zoodoende kunnen wij de volgende stelling uitspreken: door de hoekpunten van een driehoek en het hoogtepunt gaan geen andere kegelsneden dan gelijkzijdige hyperbolen. Wij kunnen deze stelling ook in zekeren zin omkeeren, en bewijzen dat iedere gelijkzijdige hyperbool die door de hoekpunten van een driehoek gaat, tevens het hoogtepunt bevat. Fig. 36. Fig. 37. Wij noemen (Fig. 37) de hoekpunten van den driehoek 1, 2, 5, de beide loodrecht op elkaar staande asymptotenrichtingen 3^, 4^, en construeeren nu op de hoogtelijn door 1 het punt 6. De lijn p, of I II, van Pascal wordt dan eveneens J_ 25, en geeft hierdoor aanleiding tot de volgende betrekkingen: p _L 25, 2 II 1 I 5, dus II hoogtepunt van A I 25; dus 5 II ± 12, en dus 6 hoogtepunt van A 125; q. e. d. Laat A 125, terwijl zijn hoekpunten op de hyperbool blijven, zóódanig van vorm veranderen dat hij ten slotte rechthoekig wordt aan het punt 5; het hoogtepunt 6 valt dan met 5 samen, zoodat de lijn 56 de raaklijn wordt in 5, maar deze lijn 56 is onafgebroken loodrecht gebleven op 12, dus: is in een gelijkzijdige hyperbool een rechthoekige driehoek beschreven, dan staat de § 17. 103 raaklijn in het hoekpunt van den rechten hoek loodrecht op de hypotenusa. Of anders: draalt een in een gelijkzijdige hyperbool beschreven rechthoekige driehoek om het hoekpunt van den rechten hoek, dan beweegt zich de hypotenusa evenwijdig aan zich zelf, nl. steeds loodrecht op de raaklijn in het hoekpunt van den rechten hoek. Een kegelsnede is bepaald door 5 punten, dus gaan er door 4 oneindig vele; het inbegrip van al deze kegelsneden wordt, overeenkomstig een door La mé (vgl. § 16, p. 97) ingevoerd begrip, een „bundel" genoemd, terwijl de 4 punten, waar alle doorheen gaan, de „basispunten" heeten; onze hierboven gevonden hoofduitkomst kunnen wij dus ook als volgt onder woorden brengen: de hoekpunten van een driehoek en het hoogtepunt zijn de basispunten van een bundel gelijkzijdige hyperbolen. Wij zullen later (§ 33) aantoonen dat de middelpunten van alle kegelsneden van een bundel op een kegelsnede liggen, en dan ook kunnen begrijpen waarom die middelpuntskegelsnede voor een bundel gelijkzijdige hyperbolen de zoogenaamde negenpuntscirkel of cirkel van Feuerbach van den A 125 is. De asymptoten van alle gelijkzijdige hyperbolen van den bundel omhullen de beroemde hypocycloïde van Steiner (vgl. het „Leerboek der Differentiaal- en Integraalrekening van schrijver dezes, Dl. I, § 105, p. 523). Steiner heeft deze kromme onderzocht in een verhandeling, die medegedeeld is aan de Pruisische Akademie van Wetenschappen op 7 Januari 1856, vgl. Werke II, p. 641; het feit echter dat zijn kromme een hypocycloïde is heeft niet hij zelf ontdekt, maar Ludwig Schlafli in Bern, en uit een historisch oogpunt interessant is de opmerking dat deze ontdekking van Schlafli de langen tijd onbekend gebleven oorzaak geworden is van de verwijdering tusschen Steiner en Schlafli, na een vriendschap en een uiterst intensief wetenschappelijk en persoonlijk verkeer van vele jaren. Steiner zegt nl. in zijn stuk, 1. c. p. 646, eenvoudig: „Die Curve G3 wird ferner auch durch rollende Bewegung erzeugt", zonder Schlafli's naam te noemen, terwijl hij in den onmiddellijk daaraan voorafgaanden zin diens naam wèl noemt, zoodat de lezer den indruk krijgt dat de ontdekking van de kromme als rolkromme of roulette van Steiner zelf afkomstig is; Schlafli voelde zich hierdoor gekrenkt, en liet de correspondentie verflauwen en uitsterven. § 17 104 Verdere toepassingen van de stellingen van Pascal en Brianchon; collocale waaiers en reeksen. § 18. Indien wij ons herinneren dat twee projectieve puntenreeksen ontstaan gedacht kunnen worden uit twee perspectivische, en inderdaad onmiddellijk weer perspectivisch te maken zijn door twee toegevoegde punten te laten samenvallen, dan zal het duidelijk zijn dat indien in de eene reeks een serie van punten in zekere ononderbroken volgorde doorloopen kan worden, hetzelfde het geval moet zijn met de toegevoegde punten der andere reeks; immers zoodra de reeksen perspectivisch zijn, liggen ze beide a met eenzelfden waaier, en deze draagt de bewegingsrichting uit de eene op de andere over. Nu bestaat er een geval waarbij het onderscheid tusschen a en a reeksen zijn beteekenis verliest (vgl. Syst. Entw. § 16, Werke I, p. 278), nl. indien wij beide dragers op eenzelfde lijn laten samenvallen, in welk geval wij spreken van conlocale, of collocale, puntenreeksen, en den gemeenschappelijken drager als een dubbelrechte opvatten. In dit geval kan zich een bijzonderheid voordoen die wij tot nu toe nog slechts bij de a ligging hebben leeren kennen, nl. dat twee toegevoegde punten samenvallen; terwijl dit echter bij a reeksen slechts éénmaal geschiedt, kan het bij collocale reeksen tweemaal voorkomen. Allereerst is duidelijk dat het niet driemaal voor kan komen, want twee 7\~ reeksen zijn immers door 3 paren bepaald, en worden dus ingevolge de gelijkheid der dubbelverhoudingen identisch indien deze 3 paren alle drie samenvallende toegevoegde punten, of zoogenaamde dubbelpunten zijn; dat het echter tweemaal wèl voor kan komen, leert de volgende beschouwing. Met het oog op de bewegingsrichting of den zin die in elk der beide reeksen voorkomt, en die door de 3 bepalende paren reeds is vast gelegd (waar- o <^ o ^ om?), kan men de beide Fig 38 reeksen op twee wezenlijk verschillende manieren op elkaar leggen, nl. zóó dat in beide gelijkheid van zin, of tegenstelling van zin heerscht (bij Steiner 1. c. p. 280 „gleichliegend" en „ungleichliegend"); beschouwen wij nu eerst eens een geval van tegengestelden bewegingszin (Fig. 38). Begint een beweeglijk § 18 105 punt, dat wij X zullen noemen, de bovenste reeks te doorloopen van A uit naar rechts, dus in de richting ABC , dan begint het toegevoegde punt in A', en gaat naar links. Heeft X het segment AB doorloopen, dan heeft X' het segment A'B' doorloopen, en ontmoeting heeft nog niet plaats gehad. Maar komt X in C aan, dan moet X' in C' zijn; tusschen B en C heeft dus ontmoeting plaats gehad, en ligt derhalve een dubbelpunt. En gaat nu X, zijn bewegingsrichting behoudende, door het oneindige heen terug naar A, dan gaat X' eveneens door het oneindige heen terug naar A', en moet dus, hetzij links van A, hetzij rechts van A', een tweede ontmoeting plaats hebben; de beide reeksen van tegengestelden zin bezitten twee dubbelpunten. Op deze wijze gaat het steeds bij twee reeksen van tegengestelden zin, hoe ook de bepalende paren mogen liggen, waarvan wij ons zoo straks langs anderen weg nog beter zullen overtuigen; trouwens, ligt X oorspronkelijk links van X', dan zal na de eerste ontmoeting, die toch onvermijdelijk is, X rechts van X' komen te liggen, en is dus nog een tweede ontmoeting noodig om den oorspronkelijken toestand weer te herstellen. Wij mogen dus nu reeds zeggen: twee collocale 7\~ reeksen van tegengestelden zin bezitten twee dubbelpunten. En natuurlijk dualistisch: twee collocale TT waaiers (waaiers aan denzelfden top) van tegengestelden zin bezitten twee dubbelstralen. Is in de reeksen de zin dezelfde, dan loopen X en X' elkaar achterna, en is dus de mogelijkheid niet uitgesloten dat zij elkaar niet inhalen; halen zij elkaar echter één keer in, dan moet dit, om den oorspronkelijken toestand weer te herstellen, nog een tweeden keer geschieden, dus: twee collocale 7\ reeksen of waaiers van gelijken zin kunnen twee dubbelpunten of dubbelstralen bezitten, maar behoeven ze niet te bezitten. Men kan in dit laatste geval de voorwaarden opsporen waaraan de reeksen en waaiers hebben te voldoen om dubbelelementen te bezitten, en Steiner (1. c. p. 281) doet dit dan ook inderdaad in groote uitvoerigheid; de uitkomsten zijn echter voor de verdere ontwikkeling der Projectieve Meetkunde van weinig of geen belang, zoodat wij ze hier met stilzwijgen voorbij zullen gaan. Van gróót belang is echter de vraag hoe wij de dubbelelementen construeeren, en tot de beantwoording van deze gaan wij nu § 18. 106 over, waarbij wij zullen beginnen met de waaiers, omdat dan de figuur het gemakkelijkst is te overzien (vgl. Syst. Entw. § 46 III, Werke I, p. 356). keurig is nemen wij in de praktijk altijd een cirkel. Nu snijden wij de waaiers abc a'b'c'.... met den cirkel, waardoor op dezen twee puntenreeksen ABC ...., A'B'C' .... ontstaan, die wij gemakshalve puntenreeksen van de tweede orde zullen noemen, en projecteeren de reeks ABC .... uit A', en A'B'C'.... uit A De beide gegeven waaiers zijn 7\~, maar de waaiers (7". ABC —), (A'.ABC ) brengen de hulpkegelsnede voort, en zijn dus óók 7\, en evenzoo (T. A'B'C'. . . .) en (A . A'B'C' ....), waaruit volgt dat ook (A' . ABC. . ..) en (A . A'B'C'. . . .) a~ zijn; maar in deze laatste twee waaiers is de gemeenschappelijke straal AA' aan zich zelf toegevoegd, en daarom zijn déze a ; men heeft dus: De perspectiefas p van deze a waaiers verbindt het punt (AB', A'B) = C" met (AC, A'Q = B", en is dus bepaald; maar nu moet het ons toch opvallen dat deze perspectiefas niets anders is dan de Pascallijn van den zeshoek AB'CA'BC', en dus ook het punt (BC, B'C) -= A" bevat, wat eenvoudig zeggen wil dat de „perspectiefas" der beide 7\ reeksen van de tweede orde op Laat dus in Fig. 39 twee ~A~ waaiers gegeven zijn aan denzelfden top T, en wel door de 3 stralenparen aa', bb',cc'; wij hebben den zin tegengesteld aangenomen om zeker te zijn dat de constructie tot een resultaat leidt. Wij brengen nu een willekeurige kegelsnede aan, die aan geen andere voorwaarde behoeft te voldoen dan dat zij door T gaat; maar juist omdat zij overigens geheel wille- Fig. 39. (T. ABC )7\(A'. ABC ), (T. A'B'C'....) 7\ (A . A'B'C'....), (A'. ABC ) a (A . A'B'C'....). § 18. 107 de hulpkegelsnede onafhankelijk is van de centra, van waaruit die reeksen geprojecteerd worden, en uitsluitend afhangt van die reeksen zelve. Vergelijkt men met deze uiteenzetting die van de bijzondere constructie van Steiner voor twee 7\ reeksen van de eerste orde (§ 12, p. 65), dan zal men vinden dat beide nagenoeg gelijkluidend zijn; de kegelsnede, waarop hier de reeksen van de tweede orde liggen, is daar ontaard in een lijnenpaar, waarover de beide reeksen verdeeld zijn, dat is het eenige verschil. Onze lijn p kan ons nu in de eerste plaats van dienst zijn om bij een gegeven straal x der beide collocale waaiers den toegevoegden x' te bepalen; snijdt nl. x de kegelsnede in X, dan trekken wij A'X, snijden deze lijn met p, verbinden het snijpunt met A, vinden op de kegelsnede het aan X toegevoegde punt X' der beide reeksen van de tweede orde, en in TX' den gezochten straal x'. Aangezien echter de lijn p onafhankelijk is van de punten A, A', hadden wij de constructie even goed kunnen uitvoeren met B, B', C, C', enz., kortom: de grondeigenschap van twee TT reeksen van de tweede orde op een kegelsnede is deze dat alle punten (XY', X'Y) op een rechte lijn p gelegen zijn. De lijn p snijdt in onze figuur de kegelsnede in twee punten; past men op deze de constructie toe die wij hierboven op X toepasten, dan blijkt onmiddellijk dat zij de dubbelpunten zijn der beide reeksen van de tweede orde, en de verbindingslijnen A, f2 dezer punten met T zijn dus de dubbelstralen der beide oorspronkelijk gegeven waaiers. Dus: de dubbelstralen der beide collocale waaiers gaan naar de snijpunten van de kegelsnede met de perspectiefas der beide puntenreeksen van de tweede orde, en deze dubbelstralen bestaan dus of bestaan niet, al naar gelang die perspectiefas de kegelsnede snijdt of niet; in het bijzonder kunnen zij ook samenvallen, nl. indien p de kegelsnede raakt. Volgens het voorgaande zal dus bij waaiers van tegengestelden zin de lijn p'de kegelsnede zeker snijden, terwijl het bij waaiers van gelijken zin mogelijk is dat zij de kegelsnede niet snijdt. Volgens de grondstelling van de gelijkheid der dubbelverhoudingen moet: (/i/2a*) = (hha'V) zijn, dus: sin (Aa). sin (Jxb) = stn(f1aJ) stn\fxV) sin (/2a) * sin (f2b) sin(f2a')1 sin (f2b'y § 18. 108 Hiervoor kan men echter schrijven: . sinJJia/) = stnJJJ). smJJ^V) q{> sin (f2a)' sin (f2a') sin (f2b)' sin {f2b')' (Uf2aa') m (ff2bb')t d.w.z.: in twee collocale waaiers of reeksen bepalen de beide dubbelelementen met een willekeurig paar toegevoegde elementen een constante dubbelverhouding. Voor twee collocale reeksen is het nu meer dan voldoende indien wij eenvoudig de constructies van toegevoegde elementen en van de dubbelpunten meededen, die volgens het dualiteitsbeginsel uit het voorgaande worden afgeleid. Waar zooeven de hulpkegelsnede den top der beide collocale waaiers als punt van den omtrek moest bevatten, daar moet dus nu de hulpkegelsnede, die natuurlijk weer als cirkel gekozen wordt, den drager der beide collocale reeksen aanraken (Fig. 40). Trekken wij nu uit de gegeven punten A, A'; B, B'; C, C' de tweede raaklijnen a, a'; b, b'; c, c', dan ontstaan aan den cirkel twee stralenstelsels van de tweede orde, waaronder wij verstaan dat de raaklijnen van den cirkel zóódanig één aan één aan elkaar worden toege- Fig. 40. § 18. 109 voegd dat zij op een vaste raaklijn twee collocale TT puntenreeksen insnijden; en de grondeigenschap van twee zulke stralenstelsels van de tweede orde is deze dat de verbindingslijn (xy', x'y) door een vast punt Br gaat, welk punt niets anders is dan het Brianchonpunt van de omgeschreven zeszijde ab'ca'bc'. Moet dus van een punt X het toegevoegde X' bepaald worden, dan snijden wij de raaklijn x bijv. met b', verbinden het snijpunt met het Brianchonpunt, snijden met b, trekken uit dit punt de tweede raaklijn x, en snijden deze ten slotte met den drager tt; het snijpunt is X'. En trekt men nu uit het Brianchonpunt de beide raaklijnen aan den hulpcirkel, dan gaan deze door de dubbelpunten Fu F2, terwijl de dubbelverhouding (F^XX') onafhankelijk blijkt te zijn van het paar XX'. Toepassingen van de theorie der collocale reeksen en waaiers. § 19. Vraagstuk. Een kegelsnede is bepaald door 5 punten; gevraagd hare snijpunten te construeeren met een willekeurige rechte l. Oplossing. Wij denken de kegelsnede voortgebracht door twee A" waaiers, doordien wij 2 van de 5 punten, zeg bijv. 1 en 2, verbinden met de 3 overige. Snijden wij nu deze waaiers met /, dan ontstaan op deze twee collocale puntenreeksen, wier dubbelpunten Fu F2 blijkbaar de gezochte snijpunten zijn; immers indien wij Fy bijv. met 1 en 2 verbinden, dan ontstaan blijkbaar twee toegevoegde stralen der beide waaiers die elkaar op / ontmoeten. Het aantal snijpunten van een lijn / met een kegelsnede bedraagt dus hoogstens 2, wat men uitdrukt door te zeggen dat de kegelsneden krommen zijn van den tweeden graad. [De lezer herhale nu de constructie, in de onderstelling dat de kegelsnede bepaald is door 4 punten en de raaklijn in één daarvan, of door 3 punten en de raaklijnen in 2 daarvan; ook bepale hij de raaklijnen uit een willekeurig punt aan een kegelsnede die bepaald is door 5 raaklijnen, of 4 raaklijnen en één raakpunt, of 3 raaklijnen en 2 raakpunten, bewijze dat ook dit aantal hoogstens 2 bedraagt, en dat dus de kegelsneden ook krommen zijn van de tweede klasse. Ten slotte bepale hij de snijpunten met een rechte /, indien de kegelsnede bepaald is door 5 raaklijnen enz., en de § 19. 110 raaklijnen uit een punt P, indien de kegelsnede bepaald is door 5 punten enz.]. De hierboven gegeven constructie van de snijpunten eener kegelsnede met een rechte / gaat in één geval niet zonder meer door, nl. indien / de oneindig verre rechte van het vlak is; immers aan L kan men geen rakenden hulpcirkel aanbrengen. Toch is de constructie juist voor dit geval bijzonder belangrijk, omdat door het gedrag eener kegelsnede jegens /» de aard der kromme bepaald wordt; snijdt nl. de kegelsnede U in twee verschillende punten, dan heet de kromme een hyperbool, vallen de beide snijpunten samen, zoodat L een raaklijn wordt, dan heet zij een parabool, en snijdt zij U niet, dan wordt zij een ellips genoemd; in het bijzonder kan zij dan ook een cirkel zijn. Nu ligt het middel om ook op L de snijpunten te bepalen, voor de hand; is k2 (afkorting voor „kegelsnede") bepaald door 5 punten enz., dus door 7\~ waaiers, dan snijde men deze met L, en projecteere de hierdoor ontstaande collocale reeksen uit een willekeurig punt P van het vlak, wat hierop neerkomt dat men de beide waaiers evenwijdig aan zich zelf verschuift naar P; hierdoor ontstaan aan P twee collocale waaiers, die perspectivisch liggen met de reeksen op L, en wier dubbelstralen dus door de dubbelpunten der beide reeksen op /» gaan; deze dubbelstralen bepalen dus de asymptotenrichtingen van k2. In de praktijk is men natuurlijk zoo verstandig slechts één van de beide waaiers te verschuiven, nl. naar den top van den anderen, wat het werk vereenvoudigt, en even goed tot het gewenschte resultaat leidt. Uit welbekende eigenschappen van den cirkel volgt onmiddellijk dat twee congruente waaiers van gelijken zin een cirkel voortbrengen; even gemakkelijk nu volgt echter dat twee congruente waaiers van tegengestelden zin een gelijkzijdige hyperbool voortbrengen, een hyperbool dus wier asymptoten loodrecht op elkaar staan. Verschuift men nl. den waaier (a'b'c'. . . .) evenwijdig aan zich zelf naar den top T van (abc ....), dan worden de hoeken ab, a'b'; ac, a'c'; bc, b'c' enz. steeds twee aan twee gelijk en van tegengestelden zin; maar daaruit volgt dat de hoeken aa', bb', cc',.... alle dezelfde twee bisectricen hebben, en deze zijn blijkbaar van beide collocale waaiers aan T de dubbelstralen. Vraagstuk. Een gelijkzijdige hyperbool is bepaald door 4 punten; men vraagt haar te construeeren. § 19. 111 Oplossing. Laat de 4 gegeven punten 1, 2, 3, 4 genoemd worden, dan willen wij trachten de kegelsnede voort te brengen door 7\~ waaiers aan de toppen 1 en 2 (Fig. 41); wij hebben dan wel is waar slechts 2 stralenpareh 13 = a, 23 = a'; 14 = b, 24 = b', maar hierdoor laten wij ons niet ontmoedigen. Wij verschuiven den waaier a'b' evenwijdig aan zich zelf naar den top 1, brengen door dezen den hulpcirkel aan, en trachten van de reeksen van de tweede orde AB . .. ., A'B'.... de perspectiefas of Pascalliin n te vinden Van rWe tpnnsn u^ii^.,^. „i~-.ua.. één punt, nl. (AB', A'B) = C", maar daarvoor weten wij dat de dubbelstralen loodrecht op elkaar moeten staan, en dus p een middellijn van den cirkel moet zijn, waardoor zij bepaald is. Bepaalt men nu met behulp van de stelling van Pascal de raaklijnen in de oneindig verre punten van fx en /2, dan heeft men de asymptoten zelve, terwijl met behulp van p andere stralenparen der collocale waaiers, dus ook andere stralenparen der gegeven waaiers, en dus ook punten der hyperbool, in willekeurigen getale te construeeren zijn. Gesteld in het bijzonder dat 3 het hoogtepunt is van A 124; dan wordt de verschoven straal a' ± a, de verschoven straal b' 1 b, en dus C" het middelpunt van den cirkel, zoodat nü de hyperbool niet bepaald is door de punten 1234, maar de lijn p integendeel kan samenvallen met iedere middellijn van den cirkel; zoo vinden wij de reeds in § 17, p. 102 bewezen stelling terug dat indien van 4 punten één (en dus elk) het hoogtepunt is van § 19- § 19. 112 den driehoek gevormd door de drie andere, door deze 4 punten uitsluitend gelijkzijdige hyperbolen gaan. Ten einde geen verkeerde voorstellingen te doen post vatten, moeten wij aan het voorgaande toch nog een woord toevoegen. De cirkel bezit de eigenschap dat wélke twee punten van den omtrek men ook moge verbinden met alle andere punten, steeds congruente waaiers ontstaan van gelijken zin; bij de gelijkzijdige hyperbool echter bestaat de analoge stelling geenszins, integendeel: twee punten T en T' geven slechts dan congruente waaiers van tegengestelden zin, indien hunne verbindingslijn door het snijpunt der asymptoten gaat. Laat, ten einde dit te bewijzen, in Fig. 42 OSv OS2 de beide asymptoten, en T' een punt van den omtrek zijn, dan is volgens aa'bb', de bisectricen zijn. De beide asymptoten en de verschoven stralen a en a' vormen een harmonischen waaier, en aangezien de verschoven straal a' // SiS2, moet de verschoven straal a door het midden Af van S^, maar evenzoo a' door het midden M van TA gaan. Nu is echter M' tevens het midden van TA, dus volgt uit gelijkvormige AA dat T op de lijn OT' ligt, q.e.d. Tevens volgt dat O in het midden ligt tusschen T en T', zoodat de gelijkzijdige hyperbool in het snijpunt harer asymptoten een middelpunt bezit. [Vraagstuk. Twee collocale waaiers zijn bepaald door twee stralenparen aa', bb', en een dubbelstraal f%\ construeer met de liniaal alleen bij een willekeurigen straal x den toegevoegden x', alsmede den tweeden dubbelstraal /2 (trek door een willekeurig Fig. 42. § 17, p. 99 op een willekeurigen straal a' door T' het punt A het tweede snijpunt indien = 52^'. Denken wij nu den straal a' evenwijdig aan zich zelf verschoven naar O, dan moet, indien de waaiers aan de toppen T en T' congruent en van tegengestelden zin zullen zijn, de eveneens naar O verschoven straal a met de asymptoot OSx denzelfden hoek insluiten als de verschoven straal a'; immers de beide asymptoten moeten voor alle stralenparen 113 punt Fx van /ftwee willekeurige rechten /, t', en snijd de eene met den eenen waaier, de andere met den anderen, dan ontstaan twee a puntenreeksen). Hetzelfde vraagstuk indien één paar aa' en de beide dubbelstralen gegeven zijn; en dezelfde beide vraagstukken voor collocale reeksen.] Vraagstuk. Twee kegelsneden kj, k22, die twee punten gemeen hebben, kunnen nog twee andere punten gemeen hebben; men vraagt deze te construeeren. Eerste oplossing. Wij noemen de twee gegeven gemeenschappelijke punten 7\ en T2, en trekken door T2 bijv. een willekeurige rechte; deze moet, omdat de kegelsneden krommen van den tweeden graad zijn (zie boven p. 109), en omdat zij met elk reeds één punt gemeen heeft, terwijl bovendien uit de constructie volgt dat er noodzakelijk óf twee verschillende, öf twee samenvallende, of in het geheel geen snijpunten zijn, met elk van beide kegelsneden nog één punt gemeen hebben; noemen wij deze .Ai en A2. Verbinden wij nu 7\ met Av dan zijn de beide waaiers (7\ . Aj_ ), (T2 . A1 ) K, omdat zij kx2 voortbrengen, en evenzoo (7\ . A2 ), (T2 . A2 ), omdat zij kf voortbrengen; maar de waaiers (T2 . At. . . .), (T2 . A2 .. . .) zijn iden- tisch, dus zijn . A1 ), (7\ . A2 ) a ; en nu is onmiddellijk in te zien dat de dubbelstralen dezer collocale waaiers door het 3e en 4e snijpunt der beide kegelsneden gaan; deze punten zelve zijn dus te bepalen als de snijpunten der dubbelstralen met één van beide. Natuurlijk zullen beide kegelsneden niet volledig geteekend, doch slechts door 5 gegevens bepaald zijn, bijv. door Tlt T2, en dan van elk nog 3 punten; men zal dan T2 bijv. met de punten Alt Blt q verbinden, met behulp van Pascal de bijbehoorende punten A2, B2, C2 van k22 construeeren, en heeft dan van de beide collocale waaiers aan den top 7\ juist het benoodigde aantal van 3 paren. Tweede oplossing. Wij verbinden 7\ en T2 met eenzelfde punt A van kf, en snijden de beide verbindingslijnen met k22 in Ai en A2; dan worden dus, als A k{1 doorloopt, twee a~ waaiers, wier toppen op k22 liggen, met k22 gesneden, waardoor twee Tv puntenreeksen van de tweede orde ontstaan (vgl. § 18, p. 106), Dr. Hk. de Vries, Projectieve Meetkunde. 8 § 19. 114 die een perspectiefas of lijn van Pascal bezitten, welke lijn k22 snijdt in de dubbelpunten; vallen echter Ax en A2 samen, dan valt noodzakelijk met deze punten ook A samen; de dubbelpunten zijn dus meteen de gezochte snijpunten. Zijn beide kegelsneden weer bepaald door Tu T2, en telkens nog 3 punten, dan zal men 7\, T2 met de 3 gegeven punten van ki2 verbinden, en dan met behulp van Pascal de snijpunten der verbindingslijnen met k22 bepalen, enz. Vallen de punten Tx en T2 samen, zoodat de kegelsneden elkaar in een punt T raken, dan gaan de beide voorgaande constructies niet meer door; wil men dan echter tóch de beide overige snijpunten construeeren, dan kan men de zaak van een anderen kant beschouwen, en de eene kegelsnede als eene centraal-collineaire figuur der andere beschouwen (vgl. het „Leerboek der Beschrijvende Meetkunde" van schrijver dezes, 2e druk, Deel I, § 14, p. 31) voor het punt T als centrum, en de nog onbekende verbindingslijn der beide overige snijpunten als as. Zijn beide kegelsneden, behalve door T en de gemeenschappelijke raaklijn in T, elk nog door 3 andere punten gegeven, dan verbinde men T met de 3 punten Alt Blt Cx van k{2, en bepale met behulp van Pascal de snijpunten A2, B2, C2 der 3 verbindingslijnen met k22. De beide AA AiB^Ci, A2B2C2 liggen dan perspectivisch voor het centrum T, en bezitten dus een perspectiefas, waarop de zijden AXBX, A2B2; i41C1, A2C2; BXCX, B2C2 elkaar snijden. Beschouwen wij nu deze perspectiefas als de as d der Collineatie, construeeren met behulp van de parallelstralen door T aan AXBU en respectievelijk A2B2, de nevenassen v' en w, en bepalen dan de centraal-collineaire figuur van kx2, dan vinden wij een kegelsnede die kx2 in T raakt, en door de punten 42> B2, C2 gaat, d. w. z. k22. Maar twee centraal-collineaire figuren hebben de snijpunten op de as d gemeen, dus bevat d de gevraagde snijpunten. Men kan nu in deze richting nog een paar stappen verder gaan. Het is denkbaar dat de as d der Collineatie door T gaat; dan vallen in T 3 snijpunten samen, en blijft er dus slechts nog één over, dat met de liniaal alleen te construeeren moet zijn; ki2 en k22 osculeeren elkaar dan in T. Is kx2 behoorlijk bepaald, bijv. door 5 punten, waaronder T, dan kan men van k22 slechts 2 punten geven, bijv. A2, B2, omdat de overige 3 op kx2, en wel in T vereenigd moeten liggen; men snijde nu TA2, TB2 in Ax en § 19- 115 Bx met kx2, vindt in het snijpunt van AXBX met A2B2 een punt van de as d der Collineatie, en heeft daarmede deze as, die immers door T gaat, gevonden. Ook de beide nevenassen zijn op de gewone manier te bepalen, en indien men nu het centraal-collineaire beeld van kx2 bepaalt, dan vindt men k22. En het op de lijn d gelegen vierde snijpunt laat zich gemakkelijk met Pascal bepalen als tweede snijpunt van d met kx2. Men kan twee elkaar osculeerende kegelsneden nog op een andere manier als centraal-collineaire figuren opvatten. In het osculatiepunt vallen 3 gemeenschappelijke punten samen, maar in de raaklijn in het osculatiepunt vallen ook 3 gemeenschappelijke raaklijnen samen; men ziet dit het gemakkelijkst in door van twee kegelsneden, die een punt T gemeen hebben, de eene zóódanig om dit punt te laten draaien dat achtereenvolgens een 2e en 3e snijpunt zich met T vereenigen (waarbij voor het 3e snijpunt echter eenige vormverandering der bewegende kegelsnede noodig zal zijn, omdat twee kegelsneden elkaar slechts dan kunnen osculeeren indien zij in het osculatiepunt denzelfden kromtecirkel hebben). Aangezien zij in het geheel slechts 4 gemeenschappelijke raaklijnen bezitten, hebben zij er, behalve de raaklijn in T, nog slechts één, en nu snijden wij deze met de raaklijn in T, nemen deze laatste als as der collineatie d, en het snijpunt als centrum O, terwijl wij de beide raakpunten op de 4e raaklijn als punten Ax en A2 aan elkaar toevoegen. Construeeren wij nu in deze Collineatie het beeld van kx2, dan krijgen wij een kegelsnede die kx2 in ieder geval in T aanraakt; maar zij zal kx2 zelfs in T osculeeren. Was dit nl. niet zoo, dan was nog een tweede gemeenschappelijke raaklijn mogelijk, die niet door O zou kunnen gaan, omdat door O reeds 2 raaklijnen aan kx2 gaan; zij zou dus een beeld hebben dat eveneens een gemeenschappelijke raaklijn zou moeten zijn, en dat het origineel op d zou moeten snijden, maar dan zouden door het snijpunt drie gemeenschappelijke raaklijnen gaan, wat onmogelijk is; de beide kegelsneden moeten elkaar dus in T osculeeren. Men zal opgemerkt hebben dat deze tweede opvatting de dualistische der eerste is; beide tezamen veroorloven ons van twee elkaar osculeerende kegelsneden niet slechts het 4e snijpunt, maar ook de 4e gemeenschappelijke raaklijn te bepalen. Heeft men nl. volgens de eerste opvatting het 4e snijpunt bepaald, dan § 19- 116 trekke men uit een willekeurig punt van de raaklijn in T de raaklijn aan kx2 en die aan k22\ deze moeten met elkaar correspondeeren in de twééde opvatting, zoodat de verbindingslijn hunner raakpunten de raaklijn in T snijdt in O; de tweede raaklijn uit O aan kx2 raakt dan tevens k22. Beide opvattingen worden identisch indien nu ten slotte ook het 4e snijpunt en de 4e raaklijn zich met de andere 3 vereenigen, de beide kegelsneden elkaar in T dus 4-puntig aanraken. Is kx2 bepaald door T en nog 4 andere punten, of wat daarmede aequivalent is, dan kan men van k22 natuurlijk slechts één punt A2 geven; men verbinde nu T met A2, en zoeke het snijpunt Ax met kx2. Ax en A2 zijn dan twee toegevoegde punten, T is het centrum, de raaklijn in T de as der Collineatie. Trekt men dus door Ax een willekeurige rechte, die kx2 voor de tweede maal snijdt in Blf en d in S, dan is SA2 de toegevoegde rechte van SAx, en het snijpunt B2 van SA2 met TB: het toegevoegde van Bx; en de raaklijnen in Au A2, of Blt B2, enz. snijden elkaar op d. In § 17, p. 99 hebben wij een kegelsnede bepaald door punten en raaklijnen, maar daarbij steeds aangenomen dat slechts raaklijnen gegeven waren in gegeven punten, of omgekeerd slechts punten op gegeven raaklijnen; de theorie der collocale reeksen en waaiers stelt ons nu echter in staat de gegevens ook anders te kiezen, zooals uit het volgende vraagstuk kan blijken. Vraagstuk. Een kegelsnede te construeeren die door 4gegeven punten gaat en een willekeurig gegeven rechte aanraakt. Oplossing. Noemen wij de 4 punten 1, 2, 3, 4, en de gegeven raaklijn t. Willen wij nu de kegelsnede construeeren uit TC waaiers aan de toppen 1 en 2, dan hebben wij natuurlijk slechts twee paar toegevoegde stralen, nl. 13, 23; 14, 24; wij laten ons hierdoor echter niet ontmoedigen, en snijden deze waaiers met f, waardoor twee collocale puntenreeksen ontstaan, waarvan wij echter óók slechts 2 paren kennen. Willen wij nu van t de snijpunten bepalen met k2, dan hebben wij aan t een rakenden hulpcirkel aan te brengen, en de beide collocale reeksen op t door middel van raaklijnen op dien cirkel over te brengen (als stralenstelsels van de 2e orde), vgl. § 18, p. 108). Van het bijbehoorende perspectiefcentrum of punt van Brianchon kennen wij nu wel is waar slechts één lijn § 19. 117 die er doorheen gaat, maar weten wij ook, dat dit punt in ons geval óp den hulpcirkel moet liggen, omdat immers de beide raaklijnen uit het punt van Brianchon op t de beide snijpunten met I;2 insnijden, en deze in ons geval moeten samenvallen. Nu snijdt echter de lijn waarop het punt van Brianchon moet liggen den hulpcirkel in 2 punten (kan hem ten minste in 2 punten snijden), dus zijn er voor dit punt 2 plaatsen mogelijk, en liggen er dus op t 2 raakpunten, d. w. z.: door 4 punten gaan twee kegelsneden die een willekeurig gegeven rechte aanraken. Deze kunnen echter ook samenvallen, (nl. indien de gegeven raaklijn door één der gegeven punten gaat), of onbestaanbaar zijn, nl. indieji de lijn door het punt van Brianchon den hulpcirkel raakt of in het geheel niet snijdt. Alle kegelsneden door 4 vaste punten vormen een bundel (vgl. § 16, p. 97; men kan dus de gevonden uitkomst ook zóó onder woorden brengen: in een kegelsnedenbundel bevinden zich twee exemplaren die een willekeurig gegeven rechte aanraken. Dualistisch tegenover den bundel staat de schaar, de verzameling van alle kegelsneden die 4 vaste rechten aanraken; volgens het dualiteitsbeginsel gaan twee exemplaren van de schaar door een gegeven punt. Deze kunnen echter ook samenvallen (nl. indien het gegeven punt op één der gegeven raaklijnen ligt), of onbestaanbaar zijn. Vraagstuk. Door 4 punten gaan 2 parabolen; men vraagt deze te construeeren. Oplossing. Dit is een bijzonder geval van het voorgaande vraagstuk, nl. waarbij de gégeven raaklijn t samenvalt met L. Men verschuive den waaier aan den top 2 evenwijdig aan zich zelf naar 1, brenge door 1 een hulpcirkel aan, en brenge de collocale waaiers op dezen over; men kent dan van de Pascallijn wel is waar slechts één punt, maar daarvoor moet deze lijn ook den hulpcirkel aanraken. De verbindingslijnen van de beide raakpunten met 1 leveren de asrichtingen der beide parabolen op, waardoor deze bepaald zijn. Zullen deze asrichtingen loodrecht op elkaar staan, dan moet de verbindingslijn van de raakpunten der beide Pascallijnen een middellijn van den hulpcirkel zijn, het snijpunt dier beide lijnen dus in het oneindige liggen; hieruit leidt men echter onmiddellijk af dat ^ 314 = ^ 324 is, en dus de 4 gegeven § 19. 118 punten op een cirkel liggen. Dus: staan de assen van twee parabolen loodrecht op elkaar, dan liggen hun 4 snijpunten op een cirkel. Of anders: in een kegelsnedenbundel komen 2 parabolen voor; staan de assen van deze loodrecht op elkaar, dan bevindt zich onder de exemplaren van den bundel een cirkel. Zooals wij later zullen aantoonen hebben de kegelsneden van dezen bundel nog de verdere eigenschap dat van alle de assen onderling evenwijdig zijn, nl. aan de assen der beide parabolen. Theorie der Involutie. § 20. In twee collocale TC puntenreeksen r en t' kan men natuurlijk ieder punt naar willekeur tot t of tot t' rekenen; doen wij zulks eens met een bepaald punt, en geven het daarom de dubbele notatie A en B', dan zullen natuurlijk in het algemeen de punten A' en B niet óók samenvallen, maar integendeel twee verschillende plaatsen op den drager innemen. Wij vragen nu: is het mógelijk dat ook de punten A' en B samenvallen? Het antwoord op deze vraag is onmiddellijk te geven: de projectiviteit is pas bepaald door 3 paren, wat kan er dus op tegen zijn dat deze zóó gekozen worden dat A met B', A' met B samenvalt; er is zelfs nog een derde paar CC' noodig. Het is natuurlijk een geheel andere vraag of het, indien twee collocale reeksen gegeven zijn door 3 willekeurige paren, steeds mogelijk is de eene zóódanig langs den drager te verschuiven dat ergens een paar XX' komt samen te vallen met een paar Y'Y, of wel, of het, indien twee niet collocale reeksen gegeven zijn door 3 paren, steeds mogelijk is ze zóódanig op elkaar te leggen dat twee paren involutorisch worden, waarbij men onder een involutorisch paar er een verstaat dat een paar blijft indien men de letters X en X' vervangt door Y' en Y; op deze vraag zullen wij zoo straks pas het antwoord geven, voorloopig willen wij onderstellen dat wij twee collocale TC reeksen bepaald hebben door één involutorisch paar AA' = B'B en een paar CC'. Nu is er natuurlijk weer hoegenaamd geen bezwaar tegen het punt C' D te noemen; vrage: waar ligt dan D'? Volgens de grondeigenschap der TC reeksen moet: (ABCD) = {A'B'C'D') zijn, maar voor het rechter lid kunnen wij nu schrijven (BADD1), zoodat: (ABCD) = (BADD') = (ABD'D) § 20. 