Om  I VERHANDELINGEN DER KONINKLIJKE AKADEMIE VAN WETENSCHAPPEN EERSTE SECTIE (Wiskunde - Natuurkunde - Scheikunde - Kristallenleer - Sterrenkunde Weerkunde en Ingenieurswetenschappen.) DEEL XII Met 16 platen en 2 tabellen. AMSTERDAM — JOHANNES MULLER 1915—19J 9  4s> Gedrukt bij Joh. Enschedé en Zonen. — Haarlem.  INHOUD. 1. S. L. van Oss. Die regelmassigen vierdimensionalen Polytope höherer Art. (Mit 6 Tafeln). (Verschenen October 1915). 2. P. H. Sohoute. Analytical treatment of the polytopes regularly derived from the regular polytopes * published by J. Cardinaal. (Verschenen April 1916). 3. B. P. Moors. Suite a ^„Etude sur les formules servant a calculer des . valeurs approximatives"'d'une integrale définie." (Verschenen Augustus 1917). * 4. Albert P. Mathews. The value of a of van der Waals' equation and the nature of cohesion. Verschenen November 1917). 5. L. E. J. Brouwer. Begründung der Mengenlehre unabhangig vom logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Erster Teil. Allgemeine Mengenlehre. (Verschenen Maart 1918). *6. J. A. Schouten. Die direkte Analysis zur neueren Eelativitiitstheorie. (Verschenen Februari 1919). 'i1**-^ 7. 'L. E. J. Brouwer. Begründung der Mengenlehre unabhangig vom logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Zweiter Teil. Theorie der Punktmengen. (Verschenen Maart 1919).   DIE REGELMASSJGEN VJERDJMENSiONALEN PÖLYTOPE HÖHERER ART VON S. L. VAN OSS. Verhandelingen der Koninklijke Akademic van Wetenschappen 1c Amsterdam. (EERSTE SECTIE). N DEEL XII, M°. 1. (Mit 6 Tafeln). AMSTERDAM. JOHANNES MÜLLER. 1915.  REI  DIE REGELMASSIGEN VIERDIMENSIONALEN POLYTOPE HÖHERER ART. VÓN S. L. VAN OSS. In einer früheren Arbeit (Das regelmassige Sechshundertzell u s.w. Verh. P Sectie. VII n°. 1. 1899) habe ich die Konvexen Polytope mittels ihrer Projectionen auf die Ebenen und Raume eines orthogonalen Systems, abgebildet und so den Methoden der darstellenden Geometrie zuganglich gemacht. Hier soll diese Aufgabe für die Polytope höherer Art erledigt werden. Nebenbei unternehme ich es die von Schlafli (Theorie der vielfachen Kontinuitat) und von E. Hess (Polytope höherer Art. Marburger Sitzungsberichtc Mai 1885) bestimmten Artzahlen an meinen Projectionen naher zu prüfen. I. Allgemeine Theorie. Wir bezeichnen die regel massigen Polytope mit dem Schlaflischen Symbole m n p. Zum richtigen Verstandnis dieses Symbols sei in Erinnerung gebracht, dass m u ein regelmassiges Polyeder bezeichnet, dessen «-seitige Grenzpolygone n an n in je einer Polyederecke zusammen stossen, und mnp ein Polytop dessen Grenzpolyeder m n sich p an p urn je eine Kante lagern; weiter, dass das Symbol mnp auch zu denten ist als die Angabe dass die in einer Polytopenecke zusammenkommenden m n dort ein Vielkant bilden, dessen Basis ein ip; schliesslich, dass mit 5/2 ein sternartiges Fünfeck bezeichnet wird. Wir stellen jetzt die beiden untenstehenden Tabelle zusammen. A l*  I. 33 34 43 35 53 35/2 %3 57s ■ V*5 83 333 433 533 8/«3S 43 343 34 834 434 534 Y*34 53 358 %53 35 335 435 535 5/a35 'V23 3%3 5%3 35/2 335/2 433/2 535/2 5/,35/2 r725 ' 5%5 5'V, 355/2 %58A j_ ! , J I © K !>"- cc co co O  II. 33 84 43 35 53 35/a 5/23 5% 6/25 33 1V10 1 .i(3_v/5)v/2 i (3+ K5) V/2 43 1 34 ^ 0 355/2 tl. 6/253, 536/2 u. l/JU, 35/25 u. 55/23, 55/25, 5/255/8. Die Ordnungszahl ihrer gemeinschaftlichen Bewegungsgruppe ist 7200. (s. meine Abhandlung ü. d. Sechshuudertzell 1. c). Zur Bestimmung ihrer kennzeichnenden Zahlen a0, at, a3 benützen wir folgenden allgemeienn Satz. Wenn G die Ordnungszahl der Bewegungsgruppe eines mnp ist, G(mn) die des Grenzpolyeders, G(np) die des Basispolyaeders, so sind: G _ G _G_ _G_ 8°"g:; ai-2p- - w a3-G(mn)  POLYTOPE HÖHERER ART. 7 Wir finden dann: a0 *i a2 a3 •/„ 335 1 2 0 7 2 0 1 2 0 0 6 0 0 | (—1 + |/5) 533 600 1200 720 120 £(8 — j/5)|/£ 335/2 120 720 1200 600 |(i-^|/5) 7a33 6 0 0 1 2 0 0 7 2 0 1 20 ± (3-|-1/5) |/a 535/2 120 720 720 120 |fc^^k<5) 5/235 120 720 720 120 ' l(l-f |/5) 355/2 ■ 120 720 1200 120 | (—1-j- 5/853 120 1200 720 .120 1 35/25 120 720 1200 120 \ (1 -f j/5) 55/23 120 1200 720 120 1 55/25 120 720 720 120 | (— 1 + 6/255/2 1 2 0 7 2 0 7 2 0 1 20 | (1 + i/5) Aus dieser Tabelle geht hervor: 1°. Dass, mit Ausnabme des 5/233, der mit 533 die Eckengruppe gemein hat, alle sternartigen Polytope die Eckengruppe des 335 haben. 2°. Dass 535/2J 355/2, 55/25 mit 335, 5/235 , 35/25 , 5/2572 mit M*/, 7253 mit 57*3 das Kantengerüste gemein haben. Schliesslich noch folgende Bemerkung. Ordnet man die Symbole in zwei Reihen : 335, 535/2, 3725, 7»M» 533 8$7„ 7235, 35%, 5/2572, 55/23, 7233 so sieht man, dass die in diesen Reihen einander entsprechenden Elemente durch die Substitution (572) in einander transformiert werden. Das heisst: Wenn irgend eins dieser Gebilde vorliegt, so gehttlas durch (5*/2) Transformierte aus demselben hervor, wenn man, mit Erhaltung aller Verbindungen, die 72 Zehnergruppen, welche die Ecken bilden, S [12],*) alle zugleich so in sich transformiert, dass aus jedem Cyklus erster Art ein Cyklus zweiter Art hervorgeht. II. Unsere Projectionen. 1. Die Tafel [VJ mit ihrer Deutung als Abbild des 335, S. | 5], soll als ursprünglich vorliegend gedacht werden. l) Die von [ ] eingeklammerten Angaben beziehen sich auf meine oben citierte Abhandlung.  8 DIE REGELMASSIGEN VIERDIMENSIONALEN Die oben erwahnte Operation (S5^) er wies sich an den. Projectionen dieser Tafel als leicht ausführbar, und lieferte sofort die Punktgruppe der Tafel I, welche nur in der Notation von der Ursprünglichen verschieden ist. Indem nun bei der Transformation des 335 in ein 385/g das an S [5] Erörterte dem Wortlaut nach ungeandert, aber mit entsprechend transformiertem Sinne, auch für das 33B/a gilt, war es leicht das zugehörige Kantengerüste herzustellen. Es liegen.nun die zwei in den Tafeln [V] und I abgebildeten und durch die Operation (55/2) in einander transformierbaren Gerüste vor. Es ware leicht von diesen Genisten ein Fadenmodell herzustellen. Dazu soll man die S [5] angegebenen Gebilde fh D, I2, (ID) als Stützgebilde concentrisch urn den Punkt 1 stellen, und die Verbindungen in der an genannter Stelle vorgeschriebenen Weise anbringen. Das Modell würde dan zeigen, wie man das Gerüste aus dem im Unendichen in der Achse 1 — 1 liegenden Punkt sieht. Wir haben diese zu dem zweiten Gerüste gehörigen Stützgebilde in der Tafel III gezeichnet. Die einander entsprechenden Tafeln [IV] und II, welche bezw. dieselben Gerüste als [V] und I vorstellen, nur in anderer Lage, werden oft nützlichen Dienst leisten; eine gleichzeitige Betrachtung der Tafeln wird die Einsicht in die Figuren sehr erleichtern. Es kommt namlich öfters vor dass gewisse zu suchende Configurationen in der einen Tafel schwer aufzufinden sind, wahrend diese in der anderen auf der Hand liegen. Die zwei vorliegenden Gerüste sollen jetzt mit Polyedern ausgefüllt werden. Es kann dies auf vier verschiedene Weisen geschehen: 1°. mit Tetraedern 33. 2°. „ D- Dodekaedern 53 bezw. 5/a3- 3°. „ Ir Ikosaedern 35 „ 3%. 4°. „ Ir Dodekaedern 5% „ 6/25. (Wir bezeichnen mit D- und Ij- Polyedern solche, welche ihre Ecken in den mit D bezw. mit It aequivalenten Gebilden haben, und deuten sie naher mit ihrem Schlaflischen Symbole an). Je nach der Ausfüllung erscheint dann das vollstandige Büd 1° des 335 bezw. des 33% 2° „ 53% „ „ 5/235 3° „ 355/2 „ „ 3%5 ■ 4° „ 56/55 „ R 7257s.  POLYTOPE HÖHERER ART. 9 Die Tafel IV zeigt für die sub 2°, 3° und 4° genannten Polytope die in der Ecke 1 zusammenstossenden und auf einer L-Basis (2—13) stützenden Grenzpolyeder. Nur die Halfte ist gezeiehnet. In der zu 5/s35 gehorigen Figur ist deutlichkeithalber eine Fünfzahl nach-1 verlegt. 2 Wir haben zunachst, die zu 5/253 und 55/23 gehörigen Tafeln V und VI zu erklaren. Es sei vor allem darauf hingewiesen, dass die betreffenden Polytope, die Punktgruppe mit den vorigen gemein haben, nnd dass für beide aJR = 1 ist. Sie müssen deshalb auch dasselbe Kantengerüste zeigen. Weiter geht aus ihren Symbolen 6/sfó und 55/25 hervor, dass die Operatïon (55/2) je das eine in das andere transformiert. Hieraus lasst sich schliessen, dass, wenn man in die zwei vorliegenden durch die Operation (55/2) in einander transformierbaren Punktgruppen, die Kanten a = R entsprechend einsetzt, zwei zu einander kongruente Gerüste erscheinen müssen. Wir sind nun so verfahren : In V haben wir die Punktgruppe der Tafel [V], in VI die der Tafel II wiedergegeben; dann, aus den sechsseitigen Projectionen der Tafel II ersehend, dass die Verbindungeri 1 —D (13 — 34) die Lange R haben, die Kanten wie folgt angebracht: von 1 nach (14 — 33) 1 X 20 = 20 Kanten ( 2 —13) „ ( 2 — 13) 0 X 0 = 30 „ (14 — 33) 12 X 5 = 60 (34 — 45) 12 X 5 = 60 „ +(46 — 60) 12 X 5 = 60 „ (14 — 33) u (14 — 33) 10 X 6 = 60 „ „ +(46 — 60) 20 X 6 = 120 „ „ — (34 — 45) 20 X 3 = 60 „ „ —(14 — 33) 20 X 1 = 20 „ (34 — 45) „ (34 — 45) 6 X 5 = 30 „ k +(46 — 60) 12 X 5 = 60 „ „ —(14 — 33) 12 X 5 = 60 „ « +(46 — 60) „ +(46 — 60) 15 X 4 = 60 „ „ — (34 — 45) 30 X 2 = 60 „ „ —(14 — 33) 30 X 3 = 120 „ „ — ( 2 — 13) 30 X 3 = 60 „ ■ „ —(34 — 45) „ —(34 — 45) 6 X 5= 30 „ „ — ( 2 — 13) 12 x 5 = 60 „  10 DIE KEGELMASSIGEN VIEKDIMENSIONALEN von —(14 — 33) nach — (14 — 33) 10 X 6 == 60 Kanten „ —(14 — 33) „ — ( 2 — 13) 20 X 3 = 60 „ „ — 1 20 X 1 = 20 „ „ — (2 — 13) „ — (2 — 13) 6 X 5 = 30 „ Es lassen sich nun diese Gerüste auf zweierlei Weise mit Dodekaedern ausfüllen, namlich: V mit Ix- 5/25 oder mit I2- 55/8 VI „ Ir 5% „ „ I2- 5/25 Entsprechend zeigt dann: V das 5/253 oder das 55/23 VI „ 55/23 „ „ 5/253. In V (55/a3) sind zehn, an der Ecke 1 liegenden 55/2 » V (%53) „ „ „„ „ -1 „ %5 durch schwere Linien aagedeutet. III. Die Artzahlen. Das 338/2. Schon Schlafii, der dieses Gebilde entdeckt und eingehend studiert hat, hat gezeigt, dass es einen 191-fachen Mantel hat. (1. c. S 126). Wir könnten den Schaflischen Beweis leicht Satz für Satz an unseren Projectionen verifiëren, wir ziehen es aber vor die Art des Polytops von Neuem zu untersuchen, und zwar auf folgender Weise: Wir wahlen irgend ein Grenztetraeder, das sich durch einfache Lage auszeichnet, z. B. das Tetraëder 1568, dessen Raum senkrecht auf einer Projectionsebene steht, (s Taf. II rechts oben). Es zeigen sich dann sofort diejenigen Strahlen welche diesen Raum und, vielleicht, das Tetraëder selbst durchsetzen von selbst. Es sind dies namlich die Strahlen nach den Ecken, deren Projection auf die genannte Ebene links vom Tetraederraume liegen. Diese Ecken lagern sich in Schichten welche dem Tetraederraum parallel laufen. Strahlen, welche den Ecken soldier Schicht entsprechen, befinden sich bezüglich des Tetraëders in gleichartiger Lage. Fangen wir an mit den Strahlen nach den Ecken des Tetraëders. Wir erhalten dann mit jedem Strahl einen Schnittpunkt; aber diesem Punkte kommt nur die M ultiplicitat 7/2o zu> denn és gehort zü 20 Tetraedern welche um diesen Punkt einen 7-fachen Mantel bilden, entsprechend der Art des Basispolyeders 3B/2. Betrachten wir. jetzt einen der 12 Strahlen nach den Ecken der ersten Schicht, z. B. den Strahl nach —15, der, vielleicht, eine Kante des Dreiecks 568 trifft. Dass dies in der tat der Fall ist lasst sich leicht nachweisen, wenn wir alle vier Projectionen betrachten.  POLITOPE HÖHERER ART. 11 Es ergiebt sich dann, dass der genannte Strahl die Kante 6 — 8 schneidet. Ein solcher Schnittpunkt zahlt 2/5, denn um jede Kante gehn 5 Tetraëder 2-mal her urn. Jetzt ein Strahl der zweiten Schicht; wir wahlen dazu den Strahl nach 34 der gewiss das innere der Seitenflache trifft, denn der Kreis 34, 41, 44 ist sicher kleiner als der Kreis —15, —18, — 32, —20, —23, —31 dessen entsprechenden Strahle die Kanten schneiden. Ein solcher Schnittpunkt zahlt weil an jeder Seitenflache 2 Tetraëder liegen. Nur haben wir auch die Gewissheit, dass die 26 übrigen Strahlen das Tetraëder im Innern treffen. Wir finden also „dass jedem Tetraëder die (reducirte) Anzahl 4 X 72o + 12 X 75 + 12 X 72 + 26 = 38V5 Schnittpunkte zukommt. Den samtlichen 600 Tetraedern also 600 X 98% d. h. auf jeden der 120 Strahlen fallen 800 X»8'/.,!»! Schikte. Das 55r,/o. Ein Bliek auf die Tafel [V] belehrt uns dass das D- Dodekaeder 53 (14—34) Schnittpunkte liefert,: ' a. mit den 20 Strahlen nach seinen Ecken, i- » „' 13 " 1 „ „ (1—13). Den Erstern kommt die Multiplizitat 7/20 zu, die Letztern sind einfach. Also ist für jedës Grenzpolyeder die reduzierte Anzahl: 2OXV20 + 13 — 20 Dies ist eben die Artzahl, weil es ebensoviele Grenzpolyeder als Strahlen gibt. Auch diese Zahl wurde schon von Schlafli bestimmt. (1. c. S. 134). Das •/«**• Betrachten wir das Dodekaeder 723 (14—33) Tafel I, II, III. Der Strahl nach — 1, geht durch den Mittelpunkt. 20 Strahlen gehn nach den Ecken, 12 Strahlen treffen die zu je fünf sich in einem Punkt schneidenden Kanten. Der erstgenannte Strahl liefert einen 7- fachen Schnittpunkt. Die zweitgenannten liefern je einen x/20 Punkt. Die letztern je einen 5 X \ °^eT einfachzahlenden.  12 die regelma.ssigen viërdimension a.len Die reducirte Anzahl der Schnittpunkte: 7 +■ 1 -f 12 = 20 bestimmt hier wieder die Art des Polytops. Das 355/2- Das Ikosaeder 35 (2—13) Tafel [IV]. [V] wird getroffen:' von dem Strahle nach 1 in dem einfachen Mittelpunkt, von den 12 Strahlen nach den Ecken in 3/12 zahlenden Ptinkten. Das Polytop zeigt sich also 4- ter Art. Das %58. Tafel V. Hier wird das Dodekaeder "Lb (2—13) getroffen: vom Strahl nach 1 in dem 3- fach zahlenden Mittelpunkt und von den 12 Strahlen nach den Ecken je in einem Punkt. Das Polytop ist also 4- ter Art. Das 55/25. Tafel [IV], [V] Dodekaeder 5% (2—13) l Strahl trifft den 3- fachen Mittelpunkt 12 Strahlen die 3/12 zahlenden Ecken. Das 58/25 ist also 6- ter Art. Das s/a572- Tafel ï, II. Dodekaeder 5/25 (2—13). Der Strahl nach — 1 trifft den 3- fachen Mittelpunkt. Die 12 Strahlen nach (34—45) das ebenfalls 3- fache Innere. Die 20 Strahlen nach (—14- 33) gehn durch die zu je 3 in einem Punkt sich schneidenden Kanten. 12 Strahlen gehen nach den 3/i2 zahlenden Ecken. Es ergibt sich also als Artzahl: 3 + 12 X 3 + 20 X 3 X f + 12 X tV = 66. Das 35/25. Tafel I, II. Ikosaeder I*/, (2—13). Der Strahl nach — 1 trifft den 7- fachen Mittelpunkt. Die 12 Strahlen nach (34—45) treffen das 3B/2 je in einer Ecke des Kern-85. Indem solch ein Punkt zu 5 Seitenflacheh gehort, zugleich aber in einem Gebiet liegt das von einer Eünfzahl an einer 35/8-Ecke liegender Seitenflachen zweimal umhüllt wird, kommt ihin die Multiplizitat 5/2 -f 2 zu. Die 20 Strahlen nach (—14—33) treffen die Punkte wo die Kanten sich zu je drei schneiden. Ein solcher Punkt zahlt 3Xf Schliesslich gibt es noch die 12 Strahlen nach den 3/i2 zahlenden Eek punk ten des Polyeders.  POLYTOPE HÖHERER ART. 13 Die reducirte Anzahl Schnittpunke: 7 + 1 2 X 9/2 + 20 X 6/5 + 3 = 76 liefert wieder die Art des Polytops. Das 55/23. Tafel VI. Dodekaeder 55/a (2—13). Der Strahl nach — 1 trifft den 3-fachen Mittelpunkt. Die 12 Strahlen nach (34 — 45) treffen ebenfalls das 3-fache Innere des Polyeders. Die 20 Strahlen nach (—14 33) treffen die 3/2 zahlenden Punkte wo die Seitenflachen zu je drei zusammentreffen. Schliesslich noch 12 Strahlen nach den 7/12 zahlenden Ecken: 3 -f 12 X 3 -f 20 X 72 + 7 = 70Das 55/23 ist also wie das zu ihm reziproke §°l&> von der 76-sten Art. Es bleibt nun noch das eine, sehr komplizierte Polytop °/233 zu behandeln übrig. Ich behalte mir vor auch dieses Gebilde naher zu studieren. I 9 Sept. 1915. ERRATUM. In Taf. I, II, 111, links oben steht: ■/■*7i soll sein: f,/a^ noch hinzuzufugen: 3°/a5 In Taf. III, J1 noch zu ziehen: die Kanten 4 5 und 9 10.  RH  S.L. T^L/Y OSS. „Die regelmassi^eiL vierdimensionalen Polytope höherer Art'.' Taf.1. -37 -60 Verteiid.Kon.Aka.deiriie v.Wetensch. lêSectie D1.XE,NS1. J.Bytel litk..PJ.Mulder&ZV-irnpr. Leiden   S.L. VAN OSS. „Die regelmassigen vierdimensionalen Polytope höherer Art'.' -i _3 _52 Verhand. Kon . Akademie v.Wetensch.l^Sectie D1.JZT,N91. Taf.IL   S.L. VAN OSS. „Die reg-ehnassigen vierdimensionalen Polytope höherer Ai>t'.' Taf.m. 33 % 5/253A Verlmiid.Kon.Aksidejme v.Wetensch. 1? Sectie Dl.XlLN-1.   S.L. VAN OSS. „Die regelmassigen vierdimensionalen Polytope höherer Art.' Taf.I\: ia 13 Vei'hand.Koii.Akadeime vWetensch.1^ Sectie Dl.XH.N9!.   lerliandKbn.AÈadeime v.Weteiisch. I?Sectie D1.XH,NS1. J~Bytei Uth.PJ.Mulder&ZV-impr. Leiden.   S.L. TAN OSS. „Die reg-ehnkssigen vierdimensionalen Polytope höherer Art." Taf. VI. VeiiwLud.Kon.Aka.dame vWetensch.1^ Sectie Dl.XffN-1  I  replarly derived from the replar polytopes. fSection V BY THE LATE PrOF. P. H. SCHOUTE, PUBLI8HED BY Prof. J. CARDINAAL. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SECTIE). DEEL XII. N°. 2. AMSTERDAM. JOHANNES MÜLLER. 1916.   PREFACE. Section I—IV of Dr. P. H. Schoute's great treatise on this subject have been inserted in the transactions of the Academy Vol XI—3 and 5. He was engaged in finishing it by writing out the fifth and last section when his sudden and much lamented death prevented him froui giving the final touch to his creation. Fortunately the manuscript was found amidst the deceased's papers. Though it bore the character of a concept, still the plan was quite ready and it revealed the rigor and lucidity which characterise all Schoute's scientific works. So it might weil serve for the final redaction. In the meeting of the Academy of Jan. 29, 1916 1 gave a •short account of the manner in which this redaction was performed and of the great part that Dr. W. A. Wythofe had in it; so I now have only to repeat my thanks to him. J. CARDINAAL.   Analytical treatment of the polytopes regularly derived from the regular polytopes. Section V: Polytopes derived from the extra polytopes. A. Introduction. 114. We remember, that in the general introduction of this series of memoirs a classification in five sections was given. According to the author's intention the fifth section should have to deal with the extra regular polyhedra and polytopes. Hence the object of this section will be to investigate the polyhedra deduced from the icosahedron (or dodecahedron) and the fourdimensional polytopes deduced from C2i and from C60o (or C120). As to the nets that can be deduced from <724, since these nets can be deduced at the same time from the cross polytope C we refer to Section III, E, art 78—84 and Table VII. 16' Now a difficulty is arising in consequence of the want of a general theorem relating to the symbols used for the coordinates, as we are -compelled to use more than one symbol for the same polytope. Obviously it is a priori not impossible to find a method which allows us to find the condition necessary for the symbolical representation of a polytope by two, three or even more symbols. Yet, as a satisfactory result of these attempts is dubious, we prefer a method which follows closely the geometrical operations, by means of which the polytopes are defined. B. The Icosahedron-family. 115. The following table contains the symbols of the polyhedra of this family considered as deduced from the Icosahedron, 7, and from the Dodecahedron, 1), the symbols used by Mrs. St'ott and the characteristic numbers (numbers of vertices, edges and faces): Verhand, der Kon. Akad. v. Wetensch. i' Sectie Dl. XII N3. 2. bi  2 ANALYTICAL TREATMENT OP THE POLYTOPES REGULARLY Characteristic n umbers. Symbols —; r. : ~ j ' •" (vertices) (edges) | (taces) ƒ= ce2D= I 12 30 20 elI=ce1 e2B= tl 60 00 32 e2I= e2D = RID 60 120 02 exe2T= eie2JD= tJD 120 180 62 cex 1= cexB = ID 30 60 32 Ce2!= B= B 20 30 12 cex e2I= ex D = tD 60 90 32 116. We prefer the isocahedron to the dodecahedron to deduce the other polyhedra of the family, as its coordinates can be represented by a single symbol. When the length of the edge is supposed to be = 4, this symbol is [2, 1 -\-e, Ój: 2 where e is written for \/5 and : 2 indicates, that all the even permutations of the coordinates must be written, each of them successively with positive and with negative sign (pentagonal hemiedry). All the polyhedra of the family have the symmetry of the icosahedron, from which they are deducible, and thence will have coordinate-symbols of the form [ ] : 2. Only if two of the coordinates be equal, the indication: 2 may be omitted. The coordinates of the vertices of ex I, e2 I and ex e21 are obtained from those of I by adding to them the components of the prescribed displacements along the axes of coordinates. These displacements have in the case of ex for each vertex the directions from the origin of coordinates to the middle-points of the adjacent. edges, in the case of e2 to the centres of the. adjacent faces. The coordinates of the vertices of a contracted form, cex I, ce2 I or cex e2 I, are obtained from those of the uncontracted form by substracting from the coordinates of each vertex those of the icosahedronvertex from which it was deduced by expansión. Hence the polyhedra I, cex I and ce2 I may be considered to be the primitive forms of the family. From these the others are obtained by composition, i.e. by suitable addition of the coordinates of the vertices of two or three of them. So ex I is obtained from cex I and I, e2 I from ce2 / and 1, cex e2 I from ce2 I and cex T, ex e2 I from ce2 I, cex I and I.  DEBIVETJ EROM THE REGULAR POLYTOPES. 3 117. The polyhedron cex I is similar to the convex polyhedron whose vertices are the middle-points of the edges of the original icosahedron. This polyhedron must be enlarged in such a ratio that the length of its edges becomes equal to that of the edges of the original icosahedron. Novv the distance of the middle-points of two adjacent edges of an icosahedron is half the length of an edge, and the coordinates of the middle-point of an edge are obtained by dividing the sum of the corresponding coordinates of the two terminal-points by 2. Ifence the coordinates of the vertices of cex I are obtained by simply adding the corresponding coordinates of the terminal-points of all the edges of 1 In this manner two symbols of coordinates of cex I are found corresponding with the two types of edges of I with respect to the system of coordinates. We may determine only one vertex of each type and deduce from it a coordinate-symbol aceording to the rule of pentagonal hemiedry. The computation of the coordinate-symbols now becomes: / . 2 , 1 + e , 0 I — 2 , 1 -f e , 0 cex 1 [0 , 2 -f 2e , 0] ■ [i 6 vertices | | 2 , 1 -f e , 0 $| 0 , 2. , 1 -\~e cex I [2 , 3 -f- e , 1 -f- °. 2 exe2I [4 4~ 2e , 2 , 8 4~ 2e] : 2 24 vertices; cex e2 1 3 4~ ^ , 2 , 6 4~ 2e / 0 , 2 , 1 4" e exe2 I "[3 4- e ,4,74- 8*T: 2 24 » | ce} e2 I 2,0,5 -)- 3e I 0 , 2 , 1 4" * ex e2 I [2 , 2 •, 64- 4e]" 24 „ ; cexe2I 3 4" , 4 -)-.2e , 2 4" 2e 12 , 1 4-5 , 0 ej e2 / [5 4- e , 5 4- 3e , 2 4- 2e] : 2 . . . 24 „; . ; cexe2 I 3 4- e , 4 -f 2e , 2 4~ 2e " / 0 , ' 2. ' ., 1 4- e ■ ex e2 / [3 4- e , 6 4- 2e , 3 -f 3e] : 2 . .'. 24 ' „ ; Total... 120 vertices.  DERIVED FROM THE REGULAR POLYTOPES. 7 123. The following table contains the coordinate-symbols of all the polyhedra of the icosahedron-family and the numbers of vertices represented by them. The symbols of each of the polyhedra are arranged according to the greatest commensurable part of the coordinates. The ordinate with this greatest commensurable part has been placed first in every symbol. I [2 , 1 -f e , 0 ]•: 2 12 ' cex I [3 + e , 1 -f e , 2 ] : 2 24 [2 -f 2e , 0 0 ] 6 30 ce2T [3 + e , 2 , 0 ] : 2 12 [1 + e , 1 % e , 1 -f e] 8 20 ex I [5 -f e , 2 -f 2e , 2 ] : 2 24 [4 +" 2e , 1 -f e , 4 ] : 2 24 [3 -f 3e , 0 , 2 ] : 2 12 GO e2I [5 -f e , 3 -f e , 0 j : 2 12 [4 4- 2e , 2 2 ] 24 [$-\-e , 2 + 2e , 1 + e] : 2 24 60 eej e2 I [6 + 2e , 3 -4- e , 2 ] : 2 24 [5 4- 3e , 2 , : 0 ] : 2 ' 12 [4 4- 2e , 2 -f 2e , 3 -f e] : 2 . 24 60 exe2I [8 -f 2e , 4 -f- 2e , 2 ] : 2 24 [7 4- 3e , 3 4- e , 4 ] : 2 24 [6 + 4e , 2 , 2 ] 24 [6 4- 2e , 3 + 3e , 3 + e] : 2 24 [5 -f 3e , 2 4~ 2e , 5 4- e] : 2 24 120  8 ANALYTÏCAL T RE AT MENT OF THE POLYTOPES REGULARLY C. The characteristic numbers of the C24-familg. 124. The determinatiou of the characteristic numbers bears direct relation to the results of the researches of Mrs. Stoït contained in the list of the limiting bodies (Table I) and . the incidences (Table III). We obtain the number of vertices of the new geometrical creations from the table of incidences, that of the limiting bodies and limiting faces from the list of the limiting bodies; finally the number of edges is deduced from Eüi/er's theoremx). We begin by applying the principle of expansion and then proceed to the contraction. 125. Forms ex C2i, e2 C2i, e3 C2i. As the circumpolyhedron of C24 is" the cube, it is evident, that 8 edges, 12 limiting faces, 6 limiting octahedra meet in a vertex. Accordingly the limiting bodies of vertex import of ex C2i, e2 C2i, e3 C24 are respectively C, CO, O. So the number of the vertices is 8, 12 and 6 times 24, viz. 192, 288, 144 2). We deduce from the limiting bodies (24 tO and 24 C for ex C2i; 24 7ÜC70, 96 P3 and 24 CO for e2 C2i ; 24 0, 96 P3, 96 P3, 24 O for e3 C2i) for the numbers of limiting bodies and faces consecutively 48, 240 for ex C24 ; 144, 720 for H62 . 720 » 144); eiea 24 I ( 576 f 1440 , 1104 , 240); e2eS L24 ' e\e2hC2i (H52, 2304, 1392, 240). 127. Forms cex C24, ce^ C2i, ce3 Cu. In these polytopes there is coincidence of two vertices of each edge (cex <724), three vertices of each face (ce2 C24) or six vertices of each octahedron (ce3 C2i). So the number of vertices will be \. 192, \. 288, |. 144, viz. 96, 96, 24. This, in combination with the limiting bodies, (24 CO, 24 C for cex C2i; 24 C, 24 CO for ce2 C24; 24 O for ce3 °2i) Sives: ce3 C24 — ^24 • Similar identities exist between. the polytopes deducible from these by composition. Three of these polytopes are deduced from the primitive ones by a symmetrical composition. They may be derived either from C24 or from C2i by the same operations and will be obtained but once in the following investigations. They are e.d C24 "='' e3 C2i , deducible by composition from ' C2i and ce3 C2i ; cex e2 Cu = cs1 e2 C'2i „ ccx C2i „ ce2 G2i ; e\ e2 e3 C2i = e\ e2 e3C24> : » aH ' Cel C24 • ce2 C24 iUld C " CelC24 » ce3C24' h H C24 = Cel C2C3 °2i > » C24 > CCX C24 «»d CC2 C24 S cexe2esC24 = ex e2 C24 , „ cex C24 , ce2 C2i ,, ;ce3 G2i ; ex e3 C2i = e2 e3 C24t , „ C24 , cex C2i „ ce3 C2i ; e2e3 C24 = Ci C3 °24 > 'M 624' > Ce2 C%4 » Ce3 C24 \  DERIVED FROM THE REGULAR POLYTOPES, II 180. Since the faces of C24 are triangles, the coordinates of the vertices of ce1-C2i are obtained by adding the coordinates of the extremities of each of the edges of C24 (cf. art. 117, footnote). So one single symbol is found representing the vertices of cet C2i. C24 2 , 2 , 0 ,0 C24 : 2 - , 'O ,' 2 , 0 <£M ct'i C2* |! [4 3 2 , 2 , 0] . 96 vertices. 181. We obtain the coordinate-symbols of ce2 C24 by first determining the coordinates of two adjacent vertices of an auxiliary polytope ce1 C'2i obtained by adding the corresponding coordinates of the vertices of the faces of C24 (cf. art. 118). - 1°. C24 2 , 2 , 0 ,0 024 2,0,2,0 02i 2,0,0,2 ce2 C'24 0,2,2,2 j 2°. C'24 2 , 2 , 0 ,0 C'24 2 , 0 , 2 , 0 Ü24 0,2,2,0 ce2 C'24 ■ 4 ■ ; 4. , 4 , 0:' .. The distance of these two vertices is found to be = 4. Hence the coordinates of the vertices of ce2 C'24 must be multiplied by \V2 to obtain those of ce2 C24. Two coordinate-symbols are found: 1°. ce2 C'24 6 , 2 u% 2 , 2 ce2 C24 [3V/2 , V2V2 , V2] . . 64 vertices'; 2°. cc2 C'24_ ; 4 , 4 , 4,0 ce2 C24 [2V2 , 2V2 , 2V2 , 0 J . . 32 „ ; Total. . 96 vertices. 132. In the same way we may determine the coordinates of cea C24 bJ introducing an auxiliary polytope whose coordinates of vertices are the sums of the corresponding coordinates of the vertices of each of the limiting bodies of C24. As the limiting bodies are octahedra, however, we may take the sums of coordinates of two opposite yertices of each.of them.  12 ANALYTICAL TREATMENT OF THE POLYTOPES REGÜLARLY So we determiae the following vertices of the auxiliary polytope ces C'2i: 1°. C24 2 , 2 , 0 ,0 C2i 2,-2,0,0 ces C'2i Au, oToTcT ; , 2°. C24 2 , 2,0,0 <724 0 , 0 , 2,2 ce3 C'2i 2 , 2,2,2 . . The vertices of the two octahedra used here are: 1°. (2 , 2 , 0 , 0), (2 , — 2 , 0 , 0), (2, 0 , 2 , 0), (2 , 0 , — 2, 0), (2,0,0, 2), (2 , 0 , 0 , —2); 2°. (2,2,0,0) , (0,0,2,2) , (2,0,2,0) , (0,2,0,2), (2,0,0,2) , (0,2,2,0). They have the face (2,2,0,0) (2 , 0 , 2 , 0) (2 , 0 , 0 , 2) in common. Hence they are adjacent limiting bodies of C2i, and the vertices deduced from them are adjacent vertices of ce3 C2i. As their distance is found to be = 4, the coordinates must be multiplied by ^V2 to obtain those of ce3 C'2i. Two coordinate-symbols are found: 1°. cesC'2i 4,0,0,0 ce3C2i [2V/2 , 0 , 0 , 0] 8 vertices; 2°. «?3 Cu 2,2,2,2 ce3 <724 [ V/2 , V2 , V2 , V2]. ..... 16 „ ; Total... 24 vertices. 133. We now proceed to the further deduction of the coordinatesymbols of the polytopes of the (724family. The polytope ei C2i is obtained by composition of cex Csi and C2i (one symbol) i fc ^si cet C2i 4,2,2,0 C2i 2,2,0,0 e C24 [6,4,2,0] 192 vertices.  DERIVED EROM THE REGULAR POLYTOPES. 13 134. The polytope e2 C24 is obtained by composition of ce2 C24 and C24 -. ee2 C2i SV2 V.% , V2 , V2 C24 2 ,-2,0,0 % C24 O + 3v/2 , 2 -f V2 , V2 , \/2] ... 192 vertices; ce2 C24 2V2 , 2V2 , 2V2 , 0 C24 2 , 2,0,0 e2 °2i C2 + 2V/2 , 2 -f 2V2 , 2V2 , 0 ] . . . 96 „ | Total. . . 288 vertices. 135. The polytope cel e2 C24 is obtained by composition of ce2 C24 and cel C24. Instead of' a cex C24-vertex however we make use of the two C24-vertices from which it can be obtained by addition. ce2C2i 3V2 , V2 ,. V2 ,V2 C24 2 ,2 ,0,0 C24 2 , 0 2 ,0 ce1 e2 G24 [4 -f 3V2 , 2 -f V2 , 2 -f V2 , Vï]. . 192 vertices; ce2C24. 2V2 , 2V2 , 2V2 , 0 C24 2 , 2 , 0 ,0 C24 2 ,0 ,2,0 cel e2 C24 [4 -f- 2V2 , 2 -f 2V2 , 2 -f 2V2 , 0 ]. . 96 „ \ Total. . . 288 vertices. 136. The polytope ex 4 + V2 , 2 -f V/2 , V2]. . 384 vertices; eex e2 G24 4 + 2V2 , 2 + 2\/2 , 2 + 2V2 , 0 C24 2 , 2 , 0,0 5i52C24 [6 + 2V/2 , 4-f2\/2 , 2 + 2\/2 , 0].. 192 „ ; Total... 576 vertices.  14 ANALYTICAL TRÈATMENT OF THE POLYTOPES REGULARLY 137. The polytope e3 C24 is obtained by composition of eek XL. and C24: ce3 c24 2V2 j^: 0 y ,0,0 C24 2 , ,2 , 0,0 H Cu" C2 -4- 2V/2 ,A' 2 , 0 , 0].... 48 vertices; c2 0 , 0 e3 <724 [ö+ V/2 , 4+V/2 , 2 + V/2 ', V2]. . 384 „ ; Total. . . 576 vertices.,  DERIVED FROM THE REGULAR POLYTOPES. 15 140. The polytope ce2e3 C24 is obtained by composition of ce3 Ci4 and ce2 C24 : • ce3 C24 2v/2 , 0,0, 0 ce2 C2i 3V/2 , V2 , V2 , V2 ce2e3C2i [5V/2 , \/2 , V2 ,[ V2] 64 vertices; ce3 C2i V/2 , V2 , V/2 , V/2 . «?2C24 3V2 , \/2 , V2 , V2 ce2e3C2i. [4\/2 , 2V2 , 2V2 , 2V/2] -64 ce3 C24 V/2 , V2 , V2 , V2 ce2C24 2V2 , 2V2 , 2\/2 , 0 ce2e3C24 [»V2 , 3\/2 , 3V2 , V2]. 64 „ Total. . . 192 vertices. 141. The polytope e2 e3 C24 is obtained by composition of c 3600 . 72°) ; e2 C600 (360° . 10800 . 8640 » 144°) ; h ^600 (2 4 0 0 > 7200 1 7440 . 264°) • 146. Forms e2 C600 , e, e3 C600 , e2e3 C600 , ex e2e3 C600. The number of vertices is given by the relations 6/, 12r, I2r, 24>r, viz. 7200, 7200, 7200, 14400. By the consideration of the limiting bodies (600 tO, 720 P5, 120 tl for e1e2 C600 ; 600 tT, 1200 P6, 720 P5, 120 PPD for ^ e3 Cg^; 600 CÖ, 1200 P3,  DERIVED FROM THE REGULAR POLYTOPES. 19 720 P10, 120 W for e2e3 Ceoo; 600 tO, 1200 P6 , 720 P10, 120 tlD for ele2e3 C600) we obtain consecutively for the limiting bodies 1440, 2640, 2640, 2640 and for the faces 8640, 13440, 13440, 17040. This gives ei e2 Ceoo ( 7200 . !4400 , 8640 , 1440) ; eie3 Ceoo ( 72«0 , 18000 , 13440 , 2640) ; e2e3 c600 : ( 7200 j !8000 , 13440 , 2640) ; ^ï^^ C600 (14400, 28800, 17040, 2640). 147. Forms eelC800, ce2 C600, ce3C300. The numbers of vertices are f 1440, gj 3600, f. 2400, viz. 720, 1200, 600. By the consideration of the limiting bodies (600 O, 120 I for ce. C600 ; 600 T, 120 ZZ> for «?2 C600; 120 2> for CÉ?3 C600) we obtain for the limiting bodies 720, 720, 120 and for the limiting faces 3600, 3120, 720. This gives cei C600 ( 720 , 3600 , 3600 , 720) : ce2-Ceoo (120ü > 3600 , 3120 , 720); ce3 6'600 ( 600 , 1200 , 720 , 120) . 148. Forms ceie2CWM, ce^.C^, ce2e3Cmo, ce.e^C^. By the c-operation the bodies of body-import tO, tT, CO, tO, are transformed into tT, O, T, tT, and accordingly 6/, 12r, \%r, 24 r become 3/, Qr, 4r, 12r leading to 3600, 3600, 2400, 7200 vertices. By the consideration of the limiting bodies (600 tT, 120 tl for ■cel e2 Csoo; 600 O, 1200 P3, 120 BID for cexe3 C600; 600 T, 120 tD for ce2e3.C600; 600 tT, 1200 P3, 120 for c^^eg C600) we obtain for the limiting bodies 720, 1920, 720, 1920 and for the limiting faces 4320, 9120, 3120, 9120. This gives c5i52Cg00 (3600 , 7200 , 4320 , 720); , ^sCgoo (3600 ,. 10800 , 9120 , 1920); ' ce2e3C60Q (24°0 , 4800 , 3120 , 720); cele2e3C600 (7200, 14400, 9120, 1920). F. The coprdinates of the C^-family. 149. To deduce the coordinate-symbols of the polytopes of the C600-family we may choose as the „patriarch" (art. 48) of the 2*  20 ANALYTICAL TREVTMKNT OP THE POLYTOPES REGULARLY family either the C600 or the C120, neither of.which however can be represented by a single coordinate-symbol. We choose the C600, as it seems to be the simplest one. When the length of the edge is assumed to be = 4 , the C600 can be represented by three coordinate-symbols *) [2 -f- 2e , 0 , 0 , 0 ] 8 [8 + e , 1 + e. , 2 , 0 ] : 2 96 [1 -j- e , l+5,l+e,l+e] 16 120 where e = V/5 and : 2 denotes pentagonal hemiedry (cf. art. 116). The numbers on the right side are the numbers of vertices represented by each of the symbols. 150. From C600 we first deduce the other primitive forms of the family cex C600, ce2 <7600 and ce3 Cm = C1S0. Since the faces of C600 are triangles, the coordinates of the vertices of ce1 C60Q are obtained by adding those of two adjacent vertices of C600 (see art. 117, foot-note). Six coordinate symbols are obtained.2) C600 2 + 2e , 0 , 0 , 0 C60o 3 + 5 ,1+5 , 2__ 0^ cei C6Q0 [5 + 3e , 1 + o , 2 , .. 0 ] : 2 96 Ceoo 3 + e , 1 + e , 2 , 0 C600 3 + e , 1 + e , — 2 , 0 cei C6oo [6 + 2e , 2 + 2e , 0 , 0 ] 48 0eoo 3 + 5 , 1 + e , 2 , 0 Ceoo 3 + e , 0 , 1 +e , 2 ce\ 0600 [6 + 2e , 1 + e , 3 + e , 2 ] : 2 '192 ') P. H. Schoute. Mehrdimensionale Greometrie II, § 7, art. 69, p. 209. P. H. Schoute. Regelmassige Schnitte und Projectionen des HundertzwanzigzeUes und Sechshundertzelles im vierdimensionalen Raume. Verh. der Kon. Akad. v. W. te Amsterdam! Eerste sectie. Deel II, n°. 7. Tabelle I A. , IJfV E. L. Elte. The semiregular Polytopes of the hyperspaces (Dissertation, Groningen 1912) § 15, p. 23; Table, E, p. 28 (multiplied by \ (5 + e)). *) Elte. Diss. § 15, p. 24, Table A; § 16, p. 31 Table H, the last six symbols (multiplied by 5 + e).  DERIVED FROM THE REGULAR POLYTOPES. 21 Ceoo 3 +.e \ 1 + e , 2 , 0 Ceoo 1 +g , 3 + g > 0 , 2^ ce\ 0600 [4 + 2e , 4 + 2e , 2 , 2 ] 96 C600 3 + e , 1 + e , 2 j 0 06oo , 2 , 3 + e , 1 -fe , 0 cei 0600 [5 + e > 4 + 2e , 3 -f- e , 0 ] : 2 96 06oo 3 + « , 1 -f e , 2 , 0 06oo l+e , 1 + e , 1+e 0600 [4 + 25 , 2 + 2e , 3 + e, 1 + e] : 2 192 720 151. In the same. marmer, the limiting bodies of C60Q being tetrahedra, we find the coordinates of the vertices of ce2 C600 by adding those of three adjacent vertices of C600 (vertices of a same face) (see art. 117 foot-note). Ten coordinate-symbols are obtained.*) 06oo 2 + 2e , 0 , 0 , 0 06oo 3 + 5 , 1 + e , 2 , 0 06oo 3 + 5 , 1 + e , —2. , 0 CH 06oo [8 + 4e , 2 + 2e , 0 , 0 ] 48 C600 2 + 2e , 0 , 0 , 0 0600 3 + 5 , 1 + e , 2 , 0 06oo 3 + 5 , 2 , 0 , , 1 + e ce2 0600 [8 + 4^ , 3 + e , 2 , 1 + e] : 2 192 06oo 1 + 5 , 1 + e , 1 + e , 1 + e 06oo 3 + 5 , l +e ;, 2 , 0 06oo 3 + e , 0 , 1 + e , 2 , ce2 06oo C7 + 3* , 2 + 2e , 4 + 2e , 3 + e] : 2 192 ') Ei.te. Diss. § 15, p. 26, the first ten symbols of Table C (multiplied by 2); § 16, p. 29, Table F.  22 ANALYTICAL TEBATMENT OF THE POLYTOPES JIEGULARLY Ceoo 1+5,1+^,1 -re r-,,l.-i e Ceoo 3 + e ,1+e , 2 , 0 06oo 1+5 , 3+e -, 0 , 2 552 06oo [5 + 3e , 5 + 3e , 3 + 8 , 3 + e]1 96 0600 1 + 5,1 + 8,1 + 8 r,;i + 8 '0600 3 + 8,1 + 8, 2 .1. 0 06oo 2 , 3 + 8 -, 1 + e-;-, 0 552 C600 [6 + 2e , 5 + 3e , 4 + 2e , 1 + e] : 2 192 0600 3 + 8 -rl +8 , 2 0 0600 3 + 8,1 + 8,-2 , 0 06oo 3 + 8 , 2 , 0 , 1 + e 552 06Oo [9 + 35 , 4 + 28 , 0 , 1 +.8] : 2 96 0600 3 + 8 , 1 + 8 2 0 0600 3 + 8 , 0 , 1 + 8 , 2 06oo 3 + 8 , ■••2 y 0 1+8 552 06oo [9 + 38 , 3 + 8 ,3+8 ,3 + 8] 04 0600 3 + 8,1 + 8, 2 £ 0 0600 3 + 8,1 + 8,-2 , 0 06oo 1+8,3 + 8, 0 v- 2 552 C600 [7 + 3e , 5 + 38 , 0 2 J : 2 '96 0600 3 + e , 1 + e , 2 , 0 0600 3 + e i% 0 , 1+e , ,2 - 06oo 1 + 5 , ,2 , 3 + e. + : ,0 ,+ 552 06oo [7 + 3e , 3 + e , 6 + 2e , . 2 '] • 2 192 0600 3 + e , 1 + e , 2 ', 0 0600 2 , 3 +e 1 +e 0 06oo 1 + 5 , 2 ', 3 + e ',. • 0 . 552 C7600 [6 + 2e , 6 + 2e , 6 + 2e , 0 ] 32 1200 152. To obtain the coordinate-symbols of ce3 C600 we first deduce an auxiliary polytope, ce3 Cs00, whose vertex-coordinates are obtained  DERIVED FROM THE REGULAR POLYTOPES. 23 by adding those of four adjacent vertices of C600 (vertices of a same limiting tetrahedron). The coordinates of the vertices; of ee3 6y600 are j to be multiplied by such a number that the edge of it acquires the length 4. The length of the edge of ee3 (7600 (= distance of the firsf and the second vertex of ce3 C600 in the following computation) is found to be = 2 -4- 2e. Hence the multiplier required is 4 ( 2 • ;A 3 -j- e , 0 ce3 0'eoo 10 + 4e , 3 + e , 7 + 3e , 0 ce3 0600 [ 5 + 3e , 1 + e , 4 + 2e , 0 ] : 2 96 0600 3 + e , 1 + e , 2 , 0 0600 3 + e , 1 + e , — 2 , 0 06oo 1 + e , 3 + e , 0 , 2 06oo 1 + e , 3 + e , 0 , — 2 ' ce3 0'eoo 8 + 4e , 8 + 4e , 0 , 0 CH 06oo [ 6 + 2e , 6 + 2e , 0 ■ | 0 ] 24 600 153. We now proceed to deduce the coordinate-symbols of the other polytopes of the family by composition of the primitive ones: Deduction of ej C600 by composition of cex C600 and C600. C(?i 06Oo 5 + 3e , 1 + e , 2 ' , 0 0eoo 2 + 2e , 0 4^. 0 , 0 ei 06oo [7 +5e, 1+e , 2 , 0 ] : 2 ■ 96 cei 06oo 5 + 3e , 1 + e , 2 , 0 06oo 3 + e , 1 + e , 2 , . 0 ei 06oo [8 + 4e , 2 + 2e , 4 , 0 ] : 2 96 cei 06oo 6 +2e , 2 +2e , 0 §, 0 06oo 3 + e , 1 + e , 2 , 0 ei 0600 C9 + 3e , 3 + 3e , 2' , 0 ] : 2 96  DERIVED FROM THE REGULAR POLYTOPES. 25 wi tfeoo 6 4- 2e , 1 4- e , 8 4-gi^ 2 0èoo 3 +5 , 1 4- e , 2 0 , o i ei 0600 C9 + 3e , 2 4- 2e , 5 4- e , 2 ] : 2 .,192 cei 0600 6 4- 2e , 1 4- e , 3 4- e , 2 06oo 3 + 5,0 , 1 + e , 2 *i 0600 [9 + 3* > 1 + e , 4 + 2e , " 4 ] : 2 192 55, C60o 4 + 2e , 4 + 2e , 2 , 2 06oo 3 + 5 , 1 + e , 2 . ^ 0 ei 06Oo [7 + 3e , 5 + 3e , 4 , 2 ] : 2 192 ceiC6m 5 + 5 , 4 + 2e , 3 + e • 0 06oo 3 + e , 1 + e , 2 , 0 ei 06oo [8 + 2e , 5 + 3e ■ , 5 + e ■ , 0 |j 2 96 55, Cfeoo 5 + 5 , 4 + 2e , 3 + e , 0 06oo 2 , 3 + e , 1 +e , 0 ei 06Oo [7+5 , 7 + 3e , 4 + 2e ,' 0 J : 2 96 55, C600 4 + 2e , 2 + 2e , 3 + e , 1 + e 0600 3 + e , 1 + e , 2 , 0 5, CB00 [7 + 3e , 3 + 3e , 5 + e , 1 +e ] : 2 I 92 55, C600 4 + 2e , 2 + 2e , 3 + e , 1 + e • . 06oo 1+5,1 + e , 1 + e ■ , 1 + e ■ 5, Ceoo [5 + 3e , 3 + 3e , 4 + 2e , 2 + 2e] : 2 192 1440 154. Deduction of e2 C600 by composition of ee2 OG00 ,and C600. *) 552 06Oo 8 + 4e , 2 + 2e , 0 , 0 06oo 2 + 2e , 0 , 0 , 0 52 06oo [10 + 6e , 2 + 2e , 1) , Ö f 48 552 C600 8 + 4e , 2 + 2e , 0 , 0 06oo ' 3 + e, , 1 + e , 2 , , 0 , g2 0600 [lï + 5e , 3 + 3e , ■ 2 \ 0 ] : 2 96 ') Elte, Diss. § 15, p. 25, Table B.  26 ANALYTICAL TEEATMENT OF THE POLYTOPES KEGULAKLY ce2 Ceoo 8 + 4e , 3 + e , 2 , 1 4- e Ceoo 2 4- 2e , 0 , 0 0 H 0600 [10 +6e , 3 + e , 2 ,l+e):2 192 ce2 0600 8 + 4e , 3 + e , 2 , 1 + e 06oo 3 + e , 1 + e , 2 , 0 e2 0600 [11 + 5e , 4 + 2e , 4 , 1 + e ] : 2 192 CH 0600 8 + 4e , 3 + e , 2 , 1 + e 06oo 3 + e , 2 , Q-- , 1+e e2 C600 [11 + 5e , 5 + e , 2 , 2 + 2e] : 2 192 ce2 0600 7 + 3e , 2 + 2e , 4 + 2e , 3 + e 06oo 1+e , 1+e , 1+e , 1+e e2 C600 [ 8 + 4e , 3 + 3e , 5 + 3e , 4 + 2e] : 2 192 ce„ C600 7 + 3e , 2 + 2e , 4 + 2e , 3 + e "tf,oo 3 + e , 1 +e , 2 , 0 52 0,oo [10 + 4e , 3 + 3e , 6 + 2e , 3 + e ] : 2 192 ce2 C600 7 + 3e , 2 + 2e , 4 + 2e , 3 + e C600 3 + e , 0 , 1 + e , 2 e2 0600 [10 + 4e , 2 + 2e , 5 + 3e , 5 + e ] : 2 192 ce2 C600 5 + 3e ,5 +3e, 3 + e ,3 + e 0600 1 +e , 1+e , 1+e , 1+e e2 C600 [ 6 + 4e , 6 + 4e , 4 + 2e , 4 + 2e] 96 ,ce2 C600 5 + 3e,5 + 3e,3 + e ,3 + e 0600 3 + e , 1 +e , 2 , 0 52 0,oo [ 8 + 4e , 6 + 4e , 5 + e , 3 + e ] : 2 192 ce2 C600 6 + 2e, 5 +3e, 4 +2e, 1+e 0,oo 1+e , 1+e , 1+e , 1+e e2°im [ 7 + 3e , 6 + 4e , 5 + 3e , 2 + 2e] : 2 192  DERIVED FftOM THE REGULAR POLYTOPES. 27 Qoo 6 + 2e , 5+- 4 + .2*., 1-f e 06oo 3 + e .,1 -| e, , 2 , , , Q_. 3+e ,1+e , 0 cex e2 C600 [ 9+3e , 9+5e , 6 + 4e , 2+2e] : 2f [ 192 «4 e2 C^oo [10+4e , 10+6e, 7+5e, 3+3e] i 2 192 e* Ceoo [H+3c i 12+6e , 7+5e, 2+2e] rif j 192 ce2 C600 . 6 + 2e , 5+3e , 4+2e , 1+e 06oo 3+e ,1+e, 2 , i'0 C7600 2 , 3+e , 1+e , 0 cex e2 C600 [ll+3e , 9+5e , 7+3e , 1+e ] : 2 ,'' 192 c2 Ceoo [14+4e , IO+6e , 9+3e, 1+e ]: 2 192 ex e2 C600 [l3+3e, 12+6e, 8+4e, 1+e ]: 2 • 192  DERIVED FROM THE REGULAR POLYTOPES. 31 ^Cfsoo 9+3e , 4 + 2e , 0 ,1+e Ceoo 3+e , 1+e ,2,0 Ceoo 3+e , 1+e , —2 ,0 cei e2 0600 [15 + 55 , 6+4e , 0 , 1+e ] 2 96 ex e2 C600 [18+6e, 7+5e, 2 2 192 ce2 0600 9+3e , 4+2e , 0 ,1+e 06oo 3+e , 1+e ,2,0 0600 3+e , 2 , 0 ,1+e ce\ e2 0600 [15 + 5e , 7+3e , 2 , 2+2e] : 2 192 «i e2 Ceoo [18+6e, 8+4e, 4 , 2+2e] j 2 192 2 , 3 4- e , 0 ] : 2 96 ce3 06oo 7 + 3e , 2 , 3 4- e , 0 0600 3 + 5 , 1 + e , 2 . , 0 e3 06oo C10 + 4e , 3 4- e , 5 4- e , 0 ] : 2 96 CH 06oo 7 "f 3e . 2 , 3 -j- e , 0 0600 3 + e , 0 , 1 -j- e , 2 ^3.0600 [10 4-4e, 2 , 4 -f 2e j 2 ] 192 ce3 06oo 5 -f 3e , 3 4- e , 3 4- e , 3 4- e 0600 l+e ,l-|-e ,1+e ,1+e % 0600 [ 6 + 4e , 4 + 2e , 4 + 2e , 4 + 2e] 64 c53 06oo 5 + 3e , 3 + e ,3+e ,3 + e 06oo 3 + e ., 1 + e , 2 , 0 e3 06oo [ 8 + 4e , 4 + 2e , 5 + e , 3 +e ] : 2 192 cesC600 4 + 2e , 4 + 2e , 4 + 2e , 2 0600 1+5 ,1+e ,1-f-e ,1+e 53 0600 [ 5 + 3e , 5 + 3e , 5 + 3e , 3 + e ] 64 553 C600 ^ .4 + 2e , 4 + 2e , 4 + 2e , .2 0600 3 + e , 1 + e , 2 , 0 53 06oo [ 7 + 3e , 5 + 3e , 6 + 2e , 2 ] : 2 192 553 Ceoo 4 + 2e , 6 + 2e , 3 + e ,1+e 0600 "l+5 ,1+e , 1+e ,1+e 53 06Oo [ 5 + 3e , 7 + 3e , 4 + 2e , 2 + 2e] : 2 192 Verband, der Kon. Akad. v. Wetensch. 1« Sectie Dl. XII N°. 2. B 3  34 ANALYTICAL TREATMENT OP THIS POLYTOPES REGULARLY ee3 CG0Q 4 + 2e , 6 4- 2e , 3 + e ,1 + e Ceoo 84-e ,14-« , 2 , 0 es C600 [ 7 + 8e , 7 + 3e , 5 4- e. , 1 4-e ] 192 553 06OO 4 + 2* • 6 + 25 , 3 + e ,1 + e 0600 1 H- e ,3+e, 0 , 2 H 06Oo [ 5 + ^e , 9 4- Se , 3 4- e ■, 3 4- e ] 192 c53 06OO 4 + 2e , 6 4- .2e , 3 4- e , 1 4- e 0600 2 , 3 + e , 1 4-e , 0 53 0600 [ 6 + 2e , 9 + 3e , 4 + 2e , 1 + e ] : . 2 192 553 06OO 5 + 3e , 1 + e , 4 + 2e , 0 06oo 3 + e , 1 + e ; 2 , 0 e3 C600 [ 8 + 4e , 2 + 2e , 6 + 2e , 0 ] j 2 96 ce3 C600 5 + 3e , 1 + e , 4 + 2e , 0 06oo 3 + e , 0 , 1+e , 2 53 06OO [ 8 + 4e ,~1 +e , 5 + 3e , . 2. ] : 2 192 ce3 Cgoo 5 + 3e ., 1 + e , 4 + 2e , 0 06OO 1+5 , 2 ;,3+e , 0 53 06Oo [6+4e,3+e , .7 + 3e , 0 .] : 2 96 553 06Oo 6 + 2e , 6 + 2e , 0 , 0 06oo 3 + e ,1 + e , 2 , 0 53 06oo [ 9 + 3e , 7 + 3e , 2 , 0 ] : 2 96 2400 157. Deduction of cej e3 C600 by composition of ce3 C600 and cei 0600 ano1 °^ e\ e3 0600 °y composition of cej eg C600 and 06Oo- The arrangement of the computation is the same as that of the deduction of cel e2 Cg00 and ex e2 C60o (art. 155).  DERIVED FROM THE REGULAR POLYTOPES. 35 ■^8 ^eoo 7+3e , 1+e , 1+e ,1+g Ceoo 2 + 2e , 0 , 0 ,0 06oo 3+e , 1+e ,2,0 cei H 06oo' [12 + 6 2 , 8+e , 0 Ceoo 3+* . % > 2 » 0 06oo 3+* , 0 , 1+e , 2 «8 Ceoo [13+5e , 3+e , 6+2* , 2 +2 192 3+* - 3+* > 3+e 06oo !+« • l+e > !+* , 1+e C60o 3+e ,1+e, 2 ,0 cex. e3 C600 [ 9+5e , 5+3e , ö+2e , 4 + 2e] : 2 192 e3 C60o [10+6e, 6+4e , 7+ 3e, 5+3e], 2 192 e, e3 Ceoo [12+6e, 6+4e , 8+2e , 4+2e] j 2 192 ce3 Cg0o ' 5+3e , 3+e , 3+e , 3+e C60o 3+* , 0 , 1+e , 2 C600 3+e , 2 , 0 ,1+e eej e3 C^oo [11 + 5* , 5+e , 4+2e , 6 + 2e] : 2 192 «i «3 C6oo [14+6e, 5+e , 5+3e, 8+2e]: 2 192 ex e3 Ceoo [14+6e, 7+e , 4+2e, 7+3e] = 2 192 ««3 0600 4 + 2e > 4+2£? ' 4 + 2 3+e ,1+^.0 C600 1+5,2, 3+e , O cei H Ceoo [ 7+3 9+3e , 8+4e , 2 ] : 2 192 e3 C6Q0 [ 9+3e . 12+4e, 9+5e, 2 ] = 2 192 #i e3 C600 [ 8+4e , ll+3e, ll+5e , 2 ]: 2 192  DERIVED FROM THE REQULAR POLYTOPES. 87 5*3 Ceoo 4+2e , 6+2* , 3+* , 1+e Ceoo !+* . 1+5 , 1+e ,1+e 0600 3+e , 1+e , 2 ,0 *3 C600 [ 8+4* , 8+4e , 6+2e , 2+2e] 192 «,e3 <7600 [ 9+5e, 9+Ö6, 7+36,3+36]- 192 «i^Cioo [H+6e, 9+56, 8+26,2+26+2 192 ces 0600 4+2e , 6+2e , 3+e ,1+e 0600 1+5 , 3+* , 0 ,2 0600 2 , 3+* , 1+e , 0 cei 53 C^oo C ?+3e . 12+4e , 4+2e , 3+e ] : 2 192 «i «3 Ceoo [ 8+46,15+56, 4+26, 5+6 ]: 2 192 I e3 C600 [ 9+^6 , -J5+56, 5+36, 3+6 ]: 2 192 553 06oo 4+2e , 6+2e , 3+e , 1+e 06oo 1+5 , 1+5 , 1 + e , 1 + e 0600 1+5 , 3+e , 0 , 2 cei 53 06oo [ 6+4* , 10+4e , 4+2e , 4+2e] 192 «i «b C600 [ 7+56 . H+56 , 5+36 , 5+3e] 192 .* 192  DERIVED EROM THE EEGULAR POLYTOPES. 39 CH Ceoo 6+2e , 6 + 2e , 0,0 Ceoo 3+e , 1+e ,.-: 2 ,0 0600 3+e , l+g , —2 , 0- . ce\ H 06oo [12+4* , 8-|-4*7". 0 , 0 •] 48 ei 5 + 3e , 3+e , 3+e ,3+e Ceoo 1+e . 1+e , 1+8 , 1+e Ceoo 3+5 ; 0 , 1+e , 2 06oo 3+e ,2,0, 1+e ce2 H 06oo [1'2+Öe , 6+2e , 5 + 3e , 7 + 3e] : 2 192 e2 C600 [13+7e, 7+3e , 6+4e, 8+4e] \ 2 192 e2 e3 Ceoo [15+7e, 6+2e, 6+4e, 9+3e]: 2 192 «2 e3 Ceoo [15+7e, 8+2e, 5+3e, 8+4e] I 2 192 CH 06oo 4+2e , 4+2e , 4+2e , 2 0eoo . 3+e , 1+e , 2 ,0 06oo 2 . 3+e , 1+e , 0 06oo 1+5 , 2 , 3+e , 0 552 53 C6oo [!0+4e , 10+4* , 10+4e , 2 ] 64 «2 ^3 C600 [13+5e, 11 +5e, l2+4e , • 2 f; 2 192 553 C6oo 4+25, 4+2*., 4 + 2e , 2 06oo 1+5 , 1+e , 1+e , 1+e 06oo 2 , 3+e , 1+e , 0 06oo 1+5 , 2, , 3+e , 0 ce2 53 06oo [ 8+45 , 10+4e , 9+5e , 3+e ] : 2 192 e2 «3 C600 [ 9+5e, ll+5e, 10+6e, 4+2e] .2 192 e2 es C600 [10+4e, 13+5e, 10+6e, 3+e ]: 2 192 e2 % Ceoo [ 9+5e , 12+4e, 12+6e, 3+e +2 192 c53 C'eoo 4+2e , 6 + 2e , 3+e ,1+e 06oo 3+e , 1+e , 2,0 06oo 1+5 , 3+e ,0,2 0600 . 2 , 3+e , 1+e , 0 ce2 es 0600 [10+4* , 13+5e , 6+2e , 3+e ] : 2 192 e2 e3 Ceoo [13+5e, 14+6e, 8+2e, 3+e ] = 2 192 «2«8 Ceoo [H+5e , 16+6e , 6+2e , 5+e ]: 2 192 «a^s C600 [12+4e, 16+6e, 7+3e, 3+e ] -. 2 192  42 ANALYTICAL TEEATMENT OF THE POLYTOPES REGULAELY ceaCeoo 4+2 6+2e , 3+e ,1+e ^600 1+e > 1+5 > 1+5 > 1+5 06oo ' 1+5 > 3+e ,0,2 06oo 2 , 3+e , 1+e , 0 552 53 C600 [ 8+4e , 13+5e , 5+3e , 4+2e] : 2 192 02 «3 C600 [ 9+5e , 14+6e , 6+4e, 5+3e] i 2 192 «2 «3 C600 [ 9+5e, 16+6e i 5+3e , 6+2e] i 2 192 «2 «3 C600 [10+4c , 16+6e i 6+4e , 4+2e] j 2 192 ce3 C600 4 + 2e , 6+2e , 3+e , 1+e 0600 1 + 5 , 1+5 , 1 +5 , 1+8 0600 3+e ,1+e, 2 ,0 06oo _ 2 » 3+e , 1+5 , 0 ce2 e3 C600 [10+4* , 5e , 7 + 3* , 2+2e] : 2 192 «2 e3 C600 [11 +5c, 12+6e , 8+4e, 3 +3c] ■. 2 192 e2 e3 Ceoo [13+5e, 12+6c , 9+3c , 2+2e] I 2 192 e2e3 C600 [12+4c, 14+6e, 8+4e, 2+2e] -.2 192 5*3 C600 4 + 2* , 6 + 2* , 3+e , 1+e 06oo 1+5 , 1+5 ,. 1+5 , 1+* 06oo 3+* , 1+* , 2 ,0 0600 1+* , 3+* , 0 ,2 552 53 C600 [ 9+5* , 11 + 5* , 6+2* , 4+2*] : 2 192 e2 e, C600 [10+6c , 12+6e, 7+3e, 5+3e]! 2 192 e2ea O600 [12+6e, 12+6c j 8+2c , 4+2c] 192 e2 «3 Ceoo [10+6e, 14+6e , 6+2e, 6+2c] 192 553 C^o 5+3*, 1+e , 4 + 2e , 0 06oo 3+e , 0 , 1+e , 2 06oo 3+e ,;J'0 , 1+e ,-2 C600 1+e , 2 , 3+* , 0 552 *3 06OO [12+6* , 3+e , 9+5e , 0 ]: 2 90 e2«3 C600 [15+7c, 3+c ,10+6e, 2 ]:2 192 e2 e3 C600 [13+7e , 5+e , 12+6e, 0 ]: 2 96  DERIVED FROM THE REGULAR POLYTOPES. 43 cescm 5+3e . 1+e i 44-2* :, 0 Ceoo 3+5 , 1+e 2 ,0 06oo 3+e , 0 , 1 -j e , 2 06oo 1+e , 2 , 3+e , 0 ce2 H 06oo [124-6e , 4+2e , 10+4e ,2 ] : 2 192 «2 «3 C600 [15+7e , 5+3e, 12+4e, 2 ] ; 2 192 *2e3 ^ [15+7e, 4+2e, ll+5e, 4 ]: 2 192 C600 [13+7e, 6+2e, 13+5e,' 2 ]: 2 192 ce3 06oo 5+3e ,1+e, 4+2e , II 06oo 3+5 , 1+e , 2 ,ll 06oo 3+5 , 0 , 1+e , 2 06oo 3+5 , 0 , ]+e ,-2 ce-i H 06oo [14+6* , 2+2e 8+4e , 0 ] : 2 96 0263 Ceoo [17+7e, 3+3e, 10+4e, 0 ]: 2 96 «s Ceoo [17+7e, 2+2e, 9+5e, 2 + 2 192 06oo G + 2e , 6+2e ,0,0 06oo 3+e . 1+e , 2 ,0 0600 1+5 , 3+e ,0,2 0eoo 1+5 . 3+e , 0 ,—2 552 5g C600-[l l + 5e , 13+ 5e , 2 , 0 ]: 2 96 «2«3 C600 [14+6e, 14+6e, 4.0] 96 «2^3 C600 [12+6e, 16+6e, 2 , 2 J 192 2400 7200 159. Deduction of ee1 e2 e3 tf600 by composition of ee9 e3 C600 and cex C600 and of ^ e2 e3 <7600 by composition of ce, e2 e3 6'600 ^2*3 0600 16+6e , 4+2* , 0600 3+5 , 1+e , 0600 3 + 5 0 cei52 53C600 [22+8* , 5+3e, «i^Céoo[25+lte , 6+4e, ^i^3(7600 [25+9e , 5+3e, 4+2e , 4+2e 2 T,;' 0 1+e , 2 7+3e, 6+2*]: 2 192 9+3e, 6+2e]:2 192 8+4e, 8+2e]:2 192  44 ANALYTICAL TREATMENT OP THE POLYTOPES REGULARLY ce2e3C600 1 5 + 7* , 3+e , 2+2e , 4+2e C60o 2+2e ,0,0,0. C60, 3+e , 0 , 1+e , 2 ce^egCeoo [20+10e , 3+e , 3 + 3e , 6+2e]:2.192 ele2e8CM0[2Z+12e, 3+e , 3+3e, 6+2e]:2 192 «i^3C600 [23+lle, 3+e , 4+4e, 8+2e]:2 192 ee2e3 (7600 15+7e , 3+e , 2+2e , 4+2e C600 3+2e ,0,0,0 C600 3+e ,2,0, 1+e ce1e2e3C600 [20+10e , 5+e , 2+2é , 5+3e]:2 192 «i^Ceoo [22+12e, 5+e , 2+2e, 5+3e]:2 192 A^Ceoo [23+lle, 7+e , 2+2e, 6+4e]:2 192 ce2e3C600 15+7e , 3+e , 2 + 2e , 4+2e C600 3+e , 0 , 1+e , 2 C6oo 3+e , 2 , 0 , 1+e ceje2e3C6o0 [21+9e , 5+e , 3+3e , 7+3e]:2 192 e,e2e3C600 [24+10e, 5+e , 4+4e, 9+3ej:2 192 ^e^Ceoo^+lOe, 7+e , 3+3e, 8+4e]:2 192 ce2e3C600 16+6e , 3+e , 7+3e , 0 Ceoo 3+e , 1+e , 2 , 0 C600 3+e , 0 , 1+e , 2 ee1e2e3C60O[22 + 8e , 4+2e , 10+4e , 2 ]:2 192 e1e2e3C600 [25+9e , 5+3e,12+4e, 2 ]:2 192 «i«a«8Ceoo [25+9e , 4+2e,ll+5e, 4 ] = 2 192 ee2e3C600 1 6 + 6e , 3+e , 7 + 3e , 0 Ceoo 3+e , 0 , 1+e 2 Ceoo 3+e , 0 , 1+e ;~2 ^^Co [22+8e , 3+e , 9 + 5e , 0 ]:2 96 8+4e, . 