DE ROEI- EN PEILKUNDE VAKSTUDIE ONDER REDACTIE VAN J. H. A. M. VAN BOSVELD HEINSIUS OUD-ONTVANGER DER INVOERRECHTEN EN ACCIJNZEN TE ARNHEM DEEL XV DE ROEI- EN PEILKUNDE DEVENTER — JE. E. KLUWER 1 ME11926 DE ROEI- EN PEILKUNDE BEWERKT DOOR DR. G. J. MICHAÊLIS OUD-LEERAAR IN DE WIS- EN WERKTUIGKUNDE AAN DE H. B. S. TE ARNHEM EN J. DE WILLIGEN INSPECTEUR DER DIRECTE BELASTINGEN. INVOERRECHTEN EN ACCIJNZEN TE PURMEREND DEVENTER - 1923 - JE. E. KLUWER ROEL EN PEILKUNDE. HOOFDSTUK I. § 1. Inleiding. Onder roeikunde verstaat men die wetenschap, welke leert hoe men den inhoud of capaciteit van een hol lichaam (fust, ketel, kuip, enz.) uit zijn afmetingen kan berekenen. De peilkunde leert de hoeveelheid vloeistof berekenen, aanwezig in een gedeeltelijk gevuld lichaam. De meest voor de hand liggende methode, om den inhoud van een hol lichaam te leeren kennen, is te onderzoeken, hoeveel water het bevatten kan. Wanneer dat met de noodige voorzorgen geschiedt, is de waterijk ook de nauwkeurigste 'methode. De meeste werktuigen in accijhsfabrieken, waarvan de inhoud moet worden opgenomen, hebben een eenvoudige gedaante, zoodat de inhoud er van ook kan worden bepaald door toepassing van de formules voor de inhoudsberekening van meetkundige lichamen. In de §§ 5 en 6 is een methode aangegeven, om den inhoud van verschillende meetkundige lichamen met behulp van een inhoudstafel op eenvoudige wijze te berekenen. Fusten—waarover in dit werkje meer speciaal zal worden gehandeld— zijn echter geen lichamen, die meetkundig bepaald zijn. Ook zal waterijking niet altijd toegepast kunnen worden, want het is toch dikwijls noodig om den inhoud van een fust te bepalen, waarin zich de een of andere vloeistof bevindt, zonder het vooraf leeg te tappen. Men moet dan door een vviskundige methode den inhoud trachten te berekenen, na door meting de noodige gegevens te hebben verkregen. De juistheid der methode kan gecontroleerd worden door haar toe te passen op fusten, waarvan de inhoud door waterijk is gevonden. Volkomen nauwkeurige uitkomsten kan zij niet geven en wel le. omdat de binnenafmetingen der fusten door schatting moeten worden verkregen, terwijl de fusten veelal ook niet zuiver bewerkt zijn, 2e. omdat fusten een' vorm hebben, welke geen nauwkeurige inhoudsberekening toelaat. Vele wiskundigen hebben methoden aangegeven om den inhoud van fusten zoo nauwkeurig mogelijk te bepalen door toepassing van wiskundige formules. Nadat reeds anderen over roeikunde hadden geschreven, heeft in 1615 de beroemde Johannes Kepler, zoo bekend door zijn sterrenkundige 6 HOOFDSTUK I — INLEIDING — § i. onderzoekingen, er een werk over uitgegeven, Neue Stereometrie der Fasser. Hoe hij daartoe kwam, zal in § 11 worden medegedeeld. In 1684 gaf de Engelsche wiskundige David Gregory in zijn Treatise of practical geometry een inhoudsformule, die nog de grondslag der roeikunde is. Hij heeft die fornmle niet uit een algemeene meetkundige stelling afgeleid. Later is gebleken, dat zij er toch wel degelijk op berust. In 1765 gaf /. H. Lambert in zijn : Beürëge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung dezelfde formule. In 1764 verscheen een uitgebreid werk vamJohan Lulofs, Hoogleeraar in de philosophie, wis- en sterrenkunde aan de universiteit te Leiden, getiteld: Grondbeginselen der wijnroei- en peilkunde ten dienste der landgenooten. Zijn landgenooten hebben er een dankbaar gebruik van gemaakt; het is de grondslag geweest van alle leerboeken der roei- en peilkunde, die in Nederland zijn uitgegeven. Lulofs heeft de formule van Gregory wel vermeld, maar heeft er weinig acht op geslagen. Hij vond een meer samengestelde formule voor den inhoud van een fust, welke echter bij herleiding dezelfde uitkomst oplevert, hetgeen niet door hem is ingezien. Hij gaf ook een andere eenvoudige formule, die niet uit een meetkundige stelling werd afgeleid, maar die in vele gevallen een bevredigende uitkomst oplevert voor den inhoud van een fust. Zij wordt nog wel toegepast; zie § 9 hierna. In 1839 verscheen bij de Gebroeders van Cleef te 's-Gravenhage en Amsterdam Proeve eener nieuwe handelwijze ter bepaling van den inhoud der vaten door R. Lobatto, Math. Mag. Phil. Nat. Dr., Adviseur voor de zaken der Maten en Gewichten bij het Departement van Binnenlandsche Zaken. Lobatto leidde uit een onderstelling (zie § 26) omtrent den vorm van een fust een andere inhoudsformule af dan die van Gregory en die van Lulofs. Ook deze formule van Lobatto vindt nog toepassing. In een werkje, getiteld Over de beginselen der roei- en peilkunde van Dr. H. van Blanken, Math. Mag. Phil. Nat. Doet., Lector in de wisen natuurkundige wetenschappen te Zwolle, uitgave A. Tjaden te Deventer, 1857, komen ook belangrijke beschouwingen voor. Behalve de voormelde, zijn nog verschillende, voornamelijk voor de practijk geschreven, werkjes over de roei- en peilkunde verschenen. Van deze zal nog aangehaald worden de door J. Troelstra geschreven Handleiding tot de kennis der roei- en peilkunde, waarvan in 1881 de tweede druk verscheen. In de eerste twee hoofdstukken hierna is,vooral met het oog op de practische toepassing, de roei- en peilkunde in bevattelijken, vorm behandeld. ' De wiskundigen hebben de berekening van den geheelen of gedeeltelijken inhoud van een fust gemakkelijk gemaakt door de samenstelling van tafels. Zulke tafels zijn aan dit werk toegevoegd. De wijze, waarop ze gebruikt moeten worden, is uiteengezet en met voorbeelden toegelicht. Verder is getracht, zoo duidelijk mogelijk aan te toonen, dat de gebruikelijke wijze, om den inhoud van fusten te berekenen, kan vereenvoudigd worden, dat het namelijk niet van de meerdere of mindere buikigheid (zie § 9) der fusten kan afhangen, welke inhoudsformule moet worden HOOFDSTUK I — INLEIDING — §§ 1—2. 7 toegepast. Men kan bij eiken graad van buikigheid de formule van Gregory toepassen. Voor lezers, die over eenige meerdere wiskundige kennis beschikken, dan in de hoofdstukken II en III verondersteld is, en die er belang in stellen, hoe men tot de inhoudsformules gekomen is en op welke wijze de tafels samengesteld zijn, worden in hoofdstuk IV eenige wiskundige toelichtingen gegeven. Inhoudsformules, die slechts door ingewikkelde berekeningen zijn te vinden, zijn ook daar niet behandeld. Van een paar eenvoudige, eigenschappen der ellips en der parabool, die in de elementaire leerboeken der meetkunde niet behandeld worden, kan echter zonder bezwaar in dat hoofdstuk het bewijs worden gegeven. In bijlage A zal in beknopten vorm behandeld worden : de samenstelling en het gebruik van thermometers en vochtwegers en de aan die werktuigen ten grondslag liggende natuurkundige wetten. Het komt den bewerkers dezer uitgave voor, dat er geen aanleiding is, om, zopals in sommige werkjes van roei- en peilkunde geschiedde, eenige hoofdstukken te wijden aan de rekenkunde, het metrieke stelsel van maten en gewichten en de meetkunde. In bijlage B zal echter een en ander worden medegedeeld over evenredigheden en de toepassing daarvan op de gelijkvormigheid van vlakke figuren en lichamen, ter opheldering van hetgeen daarover in de hoofdstukken II en III vermeld is, alsmede over de tweede-machtsworteltrekking en over de inhoudsberekening van regelmatige figuren en lichamen. Ten slotte worden aan het eind Van het werk een aantal vraagstukken opgenomen, waarvan eenige zijn uitgewerkt, terwijl van de andere de uitkomsten zijn vermeld. § 2. Wettelijke bepalingen nopens het opnemen van den inhoud van fusten. Den natsinhoud van fusten te bepalen door toepassing van de roei- en peilkunde is wettelijk gesanctionneerd, voor zoover het vaatwerk regelmatig is. Volgens art. 147 der Algemeene wet van 26 Aug. 1822, S. no. 38 (V. v. V. no. 701) moet de hoeveelheid van accijnsgoederen „bij invoer en bij uitvoer en verder wanneer zulks bij die wet of bij de bijzondere wetten is voorgeschreven, worden opgemaakt door grondige verificatie, dat is, dat dezelve naar den aard der zaak, moeten worden gewogen, gemeten of geroeid." Bij art. 148 dier wet is voorts nog ten aanzien van aan accijns onderworpen dranken het volgende bepaald : „Bij invoer zullen de fusten moeten worden geroeid en de inhoud van alle onregelmatig vaatwerk, of waarin anders de dranken zieh bevinden, worden geverifieerd en de hoedanigheid der dranken door proeving en opneming der sterkte, worden onderzocht. „De belanghebbende zal, desverkiezende, de fusten kunnen aanvullen, mits zich deswege vóór de lossing verklarende en de ledige fusten vertoonende aan de ambtenaren, met het toezicht belast, als wanneer het voldoende zijn zal, dat van eene en dezelfde partij vijf tot tien fusten 8 HOOFDSTUK I — INLEIDING — §§ 2—3. worden geroeid; zullende naar het bedrag dezer roeiing de geheele partij worden berekend." Verder zegt de Gedistilleerdwet in art. 117, § 2, dat „wanneer bij uitslag, vervoer of inslag van gedistilleerd een der tegenwoordig zijnde ambtenaren geen genoegen neemt met de gemerkte inhoudsruimte, of wanneer de belanghebbende geen genoegen neemt met den bij roeiing of peiling bevonden inhoud van fusten, het bepalen van den inhoud geschiedt door opneming van het gedistilleerd bij de maat of door waterijking van de fusten". Hoe dit roeien en peilen moet geschieden is noch bij wet, noch bij Kon. besluit aangegeven. Ook zijn daaromtrent, naar vermeend wordt, geen ministerieele voorschriften gegeven. § 3. Waterijking. Zooals hiervoor werd gezegd, kan de inhoud van een hol lichaam het nauwkeurigst door waterijking worden bepaald. Met betrekking tot het waterijken van fusten wordt het volgende opgemerkt. Men kan waterijken door vulling of door aftapping. De eerste methode verdient de voorkeur, omdat daarbij niet zoo gemakkelijk misleid kan worden dan bij aftapping. In beide gevallen wordt een bepaalde maat gebezigd, die zoo nauwkeurig mogelijk behoort te zijn. Nadat het fust geheel is gevuld, n\oet men het water behoorlijk tot rust laten komen, zoodat er geen luchtbellen meer opkomen. Het getal gebezigde maten, vermenigvuldigd met den inhoud der maat, geeft den inhoud van het fust aan. Indien men den inhoud door aftapping wil bepalen, vult men eerst het te ijken voorwerp en laat dan het water wegvloeien in een maat, waarvan de juiste inhoud bekend is. ROEIKUNDE. HOOFDSTUK II. § 4. Het opnemen der afmetingen van fusten. Om den inhoud van een fust te kunnen berekenen moet men de binnenafmetingen kennen en wel de spondiepte, de bodemsmiddellijn en de lengte. Deze afmetingen zullen veelal niet rechtstreeks genomen kunnen worden, doch uit de buitenafmetingen moeten worden afgeleid. In figuur 1 is de doorsnede van een fust gegeven. ABC en DE F zijn de duigen. In duig ABC bevindt zich het spongat a. In de fusten, dienende voor vervoer van gedistilleerd zit in het spongat dikwijls een metalen bus, om het slijten van de duig om het spongat door het telkens inslaan van de spon te voorkomen. Somtijds treft men in deze duig nog een luchtgaatje b aan. In één der bodems bevindt zich het kraangat c. Het gedeelte KF der duigen, dat over den bodem heensteekt, wordt kim genoemd. Om elke helft van het fust liggen vier of vijf banden, nl. een kopband, een kroosband, een of twee halsbanden en een buikband. Als er twee halsbanden zijn om elke helft van het fust, worden deze genoemd: eerste halsband of wijde derde en tweede halsband of nauwe derde. De spondiepte BE meet men door den tevens tot metermaat dienenden roeistok (zie § 11) loodrecht door het midden van het spongat te steken tot aan de tegenoverstaande duig. Men moet zich hierbij vooral overtuigen, dat op die plaats niet kunstmatig een verhooging is aangebracht, in welk geval men natuurlijk tot een verkeerd resultaat zou komen. Vervolgens leest men de spondiepte af tot aan den onderkant van de duig waarin zich het spongat bevindt. Men moet zich daarbij de duig doorgetrokken denken en daar deze ook op de halve lengte van het fust nog een weinig gebogen is, zal de spondiepte in het midden van het spongat iets grooter zijn dan wanneer men de spondiepte neemt van af de rechte lijn, welke horizontaal aan den onderkant van het spongat is te trekken. De buiging der duig is echter ter hoogte van het spongat zeer gering en veroorzaakt op de korte doorsnede van het spongat (5 a 6 c.M.) geen verschil van eenige beteekenis. Meestal is de duig rondom het spongat dikker dan de andere duigen om beter bestand te zijn tegen het telkens uitslaan van de spon (*); *) Een fust wordt gedrukt genoemd, wanneer de duig, waarin zich het spongat bevindt, plat of naar binnen gedrukt is, zooals bij oude fusten wel voorkomt tengevolge van het telkens slaan aan weerskanten van bet spongat om de stop er uit te krijgen. 10 HOOFDSTUK II — ROEIKUNDE — § 4. ook komt het voor, dat de duig rondom het spongat aan den binnenkant is afgeschaafd. Hierop zal bij het meten der spondiepte gelet moeten worden. Lulofs heeft uitvoerig gewezen op de fouten, die bij de inhoudsberekening van fusten door deze oorzaak kunnen ontstaan. Wanneer het spongat niet juist in het midden der lengte van het fust ligt of ook bij staande fusten, kan de spondiepte niet rechtstreeks worden opgemeten. Men bepaalt dan bij ronde fusten, d. z. fusten, waarbij de doorsneden loodrecht op de lengte-as cirkels zjgn, met een meetlint den omtrek van het fust op de helft van de lengte en vindt daaruit de middellijn, door dien omtrek door een getal te deelen, dat altijd wordt aangeduid door de grieksche letter n (pi) en dat, tot vier decimalen nauwkeurig, 3,1416 is. Door van de gevonden (buitenwerks-)middellijn tweemaal de dikte der duigen af te trekken, krijgt men de spondiepte. Levert het bepalen van de spondiepte over het algemeen weinig moeite op, minder gemakkelijk is het de bodemsmiddellijn te bepalen. Deze toch kan niet direct gemeten worden. De bodems bestaan uit tegen elkaar liggende plankjes, waarvan a is het middelstuk, b zijn de maanstukken en c de Beheerstukken (zie fig. 2). Ook komt het voor, dat de bodems slechts uit 3 plankjes bestaan, nl. een middelstuk en 2 maanstukken, welke dan ook wel Beheerstukken worden genoemd. Aan den omtrek zijn de bodems een weinig afgeschaafd ten einde te kunnen passen in de inkeping, die in de duigen van het fust bij de kim is aangebracht; deze inkeping heet kroos. Het gedeelte van den bodem, dat in de kroos wordt gebracht, heet sneepsel. De diepte van de kroos varieert van 2 tot ongeveer 4 m.M. Is de kroos te diep of bij reparatie te wijd geworden, dan wordt een z.g.kuipersbies ingelegd. De bodemsmiddellijn kan bepaald worden door de lengte te meten van een lijn, die over het middelpunt van den bodem gaande de uiteinden der overstaande kimmen vereenigt, dus den afstand van C tot F in fig. 1. De middellijn aan den binnenkant van den bodem zal natuurlijk iets langer zijn, naargelang van de dikte van den bodem, van de lengte der kimmen en van de kromming der duigen. Het geoefend oog van den roeier en diens ervaring moeten aangeven, hoeveel aan de bevonden lengte is toe te voegen. Het is natuurlijk raadzaam de lengte te bepalen in twee loodrecht op elkaar staande richtingenen bij verschil het gemiddelde te nemen, alsmede om de middellijn van beide bodems vast te stellen, ten einde zekerheid te hebben omtrent het al dan niet gelijk zijn der bodems (zie § 13). Men kan de bodemsmiddellijn evenals de spondiepte berekenen uit den omtrek van het fust, ter plaatse van den binnenkant (*) van den bodem, door dien omtrek te deelen door n en van het quotiënt tweemaal de dikte der duigen af te trekken, dus op de wijze als hiervoor is aangegeven voor de berekening van de spondiepte. In de practijk wordt de bodemsmiddellijn ook wel bepaald op de *) Door de kromming der duigen is de bodemsmiddellijn aan den binnenkant iets grooter dan aan den buitenkant. HOOFDSTUK II — ROEIKUNDE — § 4. 11 lengte van de lijn, die van het snijpunt van bodem en duig loopt tot het einde van de tegenoverliggende duig, dus op de* lengte van de lijn a' b'. Aangenomen wordt, dat deze lijn even lang is als de lijn c' d'. Zie figuur 2a. De binnenlengte GH wordt gevonden, door de buitenlengte AC te verminderen met de lengte der kimmen en de dikte der bodems. Bij een liggend fust meet men de buitenlengte door den roeistok op het spongat te leggen in de riohting van de lengte-as van het fust en den afstand tusschen de uiteinden der kimmen af te lezen. Dit kan het nauwkeurigst geschieden door tegen de beide bodems over de kimmen een plankje, lat of maatstokje te plaatsen en den afstand tusschen deze beide plankjes, latten of maatstokjes te meten, Waarna de afgelezen lengte moet worden verminderd met tweemaal de gemiddelde lengte der kimmen en tweemaal de gemiddelde dikte der bodems. Is er gelegenheid het fust met een der bodems tegen een muur te plaatsen dan behoeft men slechts tegen den anderen bodem een rechte lijn over de kimmen aan te brengen en meet dan den afstand tusschen die lijn en den muur. Men lette er op, of de bodem ook ingedeukt of eenigszins naar buiten gebogen is, want dan dient daarmede rekening te worden gehouden. Men berekent dan de gemiddelde lengte der kimmen door den afstand te meten van de rechte lijn, welke over de kimmen is te trekken tot den bodem op x/5, 2/s» 8/s en 4/s van de bodemsmiddellijn. Hiertoe legt men den roeistok dwars over de kimmen en bepaalt met een maatstokje de afstanden van den bodem tot den roeistok. Deze methode heeft het voordeel, dat men bij fusten met ingedeukte bodems deswege niets behoeft af te trekken en voor fusten met naar buiten staande bodems niets behoeft bij te tellen. Die indeuking of uitzetting wordt op de aangegeven manier verrekend met de lengte der kimmen. De dikte der bodems en die der duigen wijken bij gewone fusten niet veel van elkander af. De dikte van den bodem kan daarom in den regel wel gelijk gesteld worden aan die der duigen, opgenomen bij het spongat. Zijn de duigen niet even dik en is de dikte der bodems niet te meten, dan zal men de gemiddelde dikte der duigen bij benadering moéten bepalen. Het is duidelijk, dat op deze wijze de inhoudsberekening niet zuiver zal zijn. Bij staande fusten kan de binnenlengte bepaald worden door den roeistok loodrecht door het kraangat te steken tot de tegenoverliggende duig en den afstand tot aan de buitenkant van den bovensten bodem met de dikte van dien bodem te verminderen. De genoemde afmetingen zijn bij een rond fust voldoende om den inhoud te kunnen berekenen. Bij de methode van inhoudsberekening, hierna behandeld in § 11, maakt men nog gebruik van een andere afmeting, nl. van de steeklijn. Daaronder verstaat men de lijn, welke uit het midden van het spongat ter hoogte van de onderzijde der duig, 2) — | Ti = ^ n l (6a2 + 3b2 — 4a2 — 4aè — b*) = ^ n l (a — b)2. HOOFDST. IV — AFLEIDING FORMULES — §§ 25—26. 57 Neemt men aan, dat a = 100, b = 84 c.M. is (dikbuikig fust) en l = 117,5 c.M., zoo is dit verschil 5 L. op een inhoud van 826 L., die de formule van Gregory voor het fust geeft. Dit verschil is niet zoo heel klein, maar het bedraagt toch slechts 0,6 pet. van den inhoud van het fust. Als men in aanmerking neemt, dat wegens de onzekerheid in de bepaling van de binnenafmetingen en van den juisten vorm van het fust (de doorsneden zijn bijv. nooit precies cirkels), de inhoud stellig niet op 1 pet. na nauwkeurig te berekenen is, dan is er practisch geen bezwaar tegen, om de formule j n l M* = ^ n l (ü~^ Y voor den inhoud aan te nemen. Zij wordt ook wel de formule van Gregory genoemd, omdat zij voor deze in de plaats wordt gesteld. § 26. De inhoudsformules van Lobatto en Lulofs. Zooals in § 7 medegedeeld is, beschouwde Lobatto een fust als samengesteld uit vier afgeknotte kegels, die ieder het één vierde van de lengte van het fust tot hoogte hebben. Voor de middellijn van het gemeenschap- 13 pelijk grondvlak van twee dier afgeknotte kegels op -|= en op — van de lengte van het fust nam hij aan: 3 3 a b + j(a — b) of a — b = v stellende: b -f- - v = a — - v. 4 t 4 4 De inhoud van het fust wordt dan: A \2 / A Hl/- » _-l , ■ *■ w -t- o—7-v -f- oi a 1 \2 / i + l a* + la — -rv\ 4- a a — -^v ^nl ja* + " + 2^a— |vY + (a + b) la — r v of omdat b = a — v is : 1=2lnl + —vj2 + 2^o—ivj2 + (2a — v)fa — ~y) 1,^,9 .11 = ktjij oa-— -ST + - v* = * /L* 3 — , 11 _.\ 1 Af. 3 V . 17 2 _ " _ 7 / „2 « _„ , iA « \ A 7 —-t«Mtt -rctv t7ö V" = -rTlll\a 77 VI + -ttttt V tl- • 1 17 Hierin is ^ n l x ^ v3 weder een zeer kleine grootheid. Verwaarloost men deze, zoo wordt de inhoud : 1 * iL-l,X' 58 HOOFDST. IV — AFLEIDING FORMULES — §§ 26—27. Men ziet, dat volgens de berekening van Lobatto voor de gemiddelde middellijn van een fust, zonder dat daardoor de uitkomst van beteekenis verandert, kan aangenomen worden de formule —4"—• De formule ^a ^" 2 , door Lulofs voor de gemiddelde middellijn gegeven (zie § 9), berust niet op theoretische beschouwingen, doch is proefondervindelijk bepaald. § 27. De inhoudsbepaling van een fust door middel van den roeistok. Om deze methode nader toe te lichten, gaan wij de inhoudsformule f 1 , / 2a + b V 1 = T 71 l 4 ■" * 3 in een anderen vorm brengen. In fig. 6 hebben wij, als de steeklijn CE door s en de hoek CEH door p wordt aangeduid : a + b = 2s cos p, l = 2s sin p. Wij stellen — = c, dan is : o (1 + c) = 2s cos p, 2scosp , 2cscosp a = . , en b = —r~,— 1 + c 1 + c 2 _i_ c en 2a + b = 2 s cos p -.—;—> 1 + c 2 /2 + c\2 dus I = g w s3 cos2p sinplT—r-^J (10) De methode van den roeistok berust nu op de stelling, dat / onveranderd blijft, als s niet verandert, wat natuurlijk onjuist is. Echter kan worden aangetoond, dat bij fusten, die in de practijk veelal voorkomen, een verandering van pene slechts weinig invloed op den inhoud heeft. Passen wij in de eerste plaats de formule toe op de stelsels van fusten, die vroeger in Nederland wettelijk voorgeschreven waren (zie § 10). In het eerste stelsel is : l c = 0,83306 en tang p = ;—p-« ' a -\- b waaruit p = 30°36'15". Dit geeft I = 0,62893 s3. In het tweede stelsel is c = 0,82589, p = 31°28'23" en I = 0,62508 s3. In het derde stelsel is c = 0,88672, p = 31°41'42" en I = 0,62164 s8. HOOFDST. IV — AFLEIDING FORMULES — § 27. 59 Men ziet, dat de coëfficiënten van s3 in de drie stelsels slechts weinig verschillen. Bij fusten, zooals die het meeste voorkomen, ligt de hoek p tusschen 20 en 40°. Men kan berekenen, voor welke waarde van den hoek p bij gegeven waarden van c en van s, de inhoud zoo groot mogelijk wordt. Dit is het geval als tangap = |is of ile hoek p = 35°15'53". Die hoek ligt dus tusschen de waarden, die bij fusten voorkomen. Neemt de hoek van 20° tot ruim 35° toe, dan neemt I bij onveranderde s en c geleidelijk langzamer toe, om vervolgens van het maximum tot 40° eerst weinig, daarna meer en meer af te nemen. Uit de vergelijking (10) volgt ook, dat de verandering van den inhoud, als c verschillende waarden verkrijgt, slechts gering is. Als bijv. c = 0,84 is (dikbuikig fust), is de breuk 2 + c' die in vergelijking (lO)voorkomt, il + c 2,382 en als c = 0,92 is (dunbuikig fust): 2,313. De verhouding dier geianen is ais ïuuu : y/u. Deze uitkomsten zijn ontwijfelbare gevolgen van de inhoudsformule : 1 /9/j _i_ m» 1=4*M-T Lobatto, die de formule toepaste: I = 7- 71 l 4 5a + 3b\2 vond uitkomsten, die er slechts weinig van afwijken. Om een tafel van steeklijnen en daarbij behoorende inhouden te maken, kan men voor p den hoek aannemen, waarbij voor gegeven zoo groot mogelijk is en voor c een midden4 d.M., dan heeft men deze berekening waarde : 0,88. Zij bijv. s = volgens vergelijking (10) : log 2 =0,30103 logjï = 0,49715 ^(l^)2 = 0'37046 2 log cos p = 9,82390 — 10 log sin p = 9,76144— 10 0,75398 Af log 9 = 0,95424 Blijft 9,79974 — 10 log4s = 1,80618 log I = 1,60592 I = 40,35 L. log (2 + c) log (1 4- c) = 0,45939 = 0,27416 log log 2 + c 1 + c O. -X- A2 1 + C 0,18523 = 0,37046 Is s = 5 d.M., dan moet bij het gevonden getal 9,79974 opgeteld worden log 53; men vindt 78,82 L.' 60 HOOFDST. IV — BEREKENING TAFELS— §§ 27—28. Lobatto heeft in zijn werk, in hoofdstuk I genoemd, zulk een tafel gegeven. Van Blanken heeft een tafel van steeklijnen en daarbij behoorende inhouden voor de stelsels van Nederlandsche fusten, die vroeger waren voorgeschreven, berekend. Hij vond bij s = 4 d.M., als inhoud 40,2 L. en bij s = 5 d.M., als inhoud = 78,6 L., ongeveer hetzelfde dus, wat hier berekend werd. De tafel van van Blanken kan zeer goed dienen voor fusten, die niet ar te veel in vorm verschillen van die, waarop de tafel berust. Door deze beschouwing wordt de methode van den roeistok opgehelderd, die aanvankelijk Kepler zoo verbaasde. Deze methode gaat dus hiervan uit, dat fusten gewoonlijk zoo gemaakt zijn, dat de hoèk p maar weinig afwijkt van dien, waarbij de inhoud een maximum wordt bij gegeven waarden van c en s en dat in de nabijheid van dat maximum de verandering van /, als p toe- of afneemt, maar gering is. Echter wordt in de practijk, bij bepaalde soorten van fusten, zooals in § 11 is medegedeeld, een correctie toegepast, die met de gevonden uitkomsten in zooverre niet in overeenstemming is, dat daarbij niet blijkt, dat bij een gegeven waarde van den hoek p, de inhoud een maximum wordt. § 28. De samenstelling van de segmenttafel. Wij moeten voor de samenstelling van deze tafel berekenen, hoeveel honderdduizendste deelen van het cirkeloppervlak behooren bij een bepaald aantal duizendste deelen van de middellijn. Zij gegeven, dat de hoogte (pijl) AK van het segment (fig. 15) = 0,228 M. is, als M de middellijn van den cirkel voorstelt. PK is dan 0,272 M. Eerst moet de hoek KPF gevonden worden. cosinus KPF = ^-p = = 0,544 P t 500 log cos KPF = 9,73560 — 10 L KPF = 57°2'36" en dus L EPF = 114°5'12". Voor de oppervlakte van den cirkelsector vindt men, als O de oppervlakte van den cirkel voorstelt: '* 3/ 114° 5'12"_ n 410712 U,. - U X 36()0 - u X 360 x 3600 log 410712 = 5,61353 log 360 - 2,55630 of : log 360 + log 3600 = 6,11260 log 3600 = 3,55630 9,50093 — 10 6,11260 410712 nojfiiM dus —557i = 0,31691. 