VERHANDELINGEN UITGEGEVEN DOOK TEYLER'S TWEEDE GENOOTSCHAP.   VERHANDELINGEN UITGEGEVEN DOOR TEYLER'S TWEEDE GENOOTSCHAP. Nieuwe Reeks. NEGENDE DEEL. DE HAARLEM. ERVEN LOOSJES. 1919.  TEYLER'S TWEEDE GENOOTSCHAP TE HAARLEM. H.H. Directeuren van Teyler's Stichting en de Leden van Teyler's Tweede Genootschap hebben in hunne vergadering van 4 Mei 1918 hun oordeel vastgesteld over het antwoord, onder het motto: „Mensch, blijf strijden en vertrouw. E. Madach", ingezonden op de voor het jaar 1916 uitgeschreven prijsvraag, luidende: De hypothese van Rutherford, volgens welke een atoom zou bestaan uit een positief geladen kern waaromheen zich electronen bewegen, is in de laatste jaren zeer vruchtbaar gebleken en werd, ook in verband met de theorie der quanta, op vele verschijnselen toegepast. Daarom wordt gevraagd, de beteekenis en de waarde van deze hypothese en de reeds gemaakte gevolgtrekkingen te beoordeelen, en haar, zoo'daartoe aanleiding wordt gevonden, verder uit te werken, of wel dienstbaar te maken aan de verklaring van verschijnselen die tot nog toe niet uit dit oogpunt werden beschouwd. Deze uitvoerige verhandeling heeft een zeer gunstigen indruk gemaakt. Er blijkt uit dat de schrijver het onderwerp geheel meester is en de uitgebreide daarop betrekking hebbende litteratuur grondig heeft bestudeerd. Het overzicht dat hij daarvan geeft, munt uit door duidelijkheid, en de wijze waarop hij de verkregen uitkomsten beoordeelt, en aanwijst in hoeverre zij nog te kort schieten, getuigt van scherpzinnigheid en van een helder inzicht in de moeilijke vraagstukken die zich op dit gebied voordoen. Dat aan de theorie der quanta een ruime plaats is gegeven en dat de problemen die op de licht-emissie en de spectra be-  viii trekking hebben, op den voorgrond zijn geplaatst, is gerechtvaardigd door de uitkomsten die Bohr, Sommerfei/d en anderen reeds hebben verkregen; de schrijver is terecht van meening' dat het hoofdvraagstuk moet zijn, de bewegingen in het atoom te „quantiseeren", d.w.z. in aansluiting aan de theorie der quanta vast te stellen welke van de volgens de gewone wetten der mechanica mogelijke bewegingen in werkelijkheid zullen voorkomen en welke niet. De nadruk wordt er op gelegd, dat vooralsnog de grondstellingen der quantentheorie met de klassieke mechanica en electrodynamica in strijd zijn. Zoolang het niet gelukt is, tot een goed samenhangende „quantenmechanica" te geraken, moet .men zich er mede tevreden stellen, bij het quantiseeren althans een algemeenen vasten regel te volgen. Wat de schrijver in deze richting gedaan heeft, verdient allen lof. Hij legt daarbij een grondige bedrevenheid in de wiskundige methoden der moderne mechanica aan den dag. Voor het opbouwen van een quantenmechanica zal ongetwijfeld Ehrenpest's hypothese der adiabatische invarianten van groote beteekenis blijken te zijn. Dit onderwerp wordt in het zesde hoofdstuk besproken, waarbij ook de gelukkige uitbreiding die J. M. Burgers aan de beschouwingen van Ehrenpest heeft gegeven, wordt uiteengezet. Menig bijzonder vraagstuk van grooter of kleiner omvang is door den schrijver opgelost en men vindt in zijn werk vele belangrijke opmerkingen die betrekking hebben op nagenoeg alle verschijnselen waaruit iets over de structuur der atomen kan worden afgeleid. Zonder eenige aarzeling kon worden besloten, den schrijver den uitgeloofden prijs toe te kennen. Bij opening van het naambriefje bleek de schrijver te zijn de Heer J. M. Burgers, conservator van het laboratorium van Teyler's Stichting l). ') De verhandeling is Dok verschenen als akademisch proefschrift van den Beer Burgers en hovendien opgenomen in de Archives dn.Musée Teyler, Série III, Vol. IV.  Indien men vraagt een algemeen oordeel te geven over de hypothese van RütherfoRd, moet men naar mij dunkt erkennen dat ze van zeer groot nut geweest is en ook nog zijn zal voor de ontwikkeling van ons inzicht in den bouw en de eigenschappen der atomen. Aan de grondgedachten — dat een atoom een „planetenstelsel" is, met een zeer kleine en zware kern als centraallichaam, en de elektronen als planeten; de hypothese van Van den Broek over de grootte der kernlading; de splitsing der eigenschappen Van het atoom in eigenschappen van de kern, en eigenschappen van het elektronensysteem — kan bijna niet meer getwijfeld worden. De experimenten over dé verstrooiing der alpha-deeltjes, de radioaktieve verschijnselen, de eigenschappen der isotope elementen, en vele andere kwesties zijn alle in volkomen harmonie hiermee. Ook het algemeene karakter der Röntgenspektra levert een groote steun voor de theorie der „atoomnummers". Wat de speciale modellen betreft schijnt de bouw van het waterstof-atoom —- behalve wat de kern aangaat — wel geheel vast te staan. Men moet wel als zeker aannemen dat een waterstof-atoom bestaat uit 1 kern, waaromheen 1 elektron loopt. De systemen met meerdere elektronen en die met meerdere kernen leveren nog de grootste moeilijkheden; vooral in verband met de kwestie van' de stabiliteit der systemen. Tengevolge van de groote moeilijkheden die verbonden zijn aan het berekenen der bewegingen in deze systemen, welke op het oogenblik bijna onoverkomelijk lijken, kan men voorloopig nog weinig zeggen over de resultaten welke de theorie van Rutherford in dit gebied zal kunnen opleveren. Verder is volgens de op het oogenblik geldende opvattingen de theorie over de struktuur der atomen onafscheidelijk verbonden met de theorie der quanta (gelijk ook reeds boven vermeld is). Hierover durf ik zeer weinig te zeggen. Zooals bekend is staan de grondgedachten van de quantentheorie geheel buiten de gewone opvattingen, en zijn ze op vele punten ermee in  voorrede. xvii strijd. Wanneer men echter aan den anderen kant nagaat welke schitterende resultaten deze theorie in vele opzichten bereikt heeft, wordt men wel gedwongen aan te nemen dat ze een groote kern van juistheid bezit. Over deze problemen zal de verdere ontwikkeling der Natuurkunde moeten beslissen. Leiden, medio Juli 1917.   INHOUD. bl. Inleiding 1 Hoofdstuk I: De theorie van Rutherford 3 § 1. Opmerkingen over het model van liet atoom, voorgesteld door W. Thomson en J. J. Thomson . . 3 § 2. Het atoommodel van Rutherford 7 § 3. Verstrooiing van alpha-deeltjes 10 § 4. Grootte van de kernlading 17 § 5. Overzicht van de voornaamste hypothesen over den bouw en de eigenschappen der atomen, welke met de theorie van Rutherford samenhangen . 20 Hoofdstuk II: De toepassing van de theorie der quanta op het atoommodel 25 § 6. De Ie hypothese der quantentheorie ..... 27 § 7. Algemeene vorm van de quantenvoorwaarden. . 31 § 8. IIe hypothese der quantentheorie: emissie van lichttrillingen 33 § 9. Opmerking in verband met het verschijnsel van Doppler 38 § 10. Uitwerking van de quantenvoorwaarden. ... 41 § 11. Andere formuleering van de quantenvoorwaarden 47 § 12. Eenduidigheid der quantenformules 49 § 13. Opmerkingen over ontaarde systemen .... 52 § 14. Voorbeelden van systemen waarop de quantenformules van § 10 kunnen worden toegepast . . 57 § 15. Opmerkingen over systemen die niet voldoen aan de voorwaarde B van § 10 63 § 16. Verschillende opmerkingen 69  § 1.] de theorie van rutherford. 5 Het statische probleem: de evenwichtsfiguren van stilstaande elektronen, is behandeld door L. Föppl De voornaamste resultaten van dit onderzoek zijn: Voor 1, 2 of 3 elektronen is de rangschikking in een vlakke „ring" 2) steeds stabiel, onverschillig of de elektronen al of niet rondloopen. £ Voor n — 4, 5, is de rangschikking in een ring slechts stabiel indien het systeem voldoende snel roteert; is dit niet het geval, dan plaatsen 4 elektronen zich in de hoekpunten van een regelmatig tetraëder; 5 elektronen verdeelen zich in een ring van 3 met aan weerszijden 1 elektron. Vlakke ringen met rneer dan 5 elektronen zijn instabiel, welke rotatie-snelheid de ring ook heeft; zij kunnen echter stabiel gemaakt worden (bij voldoend snelle rotatie) indien men in het centrum van den bol een negatieve lading van passende grootte plaatst. Thomson geeft hiervoor op: aantal elektronen v/d. ring: 5 6 7 8 9 10 15 20 30 40 neg. lading in het centrum: 0 1 1 1 2 3 15 39 101 232 3) *) Aan het artikel van Thomson is de volgende opgave ontleend: aantal elektronen straling per elektron: in den ring: (omtrekssnelheid van den ring: c. 10-i cm.; c.10-* cm.) n = 1 S = 1 genomen; S = 1 genomen 2 9,6.10-2 9,6.10-* 5 5,6.10-' 5,6.10-" 6 1,6.10-' 1,6.10-" ') L. Föppl, Stabile Anordnnngen von Elektronen im Atom, Diss. (rottingen 1912. l) Nauwkeuriger uitgedrukt: 1 elektron in het centrum van "het atoom; 2 elektronen diametraal tegenover elkaar; 3 elektronen in een gelijkzijdigen driehoek. J) Als eenheid van lading zal in het vervolg gewoonlijk gebruikt worden de lading van een eenwaardig ion, welke gelijk is aan de lading van het elektron. De grootte hiervan is volgens Millikan: 4,774.10—1° E. S. E. Zie: R. A. Millikan, Physik. Zeitschr. 14, p. 796, 1913 [en Phil. Mag. 34, p. 16, 1917]. *) Rij afwezigheid van rotatie zijn volgens Föppl (1. c.) de volgende konfiguraties stabiel: n — 4: tetraëder; » = 5: een ring van 3 elektronen met aan weerszijden 1 elektron ; n = 6: de elektronen plaatsen zich op de hoekpunten van een oktaeder; n — 7: 5 elektronen vormen een vlakke ring, aan weerszijden hiervan bevindt zich een der overblijvende elektronen; n — S: twee ringen van 4 elektronen, die t.o.v. elkaar 45° verdraaid zijn; bij n = 10, 12, 14 verdeelen de elektronen zich over twee ringen en twee „polen".  6 de theorie van rutherford. Thomson leidt hieruit approximatief af de verdeeling van een groot aantal elektronen over meerdere koncentrisehe ringen, waarbij aangenomen wordt dat de elektrostatische werking der binnenste ringen op een meer naar buiten gelegene berekend mag worden alsof de geheele lading der binnenste ringen in het centrum vereenigd was. Deze rangschikking der elektronen in verschillende ringen vertoont periodiciteitseigenschappen welke herinneren aan het periodiek systeem der elementen. Neemt men nu aan dat het atoomgewicht van een element bepaald wordt door het aantal elektronen in het atoom J), dan kan men met dit model de chemische eigenschappen der elementen, speciaal wat betreft de valentie, eenigermate 'verklaren. Ter verklaring van de radioaktieve verschijnselen geeft Thomson de volgende voorstelling: de roteerende elektronen stralen energie uit, waardoor hun beweging langzamerhand geremd wordt. Op een gegeven moment is de rotatie-snelheid niet meer voldoende om het systeem stabiel te houden: er vindt een soort van explosie plaats in het atoom, de elektronen nemen nieuwe ëvenwichtsstanden in, en het is mogelijk dat een deel van het atoom afgesplitst wordt, en met groote snelheid als alpha- of betadeeltje wegvliegt 2). ') J. J. Thomson, l.c. p. 258. Oorspronkelijk nam Thomson aan dat de geheele massa van. het atoom aan de elektronen toegeschreven moest worden; waterstof zon dan ca. 1850 elektronen per atoom moeten bezitten; Uranium ca. 400000. Later leidde hij echter uit verschillende overwegingen af dat het aantal elektronen van de orde van grootte van het atoomgewicht moest zijn (Phil. Mag. 11, p. 769, 1906). 21 Deze opvatting is echter in strijd met het feit dat de sterftekans van een individueel radioaktief atoom onafhankelijk is van den ouderdom van het atoom, zooals blijkt uit het exakt exponentieel verloop van de vervalkromme. Zie: Rutherford, Radioaktive Substanzen und ihre Strahlungen (Marx' Handbuch der Radiologie II. Leipzig 1913), p. 368, 561.  § 2. HET ATOOMMODEL VAN RUTHERFORD. Vergelijkt men het model van het atoom van Rutherford, zooals dat in de inleiding reeds in hoofdtrekken besproken is, met dat van J. J. Thomson, dan verdienen de volgende punten de aandacht: 1) In het model van Rutherford is de positieve lading gekoncentreerd in een kern van zeer geringe afmetingen (voor afstanden kleiner dan 10-12 cm moet de kern nog zoo werken, alsof de geheete lading in een punt gekoncentreerd is; zie beneden), terwijl in het model van Thomson de positief geladen bol de diameter van het atoom bepaalt, en dus van de orde van grootte van een Angström-eenheid (10-8 cm) is. 2) In het model van Thomson kunnen de elektronen stabiele konfiguraties innemen: de onderlinge afstooting der elektronen neemt af met het kwadraat van den afstand, terwijl de attraktie door den positieven bol recht evenredig is met de le macht van den afstand tot*het centrum. Bij Rutherford daarentegen volgen alle krachten de wet van Coulomb, en is het systeem in het algemeen niet stabiel x), tenzij men bijzondere hypothesen invoert omtrent de beweging der elektronen. (N.B. Voorloopig zal op de stabiliteitsproblemen niet worden ingegaan, daar deze behandeld moeten worden in verband met de toepassing van de theorie der quanta op het atoommodel. Zie hoofdstuk IV, § 26 en 27) 2). *) Zie: J. W. üïicholson, Monthly Notices Roy. Astr. Soc. 72, p. 682 vlg. 1912. — Een atoom bestaande uit 1 kern met slechts 1 elektron (waterstof) is natuurlijk steeds stabiel. — J) N. Bohh (Phil. Mag. 26, p. 2, 1913) maakt de volgende opmerking: onder de grootheden die het model van Thomson karakteriseeren komt er een voor — de straal van den positieven bol — die de dimensies heeft van een lengte en in grootte-orde overeenstemt met de afmetingen van het atoom, terwijl een dergelijke lengte niet voorkomt onder de grootheden die het andere atoom karakteriseeren (ladingen en massa's van elektronen en kern); ook kan een lengte niet alleen door deze grootheden bepaald worden.  8 de theorie van rutherford. Gelijk boven reeds vermeld is heeft 'Rutherford zijn theorie ontwikkeld naar aanleiding van de resultaten gevonden omtrent de verstrooiing van alpha- en beta-deeltjes door metaallaagjes, e.d. Laat men een bundel evenwijdige alpha-stralen door een laagje bladgoud gaan, dan blijkt dat de deeltjes uit hun aanvankelijke bewegingsrichting geworpen en naar alle kanten verstrooid worden. Deze afwijkingen uit de oorspronkelijke baan moeten worden toegeschreven aan de „botsingen" der deeltjes met de metaal-atomen, en het ligt voor de hand deze „botsingen" geheel elektrisch op te vatten: d.w.z. te onderstellen dat de verandering der bewegingsrichting ontstaat doordat de alpha-deeltjes door de sterke elektrische velden binnen de atomen vliegen *). De reden die Rutherford geleid heeft tot het aannemen van een elektrisch geladen kern van zeer kleine afmetingen en groote massa in het atoom was het voorkomen van zeer groote afwijkingshoeken (90° en meer), waarvan men moet onderstellen dat ze door een enkele botsing veroorzaakt zijn 2). De alpha-deeltjes moeten dus door buitengewoon sterke velden heengaan (potentialen van de orde van 1000 a 2000 E. S. E.) 3). Dergelijke potentialen komen niet voor bij het atoommodel van Thomson, tenzij de positieve bol öf een bijzonder hooge lading heeft, öf zeer klein is 4). Rutherford heeft toen een atoom beschouwd waar i) Misschien moet men ook de magnetische velden in de atomen in rekening brengen (W. M. Hicks, zie literatuur-opgave aan het eind van § 3). "-) Geiger en Marsden (Proc. Roy. Soc. A 82, p. 495 (1909), A 83, p. 492 (1910)) hadden bij hun proeven over de verstrooiing van alpha-deeltjes o.a. het volgende gevonden: gaan alpha-deeltjes door een laagje bladgoud van ca. 0,00004 cm dikte, dan krijgt ongeveer 1/20000 der opvallende deeltjes een gemiddelde afwijking van 90°, terwnl de waarschijnlijke waarde van de afwgkingshoek ca. 0 87° is. Indien de groote afwijkingen ontstaan door een toevallige superpositie van vele kleinere, zou de verdeeling der hoeken ongeveer door de foutenwet van Gtauss beheerscht moeten worden: Men kan gemakkelijk inzien dat dan bij een waarschijnlijke afwijking Dw = 0,81° = 0,48/*, de kans op afwijkingen van 90° en meer bijna absoluut nul is. De waargenomen verdeelingswet der afwijkingshoeken is een geheel andere. s) Êen schatting krijgt men hiervan door te berekenen tegen welken potentiaal een alpha-deeltje met een aanvangssnelheid van b.v. 2.10» cm kan oploopen (F„ = M F»/4 e = ca. 1,3.10* E. S. E.). ») Het eerste is niet waarschijnlijk op grond van de schatting van het aantal elektronen in het atoom.  DE THEORIE VAN RUTHERFORD. 9 de massa gekoncentreerd is in een positief geladen kern van zeer geringe grootte l), terwijl de elektronen op groote afstanden om de kern heenloopen, en heeft nagegaan wat voor verdeeling van de afwijkingshoèken dergelijke atomen zouden teweegbrengen. De gevonden resultaten bleken zeer goed overeen te stemmen mét de experimenteele uitkomsten, en het was mogelijk uit de proeven af te leiden: 1) een bovenste-grens voor de grootte van de kern; 2) een approximatieve waarde voor de kernlading; 3) vast te stellen dat de afstooting tusschen atoomkern en alpha-deeltje omgekeerd evenredig is met het kwadraat van den afstand. ') Indien de kern niet de massa van het atoom droeg, zou deze om zoo te zeggen niet vast genoeg staan om de alpha-deeltjes uit hun haan te doen afwijken.  § 3. VERSTROOIING VAN ALPHA-DEELTJES. In het volgende zullen enkele hoofdpunten vermeld worden van de door Rutherford opgestelde theorie omtrent de verstrooiing van alpha-deeltjes door materie. Voor verdere uitwerking der formules wordt verwezen naar de oorspronkelijke artikelen van Rutherford en Darwix l). Zoolang men grodte afwijkingshoeken beschouwt, mag worden aangenomen dat elke waargenomen afwijking ontstaan is bij een enkele botsing (z.g. enkelvoudige verstrooiing); de kans dat een alpha-deeltje tweemaal achtereen in een dun plaatje een groote afwijking krijgt is zeer gering 2). Men kan dan ook volstaan met slechts de werking van de kern te onderzoeken, en den invloed der omringende elektronen verwaarloozen 3). i) E. Rutherford, Phil. Mag. 21, p. 669, 1911; 27, p. 488, 1914. C. G. Darwin, Phil. Mag. 27, p. 499, 1914. i) Om een afwijking te krijgen, grooter dan b.v. 5° moet de afstand van de oorspronkelijke baan van het alpha-deeltje tot de kern (in fig. 1: p) volgens de heneden gegeven formules kleiner zijn dan: p — lfè. (/min. • cot (5/2)° = ca: 4.10-11 Cm, wanneer men de aanvangssnelheid van het deeltje gelijk 2.109 cm, en de kernlading = 100 aanneemt. Nu liggen in een goudblaadje zooals door Geiger en Marsden gebruikt is per cm2 ca. 2,4.1018 atomen, zoodat.de kans dat de oorspronkelijke baan op minder dan 4.10-h cm langs een atoomkern loopt, en dus de afwijkingshoek grooter is dan 5°, kleiner is dan: 2,4.1018 . n (4.10-11)2 — ca. 0,012. De kans dat eenzelfde deeltje 2 keer achtereen een afwijking grooter dan 5° krijgt is kleiner dan het kwadraat hiervan. >) De werking van een afzonderlijk elektron is praktisch nul door de kleine massa (7400 maal kleiner dan die van een alpha-deeltje). De werking van alle elektronen tezamen kan men schatten door ze te-vervangen door een uniform met negatieve elektriciteit geladen bol (zie Rutherford, l.c). Bij kleinere afwijkingshoeken is het wel noodig rekening te houden met de samengestelde verstrooiing en met den invloed der elektronen. (Deze laatsten veroorzaken ook een remming van de alpha-deeltjes bij. hun passage door het metaal; zie hierover: N. Bohr, Phil. Mag. 25, p. 10, 1913).  § 3.] DE THEORIE VAN RUTHERFORD. 11 Bij de berekeningen is verder aangenomen, dat de massa van een deeltje als onafhankelijk van de snelheid mag worden beschouwd, en dat geen energie of hoeveelheid van beweging verloren gaat door uitstraling 1). 1) Verstrooiing door een metaallaagje. Ter vereenvoudiging wordt aangenomen dat de kernen der metaalatomen onbeweeglijk zijn. Zij de lading van een atoomkern : Ei = Z .e; die van het alpha-deeltje E2 = 2 . e 2); de massa van het alpha-deeltje is M2; de oorspronkelijke snelheid'F. Onder den invloed van de afstooting door de atoomkern beschrijft het alpha-deeltje een hyperbool (zie fig. 1). Stelt men de loodlijn Fig. 1. Afstooting van een alpha-deeltje door een atoomkern. F, = atoomkern. OC = a = 1/2 .dmia. — halve reëele as van de hyperbool. uit de kern op de oorspronkelijke baan neergelaten gelijk p, dan is de hoek van afwijking D gegeven door: ■cot D/2 = 2.p'dmln. (1) waar dmin. = 2 Ei E2/M2 V2 de kleinste afstand tot de kern *) Voor zoover mij bekend is heeft men den invloed van de veranderlijkheid der massa met de snelheid op de formules voor de verstrooiing niet nagegaan. Dat de uitstraling van energie, enz., verwaarloosd wordt, vermeldt Rutherford expliciet (Phil Mag. 21, p. 675, 1911). 2) Zie b.v. E. Rutherford, Die Radioaktiven Substanzen und ihre Strahlungen (Marx' Handbuch der Radiologie II, Leipzig 1913), p. 100.  12 de theorie van rutherford. [§ 3. is die het alpha-deeltje zou kunnen bereiken als het recht op de kern aanvloog • Alle alpha-deeltjes hadden bij de proef oorspronkelijk dezelfde snelheid in grootte en richting. Zij Q het aantal deeltjes dat per sekonde door 1 cm2 vliegt, dan is het aantal deeltjes dat per sekonde een afwijking- tusschen D en D -f- d D krijgt: r, dP 7 n ™E\.E% cos #/2 , n ,0. Deze vliegen binnen een ruimtehoek: 2n . sin D . dD. Dus komen er per sekonde door een vlakje van 1 cm2 op grooten afstand r van het atoom: Heeft men te doen met een metaallaagje dat zoo dun is dat de alpha-deeltjes niet merkbaar geremd worden, en dat z atomen per cm2 bevat, terwijl de doorsnede van den-bundel O cm2 is, dan moet' dit aantal met z . O vermenigvuldigd worden 2), zoodat men krijgt: O z O E2 E2 N=^w -TÈfw: cosec42V2 (4) 2') Verstrooiing dooi- lichtere sloffen: invloed van de beweeglijkheid der kernen. Door Darwin 3) is nagegaan hoe groot de verstrooiing wordt, wanneer men rekening houdt met de beweeglijkheid van de atoomkernen; hij komt tot de volgende resultaten: a) De massa van de kern (M\) is grooter dan die van het alpha-deeltje (Mi). Dan is: 0-i--l)(ir---!--<5» i) Indien Et . Et negatief was (attraktie tusschen kern en alpha-deeltjes) vindt men dezelfde formule voor D; in de figuur zou dan de kern zich in Ft moeten bevinden (in dit geval is rfmin. slechts een rekengrootheid). l) Bij groote afwijkingshoeken vliegen de alpha-deeltjes zoo dicht langs de kernen, dat elk atoom werkt alsof het alleen aanwezig was. 3) C. G. Darwin, Phil. Mag. 27, p. 499, 1914.  de theorie van rutherford. 15 Boven is reeds vermeld dat Marsden de scintillatie door de teruggestooten IZ-atomen heeft kunnen aantoonen *). Op dë theorie van de verstrooiing door een atoom volgens het. model van J. J. Thomson, en op verdere kwesties omtrent de verstrooiing zal hier niet worden ingegaan. Slechts wordt naar de volgende literatuur verwezen: a) Verstrooiing door een atoom volgens het model van J. J. Thomson: J. J. Thomson, Cambr. Lit. & Phil. Soc. XV, pt. 5 (1910). E. Rutherford, Phil. Mag. 21, p. 669, 1911. \t) Verstrooiing van alpha-deeltjes door magnetische atoomkernen („magnetonen"): W. M. Hicks, Proc. Roy. Soc. A 90, Meeting of March, 19, 1914, p. 12, 16, en nader uitgewerkt : A 90, p. 356, 1914. Prof. Hicks onderzoekt de verschillende banen die een alpha-deeltje om of in de nabijheid van een magneton kan beschrijven; formules voor de verstrooiing zijn hier' echter niet uit afgeleid. c) Samengestelde verstrooiing („compound scattering") in de theorie van Rutherford: E. Rutherford, 1. c. p. 677. d) Verstrooiing van beta-deeltjes: Theorie van J. J. Thomson: Cambr. Lit. & Phil. Soc. XV, • p. 5 (1910); van E. Rutherford: Phil. Mag. 21, p. 683, 1911; 27, p. 491, 1914. Experimenteel onderzoek: J. Crowther, Proc. Roy. Soc. A84, p. 226, 1910. Banen van beta-deeltjes vlak langs een atoomkern: C. G. Darwin, Phil. Mag. 25, p. 201, 1913. e-) Absorptie van alpha-deeltjes: (1) C. G. Darwin, A Theory of the Absorption and Scattering of the «-Rays, Phil. Mag. 23, p. 907, 1912. — Darwin gebruikt als grondslag de theorie van Rutherford over den bouw der atomen, en gaat de werking tusschen' ') Marsden, Phil. Mag. 27, p. 824, 1914.  § 4. GROOTTE VAN DE KERNLADING Volgens het bovenstaande blijkt de theorie van Rutherford in goede overeenstemming te zijn met de waarnemingen, en de onderstelling dat in een atoom een positief geladen kern van zeer geringe afmetingen aanwezig is, welke kern de drager is van de massa van het atoom heeft groote waarschijnlijkheid. Wat de afmetingen betreft het volgende: De formules voor de verstrooiing zijn afgeleid in de onderstelling dat voor de kleinste in aanmerking komende afstanden de kernen zich gedragen alsof hun lading in een punt gekoncentreerd is. Berekent men wat de kleinste afstanden tusschen kern en alpha-deeltje zijn die voorkomen, dan vindt men hieruit dat b.v. voor goud de straal van de kern kleiner moet zijn dan 3.10-12 cm, voor Waterstof en Helium kleiner dan 1,7.10-13 cm 2). Van groot belang is nu vooreerst de grootte van de kernlading. Deze moet gelijk wezen aan het aantal elektronen dat de kern omgeeft, en uit de proeven van Geiger en Marsden is afgeleid dat ze ongeveer gelijk is aan de helft van het atoomgewicht 3). ') De elektronen om de kern dragen ook bij tot de massa van het atoom, doch slechts voor een zeer klein bedrag. ») Zie E. Rutherford, Phil. Mag. 21, p. 671, 1911; 27, p. 493, 1914. Voor de straal van het elektron was berekend 2.10-18 cm, op grond van de veronderstelling dat de geheele massa van het elektron van elektromagnetischen aard was, en dat het zich gedroeg volgens de door Lorentz gegeven formules. (Daar volgens de formules der relativiteitstheorie de gewone of ware massa op precies dezelfde wijze van de snelheid afhankelijk is als de elektromagnetische massa volgens de formules van Lorentz, is men door de experimenten over de massa van het elektron niet gedwongen tot deze veronderstelling). ») Het aantal elektronen per atoom is langs geheel anderen weg berekend uit de verstrooiing der Röntgenstralen door Barkla. Hierbij wordt verondersteld dat deze verstrooiing veroorzaakt wordt door de elektronen in het atoom, overeenkomstig de theorie van J. J. Thomson (Conduction of Electrieity through Gases, 2  18 de theorie van rutherford. Van den Broek heeft de hypothese uitgesproken dat de lading van de kern gelijk zou zijn aan het rangnummer van het element 'in het periodiek systeem *). Het waterstof-atoom zou de lading 1 hebben, en dus bestaan uit een kern waaromheen één elektron loopt; Helium bezit de lading 2, Lithium 3, enz. Deze hypothese heeft grooten bijval gevonden. Er bleef echter nog een onzekerheid in de waarde van het rangnummer, daar het mogelijk is dat tusschen de bekende elementen nog andere behoorén te staan 2). Deze onzekerheid is grootendeels overwonnen door de onderzoekingen van Moseley over de Röntgenspektra der elementen 3). Moseley vond (wat later door anderen is bevestigd) dat de Röntgenspektra monotoon van element tot element veranderen, en dat de frequenties van de sterkste lijnen bij benadering kunnen worden voorgesteld door formules van den vorm: v = A.{Z-hf (7) waar i en i konstanten zijn, afhankelijk van de beschouwde p. 255). Aangenomen wordt dat elk elektron met de invallende straling meetrilt alsof het geheel vrij was. Barkla komt tot de volgende resultaten: (1) Dit de experimenten is gebleken dat Röntgenstralen van korte golflengte door gelijke massa's van verschillende stoffen bijna even sterk verstrooid worden (bij lichte elementen geldt dit ook voor Röntgenstralen van grootere golflengte). Zie C. (i. Barki.a & Miss .T. Gr. Duni.op, Phil. Mag. 31, p. 222, 1916. Het aantal elektronen is dus evenredig met het atoomgewicht. Uit de absolute grootte van de verstrooiing wordt gevonden dat dit aantal ongeveer de helft van het atoomgewicht bedraagt. (Zie C. Cr. Barkla, Phil. Mag. 21, p. 648, 1911, en 0. O. Barkla & Miss J. Gr. Duni.op, l.c). (2) Bij waterstof is naar verhouding de verstrooiing tweemaal te groot, dit moet derhalve 1 elektron per atoom hebben (zie 0. Gr. Barkla & Miss J. Gr. Dunlop, l.c). Naar aanleiding van de theorie van J. J. Thomson dient nog het volgende opgemerkt te worden: a) Hoe deze theorie te vereentgen is met de quantentheorie der lichtstraling is nog niet verklaard. b) Op grond van de radioaktieve verschijnselen neemt men aan dat ook binnen in de kern elektronen kunnen zign. Deze kern-elektronen zouden dan geen verstrooiing mogen veroorzaken, wat verklaard zou kunnen worden door te onderstellen dat ze zeer vast gebonden zijn (zie E. Rutherford, Phil. Mag. 27, p. 4%, 1914). «) A. van den Broek, Phys. Zeitschr. 14, p. 32, 1913. ») Van den Broek geeft in zijn artikel een tabel voor het periodiek systeem waarin nog vele nummers tusschen de bekende elementen ingevoegd zijn. a) H. G. J. Moseley, Phil. Mag. 26, p. 1024, 1913; 27, p. 703, 1914.  § 4.] DE THEORIE VAN RUTHERFORD. 19 lijn, en Z het rangnummer van het atoom is 1). In de reeks van Aluminium tot Goud bleken slechts 3 plaatsen open te zijn: de nummers 43, 61 en 75. Alle anderen zijn door bekende elementen ingenomen 2). Aan Aluminium heeft men hierbij het nummer 13 gegeven, in de onderstelling dat van Al naar beneden geen elementen ontbreken 3) 4). ') Later zijn door A. Sommerfeld exaktere formules gegeven (Ann. d. Phys. 51, p. 125, vgl., 1916). (Zie hoofdstuk III, § 19). Het algemeene karakter der formules is echter hetzelfde gebleven: de frequenties der verschillende lijnen worden door één getal bepaald, dat van element tot element met 1 opklimt. *) In de gevallen waarin de rangschikking der elementen in het periodiek systeem niet overeenstemt met de volgorde der atoomgewichten, heeft het onderzoek der Röntgenspektra de rangschikking in het systeem bevestigd (Ar K en Co—Ni: zie bi| Mosei.ey, l.c; Te—J: M. Siegbahn, Verh. Deutsch. Phys. Ges. 18, p. 39, 1916). 3) Zie over de nummers der lichtere elementen ook: E. Rutherford en J. M. Nuttall, Phil. Mag. 26, p. 710, 711, 1913. Door sommige onderzoekers wordt vermoed dat ook beneden Aluminium nog elementen ingevoegd moeten worden, speciaal Coronium en Nebulium. Zie hierover : J. W. Nicholson, Monthly Notices 72, p. 49, 139,. 677, 729 (1911/12); 74, p. 204, 486, 623 (1914): verg. ook beneden, § 30, noot 1). — Hoe deze' elementen in het periodiek systeem moeten worden ondergebracht is niet bekend. Verder wordt nog vermoed dat een element Metaneon bestaat, dat.echter isotoop zou zijn met Neon, en dus hetzelfde atoomnummer zon hebben. Zie hierover: J. J. Thomson, Rays of Positive Electricity, London 1913, p. 116 en: F. Aston, Phys. Zeitschr. 14, p. 1303, 1913. *) M. Siegbahn heeft de reeks uitgebreid tot Uranium (nummer 92). Verh. Deutsch. Phys. Ges. 18, p. 150, 1916. Zie voor een algemeen overzicht van de Röntgenspektra: M. Siegbahn, Jahrb. d. Rad. u. Elektr. XIII, p. 296, 1916 (bevat uitgebreide tabellen).  § 6. DE Ie HYPOTHESE DER QUANTENTHEORIE. Zooals boven reeds gezegd is hebben de hypothesen der quantentheorie betrekking op de beweging van mechanische en elektrische systemen, speciaal op de beweging van systemen, bestaande uit elektrisch geladen deeltjes (elektronen enz.). Volgens de klassieke theorie moet men bij de berekening van de beweging van dergelijke systemen letten op de werkingen tusschen de elektronen en het elektromagnetische veld. In het algemeen zal een zoodanig systeem energie en hoeveelheid van beweging uitstralen, terwijl het veld een reaktie op de elektronen uitoefent welke hun beweging remt Volgens de Ie hypothese der quantentheorie moet nu een dergelijk systeem bepaalde, op nader te vermelden wijze door geheele getallen vastgelegde, bewegingen kunnen uitvoeren, waarbij deze uitstraling van energie niet plaats vindt, welke bewegingen geheel volgens de vergelijkingen der klassieke mechanika berekend^ kunnen worden, zonder op de reaktie van het eigenveld op de elektronen te letten. (Ter afkorting zullen deze bewegingen aangeduid worden met den naam: quantenbewegingen). Aangenomen wordt hierbij dat een in beweging zijnd elektron een hoeveelheid van beweging bezit, welke bij groote snelheden de vergelijkingen der relativiteitstheorie. . In formules uitgedrukt: de beweging van een elektron wordt beheerscht door de LAGRANGE-funktie: ') Zie enkele opmerkingen hierover: hoofdstuk V, § 31. Een aantal problemen over de beweging van elektronen en de uitstraling van energie zijn uitgerekend door: Gr. A. Schott, Electromagn. Radiation, Cambridge 1912. gegeven is door de formule: (?= m v , overeenkomstig  28 TOEPASSING VAN DE THEORIE DER QUANTA [§ 6. t »(\ / ^ v'2 iA i ! x.ax+y.ay-\-z.as\ waar ff de elektrostatische potentiaal, ax ay az de vektorpotentialen van het uitwendige (d. w. z. niet door het beschouwde elektron zelf veroorzaakte) veld zijn l) 2). (lading van het elektron: — e). >) Bij alle formuleeringen van hypothesen uit de quantentheorie denke men steeds: dit schijnt zoo te zijn naar de op het oogenblik geldende opvattingen. Bij de snelle ontwikkeling die de quantentheorie in de laatste jaren ondergaan heeft, is het zeer goed mogelijk dat men binnen korten tijd deze hypothesen anders en duidelijker kan uitspreken. f1) De vergelijkingen van Lagrange: d )L . — ( —- I = 0, enz., dt \*x ) *x uit deze funktie afgeleid, leveren unmiddellijk de gewone bewegingsvergelijkingen voor het elektron. Men heeft vooreerst: ~dL mx e ax eax ? x ^ 1 — v-/c2 e c wanneer gx, ffy, ffz de komponenten zijn der hoeveelheid van beweging van het elektron. Verder is 1 (^\=^-±(da-+x-a^ + y^+z-^\, dt \ïx/ dl c\dt ïx *y ?z /' daar —j de verandering der grootheden aanduidt, welke men meet zoo men met het elektron meegaat. De vergelijking wordt dus: dqx e /ïax , '• ~èax . ■ ïax . • ïax\ r)f . c \ *x " ïx ^x) Derhalve: ~dT~ ~ e\ ~c~èï) ~ 7 j y \Jx l>y) z\üz ïx lx waarin:  § 6.1 01' HET ATOOMMODEL 29 Indien men, zooals veelal gedaan wordt, onderstelt dat de massa van een elektron van elektromagnetischen aard is, zou men de aanwezigheid van deze massa nog als een reaktie van het eigenveld van het elektron moeten beschouwen. De hypothese dat het systeem geen energie uitstraalt wanneer het een quantenbeweging uitvoert, en dat de elektronen geen reaktie van hun eigenveld ondervinden, terwijl de bewegingen toch volstrekt niet eenparig rechtlijnig zijn, is geheel in tegenspraak met de ideeën der klassieke elektrodynamika. Het schijnt niet mogelijk te zijn haar af te leiden uit bepaalde aannamen omtrent de beweging van het elektron; indien ze juist is, zou ze erop wijzen dat de grondvergelijkingen der elektronentheorie gewijzigd moeten worden, zoodat deze waarschijnlijk wel voor makroskopische systemen met groote elektrische ladingen, enz. gelden, doch niet voor systemen van de grootteorde van atomen. Voorloopig zal hierop niet nader worden ingegaan; verschillende kwesties die hierop betrekking hebben zullen in een later hoofdstuk besproken worden. Men geeft de hypothese ook wel in den vorm: het systeem kan slechts de quantenbewegingen uitvoeren, en geen andere. „ da> 1 dffla; E^ — — -x— , enz. d x c ot _ oa„ oay Hx = -~ ~ , enz. oy oz de elektrische en magnetische veldsterkten voorstellen.) Men vergelijke in verband hiermee: K. Sohwarzschild, Gott. Nachr. Math. Phys. KI. 1903, p. 127; G, A. Schott, Electromagnetic Badiation (Cambr. 1912), p. 284, verg. (456). Voor snelheden klein t.o.v. de snelheid van het licht wordt de funktie van Lagranoe : Z = ym) Zie in verband hiermee de opmerking in § 15, a), over translatie-bewegingen. Over emissie van moment van hoeveelheid van beweging vergelijke men § 16, e). [ i) Uit waarnemingen van interferentie-verschijnselen bij groote faze-verschillen heeft men o.a. afgeleid dat bij de groene kwiklgn in 1 emissieproces een golftrein van minstens 2600000 golven wordt uitgezonden (tijdsduur ca. 5.10-9 sek.). Zie overzicht in Winkelmann's Handbuch der Physik, Bd. VI, p. 1135. - Langs anderen weg heeft Stark onderzoekingen gedaan over den tijdsduur van het emissieproces (Ann. d. Phys. 49, p. 731, 1916; zie beneden, bl. 86, 3).]  § 8.] op het atoommodel, 37 berekening van het spektrum van een bepaald systeem als volgt: 1) men tracht • voor het systeem quantenvoorwaarden op te sporen, en de quantenbewegingen te vinden; 2) men bepaalt de energie der quantenbewegingen, en drukt deze uit als funktie der quantengetallen; 3) uit de fprmule voor de energie volgt onmiddellijk de formule voor het spektrum door middel • van de emissie<-hypothese van Bohr.  40 toepassing van de theorie der quanta [§ 'j. cos qp' — cos qp —|— — sin2 %; Een voor alle mechanische systemen geldende formuleering is nog niet gevonden; tot nu toe is ze beperkt tot een groote klasse van systemen met periodieke of quasirperiodieke bewegingen 2). De hier gebruikte vorm slujt zich zeer nauw aan bij die welke Sohwarzschild gegeven heeft 3). Zij gegeven een mechanisch systeem van ƒ vrijheidsgraden; de koordinaten zijn q\ . . . gy; de momenten (hoeveelheden van beweging) pi . . . pf. Omtrent het systeem wordt het volgende aangenomen: A) De funktie van Hamilton H (q , p) bevat t niet expliciet, zoodat H (q , p) — konstante — « (1) de enorgie-integraal van het systeem is. ') M. Planck, Ann. d. Phys. 4, p. 553, 1901. Zie verder Die Theorie der Warmestrahlung. *) Een uitzondering hierop is de door Epstein gebezigde quantiseering van hyperbolische bewegingen. Voorloopig worden deze buiten beschouwing gelaten. Zïe § 15, b). ') K. Sohwarzschild, Sitz. Ber. Berl. Akad. 1916, p. 548.  42 toepassing van de theorie der quanta [§ 10. B) Gedurende de beweging kan geen der koordinaten of momenten tot in het oneindige aangroeien; allen blijven beneden zekere eindige grenswaarden C) Het systeem bezit oplossingen van den volgenden vorm: qi — qi(Pi ■ • • pf » Qi • • • Qf) \ (2) Pi = Pi(P1 ... Pf>Qi... Qf), I waarin: 1) Pi . . . Pf.f integratiekonstanten zijn (de „intensiteitskon-, stanten"); 2) Qi . • . Qf lineaire funkties zijn van den tijd: Qi = «i. t + s{ (3) (fi . . . £ƒ zijn de overige ƒ integratiekonstanten, de „fazekonstanten"); 3) De q's en p's periodieke funkties zijn van de Q's met periode 2W2). De grootheden Qi . . . Qf worden Hoekvariabelen genoemd („Winkelkoordinaten", cf. Sohwarzschild, l.c); a>i ... «v zijn de middelbare bewegingen 3). D) Aangenomen wordt dat de P's zoo bepaald zijn dat: 1) de transformatie van de variabelen qi .... p/ naar de variabelen Qi • • • Pf een kontakt-transformatie is 4), zoodat: Zpi.dqi=2Pi.dQi + dW(P,Q) (4) waar d W de totale differentiaal van een funktie W (P, Q) is ; •) Met koordinaten is hier bedoeld: Cartesische koordinaten der systeempunten. Over de reeds genoemde hyperbolische beweging en over translatie-bewegingen zie men § 15. J) Deze funkties zijn in het algemeen trigonometrische reeksontwikkelingen naar sinussen en cosinussen van kombinaties der Q's (meervoudige Foürierreeksen). Zooals bekend is, worden dergelijke reeksen zeer veel gebruikt in de Astronomie, vooral bij de behandeling van storingsproblemen. ») Het is niet onmogelijk dat zoodra de voorwaarde B vervuld is, het systeem noodzakelijk oplossingen van den in C aangegeven vorm bezit. Door Poincaré is aangetoond dat de beweging van een mechanisch systeem dat aan B voldoet in het algemeen periodiek of quasi-periodiek is (Zie Mécanique Céleste III). Misschien zal het gelukken aan te toonen dat een systeem dat aan B voldoet ook steeds oplossingen heeft die met hoekvariabelen uitgedrukt kunnen worden. *) Zie b.v. Whittaker, Analytical Dynamics, Cambridge 1917, p. 288.  44 TOEPASSING VAN DE THEORIE DER QUANTA [§ 10. ingevoerde funkties -/i . . . . yk- Hierbij moeten twee gevallen onderscheiden worden: I) De middelbare bewegingen co* zijn onderling onmeetbaar; m.a.w. uit de on zijn geen lineaire kombinaties met geheele koefficienten te vormen, welke de waarde nul hebben. Dan luiden de quantenvoorwaarden: De quantenbewegingen van het systeem zijn die bewegingen waarvoor de P's geheele veelvouden van de universeele konstante hfeir zijn: Pi = m . A (ö) l Tl II) Tusschen de middelbare bewegingen w; bestaan X rationale betrekkingen van den vorm: ( u z= 1 . . . X Z m? . a>i = 0 f „ , , , , (0 i % I jn'. 3= geheel getal ) Dan kan men door een lineaire transformatie met geheele köefficienten overgaan op een nieuw stel. hoekvariablen Qi . . . . Q/ met bijbehoorende kanonische intensiteitskonstanten Pi. . . . Pf, zoodat Q/_^ + i . . . • ü/ de middelbare beweging nul hebben, terwijl de middelbare bewegingen van Qi .... Q/-ji onderling onmeetbaar zijn J). De funktie ' K (Pi... Pf) gaat dan over in een nieuwe funktie K(P, . .. . Pf-x) welke Pf _ ;. +1 . . . Pf niet bevat. De quantenbewegingen zijn nu hierdoor gekarakteriseerd, dat Pj . . . . P/_a geheele veelvouden van */2 'm moeten zijn. 2) ') Met betrekking tot deze substitutie zij verwezen naar: K. SchwarzsciiilDj l.c p. 550; P. S. Epstein, Ann. der Phys. 51, p. 179, 1916; J. M. Burgers, Versl. Akad. Amsterdam XXV, p. 918, 1916. De substitutie is niet volkomen eenduidig bepaald (op eenigszins analoge wijze als men ijj een dubbelperiodieke funktie oneindig veel verschillende periodenparallelogrammen kan aangeven). De verschillende systemen intensiteitskonstanten Pl . . . . P/_ A zijn echter door lineaire substituties met geheele koefficienteh en determinant + 1 met elkaar verbonden, zoodat ze volkomen equivalent zijn; allen leiden ze tot dezelfde quantenbewegingen. Deze meerduidigheid is dus niet van essentieel belang. (Cf. J. M. Burgers, l.c.) 2) Bij exakt periodieke systemen vindt men slechts één quantenvoorwaarde, nl.:  § 10.] OP HET ATOOMMODEL. 45 ■ Of ook Pf_i+i . . . gequantiseerd moeten worden is onzeker. In sommige gevallen schijnt het plausibel dit wel te doen, in andere niet. Zie in verband hiermee beneden § 13. Opmerkingen. [I) Uit de gegeven formules blijkt de in § 7 vermelde regel dat het aantal der quantenvoorwaarden hoogstens gelijk is aan het aantal der vrijheidsgraden. Bij een niet ontaard systeem, waar even zoovele onderling onmeetbare frequenties zijn als vrijheidsgraden, is dit onmiddellijk duidelijk. De waarden der fazekonstanten e toch hebben geen invloed op het karakter der beweging: in den loop der beweging komt het systeem oneindig vele malen willekeurig dicht bij eiken toestand, welke bij dezelfde waarden der P's door gegeven waarden der Q's bepaald is. Het zou dus geen zin hebben deze konstanten door quantenformules vast te leggen.] II) Uit het bovenstaande is duidelijk dat zoowel in geval' I als in II de waarde van de energie (welke gegeven wordt door de funktie K of K) door de quantengetallen volkomen vastgelegd wordt, zooals in § 7 reeds vermeld was. III) Het bewijs der formule voor de frequenties der bewegingen van het systeem, vermeld in § 8 (bl. 35), volgt onmiddellijk uit formule (5), wanneer men bedenkt dat v{ =<»iL7C is. Door een korte berekening kan men verifieeren dat ze ook in geval II geldig is. v IV) In het algemeen zijn de middelbare bewegingen co* funkties van de. parameters van het systeem (massa's, elektrische ladingen, konstanten van een krachtveld) en van de intensiteitskonstanten P. Het kan dus gebeuren dat er voor speciale waarden der P's rationale betrekkingen optreden tusschen de waarden der w{. Dan moet echter het systeem niet als ontaard beschouwd worden: hiervoor is noodig dat de.rationale betrekkingen tusschen de co* onafhankelijk zijn van de P's. V) Mechanische systemen welke oplossingen bezitten die voldoen aan voorwaarde B), laten oplossingen toe welke met (Cf. P. Ehrenfest, Versl. Akad. Amsterdam XXV, p. 412, 1916.) Hierin is: T — gem. waarde der kinetische energie; 2 ic/w0 = periode v/h systeem.  46 toepassing van de theorie der quanta [§ 10. hoekvariabelen uitgedrukt kunnen worden indien het systeem of a) een bepaalde evenwichts-konfiguratie bezit, öf b) eën bepaalde stationnaire beweging kan uitvoeren, öf c) een periodieke solutie bezit, en in de omgeving van deze partikuliere oplossingen de funktie van Hamilton regulier is l). (Vergelijk: Whittaker, Anal. Dynamics, Chapter XVI, en H. Poincaré, Mécanique Céleste I, p. 162, vgl.) Het is mij niet bekend of men ook andere algemeene gevallen kan aangeven waarin oplossingen uitgedrukt met hoekvariabelen bestaan. ) Hierbij is natuurlijk afgezien van speciale ontaardingsgevallen.  § 1*1. ANDERE FORM [JLEERING VAN DE QUANTENVOORWAARDEN. Uit vergelijking (4), § 10, volgt door te integreeren naar Qk van 0 tot 2 n, waarbij de. andere , waarin: 1) Ci ... Cf ƒ integratiekonstanten zijn; 2) Q.\. . . Qf lineaire funkties zijn van den tijd; 3) de q's en p's periodieke funkties zijn van de Q's met periode 2 TT. (Hierbij is het niet noodig dat de c's met de Q's een kanonisch systeem van variabelen vormen.) I) Indien tusschen de middelbare bewegingen der Q's geen rationale betrekkingen bestaan zijn de quantenvoorwaarden: ƒ o * Qk ■ % Pi ^ = nk . h (* = !..ƒ) (9) II) Bestaan er rationale betrekkingen tusschen de Q's, dan herleidt men het stelsel Q\ : . . Qf door een lineaire transformatie met geheele koefficienten tot een stelsel Qi . . . Qf, zoodat Q/_^ + i . . . Gb/ de middelbare beweging nul hebben, terwijl tusschen de middelb. bew. van Qi . . . Q/-^ geen rationale betrekkingen bestaan. In dit geval zijn de quantenvoorwaarden :  48 toepassing van de theorie der quanta [§ 11. 2tt ƒ dak-%Pi^ =nk.h (k = \ ...f-l) (10) _o Epstein heeft een formuleering van de quantenvoorwaarden gegeven welke principieel met het bovenstaande overeenstemt*). Opmerkingen. 1) Een bewijs voor de stelling dat men steeds kanonische variabelen kan invoeren, indien een mechanisch systeem oplossingen bezit van den vorm (2*), is mij meegedeeld door Prof. Dr. G. Herglotz. Deze kanonische variabelen: Pk, Q*k, zijn in het algemeen gegeven door: f Q*k = Qk + Gk (c, ... cf). Hierin zijn de C's bepaalde funkties van de c's, die bij de fazekonstanten e gevoegd moeten worden. (In vele gevallen zijn deze funkties G gelijk nul.) In het geciteerde artikel van Sohwarzschild wordt deze stelling wel genoemd, doch is er geen bewijs voor meegedeeld. 2) Houdt men de c's en dus ook de P's konstaht, dan is: 2 Pi dqi een volledige differentiaal. Dit volgt onmiddellijk uit formule (4) op bl. 42. ') P. S. Epstein, Verh. Deutsch. Phys. Gres. 18, p. 411, 1916.  § 12. EENDUIDIGHEID DER QUANTENFORMULES. Men kan in het algemeen aantoonen dat de ontwikkeling der koordinaten en momenten q en p naar ƒ (eventueel bij ontaarde systemen naar ƒ— X) hoekvariabelen, tusschen wier middelbare bewegingen geen rationale betrekkingen bestaan, slechts op één manier mogelijk is. Hieruit volgt dat de quantenvoorwaarden in de boven gegeven formuleering (verg. 9 en 10, § 11) eenduidig bepaald zijn. Bewijs dat een grootheid q, welke een funktie is van den tijd, slechts op één wijze in een FouRiEK-ree&s naar hoekvariabelen ontwikkeld kan worden. (Ter vereenvoudiging wordt ondersteld dat slechts twee hoekvariabelen in de ontwikkeling voorkomen, en dat alleen cosinustermen aanwezig zijn). Stel dat de grootheid q(t) op twee verschillende wijzen naar twee hoekvariabelen ontwikkeld kan worden: a) q{t) = 2Ahhcoa(h.QL + k.Ql) b) q (t) = 2Amn cos (m . Qi -f n . Q2) waar: Qi = £»i • t + fi Qi = coi . < + Bi Q2 — 032 • t -j- £2 0,2 — °°2 ■ t ~~\~ £2 (de verhouding £0i/w2 is onmeetbaar; evenzoo co1/co2). Aangenomen wordt dat deze reeksen gelijkmatig en voldoende sterk konvergeeren,. zoodat men term voor term mag integreeren en de limiet mag nemen J). Vermenigvuldig q (t) met: cos (h . mi + k . co2) t en bepaal: T Lim —= | dt. q . cos (h . cox + & • co2) t 0 *) De reeks mag vermoedeiyk ook een zg. asymptotische reeks zijn. Vergelijk H. Poincaré, Mecaniqne Céleste II. 4  50 toepassing van de theorie der quant a [§12. Reeks a) geeft hiervoor: -^-^fc.cos (fr.f1.--7r *■•*»') Zal reeks b) een bedrag opleveren dat van nul verschillend is, dan moet een der termen dezelfde periode hebben als cos (h. (»! + k . co2) t. Dus is een der kombinaties- m . coi 4" n . w2 = h . o>i + k . co2 (I) Voor dezen term moet dan zijn: Amn . cos (m . ii + n . £2) = Ahk. cos (h . eL + k . e2) J^- 'k'''' ,Jf' s-X^ / ^~~Y. 'O A Fig. 3. Perioden-netten in een twee-dimensionale Q-ruimte. Evenzoo volgt door q (<) te vermenigvuldigen met sin (h . co! + k. co2) t en te integreeren: Amn . sin (m . £1 + n. i2) = ^aa. sin (7i. £1 + & . e2) Dus is: ^4,„« = Ank (n) m . £1 + ft . £0 = h . £1 + k . £2 (mod. 2 tt)| ^jj^ zoodat: m. Qt + n .:Q2 = /i. + Q2 (mod. 2 Op analoge wijze kan men stuk voor stuk de gelijkheid der termen van de beide reeksen aantoonen. Aan de vergelijkingen (I) kan slechts voldaan worden als coi,cei2 eenerzijds en cëi, a>2 anderzijds door lineaire substituties met geheele koefficienten en determinant + 1 verbonden zijn, m.a.w. als deze stelsels equivalent zijn.  § 13. OPMERKINGEN OVER ONTAARDE SYSTEMEN. Volgens het bovenstaande moet men bij een systeem waar l rationale betrekkingen bestaan tusschen de middelbare bewegingen, slechts ƒ — 1 quantenvoorwaarden invoeren. Het aantal der quantenvoorwaarden is dus gelijk aan het aantal der onderling onmeetbare „grondperioden" van het systeem. Hierop is het eerst gewezen door K. Sohwarzschild *). In sommige gevallen heeft men echter meer quantenvoorwaarden ingevoerd dan het aantal der grondperioden bedraagt, zoo o.a. bij de elliptische beweging van een elektron om een atoomkern. Hier is slechts' 1 periode (de beweging is exakt periodiek); Sommerfeld heeft echter twee quantenvoorwaarden ingevoerd, waarvan de eene betrekking heeft op de azimuthale, de andere op de radiale beweging 2) 3). In het algemeen komt dit hierop neer dat men behalve Pi .... Pf-/. (verg. bl. 44) ook de grootheden- P/_;.+i .. . P/, of tenminste sommige ervan quantiseert. \ Bij deze „overtollige" quantiseering (welke geen invloed heeft op de waarde van de energie) kunnen tegenstrijdigheden optreden; het blijkt dat men door van verschillende oplossingsmethoden gebruik te maken (b.v. door verschillende koordinatensystemen in te voeren) tot verschillende stelsels grootheden P/_ x +1 . . . . Pf kan komen, welke niet door lineaire substituties met geheele koefficienten en determinant + 1 verbonden zijn. Een voorbeeld hiervan is de bovengenoemde elliptische beweging. Uitgaande van poolkoordinaten komt men na eenige 1) K. Sohwarzschild, Sitz. Ber. Berl Akad. 1916, p. 548. 2) A. Sommerfeld, Sitz. Ber. Bayr. Akad. 1915, p. 436; Ann. d. Phys. 61, p. 17, 1916. 3) Dit heeft betrekking op het geval dat men de relativiteitskorrekties verwaarloost. Brengt men deze in rekening, dan is de beweging niet meer exakt periodiek; in dit geval moeten er twee quantenvoorwaarden ingevoerd worden (cf. hoofdstuk HL, § 19).  § 13.] op het atoommodel. 53 transformaties (vergelijk hoofdstuk III, § 17) tot de invoering van de volgende intensiteitsgrootheden: Pi — |/me Ea Pa —\/ meEaJï^l2) P3 = l/ meEa{l — e2). cos i (m — massa elektron; e = lading elektron; E = lading kern; a = halve groote as van de elliptische baan; e = excentriciteit; i = inklinatie van het baanvlak t.o.v. een willekeurig gekozen vast vlak). Hierbij behooren de hoekvariabelen: Qi = middelbare anomalie; Q2 = lengte perihelium, gerekend vanaf de klimmende knoop; Q3 = lengte klimmende knoop, gerekend vanaf een bepaalde richting in het vaste vlak. De middelbare beweging van 02 en Q3 is nul. (Verg. § 17 en fig. 4, bl. 80). Het is onmiddellijk in te zien-dat quantiseering van P3 geen zin zou hebben, daar de waarde van cos i afhangt van de willekeurig te kiezen ligging van het vaste vlak. — De door Sommerfeld ingevoerde quantenformules komen neer op een quantiseering van Pi en P2, terwijl volgens § 10 en 11 alleen ?i gequantiseerd zou moeten worden. Gaat men daarentegen uit van een stelsel parabolische koordinaten, zooals door Epstein gebruikt is in zijn theorie van het STARK-effekt !) dan komt men tot een systeem van intensiteitskonstanten P1P2P3, welke met de bovenvermelde als volgt samenhangen: P\ ~\~ P2 ~f" Ps — Pi \ Pi - P3 Quantiseering der grootheden Pi P2 P3 leidt dus tot een geheel ') P. S. Epstein, Ann. d. Phys. 50, p. 489, 1916. 