%3N00RDH0rrSlg VERZAMELINGfCT wiskundige: P WERKEN ^ DE GRONDSLAGEN DER REKENKUNDE DOOR rjÈMo. SCHOUTEN jjjppORDHOF.tf^lil 16 GR0N1NGSH. NOORDHOFF's VERZAMELING VAN WISKUNDIGE WERKEN. DEEL 3. NOORDHOFF's VERZAMELING VAN WISKUNDIGE WERKEN. DEEL 3. Dr. G. SCHOUTEN. DE GRONDSLAGEN DER REKENKUNDE. P. NOORDHOFF. — 1916. — GRONINGEN. EERSTE NEDERLANDSCHE Verzekering-Maatschappij op het Levens Vft, S(«), die in hoofdstuk. IX toepassing vinden. Aan het onderzoek naar het bestaan van onmeetbare getailen-heb ik de fundamentaalrij van Cantor ten grondslag gelegd en wel om meer dan ééne reden. Vooreerst geeft zulk een fundamentaalrij in hare grenswaarde een zuiver rekenkundig middel om het bestaan zoowel van onmeetbare getallen in het algemeen en van machten met onmeetbare basis en exponent en van logarithmen in het bijzonder, als van de grenswaarden van een veranderlijk getal en de convergentie en divergentie van oneindige produkten aan te toonen. (Hoofdst II, III, X). Ten tweede krijgt de fundamentaalrij een groote beteekenis door de grondstelling, in Hoofdst. V bewezen, dat onder alle onbegrensde getallenrijen de fundamentaalrij de eenige is, die een bepaalde grenswaarde heeft. Is een onbegrensde getallenrij geen fundamentaalrij, dan heeft zij óf een grenswaarde die oneindig groot is óf zij heeft er geen. Hieruit volgt onmiddellijk de noodzakelijke en voldoende voorwaarde, waaraan een oneindige reeks moet voldoen, zal deze convergent of divergent of onbepaald zijn. Tevens leidt de beschouwing van de onbegrensde getallenrijen tot een vasten regel voor het bepalen van de algemeene eigenschappen en de bijzondere kenmerken van convergentie, divergentie en het onbepaald zijn van oneindige reeksen (Hoofdst. VI, VII). Dit alles is niet alleen opmerkenswaardig, het is uit een paedagogisch oogpunt van groot belang; onderwerpen, die vroeger min of meer op zich zelf stonden, kunnen nu door middel van de onbegrensde getallenrijen als gemeenschappelijk uitgangspunt in beschouwing genomen worden. Ten slotte een woord van dank aan den Heer Noordhoff voor de bij het drukken betoonde welwillendheid en lijdzaamheid! scheveninoen, Juli 1916. G. SCHOUTEN. INHOUD. Blx. Hoofdstuk I. De meetbare getallen 1—22 § 1. Begrip van het geheele getal. De rechtstreeksche bewerkingen met geheele getallen 1 § 2. Deelers en veelvouden van een getal. Gemeene deeler, gemeen veelvoud van twee getallen. Priem- getallen en saamgestelde getallen 5 § 3. Het getal en zijn eigenschappen 9 § 4. De omgekeerde rekenwijzen met geheele getallen. 12 § 5. Invoering van dé gebroken en negatieve getallen . 14 § bbis. De omkeeringen waartoe de machten aanleiding geven 21 § 6. Meetbare getallen 22 Hoofdstuk II. De onmeetbare getallen 23—35 § 1. De fundamentaalrij en 23 § 2. Definities van onderling gelijke en onderling ongelijke fundamentaalrijen 26 § 3. De fundamentaalrij als de draagster van een getallengrootheid, die door haar wordt gedefinieerd ... 27 § 4. Onbegrensde rijen van getallen, die door fundamentaalrijen worden gedefinieerd 27 § 5. Definitie van de limiet eener onbegrensde getallenlij 28 § 6. De hoofdbewerkingen met onmeetbare getallen. . 29 § 7. Het rekenen met limieten 29 § 8. De omkeeringen van de macht ....... 30 § 9. Machten met gebroken exponenten 31 § 10. Logarithmen 32 § 11. De eigenschappen van de logarithmen 35 Hoofdstuk III. Eenige grensbepalingen en ongelijkheden . . 36—45 § 1. |l jr heeft een limiet voor n m oo . . . . 36 §2- ^-vr-* 37 Blz. § 3. De natuurlijke logarithme van een getal is grooter dan de Neperiaansche logarithme van dat getal . 38 § 4. lim. [l + — \ = e, » een reëel getal 38 § 5. lim. (l + —) = e\ lim. (l +^) = a* . . . 39 § 6. Benaderde waarden van e 39 i § 7. lim. —-— = lg a; a positief 41 ï=0 * § 8. — < lg. a < » > 0 42 (1 + S)a _ 1 § 9. lim. » — a, a een reëel getal.... 43 j=o " §10.^>lg.(l+^)>^rT 43 §1L^--T>-1g-(1-l)>l43 § 12. De constante van Euler 44 „ „ sin

m. Blz. 111, r. 7 en 11 v. o. staat: coëfficiënt lees: coëfficiënt. Blz. 115, r. 9 v. o. staat: Uit lees: Uit (2) § 2. Blz. 117, r. 1 v. b. staat: vorige stelling lees: stelling § 3. Blz. 118, r. 13 v. o. staat: repetendum lees: periode Blz. 121, r. 4 v. b. staat: symetrisch lees: symmetrisch Blz. 127, r. 17 v. b. staat: \au\= lees: | | + Blz. 131, r. 1 v. b. staat: divergentie lees: divergentie Blz. 133, r. 4 v. o. staat: Q lees: Q„ Blz. 136, r. 3 v. o. staat: Q • lees: Q„ HOOFDSTUK I. De meetbare getallen. § 1. Begrip van het geheele getal. De rechtstreeksche bewerkingen met geheele getallen. Indien wij ons van de herhaling van een en dezelfde geesteswerkzaamheid aan dingen der zinlijke waarneming bewust worden (het zien van den sterrenhemel; het luisteren naar Het slaan van een klok; enz.), komën wij tot het begrip van de veelheid. Bestaat een voorwerp uit bestanddeelen of elementen met gemeenschappelijke kenmerken, zoodat bij de beschrijving van dat voorwerp een element in de plaats van een ander kan gesteld worden, en zien wij af van de gelijke kenmerken der bestanddeelen, dan bezitten wij de voorstelling van de veelheid van gelijksoortige elementen door het getal. Het begrip van het getal wordt door de samenstelling van voorwerpen uit gelijksoortige bestanddeelen gegeven en daarom gedefinieerd als de voorstelling van de veelheid van gelijksoortige bestanddeelen. Indien men elk der gelijksoortige elementen door de uitdrukking één aanwijst, bestaat het tellen van de elementen of eenheden der veelheid in de vastlegging van een en een — en een enz. door nieuwe uitdrukkingen twee, drie, enz. Het getal is de voorstelling van de door deze uitdrukkingen aangewezen groepen van elementen. De herhaalde plaatsing en vereeniging van de tot grondslag genomen gelijksoortige elementen levert de getallenrij; in deze is elk getal uit het naastvoorgaande gevormd door toevoeging van een element. Dr. G. Schouten, Grondslagen der Rekenkunde. 1 2 Twee getallen a ea b, samengesteld uit een onbepaald gelaten grondelement e of uit de abstrakte eenheid 1, zijn onderling gelijk (a = b), wanneer bij elk element van het eene getal een element van het andere getal behoort; zij zijn onderling ongelijk (a =J= b), wanneer bij de vergelijking van de elementenrijen in het eene getal elementen voorkomen, waarmede in het andere getal geen overeenkomen. Het getal, dat meer elementen bevat, heet het grootere, het andere het kleinere. Deze wederzijdsche verhouding duidt men aan door a> b, b < a, wanneer a het grootere getal is. Met a = b geldt b = a; met a = b en b = c is a = c, en eindelijk met a> b en b > c is a > c. Wil men zich een voorstelling maken van de samenstelling van een uit ongelijksoortige elementen bestaand voorwerp, dan moet men aangeven, welke soorten van elementen en hoeveel elementen van elke soort voorkomen. De samengestelde voorstelling van de afzonderlijke groepen van gelijksoortige elementen is de getallengrootheid. Men spreekt hier van „getaüengrootheid"\ omdat het nieuwe getal anders uitvalt, wanneer men elementen toevoegt of wegneemt. Twee getallengrootheden zijn weer onderling gelijk, wanneer zij dezelfde elementen in gelijk aantal bevatten. Wij gaan nu over tot de beschouwing van de hoofdbewerkingen met getallen, die uit gelijke elementen bestaan en geheele getallen genoemd worden. Wij vormen een getal, dat alle elementen van twee uit hetzelfde grondelement samengestelde getallen a en b bevat. Deze steeds uitvoerbare bewerking heet optelling en bestaat uit de vereeniging van de gezamenlijke elementen der beide getallen. Het nieuw gevormde getal heet de som en de getallen a en b heeten de termen. Duidt men de som aan door a + b, dan is a + b = b + a en evenzoo a + b + c = a + c + b = b+c + a = b-\-a +c= c+a + b = c+b+a waardoor de commutatieve eigenschap der optelling wordt uitge- 3 drukt, die hierin bestaat, dat de som onafhankelijk is van de volgorde waarin de termen genomen worden. Ook is a + (b + c) = (o + b) + c waardoor de associatieve eigenschap der optelling wordt uitgedrukt, nl. dat de som onafhankelijk is van de vereeniging der termen tot gedeeltelijke sommen. In de som kan men verder eiken term vervangen door een getal, dat er gelijk aan is. Zet men in de plaats van elk der elementen van een getal b het getal a, dan ontstaat de som a-\- a + a + a (b maal) welke men aanduidt door a . b of eenvoudig door ab. De bewerking, die ab doet vinden, heet vermenigvuldiging; ab heet het produkt der factoren a en b, a het vermenigvuldigtal, b de vermenigvuldiger. Wij merken op, dat het produkt uit a evenzoo is saamgesteld als b uit het grondelement of de eenheid, zoodat men zeggen kan: Een getal met een ander vermenigvuldigen heet, een derde getal zóó uit hel vermenigvuldigtal te vormen als de vermenigvuldiger uit de eenheid gevórmd is. Men kan in a + a + a + + a (b maal) uit elke groep van a elementen één element nemen, die vereenigd het getal b opleveren. Deze bewerking is a maal mogelijk; de vereeniging geeft b + b -f b + b (a maal) = ba zoodat ab = ba is. Deze uitkomst geeft de commutatieve eigenschap der vermenigvuldiging. Moet het produkt ab van de getallen a en b met een derde getal c worden vermenigvuldigd, dan schrijft men dat produkt aldus: (ab)c. Wij zullen nu aantoonen, dat (bc)a evenals (ca)b dezelfde uitkomst voorstelt. 4 Vormen wij de som der getallen in de volgende b horizontale rijen, waarin ieder a maal het getal c bevat: c, c, c, . . . ., c c, c, c, . . . ., c c, c, c , c dan is die som gelijk aan (ca)b. De som der getallen in de a verticale rijen, waarin ieder b maal het getal c bevat, is gelijk aan (cb)a. Omdat c verder ab maal als term voorkomt, is de som ook gelijk aan c(ab). Hieruit volgen de eigenschappen der vermenigvuldiging uitgedrukt door (ca)b = (cb)a = c(ab) en de commutatieve en de associatieve eigenschappen genoemd worden. Deze eigenschappen gelden ook voor het produkt van meer factoren of voor hei gedurig produkt. Om dit aan te toonen is het genoeg te laten zien, dat elk paar naast elkaar geplaatste factoren van het gedurig produkt met elkaar verwisseld mogen worden, daar elke combinatie der factoren uit één combinatie door zoodanige verwisseling gevonden kan worden. Is Oyttt .... apaqar .... an het gedurig produkt, waarvan het deel d^a, . . . . ap berekend is en P tot uitkomst geeft; dan moet nog het produkt Pa a2 > ai> a4 > . .. die een eindig aantal getallen moet bevatten, waarvan er een het kleinste is. 6 Noemen wij dat kleinste getal am, dan geeft de herleiding aanleiding tot het volgende stelsel vergelijkingen, bekend onder den naam van hei algorithme van Euclides: a1 = q1 flg + Og as = qt a3 + fl4 dm—2 = Om—2 Q-m-1 ~T am am-\ = qm-\ am waarin qlt qs, .. ., qm-\ geheele getallen voorstellen. Volgens de laatste dezer vergelijkingen is am een deeler van am-\\ maar dan is volgens stelling (3) am ook een deeler van a„-2 en van alle getallen, die in de eerste leden der vergelijkingen voorkomen; am is dus een gemeene deeler van ax en a,. Omgekeerd is elke gemeene deeler van ax en a3 een deeler van am; want volgens stelling (4) is die gemeene deeler een deeler van as, dan ook van a4, a6, . . ., am. Bijgevolg is am de grootste gemeene deeler van a± en a2. Wordt voor am de eenheid gevonden, dan hebben aL en a3 de eenheid tot g. g. d. en heeten a^ en a2 in dat geval onderling ondeelbaar ip.o.). In het stelsel vergelijkingen, die het algorithme van Euclides uitmaken, moet dan am door de eenheid vervangen en kan de laatste vergelijking, als identiteit, weggelaten worden. Eindelijk kan nog opgemerkt worden, dat / als o.o. met elk ander getal moet beschouwd worden. Omtrent de o.o. getallen geldt de volgende stelling: Zijn en a% onderling ondeelbaar en Is k een willekeurig getal, dan Is elke gemeene deeler van axk en a, ook gemeene deeler van k en as. Wordt elk der vergelijkingen, die het algorithme van Euclides uitmaken, met k vermenigvuldigd, dan gaan zij in ons geval over in a^k = qY . ajk + a3k a3k = q2. ask + aik am-ik = qm-i. am-\k + k. Volgens de stelling (4) is iedere gemeene deeler van axk en as ook een gemeene deeler van qxa2k en a3k, dan ook van qtask en ajt, . . ., van qn-2an-\k en k. 7 Met deze stelling zijn de volgende bewezen: (5) Is elk der factoren van het produkt ab o. o. met c, dan zijn ab en c ook onderling ondeelbaar. (6) Zijn a en c o. o., heeft echter ab den deeler c, dan heeft ook b den deeler c. Aangezien een gedurig produkt berekend wordt door het produkt van twee zijner factoren te beschouwen als vermenigvuldigtal van een nieuw produkt met een derden factor als vermenigvuldiger en met dit nieuwe produkt op dezelfde wijze voort te gaan tot de laatste factor van het gedurig produkt is gebruikt, gaat de stelling (5) voor gedurige produkten over in: (7) Is elk der factoren van een gedurig produkt onderling ondeelbaar met een getal, dan zal ook het gedurig produkt zelf onderling ondeelbaar met dat getal zijn. Uit deze weer volgt: (8) Is elke factor van een gedurig produkt onderling ondeelbaar met elk der factoren van een tweede gedurig produkt, dan zijn ook beide gedurige produkten onderling ondeelbaar. Wij kunnen ook de gemeene veelvouden van twee getallen a en b of de getallen welke door a en b deelbaar zijn en in het bijzonder het kleinste gemeene veelvoud (k. g. v.) bepalen. Is m de grootste gemeene deeler van a en b en a — ma' b — mb', dan zijn a' en b' onderling ondeelbaar. Een getal deelbaar door a heeft den vorm ma'. n, waar n een willekeurig getal is. Zal dit getal ook deelbaar zijn door b, dan moet na' door b' deelbaar zijn; omdat a' en b' onderling ondeelbaar zijn, zal n door b' deelbaar moeten zijn en van den vorm rb', waar r een geheel getal is. Hieruit volgt, dat elk getal, hetwelk zoowel door a als door b gedeeld kan worden, dus elk veelvoud van a en b, van den vorm rma'b' is. Het kleinste onder deze getallen, dus het kleinste gemeene veelvoud van a = ma' en b = mb' is ma'b' waar m is de g. g. d. van a en b. Een getal, dat slechts de eenheid en zich zelf tot deelers heeft, heet een ondeelbaar getal (priemgetal); heeft het daarenboven nog andere deelers, dan heet het een saamgesteld getal. Daarom zal een getal a, met een ondeelbaar getal p vergeleken, öf een 8 veelvoud van p öf met p onderling ondeelbaar moeten zijn. Volgens stelling (7) zal een gedurig product onderling ondeelbaar zijn met een priemgetal, als geen zijner factoren een veelvoud van of gelijk is aan dat priemgetal zelf. Dan volgt hieruit: (9) Is een gedurig product een veelvoud van een priemgetal, dan moet minstens een zijner factoren een veelvoud van of gelijk aan dat priemgetal zijn. Op deze eigenschappen van het priemgetal berust de volgende stelling. Elk saamgesteld getal is altijd en slechts op één manier In een product van enkel priem/actoren te ontbinden. Bewijs. Is a een deelbaar getal, dan heeft het een deeler ax; is ai geen priemgetal, dan heeft at een deeler a2, die ook deeler is van a. Is a2 geen priemgetal, dan heeft a2 een deeler a3. De deelers van a op deze wijze verkregen worden steeds kleiner; aangezien het aantal getallen die kleiner zijn dan a beperkt is, zal een kleinste deeler gevonden worden, die geen deeler meer heeft en dus een priemgetal pt moet zijn. Het getal a is dus gelijk aan p^. Is n^ deelbaar, dan zal «i een priemfactor p2 hebben, en a = pip3n3, enz., zoodat men ten slotte zal vinden: « = PiPiPs ■ ■ ■ ■ Pk- Een tweede ontbinding, die men b.v. vindt door inplaats van zooals boven van den deeler at van een anderen deeler uit te gaan, zal dezelfde uitkomst moeten geven. Onderstel, dat bij een tweede ontbinding gevonden wordt: a = qi . q3 . . . . qt. Het produkt pip.2 ..../>* moet dan deelbaar zijn door qv Volgens de stelling (9) is daartoe noodig dat minstens een der factoren van dat produkt door qi deelbaar is, dus ook, omdat de factoren priemgetallen zijn, dat minstens een der factoren gelijk is aan qv Zoo moet dan een tweede factor van pxp3 .. . pk gelijk zijn aan q3 enz., zoodat de beide ontbindingen dezelfde factoren moeten bevatten, die evenwel in verschillende volgorde bij beide uitkomsten kunnen voorkomen. Met behulp van de ontbinding van een getal in een gedurig product van priemgetallen is het mogelijk een nieuwe oplossing te geven van het bepalen van den g. g. d. en het k. g. v. van twee of meer gegeven getallen. 