STEREOMETRIE
VOOR
ONDERWIJZERSOPLEIDING EN HÓÓFD AKTEsSTUDIE
DOOR
C. A. VAN BEEK
- LEERAAK AAN ,DH, R. K. KWEEKSCHOOL TE EINDHOVEN •
EN
W. H. C. VAN HEEK
LEERAAR AAN DE R. K. KWEEKSCHOOL TE ECHT
TWEEDE DRUK
BIJ J. B.WOLTERS - GRONINGEN, DEN HAAG, 1927



UITGAVEN VAN J. B. WOLTERS — GRONINGEN, DEN HAAG
WISKUN DE
C. A. van Beek en W. H. C. van Heek,
Rekenkunde voor Onderwijzersopleiding en Hoofdakte-studie . . , -. ter perse Planimetrie voor Onderwijzersopleiding en Hoofdakte-studie, met 118 figuren, ingenaaid ƒ 1,90, gebonden-''.' . . . . . . . ... 2e druk' f 2,25
. Stereometrie voor Onderwijzersopleiding en Hoofdakte-studie, met 86
figuren, ingenaaid ƒ 1,90, gebonden. ... . . . . 2e druk - 2,25
Algebra voor Onderwgzersopl. en Hoofdakte-studie, ing. ƒ 1,90, geb 2e dr. - 2,25-
Antwoorden bij „Algebra" . . . . . .... . j . . 2e druk - 0,75
Dr. J. Droste en Dr. W. F. de Groot, Functies. Leerboek ten dienste
van het onderwijs in de Wiskunde op Gymn., H. B. S. en Lycea. -
Eerste deel: Grafische voorstellingen, met 88fig.en 10 tafels, geb, 2e dr. - Ï,9Ö Tweede deel: Grondbeginselen der differentiaal- en integraalrekening,
met 56 figuren en 10 tafels, geb. . . . .. . . . . . . . ... - 1,50
Grafisch Schrift, ten dienste van het onderwijs in de algebra, bevattend
24 pagina's millimeterpapier en 24 geünieerde pagina's, fórm. 16bij23cM. - 0,50
Dr. A. Kettner, Honderd'Planimetrische Vraagstukken, gedeeltelijk uitgewerkt, ten dienste van de hoogere klassen van Gymnasia, Lycea en
H.B.S., met 34 figuren . . . . . V . . . . , . . .. , - 0,75
Ir. A. W. Kloos Jr. en Ir. W. Vrijlandt, Leerboek der Mechanica.
I. Theoretische Mechanica . . . ■. ■ . ■ , . ... . v1» .- .ter perse
H. Toegepaste Mechanica, met 172 fig., ing. ƒ ,5,50, geb. . ^* I . - 5,90
III; Bijzondere onderwerpen uit de Theoret. en Toegepaste Mechanica, ter perse
Ir. D. J. Kruijtbosch, Schriftelijke Opgaven van het Eindexamen der afdeelingen-B van de Hoogere Burgerscholen met vijfjarigen cursus van 1885 —1925, met uitvoerige inleiding naar de nieuwste gegeven» bewerkt,
met Supplementen 1926 en 1927, ingenaaid ƒ 2,25, gebonden, 5e 'druk - 2,601
Ir. G. L. Ludolph en Ir. A. P. Potma, Algebra voor het Middelbaar
Technisch Onderwijs, met 59 figuren, ingen. ƒ 2,25, geb. . . '=i V"j. \ - 2,50-
Ir. G. L. Ludolph. en Ir. A. P. Potma, Leerboek der Mechanica voor het Middelbaar Technisch Onderwijs en voor Zelfstudie:
I. Bewegingsleer, leer der krachten ,i'[Kr-{' * • • fer Perse
II. Sterkteleer, met 339 figuren en 9 tabellen, ingen. ƒ 5,50, geb. - 5,90
III. Graphostatica, met 220 fig. en 5 uitsl. bladen, ing. I 3,50, geb. ; 3,90
Dr. N. R. Pekelharing Azn. en Dr. K. W. Rutgers, Leerboek der
Werktuigkunde met Opgaven, ten dienste van het Middelbaar Onderwijs.' r''" t ,»«
Eerste deel, met 55 figuren, ingenaaid ƒ 1,90, gebonden . '&jBL*-k - 2,25
Tweede deel, met 72 figuren, ingenaaid - 2,25, gebonden j.-.:vN&'iy - 2,60
W. Reindersma, Inleiding tot de Vlakke Meetkunde, met 93 zwarte
en gekleurde figuren, ingenaaid ƒ 1,75, gebonden . . , -. 3e druk - 1,90
W. Reindersma, Beknopt Leerboek der Vlakke Meetkunde voor Lycea, Gymnasia, Hoogere Burgerscholen en Kweekscholen, met 246 figuren,
ingenaaid ƒ3,25, gebonden :/.'; . . . ..-' ; „ . . ... 3e druk - 3,50
Dr. A. van Thijn, Leerboek der Planimetrie, met 188 figuren, ing./1,90;
gebonden . ..'. . . . . . . . . . . .• . ." .,. . . . 5e druk - 2,10
Dr. A. van Thijn, Verzameling van Planimetrische vraagstukken. (met supplement, bevattende aanwijzingen tot het oplossen), met 15 figuren,
ingenaaid ƒ 1,90, gebonden . . . . . . . . ; . •:?.".«|j£.t^ druk - 2,10
Dr. A. van Thijn, Leerboek der Vlakke Meetkunde, met opgaven.
Eerste deel, met .141 figuren, ingenaaid ƒ 1,90, gebonden ". 8e druk - 2,10
Tweede deel, met'115 figuren, ingenaaid - 1,90, gebonden . 5e druk - 2,10
Dr. A. van Thijn, Beknopt leerboek der Stereometrie, met 120 figuren,
ingenaaid •ƒ 2,10, gebonden 1 . -. . . .. . .' . . . 4e druk - 2,40
Dr. A. van Thijn, Leerboek der Stereometrie, met 151 figuren, ingenaaid
v ƒ 2,50, gebonden . . . ,4^,0'-,,^ WfA • • - • 8e druk - 2,90
Dr A. van Thijn, Inleiding tot de Beschrijvende Meetkunde', met 112
figuren, ingenaaid f 1,90, gebonden •<:»Ssfe!^S4s^^fi&l^»>;"5* druk - 2,10
Dr. A. van Thijn, Inleiding tot de Hoogere Analyse, ten diénste van de hoogste klassen der Gvmnasia en Lycea en voor le-jaars studenten in,
technische en exacte wetenschappen, met. 88 figuren, ing. ƒ 3,25,, geb. - 3,60 (Vervolg' op pag. 3 van dén omslag)



STEREOMETRIE
VOOR
ONDERWIJZERSOPLEIDING EN HOOFD AKTE*STUDIE
DOOR
C. A. VAN BEEK
LEERAAR AAN DE R. K. KWEEKSCHOOL TE EINDHOVEN
EN
W. H. C. VAN HEEK
LEERAAR AAN DE R. K. KWEEKSCHOOL TE ECHT
TWEEDE DRUK
Ing. f 1,90 Geb. - 2,25
BIJ J. B.WOLTERS' U.M. - GRONINGEN, DEN HAAG, 1927



BOEKDRUKKERIJ VAN J. B. WOLTER8



VOORBERICHT.
Bij het bepalen van de hoeveelheid stof voor deze „Stereometrie" hebben ons dezelfde overwegingen geleid als bij het samenstellen van onze „Algebra" en „Planimetrie".
Door den zeer beperkten tijd, die op de kweekschool voor deze vakken beschikbaar is, waren we ook bier genoodzaakt, de theorie zoo beknopt mogelijk te houden. Wij meenden o. a. best te kunnen missen: congruenties en constructies van drie- en veelvlakshoeken, de behandeling van het regelmatig twaalf- en twintigvlak en de bolmeetkunde.
Ruimteconstructies, netwerken, doorsneden van veelvlakken met een plat vlak, duidelijke stereometrische teekeningen, de allerbelangrijkste eigenschappen over de onderlinge standen'van lijnen en vlakken en over twee- en drievlakshoeken zijn zaken, die niet verwaarloosd mogen worden. We hebben dat alles o. i.' echter zoo eenvoudig mogelijk behandeld en niet de moeilijkste' vragen op dat terrein aan onze leerlingen voorgelegd.
We hopen, dat vele opleiders voor onderwijzers- en hoofdakte onze inzichten zullen deelen.
Voor welwillende op- en aanmerkingen, vooral van gebruikers houden wij ons gaarne aanbevolen.
Deze druk verschilt bijna niet van den vorigen. Slechts hier en daar is een opgave toegevoegd, door 'n andere vervangen of op 'n andere plaats gezet.
Voor welwillende op- en aanmerkingen, vooral van gebruikers*, houden wij ons gaarne aanbevolen.
Eindhoven, 1 v R
Echt, '} Maart 1926. J B.
BIJ DEN TWEEDEN DRUK.
Eindhoven, 1 D Echt, ƒ November 1927. | B.






INLEIDING.
§ 1. De vlakker!, die 'n kubus, 'n balk enz. begrenzen, noemt men platte vlakken. Van zoo'n plat vlak neemt men als axioma aan: Axioma. Een rechte lijn, die met een plat vlak twee punten gemeen heeft, ligt er geheel in.
Zoo'n plat vlak ontstaat, wanneer een rechte lijn om een harer punten draait en daarbij steeds een vaste rechte, die niet door dat punt gaat, snijdt, of er mee evenwijdig loopt. Die vaste rechte en dat punt bepalen dus het platte vlak.
Daar een rechte lijn bepaald is door twee harer punten, kan men in plaats der vaste rechte twee punten nemen, zoodat een plat vlak ook bepaald is door drie niet in een rechte gelegen punten.
Ook twee snijdende lijnen bepalen een plat vlak. Men kan immers een dezer rechten beschouwen als de vaste èn de andere als de bewegende in een harer standen. Men behoeft dan op die laatste slechts een punt aan te nemen, waaromheen zij draait.
Neemt men de bewegende lijn in den stand, waarin zij evenwijdig is aan de vaste lijn, dan zal ook door deze twee lijnen het vlak bepaald zijn. Uit bovenstaande volgt nu: . Door een lijn en een punt daarbuiten, door drie niet in een rechte lijn gelegen punten, door twee snijdende lijnen,
door twee evenwijdige lijnen kan maar één plat vlak gebracht worden. Men zegt ook wel:
Een plat vlak is bepaald:
1°. door een lijn en een punt daarbuiten;
29. door drie niét in een rechte lijn gelegen punten;
3°. door twee snijdende lijnen;
4°. door twee evenwijdige lijnen.
Het is nu gemakkelijk in te zien, dat twee platte vlakken, die



6
een lijn en een punt daarbuiten gemeen hebben, volkomen samenvallen. Eveneens dat volkomen samenvallen twee platte vlakken, die. drie niet in een rechte lijn gelegen punten, of twee snijdende lijnen of twee evenwijdige lijnen gemeen hebben.
§ 2. Behalve platte vlakken zijn er ook nog gebogen vlakken, zooals b.v. zijn op te merken aan een bol, een lampeglas enz.
Wanneer wij in 't vervolg spreken van 'n vlak, dan wordt daarmee steeds bedoeld een plat vlak.
§ 3. De vlakke meetkunde of planimetrie behandelt de eigenschappen van die figuren, welke geheel in 't zelfde platte vlak liggen; de meetkunde der ruimte of stereometrie bespreekt de eigenschappen der figuren, die niet in één en hetzelfde platte vlak gelegen zijn.
§ 4. Het teekenen van stereometrische figuren.
Als we van een figuur uit de stereometrie een teekening maken, moeten we de verschillende deelen dier figuur, die niet in hetzelfde platte vlak liggen, in één plat vlak afbeelden. Dit doet men door middel van scheeve projectie.
Wat daarmee bedoeld wordt, willen we aan de hand van eenige stereometrische teekeningen toelichten.
In nevenstaande fig. 1,
de afbeelding van 'n ku-
dus, is net viaK Arsht,, alsook CDHG evenwijdig aan het vlak van teekening. Zulk vlak behoudt in de teekening z'n juisten vorm en grootte.
De ribben AD, BC, FG en EH staan loodrecht op 't vlak van
Fig. {U teekening. Deze lijnen
v/orden in 'n bepaalde verhouding verkort en maken met de horizontale lijnen in de teekening een bepaalden hoek. Die verkorting heeft gewoonlijk



7
plaats tot op $ of £, terwijl men voor den bedoelden hoek neemt 45° of 30°.
Wij zullen steeds nemen de verkorting op J bij een hoek van 30°. Uit bovenstaande blijkt nu in verband met fig. 1:
a. Evenwijdige lijnen blijven op de teekening evenwijdig.
b. Lijnen en vlakken evenwijdig aan het vlak van teekening behouden den waren vorm en de juiste grootte.
§ 5. Een kubus te teekenen, rustende op een der zijvlakken, terwijl een diagonaal van 't grondvlak evenwijdig is aan het vlak van teekening. (fig 2.)
G
We beginnen met de diagonaal BD van 't grondvlak.De diagonalen van 't grondvlak deelen elkaar loodrecht middendoor. Bij M ('t midden van BD) teekenen we dus een hoek van 30° en maken MC en MA beide gelijk aan £ MB. Uit A, B, C en D teekenen we de ribben AE, BF, CG en DH alle loodrecht op BD en gelijk aan de ribbe van den kubus.
Ter voltooiing van den kubus verbinden we nog A en C met B en D, alsmede E en G met F en H.
Opmerking. In fig. 1 zijn de lijnen AD, CD en HD gestippeld, evenals in fig. 2 de lijnen, BC, DC, GC, AC en BD. We denken ons n.1. dat de zes vlakken van den kubus niet doorzichtig zijn, zooals b.v. bij een kubus van karton, zoodat de bovengenoemde lijnen niet te zien zijn, als we voor den kubus staan.



8
. Onthoud daarom: Onzichtbare lijnen worden in een stereometrische figuur steeds gestippeld.
§ 6. Opgaven.
1. Een kubus rust op zijn grondvlak, terwijl een diagonaal van dat grondvlak loodrecht staat op 't vlak van teekening. Teeken dien kubus.
2. Een kubus rust op een zijner vlakken, terwijl een ander zijvlak evenwijdig is aan het vlak van teekening. Uit het snijpunt der diagonalen van het bovenvlak» een lijn getrokken loodrecht op dat bovenvlak en gelijk aan een ribbe van den kubus, 't Uiteinde dezer lijn is verbonden met de hoekpunten van 't bovenvlak van den kubus. Teeken deze figuur.
3. 't Grondvlak van een kubus ligt horizontaal, terwijl een diagonaal er van evenwijdig is aan 't vlak van teekening. In 't middelpunt van 't grondvlak is 'n lijn opgericht loodrecht op dat grondvlak en gelijk aan tweemaal de ribbe van den kubus, 't Uiteinde dezer lijn is verbonden met de hoekpunten van 't grondvlak. Teeken deze figuur. Waar snijden de verbindingslijnen het bovenvlak?
4. Teeken een horizontalen gelijkzijdigen driehoek ABC, als de hoogtelijn uit A evenwijdig loopt aan het vlak van teekening. Richt in de punten A, B, en C gelijke loodlijnen op en verbindt de uiteinden dezer loodlijnen.
5. Teeken een horizontalen gelijkzijdigen driehoek ABC, als de hoogtelijn uit A loodrecht staat op 't vlak van teekening. Richt in 't hoogtepunt van driehoek ABC een loodlijn op en verbindt 't uiteinde dezer loodlijn met de punten A, B en C.
§ 7. Volgens 't axioma in § 1 zal een rechte, die twee punten met 'n vlak gemeen heeft, er geheel in liggen. Definities.
Heeft een rechte met 'n vlak slechts één punt gemeen, dan zegt men, dat die rechte het vlak snijdt. Hebben een rechte en een plat vlak, hoe ver ook verlengd en uitgebreid, geen enkel punt gemeen, dan noemt men ze evenwijdig.
Twee vlakken noemt men evenwijdig, als ze, hoe ver ook uitgebreid, geen enkel punt gemeen hebben.



9
§ 8. Eigenschap 1.
Ah (wee niet-samenvallende vlakken één pont gemeen hebben, dan hebben ze ook een rechte gemeen, die door dat punt gaat. Gegeven. De vlakken V en W hebben 't punt P gemeen, (fig. 3).
Fig. 3.
Te bewijzen. Die twee vlakken hebben een rechte door P gemeen.
Bewijs. We trekken in 't vlak W de rechten AB en CD, beide door P. We verbinden nu A met D, dan zal de rechte AD in W liggen en omdat A en D aan weerszijden van V liggen, ook 't vlak V snijden. Zij Q dat snijpunt, dan zal de rechte PQ in V liggen, omdat zij er twee punten (P en Q) mee gemeen heeft en ook zal PQ in W liggen, omdat zij er twee punten mee gemeen heeft. De bekte vlakken V en W hebben dus de rechte
PQ gemeen.
Definitie. De rechte, die V en W gemeen hebben, heet hun snijlijn.
De vlakken V en W zijn snijdende vlakken.
Zijn V en W in hun snijlijn begrensd, dan zegt men ook wel, dat ze elkaar daar ontmoeten.
Fig. 4. (zie fig. 4).



10
§ 9. Kruisende lijnen.
Twee rechten, die in hetzelfde vlak liggen, zijn evenwijdig of snijden elkaar (Planimetrie). Er is in de ruimte evenwel nog een andere stand van twee lijnen mogelijk, (zie fig. 5).
De lijn AB ligt in 't vlak V, terwijl CD dat vlak in P (buiten AB gelegen) snijdt. Deze twee lijnen hebben geen enkel punt gemeen, 't zijn immers geen snijdende lijnen en ook zijn ze niet evenwijdig, want er kan geen plat vlak door gebracht worden. Zulke lijnen noemt men kruisende lijnen.
Definitie. Kruisende lijnen zijn lijnen, waardoor geen plat vlak gebracht kan worden.
Omdat kruisende lijnen elkaar niet snijden, vormen ze dus ook geen hoek. Toch spreekt men van den hoek van twee kruisende lijnen en daaronder verstaat men dan den hoek, die gevormd wordt door een der lijnen en een andere, die door een punt der eerste evenwijdig aan de tweede getrokken wordt, (zie fig. 5, /_ P).
Zoo zullen dus twee lijnen elkaar loodrecht kruisen, als een der twee lijnen en een lijn door 'n punt der eerste evenwijdig aan de tweede getrokken, loodrecht op elkaar staan (b.v. een der staande ribben aan het voorvlak van een kubus en een der liggende ribben aan het ach ter vlak).
Fig. 5.



11
§ 10. Construeeren van ruimtefiguren.
In de vlakke meetkunde, waar alle punten en lijnen in hetzelfde vlak liggen, konden we met behulp van passer en liniaal 'n voorstelling maken van 'n meetkundige figuur: we konden 'n meetkundige figuur construeeren.
In de meetkunde der ruimte, waar niet alle deelen eener figuur in hetzelfde vlak gelegen zijn, is dat echter niet mogelijk. Toch spreekt men van construeeren in de stereometrie en men verstaat daaronder dan het opnoemen der achtereenvolgende verrichtingen, die men zou moeten uitvoeren om de gevraagde figuur te doen ontstaan.
Evenals in de vlakke meetkunde nemen we hier aan, dat iedereen kan construeeren:
1°. een rechte, als daarvan twee punten gegeven zijn;
2°. in een vlak een cirkel, als middelpunt en straal bekend zijn en bovendien nog, dat iedereen een vlak kan brengen dooreen rechte en 'n punt daarbuiten, door drie punten, die niet in een rechte liggen, door twee snijdende lijnen, door twee evenwijdige lijnen en dat het mogelijk is de snijlijn van twee gegeven vlakken te construeeren.
Opgave. Hoe construeert men nu het snijpunt van een gegeven rechte 1 en een gegeven vlak V?
§ 11. Eigenschap 2.
Door een punt buiten een rechte lijn kan men altijd één en niet meer dan één rechte trekken, evenwijdig aan de gegeven rechte.
Gegeven. Een rechte AB en een punt P daarbuiten.
Te bewijzen. Door P gaat slechts één rechte evenwijdig aan AB.
Bewijs. Door de rechte AB en 't punt P kan men altijd één vlak brengen (§ 1). In dat vlak kan men slechts één rechte trekken door P evenwijdig aan AB. Was er nu nog 'n andere rechte mogelijk door P en evenwijdig aan AB, dan moest die met AB in een vlak liggen en dan zouden er door AB en P twee vlakken mogelijk zijn, wat in strijd is met § 1.
Eigenschap 3.
Als een van twee evenwijdigen een vlak snijdt, dan zal ook de tweede dat vlak snijden, (fig. 6).



12
Gegeven. PQ snijdt vlak V. PQ // AB.
Te bewijzen. AB snijdt ook 't vlak V.
Bewijs. Door PQ en AB kan men een vlak brengen (§ 1).
Dat vlak heeft met V het punt S gemeen, bijgevolg ook een rechte die door S gaat. Die rechte nu snijdt PQ en, omdat PQ//AB, ook AB. Dat snijpunt C ligt nu in V, omdat die rechte door S in V ligt.
Eigenschap 4.
Twee rechte lijnen, die beide evenwijdig zijn met een derde, zijn ook onderling evenwijdig, (fig. 7).
Gegeven. AB // CD; EF //
> CD.
Te bewijzen. AB // EF.
Bewijs. Door AB en 'n punt P van EF kan men 'n vlak brengen.
Nu zal EF dat vlak snijden of er geheel in liggen. Sneed ze dat vlak, dan zou ook CD, die evenwijdig is met EF dat vlak snijden en ook AB, die evenwijdig met CD is, zou dat doen. Maar AB doet dat niet, dus EF snijdt ook dat vlak niet, maar ligt er geheel m.



13
Ook kunnen. AB en EF geen punt gemeen hebben, immers dan souden door dat punt twee lijnen gaan (AB en EF) beide evenwijdig net CD, wat in strijd is met eig. 2. De lijnen AB en EF liggen in letzelfde vlak en hebben geen enkel punt gemeen: ze zijn evenwijdig.
Eigenschap 5.
Zijn de beenen van 'n hoek evenwijdig met de beenen van 'n anderen hoek, dan zijn die hoeken gelijk of eikaars supplement, (fig. 8).
3
Fig. 8.
Gegeven. AP // DQ; AX // DY. Te bewijzen. £_ A = L D-
Bewijs. We brengen 'n vlak door AP en DQ en maken AB = DE. Verbinden we nu A met D en B met E, dan is ABED een parallelogram. (AB #DE)1).
We brengen ook 'n vlak door AX en DY en maken AC = DF. We verbinden C met F, dan is ACFD een parallelogram. (AC # DF). Hieruit volgt BE # CF, ze zijn immers beide gelijk aan en evenwijdig met AD.
Ook BCFE zal nu een parallelogram zijn (BE # CF), waaruit volgt BC = EF. De A A ABC en DEF zijn nu congruent (z. z. z.) en uit deze congruentie volgt, dat /. Aj = /_ Dx.
l) Het teeken # beteekent „gelijk aan en evenwijdig met".



14
Fig. 9.
Opgave.
Bewijs nu met behulp van fig 9, waarin AB // DE en AC // DF is, dat /_ Aj en /. Dj eikaars supplement zijn.
§ 12. Opgaven.
- 1. Noem lijnen in deze kamer, die elkaar kruisen.
2. Teeken twee snijdende vlakken en:
a. in beide vlakken een lijn, zoodat die lijnen elkaar snijden;
b. in beide vlakken een lijn, zoodat die lijnen elkaar kruisen;
c. in beide vlakken een lijn, zoodat die lijnen evenwijdig zijn.
3. Teeken twee snijdende vlakken. Neem op de snijlijn een stuk AB. Teeken nu in 't eene vlak een A PAB en in 't andere een A QAB. Figuur PAQB, die nu ontstaat, heet een scheeve vierhoek.
4. De middens der zijden van een scheeven vierhoek zijn de ■ hoekpunten van een parallelogram. Bewijs.
5. Construeer uit 'n punt buiten 'n lijn de loodlijn op die lijn.
6. Construeer door 'n gegeven punt P een lijn evenwijdig aan 'n gegeven rechte a.
7. Bepaal op 'n gegeven rechte / twee punten M en N, die evenver van 'n gegeven punt A verwijderd zijn. Hoeveel van die puntenparen liggen er op l?
8. Construeer uit 'n gegeven punt een lijn, die twee kruisende lijnen snijdt.