6 ]:2 192 5*2*3 C600 15+7e , 3+* , 6+2*, 2 C60o 3+e , 1+e ,2,0 C60o 3+e , 0 ,1+e, 2 5*i*2*3C6oo [21+9e , 4 + 2e, 9+3e ,, 4 ]:2 192 «iCeoo [24+10e, 5+3e,ll+3e, 4 ]-.2 192 ei^Ceoo^+lOe, 4+2e,10+4e, 6 J = 2 192  46 ANALYTICAL TREATMENT OP THE POLYTOPES REGULARLY **2*3C600 144-6* , 6.4-2* , 6+2*, 6+2* 6'G00 3+e , 1+* , 2 ,0 ' Ceoo 3+* ., 0 , 1+* , 2 cexe2e3 <7600 [20+8* , 7+3*, 9+3e , 8+2*]: 2 192 W3C600 [23+9e , 8+4e,ll+3e, 8+2e]:2 192 e1e2e3C600 [23+9e , 7+3c,10+4c,10+2e]:2 192 c*2 *3 6'600 1 2 +6e , 6+2e , 5+3e , 7+3e C600 1+e ,1+e, 1+e , 1+e/ Ceoo 3+* , .0 , 1+* s 2 c*x *2 e3 C600 [16+8* , 7+3* , 7+5e , 10+4*]: 2 192 e,e8e8Ceoc,[17+9e , 8+4e, 8+6e, 11+5*+2 192 0ie2e3Cr6oo[19+9e i 7+3e, 8+6c, 12+4e]: 2 192 ce2 é3 C600 12+6e , 6+2e , 5+3e , 7+3e C600 1+5 .. 1+5 , 1+5 , 1+* C600 3+* , 2 , 0 , 1+e ce\ e2es C60o [16+8e , 9+3e , 6+4e , 9+5*]:2 192 exe2e3 C60o [1 '+9c , 10+4e, 7+5e, 10+6c]: 2 192 e1e2e3Cr600 [19+9e ,ll+3c, 6+4e,10+6e]:2 192 5e2e3C6()0 12+6e , 6+2e , 5+3* , 7+3* C600 3+e , 0 ,1+e, 2 C600 3+e , 2 , 0 ,1+e ce1e2e3C600 [lS+8e , S+2e , 6+4e , 10+4e]: 2 192 ^c^g C600 [21+9e , 8+2e-, 7+5c, 12+4e]: 2 192 eie2c3C60o [21+9c ,10+2e, 6+4e,ll+6e]:2 192 c*2*3 C600 10+4* , 10+4* , 10+4* , 2 C600 3+* , 1+* , 2 , 0 Ceoo 2 , 3+* , 1+* , 0 ce1e2e3C60Q [15+5* , 14+6*., 13+5* , 2 ]:2 192 «i«2«8Ceoo [18+6c , 15+7e, 15+5e, 2 ],: 2 192 exe2e3C^ [17+5e ,17+7e,14+6e, 2 ]:2' 192  DERIVED FROM THE HEGULAR POLYTOPES. 47 c*2e3C6'oo 8+4* , 104-4* , 04-5*, 34-* Cfioo 1-f'e. , 1+e , 1+e , 1+5 cgoo 2 , 3+e , 1+e , 0 c5i52*3C600 [11 + 5* ,14+Ge ,ll+7e , 4+2*]: 2 102 ^2PSCM0 [12+6e ,15+7e,12+8e, 5+36]:2 192 0ie2eBCeOO[13+5e , 17+7e, 12+8c, 4+2e]:2 192 ^a^s^eoo 8+45 ,10+4e , 9+5* , 3+* '+e -'i i+5 . 1+* , 1+* Ceoo 4+5 , 2 , 3+* , 0 55i52e3C600 [10+6e , 13+5e , 13+7e , 4+2*]: 2 192 0i^3C6OO [ll+7e ,14+66,14+86, 5+3e] = 2 192 «i«2«8Ce00[ll+7e ,15+56,16+86, 4+2e]:2 192 ce2eÈC6oo 8+4* ,10+4*, 9+5*, 3+e C6oo 2 > 3+* , 1+5 ., 0 C6oo .!+5 , 2 , 3+5 , 0 55i52*3C600 [11+5* ,15 + 5* ,13+7* , 3+* ]:2 192 «i ^3 Ceoo [13+56 ,18+66,14+86, 3+6 ]: 2 192 «i"«2«s C600 [12+66 ,17+56,16+8e, 3+6 ]: 2 192 ■ 552 *3 C600 1 0 +4e ,18+5*, 6+2e, 3+e C60o '3+e , 1+e ,2,0 C60o !+5 , 3+e ,0,2 ce\ e2 53 C60o [14+6e , 17+7*,- 8+2e , 5+e ]: 2 192 «1^63C600 [17+7e ,18+86,10+26, 5+e ]:2 192«1^263 C600 [15+7e., 20+8e, 8+2e, 7+e ]: 2 192 c*2 53 C600 10+4e , 13+5e , 6+2e , 3+e C60o 3+e , 1+e ,2,0 C60o 2 , 3+e , 1+e , 0 ct?i52 53 Ce00 [15+5* ,17+7*. 9+3e , 3+e~]:2 192 C600 [18+6e , 18+8e, ll+3e, 3+e ]: 2 192 «i62e3 C600 [17+5e , 20+86-, 10+4e, 3+e ]: 2 192  48 ANALYTICAL TEBATMENT OP THE POLYTOPES REGULAPLY ee2*3C600 104-4* ,184-5*. 64-2* , 3+* C'600 1+* , 8-j-c ,0,2 C60o 2 , 34-* , 14-* , 0 ce1;*2e3 C600 [134-5* ,19+7e , 7+8*, 54-* ]:2 192 exe2e% C600 [14+6e , 22+8e, 7+3e, 7+e ] i 2 192 6,^3C6oo ,22+8e, 8+4e, 5+e+2 192 5*2*3 8+4* ,13 + 5*. 5+3* , 4+2* C'eoo 1+e l 1+* . 1+e . 1+* C60o 1+* , 3+* , 0 , 2 ce1 *2 e3 C600 [10+6* ,17+7*. 6+4* , 7+8*]: 2 192 e1e2e3C600 [ll+7e ,18+8e, 7+5e, 8+46] = 2 192 ete2e3 C600 [ll+7e ,20+8e, 6+4e, 9+3e]:2 192 **2*3 (7600 8+4* ,13+5*, -5+3*, 4+2e Ceoo 1+e , 1+e / 1+* , 1+* C60o 2 , 3+* , 1+* , 0 **!*2*3 C600 [11+5* ,17+7*, 7+5e , 5+3*]: 2 192 «i62e3C60o [12+6e ,18+8e, 8+6e, 6+4e]:2 192 «i«2e3C600 [13+5e ,20+8e, 8+66, 6+86]:2' 192 c*2*3C600 8 + 4* ,13 + 5*. 5 + 3*. 4 + 2* C'eoo 1+e , 3+* , 0 ,2 C600 2 , 3+* , 1+* , 0 ce1e2esC90Q [11+5* ,19+7*, 6+4* / 6+2*]: 2 192 6!62e3 Ceoo [12+6e ,22+8e, 6+4e, 8+2e]:2 192 6,62e3 C600 [13+5e ,22+8e, 7+5e, 6+26] = 2 192 e*2e3C600 10+4* , 1 1 +5e , 7+3*, 2+2* C'eoo 1+e , 1+e , 1+e , 1+* C600 3+e ,1+e, 2 , 0 eei*2e3C600 [14+6* , 13+7* , 10+4* , 3+3*]: 2 192 <§*fe Ceoo [15+7e ., 14+8e, ll+5e, 4+4e]; 2 192 ^«^Ceoo [17+7e ,14+8e, 12+4e, 3+86]:2 192  DERIVED EROM THE REGULAR POLYTOPES. • 49 *»€sGM 10+4* ,114-5*, 74-3*, 2+2* Ceoo 1+e . 1+5 , 1+* , 1+e Ceoo 2 , 34-* , 14-* , 0 Ct?i 5253 C600 [134-5* ,154-7*, 9+5*, 3+3e]:2 192 ^Ceoo[14+6e , 16+86,10+6e, 4+4e]:2 192 «i«2^riö+6e , 18+86,10+6e, 3+3e]:2 192 C5253 C600 10+4* ,11 + 5*. 7+3*, 2+2* C60o 3+5 , 1+e , 2 ' , 0. C600 ' 2 , 3+* , L+* , 0 cei e2e3C6 1-f* 2 , 0 Ceoo 3+5 , 0 , 14-* , 2 ceie2^°em [204-8* , 34-3* , 114-5* 2 ]:2 192 ©!©2©3 C^oo [234-9© , 4+4©,13-f5e, 2 + 2 192 «i'^Ceoo [23+9c , 34-3c,124-6e, 4 ]:2 192 ^Ceoo 144-6* , 24-2*, 84-4*, O Ceoo 3+5 , O , 1-f* , 2 C60o 34-* , 0 , 1-f* , — 2 c*i 5253 C60o [204-8* , 24-2* , 104-6* , O }: 2 96 «i^Ceoo [234-9c , 2+2e, 114-7©, 2 + 2 192 *52 53 C600 114-5* ,134-5*, 2 , O • C60o 3-f* , 1-f* ,2,0 C60o 1+5 ,34-* , 0 . 2 «ï^s^eoo [154-7* ,174-7* . 4 , 2 +2 192 «W3 Ceoo [18+8© ,184-8©, 6,2] 192 «1^3 C6oo [16+8© , 204-8©, 4,4] 192 ce2esceoo 114-5* ,134-5*, 2 , O C60o 1+5 , 3-j-* , O , 2 Ceoo 1+5 , 34-* , O . — 2 5*152*3C600 [134-7* ,194-7*, 2 , 0+2 96 0i^3C6OO[14-f8© ,224-8©, 2,2] 192 7200 14400 160. The following table contains the coordinate-symbols of the polytopes of the C'600-family. C60o [3 + * 'È,- 2^0 , 1 -f e] • 2 96 [2 4-2*, O , O , O ] 8 [1+5 , 1 -f* , 1 -f* , 1 4-*] 16 120  52 ANALYTICAL TREATMBNT OF THE POLYTOPES BEGfULARLY *i C'eoo [G + 2e , 3+e - , 2 , 1 + e ] : 2 192 [6 + 2* , 2 + 2e , 0 , 0 ] 48 [5 + 3e , 2 + , 0 , 1 + e ] : 2 96 [5+e ,4 +2e, 3 + e , 0 ■, ]• : 2 96 [4 + 2e , 4 + 2e , 2 lf 2 ] 96 [4 + 2e , 3 + e ,1+e , 2 + 2e] : 2 ,192 720 ce2 C600 [9 + 3e , 4 + 2e , 0 , 1 + e ] : 2 96 [9 + 3e , 3 + e , 3 + e , 3 + e ] 64 [8 + 4e , 3 + e , 2 , 1 + e ] : 2 192 [8 + 4e , 2 + 2e , 0 , 0 ] 48 [7 + 3e,6 + 2e, 2 ', 3 + e]: 2 192 [7 + 3e , 5 + 3e , 0 , É' 2 ] : .2 96 [7 + 3e , 4 + 2e v, 3 + e , 2 + 2e] : 2 .192 [6 + 2e , 6 + 2e \ 6 + 2e , 0 32 [6 + 2e , 5 + 3e , 4 + 2e , 1 + e ] : 2 192 [5 + 3e , 5 + 3e , 3 + e , 8 + * ] 96 1200 ce3 C600 [7 + 3e , 3 + e , 0 , ' ' 2 ] : 2 96 [7 + 3e , 1 + e ,1+e ,1+e] 64 [6 + 2e , 6 + 2e , 0 ^ , 0 ] 24 [6 + 2e , 4 + 2e , 1 + e , 3 + e ] : 2 192 [5 + 3e , 4 + 2e , 0 , 1 + e ] : 2 96 [5 + 3e , 3 + e ,3 + e ,3+e] 64 [4 + 2e , 4 + 2e , 4 + 2e , 2 ] 64 600 *i C600 [9 + 3* . 5+e , 2 , 2 + 2e] : 2 192 [9 + 3e , 4 + 2e , 4 , 1 + e ] : 2 192 [9 +3e, 3 +3e, 2 0 ]:2 96 [8 + 4e , 4 | , 0 , 2 + 2e] : 2. 96 [8 + 2e , 5 + 3e , 5 + e , 0 ] : 2 96 [7 + 5e , 2 , 0 , 1 + e ] : 2 96 [7 +3e,-7+e , 0 , 4 + 2e] : 2 96 [7 + 3e , 5 + 3e , 4 , 2 ] : 2 192 [7 + 3e , 5 + e , 1 + e , 3 + 3e] : 2 192 [5 + 3e , 4 + 2e , 2 + 2e , 3 + 3e] : 2 192 1440  DERIVED FROM THE REGULAR POLYTOPES 53 e2Ceoo [12+4* ■ 64-2* , 0 , 24-2*] : 2 96 [12+4* , 5+3* , 2 , 1+e ] : 2 192 [12+4* , 5+e , 3+e , 4+2*] : 2 192 [11 + 5* , 5+* , 2 , 2+2*] i 2 192 [11+5* , 4+2e , 4 , 1+e ] : 2 192 [11+5* , 3 + 3* ,2 , Ö } 1 2 96 [10+6* , 3+e , 2 , 1+e ] : 2 192 [10+6* 2+2* ,0,0] 48 [10+4* , 8+2e , 2 , 4+2*] : 2 192 [10+4* , 7 + 3* ,' 4 , 3+e ] ! 2 192 [10+4* , 6+4* ,2,2] 192 [10+4* , 6+2* , 3+* , 3+3*] : 2 192 [10+4* , 5+3* , 5+* , 2+2*] : 2 192 [ 9+3* , S+4e , 5+e , 2 ] : 2 192 [ 9+3* , 8+2e , 0 , 7+3e] : 2 96 [ 9+3e , 6+4e , 6+2e , 1+e ] : 2 192 [ 8+4* , 8+4* ,4,0] 96 [ 8+4e , S+-2e ,1+e , 5+3e] : 2 192 [ 8+4* , .6+4* , 5+e , 3+e ] : 2 192 [ 8+4e , 5+3e ,'4+2* , 3+3*] : 2 192 [ 7+3e , 6+4* , 5+3* , 2+2e] i 2 192 [ 6+4e , ' fi+4* , 4+2e ., 4+2e] 96 3600 ctV-2 6600 [15+5e , 7+3*., 2 , 2+2*] : 2 192 [15+5* , 6+4* , 0 , 1+e ] : 2 96 [15+5e , 6+2* , 5+* , 4+2*] : 2 192 [14+6* , 6+2* 4 , 2+2*]" : 2 192 [14+6* , 4+4* ,0,0] 48 [13+7* ,' 5+* , 2 , 2+2*] : 2 192 +13+7e , 4+2* , 4 , 1+* ] : 2 192 [13+7* , 3+3* ,2 , 0 ] : 2 96 x [13+5* , 9+3* , 4 , 4+2*] : 2 192 [13+5* , 7+5e ,0 , 2 ] : 2 96 [13+5e , 7+3e , 5+e , 3+3e] : 2 192 [ll + 5e , ll+3e , 2 , 6+2e] : 2 192 [ll + 5e , 10+4e , 4 , 5+e ] i 2 192 [11+5* , 9 + 5e , 2 , 4 ] : 2 192 [ll + 5e , 7+3e , 4+2e , 4+4e] : 2 192 [11+5* , 6+4* , 6+2* , 3+3*] : 2 192 [11+3* , 10+4* , 0+3* , 0 ] : 2 96  ANALYTTCAL TREATMENT OF THE POLYTOPES KEGULARLY [ll+3e", 9+5e , 7+3e , 1+e ] : 2 192 [10+4e , 7 + 5e , 7+ 3e , 2+2e] : 2 192 [ 9+5e , 9+5e , 5+e , 5+e ] 96 [ 9+5e , 9+3e , 2+2e , G+4e] : 2 192 [ 9-j-5e , 7+5e , 6+2e , 4+2*] : 2 192 3600 .«1^2 Ceoo [18+6e , 9+8e , .2 , 3+3e] : "2 192 [18+6e , 84-4e , 4 , 2+2e] : 2 192 [18+6* , 8+2e , 5+e , 5+3e] : 2 192 [18+6e , 7-f5e , 2 , 1+e ] : 2 192 [18+6e , 7-f3e , 7-fe , 4-f2e] : 2 192 [17-f7e , 8-j-2e , 4 , 3-(-3e] : 2 192 [17-f7e , 7-f 3e , 6 , 2-f2e] : 2 192 [17-j-7e , 5+5e , 2 , 0 ] : 2 96 [16-f-8e ; 7-fe 2 , 3-f3e] : 2 192 [16+8e , 6 , 1+e , 5+3e] : 2 192 [16-f8e , 4+4e , "4" , 0 ] : 2 96 [16-j-6e , 11-f 3e , 4 , 5+3e] : 2 192 [16+6e , 10+4e , 6 - , 4-f 2e] : 2 192 [16-f 6e , ; 9-f 3e , 5+e , 4+4e] : 2 192 [16+6e , 8+6e ,2,2] 192 [16+6e , 8+4e , 7+e , 3+3e] • 2 192 [15+9e , 5+e , 2 , 2+2e] : 2 192 [15+9e , 4+2e , >J 4 , 1-fe ] : 2 192 [15+9e , 3+3e , 2 , 0 ] : 2 96 [14+6e , 13+3e , 2 , 7+3e] : 2 192 [14+6e , ll+5e , 6 , 5+e ] : 2 192 [l4+6e , 10+6e , 4 , 4 ' ] '192 [14+6e , 9+3e , 4+2e , 5+5e] : 2 192 [14+6e , 8+2e , 3+3e , 7+5e] : 2 192 [14+4e , 12+6e , 8+2e , "2 ] : 2 192 [14+4e , ll+5e , ll+3e , 0 ] : 2 96 [14+4e , 10+6e , 9+3e , 1+e J : 2 192 []3+5e , 13+3e , 0 , 1-0+4*] : 2 96" [13+5e , 12+6e , 7+e , ' 4 ] : 2 192 [13+5e , 9+3e , 2+2e , 8+6e] : 2 192 [13+3e , 12+6e , 8+4e , 1+e ] : 2 192 ("12+6e , 12+6* , ,W 6 2 ] 192 [12+6e , 11+8* , 2+2e , .7+5e] : 2 192 [12+6e , 10+6e , 7+e , 5+e ] : 2 192 54  DERIVED FROM THE REGULAR POLYTOPES. 55 [124-6*., 8+6e , 84-2* , 44-2*] : 2 192" [124-6* , 8-j-4* 5+3* , 5+5*] : 2 192 [12+6* , 7-j-5* , 7-f 3e , 4+4*] : 2 192 [11+5* , 8+6* , 8+4* , 3+3e] : 2 '192 [10+6* , 10+4* , 3+3* , 7+5*] : 2 192 [10+6* , 8+6* , 7+3* , 5+3*] : 2 ? 192 7200 «8 0600 [10+4* , 5+e , 0 , 3+e ] : 2 96 [10+4* , 4+2* , '3 2 , 2 ] 192 [10+4* , 3+e , 1+e ,. 2+2e] ; 2 192 [ 9+5* , 3+* , 0 , 2 ] : 2 96 [ 9+5* , 1+e , 1+e , 1+e ] 64 [• 9+3* , 7+3* ', ' 2 , 0 ] : 2 96 [ 9+3* , 6+2e ,1+e, 4+2*] : 2 192 [ 9+3* , 5+3* , 3+e , 3+e ] 192 [ 8+4* , 6+2* , 0 , 2+2*] : 2 96 [ 8+4* , 5+3* , 2 , 1+e ] : 2 192 [ 8+4e , 5+* , ' 3+* , 4+2*] : 2 192 [ 7+3* , 7+3* , 5+* , 1+* ] 192 [ 7+3* , 6+4* , 3+* y 0 ] : 2 96 [ 7+3* , 6+2* , 2 , 5+3*] : 2 192 [ 7+3* , 5+3* , 2+2* , 4+2*] : 2 192 [ 6+4* , 4+2* , 4+2* , 4+2*] 64 [ 5+3* , 5+3* , 5+3* , 3+e ] 64 2400 «8 C'eoo [13+5* , 6+2*., 2 , 3+* ] : 2 192 [13+5* , 5+3* , 0 , 2 ] : 2 96 [13+5* , 4+2* , 3+* , 2+2*] : 2 192 [12+6* , 5+* , 0 , 3+* ] : 2 96 [12+6* , 4+2* 2,2] 192 [12+6* , 3+e , 1+e , 2+2*] : 2 192 [12+4* , 8+4* ,0,0] 48 [12+4* , 7+3* , 3+* , 4+2*] : 2 192 [11+5* , 7+3* , 2 , 2+2*] : 2 192 [11+5* , 6+4* , 0 , 1+e ] : 2 96 [11+5* , 6+2* , 5+* , 4+2*] : 2 192 [10+4* , 10+4* , 2 , - 2 ] 96 [10+4* ', 9+3* , 1+e , 6+2*] : 2 192 [10+4* , 8+4* , 3+* , 5+e ] : 2 192  56 ANALYTICAL TREATMENT OF THE POLYTOPES BEGULAELY [10+4* , 7+3* , .2+2* , .5+3*] : 2 192 [10+4* , 6+4* [ 4+2* , 4+2*] 192 [ 9+5* , 9+3* , 0 , 4+2*] : 2 96 [ 9+5* , 8+4e , 2 , 3+* ] : 2 192 [ 9+5* , 6+2* , 4+2* , 5+3*] j 2 192 [ 9+3* , 8+4* , 7+3* , 2 ] : 2 192 [ 8+4* , 8+4* , 6+2* , 2+2*] 192 [ 8+4* , 7+3* , 3+e ,■ 6+4*] : 2 192 3600 [16+6* , 8+2* , 2 , 4+2*] : 2 192 .[16+6* , 7+3* , 4 , 3+e ] : 2 192 [16+6e , 6+4* ,2,2] 192 [16+6* , 6+2* , 3+* , 3+3*] : 2 192 [16+6e , 5+3* , 5+e , 2+2*] f 2 192 [15+7* , 7+e , 0 , 4+2*] : 2 96 [15+7* , 5+3* , 4 , 2 ] : 2 192 [15+7e , 5+e , 1+* , 3+3*] : 2 192 [15 + 5* , 9+5* , 2 , 0 ] : 2 96 [15+5* , 9+8* , 3+e , 5+3e] : 2 192 [l5 + 5e , 8+4e , 5+e , 4+2*] : 2 192 [14+8* , 5+e 0 , 3+e ] : 2 96 [14+8* , 4+2e ,2,2] 192 [14+8e , 3+e , 1+e , 2+2e] : 2 192 [14+6*., 9+8* , ^2 , 3+3*] : 2 192 [14+6* , 8+4* , 4 , 2+2*] r 2 192 [14+6*., 8+2* , 5+e , 5+3e] : 2 192 [14+6* , 7+5* , . 2 , 1+e ] : 2 192 [14+6e , 7+3e , 7+e , 4+2*] • 2 . 192 [13+5* , 11 + 5* , 4 , 2 ] : 2 192 [13+5* , 11+3* , 1+* , 7+3*] : 2 192 [13+5*,. 9+5*, 5+* ,5+*] 192 [13+5* , 9+3e , 2+2* , 6+4e] : 2 . 192 [13+5e , 7+5e , 6+2* , 4+2*] : 2 192 [12+6* , 11+3* , 0 , 5+3*] : 2 96 [12+6* , 9+5* , 4 , 3+e ] : 2 192 [12+6e , 8+2* , 4+2* , 6+4*] : 2 192 [12+4* , ll+5e , 8+2* , 1+e ] • 2 192 [12+4e , 10+6e , 6+2e , 0 ] : 2 96 [12+4e , 9+5e , 9+3e , 2 ] : 2 192 [11+5* , 11 + 5* ,' - 7+e , 3+e ] 192  DERIVED FROM THE REGULAR POLYTOPES 57 [114-5* , 114-3* , 2 ,. 84-4*]': 2 M 192 [114-5* , 10-j-6* , 54-* , 2 ] : 2 ■ 192 [11-f5* , .9+5* , 8-j-2* , 24-2*] • 2- 192 [11 + 5* , 9+3* , 3+* , 7 + 5*] : 2 192 [11+5* , 8+4* , 3+3* , 6+4*] : 2 192 [11+5* , 7+5* , 5+3* , 5+3*] 192 [10+6* , 7+3* , 5+3* , 6+4*] : 2 192 [ 9+5* , 9+5* , 7+3* , 3 + 3*] 192 [ 9+5* , 8+4* , 44-2* , 7 + 5*] i 2 192 7200 [16+6* , 7+3* />v 0 , 3+* ] : 2 96 [16+6* , 4+2* , 4+2* , 4+2*] 64 [15+7* , 6+2* , 2 , 3+* ] : 2 192 [15+7* , 5+3* ,^|; 0 , 2 ] : 2 96 [15 + 7* ;' ■ 4+2* , 3+* , 2+2*] : 2 192 [14+6* , 8+4* ,' +0 , , 2+2e] : 2 96 [14+6* , 6+2* , (5+2* , 6+2*] . 04 [13+5* , 11+5* , 0 2 ] : 2 96 [13+5* , 10+4* , 3+* , 6+2*] : 2 192 [13+5* , • 8+4* , 4+2* , 5+3*] 2 192 [12+6* , 10+4* 2 , 4+2*] : 2 192 [12+6* , 9+5* , 0 , 3+* ] : 2 96 [12+6* , 7+3* , 6+2* , 5+3*] ■ 2 192 [H+5* , 10+4* , 24-2* , 7+3*] : 2' 192 [11+5* , 9+5* , 4+2* , 6+2*] : 2 192 [10+4* , 10+4* , 10+4* ,'~ 2 ]■ 04 [10+4* , 0+5* , 8+4* , 3+* ] :*2 192 2400 [19+7* , 9+3* 0 , 4+2*] : 2 96 [19+7* , S+4* ,,|§>ï 2 , 3+* J : 2 192 [19+7* , 6+2* , 4+2* , 5+3*] : 2 192 [18+8* , 8+2* , 2 , 4-+2*] : 2 192 [18+S* , 7+3* ,-* + % (xT~3 —•...+(— i.)'"-2 sm_3.p ê 4+ (— D"*-1 Sm-i.v = o et si on multiplie cette équation par (x%— xp) on aura une f|K| équation identique a, (77), d'oiï 1'on peut déduire $1 TT Xp ~T &i.p > 82 = xp . /Sj .p 4- S.2p , S3 = . 82p -f- 83p , Bm-\ = ®p-®m-ï.p + S,n-l.p > Si on substitue ces valeurs des seconds membres pour 82, . . . Sm dans (78), on trouve après quelque réduction: , 2 _ id+T (l)2'" - (D2m~2 ^.p + (|)2'""4 — • • • + (~ l)'""1 j (ïf S,n-U> Par une même argumentation qu'au $ 22, on trouve également 2,9 — 8 T. 1 v 2 A w2.p — «l.p ^p ~-p > 4 Jgj = ^3.p V - S/ 4- 4,p S/ - S/ , et ainsi de suite; d'ou 1'on peut aisément calculer les valeurs de #i.P. ^2.p> etc. Quand le groupe d'abscisses, qui sera employé pour la Table C, sera connu, on calculera les m valeurs de B, pouT la formule pour un nombre pair d'ordonnées, d'après (22), et pour la formule pour un nombre impair d'ordonnées d'après (25) et (26). Finalement on aura, d'après (17): I, = ^4-1 B2 (y_.2 4- y+2) 4- . . . + 1 Bm (y_„t + y+m).  TABLE C. Y ! -- ! = 0.29. li = 0.5 4- y+2). » 7 2 U 1 j/ + 2 1 J I x, = 0, x.2 = 0.29. /2 = 0.0091 1613 15S9 ^4-0.4954 4193 4205 4-^+2). ''T3 f72 • !/+2 y + 3 —1 1 1 L ! x, = 0.17, x, = 0.43. 7a = 0.3255 3418 S034 1880 (^_2+y+2) 4- 0.1744 6581 1965 8120 (y.s+y+3). H 1 -\ —! ! oüi = 0, CÜ2 = 0.17, x3 = 0.43. /2 = 0.0050 421 5 93S9 1271 * 4- 0.3225 4606 2165 4393 (y_2 4-L) 4-0.1749 3285 8139 9971 (^_34-^+3). J 1 ! 1 ! I l x.2 = 0.11, ./•, = 0.33, = o.47. /,= 0.2244 3905 1874 0171 (y_2 4-y+2) 4- 0.1957 17.26 8053 9158 (y_3 +y+3) + 0.0798 4308 0072 0701 (jL4.4-jr+l). J ï ! ! ! L •/-, 0. x2 0.11, .r, = 0.33, x, = 0.47. J2 = — 0.0155 6618 4387 5384 //, 4- 0.2337 0304 1236 1056 +2) 4- 0.1937 9842 3114 6260 (y_3 4- « s) 44-0.0808 8162 7843 0376 +>+«)■   TABLE C (suite). y-5y-4 y-3 y-2 y + 2 y+3 y+4y+5 _ III « I III x.2 = 0.09, x3 = 0.265 0.40, sc5 == 0.48. 7/1== 0.1775 8932 5131 9220 8824 (y_2 4-y+2) 4- 0.1607 8208 3155 26S5 5306 (y_3+^+3) + 4- 0.1119 2905 5949 2802 9373 {y_k + y+4) 4- 0.0496 9893 5763 5290 6496 (y_5 4-y+5). y — 5 y — 4 y — 3 y — 2 yl y + 2 y + 3 I/.+ 4 y + 5 ' I I I j I I I ' Xi = O, x2 = 0.09, x3 = 0.26, x, = 0.40, ^5 = 0.48. I, = 0.0251 3676 3589 2752 6227 ^ + 0.1620 0046 6594 3564 4351 (y_2 4-y+2) + + 0.1649 7567 0037 8347 63S6 (j/_3 +1?/+3) 4- 0. ] 103 2436 5934 1461 1036 {y_k 4-y+l) + + 0.0501 3111 5639 0250 5113 (y_5 4-^+5). I . ~ y-6y—ü y—4 y—3 y-2 y+2 y+3 y+4 y+5 y+6 j_j j ! l_ ! j_ i l_l x± = 0.07, x3 = 0.22, Xl = 0.34, x5 = 0.43, sc6 = 0.49. It = 0.1445 0935 0120 7556 2395 5841 (y_2 + y+s) 4- 0.1447 7126 2221 2260 4764 7856 {y_z + j/+3) + + 0.0965 1616 1366 7858 7600 0471 + #+4) -f 0.0838 0110 7372 4227 4774 0S84 (y_5 4- y+5) + + 0.0304 0211 8918 8097 0459 4948 (^_6 + y+6). y_6y_5 y—'i y—3 y—2 yl y+2 y+3 y+4 y*-5y+6 j-j ! ! l I ' ! ! !_l x, = 0, x, = 0.07, x, = 0.22, xk = 0.34, xa - 0.43, .#•„ = 0.49. 79 = 0.0179 2177 4939 0385 3494 869S ^ + 0.1335 9151 3523 5941 6219 2606 (y_2 + y+2) + + 0.1477 1718 0631 S656 3156 156S (y_3 +y+8) + 0.0950 4621 3079 9708 1741 4542 (y_4 + + ' + 0.0844 2868 1441 4384 4069 8S79 (y_5 +y+5) + 0.0302 5552 3S53 6116 8065 8056 (y_6 + ^+6). é   THE VALUE OF "A" OF VAN DER WAALS' ÉQUATION AND THE NATURE OF COIESIOI BY ALBERT P. MATHEWS, Professor of the Univepsity of Chicago. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. (EERSTE SECTIE). DEEL XII. H°. 4. AMSTERDAM, JOHANNES MÜLLER. 1917.  i  The true valiie of "a" of Yan der Waals' équation and the nature of cohesion. by A. P. MATHEWS. (The TJniversity of Chicago, Chicago. December, 1916.) *' ''\ In a recent paper in the Proceedings of the Amsterdam Academy van Laar i) has severely criticised the law I have discovered expressmg the mass factor of-the cohesional attraction of the molecules in other words van der Waals' constant a, in terms of the gravitational attraction and the number of valences in the molecule. Ihis law is of such significance and is so important that its basis in fact, upon which it rests, must be scrutinized very closely The criticism of any student of the subject is to be welcomed, therefore altho the tone in which van Laar has expressed his criticism is tó be regretted. It is evident that he bas misunderstood a portion at least of my work, for I cannot believe that he has intentionally misrepresented what I have done, altho the misrepresentation appears to me to be mexcusable. I am, nevertheless, glad of the opportunitv his attack has given me of presenting the additional evidence which I have obtained since the publication of my first papers, evidence which, I think, removes many of the grounds of criticism of my tonner papers and establishes much more firmly the law of cohesion announced therein. The principal result of my work has been the disco very that van der Waals' constant, a, is equal to N2 {mH X VallMf* In this équation m is the gravitational mass of a moleculethe gravitational constant; Val the number of valencesM the molecular weight; and N the 'number of molecules in the volume of gas or liquid for which a is computed. This 1916, p!l235.AR: Pr°CeedingS' Koninklijk« Akademie van Wetens, te Amsterdam, 18, D 1*  4 THE TEUE VALUE OE a OF VAN DER WAALS' extremely interesting relationship holds, I believe, everywhere, at least in all normal substances, from hydrogen on the one hand to such complex substances as methyl butyrate and diisoamyl on the other. It appears to me to mean, siinply, from one point of view, that the cohesional attraction is the gravitational attraction intensified in the immediate vicinity of the molecules by the action of the valence electrons. It thus confirins an opinion expressed some time ago, I believe by Lord Kelvin, that cohesional attraction is gravitational attraction intensified in some way in the immediate vicinity of the molecules. We may also, however, as I shall point out later in the paper, look at the matter the other way around and regard gravitational attraction as that part of the cohesional attraction toward which the molecules and ether happen to be transparent so it can penetrate them. This équation may also be written in this way: .a — N2 C {M"X ValfiZ, in which the constant C is the gravitational mass factor of two molecules of unity molecular weight and valence raised to the two thirds power, or (;«2 kf13. C has the value of 3.201 X 10-37 when a is expressed in dynes. N for a gram mol is 6.06 X 1023- After the appearance of my papers *) van Laar announced that if he assigned arbitrary Values to the various chemical elements it was possible by addition to compute the square root of a for various substances. The additivity of a had been sought by many observers, by Sutherland among the first, by Kleeman, by Leduc and Amagat and others also, bat before the publication of my paper no one had found a general method applicable to all kinds of compounds. Van Laar's 2) method is simply to assign arbitrary values to carbon, nitrogen, oxygen, chlorine and the other elements. These values multiplied by the number of atoms there are of that particular kind in the molecule, when added to the sums derived in a similar way from the other atoms, give the square root of a. However in this simple form the law would not hold, -so it became necessary to assume further that the arbitrary values were not always the same for auy element, but that carbon, for example, sometimes had zero value, and sometimes various other values depending on the kind of carbon compound,. whether ring or ali- 1) Mathews: Journal of phys. chem., 17 pp. 154, 181, 252, 320, -331, 337, 481, 520, 603, 1913; Jour. chim. physique, 12, 1914, p. 428. Jour. phys. chem., 18, p. 474, 1914; 20, p. 554, 1916. Science, 36, p. 92, 1912 (Preliminary statement). 2) Van Laar : Proceedings, Konink. Akad. te Amsterdam, 18, 1220, 1916; Jour. chim. phys., 14, 1916, p. 3.  ÉQUATION AND THE NATURE OP COHESION. 5 phatic, etc. These various values are also quite unexplained. They help us not at all in understanding the real nature of cohesion. But the real point at issue between van Laar and myself is not whether a is additive or not, for I had already shown that it was additive before the publication of his work. The question is as to the real value of a. Van Laar computes a by applying a correction to the ordinary method of computing from van der Waals' équation, which has been solved on the basis- of the constancy of a and ó. The values of a he secures by this method agree with mine in only a few instances and in the more complex substances. In general they are 10—20% lower than the values computed by the methods I have found. They differ from my values particularly in the simpler substances where for example in hydrogen his value is about 150% lower than the value I assigned to a of hydrogen. They differ from my values in such a way that if van Laar is right then the law correlating cohesion with the valences and molecular weight, the law I have announced, cannot be true. And it follows, also, that if my values of a are correct, then his empirical rule, even with the secondary assumptions he has made, can no longer be applied. Van Laar's work and mine are entirely incompatible. The whole question at issue between us is, therefore, the real value of a in all these different substances. I have sought, therefore, to determine this constant accurately. I have found several different methods of computing a some of which are quite independent of van der Waals' équation. These methods give at least an approximate determination of the constant. I shall present them in a moment. They show indubitably, in my opinion, that the law I have announced is a true law, and that the values of a computed by the method of van Laar are in error in nearly all cases by from 10—30% and in some cases by 100%- Only exceptionally do they happen to be approximately in harmony with the values computed from the latent heat of vaporization, the latent heat of expansion, from the surface tension, or in other ways. Before discussing these methods in detail,'however, I wish to answer briefly a few of the criticisms van Laar has made of my work 1). 1) In a foot note on page 1229 of his paper van Laar gives the impression that the law correlating cohesion, or rather the value of a of van der Waals' équation, with the number of valences in the molecule, had also been suggested by Walden andSwinne He says „Walden and Swinne, Zeit. f. phys. Chem., 82, 289 (1913) cursorily mention the partial addrtivity of the speciflc molecular cohesion, that is of a or a/VK They too — like Mathews — seek connection between the values of a and the suni of the etfective valencies."  6 THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS' I may say at the outset that the connection between the product of the molecular weight by the number of valences and the value of a was discovered empirically. I had no preconceived ideas on the subject, and I tried a great many possibilities, among them the very one adopted by van Laar, before I found what I believe to be the true relationship. I was confronted at the start with the difficulty of knowing what was the real value of a, a difficulty which all have experienced who have studied the question. I feit it necessary to find a method of computing a which should be entirely independent of any assumption as. to the value of the other constant b, free in other words of any assumption of whether b was constant, or varying with the volume. The method I adopted was to compute a from the surface tension. This was the method originally suggested by that great English physicist, Thomas Yoüng, in his classical paper on cohesion and capillarity. He expressed in that paper the relation between cohesion and surface tension. It is the formula: s = Kr/S, where K is the cohesive pressure, represented afterwards by van der Waai,s as a/V2, and r is% the radius of action of the cohesive attraction. s is the surface tension energy per unit of surface. I took r to be a single molecular diameter, as this is its most probable value,» and I assumed the law to hold at absolute zero, for the reason that it was more convenient to go to the end, and it is apparent on the face of it that the law can only hold at temperatures where the cohesion in the vapor may be entirely disregarded. These assumptions are both This is a fair example of van Laar's method of criticism. This foot note plainly states that Walden and Swinne had also suggested that a of van der Waals' équation was dependent on the number of valences, and it implies accordingly that there was nothing particularly1 novel in my suggestion. As a matter of fact Walden and Swinne do not inention a of van der Waals' équation in the place cited. They are dealing with the speciflc cohesion, so called, which they express as is customary with the letter a2. They say "cij.2 means the speciflc cohesion at the normal hoiling point!" "The molar cohesion Ma^ is for normal liquids at the boiling point eine wesentlich additive Grosse, wenn auch mit konstitutivem Einschlag; das Analoge gilt für die normalen Siedetemperaturen, 2V_ Beide Grossen, Ma^.2 and Tr, lassen sich angenahert der „Valenzzahl" Sn proportional setzen; hier bedeutet Sn die Summe der Valenzen der in den betreflenden Verbindungen vorhandenen Elemente. (Eigentlich kann diese Eormulierung nur für die C, H, O und N enthaltenden Stoffe aufrecht erhalten werden; bei H ist n gleich 1, bei O- gleich 2, bei N- gleich 3 und bei C- gleich 4)". They then go on to show that really Mar2 is proportional to the sum of the square roots of the atomic weights. The speciflc cohesion of which they speak and which they designate by a2 is not at all the factor a of van der Waals. It is, as a matter of fact, simply the height to which a liquid rises in a capillary tube of 1 m.m. radius. All that they say ahout its relation to valence is that quoted, so far as I could find. Moreover their paper was published in 1913. My first,papers antedated this, having heen published in 1912 and February 1913.  ÉQUATION AND THE NATURE OP COHESION. 7 weil founded. This law of Young's, as I found afterwards, is simply a special case, at the limit of absolute zero, of the weil known Eötvös surface tension law, and the calculation of a can just as weil be made from Eötvös' law at ordinary temperatures, as I shall show in a moment, but I did not know that this was the case when I published my first paper. The values of a which were thus obtained from Young's law, were on the whole somewhat higher than those. generally computed for a assuming that a and b are constant, and particularly they were higher in ' tne diatomic gases. In making this calculation I had to make use of the Eötvös constant, C, in the équation: sVm = C{TC T). I supposed that C was practically the same constant for all nonassociating substances, at any rate for all normal substances with more than three atoms in the molecule. This assumption is not in reality true, but in making it I was following the opinion of Eötvös and Rainsay and Shields. I took as the mean of the constant the value 2.19. Eötvös gave 2.27 and Ramsay and Shields about 2.12. With this value of the constant I' found a for the 26 substances of which the critical data ware most accurately known, namely the substances studied by S. Yoüng. With these values of a I tried to find out what it was in a molecule which determined its value ofv«, and after many unsuccesfull attempts the importance of valence occurred to me and on trying I found that these values of a gave a constant in each case when divïded by the two thirds power of the product of the molecular weight and the number of valences. The only important deviations were iodobenzene and brombenzene, substances in which the critical data had been determined by extrapolation over a wide temperature interval, and were presumably on this account less certain than in the other substances. Further study showed that the constant I had thus found, when a was for a single pair of molecules, was nothing else than the value (m^Af13 of a substance of molecular" weight of unity and with one valence; m1 being the gravitational mass and k the gravitational constant. This permitted me to write the value of a in the more general form given at the beginning of this paper: a — N2 {m2K X Val (Mfz. In making this discovery there was no juggling with the valences at all, as van Laar implies. Everywhere carbon was tetravalent, oxygen bivalent, hydrogen monovalent. The only elements of uncertaïn valence were Cl, Fl, Br, I. These might have 1, 3, 5, or 7 valences. It was impossible to know which to take. So I followed the most recent determinations of the valence by Pascal taking Fl as monovalent and Cl as trivalent. These values  8 THE TRUE VALUE OE a OF VAN-DER WAALS' gave good agreements. Br and I were provisionally also taken as monovalent, but 1 have since found that elemental bromine is at least trivalent, and I do not doubt that when we have accurate critical data iodine will be found, often at least, to be more than monovalent. Tin was tetravalent as it is supposed to be. I was not content, however, to base the law I had discovered, which appeared to me to be of fundamental importance, on these 26 substances, but I tried to compute a for all the substances, of which I could find some, or all, of the critical data. For 45 other substances of fair complexity, in many of which I had to calculate the critical density or the critical temperature, I found the same mean value of the constant when a was' divided by thé product of the molecular weight and valence raised to the 2/3ds power. There were some wide deviations, due to the uncertainty of the critical data, but the mean constant was the same, and the majority of substances gave a constant not deviating more than 2—3 °/0 from the mean. I calculated, also, the critical data from the surface tension measurements of other substances, and found again good agreement, altho the calculations involved many assumptions. I found chlorine compounds nearly everywhere in agreement, were chlorine always trivalent. Only in a few cases was a better agreement secured if one or more atoms of chlorine were monovalent, but I did not doubt that this was but an appearance and was due to the inaccuracy of the critical data. Sulphur was found everywhere to be hexavalent except in S02 where it was tetravalent. Sulphur is generally supposed to be tetravalent, divalent or hexavalent. I found no divalent sulphur except possibly in carbonyl sulfide. Nitrogen had the valence numbers usually attributed to it. The main difficulty was when I attempted to find the value of a for the simple gases H2, N2, 02, CO, C02 and CH±. The value of a was very uncertain. The critical data of nearly all were very imperfectly known, but fortunately this uncertainty has now been removed for all but H2. I knew of no way of computing a for these gases except by using van der Waals' équation and making certain assumptions which might, or might not, be true, but I found some empirical ways of computing from the latent heat and surface tension' of the liquified gases. Among other methods I assumed that bc, the volume of the molecules at the critical temperature, was always 2b0, b0 being the minimum volume at absolute zero. In this I was following the fact that in many substances bc was known to be about Vc/2, Vc often being nearly 4 V0, and a suggestion by van der Waals that the volume of the molecules  ÉQUATION AND THE NATUEE OP COHESION. 9 when relieved from pressure, or bg, is 2ö0. This assumption gives, when combined with the assumption that the density at absolute ' zero is 8 times the critical density, 8 being the critical coëfficiënt, BTC]PCVC, the result: a = ((&, — 8 4- 2)/(S — 2)) PCV2. Van Laar criticises this method, and no doubt correctly as I have already pointed out elsewhere. The assumptions are not exactly true either of them. The values it gives for a are too high, in the simpler substances especially, but in reality they are not so far wrong for many substances. bc instead of being 2b0 is, in reality, about 1.8—1.9 b0 and in a great many cases d0 is actually very nearly 8dc. By using these various methods of computing a for these simple gases I found the law discovered in more complex substances would hold if we assigned 2 valences to the molecule in H2, N2, 02 and CO, and 4 or 5 valences to C02. That H2 and N2 should' have each 2 valences was expected, but that 02 and CO should have 2 was surprising. I concluded that; on the whole, it seemed to me probable that such a simple rule as that correlating cohesion and gravitation would hold everywhere, if it held at all, and that while in these two or three simple gases the number of valences necessary to ascribe to the molecule was surprising, yet if the law were true we must accept them. These exceptional substances, 4t will be noticed, all contain oxygen, a very significant fact. There was no juggling with the valences at all. I can see no reason why carbon should not be univalent and oxygen also. Carbon is known to be di, tri, and tetra-valent, so why not univalent? Oxygen is di and tetravalent; and is oxygen not univalent in the peroxides? A juggler is one who conceals how tricks are accomplished. There was no concealment of the fact that these substances were exceptional; in truth I discussed their apparent exceptional position more than its importance deserved. As regards the hexavalence of sulphur, even in H2S, it may be pointed out that so eminent a physical chemist as G. N. Lewis has recently proposed that sulphur is everywhere hexavalent, and if so good a chemist as. Lewis makes such a suggestion we should not be surprised if we actually find that this suggestion is correct, and that sulphur is hexavalent in some locations in which, as in H28, one would not at first expectit to be. The greatest interest attached to the argon group of gases. If it is true that cohesion depends on valence, then these gases since they.have cohesion must have, sometimes at any rate, valence electrons attached to their atoms. This seems perhaps, at first thought, improbable, and I fear for the effect of this information on van Laar when I teil him that Lewis has recently,suggested that these  10 THE TRUE VALUE OE a OP VAN DER WAALS' gases are actually octovalent! That valence electrons may be attached to the atoms of these gases is, I believe, a fact and not a theory. How are we to explain the conduction of electricity in neon and argon and the existence of positive helium and krypton atoms, unless their atoms have the power of picking up and losing electrons, without decomposing? It is the characteristic of the valence electrons. in contrast with the electrons in the nucleus of the atom, that they are reversibly displaceable without disrupting the atóms. Neon and argon conduct the current unusually weil and Sir J. J. Thomson has shown that helium may lose one or two electrons and occur as singly or doubly charged atoms and krypton may lose at least four. The fact . that these atoms have little combining power is no proof that they have no valence. Chemists have not given up hunting for compounds of these gases, and I cited the fact that the solubility of xenon in water is so great as to indicate some kind of union between the water, and the gas. That the number óf valences found from the cohesion should be fractional is easily explicable if the number of valence electrons attached to the atoms is not fixed. Some atoms may have none. Perhaps in the case of helium only a few atoms are charged and as a result the cohesion is so reduced that the computation gives a fractional number. How otherwise shall we explain the fact that while in hydrogen, oxygen, nitrogen, and carbon dioxide there is a steady advance in a with the molecular weight, yet in helium, which is twice as heavy as a hydrogen molecule, cohesion is so vastly less that this gas is the most difficult to liquify of all that are known? Or consider on the other hand metallic mercury. The cohesion and affinity are so low that mercury exists in the vapor as separate atoms. How naturally this is explained by the law of cohesion I have found, where the cohesion is shown to depend upon the ratio of the number of valences to the molecular weight! In mercury we have one of the heaviest of the elements with but a single valence so that the ratio of Val/ Wt is very low and the cohesion is also low. With this brief reply to some of the points raised by van Laar, we may proceed to discuss the real point at issue, and to show what the real value of a is. This will show the real basis of fact of the law I have found. I. THE REAL VALUE OF a. The first step to be taken in the solution of the problem of the nature of cohesion is the determination of the real value of a  ÉQUATION AND THE NATURE OP COHESION. 11 of van der Waals' équation. Obviously nothing can with any certainty be said concerning the additivity of a, or its relation to such properties of molecules as their gravitational mass and number of valences, until we have a method of determining, approximately at any rate, the real value of a. This is a difficulty all have feit who have worked with the van der Waals' équation, or who have studied a. There are five or six methods I have'used to determine this constant and the results are given in detail in the following pages. The first two methods depend on van der Waals' équation, but the others are independent of it. The first method is to start out with an assumption as to the condition of things at the critical temperature. Obviously from the law of correspondinostates, there is something which all substances must have in common at the critical temperature. The only difficulty is to know what that common condition is. As we know that in many substances bc is very nearly Vej2 the first assumption which suggests itself is that in all substances at the critical temperature bc is always VJ2 or very nearly that. That is, the molecules always accupy the same proportion of the total space. This assumption, I may sayatonce, is not true, but it is very nèarly true for many different substances' in fact it is approximately true for all except the simplest gases,' such as nitrogen and hydrogen. It is interesting to see, also, how closely the value of a computed on this basis agrees with the real value. The first method, then, of computing a is by the' assumption that bc = F"c/2.03. This was the value computed by van der Waals for C02 assuming d constant but b variable with the volume. The second method is the correct' method and rests on the probability that at the critical temperature a\V is always 6.5 TV. Here we make an assumption, which I hope to be able presently to substantiate, that it is not a fixed relation of the volumes of the molecules to the total volume at the critical temperature which is common to all substances, but in reality it is the partition of energy: Always in all normal substances the same fraction of the kinetic energy is used in overcoming internal pressure and the same fraction for exerting the external pressure at the critical temperature. This assumption I believe to be true, and it is the second method for computing a-. a\V2 = 6.5PC. The third and fourth methods are from the' internal he§t of vaporization. I have found two équations from which the calculation can be made, namely those of Mills and Dieterici. The fifth method is to compute a from the total heat of  12 THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS' vaporization by means of a modified équation of Crompton and of Dieterici. Namely, L = [K/fK—bcT\RT Lnfd/Dj. This gives the value of bc and by substitution in van der Waals' équation at Tc, a may be found. » The sixth method is from -the surface tension, which is the direct measure of the cohesion. The relation between cohesion and surface tension is given by the formulae of Young and Eötvös. The seventh method is to compute a from the pressure of a gas or liquid when it is heated while the volume is kept constant. Tt is obvious that this rise of pressure will be less the greater the internal pressure or cohesion. By holding the volume constant the distance between the molecules does not change and so there is no change of the cohesion with temperature, provided, of course, that the mass factor of the cohesion does not change with the temperature. So we may find a from the expression (TdPjdT)c when the volume is the critical volume. None of these methods involves any assumption as to the other constant' b and they are in every way preferable. it appears to me, to the method of van Laar who has used solely a computation made from van der Waals' équation. The latter is first solved on the basis that a and b are both constants and then a correction, of a hypothetical nature made to it. I have never feit any reliance on this method and the results obtained by it are not to be compared in reliability with the values found from these direct measurements in the way I have indicated. We may preface our work with the statement that a for any substance is constant and does not vary with temperature, except as it is affected by association of the molecules or their dissociation. There is no variation if the molecule remains intact. This opinion, which has been almost consistently upheld by van der Waals, is shown to be correct-by the Eötvös surface tension law. a is the mass factor of the cohesion; the factors it contains are shown in this paper; and there is no more reason for assuming that it varies with the temperature than for assuming that gravitational mass varies with the temperature. Van der Waals has shown the impossibility of a varying with the temperature in the manner supposed by Clausius ; and this work, showing that a depends only on the number of molecules, their gravitational mass and number of valences, clearly supports his conclusion. On the other hand b clearly varies with the volume, and probably also, tho to a less extent, with the temperature.  ÉQUATION AND THE NATURE OP COHESION. 13 a. Calculation of a assuming that bc = FJ2.03. While this relationship is only an approximation, and probably does not hold everywhere, I have computed what the value of a would be were it generally true. The results are given in column 2 of Table 2. (Pc 4- a/F/) (Fc — bc) == ÈT-. hence a = 2.03 BTeFc/\m — PCV2. The critical data used in the calculation, unless otherwise stated, are those of S. Young. A comparison of the results in column 2 with the values of a computed from the gravitational attraction and' the number of valences given in column 8 shows the truly remarkable agreement between them in the case of all complex substances down to and including the triatomic gases. Nitrogen and the diatomic gases give, on this assumption, somewhat lower values of a than are computed from the gravitation, but I think it probable, from the evidence to be stated presently, that this is due to the fact that in these gases bc is nearer Fj 1.9. 1 might add for purposes of comparison, that van Laar's calculation of a makes bc in complex substances about Fc/2.1 and in the diatomic gases about Fc/2.5. The associating substances, methyl and' ethyl alcohol and acetic acid and water, diverge from the values calculated from weight and valence as was to be expected. The divergence of iodobenzene and brombenzene may be due to the critical data not being quite right, b. Calculation of a from1 the formula.- a = 6.5 PCFC2. The second method of computing a from van der- Waals' équation seems to me the most simple and reasonable of all the methods proposed, and that it is correct for at least all the complex substances, and probably for the simple diatomic gases also, is shown by the fact that the values thus computed are^ on the whole, supported by the computations from the surface tension and the latent heat. The assumption made here is that in all non associating substances with compressible molecules at the critical temperature the ratio of the internal to the external pressure is either exactly, or very nearly a constant. This assumption - appears to me to be entirely probable and I shall in a moment adduce evidence of its truth. There is something which all substances have in common at the critical temperature. That something might be the relation of the volume occupied by the' molecules to the total volume, but it appears more probable to me that it would be that the energy is divided  14 THE TRUE VALUE OP a OF VAN DER WAALS' in the .same proportion between the internal and external pressure at the critical point. In other words it is the energy distribution which is, the same in all substances at the critical temperature. At absolute zero, in the solid, the ratio of K, the internal pressure, to P, the external pressure, is infinity. On heating, at first the kinetic energy is used in overcoming cohesion. As the temperature rises the external pressure, the vapor pressure, increases and the internal pressure decreases. And at the critical temperature that state is reached in which the ratio of internal to external pressure is always a certain constant, namely 6.5. Cërtainly some kind of a ratio exists between the internal and external pressure at the critical point, for in helium the external pressure is only 5 atmospheres; in hydrogen it is 12; in pentane it is 33; and in water it is 200 atmospheres. The internal pressure, or the cohesion of these substances, takes the same order, being lowest in helium, and highest in water. Nor is it likely that the greater or less volume occupied by the molecules in different substances at Te will effect this ratio, for the correction of b applies to both pressures equally and so presumably will not effect their ratio. Even in the case of substances •which associate, such as water, acetic acid and so on, I consider it not unlikely that this ratio will -hold also and that Kc, the internal pressure at Tc, will also be equal to 6.5 Pc Only in these substances it is possible that we have in addition to the cohesional attraction between the molecules, such as is found in all substances, an additional attraction, perhaps of a chemical nature, and it is this latter factor which causes their association. In such a case Kc, the internal pressure, would be equal not only to a/V2, but to this arnoünt increased by the unknown attraction. At any rate we can regard the matter in this way for the present at least. That the ratio KcjPc is approximately or exactly 6.5 in all substances I shall now proceed to show. In the first place it may be recalled that I found that the ratio Kc\Pt was equal to SC', where C' was. the constant in üieterici's équation: L—E — C'BTLne(d\D), and S the critical coëfficiënt. x) The values thus found for Kc/Pc varied from 6.14—7.28 in some 27 substances, the mean being 6.63. This is cërtainly a wide variation, but the variations were not of a regular character, and they may have been due to the fact that Dieterici's équation is not exactly true, or that there may !) Mathews: Jour. phys. Chem., 20, 592 (1916).  ÉQUATION AND THE NATUEE OP COHESION. 15 be some other complicating circumstances. This value alV2P is , x (TdP) equal to jp-^j — 1. For this fraction van der Waals *) cal- eulated for C02 the value of 5.7 but this was obtained by the differentiation of Biot's formula for the saturated vapor pressure, log P = A 4- Ba? 4- C/3', and it has been shown by Mills 2) that this gives a value for {dPjdT)c from 10—20% too low. If we increase 5.7 by 15% it makes 6.55.) The second method of fin ding Kc/Pc is the following: We may find what the ratio (Kc 4- Pc)/Kc is from the ratio of the total latent heat of vaporization, L, to the internal latent heat of vaporization, L — E, as the critical temperature is approached. The total heat of vaporization, L, is made up of three parts: (1) the external work done, which is equal to P{V—v): (2), the work done against cohesion, which is equal to a{\jv 1/V); and (3), the heat rendered latent by the expansion of the molecules or their change in energy as they pass from the liquid to the vapor, or Z. The internal latent heat is the total heat, L, less the external work, or E, hence we have • L = P{r'—v) + a(l/v—1/r) + Z L — E ' a{\\v— l/'V) 4- Z~~ (1) Now as the critical temperature is approached Z becomes smaller and smaller and it will vanish before the other two portions of the latent heat vanish, because as the conditions of the vapor and liquid become more nearly alike there will be less and less difference between the molecules in the two states. Since they are already under great internal forces, they will be less affected as the critical temperature is neared by the difference in internal pressure in liquid and vapor than are the cohesion and pressure energies. Hence as the critical temperature is approached the limiting value of the ratio Z/(Z — E), which at the critical temperature has the indeterminate form 0/0, will be , _ Pc + ajV2 L~E= air2 <*) The value of this fraction should be in all cases 7.5/6.5, or 1.154, if a/V2 = 6.5 Pc. I have computed the value of this ratio !) Van der Waals: Procëedings, Amsterdam Academy, 3. 