9 n ri2 r>k ">i m2 ml Laten a = p1 p2 b = qx q2 . . . qt , . . . de getallen a, b, . . zijn, ontbonden in hunne priemfactoren. De g. g. d. van deze getallen is gelijk aan het gedurig produkt van de gemeenschappelijke factoren dezer getallen, ieder genomen in den lageren graad. Het k. g. v. is gelijk aan het gedurig produkt van alle priemfactoren der getallen, ieder genomen in den hoogeren graad. § 3. Het getal y(ri) en zijn eigenschappen. Het aantal getallen, niet grooter dan n, die o. o. met n zijn, wordt door het teeken op(n) aangewezen. Stel dat het geheele getal n in priemfactoren ontbonden den volgenden vorm heeft: "1 02 ak n=px P% • • • • Pk" waar pv ps , Pk de verschillende priemfactoren van n zijn. Dan geldt de volgende Stelling. Bewijs. De ^-vouden onder de getallen van / tot n zijn Pi, 2Pi> 3Pi fi dus n : px in aantal. Er zijn dus n — n : px of „) n(,--L) getallen, niet grooter dan n, die geen p^vouden zijn. De ps-vouden Onder de getallen van / tot n zijn (2) ps, 2p3 ~ps, Fi dus n : p.2 in aantal. Van dit aantal moeten wij bepalen hoeveel er onder zijn, die geen ^-vouden zijn; trekken wij dit aantal van het getal onder (1) af, dan vinden wij het aantal getallen, niet grooter dan n, die noch den factor pv noch den factor p3 bezitten. Omdat p2 ondeelbaar is, zal het aantal getallen van de rij (2), die niet den factor px hebben, gelijk zijn aan het aantal getallen van de rij 12 3 n ' ' ' ' "' Pt 10 die niet den factor pl hebben. Volgens (1) is dit aantal gelijk aan "(/--') Pt \ Pi' zoodat \ Pi' p3\ pj \ pj \ p3l het aantal der getallen is, die niet grooter dan n zijn en niet de factoren p^ en p3 van n bevatten. Door de sluitrede van n — / op n toe te passen, kunnen wij tot het volledig bewijs van de stelling komen. Stellen wij, dat het aantal der getallen is, die niet grooter dan n zijn en niet de priemfactoren pu p3, ... pn-i van n bezitten. De getallen van / tot n, die den priemfactor pn van n bevatten zijn Pn, 2p„, ~—p„. Van deze getallen moeten wij het aantal onder hen bepalen, die niet de priemfactoren plt p3 , /7„_i bevatten, en dit aantal van het getal (3) aftrekken, om het aantal getallen te vinden die de factoren pu p3, p„ van n niet bezitten en niet grooter dan n zijn. Omdat pn ondeelbaar is, zal het eerstgenoemde aantal gelijk zijn aan het aantal getallen in de rij /, 2 , X Pn die niet de factoren ply p3, bevatten. Volgens (3) is dit aantal ondersteld gelijk te zijn aan Pn\ Pil \ P3I \ Pn-ll zoodat het tweede der genoemde aantallen in die onderstelling zal zijn het verschil van het getal (3) met dit getal, nl. "i1 p) i1 p3) pn)' 11 Omdat nu de onderstelling (3) juist is gebleken voor pY en/?s, is hiermede de juistheid aangetoond van de stelling. Eigenschap van y(n). Zijn 1, alf o,, . . . ., ak, n in volgorde van grootte de deelers van n, dan is + tfaj + <*(a3) + . . . + y(ak) + y(n) = n. Bewijs. Elk getal in de rij 1, 2, 3, ..... n heeft met n een g.g.d. Is de g.g.d. gelijk één, dan is het getal o.o. met n. Zulke getallen zijn er ©(«) in aantal. Is de g. g. d. niet gelijk één, dan moet die een der deelers van n zijn, b.v. at. Nu zijn de veelvouden van au begrepen in de rij 1, 2, 3,.. ., n, de getallen (4) a„ 2av 3au . . ., — av Zal a1 de grootste gemeene deeler van n en een dezer getallen n n zijn, dan moet — o.o. zijn met een der getallen 1, 2, 3, . . ., Het aantal getallen in de rij (4), die met n den deeler at tot g.g.d. hebben, is dus f^r)- Wij kunnen dus zeggen: het aantal getallen, niet grooter dan «, die met n tot g. g. d. hebben één, is gelijk Pmzn = inm zoodat bovenstaaride vorm, als ook daarin a0 door a^ntn wordt vervangen, overgaat in O^K-n + Q>\P\zn + (hP&n + ••••+ dmPm^n en bij toepassing van de distributieve eigenschap: (a0n + OiPx + a2ps +... . + ampnyn- Twee getallengrootheden van de nieuwe soort zijn onderling gelijk, wanneer zij zoo herleid kunnen worden, dat beide dezelfde elementen en ieder er van in gelijk aantal bevatten. Wil men dus twee getallengrootheden a en b met elkaar vergelijken, dan drukke men beide in hetzelfde element tn uit en vergelijke het aantal van deze elementen. Daar evenwel a en b in een onbegrensd aantal gemeenschappelijke elementen e„ kunnen uitgedrukt worden, moet men onderzoeken of de eenmaal gelijk bevonden getallengrootheden ook gelijk blijven, wanneer zij in een ander gemeenschappelijk element worden uitgedrukt. Stel dat a = a1em, b = b^n gegeven zijn; dat r ht\ k.g.v. van m tn n is; dat a en b in het element er uitgedrukt de vormen a$r en b%tr aannemen, dan zijn zij onderling gelijk, wanneer o, = bt is. Omdat elke verdere herleiding in hetzelfde element de vormen Ofktrk en b2ktrk aan de getallengrootheden moet geven, zoo zijn de oorspronkelijke getallengrootheden ook onderling gelijk, wanneer a,k — b2k is. Omdat dan a, = b3 moet zijn, besluiten wij hieruit, dat de keuze van 16 het element, waarin de beide getallengrootheden worden uitgedrukt, er niets toe doet bij de beoordeeling van de onderlinge gelijkheid of ongelijkheid dier grootheden. Nu zien wij ook in, dat de nieuwe getallengrootheden aan de volgende voorwaarden voldoen: met a — bis ook b = a\ met a = b en b = c is a = c; met a > b, b > c is a > c. De optelling van de nieuwe getallengrootheden bestaat nu hierin, dat men de gezamenlijke elementen der termen tot één getallengrootheid vereenigt. In de som (a -\-b), die tengevolge van het gelijkheidsbegrip van de volgorde der termen onafhankelijk is, kan men a en b door elke gelijkwaardige getallengrootheid a' en b' vervangen, zonder de waarde van de som te wijzigen; daarom kan men de termen in hetzelfde element s„ uitdrukken en de aantallen er van vereenigen. Het produkt van twee getallengrootheden a en b zal de distributieve eigenschap bezitten, dus zal <£/* + £/»+. . • .+em(m maal)) . (e„ + s„ + . . . . 4- e„ (n maal)) = --- mn(eme„) zijn; omdat mtm = /, ne„ = /, mnemn = 1 is, volgt hieruit mn(emt„) = (mtm). (mn) = mmmn en . I 1 _ 1 £m£" ~imnOÏ m-~n-~mnDaaruit volgt weer ab = a^m . byün = aj)-£mn wat wij op de volgende wijze in woorden brengen: Het produkt van a en b is een getallengrootheid, die uit de grootheid a en haar breukdeelen evenzoo is gevormd als b uit de eenheid en de breukdeelen er van gevormd is. Was de vermenigvuldiging van geheele getallen geen zelfstandige rekenwijze, die van de nieuwe getallengrootheden is dat wel. Nu komen wij tot het bewijs, dat het quotiënt a : b van geheele 17 getallen, waarvan a geen veelvoud van b is, steeds door een gebroken getallengrootheid kan voorgesteld worden. Is toch a = nb -f- r, dan is n + rtb = « + r: 6 de getallengrootheid, welke met 6 vermenigvuldigd a tot produkt geeft. Het quotiënt van twee gebroken getallengrootheden a1em en b^n is naximbv want dus _0|_ _ £L _ a^ n_ m ' n ~ m ' bi De aftrekking der getallengrootheden is als die voor geheele getallen te definieeren; alleen is zij slechts uit te voeren, wanneer het aftrektal grooter is dan de aftrekker. Zal ook in het geval, dat het aftrektal a kleiner is dan de aftrekker b, een getallengrootheid a — b bestaan, die bij b gevoegd a tot som geeft, dan moeten wij weder nieuwe getallengrootheden invoeren. Daartoe definieeren wij naast het grondelement e als tegengestelde é datgene, wat aan de vergelijking o + « + e' = a voldoet. Het grondelement e moge het positieve, zijn tegengestelde e1 het negatieve heeten. De som van e en e1 bij a opgeteld geeft weer a, daarom schrijft men ook e + e' = 0. Het tegengestelde element van de positieve breuk e„ van e moge de negatieve breuk s'„ heeten, en ook hier zij a + t„ + t'n = a of e„ + s'„ = 0. Omdat a = a+ (e„ + <•) + (s„ + e'„) -f- + (s„ + (« maal) = = a + m„ + ne'„ = a 4- e + m'„ is, zal nt'n = e' zijn, dat wil zeggen e'„ is het n* deel van ef. en volgens de vroegere notatie gelijk aan —. Evenals vroeger uit mmmn = 1 afgeleid is, dat ntmn — tm is, kan nu uit mnt'mn = 1 afgeleid worden, dat n^ mn — ^ m Dr. O. Schouten, Grondslagen der Rekenkunde. 2 18 zoodat nu elke getallengrootheid a, die uit de beide elementen e en e7 en de breuken er van is saamgesteld, in den vorm gebracht kan worden, waar öj en a2 slechts uit e saamgesteld zijn. Is hierin at > a2, b.v. ax = a2 + «, dan wordt Is Oj < flj, b.v. 02 = ^ + (3, dan wordt a = |3e'm; wanneer ax = a8, dan wordt a = a^n, + a^'m = 0. Twee getallengrootheden van de nieuwe soort zijn weer onderling gelijk, wanneer zij zoo herleid kunnen worden, dat zij de positieve én negatieve elementen e, e', tn en e'„ in gelijk aantal bevatten. Laten die getallengrootheden in den vorm a = ax + a2e' en b = bx + b2e' gegeven zijn, waarin alt b^ a2, b2 slechts uit de positieve elementen e en e„ gevormd zijn, dan wordt de gelijkheid dezer twee getallengrootheden ook uitgedrukt door de volgende gelijkheid: ai + b2 = bx + o,. Als toch a =■ b is, moet ook öi + a2é -f a2 + b2 = bx + r>2g' + a2 + è2 derhalve ook ax + è2 = 6] t o2. Genoemde voorwaarde is noodzakelijk; zij is ook voldoende» omdat omgekeerd uit haar volgt a — b. Voor de gelijkheid van a en b is dus noodig, dat de som der positieve elementen van a en de in tegengestelden zin genomen negatieve elementen van b gelijk zij aan de som der positieve elementen van b en de in tegenstelden zin genomen negatieve elementen van a. De optelling der nieuwe getallengrootheden bestaat weer uit de vereeniging er van tot één grootheid. Men kan daartoe depositieve en de negatieve deelen afzonderlijk vereenigen en de verkregen sommen bij elkaar voegen of men volbrengt de vereeniging in een willekeurige andere volgorde. De vermenigvuldiging van twee uit tegengestelde grondele- e e1 menten e, e en hunne breuken — en — gevormde getallen- n n 19 grootheden is met behulp van de vermenigvuldigingsregels van de uit e saamgestelde geheele getallen uit te voeren, wanneer men slechts de vermenigvuldiging der grondelementen, dus de producten ee, eé', ée, e'e', weet uit te voeren. Om deze bewering te staven, toonen wij aan, dat e e _ ee e e' _ ee! ef e! _ e'e! m' n~ mri m ' n ~ mn m ' n ~ mn' Immers is Ie e!\ / e e' . e ef , , e é ,.\ m\— . — = — . —+— . — + ....+— . — (/ra-maal) = \m n I \m n m n m n ƒ / e , e . e . \ e' é = — + — + ... . — (/re-maal) . — = e— \m m m In n en mn\— . —V = ei— + — + ....+ — (/i-maal)) = ee', \m nl \n n n I zoodat e et _ ee! _ eet _ e e1 • m ' n ~ mn~~nm~ n ' m' Evenzoo blijkt de geldigheid der overige produkten. Wij moeten voor de vermenigvuldiging van onze getallengrootheden slechts nog de regels voor de vermenigvuldiging der grondelementen leeren kennen. Ook bij de bewerkingen met de nieuwe getallengrootheden stellen wij vast, dat de commutatieve, associatieve en distributieve eigenschappen gelden zullen. Wij nemen dus ee1 = e'e. Omdat e + é = 0 is, gelden a = a -{- e -\- e1 en ae = ae + e + e'. De vermenigvuldiging van de eerste dezer vergelijkingen met e voert tot ae = ae + ee + ee!. Wordt nu vastgesteld of gedefinieerd ee = e dan is eé = ée = é. 20 Omdat verder de vergelijkingen aé = ae' + e + é, aé = aé + ee! + e'e! gelden, volgt hieruit e'e! = e. Zi]n nu a en b twee uit e, e!, s„ en e'„ saamgestelde getallengrootheden, dan bestaat de vermenigvuldiging van a met b hierin, dat men een derde getallengrootheid uit a en de tegengestelde ae! en de breuken van beiden zóó vormt als b uit de grondelementen e en e! en hunne breuken is saamgesteld. Voorbeeld. Is a = Oj* + a2t'n, b = bfr -f- b2t'a, dan is ab = a . bxtp -f- ae'. V» = (a»*'« + 'VV V/> + (ai,'m + «V,,) *2e? = = a^b^mp 4- üob^np +■ a.-J)^mq + ajjgnq- De aftrekking van positieve, d.i. uit e en de breuken e„ gevormde getallengrootheden is met behulp van de uit de tegengestelde elementen e! en e!„ gevormde negatieve getallen steeds uit te voeren, want de getallengrootheid, die bij b gevoegd a tot som geeft, is a + bé. Deze grootheid werd vroeger door a — b aangegeven, daarom schrijven wij a — b = a + be1 en voortaan — b voor be!, — e voor e!, terwijl wij é = — 1 de negatieve eenheid zullen noemen. De tegengestelde van de positieve getallengrootheid b of be is de negatieve — b = — be = be! en van deze heet b de volstrekte waarde. Wil men aangeven, dat een grootheid c na behoorlijke herleiding slechts positieve elementen bezit, dan zet men er het teeken + voor. Is b een geheel getal uit — 1 saamgesteld, dan heet deze grootheid een negatief geheel getal, zijn volstrekte waarde — b wordt door | b \ aangeduid. De aftrekking van negatieve grootheden is nu door de optelling van de tegengestelde positieve grootheden te vervangen. De vermenigvuldiging van een getallengrootheid a met nul geeft nul tot produkt, want a(m + (— /»)) = am + a(— m) = a(m — m) = am — am = 0. Omgekeerd volgt uit ab = 0, dat een der factoren nul is. 21 De deeling bestaat weer in de bepaling van b, wanneer in ab = c de grootheden a en c gegeven zijn en kan nu altijd uitgevoerd worden. Een produkt ab — c verandert, zoodra b andere en andere waarden aanneemt, uitgezonderd wanneer a = 0 is. Omgekeerd is b steeds bepaald behalve in hetzelfde geval a = 0. Is met a ook c gelijk nul, dan kan men b willekeurig kiezen en daarom 0 c is -Q- geen bepaalde getallengrootheid. Evenmin heeft een be- c paalde waarde, want ware de bepaalde grootheid, die met 0 vermenigvuldigd c tot produkt geeft, dan moest c n 0 l)-0=c = c-ü) c of de bepaalde grootheid -g- ware onbepaald. Deze tegenstrijdigheid noodzaakt ons, de deeling door 0 als ontoelaatbaar te verklaren en daarom uit te sluiten. Eindelijk kunnen wij nog de definitie van de macht van een getallengrootheid uitbreiden tot machten met negatieve geheele getallen tot exponenten door den rekenregel am — = am-"(m > n) a" v ' ook te laten gelden, wanneer m < n en m = n is; dan is a-{fi—m) _ an-m de definitie van een macht met negatieve geheelen exponent en a° = 1 de definitie van een macht met den exponent 0. § 5. De omkeeringen waartoe de machten aanleiding geven. Beschouwen wij ten slotte de omkeeringen, die zich voordoen, als in de uitdrukking ab = c twee van de drie getallengrootheden a, b, c gegeven zijn; de niet gegeven grootheid zullen wij door x voorstellen. In ab = x 22 kan x alleen bepaald worden, wanneer b een positief of negatief getal is; is b een gebroken grootheid, dan heeft de schrijfwijze ab geen zm In xb = c kan x alleen bepaald worden, als 1°. b een positief of negatief geheel getal is en daarenboven 2°. c een be macht is. Aan de laatste voorwaarden zal niet altijd voldaan kunnen worden; zoo kan 2 geen tweedemacht zijn van eenige getallengrootheid, tot hiertoe gedefinieerd. Want onderstelde men dat (£? is, waar p en q o. o. geheele getallen zijn en — dus behoort tot het gevonden stelsel getallengrootheden, dan zou p* = 2qs moeten zijn. Daartoe zou p een tweevoud moeten zijn, want was p o. o. met 2, dan zou ook p'1 dat zijn. Stellen wij nu p = 2p' dan gaat de vergelijking over in 2p's = qs, zoodat nu q ook een even getal zou moeten zijn; maar dit strijdt met de onderstelde onderlinge ondeelbaarheid van p en q. Eindelijk in ax — c moet c een macht van a zijn, wat volgens het zooeven beschouwde geval niet altijd het geval kan zijn. § 6. Meetbare getallen. Willen wij dus de drie besproken bewerkingen altijd kunnen uitvoeren, dan moeten wij weer overgaan tot het invoeren van nieuwe grootheden. De gevonden getallengrootheden heeten meetbare (rationale) getallen. HOOFDSTUK II. De onmeetbare getallen. . § 1. De fundamentaalrijen. Hoewel er geen meetbaar getal bestaat, waarvan het kwadraat gelijk is aan 2, kan er toch een rij getallen bepaald worden,, die de eigenschap heeft, dat het kwadraat van een getal der rij minder en minder van 2 zal verschillen hoe verder dat getal in de rij staat. Men heeft nl. 1* <2<2* 1,4* < 2 < 1,5* 1,41* <2< 1,42* 1,414* <2< 1,415* 1,4142* < 2 < 1,4143* 1,41421* < 2 < 1,41422* 1,414213* < 2 < 1,414214* welke rijen onbepaald kunnen worden voortgezet. Bepalen wij onze aandacht tot de beide getallenrijen (A) 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; 1,414213; (B) 2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143; 1,41422; 1,414214; Deze rijen blijken de volgende eigenschappen te bezitten: 1°. De getallen, die op een hunner, b.v. het vijfde, volgen, hebben de eigenschap, dat de volstrekte waarde van het verschil van elk tweetal onder hen minder bedraagt dan 10~4, zoodat de volstrekte waarde van het verschil van elke twee getallen der rij, die na den nm term komen, minder dan ÏO-*"-1* zal bedragen. Door n groot genoeg te nemen kan dit verschil kleiner gemaakt worden dan een vooraf bepaald positief getal 1 — lg$. 