15
DE RECHTE LIJN EN HET PLATTE VLAK.
a. Loodrechte stand.
§ 13. In fig. 10 snijdt de rechte AP het vlak V in P en maakt in P rechte hoeken met CP en DP, die beide in V liggen. AP is verlengd met 'n stuk PB = PA. C en D zijn met A en B en ook onderling verbonden. CD ligt in V. (waarom?)
Fig. 10.
We trekken nu in V 'n rechte uit P, die CD in E snijdt en verbinden E met A en B. Nu is:
a APC sa a BPC (z. h. z.), dus AC = BC;
a APD sa a BPD (z. h. z.), dus AD = BD. Nu is ook
a ACD sa a BCD (z. z. z.), waaruit weer volgt: AE = BE.
Maar dan is ook a APE sa a BPE (z. z. z.) en is Z APE = ZBPE.
Daar deze hoeken samen 180° zijn, moet ieder dus gelijk zijn aan 90°.
't Blijkt dus, dat AP niet alleen CP en DP loodrecht snijdt, maar ook iedere andere rechte in V door P getrokken.
Trekken we nu in V nog 'n andere rechte /, niet door P, dan zullen AP en / elkaar kruisen. De hoek, dien deze twee kruisende lijnen met elkaar maken, is gelijk aan den hoek gevormd door AP



16
en de rechte V in V door P evenwijdig aan l getrokken (zie § 9) en daar deze hoek volgens 't bovenstaande 90° is, zal dus AP de lijn l loodrecht kruisen»
We hebben nu de volgende
Eigenschap 6.
Staat een rethte loodrecht op twee snijdende lijnen in 'n vlak, dan snijdt ze of kruist ze iedere andere lijn in dat vlak loodrecht.
Definitie. Staat een rechte l rechthoekig op alle lijnen in een vlak V, dan zegt men, dat l loodrecht op V staat.
Volgens eig. 6 staat een rechte dus loodrecht op een vlak, als ze loodrecht staat op twee snijdende lijnen in dat vlak.
§ 14. Eigenschap 7.
Alle lijnen, die in 'n punt van 'n rechte loodrecht op die rechte getrokken kunnen worden, liggen in een plat vlak. (fig. 11).
Gegeven. BP, CP en DP staan loodrecht op AP. Te bewijzen. BP, CP en DP liggen in één vlak. Bewijs. Door de twee rechten PB en PD brengen we 'n vlak
V en we zullen nu aantoonen, dat ook PC in dat vlak moet liggen. We brengen daartoe 'n vlak W door PA en PC, dan zal W 't vlak
V snijden volgens 'n Hjn door P. (waarom?) Was die snijlijn nu niet PC maar 'n andere lijn b.v. PC', dan zonden in dat vlak W twee lijnen liggen beide in P loodrecht op AP, wat onmogelijk is. Bijgevolg zal 't vlak W 't vlak V snijden volgens PC en ligt PC dus in V.



17
Iedere andere lijn door P loodrecht op PA getrokken moet dus gelegen zijn in V.
Gevolg. Wentelt 'n rechte hoek om een zijner beenen, dan beschrijft het andere been een plat vlak.
Opgave. Door een punt eener rechte een vlak te brengen loodrecht op die rechte.
§ 15. Constructie. In een punt van 'n vlak een loodlijn op dat vlak op te richten, (fig. 12).
Trek door 't gegeven punt twee willekeurige lijnen in 't gegeven vlak V, b.v. a en b.
Richt in P 'n vlak W op loodrecht op a en een vlak U loodrecht op b, dan zullen deze twee vlakken, omdat zij 't punt P gemeen hebben, elkaar snijden volgens een rechte PQ.
Deze rechte PQ snijdt a loodrecht, omdat ze in W ligt en snijdt b loodrecht, omdat ze in U ligt. Zij maakt dus rechte hoeken met a en b beide in V gelegen en staat dus loodrecht op V.
Opgave. Bewijs nu, dat in P niet meer dan één loodlijn op V kan worden opgericht.
§ 16. Eigenschap 8.
Als van twee evenwijdigen de eene loodrecht staat op 'n vlak, dan staat de andere er ook loodrecht op. Gegeven. AB//CD; AB staat loodrecht op vlak V. (fig. 13). Te bewijzen. CD staat loodrecht op vlak V.
van beek—van heek, Stereometrie. * 2
Fig. 12.



18
Fig. 13.
Bewijs. Trek door B in 't vlak V twee willekeurige rechten BE en BF en door D twee andere daarmee evenwijdig, dus DG//BE en DH//BF. Nu zijn de hoeken ABE en ABF recht en moeten dus ook de hoeken CDG en CDH recht zijn, omdat de beenen der laatste evenwijdig zijn aan die der eerste. CD staat nu loodrecht op twee snijdende lijnen in V en dus ook loodrecht op V.
Opgave. Bewijs uit 't ongerijmde: Als twee rechten beide loodrecht op 'n zelfde vlak staan, zijn ze evenwijdig.
§ 17. Constructie. Uit 'n punt P bulten 'n vlak V 'n loodlijn op dat vlak neer te laten.
Richt in 'n willekeurig punt van V 'n loodlijn op (§ 15) en trek door P een rechte evenwijdig aan deze loodlijn (§ 12, no. 6), dan is dat de gevraagde.
Opgave. Toon nu aan, dat er uit P niet meer dan één loodlijn op V kan worden neergelaten.
Definitie. De lengte van de loodlijn, uit P op 't vlak V neergelaten, noemt men den afstand van P tot dat vlak.
§ 18. Opgaven.
1. Een lijn l staat loodrecht op 'n vlak V in 't punt A. Een andere lijn m ligt in V, maar gaat niet door A. Uit A trekt men nu de loodlijn op m. Een willekeurig punt van / verbindt men met 't voetpunt dier loodlijn. Bewijs, dat deze verbindingslijn en m loodrecht op elkaar staan.
2. In 't vlak V ligt een willekeurige A ABC. In 't middelpunt van den omgeschreven cirkel van A ABC richt men een loodlijn op V op. Bewijs, dat ieder punt dezer loodlijn even ver van A, B en C ligt.



19
3. De meetk. pl. der punten, die evenver verwijderd zijn van drie gegeven punten, die niet in één rechte liggen, is ....
4. Bewijs, dat de loodlijn uit 'n punt P op een vlak neergelaten, de kleinste is van alle lijnen, die men uit P naar dat vlak kan trekken.
5. Uit P trekt men naar 't vlak V de lijnen PA en PB en de loodlijn PC. Als nu CA < CB, dan is PA < PB. Bewijs.
6. Wat is de m.p. der snijpunten met vlak V van alle gelijke lijnen uit P naar V getrokken?
7. De lijn AB wordt door een vlak loodrecht middendoor gedeeld. Bewijs, dat ieder punt van dat vlak evenver ligt van A als van B.
De m.p. van alle punten, die even ver van twee gegeven punten verwijderd zijn, is ....
8. Op een gegeven lijn een punt te vinden, dat evenver ligt van twee gegeven punten.
9. Van twee lijnen, die elkaar onder een hoek van 90° snijden of kruisen, staat de eene loodrecht op 'n vlak. Bewijs, dat de andere evenwijdig loopt met dat vlak of er geheel in ligt.
10. Gegeven zijn twee elkaar snijdende vlakken. Uit 'n punt P, in geen der beide vlakken gelegen, laat men loodlijnen neer op die vlakken. Bewijs, dat de snijlijn der twee gegeven vlakken loodrecht staat op het vlak door die twee loodlijnen.
11. Alle evenwijdigen, die een zelfde rechte snijden, liggen in een plat vlak. Bewijs.
§ 19. Definitie. Onder de projectie van 'n punt A op
vlak V, verstaat men het voetpunt der loodlijn t A op V neergelaten, (fig. 14).
Wil men een rechte AB op 'n vlak V projecteeren, (fig. 14) dan
b. Schuine stand.
Fig. 14.



20
moest men eigenlijk alle punten van AB op V projecteeren. De projecties van al deze punten liggen in 't vlak door AA' en BB'; zij liggen echter ook in V, bijgevolg moeten ze liggen in de rechte, die beide vlakken gemeen hebben, hun snijlijn.
De projectie van 'n rechte op 'n plat vlak is dus weer een rechte.
Definities. Onder de projectie van 'n rechte op een plat vlak verstaat men de m.p. van de voetpunten der loodlijnen uit de punten der gegeven rechte op 't vlak neergelaten.
Onder den hoek, dien 'n schuine lijn met een plat vlak maakt, verstaat men den hoek, dien de lijn maakt met hare projectie op dat vlak.1)
c. Evenwijdige stand.
§ 20. Volgens §7 is 'n rechte evenwijdig met 'n vlak, als ze er, hoe ver ook verlengd, geen enkel punt mee gemeen heeft. Eigenschap 9.
Een lijn is evenwijdig met 'n vlak, als ze evenwijdig is met 'n lijn in dat vlak en zelf niet in 't vlak ligt. (fig. 15).
Fig. 15.
Gegeven. CD ligt in vlak V; AB //CD. Te bewijzen. AB // vlak V.
Bewijs. Door AB en CD kunnen we 'n vlak W brengen. Had nu AB met V 'n punt gemeen, dan moest dat punt liggen in V en in W, dus in de snijlijn CD dier vlakken, wat niet mogelijk is, omdat AB // CD is. Bijgevolg heeft AB geen enkel punt met V gemeen en is er dus mee evenwijdig.
*) Elke snijlijn, die niet loodrecht op 'n vlak staat, wordt ten opzichte van dat vlak een schuine lijn genoemd.



21
Eigenschap 10.
Als 'n lijn evenwijdig is met een vlak, dan zijn alle punten dier lijn evenver van dat vlak verwijderd, (fig. 15). Gegeven. AB // vlak V.
Te bewijzen. Alle punten van AB liggen evenver. van V.
Bewijs. De afstand van A tot 't vlak V is de loodlijn AC, de afstand van B tot V is de loodlijn BD. Door deze beide loodlijnen kan men een vlak brengen, waarin ook de rechten AB en CD liggen. Daar nu AB met V geen enkel punt gemeen heeft, zijn AB en CD evenwijdig. Maar dan is ABDC 'n rechthoek (parallelogram met rechte hoeken) en dus AC = BD.
Definitie. Onder den afstand van een lijn, die evenwijdig is met 'n vlak, tot dat vlak verstaat men de lengte van de loodlijn, uit een van de punten der lijn op het vlak neergelaten.
§ 21. Opgaven.
1. Uit 'n punt P buiten 'n vlak V is een lijn getrokken, die met V een hoek maakt van 45°. Als die lijn een lengte heeft van 8 c.M., hoe ver ligt P dan van V?
2. De afstand van Pnaar een vlak Vis 12c.M. Uit Ptrektmeneen lijn naar V van 20 c.M. lengte. Bereken de projectie van die lijn op V.
3. Een lijn AB snijdt vlak V onder een hoek van 60°. Uit A en B, die aan weerszijden van V liggen, laat men loodlijnen neer op V. Bereken de projectie van AB op V, als die loodlijnen resp. 12 en 15 c.M. zijn.
4. Uit 'n punt P zijn lijnen van gelijke lengte naar vlak Vgetrokken. Bewijs, dat deze lijnen het vlak Vonder gelijke hoeken snijden.
5. De lijn / loopt evenwijdig met vlak V. Door l brengt men een vlak, dat V snijdt. Bewijs, dat de snijlijn van dat vlak met V evenwijdig is met /.
6. Een lijn, die evenwijdig is met twee snijdende vlakken, is ook evenwijdig met de snijlijn dier vlakken. Bewijs.
7. Een lijn snijdt vlak V in P en staat loodrecht op de lijn m in V door P getrokken. Bewijs, dat m ook loodrecht staat op de projectie van l op V.
8. De projectie van een rechten hoek op een vlakV, is weereen rechte hoek, als een der beenen evenwijdig is aan het vlak V. Bewijs.



22
EVENWIJDIGE VLAKKEN.
§ 22. Definitie. Twee vlakken noemt men evenwijdig als ze, hoe ver ook uitgebreid, geen enkel punt gemeen hebben. Eigenschap 11.
Twee vlakken zijn evenwijdig, als ze loodrecht staan op dezelfde
lijn. (fig. 16). Gegeven. AB ±
vlak V en vlak W.
Te bewijzen. V//W.
Bewijs. Nemen we aan dat V en W een punt P gemeen hebben en verbinden we dat punt met C en met D (desnijpunten van AB met V en W), dan zou 'n driehoek ontstaan met twee rechte hoeken, een bij C en een bij D. Daar dit on¬
mogelijk is, kunnen V W geen enkel punt gemeen hebben en zijn ze dus evenwijdig. Eigenschap 12.
Twee vlakken zijn evenwijdig, als twee snijdende lijnen in 'teerste vlak evenwijdig zijn aan twee snijdende lijnen in het tweede vlak. (fig. 17).
Fig. 16.
Fig. 17.



23
Gegeven. AB en CD zijn snijdende lijnen in V. EF en GH zijn snijdende lijnen in W. AB//EF; CD//GH. Te bewijzen. V//W.
Bewijs. We richten in 'n willekeurig punt P van V 'n loodlijn op, dan staat deze loodrecht op AB en CD en omdat EF//AB en GH//CD, zal deze rechte ook loodrecht staan op EF en GH en bijgevolg loodrecht op W. V en W staan dan beide loodrecht op dezelfde rechte en zijn dus volgens eig. 11 evenwijdig.
Eigenschap 13.
Worden twee evenwijdige vlakken door 'n derde vlak gesneden, dan zijn de snijlijnen ook evenwijdig.
Gegeven. De vlakken V en W zijn evenwijdig. V en W worden gesneden door vlak Z. (fig. 18).
Te bewijzen. De snijlijnen AB en CD zijn evenwijdig.
Bewijs. AB en CD liggen beide in 't vlak Z, ze kunnen elkaar dus niet kruisen. Hadden ze 'n punt P gemeen, dan was P een punt van V en een punt van W; dan hadden de vlakken V en W een punt gemeen en waren dus niet evenwijdig. Bijgevolg kunnen AB en CD geen punt gemeen hebben en zijn ze evenwijdig.
Eigenschap 14.
Zijn twee vlakken evenwijdig, dan liggen alle punten van het eerste vlak evenver van het tweede, (fig. 19).
Fig. 18.



24
Fig. 19.
Gegeven. Vlak V//vlak W.
Te bewijzen. Alle punten van V liggen evenver van W.
Bewijs. De afstand van A tot W is de loodlijn AB op W; de afstand van C tot W is de loodlijn CD op W. Deze beide lijnen zijn evenwijdig. Door deze twee lijnen kunnen we een vlak brengen, dat V snijdt volgens AC en W volgens BD. Volgens de vorige eig. zijn deze doorsneden ook evenwijdig, zoodat ACDB een parallelogram is (rechthoek), waaruit volgt AB = CD.
Definitie. Onder den afstand van twee evenwijdige vlakken verstaat men de lengte van de loodlijn, uit 'n punt van 't eene vlak op 't andere neergelaten..
§ 23. Opgaven.
1. Een lijn snijdt twee evenwijdige vlakken onder gelijke hoeken. Bewijs.
2. Twee evenwijdige vlakken snijden van evenwijdige lijnen gelijke stukken af. Bewijs.
3. Uit 'n punt P van een van drie evenwijdige vlakken, trekt men twee lijnen, die de andere vlakken snijden. Bewijs, dat de stukken dezer lijnen, tusschen de evenwijdige vlakken gelegen, evenredig zijn.
4. Men trekt twee kruisende lijnen, die drie evenwijdige vlakken snijden. Bewijs, dat de stukken dezer lijnen, tusschen de evenwijdige vlakken gelegen, evenredig zijn.
5. Wat is de m.p. van de punten, die op gelijken afstand van een gegeven vlak verwijderd zijn?
6. Door een punt een vlak te brengen evenwijdig aan een gegeven vlak. (zie de opg. bij § 14).
7. Wat is de m.p. van de punten, die op gelijken afstand liggen van twee evenwijdige vlakken?



25
8. Als we twee evenwijdige lijnen op een plat vlak projecteeren, zijn de projecties evenwijdig. Bewijs.
9. Als we twee gelijke evenwijdige lijnen op een plat vlak projecteeren, zijn de projecties gelijk en evenwijdig. Bewijs.
10. Gegeven zijn twee evenwijdige (snijdende) lijnen p en q en een derde lijn, r, die p en q beide kruist. Gevraagd een lijn te trekken, die alle drie de lijnen snijdt. Hoeveel lijnen zijn er mogelijk?
U. Gegeven zijn twee kruisende lijnen p en q. Gevraagd een lijn te trekken, die beide lijnen loodrecht snijdt. (Trek door een punt van p een lijn r evenwijdig aan q. Breng een vlak V door p en r. Bepaal de projectie van q op dat vlak. Die projectie zal p snijden. In dat snijpunt richt men op 't vlak V de loodlijn op. Die loodlijn zal ook q rechthoekig snijden en is dus de gevraagde lijn.) De lengte van de lijn, die twee kruisende lijnen rechthoekig ontmoet, heet de afstand der kruisende' lijnen.
§ 24. Twee vlakken, die niet evenwijdig zijn, hebben een lijn gemeenschappelijk. Denken we ons die vlakken naar alle richtingen uitgebreid, behalve door de gemeenschappelijke lijn, dan heet de daardoor ontstane figuur een tweevlakshoek.
iweeviaks- Definitie. Een tweevlakshoek is de figuur, gevormd hoek. door twee vlakken, die elkaar ontmoeten, (fig. 20).
TWEEVLAKSHOEK.
Fig. 20.



2(
Ribbe. De gemeenschappelijke lijn der twee vlakken heet de ribbe, de Zijden, beide vlakken heeten de zijden van den tweevlakshoek.
Een tweevlakshoek wordt aangeduid door vier letters, waarvan de twee middelste bij de ribbe staan, terwijl bij ieder vlak een der twee andere geplaatst wordt. Zoo is in fig. 20 AB de ribbe en zijn de vlakken CAB en DAB de zijden van den tweevlakshoek D(AB)Cof C(AB)D.
Als er geen verwarring kan ontstaan, zijn de twee letters bij de ribbe voldoende om 'n tweevlakshoek aan te duiden; in fig. 20 zou men dus ook kunnen spreken van tweevlakshoek AB.
Trekt men door 'n willekeurig punt P van de ribbe 'n loodlijn op die ribbe in het vlak DAB en ook een in het vlak CAB en brengt men door die beide lijnen PE en PF een vlak, dan heet dit vlak een Standvlak. standvlak van den tweevlakshoek, terwijl de hoek, gevormd door Standhoek. EP en FP, de standhoek van den tweevlakshoek heet.
Nemen we een ander punt van de ribbe, b.v. Q en trekken we in dat punt op de ribbe loodlijnen, die gelegen zijn in de beide zijden, dan zal de aldus gevormde standhoek gelijk zijn aan den standhoek bij P, immers de beenen van /. Q zijn evenwijdig met die van 21 P en loopen in dezelfde richting. Hieruit volgt, dat de standhoek in elk punt der ribbe even groot is. Meten van De grootte van 'n tweevlakshoek wordt uitgedrukt in graden, mi-
tweevlaks- nuten en seconden en hij bevat van ieder evenveel als z'n standhoek. hoeken. '
Is b.v. de standhoek 72°23' 34", dan zegt men ook: de tweevlakshoek
is 72° 23'34". § 25. Eigenschap 15.
Indien 'n rechte AB loodrecht staat op 'n vlak V, dan zal ieder vlak door AB gebracht ook loodrecht op V staan. (fig. 21).
C
Fig. 21.



27
Gegeven. AB_i_vlak V. W is 'n vlak door AB. Te bewijzen. W_L V.
Bewijs. Wen V zullen loodrecht op elkaar staan, als hun standhoek recht is. Trekken we in V door 't punt B 'n rechte loodrecht op de snijlijn CD der beide vlakken V en W, dan is /_ ABE de standhoek. Daar ABj_ V, dus ook loodrecht staat op BE, is hoek ABE recht en staan dus de vlakken V en W loodrecht op elkaar.
Eigenschap 16. r'ïïr**
Als twee vlakken loodrecht op elkaar staan en men trekt in 't eene vlak een lijn loodrecht op de snijlijn der beide vlakken, dan staat die lijn loodrecht op 't tweede vlak. (fig. 21.)
Gegeven. De vlakken V en W staan loodrecht op elkaar. AB ligt in W. ABj. CD. (snijlijn van V en W.)
Te bewijzen. AB_lV.
Bewijs. ABj_ CD. Trekken we BE in V loodrecht op CD, dan is z. ABE (de standhoek) ook recht, omdat de vlakken V en W loodrecht op elkaar staan. AB staat dus loodrecht op CD en op BE (twee snijdende lijnen in V), bijgevolg staat AB loodrecht op V.
Eigenschap 17.
Als twee vlakken loodrecht op elkaar staan, dan zal 'n lijn, uit 'n punt van 't eerste vlak loodrecht op 't tweede neergelaten, in 't eerste vlak liggen, (fig. 22).
Gegeven. Vlak V± vlak W. A ligt in W. AB j_ V. Te bewijzen. AB ligt in W.
Bewijs. Veronderstellen we, dat AB niet lag in W, dan konden we uit A 'n lijn trekken in W loodrecht op de snijlijn CD. Deze lijn
Fig. 22.



28
staat volgens de vorige eig. loodrecht op V. We hadden dan uit A twee loodlijnen op V, wat niet mogelijk is (§ 17). De lijn AB moet dus in W liggen. Eigenschap 18.
Als twee snijdende vlakken V en W beide loodrecht staan op 'n derde vlak, dan staat de snijlijn van V en W ook loodrecht op dat derde vlak. (Hg. 23).
Fig. 23.
Gegeven. V en W zijn twee snijdende vlakken. AB is hun snijlijn. V_L vlak Zen Wi vlak Z. Te bewijzen. ABj_ Z.
Bewijs. Laat men uit 'n punt A van de snijlijn der beide vlakken V en W een loodlijn neer op Z, dan ligt die loodlijn volgens de vorige eig. zoowel in V als in W en is dus de snijlijn van V en W. Die snijlijn staat dus loodrecht op Z.
§ 26. Opgaven.
1. De standhoek van twee vlakken is 30°; 45°. Een punt in 't eene vlak ligt 12 cM. van 't andere vlak. Hoe ver ligt dat punt van de snijlijn der vlakken?
2. Als twee evenwijdige vlakken door een derde gesneden worden, zijn twee overeenkomstige standhoeken gelijk. Bewijs.
3. Een vlak, dat evenwijdig is aan de ribbe van een tweevlakshoek, snijdt beide zijden van dien tweevlakshoek volgens evenwijdige lijnen. Bewijs.



29
4. Wat is de m.p. der punten, die evenver verwijderd zijn van de zijden van een tweevlakshoek?
5. Op 'n gegeven lijn 'n punt te bepalen, dat evenver verwijderd is van de zijden van een tweevlakshoek.
6. Door een punt P, dat niet in vlak V ligt, een vlak brengen loodrecht op V. Hoeveel vlakken zijn mogelijk?
7. Uit 'n punt binnen een tweevlakshoek laat men loodlijnen neer op de zijden. Bewijs, dat de hoek dezer loodlijnen het supplement is van den standhoek van den tweevlakshoek.
8. Welke fig. verkrijgt men door een parallelogram te projecteeren? Wanneer is die projectie een rechte lijn?
9. Welke fig. verkrijgt men door een trapezium te projecteeren? Wanneer is die projectie een rechte lijn?
10. Wanneer is de projectie van een rechthoek op een vlak V weer een rechthoek?
11. Kan de projectie van een ruit weer een ruit zijn? Zoo ja, wanneer?
HET PRISMA.
§ 27. We denken ons éenige vlakken (minstens 3), die elkaar twee aan twee volgens evenwijdige lijnen ontmoeten. Brengen we nu nog twee evenwijdige vlakken aan, die al de eerstgenoemde ontmoeten, dan noemt men de verkregen figuur een prisma.
Definitie. Een prisma is de figuur, gevormd door eenige vlakken, die elkaar twee aan twee ontmoeten volgens evenwijdige lijnen en twee evenwijdige vlakken, die al de eerstgenoemde ontmoeten.
Zoo stelt fig. 24 een prisma voor, omdat ABCDE en FGHKL ovenwijdige vlakken en bovendien AF, BG, CH, DK en EL evenwijdige rechten zijn.
De twee evenwijdige vlakken ABCDE en FGHKL heeten resp. grond- en bovenvlak, de andere vlakken ABGF, BCHG, enz. noemt men opstaande zijvlakken. De rechten, waarin al deze vlakken elkaar ontmoeten, heeten ribben.



30
Fig. 24.
Naar gelang van het aantal opstaande zijvlakken spreekt men van driezijdige, vierzijdige, vijfzijdige, enz. prisma's. Zoo zijn de prisma's uit fig. 24 vijfzijdige prisma's, omdat ze vijf opstaande zijvlakken hebben.
Opgave. Geef het bewijs van de volgende eigenschappen:
a. Alle opstaande zijvlakken van 'n prisma en alle diagonaalvlakken zijn parallelograms *).
(Diagonaalvlakken zijn vlakken door twee niet op elkaar volgende opstaande ribben).
b. Grond- en bovenvlak van 'n prisma zijn congruente veelhoeken.
c. Evenwijdige doorsneden, waarbij alle opstaande ribben gesneden worden, zijn congruent.
§ 28. Als een opstaande ribbe van 'n prisma loodrecht op 't grondvlak staat, staan ze er allemaal loodrecht op (waarom?) en dus ook loodrecht op 't bovenvlak (waarom?).
Definitie. Een prisma, waarvan een opstaande ribbe loodrecht op 't grondvlak staat, heet een recht prisma.
Staan de opstaande ribben niet loodrecht op 't grondvlak, dan spreekt men van een scheef prisma.
*) Als we zeggen: dat vlak is een driehoek, parallelogram, cirkel, enz. bedoelen we: dat vlak wordt ingesloten door een driehoek, parallelogram, cirkel enz.