3600 x 360 01 = 0,31691 O of daar O = 100000 is gesteld : Ox = 31691. Van den sector moet driehoek EPF worden afgetrokken. Zij de oppervlakte van dien driehoek 02. Wij hebben : O. = 4 M* sinus 114° 5' 12» = 5 M2 sin 65° 54' 48'. 2 8 8 HOOFDST. IV — BEREKENING TAFELS — §§ 28—29. 61 Wij willen echter evenals van den sector weten, welk deel de driehoek is van de cirkeloppervlakte en berekenen dus : Q2 _ | M2. sin 65° 54' 48" _ sin 65° 54' 48" O i^M2. 2n log sin 65°54'48" = 9,96044 — 10 log 2ji = 0,79818 log^ = 9,16226 — 10 log Oa = 9,16226 — 10 + log O en omdat O = 100000 is gesteld : log 02 = 9,16226 — 10 + 5 = 4,16226 02 = 14530. De oppervlakte van het segment is derhalve : Ot — ö2 = 31691 — 14530 = 17161. Dit getal vindt men in de tafel bij de pijl 228. § 29. De samenstelling van de wantafels voor liggende fusten volgens de methode van Lulofs. Zooals in hoofdstuk III uitvoerig is medegedeeld, heeft Lulofs de hoeveelheid vloeistof, die zich in een gedeeltelijk gevuld fust bevindt, uit de segmenttafel berekend, als de natshoogte gegeven is. Hij heeft wantafels gegeven voor dikbuikige, middelbaarbuikige en dunbuikige fusten (~- = 0,84, 0,88 en 0,92V*). In de eerste kolom dier tafels vindt men naar volgorde de hoeveelheid vloeistof, uitgedrukt in liters, waarbij de inhoud van het fust op 100 L. is gesteld. In de tweede kolom komen de daarbij behoorende natshoogten voor, uitgedrukt in duizendste deelen van de spondiepte. Om na te gaan, hoe hij zoo'n tafel samenstelde, nemen wij aan, dat van een fust is gegeven : spondiepte (a) == 1000, bodemsmiddellijn (b) = 840 m.M. en inhoud (ƒ) = 100 L. Stel, dat in dit fust 36 L. van een vloeistof is gestort. Voor de middellijn van het grondvlak van een cylinder, die denzelfden inhoud heeft als het dikbuikig fust, nam Lulofs aan : M = 3g + 26 = 936 m.M. (**), Van een cirkelvormige doorsnede van den cylinder ligt binnen de vloeistof een segment, dat ^'van de doorsnede is. Als de oppervlakte van den cirkel, zooals in de segmenttafel, op 100000 wordt gesteld, is *) Natuurlijk kunnen wel meer wantafels saamgesteld worden, bijv. voor de verhoudingen _ = 0.82 ; 0 83; 0.85 enz. Men zou dan iets nauwkeuriger resultaat verkrijgen bij de berekening van de hoeveelheid vloeistof. **) Voor de berekening van de wantafel voor middelbaarbuikige fusten stelde Lulofs M = 954 m.M. en voor dunbuikige fusten M = 969,2 m.M in plaats van = 952 en 968 m.M. 62 HOOFDST. IV — BEREKENING TAFELS — §§ 29—30. de oppervlakte van het segment 36000. In de segmenttafel vinden wij daarbii als pijl 389,129, uitgedrukt in duizendste deelen van de middellijn M. 389 129 De lengte van die pijl is dus 936 X ' Q = 364,225 m.M. Zij is dan uitgedrukt in duizendste deelen van de spondiepte, en wordt (zie § 15) de verbeterde natshoogte genoemd. Om daaruit de werkelijke natshoogte in het fust te vinden, moet er volgens de methode van Lulofs bij opgeteld worden : |(a—M) = | (1000 —936) =32 m.M. De wantafel moet dus bij 36 L. de natshoogte 396,225 aanwijzen. In de tafel van Lulofs vindt men echter 396,198. Hij nam als pijl 389,1 in plaats van 389,129 en kreeg dus de uitkomst niet in drie decimalen nauwkeurig. Lulofs verwaarloosde bij zijn berekeningen onderdeelen van tienden of voerde ze tot een vol tiende op. Daardoor zijn de onregelmatigheden veroorzaakt in de verschillen tusschen de natshoogten. Zie § 16. In hoofdstuk III (§ 14) is opgemerkt, dat de methode van Lulofs, om de werkelijke natshoogte te vinden door bij de verbeterde op te 1 tellen ^ (a — M), alleen volkomen juist is, als het fust precies half gevuld is, dat zij practisch bruikbare uitkomsten geeft, als de natshoogte grooter is dan ^ (a— b), maar dat, als de oppervlakte der vloeistof beneden de bodems van het fust staat, de uitkomsten foutief zijn. § 30. Peilen bij geringe natshoogte. De wantafels III en IV. Om de hoeveelheid vloeistof bij geringe natshoogte te berekenen, nemen wij vooreerst aan, dat het fust den vorm van de schijf eener omwentelings-ellipsoïde heeft. Zij in fig. 16 M het middelpunt der ellips door wier omwenteling het lichaam ontstaat, KL de doorsnede van het oppervlak der vloeistof met het Vlak van teekening, FG = d de natshoogte. Volgens formule (1) in § 24 is, als de groote as dier wentelende ellips p wordt genoemd : AE2 , ME2 , . i2 , i2 , . .. al nn r =1 of —= H—r = l en dus p = . . . . . (ii> De lijn KL kan door dezelfde formule (1) gevonden worden: j KL2 MG2 = iP2 + i«2 1 Hierin is MG = ^ a — d en dus: ^! + (fl-2d)2 = l en KL^idJa^dJ. p2 a a HOOFDST. IV — BEREKENING TAFELS — § 30. 63 Hierin de waarde van p uit (11) overgebracht, vindt men : KL= 3Z] V a2 — b2 De oppervlakte der vloeistof is een ellips met KL tot groote as. De kleine as is de koorde in den cirkel, met a tot middellijn en met den pijl: FG — d. Zij wordt gegeven door de formule : 2yd(a — d). De oppervlakte der vloeistof is : ^xyÖ(12) Als de vloeistof jujst tot de bodems van het fust staat, is d = „ (a — b) en de oppervlakte : 1 4 jilya2 — b2 (13) De inhoud van de vloeistof kan berekend worden door de formule 1 van Gregory: g van de hoogte, vermenigvuldigd met de som van het grondvlak, van het bovenvlak en van viermaal het middenvlak. Het bovenvlak is nul en het middenvlak wordt gevonden door in (12) in 1 plaats van d te stellen ^ d. Dat middenvlak is : 1 a — \d 2 ia2 — b2 De inhoud van de vloeistof is dus gegeven door de formule: t 1 , a— d , 2a — d\ 1 1..3a — 2d 1 = TT7t/ a2 =+ — = -nld2—=== .... (14) 6 \ia2 — b2 ia2 — b2j 6 ]/a2—è2 V ' 1 Om haar te controleeren, merken wij op, dat zij voor d = ^ a moet overgaan in de formule voor den inhoud van de halve ellipsoïde,, dan wordt: 1 = ÏÏiTT^TÏ NU i8 volgenS l = ~1oJ=b2 1 dus I = -r^ n a2 p. Dit is de halve inhoud van de ellipsoïde. Om zich daarvan te overtuigen stelt men p = a, waardoor het lichaam overgaat in een bol. Dan wordt: T 1 3 64 HOOFDST. IV — BEREKENING TAFELS — § 30. De inhoud van den bol wordt: i n a3 of als R de straal is: tt n R3 x 8 = ^ n R3, 6 6 3 wat de bekende formule is. Van Blanken gaf een andere formule, waarvan het bewijs wat omslachtiger is en die bovendien bij de onderstelling, die hij omtrent den vorm van het fust maakte, niet geheel nauwkeurig is. Hij kende aan het fust een parabolischen vorm toe. Dan is het oppervlak der vloeistof, zooals hij terecht opmerkte, geen ellips. Een nauwkeurige berekening zou moeilijk zijn. Men kan echter de oppervlakte ten naastenbij als een ellips beschouwen, zooals wij ook gedaan hebben bij de berekening van den bodem van een ovaal fust. KL is dan weer in fig. 16 de groote as dier ellips. Nu is AFB de boog van een parabool en daarom is : KL2: AB2 = GF : EF Kh2:l2 = d:^(a — b) KL = l l/I^L. V a — b De kleine as der ellips is ook nu : 2fd (a — d) en de oppervlakte der vloeistof: y*]/^=? m 1 1 / Als d = ^ (a — b) wordt gesteld, wordt dit: | n l }a2 — b2 of juist de formule (13). Dit is wel merkwaardig, want in dit geval is aan het fust een andere vorm toegekend. Om nu den inhoud van de vloeistof te berekenen, denken wij ons een aantal platte vlakken, evenwijdig aan de oppervlakte van de vloeistof, die de natshoogte d in n gelijke deelen verdeelen. Zij snijden de vloeistof in figuren, die gelijkvormig met de oppervlakte der vloeistof zijn. Zij K'L' de groote as der ellips, waarvan het vlak op den afstand : — van F ligt: dus is : n K'L'2: KL2 = -:d = -:i n n en daar de oppervlakken van gelijkvormige ellipsen zich als de tweede machten hunner groote assen verhouden, is de bedoelde doorsnede — als Ode oppervlakte der vloeistof voorstelt. De doorsnede op den afstand: — van het punt F gelegen, is — enz. n ft Men denkt zich nu op de doorsneden als grondvlakken cylinders be- HOOFDST. IV — BEREKENING TAFELS — § 30. 65 schreven, die elk het nde deel van de natshoogte tot hoogte hebben. De inhouden dier cylinders zijn: 1 , O 1 . 20 — d x — ; —d x — enz. n n n n en hun som is: Ux^(i + 2 + 3..+n) = nixOxln{n-l)=yxo(i-^. Als nu n zeer groot wordt, nadert de som der cylinders meer en meer tot den inhoud der vloeistof. Laat men n onbepaald aangroeien, dan wordt - = 0 en de inhoud der vloeistof is dus: n 1 I = k- O d of volgens formule (15) : I = T?zld* 4 V2J^ «> Dit is de bekende formule van van Blanken. Hoewel zij, zooals van Blanken zelf heeft gezegd, niet volkomen nauwkeurig is, als men het fust als parabolisch beschouwt, is zij praktisch zeer goed bruikbaar, waarom wij haar bij de samenstelling van de wantafel III hebben toegepast. Voor waarden van d tot^a — b), dus bij dikbuikige fusten tot 1 1 2 (1000 — 840) = 80, bij middelbaarbuikige fusten tot ^ (1000 — 880) = 60 en bij dunbuikige fusten tot ^ (1000 — 920) = 40 duiaendsten van de spondiepte, is de formule (16) gebruikt. Men moet voor gegeven waarden van d bepalen, hoe groot de hoeveelheid vloeistof is, (die wij door I voorstellen), als de inhoud van het fust (/') op 100 wordt gesteld. Wij nemen voor de gemiddelde middellijn van het fust aan : M = a+b, danis/' = ^nl(2a + b)\ Wij moeten berekenen: 100i = 90Od* x ,q a, ^al/2(a~d) volgens (16). / (2a + b)2Y a — b Nemen wij hiervan de logarithme : log 900 — 2 log — 2 log (2a+&) + 2 log d + |log 2 (a—d). Stel a = 1000 b = 840. Roei- en Peilkunde. K 66 HOOFDST. IV — BEREKENING TAFELS — § 30. Wij berekenen eerst het deel der logarithme, waarin d niet voorkomt en stellen dit voor door A. A = log 900 — Q log 160 + 2 log 2840j = log 900 — B, als het deel der formule, dat van log 900 moet afgetrokken worden, door B wordt voorgesteld. log 900 = 2,95424 | log 160 = 1,10206 B = 8,00870 2 log 2840 = 6,90664 A = "4794554 —10 B = 8,00870 Zij nu bijv. d = 15, dan is 2 log d = 2,35218 | log 2 (a—d) = | log 1970 = 1,64724 3,99942 Nu is log (l00 X -p) = 3,99942 + (4,94554 — 10) = 8,94496 — 10 dus 100 X -jf = 0,089 of in 2 decimalen nauwkeurig 0,09. Dit getal komt in de tweede kolom der tafel voor bij 15 in de eerste kolom. Zij d = 80 dan is 2 log d = 3,80618 | log 2 (a—d) = | log 1840 = 1,63241 5,43859 log^lOO X = 5,43859 + (4,94554—10) = 0,38413 4r = 2,42. Nu kan de vraag beantwoord worden : hoe groot is in een dikbuikig fust de verbeterde natshoogte als d = 80 is, wanneer de vloeistof juist tot de bodems staat ?Er is dan 2420 honderdduizendsten van den inhoud van het fust met vloeistof gevuld. De segmenttafel geeft hierbij 59,5 duizendsten van de gemiddelde middellijn,waarvan de lengte is 946,7 m.M. 59 5 De verbeterde natshoogte is dus : X 946,7 = 56,3. Van de gemeten natshoogte moet dus 80 — 56,3 = 23,7 m.M. worden afgetrokken en niet ^ (a — M) = 26,7, zooals Lulofs aannam. Als dus \ de vloeistof eerst tot de hoogte ^ a staat en dan daalt tot i _(a —},), gaat in een dikbuikig fust het verschil 26,7 geleidelijk in 23,7 over. Hiermede is bij de samenstelling van tafel III zoo goed mogelijk rekening gehouden; overigens is deze voor natshoogten, HOOFDST. IV — BEREKENING TAFELS — §§ 30—31. 67 1 grooter dan ^ (a — £<)» door middel van de segmenttafel berekend. Zulk een berekening is voor middelbaarbuikige en dunbuikige fusten op dezelfde wijze uitgevoerd. Tafel IV is de door van Blanken verbeterde wantafel voor Hggende fusten van Lulofs. Wij hebben haar opgenomen, omdat zij nog veel gebruikt wordt, hoewel zij onpractisch is ingericht. Men kan er niet onmiddellijk in opzoeken, welke inhoud bij een gegeven natshoogte behoort, de vraag,die toch gewoonlijk te beantwoorden is. De natshoogte 80 vindt men bijv. niet in die tafel, wel 79,639 en 81,281, waarbij men de inhouden 2,4 en 2,5 vindt .Het verschil 81,281 — 79,639 = 1,642 is in de tafel opgegeven. Om nu te weten, welke inhoud bij d = 80 behoort moet men bepalen: 80— 79,639 == 0,361. Men heeft dus bij de nats- 0 0361 hoogte 80 den inhoud : 2,4 + ' =2,42 L.tottwee decimalen nauwkeurig, wat in tafel III rechtstreeks wordt afgelezen. Bij grootere waarden dan 80 voor d, geven bij dikbuikige fusten de tafels III en IV niet volkomen dezelfde uitkomstén, omdat voor die waarden de tafels niet geheel op dezelfde wijze berekend zijn. Bij middelbaarbuikige fusten is dit het geval, als d grooter dan 60 is en bij dunbuikige fusten, als d grooter dan 40 is. Het is echter niet wegens die kleine verschillen, dat de tafel III samengesteld is, wèl omdat zij zooveel gemakkelijker is in het gebruik dan tafel IV. De verschillen van de opeenvolgende inhouden zijn niet opgegeven. De getallen nemen zoo regelmatig toe, dat men voor natshoogten, die niet in de tafel zijn opgegeven, den bijbehoorenden inhoud wel onmiddellijk kan vinden. § 31. De samenstelling der wantafels voor staande fusten. In tafel V is het fust als parabolisch beschouwd. Zij fig. 17 de doorsnede van zulk een fust met een vlak, dat door de as gaat. AC = 1 stelt de hoogte voor, NM = a, AB = b. De lijn EF is de doorsnede van het vloeistof-oppervlak met het vlak van teekening. • De natshoogte zij -. EF = b' wordt als de bodemsmiddellijn beschouwd van een denkbeeldig fust, waarvan EK de hoogte is. Volgens de meermalen genoemde eigenschap der parabool is • AC2: EK2 = NO:NH of Z2: EK2 = | (a—b) : NH maar EK = Z —-Z = z(l — - n V n Dit ingevoegd, vinden we : ^•M^~2n)2 = \ia-b):NH 68 HOOFDST..IV— BEREKENING TAFELS — § 31. dus NH = |^1 — ^Y(a—b). De bodemsmiddellijn van het denkbeeldige fust is : EF = b'= a — 2NH = a—^i—^j (a—b) (17) Zij a = 1000, b = 840. Men kan dan voor de gemiddelde middellijn van het fust weder aannemen : 2a + b 2840 „,n „ „ M = —~— = —^— = 946,7 m.M. o o en de inhoud is : I = | Ti l x 946,72 (18) Eigenlijk is die formule niet juist voor een parabolisch fust, maar het is gebleken (zie § 25), dat het verschil verwaarloosd kan worden. 1 Men kan nu, om de wantafel te berekenen voor - achtereenvolgens aannemen : 10, 15, 20 enz. duizendste deelen van l. Als voorbeeld kiezen wij voor de natshoogte 200 duizendsten van l. Dan moet in (17) genomen 1 worden : - - 0,2 en men vindt: n b' = 1000 — 0,62 x 160 - 943 m.M. De gemiddelde middellijn van het denkbeeldige fust is: 2a + b' 2943 nQ, „ —^— = —g— = 981 m.M. en de inhoud van dat fust: I' = I „ x 0,6 l x 9812 (19) De verhouding van den inhoud van dit denkbeeldige fust tot dien van het geheele fust is volgens (18) en (19): 1' = 0,6 x 9812 I ~ 946,72 log 0,6 = 9,77815 — 10 2 log 981 = 5,98334 5,76149 log 946,72 = 5,95242 log j = 9,80907 —10 . = 0,6443. De verhouding van de gezochte hoeveelheid vloeistof tot / is dus HOOFDST. IV — BEREKENING TAFELS — § 31. 69 1 2-(l — 0,6443) = 0,1779, of als I op 100 gesteld wordt, is de hoeveelheid vloeistof in tiende deelen nauwkeurig: 17,8. Dit getal vindt men in de tweede kolom der tafel bij de natshoogte 200. Van der Boodt heeft wantafels voor staande fusten samengesteld, die, omdat* zij veel gebruikt worden hierna zijn opgenomen onder Vla, b en c. Van der Boodt nam aan, dat een fust samengesteld is uit twee afgeknotte kegels met gemeenschappelijk grondvlak. De samenstelling der wantafel wordt er niet veel eenvoudiger door. Gaan wij dit na. Fig. 21 stelt de doorsnede van zoodanig fust voor met een vlak, dat door de as gaat. Zij LK de middellijn van de oppervlakte der vloeistof. In een dikbuikig fust nam van der Boodt aan: a = 1000 en ft = 850. Als voorbeeld van zijn berekening wordt de natshoogte NQ evenals bij bovenstaand voorbeeld gesteld op 200 duizendsten van de hoogte l van het fust. Dan is : NQ = 0,2 l = 0,4 PQ en PN = 0,6 PQ. Hieruit volgt: NK : AB = PN : PQ = 6:10 of NK = 0,6 AB = 0,6 b. Verder LN: FE = NQ : PQ = 4 :10 dus LN = 0,4 a en LK = LN + NK = 0,4 a + 0,6 b = 400 + 510 = 910 m.M. Inhoud van den afgeknotten kegel ABEF = ^ I = 1 = g^r x PQ (AB2 -f AB x FE + FE2) = 1 1 3 n x PQ (8502 + 850 x 1000 + 10002) = | ti x PQ x 2572500. Inhoud van den afgeknotten kegel ABKL = inhoud vloeistof = 1 A 3 n x 0,4 PQ (8502 + 850 x 910 + 9102) = | n PQ x 929640. Als dus de inhoud I weer op 100 wordt gesteld, is de hoeveelheid vloeistof: 1 929640 2 X 2572500 X 1UU = 18,1- Bij de natshoogte 200 staat dus in de tafel van van der Boodt voor dikbuikige fusten het getal 18,1. Om die uitkomst met tafel V te vergelijken, moeten we daarin in plaats van b = 840 aannemen b = 850. Voeren wij met dat getal de berekening van tafel V uit, dan vinden wy voor de natshoogte 200 den inhoud 18,0. In het algemeen is het onderscheid van de tafels V en VI slechts gering. Van Blanken ried aan, om de tafels voor staande fusten, die Lulofs uit van der Boodt overnam, niet te gebruiken, wegens de onjuiste grondslagen, waarop zij berusten. De vergelijking van de tafels V en VI leert echter, dat de vorm, die aan een fust wordt toegekend, in de peilkunde een veel kleiner invloed heeft, dan van Blanken vermoedde. Nemen 70 HOOFDST. IV — BEREKENING TAFELS — § 31, wij bijv. eens aan, dat een fust (a = 1000 en b = 850) een inhoud had van 1000 L. Als de natshoogte 200 is, zou volgens de tafel V de hoeveelheid vloeistof zijn : 180 L. en volgens tafel VI 181 L. Maar als de inhoud van het fust door middel van den roeistok bepaald wordt, kan wel blijken,dat deze 995 of 1005 L. bedraagt in plaats van 1000 L. De hoeveelheid vloeistof kan dus zeker niet op 1 liter na nauwkeurig gevonden worden. Voor sommige natshoogten is het verschil in inhouden, die de tafels V en VI opleveren, wat grooter, maar toch met van veel belang. Ook als men een wantafel maakt, aannemende, dat een fust den vorm heeft van een omwentelings-ellipsoïde, verschillen de getallen niet veel van die, welke de tafels V en VI geven. Tafel V is voornamelijk gegeven, omdat zij doelmatiger ingericht is dan de tafels van van der Boodt. 71 I. INHOUDSTAFEL VOOR CYLINDERS. a' es a g e*j a s «» s' g IE» s' s' I esI a .S ~2 t .3 T .3 -o T c a o " a 3 5 ** rff la * fa * !• -ag «. » » * » "a * m e» ■ a -j.a > a g | —g lM'ial > 100 0,8 320 8 540 22,9 760 45,4 I 980 75,4 I 0,02 0,06 0,09 0,12 0 16 110 1 330 8,6 550 23,8 770 46,6 990 77 0,01 q,05 0,08 0,12 0 15 120 1,1 340 9,1 560 24,6 780 47,8 1000 78,5 0,02 0,05 0,09 0,12 0 16 130 1,3 350 9,6 570 25,5 790 49 1010 80 1 0,02 0,06 0,09 0,13 0 16 140 1,5 360 10,2 580 26,4 800 50,3 1020 81,7 0,03 0,06 0.09 0,12 0,16 150 1,8 370 10,8 590 27,3 810 51,5 1030 83,3 0,02 0,05 0,10 0,13 0 17 160 2 380 11,3 600 28,3 820 52,8 1040 85 0,03 0,06 I 0,09 0,13 0,16 170 2,3 390 11,9 610 29,2 830 54,1 1050 86,6 0,03 0,07 0,10 0,13 0 17 180 2,6 400 12,6 620 30,2 840 55,4 1060 88,3 0,02 0,06 0,10 0,13 0,16 190 2,8 410 13,2 630 31,2 850 56,7 1070 89 9 0,03 0,07 0,10 0,14 0 17 200 3,1 420 13,9 640 32,2 860 58,1 1080 91,6 0,04 0,06 0,10 0,13 0 17 210 3,5 430 14,5 650 33,2 870 59,4 1090 93,3 0,03 0,07 0,10 0,14 0 17 220 3,8 440 15,2 660 34,2 880 60,8 1100 95 0,04 0,07 0,11 0,14 0 18 230 4,2 450 15,9 670 35,3 890 62,2 1110 96 8 0,03 0,07 0.10 0,14 0 17 240 4,5 460 16,6 680 36,3 900 63,6 1120 98 5 0,04 0,08 0,11 0,14 0 17 250 4,9 470 17,4 690 37,4 910 65 1130 100 2 0,04 0,07 0,11 0,15 260 5,3 480 18,1 700 38,5 920 66,5 0,04 0,08 0,11 0,14 270 5,7 490 18,9 710 39,6 930 67,9 0,05 0,07 0,11 0 15 280 6,2 500 19.6 720 40,7 940 69,4 0,04 0,08 0,12 0,15 290 6,6 510 20,4 730 41,9 950 70,9 0,05 0,08 0,11 0,15 300 7,1 520 21,2 740 43 960 72,4 0,04 0,09 0,12 0,15 310 7,5 530 22,1 750 44,2 970 73 9 0,05 0,08 0,12 014 72 II. SEGMENTTAFEL. De pijlen zijn gegeven in duizendste deelen van de middellijn en de segmenten in honderdduizendste deelen van de oppervlakte van den cirkel. Püi. Seg: Püi. [Seg; Piji. Seg; pui. Seg; p*. Seg: ment. ment. ment. ment. ment. 1 5 51 1925 101 5281 151 9497 201 14340 2 15 52 1981 102 5358 152 9588 202 14442 3 .28 53 2038 103 5435 153 9680 203 14544 4 43 54 2095 104 5513 154 9772 204 14647 5 60 55 2153 105 5591 155 9864 205 14750 6 79 56 2212 106 5669 156 9956 206 14852 7 99 57 2271 107 5747 157 10049 207 14955 8 121 58 2330 108 5826 158 10141 208 15059 9 145 59 2389 109 5905 159 10234 209 15162 10 169 60 2450 110 5985 160 10328 210 15266 11 195 61 2510 111 6065 161 10421 211 15370 12 222 62 2571 112 6145 162 10515 212 15474 13 251 63 2633 113 6225 163 10609 213 15578 14 280 64 2695 114 6306 164 10703 214 15682 15 310 65 2758 115 6387 165 10797 215 15787 16 342 66 2821 116 6469 166 10892 216 15891 17 374 67 2884 117 6550 167 10987 217 15996 18 408 68 2948 118 6632 168 11082 218 16101 19 442 69 3012 119 6715 169 11177 219 16207 20 477 70 3077 120 6797 170 11273 220 16312 21 513 71 3142 121 6880 171 11368 221 16418 22 550 72 3208 122 6963 172 11464 222 16523 23 588 73 3274 123 7047 173 11561 223 16629 24 627 74 3341 124 7131 174 11657 224 16735 25 666 75 3408 125 7215 175 11754 225 16842 26 706 76 3475 126 7299 176 11851 226 16948 27 747 77 3542 127 7384 177 11948 227 17055 28 788 78 3610 128 7469 178 12045 228 17161 29 831 79 3679 129 7554 179 12142 229 17268 30 874 80 3748 130 7639 180 12240 230 17375 31 918 81 3817 131 7725 181 12338 231 17483 32 962 82 3887 132 7811 182 12436 232 17590 33 1007 83 3957 133 7897 183 12535 233 17697 34 1053 84 4027 134 7984 184 12633 234 17805 35 1100 85 4098 135 8071 185 12732 235 17913 36 1147 86 4169 136 8158 186 12831 236 18021 37 1195 87 4241 137 8246 187 12930 237 18129 38 1243 88 4313 138 8333 188 13030 238 18238 39 1292 89 4385 139 8421 189 13129 239 18346 40 1342 90 4458 140 8509 190 13229 240 18455 41 1392 91 4531 141 8598 191 13329 241 18564 42 1443 92 4604 142 8687 192 13429 242 18673 43 1494 93 4678 143 8776 193 13530 243 18782 44 1546 94 4752 144 8865 194 13630 244 18891 45 1599 95 4827 145 8955 195 13731 245 19001 46 1652 96 4902 146 9044 196 13832 246 19110 47 1705 97 4977 147 9134 197 13933 247 19220 48 1759 98 5052 148 9225 198 14035 248 19330 49 1814 99 5128 149 9315 199 14136 249 19440 50 1869 100 5204 150 9406 200 14238 250 19550 73 II. SEGMENTTAFEL. (Vervolg). pyi. mslg; pui. Seg: Ril. Seg: pyi. Seg; Piji. ment. ^ ment. j 1 ment. * ment. J ment. 251 19660 301 25348 351 31313 401 37478 451 43771 252 19771 302 25465 352 31435 402 37603 452 43898 253 19882 303 25582 353 31556 403 37727 453 44025 254 19992 304 25699 354 31678 404 37852 454 44151 255 20103 305 25816 355 31800 405 37977 455 44278 256 20214 306 25934 356 31922 406 38102 456 44405 257 20326 307 26051 357 32044 407 38228 457 44532 258 20437 308 26169 358 32166 408 38353 458 44659 259 20548 309 26286 359 32288 409 38478 459 44786 260 20660 310 26404 360 32410 410 38603 460 44912 261 20772 311 26522 361 32533 411 38728 461 45039 262 20884 312 26640 362 32655 412 38854 462 45166 263 20996 313 26758 363 32777 413 38979 463 45293 264 21108 314 26876 364 32900 414 39104 464 45420 265 21220 315 26994 365 33022 415 39230 465 45547 266 21333 316 27112 366 33145 416 39355 466 45674 267 21445 317 27231 367 33268 417 39481 467 45801 268 21558 318 27349 368 33391 418 39606 468 45928 269 21671 319 27468 369 33513 419 39732 469 46055 270 21784 320 27587 370 33636 420 39858 470 46183 271 21897 321 27706 371 33759 421 39983 471 46310 272 22010 322 27825 372 33882 422 40109 472 46437 273 22124 323 27944 373 34005 423 40235 473 46564 274 22237 324 28063 374 34128 424 40361 474 46691 275 22351 325 28182 375 34252 425 40487 475 46818 276 22464 326 28301 376 34375 426 40613 476 46945 277 22578 327 28421 377 34499 427 40738 477 47073 278 22692 328 28540 378 34622 428 40864 478 47200 279 22807 329 28660 379 34746 429 40990 479 47327 280 22921 330 28780 380 34869 430 41117 480 47454 281 23035 331 28900 381 34993 431 41243 481 47581 282 23150 332 29019 382 35116 432 41369 482 47709 283 23264 333 29139 383 35240 433 41495 483 47836 284 23379 334 29259 384 35364 434 41621 484 47963 285 23494 335 29379 385 35488 435 41747 485 48090 286 23609 336 29499 386 35612 436 41874 486 48218 287 23724 337 29620 387 35736 437 42000 487 48345 288 23839 338 29740 388 35860 438 42126 488 48472 289 23955 339 29861 389 35984 439 42253 489 48600 290 24070 340 29981 390 36108 440 42379 490 48727 291 24186 341 30102 391 36232 441 42505 491 48854 292 24302 342 30223 392 36357 442 42632 492 48981 293 24417 343 30344 393 36481 443 42758 493 49409 294 24533 344 30465 394 36605 444 42885 494 49236 295 24650 345 30586 395 36730 445 43011 495 49363 296 24766 346 30707 396 36854 446 43138 496 49491 297 24882 347 30828 397 36979 447 43264 497 49618 298 24998 348 30949 398 37104 448 43391 498 49745 299 25115 349 31070 399 37228 449 43518 499 49872 300 25232 350 31192 400 37353 450 43644 500 50000 74 III. WANTAFEL VOOR LIGGENDE FUSTEN. Bij gegeven natshoogten, uitgedrukt in duizendste deelen van de spondiepte, zijn de overeenkomstige hoeveelheden aangewezen in liters, waarbij de inhoud van het fust op 100 L. is gesteld. Kolom A heeft betrekking op dikbuikige fusten^- = 0,84j; kolom B op middelbaarbuikige fusten (— = 0,88] en kolom C op dunbuikige ó a>' ai I © I . f0 Inhoud in "S> Inhoud in "5, Inhoud in "Sj Inhoud in "S> Inhoud in § liters. § liters. § liters. § liters. § liters. ,0 .0 .g .0 .