24 2°. De getallen van de rij (A) vormen een klimmende rij, doch zijn eindig, aangezien ze allen kleiner dan 2 zijn. De getallen van de rij (B) vormen een dalende rij doch blijven allen grooter dan 1. De rijen (A) en (B) behooren tot een groep, die fundamentaalrijen genoemd en als volgt gedefinieerd worden: Onder een fundamentaalrij wordt verstaan een onbegrensde rij van meetbare getallen au a2, as , an, .. .., die de eigenschap bezit, dat bij vaststelling van een willekeurig te kiezen positief getal S een ranggetal m kan gevonden worden, zoodanig, dat de volstrekte waarde van het verschil van elk tweetal termen, dat in de rij na den men term komt, kleiner dan $ is; welke definitie kort wordt aangeduid door de schrijfwijze | an+p — a„ | < $, n > m, p = 1, 2, 3 ($ willekeurig positief getal, m het bijbehoorend ranggetal). In het bijzondere geval, dat bij vaststelling van het positieve getal <5 er een ranggetal m bestaat, zoodanig, dat elk getal der rij nd den men term kleiner dan d is, dan wordt de onbegrensde gelallenry een elementairrij genoemd. Bij een fundamentaalrij zal er dus een ranggetal m kunnen aangewezen worden, zóó, dat voor n > m, | an een bepaald positief bedrag e zal overschrijden. Hieruit volgt: 3°. Voor voldoend groote waarden van n zullen de termen, die nd den nen komen, hetzelfde teeken hebben. Immers is j an+p — an \ < $, n > m, dus zullen de termen, die in de rij op a„ volgen, hoogstens dezen term met het bedrag 3 kunnen overtreffen of bij dezen met dat bedrag ten achteren komen. Aangezien m, die aan de fundamentaalrij is gesteld, dan zou de volstrekte waarde | an | van den term a„ met aangroeiende n onbepaald grooter worden en ten slotte elk eindig bedrag gaan overtreffen. Deze bijzondere soort getallenlij heet monotoon. De rijen (A) en (B) zijn voorbeelden van montone fundamentaalrijen. Stelling. Zijn fli, at, ...., an, .... bu bt, bn twee fundamentaalrijen, dan zullen de uit deze twee afgeleide rijen a>\ + bu a2 + b3, ... ., a„ + b„ ai — bi, at — bs , a„ — b„, .... Oibu a2b2, .. . ., anbn, .... öi fl3 an b~i F2K ook fundamentaalrijen zijn. Bewijs. | (an+P + bn+P) — (an + b„)\ = \ (a„+p — a„) + (bn+P — b„) \ \(un+P — btt+p) — {an — bn) \ = | (an+P — a„) — (bn+P — b„) | I an+pbn+p — anb„ \ = | bn+p(aH+p — an) + an(b„+p — b„)\ = -- | an+p(b„+p — b„) + b„(an+p — a„) \ | an+p On_ I | bn(an+p — an) — alpn+p — bn) I I bn+p bn I bn bn+p De rechterleden dezer gelijkheden kunnen willekeurig klein gemaakt worden door n slechts groot genoeg te nemen, zoodat de afgeleide rijen werkelijk fundamentaalrijen zijn. Alleen mag in de vierde dezer afgeleide rijen geen enkele term bn gelijk nul zijn. Voortaan zullen wij een fundamentaalrij au a2, .. . ., an,.... aanduiden met het teeken (a„), zoodat de bewezen stelling als volgt kan gelezen worden. Zijn (a„) en (b„) fundamentaalrijen, dan zijn de onbegrensde getallenrijen (a„ + b„), (an — bn), (anbn), (an bn) ook fundamentaalrijen. Omdat de deeling door nul uitgesloten is, mag in (an: bn) geen der getallen b„ gelijk nul zijn. 26 § 2. Definities van onderling gelijke en van onderling ongelijke fundamentaalrijen. Wij zullen nu omtrent de fundamentaalrijen definities vaststellen, waardoor uitgemaakt zal kunnen worden, wanneer twee fundamentaalrijen onderling gelijk of onderling ongelijk zijn en in het laatste geval welke van de twee de grootere is. 1 °. Twee fundamentaalrijen (a„) en (b„) heeten onderling gelijk, wanneer de afgeleide tij (a„ — b„) een elementairry is. 2°. Twee fundamentaalrijen (a*) en (b„) heeten onderling ongelijk, wanneer de afgeleide rij (a„ — bn) een fundamentaalrij is. De rij (a„) heet grooter dan de rij (b„), wanneer de verschillen a„ — bn (welke volgens 3°, § 1 voor waarden van n, die een zeker ranggetal m overtreffen, hetzelfde, teeken zullen hebben) positief zijn; de rij (an) heet kleiner dan de rij (bn), wanneer de verschillen an — bn negatief zijn. Voorbeelden. 1. De rijen (A) en (B) in § 1 zijn onderling gelijk. 2. De fundamentaalrij 1, 1^-. lg-, . . ., 1 -)— is gelijk aan de fundamentaalrij 1, i. \, . . ., - -, .... ' 2 3 n Gevolgen. 1 °. Een fundamentaalrij is gelijk aan de rij, die uit haar ontstaat, als men er een eindig of oneindig aantal termen uit weglaat. Immers door die weglating gaat de fundamentaalrij Oy, at, . . . ., an, .... over in een onbegrensde getallenrij gevormd door de overblijvende termen, die wij zullen voorstellen door a\, a\ , a'n Deze beide rijen zullen onderling gelijk zijn, omdat de afgeleide rij (an — a'„) een elementairrij zal zijn; immers a„ — a'n is het verschil tusschen twee termen van de oorspronkelijke fundamentaalrij, en het volstrekt bedrag van dat verschil zal voor waarden van n> m kleiner zijn dan elk vooraf bepaald positief getal d. 2°. Een fundamentaalrij kan nooit gelijk zijn aan een elementairrij. 3°. Alle elementairryen zijn onderling gelijk. 27 § 3. De fundamentaalrij als de draagster van een getallengrootheid die door haar wordt gedefinieerd. In de fundamentaalrijen bezitten wij een stelsel dingen met de eigenschap dat van elk tweetal kan onderzocht worden of zij al of niet onderling gelijk zijn en welke van twee onderling ongelijke de grootere is. Zij deelen die eigenschap met de meetbare getallen. Men is daarom alleszins gerechtigd een fundamentaalrij te beschouwen als de draagster van een getallengrootheid, die door haar gedefinieerd wordt. Wij definieeren nu: Onderling gelijke fundamentaalrijen definieeren onderling gelijke getallengrootheden. Onderling ongelijke fundamentaalrijen definieeren onderling ongelijke getallengrootheden; de grootere rij definieert een grootere getallengrootheid. Wanneer de getallen van een fundamentaalrij na zeker ranggetal onderling gelijk a zijn, dan nemen wij aan, dat a het getal Is, dat door die rij gedefinieerd wordt. Daaruit volgt dan: Alle elementalrryen definieeren het getal nul, omdat de onbegrensde getallenlij 0, 0, 0, ... . het getal nul definieert en alle elementairrijen onderling gelijk zijn. § 4. Onbegrensde rijen van getallen, die door fundamentaalrijen worden gedefinieerd. Nu wij van de door de fundamentaalrijen gedefinieerde getallengrootheden de onderlinge gelijkheid of ongelijkheid kunnen onderzoeken, ligt het voor de hand ook onbegrensde rijen van deze getallengrootheden te beschouwen. Zij (i) Ci de getallengrootheid door de fundamentaalrij (a„ ) gedefinieerd; (2) Oj de getallengrootheid door de fundamentaalrij (an) gedefinieerd; en in 't algemeen: (?) aq de getallengrootheid door de fundamentaalrij (an ) gedefinieerd; dan definieeren wij: De onbegrensde rij (a„) van door fundamentaalrijen gedefini- 28 eerde getallengrootheden heet een fundamentaalrij, wanneer bij vaststelling van een willekeurige positieve getallengrootheid S, gedefinieerd door de fundamentaalrij ( m. Toelichting. Hier staat | aq — aq+p | in de plaats van de fun- damentaalnj (a„ — a„ ), zoodat | aq — aq+p \ < o uitdrukt, dat deze fundamentaalrij kleiner is dan de fundamentaalrij ( m. Hier drukt de voorwaarde | aq | < $ uit, dat de fundamen- (?). taalrij (a„ ) kleiner is dan de fundamentaalrij (£„). § 5. Definitie van de limiet eener onbegrensde getallenry (a„). Wanneer bij vaststelling van een willekewig positief getal è een ranggetal m kan gevonden worden, zoodanig, dat aan de ongelijkheid | « — a„ | < ê, n > m voldaan wordt, dan heet « de limiet van de getallenlij (a„). Die limiet wordt op de volgende wijze door de gelijkheid lim. an — « /I=0O aangeduid, welke gelijkheid de ongelijkheid | « — a„ \ < 5,n> m vervangt. Is nu a de getallengrootheid, die door de fundamentaalrij (c„) wordt gedefinieerd, dan is deze rij (a„) gelijk aan de rij (a), welke ook a definieert. Dan is echter de onbegrensde rij (an — a) een elementairrij, zoodat, bij vaststelling van een willekeurig positief getal $, een ranggetal m kan aangewezen worden, zoodanig, dat aan de ongelijkheid | a — an | < n > m 29 wordt voldaan. Volgens de definitie van de limiet eener onbegrensde getallenlij is a de limiet van de fundamentaalrij (a„), die a definieert. Dit geeft de stelling: De getallengrootheid, die door een fundamentaalrij wordt gedefinieerd, is gelijk aan de limiet van die fundamentaalrij, welke limiet dus bestaat. Voorbeelden. Zoowel de fundamentaalrij (A) als (B) § 1 definieert het getal, dat 2 tot kwadraat heeft, dus het getal j/2. De fundamentaalrij |l -j- —j definieert het getal 1, omdat lim |l-f- ~j m 1 is. De getallen door fundamentaalrijen gedefinieerd omvatten zoowel de meetbare getallen als nieuwe getallen, die onmeetbare getallen genoemd worden. Beide soorten, de meetbare (nationale) en de onmeetbare (irrationale) getallen worden saamgevat onder den naam van reëele getallen. § 6. De hoofdbewerkingen met onmeetbare getallen. Men definieert de hoofdbewerkingen met onmeetbare getallen door die met de fundamentaalrijen, door welke zij gedefinieerd worden. Is a het getal door de fundamentaalrij (a„), b het getal door de fundamentaalrij (b„) gedefinieerd, dan verstaat men onder a-\-b het getal, gedefinieerd door de fundamentaalrij (a„ + b„); a~b„„ | , „ „ (a„ — bn)\ ab . - . , (anbn); T ' • ■ .. • • | § 7. Het rekenen met limieten. Is weer a door de fundamentaalrij (a„), b door de fundamentaalrij (bn) gedefinieerd, dan is a = ltm.a„; b = llm.b„; a + b = llm.(a„ + b„) derhalve lim.(a„ + bn) = lim.an + lim.b„. 30 Evenzoo is lim.(a„ — b„) = lim.a„ — lim.b„ llm.(a„b„) = lim.an lim.bn \b„i lim.bn In 't algemeen: Is f(a„, bn, cn, . ■ • .) een vorm, waarin an, bm c„,. . . . door de vier hoofdbewerkingen met elkaar verbonden zijn, dan is lim./(a„, bn, cn, . . . .) — f(lim.a„, \im.b„, \im.c„ ) § 8. De omkeeringen van de macht. In § 4 van het eerste hoofdstuk is gebleken, dat de omkeeringen van de macht slechts in bijzondere gevallen een beteekenis hadden. Wij zullen nu onderzoeken hoe het met die omkeeringen staat nu wij over de onmeetbare getallen beschikken. 1°. ap = x, p een geheel getal. Is a een onmeetbaar getal, gedefinieerd door de fundamentaalrij (an), dan is aP gedefinieerd door de fundamentaalrij (af), bijgevolg is ap = L\m.(a„p) = (Lim.an)/'- De machten a1p, af, af,. . . zijn benaderende waarden van ap. 2°. xp = c; c meetbaar en > 1; p een positief geheel getal. Evenals in § 1 voor p = 2, c — 2 is geschied, kunnen wij twee onbegrensde getallenrijen aangeven, die de eigenschap hebben, dat de pe macht van een getal dier rijen minder en minder van c zal verschillen naargelang dat getal verder in de rijen voorkomt. Stel af < c < (a0 + l)p. Is nu m een positief geheel getal en k 55 m — 1 ook geheel en positief, dan kunnen wij laten volgen: / , kM I . L + l\p , J . 1 \' , k, \a» + m) p Zij cn — cn, dan gaat de fundamentaalrij over in (c ), zoodat x de limiet van deze rij of x = Lim.^ is. Wij besluiten uit dit onderzoek: elk positief reëel getal kan beschouwd worden als een pe macht, p een geheel getal zijnde. Definitie van den ptn wortel. In aP = c wordt a de pe wortel van c genoemd, deze bestaat voor elk positief of negatief reëel getal c, wanneer p oneven is. Is p even, dan is de pe wortel van een positief reëel getal tweewaardig; de twee waarden hebben dezelfde volstrekte waarde; een even wortel van een negatief reëel getal bestaat niet. § 9. Machten met gebroken exponenten. i De pe wortel van c wordt aangeduid door Vc of ook cp. De definitie van den pe wortel van c is dus (c7)"^ c = c% Is c = b", dan is (M)p de p* wortel van c, welke uitdruk- ♦ L king wordt geschreven bp waardoor wij machten met gebroken 3- I ±\p exponenten invoeren. De definitie van bp is dus \bpj = M. 32 Uit ~i o, pii Piq pqi+piq \aH . ar1/ = a . a — a volgt R. pi R. +p± aq.aqi=a" q\ Op dezelfde wijze blijkt, dat p. pi p._p± a9:a9l = a9 91 is. Uit [a9 .b9} =aP .bP = (abf volgt P_ £ P_ aq .bq = (ab)9. Evenzoo blijkt, dat P P l \Q is, zoodat de eigenschappen der machten met geheele exponenten ook doorgaan bij machten met gebroken exponenten. § 10. Logarithmen. 1°. ax = c, c meetbaar en c > a > 0. Wij kunnen een onbegrensde rij van machten van a aangeven, die de eigenschap hebben, dat een macht uit die rij minder en minder van c zal verschillen, naargelang zij verder in de rij voorkomt. Stel Po PO* 1 a < c < a Bij aanneming van een geheel getal m en een geheel getal k < m kunnen wij voortgaan met de volgende ongelijkheden: P°*m P° + ~m~ Pi 1 ~m k, a < c < a of o < c < a met p, = p0 + — r m *2 «2+1 1 a m < c < a m „ a < c < a m „ a = a + —ï r r mr kn *» + ! > h P„_l + A Pn-\ + ^— Pn Pn+~n , — a mn < c < a m" „ a < c < a m 7lpn= pn-\ + mn volgt LR. 1 aq .bq = (ab)1 Evenzoo blijkt, dat 33 Aangezien de onbegrensde getallenlij (/") of [ * +m + m *" ♦3,) \a wfj een toenemende en de onbegrensde getallenrij {a " + m") of \a m m m" f een afnemende rij is van positieve eindige getallen, zullen die rijen fundamentaalrijen zijn met dezelfde grens (§ 1, 5°). Dus is c = lim.a m m m" = a \ m «"/ welke limiet bestaat. Aan a* = c wordt dus voldaan door x = lim.L + kl + .. + M. b=oo\ m m"l Hier is ondersteld dat a> 1 is. In het geval 0 < a < c < 1 stellen wij a = —, c = —, dan ai ci gaat ax = c over in af = c, met a1 > cx > 1. Dit geval is dus teruggebracht tot 2°. ax = c, a> c> 1. Om hier het bestaan van x te bewijzen gaan wij uit van de ongelijkheid 1 af0 < c < aPo~l waarin p0 een positief geheel getal is. Op deze ongelijkheid kunnen wij een reeks van ongelijkheden laten volgen evenals dat in 1° geschied is. De waarde van x zal dan verschijnen onder de gedaante x = lim. t -g- 7— ■ m m* ' ' ' mn 3°. Nu kan in 1° nog c > 1, a < 1 zijn. Stellen wij dan a = —, dan gaat ax — c over in ax~x = c met c > ay > 1 of met ■i Oi > c > I. Voor c > ax > 1 is de oplossing volgens 1° x = -lim.lp0 4- ^ï + ^ + . . .. +-M \^ /re /re* /ra" / Dr. O. Schouten, Grondslagen der Rekenkunde. 3 34 voor ax > c > 1 is volgens 2° x = — lim. r b—• n=oo. R\ Rn Po .... — m m„ 4°. Eindelijk beschouwen wij het geval ax — c, a > c > o. Hiervan is in 2° het geval a > c > 1 reeds behandeld. Het geval c < a < 1 wordt door a = —, c = — te stellen terugge- ai ci bracht tot af = cv cx > aY > 1, dus tot het geval 1°. Er blijft nog over te onderzoeken het geval dat a > 1, c < 1 is. Door c = — te stellen gaat ax = c over in Cl a~x = cv cx > at > 1 of a > cx > L De oplossingen hiervan hebben dezelfde gedaanten als in 3° gevonden zijn. 5°. Zijn a en c in ax = c beiden of is een van beiden negatief, dan heeft de vergelijking geen oplossing. 