119 § 20. wordt (vgl. § 3, p. 14); hieruit volgt echter, met het oog op de eigenschappen der dubbelverhouding, dat D' met C samenvalt, en dus ook het paar CC' involutorisch wordt. En aangezien nu de paren, waardoor de reeksen bepaald worden, zich in geen enkel opzicht van andere onderscheiden, kunnen wij de volgende stelling uitspreken: is in twee collocale 7\~ reeksen één paar involutorisch, dan zijn alle paren involutorisch. Men noemt dan de reeksen zelve involutorisch, of zegt dat zij „een Involutie" vormen. De involutie is in haar wezen eenvoudiger dan algemeene collocale reeksen; immers bij de laatste moet men nauwkeurig onderscheiden of een punt tot t of t' behoort, bij de eerste is zulks niet meer noodig. Wij willen dit ook tot uitdrukking brengen door de notatie. Een paar eener involutie duiden wij aan door de letters A, Ax; B, Bx; C, Cu . .. ., en weten dan dat het onverschillig is bij welk punt wij de letter A, bij welk Ay zetten. Een involutie is dus een soort van vergroeiing van twee collocale reeksen tot een nieuw geheel, waarin de beide afzonderlijke reeksen zich als het ware oplossen. Nu gaan wij over tot de beantwoording van de reeds hierboven gestelde vraag of het steeds mogelijk is twee willekeurige a reeksen zóódanig op elkaar te leggen dat zij tot een involutie vergroeien; het antwoord ligt opgesloten in de stelling: twee a reeksen worden involutorisch zoodra men ze zóó op elkaar plaatst dat de tegenpunten V' en W samenvallen. Immers de tegenpunten zijn toegevoegd aan de oneindig verre, die uit den aard der zaak samenvallen zoodra de reeksen collocaal worden (Vx = W'x); valt dus ook V' op W, dan hebben wij één involutorisch paar Vx V' = W'x W, en moet dus ook ieder ander paar involutorisch worden. Inderdaad is altijd: is nu V' = W, en B' = A, dan is ook A' = B. Men maakt dus in de praktijk twee a reeksen involutorisch door ze zóódanig op elkaar te leggen dat de tegenpunten V' en W samenvallen; dit samenleggen kan echter, zooals wij weten, (ABVX W) = (A'B'V'W'J, wat zich reduceert tot BW AW A'V' B'V" 120 op twee wezenlijk verschillende manieren geschieden, nl. zóódanig dat de beide collocale reeksen gelijken, of tegengestelden zin krijgen, en zoo zullen wij dus ook involuties te onderscheiden hebben met gelijken, en met tegengestelden zin. De zich hier voordoende eigenaardigheden en bijzonderheden leeren wij het eenvoudigst overzien, indien wij een paar opmerkingen inlasschen over algemeene collocale reeksen, die wij vroeger met opzet onderdrukt hebben omdat zij hier beter op hun plaats zijn, en den overgang tot de involutie voorbereiden. D v Maken wij (Fig. 43) twee a reeksen Fi§- 43 • r en f perspectivisch door twee toe¬ gevoegde punten te doen samenvallen, dan krijgen zij een perspectiefcentrum O, terwijl de tegenpunten V' en W op de parallelstralen van t en t' door O liggen. Zijn nu X en X' twee willekeurige toegevoegde punten, dan volgt uit de gelijkvormigheid der AA V'X'0 en WOX: V'X': WO = V'0 : WX, of: V'X' . WX = V'0 . WO = constant = k2, want het rechter lid is onafhankelijk van het paar XX' (Syst. Entw. § 12 I, Werke 1, p. 267; de betrekking was trouwens reeds bekend aan Brianchon). Nu wordt bij het samenleggen van twee ~a~ reeksen aan deze reeksen niets veranderd; ook bij collocale reeksen zal dus voor ieder paar toegevoegde punten de betrekking gelden: V'X'. WX = k2; aangezien wij echter, zoodra de dragers samenvallen, over gelijkheid of ongelijkheid van zin kunnen gaan spreken, zal bij twee reeksen van tegengestelden zin (vgl. Fig. 44, VA'W'«,, V«>AW): VA'. WA = + k2, bij dezulke van gelijken zin (Fig. 45): VA'. WA = — k2 zijn. Het is nu gemakkelijk uit deze betrekking constructies af te leiden voor de dubbelpunten (Syst. Entw. § 17, Werke I, p. 284), en daarbij komt dan het verschil in karakter tusschen reeksen met gelijken en met tegengestelden zin bijzonder helder aan het licht. Nemen wij eerst het geval van den tegengestelden zin, en j 20. 121 beschouwen te dien einde Fig. 44. Wij maken PV' = WAx), beschrijven over A'P als middellijn een halven cirkel, richten in V de loodlijn op, en vinden in V'K de grootheid k; immers VA' .PV = VA'. WA. Neem nu het midden M tusschen V' en W, en cirkel den afstand MK naar links en rechts om, dan zijn Fx en F2 de dubbelpunten. Immers voor deze moet: V'Fl . WFX = V'F2 . WF2 = k2 zijn; nu is: VFX . V'F2 = k2, maar M is zoowel het midden tusschen V' en W, als tusschen Fx en F2, dus is V'FX = WF2, en dus V'F2 . WF2 = k2. Maar evenzoo is VF2 = WFU en dus ook: V'FX . WFX = k2; bovendien passen de punten /^enF2 in hetkader, wantVFXA' W'«,F2 en V<*FXAWF2 zijn inderdaad reeksen van tegengestelden zin. A' V' F, P F, W A Fig. 45. Nemen wij nu het geval (Fig. 45) van gelijken zin. Wij maken weer V'P = WA, beschrijven over A'P als middellijn den halven cirkel, richten in V de loodlijn op, en vinden k. Nu echter beschrijven wij een halven cirkel over VW, trekken door K de lijn evenwijdig aan den drager, laten uit de snijpunten met dien halven cirkel de loodlijnen neer, en vinden de dubbelpunten Fx en F2; immers men ziet onmiddellijk dat V'FX. WFX = V'F2. WF2 = = — k2 is. En men ziet tevens dat in Fig. 44 de dubbelpunten steeds reëel zijn, dat zij echter in Fig. 45 ook wel onbestaanbaar kunnen uitvallen, nl. indien de hulplijn door K den halven cirkel over VW niet snijdt. !) N.B. Het linksche van de twee punten A in Fig. 44 moet het accent dragen. § 20. 122 Gaan wij thans over tot de involutie. Wij kunnen van de reeksen van Figg. 44 en 45 involuties maken door telkens de eene zóódanig langs den drager te verschuiven dat de punten V' en W tot dekking komen; maken wij dan in Fig, 46, die behoort bij het geval van den tegengestelden zin, PV' = WA, dan vinden wij k, en door omcirkelen om het punt M, dat hier natuurlijk met V' en W samenvalt, de dubbelpunten, die wij ter onderscheiding met het vroegere algemeene geval G en H willen noemen; en de betreWngV'A'.WA-k* gaat nu over in: MA . MA' = k2. Hieruit volgt dat wij in dit geval de dubbelpunten nog iets eenvoudiger kunnen vinden. Beschrijft men nl. een halven cirkel over AA' als middellijn, dan heeft de raaklijn WR blijkbaar de lengte k. Maar uit de gevonden betrekking volgt tevens (vgl. § 5, p. 23), dat de dubbelpunten G en H met het paar AA' een harmonische groep vormen, en aangezien het paar AA' een willekeurig paar is, kunnen wij de stelling uitspreken: in een punteninvolutie vormen de dubbelpunten, indien zij bestaanbaar zijn, met een willekeurig paar een harmonische groep. Of anders: alle puntenparen AAlt die met een vast paar GH een harmonische groep vormen, vormen een involutie die G en H tot dubbelpunten heeft. Wij kunnen de hier gevonden grondeigenschap der involutie ook gemakkelijk afleiden uit de algemeene stelling van § 18, p. 108, volgens welke de dubbelpunten van twee collocale reeksen met een willekeurig paar een constante dubbelverhouding vormen. Is nl. A = B', B = A', dan volgt uit: (F^AA') = (F^BB') (F^AA') = (F^A'A); maar volgens § 3, p. 14, II zijn deze laatste twee dubbelverhoudingen reciprook;. zullen zij dus bovendien gelijk zijn, dan moeten zij de waarde ± 1 hebben; maar de waarde + 1 wordt slechts § 20. 123 bereikt indien twee van de 4 punten samenvallen, wat hier niet het geval is; blijft dus slechts — 1 over. Het punt M, dat involutorisch aan het oneindig verre punt is toegevoegd, heet het middelpunt of centraalpunt der involutie; het ligt in het midden tusschen de dubbelpunten, zoo die er zijn. Beschouwen wij thans het geval van een involutie, ontstaan uit 2 a" reeksen van gelijken zin. Door de segmenten VA' en WA aan elkaar te zetten kan men natuurlijk ook nu de grootheid k construeeren, maar de cirkel over VW als middellijn krijgt een straal 0, en de snijpunten van de horizontale lijn door K (Fig. 45) met dien cirkel worden dus voor iedere waarde van k onbestaanbaar; in een involutie, ontstaan uit 2 a~ reeksen van gelijken zin, zijn de dubbelpunten dus steeds onbestaanbaar. Men noemt een involutie met 2 reëele en verschillende dubbelpunten, om een reden die later pas kan blijken, hyperbolisch, en een met onbestaanbare dubbelpunten elliptisch; natuurlijk verwacht men nu óók nog een parabolische involutie, en deze bestaat inderdaad óók, en komt voor den dag indien wij het hierboven stilzwijgend uitgesloten geval k = 0 beschouwen. Is: VA'. WA = 0, dan is bijv. A' = V'; maar dan is A = VX = W'x, en is A ï W'^, dan volgt uit de definitie der involutie A'= W, dus W = V'; en uit de onderstelling WA = 0 volgt hetzelfde. De beide tegenpunten vallen dus samen; maar met dit punt valt dan ook M samen, en uit de grondeigenschap: MA . MA' = k2 = 0 volgt dan verder dat van ieder paar der involutie één punt met M samenvalt, terwijl uit: MG2 = MH2 = k2 = 0 volgt dat ook de beide dubbelpunten met M samenvallen. Bij de parabolische involutie vallen dus de beide dubbelpunten samen, en met dit punt valt van ieder willekeurig paar één punt samen. De grootheid ± k2 wordt de macht der involutie genoemd; voor de hyperbolische involutie is deze dus positief, voor de elliptische negatief, en voor de parabolische nul. § 20. 124 Theorie der Involutie (Vervolg). § 21. Hoewel het in de voorgaande § reeds duidelijk gebleken is, willen wij toch nog eens uitdrukkelijk uitspreken dat een punteninvolutie op een rechte lijn bepaald is door twee paren; .immers een paar AAX geeft aanleiding tot een tweede paar BxB(A = Blt B = AJ, en één enkel ander paar CQ is dus voldoende om de projectiviteit, en daarmede de involutie, te bepalen; dat dit nieuwe paar nu weer aanleiding geeft tot nóg een paar DxD(C=Dlt Cx = D) is een gevolg van de grondstelling der vorige Vragen wij ons nu eens af of het mogelijk is de beide paren AAlt BBx zóódanig te kiezen dat wij van te voren zeker zijn met een hyperbolische involutie te maken te hebben. Denken wij eens het middelpunt M geconstrueerd, en maken wij nu gebruik van de betrekking; MA . MAx = + k2. MA en MAx moeten hetzelfde teeken hebben, dus moeten A en Ax aan dezelfde zijde van M liggen; nadert nu A tot M, dan zal Ax zich van M verwijderen, en omgekeerd, zoodat twee andere punten B, Bx öf beide binnen, óf beide buiten het segment AAx liggen; liggen zij er buiten, dan kunnen zij ook wel aan de andere zijde van M komen te liggen als A, Alt maar dan ook beide. Genoeg, denkt men zich de dubbelpunten G en H, en nu alle paren AAlt BBlf MMxx, .... die met deze harmonisch liggen, dan ziet men gemakkelijk in dat bij de hyperbolische involutie twee paren elkaar nooit scheiden, terwijl uit de betrekking: MA . MAx = — k2 even gemakkelijk volgt dat bij de elliptische involutie twee paren elkaar steeds scheiden, d. w. z. van twee punten B, Bx het eene steeds binnen, het andere steeds buiten het segment AAx ligt; A en Ax liggen zelve aan weerskanten van M, en hetzelfde geldt voor ieder ander paar. En aangezien een involutie door twee paren bepaald is, krijgen alle paren van zelf de onderlinge ligging die wij aan de twee bepalende paren gegeven hebben. Denken wij eens twee willekeurige A~ reeksen, collocaal of niet. In beide nemen wij, geheel naar willekeur, een nulpunt en een positieve richting aan, en bepalen nu in de eene een punt X door zijn abscis x, in de andere het toegevoegde punt X' door § 21. 125 zijn abscis x'; wij weten (vgl. § 9, p. 51) dat dan de projectiviteit analytisch wordt uitgedrukt door de betrekking: axx' + bx + cx' + d = 0, een betrekking die zoowel in jc als in x' lineair is, en daarom bilineair genoemd wordt. In de eerste plaats nl. wordt aan iedere x één x' toegevoegd en omgekeerd, waardoor de één-éénduidige verwantschap tusschen de punten X en X' tot uitdrukking komt, en in de tweede plaats bewijst men gemakkelijk de gelijkheid der dubbelverhoudingen. Men heeft nl.: cx' + d x = -, 7, ax + b een zoogenaamde gebroken lineaire substitutie, en indien men nu 4 willekeurige punten Xx, X2, X3, X4 met hunne abscissen X\, x2, x3, xit en hunne dubbelverhouding: IY Y Y Y \ — -^lX9 XxXj A.2A.3 A2A4 beschouwt, dan wordt: cxj_+ d , cx'] + d XjXs = x3 — = ax % + b ax'1 + b _ X2X3 x3 — x2 _ cx'z + d , cx'2 + d ~ ax'3 + b ax'2 + b = (cx\ + d) (ax'3 + b) — (cx'3 + d) (ax\ + b) ax'2 + b _ (cx'2 + d) (ax'z + b) — (cx's + d) (ax'2 + b)' ax\ + b ~ _ [ad — bc) (x 3 — x\) ax'2 + b ~ {ad — bc) (x'3 — x'2) ' ax\ +~b' ad — bc is de zoogenaamde modulus der gebroken lineaire substitutie, en dezen onderstellen wij uitdrukkelijk van 0 verschillend; wij mogen er dan in teller en noemer door verkleinen, en vinden: XiX3 _ x'3 — x\ ax'2 + b X2X3 xf3 — x'2 ' ax/1 + b' Maar evenzoo vinden wij: XxXi x'a — x\ ax'o + b v v = -r *' / , ., en dus: X2 X± x 4 — x 2 ax\ -t- b (X^XsXJ = (X\X'2X'3X'j), q. e. d. Wij kunnen dus nu het antwoord herhalen op de vraag die wij reeds in § 1, p. 3 hebben gesteld, nl. wat eigenlijk een projectieve transformatie is: een projectieve transformatie is, althans voor twee puntenreeksen, een bilineaire betrekking, of gebroken lineaire substitutie, tusschen de veranderlijken die twee toegevoegde punten bepalen. § 21. 126 Dat wij het geval: modulus ad — bc = O uitsluiten, heeft zijn grond, zooals wij weten, hierin dat voor dit geval de projectiviteit ontaardt. Is nl.: ad — bc = 0, dus: b d , . — = —, dan is: a c a[x'+4) ü(x'+1) is nu x' =1= — —, dan mag men door x' + — verkleinen, en vindt c & a c voor ieder willekeurig punt X' hetzelfde punt x = ; is echter x' = , dan wordt x onbepaald. Er ligt dus op t een c singulier punt x = , waaraan alle punten van t zijn toegevoegd (óók het punt x' = ^- natuurlijk), en er ligt op t' een singulier punt x' = — ^, waaraan alle punten van t zijn toegevoegd. De projectiviteit wordt in dit geval „ontaard" genoemd, en de gelijkheid der dubbelverhoudingen heeft geen beteekenis meer. De voorgaande beschouwingen gaan natuurlijk onveranderd door indien de reeksen collocaal worden; neemt men dan echter, wat haast van zelf spreekt, in beide hetzelfde nulpunt en dezelfde positieve richting aan, dan kan men ook gemakkelijk de dubbelpunten bepalen, want voor deze wordt x' = x, en dus: ax2 + {b + c). x + d = 0; de wortels van deze vierkantsvergelijking zijn de abscissen der dubbelpunten. Wanneer worden nu echter de beide reeksen involutorisch? Antwoord: indien de betrekking: axx' + bx + cx' + d = 0 in x en x' symmetrisch wordt, want dan worden de punten X en X' blijkbaar verwisselbaar; de involutie in de puntenreeks heeft dus tot analytische uitdrukking de symmetrische bilineaire betrekking, en deze ontstaat indien b = c; wij kunnen haar dan den vorm geven: axx' + b{x + x') + c = 0, § 21. 127 § 21. terwijl de dubbelpunten gevonden worden uit de vierkantsvergelijking: ax2 + 2bx + c — 0; en aangezien de algemeene bilineaire betrekking 4 coëfficiënten bezit, wier verhoudingen bepaald kunnen worden indien 3 paar toegevoegde punten gegeven zijn, de symmetrische daarentegen slechts 3, controleeren wij hier dat de algemeene projectiviteit bepaald is door 3 paren, de involutie daarentegen door 2. Het spreekt van zelf dat alle voorgaande beschouwingen, ook die van § 20, eveneens gelden voor stralenwaaiers, zoodat wij kunnen spreken van hyperbolische, elliptische, parabolische straleninvoluties,. met hunne dubbelstralen, enz. enz.; slechts één vraag dringt zich op, nl. wat in de plaats treedt van de tegenpunten V' en W, aangezien in den waaier een oneindig verre straal natuurlijk in het algemeen niet voorkomt. Het antwoord op deze vraag luidt als volgt: in de plaats der tegenpunten V' en W in a~ reeksen komen de overeenkomstige rechte hoeken in de ■ waaiers, en alles wat men in de reeksen doet met de punten V' en W, kan men bij de waaiers uitvoeren met die rechte hoeken (Syst. Entw. § 17 I, Werke I, p. 285). Denk eens twee TT waaiers, dan kan men deze perspectivisch maken door één van beide om zijn top te laten draaien totdat de gemeenschappelijke straal aan zich zelf is toegevoegd. Beide waaiers hebben nu een perspectiefas p, waarop overeenkomstige stralen elkaar snijden. Denk nu den cirkel geconstrueerd door de toppen T en T', welks middelpunt op p ligt; deze snijdt p in twee reëele punten, en indien wij de verbindingslijnen dezer punten met de toppen v en v', respectievelijk w en w' noemen, dan zijn vw en v'w' de (steeds reëel aanwezige) overeenkomstige rechte hoeken. Wil men nu de waaiers doen ineenvloeien tot een involutie, hetgeen volgens de uitkomsten der vorige § zal geschieden zoodra één. paar involutorisch wordt, dan legge men de toppen der waaiers op elkaar, en zorge tevens dat v' met w samenvalt; dan valt van zelf ook v met w' samen, en heeft men dus een straleninvolutie; maar nadat v' op w gelegd is, kan het samenvallen van v met w' nog op twee verschillende manieren geschieden, wat 128 aanleiding geeft tot de elliptische en de. hyperbolische involutie. In het geval der hyperbolische involutie vormen de dubbelstralen met ieder willekeurig stralenpaar een harmonischen waaier, en twee verschillende stralenparen scheiden elkaar niet; ook de bisectricen m, mx van de hoeken der dubbelstralen vormen een paar, het zoogenaamde rechthoekige paar, afkomstig van de overeenkomstige rechte hoeken vw, v'w'; ee~n straleninvolutie bezit dus steeds een rechthoekig paar; in de hyperbolische involutie deelen de stralen daarvan de hoeken der dubbelstralen middendoor, maar ook in de elliptische involutie is het reëel. En door een snijlijn aan te brengen J_ m, en op te merken dat een straleninvolutie door iedere rechte gesneden wordt volgens een punteninvolutie, overtuigt men zich onmiddellijk dat de betrekking: MA . MA! = ± k2 overgaat in: tg (ma). tg (mfli) = ± K2. Involutie en kegelsnede. § 22. De theorie der Involutie komt in de „Systematische Entwickelung" niet voor, maar in de Voorrede (Werke I, p. 235), waar Steiner meedeelt dat het volledige werk uit vijf deelen zal bestaan, en waar hij de titels dier deelen opsomt, noemt hij als titel van Deel IV: „Correlationssysteme und Netze (mit Einschluss der Involutionssysteme und Netze)", en op p. 352 komt hij hier nog eens op terug, terwijl hij op p. 234 reeds gesproken heeft over „sechs Puncte oder Strahlen, welche Involution bilden". Inderdaad vindt men Steiner's onderzoekingen betreffende de Involutie, die wij in de voorgaande §§ meegedeeld hebben, neergelegd in de §§ 16 en 17 van Steiner—Schröter's „Theorie der Kegelschnitte etc", 3e Aufl., pp. 51, 64, die, zooals wij weten, de colleges weergeven die Steiner gedurende een lange reeks van jaren aan de Universiteit te Berlijn gegeven heeft. Het verband tusschen involutie en kegelsnede wordt gelegd in § 29, p. 132, en wel door middel van de volgende twee stellingen. A. Wordt een kegelsnede (Fig. 47) voortgebracht door twee ~K puntenreeksen, en wel door middel van de bijzondere constructie (vgl. § 12, p. 65), dan worden de beide voortbrengende reeksen van uit ieder punt der perspectiefas t", maar ook uitsluitend van uit deze, geprojecteerd door een straleninvolutie. § 22. 129 B. Wordt een kegelsnede (Fig. 48) voortgebracht door twee a~ waaiers, en wel door middel van de bijzondere constructie (vgl. § 15, p. 88), dan worden de beide voortbrengende waaiers door iedere lijft door het perspectiefcentrum T", maar ook uitsluitend door deze, gesneden volgens een punteninvolutie. De bewijzen voor deze beide dualistisch tegengestelde stellingen zijn doodeenvoudig. Projecteeren wij in Fig. 47 de beide Fig. 47. reeksen ABOP , A'B'O'P' uit een punt T van t", dan vallen de stralen o en p', en evenzoo o' en p, samen; de beide collocale waaiers aan T krijgen dus een involutorisch paar, en Fig. 48. groeien derhalve samen tot een involutie; de stralen a, b' en a', b moeten dus eveneens samenvallen, en de raaklijnen g en h uit T aan de kegelsnede worden de dubbelstralen; want als AA' door T gaat, gaat ook BB' door T, en vallen dus twee toegevoegde stralen samen. En als T niet op r" ligt, dan vallen wel de stralen o en p', maar niet o' en p samen, en kunnen dus de projecteerende waaiers onmogelijk involutorisch worden. En dualistisch voor stelling B (Fig. 48). Uit stelling A volgt nu op eenvoudige wijze de liniaalconstructie der straleninvolutie (Fig. 49); is nl. zulk een involutie bepaald Hk. de Vries, Projectieve Meetkunde. 9 § 22. 130 door 2 paren xxu yyu dan trachten wij Fig. 47 terug te krijgen. Te dien einde nemen wij op den straal x een punt OP' aan, trekken daardoor twee willekeurige snijlijnen t, t', en noemen de snijpunten van deze met Xi P en O'. De lijnen YVi, Yi V snijden elkaar nu op O'P = t", d.w.z. 00', PP', VVlt YYX zijn 4 paren van twee 7\ reeksen op t en t', en t" is de perspectiefas. Wil T Fig. 49. men dus nu bij een straal z den toegevoegden zx construeeren, dan snijde men bijv. ZV\ in T' met t", en trekke T"V; deze snijdt f in Zx, en TZX is zx. Men kan echter z even goed wx noemen, en in Wx snijden met dan Wx verbinden met V, snijden met verbinden met Vlt en snijden met t; dan ontstaat het punt W, en TW = w = De hier gegeven constructie. is niet gemakkelijk te onthouden; daarom brengen wij haar op den volgenden symmetrischen vorm, die de eigenschap heeft van juist heel gemakkelijk in het geheugen te blijven hangen: Neem op x, y, z 3 punten aan die een driehoek vormen (O, Vlt Z); snijd de zijde tegenover het hoekpunt op x met xx {T"), die tegenover het hoekpunt op y met yx (V), en de verbindingslijn dezer twee punten met de derde zijde (Zij; dan is de verbindingslijn van dit laatste snijpunt met T de gezochte straal zv Neemt men de punten O, V, Wx aan, dan heeft men VWX met xv OW-l met vlt en de verbindingslijn dezer punten met OV te snijden; het snijpunt is W, en ligt op w = zx. Aangezien een straleninvolutie niets anders is dan een eigen- § 22. 131 aardige vergroeiing van twee collocale waaiers, moet de liniaalconstructie der involutie natuurlijk óók af te leiden zijn uit die voor twee collocale waaiers. Deze laatste bestaat eenvoudig hierin dat men den eenen waaier meteen willekeurige hulplijn snijdt, en de hierdoor ontstaande puntenreeks uit een willekeurig punt projecteert; hierdoor toch heeft men het geval van twee collocale waaiers terug gebracht tot dat met twee gescheiden toppen. Snijden wij nu eens den waaier xu ylt vx van Fig. 49 met s', en projecteeren daarna uit het punt OP', waardoor de waaier x\, y\, v\ ontstaat, dan heeft men: (xyvx ) TT (x\y'1v\ ), en het perspectiefcentrum dezer twee A~ waaiers (vgl. § 15, p. 88) blijkt T" te zijn, welk punt hier op s' zelf ligt, zonder dat dit echter aan de bruikbaarheid der constructie afbreuk doet. Snijd nu z met yx', verbind met T", en snijd met y, dan ontstaat Z\' = t', en nu snijdt Z|.' de lijn s' in Zy. Onze figuur bevat óók nog een hoogst belangrijk theoretisch resultaat. De 4 lijnen s, s', t, f zijn de zijden van een volledige vierzijde, en nu blijkt het dat de 3 stralenparen xx1} yyu zzx onzer involutie juist door de 3 paar overstaande hoekpunten dezer volledige vierzijde gaan. Het punt T echter ligt ten opzichte van deze vierzijde geheel willekeurig, want men kan, van de vierzijde uitgaande, de geheele figuur reconstrueeren door T er willekeurig aan toe te voegen; hieruit volgt dat de 3 paar overstaande hoekpunten eener volledige vierzijde uit een willekeurig punt van het vlak geprojecteerd worden door 3 stralenparen eener involutie. ' Neemt men (Fig. 49) het punt T aan op één van de 3 diagonalen, dan vindt men blijkbaar 2 gewone paren en een dubbelstraal, nl. die diagonaal, en neemt men T aan in het snijpunt van twee diagonalen (Fig. 50), dus in een diagonaalpunt, dan vindt men slechts één willekeurig paar, nl. y, yx, en de beide dubbelstralen xxu zzx. De dubbelstralen echter vormen volgens § 20, p. 122 met ieder ander paar een harmonj- § 22. 132 schen waaier, zoodat (xx^ zzlt yyj = — 1; zooals onmiddellijk is in te zien is deze eigenschap niets anders dan de reeds in § 6, p. 31 ontdekte stelling dat op iedere diagonaal eener volledige vierzijde de beide daarop gelegen hoekpunten en diagonaalpunten een harmonische groep vormen (men heeft slechts onzen harmonischen waaier aan T met die diagonaal te snijden). De stelling dat de 3 paar overstaande hoekpunten eener volledige vierzijde uit een willekeurig punt T door 3 stralenparen eener involutie geprojecteerd worden, is slechts een gedeelte van een meer volledige stelling, waarin alle stralenparen der involutie ter sprake komen, en niet slechts 3; ook deze volledige stelling willen wij afleiden. Volgens § 19, p. 117 vormen alle kegelsneden die aan 4 rechten raken een zoogenaamde schaar. Evenals nu in een bundel, zijnde de verzameling van alle kegelsneden door 4 vaste punten, 3 zoogenaamde degeneraties of ontaardingen voorkomen, nl. de 3 paar overstaande zijden van den volledigen vierhoek der basispunten, komen ook in een schaar 3 ontaardingen voor, nl. de 3 paar overstaande hoekpunten van de volledige vierzijde der basisraaklijnen; immers een kegelsnede kan niet slechts ontaarden in een lijnenpaar (perspectieve waaiers), maar even goed in een puntenpaar (perspectieve reeksen), en ieder paar overstaande hoekpunten van de volledige vierzijde van de basisraaklijnen der schaar bevat, als ontaarde kegelsnede opgevat, de 4 basisraaklijnen als raaklijnen. Onze te bewijzen stelling luidt nu als volgt: De raaklijnenparen uit een willekeurig punt aan de kegelsneden eener schaar vormen een straleninvolutie. Is dit juist, dan behooren tot die involutie ook de stralenparen naar de 3 paar overstaande hoekpunten van de volledige vierzijde der basisraaklijnen, want deze treden op als raaklijnen aan de 3 ontaardingen; en zoo is dan de stelling van de drie stralenparen aangevuld tot een waarin alle stralenparen optreden. Het bewijs loopt als volgt. Kies (Fig. 51) de basisraaklijnen 1 en 2 als dragers van twee a~ puntenreeksen die een bepaalde kegelsnede van de schaar moeten voortbrengen, dan vormen in deze reeksen de punten Y en Zx één paar, Yx en Z een tweede, terwijl natuurlijk nog een derde noodig zou zijn om de kegelsnede werkelijk te bepalen. Denk nu deze beide ~a reeksen uit § 22. 133 T geprojecteerd, en de dubbelstralen geconstrueerd, dan zijn dit de raaklijnen flf /2 uit T, en heeft men volgens § 18, p. 108: tfifatè = {fxkzyx); maar volgens § 3, 1 p. 14 is: (A/aayi) = (fzAyiZ), dus is ook: (A/2^i) = (fzfiyiz); Fig. 51. maar dit beteekent dat indien men in de collocale TC waaiers: {Ayzi ) a" (hyxz —) f2 tot den eersten waaier rekent, zijn toegevoegde in den tweeden fi is, waaruit volgt dat in deze projectiviteit het paar fif2 involutorisch is, en dus ook alle andere paren het zijn; de stralenparen yyu zzi bepalen dus een involutie, waartoe het raaklijnenpaar fxf2 aan iedere kegelsnede der schaar behoort, en waartoe dus uit den aard der zaak ook het stralenpaar xxx behoort dat van T gaat naar X en Xx. De involutie aan het punt T ten opzichte van de schaar, de zoogenaamde schaarinvolutie, bezit 2 dubbelstralen, die reëel en verschillend zijn indien de involutie hyperbolisch is; dan zijn er dus in de schaar 2 kegelsneden, aan welke van uit T telkens twee samenvallende raaklijnen te trekken zijn; dit is echter slechts mogelijk indien T op die kegelsneden zelve ligt, en zoo zien wij dat door een willekeurig punt van het vlak in het algemeen twee kegelsneden der schaar gaan. § 22. 134 De hoekpunten van de volledige vierzijde der basisraaklijnen zijn uitzonderingspunten; want voor het punt X bijv. vallen de raaklijnen aan alle kegelsneden samen in de raaklijnen 1 en 2; die aan de ontaarding XXlt de eenige kegelsnede der schaar bovendien die X bevat, zijn onbepaald. Involutie en kegelsnede (Vervolg). § 23. Het vraagstuk dat wij aan het einde der vorige § bespraken behoort tot diegene waar gevraagd wordt een kegelsnede te construeeren uit vijf gegeven voorwaarden; zijn dit 5 punten, of 4 punten en de raaklijn in één daarvan, of 3 en de raaklijnen in 2 daarvan, dan wordt de constructie uitgevoerd met behulp van de stelling van Pascal, en zijn het 5 raaklijnen, of 4 met één raakpunt, of 3 met 2 raakpunten, dan gebruikt men Brianchon; hier echter hebben wij te doen met een ander geval, nl. 4 raaklijnen, en een punt niet op één van die raaklijnen gelegen. Zooals wij gezien hebben is in dit geval het aantal oplossingen 2; wij beschouwen alle kegelsneden die de 4 gegeven rechten raken, bepalen aan het gegeven punt de schaarinvolutie, en zoeken van deze de dubbelstralen; dit zijn de raaklijnen der gezochte kegelsneden in het gegeven punt. De schaarinvolutie kan echter ook elliptisch uitvallen; dan zijn de beide kegelsneden onbestaanbaar, hoewel zij 4 reëele raaklijnen en een reëel punt bezitten. Het dualistische vraagstuk verlangt een kegelsnede te construeeren die door 4 gegeven punten gaat en een gegeven rechte, die niet door één van die 4 punten gaat, aanraakt; ook hier moet dus het aantal oplossingen 2 bedragen, en inderdaad hebben wij dit vraagstuk, en ook het voorgaande, reeds behandeld in § 19, p. 116, door op een eigenaardige wijze de stellingen van Pascal en Brianchon toe te passen; in het eene geval hebben wij de raaklijnen uit het gegeven punt bepaald, en de voorwaarde gesteld dat deze moesten samenvallen, in het andere de snijpunten met de gegeven lijn, ook weer onder voorwaarde dat deze moesten samenvallen. De constructies met behulp der involutie zijn eenvoudiger en beter; op de zoogenaamde bundelinvolutie op een rechte lijn komen wij zoo straks nog te spreken, vooraf echter nog een paar opmerkingen over de schaarinvolutie, respectievelijk de liniaalconstructie der straleninvolutie in bijzondere gevallen. § 23. 135 Hoe ziet de- liniaalconstructie der straleninvolutie er uit indien één van de dubbelstralen gegeven is? Laat in Fig. 52 de involutie bepaald zijn door den dubbelstraal g en het paar xxlt en laat gevraagd zijn bij y den toegevoegden straal yx te construeeren. Wij nemen op g, x, y drie punten G, X, Y aan die een driehoek vormen, snijden XY in Gx met g, GY in Xi met xlt en G^ in Yx met GX; door Yt gaat dan de straal yx. F'g- 52- Nu één dubbel¬ straal bekend is, moet de andere zich met de liniaal alleen laten construeeren, en inderdaad is deze niets anders dan de verbindingslijn h van T met het snijpunt H van XXX en YYV Immers XXX, YYlf GGi zijn de 3 paar overstaande hoekpunten eener volledige vierzijde, van welke HKL de diagonaaldriehoek is; nu is volgens de grondeigenschap der volledige vierzijden (§ 6, p. 31) (KHXXj) = (LHYYx) = — 1, dus is ook: (ghxxj = (ghyyj = — 1. Zijn (Fig. 53) beide dubbelstralen g en h gegeven, en moet van een straal jc de toegevoegde bepaald worden, dan nemen wij op g, h, x 3 punten G, H, X aan die een driehoek vormen; wij snijden XH in Gx met g, XG in Hx met h, en de lijn G\Hy in Xx met GH; de straal xx gaat dan door Xt\ inderdaad zijn XXlf HHi, GG\ de 3 paar overstaande hoekpunten eener volledige vierzijde waarvan T een diagonaal- punt is; het is dus onmiddellijk in te zien dat (ghxxij = — 1, en de geheele figuur identisch is met die voor de constructie van den vierden harmonischen straal (vgl. § 6, p. 33). Fig. 53. § 23. 136 De liniaalconstructie der punteninvolutie, die dualistisch tegengesteld is aan die voor de straleninvolutie, en wier bewijs dus kan worden afgelezen uit § 22, p. 130, moet blijkbaar als volgt luiden (Fig. 54): Trek door X, Y, Z drie lijnen die een driehoek vormen (STT'); verbind het hoekpunt tegenover de zijde door X (S) met Xlt dat tegenover de zijde door Y, (T) met Yi en het snijpunt S' dezer twee lijnen met het derde hoekpunt (T'); dan gaat deze verbindingslijn door Zv Inderdaad, trek door X= OP' een willekeurige rechte; neem hierop twee punten T, T' naar willekeur aan, en projecteer uit T de reeks OYPV , uit T' de reeks O'Y'P'V' , dan is: (oypv ) TT (o'y'p'v' ), en het perspectiefcentrum blijkt het punt Xx te zijn; neemt men s Fig. 54. nu het snijpunt S van v' met z, dan moet dat van v met z' met S op een lijn door Xx liggen, en dus samenvallen met S', waardoor deze liniaalconstructie der punteninvolutie is afgeleid uit die van twee collocale reeksen, nog weer op een eenigszins andere manier als wij in § 22, p. 131 de dualistische constructie hebben afgeleid uit die voor collocale waaiers. De 4 punten S, S', T, T' vormen een volledigen vierhoek, en de drie paar overstaande zijden van dezen gaan juist door de 3 puntenparen XXX, YYlt ZZi onzer involutie; en aangezien ook hier de drager der involutie geheel willekeurig ligt ten opzichte van den vierhoek, kunnen wij de stelling uitspreken: een willekeurige rechte snijdt de 3 paar overstaande zijden van een volledigen vierhoek in 3 puntenparen eener involutie. Dat uit deze stelling de liniaalconstructie der punteninvolutie § 23 137 kan worden afgelezen is reeds opgemerkt door Ch. Sturm, den man van het beroemde theorema uit de Hoogere Algebra, in zijn „Mémoire sur les lignes du second ordre", Gergonne's „Annales" XVII, p. 185. Een rechte door een diagonaalpunt snijdt dus een involutie uit waarvoor dat diagonaalpunt een dubbelpunt is, een diagonaal zelve een involutie waarvoor de beide op die diagonaal gelegen diagonaalpunten de dubbelpunten, de snijpunten met het laatste paar zijden een willekeurig paar, en alle vier te zamen een harmonische groep vormen, welke stelling door projectie uit het derde diagonaalpunt overgaat in de grondstelling van den volledigen vierhoek (§ 6, p. 30) dat aan ieder diagonaalpunt de beide diagonalen en de beide zijden die er doorheen gaan een harmonischen waaier vormen. Maar op de zijden van den vierhoek degenereert de involutie; twee paren vallen in de beide op die zjjde gelegen hoekpunten, van het dërde.wordt één punt volkomen onbepaald. (Op een rechte door één van de hoekpunten wordt de involutie parabolisch; waarom?) De liniaalconstructies voor deze gevallen zijn uit die voor de straleninvolutlèonmiddellijk af te leiden. De 4 hoekpunten van den volledigen vierhoek zijn de basispunten van een kegelsnedenbundel, waartoe de 3 paar overstaande zijden als degeneraties eveneens behooren; door het analoge bewijs van de schaar dualistisch om te zetten vinden wij dus de stelling: een willekeurige rechte snijdt de kegelsneden van een bundel volgens een involutie, tot welke ook de snijpunten met de drie lijnenparen uit den bundel behooren; slechts voor de zijden van deze lijnenparen zelve verliest die involutie haar beteekenis. Dit is de zoogenaamde bundelinvolutie op een rechte. Haar twee dubbelpunten zijn punten waar twee kegelsneden uit den bundel de rechte lijn raken; en indien deze kegelsneden geconstrueerd moeten worden, dus indien de kegelsneden bepaald moeten worden die door 4 gegeven punten gaan en een rechte lijn raken, dan zal men de bundelinvolutie op die lijn bepalen door de paren die ingesneden worden door de 3 paar overstaande zijden van den volledigen vierhoek. Neemt men de raaklijn in het oneindige aan, dan ontdekt men opnieuw dat in een bundel twee parabolen voorkomen (hoeveel in een schaar?), wier asrichtingen men vindt door uit een willekeurig punt T van het vlak lijnen te trekken evenwijdig aan de 3 paar overstaande zijden van den § 23. 