I 4jJ DE MODERNISEERINq DER INTRESTREKENING DOOR Dr. m. van haaften WukuaJig Adviseur der Hollandsere Sociëteit van Levensverzekeringen te Amsterdam. VolHardt AMSTERDAM van holkema & warendorf 1921 KONINKLIJKE BIBLIOTHEEK 2289 9204 DE MODERNISEERING DER INTRESTREKENING. doende nauwkeurigheid door interpolatie uit goede rentetafels kunnen worden bepaald, in het licht van de klacht der commissie, dat het meerderen candidaten aan elementaire algebraïsche kennis ontbreekt, den eisch van kennis der logarithmen zal kunnen billijken, is een vraag, die wij buiten beschouwing laten. In elk geval is het slechts te betreuren, dat deze eisch juist gesteld wordt in een tijd, waarin de logarithmen alle beteekenis voor de practijk van den handel hebben verloren, terwijl den candidaten ten aanzien van de moderne hulpmiddelen als rekenmachines en rekentafels in volslagen onwetendheid mogen blijven verkeeren. Uit de omstandigheid, dat de commissie haar advies, om de candidaten op het examen een rentetafel te doen medebrengen, slechts motiveert met de ruimere keuze van vraagstukken, welke daaruit zal voortvloeien, blijkt wel, dat de commissie de rentetafel nog niet als de kern der intrestrekening beschouwt. Afgezien van de motiveering gaat het advies echter ten deze geheel in de door mij voorgestane richting. Overigens vormt het feit, dat de commissie thans nog moet aandringen op het doen medebrengen van rentetafels op het examen Middelbaar Boekhouden, een bewijs te meer, dat in dit geschrift niet zonder reden is gepleit voor het toekennen van een belangrijker plaats aan de rentetafels in de intrestrekening dan daaraan tot dusverre gemeenlijk werd gegund. Amsterdam, April 1921. M. van Haaften. 7 Met dat al is de universeele schrijfwijze thans reeds meer dan 22 jaar als zoodanig- in functie, en men zal dus eenigen spoed dienen te betrachten, indien men aan ons officieele handelsonderwijs, dat toch werkelijk in het afgeloopen decennium, dank zij vooral den heer Van Overeem, zulk een groóten sprong voorwaarts heeft gedaan, wil onttrekken aan het verwijt, dat het ten aanzien van de intrestrekening een volle kwart eeuw ten achter zou zijn gebleven. Pogingen om eenigen invloed uit te oefenen op een spoedige invoering der notatie in ons handelsonderwijs L) zouden in het algemeen meer op hun plaats wezen in tijdschriften voor de beoefening der handelswetenschap, en zijn daarin, ook door anderen 2), inderdaad wel aangewend. Tot de gewenschte litteratuur b'ehooren zij er echter stellig niet; want juist daar, waar men van die pogingen het meeste succes kan verwachten3), doet men den indruk op, dat zulke periodieken veel meer een veilige baan voor examencandidaten dan wel een vrije arena voor belangstellenden bedoelen te zijn. Is die indruk juist, dan kan men het een ') In dit verband zij de aandacht gevestigd op een serie artikelen van Dr. J. du Saar, begonnen met Verzekering en Onderwijs in „De Verzekeringsbode" van 25 December 1920, jg. 40. No. 13. p. 101—102. Dezelfde schrijver gaf in dit blad ook reeds vroeger artikelen betreffende hetzelfde onderwerp. 2) Bijv. R. Schram, Annuïteitenleer. (Maandblad voor het Boekhouden. Jg. 17, 1910—u, p. 201—204). Idem. Veranderlijke Annuïteiten. (De Accountant Jg. 19. No. 6), en eenige meerdere artikelen over intrestrekening, onder den titel Levensverzèkeringswiskunde voorkomende in de verdere nummers van genoemden jaargang en in de eerste drie nummers van den volgenden, allen van denzelfden schrijver (1913—1914). 