6°. Zijn a en c in ax = c beiden of is een van beiden onmeetbaar, dan heeft x wel een waarde. Is a door de fundamentaalrij (an) en c door de fundamentaalrij (c„) gedefinieerd, dan heeft an " = cn een oplossing. Dus is lim. a„ " = lim. c„ of lim.x a " = C zoodat lim. xn de oplossing is. Hiermede is de stelling bewezen: Elk positief reëel getal kan beschouwd worden als een macht van elk ander positief reëel getal, de eenheid uitgezonderd. In ax = c wordt x de logarithme van c genoemd met de basis a, en aangeduid door "log c. De definitie van de logarithme van c met de basis a is dus aalogc = Cf 35 zoodat bovenstaande stelling op de volgende wijze kan uitgedrukt worden: Elk positief reëel getal heeft een logarithme met elk ander positief reëel getal (de eenheid uitgezonderd) tot basis. Logarithmen van negatieve getallen bestaan evenmin als logarithmen met negatieve basis. § 11. De eigenschappen van de logarithmen volgen uit de definitie van de logarithmen. Uit al°eb = b, a"t0«c = c volgt a"logb+ loge — — aalogbc dus log b + log c — log bc. Evenzoo vindt men log b — log c = log —. ■ • '; Eindelijk uit ab loge = cb _ a \ogc volgt b log C = log C*. HOOFDSTUK III. Eenige grensbepalingen en ongelijkheden. § 1. |ƒ + — \ heeft een limiet voor n = oo. Zijn a en b positieve getallen en is n een positief geheel getal, dan volgt uit a" ~ b" = + a"-2 b + + ab"-2 + b"~l a — b wanneer a > b ondersteld wordt: an b" nb»-i < t u < nan-i a — b zoodat (1) a"-1 (a —- n (a — b)) < bn (2) bn~l (b + n(a — b)) < an Wordt in de ongelijkheid (1) a = 1 + \_ b = 1 + ^ gesteld, waardoor a — n (a — b) = 1 wordt, dan gaat zij over in <3) K-^iT <('+#■ Wordt in de ongelijkheid (2) b = 1 —~p a = 1 — - gesteld, waardoor b + n (a — b) = 1 wordt, dan gaat zij over in ('-^r('+5*>('+„-é7r>->('+^ Volgens (4) volgt hieruit h$<('-^Y*y(>-r<---<{>-ir~<- De waarden van |l + —j liggen tusschen 2 en 4, zoodat de limiet van |l + —J voor n = oo bestaat. Men schrijft lim. {1 + — | = e. § 2. lim. (l — ^1 "= e. Uit volgt / l »-<«+» Met toenemende n nadert (l (+ —) van den kleinen kant en 38 |l — —j van den grooten kant tot e, zoodat voor eindige waarden van n de ongelijkheden ('+4)"<«c-r bestaan. § 3. De natuurlijke logarithme van een getal Is grooter dan de Neperlaansche logarithme van dat getal. Want het logarithmenstelsel naar Neper genoemd heeft (1 — 10-7)-™1 tot grondtal, dat grooter is dan e, de basis van het natuurlijke logarithmenstelsel. Men heeft b.v. nat. log 2 - 0,6931471; nep. hg 2 = 0,6931469. In 't vervolg zullen wij de natuurlijke logarithme van een getal a aanduiden door lg a. § 4. llm. il + —)" = e, « een reëel getal. w/ Laat &) gelegen zijn tusschen de positieve geheele getallen n en n + 1, zoodat « zoowel door n + »„ als door (n 4- 1) — |3„ kan vervangen worden; dan is «n + j3„= 1. Nu is l + -> 1 +-> n 6> n -+-1 dus ook ('+ir>('+ir>('+mr of ('+r">('+^r>('+mrf" wat op de volgende wijze geschreven kan worden Groeit « onbepaald aan, dan zal daarmede een aangroeiing van n gepaard gaan. Voor lim. &» = oo is ook lim. n = oo en lim. [l + —) = e. 39 Is 6) een willekeurig negatief getal, b.v. « = — (p -4- 1), waar p een willekeurig positief getal is, dan is waaruit volgt: lim. [l + —J = e. Wanneer » tot + oo of tot — oo nadert, zal 1 : « resp. van den positieven of van den negatieven kant tot nul naderen. Stellen wij 1 : « = <ï, dan is lim.(l + S)S = e onverschillig of $ van den positieven dan wel van den negatieven kant tot nul als limiet gaat. § 5. lim.(l + ^)" = e*. Stelt x een willekeurig eindig getal voor, dan zal — nul tot limiet hebben als tt oneindig groot tot limiet heeft. Uit u x> ) volgt: lim. (l + —)" = C. •=»\ M' Omdat ax — ée "x = exl«" is, vindt men algemeener: M [, i xlga\» hm. [1 + = ax. § 6. Benaderde waarden van e. . De ontwikkeling van (l +-^y volgens het binomium geeft: 40 "'"«/('' n) n)'' ' " n )' dus ook m < n zijnde: ('+4r^+é('-4)+é('-i)('-i>+-- waar /?m voorstelt de som der (n — m) termen, die na den /n0 term volgen en dus gelijk is aan «"H'-i)(-4)--('-V)iï* « . \ «/ \ /i / , . \ nl \ n _m + l (m + ï) (m + 2) +--'~f~ (m + I) ... n De vorm tusschen de haken bestaat uit de som van (n — tri) termen, waarvan de eerste kleiner is dan —r—z, de tweede klei- m +1 ner is dan -.—r-scb enz., de laatste kleiner is dan ;—\——-. (m +1)* (m + iy-m} zoodat ook de geheele vorm tusschen de haken kleiner is dan 1 1,1, , 1 m + 1 _J_ m + l^fm+1)* (m + l)n~m 1_ m' m + 1 Stellen wij de waarde van den vorm tusschen de haken gelijk aan —, waar 9 een echte positieve breuk is, dan is m i\m — ; ml m zoodat bovenstaande ontwikkeling van [l + —J overgaat in n){^ /*)'''"(* n )m!V~^m)' \i + 4- = 1 +1 + -h U - ■+ +4t [1 -4- U -4- + •. • + 41 Door nu tot lim; n = oo over te gaan, daarbij m standvastig latende, vinden wij lim.il +—)" = 2 + 4j + 4j + - ■ ■ + —, + —^—r \ nl 2/3! ml m. mi Hieruit blijkt dat de som 2 + 4t + 4i + • ■ ■+—, 2! 3! m! kleiner is dan e, maar er minder dan . van verschilt. m . ml Voor m = 10 vindt men 2,7182818 tot de laatste decimaal nauwkeurig als benaderde waarde voor e. » j § 7. lim.—x— = lg a; a positief. Stel $ positief, a > 1 en a — 1 = e, dan is e een getal dat met o nul tot limiet heeft. Hieruit volgt n i /f _i_ > flJ — 1 lSa èlg a = lg(l + t) en —j— = —e y, lg(l +«)' zoodat a$ / lim. —5— = lg a. 1_ Wij merken op, dat lg {1 + e)e van den kleinen kant tot 1 nadert wanneer e kleiner wordt, zoodat (1) gp-ffl^v —j— > Iga en voor $ = —, « een geheel positief getal zijnde: lg a < n(Va — 1). » j j a~» Wordt S in — £ veranderd, dan gaat —^— over in ^ . Wordt hierin 1 — a~s = e gesteld, dan is d — ^1 g en de laatste uitdrukking gaat over in: l — a~s t , Iga =i- lg(l-e) ' 42 Overgaande tot lim. o of (J = — stellende, waar n een positief geheel getal is: n(l — y^ üi+—) > -±4 3 n nl n +1 Deze ongelijkheden worden als volgt bewezen. >+f<: ('rir>« »j (4t/)<~ÏTï >A'-'n"n' f ïéi*-**('-t)>f ' Deze ongelijkheden volgen uit de voorgaande door daar n n — 1 te veranderen, of ook rechtstreeks als volgt: *m+3) derhalve 44 Men heeft achtereenvolgens § 12. TJte constante van Euler. Uit de beide voorgaande ongelijkheden volgt voor —: . n + 1 . 1 n lg — < — < lg r « n 6 n —1 i n 1 * i n —1 ten-=ïlê + derhalve i + fen> i + i-+i- + .... + i.>/jgr {n + 1) l>l+12+^ + .... + ±-lgn>lg(l + l) bijgevolg 45 Deze limiet heet de constante van Euler (Macheront) en is gelijk aan C = 0,5772 Tevens blijkt, dat um. ^+4+4+.. ..+4)=-. § 13. S*n ^. , x^- hebben voor 9 = 0 een limiet. 3 9 T ? *» ? Uit . stn-cr 9 COS 9 sin 9 _ 2 T g T ¥ -ft volgt sin-^r 9 sin —r 9 sin 9 ^ 2 T . 4 T . 3- < —_— < — < enz. 91 1 De onbegrensde getallenrij sini ! 2" is een klimmende met positieve getallen kleiner dan 1. Die rij is dus een fundamentaalrij en heeft een limiet voor n = 00. ^ , , , 2 sin

— cos y + i sin y 2/tri H e = J- e**1 = (— l)n en verder is e*+ m an>S is, dan zegt men, dat de grenswaarde van de getallenrij oneindig groot is. Dus heeft een monotone rij, die geen fundamentaalrij is, de grenswaarde oo of — oo. Is de monotone rij tevens een fundamentaalrij, •dan heeft zij als alle fundamentaalrijen een bepaalde grenswaarde. § 2. Stelling. Onbegrensde niet monotone getallenrijen hebben een boven- en een benedengrens. Alvorens de stelling te bewijzen zullen wij aan eenige voorbeelden de beteekenis van de boven- en de benedengrens aanwijzen. Beschouwen wij de onbegrensde getallenrij JLiA-13-12.3 + 1 5 1 2' 3' T> 4) 1> 5) 5' 6» 51 T> 'ff» T» > • • • van alle onherleidbare breuken, gerangschikt naar de klimmende noemers en de bijbehoorende tellers. Deze rij is geen fundamentaalrij, omdat het verschil tusschen de twee opvolgende termen —?-* en —=—s grooter is dan n+1 ra + 2 & 2 1 — n _|_ ^, dus met onbepaald aangroeiende waarden van n tot de limiet 1 nadert. 62 Uit deze rij zijn de volgende monotone onbegrensde rijen te lichten: i, 1, ï, ...., —r—- met de limiet 1; *' s' *' ' n +1 4, 4, 4., ——r, ..... met de limiet 0; zijn plf pa, p% de opvolgende oneven priemgetallen» dan ook i(A-l) met de limiet*. Pl ' Pi P" Nu wordt 1 de bovengrens, 0 de benedengrens van de oorspronkelijke getallenrij genoemd, omdat elke andere fondamentaalrij, welke uit deze te lichten is, een grens moet hebben, die niet grooter dan 1 en niet kleiner dan 0 kan zijn, zooals lichtelijk aan deze rij te zien is. Die uiterste grenzen worden in dit geval aangeduid door lim. an = 1, lim. a„ = 0, « = °° n = oo In de onbegrensde rij 1, —2, 3, —4, 2n— 1, — 2n, .... zijn de beide monotone rijen begrepen: 1, 3, 5, 7 met de limiet oo — 2, — 4, — 6,-8, .... met de limiet — oo Zoodat hier lim. an = oo, lim. an = — oo is. Overgaande tot het geven van het bewijs van bovengenoemde stelling merken wij op, dat zich bij een getallenrij twee gevallen kunnen voordoen: zij heeft een grootsten (kleinsten) term óf zij heeft dien niet. Zoo heeft de rij lt _ 2, +3, — 4 , 2/1 — 1, — 2«, geen grootsten en geen kleinsten term. De rij 1, 2, 3, 4, n, heeft 1 tot kleinsten term, doch geen grootsten term, terwijl 1 14 14 — ... 1 tot grootsten term doch geen kleinsten term heeft. Onderstellen wij nu, dat de onbegrensde getallenrij (an) geen grootsten term heeft. Dan zal men de rij langs gaande, daarbij 63 met Oi beginnende, een term moeten aantreffen, stel den term a„ die grooter dan of gelijk aan ax is, want anders zou in strijd met de gemaakte onderstelling a, de grootste term van de rij wezen. Dus is ay ^ aPi, terwijl de termen van de rij tusschen ax en ap gelegen allen kleiner dan deze zijn. Verder de rij langs gaande zal men om dezelfde reden als boven aangegeven een term aP2 moeten aantreffen die grooter dan of gelijk aan aPt is, terwijl de tusschen deze termen ap en ap gelegen termen van de rij kleiner dan deze moeten zijn. Het is duidelijk dat zoo voortgaande een onbegrensd aantal getallen (1) öi- öpj, aPi, . . . ., aPn uit de oorspronkelijke rij zal aangewezen worden, die voldoen aan de voorwaarden a?2 £ aVn > terwijl elk der termen van de oorspronkelijke rij, die tusschen ieder paar opvolgende termen van de rij (2) zijn gelegen, grooter zal zijn dan elk van deze. De rij (2) is een monotone en zal dus een eindige grens of de oneindige grens — oo hebben naargelang zij al of niet een fundamentaalrij is. Geen fundamentaalrij kan uit de oorspronkelijke gelicht worden, die een kleinere grens dan die van (2) zat 64 hebben. De grens van de rij (2) is dus de benedengrens van de oorspronkelijke rij. Wij kunnen dus de volgende stelling uitspreken: 1. Heeft de onbegrensde niet monotone getallenrij geen grootsten (geen kleinsten) term, dan zal uit die rij een klimmende (dalende) monotone rij gelicht kunnen worden, waarvan de limiet de bovengrens (benedengrens) van de oorspronkelijke rij vormt en die eindig dan wel oo (— oo) is, naargelang de rij al dan niet een fundamentaalrij is. Hier wordr door klimmende monotone rij zulk een rij aangegeven, waarvan elke term niet kleiner is dan de onmiddellijk voorafgaande term. Evenzoo is een dalende monotone rij een rij. waarvan elke term niet grooter Is dan de onmiddellijk voorafgaande term. Gaan wij nu het geval na, dat een onbegrensde getallenrij (a„) wel een grootsten (kleinsten) term heeft. Wij beschouwen met deze rij (a„) de rijen, welke uit haar ontstaan door weglating van den eersten term, van de eerste twee termen, van de eerste drie termen enz. Zij dus: Oi, o,, o,, at, ...,a„ ...de rij met Gt tot grootsten, gx tot kleinsten term aa,at,ai,...,a„...n „ „ G3 „ , ,gs . „ as, a4, ..., a„ ...„„„ Oz „ * , gt » v enz. Is öi de grootste term, dan is Gi = Oti is at niet de grootste term, dan is Gt = G3; in ieder geval is G ^ G3. Het teeken > tusschen Gi en Gs drukt dus uit, dat at de grootste term van de rij (a„) is. Is de grootste term van de tweede rij, dan is G3 — a3; is ze dat niet, dan is G3 m G3. In ieder geval is dus Oi S G, = G, Aldus voortgaande komt men tot de onbegrensde rij van ongelijkheden of gelijkheden. Gi G3 ^ G, Sï SG»= Hierin kunnen de teekens niet allen gelijkheidsteekens zijn, omdat daaruit tegen de gemaakte onderstelling in zou volgen, dat de rij (a„) geen grootsten term heeft. De teekens kunnen ook niet allen het teeken > wezen, omdat dan de rij (a„) een monotone 65 rij zou wezen, en monotone rijen in het onderhavige geval uitgesloten zijn. Bijgevolg zal de rij der ongelijk- of gelijkheden van den volgenden vorm wezen: Ci = G2 = .... = Gpx > Gpi + i = .... = GPt > Gpt+i = = = Gp3 > Gp3 + 1 = Zij drukt uit, dat ap de grootste term is van de rijen, die met au Cs, • • • aP aanvangen; dat ap^ de grootste term is van de rijen, die flpi+i, 0/>l+2, flp2 tot eerste termen hebben enz. De getallenrij (3) aPl, ap2, ap3, , aPn, zal onbegrensd zijn. Onderstelde men toch dat de rij (3) eindig ^as en aPn tot laatsten term had, dan zou dê oorspronkelijke rij {an) monotoon zijn, omdat de termen dier rij na aPn een monotone rij zouden vormen (Hoofdst. II, § 1, 5°). De getallenrij (3) is een monotone dalende rij met de eigenschap, dat de termen van de oorspronkelijke rij, die tusschen een paar opvolgende termen van de rij (3) gelegen zijn, kleiner zullen zijn dan elk van deze. Daarom zal de limiet van de rij (3), die eindig dan wel — co is naargelang zij al of niet een fundamentaalrij is, de bovengrens van de oorspronkelijke rij aangeven. Heeft de oorspronkelijke rij (a„) een kleinsten term, dan blijkt op soortgelijke wijze als in het vorige geval, dat er een monotone klimmende rij (4) av ag2, , agn, uit de oorspronkelijke rij (a„) is te lichten met de eigenschap, .dat de termen van de oorspronkelijke rij, die tusschen een paar .opvolgende termen van de rij (4) gelegen zijn, grooter zullen zijn Aan elk van deze. De grens der rij (4), die eindig dan wel + oo zal zijn naargelang zij al of niet een fundamentaalrij is, is dus de benedengrens van de oorspronkelijke^ rif. De uitkomsten van dit onderzoek vatten wij samen in de volgende stelling. II. Heeft een onbegrensde niet monotone getallenrij (a„) wel „een grootsten (kleinsten) term, dan is er uit deze rij een monotone dalende (klimmende) rij te lichten, die de bovengrens (benedengrens) van de oorspronkelijke rij tot grens zal hebben, welke Dr. O. Schouten, Grondslagen der Rekenkunde. 5 66 eindig of — oo (+ oo) zal wezen naargelang de monotone rij al of niet een fundamentaalrij is. § 3. Bewijs van de in § 2 genoemde stelling: Elke onbegrensde niet monotone getallenrij heeft een boven- en een benedengrens. Zulk een getallenrij toch verkeert in één van de volgende gevallen: zij heeft 1° noch grootsten noch kleinsten term; 2° zoowel een grootsten als een kleinsten term; 3° geen grootsten maar wel een kleinsten term; 4° geen kleinsten maar wel een grootsten term. Aangezien in elke der stellingen I en II van § 2 met het woord grootste overeenkomt het woord bovengrens en met het woord kleinste het woord benedengrens, is daarmede de stelling bewezen^ De boven- en de benedengrens worden samen de uiterste grenzen van de getallenrij genoemd. Wij doen nog opmerken, dat de uiterste grenzen door de termen: der monotone rijen, van welke zij de limieten zijn, zoowel van den grooten als van den kleinen kant kunnen benaderd worden. De bovengrens (benedengrens) wordt van den grooten kant benaderd, wanneer de rij een grootsten (geen kleinsten) term heeft; daarentegen van den kleinen kant, wanneer de rij geen grootsten (een kleinsten) term heeft. Bedenkt men daarbij, dat elke twee opvolgende termen van de monotone rij, die de bovengrens (benedengrens) tot limiet heeft, grooter (kleiner) zijn dan de termen van de oorspronkelijke rij tusschen die twee geplaatst, dan zal men de juistheid der volgende ongelijkheden inzien: Bij vaststelling van een positief getal $ zal een ranggetal m gevonden kunnen worden, zoodanig, dat van de onbegrensde rij (a„) geldt: (1) *) a„ > / — S n > m an < L + $ **) (2) **) a„ < 1 + ê n„ > m, p = 1, 2, .. . a„ > L — cT *) p p waarin l de benedengrens, L de bovengrens van de rij (a„) voorstellen en *) aanwijst, dat de grens van den kleinen kant, **) aanwijst, dat de grens van den grooten kant wordt genaderd. Vallen de uiterste grenzen samen en is dus de onbegrensde rij een fundamentale (§ 4), dan wordt de grens / volgens Hoofdst. II, § 5 aangeduid door \ l — an | < d, n > m, of, wat op hetzelfde: neerkomt, door (3) / — 3 < an < l + $. 67 § 4. Grondstelling van de onbegrensde getallenrijen. Onder de onbegrensde getallenrijen is de fundamentaalrij de eenige, die een bepaalde grens heeft. Bewijs. Van de monotone rijen is dat reeds bekend. Is zulk een rij een fundamentaalrij, dan heeft zij een bepaalde grens; is zij dat niet, dan heeft zij + oo of — oo tot grens. De niet monotone onbegrensde rijen hebben een boven- en een benedengrens. Deze grenzen zullen samenvallen of niet. Vallen zij samen, dan zijn de rijen, welke de bovengrens en de benedengrens tot limiet hebben, onderling gelijk. Hun verschil zal een elementairrij opleveren. Volgens de definitie van de elementairrij zal bij vaststelling van een positief getal m, p = \,2,3 Dan bestaat lim. z„ en heet de getallenrij convergent. Stelling I. Convergeert de getaUenry (z„) dan convergeert zij volstrekt, want volgens Hoofdstuk IV, § 5, (2) is. || Zn | — | Z„+p || =5 | Zn —■ Zn+p | < & Is de getallenrij (z„) geen fundamentaalrij, dan zal de rij volstrekt divergeeren en dus ook zelve divergeeren, wanneer || z„ | — | z„+p || > 8, n>m, p=l, 2, 3 Wanneer eindelijk de rij ( zn |) een boven- en een benedengrens heeft, dan zegt men, dat rij (z„) onbepaald is (schommelt). Beschouwen wij naast de getallenrij (an + ibn) de rijen met de reëele getallen (a„) en (b„), dan komen wij tot de volgende stellingen. 