£= | a b|c|ab c^abIc^aIbc^a bc 15|o,09 0,10 0,12 125 5,72 6,19 6,4S 235 16,5 16,9|l7,3 345 29,6 29,9 30,l! 455 44,0 44,0 44,1 20 0,17 0,19 0,21 130 6,15 6,61 6,89 240 17,1 17,5 17,8 350 30,2 30,6 30,8 460 44,6 44,7 44,8 25 0,24 0,27 0,33 135 6,57 7,04 7,33 245 17,6 18,1 18,3 355 30,9 31,2 31,4 465 45,3 45,3 45,4 30 0,35 0,40 0,47 140 7,01 7,48 7,77 250 18,2 18,6 18,9 360 31,5 31,8 32,0 470 46,0 46,0 46,1 35 0,47 0,54 0,64 145 7,45 7,92 8,21 255 18,8 19,2 19,5 365 32,2 32,5 32,7 475 46,7 46,7 46,8 40 0,62 0,70 0,83 150 7,91 8,38 8,67 260 19,4 19,8 20,1 370 32,8 33,1 33,3 480 47,4 47,4 47,5 45 0,78 0,89 1,05 155 8,37 8,85 9,13 265 19,9 20,4|20,6 375 33,5 33,8 33,9 485 48,0 48,0 48,0 50 0,96 1,09 1,29 160 8,83 9,32 9,59 270 20,5 20,9 21,2 380 34,1 34,4 34,5 490 48,6 48,7 48,7 55 1,16 1,32 1,55 165 9,32 9,79 10,1 275 21,1 21,5 21,7 385 34,8 35,0 35,2 495 49,3 49,3 49,3 60 1,38 1,57 1,83 170 9,80 10,3 10,5 280 21,7 22,1 22,4 390 35,4 35,7 35,8 500 50,0 50,0 50,0 65 1,61 1,87 2,13 175 10,3 10,8 11,0 285 22,3 22,7 22,9 395 36,0 36,3 36,4 70 1,86 2,15 2,43 180 10,8 11,3 11,5 290 22,9 23,3 23,5 400 36,7 36,9 37,0 75 2,13 2,43 2,74 185 11,3 11,8 12,0 295 23,4 23,9 24,1 405 37,4 37,5 37,6 80 2,42 2,75 3,07 190 11,8 12,3 12,5 300 24,0 24,4 24,7 410 38,0 38,1 38,3 85 2,72 3,13 3,41 195 12,3 12,8 13,0 305 24,6 25,0 25,3 415 38,7 38,8 39,0 90 3.05 3,48 3,76 200 12,8 13,3 13,6 310 25,2 25,6 25.9 420 39,4 39,5 39,6 95 3,40 3,84 4,12 205 13,3 13,7 14,0 315 25,9 26,2 26,6 425 40,1 40,2 40,3 100 3,77 4,21 4,47 210 13,8 14,2 14,6 320 26,5 26,8 27,2 430 40,7 40,8 40,9 105 4,13 4,58 4,87 215 14,3 14,8 15,1 325 27,1 27,4 27,7 435 41,3 41,4 41,5 110 4,52 4,97 5,26 220 14,9 15,3 15,6 330 27,7 28,1 28,3 440 42,0 42,1 42,2 115 4,91 5,37 5,65 225 15,4 15,8 16,1 335 28,3 28,7 28,9 445 42,7 42,7 42,8 120 5,31 5,77 6,07 230 15,9|l6,4 16,7 340 29,0 29,3 29,5 450 43,3 43,4 43,5 75 ÏVa. WANTAFEL VOOR DIKBUIKIGE LIGGENDE FUSTEN NAAR „LULOFS". De verhouding van spondiepte tot bodemsmiddellijn is 100: 84. De hoeveelheid is in liters gegeven, waarbij de inhoud van het fust op 100 is gesteld. De overeenkomstige natshoogten zijn in duizendste deelen van de spondiepte gegeven. •« S a dé a flji d J2i< Natshoogte. g J2:S Natshoogte. g °S Natshoogte. g e _ o e"* m a™ » "•S > ".5 I > ~.£ I > 0,1 16,256 4 110,344 25 310,928 6,734 6,458 8,050 0,2 22,990 4,5 116,802 26 318,978 5,167 6,271 7,956 0,3 28,157 5 123,073 27 326,934 4,345 6,167 7,862 0,4 32,502 5,5 129,240 28 334,796 3,837 5,907 7,862 0,5 36,339 6 135,147 29 342,658 3,480 5,803 7,769 0,6 39,819 6,5 140,950 30 350,427 3,191 5,616 7,675 0,7 43,010 7 146,566 31 358,102 2,969 5,616 7,676 0,8 45,979 7,5 152,182 32 365,778 2,789 5,429 7,675 0,9 48,768 8 157,611 33 373,453 2,638 5,335 7,581 1 51,406 8,5 162,946 34 381,034 2,509 5,242 7,686 1.1 53,915 9 168,188 35 388,720 2,401 5,148 7,478 1.2 56,316 9,5 173,336 36 396,198 2,297 5,148 7,581 1.3 58,613 10 178,484 37 403,779 2,072 10,015 7,488 1.4 60,685 11 188,499 38 411,267 2,275 9,641 7,488 1.5 62,960 12 198,140 39 418,755 2,065 9,547 7,488 1.6 65,025 13 207,687 40 426,243 2,001 9,360 7,395 1.7 67,026 14 217,047 41 433,638 1,943 9,079 7,394 1.8 68,969 15 226,126 42 441,032 1,890 8,986 7,394 1.9 70,859 16 235,112 43 448,426 1,841 8,892 7,395 2 72.700 17 244,004 44 455,821 1,795 8,705 7,394 2.1 74,495 18 252,709 45 463,215 1,754 8,611 7,395 2.2 76,249 19 261,820 46 470,610 1,713 8,518 7,394 2.3 77,962 20 269,838 47 478,004 1,677 8,424 7,301 2.4 79,639 21 278,262 48 485,305 1,642 8,236 7,394 2.5 81,281 22 286,498 49 492,699 15,116 8,237 7,301 3 96,397 23 294,735 50 500,000 7,113 8,143 3,5 103,510 24 302,878 6,834 8,050 76 l\b. wantafel voor middelbaarbuikige liggende fusten naar „lulofs". De verhouding van spondiepte tot bodemsmiddellijn is 100: 88. De hoeveelheid is in liters gegeven, waarbij de inhoud van het fust op 100 L is gesteld. De overeenkomstige natshoogten zijn in duizendste deelen Van de spondiepte gegeven. J2£ Nalshoogte. % «I Natshoogte. f ©.■§ Natshoogte. H Ba ® ö« ® Is s ".s > -.s > ".s > 0,1 15,259 6 128,131 29 339,633 6.823 11,639 7,918 0,2 22,082 7 139,770 30 347,551 4,357 11,257 7,803 0,3 26,439 8 151,027 31 355,354 4,080 10,780 ' 7,912 0,4 30,519 9 161,807 32 363,266 3,601 10,494 7,753 0,5 34,120 10 172,301 33 371,019 3,257 10,228 7,728 0,6 37,377 11 182,529 34 378,747 2,992 9,810 7,822 0,7 40,369 12 192,339 35 386,569 2,801 9,727 7,532 0,8 43,170 13 202,066 36 394,101 2,607 9,540 7,828 0,9 45,777 14 211,606 37 401,929 2,476 9,254 7,632 1 48,253 15 220,860 38 409,561 2,355 9,158 7,632 1.1 50,608 16 230.018 39 417,193 2,262 9,063 7,632 1.2 52,870 17 239,081 40 424,825 2,147 8,872 7,536 1.3 55,017 18 247,953 41 432,361 2,077 8,777 7,537 1.4 57,094 19 256,730 42 439,898 2,003 8,681 7,537 1.5 59,097 20 265,411 43 447,435 1,940 8,586 7.536 1.6 61,037 . 21 273,997 44 454,971 1,877 8,396 7,537 1.7 62,914 22 282,393 45 462,508 1.824 8,395 7,536 1.8 64,738 23 290,788 46 470,044 1,774 8,300 7,537 1.9 66,512 24 299,088 47 477,581 1,728 8,204 7,441 2 68,240 25 307,292 48 485,022 20,395 8,204 7,537 3 88,635 26 315,496 49 492,559 14,215 8,109 7,441 4 102,850 27 323,605 50 500,000 12,992 8,014 5 115,842 28 331,619 12.289 8,014 77 IVc. WANTAFEL VOOR DUNBUIKIGE LIGGENDE FUSTEN NAAR „LULOFS". De verhouding van spondiepte tot bodemsmiddellijn is 100 : 92. De hoeveelheid is in liters gegeven, waarbij de inhoud van het fust op 100 L. is gesteld. De overeenkomstige natshoogten zijn in duizendste deelen van de spondiepte gegeven. Jgjf Natshoogte. g ©Jj Natshoogte. g J.~ Natshoogte. f £s_ L_fï. É_ 0,1 13,906 6 122,184 29 337,011 5,760 11,822 8 043 0,2 19,666 7 134,006 30 345,054 4,419 11,434 7 946 0,3 24,085 8 145,440 31 353,000 3,726 10,950 7 945 0,4 27,811 9 156,390 32 360,945 3,283 10,659 7 940 0,5 31,094 10 167,049 33 368,891 2,968 10,368 7 849 0,6 34,062 11 177,417 34 376,740 2,728 9,981 7 946 0,7 36,790 12 187,398 35 384 686 2.540 9,883 7,752 0,8 39,330 13 197,281 36 392,438 2,387 9,680 7 788 0,9 41,717 14 206,961 37 400,226 2,256 9,410 7 813 1 43,973 15 216,371 38 408,039 2,146 9,302 7 752 1.1 46,119 16 225,673 39 415,791 2,051 9,206 7 752 1.2 48,170 17 234,879 40 423,543 1,968 9,011 7 655 1.3 50,138 18 243,890 41 431 198 1.892 8,915 7 655 1.4 52,030 19 252,805 42 438,853 1,825 8,818 7 655 1.5 53,855 20 261,623 43 446,508 1,768 8,721 7 655 1.6 55,623 21 270,344 44 454,163 *>711 8,527 7 655 1>7 57>334 22 278,871 45 461,818 4'662 8,527 7 655 1.8 58,996 23 287,398 46 469,473 l>6i7 8,443 7 656 1.9 60,613 24 295,841 47 477,129 1,574 8,321 7 558 2 62,187 25 304,162 48 484 687 , 19-880 8,333 7,655 3 82,067 26 312,495 49 492 342 4 96.505 27 320,732 50 500.000 13,179 8,139 5 109,684 28 328,871 112,500 8,140 78 V. WANTAFEL VOOR STAANDE FUSTEN. Bij gegeven natshoogten, uitgedrukt in duizendste deelen van de hoogte van het jast, zijn de overeenkomstige hoeveelheden aangegeven in liters, waarbij de inhoud van het fust op 100 liter is gesteld. Kolom A heeft betrekking op dikbuikige fusten (— = 0,84); kolom B op middelbaarbuikige fusten ( — = 0,88) en kolom C op dunbuikige fusten f Inhoud in liters, f In}!?ud in f Inl?0.ud in f In£?ud in o § liters. § liters § liters. ,C A J3 |a b g|abc|ab c|abc 10 0,78 0,84 0,89 135 11,6 12,1 12,6 260 23,9 24,5 25,0 385 37,2 37,6 37,9 15 1,18 1.27 1,34 140 12,0 12,5 13,1 265 24,5 25,0 25,5 390 37,8 38,1 38,4 20 1,58 1,68 1,79 145 12,5 13,0 13,6 270 25,0 25,4 25,9 395 38,3 38,7 39,0 25 1,98 2,11 2,25 150 13,0 13,5 14,0 275 25,5 26,0 26,5 400 38,9 39 2 39,5 30 2,39 2,54 2,70 155 13,5 14,0 14,5 280 26,0 26,6 27,0 405 39,4 39,7 40,0 35 2,83 2 97 3,15 160 14,0 14,4 15,0 285 26,5 27,1 27,6 410 40.0 40,3 40,5 40 3,22 3,40 3,62 165 14,4 14,9 15,5 290 27,0 27,6 28,1 415 40,5 40,8 41,0 45 3,62 3,82 4,07 170 15,0 15,4 16,0 295 27,6 28,1 28,5 420 41,1 41,4 41,6 50 4,03 4,25 4,53 175 15,4 16,0 16,5 300 28,1 28,6 29,1 425 41,6 41,9 42,1 55 4,43 4,71 4,99 180 15,9 16,5 17,0 305 28,6 29,1 29,6 430 42,2 42,4 42,6 60 4,85 5,17 5,46 185 16,4 16,9 17,4 310 29,1 29,6 30,1 435 42,8 43,0 43,1 65 5,28 5,62 5,92 190 16,9 17,4 17,9 315 29,7 30,2 30,6 440 43,4 43,5 43,6 70 5,70 6,07 6,38 195 17,4 17,9 18,4 320 30,3 30,7 31,1 445 43,9 44,0 44,1 75 6,14 6,51 6,85 200 17,8 18,4 18,9 325 30,8 31,2 31,7 450 44,4 44,5 44,7 80 6,58 6,97 7,32 205 18.3 18,9 19,3 330 31,3 31,7 32,2 455 45,0 45,1 45,2 85 7,02 7,39 7,79 210 18,8 19,2 19,8 335 31,8 32,2 32,7 460 45,5 45,6 45,7 90 7,46 7,87 8,26 215 19,3 19,9 20,3 340 32,3 32,8 33,2 465 46,1 46,2 46,3 95 7,91 8,33 8,73 220 19,8 20,4 20,9 345 32,8 33,3 33,7 470 46,6 46,7 46,8 100 8,36 8,79 9,21 225120,3 20,8 21,4 350 33,4 33,9 34,2 475 47,2 47,3 47,3 105 8,81 9,26 9,68 230 20,8 21,3 21,9 355 34,0 34,4 34,8 480 47,8 47,8 47,9 110 9,26 9,72 10,2 2fl5 21,3 21,9 22,4 360 34,5 34,9 35,3 485 48,3 48,4 48,4 115 9,81 10,2 10,6 240 21,8 22,5 23,0 365 35,0 35,5 35,8 490 48,9 48,9 48,9 120 10,2 10,7 11,1 245 22.3 22,9 23,5 370 35,6 36,0 36,3 495 49,4 49,5 49,5 125 10,7 11,2 11,6 250 22,8 23,5 24,0 375 36,2 36,5 36,8 500 50 50 50 130 11,1 11,6 12,1 255 23,4 24,0 24,5 380 36,7 37,0 37,4 79 Vla. WANTAFEL VAN „VAN DER BOODT" VOOR DIKBUIKIGE STAANDE FUSTEN. De spondiepte verhoudt zich tot de bodemsmiddellijn als 100:85. De hoeveelheid is in liters gegeven, waarbij de inhoud van het fust op 100 L. wordt gesteld. De natshoogte is gegeven in duizendste deelen van de hoogte van het fust. gj Nats- 1« Nats- || Nats- g|' Nats- gj Nats- -ga hoogte, -g3 hoogte. -gs hoogte, -g» hoogte, la^ hoogte. 1 12 11 125 21 230 31 328 41 421 2 23 12 136 22 240 32 338 42 430 3 35 13 147 23 250 33 347 43 439 4 46 14 157 24 260 34 357 44 448 5 58 15 168 25 270 35 366 45 457 6 70 16 178 26 280 36 376 46 466 7 81 17 189 27 290 37 385 47 475 8 92 18 199 28 300 38 394 48 484 9 103 19 210 29 309 39 403 49 492 10 114 20 220 30 319 40 412 50 500 VU. WANTAFEL VAN „VAN DER BOODT" VOOR MIDDELBAARBUIKIGE STAANDE FUSTEN. De spondiepte verhoudt zich tot de bodemsmiddellijn als 100:90. g.2 Nats- gj Nats- g| Nats- gj Nats- g| Nats- •g~ hoogte, -g~ hoogte, -gs hoogte, gs hoogte. hoogte. 1-1.5 1-1 .S **.S 1-1 .S M.S 1 11 11 119 21 223 31 322 41 418 2 22 12 130 22 233 32 332 42 427 3 33 13 140 23 243 33 341 43 437 4 44 14 150 24 253 34 351 44 446 5 55 15 161 25 263 35 361 45 455 6 66 16 171 26 273 36 370 46 464 7 77 17 182 27 283 37 380 47 473 8 88 18 192 28 293 38 389 48 482 9 99 19 202 29 303 39 399 49 491 10 | 109 20 213 30 312 40 408 50 500 VIc. WANTAFEL VAN „VAN DER BOODT" VOOR DUNBUIKIGE STAANDE FUSTEN. De spondiepte verhoudt zich tot de bodemsmiddellijn als 100:95. g| Nats- g| Nats- U Nats- gj Nats- 1| Nats- •gs hoogte, -ga hoogte, -g— hoogte, -g» hoogte, ■ga hoogte. 1 11 11 114 21 216 31 316 41 414 2 21 12 125 22 226 32 326 42 424 3 32 13 135 23 236 33 336 43 434 4 42 14 145 24 246 34 345 44 443 5 52 15 155 25 256 35 355 45 453 6 63 16 166 26 266 36 365 46 462 7 73 17 176 27 276 37 375 47 472 8 83 18 186 28 286 38 385 48 481 9 94 19 196 29 296 39 395 49 491 10 104 20 206 30 306 40 404 50 500 BIJLAGE A. THERMOMETERS EN YOCHTWEGERS. In deze bijlage zal, in beknopten vorm, een en ander worden medegedeeld omtrent de samenstelling en het gebruik der werktuigen, dienende tot het bepalen van het soortelijk gewicht en het soortelijk volume van vloeistoffen en omtrent de natuurkundige wetten, waarop zij berusten. A. Thermometers. Bij het gebruik der in sub C hierna genoemd wordende vochtwegers, moet vooraf de warmtegraad der te onderzoeken vloeistof opgenomen worden. Wij doen dit met behulp van een thermometer. Dit werktuig berust op de uitzetting, die lichamen bij vemarming ondergaan. Voor de beschrijving van verschillende soorten van thermometers .verwijzen wij naar de leerboeken der natuurkunde. De gewone thermometer bestaat uit een nauwe glazen buis, met een bolvormige of cylindervormige verwijding aan het eene uiteinde, die, nadat zij bij een hooge temperatuur geheel met kwik is gevuld, aan het andere einde is dichtgesmolten. Bij afkoeling krimpt het kwik in. De lengte van de kwikkolom in de buis is een maat voor de temperatuur. Naast de buis is een schaalverdeeling aangebracht. Als de thermometer in smeltend ijs wordt geplaatst, staat het uiteinde van de kwikkolom onveranderd bij een bepaalde streep op de schaal. Dit is het vriespunt. Als de thermometer in damp van kokend water wordt geplaatst, staat de kwikkolom bij een andere streep van de schaal: het kookpunt. De afstand tusschen die beide punten wordt in gelijke deelen (graden) verdeeld. Er zijn drie soorten van graadverdeelingen: le. die van Celsius, welke tusschen vries- en kookpunt 100 graden bevat; 2e. die van Réaumur, welke 80 graden, en 3e. die van Fahrenheit, welke tusschen vries- ên kookpunt 180 graden bevat. Bij de thermometers van Celsius en van Réaumur staat 0 bij het vriespunt; bij dien van Fahrenheit staat bij het vriespunt 32 en bij het kookpunt 212. Bij wetenschappelijke onderzoekingen wordt de temperatuur altijd opgegeven in graden Celsius (bijv. 15° C). In het dagelijksche leven wordt voor de bepaling van de luchttemperatuur gewoonlijk de thermometer van Fahrenheit gebruikt (bijv. 59° F.). De temperatuur van water wordt dikwijls opgegeven in graden Réaumur (bijv. 12° R.). Roei- en Peilkunde. g 82 BIJLAGE A. — THERMOMETERS EN VOCHTWEGERS. Men kan de verschillende soorten van graden gemakkelijk tot elkaar herleiden. Immers 180° Fahrenheit is gelijk aan 80° Réaumur en aan 100° Celsius, of 9° F. = 4° R. = 5° C. We hebben dus: .„ ~ 5 ori 9 or, 1 R=7 C = 7 F. 4 4 4 9 1° C =i- °R=4 °F- 5 5 1°F = §°R = |°C. Daar het vriespunt bij Fahrenheit op 32° ligt, moet men, bij herleiding van F. tot R. of C, eerst 32 aftrekken. Omgekeerd moet men bij herleiding van R. of C. tot F. bij de verkregen uitkomst 32 optellen. Bij verwarming zet zoowel het glas uit als het kwik. Door de eerste oorzaak moet de kwikkolom dalen, door de tweede stijgen. De uitzetting van glas is echter veel geringer dan die van kwik en heeft slechts zeer weinig invloed. Men gebruikt in een thermometer gewoonlijk kwik, omdat dit een laag smeltpunt en een hoog kookpunt heeft, zich regelmatiger uitzet dan andere vloeistoffen, gemakkelijk in zuiveren toestand te bereiden is, spoedig de temperatuur der omgeving aanneemt en niet aan het glas blijft hangen, zoodat de hoogte steeds scherp is waar te nemen. B. Soortelijk gewicht en soortelijk volume. Het gewicht van 1 c.M3. zuiver water hij 4° C. is één gram, de eenheid van gewicht. Het gewicht van 1 c.M3. van een stof, in grammen uitgedrukt, noemt men het soortelijk gewicht (ook wel dichtheid of densiteit) van die stof. Onder volume van een lichaam verstaat men de ruimte, die een lichaam inneemt. Men kan derhalve ook zeggen: het soortelijk gewicht van een stof is het getal, dat de verhouding aangeeft tusschen het gewicht van een zeker volume van die stof en het gewicht van een gelijk volume water bij 4° C. (het water heeft bij ongeveer 4° C. zijn grootste dichtheid). Het soortelijk gewicht van water bij 4° C. is dus 1; van aethylalcohol is het bij 0° C. 0,8095 en bij 15° C. 0,7947. Is G het gewicht van een stof, uitgedrukt in grammen en V het volume van die stof in c.M8., dan is het gewicht van een gelijk volume water Q van 4° C. = V gram en dus het soortelijk gewicht (SG) = y. Noemen wij nu van een andere stof het gewicht, uitgedrukt in grammen. g en het volume, uitgedrukt in c.M8. v, dan is van die stof het soorte- g lijk gewicht (sg) dus—. Hieruit volgt: cr, G g » ë SG:sg = v:^of wanneer G = g is : SG : sg = v : V. BIJLAGE A. — THERMOMETERS EN VOGHTWEGERS. 83 Men kan dus zeggen : van twee stoffen zijn, bij gelijk gewicht, de soortelijke gewichten omgekeerd evenredig met de volumina. Het soortelijk volume van een stof is de verhouding van haar volume tot het volume van een gelijke gewichtshoeveelheid water bij 4° C. Omdat het volume van G gram water G d.M.8 is, vindt men het soorteV lijk volume (SV) = Om het soortelijk gewicht en het soortelijk volume van een stof te bepalen, zal dus gezocht moeten worden naar het werkelijk gewicht en naar het volume van die stof. Men maakt hiertoe gebruik van de wet van Archimedes, nl. dat een lichaam, in een vloeistof gedompeld, door die vloeistof in verticale richting een drukking naar boven ondergaat, gelijk aan het gewicht der verplaatste vloeistof of m. a. w. dat een lichaam, in een vloeistof gedompeld, zooveel aan gewicht verliest, als de hoeveelheid vloeistof weegt, die het verplaatst. Een vast lichaam, waarvan het soortelijk gewicht even groot is als dat van een vloeistof, zal daarin juist in evenwicht zijn, als het geheel ondergedompeld is. Het gewicht van het lichaam is in dat geval even groot als het gewicht van de vloeistof, welke het verplaatst. Als het soortelijk gewicht van het vaste lichaam grooter is dan dat der vloeistof, wordt het naar beneden getrokken door een kracht, die gelijk is aan het verschil in zijn gewicht en het gewicht der verplaatste vloeistof. Is het soortelijk gewicht van het lichaam kleiner tian dat der vloeistof, dan ondergaat het, als het geheel ondergedompeld is, een'naar boven gerichte kracht. Het komt in evenwicht, als het slechts gedeeltelijk zich in de vloeistof bevindt. Het drijft, als het gewicht van de vloeistof, welke verplaatst wordt, gelijk is aan het gewicht van het geheele lichaam. Om het soortelijk gewicht of het soortelijk volume te bepalen, kan men gebruik maken van de hydrostatische balans, van den pycnometer of van den areometer. Door middel van de hydrostatische balans kan men het soortelijk gewicht bepalen van vaste lichamen. De inrichting dezer balans verschilt niet van die eener gewone balans, behalve dat aan den onderkant van een der schalen een haakje is aangebracht, waaraan men het te wegen voorwerp kan ophangen door middel van een dunnen draad. Men plaatst nu eerst zooveel gewicht op de andere schaal, als noodig is om evenwicht te verkrijgen. Wanneer men aldus het gewicht van het voorwerp heeft bepaald, dompelt men het voorwerp, terwijl het aan de schaal bevestigd blijft, in een vat gevuld met zuiver water. Het evenwicht wordt nu verbroken. Het voorwerp wordt zooveel lichter als het water weegt, dat het verplaatst, Om het evenwicht te herstellen, plaatst men het daartoe vereischte gewicht op de schaal, waaraan het voorwerp is opgehangen, welk gewicht aanwijst hoeveel het voorwerp door de onderdompeling schijnbaar aan gewicht heeft verloren, dus hoeveel het gewicht bedraagt van een gelijk volume water. Het gewicht van het voorwerp door de eerste weging kennende, kan men door eenvoudige deeling (gewicht voorwerp door gewicht verplaatst water) het soortelijk gewicht van het voorwerp berekenen. Men kan met de hydrostatische balans ook wel het soortelijk gewicht 84 BIJLAGE A. — THERMOMETERS EN VOGHTWEGERS. van vloeistoffen vaststellen. Men bepaalt dan eerst op de wijze hiervoren vermeld het gewichtsverlies van een willekeurig voorwerp in zuiver water en daarna in de te onderzoeken vloeistof. Men kent dan het gewicht van een zeker volume van die vloeistof en van een gelijk volume water en heeft slechts de eerste waarde te deelen door de tweede om het soortelijk gewicht van de vloeistof te weten. De pycnometer (= dichtheidsmeter) ook wel „fleschje van Klaproth" genaamd, bestaat uit een fleschje, voorzien van een nauwkeurig sluitend, eenigszins kegelvormig stopje, waarin een zeer nauwe opening is, tot boven het stopje doorgaande in een glazen buisje van ongeveer 2 c.M. Men bepaalt eerst het gewicht van den ledigen pycnometer. Om het fleschje goed te vullen, houdt men het geheel onder water en doet er dan, nadat het vol geloopen is, het stopje op. Het overvloedige water loopt dan door de nauwe opening weg. Na het werktuig afgedroogd te hebben, neemt men er het gewicht van op. Daarna vult men het fleschje op dezelfde wijze met de te onderzoeken vloeistof en weegt het ook dan. Men heeft nu twee gewichtshoeveelheden ; van elk daarvan trekt men het gewicht van het ledige fleschje af. Het overblijvende zal dan aanduiden het gewicht van een bepaald volume water en dat van een zelfde volume der te onderzoeken vloeistof. Uit de verhouding tusschen beide gewichten kan het soortelijk gewicht worden bepaald. Door deze methode kan Jiet soortelijk gewicht ook worden opgenomen als men slechts over een kleine hoeveelheid vloeistof beschikt. Om van een areometer gebruik te kunnen maken moet men zooveel vloeistof ter beschikking hebben, dat een proefglas gevuld kan worden. De areometer kan ook niet dienen voor vloeistoffen, waarin deeltjes zweven. Deze toch hebben op de inzinking geen invloed. Voor de bepaling van het soortelijk gewicht van vaste lichamen bezigt men pycnometers met wijden hals. Men plaatst eerst het fleschje, geheel met water gevuld, op een der schalen van een balans en op de andere schaal zooveel gewicht, dat evenwicht wordt verkregen. Vervolgens plaatst men het voorwerp naast het fleschje en constateert hoeveel gewicht op de andere schaal moet worden bijgeplaatst om weder evenwicht te verkrijgen. Het toegevoegde gewicht toont aan hoe zwaar het voorwerp is. Daarna brengt men het voorwerp in het fleschje, dat overigens met water gevuld blijft. Om thans evenwicht te verkrijgen moet naast het fleschje op de schaal een gewicht worden geplaatst, dat juist gelijk is aan het gewicht van het water, dat uit het fleschje is verwijderd toen het voorwerp daarin werd gebracht. Uit het gewicht van het voorwerp en dat van het verplaatste water kan nu het soortelijk gewicht worden berekend. Het gewicht van den pycnometer behoeft in dit geval niet afzonderlijk bepaald te' worden, omdat het voorwerp zelf gewogen kan worden. De pycnometer wordt bij de Administratie gebruikt, om het aantal hectolitergraden te berekenen van het wort, gebezigd voor de bereiding van bier, dat overeenkomstig art. 28 der Bierwet 1916 ten uitvoer is aangegeven (zie art. 3 van het Kon. besluit V. v. V. no. 778). De areometers onderscheidt men in twee hoofdsoorten nl. a. in areometers met standvastig volume en veranderlijk gewicht, en b. in areometers met standvastig gewicht en veranderlijk volume. Tot de eerste soort BIJLAGE A. — THERMOMETERS EN VOCHTWEGERS. 85 behooren de vochtwegers, welke in een vloeistof altijd even diep inzinken, door hun gewicht te vergrooten of te verkleinen, naargelang de vloeistof een grootere of geringere dichtheid heeft (vochtwegers van Nicholson en van Fahrenheit). Aangezien wij deze vochtwegers niet gebruiken, wordt op hun inrichting, enz. niet verder ingegaan; nadere bijzonderheden kunnen in de leerboeken der natuurkunde worden gevonden. Tot de areometers van de tweede soort behoort de volumeter van Gay-Lussac. Dit instrument is van glas vervaardigd en van onderen voorzien van een zwem- of drijfbol en een kwikbol, om het rechtstandig in de vloeistof te doen drijven. Het punt, tot hetwelk deze volumeter in zuiver water van 4° C. zinkt, wordt aangewezen door het getal 100. Het volume van het daarbij ondergedompelde deel van den vochtweger, wordt het element-volume genoemd. De steel is verder in graden verdeeld; de afstand tusschen ..1 , 2 opeenvolgende graden wijst van het element-volume aan. Zinkt de areometer in een vloeistof tot 105, dan wil dit dus zeggen, dat het gewicht van 105 deelen van die vloeistof even groot is, als dat van 100 deelen water; het soortelijk volume van die vloeistof is derhalve 105 tkk of uitgedrukt in honderdste deelen : 105. 