3) fk doel hier op het Maandblad voor het Boekhouden, waarvan de heer Van Overeem redacteur is. 8 redactie ook niet euvel duiden, wanneer zij de propaganda voor de universeele notatie misschien eens een enkele maal duldt, maar toch stellig niet aanmoedigt; want uit een paedagogisch oogpunt is het ook inderdaad af te keuren om bij personen, die voor een examen studeeren, de overtuiging te vestigen, dat de gestelde eischen in sommige opzichten geen algemeene instemming vinden, en door tot oordeelen bevoegde personen gedeeltelijk voor verouderd, en op een enkel punt, dat overigens buiten verband met de notatie staat, zelfs voor volkomen foutief worden gehouden '). Zoo valt dan de taak, om het gebruik van de universeele notatie bij de autoriteiten van ons handelsonderwijs te bepleiten, van zelf ten deel aan de litteratuur der verzekeringswetenschap, welke laatste immers de intrestrekening mag beschouwen als een terrein, dat zij met de handelswetenschap tezamen in pacht heeft. Tezamen in pacht, ja; maar de medepachtster is roofbouw gaan plegen, en heeft ') Foutief is naar mijn meening — en ik sta hierin geenszins alleen — al wat in Van Overeem's Leerboek I samenhangt met diens onzuiver getrokken scheidingslijn tusschen enkelvoudigen en samengestelden intrest, en al wat diens Leerboek III bevat over den levensduur van obligatiën in verband met de rentabiliteit van bij uitloting aflosbare leeningen. Vgl. De begrippen enkelvoudige en samengestelde' intrest. (Archief Verz. Wet Dl XVII 1.919, p. 141); Eenige niet-wiskundige beschouwingen over de gewone annuïteit. § 4- (Archief Verz. Wet. Dl. XVII 1919, p.. 247); De levensduur van obligatiën in Van Overeem's Leerboek tan het Handelsrekenen. (De Verzekeringsbode. Jg. 38,- 1918— 1919, No. 8, p. 57). Deze artikelen betreffen den tweeden druk van Deel I (1916) en den eersten druk van Deel III (1915), doch gelden nog vrijwel onveranderd voor den nieuwsten, dat is den derden, druk van beide deelen (1918 en 1920). Op deze onderwerpen wordt teruggekomen in de §§ 10 en 16. II die een belangrijke rol spelen bij berekeningen en beschouwingen betreffende het verzekeringsbedrijf, en zóó gezien vormt de intrestrekening niet anders dan een harer onderdeden. In engeren zin is de verzekeringswiskunde echter de leer van de in het verzekeringswezen aanwendbare kansen en kanswaarden, al of niet gecombineerd met intrest. Die kansen en de daarmede samenhangende grootheden moeten statistisch worden bepaald. Dergelijke onderzoekingen, en de dikwijls niet zoo heel eenvoudige verwerking van de resultaten, geschieden in allerlei landen, terwijl de uitkomsten, en — ter beoordeeling van hun waarde — ook de methoden, met behulp waarvan die uitkomsten zijn bereikt, gewoonlijk niet voor één bepaald land, maar internationaal van gewicht moeten worden geacht. Zelfs al bezat dus iedere natie een wel van anderen verschillend, maar op zich zelf volmaakt teekenschrift, en al was bij iedere natie de theoretische verzekeringswiskunde tot den hoogsten trap van ontwikkeling opgevoerd, zoodat men theoretisch niets meer van elkander behoefde te leeren, dan zou het gebrek aan internationale overeenstemming in de schrijfwijze nog uitermate hinderlijk zijn; want ook onder de hier onderstelde ideale omstandigheden kan men toch elkanders litteratuur eenvoudig niet missen. Geheel anders is dit echter bij de zuivere intrestrekening. Wanneer ten haren aanzien de verschillende landen den zooeven bedoelden toestand van volmaaktheid- konden bereiken, dan zou er niet de minste aanleiding meer bestaan voor het bezigen van internationaal1 gelijke symbolen; want de litteratuur van een vreemd land zou dan, uitgenomen eatrele gemakkelijk verstaanbare verslagen omtrent het verloop van rente- en discontovoet, en omtrent andere onderwerpen, die meer tot het gebied van het finantiewezen I 2 dan tot dat der intrestrekening behooren, nagenoeg geheel gelijkluidend zijn met die van het eigen land, en dus ook