583 (1901). 2) Mills: Jour. phys. Chem.. 8, 593, (1904).  16 THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS' of LKL — E) close to, or but a short distance from, the critica! temperature, for 25 substances of Young's of very different kinds. I have not been able to compute it close tq the critical temperature in all cases, but as a rule it has been calculated at from 5° to 10° from the critical. In some cases I have been unable to find data close to the critical and have had to compute the ratio 20—60° below the critical. The value of the ratio does not vary more than one or two per cent for a considerable distance, 40°—50°, below the critical. At low temperatures, however, the value of the ratio will be lower than close to the critical. One cannot usually employ the values closer than 3°—5° of the critical, for the reason that the pressure as computed by Biot's formula is slightly high close to the critical temperature, as Mills has shown. The result will be that the ratio will be too high close to the critical temperature, as L — E will be too low. To show the general trend of the ratio of Lj{L — E) I have computed methyl acetate, 8nGl± and benzene for several temperatures. There is a slow advance in the constant as is to be expected up to the critical temperature. Methyl acetate t L L — E \ L/(L - 100 , 88.30 1.114 200 50.56 1.152 220 34.87 1.157 230 20.99 1.159 233 11.70 1.163 233.7 0 Benzene 80 95.45 86.70 1.101 140 .82.82 73.4 1.128 220 62.24 53.8 1.157 260 43.82 37.56 1.166 280 27.43 23.45 1.170 288.5 0 0 SnCl4 100 31.76 29.1 1.092 200 24.57 21.59 1.138 240 20.86 18.15 1.149 260 18.50 16.02 1.155 280 15.60 13.45 1.160 318.7 0 0  ÉQUATION AND THE NATURE OP COHESION.. 17 TABLE 1. Test of relationship that (i>c 4- a\V2)\{a\V2) = Lj{L — E) (at Pc)= 7.5/6.5 = 1.154. Substance Isopentane Pentane Diisopropyl Hexane Heptane Octane Diisobutyl Methyl, formate . . . Ethyl formate . . . . Methyl acetate. Methyl propioiiate. Ethyl acetate Propyl formate . . . Methyl butyrate . . Methyl iso4outyrate Ethyl propionate . . Propyl acetate.... Hexamethylene . . . 7'7-Benzene Benzene CY-Benzene ifr-Benzene Ether CCl4 . /Sn CL f t° — f L I L—E Z/(Z—E) 183 4.8 41.27 35.39 1.166 195 2.2 I 15.66 13.38 1.170 220 7.35 22.14 | 18.95 1.168 230r 4.8 19.73 j 16.98 1.162 260 6.'85 21.90 19.02 1.151 290 6.2 19.10 16.66 1.147 274 2.8 14.24 12.39 1.149 200 14.1 38.80 33.18 1.169 230 , 5.2 22.79 19.51 1.168 230 3.7 20.99 18.10 1.159 256 1.4 12.70 10.98 1.157 247 3.1 17.12 14.82 1.154 260 4.85 21.02 18.17 1.157 270 11.3 26.96 23.48 1.148 265 2.55 14.53 12.61 1.152 270 2.9 15.65 13.64 1.148 275 1.2 11.73 10.20 1.150 279 l'.O 11.78 10.07 1.170 280 6.55 20.82 17.98 1.158 280 8.5 27.43 23.45 1.166 270 89.2 52.56 45.80 1.148 270 127.2 44.34 38.91 1.140 190 3.8 19.38 16.6 1.167 260 3.15 10.43 8.90 1.172 280 38.7 15.60 13.45 1.160 Mean.... 1.158 An inspection of Table 1 shows that the ratio of L/(Z — E) does indeed approach a constant value some three or four degrees below the critical temperature. The mean value is 1.158 which is about 0.4% higher than I had expected, or the value of 1.154 which is the ratio of 7.5/6.5 ; but the constancy of this ratio must be regarded, I think, as on the whole satisfactory. The maximum deviation from the mean, disregarding ^-Benzene, is not more than 1 %. From these figures we discover two important facts. First that Verhand, der Kon. Akad. v. Wetenseh. (1* Sectie) Dl. XII N°. 4. D 2  18 THE TRUE VALUE OE a OE VAN DER WAALS' the ratio of the internal to the total internal and -external pressure is indeed a constant for all these diverse substances, ranging from inorganic substances, such as SnCl4, with five atoms in the molecule, to complex substances like octane with 26 atoms, and embracing a variety of different kinds of organic compounds. The ratio of the total pressure to the internal is 1.158. From this we can find the • ratio of the internal to the external pressure. We have t> _i_ „i t/"2 ±± } yi±.= 1,158. rlENCEi5c=0.158ö a Cé It will be noticed that an error of 0.1 °/0 in the ratio L\{L—E) becomes an error of 1 °/o in the ratio of a/PcVc2. And inasmuch as the Biot formula gives too high a calculated value of P close to the critical temperature and this has the result of making Lj{L—E) a little too high and so a/PcVc2 a little too low I have increased the value 6.33 to 6.5 in my calculations. This gives a value of a more nearly that calculated from the surface tension and in other ways and is I believe more correct. The mean value from the determinations by SC' was also higher than 6.33 and was,actually 6.63. 6.5 is just about the mean of these two values. Moreover, if we take S as 3.75, when bc is just Ve/2, then 6,5 -f 1 becomes 7.5 and this is just twice 3.75. The relation between some of these values has been pointed out by Dieterici ]). Among the twenty five substances of which the ratio of the internal to the external pressure has just been computed there is no example of a triatomic or a diatomic gas. But I shall show in a moment that the triatomic gases, at least, probably also have this same ratio. Before taking this up, however, I will point out that if the derivation of the ratio of the internal to the external critical pressure which I have made does not seem sufficiënt, exactly the same result is secured from' Dieterici's équation2) and that of Crompton 3). Crompton observed that the total heat of vaporization or L was very nearly equal to 2 BTLtiJ^djl)). In place of 2 we will substitute what is in reality, I believe, its real value of Ve\{Vc—bc). Hence we have -. Z = (FC/(FC—be)) BTLne(d\B). And for the internal latent heat, L — E, we have according to Dieterici : L — E= C' BTLnld\D). Dividing one by the other we obtain -. _JL_ _(K/(K—ia))XTLnXd/D_ Ve L — E ~~ , ORTLne{d\B ~~ {Vc—bc)C 1) Dieterici : Wied. Annalen d. Physik,"12, 144 (1903). 2) Dieterici: Annalen d. physik, 25, 569 (1908); 12, 144 (1903). 3) Crompton: Proc. Chemical Society, 17, No. 235, 1901. / V2. Hence a = 6.3 3 Pc V2.  ÉQUATION AND THE NATURE OP COHESION. 19 But C' is equal to ajBTcVc, and (Fc/(Fc—bc))BTcFc/a from van der Waals' équation is equal to - c a'~c- Hence L + KB -f Pc _ a\V2 4- Pc L — E Kc ajFT~'. (4) A similar result was arrived at by Dieterici \ namely, that a\V2 = 6.4 Pc and in the foliowing way. He started with two results, namely, tbat of Young that in many normal substances S is equal to 3.7. Then he proved experimentally for C02, pen- tane and isopentane that (dP/dT)Tc = 2 B/Pc. The only assumption which will harmonize these two results is that a/P~2 = 6 4 P „ / TdP \ n ° Hence ( — 7 4 K-Syf \PdT )c It might be pointed out here that L\{L-E)C according to van Laar ought not to be the same in all substances, as we have found it to be. He finds for example that f = BTC I (Pc (Vc bc) = 1 +ac/PcF2= 87. Now y he thinks t varies from 0.6 in J^'and 0.5 in helium to 0.9 in the more complex substances. He does not believe that a is independent of the temperature. The calculations just made lend no support to this view of van Laar. They indicate that 8 y should everywhere be eqiial to 7.5. I wish now to show that even the triatomic gases come approximately to this same ratio of 7.5, that is the ratio of (iTc4- Pc)/Pc. "We will start wfth Crompton's équation of the total latent' hea't modified in the manner just stated, namely: L = (K-/(F-bc)) BTIme (d/D) (5) Substituting at Tc the value (Pc 4- ajV2) for BTc/(Fc—bc) we have, at the critical point: -j^7^ = ^K + a/rc (6) At other temperatures'we have l|S|l||:||§ 1 m x) Dieterici: Wied. Annalen d. Physik, 12, 144 (1903). D 2*  20 the true value óf a oe van der waals' Assuming now that a\V* is 6.5 Pc we have 7 5 V V L= '■ 1 TZne(d/V) (8) But Pc Fc/Pc = P/5 so Z=?4fS TLne{diB) (9) Therefore — , = 7.5 (10) BTLne{dlB) For most substances for gram mol quantities 7.5 Pc Vc\ Tc = about 2 P, or since P in calories is about 2 the product would be about 4. Since 7.5/5= Vc I {Vc-~bc), Fc/bc is seen to be equal to 7.5/(7.5—5). So from this relationship bc is easily determined as (7.5—S) FJ7.5. For most substances, in which S is not far from 3.75, bc will be approximately Pc/2. We will now test the relation: — , = 7.5 = C (10) RTLn\d\D) It may be stated at the beginning that Crompton s équation, which we have used as a basis, is only approximately true so that an exact constancy of 7.5 is not to be expected. JY O pc — 71.66j Tc = 309.5 (Cardoso and Arni); dc = 0.454 (Villard); S = 3.658. T L d D C' 253 66.90 v 0.998 0.044 6.88 273 59.50 0.890 .081 7.38 293 43.25 .755 .151 7.45 S02 (Pc, 77.65; T„ 157.15; dc, 49; S, 3.695) 273 91.87 1.4338 I 0.0044 6.94 303 80.5 1.3520 .0136 6.89 335 68.4 1.2425 .0364 6.90  ÉQUATION AND THE NATURE OP COHESION. C02 S = 3.59 1 L 'd D c 248 72.23 j 1.110 .044 • 6.98 273 57.48 .905 .099 7.36 295.04 j 31.80 | .720 | .233 7.39 CCl4 8 = 3.677 353 . 46.00 I 1.4765 I .006083 6.77 393 42.08 1.3902 I .01639 6.88 453 35.40 ï.2470 .05249 7.04 513 ' 25.56 1.0444 .1464 7.23 533 20.07 0.9409 .2146 7.27 553 10.43 I 0.7634 | .3597 7.15 Methyl butyrate. 8 = 3.903. 373 77.80 I .8068 I .0033 I 7.62 423 68.82 .7415 .01168 7.87 473 57.41 .6633 .03268 8.10 533 34.44 J .5166 .1091 8.34 553 11.16 j .3812 .2201 7.38 Ether. 8 = 3.814. 273 92.52 I .7362 j .000827 I 7.10 353 73.50 .6402 j .01155 7.38 413 55.63 .5385 .04488 7.72 453 31.87 I .4268 .1135 7.56 463 19.38 I .3663 .1620 7.30 466 11.36 .3300 | .2012 7.01 Methyl acetate. 8 = 3.943. 323 I 100.34 I .8939 I .002212 I 7.62 413 76.83 .7532 .02454 8.00 . 453 61.00 .6671 .05682 8.05 493 34.87 .5281 .1416 7 91 503 20.99 I .4527 .2028 7.65 506 11.70 | .3995 j .2525 7.42 21  22 THE TRUE VALUÈ OF a OF VAN DER WAALS' Isopentane. 8 = 3.734. T L dD C 293 83.41 .6196 .002344 6.92 333 74.35 .5769 .007837 7.04 433 41.27 .4206 .07289 7.37 453 24.65 .3498 .1258 7.21 460 10.43 .2857 .1831 7.31 460.4 | 8.07 I .2761 | .1951 6.84 N-Pentane. S= 3.762. 303 85.76 | .6165 .002451 I 6.99 373 69.94 .5377 .01626 L 7.32 423 52.39 .4604 .0476 7.46 453 35.01 .3867 .0935 7.44 463 24.68 .3445 .1269 7.29 468 15.66 .3065 .1609 7.09 470 6.55 .2640 | .2005 6.92 N-Octane. 8=3.864. ,393 71.43 .6168 .003247 j 7.70 433 64.75 .5772 .008591 7-90 533 39.14 .4364 .06223 8.38 553 28.26 .3818 .09833 8.37 563 19.10 .3365 .1346 8.23 Benzene. 8 = 3.755. 358 95.45 .8145 I .002732 7.01 413 82.82 .7440 .01176 7.15 453 74.62 .6906 .02487 7.32 473 68.81 .6605 .03546 7.35 513 54.11 .5851 .07138 7.41 533 43.82 .5328 .1038 7.42 553 27.43 .4514 .1660 7.32 Cl-Benzene. 8= 3.776. 273 89.89 1.12786 j .00002 I 6.45 453 68.96 .9224 .01023 7.24 493 62.89 .8672 .02145 7.38 543 52.56 .7835 .04921 7.49  ÉQUATION" AND THE NATURE OP COHESION. 23 Sn ClK. 8 = 3.755. T L cl' B C 373 31.76 j 2.01S6 .005747 7.18 423 28.35 ! 1.8772 .02023 7.31 473 24.57 1.7224 .05459 7.43 513 20.S6 (1.5667 .1083. 7.52 533 18.50 I 1.4747 .1520 7.54 553 15.00 1.3628 | .2160 7.56 An examination of the foregoing figures shows that the équation of Crompton is not entirely trile, for in general the value SLjBT Ln(djB) is never in any substance quite constant, but in all it shows a fairly uniform course, being soméwhat lower at the lowertemperatures, rising to a maximum and then declining again near the critical temperature. In a few substances it is more constant, namely in iso-pentane, pentane and benzene. These are the substances, to be sure, of which the density is most accurately known. On the whole, however, the équation is approximately true. The value of the constant comes very close in many substances to the éxpected value of 7.5 and this in widely different substances, ranging from benzene, to nitrous oxide and carbon dioxide. In octane, methyl butyrate and. methyl acetate it is soméwhat higher ranging in octane from 7.70—8.38. On the other hand S02 is lower than it should be. With these exceptions the agreement is cërtainly fair with our expectation and shows that the ratio of kjpc must be nearly, if not exactly, 6.5 in triatomic gases as weil as more complex substances. There is no indication, I think, of any general trend in the constant with an increase in molecular complexity. Pentane is little if any higher than N20. The evidence from this source bears out, then, ,the deterrninations of the ratio of kc/pe from the ratio of the total to the internal latent heat near the critical temperature. It ought also to be true, if the foregoing is true, that near the limit of the critical temperature pW-v) = (p dï)c = alr*p< +1 = 7-5 §| At the critical temperature this ought to be equal to 7.5, but on testing this on two or three substances, the ratio l : p{V—v) was  24 THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS' more nearly 6.8 than 7.5 even in isopentane quite close to, within a fraction of a degree of, the critical. The reason for this is, I presume, that dPjdT close to the critical temperature is always too small since the Biot formula gives too high a value for P here. The error appears twice, then, making the latent heat too low, and P too high close to the critical, so that the calculated ratio is always lower than 7.5 and lower than it ought to be. We have then to calculate the value of a the formula a = 6.5 PCV2. The computations are given in colum 3 of Table 2, and I have also plotled the results in figure 1, log a being there plotted against the logarithm of the product of the molecular weight by the number of valences. The values, with one or two exceptions, fall along a straight line, and it is clear that if this method of computing a is correct, and I see no reason to doubt its correctness, there is no question that a is dependent on the product of the molecular weight by the number of valences. I do not know why a/V2 should always be equal to 6.5 Pc. That is I do not know what the significance of this constant of proportion, 6.5, is. As it may help someone else to discover the significance of this, I may mention one other fact I have discovered, namely, that at about 0.94 Tc in the saturated vapor PV becomes exactly equal to al V and at the same time the ratio of (PV-\- a/V): UT becomes equal to 1.154, that is equal to 7.5 : 6.5, or the ratio (Pc-f- a/F2) : a/F,2. At that point, also, V/{V—b) becomes equal to 1.154. This holds cërtainly in widely different substances from C02 to the substances of Yoüng. I do not yet see the significance of these relations. We have then at 0.94 Tc the following:' 2 PV = 1.154 RT- and RT/PV = 1.733. This factor* 1.733, corresponds to the critical coëfficiënt S. 1.733 is the constant C' Dieterici found in his équation: L—E'= 1.733 RTLne (d/D) in the case of substances where bc = Fj/2. If 8 is 3. 75 then SC' should give us Kc/Pc and 3.75 X 1-733 is 6.5. But I do not understand the significance of these facts. In associating substances such as water and ethyl alcohol the value of a calculated by this'formula is always larger, and sometimes very much larger, than the value calculated from the molecular weight and number of valences assuming these to be normal. The cohesion of associating substances is, for some reason I do not understand, greater than expectatiön from the theoretical number of valences. These substances appear to have an additional cohesive attraction. Perhaps this is of a chemical nature.  ÉQUATION AND THE NATURE OF COHESION. 25 c. Calculation of a from the internal latent heat of vaporization. This method has already been described 1). There are three formulas for the internal latent heat of vaporization from which one might expect to make the calculation but only two of them actually permit that this be done. These formulas are those of Mills, Dieterici and Albertoni. Mills équation" is: L—E = // (dm—Z>1/3) (12) Dieterici's équation is L—E = C'RT Lne (d/D) (13) And Albertoni's is L—E = cc (^:i—ZT"/3)—/3 D(d—D)jd , (14) a may bè determined from these formulas in the following way. If the internal latent heat represented only the heat necessary to overcome cohesion, then L—E should be equal to the difference in cohesive energy in the liquid and vapor, or L — E should equal a(l/v—1/ F). As a matter of fact some of the internal heat goes into the molecules so that generally L—E is larger than the difference of cohesive energy in the liquid and vapor. But as the critical temperature is approached the differences between the molecules in liquid and vapor become less and less and at the critical temperature L—E must be precisely equal to a(l/v—\/F) and this should be equal to "the right hand terms of the three équations just mentioned. Hence we would have from Mills' équation a(l/v—l IF) = p (d1'3—Z)1;3); from Dieterici's we would have: a{\\v—\lF) = CRI Lne{d]D) and from Albertoni's: a(l/v—ljF) = tx(d13 Z)5/3)— /3 D{d—D)jd, in all cases at the critical temperature. Of course at the critical temperature (Ijv—1/F) and Lne(d/L>) become equal to zero, but the ratio has a definite value and at the limit, the critical temperature, we have respectively from the three équations: From Mills 2) ■ a = y M2/Sdc2l3 (15) From Dieterici3): a = C'RTUFC (16) !) Mathews: Journal of phys. chem., 20, p. 554, 1916. 2) Mills: Phil. Mag., (6) 22, 97 (1911). 3) Dieterici: Wied. Ann., 25, 569 (1908).  26 THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS' From Albertoni x) : a = *bM*.d*l3/S—PM* (17) If these three formulas were correct then the value of a computed from them should of cóurse be the sarne. But all three are in part at least empirical. The formulas of Mills and Dieterici o-ive values for a which, on the whole, are quite similar, altho seldom identical, and I have used both of these équations for computing a. Albertoni's équation gives always a value of a which is 10—20% too low and this amount lower than either of the other équations. For example a for ether from Albertoni's équation has the value 15.31 X 1012 in place of the value of about 18.87 from Dieterici and 19.34 from Mills. The other methods of determining a show that the proper value for ether is about 19.12 X 1012- With benzene, Albertoni gives 18.12, whereas the others give from 19.17 to 20.78. Albertoni's équation gives a very accurate determination of L—E except close to the critical temperature. Close to the critical temperature it agrees remarkably weil with the value of L—E which one calculates using the figures for the vapor pressure, or P, calculated by Biot's formula.- Now it is known that Biot's formula does not give the proper value of P close to the critical temperature. Consequently Albertoni's équation, which accurately follows Biot's, breaks down close to the critical point, just as Biot's does and cannot be used to calculate a at the limit of the critical temperature for this . reason. We get too low a value for a if we use Albertoni's équation, just as we do if we compute a from (%^) derived from Biot's formula. It will be recalled that Pc 4- a\V2 is-equal to (TdPjdT)e at the critical temperature. If we determine dP/dT at Tc by differentiation of Biot's formula the value of dPj'dl1 thus found-is from 10—20% too low so that a is also this amount too low. Biot's and Albertoni's équations, while permitting a very accurate calculation of P, and so of L—E, at other temperatures, do not, then, give reliable results close to the end of the curve and cannot be used for that reason at the limit. As regards the other two équations each is at least partially empirical and it is clear from the fact that they do not give exactly the same results that one or both are only more or less close approximations to the truth. The values i) Albertoni: Jour. de Chim. Phys., 13, 379 (1915).  ÉQUATION AND THE NATURE OF COHESION. 27 calculated by them are, as will be seen, iu very good agreement, however, except in a few instances with calculation of a from the surface tension and in other ways, and they give at least an approximation, as close as we can get at present, to the real value of a. This calculation is also quite independent of the value of the other constant b. The. values of a calculated by these two formulas are given in columns 4 and 5 of Table 2. It will be seen that on the whole they agree weil with the vfftues calculated in other ways except iu the case of octane and the heavier esters, where the values thus calculated from the internal latent heat are higher than expectation. On the basis of the relation that dP/d'P at the critical temperature is equal to 21ijVc Mit.ls has computed another value for his constant jt'; and the values of a calculated from the formula using this value of fi,' are more nearly those computed from the gravitation, but this relationship of dPjdT ■=■ 2B/FC can only be justified when bc= Vrj2. It may be that some decomposition close to the critical temperature makes the latent heat of vaporization soméwhat high in those substances of a high critical temperature like octane. On the other hand there may of course be some other explanation. d. Calculation of a from the surface tension. This method I have discussed more at length elsewhere l). We may compute a from the surface tension by means of Thomas Young's formula, making the calculation at absolute zero; or we can deterinine it from Éötvös' constant. The law of Young is in reality only the law pf Éötvös at absolute zero, the temperature at which the cohesion of the vapor can be completely neglected. I found that C, the constant in Eötvös' law had the value: C = adJS 'MN1'* Tc. Eötvös' law is: sV'llz = C(l\—T). Cis determined by experiment; s is the surface tension in dynes per cm ; if is the molecular weight; d0 is the density at absolute zero; 1\. the critical temperature; and F2/3, the two thirds power of the volume of a gram mol of the liquid. The density at absolute zero may be calculated from the relation: (d—B)jd0 = ((T—P)/Tcf3. In computing a from the surface tension it must be remembered that many of the determinations of surface tension are made by the capillary rise method and that the errors in this method all tend to make s low. Also the determination of the surface tension by this !) Mathews: Journ. phys. chem., 20, 567 (1916).  28 THE TEUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS' method involves the assumption that the angle of contact is zero and, while this is undoubtedly very nearly true at low temperatures, the angle has a finite value at higher temperatures. The correction, if made, would have the result of increasing the surface tension. The surface tension of all the liquified gases given in the table, except that of S02, were determined by the capillary rise method and are hence to be regarded as minimum values. In S02 the tension was measured by the ripple method. In most of the other cases cited the tension was measured by the drop weight method, and I have used the results of Morgan1) and his colleagues , but I have corrected his results by the method of Lohnstein 2) and Haukins and Humphery 3). In interpreting the values of a found in this way it must also be borne in mind that if there is any association in the liquid the effect is^ to reduce the value of C, for the reason that the number of molecules does not then remain a constant but is reduced by the association. This again will in some cases make the value of a lower than it really is. In general then the values of a determined by the surface tension are apt to be lower, rather than higher, than the true values. The fact that C is constant over a wide range of temperature shows that van der Waals' constant a is also constant as he has maintained, but which has been doubted by others. I may mention, also, iu this connection that if the density at absolute zero was really equal to Sdc, where dc is the critical density, the constant C would have the value ascribed to it in my paper on the Internal Pressure of Liquids of C= KMNll3T,.Cld0. Or by the formula already given in the case of Hydrogen. c7(Baly°and Donnan) is i.95; Jf=28; N1/3 = 8.463 X 107; Tc, 125.96 (Abs.); d0, calculated by the same formula as used in hydrogen is 1.104. d, of iV2 at 20.5° Abs. is 1.0265 (Dewar). This is the temperature'of boihng^ H2. For comparison oxygen at 20.5° Abs. has a density of 1.4526. Its density at absolute zero is computed to be 1.534. If the density of N2 at absolute zero is 1.104 then a = 1.58 X 1012. (b) . From « = 6.5Pcrc2. Pe = 33.49; dc is 0.311; M is 28; F; is 90.03 . . a=1.74X1012. (c) . From a = 2.03PPcrc/1.03 — PCVC2 a = 1.58X1012! Conclusion. We have the values 1.58, 1.74, 1.58 X N>12 as the. three found values. The surface tension value of 1.58 is cërtainly, for the reasons alreadj stated in the case of hydrogen, a minimum value. The value of a for nitrogen is cërtainly higher than 1.58. It may be as high as 1.74. From the gravitational mass and'the valences, taking two valences to the molecule, a is computed to be 1.72 X 1012, which- is probably not far from its true value. In assuming nitrogen to be monovalent here, it may be pointed out that as chemists have supposed nitrogen to be monovalent, di, tri, penta, and hepta valent in different compounds, there is 'as good' reason for taking it monovalent as for assuming it to be di, or tn, valent. If it is monovalent, as it appears to be, the agreement between the value of a computed from the gravitational attraction and that from the pressure volume formula is perfect. Van Laar's value for N2 is 1.83 X 1012. This is cërtainly 20% too low, if we accept -the minimum value computed from the surface tension of 1.58 as correct. If 1.72 is the correct value, as I think, then he is 30 % too low. It is clear that computing from the valences and the gravitation we obtain here as in hydrogen a much better agreement with the real value of a than by van Laar's method. The same objection applies to the value of 1.33 for N as to the low figure for hydrogen: it makes bc too small. N hke hydrogen, is more, not less compressible than pentane, and bc must accordingly be larger than Vc\2 and not smaller. 3. Oxygen. 02. (a). From the formula: « = 6.5PCV2. Pa =49.71 (Onnes, Dorsman and Holst). dc is 0.4299 (Mathias and Onnes). M k 32. Vc= 74.43 a = 1.8IX1012. Verhand, der Kon. Akad. v. Wetensch. (1= Sectie) Dl. XII N°. 4. J) 3  34 THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS' (b). Surface tension. a = 3MNil3TcC/d0. 67= 1.92 (Baly and Donnan). Nil3 is 8.463 X 10"7- Te= 154.25; d0 is 1.531 computed from dü/(d—D) = (TclTc — T?;3 a= 1.58 X'lO1*. It may also be calculated from the second formula given in hydrogen. At—203° * is 18.35 dynes, d is 1.2393; D is 0.0019. The densities are from Baly and Donnan. sV113 is 160.3 ergs a = 1.58X1012 Conclusion. The value of 1.58 from the surface tension is cërtainly a minimum value. The true value is probably higher than this. The value 1.81 is probably not far from right. a computed from the gravitation with 2 valences in the molecule is a = 1.88 X 1012> a value nearly 4 °/0 higher than the figure computed from the pressure volume formula. Were there 4 valences in the molecule of course the computed value of « would be much higher still. If there are but 2 valences in the molecule, and by valences is probably meant negative electrons, the agreement is fair. The value adopted by van Laar is 1.33 X 1012- This is from 20—40 °/0 too low, showing again that his method of computing a is wrong. 4. Carbon monoxide. CO. (a) . fl = 2.03P1CFC/1.03 — PCV2. Pc = 34.60; dc = 0.311 (Cardoso). Te= 134.3 S= 3.54; J/= 28; Fc= 90.03 a= 1.70 XI© 2 (b) . a = 6.5 Pe V2 a = 1.85 X »012 (c) . fl = 3 ^:Nil3MT?3\(d—D)(T—Tf3 8, the surface tension, by Baly and Donnan at — 203° = 12.84 dynes. d= .8474; Pisneglected. Tc—T= 64.3. if=28. w2/3 = 132.26 ergs a = 1.813 X 1012 We have then for the value of « 1.70, 1.85, 1.81 X 1012. Probably 1.85 is near the true value. If there are two valences in the molecule a computed from the gravitation and valences is 1.72 X 1012. With four valences it would be 2.73 X 1012. Van Laar's- value is 1.41 X 1012 a value which, like the others, is at least 20 % to° low- 5. Methane. CR4. (fl). « = 6.5PCF"C2. Pc = 45.6; T0= 190.15; ^ = 0.1623; VB = 98.58; 5=3.48 (Cardoso) a = 2.92X1012 (b). 'fl =2.03PraPc/1.03 — PCFC2 a = 2.63X1012  ÉQUATION AND THE NATÜEE OP COHESION. 35 These are the only two values I have been able to calculate The value from the gravitation with 8 valences to the molecule a = N~ {mVc X ValjMf3 = 2.99 X N>12. Van Laar's value is 2 21 which again is 20 °l too low. 6. Nitraus oxide. N90. («). a = 2.03 2iTcFL/1.03 - PCV2. Pc .= 71.65 ; T = 309 5 (Cardoso and Arm) dc = 0.454 (Villard) ^= 3 658 V = 99 41 ■ c ^y.fti a = 4.24 X 1012 (li) a = 6 5 P 27"2 A w w a_o.o^c^c a = 4.43X1012 = J/y 4.185 X lOVSrfW. /i' = 88.3. . a = 4.04X 10<2 (rf). a=C'BTcVc. C' = 1.518 a = 3.77X10- — 24° = 9.92 dynes (Verschaffei/t) fl?= 1.0254; i) = 0.417; ^ = 121.59 a = 4.10X1012 Ihe mean of these various values is 4.12 X 1012 but in view ot the fact that one is so extremely different from the other* we may oimt 3.77 and the mean is then 4.20 X I0'2 which I think is probably not many per cent from the true value. U there are 4 valences in the molecule, the oxygen being bivalent the nitrogen monovalent the value computed would be 3 59. 11 there are five valences then the value is 4.29 X 10^ which ao-rees weil with the found . value. Van Laar's value is 3.56 which is again evidently some 20% too low. The computations indicate tnat there are 5 valence electrons in the molecule. 7. Carbon dioxide. CU0. («). a = 2.03 BTeFc/1.03 ~.PCV2. Pc = 304.35; Pc = 72.855 = 3.59; Vc = 95.42; dc = .461 » = 4.»v'i«» (b) . « = 6.5 P V2 \ . „ A w u-"-tc>'c a = 4.37xi012 (c) . a = ,jJM2IMW. //= 95.2Ji = 44 a = 4.32 Y »» (d) a^C'PT'K. 6*= 1:762 a= x , (e) . a=CMN^d0lcld0. d0 = 1.725- A™ = 8.463 X ÏO7; C of liquid C7C>2'by Eötvös 1S 2l34 > a = 4.6I X I012 1) The factor 4.185 X 10? in the (c) formnla has generally heen omitted in the for- xïtelt f " ï WhiCh f°U0W' ^ " haS °f ~ heen " 18 faCt°r f°r COnvertlnS calories to ergs, the value of „' heing given in calories D 3*  36 THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS' (ƒ). a = 3 sv-l* Tc213 JSTm M\(d — D) (Tc — Tf13. From Verschaffelt's surface tension measurements. by capillarv rise method at—24.3°: « = 9.21 dynes; (1012 Mean of Verschaffelt and Eötvös computation 4.08 X l©'2 (g). a == r2a', fl' being the constant of Ramsay and Young's équation expressing variations of pressure with changing temperature while volume is constant. d£/dT = 1.72 atmospheres (Amagat). de = 0.464 a = 4.11 X l©13 These results are very consistent with the exception of Eötvös' and Verschaffelt's determinations of the surface tension. I think m general that Eötvös' method of determining the surface tension gives a result which is higher than any other method. On the other hand the capillary rise method often yields too low a result, so a determined from Verschaffelt's observations is too low and that from Eötvös is soméwhat high. The mean of all these is 4.23 X l©'2 but I believe the actual value may be a little higher, say 4.29 X 1012. This is exactly the value which van der Waals x) assigned to it in his work on the Continuity of Liquids and Gases. He there gives the value of .00874 for a. This computed for dynes and gram mol quantities is 4.29 X 1012. If we now compare this value with that computed from the molecular weight and number of valences, we find an exact agreement if C02 is given 5 valences to the molecule; but if we take the nuniber of valences usually assigned, namely 4 for the carbon and two each for each oxygen atom making 8 in all, the value of fl would be 5.86 X l©n, which is too high. Carbon monoxide, oxygen gas and carbon dioxide all appear to be exceptional. For these gases to agree with the general law óf the dependence of cohesion on the valence electrons it is necessary that fewer valences be in the molecule than is generally believed. I think it probable that C02 and N20 really only have 5 valence electrons in their molecules and that in C02 and CO the carbon has lost three of the valence electrons it usually has. If there were 4 valence electrons in the molecule a would be computed as 3.69 X 1012 and this is obviously too low. C02 is therefore an exception to the law I am attempting to establish, unless it can be shown that it really has 5 valence electrons. The value van Laar assigns to a is 3.56 X 1012 which again is seen to be far too low, 20 °/o lower than 4.29 which is the true value. l) Van deii Waals: La Continuité des Etats Gazeux et Liquides. Paris, 1894. p. 118.  ÉQUATION AND THE NATURE OE COHESION. 37 8. Acetylene. G2H2. fjjjr» («). a = 2.03 RTeFF/\.03 — Pcrc2. P(. = 61.6; 4= 0.2306; PC=30S.5; Ve =112.72; .af =26. (Cardoso and Baume) a = 4.9ï X IO12 (Jj). a-4s= 6.5 PeFe2 a = 5.I6XI012 The inean of these two is 5.04 X 1012. Van Laar gives the value of 4.35 X 1012 which is probably many per gent too low. If there are 10 valences in the molecule we compute by the formula a = 1.1763 X 10n(^X Valfz, ,which is the easiest way of making the computation from the' gravitational attraction and the number of valences 4.79 X N>12 which is soméwhat lower than either of these values but which agrees better with them than does van Laar's. If acetylene were acetylidene one carbon being bivalent, then there would be 8 valences and a still lower value would be found. If ther e were 11 valences to the molecule a would be computed as 5.11 X 1012 which agrees better with the found value. I have not been able to find the surface tension or latent heat of liquid acetylene to make the computation from them. 9. Mhylene. C2B4. ' («). « = 2.03PPfPc/1.03 — PCV2. 1\ = 282.5; Pc = 50.65 (Cardoso and Ak.ni). M = 2S ■ Vc = 133.3; «",. = 0.21 (Cailletet and Mathias). 8 = 3.43.. . . a = 5.26 X 1012 (b). a=6.5Per* a = 5.93 X IO12 The mean of these two values is 5.59 X 1012. It think it probable from the low value of S and the lack of agreement of these two computations that perhaps the critical density should be a little higher. Dewar gives 0.32 for dc, but this is obviously too high since it makes S over 4. The value 5.59 agrees very weil with that computed from the valences and molecular weight. Taking 12 valences to the molecule a is computed to be 5.69 X IO12. Van Laar's value is 4.44 X 1012. This is again as usual too low being in fact over 20% too low. I could not find data for the surface tension and latent heat calculations. 10. ffikane. C2H^. («). « =2.03 PPCPC/1.03 — PCFC2. Pc = 48.85; Tc = 305.1 (Cardoso and Bell). I could not find the critical density of ethane, so I have assumed S to be 3.55. This gives Vc= 144.35. With these values a = 6.I9XI012 (<5). « = 6.5PCPC2 • a = 6.71Xl©12  38 THE TRUE VALUE OF « OF VAN DER WAALS' From the molecular weight and valences, taking 14 valences to the molecule, a is computed to be 6.60 X Ï0I2> which agrees very weil with the value from the (b) formula. Van LaAr gives for a the value 5.33 X 1012 again about 20 °/0 below these values. 11. Chlorine. Cl2. (a) . « = 2.03 PPcrc 1.03 — PCV2. Pc = 417; Pc = 76.10; dc = 0.573 (Pellaton); Vc = 123.7; M = 70.90 a = 7.28XI012 (b) . a = 6.5PcFc2 a=7.66X»012 (c) . a = 3MN>13 Cl\\cl0. C = 2.02 (Johnson and McIntosh). 5 = 3.64. d0 taken as Sdc; 4= 2.086.. - a = 7.27X1012 These values agree fairly weil. The mean is 7.40 X 1012. ïf there are 6 valences in the molecule a computed from the valence and molecular weight would be 6.65 X 1012; if there are 7 valences, a would be 7.37, which is practically the mean value found; with 8 valences a would be 8.06. Chlorine everywhere else is trivalent so that with 6 valences the computed value* would be about 10 °/0 below the found value. I do not believe the uricertainty in the found value is as great as this. It is not probable that the value is less than the surface tension computation of 7.27. If the truth of the dependence of cohesion on the valence electrons be admitted, then the computation shows 7 valences in the chlorine molecule. We might interpret this to mean that in a chlorine molecule one chlorine atom is oxidized to its maximum and has lost 7 negative electrons, while the other has its maximum number of 7. Of course actually it is to be presumed that they will be distributed between the two atoms. A similar result is found in bromine. The formula might be written as follows: :;f eCUCh '' Van Laar's value for Cl2 is 5.85. This is very much worse than the computation from the valences assuming each atom to be trivalent so that there are 6 valences to the molecule. It is about 20 °l below what I believe to be the true value. If we compute a from van der Waals' équation " by the usual method of a = 27 Pc2/64 X 2732PC we find the value 6.38 X 1012, which is cërtainly nearer the true value than van Laae's.  ÉQUATION AND THE NATURE OP COHESION. 39 12. Sulphur dioxide. S02. («). « = 2.03 727^/1.03 — P^PC2.PC = 77.65; Tc = 4.30(Cardoso and Bell). 4 = 0.52 (Cailletet and Maïhias). Pc = 123.07; 4 = 0.513 by Cardoso, 1912. M = 64. The computations have been made with the density 0.52. I did not find Cardqso's value until some time afterwards a = 7.48X10'2 (b) . « = 6.5PCP(,2 a = 7,75X10'2 (c) . a = /y/JP2 X 4.185 X 107/'3 d*'3. /*' = 85.5 . a = 7.56 X IO12 (4- a = C'MTcVc. C' = 1.707... a = 7.50X10'2 (e). a = 3 w2/3 J/7V1/3 Tc2l3/(d — B) (Tc — P)2'3. *= 33.29 dynes at — 25° (Grtjmach by capillary waves); sv2!3 = 407.05 ergs. d at — 25° = 1.4968 Lange); B is neg- lected. Tc —T= 182 a = 7.84X1012 The mean of all these values is 7.62 X IO12. a computed from the weight and valences in the usual way with 8 valences in the'molecule, 4 to sulphur and 2 to each oxygen atom, is 7,53 X10'2 which is in excellent agreement with the found values. The value computed by van Laar is 6.74 which is as usual too low, being in fact some 12 % too low. With the usual formula of a = 27 PK2/64~X 2732PC we compute 6.63. It is clear that the computation from the number of valences and molecular weight gives a correct value and the method of van Laar does not. 13. Methyl formate. C2B402. tj&U (a). a = 2.03 PPcPc/l.03 — PCV2. T„ = 487; .Pc = 45.030 mm.Hg.; dr = .3489; Vc = 228.95. a = H.86'X IO'2 {b). a = 6.5 Pctr2 a = 11.54 XIO'2 ■(; T3 = 506.7; rfc=.3252; Vc = 227.6 a= 15.80 X l©12 (b) . • . a = 16.47 X i0'2 (c) . a =^24.185'X 107/3<2'3. /*' = 1()S.8. a = 16.73 XI©12 (cl), a ='G'BTcVc; C' = 1.784 a = 17.11 X 10'2 (e). a = S MA7113 TcCjdu. C = 2.11 (Morgan and Sc hwartz corrected according to Lohn- stein) M = 74. d0 calculated in usual way = 1.277 a = 15.74 X 1012 These values show considerable variation, but the mean is 16.54 X IO12 which is the most probable value which can be given. With M= 74 and 22 valences, a is calculated by my formula to be 16.28 X IO'2 which is in excellent agreement with the mean. Van Laar gives 15.77 which is fairly close to my value. The usual approximate value given is .03206 or 14.07 X 1012 wnen calculated into the other units. In this case, as in one or two others preceding, van Laar's correction is in the right direction but not quite large enough. 17. Ethyl formate. C3E602. (a) . ö = 2.03PP,F;/1.03— PcV2. Tc = 508.2; Pe = 35,535 mm.Eg.; dc = . 3232; Vr = 228.90. . a = 16.60 X 10J2 (b) . « = 6.5 P,V2 a = 16.14 X l©'2 (c) . ■ a = //j/2/3 «;2V3, /x' = 107.14 ... : a = 17.38 X l©12 (d) . a = C'RTCVC. C' = 1.747 a. = 16.91 X ï©12 . (e). « = 3■ MNil3TEC/d0. 67=2.01; 4/= 74; d0 = Sdc= 1.258 a = 15.27 XI©12 The mean of these values is 16.46 X 1012. The value calculated  42 THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS' from the valences and molecular weight is, as before, 16.28, which is in good agreement. 18. Ether. C4H10O. («). « = 2.03^^/1.03 — PCF2. Pc = 27.060 mm. Eg.; dc = 2625; Tc =s466.8; Vc = 281.9. ... . a = 18.70 X 10" According to Galitzine and Willis, Pc is 36.28. With this number a = 19.24 X 1012 (o). a = 6.5 PCVC with Young's value of Pc a= 18.64 X IO12 (c) . a = p'M2/3d?!3. /// = 103.8; M = 74. . . a = 19.34 X 1012 (d) . a = C'BTcVe C' = ] .724 , . . . . . : a = 18.87 X 1012 (e) . a = 3 JiiY1'3 27c6'/4 o*u = 1.0066; 67= 2.16 (Ramsay and As¬ ton); 2.27 (Eötvös). a = 18.82(R. and k.); 19.78 (Eötvös). (/). We have also, in this case, the determination from the Ramsay and Young équation of the pressure under constant volume of 18.52 X 1012. There is considerable variation in these numbers. The mean of the two surface tension measurements is 19.30. Ramsay and Aston's determination was by the capillary rise method and is probably a little low; Eötvös was by a reflection method and may be a little high. The mean of all is 19.02. I think this is probably not far fr.om the true value. a computed from the molecular weight and valences, with 28 valences to the molecule, is 19.12 X 1012, which is in very good agreement with the mean value. Van Laar gives for ether the value corresponding to 17.40 X 1012, which is obviously too low. 19. n-Pentane. C5E12. (a). a = 2.03MTc Fc/l .03 — PCV*. P, =25.100 mmffg.; d,. = .2323; P,. = 470.2; Fc =,309,94. . . a = 20.68 XI012 (6). a = (5.5 PCV2 a = 20.90 XIO12 (c) . a = ij!:mÏ\3 dc2'3. ^' = 110.0. m =72... a = 21.05 X 1012 (d) . a = C'M\VC. 67'=1.707 a = 20.69 X IO12 (e) . a = a'P~2 in formula P = b'T — d d = 162,890 mm. Hg \ a = 20.88 X 1012 I could not find the surface tension of pentane. These figures agree very weil among themselves. The mean is 20.84 X Ï0'2 which is probably very close to the true value. The calculation of a from the molecular weight and valences, with 32 valences in the molecule, gives the value 20.52, which is in good agreement with these values. Van Laar gives the. value equivalent to 19.12 X 1012 which is 8 % below •20.84.  ÉQUATION AND THE NATURE OF COHESION. 43 20. Iso-pentane. C5H12. («). fl = 2.03^^/1.03-^^2.J/ = 72;Pc = 25.018w»2^.; Te = 460.8; <. = .2343; F~c = 307.3 a = 20.06 X 1012 (b) . « = 6.5 P/t2 a = 20.47 XÏ012 (c) . a=fjJM2l'èdc2]Z: /*,' = 105.5 a = 20.08 X 1012 (d) . a = CBTeVc. C' = 1.688 '. . . . a = 19.88 X 1012 (e) . « = a'F*(P=b'T— d)d= lQ2.%00mm.IIg. a = 20.06 X IO'2 The surface tension was not found. The mean value is 20.11 X IÓ12. If 20.84 is the value of a for «-pentane and 20.11 for iso-pentane, the mean of the two is 20.47, which is almost exactly the value calculated. from the gravitation (molecular weight) and number of valences of 20.52 X 1012; van Laak fmds for isopentane the value corresponding to 19.12 which is 5% lower than 20.11. 21. Benzene. G6 H„. (fl). « = 2.03 BTcFc/l:03 — PCF2. Pc = 36.395 mm. Hg.; Tc = 561.5; f/c= 3045 - F"c= 256.1 a = 20.40 X IO12 (b) . a=0.5PcF2 a = 20.15 XIO12 (c) . fl = //j/2/3 a;2/3. M = 78; /4';= 109.23.. . a = 20.48 X 1012 (c). d = C'BTCFC. C' = 1.690 a= 19.17 X 1012 - (d). « = 3 MN^zTcC\d0. ém 2.16 (Morgan and Daghlian, correct'ed according to Lohnstein) d0 = 1.1464 a = 20.95 X 1012 The mean value is 20.23 XIO'2. Evidently 19.17 is too low. If we omit this the value would be 20.49 X 1012, which is probably near the true value. The calculation from the molecular weight and number of valences by the usual formula: fl=1.1763X 10U(^X Fal.f3, with 30 valences in the molecule requires that a should be 20.73 X IO12, which is very close to the mean value when 19.17 is omitted. Van Laar's value is one corresponding to 1.8.72 X 1012 which is obviously too low. 22. Fluor-Benzene. CRHFl. o 5 (fl). « = 2.03 BTCF,\\.03 —PCF 2. Pr = 33.0X2 mm.Hg.; dc = .3541; Tn= 559.5; F0 = 271.1 a = 21.51 x'lO12 (b) . « = 6.5 PCF2 : a = 21.60 X 1012 (c) . « = /z'i¥2/3 dc-'3. M= 96; /*' = 85.65 . . . a = 22.00 X IO'2 (d) . fl = GBTCFC. G' = 1.711 a = 24.18 XIO12  44 THE TRUE VALUE OP a OP VAN DER WAALS' (e). a = 3 M^TcC\d0 du == 1.3392 when calculated as usual from the formula d0 = (d— D)TC?I3/(TC — T)f . C, calculated from Morgan and Daghlian (Journ. Amer. Chem. Soc, 33, p. G80, 1911) without correction according to Lohnstein makes C = 2.160. From this a = 21.99 X 1012If we substitute the proper C for benzene of Richards and Coombs in place of that of Ramsay and Aston used by Morgan and Daghlian, C would be 2.181 and this would make a = 22.21 X IO'2. There is in the case of fluor-benzene a wide variation in the values of a calculated by these different methods, from which I believe we may . infer that ' probably the critical data need some revision. It would appear as if the critical density were a little greater than it ought to be. The first two methods give a concordant result of a mean of 21.55. The latent heat formulae give a mean value of 23.09. From the surface tension determinations of Morgan and Daghlian by the drop weight method using their results uncorrected by the Lohnstein method we have 21.99, which by the substitution of Richards and Coombs' value for C in place of that of Ramsay and Aston for Benzene, is raised to 22.21. This value cannot, I tbink, be very far in error. It is possibly still a little low as the Lohnstein correction generally has the effect of raising the surface tension values. 1 The value calculated for a from the molecular" weight and valences, taking 30 valences to the molecule, fiuorine being considered to be monovalent, is 23.81. This is about 7 % higher thari the surface tension value and higher than any other determination except that from the latent heat by Dieterici's formula. It is 6—7 7Q above the mean value. One would expect that fiuorine would be more than monovalent, but it may bs mentioned that Pascal by his method of measuring the valences also found fiuorine to be monovalent in fluorbenzene. The agreement, therefore, in the case of fluorbenzene is not so good as in many other substances, but whether this is due to the fact that there are fewer Valences in the. molecule than we usually assume to be there, or whether it means that the critical data need some revision, I do not know. In any case the determination from the valences and molecular weight is only 6—7 °/Q different from the mean and lies between the extremes of the values found. On the other hand van Laar's value, which corresponds to 17.90 X 1012, is cërtainly 20 °J0 in error.  ÉQUATION AND THE NATURE OP COHESION. 45 23. Ethyl acetate. C4H8 02. (a) . a =2.03 11TCK/1.0S — PrV2. 1\ = 523.1; d„ =.3077; Pc = 28.877 mm.Eg; Vr = 286 a = 21.38 XIO12 (b) . a = 0.5 P,Ff.2 a = 20.47 X IO12 (c) . a = /x'ïl/2/3J7 = 86.00; /x' = 98.0.. a = 23.23 X 1012 (d) . a-=C'BTnrc. C'= 1.812 a = 22.56 X IO12 (e) . a = S MJVll3TcC/du. 0= 2.16 (Morgan and Schwartz, Lohnstein) d0 = 1.2161- a = 20.78 X 1012 Ramsay and Aston found for C at — 80.2° the value 2.24. This would give for a the value 21.54 X 1012. These results do not agree very weil, but their mean is 21.68 X IO12. a computed from the valences and molecular weight, with 28 valences in the molecule, namely 16 for carbon, 4 for the oxygen and 8 for the hydrogen, is 21.46 XI©''■ This is in excellent agreement with the mean value. Van Laar gives for a, when computed to dynes in gram mol qüantities, the value 20.49. 24. Propyl formate. C4H8 02. (a) . a =2.03P7'CF;/1.()3 — P,V2. Tc = 537.85 ; Pc = 30.400 mm.Hg.; dc = .3093; F, = 2S4.5 :. . a = 21.79 X 1«12 (b) . a — 6.5PcF2.. a = 21.37 XIO'2 (c) . a == p'JPJSdJ113. 37=88; = 98.79... a = 23.33 X 10'2 (d) . a = C'BTnVc. C" = 1.774 .. a = 22.57 X Ï0'2 (e) . a = 3 MN1'3 TcC/du. C= 2.11 (Ramsay and Aston). 4=1.176 a = 21.56 X IO'2 The latent heat values are inuch higher than the other three and bring the average to 22.12 X 1012. The valüe required from the valenees and weight is 21.46 if there are 28 valences in the molecule. This agrees weil with the three values other than the latent heat values, but is considerably lower than the latter. 25. Methyl propionate. C4Hs02. (a) . a = 2.03 MTcFr/l.0S — PCVC. P, = 30.032; 4=.3124; i/ = S8.06; 7:.= 530.4; F", = 281.9 a = 21.32 XIO12 (b) . a = 6.5 PCV2 a = 20.68 X 1012 .(c). a = fJb'M2/Sdc2i3. ^'=99.02 a = 23.27 XÏO'2 (d) . a = C'BTr Vc. O' = 1 .S03 a = 22.42 X 1012 (e) . a = S MN113 TcC/d0. d0 = 1.225 6'= 2.18 (Morgan and Schwartz corrected after Lohnstein method) a = 21.11 XI©'2  46 THE TRUE VALUE OE a OP VAN DER WA ALS' The latent heat values are again higher than the. others. The mean is 21.96. This is in fair agreement with the value 21.46 required by the computation from the weight and valences, taking as in the other cases 28 valences. Van Laar's value for a 1/2 is .213, from which a is computed as 19.91 X 1012. This again is decidedly below the true value. ' 26. Carbon tetrachloride. CGL. ia), a = 2.03 BTcFÉ/l.03 — PCV*. Tc = 556.15 ; Pc = 34.181; dc= . 