69 Stelling II. Convergeert (z„), dan convergeer en ook de rijen (a„) en {bn), want volgens Hoofdst. IV, § 4, (1) is | a„ — an+p | =S | Zn — Zn+p |, | bn — bn+p \ =5 | Zn — Z„ + p . Stelling III. Convergeeren (an) en (bn), dan convergeert ook (z„). Deze heeft a + bi tot limiet, wanneer a de limiet van (an) en b de limiet van (b„) is. Want uit \an— an+P\m, p = 1, 2, 3, .... volgt volgens Hoofdst. IV, § 4, (1): | zn — Zn+p | ^ | a„ — a„,p | + | b„ — bn+P | =5 8. De getallenrij (z„) kan beschouwd worden als de som van de rijen (an) en (ib„) en heeft dus a + bi tot limiet. Stelling IV. Divergeert de rij (\ zn \), dus ook de rij (zn), dan divergeeren de rijen (a„) en (b„) beiden of minstens divergeert een van beiden. Want volgens Hoofdstuk IV, § 5, (2) en § 4, (1) is || Zn | — | Zn+p || ^ | Zn — Zn + p | =S | On — an+p \ + \ b„ — bn + p \, n> m, p = 1, 2, 3,.... Is dus || zn | — | z„+p || > 2*J, dan moeten | an — a„+p | en | bn — b„ + p | beiden of moet minstens een van beiden > 8 zijn. Stelling V. Divergeeren de rijen (an) en (bn) beiden of divergeert slechts een van belden, dan divergeert ook de rij (z„). Want uit de divergentie van (a„) of | a„ — an+P | > 8, n> m, p = 1, 2, 3, — volgt volgens Hoofdstuk IV, § 4, (1) dat des te meer | Zn Zn+p | ^ 3 is. Eindelijk merken wij nog op, dat, hoewel van monotone rijen met complexe termen niet te spreken is, aangezien van twee complexe getallen niet bepaald kan worden, welke van hen de grootere is, met het oog op de stelling I bij definitie kan vastgesteld worden, dat een rij met complexe termen monotoon genoemd wordt, wanneer de volstrekte waarden van hare termen een monotone rij vormen. Dan gaan de stellingen van § 2, § 3 en § 4 en de definities van § 5 en § 6 omtrent getallenrijen met reëele termen ook door voor getallenrijen met complexe termen. 70 § 8. Stelling omtrent de gemeenschappelijke limiet van twee veranderlijke getallen. Zijn (an) en (b„) twee divergente getallenrijen met oo tot limiet en (bn) daarenboven klimmend, dan is hm. r- = hm. t 7— bn bn — bn-\ mits de limiet in het tweede lid bestaat. Bewijs. Is de limiet in het tweede lid eindig en gelijk aan /, dan is volgens § 3, (3) bij vaststelling van een willekeurig positief getal <$ een ranggetal m te vinden, zoodanig, dat / _ $ < an~a"+l m. bn — bn-\ Daar b„ — bn-\ positief is ondersteld voor elke waarde van n, is (l - 8) (bn — bn-i) < an — an-i < (l + 8) (b„ — ba-i), n > m. Zet men in deze ongelijkheden voor n achtereenvolgens n — 1, n — 2, . .. ., m in de plaats en telt men de daardoor ontstaande ongelijkheden bij elkaar op, dan geeft dat (/ — 8) (bn — bm) m. Daar bn > 0 is, kunnen wij door bn deelen; dit geeft 'c-3»('-|;) + t 8 (bn — bm), n > m. 71 Derhalve is «»> «5 + a(/— M «>/n, b„ b„ \ bal welke ongelijkheid voor lim. b„ = oo overgaat in n=oo bn onafhankelijk van m, dus ook van S, hoe groot i ook genomen wordt. Daaruit blijkt, dat ,. a„ lim. -T- = oo. n=oo O/i § 9. Stelling. De limiet van een fundamentaalrij is gelijk aan de limiet voor n = oo van de gemiddelde waarde der eerste n termen van de rij. Bewijs. Zij (««) de fundamentaalrij met de limiet «. Wordt in de voorgaande stelling aa = «i + «s + »s +.••■ + *« en b„ = n genomen, dan is eenerzijds Un — An-l _ Jhf_ bn — bn-l ~ 1 ' anderzijds a„ _ «x + «8 + .... + »n ~bn~~ n Omdat volgens de grondstelling der onbegrensde getallenrijen (§ 4) de limiet van *„ bestaat en gelijk is aan «, zal Urn. + „« /.= * « zijn. § 10. Stelling. Zijn (a„) en (bn) twee elementairrijen, dan is .. ajbn + a%bH-\ + ....+ anb\ _ q n—oo " Bewijs. In de eerste plaats zij opgemerkt, dat de volstrekte waarden \an \ en | b„ \ voor elke waarde van n kleiner moeten zijn dan zeker positief getal k; derhalve is | Oybn + aib„-1 + + aA | < k (! bn | + | bn-X | + + +1*1 il+lai«+2! + Ia»l) als /i even is. Voor n oneven moet \n +1 vervangen worden door %(n +1). 72 Omdat (a„) en (b„) elementairrijen zijn, zal er, bij vaststelling van een positief getal 5 een ranggetal m bestaan, zoodanig, dat | cr | < ö*: k, \ br \ < d: k, r> m. In de onderstelling dus, dat n > 2m is, zal | afin + a3b„-i + + öA | < k (-| + j + +j) (n maal) = « m is. Wordt hierin n achtereenvolgens vervangen door n — T, n — 2, . . . ., m, en het gedurig product van al de verkregen ongelijkheden genomen, dan geeft dit (1 — 3)"-m < cn ■■ cm < (1 + 3)»-m, n> m, of ook cm(l — 8)"-m m. Omdat (1 — 3)m < 1 en (1 + 3)m > 1 is, zal des te meer CmU — 8)" < cn<{l + 3)"cm, n> m gelden. Hieruit volgt 1 1 - Cm"(1 — 3)< Cn <(l + 3) Cm", tl > m. Hf ook, omdat lim. cm" = 1 is: *# i i 1 — 3 ^ linu Cn ^ Hm. cn" =S / + 3. Deze ongelijkheden, onafhankelijk van m, dus ook van 3, kunnen niet bestaan, tenzij ieder der daarin voorkomende limieten gelijk zij aan 1. Derhalve is lim. cnn — 1 en B=co lim. ann = lim. cn nl — l. Is Hm, f?"jLL = oo, dan is bij vaststelling van een willekeurig n=oo a„ positief getal 3 een ranggetal m te vinden, zoodanig, dat am>3, n> m, ttn hoe groot 3 ook genomen worde. 74 Wordt hierin n achtereenvolgens door n — /, n — 2 , m vervangen en van de verkregen ongelijkheden het produkt genomen, dan komt er -3- > Sn-m dm dus j ^ ^>{%r)\ n>m. 1 la \* ~ Omdat lim. |-^-| = / is, is ook Urn. a„" ü & De benedengrens is onafhankelijk van m, dus ook van 3, welk getal onbepaald groot kan genomen worden, bijgevolg is i_ lim. a„" = oo. Was eindelijk lim. an+\ : a„ = O, dan wordt dit geval terug- n= co gebracht tot het vorige geval, door an = / : bn te stellen, waardoor fl/j+i : dn overgaat in / : —r—. bn § 13. Toepassingen van de stelling § 8. 1. Voor a„ = Ign, b„ = n vindt men voor Urn. n = oo: / « lgi lim. g— = 0; dus ook lim. —— = 0. n n Hieruit volgt verder lim. n" = 1; lim. (—j = /. 2. Voor a„ = (/g ra)*, bn = n, vindt men voor lim. ra = oo: lim. (i?—T = o, k = geheel positief getal. n 3. Voor an = p", b„ = ra, vindt men voor /wra. n = co pf1 0 voor p ^ 1. hm. - = . , ra oo „ p > 1. 4. Voor a„ M 1* + 2^+ . . . . + nP, bn — nP+1 vindt men voor lim. n = oo: ,. 1P + & + +nP 1 „s i 75 5. Voor a„ = lg n/, bn — n vindt men voor lim. re = oo: i lim. n' = oo, lim (ra/)" = oo. ra 6. Voor a„ = y + ^p- + 4- — — (re/), bn = n vindt men voor lim. n = m, p= 1, 2, 3, of ook op de volgende wijzen: (2) |a„+i + an+2 + .....+ an+p \ m, p = 1,2,3, 77 (3) I nza„ < 3, n > m, p = 1, 2, 3, I n+l Is 5 de som der oneindige reeks, dus de limiet van de onbegrensde rij der gedeeltelijke sommen (S„) dier reeks, dan is volgens de definitie van de limiet (Hoofdst. II, § 5): (4) | 5 — Sn | < 3, n> m wat ook O.p de volgende wijzen wordt aangeduid: (5) 5 — 5 < Sn < S + $, n>m (6) Lim. Sn = S. Stelling. Is de oneindige reeks 2a„ convergent, dan is lim. a„ = 0. Wanneer wij toch in (2) p = 1 nemen, vinden wij I fln+i | < 8, n> m dus ook I a„+i | < | a„+2 | < 3 | I an+P | < *, . . • •; n> m. De getallen an+h a„+2 , an 3, n > m, p = /, 2, 3, .... dan is Lim. Sn = oo of — oo; in dit geval wordt de oneindige reeks divergent genoemd. De noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor de divergentie eener oneindige reeks wordt dus door (1) uitgedrukt. Stelling. Een divergente oneindige reeks divergeert ook volstrekt. Dit volgt onmiddellijk uit de ongelijkheid (1) § 3. Tot het omgekeerde van deze stelling mag ook hier niet besloten worden. § 5. Noodzakelijke en voldoende voorwaarde die vervuld moet zijn opdat een reeks onbepaald zij (schommele). Die voorwaarde is, dat de getallenrij der gedeeltelijke sommen onbepaald is (schommelt), dus een boven- en een benedengrens heeft. Voorbeelden. 1. De meetkundige reeks sa" convergeert voor \ a | < /, divergeert voor a ;> /, oscilleert voor a n-+-l>lgn-+-l , n+2^ / ,n+3 ^«-T7>M^>^«-qF2 , 2n ^ 1 ^ / 2n+1 l*2h+l> 2n >lZ-2ir — opget. . 2n+l lg2 > Sin > lg}j-fn Hieruit volgt: U m. Sin — lg2. Hiermede is nog niet bewezen, dat de reeks convergeert, want zij zou nog onbepaald kunnen zijn (schommelen). Dit zal het geval wezen, wanneer lim. Su-\ ongelijk is aan lim Sin', is evenwel lim Stn-i lim. Sin, dan convergeert de reeks. Nu is Sin = Sin—l dus lim Sin = lim Sin—ï zoodat dus de reeks convergeert en de som gelijk is aan lg 2. 3. De reeks 1 + i + i + + — + divergeert. Wij vinden o c ' ■ 7 I | / ïn + p — ■*n-n + 1-r-n+2^ ^ tl + p of, weer de ongelijkheden toepassende: ien^>Sn.P-sn>ign-^±± ig[i + i)>^P-^>ig(i + n-^-]\ Hierin kan voor p elk positief geheel getal gekozen worden, stellen wij p = kn, k een willekeurig positief geheel getal, dan is f, k ' 4g(l +k)> S„(*+i) — S„ > lg 1 -i j . 1+ ?! Daar voor k een getal, hoe groot ook, genomen kan worden, blijkt, dat voor elke waarde van n het verschil S^+\)n — Sn grooter zal kunnen zijn dan elk vooraf bepaald getal. Bijgevolg divergeert de reeks. Deze uitkomst is ook af te leiden uit de laatste formule in Hoofdst. III, § 12. 80 4. De reeks 2-/*+ /*-/* + .... + (/+ 3^) -(/ + ^) + .... Is onbepaald {schommelt) en heeft 1 + lg 2 en lg 2 tot uiterste grenzen. Hier is S2„_, = (2 - 7£) + {§ - U) + • ■ • • + \[l + Jjézs) ~ (7 +2rT-2)\ + + 7+2«^7 = 1 — i + i — ï + + ~ 2«^2 + 7 + 2n ^2 5a,-! - 7 = 4 + + „"+2 + •••• + fUZri' Evenals boven met de ongelijkheden werkende vindt men ^ J—j > 5a-i-/ > (?2. en tot de limiet n = oo overgaande: Um. S2„_i = 7 + lg2. Verder is S2„ = Sita-1 - (l + ~) = - ƒ - ^ dus lim. S2a = 2. § 6. Bezitten de oneindige reeksen de commutatieve eigenschap? Alvorens deze vraag op te lossen willen wij aan eenige bijzondere reeksen de eigenschap toetsen. In het volgende hoofdstuk zullen wij leeren, dat de reeks volstrekt convergeert. Laten wij de volgorde der termen zóó wijzigen, dat tusschen elke twee opvolgende termen van de reeks gevormd door de positieve termen twee opvolgende van de reeks 81 door de negatieve termen gevormd komen te staan, zoodat de verrangschikte reeks is W * 2* 4* 3* 6* 8' 5* Is Sin de som der eerste 2n termen van de reeks (1) en «S'an de som der eerste 3n termen van de reeks (2), dan is S'an = (i — 2» — ^j) + (\p — ga — gï) + • • ((20^7)_ [40^2) ~ y )• Wij merken op, dat beide gedeeltelijke sommen dezelfde termen met oneven noemer bevatten, nl. ieder tot (g-^—jj toe; de tweede som daarentegen bevat behalve de negatieve termen, die in de eerste som voorkomen, nog de termen ~ (20+2)' ~ (211+4) ' ~ Ü zoodat o, & - =y^'+y-j+....+(fj. Verder merken wij op, dat 5'3„+i alle termen bevat, die in S211 + 1 en S*" a^'e termen, die in Sr3„ zijn begrepen. De invloed van de verandering in de volgorde der termen wordt nu gevonden door de limiet van de som in het tweede lid van (3) te bepalen voor n = 00. Omdat voor n = 00 die veelterm in (3) overgaat in een oneindige reeks en voor deze niet bewezen is dat de regel doorgaat, die omtrent de limiet van een veelterm is gevonden, nl. dat die limiet gelijk is aan de som der limieten van de afzonderlijke termen, moeten wij, om ons doel te bereiken, een anderen weg inslaan. De veelterm in (3) bevat n termen, waarvan de eerste de grootste, de laatste de kleinste getallenwaarde heeft. Daarom mogen wij schrijven Gaan wij nu tot de limiet n = 00 over, dan vinden wij lim. (S211 — S'a,,) mm 0. Dr. G. Schouten, Grondslagen der Rekenkunde. 6 82 Omdat verder $»-t = S2„ + (^) ; 5'3n_, = S'3„ + {£■); S'3„ i | = S'3n - j^T) is, volgt /f!/». (S2n-1 S'3ii-l) = 0, Um. (Sun-l — S'3n + l) = 0 zoodat daarmede bewezen is, dat de reeksen (1) en (2) dezelfde som hebben. Wij willen ten slotte nog opmerken, dat elke term van de reeks (1) voorkomt in de reeks (2) en omgekeerd, m. a. w. dat in de verandering in volgorde alle termen van de reeks (1) hebben deelgenomen. Want welken term van de reeks (1) men ook wil beschouwen, men kan n altijd zoo bepalen, die die term voorkomt onder de eerste 2n +1 termen; maar dan komt diezelfde term ook voor onder de eerste 3« + 1 termen van de reeks (2); omgekeerd, welken term men neme uit de reeks (2), altijd zal men n zoo kunnen bepalen, dat die term onder de eerste 3« voorkomt, maar dan zal die term ook behooren tot de eerste 4n termen van de reeks (1). Beschouwen wij nu de reeks (4) i_4+4-4+... en nemen wij met deze dezelfde verandering in volgorde van de termen voor als bij de zooeven besproken reeks, zoodat nu de verrangschikte reeks zal wezen Volgens de beschouwingen van de voorgaande reeks zal hier S2n ~ S'3" = 2/zT2 + Pa?T4 + • * • * + 4h n ^ C O' ^ n en 4h m. De getallenrij (dn — aV) zal dus ook een elementairrij wezen; daaruit volgt, dat de getallenrij (a'„/) een elementairrij en lim. a'n' = O is. Nu zal de reeks 2a'„' ondubbelzinnig bepaald zijn, wanneer elk harer termen a'n' een bepaalde plaats in de reeks Za„ inneemt en omgekeerd; wanneer dus bij het rangnummer n' van een term a'„' der reeks 2Vn' een bepaald rangnummer n van denzelfden term an in de reeks Za„ behoort en omgekeerd. Dit was het geval bij de bijzondere door ons beschouwde reeksen. Dan zal ook altijd een gedeeltelijke som S„ van 2a„ aangewezen kunnen worden, die behalve andere termen alle termen van een gedeeltelijke som S'n' bevat en omgekeerd. 6* 84 Wij gaan nu over tot de beantwoording van de gestelde vraag. § 7. Stelling. Een volstrekt convergente reeks bezit de commutatieve eigenschap. Bewijs. 1°. voor 't geval, dat de reeks enkel positieve termen heeft. Zij Zan de convergente reeks met positieve termen en Za'n' de reeks, die uit Zo,, ontstaat als daarin de termen onderling zoo verplaatst zijn, dat elke term een bepaalde plaats in de reeks Za'n' inneemt. Wij duiden de rij der gedeeltelijke sommen van de reeks Za„ aan door (S„) en die van de reeks Za'n' door (S'n% Bij de gedeeltelijke som Sp van de eerste reeks kan een gedeeltelijke som S'? van de tweede reeks gevonden worden, die alle termen van Sp bevat; bij deze som 5'?1 kan weer een som Sp van de eerste reeks gevonden worden, die alle termen van de som S'g bevat; bij deze som Sp2 kan een som S'g2 van de tweede reeks gevonden worden, die alle termen van de som Sp bevat. Zoo kan men onbepaald voortgaan, zoodat er een rij van ongelijkheden ontstaat van den volgenden vorm: sPi < s\ < s„2 < s\ <....