138 volledigen vierhoek der basispunten, en van de hierdoor ontstaande involutie de dubbelstralen te bepalen. Komen die dubbelstralen loodrecht op elkaar te staan, dan heeft er met den bundel iets zeer eigenaardigs plaats. In de eerste plaats hebben wij dan te maken met twee parabolen wier assen loodrecht op elkaar staan, en weten wij dus (vgl. § 19, p. 118) dat tot de kegelsneden van den bundel ook een cirkel behoort; maar in de tweede plaats kunnen wij nu gemakkelijk bewijzen dat van alle andere kegelsneden van den bundel de assen onderling evenwijdig zijn, nl. evenwijdig aan die der beide parabolen. Een straleninvolutie, wier dubbelstralen loodrecht op elkaar staan, zullen wij gelijkzijdig-hyperbolisch, of ook wel symmetrisch noemen. Aangezien de dubbelstralen g en h met ieder paar xxx een harmonischen waaiervormen (§ 20, p. 122), moeten in een gelijkzijdig hyperbolische involutie deze dubbelstralen de hoeken van ieder paar xx± middendoor deelen. Nu zijn echter in ons geval de stralen x, xx evenwijdig aan de asymptoten eener kegelsnede uit den bundel, want de bundelinvolutie ligt op de oneindig verre rechte; maar de assen eener kegelsnede deelen de hoeken der asymptoten middendoor, en zijn dus evenwijdig aan de dubbelstralen, d.w.z. de assen der beide parabolen. De lezer, die de opmerking maakt dat hiermede de stelling uitsluitend bewezen is voor de hyperbolen uit den bundel, doch geenszins voor de ellipsen, heeft van zijn standpunt uit natuurlijk volkomen gelijk; immers een ellips bezit geen asymptoten, en op het bestaan van deze berustte het bewijs. Niettemin geldt de stelling niet slechts ook voor de ellipsen, maar is zij door het voorgaande ook bewezen; maar voordat wij dit in kunnen zien, moet het Imaginaire zijn intrede óók in de Geometrie gedaan hebben, en hiertoe biedt nu juist de elliptische Involutie het even eenvoudige als natuurlijke middel; doch hierover later. : Aangezien de assen van een kegelsnede die ontaard is in een lijnenpaar uit de bisectricen van de hoeken van dat lijnenpaar bestaan, zien wij dat bij een bundel van de hier beschouwde soort de bisectricen van de hoeken van de 3 lijnenparen uit den bundel onderling evenwijdig zijn. De hier bedoelde bijzondere bundel kan gemakkelijk verkregen worden door twee kegelsneden (hyperbolen) aan te nemen met evenwijdige assen; immers trekt men door een punt T lijnen § 23. 139 § 24. evenwijdig aan de assen èn de asymptoten, dan hebben de laatste de eerste tot bisectricen, en aangezien dit voor beide paren geldt, zijn de eerste de dubbelstralen, en is dus de involutie aan T gelijkzijdig-hyperbolisch. De hier gegeven beschouwingen zijn ingeleid door Christiaan Huygens. Deze heeft nl. in het jaar 1680 het eerst de stelling uitgesproken dat indien van twee kegelsneden die elkaar in 4 punten snijden de assen twee aan twee evenwijdig zijn, de 4 snijpunten op een cirkel liggen (vgl. een opstel van F. Schuh in het tijdschrift „Christiaan Huygens", le jaargang, N°. II, p. 96); daar hem echter het begrip „bundel" onbekend was, heeft hij de eigenschap aangaande de assen der andere kegelsneden, en in het bijzonder die aangaande de assen der beide parabolen, natuurlijk niet kunnen vinden. Vraag: wat is het analogon der gelijkzijdig-hyperbolische straleninvolutie in de puntenreeks? Antwoord: de involutie waarvan één der dubbelpunten in het oneindige ligt. Het andere vormt dan met ieder paar een symmetrische groep (§ 3, p. 13). Gemakshalve zullen wij daarom deze involutie een symmetrische volutie noemen. Wij eindigen met de volgende opmerking. Een willekeurige rechte wordt door 2 exemplaren van een bundel aangeraakt, een rechte door één van de basispunten echter slechts door één (nl. in dat basispunt zelf); waar is de tweede gebleven? Denk de rechte in kwestie een weinigje evenwijdig aan zich zelf verschoven, dan ziet men, indien men den goeden kant op verschoven heeft, dat nu twee zeer weinig van elkaar verschillende kegelsneden de rechte aanraken; voor een rechte dóór één der basispunten vallen dus de beide oplossingen samen. En dualistisch voor de schaar. Een rechte door één der diagonaalpunten van den volledigen vierhoek der basispunten wordt slechts door één werkelijke kegelsnede uit den bundel aangeraakt, de andere bestaat nl. uit de twee lijnen van het zijdenpaar die elkaar in dat diagonaalpunt snijden. En een diagonaal zelve wordt in het geheel niet door kegelsneden uit den bundel aangeraakt. En dualistisch voor de schaar. Historische opmerkingen over de Involutie. § 24. Het begrip en het woord „Involutie" zijn afkomstig van Desargues. Nadat het oorspronkelijke „Brouillon project", waarschijnlijk wel voor altijd, verloren gegaan was, en vóórdat de copie van de la Hire door Chasles in het jaar 1845 terug- 140 gevonden was, wisten wij van wat Desargues op het gebied der Involutie gepresteerd had slechts iets af door een „Lettre de M. de Beaugrand, Secrétaire du Roi, sur le sujet des feuilles intitulées: Brouillon project.... Par le S. G. D. L., avec privilege, 1639." (Zie „GEuvres de Desargues par Poudra, T. 2, p. 355; de 4 hoofdletters S. G. D. L. beteekenen „Sieur Girard Desargues, Lyonnais," en uit het woord „feuilles" maken wij op dat het „Brouillon" oorspronkelijk niet in boekvorm verschenen is maar, evenals de „Essay" van Pascal (vgl. § 16, p. 91) gedrukt op losse bladen). Deze „Lettre" van den Heer de Beaugrand, een open brief, bevat een felle, o.i. niet geheel onverdiende, kritiek op het „Brouillon", en is hier en daar geenszins van geest ontbloot; de kritiek treft echter uitsluitend den vorm, want uit alles blijkt zonneklaar dat de criticus van den inhoud hoegenaamd niets begrepen heeft; op den vorm echter is>.inderdaad genoeg af te dingen. De Beaugrand heeft het voornamelijk gemunt op de tallooze nieuwe, aan de Botanie ontleende, benamingen, die Desargues tracht in te voeren, en citeert hier, zeer ter snede, het woord dat een zekere Marcellus den Keizer Tiberius toevoegde toen deze bij keizerlijk decreet de Latijnsche taal met allerlei nieuwe woorden en uitdrukkingen wilde verrijken: „Hominibus, Caesar, civitatem dare potes, verbis non potes", dus: „aan menschen, o Keizer, kunt Gij het burgerrecht verkenen, maar aan woorden kunt Gij het niet." En inderdaad, Desargues is er niet in geslaagd aan zijn zoo kunstig uitgedachte termini het burgerrecht te verschaffen, met uitzondering van het ééne woord „Involutie", dat inderdaad voortreffelijk gekozen is, en nu is het niet onvermakelijk om op te merken dat de Beaugrand zich over geen enkel woord zóó boos maakt, geen enkelen term zóó zeer bespot als juist dezen! Hij vraagt of Desargues de beteekenis van het woord wel begrepen heeft, of hij misschien bedoeld heeft „Evolutie", en bereikt door deze en dergelijke snaakschheden het dubbele doel zich zelf te vermaken .. .. èn ons, want wij bemerken dat de geestige man van den inhoud van het werk dat hij bespot ook niet het geringste begrepen heeft! Uit het „Brouillon", zooals wij het tegenwoordig kennen door de copie van de la Hire, blijkt dat het uitgangspunt van Desargues het volgende geweest is (OZuvres par Poudra, T. I, p. 112): § 24. 141 „Arbre. — Quand en une droite AH (Fig. 55) il y a un point A commun et semblablement engagé ou dégagé aux pièces de chacune de trois couples AB, AH — AC, AG — AD, AF dont les trois rectangles sont egaux entreux, une telle condition en une droite, est ici nommée arbre dont la droite est tronc. Souche. — Le point A ainsi commun a chacune de ces six pièces AB, AH, AC, AG, AD, AF y est nommée souche. Branche. Chacune de ces mesures six pièces AB, AH, AC, AG, AD, AF y est nommée Branche." De bedoeling hiervan zal duidelijk zijn. Men heeft 3 puntenparen, BH, CG, DF, en een punt A zóódanig gelegen dat het de punten van elk paar scheidt (semblablement engagé), of niet scheidt (dégagé), terwijl bovendien: AB . AH = AC .AG = AD . AF. . . . . (1) Het is duidelijk dat wij hier te maken hebben met 3 paren eener punteninvolutie, voor welke het punt A het middelpunt is (vgl. § 20, p. 123). Desargues gebruikt hier echter het woord A B C D P G H Fig. 55. Involutie nog niet, omdat hij hiervoor een betrekking wil hebben uitsluitend tusschen de 6 punten B, C, D, F, G, H, dus zonder tusschenkomst van het centraalpunt. Hiertoe gaat hij op de grondbetrekking (1) de eigenschappen der evenredigheden toepassen, en om een idee te geven van de wijze waarop in het begin der 17e eeuw over Meetkunde geschreven werd willen wij zijn betoog hier woordelijk overnemen, er tusschen haakjes ter verduidelijking telkens bijvoegend wat hij eigenlijk bedoelt; vooraf dient dan nog de opmerking te gaan dat hij onder „Branche" verstaat den afstand van één van de 6 punten tot A (zie boven), onder „Brin" den afstand van twee punten die niet tot eenzelfde paar behooren, bijv. GB, GH, enz., en dat de rechthoek GB . GH de „gemeau" is van den rechthoek GD . GF, enz. En nu spreekt hij de volgende stelling uit: „Comme la quelconque des branches AG est a son accouplée AC, ainsi le rectangle d'une quelconque des couples de brins GD, GF que porte cette quelconque branche AG est a son relatif le rectangle CD. CF" (d.w.z.: te bewijzen: AG : AC = GD . GF: CD . CF). § 24. 142 „Car è cause de 1'égalité d'entre les rectangles des deux branches de chacun des trois couples AB, AH; AC, AG; AD, AF (vgl. 1) les quatre branches AG, AF, AD, AC sont deux è deux propor- tionnelles, d'oü suit que comme AG est a AF ) An . > ainsi GD est a CF. ou bien AD a AC ) et que comme AF est a AC ) ,. x } ainsi GF est a CD. ou bien AG a AD ) (d. w. z.: AG : AF = AD : AC = GD : CF, AF : AC = AG : AD = GF: CD; en nu worden deze twee evenredigheden met elkaar vermenigvuldigd, en wordt gevonden: Ar Ar-GD GF _GD_LGF\ AU -AL~ CF CD~ CD . CFI in woorden (want de formules ontbreken): „Conséquemment la branche AG est a son accouplée la branche AC en raison mesure que la composée des raisons du brin GD au brin CF et du brin GF au brin CD, qui est la raison du rectangle des brins de la couple GD, GF au rectangle des brins de sa relative la couple CD, CF". Op deze langdradige en onoverzichtelijke wijze gaat het door. Afgeleid wordt de betrekking: AG:AC= CB'. CH' en hieruit eindelijk, en met vele woorden: GD . GF _ GB . GH CD. CF CB.CH'( ) een betrekking waaruit het punt A verdwenen is, en die natuurlijk door andere analoge kan vervangen worden. En nu eindelijk (1. c. p. 119) ontmoeten wij voor het eerst het woord „Involutie", want een Involutie van 3 puntenparen op een rechte is een rangschikking van die puntenparen zóódanig dat de betrekking (2) en hare analoge gelden, in Desargues' eigen woorden: Involution. — Et quand en une droite AH il y a comme cela trois couples de points B, H; C, G; D, F ainsi conditionnées a scavoir que les deux points de chacune des couples soient de mesure ou mellez ou démellez aux deux points de chacune des autres couples, et que les rectangles ainsi relatifs des pièces § 24. 143 d'entre ces points soient entre eux comme leurs gemeaux, pris de mesme ordre, sont entreux; une telle disposition de trois couples de points en une droite est icy nommée Involution". Men ziet dat Desargues hier spreekt van een involutie van 3 puntenparen; verderop spreekt hij bij voorkeur van een involutie van 6 punten. Hij merkt op dat 2 punten van een paar kunnen samenvallen, in welk geval men een involutie van 5 punten heeft; dat nóg eens 2 punten van een paar kunnen samenvallen, waardoor de involutie van 4 punten ontstaat, en voor al deze gevallen geeft hij, maar altijd in woorden, een overvloed van metrische betrekkingen. Wij leiden deze betrekkingen tegenwoordig af uit de gelijkheid der dubbelverhoudingen. Zijn 3 puntenparen AAh BBl} CCX in involutie, dan is bijv.: [AAyBC) m (A^B^CA, of uitgeschreven: AB . AXC AjBj . ACX AC . AXB A& . ABS AB. ABj '. A^ . AjB AC. ACj_ A& .AiC(2 ) en dit is niets anders dan de betrekking (2). En schrijft men: (ABAlCl) = (A&AQ, dan vindt men: AAÏ . BCi r AXA . BtC ACi . BAt A^C.B^A' BCX . CAx . ABX = BAX . CBX . ACt; enz. . . (3) Brianchon heeft in zijn „Mémoire sur les lignes du second ordre", § VIII, 1817 al deze betrekkingen opnieuw afgeleid, waarbij hij de involutie doet ontstaan door een rechte te snijden met de zijden en diagonalen van een vierhoek, en Poncelet heeft de ontwikkelingen van Brianchon overgenomen in zijn „Traité" (vgl. N°. 172, p. 88); Desargues zelf heeft het verband tusschen de involutie, den vierhoek met zijn beide diagonalen, en£een om dien vierhoek beschreven kegelsnede, bloot gelegd op p. 171 van het „Brouillon" (Poudra I), waarbij hij nadrukkelijk zegt dat de snijpunten van deze figuur met een rechte lijn vier paren eener zelfde involutie vormen; hier hebben wij dus de kiem van de stelling der bundelinvolutie (vgl. § 23, p. 137) vóór ons. Poncelet heeft in zijn „Traité", N°. 180, deze stelling op de §24 144 volgende interessante wijze geïnterpreteerd: „draaien van een in een kegelsnede beschreven vierhoek drie zijden om vaste punten, op een rechte lijn gelegen, dan draait de laatste zijde eveneens om een punt van die lijn"; immers de snijpunten met de zijden en met de kegelsnede moeten steeds drie paren eener zelfde involutie zijn, en deze is door de snijpunten van één paar overstaande zijden, en die van de kegelsneden, bepaald. De eigenaardige ligging van 6 punten op een rechte, die wij sedert Desargues aanduiden met den naam „Involutie", was aan de Ouden alweer niet geheel onbekend, en de stelling in het bijzonder dat de zijden en diagonalen van een vierhoek door een rechte lijn in 3 puntenparen eener involutie gesneden worden kenden zij volkomen. Natuurlijk drukken zij haar anders uit, maar het wezen der zaak is hetzelfde. In het 7e boek der „Collectiones mathematicae" van Pappos vindt men, aan niet minder dan 8 verschillende figuren gedemonstreerd, waarvan wij er in Fig. 56 één reproduceeren, als Theorema CXIX, Propositio CXXX, Lemma II1I, de volgende stelling: „Laat beschreven zijn de figuur ABCDEFGHKLMN, en laat: AF .BC AF .DE AB .FC~ AD . EF zijn. Ik zeg dat er een rechte lijn bestaat, die door de punten H, G, F gaat". Schrijft men de betrekking in den vorm: BC . AD . EF = AB . DE . FC, bedenkt dat de 3 paren der involutie zijn F, A; B, E; D, C, en vervangt deze letters respectievelijk door.4, A±; B, B±; C, C1; dan krijgt men juist de betrekking (3), p. 143. § 24. 145 Van de betrekking (2*) vindt men bij Pappos het bijzondere geval: AB . AB] = AC . AC], dat ontstaat indien Ax in het oneindige verdwijnt; in het VIIIe boek der „Collectiones", Problema IX, Propos. XIII, wordt het gebezigd om, op een van óns standpunt uit niet zeer gelukkige manier, door 5 gegeven punten een kegelsnede te brengen. Merken wij ten slotte nog op dat men de involutiestelling van Desargues betreffende een kegelsnede met ingeschreven vierhoek óók vindt op den „Essay" van Pascal, met de uitdrukkelijke opmerking er bij dat zij van Desargues afkomstig is. Passerconstructie der Involutie en Polariteit. § 25. Aangezien een involutie in den grond der zaak niets anders is dan een eigenaardige vergroeiing van twee a~ reeksen of waaiers, moet de passerconstructie der involutie, die ons o.a. de dubbelelementen moet doen vinden, afgeleid worden uit de analoge constructies van § 18, p. 104. Hebben wij bijv. met een straleninvolutie te doen, dan brengen wij door den top T een hulpkegelsnede (in de praktijk natuurlijk altijd een cirkel), en brengen de involutie op deze over; hierdoor ontstaan op de kegelsnede twee 7\~ puntenreeksen van de tweede orde, en van deze construeeren wij de lijn p van Pascal. Dit is geschied in Fig. 57. De straleninvolutie zelve hebben wij niet aangegeven; wij hebben ons tevreden gesteld met de puntenparen A, A] en B, B], volgens welke de beide bepalende stralenparen der involutie de hulpkegelsnede snijden. Nu zijn dit slechts twee puntenparen, terwijl er voor de lijn van Pascal drie noodig zijn, maar ook de reeksen van de tweede orde zijn in involutie; noemen wij dus A tevens Vx, dan valt V op Au en noemen wij B tevens Ui, dan valt U op Blt en nu hebben wij vier paren in plaats van slechts twee, zoodat de punten (AB], A]B) = Q, (AU], AXU) = R, (AV], A]V)=S, (BU], B]U)=T alle op de lijn van Pascal moeten liggen; hierbij zijn S en T blijkbaar de snijpunten der raaklijnen in A, Au en resp. B, Bx. Snijdt nu de lijn van Pascal de kegelsnede in twee punten G en H, dan zijn dit de dubbelpunten der beide involutorische reeksen van de tweede orde, hunne verbindingslijnen met den top der involutie dus de dub- Hk. de Vries, Projectieve Meetkunde. 10 § 25. 146 belstralen g en h. Doch ook willekeurige stralenparen laten zich met behulp van de lijn van Pascal construeeren; is bijv. C een willekeurig punt der hulpkegelsnede, dan moeten de punten (AClt AiQ, (BCi, fi]C) eveneens op p liggen; en noemt men C tevens Wlt Ci dus W, dan ziet men dat ook de raaklijnen in C en Q elkaar op p moeten snijden. Uit onze figuur laten zich nu echter nog tal van andere belang- § 25. 147 rijke gevolgtrekkingen afleiden, ja, zij bevat eigenlijk de volledige „théorie des polaires réciproques" die, voor het eerst opgesteld door Desargues, tot volle ontwikkeling gebracht is door Poncelet, en sindsdien een van de belangrijkste hoofdstukken der Meetkunde uitmaakt. Noemen wij den op de 'kegelsnede gelegen top der involutie O, dan is: (O . CC^B) = (O . CxCABy) = (O . CCXBXA), dus ook: (A . CC^B) = {B . CCiB^); maar deze laatste twee waaiers zijn a, omdat de gemeenschappelijke straal AB aan zich zelf is toegevoegd, dus moeten de drie punten C, C1, {AAlt BBX) = P op een rechte lijn liggen, nl. op de perspectiefas dezer twee waaiers, d. w. z. de lijn CCj gaat door P. Maar CCt is een willekeurig paar der beide involutorische reeksen van de tweede orde, dus gaan de verbindingslijnen van alle paren dezer reeksen door P. Dit geeft aanleiding tot de volgende, uiterst belangrijke stelling: Zijn twee projectieve puntenreeksen van de tweede orde op een kegelsnede involutorisch, dan doorloopt het snijpunt (XYX, XtY) altijd nog een rechte p, maar tevens gaan de verbindingslijnen XX\, YYX, .... alle door een vast punt P, of, beknopter uitgedrukt: Twee involutorische puntenreeksen van de tweede orde op een kegelsnede zijn perspectivisch, en het perspectiefcentrum P heet de pool der involutie t. o. v. k2, p de poollijn; het is duidelijk dat de involutie door haar pool of haar poollijn alleen bepaald is. Gaan alle lijnen AAX, BBU CC1, enz. door P, dan moeten de raaklijnen in de dubbelpunten G en H blijkbaar eveneens door P gaan; p is dus niets anders dan de contactkoorde van P, maar er moet nadrukkelijk op gewezen worden dat de betrekking van afhankelijkheid die tusschen dat punt en die lijn bestaat, van het al of niet bestaan der punten G en H en der raaklijnen uit P geheel onafhankelijk is; is de oorspronkelijk gegeven straleninvolutie elliptisch, dan zal p de kegelsnede niet snijden, en ligt P er binnen in plaats van er buiten, maar overigens blijft alles hetzelfde. Wij noemen nu, met tijdelijke uitschakeling der involutie, P de pool van p, p de poollijn of polare van P, en zien gemakkelijk § 25. 148 in dat iedere pool één poollijn, iedere poollijn één pool heeft; immers, trekt men door P twee lijnen die de kegelsnede in A, Ax en B, Bx snijden, dan zijn door deze de involutie en dus de poollijn p bepaald, en trekt men door twee punten S en T van p de raaklijnen aan de kegelsnede, dan gaan de contactkoorden door P. Wij zien echter nog veel meer, willen intusschen eerst even meedeelen dat het woord „pool" het eerst gebezigd is door Servois, vriend en collega van Poncelet aan de „Ecole militaire" te Metz (Gerg. Annales, I, p. 337), het woord „polaire" door Gergonne (Gerg. Annales III, p. 293). Intusschen hebben deze benamingen slechts langzamerhand het burgerrecht verkregen dat zij tegenwoordig bezitten; zoo noemt bijv. Steiner in de Syst. Entw. § 44, Ges. Werke I, p. 348, waar hij de theorie der polen en poollijnen uiteenzet, het punt de „harmonische pool" der lijn, de lijn echter de „harmonische" van het punt, hoewel hij in een noot onder aan de bladzijde er bijvoegt dat de Franschen gewoonlijk kortweg spreken van „pöle" en „polaire". Gaan wij nu terug tot Fig. 57, ten einde het verband tusschen. pool en poollijn volledig te leeren overzien. De punten Q en R zijn diagonaalpunten van den in k2 beschreven volledigen vierhoek AA1BB1, maar hetzelfde geldt van den vierhoek BBXCCX, AAiCCi, enz., dus: p is de meetkundige plaats der 2e en 3e diagonaalpunten van alle in k2 beschreven volledige vierhoeken, wier le diagonaalpunt P is. Maar dan volgt uit de harmonische eigenschappen der volledige vierhoeken (§ 6, p. 30) onmiddellijk dat de snijpunten van p met AAU BBX, CCi,.... de 4e harmonische zijn van Pten opzichte van de puntenparen A, Ax; B, Bl; C, Cx; . . . ., dus: p is de m. pl. van de 4e harmonische punten van P ten opzichte van de snijpunten met k2 op alle stralen door P, en als zich van P uit raaklijnen aan k2 laten trekken, dan liggen de raakpunten op p. Déze definitie wordt in den regel tot uitgangspunt gekozen, zoo bijv. ook door Steiner, 1. c. p. 349. Laten wij BBX tot AAX naderen, dan gaan de lijnen AB, AxBy ten slotte over in de raaklijnen in A en A1; R gaat over'in het snijpunt dier raaklijnen, Q in het 4e harmonische van P ten opzichte van A en Ax; de twééde eigenschap van p is dus een gevolg van de eerste, en zoo ook de volgende, die wij niettemin als derde hoofdeigenschap uitdrukkelijk willen releveeren: § 25. 149 p is de m. pi. van de snijpunten S der raaklijnen in de snijpunten A, Ax van k2 met de stralen door P. De poollijn van S is de contactkoorde AAit en gaat door P; de poollijn van R is de verbindingslijn van het 2e en 3e diagonaalpunt van den volledigen vierhoek ABA1B1, dus de lijn QP; de poollijn van Q is de verbindingslijn van het 2e en 3e diagonaalpunt van den volledigen vierhoek ABXAXB, dus RP, terwijl ten overvloede voor de punten Q binnen k2 de poollijn ook daarom reeds door P moet gaan, omdat Q en P door k2 harmonisch gescheiden worden. Uit dit alles volgt in de eerste plaats: de poollijnen van alle punten van p gaan door P, en dus dualistisch: de polen van alle rechten door P liggen op p. Maar verder: van den in k2 beschreven volledigen vierhoek AAiBBx is volgens het bovenstaande iedere diagonaal de poollijn van het niet op die lijn gelegen diagonaalpunt, omgekeerd dus ieder diagonaalpunt de pool van de niet door dat punt gaande diagonaal; zulk een diagonaaldriehoek, zooals dus bijv. PQR, wordt een pooldriehoek ten opzichte van k2 genoemd, zoodat wij kunnen zeggen: van iederen in k2 beschreven volledigen vierhoek is de diagonaaldriehoek een pooldriehoek. Deze stelling geeft allereerst het eenvoudigste middel aan de hand om van een gegeven pool de poollijn te construeeren: men trekt door P twee lijnen die k2 in A, Ai en B, Bx snijden, en bepaalt van den ingeschreven vierhoek AAXBBX de diagonaal QR; dit is p. En moet omgekeerd van een lijn p de pool bepaald worden, dan kan men zich voorloopig, nl. totdat men een betere constructie gevonden heeft, behelpen door op de hier beschreven wijze van twee punten van p de poollijnen te bepalen; deze snijden elkaar nl. in P. De hier bedoelde betere constructie vinden wij door het volgende op te merken. De lijnen AB, A1B1 gaan door 7?, dus moeten de polen dezer rechten op de poollijn van R gelegen zijn; deze polen zijn de snijpunten der raaklijnen a, b en ax, bu en de poollijn van R is PQ; a, b en au bx snijden elkaar dus op PQ. Maar op dezelfde wijze kan men betoogen (wat wij trou- § 25. 150 wens al weten), dat a en alt b en bx elkaar snijden op QR, a en blt ax en b op PR, zoodat wij de belangrijke stelling vinden: een ingeschreven vierhoek, en de bijbehoorende omgeschreven vierzijde, hebben denzelfden diagonaaldriehoek. Deze stelling nu geeft de ware constructie van de pool P als p gegeven is: men neemt op p twee punten aan van waaruit raaklijnen aan k2 gaan, waardoor een omgeschreven vierzijde bepaald wordt; van deze bepale men den diagonaaldriehoek, dan is het tegenover p gelegen hoekpunt P de pool van p. A PQR, die een pooldriehoek is ten opzichte van k2, is de diagonaaldriehoek van oneindig veel ingeschreven vierhoeken; trekt men nl. door Q twee willekeurige rechten QA, QB, en verbindt de punten A en B met P, dan komen de snijpunten Ax en Bx dezer rechten op k2 te liggen, en AB en AXBX snijden elkaar in R. Immers, verbindt men omgekeerd een paar A, Ax der involutie met Q, dan moet men, omdat Q een punt van de poollijn der involutie is, een nieuw paar B, Bx vinden, en moet dus de lijn BBt door P gaan, terwijl verder AB en AxBt elkaar in een punt van p moeten snijden, óók alweer omdat p de poollijn der involutie is; en dat dit punt met R samenvalt volgt uit het feit dat PQ de poollijn van dat punt moet zijn ten opzichte van k2. Verder zijn er oneindig veel pooldriehoeken, die het hoekpunt P gemeen hebben, en wier tegenover dit hoekpunt liggende zijden QR langs p vallen; men kan immers het punt Q op p willekeurig aannemen, en R op de hierboven beschreven wijze er bij construeeren. Al die puntenparen Q, R liggen harmonisch t. o. v. G en H, en vormen dus op p een involutie, wier dubbelpunten G en H zijn, en om bij een willekeurig punt Q het toegevoegde R te vinden heeft men p te snijden met de poollijn q van Q t. o. v. k2; omgekeerd gaat dan echter ook de poollijn r van R door Q, en zoo ontstaat naast de punteninvolutie op p een straleninvolutie aan P, wier dubbelstralen de raaklijnen uit P aan k2, en wier stralenparen q, r gedefinieerd zijn door de eigenschap dat de pool van den eenen op den anderen ligt. Bovendien liggen deze involuties in zekeren zin perspectivisch, want de stralen van een paar q, r gaan steeds door de punten van een paar Q, R, maar . . . . q gaat door R, en r door Ql § 25. 151 § 25. Men noemt in het algemeen twee punten, waarvan elk op de poollijn van het andere ligt, harmonische polen t o. v. k2, en twee stralen, waarvan elk door de pool van den anderen gaat, harmonische poolstralen, en kan dan de involutie op p de involutie der harmonische polen van p t. o. v. k2, en die aan P de involutie der harmonische poolstralen noemen. Nu echter moeten wij een belangrijke opmerking maken. Wij hebben beide involuties afgeleid door middel van de dubbelpunten G en H van die op p, maar draagt dan bijv. PR geen involutie van harmonische polen, Q geen involutie van harmonische poolstralen? Het antwoord luidt dat wij ons gemakkelijk van de punten G en H kunnen emancipeeren, en dus de afleiding algemeen maken. Denken wij nl. k2 voortgebracht door twee a waaiers aan de toppen A, Alt dan is 5 het „perspectiefcentrum" (§ 15, p. 88), terwijl ABU A1B1, of ook AB, AXB, toegevoegde stralen zijn; snijden wij nu de waaiers met een rechte p door 5, dan ontstaat volgens § 22, p. 129 op p een involutie, maar van deze vormen de punten Q en R een paar; en nü is dus het bestaan van de involutie der harmonische polen op p bewezen onafhankelijk van de realiteit der dubbelpunten, en juist voor het geval van imaginaire dubbelpunten zal zij weldra het belangrijkst blijken; wij leiden er dan ook vast den volgenden constructieregel uit af: verbindt men twee punten A en Ax van k2 die op een lijn door P liggen, met een paar Q, R van de involutie der harmonische polen op p, dan snijden de verbindingslijnen elkaar in twee nieuwe punten B, Bx van k2, die eveneens op een lijn door P liggen. Ook de dualistische regel geldt natuurlijk, en van beide zullen wij weldra interessante toepassingen maken. Met het oog op het groote belang van de zaak laten wij nu hier tot slot nog eens uitdrukkelijk de passerconstructies der stralen- en punteninvolutie volgen. Bij de straleninvolutie snijden wij de beide gegeven stralenparen a, a^, b, bx met een hulpcirkel door den top T; hierdoor ontstaan op den cirkel twee involutorische, d. w. z. perspectieve, puntenreeksen van de tweede orde, wier perspectiefcentrum P de pool der involutie t. o. v. den hulpcirkel genoemd wordt; iedere straal door P die den cirkel 152 snijdt levert een paar der straleninvolutie, en de eventueele raaklijnen uit P leveren de dubbelstralen. Is op een lijn t een punteninvolutie gegeven, dan brenge men een hulpcirkel aan die t aanraakt. De raaklijnen a, ax; b, bx uit de beide paren A, Ax\ B, Bx die de punteninvolutie bepalen, rangschikken alle raaklijnen van den cirkel in een involutorisch, d. w. z. perspectief stralenstelsel van de 2e orde, welks perspectiefas de m. pl. der snijpunten van toegevoegde raaklijnen, en dus als zoodanig bepaald is door de punten aax en bbx; twee raaklijnen die elkaar op die perspectiefas snijden gaan door een paar der punteninvolutie, de raaklijnen in de eventueele snijpunten der perspectiefas met den cirkel zijn dus de dubbelpunten van het involutorische stralenstelsel, en gaan door de dubbelpunten der punteninvolutie. Historische opmerkingen over de „Théorie des polaires réciproques". '■"<■■ * § 26. Vóór het terug vinden van het „Brouillon project" gold Ph. de la Hire als de ontdekker van de theorie der polen en poollijnen, hoewel Poncelet reeds het vermoeden uitsprak dat wij ook hier waarschijnlijk wel weer terug zouden moeten gaan tot Desargues, en inderdaad, in het „Brouillon project" vindt men deze theorie in merkwaardige volledigheid ontwikkeld; eigenaardig is daarbij dat Desargues niet dadelijk uitgaat van een kegelsnede, maar van een lijnenpaar, en dat hij in gebreke blijft zijn stellingen te bewijzen (zie „CEuvres de Desargues, par Poudra", t. I, p. 164). Hij snijdt een stralenwaaier met een lijnenpaar, construeert op iederen straal een punt G „couplé au but F de leur ordonnance, en involution avec les deux points comme X, Y", d. w. z. zóódanig dat (FGXY) = — 1, waar X en Y de snijpunten zijn met het lijnenpaar, en zegt dan eenvoudig dat alle punten G op een rechte lijn liggen die door het dubbelpunt van het lijnenpaar gaat. Deze lijn is natuurlijk niets anders dan de 4e harmonische straal van de verbindingslijn van den top F van den waaier met het dubbelpunt van het lijnenpaar t. o. v. dit lijnenpaar, of de poollijn van F t. o. v. de ontaarde kegelsnede die gevormd wordt door het lijnenpaar. Desargues noemt haar de „tranuersale", of ook „trauersale", of „traversale" van den § 26. 153 waaier t. o. v. het lijnenpaar, en de punten G, de harmonische polen van F t. o. v. het lijnenpaar „point tranuersal". Zonder het dan uitdrukkelijk te zeggen (maar in zijn figuur, l.c. Fig. 13 vindt men de kromme), gaat hij dan over op een kegelsnede waarvoor de m. pl. der punten G eveneens de poollijn van F is, en redeneert dan verder over de polariteit t. o. v. deze; alleen zegt hij een eind verder (l.c. p. 166): „Partant a ces mots de trauersale, ordonnées (dit zijn de stralen van den waaier F), on conceura que les droites dont il est entendu parler, sont ainsi nommées a 1'égard d'une coupe de rouleau (kegelsnede), qui est au mesme plan que ces droites". De geheele manier om de zaak uiteen te zetten is gebrekkig, maar dat hij zelf haar beheerschte is boven allen twijfel verheven. Hij weet uitstekend goed (l.c. p. 167 sqq.) dat als de pool buiten k2 ligt, zijn „trauersale" k2 snijdt, en de raaklijnen in de snijpunten door de pool gaan, dat de poollijn van een punt van k2 zelf de raaklijn in dat punt is (l.c. pp. 169. 192), dat van een ingeschreven volledigen vierhoek' iedere diagonaal de „traversale" van het tegenoverliggende diagonaalpunt is (l.c. p. 189), en dat als de pool binnen k2 ligt, de poollijn k2 niet snijdt; zegt in het voorbijgaan (l.c. p. 166): „Quand en un plan, aucun des points d'une droite n'y est a distance finie, cette droite y est a distance infinie", wat destijds bijna gelijk stond met ketterij, en deelt mee dat de poollijn van het middelpunt van k2 geheel op oneindigen afstand ligt; genoeg, de polariteit bezat inderdaad voor Desargues geen geheimen. Naar aanleiding van het invoeren der oneindig verre punten willen wij toch niet nalaten hier in het voorbijgaan op te merken dat Desargues hier een voorlooper gehad heeft, en wel inden grooten astronoom Johannes Kepler (Magstatt 1571—Regensburg 1630), die in een werk, getiteld „Paralipomena in Vitellionem", dat in het jaar 1604 verschenen is, dus 35 jaren vóór het „Brouillon project" van Desargues, de opzienbarende mededeeling doet dat een parabool 2 brandpunten heeft, waarvan één op oneindigen afstand, „zoowel in de eene richting als in de andere", en dat iedere straal, getrokken van een punt van de kromme naar dat „blinde brandpunt", evenwijdig is aan de as. Deze uitspraak is even beslist en positief als die van Desargues dat evenwijdige lijnen „sont entre elles d'une mesme ordonnance, dont le but est è distance infinie, en chacune d'une § 26. § 26. 