niet geraadpleegd behoeven te worden. Een der meest inslaande argumenten voor het gebruik der universeele notatie in de verzekeringswiskunde valt ons dus bij de zuivere intrestrekening uit de hand. Daar staat nu evenwel tegenover, dat een ander argument hier sterk aan beteekenis gaat winnen. De eigenlijke verzekeringswiskunde is in alle landen steeds vrijwel uitsluitend beoefend door goed onderlegde wiskundigen, of door anderen, die bij dezen ter school waren gegaan ; en de onderscheidene schrijfwijzen dragen, ondanks het verschil in bruikbaarheidsgraad, daarvan ten slotte toch duidelijk de sporen. De leerboeken der intrestrekening en de intresttafels met bijbehoorende inleidingen werden echter niet zelden vervaardigd door niet-wiskundigen van allerlei aard, door spoorwegambtenaren1), directeuren van hypotheekbanken, bureaubeambten2), leeraren in het boekhouden, kortom door allerlei personen, voor wie de mathesis, zoo zij er al ooit behoorlijk mede hadden kennis gemaakt, toch zeker geen dagelijksche leidsvrouw meer was. Zoo is dan de intrestrekening in de meeste landen veel verder dan 1) ' Wat het taf elwerk aangaat, worde hier met eere genoemd het Nederlandsche handboek: Die zusammengesetzte Zinsen- und Zeitrenten- oder Annuitatenrechnung von W. M. J. WERKER, Adjunct-Chef des Rechmingswesens der Gesellschaft für den Betrieb von niederlandischen Staats-Eisenbahnen, Alt-Chef des Finanzwesens der ehemaligen niederl. Rhein-Eisenbahn-Gesellschaft. (J. L. Beyers. Utrecht 1803. 2 Dln.). 2) De beste tafel, voor zoover mij bekend, is, afgezien van de inleiding, die van H. MURAI, Beambter des Budapester Communalstafistischen Bureaus. Deze wordt in § 15 afzonderlijk besproken. 13 de verzekeringswiskunde verwijderd van den ideaaltoestand, dat zij een wel niet voor alle landen gelijke, maar toch tamelijk bruikbare notatie, en een behoorlijke mate van ontwikkeling, zou bezitten. Zij zal dus ten zeerste in haar ontwikkeling worden gebaat, wanneer haar beoefenaars gemakkelijk kennis kunnen nemen van buitenlandsche geschriften; en als onze Nederlandsche leerboekenschrijvers hun gezichtskring eens niet hadden beperkt tot Léon Marie, Spitzer, en enkele andere vastelandsche auteurs, maar behoorlijk recht hadden doen wedervaren aan de in Todhunter's Textbaak P) gecondenseerde Engelsche wetenschap, die steeds aan de spits van allen heeft gestaan, doch sommigen afschrikte door de hun vreemde notatie, dan zou het Nederlandsche handelsonderwijs in de intrestrekening niet zulk een steen des aanstoots zijn voor den Nederlandschen actuaris, die weet, wat intrestrekening is, en dan ziet, wat er door velen van gemaakt wordt. Al zou nu dus het internationale karakter der universeele notatie voor de intrestrekening zijn beteekenis verliezen, wanneer deze in ieder land op zich zelf volledig tot ontwikkeling was gekomen — en bij een zoo beperkt terrein van toegepaste wiskunde staat zulk een toestand ons zeker eenmaal te wachten — dan bleef, gelijk wij in den aanhef van dit artikel reeds opmerkten, het teekenschrift van 1898 toch nog een krachtige propaganda verdienen, omdat het, na grondig onderzoek van alle gebruikelijke systemen, destijds in beginsel het beste is gebleken, en, naar wij op J) Institute of Actuaries' Textbook. Part. I. Interest (including annuities-certain) bij R Todhunter. (Layton. Londpn 1915). De vorige (tweede) editie van denzelfden bewerker dateert uit 1901, de eerste uitgave, bewerkt door w. sutton, uit 1882. 