< sPn < sv„ < .... Aangezien de onbegrensde getallenrij (SPa) dezelfde grens heeft als de onbegrensde getallenrij (S„) {Hoofdst. li, § 2, gevolg 1} en deze grens gelijk is aan de som S van de reeks Z„v, zal | SPn + l-SPn\ < $,pn>m zijn; omdat S'g„ tusschen SPa en SPn + 1is gelegen, zal des te meer | s'in —SP„\<ê,p„>m zijn; hieruit volgt lim. S'qn = lim. SPn zoodat de som S' van de reeks Za'n' gelijk zal zijn aan de som S van Zan. 2°. De volstrekt convergente reeks Za„ heeft positieve en negatieve termen. Zij n n n Zan = An, Z\an\=Bn, Z{an + | an \) = Cn i ï i dan is An + Bn = Cn 85 Wordt nu de reeks 2an door verttngschikking der termen onderling in een reeks veranderd, die wij door 2a'n zullen aanduiden, zoodat 2 | an I overgaat in 2 \ a'n | en 2{an 4- | an |) in 2{a'n + | a'n |), en noemen wij n n n 2a'n = A'n, 2 | a'n \ = B'„, 2{a'n + \ a'n |) = C'„ ï ï i dan is A'n + B'n = CBi Gaan wij nu tot de lint. « = oo over, dan is Um. An + fi„ = Um. Cn Um. A'n + Um. B'n = Um. C„. Nu is Um. Bn = Um. B'n, omdat de reeks 2 \ an \ uit positieve n=oo n=» termen bestaat. Om dezelfde reden is Um. Cn = Um. C'n Bijgevolg is Um. An = Um. A'n waardoor de stelling bewezen is. Stelling. Wanneer een convergente reeks niet volstrekt convergeert, kan de rangschikking der termen dezer reeks altijd zóó gewijzigd worden, dat de nieuwe reeks een voorafbepaald bedrag tot som heeft; ook zóó, dat de nieuwe reeks divergeert en zelfs onbepaald is (schommelt). Bewijs. Stel dat onder de eerste «-termen van de reeks tan p positieve en q negatieve termen voorkomen en duiden wij de som der positieve termen door sp en die der negatieve termen door — sq aan, dan is de som sn van de eerste n termen der reeks Sn = Sp Sq. Volgens het onderstelde is Um. (sp — sq) = Um. sn = s, Um. (sp + sa) = oo. «=oo «=00 «=00 waaruit volgt: lim. sp = oo, lim. sg—oo «=00 «=00 d. i. zoowel de positieve termen der reeks op zich zeiven als de negatieve termen op zich zeiyen vormen een oneindige divergente reeks. Is nu g het getal, dat de limiet zal zijn van de verrangschikte reeks, dan plaatsen wij, om deze te vinden, zooveel van de eerste, der positieve termen, b.v. px, dat de som van den veelterm met het plaatsen van den laatsten term ap het getal g van den kleinen 66 kant passeert; daarop vullen wij den veelterm aan met zooveel van de eerste negatieve termen, b.v. nlt dat door de plaatsing van den term — an^ de som van den veelterm het getal g van den grooten kant passeert, dan zal, als wij in 't algemeen sp de som der eerste p positieve termen en — s„ de som der eerste n negatieve termen noemen: | verschil | < | a„^ \ sPi — s„^< g< sp \ verschil \ < ap waar met het woord | verschil | , aan den linkerkant (rechterkant) van de ongelijkheden geplaatst, bedoeld wordt de volstrekte waarde van het verschil der getallen in de ongelijkheid ter linker zijde (ter rechter zijde). Wij tellen nu bij den verkregen veelterm zooveel positieve termen op, b.v. p2 —plt die op de reeds genomen px positieve termen volgen, tot de waarde van den veelterm bij de plaatsing van ap voor de tweede maal g van den kleinen kant passeert. Dan tellen wij b.v. n2 — nt negatieve termen, die op de eerste «! negatieve termen volgen, bij den laatst verkregen veelterm op, zóó dat bij de plaatsing van den term — a„ de som van den veelterm voor de tweede maal het getal g van den grooten kant passeert; dan is verschil \ < \a \ Sp2 — s„2 < g < sp —- sn \ verschil \ < ap . Zoo kan met de plaatsing van termen onbepaald voortgegaan worden, zoodat, wanneer de paarsgewijze toevoeging van positieve en negatieve termen voor de /* maal is geschied, men heeft verschil |< | a„r | sPr — s„r < g < sPr — snr_x \verschil \ < ap . De som van pr + re,--1 termen van den verkregen veelterm verschilt minder dan aPr van g, terwijl de som van al de termen van dien veelterm, d. i. van pr + nr termen, minder dan a„r | van g zal verschillen. Aangezien Um. an = 0 is, zal de oneindige reeks, die op deze rt=oc wijze gedacht kan worden te zijn ontstaan, het getal g tot limiet of tot som hebben. Ook kan men de rangschikking zóó vormen, dat de verrangschikte reeks divergeert of onbepaald is. Daartoe denken wij ons een divergente (onbepaalde) reeks. Neemt men dan als boven eerst px positieve en nY negatieve 87 termen van de gegeven reeks, zoodanig dat de eerste term van de vastgestelde divergente (onbepaalde) reeks van den kleinen en daarna van den grooten kant is gepasseerd; voegt men bij den gewonnen veelterm nu pa—px positieve en n2 — «i negatieve termen, zoodanig, dat nu de tweede term van de divergente (onbepaalde) reeks van den kleinen en daarna van den grooten kant gepasseerd is; denkt men zoo voortgegaan tot in het oneindige, dan zal de nieuw gerangschikte reeks divergent (onbepaald) moeten zijn. § 8. Onderzoek naar het al of niet bestaan van de associatieve eigenschap bij de oneindige reeksen. Stelling. Een convergente reeks bezit de associatieve eigenschap. Bewijs. Worden de termen van de convergente reeks 2a„, zonder de volgorde der termen te veranderen, in groepen samengevoegd door eenige opvolgende termen tusschen haken te plaatsen of hun som door één getal te vervangen, dan ontstaat een nieuwe reeks, van welke moet aangetoond worden, dat zij convergeert en de som van de oorspronkelijke reeks tot som heeft. Laat de nieuwe reeks de volgende gedaante hebben: (fl1+a2 + ... + flp1) + (cPi+i+... + flp!!) + ... +(aPn_l+u..-.aPn) + .-Dan zijn de partieele sommen, van deze nieuwe reeks, uitgedrukt in de partieele sommen van de oorspronkelijke reeks: en daar deze onbegrensde getallenrij dezelfde limiet heeft als de rij (Sn) van de gedeeltelijke sommen der oorspronkelijke convergente reeks, is daarmede de stelling bewezen. Stelling. Een divergente reeks blijft divergent na invoering van haakjes. Deze stelling wordt op dezelfde wijze bewezen als de vorige. Stelling. Een onbepaalde (schommelende) reeks met eindige boven- en benedengrens kan op twee manieren door aanbrengen van haken convergent gemaakt worden. Bewijs. De onbegrensde rij der gedeeltelijke sommen (S„) van de reeks zullen een boven- en een benedengrens hebben, die de limieten zijn van twee rijen uit (S„) gelicht. 88 Is ^Pl' ^pi' "^V ' • • •' Spn , ■ • • • de rij, welke de bovengrens geeft, dan zal de reeks met de bovengrens tot limiet zijn (a1+as + ..+aPi) + (aPi+1+.. + aP2) + ..+(ap +1+..+aPn)+— Evenzoo bestaat er een reeks die de benedengrens tot limiet heeft. Daarmede is de stelling bewezen. Voorbeeld. 1 — 1 + 1 — 1 —|— 1 — 1 -f- . . . . schommelende reeks reeks met de bovengrens / tot limiet: 1 —(1 — 1) — (1 — 1) — (1 — 1) — enz. „ , benedengrens 0 tot limiet: (1 — 1) + (1 — 1) + (1 — 1) -f ... Zie ook voorbeeld 4 van § 5. § 9. Onderzoek naar het bezit van de distributieve eigenschap bij de oneindige reeksen of naar het product van twee oneindige reeksen. Laten twee convergente reeksen 2a„ = A, s6„ = B met de sommen A en B gegeven zijn, en vormen wij door toepassing van de distributieve eigenschap de nieuwe reeks üc„, waar c„ = aLbn + Ojbn-i 4-.... 4- anbx is; dan geldt de volgende stelling. Convergeert de reeks ~S.Cn, dan is haar limiet C gelijk AB. Convergeert de reeks "Zcn niet, dan zal zij onbepaald zijn (schommelen) en AB tusschen hare boven- en benedengrens bevatten. Bewijs. Stellen wij flj + o, + . . . 4- a„ = An; bx + bs+ . . . + bn = B„; cl + ci 4" . . . 4" Cn = Cn, dan kunnen wij drie onbegrensde getallenrijen in beschouwing nemen, nl.: (An), (Bn), (C„). Volgens de stelling in § 9, Hoofdst. V is ,. Cj 4- Cj 4- ... 4- Ca „ Lim. —l- : :—5- = C = Lim. Zcn n n=x als nl. de reeks 2c„ convergeert. Volgens de stelling in § 11 van dat hoofdstuk is Um. ABn + A%Bn-> + ...+AnB1 = „=oo n 89 Voor het bewijs onzer stelling is dus alleen noodig aan te toonen, dat Q + C2 + . .. + C„ = AXB„ + AsB„-i + ...+ A„BX. Daartoe gaan wij de eerste som herleiden: cx = afix c9 = afit -f- afix cs = afit -f- afit -\- Ofjbi ■ C„ = afin + Ufin—l + afin—2 + . . . + dnb\ C„ = axB„ + asBn-i + ajin-ï + . . . + anBx dus Cx = axBx Cs = a2B x t aiBi Cj = utBx + asBs -+- a1Bs Cn - anBx + a„-\B% + g„_2/33 + . . . + gt^„ 2C„ = 4^ + + ^„-20, + .. . + AXB„ 1 Heeft dus de reeks -c„ een limiet C, dan is C = AB. Heeft de reeks £c„ geen limiet, dan is toch altijd Am. Cl + C» + ' ' • + C" n dus kan de reeks 2cn niet divergeeren, want deed ze dat, dan zou Lim. C„ = oo en met deze volgens § 9, Hoofdst. V, ook Cj I Cj ~\~ ... C^ Lim. = oo zijn in plaats van gelijk AB. De reeks 2C/i kan dus slechts schommelen wanneer zij niet convergeert. In dat geval moet AB tusschen hare uiterste grenzen gelegen zijn. Gevolg. Convergeeren ae reeksen 2a« en Ebn volstrekt, dan zal hun produkt 2c„ ook volstrekt convergeeren. Want nu is ook 2 | a„ | . 2 | 6„ | = 2 | c„ |, omdat 2 | c„ J nu niet kan oscilleeren; daarom zal ook 2a„. 2ft„ = 2c„ wezen. Stelling, /s m de vorige stelling een der reeksen ~an en ~Lbn volstrekt convergent, dan is de reeks 2cn gelijk aan hun produkt. Laat de reeks za„ volstrekt convergeeren. 90 De betrekking C„ = i\Bn + a2Bn-\ + + anBx in de vorige stelling gevonden kan onder de volgende gedaante geschreven worden Cn = aJB - rn) + as(B - /•„_,) + ....+ an(B - r,) = AnB - sn waarin n A„ = 2ap, sH = axr„ + flsr„_, + + a^ en rn = de restterm bn+l + bn+2 + van de reeks Zbn is. Het komt er nu op aan te bewijzen, dat lim. sn = 0 is, want dan is Um. C„ = Um. A„B = AB. Hiertoe schrijven wij s2n als volgt: S2n = ("ten + air2n—\ + • • • + an rn+l) + + K+l rn + an+2 rn-\ + • • • + a2n t£r- Laat r de grootste onder de volstrekte bedragen (1) | r, |, . . . | rn , en r7 de grootste onder de volstrekte bedragen (2) | rn+l \, | rn+2 K | r2n | zijn; dan zal | s2„ | ^ r' ( [ ö! | + | fl2 | + . • • + | an |) + + r ( i an+l | + | an+2 \ +.-- + \a2n\) of ook n 2n \s2n\^rJz\ap\+rZ\ap 1 «+i zijn. Nu is tengevolge van de onderstelde volstrekte convergentie n+l van de reeks 2o„ zoowel firn. r als ///ra. 2 | ap \ eindig; verder 72=00 71=00 1 2/z is /t'/ra. r7 = 0 en ///ra. 2 | ap | = 0; zoodat 72=00 72=00 724-1 Um. \ S2n \ = 0 72=00 en daarmede ///ra. s2/2 = ö 72=00 is. Nu moet nog aangetoond worden, dat lim. s2n_i = O is. 72=00 91 s2n-ï *■ (air2n-l + air2n-2 + • ■ • + an rn) + + (an+l r„_i + a„+2 /-„_2 + • • • + ö2«-i 'O- • Door nu dezelfde onderstelling te maken omtrent de getallen, die in de rijen (1) en (2) voorkomen, vindt men op dezelfd wijze als boven voor s2n lim. s2n—i = 0. § 10. Het vermenigvuldigen van de termen eener reeks met de overeenkomstige termen eener onbegrensde getallenrij. Stelling. Een convergente reeks 2a„ met positieve termen büjft convergent, wanneer elk harer termen an vermenigvuldigd wordt met een factor bn, waarvan de volstrekte waarde een standvastig getal k niet overtreft. Want omdat 2aB convergeert, zal er bij vaststelling van een willekeurig positief getal -r een ranggetal m bestaan, zoodanig, dat m+p $ is. Nu is I m+p m + p m+p 2 anbn < s | anbn \ ^ k 2 an < 8, I m + 1 m+1 m + 1 zoodat de reeks 2a„ zal convergeeren. Gevolgen. 1°. De steUlng gaat ook door voor een volstrekt convergente reeks. Is toch de volstrekte convergente reeks 2a„, en wordt elke term an met den factor bn vermenigvuldigd, dan ontstaat een reeks die men ook verkrijgt, wanneer men eiken term | an | van 2 | an | met + bn of — bn vermenigvuldigt naar gelang anbn positief dan wel negatief is. 2°. Een reeks is convergent, wanneer de volstrekte waarde van elk harer termen niet grooter is dan de overeenkomstige term van een convergente reeks met positieve termen. 3°. Een volstrekt convergente reeks is zelve convergent. Is 2c„ volstrekt convergent, dan ontstaat zij uit de reeks 2 | an \ door eiken term | an \ van deze met + 1 of met — 1 te vermenigvuldigen naar gelang an positief dan 'wel negatief is. Hier vindt men de stelling van § 3 terug. Voor het bewijs van elk der beide stellingen, die nu nog volgen 92 zullen, hebben wij de hulpstelling van Abeu. noodig, die als .volgt luidt: Is (v„) een monotone niet klimmende rij van positieve getallen, m + p dan zal de som 2 anvn gelegen zijn tusschen Hvm+\ en hvm+\ m + 1 waar H niet kleiner en h niet grooter is dan de getallen Om + lï flm-l+flm + 2; flm + l+0m + 2+öm + 3; • • •, flm + l+«m + 2 + . ..+öm+p. of, wat op hetzelfde neerkomt, dan de getallen am+i + am+2 + .... + am+P, p = 1, 2, 3,. . . ., p. Bewijs. De termen Cm+i, 0m+2 um+p kunnen in de gedeeltelijke sommen van de reeks 2a„ uitgedrukt worden, nl. am +1 ~ Sm +1 — Sm ï Um + 2 = Sm+ 2 Sm +1 j • • •', Um+p ~ Sm+p Sm+p—l- Hiervan gebruik makende, wordt m + p ZanV„ = Vm + \ (Sm + i — Sm) + Vm + 1 (Sm + 2 — Sm + l) + m + 1 ~T~ ~\~ Vm+p (Sm+p Sm+p— l) = Sm + l (Vm + i — Vm + 2) + Sm + 2 {Vm + 2 — fm + 3, + + .... + Sm+p-\ (Vm+p—i — Vm+p) + Vm+p Sm+p — Vm + \ Sm. Is G niet kleiner en g niet grooter dan de getallen Sm + lt Sm + 2, • • • -, Sm + p dan is m+p ZanVn < G[Vm + l — Vm + 2 + Vm+2 ~ Vm + Z + ■ • • + m+1 + Vm+p-\ — Vm+p + Vm + P] — Vm + lSm <(G — sm) vm+i > (g— Sm) Vm + l. Hier is G — sm niet kleiner en g — s„ niet grooter dan een der getallen Um + l', Um + l ~T" öm + 2, • • >5 öm +1 ~f~ #m + 2 + • • • ~r am+p. Vervangen wij dus G — sm door H, g — sm door h dan is m+p hvm+i < 2 anvn < Hvm+\. m + 1 Hieruit volgt verder lm + p I 2 anvn < pvm+i |m +1 ' wanneer o niet kleiner is dan de getallen | 0m + l | 5 | Cm + 1 + öm + 2 \\ | öm+1 + öm + 2 + . . . + flm+p |. 93 § 11. Stelling van Abel. Een convergente reeks £a„ blijft convergent, wanneer elk harer termen an vermenigvuldigd wordt met den overeenkomstigen term van een monotone fundamentaalrij (u„). Bewijs. Is u de limiet van de fundamentaalrij («„), dan is u — un positief ingeval die rij klimmend, negatief ingeval zij dalend is. Stellen wij vn » u — «„ als de rij (un) klimmend, v„ = u„ — u als zij dalend is. Dan is de onbegrensde rij (v„) een dalende elementairrij. Nu is anun = a„u — anvn of = anun — a„u en 2a„/z„ = u 2a„ — %anv„ of = ^anun — u Sa„. Omdat de reeks SaB convergent ondersteld is, zal de reeks 2a„a„ tegelijk met 2anvn convergeeren. Nu is volgens de hulpstelling van Abel I m+p 2 anvn < pVm + \ I m + 1 -| waar p niet kleiner is dan een der getallen | fl/n + l + Am + 2 + ....+ am + p | , p = 1, 2, 3, . . . . p. Omdat vm+\ < vY is, zal des te meer gelden I M+p 2 anvn < pvv \ m + 1 I Omdat 2a„ convergent is ondersteld, zal men bij vaststelling van een willekeurig positief getal — een ranggetal m kunnen vinden, zoodanig dat $ | flm + l + flm + 2 +....+ am+p | < —, P = 1, 2, 3 p. vl is, maar dan is, omdat wij nu o = — kunnen .stellen: v i I m+p » I m + 1 | welke ongelijkheid de convergentie van de reeks £a„vn, dus ook die van de reeks 2a„«„ , uitspreekt. § 12. Stelling van Dirichlet. Een schommelende reeks met eindige boven- en benedengrens zal in een convergente reeks overgaan 94 wanneer elk harer termen vermenigvuldigd wordt met den overeenkomstigen term eener monotone dalende elementairrij. Bewijs. Is 2an de schommelende reeks en 2vn de monotone elementairrij, dan is volgens de hulpstelling van Abel I m+p . 2 anvn < pvm+i m + 1 I waar p een getal is niet kleiner dan een der getallen | öm + l |> | öm + 1 "1" öm + 2 [," » « . . , j -Cm + l + #m + 2 . . . . + &m + p \t of door invoering van de gedeeltelijke sommen der reeks 2an, p is een getal niet kleiner dan een der getallen | Sm + l — sm |, | Sm + 2 — Sm |, • • • •> | Sm + P Sm . Daar ondersteld is, dat de boven- en de benedengrens van 2an beiden eindig zijn, zal er altijd een standvastig getal / gekozen kunnen worden dat | sn | voor alle waarden van n overtreft. Dan is | sn — sm | < 21 en kan p = 21 gesteld worden. Eindelijk zal het, met 't oog op de elementairrij (vn), mogelijk zijn een positief getal zóó te kiezen, dat er een ranggetal m bestaat, zoodanig dat vm+\ < è :2l, dus pvm+\ < $ is; dan is » I m+p 2 anv„ < (5 I m + 1 | en de reeks 2anvn convergent. Voorbeelden. 1. De reeksen 2vn cos «6 en 2vn sin «9. Uit n 2 cos «9 = sin 4ti9 cos \(n + 1)8 cosec 49 n 2 sin «9 ps sin A/19 sin \(n + 7)0 cosec -g-0 ï volgt dat | cosec 40 | nooit zal overtroffen worden door de som | sn | van de eerste n termen van de oneindige reeksen 2 cos «0 en 2 sin «9, wat n ook zij. Derhalve zullen de reeksen 2vn cos «9 en 2vn sin «9 convergeeren, als de rij (vn) een monotone dalende elementairrij is, en cosec 40 eindig, dus 9 geen veelvoud van 2 0 bijgevolg is de onbegrensde rij {s2n) een klimmende en de onbegrensde' rij (s2/,+ i) een dalende fundamentaalrij, zoodat lim. s2n n= 00 en Um.s2n+X beiden bestaan. Wanneer nu lim.v2n+\ = o is en n= 00 de rij (vn) een elementairrij, zooals ondersteld is geworden, zullen volgens (1) beide limieten samenvallen en dus de reeks 2'(—l)"_1fn convergeeren. Opmerking. Wanneer lim. v2n+l = / 4= o is en de onbegrensde rij (vn) dus ondersteld wordt een monotone dalende fundamentaalrij te zijn, dan volgt uit (1) lim. 52n+i = Mm. s2n + / n= oo zoodat dan de reeks 2(— 1)("—% een schommelende reeks zal wezen, met boven- en benedengrens, die onderling l zullen verschillen. De reeks in § 5, 4 behandetd is een voorbeeld voor dit geval. HOOFDSTUK VII. Bijzondere kenmerken van convergentie en divergentie. § 1. Kenmerken van convergentie en divergentie van oneindige reeksen met positieve termen. In Hoofdst VI, § 3 is gebleken, dat een reeks, die volstrekt convergeert, zelve convergeert. Daarom begint men met het opsporen van convergentiekenmerken bij reeksen met positieve termen. Zulke reeksen zullen alleen kunnen convergeeren of divergeeren, omdat de onbegrensde rij van hunne gedeeltelijke sommen een klimmende rij is, die een eindige of oneindig groote limiet hebben naargelang zij een fundamentaalrij is of niet. § 2. Reeksen, die tegelijk convergeeren of divergeeren. Stelling (1). Is 2a„ een convergente (divergente) reeks met positieve termen en i.bn een reeks met positieve termen, die hetzij van 't begin, hetzij van een bepaald ranggetal af, kleiner (grooter) zijn dan de overeenkomstige termen der reeks Za„M dan zullen de beide reeksen 2a„ en ~Lbn te gelijk convergeeren (divergeeren). Is n.1. Sn de som van de eerste n termen van Zan en S'a die der eerste n termen van zbn volgende op den term van het ranggetal, in de stelling genoemd, dan is S'n < &n (S'n > &n )• Omdat de rijen (Sn) en (S'n) klimmende rijen zijn, en lim. 8n eindig (oo) is, zal ook lim. S'n eindig (oo) zijn. »=00 Stelling (2). Is 2a„ een reeks met positieve termen, waarvan elk grooter is dan de onmiddellijk volgende term, dan zal deze reeks tegelijk convergeeren of divergeeren met de reeks "Z^a^n. 97 Bewijs. Tengevolge van de voorwaarde an > an+1 gelden de volgende ongelijkheden: öi = öi 2oj > o, + ^ 4at > «4 + a6 -f a6 + a7 Sa8 > a8 + a, + fljo + Ou + Oj2 + °is + + ais opget. S'(n) > 5(2"— /) waar S{2n— 1) voorstelt de som van de eerste T— 1 termen van 2a„ en S\n) de som van de eerste «-termen van S^a^" Verder geldt het stelsel ongelijkheden: ax < 2ax 2a2 = 2a2 4a4 < 2aj + 2a4 8as < 2a, + 2a6 +■ 2a7 + 2a6 2"-1 a , < 2a 2 + + 2a , 2 2 ■+-1 * — opget. S'{n) < 2S(2"-1) Uit beide stelsels van ongelijkheden volgt de stelling. ToepaWjjngen. 