154 part et d'autre"; het „but" van Desargues is het „blinde brandpunt" van Kepler. Of Desargues van Kepler's onderzoekingen iets afgeweten heeft zal wel moeilijk meer uit te maken zijn; U. Cassina, aan wiens interessant artikel in het „Periodico di matematiche" van Nov. 1921. (Serie IV, vol. I, N°. 5): „La Prospettiva e lo sviluppo dell' idea dei punti all' infinito" (p. 326—337) wij bovenstaande mededeelingen aangaande Kepler ontleend hebben, waagt deze vraag evenmin te beantwoorden. Poncelet's vermoeden dat de allereerste kiemen der Polarentheorie waarschijnlijk wel weer bij de Ouden te vinden zouden zijn, was juist; in het 7e boek van Pap pos (l.c. p. 256) vinden wij nl. als Lemma 28, Theorema CXLIII, Propositio CLIIII de volgende, op AD est aequalis DC, erit rectangulum AFC una cum quadrato ex FD aequale quadrato ex DA. Sed rectangulum AFC est aequale rectangulo BFE, et quadratum ex DA rectangulo BDE aequale. Rectangulum igitur BFE una cum quadrato ex DF est aequale rectangulo BDE. Quod quidem, cum ita sit, fiet ut BD ad DE, ita BF ad FE". D. w. z.: AF . FC{= AF2) + DF2 m AD2; AF . FC = BF .FE, en: AD2 m BD . DE, dus: BF .FE + DF2 = BD . DE. Stelt men nu, wat echter Pap pos verzuimt te zeggen: DF = DB — BF, DF = DE + EF, DF* = (DB — BF)(DE + EF), dan blijft er over: DB . EF — DE . BF = 0, of: DB : DE = FB : FE, q.e.d. Ffg. 58. D den cirkel betrekking hebbende, stelling (Fig. 58): „Circulum ABC contingunt rectae lineae AD, DC, et AC jungatur. Dico ut BD ad DE, ita esse BF ad FE", met het volgende eigenaardige bewijs: „Quoniam enim 155 Apollonius van Perga geeft in zijn boek over de kegelsneden aanmerkelijk meer. In het 3e boek, Prop. 37, zegt hij uitdrukkelijk dat de 4e harmonische punten van een punt P ten opzichte van een kegelsnede op alle stralen door P op een rechte lijn liggen, terwijl de stellingen 30, 31, 32, 35, 36 bijzondere gevallen bevatten, bijv. wanneer de pool op een asymptoot komt te Hggen, en de algemeene stelling in het 4e boek nog weer op allerlei manieren gevarieerd en op uiterst handige wijze gebruikt wordt om te bewijzen dat twee kegelsneden hoogstens 4 punten, of, indien zij elkaar raken, hoogstens nog 2, of indien zij elkaar dubbel raken geen enkel punt meer gemeen kunnen hebben. In Liber I, Prop. 34 gebruikt hij de hoofdstelling reeds om in een punt C van een kegelsnede (Fig. 59) de raaklijn te construeeren. Is AB een middellijn, CC' een koorde die in Q door die middellijn middendoor gedeeld wordt, en Dx een punt zóódanig dat (ABC^D]) = — 1, dan is CD] de raaklijn in C. Het bewijs berust op ae oescnouwing van auenei Fi 59 ongelijkheden, en komt hierop neer dat aangetoond wordt dat geen punt E van de lijn CDt óók nog tot de kegelsnede kan behooren (vgl. „Des Apollonius von Perga sieben Bücher über Kegelschnitte, nebst dem durch Halley wieder hergestellten achten Buche", deutsch bearbeitet von H. Balsam, Berlin 1861, pp. 37 en 122; eigenaardig is het daarbij om op te merken dat Apollonius spreekt van twee „tegensneden'* wanneer een vlak de beide mantels van een kegel snijdt, en dat hij elk van de doorsneden afzonderlijk een hyperbool noemt). De eigenlijke „Théorie des polaires réciproques" is opgegroeid en groot geworden in de school van Monge, welke laatste zelf de stelling bewezen heeft dat de m. pl. der raakpunten van de raaklijnen, uit een punt aan een oppervlak van den nen graad getrokken, de doorsnijding is van dit oppervlak met een opper- § 26. 156 vlak van den graad n— 1, dat wij tegenwoordig het eerste pooloppervlak noemen, en dat de vergelijking heeft: (x - x').fx +(y(z-z').^-n. F = 0, als F(x, y, z) = 0 de vergelijking van het oppervlak is, x', y', z' de coördinaten van de pool zijn (vgl. „Feuilles d'analyse appliquées a la Géométrie, a 1'usage de 1'école polytechnique", etc, 1801); voor een kwadratisch oppervlak wordt dit een plat vlak, en hieruit worden dan de bekende eigenschappen, ook voor de vlakke doorsneden der kwadratische oppervlakken, afgeleid. In Poncelet's „Traité des propriétés projectives des figures" neemt de theorie der poolverwantschap een voorname plaats in; het 2e hoofdstuk van de Section II (p. 100—235) is er bijna geheel aan gewijd, en in het tweede deel van den „Traité", dat Poncelet in 1866 aan het eerste heeft toegevoegd, en dat bestaat uit vier omvangrijke verhandelingen en een Section supplémentaire, beslaat zij de geheele Section II (p. 62—121); maar ook alle tijdgenooten van Poncelet: Dupin, Brianchon, Gergonne, enz. hebben er zich mee bezig gehouden, en zoo kan men inderdaad met recht beweren dat zij is voortgekomen uit de school van Monge. Jammer genoeg heeft zij zelfs aanleiding gegeven tot een onverkwikkelijken pennestrijd tusschen Poncelet en Gergonne, een strijd die jaren lang geduurd heeft, en waarin Poncelet niet de meest sympathieke van de beide kampvechters is, ten eerste omdat hij niet altijd het persoonlijke element er buiten heeft weten te houden, ten tweede omdat hij met halsstarrigheid, ja koppigheid, wij zouden haast willen zeggen tegen beter weten in, de theorie der poolverwantschap verdedigd heeft tegen het dualiteitsbeginsel van Gergonne, dat in zijn uitkomsten wel is waar met de poolverwantschap harmonieert, maar toch ongetwijfeld primitiever, fundamenteeler is, omdat het een oereigenschap bloot legt van de bouwsteenen zelve der Geometrie, van de puntenreeks, den stralenwaaier, en den vlakkenwaaier. De strijd is beslecht door Steiner, in de Syst. Entw., en wel in de volgende bewoordingen (Vorrede, Ges. W. L p. 234): „Der Streit, welcher sich vor nicht langer Zeit zwischen den zwei, in Rücksicht auf die Geometrie verdienstvollsten, französischen Mathematikern über den Vorzug des „Princips der Dualitat" und der „Théorie des polaires réciproques" entspann, wird, wie § 26. 157 ich glaube, durch die vorliegende Entwickelung umzweideutig entschieden, so dass ich es nicht für nöthig halte, hier darauf weiter einzugehen. Die Dualitat tritt mit den Grundgebilden zugleich hervor, jene Theorie hingegen kommt erst spater als Resultat bestimmter Verbindungen der Grundgebilde zum Vorschein. Wenn aber auch das Gergonne'sche Princip sich in dieser Hinsicht als das primitivere, der Quelle naherliegende, bewahrt, so hat doch Poncelet ein gleich grosses Verdienst, so viel zur Entwickelung und Förderung der synthetischen Geometrie beigetragen zu haben, dass diese fortan nicht mehr mit jener Geringschatzung behandelt werden darf, welche man ihr in neuerer Zeit gar zu oft und gar zu leichtfertig zu Theil werden liess". Men ziet, het was een vergulde pil, en Poncelet had geen lust haar te slikken; en toen hij op lateren leeftijd, steeds meer verbitterd door gewaand gemis aan waardeering, over letterlijk iedereen de fiolen van zijn toorn uitgoot, heeft hij ook Steiner niet gespaard (vgl. zijne „Applications d'Analyse et de Géométrie, qui ont servi de principal fondement au Traité des propriétés projectives des figures", Paris, 1862, T. I, p. 491). In niet onvriendelijke bewoordingen, het moet gezegd, wijst hij er op dat Steiner's projectieve reeksen en waaiers implicite reeds opgesloten liggen binnen de allereerste bladzijden van den „Traité", waar hij spreekt over de Centrale Projectie; dit is natuurlijk juist, want zij lagen overal opgesloten waar gesproken werd over Centrale Projectie, en dat geschiedt geenszins uitsluitend, en ook geenszins voor de eerste maal, in den „Traité"! Bovendien was het de kunst om ze er uit te halen; maar hiervoor was een Steiner noodig! Over het invoeren van imaginaire punten en stralen. § 27. De Involutie, en wel met name de elliptische, heeft aan de Meetkunde een onschatbaren dienst bewezen; zij heeft nl. het middel aan de hand gedaan het „Gespenst der Geometrie", zooals Steiner het eens genoemd heeft, nl. het Imaginaire, te bannen, en wel op een wijze, zóó eenvoudig en volmaakt, dat verbetering onmogelijk is. Wij moeten ons steeds bewust blijven dat de complexe grootheden in de Algebra zijn ingevoerd met het uitsluitende doel de § 27. 158 uitspraken der Mathesis te vereenvoudigen, met het uitsluitende doel nl. om één enkele stelling, maar daarvoor dan ook de belangrijkste van alle, algemeen waar te maken, de stelling nl. dat iedere vergelijking van den nea graad juist n wortels heeft. Beperkt men zich tot het reëele gebied, dan is deze stelling in het geheel niet waar, maar geeft de graad n slechts een bovenste grens aan voor het aantal wortels; door het invoeren der complexe grootheden echter wordt de stelling juist, en dit is voor de geheele Wiskunde van ontzaglijk belang. Ditzelfde voordeel nu, nl. onze stellingen algemeen waar te maken, verschaft ons in de Meetkunde de elliptische Involutie, en wel eenvoudig doordien deze als het ware de reëele plaatsvervanger is van twee toegevoegd onbestaanbare punten. Natuurlijk moeten wij allereerst beslissen of wij het optreden van niet reëele punten überhaupt willen gedoogen, zooals er een tijd geweest is dat men heeft moeten beslissen over het al of niet toelaten van oneindig verre punten, en een andere waarin men heeft moeten beslissen over het al of niet toelaten in het rijk der getallen van grootheden van den vorm a ± bV—1; over zulke kwesties moet de geheele Wetenschap als zoodanig een beslissing nemen, maar deze heeft hierover reeds lang haar laatste woord gesproken: een Meetkunde zonder oneindig verre, en zonder imaginaire punten zou er niet veel anders uitzien dan die van Euclides, Apollonius, en Archimedes, en dit kunnen wij toch niet wenschen! Denken wij eens in een willekeurig Cartesisch coördinatenstelsel een kegelsnede k2 gegeven door de vergelijking: aux2 + 2auxy + aMy2 + 2aux + 2assy + ass = 0, dan vinden wij de snijpunten met de x-as, (dus met een willekeurige rechte, want de x-as is voor k2 inderdaad een willekeurige rechte), uit de vergelijking: • aux2 + 2ölsx + ass = 0; zijn de wortels van deze vierkantsvergelijking reëel en verschillend, dan snijden k2 en de x-as elkaar in twee punten die met de punt van het potlood zijn aan te wijzen, zijn de wortels echter toegevoegd complex, dan spreken wij toch nog van snijpunten, maar voegen er aan toe dat deze niet meer reëel, maar toegevoegd imaginair zijn; het is slechts een kwestie van woorden, want aan de zaak zelve verandert natuurlijk niéts, en of wij die imaginaire punten al toelaten, met het potlood aanwijzen kan men §27. 159 ze toch niet; maar het is ditmaal nu eens bij uitzondering een uiterst belangrijke kwestie van woorden! Laat x', y' de coördinaten zijn van een willekeurig punt uit het vlak van k2, dan luidt de vergelijking van de poollijn van dit punt: anx'x + a12(x'y +y'x)+aiiy'y + als(x' + x) + ai3(y' +y) + ö88 = 0, en dus, indien de pool op de x-as ligt (y' — 0): aux'x + a12x'y + a13(x' + x) + aSiy + ass = 0, of: (anx + auy + a18). x' + (aux + asiy + aM) = 0. In deze vergelijking speelt x' de rol van een parameter; doorloopt het punt x' de x-as, dan draait de poollijn om een vast punt, het snijpunt van aux + auy + als = 0, de poollijn van het oneindig verre punt der x-as (waarom?) en a]3x + aS8y-r-a88 = 0, de poollijn van O (waarom?), welke twee poollijnen elkaar snijden in de pool der x-as. De poollijn snijdt de x-as in het punt: x = _ g13x' + g3s aux' + au' en indien wij nu hier de breuk weg maken, en dus schrijven: anx'x + als{x' + x) + ass = 0, dan hebben wij hier blijkbaar de vergelijking van de involutie der harmonische polen van^ de x-as ten opzichte van k2 (vgl. § 25, p. 151). Voor een dubbelpunt is x' = x; de dubbelpunten worden dus gevonden uit: aux2 + 2a18x + o88 = 0, en dit is dezelfde vierkantsvergelijking als diegene die de snijpunten der x-as met k2 bepaalt. Willen wij dus ook in de Projectieve Meetkunde imaginaire punten invoeren; en kennen wij hiertoe ook aan de elliptische involutie dubbelpunten toe, dan zijn wij zeker dat de imaginaire punten der Projectieve Meetkunde dezelfde zijn als die der Analytische. Twee zulke dubbelpunten noemen wij dan toegevoegd imaginair, en de bijbehoorende elliptische involutie beschouwen wij als hun reëelen representant; twee toegevoegd imaginaire punten liggen dus steeds op een reëele rechte, nl. den drager van hun reëelen plaatsvervanger. Zij liggen elk natuurlijk slechts op één reëele rechte, omdat het snijpunt van twee reëele rechten reëel is; een imaginair punt bepaalt dus alleen reeds een reëele rechte, nl. de verbindingslijn met het toegevoegd imaginaire punt (vgl. § 43). Natuurlijk gaat dit alles door toepassing van het dualiteits- § 27. 160 beginsel over op den stralenwaaier; de elliptische straleninvolutie definieert twee toegevoegd onbestaanbare stralen, nl. haar dubbelstralen, en Indien de involutie de poolstraleninvolutie is t. o. v. een kegelsnede, dan zijn de dubbelstralen de onbestaanbare raaklijnen aan deze, getrokken uit den top van den involutorischen waaier. Een imaginaire rechte bevat één reëel punt, nl. het snijpunt met haar toegevoegde rechte; al haar andere punten zijn imaginair (vgl. § 43). Wij willen uitdrukkelijk doen opmerken dat alle voorgaande beschouwingen slechts gelden voor het platte vlak; wij zullen later (§ 43) leeren inzien dat de imaginaire punten der ruimte niet verschillen van die van het platte vlak, maar dat er in de ruimte naast de imaginaire rechten die één reëel punt bevatten ook dezulke bestaan die in het geheel geen reëel punt bevatten, en dus ook hun toegevoegde kruisen. Rechthoekige straleninvoluties en het absolute der ruimte. § 28. In een punteninvolutie ontmoeten wij, naast de dubbelpunten, nog een ander bijzonder paar, nl. het middelpunt, gelegen in het midden tusschen de beide dubbelpunten, en het oneindig verre; in de straleninvolutie treedt hiervoor in de plaats het rechthoekige paar (vgl. § 21, p. 128). Denken wij in Fig. 60 een straleninvolutie aan den top T overgebracht op een hulpcirkel door T, en laat P de pool dier involutie zijn (vgl. § 25, p. 151); een willekeurige rechte door P, en die den cirkel snijdt, levert Fig 60- dan een puntenpaar der involutie op den cirkel, en daarmede een stralenpaar der straleninvolutie; de raaklijnen leveren de dubbelstralen g en h, de lijn door O echter twee stralen m, mv die loodrecht op elkaar staan, het zoogenaamde § 28. 161 rechthoekige paar; en aangezien de punten M en Mx de beide bogen GMH en GMXH middendoor deelen, zijn m en m1 de bisectricen van de hoeken, gevormd door de dubbelstralen; inderdaad moet (vgl. § 20, p. 122) (ghmrrix) = — 1 zijn, en wanneer nu m en . mx loodrecht op elkaar staan, dan deelen zij (§ 5, p. 23) de hoeken der dubbelstralen middendoor. Een straleninvolutie bezit in het algemeen slechts één rechthoekig paar; is zij echter elliptisch, dan is het niet onmogelijk dat haar pool P met het middelpunt van den hulpcirkel samenvalt, maar dan zijn ook al haar stralenparen rechthoekig. Een straleninvolutie bezit dus één, öf oneindig vele paren rechthoekige stralen; in het laatste geval wordt zij een rechthoekige straleninvolutie genoemd, en nu is juist deze rechthoekige straleninvolutie voor een dieper inzicht in het eigenlijke wezen der Meetkunde van buitengewoon belang. Zij bezit nl. twee dubbelstralen (d.w.z. wij wènschen dat zij ze zal bezitten!, vgl. § 27, p. 158), en deze vertoonen allerlei merkwaardige, ja paradoxaal klinkende eigenschappen, die wij echter moeten aanvaarden, omdat wij nu eenmaal het begrip „imaginair punt" aanvaard hebben; evengoed als wij de paradoxale eigenschap dat een rechte lijn één oneindig ver punt bezit hebben moeten aanvaarden omdat wij het begrip „oneindig ver punt" aanvaard hebben. „Zoo ziet Ge, waartoe uw nieuwigheden u voeren", zouden ongetwijfeld Euclides en Apollonius ons vermanend en afkeurend toeroepen, indien zij konden zien wat wij hier doen; wij echter storen ons ditmaal, hoe groot ook onze vereering voor hen moge wezen, aan hunne waarschuwing niet, wetende dat wij de Meetkunde zelve door die „nieuwigheden" verrijken, en ons inzicht er in ontzaglijk verdiepen; inderdaad zal blijken dat allerlei meetkundige verschijnselen duister blijven zoolang men blijft staan op het voorzichtige standpunt, den veiligen bodem, der Grieken, maar als door een bliksemflits verhelderd worden zoodra men de „nieuwigheden" toelaat; een cirkel en een ellips bijv! zijn toch beide kegelsneden, maar de eene is door 5, de andere reeds door 3 punten bepaald; waar blijven nu bij den cirkel plotseling die laatste twee punten? Dit is niet te verklaren, tenzij men het Imaginaire te hulp roept, en van deze soort kwesties zijn er honderden. Keeren wij na deze korte afdwaling, die wij noodig oordeelden om niet den schijn te wekken alsof wij er in de Mathesis maar Hk. de Vries, Projectieve Meetkunde. 11 § 28. 162 op los phantaseeren, tot de rechthoekige straleninvolutie terug. Zij komt voor den dag indien wij de beide paren, die ter bepaling eener straleninvolutie noodig zijn, loodrecht kiezen, en indien wij van zeker stralenstelsel door een punt weten dat de stralen een involutie vormen, en in staat zijn twee loodrechte paren aan te wijzen, dan zijn wij zeker dat alle paren rechthoekig zijn. Bijv. Volgens § 22, p. 131 vormen de verbindingslijnen van een willekeurig punt met de drie paar overstaande hoekpunten eener volledige vierzijde een involutie. Denken wij nu eens over de verbindingslijnen van twee van die paren als middellijnen cirkels beschreven, en noemen één van de snijpunten dezer cirkels T, dan bevat de involutie aan T blijkbaar twee, en dus niets anders dan rechthoekige paren, waaruit volgt dat de cirkels, op de drie diagonalen van een volledige vierzijde als middellijnen beschreven, tot eenzelfden bundel behooren. De middelpunten der drie diagonalen liggen dus op een rechte lijn, die den afstand der beide basispunten van den bundel loodrecht middendoor deelt. Zooals later zal blijken (vgl. § 33) is deze stelling niets anders dan een gedeelte van de algemeene stelling die zegt dat de middelpunten van alle kegelsneden van een schaar op een rechte lijn liggen. Laten wij een rechthoekige straleninvolutie om haar top T draaien, dan blijft zij, als geheel genomen, onveranderd, d. w. z. ieder paar valt gedurende de beweging uitsluitend samen met andere paren; als geheel genomen blijft dus de involutie, ondanks de rotatie, in rust. Maar indien een hyperbolische straleninvolutie in rust blijft, dan blijven toch ook haar dubbelstralen in rust, en omdat het een vast, en trouwens practisch ook het eenig mogelijke principe is wanneer begrippen worden uitgebreid, om de eigenschappen der oude zooveel mogelijk op de nieuwe over te dragen, zullen wij deze zelfde eigenschap natuurlijk ook toekennen aan de dubbelstralen van elliptische involuties; de dubbelstralen der rechthoekige straleninvolutie aan het punt T hebben dus van onzen wil onafhankelijke, zoogenaamde absolute richtingen, en worden dan ook de beide absolute stralen door T genoemd. Maar een rechthoekige straleninvolutie aan een punt T' kan verkregen worden door die aan T evenwijdig aan zich § 28. 163 zelf te verschuiven, en bij deze evenwijdige verschuiving zullen wij natuurlijk weer aannemen dat ook de richtingen der dubbelstralen geen verandering ondergaan; de dubbelstralen aan T' zijn dus evenwijdig aan die aan T, d. w. z.: er zijn in het vlak twee absolute richtingen, aangewezen door de dubbelstralen van de rechthoekige straleninvoluties aan alle punten van het vlak. Reëele evenwijdige stralen kennen wij hetzelfde oneindig verre punt toe, en het spreekt van zelf dat wij bij imaginaire stralen hetzelfde zullen moeten doen; er zijn dus in het vlak, en wel gelegen op de oneindig verre rechte, ook twee absolute punten, wier plaats wij niet kunnen wijzigen door bewegingen van het vlak in zich zelf. Denken wij een rechthoekige straleninvolutie aan den top 7* overgebracht op een hulpcirkel door T (vgl. Fig. 60, p. 160); de pool P der involutie t. o. v. den cirkel valt dan samen met het middelpunt O, en de punten G en H, de raakpunten der raaklijnen uit P, worden dus nu de raakpunten der raaklijnen uit O. Nu is de lijn GH de poollijn van P t. o. v. den cirkel, terwijl de poollijn van O de lijn lx is; G en H worden dus de snijpunten van /«, met den cirkel. Maar naar deze punten moeten de dubbelstralen der rechthoekige involutie loopen; zij moeten dus de beide absolute punten uit het vlak zijn, en zoo vinden wij de fundamenteele stelling: alle cirkels in een vlak zijn te beschouwen als hebbende uit den aard der zaak twee punten gemeen, gelegen in het oneindige, en imaginair, nl. de beide absolute punten van het vlak. Om deze reden noemt men diezelfde punten ook wel de imaginaire cirkelpunten, of de cyclische punten van het vlak, terwijl nóg een andere, o. i. minder gelukkige, maar niettemin veel gebruikte term luidt: isotrope punten, en dan voor de absolute stralen isotrope stralen. Het zal nu duidelijk zijn waarom een cirkel door 3 in plaats van door 5 punten bepaald is (vgl. p. 161); over twee van zijn punten is immers reeds beschikt door het feit dat hij een cirkel moet zijn. Tevens vinden wij hier de projectieve definitie van den cirkel: een cirkel is een kegelsnede die de beide absolute punten van zijn vlak bevat. En ten slotte zien wij door het voorgaande dat er, uit een projectief oogpunt, en dus ook wat de projectieve eigenschappen aangaat, geen verschil bestaat tusschen een stel cirkels en een stel kegelsneden die twee, desnoods reëele punten, gemeen § 28. 164 hebben; het projectiebeginsel toepassende, kan men dus de eigenschappen van het laatste stel aflezen uit die van het eerste. Twee lijnen door O staan loodrecht op elkaar indien de vergelijkingen luiden: 1 y = tnx, y — x; laten wij m varieeren, dan doorloopen beide dus een rechthoekige straleninvolutie. Een dubbelstraal moet nu de paradoxale eigenschap bezitten van loodrecht op zich zelf te staan, en dit zal geschieden indien: 1 . m — , of : m m2 = — t, of: m = ±/ is; de beide dubbelstralen zijn dus: y = ± ix, of, saamgevat: (y + ix) (y — ix) = x2 + y2 = 0. x2 + y2 = 0 is echter een cirkel om O met een straal nul; een cirkel met een straal nul is dus identisch met een absoluut lijnenpaar. Zijn twee rechte lijnen gegeven door hunne vergelijkingen: ax + by + c = 0, en: a'x + Vy + c' = 0, dan leert de Analytische Meetkunde dat de tangens van hun hoek

x bevatten, en om dezelfde reden de beide andere. De kegelsneden k? van alle rechten uit het vlak bevatten dus de punten Dlt D2, Z)3; zij vormen een zoogenaamd net, met basispunten Dlt D2, D3. Verder snijdt / de 6 zijden van den volledigen vierhoek ABCD in 6 punten S; bepalen wij van deze de 4e harmonische S* t. o. v. de beide basispunten op die zijden, dan ontstaan 6 punten S* die eveneens op k? liggen, wat met de 3 diagonaalpunten reeds 9 uitmaakt. Immers, snijden AB en CD elkaar bijv. in Dlt dan gaat, zooals wij weten, k? door Dx; zij moet dus AB bijv. nog in een tweede punt snijden, en aangezien dit de pool van / t. o. v. zekere kegelsnede uit den bundel moet zijn, en deze natuurlijk door A en B gaat, moet het punt in kwestie van / harmonisch gescheiden zijn door A en B; het is dus S*. § 33. 190 Eindelijk zal ki2 haar eigen lijn / in twee punten snijden, en ook deze hebben een bijzondere beteekenis, en zijn gemakkelijk aan te geven. Snijdt nl. ki2 de lijn / in een zeker punt L, dan is L de pool van / t. o. v. een kegelsnede uit den bundel; maar dit kan slechts indien die kegelsnede / in L aanraakt. Nu raken inderdaad twee kegelsneden uit den bundel / aan, nl. in de dubbelpunten der bundelinvolutie op /, die tevens toegevoegde punten P, P* zijn; het elftal is dus compleet. Vraag. Onderzoek de kegelsnede ki2 voor het geval dat / door één of twee der punten D, of door één of twee basispunten gaat. Al het voorgaande wordt nu nog veel interessanter indien wij metrisch gaan specialiseeren, en in de plaats van / de lijn /«, substitueeren. Een pool van /«, is nu een middelpunt M, en zoo komen wij onmiddellijk tot de volgende stelling, wier juistheid de lezer gemakkelijk zal kunnen controleeren: De middelpunten van alle kegelsneden van een bundel liggen op een kromme km2, de elfpuntskromme van /„; zij bevat de 3 diagonaalpunten, de middens van de 6 zijden van den volledigen vierhoek der basispunten, en heeft tot asymptotenrichtingen de asrichtingen der beide parabolen uit den bundel; zij is dus een ellips indien de parabolen ontbreken. Wij willen nu óók nog den bundel specialiseeren, doordien wij één der 4 basispunten tot hoogtepunt van den driehoek der drie andere maken, waardoor van zelf ieder basispunt het hoogtepunt van den driehoek der drie andere wordt. In den bundel komen dan uitsluitend gelijkzijdige hyperbolen, dus o.a. geen reëele parabolen, voor (vgl. § 17, p. 103), en de middelpuntskromme wordt dus een ellips; onderzoeken wij deze. De bundelinvolutie op lx wordt ingesneden door uitsluitend gelijkzijdige hyperbolen, en wordt dus uit ieder eindig centrum geprojecteerd door een rechthoekige straleninvolutie; de dubbelstralen van deze (vgl. § 28, p. 163) gaan naar de beide absolute punten van het vlak, en aangezien deze laatste op km2 moeten liggen, is km2 een cirkel. De diagonaalpunten van den volledigen vierhoek ABCD (A ABC + hoogtepunt D) zijn de voetpunten der hoogtelijnen, de zes punten S* de middens der drie zijden, en de middens van de stukken der hoogtelijnen tusschen de hoekpunten en het hoogtepunt; km2 wordt dus de zoogenaamde negen- 191 puntscirkel of cirkel van Feuerbach van A ABC (vgl. § 17, p. 103). Men zal toegeven dat nu eigenlijk pas de diepere oorzaak voor het bestaan van dezen reeds in de elementen ter sprake komenden cirkel aan het licht is getreden (Vgl. voor een hoogst elegante elementaire behandeling van den cirkel van Feuerbach Steiner's „Geometrische Constructionen etc"; Werke I, p. 489, Noot). Natuurlijk zijn met behulp van het dualiteitsbeginsel uit de voorafgaande stellingen de overeenkomstige af te leiden voor de schaar, en in het bijzonder moet tegenover de elfpuntskromme een elf raaklijnenkegelsnede staan, die omhuld wordt door de rechten die t. o. v. de schaar zijn toegevoegd aan de stralen van een waaier. Terwijl nl. bij een bundel de poollijnen van een punt P door een toegevoegd punt P* gaan, zullen bij een schaar de polen van een rechte p op een toegevoegde rechte p* liggen, en deze laatste zullen een kegelsnede omhullen indien de eerste door een punt gaan. Dat wij spreken van een elfraaklijnenkegelsnede, heeft zijn grond hierin dat de kromme óók de twee raaklijnen aanraakt aan de beide kegelsneden der schaar die door het vaste punt gaan. Wordt p de oneindig verre rechte van het vlak, dan wordt p* de lijn der middelpunten van de kegelsneden der schaar, dus: de middelpunten van de kegelsneden eener schaar liggen op een rechte lijn (vgl. § 28, p. 162). En aangezien in een schaar 3 puntenparen voorkomen, nl. de 3 paar overstaande hoekpunten, gelegen op de 3 diagonalen, zijn de middelpunten dier diagonalen eenvoudig drie punten van de lijn die alle middelpunten bevat. Over het omzetten van kegelsnedenbundels in cirkelbundels. Kegelsneden door vier of drie punten en aan één of twee raaklijnen. Het normalenprobleem en de hyperbool van Apollonius. § 34. In § 15, p. 87 hebben wij reeds bewezen dat iedere kegelsnede op oneindig veel manieren beschouwd kan worden als de centrale projectie van een cirkel; met behulp van de theorie § 34. 192 der Involutie kunnen wij nu echter van deze stelling een veel beter bewijs geven. Denken wij nl. een rechte / getrokken die de kegelsnede niet snijdt, en op deze de elliptische poolpunteninvolutie aangebracht, bepaald bijv. door 2 paren XXly YYlf dan zullen deze elkaar scheiden, zoodat de bollen, beschreven op XXX en YYt als middellijnen, een reëelen cirkel c gemeen hebben. Van uit een punt C van dezen als middelpunt wordt de involutie op / door een rechthoekige straleninvolutie geprojecteerd (immers de beide hoeken XCXlt YCYt zijn recht), waaruit volgt dat de bol, beschreven op een willekeurig ander paar ZZX als middellijn, eveneens den cirkel c bevat. Projecteert men nu de kegelsnede op een vlak dat evenwijdig loopt aan het vlak Cl, dan wordt /' de oneindig verre rechte van het projectievlak, de involutie daarop rechthoekig, en dus de projectie der kegelsnede een cirkel. In Poncelet's „Traité" wordt echter ook herhaaldelijk gebruik gemaakt van de stelling dat men twee kegelsneden tegelijk projecteeren kan in cirkels; zien wij nu ook déze vraag eens onder het oog. Twee van de 4 snijpunten moeten dan worden omgezet in de absolute punten van het projectievlak, en dit is, althans voor een reëel projectiecentrum, niet mogelijk indien de beide kegelsneden 4 reëele punten gemeen hebben. Wij kunnen dus ook zóó zeggen: een bundel kegelsneden met 4 reëele basispunten is niet door centrale projectie om te zetten in een bundel cirkels. Voor Poncelet is dit geen bezwaar; zijn „principe de continuité" (vgl. § 16, p. 97) helpt hem hier over de moeilijkheid heen. Wèl echter kan men een bundel met vier reëele basispunten omzetten in een bundel gelijkzijdige hyperbolen. Denken wij nl. eens een rechte /, wier bundelinvolutie elliptisch is; dat zulke rechten te trekken zijn is gemakkelijk in te zien. De bundel met 4 reëele basispunten bevat nl. 3 reëele lijnenparen, en nu kan men de bundelinvolutie natuurlijk bepalen door l met twee van die drie paren te snijden, waarbij het altijd op oneindig veel manieren mogelijk is de lijn / zóódanig te trekken dat de beide snijpuntenparen elkaar scheiden. Beschrijven wij nu weer, evenals boven, op de segmenten, begrensd door de punten van die beide paren, als middellijnen bollen, dan wordt de involutie van uit ieder punt C van den cirkel c door een rechthoekige straleninvolutie geprojecteerd, zoodat iedere § 34. 193 kegelsnede uit den bundel overgaat in een gelijkzijdige hyperbool. Beschouwen wij in de tweede plaats het geval van tweemaal twee toegevoegd imaginaire basispunten, gegeven als de dubbelpunten van elliptische involuties op twee reëele dragers. Past men op één van deze de constructie met de bollen toe, dan ziet men onmiddellijk dat het, in het geval van vier imaginaire basispunten, op oneindig veel manieren mogelijk is den bundel om te zetten in een cirkelbundel. Thans echter is het onmogelijk hem om te zetten in een bundel gelijkzijdige hyperbolen; waar nl. een willekeurige kegelsnede uit den bundel geen van beide dragers der involuties snijdt, daar is het onmogelijk een lijn / te trekken waarop de bundelinvolutie elliptisch wordt. In het geval van twee reëele en twee toegevoegd imaginaire basispunten is zoowel het een als het ander mogelijk, wat nu na het voorgaande wel onmiddellijk duidelijk zal zijn. In § 19, p. 117 zagen wij reeds dat er twee kegelsneden bestaan die door 4 punten gaan en aan een rechte t raken; de raakpunten zijn eenvoudig de dubbelpunten der bundelinvolutie op t. Zijn twee, of vier, van de basispunten imaginair, dan blijft deze eigenschap natuurlijk bestaan, en zou de constructie als volgt uit te voeren zijn. In beide gevallen is slechts één van de drie lijnenparen van den bundel reëel; snijden wij dit met t, dan hebben wij één paar van de bundelinvolutie op t. Denken wij nu verder een willekeurig punt A op f, dan is door dit punt volgens § 30, p. 177 een kegelsnede uit den bundel bepaald, en deze kan, bijv. volgens Pascal, voor de tweede maal met f gesneden worden. Is het tweede snijpunt Au dan is AAX een tweede paar uit de bundelinvolutie, waardoor deze bepaald is. Dualistisch vinden wij zoo de beide kegelsneden van een schaar met 4, of 2, of 0 reëele basisraaklijnen die door een gegeven punt gaan. Drie punten en twee raaklijnen bepalen vier kegelsneden. Laat in Fig. 72 A, B, C de drie gegeven punten, P het snijpunt der beide raaklijnen zijn, voor het geval zij imaginair mochten wezen HK. de Vries, Projectieve Meetkunde. 13 § 34. 194 bepaald door een elliptische involutie aan P; wij trachten nu de poollijn p van P te bepalen, aangezien dan van de kegelsnede een pool met poollijn, benevens 3 punten gegeven zijn, zoodat zij bepaald is (vgl. § 30, p. 171). Te dien einde verbinden wij twee van de drie gegeven punten, A en B bijv., snijden de verbindingslijn / met de involutie waardoor de gegeven raaklijnen uit P bepaald worden, en zoeken van de involutie die hierdoor op / ontstaat, èn van diegene waardoor de punten A en B bepaald worden, het gemeenschappelijke paar XXX; de verbindingslijnen van deze punten met P vormen dan een paar xxj van de involutie aan P. Uit dit laatste volgt dat de pool Qx van xt op x = PXt, en omgekeerd de pool Q van x op Xi = PX ligt. De poollijn van X gaat door Xu en door de polen L en Qx van / en XP, maar de lijn QXXX = x gaat door P (zie boven), dus is x zelve de poollijn van X (dus Q = X), en liggen de 4 punten L, Xu Qlt P op een rechte lijn. En aangezien P op x ligt gaat p door X, terwijl, ten einde de beschrijving der figuur te completeeren, nog kan worden opgemerkt dat Qj op p ligt, omdat xx door P gaat. ■ Onze uitkomst is dus de volgende. Bepalen wij van de involutie, die A en B tot dubbelpunten heeft, alsmede van degene die op AB wordt ingesneden door de involutie aan P, het gemeenschappelijke paar XXlt dan gaat de gezochte poollijn p van P door één van de beide punten van dat paar. Doen wij dus hetzelfde met de lijnen BC en CA, dan krijgen wij twee nieuwe puntenparen YYlt ZZlf die ten opzichte van XXX zóódanig gelegen zijn dat van de 6 punten telkens 3 op een rechte lijn liggen, die dan de lijn p voorstelt. De 6 punten vormen dus de hoekpunten eener volledige vierzijde, met ABC als diagonaaldriehoek, en waarvan de 4 zijden kunnen optreden als poollijn p\ het aantal oplossingen is dus 4. Over de realiteit der oplossingen zouden nog heel wat opmerkingen te maken zijn, doch deze Fig. 72. § 34. 