14 goede gronden durven beweren, ook in de toekomst niet licht door een ander zal worden verbeterd. Deze volledige erkenning van de superioriteit der universeele notatie in beginsel sluit nog piet in, dat zij nu ook voor in alle bijzonderheden correct en afdoende moet worden gehouden. Bij een op de dualiteit van rente en disconto x) gegronde systematische behandeling der voornaamste grootheden uit de intrestrekening, welke in 1898 nog niet ter sprake was gekomen, is het volstrekt ontoelaatbaar om, zooals men destijds heeft vastgesteld, en toen ook zonder veel bezwaar kon vaststellen, voor de contante waarde eener annuïteit op het oogenblik der eerste uitkeering een letter van een geheel ander type te bezigen als voor de geklommen waarde op het oogenblik der laatste betaling. En wie gewoon is om voor de contante of aanvangswaarden van annuïteiten de letterteekens a of a, en voor de opgerente of slotwaarden der annuïteiten de letterteekens s of s te bezigen, zal allicht de behoefte erkennen, om niet alleen voor de contante waarde eener toekomstige uitkeering het teeken A, maar ook voor de geklommen waarde e,ener vroegere uitkeering het teeken S vast te leggen, al is die behoefte door de diverse congressen van actuarissen nog niet als zoodanig aanvaard. Een laatste noodzakelijke aanvulling van het officieele teekenschrift is dan nog, dat men niet slechts annuïteiten, die met 1 beginnen en jaarlijks met 1 opklimmen, aanduidt met het symbool I, de eerste letter van het woord Increasing, zooals inderdaad is voor- x) Vgl. Bentefuncties. (Archief Verz. W. XI, 1910) § 3. Ook in Beschouwingen over politieke rekenkunde. (Proefschrift Universitait Utrecht 1912. Hoofdstuk II, § 3). Voorts Be grondformules der samengestelde intrest- en discontorekening. (Archief Verz. W. XVI, 1918, p. 22—31). 15 geschreven, maar dat men dienovereenkomstig annuïteiten, die met i eindigen, na jaarlijks met i gedaald te zijn, aangeeft door middel van het teeken D, de eerste letter van hét woord Diminishing. De hier genoemde aanvullingen, waarbij dan ook nog behoort de invoering van de cursieve letter $ voor de waarde eener annuïteit i jaar na de laatste uitkeering, zooals die bij spaarverzekeringen zonder sterfte voor de premiebepaling wordt aangewend, liggen geheel in de lijn van de reeds bestaande teekens; en ook de wijziging van de thans officieele cursieve 5 in een niet cursieve draagt in zooverre geen principieel karakter, dat de niet cursieve s, welke in vervanging komt, in het geheel niet tot de universeele notatie behoort, hoezeer men dit ook had mogen verwachten x). Een nadere motiveering van deze. wijziging en aanvullingen, die met eenige dergelijke betreffende de eigenlijke verzekeringswiskunde in 1915 aan het congres van Sint Petersburg zouden zijn voorgelegd, indien de oorlog dit congres niet onmogelijk had gemaakt, ligt buiten het bestek van dit opstel; doch als wij hier thans verder spreken van de universeele notatie, dan bedoelen wij daarmede niet zonder meer de teekens, die in 1898 officieel met dien naam zijn gedoopt, doch het stel van symbolen, zooals het ') Zie de vorige noot, en, voor wat het symbool D = Dininishing betreft, ook de andere hoofdstukken van het aldaar genoemde proefschrift. In dit proefschrift is in de opschriften van tafel II (p. 128—139) abusievelijk in plaats van (Da)ï] overal DaJ afgedrukt, wat in verband met Hoofdstuk III over afgeleiden van annuïteiten tot verwarring aanleiding kan geven. 