2) Verg. P. S. Epstein, l.c. p. 506 en 501 (form. 55, 56, 39). De grpotheden P, _P, Pj hangen met de quantengetallen van Epstein aldus samen: i,, = »,^, P^n^ P3 = }hA-, Vergelijk § 21. De hoofdas van het koordinatensysteem is in heide gevallen hetaelfde genomen.  54 toepassing van de theorie der quanta [§ 13- ander systeem van banen, dan quantiseering van Pi P2 Pa Een ander voorbeeld is een isotrope oscillator van twee of drie graden van vrijheid, waar men de beweging hetzij op verschillende rechthoekige assenstelsels, hetzij op poolkoordinaten kan beschrijven 2): Bij de quantiseering der ontaarde systemen blijken dus moeilijkheden op te treden, zoo men verder wil gaan dan met de gegeven formuleering overeenstemt. Deze moeilijkheid wordt nog verscherpt door het volgende: men kan een ontaard systeem beschouwen als een grensgeval van verschillende niet-ontaarde systemen; indien men dan de quantenformules voor het ontaarde systeem afleidt uit die voor de niet-ontaarde systemen door hiermee tot de limiet over te gaan, komt men tot in het algemeen met elkaar in strijd zijnde quantenformules. In nauw verband hiermee staan analoge moeilijkheden welke optreden bij de theorie der adiabatische beïnvloeding van een mechanisch systeem 3). Verder hangt hiermee de volgende kwestie samen: In vele gevallen kan men ingewikkelde problemen opvatten als storingsproblemen van meer eenvoudige gevallen. Is H de funktie van Hamilton voor het gegeven systeem, H0 die voor het eenvoudige, dan stelt men: H=E0 + Hlt waar Hx de storingsfunktie is. In deze gevallen is het gewoonlijk gemakkelijk de hoekvariabelen en de korrespondeerende intensiteitskonstanten Qi... Qf Pi ... P/ welke bij het ongestoorde probleem behooren als nieuwe variabelen in te voeren. Dan gaat H0 over in een funktie KQ (P) welke de Q's niet bevat, terwijl de storingsfunktie B.x in een trigonometrische reeks naar Qi... Q/ ontwikkeld kan worden. Bestaan er tusschen de middelbare bewegingen der Q's in het ongestoorde probleem geen rationale betrekkingen, dan kan men i) Vergelijk ook: P. S. Epstein, l.c. p. 500, en Ann. d. Phys. 51, p. 28, 1916. ï) Vergelijk: h. A. Lorentz, Over energie-elementen, Versl. Akad. Amst. xx, p. 1110, 1912, en: P. Ehrenfest, Versl. Akad. Amst. xxv, p. 412, 1916. 3) Vergelijk: P. Ehrenfest, Versl. Akad. Amst. xxv, p. 412, vgl., 1916; zie hierover ook beneden, hoofdstak VI, § 38,  13.] op het atoommodel. 55 het gestoorde probleem vrij gemakkelijk behandelen volgens een door Delaunay gegeven methode 1). In dit geval zal men voor het gestoorde probleem tot quantenformules komen welke geheel aansluiten bij die voor het ongestoorde; omgekeerd uitgedrukt: laat men de storingsfunktie nu weer tot nul naderen, dan gaan de quantenformules voor het gestoorde probleem over in die van het ongestoorde, welke laatste luiden: Pi = m h/2it. Is evenwel het ongestoorde systeem ontaard, dan stuit men op moeilijkheden tengevolge van de meetbare relaties tusschen de middelbare bewegingen. Voert men de variabelen Qi .. . Q/ P] ... P/ van bl. 44 in, dan bevat de hoofdterm der funktie van Hamilton slechts Pi ... Pf _ i: H0 = K0(P1...Pf-x). In dit geval moet men uit Q/_;.+ 1 . .. Q/- P/_;. j-i .. . Pf (soms ook uit het volledige stel: Qi ... Q/ Pi ... P/) door bizondere substituties een nieuw stel van variabelen afleiden om de storingsfunktie te kunnen behandelen 2). Heeft men ten slotte het probleem opgelost en de quantenvoorwaarden opgesteld, dan blijkt dat de gevonden quantenformules in het algemeen niet aansluiten bij een quantiseering van alle intensiteitsgrootheden Pi... Pf van het ongestoorde probleem. M.a.w.: laat men, nadat het volledige probleem opgelost is, de storingsfunktie tot nul naderen, dan gaan de quantenformules van het volledige probleem over in twee groepen: a) ƒ—X formules, welke equivalent zijn met: Pf = «,; hjtin (* = 1 ...ƒ-*) b) X formules van geheel anderen aard 3). Beperkt men bij ontaarde systemen de quantiseering in overeenstemming met de formuleering van § 10 en 11, dan is in het algemeen de vorm van de baan niet geheel vastgelegd. Zoo is ') Zie b.v. E. T. Whittaker, Anal. dynamics (Cambr. 1917), p. 420. Voor toepassingen dezer methode vergelijke men beneden § 20, IJl, en § 22. J) Zie b.v. H. Poincaré, Mécanique Céleste II, p. 133. *) Men vergelijke de voorbeelden, behandeld in hoofdstnk III, § 20, II; § 21, Opmerking en § 23, II.  56 toepassing van de theorie der quanta [§ 13. bij de KsPLER-ellips door de quantiseering van Pi wel de groote as bepaald, doch niet de excentriciteit 1). Men kan zich afvragen of er ook experimenteele of andere middelen zouden bestaan om iets over de niet gequantiseerde grootheden Py _ i +! ... Pf te weten te komen (dus in het geval van de kepler-ellips iets over de excentriciteit). Tot nu toe is de eenigste grootheid waarmee men werkt de totale energie (spektra!); deze is echter ongevoelig voor de waarden van P/_ /. +1 . .. Pf 2). Tenslotte moet nog op het volgende gewezen worden: 1) E. T. Whittaker heeft voor een probleem van twee graden van vrijheid methoden aangegeven om de reeksontwikkelingen der koordinaten en momenten naar goniometrische funkties van twee hoekvariabelen te verkrijgen 3). Hierbij* wijst hij erop, dat het karakter van deze reeksen geheel verandert, zoodra de verhouding van de middelbare bewegingen dezer hoekvariabelen een rationale waarde aanneemt. (Met deze kwesties schijnt ook het probleem van de konvergentie of divergentie der reeksontwikkelingen, waarover door Poincaré vele onderzoekingen gedaan zijn, in verband te staan. Zie een opmerking bij Whittaker, l.c.) 2) Moeilijkheden bij de verdeeling der faze-ruimte van een ontaard systeem: cf. P. s. Epstein, Ann. d. Phys. 51, p. 181,1916. 3) Invloed van de niet gequantiseerde P's bij statistische problemen: zie hoofdstuk VI, § 41, C) 2. 4) M. Planck gebruikt in zijn theorie over de struktuur der faze-ruimte de uitdrukking: „koherente vrijheidsgraden" *). Dit begrip van koherentie der vrijheidsgraden komt in sommige gevallen op hetzelfde neer als de meetbare betrekkingen tusschen de middelbare bewegingen; de beide begrippen dekken elkaar echter niet 5). >) Zie hoofdstuk III,/ § 17. — De ligging van het haanvlak in de ruimte blijft ook onbepaald. ï) Epstein heeft de onderstelling uitgesproken dat ontaardingsgevallen in strengen zin niet voorkomen. Zie Ann. d. Phys. 51, p. 182, 1916. 3) E. T. Whittaker, On the Adelphic Integral of the Equations of Dynamics, Proc. Roy. Soc. Edinburgh 37, p. 95, vgl., 1917. *) M. Planck, Ann. d. Phys. 50, p. 385, vgl., 1916. 5) Bij de kepler-beweging, en evenzoo bij de beweging van een punt in een isotroop quasi-elastisch krachtveld van drie graden van vrijheid zijn alle drie middelbare bewegingen onderling meetbaar. Planck spreekt echter van twee koherente graden van vrijheid. |  § 14. VOORBEELDEN VAN SYSTEMEN WAAROP DE QUaNTENFORMULES VAN § 10 KUNNEN WORDEN TOEGEPAST. a) Harmonisch trillende systemen. Neem aan dat een mechanisch systeem zoodanig gebouwd is, dat bij een bepaalde keuze der koordinaten de funktie van Hamilton den vorm heeft: H=^2p* + ±2 Aiq* (1) i i Indien alle koefficienten Ai^>0 zijn, is de beweging van iedere koordinaat een harmonische trilling met de frequentie: 2nVi = (Oi= \/Ai (2) Stel nu: qi= \XYPijmi. cos Qi ; pi = — k/XPTtOi. sin Qi . . . . (3) Dan voldoen Pi en Qi aan de in § 10 genoemde voorwaarden; men heeft: P( = konstante ; Qf — co; t -f- Sf 2) De funktie -van Hamilton H(q , p) gaat over in: K(P) = 2a>f Pf (4) De quantenbewegingen zijn nu gekarakteriseerd door de relaties: Pi — mh^it (5) hun energie bedraagt: « — (JSniWi) hj2 n=.2!n{Vih 3) (6) i i Het is duidelijk dat de n's geen negatieve waarden kunnen ') Deze transformatie is afkomstig van' Poincaré (Cf. Mécanique Céleste I, p. 30). J) Men heeft: £fi dqi=2:Pi dQi — d([ 2'Pi sin 2 Qi), i i i dus is ook voldaan aan § 10, D 1 en 2. 3) Dit stemt overeen met de oorspronkelijke formule van Planck.  58 toepassing van de theorie der quanta [§ 14. hebben; er is echter volstrekt geen reden om de waarde nnl uit te sluiten. b) Meer ingewikkelde systemen welke trillingen uitvoeren om een evenwichtsstand kunnen op een analoge wijze behandeld worden. Zie hiervoor: Whittaker, Analytical Dynamics (Cambridge 1917), Ch. XVI, Integration by trigonometrie series. Opmerking naar aanleiding van formule (4). Door Whittaker is aangetoond x) dat voor alle systemen waarvan de funktie van Hamilton een kwadratische uitdrukking is in de koordinaten en momenten 2): H = 2 Ahk phpi + ZBhkph qk + 2 Ohk qh qk + + £DhPh + 2Ehqh + F . . . (1*) (de koefficienten A .... F zijn konstanten) door middel van kontakttransformaties en door de invoering van hoekvariabelen deze funktie te herleiden is tot den vorm: K{P) = ZPi<»i (4*) indien alle frequenties co* reëel en ongelijk zijn3). Stelt men P{ = n{h/2tt dan is de energie uitgedrukt in de quantengetallen: a = (2ni n overeenstemming met (7).  64 toepassing van de theorie der quanta [§ 15. letten op de beperkte ruimte waarin de molekulen zich bewegen x)2). 2) Op een — oogenschijnlijk — geheel andere wijze voert Planck bij ideale gassen de quantenvoorwaarden in 3). Zij p de totale hoeveelheid van beweging van een molekuul, V het volume van het gas, dan zijn de quantenbewegingen volgens Planck gegeven door: i- TT£3 . y=a(nhf Hierin is « een konstante, welke Planck gelijk stelt aan: « - Nje wanneer N het totale aantal molekulen van het beschouwde gas is, terwijl e — de basis der natuurlijke logarithmen 4). Deze methoden kunnen echter niet toegepast worden wanneermen te doen heeft met een enkel systeem, en er niets gegeven is omtrent de ruimte waarin het systeem zich kan bewegen. Voorloopig lijkt het me het beste voor de translatie-beweging van een afzonderlijk systeem geen quantenvoorwaarden in te voeren 5). In de theorie der spektra van eenvoudige systemen voert men (in overeenstemming met de opmerking van § 9) steeds een koordinatenstelsel in, ten opzichte waarvan het systeem rust; men kan dan de translatie-beweging verder buiten beschouwing laten. b) De hyperbolische beweging. Epstein heeft formules gegeven voor de quantiseering van de i) Cf. P. Scherrer, Grött. Nachr. 1916 (zie in verband met dit artikel van van P. Scherrer ook J. M. Burgers, Versl. Akad. Amst. XXV, p. 557, 1916). s) Het in rekening brengen van de beperkte ruimte waarin de gasmolekulen zich bewegen komt essentieel neer op het invoeren'van een uitwendig krachtveld. 3) M. Planck, Sitz. Ber. Berl. Akad. 1916, p. 653—667; speciaal: Hier Teil, Eine grosse Anzahl von Atomen mit gegenseitig inkoharenten Ereiheitsgraden, p. 665—667. ») M. Planck, l.c. p. 666, form. (49)—(51). s) Indien men de translatie-beweging van een afzonderlijk systeem wil quantiseeren komt men ook voor het probleem te staan: ten opzichte van welk koordinatenstelsel moet de snelheid- gemeten worden?  66 toepassing van de theorie der quanta [§ 15. Of Epstein hierin juist gezien heeft, durf ik niet te beoordeelen. Misschien kunnen voor de studie van dergelijke problemen van nut zijn de opmerkingen die Poincaré maakt over de analytische voortzetting van banen die naar het oneindige loopen (Mécanique Céleste III, p. 168). Verder doet zich hier de vraag voor:. Kan men in dergelijke gevallen waar het integratie-gebied oneindig is, steeds op geschikte wijze tot konvergente integralen komen? In het bovenstaande probleem gelukte dit door van pr de waarde voor r = oo af te trekken. Epstein past deze quantenformules toe op de theorie van het foto-elektrisch effekt, en op de beta-stralen van radioaktieve stoffen. Zie enkele opmerkingen hierover in hoofdstuk III, § 24. Het probleem van de quantiseering dezer, in zekeren zin „instabiele" bewegingen *), schijnt mij toe van groot belang te zijn voor de theorie der quanta. Vooral lijkt het mij van gewicht te zijn voor de problemen die zich voordoen bij de systemen met meerdere elektronen (zie hoofdstuk IV, § 26). Bij deze systemen beschouwt men gewoonlijk periodieke bewegingen der elektronen, b.v.: alle elektronèn zijn op gelijke afstanden langs een cirkel verdeeld, en loopen met eenparige snelheid rond. In het algemeen zijn deze periodieke soluties der bewegingsvergelijkingen instabiel, in dien zin dat bij kleine storingen der beweging de elektronen naar het oneindige wegloopen, of op de kern kunnen vallen 2). Deze stabiliteitsproblemen vormen de grootste moeilijkheid voor de theorie van atoommodellen met meer dan 1 elektron of met meerdere kernen. Wanneer men quantenvoorwaarden had voor alk bewegingen dan de tak van de hyperbool die het elektron doorloopt. De minimumwaarde van r (perihelium-afstand) is: punt r,

) Cf. § 26, def. (2). 1 t_ c(i+'e) ' Is *>„ O<2 dan is r negatief en steeds ^ =———. Het  § 15.] OP HET ATOOMMODEL. 67 in de nabijheid van een periodieke solutie, dus ook voor de bewegingen waarbij de elektronen naar de kern loopen, of naar het oneindige gaan, en men onderstelt dat het systeem slechts de Kjuantenbewegingen kan uitvoeren, dan zou het systeem vermoedelijk eerst door een storing van eindige grootte in een van de „instabiele" bewegingen kunnen overspringen Misschien zou hierin een methode gelegen kunnen zijn om de moeilijkheid der instabiele bewegingen te overwinnen. [Men vergelijke Noot II bij § 26]. 2) ') De elliptische beweging van een elektron om een kern in een krachtveld van Newton is stabiel; om deze te doen overgaan in een „instabiele" hyperbolische beweging moet men de energie met een bedrag van eindige grootte vermeerderen. [*) Een betrekkelijk eenvoudig geval is de beweging van een punt in een tweedimensionaal krachtveld met potentiaal: V = A1 . r —*; in dit veld is een periodieke beweging mogelijk (cirkelbaan), welke instabiel is tegenover kleine storingen. De funktie van Hamilton voor dit probleem is: 1 1 0* A* 2 2 r* waarin R == r en 0 = tp r* (ter vereenvoudiging is de massa gelijk aan 1 gesteld). Men kan de variabelen separeeren en heeft: 0 — konstante = C = «, ^r— 2 gr R=\y 2T^C*/r» -f 2A*jr~i. Voor de cirkelbeweging is: M-V, a-«,-UAt, r- G . Is « dan zijn de bewegingen in twee groepen te verdeelen: banen tusschen de kern en een zekere maximum-afstand (I), en banen van een minimum-waarde van r naar het oneindige (II); voor a">«0 gaan de banen van de kern naar het oneindige of omgekeerd (III). Men kan nu op het voetspoor van Epstein als quantenvoorwaarden invoeren: fmax Voor (I): 4pr[l/2« - C»/r» + iA*jrs — j/2" A*f~\~.~] = „{ co (II): ±\dr\\/ 2« — C»/ri ^2A*p, _i/2^] = Wi //; 00 (III): 2 ƒdr [ l/2«-C»/ri + 2^T_ l/ïlïj? -|/ 2„ ] = »( h. o Door de integralen uit te werken (met behulp van de theorie dfr elliptische  68 TOEPASSING VAN DE THEORIE DER QUANTA [§ 15- integralen, of door numerieke berekening) kan men de waarden van « vinden voor verschillende waarden van », en Uit de verkregen uitkomsten kan men dan vervolgens afleiden met welk bedrag de energie moet veranderen opdat de cirkelbeweging in een andere beweging omslaat. Deze sprongen zijn voor kleine waarden van d.e quantengetallen van dezelfde orde van grootte als «„; m.a.w. ze zijn relatief groot. Hoe grooter echter de quantengetallen worden, hoe kleiner de relatieve veranderingen in de energie behoeven te zijn voor het omslaan. Over de waarde van de hier gebezigde quantenformules durf ik echter niet te oordeelen.]  74 toepassing van de theorie der quanta [§ 16. zoodat: Hieruit volgt voor de frequentie: Q = w = ^Kjcp = P A. Het teeken van P hangt dus af van de richting der beweging. Wil men steeds met positieve P's werken, dan zou men in het geval van een rotatie in negatieven zin moeten stellen: Q = — x jl\ negatief (men heeft dan retrograde precessie). e) Intensiteit en polarisatie der uitgezonden spektraallijnen. 1) Door Sommerfeld zijn voorloopige regels opgesteld voor de intensiteit der uitgezonden spektraallijnen J). Deze hebben betrekking op de beweging van een elektron om een atoomkern, waarbij rekening wordt gehouden met de relativiteitskorrekties. Zijn n en n' de quantengetallen voor de azimuthale en de radiale beweging 2), dan komt Sommerfeld tot de resultaten: a) Steeds geldt dat n-\-n' afneemt bij de emissie van een spektraallijn 3); onder normale omstandigheden neemt n' nooit toe; in sommige gevallen kan dit echter wel gebeuren, de lijnen zijn dan zwak. b) Uit de proeven van Pasohen 4) is gebleken dat bij sterke ontladingen door gassen zoowel n' als n kan toenemen. In dit geval kan men bij benadering de intensiteit van elke lijn voorstellen door het produkt van twee getallen, waarvan het eene betrekking heeft op de beginbaan, het andere op de eindbaan: I=W1. W2. Hier is W\ een funktie der quantengetallen ni, n\ van de beginbaan, W% een funktie van de quantengetallen n%, n'2 van de eindbaan. Vergelijkt men de lijnen die ontstaan bij die overgangen waarvoor n\ 4- n'i en n2 + «2 beide steeds dezelfde ') A. Sommerfeld, Ann. d. Phys. 61, p. 23, 1916; Sitz. Ber. Bayr. Akad. 1917, p. 83—109. *) Deze quantengetallen hangen samen met de faze-integralen: 2 71 nh=(pg,.d(p ; n'h = Jpr.dr. o •*> Vergelijk verder hoofdstuk III, § 19. — Tusschen de hier ingevoerde quantengetallen n en n' eenerzijds, en de daar gebezigde n1 anderzijds, bestaan de betrekkingen: — *j i 71 — "l %• J) Dit is noodzakelijk opdat de energie afneemt bij het overspringen van de eene beweging in de andere. (Zie de formules in § 17 en § 19, hoofdstuk III.) *) F. Paschen, Ann. il. Phys. 50, p 901, 1916.  HOOFDSTUK III. PROBLEMEN DIE BETREKKING HEBBEN OP DE BEWEGING VAN EEN ENKEL ELEKTRON. (QUANTENTHEORIE DER ATOMEN, BESTAANDE UIT EEN POSITIEF GELADEN KERN, WAAROMHEEN ÉÉN ELEKTRON LOOPT.) Bij de studie der quantenbewegingen en der lichtemissie van zoo eenvoudig mogelijke atomen wordt in overeenstemming met het voorgaande aangenomen: a) Kern en elektron mogen als puntvormig worden beschouwd; b) De aantrekking tusschen beide is gegeven door de wet van Coulomb: f=2Ï; c) Het systeem straalt geen energie uit naar het veld, zoolang het elektron een quantenbeweging uitvoert; de berekening der quantenbewegingen kan geschieden met behulp van de gewone mechanika, zonder de reaktie-krachten van het eigenveld van het elektron in rekening te brengen; d) Bij groote snelheden is de massa van het elektron afhankelijk van de snelheid, overeenkomstig de formules der relativiteitstheorie.  82 problemen die betrekking hebben [§ 17. C. Quan tenformules. Volgen-s hetgeen in § 10 besproken is, moet nu Pi. gequantiseerd worden; stel derhalve: P3 = n hj2 n (15) dan wordt de energie: k = _2!M (16) Opmerking over de quantiseering van P2 en P3. a) Quantiseert men P2, dan wordt de excentriciteit van de baan vastgelegd; dit is gedaan door Sommerfeld3). Men kan deze handelwijze rechtvaardigen door de beweging te beschouwen als ontaarding van de relativistische planetenbeweging; de formules voor de laatste vertoonen groote overeenkomst met die van het hier behandelde probleem, echter is de middelbare beweging van Qa niet gelijk nul, zoodat P2 gequantiseerd moet worden 4) 5). Gaat men evenwel uit van de beweging bij aanwezigheid van een elektrisch veld (theorie van het STARK-effekt), en laat men deze ontaarden door het elektrische veld tot nul te laten afnemen, dan komt men op een ander systeem van banen 6). •) Men kan deze uitkomst ook direkt afleiden uit de quantenformule voor exakt periodieke systemen: 2Tjr = nh, door T en v in « uit te drukken. ») Het is duidelijk dat in deze formule » niet gelijk aan nul kan zijn. Uit form. (13), en eveneens uit (4) en (6), blijkt dat P, en dus n een positief getal is. ») A, Sommerfeld, Sitz. Ber. Bayr. Akad. 1915, p. 436; Ann. d. Phys. 51, p. 17, 1916. ♦) Vergelijk § 19, bl. 100. «) Stelt men P, = », terwijl P, =», is, dan volgt uit (14) voor de assenverhouding der ellipsen: */a = Bi/»,Uit (13) blijkt Pj ^ P,, dus: «s ^ n,. Sommerfeld sluit de waarde P1=0(£ = 1) uit; dit zou rechtlijnige banen geven, waarbij het elektron door de kern zou moeten gaan („Pendelbahnen"). Zie hierover: A. Sommerfeld, Sitz. Ber. Bayr. Akad. 1915, p. 445; Ann. d. Phys. 51, p. 21, 1916. (Vergelijk ook: P. S. Epstein, Ann. d. Phys. 50, p. 500, 1916.) Houdt men rekening met de afhankelnkheid der massa van de snelheid, dan is de energie wel afhankeüjk van de waarde van P, (zie § 19); de verschillende ellipsen worden „uiteengehaald". Vergelijk in verband hiermee een opmerking van Sommerfeld, Sitz. Ber. Bayr. Akad. 1915, p. 449, 459. *) Verg. P. S. Epstein, Ann. d. Phys. 50, p. 500,-1916 en 51, p. 181, 1916.  § 17.] OP DE BEWEGING VAN EEN ENKEL ELEKTRON. 83 b) ^8/r2 = cos * bepaalt de helling der baan t.o.v. het a^-vlak. Daar dit vlak echter willekeurig in de ruimte gekozen kan worden, zou het geen zin hebben door quantiseering van P8 de hoek i vast te leggen. (Indien een uitwendig magnetisch veld aanwezig is, waarvan de krachtlijnen iri de richting der z-as loopen, krijgt Q3 een middelbare beweging (draaiing van de knoopenlijn: precessiebeweging van het baanvlak); in dit geval moet P3 gequantiseerd worden. Cf. § 20) Mén vergelijke overigens § 13. Het al of niet quantiseeren van P2 en P3 heeft echter geen invloed op de waarde van de energie, en dus ook niet op de spektraalformule. Uit (16) volgt als formule voor het spektrum: 2n-2me*E*{ 1 1 \ D. Diskussie der formules. Toepassing op Waterstof en positief geladen Helium. Waterstof. Een waterstof-atoom wordt beschouwd als te bestaan uit een positief geladen kern, waaromheen zich één elektron beweegt. De lading van de kern is numeriek gelijk aan die van het elektron. De formule voor de energie wordt dus: 2 7r2 m e4 «= ~-n2W (16a) Neemt men voor de hierin voorkomende grootheden de waarden: e = 4,774 . 10-10 E. S. E. ■ e\m = 5,31 . 10+17 E. S. jB./gram h = 6,57 .10-27 erg. sek. 3) ') Verg. ook: A. Sommerfeld, Ann. d. Phys. 51, p. 28, 1916. J) N. Bohr, Phil. Mag. 26, p. 8, 487, 1913. s) Deze waarden zijn ontleend: e en h aan B. Millikan, Phys. Rev. VII, p. 219, 1916; e\m aan een artikel van M. Wolfke, Phys. Zeitschr. 17, p. 199, 1916. [Zie voor h ook bl. 31, noot 3)].  § 17.] op de beweging van een enkel elektron. 87 als positieve ionen in het elektrische veld tusschen kathode en anode bevonden, en daar sterk versneld werden. Met de theorie van Bohr zou dit in overeenstemming gebracht kunnen worden, door te veronderstellen dat deze ionen dan onderweg een elektron opvangen. Dit elektron zal eerst in een der buitenste banen komen (de hierbij vrijkomende energie is zeer gering, ën zou lijnen ver in het ukrarood geven); daarna valt het van deze baan op een die meer naar binnen ligt, b.v. de le, 2e of 3e waarbij een der lijnen van bovengenoemde reeksen wordt uitgezonden *) 2) 5) Van de spektra van waterstof blijven nog onverklaard: a) het z.g. witte of veellijnen-spektrum; b) de beide spektra van Sohumann in het ultra-violet; c) de bandenspektra (twijfelachtig?) 3). Stark schrijft a) toe aan het fl"2+-ion4); verder behooren volgens hem: b) gedeeltelijk aan het neutrale H-atoom, gedeeltelijk aan het neutrale H%-molekuul; c) aan de „quantenparen": fl"+-ion plus neg. elektron, en 2?2+-ion plus neg. elektron5). Hoe dit in verband met bovenstaande theorie opgevat moet worden, is nog niet bekend. 6) Tenslotte blijven er nog eenige lijnen-reeksen over die verband houden met de reeks van Balmer, en langen tijd aan waterstof toegeschreven zijn: de z.g. 2e nevenreeks, en de beide hoofdreeksen, deels door Pïckering in het spektrum van £ Puppis en van andere hemellichamen gevonden, deels door Fowler bij sterke elektrische ontladingen door een mengsel van waterstof en Helium waargenomen. Volgens de theorie van Bohr behooren deze reeksen aan Helium. Helium. Men onderstelt dat een Helium-atoom bestaat uit een kern ') Misschien gebeurt het terugvallen met meerdere trappen. Echter zullen slechts die overgangen waargenomen worden, 'welker lichtemissie binnen het onderzochte spektraalgebied valt. *) Voor zoover ik kan' nagaan schijnen my de argumenten van Stark de theorie van Bohr niet te weerleggen. — In verband hiermee vergelijke men: L. Vegard, Über die Lichterregung bei den Kanalstrahlen, Ann. d. Phys. 52, p. 72—100, 1917. — (Zie ook noot ') op bl. 91). ») Zie: H. Kayser, 1. c. p. 487—492. *) J. Stark, Ann. d. Phys. 51, p. 221, 1916. Vergelijk ook: K. Gti.itscher, Sitz. Ber. Bayr. Akad. 1916, p. 125. 5) J. Stark, Ann. d. Phys. 52, p. 253, 255, 1917.  HET ATOOMMODEL VAN RUTHERFOKD-BOHB DOOR J. M. BURGERS. Beantwoording van eene door TeyJer's Tweede Genootschap uitgeschreven j tijsvraag. Uitgegeven door Teyler's Tweede Ge-ootschap. HAARLEM. DE " ERVEN LOOSJES. 1919.      - 6 MU11935 HET ATOOMMODEL YAN RUTHERFORD - BOHR DOOR Beantwoording van eene door Teyler's Tweede Genootschap uitgeschreven prijsvraag. Uitgegeven door Teyler's Tweede Genootschap. HAARLEM. DE ERVEN LOOSJES. 1919.   ï)eze studie over het atoommodel van Rutherford en Bohr, en over de problemen van de theorie der quanta welke daarmee in verband staan, is oorspronkelijk geschreven als antwoord op een prijsvraag, uitgeschreven door Teyler's Tweede Genootschap te Haarlem. Na de bekroning ervan hebben H.H. Direkteuren der Stichting goedgevonden dat ze tegelijkertijd voor mijn dissertatie zou mogen dienen. Bij de uitgave bleek het wenschelijk in de oorspronkelijke tekst eenige wijzigingen aan te brengen. Voor een deel dank ik deze aan opmerkingen van Prof. Lorentz, en verder leek het ook mijzelf van belang op verschillende plaatsen iets in te lasschen, vooral in verband met nieuwere onderzoekingen. Deze veranderingen of aanvullingen zijn, voor zoover het geen minder belangrijke verbeteringen van de stijl, en dergelijke, betreft, aangeduid door ze in vierkante haken [] in te sluiten. De voornaamste aanvullingen welke ik heb ingevoegd zijn: bl. G7, noot 2); § 16, a), c); opmerking 4) bij § 22; noot II bij § 26; opmerking 4) bij § 28; § 28*; § 30, slot; § 34, slot; in § 36 het grootste deel der opmerkingen 1), 5), 6); bl. 241, noot l); bl. 243, noot !). Naar aanleiding van de opmerkingen van Prof. Lorentz is o.a. de inkleeding van § 16, e) 2) en van § 31 eenigermate omgewerkt en zijn o.m. toegevoegd: noot 2), bl. 28; noot 2), bl. 36; noot 3), bl. 65; noot bl. 233. Aan den algemeenen gang van het werk is echter bijna niets veranderd. Indien ik het geheel overnieuw had kunnen opstellen, zou ik het in veel meer opzichten gewijzigd hebben, om verschillende kwesties beter uiteen te zetten dan nu is geschied. Zoo hadden b.v. de problemen welke samenhangen met de kwestie der „ontaarde systemen" duidelijker behandeld kunnen worden door onmiddellijk gebruik te maken van de op bl. 240/241 vermelde hypothese van Epstein; het in § 26 over  x de stabiliteitskwestie gezegde had meer naar voren gebracht kunnen worden; en vooral behoorde de behandeling van de meeste der in hoofdstuk I en hoofdstuk V genoemde problemen minder beknopt te zijn. Na de inlevering in het einde van Juli 1917 zijn verder over het behandelde onderwerp nog zeer vele artikelen verschenen. Het was me echter niet mogelijk op deze alle acht te geven; slechts zeer weinige ervan zijn in de toevoegingen vermeld. Tot de voornaamste van de nieuwere onderzoekingen schijnen me te behooren de studies over atomen met meerdere ringen van elektronen. Deze zijn begonnen met een artikel van Debye, later gevolgd door werk van Vegard, Sommerpeld, Kroo (zie bl. 160—162; verder heeft Epstein nog eenige onderzoekingen gepubliceerd in Die Naturwissenschaften over het spektrum van Helium). Deze onderzoekingen hebben voornamelijk betrekking op de verklaring der Röntgenspektra. — Vegard heeft ook een voorloopig schema opgesteld van de bouw van alle elementen van het periodiek systeem. Het is mij niet mogelijk geweest hierop in te gaan; alleen zijn in de ingelaschte § 28* eenige kwesties besproken waarop men komt bij berekeningen over dergelijke atoommodellen. Bij deze systemen met veel elektronen zal men waarschijnlijk met groot succes gebruik kunnen maken van de rekenmethoden der astronomische mechanika (reeksontwikkelingen der storingstheorie). Bij berekeningen over de spektra blijken de storingen van de verschillende elektronen op elkaar een belangrijke invloed te hebben; het is wel mogelijk dat men elke baan numeriek zal moeten uitwerken, om tot definitieve resultaten te komen. Niet vermeld is een belangrijk artikel van N. Bohr: On the Quantum Theory of Line-Spectra, waarvan het eerste gedeelte (algemeene theorie) in April/Mei 1918 verschenen is. Eèn groot aantal problemen van de quantentheorie wordt hierin besproken; enkele hiervan had ik zelf ook reeds nagegaan: b.v. het verband tusschen de frequenties die men verwacht volgens de quantentheorie en volgens de klassieke theorie (Bohr, l.c. p. 15, 30; zie beneden § 32), en de gewichtsfunktie die men bij statistische problemen moet invoeren voor ontaarde systemen (Bohr, l.c. p. 26; zie beneden § 41, G, II). Bohr geeft verder vele beschouwingen over de ontaarde systemen, over de adiabatische  xi beïnvloeding van een systeem, over waarschijnlijkheidsproblemen die optreden bij de uitstraling van energie, enz. Leidende gedachte hierbij is de overweging dat de formules, van de quantentheorie bij groote waarden der quantengetallen asymptotisch moeten naderen tot die van de klassieke theorie. Ik mag hier niet nalaten mijn grooten dank te betuigen aan de hoogleeraren der Leidsche Universiteit bij welke ik gestudeerd heb. In het bizonder geldt dit jegens de professoren Ehrenfest (mijn promotor), Kamerlingh Onnes en Lorentz, aan welke allen ik zeer veel te danken heb, en met wie ik steeds aangenaam heb mogen omgaan. De tijd gedurende welke ik op het .Kryogeen Laboratorium gewerkt heb is voor mij een prettige herinnering; en evenzoo die welke ik in Haarlem in het Natuurkundig Laboratorium van Teyler's Stichting heb doorgebracht. Doch ook de professoren Küenen, de Sittkr, Kluyver en van der Woude zal ik steeds zeer erkentelijk blijven. Delft, Oktober 1918.   VOORREDE. Omtrent de hierbij geleverde beantwoording der prijsvraag door Teyler's Tweede Genootschap voor 1916 uitgeschreven: De hypothese van Rutherford omtrent den bouw der atomen" zou ik gaarne eenige opmerkingen willen maken. Getracht is een zoo duidelijk mogelijk beeld te geven van Rutherpord's theorie over de struktuur der atomen, en van de toepassing van de theorie der quanta hierop. In zeer veel punten zal blijken dat het werk niet is -afgerond: het probleem der atoomstruktuur staat met zoovele andere vraagstukken der natuurkunde in verband, en heeft in den laatsten tijd een zoo groote uitbreiding gekregen, dat ik me genoodzaakt zag vele kwesties slechts zeer onvolledig of in 't geheel niet te bespreken. Zoo er meer tijd beschikbaar was geweest had ik deze gaarne nader willen uitwerken. Ik heb gepoogd dit gebrek eenigszins te verhelpen door te verwijzen naar de literatuur welke op deze punten betrekking heeft. In het bizonder is dit het geval met de theorie der radioaktieve verschijnselen, en bij de vele kwesties waar de theorie der quanta in strijd is met de opvattingen der klassieke mechanika. Ook zijn van vele berekeningen uit de theorie der spektraalreeksen slechts de hoofdzaken besproken; voor de nadere uitwerking der formules en voor de vergelijking met de experimenteele resultaten is dan naar de literatuur verwezen (dit is b.v. gedaan met de theorie van Sommerpeld over de detailstruktuur der spektraallijnen en over de Röntgenspektra). Aan den anderen kant was het noodig tamelijk ver in te gaan op de grondgedachten van de theorie der quanta — waarmee tengevolge van de onderzoekingen van Bohr, Sommerpeld, Epstein en vele anderen de theorie van den bouw der atomen  xiv voorrede. ten nauwste verbonden is. Ik hoop dat hierdoor de theorie van RutherfoRd niet op den achtergrond gedrongen is: overal is de theorie der quanta onmiddellijk toegepast op het atoommodel (met uitzondering van een paar voorbeelden welke ter illustratie van enkele theorema's dienen). Ik heb mijn best gedaan de quantenonderstellingen zoo algemeen mogelijk te formuleeren, en ze zooveel doenlijk tot een samenhangend geheel te vereenigen. Hierbij heb ik gebruik gemaakt van den vorm waarin K. Sohwarzschild de quantenformules heeft uitgesproken. Het schijnt me toe dat de door Sohwarzschild ingevoerde hoekvariabelen en de daaraan toegevoegde kanonische momenten voor de ontwikkeling der quantentheorie van zeer groot belang zijn. Door de invoering hiervan is de mogelijkheid geopend om bij zeer vele mechanische systemen quanten voorwaarden in te voeren, vooral doordat men gebruik kan maken van de rekenmethoden der astronomische mechanika (behandeling der storingsproblemen volgens de methode van Delaunay en Whittaker, wat voor de studie van vele samengestelde problemen van groot gemak is; en verder de theorie der z.g. „periodieke soluties",en der oplossingen in de nabijheid ervan, welke ontwikkeld is door H. Poincaré). Bovendien kan men aantoonen dat de quantenvoorwaarden in den door Sohwarzschild gegeven vorm in het algemeen eenduidig zijn, dat ze m.a.w. niet afhankelijk zijn van het koordinatensysteem waarmee het probleem behandeld is x). Aan den anderen kant doen zich echter bij deze problemen groote moeilijkheden van meerendeels mathematischen aard voor: de oplossingen der mechanische problemen worden gewoonlijk verkregen in den vorm van trigonometrische reeksontwikkelingen (meervoudige FouRiER-reeksen) naar de hoekvariabelen, en men komt dus voor de vraag of deze reeksen konvergeeren of divergeeren. Men komt hier in een gebied waarover door H. Poincaré vele onderzoekingen zijn verricht. Ik heb tot nog toe geen gelegenheid gehad mij in deze kwesties voldoende ver •) Zie hoofdstuk II, § 12. Hier zij nog vermeld dat men op een eenvoudige en algemeene manier een verhand kan aangeven tusschen de heide hypothesen der quantentheorie (de formules voor de quantenbewegingen, en de emissie-hypothese). Zie hoofdstuk V, § 32.  voorrede. xv in te werken. Er blijft op dit gebied nog zeer veel te doen, wil men een vasten grondslag aan de „quanten-mechanika" geven. Voorloopig moeten dus sommige theorema's over de hoekvariabelen onder voorbehoud worden aanvaard *). In het volgende is de stof ongeveer aldus verdeeld: Hoofdstuk I geeft een algemeen overzicht van de theorie van Rutherford, in verband met de verstrooiing der alpha-deeltjes, de radioaktieve verschijnselen, enz. In II zijn de hoofdgedachten van de theorie der quanta besproken. Verschillende punten waar de theorie der quanta moeilijkheden oplevert, en kwesties die in verband staan met de uitstraling en de absorbtie van energie zijn afzonderlijk gereleveerd in hoofdstuk V. In hoofdstuk III is de toepassing van de quantentheorie op systemen met slechts 1 elektron (model van het waterstof-atoom, enz.) behandeld, en de theorie der spektra van Bohr, Sommerpeld en anderen. De systemen met meerdere elektronen worden besproken in hoofdstuk IV. In § 26 is getracht een methode te ontwikkelen voor het opstellen der quantenvoorwaarden, en is een vermoeden geuit in verband met de kwestie der instabiele bewegingen. Verder zijn de verschillende onderzoekingen van Bohr, Nicholson, Sommerpeld, Epstein (theorie der roteerende molekulen) kort uiteengezet. Tenslotte zijn in VI eenige opmerkingen gemaakt naar aanleiding van de hypothese van Ehrenpest over de adiabatische beïnvloeding van een mechanisch systeem, en over enkele statistische problemen. i) Over de reeksontwikkelingen der astronomische mechanika zie men een interessant artikel van K. Sohwarzschild, Über Himmelsmechanik, Phys. Zeitschr. 4, p. 765, 1903. — Verder natuurlijk: H. Poincaré, Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste (in het vervolg steeds geciteerd als Méc. Cél.), en ook: E. T. Whittaker, Encykl. Math. Wiss. VI, 2, 12 en eenige opmerkingen in: Proc. Roy. Soc. Edinb. 37, p. 95, vgl., 1917. De reeksontwikkelingen schijnen als ze divergent zijn, in het algemeen het karakter van aiymptotiscke reeksen te hebben, zoodat ze toch voor berekeningen goed bruikbaar zijn (verg. H. Poincaré, Méc. Cél. II, Ch. VIII).  xx inhoud. bl. Hoofdstuk III: Problemen die betrekking hebben op de beweging van een enkel elektron 77 § 17. Beweging van een elektron om een vaststaand attraktie-centrum, met verwaarloozing van de afhankelijkheid der massa van de snelheid . . 78 § 18. Invloed van de beweging van de atoomkern . 92 § 19. Invloed van de veranderlijkheid der massa met de snelheid § 20. Splitsing der spektraallijnen door een magnetisch veld (zeeman-effekt) : . . 104 § 21. Invloed van een elektrisch veld op de spektraallijnen (theorie van het stark-effekt) .... 113 § 22. Opmerking over het spektrum-van roteerende molekulen H" § 23. Enkele opmerkingen over kombinaties van verschillende storingen (zeeman-effekt met inachtname der relativistische korrekties, e.d.) . . . 122 § 24. Opmerking over hyperbolische bewegingen . . 129 § 25. Opmerking over de verschuiving van spektraallijnen door druk . . 131 Hoofdstuk IV: Systemen met meerdere elektronen. . . 134 § 26. Algemeene beschouwingen 134 § 27. Kort overzicht van de onderzoekingen van Bohr, Nicholson en Föppi, over systemen met ringen van elektronen 1^*1 § 28. Opmerkingen over de spektra van systemen met meer dan één elektron 157 § 28*. De bouw en de berekening van atomen met meerdere ringen van elektronen 164 § 29. Opmerking over de quantentheorie van roteerende molekulen . § 30. Verschillende opmerkingen .184 Hoofdstuk V: Verschillende problemen die met de theorie van Bohr in verband staan I89 § 31. De tegenstellingen tusschen de hypothesen van Bohr en de elektronentheorie 189 8 32 Verband tusschen de beide hypothesen der quan- 1q4. tentheone  inhoud. xxi bl. § 33. Theorie van Einstbin over de waarschijnlijkheid van de uitstraling en absorbtie van energie . . 197 § 34. Verschillende opmerkingen over de eigenschappen der „stralende energie" 200 § 35. Opmerking over de tweede quantentheorie van Planck 208 § 36. De dispersietheorie van Debyb en Sommerfeld. 211 § 37. Opmerkingen over de magnetische eigenschappen van het atoommodel 227 Hoofdstuk VI: Adiabatische beïnvloeding van een mechanisch systeem. Opmerkingen over statistische problemen • • • • 235 § 38. Beïnvloeding van een mechanisch systeem door uitwendige krachten. Adiabatische beïnvloeding. 235 § 39. Opmerkingen over het bewijs voor de invariantie der P's 242 § 40. Voorbeeld van een adiabatisch proces, dat om een ontaardingsgeval heengaat 247 § 41. Opmerkingen over statistische problemen . . . 249 § 42. Opmerkingen over de statistika van het atoommodel van Waterstof 260  EENHEDEN. In alle formules zijn de elektrische grootheden steeds uitgedrukt in de gewone elektrostatische eenheden; de magnetische in elektromagnetische eenheden. VERBETERING. Op bl. 166, bovenaan, moet E2 = 0,080 A.E. vervangen worden door Bv = 0,086 A.E. — Overigens maken echter de hier opgegeven waarden voor de stralen der banen in het koper-atoom geen aanspraak op bizondere nauwkeurigheid; ze dienen slechts om bij benadering een beeld te geven van de afmetingen van het systeem.  INLEIDING. In 1911 is door Sir Ernest Rutherford de hypothese opgesteld dat een atoom zou bestaan uit een positief elektrisch geladen kern, waar omheen zich negatieve elektronen in verschillende banen bewegen. De grootte van de kern moet zeer gering zijn tegenover de afmetingen die men gewoonlijk aan de atomen toeschrijft; de diameter van het atoom zou bepaald worden door de elektronen banen. De lading van de kern is een geheel aantal malen de lading van een elektron; in den normalen (neutralen) toestand heeft de kern juist zooveel elektronen om zich heen, dat de totale lading van het systeem nul is. Dit aantal is ongeveer de helft van het atoomgewicht. De massa van het atoom zetelt bijna uitsluitend in de kern 1). Deze hypothese is door Rutherford oorspronkelijk ingevoerd ter verklaring van de uitkomsten gevonden bij de studie van de verstrooiing van alpha-deeltjes, wanneer deze door metaallaagjes en dergelijke heen gaan. In het bijzonder dwong de waargenomen verdeeling der verstrooiingshoeken tot het aannemen van een. sterk elektrisch geladen kern van zeer kleine afmetingen en groote massa in het atoom. Later is de hypothese verder uitgewerkt en gebruikt om andere verschijnselen te verklaren, zooals die der radioaktieve stoffen. De grootste ontwikkeling heeft ze echter gekregen sinds het in 1913 aan N. Bohr gelukt is door toepassing van onderstellingen ontleend aan de theorie der quanta op de beweging der elektronen in het atoom, formules af te leiden voor de reeksen in de lijnen-spektra van sommige elementen. Spoedig daarna is de theorie van Bohr door anderen uitgebreid, en gebruikt voor de ') E. Rutherford, Phil. Mag. 21, p. 669, 1911; 27, p. 488, 1914. 1  9 inleiding. behandeling van verschillende bijzonderheden der spektra (detailstruktuur der lijnen, enz.). Ofschoon het meerendeel dezer onderzoekingen betrekking hebben op het eenvoudigste atoom, nl. dat van waterstof, is hun succes toch zoo buitengewoon groot geweest, dat men wel moet aannemen dat in deze richting nog zeer veel bereikt kan worden. Aan den anderen kant is de ontwikkeling van de theorie der quanta in de laatste jaren hand in hand gegaan met de uitbreiding van de theorie van Bohr. Men kan echter niet zeggen dat door deze nieuwe theorieën de bouw der atomen en de oorsprong der spektra verklaard zijn: integendeel, de hypothesen der quantentheorie zijn zoozeer in strijd met de wetten der mechanika en der elektrodynamika, terwijl ook de verhouding dezer hypothesen tegenover de „klassieke" theorieën nog geheel in het duister ügt, dat er een groote omwenteling noodig zal wezen, voordat alles een harmonisch geheel kan vormen *). n Voor een kort overzicht van de theorie van Rutherford en van èenige problemen die ermee in verband staan zie men ook: „ A Discussion on the Structure of the Atom", Proc. Roy. Soc. A 90, Meeting of March 19, 1914.  HOOFDSTUK $ DE THEORIE VAN RUTHERFORD. . § 1. OPMERKINGEN OVER HET MODEL VAN HET ATOOM, VOORGESTELD DOOR W. THOMSON EN J. J. THOMSON. Ideën over den bouw der atomen zijn reeds vroeg geuit, o.a. in verband met de voortplanting van het licht door de materie (dispersietheorieën); in verband met de spektra der elementen, met de elektrische en magnetische-eigenschappen der stof, enz. Vooral hebben echter de groote ontdekkingen der moderne natuurkunde, zooals die der kathode-stralen en der radioaktieve verschijnselen en al hetgeen daarmee samenhangt, een grooten invloed hierop gehad. De studie van de kathodestralen had het bestaan aangetoond van de z.g. elektronen, deeltjes geladen met negatieve elektriciteit, welke een massa hebben ca. 1850 maal kleiner dan die van een waterstof-atoom; terwijl hun lading dezelfde is als van een eenwaardig negatief ion. Men kwam er spoedig toe te onderstellen dat deze elektrisch geladen deeltjes, welke men in de kathodestralen vrij waarnam, dezelfde warén als die welke men reeds sinds lang, ter verklaring van de elektrische en optische eigenschappen der materie, aangenomen had in de atomen aanwezig te zijn. Vele feiten hebben dit bevestigd, bv. de afgifte van elektronen door metalen die met ultraviolet licht of met Röntgenstralen bestraald worden, de door Prof. P. Zeeman ontdekte splitsing der spektraallijnen in een magnetisch veld,  4 de theorie van. rutherford. en tal van andere. Het lag derhalve voor de hand te onderstellen dat de elektronen eèn belangrijke rol innemen onder de bouwsteenen der atomen. Voordat de theorie van Rutherford nader besproken wordt, lijkt het gewenscht een paar woorden te zeggen over een vroeger model van het atoom, afkomstig van W. Thomson }), en uitgewerkt door J. j. Thomson 2). W. Thomson neemt aan dat een atoom bestaat uit een bol, uniform geladen met positieve elektriciteit, welke binnenin een aantal elektronen bevat. De materie bestaat uit een verzameling dezer atomen, welke juist zooveel elektronen bevatten, dat de elektrische kracht in een punt op grooten afstand van de atomen gelegen, nul is. De krachten tusschen atomen en elektronen volgen de gewone wetten der elektrostatika. W. Thomson heeft eenige problemen onderzocht over het evenwicht der elektronen binnen het atoom, en over de werking van meerdere atomen op elkaar, en heeft getracht aan de hand hiervan verschillende eigenschappen der stof te verklaren. Een meer gedetailleerde theorie van de struktuur der atomen is hieruit ontstaan door een studie van J. J. Thomson over de rangschikking der elektronen binnen den positieven bol 3). J. J. Thomson gaat de stabiliteit van verschillende konfiguraties der elektronen na tegenover storingen van den evenwichtstoestand; ter vereenvoudiging wordt daarbij ondersteld dat alle elektronen met groote snelheid ronddraaien om een as in het atoom, en dat allen in één plat vlak liggen 4). ») W. Thomson, Livre jubilaire dédié a M. Bosscha., 1901; Baltimore Lectures, p. 451. *) j. J. Thomson, Phil. Mag. 7, p. 237, 1904. 3) J. J. Thomson l.c. *) In de berekening is niet gelet op de magnetische krachten van de rondloopende elektronen. Evenzoo is de uitstraling van energie verwaarloosd. Met betrekking tot dit laatste kan echter opgemerkt worden, dat indien een ring van elektronen met gegeven omtrekssnelheid roteert, de straling per elektron des te geringer is, naarmate de ring uit meer elektronen bestaat. Zie hierover? J. J. Thomson, On the Magnetic Properties of Systems of Corpuscles describing Circular Orbits, Phil. Mag. 6, p. 681, 1903; G. A. Schott, Electromagnetic Kadiation (Cambr. 1912), p. 103.  § 3.] de theorie van rutherford. 13 Voor metalen met atoomgewicht grooter dan b.v. 50 (Fe, Cu, Au, enz.) is de korrektie die bij de formule van Rutherford komt kleiner dan 1,3 °/0. b) De massa der kernen van de verstrooiende stof is gelijk aan, of kleiner dan die van de alpha-deeltjes (verstrooiing door Helium of Waterstof). In dit geval krijgen de kernen van de verstrooiende stof groote snelheden bij de botsingen (vergelijkbaar met, vaak zelfs grooter dan die van de alpha-deeltjes). Door deze groote snelheden zullen de teruggestooten He- of B-atomen evenals de oorspronkelijke alpha-deeltjes ionisatie en scintillatie kunnen geven *); hiermee moet rekening gehouden worden bij het tellen van het aantal verstrooide deeltjes (de formules hiervoor zijn door Darwin, 1. c. afgeleid). ff-atomen kunnen een snelheid tot 1,6 maal die van een alpha-deeltje krijgen; hun draagwijdte („range") is dan vele malen grooter dan die van de laatste 2). 3) Invloed van de wet van afstooting tusschen kern en alphadeeltjes. Indien men onderstelt dat de afstooting tusschen kern en alphadeeltjes niet de wet van Coulomb volgt, maar b.v. evenredig is met r~n, is het probleem in het algemeen niet meer geheel te berekenen. Darwin 3) heeft echter aangetoond dat men steeds kan aangeven hoe de verstrooiing van de snelheid der invallende deeltjes afhankelijk is; hij vindt dat N evenredig is met: T/_4/(„_l) (6) (b.v.: n = 2 : N evenredig met F-4 n = 3 : F-2, enz.) Vergelijking van de theorie met de experimenteele resultaten. In zijn eerste artikel geeft Rutherford een diskussie van de door Geiger & Marsden in 1909 en 1910 gepubliceerde resultaten 4) 5). Voorzoover kon worden nagegaan stemden hun uit- 1) Deze scintillatie door de teruggestooten- ff-atomen is experimenteel aangetoond door Marsden (Phil. Mag. 27, p. 824, 1914). 2) Zie hierover: E. Rutherford, Phil. Mag. 27, p. 492, 1914. ') C. G. Darwin, l.c. p. 504. *) E. Rutherford, Phil. Mag. 21, p. 680, 1911. «) Geiger & Marsden, Proc. Roy. Soc. A 82, p. 495,1909; A 83, p. 492, 1910.  14 de theorie van rutherford. komsten bevredigend met de theorie overeen. Naderhand hebben Geiöer en Marsden uitgebreide nieuwe reeksen van metingen gedaan *); hun voornaamte uitkomsten zijn: a) Een vrij goede bevestiging van de evenredigheid van N met cosec4 -Ö/2, voor afwijkingshoeken D van 150° tot 5°, waarbij N varieerde van 1 tot 250000 (zie tabel, i c. p. 610). b) Bij dunne blaadjes van eenzelfde metaal is de verstrooiing evenredig met de dikte, dus met het aantal atomen per cm2 (1. c. p. 615). c) Bij blaadjes van verschillende metalen is bij gelijk aantal atomen per cm2 de verstrooiing evenredig met het kwadraat van het atoomgewicht (1. c. p. 617). Dus moet de lading van de kern E\ evenredig zijn met het atoomgewicht. d) De verstrooiing is omgekeerd evenredig met de vierde macht van de snelheid der alpha-deeltjes (1. c. p. 620). Dus is de afstopting tusschen kern en alpha-deeltje omgekeerd evenredig met de tweede macht van den afstand. e) Uit een absolute bepaling van het aantal verstrooide deeltjes werd afgeleid dat de kernlading van een atoom met atoomgewicht A bedraagt: E1 =Z.e^ 112. A. e. De mogelijke fout in deze waarde is ca. 20 °/0 (1. c. p. 622). Verder dienen hier vermeld te worden de fotografieën van banen van alpha-deeltjes door gassen, welke door Wilson en Debendra Bose gemaakt zijn2). Wilson heeft foto's gemaakt van de banen van alpha-deeltjes door lucht; deze banen zijn over groote afstanden rechtlijnig, doch vertoonen af en toe plotselinge ombuigingen, welke ontstaan zijn wanneer een deeltje vlak langs de kern van een atoom gepasseerd is. Dit is een direkt bewijs van de juistheid der opvatting van Rutherford, dat groote afwijkingen bij een enkele botsing ontstaan. — D. Bose fotografeerde banen in waterstofgas; het gelukte haar op 1038 gefotografeerde banen er 7 te krijgen die aan het einde vertakkingen toonden: de eene tak moet toegeschreven worden aan het alpha-deeltje zelf, de andere aan het te'ruggestooten waterstof-atoom. ') Geiger & Marsden, Phil. Mag. 25, p. 604, 1913. ») C. T. E. Wilson, Proo. Itoy. Soc. A 87, p. 277, 1912. Debendra Bose, Phys. Zeitschr. 17, p. 388, 1916.  16 de theorie van rutherford. alpha-deeltjes en de elektronen van het atoom na. Voor het aantal elektronen per atoom worden waarden gevonden, liggende tusschen het atoomgewicht en de helft ervan. (2) N. Bohr, On the Theory of the Decrease of Velocity of Moving electrified Particles on passing through Matter, Phil. Mag. 25, p. 10, 1913. — Bohr gaat eveneens uit van de theorie van Rutherford, doch behandelt het probleem op eenigszins andere wijze. Voor het aantal elektronen wordt bij elementen van hooger atoomgewicht een waarde gevonden, van dezelfde orde van grootte als te verwachten is naar de theorie van Rutherford. In het bizonder komt Bohr tot het resultaat dat Waterstof 1, Helium 2 elektronen per atoom heeft.  § 5. OVERZICHT VAN DE VOORNAAMSTE HYPOTHESEN OVER DEN BOUW EN DE EIGENSCHAPPEN DER ATOMEN, WELKE MET DE THEORIE VAN RUTHERFORD SAMENHANGEN i). (1) Een atoom bestaat uit een kern van zeer kleine afmetingen, welke positief elektrisch geladen is. De grootte van de positieve lading (d.w.z. de algebraische som van de in de kern aanwezige ladingen) is een geheel aantal malen de absolute waarde van de lading van het elektron. Dit aantal is hetzelfde als het rangnummer van het element in het periodiek systeem, en wordt atoomnummer genoemd. De kern is omgeven door elektronen, wier aantal gelijk is aan het atoomnummer. De elektronen zijn vermoedelijk in koncentrische ringen of bollen gerangschikt; deze rangschikking is volkomen bepaald door de kernlading 2). (2) De eigenschappen van een atoom zijn te verdeelen in twee groepen: die welke bij de kern behooren, en die welke aan de elektronen te danken zijn. De laatste hangen af van het aantal en van de rangschikking der elektronen, en zijn dus geheel bepaald door het atoomnummer. Eigenschappen welke aan de elektronen moeten worden toegeschreven zijn: a) De chemische eigenschappen, welke samenhangen met de buitenste elektronen. Vermoedelijk behooren tot deze buitenste elektronen de z.g. „valentie-elektronen", welke de chemische verbinding van verschillende elementen teweegbrengen. Het aantal der buitenste elektronen schijnt een eenigermate perio- i) Een samenvattende bespreking van de meeste dezer hypothesen is gegeven door: K. Fajans, Das Periodische System der Elemente, die radioaktiven Umwandlnngen nnd die Strnktnr der Atome, Phys. Zeitschr. 16, p. 456, 1915. [*) Zie hierover het in .§ 28* besproken artikel van L. Vegard (Verh. Deutsch. Phys. Ges. 19, p. 344, 1917.)]  § 5.] DB THEORIE VAN RUTHERFORD. 21 dieke funktie van het atoomnummer te zijn, wat de periodiciteit der chemische eigenschappen ten gevolge heeft x). b) Het zichtbare spektrum, dat vermoedelijk ook met de buitenste elektronen samenhangt 2). c) Foto-elektrische eigenschappen, ionisatie, enz., eveneens aan de buitenste elektronen toe te schrijven. d) Het Róntgenspektrum, dat aan de binnenste elektronen te danken is, en dat geen periodiciteit vertoont, doch monotoon van element tot element verandert 3). (3) De kern van een atoom schijnt een zeer ingewikkelde struktuur te bezitten, waarover zoo goed als niets bekend is. Vermoedelijk is de kern opgebouwd uit positief geladen deeltjes (alpha-deeltjes of Helium-kernen (?)), en uit elektronen4). Door de struktuur van de kern worden bepaald: a) De massa van de kern, en dus het atoomgewicht van het element (afgezien van de zeer kleine bijdrage der elektronen) 5). b) De radioaktieve eigenschappen, welke verklaard worden uit een uiteenvallen van de kern. Zendt de kern van een atoom een alpha-deeltje uit, dan gaat het atoom over in een ander waarvan het atoomnummer 2 lager is, terwijl het atoomgewicht tennaastenbij met 4 afneemt 6). Bij uitzending van een bèta-deeltje (een kern-elektron) neemt het [') Zie hierover het in § 28* geciteerde artikel van Vegard.] ') Zie hierover: Hoofdstuk III, § 17, slot [en § 28*.] 3) Over de elektronen tusschen de buitenste en de allerbinnenste is weinig bekend. Ze zijn o.a. van belang voor de verstrooiing en de remming van alpha- en beta-deeltjes. *) Zie: N. Bohr, Phil. Mag. 26, p. 500, 1913; E. Rutherford, Phil. Mag. 27, p. 495, 1914; K. Fajans, Phys. Zeitschr. 16, p. 48&, 1915. *) Het atoomgewicht is bij benadering gegeven door de formule: A — 2 . Z -+- #s/150 plus een .grillige deviatie-funktie waarop ik gekomen ben door een opmerking van Prof. Ehrenfest. Het atoomgewicht is echter niet eenduidig door het atoomnummer bepaald (zie onder (4): isotopen.) — Bg de elementen Ar—K, Co—Ni, Te—J verandert het atoomgewicht in tegengestelden zin als het atoomnummer. *) Het atoomgewicht van het element neemt af met het atoomgewicht van Helium, plus een bedrag dat in verband staat met de uitgezonden energie. Zie hierover: R. Swinne, Phys. Zeitschr. 14, p. 145, 1913; K. Fajans, Phys. Zeitschr. 16, p. 459, 1915.  22 de theorie van rutherford. [§ 5. atoomnummer met 1 toe; het atoomgewicht verandert zoo goed als niet1). Op de radioaktieve verschijnselen zelf kan hier niet worden ingegaan; ik moet me beperken tot het vermelden van enkele problemen: (I) Zijn behalve de elementen met hooge atoomnummers (laatste afaeeling van het periodiek systeem) ook andere radioaktief ? Bij Kalium en Rubidium schijnt met groote zekerheid vastgesteld te zijn dat ze beta-stralen uitzenden 2). (II) Er bestaat een verband tusschen de draagwijdte der alphadeeltjes die een radioaktief element uitzendt, en de levensduur van het element 3). Deze betrekking is van den vorm: 10% ü = 4 4-jB . «>% 32, waarin: X — transformatie-konstante; R — draagwijdte („range"); A en B zijn konstanten 4). Men zie hierover:. R. Swinne, Phys. Zeitschr. 13, p. 14, vgl., 1912. (Swinne stelt ook eenige andere formules voor). F. A. Lindemann, Note on the Life of Radioactive Substances and the Range of the Rays emitted, Phil. Mag. 30, p. 560, 1915. Lindemann onderstelt dat in de kern N deeltjes aanwezig zijn, welke een of andere periodieke beweging uitvoeren met de frequentie v. Passeeren alle deeltjes binnen een tijdsverloop t een „kritisch gebied" in de kern, dan wordt het atoom instabiel, en valt uiteen. De waarschijnlijkheid voor het plaatsvinden hiervan is: {tv)n, waaruit volgt: transformatie-konstante i. — (tv)n. Lindemann stelt nu: v = E/h, waar E = energie van i) Cf. K. Fajans, 1. c. p. 466 („Verschuivingswetten"). s) Cf. Rutherford, Die Radioaktiven Substanzen, enz. (1913), p. 528. ') E. Rutherford, Die Radioaktiven Substanzen, enz. (1913), p. 547. *) F. A. Lindemann — Phil. Mag. 30, p. 560, 1915 — geeft hiervoor op: Dranium-Radium-reeks: A = — 36,9 B - 53,3. Thorium-reeks: — 38,4 ,, Actinium-reeks: — 39,6 „  § 5.1 de theorie van rutherford. 23 het deeltje, en h — konstante van Planck. Voor E wordt genomen de energie van het uitgezonden alpha-deeltje, welke met de draagwijdte verbonden is door de empirische formule : R = 1,35 . 108 . EW. Dan is: lgX = N.(lg 5,76 .1020 + Ig r) + 2 . iV/3 . Ig R. Vergelijkt men deze formule met de empirische, dan blijkt dat iV = 3/2 . B; in verband met de waarde van B (zie noot 4), vor. blz.) volgt hieruit : N— 80. Lindemann brengt verder de grootheid r in verband met den straal van de kern, enz. Een eenigermate analoog verband schijnt te bestaan tusschen de snelheid der beta-deeltjes en de transformatiekonstanten 1). (III) Een radioaktief element dat beta-stralen emitteert zendt deze uit in homogene groepen, elk met een bepaalde snelheid 2). (IV) Niet opgehelderd is het verband tusschen beta- en gammastralen 3). (V) Zeer eigenaardig zijn de splitsingen in de transformatiereeksen der radioaktieve elementen bij RaC, AcC, ThC, en misschien bij enkele andere4); verder ook de omzettingen waarbij geen alpha- of beta-stralen worden uitgezonden5) (Ac-, MsTh 1). (4) Elementen kunnen verschillende kernstruktuur bezitten, terwijl de kernen toch dezelfde totale ladingen hebben, zoodat het atoomnummer voor deze elementen hetzelfde is. Dergelijke elementen hebben dan verschillend atoomgewicht en verschillende radioaktieve eigenschappen; de rangschikking der elektronen ') E. Rutherford, Die Radioaktiven Substanzen, enz. (1913), p. "549. R. Swinne, Phys. Zeitschr. 13, p. 17, 1912. *) E. Rutherford, 1. c. p. 208, 552 (hier is ook verdere literatuur opgegeven). — Vergelijk ook P. S. Epstein, Ann. d. Phys. 60, p. 815, 1916. (Zie beneden, hoofdstuk III, § 24.) ') Zie E. Rutherford, 1. c. p. 225. *) E. Rutherford, 1. c. p. 607, vgl. — K. Fajans, Phys. Zeitschr. 16, p. 458, 469. 5) E. Rutherford, l.c. p. 608, 609. — K. Fajans, l.c. p. 469.  24 DB THEORIE VAN RUTHERFORD. [§ 5. om de kern is echter hetzelfde, zoodat ze ook in alle onder (2) genoemde eigenschappen met elkaar overeenstemmen. In het periodiek systeem nemen deze elementen dezelfde plaats in; men noemt ze isotopen 1). ') Isotope elementen. Het beste bestudeerd zijn de isotopen van lood. Voor de atoomgewichten is gevonden: Radiolood (RaG), onderzocht door Hönigschmidt: 206,06. (Zie K. Fajans, Phys. Zeitschr. l.c. p. 473.) Thoriumlood (TAD^), onderzocht door F. Soddy: 207,70. (Nature 98, p. 469, 1917.) Gewoon lood: 207,20. De atoomvolumina dezer, loodsoorten zjjn gelijk (dus spec. gewicht evenredig met atoomgewicht). In dezelfde groep zit ook nog Actiniumlood (i< J,), dat een atoomgewicht ca. 207 moet hebben. Verder zgn er nog een viertal radioaktieve elementen van korte periode in deze groep: RaD (vervaltijd: 18 jaar, at. gew. ca. 210); AcB (36 min.; at. gew. 211?) TkB (10,6 uur; 212); RaB (27 min.; 214). Voor de andere groepen en voor de bewijzen der identiteit van de chemische eigenschappen van isotope elementen wordt verwezen naar het meermalen geciteerde artikel van K. Fajans (p. 461, 471, 478). Overeenstemming van het gamma-stralen-spektrum van RaB en RaC met het Röntgenspèktrum van Pb en Bi: zie E. Rutherford en C. N. da C. Andrade, Phil. Mag. 27, p. 854, 1914, en een opmerking van Dr.,A. D. Fokker [Handel. XVI8 Natuur- en Geneesk. Congres (1917), p. 121.] Het verschil in de massa van de kern bij isotope elementen veroorzaakt kleine verschillen in sommige fysische eigenschappen; zie hierover: K. Fajans, Phys. Zeitschr. 18, p. 478, 1915, en: Elster u. Geitél-Festschrift (Braunschweig 1915), p. 623. Opmerking. De atoomnummers der radioaktieve elementen — waaronder vele isotopen voorkomen — heeft men afgeleid: a) met behulp der vermelde verschuivingswetten (zie onder (3), b)), waarbij men één ervan als bekend moest aannemen (bv. Lood = 82); b) voor een aantal dezer elementen uit het onderzoek van M. Siegbahn over de Röntgenspektra. De volgens beide methoden afgeleide atoomnummers stemmen onderling vorkomen overeen; hierin ligt een mooie bevestiging van de hypothesen van Rutherford en van van den Broek.  HOOFDSTUK II. DE TOEPASSING VAN DE THEORIE DER QUANTA OP HET ATOOMMODEL. Onder den naam „Quantentheorie" vat men eenige hypothesen samen, die betrekking hebben op de beweging en de uitstraling van energie van mechanische en elektrische systemen. Dergelijke hypothesen zijn het eerst uitgesproken door Planck in zijn theorie der warmtestraling (1901); naderhand zijn ze gewijzigd en gegeneraliseerd, en vooral toen ze door N. Bohr en anderen toegepast werden op het atoommodel van Rutherford hebben ze een groote uitbreiding gekregen, zoodat men zeggen kan dat de jongste ontwikkeling der quantentheorie en de studie van den bouw der atomen hand in hand zijn gegaan. Het is er nog verre vandaan dat deze hypothesen een eenigermate afgeronde theorie vormen; ook is men het niet eens over hun exakte formuleering. Ze zijn geheel in strijd met datgene wat men uit de klassieke mechanika en elektrodynamika afleidt, en tot nu toe mist men een algemeen principe dat aangeeft in wat voor betrekking de klassieke theorie en de quantentheorie tot elkaar staan. Voorloopig is de quantentheorie te beschouwen als een stel rekenregels, waarvan het gebied van geldigheid • wel zeer algemeen is, doch geen scherp omschreven begrenzing heeft. Het valt echter niet te ontkennen dat deze rekenregels in vele gevallen tot schitterende resultaten geleid hebben x). [') In verschillende gevallen naderen de formules van de quantentheorie voor groote waarden der quantengetallen asymptotisch tot de formules van de klassieke theorie, zoodat het schijnt dat men de laatste op moet vatten als grensgeval van de eerste.]  26 de toepassing van de theorie der quanta De toepassing der quantenhypothesen op Rutherford's theorie der atomen heeft geleid tot geheel nieuwe opvattingen omtrent den oorsprong van de spektra der elementen. Het eerste groote resultaat in deze richting werd in 1913 bereikt door N. Bohr, aan wien het gelukte formules voor de spektra van Waterstof en Helium af te leiden, welke op verrassende wijze met de uit de experimenten gevondene overeenstemden. Later is dit werk voortgezet door Sommerfeld, Epstein, Debye, Sohwarzschild en anderen; deze hebben formules gevonden voor de detailstruktuur der spektraallijnen, den bouw der Röntgenspektra, den invloed van een elektrisch veld op het spektrum, en nog meer verschijnselen, welke formules zich algemeen onderscheiden door een bizonder goede quantitatieve overeenstemming met de waarnemingen. In het volgende zullen deze theorieën besproken worden; daarbij zal niet de historische ontwikkeling gevolgd worden, doch er zal getracht worden de verschillende berekeningen zooveel mogelijk van uit één gezichtspunt te behandelen.  30 toepassing van *de theorie der quanta [§ 6. Ze zou dan misschien op alle mechanische systemen moeten worden toegepast, onverschillig of er elektrisch geladen deeltjes in aanwezig zijn of niet 1). Nog een geheel andere formuleering is de tweede quantentheorie van Planck. Deze sluit echter meer direkt aan bij de problemen der statistische mechanika; ze zal hier voorloopig niet besproken worden 2). De quantenhypothese brengt (tenminste in haar tegenwoordige formuleering) geen direkte wijziging in de formules der gewone mechanika; de berekening der quantenbanen geschiedt geheel volgens de klassieke methoden (afleiding der bewegingsvergelijkingen uit de funktie van Lagrange of uit die van Hamilton, enz.). Zijn de bewegingsvergelijkingen geïntegreerd, dan worden door middel van de quantenvoorwaarden de integratiekonstanten geheel of gedeeltelijk vastgelegd. (Zie beneden.) De stabiliteitsproblemenbij het atoommodel schijnen er echter op te wijzen, dat men misschien ook deze grondprincipes zal moeten wijzigen, b.v. in dien zin dat de door de quantenvoorwaarden vastgelegde bewegingen stabiel zijn. (Zie hierover: hoofdstuk IV, § 26.) Een moeilijke kwestie is ook de wisselwerking tusschen verschillende systemen,- b.v. de molekulen of atomen van een gas. Indien de bewegingen van elk molekuul of van elk atoom door quantenvoorwaarden bepaald zijn, hoe beïnvloeden ze dan elkaar's beweging? 3). Een belangrijke hypothese die in nauw verband staat met de quantentheorie is de adiabatenhypothese van Ehrenfest 4). Deze zal later afzonderlijk besproken worden (hoofdstuk VI, § 38). i) Dit komt dus neer op de vraag: is de quantenhypothese een algemeene mechanische hypothese, of behoort ze tot de elektrodynamika? Echter heeft deze opmerking meer een formeel karakter dan een fysisch, daar volgens de moderne opvattingen alle materie uit elektrisch geladen deeltjes bestaat. l) Zie hierover: Hoofdstuk V, § 35. 3) Bij een vast lichaam moet men waarschijnlijk het geheel als één systeem beschouwen. Hierop wijzen vele onderzoekingen, zoowel van experimenteelen aard (b.v. onderzoek van de struktuur der kristallen met Röntgenstralen), als theoretische (speciaal die over de soortelijke warmte). Dan treedt deze moeilijkheid niet op. Zie over problemen die op gassen betrekking hebben: § 15, a) en § 38. 4) p. Ehrenfest, Versl. Akad. Amsterdam XXV, p. 412, 1916. Zie ook: j. M. Burgers, ibidem, XXV, p. 849, 918, 1055, 1916/17.  § 7. ALGEMEENE VORM VAN DE QUANTENVOORWAARDEN. Zij gegeven een mechanisch systeem van ƒ graden van vrijheid; aangenomen wordt dat de tijd niet expliciet in de bewegingsvergelijkingen voorkomt, zoodat de totale energie van het systeem gedurende de beweging konstant is *) 2). Volgens de klassieke mechanika bezit een zoodanig systeem een kontinuum van oo2/ mogelijke banen, daar bij de volledige integratie der bewegingsvergelijkingen 2 f integratiekonstanten ct c-2/ wórden ingevoerd, wier waarden een kontinuum van 2 f afmetingen kunnen doorloopen. De Ie quantenhypothese luidt dan: De quantenbewegingen van het systeem zijn die bewegingen, waarvoor de integratiekonstanten ei . . . . c%f voldoen aan k betrekkingen ■van den vorm: /i(ci .... c2/)==«i. h (ï=l...k) (A) In deze formule zijn de n bepaalde funkties van de c's; h is een door PlAnck ingevoerde universeele konstante, van de dimensies: energie maal tijd (72ro<_1); de waarde ervan is volgens Millikan: h = 6,57.10~27 erg. sek. 3). ') Deze onderstelling geldt niet indien het systeem onder den invloed staat van met den tijd veranderlijke uitwendige krachten. Prohlemen waarbij dergelijke krachten optreden, komen o.a. voor bij de theorie van de adiabatische beïnvloeding van een systeem (Ehrenfest, l.c. — zie § 38), en bij de theorie der dispersieverschijnselen. (Zie § 36.) *) Indien in de funktie van Lagrajïge t niet expliciet voorkomt, is een der integralen van de bewegingsvergelijkingen: ^ • cL — L-\- 2* li • z • = « — konstante. Uitgedrukt met de funktie van Hahii.ton: H—a— konstante. De totale energie wordt gedefinieerd als de waarde dezer konstante «. 3) R. A. Millikan, Phys. Review VII, p. 355, Mrt. 1916; Phys. Zeitschr. 17, p. 219, 1916. [In Phil. Mag. 34, p. 16, 1917 geeft Millikan op: h = (6,547 ± 0,011). 10-27 erg. sek.]  32 DE TOEPASSING VAN DE THEORIE DER QUANTA |j? De getallen n* kunnen alle mogelijke positieve geheele waarden doorloopen x). Men kan dit met een kleine wijziging ook aldus uitdrukken: voer in plaats van de konstanten Ci. . . . c^f een nieuw stel in: 7\ ■ • ■ Yif- Hiervan zijn y\ ... -/k de boven reeds genoemde funkties der c's; Yk + 1 • • • Yif ziju op willekeurige wijze hieraan toegevoegde funkties ervan, echter zoo dat men een stel verkregen heeft, waarin ci... C2 / kunnen worden uitgedrukt. Dan zijn de quantenbewegingen van het beschouwde systeem hierdoor gekarakteriseerd: •/ic +1... /2 / kunnen een kontinu gebied van waarden doorloopen; yx yk kunnen slechts diskontinu veranderen: ze kunnen slechts de waarden hebben* ■/i — rnJi (i = l...k) De vorm en het aantal der funkties y zal beneden (§ 10) worden besproken; hier zij slechts vermeld dat hun aantal k hoogstens gelijk is aan ƒ, het aantal graden van vrijheid van het systeem. Hun vorm is steeds zoo, dat indien men de totale energie « van het systeem (welke een funktie is van de c's) uitdrukt in de y's, deze uitdrukking alleen y\ . . ■ • yu bevat: * — « (n • • • Yk\ De waarde van de energie is dus steeds dom- de quantengetallen «i .. . Wfc vastgelegd. Deze eigenschap is van groot belang. ') In sommige gevallen moet de waarde nul worden uitgesloten; voor een voorbeeld zie men het volgende hoofdstuk, hl. 82. Aan den anderen kant komt het ook voor dat een quantengetal alle positieve en negatieve geheele getallen kan doorloopen; dit treedt b.v. op hg rotatieproblemen, waar het teeken van het quantengetal samenhangt met de richting-der beweging. (Zie § 16, d.)  § 8. He HYPOTHESE DER QUANTENTHEORIE EMISSIE VAN LICHTTRILLINGEN. Als IJe hypothese van de quantentheorie wordt aangenomen dat een systeem diskontinu energie kan uitstralen. Van tijd tot tijd kan het systeem uit een bepaalden bewegingstoestand 1 in een anderen toestand 2 „overspringen", waarbij de quantengetallen van een stel geheele waarden rij ... . rij. overslaan op een ander stel geheele waarden njf . . .n\. Deze verandering kan spontaan geschieden, d. w. z. zonder dat uitwendige oorzaken werkzaam zijn x); ze verloopt in zoodanige richting dat de totale energie van het systeem afneemt 2). Het overschot aan energie: a(n\ . . . n\) — a (n\ , . . n\) -wordt uitgestraald in den vorm van lichttrillingen met een frequentie Vi.2 bepaald door de vergelijking : h . Vi.2 = a(n) . . .nh) — a(n2 . . .n%) .... 3) (£) Deze betrekking is het eerst door Bohr opgesteld 4); met ') Vergelijk § 33. *) a) Het geval is denkbaar dat het systeem in twee toestanden 1 en 2 . dezelfde totale energie bezit. Het is mogelijk dat ook in dit geval een spontaan overspringen van 1 naar 2 of omgekeerd kan plaats hebben, b) Men voert ook wel de hypothese in: slechts die overgangen knnnen spontaan plaats vinden, waarbij de quantengetallen afnemen. Hierbij valt op te merken: (1) Uit waarnemingen over de detailstrnktnnr der lijnen moet men besluiten dat er gevallen voorkomen waarin sommige der quantengetallen toenemen. Zie beneden § 16, e). • (2) Men kan de vraag opwerpen: gaat een afname der energie steeds samèn met een afname der quantengetallen? Zie § 16, d), 2). -J) Met de letter * zal steeds een aantal trillingen per tijdseenheid (sekonde) worden aangeduid; de letter a heeft betrekking op het aantal trillingen in den tijd 2 7i. *) N. Bohr, Phil. Mag. 26, p. 1, 1913. 3  § 9. OPMERKING IN VERBAND MET HET VERSCHIJNSEL VAN DOPPLER Indien een mechanisch systeem zich met een konstante translatie-snelheid u beweegt, zal. worden aangenomen dat de boven geformuleerde quantenonderstellingen betrekking hebben op een koordinatenstelsel, ten opzichte waarvan het systeem rust 2) 3). De quantenbewegingen en hun energie worden dus berekend ten opzichte van dit'stelsel; evenzoo geeft de emissie-hypothese ' Cf. A. Einstein, Phys. Zeitschr. 18, p. 125, 1917. !' V?r*£ ') Dit is in overeenstemming met de grondhypothese der speciale relativiteitstheorie, volgens welke alle koordinatenstelsels, welke door Lorentz-transformaties met elkaar verhonden zijn, gelijkwaardig zijn voor de beschrij ving der verschijnselen. Het moet natuurlijk mogelijk zijn de quantenformules in zoodanigen vorm te schrijven dat ze kovariant zijn ten opzichte van Lorentz-transformaties (— en evenzoo ten opzichte van willekeurige kontinue punttransformaties, volgens de gravitatie-theorie —); vermoedelijk zullen de formules dan vrij ingewikkeld worden. (Hoe men den invloed van een graoitatie-veld op de quantenformules in rekening moet brengen (men denke b.v. aan de verschuiving der spektraallijnen) heb ik niet nagegaan.) 3) Indien het systeem uit meerdere zich bewegende deelen bestaat, en men de formules der relativistische mechanika toepast, is er in het algemeen in het systeem geen punt aan te wijzen, dat een eenparige rechtlijnige beweging heeft. Er bestaan echter steeds de drie „integralen van de beweging van het zwaartepunt": p*> = konstante; py = konstante; pz = konstante; waar px, Py, Pz de komponenten der totale hoeveelheid van beweging van het geheele systeem zijn. Men kan nu altijd een koordinatenstelsel invoeren, dat ten opzichte van het oorspronkelijke een eenparige rechtlijnige beweging heeft en ten opzichte waarvan px,py,pz alle drie gelijk nul zijn. De quantenformules worden dan op dit koordinatenstelsel betrokken. Vergelijk in verband hiermee § 15, a), § 16, a) en voor eenige voorbeelden: hoofdstuk III, § 18 (bl. 94) en § 19 (bl. 103). Bij het bovenstaande is stilzwijgend ondersteld dat op het systeem geen uitwendige krachten werken.  § 9.] op het atoommodel. 39 van Bohr de frequentie der lichttrillingen met betrekking op dit stelsel. Voor een stilstaande waarnemer zal de frequentie echter een andere zijn. Met benadering op termen van de eerste orde in ujc komt men tot de volgende formules: *) (N.B. De grootheden welke betrekking hebben op het x' y' z'-stelsel waarin de waarnemer rust, worden aangeduid met geaccentueerde letters; de ongeaccentueerde letters behooren bij het x y z-stelsel, dat met het beschouwde systeem meegaat.) In het x y z-stelsel slaat de beweging van het systeem over van een toestand 1 in een toestand 2; hierbij komt een energie s — «! — «2 vrij, welke uitgezonden wordt als licht van de frequentie v — -jr , in een richting welke een hoek qp maakt met de bewegingsrichting van het systeem. Fig. 2. Aberratie. Dan wordt in het x' y' z'-stelsel waargenomen een lichttrilling van de frequentie: met de energie: v' = v (1 -f- — cos qp) (I) e' = e (1 + 2 — cos | v-„— • .• [ (transf. v. Poincaré) als nieuwe variabelen invoeren om tot het algemeene geval der faze-integralen terug te komen. Dan is: y ,dt=pv .dy — d^l^pq, sin 2 ') J. W. Nicholson, Monthly Notiees Roy. Astr. Soc. 72, p. 677, 1912. N. Bohr, Phil. Mag. 26, p. 1, 1913. J. W. Nicholson, Nature 92, p. 199, 1913. 3) P. Ehrenfest, Verh. Deutsch. Phys. Ges. 15, p. 453, 1913. *) In overeenstemming met het in § 10 gezegde worden de gevonden door met behulp der formules (8) de totale energie (zij deze b.v.«,) uit te drukken als funktie der P's. Dan is cöj = ? P,-. Zie K. Sohwarzschild, Sitz. Ber. Berl. Akad. p. 548, 1916 en P. S. Epstein, Ann. d. Phys. 51, p. 178, 1916.  62 TOEPASSING VAN DE THEORIE DER QUANTA [§ 14. i ' ' 'f — geheel getal V' dan moet in overeenstemming met hetgeen in § 10 en 11 gezegd is, door een lineaire substitutie met geheele koefficienten op een nieuw systeem van variabelen worden overgegaan. Zie voor den vorm der quantenformules de daar opgegeven citaten, en verder de in hoofdstuk III behandelde speciale problemen. III) Exakt periodieke systemen. Het systeem is exakt periodiek als alle co< geheele veelvouden van één grootheid ct>o zijn: tój r= mi . cpo (de m,- zijn onderling onmeetbare geheele getallen). Dan is de eenige te quantiseeren grootheid: P0 = 2mi. Pi • (10) De periode van het systeem is: 2 n P0 is gelijk aan de werkings-integraal uitgestrekt over een volle periode: 2TT P0=2:mi(2 ff P,-) = ^m; ƒ^ d qi = jdt^piiji) — < > 0 = Jd<.2T=2T/„or) (11) o d) In sommige gevallen kan men ook andere vormen van transformaties gebruiken om tot de hoekvariabelen te komen, doch deze verschillen in het algemeen principieel weinig van bovengenoemde. Eenige voorbeelden worden in hoofdstuk III gegeven. i) p. Ehrenfest, Versl. Akad. Amsterdam XXV, p. 412, 1916. (Uit de formule blijkt dat een exakt periodiek systeem steeds eenduidig te quantiseeren is.)  § 15. OPMERKINGEN OVER SYSTEMEN DIE NIET VOLDOEN AAN DE VOORWAARDE B VAN § 10. ji) Translatie-bewegingen, [vergelijk ook: § 16, »).] Een mechanisch systeem waarop geen uitwendige krachten werken bezit steeds de drie integralen van hoeveelheid van beweging: px re konstante Py~ »l Pz =* waar px, py, p„ de kom ponenten van de totale hoeveelheid van beweging van het geheele systeem zijn. De bij deze momenten behoorende koordinaten x,y,z, welke de ligging van het geheele systeem in de ruimte aangeven, kunnen onbegrensd toenemen, en kunnen dus niet als periodieke funkties van hoekvariabelen worden uitgedrukt 1). In het algemeen heeft men voor de translatie-beweging geen quantenvoorwaarden ingevoerd; m. a. w. de waarden van px, py,pz zijn niet door quantengetallen gebonden, maar kunnen een kontinu gebied doorloopen 2). In de quantentheorie der ideale gassen, worden de translatie-bewegingen door sommige physici wel gequantiseerd. Hierbij worden twee verschillende methoden gevolgd: 1) Men herleidt de translatie-bewegingen van de molekulen tot periodieke bewegingen, hetzij door ze te beschouwen als een superpositie van sinustrillingen (geluidsgolven) 3), hetzij door te ') x,y,z zijn cyklkche koordinaten. *) Voor een dergelgk systeem is dus het aantal quantenformules minstens 3 kleiner dan het aantal vrijheidsgraden. [Zie § 16, a)l. J) Cf. H. Tetrode, Phys. Zeitschr. 14, p. 212, 1913; O. Lenz (A. Sommerfeld, G-ött. Vorlesnngen 1913); W. H. Keesom, Versl. Akad. Amst. 1913, p. 98 (= Comm. Leiden, Snppl. 30 a).  § 15.] op het atoommodel. 65 hyperbolische beweging van een elektron om een atoomkern, welke op het volgende neerkomen: *) Gebruikt worden poolkoordinaten r, op; de variabelen kunnen gesepareerd worden, en men vindt voor de momenten: pv= konstante; pr=pv\X CJ212—(r~J — C')2 2) . . . . (1) Evenals steeds gedaan wordt kan men pv gelijk stellen aan een geheel veelvoud van h/2 n. Wat echter de uitdrukking voor pr betreft, deze vertoont een karakter eenigermate tegengesteld aan hetgeen in § 14, c) van de funkties F{ geëischt werd: pr is reëel voor waarden van r grooter dan de grootste (r;) der wortels, en voor waarden kleiner dan de kleinste (!) der wortels van de vergelijking: G2 e2 — (rri—• C)2 = 0. Verder is: Lim pr = p o, = pv Cl/~P — 1 (2) r = 00 Epstein voert nu de quantenvoorwaarde in: 2 ƒ ér O — p o,] = na h (3) bij de integratie loopt r van y tot -f- oo , en dan van — oo tot 5. 3) ') P. S. Epstein, Ann. d. Phys. 60, p. 815, 1916. — Epstein houdt in zgn formules rekening met de formules van de relativistische mechanika; dit verandert echter het principe niet. *) De drie hier ingevoerde konstanten p9,C,S (waarvan slechts twee onafhankelijk zijn) hangen onderling en met de totale energie a aldus samen: C=e£».fr2;„ = ie> l)p,-2. f = excentriciteit; C-l = parameter van de hyperbool. (3) De vergelgking van de hyperbool in poolkoordinaten (met de pool in een der brandpunten) luidt: _ 1 ' ~ C(l + 6cos»0 ' De hoek die de asymptoten met de poolas maken is bepaald door: 1 cos — -, . <<*1Ë1I Voor waarden van v gelegen tusschen — T. L. Bennett, Mess. of. Mathematics 34, p. 113, 1904. 3) Men mag dus b.v. de formules van de relativistische mechanika invoeren; ook mogen de punten werkingen op elkaar uitoefenen, welke niet slechts van hun standen, maar ook van hun snelheden afhankelijk zijn.  70 toepassing van de theorie der quanta [§ 16. dinaten der eerste (n — 1) lichamen ten opzichte van het ne lichaam; q'an-2 q'm-i q'zn zijn de absolute koordinajien van dit laatste; p\p'2 p'3 ■ ■ ■ p'sn-s jp'sn-4 p'zn-z zijn de hoeveelheden van beweging der eerste (n— 1) lichamen; p'3„_2 p'sn-i p'sn zijn de komponenten van de totale hoeveelheid van beweging van het geheele systeem. Tengevolge van de omtrent H gemaakte onderstelling moeten q'Snl2 q'3n-i ?3» uit H wegvallen; p'3n_2 p'sn-i p'sn zijn konstanten, welke men zonder bezwaar gelijk nul mag stellen (zie boven § 9). Hierdoor vallen reeds 3 koordinaten en 3 momenten weg. Men denke zich een koordinatenstelsel Oxyz aangebracht, evenwijdig aan het oorspronkelijke, met den oorsprong O in het ne lichaam. Door een tweede transformatie voert Bennett dan een beweeglijk stelsel Ox'y'z' in met hetzelfde punt als oorsprong; het x'y'-ylak gaat door de lichamen (n — 2), (ri — 1) en n, terwijl de x'-as ligt in het vlak Oxy. Om den momentanen stand van dit stelsel te bepalen zijn noodig de hoeken q"sn-i (tusschen Ox en Ox') en g"3n_3 tusschen Oz en Oz'. Als variabelen worden ingevoerd: (1) de koordinaten der lichamen ten opzichte van het systeem Ox'y'z', waarvoor Sn—5 grootheden q"\ ... q"$n-ö noodig zijn, daar voor de lichamen (n — 2) en (n — 1) de z'-koordinaat nul is, en voor het ne lichaam alle koordinaten nvü zijn; (2) de reeds genoemde hoeken q"%n 4 en g"^-^ (3) de komponenten p'\ ... p"3n_9 der hoeveelheden van beweging van de eerste (n — 3) lichamen parallel de assen Ox, Oy', Oz'; de komponenten p"sn-s, p"sn-" der hoeveelheid van beweging . van het (n — 2)e lichaam, parallel Ox', Oy'; de komponenten p'W-e > p"sn-5 analoog voor het (?? — l)c lichaam; (4) p"3n-4 — bet tegengestelde van het moment van hoeveelheid van beweging van het geheele systeem om de as Oz, en pV-3 — het moment van hoeveelheid van beweging om de as Ox'. In deze grootheden kunnen alle variabelen q\.... p'3rt-3 worden uitgedrukt. Voegt men deze uitdrukkingen in de funktie van Hamilton in, dan moet de koordinaat g"3„_4 hieruit wegvallen, • daar de bewegingsvergelijkingen niet mogen veranderen zoo men het systeem Oxyz over een zekeren hoek om de z-as wentelt. Een der integralen van het moment van hoeveelheid van beweging is dus: (I) p";)«-4 — konstante — k.  § 16-] op het atoommodel. 71 Het systeem moet verder een „invariabel vlak" bezitten, loodrecht op de richting van het totale moment van hoeveelheid van beweging. Kiest men het oorspronkelijke koordinatenstelsel zoo dat het vlak Oxy dit invariabele vlak is, dan zijn de beide andere integralen van moment van hoeveelheid van beweging: (II) P.V-3 = 0. (III) Moment van hoeveelheid van beweging om de as Oz' = — k . cos q"3n-3- Tengevolge van (II) kan men p"sn-s schrappen; door middel van (III) kan men cos q"an-3 uitdrukken in de andere (dubbel geaccentueerde) variabelen. Voor de uitwerking hiervan wordt verwezen naar het geciteerde artikel van Bennett. Men komt tenslotte tot een funktie van Hamilton H*, welke slechts bevat 6 n — 10 variabelen: q\ ... q"an-hP"i ■ ■ ■ p"3n-5, en bovendien de konstante k, welke het totale moment van hoeveelheid van beweging van het geheele. systeem bepaalt. De behandeling van .de funktie H* kan slechts leiden tot hoogstens 3 n — 5 hoekvariabelen (zoo geen verdere ontaardingen optreden) met de hierbij behoorende kanonische momenten. De in te voeren quantenformules moeten de waarden van deze kanonische momenten bepalen, en bovendien de waarde van het totale moment van hoeveelheid van beweging k van het systeem *); hun aantal is dus hoogstens: 3 n — 5 + 1 = 3» — 4. Bij het probleem der twee lichamen is het aantal quantenvoorwaarden hoogstens twee (b.v. relativistische kepler-beweging, zie § 19); verder kan hier genoemd worden de beweging van een vast lichaam (aantal vrijheidsgraden: 6; aantal der quantenvoorwaarden : 2; zie § 29).] b) Gemiddelde waarde van de kinetische energie. Volgens een bekend theorema der mechanika is de kinetische energie T van een systeem gelijk aan de volgende uitdrukkingen : ') Deze laatste, de (3». — 4)« , quanten voorwaarde luidt:  72 TOEPASSING VAN DE THEOBIE DER QUANTA [S 16- Transformeert men op hoekvariabelen, dan is volgens verg. (4), bl. 42: XPidH=XPidQi+dW> en dus: Hieruit volgt voor de gemiddelde waarde van t: w _. 1 } _ l^p , 1 T. Wv— W0 t = Lvm — Idt . t — -TT- >.Picoi + —- Lim - - 1) r=ODrJ 2 < * c=(X T 0 zoodat: t=\-$p<«=\$p, $ Indien er rationale betrekkingen bestaan tusschen de middelbare bewegingen, kan men deze uitdrukking zoo transformeeren dat alleen de intensiteitskonstanten Pi. . . P/_ / en de bij deze behoorende middelbare bewegingen voorkomen. In het bizondere geval van een exakt periodiek systeem vindt men: -= 1 _ n hv T= —P0co0 = — Vergelijk form. (11), § 14. 2 n S dg"sn — i •p"an - 4 = 2 n k = geheel veelvoud van h, 0 ') Ondersteld is dat de funktie W voor alle waarden der Q's steeds beneden een eindige grenswaarde blijft. (Hiervoor is noodzakelijk dat aan de voorwaarde D 2 van § 10 voldaan is.) *) Opmerking. Is de totale energie kinetisch, dan is T=T,— K; uit formule (I) volgt dat in dit geval K een homogene funktie van den tweeden graad in de P's moet zfln. (Voorbeeld: rotatie van een vast lichaam). Bij harmonisch trillende systemen is K homogeen v*an den eersten graad in de P's; hier is: T—{ K—V. zf^tf'A  §16.] op het atoommodel. 73 (In sommige gevallen kan men op eenvoudige wijze het verband tusschen de gemiddelde waarde van de kinetische en die van de potentieele energie aangeven; zie hiervoor: A. Sommerfeld, Sitz. Ber. Bayr. Akad. p. 456, 1915.) [c) Vergelijkt men verschillende gelijkvormige bewegingstoestanden van een mechanisch systeem, waarvan de absolute grootte der banen wordt bepaald door 1 quantengetal n, dan is de energie dezer bewegingstoestanden omgekeerd evenredig met n2, zoo dé krachten tusschen de verschillende deelen van het systeem omgekeerd evenredig zijn met de kwadraten der afstanden. Men kan dit aldus aantoonen: in de verschillende toestanden zijn de overeenkomstige massa's dezelfde; • de krachten (dimensies: lmt~2) zijn omgekeerd evenredig met de tweede machten der lengten; de „werkingen" en de kanonische momenten P en P (dimensies: l2mt~l) zijn evenredig met n. Dan moeten zijn: lengten evenredig met n2, tijden evenredig met n3; waaruit volgt dat de energie (dimensies: l2mt~2) evenredig is met n~2. Het eenvoudigste voorbeeld hiervan zijn de cirkelvormige elektronenbanen in het model van het waterstof-atoom volgens Bohr.] d) Positieve en negatieve waarden der quantengetallen, enz. 1) Uit formule (8) § 11 volgt dat men door geschikte keuze van het teeken van Qk steeds kan zorgen dat Pk positief is. In vele gevallen is hieraan onmiddellijk voldaan, b.v. wanneer de P's bepaald worden met de methode der faze-integralen. Soms is het gemakkelijker niet hieraan vast te houden. Beschouw b.v. de rotatie van een lichaam om een vaste as. Is A het traagheids-moment, dan heeft men: / - 1 a -2 ij- Ï { Als hoekvariabele en kanonisch moment kunnen ingevoerd worden: Q = p2, P3)\ De totale energie hangt dus slechts af van de som van Pi, P2 en |P3|. De middelbare bewegingen der korrespondeerende hoekvariabelen zijn gelijk ; men heeft hier te doen met een geval van ontaarding: het systeem is exakt periodiek. Overeenkomstig hetgeen in hoofdstuk II, § 10 is gezegd moet men nu door een lineaire substitutie met geheele koefficienten en determinant +1 op een ander systeem van hoekvariabelen en bijbehoorende intensiteitskonstanten overgaan, zoodat twee der nieuwe hoekvariabelen de middelbare beweging nul hebben; men kan hiervoor nemen: *) P, en Pj zijn steeds positief; het teeken van P3 hangt af van de richting der röndloopende beweging (verg. § 16, d). — In de formule voor de energie komt de absolute waarde van Ps voor.  80 problemen dik betrbkking hebben [§ 17. Q1 = q! pi = p1 + p2 + |P3| i a2=q2-^ P2= p3+ & (=«a) (6) Q3 == q3 + Q, P3 = p3 (— «s) ) ») B. Andere methode van behandeling. Voordat hiermee verder wordt gegaan, zal nog een andere behandelingswijze gegeven worden, welke meer aan de methodes der astronomische mechanika herinnert, en direkt tot de P's leidt 2). Op de in rechthoekige koordinaten geschreven funktie van Hamilton (verg. 2) wordt de kontakt-transformatie toegepast, gegeven door: *=*Wlhp, > (7> waar: Wi = (py sin t/3 + Px cos qs). qi cos q2 + + \/p\ + (py cos qs — sin t/s)2 • 2i sin 22 • •• (8) m E Fig. 4. Elliptische beweging van een elektron. K = atoomkern; E = elektron. W = klimmende knoop. P — perihelium. KE = qt ; ^NE=q3 ; — XN=q3. — JVP=.a, ; -sX2v=a,. De beteekenis der nieuwe variabelen gi, g2 , is te zien uit bijgaande figuur. Beteekenis der nieuwe p's: ') Men moet q3 = Q3 — Q3, resp. q, = Qs + Q3 nemen, al naar dat P3 positief of negatief is, daar steeds voldaan moet worden aan de betrekking: P, dQ, + P, dQt + P3 dQ3 = P, da, + p, dQ3 + P3 dü3. J) Zie b.v. Whittaker, Anal. Dynamics, Cambr. 1917, p. 348 en 419.  § 17.] op de beweging van een enkel elektron. 81 p2 = totaal moment van hoeveelheid van beweging; p$ — komponente hiervan om de z-as. De funktie van Hamilton gaat over in: '*=^W+*Vï! (9) Daarna past men de kontakttransformatie toe: q. = d wyd P{ ; pt=1 * w2jc q, (10) li/ — i j \/ m?é*iP . -ImeE p* , „ J "l Hl H i (| = de minimumwaarde van qi = de perihelium-afstand.) Deze doet de funktie van Hamilton overgaan in: H = K(P) = -^- (12) De hier ingevoerde p's zijn dezelfde als boven onder A) zijn aangegeven (verg. (6)). Beteekenis van Qi 02 Qs : üi = middelbare anomalie van het elektron in de baan; Q2 = lengte perihelium, gerekend vanaf de klimmende knoop; Qs = lengte klimmende knoop, gerekend vanaf de x-as. (zie fig.) Q2 en Q3 hebben de middelbare beweging nul: de elliptische baan staat vast in de ruimte. l) ') pi pï ps ui Oj Q, stemmen overeen met de elementen van Delaunay voor een planetenbaan; de rechthoekige koordinaten x y z kunnen, zooals hekend is, in FouRiBR-reeksen naar Q, Qj 0S ontwikkeld worden. Zie h.v. Charlier, Die Mechanik des Hinimels I, p. 210. "Verhand van de P's met de afmetingen en de stand van de,baan: Zfl a de halve groote as van de ellips; $ de excentriciteit; i de helling van het baanvlak t. 0. v. het xy-v\ek\ dan is: P, = \/ me Ea Pj = iSmeEaQ f») f (13) P3 [/IneEajl — f») . cos i ] Dus: halve groote as:' a = PJ/me E \ halve kleine as: 6 = Pi ^tlm e£ > (14) ' tja = P1lpi ) 6  84 problemen die betrekking hebben [§ 17. dan. wordt gevonden: voor de halve groote as van de baan: a — 0,53 .10"8 . ra2 cm; voor de energie: « = — 2,14 .ÏO"11. n~* erg; voor de spektraalformule: v = 3,25 .1015 — jjg | • • • (18) In den'normalen toestand kan men aannemen: n = l; dus is dan de baan een ellips (vermoedelijk een cirkel) met halve groote as: 0,53 . 10~8 cm, wat in grootteorde overeenstemt met de waarden uit de kinetische gastheoriè afgeleid voor de afmetingen der molekulen en atomen. — De arbeid, noodig om het elektron van de kern weg te halen is: 2,14 .10"11 erg; hieruit volgt voor de ionisatie-Spanning van waterstof: 2,14 . lÜ-^4,774 .10"10 E. S. E. = ca. 13,4 Volt i). Experimenteel is gevonden: 11 Volt 2). De mooiste resultaten geeft evenwel de formule voor het spektrum. Stelt men in form. (18): na =2, »t = 3, 4, 5, enz. dan krijgt men de bekende formule van Balmër voor het gewone spektrum van Waterstof: #Kf-s>-C18i) waarin volgens de metingen R de waarde heeft: 1,097 .106 . 3 .1010 = 3,29 .1015 3) , Dit resultaat, het eerste dat Bohr bereikt heeft *), is een der verrassendste van de quantentheorie van het atoom; aan deze theorie is het dus gelukt de konstante van Rydberg R terug te brengen tot reeds bekende fysische konstanten: R^Wmé (19) >) N. Bohr, Phil. Mag. 26, p. 5, 488, 1913. *) Zié: J.. J. Thomson, Phil. Mag. 24, p. 218, 1912; j. Frank & G. Hertz, Phys. Zeitschr 17, p. 413, 1916; J. Stark, Jahrh. d. Bad. u.' Elektr. 13, p. 413. 1916. ») Zie b.v. M. Konen, Das Leuchten der Gase und Bampfe, p. 78 (Brannschweig 1913). ») Tf. Bohr, Phil. Mag. 26, p. 4, 1913.  § 17.] op de beweging van een enkel elektron. 85 wat tevoren nog langs geen anderen weg bereikt was Ook de quantitatieve overeenstemming is bizonder goed 2) 3). Stelt men: — 3, »ii = 4, 5, . .. dan krijgt men een reeks lijnen in het ultrarood, waarvan de eerste twee waargenomen zijn door Paschen 4). — De reeksen voor n2 = 4, 5, enz., welke nog verder in het ultrarood liggen, zijn nog niet gevonden. ïi2 = 1 geeft een reeks in het ultraviolet; deze was nog niet waargenomen toen Bohr zijn theorie publiceerde 5). Twee lijnen ervan (m = 2, 3) zijn kort daarop gevonden door Lyman 6). In verband met het bovenstaande kan nog het volgende opgemerkt worden: 1) Bij proeven met vakuumbuizen heeft men nooit meer dan 13 lijnen van de balmer-reeks gevonden; daarentegen vond men in de spektra van sommige nevelvlekken 29 of 33 lijnen 7). Volgens de theorie van Bohr is de diameter der baan voor n —15 : 2,4 . IG"6 cm, wat de gemiddelde afstand der molekulen is bij een gasdruk van 1 a 2 mm kwik; voor n = 35 is de diameter: 13 .10-6 cm, de gemiddelde afstand bij ca. 0,01 mm kwikdruk. Bij proeven met vakuumbuizen kan ') Verschillende methodes ter afleiding der formule van Balmer zijn voorgesteld door W. Ritz; zie: Oeuvres, j>. 1 vgl. (Inaug.-Diss. Gött.); p. 91, 95, 98, 175. Ritz maakt in geen van zijn afleidingen gebruik van quantenonderstellingen. — Door F. Hasenöhrl (Phys. Zeitschr. 12, p. 931,1911) is een afleiding gegeven welke hiervan wel gebruik maakt; Hasenöhrl heeft echter niet de tweede quantenhypothese over de emissie van lichttrillingen, en identifieert de frequenties van de balmer-reeks met frequenties van elektronenbewegingen in het atoom. *) In de formule komt e in de 4e, h in de 3e macht voor; ze is dus zeer gevoelig voor kleine fouten in deze grootheden. Voor een goede beoordeeling der overeenstemming is het noodig rekening te houden met den invloed van de beweging van de kern en met de relativistische korrekties. Zie hiervoor: A. Sommerfeld, Ann. d. Phys. 51, p. 90, 1916 en F. Pasohen, Ann. d. Phys. 50, p. 901, 1916. ') Vergelijk ook een opmerking van Wolfke, Phys. Zeitschr. 17, p. 198, 1916. ') F. Paschen, Ann. d. Phys. 27, p. 565, 1908. 5) n. Bohr, Phil. Mag. 26, p. 9, 1913. Beide reeksen waren reeds vermoed door W. Ritz op grond van zijn kombinatieprincipe. Zie: W. Ritz, Oeuvres, p. 141 (Phys. Zeitschr. 9, p. 521, 1908). «) Th. Lyman, Nature 93, p. 241, 1914. ') h: Kavser, Handbuch der Spektroskopie (Leipzig 1910) v, p. 482, 483.  86 PROBLEMEN DIE BETREKKING HEBBEN [§ 17- men hetTgas niet voldoende verdund nemen, om meer dan de 15e baan toe te laten; bij grootere verdunningen, welke noodig zijn om grootere banen en dus meer lijnen te verkrijgen, is het spektrum te lichtzwak x). 2) Absorbtie-spektrum van waterstofgas. Om licht van de golflengte eener lijn van de balmer-reeks te absorbeeren moet de waterstof in den toestand zijn waarin ze zelf deze lijnen uitzendt 2). Dit is in overeenstemming met de theorie van Bohr : om de balmer-frequenties te absorbeeren moeten in het gas atomen aanwezig zijn, waarin het elektron op de 2e baan loopt. Deze komen onder normale omstandigheden niet voor: vooreerst zijn dan bijna alle jff-atomen tot molekulen vereenigd, en ten tweede bevinden zich in de meeste losse atomen de elektronen op de binnenste baan 3) 4). 3) Stark heeft een onderzoek ingesteld naar den tijdsduur van de emissie van het licht der verschillende spektraallijnen bij H, He en andere elementen 5), en komt tot de konklusie dat deze tijdsduur stijgt met het rangnummer van de lijn in de reeks. M. a. w.: hoe verder beginbaan en eindbaan uiteenliggen, des te langer duurt de emissie. (Als schatting van een bovenste grens voor de emis&ieduur geeft Stark ca. 4.10™7 sek.) 4) Volgens Stark worden de bovenvermelde reeksen uitgezonden door het positieve waterstof-ion (#+)«). Stark besluit dit uit het optreden van het DopPLER-effekt bij deze lijnen in het spektrum der kanaalstraten van waterstof, terwijl hij vaststelt dat de drager de massa heeft van het waterstof-atoom. De dragers van deze lijnen moeten dus een groote snelheid verkregen hebben. Om dit te verklaren moet men aannemen dat ze zich i) Dit is opgemerkt door N. Bohr, 1. c. p. 9. • *) Zie: H. Kayser, 1. c. p. 486; M. Konen, Das Leuchten der (iase und Dampfe (Braunschweig 1913), p. 295. ') N. Bohr, 1. c. p. 16. ») Over de statistische verdeeling der elektronen over de verschillende ringen zie: K. F. Herzfeld, Ann. d. Phys. 51, p. 261, 1916. Cf. heneden: hoofdstak VI, § 42. s) J. Stark, Ann. d. Phys. 49, p. 731, 1916. Men vergelijke ook een artikel van L. Vegard, Ann. d. Phys. 52, p.72, vgl., 1917 (speciaal p. 90 — 93). «) J. Stark, Ann. d. Phys. 49, p. 179, 1916; 50, p. 61, 1916; 62, p. 251, 1916.  88 problemen die betrekking hebben E§ 17- met lading E=2e, waaromheen twee elektronen loopen. Indien het atoom een der elektronen verloren heeft krijgt men het z.g. positief geladen Helium l); hierop kan bovenstaande theorie worden toegepast. De spektraalformuie (17) wordt: ■* 8^me4 / i 1\_ /j J_\ (20) m — 4; rii '= 6, 8, 10, enz. geeft een reeks welke samenvalt met de balmer-reeks van waterstof2). ^ = 4; ni=5, 7, 9, enz. geeft de reeks door Pickering in t. Puppis ontdekt. n2 = 3; m =4, 5, enz. geeft de beide z.g. „hoofdreeksen van waterstof", door Fowler gevonden. Dat deze lijnen inderdaad aan Helium toebehooren is gebleken: a) door exaktere formules te berekenen, waarin de korrektie voor het meebewegen van de kern is aangebracht, welke korrektie voor waterstof een grootere waarde heeft dan voor Helium (Bohr) en door deze formules met de gemeten golflengten te vergelijken 3); b) door een onderzoek van Evans 4), die de lijnen (3.4) en (4.5) waarnam in een buis met Helium, welke geen spoor van de waterstonijnen gaf; c) door het bizonder nauwkeurige onderzoek van Paschen 5). Opmei-kingen. 1) Tweevoudig positief geladen Lithium, d. w. z. Lithium-atomen welke in plaats van 3 elektronen er slechts 1 bezitten, zouden volgens de theorie van Bohr een spektrum moeten vertoonen, gegeven door de formule: 18A^n_i\ ür(*-- \ \ . . . (20*). i) De alpha-deeltjes zijn Be-kernen die beide elektronen missen. «) Zie echter § 18. ■< . ^fr«8 3) N. Bohr, Nature 92, p. 231, 1913. A. Fowler, idem p. 232. Zie beneden § 18. ») Evans, Phil. Mag. 29, p. 284, 1915. s) F. Paschen, Ann. d. Phys. 50, p. 901, 1916.  § 17.] op de beweging van een enkel elektron. 89 Bohr meent dat een aantal lijnen, welke in het spektrum der WoLF-B,ayet-sterren (sterren van het spektraaltype 0;- worden beschouwd als de heetste sterren) voorkomen, door middel van deze formule verklaard kunnen worden *). 2) De reeksen, die zooals de door de formule (20) voorgestelde, de konstante 4R bezitten, behooren tot een type, dat men in navolging van Norman Lockyer met den naam: „vonk-reeksen" of „versterkte reeksen" aanduidt („enhaneed series"). Ze komen ook bij vele andere elementen voor. — Deze reeksen onderscheiden zich van de gewone'reeksen met de konstante R door de volgende ' bizonderheden: a) ze treden op bij hooge temperaturen (sterke elektrische ontladingen: „condensed spark"); b) de detailstruktuur van de lijnen dezer reeksen is op 16 maal grootere schaal gebouwd dan die van de lijnen der gewone reeksen 2). De Lithium-reéks (20*) zal vermoedelijk eerst bij zeer sterke elektrische ontladingen optreden; ik weet niet of men dergelijke reeksen ook bif andere elementen heeft waargenomen 3). Spektra van andere elementen. Bij elementen met hoogere atoomnummers zal de toestand ') Zie: N. Bohr, Phil. Mag. 26, p. 490/491, 1913; J. W. Nicholson, Monthly Notiees 73, p. 382, 1913; 74, p. 119, 1913/14. In het spektrum van de WoLF-rayet-sterren komen voor de lijnen: (6.10), (6.13), (6.14), (4.5); de eerste drie waren reeds , door Nicholson in een reeks van het type (20*) ondergebracht (M. N. 73, l.c). In het spektrum dezer sterren komt ook voor de lijn: He+ (3.4); Nicholson merkt op dat de WoLF-rayet-sterren sterke elektrische ladingen moeten bezitten, indien de opvatting van Bohr juist is (M. N. 74, l.c). *) Zie de formules voor de detailstruktuur, beneden § 19; voor meer uitvoerige beschouwingen wordt verwezen naar A. Sommerfeld, Ann. d. Phys. 51, p. 62, vgl., 1916. J) J. Stark (Jahrb. Rad. u. Elektr. XIV, p. 139, vgl., 1917) vermeldt iets over Ar+++, wat in de theorie van Bohr zou overeenkomen met Ar++. Verder zij vermeld het z.g. „super-spark-spectrum" van zuurstof, gevonden door A. Fowler & J. Brooksbank (Monthly Notiees 77, p. 511, 1917), waarvan 'sommige lijnen ook in het spektrum der w.-r.-sterren voorkomen. Een formule voor de lijnen is echter niet medegedeeld, evenmin gegevens over de detailstruktuur.  90 problemen 0IE betrekking hebben [§ 17. waarin de kern alle elektronen op één na mist, praktisch nooit voorkomen, zoodat form. (17) niet toegepast kan worden. Er zijn echter twee grensgevallen waarin deze formule approximatief geldt: a) alle elektronen op één na bevinden zich vrij dicht om de kern; het laatste elektron beschrijft op grooten afstand banen om dit systeem. Bij benadering werkt het geheele systeem als een kern met lading E = e; de energie van het buitenste elektron heeft dus tennaastenbij de door (16) gegeven waarde. De termen van de spektraalformules zullen diïs voor groote waarden van n tot den vorm en2 moeten naderen 1). Dit is in overeenstemming met de theorie van Rydberg, e. a. 2) 3). b) een elektron beweegt zich vlak om de kern; de andere zijn verder weg, en ongeveer symmetrisch verdeeld, zoodat ze slechts een zeer geringen invloed uitoefenen vergeleken met de sterke werking van de kern. In form. (16) is dan E ongeveer gelijk aan de werkelijke kernlading; de energie stijgt met het kwadraat hiervan, zoodat de frequenties zeer hoog worden. Bij hooge atoomnummers komt men zoo tot de formules voor de Röntgenspektra 4). Opmerking bij a). Over de „versterkte" spektra („enhanced spectra") van vele elementen welke optreden bij hooge temperaturen (sterke elektrische ontladingen) zie men: A. Fowler, Proc. Roy. Soc. A90, p. 426, 1914. (Series Lines in Spark Spectra). De in deze spektra voorkomende reeksen hebben de konstante 4 R, e.venals het spektrum van pos. geladen Helium; ze moeten worden toegeschreven aan atomen die 1 elektron verloren hebben; van dé overige elektronen loopt er één op betrekkelijk i) N. Bohr, Phil. Mag. 26, p. 12, 1913. J) Zie h.v. H. M. Konen, Das Leuehten der Gase und Dampfe (Braunschweig 1913). s) Voor een nadere uitwerking hiervan wordt verwezen naar: A. Sommerfeld, Sitz. Ber. Bayr. Akad. p. 131, 1916. Zie ook: Hoofdstuk IV, §28 [en 28*]. *) Verg. H. Gr. Moseley, Phil. Mag. 26, p. 1032, 1913. De theorie der Röntgenspektra (met inachtname van de relativiteitskorrekties) is uitvoerig ontwikkeld door A. Sommerfeld, Ann. d. Phys. 51, p. 125, 1916. [Later zijn door Debije en Vegard eenigszins gewijzigde theorieën uitgewerkt; zie de in § 28 geciteerde artikelen].  § 17.] OP DE BEWEGING VAN EEN ENKEL ELEKTRON. 