31
Zoo stelt fig. 241 een recht en fig. 24II een scheef prisma voor.
Definities. Een prisma, waarvan 't grondvlak een parallelogram is, heet 'n parallelopipedum.
Een recht prisma met een rechthoek als grondvlak heet 'n rechthoekig parallelopipedum.
Een recht prisma, waarvan 't grondvlak een regelmatige veelhoek is, heet 'n regelmatig prisma.
Onder de hoogte, van 'n prisma verstaat men den afstand tusschen grond- en bovenvlak.
Bij een recht prisma is die hoogte steeds gelijk aan de opstaande ribbe; bij een scheef prisma is ze gelijk aan de loodlijn uit 'n punt van 't bovenvlak op 't grondvlak neergelaten.
Uit bovenstaande definities volgt:
De opstaande zijvlakken van 'n recht prisma zijn rechthoeken. De opstaande zijvlakken van een rechthoekig parallelopipedum zijn rechthoeken, die twee aan twee congruent zijn. De opstaande zijvlakken van een regelmatig prisma zijn congruente rechthoeken.
§ 29. De lijnen, die twee hoekpunten verbinden, welke niet door een ribbe verbonden zijn, heeten diagonalen. Ligt zoo'n diagonaal in een der vlakken, dan heet zij 'n oppervlaksdiagonaal; ligt zij niet in een der vlakken, dan heet zij 'n lichaamsdiagonaal.
In fig. 25 zijn AG en CE lichaamsdiagonalen, AC en EG oppervlaksdiagonalen.
Fig. 25.;



32
Eigenschap 19.
De lichaamsdiagonalen van 'n parallelopipedum deelen elkaar middendoor, (fig. 25).
Gegeven. ABCDEFGH is 'n parallelopipedum. CE en AG zijn lichaamsdiagonalen.
Te bewijzen. CE en AG deelen elkaar middendoor.
Bewijs. Brengen we een vlak door AE en CG (waarom kan dat?) dan liggen beide lichaamsdiag. in dat vlak„omdat zij er ieder twee punten mee gemeen hebben. Nu is ACGE een parallelogram (waarom?), waarvan AG en CE de diagonalen zijn. AG en CE deelen elkaar dus middendoor.
Eigenschap 20.
In een rechthoekig parallelopipedum is 't vierkant van een lichaamsdiagonaal gelijk aan de som van de vierkanten der ribben, die in een hoekpunt samenkomen, (fig. 26).
Fig- 26> BH2 = BA2 + BC2 + BF2.
Opmerking. Zijn in een rechth. parallelopipedum de ribben, die in een hoekpunt samenkomen, gelijk, dan hebben we een kubus.
§ 30. Opgaven.
1. Teeken een regelmatig driezijdig prisma. (Een zijde van 't grondvlak evenwijdig aan 't vlak van teekening).
2. Teeken een regelmatig zeszijdig prisma. (Een zijde van 't grondvlak evenwijdig aan 't vlak van teekening).
3. Bewijs, dat de lichaamsdiag. van een rechthoekig parallelopipedum gelijk zijn.
Gegeven. ABCDEFGH is 'n rechth. parallelopipedum. Te bewijzen. BH* = BA2
+ BC2 + BF.
Bewijs. We trekken de lijn BD, dan is, omdat A BDH rechthoekig is, BH2 = BD2 + DH2. Nu is, omdat A ABD rechthoekig is, BD2 = BA2 + AD2. We krijgen dus BH2 = BA2 + AD2 + DH2. Vervangen we hierin AD* door BC2 en DH2 door BP, dan is



33
4. Van een rechth. parallelopipedum zijn de ribben, die in een hoekpunt samenkomen 3, 4 en 5 dM. Bereken de lichaamsdiag.
5. Bereken de lichaamsdiag. van een kubus, waarvan de ribbe 6 cM. is. Ook als de ribbe a is.
6. Bereken de ribbe van 'n kubus, als de lichaamsdiagonaal d is.
7. Hoeveel lichaamsdiag. kan men in een vierzijdig prisma uit één hoekpunt trekken? Hoeveel in 't geheel?
8. Dezelfde vragen voor een vijfzijdigprisma. Voor een n-zijdig prisma.
9. Twee oppervlaksdiag. van een kubus, die in hetzelfde hoekpunt samenkomen, vormen een hoek van 60°. Bewijs.
10. Als van een rechth. parallelopipedum de zijden van 't grondvlak 3 en 4 zijn en de opstaande ribbe5c.M.is, welken hoek maakt dan een lichaamsdiag. met 't grondvlak?
11. Bewijs, dat de lichaamsdiagonalen van een parallelopipedum elkaar in één punt snijden.
12. Bewijs, dat in een parallelopipedum de som van de kwadraten der lichaamsdiag. gelijk is aan de som van de kwadraten der ribben.
Het netwerk van een prisma.
§ 31. Nevenstaande fig. 27 stelt voor 'n recht driezijdig prisma. De hoogtelijn uit B op de zijde AC van 't grondvlak is gelijk aan die zijde en verdeelt ze in stukken, die zich verhouden als 2 : 1.
Denken we het vlak ACFD uitgebreid en laten we nu de vlakken ABED, BCFE, ABC en DEF draaien resp. om AD, CF, AC en DF tot ze alle liggen in 't vlak ACFD, dan ontNetwerk. staat het netwerk van het gegeven prisma. (Zie fig. 28).
Omdat het gegeven prisma recht is, zullen de zijden van 't grondvlak
van beek—van heek, Stereometrie. *



34
in eikaars verlengde vallen, evenals die van 't bovenvlak en zullen de opstaande zijvlakken te zamen een rechthoek vormen, (rechthoek E'B'B"E" in fig. 28).
Fig. 28.
§ 32. Construeer het netwerk van een scheef parallelopipedum, als gegeven zijn de drie ribben, die-in een hoekpunt samenkomen, benevens de hoeken, die deze ribben twee aan twee met elkaar maken.
Zij nevenstaande fig. 29 de stereometrische teekening van 't bedoelde parallelopipedum. De lijntjes a, b en c geven resp. de ribben AB, AD en AE in ware grootte, terwijl de hoeken DAB, EAB en EAD resp. 60°, 75° en 90° zijn.
Zij CDHG het vlak van teekening. Het grond- en bovenvlak zijn parallelograms, die, omdat alle zijden en hoeken bekend zijn, eenvoudig zijn te construeeren. 't Vlak ABFE draaien we om AE tot 't ligt in 't vlak ADHE en dan deze beide om DH, tot ze liggen



35
in 't vlak van teekening en vervolgens BCGF om CG eveneens tot 't ligt in 't vlak van teekening.
Fig. 29.
De constructie is nu eenvoudig uit te voeren. Zie figuur 30.
Fig. 30.



3fi
§ 33. Constructie der doorsnede van een prisma met een plat vlak.
Gegeven. Het vijfzijdig prisma uit fig. 31.
Gevraagd. De doorsnede te bepalen van dat prisma met het vlak, waarvan gegeven zijn de punten P op AF, Q op EL en R op BG.
Constructie. QP snijdt 't verlengde van EA in M; PR snijdt 't verlengde van AB in N. M en N zijn twee punten, gelegen in 't grondvlak en in 't snijvlak, bijgevolg zal MN de doorsnede zijn van grond- en snijvlak. De doorsnede van 't snijvlak met BCHG zal 't grondvlak dus ook moeten snijden in 'n punt van MN. Verleng CB tot ze MN snijdt in O, verbind O met R en trek deze verbindingslijn door tot ze CH in S snijdt, dan is S weer 'n punt der doorsnede. Op gelijke wijze bepaalt men met behulp van 't punt Z de doorsnede T met de ribbe DK. Verbind nu P, R, S, T en Q, dan is dat de gevraagde doorsnede.
§ 34. Opgaven.
1. Van 'n rechth. parallelopipedum zijn de ribben, die in een hoekpunt samenkomen, resp. 2, 3 en 4 cM. Construeer het netwerk van dat parallelopipedum.
Fig. 31.



37
2. Van 't grondvlak ABCD van 'n parallelopipedum zijn de zijden AB = 3, AD = 4 cM., terwijl de opstaande ribbe AE = 5 cM. is. Verder is gegeven z. BAD = 60°, Z. EAB = 45° en z EAD = 75°. Construeer het netwerk van dat parallelopipedum.
3. Bepaal de doorsnede van 'n vijfzijdig prisma met een vlak, waarvan gegeven zijn 3 punten op 3 opvolgende opstaande ribben. j y'|j
4. Ook als gegeven zijn 2 punten op 2 opvolgende opstaande ribben en één punt in een opstaand zijvlak, waarin slechts één der bovengenoemde ribben ligt.
5. Evenzoo als gegeven zijn één punt op 'n ribbe, één punt in 'n zijvlak en één punt in een diagonaalvlak, als die ribbe in dat zijvlak en in dat diagonaalvlak ligt.
6. Construeer den hoek, waaronder twee lichaamsdiag. van 'n kubus elkaar snijden.
7. Welken hoek vormen in den kubus ABCDEFGH (fig. 32) de volgende diagonalen met elkaar:
AH en ED;
AH en FC;
EG en BD;
EG en GB;
DB en HC?
Fig. 32.
8. Construeer de doorsnede van den kubus met 't vlak door de middens der ribben AE, EH en HG. (fig. 32.)
9. Bewijs, dat bij 'n kubus 'n oppervlaksdiag. en een lichaamsdiag., die elkaar niet snijden, elkaar loodrecht kruisen. (Toon aan, dat AC loodrecht staat op twee snijdende lijnen in 't vlak BDHF, waarin de diag. FD is gelegen, fig. 32).
10. Bewijs, dat de lichaamsdiag. FD (fig. 32) loodrecht staat op 't vlak door de uiteinden der ribben, die in F samenkomen.
11. Construeer 't punt, waarin de lichaamsdiag. dat vlak snijdt.
12. Bewijs, dat de doorsnede uit no. 8 een regelmatige zeshoek is.



38
Oppervlak en Inhoud van het prisma.
Oppervlak. § 35. Definities. Onder het oppervlak van een ruimtefiguur verstaat men de som der oppervlakken van al de vlakken, die de figuur vormen.
Onder het zijdelingsch oppervlak van een prisma verstaat men de som der oppervlakken van de opstaande zijvlakken.
De opstaande zijvlakken van 'n prisma zijn steeds parallelograms, het grond- en bovenvlak zijn willekeurige of regelmatige veelhoeken. Van al deze figuren is de oppervlakteberekening behandeld in de planimetrie.
§ 36. Brengen we in 'n scheef prisma 'n vlak aan, dat loodrecht staat op een der opstaande ribben, dan noemt men de doorsnede van dat vlak met het prisma een loodrechte doorsnede.
§ 37. Opgaven.
1. Alle loodrechte doorsneden van 'n prisma zijn congruent. Bewijs.
2. 't. Zijdelingsch oppervlak van 'n recht prisma is gelijk aan 't produkt van een opstaande ribbe en den omtrek van 't grondvlak. Bewijs.
3. 't Zijdelingsch opp. van 'n scheef prisma is gelijk aan 't produkt van een opstaande ribbe en den omtrek der loodrechte doorsnede. Bewijs.
4. Geldt de eig. uit no. 3 ook voor 'n recht prisma?
Inhoud. § 38. Definitie. Onder den inhoud van een ruimtefiguur verstaat men het deel der ruimte, dat door die figuur wordt ingesloten.
Beschouwt men alleen den inhoud van 'n ruimtefiguur, dan spreekt men van een lichaam.
Bij de bepaling van inhouden kan men als eenheid gebruiken een cM8, dM8, M3, enz. Inhouden worden echter nooit gemeten, wel berekend. Het eenvoudigst heeft dit plaats bij een rechthoekig parallelopipedum. (recht blok) Men meet de drie ribben, die in een hoekpunt samenkomen. Ter onderscheiding noemt men die



39
wel lengte, breedte en hoogte. Zij b.v. de lengte l cM., de breedte b cM en de hoogte ft cM, dan is de inhoud / xb x ft cM8. Men vindt dus het aantal inhoudseenheden van 'n rechth. parallelopipedum door de aantallen lengteëenheden van lengte, breedte en hoogte te vermenigvuldigen. In den regel zegt men dit kortweg — hoewel minder nauwkeurig — aldus:
De inhoud van 'n rechth. parallelopipedum is gelijk aan het produkt van lengte, breedte en hoogte.
In formulevorm: rechth. parallelop. = 1. x br. x h.
Daar lengte x breedte m opp. grondvlak, zegt men ook: I Rechth. De inhoud van een rechth. parallelop. is gelijk aan het produkt f x*b x°h= van grondvlak en ho°gte-
grvi. x h. In formulevorm: rechth. parallelop. = grondvl. x hoogte.
§ 39. Recht parallelopipedum.
Zij ABCDEFGH een recht parallelopipedum. (fig. 33.) Trekken we in 't grondvlak uit C en D de loodlijnen CL en DK en brengen we resp. door CL en CG en door DK en DH vlakken, die 't bovenvlak snijden volgens GM en HN en 't voorvlak volgens ML en NK, dan is er ontstaan 't rechth. parallelop. KLCDNMGH, waarvan volgens de vorige § de inhoud gelijk is aan grondvl. x hoogte dus: KLCD x CG.
Nu zijn de rechte driezijdige prisma's BLCFMG en AKDENH congruent, d.w. z. ze kunnen zoo geplaatst worden, dat ze geheel samenvallen.



40
Het rechth. parallelop. KLCDNMGH kunnen we ons dus ontstaan denken, door van het gegeven parallelop. links het recht driezijdig prisma AKDENH af te nemen en dat rechts toe te voegen, waaruit dan volgt, dat de inhoud van 't gegeven parallelop. gelijk is aan dien van 't verkregen rechth. parallelop.; dus: inhoud ABCDEFGH = KLCD x CG.
In de planimetrie nu is aangetoond, dat opp. KLCD = opp. ABCD, zoodat we krijgen:
inhoud ABCDEFGH = opp. ABCD x CG = grondvl. x hoogte. Recht De Inhoud van 'n recht parallelopipedum Is gelijk aan 't produkt P grvl6 xP'h= van Srondvlak en hoogte.
In formulevorm: Recht parallelop. = grvl. x hoogte.
§ 40. Recht driezijdig prisma.
We hebben een recht parallelop. ABCDEFGH. (fig. 34). We jj- brengen 't diagonaalvlak aan door
Br en DH. Er ontstaan daardoor 2 rechte driezijdige prisma's, die congruent zijn. Ze hebben dus gelijken inhoud. Ieder zal dus gelijk zijn aan de helft van 't gegeven parallelop. Inhoud gegeven parallelop.= grondvlak x hoogte = ABCD x BF. Inhoud driezijdig prisma dus | ABCD x BF = ABD x BF = grondvl.
Fig. 34. Bh = ABD x BF = grondvl.
driezijdig prisma x hoogte. Recht 3-zij- De inhoud van 'n recht 3-zijdig prisma is gelijk aan 't produkt grvl X h= van gfon^vk»k en hoogte.
In formulevorm: Recht 3-zijdig prisma = grvl. x hoogte.
§ 41. Willekeurig recht prisma.
Ieder willekeurig recht prisma kan door diagonaalvlakken verdeeld worden in rechte 3-zijdige prisma's. Zoo kan het rechte 6-zijdige prisma uit fig. 35 door diagonaalvlakken verdeeld worden in de volgende 3-zijdige:
ABCGHK, ACDGKL, ADFGLN en DEFLMN.



41
Nu is:
inh. ABCGHK = ABC x CK; 1 U ACDGKL =ACDxCK;| Nu is echter
„ ADFGLN = ADF X DL; I CK = DL =
„ DEFLMN = DEF x DL. ] h°°8te 6"zijdig prisma-
op
inh. 6-zijdig prisma = (ABC + ACD + ADF + DEF) x hoogte prisma = grondvlak x hoogte.
Fig. 35.
Voor ieder ander recht prisma wordt het bewijs op dezelfde manier gegeven, dus: Recht prisma De inhoud van 'n willekeurig recht prisma is gelijk aan 't produkt p grv1, x h* van grondvlak en hoogte.
In formulevorm: Recht prisma = grondvl. x hoogte.
Inhoud van scheeve prisma's. § 42. Willekeurig scheef prisma.
Zij gegeven het scheeve prisma ABCDEFGHKL. (fig. 36). We brengen door 'n willekeurig punt M van AF een vlak loodrecht op AF, dan ontstaat de loodrechte doorsnede MNOPQ.



42
Bepalen we nu op 't verlengde van AF het punt R, zoodanig dat FR = AM en brengen we ook door R een vlak loodrecht op de ribbe AF, dan krijgen we de loodrechte doorsnede RSTVW.
Fig. 36.
MNOPQRSTVW is nu 'n recht prisma, waarvan de inhoud is grondvl. x hoogte, dus Opp. MNOPQ X MR.
De inhoud van MNOPQABCDE is gelijk aan den inhoud van RSTVWFGHKL, immers door MNOPQABCDE evenwijdig te verschuiven kan 't volkomen de ruimte van RSTVWFGHKL innemen (grondvl. zijn congruent en de opstaande ribben twee aan twee gelijk). Hieruit volgt:
inh. prisma ABCDEFGHKL = inh. recht prisma MNOPQRSTVW of
inh. prisma ABCDEFGHKL = opp. MNOPQ x MR,
maar omdat MR = AF kunnen we ook schrijven:
inh. scheef prisma ABCDEFGHKL =opp. MNOPQ X AF.



43
Scheef pris- De inhoud van 'n willekeurig scheef prisma is gelijk aan 't produkt
ma = loodr. van z>n loodrechte doorsnede en de opstaande ribbe.
doorsnede X . „ . „ , „ . fJj .
Opst ribbe ui lunuuicvuiui: okiicci piiMim = iuuui . uuursucuc a. upsi. iiuuc.
§ 43. Scheef parallelopipedum.
Zij gegeven het scheeve parallelopipedum ABCDEFGH (fig. 37). We brengen de loodrechte doorsnede KLMN aan, dan is volgens 't voorgaande de inhoud van 't parallelop. gelijk aan KLMN x AB.
KLMN is 'n parallelogram (waarom?), waarvan het opp. gelijk is aan KL x NO, zoodat we voor den inhoud van 't parallelop. ook kunnen schrijven AB x KL x NO. Maar omdat KLMN een loodrechte doorsnede is, staat KL loodrecht op AB en is dus AB x KL gelijk aan het opp. van 't grondvlak. De inh. van 't parallelop. is dus opp. grondvlak x NO, maar NO is de hoogte van 't parallelop., dus Scheef De inhoud van 'n scheef parallelop. Is gelijk aan 't produkt van
,ï?xPh= grondv,ak en hoogte.
In formulevorm: Scheef parallelop. = grondvl. x hoogte.
Fig. 37.
§ 44. Scheef driezijdig prisma.
We hebben een scheef parallelop. ABCDEFGH (fig. 38) met loodrechte doorsnede KLMN. We brengen 'n vlak aan door BF en DH (diagonaalvlak), dat de loodrechte doorsnede zal snijden



44
volgens LN. Er ontstaan nu 2 scheeve 3-zijdige prisma's met congruente loodrechte doorsneden LKN en LMN en gelijke opstaande ribben. Ze hebben daarom gelijken inhoud. Ieder zal dus gelijk zijn aan de helft van 't gegeven parallelop.
Fig. 38.
Inhoud gegeven parallelop. = gr.vl. x hoogte = ABCD x hoogte.
Inh. scheef 3-zijdig prisma = \ ABCD x hoogte = ABD x h. = grondvl. 3-zijdig prisma x hoogte. Scheef 3-z. De inhoud van 'n scheef driezijdig prisma Is gelijk aan 't produkt prisma = Van grondvlak en hoogte.
grvl. x h. In formuievorm: Scheef 3-zijdig prisma = gr.vl. x hoogte. § 45. Willekeurig scheef prisma.
Evenals 'n recht prisma kunnen we een scheef prisma door diagonaalvlakken verdeden in 3-zijdige prisma's. Op gelijke wijze als in § 41 bewijzen we dan: Wiliek.scheef De inhoud van 'n willekeurig scheef prisma is gelijk aan prisma = >f proaukt van grondvlak en hoogte.
grvl. x h. In formuievorm: Willekeurig scheef prisma = grvl. x hoogte.
Uit de §§ 38 tot en met 45 blijkt dus: Eigenschap 21.
Prisma = De inhoud van leder prisma is gelijk aan t produkt van grondgrvl. x h. vtók en hoogte of
Inhoud prisma = grondvlak x hoogte.



45
§ 46. Opgaven.
1. Van een rechth. parallelop. zijn de lengte, breedte en hoogte resp. 3, 4 en 5 d.M. Bereken het opp. en den inhoud van dat parallelopipedum.
2. Eveneens, als de afmetingen 5, 3-^3 en 6^/3 d,M. zijn.
3. Een recht 3-zijdig prisma heeft tot grondvlak een rechth. driehoek met 'n hoek van 60°. De kleinste zijde van dien driehoek is 5. De hoogte van 't prisma is li maal de schuine zijde van 't grondvlak. Bereken van dat prisma het zijdelingsch oppervlak, het totale oppervlak en den inhoud.
4. Een rechth. parallelop. en 'n kubus hebben gelijken inhoud. De afmetingen van het parallelop. zijn 72, 150 en 160 c.M. Bereken de ribbe van den kubus.
5. Van 'n rechth. parallelop. is de oppervlakte 22,32 d.M.2, terwijl lengte, breedte en hoogte zich verhouden als 3 : 2 : 5. Gevraagd de inhoud van dat parallelopipedum.
6. Van 'n recht 3-zijdig prisma zijn de zijden van 't grondvlak resp. 17, 25 en 26 c.M.; de hoogte van *t prisma is 45 c.M. Bereken den inhoud.
7. Van 'n recht parallelop. heeft het grondvlak 'n hoek van 30°, terwijl de omliggende zijden van 't grondvlak 10 en \5y/3 zijn. De hoogte van 't prisma is gelijk aan 2-maal den afstand der kleinste zijden van 't grondvlak. Hoeveel bedraagt de inhoud van dat parallelopipedum?
8. Van 'n regelmatig zeszijdig prisma is 'n zijde van 't grondvlak a. De hoogte is gelijk aan de kleinste diag. van 't grondvlak. Bereken opp. en inhoud van dat prisma.
9. Van 'n kubus is de lichaamsdiag. d. Druk opp. en inhoud van dien kubus in d uit.
10. Van 2 kuben is de zijde van de grootste gelijk aan de lichaamsdiag. van de kleinste. Hoe verhouden zich de oppervlakken en hoe de inhouden?
11. Van 'n rechth. parallelop. zijn de 3 vlakken, die in één hoekpunt samenkomen resp. 54, 144 en 216 c.M.2 groot. Bereken den inhoud van dat parallelopipedum.
12. Van 'n rechth. parallelop. heeft het grondvlak een opp. van 48 en een opstaand zijvlak een opp. van 72 c.M.2, terwijl het zijdelingsch opp. 336 c.M* bedraagt.
Bepaal den inhoud van dat parallelopipedum.



46
13. Van 'n kolenbak hebben de twee zijwanden, die lood-
otacm npironctaanrfon vnrm IR — DA
recht op het rechthoekige grondvlak staan, nevenstaanden vorm. AB = 24 c.M., de punten C, D en F liggen resp. 12, 36 en 16 c.M. boven het grondvlak. De hoeken A, B en C zijn 135°, terwijl de hoeken D en F 90° zijn. De bak is 44 c.M. breed. Bepaal den inhoud in Liters.
_,. „. ziui. uc Dan is f* c.iyi. ureeu. oeuaai
Fig. 39. ' r
den inhoud in Liters.
14. Een open houten bakje is buitenwerks 2\ d.M. lang, 18 c.M. breed en 15 c.M. hoog. De bodem is 2\ c.M. dik, de opstaande wanden 2 c.M. Het wordt overal, zoowel van buiten als van binnen, bekleed met een laagje lood ter dikte van 5 m.M. Hoeveel weegt het lood, dat daarvoor noodig is, als het S.G. van lood \\\ is?
15. Een sloot, lang 100 M. is boven 1,5 M., onder 0,9 M. wijd, terwijl de diepte 1 M. is. Hoeveel M.8 aarde is bij het graven verwerkt?
16. Een betonnen regenbak, die den vorm heeft van 'n rechth. parallelop., is van boven open. De afmetingen zijn binnenwerks 12, 9 en 15 d.M. De wanden zijn 4, de bodem is 5 c.M. dik. Hoe zwaar weegt die bak, als het S. G. van beton 2,6 is?
17. Een recht parallelop. heeft 'n ruit tot grondvlak. De diag. van die ruit zijn 24 en 10, terwijl de hoogte van het parallelop. 32 c.M. is. Bereken den inhoud en het opp. van dat parallelopipedum.
18. Een regelmatig 3-zijdig prisma wordt door een vlak, evenwijdig aan de eindvlakken, middendoor gedeeld. Deze helften worden tot 'n 4-zijdig prisma aan elkaar gevoegd. Van welk prisma is het opp. het grootst en waarvan hangt dit af?
19. De verhouding der oppervlakken van twee kuben is 0,81. Hoe verhouden zich de inhouden?
20. Een kubus wordt middendoor gedeeld door een diagonaalvlak. Een andere even groote kubus door 'n vlak evenwijdig aan 'n zijvlak. Hoe verhouden zich de oppervlakken der halve kuben?
21. Van 'n regelmatig 4-zijdig prisma is de lichaamsdiag. 3-maal



47
zoo groot als 'n diag. van 't grondvlak. Druk den inhoud van dit prisma uit in de diag. d van 't grondvlak.
22. De diagonaalvlakken van een vierzijdig prisma snijden elkaar volgens 'n lijn evenwijdig aan de opstaande ribben. Bewijs.
23. Een scheef vierzijdig prisma heeft tot grondvlak 'n rechthoek, waarvan de lengte a en de breedte b is. De opstaande ribbe is c lang en maakt met 't grondvlak een hoek van 60°. Bereken den inhoud van dat prisma.
24. De inhoud van een 3-zijdig prisma is gelijk aan het halve produkt van een opstaand zijvlak en den afstand der nietaanliggende opstaande ribbe tot dit zijvlak. Bewijs.
25. Een gesloten glazen vat heeft den vorm van 'n rechth. parallelop. met een vierkant tot grondvlak en is gedeeltelijk met vloeistof gevuld. Plaatst men het op z'n grondvlak, dan is de afstand van den vloeistofspiegel tot het bovenvlak 8 cJA.; plaatst men het op een zijvlak, dan wordt die afstand 3 cM. Het gezamenlijke oppervlak der binnenwanden bedraagt 1026 c.M.2 Hoeveel c.M.8 vloeistof is er in het vat?
26. De zwaartepunten van alle driehoeken, wier zijden doorkneden zijn van vlakken met de opstaande zijvlakken van een 3-zijdig prisma, liggen in een rechte lijn. Bewijs.
27. In een bak, lang 75, breed 60 en diep 80 c.M., ontstaat aan de achterzijde een lek, 15 c.M. onder den rand. Als men dezen bak nu voorover laat hellen, tot er geen vloeistof meer uitvloeit, hoeveel L. bevat de bak dan?
28. Het voorvlak van een parallelop. bevat een hoek van 60° en maakt met het grondvlak een hoek van 60°. Het grondvlak is een ruit met een hoek van 60°. Als de opstaande ribbe van dat parallelop. a is en de zijde van 't grondvl. b, bereken dan den inhoud van dat parallelopipedum.
29. Van een 3-zijdig prisma maken de ribben, die in één hoekpunt van 't grondvlak samenkomen, twee aan twee hoeken van 60°. Alle drie deze ribben zijn gelijk aan a. Bereken den inhoud van 't prisma.
30. Van een kubus met grondvlak ABCD verbindt men het midden M van het bovenvlak met C. Bewijs, dat BD en MC elkander loodrecht kruisen. (Hoofdakte 1926).