195 wenschen wij hier met stilzwijgen voorbij te gaan, om ons te wenden tot het zoogenaamde normalenprobleem. Het geheele, omvangrijke vijfde boek uit het groote werk over de kegelsneden van Apollonius van Perga is gewijd aan het zoogenaamde normalenprobleem der kegelsneden, het vraagstuk dus om uit een punt de loodlijnen op een kegelsnede neer te laten. Apollonius zelf vat het anders op, want in de opdracht van dit boek aan zijn vriend Attalus zegt hij dat hij in dit boek stellingen over de langste en kortste lijnen, die van uit een punt naar den omtrek eener kegelsnede getrokken kunnen worden, bijeengebracht heeft, en inderdaad vindt hij het geheele boek door al zijn uitkomsten uit de eigenschap dat de lengte eener normaal een maximum of minimum is. Apollonius kent natuurlijk niet de eigenschap der evoluut, d.w.z. de eigenschap dat alle normalen eener ellips bijv. een zekere stervormige kromme van den 6en graad omhullen, die symmetrisch ligt t.o.v. de assen, en óp de assen, nl. in de krommingsmiddelpunten der toppen, keerpunten heeft, (vgl. schrijver's „Leerboek der Diff. en Int. rek.", I, § 103, p. 510); en de stelling dat deze evoluut van de 4e klasse is, dus dat door ieder punt 4 raaklijnen, d.w.z. 4 normalen der kegelsnede gaan, zou voor hem onjuist geweest zijn, omdat die 4 normalen niet altijd reëel zijn; het getal 4 is dus voor hem een maximum, en waar hij het vraagstuk natuurlijk met Grieksche grondigheid onderzocht, en dus het geheele vlak de revue laat passeeren, daar is het begrijpelijk dat hij een geheel boek behoefde om zijn uitkomsten onder te brengen. Wij hier willen de gezochte lijnen werkelijk als normalen beschouwen, en het geheele vraagstuk van uit het standpunt der Projectieve Meetkunde bezien. Denken wij (Fig. 73) een punt A, en uit dit punt een loodlijn AV op de kegelsnede neergelaten, dan is AV loodrecht op de raaklijn in V, dus loodrecht op de middellijn die toegevoegd is aan de middellijn MV, want deze toegevoegde middellijn is immers evenwijdig aan de raaklijn in V. Deze opmerking geeft nu onmiddellijk aanleiding tot de volgende constructie. Trek een middellijn m, en construeer de toegevoegde m,; laat uit A de loodlijn neer op m, en snijd deze met mx; dan zal het snijpunt P een meet- § 34. § 34. 196 kundige plaats doorloopen die de kegelsnede snijdt in de gezochte punten V. De meetkundige plaats van P is een kegelsnede, en wel een gelijkzijdige hyperbool, en deze hyperbool komt bij Apollonius inderdaad reeds voor; vandaar dat zij van oudsher de hyperbool van Apollonius genoemd wordt. Bedenken wij nl. dat m en mx toegevoegde middellijnen, dus toegevoegde stralen der middelpuntsinvolutie zijn, en dat iedere straleninvolutie uit twee "a waaiers ontstaan is, dan is de waaier der stralen m a~ met dien der stralen mx; de waaier der stralen m is echter eveneens 7\T met dien der stralen door A, omdat hier toegevoegde stralen loodrecht op elkaar staan, het snijpunt dus een cirkel doorloopt; de waaier der stralen mx is dus ook Tv met dien der stralen door A, en de meetkundige plaats van P is derhalve een kegelsnede door A en M. Valt m samen met één van de twee assen, dan loopt de loodlijn door A evenwijdig aan de andere as, terwijl zij juist met die andere as gesneden moet worden; de oneindig verre punten der assen van k2 behooren dus tot de m.pl. van P, d. w. z. deze meetkundige plaats is een gelijkzijdige hyperbool door A en M, en die de assen der gegeven kegelsnede tot asymptotenrichtingen heeft. Ook de raaklijnen in A en M zijn gemakkelijk aan te geven: voor die in A moet met MA = nx samenvallen, zoodat de raaklijn j_ n is; voor die in M moet mx met de raaklijn lx samenvallen, en is deze dus de toegevoegde van de loodlijn / op MA. ra Fig. 73. 197 Aangezien de hyperbool door Af gaat, moet zij in het geval der ellips de kegelsnede in minstens 2 punten snijden, zoodat uit een willekeurig punt A op een ellips minstens 2 reëele loodlijnen kunnen worden neergelaten; dat er echter ook punten zijn voor welke alle 4 normalen reëel zijn bewijst het punt M, want hier zijn de loodlijnen de 4 halve assen, en de punten in de omgeving van Af, voor zoover zij binnen de evoluut gelegen zijn, hebben eveneens 4 reëele normalen; voor punten óp de evoluut vallen 2 van de 4 normalen samen, zoodat er door deze punten slechts 3 gaan; enz. Voor de hyperbool is de mogelijkheid dat alle 4 normalen imaginair worden eveneens buitengesloten; immers nu ligt wel is waar het middelpunt buiten de hyperbool, maar daarvoor moet de hyperbool van Apollonius het oneindig verre punt der snijdende as bevatten, en dit ligt er binnen; dus ook hier minstens 2 reëele normalen. Voor de parabool, een geval dat door limietovergang gemakkelijk uit dat der ellips is af te leiden, valt het punt Af met het oneindig verre punt der as samen, en aangezien de hyperbool van Apollonius beide moet bevatten, wordt de as der parabool een asymptoot van de hyperbool. Eén van de 4 normalen loopt dus steeds evenwijdig aan de as der parabool (wat van zelf spreekt, omdat zij in het oneindig verre punt loodrecht staat op de oneindig verre raaklijn); wérkelijke normalen zijn er dus slechts 3. Inderdaad is de evoluut der parabool slechts een semikubische parabool (zie schrijver's „Leerboek der Diff. en Int. rek. I, § 103, p. 509), en deze is van de klasse 3. Ligt het punt -A (Fig. 73) op één van de assen, dan moet de hyperbool ontaarden; immers twee van de 4 normalen vallen nu samen met die as, zoodat deze met de hyperbool 4 punten, nl. de beide voetpunten, A, en het middelpunt Af, gemeen heeft, en er dus deel van uitmaakt; de rest is een rechte lijn loodrecht op die as. Zoo bestaat voor het punt Af zelf de hyperbool bijv. uit de beide assen zelve. Enz. De middelpuntsinvolutie eener kegelsnede blijft dezelfde zoolang de dubbelstralen, dus de asymptoten, dezelfde blijven. Alle kegelsneden met dezelfde asymptoten, dus algemeener met dezelfde middelpuntsinvolutie, d. w. z. alle kegelsneden die gelijkvormig § 34. 198 en gelijkstandig, of homothetisch zijn t. o. v. het middelpunt, d. w. z. alle kegelsneden van de vergelijking: k2ü2 1 k2b2 1 (vgl. schrijver's „Leerboek der Diff. en Int. rek." I, § 88, p. 419) hebben voor eenzelfde punt A dezelfde hyperbool van Apollonius. De algemeene stelling, waarvan die van de 4 normalen op één kegelsnede een gevolg is, luidt dus als volgt: laat men uit een punt A op alle kegelsneden van een bundel-schaar ten opzichte van het middelpunt homothetische kegelsneden de loodlijnen neer, dan liggen de voetpunten op de hyperbool van Apollonius. Onnoodig te zeggen dat déze stelling bij Apollonius zelf nog niet voorkomt. Hoe staat het in dit geval met de parabolen? Sedert de dagen van Apollonius, en vooral natuurlijk in den nieuweren tijd, is het normalenprobleem der kegelsneden tallooze malen behandeld, vooral analytisch; blijvende binnen het kader van dit leerboek willen wij volstaan met de opmerking dat Poncelet er in zijn „Traité" één enkele § aan wijdt, nl. N°. 492, waarin hij de gelijkzijdige hyperbool afleidt, blijkbaar zonder te weten dat deze reeds bij Apollonius voorkomt, want diens naam wordt niet genoemd, en willen wij vooral wijzen op de magistrale verhandeling van Steiner uit het tweede deel zijner verzamelde werken, p. 623—637, overgedrukt uit C re 11e's „Journal" 49, p. 333-348, geschreven in het jaar 1854, en getiteld: „Ueber algebraische Curven und Flachen"; in deze verhandeling wordt het normalenprobleem in zijn vollen omvang onderzocht zoowel voor de kromme als voor het oppervlak van den nen graad, en vindt men in het bijzonder de resultaten, de kegelsneden betreffende, op pp. 627, 628 van de Ges. Werke II; wat het algemeene onderzoek betreft is vooral interessant de kromme Q0" (l.c. p. 625), waarvan de hyperbool van Apollonius een bijzonder geval uitmaakt, en de opmerking dat voor alle punten A uit het vlak die krommen een net (d. w. z. een stel oo2 krommen) vormen met n2 — n + 1 basispunten, waarvan n in het oneindige, voor de hyperbolen van Apollonius dus een net met 3 basispunten, waarvan 2 in het oneindige (nl. de oneindig verre punten der assen, terwijl het ééne in het eindige het middelpunt der gegeven kegelsnede is). § 34. 199 De wederkeerige poolkromme der hyperbool van Apollonius en de brandpunten der kegelsnede. Richtlijnen. § 35. De theorie der brandpunten staat in het nauwste verband met het normalenprobleem, daarom willen wij nog eens terug komen op Fig. 73, p. 196, en de vraag stellen: wat is de polairreciproke figuur van de hyperbool van Apollonius, d.w.z. welke figuur wordt omhuld door de poollijn p van een punt P der hyperbool t. o. v. de gegeven kegelsnede k2, indien P deze kromme doorloopt? Allereerst is duidelijk dat de gezochte kromme eveneens een kegelsnede is; want aangezien van de hyperbool steeds 2, en niet meer dan twee punten op een rechte liggen, gaan van de gezochte kromme steeds 2, en niet meer dan twee raaklijnen door eenzelfde punt; zij is dus van de tweede klasse, d. w. z. een kegelsnede. Aangezien zij de poollijn van M moet aanraken is zij een parabool; aangezien zij de poollijnen van de oneindig verre punten der assen van k2 moet aanraken, raakt zij aan de assen van k2, en aangezien de poollijnen van de snijpunten van de hyperbool en k2 de raaklijnen in deze snijpunten aan k2 zijn, zijn de voetpunten der loodlijnen, uit A op k2 neergelaten, de raakpunten met k2 van de gemeenschappelijke raaklijnen van k2 en de parabool. Zij laat zich ook op zeer eenvoudige wijze construeeren. Aangezien P nl. op mx ligt, gaat p door de pool van mlf dat is het oneindig verre punt van m, waaruit volgt p ± AP; en aangezien P ook op AP ligt, gaat p door de pool Q van AP, die op haar beurt weer op de poollijn a van A ligt. Met uitschakeling van het punt P kunnen wij dus de volgende constructie aangeven: trek door A een willekeurige rechte (nl. AP), en laat uit de pool Q van deze, die op a ligt, de loodlijn op haar neer; deze loodlijn omhult dan de parabool. Ten einde nu tot de brandpunten te komen moeten wij het punt A op één van de assen onderstellen (Fig. 74); de hyperbool gaat dan over (vgl. § 34, p. 197) in die as en een rechte x loodrecht op die as, de parabool dus in 2 punten, waarvan het eene, nl. de pool van de as, in het oneindige op de andere ligt, (ontaardt een parabool in twee punten, dan moet minstens één van deze in het oneindige liggen, waarom?), terwijl het andere, nl. de pool X van x, op de as in kwestie zelve ligt. Dus: trekt § 35. 200 men door A een willekeurige rechte AP (P is een willekeurig punt ; van die lijn), en laat uit de pool Q een loodlijn p op haar neer, standdeel der parabool). Is in het bijzonder AP een raaklijn, dan is Q het raakpunt; de normalen in de snijpunten van a met k2 gaan dus eveneens door X. Nu is het echter merkwaardig dat de punten 4 en X verwisselbaar zijn, d. w. z. gaat men bij de constructie uit van X, dan vindt men A. De hyperbool van Apollonius voor X bestaat nl. blijkbaar uit de as MX en de lijn a, de parabool dus uit het oneindig verre punt der andere as, en de pool van a, d.i. A. Laat men dus A de as doorloopen, dan zullen A en X op die as een involutie voortbrengen, waarvan M blijkbaar het middelpunt is, want ligt A in het oneindige, dan valt a met de tweede as samen. Men kan deze uitkomst nog anders onder woorden brengen, nl. als volgt. Trekt men in ieder punt eener kegelsnede de raaklijn en de normaal, dan snijden deze elk van de beide assen in puntenparen eener kwadratische involutie, van welke M het middelpunt is. Ten einde deze involutie te bepalen, is het natuurlijk voldoende in één enkel punt raaklijn en normaal te trekken, en doet men dit, dan overtuigt men zich meteen dat van de beide involuties de eene noodzakelijk hyperbolisch, de andere noodzakelijk elliptisch is; de dubbelpunten nu van deze involuties zijn de brandpunten. Er zijn er dus 4, 2 op elke as, maar daarvan zijn er slechts 2 reëel. Het is nl. gebleken dat de reeds door Apollonius tegen het einde van het 3e boek der „kegelsneden" (nl. in Propositio 45) gedefinieerde, maar overigens door hem weinig op den voorgrond gebrachte brandpunten (van het brandpunt eener parabool spreekt Q Fig. 74. >A dan gaat deze loodlijn door een vast punt X van de as (valt AP met de as samen, dan ligt Q in het oneindige op de andere; maar de loodlijn uit QK op de eerste is onbepaald, en zóó ontstaat de waaier [QJ als be- § 35. 201 hij bijv. nergens!) projectief hierdoor gekarakteriseerd zijn dat zij de snijpunten zijn van de raaklijnen, uit de beide absolute punten van het vlak aan de kegelsnede getrokken; is dit zoo, en de juistheid dezer bewering zullen wij natuurlijk aantoonen, dan zijn de brandpunten de punten met rechthoekige poolstraleninvoluties, en deze hebben wij hierboven opgezocht. Inderdaad, trekken wij door een dubbelpunt G, als punt A opgevat, een willekeurige rechte, en laten van uit de pool Q een loodlijn neer op die rechte, dan gaat die loodlijn eveneens door het dubbelpunt; maar die lijn en de loodlijn vormen eenvoudig een paar der poolstraleninvolutie van G, en deze is dus rechthoekig, omdat ieder paar rechthoekig is. De vraag is slechts of er ook punten buiten de assen bestaan met rechthoekige poolstraleninvoluties, maar dit is niet het geval; immers, verbinden wij (Fig. 73, p. 196) een willekeurig punt P met M, dan loopt de toegevoegde straal van PM = mx in de poolstraleninvolutie van P naar de pool van mx, d.i. Jl m, en dit paar is zeker niet rechthoekig, omdat het evenwijdig is aan het paar mmx der middelpuntsinvolutie, en deze slechts één rechthoekig paar heeft, nl. de assen. En dat nu ten slotte de hier door ons gevonden brandpunten identisch zijn met die van Apollonius, controleeren wij als volgt. Apollonius kent natuurlijk slechts de reëele, en definieert deze als die punten, die de as in twee stukken verdeelen zóódanig dat het product dier stukken gelijk is aan het kwadraat der halve andere as, dus voor de ellips (a + c)(a — c) = o2, voor de hyperbool (c + a)(c — a) = o2. Is nu de vergelijking der kegelsnede: a2^b2 ' dan is die van de raaklijn in een punt x', y'\ x' ,y' , -s . x + ïö .y = 1, a2 b2 7 en van de normaal: g.(x-x')-^.(y-y') = 0, of: v' x' , , a2 — b2 . , ¥.X---2.y-Xy .-^- = 0, Of: y' x' ,, c2 § 35. 202 De raaklijn snijdt dus de x-as in een punt: de normaal in een punt: en het product dezer stukken is inderdaad c2, zoodat de dubbelpunten onzer involutie op een afstand c van het middelpunt verwijderd zijn; q. e. d. Laat men de parabool door een limietovergang ontstaan uit de ellips, dan ziet men onmiddellijk dat het eene brandpunt in het oneindige terecht komt; de brandpuntsinvolutie der parabool is dus symmetrisch, d. w. z. het brandpunt deelt den afstand tusschen de voetpunten in de as van iedere raaklijn en bijbehoorende normaal middendoor. Denken wij (Fig. 75) eens de beide Fig 75 assen eener kegelsnede, alsmede een raaklijn t en een normaal n, dan is de eene brandpuntsinvolutie bepaald door het middelpunt M en het paar AX, de andere door M en het paar A1X1; van de eerste zijn de dubbelpunten zóódanig gelegen dat MG2 m MH2 m MA . MX, van de andere zóódanig dat: MG,2 = MHi2 = MAi . MXV Maar nu volgt uit de rechthoekige gelijkvormige AA MAAX en MXXX: MA : MXX m MAX : MX, zoodat de producten MA . MX en MAX. MXX op het teeken na gelijk zijn. De imaginaire brandpunten hebben dus van M den afstand ci, of, wat hetzelfde is, de cirkel om M en door de dubbelpunten der hyperbolische brandpuntsinvolutie gaat door het symmetrische paar SXS2 (vgl. § 29, p. 167) der elliptische, d. w. z. door de reëele plaatsvervangers der imaginaire brandpunten. De poollijnen der brandpunten zijn de richtlijnen; iedere middelpuntskegelsnede heeft er dus 4, waarvan echter slechts 2 reëel § 35. 203 zijn, en deze staan loodrecht op de hoofdas; zij kunnen de kegelsnede natuurlijk niet in reëele punten snijden, en de raaklijnen in hunne snijpunten gaan naar de absolute punten van het vlak. Uit ieder punt P van een richtlijn gaan dus twee reëele raaklijnen, en de contactkoorde van deze gaat door het bijbehoorende brandpunt, zeg G. De lijn PG is echter de toegevoegde van de contactkoorde in de poolstraleninvolutie van G, d. w. z. GP en de contactkoorde staan loodrecht op elkaar, een eigenschap die gewoonlijk als volgt onder woorden gebracht wordt: het stuk eener raaklijn tusschen het raakpunt en een richtlijn wordt van uit het bijbehoorende brandpunt onder een rechten hoek gezien. Toepassingen van de Leer der brandpunten en richtlijnen. § 36. Denken wij eens een kegelsnede k2 en een punt P er buiten. Wij construeeren de poolstraleninvolutie voor P wier dubbelstralen, zooals wij weten, de raaklijnen uit P zijn, en denken in het bijzonder het rechthoekige paar mmu welks stralen de hoeken der raaklijnen middendoor deelen. Dit paar heeft, zooals trouwens alle andere paren ook, de eigenschap dat de pool van m op mx ligt, en omgekeerd, maar het heeft de bijzondere eigenschap dat de loodlijn, uit de pool van m op mx neergelaten, samenvalt met mx, en omgekeerd. Snijdt dus m de hoofdas van k2 in X, mx diezelfde as in Xlt dan heeft men het volgende. Trekt men door X de lijn m, en laat uit de pool van die lijn de loodlijn er op neer, dan gaat die loodlijn door JTjj maar dan vormen X en Xx volgens § 35, p. 200 een paar der brandpuntsinvolutie van k2, m en mx dus een paar der involutie door welke de brandpuntsinvolutie uit P geprojecteerd wordt. Wij kunnen dus de volgende stelling uitspreken: bepaalt men aan een willekeurig punt P de poolstraleninvolutie, en projecteert uit dat punt tevens de brandpuntsinvolutie, dan hebben die beide straleninvoluties het rechthoekige paar mmt gemeen. De dubbelstralen der involutie die de brandpuntsinvolutie projecteert gaan natuurlijk door de brandpunten; noemen wij deze de voerstralen van P, dan deelen m en mx dus de hoeken der voerstralen middendoor. Zij deelen echter ook de hoeken der raaklijnen uit P middendoor, dus: de raaklijnen uit P sluiten met de voerstralen van P gelijke hoeken in. § 36. 204 Bij de parabool moet men, om deze stelling te kunnen toepassen, één van de brandpunten in het oneindige denken, en bij den cirkel, waar de brandpunten in het middelpunt samenvallen, heeft men: de beide raaklijnen uit een punt aan een cirkel sluiten met de lijn naar het middelpunt gelijke hoeken in. Voor een punt óp k2 wordt de poolstraleninvolutie parabolisch, doordien de raaklijn is toegevoegd aan iederen straal door het raakpunt; het rechthoekige paar echter is bepaald en wordt gevormd door raaklijn en normaal, dus: raaklijn en normaal van een punt van k2 deelen de hoeken der voerstralen middendoor. Aangezien een brandpunt een punt is welks poolstraleninvolutie gegeven is (zij is nl. rechthoekig), geldt een brandpunt voor twee enkelvoudige gegevens, nl. twee (isotrope) raaklijnen; door de beide brandpunten is dus een kegelsnede nog niet volkomen bepaald, er ontbreekt nog een raaklijn aan, en hieruit volgt dat alle kegelsneden met dezelfde brandpunten een schaar vormen (§ 19, p. 117), een zoogenaamde schaar confocale kegelsneden. De raaklijnen uit een punt P aan de kegelsneden eener schaar vormen een involutie (§ 22, p. 132), de zoogenaamde schaarinvolutie, en deze is voor de schaar confocale kegelsneden blijkbaar gelijkzijdig-hyperbolisch of symmetrisch (§ 23, p. 138), want de dubbelstralen zijn m, mlt en deze staan loodrecht op elkaar (m en mx zijn immers de bisectricen van ieder paar raaklijnen). De dubbelstralen der schaarinvolutie raken echter ieder in P een exemplaar der schaar aan, dus: door ieder punt in het vlak gaan twee reëele exemplaren der schaar, en deze snijden elkaar in dat punt onder rechte hoeken. Het is gemakkelijk in te zien dat het eene exemplaar een ellips, het andere een hyperbool is, behalve bij een schaar confocale parabolen, waar beide exemplaren natuurlijk parabolen zijn. Een exemplaar der schaar is door één raaklijn t bepaald, en hare constructie verlangt het bepalen eener kegelsnede uit één raaklijn en de beide rechthoekige poolstraleninvoluties aan de brandpunten; hoe eenvoudig de constructie verloopt hebben wij in § 30, p. 178, Fig. 69 reeds aangetoond. Een kegelsnede moet óók bepaald zijn door 3 raaklijnen en één brandpunt; dit is het dualistische vraagstuk van 3 punten § 36. 205 en één elliptische punteninvolutie, dat wij in § 30, p. 175 uitvoerig beschouwd hebben, en zou dus opgelost kunnen worden door de beschouwingen van toen te dualiseeren; veel eenvoudiger echter gaat het indien wij gebruik maken van een eenvoudige metrische eigenschap van een brandpunt en 3 raaklijnen. Laat G een brandpunt zijn, a, b, c drie raaklijnen. Denk a en b vast, c beweeglijk, dan zal c, indien zij langs de kegelsnede rolt, op a en b twee 7\~ puntenreeksen insnijden die, van uit G geprojecteerd, twee ~7\ stralenwaaiers opleveren. De dubbelstralen van deze zijn de raaklijnen uit G aan k2, maar G is een brandpunt, de dubbelstralen zijn dus de beide isotrope stralen door G, en hieruit volgt dat de beide Waaiers congruent moeten zijn en van denzelfden zin, want indien men ze uit elkaar haalt en verschillende toppen geeft, moeten ze een cirkel voortbrengen (§ 19, p. 110). Worden dus de snijpunten van c met a en b A en B genoemd, dan is z. AGB — y blijkbaar constant. Nadert c tot a, dan nadert B tot het snijpunt S van a en b, A tot het raakpunt Ra van a, en z SQRa = y; en nadert c tot b, dan nadert A tot S, B tot R„, en ét SGRb = y. Hieruit volgt tweeërlei, nl. 1°) dat de hoek, waaronder van uit een brandpunt de raakpunten van twee raaklijnen gezien worden, door de lijn naar het snijpunt dier raaklijnen middendoor wordt gedeeld, en 2°) dat het stuk eener beweeglijke raaklijn c, gelegen tusschen twee vaste a en b, van uit een brandpunt onder een constanten hoek gezien wordt (y), die half zoo groot is als diegene waaronder van uit datzelfde brandpunt de raakpunten der vaste raaklijnen worden gezien; daarbij is het mogelijk dat men, om de zaak te doen kloppen, dezen laatsten hoek als > 180° in rekening moet brengen. Met behulp van deze laatste stelling kan men natuurlijk met weinig moeite net zooveel raaklijnen c bepalen als men wil. Vooral interessant wordt de laatste stelling indien men haar toepast op de parabool. Deze is bepaald door het brandpunt G en twee raaklijnen a en b, en indien de hoek dien deze insluiten cc is, en men c met L laat samenvallen, dan ziet men aldra dat 7 en x gelijk, respectievelijk eikaars supplement zijn, zoodat in ieder geval de drie hoekpunten van den driehoek, gevormd door 3 raaklijnen a, b, c, alsmede het brandpunt G, op een cirkel liggen, en wij dus de stelling uit kunnen spreken: de omgeschre- § 36 § 36. 206 ven cirkel van een driehoek, gevormd door drie raaklijnen eener parabool, gaat door het brandpunt. Een parabool is bepaald door 4 raaklijnen; deze vormen, drie aan drie saamgenomen, 4 driehoeken, wier omgeschreven cirkels alle 4 door het brandpunt moeten gaan, dus: de omgeschreven cirkels van de vier driehoeken, gevormd door vier raaklijnen eener parabool, snijden elkaar in het brandpunt. Neemt men nu nog de zoo straks te bewijzen stelling er bij (vgl. p. 208 en trouwens ook § 30, p. 178) dat de meetkundige plaats van de voetpunten der loodlijnen, uit het brandpunt der parabool op de raaklijnen neergelaten, de topraaklijn is, dan heeft men, indien de parabool door 4 raaklijnen bepaald is, onmiddellijk' het brandpunt, de raaklijn in den top, dus ook de as, den top, en de richtlijn. Zijn slechts 3 raaklijnen gegeven, dan zijn er oneindig veel parabolen die deze aanraken; zij vormen een schaar, waarvan één basisraaklijn geheel op oneindigen afstand ligt. De m.pl. der brandpunten is de omgeschreven cirkel van den driehoek der drie raaklijnen, en indien men nu weer de stelling van zooeven van de voetpunten der loodlijnen, uit het brandpunt op de raaklijnen neergelaten, er bij neemt, dan heeft men een nieuw bewijs voor de welbekende elementaire stelling dat de voetpunten der loodlijnen, uit een punt van den omgeschreven cirkel van een driehoek op de zijden neergelaten, in een rechte liggen (lijn van Simpson of Wallace), een stelling die door Steiner („Ueber eine besondere Curve dritter Classe (und vierten Grades)", Werke II, p. 639) tot punt van uitgang gekozen is voor zijn beroemde verhandeling over de naar hem genoemde hypocycloïde, de kromme die door alle lijnen van Simpson omhuld wordt indien het punt den omgeschreven cirkel doorloopt. De richtlijn eener parabool is de m.pl. der punten van waaruit aan de kromme twee onderling loodrechte raaklijnen gaan. De richtlijn g nl. is de poollijn van het brandpunt G; trekt men dus uit een punt van g de beide raaklijnen, dan gaat de verbindingslijn der raakpunten door G, zoodat de raakpunten uit G onder een gestrekten hoek gezien worden. Het stuk eener beweeglijke raaklijn, tusschen de twee vaste gelegen, wordt dus volgens het bovenstaande uit G onder een rechten hoek gezien, en aangezien deze hoek bij de parabool het supplement is van 207 dien der twee vaste raaklijnen, is ook deze laatste recht; q. e. d. Gebruik makende van deze stelling bewijzen wij nu ten slotte met behulp van Brianchon nog de volgende eigenschap der parabool: het hoogtepunt van een om de parabool beschreven driehoek ligt op de richtlijn. Laat a, b, c drie willekeurige raaklijnen der parabool, en verder a' en c' raaklijnen zijn £ a en c, zoodat de richtlijn de verbindingslijn is der punten aa' en cc'. Beschouw nu de zeszijde abcc'Ld, en bepaal het punt van Brianchon. De eerste diagonaal, (ab, c'L), is de hoogtelijn van A abc, uit ab op c neergelaten, de tweede, (bc, La'), de hoogtelijn uit bc, de derde, (cc', aa'), de richtlijn; het punt van Brianchon is dus het hoogtepunt, en het ligt op de richtlijn. Geeft men van een kegelsnede een brandpunt en de bijbehoorende richtlijn, dan geeft men feitelijk pool en poollijn met de bijbehoorende involuties, dus in laatste instantie twee raaklijnen met hunne raakpunten, wat voor 4 gegevens geldt; door één punt, of ééne raaklijn, is zij dus bepaald. De constructie verloopt evenals in § 30, p. 173, wordt alleen sterk vereenvoudigd doordien de involutie aan G rechthoekig wordt. Zijn bijv. gegeven Q, g, en een punt P, dan bepale men allereerst op de lijn OP het punt P* zóódanig dat P en P* door G en g harmonisch gescheiden zijn. Richt men nu in G de loodlijn op PP* op, dan snijdt deze g in het punt dat in de involutie op g is toegevoegd aan het snijpunt van PP* en g, of m. a. w. in de pool van PP*, van waaruit de raaklijnen p en p* getrokken kunnen worden. Men snijde nu een willekeurigen rechten hoek xxx aan G met g, en noeme het snijpunt met x Xlt met X, dan heeft men het volgende. De lijnen PX, P*XX snijden elkaar in een punt Q, PXi en P*X in een punt Q* en de lijn QQ* gaat door G. De punten px, p*xx bepalen de raaklijn q in Q, pxlt p*x de raaklijn q* in Q* en q en q* snijden elkaar op g, en wel in een punt dat, met G verbonden, een lijn bepaalt die loodrecht staat op QQ*. Bijzonder interessant en eenvoudig wordt dit alles nu indien wij het toepassen op de parabool (Fig. 76). Deze is door brandpunt en richtlijn bepaald, omdat dan de as, de top T*> met raaklijn /«, en dus ook de eindige top T met raaklijn t bepaald zijn; deze § 36. 208 laatste ligt in het midden tusschen G en g, ingevolge de harmonische ligging met Tx. Denk nu aan G een willekeurigen rechten hoek xxv Verbind X met T, Xx met T*,, dan ontstaat een punt P, en verbind X met T=o, Xt met T, dan ontstaat een punt P*; en de lijn PP* gaat door G. Snijd x met t, xx met f»; de ver¬ bindingslijn der beide snijpunten, die dus evenwijdig is aan xx, is de raaklijn in P. Snijd x met f», xx met f; de verbindingslijn der beide snijpunten, die dus evenwijdig is aan x, is de raaklijn in P*; en de beide gevonden raaklijnen snijden elkaar op g, en sluiten een rechten hoek in (zie p. 206). Hieruit volgt dat de figuur, gevormd door de beide raaklijnen en de stralen x, %, een rechthoek is, en dat dus de voetpunten der loodlijnen, uit het brandpunt der parabool op de raak¬ lijnen neergelaten, op de topraaklijn liggen, een eigenschap waarvan wij hierboven reeds gebruik gemaakt hebben. Door één brandpunt en 3 punten zijn 4 kegelsneden bepaald; voor de constructie vergelijke men § 34, p. 193. Kegels, cylinders, en éénbladige hyperboloïden. Hg. 76. § 37. In alle §§ die vooraf gaan hebben wij ons consequent beperkt tot het platte vlak; van nu af aan echter gaan wij deze beperking opheffen, en ons dus afvragen wat onze projectieve puntenreeksen, stralenwaaiers (en thans ook vlakkenwaaiers) voortbrengen, indien zij niet meer gelegen zijn in eenzelfde vlak. Niet alle mogelijke combinaties voeren tot een resultaat, wat trouwens in het platte vlak óók al niet anders was; immers indien in het platte vlak een puntenreeks en daarmee a~ waaier gegeven zijn, dan is daarmede weinig aan te vangen; in de ruimte nu is het evenzoo gesteld. Een puntenreeks en daarmee ~a stralenwaaier, gelegen in een vlak dat niet den drager der puntenreeks bevat, of een puntenreeks en daarmee a~ vlakkenwaaier zijn dingen § 37. 209 waarmede niet veel is aan te vangen; des te belangrijker zijn echter bijv. twee 7\~ puntenreeksen op elkaar kruisende dragers, of twee "a" vlakkenwaaiers met elkaar kruisende assen. Anderzijds kunnen ook reeds de figuren in een plat vlak aanleiding geven tot belangrijke stereometrische resultaten, indien men ze slechts projecteert uit een of ander projectiecentrum O; ligt dit punt op eindigen afstand, dan vindt men den kwadratischen kegel, ligt het in het oneindige, dan vindt men den kwadratischen cylinder. Dit alles is zóó eenvoudig, dat weinige woorden voldoende zullen zijn om het toe te lichten. Heeft men, al of niet in eenzelfde vlak, twee "a~. puntenreeksen, en projecteert men deze uit een punt O, dan ontstaan twee "a stralenwaaiers aan denzelfden top, maar in verschillende vlakken gelegen, en de projecteerende vlakken van de verbindingslijnen van toegevoegde punten omhullen een kwadratischen kegel, als welks basiskromme de kegelsnede beschouwd kan worden die door de beide reeksen wordt voortgebracht indien deze in eenzelfde vlak liggen, óf ook de kegelsnede in een willekeurig vlak, die ontstaat door dat vlak met de beide waaiers te snijden. En het is duidelijk dat alle eigenschappen van één doorsnede, die projectief zijn, als daar zijn eigenschappen van polen en poollijnen, involuties en wat dies meer zij, door de projectie zonder meer op alle andere doorsneden worden overgedragen. De kwadratische kegel of cylinder kan dus worden voortgebracht als omhuld door de verbindingsvlakken van de overeenkomstige stralen van twee 7\ stralenwaaiers aan denzelfden eindigen, of oneindig verren, top; hij kan evenzeer worden voortgebracht als meetkundige plaats der snijlijnen van de overeenkomstige vlakken van twee ~K vlakkenwaaiers met elkaar snijdende, of evenwijdige, assen. Ten einde het laatste gedeelte dezer stelling in te zien heeft men slechts een kegelsnede voort te brengen door twee TT stralenwaaiers, en daarna de geheele figuur uit een punt O, eventueel O», te projecteeren (vgl. den orthogonalen kegel van Hachette, § 29, p. 169). Natuurlijk dringt zich nu de vraag op of de kwadratische kegel en cylinder ook symmetrieassen en symmetrievlakken, brandstraten, of focaalstralen, en richtvlakken bezitten, waarbij het wel zonder meer duidelijk zal zijn dat men deze bijzondere elementen in het algemeen niet zal verkrijgen door het middelpunt, de assen, de brandpunten en richt- Dr. Hk. de Vries, Projectieve Meetkunde. 14 § 37. 210 lijnen eener kegelsnede uit een punt O te projecteeren. Waar het onderzoek dezer bijzondere elementen zeer omslachtig is, en ons leerboek volgens den titel „beknopt" zal zijn, zullen wij hier op deze kwesties niet ingaan; gewoonlijk worden zij trouwens langs analytischen weg opgelost. Dat dit laatste echter volstrekt niet onvermijdelijk is, en ook hier de synthetische methode bij de analytische geenszins achterstaat, heeft reeds vele jaren geleden Heinrich Schröter aangetoond in zijn boek: „Theorie der Oberflachen zweiter Ordnung und der Raumkurven dritter Ordnung als Erzeugnisse projektivischer Gebilde, nach Jacob Steiner's Prinzipien auf synthetischem Wege abgeleitet", Leipzig, Teubner, 1880, §§ 6—13, waarin hij, uitgaande van en steunende op hetgeen Steiner in het 3e hoofdstuk van de „Systematische Entwickelung" zegt, een volledige theorie der kwadratische oppervlakken geeft, en dat dus, tezamen met zijn „Theorie der Kegelschnitte" wellicht tot op zekere hoogte als het ontbrekende vijfde deel van de „Systematische Entwickelung" kan gelden (vgl. Werke I, Vorrede, p. 235). Naar dit en andere soortgelijke werken, bijv. Ru dolf Sturm's „Lehre von den geometrischen Verwandtschaften", Leipzig, Teubner, 1908, 1909, zij de belangstellende lezer verwezen. Tot andere oppervlakken dan de kegels en de cylinders komen wij door de volgende beschouwingen. Laat eens gegeven zijn twee a~ puntenreeksen op dragers / en f die elkaar kruisen. Verbinden wij nu twee toegevoegde punten A en A' door een lijn a, twee andere, B en B', door een lijn b, dan zullen a en b elkaar kruisen, want sneden zij elkaar en lagen zij dus in één vlak, dan lagen ook f en f in dat vlak, wat tegen het onderstelde is. Nadert B tot A, dan nadert ingevolge de projectiviteit ook B' tot A', en dus b tot a; a en b kunnen dus willekeurig dicht tot elkaar naderen of, zooals men het óók wel uitdrukt, over hun geheele uitgestrektheid oneindig dicht bij elkaar liggen, zonder een punt gemeen te hebben; zoodra zij één punt gemeen hebben, hebben zij alle punten gemeen, en vallen zij dus samen. Uit deze beschouwingen volgt dat indien men alle paren toegevoegde punten der beide reeksen met elkaar verbindt, de verbindingslijnen op een zeker gebogen oppervlak gelegen zullen zijn, een zoogenaamd regeloppervlak („regel" is het ouderwetsche § 37. 