16 wordt na het aanbrengen van de hier aangegeven wijziging en aanvullingen 1). Een duidelijke uiteenzetting van de verschillende symbolen wordt ten zeerste bemoeilijkt door de omstandigheid, dat daarbij een viertal wèl van elkander te onderscheiden begrippen ter sprake moeten komen, waarvoor onze taal slechts twee woorden tot hare beschikking heeft; en daarvan is dan het eene woord, oprenten, of ook wel berenten, misschien nog een germanisme, en het tweede, disconteereh, zeker een bastaardwoord. De vier begrippen zijn: 1. Oprenting, dat is waardevermeerdering door bijberekening van samengestelden intrest, zoodat bij een rentevoet i de slotwaarde van de eenheid na een tijdsduur n wordt uitgedrukt door: SEI = ( i + i )n. 2. Waardevermindering door middel van deeling door deze opgerente waarde Sïl, zoodat bij een rentevoet i de contante of aanvangswaarde van de eenheid bij een tijdsduur n wordt uitgedrukt door: i Aa = (i > i)n- 3. Waardevermindering door middel van aftrekking van samengesteld disconto, zoodat bij een discontovoet d *) Vermeld zij nog, dat het reeds lang gebruikte symbool d, hetwelk een der grondslagen vormt van de hier volgende uiteenzetting der theorie, bij de vaststelling der notatie slechts ternauwernood aan het gevaar van disqualificatie is ontkomen, en gehandhaafd is om practische redenen, doch niet, omdat het belang ervan voor de theorie werd ingezien. Vgl. de eerste noot van § 1. Het symbool is wel niet officieel geijkt, maar wordt o. a. toch ook in het Textbook I (l.c.p. 131) gebezigd. i7 de aanvangswaarde van de eenheid bij een tijdsduur n wordt uitgedrukt door: Aa = ( i — d )». 4. Waardevermeerdering door middel van deeling door deze laatste grootheid Aa, zoodat bij een discontovoet d de slotwaarde van de eenheid bij een tijdsduur n wordt uitgedrukt door: 1 Sa ~ (I — d)nMen pleegt nu de beide vormen van waardevermindering 2 en 3 door hetzelfde woord disconteeren aan te duiden Etymologisch is disconteeren echter aftrekken, en, hoezeer het nu wel begrijpelijk is, dat disconteeren van „contant maken door aftrekking" op den duur de ruimere beteekenis heeft gekregen van contant maken in het algemeen, zoo verdient het, als er onderscheid gemaakt moet worden, dus toch wel aanbeveling, om de bewerking 2 met een anderen naam aan te duiden. Het ligt dan voor de hand, om, waar wij waardevermeerdering door samengestelden intrest oprenten noemden, waardevermindering door samengestelden intrest als afrenten te betitelen; en daaruit volgen dan haast wel van zelf voor de bewerkingen 3 en 4 de benamingen afdisconteeren en opdisconteeren. Dat tusschen de symbolen der rente- en die der discontogrootheden geen onderscheid werd gemaakt, is met opzet geschied, omdat bijv. de rentegrootheid Sa dezelfde waarde heeft als de discontogrootheid Sa voor: i d = r. 1 4- 1 l) Vgl. Tweeërlei disconto? (Archief Verz. W. Dl. XVI, 191S, I 80—84). 24 Een rentebedrag i, betaalbaar aan het einde van een renteperiode, is gelijk aan een bedrag: i + i aan het begin der periode. Wij stellen dit bedrag voor door d, zoodat: I + K waaruit van zelf volgt: d Het symbool d is de eerste letter van het woord disconto, gelijk het symbool i de eerste letter van het woord intrest is, en de grootheid d is niet anders dan het disconto, overeenkomende met een rente i. Ondanks de in § 2 vermelde omstandigheid, dat het werkwoord disconteeren wel wordt gebezigd voor contant maken in het algemeen, onverschillig de wijze, waarop dit geschiedt, heeft toch het woord disconto zelf geen andere beteekenis dan dat van een bedrag, dat men van een gegeven slotwaarde moet aftrekken om de aanvangswaarde te vinden. Wil dus d inderdaad het disconto voorstellen, overeenkomende met een rente i, dan zal het op hetzelfde neerkomen, of ik een kapitaal ter grootte 1 over een tijdvak 1 contant maakt door het te deelen door 1 + i, of wel door het te verminderen met d; met andere woorden, dan is noodig: —U = 1 - d. 1 + 1 Hieruit volgt: 1 i en dit komt geheel overeen met de wijze, waarop wij zoo- 25 even de grootheid d hebben ingevoerd, voor dat er nog van disconto sprake was. Vooruit betaalbare rente is dus wiskundig hetzelfde als disconto, en samengestelde intrestrekening, waarbij de rente geacht wordt vooraf betaalbaar