48
DE PYRAMIDE.
Pyramlde.
Fig. 40.
§ 47. We denken ons eenige vlakken, die elkaar twee aan twee
ontmoeten volgens lijnen,
die alle door eenzelfde punt gaan, benevens een vlak, dat al de eerstgenoemde ontmoet, dan heet de figuur, die gevormd wordt, een pyramide.
Definitie. Een pyramide is de figuur gevormd door eenige vlakken die elkaar twee aan twee ontmoeten volgens lijnen, die alle door eenzelfde punt gaan en een vlak, dat al de eerstgenoemde
ontmoet.
Zoo stelt fig. 40 een pyramide voor, omdat 't vlak ABCDE alle andere vlakken ontmoet en omdat de snijlijnen van die andere vlakken een gemeenschappelijk punt T hebben. Dat gemeenschappelijke punt is de top der pyramide. Het vlak ABCDE noemt men het grondvlak, de vlakken TAB, TBC, TCD, TDE en TEA heeten de opstaande zijvlakken.
Evenals bij een prisma spreekt men, naar gelang van het aantal opstaande zijvlakken, van driezijdige, vierzijdige, vijfzijdige, enz. pyramiden. Zoo is de pyramide uit fig. 40 een vijfzijdige, omdat ze vijf opstaande zijvlakken heeft.
De loodlijn uit den top op 't grondvlak neergelaten is de hoogte der pyramide. (fig. 40. TH).
Definitie. Een pyramide, waarvan 't grondvlak een regelmatige veelhoek is en waarvan 't voetpunt der hoogtelijn samenvalt met 't middelpunt van 't grondvlak, heet een regelmatige pyramide.
§ 48. Opgaven.
1. Bewijs, dat de opstaande ribben van een regelmatige pyramide gelijk zijn.



49
2. Bewijs, dat de opstaande zijvlakken van een regelmatige pyramide congruente gelijkbeenige driehoeken zijn. Apothema. De hoogtelijn in deze driehoeken heet het apothema der
regelmatige pyramide.
§ 49. Eigenschap 22.
a. Een vlak evenwijdig aan 't grondvlak van een pyramide verdeelt de opstaande ribben en de hoogte in evenredige stukken.
b. De doorsnede is gelijkvormig met 't grondvlak.
Gegeven. De pyramide uit fig.
41. 't Vlak door DEF is evenwijdig aan 't grondvlak.
Te bewijzen, a. TE : EB = TD : DA = TG : GM.
b. Grondvlak en doorsnede zijn gelijkvormig.
Bewijs, a. Worden twee evenwijdige vlakken door een derde vlak gesneden, dan zijn de snijlijnen evenwijdig (eig. 13). In A TAB is dus DE//AB, waaruit volgt:
A B TE : EB = TD : DA.
pj_ 4j Evenzoo worden ook de an¬
dere opstaande ribben verdeeld in stukken, die evenredig zijn met TD en DA.
Snijdt de hoogtelijn TM de doorsnede in G, dan is volgens de genoemde eigenschap DG//AM, waaruit volgt TG: GM — TD: DA.
b. Trekken we in 't grondvlak de diagonalen uit A en in 't snijvlak die uit D, dan worden grondvlak en doorsnede verdeeld in driehoeken, die twee aan twee gelijkvormig zijn, omdat ze de hoeken gelijk hebben. (Die hoeken zijn gelijk, omdat hun beenen twee aan twee evenwijdig zijn.) Bovendien sluiten deze driehoeken in beide figuren op gelijke wijze aan elkaar. Hieruit volgtj dat 't grondvlak gelijkvormig is met de doorsnede.
Afgeknotte §50. Definitie. Snijdt men een pyramide door 'n pyramide. vlak evenwijdig aan 't grondvlak, dan noemt men de figuur, gevormd door doorsnede, grondvlak van beek—van heek, Stereometrie. * 4



50
en de daartusschen gelegen deelen der opstaande zijvlakken, een afgeknotte pyramide.
Van de twee evenwijdige vlakken noemt men 't grootste grondvlak (fig. 42 : ABCD), het kleinste bovenvlak. (EFGH). De niet-
evenwijdige vlakken heeten opstaande zijvlakken.
De afstand tusschen gronden bovenvlak is de hoogte der afgeknotte pyramide (fig. 42: NM). Wordt een regelmatige pyramide gesneden door 'n vlak evenwijdig aan 't grondvlak, dan ontstaat een regelmatige afgeknotte pyramide.
Opgave. Bewijs, dat de opstaande zijvlakken van een
regelmatige afgeknotte pyramide gelijkbeenige trapeziums zijn. De hoogte in deze trapeziums heet het apothema der afgeknotte pyramide.
§ 51. Het viervlak. Viervlak. Ben driezijdige pyramide noemt men, omdat ze door vier vlakken
gevormd wordt, ook wel een viervlak. Elk der vier vlakken kan men als grondvlak beschouwen, terwijl het tegenoverliggende hoekpunt dan de top is.
Twee ribben, die niet in 'n zelfde vlak gelegen zijn, noemt men overstaande ribben. In fig. 43 zijn AD en BC, AB en CD, AC en BD overstaande ribben.
Definitie. Een lijn, die 'n hoekpunt van 'n viervlak verbindt met het
zwaartepunt van het overstaande zijvlak, heet Zwaartelijn. een zwaartelijn van het viervlak.
In fig. 43 is DE zoo'n zwaartelijn.
Vraag. Hoeveel zwaartelijnen heeft een viervlak?
Fig. 43.



51
Netwerk. § 52. Het netwerk van een pyramide.
Nevenstaande fig. 44 stelt 'n vierzijdige pyramide voor. Denken j, we het viak ABCD uitgebreid en
laten we de opstaande zijvlakken ABT, BCT, CDT en ADT buitenwaarts draaien resp. om AB, BC, CD en AD tot ze alle liggen in 't vlak ABCD, dan ontstaat het netwerk der pyramide. (fig. 45).
De lijnen TjA, TXB, TaB, TaC, T8C, T8D, T4D, T4A stellen de opstaande ribben van de pyramide voor en wel zóó, dat TA (fig. 44) = TXA = T4A; TB = TXB = T2B; TC = T2C = T8C; TD = T D =T4D.
ABCD uit fig. 45 is 't grondvlak der pyramide.
Fig. 45.
§ 53. Constructie der doorsnede van een pyramide met een plat vlak.
Op de ribben TA, TB en TC van de pyramide TABCDE zijn resp. de punten P, Q en R gegeven. Construeer de doorsnede van het vlak PQR met de opstaande zijvlakken en met het grondvlak van de pyramide (fig. 46).
AB ligt in 't grondvlak, PQ in 't snijvlak, 't Snijpunt M van AB



52
en PQ zal dus liggen in 't grondvlak en in 't snijvlak, is dus 'n punt van de doorsnede met het grondvlak.
\ Op dezelfde manier bepalen we een tweede punt N der doorsnede met 't grondvlak, als snijpunt van QR en BC. De rechte MN is nu de gevraagde doorsnede met 't grondvlak.
Fig. 46.
De lijn volgens welke 't snijvlak 't opstaande zijvlak TCD snijdt, zal de ribbe CD in 't grondvlak snijden. Dat snijpunt moet dus ook gelegen zijn op MN. We trekken daarom DC door tot ze MN snijdt in V, verbinden V met R en vinden door verlenging van VR de doorsnede RS met vlak TCD. Op gelijke manier bepalen we de doorsnede SO met TED. Door P met O te verbinden krijgen we ten slotte de doorsnede met vlak TAE.
PQRSO is nu de gevraagde doorsnede met de pyramide.
§ 54. Opgaven.
1. Teeken een 3-zijdige pyramide met een zijde van 't grondvl. evenwijdig met 't vlak van teekening.
2. Teeken een regelm. vierz. pyramide, waarvan 't grondvl. verticaal staat, terwijl een zijde van 't grondvl. horizontaal loopt en evenw. is met 't vlak van teekening.



53
3. Bewijs:
1°. dat de lijnen EF en GH (fig. 47), die de middens van twee paar overstaande ribben van een viervlak verbinden, in één vlak liggen;
2°. dat EF en GH elkaar middendoor deelen;
3°. dat de lijnen, die de middens der overstaande ribben van een viervlak verbinden door één punt gaan.
Fig. 47.
4. Bewijs:
1°. dat twee zwaartelijnen van een viervlak in één vlak liggen; 2°. dat de lijn, die de zwaartepunten van twee zijvlakken
verbindt, evenwijdig loopt met de ribbe die niet tot die
zijvlakken behoort; 3°. dat twee zwaartelijnen van een viervlak elkaar in stukken
verdeelen, die zich verhouden als 1 : 3; 4°. dat de zwaartelijnen van een viervlak door één punt gaan.
Dat punt heet het zwaartepunt van het viervlak.
5. Als in een viervlak het voetpunt der hoogtelijn uit den top samenvalt met het middelpunt van den omgeschreven cirkel van 't grondvlak, dan zijn de opstaande ribben gelijk. Bewijs.
6. Als in een viervlak het voetpunt der hoogtelijn uit den top samenvalt met het hoogtepunt van 't grondvlak, dan kruisen de overstaande ribben elkaar loodrecht. Bewijs.
7. Een viervlak wordt gesneden door een vlak evenwijdig aan twee overstaande ribben. Bewijs, dat de doorsnede een parallelogram is.
Wanneer is die doorsnede een rechthoek? Wanneer een ruit? Wanneer een vierkant?
8. Construeer het netwerk van een 3-zijdige pyramide, als de ribben van het grondvlak 3,4 en 5 c.M. zijn en de overstaande ribben resp. 6, 5 en 4 c.M.
9. Construeer het netwerk van een 3-zijdige pyramide, als 't grondvlak, de hoogte en het voetpunt der hoogtelijn gegeven zijn.
10. Construeer een doorsnede van een 3-zijdige pyramide met een vlak door een punt op een der opstaande ribben. Wanneer is die doorsnede een driehoek? Wanneer een vierhoek?



54
11. Construeer de doorsnede van een 5-zijdige pyramide met een vlak door 3 punten op 3 opvolgende opstaande ribben.
12. Construeer de doorsnede van een 5-zijdige pyramide TABCDE met een vlak, waarvan gegeven zijn een punt op de ribbe TA, een op de ribbe TB en een in het vlak TBC. Construeer ook de doorsnede met het grondvlak.
13. Bepaal de m.p. van de snijpunten der diagonalen van de doorsneden van een 4-zijdige pyramide met vlakken, die al de opstaande ribben snijden.
14. Als in een viervlak ABCD de hoogtelijnen uit A en uit D elkaar snijden, dan zullen de overstaande ribben AD en BC elkaar loodrecht kruisen. Bewijs.
15. Een viervlak, gevormd door gelijkzijdige driehoeken, heet een regelmatig viervlak.
Bewijs, dat in een regelmatig viervlak de hoogtelijnen door één punt gaan. (orthocentrisch viervlak.)
16. Van een regelmatig viervlak TABC bedraagt de lengte van elke ribbe 3 p. Op de ribbe TA neemt men een punt P, zoodat TP gelijk is aan p In P brengt men een vlak aan, loodrecht op de ribbe TA, welk vlak de ribben TB en TC re pectievelijk snijdt in Q en R. ,
Hoe lang is elk der ribben van 't afgesneden viervlak TPQR? (Onderwijzersexamen 1927.)
17. Bewijs, dat de zwaartepunten der opstaande zijvlakken van een viervlak, even hoog boven 't grondvlak liggen. (Breng een vlak door de hoogtelijn uit den top van 't viervlak en een zwaartelijn van 'n zijvlak).
18. Construeer den standhoek op 'n ribbe van 't grondvlak van een 3-zijdige pyramide, als de ribben gegeven zijn.
Oppervlak en inhoud der pyramide.
Oppervlak. § 55. Onder het oppervlak van een pyramide verstaat men de som der oppervlakken van alle vlakken der figuur; onder het zijdelingsch oppervlak verstaat men de som van de oppervlakken der opstaande zijvlakken.
De opstaande zijvlakken zijn steeds driehoeken, het grondvlak is een willekeurige of regelmatige veelhoek. Van al deze figuren is de oppervlakteberekening behandeld in de planimetrie.



55
§ 56. Opgaven.
1. Het zijdelingsch opp. van een regelmatige pyramide is gelijk aan het halve produkt van den omtrek van 't grondvlak en het apothema. Bewijs.
2. Het zijdelingsch opp. van een regelmatige afgeknotte pyramide is gelijk aan het halve produkt van de som der omtrekken van grond- en bovenvlak en het apothema. Bewijs.
Inhoud. § 57. Onder den inhoud van een pyramide verstaat men dat deel der ruimte, dat door de pyramide wordt ingesloten.
We verdeelen de opstaande ribbe TC der pyramide TABC (fig. 48) in 5 gelijke deelen en brengen door de deelpunten F, K, N en Q en den top T vlakken aan evenwijdig aan 't grondvlak ABC. Vervolgens brengen we door de lijnen AB, de, gh, lm en op vlakken aan evenwijdig aan CT. Nu ontstaan de prisma's ABCDEF, «feFGHK, gftKLMN, imNOPQ en opQRST. De som der inhouden dezer prisma's, die alle voor 'n gedeelte buiten de pyramide liggen, is grooter dan de inhoud der pyramide.
Ook zijn gevormd de prisma's abCdeF, cfFghK, knKlmN,
Fig. 48.
rsNopQ, die alle geheel binnen de pyramide liggen en waarvan de som der inhouden kleiner is dan de inhoud der pyramide.



56
Nemen we nu het aantal gelijke deelen, waarin de hoogte der pyramide verdeeld wordt, grooter, dan zal de inhoud der eerste reeks prisma's kleiner worden, maar nog grooter blijven dan de pyramide, terwijl de inhoud der tweede reeks grooter wordt, maar toch kleiner blijft dan de pyramide.
Verdeelen we de hoogte in n gelijke deelen en noemen we de grondvlakken der eerste reeks prisma's resp.g, gltgt, ga,... .g»_i,
dan is de som der inhouden dezer prisma's — h (g + gx + g2 + g8 + ....+ gn—x), terwijl de som der inhouden van de tweede rij prisma's is — h (g1+g2+g8+ ■ • • -in—1) Q1 is ^e hoogte der pyramide). Het verschil dezer twee sommen is nu — ftxg. Bij 't grooter worden
van n nadert de waarde van dit verschil tot nul, m. a. w. de inhouden der eerste en tweede reeks prisma's naderen elkaar meer en meer, terwijl toch de eerste reeks steeds grooter en de tweede steeds kleiner blijft dan de pyramide. Men zegt nu: de inhoud eener 3-zijdige pyramide is de gemeenschappelijke limiet, waartoe de sommen der inhouden van buiten- en binnenprisma's naderen.
§ 58. Eigenschap 23.
Twee driezijdige pyramiden met gelijk grondvlak en gelijke hoogte hebben gelijken Inhoud.
Verdeelen we bij beide pyramiden de hoogte in evenveel gelijke deelen, dan zullen de inhouden der buiten- en binnenprisma's bij beide pyramiden twee aan twee gelijk zijn. Wanneer we het aantal deelen, waarin de hoogten verdeeld worden, maar steeds grooter nemen en zorgen, dat er in beide pyramiden evenveel zijn, dan zullen ook in beide pyramiden de sommen dezer inhouden dezelfde limiet hebben, m. a.w. beide pyramiden hebben gelijken inhoud. 3-zijdige Eigenschap 24. '^Tx'h™ ^e mnoud van een 3-zijdige pyramide is gelijk aan \ van het
3— • produkt van grondvlak en hoogte.
In formulevorm: Driezijdige pyramide = Grvl» * hoogte ^ Gegeven. De 3-zijdige pyramide DABC. (fig. 49). Te bewijzen. Inhoud DABC = & ^X •
Bewijs. We trekken door de punten C en B der pyramide de de lijnen CF en BE evenwijdig aan AD.



57
Inh. pyramide grvl x h 3
Vervolgens brengen we door D een vlak evenwijdig aan 't grondvlak ABC. CF en BE snijden dat vlak resp; in F en E. Er is nu
ontstaan een 3-zijdig prisma ABCDEF, dat bestaat uit de gegeven pyramide DABC en de 4-zijdige pyramide DBCFE met D als top en BCFE als grondvlak. Een vlak door D en de diag. CE van dat grondvlak verdeelt die 4-zijdige pyramide in twee 3-zijdige n.1. DCEF en DBCE. Deze beide pyramiden zijn gelijk, omdat ze gelijke grondvlakken CEF en BCE en dezelfde hoogte hebben, (de loodlijn uit D op 't vlak BCFE).
A De 3-zijdige pyramide DCEF is echter
Fi8- 49. ook gelijk aan de gegeven 3-zijdige
pyramide DABC, immers zij hebben gelijke grondvlakken ABC en DEF en dezelfde hoogte (de hoogte der gegeven pyramide). Hieruit volgt, dat het prisma 3-maal zoo groot is als de gegeven pyramide, dus: inhoud pyramide = $ grondvlak x hoogte.
Eigenschap 25.
De inhoud van 'n willekeurige pyramide is gelijk aan i van t produkt van grondvlak en hoogte.
In formulevorm: Inhoud pyramide = gTV * *^ 008*c t
Gegeven. Pyramide TABCDE. (fig. 50). Te bewijzen. Inhoud = &v^' x .
Bewijs. Trekken we in 't grondvlak der pyramide de diagonalen uit één hoekpunt, dan wordt het grondvlak daardoor verdeeld in driehoeken. Brengen we nu door die diag. en den top der pyramide vlakken aan, dan wordt de pyramide daardoor verdeeld in eenige-3-zijdige pyramiden,
waarvan rfp ar>m Hpr inhntrrfpn ap-
Rg. 50. . ' -
lijk is aan de gegeven pyramide.
Zoo ontstaan in fig. 50 de volgende 3-zijdige pyramiden: TABC,



58
TACD en TADE. — Ieder dezer pyramiden heeft volgens 't voorgaande tot inhoud grondvl. x J hoogte. Daar nu al deze pyramiden dezelfde hoogte hebben, is de som harer inhouden gelijk aan de som der grondvlakken x £ hoogte, d.i. grondvlak der gegeven pyramide x \ hoogte.
§ 59. Eigenschap 26.
De inhoud van 'n afgeknotte pyramide is gelijk aan \ van 't produkt van de hoogte en de som van grondvlak, bovenvlak en de meetkundig middelevenredige tusschen grond- en bovenvlak. Afgeknotte Noemen we 't grondvlak G, het bovenvlak B en de hoogte ft, pyramide = (jan hebben we de formule: ^Vïïïï)+ Afgeknotte pyramide = Jh (G + B + VG x B).
uit fig. 51 met G als grondvl., B als bovenvlak en ft als hoogte.
Te bewijzen. Inhoud = Jft(G + B + VGxB).
Bewijs. De inhoud der afgeknotte pyramide is gelijk aan 't verschil der inhouden van de heele pyramide en den afgesneden top, dus (als we de hoogte van den afgesneden top x noemen)
i(h + x) x G — \x x B.
Nu weten we, dat G en B gelijkvormig zijn (eig. 22), dus G : B = CD2 : EF2, maar CD : EF = TC : TE = (ft + x) : x, zoodat we krijgen G : B =
lh I v\2 • v2 rvf
Fig. 51.
(ft + xf : x* ot
VG:-v/B = (h + x): x, waaruit door toepassing van de hoofdeig. der evenredigheden volgt:
/ia/B
x^G=h^B + x^/Bofx (VG —VB) = h VBof x = ^q—VB' We krijgen nu voor den inhoud der afgeknotte pyramide: / hVB \ ftBy-B ftGVG
*ur+v/G —VB/ * VG —a/B _ * VG —VB * - *" - » MG + B + VGXB).



59
§ 60. Opgaven.
1. Het grondvlak van 'n pyramide is 'n rechthoek met zijden van 16 en 12. Het voetpunt der hoogtelijn uit den top valt samen met het snijpunt der diagonalen van 't grondvlak. De hoogte is gelijk aan een diagonaal van 't grondvlak. Bereken den inhoud van deze pyramide.
2. Van een regelmatige zeszijdige pyramide is 'n ribbe van 't grondvlak 4 en 'n opstaande ribbe 5. Bereken den inhoud en het oppervlak dezer pyramide.
3. Een regelmatige vierzijdige pyramide heeft een totale opp. van 896 cM2, terwijl 't grondvlak 21 cM2 grooter is dan een opstaand zijvlak. Bereken den inhoud van die pyramide. (O.)
4. De ribben aan 't grondvlak van een regelmatige vierzijdige pyramide zijn samen 2 dM lang. Als het opp. van dit lichaam 0,85 dM* is, hoe lang zijn dan alle ribben samen? (O.)
5. Van 'n regelmatige vierzijdige pyramide is de hoogte 12 dM en de inhoud 1,296 M8. Bereken de geheeleoppervlakte. (O.)
6. De inhouden van pyramiden met gelijke grondvlakken verhouden zich als de hoogten. Bewijs.
7. De inhouden van pyramiden met gelijke hoogten verhouden zich als de grondvlakken. Bewijs.
8. Door de ribbe AB en 'n punt E der overstaande ribbe CD van 't viervlak ABCD brengt men een vlak. Bewijsnu,dat de deelen, waarin 't viervlak verdeeld wordt, zich verhouden als DE : EC.
9. Uit 'n willekeurig punt binnen een regelmatig viervlak laat men de hoogtelijnen neer op de zijvlakken. Bewijs, dat de som dezer hoogtelijnen gelijk is aan de hoogte van 't viervlak.
10. Bereken inhoud en oppervlak van een afgeknotte regelmatige vierzijdige pyramide, waarvan de zijde van 't grondvlak 40, die van het bovenvlak 24 en de hoogte 6 cM is. (O.)
11. Elke zijde van 't grondvlak van een afgeknotte regelmatige vierzijdige pyramide is 2 dM, die van het bovenvlak 0,6 dM en iedere opstaande ribbe 2,5 dM. 'Hoeveel dM2 bedraagt de oppervlakte? (O.)
12. Een regelmatige, vierzijdige, afgeknotte pyramide, waarvan de zijde van 't grondvlak 12,3 dM., die van het bovenvlak 5,76 dM. en de loodrechte hoogte 4,36 dM. bedraagt, wordt geschilderd (uitgenomen het grondvlak) tegen $ cent den dM2. Hoe duur komt dit werk? (O.)



60
13. Gevraagd het oppervlak en den inhoud van 'n regelmatig viervlak, als de ribbe a is. Substitueer a = 6; a = 4.
14. Van 'n regelmatige zeszijdige pyramide is de ribbe aan 't grondvlak a en de opstaande ribbe b. Bereken inhoud en oppervlak van die pyramide. Substitueer a = 6 en b = 12.
15. De hoogten van twee pyramiden verhouden zich als 3 :4, de grondvlakken als 5 : 7. Hoe verhouden zich de inhouden?
16. Van een afgeknotte regelmatige vierzijdige pyramide is 'n ribbe van 't bovenvlak 15, van 't grondvlak 25, terwijl 't apothema 13 cM bedraagt. Bereken oppervlak en inhoud.
17. Van 'n afgeknotte regelmatige vierzijdige pyramide zijn de ribben van grond- en bovenvlak 12 en 6 dM. Men verbindt 't middelpunt van 't grondvlak met de hoekpunten van 't bovenvlak. Bepaal de verhouding der deelen, waarin de afgeknotte pyramide verdeeld wordt.
18. Bereken den inhoud van een regelmatig afgeknotte zeszijdige pyramide, waarvan de hoogte 6 dM. is en de zijden van grond- en bovenvlak 7 en 3 dM. zijn. (Hoofdakte 1924).
19. Het grondvlak van een regelmatige pyramide is een regelmatige zeshoek met zijden van 3 M. Als het zijdelingsch oppervlak tweemaal zoo groot is als het grondvlak, hoe hoog is dan de pyramide? (O.)
20. Een afgeknotte regelmatige vierzijdige pyramide heeft een hoogte van 12 dM. De afmetingen van grond- en bovenvlak zijn respectievelijk 18 en 8 dM. Bereken het totale oppervlak. (O.)
21. Uit 'n hoekpunt van 'n kubus trekt men 3 oppervlaksdiagonalen, terwijl men de uiteinden dezer weer twee aan twee verbindt. Deze 6 lijnen zijn nu de ribben van een regelmatig viervlak. Bewijs. Welk deel is dit viervlak van den kubus?
22. Van 'n kubus (ribbe = a) snijdt men de hoeken af tot op £ der ribbe. Welk deel is het overblijvende lichaam van den kubus?
23. Het grondvlak ABCD van een vierzijdige pyramide TABCD is een rechthoek met langste zijden AD = BC = 4\/3. Als de overstaande zijvlakken TAB en TCD met 't grondvlak een hoek van 30° maken en de beide andere zijvlakken een hoek van 60° met het grondvlak maken, vraagt men den inhoud van de pyramide. (Gymn.).