5576; Fc = 275.8. M= 153.8 a = 21.68 X 1012 (b). a = 6.5 PCFC2 a = 22.54 X 10'2 ' (c). a=p'M2/3d213. p' = 44.29 4/= 153.8. a = 21.57 X l©12 (d) . a = C'BTCFC, 67'= 1.667 a = 21.27 X 1012 (e) . a = 3 sv21'3 MN1'"3 T2l3/(d — D) (Tc — Tf3. .Walden and Swinne at 21° s = 25.85 dynes; sv2'3 = 544.91 ergs. Tc—T= 262.15°. «'=1.5920; D disregarded. a = 22.06 X*012 The mean of these values. for a is 21.82 X IO12. This" is in good ' agreement with the computation from the molecular weight and number of valences, counting chlorine as trivalent so that there are 16 valences in the molecule, of 21.44 X 1012. Van Laar's value corresponds to 19.69 X 1012 "Lewis calculates from the latent heat of expansion of the liquid a still higher value of 22.64 X 1012. 27. Hexamethylene. C§H.2. {a). a = 2.03 RTeFcft .03 — Pc F*. Pc = 30.260 mm. Eg; Te = 553; dc =.2735; Fc= 307.1 a = 24.04 X 1012 (b) . a = G.bPcF* a = 24.73 XIO12 (c) . a = //i¥2/3df3. M = 84; /*= 103.03.. a = 24.21 X ÏO12 . (d) . a = C'BTKFC. 67' = 1.694.. . ' a = 23.94 X 1012 (e) . Surface tension not found. These values agree pretty weil. The mean is 24.23 X IO'2. This is in excellent agreement with the value calculated from the molecular weight and number of valences of 24.30 X IO12, there being 36 valences in the molecule. Van Laar's value is, for a i'2, .211, which corresponds to 19.53 X 1012, a value which is much too low. Hi§ computed value is still lower. V -  EQUATfON AND THE NATURE OP COHESION. 47 12 28. n-Hewane. C6H14. (ai). « = 2.03PPCP,/1.03 — 1\V2. Tc= 507.8; Pc = 22.510 mm. Hg.; dc = . 2344; Fc = 366.9.. . a = 26.50 X IO12 « = 6.5PCP;2 a = 26.26 XIO12 (c). a =/j,'M2/3dcF3. ^'=102.8 M = 86 a = 27.90 XIO'2 («"). a = CRTeVe. 6" = 1.752.. a = 27.15 X IO'2 (e). « = 3 MN^TcCjd0. 67=2.11 by DuTorr and Friedrich. fl7,, = . 9071 a = 25.79 X l©12 67=2.27 according to Morgan'and Chazal corrected by Lohnstein. This would give for a the value 27.75 X 1012. The mean of all these values is 26.91 X 10'2. The value of « computed from the molecular weight and valences with 38 valences is 25.90 X 1012. This is'about 4 % lower than'the mean. The value computed by van Laar is 24.92 X 1012 which is about 9 % below the mean, and is cërtainly too low. 29. Di-isopropyl. C6H14. («). « = 2.03PP,.P,./1.03 — PrV2. Tc = 500.35; P„ = 23.360 mm. Hg.; dc= 0.2411; rc = 356.7.. a = 25.30 XIO12 (o). « = 6.5 P„V2 a = 25i70 x 1012 (c) . « = M'7¥2/3 d2'3. M= 86. fi' = 97.53 . . . a = 25.96 X IO'2 (d) . a = CRTcVc: 6"= 1.72.5 a = 25.61 XI©12 ( vvhich is almost exactly the value calculated from the surface tension, but which is between 2 and 3 °/0 lower than the mean. Considering the variation in the values as calculated, the agreement must be considered as satisfactory. Van Laar gives the value of 0.245 for a1,2 which computed into the other units and for a gram mol makes 26.34 X 1012 in this case not very much below the real value. 32. Methyl iso-butyrate. C5E10O2. (a) . ff = 2.03 BTuVc]im— PCFC2. Tr = 540.55; ^ = 25.740; «; = .3012; F, = 338.6 , a = 26.07 X 1012 (b) . ff = 6.5 PCV2 . . a = 25.58 XI»12 (c) . a=lx'M2/Sde213. ij! = 87.78 M=IÜ2... a = 28.68 X 1«'2 (ff). « = C'BTcVr, 67' = 1.S14 a = 27.62 X IO'2 (e). ff = 3MJYil3TcC/d0. ffT0 = 1.1780; 67=2.25 between 100° and 132.5° (kamsat.and Aston) a = 26.76 X 10'2 Again the latent heat formulae give a high value and do not agree very weil among themselves. The mean value of all is 26.94 X IO'2This is almost exactly the value required by the computation from the molecular weight and 34 valences of 26.96 X IO'2. Van Laar's computed value is very close to this, bëing also 26.34.  ÉQUATION AND THE NATURE OF COHESION. 49 (a). a =2.03 RTCVC\\.03 — PCV2. Tc= 549.2; Pc = 25.227 ; 4 = .2957; Vc = 345.0 .. . a = 27.06 X IO'2 (o). a = 6.5P/> a = 26.01 X 1012 (c) . a=p'M2/3dc2l3. ^'^93.12 a = 30.45 XIO'2 (d) . a = C'RTCVC. C" = 1.850 a = 29.16 X10'2 (e) . a = 3MIVi3TcC/d0. 4=1.179; <7= 2.23 (Morgan and Schwartz). if=102.. a = 26.93 XIO12 Here again the latent heat values are much higher than the others and do not agree very weil with each other. Omitting the very high value of 30.45 the mean is 27.29 X 10'2, The computation from the molecular weight and valences requires the same value as for methyl butyrate, namely 26.96 X IO12 which is only about 1 % lower than the mean and almost exactly the value calculated from the surface tension. Van Laar's value is 26.27 X 1012 which is not so far as usual from the truth. 34. Ethyl propionate. C5H10O2. («). a = 2.03 RTcVcj\.03 — PCV2. re = 545.5; Pc = 25.217 mm.Eg.; dc = . 2965; Ve = 344.0. . . a = 26.80 X 1012 (*). a = 6.5 PCV2 a = 25.86 X 10'2 (e). a = fjJM2l3 d2^. p' = 91.59 ; M= 102 . . a = 29.22 X 1012 (d) . a = C'RTCVC. C' = 1.837 a = 28.69 X 1012 (e) . a = 3 MN^TC C\d0. d0 = 1,163; 6'= 2.23 (Morgan and Schwartz correeted according to Lohnstein and Harkins). . . . a = 27.12 X 1012 The mean of these values is 27.54 X IO'2. The value required by the molecular weight and valences, is 26.96 X 1012. This is about 2 °/0 below the mean. 35. Stannic chloride. SnCL. (a). a = 2.03 RTCVC\\ . 03 — PCV2, Pc = 28.079 mm.Eg.; Tc = 591.7; 4 = .7419; Fc = 35l. a = 29.48 XI012 (o). a^0.5PcV2 • a = 3O.07X1012 (c). a = p'M2/3d2'3. /*'= 26.51 ;j|f =260.8 a =30.69 XIO'2 (4. a = G'RTCVC. C' = 1.741 a = 30.12 X l©12 (e). a = 3MNV*TcCld6.. C = 2,20 (Kistiaköws- kt); 4 = 2.826. a = 30.50 XI0'2 The mean of these, values is 30.17 X IO12. The value of a computed from the molecular weight and number of valences, chlorine Verband, der Kon. Akad. v. Wetensch. (!• Sectie) Dl. XII N». 4. D 4  50 THE TETJE VALUE OF a OE VAN DER WAALS' being trivalent so that the number of valences in the. molecule is 16, is.30.47 X 1©12> a figure in very good agreement with the others found. Van Laar gives a value corresponding to 27.19 X lO1^ which is again, as so often, too low. 36. Brom-benzene. C6E5Br. (fl). « = 2.03 BTC Vc\ 1.03 — PCV2. Pc= 070; Pc=33.912 mm.Eg.; 4 = .4853; Vc = 323.4 ... . a = 30.80 X 1012 (o). a = 6.5Pcrc2 a = 31.46 XIO'2 (c). a = p'M2/Sdc2l3. fi' = 55.37 M = 156.96 a = 30.81 X 1012 ( between the highest and lowest values. The latent heat formulae both give a high value. Mills has suggested that there is some decomposition at the high temperatures, the critical temperature being nearly 300° C. The mean value is 41.14, or if we omit the two high values of the latent heat we have 39.39. The value of a computed from the molecular weight and number of valences by the usual formula, taking 50 valences to the molecule, is 37.54 X l©12- This is close to the value computed from the second of the above formulae, but nearly 8 °L lower than the surface tension which is usually a minimum value. It will be noticed in a moment that the isomeric substance, diisobutyl, is much nearer the theoretical value. It hardly seems probable to me that the true value is much below  ÉQUATION AND THE NATURE OF COHESION. 53 39, and it may be higher, in spite of the lower value obtained by the second formula. It may be possible that there are some extra valences, and in support "of this it may be said that octane behaves chemically soméwhat as if it were an unsaturated compound. On the other hand it has also occurred to me that possibly the valences are not strictly additive. Here we have at least 50 valence electrons in the molecule. Now it may be that several valences together might produce a little greater effect, electro-magnetic, or cohesive, than an equal number taken separately. However that will have to be determined by further work. The only indication of this possibility is that there is apparently a slight tendency for the computation from the molecular weight and valences to be a little low as the number of the valences in the molecule increases. But whether this is a real tendency or only apparent due to the empirical latent heat formulae giving less good results in the more complex substances, or to slight decomposition as the critical temperature gets high, cannot at present be said. We have then as a general result in octane to record that the determination of a by the formula 6.5PCFC2 gives a result in agreement with that calculated from the molecular weight and number of valences, but that the other methods yiejd results, one of which is 15°/ above the required value. Van Laar's value for a1'2 is .276, which calculated in the units I have used is 33.42 X l'O12. This, as will beseen", is very much lower than any of the values found. 40. Diisobutyl. C8 Hx%. (a). « = 2.03itfcFc/1.03 —PCV2. Tc = 549.8; dc = .2366; Pc = 18,660 mm.Hg.; Vc = 481.8 . . a = 37.65 X IO12 (o). a = 6.5Pcrc2 a = 37.54 XIO12 (e). a = pM2\3d?3. M= 114 ; p' = 87.72 . . a = 41.56 X 1012 (d) . a = G'BTCVC. C' = 1.813 a = 39.95 X I©12 (e) . a = sv213 3 MN*'3 Tc/d0 (Te — T). At 107.4° * = 11.82 dynes (Schiff). sv2j3= 383.3 ergs. ^=.6166; d0 = Sdc = .9014; Tc — T= 169.4 a = 39.95'X l©12 The mean value of all is 39.33 X I©12. The required value computed from the molecular weight and the number of valences, there being 50 valences in the molecule, is 37.54 X I©12. This is exactly the value calculated from the second of the above formulae but is between 4 and 5 % lower than the. mean. The agreement between the found values and that computed from the weight and  54 THE TRUE VALUE OE a OE VAN DER 'WAALS' valences is much better than with the isomeric octane. The results from the latent heat are not so divergent here. It may be noted that the diisobutyl upon which these determinations were made, does not appear to have been a pure substance, or else it slightly decomposed on standing as Young and Mills have remarked. The critical data, however, were probably not seriously affected by this circumstance. Van Laar gives for diisobutyl no value, but one computes from his formula the value a,/2 = .288; which translated into the other units would be 36.39 X 1012 which it will be noticed is only 3 or 4 % below that required by the computation from the molecular weight and valences. It is, however, more divergent than mine from the values actually found. 41. Diisoamyl. CX^H22. - {a). a = BMN1'3 sv*3 T^\{d- D){TC — T)'13. Tc = 675. Tc — T= 402. dat &C. = .74L3. s= 23,072 dynes, sv2'3 = 767.3 ergs. D disregarded. M =- 142.18. Surface tension by Morgan and Owen a = 52.79 XI*12 I could not find the critical pressure and density of this substance. This value of a is not very different from that calculated from the molecular weight of 142.2 and the valences, there being 62 valences in the molecule. The .value of a required by the latter computation is .50.20 X 1012, which is only some 4 % below the value computed from the surface tension. This is the most complex substance I have calculated. This gives a total range of valences from 2 in hydrogen to 62 in diisoamyl, and a range of molecular weights from 2 to 260.8 in stannic chloride. I think this is a sufficiënt diversity. of substances and a sufficiënt range to establish the general applicability of the law relating cohesion to the valences and molecular weight. I have, however, calculated from the surface tension three other substances which are also complex. 42. Mesitylene. CgH12- («). a = 3 sv*3 MN*13 IC\{TC — T) da. From Morgan-and Thomssen, wv213 at 23.5° is 812.61. This gives for sv213 the value 722.2. ergs. Tc is calculated to be 640.7°. Mis 120.1. dx calculated by the formula: d = .8746 — .00081^ is .8556. d0 by the same formula is calculated to be 1.0958. Tc — T is 344.2. This gives for a the value...! a = 37.41 X10'2  ÉQUATION AND THE NATURE OP COHESION. 55 The value calculated from the molecular weight and with 48 valences is 37.82 X 1012 in agreement with the value computed from the surface tension. 43. Cymene. Ci0B14. « = 3 sv2* MN"3 TC/(TC — T) da. M = 134.1. Tc calculated is 651.6°. d = .862 — .0008044(^— 11.90)wfA3 (Morgan and Thomssen) is 785.20 which is equal to 697.8 ergs = sv213. Tc — T is 319.15. d = . 8235. th 59.45°. d0 calculated from the above formula is 1.0912. With these values a = 44.44 X IO'2 a calculated from the molecular weight, 134.1, and the valences, 54, is 44.03 X l©12, which is in agreement with the value calculated from the surface tension. There is no indication in these last two calculations but what the valences are strictly additive in their effect. 44. Diphenylmethane. CX3HXn. The past several agreements have been so good, between the values calculated from the surface tension and those from the molecular weights and valence numbers, that one-might think that one would always have so good an agreement. I have appended, therefore, a computation of diphenylmethane, in order to include all the computations I have made and to show that one cannot always expect so good an agreement. Here we have 64 valences and a molecular weight of 168. This would lead us to calculate by the formula a = 1.1763 X 1011 (168 X 64)2/3 the value a = 57.33 X W*. From the surface tension, however, we calculate a much higher value. At 59° Morgan and Thomssen give wv21'3 = 1171.26. From this we calculate sv2'3 = 1041 ergs. tc is computed by Morgan and Thomssen to be 497° which would make Tc = 770. d = 1.0126 — 0.0007914(^— 11) = .9746. 4= 1.2365. Hence by the formula given in cymene we compute: a = 63.16 X l©12, which is about 9 % above the other value. However as both Tc and d0 have been extrapolated from a great distance, no great reliance can be placed upon them. I may say that Dütoit and Friederich found the constant G of Eötvös to be 2.25 in this substance between 108 and 210°. This would give the value 59.80 X 1012 for « which is only 3—4 % higher than the computation from M and the valences. It is of interest to compare the values of a in these more complex substances, computed in the usual way from the critical temp-  56 THE TRUE VALUE OE a OE VAN DER WAALS' erature and pressure, with the values computed from the molecular weight and valences. I have accordingly taken the values of a given by Guye and Malt,et (Comptes rendus, 133, 1901, p. 1288) for a few of these compounds and computed them in dynes, in place of atmospheres, and compared them with the values computed from the valences and weight. The result was as follows: a, Guye and a computed Mol. Wt. Substance Mallet, in from valence X Va- dynes, and weight. lences. Naphthalene, C1QB8 40.31 X 1012 39.40 X 1012 128 X48 Durene, C10BU 45.96X IO12 44.03 X 1°12 142X54 Diphenyl, C\2BX0 53.51 X 1012 50.64 X 1012 154 X 58 Diphenylmethane, C13 Bl2 50.03X 10" | 57.33 XIO12 168 X 64 The agreement is on the whole very good, but it will be noticed that the computation of a by the formula a = 27 Tc2/64> X 2732 Pc gives in these complex substances a value of a soméwhat higher than that computed from the valences and weight, while with the simple substances it gives a value soméwhat lower. III. DISCUSSION OF RESULTS. The foregoing calculations are all brought together for easy comparison in Table 2.  TABLE 2. ÉQUATION AND THE NATURE OE COHESION. Valnes of a for gram mol quantities in dynes multiplied by 10—'2. 57 $ (2) I (3) (4) (&) (6) (7) I (8) (9) , (10) (11)" > ^ § 6* % ?1 'f 3fe ° • ■ 1!° ^ s s t s ï £ I m - I fï 'I 1-it i i Kt ï | n f N Hydrogen .319 .254 .2981 .126) 2 I 2 Nitrogen 1.58 1.79 1.58 1.72- 1.33 28 '2 Oxygen ....... 1.60 1.81 1.56 1.88 1.33 32 2 Carbon monoxide... 1.70 1.85 1.81 1J2 1.4 L 28 2 Methane ....... 2.63 2.92 2:99 2^21 16 8 Nitrous oxide 4.21 4.90 4.32 4.18 4.02 4.29. . 3.56. 44 5 Carbon dioxide..... 4.29 4.37 4.32 4.271 4.08 4.11 4.29 3.56 44' I 5 Acetylene 4.91 5.16 4.79 435 26 10 Ethylene 5.26 5.93 5.69 4^44 28 12 Ethane 6.19 6.71 .6.60 5.33 30 14 Chlorine. 7.28 7.66 7.27 7.37 5.85 70.9 7 Sulphur dioxide 7.48 7.75' 7.56 7.50 7.84 7.53 6.74 64 8 Methyl formate 11.86 11.54 12.14 11.88 11.10 11.45 11.91 60 16 Bromine 12.49 12.68 159.9 7 Carbon bisulphide .. 14.56 18.00 12.35 13.33 13.07 13.40 12.14 76 '16" Methyl acetate..... 16.47 15.80 16.73 17.11 15.74 16.28 15.77 74 22 Ethyl formate 16.60 16.14 17.38 16.91 15.27 16.28 74 22 Ether 18.70 18 64 19.34 18.87 19.30 18.52'19.1-2 17.40 74 28 n-Pentane 20.68 20.90 21.05 20.69 20.88 20.52 19.12 72 32 Iso-pentane 20.06'20.47 20.08 19:88 20.06 20.52 19J2 72 32 Serene x... 20.40 20.69 20.48 19.17 20.95 20.73 18.72 78 30 Fluorbenzene 21.51' 21.60 22.00 24.18 22.21 23.81 17.90 96 30 Ethyl acetate 21.38 20.47 23.23 22.56 20.78 21.46 20.49 88 28 Propyl formate 21.79.21.37 23.33 22.57 21.96 21.46 20.49 88 28 Methyl propionate .. 21.32 20.68 23.27 22.42 21.11 21.46 19.91 88 28 Carbon tetra-chloride 21.68 22.54 21.57 21.27 22.06 21.44 19.69 153.8 16 Hexamethylene.:... 24.04 24.73 24.21 23.U4 24.30 16.18 84 36 n-Hexane 26.50 26.26 27.90 27.15,26.77 25.90 24.93 86 38 Diisopropyl 25.30 25.70 25.96 25.61 25.90 24.92 86 38 Chlor-benzene 27.62 27.?4 28.10 27.74 27.26 '27:62 29.38 112.45 32 Methyl butyrate!... 26.86 26.07 29.56 28.57,26.98 26.97 26.34 102 34 Methyl iso-butyrate.- 26.07 25.58 28.68 27.62 26.76 26.97 26.34 102 31 Propyl acetate 27.06 26.01 30.45 29.16 26.93 26.97 26.29 102 34 Ethyl propionate.... 26,80 25.86 29.22 28.69 27.12 26.97 26.34 102 34 Stannic chloride.... 29.48 30.07 30.69 30.12 30.50 30.40 27.19 260.8 16 Brom benzine 30.80. 31.46 30.81 30.48 30.72 33.05 25.70 156.96 30 n-Heptane 32.84 32.30 36.23 34.80 31.58 27.64 100 4t Iodobenzene 35.88 36.97 36.09 35.48 36.49 39.34 29.89 203.85 30 n-°ctane 39.72 38.95 44.46 43.10 40.50 37.54 36.39 114 50 Diisobutyl.' 37.65 37.54 41.56 39.95 39.05 37.54 33 42 114 50 mso*™yl 52.79 50.20 142.2 62 Mesitylene 37.41 37.82 120.1 48 Cymene 44.44 44.03 134.1 51 Diphenylmethane.. 163-16 - 67m \ 168 64 BH  58 THE TRUE VALUE OE a OF VAN DER WAALS' TABLE 2a. Values of a in atmospheres and for a volume containing the same number of molecules as 1 cc. of a gas at 0° C. -and 760 mm. pressure. The values in this table are obtained from those in Column 8, Table 2, by dividing the latter by 4.923 X l°U- One atmosphere being L0132 X 106 er8s for a c c-' and the number of molecules in a gram mol being 6.062 X l°23 and in lc c- of a Sas u,lder Standard conditions 2.75 X 1019, (6.062 X 1023/2.75 X 1019)2 X i.oi32 x 106 equals 4-9*23 X 1°14; Hydrogen 0006053 II Fluor benzene 04836 Nitrogen 008494 Ethyl acetate 04359 Oxygen 003819 Propyl formate 04359 Carbon monoxide. . . .003494 Methyl propionate 04359 Methane 006073 Carbon tetrachloride.. . .04355 Nitrous oxide. 008714 Hexamethylene 04936 Carbon dioxide 008714 n-Hexane 05261 Acetylene 009730 üiisopropyl 05261 Ethylene 01156 Chlor benzene 05610 Eth'ane 01341 Methyl butyrate 05478 Chlorine 01497 Methyl isobutyrate 05478 Sulfur dioxide 01530 Propyl acetate . . .05478 Methyl formate 02325 Ethyl propionate 05478 Bromine 02576 Stannic chloride 06175 Carbon bisulfide 02722 n-Heptane 06415 Methyl acetate 03307 Brom benzene 06713 Ethyl formate . .03307 n-Octane 07625 Ether 03884 Diisobutyl 07625 n-Pentane 04168 Lodo benzene 07991 i-Pentane 04168 Mesitylene 07682 Benzene 04211 Cymene 08944 Diisoamyl 10197 Diphenyl methane 11645 Having these values all before us we may compare them in Table 2 and thus see whether the values computed from the molecular weight and the number of valences by the formula: a = N*(m2kX ValjMf3 do, or do not, agree closely with the values found from the surface tension, from the internal latent heat of vaporization and from the critical data ön the basis that a = q 5 pcV2. The values computed from the gravitation and valences are in column 8 and right alongside of them in column  ÉQUATION AND THE NATURE OF COHESION. 59 9 are the values given by van Laar. A comparison between colomn 3, where a is computed by the formula 6.5 PCVC%, with the gravitational formula in column 8 shows the remarkable agreement between them. There can be no doubt that if these values of a are correct then the law is sustained that cohesion is a function of the molecular weight and the number of valences. In order to make this remarkable agreement at once apparent to the eye 1 have plotted in Figure 1 the logarithm of the product of the molecular weight by the number of valences on the abscissa against the logarithm of a as given in column 3 of Table 2 as ordinate. I have included also for the sake of completeness two or three substances in which a is determined solely from the surface tension. Such substances are bromine, diisoamyl, cymene and mesitylene; in all other cases except C82 the values of a are those in column 3. The actual values of the logarithms used in the plot are given in table 3. I have used in these computations of log (if X Val) always the usual valence numbers. Carbon is always tetravalent except in CO, hydrogen univalent, chlorine trivalent, fiuorine monovalent, sulphur tetravalent iü S02 but hexavalent elsewhere, oxygen always divalent, tin tetravalent, and nitrogen monovalent. It will be seen at a glance that with the exception of CO, 02, C02 and JY20 the values fall right along a straight line from hydrogen to diisoamyl. There has been no juggling with the valences at all. The valences used have been those ascribed to the elements by chemists. Figure 1 should be perfectly convincing to all that the law I have discovered showing the dependence of cohesion on gravitation and the valence electrons is a true law. I have included in this list not only all the normal substances in which the critical data have been accurately determined but even some substances of which the critical data are still soméwhat uncertain. TABLE 3. *) (p. 60) Values of Log a and Log {M X Valence) used in plotting figure 1. Log a {LogMY. Val) Val X M H2 11.486 0.6021 2 X2 N2. 12.253 1.7482 2 X 28 02 12.258 2.'l072 4 X32 CO 12.267 2.04922 4 X 28 CH4 12.465 2.1072 8 X 16 N20 12.690 2.2455 4 X 44 C02 12.640 2.5465 8 X 44  60 THE TRUE VALUE OF a OF VAN DER WAALS' Log a Log{M X Vat)\ Val X M C2H2 12.713 2.4150 10 X26 C2J/6 12.827 2.6232 14X30 Cl2.>. . . 12.884 2.6290 6X70.9" S02 12.889 2.7093 8 X64 Methyl formate. 13.062 2.9823 16 X60 Br2.. 13.096 2.9819 6 X159.84 CS2 13.125 3.0849 16 X™ Ethyl formate 13.208 3.2116 22 X 74 Methyl acetate 13.199 3.2116 22 X 74 Ether 13.270 3.3164 28 X74 n-Pentane 13.320 3.3625 32X72 i-Pentane 13.311 3.3625 32X72 Benzene... ..13.3158 | 3.3692 30 X78 Propyl formate 13.330 j 3.3916 28 X88 Ethyl acetate .13.311 3.3916 28X88 Methyl propionate 18.816 3.3916 28X88 CCl4 . 13.353 3.3911 16 X153.8 Hexamethylene 13.393 3.4806 36X84 n-Hexane 13.419 3.5143 38 X86 Diisopropyl 13.410 3.5143 38 X86 Chlor-benzene. 13.445 3.5561 32 XI 12.45 Methyl butyrate 13.416 3.5401 34X102 Methyl isobutyrate 13.408 3.5401 34X102 Propyl acetate 13.415 3 . 5401 34 X 102 Ethyl propionate 13.413 3.5401 34X102 Sn Cl4 .13.478 3.6204 16X260.8 n-Heptane 13.509 3.6434 44X100 n-Octane 13.590 3.7559 50 XI14 Diisobutyl • 13.574 3.7559 50XH4 Mesitylene 13.573 3.7608 48X120.1 Cymene 13.648 3.8598 54X134.1 Diisoamyl J 13.722 3.9452 62X142.18 The agreements between the values computed from the valences and molecular weight with those computed from the critical pres- i) In CS2 I have used for a the mean value of 13.33 X 1013 in place of a as computed by the formula: a — G.5 PCV for all temperatures is that of Eötvös. Thomas Young's law has to be multiplied by the fraction (1\ — T)jTc to make it a complete expression holding at all temperatures. This converts it to the law of Eötvös. The fact that we can compute a from the surface tension in non-associating substances at all temperatures and that we find it to be the same value, proves that a is constant in non-associating substances. We get the same value of a in each of these sub-  72 THE TRUE YALUE OE a OF VAN DER WAALS' stances whether we compute a from the critical data, at a temperature of from 200° to 300° C, or from the surface tension determinations made at temperatures even as low as zero or in some cases 20°—30° below zero. The constancy of a is thus established, in my opinion. If association or dissociation occiir with a rise of temperature, then indeed a will not be constant, since all the factors which are included in a change if association takes place, namely, the number of the molecules, or N, the molecular weight and the number of valences. VI. THE RELATION OF COHESION TO MAGNETISM. What is the significance of the fact that the cohesion depends upon the valence electrons and that without valence there will be no cohesion ? Can the significance be anything else than that the cohesion is electromagnetic and that in consequence cohesion is closely related to magnetism? Or rather that perhaps magnetism is only cohesion made apparent in certain substances at more than molecular distan ces? I can see no other interpretation of these facts than this, and I have in an earlier paper pointed out some of the reasons which have seemed to me to point clearly in this direction. Like Sutherland I hesitated for some time whether the significance is that cohesion is electro-static or electro-magnetic, but the peculiar and exceptional position of oxygen, carbon monoxide and dioxide and one or two other substances, seems to me to indicate with entire definiteness that what I have called valence is the number of negative electrons. If this is the case there can hardly be a question here of electro-static attraction, since the cohesion is due in all cases to the negative electrons. These will only attract electro-magnetically and not electro-statically. I have come to the opinion, therefore, that the cohesional attraction is indeed magnetic in nature and that the cohesive mass is electro-magnetic just as is the gravitational mass. We see indeed the remarkable resemblance between magnetism and cohesion. Each extends ordinarily but a single molecular diameter for the reason that the orientation of the molecules is haphazard, They neutralize each other's magnetic fields or cohesive fields. So we can discover magnetism and cohesion in most substances only in the immediate neighborhood of the molecules. It is only in a few substances that the molecules or atoms are of such a nature that they do not neutralize each other's magnetic fields, but they reinforce them and in these substances the attraction may be easily perceived at distances more than molecular.  ÉQUATION AND THE NATUEE OE COHESION. 73 Cohesive mass and gravitational mass are thus of the same nature; each is magnetic in nature; but the cohesive mass is far greater than the gravitational, for the gravitational, which is the effect of the atomic nucleus, is reinforced by the action of the valence electrons. These relatively great cohesional masses of the molecules cannot be perceived at more than molecular distances, perhaps because the effect added by the valences is absorbed either by the ether or by the surrounding molecules. Possibly we shall have in the future a table of cohesional weights of the elements comparable with the gravitational weights. These cohesional weights will give us perhaps a periodic table of the elements which will be no less interesting than the usual periodic table. Van der Waals' équation is the scales of molecular dimensions by which we may weigh the molecules and determine their real or fohesive mass and not simply that part of the mass. which is able to penetrate matter and space. I have sought to find in the laws of attraction of magnets something which would be similar to the law of attraction of molecules. The only relationship of this kind which I have been able thus far to find is the law correlating the weight which a horse-shoe magnet will support and the mass of the magnet. The relationship exists in this case that W, the weight supported, is proportional to the two-thirds power of the mass of the magnet, or W = aM2'3. From this it would appear, since they act also proportionaly to the twothirds power of their masses, that the molecules behave like little magnets, as has been suggested by Sutherland. Here we have the two-thirds power of the mass just as in the molecules we have the two-thirds power of the molecular weight. The valence in the different horse-shoe magnets of irori will, I suppose, remain constant. VIL THE RELATION OF COHESION TO CHEMICAL ! AFFINITY. The cohesion of molecules is thus shown to be electro-magnetic and magnetism is' probably cohesion. If we noAv go within the molecule, do these same forces exist? Is what we call chemical affinity simply the cohesion of the atoms, and has it in it the same factors as those of molecular cohesion? Is chemical affinity electro-magnetic also, and not electrostatic as it has so long been supposed to be? Is the suggestion of Sutherland correct that what we call cohesion is simply the chemical attraction extending a short distance from the molecule? Or if we turn it about, is the cohe-  74 'THE TRUE YALUE OF a OF VAN DER WAALS' sion which holds the atoms together in the molecules simply the intense cohesional attraction, the magnetism, which shows itself also between molecules? This suggestion has indeed been made in the last paper of Sir William Ramsay, published in the Royal Society. In that paper he suggests that atoms are bound together to make molecules not by the electro-static attraction between positive and negative atoms, but by the electromagnetic attractions due tö the movements of the negative valence electrons, and he makes a model showing the position that light spheres take up with regard ,to each other when each. has a current running about it in a position corresponding to the path of an electron revolving about an atom. Assuredly this cohesional field of which we havé been speaking is due to the'action of all the atoms with their electrons of which the molecule is composed. If it is intense on the immediate outside of the molecule it would seem that it must be vastly greater in the interior of the molecule. Will it not be sufficiënt to hold the atoms in a close union in the molecule? It seems to me that it must. Why then should we, until we are driven to it, assume that the atoms are held in the molecule by any other force than that of their cohesion which is of a magnetic nature? But why, if this is the case, should the molecules break apart at one point rather. than an other? The manner in which the cohesional attraction varies with the distance we do not know, but cërtainly it is at a rate greater than the inverse square of the distance. So the cohesion in the interior of a molecule must be much greater than between the molecules. The discussion of this question will have to be left to the future. I wish only to raise the question here as one of the interesting results of the discovery of the nature of cohesion, or rather the discovery of the factors influencing cohesion, namely the valence electrons in the molecule. It is certain, however, since the attraction of atoms to make molecules is due to the valences, and since, as we have shown, the cohesional attraction is also due, in part at least, to the valences, and without the valences there is neither chemical union nor cohesion, that cërtainly cohesion and chemical affinity must have much in common, if indeed they are not identical. If this is true, valence and atomic weight must be of fundamental importance in chemical affinity, and indeed evidences are not lacking that this is the case. It surély is no mere coin, cidence that water, which has so great a heat of formation, and in which what we call chemical affinity is so great, has also such an enormous cohesion, so that its critical temperature is over 300°  ÉQUATION AND THE NATURE OF COHESION 75 and its critical pressure 200 atmospheres. I do not wish to consider this possibility further in this paper, for it will require a far more extended consideration than can be given it here, but in connection with the ideas which folio w it opens to our eyes a vista of orderly beauty and simple symmetry of things as they are. VIII. THE COHESION OF ELECTRICITY. In closing this paper I should like to raise one other question, and that is the cohesion of electricity itself. I have never even seen it alluded to, but surely it must exist. If the atoms are built of electrons, then the negative electron is the simplest partiele of matter. The electron has mass, the amount being dependent on the velocity of its motion. A single electron would not presumably have any cohesion, for it has no valence, electrons revolving about it. But suppose we have two electrons revolving about each other, then the condition, it appears to me, will be changed and these two electrons will have cohesion. For each electron becomes the valence electron of the other and we shall then have cohesion as weil as gravitation between them. How large will this cohesion be and will it be large enough to overcome their electrostatic repulsions* when the two charges are close together? We can compute the. amount of" this eohesion if we assume that the same relations exist as in the cohesion of molecules. It may be computed from the relation a — N2{m2k \ Val/Mf13. For such a pair of electrons N becomes unity and drops out; m, the mass, may be taken in relatively slow moving electrons as yi700 that of a hydrogen atom, so that the atomic weight becomes V1700. The valence, Val, is unity so that the factor Val\M becomes very large. The electrical charge is enormous compared with the mass. This factor is larger than for any other substance. Then if the attraction is inversely as the fourth power of the distance two electrons at the distance of 1 X 10~10 cms.; which is about the radius of the nucleus of an atom, will attract each other with a cohesive force of 22.48 dynes. In this calculation the mass of the electron, m, is 9.704 X 10-28 grams, and k is. 6.66 X 10~8. The valence is unity. If the attraction varies inversely as a higher power than the fourth, which is quite possible, then the attraction will be larger. The electrostatic repulsion, taking the electron charge as 4.77 X 10-10 electrostatic units, if the same law holds within such minute distances as at greater distances, would be 22.75 dynes. In other words the attraction and repulsion would be equal. But if the charges were closer together, or  76 THE TRUE VALUE OP a OE VAN DER WAALS' if the cohesion varied inversely as a higher power of the distance than the fourth, or if the mass was greater than this, owing to the faster movement of the electrons, then the cohesion would be greater and the electrons would cohere. If the electron is moving so fast that its mass is Y1000 that of a hydrogen atom then the cohesion at 1 X IO-10 cms. distance, disregarding any centrifugal effect of their revolution, would be 32.02 dynes; the repulsion would be only 22.75 dynes. They would cohere. The interesting conclusion appears, if our reasoning and assumptions are correct, that if two electrons come sufficiently close together, they will cohere. It may be in this way that the nuclei of the atoms are built up and the valence electrons captured and held by the atoms; and we do not have to assume any positive elëctricity in the nucleus to explain how the negative electrons are held together. Thus we have passed from the cohesion of molecules to the cohesion of atoms to make molecules, and to the cohesion of electrons to make atoms. What then is the relation to that cohesion of masses which extends throughout space, the attraction of gravitation ? IX. RELATION OF GRAVITATION AND COHESION. The numerical relation of cohesion and gravitation is given in the formula a = JV2 (m2/c X VdljMf13. This formula shows that what is called cohesion is but the gravitational attraction inteusified in the immediate neighborhood of the molecules by the action of the valence electrons. I do not yet see the significance of the exponent two-thirds. This would seem to imply the importance of the density of the lines of force, which would suggest that these lines of force are repelling each other. Leaving this point for the future "we can look at the matter the other way around and instead of considering cohesion as intensified gravitation we can with 'equal right consider gravitation to be simply the cohesional attraction from which one element has been absorbed, namely the effect produced by the valence electrons. Eor some reason this element cannot reach farther than the next layer of molecules. Whether this is because it is absorbed by the ether as van dee Waals suggested, or whether it is because it is absorbed by the first molecule it encounters, I ara not sure, but from the relation of cohesion to magnetism we might assume perhaps as more probable the latter possibility. For some reason then it seems that the effect produced on ^he gravitational attraction by the valence electrons cannot penetrate other molecules and so it is shut offby them. The idea occurs  ÉQUATION AND THE .NATURE OF COHESION. 77 to one that possibly the molecules of magnetic substances are transpatent to this cohesional attraction and propagated to a distance the cohesion becomes recognizable to us as magnetism. Gravitation thus becomes simply the cohesional attraction from which the effect of the valence electrons has been absorbed. It is like light seen through a colored glass; not all the light can pass. The molecules might be likened to suns shining with an invisible and intense light which we call cohesion. But while luminous itself each molecule cuts off the light from the molecule behind it letting through only a portion. That which comes through would correspond perhaps to polarized light, or light from which one element had been absorbed, and is what we call gravitation.   BEGRÜNDUNG DER MENGENLEHRE UNABHANGIG VOM LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DRITTEN von Dr. L. E. J. BROUWER professor an der universitat amsterdam. Erster Teil : ALLGEMEINE MENGENLEHRE. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen le Amsterdam (EERSTE SECTIE). DEEL XII. N°. 5. t amsterdam JOHANNES MÜLLER 1918.   Begründung der Mengenlehre unabhangig vom logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Erster Teil \ ALLGEMEÏNE MENGENLEHRE. 1. Die Kardinalzahlen. Der Mengenlehre liegt eine unbegrenzte Folge von Zeichen zu Grunde, welche bestimmt. wird durch ein erstes Zeichen und das Gesetz, das aus jedem dieser Zeichen das nachstfolgende herleitet. Unter den mannigfachen hierzu brauchbaren Gesetzen erscheint dasjenige am geeignetesten, welches die Eolge £ der Ziffernkomplexe 1, 2, 3, 4, 5, erzeugt. Eine Menge ist ein Gesetz, auf Grund .dessen, wenn immer wieder ein willkürlicher Ziffernkomplex der Folge £ gewahlt wird, jede dieser Wahlen entweder ein bestimmtes Zeichen, oder nichts erzeugt, oder aber die Hemrhung des Prozesses und die definitive Vernichtung seines Resultates herbeiführt, wobei für jedes ra7/nach jeder ungehemmten Folge von n — 1 Wahlen. wenigstens ein Ziffernkomplex angegeben werden kann, der, wenn er als ra-ter Ziffernkomplex gewahlt wird, nickt die Hemmung des Prozesses herbeiführt. Jede in dieser Weise^on der Menge/erzeugte Zeichenfolge (welche also im allgemeinen nicht fertig darstellbar ist) heisst ein Mement der Menge. Die gemeinsame Entstehungsart der Elemente einer Menge M werden wir ebenfalls kurz als die Menge M bezeichnen. Wenn verschiedene Wahlfolgen immer zu verschiedenen Zeichenfolgen führen, so heisst die Menge individualisiert. Die Bestimmungsgesetze endlicher Zeichengruppen sowie unbegrenzter Zeichenfolgen von der Art der Folge £ bilden besondere Falie von Mengen, deren Elemente von den einzelnen Zeichen gebildet werden. Die Menge der Ziffernkomplexe von £ werden wir mit A bezeichnen. Mengen und Elemente von Mengen werden mathematische Entiteiten genannt. Unter einer Species erster Ordnung verstenen wir eine Eigen- E l*  4 BEGRÜNDUNG DER MENGENLEHRE UNABHANGIG VOM schaft, welche nur eine mathematische Entitat.besitzen kann, in welchem Falie sie ein Element der Species erster Ordnung genannt wird. Die Mengen bilden besondere Falie von Species erster Ordnung. Unter einer Species zweiter Ordnung verstehen wir eine Eigenschaft, welche nur eine mathematische Entitat oder Species erster Ordnung besiteen kann, in welchem Falie sie ein Element der Species zweiter Ordnung genannt wird. In analoger Weise definiëren wir Species n-ter Ordnung, wo n ein beliebiges Element von A reprasentiert. Zwei Species M und N heissen /congruent, wenn weder ein von jedem Elemente von N verschiedenes Element von M noch, ein von jedem Elemente von M verschiedenes-Element von N existieren kann, anders ausgedrückt: wenn jede für die eine Species unmögliche Eigenschaft auch für die andere Species unmöglich ist; mithin sind M und N, wenn sie beide einer dritten Species P kongruent sind, auch einander kongruent. Wenn überdies jedes Element von M ebenfalls Element von iVist, so heissen M und N halbidentisch. Wenn schliesslich auch jedes Element von N ebenfalls Element von M ist, so heissen M und N identisch, Die Species, welche diejenigen Elemente umfasst, welche sowohl zur Species M wie zur Species N gehören, heisst der Durchschnitt von M und N, und wird bezeichnet mit [M, N). Der Durchschnitt zweier Mengen braucht keine Menge zu sein. Die Species, welche diejenigen Elemente umfasst, welche entweder zur Species M oder zur Species N gehören, heisst die Vereinigung von M und N, und wird bezeichnet mit @ (M, N). Die Vereinigung zweier Mengen ist -wiederum eine Menge, die Vereinigung zweier individualisierter Mengen braucht aber keine individualisierte Menge zu sein. Zwei Species Jf\. und N heissen elementefremd, wenn kein Element existieren kann, das sowohl zu M wie zu N gehort. Die Species M heisst eine Teilspecies der Species N, wenn jedes Element von M ebenfalls Element von N ist. Lasst sich überdies ein Element von N angeben, das nicht Element von M ist, so heisst M eine echte Teilspecies von N. Sind M' und M" elementefremd, und @ (Jf, M") und TV kongruent, so sagen wir, dass N sich aus M' und M" zusammensetzt, und nennen M' und M" Komplementcirspeci.es voneinander in N. Sind M' und M" elementefremd, und 0 {M', M") und N identisch, so sagen wir, dass N in M' und M' zerlegt ist, und nennen M' und M" fconjugierte Zerlegungsspecies von N, und sowohl M' wie M" eine abtrennbme Teilspecies von N.  LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN UEITTEN 5 In analoger Weise wie den Durchschnitt und die Vereinigung von zwei Species, definiert man den Durchschnitt und die Vereinigung einer willkürlichen Species von Species. In analoger Weise wie zwei Komplementarspecies in N resp. zwei Zerlegungsspecies von N, definiert man eine Species von Komplementarspecies in N resp. eine Species von konjugierten Zerlegungsspecies von N. Wenn zwischen zwei Species M und N eine eineindeutige Beziehung hergestellt werden kann, d.h. ein Gesetz, welches jedem Elemente x von M ein Element /3 von N zuordnet in solcher Weise, dass dabei jedes Element von N einem und nur einem bestimmten Elemente von M zugeordnet wird, so schreiben wir Mcs,N, und sagen, dass M m\ N dieselbe Miichügkeit oder Kardinalzahl besitzen, oder gleichmdchtig sind. Die Menge der Ziffernkomplexe 2, 3, 4, ist z. B. gleichmachtig mit der Menge der Ziffernkomplexe 1, 2, 3,. . . . Wenn jedem Elemente ot von M ein verschiedenes Element (2 von N zugeordnet ist in solcher "Weise; dass die Species der /3 mit N identisch ist, so heissen M und N halbgleichmdchtig. Eine individualisierte Menge ist z. B. halbgleichmachtig mit der entsprechenden Species ungehemmter Wahlfolgen. Eine Species E heisst endlich, wenn sie mit der Menge der Ziffernkomplexe eines gewissen^rVnïangssegmentes der Folge £ gleichmachtig ist. Eine Species E heisst unendlich, wenn jedes Element von A einem ' vërschiedenen Elemente w von U zugeordnet werden kann. Im Falie dass die Elemente w eine mit A gleichmachtige abtrennbare Teilspecies von E bilden, heisst E reduzierbar unendlich. Es existiert kein Grund zu behaupten, dass jede Menge oder Species entweder endlich oder unendlich sei. Dagegen steht fest, dass eine Species nicht gleichzeitig endlich und unendlich sein kann,' und zwar auf Grund des folgenden Satzes: Haupteigenschaft der endlicheu Species Für jede Eerstellungsweise \ der eineindeutigen Beziehung zwischen einer endlichen Species E und der Menge der Ziffernkomplexe eines Anfangssegmentes von an+2 a.2n+2. . . an a2n %n • • • • LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DRITTEN 9  10 BEGRÜNDUNG DER MENGENLEHRE UNABHANGIG VOM von Cn zuzuordnen. In dieser Weise bestimmt man gleichzeitig eine eineindeutige Beziehung zwischen den Punkten eines ra-dimensionalen Kubus und den Punkten eines geraden Liniensegmentes (aus welcher unmittelbar eine eineindeutige Beziehung zwischen den Punkten des ra-dimensionalen Cartesischen Raumes und den Punkten deigeraden Linie folgt). Diese Beziehung ist aber nicht stetig: wenn man z. B. (bei konstanten ax, ... an, an+3, an+i,. . . .) an+2 abwechselnd gleich 1 und 2 wiihlt und an+t unbeschrankt wachsen lasst, so bekommt man auf dem Liniensegmente eine gegen einen einzigen Punkt konvergierende Folge von Punkten, ina ra-dimensionalen Kubus aber eine nicht gegen einen einzigen Punkt konvergierende ï'olge von Punkten. Auch die Species Ca der unbeschrankt fortgesetzten Folgen von unbeschrankt fortgesetzten Folgen von zu £ gêhörigen Ziffernkomplexen ist eine Menge der Kardinalzahl c, wie man sofort erkennt, wenn man dem Elemente ax a2 a3 a± • ■ • von @ das Element ax a2 a4, a7 .... % a5 as • aio von Cu entsprechen lasst. Zwei Species M und N (und ebenso die betreffenden Kardinabzahlen m und n) heissen aquivalent, wenn einerseits jedem Element von M ein verschiedenes Element von N, andererseits jedem Element' von N ein verschiedenes Element von M zugeordnet ist, eine Eigenschaft, welche wir auch durch die Formel m == n ausdrücken. Wenn einerseits jedem Element von M ein verschiedenes Element von N zugeordnet ist, andererseits aber kein Gesetz existieren* kann, das jedem Elemente von N ein verschiedenes Element von M zuordnet, so schreiben wir m < n oder n > m, und sagen, dass iV" (resp. n) grösser ist als M (resp. m) und dass M (resp. m) kleiner ist als N (resp. n). • • Wenn wir nur wissen, dass jedem Elemente von M ein verschiedenes Element von N zugeordnet ist, so schreiben wir auch m m, obgleich in diesem Falie nicht notwendig eine der Relationen m n und m n und n >p folgt m > p. Wenn man namlich jedem Elemente von M ein verschiedenes Element von P zuordnen könnte, so könnte man weiter auf Grund von n>p auch jedem Elemente von , M ein verschiedenes Element von N zuordnen. 4. Aus m > n und n > p folgt m > p. Wenn man namlich jedem Elemente von M ein verschiedenes Element von P zuordnen könnte, so könnte man jedem Elemente von N ein verschiedenes Element von M, also auch ein verschiedenes Element-von P zuordnen. Eine Species M (bzw. ihre Kardinalzahl m) heisst einer Species iV (bzw. ihrer Kardinalzahl n) übergeordnet und wir schreiben m > n, wenn jedem Elemente ot, einer gewissen Teilspecies Mx von^* M je ein Element /3 von N zugeordnet ist in solcher Weise dass die Species N' der /3 mit N halbidentisch ist. Ist überdies N' mit IV identisch, so heisst die Species M (bzw. ihre Kardinalzahl m) der Species N (bzw. ihrer Kardinalzahl n) superponiert, und schreiben wir m>n. Ist schliesslich auch Mx mit identisch, so sagen wir dass N (bzw. n) von M (bzw. m) überdeckt ist, und schreiben m > n. Wenn die Species M de^ Species N übergeordnet ist, die Species N^ aber unmöglich der Species M übergeordnet werden kann, so heisst M (bzw. m) von grösserem Umfang als N (bzw. n), und schreiben wir m <, n. Wenn sowohl m >n, wie n>m, so heissen M und N (bzw. m und n) von gleichem Umfang, und schreiben wir m~n. Folgende Eigenschaften sind leicht zu beweisen: 1. Die Belationen m~n, m > n und n > m schliessen einander aus. 2. Aus m > n und n>p folgt m >p. Sei namlich N' die Species der Elementen von M zugeordneten Elemente von N, und P' resp. P" die Species der Elementen von N resp. IV' zugeordneten Elemente von P. Wenn nun ein von jedem Elemente von P" verschiedenes Element von P' existierte, so ware es einem Elemente von N zugeordnet, das eine für die Elemente von N' unmögliche Eigenschaft besasse, was der Kongruenz von N und N' widerspricht. Es kann mithin kein von jedem Elemente von P" verschiedenes Element von F existieren, d.h. P" und P sind kongruent. Weü aber P und P' ebenfalls kongruent sind, so sind schliesslich auch P und P" kongruent, also halbidentisch, w. z. b. w. 3. Aus m ~ n ■ und n~p folgt m ~p. 4. Aus m > n und n >p folgt m > p. Wenn namlich p > m ware, so ware wegen n>p auch n>m, was mit m > n unvertraglich ist.'  12 BEGRÜNDUNG DER MENGENLEHRE UNABHANGIG VOM 5. Aus vi > ra und n > p folgt m >p. Wenn namlichp > m ware, so ware wegen in > n auch p>n, was mit n >p unvertraglich ist. Wenn die Species M der Species N superponiert ist, die Species N aber unmöglich der Species M superponiert we.rden kann, so heisst M (bzw. m) von grösserer Ausdehnung als N (bzw. n), und schreiben wir m > n. Wenn N\oi\ M überdeckt ist, M aber unmöglich von N überdeckt werden kann, so heisst M (bzw. m) von grösserem Gewicht als N (bzw. n) und schreiben wir m > n. Wenn sowohl m > ra, wie n > m, so heissen M und IS von gleicher Ausdehnung, und schreiben wir m = n. Wenn sowohl m > n, wie n > m, so heissen M und iV wo» gleichem Gewicht, und schreiben wir m'~n. Folgende Eigenschaften leuchten unmittelbar ein: 1. Die Relationen m~n, m > n und n > m ebenso wie die Relationen m = n, m>n und n>m schliessen einander aus. 2. Aus m > n und n > p folgt mi>p. Aus in > n und n>p folgt m>p. 3. Aus m =z ra rarar/ 'ni^p folgt m =p. Aus = « raraf/ n '^p folgt m i=p. 4. 