100 s Aangezien het soortelijk gewicht hieraan omgekeerd evenredig is, bedraagt dit dus ^jjg- = 0,9524. Dit soortelijk gewicht kan dus ook op het werktuig worden aangegeven. Wijst de areometer het soortelijk volume aan, dan noemen wij hem „volumeter"; wordt het soortelijk gewicht aangewezen, dan wordt hij „densimeter" genoemd. In onderdeel C zullen wij de vochtwegers (volumeters) behandelen, die bij de administratie gebezigd worden tot het opnemen van de sterkte van gedistilleerd, dat na de overhaling niet is vermengd met andere zelfstandigheden dan alcohol en water. Daarna zal in onderdeel D de inrichting en het gebruik der densimeters worden uiteengezet. C. Vochtwegers voor gedistilleerd. De inrichting van dezen vochtweger is vastgesteld bij art. 1 van het Kon. besluit van 20 April 1863, S. no. 19, V. v. V. no. 612 IJ. Zooals hiervoor werd uiteengezet, berust het gebruik van dezen vochtweger op het beginsel, dat een in een vloeistof drijvend lichaam een volume vocht verplaatst, dat even zwaar weegt als het lichaam zelf. Daar de temperatuur een grooten invloed heeft op het volume van de vloeistoffen en het glas, is als normaal-temperatuur aangenomen de temperatuur van 15° C. Het aanvangspunt der schaal (het nulpunt) is dus bij de vochtwegers, in gebruik gesteld voor het opnemen der sterkte van gedistilleerd, het punt tot hetwelk de vochtweger inzinkt in een vloeistof, welke bij een temperatuur van 15° C. dezelfde dichtheid heeft 86 BIJLAGE A. — THERMOMETERS EN VOCHTWEGERS. als zuiver water bij 4° C. De schaal is verder zoodanig verdeeld, dat ... 1 elke graad gelijk is aan deel van het element-volume (het gedeelte beneden het nulpunt gelegen) van den vochtweger. Als men het element- 1 volume = 100 stelt, dan is iedere graad dus txtt van het element- 6 100 volume = 1. Aangezien de steel van den vochtweger cylindervormig is, zijn de inhouden tusschen twee deelstrepen dus even groot. Daar gedistilleerd een kleiner soortelijk gewicht heeft dan water, moet het nulpunt aan het ondereind van den steel liggen. Naarmate de sterkte van het gedistilleerd grooter is, zal de vochtweger dieper inzinken. Op den steel wijzen 1, 2, 3, enz. graden aan, dat het soortelijk volume van de vloeistof 101, 102, 103 enz. is, of in andere woorden, dat 101, 102, 103 enz. volumina van dat gedistilleerd evenveel wegen als 100 volumina water. De bij de Administratie in gebruik zijnde vochtweger bestaat uit drie afzonderlijke werktuigen, te weten : .. V le. Instrument I, bestemd voor het opnemen van gedistilleerd, waarvan het soortelijk volume is gelegen tusschen 100 en 109. Het omvat dus 9 graden (0—9). Iedere graad is onderverdeeld in 20 gelijke deelen ; elk deel meet dus een 2000ste van het element-volume = 0,05 graad. Met dit werktuig kan gedistilleerd worden opgenomen tot een sterkte van 63,9 pet. bij 0° G. en tot 52,3 pet. bij 30° G. 2e. Instrument II, bestemd voor het opnemen van gedistilleerd, waarvan het soortelijk volume is gelegen tusschen 108 en 130. De graadverdeeling loopt dus van 8°—30°. Iedere graad is onderverdeeld in tien 1 gelijke deelen, zoodat elke verdeeling gelijk staat met ^ van het element-volume = 0,1 graad. Met dit instrument kan gedistilleerd worden opgenomen van een sterkte van af 59,9 pet. bij 0° C. en 48 pet. bij 30° C. 3e. Instrument III, bestemd voor het opnemen van ruwnat, waarvan het soortelijk volume is gelegen tusschen 100 en 102. Het omvat dus 2 graden. Iedere graad is onderverdeeld in 100 gelijke deelen, zoodat elk deel een 10,000ste van het element-volume meet = 0,01 graad. Het werktuig is bruikbaar tot een sterkte van hoogstens 17,2 pet. bij 0° C. en tot 11,4 pet. bij een warmtegraad van 30° C. Deze laatste vochtweger mag uitsluitend gebruikt worden bij ambtelijke afstokingen, niet bij peilingen. De instrumenten I en II worden met een kleinen honderddeeligen thermometer samen in een houten kistje bewaard. Het instrument III wordt afzonderlijk in een houten kistje geborgen. Men heeft drie verschillende instrumenten om daardoor de inzinking, ook in onderdeelen van graden, nauwkeurig te kunnen aangeven. Wilde men dit met één werktuig doen, dan zou de steel zéér lang moeten zijn. De vochtweger zou dan zéér lastig te hanteeren zijn ; door verdeeling der graden over drie werktuigen heeft men dit bezwaar opgeheven. Zie, nopens het aflezen van de inzinking van de vochtwegers (zoo ook de hoogte van het kwik der thermometers) wanneer deze tusschen twee der BIJLAGE A. — THERMOMETERS EN VOCHTWEGERS. 87 op de schalen voorkomende gradenverdeelingen valt, de res. van 4 Sept. 1863, no. 4, opgenomen in aant. 2 op art. 2 van bijl. L der Gedistüleerdwet (deel V der Vakstudie). Deze vochtwegers kunnen alleen gebruikt worden voor het vinden van het soortelijk volume van vloeistoffen, die een kleiner soortelijk gewicht hebben dan water. Zooals hiervoor reeds werd gezegd, is voor de samenstelling van den vochtweger als normaal-temperatuur een warmtegraad aangenomen van 15° C.; bij deze temperatuur is het elementvolume bepaald. De vochtweger zal alleen dan het juiste soortelijk volume van een vloeistof aangeven, wanneer deze vloeistof bij de opneming ook een temperatuur van 15° C. heeft. Heeft de vloeistof een andere temperatuur, dan zal de aanwijzing niet nauwkeurig zijn; de warmtegraad oefent nl. een belangrijken invloed uit zoowel op het glas (van den vochtweger) als op het volume van de vloeistof. Glas zet door de warmte uit. Wordt de vochtweger • geplaatst in vloeistoffen, die meerdere graden warmer of kouder zijn dan 15° C, dan zal dit op de aanwijzing van den vochtweger een merkbaren invloed uitoefenen. Met deze invloeden behoort bij het gebruik van den vochtweger natuurlijk rekening te worden gehouden. Ten einde met behulp van den vochtweger het soortelijk volume van gedistilleerd op te nemen, behoort nog met een anderen invloed rekening te worden gehouden. Het is nameüjk gebleken, dat er bij de vermenging van alcohol en water een inkrimping (contractie) der vloeistof plaats heeft. Vermengt men 50 liter alcohol met 50 liter water bij 15° C, dan zal men niet krijgen 100 Liter gedistilleerd, doch slechts 96,377 Liter. Om door middel van den vochtweger het alcoholgehalte van gedistilleerd te kunnen vinden, zijri tafels samengesteld, die voor iederen graad en ieder onderdeel van een graad, welke men op de instrumenten bij verschillende warmtegraden afleest, de hoeveelheid zuiveren alcohol aangeven, die in honderd deelen van het opgenomen gedistilleerd aanwezig is. Tengevolge van de inkrimping die zich bij vermenging van alcohol en water voordoet, heeft men het soortelijk volume van mengsels alcohol en water, alleen door het nemen van proeven kunnen vinden. Dit heeft men bij verschillende warmtegraden gedaan, daar ook deze, zooals gezegd, invloed op het soortelijk volume uitoefenen. Als normaaltemperatuur, tot welke alle opnemingen zijn teruggebracht, is daarbij 15° C. aangenomen. Men heeft het resultaat dezer onderzoekingen vastgelegd in tafels, aantoonende de ware sterkte van het gedistilleerd, na herleiding tot een temperatuur van 15° C. Deze tafels toonen aan het percentage alcohol in gedistilleerd, met een temperatuur tusschen 0° en 30° C. aanwezig, nadat dit gedistilleerd tot 15° C. is teruggebracht. Deze tafels zijn niet ingericht voor glazen vochtwegers. Daarom heeft men, uit vorengenoemde tafels, andere samengesteld, de z.g. sterktetafels. Deze tafels tot het bepalen van de percenten zuiveren alcohol in 88 .BIJLAGE A. — THERMOMETERS EN VOCHTWEGERS. gedistilleerd, wijzen het aantal liters zuiveren alcohol van 15° C. aan, dat aanwezig is in 100 Liter van een mengsel van alcohol en water, waarvan de temperatuur ligt tusschen 0° en 30°. Om tot deze sterktetafels te komen heeft men twee correcties moeten aanbrengen : 1°. wegens de uitzetting of inkrimping van het glas (het soortelijk volume is immers in werkelijkheid anders dan de vochtweger aangeeft) ; en 2°. om het volume van het vocht bij die temperatuur, welke is waargenomen, over te brengen tot het volume, hetwelk dit gedistilleerd zoude innemen, wanneer het door verwarming of bekoeling tot de temperatuur van 15° C. was gebracht. Vorenbedoelde sterktetafels, vastgesteld bij art. 2 van het hiervoren genoemde Kon. besluit van 20 April 1863, zijn opgenomen in een werkje, getiteld : Tafels tot het bepalen van de percenten zuiveren alcohol in gedistilleerd, thans verkrijgbaar bij de „N.V. Boekhandel v. h. W. P. van Stockum en Zoon" te '' s-Gravenhage, Buitenhof no. 36, voor den prijs van f 1,75 per exemplaar. Zie de res. V. v. V. nos. 1236 en 1727. Omtrent de inrichting en het gebruik der tafels wordt het volgende medegedeeld : Er zijn 2 tafels. Tafel A ten gebruike bij de instrumenten I en II, tafel B bij instrument III. In de tafels vindt men in de eerste en laatste verticale kolom van elke bladzijde de warmtegraden. De inzinkingsgraden van den vochtweger vindt men in de bovensfe en onderste horizontale rijen van iedere bladzijde. In de tusschenliggende rijen vindt men vervolgens voor eiken aangewezen warmte- en inzinkingsgraad, de maatpercenten alcohol van 15° C. Heeft men nu den warmtegraad van het onderzochte gedistilleerd met den thermometer en den inzinkingsgraad van den vochtweger bepaald, dan zoekt men in de tafel eerst den inzinkingsgraad op : voor een lagere temperatuur dan 15° C. op de linker- en voor een hoogere temperatuur op de rechter bladzijde. Vervolgens zoekt men in de kolom, waarin die inzinkingsgraad is aangewezen, en in de rij van den gevonden warmtegraad, het percentsgewijze alcoholgehalte op. Met dit cijfer vermenigvuldigt men vervolgens de hoeveelheid van het onderzochte gedistilleerd en deelt het product door 100. Men krijgt dan de hoeveelheid zuiveren alcohol van 15° C. in het onderzochte gedistilleerd aanwezig. Volgens art. 1 der Gedistilleerdwet wordt als grondslag voor den accijns aangenomen de hectoliter gedistilleerd, bij een warmte van 15° C, welke 50 Liter zuiveren alcohol bevat. Wij moeten dus weten de hoeveelheid gedistilleerd ad 50 pet. in het mengsel voorhanden. Hiertoe zal men de gevonden hoeveelheid alcohol met 2 moeten vermenigvuldigen. Een voorbeeld moge dit verduidelijken. Zij bijv. gegeven een partij gedistilleerd van 850 Liter, waarvan de temperatuur 12° C. is en de inzinking van den vochtweger 6,5. De tafel wijst een sterkte aan van 48,4 percent. Er is dus 48,4 pet. alcohol van 15° C. in het gedistilleerd. De gegeven 850 Liter bevatten dus —4r^r—- = 411,4 Liter zuiveren 100 ' alcohol van 15° C. Wij moeten evenwel weten de hoeveelheid gedistil- BIJLAGE A. — THERMOMETERS EN VOCHTWEGERS. 89 leerd ad 50 pet. Deze zal bedragen —' , X 2 = 822,8Liter. r 6 100 Indien men niet weet, welke sterkte het gedistilleerd ongeveer heeft, is het gewenscht instrument II te nemen, want anders loopt men gevaar, dat bij gebruik van instrument I de vochtweger op den bodem stoot en breekt. In vorengenoemd werkje is in een Voorwoord een verhandeling opgenomen over den vochtweger en den grondslag der tafels, terwijl daarin ook voorschriften zijn gegeven omtrent het gebruik der vochtwegers, thermometers en tafels, alsmede omtrent het berekenen, hoe groot een hoeveelheid gedistilleerd, opgenomen bij een zekeren warmtegraad, zal worden, wanneer het op dezelfde temperatuur werd gebracht als die der van die partij genomen proef, voor welke herleiding een tafel is gegeven, aanwijzende het volume, hetwelk een mengsel van alcohol en water van 1000 Liter bij 15° C. zal verkrijgen bij een hoogere en lagere temperatuur. Daar ieder ambtenaar, die de sterkte van gedistilleerd heeft op te nemen, of de daaromtrent gegeven voorschriften heeft te bestudeeren, dit werkje ter beschikking moet hebben, komt het onnoodig voor hier nadere bijzonderheden over het gebruik van de werktuigen en tafels mede te deelen, maar kan volstaan worden met naar dat Voorwoord te verwijzen. D. Densimeters. De densimeters wijzen het soortelijk gewicht van vloeistoffen aan; zij zijn ingericht voor het opnemen der dichtheid van vloeistoffen, zwaarder dan water. Ook de verschillende soorten dezer areometers zijn werktuigen van glas, voorzien van een zwembol en kwikbol en van een verdeelde schaal. Het aanvangspunt der schaal (het nulpunt) is het punt, tot hetwelk de densimeter zinkt in een vloeistof, welke bij een temperatuur van 15° C. dezelfde dichtheid heeft als zuiver water van 4° C. Brengt men hem in een vloeistof, zwaarder dan water, dan zal hij minder diep inzinken, zoodat de schaalverdeeling onder het nulpunt moet zijn aangebracht ; het nulpunt bevindt zich daarom aan het boveneinde van den steel. De schaal van den densimeter is zoodanig verdeeld, dat iedere graad mindere inzinking een vermeerdering van dichtheid aanduidt van een honderdste der dichtheid van water van 4° C.; voorts is elke graad in tien deelen verdeeld. De dichtheid (soortelijk gewicht) van water van 4° C. is 1. Zinkt dus de densimeter in een vloeistof één graad minder in, dan is de dichtheid der vloeistof 1,01, zinkt hij 2 graden minder in, dan is de dichtheid 1,02 enz De dichtheid der sappen in beetwortelsuikerfabrieken werd bepaald door densimeters (of suikerwegers); thans heeft deze ambtelijke opneming niet meer plaats. Hiervoor waren bij de Administratie vier werktuigen in gebruik, te weten: 1°. Densimeter B met een schaalverdeeling van 0° tot 3°; 2°- » c .i » „ - 3° „ 6°; 3°- n d h ft ft „ 6° „ 9°; 4°. „ A „ „ „ „ 0° „ 9°. 90 BIJLAGE A. — THERMOMETERS EN VOCHTWEGERS. Iedere graad is in tien deelen verdeeld, zoodat elke mindere inzinking gelijk is aan Viooo grootere dichtheid. Van deze werktuigen wordt thans nog gebruik gemaakt voor de opnemingen volgens art. 8 van het Kon. besluit van 6 Januari 1866, S. no. 1, V. v. V. no. 621 VI in melassebranderijen (nl. van densimeter D vóór de gisting en van densimeter B na de gisting), alsmede bij het bepalen der dichtheid van afgestookten en daarna weer tot het oorspronkelijk volume aangelengden wijn (zie § 3 der res. V. v. V. no. 1767). Hiervoor wordt gebezigd densimeter A. Voor het bepalen van de dichtheid van het wort krachtens art. 1 der Bierwet 1916 wordt gebruik gemaakt van densimeters I en II (bierwegers) met ingesmolten thermometer en correctieschaal. Densimeter I wijst een dichtheid aan van 1—1,055, densimeter II een dichtheid van 1,05 —1,095. In vele brouwerijen wordt nimmer wort van hoogere dichtheid dan 1,05 vervaardigd, zoodat aldaar het gebruik van densimeter II niet te pas zal komen. Bij deze densimeters is niet het soortelijk gewicht van water van 15° C, dat bij die temperatuur eenzelfde dichtheid heeft als water van 4° C. ,als eenheid van dichtheid aangenomen, doch zuiver water van 171/2° C. Op deze eenheid berust ook de saccharometer van Balling, een instrument, dat door vele bierbrouwers wordt gebruikt om zelf contröle op de fabricage uit te oefenen. Met behulp van een bijbehoorende tabel kan uit de aanwijzingen van dezen saccharometer dadelijk de dichtheid van het wort bij C. worden afgelezen. De bij de Administratie in gebruik zijnde bierweger wijst evenwel, met behulp van een daarin aangebrachte correctieschaal (in rooden inkt), onmiddellijk de in art. 1 der wet bedoelde dichtheid van het wort aan. Een tabel is daarbij dus niet noodig. Iedere deelstreep van deze correctieschaal komt overeen met 2x/2 graad warmteverschil. Densimeter I wijst, gedompeld in zuiver water van ll1^0 C., de dichtheid 1 aan. Iedere graad vertegenwoordigt een honderdste gedeelte van de dichtheid van zuiver water bij die temperatuur; de deelstrepen welke de graden onderverdeelen, wijzen tiende en twintigste deelen van graden aan. Bij het aflezen worden voor dichtheden of warmtegraden vallende tusschen twee deelstrepen, steeds de laagste waarden genomen. Voor iedere deelstreep der correctietabel, die de thermometer boven 1772° C. aanwijst en die met 21/20 warmteverschil overeenkomt, moet 0,05 graad bij de afgelezen dichtheid wórden geteld, voor iedere deelstreep daarbeneden van die dichtheid worden afgetrokken. De ingesmolten thermometer is voorzien van een schaal, loopende van 10° tot 25° C. Verg. omtrent opnemingen met deze densimeters voorts art. 2 van het Kon. besluit V. v. V. no. 778 (bijl. A der Bierwet 1916) en § 15 der Instructie V. v. V. no. 779 (aant. 7 op art. 20 der Bierwet 1916). Terwijl bij de volumeters, de afstanden tusschen alle graadverdeelingen even groot zijn (nl. Yioo van element-volume) is dit bij de densimeters niet het geval. Uit het volgende zal dit blijken. Nemen we densimeter B en stellen we de inzinkingen successievelijk BIJLAGE A. — THERMOMETERS EN VOCHTWEGERS. 91 op 1, 2 en 3 graden, dan zijn de soortelijke gewichten respectievelijk 1,01, 1,02 en 1,03. Stellen we nu het gewicht van den densimeter (steeds constant) op 100 gram, dan is, aangezien het volume van een lichaam gelijk is aan het gewicht van dat lichaam, gedeeld door het soortelijk gewicht, het ondergedompelde volume V = ^r— = 100. Bij 1 graad inzinking is Y1 = = 99,0099; bij 2 graden inzinking V2 = -j-jj^ = 98,0392 ; bij 3 graden inzinking V3 = = 97,0873 c.M8. " Nu is V — Vl de lichamelijke inhoud van den steel tusschen het nulpunt en de eerste graadverdeeling, dus een graad ; Vx — V2, die inhoud tusschen de eerste en tweede graadverdeeling enz. We hebben mitsdien : V — Vx = 100 — 99,0099 = 0,9901 c.M8. Vx — V2 = 99,0099 — 98,0392 = 0,9707 c.M8. Va — V3 = 98,0392 — 97,0873 = 0,9519 c.M8. Indien we deze verschillen met elkaar vergelijken, dan zien we, dat de inhoud van den steel tusschen twee opeenvolgende graadverdeelingen steeds kleiner wordt; aangezien de dikte van den steel overal gelijk is, zal ook de lengte der graden steeds kleiner worden. Bij res. V. 1907, no. 135, is voorgeschreven dat het zout, hetwelk met vrijdom van den accijns wordt ingeslagen in fabrieken of trafieken voor het confijten van ceders en citroen- en oranjeschillen,na vermenging met het denatureermiddel (100 gram anilinegeel, opgelost in 3 Eter water, per 100 kgr. zout) in tegenwoordigheid van ambtenaren moet worden opgelost in water, zóó, dat, volgens de aanwijzing van den pekelweger, de vloeistof een dichtheid heeft van minder dan 4 graden. De pekelweger werd ingesteld bij art. 2 der in 1892 vervangen Zoutwet van 26 April 1852, S. no. 93, V. no. 70, en wordt thans alleen gebezigd vfior bovengemeld doeleinde. Deze densimeter loopt van 0° tot 25° ; elke graad is verdeeld in vijf onderdeelen. Volgens de tabel, in genoemd art. 2 der Zoutwet van 1852 opgenomen, bevat de pekel,als de densimeter 4 graden aanwijst, 6 kgr. zout per HL. Voorts zijn nog bij de Administratie in gebruik 5 areometers voor minerale oliën, nl.: 1°. aanwijzende een dichtheid van 0,610 tot 0,700, 2°- » „ „ „ 0,680 „ 0,770, 3°. „ „ „ „ 0,750 „ 0,840, 4°- » „ „ „ 0,820 „ 0,910, 5°. „ „ „ „ 0,890 „ 0,990, benevens een z.g. petroleumweger, aanwijzende een dichtheid van 0,750 tot 0,840. De eerstbedoelde areometers wijzen de dichtheid aan tot in duizendste en twee duizendste deelen van de eenheid. De steel is dus tusschen 0,610 en 0,620 verdeeld in twintig deelen. 92 BIJLAGE A. — THERMOMETERS EN VOCHTWEGERS. De z.g. petroleunrweger wijst duizendste deelen van de eenheid aan. Dit instrument onderscheidt zich ook nog van de genoemde areometers hierin, dat een thermometer is ingesmolten, waarop temperaturen kunnen worden afgelezen van — 15° tot 40° C. Voor het wegen van petroleum wordt in de praktijk meestal gebruik gemaakt van den sub 3 genoemden areometer, dus niet van den eigenlijken petroleunrweger, aangezien de eerste nauwkeuriger, tot in twee duizendste deelen, aanwijst. De areometer, sub 1 en 2 genoemd, worden gebezigd voor benzine (de eerste komt echter niet vaak te pas); die sub 4 wordt gebruikt voor gas- en smeerolie, die sub 5 voor soyaboonenolie, stook- en smeerolie. De areometers zijn gebaseerd op een temperatuur van 15° C. Feitelijk zou dus bij opneming bij andere temperaturen correctie moeten worden aangebracht. Ten slotte wordt nog opgemerkt dat de instructie betreffende het aanvragen, verstrekken, bewaren, herstellen en verantwoorden van werktuigen is vastgesteld bij res. V. 1906, no. 50, opgenomen in § 104 van deel XII, tweede druk, der Vakstudie (Comptabihteit en Kantoorbeheer). BIJLAGE B. § 1. Het voorstellen van getallen door letters. In de roei- en peilkunde hebben wij herhaaldelijk grootheden door letters voorgesteld, Wij stelden bijv. de lengte van een fust voor door l, de spondiepte door a; die letters beteekenen dus een aantal millimeters of centimeters of andere lengte-eenheden. In het algemeen kan inen geheel willekeurige geheele getallen of breuken aanwijzen door letters. Door a 4. b wordt aangewezen, dat twee getallen a en i bij elkaar moeten worden opgeteld ; de som wordt aangeduid met (a + b). Men schrijft dus a + b = (a + b), waarin met (a + b) één getal bedoeld wordt, de uitkomst der bewerking, die op de getallen a en b is toegepast. In het algemeen worden de uitkomsten van bewerkingen door haakjes aangeduid. De uitdrukking a X b beteekent, dat een getal b met een getal a moet vermenigvuldigd worden, maar men schrijft ook wel ab, wat men natuurlijk niet doen kan met getallen, in cijfers geschreven. In de rekenkunde wordt geleerd, dat een som wordt vermenigvuldigd met een getal door elk der termen van de som met dat getal te vermenigvuldigen en de producten op te tellen. Men heeft derhalve : a{b + c) = ab + ac, hetzij de getallen o, b en c geheele getallen of wel breuken zijn. Zulk een algemeene uitdrukking van een'rekenkundige stelling wordt een formule genoemd. De vier hoofdbewerkingen der rekenkunde en de teekens, waardoor zij aangewezen worden, kunnen als bekend worden aangenomen. Een product of een gedurig product van gelijke getallen wordt een macht genoemd. Het product van twee gelijke getallen a heet de tweede macht van a en wordt geschreven a2. Het gedurig product van 3 of 4 of 5, enz. gelijke getallen a heet de derde, vierde, vijfde, enz. macht van a en wordt geschreven a3, a*, a6, enz. Zoo beteekent: (a + b)2 de tweede macht van de som der getallen a en b. Nu is (o + b)2 = (a + b)(a + b) = a{a + b) + b (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 -f- 2 ab + b2; dus is bijv. 562 = (50 + 6)2 = 502 + 2 x 50 x 6 + 62 = 2500 + 600 + 36 = 3136. 