1) De reeks convergeert of divergeert tegelijk met de reeks ; 2" m % J m JJ_\n (2r)p (2")'-1 \2P-v Deze reeks is een meetkundige met de reden 2l—p, dus convergent voor p > 1 en divergent voor p ^ 1. De reeks 2— convergeert dus voor p > 1 en divergeert voor p £k 1. Dat de reeks 2— divergeert bleek ons reeds uit Hoofdst. III, n § 12. Zij wordt de harmonische reeks genoemd. 2) De reeks 1 + 2—F— convergeert of divergeert tegelijk met ' 2nlgn Dr. G. Schouten, Grondslagen der Rekenkunde. ' 98 de reeks 2" 111 S"/^" &2 ra die divergeert, dus ook de reeks 1 + 2J~2 + • • • • + ~nign ~^ — divergeert. Stelling (3). Zijn 2an en 2bn oneindige reeksen met positieve a„ termen en is lim. -**- — k > o en eindig, dan zullen de beide b n=oo "n reeksen tegelijk convergeeren of divergeeren. Bewijs. Is m, bn dus ook, omdat bn> o is: (k — 9) bn < an < (k + m. Van het ranggetal m af zijn de termen an van de reeks Zan kleiner dan de overeenkomstige termen van de reeks (k + ê) 2bn en grooter dan die van de reeks (k — m, en omdat bn > o is: an < 2kbn, n> m. 99 Hieruit volgt: divergeert 2an, dan ook 2bn; convergeert 2bn, dan ook 2an. bn Omdat verder Um. ook positief en eindig zal zijn, mag men n = co (*n in de beide gevolgtrekkingen 2an met 2bn verwisselen en besluiten tot divergeert 2b n, dan ook 2an; convergeert 2an, dan ook 2bn, waardoor de stelling bewezen is. Toepassingen. 1. Nemen wij voor de reeks 2bn de reeks 2n~P, dan gaat Um. an : bn over in Um. nPan. Omdat 2n~? convergeert voor p > 1 en divergeert voor p ^ 1, hebben wij het volgende kenmerk: Is 2an een reeks met positieve termen en Um. nPan > 0 en eindig, dan convergeert de reeks, wanneer p> 1 is, doch divergeert zij, wanneer p ^ 1 is. Toepassingen. 1. De reeks met den algemeenen term an = 2n-\-i <^vergeer^> omdat nfan = nP—1 ——j- voor n = oo alleen eindig en positief is voor p = 1. n — 1 2. De reeks met den algemeenen term an = is divergent, omdat npan = nP~1 voor n = oo alleen eindig en positief is voor p = 1. 3. De reeks met den algemeenen term an = — sin — is convergent, . 1 sm — omdat npan= np .—— voor n = co alleen eindig en positief is n voor p — 2. 100 2. Is 2a„ een reeks met positieve termen en lim. nan = 0, dan kan de reeks zoowel convergeeren als divergeeren. Is b.v. an = ^ dan convergeert de reeks en is lim. na„ = lim. — = 0. n n Is a = —, dan divergeert de reeks en is " n lg .n lim. na„ = lim. -.— = 0. Ign Algemeene opmerking. Bij het bewijs van stelling (3) is aangenomen, dat lim. ^>0isen bestaat, dat dus de onbegrensde getallenrij /^J een fundamentaalrij is. Bestaat de limiet niet en is dus genoemde getallenrij onbepaald (schommelend), dan moet men zijn toevlucht nemen tot de bovengrens of de benedengrens of tot beiden. an De stelHng (3) zal in geval -gr- geen limiet heeft, luiden: De reeksen n zan en *bn met positieve termen zullen tegelijk convergeeren of diver- I an\ geeren, wanneer zoowel de boven- als de benedengrens van de rij j positief en eindig is. Want volgens Hoofdst. V, § 3, (1) en (2) is, L de bovengrens zijnde, an (1) y- < L 4- i n>m an„ (2) T^>L—inp>m nP dus uit (1) volgt: convergeert zbn, dan ook sa„ ( 7 divergeert sa„, dan ook sft„ en uit (2) volgt: divergeert *bn, dan zijn er oneindig veel termen c„ , die grooter zijn dan de overeenkomstige termen van (L — *)*bn , dus zal ook saB divergeeren. 101 Convergeert za„, dan zijn er oneindig veel termen in zbn die kleiner zijn dan de overeenkomstige termen van £a„; maar dit sluit de mogelijkheid van de divergentie van *bn niet uit. We moeten dus ook weten of de benedengrens positief en eindig is. Volgens dezelfde § van Hoofdst. V is, / de benedengrens zijnde, (4) 4£ >/ — », n>m, c. :' a„ (5) T£ m. "n P Uit (4) volgt: convergeert sa„, dan ook ^bn divergeert tbn, „ „ sa„. Uit (5) volgt alleen: divergeert tan, dan ook %bn. an an Hieruit blijkt, dat lim. > 0 en lim. j— > 0 en beiden eindig "n n de voorwaarden uitspreken, dat de reeksen sa„ en s/j„ tegelijk convergeeren of divergeeren. Ook hier kan de uitkomst eenvoudiger gevonden worden door op te fl/i bn I an\ merken, dat met lim. -j— ook lim. — I = Um. -j- een eindig posi- tief getal zal zijn. Dus zullen in de uitkomst (3) zan en met elkaar verwisseld mogen worden. Daaruit volgt eindelijk, dat uit lim. nPan > 0 en eindig en lim. nPan > 0 en eindig volgt, dat xa„ conv. voor p > 1, div. voor p ^ 1. § 3. Kenmerken van convergentie en divergentie, uitgedrukt in functies van den algemeenen term a„. Stelling (1). De reeks 2a„ met positieve termen convergeert i jt wanneer lim. ann < 1 en divergeert, wanneer Um. ann > 1 is. Bewijs. Volgens Hoofdst. V, § 3, (3) is ï k — 3 < a„n < k + 3, n > m, ï waarin k de limiet van ann voor n = oo voorstelt, en 3 zóó gekozen is, dat k — 3 nog positief is. 102 Hieruit volgt an < (k + $)" , n> m, De termen van de reeks £a„, die na den men term komen zijn allen kleiner dan de overeenkomstige termen eener meetkundige reeks, die (k + 3) tot reden hebben. Is 3 zoo gekozen, dat ook k + <5 < 1 is, wat alleen, maar dan ook altijd, mogelijk is, wanneer k zelf kleiner is dan 1, dan is 2a„ convergent volgens stelling (1) van de vorige paragraaf. Evenzoo blijkt uit de ongelijkheid, dat an > (k — $)" is. Is nu k > 1, dan kan $ altijd zoo gekozen worden, dus ook k — S nog grooter is dan 1. Dus zal voor k > 1 de reeks 2a„ divergeeren. ï Bestaat lim. an niet, dan luidt de stelling: n— oo Is zan een reeks met positieve termen, dan zal zij convergeeren _i_ 1 ■wanneer lim. an" < jt divergeeren, wanneer lim. an" > 1 isn=*oo 1 Want volgens Hoofdst. V, § 3, (1) en (2) is als lim. ann =L is: 11=00 1 an < L + J, n > m, ï n an F > L — S, np> m. p Volgens de eerste ongelijkheid is an kleiner dan (L + *)"• Wordt i dus zoo gekozen, dat L + ^ < 1 is, (en dit is altijd mogelijk, zoodra L zelf maar kleiner is dan 1) dan is de reeks ^an convergent. Uit de tweede ongelijkheid volgt an >(L — »)"p p zoodat er oneindig veel termen na den /raen term zijn, die grooter zijn dan de overeenkomstige termen van de meetkundige reeks met den reden L — J; wordt dus i zoo gekozen, dat L — * > 1 is, wat altijd en alleen kan geschieden, wanneer L zelve > 1 is, dan zal sa„ divergeeren. 103 Stelling 2. De reeks 2an met positieve termen convergeert, wanneer r um. —, „==== Ign grooter is dan 1; divergeert, wanneer die limiet kleiner is dan 1. Bewijs. Is k de limiet, dan is volgens Hoofdst. V, § 3, (3): k + $ > gr^n > k — è, n> m. Ign Hieruit volgt achtereenvolgens: lg — > (k — 3) Ign, n > m — > n~S n> m ■ a„ a„< n v n> m. Na den mtn term is elke term kleiner dan de overeenkomstige term van de reeks Wordt dus 3 zóó gekozen, dat k — $ > 1 n is (en dat is alleen, maar dan ook altijd, mogelijk, wanneer k zelf grooter dan 1 is), dan is elke term an kleiner dan de overeenkomstige van de reeks ~nT^s> die convergeert (§ 2, toepassing 1). Verder is / lg±<{k + 9)lgn al > n- /, dan convergeert sa„ Ign 1 lga„ Hm. —— < 1, dan divergeert sa„. Ign 104 Want volgens Hoofdst. V, § 3, (1) en (2) is, / de benedengrens zijnde: / lS~a~n lg n j n, np> m. lSan~„ -j-^np — V + i), n, np > m. Uit de eerste van deze ongelijkheden blijkt, dat saB convergeert, wanneer /> / is; uit de tweede, dat voor / < / er na den mea term van san er oneindig veel termen volgen, die grooter zijn dan de overeenkomstige termen van de divergente reeks znp ~ (l + v, zoodat %an zal divergeeren voor / < /. § 4. Kenmerken van convergentie en divergentie, uitgedrukt in functies van de verhouding . 1. Kenmerk van Kummer. Is een divergente reeks met positieve termen, dan is de reeks 2a„ met positieve termen convergent, wanneer Um. ib„ — b„+\\ > 0 n=oo \ + 1 / divergent, „ „ < 0 is. Bewijs. In het eerste geval kan er een positief getal p gekozen worden kleiner dan de limiet en een overeenkomstig ranggetal m zoodanig, dat bn • — b„+i > p, n ^ m dus ook btfln — bn+l an+l > f^n+V n ^ m- Wordt hierin achtereenvolgens n = n — 1, n — 2, . . . ., m gesteld, dan vindt men door optelling der uitkomsten: bmam — bnO„ > p (am+i + am+2 + . . . + a„ ) of zx i j i _ ^ ttmbm flm + 1 + ö/B+2 + • . . + On < . O Omdat het tweede lid dezer ongelijkheid onafhankelijk van n 105 is zal £aa voor elke n kleiner zijn dan een standvastig getal, i dus (2a„) vormt een fundamentaalrij en heeft een limiet. 2a„ convergeert. In het tweede geval is er een ranggetal m aan te geven, zoodanig, dat , CU, , _ b„ 6„+i < 0, n > m bnan < h+l an+\- Hier weer n achtereenvolgens door n — 1, n — 2, . .., m vervangende en de komende ongelijkheden optellende, vindt men bmam < bffln, n > m waaruit blijkt, dat de termen a„, die na den mta term komen, grooter zijn dan de overeenkomstige van de reeks bmam welke bn divergeert. Bijgevolg zal ook 2a„ divergeeren. Bestaat lim. |*n^~~ *«+i) me*> ^m ^u'^ ^et kenmerk: Is -r- een divergente reeks met positieve termen, dan is I an \ zan convergent, wanneer lim. ^ bn ——- — b„+1j > 0 l an \ zan divergent, wanneer lim. \bn——- — *n+ij<0. In 't eerste geval kiezen we weer een getal t tusschen de benedengrens en 0 gelegen, dan is an b„~—-— bn+i>p, n^m. Hieruit volgt, evenals boven, dat -an convergeert. In het tweede geval kunnen wij een ranggetal m vinden, zoodanig, dat an bn-n bn+l<0, n> m un+l waaruit even als boven volgt dat £a„ divergeert. Opmerking. Omdat bij deze bewijzen over alle termen beschikt moet kunnen worden, kunnen wij hier in de formules Hoofdst. V, § 3, (1) en (2) de ongelijkheden met a„ niet gebruiken en moesten wij ons p bepalen tot de ongelijkheden, die wij bij het bewijs gebruikt hebben. 106 § 4. Bijzondere gevallen van het kenmerk van Kummer. 1) Kenmerk van d'Alembert. Stellen wij bn = 1, dan vinden wij het kenmerk: 2an is convergent wanneer lim. an:an+1 > 1 divergent lim. an:an + l < 1 en ingeval de limiet an : an+l niet bestaat: an 2an convergeert als lim. > 1, a n+i an divergeert „ lim. < 1. an + i an Het geval, waarin lim. bestaat, volgt ook uit de limietstel- a. an . ling van Cauchy (Hoofdst. V, § 12); als lim. met bestaat, komen de kenmerken niet geheel overeen. Met 1 lim. — — < 1 komt overeen lim. a„n < 1 a_ n en met . ï lim. n+1 > 1 ook lim.ann > 1. an n Het kenmerk van d'Alembert kan ook rechtstreeks op de volgende wijze bewezen worden. Is Um. — — < 1 a„ dan zal, als p tusschen de limiet en 1 gelegen, dus p < 1 is, een rangnummer m bestaan, zoodanig dat an + i . KI < o, n > m an of an+l < pa„, dus an + 2 < < P*an, an+3 < P*an | an+p < p"an n^m waaruit blijkt dat de termen a„, die na den men komen kleiner zijn dan de overeenkomstige termen eener meetkundige reeks, die convergeert. Dus Zan convergeert ook. (Stelling 1, § 2). 107 Is eindelijk lim. ~— > 1 dan is bij de keuze van een getal p gelegen tusschen de limiet en 1, dus p > 1: ^->ft n > m an an + i ^ Pd/i dus fl» + 2 > P*an> an + 3 > P*a> > an+P > P"am n> m waaruit blijkt, dat de termen van de reeks 2an die na den /rae komen grooter zijn dan die eener meetkundige reeks die divergeert, dus zal de reeks divergeeren. (Stelling 1 § 2). Men had ook kunnen zeggen: de termen nd den mmworden met het ranggetal grooter en kunnen dus nimmer 0 tot limiet hebben, welke omstandigheid evenwel noodig is voor het convergeeren. (§ 1). an+l Bestaat lim. niet, dan moeten wij gebruik maken van de boven- of benedengrens. In de formules (Hoofdst. V, 1) kunnen wij evenwel niet de ongelijkheden met an gebruiken, omdat wij over alle termen moeten p kunnen beschikken. Men heeft hier — < L + i, — — > l — i. Oa au Is de bovenlimiet L < 1 en kiezen we p tusschen de limiet en 1 zoodat p < 1 is, dan is an+i . ^ < p « > m an an+\ < i>a„, a«+i < P2fl/i> ■ • • • dus ra„ convergeert. In de benedengrens / > 1 en e tusschen / en 1 gelegen, dan is an+l > p, fl/i-l-i > 'an> ti\> m dus sa„ diverg. a/i+l Het kenmerk luidt dan: lim. < 1, dan is tan conv. an an+l lim. > 1, dan is £a„ div. a„ n 108 2. bn = n. Kenmerk van Raabe. Is lim. an : an+l — 1, dan is voor lim. n(an : an+l — 1)> 1, 2c„ conv. lim. n(an : anJt \ — 1) < 1, Zan div. 3. bn = n Ign, dan lim. [n Ign ^—■ (n + 1) lg (n + 7)j > o, dan Xan conv. lim. [n Ign (n + 1) lg(n + 1)) < o, dan 2a„ div. ' an+l I Nu is (n + ï) (« + J) = (« + J) (fe» + + 4)) = (n+t)lgn + (l + ±)lg(l + ±)n zoodat de vorm, waarvan de limiet bepaald moet worden, hiermede overgaat in In de onderstelling, dat an : an+l In den vorm —n- = 1 4- A + ^ °n+i n n lg n kan gebracht worden, gaat onze vorm over in ^-(' + 4)^ + 4)", . welke voor lim. n = oo overgaat in lim. kn — 1. Dit geeft het kenmerk van De Morgan en Bertrand: lim. kn > 1, ~Zan conv. lim. K < 1, 2a„ div. an . . 1 , kn wanneer = 1 + — + —;—. an+1 n nlgn § 5. Kenmerk van Gauss. Is het quotiënt an : an+l, te brengen onder den vorm 109 Ai. X w« — = 1 + — + ~Z a„+ï n n" waarin X een standvastig getal, p > 1 en | ó>„ | voor alle waarden van n een vast getal niet overschrijdt', dan zal de oneindige reeks Zan convergeeren voor X > 1, divergeeren voor X ^ ƒ. Bewijs. Wordt in het kenmerk van Raabe an : an+l door den vorm, waarin dit quotiënt ondersteld wordt gebracht te kunnen worden, dan vinden wij lim. |x + > 1> dan zan conv. m(X + m^t\ 1 is, zullen beide limieten overgaan in X, zoodat 2a„ zal convergeeren voor X > 1, divergeeren voor X < 1. Ingeval X = 1 is en = i + — + — fl/i+i n n* van denzelfden vorm is als bij het vorige kenmerk, dan vinden we volgens dat kenmerk: 2a„ conv. voor lim. kn > 1, 2a„ div. voor lim. kn < 1. Hier is wn K . Ign = —i . k„ mm 4) —-—f „p nlgn n " Wf*-i zoodat Um. kn = o < 1 en 2a„ divergent is. Voorbeeld. P(P + !) .-.(p + n — 2) converg.voor//—p>l De reeks an = g{g + /} (g + ^ a, = l diyerg _ «,_,,<;/. Want a„+1 "p — / + « + ra + ra2 ' n + p-T HOOFDSTUK VIII. Kettingbreuken. § 1. Ontwikkeling van een meetbaar getal In een kettingbreuk. Zijn p en q geheele getallen, p~> q, dan geeft het Algorithme van Euclides: p =axq + rx < q) q = atrx + r2 (rs < rx) /ï = ös/'s + rs (rs < r2) rn—3 = dn_i^n—2 r«—i ('n—i ^ '"/i—2) 'n—2 *" anrn—\ zoodat de g. £. rf. van /> en f/ is r„_j. Uit dit algorithme volgt: <7 ? -flb +^ -4- = fl„ + — r2 s r2 rn-3 „ , rn-l r ™—1 r 'n—2 'n—2 'n—2 ~ = an 'n—i dus is P- = a^±-. 