7w. > ra raraö? n >p folgt m>p. Aus m > ra wraa? n>p folgt m >p. 5. ^ras m> n und ra >p folgt m>p. Aus m > ra «rarf n>p folgt m >p. Um ein Beispiel aquivalenter Species herzustellen,'definiëren wir auf der geraden Linie Intervalle k in analoger Weise wie oben in der Ebene Quadrate x, verstehen unter einem Intervalle /„ die Vereinigung von zwei aneinander grenzenden Intervallen xv+i, und unter einer stetigen Funktion einer zwischen 0 und 1 schwankenden Ver ander lichen ein Gesetz, welches jedem zwischen 0 und 1 enthaltenen, mit ku zu bezeichnenden Intervalle x ein mit /b zu bezeichnendes Intervall A zuordnet in solcher Weise, dass aneinander grenzenden xu teilweise übereinander greifende Ab und ineinander enthaltenen x(l ebenfalls ineinander enthaltene Xb entsprechen, und dass die Breite der Xb mit der Breite der entsprechenden x„ gleichmassig gegen Null konvergiert. Weil sowohl die x(( wie die A eine abzahlbar unendliche Species bilden, so lasst sich jeder stetigen Funktion der genannten Art ein verschiedenes Element der Menge C zuordnen. Sei andererseits a. a»a3 . . . ein Element d von  LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DRITTEN. 13 C, verstehen wir unter iv das zwischen xv = —- -f - |_ + 2«i+«2+77+^„ und f» + 2«i+- ■+«, entüaltene Intervall, und ordnen wir für gegebenes v allen Intervallen (*„)„ das Intervall iv als /, zu, so erreichen .wir, dass jedem Elemente d von C eine verschiedenê stetige Funktion der genannten Art entspricht, sodass die Species S der stetigen Funktionen einer zwischen 0 und 1 schwankenden Veranderlichen der Menge C aquivalent ist. Ausserdem sind die Species S und C, wie man leicht einsieht, von gleichem Umfang und von gleicher Ausdehnung. Die Menge O ist grösser als die Menge A. Ein Gesetz, das jedem Elemente g von C ein Element h von A zuordnet, muss namlich das Element h vollstandig bestimmt haben nach dem Bekanntwerden eines gewissen Anfangssegmentes cc der Folge von Ziffernkomplexen von g. Dann aber wird jedem Elemente von G, welches cc als Anfangssegment besitzt, dasselbe Element h von A zugeordnet. Es ist mithin unmöglich, jedem Elemente von C ein verschiedenes Element von A zuzuordnen. Weil man andererseits in mannigfacher Weise jedem Elemente von A ein verschiedenes Element von C zuordnen kann, so ist hiermit der aufgestellte Satz bewiesen. 2. Die Ordinalzahlen. Eine Species heisst geordnet, wenn zwischen je zwei als verschieden - erkannten Elementen a und b der Species eine solche als ordnende Relation zu bezeichnende asymmetrische Relation im einen oder ïm anderen Sinne definiert ist, welche, wenn wir sie im einen Sinne durch „a < b" oder „a vor b" oder „a links von b" oder „b > a" oder „b nach a" oder „b rechts von a" und im anderen Sinne durch „a > b" oder „a nach b" oder „a rechts von b" oder „b < a" oder „b vor a" oder „b links von a" ausdrücken, die sogenannte Ordnungseigenschaft besitzt, welche aussagt, dass die Relationen a < b und b < c die Relation a < c nach s'ich ziehen. Wenn a, b und c Elemente der geordneten Species M sind, und a vor b und b vor c liegt, so sagt man auch, dass b zwischen a und c oder zwischen c und a liegt. Die Species derjenigen Elemente der geordneten Menge M, welche zwischen a und b liegen bzw. als weder vor a noch nach b liegend erkannt sind {a < b), bildet das offene bzw. geschlossene Intervall ab. Die Elemente a und b heissen die Fmdelemente des (offenen oder geschlossenen) Intervalles ~ab~.  14 BEGRÜNDUNG DER MENGENLEHRE UNABHANGIG VOM Wenn zwischen zwei geordneten Species M und N eine solche eineindeutige Beziehung hergestellt werden kann, dass zwischen zwei einander zugeordneten Elementepaaren die ordnende Relation im selben Sinne gilt, so sagen wir, dass M und JVdieselbe Ordinahald besitzen oder jülinlick sind. Ein einfaches Beispiel einer geordneten Menge bildet die Menge A, wenn wir die ordnenden Relationen der natürlichen Rangordnung der Elemente in der Folge £ entnehmen. Ihre Ordinalzahl wird mit w bezeichnet. Kehren wir den Sinn aller ordnenden Relationen um, so entsteht eine neue geordnete Menge, deren Ordinalzahl mit *o> bezeichnet wird. Unter einer Fundamentaireihe werden wir eine geordnete Species der Ordinalzahl o verstehen. Jede geordnete endlièhe Menge E besitzt ein erstes Element, d.h. ein Element, welches vor jedem anderen Elemente liegt. Um dies zu beweisen, unterziehen wir E einer bestimmten Zahlung, so dass wir in E ein bestimmtes Element 1, ein bestimmtes Element 2, usw. erhalten. Wenn nun das Element 1 nicht das erste Element der geordneten Menge E ist, so gibt es in der Folge geinen ersten solchen Ziffernkomplex a2, dass das Element a2 von E vor dem Elemente 1 von Vliegt. Wenn auch das Element a2 nicht das erste Element der geordneten Species E ist, so gibt es in der Folge £ einen ersten solchen Ziffernkomplex a3, dass das Element #3 von E vor dem Elemente a2 — und gleichzeitig vor allen Elementen 1, 2, 3,. . . («3—1) — von E liegt. Indem wir in dieser Weise fortfahren, erreichen wir schliesslich einen solchen Ziffernkomplex ah der Folge £, dass, wenn a in der Folge £ wei ter liegt als' av+1 für jedes v, • so heisst f eine fallende Fundamentalreihe von M. Zwei steigende Fundamentalreihen mit den Elementen ax, «2,. . . bzw. bx, b2,. . . von M heissen zusammengehörig, wenn zu jedem a^ ein bv > a^. und zu jedem blSL ein av > b(l angegeben werden kann. In analoger Weise definiert man zusammengehörige fallende Fundamentalreihen. Seien ax, a0, ... die Elemente einer steigenden Fundamentalreihe f von M, und a„ ein solches Element von M, dass «„ << aa für jedes v, wahrend zu jedem b < aa ein av > b angegëben werden kann, so heisst aa Grenzelement von f. In analoger Weise definiert man Grenzelemente fallender Fundamentalreihen von M. Grenzelemente steigender oder fallender Fundamentalreihen von M heissen auch Hauptelemente von M. Die geordnete Species M heisst überall dicht zwischen ihren Elementen a und b (a < b), wenn zwischen zwei willkürlichen, als voneinander verschieden und weder vor d, noch nach b liegend erkannten Elemënten p und q von M andere Elemente von M liegen. Die geordnete Species M heisst überall dicht im weiteren Sinne oder kurz überall dicht, wenn zwischen zwei willkürlichen, voneinander verschiedenen Elementen p und q von M andere Elemente von M liegen, und überall dicht im engeren Sinne, wenn sich überdies ein Element von M angeben lasst und sowohl rechts wie links von einem willkürlichen Elemente von M andere Elemente von M liegen. Die geordnete Species M heisst nirgends dicht zwischen ihren Elementen a und b (a < b), wen zwei willkürliche, als voneinander verschieden und weder vor a noch nach b liegend erkannte Elemente p und q von M (p < q) die Eigenschaft besitzen, dass es zwei als voneinander verschieden und weder vor p noch nach q liegend erkannte Elemente r und s von M gibt, welche ein freies Intervall bilden d.h. zwischen denen keine anderen Elemente von M liegen.  LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DRITTEN. 17 Die geordnete Species M heisst nirgends dicht, wenn zwei willkürliche voneinander verschiedene Elemente p und q von M (p < q) die Eigenschaft besitzen, dass es zwei als voneinander verschieden und weder vor p noch nach q liegend erkannte Elemente r und s von M gibt, welche ein freies Intervall bilden. Die geordnete Species M heisst abgeschlossen, wenn in ihr keine Fundamentalreihe von geschlossenen Intervallen ix, i%, ... existieren kann, von denen iv+1 für jedes v in iv enthalten ist, und welche kein gemeinschaftliches Element besitzen. Die geordnete Species M heisst in sich dicht, wenn jedes ihrer Elemente sich als Hauptelement charakterisieren lasst. Die geordnete Species M heisst perfekt, wenn sie sowohl in sich dicht wie abgeschlossen ist. Ein Beispiel einer (im weiteren Sinne) überall dichten, perfekten Menge liefert die Menge C, geordnet auf Grund der natürlichen Rangordnung der von ihr erzeugten reellen Zahlen zwischen 0 und 1. Seien namlich at. . an bxb2.. . und ax.. an cx c%. . . (bx > cx) zwei willkürliche Elemente von C, so liegt zwischen ihnen das Element ax . . an cx (c2 -f- 1). . ., sodass die Menge überall dicht ist. Versuchen wir weiter eine Fundamentalreihe von geschlossenen Intervallen ix, h' ■ • • zu bestimmen, von denen iv+l für jedes v in iv enthalten ist, und welche kein gemeinschaftliches Element besitzen. Seien ax. '. anbn+i. . . und ax. . an cn+l. . . (bn+1 > cn+.,) die Endelemente von ix, so besitzen die Endelemente eines willkürlichen iv dasselbe Anfangssegment ax . . an, wahrend bn+i für die weiteren iv nicht zunehmen und cn+i für die weiteren iv nicht abnehmen kann. Solange nun 0,l+ï und cn+i dieselben voneinander verschiedenen Werte behalten, gehort das Element ax. . an (cn+i + 1)111... zum entsprechenden t»; damit man mithin sicher sei, dass dieses Element nicht zu allen i> gehort, muss sich ein gewisses iv angeben lassen, für welches entweder bn+l abgenommen oder cn+i zugenommen hat. Weil dieselbe Schlussfolgerung sich beliebig wiederholen lasst, muss sich ein weiteres iv angeben lassen, für welches bn'+i = cn+i = an+i geworden ist, dessen Endelemente also dieselben-ersten n -f 1 Ziffernkomplexe besitzen. Seien «... a„+„, *,,,„,, und aar J n+m a+m+i UULL "l • • wn+m °n+m+l • • • (o„+m+i > clt+m+1) diese Endelemente, so können wir in derselben Weise, wie wir aus der Folge ax. . an die Folge ax. . an+m hergeleitet haben, aus ax. . an+m zu einer weiteren Folge ax. . an+m+p gelangen, und, in dieser Weise fortfahrend, eine unbegrenzt fortsetzbare Folge axa2... konstruieren. Das von dieser Folge dargestellte Element von C gehort nun aber zu allen iv, womit wir zu einem Widerspruch gelangt sind, und die betrachtete geordnete Verhand, der Kon. Akad. v. Wetensch. (le Sectie) Dl. XD. E 2  18 BEGRÜNDUNG DER MENGENLEHRE UNA.BHA.NGIG VOM Menge als abgeschlossen erkannt haben, Schliesslich ist das.Element ai a2 a3 • ■ • Grenzelernent der steigenden Fundamentalreihe [ax -\- 1) 111. ..■;a1 («a + 1) Ül. . .; ax a2 (a3 + 1) 111. . .; womit die Menge sich auch als in sich dicht herausgestellt hat. Ein Beispiel einer nirgends dichten, perfekten Menge wird gebildet von der Vereinigung der Menge C und der Menge E der endlichen Folgen von zu £ gêhörigen Ziffernkomplexen, wenn wir jedem Elemente ax. . an von E die reelle Zahl 2 2 » ga, ~\ ga,+aj —I " ' " ~T~ ga1+o1+. .+an und jedem Elemente ax a2 a3. . . von C die reelle Zahl I ? L . zuordnen, und sodann die Menge <&{C,E) ordnen auf Grund der natiirlichen Rangordnung der entsprechen den reellen Zahlen. Zum geschlossenen Intervall mit den Endelementen ax. .anön+i. . . (bzw. ax. . «.„) und <2j. .ancn+i. . . (bn+1 > c„+!) gehören namlich die Elemente ax. ,an bn+i 111. . . und ax . .an (bn+i — 1), zwischen denen keine weiteren Elemente liegen, sodass die Menge nirgends dicht ist. Versuchen wir weiter eine Fundamentalreihe von geschlossenen Intervallen *•,*•». • • zu bestimmen, von denen iv+x für jedes v in iv enthalten ist, und welche kein gemeinschaftliches Element besitzen. Seien ax. ,an bn+1. . . (bzw. ax. . an) und ax. . an cn+1. . . (on+i > c„+1) die Endelemente von ix, so besitzen die Endelemente eines willkürlichen iv dasselbe Anfangssegment ax..an> wahrend bn+i für die weiteren iv nicht zunehmen oder versch winden (wohl entstehen) und c„+1 für die weiteren v nicht abnehmen kann. Solange nun bn+i nicht existiert, gehort das Élement ax. .an zum entsprechenden «v, und solange bn+l und cn+l dieselben voneinander verschiedenen Werte behalten, gehort das Element ax. . an (cn+i -\- 1) 111... zum entsprechenden iv; damit man mithin gicher sei, dass jedes dieser beiden Elemente nicht zu allen i, gehort, muss sich ein gewisses iv angeben lassen, für welches bn+l existiert, wahrend, falls noch immer bn+l^cn+l, entweder bn+i abgenommen, oder cn+1 zugenommen hat. Weil dieselbe Schlussfolgerung sich beliebig wiederholen lasst, muss man ein weiteres iv angeben können, für welches bll+l = cn+i = an+i geworden ist, dessen Endelemente also die Eorm ül . . an+m b„+m+i. . . (bzw. ax. . an+m) und a1. . an+m cn+m+ï. . . besitzen. Indem wir mit diesem Intervall in ders'elben Weise verfahren wie mit ix und diesen Prozess unbeschrankt fortsetzen, erzeugen wir eine unbeschrankt fortsetzbare Folge ax a2 ■■•■'»  LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DRITTEN. 19 welche aber ein zu allen % gehöriges Element darstellen würde, womit wir wieder zu einem Widerspruch gelangt sind, und die betrachtete geordnete Menge als abgeschlossen erkannt haben. Schliesslich ist das Element axa2a3. . . Grenzelernent der steigenden Fundamentalreihe ax ■ ax d2; axa2a3;..., und das Element a1a2..an Grenzelernent der fallenden Fundamentalreihe ax.. an 1; ax. . an 2; ax. . an 3;-,'. ., womit die Menge sich als in sich dicht herausgestellt hat. Die Ordinalzahl der Menge der rationalen Zahlen zwischen 0 und 1 (exklusive 0 und 1) in ihrer natürlichen Rangordnung wird mit v, bezeichnet. Wir werden zeigen, dass 'jede abzahlbar unendliche, im enger en Sinne überall dichte geordnete Species die Ordinalzahl vj besitzt. Sei M die gegebene geordnete Species, mx, m2, 'ms,. . . ihre Elemente, B die auf Grund der natürlichen Rangordnung geordnete Menge der rationalen Zahlen zwischen 0 und 1, r , r , r ,. . . ihre Elemente, wobei die Indizes auf Grund einer (z.B. nach S. 7 hergestellten) eineindeutigen Beziehung zwischen B und der Folge £ bestimmt sind. Dem Elemente mx ordnen wir das Element r zu; sodann dem Elemente r2 dasjenige mit m'2 zu bezeichnende Element my mit möglichst kleinem Index v, das zu mx dieselbe ordnende Relation besitzt,' wie r2 zu rx; sodann dem Elemente m'3 (welches mit m3 oder mit m2 identisch ist, je uachdein wir m2 schon benutzt haben oder nicht) dasjenige mit r's zu bezeichnende Element rv mit möglichst kleinem Index v, das zu rx und r2 dieselben ordnenden Relationen besitzt, wie ni3 zu mx und m'0; sodann dem Elemente r', (d.h. dem noch nicht benutzten Elemente r„ mit möglichst kleinem Index v) dasjenige mit m\ zu bezeichnende Element mv mit möglichst kleinem Index v, das zu mx, m', und m'3 dieselben ordnenden Relationen besitzt, wie r\ zu rx, r2 und r'3. Indem wir in dieser Weise fortfahren,. bestimmen wir zwischen if und B eine solóhe eineinde.utige Beziehung, welche die beiden Species als ahnlich erkennen lasst. Eine geordnete Species heisst differenziert geordnet, wenn bezüghch zweier willkürlicher Elemente a und b entweder Sicherheit erlangt werden kann, dass zwischen ihnen kein weiteres Element hegt, oder ein zwischen a und b liegendes Element angegeben werden kann. Wir werden zeigen, das jede abzahlbar unendliche, differenziert geordnete Species M sich als abtrennbare Teilspecies einer geordneten Species der Ordinalzahl vj auffassen Icisst. Die obige Konstruktion einer eineindeutigen Beziehung zwischen M und B lasst sich namlich auf diesen Fall erweitern,"wenn wir E 2*  20 BEGRÜNDUNG DER MENGENLEHRE UNABHANGIG VOM nur jedesmal dass in M zu einem vorgegebenen Elemente r\ kein die erforderten ordnenden Relationen besitzendës Element m\ existiert, ein solches Element der Species M hinzufügen. Die Menge T der endlichen Ternalbrüche zwischen 0 und .1 (exklusive 0 und 1) der Form ^ + 3^5 + - - + 3^^ 0der |: + - :+3^^ + ^ in ihrer natürlichen Rangordnung besitzt, wie man unmittelbar einsieht, die Ordinalzahl 2. vj. Man hat nun den Satz: jede abzahlbar unendliche geordnete Species S, von der jedes Element a entioeder rechtes Endelement eines /reien Intervalls ist, wahrend zu a spatere Elemente existieren und zwischen a und einem willkürlichen spateren Elemente andere Elemente liegen, oder linkes Endelement eines /reien Intervalls ist, wahrend zu a /rühere Elemente existieren und zwischen a und einem willkürlichen /rüheren Elemente andere Elemente liegen, besitzt die Ordinalzahl 2. >;.- Man kann namlich nach der obigen Methode zwischen der Species der freien Intervalle von T und der Species der freien Intervalle von S eine eineindeutige Beziehung herstellen, welche die beiden Intervallspecies als ahnlich erkennen lasst. Die Ordinalzahl der Menge C, geordnet auf Grund der natürlichen Rangordnung der entsprechenden reellen Zahlen zwischen 0 und 1 (diese also inklusive 1 aber exklusive 0), wird mit 9^ und die Ordinalzahl 1 -f~ ^i nu^ ^ bezeichnet. Es besteht der Satz: jede geordnete Species P, welche eine solclie abzahlbar unendliche, im engeren Sinne überall dichte Teilspecies M enthalt, dass zwischen je zwei Elementen von P Elemente von M liegen, dass die Species der vor einem willkürlichen Elemente p von P liegenden Elemente von M eine abtrennbare Teilspecies von M ist, welche entweder elementlos ist, oder wenigstens ein bestimmbares Element besitzt, und dass zu jeder der Ordnungs'eigenscha/t genügenden Fundamentalreihe von Relationen „nach" oder „nicht nach" zu den Elementen von M ein diese Relationen er/üllendes Élément von P konstruiert werden kann, besitzt die Ordinalzahl 3\ Die Species M lasst sich namlich nach dem obigen Verfahren auf die der natürlichen Rangordnung entsprechend geordnete Menge E der endlichen Dualbrüche zwischen 0 und 1 ahnlich abbilden. Wenn wir nun jedem Elemente y der Menge h- die Konstruktion von li + ?2> sich auf die heiden erzeugenden Operationen zweiter Art zurückfuhren. Und wenn die Konstruktion jedes |v (v = 1, 2,3,...) sich auf die beiden erzeugenden Operationen zweiter Art zurückfuhren lasst, so lasst auch die- Addition von 2 ?„ zu ?i, d. h. die Konstruktion von 2 S-^, sich auf die beiden erzeu- v=2 v=l genden Operationen zweiter Art zurückführen.  LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DEITTEN. 23 spa* mit Fvl, FV2, Fy3,... bezeichnet. Die konstruktiven Unterspecies erster Ordnung einer FVl;;/v>n heissen konstruktive Unterspecies (m -f- l)-ter Ordnung, und werden mit Fv ,, 4 und Fv „ „ bzw mit FVl...V)1, ^ . v (2, #(l..,Vm8l. . . bezeichnet. Jede bei der Herstellung vón .F benutzte Urspecies erscheint in dieser Weise'als eine konstruktive Unterspecies endlicher Ordnung von F (obgleich es natürlich möglich ist, dass diese Ordnnng für passend gewahlte Urspecies von F unbeschrankt wachst). Um dies, einzusehen, braucht man nur die induktive Methode anzuwenden, d.h. zu beachten, dass F mittels einer endlichen Zahl von erzeugenden Operationen konstruiert ist, und dass die fragliche Eigenschaft, wenn sie für £l und £2 bewiesen ist, ebenfalls für ^ -4- £2 gilt, und wenn sie für jedes bewiesen ist, ebenfalls für E gilt. * 1. Es sei n=i n=l alsdann ist fc=l V1"vm' 2. Es sei n=l 1 • rmi . '1 • • V' n=l alsdann ist  24 BEGRÜNDUNG DEE MENGENLEHRE UNABHANGIG VOM 3. Es sei v=l 12=1 alsdann ist ++F\.-*j | • • • •+(<:'i p-i + n-2 "=p+i '•,+ .+rp-p+i fc=l m 4. Es sei . F„ il ! w „; vl • • vm 1* * V ' alsdann ist n=l h=2 +r21^:.v]=2 <^m. n=2 7c=l Um eine wohlgeordnete Species F als Summe von einer endlichen Zahl oder einer Fundamentalreihe von wohlgeordneten Species F(n), welche keine konstruktiven Unterspecies von F sind, darzustellen, ist der einzige Weg*, dass man gewisse konstruktive Unterspecies o- beliebiger Ordnung von F in eine endliche oder abzahlbar unendliche Summe von Teilspecies „t^ zerlegt, deren jede entweder eine konstruktive Unterspecies erster Ordnung van = x ; wenn /3 = -f- /32 auf Grund der ersten_ erzeugenden Operation, so ist <£ = é\ afr = efi- + ' (n) «> (n) #Pvi--"m — arvi--vmA. xPvi--"m2 = cc . cc = n=l V m ii=l 1 /JH&g = £ = (auf Grund der Definition des Potenzbegriffes) lc—l 1 m = CC Indem wir nun anfangen mit der Herstel!ung der letzten konstruktiven ünterzahl höchster Ordnung von /3 mittels der zweiten erzeugenden Operation, und sodann mittels der ersten erzeugenden  LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DEITTEN. 29 Operation hinreichend oft zu einer letzten konstruktiven Unterzahl geringerer Ordnung von f3 heraufsteigen, beweisen wir auf Grundd.es vorstehenden allgemein den Satz, dass für f3 = f /3(n), aP _ ^e' i + «F- K«?) + K«P") + . auch wenn die f3™ keine kon¬ struktiven TJnterzahlen von f3 sind. • Aus den beiden zuletzt bewiesenen Satzen folgt weiter, dass die Konstruktion von otP auf Grund von verschiedenen Erzeugungsarten von f3 zu gleichen wohlgeordneten Ordinalzahlen führt. Weil verschiedene Erzeugungsarten der Faktoren eines Produktes gleiche Ordinalzahlen für das Produkt liefern, so führt auch die Konstruktion von aP auf Grund von verschiedenen Erzeugungsarten von a. zu gleichen wohlgeordneten Ordinalzahlen. Mittels der induktiven Methode beweisen wir noch den Satz: {op? = cf*.' * Es sei namlich y = yx -\~ y2 auf Grund der ersten erzeugenden Operation, und es seien die Formeln Oflf< = und [aPf* = ^r2 bewiesen. Alsdann ist Es sei weiter y = £ yv auf Grund der zweiten erzeugenden Operation, und es seien die Formeln mithin auch die Formeln £ Yy Yv («P)»=i = u »-i bewiesen. Alsdann ist  30 BEGRÜNDUNG DER MENGENLEHRE UNABHANGIG VOM Mittels der induktiven Methode beweisen wir leicht folgende Satze: 1. Ein Gesetz, welches in einer wohlgeordneten Species F eine konstruktive Enterspecies F' bestimmt, und jeder schon bestimmten konstruktiven Unterspecies Fy^ entweder die Hemmung des Prozesses, oder eine in F vor F^ liegende konstruktive Unterspecies F^H^ zuordnet, bestimmt sicher eine endliche Zahl n und eine zugehörige konstruktive Unterspecies Fn), welcher es die Eemmung des Prozesses zuordnet. Insbesondere gilt diese Eigenschaft, wenn jedes F^ ein Element von F ist, und hieraus folgern wir unmittelbar die Unmöglichkeit, jedem Elemente von F unter Erhaltung der ordnenden Relationen ein verschiedenes Element eines echten Abschnittes Fx von F zuzuordnen. 2. Jede wohlgeordnete Species ist zahlbar. Mithin ist die Species derjenigen Ziffernkomplexe, welche als Indizeskomplex eines als konstruktive Unterspecies aufgefassten Elementes auftreten, eine Menge, sodass zu jeder wohlgeordneten Species ein£ zahlbare geordnete Menge von endlichen Ziffernkomplexen gehort, welche die Eigenschaft besitzt, dass jedes Gesetz, welches in ihr einen Ziffernkomplex z' bestimmt, und jedem schon bestimmten Ziffernkomplex z(") entioeder die Eemmung des Prozesses, oder einen vor z(") liegenden Ziffernkomplex z(v+i) zuordnet, sicher eine endliche Zahl n und einen zugehörigen Ziffernkomplex z{n), dem die Hemmung des Prozesses zugeordnet• ist, bestimmt. \ Wenn die wohlgeordnete Species F' einem echten Abschnitt der wohlgeordneten Species F" ahnlich ist, so schreiben wir F' F', und sagen, dass F" grösser ist als F', und dass F' kleiner ist als F". Schreiben wir noch F' = F", wenn F' und F" ahnlich sind, und F' < F" oder F" > F', wenn F' einem Abschnitte vón F" ahnlich ist, so gehangen wir, indem wir die Folgerung des obigen Satzes l berücksichtigen, sofort zu den folgenden Eigenschaften: 1. Die Relationen F' < F'' und F' > F'1 schliessen einander aus. 2. Aus F' F" -f G" aus. 6. Die Relationen F' < F" und G' F" -j- G" aus. . Wenn jedem Elemente der wohlgeordneten Species F' ein verschiedenes Element eines echten Abschnittes der wohlgeordneten  LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DRITTEN. 31 Species F'' unter Erhaltung der ordnenden Relationen zugeordnet ist, so schreiben wir F' < F" oder Fv > F', und sagen, dass F" unbestimmt grösser ist als F' und dass F' unbestimmt kleiner ist als F". Schreiben wir noch F' < F" oder' F'> F', wenn jedem Elemente von F' unter Erhaltung der ordnenden Relationen ein verschiedenes Element von F" zugeordnet ist, so gelten folgende Eigenschaften: 1. Die Relationen F' < F" und F' > F" schliessen einander aus. 2. Jus F'.co besitzt. Dies wird erreicht, wenn bei jeder Anwendung der zweiten erzeugenden Operation F= Fx -\- F 4-. . . die betreffende Fundamentalreihe in bezug auf den \rsten%Bereich vollstdndig induzierbar ist, d.h. enten» entweder eine Fundamentalreihe h, v2,... existiert, für welche aF^ aF^,... nicht fortfallen, oder ein solches nx angegeben werden kann, dass aF für m > n± fortfallt, zweitens im letzteren Falie entweder eine Fundamentalreihe mi> m2'- ■ ■ (»*» »i) existiert, für welche rFm , rF .... nicht fortfallen, oder ein solches n2 angegeben werden kann, dass rF für in > n2 fortfallt. Eine wohlgeordnete Species a. heisst unbestimmt induziert in bezug auf den ersten Bereich, wenn sie selbst, sowie ihre konstruktiven Unterspecies beliebiger Ordnung, sich in der Fqrm ua -f- 0et darstellen lasst, wo ox eine Ordinalzahl des ersten Bereichs besitzt, wahrend u„ entweder fortfallt, oder jedes ihrer echten Endsegmenté  32 BEGRÜNDUNG DER MENGENLEHRE UNABHANGIG VOM eine Ordinalzahl > cc besitzt. Dies wird erreicht, wenn bei jeder Anwendung der zweiten erzeugenden Operation F = Fx -f- F2 ~\~ ■ ■ • die betreffende Fundamentalreihe in bezug auf den ersten Bereich unbestimmt induzierbar ist, d.h. entweder eine Fundamentalreihe px, p2,. . . existiert, für welche Fpu Fp2,... nicht fortfallen, oder ein solches n angegeben werden kann, dass Fm für m > n fortfallt. Bezeichnen wir diejenigen wohlgeordneten Species welche bei Zulassung als Urspecies nur von Species mit einem einzigen Element, nicht von Species ohne El'ement, erzeugt werden, als vollstandige wohlgeordnete Species, und ihre Ordinalzahlen als vollstandige wohlgeordnete Ordinalzahlen, so sind alle vollstdndigen wohlgeordneten Species unbestimmt induziert in bezug auf den ersten Bereich. Die vollstandigen wohlgeordneten Species k sind offenbar entweder endlich oder abzahlbar unendlich und besitzen folgende weitere Eigenschaften : 1. Es existiert entweder ein letztes Element, oder eine solche steigende Fundamentalreihe von Elementen ex, e2,. ■ ., dass zu jedem Elemente e von k ein nach e liegendes Element e» bestimmt werden kann. 2. Jeder echte Best von k besitzt éin erstes Element. 3. Jedes Element e von x, mit Ausnahme des ersten, besitzt entweder ein unmittelbar vorhergehendes Element oder"ist Grenzelernent einer steigenden' Fundamentalreihe von Elementen von k. Schreiben wir namlich k = ae -f- re, wo re derjenige Rest von k ist, welcher e als erstes Element besitzt, so ist Satz 3 eine unmittelbare Folge des auf ae angewandten Satzes 1. 4. Jedes Element von k, mit Ausnahme des letzten, falls ein solches existiert, besitzt ein nachstfolgendes Element, .wie am' einfachsten mittels der induktiven Methode eingesehen wird. 5. Eie Species derjenigen wohlgeordneten Ordinalzahlen, welche kleiner sind als eine gegebene vollstandige wohlgeordnete Ordinalzahl /3, besitzt (wenn sie nach der Grosse ihrer Elemente geordnet und 0 mit hinzugerechnet wird) die Ordinalzahl /3. Zwischen den Elementen und den echten Abschnitten einer wohlgeordneten Species der Ordinalzahl jS besteht namlich eine solche eineindeutige Beziehung, dass, wenn das Element e2 nach-dem Elemente ex liegt, der Abschnitt ae2 grösser als" der Abschnitt ae ist. Die wohlgeordneten Ordinalzahlen des ersten Bereichs mit Ausnahme von 0 sind offenbar kondensiert und vollstandig, und je zwei von ihnen sind vergleichbar, d.h. sie sind entweder einander gleich oder eine von ihnen ist grösser als die andere. Die Summe  LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DBITTEN. 33 oder das Produkt einer endlichen Zahl von Ordinalzahlen des ersten Bereichs ist, wiederum eine Ordinalzahl des ersten Bereichs. Die Summe einer Fundamentalreihe von Ordinalzahlen des ersten Bereichs zst, wenn sie in bezug auf den ersten Bereich vollstdndig, induzierbarist, entweder co oder wiederum eine Ordinalzahl des ersten Bereichs. Unter einer wohlgeordneten Ordinalzahl des zweiten Bereichs vom Grade Null verstehen wir eine wohlgeordnete Ordinalzahl des ersten Bereichs. Unter emer wohlgeordneten Ordinalzahl des zweilen Bereichs vom Grade p (p eine nicht verschwindende endliche Ordinalzahl) verstehen wir eine Zahl |Mf> ü3"1- ai + tó"=- «2 +■ • • + <"P". an, wo jedes p¥ eine wohlgeordnete Ordinalzahl des ersten Bereichs jedes av eine nicht verschwindende endliche Ordinalzahl und p der Maximalwert der pv ist. Alsdann dürfen wir annehmen, dass jedes P*+i wM besitzt. Dies wird erreicht, wenn bei jeder Anwendung der zweiten erzeugenden Operation F = Fx -f- F2 -\~ ■ . ■ die betreffende Fundamentalreihe in bezug auf den zweiten Bereich vollstdndig induzierbar ist, d.h. erstens entweder eine solche Fundamentalreihe v,, v„,... existiert, dass aJ , aJ ,.. . nicht fortfallen, oder 1' 2' ?1 . ' "2 ein solches n angegeben werden kann, t dass aF'm für m >> n fortfallt, zweitens im letzteren Falie die Fundamentalreihe der Ordinalzahlen von rF' , rJ .... vollstandig induzierbar in bezug auf * n+l r n+2' ° ° den zweiten Bereich ist. Unter einer unbestimmten wohlgeordneten Ordinalzahl des zweiten Bereichs vom Grade Null verstehen wir eine wohlgeordnete Ordinalzahl des ersten Bereichs. Unter einer unbestimmten wohlgeordneten Ordinalzahl des zweiten Bereichs vom Grade p (p eine nicht verschwindende endliche Ordinalzahl) verstehen wir eine wohlgeordnete Ordinalzahl > up, aber < cop+i. Die Summe von zwei unbestimmten wohlgeordneten Ordinalzahlen ft vom Grade px und ft vom Grade p2 ist offenbar eine unbestimmte wohlgeordnete Ordinalzahl, deren Grad gleich der grosseren der Zahlen px .und p2 ist. Eine Fundamentalreihe ft, ft,... von unbestimmten Ordinalzahlen des zweiten Bereichs heisst unbestimmt induzierbar in bezug auf den zweiten Bereich, wenn entweder jedes ft vom Grade 0, und die betreffende Fundamentalreihe in bezug auf den ersten Bereich unbestimmt induzierbar ist, oder ein solches n angegeben werden kann, dass für m ^> n der Grad von ft, kleiner als der Grad von ft ist, oder aber eine Fundamentalreihe ft1( ft2,. . . mit nicht verschwindenden Graden existiert, für welche die Grade entweder unbeschrankt wachsen, oder einander gleich sind, wahrend für m zwischen vn und vn+i der Grad von ft„ kleiner ist als der Grad von ft . Die Summe einer in bezug auf den zweiten Bereich unbestimmt induzierbaren Fundamentalreihe von unbestimmten Ordinalzahlen des zweiten Bereichs ist entweder > cca oder wiederum eine unbestimmte Ordinalzahl des zweiten Bereichs. Eine wohlgeordnete Species oc heisst unbestimmt induziert in bezug auf den zweiten Bereich, wenn sie selbst, sowie ihre konstruktiven Unterspecies beliebiger Ordnung, sich in die Form uj -\-oJ bringen lasst, wo ox' eine unbestimmte Ordinalzahl des zweiten Bereichs besitzt, wahrend uj entweder fortfallt, oder jedes ihrer echten Endsegmenté eine Ordinalzahl > besitzt. Dies wird erreicht, wenn bei jeder Anwendung der zweiten erzeugenden Operation  LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DRITTEN. 35 F— *t*T F2 ~h- • • die betreffende Fundamentalreihe in bezug auf den eweiten Bereich unbestimmt induzierbar ist, d.h. entweder eine Fundamentalreihe o/^, • • •, deren Ordinalzahlen unbeschrankt wachsende Grade besitzen oder eine Fundamentalreihe uF' , uF welche nicht fortfallen, existiert, oder ein solches n angegeben werden kann, dass uF'm für m > n fortfallt, wahrend die Fundamentalreihe der Ordinalzahlen von oF'n+i, oF'n+2,. . . unbestimmt induzierbar in bezug auf den zweiten Bereich ist. Unter den wohlgeordneten Ordinalzahlen des dritten Bereichs vom Bange Null verstehen wir die wohlgeordneten Ordinalzahlen des zweiten Bereichs. Unter den wohlgeordneten Ordinalzahlen des dritten Bereichs vom Bange 1 verstehen wir die Zahlen ax -f. . ;-|- «p». an, wo n und die av nicht verschwindende endliche Ordinalzahlen sind und die ^ wohlgeordnete Ordinalzahlen des zweiten Bereichs, deren Maximalgrad nicht verschwindet. Unter den wohlgeordneten Ordinalzahlen des dritten Bereichs vom Bange n-\~ 1 verstehen wir die Zahlen o>pi. ax -f. . . -f cop«. an, wo n und die av nicht verschwindende endliche Ordinalzahlen" sind und die pv wohlgeordnete Ordinalzahlen des dritten Bereichs vom Maximalrange n. Die wohlgeordneten Ordinalzahlen des dritten Bereichs mit Ausnahme von ü sind offenbar kondenslert und vollstandig. Weiter gelten folgende Eigenschaften, von denen die zweite eine unmittelbare Folge der ersten ist: 1. Je zwei Ordinalzahlen des dritten Bereichs sind vergleichbar. 2. Bei der Ordinalzahl .:ay-\~. . r 4- an dar/man annehmen, dass jedes pv+i < pv ist. Diese Satze begründen wir, indem wir den ersten für Zahlen, deren Rang < n ist, mithin den zweiten für Zahlen, deren Rang < n ist, als bewiesen annehmen, und hieraus die Gültigkeit des ersten für Zahlen, deren Rang < n ist, folgern. Nennen wir namlich den h-ten Exponent ph das (2h—l)-te Bestimmungselement und den 7^-ten Koeffizient ah das 2/5-te Bestimmungselement, so wird unter den angegebenen Voraussetzungen von zwei Zahlen, deren Rang < n ist, diejenige als die grössere erkannt, von der das erste Bestimmungselement, das nicht für beide Zahlen gleich ist, das grössere ist. Sei rn eine Zahl rc-ten Ranges. Es gibt eine solche Zahl (*— l)-ten  36 BEGRÜNDUNG DER MENGENLEHRE UNABHANGIG VOM Ranges sn_t, dass ai'*»-1 < rn ^"-2+1: Indem wir in dieser Weise fortfahren, • gelangen wir schliesslich zur Formel ccm.a ccm. (a 4- 1)' >' (« -4- I Buchstaben cc) < f„ < ccu' (n -f- 1 Buchstaben cd), wo ?h und a gewisse nicht verschwindende endliche Ordinalzahlen, welche der Grad und der Koeffizient von rn genannt werden, sind. Die Summe einer endlichen Zahl von Ordinalzahlen des dritten Bereichs ist wiederum eine Ordinalzahl des dritten Bereichs. Es seien 2 ccVv. av und ccp, wo weder ax noch/? verschwindet, zwei Zahlen des dritten Bereichs. Indem wir an der Hand dér Konstruktion von p mittels der beiden erzeugenden Operationen die induktive Methode anwenden, zeigen wir, dass ccp sich-mittels deibeiden erzeugenden Operationen aus Urzahlen cc herstellen lasst. An der Hand dieser Konstruktion von ccp können wir nun die Formel [ 2 aip". «„]. cc" = ccpi. cc" v=l mittels der induktiven Methode bewéisen, und zwar auf Grund der ïatsachen, dass [ 2 ccp". a„\. cc = ccpi. cc; v=l dass für fl =■■ ft ~\- ft auf Grund der ersten erzeugenden Operaration , aus [Eccp". «J. ft = &)"i. ft und [ 2 ccp\ «„]. ft = 6J"i. ft . v=l y=l folgt [ 2 w"". ay]. fl = u»i. fl; v=l und dass für /3 = 2 ft^ auf Grund der zweiten erzeugenden Operation, aus  LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DE1TTEN. 37 [ 2 aj. ft = a,Pi. ft für jedes li folgt [2«'\a»]. /3 = «n.ft Es seien £und 2^. fcggitë wo & g| und die fci nicht verschwinden, zwei-Zahlen des dritten Bereichs. Alsdann ist das Produkt n m ' [ «„]. [ 2 ^ + om+1] = 2 [ SVW. «„]. «v. ^ _i_ +[ sv\ «j. bm+l = 2 ^ -f «; (öl +1 u* flv. '<=t v=2 Mtfj» /Voofe^ ro» zwei, also auch einer beliebigen end¬ lichen Zahl von Ordinalzahlen des dritten Bereichs toiederum eine Ordinalzahl des dritten Bereichs. Insbesondere ist, wenn px nicht verschwindet, [ 2 flJ eine i/=i Zahl des dritten Bereichs mit dem ersten Glied cf» -\ ^-[2 fl/f eine Zahl des dritten Bereichs mit dein ersten Glied [ 2 «pv. flyj» rm eine beliebige nicht verschwindende endliche Ordinalzahl) eine Zahl des dritten Bereichs mit dem ersten Glied «pi-m.av Mithin ist[ 2 «"v. aj- = £[£ o»]" = 2 «"i-f. « = •«. Auf Grund dieser Eigenschaft können wir, wenn «», wojo nicht verschwindet, eine Zahl des drittén Bereichs ist, an der Hand einer Konstruktion von «* mittels der beiden erzeugenden Operationen aus TJrzahlen cc, die Formel v=l mittels der induktiven Methode herlèiten. Sei nun^2«^.o, + 0mil, wo die q, und bm+1 nicht verschwinden, eine weitere Zahl'des dritten Bereichs, so ist  38 BEGRÜNDUNG' DER MENGENLEHRE UNABHANGIG VOM [ S cop". ay]f=* = [ 2 oip'. av]f=1 . [ 2 wp". aj m+1 = = cc t*=l .[ZccPv. av] m+1, welcher Ausdruck als Produkt von zwei Zahlen des dritten Bereichs wiederum eine Zahl des dritten Bereichs ist. Also gilt folgender Satz: Eine Potenz, deren Argument und Exponent zum dritten Bereich gehören, ist ebenfalls eine Zahl des dritten Bereichs. Eine Fundamentalreihe ft, ft,... von Ordinalzahlen des dritten Bereichs vom Range 0 heisst vollstandig induzierbar in bezug auf den O-ten Bang, wenn sie vollstandig induzierbar in bezug auf den zweiten Bereich ist. Eine Fundamentalreihe ft, ft,. . . von Ordinalzahlen des dritten Bereichs, deren Maximalrang p nicht übersteigt, heisst vollstdndig induzierbar in bezug auf den p-ten Bang, wenn erstens eine solche steigende Fundamentalreihe vx, v2,. . . existiert, dass die Exponenten ftv > ftv,, ■ • . der Anfangsglieder von ftt, ft0,. . . entweder bestandig wachsen, oder einander gleich sind, wahrend für m zwischen vn und i/n+1 die Exponenten von ftn kleiner sind als ftvn+t. zweitens im ersteren Falie die Fundamentalreihe ft", ft",. . . (in der jedes ft,"/= ftV)i — fi'vn_i> wahrend ft" == ftVl) vollstandig induzierbar in bezug auf den (p—l)-ten Rang ist, drittens, falls alle ft zum ersten Bereich gehören, die Fundamentalreihe ft, ft1+t,... vollstandig induzierbar in bezug auf den ersten Bereich ist. Eine Fundamentalreihe ft, ft,... von Ordinalzahlen des dritten Bereichs heisst vollstdndig induzierbar in bezug auf den dritten Bereich, wenn erstens eine solche steigende Fundamentalreihe vx, i/2,. . . existiert, dass die Range von'ft, ft,,... entweder bestandig wachsen oder alle gleichp sind, wahrend für m zwischen vn und vll+l der Rang von ft„ kleiner ist als der Rang von ftn+1» zweitens im letzteren Falie die Fundamentalreihe ft^, ft2,. . . vollstandig induzierbar in bezug auf den />ten Rang ist. Die Summe einer in bezug auf den dritten Bereich vollstandig induzierbaren Fundamentalreihe von Ordinalzahlen des dritten Bereichs ist entweder e = cc -j- cc" ~\- cc"" -(-..., oder unederum eine Ordinalzahl des dritten Bereichs. Jeder Abschnitt einer Ordinalzahl (2 des dritten Bereichs ist wiederum  LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DEITTEN. 39 eine Ordinalzahl des dritten Bereichs (Gilt namlich innerhalb des dritten Bereichs der Satz für ft und ft, so gilt er, falls & = &i + ft auf Grund der ersten erzeugenden Operation, ebenfalls für ft und gilt der Satz für jedes -ft, so gilt er, falls /3 =Sft auf Grund der zweiten erzeugenden Operation, ebenfalls für ft. Mithin ist der dritte ebenso wie der erste und zweite Bereich wohlgeordneter Ordinalzahlen ununterbrochen. Eine wohlgeordnete Species ct heisst vollstandig induziert in bezug auf den dritten Bereich, wenn sie selbst, sowie ihre konstruktiven 'Unterspecies beliebiger Ordnung, sich in die Form ax" -f rj' bringen lasst, wo rx" eine Ordinalzahl des dritten Bereichs besitzt, wahrend a"a entweder fortfallt, oder jedes ihrer echten Endsegmenté eine Ordinalzahl > e besitzt. Dies wird erreicht, wenn bei jeder Anwendung der zweiten erzeugenden Operation F = F1 -f- F 4_. . . die betreffende Fundamentalreihe in bezug auf den dritten Bereich vollstandig induzierbar ist, d.h. erstens entweder eine solche Fundamentalreihe vx, v2,. . . existiert, dass d'F^, a"Fv nicht fortfallen, oder ein solches n angegeben werden kann, dass a"Fm für m > n fortfallt, zweitens im letzteren Falie die Fundamentalreihe der Ordinalzahlen von r"Fn+t, rVn+2,... vollstandig induzierbar in bezug auf den dritten Bereich ist. Unter einer unbestimmten wohlgeordneten Ordinalzahl des dritten Bereichs vom Bange Null und vom Grade m verstehen wir eine unbestimmte wohlgeordnete Ordinalzahl des zweiten Bereichs vom Grade m. -Unter einer unbestimmten wohlgeordneten Ordinalzahl des dritten Bereichs vom Bange p und vom Grade m (p und m nicht verschwindende endliche Ordinalzahlen) verstehen wir eine wohlgeordnete Ordinalzahl, welche gleichzeitig >u' (p-\-l Buchstaben u) undi+ 1 Buchstaben cc) und «' ' (p2 _j_ 1 Buchstaben co) zu entnehmen sind. Eine Fundamentalreihe ft, ft,... von unbestimmten Ordinalzahlen des dritten Bereichs, welche alle den (nicht verschwindenden)  40 BEGRÜNDUNG DER MENGENLEHRE UNABHANGIG VOM Rang p und dén Grad m besitzen, heisst unbestimmt induzierbar in bezug auf den dritten Bereich, wenn entweder eine solche endliche Ordinalzahl h existiert, dass jedes /3„ um. h < co- (p -f- 1 Buchstaben co) ist, oder, eine solche Fundamentalreihe /3Vp /3„2,. . . und eine solche Fundamentalreihe hx, h2,. . . von unbeschrankt wachsenden endlichen Ordinalzahlen definiert werden können, dass /3„n für jedes n co"1. hn > co' (p -j- 1 Buchstaben co) ist. Eine Fundamentalreihe /31( /32,. . . von unbestimmten Ordinalzahlen des dritten Bereichs (wo. /3„ den Rang pv und den Grad ?«„ besitzt) heisst unbestimmt induzierbar in bezug auf den dritten Bereich, wenn entweder jedes /3„ vom Range 0, und die betreffende Fundamentalreihe in bezug auf den zweiten Bereich unbestimmt induzierbar ist, oder ein solches n angegeben werden kann, dass für m >■ n der Rang, oder bei gleichem Rang der Grad, von /3m kleiner als der Rang bzw. Grad von /3„ ist, oder aber eine solche Fundamentalreihe (3n, /3„0,. . . mit nicht verschwindenden Rangen existiert, dass für m zwischen vn und vn+l der Rang oder bei gleichem Range der Grad von /3m kleiner ist als der Rang bzw. Grad von /3„ , dass von den /3„ entweder die Range unbeschrankt wachsen, oder die Range einander gleich sind und die Grade unbeschrankt wachsen, oder sowohl die Range wie die Grade einander gleich sind, und dass im letzten Falie die Fundamentalreihe der (2Vr unbestimmt induzierbar in bezug auf den dritten Bereich ist. Die Summe einer in bezug auf den dritten Bereich unbestimmt induzierbaren Fundamentalreihe von unbestimmten Ordinalzahlen des dritten Bereiclis ist entweder > e oder wiederum eine unbestimmte Ordinalzahl des dritten Bereichs. Eine wohlgeordnete Species cc heisst unbestimmt induziert in bezug auf den dritten Bereich, wenn sie selbst, sowie ihre konstruktiven Unterspecies beliebiger Ordnung, sich in die Form u„-\- od' bringen lasst, wo oa" eine unbestimmte Ordinalzahl des dritten Bereichs besitzt, wahrend u„ entweder fortfallt, oder jedes ihrer echten •Endsegmenté eine Ordinalzahl > e besitzt. Dies wird erreicht, wenn bei jeder Anwendung der zweiten erzeugenden Operation F = Fx -4- F2 -j-. . . die betreffende Fundamentalreihe in bezug auf den dritten Bereich unbestimmt induzierbar ist, d.h. entweder eine Fundamentalreihe o"Fy , o"Fv ,. . ., deren Ordinalzahlen unbeschrankt  LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DEITTEN. 41 wachsende Range besitzen oder eine Fundamentalreihe u"F ,u"F welche nic/a fortfallen, existiert, oder ein solches"» angegeben werden kann, dass u"Fm für m>n fortfallt, wahrend die Fundamentalreihe der Ordinalzahlen von o"Fn+i, o"F„+2,... unbestimmt induzierbar in bezug auf den dritten Bereich ist. Im vorigen haben wir gesehen, wie zur endlichen Bezeichnung von wohlgeordneten Ordinalzahlen zweierlei Elementarsymbole benutzt werden, namlich ZaUsymbole, welche je eine bestimmte wohlgeordnete Ordinalzahl reprasentieren, und Verhmpfimgssymbole, welche je eine aus einer beliebig vorgegebenen endlichen Gruppe von wohlgeordneten Ordinalzahlen eine neue wohlgeordnete Ordinalzahl herleitende Methode reprasentieren. Zur Bezeichnung der Zahlen des ersten Bereichs genügten dabei das Zahlsymbol 1 und das Verknüpfungssymbol der Addition; zur Bezeichnung der Zahlen des zweiten Bereichs kamen das Zahlsymbol » und das Verknüpfungssymbol der Multiplikation hinzu, wahrend die weitere Hinzunahme des Verknüpfungssymbols der Potenzierung die Bezeichnung der Zahlen des dritten Bereichs erlaubte. Sodann eröffnete das Zahlsymbol e die Möghchkeit der Bezeichnung auch über den dritten Bereich hinausgehender, jedoch unterhalb e, = Z£-'\v Buchstaben e) liegen- i/=i der wohlgeordneten- Ordinalzahlen. Indem wir auf den Aufbau systematischer Theorien von über den dritten Bereich hinausgehenden Zahlbereichen verzichten, beschranken wir uns nunmehr darauf, ein Beispiel eines Verknüpfungssymbols anzugeben, welches die Bezeichnung von Zahlen grösser als ei: erlaubt, Wenn cc eine kondensierte und [3 eine willkürliche wohlgeordnete Ordinalzahl ist, so definiëren wir das Symbol (*, ft durch die folgenden Festsetzungen: [cc, 0) = «; [cc, l.)/-^; wenn [cc, ft für jedes kondensierte cc als kondensierte wohlgeordnete Ordinalzahl definiert ist, und überdies die Differenz [cc, ft —cc existiert, so ist f t \ 7 h' ® ' *' ' = ^ ® + ^ 0 * 0«. 0}M ], sodass aucli |*,./3+l| fur jedes kondensierte cc als kondensierte wohlgeordnete Ordinalzahl definiert ist, und überdies die Differenz [*, (3 -f lj — cc' existiert; wenn f3 = (31 -f f32 .auf Grund der ersten erzeugenden Operation und sowohl \cc, ftj wie \cc f3 I für j'edes kondensierte cc als kondensierte wohlgeordnete Ordinalzahlen definiert ist, und überdies die Differenzen [cc, fa] — cc und \cc (3 j —x existieren, so ist [cc, f3\ = ft), ft] = \x, ft] + [jk ftj, | , __ ~~ ftU' sodass auch |«, f3) für jedes kondensierte cc als  42 BEGRÜNDUNG DER MENGENLEHRE UNABHANGIG VOM kondensierte wohlgeordnete Ordinalzahl definiert ist, und überdies die Differenz [x, f3\— x existiert; wenn (3 = S ft auf Grund tier !/=l zweiten erzeugenden Operation und {«, ft| für jedes v und jedes kondensierte x als kondensierte wohlgeordnete Ordinalzahl definiert ist, Yind überdies die Differenz \x, ft] — auch wenn ft und ft' keine konstruktiven Unterzahlen von f3 sind, und sodann weiter dass, für f3 = S ft"\ (*, ft = |«, ft) + [k (ft + /3")) - - («, ft]J + [k C/3' +~/3" + ft")] — k (r3' + /3")j] auch wenn die ftn) keine konstruktiven Unterzahlen von (3 sind, und hieraus folgert man wieder, dass die Konstruktion von \x, ft ««/ wom verschiedenen Erzeugungsarten von f3 zu gleichen wohlgeordneten Ordinalzahlen führt. Auch zeigt man, mittels der induktiven Methode an der Hand der erzeugenden Operationen von (3, leicht, dass für ein bestimmtes f3 und ein willkürliches kondensiertes x, die Konstruktion von k ft auf Grund von verschiedenen Erzeugungsarten von x zu gleichen wohlgeordneten Ordinalzahlen führt. Wie weit man inzwischen die Eiriführung neuer Eleméntarsymbole zur Bezeichnung wohlgeordneter Ordinalzahlen auch fortsetzt, so lasst sich doch die Species der eingeführten Symbole in jedem Stadium als endlich betrachten, weil jede Definition einer Fundamentalreihe a\, a, aber a nicht > v ist. Mithin gilt die Formel v > a, d.h. V ist von grösserem Gewicht als A.   direkte Analysis zur neueren Relatiyitatstheorie VON J. A. SCHOUTEN. Verhandelingen der Koninklijke Akademie Yan Wetenschappen le Amsterdam. (EERSTE SECTIE). DEEL XII. N°. 6. AMSTERDAM, JOH ANNE S MULLER. 1918.  EiSS  Diö direkte Analysis zur neueren Relativitatstheorie. EINLETTUNG. Die meisten Autoren, die sich mit der einfachen Relativitatstheorie befassten, haben das Bedürfnisz vgefühlt die Rechnung mit Koordinaten auch auf diesem Gebiete durch eine direkte Analysis zu ersetzen. Bekanntlich verwendete Minkowski x) dazu die CAYLEY'sche Matrizenrechnung, und haben nach ihin Abraham2), Sommerfelü 3), Frank4), und Laue5) nach Analogie der gewöhnlichen Vektoranalysis eine Anzahl Bezeichnungen geschaffen, deren Gesamtheit als vierdimensionale Vektoranalysis bekannt ist. Wilson und Lewis6) haben diese Bezeichnungen weiter ausgearbeitet und vervollstandigt. jahnke7).bat eine kurze übersichtliche Darstellung gegeben, welche auch die Beziehung"en zur Grassmann'schen Ausdehnungslehrebeleuchtet. Waelsch8) ist einen anderen Weg gegangen. Seine Binaranalyse verbiudet die binaren Formen mit den HAMii/roN'schen Quaternionen und mit den Kugelfunktionen des vierdimensionalen Raumes, und er gewinnt in dieser Weise ein System, dessen Rechenregeln aus den Syzygieen der binaren Invariantentheorie erhalten werden können. 9) Für die allgemeine Relativitatstheorie, bei welcher Kovarianz bei behebigen Transformationen gefordert wird, ging man nun wieder zur Koordinatenmethode zurück, und es wïirde zunachst nicht versucht auch hier eine direkte Analysis zu begründen.10) Zwar haben sich Einstein und Grossmann vom Anfang an einer vektoranalytischen ') 08.1. *) ') 10.1. ') 10.2. 4) 11.1. • 5) H.2. ") 10.3, 12.1. ') 17.6. 8) 13.1, 16.5, 16.6. ) Vgl. 16.9, ein Verzeichnisz der Aroeiten von Waei.sch über Binaranalyse findet sich zum Teil dort, zum Teil 14.2. ") Vgl. S. 52 und 53. *) Die Zahlen beziehen sich auf das am Schlusz beflndliclie Litteraturverzeichnisz. F 1*  4 DIE DIREKTE ANALYSIS ZUR NEUEREN Terminologie bedient, bei der Rechnung verwenden sie aber den absoluten Differëntialkalkül von Ricci und Levi Civita; und dieser Kalkül kann bekanntlicb nur mit den Bestimmungszahlen rechnen, wenn auch in einer abgekürzten Weise, nicht aber mit den Gröszen selbst. Da nun eine Grösze sowohl kovariante als kontravariante Bestimmungszahlen hat und dazu noch oft die mit V-g multiplizierten Bestimmungszahlen verwendet werden (Volumtensoren), eine und die selbe Grösze also in vier verschiedenen Formen auftreten kann, wird die Rechnufig oft so kompliziert, dasz die allgemeine Relativitatstheorie der einfachen gegenüber als besonders schwer mathematisch zu bewaltigen erscheint. Diesem Uebelstande tritt bei den verschiedenen Autoren stets mehr das Bestreben entgegen die Resultate der Rechnung möglichst in kovarianter Fórm zu bringen, und es ist hier insbesondere eine Arbeit von Fokker *) zu erwahnen. Die logische Fortbildung dieses Bestrebens ist die Verwendung einer direkten Analysis, da diese überhaupt nur die kovariante Form kennt. Zwar ist es eine verkehrte Ulusion die Koordinatenrechnung stets und überall durch eine direkte Rechnung ersetzen zu wollen, eine gute direkte Analysis kann aber in manchen Fallen die Rechnung befreien von Komplikationen, die nicht der Sache selbst anhaften, und die Resultate in eine Form bringen, welche die Theorie dem Verstandnisz und der Vorstellung weitsrer Kreise zuganglich macht. Besonders ware dies von einer direkten Analysis zu erwarten, welcher es gelange die kovariante Differentiation, die sich bisher nur mit der ziemlich umstandlichen CHRisTOFFEi/schen Symbolik bewaltigen liesz, in einer einfacheren Weise dar zu stellen. J. B. Shaw2) und F. Jüng 3) sind schon in dieser Richtung tatig gewesen.a) Nun liegt die Schwierigkeit bei der Bildung einer direkten Analysis nicht bei den 'Multiplikationen, die sich leicht definiëren lassen, sondern gerade bei der Differentiation. Diese Schwierigkeit kann aber vollstandig beseitigt werden N durch Einführung der Begriffe: „geodatisch mitbewegtes Koordinatensgstem" und „Produkt idealer Vektoren". Das kovariante oder kogrediente Differential ist eben nichts anderes als ein Differential in Bezug auf ein solches mitbewegtes Koordinatensystem, und wenn der Fundamentaltensor als ideales Vektorquadrat geschrieben wird, laszt sich dieses Differential sehr einfach in einer Vektorformel angeben. Der Operatorkern V erhalt • dann eine neue Bedeutug, behalt aber in dieser a) Vgl. S. 52 und 53.. 