2. Tweede-machtsworteltrekking. Het getal, dat tot de tweede macht verheven, een gegeven getal oplevert, wordt de tweede-machtswortel uit dat getal genoemd. Omdat 42 = 16 is, zal de tweede-machtswortel uit 16 = 4 zijn. Men schrijft dit aldus : /Ï6 = 4. Daar 23 gelegen is tusschen de tweede machten 16 en 25 moet V23 een getal zijn, grooter dan 4 en kleiner dan 5. Een getal, dat tot de derde of vierde of vijfde macht verheven, een gegeven getal oplevert, heet de derde- of vierde- of vijfde-machtswortel uit 94 BIJLAGE B. — WORTELTREKKING. dat gegeven getal. Zoo is de derde-machtswortel uit 27 = 3, omdat 33 = 27is. Menjchrijft dus: l9/2T= 3. Verder is ^81 = 3 omdat 34 = 81 is en ^32 = 2 omdat 2^ = 32 is. In de vorige paragraaf vonden wij, dat 562 = 3136 is, dus is V3136 = 56. De vraag is nu, hoe de tweedemachtsworteltrekking moet worden uitgevoerd. Hoe kan men bijv. de tweede-machtswortel uit het getal 3136 berekenen ? Daar 502 = 2500 en 602 = 3600 is, ligt het gezochte getal tusschen 50 en 60. Men kent het aantal tientallen van den wortel = 5 en men moet het aantal eenheden bepalen. Wij noemen dit aantal: e, dan moet: (50 + e)2 = 2500 + 2x50xe + e2 = 3136 zijn, (zie vorige paragr.) of 2 x 50 x e + e2 = 636 of e (2 X 50 + e) = 636. Dus is 2 X 50 X e kleiner dan 636 of 100 e kleiner dan 636. Het gezochte getal eenheden : e kan dus hoogstens = 6 zijn. Wij probeeren of dit getal 6 goed is en anders beproeven wij 5 of 4. Stellen wij e = 6, dan is : e (2 x 50 + e) = 6 (2 x 50 + 6) = 6 x 106 = 636. Dit komt uit, dus is V3136 = 56. De bewerking wordt aldus uitgevoerd : y.3l36== 56 52 = 25 636 (2 x 50+6)6= 636 0 Wij spbtsen het getal in eenheden en honderdtallen en zoeken de grootste tweede macht, die in de honderdtallen begrepen is ; dat is hier 25 = 52. Dus is 5 het aantal tientallen van den wortel. Nu wordt 25 van 31 afgetrokken, blijft 6 en de eenheden bijgehaald; men heeft dan 636. Nu deelt men 2 maal het gevonden aantal tientallen van den wortel op de tientallen van de rest of 10 op 63. Dit geeft 6. Dan wordt bij 2 x 50 opgeteld 6 en de som met 6 vermenigvuldigd. Vinden wij, zooals hier, voor dat product precies de rest, dan is de wortel gevonden ; vinden wij een getal, dat grooter is dan de rest, dan moet beproefd worden, of 5 goed is en anders 4; vinden wij een getal, dat kleiner is dan de rest, dan is de wortel geen geheel getal. Nog een voorbeeld: V369 = 19 l2 = 1 269 29 X 9 = 26^ 8 Hier is 2 maal het aantal tientallen van den wortel: 2, wel 13 maal op het aantal tientallen van de rest (26) begrepen. Maar het aantal eenheden van den wortel kan niet grooter zijn dan 9 en men moet beproeven of 9 goed is. Nu is 29 X 9 = 261, er blijft 8 over, dus ligt ƒ369 tusschen 19 en 20. BIJLAGE B. — EVENREDIGHEDEN: 95 In § 11 werd de steeklijn van een fust berekend uit de formule: Zij gegeven : o — 526 m.M. b = 440 m.M. / = 600 m.M., i/(526 + 440)2 + 6002 1 /966* + 6002 dan is s=|/ ^ = |/ = V323289 = 568 mM 52 = 25 732 106 x 6 636 9689 1128 x 8 = 9024 665 Hier moet het getal verdeeld worden in drie groepen van twee cijfers. Eerst moet de grootste tweede macht gevonden worden, die begrepen is in de honderdtallen 3232. Dit geschiedt op de boven beschreven manier. Men bepaalt namelijk tot geheelen nauwkeurig de tweede machtswortel uit 3232. Men vindt: 56 en de rest is 96. Het aantal tientallen van den gezochten wortel is dus 56. Men deelt weer 2 maal dat aantal tientallen op de tientallen van de rest, dus op 968, nadat de eenheden 89 zijn bijgehaald, men vindt dan de eenheden 8 van den wortel. In de roei- en peilkunde behoeft men altijd slechts den wortel uit een getal in geheelen nauwkeurig te berekenen, als men lengten in millimeters bepaalt. De derde-machtsworteltrekking is te ingewikkeld, om hier te worden behandeld. § 3. Over evenredigheden. Als een zelfde recht lijntje bijv. 8 maal op een rechte lijn a en 5 maal op een rechte lijn b begrepen is, zegt men, dat de lijnen a en b zich verhouden als 8: 5. De verhouding van a tot b wordt voorgesteld door 8 : 5 of door g de breuk De getallen 8 en 5 worden de termen der verhouding (of reden) genoemd. Een verhouding verandert niet, als de termen met een zelfde getal vermenigvuldigd of door een zelfde getal gedeeld worden. In het algemeen wordt de verhouding van twee gelijksoortige grootheden gevonden, door na te gaan, hoe dikwijls een zekere maat op beide begrepen is. De uitdrukking der gelijkheid van twee verhoudingen of redens, heet een evenredigheid, bijv. 5 : 8 = 10 : 16 of a : b = (p X a) : (p X b) als a, b en p willekeurige getallen voorstellen. De eerste en de tweede term heeten de termen der eerste reden. De derde en de vierde term zijn de termen der tweede reden. De eerste en de derde term zijn de voorgaande termen en de tweede en de vierde term de volgende termen. De eerste en de vierde term zijn de uiterste termen; de tweede en de derde term zijn de middelste termen. 96 BIJLAGE B. — EVENREDIGHEDEN. In een evenredigheid is het product der uiterste termen gelijk aan het product der middelste termen, want in de evenredigheid : a: b = (p X a): (p X b) is : a X (p X b) = a x p X b = b x (p X a). Is het product van twee getallen gelijk aan het product van twee andere getallen, dan vormt het ééne paar getallen de uiterste en het andere paar de middelste termen eener evenredigheid. 5x9 Uit 5 x 9 = 15 x 3 volgt: —^— = 15 en als men de leden dezer ver5 15 gelijking door 9 deelt: ^ = of 5 : 3 = 15 : 9. Men mag in een evenredigheid een uiterste en een middelste term met hetzelfde getal vermenigvuldigen of door hetzelfde getal deelen, want het product der uiterste termen blijft dan gelijk aan het product der middelste termen. Men kan dus uit een evenredigheid een aantal andere evenredigheden afleiden. Men mag bijv. voor de uiterste termen de middelste in de plaats stellen en ook de uiterste of middelste termen met elkaar verwisselen. Beschouwen wij de evenredigheid : 7 : 9 = 14 : 18. Daar de termen der tweede reden tweemaal zoo groot zijn als de termen der eerste reden, is ook de som der termen van de tweede reden twee maal zoo groot als de som der termen van de eerste reden. Daarom is (7 + 9) : (14 + 18) = 7 : 14 of = 9 : 18. Zoo bewijst men in het algemeen, dat de som der termen van de eerste reden staat tot de som der termen van de tweede reden, als de eerste term tot den derden of de tweede tot den vierden. De eigenschap gaat ook door voor het verschil van de termen der eerste en der tweede reden. Uit deze eigenschap volgen een aantal andere eigenschappen, die in de meetkunde worden toegepast. Wij zullen ze vermelden als ze bij meetkundige beschouwingen voorkomen. Drie termen van een evenredigheid kunnen willekeurig gekozen worden, de vierde term kan dan berekend worden. Zijn bijv. de eerste drie termen 7, 9 en 11 en wordt de vierde met x aangeduid, dan is 7 : 9 = 11 :x dus 7 x x = 9 X 11 = 99 99 aA en x = y = 14 ^. Men noemt dit een onbekende uit een evenredigheid oplossen. De uitdrukking van de gelijkheid van drie of meer verhoudingen wordt een aaneengeschakelde evenredigheid genoemd, bijv. : 5 : 9 = 15 : 27 = 20 : 36. Zij is samengesteld uit de twee evenredigheden 5 : 9 = 15 : 27 en 5 : 9 = 20 : 36. Men kan er dus twee onbekenden uit oplossen. Uit de termen 5, 9 en 15 kan 27 worden gevonden en als dan ook nog de term 20 bekend is, kan de term 36 berekend worden. BIJLAGE B. — EENVOUDIGE VLAKKE FIGUREN. 97 Men schrijft bovenstaande aaneengeschakelde evenredigheid ook wel aldus : 5 : 15 : 20 = 9 : 27 : 36. Dit verdient echter geen aanbeveling en kan tot fouten aanleiding geven. § 4. Over de eenvoudigste vlakke figuren. Eenige harer belangrijkste eigenschappen. Een lichaam wordt door vlakken begrensd ; de deelen van vlakken worden door lijnen begrensd ; de grenzen van lijnen heeten punten. Men onderscheidt rechte en kromme lijnen. Als van twee rechte lijnen twee punten samenvallen, dan vallen die lijnen, hoever ook verlengd, geheel samen. Twee verschillende rechte lijnen kunnen dus maar één punt gemeen hebben : ze snijden elkaar in dat punt. Fig. 1. Fig. 2. Een plat vlak heeft de eigenschap, dat elke rechte lijn, die er twee punten mee gemeen heeft, er geheel in ligt. Een begrensd deel van een plat vlak is een vlakke figuur. Als twee rechte lijnen in een plat vlak gelegen, hoever ook verlengd, geen punt gemeen hebben, noemt men ze evenwijdig. Twee lijnen in een plat vlak, die elkaar snijden, verdeelen het vlak in vier hoeken. Beschouwen wij een dier hoeken, begrensd door de lijnen AB en AC (fig. 1). Het punt A is het hoekpunt van den hoek en de lijnen AB en AC, die naar één kant onbepaald verlengd zijn, heeten de beenen van den hoek. Men noemt dezen hoek : LBAC of LCAB (het hoekpunt in het midden). Twee hoeken noemt men gelijk, als de beenen op elkaar kunnen worden geplaatst. Men kan zich voorstellen, dat het been OB van den hoek AOB (fig- 2), gedraaid wordt om het punt O, tot het in den stand OC komt. De hoek COA is grooter dan de hoek AOB en is de som van de hoeken BOC en AOB; dus is L AOB het verschil van L COA en L BOC. Wentelt de lijn OB totdat zij in den stand OD komt, dan ontstaat een hoek AOB, wiens beenen in eikaars verlengde liggen. Zulk een hoek heet een gestrekte hoek. Alle gestrekte hoeken zijn gelijk, want de beenen kunnen op elkaar worden geplaatst. De helft van een gestrekten hoek heet een rechte hoek. Een rechte hoek wordt verdeeld in 90 graden (90°) ; een graad wordt verdeeld in 60 minuten (60') en een minuut in 60 seconden (60"). Men zegt, dat het ééne been van een rechten hoek loodrecht staat op het andere been. Roei- en Peilkunde. 98 BIJLAGE B. — EENVOUDIGE VLAKKE FIGUREN. Een lijn, die met een andere lijn rechte hoeken maakt, heet een loodlijn op die lijn. Een hoek, die kleiner is dan een rechte hoek heet een scherpe hoek ; een hoek, die grooter is dan een rechte hoek en kleiner dan een gestrekte, heet een stompe hoek. Twee hoeken, wier som een rechte hoek is, heeten eikaars complement en als ze samen een gestrekten hoek vormen, eikaars supplement. De hoeken BAC en DAE (fig. 1) wier beenen in eikaars verlengde liggen worden overstaande hoeken genoemd en zijn aan elkaar gelijk, omdat ze beide het supplement zijn van L CA D. Als twee evenwijdige lijnen AB en CD (fig. 3) door een derde lijn gesneden worden, ontstaan 4 hoeken met het hoekpunt £ en 4 hoeken met het hoekpunt G. Hoeken, zooals CGE, die in de figuur binnen het deel van het vlak tusschen de evenwijdige lijnen liggen, heeten binnenhoeken, de overige buitenhoeken. Een binnenhoek en een buitenhoek aan denzelfden kant van de snijlijn, zooals LCGF en l_AEF heeten overeenkomstige hoeken. Zij zijn gelijk. De hoeken CGF en BEG zijn verwisselende binnenhoeken die natuurlijk ook gelijk zijn, want L BEG — LAEF en LAEF = LCGF. Zoo heeft men ook verwisselende buitenhoeken (LHGC en L BEF), die aan elkaar gelijk zijn. Hoeken, waarvan de beenen evenwijdig loopen, zijn gelijk of eikaars supplement. L DEF = L ABC (fig. 4), want verlengt men DE, dan zijn de hoeken DEF en DGC gelijk als overeenkomstige hoeken en de hoeken DGC en ABC om dezelfde reden. Een deel van een plat vlak, ingesloten door drie rechte lijnen heet een driehoek. AB, BC en AC zijn de zijden van den driehoek (fig. 5). De hoeken worden gewoonlijk aangeduid door de letter, die bij het hoekpunt staat. Dat kan hier geen verwarring geven. Verlengt men de zijde AC (fig. 5) en trekt men de lijn CE evenwijdig aan AB, dan is volgens de beschouwing van fig. 3 : D / B Fig. 3. Fig. 4. Z_ECD = LA (als overeenkomstige hoeken) Z_BCE = Z_B (als verwisselende binnenhoeken) dus LECD + Z_BCE = LA + LB of LBGD = LA + LB. Telt men bij deze gelijke hoeken L C op, dan vindt men : LACD = 180° = LA+LB + LC. De som der hoeken van eiken driehoek is 180° of een gestrekte hoek. Een driehoek, waarvan één hoek recht is, heet rechthoekig. De zijde BIJLAGE B. — EENVOUDIGE VLAKKE FIGUREN. 99 tegenover dien rechten hoek is de schuine zijde of hypotenusa; de beide andere zijden heeten de rechthoekszijden of katheten. Een driehoek heet stomphoekig, als één der hoeken stomp is. Een driehoek heet scherphoekig, als alle hoeken schérp zijn. Een driehoek is gelijkbeenig, als twee zijden, bijv. AB en BC gelijk zijn (fig. 6). De twee gelijke zijden worden opstaande zijden genoemd; de derde zijde heet zijn basis. In een gelijkbeenigen driehoek, zijn ook de hoeken aan de basis gelijk. Men kan namelijk den driehoek omleggen, zoodat BC langs AB komt, dan valt ook AB langs BC, het punt C op A en A op C. De driehoek bedekt ABC na het omleggen volkomen, dan ligt LC op LA en moeten dus de hoeken A en C gelijk zijn. Als de drie zijden van een driehoek aan elkaar gelijk zijn, heet hij gelijkzijdig en is elk der drie hoeken 60°. Fig. 7. Fig. 8. Twee driehoeken zijn gelijk en gelijkvormig, als de eene driehoek den anderen volkomen bedekken kan. De zijden zijn dan gelijk en ook een hoek van den eenen driehoek en een hoek van den anderen, die tegenover een paar gelijke zijden liggen. Uit de gelijkheid van de drie zijden, of van één zijde en twee hoeken of van twee zijden en den ingesloten hoek, volgt de gelijk- en gelijkvormigheid van twee driehoeken. Een deel van een plat vlak, dat door vier lijnen ingesloten wordt, zooals ABCD( fig. 7) heet een vierhoek. Een lijn, die twee aanliggende hoekpunten verbindt, zooals AB, is een zijde. Een lijn, die twee overstaande hoekpunten verbindt, zooals AC of BD, heet een diagonaal. Men onderscheidt verschillende soorten van vierhoeken. Een vierhoek, waarvan de zijden twee aan twee evenwijdig zijn, heet paraüelogram(üg.8). De voornaamste eigenschappen zijn : de overstaande zijden zijn twee aan twee gelijk, dus AB = CD en AD = BC. De driehoeken ABD en BCD zijn namelijk gelijk en gelijkvormig omdat ze één zijde BD gelijk hebben en ook de hoeken gelijk zijn, volgens fig. 3. 100 BIJLAGE B. — EENVOUDIGE VLAKKE FIGUREN. De overstaande hoeken zijn gelijk, om dezelfde reden. De diagonalen deelen elkaar midden door (de driehoeken AOB en BOC zijn gelijk en gelijkvormig). De gelijke hoeken in de figuur zijn door teekens aangewezen. Als alle zijden van een parallelogram aan elkaar gelijk zijn, heet de figuur een ruit. Dan hebben de driehoeken ABO en BCO (fig. 8) de drie zijden gelijk en moet L AOB = L COB zijn = 90°. In een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar en deelt een diagonaal twee overstaande hoeken middendoor. Een parallelogram, waarvan de hoeken recht zijn, heet een rechthoek (fig. 9). Een bijzondere eigenschap van deze figuur is, dat de diagonalen A C en BB aan elkaar gelijk zijn (de driehoeken ACB en ABB zijn gelijk en gelijkvormig, want ze hebben den rechten hoek gelijk, CD = AB en AD = AD). Als in een rechthoek de zijden allen gelijk zijn, is de figuur een vierkant, dat dus de eigenschappen heeft van een parallelogram, ruit en rechthoek. Een vierhoek, waarvan één paar zijden (BC en AB) evenwijdig is, heet een trapezium (fig. 10). Als daarin de zijden AB en CB even lang zijn, is het trapezium gelijkbeenig. Trekt men daarin een lijn CE evenwijdig aan AB, dan is ABCE een parallelogram en dus AB = CE en daar AB = CD is, moet CE = CD zijn. De driehoek CBE is dan gelijkbeenig en dus Z_CDA = Z_CED. Maar LCED = LBAD (als overeenkomstige hoeken), dus Z_BAD = LCDA. In een gelijkbeenig trapezium zijn dus de hoeken aan één der evenwijdige zijden gelegen, even groot. Dan zijn de driehoeken ACB en ABB gelijk en gelijkvormig en dus zijn de diagonalen van een gelijkbeenig trapezium aan elkaar gelijk. Een deel van een plat vlak, dat door meer dan drie rechte lijnen wordt ingesloten, heet in het algemeen een veelhoek. Men vindt de eigenschappen van een veelhoek, door de figuur in driehoeken te verdeelen; men kan dat doen, door de diagonalen uit één hoekpunt te trekken. Twee veelhoeken zijn gelijk en gelijkvormig, als ze verdeeld kunnen worden in een gelijk aantal gelijk en gelijkvormige driehoeken, die op dezelfde wijze aanéénsluiten. Zij in driehoek ABC (i\g. 11) de zijde AB midden door gedeeld en BE evenwijdig aan AC. Wanneer verder EF evenwijdig aan AB is, moet AD = EF zijn, omdat ABEF een parallelogram is en DE = AF om dezelfde reden. BIJLAGE B. — EENVOUDIGE VLAKKE FIGUBEN. 101 De driehoeken DBE en FEC zijn gelijk en gelijkvormig (BD = EF = AD en de hoeken gelijk); daaruit volgt: BE = EC Op dezelfde wijze toont men aan, dat als de zijde AB in een aantal gelijke deelen verdeeld wordt, en uit de deelpunten lijnen evenwijdig aan AC worden getrokken, deze de zijde BC ook in evenveel gelijke deelen verdeeleh. Is BD = | AB en BE = ^ BC, dan is DE = CF = AF = ^ AC. Men heeft dan de aaneengeschakelde evenredigheid (zie § 3) BD : AB = BE : BC = DE : AC. Van de driehoeken BBE en ABC zijn de zijden evenredig en de hoeken gelijk. Zulke driehoeken zijn gelijkvormig. Uit de evenredigheid van de zijden volgt de gelijkheid van de hoeken en omgekeerd. Twee veelhoeken zijn gelijkvormig, als ze verdeeld kunnen worden in een gelijk aantal gelijkvormige driehoeken, die op gelijke wijze aanéénsluiten. Fig. 11. Fig. 12. Een deel van een plat vlak, dat ingesloten wordt door 'een kromme lijn, waarvan alle punten op gelijken afstand liggen van één punt M, heet een cirkel (fig. 12). Het punt Af is het middelpunt van den cirkel. De lijn, die den cirkel begrenst, heet cirkelomtrek, maar wordt kortheidshalve ook wel cirkel genoemd. Een deel van die kromme lijn heet een cirkelboog. Een onbepaald verlengde lijn kan den cirkelomtrek in twee punten snijden. Het deel van de lijn, tusschen de snijpunten gelegen, zooals CB, heet een koorde. Een koorde AB, die door het middelpunt M gaat, heet een middellijn. Zij is tweemaal zoolang als MB, de straal van den cirkel. Daar volgens de gegeven bepaling alle stralen gelijk zijn, moeten ook alle middellijnen onderling gelijk zijn. In den driehoek CMB is CB kleiner dan CM + MD en daar CM en BM stralen zijn, is de koorde CB kleiner dan een middellijn. Een rechte lijn EF, gelegen in het vlak van een cirkel, die maar één punt C (fig. 12) met den omtrek van den cirkel gemeen heeft, is een raaklijn aan den cirkel. Zij staat loodrecht op den straal, die door het raakpunt C gaat, want een snijlijn CB maakt gelijke hoeken met de stralen CM en DM, omdat driehoek CBM gelijkbeenig is. De raaklijn EF is een snijlijn, waarvan de snijpunten in C samenvallen; dus is Z_ ECM = l_ FCM = 90°. Een koorde verdeelt den cirkel in twee deelen, die segmenten genoemd worden. Een deel van een cirkel, begrepen tusschen twee stralen CM en BM, is een cirkelsector. 102 BIJLAGE B. — OPPERVLAKKEN VAN FIGUREN. § 5. Over oppervlakken van figuren. Ieder, die wel eens een meting heeft verricht, weet, dat de oppervlakte van een rechthoek, bijv. in c.M2. uitgedrukt, wordt gevonden, door de lengte en de breedte met een c.M. op te meten en de gevonden aantallen centimeters met elkaar te vermenigvuldigen. Men zegt, dat het oppervlak van een rechthoek lengte maal breedte is. Men kan het oppervlak van alle andere meetkundige figuren uit dat van den rechthoek afleiden. Slechts met een paar voorbeelden zal dit worden toegelicht. Om het oppervlak te vinden van een parallelogram ABCB (fig. 13) trekt men loodlijnen BE en CF uit de punten B en C op AB of haar verlengde. Daardoor ontstaat een rechthoek BCFE, die even groot is als het parallelogram, want de driehoek ABE gaat er af en de driehoek CDF komt er bij. Deze driehoeken zijn gelijk en gelijkvormig (men kan den éénen opschuiven, tot hij den anderen bedekt), ze hebben dus gelijk oppervlak. Het oppervlak van het parallelogram is dus BC X BE of AD X BE of basis maal hoogte. Fig. 13. Fig. 14. Een parallelogram wordt door een diagonaal in twee gelijk en gelijkvormige driehoeken verdeeld ; daaruit volgt dat het oppervlak van een driehoek het halve product van basis en hoogte is. Het oppervlak van een trapezium ABCB (fig. 14) wordt bepaald, door het in twee driehoeken ACB en ABC te verdeelen. AD is de basis van den eenen driehoek en CE, die wij h stellen, de hoogte. Van den anderen driehoek is BC de basis en AF = h de hoogte. Dus 1 is het oppervlak van driehoek ACD = ^ AD X h, het oppervlak van 1 driehoek ABC = ^ BC X h en het oppervlak van het trapezium | AD x h + i BC X h = | h (AD -f BC) of de halve hoogte maal de som der evenwijdigé zijden. Het oppervlak van een veelhoek wordt bepaald door verdeeling in driehoeken. Om het oppervlak van een cirkel te berekenen, heeft men een lange reeks van stellingen noodig. Wij moeten daarvoor naar de leerboeken der meetkunde verwijzen. De uitkomst der berekeningis (zie Hoofdstuk II) 1 -y Tt M2 (n = 3,1416) als M de middellijn is of n r2, als r de straal is. BIJLAGE B. — OPPERVLAKKEN VAN EIGUREN. 103 Nemen wij aan,dat de driehoeken ABC en abc (fig. 15 en 16) gelijkvormig 1 zijn. Noemen wij hun oppervlakken O en o dan is O = ^ AC X BD en 1 u o = j ac X oa. „ ^ AC X BD _ DT. 0 2 AC BD = 1 — ==■ X TT" (1) o 1 , , ac ba ^ ac X ba De driehoeken ABB en abd zijn ook gelijkvormig, want uit de gelijkvormigheid van ABC en abc volgt, dat Z_A = l_a is en ook isZ_ ADB = Ladb = 90°. De driehoeken hebben dus de hoeken gelijk, daarom Fig. 15. Fig. 16. Fig. 17. zijn ze gelijkvormig, want als twee driehoeken twee hoeken gelijk hebben moet het derde paar hoeken ook gelijk zijn, omdat de som der hoeken van een driehoek 180° is. Van gelijkvormige driehoeken zijn de zijden evenredig, daarom is AB : ab = BD : bd ; maar omdat AB : ab = AC : ac is, moet ook AC : ac = BD : bd zijn of : AC _ BD ac bd ' Stellen wij dit in (1), dan vinden wij: 0_ _ AC ^AC _ AC2 o ac ac ac2 of O : o = AC2: ac2. De oppervlakken van gelijkvormige driehoeken verhouden zich als de tweede machten hunner gelijkstandige zijden. Men kan die stelling aanmerkelijk uitbreiden : de oppervlakken van gelijkvormige figuren verhouden zich als de tweede machten van gelijkstandige lijnen, d. w. z. als de tweede machten van lijnen, die in de figuren op dezelfde wijze getrokken zijn. Van die stelling geven wij een belangrijke toepassing. De driehoek A BC (fig. 17) zij rechthoekig en A D de loodlijn uit het hoekpunt van den rechten hoek A op deschuine zijde. Driehoek AC Dié gelijkvormig met driehoek ABC, want zij bevatten elk een rechten hoek en den hoek C hebben zij gemeen. Ze zijn dus gelijkhoekig, waaruit de gelijk- 104 BIJLAGE B. — INHOUDSBEREKENING VAN LICHAMEN, vormigheid volgt. In plaats van de uitdrukking: oppervlak van een driehoek schrijven wij verder kortheidshalve het teeken A. Men heeft de evenredigheid: A ABC : A ADC = BC2: AC2. Hieruit volgt: A ADC = A ABC x g^. A R2 Evenzoo : A ADB = A ABC x ~. Dus: AADC +A ADB = AABC = AABC x^^t^L2. Wij kunnen de leden dezer vergelijking door A ABC deelen en vinden: _ AC2 + AB2 BC2 waaruit volgt: AC2 + AB2 = BC2. In een rechthoekigen driehoek is dus de tweede macht van de schuine zijde gelijk aan de som der tweede machten van de rechthoekszijden. Dit kan wel de belangrijkste stelling van de meetkunde genoemd worden. Zij heet naar den ontdekker de stelling van Pythagoras. Wij hebben haar o. a. toegepast, om de steeklijn van een fust te berekenen, als de spondiepte, de bodemsmiddellijn en de lengte gegeven zijn (§ 11). § 6. Enkele opmerkingen over eigenschappen en inhoudsberekening van lichamen. Voor een samenhangende uiteenzetting van de eigenschappen van meetkundige lichamen en van de wijze, waarop hun inhoud kan berekend worden, moet naar leerboeken der stereometrie verwezen worden. Het onderwerp is veel te uitgebreid, om hier, zij het ook maar oppervlakkig, behandeld te worden. Dat is ook voor de studie der roei- en peilkunde niet noodig, als men maar aanneemt, wat de wiskundigen door uitgebreide onderzoekingen gevonden hebben. Slechts enkele opmerkingen zullen gemaakt worden tot toelichting van hetgeen in de Hoofdstukken II en III is medegedeeld. Als twee punten van een rechte lijn in een plat vlak liggen, dan ligt de geheele lijn in dat vlak. Een rechte lijn kan dus een plat vlak maar in één punt snijden. Heeft zij, hoéver ook verlengd, geen enkel punt met het vlak gemeen, dan zegt men, dat zij evenwijdig is met het vlak. Twee verschillende platte vlakken snijden elkaar volgens een rechte lijn of zij hebben geen punt gemeen en zijn dan evenwijdig. Twee platte vlakken, die zich oneindig ver uitstrekken, en elkaar snijden, verdeelen de ruimte in vier hoeken, die men ter onderscheiding van de hoeken tusschen twee lijnen, tweevlakshoeken noemt en die alle vier de gemeene doorsnede der beide vlakken tot gemeenschappelijke ribbe hebben. Een tweevlakshoek wordt door vier letters aangeduid, waarvan de middelsten bij de snijlijn worden geplaatst. Men kan het eene vlak om de snijlijn laten draaien, tot het in het verlengde van het andere vlak komt; dan heet de tweevlakshoek, die BIJLAGE B. — INHOUDSBEREKENING VAN LICHAMEN. 105 aldus ontstaat, een gestrekte hoek. Daar tweevlakshoek en gelijk genoemd worden, als men ze zoodanig kan plaatsen, dat de grensvlakken op elkaar vallen, zijn alle gestrekte tweevlakshoeken aan elkaar gelijk. De helft van een gestrekten hoek heet een rechte hoek. Men zegt, dat dan het eene vlak loodrecht staat op het andere. Zien wij thans wat men verstaat door den hoek, dien een lijn met een vlak maakt. In fig. 18 stelt DEFG een begrensd deel van een plat vlak voor en AB een lijn, die dat vlak in het punt C snijdt. Verder stellen CH en CK lijnen voor in dat vlak gelegen. De hoeken ACH en ACK kunnen beide recht zijn. Dan zal de hoek, dien AB maakt met een willekeurige lijn CL in het vlak, door het snijpunt C getrokken, ook recht zijn. Het bewijs daarvan is niet zoo heel eenvoudig. Men vindt het in de leerboeken'der stereometrie. De lijn AB, die dus loodrecht staat op alle lijnen in het vlak, door het snijpunt C gaande, heet een loodlijn op het vlak. Zij (fig. 19) AB een lijn, die niet loodrecht op het vlak staat en C het snijpunt van die lijn met het vlak. Uit een punt A van dien lijn kan een loodlijn AP op het vlak neergelaten worden. De lijn CP met haar verlengde heet de projectie van Ai?op het vlaken de hoek ACP, dien de lijn AB met die projectie maakt, heet de hoek, dien AB met het vlak maakt. Een lichaam kan begrensd zijn door platte vlakken, waarvan het. aantal minstens vier bedraagt. In dit eenvoudigste geval heet het lichaam een viervlak of driezijdige pyramide (fig. 20). Alle vlakken, die dit lichaam begrenzen, zijn driehoeken, waarvan één, bijv. A ABC, als grondvlak kan aangenomen worden; het hoekpunt D is dan de top. Er zijn dus drie opstaande zijvlakken. De 6 lijnen, die de hoekpunten verbinden, zooals AB, worden de ribben genoemd. De loodlijn DE uit den top op het grondvlak neergelaten, is de hoogte van het lichaam. Een nog meer bekend lichaam, in fig. 21 voorgesteld door ABCD EFGH, is door zes vlakken begrensd, die twee aan twee evenwijdig zijn. Het heeft den vorm van een rechten bak. De zijvlakken zijn alle rechthoeken. De ópstaande zijvlakken zijn loodrecht op het grondvlak en eveneens de opstaande ribben. Bekend mag wel worden aangenomen, hoe de inhoud van zoo'n lichaam, dat rechthoekig parallelepipcdum A Fig. 18. Fig. 19. 