211 woord voor „rechte lijn"), omdat het kan worden voortgebracht door de beweging van een rechte lijn, nl. van de lijn XX' die men krijgt door een punt X de lijn t te laten doorloopen (waardoor het toegevoegde X' de lijn t' doorloopt) en dan steeds X met X' te verbinden. Het zal overbodig zijn op te merken dat op dit oppervlak niet slechts alle lijnen XX' liggen, die elkaar twee aan twee kruisen, doch ook de beide rechten t en t', die elkaar kruisen, maar door alle lijnen XX' = x gesneden worden. Aan het oneindig verre punt van t is een bepaald punt van t' toegevoegd, en aan het oneindig verre punt van f een punt van t; onder alle lijnen x is er dus één // f, en één // t'. Indien wij de geheele figuur, zooals wij die op het oogenblik vóór ons hebben, eens uit een willekeurig punt O projecteeren op een willekeurig vlak t, dan worden de projecties van x, dus van de beschrijvende lijnen van het regeloppervlak, de verbindingslijnen van de toegevoegde punten van twee ~a puntenreeksen op de projecties van t en t', dus de raaklijnen van een kegelsnede k2 die ook de projecties van t en t' aanraakt, en de projecteerende vlakken de raakvlakken van een kwadratischen kegel met O als top, en k2 als basiskromme; wij zullen weldra leeren inzien dat wij dezen kegel als den omgeschreven kegel van het oppervlak voor den top O, dus als den kegel omhuld door de raakvlakken door O, hebben op te vatten, waarbij dan de raakvlakken niets anders zijn dan de vlakken door O en de beschrijvenden x; voorloopig echter willen wij deze kwestie hier niet verder vervolgen, maar overgaan tot de volgende beschouwing. Indien wij de punten A', B', C', .... op t' eens door vlakken verbinden met t, dan ontstaat een vlakkenwaaier met as f, en die perspectivisch ligt met de puntenreeks op t', en indien wij hetzelfde doen met de punten A, B, C, . . . . van t en de lijn t', dan ontstaat een vlakkenwaaier met as en die perspectivisch ligt met de puntenreeks op t. Nu zijn echter de beide puntenreeksen projectief, dus zijn ook de beide vlakkenwaaiers projectief, en kan men vragen naar de snijlijnen van toegevoegde vlakken. Welnu, aan het vlak door t en A' is toegevoegd het vlak door t' en A; maar de snijlijn van deze twee vlakken is niets anders dan de lijn AA' = a. De snijlijnen der toegevoegde vlakken van de beide vlakkenwaaiers óm t en t' zijn dus dezelfde als de verbindingslijnen der toegevoegde punten van de puntenreeksen § 37. 212 óp t en t', of m. a. w.: het oppervlak, gevormd door de verbindingslijnen der toegevoegde punten van twee J\ puntenreeksen op kruisende dragers is identisch met het oppervlak, gevormd door de snijlijnen der toegevoegde vlakken van de beide 7\~ vlakkenwaaiers die ontstaan indien men de beide puntenreeksen uit de dragers dier reeksen zelve projecteert, d. w. z. die op t' uit t en omgekeerd. Wij zullen dit oppervlak voorloopig H noemen. Denken wij de geheele figuur, zooals wij die thans voor oogen hebben, gesneden met een willekeurig plat vlak t, dan leveren de 7\ vlakkenwaaiers om t en f twee a~ stralenwaaiers op om de doorgangspunten van t en t', en de doorgangspunten der beschrijvenden x zijn de snijpunten der toegevoegde stralen van die twee waaiers; deze snijpunten liggen echter op een kegelsnede k2, die o.a. ook de doorgangspunten van f en f bevat, en die niets anders is dan de doorsnede van H met n Een willekeurig plat vlak snijdt dus ons oppervlak H volgens een kegelsnede, een rechte lijn snijdt het derhalve in twee punten, die echter natuurlijk ook toegevoegd imaginair kunnen zijn of kunnen samenvallen; noemt men dus het aantal snijpunten van een rechte lijn met een algebraisch oppervlak den graad van dat oppervlak, dan kunnen wij zeggen: het oppervlak li is van den tweeden graad; het is een zoogenaamd kwadratisch regeloppervlak, en wel een éénbladige hyperboloïde (Syst, Entw. § 51, Werke I, p. 370). Over de rechte lijnen op de éénbladige hyperboloïde. § 38. Laat eens gegeven zijn 3 willekeurige kruisende rechten t, t', t", dan bestaan er oneindig veel rechten die deze drie snijden, wat op de volgende twee manieren is in te zien. Laat een vlak om t" draaien, en snijd het in iederen stand met t en f: dan ontstaan puntenparen AA', BB', CC', wier verbindingslijnen a, b, c, .... natuurlijk ook f" snijden. De beide puntenreeksen [A, B, C, ), {A', B', C', ) zijn nu echter ieder afzonderlijk perspectivisch met den vlakkenwaaier om dus zijn zij onder elkaar 7\~, en de lijnen a, b, c, ... ., of algemeen de lijnen x, brengen een oppervlak voort juist zooals het in de vorige § bestudeerde, dus een éénbladige hyperboloïde, § 38. 213 alleen met dit verschil dat wij ditmaal nog een derde lijn kennen die alle lijnen x snijdt, nl. t". Denk omgekeerd een willekeurig punt op t", en projecteer uit dit punt de lijnen t en f'; dan ontstaan aan t en t' twee vlakkenwaaiers, die ieder afzonderlijk perspectivisch met de puntenreeks op t", en dus onder elkaar 7\ zijn; twee toegevoegde vlakken snijden elkaar in een lijn x die alle drie rechten t, t', t" snijdt. Uit deze beschouwingen volgt dat de éénbladige hyperboloïde óók kan worden opgevat als meetkundige plaats der rechten die op drie elkaar kruisende rechten rusten. In de vorige § vonden wij naast de beschrijvenden x twee rechten, nl. f en die ook nog op tl lagen, thans vinden wij er drie t, t', t"; hoe is dit te rijmen? Denken wij eens 3 lijnen x, d. w. z. 3 lijnen die t, t', t" snijden. Volgens hetgeen wij zooeven zagen hebben deze oneindig vele transversalen y, en elk van deze heeft met ti 3 punten gemeen, nl. de snijpunten met de 3 lijnen x waarvan wij zijn uitgegaan, en ligt dus over haar geheele uitgestrektheid op tl; immers dat H een kwadratisch oppervlak is wil toch niets anders zeggen dan dat een rechte lijn er 2, of alle punten mee gemeen heeft, nl. eenvoudig omdat deze stelling de meetkundige inkleeding is van de algebraische grondstelling dat een vierkantsvergelijking öf 2 wortels heeft, öf ieder getal tot wortel heeft. De paradox van zooeven, nl. dat wij in het eene geval, behalve de lijnen x, 2 lijnen vinden die alle deze snijden, in het andere 3, lost zich dus hierdoor op dat er oneindig vele zijn, en waartoe die twee, of die drie, behooren. De éénbladige hyperboloïde bevat dus twee stelsels van rechte lijnen, twee zoogenaamde regelscharen, (x) en (y), en het eenvoudige verband tusschen deze twee regelscharen is dit dat twee rechten van eenzelfde schaar elkaar kruisen, twee rechten van verschillende scharen elkaar snijden (Syst. Entw. § 51, Werke I, p. 371). Men vindt wel eens aangegeven dat een éénbladige hyperboloïde bepaald is door een scheeven, d. w. z. niet in een plat vlak gelegen, vierhoek, en een transversaal van twee overstaande zijden; deze bepalingswijze zal nu duidelijk zijn: de beide zijden die de transversaal kruisen en de transversaal zelve zijn 3 kruisende rechten, en de transversalen van deze (waartoe ook de beide § 38. 214 andere zijden van den vierhoek behooren) bepalen een regelschaar en daarmede een hyperboloïde. Denken wij eens 3 willekeurige rechten x van ft, xlt x2, x3. Door ieder punt van oq loopt een transversaal óver x2 en x3, en aangezien deze lijn met ft 3 punten gemeen heeft, is zij een lijn y. Door het oneindig verre punt van xx gaat óók zoo'n transversaal, die dus evenwijdig loopt aan xlt en zoo komen wij tot het resultaat dat aan iedere lijn van de regelschaar x één lijn van de schaar y evenwijdig loopt; en omgekeerd natuurlijk (Syst, Entw. § 51, Werke I, p. 371). Trekt men dus uit een willekeurig punt O lijnen evenwijdig aan alle lijnen x, dan heeft men tevens lijnen getrokken evenwijdig aan alle lijnen y, en het resultaat is een kegel aan O, de zoogenaamde richtkegel van het oppervlak. Deze heeft met ti natuurlijk de oneindig verre doorsnede gemeen; iedere vlakke doorsnede echter, dus ook de oneindig verre, is een kegelsnede (vgl. § 37, p. 212); de richtkegel der éénbladige hyperboloïde is dus een kwadratische kegel. De doorsnede van ti met een plat vlak is een kegelsnede, dus moet ook de doorsnede met een vlak door een lijn x een kegelsnede zijn; tot deze behoort echter natuurlijk de lijn x zelve, dus moet de rest eveneens een rechte lijn zijn, en dit moet een lijn y zijn, omdat zij jc moet snijden. In ieder vlak door een lijn x ligt dus tevens een lijn y, en omgekeerd. Denken wij in zulk een vlak eens een willekeurige rechte /. Zij snijdt het oppervlak in 2 punten, en van deze ligt er natuurlijk één op x, en één op y. Verschuiven wij / evenwijdig aan zich zelf naar het snijpunt R van x en y, dan naderen de snijpunten met ti tot elkaar, om eindelijk in R samen te vallen; dan echter is / een raaklijn geworden, want een raaklijn aan een oppervlak is immers een lijn die met het oppervlak twee samenvallende punten gemeen heeft. Iedere rechte door R en in het vlak xy = p gelegen is dus een raaklijn; de m. pl. van alle raaklijnen, in een punt van een oppervlak aan dat oppervlak getrokken, is echter het raakvlak in dat punt; het raakvlak in een punt R van ti is dus het vlak door de beide lijnen x en y die door dat punt gaan. § 38. 215 Dat de lijnen x en y zelve, die immers over hun geheele uitgestrektheid op tl liggen, als raaklijnen kunnen worden opgevat, zal wel geen nader betoog behoeven; men noemt ze de hoofdraaklijnen door R. Omgekeerd moet een willekeurig raakvlak van dien aard zijn dat het een raakpunt R bevat zóódanig, dat alle lijnen die daar doorheen gaan het oppervlak daar ter plaatse in twee samenvallende punten snijden; dit is echter slechts mogelijk indien de doorsnede met het raakvlak in het lijnenpaar xy ontaardt. Samenvattend komen wij dus tot het resultaat dat de raakvlakken der éénbladige hyperboloïde eenvoudig de vlakken door de beschrijvenden zijn; vandaar dat wij in § 37, p. 211 konden beweren dat men den omgeschreven kegel voor een top O vindt door O door middel van vlakken te verbinden met alle rechten van het oppervlak; kiest men hiervoor de rechten x, dan bevat ieder zoodanig vlak nog een rechte y, en omgekeerd. Dat de zoo ontstaande omhullende kegel kwadratisch is, hebben wij l.c. p. 211 reeds aangetoond. Iets eigenaardigs ontstaat indien wij den top van den omhullenden kegel op het oppervlak zelf kiezen. Wij hebben dan in de eerste plaats het raakvlak in O zelf, dat de lijn x en de lijn y door O bevat, maar verder zal ieder vlak door O en een beschrijvende van het oppervlak öf die lijn x, öf die lijn y moeten bevatten, zoodat voor dit geval de omhullende kegel ontaardt in de twee vlakkenwaaiers om de lijnen x en y door O als assen. Denken wij de vlakken door een punt O en alle lijnen x, dan bevatten deze volgens' het voorgaande ook de lijnen y, en zijn de raakvlakken p van ft door O. Zij omhullen, zooals wij weten, een kwadratischen kegel, den omgeschreven kegel van tl aan den top O, en de beschrijvende lijnen van dezen zijn blijkbaar de verbindingslijnen van O met de raakpunten R der vlakken p; het zijn tevens de raaklijnen die men door O aan het oppervlak kan trekken. Plaatst men het oog in O, dan bepalen deze raaklijnen door hunne raakpunten op het oppervlak de grens tusschen het gedeelte van het oppervlak dat van uit O te zien is en de rest, en de doorsnede van den omhullenden kegel met een vlak t is de zoogenaamde schijnbare omtrek op ?; volgens het voorgaande is deze schijnbare omtrek een kegelsnede. Aan iedere lijn x loopt een lijn y evenwijdig; het vlak door § 38. 216 twee zulke lijnen snijdt dus H volgens een lijnenpaar, bestaande uit twee evenwijdige lijnen, en moet derhalve als een raakvlak met oneindig ver raakpunt beschouwd worden; het wordt een asymptotisch raakvlak genoemd. Onder de klasse van een oppervlak verstaat men het aantal raakvlakken door een willekeurige lijn /; wij .toonen aan dat ook dit getal voor de hyperboloïde 2 bedraagt. Denken wij nl. voor een willekeurig punt O van 7 den omhullenden kegel geconstrueerd, die kwadratisch is, dan gaan aan dezen twee raakvlakken door / (die natuurlijk ook toegevoegd imaginair kunnen zijn); maar dit zijn dan tevens de raakvlakken door / aan II; er zijn er dus 2. Wordt / een raaklijn aan H, dan wordt zij een beschrijvende lijn van den kegel, en vallen dus de beide raakvlakken aan dezen, en dus ook aan M, samen. Een lijn / snijdt dus de hyperboloïde in twee punten, en dóór / gaan twee raakvlakken; dit is trouwens bij alle kwadratische oppervlakken zoo, ook bij diegene die geen reëele rechte lijnen bevatten, zooals de bol en de ellipsoïde, de tweebladige hyperboloïde en de elliptische paraboloïde, maar het verschil tusschen deze beide categorieën in dit opzicht is groot. Snijdt een rechte / den bol in twee reëele punten, dan gaan dóór / geen reëele raakvlakken, en omgekeerd; bij de hyperboloïde is dit geheel anders, daar heeft men alles of niets. Snijdt / de hyperboloïde in twee reëele punten, dan gaan dóór l ook twee reëele raakvlakken, en omgekeerd, en snijdt l de hyperboloïde niet, dan zijn ook de raakvlakken imaginair. Laat / in twee reëele punten S\, S2 snijden, dan gaan door Sx twee lijnen xlf yx, door S2 twee lijnen x2, y2; maar nu liggen xx en y2 in één vlak, en evenzoo x2 en y1( en dit zijn raakvlakken omdat zij _H snijden volgens een lijnenpaar, en zij bevatten de lijn /. Hunne raakpunten zijn de punten xxy2 = 7\, x2yx = T2, en onze geheele figuur bestaat uit een viervlak, waarvan 4 ribben op H liggen en twee, nl. SXS2 = /, T{T2 = d niet; / en 4 heeten toegevoegde rechten ten opzichte van H; elk van beide is de snijlijn der raakvlakken in de snijpunten der andere, of de verbindingslijn der raakpunten van de raakvlakken dóór de andere. Gaan omgekeerd door / twee reëele raakvlakken, dan bevatten § 38. 217 deze twee lijnenparen xx, y2, en x2> y\', maar nu snijden jq enyx elkaar op /, en evenzoo x2 en y2, en deze snijpunten zijn de reëele snijpunten van / met H. En snijdt / het oppervlak niet reëel, dan kunnen ook de raakvlakken door / niet reëel zijn, want waren deze laatste reëel, dan waren volgens het bovenstaande de eerste het ook. Men kan de lijn / ook in het oneindige aannemen; de raakvlakken xtfx in Sla3 en x2y2 in S2oo worden dan asymptotische raakvlakken, en de toegevoegde rechte lx *= TXT2 wordt om later te vermelden redenen een middellijn van het oppervlak. (Men vergelijke voor de voorgaande beschouwingen ook het tweede deel van het „Leerboek der Beschrijvende Meetkunde" van schrijver dezes, 2e druk, Waltman, Delft, 1922, §§ 24—26, pp. 88-99, waar de éénbladige hyperboloïde meer uit een constructief oogpunt bestudeerd wordt, en de constructies ook door figuren worden toegelicht). Het vraagstuk van Gergonne. Snijpunten op, en raakvlakken door een lijn. Bundels van hyperboloïden door een scheeven vierhoek. § 39. In het XVIIe deel van de „Annales de Mathématiques" van Gergonne, p. 83 (vgl. Syst. Entw. § 57, Werke I, p. 403 en vooral p. 147) wordt door dezen het vraagstuk gesteld: „Construire rigoureusement la droite qui coupe a la fois quatre droites données dans 1'espace, non comprises deux a deux dans un même plan". Oplossingen van dit vraagstuk waren bekend, zoowel synthetische (met behulp van de methoden der Beschrijvende Meetkunde) als analytische, zoo bijv. van Brianchon en van Petit, maar zij lieten aan strengheid te wenschen, zoodat Gergonne het vraagstuk nogmaals aan de orde stelde, maar nu met de bijvoeging „rigoureusement". Oplossingen kwamen in van Bobillier, Garbinski, en Steiner; Steiner publiceerde de zijne in het tweede deel van Crelle's „Journal", p. 268—275, Werke I, p. 147—154, en tegenwoordig denkt niemand er aan het vraagstuk anders op te lossen dan volgens Steiner, althans wat het beginsel betreft (1. c. IX, Werke I, p. 152), welk beginsel eenvoudig hierop neerkomt dat men 3 van de 4 gegeven lijnen als de bepalende rechten eener hyperboloïde JH beschouwt, en deze met de vierde rechte snijdt; de beide lijnen van de § 39. 218 andere regelschaar door de twee snijpunten zijn de gezochte, en waar die twee snijpunten imaginair kunnen zijn, daar bestaat ook de mogelijkheid dat de door Gergonne verlangde transversalen imaginair zijn. Wat de werkelijke uitvoering betreft, volgen wij tegenwoordig het voetspoor van Steiner niet meer; hoe ingenieus bedacht nl., en hoe elegant ook de 1. c. p. 153 gegeven oplossing moge wezen, wij hebben tegenwoordig een betere door de beginselen toe te passen die neergelegd zijn in de „Syst. Entw."; dat Steiner zelf in het jaar 1826 van die beginselen nog onkundig geweest zou zijn, lijkt, waar hij in de „Vorrede" tot de „Syst. Entw." (Werke I, p. 235) zegt dat hij de laatste resultaten verkregen heeft vóór het midden van het jaar 1828, niet waarschijnlijk; waarschijnlijker is dat hij ze in 1826 nog niet publiceeren wilde, en daarom een oplossing bedacht heeft buiten de Projectieve Meetkunde om. De moderne oplossing van het vraagstuk, door Steiner gegeven in de „Syst. Entw." § 57, Werke I, p. 402, luidt eenvoudig als volgt. Beschouw van de 4 gegeven lijnen 3, die wij a, b, c zullen noemen, als de bepalende rechten eener hyperboloïde JfZ; projecteer, door middel van vlakkenwaaiers om a en b, de puntenreeks op c, dan worden die vlakkenwaaiers ~a~- Snijd deze waaiers met de vierde rechte /, dan ontstaan op / twee collocale 7\ puntenreeksen; zoek van deze de twee dubbelpunten, dan zijn dit de snijpunten van / met H; immers door elk van deze gaat de snijlijn van twee toegevoegde vlakken der beide waaiers, en deze is een lijn van JEL; zij gaat bovendien door een punt van c, en snijdt a en b, dus is zij tevens één van de twee gezochte transversalen, en het vlak door deze transversaal en / is één van de twee raakvlakken door /. Opmerking. In het nu reeds meermalen geciteerde stuk van Steiner (Werke I, p. 147—154) komt in een noot onderaan op p. 150 de opmerking voor dat indien men drie rechten a, b, c van eenzelfde regelschaar neemt, door a een vlak brengt // b, door b een // c, door c een // o, en deze drie vlakken tot coördinatenvlakken kiest, de vergelijking der hyperboloïde de eenvoudige gedaante aanneemt: (x — d) (y — b) (z — c) = xyz, een vergelijking die, met a = 2x, b = 2(3, c — 2y, en verschuiving van het assenstelsel, op den vorm te brengen is: (x - «) (y - |3) (z - y) = (x + cc) (y + /3) (z + y), § 39. 219 waar nu O het middelpunt van het oppervlak is. Men controleere dit. Verder zal het den lezer van schrijver's „Leerboek der Beschrijvende Meetkunde", 2e druk, 2e deel, niet moeilijk vallen met behulp van de hoofdstelling over den graad van een niet ontwikkelbaar regeloppervlak (1. c. § 29, p. 107) aan te toonen dat Steiner zich op p. 151 sub III en IV vergist heeft; men brenge deze uitspraken van Steiner in orde (wat III betreft heeft hij het op p. 373, Werke I, trouwens zelf gedaan). Vraagstuk. Door een rechte l de beide raakvlakken aaneen éénbladige hyperboloïde aan te brengen. Oplossing. Laat B weer bepaald zijn door 3 kruisende rechten a, b, c. Breng door c een vlak, en snijd dit met a en b, dan ontstaan op a en b twee 7\ puntenreeksen. Projecteer deze uit /, dan ontstaan twee collocale a" vlakkenwaaiers om /; de beide dubbelvlakken (die verkregen worden door de geheele figuur met een plat vlak te snijden, en van de zoo ontstaande collocale 7\ stralenwaaiers de dubbelstralen te bepalen) verbinden twee toegevoegde punten der beide reeksen, bevatten dus een beschrijvende van B, en zijn derhalve raakvlakken, en de snijpunten der beschrijvenden met / zijn tevens de snijpunten van / met B. Twee hyperboloïden B1( B2, die een willekeurige ligging ten opzichte van elkaar hebben, zullen elkaar in het algemeen snijden volgens een ruimtekromme die de grondeigenschap heeft van door ieder willekeurig plat vlak in 4 punten gesneden te worden; immers zulk een vlak snijdt uit beide hyperboloïden een kegelsnede, en deze hebben 4 punten met elkaar gemeen. Een ruimtekromme die door ieder plat vlak in 4 punten gesneden wordt, heet van den 4en graad; wij kunnen dus zeggen dat twee éénbladige hyperboloïden elkaar in het algemeen snijden volgens een ruimtekromme van den vierden graad. Wij willen op het oogenblik op een nader onderzoek van dit fundamenteele vraagstuk niet ingaan, maar in aansluiting aan het voorafgaande slechts het volgende bijzondere geval behandelen. Laat gegeven zijn drie kruisende rechten xlt x2, xs, die een hyperboloïde Bx bepalen, en voorts een rechte jc3', die niet tot de regelschaar (x) van Bx behoort. De lijnen xlt x2, xz' bepalen dan een hyperboloïde B2, die met Hx de lijnen xit x2 gemeen heeft; § 39. 220 wat hebben de beide oppervlakken nu nog meer gemeen? De volledige doorsnijding moet door ieder willekeurig plat vlak in 4 punten gesneden worden; twee van deze liggen op xx en x2, dus zijn er nog 2 over; waarop liggen deze? Denk een punt P van de restdoorsnijding; door dit punt gaat één transversaal yi van xx en x2, en deze heeft met beide oppervlakken 3 punten gemeen, en ligt dus op beide; ook yx behoort dus tot de doorsnijding. Van de 4 punten der doorsnede in een willekeurig vlak zijn er nu 3 verantwoord, nl. op xu x2, y1( er blijft er dus nog één over. Maar ook door dit punt gaat een transversaal van xx en x2, zeg y2, en ook deze ligt op beide oppervlakken tegelijk, dus: twee hyperboloïden die twee kruisende lijnen xlt x2 gemeen hebben, hebben nog twee andere kruisende lijnen ylt y2 gemeen die de eerste snijden, dus met dezen een scheeven vierhoek vormen (Syst. Entw. § 57, Werke I, p. 404). Natuurlijk kunnen yu y2 imaginair worden; zij kunnen ook samenvallen, in welk geval de beide oppervlakken elkaar langs een rechte aanraken, d. w. z. in ieder punt van die rechte hetzelfde raakvlak hebben (welk raakvlak echter om de rechte draait indien het raakpunt zich langs de rechte verplaatst). De lijnen y1( y2 zijn gemakkelijk te construeeren, zij zijn nl. de beide transversalen van xlt x2, xs, x'3, en zij zijn dus reëel en verschillend, imaginair, of vallen samen, al naar gelang x'3 Hx in twee reëele punten snijdt, niet snijdt, of raakt. Denken wij eens een scheeven vierhoek, waarvan de overstaande zijden zijn xlt x2, y1; y2, en een willekeurig punt P. Door P gaat een transversaal x3 van ylt y2, en een transversaal y3 van xlf x2, en de twee drietallen xlt x2, xs en ylt y2, y3 bepalen één en dezelfde hyperboloïde, die den scheeven vierhoek en P bevat, en voor welke het vlak x3ys het raakvlak in P is. Door een punt Q, niet op deze hyperboloïde gelegen, wordt nu opnieuw een hyperboloïde bepaald, die den scheeven vierhoek (en Q) bevat, zoodat door den scheeven vierhoek alleen oneindig veel hyperboloïden gaan; de verzameling van al deze oppervlakken heet een bundel, en door ieder willekeurig punt der ruimte gaat één exemplaar van dezen bundel. §39. 221 De hyperbolische parabolo'fde. De gelijkzijdige hyperbolische paraboloïde. Orthogonale kegel en hyperboloïde. Omwentelingshyperboloïde. § 40. Wij willen van de 3 kruisende rechten x1( x2, x3, die een hyperboloïde bepalen eens één, bijv. x3, in het oneindige onderstellen, bijv. bepaald als de oneindig verre rechte van een plat vlak; dit heeft, zooals wij zullen zien, zoowel op de eigenschappen als op den vorm van het oppervlak een zeer grooten invloed. Laten wij om x3oo een vlak wentelen, ten einde dit met Xx en x2 te snijden en zoodoende 7\~ puntenreeksen te verkrijgen, dan wil dit zeggen dat wij xx en x2 moeten snijden met een stel evenwijdige vlakken; de hierdoor op Xx en x2 ontstaande puntenreeksen worden dan blijkbaar gelijkvormig, eventueel zelfs congruent, en alle rechten van de regelschaar (y) worden evenwijdig aan eenzelfde vlak. Tot de vlakken door x3oo behoort ook het oneindig verre vlak der ruimte zelf; dit bevat de oneindig verre punten van xx en x2, die dus in de projectiviteit aan elkaar zijn toegevoegd, en wier verbindingslijn yM een lijn van de regelschaar (y) is. Het oneindig verre vlak bevat dus niet slechts een lijn xx (den index 3 laten wij nu verder maar weg), maar tevens een lijn yx, en is dus een raakvlak, met het raakpunt Rx = xxyx. De regelschaar (x) kunnen wij nu vinden door een vlak te laten wentelen om yx, en dit met twee rechten van de schaar (y) te snijden; alle rechten van de schaar (x) worden dus óók evenwijdig aan eenzelfde vlak, d. w. z. hebben hun oneindig verre punten op een rechte yx. Het verschil tusschen de algemeene hyperboloïde en het bijzondere geval dat wij thans voor oogen hebben, en dat den naam verkregen heeft van hyperbolische paraboloïde, is dus uitsluitend hierin gelegen dat het oneindig verre vlak der ruimte een raakvlak is, en van elk van de beide regelscharen (x) en (y) één lijn bevat; alle lijnen van de schaar (x) snijden yx, zijn dus evenwijdig aan een of ander vlak door y„, en alle lijnen van de schaar (y) snijden xx, zijn dus evenwijdig aan een of ander vlak door xx. Zoo ontstaan twee stellen platte vlakken, waaraan telkens de rechten van één regelschaar evenwijdig zijn, en die elk het oppervlak snijden volgens één in het eindige, en één in § 40. 222 het oneindige gelegen rechte; zij heeten de richtvlakken, kunnen echter ook asymptotische raakvlakken genoemd worden (Syst. Entw. § 52, Werke I, p. 376), omdat zij het oppervlak blijkbaar aanraken in het oneindig verre punt der in het eindige gelegen beschrijvende (vgl. voor de hyperbolische paraboloïde ook schrijver's „Leerboek der Beschr. Meetk.", 2e druk, deel 2, §§ 27 en 28, p. 99-105). De éénbladige hyperboloïde kan door een plat vlak gesneden worden volgens een ellips, een parabool, een hyperbool, twee elkaar snijdende rechten, en zelfs twee evenwijdige rechten; dit hangt alles af van den stand van het snijvlak « ten opzichte van den richtkegel (vgl. „Leerboek der Beschr. Meetk." II, § 22, p. 79, § 24, p. 90). Is aan een willekeurig punt P der ruimte de richtkegel geconstrueerd, en is o.* het vlak door P // <*, dan kan <** den richtkegel snijden volgens 2 reëele beschrijvenden; aan deze loopen op 11 twee lijnen x en twee lijnen y evenwijdig, en deze loopen dus óók evenwijdig met «. Het gevolg is dat « de hyperboloïde snijdt volgens een hyperbool, wier asymptoten de snijlijnen zijn van a met de beide asymptotische raakvlakken in hare beide oneindig verre punten, zijnde de vlakken door de lijnen x en y die door die punten gaan. Snijdt «* den richtkegel uitsluitend in P, dus volgens twee imaginaire beschrijvenden, dan zijn van de doorsnede van 11 met a. de oneindig verre punten eveneens imaginair; deze doorsnede is dus een ellips. Is een raakvlak van den richtkegel, dan loopt van de lijnen x en y op H telkens slechts één evenwijdig met«; de doorsnede wordt dus een parabool, wier asrichting wordt aangewezen door de beschrijvende volgens welke «* den richtkegel aanraakt. En indien «* den richtkegel volgens twee reëele beschrijvenden snijdt, a. zelf echter een raakvlak is van H, dan bestaat de doorsnede uit twee elkaar snijdende lijnen; is echter . Nu nemen wij een lijn L loodrecht op de middellijnen, projecteeren uit deze de beide a~ puntenreeksen op xx en x2, zoeken het eenige in het eindige gelegen dubbelvlak, en hebben dan het gezochte raakvlak in den top. Dit raakvlak snijdt xx en x2, en de verbindingslijn der snijpunten is de in het gezochte raakvlak gelegen lijn y. Ten einde den top T en daarmede de as zelve te vinden, moeten wij nu ook nog de lijn x hebben; deze vinden wij het eenvoudigst door even twee lijnen y te bepalen (door middel van twee vlakken door x*>), deze met het raakvlak in den top te snijden, en de snijpunten te verbinden, waarbij blijken moet dat de gevonden lijn x evenwijdig is aan het richtvlak door Voo (zie voor een meer elementaire oplossing van hetzelfde vraagstuk „Leerboek der Beschr. Meetk." II, § 28, p. 104). De vlakken door de as a en de beide in het raakvlak in den top gelegen rechten xt en yt zijn richtvlakken; wij willen even in het kort het geval beschouwen dat deze loodrecht op elkaar staan. Alle lijnen y snijden xt, maar moeten evenwijdig loopen aan een vlak 1 xt; zij snijden dus xt loodrecht, en om dezelfde reden snijden alle lijnen x de lijn yt loodrecht. De richtkegel bestaat uit twee loodrecht op elkaar staande vlakken, wier snijlijn evenwijdig is aan de as a; hieruit volgt dat alle vlakken loodrecht op de as de paraboloïde volgens gelijk- §40. 225 zijdige hyperbolen snijden. Trouwens, dit zijn niet de eenige vlakken die deze eigenschap bezitten; een vlak door Xt bijv. bevat nog een lijn y, die Xt JL snijdt, en snijdt dus de paraboloïde volgens een ontaarde gelijkzijdige hyperbool; vlakken evenwijdig aan dit vlak, wier doorsneden natuurlijk dezelfde oneindig verre punten hebben als de eerste, snijden dus volgens gelijkzijdige hyperbolen. (Kan ook de éénbladige hyperboloïde gesneden worden volgens gelijkzijdige hyperbolen?). Aan het feit echter dat vlakken loodrecht op de as volgens gelijkzijdige hyperbolen snijden ontleent het oppervlak zijn naam van gelijkzijdige hyperbolische paraboloïde. Kenmerk: de richtvlakken loodrecht op elkaar (Syst. Entw. § 52, Werke I, p. 380). De hyperboloïde was bepaald door een scheeven vierhoek, met een transversaal van twee overstaande zijden (§ 38, p. 213), de hyperbolische paraboloïde door een scheeven vierhoek alleen. De transversaal ligt dan nl. in het oneindige, omdat immers de puntenreeksen op twee overstaande zijden gelijkvormig moeten worden. Wil men de paraboloïde in het bijzonder gelijkzijdig hebben, dan kan men twee overstaande zijden xlf x2 willekeurig aannemen; men Bepaalt een vlak // xx en x2, neemt een vlak ± daarop en nog een evenwijdig aan dit laatste, en snijdt met deze beide xx en x2. De verbindingslijnen der snijpunten zijn twee lijnen yu y2, die met xx en x2 de gelijkzijdige paraboloïde bepalen. In een bundel hyperboloïden die een scheeven vierhoek gemeen hebben komt dus één paraboloïde voor; verder treft men er blijkbaar twee vlakkenparen in aan, die als een degeneratievorm eener hyperboloïde kunnen worden opgevat; laat men nl. de assen van twee "a vlakkenwaaiers elkaar snijden, en maakt men de waaiers a, zoodat overeenkomstige vlakken elkaar snijden in stralen van een stralenwaaier in een perspectiefvlak, dan ontaardt de hyperboloïde in dit perspectiefvlak en het vlak door de beide assen. Men kan een paraboloïde ook zeer wel door 3 in het eindige gelegen, elkaar kruisende rechten xx, x2, x3 bepalen, mits men ze slechts evenwijdig kiest aan eenzelfde vlak; immers de oneindig verre rechte van dit vlak bevat de oneindig verre punten der drie Hk. de Vries, Projectieve Meetkunde. 15 § 40. 226 gegeven rechten, dus 3 punten van het oppervlak, en is dus een lijn yx. Ten slotte nog het volgende. Men denke eens twee rechten a en b door een punt O, en loodrecht op a een vlak t. Laat men nu om a een vlak a wentelen, en brengt door b steeds een vlak /3 J_ «, dan is onmiddellijk in te zien dat de doorgangen der beide vlakkenwaaiers (») en (ƒ5) twee aan twee loodrecht op elkaar staan, elkaar dus snijden in de punten van een cirkel op de middellijn AB, waar A en B de doorgangspunten van a en b met t zijn, en dus J\ zijn. Zij brengen dus een kwadratischen kegel voort die de bijzondere eigenschap bezit dat de vlakken loodrecht op de beschrijvenden in één van de symmetrievlakken (want wat van a geldt geldt van b, men behoeft het vlak t slechts _L b aan te brengen) den kegel volgens cirkels snijden, terwijl in het algemeen de lijnen door den top van een kegel loodrecht op de vlakken van cirkeldoorsnede niet juist beschrijvenden zijn. Wij hebben hier den Orthogonalen kegel van Hachette (vgl. Syst. Entw. § 53, Werke I, p. 386) terug gevonden, dien wij in § 29, p. 169 reeds ontmoet hadden, en willen van dezen nu den richtkegel van een hyperboloïde maken. Brengen wij een hyperboloïde voort door twee a~ vlakkenwaaiers aan kruisende assen, en verschuiven de waaiers evenwijdig aan zich zelf, totdat de assen elkaar snijden in een punt O, dan ontstaat aan dit punt O blijkbaar de richtkegel; is deze nu orthogonaal, doordien toegevoegde vlakken van beide waaiers loodrecht op elkaar staan, dan was dit laatste in den oorspronkelijken stand eveneens het geval, dus: heeft men twee elkaar kruisende rechten xlf x2, en brengt men door x2 de vlakken loodrecht op die door xlt dan ontstaan twee 7\ vlakkenwaaiers, die een hyperboloïde voortbrengen wier richtkegel orthogonaal is; zulk een hyperboloïde heet zelve orthogonaal, en wordt door vlakken _L xx of x2 in cirkels gesneden (dit laatste te bewijzen als boven door middel van een vlak 1 *! of x2; vgl. ook Syst. Entw. § 53, Werke I, p. 385). Is de richtkegel ten slotte een omwentelingskegel, dan bestaat er een rechte waarmee alle lijnen van beide stelsels een constanten hoek insluiten; het oppervlak is dan een omwenteüngshyperboloïde (vgl. voor een uitvoerige behandeling van dit oppervlak het „Leerboek der Beschr. Meetk.", 2e druk II, §§ 20—23, p. 70—87). § 40. 227 Dualiteit en polariteit § 41. Wij hebben in § 7, p. 35, reeds uitvoerig stil gestaan bij het dualiteitsbeginsel, óók waar het de driedimensionale ruimte betreft, en kunnen dus hier kort zijn; wij zullen ons tevreden stellen met te wijzen op de voorbeelden die in de voorafgaande §§ voorkomen. Zooals wij weten staan in de ruimte dualistisch tegenover elkaar het punt en het platte vlak, terwijl de rechte lijn, als bepaald door twee punten, dualistisch tegengesteld is aan zich zelf, nl. aan de rechte lijn, bepaald als snijlijn van twee vlakken. Op de rechte, bepaald door twee punten, liggen nog oneindig veel andere (puntenreeks), en door de rechte, bepaald door twee vlakken, gaan nog oneindig veel andere (vlakkenwaaier). Hebben twee puntenreeksen een punt gemeen, dan hebben de vlakkenwaaiers om diezelfde rechten een vlak gemeen: de rechten snijden elkaar, en liggen tevens in een vlak. De verbindingslijnen van toegevoegde punten van a~ puntenreeksen op kruisende dragers vormen een regelschaar eener éénbladige hyperboloïde; snijden de dragers elkaar, dan omhullen zij een kegelsnede, zijnde een verzameling van "rechten in een vlak zóódanig dat er door een willekeurig punt van dat vlak twee gaan; de snijlijnen van toegevoegde vlakken van TT vlakkenwaaiers met elkaar kruisende assen vormen eveneens een regelschaar; liggen de assen in eenzelfde vlak, dan vormen de snijlijnen een kwadratischen kegel, zijnde een verzameling van rechten door een punt zóódanig dat er in ieder vlak door dat punt twee liggen. De doorsnede van een regelschaar met een plat vlak is een puntverzameling zóódanig dat er op iedere rechte van dat vlak 2 van die punten liggen; de projectie eener regelschaar uit een punt is een verzameling van vlakken door dat punt zóódanig dat er door iedere rechte door dat punt 2 gaan. Gaat het snijvlak dóór een rechte, dan gaat het nog door een tweede rechte, en de doorsnede bestaat uit twee puntenreeksen (op die rechten); ligt een punt óp een rechte, dan ligt het op nog een tweede rechte, en de omhullende kegel bestaat uit twee vlakkenwaaiers (om die rechten). Enz. Daarentegen kan men de hyperbolische paraboloïde, de orthogonale hyperboloïde en orthogonalen kegel en de omwentelingsfiguren niet dualiseeren, omdat hier metrische eigenschappen een rol spelen. § 41. § 41. 