71) 17. 2. ') 13. 3. ') 17. 8, 18. 4.  RELATIVITATSTHEORIE. 5 neuen Bedeutung samtliche Eigenschaften des alten v, insbesondere die algebraische Vektoreigenschaft, mit der einzigen Ausnahme, dasz das vektoiïsche Produkt von V mit sich selbst, v/V, nicht mehr stets identisch Null ist. Wird V mit dieser erweiterten Bedeutung eingeführt, so entsteht die gewünschte Analysis,. die für viele Falie Vereinfachung der Rechnung herbeiführt. Die Ableitung des RiEMANN-CHaisTOFMi/schen Tensors, welche bisher eine „wegen ihres Unifanges berüchtigte Rechnung" *) erforderte, gestaltet sich in einer Weise, die einfach und leicht geometrisch interpretierbar ist, wahrend die elektromagnetischen Feldgleichungen und die Impuls-Energiegleichungvder einfachen Relativitatstheorie ohne ihre Form zu andern unmittelbar für den allgemeinen Fall gültig werden. Die allgemeine Kovarianz wird also erreicht durch blozse Aenderung der Bedeutuno- von v. Ein besonderer Vorzug der direkten Methode dürfte sein, dasz die nicht invariante Grösze V—g nur bei Rechnungen, bei denen der Fundamentaltensor variiert wird,«^erwendet wird, und sónst weder bei der Rechnung noch in den Formeln auftritt. Auch die Ableitung der Gleichungen aus einem Variationsprinzip wird einfacher und übersichtlicher, wie an einigen Beispielen gezeigt werden soll. Die praktische Verwendung einer direkten Analysis, d. h. das wirkliche Rechnen mit derselben, ist nun, insbesondere' in den Differentiationsformeln, nur. möglich, wenn samtliche Umformungs-* regeln dem Rechner stets unmittelbar zu Gebote jstehen. In dieser Beziehung erfüllen die bestenenden Systeme die Anforderungen der Praxis nicht. °) Bei allen Autoren, auszer bei Waelsch, dem ja prinzipiell die Syzygieen der binaren Invariantentheorie zu Gebote stehen, fehlen Rechenregeln, bei allen aber treten sie in einer solchen Form auf, dasz das Anschreiben aus dem Gedachtnisz ausgeschlossen und nur tabellarische Verwendung möglich ist. Es spil daher im ersten Abschnitte .zunachst das auf gruppentheoretischer Grundlage berechnete System 'R°icc angegeben werden, welches die bestehenden vierdimensionalen vektoranalytischen Systeme umfasst und a) Das Selbe gilt auch für die gewöhnliche Vektoranalysis. Samtliche v enthaltende Formeln, die in der Gnms'schen Form der Vektoranalysis jede für sich bewiesen werden, und dort lose nebeneinanderstehend nur tabeUarischen Gebrauch zulassen, können nicht nur mit Hülfe der allgemeinen Formel mit einem Schlage bewiesen werden, sondern lassen sich auch mit Hülfe einer Ueberschiebungsregel') aus dem Gedachtnisz sofort anschreiben, wenn diese Form ersetzt wird darch das auf gruppentheoretischer Grundlage berechnete System ü'3'. Erst dann erlangt die Vektoranalysis ihren vollen Wert fur das praktische Rechnen. *) Hessenberg, 17. 5. S. 190. ') 16. 8. S. 249, 17. 7. S. 575, 18. 1.  6 DIE DIREKTE ANALYSIS ZUR N EU EREN erganzt, und dessen Rechenregeln nach der Ueberschiebungsregel aus dem Gedachtnisz angeschrieben 'werden können.") Dieses System wird dann im zweiten Abschnitte der Behandlung der vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten mit beliebiger Maszbestimmung zugrunde gelegt. Als besondere Ergebnisse dieses Abschnittes treten hervor: 1°. der Beweis für die Gültigkeit der drei mit dem GAusz'schen und SïOKEs'schen Satz im BB korrespondierenden Integralsatze für vierdimensionale Mannigfaltigkeiten mit beliebiger Maszbestimmung. 2°. der Begriff des geodetisch bewegenden Bezugssystems, dessen Bewegungsmöglichkeiten die Mannigfaltigkeit, auch hinsichtlich der möglichen Einbettung in Mannigfaltigkeiten höherer Dimensionenzahl vollstandig bestimmen. 3°. die einfache Ableitung der geometrischen Bedeutung des 4 RiEMANN-CHRisTOFFEii'schen Affinors vierter Hauptordnung K und der für die Relativitatstheorie wichtigen Tensoren zweiter Hauptordnung K und G. Im dritten Abschnitte wird die entwickelte Methode angewandt auf die Variationsprobleme der neueren Relativitatstheorie. Durch Variation des elektromagnetischen Potentials entsteht das erste Maxw.ell'sche Gleichungssystem, und virtuelle Verrückung der •geladenen Materie ergiebt die mechanisch-electrische Bewegungsgleichung. Durch Variation des Gravitationspotentials wird die Feldgleichung der Gravitation gewonnen. Es ergiebt sich ein Zusammenhang zwischen der neuen EiNSTEiN'schen Konstante 'A und der Berüeksichtigung niehtincoharenter Massen. Die mechanisch-elektrischen Bewegungsgleichungen können durch Anwendung des Operators V * aus den Feldgleichungen der Gravitation gewonnen werden. Die zuerst von Hilbert hervorgehobene Abhangigkeit dieser Gleichungen dürfte darin ihren einfachsten mathematischen Ausdruck finden. * In dieser Arbeit werden, dem particularen Zwecke entsprechend, grundsatzlich nur vierdimensionale Mannigfaltigkeiten betrachtet. Die Methode ist aber selbstverstandlich auch für eine beliebige Dimensionenzahl n brauchbar. Es braucht dazu nur das System R°na> zugrunde gelegt zu werden. a) Der Wert der vielen ansgezeichneten Arbeiten anderer Autoren auf diesem Grebiet soll durch diese Beinerkungen natürlich in keiner Weise herabgedrückt werden. Die Erschaffung der invariantentheoretisch begründeten Systeme ist dem Verfasser überhaupt nur durch eingehende Beschaftigung mit diesen Arbeiten und Verarbeitung der in denselben niedergelegten Resultaten möglich geworden..  EELATIVITATSTHEOKIE. 7 I. DAS ZAHLENSYSTEM B°i)X DER ORTHOGONALEN GRUPPE IN VIER GRUNDVARIABLEN. Höhere Grossen und ihre Zahlensysteme. Unter einer Grösze verstehen wir mit F. Klein den Inbegriff einer Anzahl Bestimmungszahlen, die sich bei den Transformationen einer in gewissen Grundvariablen gegebenen Gruppe „in sich" transformieren, d. h. sich so transformieren, dasz bei einer Transformation die neuen Bestimmungszahlen rein als Funktionen der alten und der Parameter der Transformation ohne Verwendung irgend welcher fremder Parameter gegeben werden können. Eine Grösze hat also nur Bedeutung in Bezug auf ganz bestimmte Gruppen und kann bei anderen Gruppen als solche verschwinden. Die Orientierungsweise, d. h. die Transformationsweise der Bestimmungszahlen bei verschiedenen Gruppen ist das einzig wesentliche an einer Grösze, die geometrische Deutung, die in verschiedenen Weisen erfolgen kann, hat erst an zwei ter Stelle Bedeutung. Haben zwel Gröszen bei einer bestimmten Gruppe dieselbe Orientierungsweise, so sind sie in Bezug auf diese Gruppe gleichartig. Sind überdies die Bestimmungszahlen proportional und ist die Gruppe eine Untergruppe der lineareu homogenen, so sind die Gröszen bis auf einen Zahlenfaktor in Bezug auf diese Gruppe gleich. Auch die Gleichheit und Ungleichheit von Gröszen hangt also von dor zu Grunde gelegten Gruppe ^.b und kann bei verschieden Gruppen verschieden sein. Zu bestimmten Klassen von Gröszen gehören höhere komplexe Zahlensysteme, die sich, wenn die vorgelegte Gruppe gegeben ist, nach einem vom Verfasser in 1914 angegebenen Prinzip 1), in eindeutiger Weise berechnen lassen, und direkte Analysen bilden, mit deren Hülfe es möglich ist mit den Gröszen selbst ohne Verwendung irgend eines Bezugssystemes zu rechnen. An anderer Stelle 2) werden die Systeme berechnet für Lineargröszen bei der linearen homogenen Gruppe und fünf ihrer Untergruppen für eine beliebige Anzahl Grundvariablen. Von diesen Systemen bildet das zur orthogonalen Gruppe für vier Grundvariablen gehorige, R%, die Analysis der Lineargröszen der einfachen Relativitatstheorie. Es ist der Zweck dieser Arbeit diese Untersuchung auszudehnen auf höhere Gröszen und auf die allgemeinere Gruppe, welche der neueren Relativitatstheorie zu Gründe liegt. *) 14. 2. *) 18. h  8 ME DIREKTE ANALYSIS ZUR NEUEREN Die allgemeine, symmetrische und alternierende Multiplikation der orthogonalen Gruppe. Sind xfi, \x = a,. . .,d die Grundvariablen der linearen homogenen Gruppe: t o,...., = 2 *V geboren in der selben Weise konlravariaute Grundelemente ■ (4) ï'="sVe'/). Werden nur diejenige Transformationen der Gruppe betrachtet, welche die kwadratische Form: a,...,4 A ^ und folglich auch: a,...,4 A invariant lassen, so bilden diese für sich die orthogonale Gruppe, die selbstkontragredient ist, und bei der also der Unterschied zwischen kovarianten und kontravarianten Gröszen verschwindet. eA wird bei dieser Gruppe bis auf einen Zahlenfaktor gleich e^. Wir setzen diesen. Faktor einfachheitshalber gleich 1, und führen die Bezeichnung ein: (5) ij = ea = e'a, h = e6 = e;, 13 = ec = e'c, 14 — e,/ = 6(j- Wir legen die orthogonale Gruppe zu Grunde, deuten die Grundvariablen als nicht-homogene rechtwinklige Koordinaten und nennen ein Grundelement Vektor. Die orthogonale Gruppe enthalt dann alle Drehungen und Spiegelungen bei festgehaltenem Ursprung. a) Die Einheiten e selbst transformeren sich kontragredient, die Einheiten e' kogredient.  RELATIVITATSTHEORIE. < Für die Einheiten i verwenden wir lateinisehe allgetneine Indizes V j= | . . ., 4 Unter allgemeines Produkt o °) Von p Vektoren : p (6) y - y, O V2 O O Yp = Vj . .... rj verstehen wir die Grösze mit den 4" Bestimmungszalen: p (7) $ .v=yv, ,jp== 1,...,4. Die zugehörigen 4'J Einheiten sind (8) ^•■■■* = «v1 W-.-V Das Zeichen o wird, wo es nicht unbedingt erforderlich ist, unterdrückt. Jede Grösze v, die sich als Sünune von allgemeinen Produkten von ^ und nicht weniger als p Vektoren darstellen laszt heiszt Affinor, oder Grösze, p -ter Hauptordnung. Die einzelnen Produkte heiszen die Konstituanten von y"). Jede Grösze y kann als ein Produkt von p idealen Vektoren °) v, ,. . ., yp geschrieben werden, deren Bestimmungszahlen den Gleichungen: genügen Die p Faktoren in jeder Konstituante von y können in p' verschiedenen Reihenfolgen geschrieben werden. Sie bestimmen dann die p! Jsomere von V, Y selbst einbegriffen. Jedes Isomer kann mit Hülfe derselben idealen Vektorfaktoren dargestellt werden Unter symmetrisches Produkt w von V, v • Vi.^.Vp a) In 14.2 wurde für die aügemeine Multiplitation das Zeichen -o verwendet und o- 7.^1-te/erknüpfung: t o— tt = tv —o v. Einfackheitshalber ist hier O gewahlt. Fur die seltener vorkommende Umkehrung werde o- verwendet b) Bei E. Jung ') heiszen sie Polyaden. 0) Ideale Vektoren sind zuerst angewendet von Waelscu '). Ihre Bestimmungszahlen sind d,e Symbole der von Waelsci. und Weitzesdöck erweiterten Aronhold-Clebsch'schen Invanantentheone. Der Gebraurfi dieser Symbole beruht auf den 1913 von R. Weitekrböck '\ bewiesenen ersten Fundamentalsatz', nach welchem dieselben zur DarsteUung samtiicher rationaler Kovananten ausreichen, (Vgl. S. 28 und 31 Fuszn. &)). J) 17, 8. *) 06. 1, S. 259. ') 13.4. 9  10 DIE DIREKTE ANALYSIS ZUR NEÜEREN verstehen wir die Summe samtlicher Isomere von y dividiert durch/»/. Jede Grösze, die sich als Summe solcher Produkte von p und nicht weniger als p Faktoren schreiben laszt, ist eine symmetrische Grösze, oder Tensor, p-ter Hauptordnung, sie heiszt auch Grösze p-ten Hauptranges, und wird geschrieben p\. Unter allernierendes Produkt <"> von Tl3. . . ., v,,: verstehen wir die Summe samtlicher gerader (zu geraden Permutationen gehöriger) Isomere vermindert mit der Summe samtlicher ungerader Isomere, dividiert durch/?/. Eine Grösze, die in bestimmten Faktoren symmetrisch oder alternierend ist, heiszt stellenweise symmetrisch bez. alternierend. Jede Grösze, die sich als Summe solcher Produkte von p und nicht weniger Vektoren darstellen laszt, ist eine alternierende Grösze p-ter Hauptordnung, sie heiszt auchp-Vektor (Monovektor. oder kurz Vektor, Bivektor, etc.) oder Vektor p-ter Hauptstufe, und wird geschrieben pV. Offenbar ist p- • •> I>1 und den Rechenregeln: (l3) i*! X i2 =—h Xix=ii -i2 = ll2~1>2i =in !ff *}m~im^*m== 2 . 1234 . I234 = 1 !1'i.1 = 1.C) - i^ X "23 ="2sX—i4 Ji Xm — hXi^ii - iös ='i±.32i3 == i^s im ■ fë = — i« . fe^—iWt h i« =—in ii = i2 ii • ifflï = — fes • it = it * iasi = ii i2 i3 i4 = I ii X = X ii =fe . | * I = _ 1 * jjjj = i- |_ * ! = __ j *,_ = j ii2 X iü = isï X in = h « iu = I in * is = — fe * iü = iïa in • in = —1 in f I = I f iu = — i34 I'f I = 1 cycl. 1, 2, 3, 4J). Nicht angegebene Verknüpfungen sind Null. Das System enthalt fünf Gröszenarten, Vektoren, Bivektoren, ïrivectoren und die Skalare 1 und I, sowie vier Multiplikationen, die skalare., die vektorische X , dié erste mittlere ? und die zweite' mittlere * e). Die Multiplikation ?, a) Beispiel s. S. 17. 6; Die Ableitung der Systeme R° erfolgt 18.1. Vergl. auch 17.7. » Qt -1) c) In den Systemen i?°istl, . i, = (—1) 2 ^ vergl. 18. 1. d) Die Beifügung „cycl. 1, 2, 3, 4" bei einer Formel bedeutet, dasz die Elemente 1, 2, 3, 4, durch jede gerade Permutation (vgl. S. 10) ersetzt werden dürfen. e) Der Index 2 ist hier einfachheitshalber fortgelassen, vergl. 18. 1.  12 DIE DIREKTE ANALYSIS ZUR NEUEREN die nur vorkommt, wenn wenigstens ein Faktor ein Skalar ist, wird als identisch mit der gewöhnlichen algebraischen Multiplikation betrachtet."), und ihr ■Zeichen kann dann, wie üblich, unterdrückt werden. Von hier an verstehen wir also unter (14) IV = — Vl , I2V=2Vl , I3V = — 3V I , II die f Produkte, und schreiben die allgemeinen Produkte 1 O V , vol, etc. Die Summe 4 = . -\- X ~h ? -f- * ist eine associative Multiplikation, die sedenionische °). Für das sedenionische Produkt einiger Einheiten gilt, dasz Verwechslung zweier benachbarter ungleicher Faktoren mit Zeichenwechsel erlaubt ist (JPechselregel), wahrend: (15) ij -I i,- = iy . iy = 1, j = 1,. . ., -4. (Substitutionsregel). Da das Résultat der obeu angegebenen nicht Null erzeugenden Verknüpfungen von Einheiten stets dem sedenionischen Produkt der Faktoren gleich ist, gestatten diese beiden Regeln dieses Résultat sofort ohne Gedachtniszarbeit anzuschreiben, z.B.: (16) iöaï X fe = i2 i3 il i2 i3 = — i2 i2 i3 i3 h = — h Zur Bestimmung des Multiplikationszeichens führen wir den Begriff Ueberschiebungsnummer ein. Es sei die Überschiebungs nummer eines Produktes zweier Einheiten gleich der Anzahl gemeinschaftlicher Indizes. Es gilt dann folgende Regel0). Sind die Stufenzahlen, d.s. die Anzahlen der Vektorfaktorend), der Faktoren derart, dasz es nur eine mögliche Überschiebungsnummer giebt, so korrespondiert -| mit f, z.B.: Übersch.nummer: l iï li = I, I jpftf 2 i12 -ii = y I ^ il23 "I I = I123I 4 I |I = I I. Giebt es zwei mögliche Überschiebungsnummern, so korrespondiert 4 bei der höchsten mit . und bei der niedrigsten mit X> faus a) Dies hangt zusammen mit der Identiflzierung des Produktes I I mit 1, vergl. 14.2. S. 41 und 18. 1. 6) In Bezug auf die sedenionische Multiplikation bilden die 16 Einheiten ein sogenanntes ursprüngliches associatives System vierter Ordnung, nach Sylvcster System der Sedenionen genannt. Zu den Lineargröszen der orthogonalen Gruppe in n Grundvariablen gehort allgemein ein System mit 2" Einheiten und associativer Multiplikation. Durch Zerlegung entstehen die Teilmultiplikationen. Ein Produkt zerfallt höchstens in - ^ - bez. —— Teilprodukte für n gerade bez. ungerade. Für n = 1 -f 4 p — q, q = 0,1, 2, 3, giebt es p vektorische nnd p skalare Multiplikationen und für n = — 1 + 4c — s, s = 0,1,2,3, r mittlere. Naheres siehe 18. 1. c) Diese Regel ist ein besonderer Fall der aUgemeinen Überschiebungsregel auf S. 24. d) Vergl. S. 29.  RelativitAtstheori e. 18 beide Slufenzahlen ^2 oder beide > 2 sind, im anderen Falie ist die Korrespondenz umgekehrt, z.B.: U-n-: Ü.n.: (18) 1 1, Hl, = 1, . it 1 f- -ü- = i(2 . !_ 0 ix -i | gj ix X'fe 3 ^ -i & = i^ • 1 ii -l i12 = ix •• i12 2 -i = iröXim- i h tifa - iKlïs Giebt es drei mögliche Überschiebungsnummern, so korrespondiert -| bei der höchsten mit . , bei der mittleren mit * und bei der niedrigsten mit X> z- B.: Ü.n.: <19) 2 in-lin = % 1 in H 1^3 = ir2 * 0 £ -| £ = ii2 j_ Folgende Tabelle giebt eine Übersicht : X Übersch.StufenXnumnier: n zahlen X 3 4 der Faktoren: X 1.2 *x ~T M| ~ ' X. j~ 1,4 * | x r~ ~~ 2,4 . . ' - * •1 2 3,4 * — J __)_...„ L. 1 ,1 4,4 I ... * I . I 1  14 DIE DIREKTE ANALYSIS ZUR NEUEREN Die Gröszen (20) i*l = 1234=— lil » 1*12 = 134= — Un , iV4=— ii = 1*231, cycl. 1, 2, 3, 4. nennen wir in .Anschlieszung an Grassmann die Ergdnzungen von il5 und i^. Allgemein gilt also die Regel, dasz eine Einheit (links) sedenionisch multipliziert mit ihrer Erganzung (rechts) I erzeugt. Unter Erganzung einer Summe wird die Summe der Erganzungen der einzelnen Summanden verstanden. Wird in einem Produkt einer der Faktoren durch seine Erganzung ersetzt, so geht auch das Produkt in seine positive oder negative Erganzung über. Das Vorzeichen ist nach der Wechselregel zu bestimmen. Ist der gewahlte Faktor zweiter Hauptstufe, so geht dabei . in X und X m • über, z. B.: (21) a) \Wl. i% = • — Ifë = 1% X = —Ii4 =i*4- b) (u . 2v).2w = Rul X 2v*)Ij X2w*=—I i(uX2y*)I] X X 2w* = l2(u X 2y*) X2w*= (u X2v*) X2w*; In allen anderen Fallen bleiben die Multiplikationszeichen erhalten.") Setzen wir: (22) J V = *fcï • V = 77 **3M | = Ï3 = * I4Ï2 i4' = — -oder allgemein: (23) §«a,v,~i,.^.il so sind die Rechenregeln invariant bei Ersetzung von i durch i' und gleichzeitiger Ersetzung von i' durch —i. Die Einheiten % und I bleiben dabei unverandert. Zwischen i und i' besteht also eine komplizierte Art Dualitatb). Diese Dualitat kann in eine gewöhnliche umgesetzt werden durch den Uebèrgang zu den neuen Einheiten: o) Dies findet seine Ursache darin, dasz für Verknüpfnngen, die bei der rotationalen Gruppe gleich sind, dieselben Zeichen gewahlt sind. 6) Dualitaten dieser Art treten auch bei Ghassmann stets auf in Systemen mit gerader Anzahl Gruudeinheiten.  RELATIVITATSTHEORIE. 15 (24) *%4 = il'-V — 'h^h > i34i ~[h^h . '412 = *'13' -* V ~u4-i3 i123 = «i4'- i3' Die Rechenregeln lauten dann i (25) ioXii = -i,Xiu = im= —IV l ii X L = — i„ X ii = in = iV io-io= + l I, . iL = — 1 i,Xiw=is3 Xii = fe = i'„ ; i„Xiü = iTïXio = i„ii = -i3 . 1, . i]a = — . i1 = — fa ; i, . = — f— . li = — lo . i0.lV = -_i-.i0==i) l0.i'0 = — i'0.i0 = n ; i;. i'l = _ i'j.i^H Cycl.1,2,3. h X i'i = r X i„ = - %~ - i, X l. *£. X 6-1* 4£ 1'J Dual: ioH = —Hi0 = is=: —i„ . 1^ = —Hi1 = l= = —I', Iït* i^ = —i^ —i-'^i—— i—= i_ + i_ _ _ j_ _ i.-srH=:Hi5r = ip- = i'^ ; i_ H = H j_ == _,_ = r_ HH = _i. und es besteht gewöhnliche Dualitat zwischen iy und f,, Unter den Einheiten ist jetzt aber i0 bevorzugt. Diese Bevorzugung ist gerade die, welche auch in der Relativitatstheorie stattfindet. Es ist bemerkenswert, dasz die rein mathematische Forderung, die bestehende Dualitat, welche die einzige bei der orthogonalen Gruppe existierende ista), in den Rechenregeln der Einheiten zum Ausdruck zu bringen, gerade zu einer solchen direkt physisch verwertbaren Bevorzugung führt.6) Die freien Mechenregeln des Systemes E\. Die vom Bezugssystem freien Rechenregeln sind unabhangig von der Wahl der Einheiten, und können aus der Associativitat von -I abgeleitet werden. Für Produkte von Vektoren lauten sie c): o) Vgl. für die bei den verschiedenen Grappen existierenden Dualitiiten 17. 7. S. 570 sowie 18. 1. 6) Die Einheiten I,, i„, i3, fe, iu, I nnd 1, mit den Multiplikationen ., * , X 1 (zwischen ij nnd l/c) und * (zwischen i> und i/c/)_ bilden gerade das System R° der gewöhnlichen Vektoranalysis mit polaren und axialen Vektoren, und zwar mit dem richtigen Vorzeichen des skalaren Produktes. (Vgl. 17. 7 S. 577 und 18. 1). c) Für den Ueberschiebungsfaktor siehe S. 24.  16 DIB DIREKTE ANALYSIS ZUR NEUEREN Übersch. Übersch. Faktor Nummer (?)(l) = Grosse zweiter Hauptstufe 1 1 a. b = Skalar in 1 1 0 aX(l»Xc) = aXt>Xc = abc 2 1 a.(bXe) = (a.b)c —(a.jj)b 1 0 a . (bcd) = (abe) . d = abcd = Skalar in I 3 1 aX(bqd) = (a.b)cXd + (a.c)dXb + (a.d)bXc 4 1 a(bcde) = (a . b)ede — (a . c)bde + - • • • 1 0 (aXb) X(eXd) = abcd (26) 4 ' 1 (aXb)*(cXd) = (b.c)aXd —(b.d)aXc+.... 2 2 (aXb).(cXd) = (b.c)(a.d) — (b.d)(a.c) 6 1 (aXb). (ede) = (b . e) ade +'.. .: 6 2 (aXb)X(cde) — (b . c) (a . d) e+.... 12 2 (aXb) (edef) = (b . c) (a. d) eXf + • ■ • • 18 2 (abc)(def) = (c.d)(b.e)aXf + ---- 6 3 (abe) (def) = (c. n) (b . e) (a . f) +.... 24 3 - (a b c) (d e f g) = (c. d) (b. e) (a. f) g +..... 24 -4 (abcd)(efgh) = (d. e) (c. f) (b .g) (a. h) +.... Die Rechenregeln für Trivektoren a', t>' etc. sind, der bestehenden Dualitat zufolge, gleichlautend. a) Samtliche Formen gelten auch für zusammengesetzte Gröszen, die Vektoren 'haben dann nur ideale Bedeutung. Beispiele einiger Produkte. Als Beispiele seien folgen de Produkte angeführt : (27) a . t> = ax bx -f a2 b2 + «3 bs + a4 b4 (28) aXb= («i h — «2 bx) i,-2 + etc. I ax a2 a3 I (29) a X *> X C = . bx b2 b3 1^3 + etc. I Cl °2 C3 I (3U) a.(bXO=(«1i1+ ... +a4^)c—(ffici-f-/ • • • +«4C4)*> (31) 2V . 2W = — v12 wl2 — v1B w13 — vu to14 — — v23 w23 w34 w34 v42 wi2 a) Für mehrfaktorige Produkte von Bivektoren bestehen Rechenregeln, die nur Bivektoren enthalten, sie können aus den angegebenen abgeleiteit werden und werden im folgenden nicht benutzt. *) ') 17. 7 S. 577, 18. 1.  BELATIVITATSTHEOEIÈ. 17 (32) 2y*2w= v12 w23 ija + v12 w24 1^ — — vi2 wi3 "23 — vi2 w14 iuj -f- etc. (33) 2TX2W = (»12 Wgï — 013 «fc -f »u W23 + y23 w14 — v24 w13 + v34 W12^ I' Beispiel der Einfiihrung idealer Vektoren. Als Beispiel der Einfiihrung idealer Vektoren schreiben wir die einfachen Bivectoren (34) 2p==qXr 2$ = tXn ' als Potenzen der idealen Vektoren p bez. S: (3ö) 2P = P2 2S = S2. Die Definiiionsgleichungen der idealen Bestimmungszahlen von p und s sind dann: M —0 *<*i=0 (36) piPj = —M=i/2 {q.r._q.rd. SiSj = ^SjSi==ij2 (iiUj—tjUl) *',./'= 1... .,4. Das skalare Produkt von 2p und 2s ist: * (37) 2p . 2S = — {gt r2 — q2 rx) (l u2 — t2 ux) — cycl. = = -4ftft«i^| — cycl. = — 2 (p . s)2. Eine Zweideutigkeit tritt hier noch nicht auf. Man kann aber nicht in derselben Weisè das Produkt 2p. 2p darstellen: (38) 2p . 2p = — 2 (p . p)2 = _ 4pi PiPi p2 _ cycl etc_ , da man von dem Ausdruck rechts nicht mehr in eindeutiger Weise zu den realen Gröszen zurückkehren kann. In der Tat, berücksichtigt man zuerst die Gleichung (39) p.p. = _ p. p. = i/2 {q. r, _ q_ Vj)> so ergiebt sich richtig: (40) — 4px p2p1 p2 — cycl. = — (qx r2 ~ q2 rx)2 — cycl., berücksichtigt man dagegen zuerst die Gleichung PiPi = 0, so entsteht das falsche Résultat: (41) — 4 px p2px p2 — cycl. = 0. Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (1« Sectie) Dl. XII. Jj1 2  18 DIE DIRÉKTE ANALYSIS ZUE NEUEEEN Die Zweideutigkeit wird aufgehoben durch Einfiihrung zweier gleichberechtigter Vektoren p und 'p: (42) 2p = p2 = 'p2. Es ist dann: (43) 2p.2p = — 2 (p.'p)2 = — IpyPt Pi >2 etc-» und dieser Ausdruck hat nur einen einzigen realen Wert. Geometrische Deutung einiger Produkte. Ein Vektor v laszt sich darstellen durch einen Teil einer Geraden von bestimmter Richtung, und mit einem bestimmten durch einen Pfeil angegebenen Richtungssinn, aber von übrigens unbestimmter Lage, dessen Lange dem Modulus des Vektors (44) wm = Vv.V gleich ist. Ein einfacher Bivektor 2Y laszt sich darstellen durch einen Teil einer Ebene von bestimmter Flachenrichtung, und mit einem bestimmten durch einen Drehpfeil angegebenen Richtungssinn, aber von übrigens unbestimmter Form und Lage, dessen. Flacheninhalt dem Modulus fcs (45) 2vm = V — 2V.2v" gleich ist. Das vektorische Produkt zweier Vektoren V und w ist der Bivektor ihres Parallellogrammes. Der Drebsinn wird durch die i Abb. 1. Vektoii8ci.es. Produkt zweier Vektoren. Folge y W bestimmt (fig. 1). Ein zusammengesetzter Bivektor kann in verschiedenen Weisen als Summe zweier einfacher Bivektoren geschrieben werden, und stets als Summe zweier Bivektoren, deren  RELATIVITATSTHEORIE. 19 Ebenen vollstandig senkrecht zueinander sind. Ein einfacher Bivektor ist zu seiner Erganzung vollstandig senkrecht und beide haben denselben Modulus. U x Vx w Abb. 2. Vektoriscb.es Produkt dreier Vektoren. Ein Trivektor 3y laszt sich darstellen durch einen Teil einer Hyperebene von bestimmter Hyperflachenrichtung, und mit einem bestimmten durch einen Schraubpfeil angegebenen Richtungssinn, aber Abb. 3. Der Hyperschranbsinn des Quadrivektors turw, bestimmt durch die Eeihenfolge der Faktoren. von übrigens unbestimmter Form und Lage, dessen Inhaltdem Modulus 3vm = V — 3V .3y gleich ist. Das vektorische Produkt dreier Vektoren ist der Trivektor F 2*  20 DIE DIREKTE ANALYSIS ZUR NEUEREN ihres Spates. Der Schraubsinn wird durch'die Reihenfolge der Faktoren bestimmt (fig. 2). Ein Vektor oder Trivektor ist senkrecht zu seiner Erganzung und hat denselben Modulus. Ein Quadrivektor 4V laszt sich darstellen durch einen vierdimensionalen Raumteil mit einem bestimmten Hyperschraubsinn, aber von unbestimmter Form und Lage, dessen Inhalt dem Modulus (47) ivm = V4Y4Y ' gleich ist. Das alternierende Produkt viefer Vektoren ist der Quadrivektor ihres Hyperspates. Der Hyperschraubsinn wird durch die Reihenfolge der Faktoren bestimmt (fig. 3). Das skalare Produkt eines Vektors y mit einem einfachen Bivek- Abb. 4. Skalares Produkt eines Vektors mit einem einfachen Bivektor mit Modulus 1. tor 2W mit Modulus 1 ist die um 90° gedrehte Projektion dieses Vektors auf die Ebene des Bivektors. Ist der Vektor erster Faktor, so bestimmt der Drehsinn des Bivektors den Sinn der Drehung (fig. 4), im anderen Falie ist der Sinn umgekehrt. Bekanntlich findet eine allgemeihe . Drehung in vier Dimensionen um zwei gegenseitig vollstandig senkrechte Ebenen statt. Sind 2V und 2W Bivektoren mit Modulus 1 in solchen durch den Ursprung genenden Ebenèn und' ist r der Radiusvektor, so kann eine infini-  eelativitAtsthêqeie. 21 tesimale mit av und 2w gleichsinnige Drehung über d(p um „V und über d^ um 2w dargestellt werden durch die Gleichung (48) 'r = r + r.2y^|-r.2w4 Sind zwei einfache Bivektoren 2y und 2w vollstandig senkrecht zu einander, so ist: (49) 2Y • 2W = 0 , 2V * 2W = 0 , und das vektorische Produkt ist der Quadrivektor des durch 2y und 2w bestimmten Hyperspates. Sein Modulus ist 2vm 2wm. Sind 2y und 2w halbsenkrecht zueinander, so haben sie eine Richtung gemein, es ist (5°) 2y . 2w = 0 , 2y X 2W == 0 , und das mittlere Produkt steilt einen Bivektor dar, der zu 2y und 2w halbsenkrecht ist, und dessen Modulus gleich 2vm 2wm ist. Liegen 2y und 2w in derselben Ebene, so ist (51) 2y*2w = o , 2vx2w=«0 , und das skalare Produkt ist gleich — 2vm 2wm, wenn die beiden Drehsinne übereinstimmen. Ist 2y einfach und 2w beliebig, sokann 2w stets geschrieben werden als Summe von drei Bivektoren, ein einfacher in der Ebene von 2y, ein zusammengesetzter halbsenkrecht zu 2y und ein einfacher vollstandig senkrecht zu 2y. Hat 2y den Modulus 1, so lautet die Zerlegung von 2w infolge des associativen Gesetzes für -|: (52) 2w = — (2y. 2y) 2w = — (2y-| 2y) -| 2 w = — 2y -| (2y -| 2>v) = = — 2y (2y . 2w) — 2y * (2y * 2w) — 2y (2y X 2w>. Die geometrische Deutung der übrigen Produkte, die ebenso einfach ist, bleibe dem Leser überlassen. Die skalaren Ueberschiebungen höherer Gröszen. Zur Erlangung einer Regel, welche das ohne Gedactynisarbeit anschreiben samtlicher freier Regeln (26) gestattet, wenden wir uns zunachst zu den Produkten höherer Gröszen. Sind einige Gröszen verschiedener Hauptordnung als Produkte idealer Vektoren gegeben, so können aus den idealen Faktoren mit Hülfe der Multiplikationen o, r>, w, . und X neue Gröszen gebildet werden, die orthogonale ganze simultane Kovarianten der gegèbenen Gröszen sind. °) Die einfachsten Verknüpfungen dieser Art sind die Ueberschiebungen. Unter i-te (gegenldufig'e) skalare Ueberschiebung \ der als geschriebenen Produkte idealer Vektoren Gröszen a) Dasz alle ganze orthogonale Kovarianten in dieser Weise gebüdet werden können ist Inhalt eines Satzes, der mit dem ersten Fundamentalsatz der symbolischen Methode der Invariantentheorie korrespondiert, und an anderer SteUe bewiesen wird.  22 DIE DIREKTE 'ANALYSIS ZUR NEUEREN (53) Y = Yl.....Yp i W = Wj . . • . W,; verstehen wir die Grösze: (54) v.iw = (vp/ wx)... (Yp_i+,i ■ ■ Tp_iWi + 1. . .wg: Die nullte skalare Ueberschiebung ist offenbar mit dem algemeinen Produkt identisch. Unter i-te (gegenlaufige) alternierende skalare Ueberschiebung 'k verstehen wir ferner: (55) T*"w = (Yp • Wx), . . (Yp._i+_i • W;)Vi- ■ ■ Yp_7wi + 1.. . Wr Die nullte alternierende skalare Ueberschiebung zweier alternierenden Gröszen ist offenbar mit dem alternierenden Produkt identisch. Die höchste skalare Überschiebung zweier Gröszen ist offenbar mit der höchsten alternierenden skalaren Überschiebung identisch, wenn die Faktoren von gleicher Hauptordnung-sind, oder die Differenz der Hauptordungen 1 ist. Die skalaren Ueberschiebungen können auch nach anderen bestimmt angegebenen Faktoren gebildet werden, die angegebenen gegenlaufigen sind aber für unsere Zwecke die wichtigsten. Samtliche Ueberschiebungen sind distributive Verknüpfungen und also Produkte. Für die skalaren Ueberschiebungen gelten offenbar folgende Hauptregeln: l^>»*\ 1. Jede zweite oder höhere Ueberschiebung, bei der zwei symmetrische Faktoren des einen mit zwei alternierenden des anderen Faktors verknüp'ft werden, ist Null. Insbesondere ist also: (56) 2V 2 2W = 0. 2. Für q^i-\-j gilt: (57) (u .' y) l W = ü ■ Qf i w) = U f Y I W, insbesondere ist also: (57a) (u'y)1 W = u1(v1w) = u^V^ W. Allgemein gilt: (58) J * (y ? yf) = (u Y/ t9 W, insbesondere ist also: (53fl) U 1 (y 1 w) = (U Y) 2 W. 3. Sind yp und w? als ideale Potenzen dargestellte symmetrische Gröszen, so ist: (59) Yp j W7 = Y"-* [V {Y. (Y. W) W} W] W9_i = (Y.wy Yp_i W^i.  RELATIVITATSTHEORIE. 23 Ebenso ist für alternierende Gröszen S vp i wg = yp-i j-v (y.(t.w)wJ W]Wï_i (60) ' = (—lpT^ yP-i (y . W)'- W?-i g£ + e-')'' (y . W)i yP-i und: 'tikdi* (61) yp i W9 = (— l/^.+ (p_0i (y. W)' yp~l W7-', da hier infolge der Antikommutativitat der idealen Bestimmungszahlen der y : (62) y(y. W) = — (y. W) y. n Infolgedessen ist: Die lineare homogene Transformation von Vektoren und Bivektoren. Die erste skalare Ueberschiebung eines Affinors zweiter Hauptordnung mit einem Vektor: (64) 'Y = \\Y stellt eine lineare homogene Transformation dar. Schreibt man (65) P = Pi p2 = qi q2, worin die p und q gleichberechtigte ideale Vektoren sind j so ist die korrespondierende Transformation des Bivektors 2w=WiW2=W1Xw2 (Wi und w2 sind ideal): 2'w = 'w, X 'w2 = p! (p8 . w4) X Qt (q2 • w2) 4 • = Pi X qi (p2 q2)2 (wa wt) = (66) . =_ (p1Xqi)(p2Xq2)2(w1X w2) = — (Pi X q0 (Pa X q2)2 2w. Der Affinor vierter Hauptordnung + (Pl X q) (p2 X q2), der in den beiden ersten sowie ih den beiden letzten Stellen alternierend ist, korrespondiert also mit einer linearen homogenen Transformation von Bivektoren, bei der einfache Bivektoren stets in einfache übergehen. Offenbar korrespondiert jeder Affinor der Form (r X s) (t X u) worin r, 8, t und u ideale Vektoren sind, mit piner linearen homo-  24 DIE DIREKTE ANALYSIS ZUR NEUEREN gen Transformation von Bivektoren, und kann demnach treffend als Bivektoraffinor oder, wenn (67) (r X s) (t X «) = (t X u) (r X s)! als Bivektortensor bezeichnet werden. Nicht jeder Bivektoraffinor korrespondiert aber mit einer Vektortransformation. Dazu ist notwendig und hinreichend, dasz die zugehörige Bivektortransformation alle einfache Bivektoren in einfache überführt. Ein Bivektortensor mit dieser besonderen Eigenschaft laszt sich schreiben: + Xp X q) (P X q) und der zugehörige reelle reale Tensor zweiter Ordnung ist dann: p2 = q2. Für die Theorie der höheren Mannigfaltigkeiten mit beliebiger Massbestimmung sind die Bivektortensoren wichtig, da der RiemannChristoffelsche Affinor eine Grösze dieser Art ist. Die Ueberschiebungsregel. a) Die alternierenden skalaren Ueberschiebungen sind besonders wichtig für die freien Rechenregeln (26). Jedes ., X> i °der * Produkt' zweier alternierender Gröszen ist namlich bis auf einen Zahlenfaktor der alternierenden Ueberschiebung der Faktoren gleich. Dieser Faktor, der Ueberschiebungsfaktor, hat den Wei t (P^j wenn p und q die Anzahl en der Faktoren sind und i die Überschiebungsnummer, und ist also der Anzahl der Terme des ausgeschriebenen Produktes- gleich. (Vgl. S. 16). Es ist aber nicht nötig den Ueberschiebungsfaktor zu kennen, da dieser gerade einen solchen Wert hat, dasz samtliche verschiedene Anordnungen je einmal gezahlt im Produkt auftreten. Dadurch ist es möglich ohne diesen Zahlenfaktor zu verwenden und also ohne Gedachtniszarbeit samtliche Regeln sofort anzuschreiben, wenn nur die Ueberschiebungsnummer des Produktes bekannt ist. Diese Nummer ist folgendermaszen zu bestimmen. Sind die Stufen (Anzahlen der Vektorfaktoren in den Faktoren) p und q und die Hauptstufen p' und q', so ist die höchste Ueberschiebungsnummer u die kleinste der Zahlen p und q und die Anzahl der Ueberschiebungen v um 1 gröszer als die kleinste der Zahlen p' und q'. Die Ueberschiebüngsnummern sind also u,. . . ,,u — w -(- 1. Für n = 4 ergiebt sich daraus folgende praktische Regel: Giebt es nur eine Ueberschiebung, so korrespondiert diese mit der Multiplikation *, giebt es zwei Ueberschiebungen, so korrespondiert d) Naheres siehe 18. 1.  EELATIVITATSTHEORIE. 25 die höchste-mit ., und die niedrigste mit X, wenn die Anzahl der Vektorenfaktor in beide* Faktoren < 2 ist oder in beiden > 2, im anderen Falie ist die Korrespondenz umgekehrt. Für drei Uebèrschiebungen korrespondiert die höchste mit ., die mittlere mit * und die niedrigste mit X (vgl. S. 12). ■ Aus dem Umstande, dasz die höchste alternierende Ueberschiebung der höchsten gewöhnlichen gleich ist, folgen einige Regeln für die Produkte von Lineargröszen die sich in den folgenden Abschnitten als wichtig erweisen werden (vgl. S. 16): a . b= a1 b 2a . 2b= 22a22b Jj ■ 2b = 2a12b 2aX3*>= 62a23b aX8b = 3B*8b" 2a 4b = i22a24b a 4b = 4a14b 3a.3b = 63a?3b 3a 4b = 243a?4b 4a 4b = 244a44b. Das System R\ und die einfache Relativiteitstheorie. Verschiedene Autoren über die einfache Relativitatstheorie haben • Fragmente des Systemes B\ aufgefunden und verwertet. Bei Abraham, Sommerfeld, Frank und Laue *) treten im ganzen fünf multiphkative Verknüpfungen auf, und von diesen werden zwei durch Einfiihrung des zu einem Bivektor 2y gêhörigen „dualen" Bivektors, (dualer Sechservektor, in unserem System — I9y = — 2yl), verdoppelt"). Wir-soN und Lewis 2) haben auf diesen Grundlagen fortgebaut und erreichen alle Multiplikationen bis auf drei"). Allé Ableitungen beruhen auf Analogieën mit der gewöhnlichen Vektoranalysis, und die erhaltenen Multiplikationen sind keine Teile einejr associativen Multiplikation. Infolge dessen können die freien Rechenregeln nicht nach der Ueberschiebungsregel ohne Gedachtniszarbeit sofort angeschneben werden, 'sondern lassen nur tabellarischen Gebrauch zu. A^ch^sind nicht samtliche Regeln vorhanden und sind die Namen o)i Das Verhaltnisz von ,v und -I.y ist keine eigentliche Dualitat. In der einzigen bei der orthogonalen Gruppé wirklich existierenden Dualitat i, i' (vgl. (25)) ist 1» nicht dualistisch zu Ii^ sondern zu sich selbst. 6) Auf das Pehlen dieser drei Multiplikationen sowie auf die Beziehungen zu einem Sedemonensystem hat zuer=t. J. B. Shaw 3) aufmerksam gemacht. ') 10-. 1, 10. 2, 11. 1, 11. 2 ') 10. 3, 12. 1. ') 13. 2. BBS  26 DIE DIREKTE ANALYSIS ZUR NEUEREN skalar und vektorisch' nur analogiemaszig, und nicht nach einem bestimmten Prinzip, über die vorhandenen Multiplikationen verteilt. So kommt auch die Dualitat i, i' nicht zum Ausdruck, sogar nicht bei Wilson und Lewis, obwohl diese Autoren Einheiten der Art i0> il5 i2, i3 verwenden. Der graszmann'schen Ausdehnungslehre liegt zunachst die lineare homogene Gruppe zugrunde, und insofern korrespondiert sie bis auf Vorzeichenanderungen mit dem Systeme zS^ (vergl. S. 30 und 31 Puszn. 1)) Durch Verwendung der Erganzung (vergl. S. 14) entsteht die innere Multiplikation, welche Anwendung auf die rotationale Gruppe ermöglicht. Auch für diese Gruppe gestattet die Ausdehnungslehre nur tabellarischen Gebrauch der Rechenregeln. Nachstehende dualistisch geordnete Tabelle giebt eine Uebersicht der bei einigen Autoren vorkommenden Produkte.") Grraszmann. Wilson—Lewis. Sommerfeld, Lane, etc. + [ab] + a X b »X* = ,e . + [ab] vektoriscb.es Produkt. + [a | b] — a . b a . b = e . + (a b) skalares. Produkt. + [a,b] + a X ,b 8X1b = 1e + Ic = [a,b*] vekt. Prod. mit dualem Bivector. + I [a I ,b'] I + a . ,b a . ,b = e — [a ,b] vektorisches Produkt. + la— ± al + fca= + afc al = —-Ia = b*) ,+ [a,b] +aX,b a.3b = 4c *)| . + | [a | ,b] — a.,b aX,b = ,c I g 4-1 *c = (,a 2b*) skal. Prod. mit -+ [,a„b] +,aX,b La X ,b = ,c *)!;§ dualem Bivector. 1a*,b = 1c I'S +[,a,b] vekt. Produkt. (Mie^. _ [2a | ,b] —,a . ,b ,a.,b = c 13 — (,a,b) skalares Produkt. + 1. a = + „al ±fc,a=± ,a fc LaI=Ila=1b*)|5 — .b = + ,a*. .1.1 = 1 fcfc = —1 |r = + i *)'__—__ ± 13 a = ±3al + 7c3a ==j± 3a fc. LaI = — I,a = b*) 3a . 2b =3e . + [ I 3a I ,b] —3a . ,b 3aX,b = c — [,a I 3b] +,a . ,b 3a . 3b = c — [ I ,a | ,b] .aX,^!» | Das System KI umfasst die existierenden Fragmente, es enthalt alle Multiplikationen, die von Lineargröszen zu Lineargröszen führen, und dürfte, der einfachen Behandlung der Produkte mit Hülfe der Ueberschiebungsregel wegen,.für den praktischen Gebrauch besonders a) Jedes Produkt ist durch ein Beispiel angegeben, für die. Multiplikationen ist dip Schreibweise der verschiedenen Autoren verwendet, für die Gröszen aber überall die hier gefolgte Schreibweise. Nur der duale Bivektor ist mit dem üblichen Stern bezeichnet, wahrend fc den kommutativen Skalar von Wilson und Lewis-andeutet. Bei den mit *) bezeichneten Produkten ist die Korrespondenz mit den anderen Systemen eine mangelhalfte, da diese Systeme den nichtkommutativen Skalar I nicht enthalten. ') 13. 2.  RELATIVITATSTHEORIE. 27 geeignet sein. Von Anwendungen wird hier abgesehen, da diese sich von selbst in den beiden folgenden Abschnitten ergeben. Die Faltungen, Unter (skalare) Faltung") der als Produkt idealer Vektoren ge- p schriebenen Grösze a = ax. . .ap nach den Faktoren a,, a,, iM einer alternierenden Grösze pa mit einer allgemeinen Grösze b = br. . .b ,p -4- i < 4, verstehen wir die in den ersten p -f i Faktoren alternierende Grösze (69) PaAb=;=(pab1.^..b,.)bi+1....br \, , b» heiszen die erganzenden Faktoren. Die Ueberschiebung kann auch an der anderen Seite gebildet werden und auch für den Fall, dasz die Faktoren als Produkte realer oder idealer Trivektoren gegeben sind. Der Haken des Multiplikationszeichens zeigt stets nach der Seite des Faktors, dem die erganzenden Faktoren entnommen werden. Für vektorische Ueberschiebungen gelten offenbar folgende Hauptregeln: 1. Eine vektorische Ueberschiebung ist stets Null, wenn zwei der erganzenden Faktoren gegenseitig symmetrisch sind. 2. Für j > q -f i , p + i-\-j <4, gilt: f 7°) p» ■*? Qb A | = (pa - ,b) ^ C, insbesondere also: (71) ft-L.(ato) = (aXa)b = o a (a -ï-, b) o 3. Für i-\-j, gilt: a) Vergl. S. 31.  28 DIE DIREKTE ANALYSIS ZUE NEUEEEN (72) (pa X, Tb) 4rc = pa^(bri ,.c) = pa A b ^ ,.c Das rait den Ueberschiebungen und Faltungen erweiterte System BI nennen wir B°lx. Die theoretische Bedeutung der Systeme B?nm griindet sich auf der an anderer Stelle zu beweisenden Eigenschaft, dasz sich samtliche rationale ganze rotationale Kovarianten einer gegebenen Reihe von Gröszen aus den idealen Vektorfaktoren dieser Gröszen und einer beliebigen Anzahl Faktoren I und 2g = ij ij -j- . . . -f- i4 i4 •vermittels der Multiplikationen o und . ableiten lassen. Ihre praktische Bedeutung beruht auf der Ueberschiebungsregel, welche das Rechnen ohne Tabellen ermöglicht. Die Zerlegung eines Affinors zweiter Hauptordnung. Jeder Affinor zweiter Hauptordnung ab kann in drei Teile zerlegt werden, den' Skalar teil: (73) #ab= 74(a . b)2g, WO : (74) 2S = Ui + + den Bivektorteil: (75) 5ab = aX*> und den Deviatorteil: (76) . D a b = a b — lU flp • *» 2S — a Xt>- Der Tensorteil ist:x) (77) ?'ab = £ab-H öab= Y2 (ab-fba). Die Zerlegung ist invariant, und jeder Teil kann als Produkt der idealen Vektoren a und b aufgefasst werden. Der dritte Teil heiszt das deviatorisclte Produkt X von a und b, a X b 2). Wendet man diese Zerlegung an auf die erste Ueberschiebung zweier Bivektoren; (78) 2V ! 2W = V2 * W2 = V (V • W) W = —(V . W) Y W, so ist der Skalarteil (vgl. (68)): (79) — V4 (V . W) (V . W) 2g = V4 W 2 2W) 2g = Vs (2^ • 2W) 2g ') Vgl. 14.*. S. 69. ') Vgl. 14. 2. S. 73.  RELATIVITATSTHEORIE. 29 gleich V4 der zweiten Ueberschiebung multipliziert mit 2g, und der Bivektorteil wird Null für 2y =.2w. Für die erste Ueberschiebung der Erganzungen von 2y und 2w gilt: 8 2V* 1 2W* = 8 2y ? 2W = V4 (2y 2 2W) 2g ■ (80) i?2y*?2w*= 52y?2W=i/4(2v*2w)- #2V* 1 2W* =— 2>2yï2W. Für den Deviatorteil von 2y ! 2W gelten also die Umformungen: ^ 2V1 2 w = V2 (2y ! 2 W — 2y *12w *) = V2 (2W 1 2y — 2w *12y *) = (81) = 72 (2v 1 2w + 2w 1 2y) — V4 (2v 2 2w) 2g = = 2V*2W — y42v*2w — 74(2V22W)2g und für 2y = „w: 8 2) 2) 2 y12 y = V2 (2 v • 2 y — 2 y * * 2 y *) = 2 y12 y — V4 (2 y2 2 v) 2g. Die Verknüpfung D 2y * 2w ist ein hommutatives Produkt, das deviatorisclte Produkt") x von 2y und 2w: (83) 2TX2w = i)2v!2w. Bas System Sln der Lineargröszen. Wir kehren zurück zu den vor Einführung der kwadratischen Form betrachteten ko- bez. kontravarianten Vektoren mit den Einheiten 'e* , e\, A'44j , d. In Bezug auf diese Gröszen laszt sich in derselben Weise wie oben eine allgemeine, eine symmetrische und eine alternierende Multiplikation definiëren, und allgemeii/e; sowie symmetrische und alternierende ko- bez. kontravariante Affinoren vérschiedener Ordnung. Statt Hauptordnung, Hauptrang^ und Hauptstufe treten die Begriffe Ordnung, Rang und Stufe6. Dazu gesellen sich gemischte Gröszen, die in ihren Gliedern ko- und kontravariante Vektoren als Faktor enthalten. Allen diesen Gröszen liegt die lineare homogene Gruppe zu Grande. Zu den Lineargröszen .dieser Gruppe gehort das Zahlensystem /S!4c).mit den Rechenregeln: a) Ist ,M der elektromagnetische Bivektor, so ist ,M 1 ,M der SoMMERFELo'sche Tensor AM? ,91 der L,u,E'scke Tensor ') W ,M ? ,M der LAUE'sche Skalar. 6) Vergl. 18. 1. c) Die Ableitung der Systeme Sln erfolgt an anderer SteUe. ') 10. 2. S. 765.  30 DIE DIREKTE ANALYSIS ZUR NEUEREN e„6 a e,,« \ ea a e„ = — e„ a ea = ea a eb = = —%— e„ a c'a = e„' a ea = 1 ea a e;rc = etc a ea = ea « ere = e„ a e 'ab = — e'ao a ea = e'ft e„ a = — eBïd a ea = e„ ^ eucd = te=E (83) eaAE' = -E'Aea = e^ dL. e-e'! ea-b a es = ocd a ea-b = = & ACS = 6 ab A eab = 1 a E' = E' a es = — e'^ EaE' = E'aE = + 1 esëd a e bciï= e bed a ebci = l escd a e tc==r e. bc a e^s=== ®d Cbcd a E = E a ebcd = e a A ist die aussere Multiplikation, die beim Uebergang zur speziellaffinen Gruppe bis auf Vorzeichenunterschiede mit der Gkassmann'schen Multiplikation korrespondiert. (Vgl. S. 25 und 31.) Mit Hülfe dieser Multiplikation können Ueberschiebungen und Faltungen von Gröszen in ahnlicher Weise wie oben definiert werden. p q Die i-te (gegenlaufige) skalare Ueberschiebung") '. von a und b' ist (84) a ! b'=(ft, a h\) CV-j+*A ai — b' Der Unterschied zwischen Operatoren und Operatorkerne wird in der gewöhnlichen Analysis auszer Acht gelassen, weü es dort nur eine Multiplikation und daher zu jedem Jtern nur einen Operator giebt. Verh. Kon. Akad. v. Wetenseh. (1« Sectie) Dl. XII. p 3  34 DIE DIEEKTE ANALYSIS ZUE NEUEEEN p mit derselben Orientierungsweise als a. Allgemein ist offenbar: (95) 1^ = 1. p Für eine Grösze a' gilt natürlich ahnliches. Für die Anwendung der Operatoren gilt folgende Regel: Eine Gleichung mit Operatoren ist richtig, wenn die Kerne erstens den algebraischen Regeln folgen, und zweitens links und rechts dieselben Gröszen differentiierend beeinflussen. Anschlieszend an den Gebrauch der gewöhnlichen Analysis setzen wir fest, dasz die differentiierenden Eigenschaften sich erstrecken bis zur nachstfolgenden schliészenden Klammer, p Wirkt ein Operator V -o auf ein beliebiges Produkt beliebiger Gröszen, so ist zunacht mit Hülfe des distributiven Gesetzes abzuleiten: p p r »' r (96) • v 7j^é?c) = v„ -o(h -?c) + ^tC^-?0)' p p, a' q » r wo vb nur auf b und vc, nur auf c differentiierend wirkt. Giebt es nun zwei Multiplikationen - und -o, so dasz allgemein, d. h. für p q r alle Gröszen der Orientierungsweise von a, b und C: p ,q f\ sP r (97) a-K^if v=\af *v~?c' so ist: p p (98) ^?(^c) = (v?b)-C und fSll p ' p \ (99) Vc -o Q) -k>'c) = (b ~o cM p wo p— die Umkehrung von -° ist. (b - V) ist ein zusammengesetzter Operatorkefn. Gilt für -g> und -o allgemein: (100) a- (b?ê) = (a?c)-b, so kann auch der zweite Term rechts in der einfacheren Form: p p, (101) vc-f(i?c) = (v-fc)-i?i geschrieben werden. Auch andere Umformungen sind möglich, exis-  RELATIVITATSTHEORIE. 35 tiert z. B. für alle Gröszen der Orientierungsweise von a, b und c eine cyclische Gleichung: (102) a?(b?c) + b?(c?a)^?(a~b) = o, so gilt: (103> vT(0?c) = _(CTl)tb_é?(Lb)- p p —^ ■? CVtr <0 — G> v v) «§- c. Für V b gilt: p p q da>i...iP p V b hat also die Bedeutung eines Differentialquotienten und kann geschrieben werden —l—: (105) rfa?4=rfl. Insbesondere gilt für v = r: <106> rfx'l^r-rfi. Die Rechenregeln für die Differentialoperatoren folgen also alle aus den Rechenregeln-für die Gröszen. Für eine Analysis, mit der wirklich praktisch gerechnet werden soll, ist es also von der gröszten Wichtigkeit diese Rechenregeln stets vollstandig aus dem Gedachtnisz anschreiben zu können, da der Gebrauch von Tabellen sehr unpraktisch und zeitraubend ist. Als Beispiele in ü£ seien berechnet: (107) a)V.(YXW) = (V.Y)W —(W.V)y —(V.W)T + (Y.V)W. 6) V.(2Y ï w) = (V * 2V)..W — (V W)22V = = (V!2Y).W — (V X W) 2 2Y.' F 3*  36 DIE DIEEKTE ANALYSIS ZUE NEUEREN (107) c) v ! (2v X 2V) = Va v 1 (2v * 2T — 2V* 1 2V*)°) = = (v • 2v)12v — (v * 2v *) l 2\*") = = XU cv • 2v) • 2v — V* (v • 2 ?*) ■ 2-y*c) = = V* (v ■ 2v) • 2^ - V4 (v X 2v) X 2t '). d) („V - V) w = PT^(V W), ƒ> = 1, 3, 3e). Wird V zweimal hintereinander verwendet, so ergiebt sich z. B. aus (58a): (108) v1(v1v) = (vv)2v und aus (71) unter Berücksichtigung der Identitat V Xv = 0: v_L,(vy) = (v X v)v = '0. (109) v^(vJLi^)==(Vvy1)Y2....Tp + etc 0=0. V ^(v At) = {(VVYi) *j T2} V3. • • -Yp + etc. 0 = 0. linten-, Flachen-, Hyperflaclten- und Baumintegrale im Rv . Die Raumelemente seien in folgender Weise angedeutet: Linienelement ds Flachenelement 2f der , 2f*=—I2f , 2f= — I2I* Hyperflachenelement 3m dcc , 3m* = 13m = — n , 31H = 11* Raumelement I dr. 2f, olïl und n sind Gröszen mit Modulus 1. Für das Linienintegral eines Skalars über eine geschlossene Kurve gilt: (110) jd&p = — f(2t. V)pd "). a) Nach (81)'). b) X ist kommutativ, vgl. S. 29, (81) und (83). c) Nach (68). d) Nach (216). e) Nach (69). f) Vergl. S. 59, (II 122). g) Nach (68). h) Nach (68) und (107d). ') Vergl. Laue 11. 2 S. 86.  RELATIVITATSTHEORIE. 37 = — I2l2/n-^(va)^a). 0*' w at cd ist eine beliebige durch = ƒ V ^a^r W T a) Sf-v , ,mXv und Iv korrespondieren bis auf Vorzeiohen- und Systemunterschiede mit den Symbolen der Polarableitungen vierter, dritter und zweiter Stüfe v,, v, und v, von F. Jüng. *) ') 10.5.  38 DIE DIEEKTE ANALYSIS ZUE NEÜEREN und insbesondere j a) ƒ 3m a du = — 41 l.j V a dr") (118) f p f p b) J II a du =J V a dr. 01 T Die aus (1173) hervorgehenden Formel: (119) ƒ n . Ydce =ƒ V . \dr korrespondiert mit dem Gausz'schen Satz im dreidimensionalen Raum. t ist der durch u begrenzte Raumteil, und der durch die Wahl des Einheitssysterns festgelegte Hyperschraubsinn von I wird auch gegeben durch einen von innen nach u zeigenden Richtungssinn, gefolgt durch den Schraubsinn der begrenzenden Hyperflachenelemente 3m do). Letzterer Schraubsinn ist dadurch bestimmt. Der Vektor n ist also nach auszen gerichtet. Die Formeln (109) können auch mit Hülfe der angegebenen Integralsatze bewiesen werden. II. DIE ANALYSIS ZUR ALLGEMEINEN RELATIVITATSTHEORIE. Die ■ Urvariablen und die Vektoren e und e'. Die co4 Werte 4 unabhangiger Variablen, die Urvariablen xK, A = «,..., d, bestimmen eine 4-dimensionale Mannigfaltigkeit X4. Ein bestimmter Wertsatz heisze Punkt. Die 4 Gleichungen: (1) x* = c* X — a,...,d bestimmen, bei veranderlichen c, 4 Hyperflachenschaaren, die sich in den Parameterlinien der Urvariablen xK, welche 4 Hyperkongruenzen bilden, schneiden. Bei infinitesimaler Verrückung des Punktes xx sind die Incremente dxh die Bestimmungszahlen des durch a?A und xK -f- dxx, A = a,. . ., d bestimmten Linienelementes. Werden 4 neue unabhangige Urvariablen eingeführt: (2) 'x* = /„(aT,. . .,xd); X^- ^ °; /» = «,..., d, : o x'z o) Nach (68).  