106 BIJLAGE B.— INHOUDSBEREKENING VAN LICHAMEN. genoemd wordt, gevonden wordt. Zij de lengte AB = L c.M., de breedte AD = B c.M. en de hoogte AE = H c.M., dan is de inhoud L x B x H c.M3. De^inhoud is gelijk aan het product van lengte, breedte en hoogte of wel aan het product van grondvlak en hoogte. Zijn de afmetingen van een. ander rechthoekig parallelepipedum l, b en h, dan is zijn inhoud l X b X h c.M3. De verhouding der inhouden is dan : I L x B X H i ' l X b X h Bestaat de evenredigheid L : l = L l = -r X B H * h (1) B : b = H : h, dan zijn de lichamen B H gelijkvormig. Men kan dan in (1) voor ên in de plaats stellen : L " Ai -r en men vindt: - = ^ of I: i = L3 : l3 == B3: b3 = H3: h3. i I? G Fig. 21. Bij deze soort van lichamen is dus bewezen, dat, als ze gelijkvormig zijn, hun inhouden zich verhouden als de derde machten hunner gelijkstandige afmetingen. Deze stelling geldt algemeen, maar om haar te kunnen toepassen, moet men weten door welke afmetingen de lichamen bepaald zijn. De lichamen zijn gelijkvormig, als de lijnen, door welke ze bepaald worden, een aaneengeschakelde evenredigheid vormen.^ Men kan zich voorstellen, dat het grondvlak van het lichaam, in fig. 21 afgebeeld, geen. rechthoek maar een parallelogram is, maar dat wel de opstaande ribben loodrecht op het grondvlak staan. Het lichaam is dan een recht parallelepipedum. Men kan het grondvlak veranderen in een even grooten rechthoek en deze als grondvlak aannemen van een rechthoekig parallelepipedum met dezelfde hoogte als het gegeven lichaam. Er gaat dan van dat gegeven lichaam een gedeelte af, nl. DMCHLG en er komt een ander gedeelte bij, dat men hiermee door opschuiving kan laten samenvallen. Hieruit volgt, dat ook de inhoud van het rechte parallelepipedum gelijk is aan grondvlak maal hoogte. Trekt men in het grondvlak en in het bovenvlak van dit lichaam de diagonalen BD en FH, dan worden die vlakken in driehoeken verdeeld, die even groot zijn. Ér ontstaat nu een lichaam met het grondvlak BIJLAGE B. — INHOUDSBEREKENING VAN LICHAMEN. 107 ABD, het bovenvlak EFH en de hoogte AE = H en een lichaam met het grondvlak BCB, het bovenvlak FGH en de hoogte H ; het eene dezer lichamen kan op het andere geschoven worden. Ze zijn dus elk de helft van het parallelepipedum en hun inhoud is AABD x H of grondvlak maal hoogte. Zulk een lichaam heet een recht driezijdig prisma. Het is volkomen bepaald door grondvlak en hoogte. Zijn dus van twee zulke prisma's de zijden van het grondvlak a, b, c en a'. b', c', terwijl de hoogten H en H' zijn, dan zijn ze gelijkvormig als a : a' = b : b' c : c' = H : H' is ; hun inhouden staan dan tot elkaar als a3 : a'3 of b3: b'3, enz. Een lichaam waarvan grond- en bovenvlak evenwijdige veelhoeken zijn, terwijl de opstaande zijvlakken rechthoeken zijn, die loodrecht op het grondvlak staan, heet een veelzijdig recht prisma (fig. 22). Het kan in driezijdige prisma's verdeeld worden, waarvan de inhouden zijn : A ABE x H + A BED xH + A BCD >- H, enz. M Fig. 22. Fig. 23. De inhoud van het heele lichaam is dus: I = H (A ABE + A BED + A BCD) = H x G alsG het grondvlak is. Dit gaat ook nog door, als het grondvlak een cirkel is, die beschouwd kan worden als een veelhoek met een oneindig aantal zijden. Er ontstaat dan een cylinder. 1 De formule van den inhoud van een cylinder is — n M2H, als M de 4 middellijn van het grondvlak en H de hoogte is. De mhoud van een viervlak (fig. 20) is ^ van de hoogte, vermenigvuldigd met het grondvlak. Een lichaam, dat begrensd wordt door een veelhoek en een aantal driehoeken, die een gemeenschappelijken top hebben, heet een pyramide en wel een vier, vijf, zeszijdige, enz. pyramide, naarmate het aantal driehoeken, vier, vijf, zes, enz. bedraagt. Men kan door diagonalen uit één hoekpunt in het grondvlak te trekken en platte vlakken te brengen door die diagonalen en den top, een pyramide in viervlakken verdeden, die gelijke hoogten hebben. Zij die 108 BIJLAGE B. — INHOUDSBEREKENING VAN LICHAMEN. hoogte h en zijn de oppervlakken der grondvlakken van de viervlakken Glt G2, G3 enz., dan is de inhoud van de pyramide : als G de geheele oppervlakte van het grondvlak is. Diezelfde formule gaat ook op, als het grondvlak door aangroeiing van het aantal zijden overgaat in een cirkel of andere kromlijnige figuur. Het lichaam heet dan een kegel. In Hoofdstuk II is alleen een cirkelvormige kegel beschouwd, waarvan de top in de loodlijn ligt, in het middelpunt van den cirkel op het grondvlak getrokken. De inhoud van 11 1 zulk een kegel is dan ^ X ^ n M2 h = n M2 h, als M de middellijn van 1 het grondvlak is en h de hoogte, of = 77 n r2 h, als r de straal van het grondvlak is. Berekenen wij thans nog den inhoud van een afgeknotten cirkelvormigen kegel, namelijk het deel van een kegel, dat begrepen is tusschen het grondvlak en een vlak evenwijdig aan het grondvlak. In fig. 23 stelt A ABC de doorsnede voor van een kegel met een vlak, gaande door de loodlijn uit den top op het grondvlak neergelaten. Het trapezium AEFC is de doorsnede van een afgeknotten kegel met dat vlak. Gegeven zijn : de straal van het grondvlak AD = r, de straal van het bovenvlak EG = rv en de hoogte DG = h. Wij gaan eerst de hoogte BB van den geheelen kegel en BG van den afgesneden kegel berekenen. In de gelijkvormige driehoeken BEG en BAB is : I m i h (Gt + G, + Ga-K .,.) *.| G*, AD:EG = BD:BG (AD—EG) : (BD—BG) =-- AD : BD (r—rj) : h = AD : BD BD = h r r—, r evenzoo BG = h——. r—rx De inhoud van den geheelen kegel is : 1 = Jttt2 X BD = J 7t Ar2 x —— m „ah . 3 r—r, 1 : r2 r—ri De inhoud van den afgesneden kegel is : *i "*l*'i*X BG = |7rAr12X—^-= 1 3 n h r—rx De inhoud van den afgeknotten kegel is : BIJLAGE B. — INHOUDSBEBEKENING VAN LICHAMEN. 109 Het middenvlak van den afgeknotten kegel is de doorsnede met een vlak, evenwijdig met het grondvlak, op de halve hoogte. De straal van •• 1 die doorsnede is KM .Trekken wij de lijn AG, dan is daar GM = ^ GD is, NM = |r en KN = «ft KM = ~(r + n). In Hoofdstuk IV, § 25, is hieruit afgeleid, dat de inhoud van een af- 1 , '''L'u geknotten kegel ook is g van de hoogte, vermenigvuldigd met de som van grondvlak, bovenvlak en viermaal het middenvlak. Ten slotte zij hier in herinnering gebracht een drietal inhoudsformules, waarvan het bewijs echter niet in het kader van dit werk past. Die voor den inhoud van een bol met den straal r is : ijL; , i I = 77 7t r3 of = TT ji m3 0 o als de middellijn m is. De formule voor den inhoud van een bolschijf (d. w. z. het deel van een bol, dat begrepen is tusschen twee evenwijdige vlakken) is, als de straal van het grondvlak is r,de straal van het bovenvlak reende hoogte h: 1 1 1 I = 777t r2 A 4- 77 7t r,2 h + 77 n k3 2 2 0 of wel de som der inhouden van een cylinder, met een grondvlak gelijk aan het grondvlak van de schijf en een hoogte gelijk aan de halve hoogte der schijf, van een cylinder met een grondvlak gelijk aan het bovenvlak van de schijf en een hoogte gelijk aan de halve hoogte der schijf en van een bol met een middellijn gelijk aan de hoogte der schijf. ' De formule voor den inhoud van een bolsegment (een plat vlak verdeelt een bol in twee segmenten) is : 1 1 2 o of wel de som van de inhouden van een cylinder, waarvan het grondvlak gelijk is aan het grondvlak van het segment en de hoogte gelijk is aan de halve hoogte en van een bol, die de hoogte van het segment tot middellijn heeft. Ook kan men zeggen, dat de inhoud van een bolsegment gelijk is aan den inhoud van een bolschijf, waarvan rx = 0 is. BIJLAGE C EXAMENEISCHEN. Volgens de artt. 23 en 33 van het Organisatiebesluit Belastingen 1920 (V. v. V. no. 1401) loopt het vakexamen voor surnumerairs en adspirant-verificateurs o. m. over : de roei- en peilkunde en de inrichting en het gebruik der werktuigen voor den dienst der accijnzen. Volgens art. 39 van gemeld Organisatiebesluit loopt het examen voor kommies-verificateur over dezelfde onderwerpen als het vakexamen der adspirant-verificateurs. Bij Kon. besluit van 22 Febr. 1905, no. 24, V. no. 26 werd bepaald dat onder de roei- en peilkunde was begrepen de inhoudsbepaling der voornaamste regelmatige lichamen. Onder kennis van de inhoudsberekening van de voornaamste regelmatige lichamen zal verstaan moeten worden de kennis der formules voor de inhoudsberekening van de volgende lichamen : parallelepipedum, prisma, pyramide, afgeknotte pyramide, cylinder, kegel en afgeknotte kegel en van de afleiding dier formules, alsmede kennis van de formules voor de inhoudsberekening van den bol en zijn deelen. Op bovengenoemde examens wordt, naar vermeend wordt, onderzoek gedaan naar de kennis van den candidaat' omtrent: het bepalen der afmetingen van een fust; het aflezen van den inhoud van den roeistok; de soorten van roeistokken bij onze Administratie in gebruik, hun inrichting, de verdeeling en de eigenschappen, waarop zij berusten; de inhoudsberekening van fusten uit hun afmetingen ; de inrichting van de segmenttafel en de wantafels, haar toepassing bij de berekening van den inhoud van gedeeltelijk gevulde fusten; de inhoudsberekening van regelmatige vlakke figuren en van de hiervoren genoemde regelmatige lichamen, in het bijzonder van de werktuigen in accijnsfabrieken voorkomende, zoomede het ontstaan dier lichamen, bijv. een kegel door de omwenteling van een rechthoekigen driehoek om een der rechthoekszijden ; ellipsen en parabolen ; waterijking, ook van vaartuigen voor den inslag van zeewater in zoutziederijen (zie daarover art. 43 der Zoutwet, met aant. 4 (deel I der Vakstudie) ; peilstokken in accijnsfabrieken en hun inrichting; sloten, tangen, cachetten, bij de Administratie in gebruik en de gevallen, waarin ze gebezigd worden ; verklaring der begrippen soortelijk gewicht en soortelijk volume ; de hydrostatische balans, pycnometers, de verschillende soorten BIJLAGE C. — EXAMENEISCHEN. 111 areometers (volumemeters en densimeters) — inrichting en gebruik; bepaling der sterkte van onvermengd gedistilleerd, inrichting der daarbij te gebruiken tafels, alsmede hetgeen voorkomt in het Voorwoord, voorkomende in de officieele uitgave der bedoelde Tafels (zie de res. V. 1863, no. 90, en V. v. V. no. 1236) ; opneming van wort (art. 36 der Bierwet 1916 en het Kon. besluit V. v. V. no. 778 ; zie bijl. A der Bierwet, deel III der Vakstudie); opneming der sterkte van vermengd gedistilleerd (Kon. besluit V. v. V. no. 612 II en res. V. 1900, no. 122 ; zie bijl. L der Gedistilleerdwet en art. 13, aant. 1, van bijl. T dier wet, deel V der Vakstudie); opneming van de hoeveelheid drinkbaren wijn in droeven en moeren (art. 7 der Wijnwet; zie de aantt. 1 en 9 op dat artikel in deel II der Vakstudie). Volgens art. 48 van het Organisatiebesluit 1920 (V. v. V. no. 1401) moeten de kommiezen om tot de eerste klasse te kunnen worden bevorderd bij een daartoe te houden examen o. m. getoond hebben practisch bedreven te zijn in het roeien en peilen en de sterktebepaling van onvermengd gedistilleerd. Bij res. van 14 Sept. 1921, no. 144, V. v. V. no. 1647 is nader bepaald dat deze practische bedrevenheid omvat: a. het berekenen van den inhoud van regelmatige fusten, ketels en werktuigen uit de afmetingen en van den gedeeltelijken inhoud van fusten met behulp van wantafels; b. het nauwkeurig steken van fusten met den roeistok; c. het opnemen van de sterkte van gedistilleerd met vochtmeter, thermometer en sterktetafel. Theoretische kennis van een en ander wordt niet gevraagd. Vraagstukken met uitwerking. Indien bij de in deze vraagstukken vermelde afmetingen van fusten geen nadere aanduiding voorkomt, worden daaronder verstaan binnenwerks-afmetingen. De spondiepte wordt aangeduid met de letter a; de bodemsmiddellijn met b ; de lengte met l, de steeklijn met s ; de gemiddelde middellijn, d. w. z. de middellijn van bet grondvlak van den cylinder, welke geacht wordt denzelfden inhoud te hebben als het fust, met M; de natshoogte met N; de inhoud met I. No. 1. Een regelmatig fust met cirkelvormige bodems heeft de volgende afmetingen: a= 95 c.M. b = 83,6 c.M. I = 111,6 c.M. Dit fust is geheel gevuld met gedistilleerd van 8° C, waarin de vochtweger tot 5,7 graad inzinkt. De inhoud van dit fust wordt overgestort in een distilleerketel, waarvan de bodem uitgedrukt is in den vorm van een bolvormig segment en het opstaande gedeelte den vorm heeft van een cylinder. De middellijn van den cylinder is 90 c.M, de hoogte 110 c.M, de hoogte van het segment 30 c.M. Tot welke hoogte zal het gedistilleerd in den distilleerketel staan, als het gedistilleerd wordt verwarmd tot 20° G. en de ketel geacht wordt ook bij verwarming zijn gewone capaciteit te behouden. Surnumerairsexamen, 1908. Oplossing. Volgens de methode, in dit werk steeds toegepast, is: M= 2a + b = 190 + 83,6 ^ ^ Bij dit getal vindt men in de inhoudstafel I 65,3 ; dus I = 65,3 X 11,16 = 729 Liter, tot in liters nauwkeurig. Berekent men den inhoud door toepassing van de formule 1/i 'n M* X / = Vi ji 91,22 X 111,6 dan komt men tot hetzelfde resultaat. Past men de formule van Gregory toe (een zesde van de lengte maal VRAAGSTUKKEN MET UITWERKING. 113 de,som van grondvlak, bovenvlak en viermaal middenvlak), dan zou men vinden: 1 1 = 24 n 1 (2&2 + ^a*) = 731 Liter. Het verschil is nog niet 0,3 pet. Nu is a = °'88' Naar deze vernouding beoordeeld, is het fust middelbaarbuikig. Naar den maatstaf x 1175 beoordeeld, is het ook middelbaarbuikig. Het zal dus bij de opgave wel de bedoeling zijn geweest, om de formule van Lobatto toe te passen. Dan zou M = "t b m 90,7 C,M- ziJnen 1 = 64>6 x 11>16 = 721 Liter. Een oplossing, waarbij dit niet gedaan is, zal misschien fout zijn verklaard. Maar in de eerste plaats heeft de practijk volgens sommige schrijvers bewezen, dat de formule van Lobatto een te kleine uitkomst geeft en met 1 pet. moet vermeerderd worden, waardoor men dus weder 729 Liter nabij komt. In de tweede plaats bedenke men toch, dat de inhoud van een fust niet met wiskundige nauwkeurigheid berekend kan worden, omdat bij de bepaling van de binnenwerks-afmetingen altijd waarnemingsfouten worden gemaakt en men bovendien den vorm van de gebogen oppervlakte niet wiskunstig juist kan vaststellen. Wij zullen ons, om redenen in hoofdstuk II nader uiteengezet, aan het getal 729 Liter houden. Bij een inzinking van 5,7 bij 8° C, vindt men m de tafel A, bedoeld in art. 2 van het Kon. besluit van 20 April 1863, S. no. 19, V. v. V. no. 612 II, een sterkte van 46,1 pet. In tafel C, dié het volume van een mengsel van alcohol en water bij verschillende temperaturen en sterkten aangeeft, vindt men, dat tusschen 40 en 50 pet. een volume van 995 bij 8° C. uitzet tot een volume van 1004 bij 20° C. Dus bevindt zich in den distilleerketel na overstorting en verwarming: 729 x ^ = 736 Liter. De inhoud van het bolsegment is: 1 1 1 g n x 9* x 1,5 + g. n X 3» = 71 (4,5 x 81 + 54) = 110 Liter. In den cylinder staat dus 736 — 110 = 626 Liter. Vo'gens de inhoudstafel I is bij een middellijn van 900 de inhoud 63,6 Liter, de hoogte boven het grondvlak van den cylinder bedraagt derhalve: g|| = 9,84 d.M = 984 m.M. Men kan die hoogte h ook berekenen uit de formule \ n x 92 x h = 626 en verkrijgt dan hetzelfde antwoord. De hoogte van de vloeistof in den distilleerketel is dus: 984 + 300 = 1284 m.M. Roei- en Peilkunde. g 114 VRAAGSTUKKEN MET UITWERKING. No. 2. Van een liggend rond fust is gegeven : a = 970 m.M. b = 830 „ s = 1060 „ Dit fust is met gedistilleerd, dat bij een temperatuur van 12° R. een soortelijk gewicht van 0,862 heeft, zoover gevuld, dat het gedeelte der steekllijn, dat binnen de vloeistof ligt: 520 m.M. bedraagt. Gevraagd : hoeveel gedistilleerd ad 50 pet. bij 15° C. in het fust is. Surnumerairsexamen. Ovlossing. Voor de berekening van l hebben wij de formule : si * p +* (a + i)« (zie §11), 4 4 dus Z* = 4s2 — (a + i)2 = \2s + (a + b)\\2s — (a + b)\ = _ (2g + a + b) {2s — a — b) = 3920 X 320 log 3920 = 3,59329 log 320 = 2,50515 2 log l = 6,09844 log l = 3,04922 l = 1120 m.M. Het gedeelte van de steeklijn, dat binnen de vloeistof ligt, kunnen we beschouwen als de hypotenusa van een rechthoekigen driehoek, welke gelijkvormig is met dien, waarvan de geheele steeklijn de hypotenusa is. Wij hebben dus deze evenredigheid : 520: 1060 = {N — V, (o — b) J : ja — Va (« — *>) j of 520: 1060 = (N — 70) : 900 waaruit N= 512. De capaciteit van het fust berekenen we aldus : M = 2a+j = 1940 +830 = 923mM Bij deze middellijn vinden we in inhoudstafel I : 66,92, dus I = 66,92 X 11,2 = 750 Liter. Het fust is voor meer dan de helft gevuld ; wij berekenen daarom het ledige gedeelte. Als dit gedeelte gevuld was, zou de natshoogte daarin bedragen : 970 — 512 = 458 m.M. of ^ a = 0,472 a. VRAAGSTUKKEN MET UITWERKING. 115 Wij zoeken dus 472 in de eerste kolom der wantafel III voor liggende fusten op en vinden 46,3 zoodat het ledige deel van het fust 0,463 x /üu = J47 Liter is. De hoeveelheid vloeistof in het fust is dus • 750 — 347 = 403 Liter. bij een natshoogte van 478,004 een inhoud van 47 Liter » » » n ^70,610 „ l h 46 Liter. Verschil 7,394 De natshoogte is volgens vorenstaande berekening 472. Bij 46 L. moet dus gevoegd worden 4_Z2_Z^470,610 _ 1,39 _ ntnr- 7'394 ~^394~ = 0,19 Liter. T itï/o? lUf Vani°° Liier,i8 ^ het ledi§e Sedeelte te bellen op 46,19 Liter en het gevulde gedeelte derhalve op 53,81 Liter De hoeveelheid vloeistof in het gegeven fust bedraagt dus volgens deze wantafel 1QQ ' = 403,5 Liter. Berekenen wij rui den inhoud der vloeistof met de segmenttafel II vLIt A !fde nat?h0°£e 512 - V, (970 - 923) = 488,5 of 0,529 x M Voor het ledige deel van het fust is de overeenkomstige afineting 0,471 x M De segmenttafel wijst hierbij aan : 46310. De inhoud van het ledige gedeelte bedraagt dus 0,4631 x 750 = 347 Liter en van hetLvulde gedeelte derhalve 750 - 347 = 403 Liter, evenals hierboven metïehuln van de wantafel werd gevonden. nenuip Het soortelijk gewicht van het gedistilleerd is bij 12° B. (= «/* X 12 of 15° C.) 0,862 en het soortelijk volume dus ^ = 1,16. De vocht- dTsoflfct^^ ^ t0t 16°' V°lgenS tafe1'^ bedraaSt de 8terkte De hoeveelheid ad 50 pet. is alzoo — x^>6 x 2 = 650 Liter. No. 3. Van een liggend fust zijn de afmetingen: a = 830 m.M., b = 697 m.M., de afstand van het midden der spónmiddellijn tot het snijpunt van duicen en bodems is 590m.M. en iV = 500mM g v^eXtnZ^ ^ruik te b£^*££%SiïT£ r gelijkV°rmig fUSt' dat met de geV0nden waa?loozen.erekeningen 0nderdeelen van nullimeters en liters te verVoor het getal n kan genomen worden~; voor log n: 0,49715. Examen voor kommies-verificateur, 1908. 116 VRAAGSTUKKEN MET UITWERKING. Oplossing. Teekenen wij dit fust, dan zien wij, dat wij de lengte als volgt kunnen berekenen : 5902 = \-l2 + 348,52 4 Z2 = 4 (5902 — 348,52) = 4 x 938,5 x 241,5 log 4 = 0,60206 log 938,5 = 2,97243 log 241,5 = 2,38292 5,95741 log l = 2,97871 / = 952 mM. , , . „ 1660 + 697 nQa De gemiddelde middellijn van het fust is : M = ^ = 786m.M. ƒ = 0,485 X 9,52 = 462 Liter, blijkens inhoudstafel of ook berekend 1 door toepassing der formule I = -gn l M2. Ar = 500. De verbeterde natshoogte is dus 500 —1/2 (830 — 786) = 500 — 22 = 478. Het fust is dus meer dan half gevuld. De hoogte van het ledige gedeelte in den cylinder, welke geacht wordt even groot te zijn als het fust, bedraagt derhalve 786 — 478 = 308. In duizendste deelen van de gemiddelde middellijn bedraagt deze hoogte 391,85. In de segmenttafel vinden wij : bü een pijl van 392 een segment van 36357 en „ „ „ „ 391_ „ „ „ 36232 Verschil 1 125 Bij een verschil van 0,85 = (391,85 — 391) wordt het segment dus 125 X 0,85 =* 106,25 grooter. Het oppervlak van het segment bedraagt dus 36232 + 106 = 36338, uitgedrukt in 100,000 deelen van het oppervlak van den cirkel. Het werkelijk oppervlak is derhalve : 100,000 : V4 » 7862 = 36338 : x x = 176400 m.M2. = 17,64 d.M2. Vermenigvuldigen we deze uitkomst met de berekende binnenlengte, dus met 9,52 d.M., dan verkrijgen wij voor het ledige gedeelte van het fust 168 Liter. De hoeveelheid vloeistof bedraagt dus 462 — 168 = 294 Liter. Gelijke uitkomst verkrijgen wij wanneer wij de hoeveelheid berekenen met behulp der wantafels. N = g£ « = 0,602 a. Daar het fust voor meer dan de helft gevuld is, moet men in tafel III voor VRAAGSTUKKEN MET UITWERKING. 117 dikbuikige fusten ^- = 0,84^ opzoeken 1000 — 602 = 398. Daarbij wordt gevonden : 36,4. De hoeveelheid vloeistof is dus : (1 — 0,364) x 462 = 0,636 x 462 = 293,8 Liter of in Liters nauwkeurig 294 Liter. Gebruikt men de wantafel IVa dan vindt men bij de natshoogte 396,198 den inhoud 36, terwijl het verschil is 7,581. Wij moeten hebben 398 of 396,198 + 1,802. Bij den inhoud 36 moet 1 802 dus opgeteld worden : = 0,2 in tiende deelen nauwkeurig. Wij nemen dus voor den inhoud per 100 Liter 36,2 ; de hoeveelheid vloeistof wordt dan : (1 — 0,362) x 462 = 295 Liter. Voor de berekening van de steeklijn hebben wij : s2 = 11% +~ (a + b)* = 4762 + 763,52 = 809508 s = 900 m.M. Is st de steeklijn van het gelijkvormige fust, dat geheel met de gevonden hoeveelheid vloeistof gevuld is, dan heeft men : s3 : s,3 = 462 : 294 S' = T462 log 294 = 2,46835 log 462 = 2,66464 9,80371 —10 "i V294 3 l0gF462 = 9'93457-10 log s = 2,95424 9,93457 - -10 log s1 = 2,88881 st = 774 mM. No. 4. De afmetingen van een liggend rond fust zijn : a = 10 d.M. b = 8,4 d.M. I mm 11,75 d.M. In dat fust bevindt zich vloeistof tot een hoogte van 0,45 d.M. Bereken de hoeveelheid vloeistof. Oplossing. Hier is N = 0,045 x a. We kunnen dus in wantafel III 45 opzoeken en vinden daarbij in kolom A : 0,78. De inhoud van het fust is op de gewone wijze berekend : 826 Liter. Het antwoord is dus volgens deze tafel 0,0078 x 826 = 6,4 Liter. In tafel IVa vindt men bij 43,010 een inhoud van 0,7. Het verschil in de tafel is 2,969, terwijl wij moeten 118 VRAAGSTUKKEN MET UITWERKING. hebben : 45 — 43,010 = 1,99. Uit 2,969 : 1,99 = 0,1 : x, vinden wij 0,07. Bij een natshoogte van 45 geeft derhalve de tafel een hoeveelheid van 0,77; de aanwezige hoeveelheid vloeistof is dus : 0,0077 x 826 = 6,4 Liter. Berekenen wij nu ook den inhoud met de formule van van Blanken : 4 V a — b In de formule (zie § 15) is d door N vervangen. log n = 0,49715 Iog2(a — N) = 1,28103 2 log N = 9,30643 — 10 log (a — b) = 0,20412 9,80358 —10 1,07691 0,34204 log V \—h =°.53846 log 4 = 0,60206 a o 9,73998 —10 log l = 1,07004 log I = 0,81002 I = 6,457 of 6,5 Liter. Dat dit antwoord op zeer weinig na met de vorige zou overeenstemmen was te verwachten, daar de tafels III en IV voor kleine natshoogten beide volgens de formule van van Blanken berekend zijn. Het fust is hierbij als parabolisch beschouwd en dan is de formule van van Blanken niet volkomen juist, zooals in § 30 is medegedeeld. Men kan ook het fust als de schijf van een omwentelings-eflipsoïde beschouwen. Dan geldt de formule (5) in § 30 en men vindt daardoor I = 6,6 Liter ruim. In § 15 hebben wij nog een andere methode leeren kennen, om bij geringe natshoogte den inhoud van de vloeistof te berekenen, waarbij ook het fust als parabolisch wordt beschouwd. Gaan wij na, wat deze methode bij dit vraagstuk oplevert. Wij denken ons daarbij in het gegeven fust een kleiner fust KLPN (fig. 16), waarin de vloeistof juist tot den bodem staat. Dan is : AB2: KL2 = EF : GF of: 11,752: ^ = 80:45 = 16:9 11,75 : KL = 4:3 KL = 8,812 d.M. Men vindt voor de bodemsmiddellijn van het denkbeeldige fust: b + 2 (0,8 — 0,45) = 8,4 + 0,7 = 9,1 d.M. Voor de gemiddelde middellijn van dat fust wordt gevonden: 9,7 d.M en voor den inhoud volgens inhoudstafel I : 73,9 X 8,812 = 651 Liter. 1 De verbeterde natshoogte is: 0,45 — ^(a—M) = 0,3 d.M. of 0,031 X M. De segmenttafel geeft hierbij 918. De hoeveelheid vloeistof wordt dan: 5,98 Liter of nagenoeg 6 Liter. Dit antwoord is wat kleiner dan het vorige. VRAAGSTUKKEN MET UITWERKING. 119 De oorzaak is hieraan toe te schrijven, dat bij een zulk een lagen stand van de vloeistof-oppervlakte, van de natshoogte niet (a — M) maar minder moet worden afgetrokken. De vloeistof staat hooger in den cylinder die M tot middellijn van het grondvlak heeft, dan berekend is. No. 5. In een regelmatig liggend fust, waarvan gegeven zijn: a = 95 c.M. b = 83 „ l 'mi 124 „ is loodrecht op de lengteas een schot aangebracht, 2 cM dik, waarvan het midden samenvalt met -j deelpunt van de lengte. Het fust is ter weerszijden van het schot met gedistilleerd gevuld en wel zoo, dat het 2 1 kleinste gedeelte voor 75 en het grootste voor ? gevuld is. o 4 Wordt gevraagd, met behulp van de wantafel te berekenen, hoeveel gedistilleerd ad 50 pet. zich in het fust bevindt als vochtweger no. II bij 4° C. inzinkt tot 12. ji -- 3,1416. Onderdeden van mM, dM3 (of Liter), bedragende 0,5 en daarbeneden te verwaarloozen, daarboven voor een geheel te nemen, tenzij de wet een andere wijze van forceering voorschrijft. Examen voor adspirant-verificateur, 1913. Oplossing. M = a j~ b = 9,1 d.M. en I = 806 Liter. Het fust is middelbaarbuikig ^ = 0,874 j. De beide deelen van het fust, ter weerszijden van het schot kunnen berekend worden door middel van de wantafel V voor staande fusten. 