te zijn, is hetzelfde als samengestelde discontorekening. De samengestelde discontorekening laat zich geheel op dezelfde wijze uiteenzetten als de samengestelde intrestrekening; en het is zelfs niet eens wenschelijk om voor de discontogrootheden afzonderlijke symbolen in te voeren, al zijn zij ook functies van den discontovoet d, in plaats van functies van den rentevoet i, omdat d toch altijd weer op de zooeven aangegeven wijze met i samenhangt. Het brengt immers in de waarde van een bepaalde discontogroötheid geen verandering, of men zegt, dat zij afhangt van den rentevoet i, dan wel van den daarmede correspondeerenden discontovoet d. De beschouwingen over samengestelde discontorekening kan men automatisch uit die voor de samengestelde intrestrekening laten ontstaan door gebruik te maken van de tusschen intrest en disconto bestaande dualiteit. De dualiteit tusschen oprenten en afrenten is reeds in § 3« ter sprake gekomen. Zij berustte op de omstandigheid, dat de oprentingsgrootheden op dezelfde wijze uit Sil worden gevormd als de afrentingsgrootheden uit Ail, en bleef daardoor beperkt tot definities en formules, waarin geen andere dan hoofd- en nevensymbolen, met name niet de symbolen i en d, voorkwamen. Het feit, dat in de formules voor de beide rentegrootheden J): *) Zie de formules aan het slot van § 2. 26 Sïl = ( i + i )■>, Aïl = ( i + i )-", de exponent n een tegengesteld teeken heeft, stelt hier aan de dualiteit een grens. Deze grens vervalt echter, wanneer men uitgaat van de met elkander correspondeerende oprentings- en afdisconteeringsgrootheden: Sïl = ( I + i )», Aïl = ( i — d of van de correspondeerende afrentings- en opdisconteeringsgrootheden: Aïl = ( i + i Sïl = ( i — d )-». De exponenten hebben hier hetzelfde teeken, en de grootheden ontstaan uit elkander door verwisseling van i met — d. Men zal dus alle definities voor af- en opdisconteeringsgrootheden kunnen afleiden uit de correspondeerende voor op- en afrentingsgrootheden door onderlinge verwisseling van de woorden oprenten en afdisconteeren, afrenten en opdisconteeren, aanvang en slot, voor en na, toenemen en afnemen; van de letters I en D ; van i en — d, en van de verschillende lettertypen s met de correspondeerende lettertypen a. De hier volgende § 5 over discontogrootheden is dan ook niet anders dan de dualistisch omgezette § 3 over rentegrootheden. § 5. D i s c o n t o g r o o t h e d e n. 50. De discontovoet. Wij stellen het bedrag, waarmede men bij een tijdvak van 1 jaar de waarde, die een kapitaal 1 aan het slot van een 27 jaar heeft, moet vermeerderen om de aanvangswaarde die wij Aïl zullen noemen, te verkrijgen, voor door d. Wij noemen deze grootheid, afgezien van het teeken, discontovoet. In de practijk bezigt men voor het aangeven daarvan veelal het aantal eenheden disconto per honderd, per centum, van het aan het slot van het jaar aanwezige kapitaal, en men noemt den discontovoet in dat geval ook wel het discontopercentage. Waar thans de discontovoet het aantal eenheden disconto aangeeft per eenheid, per unum, van het aan het slot van het jaar aanwezige kapitaal, zal men den discontovoet dus ook het discontoperunage kunnen noemen. 