61
24. Door een diagonaal van het grondvlak en het midden van een zijde van het bovenvlak van een kubus wordt een vlak gebracht. Gevraagd wordt de oppervlakte der doorsnede in de ribbe a van den kubus uit te drukken en ook de inhouden der deelen van dat lichaam te berekenen. (Gymn.).
25. In een regelmatig zeszijdig prisma staat een regelmatige zeszijdige pyramide van gelijke hoogte, waarvan het grondvlak met dat van het prisma samenvalt. Ook hangt aan het bovenvlak een regelmatige zeszijdige pyramide, die dezelfde hoogte heeft als het prisma en waarvan het grondvlak met het bovenvlak van het prisma samenvalt. Bereken het stuk van het prisma buiten de pyramiden, als de ribbe van het grondvlak a cM. en een opstaande ribbe b cM. isk
(Hoofdakte 1927.)
DRIEVLAKSHOEK.
§ 61. In fig. 52 zijn 3 vlakken geteekend, n.1. ATB, ATCen BTC.
Deze vlakken gaan alle drie door 't punt T, terwijl ze elkaar in de rechten TA, TB en TC twee aan twee ontmoeten. De figuur door deze 3 vlakken gevormd heet drlevlakshoek.
Fig. 52.
Drievlaks- Definitie. Een drievlakshoek is de figuur gevormd door hoek. jjrie vlakken, welke één punt gemeen hebben en elkaar twee aan twee ontmoeten. Het punt T, dat de 3 vlakken gemeen hebben, heet het hoekpunt;



62
de lijnen- TA,TB en TC, volgens welke de 3 vlakken elkaar ontmoeten, Ribben, heeten de ribben; de hoeken ATB, ATC en BTC noemt men de zijden, zijden en de standhoeken op de ribben zijn de hoeken van den hoeken, drievlakshoek. Een drievlakshoek wordt aangeduid door 4 letters: de eerste bij 't hoekpunt en van de andere drie bij iedere ribbe één. Zoo wordt de drievlakshoek uit fig. 52 aangeduid door TABC of T.ABC. (Achter de eerste letter zet men vaak een punt.)
Ligt er bij 'n punt maar één drievlakshoek, zoodat verwarring is uitgesloten, dan wordt de drievlaksh. ook wel aangeduid door de eene letter bij het hoekpunt, (fig. 52: drievlaksh. T.)
§ 62. Eigenschap 27.
Als twee zijden van een drievlaksh. gelijk zijn, dan zijn ook de hoeken tegenover die zijden gelijk. ""
Fig. 53.
Gegeven. In drievlaksh. T.XYZ is L XTY = z. XTZ (fig. 53.) Te bewijzen. De standhoek op de ribbe TZ=standh. op de ribbe TY.
Bewijs. Uit 'n punt A der ribbe TX laten we loodlijnen AB en AC neer op TY en TZ, benevens de loodlijn AD op vlak TYZ. Verbinden we nu D met B en C, dan zijn de hoeken ACD en ABD resp. de standh. op de ribben TZ en TY. (Waarom?) We hebben dus te bewijzen, dat de hoeken ACD en ABD gelijk zijn.
Nu is A ABT sa a ACT (z. h. h.), waaruit volgt AB = AC. Ook de a a ABD en ACD zijn nu congruent (2 zijden en een rechten hoek.) Uit deze congruentie volgt de gelijkheid der hoeken ABD en ACD, wat we bewijzen moesten.



63
Opgave. Bewijs 't omgekeerde van deze eigenschap.
Definities. Een drievlakshoek met twee gelijke zijden, heet gelijkbeenig; zijn alle drie de zijden gelijk, dan heet de drievlaksh. gelijkzijdig. Is een der zijden recht, dan spreekt men van een rechtzijdigen drievlaksh.; is een hoek recht, dan heet de drievlaksh. rechthoekig.
§ 63. Laat men uit 'n punt P binnen den drievlaksh. TABC (fig. 54) de loodlijnen PQ, PR en PS neer op de zijden van den
Fig. 54.
drievlaksh. en brengt men vlakken door die loodlijnen twee aan twee, dan ontstaat bij P 'n tweede drievlaksh. PQRS, dien men den pooldrievlakshoek noemt van TABC. ; c
Omdat PQ en PR loodlijnen zijn op de vlakken BTC en ATC, zal ook TC loodrecht staan op het vlak door PQ en PR. (Verklaar dat). Evenzoo staat TA loodrecht op het vlak RPS en TB op het vlak QPS. Hieruit blijkt nu, dat TABC de pooldrievlakshoek is van PQRS.
§ 64. Eigenschap 28.
De hoeken van den pooldrievlakshoek zijn de supplementen van de zijden van den drievlakshoek.



64
Gegeven. Drievlaksh. TABC en zijn pooldrievlaksh. PQRS (fig. 55).
Te bewijzen. De hoeken van PQRS zijn de supplementen van de zijden van TABC.
Bewijs. PQ staat loodrecht op vlak BTC, dus PQG en PQH zijn ieder 90°; z. HQG is dus de standhoek op de ribbe PQ van den
Fig. 55.
pooldrievlaksh. In vierhoek HQGT zijn de beide hoeken H en G recht (waarom?), bijgevolg zijn de andere twee hoeken nJ. HTG en HQG samen 180°. L HTG is 'n zijde van den drievlaksh. TABC en l_ HQG is, zooals we boven zagen, 'n hoek van den pooldrievlaksh. Het blijkt dus, dat de standhoek op de ribbe PQ van den pooldrievlaksh. en de zijde HTG van den drievlaksh. TABC eikaars supplement zijn.
Opgave. Voltooi nu het bewijs, door aan te toonen, 1°. dat de standhoek op de ribbe PR en L ETG, 29. dat de standhoek op de ribbe PS en L BTH eikaars supplement zijn.
§ 65. Opgaven.
1. Bewijs uit fig. 55, dat de zijden van den pooldrievlaksh. de supplementen zijn van de hoeken van den drievlakshoek.



65
2. Van een drievlakshoek met 2 zijden van 90°, zijn de overstaande hoeken ook 90°, terwijl de derde hoek gelijk is aan de derde zijde. Bewijs.
3. De zijden van een drievlakshoek zijn 90°, 90° en 50°. Bereken de hoeken.
4. Van een drievlaksh. PABC zijn de zijden APB en APC gelijk. Op PB en PC worden de punten D en E zoo genomen, dat PD = PE. Door D en E brengen we 'n vlak, dat de derde ribbe snijdt. Bewijs, dat de doorsnede van dit vlak met den drievlakshoek een gelijkb. driehoek is.
5. Een vlak-snijdt van de ribben van een gelijkzijdigen drievlakshoek gelijke stukken af. Bewijs, dat de doorsnede een gelijkzijdige driehoek is.
6. Wat is de m.p. van de punten, die evenver verwijderd zijn van de zijden van een tweevlakshoek?
7. De vlakken, die de hoeken van een drievlakshoek middendoor deelen (bissectrióe-vlakken) snijden elkaar volgens één rechte, die door het hoekpunt van den drievlakshoek gaat. Bewijs.
8. In 'n gelijkb. drievlaksh. brengt men het vlak aan, dat den hoek tegenover de ongelijke zijde middendoor deelt. Bewijs, • dat dit vlak de derde zijde van den drievlaksh. middendoor deelt.
9. Als P (fig. 55) de pooldrievlakshoek van T is, is T ook de pooldrievlakshoek van P. Bewijs dit.
CONGRUENTIE EN SYMMETRIE VAN VIERVLAKKEN.
§ 66. Viervlak I en viervlak II uit fig. 56 hebben de zijden van 't grondvlak 2 aan 2 gelijk. De grondvlakken zijn dus congruent. De opstaande ribben uit A en A' zijn gelijk, eveneens die uit B en B' en ook die uit C en C'. De opstaande zijvlakken zijn dus ook 2 aan 2 congruent. Doorloopen we nu den omtrek van 't grondvlak van uit A en A' in de richting der wijzers van een uurwerk, dan volgen in beide figuren alle gelijke elementen in dezelfde orde op elkaar. Deze viervlakken kunnen volkomen samenvallen. Het kan echter ook voorkomen,
van beek—van heek, Stereometrie. * 5



66
dat van twee viervlakken de elementen 2 aan 2 gelijk zijn en op dezelfde wijze aan elkaar sluiten, en dat de figuren toch niet kunnen samenvallen.
Fig. 56.
Viervlak I en viervlak II van fig. 57 hebben ook de zijden van 't grondvlak 2 aan 2 gelijk.
Fig. 57.
De grondvlakken zijn dus congruent. De opstaande ribben uit A en A' zijn gelijk, ook die uit B en B' en eveneens die uit C en C'. De opstaande zijvlakken zijn dus ook 2 aan 2 congruent. Doorloopen we nu den omtrek van 't grondvlak van uit A en A' in de richting der wijzers van een uurwerk, dan volgen



67
in beide figuren alle gelijke elementen niet in dezelfde orde op elkaar, maar juist in tegengestelde orde. Om ze in dezelfde orde te doen volgen, zullen we bij viervlak II in andere (tegengestelde) richting moeten gaan dan bij viervlak I. Deze viervlakken hebben dus wel de elementen 2 aan 2 gelijk en de gelijke elementen sluiten op dezelfde wijze aan elkaar, maar de viervlakken kunnen niet samenvallen.
Gelijken Definities. Twee viervlakken, waarvan alle elemen-
gelijkvormig. tgn twee aan twee gelijk zijn, terwijl die gelijke elementen in beide viervlakken op dezelfde wijze aan elkaar sluiten, heeten gelijk- en gelijkvormig.
Volgen in twee viervlakken, die gelijk- en gelijkvormig zijn, de gelijke elementen in dezelfde orde ■ Congruent, op elkaar, dan zijn de viervlakken congruent. (Congruente viervlakken kunnen samenvallen).
Volgen in twee viervlakken, die gelijk- en gelijkvormig zijn, de gelijke elementen niet in dezelfde, maar in tegengestelde orde op elkaar, dan noemt Symme-men de viervlakken symmetrisch.(Symmetrische viervlakken h,iscB> kunnen niet samenvallen).
GELIJKVORMIGHEID VAN VIERVLAKKEN. Vermenigvuldiging van figuren;
§ 67. Men verbindt een willekeurig punt P (fig. 58) met de hoekpunten van 't viervlak ABCD en verlengt deze verbindingslijnen tot ze b.v. 2-maal zoo lang zijn, zoodat dus PA' = 2 x PA, PB' = 2 x PB, PC' = 2 x PC en PD' = 2 x PD. Verbindt men ieder der punten A', B', C' en D' door rechte lijnen met de overige 3, dan zijn deze verbindingslijnen de ribben van een nieuw viervlak A B C D'. Men zegt nu, dat het oorspronkelijke viervlak ABCD ten opzichte van P met 2 vermenigvuldigd is en noemt 't viervlak A'B'C'D', dat door de vermenigvuldiging is ontstaan, het produktviervlak.
Men kan ook A'B'C'D' als 't gegeven viervlak beschouwen en



68
dan de verbindingslijnen PA', PB', PC' en PD' met $ vermenigvuldigen. Dan wordt ABCD het produktviervlak.
Fig. 58.
Gebleken is nu, dat de produktfiguur zoowel grooter als kleiner kan zijn dan de oorspronkelijke. Ze hebben echter denzelfden vorm en heeten daarom gelijkvormig.
Teekent men een ander viervlak PQRS, dat gelijken gelijkvormig is met A'B'C'D', dan is ook PQRS gelijkvormig met ABCD of zooals men schrijft: viervlak PQRS c\s viervlak ABCD. Gelijk- Definitie. Twee viervlakken heeten gelijkvormig, als vormig. het eene door vermenigvuldiging kan overgaan in een viervlak, dat gelijk- en gelijkvormig is met het andere.
Evenals in de planimetrie heet P (fig. 58) ook hier gelijkvormlgheidspunt en 't getal 2 de gelijkvormigheidsfactor.
Opgave. Welke zijn de gelijkstandige ribben; de gelijkstandige zijvlakken; de gelijkstandige drievlakshoeken?
Uit de wijze van ontstaan der produktfiguur uit de gegevene' volgt, dat in de gegevene en de produktfiguur de gelijkstandige lijnen evenredig en de gelijkstandige zijvlakken gelijkvormig zijn. Maar dan hebben we ook: In gelijkvormige viervlakken zijn de gelijkstandige lijnen evenredig en de gelijkstandige zijvlakken gelijkvormig.



69
§ 68. In 't viervlak TABC (fig. 59) nemen we T als gelijkvormig-
heidspunt en b.v. $ als gelijkvormigheidsfactor, dan ontstaat door vermenigvuldiging 't viervlak TA'B'C'. Omdat hier 't viervlak TA'B'C' door vermenigvuldiging uit TABC is ontstaan, zijn beide viervlakken gelijkvormig. Omdat A'B'//AB en A'C'//AC is, zijn ook de vlakken ABC en A'B'C' evenwijdig. We kunnen nu ook zeggen:
Snijdt men een viervlak door 'n vlak, dat evenwijdig is met een der zijvlakken, dan wordt
Fig. 59.
een viervlak afgesneden, dat gelijkvormig is met het oorspronkelijke. § 69. Eigenschap 29.
In twee gelijkvormige viervlakken zijn een paar gelijkstandige hoogtelijnen evenredig met een paar gelijkstandige ribben.
Voor 't bewijs dezer eigenschap verwijzen we naar § 49, eigenschap 22. Eigenschap 30.
De oppervlakken van twee gelijkvormige viervlakken verhouden zich als de kwadraten van een paar gelijkstandige ribben (hoogtelijnen). Gegeven. TABC *t> TA'B'C' (fig. 59).
Te bewijzen. Opp. TABC : opp. TA'B'C' = AB2 : A'B'2 = TDa i TD'a.
Bewijs. Omdat de opp. van twee gelijkvormige driehoeken zich verhouden als de kwadraten van een paar gelijkstandige zijden, hebben we: A ABC : A A'B'C' = AB2: A'B'2 = TD2: TD'a (eig. 29); A ABT: A A'B'T = ABa: A'B'2 = TDa: TD'2 j A BCT : A B'C'T = BC2 : B'C'2 = ABa: A'B'2 = TD2: TD'2; A ACT : A A'C'T = AC2 : A'C'2 = AB2: A'B'2 = TD2.: TD'2.



70
Hieruit volgt:
(A ABC + A ABT + A BCT + A ACT): (A A'B'C' + A A'B'T + A B'C'T + A A'C'T) = AB2 : A'B'2 = TD2: TD'2 of Opp. TABC : opp. TA'B'C' = AB2 : A'B'2 = TD2 : TD'2. Eigenschap 31.
De inhouden van een paar gelijkvormige viervlakken verhouden zich als de derdemachten van een paar gelijkstandige ribben (hoogtelijnen). Gegeven. TABC ^ TA'B'C' (fig. 59.)
Te bewijzen. Inhoud TABC :inh.TA'B'C'=AB3: A'B'8=TD8 :TD'8.
Bewijs. De inhoud van een viervlak is grondvlak x £ hoogte, dus
inh. TABC = opp. ABC x 1TD ) „. .
• , ™, i Hieruit volgt:
inh. TA'B'C' = opp. A'B'C' x i TD' J s
inh. TABC : inh.TA'B'C' = opp. ABC X £TD:opp. A'B'C' x JTD'.
De opp. der driehoeken ABC en A'B'C' verhouden zich als de kwadraten van een paar gelijkstandige zijden, dus als AB2 : A'B'2 en de hoogten TD en TD' als 'n paar gelijkstandige zijden, dus als AB : A'B'. We krijgen dan:
Inh. TABC : inh. TA'B'C' = AB3 : A'B'8 = TD8 : TD'8.
§ 70. Ieder veelvlak kan men opgebouwd denken uit viervlakken. Alles wat in de vorige § § gezegd is van viervlakken, kan men nu ook toepassen op veelvlakken. Bewijs nu zelf:
Eigenschap 32.
De opp. van gelijkvormige veelvlakken verhouden zich als de kwadraten, de Inhouden als de derdemachten van een paar gelijkstandige ribben.
§ 71. Opgaven.
1. De opp. van twee gelijkvormige viervlakken verhouden zich als 12:27. Hoe verhouden zich 'n paar gelijkstandige ribben? En hoe de inhouden?
2. De hoogte van een viervlak is 20 cM. Bereken de hoogte van 't viervlak, dat gelijkvormig is met het eerste en waarvan het totale opp. de helft is van dat van 't gegeven viervlak.
3. De inhouden van twee kuben verhouden zich als 54 : 250. Hoe verhouden zich de ribben? En hoe de oppervlakken?
4. Snijdt men een pyramide door een vlak evenwijdig met het grondvlak, dan verhouden de oppervlakken van grondvlak en doorsnede zich als de vierkanten van hun afstanden tot den top. Bewijs.



71
5. Van een regelmatige zeszijdige pyramide is een ribbe aan 't grondvlak 18 en de hoogte 30. Men brengt twee snijvlakken aan evenwijdig met 't grondvlak, die de hoogte verdeelen in 3 stukken, welke zich verhouden als 3 :2 : 1 (grootste stuk bij den top). Bereken het oppervlak en den inhoud van ieder deel.
6. Een pyramide, waarvan de hoogte ft is, wordt gesneden door een vlak evenwijdig met het grondvlak zoodanig, dat het oppervlak van de afgesneden pyramide juist de helft is van het oppervlak der oorspronkelijke pyramide. Op welke hoogte moet het snijvlak worden aangebracht?
7. Een pyramide (hoogte ft) wordt gesneden door een vlak evenwijdig met het grondvlak, zoodanig dat de inhoud van het afgesneden deel juist de helft is van den inhoud der oorspronkelijke pyramide. Op welke hooge moet het snijvlak worden aangebracht?
8. Van een afgeknotte pyramide zijn gegeven de hoogte = H, het grondvlak = G en het bovenvlak = B. Bereken:
1°. de hoogte van de geheele pyramide, waarvan de afgeknotte een deel is,
2°. het oppervlak van de doorsnede, die door het midden der hoogte van de afgeknotte pyramide is aangebracht evenwijdig met het grondvlak. (Gymn.).
DE CYLINDER.
§ 72. In het vlak V (fig. 60) is gegeven een kromme lijn a. Bovendien is gegeven de rechte PQ, niet in 't vlak V gelegen, die de kromme lijn a snijdt. Beweegt de lijn PQ zich nu zoodanig, dat ze in iederen stand evenwijdig is met PQ en steeds de kromme a snijdt, dan doorloopt PQ een gebogen vlak, dat cylindervlak heet. Cylindervlak. Definitie. Een cylindervlak is het gebogen vlak, dat beschreven wordt door een rechte lijn, die zich zoodanig verplaatst, dat ze voortdurend evenwijdig blijft aan zich zelf en daarbij een gegeven kromme steeds snijdt.
De bewegende lijn PQ heet de beschrijvende lijn, de kromme a heet de richtlijn.



72
CyUnder. Definitie. Een cylinder is de figuur, gevormd door een gesloten cylindervlak en twee evenwijdige platte vlakken, die dat cylindervlak ontmoeten.
Fig. 60.
De evenwijdige vlakken heeten grondvlak en bovenvlak, het cylindervlak heet cylindermantel. Is het grondvlak van 'n cylinder een cirkel ('t bovenvlak is dan ook een cirkel. Waarom?), dan spreekt men van een cirkelcylinder; staat de beschrijvende lijn bovendien nog loodrecht op 't grondvlak, dan heeft men een rechten cirkelcylinder.
De lijn, die bij zoo'n cylinder de middelpunten van grond- en bovenvlak verbindt, heet de as. De
afstand tusschen grond- en bovenvlak, heet hoogte.
Opmerking. Wij bespreken hier enkel den rechten cirkelcylinder en waar we in 't vervolg 't woord cylinder gebruiken, wordt daarmee dus steeds bedoeld 'n rechte cirkelcylinder.
§ 73. Een cylinder kan ook op de volgende wijze ontstaan.
Den rechthoek ABCD (fig. 61) laten we wentelen om de zijde AB. De zijden AD en BC beschrijven daarbij platte vlakken (eig. 7, gevolg.) terwijl D en C, omdat ze steeds evenver van
Fig. 61.



73
A en B verwijderd zijn, cirkels beschrijven. De zijde DC, die steeds evenwijdig is aan AB, en steeds loodrecht staat op AD en BC, beschrijft den cylindermantel; dus
Door wenteling van 'n rechthoek om een zijner zijden ontstaat 'n cylinder.
§ 74. We trekken twee beschrijvende lijnen AC en BD (fig. 62). Omdat 't beschrijvende lijnen zijn, loopen ze evenwijdig en kunnen we er dus een plat vlak door brengen. Dat platte vlak zal 't grondvlak snijden volgens AB en 't bovenvlak volgens CD.
Fig. 62.
Snijvlak. Laten we nu dat snijvlak draaien om de rechte PQ, in dat vlak gelegen en evenwijdig aan AC en BD, tot het is gekomen in den stand II, dan zijn de snijlijnen met den mantel dichter bij elkaar gekomen (EG en FH). Draaien we nog verder, dan komen ze steeds dichter bij elkaar, tot ze, als het vlak in stand III gekomen is, naast Raakvlak, elkaar liggen (KM en LN). In dezen stand heet het vlak raakvlak.



74
Definitie. Een raakvlak is 'n vlak, dat met den cylinder twee op elkaar volgende beschrijvende lijnen gemeen heeft.
Die lijnen heeten raaklijnen. Omdat ze zóó dicht bij elkaar liggen, dat men ze niet van elkaar kan onderscheiden, spreekt men van' de raaklijn.
§ 75. We beschrijven in 't grondvlak van een cylinder een veelhoek (fig. 63 I) en trekken uit de hoekpunten van dien veelhoek de beschrijvende lijnen. Deze snijden 't bovenvlak in punten, die de hoekpunten zijn van een veelhoek, welke congruent is met dien in 't grondvlak.
Fig. 63.
De zijden der veelhoeken in grond- en bovenvlak en de bovengenoemde beschrijvende lijnen, zijn de ribben van een prisma. Men zegt nu, dat 't prisma in den cylinder is beschreven, of dat de cylinder is beschreven om 't prisma.
We beschrijven een veelhoek om 't grondvlak van den cylinder (fig. 63 II) en trekken uit de hoekpunten van dien veelhoek lijnen evenwijdig aan de beschrijvende lijnen. Die snijden het bovenvlak in punten, die de hoekpunten zijn van een veelhoek, welke congruent is met dien in 't grondvlak en om den cirkel in 't bovenvlak is beschreven. De zijden der veelhoeken en de bovengenoemde lijnen zijn de ribben van een prisma, waarvan de opstaande zij-



75
vlakken alle raakvlakken zijn aan den cylinder. Men zegt nu, dat 't prisma beschreven is om den cylinder, of dat de cylinder beschreven is in 't prisma.
Vragen. Kan in en om iederen cylinder een prisma beschreven worden?
Heeft elk prisma een om- en een ingeschreven cylinder? Welke wel ?
§ 76. Op gelijke wijze als in de vorige § beschrijven we een prisma in een cylinder. Laten we nu 't aantal zijden van 't grondvlak van dat prisma meer en meer toenemen, dan naderen grond- en bovenvlak tot cirkels en het prisma nadert tot den cylinder. We kunnen den inhoud van een cylinder dus beschouwen als de limiet, waartoe de inhoud van een ingeschreven prisma nadert, wanneer 't aantal opstaande zijvlakken van dat prisma voortdurend toeneemt.
Omdat nu de inhoud van een prisma gelijk is aan grondvlak x hoogte, moet die van een cylinder ook gelijk zijn aan grondvlak x hoogte.
't Grondvlak is een cirkel; oppervlak dus tcR2, waarin R de straal van 't grondvlak is. Noemen we de hoogte nu nog h, dan krijgen we
inh. cylin- Inhoud cylinder = grondvlak x hoogte = nR*h. Ier = 7tR!h.
§ 77. Uit de vorige § volgt tevens,.dat de oppervlakte van den cylindermantel berekend wordt als het zijdelingsch oppervlak van een recht prisma en dus gelijk is aan: omtrek grondvlak X hoogte.
De omtrek van een cylindergrondvlak is 2nR. Is de hoogte van den cylinder weer h, dan vinden we: >pp. mantel = Oppervl. cylindermantel = omtrek grondvl. x hoogte = 2nRh. 2nRh. rje totale oppervlakte van een cylinder is nu: grondvlak -j- bovenvlak + mantel = tcR2 + tcR2 + 2ttR/i = 2ttR2 + 2nRh = 2 ttR (R + ft).
§ 78. Opgaven.1)
1. Teeken een cylinder met daarop een regelmatige zeszijdige pyramide, waarvan 't grondvlak de ingeschreven regelmatige zeshoek is van het bovenvlak van den cylinder. Cylinder en pyramide hebben gelijke hoogte.
2. Van 'n cylinder is de straal van 't grondvlak 3 d.M., terwijl de hoogte 7 d.M. is. Bereken oppervlak en inhoud van dien cylinder.
Ier = 7rR!h.
§ 77. Uit de vorige § volgt tevens,.dat de oppervlakte van den cylindermantel berekend wordt als het zijdelingsch oppervlak van een recht prisma en dus gelijk is aan: omtrek grondvlak X hoogte.
De omtrek van een cylindergrondvlak is 2tcR. Is de hoogte van den cylinder weer ft, dan vinden we: opp.mantel = Oppervl. cylindermantel = omtrek grondvl. x hoogte = 2nRh.
1) Als Tc niet gegeven is, moet n ook in de uitkomsten blijven staan.