30 De hoogte van het eene deel is 3,1 — 0,1 = 3 d.M. of 1777-ste van 124 delengte, dus 0,2421. In kolom B vindt men daarbij 22,7; dus is de inhoud van dit deel: 0,227 x 806 = 183 Liter. De hoeveelheid vocht in dit deel is g x 183 = 122 Liter. QO De hoogte van het andere deel is 9,3 — 0,1 = 9,2 d.M. of 4kt ste van de 124 lengte, dus 0,742 l. Daar dit meer is dan 0,5 l zoeken wij op (1 — 0,742) = 0,258 l. Bij 258 staat in de tafel: 24,3. De inhoud van dat deel is dus : (1 — 0,243) x 806 = 610 Liter en de hoeveelheid vocht: \ x 610 = 4 152 Liter. De geheele hoeveelheid vloeistof in het fust is derhalve 274 Liter. 120 VRAAGSTUKKEN MET UITWERKING. In tafel Vlb vinden wij bij de natshoogte 233 voor den inhoud 22 en bij 243 voor den inhoud 23, dus voor 242 een inhoud van 22,9; de inhoud van het kleinste deel wordt dan 0,229 X 806 = 185 Liter en de hoeveelheid vocht daarin 123 Liter. Bij de natshoogte 258 vinden wij : 24,5 ; de inhoud van het grootste deel van het fust is dan (1 — 0,245) X 806 = 609 en de hoeveelheid vocht 152 Liter, De geheele hoeveelheid vloeistof is dan : 275 Liter. Deze wantafel geeft 'het kleinste deel van het fust iets grooter dan tafel V en het grootste deel wat kleiner, omdat dan met de wantafel rechtstreeks een deel van het fust berekend wordt, dat kleiner is dan de helft en dat dus weer te groot wordt bevonden. De sterkte van het gedistilleerd is bij een inzinking 12 bij de temperatuur 4° C. = 72,9 pet. Daarom is de gevraagde hoeveelheid gedistilleerd ad 50 pet. 2 X 0,729 X 275 Liter = 401 Liter. Dit vraagstuk is op een examen in 1913 opgegeven en daarbij zal men wel geëischt hebben, omdat het fust middelbaarbuikig is, dat de inhouds- 5a _l 3£ formule van Lobatto werd toegepast. Dan zou M = —^— = 9,05d.M. ö zijn en de inhoud 1 = 798 Liter. Het antwoord wordt dan : 398 Liter ad 50 pet. • No. 6. Een fust heeft elliptische bodems en een elliptische spondoorsnede op het midden van de lengte van het fust, terwijl de afmetingen de navolgende zijn : Groote as spon = A = = 900 m.M. Kleine as spon = a = 600 Groote as ééne bodem = Bt = 700 Kleine as ééne bodem = = 450 Groote as andere bodem = B% = 650 Kleine as andere bodem = b2 = 400 Lengte = l = 1050 Het fust is geheel gevuld met gedistilleerd (15° C). Hoeveel Liter gedistilleerd ad 50 pet. is in dit fust, wanneer bij een proefneming blijkt, dat een holle ijzeren bol juist zweeft in deze vloeistof bij 15° C. De buitenomtrek van dezen bol is 140 m.M., de wanddikte van het metaal 1 m.M. en het soortelijk gewicht van het ijzer bedraagt 7,4. Bij de verschillende becijferingen onderdeden van m.M. en m.M3. verwaarloozen. n = 3,1416. Examen voor adspirant-verificateur, 1916. Oplossing. Het fust is zeer onregelmatig. Er is niet opgegeven, dat de assen der ellipsen evenwijdig zijn. Dat willen wij aannemen. Ook dan is, op een elementaire manier althans, geen inhoudsformule te vinden, die behoorlijk op een wiskundigen grondslag berust. Men kan de oor- 1 spronkelijke formule van Gregory toepassen : „- van de hoogte, vermenig- VRAAGSTUKKEN MET UITWERKING. 121 vuldigd met de som van grondvlak, bovenvlak en viermaal het middenvlak. 1 1 grondvlak = gn Bx ^ = -^n X 7 x 4,5 d.M2. 1 1 bovenvlak = -^n B2 b2 = -gn X 6,5 x 4 „ 4 X middenvlak = n Ka =Tn X 36 X 6 4 g Ti (31,5 + 26 + 216) «ii'* x 273,5. I = ~7ilx 273,5 log 273,5 = 2,43696 logZ = 1,02119 log n - 0,49715 3,95530 log 24 = 1,38021 2,57509 / = 376 Liter. Zooals hiervoren uitvoerig uiteengezet is, volgt men veelal een andere methode, waarbij het fust vervormd wordt. Eerst berekent men de assen X en Y van een ellips, die even groot is als de eene bodem en die gelijkvormig is met de buikellips. Dan is BJ>, = XY en A : X = a: Y y_ aX A dus B.b, - - ^—A Y8_B,i,A_7X4,5x9_,72: a 6 ' X = 6,88 d.M. Bereken nu den inhoud van een regelmatig rond fust, waarvan de spondiepte 9 en de bodemsmiddellijn 6,88 is. 8,29. Inhoud = 567 Liter. Nu berekent men op dezelfde manier een fust, waarvan de bodem even groot is 'als de andere bodem van het gegeven fust en die gelijkvormig is met de buikellips. Dan is x2 = 6'5 * 4 X 9 = 39 6 X = 6,25 d.M. en M = 1*^25 = 8,08. 122 VRAAGSTUKKEN MET UITWERKING. De inhoud van een regelmatig rond fust met die middellijn is 539 Liter. Het gemiddelde van de inhouden van vorenbedoelde ronde fusten is : 567 + 539 1106 2 = 553 Liter. De inhoud van het gegeven fust zou nu zijn : 553 X = 553 X tt = 369 Liter. A 3 Welke der uitkomsten 376 of 369 de meest juiste is, kan niet beoordeeld worden. 1,4 De middellijn van den ijzeren bol is — = 0,45 d.M.Het was niet noodig 71 geweest, om n tot 4 decimalen nauwkeurig op te geven. Het gewicht van den bol is | n (0,453 — 0,433) X 7,4 KG. Het ge- • 1 1 wicht van de verplaatste vloeistof is n X 0,453 X — KG.,als s het soortelijk volume der vloeistof is. Wij hebben dus : tt Ti (0,453 — 0,433) x 7,4 = i n x 0,453 x 6 6 s of s (0,453 — 0,433) X 7,4 = 0,453 _ 453 ' 91125 _ US (453 — 433) 7,4 r H618 x 7,4 ~ 1,UÖ' De vochtweger wijst derhalve bij 15° C. een inzinking aan van 6°; de sterkte bedraagt dus 44,6 pet. Als wij voor den inhoud van het fust 369 Liter aannemen, is het antwoord: 369 X 44,6 X 2 OOQ _ .. , _n . TT— - = 329 Liter ad 50 pet. 100 r en als wij 376 Liter aannemen: 376 X 44,6 x 2 1V\J No. 7. Van een liggend fust is de binnenlengte 920 m.M., de spondiepte 720 m.M. en de bodemsmiddellijn 645 mM. Het fust is gedeeltelijk gevuld met gedistilleerd, waarvan het soortelijk gewicht 0,9542 en de temperatuur 14° Réaumur bedragen. De natshoogte is 245 m.M. Het gedistilleerd wordt overgestort in een staand middelbaarbuikig fust, waarin zich reeds 222 Liter gedistilleerd ad 88,2 pet. (temperatuur eveneens 14° R.) bevindt. Van het staande fust is de inhoud 720 Liter en de binnenlengte 1100 mM. Bereken de natshoogte van de vloeistof in het staande fust, nadat VRAAGSTUKKEN MET UITWERKING. 123 de overstorting heeft plaats gehad, alsmede de hoeveelheid en de stérkte van het zich alsdan in dat fust bevindend gedistilleerd. Met contractie van het gedistilleerd wordt geen rekening gehouden. Bij de berekening van den natsinhoud van het liggend fust gebruik te maken van de segmenttafel. Surnumerairs-examen, 1912. Oplossing. Indien, zooals wij steeds gedaan hebben, voorde gemiddelde middellijn wordt aangenomen : M = a^b = 6,95 d.M., dan wordt I = 37,95 x 9,2 = 349 Liter volgens de inhoudstafel. - = 01896. o Naar dezen maatstaf is het fust middelbaarbuikig. Nam men den maatstaf aan : 1175 x —j— (waarvoor, gelijk wij gezien hebben, geen reden is omdat de spondiepte zich niet verhoudt tot de lengte als 1000:1175), dan zou men het fust dunbuikig noemen. De formule van Lobatto geeft voor 1:346 en die van Lulofs 344 Liter. Wij houden ons aan 349 Liter. De verbeterde natshoogte is 2,45 — 0,125 = 2,325 d.M. = ' = 6,95 0,3345 x M. De segmenttafel geeft hierbij 29319 voor den inhoud • dus is de natsinhoud : 0,29319 X 349 m 102,3 Liter. Na overstorting bevindt zich in het staande fust: 222 -f- 102 = 324 Liter (tot Liters nauwkeurig) of ^ = 0,450 x inhoud fust. In de wantafel V voor middelbaarbuikige staande fusten vindt men bij den inhoud 450 de natshoogte 454, in duizendste deelen van de hoogte van het fust; de gevraagde natshoogte is dus 0,454 x 1100 m.M. = 499 m.M. In dit geval is de tafel VI gemakkelijker te gebruiken, omdat bij gegeven inhoud de natshoogte gevraagd wordt. Deze geeft bij 45 den inhoud 455, zoodat volgens deze tafel de uitkomst zou zijn : 0,455 x 1100 m.M. = 501 m.M. Het soortelijk volume van het gedistilleerd in het liggend fust bij 14° R. of 14 x * = 17,5° C. is = 1,048, zoodat de vochtweger tot 4,8° inzinkt. De sterkte is 37 pet. Er is in het liggend fust: 102,3 X 0,37 = 37,9 Liter alcohol. In de 222 Liter, die zich reeds in het staande fust bevond, is 222 x 0 882 = 195,8 Liter alcohol. Er is dus in het geheel na overstorting 324 Liter gedistilleerd, waarin 37,9 -f 195,8 Liter = 233,7 Liter alcohol, zoodat de sterkte is 233,7 = 72,1 pet. 324 Vraagstukken ter oefening No. 1. Een verzamelbak voor gedistilleerd heeft den vorm van een afgeknotten kegel met een bolvormig segment als bodem. Middellijn bovenvlak van den afgeknotten kegel 2,22 M. Middellijn benedenvlak van den afgeknotten kegel 1,82 ,, Hoogte van den geheelen bak 1,86 „ Hoogte bolvormig segment 0,29 „ Deze bak is tot op een hoogte van 1,51 M. gevuld met moutwijn, die een temperatuur heeft van 20° G. en bij die temperatuur een soortelijk volume van 1,06. 1 Nadat de vloeistof tot 13 G. is afgekoeld, wordt er 7^ van afgetapt in een staand fust, met de afmetingen : a = 103 c.M. b = 86 „ l = 121 „ Hoe hoog staat de vloeistof in het fust ? Hoeveel bedraagt de accijns van het afgetapte gedistilleerd ? Onderdeelen van millimeters en deciliters kunnen bij alle uitkomsten worden verwaarloosd. _ . m, Surnumerairs-examen 1910. 2Y2 uur. No. 2. Van een liggend dikbuikig rond fust is : a + b = 18,40 d.M. I = 12 I = 851 Lit'èr. In dat fust wordt 3,6 HL. gedistilleerd gestort. Bereken de natshoogte door middel van de segmenttafel. Wanneer nu de sterkte van een bij 68° F. genomen proef 97,4 pet. blijkt te zijn, wordt tevens gevraagd het gewicht van het in het fust gestorte gedistilleerd te bepalen, wanneer de temperatuur daarvan 4° R. is. Surnumerairs-examen, 1909. No. 3. Een kuip heeft den vorm van een bolschijf. De straal van het grondvlak i? is 20 d.M., die van het bovenvlak r 15 d.M., en de hoogte M2d.M. Men wenscht een tweede kuip te maken, die den vorm heeft van een afgeknotten kegel en welker inhoud, grondvlak en bovenvlak gelijk ziin aan die der eerste kuip. _ Bereken de hoogte. Surnumerairs-examen, 1909. Voor de uitwerking der vraagstukken nos. 2 en 3 was op het examen in het geheel 2 uur tijd gegeven. VRAAGSTUKKEN TER OEFENING. 125 No. 4. Gegeven een regelmatig liggend fust, waarvan gegeven zijn : a = 10 d.M. b = 8,4 „ l = 11,75 „ Bij een temperatuur van 17° C. bevindt zich in dit fust 300 Liter 16 gedistuleerd van een soortelijk gewicht y» Bereken de natshoogte en de sterkte van het gedistilleerd. Bij de temperatuur van 35,6° F. wordt het gedeeltelijk gevulde fust op een der bodems gezet. Bereken de natshoogte in dit staande fust en vergelijk de uitkomst met die, welke door middel van de wantafel gevonden wordt. No. 5. Een fust heeft tot afmetingen: a = 800 m.M. b = 672 „ l = 1000 „ Het is dikbuikig, en wordt beschouwd als de samenstelling van 4 afgeknotte kegels, elk met j van de hoogte tot hoogte, wier grond- en boven- 1 vlakken twee aan twee samenvallen, terwijl de middellijn op j van de 3 hoogte is b + g (a — b), zooals Lobatto omtrent een willekeurig fust onderstelde. a. Bereken den inhoud van dit fust wiskundig nauwkeurig. b. Bereken den inhoud door voor het fust een cylinder in de plaats te stellen, waarvan de middellijn - ^*— is. c. Bereken den inhoud, door voor het fust een cylinder in de plaats te stellen, waarvan de middellijn — — is, zooals Lobatto aangaf. No. 6. Een gedeeltelijk gevuld liggend fust heeft de volgende afmetingen : a = 620 m.M. b = 545 „ De lijn, getrokken van het snijpunt van duigen en bodem aan den bovenkant van den eenen bodem tot aan het tegenoverliggende snijpunt van duigen en bodem aan den onderkant van den anderen bodem bedraagt 908 m.M. De lengte van dat gedeelte dier lijn, dat boven de vloeistof ligt, is 470 m.M. Bereken de daarin aanwezige vloeistof. Gebruik te maken van wantafels. 'Examen voor kommies-verificateur, 1908. 126 VRAAGSTUKKEN TER OEFENING. No. 7. Van een liggend regelmatig rond fust zijn de navolgende afmetingen gegeven : buitenlengte 125 c.M. steeklijn 110 buitenomtrek over het spongat 321 lengte kim 1;5 dikte van de bodems en de duigen 1 natshoogte 5 Hoeveel vloeistof bevindt zich in het fust ? Examen voor kommies-verificateur, 1916. No. 8. Van een regelmatig rond staand fust zijn de afmetingen gegeven : a = 10 d.M., b = 8,4 en l = 11,75 d.M. Het fust is tot een vierde van de hoogte met vloeistof gevuld. Bereken de oppervlakte der vloeistof. Ie. als men aanneemt, dat het fust parabolisch is ; 2e. volgens de onderstelling van Lobatto. Bereken den natsinhoud bij laatstgenoemde onderstelling en vergelijk de uitkomst met die volgens de wantafels V en VI. No. 9. Van een regelmatig rond liggend fust is a = 10 d.M.; b = 7 d.M.; en l = 12 d.M. Het is gedeeltelijk met vloeistof gevuld; N = 5 c.M. Bereken den natsinhoud met de segmenttafel op de wijze, die gevolgd wordt als de vloeistof tegen den bodem staat en ook met de formule van van Blanken. No. 10. Een bolschijf heeft tot middellijn van het bovenvlak 15 d.M.. van het grondvlak 20 d.M. en tot hoogte 6 d.M. Hoeveel KG. weegt de vloeistof, waarmede de schijf geheel gevuld is, als het soortelijk volume van de vloeistof 1,25 is ? Bij de berekeningen onderdeelen van millimeters, liters en kilogrammen te verwaarloozen. Examen voor kommies-verificateur, 1908. No. 11. Een hoeveelheid gedistilleerd van 272 Liter ad 72,9 pet. wordt bij een temperatuur van 4° C. zoodanig met water vermengd, dat vochtweger No. I tot 6,5 inzinkt. Dit mengsel wordt gestort in een ketel van cylindrischen vorm en met een naar buiten gebogen bodem, die den vorm heeft van een bolvormig segment. De middellijn van den ketel bedraagt 95 c.M., de hoogte, gemeten uit het middelpunt van den bodem 161 c.M. en het pijlsegment 1 c.M. Wordt gevraagd, hoeveel water voor bedoelde versnijding noodig is en hoe hoog de vochtspiegel in den ketel staat, gemeten uit het laagste punt van den bodem. Contractie en temperatuurwijziging bij de vermenging buiten aanmerking te laten. n = 3,1416. Onderdeden van m.M., d.M8. (of liter), bedragende 0,5 of daarbeneden VRAAGSTUKKEN TER OEFENING. 127 te verwaarloozen, daarboven voor een geheel te nemen, tenzij de wet een andere wijze van forceering voorschrijft. Examen voor adspirant-verificateur, 1913. No. 12. In een branderij le soort, le klasse, wordt ruwketel No. 1 afgestookt; het uit de slang vloeiende vocht wordt opgevangen in kitten, dadelijk gemeten en daarna overgestort in het ter beschikking van de ambtenaren liggend fust, waarvan de afmetingen zijn : a = 9,51 d.M. : b = 8,05 d.M.; l = 1,28 M. De geheele boeveelheid opgevangen gedistilleerd bedraagt 503 Liter. De brander, die verzuimd heeft, om een voorgenomen vrijwillige verhooging van den trek tijdig ten kantore in te leveren en daarom vreest in overtreding te zijn, neemt ongemerkt de kans waar, om voor de opneming der sterkte van het in het fust verzamelde ruwnat, daarbij te voegen 4 Liter eener oplossing van suiker in water, waarin de densimeter bij 59° F. tot 7,2° graad inzinkt. Bij de daarop volgende weging eener proef wijst de vochtweger bij dezelfde temperatuur een inzinking aan van 1,55°. Gevraagd : le. de sterkte van de 503 Liter ruwnat, die werkelijk zijn verkregen ; 2e. met behulp van de segmenttafel de natshoogte vóór de toevoeging der suikeroplossing te bepalen ; 3e. met behulp der wantafel te berekenen, hoe hoog het vocht na die toevoeging staat, indien het fust op een zijner bodems wordt geplaatst. n = 3,1416 log Ti = 0.49715. Het gebruik van de logarithmentafel is niet verplichtend. Onderdeelen van m.M. en d.M.3 of Liters buiten aanmerking te laten, wanneer ze 0,5 of minder bedragen en anders voor geheele m.M., d.M.8 of Liters te nemen; gewichten zoo noodig tot in 3 decimalen nauwkeurig te berekenen. Examen voor kommies-verificateur, 1910. No. 13. Een liggend fust is gedeeltelijk gevuld met gedistilleerd en heeft de' volgende afmetingen : a = 102,8 c.M. b = 89 s = 118,87 „ N = 35 Bereken : a. den natsinhoud met segmenttafel; b. het gedi stilleerd wordt overgestort in een cylindervormige kuip en bereikt daarin een hoogte van 70 c.M. Hoe groot is de middellijn van die kuip ? c. Hoeveel gedistilleerd ad 50 pet. is in de kuip aanwezig, als het soortelijk volume bij 18° R., 107,75 bedraagt ? Examen voor kommies-verificateur,1912. 128 VRAAGSTUKKEN TER OEFENING. No. 14. Van een liggend fust, dat gedeeltelijk gevuld is met cognac van 5°G, is a = 3,41 d.M.; b = 2,90 d.M.; 1 = 4,03 d.M. en iV = 2,3d.M. De proef van dien cognac is opgenomen bij een temperatuur van 20° C. ; men vond toen met den vochtweger een inzinking van 9,3. Wordt gevraagd met behulp der segmenttafel de hoeveelheid cognac ad 50 pet., in dit fust aanwezig, te berekenen. Bij alle berekeningen worden breuken van 1/2 m.M. of 1/2 c.L. en daarbeneden verwaarloosd en daarboven voor een geheel genomen. Examen voor adspirant-verificateur, 1912. No. 15. In een grondvat bevindt zich 1924 Liter jenever, waarvan de temperatuur 12° C. is. Uit dat grondvat wordt een proef genomen van welke proef bij een temperatuur van 17° G. de inzinking van den vochtweger 6,75° bedraagt. Hoeveel jenever ad 50 pet. is in het grondvat aanwezig ? Surnumerairs-examen, 1912. No. 16. Een liggend fust met een inhoudsruimte van 405 Liter wordt met drieërlei soort moutwijn van 4° C. gevuld, van elke soort evenveel. Het fust heeft een binnenlengte van 9,94 d.M., terwijl spon- en bodemsmiddellijn 93 m.M. met elkander verschillen. Wordt gevraagd : le. met behulp van de segmenttafel te bepalen de natshoogte na de storting van de eerste, en na die van de tweede soort moutwijn ; 2e. hoeveel gedistilleerd, na herleiding ad 50 pet. het geheele fust bevat, als bekend is, dat de vochtweger in een proef van het mengsel bij een temperatuur van 55,4° F. tot 6° inzinkt. Bij alle berekeningen breuken van 1j2 m.M. en 1/2 c.L. en daarbeneden te verwaarloozen en daarboven voor een geheel te nemen. Surnumerairs-examen, 1888 en examen voor kommies-verificateur, 1912. No. 17. In de sterktetafel voor gedistilleerd vinden wij bij een inzinking van den vochtweger tot 25,3° en een temperatuur van 10° C, een sterkte vermeld van 100,5 pet. Hoe is het mogelijk, dat volgens de tafel de sterkte meer dan 100 pet. bedraagt ? Examen voor kommies-verificateur, 1914. No. 18. Een ketel, bestaande uit een bovenstuk in den vorm van een afgeknotten kegel met de grootste wijdte boven en een onderstuk in den vorm van een bolsegment is geheel gevuld met gedistilleerd en heeft de navolgende afmetingen : middellijn, gemeten aan de bovenzijde des ketels, 65 c.M.; middellijn, aan de onderzijde waar de afgeknotte kegel en het bolsegment samenkomen, 45 c.M. ; hoogte van den afgeknotten kegel 54 c.M. ; hoogte bolsegment 6 c.M. ; totale diepte des ketels dus 60 c.M. VRAAGSTUKKEN TER OEFENING. 129 Men brengt in den ketel een houten cylinder lang 50 c.M;,met een soortelijk gewicht van 0,59. Dë cylinder drijft liggende in de vloeistof zoodanig, dat aan de beide eindvlakken volkomen gelijke cirkelsegmenten in de vloeistof zijn ondergedompeld. De pijl van de ondergedompelde 'segmenten is 12 c.M., de middellijn van die beide eindvlakken is 20 c.M. Gevraagd wordt hoeveel gedistilleerd ad 50 pet. zich na het inbrengen van den houten cylinder in den ketel bevindt. Onderdeden van m.M. enc.M.Heverwaarloozen; temperatuur te stellen op 15° C;n = 3,1416. Examen voor kommies-verificateur, 1915. No. 19. Van een regelmatig elliptisch fust is de groote as der buiksdoorsnede 6,26 d.M.; van den bodem is de groote ais15,36 d.M. en de kleine 3,22 d.M.; de steeklijn (van spongat naar het uiteinde van de groote as van den bodem) 6,83 d.M. eri de natshoogte (in de richting der groote as) 2,38 d.M. Bépaal den natsinhoud van het fust met de segmenttafel ën met de wantafels. No. 20. Van een regelmatig rond fust zijn de afmetingen : a = 725 m.M. ; b = 632 m.M. en l = 810 m.M. Dit fust is gedeeltelijk gevuld met twee verschillende vloeistoffen (van beide een gelyke hoeveelheid) te zamen wegende 231 KG; De natshoogte is 400 m.M. Als het soortelijk volume van de eene vloeistof 0,8 is, hoe groot is dan het soortelijk gewicht van de andere ? Examen voor Surnumerair en adspirant-verificateur, 1897. No. 21. Van eenliggend fust isa = 8,4 d.M.; b = 6,5 en l = 12 d.M. Dit fust is gedeeltelijk gevuld, N — 3,4 d.M. Hoeveel zal de natshoogte stijgen, als aan de vloeistof, die een soortelijk gewicht heeft van 0,875, wordt toegevoegd zooveel vocht met éen soortelijk volumen van 1,25, dat het mengsel een soortelijk gewicht heeft van 0,85? No. 22. Van een onregelmatig ronfl liggend fust is de middellijn van den eenen bodem 600 m.M., van den anderen bodem 680 m.M., de spondiepte 732 m.M. (op de helft van de lengte) en de lengte 830 m.M. In dit fust bevindt zich een vloeistof tot een hoogte van 100 m.M. Hoeveel vloeistof bevat dit fust ? No. 23. Lulofs heeft wantafels gemaakt voor staande fusten, bij de onderstelling, dat deze zijn samengesteld uit twee afgeknotte kegels, wier grondvlakken op het midden der hoogte samenvallen. Als - = 0,85 is, bereken dan de inhouden, die in zulk een tafel bij de a J natshoogten 150, 250 en 350 moeten voorkomen. Roei- en Peilkunde. 9 130 VRAAGSTUKKEN TER OEFENING. . No. 24. Een cylinder is bij de temperatuur van 25° C. geheel gevuld met gedistilleerd met een soortelijk gewicht: 0,833. Tot welk deel van de hoogte zal de vloeistof in den cylinder staan bij een temperatuur van 4° C. als aangenomen wordt, dat alleen het volume der vloeistof bij de afkoeling verandert ? No. 25. Een liggend rond fust van de volgende afmetingen : buitenomtrek bij de spon 2,48 M ; bodemsmiddellijn 0,688 M.; dikte der duigen 0,02 M ; binnenlengte 1,067 M., is geheel met water gevuld. Het water wordt overgestort in een cylindervormige kuip en staat daarin tot de hoogte 0,45 M. Hoe groot is de middellijn van die kuip ? No. 26. Uit metingen van een fust heeft men afgeleid : a = 712 m.M., b = 604 en l = 996 m.M. Als men een mogelijke fout aanneemt van 2 m.M. in a en b en van 3 m.M. in l (te groot of te klein) tusschen welke grenzen kan dan de inhoud van het fust berekend worden ? No. 27. Een liggend fust 'is gedeeltelijk met gedistilleerd gevuld. De afmetingen van het fust zijn: Spondiepte = 725 m.M., bodemsmiddellijn = 632 m.M., lengte = 810 m.M, de natshoogte bedraagt 325 m.M. De inzinking van den vochtweger in een proef van het gedistilleerd is 14,2 bij 16° C. Aan het gedistilleerd wordt ander gedistilleerd toegevoegd, waarna het verkregen mengsel wordt overgestort in een staand fust. De afmetingen van dit staand fust zijn: Spondiepte=1070 m.M., bodemsmiddellijn = 920 m.M., lengte = 1224 m.M. De natshoogte in dit fust bedraagt 302 m.M. De inzinking van den vochtweger in een proef van het verkregen mengsel gedistilleerd is 11,1 bij 17° C. Wordt gevraagd hoeveel gedistilleerd van 50 pet. is toegevoegd geworden. Bij de berekening moet voor het liggend fust de segmenttafel worden gebruikt. Bij de berekening mogen onderdeelen van millimeters en -hters worden verwaarloosd. De fusten zijn rond en regelmatig. Voor 1/i Ti kan 0,7854 worden genomen. Vakexamen voor Surnumerair 1921, 1 uur. No. 28. I. De hoeveelheid vocht te berekenen aanwezig in een gedeeltelijk gevuld staand fust, waarvan:. de spondiepte = 107 c.M.; de bodemdiepte = 92 c.M., en de lengte = 122,4 c.M. is, terwijl de natshoogte 12,2 c.M. bedraagt. II. Bereken den inhoud van een fust, waarvan de steeklijn 740 m.M. is. Surnumerairs-examen 1900, 2 uur. VRAAGSTUKKEN TER OEFENING. 