91 grooten afstand om het atoom, terwijl de rest vrij dicht om de kern zit l). >) Men zie ook: J. Stark, Die Trager der Spektren der chemischen Elemente, Jahrb. Rad. u. Elektr. XIV, p. 139, vgl., 1917. Om de uitkomsten van Stark met de theorie van Bohr te vergelijken, moet men de door Stark opgegeven pos. ladingen der ionen met 1 verminderen.  § 18. INVLOED VAN DE BEWEGING VAN DE ATOOMKERN. In de voorgaande paragraaf is, om in het eerste overzicht de formules eenvoudiger te houden, aangenomen dat de kern van het atoom vast stond. Dit mag slechts gebeuren als de massa van de kern zeer vele malen grooter is dan die van het elektron. Bij het waterstof-atoom is de verhouding dezer massa's ca. 1850:1; deze verhouding is niet zoo groot dat ze bij de nauwkeurigheid der spektraalmetingen buiten rekening gelaten mag. worden. Bij de studie van den invloed der kernbeweging komen hoofdzakelijk de volgende faktoren ter sprake: 1) Kern en elektron bewegen beide om hun gemeenschappelijk zwaartepunt. De invloed hiervan is van de orde mjM(m = massa van het elektron, M— massa van de kern). Zie beneden *). 2) Kern en elektron oefenen behalve de elektrische aantrekking, ook magnetische krachten op elkaar uit 2). Indien men veronderstelt dat de snelheden en versnellingen zoo klein zijn dat de beweging als quasi-statiónnair opgevat mag worden, kunnen de elektrische en magnetische krachten tezamen het gemakkelijkst aldus in rekening gebracht worden: De koordinaten van het elektron zijn: x, y, z; die van de kern: X, Y, Z. Dan zijn de potentialen door de kern op de plaats van het elektron veroorzaakt: i,i EX EY EZ ... w = ; ax = , a„ = , a2 — _ ó). ' ' r c rc rc De Lagrangb-funktie van het systeem wordt derhalve: 1) Vergelijk N. Bohr, Nature 92, p. 231, 1913. — Verder: A. Sommerfeld, Sitz. Ber. Bayr. Akad. 1915, p. 440; Ann. d. Phys. 51, ca. p. 90, 1916. 2) Cf. A. Sommerfeld, Sitz" Ber. Bayr. Akad. 1915, p. 467. J) ,• = '{(*- X)> + (> - F)*- + (r — Z)* j lh  § 18.] op de beweging van een enkel elektron. 93 L = ~ (x2 + y2 + Z2) _|_ ^ (X2 + F2 _|_ £2) + + e^(l-X*+y/+ZÈ) ») (21) Hieruit blijkt dat de magnetische krachten t. o. v. de elektrische van de orde vV\c2 = mv2\Mc2 zijn (v = snelheid elektron; V= snelheid kern) 2). Zelfs bij hooge atoomnummers (groote waarden van v) is de invloed nog zeer gering (voor nadere uitwerking zie men de noot bij deze §). 3) De retardeering der potentialen. " In het bovenstaande is gerekend alsof de elektrische en magnetische krachten zich met een oneindige snelheid voortplanten,wat echter niet het geval is. De werkingen die het elektron van de kern ondervindt en omgekeerd, zijn te danken aan de potentialen die een tijd rjc te voren zijn uitgezonden. Dit heeft o. m. ten gevolge dat de richting der elektrische aantrekking niet meer van het elektron naar de kern wijst, maar e. w. naar voren (d. w. z. naar de bewegingsrichting toe) afwijkt. Men heeft hiermee geen rekening gehouden bij de studie der spektra. (Dit zou nog des te lastiger worden, doordat men niet met zekerheid kan aangeven tot hoever de klassieke elektronentheorie mag worden toegepast.) 3) Beweging van kern en elektron om hun gemeenschappelijk massacentrum. Volgens de gewone formules der mechanika is de funktie van Hamilton voor het systeem elektron plus kern: H= Tiï(Pt* + Pi+Pl)+ TM (Pi+Pï+Pïï- ~- (22) Door middel van een kontakttransformatie kan men op de relatieve koordinaten §, ij, £ van het elektron overgaan; stel hiertoe 4): ') Cf. K. Sohwarzschild, Gbtt. Nachr. 1903, p. 127. *) Men kan dit ook langs meer direkten weg aantoonen. *) G. A. Schott heeft in zijn berekeningen over elektronen-bewegingen de retardeering niet verwaarloosd (Zie: Electromagnetic Badiation (Cambridge 1912) b.v. p. 168, 186.) *) Naar Whittaker, Anal. Dynamics, p. 348 (eenigszins gewgzigd).  94 problemen die betrekking hebben [§ 18. (23) V ; mx+MX . W = Pi(x-X) + p'i J+M + enz. | oW u dW i " ' Dan is: ■ i # m s=x-x px=+1>s+p _ T, enz. ". . (24) mz + MX __ , M 5 - m + itf ^"^m+üf De funktie van Hamilton wordt: * = i- (ri+'»?+r*+t '«+""- +""] ~ t • ■(25) waar: r=mM/{M+m) (26) P'v P'v' P'ï ziJn Constant: bet zwaartepunt van het systeem heeft een eenparige rechtlijnige beweging. Aangenomen wordt dat het zwaartepunt in rust is, zoodat de term: weggelaten kan worden 1). Dan wordt de funktie van Hamilton : Deze kan evenzoo ver.der behandeld worden als in § 17 ge=daan is; men komt tenslotte tot de energie-formule: a = _ (27) Van de vroegere formule (16), bl. 82, verschilt deze slechts hierin dat de massa van het elektron m vervangen is door de grootheid p. De konstante van Rydberg wordt dientengevolge: i) Vergelijk in verband hiermee: § 9 en § 15, a).  § 18.] op de beweging van een enkel elektron. 95 h?> M-\-m ' waar: 2 tt2 m e* **= ; w> Neemt men m/Mii = 1/1850, dan is: i2H =0,999460 Poo jRHe = 0,999865 Rcc Rh,'Rh = 1,000405. Experimenteel is dit schitterend bevestigd. Zie: a) N. Bohr, Nature 92, p. 231, 1913; ,A. Fowler, „ „ p. 232, „ ; en vooral:. b) F. Paschen, Ann. d. Phys. 50, p. 935, 1916. Paschen geeft op: RH\c = 109677,691 ± 0,06 ij Rm/c = 109722,144 ± 0,04 R oo/c = 109737,18 ±0,06. Hieruit: m\Mu = 1/1843,7 (nauwkeurig tót op ca. 2,5 °/oo). Noot. Berekening van den invloed der „magnetische termen'' op de energie-formule. Als uitgangspunt dient de in verg. (21) gegeven Lagrangefunktie van het systeem elektron plus kern; hieruit leidt jmen af voor de funktie van Hamilton (met verwaarloozing van termen die c4 in den noemer hebben): B = + P2 + # > + TM 0)1+p * + pl) ~ eE\ pxpx+ I (9R. ' r j mif c' I{ > Deze wordt op dezelfde wijze getransformeerd als boven gedaan is (verg.' 24). Na de substitutie komen r{, T niet voor; dus zijn p'i, p'n, p'<-, konstanten (integralen v/d beweging van het ') Voor de berekening dezer getallen zijn door Paschen de gemeten golflengten op vakuum gereduceerd.  96 problemen die betrekking hebben [§ 18. zwaartepunt). Aangenomen zal worden dat het systeem als geheel geen translatie heeft; dan zijn deze grootheden gelijk nul. De substitutie-vergelijkingen zijn dan: px — p= , px = — pi , x— X—S, enz. zoodat H wordt: Uitgedrukt in poolkoordinaten (evenals bij de vroegere problemen is de baan een plat vlak, dus is het niet noodig de {r-koordinaat in te voeren): Hierin zijn de variabelen te separeeren; met dezelfde verwaarlozingen als boven vindt men voor de faze-integralen: 2 TT pq, — 2 Tl P2 2J-^^(l+^\-lp9l + ^^\ = 2nP, |l/_2,u«1 V M~c* ) u" . 3f!p,|c2| De formule voor de energie wordt tenslotte: -urn,- Pe2E'2 2fflMffl ,m2e*EA m «!— K(H- - 2p, Mc2ps |Pa| T M.tfp* I ■ ■ ■ • \ ) waarin onmiddellijk Px + | P2 | = Pi; P2 = P2 gesteld is. De extratermen zijn t. o. v. den hoofd term van de orde van grootte: m e2 E2 s Z [ Z = atoomnummer = Efe; j JlfcSPiPg = Ca- • mn, | Pi = ri! 7i/27r; P2 = n2 7i/2tt ) 1) Uit de verg. blijkt dat er een perihelium-beweging ter grootte van: n = 2 m% g' s ;g \ Sommerfeld (Sitz. Ber. Bayr. Akad. 1915, p. 467) 1 Mc1 P= P| geeft dezelfde waarde op, echter met het tegengestelde teeken.  § 19. INVLOED VAN DE VERANDERLIJKHEID DER MASSA MET DE SNELHEID l\ Volgéns de formules der relativistische mechanika is voor een bewegend1 massa-punt de LAGRANGE-funktie: L = _ m C2 [ J/ x _ ^2/c2_ j J _ rj 2) (30) (U = potentieele energie). — Beweegt een elektron zich in het veld van een vaststaande kern, dan wordt dit: L = -mc* [|/T^>-l] +^ • • • • (30a) waaruit volgt voor de funktie van Hamilton: # = + mc2 [ j/7TM+iï+Z_ll _eE_m . (31) L r m2c2 J r x Wil men ook de beweging van de kern in rekening brengen, dan kan volstaan worden met in formule (31) m te vervangen door fi (cf. form. 26). Hierdoor worden slechts grootheden ver' waarloosd welke t. o. v. de relativistische termen van de orde van grootte m\M zijn 3). A. In poolkoordinaten geschreven wordt H: mc2 [|/l+^^+p^2+^r2s.n2#^_1J_^ _ ( (31 ') Het eerst berekend door N. Bohr, Phil. Mag. 29, p. 332, 1915. — Zie verder: A. Sommerfeld, Sitz. Ber. Bayr. Akad. 1915, p. 459; Ann. d. Phys. 61, p. 1, 1916; en P. Debye, Phys. Zeitschr. 17, p. 512, 1916. *) Vergelijk § 6. 5) Vergelijk de noot bij deze §. — Men zie de formules gegeven door: N. Bohr, Phil. Mag. 29, p. 332, 1915; F. Paschen, Ann d. Phys. 50,.p. 907, 1916; A. Sommerfeld, Ann. d. Phys. 51, p. 91, 1916. 7  98 problemen die betrekking hebben [§ 19. Daar het mogelijk is de variabelen te separeeren, kan men de quantenvoorwaarden het eenvoudigste opstellen met behulp van de methode der faze-integralen 3); men vindt dan (verg. ook § 17, A): Pv = «3 P*= ]/^«! - «i/sin2* (32) Faze-integralen: 2 TT P3 = 2 tt «s 2 tt P2 = 2 tt («2 — | «3 ) J Met 'benadering tot op termen van de le orde in v2jc2 vindt men voor de energie: •mé^E2 me* FA |~ 4Pj. «i = - 2(P1+Pa +|PÏÏF l(P2+\Pa\)(Pi + F2 + \P» |)4 j 1 1 (34) + (P1+P2 + |i53|)4 J Deze blijkt slechts van twee lineaire kombinaties met geheele koefficie'nten Px = Pi + P2 + ! P»! en P2 = P2 + \P»\ der P's af te hangen: me2 E2 mé FA r 4 3 1 fg4 . «i- 2P? 812- LP.P2 Pt J ' B. Op analoge wijze als in § 17, B is gedaan kan men ook hier met behulp van kontakttransformaties de funktie van Hamilton herleiden. Deze worden hier nog kort vermeld. In rechthoekige koordinaten is H gegeven door verg. (31); dezelfde transformatie als in § 17 (form. 7, 8) gebruikt is, doet H overgaan in: «) P. Debye, l.c.  § 19.J op de beweging van een enkel elektron. 99 fepfl/it$ +?p >j ;f.- (35) De tweede transformatie wordt in plaats van de door (10) en (11) gegevene: + (37) waar A een afkorting is voor: . _ me2E2 méE* |~ 4 8 1 2P? 8c2' LPfP7~PTJ • " ' (3?a) Hierdoor wordt de funktie van Hamilton: i//-pv_«_ me2E2 méE* r 4 31 K(P)-A- -g— |__^_j=ttl . .(34a) evenals boven. Beteekenis der ingevoerde hoekvariabelen: De baan ligt in een plat vlak; ze is een ellips met perihelium-beweging. ü3 = lengte van de klimmende knoop, gerekend vanaf de z-as. Q3 = 0: de knoopenlijn staat vast. De helling van het baanvlak, welke gegeven is door: cos i = P-s/p2, is natuurlijk eveneens konstant. Q2= lengte van het perihelium, gerekend vanaf de klimmende knoop. Er is een perihelium-beweging ter grootte van: a ?K . me4E* "2=Qs= <^ = 2^pëp|<38> Qi = middelbare anomalie t.o.v. het momentane perihelium. €. Q^wmtenformules. Vergelijkt men het verkregen resultaat met dat van § 17, dan blijkt dat de beweging niet meer exakt periodiek is: de perio-  LOO PROBLEMEN die betrekking hebben [§ 19. den der r- en der op-beweging zijn uit elkaar gehaald; echter zijn die der g> en der ^-beweging onderling gelijk gebleven. Er moeten nu twee quantenvoorwaarden ingevoerd worden: » *=»i \n > Pa = V/2-(39) Daarbij is steeds: »i ^ «2 > 0 1). De formule voor de energie wordt dus in eerste benadering: 2n*me*E* ï-nïéW r_4 3 1 2 (40 g~~ n\h* h*** ln\nt n*A Voor de banen van verschillende excentriciteit die bij eenzelfde waarde van nx behooren zijn dus de waarden van de energie verschillend. M. a. w.: de waarde van n-2 heeft invloed op de ligging der spektraallijnen; de lijnen die volgens de formules van § 17 over elkaar zouden vallen zijn nu gesplitst. De hierdoor teweeggebrachte detailstruktuur is door Sommerfeld zeer nauwkeurig nagegaan3); zijn resultaten zijn experimenteel voor een groot deel bevestigd door het reeds meermalen genoemde werk van Paschen4). Uit de formules blijkt dat de "grootte van de relativiteitskorrektie stijgt met de vierde macht van de kernlading (dus met de.vierde macht van het atoomnummer). Van zeer grootbelang is ze dientengevolge bij de theorie der Röntgenstralen, waar het noodig is ook de volgende termen in de berekening op te nemen. Voor de verdere uitwerking van de theorie der detailstruktuur en voor de theorie der Röntgenspektra wordt verwezen naar het Werk van A. Sommerfeld, Ann. d. Phys. 51, p. 1 en 125, 1916. — Het is aan Sommerfeld gelukt vele bizonderheden van de Röntgenspektra te verklaren, en voor een aantal lijnen zeer goede formules af te leiden; er blijven evenwel ook verscheidene pun- ») Vergelijk bl. 82, noot «); P, en P, hebben hier bij benadering dezelfde beteekenis als in § 17. Sommerfeld schrijft: », = » ; «i =* + *'■ s) Voor de korrektie-tennen van hoogere orde zie: A. Sommerfeld, Ann. d. Phys. 51, p. 54, vgl., 1916. J) A. Sommerfeld, l.c. p. 62, vgl. *) F. Paschen, Ann. d. Phys. 50, p. 901, 1916.  § 19.] op de beweging van een enkel elektron. 101 ten onopgehelderd, welke vermoedelijk samenhangen met den invloed der omringende elektronen ]). Opmerkingen. 1) Met betrekking tot de z.g. „grenswaarde van het moment van hoeveelheid van beweging" p^ — e^jc zie men: M. Planck, Ann. d. Phys. 50, p. 401—404, 1916; A. Sommerfeld, Ann. d. Phys. 51, p. 49, 57, 1916; Sitz. Ber. Bayr. Akad. 1916, p. 131. Door • de onderzoekingen van Sommerfeld schijnt met zekerheid vastgesteld te zijn dat de quantenformule voor het moment van hoeveelheid van beweging moet luiden: P2 = /i/2 n en niet: P2 — po= w2 h/2 n. 2) Over de spiraalbanen van een elektron om een vaststaande kern zie men: G. H. Darwin, Phil. Mag. 25, p. 201, 1913; A. Sommerfeld, Ann. d. Phys. 51, p. 49, 1916 2)3). Sommerfeld vermoedt dat deze banen in verband staan met het z.g. witte of veellijnen-spektrum van waterstof. Vergelijk hierover ook: K. Glitscher, Sitz. Ber. Bayr. Akad. 1916, p. 125. 3) De bovenstaande theorie van Sommerfeld berust op de onderstelling dat de hoeveelheid van beweging van het elektron zich gedraagt volgens de formules der relativiteitstheorie, of — wat op hetzelfde neerkomt — volgens de door Lorentz gegeven formules voor de elektromagnetische hoeveelheid Van beweging van een elektron dat bij de beweging van vorm verandert4). Door Glitscher zijn de formules voor de detailstruktuur der spektraallijnen ook berekend voor het geval dat de hoeveelheid van beweging van het elektron voldoet aan de formules ') Zie in verband hiermee het in § 28 geciteerde artikel van P. Debye [en dat van L. Vegard], waarin eenigszins gewijzigde opvattingen omtrent het ontstaan der Röntgenspektra ontwikkeld worden. J) Voor het geval van een bewegende kern zie men de opmerkingen van A. Sommerfeld in de Sitz. Ber. Bayr. Akad. 1916, p. 131. 3) De analoge bewegingen in de gravitatie-theorie zijn onderzocht door J. Droste, Diss. Leiden, bl. 28. '?4 *) H. A. Lorentz, Versl. Akad. Amst. 1904, p. 986. — Volgens de theorie van Prof. Lorentz is het elektron in rust bolvormig; beweegt het elektron zich dan is het een rotatie-ellipsoide, afgeplat in de richting der beweging.  102 problemen die betrekking hebben [§ 19- welke Abraham heeft afgeleid voor een elektron van onveranderlijken vorm *)2). De resultaten waartoe Glitscher komt zijn.de Volgende: a) detailstruktuv.r der spektraallijnen van Waterstof, Helium, enz. De voor de splitsing dezer lijnen waargenomen grootte wordt door de formules van de theorie van Bohr en Sommerfeld slechts dan exakt weergegeven, indien de massa van het elektron gehoorzaamt aan de formules van Lorentz en Einstein. Bij toepassing van de: formules van Abraham is een overeenstemming op geene wijze te verkrijgen3). 'i' ' b) Röntgenspektra, speciaal het z.g. L-doublet4). Berekent men den z.g. L-term 5), in de onderstelling dat het elektron zich gedraagt volgens de formules van Abraham, dan vindt men voor den noemer (1,892)2 in plaats van (2,000)2, welke laatste waarde gevonden wordt met de formules van LorentzEinstein. Indien de noemer echter niet het kwadraat van een geheel getal is zou de geheele theorie moeten vervallen en zou men niets meer kunnen besluiten6). Beide gedeelten van Glitsoher's onderzoek spreken ten gunste van de formules van Lorentz-Einstein. Noot. Korrektie voor het meebewegen van de kern. a) Volgens § 18, Noot (verg. 29) is de magnetische invloed van de kernbeweging ongeveer 4 m\M keer de relativ.-korrektie 7). b) Met verwaarloozing van de „magnetische termen" wordt de funktie van Hamilton voor het systeem elektron plus kern: H = mc> [j/l + ~(pl+pl+Pl)-l\ + +itfc2 [j/l + ^(pi+pr+/>£)-l] - Ee\(x- Xf + (y - Yf + (z- Zf\ -V.. . . . (41) ') K. Glitscher, Inaug.-Dissert. Munchen, 1917. »') M. Abraham, Grött. Nacb.r. 1902, p. 20; Ann. d. Phys. 10, \>. 105, 1903. 3) K. Glitscher, 1. c. p. 19. ») Zie A. Sommerfeld, Ann. d. Phys. 51, p. 125, vgl., 1916. 5) A. Sommerfeld, l.c. •) K. Glitscher, 1. c. p. 30. *)■ Vergelijk ook A. Sommerfeld, Sitz. Ber. Bayr. Akad. 1915, p. 467.  § 19.] op db 'beweging van een enkel elektron. 103 Na ontwikkeling tot op termen van de le orde in u2/c2: B= 21m(pi+Pty+pt) + ^(pï+P^+pV-Ee | ....|-*- 8\2 [^(pl+Py+P^+M-i(Ptx + P\'+p1z)2]+ ■ ■ ■ (41a) Pas hierop de kontakttransformatie toe gegeven door de formules (23) en (24) van § 18. In de funktie van Hamilton komen na de substitutie |' »/ £' niet voor; de korrespondeerende hoeveelheden van beweging p'ip'qp'i; zijn dus konstant (integralen van de beweging van het zwaartepunt*)). Aangenomen wordt dat het systeem als geheel in rust is: P S-P'v'P Z worden gelijk nul gesteld. Dan worden de'substitutieformules : px = pj; px = — pi; x — X = |, enz. zoodat de funktie van Hamilton overgaat in: H T= 2Ï ij,P£.  § 20. SPLITSING DER SPEKTRAALLIJNEN DOOR EEN MAGNETISCH VELD (ZEEMAN-EFFEKT) »)i Aangenomen wordt dat de kern van het atoom vast staat, en dat de relativistische termen verwaarloosd mogen worden 2). De krachtlijnen van het magnetische veld M zijn parallel de z-as gericht. Het veld kan beschreven worden met den vektorpotentiaal: 'ax = — ViMy; oJ = +VIlli; az = 0 . .... (43) De lagrange-funktie wordt dus: fefêWffiïk ey-eë^-yx)- ■ • •: •(44) de funktie van Hamilton: H = én {pl + P« + Vl) ~ Lr + Y {XPV ~yPx) + + ^(*2 + 2/2) • • ■ • («) waar: _ eM 2 mc ' * I. Indien men den term met y2 verwaarlooste), en door middel van dezelfde transformaties als in § 17, B gebruikt zijn, de elementen van Delaunay voor de momentane elliptische baan invoert, gaat H over in: tf = K(P) = -fpf + ,Ps (46) ') P. Debye, Grótt. Nachr. 1916, p. 142; Phys. Zeitschr. 17, p. 507, 1916. A. Sommerfeld, Phys. Zeitschr. 17, p. 491, 1916. ï) Voor de berekening met inachtname der relativistische termen zie: § 23, ii. s) Schatting van de orde van grootte der termen van verg. (45) voor M = 50000 Grauss: p»/2 » = « »*/2 = ca. 10-11; e E\r .= ca. 10 -li; y {xpy — ypx) = ca. 10-16; my^ {x1 + y1) / 2 — ca. 10-20. Hierbij is de straal v/d baan geUjkca. 1 A. E . genomen, wat slechts geldt voor lage rangnummers. Zie verder 11.  § 20.] op de beweging van een enkel elektron. 105 K hangt af van twee der intensiteitskonstanten: Pi en P3 . q3 =. = ms= fdP ~ ? Seeft ae^ vooruitloopen der knoopenlijn x). Het magnetisch veld heeft de periode der op-beweging veranderd: deze verschilt nu van de (onderling gelijke) perioden der r- eh der f'-beweging. Pi en P3 moeten beide gequantiseerd worden: Pi=n!%n ; P*=nsh/2n (47) Splitsing der spektraallijnen. De energie der quantenbewegingen is gegeven door: 2 tt2 m êl E2 , y , « = — +4-nsh 48 71, ft2 2 n zoodat de spektraalformule wordt: v = R ( E V | —L - _ ^J + /- (n'3 - n"3). . . (49) V e J | (n"if (rii)2 | 2 jt De eerste term geeft de gewone lijnen van de in § 17 vermelde reeksen; de tweede term geeft bij elke lijn hiervan een reeks begeleiders, die op onderling gelijke afstanden: / \ 7 C II f*6S5<* ' /e/w (Av) norm. = -5— = -3 (50) 2 tt Av mc staan. De twee binnenste vormen met de hoofdlijn het z.g. normale triplet: de hier voor den afstand gevonden waarde is dezelfde als door Lorentz is afgeleid uit de elektronentheorie 2). —■ Van meerdere equidistante lijnen (wier aantal zou moeten toenemen met het rangnummer van de lijn in de reeks 3)) is echter nooit iets waargenomen, — aan den anderen kant geven de formules niets omtrent het anomale zeeman-effekt, zooals dat b.v. bij de balmer-lijnen van waterstof optreedt 4). ') De helling van het haanvlak is konstant. s) H. A. Lorentz, Theory of Electrons, p. 101. — Het is merkwaardig dat in de formules (49) en (50) h juist weggevallen is, 3) Volgens form. (13) § 17 is steeds P35^P, , en dus n3 i~^.»r *) Bij de lijnen tilt, Hp, Hy van waterstof is waargenomen: splitsing in tripiets, grooter dan het normale triplet, met anomale intensiteitsverdeeling en polarisatie-toestand. Bij groote veldsterkten krijgt men het normale triplet (Pa-  106 PROBLEMEN DIE BETREKKING HEBBEN [§ 20. Polarisatie-toestand der lijnen. Volgens hetgeen in § 16, bl. 76, meegedeeld is, wordt de volgende regel aangenomen: a) .js \n's —n"s even, dan zijn de trillingen van het licht parallel aan de z-as (dus parallel aan de magnetische krachtlijnen); b) is m's— ft"3j oneven, dan zijn de trillingen cirkulair; de cirkels staan loodrecht op de z-as. Lichtstralen die in de richting der positieve z-as worden uitgezonden (dus in de + richting der magnetische kracht) zijn rechts cirkulair gepolariseerd als »'•,.—u"3 negatief is; links cirkulair in het tegenovergestelde geval (Zie fig. 5). Voor de binnenste drie lijnen is dit in overeenstemming met de klassieke theorie. een magnetisch veld. Normaal triplet. De pijltjes geven de richting der lichttrillingen aan. — H = richting der magnetische krachtlijnen. De spektraallijn met de grootste frequentie (in de figuur: rechts) is links cirkulair gepolariseerd. II. Men kan zich afvragen of een betere overeenstemming te bereiken is, indien men den term met y2 niet verwaarloost1). Het blijkt dat in dit geval de quantenformules wel eenigszins soHEN-BACK-effekt). Vergelijk: H. M. Konen, Das Leuehten der Gase und Dampfe (Braunschweig 1913), p. 288 (hier is ook verdere literatuur opgegeven); en Th. v. Lohuizen, Arch. Musée Teyler (III) 2, p. 165, 1914. •) Vergelgk A. Sommerfeld, Phys. Zeitschr. 17, p. 503, 1916. («",;>«',) (*''a O'i) Fig. 5. Splitsing van een spektraallijn door  § 20.] op de beweging van een enkel elektron. 107 gewijzigd worden, doch dat de invloed op het eindresultaat (tenminste voor bijna cirkelvormige banefl) gering is. De formules die hierop betrekking hebben zullen in het kort vermeld worden. De transformatie (7)—(8), bl. 80, doet de funktie van Hamilton overgaan in: 2m V 1 q\ J g-, 8 + m| l'\ («os2 qt -4-^-sin2 <72) (51) Na invoering der elementen. van Delaunay (form. (10)—(11), § 17) wordt dit: TT me2 E2 . _ H = 2P*-"-+/P3 + + 'X S "2 P^ j sin | Ql+ *Q »>] • • • <62> De behandeling van deze HAMiLTON'sche funktie vertoont in zooverre een moeilijkheid doordat in den hoofdterm van H de intensiteitskonstante P2 niet voorkomt, zoodat de middelbare beweging van tt2 in perste benadering nul is 1). Men moet nu de volgende substitutie uitvoeren 2): Pi = «i ; ai+a2 = wi ; l/2(Pq— P2) cosQ2 = g | P3 = cö3 ; ' a3 = ws ; — |/ 2 (Pi — P2) sin Q2 = v j ' ' 1 ' De nieuwe variabelen: wi, |, 103, <% , r\, tö3 zijn kanonisch. De funktie van Hamilton wordt dientengevolge: TT me2 E2 , . m y2 ^ r .1 cos j , 1 2 w, 2 * L | sin ) J De koefficienten .Ba kunnen ontwikkeld worden naar opklimmende machten van § en y3). — Men overtuigt zich gemakkelijk dat om de energie tot op termen van de orde van y2 te be- ') Cf. H. Poincaré, Mécanique Céleste II, p. 133. Verg. ook de opmerkingen in § 13 over de behandeling van ingewikkelde systemen als storingsprobleem van een eenvoudig systeem. *) Verg. H. Poincaré, Lei I, p. 30; II, p. 57. 3) Verg. H. Poincaré, Mécanique Céleste I, p. 30; C. L. Char.likr, Die Mechanik des Himmels I, p. 295.  108 PROBLEMEN DIE BETREKKING HEBBEN [§ 20. rekenen, het voldoende is acht te geven op den term van de reeks welke onafhankelijk is van de „snelle variabele" w-i. Voor- dezen term wordt gevonden: ^ *o= fi + 8 + *" jR + ^ + • •] <55> 2 0 4me2£2L 01\ roi coi -1 waar de ontwikkeling afgebroken is bij termen van den tweeden graad in g en n i). Stelt men nu tenslotte: 1= l/2d>2/QJC0sw2| waar, M2r= 4ö|— 2) (56) ,/= -l/2ö2«i sin io2! ' 5 tö| —tóf dan wordt de energie-formule: + + J**L+ g + ...1..(57) Nu zijn wi, w% ws de drie hoekvariabelen; <51} tö2, ó53 de intensiteitskonstanten, die gequantiseerd moeten worden. Berekent men de orde van grootte der drie termen van «, dan wordt gevonden: eerste term = ca. 10-u/wï erg; tweede term = ca. 10-16.n8 erg; derde term = ca. 10'21. n* erg. De derde term heeft dus een zeer geringen invloed op de eerste lijnen der BALMER-reeks, waar «i klein is; voor grootere waarden, b.v. rii = 12 komt deze term echter in aanmerking3)4). p p i) Deze ontwikkeling geldt dus slechts voor kleine waarden van -Lp—* > d-w-zvoor hanen van kleine excentriciteit (e« = (Ê« + -71)/», )•- (Dan moet ook zijn: »,<<»i)- ») Aangenomen wordt dat 5*,*—-,*>0 is (helling van het haanvlak kleiner dan ca. 63°). Ik heb niet nagegaan hoe de invloed wordt hg grootere hellingen. ») K. Herzfei.d komt in zijn theorie van het zeeman-effekt bij het atoommodel van Bohr (zie opm. 3 beneden) voor cirkelvormige banen tot bijna hetzelfde resultaat (er is slechts een verschil van een getallenfaktor 2 of 4). Daar hij Herzfeld de ligging van de baan in de ruimte niet bepaald is, krijgt hij een verbreeding der lijnen; dit treedt volgens bovenstaande theorie niet op: hier is de ligging van de haan vastgelegd door: cos i = ca. óij/», = «g/'i bij nagenoeg cirkelvormige banen (bij niet cirkelvormige banen komt ook w, in de formule voor). *) Indien men zich beperkt tot banen in een plat vlak, loodrecht op de mag-  § 20.] op de beweging van een enkel elektron. 109 III. Opmerking over den invloed van het magnetisch veld op de beweging van een anisotroop gebonden elektron. Aangenomen wordt dat een elektron zich beweegt in een anisotroop krachtveld (b.v. het veld van een willekeurig asymmetrisch, molekuul, dat niet roteert); dan luidt de funktie van Hamilton in poolkoordinaten uitgedrukt (de z-as van het systeem is in de richting van het magnetisch veld gedacht): H =-'- (p\ + P»/r* + Pl/r' sinJ &) + V(r,^) + yp9 = .. (59) = i?o + /^ • • • (59a) Ondersteld wordt dat van het door HQ gekarakteriseerde probleem (magnetisch veld afwezig) een oplossing bekend is, en dat voor deze oplossing de koordinaten en momenten uitgedrukt kunnen worden met behulp van drie hoekvariabelen Qi Q2 Qz en de korrespondeerende intensiteitskonstanten Pi P2 Pz- Verder wordt nog ondersteld dat tusschen de middelbare bewegingen der drie hoekvariabelen geen rationale betrekkingen bestaan. In het bizonder zij de uitdrukking voor p*: + cop j cosi 1 + X* 'Kimi„l3{PiP2Ps) ■ (m1Ql+m2Q2+m3Q3)J1) . (60) Om nu oplossingen voor de door het magnetisch veld gestoorde beweging te vinden, substitueert men de uitdrukkingen voor: riï pr pi> pv in (59a), waardoor deze overgaat in: H= K(P) = «o (Pi P2 Pz) + Y 'h (Pi P2 Pz) + +^|iö»tr>.^] £ netische krachtlijnen, kan" het probleem iets eenvoudiger behandeld worden; in poolkoordinaten geschreven is in dit geval de funktie van Hamilton: Hierin zijn de variabelen te separeeren, zoodat men de faze-integralen kan berekenen. ') Met ~y * is bedoeld: sommatie over alle waarden der m's, met uitzondering van den terra waarin alle drie m's gelijktijdig nul zijn.  110 problemen die betrekking hebben [§ 20. Deze funktie van Hamilton kan behandeld worden volgens de methode van Delaunay1); met beperking tot op termen van de eerste orde in / vindt men voor de oplossing: P< = *<+rX' O»-» \Z !«-.«+-*+-.*)] ft = aI+,:2.[Swjls!< '1 Hierin zijn Oi Q2 0.3 nieuwe hoekvariabelen, en Pi P2 P3 de er bij behoorende kanonische momenten 2). Voor de energie wordt gevonden: « = K (* ) = «0 (Pi P2 Ps) + ï *0 (Pi P2 Pr,) • • ■ (63) of als funktie der drie quantengetallen geschreven: « = «o (m ri2 ns) + r *o (ni na n3) (63a) Hieruit volgt voor de spektraalformule: «0 (n'i n'2n'3) — «o(n"i n"2n"3) , #0 (n'i n'2 n'8) - #0 (n"i n"2 ri's) _ ,,== A~ _+/" A = »'o+-^(*'o —*"o) (64) Diskussie van formule (64). Uit formule (64) zou men besluiten dat elke spektraallijn door het magnetisch veld verschoven wordt over een bedrag: A» = y (*'o — *"o) • • (64a) Dit bedrag is dus afhankelijk van de gemiddelde waarde *0 van het moment van hoeveelheid van beweging p9 in de beide bewegingstoestanden 3). Nu is echter duidelijk dat indien men alle bewegingen in het ongestoorde probleem omkeert, de waarde van de energie «0 dezelfde blijft, terwijl daarentegen het teeken van het moment ') Zie b.v. E. T. Whittakek, Analytical Dynamics (Cambr. 1917) p. 420. *) In het gestoorde probleem zijn P, Pt P3 konstanten, en zijn Q, Q2 Qj lineaire funkties van t. — P, P2 P3 moeten gequantiseerd worden. ») Indien de gemiddelde waarde van het moment van hoeveelheid van beweging nul is, geeft het magn. veld in eerste benadering geen verschuiving. Dit is b.v. het geval bij de beweging in een anisotroop quasi-elastisch krachtveld.  § 20.] op de beweging van een enkel elektron. 111 van hoeveelheid van beweging omkeert. In het gestoorde probleem zal voor deze bewegingen de energie (volgens formule 63 en 63a) in tegengestelden zin veranderen. In het algemeen zal dus elke oorspronkelijke term van de spektraalformules twee termen opleveren. Elke spektraallijn kan dus in het algemeen in een quadruplet gesplitst worden. Deze splitsing moet het meest algemeene geval zijn. (Om splitsing in meerdere komponenten te krijgen, zouden er verschillende quantenbewegingen moeten bestaan, waarvoor «o dezelfde waarde heeft, doch 3 ] rjX — — l/ï&Tsin to2 — sin ws! (71) §2 = — i/<ö2~ sin w2 + l/ö3 sin u>3i ij2 = — l/wlTcos w2 + lXcög cos Wg ' kan men nieuwe hoekvariabelen w2 w3 en de korrespondeerende intensiteitskonstanten <52 «% invoeren; hierdoor gaat H over in: *=-^+ra (72) Quantiseert men de intensiteitskonstanten %, w2, c33, dan levert deze formule hetzelfde resultaat als die van Epstein. Ze is echter slechts voor banen van geringe excentriciteit en helling afgeleid, en mist dus het algemeene karakter van de formule van Epstein. i) H. Poincaré, Mécanique "Céleste II, p. 42.  § 22. OPMERKING OVER HET SPEKTRUM VAN ROTEERENDE MOLEKULEN i). Indien een elektron zich beweegt in het veld van een willekeurig asymmetrisch molekuul dat om een vaste as roteert, heeft de rotatie van het molekuul op de spektraallijnen een invloed welke eenigszins te vergelijken is met die van een magnetisch veld. De formules voor dit probleem zullen hier in 't kort weergegeven worden. Ingevoerd worden poolkoordinaten; de as van het systeem valt samen met de rotatie-as van het molekuul. De koordinaten van het elektron zijn: r, &, qpi; de stand van het molekuul is bepaald door qp2. De potentieele energie V van het systeem is een funktie van r, # en q>i—qp2 2). Stelt men: ^ = 2 dan wordt voor de funktie van Hamilton gevonden: Het totale moment van hoeveelheid van beweging van het systeem, px, is een konstante. Indien px = 0 is, wordt de beweging van" het elektron bepaald door: és- 2- 2 \ 2 H0 = -S—K Pr + -g+2 - go- ) + W +V(r> (73a) 2m\ ' r* sm* 0V LA Ondersteld wordt dat men voor het door Ho gekarakteriseerde (het niet door de rotatie . „gestoorde") probleem een oplossing kan vinden, en dat de koordinaten en momenten uitgedrukt kunnen worden als funkties van 3 hoekvariabelen Oi 0,2 Os eQ de korrespondeerende kanonische momenten P\ P% P3. ') Vergehjk: J. M. Buhgebs, Versl. Akad. Amsterdam XXVI, p. 116, 1917. !| h f moet r,—yt noodzakelijk voorkomen, daar anders de rotatie van het molekuul geen invloed kan hebben op de beweging van het elektron.  118 problemen die betrekking hebben [§ 22. Verder wordt nog aangenomen dat tusschen de middelbare bewegingen der drie Q's geen lineaire betrekkingen bestaan. Het „gestoorde" probleem, bepaald door de funktie (73), kan dan op dezelfde wijze behandeld worden als in § 20, III gedaan is; men komt tenslotte voor de energie tot de formule: a = K(P) = «o(PiP2P3>-j- fo(PiP2P3)+ 2I+ • • (74) 'Po is de gemiddelde waarde van het moment van hoeveelheid van beweging py van het elektron. — De vierde intensiteitskonstante P4 (= px) is het totale moment van het geheele systeem x). Als funktie der quantengetallen geschreven wordt de energieformule : 7 'Pofoi «2 "3) , h2 7. , « = «o («ï «2 na) — 7i4 h 2^"! 1 Srf~A • ■ * ■ V*a) Hieruit volgt voor de spektraalformule: >=^-J^jï^r—+<»'•-'"» im ■ • • •(76) = p0 — enz. (75a) Voor de diskussie dezer formule wordt naar het boven aangehaalde artikel verwezen. Hier worden slechts de volgende punten vermeld: 1) Is n'i — rc"4 — 0, dan is de uitgezonden frequentie: v — <-o (76a) 2) Is ji'i = n'U % 0, dan vindt men: "=-»-'^^- ...:..<«*> De oorspronkelijke lijn v0 wordt dus naar weerszijden begeleid door equidistante satellieten. Dergelijke systemen zijn waargenomen in de absorbtiebandenvan sommige gassen, b.v. waterdamp 2). 3) Is n'i > zoodat men de algemeene formule (75a) houdt, J) Vergelijk bl. 60, opmerking 1 [en bl. 71]. ») Zie o.m. Eva von Bahb, Verh. Dentseh. Phys. Gres. 15, p. 780, 1150, 1913; H. Rubens & Gr. Hettner, Sitz. Ber. Berl. Akad. p. 167, 1916. Voor de struktuur dezer absorbtiebanden is het eerst door N. Bjerrum een theorie opgesteld (Nernst-Festschrift, p. 93, 1912); Bjerrum nam hierbij aan dat het molekuul een trillende resonator droeg, welke het licht uitzond. — Zie in verband hiermee het geciteerde artikel van Burgers. [Vergelijk ook beneden opmerking 4.]  § 22.] op de beweging van een enkel elektron. 119 dan blijkt elke lijn v0 een tweevoudig oneindig stel satellieten te bezitten, waarvan de afstanden gegeven zijn door een kwadratische formule. Deze formule stemt in vorm overeen met die welke door Deslandres en anderen voor de bandenspektra opgesteld zijn1). Een dergelijke formule is het eerst door Sohwarzschild uit de quantentheorie afgeleid2); deze heeft er ook op gewezen dat indien men uit de koefficient van {n'\— n"\) het traagheidsmoment A van het molekuul berekent, de gevonden waarden van de goede orde van grootte zijn. Opmerkingen. 1) Het zou zeer wenschelijk zijn dat het probleem van den invloed der rotatie van "een molekuul algemeener behandeld werd door rekening te houden met de precessiebeweging van het molekuul. 2) Het is niet onmogelijk dat een onderzoek over den gelijktijdigen invloed van de rotatie van het molekuul en van een uitwendig magnetisch veld iets' zou kunnen leeren over het zeeman-effekt in bandenspektra, vooral indien men de rotaties niet beperkt tot die om een vaste as. 3) De „edele" gassen {He, Ar, Ne, Kr, Xe) hebben geen bandenspektra (cf. h. M. Konen, Das Leuchten der Gase und Dampfe). Deze gassen zijn steeds eenatomig, en komen nooit in verbindingen voor, zoodat men hier geen asymmetrische molekulen kan krijgen. [4) Boven is opgemerkt en in het geciteerde artikel in de Versl. Akad. Amst. is dit nader uiteengezet, dat de afgeleide formule o.a. zou kunnen dienen ter verklaring van de struktuur der absorbtiebanden bij verschillende gassen in het ultrarood waargenomen. Bij nader inzien schijnt mij evenwel een groot bezwaar hiertegen te bestaan: daar de spektraallijnen het resultaat zijn -van het overspringen van een elektron uit de eene baan in een andere, zullen de frequenties v0 in het algemeen ') Zie b.v. H. M. Konen, Das Leuchten der Grase und Dampfe, Braunschweig 1913, p. 214. *) K. Sohwarzschild, Sitz. Ber. Berl. Akad. p. 566, 1916. Sohwarzschild neemt echter aan dat de rotatie van het molekuul geen invloed op de beweging van het elektron uitoefent, wat in het bovenstaande een noodzakelijke onderstelling was. In de formule van Sohwarzschild- ontbreken daardoor de termen lineair in n\ en n'\. \  120 problemen dib betrekking hebben [§ 22. liggen in het zichtbare en ultraviolette spektrum, of.in het ultrarood van kleine golflengte. Dit blijkt o.a. ook uit de als voorbeeld gegeven formule in het artikel in de Versl. Akad. Amst. (p. 122): _ 2 tt2 m e2 ^2 / 1 J_, \ | 2 w3 n4 h __ Vl~ P \n7* n^^-'-y ±n*A waar N de konstante van Rydberg is. Neemt men E zoo klein mogelijk, dus gelijk aan e,% dan stemt de hoofdterm overeen met de formule van Balmer voor waterstof. — De waargenomen absorbtiebanden hebben echter groote golflengten: H20 6,26 u HCl ca. 3,5 ft HBr ca. 3,9 u In de theorie van Bjerrum werd de frequentie welke bij het midden van de band behoort toegeschreven aan de trillingen Van tegengesteld elektrisch geladen atomen; tengevolge van de groote massa's der atomen zijn deze trillingen zooveel langzamer dan elektronenbewegingen. — In verband hiermee is het niet onaardig nog de'volgende punten te vermelden: a) Tweeatomige elementgassen (H2, 02) N2, üh, Br2, enz.) hebben dergelijke absorbtiebanden niet1); de banden zijn dus gebonden aan de aanwezigheid van ongelijksoortige atomen in het molekuul.2) b) Brinsmade en Kemble hebben „harmonische boventonen" dezer frequenties gevonden bij sommige gassen 3); b.v.: GO : primaire band : maxima bij 4,60 fi en 4,72 n „oktaaf" 2,36 f*1 2,39 n HCl: primaire band 3,394 n 3,557 (t „oktaaf" 1,742 u 1,783 u Voor bizonderheden (o.a. het dichter bijeen liggen van de ') W. C. Mandebsloot, Ann. d. Phys. 49, p. 730, 1916. *) Men vergelijke hiermee het feit dat eenatomige kristallen, zooals Diamant, geen reststralen geven, wel daarentegen NaCl, KCl, enz. s) J. B. Brinsmade & E. C. Kemble, Proc. Nat. Aead. Sciences 3, p. 420,1917; E. C. Kemble, Phys. Rev. VIII, p. 701, 1916.  § 22.] op de beweging van een enkel elektron. 121 maxima in de sekundaire band) vergelijke men de geciteerde artikelen. Het is me niet gelukt een quantentheoretisch model te vinden dat deze banden op de goede plaats geeft. Men zou natuurlijk het eerst denken aan een tweeatomig molekuul, waarvan de atomen volgens hun verbindingslijn kunnen trillen, terwijl het geheel een rotatie uitvoert, juist zooals in de theorie van Bjerrum. Men kan dan zoowel de trillingen als de rotatie quantiseeren; beide bewegingen zijn geheel onafhankelijk van elkaar, en de formule voor de energie wordt: ') Hieruit volgt de spektraalformule: _ / / /a _i_ ('W2 — W2"2) h „_(„! -m )n + — De eerste term geeft het centrum van de band, en de boventonen; de tweede, van de rotatie afkomstige, term kan echter geen volledig stel equidistante satellieten geven: stelt men h j j 1 j av — 25 d, dan zijn de waarden van —5— : = 0, 1, *, 3, 4, 5, *, 7, 8, 9, . . . hierin ontbreken: 2, 6,.... Het boven besproken model schijnt me daarentegen wel geschikt voor de theorie van de bandenspektra.] ') Deze quantiseering is reeds aangegeven door 'E. C. Kemble, Phys. Rev. VIII, p. 701, 1916. Kemble onderstelt echter dat de absorbtie van lichttrillingen op de klassieke wijze geschiedt (evenals in de tweede quantentheorie van Planck). J) Daar het traagheidsmoment van het molekuul om de figuuras gelijk nul gesteld mag worden, heeft men slechts te doen met rotaties om een dwarsas; het moment van hoeveelheid van beweging hiervoor is gelijk aan: ni n, zoodat de energie van de rotatie is: _ n\h* "E — 871* A ' {A = traagheidsmoment van het molekuul om de dwarsas.)  § 23. ENKELE OPMERKINGEN OVER KOMBINATIES VAN VERSCHILLENDE STORINGEN (ZEEMAN-EFFEKT MET INACHTNAME DER RELATIVISTISCHE KORREKTIES, e. d.). I. Uit het voorgaande is gebleken dat men bij de gewone elliptische beweging van een elektron om een atoomkern te doen heeft met een geval van ontaarding : er is slechts 1 grondfrequentie, zoodat ook slechts 1 quantenvoorwaarde kan worden ingevoerd, ofschoon het probleem drie vrijheidsgraden bezit. Indien deze beweging gestoord wordt, b.v. door de veranderlijkheid der massa, de invloed van een magnetisch of elektrisch veld, enz., zoodat de exakte periodiciteit verdwijnt, moet men meerdere quantenvoorwaarden invoeren (zooveel als het aantal der grondfrequenties bedraagt), waarbij de nieuw ingevoerde quantenvoorwaarden bij de verschillende problemen in het algemeen geheel anders zullen zijn. Men vergelijke de opmerkingen in § 13. De quantenvoorwaarden voor de verschillende gestoorde problemen gaan dus niet in elkaar over, wanneer men de storingsfunkties tot nul laat naderen. Interessant is het nu na te gaan wat de quantenvoorwaarden worden, indien meerdere storende invloeden gelijktijdig werkzaam zijn; het is te verwachten'dat men dan in het algemeen geen eenvoudige superpositie dezer effekten zal krijgen. — Het blijkt dat men bij dergelijke problemen tot quantenformules komt, die overgangen vormen tusschen de formules voor „enkelvoudig gestoorde" systemen. Het berekenen dezer formules is bij het atoommodel van waterstof nogal bewerkelijk, en ik kan dan ook slechts enkele aanwijzingen erover geven. Ter illustratie zij hier echter een probleem ingelascht dat gemakkelijk te behandelen is, en waarop ik gekomen ben door een opmerking van Prof. Ehrenfest x). i) Cf. P. Ehrenfest, Versl. Akad. Amst. XXV, p. 426 of 427, 1916; Ann. d. Phys. 51, p. 343, 1916.  § 23.] op de beweging van een enkel elektron. 123 Hierin is het krachtveld van de atoomkern vervangen door een isotroop quasi-elastisch krachtveld, terwijl ter vereenvoudiging de beweging tot twee vrijheidsgraden wordt beperkt. De beweging is hier eveneens exakt periodiek, en de eenige quantenvoorwaarde luidt: Yffv = nh (77) Men kan de. periodiciteit storen: a) door het veld anisotroop te maken; dan moeten de beide hoofdtrillingen afzonderlijk gequantiseerd worden. b) door loodrecht op het vlak der beweging een magnetisch veld aan te brengen; in dit geval zijn de quantenvoorwaarden: h ] moment v. hoev. v. beweging = n% -~— i ■ (78) Jprdr = >n h ] £ 2) Indien beide storende invloeden tegelijk aanwezig zijn, is de funktie van Hamilton (ter vereenvoudiging is de massa m = 1 gesteld): H = \ (Pt+Pp+r(Pv* —P* V) + y <* + x2 + + y(^ + /2)2/2 (79) De oplossing luidt, uitgedrukt met behulp van twee hoekvariabelen : Qy — ai! t + Si ; Q-2 = (o2 t + e2 , waar ± i coj, + i to2 de wortels zijn van de vergelijking: ü)4+co2 (-/ + A-f 4/2)-|-zA = 0, (80) x = ci cos Qi + C2 —ö *- sin Q2 Iya\ (81) x — tor . _ I y — C2 cos Qo — Ci —n — sin Qi I ') Verg. Ehrenfest, l.c. ') Men zou als storing kunnen invoeren een term van den vorm1: A. rk (/fc>.2 of ) By de grootere banen worden de relativiteitskorrekties kleiner, verg. A. Sommerfeld, Ann. d. Phys. 61, p. 54, vgl., 1916, en de boven in § 19 gegeven formules; de magnetische termen der tweede orde worden grooter, zie § 20, II. Houdt men slechts rekening met de termen v/d eerste orde in de raagn veldsterkte, dan krijgt men een eenvoudige superpositie der beide effekten; verg. A. Sommerfeld, Phys. Zeitschr. L c. *) Deze vorm van de funktie van Hamilton is ook gegeven door Gr. Herglotz (zie A. Sommerfeld, Phys. Zeitschr. l.c. p. 498).  126 PROBLEMEN DIE BETREKKING HEBBEN [§ 23. E M . M ' „ _ eM ^a*=--3-2/; % = tt^ = ö,/-2- waardoor H overgaat in: n=-'E + r -fmc2 fi/1+ 3Ibï+5+ÏJ+2^^ -l] L V m2c2 Op deze funktie wordt de kontakttransformatie (7)—(8), § 17, toegepast, terwijl de wortelvorm tot op den boven aangegeven graad van benadering wordt ontwikkeld; men komt dan tot: -=-f+^0>-+|)-^^+|)2+-:-- Wps + ^ +pM0-pD(1+'D+ (85a)  § 23.] op de beweging van een enkel elektron. 127' (Bij deze ontwikkeling is afgezien van de relativistische korrekties daar R reeds de faktor f- heeft; rnen zou deze desgewenscht in rekening kunnen brengen, wat echter een belangrijke vergrooting van het rekenwerk zou geven.) Men kan nu de funktie van Hamilton transformeeren met behulp van de substitutie (53) van § 20, III; daardoor gaat ze over in: H=-n^r ~ § ^+;'3+^ v1+5?;+ | /2 o>f _ me* £4 j ■ ' 2 j/2 o>i (5 a>g—ö|) _ m e4 i?4| ( (g9) + *J jm e2 jE2 4 c2 cöj j '; j 4m^ i?2 4 c2 j Deze funktie kan verder behandeld worden op dezelfde wijze als in § 20, II is gedaan. Dit zal hier niet worden uitgewerkt!). III. Opmerking over het stark-effekt, berekend met inachtname der relativistische korrekties2). De funktie van Hamilton luidt in rechthoekige koordinaten: H = m ct[]/l + ~ (PS + Pi + Pï>- 1 ] - T - 6 E * (90) Na toepassing der kontakttransformatie (7)—(8), §17: ^„.[t/^^+f)-.]- _lf-,E„ |/l-|sin52 (»» of na ontwikkeling tot op termen van de eerste orde in 1/c2 : t) In de koefficienten der variabelen J1 en 17* komen termen voor welke afros' komstig zijn van de relativistische korrekties (ontstaan uit den term: — g c, p, Pj van de funktie (87)) en termen welke afkomstig zgn van het magnetisch veld, en vermenigvuldigd zijn met yi. Deze beide „storingen" worden hier om zoo te zeggen „door elkaar heen gewerkt". *) Cf. A. Sommerfeld, Phys. Zeitschr. 17, p. 505, 1916. Het is aan Sommerfeld niet gelukt het probleem door te rekenen met de -methode der faze-integralen.  128 problemen die betrekking hebben [§ 23. — «E51 l/i-4sin » (9D Door toepassing van de transformatie (36)—(37), § 19, wordt dit: _ rae2 .ff 2 _ me4 ffi j _4^_ _ _3_ 11 . ~2~P~T '8 c2 | Pf P2 P4 T + X* ^sin(a2 + *0i) j (92) Bij de verdere behandeling hiervan kan men twee gevallen onderscheiden: a) Het elektrisch veld E is zeer zwak, zoodat: EP\. 1 (93) ra E £0 2 m f& E* A 1 ((o2— - — middelbare beweging van q2 in eerste bena- " "1 "i dering) klein is ten opzichte van P2 (b.v.: E < 10-3 E, 8. E.). Dan kan men de met E vermenigvuldigde storingstermen in (92) behandelen volgens dë methode van Delaunay; en men komt tot het resultaat: De formule voor de energie is — bij verwaarloozvng van termen welke met E2, enz., vermenigvuldigd zijn — dezelfde als men vindt voor E = 0. M. a. w.: Het stark-effekt is in eerste orde nul. b) Indien het elektrisch veld sterk is, zoodat de door (93) gegeven verhouding niet verwaarloosd mag worden tegenover P2, moet men zijn toevlucht nemen tot dergelijke substituties als toegepast zijn in § 21, Opmerking. Deze berekening — welke overeenkomst vertoont met de boven onder II uitgevoerde — zal hier worden weggelaten.  § 24. OPMERKING OVER HYPERBOLISCHE BEWEGINGEN i). Over de door Epstein gevolgde methode voor het opstellen van quantenformulés voor de hyperbolische bewegingen is reeds gesproken in § 15, b). Ter herinnering zij hier vermeld dat de door Epstein ingevoerde quantenformules luiden: C h 2 Jdr(pr—P(x>) = rih; y,=n^ (94) waar p & de waarde van pr is voor r = oo, terwijl de integratie uitgestrekt is over het geheele interval waarin de funktie pr(r) reëel is 2). Epstein vindt voor de energie der hierdoor bepaalde quantenbewegingen : a) wanneer rekening gehouden wordt met de relativistische korrekties: « = [j/l + |-l] (95) waarin: W = ~\n |Xl_^ + n'|2-n2 (96) en: A= 2n"E (97) n c b) wanneer men deze korrekties verwaarloost: 2 7r2 m e2 -E2 ,„.„ a°= WR\ (95) waarin: ') P. S. Epstein, Ann. d. Phys. 50, p. 815 - 840, 1916. *). P. S. Epstein, l.c. p. 820, vgl. Zie speciaal fig. 1 en 2 op p. 823 en 824. 9  130 problemen die betrekking hebben t§ 24. IPt = ^{n + n'f-rfi (96*) Epstein past deze formules toe op de theorie van het fotoelektrisch effekt, en op de theorie der beta-stralen. Hierover zij het volgende vermeld: 1) Foto-elektrisch effekt. Zij «e de (negatieve) energie van het elektron wanneer het op een elliptische baan loopt; «h de (positieve) energie behoorende bij een hyperbolische baan. Dan neemt Epstein aan dat indien op het atoom licht valt van een frequentie v welke voldoet aan: (98) het elektron uit de elliptische baan met energie «e in de hyperbolische baan met energie ah geworpen kan worden. Het elektron vliegt dan uit het atoom met de energie «h, en kan tegen een potentiaal oploopen, gegeven door: V=^ = 1^~ Volts i)2) (99) e R\ Voor de toepassing hiervan op waterstof wordt naar het artikel van Epstein verwezen. 2) Wat de beta-stralen betreft tracht Epstein met behulp van de formule (95) de homogene groepen van beta-stralen te verklaren, welke men bij verschillende radioaktieve stoffen heeft waargenomen3). Hierbij wordt aangenomen dat de uit de kern komende beta-deeltjes slechts langs een der hyperbolische banen het atoom kunnen verlaten4). Zie verder het artikel van Epstein. «) Cf. P. S. Epstein, 1. e. p. 828, 829, vgl. s) Men vergelijke in verband hiermee heneden § 34. f). J) Zie literatuur hij: E. Rutherford, Radioaktive Substanzen, enz. (Marx Handbuch II), p. 208, vgl., p. 552; en bij P. S. Epstein, l.c. p. 833 ') Het zij vergund hier de volgende opmerking te maken: Zouden de radioaktieve transformaties misschien beschouwd moeten worden als het overspringen der elektronen in de kern uit de eene quantenbeweging in de andere? Men zou kunnen onderstellen dat deze elektronen twee typen van quantenbewegingen kunnen uitvoeren: a) in of vlak om de kern, waarvan zoo goed als mets bekend is, en b) hyperbolische bewegingen. Bij een beta-transformatie zou dan de beweging van het type a) in het type 6) overslaan.  § 25. OPMERKING OVER DE VERSCHUIVING VAN SPEKTRAALLIJNEN DOOR DRUK. Tndien men het spektrum van een damp onder hooge drukking waarneemt worden de spektraallijnen in het algemeen verplaatst ; gewoonlijk krijgen ze een verschuiving naar de roode zijde van het spektrum x). In de klassieke theorie heeft men dit soms verklaard door te veronderstellen dat de binding van een elektron aan een bepaald atoom verzwakt werd door de aantrekking der omringende atomen; de frequentie der trillingen van het elektron werd dan kleiner, waardoor de uitgezonden spektraallijnen naar het rood verschoven 2). Op een dergelijke wijze zou men een verklaring kunnen geven, op grond der formules van de quantentheorie. Het volgende wordt meegedeeld als een vluchtige schets hiervan. Aangenomen wordt dat het elektrische veld^ veroorzaakt door de omringende atomen een potentiaal heeft, die naar opklimmende machten van r (de afstand van het elektron tot de atoomkern, waarbij hef behoort) kan worden ontwikkeld. De totale potentiaal van het veld is dan: V= + * + XAiri (!) en de funktie van Hamilton: .') Zie b.v. H. M. Konen, Das Leuchten der Grase und Dampfe, Braunschweig 1913, p. 310. De grootte der verschuiving houdt verband met de spektraalreeksen, terwijl bij bandenspektra zeer ingewikkelde betrekkingen optreden. De verschuiving schijnt bepaald te worden door de totale druk van het gas, niet door de partieele druk van de damp waarvan men het spektrum onderzoekt. Grootte-orde der verschuiving: bij ijzer is A l = ^qqq X 2,3 A.E. per atmosfeer (ï\ Kayser, Handb. d. Spektroskopie). De waterstof-lijnen Hu, Hff, Hy, Hó worden in een vlamboog door druk zeer sterk verbreed, ongeveer evenredig met de druk en met de derde of vierde macht der frequentie. De verschuiving is hier niet te meten. !) Zie b.v. Campbell, Moderne Elektrizitatslehre (Duitsche vertaling door D. Meyer, Dresden-Leipzig 1913), bl. 213.  132 PROBLEMEN DIE BETREKKING HEBBEN 2mV Ir2) v- ^ De quantenvoorwaarden kunnen worden ingevoerd met behulp van de faze-integralen; men krijgt dan: p*=p*=«*-èr •••• (1IT) fpr iA X*< ïff = 2 tt Px =5ii 7t (IV) De koemeienten -dj worden als zeer klein beschouwd, zoodat de kwadraten en hoogere machten ervan verwaarloosd mogen worden; men kan dan in vergelijking (IV) de wortelvorm ontwikkelen. Door de integraties uit te voeren komt men tot: pl=-\-—^f==—-Pt] — '^Ai.B{ (Pi.-Pa) • • • (V) V — 2 711, Cl B In de koefficienten P; is « vervangen door de eerste benadering : — me2E2 Am "o--2(P1 + [P2|)2' ' 'V ' Deze koefficienten Bi zijn. allen positief2). Uit (V) leidt men tenslotte de energie-vergelijking af: i) Uit de onderstelling omtrent den potentiaal van het krachtveld volgt direkt dat de haan in een plat vlak ligt. Het is dus niet noodig drie koordinaten in te voeren. (Deed men dit wel, dan zou men in het eindresultaat een hoekvariahele krijgen — de lengte van de klimmende knoop van het baanvlak — welke de middelbare beweging nul heeft.) ') De koefficienten Si zijn gegeven door de integralen: Bi = I dr —r-= = =~r- (Va) J \/2m,ar2 + 2meEr — P\ Hierin is r steeds positief (r ligt tusschen twee pos. wortels ingesloten); dr 'heeft steeds hetzelfde teeken als de wortelvorm. Opmerking. Met betrekking tot de grenzen der integralen (Va) voor de berekening van Bi vergelijke men: A. Sommerfeld, Phys. Zeitschr. 17, p. 504, 1916.  § 25.] op de beweging van een enkel elektron. 