76
3. Bereken oppervlak en inhoud van een cylinder, die tot straal heeft 2,6 en tot hoogte 7,8 d.M.
4. De omtrek van 't grondvlak van een cylinder is 17,6 d.M. De hoogte is gelijk aan de middellijn van 't grondvlak. Bereken opp. en inhoud van dien cylinder. (tc = «ƒ)
5. Een rechthoek met zijden van 8 en 3 d.M. wentelt eerst om de grootste, daarna om de kleinste zijde. Bereken den inhoud der lichamen, die door deze omwentelingen ontstaan.
6. Van 'n rechthoek is 'n diag. 25 en een zijde 15 c.M. Deze rechthoek wentelt om z'n langste zijde. Bereken het oppervlak en den inhoud van den cylinder, die ontstaat.
7. De zijden van een rechthoek zijn a en b. Bereken de verhouding der in houden van de omwentelingslichamen, die ontstaan, als deze rechthoek achtereenvolgens om beide zijden wentelt.
8. Van 'n cylinder is de straal van 't grondvlak 14 c.M. en het gebogen oppervlak is 4 maal zoo groot als de som der beide eindvlakken. Wat is de inhoüd van een cylinder, waarvan de straal van 't grondvlak IJ maal en de hoogte 2J maal zoo groot is als van den eersten cylinder? tc = ^.
9. Van 'n cylinder is de oppervlakte van den mantel 2475 c.M», terwijl de middellijn van 't grondvlak 10,5 c.M. bedraagt. Bereken den inhoud, tc =
10. Van een cylinder is de inhoud 43,3664 M3 en de opp. van den mantel 77,44 M.2 Bereken R en ft. (tc = *f)
11. Een regenbak van beton in den vorm van een cylinder, van boven open, heeft een bodem van 5 c.M. en een opstaanden wand van 4 c.M. dikte. De hoogte is 315 c.M., de middellijn 95 c.M., alles binnenwerks. Hoe zwaar weegt de bak? S.G. van beton 2,6; tc =3,14.
12. Van welken cylinder is het oppervlak van den mantel gelijk aan de som der oppervlakken van grond- en bovenvlak?
13. Van 'n cylinder is de mantel 6 maal zoo groot als het grondvlak. Gevraagd de verhouding van R en ft.
14. Van 'n cylinder is de hoogte gelijk aan de middellijn van 't grondvlak (gelijkzijdige cylinder). Kan om of in dien cylinder een kubus beschreven worden?
Om dezen kubus beschrijft men weer een cylinder. Hoe verhouden zich nu de inhouden dezer cylinders? En hoe de oppervlakken?



77
15. In een gelijkzijdigen cylinder plaatst men de grootst mogelijke regelmatige zeszijdige pyramide. Druk inh. en opp. van deze pyramide uit in een opstaande ribbe a.
16. Van twee cylinders met gelijke hoogte verhouden de stralen zich als 3 : 5. Hoe verhouden zich de inhouden?
17. Van 'n recht driezijdig prisma zijn de zijden van 't grondvlak 27,30 en 51, terwijl de hoogte 63 is. Om dat prisma beschrijft men 'n cylinder. Bereken den inhoud van dien cylinder.
18. In een regelmatig zeszijdig prisma is 'n cylinder beschreven. De zijde van den zeshoek is 3^3 en de hoogte van 't prisma is 2 maal de Reinste diag. van 't grondvlak. Bereken het opp. van dien cyliïKler.
19. De m. p. van de purif^i, die op 'n gegeven afstand a van 'n gegeven rechte l verwijderd zijn, is ....
20. Wanneer is de doorsnede va%/n cylinder met een plat vlak een rechthoek? Wanneer een cirkel? Wat kan de doorsnede nog meer zijn?
21. De lijn, volgens welke 'n raakvlak aan 'n cylinder het uitgebreide grondvlak snijdt, is raaklijn aan den cirkel in dat grondvlak. Bewijs.
22. Een raakvlak aan een cylinder staat loodrecht op 't vlak door de raaklijn en de as. Bewijs.
23. Construeer uit 'n punt buiten een cylinder een raakvlak aan dien cylinder.
24. Construeer twee evenwijdige raakvlakken aan een cylinder.
25. Gegeven twee punten P en Q buiten 'n cylinder. Verbind deze punten door een rechte en bepaal de snijpunten dezer rechte met het cylindervlak. Wanneer vinden we geen snijpunten?
DE KEGEL.
§ 79. In het vlak V (fig. 64) is gegeven een kromme lijn a. Bovendien is gegeven de rechte PQ, die niet in 't vlak V gelegen is en de kromme a in Q snijdt. Beweegt de lijn PQ zich nu zoodanig, dat ze in iederen stand door 't punt P gaat en steeds de kromme a snijdt, dan doorloopt PQ een gebogen vlak, dat kegelvlak heet. Kegelvlak. Definitie. Een kegelvlak is het gebogen vlak, dat beschreven wordt door een rechte, die zich zoo-



78
danig verplaatst, dat ze door een vast punt gaat en daarbij een gegeven kromme steeds snijdt.
De bewegende lijn PQ heet de beschrijvende lijn, de kromme a heet de richtlijn, het vaste punt P heet de top van het kegelvlak.
Fig. 64.
Kegel. Definitie. Een kegel is de figuur, gevormd door het deel van een gesloten kegelvlak, dat aan de e'ene zijde van den top is gelegen en een plat vlak, dat 't kegelvlak ontmoet en niet door den top gaat.
Het platte vlak heet grondvlak, het kegelvlak heet kegelmantel.
Is het grondvlak van 'n kegel een cirkel, dan spreekt men van een cirkelkegel.
De loodlijn uit den top op 't grondvlak neergelaten is de hoogte van den kegel; valt het voetpunt dezer loodlijn samen met het middelpunt van 't grondvlak, dan is de cirkelkegel recht, anders is hij scheef.
De lijn uit 't toppunt naar 't middelpunt van 't grondvlak heet de as van den kegel. Bij 'n rechten cirkelkegel vallen de as en de hoogtelijn dus samen, bij 'n scheeven cirkelkegel niet.
Een beschrijvende lijn van een rechten cirkelkegel noemt men ook wel 't apothema.
Opmerking. Wij bespreken hier enkel den rechten cirkelkegel en waar we in 't vervolg 't woord kegel gebruiken, wordt daarmee dus steeds bedoeld een rechte cirkelkegel.



79
§ 80. Een kegel kan ook op de volgende wijze ontstaan.
Den rechthoekigen driehoek ABC (fig. 65) laten we wentelen om de rechthoekszijde AB. De zijde BC doorloopt daarbij 'n plat vlak (eig. 7, gevolg.), terwijl 't punt C, omdat 't altijd evenver van B verwijderd is, een cirkel beschrijft. De zijde AC, die steeds door A gaat, beschrijft den kegelmantel; dus:
Door wenteling van 'n rechthoekigen driehoek om een zijnet rechthoekszijden ontstaat 'n kegel.
Fig. 65.
§ 81. We trekken twee beschrijvende lijnen AT en BT (fig. 66). Omdat 't beschrijvende lijnen zijn, gaan ze beide door den top T eh
Fig. 66.



80
kunnen we er dos 'n plat vlak door bren gen. Dat vlak zal 't grondvlak Snijvlak, snijden volgens de lijn AB. Laten we nu dat snijvlak draaien om de rechte PQ, die in dat vlak ligt en door T//AB loopt, tot het is gekomen in den stand II, dan zijn de snijlijnen met den kegelmantel dichter bij elkaar gekomen (CT en DT). Draaien we nog verder, dan komen ze steeds dichter bij elkaar, tot ze, als het vlak in den stand III is gekomen, naast elkaar liggen. Raakvlak. In dezen stand heet het vlak raakvlak.
Definitie. Een raakvlak is 'n vlak, dat met den kegel twee op elkaar volgende beschrijvende lijnen gemeen heeft.
Die lijnen heeten raaklijnen. Omdat ze zóó dicht bij elkaar liggen, dat men ze niet van elkaar kan onderscheiden, spreekt men van de raaklijn.
§ 82. We beschrijven in 't grqndvlak van 'n kegel een veelhoek (fig. 67,1) en trekken uit de hoekpunten van dien veelhoek de beschrijvende lijnen. Deze gaan alle door den top. De zijden van den veelhoek en de bovengenoemde beschrijvende lijnen zijn de ribben van een pyramide. Men zegt nu, dat de pyramide in den kegel is beschreven of dat de kegel is beschreven om de pyramide.
Fig. 67.
We beschrijven een veelhoek om 't grondvlak van den kegel (fig. 67, II) en trekken uit de hoekpunten van dien veelhoek lijnen naar den top. Deze lijnen en de zijden van den veelhoek zijn de ribben van een pyramide, waarvan de opstaande zijvlakken raken



81
aan den kegel. Men zegt nu, dat de pyramide om den kegel is beschreven, of dat de kegel is beschreven in de pyramide.
Vragen. Kan in en om iederen kegel een pyramide beschreven worden?
Heeft elke pyramide een om- en een ingeschreven kegel? Welke wel?
§ 83. Op gelijke wijze als in de vorige § beschrijven we een pyramide in een kegel. Laten we nu 't aantal zijden van 't grondvlak van die pyramide meer en meer toenemen, dan nadert 't grondvlak tot een cirkel en de pyramide nadert tot den kegel. We kunnen den inhoud van een kegel dus beschouwen als de limiet, waartoe de inhoud van een ingeschreven pyramide nadert, wanneer 't aantal opstaande zijvlakken voortdurend toeneemt.
Omdat nu de inhoud van 'n pyramide gelijk is aan grondvlak x \ hoogte, moet die van een kegel ook gelijk zijn aan grondvlak x \ hoogte.
't Grondvlak is 'n cirkel: oppervlakte dus tcR8, waarin R de straal van 't grondvlak is. Noemen we de hoogte nu nog ft, dan krijgen we: nh. kegel = Inhoud kegel = grondvlak x \ hoogte = \ nR*h.
§ 84. Uit de vorige § volgt tevens, dat de oppervlakte van den kegelmantel berekend wordt als het zijdelingsch oppervlak van de ingeschreven regelmatige pyramide en dus gelijk is aan omtrek grondvlak x £ apothema.
De omtrek van 'n kegelgrondvlak is 2nR. Noemen we het apothema a, dan vinden we: opp. mantel = Oppervl. kegelmantel = omtrek grondvl. x \ apothema = *aR. 2nR x \ a = tmjR.
De totale oppervlakte van den kegel is nu: grondvl. + mantel = tcR* + TtaR = tcR(R + d).
De afgeknotte kegel.
§ 85. Definitie. Snijdt men een kegel door een vlak evenwijdig aan 't grondvlak, dan noemt men de figuur, gevormd door grondvlak, doorsnede enhet daartusschen gelegen deel van den kegelmantel, een afgeknotte kegel. (fig. 68.)
Van de twee evenwijdige vlakken noemt men 't grootste grondvlak, het kleinste bovenvlak. De afstand tusschen grond- en bovenvlak
van beek—van heek, Stereometrie. * 6
§ 84. Uit de vorige § volgt tevens, dat de oppervlakte van den kegelmantel berekend wordt als het zijdelingsch oppervlak van de ingeschreven regelmatige pyramide en dus gelijk is aan omtrek grondvlak x £ apothema.
De omtrek van 'n kegelgrondvlak is 2tcR. Noemen we het apothema a, dan vinden we:



82
inh. afgekn. kegel = inh
(R'+rM-Rr).
is de hoogte van den afgeknotten kegel (fig. 68, AD.) Het gedeelte der beschrijvende lijn van den kegel, dat gelegen is tusschen gronden bovenvlak, heet het apothema (fig. 68, BC). 't Bovenvlak van 'n afgekn. kegel is een cirkel.
§ 86. Een afgeknotte kegel kan ook op de volgende wijze
ontstaan. Het rechthoekig
trapezium ABCD (fig. 68) laten we wentelen om de rechthoekszijde AD. De zijden AB en DC beschrijven daarbij platte vlakken (eig. 7, gevolg), terwijl B en C, omdat ze steeds evenver van A en D verwijderd
Fig. 68. . zijn, cirkels doorloopen.
De zijde BC beschrijft den mantel van den afgeknotten kegel, dus:
Door wenteling van 'n rechthoekig trapezium om de rechthoekszijde ontstaat een afgeknotte kegel.
§ 87. In § 83 beschouwden we een kegel als de limiet, waartoe een pyramide nadert, wanneer 't aantal opstaande zijvlakken voortdurend toeneemt. Evenzoo is de inhoud van 'n afgeknotte kegel te beschouwen als de limiet, waartoe de inhoud van 'n ingeschreven afgeknotte pyramide nadert, als 't aantal opstaande zijvlakken voortdurend toeneemt. Hieruit volgt dan, dat de inhoud van 'n afgeknotte kegel gelijk is aan £ van het produkt van de hoogte en de som van grondvlak, bovenvlak en de meetkundig middelevenredige tusschen grond- en bovenvlak, dus \h x (G + B + VGxB). Grond- en bovenvlak zijn cirkels. Noemen we de stralen resp. R en r, dan kunnen we voor bovenstaande formule ook schrijven: . Inhoud afgekn. kegel = \ h x (tcR2 + rcr2 + rcRr) = \ \ *h (R2 + r2 + Rr).
§ 88. De opp. van den mantel bij 'n afgeknotten kegel zal volgens 't bovenstaande te beschouwen zijn als het zijdelingsch oppervlak eener afgeknotte regelmatige pyramide en dus gelijk aan het halve produkt van het apothema en de som der omtrekken



83
van grond- en bovenvlak, dus, als we het apothema weer a noemen: opp. mantel Opp. mantel afgekn. kegel = | <z(2tcR + 2rcr) = na(R + r). afgekn.kegel De totak yan >n afgeknotten kege] is n = 7ia(K-t-r). • °
tcR8 + rcr2 + na (R + r) = tc{R8 + r8 + a (R + r)}.
§ 89. Opgaven. *)
1. Van 'n kegel is de middellijn van 't grondvlak 21 en de hoogte 14 cM. Bereken het oppervlak en den inhoud van dien kegel.
2. Het opp. van 't grondvlak van een kegel is 13,86 dM8, dat van den mantel is 23,1 dM8. Hoeveel is de inhoud van dien kegel? (tc = ^)
3. Een kegel wordt door twee vlakken door den top en loodrecht op 't grondvlak in 4 gelijke deelen verdeeld. Bereken het opp. van elk stuk, als de straal van 't grondvlak 31,5 en de hoogte 75,6 cM bedraagt, tc =
4. Een rechte houten kegel past juist in een open looden kegel, waarvan de wand overal even dik is. De hoogte van den houten kegel is 75 cM, de middellijn van zijn grondvlak 35 cM. Bereken het gewicht van den looden kegel, als de hoogte daarvan 78 cM en het S.G. van lood 11,5 is. (tc=3|)
5. Een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 12 en 16 cM wentelt achtereenvolgens om de grootste en kleinste rechthoekszijde. Bereken de inhouden der omwentelingslichamen, die ontstaan.
6. Een rechthoekig trapezium met evenwijdige zijden van 16 en 22 cM en een schuine zijde van 10 cM wentelt om de rechthoekszijde. Bereken opp. en inhoud van den afgeknotten kegel, die daardoor ontstaat.
7. Van een rechten cirkelkegel is de middellijn van 't grondvlak 90 cM, terwijl de mantel een opp. heeft van 106,029 dM*. Door twee vlakken, evenwijdig met het grondvlak, wordt de kegel in 3 deelen verdeeld, die alle even hoog zijn. Hoe groot is de inhoud van het grootste deel? (tc = 3,1416)
8. De asdoorsnede van een kegel is een gelijkzijdige driehoek (gelijkzijdige kegel). Hierin plaatst men den grootst mogelijken gelijkzijdigen cylinder. Hoe verhouden zich de inhouden van kegel en cylinder? En hoe de oppervlakken?
*) Als tc .niet gegeven is, moet tc ook in de uitkomsten blijven staan.



84
9. De rechthoekszijden van een rechthoekigen driehoek zijn a en b. Bereken de verhouding der inhouden van de omwentelingslichamen, die ontstaan, als deze driehoek achtereenvolgens om beide rechthoekszijden wentelt.
10. Welke figuur ontstaat, als men een kegelmantel in een plat vlak uitspreidt?
Als de ontwikkelde mantel van een kegel een halve cirkel is met straal r, wat is dan de inhoud van den kegel?
11. Een kegel wordt door twee vlakken evenwijdig met het grondvlak in 3 even hooge deelen verdeeld. Bewijs, dat het middelste deel 7y van den heelen kegel is.
12. In een regelmatig vierzijdig prisma plaatst men den grootst mogelijken kegel, die evenals het prisma een hoogte heeft van 12 dM. De overblijvende ruimte wordt geheel gevuld met 4,34 HL. water. Welk deel is de kegel van het prisma? Bereken van dien kegel het oppervlak van 't grondvlak. (7t = V)
13. Bereken den inhoud van 'n afgeknotten kegel als de hoogte \ is van de middellijn van 't grondvlak en het apothema met 't grondvlak een hoek maakt van 45°. De straal van 't grondvlak is R.
14. Wanneer is de doorsnede van een kegel met een plat vlak een driehoek? Wanneer een cirkel? Wat kan de doorsnede nog meer zijn?
15. De m.p. van de lijnen, die een gegeven lijn in een gegeven punt snijden en met die lijn een gegeven hoek vormen, is ...
16. De lijn, volgens welke 'n raakvlak aan 'n kegel het uitgebreide grondvlak snijdt, is raaklijn aan den cirkel in dat grondvlak. Bewijs.
17. Een raakvlak aan een kegel staat loodrecht op het vlak door de raaklijn en de as. Bewijs.
18. Construeer door 'n punt buiten 'n kegel een raakvlak aan dien kegel.
19. Yan 'n kegel is het apothema gelijk aan de middellijn van 't grondvlak. In dit grondvlak is een vierhoek ABCD beschreven, waarvan AB = BC en AD = CD = $ BD. Bereken de verhouding der inhouden van den kegel en een pyramide, die ABCD tot grondvlak en de halve omtrek van het grondvlak van den kegel tot hoogte heeft.
(Gymn.)



85
20. Een kegel wordt door twee vlakken evenwijdig met het grondvlak zoodanig gesneden, dat het ronde oppervlak van den kegel in drie gelijke deelen wordt verdeeld. Bereken: ïo den afstand der beide doorsneden j 2° de oppervlakken dezer doorsneden; 3° den inhoud van den afgeknotten kegel, waarvan deze doorsneden grond- en bovenvlak zijn. Straal grondvlak kegel m R; hoogte kegel = H. (Gymn.).
21. Van een afgeknotten kegel zijn de stralen van grond- en bovenvlak resp. R en r. Een doorsnede evenwijdig aan deze vlakken halveert den inhoud van den afgeknotten kegel. Bereken: 1° de verhouding van de afstanden dezer doorsnede tot grond- en bovenvlak en 2° het oppervlak van de doorsnede.
Lichamen, ontstaan door wenteling van vlakke figuren.
§ 90. In de vorige § § leerden we reeds kennen als omwentelingslichamen den cylinder, den kegel en den afgeknotten kegel.
Wentelt een vlakke figuur om een as, in hetzelfde vlak gelegen als de wentelende figuur, dan laat men ter bepaling van den vorm van het lichaam, dat ontstaat, uit de hoekpunten der figuur loodlijnen neer op de as en bepaalt dan, welke lichamen ontstaan door wenteling der rechthoekige driehoeken, rechth. trapeziums, enz., welke door het trekken van bovengenoemde loodlijnen zijn ontstaan. Voorbeelden.
1. Driehoek ABC wentelt om de zijde AB. We laten nu uit C
de loodlijn CD neer öp AB, waardoor de driehoek ABC verdeeld wordt in de rechth. drleh. ACD en BCD. Door wenteling dezer driehoeken om de rechthoekszijden AD en BD ontstaan de kegels ACE en BCE. Door wenteling van den oorspronkelijken driehoek ontstaat dus een lichaam, bestaande uit twee kegels
Fig. 69. , ,
bestaande uit twee kegels
met gemeenschappelijk grondvlak (de cirkel door CD beschreven)
en waarvan de hoogten resp. zijn AD en BD.



86
Opgave. Verklaar, dat de inhoud van de omwentelingsfiguur = opp. gemeenschappelijk grondvl. x £AB en het opp. = omtrek gemeensch. grvl. x |(AC + BC).
2. Trapezium ABCD (fig. 70) wentelt om de grootste evenwijdige zijde AB. We laten uit C en D loodlijnen neer op AB. Het omwentelingslichaam bestaat uiteen cylinderDCFE en twee kegels ADE en BCF.
3. Trapezium ABCD (fig. 71) wentelt om de zijde CD. Uit A en B laten we de loodlijnen AF en BE neer op de as. De omwentelingsfiguur bestaat nu uit de som van den kegel CBH en den afgeknotten kegel ABHG, verminderd met den kegel DAG.
Fig. 71. DAG. § 91. Opgaven.
1. Een rechthoekig trapezium, waarvan de evenwijdige zijden 5 en 11 d.M. zijn en de hoogte 10£ d.M., laat men wentelen om de kortste evenwijdige zijde. Bereken den inhoud van het daardoor ontstane lichaam, (tc = 3|)
2. Men wentelt een gelijkzijdigen driehoek om een zijner zijden. Bereken den inhoud van de omwentelingsfiguur, als de zijde van den driehoek 28 c.M. lang is. (tc =



87
3. Een rechthoekige driehoek, waarvan de rechthoekszijden zijn AB = 13,5 en BC = 18 C.M., wentelt:
1°. om AB, 2°. om BC, 3°. om AC.
Hoe verhouden zich de inhouden der lichamen, welke op
deze wijze ontstaan?
4. Van 'n rechth. driehoek zijn de rechthoekszijden 20 en 15 c.M. lang. Men laat dien driehoek wentelen om de schuine zijde. Bereken den inhoud van de figuur, die ontstaat, (tc = 3,14)
5. In een vierkant ABCD met zijde a verbindt men 't hoekpunt A met het midden F van BC. 't Grootste deel van dat vierkant laat men wentelen om AF. Bereken den inhoud van het omwentelingslichaam, dat ontstaat.
6. Een rechthoek met zijden van 8 en 6 c.M. wentelt om een rechte in dat vlak gelegen, die evenwijdig loopt met de zijde van 6 c.M., daarvan 4 c.M. is verwijderd en den rechthoek niet snijdt. Bereken den inhoud en het oppervlak van het lichaam, dat ontstaat.
7. Een driehoek met zijden a, b en c wentelt achtereenvolgens om de drie zijden. Hoe verhouden zich de inhouden der figuren, die ontstaan?
8. In een trapezium met evenwijdige zijden a en b trekt men een diagonaal. De twee driehoeken, waarin het trapezium verdeeld wordt, laat men beide wentelen om die diagonaal. Druk de verhouding der inh. van de lichamen, die ontstaan, uit in o en b.
9. In een rechthoekigen driehoek met een hoek van 30° is de kleinste rechthoekszijde = a. Men laat dezen driehoek wentelen om de schuine zijde. Druk den inhoud van het omwentelingslichaam in a uit.
(In het antwoord tc laten staan). Hoofdakte '25.
10. Een regelmatige zeshoek wentelt om een der zijden. Druk inhoud en oppervlak van de wentelingsfiguur in de zijde a van den zeshoek uit.



88
DE BOL.
Bol. § 92. Definitie. Een bol is de meetkundige plaats van de punten, die evenver van eenzelfde punt verwijderd zijn.
Dat punt heet het middelpunt van den bol.
Een lijn, die een punt van een bol verbindt met het middelpunt, heet 'n bolstraat. Uit de definitie van bol volgt nu, dat alle stralen gelijk zijn. Een rechte, die twee punten van 'n bol verbindt, heet koorde. Een koorde, die door 't middelpunt gaat, noemt men een middellijn. Omdat een middellijn üit twee stralen bestaat, zijn alle middellijnen gelijk. De uiteinden eener
middellijn heeten tegenpunten van den bol.
§ 93. We laten een haiven cirkel wentelen om z'n middellijn AB. (fig. 72). Ieder punt van den halven cirkel blijft bij die wenteling op denzelfden afstand van M, waaruit volgt, dat de wentelende halve cirkel een bol beschrijft; dus:
Door wenteling van een halven cirkel om z'n middellijn ontstaat een bol.
Fig. 72.
§ 94. Eigenschap 33.
De doorsnede van een bol met een plat vlak is een cirkel. Gegeven. Bol M en vlak V, dat den bol snijdt, (fig. 73).
Fig. 73.