131 No. 29. I. Van een liggend fust zijn de afmetingen als volgt: Spondiepte 550 m.M.; bodemdiepte 462 m.M.; lengte 646 m M. - de natshoogte van het gedeeltelijk gevulde fust is 300 m.M. Bereken den inhoud van het gevulde gedeelte van het fust: a. met behulp van de segmenttafel; b. met behulp van de wantafel. II. Een cylindervormige staande bak is diep 160 c.M. De omtrek van grond- en bovenvlak is 220 c.M. De wanden zijn dik 1 c.M. Deze bak is voor 3/4 gevuld met gedistilleerd. Bij een temperatuur van 68° F. drijft daarin een lichaam met een soortelijk gewicht van 0,688 ; l/4 van het volume van dat lichaam komt boven de vloeistof uit. Bereken de hoeveelheid gedistilleerd ad 50 pet. in dien bak aanwezig. Examen voor kommies-verificateur 1917, 3 uur. No. 30. I. Een liggend fust met gelijke bodems heeft de navolgende afmetingen: Spondiepte 11 d.M.; bodemsmiddellijn 9 d.M.; Lengte buitenwerks 1-4 d.M. lengte kim 0,3 d.M.; dikte duigen 0,4 d.M.; doorsnede van het spongat 1 d.M. Het fust is gedeeltelijk gevuld met gedistilleerd, natshoogte 10 5 d M Door het spongat, dat den vorm heeft van een cylinder, wordt vervolgens rechtstandig een ronden houten stok gestoken, lang 12 d M tot hij de tegenoverliggende duig raakt. Tengevolge daarvan stijgt de vloeistof tot aan den bovenrand van het spongat. Wordt gevraagd te bepalen de doorsnede van dien stok en de grootte van het fust. II. Een rechtopstaande cylinder met inwendige hoogte van 5 d M en inwendige middellijn van 2 d.M. wordt gedeeltelijk gevuld met gedistilleerd, inzinking vochtweger 2 bij een temperatuur van 14° C tot zoodanige hoogte dat, wanneer vervolgens in dien cylinder verticaal tot op den bodem wordt gestoken een massief cylindervormig lichaam doorsnede 1 d.M., hoogte 6 d.M., de vloeistof tot aan den rand van den cylinder stijgt,. Laat men dat voorwerp vervolgens los dan gaat het drijven en daalt daardoor de vloeistofspiegel met 1 d.M. Wordt gevraagd het soortelijk gewicht van dat voorwerp Te nemen: n = 3,1416 log n = 0,49715 7« n = 0,7854 log V4 n = 9,89509—10. Onderdeelen van millimeters, wanneer zij 0,5 of minder bedragen moeten bij iedere eindberekening buiten aanmerking blijven en andere voor een geheelen mdlimeter worden genomen. Onderdeelen van deciliters te verwaarloozen. Geen wantafel te gebruiken. Roei- en Peükunde. Examen voor kommies-verificateur 1919, 4 uur. 9* 132 VRAAGSTUKKEN TER OEFENING. Nö; 31. I. In een lokaal is aanwezig: Ie. een staand rond fust inhoudende gedistilleerd, waarvan de vochtweger bij een temperatuur van 18° C. een inzinking aanwijst van 5.1. Van dit fust zijn de volgende afmetingen bekend : le. de omtrek gemeten over het spongat 26 d.M.; 2e. de bodemsmiddellijn 6 d.M.; 3e. de binnenlengte 11 d.M.; 4e. de dikte der duigen 0,4 d.M.; de natshoogte is 9 d.M. He. een kruik, waarin 2,7 Liter gedistilleerd, waarvan de temperatuur 18° C. is en de inzinking van den vochtweger 11,2 aanwijst. De hoeveelheden gedistilleerd worden overgestort in een kuip staande in een lokaal, waar de temperatuur 10° C. is. Deze kuip heeft den vorm van een staanden cylinder, terwijl de bodem den vorm heeft van een bolvormig segment met de ronding naar beneden. De pijl van dit bolvormig segment heeft de lengte van 1 d.M. en het cylindervormig gedeelte van de kuip een middellijn van 10 d.M. Nadat het gedistilleerd, dat in deze kuip is gestort, de temperatuur van het lokaal heeft aangenomen, moet worden bepaald: le. de sterkte van dit gedistilleerd. 2e. de grootste natshoogte in die kuip. Te nemen : n = 3,1416 log n = 0,49715 V4 Ti = 0,7854 log V« Ti = 9,89509—10. Onderdeelen van millimeters wanneer zij 0,5 of minder bedragen, moeten, bij iedere eindberekening, buiten aanmerking blijven en anders voor een geheelen millimeter worden aangenomen. Onderdeelen van deciliters te verwaarloozen. Geen wantafel te gebruiken. II. Een rechtopstaand cylindervormig vat miet rechten bodem is gedeeltelijk gevuld met water. De middellijn is 10 d.M. Daarin wordt een kubusvormig lichaam gedompeld met een soortelijk gewicht van 0,7 waardoor de vloeistof 10 c.M. stijgt. Gevraagd wordt de lengte te bepalen van een der zijden van dezen kubus. Hoeveel zal het water stijgen, wanneer daarin wordt geworpen een kegelvormige steen met een hoogte van 2 d.M. en een middellijn (grondvlak) van 1,5 d.M. ? Examen voor kommies-verificateur 1918, 3 uur. No. 32. I. Een cylinder en een kuip, welke den vorm heeft van een afgeknotten kegel zijn beide geheel gevuld met water. De inhoud wordt gestort in een staand ledig regelmatig ovaal fust. De afmetingen, alle binnenwerks, zijn als volgt: Cylinder. Middellijn bodem = 40 c.M. ; hoogte = 50 c.M. Kuip. Middellijn bovenvlak = 100 c.M.; middellijn grondvlak 80 c.M ; grootste diepte = 48 c.M. De bodem vormt een bolsegment met de ronding naar boven; pijl = 5 c.M. VRAAGSTUKKEN TER OEFENING. 133 Staand ovaal fust: Lange spon-as = 100 c.M.; korte spon-as = 60 c.M.; lange bodem-as = 80 c.M.; korte bodem-as = 48 c.M.; binnenlengte = 110 c.M. Wordt gevraagd met behulp van de wantafel te berekenen de natshoogte in het fust na de overstorting. II. Een rechthoekige bak van binnen lang 80 c.M., breed 50 c.M. en hoog 100 c.M., is tot op een hoogte van 50 c.M. gevuld met gedistilleerd, waarin de vochtweger een inzinking aanwijst van 6,10 bij een temperatuur van 13° C. Daarin drijft rechtstandig een massieve kubus, zoodanig dat het bovenvlak met den vloeistofspiegel gelijk staat. De zijde van den kubus is lang 20 c.M. Wordt gevraagd, met behulp van de sterktetafel voor gedistilleerd, te berekenen hoeveel water van 13° C. bij het in den bak aanwezige gedistilleerd moet worden gevoegd om de kubus 0,5 c.M. boven de vloeistof te doen uitsteken en hoeveel het soortelijk gewicht van den kubus bedraagt. N.B. Bij de berekening behoeft niet te worden gelet op de grondslagen, waarop de sterktetafels berusten, dus bijv. niet op de samentrekking van vermengd gedistilleerd noch op de uitzetting of inkrimping van glas en dergelijke. Te nemen: n = 3,1416 log Ti = 0,49715 V« * - 0,7854 log V« Ti = 9,89509—10 Onderdeelen van millimeters, wanneer zij 0,5 of minder bedragen, moeten bij iedere eindberekening buiten aanmerking blijven en anders voor een geheelen millimeter worden genomen. Onderdeelen van deciliters te verwaarloozen. Examen voor kommies-verificateur 1920, 3 uur. No. 33. I. Van een geheel met gedistilleerd gevuld fust is het gewicht 650 KG., het gewicht van het ledige fust 90 KG., terwijl het soortelijk volume van het gedistilleerd bedraagt 1,25 bij een temperatuur van Deze hoeveelheid gedistilleerd wordt geheel overgestort in een ledig, liggend, normaal, middelbaarbuikig fust met een spondiepte van 110 c.M. Na de overstorting is de temperatuur van het gedistilleerd gelijk gebleven. Van een genomen proef wordt bij een temperatuur van 12° C. een inzinking van den vochtweger opgenomen van tusschen 24,1 en 24,2. Gevraagd wordt: a. de natshoogte van het gedistilleerd in het laatste fust; b. het bedrag van den verschuldigden accijns. N.B. Onderdeelen van centimeters en centiliters tot en met 5 verwaarloozen ; daarboven voor een geheel te nemen. Gebruik van logarithmentafel is toegestaan. 134 VRAAGSTUKKEN TER OEFENING. II. Van een kuip in den vorm van een afgeknotten kegel zijn de afmetingen binnenwerks : Middellijn bovenvlak = 3,6 M. ; middellijn grondvlak = 2,6 M.; hoogte = 3 M. Hoeveel vloeistof bevat de kuip, wanneer de natshoogte 2,4 M. is ? N.B. Het vraagstuk op twee manieren op te lossen. Te nemen : n = 3,1416 log 7t = 0,49715 1U Ti = 0,7854 log | Ti = 9,89509—10 Examen voor kommies-verificateur 1921, 3 uur. No. 34. I. Een staand rond, regelmatig fust is gedeeltelijk met gedistilleerd gevuld, De natshoogte bedraagt 940 m.M., terwijl de afmetingen van het fust zijn: spondiepte 1390 m.M. bodemsmiddellijn 1180 m.M. binnenlengte 1630 m.M. De temperatuur van het gedistilleerd bedraagt 14,5° C., terwijl de inzinking van den vochtweger 6,60 is. Het fust wordt aangevuld met ander gedistilleerd. Opdat het zich goed zal vermengen, legt men het fust om. De natshoogte in het thans liggende fust, bedraagt 1200 m.M., terwijl de temperatuur van het gedistilleerd 14,5° C. en de inzinking van den vochtweger 5,— is. Gevraagd wordt, om te berekenen, hoeveel gedistilleerd ad 50 pet. is toegevoegd geworden en van welke sterkte dit toegevoegd gedistilleerd was. Voor 1/4 Tc kan 0,7854 genomen worden. In de uitkomsten der verschillende berekeningen kunnen onderdeelen van millimeters en liters worden verwaarloosd. Eventueel moet de segmenttafel worden gebezigd. Contractie van gedistilleerd buiten beschouwing te laten. II. Een liggend rond en regelmatig fust is gedeeltelijk met gedistilleerd geviüd. De natshoogte bedraagt 325 m.M., terwijl de afmetingen van het fust zijn : spondiepte 725 m.M. bodemsmiddellijn 632 m.M. binnenlengte 810 m.M. De sterkte van het gedistilleerd is opgenomen bij een temperatuur van 15° C, en bedraagt 46,6 pet. Gevraagd wordt om het gewicht van het gedeeltelijk gevulde fust te berekenen, indien het leege fust 40 K.G. weegt. Voor 1/4 7t, kan 0,7854 worden genomen. In de uitkomsten der verschillende berekeningen kunnen onderdeelen van millimeters, liters en kilogrammen worden verwaarloosd. Eventueel moet de wantafel worden gebezigd. Examen voor kommies-verificateur, 1922. Antwoorden op de vraagstukken» No. 1. 312 mM. Accijns f 600,60. „ 2. Natshoogte 447 m.M. volgens wantafel III. Natshoogte 448 m.M. volgens segmenttafel. Gewicht 293 K.G. „ 3. 13,1 d.M. ., 4. Natshoogte volgens segmenttafel: 397 m.M. wantafel III : 399 m.M. wantafel IVa : 398 m.M. Sterkte : 45,1 pet. Natshoogte in het staande fust: volgens berekening en volgens wantafel V: 442 m.M. en volgens wantafel Vla : 438 m.M. „ 5. a. 445,3 L. : b. 450,5 L. ; c. 444,4 L. „ 6. 97 L. „ 7. 8 L. „ 8. Oppervlak bij beide onderstellingen : 72,35 d.M*. Natsinhoud volgens wantafel V : 188,3 L. Natsinhoud volgens wantafel VI: 190 L. De capaciteit van het fust bedraagt 826 L. „ 9. Bij de toepassing van de segmenttafel zou men tot de conclusie komen, dat het fust geen vloeistof bevat. Volgens de formule van van Blanken bevat het fust: 6 L. De wantafels geven onzekere uitkomsten, omdat ze niet voor de verhouding - = 0,7, die hier gegeven is, berekend zijn. „ 10. 1268 K.G. „ 11. 110,8 L. water; 5, 45 d.M. „ 12. le. 11,4 pet. ; 2e. 5,58 d.M. ; 3e. volgens wantafel V : 7,78 d.M. ; volgens wantafel VI: 7,76 d.M. „ 13. a. 310 L. ; b. 7,51 d.M. ; c. 309 L. ad 50 pet. „ 14. 28,1 L. ad 50 pet. „ 15. 1837 L. „ 16. le. 2,79 d.M. ; en 4,70 d.M. ; 2e. 371 L. » 17. De tafel geeft aan, hoeveel alcohol in het gedistilleerd is bij 15» C. Wanneer de vloeistof bij 10° C. bijna uit zuiveren alcohol bestaat, bijv. voor 99,9 pet., zal die hoeveelheid bij verwarming tot 15° C. zoodanig uitzetten, dat men meer dan 100 pet. verkrijgt van de oorspronkelijke hoeveelheid gedistilleerd. , 18. 113 L. ad 50 pet. , 19. 41,1 L. volgens segmenttafel, 41 L. „ wantafel III, 40,8 L. „ „ IV. 136 No. 21. 1,13 d.M., volgens de segmenttafel. Met de wantafels kan men geen nauwkeurige uitkomst vinden, omdat - = 0.77 is gegeven en de wantafels niet voor die verhouding zijn samengesteld. „ 22. 21,9 L. De capaciteit van het fust bedraagt 321 L. Ook bij dit fust is de aanwijzing van de hoeveelheid volgens de tafels onzeker. „ 23. 13,3 L. ; 23 L. en 33,3 L. 979 „ 24. Tot . A van de hoogte. 1000 „ 25. 11,2 d.M. „ 26. Tusschen 354,5 en 360,6 L. Uit de gegeven grootheden vindt mén 357,5 L. Deze uitkomst kan dus ruim 0,8 pet. te groot of te klein zijn. „ 27. 94 L. „ 28. I. 85,7 L. met wantafel V, als men daarin het gemiddelde neemt van de getallen in de kolommen A en B, want - = 0,86. a II. 250 L. „ 29. I. 76,6 L. met segmenttafel, 76,4 L. met wantafel III. II. 489,4 L. „ 30. I. De capaciteit van het fust is 1057 L. De hoeveelheid vloeistof met de formule van van Blanken 1049 L. en met wantafel III 1048 L. De doorsnede van den stok 72,6 c.M*. en de middellijn daarvan 9,6 c.M. II. 0,163. Het lichaam kan niet rechtstandig in de vloeistof drijven. ., 31. I. Sterkte gedistilleerd 38,8 pet. Hoogte 5 d.M. II. Ribbe van den kubus 4,82 d.M. De stijging van de vloeistof door het onderdompelen van den kegel 15 m.M. „ 32. I. 8,46 d.M. met wantafel V en 8,59 d.M. met wantafel VI. De uitkomst is onzeker, omdat - = 0,8 is. a II. 140 L. S. G. van den kubus 0,942. ,, 33. I. Natshoogte 6,5 d.M. Aangenomen is, dat voor dit fust de verhouding bestaat: a : 100 = b : 88 = l: 117,5. Hoeveelheid gedistilleerd 1364 L. ad 50 pet. Accijns f 4501,20. II. 17065 L. „ 34. I. 390 L. ; 25,2 pet. II. 162 K.G. VRAAGSTUKKEN. EXAMEN VOOR KOMMIES-VERIFICATEUR 1923. 3 uttr. ï« Van een liggend rond regelmatig fust zijn de afmetingen: spondiepte 725 mM. bodemsmiddellijn .... 632 mM. binnenlengte 810 mM. Het fust is gedeeltelijk gevuld met 131 L. gedistilleerd van 80,6 pet. bij 15° C. De temperatuur van het gedistilleerd is 12° Réaumur. Gevraagd wordt de natshoogte te berekenen. Bij deze berekening moet eventueel de wantafel worden gebruikt. Nadat de natshoogte is berekend, moet de proef op de som worden genomen door met behulp van de segmenttafel den natsinhoud te berekenen. Tevens wordt gevraagd het gewicht van het gedistilleerd te berekenen. Bij alle berekeningen moeten onderdeelen van millimeters, liters en kilogrammen worden verwaarloosd. 74jr= 0,7854. II. Een liggend rond regelmatig fuBt is gedeeltelijk met gedistilleerd gevuld. De temperatuur van het gedistilleerd bedraagt 5° C., terwijl de vochtweger inzinkt tot 21,6. De afmetingen van het fust zijn: spondiepte 840 mM. bodemsmiddellijn .... 720 mM. steeklijn 915 mM., terwijl de natshoogte, langs de steeklijn gemeten, 610 mM. bedraagt. Gevraagd wordt: 1°. Hoeveel gedistilleerd fcich in dit fust bevindt. 2°. Hoe groot de hoeveelheid zal zh'n, wanneer dit gedistilleerd wordt verwarmd tot 15° C. 3°. Hoeveel gedistilleerd ad 50 pet. bij 15° C. na deze verwarming aanwezig is. Bij de berekening moet eventueel de wantafel worden gebezigd. Bij alle berekeningen moeten onderdeelen van millimeters en liters worden verwaarloosd. V*w = 0,7854. VRAAGSTUKKEN MET UITWERKING. Oplossingen. I. Volgens de formule van Gregory (blz. 22) is de middellijn van het grondvlak van den cylinder, die een even grooten inhoud heeft als het fust (de z.g. gemiddelde middellijn door M voor te stellen) = 2a±b 14,5 + 6,32 20,82 ... ... —2— = g = g = 6,94 dM. De inhoudstafel I (blz. 71) geeft bij die middellijn een inhoud aan van 37,4 + 0,4 x 0,11 = 37,84 per 1 dM. hoogte van den cylinder, dus bij een hoogte van 8,1 dM. (de binnenlengte van het fust) een inhoud van: 37,84 x 8,1 = 305,504 = 306 L. Daar in het vraagstuk gegeven is 1/i n = 0,7854, zal bedoeld zijn den inhoud te berekenen met behulp der formule: I = 1/i n M2 l. V* » M2 1 = 0,7854 x 6,942 X 8,1. Dit uitgewerkt geeft voor den inhoud 306,4; tot in liters dus ook 306. Daar de verhouding van de spondiepte tot de bodemsmiddellijn is 725 : 632 of ongeveer 100 : 87, geeft de wantafel voor middelbaarbuikige fusten de meest nauwkeurige uitkomst voor de berekening van de hoeveelheid vloeistof, in het fust aanwezig bij een gegeven natshoogte. Als die hoeveelheid gegeven is, kan men uit de tafel natuurlijk ook omgekeerd de natshoogte afleiden. In de tafel wordt de hoeveelheid aangegeven als de inhoud van het fust op 100 L. wordt gesteld. Het gegeven fust van 306 L. bevat volgens de opgave 131 L.; een overeenkomstig fust van 100 L. zal dus bevatten: 3^X131 = 42,81 L. In tafel III (blz. 74) komt in kolom B het getal 42,81 niet voor, wel 43,4 en 42,7. Bij 43,4 L. bedraagt de natshoogte 450 „ 42/7 „ „ „ „ 445 Een verschil van 0,7 L. geeft dus een verschil van 5 in de natshoogte. Er is een verschil van 0,11 (nl. 42,81 — 42,7), dus zal de natshoogte 0 11 x 5 = 0,785 meer bedragen dan 445, alzoo 445,785. De wantafe geeft de natshoogte aan bij een spondiepte, gesteld op 1000. De spondiepte bedraagt bij het gegeven fust 7,25 dM.. dus zal de werkelijke natshoogte bedragen: x 7,25 = 3,23 dM. 1000 ' ' De tafel van Lulofs (tafel IV6, blz. 76) wijst bij een inhoud van 43 L. een natshoogte aan van 447,435 en bij 42 L. „ „ „ „ 439,898 Een verschil van 1 L., geeft dus een verschil van 7,537 in de natshoogte. VRAAGSTUKKEN MET UITWERKING. Bij een verschil van 0,81 L. (42,81—42) zal dus de natshoogte 0,81 x 7,537 = 6,104 meer bedragen dan 439,898, alzoo 446,002. De spondiepte is echter niet 1000, maar 7,25 dM., dus bedraagt de werkelijke natshoogte: 446,002 oc oo Jqqq x 7,25 — 3,23 dM., zooals ook tafel III aanwees. Thans moet de proef genomen worden, moet berekend worden of volgens de segmenttafel de inhoud ook 131 L. bedraagt bij de gevonden natshoogte van 3,23 dM. De segmenttafel (tafel II, blz. 72) geeft de grootte van het segment bij een gegeven natshoogte (pijl), als de inhoud van den cirkel wordt gesteld op 100 000 en de middellijn op 1000. De gemiddelde middellijn werd hiervoor berekend op 6,94 dM. en de natshoogte in het gegeven fust op 3,23 dM. In den cylinder, die even groot is als het fust, zal de natshoogte dus bedragen (zie blz. 37): 7 25 6 94 ■3,23 i j-^- = 3,23 — 0,155 = 3,075 dM. (*). Bij een middellijn van 6,94 dM. bedraagt de natshoogte (pijl) 3,075 dM.; bij een middellijn van 1000 zal derhalve de pijl bedragen: x 3,075 = 443,083. b,94 De tafel wijst bij een pijl van 444 voor hel segment aan: 42885 en » » » 443 „ „ „ „ 42758 Als de pijl dus met 1 toeneemt, neemt het segment toe met 127. Bij een verschil van 0,083 dus: 0,083 x 127 = 10,541. Het segment heeft dus bij een pijl van 443,083 een oppervlakte van: 42758 + 10,541 = 42768,541. De inhoud van den cirkel is echter niet 100000 maar — zooals we hiervoor zagen — 0,7854 x 6,942. Het segment is dus in werkelijkheid groot: 0,7854 x 6,942 fnnhor/a 100000 • x 42768-541Wanneer we deze oppervlakte van het segment vermenigvuldigen met de binnenlengte, verkrijgen we den natsinhoud van het fust, alzoo: j = 0,7854 x 6,942 x 42768,541 x 8,1 100000 Hiervoren werd gevonden: 0,7854 x 6,942 x 8,1 = 306,4 Liter, (*) Bij deze berekening kunnen de onderdeelen van mM. en L. niet worden weggelaten, daar anders de proef niet nauwkeurig genoeg zou zijn en 1 L. verschil in de einduitkomst zou geven met de in het vraagstuk opgegeven hoeveelheid van 131 L VRAAGSTUKKEN MET UITWERKING. T 306,4 x 42768,54 ... ' dus is I = ïüöqöö = 131 llter- 12° R. = 15° C. (12 x 5/4; zie blz. 82). Bij 15° C wijst de sterktetafel een sterkte aan van 80,6 pet., als de inzinking bedraagt 16 graden. Het soortelijk volume bedraagt dus 116 en het soortelijk gewicht derhalve ^ = 0,862. 116 ' Het gewicht van het gedistilleerd is alzoo 131 X 0,862 = 112 KG. II. Om de capaciteit van het fust te kunnen berekenen, moet eerst de binnenlengte gevonden worden. Op blz. 27 komt de formule voor waarin CE de steeklijn, a de spondiepte, b de bodemsmiddellijn en l de lengte van het fust voorstelt. In het gegeven fust is dus: 83,7225 = 7,82 + v4 P 83,7225 = 60,84 + 741* 22,8825 = v* P 72Z= 1/22,8825 = 4,783 (zie § 2 van bijlage B), en l = 9,56 dM. De gemiddelde middellijn M is, berekend met toepassing van de t i r 2 x 8,4 + 7,2 24 . formule van Gregory, g = ~3~ = Tafel I (blz. 71) wijst bij deze middellijn een inhoud aan van 50,3 L. bij 1 dM. hoogte. De hoogte van den cylinder, d.w.z. de binnenlengte van het fust, is 9,56 dM. en de capaciteit bedraagt dus 50,3 X 9,56 = 480,868 = 480 Liter. Ook bij de berekening volgens de formule 1/i n l M2 verkrijgt men dezelfde grootte. */, ji l M2 toch is = 0,7854 x 9,56 X 82 = 480 Liter. Met de uitdrukking ,,de natshoogte langs de steeklijn" wordt blijkbaar bedoeld: de lengte van dat deel der steeklijn, dat binnen de vloeistof valt. Daaruit is de natshoogte te berekenen. Geeft men in figuur 6 door een lijn, evenwijdig aan CD, de hoogte aan van de vloeistof in het fust en plaatst men bij het snijpunt dier lijn met de steeklijn de letter V en bij het snijpunt met de spondiepte VRAAGSTUKKEN MET UITWERKING. de r W, dan zal de rechthoekige driehoek EVW gelijkvormig zijn met den rechthoekigen driehoek ECG, want zij hebben gelijke hoeken (zie blz. 103). De zijden dezer driehoeken zijn dus evenredig. EV : EC = EW : EG of 3,05 : 9,15 = EW : 7,8 want EV is gelijk EC — CV, dus = 9,15 — 6,1 = 3,05 _._ . .... a—b R ,„ 8,40 — 7,2 en EG is gelijk a ^— — ~ 2 = ' 3,05 x 7,8 7,8 0 . ... EW is dus = ' - = -5- = 2,6 dM. 9,15 3 De natshoogte is derhalve 8,4 — 2,6 = 5,8 dM. en bedraagt dus meer dan de halve spondiepte Berekenen wij daarom de ledige ruimte en trekken deze van den geheelen inhoud af om den natsinhoud te bepalen. Als het te berekenen gedeelte gevuld was, zou de natshoogte daarin bedragen 2,6 dM. Bij een spondiepte van 8,4 dM bedraagt de natshoogte 2,6 dM.; bij een spondiepte van 1000, waarop tafel III gebaseerd is, dus: J| x 1000 = 309,523. 8,4 Daar de verhouding tusschen spondiepte en bodemsmiddellijn is 8,4 : 7,2 of 100 : 85,7 is de wantafel voor dikbuikige fusten toe te passen. De mate van buikigheid is echter nabij de grens (86) tusschen dik- en middelbaarbuikige fusten, volgen» de verhoudingen door Lulofs bij de samenstelling zijner wantafels aangenomen, dus kan de uitkomst bij gebruik van de wantafel voor dikbuikige fusten niet nauwkeurig zijn. Tafel III wijst voor een dikbuikig fust bij een natshoogtè van 310 een inhoud aan van 25,2 L. en bij 305 „ „ „ „ 24,6 „ By een verschil van 5 dus 0,6 L. meer inhoud. Bij een verschil van 4,323 (309,523 — 305) dus: X 0,6 = 0,542 L. 5 Voor een natshoogte van 309,523, wijst dus de tafel een inhoud aan van: t 24,6 + 0,542 = 25,142 L. in een fust van 100 L.; alzoo is de ledige ruimte in bet gegeven fust van 480 L. groot: X 480 = 120,6816 Liter. 100 Het fust bevat dus volgens tafel III een hoeveelheid gedistilleerd van 480 — 120,6816 = 359,3184 = 359 Liter. Volgens tafel IVa van Lulofs bevat een dikbuikig fust van 100 L. VRAAGSTUKKEN MET UITWERKING. bij een natshoogte van 310,928 een hoeveelheid vftn 25 L. en „ „ „ „ 302,878 „ „ „ 24 L. bij een verschil van 8,05 dus 1 L. meer, Het verschil bedraagt 309,523 — 302,878 = 6,645, dus zal de vermeerdering bedragen ^ = 0,825. o,UO De ledige ruimte is dus groot 24,825 L. in een fust van 100 L. en in het gegeven fUBt van 480 L. alzoo : 24;^5 X 480 = 119,16 Liter 100 Het fust bevat dus volgens tafel IVa: 480 — 119,16 = 360,84 360 Liter. Bij een inzinking van den vochtweger tot 21,6 bij een temperatuur van 5° C. wijst de sterktetafel een sterkte aan van 96,4 pet. Volgens de op blz. 89 bedoelde tafel ter herleiding van het volume bij verandering der temperatuur, zal het volume gedistilleerd van 96,4 pet., bij verwarming van 5° tot 15° C. toenemen in de verhouding van 990 tot 1000. 360 L. wordt dus ^ x 1000 = 363,6 L. = 363 L. 360 Liter gedistilleerd ad 96,4 pet. = 694 L. ad 50 pet. want 360 X 96,4 X 2 8 = 694 100 Die hoeveelheid ad 50 pet. is natuurlijk even groot vóór en na de verwarming. Bij verwarming van 5° tot 15° G. wordt de hoeveelheid vloeistof grooter, maar bij onderzoek met den Vochtweger zou een geringere sterkte geconstateerd worden. INHOUD. HOOFDSTUK I. I 1. Inleiding . §2. Wettelijke bepalingen nopens het opnemen van den inhoud' Van' 'fusten'* 5 § a. WaterQking * » • HOOFDSTUK n. BOEIKUNDE. § 4. Het opnemen der afmetingen van lusten fl I e' {"Jjoudsoerekening van cylinders. De inhoudstafel" ,! f 8. Inhoudsberekening van kegels, afgeknotte kegels, bolsch'hVe'n èn'bol'seir'. " menten met behulp van de inhoudstafel .. n § 7. Inhoudsberekening van fusten. Deze beschouwd als' samengesteld üiï twee " of vier afgeknotte kegels .„ | 8. Dei duigenkromming van een ftut beschouwd 'als emptisch ofals p'arabóiiséh " Inhoudsformule van Gregory r——~—~» | 9. BuJkigheid van fusten..De aangenomen' üivlöèd' daarvan öp de'toepassinir " der verschillende inhoudsformules .. f«w"s § 10. Vroeger voorgeschreven stelsels van Nederlandsch' Vaatwerk" 24 § 11. De steeklijn. Het gebruik van den roeistok. " 2? § 12. Inhoudsberekening van regelmatige ovale (emp'tl'scnë) 'tasten '. '." nn § 13. Inhoudsberekening van onregelmatige fusten "#' "f 30 HOOFDSTUK Hl. PEUKUNDE. A. Liggende fusten. § 14. Segmenttafel § 16. Peilen bij geringe patshoogte ......'..'." ?5 § 16. Wantafels voor liggende fusten ... " tt § 17. Peiltafels » *J § 18. Ovale (elliptische) fusten " jf I 19. Onregelmatige fusten " X B. Staande fusten. § 20. Pellen van staande fusten § 21. Wantafels voor staande fusten " tï § 22. Ovale (elliptische) fusten " f$ § 28. Onregelmatige fusten » |J HOOFDSTUK IV. Afleiding van eenige in de roei- en peilkunde toegepaste formules. Berekening van de segmenttafel en de wantafels. I 24. Over de ellips en de parabool KA I 25. De inhoudsformule van Gregory " ?V I o?* Se ,inhon*sïormnIes van Lobatto en Lulofs.'* ?f § 27. De inhoudsbepaling van een fust door middel van den roeistok:" t» f 28. De samenstelling van de segmenttafel .... „ ös § 29. De^amenstelUngvandewantafeUTOorBwnde'f^ ■ §80. Peilen bij geringe natshoogte' De' w'antotels'm en IV" «l 8 81. De samenstelling der wantafels voor staande fusten ..MM"!!).*!"; " tj 9 18 18 16 17 19 24 25 80 82 40 41 44 46 46 47 48 49 49 138 I. Inhoudstafel toot cylinders II. Segmenttafel III. Wantafel yoor liggende fusten IV. a. Wantafel yoor dikbuikige liggende fusten naar Lulofs b. ,, „ middelbaarbuikige „ „ „ „ c. „ „ dunbuikige „ „ „ „ .... V. Wantafels voor staande fusten VI. a, b en c. Wantafels van v. d. Boodt voor staande fusten Bijlage A. Thermometers en vochtwcgers „ B. Over tweede machtsworteltrekking, evenredigheden, vlakke figuren en lichamen C. Esameneischen Vraagstukken met uitwerking Vraagstukken ter oefening. Antwoorden op de vraagstukken Blz. 71 ,, 72 „ 74 „ 75 „ 76 m " „ 78 „ 70 ., 81 » »8 „ 110 ., 112 » 124 » 1»6 Fig. 20. Fig. 21.