228 Naast het Dualiteitsbeginsel, dat als het ware de structuur onzer figuren beheerscht, staat de Polarentheorie, als machtig hulpmiddel tot het ontdekken van geometrische waarheden; wij willen de voornaamste stellingen uit deze theorie, voor zoover zij betrekking hebben op kwadratische oppervlakken, hier in het kort afleiden. Het punt van uitgang vormt de opmerking dat een kwadratisch oppervlak F2 door een plat vlak volgens een kegelsnede gesneden wordt; hierdoor toch wordt het gemakkelijk de pooleigenschappen der kegelsneden onmiddellijk op de kwadratische oppervlakken over te dragen. Bijv.: breng door een punt P een vlak «; dit snijdt F2 volgens een kegelsnede kx2, en ten opzichte van deze heeft P een poollijn pa, m.pl. der 4e harmonische punten van P t. o. v. kx2 (dus ook t. o. v. F2!) op alle stralen door P en in Breng door P een tweede vlak /3; ook in dlt vlak heeft P een poollijn, pp, en nu is het duidelijk dat deze px moet snijden, nl. in het 4e harmonische punt Q van P t. o. v. F2 op de snijlijn a/3. Alle poollijnen van P t. o. v. alle vlakke doorsneden van F2 met vlakken door P hebben dus twee aan twee een punt gemeen; zij hebben echter blijkbaar niet alle hetzelfde punt gemeen, dus liggen zij in één vlak, hetpoolvlak 7r van P t. o. v. F2. Denken wij door P alle raaklijnen aan F2 getrokken. Op zulk een raaklijn vallen de beide snijpunten met F2 samen in het raakpunt R, dus ligt in dit punt ook het vierde harmonische Q. De raakpunten der raaklijnen, uit P aan het oppervlak getrokken, liggen dus in het poolvlak tt; dit snijdt echter het oppervlak volgens een kegelsnede, en deze is dus blijkbaar de basiskromme van den omgeschreven kegel, van welken wij reeds wisten dat hij kwadratisch was. Brengen wij dus in het bijzonder door een punt P en alle rechten eener hyperboloïde of hyperbolische paraboloïde vlakken aan, waardoor de omgeschreven kegel ontstaat, dan liggen de raakpunten van deze in het poolvlak n van P. Ligt P in het oneindige, dan ontstaat een cylinder, bij de paraboloïde in het bijzonder een parabolische cylinder, omdat het oneindig verre vlak raakvlak is; de schijnbare omtrek eener hyperbolische paraboloïde voor een oneindig ver centrum is dus een parabool, behalve wanneer het centrum op één van de twee rechten Xae, y», dus op het oppervlak zelf ligt; dan moet volgens § 38, p. 215 de omhullende kegel ontaarden in twee vlakkenwaaiers, de 229 schijnbare omtrek dus in twee stralenwaaiers, wier toppen de doorgangspunten der beide rechten door het centrum zijn; voor de paraboloïde ligt één van die twee doorgangspunten in het oneindige, en inderdaad kan een puntenpaar, welks ééne bestanddeel in het oneindige ligt, opgevat worden als een ontaarde parabool, want de oneindig verre rechte speelt de rol van raaklijn. Het punt P heet de pool van het vlak n; hoe vinden wij nu P als n gegeven is? Denk een punt Q in rc, en bepaal het poolvlak x, als m. pl. der 4e harmonische punten van Q t. o. v. F2 op alle stralen door Q. Tot deze stralen behoort echter ook de lijn QP, en op dezen is P het 4e harmonische punt van Q; dus gaat » door P, en hebben wij de stelling: de poolvlakken van alle punten van een vlak gaan door de pool van dat vlak; en omgekeerd liggen de polen van alle vlakken door P in 7r, want van zoo'n vlak gaan immers de poolvlakken van alle punten door de pool, dus gaat ook it door die pool, omdat het vlak door P gaat. Denken wij eens twee punten Plt P2 met hunne poolvlakken %, 7r2. Ieder punt van de lijn %iTj ligt in beide vlakken tegelijk, dus gaat zijn poolvlak zoowel door Px als door P2. Neem omgekeerd een willekeurig vlak door ^2', zÜn P°°l is net snijpunt van de poolvlakken van al zijn punten, maar die van de punten van zelve gaan door PiP2, dus ligt de pool van ieder vlak door 7^ op PXP2. Neemt men op Tr^g twee punten Q1( Q2 aan, dan snijden de poolvlakken *2 elkaar in PiP2; beide lijnen spelen dus volmaakt dezelfde rol, zoodat wij onze uitkomsten als volgt kunnen samenvatten: de poolvlakken van alle punten van een rechte p vormen een vlakkenwaaier met as q, en de polen van alle vlakken door p liggen op q; en omgekeerd. Twee zulke rechten heeten aan elkaar toegevoegd t o. v. F2, en aan iedere rechte p is op deze wijze een rechte q toegevoegd. Denken wij door p eens een willekeurig vlak <* aangebracht, dat F2 volgens een kegelsnede k2 snijdt. De poolvlakken van alle punten van p gaan door de toegevoegde rechte q; hunne snijlijnen met « gaan dus door het doorgangspunt van q met <%, zijn niets anders dan de poollijnen van de punten van p t. o. v. k2, en snijden dus op p de involutie der harmonische polen t. 0. v. k%, en dus t. 0. v. F2, in. Projecteert men deze involutie uit q, dan § 41. 230 ontstaat de involutie der harmonische poolvlakken om q, perspectief met die der harmonische polen op p, echter in dien zin dat het poolvlak van een punt P van p niet door P, maar door het toegevoegde punt Px gaat. De dubbelpunten der involutie op p zijn de snijpunten met F2, de dubbelvlakken van die om q de raakvlakken uit q; de raakpunten zijn de snijpunten met p. Wij weten reeds uit § 38, p. 216, hoe verschillend twee toegevoegde rechten zich gedragen t. o. v. kwadratische oppervlakken mèt en zónder reëele rechten; snijdt bij een hyperboloïde of hyperbolische paraboloïde p in twee reëele punten, dan gaan door p ook twee reëele raakvlakken, en hetzelfde is het geval met q; er ontstaat een viervlak, waarvan 4 ribben, die een scheeven vierhoek vormen, óp het oppervlak liggen, terwijl de beide overige, die elkaar kruisen, toegevoegd zijn t. o. v. het oppervlak. Snijdt p niet reëel, dan snijdt ook q niet reëel, en is van het viervlak niets reëel dan het lijnenpaar p, q. Bij een oppervlak zónder reëele rechten is het viervlak nooit in zijn geheel reëel. Snijdt p, dan snijdt q niet; de hoekpunten op p en de zijvlakken door die punten (de raakvlakken aan F2) zijn reëel, maar de hoekpunten op q en de bijbehoorende zijvlakken zijn imaginair. Bij een kegel (of cylinder) gaat het poolvlak van een punt P blijkbaar door den top T; maar alle punten van de lijn PT hebben klaarblijkelijk hetzelfde poolvlak, dat den kegel snijdt volgens de twee beschrijvenden langs welke de beide raakvlakken door PT raken; de toegevoegde van een lijn p door den top is dus binnen het poolvlak van p onbepaald. Van een niet door T gaande rechte p vormen de poolvlakken een vlakkenwaaier om een lijn q door den top. Een vlak door T heeft oneindig veel polen, gelegen op een rechte door T; een vlak niet door T heeft slechts één pool, nl. T zelf, en omgekeerd is het poolvlak van T volkomen onbepaald. Al deze eigenschappen volgen onmiddellijk uit de oorspronkelijke definitie van het poolvlak, en zullen dus voor den lezer gemakkelijk te controleeren zijn. Ook een pool P„ heeft natuurlijk een poolvlak, d.w.z.: trekt men door een punt Px alle rechten die F2 snijden, dan liggen de middens tusschen de snijpunten in een plat vlak n; dit vlak § 41. 231 snijdt F2 volgens een kegelsnede, m. pl. van de raakpunten der raaklijnen uit Px, en dus contactkromme van den omgeschreven cylinder met Px als top. Het vlak « heet een dïametraalvlak van F2. Alle diametraalvlakken gaan door één punt, nl. de pool van het oneindig verre vlak ex; iedere lijn door dit punt wordt door dit punt middendoor gedeeld, reden waarom het het middelpunt van F2 genoemd wordt. De raaklijnen uit het middelpunt M hebben hunne raakpunten in het poolvlak van M, d. i. sx; zij vormen dus een kegel die F2 aanraakt langs de oneindig verre doorsnede kx2, en wiens raakvlakken derhalve de asymptotische raakvlakken van F2 zijn. Is F2 dus een éénbladige hyperboloïde, dan zal ieder raakvlak van den kegel de hyperboloïde snijden volgens twee evenwijdige beschrijvenden, één van het stelsel (x) en één van het stelsel (y), en met het oog op de eigenschappen van het middelpunt volgt gemakkelijk dat de lijn volgens welke zulk een vlak den kegel aanraakt, in het midden ligt tusschen de beide evenwijdige beschrijvenden van F2. De kegel zelf draagt den naam van asymptotenkegel (Syst. Entw. § 51, Werke I, p. 372). Bij de hyperbolische paraboloïde, waar sM een raakvlak is, is van een eigenlijk middelpunt en een eigenlijken asymptotenkegel geen sprake meer; het middelpunt valt samen met het raakpunt Rx van en de asymptotenkegel ontaardt in de beide vlakkenwaaiers met ribben xx en yx. Denken wij eens een willekeurige pool P met haar poolvlak Neem in r. een willekeurig punt Q aan, dan gaat het poolvlak y. door P, en snijdt volgens de toegevoegde rechte van PQ. Neem op deze toegevoegde rechte een punt R aan, dan gaat het poolvlak p door PQ, en snijdt de toegevoegde rechte in een punt S, en indien men nu eindelijk het poolvlak ) willekeurig kan kiezen, en nu volgt uit beschouwingen die wij helaas in dit beknopte leerboek niet kunnen opnemen, beschouwingen nl. over zoogenaamde poolstelsels in de stralen- en vlakkenschoof, dat er onder al die pooldrievlakshoeken één is welks ribben loodrecht op elkaar staan; ten opzichte van de vlakken van dezen éénen drievlakshoek is F2 blijkbaar orthogonaal symmetrisch. De drie ribben van dezen drievlakshoek heeten de assen, de zijvlakken de hoofd- of symmetrievlakken (vgl. „Leerboek der Beschr. M." II, 2e druk, p. 89). De hyperbolische paraboloïde kan men geleidelijk uit de éénbladige hyperboloïde doen ontstaan door één van de toppen van de keelellips vast te houden, en nu het middelpunt langs de as door dien top naar het oneindige te verplaatsen (vgl. „Leerboek der Beschr. Meetk." II, 2e druk, § 27, p. 99); hieruit volgt dat de paraboloïde nog slechts ééne hoofdas heeft, en nog slechts 2 hoofdvlakken, natuurlijk dóór die as. De stellingen van Pascal en Brianchon. § 42. De fransche wiskundige Gergonne heeft in het jaar 1810, in het eerste deel van zijne „Annales de mathématiques", in een noot, toegevoegd aan een stuk van Servois, l.c. p. 436, de opmerking gemaakt dat men uit de rangschikking der rechte lijnen op de éénbladige hyperboloïde op hoogst eenvoudige wijze een bewijs kan afleiden voor de stelling van Pascal voor elke vlakke doorsnede van die hyperboloïde. Wil § 42. 233 men deze methode verheffen tot een bewijsmethode voor de stelling van Pascal in het algemeen, dan moet nog worden aangetoond dat door iedere kegelsnede minstens één hyperboloïde kan gebracht worden, wat Gergonne verzuimd heeft te doen, en wat in zijn tijd ook lang niet zoo eenvoudig was als tegenwoordig, nu wij door Steiner hebben leeren inzien hoe verbazend eenvoudig de theorie der kwadratische regeloppervlakken eigenlijk is. D a n d e 1 i n, welbekend om zijn fraaie onderzoekingen aangaande de brandpunten der vlakke doorsneden van kwadratische omwentelingsoppervlakken, die o.a. bij de perspectief van den bol zulk een belangrijke rol spelen (vgl. „Leerboek der Beschr. Meetk." I, 2e druk, § 36, p. 112), heeft in het jaar 1826, in een verhandeling getiteld: „Mémoire sur 1'hyperboloïde de révolution et sur les hexagones de Pascal et de Brianchon" (Nouv. Mém. de VAc. de BruxeHes), T. III, p. 1—14, deze leemte aangevuld door te bewijzen dat door een gegeven kegelsnede altijd een omwentelingshyperboloïde gebracht kan worden, en Otto Hesse is in 1842, in een stuk, getiteld: „Ueber das geradlinige Sechseck auf dem Hyperboloid," en verschenen in Crelle 24, p. 40—43, nog eens op de kwestie terug gekomen, vooral met het oog op de uitbreiding die Steiner in de „Annales" van Gergonne van de stelling van Pascal gegeven had (vgl. § 16, p. 98), en wel voornamelijk om aan te toonen dat de zoogenaamde 20 punten van Steiner, waar telkens 3 lijnen van Pascal elkaar snijden, toegevoegd zijn ten opzichte van de kegelsnede. Van ons tegenwoordig standpunt uit gezien is het vraagstuk door een gegeven kegelsnede een éénbladige hyperboloïde te brengen, al uiterst eenvoudig op te lossen; men brengt door twee willekeurige punten Tv T2 van k2 twee willekeurige, elkaar kruisende rechten ff, t2, brengt nu k2 voort door twee 7\ stralenwaaiers aan de toppen Tu T2, en projecteert deze uit de rechten tu t2; dan ontstaan twee a~ vlakkenwaaiers, en de hyperboloïde die deze voortbrengen bevat klaarblijkelijk k2; het aantal hyperboloïden door een kegelsnede is dus oneindig groot. Nu kunnen wij het grondidee van Gergonne in toepassing brengen (vgl. „Leerboek der Beschr. Meetk." II, 2e druk, § 25, p. 93). Wij denken de hyperboloïde gesneden met een willekeurig vlak «, en op de doorsnede 6 punten aaangenomen die wij, in de een of andere volgorde genomen, Ax, B2, As, Blt A2, Bs § 42. 234 zullen noemen. De twee stelsels rechten op de hyperboloïde noemen wij, in afwijking van wat wij in de voorgaande §§ gedaan hebben, (a) en (0), en trekken nu door de 3 punten A de lijnen a, en door de 3 punten B de lijnen b, waardoor op het oppervlak een gesloten scheeve zeshoek a]b2a3bya2b% ontstaat. De zijde AtB2 van den in a gelegen vlakken zeshoek is de doorgang van « met het vlak a162 (vgl. Fig. 77) en evenzoo de overstaande zijde A2Bt de doorgang met het vlak a2bx \ het snijpunt (AlB2, A2Bt) = C8 is dus het doorgangspunt van de snijlijn s3 der vlakken a^, 02°i> zoodat wij de volgende tabel kunnen opstellen: Snijpunt (AXB2, A2B{) = C3 = doorgang snijlijn s3 van vlakken axb2, a2bx (A2B3, A3B2) = Ci= „ „ Si „ „ a2bs, asb2 (A3Blt AXB3) = C2 = „ „ s2 „ „ a3bu axb3 De lijn ss snijdt de hyperboloïde in 2 punten, en de tabel en Fig. 77 wijzen uit dat dit de punten a^, a2b2 zijn; evenzoo snijdt sx het oppervlak in a202, a3°3> en eindelijk s2 in ajOj, a3b3. De drie lijnen s snijden dus de hyperboloïde niet in 6, maar slechts in 3 punten, en deze 3 punten vormen een driehoek, d. w. z. liggen niet op een rechte lijn; immers lagenjzij op een rechte lijn, dan moest dit, omdat het gaat om drie punten, een lijn van het oppervlak zijn, dus een lijn a of een lijn b, en in het ééne geval zou dus een lijn a gesneden worden door andere lijnen a, in het andere een lijn 0 door andere lijnen b, en zoowel het een als het ander is uitgesloten. De drie lijnen s zijn dus de zijden van'een driehoek, en hieruit volgt dat de doorgangspunten dezer zijden, dus de 3 punten C, op een rechte lijn liggen, nl. op den doorgang van het vlak S]S2s3; maar dat is juist de stelling van Pascal. Zoo is dus, door de grondgedachte van Gergonne, de stelling van Pascal terug gebracht tot de uit de aanschouwing onmiddellijk duidelijke waarheid dat de doorgangspunten van de zijden van een driehoek op een rechte lijn liggen, nl. op den doorgang van het vlak van dien driehoek, evenals wij vroeger (vgl. § 11, p. 61) het bewijs van de stelling van Desargues over perspectieve driehoeken terug gebracht hebben tot de van zelf sprekende waarheid dat de snijpunten van de overeenkomstige zijden van twee vlakke doorsneden eener driezijdige pyramide op een rechte lijn liggen, nl. op de snijlijn der beide vlakken van die doorsneden; de vraag is gewettigd of wij niet in beide gevallen door- § 42. 235 gedrongen zijn tot den oergrond der beide stellingen, want beide zijn nu toch waarlijk wel terug gebracht tot de fundamenten waarop de Meetkunde berust. De lijn s3 verbindt de punten a^, a2b2; Fig. 77 doet nu onmiddellijk inzien dat de lijn {axb2, a2bt) de toegevoegde rechte s3* is van ss; en om dezelfde reden zijn de lijnen (a2b3, a3b2) = sx* S} en (03Ö1, 01*3) = V de toegevoegde rech- 7\ '~~/T~ ten van Sl en *2* ^u nSSen *i» % s3 in / \ / \ een vlak *| de drie toegevoegde rechten / \( \ s* gaan dus door de pool P van dat vlak, / / \ I d. w. z. door één punt. Wij willen nu //o* bi\la2 onzen zelfden zeshoek ü]b2a3bxa2b3 eens projecteeren uit een punt O der ruimte, * „„ dat niet met P samenvalt; dan ontstaan Fig. 77. 6 raakvlakken «x, /32, «3, j3x, «2, |38, die een kwadratischen kegel omhullen, nl. den omgeschreven kegel der hyperboloïde met den top in O, en indien het ons nu te doen is om de stelling van Brianchon, dan bewijzen wij deze feitelijk voor den kegel; door dan daarna de geheele figuur nog eens met een vlak « te snijden vinden wij de stelling van Brianchon voor de kegelsnede die den schijnbaren omtrek der hyperboloïde op het vlak « voorstelt voor een lichtend punt in O. De vlakken at en /32 zijn raakvlakken, wier snijlijn door O en door het punt axb2 gaat, en evenzoo zijn «2 en & raakvlakken, wier snijlijn door O en door het punt a2bt gaat; beide snijlijnen liggen dus in een vlak y3 door O en de lijn s3* (Fig. 77), en dit vlak gaat door de lijn OP. Maar op dezelfde manier toont men aan dat het vlak yx door O en s^, en het vlak y2 door O en s2* door de lijn OP gaan, waarmede is aangetoond dat van den omgeschreven zesvlakshoek 2. Pappos (4), (7), (10), (11), (15). (24), (26) Parabool (13), (14), (19), (36). Paraboloïde (hyperbolisch» —) (40), (41). Parabolische involutie (20), (32). Parallelogram op toegevoegde middellijnen (32). Parasitische stukken op de dubbelrechte van een kubisch regeloppervlak (52). Pascal (Blaise —) (6), (11), (12), (15), (16), (17), (18), (23), (24), (25), (29), (41); Etienne — (16). Pascale (La —) (16). Passerconstructie der harmonische groep (5); — der involutie (25). Perga (Apollonius van —) (4). Perier (Etienne) (16). Perspectieve ligging (1); — puntenreeksen (9); — waaiers (10); — driehoeken van Desargues (10), (12), (31); — as van projectieve reeksen (11). Pestalozzi (8). Petit (39). Plücker (Julius —) (7), (16), (32), (53); —'s tangentieele coördinaten (32), (43); —'s conoïde (53). Poinsot (l.outs —) (7). Point transversal (26). Poisson (Siméon Denis -) (2). Poncelet (Jean Victor -) (2), (6), (7), (10), (13), (16), (24) , (25), (26), (28), (34), (47). (48), (49). Polaires réciproques (théorie des —) (7) , (25), (26), (41). Polare van een punt ten opzichte van een cirkel (5), (7). Polen (iovoJtttie der harmonische: —) (25); - van een vlak in een bundel kwadratische oppervlakken (47). Pool eener Javototie ten opzicht» van «en kegelsnede(25); —en poollijn ten opzichte van een kegelsnede (25,), (30). Pooldriehoek (25) , (3A). Pooldrievlakshoek (41). Poolkromme (wederkeerig» — der hyperbool van ApoMoBtufi) (35). Poollijn van een punt ten opzichte van een cirkel (5), (7); — eener involutie ten opzichte van een kegelsnede (25). Pooloppervlak (le — ten opzichte van een oppervlak van den «en graad) (26). Poolstelsels (44), (45), (46). Poolstralen (involutie der harmonische —) (25). Poolviervlak (41), (46), (47). Porisma (11). Projectie (cantrah —) (1). Projectieve eigenschappen (1); — transformatie (1), (9), (21): — puntenreeksen ^9); _ waaleija(lO); — involuties en kegelsnedenbundels (51). Punten (inwginaire —)' (27), (30); oneindig V««e — (1); — reeks (7); — veld (7); toegevoegde — ten opzichte van een kegelsnadenbunde* (33), (44), (45). P-unttransf ormatie (1). R. Raakvlak der éénbladige hyperboloïde (38); asymptotische —ken der éénbladige hyperboloïde (38), der hyperbolische paraboloïde (40). Ratio (anharmonic —) (3); —bissectionalis (3). Rationale ruimtekromme van den vierden graad (54). Recht» eeaoïde (63)k Rechten (toegevoegde —) (38), (41). Rechthoekig paar eener straleninvolwfie (21), (28); —« strajenbwhlti» (88,), Reeksen van de 2e orde op een kegelsnede (18). Reekskromme (12). RegeloppetnUk (37); kubisch — (52), (531, (54). Regelscharen op de éénbladige hyperboloïde (38V Reye (Theodsr —) (15), (50). Richtkegel der éénbladige hyperboloïde (38); — der hyperbolische paraboloïde (40). Richtlijn der parabool (14); — van het 293 kubisch regeloppervlak (52), (53); -en eener kegelsnede (35). Richtvlakken eener conoïde (53); — eener hyperbolische paraboloïde (40). Rotatiecentrum (oogenblikkelijk -) (14). Ruimtekrommen van den 4en graad (39), (46-51), (54). stt (Lijnen - bij een kegelsnedenbundel) (45). Salmon (16). Saratov (2) Schaar van kegelsneden (19), (22), (33), (45); - van poolstelsels (45); -Involutie (22). Scheeve vierhoek (39). SchlafH (Ludwig—) (8), (17) Schröter (Heinrich-) (8), (11), (15), (37), (50), (51). Schijnbare dubbelpunten van * en A» (49); — omtrek der éénbladige hyperboloïde (38); — omtrek van het kubisch, regeloppervlak (53). Semikubische parabool (34). Servois (7) (25) (41) (42) Simson (Roberlt-) (13). Simpson (lijn van -) (36). Sluze (de -) ji). Souche Twawnf , _arl/Qe0r« Cnristian von -) (31), (43). Steiner (Jacob -) (6), (7), (8), (9), (16), (25), (26), (31), (36), (37), (39), (40), (50). - (Niklaus - (8 Stelling van Brianchon (12), (16), (41); - van Mac Laurin (13), (14)-—- van Pascal (6), (11), (12), (15), (16), (17), (18), (23), (24). (25), (29), (41); - van Simson (13). Stralen (imaginaire -) (27); - complexen (50); - schoof if\- stelsels van de 2e orde aan een kegelsnede (18); - veld (7); - waaier (7) ?qw9nRl?'Ph "ÏW Substitutie feebroke» "neaire -) (21); - modulus .?_ __ Symmet»evlakken (41). Symmetrische bilineaire betrekking als uitdrukking der involutie (21); - groep (3); - involutie (29), (35); - paar eener involutie (29); - puntenen straleninvolutie (23). rtt (Punten - pij een kegelsnedenschaar) (45). Tangentieele coördinaten (32) wnV.w C°mPeX (50)- Théorie des PoWfes réciproques (7), (25), 26) (41). Tiberius (24). Toegevoegd imaginaire puntenen stralen (27); -e keirdsnede van een rechte In een bundel (44); - kegelsnede van een punt in een schaar (45); - middellijnen (32). (41); - punten ten opzichte van een kegdsnedenbnndel1 (33); _ rechten ten opzichte van de éénbladige hyperboloïde (38), (4i), — rechten ten opzichte van een kwadratisch oppervlak (46)- - rechte van een punt in een bundel kwadratische oppervlakken (47); - hyperboloïde van een rechte in een kundel kwadratische oppervlakken (47). Top der hyperbolische paraboloïde (40); -pen eener kegelsnede (82). Torsaallijne'n _Ï£Ï2_ regeloppervlak (52). Torsus (52). „Traité des propriétés projectives des figures" van Poncelet (2). Transformatie (éé*éénduidige en continu. -) (1)7 Statische - door middel van een kegelsnedenbundel (45). Tranuersale, Trauersale, Traversale (26); point tranuersat (26). Trillingsgetallen (51 Trisecanten (49), (61), (54). Tweedeelige k* (48), (49). ( Verdwijnvlak (1). Vergelijking van een lijn, een punt, een vlak (43)- _ van een kegelsnede (32). Vertakkingselementen (51). Verwantschap één-ééndmdige en continue -) (1); kwadratische - (45). Vierhoek (scheeve-) Opstelling van den omgeschreven - om een kegelsnede (13), Vierpuntig rakende m vTll (19)- yiakf°6rdin^n (PWcker'sche -) (43). Vlakkenschöof (7), Vlakkenwaaier (7). Volledige vierhoek en vierzijde (6), (28). Waaier (stralen vlakken -) (4), (7). Wallace (lijn van -) (36). Weber (Anna Barbara -) (8). Wederkeerige poolkromm. der hyperbool van ApolefLÏÏ' WVerSt7'SJ8>- gedeelten op de dubbelde van een kubisch regeloppervlak (52). Weyr (Emil -) (51). Witt (Johan de-) (17). 'S l",,!*^ f10*^' reeksen of waaie« (18); - ta elliptische involuUes (dl), (43). Zuiver imaginaire rechten (43), INHOUD. Pagina. § 1. Inleiding. Doel der Projectieve Meetkunde. Projectieve transformatie. Projectieve en metrische eigenschappen; de eerste zijn die van de soort, de laatste die van het individu. Omzetting der kegelsneden in elkaar door middel van Centrale Projectie. Centrum, tafereel, verdwijnvlak. De Centrale Projectie veroorzaakt een één-éénduidige en continue punttransformatie. De perspectivische ligging. Het invoeren der oneindig verre punten, ten einde uitzonderingen te doen verdwijnen. Collineatie 1 —5 § 2. August Ferdinand Möbius en de inleiding tot zijn Barycentrischen Calcul, 1827. Aan de opeenvolging der letters bij een lijnsegment wordt een beteekenis toegekend. De formules AB 4- BA = 0, BC + CA + AB = 0, enz. De deelverhouding AC : BC =' k. Verschillende waarden van k, als C de geheele lijn doorloopt. De uitzonderingswaarde 4- 1. Ten einde deze ééne uitzondering te doen verdwijnen, en dus een uitzonderingslooze één-éénduidige en continue correspondentie tusschen de punten der rechte lijn en de verzameling der reëele getallen te verkrijgen, wordt aan de rechte lijn één oneigenlijk, of oneindig ver punt toegekend. Johannes Kepler, Glrard Desargues en Jean Victor Poncelet. Historische bijzonderheden over diens „Traité des propriétés projectives des figures" .... 5—11 § 3. Dubbelverhouding van 4 punten op een rechte lijn. Voor één der punten in het oneindige gaat de dubbelverhouding over in een enkelvoudige. De waarden 0, oo, 4-1 worden slechts bereikt indien twee der 4 punten samenvallen. De harmonische groep. De symmetrische groep als bijzonder geval der harmonische. De 24 dubbelverhoudingen van 4 punten op een rechte lijn. Deze zijn 4 aan 4 aan elkaar gelijk, en van de 6 hierdoor overblijvende waarden zijn nog telkens 2 reciprook, zoodat er 3 grondwaarden zijn. De drie hoofdeigenschappen der dubbelverhoudingen. Tabel der 24 dubbelverhoudingen van 4 punten. Het bijzondere geval der harmonische groep 11 15 § 4. Drie bewijzen voor de onveranderlijkheid der dubbelverhouding (ABCD) bij centrale projectie. De dubbelverhouding (abcd) van een stralenwaaier. De betrekking (abcd) = (a'b'c'd') voor twee waaiers, staande op eenzelfde puntengroep. De dubbelverhouding van de 4 vlakken van een vlakkenwaaier. Bewijs van de eigenschappen der dubbelverhoudingen door constructie. Constructie van een dubbelverhouding van voorgeschreven getallenwaarde. Onveranderlijkheid der dubbelverhouding bij parallelprojectie. Dubbelverhouding van 4 evenwijdige stralen, en 4 evenwijdige vlakken § 5. Een hoek met zijn beide bissectricen vormt het analogon der symmetrische groep. Evenzoo in den vlakkenwaaier. De betrekking OA2 = qbi _ ge. OD. Verband met pool en polare bij den cirkel. Passerconstructie der harmonische groep. Bezwaren tegen deze. De betrekking 295 Pagina. 2 1 1 «■ -—^- + van Maclaurin. Verklaring van den naam „harmonisch middenevenredig". De analoge betrekkingen in den stralenwaaier. Aequianharmonische dubbelverhouding 23—27 § 6. Lazare Carnot en zijn „Géométrie de position". Transversalentheorte. De „quadrilatère complet" van Carnot, en de volledige vierhoek en vierzijde van Steiner. Harmonische eigenschappen dezer figuren, afgeleid uit de eigenschappen der dubbelverhoudingen, en door middel van de methode der projectie. Voordeden en bezwaren dezer methode. De zuivere liniaalconstructies der harmonische groepen en stralenwaaiers 27—33 § 7. Het dualiteitsbeginsel in het platte vlak: puntenreeks en stralenwaaier; projecteeren en snijden. Waar het oneindige een bijzondere rol speelt geldt het dualiteitsbeginsel niet. Het dualiteitsbeginsel in de driedimensionale ruimte: puntenreeks en vlakkenwaaier, puntenveld en vlakkenschoof, stralenveld en stralenschoof. Geschiedenis van het dualiteitsbeginsel. Het geschil tusschen Gergonne en Poncelet. De drie verhandelingen van Gergonne, en de „Théorie des polaires réciproques" van Poncelet. Als eigenlijke ontdekker van het beginsel heeft Gergonne te gelden, zooals vooral door Jacob Steiner duidelijk uiteengezet is. De verdiensten van Möbius en PlOcker; Ujncoördinaten. De ontdekking, door Poncelet, van het begrip „klasse" eener vlakke algebraische kromme, en van de stelling dat een kromme van den /ten-graad in het algemeen van de klasse n(n — 1) is. Verzet tegen deze stelling van de zijde van Gergonne e. a. Aanloop van Poncelet naar de formules van Plücker toe 33—41 § 8. Jacob Steiner. Zijn jeugd in zijn geboortedorpje Utzenstorf. Zijn verblijf bij Pestalozzi te Yverdon. De Invloed van Pestalozzi's leermethode. Steiner als Oberlehrer aan de Berlijnsche Gewerbeschule, en de publicatie der „Systematische Entwickelung" in 1832. Zijn moeilijkheden met directeur, curatoren, en stadsbestuur. Zijn promotie honoris causa op 29 Dec. 1832 te Königsberg. Lid van de Pruisische Akademie van Wetenschappen in 1834. Buitengewoon hoogleeraar te Berlijn van 1835—1863 41—47 § 9. Een gedeelte uit de voorrede der „Systematische Entwickelung". Perspectieve puntenreeksen. Het perspectiefcentrum. Projectieve puntenreeksen. Terugvoering van projectieve puntenreeksen in de perspectieve ligging. Twee projectieve reeksen zijn bepaald door 3 paar toegevoegde punten. Door invoering van de abscissen der punten vindt men dat tusschen de abscissen van twee toegevoegde punten een bilineaire betrekking bestaat. Bewijs dat omgekeerd de bilineaire betrekking, of gebroken lineaire substitutie, de analytische uitdrukking is der projectiviteit. De lineaire substitutie met modulus nul, en de ontaarde projectiviteit. Vraagstuk 47—53 § 10. Andere definitie van perspectieve puntenreeksen. Projectieve en perspectieve waaiers. Een reeks en een daarmee projectieven waaier perspectivisch té maken. De grondstelling over de keten van projectiviteiten. De teekens /\ en a . Toepassingen. Door een punt een lijn te trekken die de drie zijden van een A in 3 punten snijdt die met het gegeven punt een harmonische groep vormen. Het dualistische vraagstuk. Bij twee perspectieve reeksen de puntenparen kruiselings verbinden; m.pl. van het snijpunt. Een punt te verbinden met het ontoegankelijke snijpunt van twee rechten. Drie perspectieve reeksen door één punt; de drie perspectiefcentra liggen op een rechte lijn. De stelling van Desargues over perspectieve AA- Andere opvatting van deze stelling, nl. als bewegingsvraagstuk. Generalisatie tot het Porisma van 296 Pappos betreffende volledige rz-hoeken en n-zijden. Bewijs van Poncelet van de stelling van Desargues door middel van het projectiebeginsel. Vraagstuk 53—59 §11. De figuur van de twee perspectieve driehoeken van Desargues is een configuratie Cf (10s, 10g). Neemt men er nog een derden driehoek bij, dan ontstaat de configuratie van Hesse C/(203, 154). De dualistische van deze, C/(154, 203), als doorsnijding van een vlak met de verbindingslijnen en —vlakken van 6 willekeurige punten. Stereometrisch bewijs van de stelling van Desargues. Drie perspectieve puntenreeksen, die op de zijden van een driehoek liggen; de perspectiefcentra vormen een A die öm den anderen beschreven is. Driehoeken die öm dezen laatsten, en In den eersten beschreven zijn. Het XlIIe Lemma voor de Porismen van Euclides. De algemeene constructies van Steiner voor de beide vraagstukken twee projectieve reeksen en waaiers verder te construeeren indien 3 paar toegevoegde elementen gegeven zijn 59 —64 § 12. De bijzondere constructie van Steiner voor puntenreeksen. Deze voert tot de algemeene stelling, waarvan het Xille Lemma van Pappos voor de Porismen van Euclides het eenvoudigste bijzondere geval voorstelt. Dit Lemma is een Cf (9g, 98). Uitbreiding tot een Cf. van Hesse, Cf (208, 154). Hoofdstelling aangaande de omhulde van de verbindingslijnen van alle paren toegevoegde punten van ~/\ reeksen. Invoering van het begrip „reekskromme". Twee perspectieve puntenreeksen brengen een puntenpaar voort, en twee perspectieve waaiers een lijnenpaar. De .omhulde" of „enveloppe" als dualistisch tegengesteld aan de .meetkundige plaats". Een reekskromme is bepaald door 5 raaklijnen. De stelling van Bria'nchon. Completeering van de stelling van Desargues over perspectieve driehoeken met behulp van de stelling van Brianchon 65—71 § 13. Een reekskromme is bepaald door 5 raaklijnen; gevraagd met de liniaal verdere raaklijnen te construeeren. De reekskromme is van de 2e klasse. Aan iedere raaklijn loopt in het algemeen een andere evenwijdig. Het uitzonderingsgeval: de parabool. Definitie dezer kromme. De parabool wordt voortgebracht door gelijkvormige, eventueel Congruente reeksen. Ontaardingsvormen der parabool. Een reekskromme is bepaald door 5 raaklijnen; gevraagd de raakpunten te bepalen. Een reekskromme is bepaald door 4 raaklijnen en het raakpunt op één van deze; stelling van Simson van den omgeschreven vierhoek. Bijzondere gevallen bij den cirkel en de ellips. Een reekskromme is bepaald door 3 raaklijnen en de raakpunten op 2 van deze; stelling van Mac Laurin betreffende den omgeschreven driehoek. Bijzonder geval bij den cirkel. Ook de cirkel is een reekskromme. De stelling van Brianchon dat voor twee ~~/\ reeksen VA' . WA = constant is. Voor den cirkel in het bijzonder heeft men VA'. WA = V4 V^W2 71—78 § 14. Verschillende vraagstukken betreffende de parabool, alle steunende op toepassing van de stelling van Brianchon. Eigenschappen der parabool, betrekking hebbende op brandpunt, topraaklijn, en richtlijn, in verband met willekeurige raaklijnen en hunne raakpunten. De hyperbool. Twee eigenschappen der hyperbool betreifende een willekeurige raaklijn en de beide asymptoten 78—84 § 15. Het identiteitsbewijs voor reeks- en waaierkromme. Hulpstelling: verbindt men het raakpunt eener vaste raaklijn met dat eener beweeglijke, en snijdt tevens de ' vaste raaklijn met de beweeglijke, dan ontstaan een waaier en een reeks die projectiet zijn. Bewijs door middel van de stelling van R. Simson betreffende den omgeschreven vierhoek. Bewijs 297 dat iedere kegelsnede op oneindig veel manieren kan worden opgevat als Centrale projectie van een cirkel. De dubbele projectieve voortbrengingswijze van kwadratische kegels. De algemeene en de bijzondere constructie van Steiner voor projectieve waaiers. Bewijs van de stelling van Pascal. Het antieke bewijs uit Pappos van het XIII* Lemma. Hebben de Ouden reeds de stelling van Pascal gekend? 85—91 § 16. De „Essay pour les coniques" van Pascal. De brief van Leibniz aan Étienne Perier, Pascal's zwager, van 39 Aug. 1678. Het theorema van Pascal. De benaming „Hexagrammum mysticum". ,La Pascale" van Desargues. De Stelling van Pascal bij de 1'HospitaI, Braikenridge, en Mac Laurin. Constructie eener kegelsnede „uit 8 polefl". Brianchon en zijn theorema. Twee bewijzen van Gergonne; bij het eerste wordt voor de eerste maal het continuïteitsbeginsel uitdrukkelijk uitgesproken, bij het tweede gebruik gemaakt van het door Lamé ingevoerde begrip „bundel van \lakke krommen". Het analytische bewijs van Salmon. De uitbreiding van de stelling van Pascal door Steiner en Möbius. 