89
Te bewijzen. De doorsnede is een cirkel.
Bewijs. We laten uit M de loodlijn MP neer op het snijvlak en verbinden de punten M en P met de punten A en B der doorsnede.
De AA MPA en MPB, die nu ontstaan, zijn congruent, (waarom?) Uit deze congruentie volgt dat PA = PB. Het blijkt dus, dat ieder punt der doorsnede evenver verwijderd is van P, bijgevolg is die doorsnede een cirkel.
Gaat het snijvlak door het middelpunt van den bol, dan is de doorsnede een groote cirkel, gaat het snijvlak niet door het middelpunt, dan is de doorsnede een kleine cirkel op den bol.
§ 95. Eigenschap 34.
De raaklijn aan een kromme lijn op den 'bol, staat loodrecht op den straal naar het raakpunt.
90° + % /. M. (Waarom?) Draaien we nu de snijlijn AB om 't punt A, zóó dat ze steeds de kromme in twee punten snijdt, dan zullen de hoeken MAD en MBE steeds ieder gelijk blijven aan 90° + £ Z. M. Ook als de snijlijn AB is overgegaan in de raaklijn AG, zal dat nog het geval zijn. Maar dan is z. M =0° en de hoeken MAD en MBE zijn dan ieder 90°, waaruit volgt, dat een raaklijn loodrecht staat op den straal naar 't raakpunt.
§ 96. In het punt A kan men op den bol verschillende krommen trekken. De raaklijnen aan die onderscheidene krommen staan alle
Gegeven. Bol M en
daarop de kromme lijn ABC. (fig. 74).
Te bewijzen. Straal MA staat loodrecht op de raaklijn GA aan de kromme.
Bewijs. ABC is 'n kromme lijn op den bol en de rechte AB is 'n snijlijn. Verbinden we het middelpunt M van den bol met A en B, dan is A MAB gelijkbeenig. De hoeken MAD en MBE zijn nu ieder gelijk aan
Fig. 74,



90
Raakvlak, loodrecht op den eenen straal MA naar 't raakpunt. Die raaklijnen liggen dus alle in één plat vlak (eig. 7, gevolg.), dat men het raakvlak noemt aan den bol in 't punt A.
Uit 't bovenstaande volgt nu, dat het raakvlak loodrecht staat op den straal naar 't raakpunt (raakstraal).
§ 97. Aan cirkel M (fig. 75,1) trekken we de raaklijn PQ evenwijdig met de middellijn AB. Cirkel en raaklijn laten we wentelen om de
Fig. 75.
Omhullingscylinder.
middellijn AB als as. De cirkel beschrijft nu een bol, terwijl de raaklijn een cylindervlak beschrijft, waarvan iedere beschrijvende raakt aan den bol.
Men zegt nu, dat het cylindervlak den bol omhult en dat de bol
in het cylindervlak is beschreven.
Een bol is in een cylinder beschreven, als het cylindervlak, zooals hierboven, den bol omhult en als bovendien grond- en bovenvlak van den cylinder den bol raken. (fig. 75, II).
De cylinder heet dan de omhulllngscyllnder van den bol. Dit is een gelijkzijdige cylinder. (Waarom)?
Aan cirkel M (fig. 76) trekken we uit 'n punt T op 't verlengde der middellijn BA een raaklijn TC. Dien cirkel met raaklijn laten we wentelen om TAB als as. De



91
cirkel beschrijft nu een bol en de raaklijn een kegelvlak, waarvan iedere beschrijvende raakt aan den bol. Men zegt nu, dat het kegelvlak den bol omhult en dat de bol in het kegelvlak is beschreven.
Een bol is in een kegel beschreven, als de kegelmantel, zooals hierboven, den bol omhult en als bovendien het grondvlak van den kegel den bol raakt. (fig. 76).
°n,kegei'g8" De kegel heCt dan dC onlnullin8ske8e, van den bol.
§ 98. Opgaven.
1. De straal van 'n kleinen cirkel op een bol is r, terwijl de straal van den bol R is. Hoe groot is de afstand van 't middelpunt van den bol tot het vlak van den kleinen cirkel?
2. Een bol wordt gesneden door een plat vlak, welks afstand tot het middelpunt van den bol 10 c.M. is. Als de straal van den bol 26 c.M. bedraagt, hoe groot is dan het oppervlak der doorsnede?
3. Twee kleine cirkels op een bol zijn gelijk, als hun afstanden tot het middelpunt gelijk zijn. Bewijs.
4. Van twee kleine cirkels ligt de grootste het dichtst bij het middelpunt. Bewijs.
5. Als de straal van een bol wordt voorgesteld door R en de afstand van 't middelpunt M tot een vlak door a, dan weten we:
als a > R, dat 't vlak buiten den bol valt;
als a = R,
als a < R,
Vul dit in.
6. Worden de stralen van de bollen M en N voorgesteld door R en r, dan weten we:
als MN = R + r, raken de bollen elkaar uitwendig; als MN = R — r,
als MN > R -f r,
als MN < R — r,
c als MN < R + r maar> R — r,
Vul dit in.
7. Uit 't eene uiteinde der koorde AB van een bol trekt men een middellijn. Bewijs, dat de koorde AB middelevenredig is tusschen haar projectie op de middellijn en de middellijn.



92
8. Uit 'n punt op een bol laat men een loodlijn neer op een middellijn. Bewijs, dat deze loodlijn middelevenredig is tusschen de stukken, waarin zij die middellijn verdeelt.
9. Construeer uit 'n punt P buiten een bol een raaklijn aan dien bol. Wat is de m.p. van de raaklijnen uit P aan dien bol?
10. Uit een punt P buiten een bol trekt men een lijn, die den bol snijdt in de punten A en B en een raaklijn PC. Te bewijzen PA x PB = PC8.
11. Uit een punt P buiten een bol trekt men twee lijnen. De eerste snijdt den bol in A en B, de tweede in C en D. Te bewijzen PA x PB = PC x PD.
Macht. (Dat standvastige produkt heet de macht van P ten opzichte
van den bol.)
12. Als de omtrek der aarde 40 000 K.M. is of 7200 uren gaans, bereken dan den afstand tusschen twee plaatsen op denzelfden meridiaan gelegen, de eerste op 52° N.B, de andere op 34° N.B. (De afstand tusschen twee punten op een bol is de kleinste boog van den grooten cirkel, die door die twee punten gaat.)
13. Als de aardstraal R is, druk dan de stralen der parallelcirkels op 45° en 60° breedte in R uit.
14. Gegeven een cirkel met een omgeschreven gelijkb. trapezium. Men laat de figuur wentelen om de lijn, die de raakpunten op de evenwijdige zijden verbindt. Welke omwentelingsfiguren ontstaan nu? (Omgeschreven afgeknotte kegel; ingeschreven bol.)
15. Van een afgeknotten kegel zijn de stralen van grond- en bovenvlak resp. R en r. Bereken de hoogte, als in dien afgeknotten kegel een bol kan beschreven worden.
16. In een kegel is een bol beschreven. De afstand van den top van den kegel tot het middelpunt van den bol is 25. De straal van den bol is 15. Bereken den straal van den cirkel, volgens welken kegel en bol elkaar raken.(contactcirkel).
17. Wat is de m.p. van de middens van gelijke koorden' in een bol?
18. Wat is de m.p. van de middelpunten der kleine cirkels, die een straal a hebben?
19. Bepaal de m.p. van de middelpunten der bollen, die een straal a hebben en een gegeven vlak raken.
. 20. Een bol te construeeren, die een gegeven vlak raakt, een



93
gegeven lijn a tot straal heeft en z'n middelpunt op een gegeven lijn heeft. 21. In een bol is de gelijkzijdige kegel beschreven en om den bol de omhullingscylinder. Hoe verhouden zich de opp. van kegel en cylinder? Hoe de inhouden?
§ 99. Oppervlak van den bol en van boldeelen.
Snijden we een bol door een plat vlak, dan is de doorsnede een cirkel. De bol wordt door dat snijvlak in twee deelen verdeeld. Definitie. De figuur, gevormd door het snijvlak Bolsegment. en een der deelen van den bol, heet een bolsegment.
Dat vlak heet grondvlak, het deel van den bol het ronde oppervlak
van het segment.
Zoo is in fig. 77 het vlak van cirkel N het grondvlak en het opp. AEB het ronde opp. van het segment. Laten we uit het middelpunt van den bol de loodlijn MN neer op 't grondvlak van 't segment en verlengen we die loodlijn, tot ze het boloppervlak in E snijdt, dan is het stuk
tusschen 't grondvlak en het boloppervlak, dus -NE, de hoogte van het segment.
Laten we het halve cirkelsegment ANE wentelen om zijn pijl NE, dan beschrijft AN het grondvlak en de boog AE het ronde opp. van het bolsegment; dus:
Een bolsegment ontstaat door wenteling van een half cirkelsegment om zijn pijl.
§ 100. Snijden we een bol door twee evenwijdige platte vlakken dan zijn de doorsneden cirkels.
Definitie. De figuur, gevormd door twee evenwijdige snijvlakken en het daartusschen gelegen Bolschijt. deel van een bol, heet een bolschijf. (fig. 77).



94
De snijvlakken heeten grond- en bovenvlak, het deel van den bol heet het ronde oppervlak der schijf. (De grootste cirkel krijgt gewoonlijk den naam grondvlak).
Zoo is in fig. 77 het vlak van cirkel P het grondvlak, dat van cirkel N het bovenvlak en het oppervlak ACDB het ronde oppervlak van de schijf. De afstand tusschen grond- en bovenvlak heet de hoogte der schijf, (fig. 77, NP).
Laten we uit twee punten van den halven cirkel EACF loodlijnen AN en CP op de middellijn EF neer, dan wordt de halve cirkel daardoor in drie deelen verdeeld. Laten we nu het middelste deel wentelen om de middellijn, dan beschrijven de loodlijnen AN en CP resp. boven- en grondvlak, terwijl de boog AC het ronde opp. der schijf beschrijft, dus:
Als men een halven cirkel door twee loodlijnen op de middellijn in drie deelen verdeelt, beschrijft het middelste deel door wenteling om de middellijn een bolschijf.
§ 101. Eigenschap 35.
Het oppervlak beschreven door een rechte lijn, die wentelt om een andere rechte, welke met de eerste in één vlak Het. doch haar
Bij de wenteling om XY beschrijft AB den mantel van een afgeknotten kegel. Volgens § 88 is het opp.An1) gelijk aan: *AB x (AC + BD) = 2*AB x EF, want AC + BD = 2 EF.
*) In plaats van: „het oppervlak door AB beschreven" schrijven we kortheidshalve „oppervlakAB."
Te bewijzen. Oppervl. door AB beschreven = CD x 2tcEG.
net uc ccisic ui ecu viaK ngi, aocn naar niet snijdt, is gelijk aan het produkt van de projectie der wentelende lijn op de as van wenteling en den omtrek van een cirkel, die de loodlijn, opgericht in 't midden der wentelende lijn en gemeten tot de as van wenteling, tot straal heeft.
Gegeven. AB wentelt om XY als as. (fig. 78). .E is het midden van AB. EG J_ AB. AC en BD j_ XY.
Te bewijzen. Oppervl. door AB beschreven = CD x 2tcEG.
Bewijs. Uit E laten we de loodlijn EF neer op de as XY, terwijl we AH//XY trekken.
Fig. 78.



95
We moeten bewijzen, dat het opp.AB gelijk is aan CD x 2tcEG. Dat nu zal het geval zijn, als
2rcAB x EF = CD x 2tcEG of als AB x EF = CD x EG of als
AB : EG = CD : EF of als AB : EG = AH : EF (immers CD = AH).
Deze evenredigheid nu volgt uit de gelijkvormigheid der driehoeken ABH en EGF. (waarom zijn die gelijkvormig?)
Opgave. Geef het bewijs, als A in de lijn XY valt. Ook als AB // XY.
§ 102. Zij ABCDE een gedeelte van 'n ingeschreven regel-
matigen veelhoek in cirkel M (fig. 79).
FG, GM, MK en KL zijn resp. de projecties van AB, BC, CD en DE op de middellijn en NM, OM, PM en QM de loodlijnen in de middens van AB, BC, CD en DE opgericht.
Laten we nu ABCDE om de middellijn XY wentelen, dan zal het oppervlakABCDE volgens de vorige § gelijk zijn aan: FG x 2tcNM + GM x 2ttOM + MK x 2tcPM + KL x 2ttQM. Omdat NM = ÖM = PM = QM vinden we tot som (FG + GM + MK + KL) x 2*NM = FL x 2tcNM.
Bij voortdurend toenemen van 't aantal zijden van den ingeschreven veelhoek worden de koorden AB,
BC, CD en DE steeds kleiner en is de grens, waartoe de gebroken lijn ABCDE nadert, de cirkelboog AE. De loodlijn NM nadert daarbij tot den straal van den cirkel M. Hieruit volgt, dat het ronde oppervlak, doorloopen door den cirkelboog AE bij wenteling om 'n middellijn, gelijk is aan het produkt van de projectie van den boog op die middellijn en den omtrek van den cirkel of FL x 2tcR, als R de straal van den cirkel is.



96
§ 103. Nemen we voor den wentelenden cirkelboog den boog AX. (fig. 79), die het ronde oppervlak van een bolsegment beschrijft, dan vinden we:
Het ronde oppervlak van een bolsegment'is gelijk aan het produkt van de hoogte van het segment en den omtrek van een grooten cirkel.
rondeopp.bol- Als ft de hoogte van het segment en R de straal van den bol is 8eg2nRh = vinden wii dus: ronde °PP« bolsegment = 2nR x h.
Nemen we voor den wentelenden cirkelboog den boog AE, die het ronde opp. van een bolschijf beschrijft, dan vinden we:
ronde opp. Het ronde oppervlak van een bolschijf is gelijk aan het produkt b02nRh.== Van de noo8te der schiJf en den omtrek van een grooten cirkel.
In formulevorm: ronde opp. bolschijf = 2nR x h (ft is de hoogte der schijf, R is de straal van den bol).
Nemen we voor den wentelenden cirkelboog den halven cirkel XY, die een bol beschrijft, dan vinden we:
Het oppervlak van een bol is gelijk aan het produkt van de middellijn en den omtrek van een grooten cirkel. In formulevorm: opp. bol. = 2ttR x 2R = 4nR2. opp. bol = Het oppervlak van een bol is gelijk aan 4-maal het oppervlak 4nR». va„ ee„ gjoQfc,, Cirkel.
§ 104. Inhoud van den bol.
a. We laten a ABC (fig. 80)
om de zijde AB als as wentelen. CE en BD zijn hoogtelijnen. De inhoud door a ABC beschreven bestaat nu uit 2 kegels, die beide den cirkel, door CE beschreven , als grondvlak hebben. De inhoud door a ABC doorloopen is nu gelijk aan: JtcCE2 x AB (§ 90) = ircCE x
CE x AB.
CE x AB is 2-maal het opp. van den driehoek = AC x BD; dus £tcCE x CE x AB = JtcCE x AC x BD = $BD x tcCE.AC. Nu is tcCE x AC het oppervlak door AC beschreven, zoodat we vinden:
De inhoud door & ABC beschreven is gelijk aan het oppervlak



97
door AC beschreven, vermenigvuldigd met \ der hoogtelijn uit B op AC neergelaten.
b. We laten a ABC (fig. 81) om XY als as wentelen. XY ligt in 't vlak van den driehoek en gaat door B. BD j_ AC. De inhoud door a ABC doorloopen is nu gelijk aan het verschil der inhouden door a EBC en a EBA beschreven.
Xe b y
Fig. 81.
Volgens 't eerste gedeelte dezer § vinden we: Opp. door EC doorloopen X £ BD — opp. door EA doorloopen X \ BD = \ BD x opp. door AC doorloopen. Ook hier vinden we dus:
De inhoud door a ABC beschreven is gelijk aan het oppervlak door AC beschreven, vermenigvuldigd met $ der hoogtelijn uit B op AC neergelaten.
c. We laten a ABC (fig. 82) om XY als as wentelen. XYKgtin 't vlak van den driehoek en gaat door B. XY//AC. BD is 'n hoogtelijn in den driehoek. AE en CF J. XY.
Fig. 82.
De inhoud door a ABC beschreven is nu gelijk aan den inhoud van den cylinder door den rechthoek AEFC doorloopen, verminderd met de som der inhouden van de kegels door de rechth. driehoeken ABE en CBF doorloopen. We krijgen dus als inhoud:
van beek—van heek, Stereometrie. * 7



98
tcBD2 x AC — fcrAE2 x EF, maar omdat EF = AC en AE = BD, kunnen we schrijven
«BD2 x AC —ircBD2 x AC =£tcBD2 x AC.
Hiervoor schrijven we £ BD x 2tcBD x AC. Nu is 2tcBDxAC het oppervlak door AC beschreven en daar BD de hoogtelijn is op AC, vinden we ook hier weer evenals boven:
De inhoud doorA ABC beschreven is gelijk aan het oppervlak door A C beschreven, vermenigvuldigd met J der hoogtelijn uit B op AC neergelaten.
In alle drie de gevallen was steeds B een hoekpunt, dat bij de wenteling op zijn plaats bleef en AC de zijde tegenover dat hoepunt. Bovendien werd de wentelende driehoek door de as niet gesneden. We komen nu tot de volgende
Eigenschap 36.
Wanneer een driehoek wentelt om een lijn, die door een der hoekpunten gaat, in het vlak van den driehoek ligt en hem niet snijdt, dan is de inhoud, die door den driehoek wordt beschreven, gelijk aan het oppervlak door de zijde tegenover het vaste hoekpunt beschreven, vermenigvuldigd met \ der loodlijn uit het vaste hoekpunt op de overstaande zijde neergelaten.
§ 105. Zij ABCDE een gedeelte van 'n ingeschreven regelma-
tigen veelhoek in cirkel M. (fig. 83) MF, MG, MH en MK zijn de loodlijnen uit M op de zijden AB, BC, CD en DE neergelaten.
Laten we nu de fig. MABCDE wentelen om de middellijn XY, dan zal de inhoiid, door die fig. beschreven, volgens de vorige § gelijk zijn aan: opp.ab x iMF + opp.ec x JMG + opp. cd x i MH + opp. DE x i MK. Omdat nu MF = MG = MH = MK, vinden we tot som: opp. door ABCDE beschreven x £ MF.
Laten we nu 't aantal zijden van den ingeschreven veelhoek voortdurend toenemen, dan worden de koorden AB, BC, CD en DE steeds kleiner en de gebroken lijn ABCDE nadert tot den cirkelboog AE. De
Fig. 83.



99
figuur MABCDE nadert tot den cirkelsector MAE en de loodlijn MF heeft den straal R van den cirkel tot limiet. Hieruit volgt nu ,dat de inhoud beschreven door een cirkelsector, die om 'n middellijn wentelt, gelijk is aan het ronde opp. door den boog van den sector beschreven, vermenigvuldigd met £ van den straal van den cirkel.
Nemen we nu voor den wentelenden sector den halven cirkel XBY, dan zal de inhoud door dien halven cirkel doorloopen, d. i. de inhoud van den bol, gelijk zijn aan 't opp. door den halven cirkel beschreven x i van den straal of 't opp. van den bol x £ van den straal of 4rcR2 x JR. Inh. bol = De inhoud van een bol is gelijk aan zijn oppervlak vermenigf nR'. vuldigd met £ van zijn straal.
In formulevorm:
Inhoud bol = £R x 4tcR2 =|nR8. § 106. Opgaven.
Als tc niet gegeven is, moet tc ook in de uitkomsten blijven staan.
1. De straal van een bol is 10 c.M. Gevraagd het opp. en den inhoud van dien bol.
2. Als het opp. van een bol 2464 c.M.8 is, hoeveel is dan zijn inhoud? tc =
3. Een kom heeft den vorm van een halven bol. Hoeveel L. water kan die kom bevatten, als de middellijn 42 c.M. is?
tc = 2^.
4. De omtrek der aarde is 40000 K.M. Bereken het opp. tc = 3.14.
5. Een bol heeft 'n inhoud van 4851 cM.' Bereken het oppervlak. tc = .
6. Een bol wordt gesneden door een plat vlak. Het oppervlak der doorsnede is 113,04, terwijl de afstand van 't middelpunt tot het doorsnee vlak 8 bedraagt. Bereken den inhoud van dien bol. tc = 3.14.
7. Gevraagd het opp. van een lichaam, dat den vorm heeft van een kwartbol, uit te drukken in den straal R van den bol.
8. Van twee bollen is het gezamenlijke opp. 2002. De stralen verhouden zich als 2 : 3. Bereken de inhouden, tc = %f.
9. De opp. van twee bollen verhouden zich als de kwadraten hunner stralen. Bewijs.
10. De inhouden van twee bollen verhouden zich als de derdemachten hunner stralen. Bewijs.



100
11. Het oppervlak van een bol is red2 (d is de middellijn). Bewijs.
12. De inhoud van een bol is £ nrd8. Bewijs.
13. De opp. van twee bollen verhouden zich als 9 : 16. Hoe verhouden zich hun stralen? En hoe, als de opp. zich verhouden als a : b?
14. De inhouden van twee bollen verhouden zich als 8 : 125. Hoe verhouden zich hun stralen? En hoe, als de inhouden zich verhouden als a : b?
15. De inhoud van een bol met straal R wordt door een concentrischen bol in twee gelijke deelen verdeeld. Bereken den straal van den kleinsten bol.
16. De straal van een bol is gelijk aan den straal van 't grondvlak van een kegel, terwijl het boloppervlak gelijk is aan 't opp. van den kegelmantel. Bepaal de verhouding der inhouden van bol en kegel.
17. De oppervlakken van een kegel en zijn ingeschreven bol verhouden zich als hun inhouden. Toon dit door berekening aan.
18. De straal van een kleinen cirkel op een bol is 12; de straal van den bol is 13. Bereken het ronde opp. van het segment, dat door het vlak van den kleinen cirkel met het kleinste deel van den bol gevormd wordt.
19. Een bolsegment wordt gesneden door een vlak evenwijdig aan 't grondvlak. Waar moet dit snijvlak worden aangebracht, opdat het ronde opp. van het segment worde middendoor gedeeld?
20. De afstand van P tot het middelpunt van een bol is 25, de straal van den bol is 15 c.M. In P bevindt zich een lichtbron. Bereken het oppervlak van het verlichte deel van den bol.
21. Buiten een bol met straal R ligt een punt P. De afstand van het punt P tot het middelpunt van den bol is 2R. Welk deel van het bolopp. is van uit P zichtbaar?
22. Loodrecht op 'n middellijn van een bol met straal R worden vlakken aangebracht, die de middellijn in stukken verdeelen, welke zich verhouden als 2 : 3 : 2. Bereken de opp. der deelen, waarin de bol verdeeld wordt.
23. Twee evenwijdige vlakken snijden een bol volgens cirkels



101
met stralen van 9 en 12. De middellijn van den bol is 30. Bereken het ronde opp. der bolschijf, waarvan deze twee vlakken grond- en bovenvlak zijn.
24. Een bolopp. wordt door 5 evenwijdige vlakken in 6 gelijke deelen verdeeld. Hoe verdeelen deze vlakken de middellijn?
25. Het ronde opp. van een bolsegment is gelijk aan het grondvlak van het segment vermeerderd met een cirkel, die de hoogte van het segment tot straal heeft. Bewijs dat.
26. Het ronde opp. van een bolsegment is gelijk aan het opp. van een cirkel, die tot straal heeft het apothema van den in het segment beschreven kegel. Bewijs dat.
27. Welk deel van den omhuliingscylinder ligt buiten den daarin beschreven bol?
28. In een afgeknotten kegel is een bol beschreven. De inhoud van den bol is de helft van den inhoud van den afgeknotten kegel. Druk de stralen van grond- en bovenvlak van dien afgeknotten kegel uit in den straal R van den bol.
29. Een bol (straal R) wordt zoodanig door een plat vlak gesneden, dat het oppervlak der doorsnede gelijk is aan 't verschil der ronde oppervlakken, waarin 't boloppervlak wordt verdeeld. Op welken afstand ligt het snijvlak van het middelpunt van den bol?
30. Twee evenwijdige vlakken, op gelijken afstand van het middelpunt, snijden een bol (straal R) zoodanig, dat de som der doorsneden gelijk is aan het ronde oppervlak, gelegen tusschen de snijvlakken. Bereken den afstand der snijvlakken.
REGELMATIGE VEELVLAKKEN.
§ 107. Definities. Een gesloten ruimtefiguur, gevormd door platte vlakken, noemt men een veelvlak. Een regelmatig veelvlak is een veelvlak, dat gevormd wordt door congruente regelmatige veelhoeken, waarvan er in ieder hoekpunt evenveel samenkomen.
Het regelmatig zesvlak of de kubus.
Heeft een recht prisma een vierkant tot grondvlak en is de hoogte gelijk aan de ribbe van 't grondvlak, dan zijn alle zijvlakken congruente vierkanten, terwijl er in ieder hoekpunt 3



102
samenkomen. We hebben dan volgens de definitie hierboven een regelKubus. matig veelvlak en wel het regelmatig zesvlak of de kubus. (fig. 84)
§ 108. Opgaven.
1. Hoeveel ribben heeft de kubus? Hoeveel lichaamsdiagonalen?
2. Druk den inhoud van een kubus uit in z'n lichaamsdiagonaal d.
3. Een vlak, gaande door een opstaande ribbe, verdeelt een kubus in twee prisma's, waarvan de inhouden zich verhouden als 3:5. Hoe verhouden zich de oppervlakken daarvan?
4. De vier lichaamsdiagonalen van een kubus zijn gelijk en snijden elkaar in één punt. Bewijs.
5. Bewijs, dat het snijpunt der lichaamsdiagonalen evenver verwijderd is van alle hoekpunten van den kubus en bereken dien afstand, als de ribbe a is. (Om den kubus kan dus een bol beschreven worden.)
6. Bewijs, dat het snijpunt der lichaamsdiagonalen evenver verwijderd is van alle zijden van den kubus en bereken dien afstand, (ribbe = a)
(In den kubus kan dus een bol beschreven worden.)
7. Welk deel van den omgeschreven bol is de kubus?
8. Welk deel van den kubus is de ingeschreven bol?
9. Door de middens van de ribben AB, AE en AD (zie fig. 84)
Fig. 84.