1 q a*+T3+ + 1 111 waardoor in een kettingbreuk is ontwikkeld. De getallen Oy, Oj, a3, ... ., an heeten de wijzergetallen van de kettingbreuk; deze is door de waarden en de volgorde dier wijzergetallen volkomen bepaald. Kortheidshalve wordt de kettingbreuk op de volgende wijze aangeduid: = (alf Oo, a8> , a„) zoodat 3- = (o, au a3, as, , an). § 2. Benaderende waarden van een meetbaar getal. Stellen wij p_ _ q_ _ tj_ _ rn-2 _ — -x, -jr-xv rt-x, , r^ - n-i dan is _ , 1 „ _ > 1 „ 1 x — ax -f- ——, xt — Og -f —, . . . ., xn_2 — an l -r — , -*l 2 n—i *n-\ = an en x kan achtereenvolgens uitgedrukt worden in xu x3,. . . x„_u _ axxx + 1 _ (öja, i+ l)x3 + fli _ xx a3x3 + 1 _ {(a^g + l)a3 + q, }x3 + (dOg + i) _ (asa3 + i) Xg + Og De samenhang tusschen de tellers (noemers) van twee opvolgende breuken is deze: de coëfficiënt van x3 in den teller (noemer) van de tweede breuk is gelijk aan den teller (noemer) van de eerste breuk, als daarin xx door a3 wordt vervangen; de laatste term in den teller (1 in den noemer) van de tweede breuk is gelijk aan de coëfficiënt van xx in den teller (noemer) van de eerste breuk. Wanneer men de indices der hier genoemde getallen met één vermeerdert, geldt deze volzin ook voor den samenhang tusschen de tellers (noemers) van de derde en de tweede breuk. Om de algemeenheid van den samenhang tusschen twee opvolgende breuken aan te toonen, zullen wij de breuken op 112 eenigszins andere wijze aanduiden. Schrijven wij de eerste breuk als volgt: x , PïXy+Po OyXx + q0 waarin dan p0 = 1, q0 = 0, px = ax, qx = 1 genomen moeten worden, dan is volgens het zooeven betoogde verband tusschen de eerste drie opvolgende breuken, de tweede breuk: x = (Pi4,...«). q0 = 0, qx = I, qk = qk-\ak + qk-2 De laatste der breuken (1) is volgens (2), omdat jc„_j = an is, gelijk aan _ Pn _ p *~~ — lf - 2 = 0. Door dus achtereenvolgens x = l + —, xt = 2 + — xn = 2 + — Xi Xt XnJ[. \ te stellen, zal men de vergelijking (xn+1-iy-2 = o vinden, wat blijkt door de sluitrede van n op n + / toe te passen. Nemen wij n.1. aan, dat deze vergelijking juist is, dan vindt men door hierin x„+i — l = l + -— xn+2 te stellen de vergelijking (*n+2 ~ 1)* - 2 = 0. 118 De kettingbreuk, waarin Y2 kan ontwikkeld worden, heeft 1, 2, 2, 2, ... . tot in het oneindige tot wijzergetallen en men schrijft V2 - (/, 2) Men vindt nu voor l^een onbegrensdebreukenrij; omdat(§2,8) Pn , 1 1 , 1 , , nn L — = a,+ — + + (— 1) — — Qn V"sV"l 0.0, Qn-\ In is, heeft — voor lim. n = oo een bepaalde grenswaarde, omdat de Hn oneindige reeks s(—l)n convergeert (Hoofdst. VII, §12); dus an— 1 °n Y2 = Lim. — = (i, 2) /i=oo Vn waar 2 beteekent, dat het wijzergetal 2 tot in het oneindige als wijzergetal voorkomt. § 6. Repeteerende kettingbreuken. Wanneer de wijzergetallen, 't zij van het begin, 't zij van een zeker ranggetal af, periodiek terugkeeren, dan heet de kettingbreuk in 't eerste geval zuiver repeteerend, in het tweede geval niet zuiver repeteerend of eenvoudig repeteerend. Het getal gevormd door de groep cijfers, die geregeld terugkeert, heet repetendum. De repeteerende kettingbreuken hebben dus in 't algemeen den volgenden vorm: (au Oj,..., am, bu bs, bs ... b„) waar de wijzergetallen, die de periode vormen, door den streep boven de periode wordt aangewezen, evenals reeds geschiedt is bij V2 = (1, 2). Lim. — bestaat, wat volgt uit § 2, (8), en is gelijk aan het 7i=oo Vn getal, dat in de periodieke breuk is ontwikkeld. § 7. De kettingbreuk van een tweedemachtswortel. Pell'&che vergelijking. Is het getal D gelegen tusschen a* en [a + l)s, waar a een geheel getal is, dan zal de waarde van x, die voldoet aan x* — D — 0 119 tusschen a en a + 1 gelegen zijn. Wij stellen daarom x = a + -A xi waardoor de vergelijking overgaat in a* + 23- + A-3-D = 0 of (D — o2)*/ — (2axy + /) = 0 of ook {(D — a2)xx — a}2 — D - 0 Wordt hierin (D — a^i — a = a + — gesteld, dan gaat zij x3 over in {(£> — a*)x2 — a}* — D = 0. Door dus achtereenvolgens te stellen , 2a+— 2a + — , 1 _ x% xs x~a'tYl' 1 ~ TJ^a2' 8 ~ D — a>' 2a + -7- v _ xn + i n ~ -B^TW' vindt men, x door \D vervangende: 2a + 2a~+^^ 2a of, als 7s « = k gesteld wordt: D — a* VD = a + -A-p 1 ^ = (a, 2a), 2a 4- ^ +^^^^ 7 zoodat de tweedemachtswortel van elk getal D, dat geen volkomen kwadraat is, ontwikkeld kan worden in een repeteerende kettingbreuk. Het wijzergetal k is in 't algemeen geen geheel getal; wel in de volgende gevallen: Va*+1 - (a, 2a) b.v. V2 = (1, 2), YE=2, 4), VW = (3, 6) enz. 120 ya* + 2 = (a, a, 2a) b.v. V3 = (l, 1, 2), Yö = (2, 2, 4), Til = (3, 376) enz. Va» + 2a = (a, h~2a) „ Y~3 = (1, 172), V8_= (2, J71), VÏ5 = (3, 1, 6) enz. Ten einde VD in een kettingbreuk met geheele wijzergetallen te ontwikkelen, wat ook D zij, mits geen volkomen kwadraat, is slechts noodig (k ,2a) in zulk een kettingbreuk om te zetten. Zij die breuk (axa3a% .... a„). Dan is \~D = (aaxa2a3 .. .. a„) = (a, Oy, flj , an ax, a*, Og, an\ Volgens definitie is 1 (Oj, flj, a8 , a„) = rp=- K£> — a derhalve, wanneer weer pn pn j {a, Oi, flj , an) = — en (a, 0, , an_x) = - Hn Qn—\ worden gesteld, is = pn:(VD-a)+pn-i m Pn+Pn-l QfD - a) gn:(VD-a) + qn_.x qn+ qn_x (VD - a) welke ontwikkeld overgaat in Dq„_x + (qn — cujn-i — Pn-x) VD — (pn — apn_x) = 0. Omdat VD onmeetbaar is en de overige getallen in deze vergelijking meetbaar zijn, valt deze in twee vergelijkingen uiteen: (1) Qn — aqn-i — Pn-i = 0 (2) Dqn_x + apn_x — pn = 0. De vergelijking (1) geeft I Pn-l !, bs, , bm, y). Wordt nu (bu bit ... ., bm) = (bu bit .. . ., bn-0 = p (bv b2, , bm, au i° I een vierkantsvergelijking in x, waarvan (bu bs, bm, du öj, a„) een der wortels is; de andere wortel is dus de toegevoegde van deze. Het produkt der wortels is - | P, P1 II Q, 0/ I I P> P' 11 1, q' | of ook Het teeken van dat produkt zal dus hetzelfde wezen als dat van Nu is volgens de stelling van § 3: p -pr = (an,an_h Oj, bm, bm_x , bx) y = (*«. bm_x bx) qt = Ki< an-u *i\ bm, bm_x, ba) y = ipm, bm—j bs). TOELICHTING tot blz. 123, regel 2 v b. van „Grondslagen der Rekenkunde" door Dr. G. Schouten. P>P- Q>i (1) of 1, bm de ongelijkheden (1), voor aa < bm de ongelijkheden (2) gelden. Mocht a„ = bm zijn, dan kan de repeteerende kettingbreuk, waarvan is uitgegaan, nl. x = (blt b3, . ., bm, alt a2, . ., an) op de volgende wijze geschreven worden: x = (/>!, b2, . , bm-i, a„, Oj, . ., fl„_i) op welke dezelfde redeneering kan toegepast worden. Is bm-\ =s fl„_i, dan komt x onder de gedaante x = (blt b3, . ., bm-2, a„_i an a} a„_2) enz. In ieder geval blijkt, dat er minstens twee wijzergetallen bx en bs moeten zijn, die niet repeteeren. 123 Hieruit volgt voor m^2: Tf> p" Q ^ q" zoodat het product der wortels van de vergelijking (1) positief is en de wortels hetzelfde teeken zullen hebben. Voor m = 1 is x = {blt c^, a, , a„), dus p = bu q = 1, p' = l, q' = 0 zoodat in dit geval de vergelijking (1) overgaat in Qjx* _ (p' + b& — Q)x + (b,F — P) = 0 en het produkt der wortels gelijk is aan hP'—P Q'. ' Nu is P > P", zoodat het van bx afhangt of het produkt positief dan wel negatief is. Is m = 0, dan heeft men de Stelling. Vormt men de vierkantsvergelijking, die • x = (a^dt dj tot wortel heeft, dan zal de toegevoegde wortel van die vergelijking zijn — (0, a„, an_x , öj). Bewijs. Is Pn \ _ Pn—l. dan is ipn-X Pn \ of (1) qn** + (qn-\ — PJX — Pn-l = °- Volgens § 3 is het produkt der wortels Pn-l _ (gl» Oj, , a„-\) _ (fll> g» » an) ~~qn~ = ~(an7an-\ **) (a»' a«-i' • '' •' ai) en de som Pn qn-\ . _ _ % 1 . ^~^r = (fll' 2"-"' ^ „_/ yl Pn-iy + Qn-i of ontwikkeld /7„_i y* + (t7„_i — pn)y — qn = 0. Op het teeken na zijn de wortels van deze vergelijking de omgekeerde van die der vergelijking (1). Dus een wortel van (1) is — -r- m — (o, an, an_v . . . , a") en deze is dus de toegevoegde van (alt at, . . . , an). § 9. Ten slotte moge nog de volgende opmerking gemaakt worden. Is de rij benaderende breuken een onbegrensde, dan vormen zij een fundamentaalrij, die een irrationale grens heeft. De oneven geplaatste vormen op zich zeiven een klimmende, met de benedengrens tot limiet; de even geplaatste een dalende rij, die de bovengrens tot limiet heeft. Boven- en benedengrens vallen samen met de grens der fundamentaalrij. HOOFDSTUK IX. Dubbelreeksen. § 1. De som van een eindig aantal reeksen. Twee reeksen met de algemeene termen an en bn optellen heet de reeks vormen, die an + bn tot algemeenen term heeft. Deze heet de som van de beide reeksen. Stelling. De optelling van twee convergente reeksen geeft een convergente reeks, waarvan de som door optelling van de sommen der beide reeksen gevonden wordt. Bewijs. Is An de som van de eerste n-termen der reeks 2c„, Bn die der eerste «-termen van de reeks Zbn en C„ die der eerste n-termen van de reeks Z(an + bn) = 2cn, dan is Cn = Cj + c3 + cs 4- + cn = = (a1+a3 + +an) + (bt + bt 4-.. . . bn) = An + Bn, derhalve lim. Cn=A + B bestaat en is gelijk aan de som der beide sommen der gegeven reeksen. De stelling geldt voor de optelling van een eindig aantal convergente reeksen. § 2. Dubbelreeksen. De optelling van oneindig veel reeksen geeft aanleiding tot de beschouwing van de dubbelreeks + Ö12 + Ö1S + aii + • • ■ • + a21 4- a2S + a3t + a24 4-.... 4- asl 4- fljj 4- a8s + fls4 + • • • • 126 Sm n zij de som van alle termen begrepen in den rechthoek, die gevormd wordt door de eerste m horizontale rijen en de eerste n verticale rijen van de dubbelreeks, n.L Sm, n = fln +• au + als + + aln + asl + aj2 + c3S + . . .. + aSn + aml + am2 + am3+ .... + amn. De dubbelreeks heet convergent, wanneer Sm>„ bij oneindig toenemende waarden van m en n tot een grenswaarde (i, dus volgens de voorlaatste ongelijkheid des te meer y., n=l,2,3,Daar verder Zun convergeert en de volstrekte waarde van elk der termen dezer reeks niet grooter is dan het bedrag van den Qvereenkoinstigen term van de reeks 2a„, zal ook 128 (B) \a1+ui + .... + uli — U\&. De som van de ongelijkheden (A), (B) en (C) geeft (Sn,n -U)<3. Volgens de definitie van de limiet is Lim. Sm n = U. § 4. Toepassingen. 1. De reeks x + 2x* 4- Sxs + .... 4- nx"4-.... convergeert voor | x | < 1. Deze reeks is in den vorm van een dubbelreeks te schrijven. x + x» 4- xs + x* 4- + x2+ xs + x* + xs + 4- xs 4- x4 4- x6 + x9 4- + Telt men horizontaal op, dan vindt men voor de som = ï — x^l — x T^x =(1 — x)*' Deze reeks behoort tot de groep machtreeksen waarvan de coëfficiënten der opvolgende machten opvolgende termen zijn van een rekenkundige reeks van hoogere orde. Deze reeksen convergeeren alleen voor | x \ < 1 en de som is gelijk aan de voortbrengende breuk van de reeks, waarvan de noemer gelijk is aan (1 — x)n, als de rekenkundige reeks is van de orde (n — 1). 2. De reeks van Lambert. Hiermede wordt de reeks X X1 xs 1 — x i — Xt + 1 -r- X* + bedoeld. Deze reeks convergeert voor | x \ < 1 volstrekt. 129 Ontwikkelt men eiken term in een oneindige reeks, dan ontstaat de dubbelreeks x + x' + x* + x* + x5 + x8 + x'1 + x8 + + x'+ +x* +X* + x8 + + X* + X6 + X* +x* + Uit de ontwikkeling van v-? ——— = x< X* + X* + X* + 1 — X9 "blijkt, dat daarin alleen dan x" zal verschijnen, wanneer n door q deelbaar is. Het aantal malen dat dus x" in bovenstaande dubbelreeks zal voorkomen is gelijk aan het aantal deelers van n, 1 en n zelve meegerekend. Stellen wij dit aantal deelers van n voor door 0(n), dan gééft de verticale optelling de som S = xQ(l) + x3H2) + x*Q(3) + .... + x"B(n) + 3. Toepassingen van de transformatie van Clausen op de reeks van Lambert. Wordt de dubbelreeks, waartoe de reeks van Lambert aanleiding geeft, als volgt geschreven: x + x* + x* + x* + x6 -\- x* + + x> + x* i-x* + x8 Jrx10 + xli + + x8 + x8 + x9 + xu + xls + x18 + + x* + x8 + x13 + *16 + x"> + x3i + dan blijkt: ann =Xn*, a(n+l)n = an(n+l)=:xn*+n> a(n + 2)n = an(n + 2)=:Xn +2" zoodat volgens § 2, wn = x* + 2xni+n + 2xn2+2n + = xn2(l+2xn + 2x2n + ) \ l — xnl l—xn Derhalve is de reeks van Lambert gelijk aan de reeks Zwn; of v v"2 v-s *v ./V T^-~X + 1 —X» + l — x* + = l — x l — x9 l—x8 Dr. q. Schouten, Grondslagen der Rekenkunde. 9 130 Voor x = 0,1 vindt men j_ , j_ , j_ , n , 101 ' ïooi 9 99 999 ~ 90 990000 999.10' 4. De som te vinden van de reeks XfQ) + *¥2) + , x» m, p = 1, 2, 3 Nu is P(n +p)- Pt» = Pn{(l + an+l) (1 + anJ ....(/ 4- an+p) - 1} - Pni(an+i + an+2+ .... + an+p) + sommen der produkten van a„+2 + .... + am+p twee aan twee, drie aan drie p aan p) en | P(n +p) — P(n) | <; | P(n) \ {| a„+1 +an+2 + .... + an.p \ +S) waarin S = | sommen der produkten van an+1. . .. an+p twee aan twee, p en p \. 132 Hieruit blijkt, dat de eerste voorwaarde, waaraan voldaan zal moeten worden, als | P(n + p) — P(n) \ < $ zal wezen, is, dat de oneindige reeks £an convergeert, want alleen in dat geval zal | an+1 + a„+2 + ... a„ | kleiner kunnen zijn dan eenig voorgeschreven positief getal, hoe klein ook. Wij nemen dus aan, dat de reeks 2a„ convergeert. Dan zal er een ranggetal m bestaan, zoodanig, dat I am+\ ~r~ am+2 i m+3 t . ... I / — (ax + a,) en volgens de sluitrede van n — / op n: (l — aJ)(l—as)....(l — an)>l — (a1+a3+as+...+an)>l — S en dus ook volgens (1) (l + a1)(l + a3)...(l+an) Q(n) > 1 — S. Omdat (P„) een toenemende, (Qn) een afnemende getallenrij is en de termen van die rijen eindig zijn, vormen zij fundamentaalrijen. Derhalve bestaan Um. Pn en lim. Qn erf zijn beide limieten positief. Aangezien de oneindige reeks £a„ met positieve termen convergeert, bezit zij de commutatieve eigenschap, waarmede dus ook de commutatieve eigenschap van de oneindige produkten gepaard gaat. Eindelijk merken wij op, dat Um. Pn = oo en lim. Qn = 0 is, wanneer de oneindige reeks 2a„ divergent is. Want dan kan bij vaststelling van een willekeurig positief getal 3 een ranggetal m aangewezen worden, zoodanig, dat ai + a» + $ n> m is. Dan is P(n) > l + {a1+ai + + an)> 1 + $ n> m en ^n)m derhalve, S en met deze m en n onbepaald groot nemende: lim. P(n) = oo, Um. Q(n) = 0. « = 00 >l=°0 De oneindige produkten P(n) en Q(n) heeten dan divergent. r/l=cp ft =a 00 Het laatste produkt is gelijk nul, hoewel geen der factoren gelijk nul is. Hiermede is de volgende stelling bewezen. Stelling. Zy Zan een oneindige reeks met positieve termen en P(n) = {1 + aj (1 + a,) (1 + an), Q = (l — ax) (1 — as). . . . {1 — an). Wanneer de oneindige reeks 2a„ convergeert, zullen P(n) en Q(n) voor Um. n = oo tol bepaalde waarden convergeeren. De waarde van Q(n) is niet gelijk nul, wanneer geen der factoren dat is. 134 Wanneer evenwel de reeks 2a„ divergeert, dan is lim. P„ m oo, Um. Qn = O. 71 = 00 71—00 § 2. Eenige toepassingen. 00 i 1. De reeks 2-j convergeert. Dan is het oneindige produkt 'hM+M+£)■■■■ eindig en het oneindige produkt 2. Omdat £— een divergente reeks is, zal n & ' (1 + i) (1 + i) . . .. = cc, (2 - a) (i _ i). . . . = o zijn. 3. Onderzoek naar de convergentie van de binomiaalreeks. De binomiaalreeks (1) ^=i+fa+^-W....+ + P(p-l)(p-2)....(p — n + l) nl waarin /> een reëel, niet positief geheel getal is, zal convergeeren, wanneer lim. < 1 is. Hier is 1 g«+i 1 _ 1 g/z+i 1 _ /? — n I , 1 «7, i " | ~«r I ~ I n + 11 1 a dus ,• i i lim. '—.—-r-'■ = \a\. I Un I De reeks zal dus convergeeren voor a < 1. Voor a = — i worden de termen «„, voor welke n > p is, positief, want «„ n +1 ' ^ 135 Omdat nu de limiet van —-j^-j gelijk 1 is, passen wij het kenmerk van Raabe toe; uit /, n—P\ P + 1 n(l -r-^ =r , tn \ n + II n +1 volgt, dat de limiet van deze uitdrukking van n = oo gelijk p +1 is. Volgens het kenmerk van Raabe zal de reeks (1) convergeeren voor a = — 1, p-\-l>loip>0 doch divergeeren voor a = — 1, p <0. Voor a = 1 is —iü — P——^ en de reeks zal dus afwisselende un n + 1 teekens hebben voor alle termen «„, voor welke n > p. Voor de convergentie is noodig en voldoende (Hoofst. VI, § 13), dat a„+i I —— < 1, lim. u„ = 0, n> p | n—oo is. Dus moet in de eerste plaats "~^<1 of P>-1 n + 1 zijn. Verder is .±^_4i)(j_^)....(J__i±A7) dus lim. un = 0, n—oo omdat p + 1 > 0 en de reeks \ + \ + . .. . divergeert. Derhalve zal de binomiaalreeks convergeeren voor a = 1, p > — 1 en divergeeren voor rz = 1, p < — 1. 4. Wanneer in het gedurig produkt *>•-(/+ fli) (/ + a2) ....(/ + a„) a„ = /jg* -gj- wordt gesteld, dan zal lim. Pn bestaan ingeval de reeks 2a„ convergeert. De toepassing van het kenmerk van d'Alembert geeft voor Um. an: an+\ de waarde 4, zoodat de reeks 2art convergeert en Um. Pn voor n = oo bestaat. Om die limietwaarde te vinden, herleiden wij 136 2sin 4^- ƒ + tg* ~ « ^—^ 2 [ sin ^) zal bestaan. Ter bepaling van deze limiet merken wij op, dat uit ë l-ig'i* volgt: ^x g 2"-1 CC 30 Q = 2" -jr±- = —A . " a x tg x Zoodat 2" Ü ('" ** f) (>-Wil ■■■(>- V £) - & ■