133 "=-si0mry-tA'-o'{r'-e') • • • ^ waarin de koefficienten C* allen positief zijn, en in het algemeen met toenemende waarden van Pi en P2 aangroeien. De eersten dezer koefficienten zijn: G0=e \ jfffj ? ~2mE ■ ■ (VIII) c _(P1 + |-P2)2(5P? + 10Pi!P2! + 2P|)^ enz. Speciaal voor cirkelvormige, banen (Pi = 0) wordt de formule voor de energie: ^-^Pf-pA,(^y ax, Gaat men van de formule voor de energie over op de spektraalformule, dan vindt men: v — v0 — A v • (X) waar »»o de lijnen der gewone reeksen geeft (zie § 17), en A v, zoo de Ai positief zijn (aantrekking door de omringende molekulen), een positief bedrag is, dat de verschuiving van de lijnen naar de roode kant van het spektrum bepaalt. Voor cirkelvormige banen is de volledige spektraalformule: ri heeft betrekking op de oorspronkelijke baan; n" op de eindbaan ; dus is n' > n". De verschuiving neemt toe met het rangnummer der lijn in de reeks. De grootte der verschuiving hangt af van de grootte der koefficienten Ai.  HOOFDSTUK IV. SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. § 26. ALGEMEENE BESCHOUWINGEN. De in het vorige hoofdstuk besproken problemen hebben bijna alle betrekking op een zeer speciaal geval van het vraagstuk der atoomstruktuur: nl. de beweging van één enkel elektron om een atoomkern. De verkregen resultaten kunnen voor het meerendeel slechts worden toegepast op waterstof en positief geladen helium; bij andere elementen kunnen ze in enkele gevallen als een eerste benadering dienen. Het is natuurlijk van het grootste belang dat ook de bewegingen van elektronen in ingewikkelder systemen bestudeerd worden; eerst hierdoor kan inen hopen een inzicht te krijgen in den bouw der atomen, en in het periodiek systeem en de vele daarmee samenhangende vraagstukken. D"e studie van deze systemen met meerdere elektronen bi'edt echter buitengewoon groote moeilijkheden; er is ook nog betrekkelijk weinig over onderzocht, terwijl het karakter dezer onderzoekingen geheel anders is dan dat van die welke op waterstof betrekking hebben. .Een algemeene berekening der bewegingen zooals in hoofdstuk III voor een enkel elektron gegeven werd, is voor een systeem met meerdere elektronen tot nog toe onmoge lijk: men heeft hier te doen'met problemen der beweging van n lichamen, waarvan de oplossing nog niet gevonden is. Ook omtrent het algemeene karakter der oplossingen (vooral wat betreft de stabiliteit) is zoo goed als niets bekend *). ') Bij de elektronenbeweging is de moeilijklieid in sommige opzichten nog grooter dan bij de astronomische problemen:  § 26.] systemen met meerdere elektronen. 135 Men moet zich hier tevreden stellen met partikuliere oplossingen der bewegingsvergelijkingen; hierbij komen in de eerste plaats in aanmerking de z.g. „periodieke soluties" en de soluties in de nabijheid, hiervan, welke ook voor de theorie der planetenbeweging van zoo groot gewicht zijn l). Zeer belangrijk is de vraag naar de stabiliteit der bewegingen. Men kan de stabiliteit van uit twee verschillende gezichtspunten beschouwen, welke als volgt gekarakteriseerd kunnen worden: (1) in aansluiting aan H. Poincaré, Mécanique Céleste III, p. .141: Bewegingen heeten stabiel indien aan de volgende voorwaarden is voldaan: 0) geen der elektronen verwijdert zich tot in het oneindige; b) geen der elektronen valt op de kern; m. a. w. de afstand kern—elektron kan niet beneden een zekere eindige grenswaarde dalen; c) het systeem passeert een onbegrensd aantal malen willekeurig dicht langs de oorspronkelijke ligging 2). (2) Men kan vragen naar de stabiliteit van een partikuliere oplossing (welke oplosssing zelve stabiel is in bovengenoemden zin) tegenover kleine storingen der beweging. Als definitie van stabiliteit kan men hier gebruiken: een oplossing is stabiel tegenover storingen, indien de gestoorde baan zich nergens onbegrensd ver van de ongestoorde verwijdert 3). a) De massa's van de elektronen zijn wel zeer klein t.o. van de massa van het centrale lichaam, maar de ladingen die de onderlinge krachten bepalen zijn van dezelfde orde van grootte als de lading van de kern. b) Vermoedelijk is de moeilijkheid ook grooter doordat de elektronen onderling elkaar afstooten. (Vergelijk in verband hiermee ook een opmerking van J. W. Nicholson, Phil. Mag. 27, p. 546, 1914). 1) Vergelijk b.v. E. T. Whittaker, Anal. Dynamics, p. 386. ï) Is alleen aan (1), e) voldaan, dan heeft men „stabilité a la Poisson" (zie Poincaré, l.c). Dit treedt op als in de reeksontwikkelingen voor de koordinaten termen van den vorm: a. t. tin (6. t + e) voorkomen. 3) Over de verschillende definities van de stabiliteit van een bepaalde oplossing tegenover storingen vergelijke men: Klein-Sommerfeld, Theorie des Kreisels, p. 343, vgl. Als strenge definitie geven zij: Een beweging is stabiel in den zin van (2) als ze overeenstemt met de limiet waartoe de gestoorde beweging nadert, indien de storing onbegrensd afneemt (l.c. p. 350). Omtrent de definitie van stabiliteit met behulp van de „karakteristieke exponenten" vergelijke men: Whittaker, l.c. p. 400; H. Poincaré, l.c. I. Zie ook beneden, bl. 141.  136 SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. [§ 26. Het is duidelijk dat de bewegingen der elektronen in een atoom stabiel moeten zijn in den zin van definitie (1), opdat men van een stationnairen bewegingstoestand kan spreken. In de tweede plaats komt dan in aanmerking of .deze bewegingen stabiel zijn tegenover kleine storingen. De in hoofdstuk III beschouwde problemen bezitten een algemeene klasse van oplossingen (approximatief te karakteriseeren door de negatieve waarde van de totale energie) welke stabiel zijn in den zin van definitie (1) *). Deze oplossingen vullen in de ruimte der integratiekonstanten een 2/-dimensionaal gebied van eindige grootte kontinu, zoodat alle oplossingen in de nabijheid van een stabiele oplossing eveneens stabiel zijn. Hieruit volgt dat elke oplossing ook stabiel is in den zin van definitie (2). Bij het probleem der beweging van n elektronen kan men geen dergelijke algemeene groepen van oplossingen aangeven welke in den zin van (1) stabiel zijn; men kent slechts enkele partikuliere periodieke soluties. De meest onderzochte hiervan is de volgende2): Alle elektronen (aantal = s) staan op onderling gelijke afstanden langs een cirkel om de kern, en loopen met dezelfde hoeksnelheid co rond. Tusschen de straal van de ring R, de lading van de kern E = Ze en de hoeksnelheid co bestaat de betrekking: _J_\Z-r,s\ =m^R (1) waarin: o-s = T=iTcosec^i 3) 4) (2) 4 -rri s i) De in § 21 vermelde rechtlijnige „Pendelbahnen" voldoen naar het schijnt niet aan (1), 6). Deze banen zijn echter nog bijna niet onderzocht. *) Deze oplossing is bestudeerd door:. H. Nagaoka, Phil. Mag. 7, p. 445, 1904; J. W. Nicholson, Monthly Notiees Roy! Astr. Soc. 72, p. 49,139, 677, 729 (1911/12); 74, p. 204, 425, 486 (1913/14); N. Bohb, Phil. Mag. 26, p. 1, 476, 1913; L. Föppl, Phys. Zeitschr. 15, p. 707, 1914. Bovendien zijn ze reeds door J. J. Thomson onderzocht in verband met het door hem uitgewerkte atoommodel, Phil. Mag. 7, p. 237, 1904. (Volgens Nicholson heeft Nagaoka eenige fouten in zijn berekeningen gemaakt. Cf. J. W. Nicholson, Monthly Not. 72, p. 687, 1911/12). 3) Zie voor de waarden van os een tabel bij N. Bohr, l.c. 4) Andere periodieke soluties. (1) Alle elektronen staan steeds op onderling gelijke afstanden van elkaar en op gelijke afstanden van de kern; ze beschrijven onder, invloed van de resul-  § 26.] systemen met meerdere elektronen. 137 Men heeft, de stabiliteit dezer oplossing tegenover kleine storingen onderzocht, en gevonden dat, indien men tenminste dit probleem volgens de klassieke mechanika mag behandelen, ze instabiel is voor s > 1. Deze onderzoekingen zullen in § 27 kort besproken worden. Behalve het geval dat alle elektronen op één cirkel loopen zijn ook onderzoekingen gedaan over de beweging van meerdere ringen van elektronen, doch deze hebben alle een meer qualitatief karakter*). Opmerkingen over de invoering der quantenvoorwaarden. In verband met hetgeen over de berekening der banen is gezegd, is het duidelijk dat de quantenvoorwaarden niet op een zoo algemeene manier kunnen worden ingevoerd als in hoofdstuk II en III is gedaan, temeer daar niet bekend is in hoeverre de banen quasi-periodiek (stabiel in den zin van def. (1)) zijn. Men moet hier dus genoegen nemen met speciale onderstellingen. Nicholson en Bohr2) hebben voor de bovengenoemde bewe- teerende attraktie e1 (#—os)/>-J allen elliptische banen, welke banen kongruent zijn, en door een draaiing van 2ar/« om de kern uit elkaar afgeleid kunnen worden, terwijl de elektronen op overeenkomstige punten dezer ellipsen staan. Cf. N. Bohr, Phil. Mag. 26, p. 21, 1913: J. W. Nicholson, Phil. Mag. 27, p. 557,1914. (2) J. ~W. Nicholson heeft periodieke oplossingen gegeven waar de elektronen in verschillende vlakken rondloeren. Monthly Notiees 74, p. 434, 1914; Phil. Mag. 27, p. 560, 1914. (Zie fig. 6, bl. 153). Deze periodieke oplossingen vertoonen eenige analogie met de periodieke oplossingen van Laplace voor het drielichamen-probleem (verg. "Whittaker, Anal. Dyn. p. 390). ») N. Bohr, Phil. Mag. 26, p. 483, 1913; J. W. Nicholson, Phil. Mag. 27, p. 541, vgl., 1914. Voor het thomson-model: J. J. Thomson, Phil. Mag. 7, p. 253, vgl., 1904. Een speciaal probleem is door Sommerfeld uitgewerkt met het oog op de theorie der spektra: dicht om de kern beweegt zich een ring van n elektronen, waarvan het elektrisch veld op grooten afstand vervangen mag worden door dat van een gelijkmatig elektrisch geladen ring. In het veld van de kern en van deze ring beweegt zich één enkel elektron. Dit probleem heeft, zoo men de beweging van de ring als onveranderlijk gegeven beschouwt, groote analogie met de in III besprokene, en kan op dezelfde wijze behandeld worden. Het is aan Sommerfeld gelnkt hiermee de spektraalformules van Rydberg en van Ritz af te leiden (Sits. Ber. Bayr. Akad. p. 131, 1916). (Zie § 28). . J) J. W. Nicholson, Monthly Notiees 72, p. 679, 1912 ; 74, p. 215, 429, 1914; N. Bohr, Phil. Mag. 26, p. 24, 1913.  138 systemen met meerdere elektronen. [§ 26. ging van s elektronen in een cirkel de voorwaarde ingevoerd dat het moment van hoeveelheid van beweging van elk elektron h een geheel veelvoud is van ~: p9 — m r2

; *== ^ h dus: * * =«i-ij-- Bohr neemt steeds: », = geheel veelvoud van * = *.*. (Nicholson doet dit niet altijd: cf. Monthly Notiees 72, p. 680, 1912.) De vraag rijst of dit noodzakelijk is? Als tegenvoorbeelden zou men kunnen aanvoeren: 1) bij het probleem van de beweging van een elektron om een niet vaststaande kern (§ 18) quantiseert men het totale moment van hoeveelheid van beweging van kern plus elektron, en niet dat van elk afzonderlijk. 2) In de theorie der soortelijke warmte van vaste lichamen (Einstein, Debye, e.a.) quantiseert men elke hoofdtrilling van het atoomraster in overeenstemming met de formule van Planck (energie/frequentie = n. h) zonder de voorwaarde in te voeren dat « een veelvoud moet zijn van het aantal atomen in het raster (dit laatste zou tot geheel afwekende resultaten voeren). [Zie ook opmerking 6 bij § 36.] 2) N. Bohr, Phil. Mag. 26, p. 1, vgl., 1913.  § 26.] SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. 139 Bij het bovenstaande probleem zou dan elk elektron steeds hetzelfde moment van hoeveelheid van beweging: p, = mr2 q>= 2n . V ) moeten behouden. Voert men dit als een kinematische relatie in, dan blijkt in een aantal gevallen de instabiliteit te verdwijnen x). Zoodra men echter de quantenvoorwaarden op deze manier gaat gebruiken, komt men voor vele moeilijkheden te staan, waarvan de oplossing nog niet gevonden is. Vooral doet zich hier het gemis aan een algemeen grondprincipe gevoelen, zoodat er groote onzekerheid is omtrent den te volgen weg. In verband hiermee kan het misschien van nut zijn nog eens de in hoofdstuk II en III behandelde systemen te beschouwen. Bij deze systemen was ondersteld dat men een groep van oplossingen kende welke stabiel zijn in den zin van def. (1); elke dezer oplossingen is stabiel in den zin van def. (2). De stabiliteit bestaat hier dus onafhankelijk van de quantenvoorwaarden (inderdaad werd geëischt dat de bewegingen stabiel waren opdat de quantenvoorwaarden konden worden ingevoerd). Men kan nu bij deze systemen de voorwaarde invoeren: slechts die bewegingen zijn mogelijk welke aan de quantenvoorwaarden voldoen. De bewegingen zijn gekarakteriseerd door de 2/ integratiekonstanten Pi Pf Si Sj (zie § 10); door de quantenvoorwaarden zijn P\ . .. .Pf vastgelegd, dus kunnen slechts de fazekonstanten £!....£/ veranderen. De kleine trillingen van het systeem om een bepaalden bewegingstoestand zijn derhalve in deze onderstelling: 8P1 = 8P2— ....8Pf = 0 8 — konstante J 8 02 — konstante ... (4) ........ \ 8 Qf = konstante ' (N.B.: 8Qi=....ÜQf-0). Het systeem blijkt indifferent te zijn tegenover de nog toegelaten storingen. «) L. Föppl, Phys. Zeitschr. 15, p. 707, 1914. Deze „verbindingsvergelijking" (kinematische relatie) heeft een niet-holonoom karakter. (Over trillingen van niet-holonome systemen zie men: Whittaker, Anal. Dynamics, p. 221).  140 SYSTEMEN met meerdere elektronen. [§ 26. Indien men te doen heeft met een geval van ontaarding zou men slechte de f—l gequantiseerde P's kunnen vasthouden. Dan zijn de trillingen: 5P1=ÖP2 = .. ..8Pf_x = 0 ] 8 Pj = konstante (j = ƒ—l +1 • • • ƒ) (5) 8 Qft = konstante (k = 1... ƒ) Ook in dit geval is het systeem indifferent tegenover de toegelaten storingen1). {Voorbeeld: Bij de elliptische beweging van een elektron om een atoomkern is alleen de groote as van de baan vastgelegd; elke naburige baan met dezelfde groote as kan opgevat worden als een kleine trilling om deze baan.) Bij het probleem van de beweging van s elektronen in een periodieke baan om de kern kan men zich nu ook denken dat slechts die storingen toegelaten zijn welke de ingevoerde quantenvoorwaarden onveranderd laten. Men komt dan echter onmiddellijk op de vraag: welke zijn de ingevoerde quantenvoorwaarden? Is (speciaal voor het bovenstaande probleem der beweging in een cirkel) de voorwaarde (3) of (3*) de eenige, of moet men niet even goed de voorwaarde dat de baan een cirkel is, en dat «e in een plat vlak ligt, als quantenvoorwaarden opvatten van den vorm: jprdr = 0 1 (6) fPs dz = 0 \ J j (voor elk elektron). -*->- Dan zouden de trillingen nog meer beperkt worden .dan door de voorwaarde van Bohr gedaan wordt, en het zou niet onmogelijk zijn zooveel quantenvoorwaarden in te voeren dat voor de nog toegelaten storingen het systeem indifferent is evenals boven. Om deze kwestie nog eenigszins nauwkeuriger te onderzoeken kan men als volgt te werk gaan: Aangenomen men kent een partikuliere periodieke solutie der bewegingsvergelijkingen. Dan kan men met behulp van een door i) Hiermee hangt samen dat de toegelaten storingen de energie onveranderd laten.  § 26.] SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. 141 Poincaré *) gegeven methode de soruties in de nabijheid hier- » van onderzoeken. Zij de periodieke solutie : ?< = <*(<); Pi <7) waar q>{ en ip< periodieke funkties van t zijn met de periode: f— n - De naburige oplossingen hebben dan den vorm: 9i =<*(<)+ ^cke""tSik ) K. * . (8) pi=(o+x c* e"fc ,Sf*-*) i / Hierin zijn Ci c2/ integratiekonstanten (welke de amplitu- den en fazen der storingen bepalen); «i «2/ zijn de z.g. „karakteristieke exponenten" welke funkties zijn van de parameters die de periodieke solutie bepalen, doch onafhankelijk zijn van de c's. De Sik en S*ik zijn periodieke funkties van t, met de periode T. Poincaré heeft aangetoond dat indien de bewegingsvergelijkingen een kanonisch systeem vormen, en indien de funktie van Hamiltoij de tijd t niet expliciet bevat — wat in het beschouwde probleem ondersteld wordt — de karakteristieke exponenten twee aan twee gelijk en tegengesteld zijn, en dat één paar gelijk nul is 2). Aangenomen is verder dat de paren van karakteristieke exponenten verschillend zijn 3). De voorwaarde voor de stabiliteit van de beschouwde periodieke solutie (de „solution gênératrice") tegenover storingen is dat alle karakteristieke exponenten zuiver imaginair moeten zijn. (1) Ondersteld wordt vooreerst dat dit het geval is, zoodat de „solution gênératrice" stabiel is. Indien men (in overeenstemming met het hierboven opgemerkte) aanneemt dat «k = — ak+/= cok l/— 1, en dat «j = «/ +1 = 0 is, kan men stellen: Qx = co. t + konstante | ^ Qk — cofc t + konstante (k = 2 . . . ƒ) j' ') H. Poincaré, Mécanique Céleste I, p. 162, vgl. Zie ook: Whittaker, Anal. Dynamics, p. 400. ') Er is dus steeds een storing waar tegenover het systeem indifferent is. J) Indien dit niet het geval is krijgt men termen van den vorm: ta. e" .S.  142 SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. [§ 26. In de formules (8) kan men de exponentieele funkties van t vervangen door goniometrische funkties van de Q's; ze zijn dan in den vorm te schrijven: + f j lcos I ' . -l. ..... . (10) + £ s" (»»»)*! ■£! (•» *+«») Het eerste stuk van de rechterleden dezer vergelijkingen bevat de funkties De quantengetallen ?i2 ...: nf bepalen de amplituden der kleine trillingen om de „solution gênératrice". Deze zelf is gekarakte-  § 26.] SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. 143 riséerd door: n2 = n3 = nf=0, terwijl de grootte van de baan vastgelegd wordt door ni 1). Drukt men de energie uit als funktie van de P's, dan krijgt men een formule van den vorm: a = K(P) = Ko(Pi) + j?«>«Pk 2). • (13) waar: . *K0 - _ == co . dpx Uitgedrukt als funktie der quantengetallen: ƒ h ' « = «o(»i) + 2 w&(«i).Wfc (13a) In dit geval is de quantiseering van het systeem tenminste principieel. uitvoerbaar. Stelt men nu evenals boven de voorwaarde dat slechts die storingen toegelaten zijn welke de quantenvoorwaarden onveranderd laten, dan zijn in de onmiddellijke nabijheid der oorspronkelijke periodieke solutie geen kleine trillingen mogelijk, behalve de indifferente storing: ÖPl=0 1 y2=ys = ..../k^0\ (14) SQi= konstante j Pas op „grooteren afstand" hiervan krijgt men de bewegingen waarvoor: •) Men dient hierbij na te gaan of bij een bepaalde waarde van P, (b.v. „ —) voor P/c = b.v. ) Dit is eigenlgk het begin van een reeksontwikkeling naar opklimmende machten van P, Pf (Vergelijk Whittaker, l.c. Ch. XVI).  144 systemen met meerdere elektronen. [§ 26. Pk = nkh/2n (k = 2...f) is, welke eerst door storingen van bepaalde, eindige grootte kunnen worden opgewekt 1). (2) Indien sommige der karakteristieke exponenten reëel of komplex zijn, is de oorspronkelijke periodieke oplossing instabieL In dit geval komt men weer op de moeilijkheid van bl. 138/139. Misschien zou men hier den volgenden weg kunnen inslaan: Men voert zoovele hoekvariabelen in als er imaginaire «'s zijn (m. a. w. zooveel als het aantal der stabiele en der indifferente trillingen bedraagt); hiervoor tracht men quantenvoorwaarden op te stellen op dezelfde wijze als boven gedaan is. Dan moet getracht worden quantenvoorwaarden te vinden voor de instabiele bewegingen, welke bij de reëele a's behooren. Of dit mogelijk is, en hoe dit zou moeten geschieden kan ik echter niet zeggen; misschien zal de door Epstein gegeven quantiseering van de,, hyperbolische beweging 2) hierbij een vingerwijzing kunnen geven. Onderstel evenwel dat dit gelukt, en dat n2.. . nr de quantengetallen zijn voor de stabiele trillingen; nr+x... n/ die voor de instabiele bewegingen; terwijl de oorspronkelijke solutie gekarakteriseerd is door »i. Voor de oorspronkelijke periodieke oplossing, en voor alle stabiele bewegingen in de omgeving ervan, heeft men dan: nr+i — «r+2 = nf = 0. Zal een instabiele beweging optreden, dan moeten een of meer dezer quantengetallen n,4i ...?*ƒ van 0 op een of ander geheel getal springen; deze instabiele bewegingen zullen dus — evenals boven reeds omtrent de stabiele is opgemerkt — eerst door staringen van een bepaalde eindige grootte kunnen worden opgewekt. '») Óm in overeenstemming te blijven met de ideeën van hoofdstuk II zou men moeten aannemen dat deze soluties kunnen optreden wanneer op het systeem lichttrillingen van een der frequenties: vk = ^ (* = 2. :■. ƒ) vallen, waaruit ° 'fc & Tt het systeem „energie-quanten" kan opnemen. Zie Noot I bij deze §. *) Vergelijk boven § 15, b).  § 26.] systemen met meerdere elektronen. 145 Hierdoor zou de stabiliteit tenminste eenigermate verzekerd zijn; het blijft dan een kwestie van verder onderzoek of de storingen welke de instabiele bewegingen doen ontstaan veel zullen voorkomen, of dat ze zeer zelden optreden Het bovenstaande geeft geen direkt antwoord op de vraag of men de quantenvoorwaarden als kinematische relaties moet invoeren. De boven gevolgde methode kan men in het kort aldus karakteriseeren : Bij de berekening der bewegingen is nergens een quantenvoorwaarde als kinematische relatie gebruikt; de quantenvoorwaarden zijn eerst opgesteld nadat het probleem geheel uitgewerkt was volgens de formules der klassieke mechanika. Daarna is ondersteld dat het systeem slechts de door de quantenvoorwaarden gegeven bewegingen kan uitvoeren en geen andere. De „mogelijke" bewegingen van het systeem vormen dus geen kontinuë verzameling; dit heeft tengevolge dat er storingen van eindige grootte noodig zijn om het systeem uit de eene „mogelijke" beweging in een andere „mogelijke" beweging te doen overspringen. Het probleem van de stabiliteit heeft hierdoor dus een geheel ander karakter gekregen. [Zie Noot II bij deze §.] Wil men echter, zooals b.v. door Föppl 2) is gedaan, de quantenvoorwaarden invoeren als kinematische nevenvoorwaarden bij het onderzoek naar de trillingen in de nabijheid van een periodieke solutie, dan zou men naar mij toeschijnt ze ook reeds onmiddeÜijk bij de oorspronkelijke bewegingsvergelijkingen in rekening moeten brengen; hierbij kan men echter op het bezwaar stuiten dat men eerst het probleem moet oplossen om de quantenvoorwaarden te leeren kennen. In dit geval zou het waarschijnlijk noodig zijn de grondver- ') Bewegingen waarvoor de quantengetallen der instabiele „trillingen" »r , j... n , niet allen = 0 zijn, moeten misschien worden opgevat als een dissociatie van het systeem. Vergelijk een opmerking van J. W. Nicholson, Monthly Notiees 72, p. 690, 1912. ») L. Föppl, Phys. Zeitschr. 15, p. 707, 1914. 10  146 systemen met meekdere elektronen. [§ 26. gelijkingen der mechanika geheel te wijzigen; op wat voor wijze dit moet .geschieden is evenwel nog onbekend ]) 2). Bij al het boven besprokene is nog niet gelet op de moeilijkheden van elektromagnetischen aard, welke bij deze problemen natuurlijk even zoo optreden als bij de beweging van een enkel elektron. In de uitgewerkte problemen heeft men steeds de uitstraling door de bewegende elektronen verwaarloosd en heeft men geen rekening gehouden met de reaktie van het eigenveld op elk elektron 3). Noot 1. Opmerking in verband met formules (13) en (13a) van bl. 143. Volgens bl. 143 vindt men voor de enérgie van een beweging in de nabijheid eener periodieke solutie: « = K (P) = K0 (pi) + X C°/''P* +(I) óf uitgedrukt in de quantengetallen: a — «0 (m) + 2 w* Oi) • ^ i) Indien de grond vergelijkingen der mechanika gewijzigd worden zouden ook de berekeningen van hoofdstuk II en III op geheel andere hasis moeten worden gegrondvest. ï) In verhand met het boven besprokene lijkt me vooral het invoeren van de voorwaarde: pv = m r1 (/" = A/2 n = konstante als de eenige kinematische relatie niet goed te verdedigen. Zie in verhand hiermee bok de opmerking in noot l), bl. 151, over het stahiliteitskriterium van Bohr. s) Het verwaarloozen van de uitstraling is bij systemen met meerdere elektronen beter te rechtvaardigen dan bij een systeem met slechts 1 elektron, daar de onderzoekingen van J. j. Thomson en Gr. A. Schott aangetoond hebben dat de uitstraling zeer gering wordt, zoo de vektor-som van de versnellingen der elektronen nul is. Bij een ring van elektronen is de straling des te geringer naarmate de ring meer elektronen bevat; zie bl. 4, noot *).  § 26.] systemen met meekdeke elektronen. 147 Onderstelt men nu dat het systeem lichttrillingen kan uitzenden of absorbeeren bij een verandering der quantengetallen van de waarden n\ n'2 ... . n'j naar de waarden n"\ nM2 .... n"j, volgens de hypothese van Bohr, ' dan vindt men uit (II) voor de spektraal formule: _ «0 Ki) — "0 (""1) 1 X rc'fc • tQfc (n\) — n"k.wk(n'\) h v 2jt ^T"/p! Tndien men aanneemt dat de waarde van n\ veel grooter is dan die van %2 «3 ... »ƒ, en men,: n'i — n"i ~ A m , , . (IV) stelt, kan men formule (III) in eerste approximatie vervangen door: _ 1 c> a0 X, mk . A nk . _ v~ T 1^ • A " l + 2 —ö 1~ = - 2^-Aïll+?2T-Anfr + ---- = = ±Vi.Ani + .... 2) (V) 1 De frequenties die het systeem uitzendt volgens de hypothese van Bohr zijn dus in eerste benadering dezelfde als de frequenties der bewegingen in het systeem met al hun boventonen en kómbinatietonen 3). In twee opzichten is dit resultaat merkwaardig: A) Nicholson heeft voor verschillende eenvoudige atoommodellen de kleine trillingen om een periodieke solutie (eenparige ') Dè hoogere termen dezer formule hebben minstens den faktor //. l) Men heeft: 1 T . , , ~| 10 h d co % |M»i)-«o(» i)J = -2— • * »i - 8^2 fPl (A ^>2 + • ■ • ... . _ , h ï 03: . a>i{n1) — ooi(n"1)= ArixH- ... . Alle hoogere termen van formule (Y) zijn dus minstens vermenigvuldigd met den faktor 3) Vergelijk in verband hiermee bl. 58 en S. 32.  148 systemen met meerdere elektronen. [§ 26. cirkelbeweging der elektronen) onderzocht $ Hij onderstelde dat het systeem — volgens de klassieke theorie — lichttrillingen zou uitzenden die dezelfde frequenties hebben als de bewegingen in het systeem, zoodat hij het spektrum van het systeem kon berekenen. Volgens het bovenstaande komt men door de hypothese van Bohr toe te passen in eerste benadering tot dezelfde frequenties voor de uitgezonden lichttrillingen, zoödat het misschien mogelijk zal zijn de merkwaardige resultaten waartoe Nicholson gekomen is, ook met behulp der quantentheorie te interpreteeren 2). B) Uit de formule (V) blijkt dat de frequenties der kleine trillingen vfc = — o.a. ook gekombineerd moeten worden met " 2 TC de frequentie 'i^7r~ der grondperiode (periode der oorspronkelijke periodieke solutie). Dit treedt ook op in de algemeene uitdrukkingen voor de koordinaten als funkties van den tijd; zie boven formule (10). Ook in dit opzicht blijkt dus het resultaat dat men vindt met behulp der quantenformules en der hypothese van Bohr analoog te zijn aan hetgeen men uit de klassieke theorie zou afleiden.3) Men vergelijke in verband hiermee: (1) J. W.' Nicholson, Monthly Notiees 72, p. 54 ("Periods relatively to a stationary observer") 1911/12. i, ,] w Nicholson, Monthly Notiees 72, p. 49, 139, 677, 729 (1911/12); 74, p. 204, 486, 623 (1913/14). ï) j„ de door Nicholson beschouwde systemen is het quantengetal », dat aan de grondperiode wordt toegekend vrij groot (b.v. 25, 22, 18; zie Monthly Notiees 72, p. 680, 1912); dit is gunstig voor formule (V). ») In de meeste gevallen is de oorspronkelijke periodieke solutie een eenparige cirkelbeweging. Zij de frequentie hiervan *„ en beschouwt men ter vereenvoudiging slechts één kleine trilling met eigenfrequentie rt (dit is de frequentie voor een waarnemer die met de oorspronkelijke cirkelbeweging meeroteert), dan zullen volgens de klassieke theorie de uitgezonden, lichttrillingen voor een stilstaanden waarnemer in het algemeen de drie frequenties: .,li,lT,li,l r1 vertoönen. _ Volgens de formules der quantentheorie zullen de uitgezonden trillingen de frequenties bezitten:  § 26.] systemen met meerdere elektronen. 149 (2) A. Sommerfeld, Eine allgemeine Dispersionsformel . . . . Elster u. Geitel-Pestschrift (Braunschweig 1915), p. 577. Zie beneden bl. 214, noot »). (3) De theorie van de spektra van roteerende molekulen (klassieke opvatting: formule van Rayleigh-Bjerrum, en daartegenover de opvatting' volgens de quantentheorie, cf. J. M. Burgers, Versl. Akad. Amsterdam XXVI, p. 115, 1917. (Zie boven §22). [Noot II. De hier ontwikkelde opvatting van het probleem der stabiliteit zou ik gaarne nog eens aldus willen samenvatten: In de klassieke mechanika beschouwt men het gedrag van een beweging tegenover willekeurig kleine storingen. In de quantentheorie zijn echter willekeurig kleine veranderingen van een bewegingstoestand uitgesloten (behalve dan die tegenover welke het systeem indifferent is, vergelijk boven bl. 139), zoodat de oude manier om het probleem te onderzoeken hier vervalt. Oneindig kleine storingen kunnen dus de beweging niet wijzigen. Waaridoor dit wordt teweeggebracht is nog onbekend, voorloopig zal men dit als een hypothese moeten aannemen. De stabiliteitskwestie gaat nu in een geheel ander probleem over: in de vraag naar de kans op het voorkomen van bepaalde storingen van eindige grootte, dus in een probleem van waarschijnlijkheid r). Om deze storingen te leeren kennen, en speciaal om de veranderingen in de energie te berekenen, welke gepaard gaan met het overspringen van de eene beweging in een andere, moet men alle quantenbewegingen in de nabijheid van de beschouwde opsporen. Deze bewegingen zijn dan te splitsen in twee groepen, al naar dat ze stabiel of instabiel zijn in den zin van de lö definitie van bl. 135. In het algemeen zal men echter mogen aannemen, dat boe grooter de quantengetallen zijn, hoe kleiner de relatieve sprongsgewijze veranderingen in de energie moeten wezen, opdat de ') Vermoedelijk zal onder deze storingen een belangrijke plaats innemen de inwerking van een stralingsveld. Omtrent de hypothesen welke men kan maken over de waarschijnlijkheid van het overspringen uit de eene beweging in een andere vergelijke men de in § 33 besproken theorie van Einstein.  150 systemen met meerdere elektronen. [§ 26. beweging omslaat in een andere, welke eventueel instabiel kan wezen. Men nadert dus ook hier weer bij groote quantengetallen asymptotisch tot de opvatting van de klassieke mechanika, volgens welke men oneindig kleine storingen der beweging in het oog moet vatten. (In verband met deze kwestie zij hier nog gewezen op een probleem dat er nauw mee samenhangt, en dat opgeworpen is door de dispersietheorie van Debye en Sommerfeld, nl. het meetrillen der instabiele vrijheidsgraden van een systeem waarop periodieke uitwendige krachten werken. Men vergelijke hierover § 36, opmerking 5) (bl. 222).]  § 27. KORT OVERZICHT VAN DE ONDERZOEKINGEN VAN BOHR, NICHOLSON EN FÖPPL OVER SYSTEMEN MET RINGEN VAN ELEKTRONEN. A. Systemen met een ring van elektronen. Door Nicholson is gevonden dat, indien men geen nevenvoorwaarden invoert, een ring van s elektronen instabiel is tegenover verplaatsingen in het baanvlak, tenzij s = 1 is *). . Bohr voert als voorwaarde voor de stabiliteit in: de onderzochte beweging is stabiel, indien de totale energie hierin kleiner is dan in elke naburige konfiguratie waarin elk elektron hetzelfde moment van hoeveelheid van beweging heeft. Hier wordt dus het konstant zijn van het moment van hoeveelheid van beweging als kinematische relatie ingevoerd2). Door Bohr is alleen een ') J. W. Nicholson, Monthly Not. 72, p. 677, vgl., 1912. ») N. Bohr, Phil. Mag. 26, p. 23, 1913. Opmerking. Past men het door Bohr gegeven kriterium voor de stabiliteit toe op een systeem bestaande uit een kern met één elektron, zooals in hoofdstuk III onderzocht is, dan komt men tot het resultaat dat alleen een cirkelvormige beweging stabiel is, doek geen elliptische beweging. Volgens formules (5), (6), (12) van § 17 kan men voor de totale energie schrijven: m e* E* "~~ 2(P, +Pf )» waar: P% = moment van hoeveelheid van beweging; (P, -f- Pf = P| = e Ea , waar a — groote as van de ellips). De waarde van de energie is dus bij gegeven waarde van het moment van hoeveelheid van beweging P$ een minimum voor: P,=0 wat slechts het geval is voor cirkelvormige banen. Houdt men rekening met de relativistische korrekties, dan blijft bij benadering hetzelfde gelden. Toch moet men zeker aannemen dat er elliptische banen met eindige excentriciteit voorkomen, om de detailstruktuur der spektraallijnen te verklaren (Sommerfeld, Ann. d. Phys. 51, p. 1, vgl., 1916).  152 systemen met meerdere elektronen. [§ 27. verandering van den straal der ring onderzochtx), waarbij de energie steeds bleek toe te nemen; hieruit konkludeerde hij dat de beweging stabiel is tegenover storingen in het baanvlak. Een nader onderzoek hierover is verricht door L. Föppl 3). Föppl leidt het door Bohr gebruikte kriterium af uit een theorema van Routh, en gaat de stabiliteit van verschillende ringen na tegenover willekeurige storingen in het baanvlak. Is Ze de grootte van de kernlading, s het aantal elektronen in de ring, dan is voor: het systeem stabiel als s — 1, 2, 8, 4, 5 ; voor grootere waarden van s is het systeem slechts stabiel zoo de .kernlading Z grooter is dan het aantal der elektronen (b.v. s = 6 eischt: Z—8 of meer, enz.) De stabiliteit tegenover storingen loodrecht op het vlak van de ring is onderzocht door Nicholson en door Bohr; deze onderzoekingen berusten geheel op de klassieke mechanika. Bohr vindt dat voor: Z=s v v' . '.' de ring stabiel is, als s — 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; bij grootere waarden van s is het systeem slechts stabiel als Z veel grooter is dan s 3). Nicholson heeft voor verschillende eenvoudige systemen de kleine trillingen om den stationnairen bewegingstoestand onderzocht 4). Hij nam aan dat het systeem — volgens de klassieke elektrodynamika — lichttrillingen van dezelfde frequenties zou emit-. teeren als de frequenties dezer kleine trillingen zijn, en berekende op grond daarvan het spektrum van het systeem. De zoo gevonden spektra vergeleek hij met reeksen van lijnen, waargenomen in nevelvlekken, in de Corona van de zon en in de WoLF-RAYET-sterren, waarbij hij dikwijls merkwaardige overeenstemming vond 5). ') N. Bohr, l.c. p. 480. 2) L. Föppl, Phys. Zeitschr. 15, p. 707, 1914. *) N. Bohr, l.c. p. 481. — (J. W. Nicholson, l.c. p. 52.) ») j. W. Nicholson, Monthly Notiees 72, p. 49, 139, 677, 729 (1911/12); 74, p. 204, 486, 623 (1913/14). 5) Indien het spektrum berekend werd volgens de emissie-hypothese van Bohr zou men in eerste benadering dezelfde lijnen vinden, daar de quantengetalleu  § 27.] systemen met meerdere elektronen. 153 B. Systemen met meerdere ringen van elektronen. Indien er vele elektronen in een atoom zijn ligt het voor de hand te onderstellen dat ze zich niet alle op één cirkel zullen bewegen, doch dat ze over meerdere ringen verdeeld kunnen zijn. Het onderzoek van dergelijke .bewegingen is echter nog veel moeilijker dan dat van de beweging in één ring, zelfs indien het aantal elektronen in elke ring niet gfoot is. Bohr onderstelt dat alle ringen cirkelvormig zijn, en in één plat vlak liggen x); hij geeft hiervoor een approximatieve be- Pig. 6. Voorbeelden van systemen waarin de elektronen niet alle in hetzelfde vlak loopen (Nicholson). Et , Et , E3 , Et : elektronen; K : kern. (In het bovenste systeem beweegt de kern zich in een kleine cirkel; in het onderste houden de krachten die de 4 elektronen op de kern uitoefenen elkaar in evenwicht, en staat de kern stil.) (»,) die Nicholson aan de grondperiode geeft vrij groot zijn (Monthly Notiees 72, p. 680, 1912). (Zie Noot I bij § 26.) ') N. Bohr, l.c. p. 484.  154 systemen met meerdere elektronen. [§ 27. handeling en leidt een voorwaarde af voor de stabiliteit. Hierop is een uitvoerige kritiek verschenen van Nicholson x) ; deze heeft verschillende voorbeelden van systemen met meerdere koncentrische ringen in één plat vlak onderzocht, o.a. om een model voor het Lithium-atoom te vinden; [definitieve resultaten heeft dit echter niet opgeleverd.] Nicholson heeft ook nog eenige periodieke soluties aangegeven, waar de ringen niet in één plat vlak liggen (zie fig. 6) -'). Zooals reeds door het woord periodiek is uitgedrukt voldoen deze aan de stabiliteitsvoorwaarden (1) van bl.*135; het zou zeer de moeite waard zijn deze soluties en de oplossingen in de nabijheid ervan' nader te onderzoeken. C. Bohr geeft ook nog beschouwingen over de verdeeling der elektronen over de verschillende ringen bij eenige" eenvoudige systemen, en bréngt deze verdeeling in verband met de chemische valentie der elementen 3). Deze beschouwingen hebben meer een qualitatief karakter; Bohr voert als voorwaarde voor den meest stabielen toestand in, dat voor deze de totale energie een minimum is (bij gegeven moment van hoeveelheid van beweging); deze voorwaarde wordt echter niet streng vastgehouden. Nicholson heeft deze valentie-theorie aan een kritiek onderworpen4), en men krijgt het idee dat op dit gebied bijna nog niets bereikt is5). I). Systemen met meerdere kernen. Zoodra men onderzoekingen wil doen over den bouw der molekulen krijgt men met systemen te doen welke meer dan één positief geladen kern bezitten. Door Bohr ,j) zijn verschillende qualitatieve beschouwingen over de konfiguratie, de stabiüteit i) J. W. Nicholson, Phil. Mag. 27, p. 541, vgl., 1914; Monthly Notiees 74, p. 430/431, 1914; Phil. Mag. 28, p. 90, 1914. »-) J. W. Nicholson, Monthly Notiees 74, p. 434/435, 1914; Phil. Mag. 27, p. 560, 1914; Phil. Mag. 28, p. 90, vgl., 1914. ») N. Bohr, Phil. Mag. 26, ca. hl. 487, vgl., 1913. — Zie ook: A. v. u. Broek, Elster u. Geitel-Festschrift, p. 428 (1915) [en L. Vegard, Verh. Deutsch. Phys. Ges. 19, p. 344, 1917]. *) J. W. Nicholson, Phil. Mag. 27, p. 558, 1914. 5) Men vergelijke in verhand hiermee ook de door J. J. Thomson ontwikkelde 'ideeën (Phil. Mag. 7, p. 258, 1904). B) N. Bohr, Phil. Mag. 26, p. 857, 1913.  § 27.] systemen met meerdere elektronen. 155 en de vorming dezer systemen gegeven, wat het laatste betreft met het oog op een mogelijke verklaring van het proces der chemische verbinding. Het meest onderzocht is het model van het watersiof-molekuul (JETo). Dit systeem wordt ondersteld te bestaan uit twee kernen met de lading -j- e en de massa van een .ff-atoóm, en twee elektronen; de laatsten bewegen zich in een cirkel welks vlak den afstand- der kernen loodrecht middendoor deelt (zie fig. 7). Is 2a de afstand der kernen, R de straal van de elektronenbaan, dan heeft men: R= a\/Z ; co2 = =5- (3|/3—l) (15) 4 m Ró waar co de hoeksnelheid der elektronen is. Fig. 7. Model van het waterstofmolekuul volgens Bohr en Debye. A i , A', : kernen ; A', , Es : elektronen. R = a J/T. Dit model heeft zijn groote bekendheid te danken aan de dispersietheorie van Debye v). Onderzoekingen over de stabiliteit zijn gedaan door Mej. H. J. van Leeuwen, die de trillingen van de elektronen om de stationnaire beweging naging in de onderstelling dat de kernen vastgehouden worden 2) en door Rubinowicz welke ook de trillingen 'van de kernen in de berekening opnam 3). ») P. Debye, Sitz. Ber. Bayr. Akad. p. 1, 1915. Zie beneden § 36. *) Mej. H. J. van Leeuwen, Versl. Akad. Amst. XXIV, p. 1047, 1915/16. 3) A. Rubinowicz, Phys. Zeitschr. 18, p. 187, 1917.  156 SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN: [§ 27. Het is gebleken dat het systeem tegenover sommige storingen instabiel is. Deze onderzoekingen, hoe interessant en belangrijk ze ook zijn, zullen hier niet nader besproken worden. Slechts zullen enkele opmerkingen over de precessie-bewegingen en de quantentheorie van roteerende molekulen beneden in § 29 vermeld worden1). <) Met betrekking tot den bouw der molekulen zij hier, ook verwezen naar een artikel van W. Kossei. : Über Molekülbildung als Prage des Atombaus, Ann. d. Phys. 49, p. 229, 1916 (speciaal het 111° gedeelte, p. 350, vgl.). Kossel geeft evenwel meer algemeene beschouwingen,'zonder direkt van het atoommodel van Rutherford-Bohr gebruik te maken.  § 28. OPMERKINGEN OVER DE SPEKTRA VAN SYSTEMEN MET MEER DAN EEN ELEKTRON. Over de spektra van systemen met meerdere elektronen zijn nog weinig onderzoekingen gedaan. Voornamelijk' is dit toe te schrijven aan de moeilijkheden die men ondervindt bij het opstellen der quantenvoorwaarden. Door Nicholson is voor verschillende eenvoudige systemen met één ring van elektronen het spektrum onderzocht, in de onderstelling dat de lichtfrequenties die het systeem uitzendt dezelfde zijn als de frequenties der kleine trillingen in het systeem (Zie § 27, A). Door Bohr en door Nicholson is verder nagegaan wat voor frequenties worden uitgezonden op grond van de emissie-hypothese van Bohr indien bij de beweging van alle elektronen op één ring het moment van hoeveelheid van beweging der elektronen van een bepaald veelvoud van -J— °P een ander springt. Belangrijke resultaten heeft dit echter niet opgeleverd l). Berekeningen van de spektra welke in verband staan met de oplossingen in de nabijheid van een periodieke solutie, uitgevoerd in aansluiting aan den gedachtengang van § 26 (en speciaal Noot I), zijn voorzoover mij bekend is nog niet gemaakt. Een jnteressant probleem heeft Sommerfeld uitgewerkt 2), gelijk reeds op bl. 137 (noot x)) vermeld is. Sommerfeld beschouwt een atoom waarin alle elektronen op één na in een ring vrij dicht om de kern heen loopen, terwijl het laatste elektron zich op betrekkelijk grooten afstand om dit systeem beweegt. Aangenomen wordt dat de beweging van de ') Zie: J. W. Nicholson, Monthly Notiees 74, p. 425, vgl., 1914. [Men krijgt een spektraalformule van het balmer-type op grond van de eigenschap vermeld in § 16, c).] *) A. Sommerfeld, Sitz. Ber. Bayr. Akad. p. 152, vgl., 1916.  158 . systemen met meerdere elektronen. [§ 28. ring onveranderlijk is (ra. a. w, de reaktie van het buitenste elektron op de ring wordt verwaarloosd); verder dat het elektrische veld veroorzaakt door de ring van elektronen vervangen mag worden door het veld van een kontinu met dezelfde hoeveelheid elektriciteit geladen ring. Men kan nu de beweging van het elektron in het veld door kern en ring veroorzaakt onderzoeken. Sommerpeld beperkt zich hierbij tot bewegingen van het elektron in het vlak van de ring *). De berekeningen van Sommerfeld zullen hier niet herhaald worden; slechts zij meegedeeld dat de potentiaal van het elektrische veld in het vlak van de ring in een reeks naar negatieve machten van r ontwikkeld kan worden: _e.r=-4 + ^^^ + |^+...|...ae) Hierin is: E* = — (E—e) - lading van de ring; a = straal van de ring. Breekt men de ontwikkeling af bij de term met a2, dan komt men tenslotte tot een formule voor de energie, welke luidt (uitgedrukt in de quantengetallen): tt = . ~ R-h (17) (n -f- ra' + g>/n3)2 (P = konstante van Rydberg; ra = quantengetal voor de azimuthale beweging, m. a. w.: nh/2n — moment van hoeveelheid van beweging; ra' = quantengetal voor de radiale beweging) 2). Neemt men ook de term met a4 mee, dan wordt de formule voor de energie: «=r- -^^-ir- > (18) ff^it = 2h; ƒ prdr = 0; o <- > öf op een elliptische baan (II-2), met faze-integralen: ƒ P9 dq>= h; jpr ar— h . De overgang (II-l) * (I) geeft de lijn: K«i ; de overgang (II-2) * (I) geeft: Ka2 (Debye, 1. c. p. 283). Het schijnt me echter dat de perihelium-afstand van dé ellips (II-2) kleiner is dan de straal van de ring met 2 elektronen, welke er binnen moet liggen. 11  162 systemen met meerdere elektronen. [§ 28. Men heeft nl. in de tweede konfiguratie: straal van de binnenste cirkel: e2 ai = 20'(Z—0,25)' straal van de buitenste cirkel of halve groote as van de ellips: 4 e2 . iu, z — ——— — ca. 4 Oh . 02 2 h R (Z—2) (Hier is: Z = lading van de kern; R = konstante van Rvoberg; zie Debye, l.c. p. 278, form. 8 en 9). De ellips (II-2) heeft de excentriciteit: £=]/ 1-(V2)2 =0,865; dus is de perihelium-afstand: ü2 (i—Ê) = 0,135 a-2 = ca. 0,54 a} . [De verklaring van de doublets in de Röntgenspektra, welke in de theorie van Sommerfeld' zoo mooi tot haar recht kwam, zal dus in de theorie van Debye nog groote moeilijkheden opleveren.] [4) Het bovenvermelde onderzoek van Debye is voortgezet door L. Vegard (Über die Erklarung der Röntgenspektren, Verh. Deutsch. Phys. Ges. 19, p. 328, 1917.) Vegard komt tot de konklusie dat bij de zwaardere elementen de door Debye gevonden ring van drie elektronen omgeven wordt door een ring van zeven elektronen, welke ter verklaring van de lijnen der Jtf-reeks moet dienen. Vegard geeft dan nog beschouwingen over de verdere ringen, en in een artikel volgende op het eerstgenoemde (Der Atombau auf Grundlage der Röntgenspektren, ibidem p. 344) geeft hij gedeeltelijk hierop steunende, gedeeltelijk op grond van chemische beschouwingen, een schema van de verdeeling der elektronen over de verschillende ringen voor alle elementen van het periodiek systeem. Ofschoon dit schema nog voor het grootste deel op hypothesen berust schijnt mij toch het opstellen ervan van groot nut te zijn, vooral in heuristisch opzicht. Zie in verband hiérmee § 28*.] [Ondertusschen zijn nog de volgende artikelen hierover verschenen : A. Sommerfeld, Atombau und Röntgenspektren, I. Teil, Plrjs. Zeitschr. 19, p. 297, 1918; J. Kroo, Der ersfe und zweite Elektronenring der Atome, ibidem p. 307.]'  § 28.] systemen met meerdere elektronen. 163 Verdere opmerkingen. De modellen, welke na het Waterstof-atoom het meest de aandacht waard zijn, zijn diè van Helium, Lithium en van het Waterstof-molekuul. Aan den eenen kant zijn dit de eenvoudigste atomen en het eenvoudigste molekuul, aan den anderen kant zou de kennis van deze drie modellen een inzicht kunnen verschaffen in vele eigenschappen der elementen, zooals de valentie, het wezen der chemische verbinding, de bizonderheden der metalen, enz. Op het oogenblik is hiervan nog zeer weinig bekend. Helium. Men zou kunnen vermoeden dat de beide spektra van Helium en z.g. Parhelium (zie b.v. Kayser, Handb. d. Spektroskopie V) behooren bij twee verschillende konfiguraties der elektronen: a) beide elektronen loopen in eenzelfde cirkel om de kern; b) de elektronen loopen in cirkels welke in verschillende vlakken liggen (de door Nicholson aangegeven periodieke solutie, zie § 27, B en fig. 6). [?] Vergelijk ook: J. W. Nicholson, Monthly Notiees 74, p. 439, 1914; Phil. Mag. 28, p. 90, 1914. Lithium. Zie: N. Bohr, Phil. Mag. 26, p. 487 (ongeveer), 1913. J. W. Nicholson, Phil. Mag. 27, p. 550, 1914; 28, p. 90, vgl., 1914. A. Hartmann, Phys. Zeitschr. 18, p. 14, 1917. Hartmann onderzoekt het spektrum van Lithium, en volgt een weg welke de omgekeerde is van die van Sommerpeld: uit de empirische spektraalformule tracht hij het inwendige elektrische veld te berekenen. Het door hem meegedeelde (voorloopige) resultaat is : men moet aannemen dat twee elektronen vrij dicht bij de kern zitten, terwijl het derde elektron zich op grooten afstand daaromheen beweegt. Waterstof-molekuul. Zie: N. Bohr, Phil. Mag.- 26, p. 862 of 863, 1913. J. W. Nicholson, Monthly Notiees 74, p. 436, 1914. M. Wolfke, Phys. Zeitschr. 17, p. 71 en 198, 1916. K. Glitscher, Sitz. Ber. Bayr. Akad. 1916, p. 125. P. S. Epstein, Verh. Deutsch. Phys. Ges. 18, p. 409/410, 1916. Onderzoekingen over de kleine trillingen van het systeem: zie de op bl. 155 genoemde artikelen en § 36.  [§ 28*. DE BOUW EN DE BEREKENING VAN ATOMEN MET MEERDERE RINGEN VAN ELEKTRONEN Zooals reeds vermeld is heeft L. Vegard in een artikel in de Verhandl. d. Deutsch. Physik. Gesellschaft 2i) een schema gegeven van de vermoedelijke konstitutie der elementen van het periodiek systeem. Naar aanleiding hiervan zou ik eenige punten willen vermelden welke zich voordoen bij de berekening van deze systemen. 1) In de eerste plaats doet zich de vraag voor of men moet aannemen dat alle ringen in eenzelfde plat vlak liggen. Geeft men deze onderstelling voorloopig toe (beneden zal hierop nog nader teruggekomen worden), en neemt men ook aan dat alle ringen in eerste benadering cirkelvormig zijn, dan kan men vragen naar de afmetingen van het systeem. Om een eerste approximatie te verkrijgen kan men zich de ladingen van alle naar binnen gelegen ringen in de kern gékoncentreerd denken, zoodat men slechts' de buitenste ring overhoudt, met b.v. s elektronen, welke roteeren om een kern met effektieve lading s. e. Voor de straal van deze ring vindt men: n2 Ti2 s—rrs 4 tt2 m e2 s is het aantal elektronen van de ring; n het aantal quanta van moment van hoeveelheid van beweging per elektron; ) Deze eenheden voldoen aan de betrekkingen welke door de dimensieformules verlangd worden, zooals men gemakkelijk kan verifleeren. *) Houdt men geen rekening met de beweging van de kern van het atoom, en met magnetische krachten e. d., dan is de konstante van Rydberg N de eenige experimenteele konstante welke in de formules voor de spektra voorkomt. De bewegingen in het atoom zijn overigens slechts gekarakteriseerd door geheele getallen: de kernlading, de aantallen der elektronen op de ringen, en de quantengetallen.  168 systemen met meerdere elektronen. [§ 28* Voor de berekening van de energie kan men, zoolang men slechts met de elektrostatische krachten werkt, en ook de relativistische korrekties verwaarloost, bovendien gebruik maken van de eigenschap dat voor mechanische systemen, waar de onderlinge krachten alleen bestaan in aantrekkingen en afstootingen volgens de wet van Newton-Coulomb, de totale energie gelijk is aan het tegengestelde van de gemiddelde waarde der kinetische energie 1). Daar verder volgens bl. 72: 2 T — 2 Pi co; = -Jr- 2 m co; 2 TT h ■ heelt men: 2E= — 0■— 2 m co£ l TT of wanneer alles in bovengenoemde eenheden is uitgedrukt: 2 E — — A = — S n-iWi. i) C. Gr. J. Ja.com, Vorlesungen ilber Dynamik; H. Poincaré, Méc. Cél. III, p. 279; A. Sommerfeld, Sitz. Ber. Bayr. Akad. 1915, p. 456. — Bohr gebruikt deze eigenschap in het speciale geval van iet waterstof-atoom. De eigenschap berust op de volgende onderstellingen: a) de kinetische energie T is homogeen van den 2en graad in de snelheden en is onafhankelijk van de koordinaten; b) de potentieele energie v is homogeen van den (— l)el1 graad in de koordinaten ; c) de bewegingen van het systeem zijn stabiel in den zin van definitie (1), bl. 135, zoodat men van gemiddelden van T en V kan -spreken. Dan is: 1 ~dT ■ „ ï>r 1 „ ■ , • e=t+f= 5 £—7-«i — £ ii — -ïr2-Pi,Ji+ -Pi'h'- en dus ook, wanneer men het tijdgemiddelde door een streep aanduidt: E = ^ZPi'qi+ ZPiii ■ Verder is: -jf- 2.' Q;É gi) — 2>f g\ + Zp{ gi = 0, op grond van c). Zoodat: E — — y 2p{ g. = — T. Zoodra men de relativistische termen of de magnetische werkingen, enz., in aanmerking neemt blijft de onderstelling a) in het algemeen niet gelden, waardoor ook deze eigenschap ongeldig wordt.  § 28*.] systemen met meerdere elektronen. 