103
brengt men een plat vlak. Welk deel is de afgesneden pyramide van den kubus?
Teeken de figuur, die ontstaat, als men dit doet aan alle hoekpunten van den kubus. Is die figuur een regelmatig veelvlak? Waarom? Druk haar opp. en inhoud in de ribbe a van den kubus uit.
10. Op elke zijde van een kubus plaatst men een regelmatige vierzijdige pyramide, waarvan de hoogte gelijk is aan de halve ribbe van den kubus. Teeken de figuur, die gevormd wordt. Bewijs, dat ze uit 12 ruiten bestaat (ruitentwaalfvlak) en geen regelmatig veelvlak is.
11. Teeken op elke zijde van een kubus een regelmatige vierzijdige pyramide, waarvan de opstaande zijvlakken gelijkzijdige driehoeken zijn. Is de figuur, die ontstaat, een regelmatig veelvlak? Waarom? Druk inh. en opp. der figuur in de ribbe a van den kubus uit.
§ 109. Het regelmatig viervlak.
Trekken we in den kubus ABCDEFGH (fig. 85) uit F de oppervlaksdiag. FA, FC en FH en AH, AC en CH, dan wordt de figuur FACH gevormd. Alle vlakken dezer figuur zijn congruente gelijkzijdige driehoeken, terwijl in ieder der 4 hoekpunten F, A, H en C drie van deze gelijkzijdige driehoeken samenkomen. Volgens de definitie van § 107 hebben we nu een regelmatig veelvlak én
Regelmatig wel het regelmatig viervlak. viervlak.
Fig. 85.



104
§ 110. Opgaven.
1. Teeken een regelmatig viervlak, als een hoogtelijn van 't grondvlak evenwijdig is met het vlak van teekening.
2. Hoeveel ribben heeft het regelm. viervlak?
3. Teeken het netwerk van een regelm. viervlak.
4. De hoogtelijnen van een regelm. viervlak zijn gelijk en snijden elkaar in één punt. Bewijs.
5. Bereken en construeer de hoogte van een regelm. viervlak, als de ribbe a gegeven is.
6. De afstanden van het snijpunt der hoogtelijnen (hoogtepunt) tot de 4 hoekpunten zijn gelijk. Bewijs. *
(Om het regelmatig viervlak kan dus een bol beschreven worden.)
7. Bewijs, dat het hoogtepunt op gelijke afstanden ligt van de 4 zijden van een regelm. viervlak.
(In het regelmatig viervlak kan dus een bol beschreven worden.)
8. Als de ribbe van den kubus (fig. 85) a is, bereken dan de oppervlakte en den inhoud van het regelmatig viervlak.
9. Welk deel van den omgeschreven bol ligt buiten het regelmatig viervlak?
10. Welk deel van het viervlak ligt buiten den ingeschreven bol?
§ 111. Het regelmatig achtvlak.
A, B, C, D, E en F zijn de snijpunten der diagonalen in de zijvlakken van een kubus (fig. 86). Ieder dezer punten verbinden we met de andere, behalve met 't overstaande. Nu ontstaat de figuur EABCDF.
Fig. 86.



105
Alle vlakken dezer figuur zijn congruente gelijkzijdige driehoeken, waarvan er in ieder hoekpunt 4 samenkomen. Volgens de definitie van § 107 hebben we nu een regelmatig veelvlak en wel het regelmatig achtvlak.
§ 112. Opgaven.
1. Teeken een regelmatig achtvlak. (Een lichaamsdiag. staat verticaal en een ribbe loopt evenwijdig met het vlak van tee kening.)
2. Teeken een regelmatig achtvlak, dat rust op een zijvlak, terwijl een lichaamsdiag. evenwijdig is aan het vlak van teekening.
3. Hoeveel ribben heeft het regelmatig achtvlak? Hoeveel hoekpunten? Hoeveel lichaamsdiagonalen?
4. Teeken het netwerk van een regelm. achtvlak.
5. De lichaamsdiag. van een regelmatig achtvlak zijn gelijk en snijden elkaar in een punt. Bewijs.
6. Bewijs, dat het snijpunt der lichaamsdiagonalen evenver verwijderd is van alle hoekpunten.
(Om het regelm. achtvlak kan dus een bol beschreven worden).
7. Bewijs, dat het snijpunt der lichaamsdiagonalen op gelijken afstand ligt van alle zijden van 't achtvlak.
(In het regelm. achtvlak kan dus een bol beschreven worden).
8. Als de ribbe van het regelm. achtvlak a is, bereken dan de lichaamsdiagonaal.
9. Als een lichaamsdiag. d is, bereken dan een ribbe.
10. Als een ribbe a is, bereken dan opp. en inhoud.
11. Welk deel van den omgeschreven bol ligt buiten het regelm. achtvlak?
12. Welk deel van het regelm. achtvlak ligt buiten den ingeschreven bol?
§ 113. ALGEMEENE HERHALING.
.1. Bij ieder hoekpunt van een kubus met ribbe a wordt een kubus uitgesneden, waarvan de ribbe \ is van die van den gegeven kubus. Bereken oppervlak en inhoud van het overblijvende deel.
2. Loodrecht op 'n middellijn van een bol worden twee vlakken aangebracht, die de middellijn verdeelen in stukken, welke zich verhouden als 1 : 2 : 4. Hoe wordt het opp. verdeeld?



106
3. Als men om 'n kegel 'n regelmatige vierzijdige pyramide beschrijft verhouden de omtrekken der grondvlakken, de zijdelingsche oppervlakken, de totale oppervlakken en de inhouden van kegel en pyramide zich als tc : 4. Bewijs dat.
4. Bewijs, dat de hoogte van een regelmatig viervlak gelijk is aan de zijde van het vierkant, dat beschreven kan worden in den omgeschreven cirkel van het grondvlak. (Gymn.).
5. Bewijs, dat de inhoud van een kegel gelijk is aan een derde van den straal van den ingeschreven bol maal het geheele oppervlak. (Staatsex.).
6. In een van twee elkaar snijdende vlakken ligt een parallelogram. Uit de hoekpunten van dit parallelogram laat men loodlijnen neer op het andere vlak. Bewijs, dat de som van de loodlijnen uit twee overstaande hoekpunten neergelaten, gelijk is aan de som van de andere twee. (Gymn.).
7. Van 'n regelmatige afgeknotte zeszijdige pyramide is de zijde van 't grondvlak 8^/3 en van het bovenvlak 2-v/3, terwijl de hoogte 16 is. Bereken het opp. en den inhoud van de afgeknotte pyramide.
8. Van een trapezium is de langste evenwijdige zijde tweemaal zoo groot als de kortste. Men verdeelt het trapezium door een diagonaal in twee driehoeken en laat elk der driehoeken om die diagonaal wentelen. Bewijs, dat de inhouden der beide lichamen zich verhouden als 1 : 4. (Gymn.).
9. Viervlak ABCD heeft gelijke ribben AD en BC. X is het midden van AB, Y het midden van CD. Bewijs, dat AD en BC gelijke hoeken maken met de verbindingslijn XY.
10. Hoeveel lichaamsdiagonalen heeft een regelmatig vijfzijdig prisma? Bewijs, dat ze even lang zijn. Bereken den straal van den omgeschreven bol van zoo'n prisma, als de hoogte h en de straal van den omgeschreven cirkel van 't grondvlak ris.
11. Hoeveel ribben heeft 'n vierzijdige pyramide? En een vijf- zijdige? En een zeszijdige? Kan 't aantal ribben van 'n pyramide 13 zijn?
12. Construeer den standhoek van een twee vlaks hoek aan 't grondvlak van een regelmatige vierzijdige pyramide, als de hoogte van de pyramide en een ribbe van 't grondvlak gegeven zijn.
13. Van een viervlak ABCD is gegeven AB = CD en AC = BD. Bewijs, dat de hoogtelijnen uit A en D gelijk zijn.



107
14. Door 'n diagonaal van 't grondvlak van een kubus en door 't midden eener ribbe van 't bovenvlak wordt een vlak gebracht. Als het opp. der doorsnede van dit vlak met den kubus 2 d.M.2 bedraagt, hoe lang is dan de ribbe van den kubus? (Gymn.).
15. Het totale oppervlak van een bolsegment is \ van het boloppervlak. Bereken de hoogte van dat segment, als de bols tra al = R is. (Staatsex.).
16. Gegeven een kubus met ribbe a. Bij elk hoekpunt wordt een driezijdige pyramide van den kubus afgesneden, zoodat de overblijvende deelen der zijvlakken regelmatige achthoeken zijn. Hoe groot is het opp. van het overblijvende lichaam? (Gymn.).
17. Om een regelmatig achtvlak is een bol beschreven en in dien bol een kubus. Bereken de verhouding der inhouden van achtvlak en kubus.
18. Van uit den top van een kegel (hoogte = middellijn grondcirkel = 2R) wordt een lijn getrokken, die met het vlak, waarin de grondcirkel ligt, een hoek van 45° maakt. Door deze lijn brengt men de raakvlakken aan den kegel. Bereken het deel der ruimte begrensd door de raakvlakken, grondvlak en kegelmantel.
19. De tweede macht van het ronde oppervlak van een kegel is gelijk aan driemaal zijn inhoud vermenigvuldigd met den omtrek van een grooten cirkel van den om den kegel beschreven bol. Bewijs dit.
20. De aanrakingscirkel van een kegel en den daarin beschreven bol verdeelt het oppervlak van den bol in stukken, die zich verhouden als 1 : 4. Bepaal de verhouding van de hoogte en den straal van het grondvlak van den kegel.
21. Van een regelmatige vierzijdige pyramide TABCD zijn de opstaande ribben en de ribben van het grondvlak in ware lengte gegeven. Construeer in ware gedaante de doorsnede met deze pyramide van het vlak, dat gaat door het midden van TA en de middens van BC en BD.
22. Van uit een punt P is de raakkegel aan een bol getrokken. De raakcirkel is het bovenvlak van een cylinder beschreven in den bol. Deze cylinder heeft een even grooten inhoud als de kegel, die P tot top en het bovenvlak van den cylinder



108
tot grondvlak heeft. Bepaal de hoogte van den cylinder, als de straal van den bol r is.
23. Van een kubus met grondvlak ABCD verlengt men de opstaande ribbe uit A tot in een punt P en voltooit het viervlak, dat P tot top en A BAD tot grondvlak heeft. Als dit viervlak evenveel inhoud heeft als de kubus, in welke verhouding wordt dan het#bovenvlak van den kubus verdeeld door het vlak PBD en in welke verhouding wordt het vlak PBD door het bovenvlak verdeeld?
24. Het grondvlak van een halven bol is tevens grondvlak van een kegel. Als het ronde oppervlak van den halven bol de helft is van het ronde oppervlak van den kegel, hoe verhouden zich dan hun inhouden; en als ze gelijke inhouden hebben, hoe verhouden zich dan hun ronde oppervlakken?
25. Een driehoek met zijden van 12£, 26 en 31£ c.M., wentelt om een as, evenwijdig met en op een afstand van 2 c.M. van de langste zijde. Hoe groot is de inhoud van het door de omwenteling ontstane ringvormige lichaam?
26. Een rechthoek met de zijden a en b wentelt om een lijn, door een zijner hoekpunten loodrecht op de diagonaal van dat hoekpunt in het vlak van den rechthoek getrokken. Druk den inhoud van het lichaam, dat daarbij ontstaat, uit in a en b.
27. Men heeft viervlak ABCD. Men verlengt AB met een stuk BE = 2 x AB en neemt F op het midden van CD. Wat is de verhouding van de inhouden van viervlak ABCD en viervlak ACEF?
28. In het hoekpunt A van den gelijkzijdigen driehoek ABC met de zijde a is een loodlijn AP = b op het vlak van den driehoek opgericht. Druk de lengte van de loodlijn, uit A op het vlak PBC neergelaten, in a en b uit.
29. Construeer de doorsnede van een vierzijdige pyramide TABCD met een plat vlak, gaande door drie punten P, Q en R, indien P op TA, Q op TB en R in het zijvlak TCD ligt.
30. Een kegel heeft tot straal van het grondvlak 3 cM. en tot hoogte 4 cM. Evenwijdig aan het grondvlak brengt men een vlak aan, dat den kegel in twee deelen verdeelt, wier totale oppervlakken gelijk zijn. Hoe ver ligt dit vlak van den top?



109
31. Een regelmatige zeshoek met zijde van a cM. wentelt om de rechte, die de middens van twee overstaande zijden verbindt. Druk de totale oppervlakte en den inhoud van het omwentelingslichaam, dat zoo ontstaat, uit in a.
(Eindexamen Kweeksch.)
32. De stralen van grond- en bovenvlak van een afgeknotten kegel zijn a en b cM. Evenwijdig aan het grondvlak is op de halve hoogte een vlak aangebracht. Bereken de verhouding van de ronde oppervlakken van het onderste en het bovenste deel. (Kweeksch.)
33. Om een regelmatig viervlak is een cylinder aangebracht, waarin 't viervlak juist past. Wat is het verschil der inhouden van deze lichamen? De ribbe van het viervlak is a. De grondvlakken van beide lichamen vallen samen.
(Kweeksch.)
34. Van een kubus is het grondvlak ABCD en de opstaande ribben AE, BF, CG en DH. Men trekt een lijn uit H door het midden K van ribbe BF. Deze lijn snijdt het grondvlak in S. Hoe verhouden zich de inhouden van den kubus en de pyramide HDAS? (Kweeksch.)
35. In een cirkel is een gelijkzijdige A beschreven. De figuur wentelt om de hoogtelijn van den A- Wat is de verhouding der inhouden van den kegel en de rest van den bol?
(Kweeksch.)
36. Op een gelijkzijdigen driehoek met de zijde a worden een recht prisma en een regelmatige pyramide van gelijke hoogte geplaatst. Als de zijdelingsche oppervlakken even groot zijn, bereken dan de hoogte. (Kweeksch.)
37. Het grondvlak van een halven bol is gelijk aan dat van een kegel. De ronde oppervlakken van halven bol en kegel zijn ook gelijk. Hoe verhouden zich hun inhouden?
(Kweeksch.)
38. In een kegel, welks hoogte 20 cM. en welks beschrijvende lijn 25 cM. is, is een bol beschreven. Door den aanrakingscirkel met het kegelvlak brengt men een plat vlak. Gevraagd wordt:
a. de straal van den bol;
b. het ronde oppervlak der beide deelen, waarin de bol door het vlak verdeeld wordt. (Kweeksch.).



110
39. Van een regelmatige driezijdige pyramide TABC zijn de opstaande ribben 24 cM., terwijl die van het grondvlak 36 cM. lang zijn. Op de opstaande ribben TA en TB neemt men opvolgend de punten D en E aan, zóó dat TD = 6 cM. en TE = 12 cM. is. Door D, E en C brengt men een vlak aan. Bereken den inhoud van de beide lichamen, waarin de pyramide door dit vlak verdeeld wordt. (Kweeksch.).
40. Teeken een regelmatig achtvlak (in scheeve projectie met een diagonaalvlak evenwijdig aan het tafereel). Verbind de middelpunten der opeenvolgende zijvlakken. Bewijs, dat die verbindingslijnen de ribben vormen van een kubus. Welk deel is die kubus van het achtvlak? (Kweeksch.).
41. Wanneer kan er in een afgeknotten kegel een bol beschreven worden? Bewijs, dat dan het manteloppervlak gelijk is aan de som van het grond- en bovenvlak, vermeerderd met het halve oppervlak van den ingeschreven bol. (Kweeksch ).
42. Bereken den inhoud van een regelmatige vierzijdige pyramide, waarvan de opstaande ribben even lang zijn als de diagonalen van het grondvlak. (Alle afmetingen uit te drukken in de zijde van het grondvlak = z). (Kweeksch.).
43. Van een rechten cirkelkegel is het oppervlak van den mantel harmonisch middelevenredig tusschen het oppervlak van het grondvlak en het totale oppervlak. Toon aan, dat de tophoek van de asdoorsnede van den kegel 90° is.
(Kweeksch.).
44. Een regelmatig viervlak en een regelmatig achtvlak hebben dezelfde oppervlakte. Hoe verhouden zich hun ribben? Als de inhouden van diezelfde lichamen gelijk zijn, hoe verhouden zich dan hun ribben? (Kweeksch.).
45. Gegeven de vijfzijdige pyramide T.ABCDE. Op de ribben TA, TC en TD zijn gegeven de punten P, Q en R. Gevraagd de doorsnede van vlak PQR met het grondvlak en met de pyramide. (Kweeksch.).



INHOUD.
Bladz.
Inleiding 5
De rechte lijn en het platte vlak 15
a. Loodrechte stand 15
b. Schuine stand 19
c. Evenwijdige stand 20
Evenwijdige vlakken j .... 22
Tweevlakshoek 25
Het prisma 29
Oppervlak en inhoud van het prisma 38
De pyramide 48
Oppervlak en inhoud der pyramide 54
Drievlakshoek 61
Congruentie en symmetrie van viervlakken 65
Gelijkvormigheid van viervlakken 67
De cylinder 71
De kegel 77
De afgeknotte kegel 81
Lichamen, ontstaan door wenteling van vlakke figuren . 85
De bol 88
Regelmatige veelvlakken 101
Algemeene herhaling 105



UITGAVEN VAN J. B. WOLTERS — GRONINGEN, DEN HAAG
C. A. VAN BEEK en W. H. C. VAN HEEK
REKENKUNDE
VOOR ONDERWIJZERSOPLEIDING EN HOOFDAKTE-STUDIE
TER PERSE
PLANIMETRIE
VOOR ONDERWIJZERSOPLEIDING EN HOOFDAKTE-STUDIE
TWEEDE DRUK - MET 118 FIG.
Prijs, ingenaaid f 1,90, gebonden f 2,25
De schrijvers van bovengenoemd werkje nu zijn er in geslaagd to make the best of it. Zoo valt o. a. zeer te prijzen de beknopte bespreking van de gelijkvormigheid van figuren door middel van vermenigvuldiging. De schrijvers zijn hier met hun tijd meegegaan.
R- K. Studiebelangen.
STEREOMETRIE
VOOR ONDERWIJZERSOPLEIDING EN HOOFDAKTE-STUDIE
TWEEDE DRUK - MET 86 FIG.
Prijs, ingenaaid f 1,90, gebonden f 2,25
Het komt ons voor, dat de schrijvers er in geslaagd zijn, een duidelijk en goed bruikbaar geheel te geven door een oordeelkundige beperking. De grondslagen 2ijn goed behandeld (b.v. cylindervlak, kegelvlak), terwijl talrijke vraagstukken gelegenheid bieden tot het doen vastwortelen van de theorie. St. Bonaventura.
ALGEBRA
' VOOR ONDERWIJZERSOPLEIDING EN HOOFDAKTE-STUDIE
TWEEDE DRUK
Prijs, ingenaaid f 1,90, gebonden f 2,25
ANTWOORDEN BIJ DE ALGEBRA
TWEEDE DRUK
Prijs f 0,75
Voor het aangegeven doel lijkt me dit werk zeer geschikt. Dat de schrijvers ook de rekenen meetkundige reeksen hebben behandeld, is met het oog op de toepassing ervan in de meetkunde enz. een aanbeveling. De Schoot m. d. Bijbel.
UITGAVEN VAN J. B. WOLTERS — GRONINGEN, DEN HAAG



UITGAVEN VAN J. B. WOLTERS - GRONINGEN, DEN HAAG
(Vervolg van pag. 2 won den omslag)
W.I'S K U N D E
Dr. A. van Thijn, Leerboek de?'Vlakke; Driehoeksmeting, met vraagstukken, met 37 figurén, ingenaaid / 1,90, gebonden . . 8e druk f 2,10 AntwporcKen. bij het Leerboek der Vlakke ' Driehoeksmeting . • . ;. ,j.„ 0,75
Dr. A. van Thijn, Rekenkundige Hoofdstukken, met opgaven.
Twee deelen, ingenaaid a ƒ 1,25, gebonden . . , v. . | 2è druk \ !y 1,50 Antwoorden bij de Rekenkundige Hoofdstukken, I en II .. . .. a - 0,25
Dr. A. van Thijo, Leerboek iter Algebra,, mét vraagstukken. Drie deelen, ingenaaid a f; 1,90,-, gebonden . ...... 4e druk a ^2,10:
Antwoorden' bij de Leerboeken dét Algebra, I—III . 4e druk a - 0,75 . Dr. A. van Thijn, Algebraïsche Vraagstukken. '
' Twee deelen, ingenaaid a ƒ 1,90, ge\x>nden-:%{^0y . . be druk a - 2,10 Antwoorden bij de Algebraïsche Vraagstukken, I en H. . . . a - 0 75
Dr. A. van Thijn en A. Scholtens' Wiskundige Leerboeken, ten dienste, van Kweekscholen en Gymnasia.
Stereometrie, met 95 figuren* ingenaaid f 1,90, gebonden clff^W^Mw-'2,10 VJakke Meetkunde I, met 109 figuren, ing. ƒ 1,90, geb. . 1 •.. - 210 Vlakke MeetkundeII, met 77 figuren, ing. -1,90, geb; . . -.VlO' Rekenkunde,smet opgaven, ingenaaid ƒ 2J25, gebonden ' . . . . , * * 250
Handelsrekenen,' ingenaaid ƒ 2,25, gebonden . . . . . . ...--250
Antwoorden met aanwijzingen voor de oplossing bij „Handelsrekenen"' - o'75
Algebra ........ • . .terpje
P. Visser, Leerbóek .der Vlakke Driehoeksmeting, voor H. B. Schoten;, ' L De Goniometrie van' den enkelen hoek (met toepassing op den
driehoek), met^ 14 figuren. <si^.] . . .... . . il. /!-. .. , - 070
. II. Vervolg _ van de Goniometrie, , Trigonometrie', - Goniometrische
Vergelijkingen, niet 18 figuren . i . '.-. • .' . . >t . . - 1 25 Twee deelen gebonden in één band . . . . . ... '„' . . r . 9'25
P. Visser, Leerboek der Vlakke Driehoeksmeting, voor Gymnasia. •..
I. Inleiding tot de Goniometrie van den enkelen hoek (met toepas-' , v. X sing op den driehoek), met' 10 figuren . ' . . . . . . . - 0 60
: H- Vervolg van , de Goniometrie, Trigonometrie, Goniometrische ' i
- Vergelijkingen, met 23 figuren. . . . . -135
Twee deelen gebonden-in één band . . . . ê . m . . .. | - 2 25
Dr. J. de Vries, Evenredigheden, Worteltrekking, Logarithmen ên Gonio- ' ' ^-T'iiMtiie.'Belni.avew. ten gebr. bg het wiskunde-onderw. aan Gymn., m. lOfig. - 0,80 Dr. Jan de Vries en W, H. fc. Janssen van Raaij, Leerboek der Vlakke Meetkunde, herzien door Ir. W. J. Wisselink, met 209 fig., ' ingenaaid f 2,25, gebonden ; . v . . . ... . :.r4 . 14% druk. f 2,50
Ir. W. Vrijlandt en Q. de. Wilde, Leerboek der Rechthoekige Projectie voor hef Middelbaar Technisch Onderwijs.
Eerste deel, tevens bestemd T voor het onderwijs aan H. B., S;, met' ... aft. Atlas ,met.224 figuren., Prijs, Atlas inbegrepen, ing.!/3,50, geb. - 3 75
Tweede deel, met afzonderlijke Atlas .. . .tcrpèrse ■'■
Dr. K. W. Walstra en W. A. van Dalfsen, Leerboek der pianiriietrie,
ten dienste van Gymnasia, Lycea en H. B. Bi, mét 139 fig., 2e druk - 1,75 Dr. K. W. Walstra en W. A. Van Dalfsen, Planimetrische Vraagstukken,
behoorende bij het Leerboek der Planimetrie. . . V . -060
W. F. van der Werff en A. van Herk, Het Noodige uit de Meetkunde, '.
voor leerlingen van Mulo-scholen,"
Meisjesscholen. Twee deelen, met fig., ing. a f,1.25, geb. 2e druk a - 1,50 Wiskunde voor Kweekschole»,"ónder redactie van Q. W. van Brink,
P. Jansen.en W. Schippers. x- I. Beknopte Theorie der Rekenkunde, met opgaven, door P. Jansen
en G. W. van Bcink, ingenaaid ƒ 2,25, gebonden, . . '. . ;■■>. . - 2,60 '
II. Stereometrie, door W. Schippers en G. W. van Brink 1 . m bemerking .Dk_L. Yntema, A. J. Drewes B.Fz. en Th. B. Bloten, Algebra voor
Voorbereidend Hóoger- .eh Middelbaar Onderwijs.
Eerste en tweede deel, ingenaaid a / 1,90, gebonden.*' &■ 2e druk a --2,10.'' Derde en vierde deel, ingenaaid S, - 2,25, gebonden'j'Sj^ . . ,a -2 50 Antwoorden op aanvraag voor de leeraren gratis verkrijgbaar.



WOORDENBOEKEN NIEUWEf ALEN
ELK DEEL AFZONDERLIJK VERKRIJGBAAR M. J. KOENEN —pr. J. ENDEPOLS
NEDERLANDSCH
fff Vijftiende druk —
In één deel . / ,'&UÏB!u . . f5,60
C. R. C. HERCKENRATH
FRANSCH
vijfde druk ~r-— ,
Twee deelen in één of twee banden f 7,50 Elk deel afzonderlijk . . . . . - 3,75
Dit Fransche Woordenboek geeft bij ieder woord de uitspraak phonetisch aan
_ p VAN GELDEREN _
DUITSCH
~ zesde druk
Twee deelen in één of twee banden f 8,50 Elk deel afzonderlijk . 'f.. . . - 4,25
K. TÊN BRUGGENCATE-A. BROERS
ENGELSCH
-—~ tiende druk •
ïflafflf;. Twee deelen in één of twee banden f 7,50 Elk deel afzonderlijk. - 3,75
PRIJS DER 4 WOORDENBOEKEN NIEUWE TALEN; PER STEL BESTELD M . . .>;^^V%< . . f 28,00'
UITGAVEN VAN J. %i WOLTERS - GRONINGEN, DEN HAAG