RELA.TIVITITSTHEOHIE. 39 so transformieren sich die dx* linear homogen und also nach der m i ö f Tabelle (I 3), wenn man für /3„F einführt J ^. Das Linienele- o xv ment kann also als ein kontravarianter Vektor im Sinne des vorigen Abschnittes aufgefasst werden: (3) d X' = 2 dxK e'*, X = a,...,d und die von einem und demselben Punkte ausgéhenden Linienelemente sind demnach Gröszen eines Systemes a) Jedes System von Urvariablen ordnet jedem Punkte ein System von 4 Vektoren e'* zu. Zwischen zwei Vektoren kann nur ein Gröszenvergleich angestellt werden, wenn sie zu demselben Linienelement gehören. Zwei zu demselben Punkte von Z4 gehorige Vektoren verschiedener Richtung sind vorlaufig der Grösze nach unvergleichbar, und zwei zu verspinedenen Punkten von X± gehorige Vektoren sind noch überhaupt unvergleichbar, da ihre Bestimmungszahlen sich bei (1) wolü beide linear homogen transformieren, der Unterschied zwischen diesen Transformationen aber von den ganz beliebigen Punktionen fK abhangig ist. Werden aus den Bestimmungszahlen von zum selben Punkt gêhörigen Vektoren Bestimmungszahlen von höheren Gröszen gebildet, so gilt das über die Vergleichbarkeit Gesagte auch für diese höheren Gröszen. Einführung des Fundamentakensors. Es sei jetzt die kwadratische Differentialform Zg^ d dof | g^ | = — g 0 fest als Invariante gegeben. Die g^ seien stetige beliebig oft differenzierbare Punktionen der xh. In jedem Punkte sind dann der kovariante Fundamentaltensor (4) 2g = s^„efte„ und' der kontravariante (5) 2g' = s^» eV e'v bestimmt. 2g werde als Potenz der gleichberechtigten (vergl. S. 11) idealen Vektoren a, b, C, .... geschrieben: (6) 2g = a2 = b2 = c2 = o) Es liegt kein sachlicher, sondern nur ein historischer Grund vor, das Linienelement gerade als kontravariant auf zu fassen. Die "WaM ist gleichgültig.  40 DIE ÜIEEKTE ANALYSIS ZUR NEUEREN und ebenso 2g' als Potenz der Vektoren a', b', c',. . .': (7) 2g' = a'2 = b2 - 'c'2 = — Es gilt offenbar für jeden Vektor y: (8) v = 2g.-2g'1t, oder: (9) . v = a (a a b') (b' a v). ' Eühren wir nun allgemein für jeden realen oder idealen Vektor W ausser eA , A = «,.,. d, die Schreibweise ein: (10) w' = 2g' ! w = a' (a' a w) und ebenso für jeden realen oder idealen Vektor u' ausser öa , A —«,. . ., d: (11) u = 2g ï H = a (a a ui so sind (10) und (11) infolge (8) mit einander vertraglich und infolge der evidenten Identitat (12) a'2 = b' (b'Aa) c' (c'Aa) °) auch mit (6) und (7). Es laszt sich (9) dann schreiben: (13) y = (YAa') a. Die gegebene Differentialform ist: (14) 2g2^X'2. Diese Form ist als Kwadrat einer idealen Linearform zu schreiben: (15) 2g2 dx'2 = (a a tf*X')2, und diese Linearform wieder als vollstandiges Differential eines idealen Skalars a — b = c = ...... a a dx.' = SaA dxh = da, ' f-i a\ ^ a (16) - aK = —. Wird von jetzt an jeder Satz gegebener Gröszen erweitert durch Hinzufügung des fest angenommenen Fundamentaltensors 2g, so gesellen sich zu den schon vorhandenen Eigenschaften der Gröszen die Eigenschaften in Bezug auf 2g, und das für die Gröszen in einem bestimmten Punkte gültige System 8^ geht nach S. 32 in B°ix über. a) Bei Einstein: 9^ 9xf3 x) WjÊÊ ') 16.7 S. 29.  RELATIVITATSTHEORIE. 41 Wie im vorigen Abschnitte dargelegt ist, verschwindet dann der Unterschied zwischen kovarianten und kontra varianten Gröszen und es bleibt z. B. bei einem Vektor~y, der jetzt stets ohne Accent geschrieben werde, nur der Unterschied zwischen den Bestimmungszahlen, die gehören zu e'*, zu eA oder zu irgendwelchen orthogonalen Einheiten iJ5 für welche gilt: (17) 2S = 2S' = 2 ij ij j = l,..., 4a). Da offenbar 2g ? \ — y, folgt: (18) ' y = (a y)a. Die Formeln (13) und (18) werden sich weiter unten als besonders wichtig erweisen. Wir schreiben: (19) T^f MM*? * = a,...,d ;'=i,. ...4, und für das Differential dx-. (20) dx = Ca = A = «,..., Dabei ist zu bemerken, dasz die dx* und dx} im Gegensatzzu den dw>- keine exakten Differentiale sind, und x„ sowie daher für sich keine Bedeutung haben.b) Durch die Einführung des Fundamentaltensors ist die Möglichkeit gegeben Vektoren im selben Punkte der Grösze nach zu vergleichen und ihre Winkel zu bestimmen. Es ist (21) • vm = iXT^Y (22) cos (V • w) = —• vmwm Für die Vektoren e und e' gilt insbesondere (vergl. S. 32): (23) (e.)m = L/eA^a=Ky* (e'A)m = ■ e\ = Z CM(e'"eV,=ffe: 0) Hessenberg') hat wohl zuerst ausdrücklich darauf hingewiesen, dasz die Unterscheidung zwischen kovarianten und kontravarianten Gröszen unnötig ist, und damit die voUe Konsequenz gezogen aus einer Bemerkung von Ricci und Levi Civita *). Auch Hessenberg gelangt zu den Vektorensystemen e und e', aber in einer ganz anderen Weise. Vgl. S. 52. b) Solche Differentiale verwendet auch Hessenberg. *) ') 17. 5 S. 196. 1) 01. 1 S. 144. 3) 17. 5 S. 205,  42 DIE DIREKTE ANALYSIS ZUR NEUEREN und für die durch die Vektoren C bez. e' bestimmten Spate: (25) E=e-r,?=5. E' = e'i234 = It/—g. Es ist zu beachten, dasz der Unterschied zwischen kovarianten und kontravarianten Gröszen nur verschwindet, wenn 2g fest gegeben ist. (Vergl. S. 33). Wird 2g* verandert, so tritt wahrend der Variation der Unterschied wieder auf, und es gilt dann nur das System S\J). Für die Vektoren und höheren- Gröszen in einem bestimmten Punkt gelten alle im vorigen Abschnitte abgeleiteten Formety, mit Ausnahme der Differentiationsformeln. Denn letztere setzen dié Vergleichbarkeit der Gröszen an verschiedenen Stellen der Mannigfaltigkeit Z4 vóraus, und diese Vergleichbarkeit besteht bis hier nur für Skalare. Nur dx, dp und wo p einen realen oder idealen o a?A Skalar darstellt, haben schon eine Bedeutung. Für die partiellen Differentialquotienten der idealen Skalare «A und aK nach den x^ führen wir neben der gewöhnlichen auch die Bezeichnung ein: (26) '^ = flA„ l^ = < XtF. = a,...,d. o x^ ' oxf- * Es ist dann: (27) a ^« O X O XV aber im allgemeinen: (28) ^ «J^<» da aA nicht wie aA ein partielles üifferentialquotient eines idealen jBkalars ist. Das Differential eines Skalars p kann auch in den nicht exakten Differentialen dxh oder dxj ausgedrückt werden. Die Koeffizienten nennen wir die partiellen Ableitungen 6) nach xh bez. Xj: aw „op , A — a,. . ., d, (*» *=?Tlr*" = 'Ti-lfe" i=i,...,4: o) In der Relativitatstheorie andert sich 2g nur wenn das Gravitationspotential variiert wird. Wird die Raumzeitwelt als starr gegeben gedacht, so kann übrigens einer solchen Variation nur eine mathematische aber keine physisch wirkliche Bedeutung beigelegt werden. b) Ableitungen dieser Art treten auch auf bei Hessenberg. *) ') 17. 5 S. 209.  RELATIVITATSTHEORIE. 43 Für die partiellen Ableitungen der idealen Skalare a nach den x, fühi ■en wir. noch die Bezeichnung ein: (30) 43- = «J>< /,*=1,...,4. o xk t Es ist dann im allgemeinen: (31) a-jk7±akj j,k= 1,. . ., 4. Orthogonalnetze und Orthogonalsysteme. Sind in jedem Punkte von Xx 4 gegenseitig senkrechte Richtungen als stetige Funktionen des Ortes gegeben, so bestimmen diese ein Orthogonalnetz, welches von 4 Hyperkongruenzen von oo3 Kurven gebildet wird,- die sich in jedem Punkte senkrecht schneiden. Werden die Vektoren i in jedem Punkte nach den Richtungen dieses Netzes orientiert, so sind die dxt die Komponenten von dx nach diesen Richtungen. Da gJk = ajak = 0 für j k ist allgemein: (32) a.t ak = ~- gjlc — | akl = — üj akl, jÊj^ 1""" 4' Sind samtliche 4 Hyperkongruenzen flachennormal, so bestimmen sie ein Orthogonalsystem. Werden die Urvariablen in Bezug auf die Hyperflachen dieses Orthogonalsystems gewahlt, so werden die eA gegenseitig senkrecht und eA' hat dieselbe Richtung als eA. Es wird also gKlJL —g*v-= 0 für X und infolgedessen ist in diesem Falie:* (33) jg j&YjrJ»*- «a | = -aK B/w> ^|f^ ' i)« *=i,-...4, dann sind diese Vektoren unabhangig von jedem Bezugssystem eindeutig bestimmt, und es ist: (45) % . "im = (ifc — Sa, akj dx} i,) . (im amj dx, i() = = ^ • t„ - ? (ak amj -f am akj) dx, = i,. im = jj rf k=™ da naeh (32): (46) ak amj + am akj = 0, und die Vektoren 'i sind also wiederum gegenseitig senkrechte Einheitsvektoren. Die Bestimmungszahlen des Vektors y in Q in Bezug auf das System i sind: (47) vk + dvk = vk + %\^dxj , *=],...,4, •' O Xj und die Bestimmungszahlen vk dieses Vektors in Bezug auf das System 'i ergeben sich aus der Erwagung, dasz die Transformation (45) selbstkontragredient ist und also die Transformation der Bestimmungszahlen mit der Transformation (45) der i identisch ist: a) Man kann die Rechung auch für ein System e' durchführen. Ist dann Q ein Punkt auf der A-Kurve durch P in einer Entfernung dx* von P, so sind in Q die Vektoren 'e' = e' — ad (a . e'A) einzufiihren.  46 DIE DIEEKTE ANALYSIS ZUE NEUEEEN (48) 'vk = vk -f- d vk — 2 a, akj dx,vt , k — 1,, . ., 4. Nun ist aber: (49) R d (a . Y) = 2 (ak ik a, dvt -\- ak \k 2 a0- isfe, u,) = = 2 i/c {dvk — 2 a, akj dx, vj) denn ak a, = O für kjél, und die Funktion a d (a . V) also das Differential des Vektors J, beurteilt von einem langs der j-Kurve mitbewegten Koordinatensystem, welches in P mit i und in Q mit 'i zusammenfallt. Das geodatisch bewegie Bezugssgstem. Zu jeder Stellung des Koordinatensystems in P existiert in jedem Punkte der ./-Kurve eine zugehörige Stellung. Ein System, welches nacheinander diese verschiedenen Stellungen durchlauft nennen wir ein geodiitisch bewegtes Koordinatensystem. Ist die^'-Kurve geodatisch, so ist nach (42): (50) 'i; = ij — a^(a.ij) = iJ- ; = l,....,4 und die j Achse des Systems gleitet also, immer die Richtung der Tangente behaltend, an der Kurve entlang. Dabei wird ein (n — 1)fach-orthogonaler Streifen gebildet. Jede nicht geschlossenen geodatische Linie einer höheren Mannigfaltigkeit bestimmt also nicht nur in jedem ihrer Punkte eine Richtung, sondern auch um sich herum eine (n-l)(n-2) Orientierung, die durch eine der oo » 2 (n — l)-fach-orthogonalen Streifen der Linie dargestellt'werden kann.") Geodatisches Differential und Differentialquotient. Die Funktion a d (a . V) ist das Differential von y in Bezug auf ein geodiitisch mitbewegtes Koordinatensystem. Wir nennen daher diese Funktion das geodatische Differential von y und schreiben: (51) oy = a d (a . v). a) T. Levi-Civita hat schon 1917 ') in einer Arbeit, von der mir in folge der Zeitumstande erst nach Fertigstellnng dieses Manuskriptes durch freundliche Vermittlung ein Abdruck in Handen kam, der Begriff des Parallellismus im einem allgemeinen Eaum gebildet. Das geodatisch mitbewegte Bezugssystem nimmt nacheinander Lagen ein, die im Sinne Levi-Civita's parallel sind, und der Begriff der geodatischen Bewegung ist also in dem Begriff des Parallellismus enthalten. Die Beziehungen des kovarianten Differentials zu einem geodatisch mitbewegten Bezugssystem, und die grnndlegende Bedeutung, welche die Bewegung eines solchen Systems für die geometrischen Eigenschaften des Raumes hat (vgl. S. 67 bis 69) sind aber LEVi-Civita noch nicht bekannt gewesen. ') 17.9.  EELA.T1VITATSTHEÖBIE. 47 Ein Miszverstandnisz kann nicht entstehen da dy bis hier noch überhaupt keine Bedeutung hatte (vergl. S. 39). Es ist zu beachten, dasz die Bestimmungszahlen von dy in Bezug auf eA, e'A und i, nicht dvK, dv* und dv, sind, da de*, de\ und dijim allgemeinen nicht Null sind. Bei Einführung dieses Schreibweise ergiebt sich für das auf S. 45 verwendete Bezugssystem 'i in Q -. (52) ■ 'i, ^\k — d\k. In derselben Weise definiëren wir: (53) vT = v(a.T)a. v V ist der Affinor, welcher durch skalare Ueberschiebung mit dx das geodatische Differential dy erzeugt, und kann also als geodatischer Differentialquotient aufgefaszt werden: (54) VT = ^. • dr\ In der Tat ist: (55) dr *. v y = dr1 v (a . v) a = \dr . v (a . y)\ a = a d(a . y). Allgemeiner sei noch für eine beliebige Multiplikaton -o definiert: (5°) v -o y = jv (a . y)} -o a. . Wird a konstant, so bekommen -^y, v y und v-° v wieder die i einfache Bedeutung des vorigen Abschnittes. (Vergl. S. 57). Da in einem Raume mit euklidischer Maszbestimmung a#*(a . V) die Bedeutung des gewöhnlichen Differentiales hat, bewegt sich das geodatisch bewegte System in einem solchen Raume zu sich selbst parallel Daraus ergiebt sich eine einfache geometrische Deutung für den allgemeineren Fall. Zu jeder nicht besonderen.Kurve k in einer beliebigen «-dimensionalen Mannigfaltigkeit Xn, die in irgend einem höheren euklidischen Raum eingebettet ist, laszt sich namlich eine entwickelbare ra-dimensionale Mannigfaltigkeit Tn konstruieren, die Xn entlang k berührt. Es ist nun das Selbe, ob das Bezugssystem im Raume Xn oder im Raume Yn der Kurve entlang geodatisch bewegt wird. Im euklidischen Raume Yn ist aber diese Bewegung vollstandig bestimmt. Da die geodatische Krümmung von k in Xn bekanntlich der gewöhnlichen Krümmung — von km Y ds " gleich ist, dreht sich also das Bezugssystem beim Fortschreiten langs da gerade über den Winkel dep zurück. Ist z. B. Xn eine Kugelflache und k ein Kreis auf derselben, so dreht sich das Bezugssystem beim vollstandigen Durchlaufen der Kurve um einen Winkel:  48 DIE DIREKTE ANALYSIS ZUR NEUEREN (57) a. = 2x — e ; e — „ . 4 t = -s, wenn O den Flacheninhalt der umschlossenen Kugelkappe darstellt und r den Radius der Kugel. Wird der Mantel des Rotationskegels, der die Kugel in k berührt, auf der Ebene abgewickelt, so geht die geodatische Bewegung in eine Parallelbewegung über. Beigehende Abbildungen- eines Modelles der Kugel -und des entwickelten Kegelmantels mögen den Sachverhalt veranschaulichen (Abb. 5). °) Abb. 5. Geodatisch bewegtes Bezugssystem auf einer Kugel. Die mechanische Deutung der geodatischen Bewegung. In einem dreidimensionalen Raume mit beliebiger Maszbestimmung kann sich ein endlicher starrer Körper im allgemeinen nicht bewegen, und auch die an verschiedenen seiner Punkte wirkenden Krafte können nicht zusammengestellt werden, da sich zu verschiedenen Punkten gehorige Vektoren nicht ohne weiteres vergleichen lassen. Hat aber a) Auf Wunsch des Herrn T. Levi Civita. berichtige ich hier einen Fehler auf S. 13 seiner Arbeit über den Begriff des Parallellismus ') (vergl. S. 46), der gerade dieses Beispiel betrifft. Es wird namlich dort geschlossen, dasz das Bezugssystem sich nach einem vollstandigen TJmgang überhaupt nicht gedreht hat. Der Pehlêr ist verursacht durch die Verwechslung von cos und cot in einer Formel. l) 17. 9.  relativitatstheorie. 49 der Körper einen.sehr kleinen Durchniesser S, so kann der Raumteil innerhalb seiner Oberflache in erster Annaherung als euklidisch aufgefasst werden. Es kann gezeigt werden, dasz der dabei geraachte lehler für die Resultante der Krafte die Ordnung P und für das resultierende Moment die Ordung hat. Gilt in dem betrachteten Raume eine Mechanik mit dem Grundgesetze: (58) k = ™?ï dt2 wo k die Kraft und m die Masse ist, (die zweite Differentiierung ist natürlich eine geodatische), so ist die Bewegung des Körpers gegeben durch die Gleichungen: ■(ö9) ll^ + sk^ï*- wo l£t und Kraft und Moment darstellen, die von den elastischen Deformationen wahrend der Bewegung herrühren und r den Radiusvektor (Ordnung des Fehlers è2) in Bezug auf den Schwerpunkt. Waren EkXl" und M, Null, so ware die Bewegung des Korpers also eine geodatische. Gelten in dem betrachteten Raume aber solche elastischen Eigenschaften, dasz die Spannungen von derselben Gröszenordnung (in Bezug auf ê) sind als die Deformationen, so laszt sich zeigen, dasz JQ von der Ordung <*• und von der Ordnung «T' ist. K, kann also vernachlassigt werden M, aber hat dieselbe Ordnung als das Tragheitsmoment, und die' Bewegung eines Körpers nahert sich also unter diesen Voraussetzungen fur SkXl* = 0 bei Verkleinerung der Abmessungen nicht der geodatischen "). In anderer Weise ist es aber möglich' die geodatische Bewegung mechanisch zu realisieren. Erstens kann man statt einer massiven Kugel eine mit Masse belegte Kugelschale nehmen. Bei konstanter Flachendichte dieser Belegung ist das Tragheitsmoment dann von der Ordnung J* Zweitens kann man einer kleinen massiven Kuo-el stets eine so grösze Winkelgeschwindigkeit erteilen, dasz die Anderunde^lmhtung des Drallvektors durch das Moment der elastischen «) Die entgegengesetzte in einer vorlanfigen Mitteilung ') geauszerte Meinung sei hier- rel^ frTrnmdie,d°rt geZ°genen S0hlÜSSe' tetreffs einer «^ioherweL infolge dermcht-eukhdischenMassbesümmung anftretenden Abweichungin derPrLssionsbewe^ng werden davon mcht berührt. Die Veranlassung zu einer «eingehenderen Prüfung ier bÏ wegnngsgleichnngen verdanke ich einer Korrespondenz mit Herrn H. A. Lorentz. ' ') 18. 3. Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (!• Sectie)Dl. XII. p 4  50 DIE DIREKTE ANALYSIS ZUR NEUERËN Krafte beliebig klein wird. Die Drehachse bewegt sich dann bis auf vernachlassigbare Abweichungen geodatisch. Die Koinbination von drei kleinen Gyroskopen mit gegenseitig senkrechten Achsen bildet also ein- beim Fehlen auszerer Momente praktisch geodatisch bewegtes niechanisches System. Für mehrdimeusionale Mannigfaltigkeiten gelten ahnliche Überlegungen. Eine mechanische Realisierung des geodatisch bewegten Bezugssystemes in irgend einer Mannigfaltigkeit heisze Kompaszkörper. ") , Die invarianten Eigenschaften eines Rauines können offenbar durch die Bewegungen eines Kompaszkörpers vollstandig bestimmt werden. Die geodatische Krümmung der Bahnkurven der Punkte des Kompaszkörpers. ist von der Ordnung S, wahrend alle Punkte bis auf Gröszen von der Ordnung S2 gleiche Wege durchlaufen. b) Kovariante und Kogrediente Differentiation. Da für die CtiBiSTOFKEL'schen Symbole die Gleichungen (35) und (36) gelten und für das Hessenberg'sche Symbol j * jc): (60) i !^|=?| M^ = «flMö^ wahrend ferner: /dY\* av* . „ av* „ 1 . (613) (^) =^+^^=^-<^ } ' (61c) {dy), = dvh + S flA«; % dx* = dv, — É «v (a . V) dx*, e) ist die geodatische Differentiation bis auf demOrt der hinzutretenden a) Für gewölmliche Flachen kann das geodatisch mitbewegte Bezugssystem manchmal durch einen dreidimensionalen Mechanismus realisiert werden. Ein Foucault'sches Pendel welches irgend einem Breitenkreis entlang die ruhend und kugelförmig gedachte Erde umkreist, hleiht stets zu einem geodatisch mitbewegten Koordinatensystem orientiert und das Selbe gilt, wenn das Pendel irgend eine beliebige Kurve auf der Oberflache durchlauft. Auch mit Hilfe eines Differentialrades liesze sich 'ein zweiradriger Mechanismus konstruieren, welcher, rollend über die Oberflache geführt, in jedem Punkte das geodatisch mitbewegte System anzeigt. 6) Letztere Wendung, sowie auch die characteristische Benamung „Kompaszkörper" verdanke ich einer Korrespondenz mit Herrn A. D. Fokker über das Manuskript der vorliegenden Arbeit. Herr Fokker hat in einer gleichzeitig in den Verslagen der K. Akad. v. Wet. erscheinenden Note *) die Bewegungen eines kleinen Körpers naher betrachtet. c) 99 1, S. 8. d) Nach (56), (38) und (39). e) Nach (51), (38) und (39). ') 18.6.  RE LATI VIT ATSTHEORIE. 51 Stelle identisch mit der sogenannten kovarianten *) oder kogredienten 2) Differentiation, und das geodatische Differential ist identisch mit dem kogredienten Differential Hessenbhrg's 3). Dies gilt auch für höhere Gröszen. Die hinzutretende Stelle hangt sich bei der kovarianten Differentiation rechts an, bei der geodatischen dagegen links, da deiOperator v, wie üblich, nach rechts differentiierend wirkt. Die idealen Vektoren a gestatten eine einfachere Darstellung dieser Differentiationen, sowie der allgemeineren Differentiation (56). Die Maschke'sche Symbolik. Die dargestellte Methode ist einer von H. Maschke ausgebildeten Symbolik4) verwandt. Unsere idealen Zahlen a, b,. . . . sind mit den maschke'schen Symbolen f, f-,.... identisch. Maschke verwendet aber nur die Bestimmungszahlen und bildet also keine direkte Analysis. Damit hangt wohl zusammen, dasz er dem kontravarianten Fundamentaltensor keine eigenen Symbole zuordnet, und infolgedessen nur mit Determinanten der ƒ arbeiten kann. Seine Formeln werden dadurch komplizierter und enthalten stets von n und —g abhangio-e Konstanten. Statt (13) und (18) treten z.B. die Formeln: (62) ƒ*.(ƒ ö) (* d) = (n _ 1) ! sa t a=za> d> worin: I *° "% ■ nd ■ (63) (u d) = v ) v g \ ^(2) ^(2) f faW .... fP und die bekannten drei Differentialparameter \p, \p} v(p, q) sind in beiden Schreibweisen: (64) AiP = (vp) . (yp) = —1— (pff (n — 1)! J (65) A2p = v . (v/0 =_L_((/,Ay) (66) V(p,q) = (vp).(vq)= (ff) (q f). 1) Ricci und Levi CivifA 01. 1, S. 138. *) Hessenberg 17. 5, S. 208. ') 99 1, S. 9, 17. 5, S. 200. *) 03. 2. E 4*  52 DIE DIREKTE ANALYSIS ZUR NEUEREN ~ Die Methoden von L. Ingold und J. B. Shaw. Die Vektoren e und e' sind bei anderen Autoren noch in einer in Bezug auf die idealen Zahlen ati von der unsrigen grundverschiedenen Weise aufgetretën. Da (67) o,.»» = 9t» und andererseits ^tpl (68) eV-e'v ==j,^ kann man das Maschke'sche Symbol ftl = a(JL direkt mit identifiziéren und als Vektor auffassen. Dieser Gedanke rührt von L. Ingold her. x) Mit Hülfe der e'^ bestimmt er Lineargröszen höherer Stufen, und beweist, dasz für diese Gröszen die Regeln der Grassmann'schen Ausdehnungslehre gelten.") Umgekehrt können dann aus diesen Regeln die für Differentialinvarianten gültigen Satze abgeleitet werden. Zu kovarianten Lineargröszen und Gröszen" höherer Ordnung gelangt Ingold nicht. J. B. Shaw 2) hat auf die Resultate von Maschke und Ingold fortgebaut. Er gelangt auch zu kovarianten Lineargröszen und zu einer kovarianten Erweiterung der Bedeutung von v. Die Hessenberg'sche Methode. G. Hessenberg, der schon in 1899 3) besonders durch Einführung des kogredienten Differentials eine Behandlung der Flachentheorie in formal abgekürzter Weise gab, welche die Invarianz der Formeln direkt ersichtlich macht, hat kürzlich 4) eine -wesentlich auf geometrische Betrachtungen beruhende Methode zur Ersetzung des schwerfalligen Formelapparates der Theorie der quadratischen Differentialformeln angegeben. Diese geometrischen Betrachtungen führen ihn zu den reciproken Vektoren e und e' und zwar direkt für den allgemeineren Fall, wo auch die dx* keine exakten Differentiale sind. Er stellt sich aber nicht die Bildung einer direkten Analysis als Ziel, und arbeitet zwar mit Vektoren, aber nur mit den Be•— * a) Bei der S. 8 zugrimdegelegten gruppentheöretischen Auffassung eines "Vektors könnte dieser Beweis kürzer gefasst werden. Es genügt darzutun, dasz die e'/z Vektoren in dem dort angegebenen Sinne sind, um die Gültigkeit des Systems Sln, welches eine Erweiterung der Grassmann'schen Ausdehnungslehre ist (vergl. S. 29 bis 31), sicher zu stellen. ') 10.4. ') 13.3. ') 99.1. *) 17.5.  RELATIVITATSTHEOME. 53 stimmungszahlen der höheren Gröszen. Ferner führt er keine idealen Vektoren ein, statt dessen aber gewisse Differentiale von Vektoren, welche nicht invariant sind und nicht die Orientierungsweise eines Vektors haben, und die er als Quasi-Vektoren bezeichnet. "Durch Zerlegung der Differentiale der Bestimmungszahlen des Fundamentaltensors enstehjjfc ebenso ein Quasitensor, der „Orientierungtensor". Die Art' dieser Zerlegung bestimmt welche Linien der Mannigfaltigkeit Xn die „geradesten" sind. Etst durch die Bedingung, dasz die „geradesten" Linien auch die „kürzesten" sind, wird der Orientierungstensor eindeutig festgelegt, und geht der allgemeinere Ansatz, wenn auch die dx* exakt genommen werden, in den gewöhnlichen Fall über. Geometrisch bedeutet die Einfiihrung des Orientierungs-" tensors, dasz in der ra-dimensionalen Mannigfaltigkeit Xn ein aus n Hyperkongruenzen bestehendes Netz ausgebreitet wird. Statt des geodatischen Differentials tritt dann das Differential in Bezug auf das so entstand ene Bezugssystem. Die analytische Bedeutung ist, dasz bei allgemeiner Wahl des Orientierungstensors das Invariantensystem zweier Formen betrachtet wird. Die Methode von F. Jung. F. Jung hat kürzlich1) eine systematische Behandlung von Grossen höherer - Ordung auf Grassmann'scher Basis gegeben. Dabei ist es ihm gelungen die „Feldableiting" vy für beliebige Koordinaten zu definiëren. Er verwendet die Vektoren e und e'; die Gleichungen (23) und (24) sowie die aus (35) und (36) hervorgehenden Beziehungen: (69) W fv S A/a ) _ c» e', sind ihm bekannt. Er arbeitet aber, soweit dem Verfasser bekannt, bis auf einige sehr kurze Andeutungen in einerfrüheren Arbeit 2) stets nur in einer Mannigfalligkeit Xn mit euklidischer Massbestimmung, und gelangt 'so weder zum Beweise der allgemeineren Gültigkeit seiner Formeln, noch zum Bègriffe des geodatischen Differentialquotienten vy. Ideale Elemente treten bei ihm nichtauf. n) ') 17. 8, 18. 4. *) 10.5, S. 384 und 389. ") Aus einer Korrespondenz mit Herm Jung ist mir inzwischen hervorgegangen, dasz Üerr Jung die allgemeinere Gültigkeit seiner Formeln kannte, und für sich'selbst'schon zur Behandlung des allgemeineren Falies gelangt war. (Vergl. S. 72). Auch teiltc er mir eme von ihm gefundene Gleichung mit,.die, ohne Verwendung von idealen Elementen, mit meiner Gleichung (120) auf S. 59 korrespondiert.  54 DIE DIEEKTE ANALYSIS ZUR NEUEREN Geodatische Differentiation von Produkten. Aus dem Umstande, dasz das geodatische Differential ein gewöhnliches Differential ist in Bezug auf ein geodatisch mitbewegtes Bezugssystem, sowie auch aus (18) und (51), folgt für Produkte realer oder idealer Vektoren: (70) rf(v4. y. .vP) ■ ■ •■ ■ ■ wl • yp)i »i- $ &p (71) T. .vp) = [v K^.Yi)... .(vv,,)j]^(a,. .ap), und für ein Produkt zweier beliebiger Gröszen : p g p q p q (72) rf(v-f w) = V) Yf + (V W) -g» V, wenn -o, -o, -?> und -jp die S. 34 angegebene Bedentung haben. J5e-;- einmalig angewandte Operatorkern V verhalt sich also auch in der erweiterten Bedeutung algebraisch' wie ein Vektor, und es bleiben die im vorigen Abschnitt angegebenen Begeln für Anwendung auf Produkte gelten. Wird V zweimal hintereinauder verwendet, so ist dieser Schlusz nicht rnehr zulassig, da das Differential' sich in beiden Pallen auf zwei verschiedene Incremente ti,X und d2X beziehen kann. Das geodatisch mitbewegte System ist dan nicht in beiden Pallen das Selbe und erst eine nahere Betrachtung kann lehren, ob auch in diesem Palle die Regeln des vorigen Abschnittes gültig bleiben. (Vergl. S. 58). Mit Hülfe der idealen Vektoren a ist es möglich jeden beb>bigen Faktor eines allgemeinen Produktes in ein skalares Produkt aufzunehmen und beiseite zu schaffen: (74) Yi.... yp =,(y/. a) Yi... • \Hl a y(+1 .. .*. y„ •, und es ergiebt sich daraus eine einfache Formel für das geodatische Differentialquotient eines allgemeinen Produktes: ^ (75) VVt. ■Vp = if V(Yj.a)Y1. • Yj_i a YJ+i • • Yp, i..p (76) v Yi-.. .vp = 2(vy,)1 av4... .;Via%- • • -v„.  RELATIVITATSTHEORIE. 55 Ebenso ist: (77) v1^... .y,)=yv(yJ. . a)1(y1. ...yHaYj+1... .yp), (78) v4, (Yi.... v,) = sv (y,- . a) 17 (Ti • • ■ . V;_i a vj+1.... v„). Andererseits ist: (79) v v==a(a.v)y, und man kann also auch v in ein skalares Produkt aufnehmen und an eine gewünschte Stelle bringen, sodasz sich die Formeln ergeben: (80) v Vl. . . yp = 2 a v,. . . v.,_a i (a • v) y j yj+i ...yp, (81) v 1 (Vl. . . . v„) == |;a1 v4.. . . y;_a j (a. v j V; | v/+1. . . . y/;, i...P (82) v T(y.1. .. .v„) = SaTVi- • ■ I(a.v)v,|ym. .. .yp, (83) vy w = (v y)w-fav(a.v)w==a {(a'v y)w-fva'! vwj. Die zweckinassige. Anwendung dieser Formeln giebt der Rechnung eine besondere Geschmeidigkeit. Die von 2g unabhangig en Differ en tiaiionen. Infolge (61a) ist: (84) . (vxvw = V,(^-vO v o x* o x* ' und V X v, oder allgemeiner V -L, y, ist also von 2g unabhdugig. Daraus geht hervor, dasz ebenso V X >v und V . 3y, oder allgemeiner v p v _L, y und v -A, y, von 2g unabhangig sind. Denn es ist z.B.: (85) v x 2y = v x C?i X t2) = (v x vo X y2—(v x v2) X yJ. Für diese Differentiationen gelten also alle Regeln des vorigen Abschnittes, namentlich ist auch (vergl. (I 109)): (86) v X v X v = 0 ,| v A (v A y) 0, (87) v . (v'X2V)="0 *| v j| (.v j&j V) = 0 30* (88) (v XV) . 2y= — I V , (V X 2y*) = 0.  56 DIE DIREKTE ANALYSIS ZUR NEUEREN Die Differentiationsregeln der /contravarianten Bestimmungszahlen von Vektoren und Bivektoren. Da nach (25): (89) I = |/-0' E = -JL= E', V-9 ist nach (I 20) und (I 68): (90) y*=-1 y = - 41*1 y = - 4\Z~gYi1V == \Z^g{jf -f etc), und daher: (91) • v*^ = [/- g va , cycl. Infolge der Unabhangigkeit von v. y* von 2g ist also: (92) v.v = Iv.(-lv) = S^- V/- g v\ * o x* Ebenso ist: (93) v. 2y =*I ?X2v* = KX (|/— 9 ec d + etc.) = = e^ + etc.)= urid daher• (94) v *2y = ^ J §|| || eV Schliesslich ist: (95) v X 3v = — I v X 3T* Hl 3 ö und infolgedessen: Geodatische Differentiation des Fundamentaltensors. Da der Fundamentaltensor in Bezug auf ein geodatisch mitbewegtes Koordinatensystem konstant ist, folgt: (97) ^a2 = a dn -f- dn a = 0. Ferner ist : liÉÉÉÉ  REL ATI VIT ATSTHEORIE . 57 (98) a da = d(a.h) a b = (a.tfl» a b -f (b.rfa) a b = = b = T) — tf* (a. b) rf„ (a. v)j b = J&« v In einfacherer Weise ergiebt sich allgemein: (115) ixix:vvv=Wvy-^(^X1 V V)—^aX1 V V= p p = ^iv-a) rfx1 etc., und durch wiederholte Differentiation eines Vektors: dv itf Jllll (124) rf? = arf(a. v) ;-r-ï = vv=to(to.v)T=toa(to.v)(a.v)- fflXt d2V = \)d\Q) . a)«/(a.T)j; —,=vv\r = cMc • v)(to. V)Y= ^X; |gj* = ctoa(c . v)(to . v)(a . v) d3v = crf[(c • to)d\(to . a)rf(a ■ v)[]; —8 = dcba(d.v)(c.v)(i).v)(a. v). etc. Linien-, Flachen-, Hyper/lachen- und Baumintegrale. Wir* wollen nun zeigen, dasz der Satz: (125) j V . Y dr = J Tl . V du T AI (GAUsz'scher Satz für vier Dimensionen, vgl. S. 38) auch für einen beliebigen Raum gilt. Dazu bilden wir zunachst das Integral: (126) ƒ %&é$jlf |J dxadx"dx"dxd^'^ T \ in der Annahme, dasz \Z— immer nur in zwei Punkten schneiden. Sind 2h und p.2 die Werte von p in den Schnittpunkten einer «Linie, und gehort pt zum gröszten Wert von x", so ist: (127) ƒ Y^d\ = ƒƒƒ » ^ ^ ^ Éf| a) Nach (79) und (101).  RELA.TLVTTA.TSTHEORIE. 61 Nun ist in einem Punkte der Hyperflache u mit einem höheren x" VVert, nach der Voraussetzung auf S. 38: (12S) 3lll du = é? e„' dx' dxc d xd -f da Ga', e,/, ec', e,/ in dieser Reihenfolge den Hyperschraubsinn von I bestimmen. Ebenso ist in einem Punkte von r mit einem niederen 'xa Wert: (129) 3m du = — e'b'e'c e'd dxb dxc dxd-{- Es ist also: (130) e'„. 3m du = + e'a ?b e'c e', dx" dx-- dxd = .±I dx" dx" d% und demzufolge: (131) % f ^ dT = ifpe'a. 3m du = jpe'a.ndu. Wird diese Formel auf die kontrtvarianten Bestimmungszahlen eines Vektors v angewandt: t OXa „ so ergiebt sich bei Summierung: (133) j V.y^r = fn.Vdu. t T • Nun ist im allgemeinen \Z—,j jé, 1, es lassen sich aber immer andere Urvariablen einführen, sodasz |X—^ = 1 wird. Das Résultat ist aber invariant und also von den eingeführten Urvariablen unabhangig. Auch schneiden die «-Linien im Allgemeinen u in mehr als zwei Punkten. Dann kann aber t immer so zerteilt' werden, dasz die Bedingung für jedes Teilgebiet gilt. Die Integrale über die gemeinschaftlichen Begrenzungshyperflachen heben sich dann bei der nachfolgenden Summierung in bekannter Weise auf. Der Beweis ist also auch für den allgemeinsten Fal.1 geliefert. In ahnlicher Weise wird bewiesen; (134) fds.Y = — 2 ƒ 2f2 (V XT)è= - ƒ ?f.(V X T) der und: (13 5> ƒ 2f 2y da- = j(3m X v). 2v du = — I f (n X v). ,y du 17 u ' co Die allgemeineren Formeln (I 111), (I 114), (I 117) gelten aber  RE L A TIVIT ATSTHEOEIE 65 und diese Grösze ist unabhangig von v Null, wenn K Null ist. 4 Ist K überall Null, so ist demnach jede infinitesimale und infolgedessen auch jede endliche geschlossene Kurve in X4 eindeutig orientiert.") Das geodatisch. mitbewegte Koordinatensystem hat dann bei der Rückkehr im Punkte A stets wieder die Anfangsstellung, unabhangig von der Wahl von s, und es giebt infolgedessen zu jedem Koordinatensystem in A in jedem Punkte von X4 ein einziges korrespondierendes Koordinatensystem. Für das durch diese Koordinatensysteme gegebene Orthogonalnetz gilt: (153) dij = 0' j= 1,. . . .,4, und jede Hyperkongruenz des Netzes ist also geodatisch. Da ebenso: (154) v i;. = (v aj)(i = 0, ist allgemein: (155) ■ ahajk=0 , h,j,k=\,...,4, und jede Hyperkongruenz ist also auch normal. Als Urvariablen können demnach nach S. 63 die von einem bestimmten Satz von 4 Hyperflachen aus gemessenen Bogenlangen der Parameterlinien verwendet werden, und es wird dann (156) ^ = 1 - g{„ = 0 ' = ..,d und infolgedessen: (157) . ,ds = y/daf+ Die Vektoren e, e' und i werden gleich, es besteht in 2T4 eine euklidische Maszbestimmung, und samtliche Pormeln gehen zurück auf die Pormeln des vorigen Abschnittes. K ist der Riemann-Christoffel'sche Affinor. Denn, nach (119) ist (158) K = (2vb)b = 2 i v(a.c) X v(b.c) j al), oder, wenn zur gröszeren Allgemeinheit kovariante und kontravariante Vektoren verwendet werden: (159) K = (2v b) b = 2 jv (a a c') X v (b a c')) a b Der Riemann-Christoffel'sche Affinor: ö ' - o • ' (160Ï GK^V = ^(«AffK/J—j^(aAaxv)—^\ajiKV.ba>bx —auaxvbabAfi} a) Dieser Beweis ist nicht streng, da auch mit infinitesimalen Flachenteilen von anderer Gestalt Rechnung gehalten werden müszte. Der Kürz.e wegen ist von einem strengen Beweis Abstand genommen. Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (le Sectie) Dl. XII. E 5  66 DIE DIREKTE ANALYSIS ZUR NEUEREN kann aber in die Form: [2 a 1» (v(a a c') X v (fo a c'))]«*,., gebracht werden, und es ist also: . 4 (161) = Da aber bekanntlich: (162) Gy.Ky.v = G^>. . 4 ist K mit dem Riemann-Christofferschen Affinor identisch. Aus K entsteht durch Faltung nach dem zweiten und dritten Faktor ein Tensor zweiten Hauptranges: (163) 2K = (2v4a)a, oder mit Verwendung von kontravarianten Vektoren: (164) 2K = v(aAC')H)|v(lbAC')Aa'!—v(bAC')l)lv(aAc')Aa'| — = (v c') t (v c) — (v c) (v a e5), und durch nochmalige Faltung: (165) K= (,v?a).a, oder mit Verwendung von kontravarianten Vektoren: (166) Z=[v(aAC')AT>')|7(lt)AC')Aa'|-lv^>AC')A'b'l(v(aAC')Aa')= = v c'2 v c' — (v a e') (V a c)'. Der Skalarteil von 2K ist: und der Deviatorteil: -2K —iX2g. Für den Tensor: (167) 2G=2K-72*2g> der denselben Deviatorteil hat als aK, aber einen Skalarteil mit entgegengesetztem Vorzeichen, gilt bekanntlich die wichtige Identitat: (168) y^G = 0.°) a) Tabelle der Bezeichnungen bei einigen Autoren: | EiNSTEIN LOREKTZ HlLBERT j HERGLOTZ BlANCHI. •K B„„ Gf« V V 1 _ •ft - Gpv ~f^[^9K]l*» G> K ■ — K — Vz » | EiNSTEIN LOREKTZ HlLBERT j HERGLOTZ •K B„v GK» Kl» ~Kltv \ _ •ft - Gf*v ~l7^LV?rW Gf"  RELATIVITATSTH EORIE. 67 4 Die geometrische Bedeutung von K. 4 Der Affinor K ist ein Bivektortensor, und kann also als Potenz eines idealen Bivektors geschrieben werden: (169) 4 K = 2k2k Geometrisch stellt K eine lineare homogene Transformation von Bivektoren dar. Das Flachenelement 2fd °"o die materielle bez. elektrische Ruhedichte. d V.0 , das Ruhevolumen. m, e die Masse bez, Lajiung von d Va. V' = —r der Einheitsvektor der Bewegung (Vierergeschwindigkeit). F der Vektor der pro Volumeinheitangreifende Kraft (Viererkraft). q der Vektor des elektromagnetischen Potentials. 2M = 2vXq der elektromagnetische Bivektor. dT das natürlich gemessene vierdimensionale Volum- element. Bekanntlich ist: /1 % m mds e eds (1) p„ = = cr = — (2) p0dT = mds , cr0dT=zeds. Da m, e, ds und dr bei Aenderung der Urvariablen invariant sind, sind p0 und (Po) = — r-o+ZOÜ, welche Gleichung für den speziellen Eall eines inkoharenten Massensystems übergeht in: (8) Li = L0 = — Po. f(p0) hat also die Bedeutung eines Korrektionsgliedes. Z2 rührt vom elektromagnetischen Felde her 3)| (9) Z2=V4/*2M?2M und Zj ist zuerst von Schwarzschild 4), spater von Tresling 5) und Fokker6) verwendet für die bewegten elektrischen Ladungen: (10) Z3 = ^p'AQ =/*p.q. ' L% ist bis auf einen Zahlenfaktor mit der Krümmung K identisch: (11) L, = -~K. a) So lange 2g* nicht variiert wird, existiert kein Unterschied zwischen kovarianten und kontravarianten Gröszen, I und I' sind identisch, und für dx' und p' kann-geschrieben werden dx bez. p. Es sei jetzt die Variation des Integrales ƒ Ldr T für verschiedene Falie berechnet. a) Cr. Mie.1) hat gezeigt, dasz alle skalaren Simultankovarianten von p, ,M, und wsich aus und es ist demzufolge: JZ1=-2^w.[v*(wXJx)|=-2v.|(wX^x)?'(/Ü7[|- 1 ' 1jq J (a8) ^|('xxff),wlJx Da p ein Einheitsvektor ist,*ist infolge (4) und infolge der Kontin uitatsgleichung t (29) v.p = 0 in derselben Weise wie für w abzuleiten ï (30) ^p = v.(pX^X)=2v1(pX^X). Für (p0) — Po (Po)) 2g j = v [

„)) ! 2g = = — Po 4>" (Po) V Po = — " (Po) (V W) 1 W ist also: w "W w (40) -W.(vXf (Po) ^-) = — v 1 \ (Po)" Po '(Po))2g!- Der Tensor: WW , (41) cD' (po) — ( (Po) — Po

(£*) = 0 ^^^(v^T)1^ (96) J(Z2f/r) = (V12i))1 Jx è(L3dr) = 0 • J(Z4rfr) = i(V12G)1^X= 0. x Bei der Verrückung des Feldes q ist nach (12) und (13) ebenso: •*(**)-o è(LidT) = Q (97) S(L2dr)= /x (v * 2M) . q è(L3dT) = /Ap . 2 q ï\LAdz)-= 0, und diese beiden Variationen heben sich infolge (16) auf. Es resultiert also die Impuls-Energiegleichung (98) v ! (2T + 2D) = 0. H. Weyl b) hat Wohl zuerst ausdrücklich darauf hingewiesen, ' dasz die Impuls-Energiegleichung der Ausdruck dafür ist, dasz das o) 15. 2. b) 17. 3 S. 121.  RELATIVITATSTHEORIE. 89 HAMiLTON'sche Prinzip insbesondere bei denjenigen Variationen erfüllt ist, die einer virtuellen Verrückung des Feldes entsprechen. ") Zusatz, die neuesie WeyVsche Theorie betreffend. Sind zwei verschiedene Fundamentaltensoren 2ff = a2— a2 und -g = z = Zï =. . . gegeben, und sind die zugehörigen geometnschen Differationssymbole d, V und 'd, 'v, so ist bei Anwen^ dung auf einen Skalar: (") dp = dp, v p = v'p. Für die Differentiation eines Vektors gilt aber: (100) 'dv = 'd(z'iv)z = dyiz' z + vUz' Z = = dy -f dx' y2 a' v (a< z') z = dy — dx! v2 z' v (z ' a') 'a rfv" = rfF' + £0:' v'2 a v (a'lz) z' == rfr* — dx' v'2 z v (z'1 a) a' und ebenso: (101) Vy = vv + T1a'v(a1z')z = VY-v^Z'v(zJa')a 'v y'=vy'4-v,!av(8Mz)z'-vy,-y'!Zv(zMa)a' Der wegen (II 84) in den beiden ersten Stellen symmetrische Affinor 3 (102) A'" = a y (a'1 z) z' = — z v (z'1 a) a'") ermöglicht also den Übergang zwischen den beiden Differentiationen: (103) d) 'dy = dy — A.'"2 y dx' , 3 dy = dy' -f- dx' y'2A"' 3 <5) 'V y = V y — A "' ' y. c) f 3 vy' = v y' -f- y'' A'" a) Die abgeleitete direkte Analysis ist in diesem Abschnitte nnr angewandt auf die* Uerechnung der mechanisch-electromagnetischen Grundgleichungen aus'dem Variationspnnzip. Es ist gerade dieser schwierigste Teil gewahlt um das System'einer Kraftprohe ■ zu unterwerfen. Einfachere Anwendungen kommen als für sich verstandlich nicht zur Sprache, und eme systematische DarsteUung der Einstein'schen Relativitatstheorie ist dann auch nicht angestreht. Der Übergang zu den Koordinatengleichungen wird nicht gemacht, es sind zu diesem Übergange natürlich die Einheiten 10, i,, 1, 1 auf S. 15 zu verwenden. b) Ein gemischter Affinor sei angegeben durch einen aus Punkten und Kommazeichen zusammêngesetzten Index, der die Stelle der ko- und kontravarianten idealen Faktoren an giebt. c) Diese Formeln sind eine Erweiterung der bekannten Formeln (II 61) und gehen in diese über für den Fall dasz 'g zu einer euklidischen Maszbestimmung gehort, ( v a) a = 0 und aUgemein ^ej; £^ = 0 j»J&| , d gewahlt wird.'  90 DIE DIREKTE ANALYSIS ZUR NEUEEEN . \ lm speziellen Fall, dasz (104) '2g = 2 a'2 — b a b' a' — a b b' a') ist offenbar bei der Transformation (104) invariant. Infolge (105) ist nun: 111111 (108) d) VY = ^-B""?8Y&' ^ffl 4 b) 'vv = vy — B'""2sy. |*1*j Bilden wir nun bei einem gegebenen Vektor q die Funktionen 4 (109) d) # v = 6?v-|-B'"3 q v <2x' 4 %>i b) v*t = vy4-B""?qv so sind dies ein Differentialquotient und ein Differential von v in Bezug auf ein mitbewegtes Bezugssystem, dessen Maszeinheiten sich transformieren nach der Formel 4 (110) 'ij = ij—d*ij = 1, — dij + B 3qijdx', j=l...,n. Die Funktionen (109) haben nun die bemerkenswerte Eigenschaft, dasz sie nicht nur unabhangig sind vom Bezugssystem sondern auch noch invariant bei der Transformation: (111) 2'g = zu ,esen — Zeüe 8 von (25) links, steht -i'0, zu lesen f Zede 10 von (25) links, steht -fe-l'g, zu lesen Il2 = 1 Jö. . 26 dritte firvolf^ m_u_n r, ~ . - V uc' -Laueiie z/eue 2, li und 17, steht c zu lesen c. in derselben Spalte Zeile 6, steht fo, zu lesen J) • 43 Fuszn. d) steht iJAvi,, zu lesen L, i,2 v i,.   INHALTSVERZEICHNIS. Einleitung ï g Erster Abschnitt. Das Zahlensystem R°ix der orthogonalen Gruppe in vief Grundvariablen 7—88 Höhere Gröszen und ihre Zahlensysteme 7 Die allgemeine, symmetrische und alternierende Multiplikation der orthogonalen Gruppe g Das Zahlensystem R?k der Lineargröszen 11 Die freien Rechenregeln des Systemes R\ 15 Beispiele einiger Produkte 16 Beispiel der Einführung idealer Vektoren 17 Geometrische Deutung einiger Produkte . . . . 18 Die skalaren Überschiebungen höherer Gröszen 21 Die_ lineare homogene Transformation von Vektoren und Bivektoren . . . 23 Die Überschiebungsregel 24 Das System R\ und die einfache Relativitatstheorie 25 Die Faltungen 27 Die vektoiïschen Überschiebungen höherer Gröszen 27 ; Die Zerlegung eines Affinors zweiter Hauptordnung 28 Das System Sln der Lineargröszen 29 Operatoren und Operatorkerne 83 Linien-, Flachen-, Hyperflachen- und Raumintegrale im j?4. . » 36 Zweiter Abschnitt. Die Analysis zur allgemeinen Relativitatstheorie 38—74 Die Urvariablen und die Vektoren e und e'. . . 38 Einführung des Fundamentaltensors 39 Orthogonalnetze und Orthogonalsysteme 43 Die Christofferschen Symbole 43 Die geodatische Linie 44 Das geodatisch bewegte Bezugsystem 46 Geodatisches Differential und Differentialquotient 46 Die Maschke'sche Symbolik 51  1NHALTSVERZEICHNIS. Seite Die Methoden von L. Jngold und J. B. Shaw 52 Die Hessenberg'sche Methode 52 Die Methode von F. Jung. . . .- 53 Wpm Geodatische Differentiation von Produkten 54 Die von 2g unabhangigen Differentiationen 55 Die Differentiationsregeln der kontravarianten Bestimmungszahlen von Vektoren und Bivektoren . . . , 56 Geodatische Differentiation des Fundamentaltensors 56 Mehrfache Differentiation 57 Der Affinor K 58 Einige Formeln für mehrfache Differentiationen 59 Linien-, Flachen-, Hyperflachen- und Raumintegrale 60 Eigenschaften besonderer Orthogonalnetze . . 62 Der R iemann-Christoffel'sche Affinor GKAia 64 4 Die geometrische Bedeutung von K * 67 Die geometrische Bedeutung von K 67 Die geometrische Bedeutung von 2K und 2Gr •. . 71 Der zweite Fundamentaftensor 2h. . . .' 7 . . . 72 Dritter Abschnitt. Anwendung en ' 7 5 9 \ Die Weltfunktion 75 Variation des elektromagnetischen Potentials 77 Virtuelle Verrückung der elektrisch geladenen Materie 77 Andere Deutung der virtuellen Verrückung der Materie. . . , 81 Variation des Gravitationspotentials 83 Die Bewegungsgleichungen abgeleitet aus den Feldgleichungen der Grayitation ' 87 Virtuelle Verrückung des FeldesA . . . 88 Zusatz die neueste Weyl'sche Theorie betreffend 89 Litteraturverzeichnisz 92 95  BEGRÜNDUNG DER MENGENLEHRE UNABHANGIG VOM LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DRITTEN von Dr. L. E. J. BROUWER professor an der üniversitat amsterdam. Zweiter Teil: THEORIE DER PUNKTMENGEN. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam (EERSTE SECTIE). DEEL XII. N°. 7. amsterdam JOHANNES MÜLLER 1919.   Begründung der Mengenlehre unabhangig vom logischen Salz vorn ausgeschlossenen Dritten. Zweiter Teil: THEORIE DER PUNKT MENGEN. 1. Die Grenzpunkte.. FÜr die folgenden Betrachtungen wird die Menge „9 der Paare von (nicht notwendig verschiedenen) Elementen einer geordneten Men- der Ordinalzahl , als gegeben angenommen. Diese Menge „ werden wir des kürzeren Ausdrucks wegen durch die'Menge derjemgen Punkte der Ebene, deren rechtwinklige Cartesische Koordinaten endliche Dualbrüche sind, reprasentieren. Dementsprechend wird unsere Terminologie öfters der Vorstellung der Ebene entnommen sein obwohl sie sich begrifflich ausschliesslich auf die Menge >?2 bezieht. 6 ein!^ t6111- QUadmte K VerSt6hen Wh" ^ S^Stem der EckP^kte e nes die Veremigung von -vier (nach S. 8 des ersten Teiles definiëren) Quadraten j + bildenden Quadrats. Die Species der Quadrate A besitzt offenbar die Kardinalzahl a, und kann als eine Fundamentalreihe A , A , A ,. . . geordnet werden. Unter einem Punkte der Ebene verstehen wir eine unbegrenzt SsT , g, tadraten A' dGren i6deS im In-ngebiete des nachstvorangehenden enhalten ist. iedi'n Z7i/Unkte/1 ™d ^ Eigenschaft besitzen, dass in jedem Quadrate von P, ein Quadrat von P2 und in jedem Quadrate von P ein Quad t ^ enthalten .st; go dagg und P2 zummmenfallen. Eme Punktspecies, von der je zwei Punkte zusammenfallen, heisst eine punktierte Species PunltT QUa(lra^1 PUnktCS P* UDd das Quadrat 92 des lunk es P ausserhalb voneinander liegen, so heissen P, und P or titelt verscheden. 1 2 M,eng!' VOn der J'ede« Element einen Punkt der Ebene Fhet V 7 KeinCDie Species der Punkte der Ebene ist offenbar eine ebene Punktmenge; ihre Kardinalzahl ist c. In derselben Weise, wie Punkte der Ebene und ebene Punkt- Gr V  4 BEGEÜNDUNG DEE MENGENLEHEE UNABHANGIG VOM mengen, können Punkte des n-dimensionalen Baumes und n-dimensionale Punktmengen definiert werden.x) Weil dieselben aber irn folgenden ausser Betracht bleiben, so werden wir einen Punkt der Ebene auch kurz als Punkt und eine ebene Punktmenge auch kurz als Punktmenge bezeichnen. Wenn für jedes » nach jeder ungehemmten Folge von n—1 Wahlen die Species derjenigen Ziffernkomplexe, die, als «-ter Ziffernkomplex gewahlt, nicht die Hemmung des Prozesses herbeiführen, entweder endlich oder abzahlbar unendlich ist, so heisst die bezügliche Punktmenge numeriert. Wenn für die Elemente der Species M die Eigenschaften ctx und a2 einander kontradiktorisch gegenüberstehen, d. h. wenn jede dieser beiden Eigenschaften mit der Ausschliessung a priori der anderen aquivalent ist, wahrend die Species derjenigen Elemente von M, welche die Eigenschaft ct^ bzw. at2 besitzen, mit Mx bzw. M2 bezeichnet wird, so sagen wir, dass M sich kontradiktorisch spaltet in Mx und M2, und nennen Mx und M2 konjugierte Spaltungsspecies von M. Die Species M der unbegrenzten Wahlfolgen einer Menge spaltet sich kontradiktorisch in die Species Mx derjenigen Wahlfolgen, bei denen von einer gewissen Wahl an "jedesmal nur für einen einzigen Ziffernkomplex keine Hemmung des Prozesses stattfindet und die Species M2 derjenigen Wahlfolgen, bei denen unendlich oft für wenigstens einen von dem gewahlten verschiedenen Ziffernkomplex keine Hemmung des Prozesses stattfindet. Wenn die Species der ungehemmten endlichen Wahlfolgen von M in solcher Weise in die Species der M und Mx, nicht aber M2, und die Species der M2 angehörigen ungehemmten endlichen Wahlfolgen zerlegt ist, dass jede der Species Mx und M2 mit der Species der unbegrenzten Wahlfolgen einer Menge identisch ist, so sagen wir, dass M eine innere Abbrechung erster Ordnung zulasst und nennen Mx die innere Appendix und M2 die innere Koharenz von M. In diesem Falie setzt M sich auch aus Mx und M2 zusammen. Sei M die Species der unbegrenzten Wahlfolgen einer Menge und /3 eine wohlgeordnete Ordinalzahl. Alsdann definierén wir die mit M((2) zu bezeichnende fi-te innere Kohdrenz, die mit (/3)Jf zu bezeichnende fi-te innere Adhdrenz und die mit \fi]M zu bezeichnende 1) Die Bezeichnung „Punkt der geraden Linie", bzw. „Punkt des n dimensionalen CartesiscTien Eaumes" ist schon S. 10 des ersten Teiles einmal gebraucht worden, aber in einem von dem hier deflnierten verschiedenen Sinne.  6 BEGRÜNDUNG DER MENGENLEHRE UNABHANGIG VOM uniformen Punktspecies Q erzeugten Quadrate und vx, v2,. . . eine solche Fundamentalreihe, dass mv < tg-. Alsdann erhalten wir eine mit Q zusammenfallende gleichmassige Punktspecies R, indem wir zunachst in Q nur die i^-ten, v2-ten usw. Quadrate beibehalten, und sodann jedes v„-te Quadrat q von Q durch ein solches Quadrat A3n_1 ersetzen, dessen Mittelpunkt zunachst dem Mittelpunkte von q möglichst nahe liegt, und im übrigen möglichst grosse Koordinaten besitzt. Wenn je zwei verschiedene Wahlfolgen einer Punktmenge zu örtlich verschiedenen Punkten führen, so heisst die Punktmenge örtlich individualisiert. Wir sagen, dass zwei Punktspecies Q und R örtlich übereinstimmen, wenn weder ein von jedem Punkte von R örtlich verschiedener Punkt von Q, noch ein von jedem Punkte von Q örtlich verschiedener Punkt von R existieren kann. Zwei Punktspecies Q und R heissen örtlich kongruent, wenn weder ein Punkt von Q, dessen Zusammenfallung mit einem Punkte von R unmöglich ware, noch ein Punkt von R, dessen Zusammenfallung mit einem Punkte von Q unmöglich ware, existieren kann. Wenn kein mit einem Punkte der Punktspecies S züsammenfallender Punkt der Punktspecies R existieren kann und <2>(i2, S) mit der Punktspecies Q örtlich kongruent ist, so sagen wir, dass Q sich aus R und 8 örtlich zusammensetzt und nennen R und S örtliche Komplementarspecies voneinander in Q. Die Species der mit Punkten der Punktspecies <2 zusammenfallenden Punkte heisst die erganzende Punktspecies oder kurz die Erganzung von Q. Eine mit ihrer Erganzung.identische Punktspecies heisst eine ganze Punktspecies. Wenn ein Quadrat des Punktes P im.Innengebiete des Quadrates q enthalten ist, so werden wir sagen, dass P in q enthalten ist. Wenn alle Punkte der Punktspecies Q in einem bestimmten Quadrate q enthalten sind, so nennen wir Q eine geschrankte Punktspecies. Die im folgenden in Betracht kommenden Punktspecies und Punktmengen werden ohne ausdrückliche Erwahnung des Gegenteils als geschrankt vorausgesetzt werden. Der Punkt P heisst ein Limespunkt der Punktspecies Q, wenn in jedem Quadrate von P ein Quadrat eines Punktes von Q enthalten ist. Der Punkt P heisst ein Grenzpunkt der Punktspecies O, wenn in jedem Quadrate von P zwei ausserhalb voneinander liegende Quadrate von Punkten vou Q enthalten sind.  LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DE1TTEN. 9 der Ableitung von Q. Auf Grund der letzteren Eigenschaft ist die Ableitung einer Punktspecies eine abgeschlossene Punktspecies und lasst eine perfekte Punktspecies sich auch als eine Punktspecies, deren Ableitung und Erganzung identisch sind, definiëren. Die Species der Kondensationspunkte der Punktspecies Q heisst die Koharenz von Q. Eine in sich dichte Punktspecies lasst sich auch als eine init ihrer Koharenz identische Punktspecies definiëren. Eine in sich dichte Punktspecies ist in ihrer Ableitung als Teilspecies enthalten, und diese Ableitung ist perfekt. Die Species der isolierten Punkte der Punktspecies Q heisst die Appendix von Q. Die Punktspecies Q spaltet sich kontradiktorisch in ihre Appendix und ihre Koharenz. Die Abschliessung der Punktspecies Q spaltet sich kontradiktorisch in die Ableitung von Q und die Erganzung der Appendix von Q. Sei /3 eine wohlgeordnete Ordinalzahl. Wir definiëren die mit Q(/3) zu bezeichnende fi-te Koharenz der Punktspecies Q auf Grund der folgenden Festsetzungen: Q(0) ist identisch mit Q ; Q{\) ist identisch mit der Koharenz von Q ; wenn /3 = j81 -j- /32 auf Grund der ersten erzeugenden Operation, so ist Q(/3) = jQ{^)\ (/32); wenn P —2/3, auf Grund der zweiten erzeugenden Operation, so ist K=l Q(/3) = S) {£(&), Qifr -(-/32), Q(/3X -f /32 + /33),. . . |. Diese Definition ist offenbar unabhangig von der Erzeugungsart von (2. Weiter ver-, stehen wir unter der (2-ten Adharenz (/3)Q von Q die Appendix von 0(/3)_und wenn eine willkürliche wohlgeordnete Ordinalzahl < (2 mit /3 bezeichnet wird, so verstehen wir unter der (2-tenAppendix [fi]Q von Q die Vereinigung aller (fi)Q- Mittels der induktiven Methode beweisen wir leicht die beiden folgenden Satze: Für jedes (2 spaltet Q sich kontradiktorisch in Q((2) und [@]Q. Sei namlich /3 = E^„ auf Grund der zweiten erzeugenden Operation; wir nehmen an, dass für jede Punktspecies Q und für jedes v bewiesen ist, dass Q sich in Q(/3V) und [/3„]Q, mithin auch inej^jQ, [ft] Wit- ■ ■, [A] (QCft +/32 +... +/3V_1)|J und 003,+... + ft) kontradiktorisch spaltet; um sodann weiter einzusehen, dass Q sich ebenfalls in Q((2) und © j [ftjQ, [/32] | QOj)), [/33] j -[- /32)],. . .| kontradiktorisch spaltet, bemerken wir, dass zu jedem Punkte P von Q, für den die Zugehörigkeit zu Q(/3) a priori ausgeschlossen ist, ein solches 'v angegeben werden kann, dass die Zugehörigkeit  10 BEGRÜNDUNG- DER MENGENLEHRE UNABHANGIG VOM zu Q(/3X -J- /32 -j- . . . -f- /3„) ebenfalls für P a priori ausgeschlossen ist, so dass P notwendig zu einer der Punktspeciesf/SJQ} [/32] jQ(/3,)j,. . ., f/SJ '\Q{^ + /32 +. . . + gehören muss. Für jedes /3 ist eine willkürliche in Q als Teilspecies enthaltene in sich dichte Punktspecies ebenfalls in Q(/3) als Teilspecies enthallen. Wenn eine solche wohlgeordnete Ordinalzahl /3'q bekannt ist, dass Q(/3'q) in sich dicht ist, so heisst Q(/3'q) die finale Koharenz von Q. Sei /3 eine .wohlgeordnete Ordinalzahl. Wir definiëren die mit zu bezeichnende (3-te Ableitung der Punktspecies Q auf Grund der folgenden Festsetzungen: Q(0) ist identisch mit der Abschliessung von Q; Qm ist identisch mit der Ableitung der Abschliessung von Q, d. h. mit der Ableitung von Q; wenn /3 — ^ -\-fi2 auf Grund der ersten erzeugenden Operation, so ist (f® =\QfPd\(fid. wenn /3 = Sft auf Grund der zweiten erzeugenden Operation, so ist ^)=©(Q(ft), QÖ»i + « Qft + fe + fW . . .j. DieSe Definition ist offenbar unabhangig von der Erzeugungsart von /3. Jedes OS® ist eine abgeschlossene ganze Punktspecies. Für jede kondensierte wohlgeordnete Ordinalzahl /3 ist Q((3) mit Q(1)(/3—1) identisch. Die induktive Methode liefert unmittelbar den Beweis der beiden folgenden Satze: Für jedes /3 ist Q(/3) «/* Teilspecies in OS® enthalten. Für jedes /3 ist eine willkürliche in Q als Teilspecies enthaltene in sich dichte Punktspecies ebenfalls in Q(® als Téilspecies enthalten. Wenn eine solche wohlgeordnete Ordinalzahl /3"q bekannt ist, dass OSi 0> perfekt ist, so heisst Q^'o) die finale Ableitung von Q. Wenn eine Punktspecies sowohl eine finale Koharenz, wie eine finale Ableitung besitzt, so ist erstere in letzferer als Teilspecies enthalten, wie unmittelbar daraus folgt, dass die finale Koharenz in sich dicht ist. . Wir sagen, dass die Punktmenge t eine Abbrechung erster Ordnung zulasst, wenn die zu t gehorige Wahl menge in solcher Weise in eine Menge von Punkten von (0)tt, nicht aber Punkten von fl-(l) angehörigen Wahlen, eine Menge von Punkten von tt(1) an'gehörigen Wahlen und eine überfiüssige Wahlmenge 'p (dies soll besagen, dass jeder Punkt von w mit einem von nicht zu p gehörenden Wahlen erzeugten Punkte von x zusammenfallt, wahrend jede auf eine Wahl von p folgencTe Wahl ebenfalls zu p gehort) zerlegt ist, dass (0)t mit einer von der ersten Wahlmenge erzeugten Punktmenge (0)x  LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DEITTEN. 15 Wir sagen, dass die katalogisier.te Punktspecies Q eine Katalogisierung erster Ordnung zulasst, wenn cr\, r'-n nur diejenigen Quadrate aus s'n fortzulassen, welche, ebensowenig wie die angrenzenden oder von ihnen teilweise überdeckten Quadrate A^, ein Quadrat von s'n+m in ihrem Innern enthalten. 'Wenn Q eine Katalogisierung erster Ordnung zulasst, so kann die Ableitung als Abschliessung einer katalogisierten Punktspecies dargestellt werden. Man findet namlich eine entsprechende Quadratmenge tnw in der Menge aller Quadrate von *'n ganz oder teilweise überdeckenden Quadrate A^n. Wenn Q eine isolierende Katalogisierung erster Ordnung zulasst, so lasst überdies die entsprechende Punktmenge SQ eine Abbrechung erster Ordnung zu. Das Verfahren welches die kvw unter den qvm und die kv unter den q, auswahlt, bestimmt namlich die k„{i) ausschliesslich unter den kv. Wenn wir weiter zu jedem qv noch ein viertes konzentrisches Quadrat qv"" konstruieren, dessen Seitenlange ff- der Seitenlange von qv betragt, und einé ein kv, nicht aber ein k„0) Wenn m, .. und o^, r2,... solche Fundamentalreihen von nicht abnehmenden endlichen Zahlen sind, dass [j.n und enthalten sind, identisch. Die Abschliessungen zweier in bezug auf einander katalogisierter Punktspecies besitzen gemeinsame Punkte oder nicht, je nachdem die entsprechende Quadratmenge t^3) ein Element besitzt oder nicht. Eine Punktspecies Q heisst zusammenhdngend, wenn zu je zwei beliebig vorgegebenen Punkten i\ und P2 von Q für beliebiges n eine endliche Folge Px, P\, P'2,.. .P'k, P2 von Punkten von Q bestimmt werden kann, von denen je zwei aufeinanderfolgende in einem gemeinsamen Quadrate A„ enthalten sind. l) Diese Quadratmenge braucht nicht jeden Punkt zu,enthalten, der sowohl in t'n wie in t"n enthalten ist; sie enthalt aber diejenigen Quadrate a^„, welche sowohl ein Quadrat (jgjvon wie ein Quadrat von s"n ganz oder teilweise überdecken. Jedes Quadrat von ®(*')i + i' ('n + i) ist im Innem eines Quadrates von £>(«'„, t'n) enthalten.  LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DRITTEN. 19 Eine Species von Quadraten A heisst zusammenhdngend, wenn zu je zwei beliebig vorgegebenen Quadraten qx und q2 der Species eine endliche Folge qx, q\, q'2,. . .q'h, q2 von Quadraten der Species bestimmt werden kann, von denen je zwei aufeinanderfolgende einander teilweise überdecken. Zu jedem grössten zusammenhangenden Bestandteile /3 der zu einer katalogisierten Punktspecies Q gêhörigen Quadratmenge tn lasst sich entweder ein solches m angeben, da.ss kein Quadrat von tn + m in Innern eines Quadrates von tn liegt, oder es lasst sich feststellen; dass für jedes positive m ein Quadrat von tn + m im Innern eines Quadrates von in liegt. Im ersteren Falie nennen wir /3* einen unwesenilichen, im letzteren einen wesentlichen zusammenhangenden Bestandteil von tn. Der Zusammenhang einer katalogisierten Punktspecies Q ist deiEigenschaft aqui valent, dass für jedes n die entsprechende Quadratmenge tn nicht zwei wesentliche zusammenhangende Bestandteile aufweist und hieraus folgt unmittelbar'weiter, dass der Zusammenhang einer katalogisierten Punktspecies der Eigenschaft dquivalent ist, dass ihre Abschliessung nicht in zwei je wenigstens einen Punkt enthaltende, in bezug aufeinander katalogisierte Abschliessungen von katalogisierten Punktspecies zerlegt werden oder sich aus solchen zusammensetzen kann. Eer Durchschnitt Bk") einer induziblen Fundamentalreihe E', B",. . . von zusammenhangenden Abschliessungen von katalogisierten Punktspecies ist ebenfalls zusammenhdngend. Wenn namlich irgend ein 4 mehr als einen wesentlichen zusammenhangenden Bestandteil enthielte, so könnte üKv nicht zusainmenhangënd sein. Weil mithin V - für jedes n nicht mehr als einen wesentlichen zusammenhangenden Bestandteil enthalt, so ist die Species jSH der für jedes n in tj-v") enthaltenen Punkte zusammenhangend. Eine Punktspeoies Q heisst zusammenhdngend zwischen zwei ihrer Punkte Px und P2, wenn für beliebiges n eine endliche Folge Px, P\, P'2,. . .P'.k, P2 von Punkten von Q bestimmt werden kann, von denen je zwei aufeinanderfolgende in einem gemeinsamen Quadrate A(l enthalten sind. Eine Species von Quadraten A heisst zusammenhdngend zwischen zwei in ihr enthaltenen Punkten 1\ und P2, wenn eine solche endliche Folge qv q\, q'2,. . .q'h, q2 von Quadraten der Species bestimmt werden kann, dass Px in qx und P2 in q2 enthalten ist, wahrend je zwei aufeinanderfolgende Quadrate der Folge einander teilweise überdecken. Gr 2*  L0G1SCHEN SATZ VOM ATJSGESCHLOSSENEN DRITTEN. 23 die Ziegelquadrate von (22 her und definiëren die wesentlichen Ziegelquadrate-von (22 in analoger Weise, wie für ft. In dieser Weise fortfahrend, bestimmen wir der Reihe nach für jedes n zünachst die modiji'zierten Quadrate und sodann die Ziegelquadrate und wesentlichen Ziegelquadrate von ft. Die Menge vrj derjenigen Punkte, welche erzeugt werden, indem der Reihe nach für jedes n ein solches wesentliches Ziegelquadrat von ft, gewahlt wird, dass jedes dieser Quadrate im Innern des vorangehenden liegt, fallt mit I zusammen. Sei namlich die Quadratfolge qu q2,. . . ein Punkt P von I, so können wir eine möglichst kleine derartigé Zahl *, bestimmen, dass qni im Innern eines wesentlichen Ziegelquadrates a^ von ft liegt und vom Rande von at eine wenigstens T\ des Massstabes von betragende Entfernung besitzt. Sodann können wir eine möglichst kleine derartigé Zahl n2 bestimmen, dass q„ im Innern eines Wesentlichen Ziegelquadrates a2 von ft liegt und vom Rande von a2 eine wenigstens -\ des Massstabes von a2 betragende Entfernung besitzt. Indem wir in dieser 'Weise fortfahren und überdies der eindeutigen Bestimmtheit" wegen für jedes v die Koordinaten des Mittelpunktes von a„ möglichst gross wahlen, erzeugen wir eine Quadratfolge^, a2, a3,. . ., welche einen mit P zusammenfallenden Punkt von ir, darstellt. Unter einer aussern Grenzspecies verstehen wir die Vereinigung A einer solchen Fundamentalreihe kA,k2,... von Komplementen von Bereichen ft, /32,. . ., wo kv = <£)(MH) Mv,,. . .) ist, dass jedes MV+HJ. ein Mvr als Teil enthalt. Wenn dabei jedes kv mit der Abschliessung einer katalogisierten Punktspecies identisch ist, so heisst Akonsolidiert. Gleichzeitig mit der aussern Grenzspecies A wird eine innere Grenzspecies 1= /32,. . .) definiert, welche wir das Komple¬ ment K{A) von A nennen werden. Ebenso wird A als das Komplement K{I) von I bezeichnet werden. Es existiert kein Grund zu behaupten, dass die Vereinigung einer endlichen Menge von inneren Grenzspecies wiederum eine innere Grenzspecies oder die Vereinigung einer endlichen Menge von ausseren Grenzspecies wiederum eine aussere Grenzspecies, nicht einmal sogar, dass die Vereinigung einer endlichen Menge von Bereichkomplementen wiederum ein Bereichkomplement sei. Sei t eine vollstandig abbrechbare Punktmenge. Wir dürfen annehmen, dass x uniform ist. Die Punktmenge ^(/3V) bezeichnen wir kurz mit^, die auf Grund von S. 12 Z. 19—17 v. u. mit bzw. [fi'*—7]k(7)| zusammenfallende zahlbare, örtlich indivldualisierte Punktmenge mit tt2 bzw. 7tt2. Zu jedem Punkte P eines Q0)x kann nach einem bestimmten Gesetze ein solches nP, ein solches  24 BEGRÜNDUNG DER MENGENLEHRE UNABHANGIG VOM vP und ein solches ftP gefunden werden, das jedes von einer vP-ten Wahl von x(/3) erzeugte Quadrat entweder zu einem mit P zusammenfallenden Punkte gehort oder eine" Entfernung > 2~lip vom n,Aen Quadrate von P besitzt. Die Species der je in einem «P-ten bzw. (/?.,, -\- ?«)-ten Quadrate ^ bzw. i>qm±\ eines Punktes P von ?r2 enthaltenen Punkte bildet einen Bereich (2\ bzw. /3"m + 1. Die Species der je in einem Quadrate pqm + i eines. Punktes P von 7t2 enthaltenen Punkte bildet einen Bereich r/3',)1+1. Die Species der je in einem »-ten Quadrate eines Punktes von 7rt enthaltenen Punkte bildet einen Bereich ft„. Den Bereich (©(ft,,, ft'J bzw. • 1 ware, so würde ein messbares Bereichkomplement positiven Inhaltes existieren, das sowohl zu A'Q wie zu A"Q gehorte, von dem mithin ein willkürlicher Punkt einerseits zu Q gehorte, andererseits unmöglich zu Q gehören könnte. Aus diesem Widerspruche folgt also, dass °i' = i und °i" = 1—i ist.. Umgekehrt folgt aus der Definition der Messbarkeit in ihrer ursprünglichen Form unmittelbar: Wenn zu einer Punktspecies Q zwei derartige messbare aussere Grenzspecies A'n und A"Q der Inhalte i und 1—i existieren, dass ein willkürlicher Punkt von A'q zu Q gehort und ein willkürlicher Punkt von A"& unmöglich zu Q gehören kann, so ist Q messbar und besitzt den Inhalt i. Seien XQ und 2Q zwei messbare Punktspecies. Sei 3a"v der Durchsqhnitt von und 2a"v, b'v eine solche zu 2dv gehorige und xa'v nicht berührende endliche Quadratmenge, dass die Differenz der Inhalte von ©(.,«'„, 2dv) und 3a'v = &ba'v, b'v) weniger als i betragt, 3jSv die Vereinigung von 1/8„ und 2/3„, 3kv das Komplement von 3r3„. Alsdann ist der Inhalt 3iv von 3/3v kleiner als —— und die Summe der Inhalte 3i'v und 3i"v von 3a's und 3a"v grösser als 1 , wahrend ein willkürlicher Punkt des Durchschnittes Qd'v bzw. 3d"v von 3a\ bzw. 3«"„ mit 3kv zu ©dö, 2Q) gehort bzw. unmöglich zu <2>dQ, 2Q) gehören kann. Hieraus folgt auf Grund der Messbarkeitsdefinition iu ihrer ursprünglichen Form, dass auch ©dQ, 2Q) messbar ist. Mithin gilt der Satz:  logischen satz vom ausgeschlossenen dritten. 33 Inhalt mpi' von mpd' grösser als i —. Andererseits würde für mH' ~> i in mQ ein messbares Bereichkomplement mit einem Inhalt grösser als i enthalten sein, was unmöglich ist. Mithin bilden für jedesp die Inhalte lpi', 2pi',. . . eine limitierte Folge, welche gleich i ist. Hieraus folgt, dass für jedes p auch die Inhalte von ipd, 2pa',. . ., sowie die Inhalte von lpa", 2pa",. . . limitierte Folgen bilden, so dass zu jedem p ein solches mp und ein solcher messbarer Bereich pft' mit einem Inhalt kleiner als ^ bestimmt werden kann, dass jeder Punkt des Durchschnittes von mppa" mit dem Komplement pk" von pft' zu © van" gehort. Wenn wir weiter © vft mit pft v>i,n>p+v v>1,n>p+v und ©(''ft, pft') mit p/3 bezeichnen, so ist der Inhalt von pft kleiner als ——7, der Inhalt von p/3 also kleiner als —^-5. Weiter kann zu jedem p eine solche zu mtpd gehorige endliche Quadratmenge _"W0 bestimmt werden, dass die Differenz der Inhalte von mtpd und Va' weniger als -—: betragt und ein will- kürlicher Punkt des Durchschnittes von mpvdQ mit dem Komplement pk' von pft zu '"pQ gehort. Nunmehr sind für aQ alle Messbarkeitsbedingungen erfüllt, denn für jedes ^7—2 sind ein solches "'ppa0', ein solches "'ppd' und ein solches p/3 bestimmt, dass ein willkürlicher Punkt des Durchschnittes von "Vpö!0' bzw. mppd' mit dem Komplemente pk von p/3 zu "Q gehort bzW. unmöglich zu "Q gehören kann, wahrend der Inhalt von p/3 kleiner als —— und die Summe der Inhalte von mppa0' und mPvd' grösser als 1 ——^ ist. Wir sind also zu folgendem Résultat gelangt: We?m F eine solche Fundamentalreihe von messbaren Punktspecies ist, dass die Inhalte der Vereinigungen ihrer Anfangssegmente eine limitierte Folge i bilden, so ist auch die Vereinigung von F messbar und ihr Inhalt gleich i. In analoger Weise wird bewiesen: Wenn F eine solche Fundamentalreihe von messbaren Punktspecies ist, dass die Inhalte der Durchschnitte ihrer Anfangssegmente eine limitierte Folge i bilden, so ist auch der Durchschnitt von F messbar und sein Inhalt gleich i.     ■  62 DIE DIREKTE ANALYSIS ZUE NEUEREN nicht mehr, da wohl Skalare in verschiedenen Punkten vergleichbar und zusammenzahlbar sind, höhere Gröszen aber nicht. (I 117) korrespondiert mit dem STOKEs'schen Satz im dreidimensionalen Raum. Für einen allgemeinen dreidimensionalen Raum ist dieser Satz zuerst bewiesen von Ricci. "*) Aus (133) laszt sich in einfacher Weise ein Satz ableiten, welcher Lorentz 2) seinen Betrachtungen zu Grunde gelegt hat. Nach» (I 57a), (I 68) und (133) ist namlich: (136) j^HTn). e*rf« =—jn . (2Mie,)dcc =—jv.^HiV.eJch, (a ® r wahrend nach (I 1075): (137) v . (2M1eA) = (vl2M>. e* — (vXe.)22I = (v^M) • e*. da V X Ga nach (84) identisch Null ist. Es geht daraus der bewuszte Satz hervor:, (138) - f (2M 111) . Ca da = — ƒ (V » 2M) • eA dr. Die Integrale enthalten die Einheit eA und stellen also keine invarianten Gröszen dar. Eigenschaften besonder er Orthogonalnetze. Für jedes Orthogonalnetz gilt, wie oben gezeigt wurde: (139) afl a,. = — a) akl. Ist die Hyperkongruenz j überall normal auf eine Hyperftachenschaar, so kann für i, geschrieben werden (140) - \j = q^p, wo q und p Funktionen der xK sind. Es ist dann : (141) vi = VgVp-^q^p eine in allen Indizes k,h^j symmetrische Grösze, da V2;j symmetrisch ist und V p die Richtung von i, hat. Demzufolge ist: (142) ifc ih 2 v | = i;i ifc 2 v i,.. oder: (143) . «ft ajk = «fc ajh. Sind samtliche Hyperkongruenzen eines Orthogonalnetzes flachennormal, so bildet das Netz ein Normalsystem. Wird zu den Kurven : % ') 97.1. 2) 16.4 S. 1401.  RELATIVITATSTHEORIE. 63 und Hyperflachen einer flachennorma'len Hyperkongruenz eine Urvariable a?A gewahlt, so ist: (144) eA' = q \ p , eA' "'• fÊ = 0 , ■lyé p. In derselben Weise wie oben wird dann gezeigt: (145) a-f «a, == av aMJ. , fi, v ^ X, und ebenso■ (146) ; ^ , Sind samtliche Kurven einer Hyperkongruenz i geodatisch, so ist nach (42) r (147) ' ak cc-, = — akj dj = 0. Wird zu den Kurven einer geodatischen und zu einer bestimmten Hyperflache normalen Hyperkongruenz eine Urvariable xK gewahlt so dass x* — 0 die Gleichung der Hyperflache ist, so ist auf dieser Flache: (148) = a™ a» + ö*= o -f- «* <Ö = V2 8* = o. " ^ dx* Da aber die yA^, X^> auf der Hyperflache a>* = 0 Null sind, sind sie stets Null, und die Hyperflachen von x* sind daher überall normal auf die'gegebene Hyperkongruenz. Daraus folgt der Satz: Bilden die Parameter linien einer Urvariablen eine geodatische and normale Hyperkongruenz, und f allen die Parameter hyperflachen mit den normalen Hyperflachen dieser Hyperkongruenz zusammen, so bietben die Parameter hyperflachen erhalten, wenn man diese Urvariable durch die entlang der Parameterlinie von einer bestimmten Parameterhyperflache aus gemessene Bogen lange ersetzt. ") a) Ist überdies ve'A = o, d.h. geht die Richtung der Tangente an einer A-Kurve durch geodatische Bewegung stets wieder in eine solche Richtung über, so ist: eV e'v 2 Y e'A = e>K e', a v (a. eA>) a = afi aAv = o, und infolgedessen: ~T A — aAft «v + V aA> o. Das Linienelement laszt sich also schreiben: d«2 = *A2+s glivx*xv, in welcher Formel p und » über alle Indizes auszer A zu summieren sind und ata von x* unabhangig ist. '  64 DIE DIEEKTE ANALYSIS ZUR NEUEREN Der Biemann-Christoffel'sche Affinor Gevist ein Vektor V als stetige ; Funktion der Urvariablen xK gegeben, so nennen wir die Aenderung dieses Vektors beim Fortsehreiten langs einer Kurve s, beurteilt von einem geodatisch mitbewegten Koordinatensystem aus, die geodatische Aenderung von V in Bezug auf s. Diese Aenderung von A bis B ist offenbar das Integral des geodatischen Differentials: B : w A' Ist s geschlossen, so sind im Allgemeinen die beiden zu den zwei verschiedenen möglichen Wegen von A nach B gêhörigen geodatir schen Aenderungen nicht gleich: B ' B (151) fdYT+fdY Sind sie für irgend eine Wahl der Punkte A und B auf der Kurve gleich, so sind sie es für jede Wahl, und das Integral von dY über die geschlossene Kurve verschwindet. Verschwindet dieses f Integral für jeden Vektor V, so nennen wir die Kurve eindeutig orientiert. Jede geschlossene geodatische Linie auf einer Flache ist offenbar dieser Art. Wird durch eine geschlossene Kurve eine Flache gelegt, und das Flachenstück in beliebige Teile zerlegt, so ist die Kurve offenbar einde,utig orientiert, Wenn samtliche Begrenzungskurven der Flachenteile es sind. Wir betrachten also zunachst ein Flachenelement mit den vier Eckpunkten x\ x* \ \ x\ xf 4- dt f + d.2 m x* -\-d0x\ X = a,. . . ., d. Das Integral von dy vom ersten bis zum dritten Eckpunkt ist über die eine Seite: A V + do Y + d2 dt Y und über die andere Seite.-: d.2 V + dt Y + di d2 Y Die beiden Endstellungen unterscheiden sich also um: (152) D12 V = diK' d2x' 22V Ya) = = ^x'<4x':(2v.a)(ii.Y)'0 - = di X X d.2 X' 2 K 1 Y ' ) = 2f2 K 1 Y der, a) Nach (117). b) Nach (120). c) Nach (119) und (I 56).  68 die dieekte analysis zur neueren Orthogonalnetz & i2, i3, i4, ausgebreitet, sodasz er mit einer 1, 2-Flache zusammenfallt. Beim Fortscbreiten entlang der Differentialstreche d$ dreht sich it in Bezug auf das geodatisch mitbewegte Bezugssystem, und die geodatische Aenderung von ix betragt: (173) - d\x = ds1 V ir ■ Der Vektor d\ liegt im allgemeinen nicht im 1, 2-Büschel, seine Projektion auf die L, 2-Flachenrichtung hat aber die Richtung von i2 und ist gleich i2 multipliziert mit (174) Jf. (fte1 vi1) = i2rfs2vi1. Dieser Ausdruck stellt also die Projektion des Winkels zwischen \t und i, -f- d\{ auf der dar. Wir nennen diese Projektion die auf er projektierte geodatische Drehung bei der Verrückung dn. Von der naheren Wahl von U und L ist sie nur scheinbar abhangig. Denn für das gedrehte System i, -f- d% lasst sich nach (I 48) stets schreiben: (175) i, -f di, = % + i,1 (av dep -f,w dP) ,j = l,..., 4, worin 2V dep -j- 2W dip der Bivektor der infinitesimalen Drehung ist. Die projektierte geodatische Drehung ist dann gleich: (176) i2. | h 1 (2V dep +-2W d$) | = (i2 X it)2 (2V d ©6* resultiert der bekannte Ausdruck für die Krümmung: nft «> /;=i ,«'•=/"«'., 4) v. = v + e,A^ -c) 2g * a' = a. Mit jedem Wert von xe korrespondiert eine andere Mannigfaltigkeit X4 und die ghil, A, /* = «,... d, sind also als Punktionen von x" auf zu fassen. Die zu X4 bez. Y:< in Punkten von X4 gêhörigen RiEMANN-CuRisTOFPEL'schen Affinoren sirid nach (158): (188) k = 2 j v (a.c) X v (b.e) ] (a X b) (189) i' = 2 j y' (a'.c') X v' (b'.c') | (a' X b') Die in X4 liegende Komponente von K' laszt sich in vier Teile zerlegen (vergl. (1875) und (187c)): (190) abcd2cba4K' = 2 j v(a'.c')Xv (b'.c') J (a X b) = = K -K2 f v {dece) X v (b.c), -f + v(a.c) X v (b'ece) + + v (dec'e) X v (b' 2 den eventuell vorhandenen Vektortensor im Allgemeinen eindeutig bestimmt, folgt der Beez'sche Satz, dasz ein Xn sich in einem euklidischen Yn+l, für »>2 im Allgemeinen nicht verbiegen laszt. Setzen wir dagegen voraus, dasz die yAft, //. = «,...., d, von xe unabhangig sind, so wird 2h = 0, und Xs ist also euklidisch wenn Y5 euklidisch ist. Nur ein euklidischer Xn kann also in einem euklidischen Yn+l eine Bewegung ausführen, die in jedem Punkte senkrecht zu Xn gerichtet ist und bei der die Massbestimmung erhalten bleibt a). a) Für n = 3 folgt daraus, dasz „der Raum" bei einem statischen Uravitationsproblem euklidisch ist, wenn keine Materie vorhanden ist. Serini') hat das Theorem bewiesen für diesen Spezialfall, bei welchem auch g'M von unabhangig wird. ') Vgl. z. B. 99.2 S. 602. •) Vgl. z. B. 99.2 S. 603. ') 18. 5.  EELATIVITATSTHEOEIE. 83 der Welt innerhalb der Hyperflache co, auf welcher 3 X' Null wird, aufeinander abgewickelt werden und es besteht dann vollstandige Gleichheit. Die beschriebene Anderung von 2g,. 2g' und q ist also nur eine andere Art die virtuelle Verrückung der Materie zu beschreiben, und zwar als eine virtuelle Verrückung der Felder über — 3x' bei ruhender Materie. Variation des Gravitationspotential "). Die Variation sei-gegeben durch den Zuwachs 32g' des kontravarianten Fundamentaltensors. Das Differential dx.', die Weltlinien der Massen und der Ladung und das Potential q bleiben konstant. Der Unterschied zwischen kovarianten und kontravarianten Gröszen stellt sich ein, und die Maszbestimmung andert sich. Da (58) ^^ = lkd= „ ■ und: (59) 2g'2g:=4j ist: (60) 3 (_ ff) = _ g 2g. 2 è 2g = g 2g 2 § 2g)j und infolgedessen: (61) 3dr = 3 )/~g dx\ . . . da,4 = — i/2 2g 2 J 2g. ^ Für den speziellen Fall, dass 3 2g' eine virtuelle Verrückung des Gravitationsfeldes über — 3 x' vorstellt, geht dieser Ausdruck über in: (63) '' | j dr. Zur Bestimmung des ersten Teiles bringen wir Podr in die Form: (64) Podr = mds. 9 ,Da nach (55) und 06) "2g = -2g!JV12g ist und M von g unabhangig ist, folgt unter Berücksichtigung von (3) und (43): o) Hilbert 15. 2. Einstein 16. 2; 16. 7 S. 43; 17. 1 S. 151. Lorentz 16 4 S 47015. 1, S. 1086; Fokker. 17. 2, S. 1072. . ' ' F 6*  84 DIE DIREETE ANALYSIS ZUE NEUEREN ) ' U) = — V4r*(Hlll)22g' j2, daher: (71) 31, = — V2^{(iiiii)22g'| [mn)?J2g'| = = — y2 /* [ 1 (m n)2 2g') m 11]2 tdr=_LX(h 2 K bestimmen wir zunachst für den besonderen Fall, dasz d2g' eine virtuelle Verrückung des Gravitationsfeldes über —3x' darstellt. Es ist dann: (76) 3K-=3x'i.vK Da aber nach (II 168): (77) v (2g'12K) — 72 v K = v 1 (2g'12G) = v ? 2G = 0, ist : 3 K= 2 J x"! {v ? (2g'? 2K) J = (78) =2v!fgM2K!Jx')-22K2!2gM(Vu(lx,)| « = 2 v!(2g'12K1cJx') + 2K2<"2g'. Der bei der Integration nichtverschwindende Teil von 3K ist also in diesem speziellen Falie gleich 2|£ 2 3:2g'. Das namliche rilt, wie in derselben Weise gezeigt wird, wenn 32g' die Form hat: (79) j-2g> = __£(2g,iv) w Jx>j worin e eine beliebige stetige Funktion des Ortes ist. Zu irgend einer beliebigen Variation J2g' können nun aber in einem Gebiet, in welchem 2g', als Funktion des Ortes betrachtet, nur „gewöhnliche" Stellen aufweist, stets IQ Variationen 3,x' und 10 Ortsfunktionen £j,j = l, , 10 gefunden werden,'so dasz (80) 32g' = — ^£jCg'i.v)^3jx'. Unter diesen Voraussetzungeu gilt also allgemein, dasz der bei der Integration nicht verschwindende-Teil von 3 JC gleich 2K 2 3 2g' ist. Man kann diese Tatsache noch in einer anderen Weise zum Ausdruck bringen. Da (81) 3K= 3(2K22g') = 3*Ka.*g' -f2K 2 32g', kann man sagen, dasz 32K 2 2g' derjenige Teil von 3 K ist, der bei der Integration verschwindet.  RELATIVITATSTHEORIE. 91 Auf diesen GrundlageU erhebt sich nun die neueste WEYi/sche Relativitatstheorie x). q wird mit dem elektromagnetischen Potentialvektor definiert. Aus (1095) ergiebt sich dann z.B. sofort die zweite MAxwELi/sehe Gleichung: v* X v* X q *= v x v X q = o. Bei einem Problem, welches bei geeigneter Wahl von cr rein mechanisch aufgefasst werden kann ist d*y = dy, bei Anderung von cr stellt sich aber ein elektromagnetisches Potential ein. Karakteristisch für die neue Theorie ist, dasz das geodatisch bewegte Bezugssystem beim durchlaufen einer geschlossen Kurze nicht nur seine Richtung sondern auch seine Grösze andert, da d*\- in (110) im Gegensatz zu d% im allgemeinen nicht mehr senkrecht zu \j ist. ^ Die erste Aufgabe der direkten Behandlung dieser neuesten Theorie ist die Erforschung der formalen Gesetze von d* und V*. ') 18. 7.  LITTERATUR-VEKZEICHNISZ. 1897. 1. Riccr G. Del teorema de Stokes in uno spazio qualunque a tre dimensioni ed in coordinate generali Atti de R. I. 'Ven. 25'. 2 (96—97) 1536—1539. 1899. 1. Hessenberg. G. Üeber die Invarianten linearer und quadratischer Differentialformeln und ihre Anwendung auf die Deformation der Flachen. Acta Mathematica 23 (99) 121—170. 2. Bianchi. Vorlesungen über Differentialgeometrie (99) le Aufl. Dtsch. von M. Lukat.. 1901. 1. Riccr. G. und Levi Civita. T. 'Méthodes de calcul differentie! absolu. Math. Ann. 54 (01) 125—201. 1903. 1. Schwabzschild. K. Zur Elektrodynamik. Gött. Nachr. (03) 126—131. 2. Maschke. H. Invariants of differential quanjtics. Chicago Univ. Press (03). 1906. 1. Waelsch. E. Ueber mehrfache Vektoren und ihre Proi dukte sowie deren Anwendung in der Elastizitatstheorie. Mon. f. Math. ü. Ph. 17 (06) 241—280. 190S. 1. Minkowski. H. Die Grundgleichungen für die elek- tromagnetisclfen Vorgange in bewegten Körpern. Gött. Nachr. (08) 53—111. Math. Ann. 68 (10) 472—525. 1910. 1. Abbaham. A. Suil' elektrodinamica di Minkowski. Rend. di Palermo 30 (10) 33—46.' 2. Sommebfeld. A. Zur Relativitatstheorie. Ann. d. Ph. 32 (10) 749—776, 33 (10) 649—689. 3. Lewis. G. N. On four dimensional vectoranalysis, and its application in electrical theóry. Proc. Am. Acad. 46 (10) 165—181.  LOGISCHEN SATZ TOM AUSGESCHLOSSENEN DEITTEN. 5 (2-te innere Appendix auf Grund dér folgenden Festsetzungen: M(0) ist identisch mit M; wenn M(0) eine innere Abbrechung erster Ordnung zulasst, so ist M(l) mit der innern Koharenz von M{0) identisch; wenn M((2) eine innere Abbrechung erster Ordnung zulasst, so ist {$)M mit der innern Appendix von M(/2) identisch; wenn eine willkürliche wohlgeordnete Ordinalzahl < /3 mit @ bezeichnet wird, so ist [@]M mit der Vereinigung aller <$)M identisch; wenn Z3 = Pi + /32 auf Grund der ersten erzeugenden Operation, und M eine innere Abbrechung ft-ter Ordnung und M{^) eine innere Abbrechnng /32-ter Ordnung zulasst, so sagen wir, dass Meine innere Abbrechung /3-ter Ordnung zulasst und bezeichnen [M^)] (/3„) mit wenn /3 = E /3„ auf Grund der zweiten erzeugenden Opera- tion, und M((2t -f. . .-f für jedes » eine innere Abbrechung ft-ter Ordnung zulasst in solcher Weise, dass die Species der ungehemmten endlichen Wahlfolgen von M in die Species der M und [Pi\M> nicht aber M{^\ die Species dér M{^) und [/32] \M{^)\, nicht aber -f- /32), und die Species der ©(JfQ^), -f /32)', ) angehörigen ungehemmten endlichen Wahlfolgen zerlegt ist und ©(J/jft), J/fft -f /32), ... .J mit der Species der unbegrenzten Wahlfolgen einer Menge identisch ist, so sagen wir, dass M eine innere Abbrechung /3-ter Ordnung zulasst und bezeichnen ©{üf^), ^1 + • • • - | mit Jf(/3). Diese Definitionen sind offenbar unabhangig von der Erzeugungsart von /3. Wenn M eine innere Abbrechung @-ter Ordnung zulasst, so setzt M sich aus M((B) und [fi]M zusammen. Wenn zwei Punktspecies Q und B die Eigenschaft besitzen, dass jeder Punkt von Q mit einem Punkte von B und jeder Punkt von B mit einem Punkte von Q zusammenfallt, so sagen wir, dass Q und B zusammen]"allen. Wenn wir eine Punktspecies, in welcher nur Quadrate, deren Seitenlange unterhalb eines ge wissen Maximums bleibt, auftreten, als uniform bezeichnen, so leuchtet sofort ein, dass jede Punktspecies mit einer uniformen Punktspecies und jede Punktmenge mit einer uniformen Punktmenge zusammenfallt. Wenn wir weiter eine Punktspecies, in welcher für jedes v die v-ten Quadrate von allen Punkten die gleiche Seitenlange besitzen, als gleichmdssig bezeichnen, so gilt der Satz, dass jede uniforme Punktspecies mit einer gleichmassigen Punktspecies und'jede uniforme Punktmenge mit einer gleichmassigen Punktmenge zusammenfallt. Sei namlich mv die maximale Seitenlange der von den v-ten Wahlen der /  LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DEITTEN. 7 Ein Punkt von Q, der gleichzeitig Grenzpunkt von Q ist, heisst ein Kondensationspunkt von Q. Wenn das Quadrat q des Punktes P kein Quadrat eines Punktes der Punktspecies Q in seinetn Innern enthalten kann, so heisst P ein von Q freier Punkt. Wenn das Quadrat q des Punktes P die Eigenschaft besitzt, dass je zwei in q enthaltene Quadrate von Punkten von Q nicht ausserhalb voneinander liegen, so heisst P ein von Q unbearenzter Punkt. J Ein zu Q gehöriger, aber von Q unbegrenzter Punkt heisst ein isolierter Punkt von Q. Wenn jeder Punkt der Ebene von der geschrankten Punktmenge t unbegrenzt ist, so fallt tt mit einer solchen Punktmenge zusammen, zu deren Kardinalzahl h eine endliche Kardinalzahl k>h gefunden werden kann. Sei namlich K das Quadrat, in dem die Punktmenge t, welche wir als gleichmassig voraussetzen dürfen, enthalten ist. Wir betrachten die Menge p derjenigen Punkte, deren erstes Quadrat qt ein willkürliches von K ganz oder teilweise überdecktes Quadrat \, deren zweites Quadrat q2 ein willkürliches im Innern von q enthaltenes Quadrat A3, deren drittes Quadrat q3 ein willkürliches m q2 enthaltenes Quadrat A5 usw. ist. Wenn jeder Punkt'von p von t unbegrenzt. ist, so muss man bei der Erzeugung der Punkte von p nach einer endlichen Wahlfolge M fester Kardinalzahl m die Sicherhek erlangt haben, dass nach einer weiteren endlichen Wahlfolge der von M abhangigen Kardinalzahl mx ein Quadrat q erzeugt wird, innerhalb dessen je zwei Quadrate von .Punkten von *- nicht ausserhalb voneinander liegen. Mithin liegen, wenn wir das Maximum von mx mit m und m-\-m\ mit m' bezeichnen, je zwei im selben von JTganz oder teilweise überdeckten Quadrate A^ enthaltene Quadrate von Punkten von w nicht ausserhalb voneinander. Wir bestimmen nun eine solche Zahl v, dass die Seitenlange der von den v-ten Wahlen von x erzeugten Quadrate q\< g^iat, lassen von den Quadraten q\, (welche offenbar von einer zahlbaren Wahlspecies erzeugt werden), diejenigen fort, welche nicht ausserhalb aller vorhergehenden liegen, und weisen jedem der mit q\ zu bezeichnenden ubngen zu: erstens ein solches Quadrat A,m._1, dass zunachst die Mittelpunkte der beiden Quadrate einander möglichst nahe liegen wahrend im übrigen der Mittelpunkt des letzteren Quadrates möglichst grosse Koordinaten besitzt, so dass je zwei verschiedenen Quadraten qv zwei verschiedene Quadrate A,,,^ zugewiesen werden; zweitens denjenigen Punkt P" von x, der erhalten wird, indem wir nach  8 BEGRÜNDUNG DER MENGENLEHRE UNABHANGIG VOM der g"v erzeugenden Wahl immer wieder den erstmöglichen Ziffernkomplex von £ wahlen. Die Kardinalzahl der Punkte P" bezeichnen wir mit h, die endliche Kardinalzahl der von K ganz oder teilweise überdeckten Quadrate A2m»_1 mit k. Alsdann ist h _h gefunden werden kann. Es existiert kein Grund zu behaupten, dass diese Eigenschaft auch für andere geschrankte Punktmengen bzw. Punktspecies, für welche kein Grenzpunkt existieren kann, ihre Gültigkeit behalte. Ebenso ware die Aussage, dass jede unendliche geschrankte»Punktspecies notwendig einen Grenzpunkt besitzen müsse, vollstandig unberechtigt. ■ Eine, Punktspecies Q, von der jeder Pünkt Kondensationspunkt ist, heisst in sich dicht. Wenn jeder Limespunkt der Punktspecies Q mit einem Punkte von Q zusammenfallt, so heisst Q abgeschlossen. Der Durchschnitt einer Species von abgeschlossenen ganzen Species ist wiederum eine abgeschlossen e ganze Species. Eine Punktspecies, welche sowohl in sich dicht wie abgeschlossen ist, heisst perfekt. Eine Punktspecies Q heisst im Bereiche /3 überall dicht, wenn in jedem von /3 vollstandig überdeckten Quadrate A ein Punkt von Q enthalten ist. Eine Punktspecies Q heisst im Bereiche /3 nirgends dicht, wenn innerhalb jedes von /3 vollstandig überdeckten Quadrates A ein weiteres Quadrat A liegt, in dem kein Punkt von Q enthalten sein kann. Die (offenbar ganze) Species der Limespunkte der Punktspecies Q heisst die Abschliessung von Q. Jeder Limespunkt der Abschliessung von Q gehort zur Abschliessung von Q. Eine abgeschlossène Punktspecies lasst sich auch als eine Punktspecies, deren Abschliessung und Erganzung identisch sind, definiëren. Die (offenbar ganze) Species der Grenzpunkte der Punktspecies Q heisst die Ableitung von Q. Jeder Grenzpunkt der Abschliessung von Q, sowie jeder Limespunkt der Ableitung von Q ist ein Punkt  LOGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DRITTEN. 11 oder [l]x, und x(l) mit einer von der zweiten Wahlmenge erzeugten Punktmenge x(l) zusammenfallt. Wenn die Punktmenge x eine Abbrechung erster Ordnung zulasst, .so setzt sie sich aus (0)x und x(l) örtlich zusammen. Wenn wir namlich die von den nicht zu p gêhörigen Wahlen von x erzeugte Punktmenge mit r bezeichnen, so fallt jeder Punkt von x mit einem Punkte von r zusammen und muss deshalb, wenn er mit keinem Punkte von (0)x zusammenfallen kann, mit einem Punkte von x(l) zusammenfallen. Mithin kann kein Punkt von x existieren, für den sowohl mit einem Punkte von (0)x wie mit einem Punkte von x(l) Zusammenfallung unmöglich ware, d. h. für den Zusammenfallung mit einem Punkte von ©j(O)x), x(l)| unmöglich ware. Weiter sagen wir, dass jede Punktmenge eine Abbrechung O-ter Ordnung zulasst und wenn /3 eine wohlgeordnete Ordinalzahl ist, so sagen wir, dass die Punktmenge x eine Abbrechung (2-ter Ordnung zulasst: erstens wenn -f /32 auf Grund der ersten erzeugenden Operation und x eine Abbrechung /3rter Ordnung und jüne Abbrechung /32-ter Ordnung zulasst, in welchem Falie wir k(/3;)!(/32) mit x(/3) und ©jföjï, [/32] mit'[jS]ï bezeichnen; zweitens wenn /3= S/3„ auf Grund der zweiten erzeueenden »=i ö Operation und ?r (ft-f . . .-f ft^) für jedes * eine Abbrechung ft-ter Ordnung zulasst in solcher Weise dass die zu x gehorige Wahlmenge in eine Menge von Punkten von x und von [ftjx, nicht aber Punkten von x(/3x) angehörigen Wahlen, eine Menge von Punkten von x(/34) und von [/32] [x(/3x)J, nicht aber Punkten von ""(ft+ft) angehörigen Wahlen, , eine Menge von Punkten von x(/3) angehörigen Wahlen und eine überflüssige Wahlmenge zerlegt ist, wahrend [/3Jx mit einer von der ersten Wahlmenge erzeugten Punktmenge [ftjr, [/32] (x(^)j jnit^einer von der zweiten Wahlmenge erzeugten Punktmenge [/32] . . ., und x(/3) mit einer von der vorletzten Wahlmenge erzeugten Punktmenge x(/3) zusammenfallt, in welchem Falie wir ©jfjSJx, [fa -f-/32]^,... J mit [/3Jx bezeichnen. F" /x„v -|- 4 und konstruieren zu einem willkürlichen ^Quadrate qv von t„v zwei konzentrische Quadrate q'v und q"v, deren Seitenlange | bzw. -| der Seitenlange von qv betragt. Alsdann können wir nach einem durch die -j- 5, bestimmen p = /*nv ~\~ ^ und ö"„p ~> pn,, ~\~ 6, konstruieren noch ein drittes mit qv konzentrisches Quadrat q"\, dessen Seitenlange \\ der Seitenlange von qv betragt und rechnen qv dann und nur dann zu den kv, wenn s„f teilweise innerhalb q"'y liegt. Dieselbe Schlussweise liefert den Beweis des folgenden Satzes: Wenn für jedes n eine endliche Menge sn von Quadraten A^ definiert ist in solcher Weise, dass jedes Quadrat von sn+1 im Innern eines Quadrates von sn enthalten ist und wie jedes Q}^ als Abschliessung einer katalogisierten Punktspecies dargeslellt werden. Wenn Q eine isolierende Katalogisiefung (3-ter Ordnung zulasst, so lasst überdies die entsprechende Punktmenge 8Q eine Abbrechung (3-ter Ordnung zu. -Wenn namlich (3 = ±(3V auf Grund der zweiten erzeugenden Operation, wahrend jedem n ein solches 3-„*entspricht, dass ,„(ft + ••■ + %„+für jedes positive mit ■ ■ • + 41 identisch ist und v|/„ die grössere der beiden Zahlen und S-„ darstellt so ist die Menge der Quadrate + + Mr jedes positive f* mit der Menge der Quadrate k^1 + ■ ■ • + fy,) identisch. Es kann vorkommen, dass eine katalogisierte Punktmenge x eine vollstandige Abbrechung zulasst, ohne dass für eine mit ihrer Abschliessung zusammenfallende Punktmenge dasselbe zutrifft.'Sei z. B. cr eine solche auf einem Liniensegment / der X-Axe liegende, katalogisierte und abgeschlossen e Punktmenge, dass, keine vollstandige Abbrechung einer mit cr zusammenfallenden Punktmenge existiert, und tt die Menge der Mitten der oberen der X-Axe parallelen Seiten der Quadrate der zu cr gêhörigen Quadratmengen sn. Alsdann ist x katalogisiert und lasst eine vollstandige Abbrechung zu; eine mit ihrer Abschliessung @(o-, x) zusammenfailende Punktmenge lasst aber keine vollstandige. Abbrechung zu. Umgekehrt kann es vorkommeil, dass die zu einer katalogisierten Punktmenge x gehorige Punktmenge 8„ eine vollstandige Abbrechung zulasst, ohne dass für eine mit x zusammenfallende Punktmenge dasselbe zutrifft. Sei z. B. cr eine solche auf einem Liniensegment / der X-Axe liegende Punktmenge, dass keine vollstandige Abbrechung einer mit cr zusammenfallenden Punktmenge existiert, und p die Menge der Mitten deioberen der X-Axe parallelen Seiten derjenigen Quadrate A, deren ' Mittelpunkt auf / liegt. Alsdann fajrt dass y», im Innern eines Ziegelquadrates a2 zweiter Ordnung * von (2 liegt und vom Rande von a2 eine wenigstens | des Massstabes von a2 betragende Entfernung besitzt. Indem wir in dieser Weise fortfahren und überdies der eindeutigen Bestimmtheit wegen für jedes v die Koordinaten des Mittelpunktes von av möglichst gross wahlen, erzeugen wir eine Quadratfolge au a2,. . ., welche einen mit P zusammenfallenden Punkt voli darstellt.' Sei H ein willkürliches Quadrat ^. Der Einfachheit halber wollen wir im weiteren je zwei Quadrate k der gleichen Seitenlange wie E, samt den zu ihnen gêhörigen Punkten der Ebene, deren rechtwinklige Cartesische Koordinaten endliche Dualbrüche sind, ihrer Kongruenz entsprechend identifiziert denken, worin, weil die von uns betrachteten Punktspecies als geschrankt vorausgesetzt werden, keinerlei Beschrankung liegt. Sdien k', k" , x!",. . . die Quadrate des Bereichs (2. Sei /„ das  22 BEGRÜNDUNG DER MENGENLEHRE üNABHANGIG VOM Minimam der Seitenlangen von x', x",. . . x^ Und Mv die Mènge derjenigen Teilquadrate von E der Seitenlange /„, welche von keinem der Quadrate x', x",. . . x^ überdeckt werden. Die Species der fiir iedes v zu M, gehörigen Punkte bildet eine abgeschlossene ganze Species k — X(/3), welche wir das Komplement von /3 nennen werden. Ebenso werden wir /3 als das Komplement K(k) von k bezeichnen. Wenn wir die Species der Punkte der Bbene kurz als E bezeichnen, so sind /3 und k Komplemen tarspecies voneinander in E. Wenn X(/3) mit einer katalogisierten Punktspecies zusammenfallt, so nennen wir /3 komplementar katalogisiert. Insbesbndere ist also iedes Gebiet ein komplementar katalogisierter Bereich. Die Vereinigung einer endliclven Menge some einer Fundamentalreihe von Bereichen ist wiederum ein Bereich. Die endliche Bereichmenge B heisst durchsichtig, erstens wenn ein Quadrat x angegeben werden kann, das von jedem Elemente von ' B überdeckt vvird, zioeitens wenn kein Quadrat x existieren kann, das von jedem Elemente von B überdeckt wird. Der Durchschnitt einer durchsichligen endlichen Menge von Bereichen fallt enhoeder fort, oder ist wiederum ein Bereich. Unter einer innern Grenzspecies verstehen wir den Durchschnitt J einer Fundamentalreihe /32,. . . von Bereichen. Wenn I wenigstens einen Punkt enthalt, so dürfen wir annehmen, dass jedes Quadrat von /3v+1 von /3v überdeckt wird. Jede mit einer katalogisierten Punktspecies susammenfoliënde innere Grenzspecies fallt mit einer Punkimenge zusammen. Urn dies zu beweisen, konstruieren wir isff der oben angegebenen Weise die Ziegelquadrate von /3a und zu einem willkürlichen Ziegelquadr'ate ql von /3t zwei solche konzentrische Quadrate q\ und q\, dass die Entfernung des Randes von q\ bzw. q\ vom Rande von ql} ^ bzw. yL- des Massstabes von q^ betragt. Alsdann können wir nach einem bestimmten Verfahren mit Sicherheit feststellen, entweder dass alle P\inkte von I ausserhalb q\ liegen, oder dass zu I in q'\ enthaltene Punkte gehörert. Im ersteren Falie bezeichnen wir qt als unwesentliches, im letzteren Falie als wesentliches Ziegelquadrat von fa. Sodann zeïlegen wir die Quadrate von /32 in solcher Weise in als modifizierte Quadrate von fl2 zu bezeichnen de, von keinem Ziegelquadrate von & zerlegte Quadrate x, dass die Seitenlangen der innerhalb eines willkürlichen Ziegelquadrates % von /3t liegenden modifizierten 'Quadrate von /32 höchstens ^ des Massstabes von st betragen, im übrigen aber möglichst gross sind. Aus den modifizierten Quadraten von /32 leiten wir in der oben angegebenen Weise  LÓGISCHEN SATZ VOM AUSGESCHLOSSENEN DRITTEN. 25 in sich dichte innere Grenzspecies. Sei q ein Quadrat eines Punktes P von I. Alsdann ist innerhalb q ein in ft enthaltenes Quadrat z von P bestiinmt*. innerhalb z zwei ausserhalb voneinander liegende Quadrate qQ und ^ von Punkten P0 und Pt von I, innerhalb jedes qv (v = 0, 1) ein in ft enthaltenes Quadrat zv von Pv, innerhalb jedes zv zwei ausserhalb voneinander liegende Quadrate qv0 und qvl von Punkten Pv0 und Pn von ƒ, innerhalb jedes qyfl(v,fjL = Q,\) ein in ft enthaltenes Quadrat zvfl von Pv/i, usw. Die ,Menge der Quadrate zVi. . . v, (as eine willkürliche ganze positive Zahl, jedes v für jedes m und jedes v zu Mm(") gehort und dürfen weiter annehmen, dass [*,n+AW —■ iir^Y\ <; — für jedes m, jedes v < m und jedes positive A. Wir bezeichnen das vereinigende Bereichkomplement ©(Z^M, D2W,...) von k', k",. . .k(v) mit /<(") und nehmen an, dass die Inhalte I±, I2,. . . von h', h",. . . eine limitierte Folge bilden. Weiter verstehen wir unter N„y) eine nach irgend einem Gesetz für jedes m und jedes v bestimmte endliche Quadratmenge, welche zu Mm(") gehort und LJy-^ nicht berührt, wahrend die Differenz der Inhalte von ZmW und ©(Z,,/"-1), Nnjy)) weniger als ^ betragt und der Durchschnitt von 7Vrm(") und MIH+i(v) für jedes m und jedes v zu /V^1+ïW gehort. "Wenn wir den Durchschnitt von 'Nm(') und kiv) mit pm(v) und die Vereinigung von Pm> P'm>- ■ •Pm™'* mit y(m) bezeichnen, so sind Ax = ©(/*', h",. . .) und. A2 = ©(ƒ, y",. . .) zwei inhaltsgleiche 'aussere Grenzspecies, von denen die erstere, welche die vereinigende aussere Grenzspecies der Fundamentalreihe k', Tc',. . . genannt wird, die Vereinigung von k', k",... als Teilspecies enthalt und die letztere in der Vereinigung von k', k",... als Teilspecies enthalten ist. D. h. wir haben bewiesen: Die Vereinigung einer Fundamentalreihe F von messbaren Bereichkomplementen, welche die Fhgenschaft besitzt, dass die Inhalte der vereinigenden Bereichkomplemente ihrer Anfangssegmente eine limitierte Folge bilden, enthalt eine mit der vereinigenden aussern Grenzspecies von F inhaltsgleiche aussere Grenzspecies. Eine Fundamentalreihe F von ausseren Grenzspecies bestimmt eine Doppelfolge von Bereichkomplementen. Wenn wir diese Doppelfolge als eine einfache Fundamentalreihe lesen, so ist einerseits die Definition der vereinigenden aussern Grenzspecies von F ohne weiteres klar, andererseits lasst der vorstehende Satz sich unmittelbar wie folgt erweitern:  32 BEGRÜNDUNG DER MENGENLEHRE UNABHANGIG VOM Die Vereinigung einer endlichen Zahl von messbaren Punktspecies ist wiederum eine messbare Punktspecies. In analoger Weise wird bewiesen: Der Durchschnitt einer endlichen Zahl von messharen Punktspecies ist wiederum eine messbare Punktspecies. Im Falie der Vereinigung zweier elementefremder messbarer Punktspecies XQ und 2Q kann der Inhalt des Durchschnittes von und / . 1 N W i 0a v nicht grösser als , mithin „*'» nicht kleiner als A\ -I- ai' 2 ° 2V_1 21,-2 sein. Weil somit 3i\, 3i'2,. . . und A\ -j- ,z'2 -)- 2/„,. . . gleiche limitierte Folgen'sind, so besteht der Satz: Der Inhalt der Vereinigung einer endlichen Zahl von elemente- fremden messbaren Punktspecies Q', Q",. . . ist gleich der Summe der Inhalte von Q', Q",. . . Oj-n\ "lm Falie des Durchschnittes von 1Q und 2Q = C^T), wo Teine messbare Teilspecies von ,Q ist, können wir dafür sorgen, dass jeder Punkt von 2d'\ zu T gehort. Als dannkann der Inhalt des nicht von jö'v überdeckten Teiles von 2«"„ nicht grösser als p mithin 3i'v nicht grösser als ,(n — j^Vd—-— und nicht kleiner als A\ —2i"v sein. Hier2 aus folgt, dass 3i\, 3i'2,. . . und A\— 2i'\, A'2 — 2i"9,. . . gleiche limitierte Folgen sind. Wenn wir mithin die Species derjenigen Punkte von tQ, welche unmöglich zu T gehören können; als die Differenz von tQ und T bezeichnen, so besteht die Eigenschaft: Wenn die messbare Punktspecies Q" eine Teilspecies der messbaren Punktspecies Q' ist, so ist auch die Differenz von Q' und Q' messbar und ihr Inhalt gleich der Differenz der Inhalte von Q' und Q": Sei ,Q, 2Q,. . . eine solche Fundamentalreihe von messbaren Punktspecies, dass die Inhalte H, 2i, %. . . von iQ = iQ, ^Q — ^^Q, 2Q)> 3Q = ©dQ, 2Q, 3Q),. . . eine limitierte Folge i bilden. Wir bezeichnen ©GQ, 2Q,. . .) mit "Q, die Vereinigung derjenigen „«'„, für welche v — 1, 2,. . . m und n = p -\~ v, p v -\- l,. . . p -f- v -j- m — 1, mit mpd, den Durchschnitt derjenigen yan", für welche v = 1,- 2,. . . m und n = p -\- v, p ~\~ v -\- \,. . . p -\- v -f- in — 1, mit mpa", das vereinigende Bereichkomplement derjenigen vd'H, für welche v = 1, 2,. . . m und" n = p-\- v,. . . p -f- v -f- m — 1, mit mpd'. Wenn mi > i —' ^—— und r 1 1 2^-f-1 p~\-ui^fjt, -\- 2, so ist der Tnhalt des vereinigenden Bereichkom- plementes von id'p+m, 2d'p+»i+i> ■ • ■ md'P+2m—i> also erst recht der   Berichtigungen zum ersten Teile. S. 3, Z. 19 v. ü.: statt „für jedes n" lies „für jedes n > 1" S. 3, Z. 15 v. u.: statt „von der Menge" lies „von einer unbegrenzten Wahlfolge" S. 5, Z. 20 v. u.: statt „eines gewissen" lies „eines gewissen eventuell foTtfallenden" S. 8, Z. 10: statt „von Quadraten" lies „von einander nicht überdeckenden Quadraten" S. 34, Z. 9 v. u.: statt „>" lies „> (und gleichzeitig <)" S. 40, Z. 12 v. u : statt „>" lies „> (und gleichzeitig <)"