169 Als voorbeeld zou ik nu enkele opmerkingen willen maken over het Natrium-atoom. Volgens Vegard zijn de 11 elektronen hiervan verdeeld over drie ringen, welke van binnen naar buiten gaande resp. 3, 7 en 1 elektron bevatten; de quantengetallen voor deze ringen zijn resp. 1, 2, 2. — Men moet nu zooals boven reeds gezegd is verschillende konfiguraties van het systeem beschouwen, en het ligt voor de hand voorloopig te blijven bij de onderstelling dat alle ringen in één plat vlak liggen, en de genoemde aantallen elektronen bezitten, doch aan te nemen dat het buitenste elektron zich op verschillende cirkelvormige banen kan bewegen, met quantengetallen 2, 3, 4, ... ad inf. Deze banen vertoonen overeenkomst met die welke voor het waterstof-atoom onderzocht zijn. Om nu de krachten die de verschillende elektronen op elkaar uitoefenen nauwkeuriger in aanmerking te nemen kan men als eerste schrède aldus te werk gaan. Ondersteld wordt dat alle elektronen met eenparige snelheden langs de genoemde cirkelbanen loopen. De invloed van de elektronen van eenzelfde ring op elkaar wordt, zooals reeds boven gedaan is, in rekening gebracht door van de kernlading Z (=11) af te trekken het bedrag os (s — aantal elektronen van de ring), dat de resultante der afstootende krachten van de elektronen bepaalt. Om de invloed van de verschillende ringen op elkaar te vinden zullen de ladingen 3, 7 en 1 kontinu over de ringen verdeeld worden; men kan dan de formules toepassen voör de potentiaal en de elektrische kracht uitgeoefend door een geladen ring. Is s het aantal elektronen (en dus de lading) van de ring, R de straal, dan is de (radiale) kracht, uitgeoefend in een punt gelegen in het vlak van de ring op afstand r van het middelpunt: voor: Qi — < 1 : fL = ~'W [Tei+l6 "' + ï28"' + ---j voor: i>i ■— <. 1 : [' + !'! + &»:+&•! + -] '» ') Deze formules worden in verschillende leerboeken opgegeven.  170 SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. [§ 28*. De formules voor het Natrium-atoom worden nu, zoo men de stralen der ringen voorstelt door Ru B2, B3, de hoeksnelheden der elektronen door coi, o>2, m, en door n het quantengetal van het elektron op de 3e ring: 11 - o3 . tri Bi ' 9 Bj , J5Bj , ] ■ ~Bf h B| L"2" Ba 16 B» 128 R\ " J + R\ L 2 B3 ~ 16 R\ £ J 8_ff7 3 rSB* ,45 i2J ,175,-51, 1, "* ^ = "Ëf Bf L4 Bf 64 R* H7 256 BJ ^ J T , l/rlk , 9 B» 75 Bj , 1226 B* ] + R% L2B3+Ï6Bf + 128B|^2048Br J _ 1 3 f3 Bf , 45 Bj , 1 _ w* * ~~ Bf_ Bf L4 B, 64 BJ J 7 r3Bl,45BJ 175 Bf , 11025 Bj 1 ~~ B| L.4 B| 64 BJ 256 B| 7" 16384 B| " J Hierbij komen de quantenformules: cói BJ = 1 «2 Bf = 2 tos B| r=n De dubbele totale energie van het systeem wordt tenslotte: X = (3 CÖ! + 14 co-2 + Tl C03) Het oplossen van bovenstaande vergelijkingen moet numeriek geschieden; voor een paar waarden van n heb ik dit uitgevoerd, en gevonden: n=2 k= 382,606169 3 382,487593 4 382,440868 od Xg=z 382,378804 De bedragen 1 moeten nu, vermenigvuldigd met N, termen opleveren van de spektraalformules. Het komt hierbij ér echter op aan wat men als nultoestand aanneemt voor de vaststelling van de waarde van E; boven is genomen de toestand waarbij alle elektronen van het atoom naar het oneindige uiteengehaald zijn; het lijkt me echter meer passend om de toestand waarbij  § 28*.] systemen met meerdere elektronen. 171 alleen het buitenste elektron in het oneindige is, doch de beide binnenste ringen nog aanwezig zijn, als nultoestand aan te nemen. Men heeft dan voor de energie: l = X—Xg L = N.l u — 2 0,227365 24950 *) 3 0,108789 11938 4 0,062064 6811 De laatste rij getallen L zou nu een reeks van termen moeten voorstellen uit de spektraalformules van Natrium. In H. M. Konen, Das Leuchten der Gase und Dampfe, is opgegeven (p. 152, vgl.): VP(m) VD(m) V S(m) 24481 2) 41445 11176 12274 15706 6403 6897 8246 Een bevredigende overeenstemming met een dezer reeksen is niet aanwezig; het beste sluiten zich de waarden van L aan bij de P-termen, wanneer men tenminste de eerste term (n — 2) er bij wil nemen. Nu is bij de bovenstaande berekening evenwel slechts gelet op de gemiddelde werking der ringen; in werkelijkheid treden echter doordat de standen der verschillende elektronen ten opzichte van elkaar voortdurend wisselen, krachten op die periodiek van grootte en richting veranderen, welke veroorzaken dat de elektronen geen eenparige cirkelbewegingen uitvoeren, maar veel ingewikkelder banen beschrijven. Deze periodieke storingen blijken een belangrijken invloed te hebben op de waarde van de energie. Vooral zijn hierbij van gewicht de storingen door het buitenste elektron op de elektronen der binnenste ringen uitgeoefend. Om de werking hiervan te beoordeelen kan men een ') Een iets nauwkeurigere berekening, waarbij de waarden der verschillen l = X—i. g direkt zijn bepaald, gaf: ti = 2 : l— 0,227368 L — 24950,7 3 0,108791 11938,4 4 0,062057 6809,9 De verschillen met de bovengegeven waarden zijn dus gering. *) Hier is het gemiddelde genomen van de beide P-reeksen (de P-termen zijn douhlets, wat samenhangt met de dupliciteit van de lijnen der hoofdreeks van Natrium).  172 SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. [§ 28*. koordinatensysteem invoeren, dat b.v. ronddraait met de hoeksnelheid to2 van de tweede ring. Ten opzichte van dit koordinatensysteem is de gemiddelde beweging van de elektronen der tweede ring nul; het buitenste elektron heeft de hoeksnelheid co3—co2 . Men ziet gemakkelijk in, dat onder den invloed van de afstooting van het buitenste elektron, welke van de orde is, elk elektron van de tweede ring een kleine ellips moet beschrijven, .met de frequentie f'b=wa—m ; de ^fazen dezer bewe- gingen verschillen voor de opvolgende elektronen _ 1). Aan den anderen kant blijkt de invloed van de tweede ring op het buitenste elektron veel geringer te zijn; doordat deze ring 7 elektronen bevat, hebben de storingen een zeven maal zoo groote frequentie en zijn ze eerst van de orde R\IR\ . Analoge opmerkingen gelden met betrekking tot de eerste ring. Om deze storingen te berekenen lijkt het mij het beste de methode der onbepaalde koefficienten te gebruiken. Men ontwikkelt de bewegingsvergelijkingen in reeksen, en substitueert dan voor de koordinaten der elektronen reeksontwikkelingen van den vorm: Ti = R + « cos {Qi — Qn) + • • • • (fi = Qi + ^ sin (Qi —.Qn) + waarbij men het aantal der termen kan kiezen in verband met de storingen die men in rekening wil brengen, en met de nauwkeurigheid die de berekening vereischt. De P's zijn de stralen der gemiddelde cirkelbanen; de Q's de „middelbare anomalieën" der elektronen2), met de frequenties (middelbare bewegingen): (°i> w2> (°s; de a's en (3's zijn konstanten. Voegt men deze uitdrukkingen in de op nul herleide vergelijkingen in, en stelt men de konstante gedeelten en de koefficienten der verschillende goniometrische termen gelijk nul, dan vindt men vergelijkingen voor deze onbekenden. Hierbij komen nog de drie quantenvoorwaarden (zonder welke het probleem onbepaald zou zijn), die een anderen vorm krijgen dan eerst: op grond van de algemeene vergelijking van bl. 47 luiden ze: , i) Men moet hierbij rekening honden met de CVio&s-krachten, daar met een roteerend koordinatensysteem gewerkt wordt. *) Qll heeft betrekking op het buitenste elektron.  § 28*.] systemen met meerdere elektronen. 173 2n ( dQu . 51 Pi = nk c 0l? — nk 111 de gebruikte eenheden. 2 Tt J | ö <4k Zn Berekent men deze uitdrukkingen, dan krijgt men behalve de hoofdterm oxR2, termen welke de storingskoeffieienten «, ... bevatten. Berekeningen hierover heb ik onderhanden; door hun groote bewerkelijkheid is het mij echter nog niet gelukt ze tot een einde te brengen. Een bizonderheid dient hier echter nog vermeld te worden: de periode en de grootte van de storingen hangt er van af of de bewegingsrichting van het buitenste elektron dezelfde is als die van de binnenste ringen (voorloopig onderstellende dat de twee binnenste ringen steeds in dezelfde richting rondloopen) of er tegengesteld aan is. Dit heeft tengevolge dat men voor elke waarde van n twee bewegingstoestanden, en dus twee termen van de spektraalformule vindt. Het is mogelijk dat dit de verklaring zou kunnen zijn van de dupliciteit der P-termen, welke de dupliciteit van de lijnen der hoofdreeks van Natrium veroorzaakt. Over de orde van grootte van het verschil kan ik echter nog niet oordeelen; uit de voorloopige berekeningen lijkt het mij grooter te worden, dan met de waarnemingen zou overeenkomen. Bij deze berekeningen zal men verder nog in aanmerking moeten nemen: de beweging van de atoomkern (tenminste bij de lichtere elementen); de relativistische korrekties en de magnetische werkingen die de elektronen op elkaar uitoefenen. Wat de relativistische korrekties betreft, deze lijken me van dezelfde orde van grootte te zijn als bij het waterstof-atoom. Ze zijn wel groot voor de beide binnenste ringen, maar de invloed hiervan valt grootendeels weg, doordat men slechts de verschillen l ~ X—hg behoeft te kennen. Met de magnetische werkingen zal het vermoedelijk evenzöo zijn. (Zie in verband hiermee ook het onderzoek van Sommerpeld, vermeld in § 28.) Neemt men de relativistische en de magnetische korrekties in aanmerking, zoo wordt de berekening zeer veel lastiger, doordat de op bl. 168 vermelde eigenschap dan niet meer geldt. Men kan nu verder nog aannemen dat de banen der elektronen elliptisch zijn, of dat ze niet alle in één plat vlak liggen. Wat het eerste betreft, elliptische banen zullen aanleiding geven tot groote moeilijkheden bij de berekening, daar de door de quantenformules  174 systemen met meerdere elektronen. [§ 28* bepaalde excentriciteiten in het algemeen groot zijn *), zoodat de afstanden der elektronen tot elkaar sterk veranderen. Zelfs kan het gebeuren, dat de banen door elkaar heen zouden gaan. (Zie de opmerking op bl. 161.) Cirkelvormige banen in verschillende vlakken geven niet zulke groote moeilijkheden 2). Men kan b.v, aannemen dat de twee binnenste ringen steeds in hetzelfde vlak liggen3) en dat het baanvlak van het buitenste elektron ten opzichte hiervan helt. De hellingshoek wordt dan door quantenvoorwaarden bepaald. Is M het totale moment van hoeveelheid van beweging van het systeem, mi dat van alle elektronen der binnenste ringen samen, 7ïi2 dat van het buitenste elektron alleen, en is i de hoek tusschen mx en m.3, wat men in eerste benadering kan nemen voor de hoek tusschen de baanvlakken, dan is: JHf2 = mf"4- m| + 2 mi m2 cos i. M is een konstante, en is gelijk aan een geheel aantal quanta 4); mi en m2 zijn niet exakt konstant; hun gemiddelde waarden moeten echter op grond van de ingevoerde quantenformules ongeveer zijn: mi = 3 .1 + 7 . 2 = 17 ma —n Zoodat de hellingshoek bepaald is door: M2—m?—mi cos l = ~ —r- 2 m\ m-2 Is b.v. n = 2, dan kan M varieeren van 19 tot 15; er zijn dus 5 verschilleride standen mogelijk, waarvoor: i) Vergelijk voor het waterstof-atoom hl. 82; de verhouding bja van de assen der elliptische haan is gelijk aan het quotiënt van twee quantengetallen. >) Voor de ontwikkeling der z.g. „storingsfunktie" voor deze banen zie men: Encycl. der Math. Wiss. VI, '2, 13, H. v. Zeipel, Die Entwicklung der Störungsfunktion, speciaal p. 577 en vgl. ') Het is duidelijk dat de elektronen van de binnenste ringen zich niet exakt in een plat vlak zullen bewegen. Men kan evenwel op elk oogenblik een vlak aanwnzen, waarvan gedurende korten tijd de bewegingen zoo weinig mogelijk afwijken. Met het baanvlak van het buitenste elektron wordt het oskuleerende vlak bedoeld, zooals dat in de astronomie beschouwd wordt. Deze vlakken staan niet vast in de ruimte, doch veranderen van stand (precessie- en nutatiebewegingen om de as van het totale moment van hoeveelheid van beweging). *) Zie bl. 71.  § 28*.] systemen met meerdere elektronen. 175 %— 0° 63° 93° 123° iao°. Dit vergroot het aantal mogelijke banen nog meer. 3) Invloed van een magnetisch veld. Zoo men zich beperkt tot termen van den len graad in de veldsterkte, en de kern van het atoom als vast staand beschouwt, kan men den invloed van een uitwendig magnetisch veld op het systeem gemakkelijk in rekening brengen. Zijn Xi,yi, ti de rechthoekige koordinaten der elektronen, u< ,Vi,Wi de hoeveelheden van beweging, en is het magnetisch veld volgens de z-as gericht, dan is, in analogie met de formules van bl. 104, de funktie van Lagrange voor het systeem: l = 2 X & + »ï + i\) - !>■ - ? f*tt - VU*) en de funktie van Hamilton: 2 m i g ü waarin: y = ~ , en £i = potentieele energie. 2 m c Door middel van de kontakttransformatie: | W — %\ Ui (xi cos y t—yi sin r t) -f Vt (a* sin / < + y{ cos y t) + PFj z< J d W 1>W I Xi = —, enz.: Ui = — , enz. 1 .d Ui oxi kan men overgaan op het "systeem X Y Z, dat ten opzichte van het' eerste met konstante snelheid — y om de z-as roteert. Dan wordt de funktie van Hamilton x) : K(XYZUV W) = H— d-~z= = H-yMs = ^X(Ul+V\+W\)-r-Si(XYZ) 2 m i ') Zie E. T. "Whittaker, Anal. Dynamics, p. 354.  176 systemen met meerdere elektronen. [§ -28*. (Ms is het moment van hoeveelheid van beweging van het systeem om de z-as). Beschrijft men dus de bewegingen met de variabelen XYZU V W, dan worden de vergelijkingen dezelfde als die welke gelden voor de variabelen xyzuvw bij afwezigheid van het magnetisch veld, wat een bekend resultaat is. De quantenvoorwaarden voor de bewegingen in het magnetisch veld, beschreven met eerstgenoemde variabelen, zullen dus ook dezelfde zijn als die voor de bewegingen buiten het veld, beschreven met het tweede stel variabelen. Als extra quantenvoorwaarde zal men nu echter nog moeten aannemen dat het moment van hoeveelheid van beweging Ma om de z-as (welke de richting van het veld aangeeft) gelijk is aan een geheel veelvoud van hj2n (in de gewone eenheden uitgedrukt). Heeft men dus voor het systeem bij afwezigheid van een magnetisch veld verschillende quantenbewegingen gevonden met energieën: E\, E2, E3 , dan vindt men bij aanwezigheid van het veld dezelfde bewegingen gekombineerd met een eenparige rotatie om de veldrichting. Bij deze bewegingen heeft E (XYZUVW) de waarden Eu E2, Es, ; de energie van het systeem is dus: E = H = K+yMz = Ei +n'0 Z TC De invloed van het magnetisch veld op de spektraallijnen is dus, bij de gebruikte graad van nauwkeurigheid, dezelfde als bij het waterstof-atoom, zoodat ook hier geen middel schijnt te zijn om het anomale zeeman-effekt te verklaren. 4) Voor chemische beschouwingen in verband met deze modellen wordt verwezen naar het artikel van Vegard.]  § 29. OPMERKING OVER DE QUANTENTHEORIE VAN ROTEERENDE MOLEKULEN. Voor de theorie der soortelijke warmte van meeratomige gassen is het noodig behalve de translatie-beweging der molekulen ook hun inwendige bewegingen te kennen. In de eerste plaats komt hierbij in aanmerking de rolatie van het molekuul als geheel; verder de trillingen van de atoomkernen ten opzichte van elkaar. Ofschoon het niet algemeen bewezen is kan men met vrij groote zekerheid het vermoeden uitspreken dat de snelle bewegingen der elektronen bij gewone temperatuur zoo weinig energie opnemen, dat hun bijdrage in de soortelijke warmte te verwaarloozen is 1). De rotaties der molekulen zijn verder van groot belang voor de theorie van het magnetisme, voor de theorie der bandenspektra, enz. De behandeling van roteerende molekulen in overeenstemming met de theorie der quanta is voornamelijk bestudeerd door P. Ehrenfest, K. Schwarzschild en P. S. Epstein; eenigszins terzijde hiervan staat een studie van F. Krüger a). ') Men zie b.v. K. F. Herzfeld, Znf Statistik des Bohr'schen Atommodells, Ann. d. Phys. 51, p. 261, 1916. (Cf. heneden § 42.) Men denke verder aan de theorie der soortelijke warmte van een ensemble van harmonisch trillende oscillatoren (Planck); big een bepaalde temperatuur is de energie-inhoud en de soortelijke warmte des te kleiner, naarmate de frequentie hooger is. *) P. Ehrenfest, Verh. Deutsch. Phys. Gres. 16, p. 451, 1913. — K. Schwarzschild, Sitz. Ber. Berl. Akad. p. 564, 1916. — P. S. Epstein, Verh. Deutsch. Phys. Gres. 18, p. 398, 1916. — Het verband van het werk van _E. Krüger (Ann. d. Phys. 60, p. 346,1916; 51, p. 450, 1916) met dat van Sohwarzschild en Epstein zal heneden (opm. 1) besproken worden. Verder dient gewezen te worden op een onderzoek van Planck (Ann. d. Phys. 50, p. 412, 1916). Planck volgt een geheel andere methode, en komt ook tot een andere quantenformule. De door hem gebezigde methode schijnt mij echter' toe niet eenduidig te zijn; ik meen dat men met behulp van een analoge redeneering als de zijne ook tot de formules van Schwarzschild en Epstein kan komen. 12  178 SYSTEMEN MET MEERDERE ELEKTRONEN. [§ 29. Enkele uitkomsten van hun onderzoek zullen hier kort vermeld worden. Men neemt aan dat het molekuul als een vast lichaam beschouwd mag worden, zoodat de trillingen der atoomkernen e. d. ten opzichte van elkaar verwaarloosd worden i). Men heeft dus te doen met het probleem der beweging van een asymmetrische of een symmetrische tol, welke niet door uitwendige krachten wordt beïnvloed. Het blijkt dat men voor de bewegingsvergelijkingen een oplossing kan vinden, uitgedrukt met behulp van hoekvariabelen, en men kan aantoonen dat er slechts twee hoekvariabelen zijn tusschen welker middelbare bewegingen geen rationale betrekking bestaat. Dit geldt zoowel voor de asymmetrische als voor de symmetrische tol, en volgt uit de algemeene eigenschappen der PoiNSOT-beweging 2). In het volgende zal de afleiding der formules gegeven worden voor een symmetrische tol; voor de asymmetrische wordt verwezen naar het geciteerde artikel van Epstein. i) Vergelijk met betrekking tot het waterstof-molekuul beneden opm. 2. ï) De PoiNSOT-beweging kan beschreven worden als de beweging van een ellipsoïde, waarvan het centrum vast is, en dat zonder glijden langs een vast vlak rolt. Het probleem vertoont een formeele analogie met de relativistische KEPLER-beweging, waarbij het baanvlak vast staat. Evenals bij de ÜEPi.ER-bewe-  § 29.] systemen met meerdere elektronen. 179 Als koordinaten worden gebruikt de hoeken van Euler: 1/1, op (zie fig. 8). De funktie van Hamilton wordt, hierin uitgedrukt: Viv 7>ü (p,„ — V«, cos &)2 2A^2C'^ 2.4 sin2 # y ' Pas hierop de kontakttransformatie toe, bepaald door: p&=* Wh& , enz.; Qk = * %pk , enz (23) w=ƒd*]/p7-pi -{P* ~^f W+r^+Ps cos van 0 tot 2 tc. Dit geeft: 5 Derhalve: /ie = jeb1. 3) Deze waarde van b volgt uit de quantenformules voor het model met behulp van de bekende waarden van e, m en h. t) Keesom onderstelt dat de quadrupool bestaat uit 2 positieve ladingen e op afstand d van elkaar, en midden tusschen beide een lading — Ie. 1 c Dan is: )ie = — ed*, waaruit: rf = 0,92A. E.  § 30.] systemen met meerdere elektronen. 187 Bij de berekening van Keesom is echter aangenomen dat het molekuul als bolvormig mag worden behandeld; voor de diameter wordt uit de experimenteel gevonden waarde van de viriaalkoefficient berekend: 2,32.10-8 cm. Dit sluit niet aan bij het model van Bohr en Debye ; de afstand der kernen in het laatste is 0,586.10-8 cm; die der elektronen: 1,014.10-8 cm *). 3) In verband met het bovenstaande kan men de vraag opwerpen : hoe werken in het algemeen verschillende mechanische systemen op elkaar in, wanneer in beide de bewegingen door quantenvoorwaarden gebonden zijn? Zie hierover een opmerking in § 38 (bl. 238). 4) Voor zoover mij bekend is heeft men het model van Rutherford en Bohr nog niet gebruikt ter verklaring van de eigenschappen van vloeistoffen en vaste lichamen. Echter dient nog wel vermeld te worden een artikel van J. F renkel a) over de elektrische eigenschappen van metalen en diëlektrika. Frenkel beweert op grond van het atoommodel dat aan het oppervlak van elk metaal een elektrische dubbellaag zetelt, welke een „inwendige potentiaal" van het metaal teweegbrengt, en ook een oppervlakte-spanning geeft. De verschillen in deze inwendige potentiaal bij verschillende metalen bepalen de kontakt-potentialen die optreden wanneer twee metalen elkaar aanraken. Frenkel voert een aantal berekeningen door, en vindt met zijn theorie tennaastenbij de volgorde der metalen in de elektromotorische spanningsreeks3). [Eenige problemen uit de theorie der vaste lichamen in verband met de atoommodellen van Bohr zijn behandeld door Prof. H. A. Lorentz op zijn kollege van 1917/18. Naar aanleiding daarvan zou ik het volgende willen vermelden. Het ligt voor de hand om te onderstellen dat de atoomkernen ') Interessante problemen in verband met de toestandsvergelijking zijn b.v. ook: uit het atoommodel de kritische temperaturen van waterstof en Helium af te leiden. Verder te verklaren waarom waterstof zich bij lage temperaturen als een éénatomig gas gedraagt (zie o. a. de geoiteerde artikelen van Keesom). Gedeeltelijk hangt dit samen met de theorie der soortelijke warmte van waterstof, en met de precessie-trillingen van het waterstof-molekuul, welke bij lage temperaturen zeer gering worden. *) J. Frenkel, Phil. Mag. 38, p. 297, 1917. 3) Zie over de kontakt-potentialen ook: E. A. Millikan, Phys. Zeitschr. 17, p. 217, 1916 (Phys. Rév. 4, p. 73, 1914; 6, p. 55, 1915).  188 systemen met meerdere elektronen. [§ 30. met het grootste deel der elektronen in de hoekpunten van het kristalraster staan, terwijl waarschijnlijk enkele elektronen, die misschien banen om de verbindingslijnen der kernen beschrijven, de binding tusschen de verschillende atomen zullen vormen, zooals dit ook het geval is in het model van het waterstofmolekuul. Het is niet onmogelijk dat men hiermee de bekende elasticiteits-eigenschappen der materie kan verklaren. Volgens de berekeningen van Rubinowicz x) is het waterstofmolekuul stabiel tegenover een verandering van den afstand der kernen, en wel is de elastische kracht: ƒ=— 1,35.106 8 b dyne, waar ö b de verandering van den afstand b der kernen aangeeft. De elasticiteitsmodulus is dus: K\= — b 'IJsz 0,586.10-s.l,35.106 = 0,0079. Denkt men zich een laagje bedekt met waterstof-molekulen, welke alle met de as loodrecht op de laag staan, in een kwadratisch net op afstanden van b.v. 2 A. E., dan is de elasticiteitsmodulus per cm2 (waarop zich 25.101* molekulen bevinden): E— 25.10» . Ex = 1,98.1013 dyne/cm2 = ca. 2.107 KG/cm2. Dit is van de orde van grootte der elasticiteitsmoduli van vaste stoffen (staal: ca. 0,2.107 KG/cm2).] ') Zie A. Rubinowicz, Phys. Zeitschr. 18, p. 187, 1917.  HOOFDSTUK V. VERSCHILLENDE PROBLEMEN DIE MET DE THEORIE VAN BOHR IN VERBAND STAAN. In dit hoofdstuk zullen enkele bizondere punten van de theorie van Bohr vermeld worden, welke in verband staan met de uitstraling van licht en met de magnetische eigenschappen der atomen, o. a. met het doel te wijzen op eenige der moeilijkheden welke nog onopgelost zijn. § 31. DE TEGENSTELLINGEN TUSSCHEN DE HYPOTHESEN VAN BOHR EN DE ELEKTRONENTHEORIE Zooals reeds is opgemerkt zijn de bij de berekeningen over de atoommodellen gevolgde methoden op verschillende punten niet in overeenstemming met de elektronentheorie. Gedeeltelijk zijn er principieele tegenstellingen tusschen de opvattingen van de theorie van Bohr en die van de klassieke theorie; aan den anderen kant echter moeten sommige dèr gemaakte onderstellingen beschouwd worden als slechts te dienen ter voorloopige vereenvoudiging van de problemen, welke later door een meer exakte behandeling moet worden vervangen. De grens tusschen deze twee groepen kan men niet scherp aangeven. Volgens de elektronentheorie ondervindt een elektron dat een niet eenparig rechtlijnige beweging heeft, een zeer gekompliceerde reaktie van het elektromagnetische veld 2). Men kan voor ') [N.B. Deze ij is bij de uitgave eenigszins omgewerkt.] ') Zie H. A. Lorentz, The Theory of Eleotrons (Leipzig 1915), p. 48, 49. M. Abraham, Theorie der Elektricitat (Leipzig 1905), p. 121, vgl. G. A. Schott, Electromagnetic Radiation (Cambridge 1912), p. \285—261, waar exakte uitdrukkingen voor de reaktie van het veld op het elektron gegeven zijn, en de beteekenis der verschillende termen onderzocht is.  190 verschillende problemen die met db [§ 31. deze reaktie een reeksontwikkeling afleiden, voortschrijdende naar de afgeleiden van de snelheid en naar de opklimmende machten hiervan, welke reeks te schrijven is in den vorm: F = -G + K (1) (F, G en K moeten hier, evenals ook beneden de snelheid v, opgevat worden als vektoren). Hier zijn in G de termen vereenigd welke slechts de versnelling v in den eersten graad (en geen hoogere afgeleiden van v) bevatten; G is de z.g. hoeveelheid van beweging van het elektromagnetische veld. Voor een in den toestand van rust bolvormig elektron dat slechts aan de oppervlakte geladen is, en dat overeenkomstig de onderstelling van Lorentz, zoo het in beweging is afgeplat wordt in de bewegingsrichting / v2\! in de verhouding (1— J 2, heeft G de waarde: G= f-f v(l-^Vi (2) waar a de straal van het elektron in den toestand van rust is. De overige termen van de reeks zijn in K vereenigd; de eerste en voornaamste ervan is: ^=IP' De bewegingsvergelijking voor een elektron waarop een uitwendige kracht Fe werkt, luidt dus, zoo men in verband met de opvattingen der elektronentheorie aan het elektron geen „ware" ' massa toekent: Fe = —F = G— K (1*) Men kan nu G ook opvatten als de hoeveelheid van beweging van het elektron; de koefficient: Ö Q * fïh (4) 3 c^a w in formule (2) geeft dan de grootte van de (elektromagnetische) massa. Het gedeelte van Fe dat aan G gelijk is dient ter vergrooting van de energie van het elektron ]); het andere ge- ') Vergelijk in verband hiermee: H. A. Lorentz, The Theory of Electrons, p. 213 en Versl. Akad. Amsterdam XXVI, p. 989, 1917.  § 31.] theorie van bohr in verband staan. 191 deelte, — K, doet zich in vele gevallen voor als de kracht noodig om een weerstand te overwinnen die de beweging van het elektron ondervindt door de reaktie van het eigenveld, en houdt verband met de energie die naar het oneindige wordt uitgestraald. Men vindt nl. voor de arbeid door dit gedeelte geleverd: ƒ (_ K] v)d< = - | J (v ») | * + j>df (5) waarin: S=H »2 (6) de3 v ' de per tijdseenheid naar het oneindige uitgestraalde energie is. De eerste term van vergelijking (5) verdwijnt in vele gevallen, b.v. bij een periodieke beweging (bij een quasi-periodieke is ze evenmin van belang). De tweede term is steeds positief, en geeft dus een verlies van arbeid aan 1). In de theorie van Bohr wordt aangenomen dat de uitstraling S en de kracht K niet bestaan. Alleen de traagheidsterm G wordt behouden. Praktisch komt dit laatste hierop neer dat men aan het elektron een massa m toekent; volgens de formules der relativiteitstheorie is dan de hoeveelheid van beweging steeds gegeven door: / v2\ 1 G = mv(^l-^J-¥ . (2*) onverschillig of men m beschouwt als elektromagnetische of als „ware" massa. De kracht die het elektron ondervindt van een uitwendig elektromagnetisch veld wordt op de gewone wijze in rekening gebracht, waarbij steeds ondersteld is dat het elektron als een punt mag worden behandeld; ze is dan gegeven door: ') Vergelijk H. A. Lorentz, The Theory of Electrons, p. 49. Zie ook G. A. Schott, 1. c. Indien er meerdere bewegende ladingen in het systeem zijn wordt de uitstraling hoofdzakelijk bepaald door g-j (2e v)1 . (Zie 0. W. Richauiison, The Electron Theory of Matter, Cambr. 1914, p. 258). Zijn er dus in een atoom meerdere elektronen, symmetrisch ten opzichte van de kern gerangschikt (b.v. in een ring), dan is de uitstraling zeer gering. Men vergelijke hieromtrent J. J. Thomson, Phil. Mag. 6, p. 681, 1903 (zie noot *), bl. 4, boven) en G. A. Schott, l.c. p. 103.  192 verschillende problemen die met de [§ 31. f=-«|E + ^[vM]j (7) Men kan dit ook samenvatten, zooals reeds in § 6 gedaan is, door als funktie van Lagrange voor het elektron aan te nemen: L = -mC2||/l-5-lj+e|qP--J (va)j .... (8) waar «j en a de potentialen van het uitwendige veld zijn (de lading van het elektron is — e) Allerlei andere problemen, zooals b.v. de rotatie van een elektron, de retardeering der potentialen welke zich doet gevoelen indien meerdere elektronen, of elektronen en atoomkern, zich bewegen, zijn voor zoover mij bekend is nog niet in verband met de theorie der quanta beschouwd. Ook de magnetische werkingen die de verschillende deelen van een atoom op elkaar kunnen uitoefenen zijn nog slechts onvolledig nagegaan. . Er dient hier nog op de volgende twee verhandelingen gewezen te worden: 1) Th. V. Wereide, Maxwells Gleichungen und die Atomstrahlung, Ann. d. Phys. 52. p. 276, 1917. Wereide meent te kunnen aantoonen dat de gewoonlijk gegeven afleiding van de formule (6) voor de uitstraling foutief is, en dat deze formule vervangen moet worden door: ., ' wf .•» Voor een cirkelbeweging is volgens formule (6) S > 0; volgens (9) is Sw = 0: volgens Wereide zou een atoom dat met een eenparige snelheid in een cirkel loopt geen energie uitstralen. De door Wereide vermelde en gekritiseerde afleiding der formule (6) is echter niet de eenige welke hiertoe dienen kan; door Prof. Lorentz is een meer algemeene gegeven 2), en het schijnt mij toe dat deze volkomen tegen de kritiek van Wereide bestand is. — De afleiding van formule (9), door Wereide voorgesteld, schijnt me echter geheel onhoudbaar; men zou met meer ') Zie bl. 28. — De magnetische veldsterkte is hier door M aangeduid. s) Theory of Electrons, p. 255, vgl.  § 31.] theorie van bohr in verband staan. 193 recht tegen haar het bezwaar kunnen aanvoeren, dat Wereide zelf tegen de afleiding van (6) meende te moeten inbrengen. 2) C. W. Oseen, Das BoHR'sche Atommodel und die MaxWELi/schen Gleichungen, Phys. Zeitschr. 16, p. 395, 1915. Oseen komt na een lange berekening — die ik niet heb kunnen nagaan — tot het resultaat (1. c. p. 403): Wanneer men een mpdel van het waterstof-atoom volgens Bohr met een zoodanige bol wil omgeven dat de vergelijkingen van Maxwell daarbuiten als geldig beschouwd kunnen worden, en wanneer de krachten die een elektron in een atoom uitoefent beperkt zijn op de elektrostatische en de daarbij behoorende magnetische kracht, moet de straal van de bol grooter zijn dan 10-4 cm. In waterstofgas is de gemiddelde afstand der atomen ca. 10_G cm; hierin zou dus nergens een eenigermate samenhangend gebied zijn waarin de vergelijkingen van Maxwell geldig zijn. Oseen geeft nog een diskussie van zijn resultaat en spreekt als eindstelling uit dat het onmogelijk is het atoommodel van Bohr met de elektronentheorie van Lorentz te vereenigen. M. Planck heeft een vorm van de quantentheorie voorgesteld waarin wordt aangenomen dat de emissie van energie dïskontinu, de absorbtie daarentegen kontinu kan geschieden. Het is duidelijk dat hierdoor de tegenstrijdigheden met de elektronentheorie niet worden opgeheven. Zie over deze theorie van Planck beneden § 35. 13  § 32. VERBAND TUSSCHEN DE BEIDE HYPOTHESEN DER QUANTENTHEORIE. In de theorie van Bohr kunnen de systemen dishontinu energie uitstralen; daarbij is de frequentie der uitgezonden trillingen gegeven door de formule: cc^-a^ Q) ft (zie bl. 33). Tusschen deze formule en de formules die de quantenbewegingen bepalen (zie hoofdstuk II, § 10), bestaat het volgende verband: Zij de energie van het systeem uitgedrukt als funktie der quantengetallen m, n%, nk: a — a (ni, ri2 fik) Dan zijn de frequenties der bewegingen in het systeem gegeven door: %l'^r -(11) h oni terwijl in het algemeen ook alle boventonen en kombinatietonen hiervan voorkomen (zie opmerking III, bl. 45). De „licht-frequenties" die het systeem kan uitzenden bij het overspringen uit den eenen toestand in een anderen zijn: "=l^........(12) Indien de quantengetallen groot zijn kan men in het algemeen aannemen dat approximatief: Aa = X4^~-Ani+(13) is.  § 32.] theorie van bohr in verband staan. 195 Dus zijn dan de frequenties ve in eerste benadering dezelfde als de frequenties *{ van het systeem; of hun boventonen en kombi/natie-. tonen 1). Hiervan is door Bohr in een speciaal geval gebruik gemaakt bij het opstellen der emissie-hypothese 2). Andere formuleering. Indien de energie wordt uitgedrukt als funktie der intensiteitskonstanten P\,P2... (welke met de quantengetallen samenhangen door de betrekking: n-i h — lir PJ), vindt men voor de frequenties der bewegingen in het systeem: L TT 0 1 { en voor de lichtfrequenties die het systeem kan uitzenden bij het overspringen uit den eenen toestand in den anderen: = 2>iA»i-''| - | . (12b) Beschouwt men nu voor een oogenblik h als een grootheid welke men willekeurig klein kan laten worden, dan gaat formule (12b) voor Lim. h=-0 over in: Lim. ve = V v{. A m (14) h = 0 In dit geval zijn de uitgezonden lichtfrequenties dezelfde als of de boven- of kombinatietónen van de frequenties in het systeem: de formules van de quantentheorie gaan over in die van de klassieke theorie 3). ') Het eenvoudigste voorbeeld is een resonator van Planck; hier is: a = n h v; dns is de „licht-frequentie" die de resonator volgens Bohr kan / emitteeren: »« — (», —nt)v-=v of een geheel veelvoud ervan. Zie ook § 14, ' bl. 58. l) K. Bohr, Phil. Mag. 26, p. 12/13, 1913. 3) Het is duidelijk dat het bovenstaande niet mag worden toegepast indien de funktie « singulariteiten vertoont, zoodat ze niet in een reeks ontwikkeld kan worden. Dit is echter slechts bij uitzondering bij mechanische systemen het geval.  196 VERSCHILLENDE PROBLEMEN DIE MET DE [§ 32. Opmerking. Zooals reeds in noot x) op de vorige bladzijde vermeld is zijn er gevallen waarin de energie « een lineaire funktie is van de quantengetallen, en waarin bovenstaande betrekkingen voor alle waarden der quantengetallen exakt gelden; zie hierover bl. 58.  § 33. THEORIE VAN EINSTEIN OVER DE WAARSCHIJNLIJKHEID VAN DE UITSTRALING EN ABSORBTIE VAN ENERGIE. Einstein j) heeft de volgende hypothesen opgesteld in verband met het stralingsproces: a) Toeslandsverdeeling der systemen. Aangenomen wordt dat een systeem slechts in die toestanden kan voorkomen, welke voldoen aan de quantenformules (andere toestanden komen dus niet voor). Zij de energie van het systeem in een toestand Zs (gekarakteriseerd door de waarden: n\s , n^s, ...nks der quantengetallen): «s. In een ensemble van een zeer groot aantal N van dergelijke systemen dat in thermisch evenwicht is met een stralingsveld zal een bepaalde toestandsverdeeling ontstaan; de relatieve waarschijnlijkheid van een toestand Zs wordt gelijkgesteld aan: «S i . Ws = gs .e~~^ (15) waar gs een z.g. „gewichtsfunktie" is, in het algemeen een funktie der quantengetallen (doch onafhankelijk van de temperatuur T). Deze formule kan opgevat worden als een uitbreiding van de formule van Maxwell-Boltzmann in de klassieke statistika (zie ook hoofdstuk VI). b) Uitstraling. ■ De waarschijnlijkheid dat een systeem in den tijd dt uit den toestand Zr in den toestand Zs overspringt onder emissie van de energie ar — «s als lichttrillingen van de frequentie vrs, buiten invloed van uitwendige oorzaken, zij: d W=Asr.dt (16) Einstein merkt op dat deze formule herinnert aan die welke voor de radioaktieve processen geldt 2). ' ') A. Einstein, Verh. Deutsch. Phys. Ges. 18, p. 318, 1916; Phys. Zeitschr. 18, p. 121, 1917. J) Vergelijk de opmerking in noot '), bl. 130.  198 verschillende problemen die met de [§ 33. c) „Instraling". Bevindt eén systeem zich in een stralingsveld met de energiedichtheid q (v), dan kan het systeem onder invloed der straling energie opnemen of uitzenden. 1) „Positieve instraling". Het systeem gaat uit den toestand Zs over in Zr en neemt daarbij uit het veld op de energie —«s, afkomstig van trillingen met de frequentie vrs. De waarschijnlijkheid hiervoor is: d W= Brs.Q(vrs).dt (17) 2) „Negatieve instraling". Even goed kan het systeem onder invloed van de straling uit den toestand Zr in Zs overgaan, onder emissie van energie. Waarschijnlijkheid: d W=Br.Q(vrs).dt (18) Deze hypothesen over het stralingsproces zijn opgesteld naar analogie van het gedrag van een resonator op grond van de klassieke theorie. Uit bovenstaande formules heeft Einstein op eenvoudige wijze de formule van Planck voor de verdeeling der energie over het spektrurn der zwarte straling afgeleid. Is nl. een ensemble van systemen in evenwicht met een stralingsveld, dan moet: gs.e~ 'l*lk T. Bl . q (vrs) = gr.c W? f&B?'. Q („„) + A*r\.. . (19) zijn. Hieruit volgt: Al ?KS)= ' ((f;„s (20) 9jJke'^ _i gr Br Neemt men nu aan dat: a) bij hooge temperaturen de dichtheid der energie p (v) oneindig wordt; b) dat de verschuivingswet van Wien geldt; dan moet zijn: gs.Brs = gr Bsr (I) «r — as — h vTS ' (II) Asr\Bsr = G vrs (III) waarin h en c universeele konstanten zijn.  § 33.] theorie van bohr in verband staan. 199 Hierdoor gaat (20) over in: k T -I e — 1 Meer bevredigend zou het zijn indien de drie betrekkingen (I), (II), (III) uit de quantentheoriè waren afgeleid. (II) kan onmiddellijk worden -ingevoerd als de emissie-hypothese van Bohr; om tot (I) en vooral om tot (III) te komen zal men echter nadere onderstellingen moeten invoeren omtrent de waarschijnlijkheid van het overspringen, enz. Opmerkingen. 1) Vergelijkt men formule (20) of (21) met de formule van Planck1), dan blijkt dat: Asr\Br = 8nh ^/c3 = 8 n h/Xs (IHa) 2) Het is interessant na te gaan wat de verhouding o is tusschen de „vrije straling": Ar . dt, en de „gedwongen straling" :Bsr.g.dt. De formules (20) en (21) geven: ff = ^/^=/,'/^'-l (IV) Voor een absolute temperatuur T=1500° vindt men voor: l — 100 ,u , = 3.1012 (ultrarood): n = ca. 0,1. a = 6000A.E., *- = 5.10u{geel) : d = ca. 107. l — lk. E. , v — 3.1018 (R. str.) : c = ca. 1042000. ') M. Planck, Die Theorie der Warmestrahlung, Leipzig 1913, p. 162.  § 34. VERSCHILLENDE OPMERKINGEN OVER DE EIGENSCHAPPEN DER „STRALENDE ENERGIE". In nauw verband met de emissie-hypothese der quantentheorie staan een aantal problemen over de energie der lichtstraling, b.v. de vraag of er werkelijk „lichtquanten" bestaan; het fotoelektrisch effekt; één-lijn-spektra, en vele andere. Enkele dezer problemen zullen hier kort vermeld worden; het gegeven overzicht is echter zeer onvolledig. a) De onderstelling dat „lichtquanten" met energie e = hv een werkelijk bestaan hebben is o. a. door Einstein besproken 1), in verband met statistische onderzoekingen over de warmtestraling, het foto-elektrisch effekt, e. d. Experimenteele onderzoekingen over de ionisatie door Röntgenstralen hebben Bragg tot hetzelfde resultaat geleid 2). Zooals bekend is levert deze opvatting groote moeilijkheden zoo men de gewone optische verschijnselen (breking, terugkaatsing, interferentie, enz., in 't kort aMes wat met het begrip „koherentie" samenhangt) wil verklaren 3)4). b) Foto-elektrisch effekt. Valt licht van een frequentie v op een metalen plaat, dan wordt deze positief elektrisch geladen tot een maximale potentiaal V, gegeven door de vergelijking van Einstein: e V—hv—pe (22) waarin — e de lading van het elektron is, en p een konstante, afhankelijk van het onderzochte metaal 5). >) A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, p. 139, 1905. 2) Zie Bragg, Durchgang der «, p und y-Strahlen durch Materie (vert. door Max Iklé), Leipzig 1913, p. 166. ') Zie b.v. H. A. Lorentz, Phys. Zeitschr. 11, p. 349, 1910. *) Over de dispersie-problemen zie men beneden § 36. 5) Cf. A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, p. 145, 1905.  § 34.] theorie van bohr in verband staan. 201 De maximale potentiaal V is onafhankelijk van de intensiteit van het invallende licht, ze wordt slechts bepaald door de frequentie. Het maakt den indruk alsof trillingen van de frequentie v energie bij porties hv aan de elektronen meedeelen; de laatsten verbruiken een deel der verkregen energie om uit het elektrisch veld van het metaal te komen, en met het overschot hv—pe kunnen ze tegen de potentiaal V oploopen. — Zie in verband hiermee beneden, f). Deze vergelijking is door de onderzoekingen van R. A. Millikan bizonder goed bevestigd*); met behulp van haar is het mogelijk zeer nauwkeurig de waarde van h\e te bepalen. 2) c) Emissie van Röntgenstralen. Door de proeven van Duane en Hull 3) en van Webster 4) is aangetoond dat voor de emissie van Röntgenstralen van de frequentie v de kathodestralen een spanningsverval moeten doorloopen gelijk aan of grooter dan: V=^ 5) (23) Is dus de spanning tusschen kathode en anode gegevén, dan is de maximale frequentie van het door de buis uitgezonden „witte Röhtgenspektrurn" bepaald door: h vmax = eF6) (23a) ') R. A. Millikan, Phys. Rev. 4, p. 73, 1914; 6, p. 55, 1915; Phys. Zeitschr. 17, p. 217, 1916. *) Verwant met het bovenstaande is de z.g. fotochemische equivalentie-wet van Einstein; zie hierover: Ann. d. Phys. 37, p. 832, 1912, en Verh. Deutsch. Phys. Ges. 18, p. 318, 1916. In verband hiermee zie men ook de theorie van F. Haber over chemische reaktie-warmten: Verh. Deutsch. Phys. Ges. 13, p. 1117, 1911. 3) Phys. Rev. 6, p. 166, 1915. *) Phys. Rev. 7, p. 599, 1916. 5) In deze formule treedt geen konstante p op, zooals in form. (22). Men diene hierbij echter in het oog te houden dat de konstante p in (22) van de orde van grootte van 1 Volt is, terwijl in (23) V 10000 a 100000 Volt bedraagt. — Zie ook form. (24). 6) E. Rutherford (Phil. Mag. Sept. 1915) had gevonden dat bij groote V: n rmax ft> 7 > voor bun frequenties geldt: Vy > *fi > "« > Va' Even boven v ligt de absorbtie-grens vj behoorende bij de IsT-reeks *). Zal een element het AT-spektrum emitteeren, dan moet e V^hvA zijn. Cf. Webster, l.c. 2). Een dergelijke regel geldt voor de fluorescentie der Röntgenstralen. Zie hierover: W. Kossel, Verh. Deutsch. Phys. Ges. 16, p. 898, 953, 1914. E. Wagner, Ann. d. Phys. 46, p. 868, 1915; Sitz. Ber. Bayr. Akad. p. 31, 1916. Verder: A. Sommerb'eld, Ann. d. Phys. 51. p. 161, 1916. (Verg. ook beneden, f)). d) „Eén-lijn-speklra". J. Frank en G. Hertz hebben bij kwikdamp het volgende gevonden 3): 1) de ionisatie-spanning van kwikdamp is: 4,9 Volt; 2) worden kwik-atomen gebombardeerd met elektronen wier snelheid iets grooter is, dan aan een potentiaalverval van 4,9 Volt beantwoordt, dan zendt de kwikdamp alleen de spektraallijn: X 2537 4) uit. De frequentie van deze lijn is met de ionisatie-spanning verbonden door de formule: eV=hv (24) In verband hiermee staan analoge resultaten van Mo Lennan en Henderson en van Tate bij Hg, Cd, Zn, Mg 5). ') Zie b.v. A. Sommerfeld, Ann. d. Phys. 51, p. 125, 161, 1916. l) Zie voor de Z-reeks: D. L. "Webster & H. Clark, Proc. Nat. Acad. Sciences U. S. A. 8, p. 181, 1917. 5) J. Frank & Gr. Hertz, Phys. Zeitschr. 17, p. 437, vgl., 1916, *) Dit is de bekende „resonantie-lijn" bij kwikdamp van Woon. 5) Mc Lennan & Henderson, Proc. Boy. Soc. A 91, p. 485, 1915. Mc Lennan, Proc. Boy. Soc. A 92, p. 305, 1916. J. T. Tate, Phys. Rev. 7, p. 686, 1916.  § 34.] theokie van bohr in verband staan. 203 Hun uitkómsten zijn in 't kort de volgende: Worden metaalatomen gebombardeerd door elektronen die een zeker potentiaalverval V\ doorloopen hebben, dan zendt de damp slechts één spektraallijn uit, gegeven door de formule: 2 .p2 —1,5. S in de notatie van Paschen 1). Is het potentiaalverval gelijk aan of grooter dan éen hooger bedrag V%, dan wordt een spektrum met vele lijnen uitgezonden, welke aan weerszijden der eerste liggen. Hierbij korrespondeert de potentiaal V\ volgens form. (24) met de frequentie der eerste lijn 1.p2—1,5. S; terwijl V% tennaastenbij overeenstemt met de grens van het spektrum : 1,5 . 8 2). (Verder is gevonden dat deze metaaldampen absorbtiebanden bezitten, waarvan de "kanten liggen bij : 2 . p2 — 1,5 . S • en: 1,5 . S — 2 . P). 3) e) Fluorescentie. — Resonantie-spektra. Onder fluorescentie wordt het verschijnsel verstaan dat een stof waar men licht op laat vallen, zelf licht gaat uitzenden. In vele gevallen geldt, hierbij de z.g. regel van Stok.es: de frequenties die voorkomen in de fluoresceerende straling zijn kleiner dan of hoogstens gelijk aan die van de opvallende straling. Einstein heeft dit evenals het foto-elektrisch effekt en de fotochemische werkingen in verband gebracht met de theorie der lichtquanten 4). Er zijn uitzonderingen op deze regel: zoo zendt b.v. fluoresceerende NatriumTdamp ook licht uit van hoogere frequentie dan het invallende licht 5). ,^ÏV»; Als een bizondere vorm van fluorescentie zou men de door Wood ontdekte „Resonantie-straling" kunnen opvatten 6). Hiermee bedoelt Wood dat wanneer men een damp verlicht met mono- ') Zie: F. Paschen, Ann. d. Phys. 30, p. 746, 1909; 35, p. 860, 1911. Wolff, Ann. d. Phys. 42, p. 825, 1913. J) Cf. Wolff, l.c. 3) [Op deze onderzoekingen over één-lijn-spektra is kritiek uitgeoefend door van der Bul, Phys. Rev. 9, p. 173, 1917 en door T. C. Hebb en R. A. Millikan, Phys. Rev. 9, p. 371, 378, 1917.] *) A. Einstein, Ann. d. Phys. 17, p. 139, vgl., 1905. s) Cf. R. W. Wood, Physical Opties (New York 1911) p. 574. 6) Cf. R. W. Wood, Recent Researches in Phys. Opties (New York 1913), p. 1, vgl.; verder vele artikelen in de Phil. Mag. (ook van Dünoyer en anderen).  204 verschillende problemen die met de [§ 34. chromatisch licht, ze een bepaald spektrum uitzendt, indien de spektraallijn der primaire lichtbron valt op een absorbtielijn van de onderzochte damp. De hierbij optredende verschijnselen zijn echter bizonder gekompliceerd. — Een paar interessante voorbeelden zijn: a) Resonantie van Jodium-damp op de kwiklijn X 5460,74. Jodium geeft door bestraling met deze lijn een resonantie-spektrum van ca. 20 a 30 lijnen; hiervan hebben drie een grootere frequentie dan de kwiklijn; de andere liggen aan de zijde der kleinere frequenties. De lijnen zijn doublets op regelmatig verdeelde afstanden; de afstand is echter niet konstant. Wood merkt op dat binnen de breedte van de kwiklijn X 5460,74 nog ca. 7 absorbtie-lijnen van de Jodium-damp vallen 1). b) Resonantie van Natrium-damp. Indien Natrium-damp bestraald wordt met het licht van de lijn D2 (de komponente met de grootste frequentie van het doublet), dan zendt de damp alleen de lijn D2 uit. — Hoogstwaarschijnlijk geldt het analoge voor de andere komponente Di 2). Over het algemeen schijnt een scherp samenvallen van de opvallende lijn met een absorbtielijn van de fluoresceerende damp noodig te wezen 3). Voor zoover mij bekend is heeft men tot nog toe deze resonantie-spektra niet met de theorie van Bohr in verband gebracht. De fluorescentie .der Röntgenstralen schijnt aan eenvoudiger wetten te gehoorzamen. Men zie hierover de onderzoekingen van O G. Barkla 4) en verder de boven onder e) genoemde artikelen. f) Absorbtie van straling. Reeds meermalen is boven de door Bohr uitgesproken hypothese vermeld, volgens welke een mechanisch systeem dat zich in een stralingsveld bevindt, uit een quantenbeweging met ') Cf. Recent Researches, p. 15, 30. ») R. W. "Wood & L. Dunoyer, Phil. Mag. 27, p. 1018, 1914. 3) Cf. R. W. Wood & L. Dunoyer, l.c. — Ook: Recent Researches, p. 48. *) Zie voornamelijk C. Gr. Barkla, Jahrh. d. Radioakt. u. Elektr. 8, p. 471,1911. Voor een overzicht van de latere onderzoekingen: C. G. Barkla, Proc. Roy. Soc. A 92, p. 501, 1916. Verder vele artikelen in de Phil. Mag.  § 34.] theorie van bohr in verband staan. 205 energie «i over kan springen in een andere beweging met grootere energie a2, onder absorbtie van de energie «2 — «i uit lichtstraling van de frequentie: «2 — «1 V= h ■ Deze hypothese verklaart op eenvoudige wijze de wet van Kirchhoff. Bohr heeft echter nog de volgende uitbreiding hieraan gegeven J): Beschouw een niodel van. een atoom, waarin een elektron op verschillende banen kan loopen. Zij «1 de energie bij een bepaalden bewegingstoestand 1; «x de energie in een toestand waarin het beschouwde elektron geheel vrij is (b.v. zonder snelheid zich op oneindigen afstand van het atoom bevindt) 2). Dan kan volgens Bohr het systeem (het atoom) ook licht absorbeeren van de frequentie: ft Uit de straling wordt opgenomen de energie h v; het overschot krijgt het elektron als kinetische energie. (Zie echter opmerking II). Men kan hierbij de volgende opmerkingen maken: I) In het absorbtiespektrum van een damp, bestaande uit dergelijke atomen, zal men moeten waarnemen: 1) 'een reeks absorbtielijnen: welke overeenkomen met een bepaalde reeks uit het emissiespektrum van de damp; 2) een kontinuë absorbtieband, waarvoor: . . : (B) <) N. Bohr,-Phil. Mag. 26, p. 17, 1913. *) In de in hoofdstuk III hesproken problemen was steeds de energie zoo gemeten, dat ax gelijk aan 0 was. Dan is ai negatief, dus gelijk te stellen aan: «i = — Ai, waarin Ai positief is.  206 verschillende problemen die met de [§ 34. Deze. band strekt zich dus uit van de grens der reeks (A) ^vg — "t°0 ^ Ul\ naar de zijde der grootere frequenties Een bevestiging voor deze onderstelling kan men vinden: «) In een onderzoek van R. W. Wood over de absorbtie van iVa-damp 2). Wood nam waar 48 absorbtielijnen, exakt overeenstemmende met de lijnen der hoofdreeks van Natrium, en bovendien een absorbtieband, die zich uitstrekte vanaf de grens van de reeks tot in het uiterste ultraviolet. |?) In de absorbtiebanden, waargenomen bij de spektra der Röntgenstralen. Zié hierover: W. Kossel, Verh. Deutsch. Phys. Ges. 16, p. 898, 953, 1914: E. Wagner, Ann. d. Phys. 46, p. 868, 1915; Sik Ber. Bayr. Akad. p. 31, 1916. Men vergelijke echter ook: A. Sommerpeld, Ann. d. Phys. 51, p. 161, vgl., 1916. Sommerfeld komt tot resultaten die naar het schijnt niet overeenstemmen met bovenstaande hypothese. II) Volgens de onderstelling van Bohr moet bij dit proces het elektron een overschot aan kinetische energie krijgen, gegeven door de formule: hv — («o, — «i). Men kan dit in verband brengen met het foto-elektrisch effekt, en de ionisatie door bestraling met Röntgenstralen. Zie hiervoor: P. S. Epstein, Ann. d. Phys. 50, p. 829, 1916. Epstein wijzigt de onderstelling eenigszins: volgens hem kan het elektron het atoom slechts langs bepaalde, door quantenformules gegeven hyperbolische banen verlaten. Zij de energie ') Indien — zooals bijna steeds het geval is — «^ = 0 is (zie noot 2), vorige bl.), dan is de grens van de spektraalreeks, en dus de scherpe kant van de absorbtieband, gegeven door: ", _A, 1 » ~ ~ h ~ Ir Deze „grensfrequentie" rg is de konstante term in de formule voor de spektraalreeks (A), welke geschreven kan worden: n — vg + j — iy - y • -) R. W. Woon, Phys. Opties, New York 1911, p. 513.  § 34.] theorie van bohr in verband staan. 207 behoorende bij een dezer hyperbol, banen: ah) dan zal het elektron uit de ellipt. baan met energie «i in deze hyperb. baan geworpen kunnen worden, zoo: hv~^«h — »i ') 2)- Het elektron Verlaat het atoom met de kinetische energie ah, welke slechts bepaalde waarden kan hebben, gegeven door de quantenformulés. Men zie hierover het geciteerde artikel. 3) \T)e breedte van absorbtielijnen. De verklaring van de breedte van absorbtielijnen zal in de theorie van Bohr nog groote moeilijkheden kunnen opleveren. In het bizonder is dit het geval met de verbreeding die samenhangt met de dispersie-verschijnselen, en in de klassieke theorieën verklaard werd als een gevolg van het resoneeren der elektronenbewegingen op de invallende trillingen, welke bewegingen door een of anderen weerstand gedempt worden. Enkele gevallen van verbreeding zullen echter gemakkelijk met de theorie van Bohr in overeenstemming gebracht kunnen worden, b.v. de z.g. thermokinetische verbreeding (zie § 9, slot). Verder kan men zich voorstellen dat door de onderlinge werkingen der molekulen van een gas de quantenbewegingen in elk molekuul kleine (adiabatische — zie § 38) veranderingen ondergaan, waardoor de energie dezer bewegingen iets gewijzigd wordt, en dus ook de frequentie der uitgezonden spektraallijnen. Daar deze „storingen" niet voor alle molekulen even groot behoeven te zijn, en in den loop der tijd zullen veranderen, kan hierdoor een verbreeding van de lijnen 'teweeggebracht worden. (Vergelijk in verband hiermee ook § 25).] ') Zie enkele opmerkingen hierover in § 24. *) Steeds is: ^> « oo • 3) [In verhand met het bovenstaande vergelijke men de volgende artikelen: P. Debue, Optische Absorbtionsgrenzen, Phys. Zeitschr. 