91—93 § 17. Toepassingen van de stelling van Pascal. Kegelsnede bepaald door 5 punten, 4 punten en de raaklijn in één van deze, 3 punten en de raaklijnen in 2 van deze. Hyperbool gegeven door 3 punten en de beide asymptotenrichtingen. De stelling van den ingeschreven driehoek. Op een willekeurige snijlijn eener hyperbool zijn de stukken tusschen de asymptoten en de kromme even lang. Het stuk van de raaklijn tusschen de beide asymptoten wordt door het raakpunt middendoor gedeeld. De „descriptio organica" van Newton. De constructies voor hyperbool en parabool uit de „Elementa linearum curvarum" van Johan de Witt. Door de hoekpunten van een en het hoogtepunt gaan slechts gelijkzijdige hyperbolen. Rechthoekige A, in een gelijkzijdige hyperbool beschreven; de raaklijn in het hoekpunt van den rechten hoek staat loodrecht op de hypotenusa. Draait de /\ om het hoekpunt van den rechten hoek, dan blijft de hypotenusa evenwijdig aan zich zelf. Bundel gelijkzijdige hyperbolen. Meetkundige plaats der middelpunten: de negenpuntsciikel van den A. Omhulde der asymptoten: de hypocycloïde van Steiner. Steiner en Schlafli 99 103 § 18. Collocale reeksen. Gelijke of tegengestelde zin. De dubbelpunten. In reeksen van tegengestelden zin zijn er steeds twee, in dezulke van gelijken zin künnen er twee zijn, doch kunnen zij ook ontbreken; ook kunnen zij in het bijzonder samen vallen.. Hetzelfde voor waaiers Constructie van Steiner voor de dubbelstralen van twee collocale waaiers. Puntenreeksen van de tweede orde op een kegelsnede. Hun grondeigenschap wordt beheerscht door de stelling van Pascal. Constructie van toegevoegde stralen, in het bijzonder van de dubbelstralen; deze laatste vormen met een willekeurig paar een constante dubbel' verhouding. Steiner's constructie van twee collocale puntenreeksen, met behulp van een rakenden hulpcirkel. Stralenstelseis van de tweede orde aan een kegelsnede; hun hoofdeigenschap wordt beheerscht door de stelling van Brianchon. Constructie van toegevoegde punten, in het bijzonder van de dubbelpunten. De beide dubbelpunten en «en willekeurig paar vormen een constante dubbelverhouding , . . . 104 109 § 19. Snijpunten eener kegelsnede aet een rechte, en raaklijnen alt een punt. De kegelsneden zijn krommen van den tweeden graad en de tweede klasse. De snijpunten met lx, en de 3 soorten van kegel- 298 sneden. Twee congruente waaiers van gelijken zin brengen een cirkel voort, van tegengestelden zin een gelijkzijdige hyperbool. De gelijkzijdige hyperbool door 4 punten. De bundel gelijkzijdige hyperbolen door de hoekpunten van een A en het hoogtepunt. Zal een gelijkzijdige hyperbool ontstaan door congruente waaiers van tegengestelden zin, dan moeten de toppen der waaiers met het snijpunt der asymptoten op een rechte lijn liggen. Dit snijpunt is het middelpunt der kromme. Constructie van collocale reeksen en waaiers waarvan één dubbelelement bekend is. Twee constructies van het 3e en 4e snijpunt van twee kegelsneden die twee gegeven punten gemeen hebben. Het geval dat de kegelsneden elkaar raken, osculeeren, of vierpuntig raken. De kegelsneden door 4 punten, en die een willekeurige rechte raken, of aan 4 raaklijnen, en die door een willekeurig punt gaan. Bundel en schaar. De beide parabolen door 4 punten; staan de beide assen loodrecht op elkaar, dan liggen de 4 punten op een cirkel, en de assen van alle andere kegelsneden uit den bundel zijn evenwijdig aan die der beide parabolen 109—118 § 20. Theorie der involutie in puntenreeksen. Een paar AA' van zulke reeksen wordt involutorisch genoemd indien voor A EE B' ook B = A'; Is één paar involutorisch, dan zijn alle paren involutorisch, en gaan de beide ~/\ reeksen over in een involutie. Twee 7\~ reeksen worden Involutorisch gemaakt door ze zóó op elkaar te leggen dat de tegenpunten V' en W samenvallen. Dit kan op twee manieren geschieden, en hierdoor ontstaan de involuties met tegengestelden en met gelijken zin. De betrekking V'X'. WX = ft2 voor twee willekeurige A, reeksen; bij collocale reeksen van tegengestelden zin wordt dit V'X' WX = -f ft2, bij dezulke van gelijken zin V'X' . WX = — ft2. Constructie der dubbelpunten uit deze betrekking in beide gevallen. Overgang op de involutie. Het punt V' = W wordt het middelpunt of centraalpunt M, en de betrekking V'X' .WX = ± ft2 gaat over in MA . MAX — ± ft2; + ft2 voor tegengestelden, — ft2 voor gelijken zin. In een involutie met bestaanbare dubbelpunten vormen de dubbelpunten met ieder paar een harmonische groep. In een involutie met tegengestelden zin zijn de dubbelpunten steeds reëel, in een met gelijken zin steeds onbestaanbaar. Hyperbolische en elliptische involutie. Het geval ft = 0; de parabolische involutie. De dubbelpunten vallen samen, en mèt dit punt valt van ieder paar één punt samen. De grootheid ± ft2 heet de macht der involutie 118 — 123 § 21. Een involutie is bepaald door twee paren. Onderscheid tusschen de hyperbolische en elliptische involutie inzake de onderlinge ligging der paren. Analytische voorstelling van twee A. reeksen door middel van de bilineaire betrekking tusschen x en jc', of de gebroken lineaire substitutie. De vergelijking der dubbelpunten voor het geval der collocale reeksen. De modulus der substitutie. Is deze = 0, dan ontaardt de projectiviteit. Kenmerk der involutie is de symmetrie der bilineaire betrekking, waardoor deze één coëfficiënt verliest, zoodat de involutie ter harer bepaling één paar minder behoeft dan de algemeene reeksen. Involutie in den stralenwaaier. In de plaats der tegenpunten V' en W treden de overeenkomstige rechte hoeken. Constructie van deze. Het rechthoekige paar der straleninvolutie; het is steeds reëel. De betrekking tg (ma) . tg (ma,) = ± ft2. . . . 124—128 § 22. Het voorkomen van involuties aan kegelsneden. Wordt een kegelsnede voortgebracht door "7\~ reeksen, dan worden deze uit ieder punt der perspectiefas, maar ook uitsluitend uit déze punten, geprojecteerd 299 door een straleninvolutie. De dualistische stelling. De liniaalconstructie der straleninvolutie. Tweede afleiding van deze, nl. uit die voor collocale waaiers. De straleninvolutie uit een punt naar de 3 paar overstaande hoekpunten eener volledige vierzijde. Bijzondere gevallen. De straleninvolutie uit een punt naar de kegelsneden eener schaar. Door een willekeurig punt gaan 2 kegelsneden der schaar, behalve door de 6 hoekpunten van de volledige vierzijde der basisraaklijnen 128—134 § 23. De kegelsneden door 4 punten, en die een willekeurige rechte aanraken; en dualistisch die aan 4 raaklijnen en door een gegeven punt. Liniaalconstructie der straleninvolutie indien één, of belde dubbelstralen gegeven zijn. Liniaalconstructie voor den twééden dubbelstraal. Indien de eerste gegeven is. Liniaalconstructie der punteninvolutie. De involutie op een willekeurige snijlijn met de 3 paar overstaande zijden van een volledigen vierhoek. Bijzondere gevallen: rechte door één of twee diagonaalpunten, door één of twee hoekpunten. De bundelinvolutie op een rechte. De beide parabolen uit een bundel. Staan de assen van deze loodrecht op elkaar, dan komt in den bundel ook een cirkel voor, en loopen de assen van alle kegelsneden uit den bundel evenwijdig aan die der parabolen. Qelij zijdig-hyperbolische, of symmetrische straleninvolutie. Stelling van Christiaan Huygens aangaande den cirkel, die door de 4 snijpunten gaat van twee kegelsneden met evenwijdige assen. Symmetrische punteninvolutie. Waar zijn de belde kegelsneden van een bundel die een rechte lijn aanraken, indien die lijn door één der basispunten, door één of twee der diagonaalpunten gaat? De dualistische vragen voor de schaar 134—139 § 24. Historische opmerkingen over de Involutie. De brief van de Beaugrand. De involutie bij Desargues. De metrische betrekkingen waardoor zij gedefinieerd wordt. Involuties van 6, 5, en 4 punten. Dezelfde betrekkingen bij Brianchon en Poncelet. De involutiestelling van Desargues betreffende een kegelsnede met Ingeschreven vierhoek. Andere interpretatie door Poncelet. Deze zelfde stelling bij Pappos, en in den „Essay" van Pascal 139—145 § 25. Passerconstructie der straleninvolutie. Het overbrengen van deze op een hulpkegelsnede *2 door den top. Involutorische puntenreeksen van de 2e orde op k2 zijn eenvoudig perspectivisch; zij bezitten dus naast de lijn van Pascal p een perspectiefcentrum P. P heet de „pool" der involutie t. o. v. *2, p de „poollijn" of „polare". De „Théorie des polaires réciproques". Hoofdeigenschappen van polen en poollijnen. Pooldriehoeken. Een ingeschreven volledige vierhoek en de bijbehoorende omgeschreven volledige vierzijde hebben denzelfden diagonaaldriehoek. Harmonische polen en poolstralen t. o. v. k2. De involutie der harmonische polen op p, en der harmonische poolstralen aan P. Onafhankelijkheid van deze van de realiteit der dubbelelementen. Hieruit afgeleide constructieregels. Passerconstructies der stralen- en punteninvoluties 145—152 § 26. Historische opmerkingen over de „Théorie des polaires réciproques". De poolverwantschap in het „Brouillon project" van Desargues. Zijn „tranuersale", of „trauersale", of „traversale", en het „point tranuersal". De stelling van den ingeschreven volledigen vierhoek. Uitspraken over oneindig verre punten bij Kepler en Desargues; het „blinde brandpunt" der parabool bij Kepler. Kiemen der poolverwantschap bij Apollonius van Perga en Pappus. De poolverwantschap in de school van Monge. Monge's eerste pooloppervlak van een punt t. o. v. een oppervlak van den «en graad. De 300 poolverwantschap in den „Traité" van Poncelet. Strijd tusschen Poncelet en Gergonne over den voorrang van de „Théorie dei polaires réciproques", of het «Principe de dualité". De strijd beslecht in Steiner's „Systematische Entwickelung" ........ 158—157 § 27. Imaginaire punten, ingevoerd in de Projectieve Meetkunde ais dubbel' punten eener elliptische involutie. Bewijs dat deze punten niet verschillend zijn van die der Analytische Meetkunde. Toegevoegd imaginaire punten. Deze liggen steeds op één reëele rechte. Twee toegevoegd imaginaire stralen als dubbelstralen eener elliptische straleninvolutie. Zij hebben steeds een reëel snijpunt. Voorloopige opmerking dat In de ruimte ook imaginaire rechten voorkomen die geen enkel reëel punt bevatten, en das ook hun toegevoegde kruisen 157—160 § 28. Het rechthoekige paar eener straleninvolutie. De rechthoekige straleninvolutie. Haar dubbelstralen. De cirkels, op de drie diagonalen eener volledige vierzijde als middellijnen beschreven, behooren tot een bundel; de middelpunten dier diagonalen liggen dus op een rechts lijn. Deze stelling is slechts een bijzonder geval van de meer algemeen:, volgens Welke de middelpunten van alle kegelsneden eener schaar, op een rechte liggen. De beide absolute stralen door een punt als dubbelstralen eener rechthoekige straleninvolutie. De belde absolute punten in het oneindige; zij liggen op alle cirkels van het vlak; vandaar de naam imaginaire cirkelpunten, of cyclische punten. Isotrope punten en stralen. Projectieve definitie Van den 'cirkel. Absolute stralen sluiten met zich zelf een onbepaalden hoek in, en staan dus ln het bijzonder ook loodrecht op zich zelf. De oneindig verre punten der ruimte liggen in een plat vlak (Poncelet). Het absolute der ruimte is de gemeenschappelijke doorsnijdingscirkel van alle bollen. Een plat vlak snijdt uit dezen cirkel zijn beide absolute punten. De absolute kegel aan een pant 160—166 § 29. Het symmetrische paar eener elliptische involutie. Symmetrische, of gelijkzijdig hyperbolische straleninvolutie. Het analogon hiervan in de puntenreeks. Voorbeelden: een hyperbool, gesneden door een rechte evenwijdig aan één van de asymptoten, en een bundel hyperbolen met dezelfde asymptoten, gesneden door een willekeurige rechte. Het overvoeren der verschillende soorten Van involuties in elkaar door projectie en snijding: de orthogonale kegel van Hachette. Het gemeenschappelijke paar van twee involuties. Voorwaarde voor de realiteit. Vraagstuk: een involutie te bepalen die met twee collocale reeksen de dubbelpunten gemeen heeft 166—170 § 30. Pool en poollijn gelden voor twee enkelvoudige gegevens; pool en poollijn mèt hunne involuties voor 4; twee punten met hunne poollijnen, doch zonder de involuties, eveneens voor 4, een pooldriehoek echter slechts Voor 3. Kegelsnede uit een pooldriehoek, pool, en poollijn. De kegelsnede kan in dit geval zelve imaginair uitvallen, maar heeft dan niettemin bij een reëele pool een reëele poollijn, en omgekeerd. Kegelsnede uit één reëel punt, en twee toegevoegd imaginaire met hunne raaklijnen. De bundel-schaar met imaginaire basispunten. Kegelsnede uit 3 reëele, en 2 toegevoegd imaginaire punten; en dualistisch uit 3 reëele en twee toegevoegd imagi naire raaklijnen. Bundel met 2 reëele en 3 toegevoegd imaginaire basispunten. Bijzonder geval: de cirkel door 3 punten. Stelling aangaande het stuk eener beweeglijke raaklijn tusschen twee evenwijdige vaste. Kegelsnede uit één reëel punt en twee paar toegevoegd imaginaire; en dualistisch. Kegelsnede nit twee brandpunten en een raaklijn. Overgang op de parabool. Stelling aangaande 301 de voetpunten der loodlijnen, alt tret brandpunt op de raaklijnen neergelaten , . , 170—178 4 31. Over het schelden van imaginaire elementen. Karl Georg Ghrlstian von Staudt en zijne .Geometrie der Lage". De drie „Hefte" met «Beitrage''; in het eerste daarvan de theorie der Imaginaire elementen. De „Zin" In de elliptische involutie; door dezen kunnen de toegevoegd Imaginaire dubbelelementen gescheiden worden. Het construeeren met imaginaire elementen, In Iedere elliptische involutie behoort bij ieder reëel paar één ander, dat met het eerste harmonisch ligt. In de hyperbolische involutie geldt deze stelling niet. Twee imaginaire punten op verschillende dragers met elkaar te verbinden. Het dualistische vraagstuk. Een imaginairen straal door een reëel punt A eener kegelsnede met deze te snijden 178 182 § 32. Het middelpunt der kegelsnede als pool der oneindig verre rechte. Middellijnen. Het geval der parabool De middelpuntsinvolutie: toegevoegde middellijnen. Verklaring der benamingen elliptische, hyperbolische, en parabolische involutie. Symmetrie der kegelsnede ten opzichte van twee toegevoegde middellijnen. De assen en de toppen. Het parallelogram op twee toegevoegde middellijnen; de volledige figuur. Vergelijking der kegelsnede in scheefhoekige cartesische, en in Plücker's tangentieele coördinaten. Het geval der parabool. De omgeschreven rechthoek der ellips; de gelijke toegevoegde middellijnen en de minimale hoek. Deze is bij de hyperbool nul . . . 183—187 § 33. Toegevoegde punten ten opzichte van een bundel; elk van beide is het snijpunt der poollijnen van het andere. De 4 basispunten vallen met hun toegevoegde samen, en ieder diagonaalpunt heeft er oneindig veel, gelegen op de tegenover liggende diagonaal. In twee toegevoegde punten wordt de verbindingslijn dier punten door twee kegelsneden uit den bundel aangeraakt. De elfpuntskromme eener rechte l, in het bijzonder de meetkundige plaats der middelpunten; voor een bundel gelijkzijdige hyperbolen gaat deze over in den negenpuntacttkel van Feuerbach. De middelpuntsrechte bij de Schaar, in het bijzonder de stelling dat de middens der drie diagonalen eener volledige vierzijde op een rechte liggen 187 191 § 34. Over het projecteeren van een kegelsnede in een cirkel, en van een kegelsnedenbundel in een cirkelbundel. Bij een bundel met 4 reëele basispunten is zulks niet mogelijk; wèl kan men in dit geval den bundel omzetten in een bundel gelijkzijdige hyperbolen. De gevallen van 4, en van 2 imaginaire basispunten. De twee kegelsneden door 4 punten en aan één raaklijn, en d« vier door 3 punten en aan twee raaklijnen, ook indien niet alle gegeven stukken reëel zijn. Het normalenprobleem, en de gelijkzijdige hyperbool van Apollonius. Ellips, hyperbool en parabool, met hunne evoluten. Bijzondere standen van het punt, van waaruit de normalen getrokken mouten worden. De hyperbool van Apollonius geldt voor een geheel Stel ten opzichte van het middelpunt homothetische kegelsneden. Historische opmerkingen . jgj 19a § 35. Wederkeerige poolkromme der hyperbool van Apollonius; het is een parabool, die de assen van *2 aanraakt, en k* zélve in haar snijpunten met de hyperbool. Hare constructie, onafhankelijk van de hyperbool. Het vaste punt A op één der assen; de hyperbool ontaardt in die as en een lijn loodrecht er op, de parabool in een puntenpaar, waarvan één in het oneindige. De brandpuntshwolttues op de assen. Definitie der brandpunten als punten met rechthoekige poolstraleninvoluties, öf snijpunten van isotrope raaklijnen. Identiteit 302 Pagina. dezer definitie met die van Apollonius. Het brandpunt der parabool. De cirkel om hét middelpunt en door de reëele brandpunten snijdt de andere as in de reëele plaatsvervangers der imaginaire. De richtlijnen als poollijnen der brandpunten. Eigenschap van het stuk eener raaklijn tusschen raakpunt en richtlijn 199—203 § 36 Toepassingen van de Leer der brandpunten en richtlijnen. De poolstralen- en de geprojecteerde brandpuntsinvolutie aan een punt hebben het rechthoekige paar gemeen; of: de raaklijnen uit een punt sluiten met de voerstralen van dat punt gelijke hoeken in. In het bijzonder deelen raaklijn en normaal in een punt van k2 zelf de hoeken der voerstralen middendoor. Schaar confocale kegelsneden. Kegelsnede uit 3 raaklijnen en een brandpunt. Stellingen aangaande het stuk eener beweeglijke raaklijn tusschen twee vaste. Toepassingen op de parabool: de omgeschreven cirkel van een driehoek, gevormd door 3 raaklijnen der parabool, bevat het brandpunt. Constructie van het brandpunt indien 4 raaklijnen gegeven zijn. De lijn van Simpson of Wallace als topraaklijn eener parabool die de zijden van den driehoek aanraakt. Het stuk van Steiner over de hypocyclolde met 3 keerpunten. De richtlijn eener parabool is de m.pl. der punten van waaruit onderling loodrechte raaklijnen gaan. Het hoogtepunt van een omgeschreven driehoek der parabool ligt op de richtlijn. Kegelsnede uit brandpunt, richtlijn, en een punt of een raaklijn. Parabool uit brandpunt en richtlijn. De voetpunten der loodlijnen, uit het brandpunt eener parabool op de raaklijnen neergelaten, liggen op de topraaklijn. De 4 kegelsneden uit een brandpunt en 3 punten 203—208 § 37. Kwadratische kegels en cylinders, voortgebracht als omhulden van de verbindingsvlakken van de overeenkomstige stralen van twee /\ stralenwaaiers aan denzelfden top, of als m. pl. der snijlijnen van de toegevoegde vlakken van twee 7^ vlakkenwaaiers met elkaar snijdende assen. Het regeloppervlak H, gevormd door de verbindingslijnen der toegevoegde punten van twee 7\" puntenreeksen op kruisende dragers. Voortbrengingswijze van hetzelfde oppervlak als m.pl. der snijlijnen van toegevoegde vlakken van twee /\ vlakkenwaaiers met kruisende assen. De projecteerende kegel uit een punt O is kwadratisch, en de doorsnede met een plat vlak eveneens. Het aantal snijpunten met een rechte lijn bedraagt dus 2; het oppervlak is een kwadratisch regeloppervlak, genaamd éénbladige hyperboloïde 208—212 § 38. De éénbladige hyperboloïde bepaald door 3 elkaar kruisende rechten. De beide regelscharen van H. H bepaald door een scheeven vierhoek en een transversaal van twee overstaande zijden. Aan iedere lijn der ééne regelschaar loopt er één van de andere evenwijdig. De richtkegel. De raakvlakken. De beide rechten door het raakpunt zijn de hoofdraaklijnen. De omhullende kegel. Voor een punt óp H ontaardt deze in twee vlakkenwaaiers om de beide lijnen door dat punt als assen. De schijnbare omtrek. Asymptotische raakvlakken. De klasse van H. De snijpunten öp een lijn, en de raakvlakken dóór die lijn. Verschil tusschen de kwadratische oppervlakken mèt en zónder rechte lijnen. Toegevoegde rechten ten opzichte van ti. De toegevoegde eener oneindig verre rechte is een middellijn . . . 212—217 § 39. Het vraagstuk van Gergonne betreffende de beide transversalen van vier kruisende rechten, en de beide oplossingen van Steiner. Bijzondere vergelijkingen der éénbladige hyperboloïde. Raakvlakken door een rechte. De doorsnijding van twee hyperboloïden is in het algemeen een ruimtekromme van den 4en graad, ontaardt echter in 303 Pagina. een scheeven vierhoek zoodra de beide oppervlakken twee kruisende lijnen gemeen hebben. Bundels van éénbladige hyperboloïden die een scheeven vierhoek gemeen hebben 217 220 •§40. De hyperbolische paraboloïde; zij raakt het oneindig verre vlak der ruimte aan, en snijdt het volgens een lijnenpaar xx, yx. Het raakpunt Rx en de richtvlakken. Asymptotische raakvlakken. Doorsneden van hyperboloïden en hyperbolische parabololden met platte vlakken. De paraboloïde in het bijzonder kan niet volgens ellipsen gesneden worden. De richtkegel der hyp paraboloïde bestaat uit een vlakkenpaar, welks snijlijn naar gaat. Middellijnen, middelpunt, as en top der paraboloïde; constructie van deze elementen. De lijnen xt en y( in het raakvlak in den top. De gelijkzijdige hyp. paraboloïde; de richtvlakken staan loodrecht op elkaar. Alle lijnen y snijden xt loodrecht, en alle lijnen x snijden yt loodrecht. Vlakken loodrecht op de as snijden volgens gelijkzijdige hyperbolen. Bepaling der hyp. paraboloïde, in het bijzonder van de gelijkzijdige, door een scheeven vierhoek. In een bundel hyperbsloïden die een scheeven vierhoek gemeen hebben, komt dus één hyp. paraboloïde voor, en verder twee vlakkenparen. Hyp. paraboloïde, bepaald door 3 kruisende rechten evenwijdig aan eenzelfde vlak. De orthogonale kegel van Hachette, en de orthogonale hyperboloïde. Vlakken van cirkeldoorsnee. De omwentelingshyperboloïde 221 226 § 41. Voorbeelden voor de dualiteit in de ruimte, ontleend aan de theorie der éénbladige hyperboloïde. De polarentheorie ten opzichte van F2. Pool en poolvlak. De omgeschreven kegel uit de pool, respectievelijk de omgeschreven cylinder, indien P in het oneindige ligt. Schijnbare omtrek van hyperboloïde en hyperbolische paraboloïde, óók voor P in het oneindige, of op het oppervlak. Toegevoegde rechten. De Involuties op en om deze rechten: snijpunten en raakvlakken. Verschillend gedrag van de kwadratische regeloppervlakken en de andere ten opzichte van toegevoegde rechten; het viervlak van twee toegevoegde rechten. Polen, poolvlakken, en toegevoegde rechten bij kegels en cylinders. Het poolvlak in het oneindige: de diametraalvlakken en het middelpunt. De asymptotenkegel. De asymptotenkegel bij de hyperbolische paraboloïde. Poolviervlak of pooltetraëder. Toegevoegde middellijnen en pooldrievlakshoeken. De assen en hoofdvlakken, in het bijzonder bij de éénbladige hyperboloïde en hyperbolische paraboloïde 227 232 § 42. Het grondidee van Gergonne om de rechte lijnen op een hyperboloïde te gebruiken ten einde de stelling van Pascal te bewijzen. Aanvulling van het bewijs van Gergonne door Dan del in, en later nog door Hesse. De bewijzen zoowel voor de stelling van Pascal als voor die van Brianchon. Bewijs dat een gegeven kegelsnede op oneindig veel éénbladige hyperboloïden ligt, en een gegeven kwadratische kegel door oneindig veel zulke oppervlakken wordt aangeraakt 232—236 § 43. Bewijs dat twee toegevoegd imaginaire punten in een reëel vlak op een reëele rechte liggen. De Plücker'sche lijncoördinaten u en v, en bewijs dat twee toegevoegd imaginaire stralen in een reëel vlak een reëel punt gemeen hebben. De Incidentiebetrekking punt-lijn in het reëele vlak; de vergelijking van een lijn, en de vergelijking van een punt. Plücker'sche vlakcoördinaten, en de incidentiebetrekking punt-vlak. Bewijs dat ook in de ruimte twee toegevoegd imaginaire punten op een reëele rechte liggen, en twee toegevoegd imaginaire vlakken door een reëele rechte gaan. De imaginaire rechte van de 304 Pagina. eerste en van de tweede soort. Vlak door een reëel punt en een zuivel imaginaire rechte, en snijpunt van een zuiver imaginaire rechte met een reëel vlak. Involuties in de regelschaar. Iedere reëele rechte, die een zuiver imaginaire snijdt, ontmoet ook de toegevoegde. Zijn dus de beide transversalen van 4 rechten imaginair, dan zijn zij zuiver toegevoegd imaginair. De verdiensten, ook voor het scheiden van toegevoegd imaginaire rechten van de tweede soort, van von Staudt , 236—242 § 44, Over poolstelsels. Een kwadratische involutie op een rechte lijn zou gevoegelijk een poolstelsel genoemd kunnen worden. Poolstelsels in het platte vlak; de fundamentaalkegelsneden. Elliptische en hyperbolische poolstelsels. Bundels van poolstelsels. Het toegevoegde punt van een punt t.o.v. den bundel, en de toegevoegde kegelsnede van een rechte. Beteekenis der snijpunten van kegelsnede en rechte. De 8 hoekpunten X, Y, Z, en zijden x, y, z van den gemeenschappelijken pooldriehoek uit den bundel. Eén hoekpunt, en de tegenoverliggende zijde, zijn noodzakelijk steeds reëel, de beide andere haakpunten en zijden kunnen imaginair uitvallen. Dit geval doet zich echter slechts voor indien van de basispunten van den bundel twee reëel, de beide andere toegevoegd imaginair zijn 242—246 § 45. De toegevoegde kegelsnede van een zijde van den gemeenschappelijken pooldriehoek bestaat uit de beide andere zijden. De overgang van een punt op zijn toegevoegde is een kwadratische verwantschap. Hoe het mogelijk is dat niettemin aan een kegelsnede slechts een rechte lijn is toegevoegd: de toegevoegde kegelsneden van de rechten van het vlak zijn niet algemeen, maar vormen een bijzonder net, met 3 basispunten, nl. X, ,Y Z. De toegevoegde van een willekeurige kegelsnede is een kromme van den vierden graad, met dubbelpunten in X, Y, Z. Bijzondere gevallen: kegelsnede door X alleen, door X en Y, en door X, Y, Z\ de toegevoegde in deze drie gevallen. Algemeene opmerkingen over een net van kegelsneden. De involuties, die men vindt door één der punten X, Y, Z met alle paren toegevoegde punten te verbinden; de dubbelstralen zijn de aes lijnen sik> die in alle poolstelsels dezelfde involutie dragen; de dubbelpunten van deze zijn de 4 basispunten S,-. Over de realiteit der lijnen en der punten 5,-. Dubbele definitie der toegevoegde kegelsnede van een lijn. De schaar van poolstelsels. De toegevoegde rechte van een lijn, de toegevoegde kegelsnede van een punt, de gemeenschappelijke pooldriezijde, de 4 basisrechten der schaar, en hunne 6 snijpunten 245—250 § 46. Pool en poolvlak t. o v. een kwadratisch oppervlak. Toegevoegde rechten. De toegevoegde rechte van een raaklijn is een andere raaklijn met hetzelfde raakpunt. Involutie der toegevoegde raaklijnen; de dubbelstralen zijn de rechten ven het oppervlak door het raakpunt. Poolviervlak. Het poolstelsel t. o. v. een kwadratisch oppervlak. Het fundamentaaloppervlak. Elliptisch en hyperbolisch poolstelsel. Het poolstelsel is bepaald door een poolviervlak en één paar. Bundel kwadratische oppervlakken. De basiskromme ft4. Door een willekeurig punt der ruimte gaat één exemplaar. Alle rechten Tan alle hyperboloïden en hyperbolische paraboloïden door ft* bevatten van deze kromme twee punten. Analytische controle ....... 250—254 § 47. Analytisch bewijs voor het bestaan der 4 kegels van Poncelet. De poolvlakken van een punt t, o. v. een bundel kwadratische oppervlakken vormen een vlakkenwaaier. De as van dezen waaier is de toegevoegde rechte van het punt. De toegevoegde rechte van een 305 rechte, en de toegevoegde rechte van een simt. De toegevoegde rechten van een rechte t. o. v, een bundel kwadratische oppervlakken vormen de ééne schaar, en de toegevoegde rechten van de punten dier rechte de andere schaar eener hyperboloïde. De m. pl. der poten van een vlak t. o. v. een bundel kwadratische oppervlakken is een kubische ruimtekromme ftf>, pe hyperboloïden, toegevoegd aan de stralen van «en waaier, vormen een bundel, welks basiskromma ontaard is in *» en een rechte die bi 2 punten op ft8 stvmtm Het gemeenschappelijk poolviervlak XY2W. Zijn realiteit. De hyperboloïden, toegevoegd aan alle rechten der ruimte, en de kubische ruimtekrommen, m. pl. der polen van alle vlakken der ruimt* 254—258 § 48. De 4 dubbelprojecteerende kegels uit een bundel. Door etk vari dé 4 kegeltoppen gaan 4 raaklijnen van ft*. Het raaklijnenoppervlak van ft*. Het is van den 8en graad, heeft de 4 kegeltoppen tot 4-voudige punten, en in elk van de 4 zijvlakken van het pooltetraëder dubbelkrommen van den 4e" graad met dubbelpunten in de 3 in dat zijvlak gelegen kegeltoppen. De raakvlakken van de 4 kegels van Poncelet zijn de dubbele raakvlakken van ft4; het zoogenaamde „dubbel omgeschreven ontwikkelbaar oppervlak" bestaat dus uit 4 kegels. Eén- en tweedeelige doorsnijding, of afscheuring en doorboring. Door een doorboring gaan 4 reëele kegels van Poncelet door een afscheuring slechts 2. Bewijs volgens Poncelet, dooi beschouwing van de dubbele raakvlakken. Wijze van ontdekking der 4 kegels door Poncelet zelf, eveneens door beschouwing van de dubbele raakvlakken ,% 258—263 § 49. Het geval der Beschrijvende Meetkunde: doorsnijding van twee kwadratische kegels. Constructie der beide andere kegels. Realiteit in alle mogelijke gevallen. Heeft ft* een dubbelpunt, dan vallen de toppen van den 3en en 4en kegel samen in dat dubbelpunt De 3e . en 4« kegel indien ft* uiteenvalt in 2 kegelsneden; indien ft* een dubbelpunt krijgt doordien de top van den eenen kegel op den mantel van den anderen ligt; indien ft4 uiteenvalt ia een ft» en een koorde van deze. De schijnbare dubbelpunten van ft* en hare ontaardingen voor een willekeurig projectiecentrurn. De projectie van ft* uit een hater eigen punten is een vlakke *8 zonder dubbelpunt 263 _267 3 ö0- Ue complex dei san de punten der ruimte toegevoegde stralen c. Zij zijn gekarakteriseerd door de eigenschap dat de toegevoegde' rechten hunner punten een kegel in plaats van een hyperboloïde vormen. De complexkegel. Deze is kwadratisch, en bevat de 4 kegeltoppen. De complexkromme in «en vlak is een kegelsnede die de zijvlakken van het poolviervlak aanraakt De toegevoegde punten van de beschrijvenden van een eomplexkegel liggen op een comptsxstraal, die van een complexkegelsnede op «en kubische kromme door de hoekpunten van het poolviervlak en de hoekpunten van den gemeenschappeUjken pooldriehoek van den kegelsneéenbandel ia het vlak dei kegelsnede. De complexkegels en complexkegelsneden aan de hoekpunten en in de zijvlakken van het poolviervlak zij» onbepaald. Constructie ven den complexkegel aan een punt, en van de complexkromme in «en vlak. Bijzondere gevallen: het punt in een zijvlak of op een ribbe van het viervlak, het vlak door een hoekpunt of een ribbe. Bewijs dat de complex tetraëdraal Is. Collineaire ruimten; de verbindingslijnen van toegevoegde punten en de snijlijnen van toegevoegde vlakken vormen tetraëdrale complexen. Toepassing op de beide collineaire ruimten der poolvlakken van de punten der 306 Pagina. ruimte t. o. v. twee kwadratische oppervlakken. De tetraëdrale complex bij Steiner 267—274 § 51. Vlakke kromme van den 3en graad, voortgebracht door een kegelsnedenbundel en een daarmee projectieven stralenbundel. Vlakke kromme van den 4en graad uit twee ~f\ kegelsnedenbundels. Vlakke kromme van den 3en graad met dubbelpunt uit een stralenwaaier en een daarmede straleninvolutie. Het geval van den knoop, het geïsoleerde dubbelpunt, en het keerpunt. De vertakkingsstralen. De klasse bedraagt 4. Kromme van den 4en graad met twee dubbelpunten uit twee ~/\ straleninvoluties. Het optreden van een derde en vierde dubbelpunt. Kromme van den 3en graad zonder dubbel- ■ punt uit twee half-perspectieve straleninvoluties. Het optreden van een dubbelpunt. De dualistische vraagstukken 274—278 ■§ 52. Kromme van de derde klasse en den vierden graad, omhuld door de verbindingslijnen der toegevoegde punten van een enkelvoudige puntenreeks op een drager t en een involutie op een drager d. De dubbele raaklijn d, en de raakpunten op d en t. De vertakkingspunten op t zijn snijpunten van t met de kromme. De dragers d en t kruisend: het kubische regeloppervlak; d is de enkelvoudige richtlijn, t de dubbelrechte. Het raakvlak in een willekeurig punt van een willekeurig niet-ontwikkelbaar regeloppervlak. Ieder vlak door een beschrijvende is een raakvlak. Een niet-ontwikkelbaar regeloppervlak van den graad n bezit een dubbelkromme, die door iedere beschrijvende in n — 2 punten gesneden wordt. Het kubische regeloppervlak bezit dus een dubbelrechte. De vlakken door de richtlijn d zijn de dubbele raakvlakken van het oppervlak; zij snijden het oppervlak in een driehoek. De raakvlakken in de punten der dubbelrechte bevatten die dubbelrechte. Een willekeurig raakvlak Snijdt volgens een beschrijvende en een kegelsnede, die het raakpunt bevat en op de dubbelrechte steunt De cuspidaalpunten op de dubbelrechte en de torsaallijnen. Werkzame en parasitische gedeelten op de dubbelrechte, in verband met den aard der involutie op de richtlijn 278—283 § 53. Bewijs van de stelling dat voor ieder niet-ontwikkelbaar regeloppervlak graad en klasse g. lijk zijn. De schijnbare omtrek van het kubische regeloppervlak voor een willekeurig lichtend punt O, een punt op het oppervlak, op de dubbelrechte, op de richtlijn. Bewijs dal het in deze en de voorgaande § bestudeerde.kubische regeloppervlak het algemeene is. De conoïden, in het bijzonder de rechte en de conoïde van Plücker. De richtvlakken 283—286 § 54. Doorsnijding van een kubisch regeloppervlak en een hyperboloïde. Geval dat de hyperboloïde de richtlijn van het regeloppervlak bevat. Geval dat de hyperboloïde de dubbelrechte van het regeloppervlak bevat De ruimtekromme van den vierden graad en de tweede soort. Hare hoofdeigenschappen, in het bijzonder wat betreft het ongelijke gedrag der beide stelsels van rechten der hyperboloïde, en de 3 bisecanten door een punt. De kromme van de 2e soort is rationaal; bewijs. Geval dat de hyperboloïde zoowel de dubbelrechte als de richtlijn van het regeloppervlak bevat; de restdoorsnijdlng bestaat uit 3 elkaar kruisende beschrijvenden van het regeloppervlak of de hyperboloïde 286—289 Ir. jwa. lecluse.