18, p. 428, 1917; J. Hartmann, Ein ausgedehntes Absorbtionsgehiet im Spektrum der Wasserstoffsterne, Phys. Zeitschr. 18, p. 429, 1917; The spectra of Nehulae, Nature 89, p. 354, 1917.]  § 35. OPMERKING. OVER DE TWEEDE QUANTENTHEORIE VAN PLANCK1). De bespreking van deze theorie moet hier zeer beperkt worden. Naar mij toeschijnt kan men de hoofdgedachten ervan als volgt uitdrukken: 1) De quantenformules hebben in de eerste plaats belang voor de statistische mechanika, ter bepaling van een indeeling der faze-ruimte in elementaire gebieden2). De quantenformules: Pt- =m.h kunnen beschouwd worden als de vergelijkingen van oppervlakken: P« {g\ ■ • • 1f Pi ■ ■ • Pf) — konstante — mh (25) welke de faze-ruimte (de g-p-ruimte) in cellen verdeelen. Planck onderstelt nu dat indien men een ensemble van gelijksoortige systemen heeft, en men den toestand vau elk systeem voorstelt door een punt in de faze-ruimte, deze punten bij de stationnaire toestandsverdeeling in elke cel gelijkmatig over het volume der cel verdeeld zijn. De dichtheid der punten kan echter van cel tot cel veranderen. De formules der statistische mechanika bepalen slechts het totale aantal punten in elke cel, doch niet hoe deze punten in de cel verdeeld zijn 3). ') Zie: M. Planck, Die Theorie der Warmestrahlung, 2e Auflage, Leipzig 1913. J) Zie speciaal hiervoor: M. Planck, Verh. Deutsch. Phys. Ges. 17, p. 407, 438, 1915 en Ann. d. Phys. 50, p. 385, 1916. De quantenformules zelve van Planck stemmen in hoofdzaak overeen met die van Sommerfeld, Bohr, enz. J) Zij N het totale aantal der systemen; het aantal in de elementaire cel i\ dan wordt de waarschijnlijkheid van een bepaalde toestandsverdeeling Z (N^ volgens Plaïjck gedefinieerd door: N\ N* N* N*  § 35.] theorie vak bohr in verband staan. 209 Indien een dergelijke yerdeeling tot stand moet komen door de wisselwerkingen tusschen de systemen, zal men genoodzaakt zijn belangrijke wijzigingen aan te brengen in de wetten der mechanika en der elektrodynamika. (Reeds bij de eenatomige gassen geeft de theorie van Planck in dit opzicht groote moeilijkheden. Hier moeten b.v. de wetten van de botsing der molekulen geheel veranderd worden, daar anders de toestandsverdeeling van Maxwell-Boltzmann ontstaat.) 2) Emissie en absorbtie van licht *). Planck heeft oorspronkelijk voor lineaire, harmonisch trillende oscillatoren de hypothese opgesteld: Een oscillator (of een mechanisch systeem), die zich bevindt in een stralingsveld, absorbeert, kontinu en gelijkmatig energie, volgens de wetten der klassieke elektrodynamika; zoodra echter tengevolge hiervan de oscillator een grensvlak tusschen twee of meer cellen van de faze-ruimte passeert kan emissie plaats vinden 2). De waarschijnlijkheid der emissie hangt samen met de dichtheid der energie in het stralingsveld (zie Die Theorie der Warmestrahlung p. 149). Indien emissie plaats vindt, zendt het systeem waarin y- = de waarschijnlijkheid a priori is dat een systeeinpunt in cel * valt (de z.g. gewichtsfunktie). — Is het volume der cel = Oi , dan stelt \ Pi.anck : (?. — y•. (f = aantal vrijheidsgraden van het systeem). Uit (I) volgt voor de absolute waarde der entropie van het-ensemble: S = k . log W (II) De stationnaire toestandsverdeeling wordt gedefinieerd als de meest waarschijnlijke verdeeling (maximum van W, resp. S) bij gegeven totale energie, en gegeven totaal aantal der systemen (N). Voor deze verdeeling is: < tf. = „y.e-ëei (III) g.= gemiddelde energie der punten in de cel i\ a en /? zijn konstanten die bepaald worden door N en door de totale energie van het ensemble." Deze formules kunnen ook geïnterpreteerd worden in de andere vorm der quantentheorie, waarin slechts de quantenbeicegingen als mogelijk beschouwd worden, en alle bewegingen die niet aan de quantenvoorwaarden voldoen „verboden" zijn (zie § 41). \Ni is dan het aantal der systemen die een bepaalde quantenbeweging uitvoeren; ëj is de energie dezer beweging.] ') Zie: Die Theorie der "Warmestrahlung, p. 148; en: M. Planck, Sitz. Ber. Berl. Akad. 1915, p. 909. J) Nog eerder zal volgens Planck emissie optreden, indien een systeempunt een „grenslijn" of een „hoekpunt" tusschen meerdere cellen passeert. 14  210 verschillende problemen die met de f§ 35. in eens alle energie uit, met de frequentie van de bewegingen in het systeem >). De hypothese van Planck omtrent de emissie van licht is evenzeer in strijd met de formules der elektrodynamika als de theorie van Bohr. De theorie van Planck tracht eenigermate een kompromis te vormen tusschen de klassieke mechanika en elektrodynamika en de quantentheorie. Ofschoon men hierover weinig kan zeggen, schijnt het mij toch dat ze de verklaring der moeilijkheden en tegenstrijdigheden niet eenvoudiger maakt. Men vergelijke ook een opmerking van A. Sommerpeld," Ann. d. Phys. 51, p. 12/13, 1916. Over de emissie en absorbtie van energie heeft Planck ook nog eenige opmerkingen gegeven in twee artikelen in de Sitz. Ber. Berl. Akad. 1914, p. 918, en 1915, p. 913. ■) Deze laatste kwestie is door Planck niet algemeen onderzocht. — In het artikel in de Sitz. Ber. Berl. Akad. van 1915 geeft Planck op p. 913 ook een geheel andere hypothese, waardoor het spektrum van Waterstof verklaard kan worden. Hierover schijnen echter geen verdere onderzoekingen gedaan te zijn, terwijl aan den anderen kant de hypothese van Bohr eenvoudiger is. In het hizonder heeft Planck zich nog bezig gehouden met roteerende molekulen (zie Ann. d. Phys. 52, p. 491, 1917). In het absorbtiespektrum van waterdamp komt een systeem van lijnen voor dat men naar alle waarschijnlijkheid moet toeschrijven aan de absorbtie van licht (of warmtestralen) door roteerende molekulen (zie H. Rubens en Gr. Hettner, Sitz. Ber. Berl. Akad. p. 167, 1916). De aanwezigheid van deze lijnen schijnt in strijd te zijn met de onderstelling der kontinnë absorbtie (men boude in het oog dat bij roteerende systemen de frequentie der rotatie tegelijk met de energieinhoud van het systeem toeneemt). Planck leidt echter af dat in een ensemble van molekulen met verdeelingsfunktie W(u>) (a: hoeksnelheid der rotatie) de absorbtie van stralen van de frequentie a evenredig is met: ÏW — co-— O co Onderstelt men nu dat W geen kontinnë funktie van a is, maar een „trapvormig" karakter heeft (afwisselend horizontale gedeelten, waar en diskontinuïteiten), dan kunnen de absorbtielijnen verklaard worden. Zie over een mogelijke andere verklaring dezer absorbtielijnen § 22 en het daar geciteerde artikel.  § 36. DE DISPERSIETHEORIE VAN DEBYE EN SOMMERFELD *), Zooals reeds is opgemerkt levert de verklaring van vele optische verschijnselen van uit het standpunt der quantentheorie groote moeilijkheden. Vooral geldt dit voor de theorie van de breking en de dispersie van het licht. Aan den eenen kant is men in het onzekere omtrent de aard van het licht zelf — of dit op de klassieke wijze moet worden opgevat, of dat men te doen heeft met de z.g. „lichtquanten" — aan den anderen kant staat het probleem: hoe reageeren molekulen of atomen (in het algemeen mechanische systemen), wier bewegingen door quantenvoorwaarden gebonden zijn, op de invallende straling? De hypothese van Bohr heeft slechts betrekking op een zeer speciaal geval van dit laatste probleem: nl. op het geval dat het invallende licht een der frequenties bezit van het spektrum dat het systeem zelf kan uitzenden. In dit geval kan absorbtie intreden, als het systeem in een daarvoor gunstigen toestand verkeert (zie bl. 198). Hoe zit het echter indien het invallende licht een frequentie heeft, welke afwijkt van de frequenties van het spektrum van het beschouwde systeem ? 2) In dit geval zal volgens de experimenten — en evenzoo volgens de klassieke theorie3) — indien licht gaat door een ensemble van systemen (b.v. de molekulen van een gas) de voortplantingssnelheid van het licht gewijzigd ') P. Debye, Sitz. Ber. Bayr. Akad. 1915, p. 1. A. Sommerfeld, Elster und Geitel-Festschrift, Braunschweig 1915, p. 549. P. Scberrer, Luaug. Dissert. Güttingen 1916. [Samenvatting en algemeene diskussie: A. Sommerfeld, Ann. d. Phys. 63, p. 497, 1917.] l) Indien het systeem als geheel een translatie-beweging heeft ten opzichte van het koordinatenstelsel waarin de frequentie van het licht gemeten wordt, is de frequentie welke geabsorbeerd wordt een weinig anders dan wanneer hét systeem in rust is. Zie hierover § 9 [vergelijk ook bl. 207]. *) Zie voor de theorie der dispersieverschijnselen b.v. H. A. Lorentz, Theory of Electrons, Leipzig 1909, Ch. IV. — Voor het experimenteele gedeelte b.v. R. W. Wood, Physical Opties, New York 1911, Ch. XIV, XV.  212 verschillende problemen die met de [§ 36. worden x) (brekings- en dispersieverschijnselen), en er heeft een gedeeltelijke absorbtie van energie plaats. De formules hiervoor worden in de klassieke theorie afgeleid in de onderstelling dat de elektronen door quasi-elastische krachten gebonden zijn, en dat ze gedwongen trillingen kunnen uitvoeren onder invloed der invallende elektrische golven. De absorbtie wordt teweeggebracht door de weerstand die de trillende elektronen bij hun beweging ondervinden. Het is nu echter de vraag of een dergelijke behandeling ook mogelijk is, indien men onderstelt dat de bewegingen van de beschouwde mechanische systemen door quantenvoorwaarden zijn gebonden. Debye heeft de volgende oplossing van het probleem voorgesteld 2): Aangenomen wordt dat de invallende straling uit elektrische (of juister uit elektromagnetische) trillingen bestaat, evenals men in de klassieke theorie onderstelt. Zijn er geen invallende trillingen dan voert het mechanische systeem een of andere stationnaire beweging uit, b.v. een periodieke solutie der bewegingsvergelijkingen 3). De waarden van de intensiteitskonstanten van deze solutie (grootte van de baan, e.d.) zijn door de quantenvoorwaarden vastgelegd; overigens worden echter de quantenonderstellingen niet gebruikt, en wordt geheel gerekend volgens de klassieke mechanika en elektrodynamika. Het systeem kan in het algemeen kleine trillingen om de beschouwde periodieke solutie uitvoeren 4). Is het systeem nu onder invloed van een periodieke uitwendige kracht (b.v. een invallende elektrische trilling) met frequentie coer dan zal het gedwongen trillingen uitvoeren om de beschouwde stationnaire beweging. Men kan voor deze trillingen het elektrisch moment van het systeem berekenen 5), en hieruit, door het gemiddelde te nemen ') Met voortplantingssnelheid van het licht is hier bedoeld de golfmelheid. *) P. Debye, l.c. 3) Bij de beschouwde systemen had men steeds met een periodieke solutie te doen (eenparige rotatie van een ring van elektronen). *) Oplossingen in de nabijheid der periodieke solutie; zie § 26. s) Zijn Ti de koordinaten (als vektoren opgevat) der elektrische ladingen f. in het systeem, dan is het elektrisch moment gedefinieerd door:  §.36.] theorie van bohr in verband staan. 213 voor een groot aantal systemen in verschillende liggingen, enz., de diëlektriciteitskonstante van een ensemble van dergelijke systemen*). Hieruit volgt op de bekende wijze de voortplantingssnelheid der elektrische trillingen door het ensemble als funktie van de frequentie we 2). Debye heeft deze berekening uitgevoerd voor het model van het waterstof-molekuul, en is tot een formule gekomen welke zeer goed overeenstemt met de experimenteele bepalingen van de brekingsindex van waterstofgas 3). Sommerfeld heeft een meer algemeene behandeling gegeven voor een molekuul met axiale symmetrie, dat bestaat uit een aantal kernen die op de symmetrie-as liggen, en een aantal elektronen welke rondloopen op een cirkel om deze as 4). Door Scherrer is de dispersie onderzocht van waterstof wanneer de bewegingen der elektronen door een konstant magnetisch veld gestoord zijn (dispersie van de elektromagnetische draaiing van het polarisatievlak). De door hem afgeleide formule stemt goed overeen met de metingen van Siertsema hierover (1.C,) 5). Het zij veroorloofd de berekeningen zelf hier niet weer te geven. Slechts zij vermeld dat de algemeene vorm der formule voor de brekingsindex x luidt: - ,2=1 _A^_2 x N:S-CV 6) ■ (26) o m kii co- — ml i waarin N het aantal molekulen per volume-eenheid is; s het aantal elektronen per molekuul. De grootheden Cki zijn nume- ') Voor nadere bizonderheden van deze berekeningen wordt verwezen naar de geciteerde artikelen van -Debye en Sommerfeld'. ') Cf. Debye en Sommerfeld, 1. c. Zie echter ook beneden, opmerking 2. 3) P. Debye, l.c. ') Debye en Sommerfeld hebben ook de dispersie-formule voor Helium volgens dezelfde methode berekend, in de onderstelling dat de beide elektronen van het Helium-atoom op eenzelfde cirkel rondloopen, diametraal tegenover elkaar. De gevonden formule stemt echter, zooals zij opmerken, niet overeen met de experimenteele resultaten (l.c.) [Zie ook A. Sommerfeld, Ann. d. Phys. 53, p. 557, 1917]. 5) [Sommerfeld heeft op de berekeningen van Scherrer kritiek uitgeoefend; zie Ann. d. Phys. 53, p. 500, 1917.] *) A. Sommerfeld, Elster und Greitel-Festschrift, p. 576.  214 verschillende problemen die met de [§ 36. rieke konstanten; de tofcj zijn de eigenfrequenties der kleine trillingen van het systeem om de beschouwde periodieke solutie &&3£3 Bij de berekening is verder een , demping der trillingen principieel verwaarloosd, zoodat men geen absorbtie heeft, en de dispersie normaal verloopt. In verband met de theorie van Debye en' Sommerfeld kan het volgende opgemerkt worden: *) Opmerkingen bij formule (26). 1) De algemeene uitdrukking voor de koordinaten voor een oplossing in de nabijheid van een periodieke solutie is gegeven in §. 26, formule (10). Uit deze formule blijkt dat de frequenties der kleine trillingen om de periodieke solutie t.o.v. een koordinatenstelsel, dat njet met de oorspronkelijke periodieke solutie meegaat (in de gewone gevallen: een koordinatenstelsel dat niet met de ongestoorde cirkelbeweging der elektronen meeroteert) in het algemeen van den vorm zijn: «fcI=± (A) waar a> de frequentie is van de ongestoorde periodieke solutie, terwijl de grootheden «fc = wfc 1/ — 1 de zoogenaamde karakteristieke exponenten zijn: — Men kan de grootheden w,,.. ... opvatten als de frequenties der kleine trillingen, „beschouwd van uit de periodieke solutie". In de gewoonlijk voorkomende gevallen, waar de periodieke solutie een eenparige cirkelbeweging der elektronen is, zijn dit de frequenties, beschouwd van uit een koordinatenstelsel, dat met de elektronen meeroteert; in dit geval heeft in formule (A) / alleen de waarden 0 en 1. Zie hierover een opmerking van A. Sommerfeld, l.c. p. 577. (Zie ook boven, bl. 148, B). 2) In de klassieke dispersietheorie (Lorentz, Drüde) beschouwt men de 'elektronen als isotroop, qnasi-elastisch gebonden; in dit geval komt men tot een dergelijke formule als (26), echter zijn dan de koefficienten (7=1. In de theorie van Debye en Sommerfeld heeft men daarentegen te doen met trillingen om een stationnairen bewegingstoestand; de elektronen zijn dan als het ware anisotroop gebonden, wat tengevolge heeft dat de Cs niet meer gelijk aan 1 zijn. Men kan dit aldus interpreteeren: In de theorie van Drude staat in de tellers der breuken eenvoudig X maal het aantal elektronen per molekuul s; in de theorie van Debye en Sommerfeld is het aantal s vervangen door het „schijnbare aantal" sM= C^s, wat niet noodzakelijk een geheel getal behoeft te zijn. j. Koch had reeds uit zeer nauwkeurige metingen der dispersie in waterstof en lucht de gevolgtrekking gemaakt dat het aantal elektronen per molekuul in de formule van Drude niet steeds een geheel getal kan wezen. In de theorie van Debye en Sommerfeld vindt dit een ongedwongen verklaring. (P. Debye, l.c. p. 19; A. Sommerfeld, l.c. p. 576 [en Ann. d. Phys. 53, p. 497, 1917]).  § 36.] THEORIE VAN BOHR IN VERBAND STAAN. 215 1) Zooals boven reeds vermeld is, wordt bij de berekening geen gebruik gemaakt van quantenonderstellingen, behalve voor de bepaling van de absolute grootte der banen. — De berekening berust geheel op klassieken grondslag. De vraag doet zich dus voor: Is dit in overeenstemming met de grondgedachten der quantentheorie? De groote onzekerheid die heerscht omtrent den vorm der principes van de quantentheorie maakt echter een beantwoording dezer vraag tenminste voor het oogenblik bijna onmogelijk. Juist in gevallen als dit waar een systeem beïnvloed wordt door een veranderlijke uitwendige kracht zijn de gebruikelijke formuleeringen der quantenhypothese ongeldig. De vraag: kan een systeem, waarvan de bewegingen door quantenvoorwaarden zijn vastgelegd, kleine trillingen om deze bewegingen uitvoeren, moet dus voorloopig open blijven. [Het komt mij voor dat men om deze vraag te kunnen beantwoorden, probeeren moet of het mogelijk is de gedwongen bewegingen op te vatten als grensgeval van vrije bewegingen van een uitgebreider systeem, daar men voor de vrije bewegingen van een mechanisch systeem in het algemeen quantenformules kan opstellen. Daartoe kan men onderstellen dat de z.g. „uitwendige krachten" die op het gegeven systeem (I) werken, uitgeoefend worden door een ander systeem (II), dat met het eerste op de een of andere wijze gekoppeld is 1). Indien men de koppeling tusschen (I) en (II) zeer zwak maakt, doch aan de bewegingen van (II) een groote intensiteit geeft, zal (II) een merkbaren invloed op (I) uitoefenen, terwijl omgekeerd (II) door (I) slechts weinig gestoord wordt. Gaat men tot het grensgeval over, dan komt het tenslotte op hetzelfde neer alsof op (I) bepaalde krachten werken, welke gegeven funkties van den tijd zijn. Wil men nu quantenvoorwaarden invoeren, dan moet men eerst die voor het totale systeem (dat ontstaan is door de koppeling van (I) met (II)) opstellen, en daarna onderzoeken waarin deze overgaan, wanneer men de koppeling onbeperkt laat afnemen, en tegelijk de bewegingen van (II) sterker en sterker maakt, door bepaalde quantengetallen — nl. die welke om zoo te zeggèn behooren bij de vrijheidsgraden van (II) — steeds grooter te nemen. 1) Zie hierover een mededeeling in de Versl. Akad. Amst. XXVI, p. 702,1917.  216 verschillende problemen die met de [§ 36; Voor de nadere uitwerking en een eenigszins algemeene behandeling dezer gedachte wordt verwezen naar het geciteerde artikel. — Hier zij slechts kort een voorbeeld gegeven van een systeem dat kleine trillingen om een evenwichtsstand of een stationnairen bewegingstoestand kan uitvoeren, en waarop een periodieke uitwendige kracht werkt. Zij de funktie van Lagrange voor het systeem: Li= \ \ X Aki Ik li + X B>'i Ik (li + X Gkl 10i J («) en zij de uitwendige kracht: F— A cos (s f -f- fo); de ontbondene hiervan in de richting der koordinaat qk : Fk = yk F. De bewegingsvergelijkingen voor de koordinaten qk zijn dan; — )-—-L = Fk = ykA cos(s< + e0) .... (6) dt \ dqk / dqk In plaats van deze uitwendige kracht voert men nu een hulpsysteem (II) in, met de lagrange-funktie: Ln= g (x2 — s2x2) (c) Hierin is x een koordinaat welke een periodieke beweging uitvoert en de kracht F bepaalt. Men kan dan veronderstellen dat beide systemen gekoppeld zijn, en dat de funktie van Lagrange voor het resulteerende systeem luidt: L = Lx -f Lu+ uxüykqk (d) k De funktie: k = u x 2 yk qk bepaalt de koppeling tusschen de beide systemen; /* is een parameter welke men kleiner en kleiner kan nemen om de koppeling willekeurig zwak te maken. De bewegingsvergelijkingen luiden nu: d dLz _ \ dt \dqk/ ^qk en: x — s2x — fi 2ykqk (ƒ) k pykX is dus gekomen in de plaats van Fk. Daar /* zeer klein is en x groot (zoodat lim. p x een eindige, doch kleine grootheid  § 36.] THEORIE VAN BOHR IN VERBAND STAAN. 217 is), zal men in vergelijking (f) het tweede lid, als zijnde klein van de tweede orde t.o.v. het eerste, mogen verwaarloozen; men heeft dus: x = C0 cos (st + £o) (ff) De vergelijking (e) gaat dus over in (b), zoo men ft Co = A neemt. Stel dat men nu de vergelijkingen (e) geheel heeft opgelost, dan zal men voor iedere koordinaat qk een uitdrukking vinden van den vorm: qk —§k Co cos (s t + eo) + 2 hi Ci cos (co; t + fj ) . . . {h) De eerste term in het tweede lid stelt voor de gedwongen trilling; de termen van de sóni zijn de vrije trillingen van het beschouwde systeem (I). Vat men echter het resulteerende systeem in het oog, waarvan (g) en (h) tezamen de oplossing vormen, dan zijn natuiirlijk alle trillingen als vrije op te vatten. — De konstanten Co, Ci, C2, ... Cf zijn de amplituden der trillingen. Voert men als hoekvariabelen in: Q0=st + e0 | dan kan men de quantenvoorwaarden opstellen volgens de formule : o Voor de Qi heeft men: 2 TC ƒ dQi ^Pk~^- = nih . . .■ (I) o voor Qo bij verwaarloozing van (p Co)2: 2 TC J dQ0.x y^- = 7r s C'j = no A (m) o Bij verwaarloozing van ^2 blijken dus de beide groepen van quantenvoorwaarden geheel onafhankelijk van elkaar te zijn.  218 verschillende problemen die met de [§ 36. De formules (l) bepalen Ci, C% . . ; uit (m) volgt voor Co: Men komt dan tot hetzelfde resultaat als hetgeen door de klassieke theorie wordt geleverd. Praktisch kan men A als kontinu veranderlijk beschouwen. Hierin ligt dus een rechtvaardiging van de rekenmethode gebezigd door Debye en Sommerfeld x). Om het dispersieprobleem geheel in overeenstemming te brengen met het hier behandelde zou men de elektrische trillingen welke op de gasmolekulen werken, moeten opvatten als de eigentrillingen van een mechanisch systeem. Dit zou b.v. kunnen geschieden door het stralingsveld te beschouwen in een holle ruimte met volkomen geleidende wanden, waarin het gas is opgesloten. De bewegingen van de elektronen in de molekulen en de eigentrillingen van het elektromagnetische veld zullen elkaar dan wederkeerig beïnvloeden; kan men al deze bewegingen berekenen, dan is het mogelijk quantenformules op te stellen, welke zoowel de elektronenbewegingen in de molekulen als de elektrische trillingen van het veld vastleggen. De dispersieformule komt hier dan te voorschijn als een betrekking tusschen de frequentie van de elektromagnetische hoofdtrillingen van de ruimte en hun golflengte 2). !) Zie over de kwestie der instabiele trillingen beneden onder 5). *) Is de dichtheid van het gas eindig, dan zal men hier niet de verwaarloozingen kunnen toepassen, welke boven gemaakt zijn (schrappen van termen met ju1). Het aantal termen b.v. in het tweede lid van vergelijking (/) is dan gelijk aan of een veelvoud van het aantal molekulen, welk aantal toeneemt naarmate men de afmetingen der ruimte vergroot om ^ kleiner te maken. Dit heeft ten gevolge dat men het tweede lid niet willekeurig klein kan maken, hetgeen ook te verwachten is, daar anders de aanwezigheid van het gas geen invloed zou hebben op de frequentie der eigentrillingen van de ruimte, en er dus geen dispersie zou zijn. — Bij de quantenformules kan zich iets dergelijks voordoen. De Stelt men lim. ,« Co= r 1 / noh lim. m 1/ * n S — A, dan gaat (h) over in: qk — i3k A cos (s f + e0) + 2i3ki dijn) cos Q<  § 36.] theorie van bohr in verband staan. 219 Bij deze berekeningen diene men wel in het oog te houden, dat ondersteld is dat geen resonantie optreedt tusschen het systeem (I) en het systeem (II), resp. het systeem van uitwendige krachten. Het is mogelijk dat indien dit laatste wel het geval is, men volgens andere methoden te werk moet gaan; in ieder geval zijn dan de benaderingen waarvan boven gebruik is gemaakt niet meer geldig. Op de dispersietheorie van Debye en Sommerfeld heeft dit echter geen direkten invloed, daar deze slechts opgesteld is voor een gebied dat ver van de resonantie-frequenties afligt. (Zie in verband hiermee beneden, 3) en 4)).] ' 2) Moeilijkheden leveren verder op: a) de onzekerheid omtrent de aard van het licht zelve; b) het probleem: mag men uit de gemiddelde waarde van het elektrisch moment der molekulen op de klassieke wijze de polarisatie en de dielektriciteitskonstante berekenen? Volgens de theorie, van Bohr mag het stralingsveld van een systeem niet volgens de formules der elektrodynamika berekend worden, en als ik me niet vergis, heeft men hier toch met een eenigermate verwant probleem te doen. Men heeft wel het vermoeden geuit, dat de hypothese van Bohr omtrent de afwezigheid van uitstraling van energie slechts zou gelden voor de bewegingen die aan de quantenvoorwaarden voldoen (dus voor de ongestoorde bewe- berekening verloopt dus minder eenvoudig dan boven is aangegeven; de principes blijven echter geheel dezelfde. Ook wanneer men bij dergelijke berekeningen termen van de tweede orde, enz., in aanmerking wil nemen, worden de formules ingewikkelder, vooral wanneer de „uitwendige krachten" (resp. de koppeling met het systeem (II)) de perioden der bewegingen van het systeem (I) beïnvloeden. Algemeen kan men echter tot het resultaat komen: een mechanisch systeem, waarvan de bewegingen door qutmtenvoorwaarden zijn gebonden, kan meetrillen met uitwendige krachten; de juiste vorm der bewegingen en der quantenvoorwaarden zal men in elk speciaal geval moeten nagaan door een hulpsysteem in te voeren dat met het eerste gekoppeld wordt, en dan een grensproces toe te passen. (In § 4 van het artikel in de Versl. Akad. Amst. is hier eenigszins luchtig overheen gegaan, doordat aangenomen is dat men alle voorkomende grootheden naar opklimmende machten van n kan ontwikkelen. Indien evenwel n of/*1, enz., voorkomt in de periode van een goniometrische funktie zou dit moeilijkheden kunnen opleveren. Het begrip superpositie is daar misschien in te ruimen zin gebezigd.)  220 verschillende problemen die met de [§ 36. ging in het bovenstaande geval); bewegingen die echter niet aan de quantenvoorwaarden voldoen, zooals de. gestoorde beweging (de gedwongen trillingen om de periodieke solutie), zouden energie kunnen uitstralen in overeenstemming met de formules der klassieke theorie x). Speciaal zij verwezen naar een kritiek welke G. W. Oseen 2) geeft op de theorie van Debye en Sommerfeld, vooral in verband met het niet geldig zijn der vergelijkingen van Maxwell. (Zie ook boven bl. 193). Oseen zegt dat de voornaamste opgave der dispersietheorie door het werk van Debye en Sommerfeld nog. onopgelost is gebleven: nl. te bewijzen dat de voortplanting van het licht in een gas beheerscht wordt door een differentiaalvergelijking van het bekende type, en dat de verschijnselen aan het oppervlak gehoorzamen aan de bekende, experimenteel bevestigde wetten. 3) De formules geven niet de absorbtie en de anomale dispersie. Om deze te verklaren zou men ergens een demping der elektronenbeweging moeten invoeren; hoe dit echter geschieden kan zonder in strijd te komen met de eigenschappen van het molekuul, is niet bekend 3). 4) De „resonantie-frequenties", waarbij de brekingsindex een singulariteit vertoont, zijn volgens formule (26) — indien men deze zoover extrapoleert — de frequenties der oplossingen in de buurt van de beschouwde stationnaire beweging. Deze frequenties zijn in het algemeen niet dezelfde als de frequenties der spektraallijnen welke het systeem kan uitzenden. Bij elektrisch lichtgevende waterstof (H-atomen), heeft men echter anomale dispersie waargenomen in de buurt der spektraallijnen ') Cf. een opmerking van A. Sommerfeld, Ann. d. Phys. 51, p. 13, 1916. Verder N. Bohr, Phil. Mag. 26, p. 23/24, 1913. [Men zal deze kwestie moeten herzien in verhand met hetgeen op hl. 218 is opgemerkt.] ») C. W. Oseen, Phys. Zeitschr. 16, p. 396, 405, 1915. 3) A. Sommerfeld (1. c, p. 577) maakt de opmerking dat de afgeleide dispérsieformule slechts op grooten afstand van de emissie- en absorbtielijnen en voor normale dispersie geldig is.  § 36.] theorie van bohr in verband staan. 221 die de waterstof zelf kan uitzenden l); hier vindt ook absorbtie plaats 2). De dispersie kan in de omgeving van de lijn H„ voorgesteld worden door de formule: f* ~~ Po i ") • • • • (27) Deze formule heeft dus een singulariteit voor; frequentie van het invallende licht («,,)= frequentie van de lijn Hn (28) Volgens de theorie van Bohr wordt de frequentie van de lijn Ha bepaald door het verschil in energie tusschen twee quantenbewegingen van het waterstof-atoom'; in de eene is de intensiteitskonstante Pj = 3 . h/2 n; in de andere is Pi = 2 . 7i/2 n . De formule voor de frequentie van Ha luidt: „ 4 5r3me4 /l 1 V ^ Aan den anderen kant vindt men voor de frequenties mk van de kleine trillingen om een stationnaire elliptische beweging, waarvoor Pj = n . hj2 n is: , 8 tt3 m e4 Voor geen enkele waarde van h of n is een frequentie wk gelijk aan mn. De anomale dispersie in de omgeving der lijn Hn kan dus niet door de theorie van Debye en Sommerpeld verklaard worden. ') Zie voor literatuur over anomale dispersie in de nabijheid van spektraallijnen: H. M. Konen, Das Leuchten der Grase und Dampfe (Braunschweig 1913), p. 306. Speciaal voor Waterstof: B. Lapenburg, Phys. Zeitschr. 12, p. 10, 1911. Over anomale dispersie in Natrinmdamp in de buurt der 2)-lijnen: o.a. D. Roschdestwenskt, Ann. d. Phys. 30, p. 307, 1912; verder vele onderzoekingen van R. W. Wood (Physical Opties). J) Cf. boven bl. 86, 2), waar ook citaten opgegeven zijn. 3) Voor deBjn geldt een dergelijke formule; de konstante J) is bij Ha ca. 10 maal kleiner dan bij Ha (B. Ladenburg, 1. c.). *) Zie § 17, bl. 82, 83.  222 verschillende problemen die met de [§ 36. B) Door Mej. H. J. van Leeuwen is er op .gewezen dat één der kleine trillingen welke voorkomt in de berekening van Debye over de dispersie van waterstof, instabiel is x). Men komt hier dus voor een nieuw probleem te staan: mogen de instabiele trillingen op* dezelfde wijze behandeld worden als de stabiele? Men zou verwachten dat na een tijdelijke werking van een uitwendige kracht op het systeem de instabiele bewegingen niet zullen ophouden, en dat het systeem uiteen zal vallen 2). Door Mej. van Leeuwen zijn verschillende methoden onderzocht om deze instabiele trilling te doen verdwijnen; voor de aldus stabiel gemaakte systemen zijn dispersieformules berekend, welke echter veel minder goed met de experimenteel gevondene blijken overeen te stemmen dan de formule van Debye. Een speciale methode is nog nagegaan door C. Davisson en door J. M. Burgers 3). Hierbij is het model stabiel gemaakt door als kinematische relatie in te voeren dat het moment van hoeveelheid van beweging van elk elektron steeds gelijk moet blijven aan h/2n. De afgeleide dispersieformule stemt echter evenmin goed overeen met de experimenteele formule. Zie in verband hiermee hetgeen op bl. 145 en 146 is opgemerkt omtrent de invoering dezer kinematische voorwaarde. De oorspronkelijke berekening van Debye, waarin de instabiele trillingen op dezelfde wijze behandeld zijn als de stabiele, heeft bij het model van het waterstof-molekuul de beste resultaten gegeven. Evenzoo is er goede overeenstemming voor de rotatie-dispersie, welke door Scherrer berekend is 4). [In verband met hetgeen boven is opgemerkt omtrent de behandeling van de gedwongen trillingen (zie bij opmerking 1), en met de in § 26, Noot II, ontwikkelde beschouwingen over instabiele systemen, krijgt echter ook deze kwestie een geheel ander karakter. Het komt mij voor dat men ook hier de door 1) Mej. H. J. van Leeuwen, Versl. Akad. Amsterdam XXIV, p. 1047,1915/16. Zie ook: A. Sommerfeld, l.c. p. 577 en: A. Rubinowicz, Phys. Zeitschr. 18, p. 187, 1917. 2) Mej. H. J. van Leeuwen, 1. c. p. 1053. 3) C. Davisson, Phys. Rev. 8, p. 20, 1916. J. M. Burgers, Versl. Akad. Amsterdam XXV, p. 404, 1916. (Zie ook een opmerking in de Engelsche vertaling hiervan — Proc. Acad. Amst. XIX, p. 488 — over het artikel van, Davisson.) »)• [Zie noot *), hl. 213.]  § 36.] theorie van bohr in verband staan. 223 Debye gevolgde methode van berekening als juist moet aannemen. Om dit toe te lichten zou ik het volgende voorbeeld willen geven, waarin de beïnvloeding van een eenvoudig instabiel systeem door een periodieke uitwendige kracht wordt nagegaan. Zij de lagrange-funktie van het instabiele systeem: De koordinaat x neemt onbegrensd toe; de beweging is instabiel. De vorm der quantenvoorwaarde voor een dergelijke beweging is niet 'bekend; men zal echter kunnen aannemen dat voor een bepaalde waarde van het quantengetal (b.v. de waarde nul) de amplitude Ci gelijk nul is, zoodat er geen beweging plaats heeft. Wordt dit systeem nu beïnvloed door een periodieke uitwendige kracht (b.v. door elektrische trillingen), dan moet men zooals in de toevoeging aan opmerking 1) is uiteengezet, onderstellen dat deze uitwendige kracht uitgeoefend wordt door een tweede systeem dat met het eerste gekoppeld is, en dan de bewegingen van het resulteerende systeem onderzoeken. Voor de lagrange-funktie van het tweede systeem kan men nemen: Lu — i (y2 — s2 y2), en voor de koppelingsfunktie: X = pxy, zoodat men voor het resulteerende systeem heeft: Verwaarloost men kwadraten, enz., van de kleine parameter ft, dan vindt men voor dit probleem als algemeene oplossing: Lr = 1 (x2 + k2a*), waarvoor de algemeene oplossing is: x — Ci cosh (kt 4- Si). L = 1 &+y2)+~(k2x2-s2y2 + 2nxy). ft C-2 cos (st + £-2) Daar er twee graden van vrijheid zijn moet men twee quantenvoorwaarden invoeren om de konstanten Ci en C2 te bepalen. De tweede luidt, zooals steeds voor harmonische trillingen :  224 verschillende problemen die met de [§ 36. TT Cf s(=27rP2) = n2 h. De vorm van de eerste is onbekend; men zal deze eehter zoo kunnen kiezen dat Cj. = 0 is, zoodat men een stabiele beweging heeft. Om nu over te gaan tot het grensgeval van gedwongen trillingen moet men het quantengetal n2 grooter en grooter nemen, en tegelijk de koppelingskoefficient (i kleiner en kleiner; stelt men: ' Tt S dan heeft men tenslotte de oplossing in den gewonen vorm: F r+ ZeNeemt men nog bovendien de hypothese aan dat de beide ingevoerde quantengetallen onafhankelijk van elkaar kunnen veranderen (wat zeer waarschijnlijk is), dan komt men tot het resultaat dat het beschouwde systeem van uit een toestand van rust kan overgaan in een toestand van meetrillen en omgekeerd, zonder dat er gevaar is voor het optreden der instabiele beweging, daar hierbij slechts het quantengetal n2 verandert, zoodat Ci steeds gelijk nul blijft.] 6) Voor andere molekulen (Helium — Debye, Sommerfeld; Zuurstof* en Stikstof — Sommerfeld, 1. c.) is het niet gelukt goede dispersieformules af te leiden. Dit zou echter aan onze onbekendheid met den bouw dezer molekulen kunnen worden toegeschreven. [Men vergelijke hiervoor echter het laatste artikel van Sommerfeld, Ann. d. Phys. 63, p. 497, 1917, speciaal Kap. III. De modellen .welke Sommerfeld aanneemt voor 02 en N2 hebben eenige gelijkenis met het model voor fl2; in de onmiddellijke nabijheid van elke kern. bevinden zich nu echter 4 elektronen; de overige loopen in een ring tusschen beide kernen. Bij Waterstof heeft dus de ring 2 elektronen, bij Zuurstof 4, bij "Stikstof 6. Wat de quantenformules betreft komt Sommerfeld tot het eigenaardige resultaat, dat in een ring van 2 n elektronen het moment van hoeveelheid van beweging van ieder elektron de waarde:  § 36.] theorie van bohr in verband staan. 225 moet hebben. In verband met de algemeene gedachten die ik hier heb uiteengezet, lijkt mij dit zeer vreemd; veel meer zou ik voelen voor de onderstelling dat alleen het totale moment van de geheele ring. een geheel aantal malen behoeft' te zijn, doch dat het moment van een afzonderlijk elektron wel een gebroken aantal malen dit bedrag mag wezen. Dit kan bij Sommkrfeld's resultaten vrijwel even goed aansluiten, zooals uit bijgaand tabelletje blijkt (zie het gecit. art. p. 546): Pdisp. , 'm #2 02 -^2 h\-ln (exper.). 11Q ^ ^ (Sommerfeld): |/Ï=i,00 1^2=1,41 1/3 = 1,73 (gebroken quantengetallen voor de afzonderlijke elektronen): =- = 1,00 ~ = 1,50 ~ = 1,67 i) j ' 2 '4 ' 6 ' ' Met betrekking tot de hier opgeworpen onderstelling zou ik nog willen opmerken dat volgens de heerschende opvattingen de quantenformules steeds moeten worden toegepast op het geheele mechanische systeem, en niet op de afzonderlijke deelen. Dit blijkt b.v. zeer duidelijk uit de invloed die de beweging van de atoomkern bij waterstof op het spektrum heeft (zie § 18). Zie ook noot *) op bl. 138.] 7) In verband met de dispersieproblemen zij hier nog even gewezen op de theorie van J. J. Thomson over de verstrooiing van Röntgenstralen (zie: Conduction of Electricity through Gases, p. 255). Thomson onderstelt dat de elektronen meetrillen met de in- ') Hierbij is aangenomen dat het totale moment van de elektronenring bedraagt bij Ht: 2, bij Ot: 6 en bij N'i : '10 quanta. Op p. 549/550 geeft Sommerfeld op voor 2V O (dat een ring van 5 elektronen moet hebben): moment per elektron: p aisp. = 1,74. A/2 tc. Geeft men aan de geheele ring 8 quanta (als het ware 5'voor de stikstof, en 3 voor de zuurstof), dan vindt men hiervoor: 1,6. h 2 n; met 9 quanta voor de geheele ring: 1,8. A/271. Sommerfeld geeft de formule: (31/ 3 + 2 |/ 2). A/2n = 1,61 . A\2n. 15  226 verschillende problemen die met de [§ 36. vallende Röntgenstralen — (hierbij worden de krachten die het elektron aan het atoom binden verwaarloosd, daar de frequentie der invallende trillingen zeer hoog is, en dus de traagheidsreakties veel grooter zijn dan deze krachten) — en dat ze daarbij energie uitstralen volgens formule (6) van § 31, welke energie onttrokken wordt aan de invallende straling. Deze theorie is door C. G. Barkla. met goed gevolg toegepast ter berekening van het aantal elektronen in een atoom; zie bl. 17, noot 3). Verder is hiermee nauw verwant de theorie van de diffraktie en reflektie der Röntgenstralen door kristallen (Latje, Bragg.) Bij een herziening van de dispersietheorie zal men ook op deze kwestie moeten letten.  37. OPMERKINGEN OVER DE MAGNETISCHE EIGENSCHAPPEN VAN HET ATOOMMODEL. Volgens de algemeen geldende opvattingen doet een rondloopend elektron, evenals een gesloten elektrische stroom, een magnetisch veld om zich heen ontstaan. In eerste benadering — voor groote afstanden tot de baan van het elektron — is het veld hetzelfde als dat van een magneetje met moment: e S .« = -— (31) C T (iS = oppervlak van de baan; r= omloopstijd x)). De as van het magneetje staat loodrecht op het baanvlak. Is p9 het moment van hoeveelheid van beweging van heft elektron, dan is: Sjr =p9j2m, en dus: e p_ = 31a) 2mc Neemt men pv =n . h/2 tt, zooals bij de behandelde atoommodellen steeds werd aangenomen, dan vindt'men : fi — ca. 5 n magnetonen 2) (32) Men zou dus verwachten dat alle atomen — of tenminste de eenvoudige modellen: H, He, Li, en het H^-molekuul3) — sterk magnetisch zijn, terwijl hiervan experimenteel niets gebleken is: H%, He en Li zijn diamagnetisch4). 1) Deze formule geldt voor een exakt periodieke beweging. Zie voor de afleiding noot I bij deze paragraaf. 2) Cf. H. Stanley Allen, Proc. Roy. Soc. A 90, Meeting 19 Marcb 1914, p. 17/18. Verder twee artikelen van Th. v. Wereide, Ann. d. Phys. 52, p. 283, 289, 1917. 3) Bij meer gekompliceerde atomen is het misschien mogelijk dat de elektronen gedeeltelijk in tegengestelde richtingen loopen, en eikaars werking opheffen. ') Het waterstof-molekuul zou 10 magnetonen moeten bezitten (Cf. W. H. Keesom, Versl. Akad. Amst. XXIV, p. 625, 1915); men vergelijke hiermee de  228 verschillende problemen die met de f§ 37. .Nu hangt de vraag naar het magnetisch gedrag van een stof (b.v. van een gas) samen met de vraag: welke invloed oefenen de verschillende molekulen of atomen op eikaars bewegingen uit, en met statistische problemen. Voigt heeft de volgende beschouwingen ontwikkeld x): Indien men de molekulen als gyroskopen opvat van onveranderlijken vorm, welke gyroskopen elektrische ladingen dragen, en door hun rotatie een magnetisch veld veroorzaken, kan men drie gevallen onderscheiden: a) De molekulen beïnvloeden eikaars rotatie-beweging in geen enkel opzicht. Dan treedt alleen een diamagnetisch effekt op. b) Door de botsingen der molekulen wordt wel de richting van de rotatie-as beïnvloed, doch niet de rotatie-snelheid. In dit geval gedraagt het gas zich paramagnetisch. c) Indien bij de botsingen ook de snelheid der rotatie-beweging voortdurend gestoord wordt, treedt in het geheel geen magnetisch- effekt op. In hoeverre de bewegingen van de elektronen in de atoommodellen van Rutherford en Bohr beschouwd mogen worden analoog te zijn aan de rotaties van gyroskopische molekulen verlangt nog een nader onderzoek 2). Neemt men echter voorloopig aan dat er een volkomen analogie bestaat, dan komt het er nog op aan uit te maken met welke der drie bovengenoemde gevallen men te doen heeft. Vermoedelijk zal het antwoord hierop luiden: met geval b). Wat men ook aanneemt omtrent de wijze waarop de verschillende molekulen eikaars inwendige beweging beïnvloeden, het is toch zeer waarschijnlijk dat de ligging van het baanvlak der elektronen voortdurend veranderd wordt 3). Aan den anderen kant waarde gevonden voor het zuurstof-molekuul: 7 magnetonen, voor het ijzer-atoom: 11 magnetonen, enz. ') Geciteerd naar: H. A. Lorentz, Encykl. Math. Wiss. V, 14, p. 231 (1903). 2) Volgens Voigt (Ann. d. Phys. 9, p. 115, 1902 — cf. H. A. Lorentz, l.c.) "schijnt dit niet steeds het geval te zijn. 3) Bij het waterstof-molekuul ligt dit zeer voor de hand: men denke slechts aan de afstooting tusschen de kernen der verschillende molekulen. — Bij H- en .He-atomen kan men zich voorstellen dat wanneer twee atomen langs elkaar vliegen het magnetisch veld van het eene atoom een precessie-heweging van het haanvlak der elektronen van het andere doet ontstaan, en omgekeerd. — (Dit effekt is echter naar ruwe schatting zeer gering. Een atoom met /c* magnetonen  § 37.] THEORIE VAN BOHR IN VERBAND STAAN. 229 loopen in den tijd waarin twee molekulen elkaar voorbij vliegen de elektronen zoovele malen rond, dat men wel mag aannemen dat de rotatie-snelheid der elektronen gemiddeld niet wordt beïnvloed Indien dit juist is zouden dus H2, He, enz., paramagnetisch moeten zijn, in tegenspraak met hetgeen wordt waargenomen. Er doen zich derhalve de volgende problemen voor: 1) waardoor zijn H% , He, enz. niet paramagnetisch? 2) hoe komt het dat bij die elementen welke wel paramagnetisch zijn, de eenheid van het magnetisch moment van het atoom — het magneton — vijf maal zoo klein is als het magnetisch moment van een elektron dat met een moment van hoeveelheid van beweging van 1 quantum — h/2 n — rondloopt? Bestaat er werkelijk verband tusschen het magneton en dit magnetisch moment, of is dit slechts een toevallige uitkomst ? Sommige onderzoekers hebben de hypothese uitgesproken dat dé kern van het atoom een magnetisch moment bezit, en dat dit de magnetische werking der elektronen geheel of gedeeltelijk opheft2). In ieder geval blijkt dat het probleem van het magnetisch gedrag der atoommodellen nog verre van opgelost is 3). ~~~~ ~ O heeft op een afstand van 2 A. E. een magnetisch veld van de orde van grootte: H*. 103 Gauss. De hierdoor teweeggebrachte precessiesnelheid is van de orde van grootte: 10'0 (zie noot II bij deze paragraaf). Neemt men nn in aanmerking dat Helinm-atomen de afstand 2 A. E. gemiddeld in ca. 2.10 ~13 sek, afleggen, dan blijkt dat de totale draaiing van het baanvlak van de orde 0,1 a 1 graad is). ') Bij waterstof-molekulen is het aantal malen dat de elektronen rondloopen gedurende den tijd waarin twee molekulen elkaar voorbij vliegen naar een ruwe schatting van de orde van grootte: 100 è. 1000. De rotatiesnelheid der elektronen is bovendien door quantenvoorwaarden gebonden; men zal dus moeten aannemen dat zoodra de molekulen elkaar gepasseerd zijn deze snelheid precies dezelfde waarde heeft als te voren. (Vermoedelijk mag men aannemen dat een overspringen van uit de eene quantenbeweging in een andere bij een „botsing" van twee molekulen praktisch niet voorkomt). J) Zie: H. G. Stanley Allen, Proc. Boy. Soe. A 90, l.c. p. 17/18; Phil. Mag. 29, p. 40, 140, 1915. Th. v. Wereide, Ann. d. Phys. 52, p. 283, 1917. ') E. Rutherford (Proc. Roy. Soc. A 90, l.c. p. 19) maakt de opmerking dat het sterke magnetisch gedrag van Fe en Ni vermoedelijk samenhangt met de rangschikking der elektronen aan het oppervlak van het atoom, daar het in hooge mate afhankelijk is van de physische en chemische toestand der atomen (allotropie, verbinding met andere elementen, enz.).  230 verschillende problemen die met de [§ 37. Diamagnetisme van Waterstof, Helium en Lithium. Men kan onderstellen dat door nog onbekende oorzaken de paramagnetische werkingen niet tot uiting komen, doch dat wèl alle atomen waarin elektronen rondloopen een diamagnetisch effekt vertoonen, volgens de theorie van Langevin (1904). De grootte van de diamagnetische susceptibiliteit is evenredig met het totale oppervlak St der elektronenbanen in het atoom, en is gegeven door de formule: -KT ^ & ZOON Voor de afleiding dezer formule zie men noot II bij deze paragraaf. Neemt men voor e en e/m de op bl. 83 gegeven waarden, dan is: — JU = 6,8.109 .St (33a) Nu is gevonden: voor Waterstof (H2): — %A = 2,7.10-6 a 2,9.10-6 *) „ Helium (He): 39,2.10~6 2) , Lithium (Li): , 4,2.10-6 3) Hieruit volgt voor het totale oppervlak der elektronenbanen: Waterstof: St = ca. 4,1 A.E.2 Helium : 58 A. E.2 Lithium : 6,2 A. E.2 Uit het model van Debye berekent men voor het waterstofmolekuul: St — ca. 1,6 A. E.2 Dit stemt dus niet overeen. Ook de voor Helium gevonden *) H. Kamerlingh Onnes & A. Perrier, Comm. Leiden, N°. 122a, p. 10, 1911; P. Pascal, Comptes Kenaus 158, p. 1895,1914. — Oyer het hier besproken probleem is ook iets opgemerkt door Jon Ishiwara, Proc. T6kyó Math.-Phys. Soc. (2) 8, p. 181, 1915. *) Paul T&nzler, Ann. d. Phys. 24, p. 931, 1911. J) Pascal, l.c. Opmerking. Volgens Pascal is de diamagnetische susceptibiliteit der elementen in hun verbindingen een periodieke funktie van het atoomgewicht (of atoomnummer); ze wordt dns vermoedelijk bepaald door de buitenste elektronen van het atoom (evenals de chemische eigenschappen, e.d.).  § 37.] THEORIE VAN BOHR IN VERBAND STAAN. 231 waarde lijkt veel te groot om met het atoommodel in overeenstemming te kunnen zijn. Noot I. Magnetisch veld van een elektron dat in een periodieke baan rondloopt. Breng een rechthoekig koordinatensysteem aan, waarvan de oorsprong in of zeer dicht bij de baan ligt. De koordinaten van hèt elektron zijn £ ij t; deze worden als zeer klein beschouwd tegenover de koordinaten x y z van het punt waar men het magnetisch veld wil kennen. Neemt men aan dat de snelheid van het elektron klein is t.o. van de lichtsnelheid, dan vindt men voor de gemiddelde waarde der «-komponente van de vektor-potentiaal in het punt x y z: T a~x= Lim -^(dt.^Ll\(x-^-}-(y-vf^(z-^\-^..(I) 7 = 00 TJq T = Lim ~(dt.— [-+\(xSt+y yl + ztl) • • • (II) Nu is: Lim | ƒ dt. I | ^ Lim 1 '"^ ' — O , o f T (UI) Lim jjdt. I £ \ ^ Lim^Tp- = O \ o 1 f ■ S Lim J dt. ij ï = — ~ j (IV) l Lim )r fdt.tè = + =f ' o . / waar jSx Sy Sz de projekties van het oppervlak van de baan Nu is: T  232 verschillende problemen die met de [§ 37. (van het juiste teeken voorzien) op de drie koordinaat-vlakken voorstellen. Hieruit volgt tenslotte voor ax: ax= -e{-ySz + zSy) rcr Analoog voor ay en ae. Het magnetisch veld is dus hetzelfde als dat van een elementair-magneetje, waarvan de as loodrecht op het baanvlak staat, en dat het moment heeft: — & Noot II. Invloed van een uitwendig magnetisch veld op de beweging van een elektron om een atoomkern (verg. hoofdstuk III, § 20). Volgens bl. 104, formule (46) kan de funktie van Hamilton voor de beweging van een elektron om een atoomkern bij aanwezigheid van een magnetisch veld steeds tot den vorm herleid worden: H=K(P)=-~l~+yP.i (VII) " 'i Deze formule is ook geldig wanneer de sterkte van het magnetisch veld, en dus de grootheid ;', een funktie is van den tijd. Hieruit volgt dat de twee elementen van de baan Pi en Pa steeds konstant zijn, ook als het magnetisch veld verandert1). ') Bewijs. Uit de formules der elektronentheorie volgt dat de beweging van een elektron in een willekeurig elektromagnetisch veld steeds beheerscht wordt door de in § 6 gegeven lagrange-funktie (ook als het veld veranderlijk is). Hetzelfde geldt dus van de lagrange-funktie (44) in § 20 welke slechts een bizondere vorm is van de eerste. De transformatie van Hamilton om van de lagrange-funktie op de funktie van Hamilton over te gaan is steeds mogelijk, ook wanneer t expliciet in deze funkties voorkomt (zie b.v. Whittaker, Modern Analysis, Cambr. 1917, p. 263.) Dus geldt de funktie van Hamilton (45), § 20, ook in het geval van een veranderlijk veld. Daar tenslotte de kontakt-transformaties welke gebruikt zijn om van (45) op (46) te komen, de grootheid y niet bevatten en dus niet expliciet van t afhankelijk zijn, is ook (46) steeds geldig wanneer y veranderlijk is (verg. Whittaker, l.c. p. 309). P, en Pj zijn hier adiabatische invarianten. Vergelijk § 38.  § 37.] THEORIE VAN BOHR IN VERBAND STAAN. 233 De middelbare beweging der variable Qj, de grootte van de baan, en de helling van het baanvlak ten opzichte van het xy-xlak veranderen derhalve niet indien men een magnetisch veld. aanzet. De eenige invloed van het magnetisch veld is dat het baanvlak een precessie-beweging krijgt om de z-as (vooruitgaan der knoopenlijn): a3=|^=yi) (vin) Berekent men nu de gemiddelde waarde van de vektorpotentiaal over een tijd T, zoo groot dat de knoopenlijn zeer vele malen rondgedraaid is 2), dan vindt men: T , LimJd«.£f = -^- = 0, enz. (IX) o UmilJdt.vk- — — — ^~\8' (X) IJ T 2 TT 0 Het atoom gedraagt zich dus als een magneetje met moment: waarvan de as gericht is langs de z-as van het koordinatensysteem (dus volgens de richting Van het uitwendig magnetisch veld). Heeft men te doen met een gas, bestaande uit atomen wier baanvlakken alle dezelfde grootte hebben, doch gelijkmatig over alle mogelijke standen verdeeld voorkomen, dan is: S, = 0 \S.\=±\8\ (XII) Men vindt dus voor de totale magnetisatie per grammolekuul (event. per gramatoom) -NAv./-e\8\ (XIII) 4 ic c |l) Deze beweging van de knoopenlijn is identiek met hetgeen men gewoonlijk aanduidt als de versnelling of vertraging van de elektronenbeweging door de induktie-werkingen bij het aanzetten van het magnetisch veld.] 2) Voor een magnetische veldsterkte M = 1000 Ganss is y ongeveer 9.109; de tijd T kan dus b.v. 0,0001 sek. zijn.  234 VERSCHILLENDE PROBLEMEN DIE MET DE [§ 37. en voor de diamagnetische susceptibiliteit: griP(X1V) Indien men te doen heeft met atomen of molekulen die meerdere elektronen bevatten, waarvan de baanvlakken parallel zijn, mag men met groote waarschijnlijkheid aannemen dat de diamagnetische werkingen der verschillende elektronen geaddeerd worden. Men komt dus voor de susceptibiliteit tot de formule: u = -Njh,*Ü!- :' (XV) * 8 n m cz waarin St de som. der absolute waarden der oppervlakken van alle elektronenbanen in het systeem voorstelt.  HOOFDSTUK VI. ADIABATISCHE BEÏNVLOEDING VAN EEN MECHANISCH SYSTEEM. OPMERKINGEN OVER STATISTISCHE PROBLEMEN. § 38. BEÏNVLOEDING VAN EEN MECHANISCH SYSTEEM DOOR UITWENDIGE KRACHTEN. ADIABATISCHE BEÏNVLOEDING. De aanleiding tot de volgende opmerkingen is een hypothese opgesteld door Ehrenfest over de z.g. omkeerbaar-adiabatische veranderingen van een mechanisch systeem 1). Indien een mechanisch systeem onderworpen is aan de werking van uitwendige krachten blijven in het algemeen de bewegingsvergelijkingen van Hamilton niet meer geldig. De berekeningen van hoofdstuk II kunnen dan niet worden toegepast, en men kan — tenminste volgens de tegenwoordige stand der theorie — geen quantenvoorwaarden invoeren. Er is nog geen methode bekend om deze problemen aan te passen aan de quantentheorie 2). Er bestaat evenwel een bizondere wijze van beïnvloeden waarbij de vergelijkingen van Hamilton hun geldigheid wel behouden; dit geschiedt in vele gevallen waarin de beïnvloeding bestaat in een langzame verandering van bepaalde parameters die in de funktie van Hamilton voorkomen. i) P. Ehrenfest, Versl. Akad. Amsterdam XXV, p. 412 vgl., 1916. (= Ann. d. Phys. 61, p. 327, 1916). [*) De heïnvloeding door periodieke krachten, waarmede men te doen heeft hij het prohleem der dispersie, is besproken in § 36, bl. 215—218.]  236 adiabatische beïnvloeding [§ 38. Als voorbeeld kan o.a. het volgende genoemd worden: De beweging van een elektron in een elektromagnetisch veld wordt beheerscht door de lagrange-funktie: L = -m# l) +e(9-a'*+af+ (1) (zie § 6). Deze funktie geldt — op grond van de vergelijkingen der elektronentheorie — ook indien de vier potentialen: op, Ox, a,j, dz funkties van den tijd t zijn 1). Uit L leidt men met behulp der bekende transformatie van Hamilton de funktie van Hamilton af: h=-*+-"(1/^2(^+!?)'-0 ■ • <*> De transformatie van Hamilton mag ook toegepast worden in het geval dat in L (en dus in H) t expliciet voorkomt 2). Dus is de funktie van Hamilton (2) ook geldig zoo het elektromagnetische veld veranderlijk is 3). Men stelle zich nu voor dat een elektron in een gegeven konstant elektromagnetisch veld een bepaalde beweging Bo uitvoert. Dan kan men door de parameters a\ , a2 ,.. . die het veld bepalen oneindig langzaam te veranderen van de oorspronkelijke waarden aio, ) op bl. 232). *) Cf. J. M. Burgers, Versl. Akad. Amsterdam XXV, p. 851, 1916. 5) P. Ehrenfest, 1. c.  § 38.] van een mechanisch systeem. 237 Ehrenfest heeft nu de hypothese uitgesproken: indien de oorspronkelijke beweging Bo voldoet aan de quantenvoorwaarden, zal dit ook het geval ïijn met elke beweging Bi die door een adiabatisch-reversibele transformatie er uit is afgeleid. Geeft men de quantenvoorwaarden in den vorm (zie hoofdstuk II, § 10): Pi = 7n . A/2 tt (3) waar Pi ... P& de z.g. intensiteitskonstanten der beweging zijn, dan kan de hypothese aldus uitgedrukt worden: De grootheden: P\ , P2, .. . Pk zijn invariant tegenover een adiabatische beïnvloeding van het systeem (4) Indien deze hypothese juist is zou men er uit mogen afleiden dat de reversibele adiabatische processen geheel volgens de klassieke mechanika behandeld mogen worden. Dit zou een middel aan de hand doen om weer een belangrijke schrede verder door te dringen in de „quanten-mechanika". Een groote steun voor deze onderstelling is de verschuivingswet van W. Wien, welke betrekking heeft op de adiabatische kompressie van straling. Ofschoon deze te midden van de quantentheorie der straling staat, is ze geheel langs klassieken, weg afgeleid 1). Ehrenfest heeft bewezen dat in bepaalde gevallen de quantenvoorwaarden niet verbroken worden bij een adiabatische beïnvloeding 2); naderhand is door Burgers een algemeen bewijs gegeven van stelling (4), dat echter in sommige opzichten niet mathematisch streng is, en daardoor niet volkomen zeker 3). Bovendien doen zich nog groote moeilijkheden voor bij de z.g. semi-periodieke of ontaarde systemen (zie hoofdstuk II, § 13); deze zullen beneden besproken worden. Voorloopig zal worden aangenomen dat de hypothese juist is, en dat van de moeilijkheden die bij ontaarde systemen optreden mag worden afgezien. V) Zie P. Ehrenfest, 1. c. *) L.c. — Ehrenfest noemt de grootheden welke niet veranderen bij een adiab. proces: adiabatische invariante»; men moet dus aantoonen dat de quantenvoorwaarden betrekking hebben op dergelijke adiabatische invarianten. 3) Zie: J. M. Burgers, Versl. Akad. Amsterdam XXV, hl. 849, 918, en speciaal 1055, 1916/17.  238 adiabatische beïnvloeding L§ 38. Men kan de hypothese plaatsen naast de reeds vroeger genoemde hypothesen der quantentheorie. Men krijgt dan de volgende (voorloopige) grondstellingen der „quantenmechanika": A) de hypothesen over de stationnaire of quantenbewegingen (geen uitstraling van energie; formuleering der quantenvoorwaarden); zie hoofdstuk II, § 6, 7 en 10. B) hypothesen over de beïnvloeding van een mechanisch systeem door uitwendige oorzaken: I) Bij een adidbatisch proces blijven de intensiteitskonstanten Pi onveranderd; de beweging blijft voldoen aan de quantenvoorwaarden, en de quantengetallen veranderen niet. II) Bij stralingsprocessen veranderen de quantengetallen direkt; voor deze processen gelden de hypothesen van Bohr en Einstein (hoofdstuk II, § 8; V, § 33). Door middel van beide processen kan energie aan het systeem geleverd worden: bij een adiabatisch proces is: * >T dK(P,a) _ ^ (waar K (P ,a) de funktie van Hamilton is, uitgedrukt in de P's en de parameters); bij een stralingsproces is: A « = a (?i"i.... n"k) — « (n'i.... n'k) (6) Men kan zich nu ook eenigszins een denkbeeld vormen van de wijze waarop verschillende mechanische systemen elkaar beïnvloeden (zooals b.v. de molekulen van een gas). Men kan hierbij evenzoo twee typen van werkingen onderscheiden: I) adiabatische: het eene molekuul wijzigt door zijn eigen krachtveld het veld van een ander molekuul, waar het langs vliegt. Gedurende dit proces blijven voortdurend de bewegingen in elk molekuul quantenbewegingen. II) Beide systemen kunnen door straling energie afstaan en opnemen; in het algemeen zijn beide in wisselwerking met het stralingsveld. Hierdoor kan indirekt energie (en hoeveelheid van beweging — hypothese van Einstein, zie boven bl. 36) van het eene systeem aan het andere worden meegedeeld. Deze voorstelling moet echter met de grootst mogelijke reserve worden beschouwd. Er zijn groote moeilijkheden aan verbonden, welke nog bijna volkomen onopgelost zijn:  § 38.] van ben mechanisch systeem. 239 A) Bij het bovenstaande is niet gesproken over het geval dat op een mechanisch systeem krachten werken, welke niet oneindig langzaam veranderen, zooals b.v. periodieke krachten (elektrische trillingen, e. d.). Deze kwestie, welke ook de groote moeilijkheid vormde bij de dispersieproblemen, blijft nog onopgelost. [Zie echter § 36, bl. 215—218.] (Wanneer twee molekulen langs elkaar vliegen zal men verwachten dat ze ook periodiek wisselende krachten op elkaar uitoefenen, tengevolge van de periodieke bewegingen der elektronen, enz. in elk molekuul. Het zou echter mogelijk zijn dat deze periodieke krachten niet werkzaam zijn, door een of andere oorzaak welke verband houdt met de afwezigheid van een uitstraling van energie door deze bewegingen.) B) Een tweede kwestie (vermoedelijk van minder gewicht) is: hoe moet men de gewone botsingen opvatten? Dit hangt samen met het probleem van de translatie-bewegingen (zie hoofdstuk JI, § 15, a). Men kan zich hier (le) op het standpunt plaatsen dat translatie-bewegingen niet gequantiseerd moeten Worden, en de botsingen op de klassieke wijze behandelen (zooals b.v. door Rutherford gedaan is in de theorie van de verstrooiing der alpha-deeltjes; zie hoofdstuk I, § 3). (2e) kan men de translatie-bewegingen wel aan quantenvoorwaarden onderwerpen, volgens de methode waarop dit geschiedt in de gastheorie van Planck1). De wetten van de botsing zullen dan geheel gewijzigd moeten worden, vooral indien men de tweede quantentheorie van Planok gebruikt. (3e) kan men de translatie-bewegingen der molekulen tot periodieke herleiden, zooals in sommige gastheorieën geschiedt (Lenz, Keesom, e. ia.). Dan zullen de botsingen op een geheel andere wijze moeten worden opgevat. C) De grootste moeilijkheid hangt evenwel samen met het probleem der ontaarde systemen. Volgens de formuleering der quantenvoorwaarden in hoofdstuk II, § 10, 11, wordt bij ontaarde systemen (d. z. systemen waar rationale betrekkingen bestaan tusschen de middelbare bewegingen) slechts een gedeelte der P's (eventueel der P's) gequantiseerd. Omtrent de waarden der overige intensiteitskon- ') M. Planck, Sitz. Ber. Berl. Akad. 1916, j>. 653 vgl. (zie boven § 15, a).  240 adiabatische beïnvloeding [§ 38. stanten kan in het algemeen niets worden vastgesteld, daar deze niet eenduidig bepaald zijn (zie hierover § 13). Men kan bij deze systemen twee typen van adiabatische beïnvloeding onderscheiden: (1) Een beïnvloeding waarbij de eenmaal bestaande rationale betrekkingen onveranderd geldig blijven. Dan zijn de gequantiseerde P's adiabatische invarianten; over de andere kan in het algemeen niets gezegd worden. Dit geval geeft niet tot bizondere moeilijkheden aanleiding1). 2) In de meeste gevallen zullen bij een verandering der parameters de rationale betrekkingen tusschen de middelbare bewegingen geheel of ten deele verdwijnen. Men gaat dan van een systeem met beperkte quantiseering over op een volledig (of althans minder beperkt) gequantiseerd systeem, en de vraag doet zich voor: hoe komen de oorspronkelijk niet gequantiseerde P's op hun juiste waarden? (Men houde hierbij vooral in het oog dat indien men van een öntaard systeem naar verschillende niet-ontaarde overgaat, men op geheel uiteenloopende quantenvoorwaarden kan komen2)). Ter oplossing dezer moeilijkheid kan men twee wegen inslaan: (a) Men kan als een bizondere hypothese invoeren dat bij den overgang van een ontaard systeem op een niet-ontaard, de oorspronkelijk niet gequantiseerde P's a. h. w. „automatisch" (door nog onbekende werkingen) de juiste waarden krijgen. Deze hypothese lijkt evenwel zeer gekunsteld; bovendien strijdt ze ook tegen de oorspronkelijke hypothese van Ehrenfest dat de adiabatische processen geheel volgens, klassieke methoden berekend kunnèn worden. (6) Men kan met Epstein 3) aannemen dat ontaardingsgevallen ') Voorbeeld,: Een periodiek systeem, waar de exakte periodiciteit gedurende het variatie-proces steeds behouden blijft. Hier is de adiabatische invariante: Zie Ehrenfest, 1. c. en Burgers l.c. p. 918. *) Zie hoofdstuk II, § 13. Het in § 13 beschouwde grensproces waarbij een systeem ontaardt, kan in vele gevallen een adiabatisch proces zijn. Op deze kwesties is reeds gewezen door P. Ehrenfest in het geciteerde artikel. Daar is ook een voorbeeld behandeld. 0 ») P. S. Epstein, Ann. d. Phys. 51, p. 182, 1916..  § 38.] van een mechanisch systeem. 241 in strengen zin niet voorkomen. De beweging van een elektron om een atoomkern zal b.v. steeds gestoord worden door de elektrische en magnetische krachten der naburige atomen, welke een anisotropie van het veld veroorzaken, enz. Alle systemen zijn dan steeds volledig gequantiseerd; wat ons als ontaard systeem voorkomt is een soort overgangsgebied, waar een bepaald type van quantenvoorwaarden in een ander overgaat. Het schijnt dat men op deze wijze de moeilijkheden geheel kan ontgaan. Een voorbeeld van een dergelijk overgangsproces zal beneden (§ 40) vermeld worden 1). Afgezien' van het bovenstaande blijft de kwestie der rationale betrekkingen tusschen de middelbare bewegingen bij de theorie der adiabatische invarianten nog een andere moeilijkheid opleveren; men zie hiervoor bl. 244, opmerking 1). [') Neemt men deze onderstelling van Epstein aan, dan zal in het algemeen een door een heperkt aantal quantengetallen gekarakteriseerde bewegingstoestand van een systeem dat ons als ontaard voorkomt, inderdaad zijn een bepaalde groep van bewegingstoestanden van een volledig gequantiseerd systeem. De vorm van de qSrantenformules die men moet toevoegen aan het beperkte stel van/—X voorwaarden dat voor het „ontaarde" systeem is opgesteld, hangt, zooals in § 13 besproken is, af van de aard der storingen welke maken dat het systeem inderdaad niet ontaard is. Heeft men een bepaalde storing en gaat men langs adiabatischen weg naar een andere over, zonder dat een oogenblik exakte ontaarding optreedt, dan gaan deze „aanvullings"-quantenvoorwaarden van het eene type over in het andere; het beperkte stel dat men aan het ontaarde systeem had toegekend blijft daarbij in eerste benadering onveranderd. (N.B. Het veranderen van den vorm der quantenvoorwaarden is niet in strijd met de adiahatenhypothese; deze eischt dat de qmnlengetullen onveranderd blijven). De energie van het systeem is daarbij gegeven door een formule van de gedaante: « = K„ (P„ P„ ... Pf _ x) + K, (P,, P„ ... Pf - i,ff _i + 1,... waarin de parameters voorstellen die de storingen bepalen;'deze komen niet voor in de hoofdterm K0. De funktie K, is zeer klein ten opzichte van K0, daar aangenomen is dat de storingen zeer gering zijn. In de meeste gevallen zal men de bewegingen slechts behoeven te kennen voor zoover ze bepaald zijn door P, ... Pf — x (0-v- wanneer men de energie moet berekenen); bewegingen waarvoor Pf _ x _l \ ... Pf verschillend zijn onderscheiden zich dan niet. Men vergelijke in verband hiermee bok de opmerkingen over de gewichtsfunktie voor ontaarde systemen, hl. 256, vgl.] 16  § 39. OPMERKINGEN OVER HET BEWIJS VOOR DE INVARIANTIE DER P's. Een bewijs voor de invariantie der P's (eventueel der P's) bij een adiabatische beïnvloeding van het systeem is gegeven door Burgers 1). Dit bewijs zal hier niet herhaald worden; slechts wil ik er enkele punten van vermelden. Ondersteld wordt dat gedurende de variatie van een parameter a de vergelijkingen van Hamilton, uitgedrukt in de oorspronkelijke koordinaten en momenten q enp, blijven gelden (definitie van „adiabatisch"); verder wordt aangenomen dat da/dt konstant is 2). " Omtrent het mechanische systeem zelf is aangenomen dat de beschouwde groep van oplossingen stabiel is in den zin van definitie (1) op bl. 135, en dat deze oplossingen kunnen worden uitgedrukt met behulp van reeksontwikkelingen naar de sinussen en cosinussen van n hoekvariabelen. Is de parameter a konstant, dan wordt de beweging der grootheden Q en P beheerscht door de funktie van Hamilton: H = K(P,a) (8) welke de Q's niet bevat (zie bl. 43). De middelbare bewegingen der Q's zijn gegeven door: Ondersteld wordt dat er geen rationale betrekkingen tusschen de co's bestaan 3). i) j. M. Burgers, Versl. Akad. Amsterdam XXV, p. 1055, 1917. ») Dat de wijze waarop a met den t$d verandert zonder invloed is op het resultaat der adiabatische beïnvloeding, is nog niet bewezen. Vermoedelijk is dit juist, indien slechts niet dajdt „resoneert" op een der frequenties van het systeem, en oneindig klein is t. o. v. de snelheden in het systeem. 3) indien er een aantal rationale betrekkingen tusschen de middelbare bewegingen bestaan, en men zich beperkt tot die beïnvloedingen welke deze betrek-  § 39.] VAN EEN MECHANISCH SYSTEEM. 243 Indien a niet konstant is, blijft voor de beweging der q's en P's de funktie van Hamilton (8) in het algemeen niet geldig, daar de parameter in de transformatie-vergelijkingen kan voorkomen. In de plaats van (8) komt dan de funktie: H* = K{P,a) — F(Q,P,a).da/dt (10) waar F te schrijven is als een meervoudige FouaiER-reeks naar de q's*). Uit (10) volgt dat de bewegingsvergelijking voor Pk is: =- t|*=* 11\ <- *+• • "'*>] (11) Bestaan er nu geen rationale betrekkingen tusschen de middelbare bewegingen der q's, dan is het tijdgemiddelde van deze kingen onveranderd laten, zal op een analoge' wijze aangetoond kunnen worden dat die P's welke volgens § 10 en 11 gequantiseerd moeten worden, adiabatische invarianten zijn. (Vergelijk voor het geval dat de bewegingsvergelijkingen met behuTp der methode v/d separatie der variabelen behandeld kunnen.worden: J. M. Burgers, 1. c. p. 918.) ') [De vorm der funktie H* is af te leiden met behulp van de theorie der kontakttransformatles; zie "Whittaker, Analytical Dynamics (Cambr. 1917), p. 288 en vgl. Volgens deze theorie moet men in den differentiaalvorm: 2 pdq — H (q,p,a)dt (I) voor de q's en p's hnn uitdrukkingen in de Q's, de P's en a substitueeren, waarbij a als gegeven funktie van t beschouwd moet worden. Hierdoor gaat (I) over in: 2 P d q — H* (q, P, o) dt + D W(Q, P, a) (II) waar D W de volledige differentiaal van een funktie W van de Q's, de P's en t is: ^=2|^ + 2>4W^ >... (in. De koefflcient H* van dt in (II) is dan de funktie van Hamilton voor de Q's en P's gedurende het variatieproces, en men kan aantoonen dat deze van de boven aangegeven gedaante is, m.a.w. dat de Q's hierin slechts in den vorm van trigonometrische funkties voorkomen. Op dit laatste berust de afwezigheid van sekulaire termen in de vergelijking (11) voor -jj-i zoodat de totale verandering van Pk willekeurig klein gemaakt kan worden t.o.v. de verandering van de parameter a.\ Zie J. M. Burgers, l.c. p. 1057, 1059.  244 ADIABATISCHE BEÏNVLOEDING [§ 39. uitdrukking nul, en dus is: Lim . ?p' = 0 i) (12) o a Opmerkingen. 1) In het bovenstaande is steeds aangenomen dat er geen rationale betrekkingen bestaan tusschen de middelbare bewegingen. Deze middelbare bewegingen zijn echter in het algemeen funkties van de parameters a, zoodat hun waarden veranderen bij de variatie der a's. Dan loopen hun verhoudingen voortdurend door rationale waarden, heen 2). In hoeverre dit tot moeilijkheden aanleiding kan geven is nog niet nader onderzocht. In verband hiermee moet het volgende opgemerkt worden: Steeds is omtrent de gebruikte reeksontwikkelingen aangenomen dat ze gelijkmatig en voldoende sterk voor alle waarden van t konvergeeren. Dit schijnt bij vele problemen niet.het geval te zijn; de meeste reeksen die in de astronomische mechanika gebruikt Worden zijn z.g. asymptotische reeksen 3). Hierbij schijnt ook de kwestie van het al of niet aanwezig zijn van rationale betrekkingen tusschen de middelbare bewegingen van belang te zijn: het kan voorkomen, dat men zoodra er rationale betrekkingen tusschen de \ en w| zijn de parameters. De funktie van Hamilton luidt: H = \ (px2+py2) + } («ï x2 + «,> 2/2) (13) Transformatie-vergelijkingen ter invoering der hoekvariabelen: x = [/ 2 P\ /cox cos Qi 1 enz (14) px = — 1/2 Pi «! sin & 1 Vergelijking (10) wordt in dit geval: o*_ pi p • Pi sin 2 • P2 sin 2 Q2 ar— «1 fx -f- (O2P2 — coi 0 co2 jr . . (10) 2 coi 2 o>2 Zoodat: dPi _ ■ Pi cos 2 Q, —— _ + «1 (16) at a>i - Uit vergelijking (16) blijkt dat bij dit eenvoudige probleem rationale betrekkingen tusschen toj en co2 niet storen; de eenige waarden van coi en w2 waarvoor een singulariteit kan optreden zijn: coi = 0 en: to2 = 0 (17) Een nader onderzoek omtrent deze problemen is echter zeer gewenscht. 2) Een algemeen kriterium om te beslissen wanneer een verandering der parameters als een adiabatische beschouwd mag worden, en wanneer niet, is nog niet gegeven 2). ') In de astronomie kan men slechts bewijzen dat ons planetenstelsel gedurende een eindige, zeer groote tijd stabiel is (cf. K. Sohwarzschild, l.c). *) Eenige voorbeelden zijn door Burgers genoemd, l.c. p. 851; zie ook boven bl. 236.  246 adiabatische beïnvloeding [S 39. Ook moet nog onderzocht worden of het voldoende is dat de vergelijkingen van Hamilton voor de oorspronkelijke koordinaten 'en momenten q en p slechts tot op termen van de 2e en hoogere orde in o onveranderd blijven i). 3) De theorie der adiabatische invarianten kan — in den boven gegeven vorm — niet worden toegepast op bewegingen die het karakter van periodiciteit of quasi-periodiciteit geheel missen, zooals b.v. hyperbolische bewegingen 2). Of het mogelijk zal zijn een zoodanige uitbreiding te vinden dat dergelijke bewegingen er ook onder vallen, is nog niet onderzocht 3). i) Burgers, l.c. p. 1060. *) Vergelijk P. Ehrenfest, Versl. Akad. Amsterdam XXV, p.427 of 428, 1916; Ann. d. Phys. 51, p. 345, 1916. [Evenmin is een oplossing gevonden voor de moeilijkheid die zich voordoet hij het passeeren van een singuliere beweging met oneindig groote periode (asymptotische bewegingen). Vergelijk P. Ehrenfest, l.c. ongeveer p. 420, en ook Versl. Akad. Amst. XXII, p. 586, 1913.] 3) Misschien kunnen voor deze problemen van nut zijn de opmerkingen van Poincaré over de analytische voortzetting van banen die naar het oneindige loopen (H. Poincaré, Mécanique Céleste III, p. 168).  § 40. VOORBEELD VAN EEN ADIABATISCH PROCES, DAT OM EEN ONTAARDINGSGEVAL HEENGAAT, i) In het volgende zal worden afgezien van de in § 39 genoemde moeilijkheden; aangenomen wordt dat de adiabaten-hypothese Beschouwd wordt de beweging van een elektron in een gegeven elektromagnetisch veld; ter vereenvoudiging wordt het probleem tot twee afmetingen beperkt. Men kan uitgaan van een anisotroop, quasi-elastisch krachtveld, en dit door een adiabatische transformatie omzetten in een isotroop, niet quasi-elastisch (m.a.w. in een willekeurig centraal) krachtveld 2). In het eerste geval moeten de beide hoofdtrillingen gequantiseerd worden; in het tweede het moment van hoeveelheid van beweging, en de faze-integraal: Voert men nu den overgang aldus uit: men laat eerst het krachtveld: in een isotroop overgaan, door de beide elasticiteitskonstanten x en l aan elkaar gelijk te maken, en men maakt daarna het veld niet quasi-elastisch door termen van den vorm: Ai t4 aan de potentieele energie toe te voegen, dan gaan deze quantenvoorwaarden niet in elkaar over zooals door Ehrenfest is aangetoond. ') Dit voorbeeld is gekozen naar aanleiding van een opmerking van P. Ehrenfest, Versl. Akad. Amsterdam XXV, p. 426 of 427, 1916; Ann. d. Phys. 51, p. 343, 1916. ») Deze overgang geeft een verband tusschen de oorspronkelijke uuantenonderstellingen van Planck, en die van Sommerfeld. Cf. P. Ehrenfest, l.c. juist is. V=\(*x *2/2)  248 •ADIABATISCHE BEÏNVLOEDING [§ 40. Wil men dat het eene stel quantenvoorwaarden kontinu in het andere overgaat, dan moet worden zorg gedragen dat het singuhere geval van een isotroop quasi-elastisch veld niet optreedt. Men kan dit bereiken door reeds voordat x = X geworden is termen van den vorm: Ai r* aan V toe te voegen. Een andere methode — welke voor de berekening gemakkelijker is — bestaat hierin dat men een magnetisch veld aanbrengt, loodrecht op het vlak der beweging; de oorspronkelijk rechtlijnige hoofdtrillingen in het anisotrope veld gaan dan over in elliptische, die bij het verdwijnen der anisotropie drkulair worden. Daarna kan men aan V de extra termen Aii4 toevoegen, en het magnetisch veld laten verdwijnen. Het eerste gedeelte van dit proces — tot aan de beweging in een isotroop veld, onder invloed van een magnetische kracht — is in een eenigszins ander verband boven (§ 23, I) behandeld; daar is aangetoond dat de quantenformules voor het anisotrope, qüasi-elastische veld kontinu overgaan in die voor een centraal veld: ƒ prdr = ni h; 2 n p9 = n2 h . De overgang van hier naar een niet quasi-elastisch centraal veld, zonder magnetisme, is zeer gemakkelijk 1). i) Het probleem is gekarakteriseerd door de funktie van Hamilton: In het geval van een quasi-elastisch krachtveld zijn alle koefficienten Ai = 0, met uitzondering van At; in het andere grensgeval hebben deze koefficienten willekeurige waarden, doch is y — 0. De quantenvoorwaarden zijn: ( jdr. ]/^2 a - 2/p9 — ^ — 2 ^ Ai ri—/2r2 = nl h 1 2 n pv — U2 h.  § 4L OPMERKINGEN OVER STATISTISCHE PROBLEMEN. Over de statistika van een ensemble van systemen wier bewegingen doof quantenvoorwaarden zijn gebonden, zullen hier slechts enkele punten vermeld worden. Voor eenige algemeene onderzoekingen die op dit gebied betrekking hebben wordt verwezen naar artikelen van P. Ehrenfest, speciaal: Phys. Zeitschr. 15, p. 657, 1914 en Akad. Amsterd. XXV, p. 423, 1916 (— Ann. d. Phys. 51, p. 340, 1916). De verschillende problemen die door Ehrenfest opgeworpen en onderzocht zijn zullen in het volgende niet worden behandeld: ik wil me beperken tot het aangeven van een bepaalde toestandsverdeeling en aantoonen dat deze voldoet aan de door Ehrenfest gestelde eischen. A. Ondersteld wordt dat men een ensemble heeft van N nietontaarde (dus volledig gequantiseerde) systemen y). De bewegingstoestand van elk systeem kan gekarakteriseerd worden door de waarden der 2 f integratiekonstanten: Pi... Pf sL. . . sf (cf. boven, § 10), zoodat de systemen afgebeeld kunnen worden door punten in een 2/-dimensionale f-P-ruimte. — De P's kunnen slechts de diskrete waarden: Pi =«i . hj2n hebben; de e's daarentegen kunnen alle waarden van 0 tot 2 n kontinu doorloopen. Nu wordt aangenomen dat de stationnaire toestandsverdeeling in de e-P-ruimte beschreven kan worden als de waarschijnlijkste verdeeling der systemen bij gegeven totale energie, wanneer men elke bewegingstoestand: ') Voor ontaarde systemen zie men beneden C, II.  250 STATISTISCHE PROBLEMEN. [§ 41. S( = willekeurig \ als a priori even. waarschijnlijk beschouwt1). Het aantal systemen waarvoor: Pi = ni h\2'n is, terwijl de faze-konstanten tusschen e,- en f j -f- ei £; liggen, zij voorgesteld door: N (2n)f " * n/ Ê1 f/ ai a2 . ..) ciei • • • d f/ 2).. . (2) Volgens bl. 43 is de energie van een bepaald systeem slechts een funktie der P's (dus der quantengetallen rii. .. nf) en der parameters a± a2... van het systeem; ze is onafhankelijk van de e's: a =■ a (rii.... nf a^ a-2 .. ■) (3) Hieruit volgt dat ook de verdeelingsfunktie onafhankelijk moet zijn van de faze-konstanten, zoodat het totale aantal systemen waarvoor Pi=-mhj2 n is bedraagt: N . (ni nf ax a^ . .. .) 3) '. . . (4) De funktie

(«, «)=i (5) .. . X N.

8 a (11) Nu is ,«8 Q een volledige differentiaal: fiÖQz=8({iE) — ESfi--N^iun>8a = — 8(fiE) — X (« 8,« + /i 8 «) e -"■ = = 8(luE + NlgZ) (12) Uit formule (7a) volgt dat voor deze toestandsverdeeling: Ig W—konst. + (,uE + ±Vlg Z) (13) zoodat: fi8Q = 8(nE + NlgZ) = 8 Ig W (14) Deze vermeerdering van energie is daaraan te danken dat bij de verandering der parameters door uitwendige krachten arbeid aan het systeem is geleverd. Het tijdgemiddelde van deze uitwendige krachten is dus gelijk aan: d « (n, a) « /TT. en de gemiddelde kracht door het systeem „in de richting van de parameter a" uitgeoefend: f *«(n,a) m) d Oj (Cf. J. M. Burgers, Versl. Akad. Amst. XXV, p. 1058, noot »).) Heeft men een ensemble, dan volgt uit de gelijkmatige verdeeling der systemen over de f-ruimte, in verband met de periodiciteitseigenschappen der systemen, dat men het tijdgemiddelde voor een bepaald systeem mag vervangen door het getalgemiddelde voor alle systemen waarvoor de quantengetallen dezelfde waarden hebben. De kracht door het ensemble „in de richting van de parameter a" uitgeoefend is dus: Fi = — 2...2Nd>^- (IV) *, nf da* terwijl bij een verandering der parameters door het ensemble een arbeid wordt geleverd: S A = 2Fi8ai = — 2... 2 N f 2-—-8 aA . . . (V)  § 41.1 statistische problemen. 258 b) Koppelt men twee ensembles van systemen, en bepaalt men de waarschijnlijkste toestandsverdeeling bij gegeven totale energie, dan treedt bij beide ensembles dezelfde parameter u in de verdeelingsfunktie op x). Neemt men voor het eene ensemble een klassiek ideaal gas, dan is u de parameter van de snelheidsverdeeling van Maxwell, en is dus gelijk aan: f—fr"(15) waar T de absolute temperatuur is. c) Op grond van het bovenstaande kan men nu S= k.lg W (16) definieeren als de entropie van het ensemble, en verder: F=E—T.S = — N.k.T.lgZ (17) als de vrije energie 2). Men heeft dan de volgende relaties: uit (14), (15), (16): ^ = 8S (18) verder: li&QSÈ^^y (19) en uit (17): - =F{ (20) Hierin stelt Ft de kracht voor, door het ensemble in de richting van de parameter uitgeoefend 4). ') Zie P. Ehrenfest, Phys. Zeitschr. 15, p. 661 (§ 4, (II)), 1914. *) S moet beschouwd worden als funktie der totale energie E en der- parameters <| «] ...: • S = S(E, a,, öj, ...). F moet opgevat worden als funktie van de absolute temperatuur T en van de parameters: F = F (T, a,, Z _ , p Du N v ö,« ») Dit volgt onmiddellijk uit verg. (17) door differentiatie naar een der parameters. (Zie noot *), bl. 251/252).  254 statistische problemen. [§ 41. Ui.t de bovenstaande formules blijkt dat een ensemble met de door vergelijkingen (8) en (9) gegeven toestandsverdeeling voldoet aan de verschillende formules der thermodynamika. Opmerkingen. 1) Over de thermodynamische funktie W van Planck zie noot 1). 2) Op de kwestie van de absolute waarde der entropie zal hier niet worden ingegaan. II) De beschouwde gewichtsfunktie 6? sluit zoo nauw mogelijk aan bij die welke in de klassieke statistische mechanika door Boltzmann is ingevoerd: hL dat aan gelijke volumina der fazeruimte (g-p-ruimte) gelijke gewichten worden toegekend. (Zie P. Ehrenfest) 2). Men heeft nl. 3): ï(q\...qfP\...:Pf) _ *(qi ■ ■ ■ q/Pi ■ ■ -Pf) _1 (21) »(«!.:.'ef Pi.. .Pf) HQi-...%Pi■••'•;-?ƒ) Met gelijke volumina in de g-p-ruimte korrespondeeren dus gelijke volumina in de e-P-ruimte. Volgens Boltzmann zou men derhalve aan gelijke volumina van de e-P-ruimte gelijke gewichten moeten toekennen. Bij de boven gebruikte gewichtsfunktie hebben gelijke volumina in de e-ruimte hetzelfde gewicht, terwijl in de P-ruimte een net van equidistante punten genomen is („hyperkubisch net"), aan elk waarvan hetzelfde gewicht is gegeven. 1) Zie M. Planck, Verh. Deutsch. Phys. Ges. 17, p. 444, 1915. f = V(T, ai, 02..) = Nk lg Z=Nk lg^e~ kT . Uit 3»" volgt omgekeerd voor de energie: Hiernit de soortelijke warmte: dE c = yy (=C«I«1 •••)• 2) p. Ehrenfest, Phys. Zeitschr. 15, p. 657, 1914; Versl. Akad. Amsterdam XXV, p. 423/424, 1916. 3) Zie b.v. E. T. Whittaker, Analytical Dynamics, Cambr. 1917, p. 312, Ex. 3.  § 41.] statistische problemen. 255 III) Voor zeer hooge temperaturen levert de beschouwde toestandsverdeeling het equipartitie-theorema. Volgens formule (I) in § 16, b) kan men als gemiddelde kinetische energie per vrijlieidsgraad van een bepaald systeem beschouwen: 1 • 1 l^d-K" 1 <*« /r>0\ Tt=\PiQt=\Pi«H= 2 Pt TFt=%iïTiï- ■ • (22) De gemiddelde waarde voor alle systemen van het ensemble is dus: W- 1 d7li (23) Bij zeer hooge temperaturen mag men approximatief de sommaties door integraties vervangen; men krijgt dan op de bekende wijze: i I.. . f dni ... dnr Ti; e-'"' 1 , T i — T ƒ f , _ „ " 2 a* 2 • " • V ; I ... j dnx. .. o»jf e M OpmcrHnjr. Hierbij is aangenomen dat: a) over de n's hetzij van 0 tot oo, hetzij van — oo tot + oo geïntegreerd wordt; b) dat voor n{=0 de funktie « geen singulariteiten vertoonb; c) dat voor n» = ± oo : Lim. « (ni ...«/) = oo. «i=: + oo Aan deze voorwaarden is niet steeds voldaan; zie b.v. beneden, § 42 (statistika van het atoommodel van Waterstof — K. F. Herzfeld). C. Verdere opmerkingeri. I) De besproken toestandsverdeeling is axiomatisch afgeleid  256 STATISTISCHE PROBLEMEN. [§ 41. als een waarschijnlijkste verdeeling onder bepaalde voorwaarden. Men moet echter ook aantoonen: a) dat ze werkelijk stationnair is; b) dat een willekeurig gegeven toestandsverdeeling vanzelf in deze overgaat. Voor zoover ik weet zijn in deze richting nog geen onderzoekingen gedaan. — Het zal hiervoor noodig zijn nader in te gaan op de werkingen tusschen de systemen onderling, en op de wisselwerking der systemen met het stralingsveld. Dit laatste zal vermoedelijk een belangrijke rol spelen, daar de quaiitengetallen in de eerste plaats, zoo niet uitsluitend, veranderen tengevolge van emissie of absorbtie van lichtstraling x). II) „Ontaarde systemen". Indien een systeem niet volledig gequantiseerd is kan men de boven aangenomen gewichtsfunktie 6 niét meer gebruiken. Door het ontaarde systeem op te vatten als een grensgeval van een niet-ontaard (volledig gequantiseerd) systeem, wordt" men er toe gebracht te onderstellen dat de quantenbewegingen: Pi = nihl2n (» = 1 . . .ƒ— X) 2) niet alle hetzelfde gewicht hebben, doch dat aan elk een zoo groot gewicht moet worden toegekend, als het aantal der niet-ontaarde bewegingen bedraagt, waaruit de beschouwde ontstaan is. 3) Voorbeelden. (1) Tsotrope oscillator van twee graden van vrijheid. Bij een anisotrope oscillator wordt aan elke beweging: Pi = m h/2 n ; P2 = «2 h/2 rc hetzelfde gewicht toegekend. Gaat de oscillator over in een isotrope, dan worden de mid- • ) Men zou het probleem kunnen vereenvoudigen door zich te beperken tot systemen die niet onmiddellijk op elkaar inwerken, doch slechts energie uitwisselen met het stralingsveld, terwijl de parameters alleen door uitwendige krachten kunnen worden beïnvloed. *) X is' het aantal der rationale betrekkingen tusschen de middelbare bewegingen (zie § 10). [') Vergelijk noot ') op bl. 241.]  § 41.] STATISTISCHE PROBLEMEN. 257 delbafe bewegingen van Qi en Q2 aan elkaar gelijk. Pas de transformatie toe: Pi + P2 = Pi Qi =Qi P2 = P2 -Qi + Q2 = Q2 Bij een anisotrope oscillator zijn de quantenbewegingen dan voor te stellen door: P1 = «1*A/2tt ; P2 = n2* A/2 tt. Elke kombinatie: rii*, n2* heeft hetzelfde gewichtx); echter is steeds: 0 Gaat het veld over in een quasi-elastisch krachtveld, dan wordt de middelbare beweging van Qi gelijk aan tweemaal die van Q2 2). Men voere nu de substitutie uit: ') Men denke hierbij aan de betrekking: MPiPa)--, d(PiP2) *) Voor de energie, uitgedrukt in de P's, vindt men: « = K (P) = co (2 Pi + | P2 |) («o *= frequentie). 17  258 STATISTISCHE PROBLEMEN. [§41. 2P1 + |P2| = P1 ± (32 = 01 Pi =P2 Ql +2Q2 = a2i)2). In het niet-ontaarde geval zijn de bewegingen gekarakteriseerd door: Pi = 711*74/2 tt ; P2 = n2*/i/2 7r waarbij het teeken van P2 positief of negatief kan zijn. Bij de aftelling van het aantal quantenbewegingen waarvoor Px =ni*'h/2-n: is, moet onderscheiden worden tusschen nf = even of = oneven: a) nf = even. Dan kan n\ de waarden hebben: 0, 1,... nfj2; en «2 : + nf, ± (nf — 2), .... 0. Totaal: rii* + 1 bewegingen. >''-;•>• &) wi* — oneven. Waarden van wi: 0 , 1 , . ... (nf — l)/2; van n% : + nf, + (nf — 2), .. .. ±1. Totaal: rii* -4- 1 bewegingen. In beide gevallen vindt men dus n f +1 bewegingen, zoodat in het geval van een quasi-elastisch, isotroop veld aan de beweging waarvoor: Pi — ni* h/2n is, het gewicht: r=,m* + i moet worden toegekend. Dit stemt overeen met het boven gevonden resultaat, daar in beide-gevallen Pi dezelfde grootheid voorstelt3).) (2) KKFL,ER-bewegingen. Op analoge wijze als boven vindt men bij de elliptische beweging met inachtname der relativistische termen, dat aan de beweging, bepaald door de quantenvoorwaarden: Pj = m h/2 tt ; P2 ~n2 h/2 tt ') Men moet de bovenste, resp. de onderste teekens nemen al naar dat P„ positief of negatief is. MP1P2) ^(QiQi) _-, ') Funktionaaldeterminant: „—=r— — -—- — +1. d (Fi r2) o (Ui U2) J) Dit blijkt bet eenvoudigste uit de formule voor de energie, welke in beide gevallen luidt: a = «P,,  § 41.] STATISTISCHE PROBLEMEN. 259 waar na^«i is, het gewicht moet worden toegekend: r= 2 «2 + 1. L) Houdt men geen rekening met de relativistische korrekties, zoodat de beweging zuiver periodiek is, en alleen Pi gequantiseerd wordt, dan heeft de beweging waarvoor: px — m h/2 n het gewicht: r = §f(2 n2 + 1) = (^+1)2-1 2). «j=l ~~ Een algemeene formule voor deze gewichtsfunktie r* heb ik niet kunnen vinden. ,i) Zie hoofdstuk III, § 17 en 19. Is een magnetisch veld aanwezig met krachtlijnen // de z-as — zie hoofdstuk III, § 20 — dan zijn er bij gegeven waarden van », en ni: 2», + l verschillende standen van het baanvlak mogelijk, daar ni alle waarden van — n% tot + », kan doorloopen. 2) In aansluiting aan Sommerfeld wordt aangenomen dat een ellips met excentriciteit 1 niet kan voorkomen: de waarde », = 0 wordt uitgesloten (zie boven, bl. 82 noot 5)). In de uitdrukking voor T moet de sommatie dus loopen van % = 1 tot nt — «,. N.B. », kan geen negatieve waarden hebben. [Slnit men «, =0 niet uit, dan is ƒ*= (», + 1)*.]  § 42. OPMERKINGEN OVER DE STATISTIKA VAN HET ATOOMMODEL VAN WATERSTOF. De toepassing der besproken statistische formules op verschillende systemen zal hier voorbijgegaan worden 1). Slechts zou ik een paar opmerkingen willen maken naar aanleiding van een onderzoek van K. F. Herzfeld over de statistika van het model van het Waterstof-atoom volgens Bohr 2). Wanneer men afziet van de relativistische korrekties is de beweging van het elektron om de atoomkern exakt periodiek; de intensiteitskonstanten („elementen") der elliptische baan zijn: — me^a ; P2 = Vme2a (1 — W) j P3 = 1/ me*a(l — P). cos i j ' ' ' ^ (Zie hoofdstuk III, § 17.) — Van de drie grootheden Pi P2 P3 wordt slechts de eerste, Pi, gequantiseerd. Voor de energie, uitgedrukt als funktie der P's, wordt gevonden : me4 2n2mei a=-2P?= üfjg- W Het probleem vertoont de volgende bizonderheden: 1) er is ontaarding; 2) het quantengetal n kan slechts positieve waarden vanaf 1 tot oneindig doorloopen; 3) wanneer n oneindig wordt, nadert « tot een eindige grenswaarde (in casu: 0). ') Statistische problemen in verband met de quantentheorie zijn behandeld door Planck, Eheenfest, Epstein en vele anderen. — Met betrekking tot de roteerende systemen, speciaal het model van het ZT,-molekuul, zij hier slechts vermeld: P. Ehrenfest, Verh. Deutsch. Phys. Ges. 15, p. 451, 1913 en P. S. Epstein, idem, 18, p. 398, 1916. (Vergelijk over het laatste ook noot ') aan het slot van § 29). s) K. F. Herzfeld, Ann. d. Phys. 51, p. 261, 1916.  § 42.] statistische problemen. 261 I) Ter vereenvoudiging zal vooreerst worden afgezien van de ontaarding en zal worden gerekend alsof het probleem slechts 1 graad van vrijheid bezit (gerepresenteerd door Pi en Qi). Dan volgt uit 3) dat: n — oo Z=^?e tt'kT divergeert. n = l Men kan hier dus niet de statistische formules van § 41 toepassen. Om een konvergente funktie Z te verkrijgen zou men een gewichtsfunktie r(n) kunnen invoeren, zoodat: Z* = ^r(n).e- kT (III) I eindig is *). In aansluiting aan het artikel van Herzfeld zal hier genomen worden: r (n) — < , (iv) V 1 O (n>s) I waar s een gegeven getal is. Dan is: s «(n) s 64000 Z* = i ï De waarschijnlijkheid „a posteriori" of verdeelingsfunktie (cf. bl. 251, form. 8) is: 1 64000 * = ~ IQ-WT (» <«) (VI) De zoo verkregen toestandsverdeeling bezit o.a. de volgende eigenaardigheden: k2 — «i 48000 «) -%(ïyr<(s-l)e ** , dus: <(«- 1)10 «\, 1) Bij invoering van een gewichtsfunktie V kan men met de hier gedefiniéerdé funktie Z* evenzoo rekenen als vroeger met de funktie Z (zie hoven § 41, B, en: M. Planck, Verh. Deutsch. Phys. Ges. 17, p. 444, 1915). — Zal het ensemble voldoen aan de tweede hoofdwet, dan moet de gewichtsfunktie aan bepaalde eischen gehoorzamen, welke door Ehrenfest geformuleerd zijn (Phys. Zeitschr. 15, p. 657, 1914). Zie hierover het slot van deze §. *) De getallenwaarde is overgenomen van Herzfeld, l.c. p. 269.  262 statistische problemen. [§ 42. Voor niet te groote waarden van s en T is deze verhouding zeer klein, zoodat praktisch alle elektronen zich op de binnenste baan (n = 1) bewegen r). b) De soortelijke warmte is bij lage temperaturen nul, neemt dan toe tot een maximumwaarde, en neemt voor hoogere temperaturen weer tot nul af2). II) Wil men in aanmerking nemen dat de beweging 3 graden van vrijheid heeft doch ontaard is, dan kan men in aansluiting aan bl. 259 als gewichtsfunktie invoeren b.v. rw=<<;+1»3-1 ... Men kan 3 groepen van banen onderscheiden: (Ter bekorting der notatie wordt geschreven: én* me2 2n 2n V' waarin s, n, «s niet geheel behoeven te zijn). A) 7l2<82/2. Deze banen liggen alle binnen een bol met straal i20, önafhankehjk van de grootte der excentriciteit. B) g2/2<ïl2^s2 De banen liggen slechts dan binnen den bol, zoo de excentriciteit niet te groot is: m.a.w. zoo: n\ > 2 «2 _ gijn2 (X) ») Zie Herzfeld, l.e. p. 269 - 271. *) Herzfeld, l.c. p. 272—275. s) Herzfeld, l.c. p. 261, vgl.  § 42.] statistische problemen. 263 C) n2 >a2. Alle banen snijden den bol. De vraag is nu: hoe moet in dit geval de gewichtsfunktie T gekozen worden? In aansluiting aan het voorgaande (bl. 256—259) zou men kunnen nagaan hoeveel verschillende geheele waarden van n2 en % mogelijk zijn bij een gegeven waarde van n, en daarnaar de gewichten kunnen verdeelen. Men'komt dan tot: A) r(n) = {n + 1)2 — 1 (Xla) B) r(n) = {n + lY — (n*Y (Xlb) waar: n* ~ n* (n) de kleinste geheele waarde van n% is, die aan vergelijking (X) voldoet1). O) r(n) = 0 2) (XIc) Herzfeld zelf kiest een andere gewichtsfunktie 3). Aan welke gewichtsfunktie men bij dit probleem de voorkeur moet geven, valt moeilijk te zeggen; hoogst waarschijnlijk zal men later de middelen vinden, noodig om deze problemen op te lossen. Op de statistika der hyperbolische banen, en dè theorie van de dissociatie van waterstof-atomen welke Herzfeld geeft4), zal hier niet worden ingegaan. Echter moeten nog eenige woorden gezegd wórden over de vraag of de besproken toestandsverdeelingen voldoen aan de tweede hoofdwet. ») Steeds is: (cf. bl. 259, noot *).) *) Voorbeeld. Zij: s = 10. Dan beeft men: «=12 3 4 5 6 7 8 9 10 11, enz. n* =111111179 10 — r = 3 8 15 24 35 48 63 32 19 21 0, enz. 3) Herzfeld, l.c. p. 268. Men vergelijke ook: A. Sommerfeld, Sitz. Ber. Müncb. Akad. 1917, p. 183, vgl. (Sommerfeld bespreekt verschillende methoden om tot een gewichtsfunktie te komen). *) Herzfeld, Lc-  264 statistische problemen. [§ 42. Ter vereenvoudiging wil ik me beperken tot het boven onder I) (bl. 261) besproken probleem. In de gebruikte gewichtsfunktie (IV), en dus ook in de verkregen verdeelingsfunktie , komt een parameter s voor, de bovenste grens voor het quantengetal n. In plaats van s kan men, zooals reeds gezegd is, een bovenste grens R invoeren voor de groote as van de elliptische baan. Zal de verkregen toestandsverdeeling voldoen aan de tweede hoofdwet, dan moet volgens Ehrenfest *) de gewichtsfunktie gehoorzamen aan de betrekking: 2,-W.^?>*.=o exii) of — wat op hetzelfde neerkomt — aan: = (X„, Hieraan is niet voldaan; dus schijnt de verkregen toestandsverdeeling niet in overeenstemming te wezen met de ^tweede hoofdwet. Men zou dit op twee verschillende wijzen in orde kunnen brengen: a) Men zou kunnen aannemen dat bij geen enkel proces dat met een verzameling van waterstof-atomen wordt uitgevoerd, de grootheid s (of R) verandert, s verliest dan het karakter van een parameter, en (XII) en (XII*) vervallen. Dit lijkt me echter in strijd te zijn met de opvatting van Herzfeld: Herzfeld denkt zich de maximumwaarde voor de grootte der banen een gevolg te zijn van de botsingen der atomen; volgens hem moet R (of R0) van de orde van grootte van de middelbare vrije weglengte zijn 3). Dan zou R en dus s veranderen met de dichtheid van het gas. b) Men zou de funktie voor de energie zoo kunnen wijzigen, dat voor n^> s de energie oneindig groot wordt, zoodat reeds ') P. Ehrenfest, Phys. Zeitschr. 15, p. 657, vgl., 1914. *) P. Ehrenfest, l.c. p. 660. 3) K. F. Herzfeld, l.c. p. 271.  § 42.] STATISTISCHE PROBLEMEN. 265 zonder dat men een extra gewichtsfunktie invoert: Lim €~n/kT = 0 is, en _ n{n) e kT konvergeert. Men is dan nog volkomen vrij in de manier waarop men deze wijziging wil aanbrengen en hoe men s b.v. van het volume van het gas zal laten afhangen; steeds zal voldaan zijn aan de tweede hoofdwet daar er nu geen van s afhankelijke gewichtsfunktie meer is. Zóodra men de parameter s in de energie-formule brengt, zal het ensemble een „kracht" in de richting van deze parameter uitoefenen (zie bl. 262, formule (IV)). Indien s een funktie is van het volume van het gas zou dit een bijdrage geven in de druk 1). ') Het probleem vertoont groote analogie met het probleem van de druk in de klassieke kinetische gastheorie. Schrijft men bij de berekening van de toestandsverdeeling aan de molekulen eenvoudig voor dat ze alle binnen een volume V moeten liggen — voert men dit dus in als een „gewichtsfunktie" — dan geeft de aan (IV), bl. 252, analoge formule niet de druk van het gas tegen de wénden van het volume, en de afleiding van formule (14) voor de tweede hoofdwet geldt niet meer (in de klassieke theorie verloopt de afleiding hiervan op dezelfde wijze als in § 41, B, 1). Voert men evenwel een potentieele energie van de molekulen in welke oneindig groot wordt, zoodra de molekulen huiten V zouden komen, dan hoeft men geen extra gewichtsfunktie in te voeren: de op de gewone wijze verkregen toestandsverdeeling levert vanzelf dat alle molekulen binnen V liggen, terwijl men de druk van het gas volgens formule (IV) van bl. 252 kan berekenen. 18  VERHANDELINGEN, uitgegeven door TEYLER'S TWEEDE GENOOTSCHAP. EERSTE DEEL. (Uitverkocht.) Over de gephlogisteerde en gedephlogisteerde luchten, door M. van Marum. TWEEDE DEEL. (Uitverkocht.) Over de regelen dei- Dichtkunde, door J. de Bosch. DERDE DEEL. (Uitverkocht.) Beschrijving van eene electriseer-machine, in Teyler's Museum, en van de proefnemingen met dezelve in het werk gesteld, door M. van Marum. VIERDE DEEL. (Uitverkocht.) Eerste vervolg der proefnemingen, met Teyler's Electriseer-machine, door M. van Marum. VIJFDE DEEL. (Uitverkocht.) Over den \nationalen smaak der Hollandsche school, in de teekenen schilderkunde, door R. van Eynden.  267 ZESDE DEEL. (Uitverkocht.) Over den.inhoud van Homerus' Ilias, met ophelderende aanmerkingen en aanduiding van de schoonheden van dat dichtstuk, door J. de Bosch. ZEVENDE DEEL. (Uitverkocht.) Over de regte bepaling der geloofwaardigheid van Herodotus, als geschiedschrijver, door K. W. de Rhoer. ACHTSTE DEEL. (Uitverkocht.) Over de algemeene omkeeringen, welke de aarde aan hare oppervlakte ondergaan heeft, en over de oudheid van onzen aardkloot, door F. X. Burtin. Beschrijving der beenderen van den kop van eenen visch, gevonden in den St. Pietersberg bij Maastricht, en geplaatst in Teyler's Museum, door M. van Marum. NEGENDE DEEL. (Uitverkocht.) Tweede vervolg der proefnemingen met Teyler's electriseer-machine, door M. van Marum. TIENDE DEEL. (Uitverkocht.) Beschrijving van eenige nieuwe of verbeterde chemische werktuigen van Teyler's stichting en van daarmede genomene proeven, door M. van Marum. ELFDE DEEL. (Uitverkocht.) Over het 'gebruik der metalen als representatief teeken van waarde en rijkdom, door G. Sartorius. Over hetzelfde onderwerp, door S. Pap de Szathmar. Over hetzelfde onderwerp, door Chevalier de Guer. TWAALFDE DEEL. (Uitverkocht.) Over den invloed, dien de dichtkunst, voornamelijk in de vroegere eeuwen, op de beschaving van het menschelijk verstand gehad heeft, door D. Tiedeman. Over hetzelfde onderwerp, door J. de Bosch.  268 DERTIENDE DEEL. (Uitverkocht.) Over den tegenwoordigen staat onzer natuurkennis van de waterachtige verheveiingen des dampkrings, door J. D. O. Zylius. VEERTIENDE DEEL. (Uitverkocht.) Over het kenmerkende der achttiende eeuw ten aanzien van verlichting en zedelijkheid, in vergelijking der naast voorgaande, door J. Brouwer. VIJFTIENDE DEEL. (Uitverkocht.) Geschiedkundig Onderzoek omtrent de lotgevallen der dichtkunst onder de meest bekende, zoo oude als hedendaagsche beschaafde volken, door N. G. van Kampen. Over hetzelfde onderwerp, door een Ongenoemde. * ZESTIENDE DEEL. (Uitverkocht.) Over de belangrijkheid en nuttigheid van de beoefening der natuurkunde voor den mensch als mensch, door A. van den Ende. Over de betrekkingen tusschen de natuurlijke geschiedenis der dieren en derzelver ontleedkundige beschouwing, door G. Bakker. Over den uitslag der gemaakte toepassingen van bovennatuurlijke grondbeginsels op de natuurkunde, door J. Nieuwenhüis. ZEVENTIENDE DEEL. (Uitverkocht.) Over de redenen van het klein getal der Nederlandsche historieschilders, en de middelen, om in dit gebrek te voorzien, door P. Kikkert. Over hetzelfde onderwerp, door A. van der Willigen. Over hetzelfde onderwerp, door J. van Manen Adr.zn. Over hetzelfde onderwerp, door F. X. Burtin. ACHTTIENDE DEEL. (Uitverkocht.) Het werktuigelijk zamensiel der planten, door D. G. Kieser. NEGENTIENDE DEEL. (Uitverkocht.) Over de levenswijs en de gewoonte onzer voorvaderen hier te lande, van de vroegste tijden af tot aan het einde der 16" eeuw, door J. A. Stresco. Over hetzelfde onderwerp, door J. van Manen Adr.zn.  269 TWINTIGSTE DEEL. (Uitverkocht.) Over het gebruik van min regelmatige rijmwoorden in Nederlandsche gedichten van onderscheiden soort, door A. F. Sipflé. EEN-EN-TWINTIGSTE DEEL. (Uitverkocht.) Wat men thans weet van de Geologie, door R. Beenhaedi. TWEE-EN-TWINTIGSTE DEEL. (Uitverkocht.) Over den tegenwoordigen staat van de ontleed- en natuurkunde der planten, door F. J. F. Meijen. DRIE-EN-TWINTIGSTE DEEL. (Uitverkocht.) Eene aesthetwch-critisch vergelijkende beschouwing van Shakespeare en Vondel als treurspeldichters, door K. Sybeandi. VIER-EN-TWINTIGSTE DEEL. (Uitverkocht.) Kritische Betrachtung von Liebig's Theorie der Pjlanzen-ernahrung, door J. Moleschot. VIJF-EN-TWINTIGSTE DEEL. (Uitverkocht.) Welke vereischten eene natuurkundige teekening moet hebben,' om zoowel den natuurkundige als den kunstenaar te voldoen, door H. Schlegel. ZES-EN-TWINTIGSTE DEEL. le Stuk. (Uitverkocht.) Over de munten der voormalige hertogdommen Braband en Limburg, van de vroegste tijden tot aan de Pacijicatie van Gent, met platen, door P. O. van dee Chijs. 2e Stuk. Prijs ƒ 7.50. Over de munten der voormalige graven en hertogen van Gelderland, enz., door denzelfden. 3e Stuk. Prijs ƒ 5.50. Over de munten der voormalige Heeren en Steden van Gelderland, enz., met platen, door denzelfden. 4e Stuk. Prijs ƒ 7.50. Over de munten der voormalige Heei-en en Steden van Overijssel, enz., met platen, door denzelfden.  270 5e Stuk. Prijs ƒ 12.—. Over de munten van Friesland, Groningen en Drenthe (der Heeren van Koevorden), enz., rnet platen, door denzelfden. 6e Stuk. Prijs ƒ 12.—. Over de munten der voormalige Graafschappen Holland en Zeeland, alsmede der Heerlijkheden Vianen, Asperen en Heukehm, enz., met platen, door denzelfden. 7e Stuk. Prijs ƒ 7.50. Over de munten der bisschoppen, van de heerlijkheid en der Stad Utrecht, enz., met platen, door denzelfden. 8e Stuk. Prijs ƒ 6.50. Over de munten der leenen en der voormalige Hertogdommen Braband en Limburg, enz., met platen, door denzelfden. 9e Stuk. Prijs ƒ 7.50. Over de munten der Frankische en Duitsch-Nederlandsche Vorsten, met platen, door denzelfden. ZEVEN-EN-TWINTIGSTE DEEL. (Uitverkocht.) Ueber die Vereinigung der geistlichen und weltlichen Obergewalt im Rbmischen Kirchenstaate, door H. G. Hasse. ACHT-EN-TWINT1GSTE DEEL. (Uitverkocht.) Over de aesthetische waarde der klassieke en moderne dichtvormen, door W. G. Bkill. NIEUWE SERIE. EERSTE DEEL. (Uitverkocht.) George de Lalaing, Graaf van Rennenberg. Historisch drama in 5 bedrijven en 6 tafereelen, door D. F. van Heyst. TWEEDE DEEL. Prijs ƒ 15.—. De Noord-Nederlandsche Gildepenningen, wetenschappelijk en historisch beschreven en afgebeeld, door Mr. J. Dirks. le en 2e stuk, met atlas van platen.  DERDE DEEL. 271 le en 2e Stuk. Prijs ƒ 5.—. Beschrijving der Nederlandsche of op Nederland en Nederlanders betrekking hebbende Penningen, geslagen tusschen November 1813 m November 1863, door Mr. J. Dirks. 3e Stuk. Prijs ƒ1.50. Hetzelfde onderwerp door denzelfden. Tweede toevoegsel, bewerkt door Th. M. Roest. Atlas, behoorende bij het III6 deel, 5 stukken. Prijs ƒ 25.—. VIERDE DEEL. le en 2e Stuk. Prijs ƒ 3.—. De ontwikkeling en, het tegenwoordig standpunt der bakteriologie, door Dr. F. Ph. Küthe. VIJFDE DEEL. le en 2e Stuk. Prijs ƒ 7.—. Dé Afscheiding der Waalselw Gewesten van de Generale Unie, door Dr. C. H. Th. Bussemaker. ZESDE DEEL. Prijs ƒ 4.—. Geschiedenis van Nederland tijdens de inlijving bij Frankrijk, Juli 1810—November 1813, door Johanna W. A. Naber. ZEVENDE DEEL. Prijs ƒ 5.—. Die Handzeichnungen Rembrandts. Versuch eines beschreibenden und kritischen Katalogs, door C. Hofstede de Groot. ACHTSTE DEEL. Prijs ƒ 3.50. Elizabeth Wolff-Bekker en Agatha Deken, door Johanna W. A. Naber.   /   •