5^. Afdiscontceringsgroothedcn. Bij de waarde, die een kapitaal i aan het slot van een tijdvak van n jaar heeft, behoort voor dat tijdvak tengevolge van het samengestelde disconto een aanvangswaarde, die wij Ail noemen, en waarvoor geldt: Ail = ( i — d )n. Een aantal n van zulke kapitalen i, met telkens i jaar langeren looptijd, vormt een n-jarige annuïteit. De waarden van die annuïteit, onderscheidenlijk voor het tijdstip der eerste uitkeering, en voor één jaar voor dat tijdstip, stellen wij voor door ail en a^\. Deze waarden worden bepaald door de kapitalen stuk voor stuk naar de genoemde tijdstippen af te disconteeren en de uitkomsten te sommeeren. Men vindt: ») Wij bezigen voor contante waarde en geklommen waarde de uitdrukkingen aanvangswaarde en slotwaarde, omdat zij in de universeele notatie respectievelijk door de lettertypen a en de lettertypen s worden voorgesteld. z8 ail = Aöl + Aïl + + Ahti, aïl = Aïl + Ail + + Aïl. Een aantal n van zulke annuïteiten, met telkens een 1 jaar langeren looptijd, doch met samenvallende aanvangsuitkeeringen, vormt te zamen een dalende annuïteit, waarvan de uitkeeringen met 1 eindigen, jaarlijks met 1 afnemen, en met n beginnen. Deze regelmatige daling overeenkomstig § 2 met D aanduidende, vindt men: (Da)ïl = aïl + aül + + aïl> (Da)ïl = aïl + ail + + «ïl- Hierbij is: Aöl = 1, aïl = aöl = Aol = 1, aïl = Aïl. $c. 0pdiscontecringsgrootheden. Bij de waarde, die een kapitaal 1 aan den aanvang van een tijdvak van n jaar heeft, behoort voor dat tijdvak tengevolge van het samengestelde disconto een slotwaarde, die wij Sïl noemen, en waarvoor geldt: Sïl = (1 — d )-». Een aantal n van zulke kapitalen, met telkens een 1 jaar korteren looptijd, vormt een n-jarige annuïteit. De waarden van die annuïteit, onderscheidenlijk voor het tijdstip der laatste uitkeering, en voor één jaar na dat tijdstip, stellen wij voor door sïl en SI. Deze waarden worden bepaald door de kapitalen stuk voor stuk naar de genoemde tijdstippen op te disconteeren, en de uitkomsten te sommeeren. Men vindt: Sïl = Söl + Sïl + + S57Ï], iïl = Sïl + Sil + + Sïl. 29 Een aantal n van zulke annuïteiten, met telkens een i jaar korteren looptijd, doch met samenvallende slotuitkeeringen, vormt tezamen een klimmende annuïteit, waarvan de uitkeeringen met.i aanvangen, jaarlijks met i toenemen, en met n eindigen. Deze regelmatige klimming overeenkomstig § 2 met I aanduidende vindt men: (Is)il = sil + sil + ;*+ sa, (ii)a = iïi + «i + + ia. Hierbij is: Söl = 1, sïl = sö\ = Söl = 1, «1 = sn. 5«\ Niet sommeerbare grootheden. Een n-jarige opdisconteering van de aanvangswaarden der gewone annuïteiten onder 50 geeft als formules voor de slotwaarden: •fal = Silajn, si] = Saltfül. Dit zijn dus andere uitdrukkingen voor grootheden, die onder 5c reeds rechtstreeks ddor sommatie gevonden zijn. Een n-jarige opdisconteering van de aanvangswaarden der dalende annuïteiten onder $b geeft als formules voor de.slotwaarden: (D*)il = Sïl(Da)nl, (Ds)a = sa(Da)a. Een n-jarige. afdisconteering van de slotwaarden der gewone annuïteiten onder 5c geeft als formules voor de aanvangswaarden: D. Voor het gebruik van tafels leenen zich echter beter de eveneens uit § 3# volgende formules: 34 sïl = i + S^ZJ], Sa\ = Sn 4-1| — I, waaruit door sommatie: (Is)ïl = n + (Ii)»=ï}, (I*)ïl = (Is) H-+1Ï — (n + i). Op dezelfde wijze volgt uit §c: (V en de daarbij behoorende kapitalen kj, k2 en k3, zoodat: k = fc, + k2 + k3. Uit de gelijkheid van de contante waarde der totale leening aan de som der contante waarden der gedeeltelijke leeningen volgt: kx = klXl + k2xa + ksx3. Met behulp van de algemeene koersformule uit c wordt dit: •',"*; \ kx = k, + k2 4- k3 - (r-i) (k.L, + kaL2 + k3L3), x - 1 - —~ ('kjtLi + kjLj + k8L3). Van de grootheden k mogen er in het algemeen meer- i) Voor de algemeene formule zie Koersbepaling. (Maandblad voor het Boekhouden van 1 Maart 1917- jg- n- No- V1- V- l3S> 52 den, zal thans niet worden ingegaan '). Haar grootte behoort rechtstreeks uit een tafel van renteconstanten te kunnen worden afgelezen, doch de bestaande rechtstreeksche tafels houden nog geen rekening met den tegenwoordigen hoogen rentestand 2). Uit Thoman's uitvoerige tafel3) van log s vindt men echter ook terstond voor de hier in aanmerking komende waarden: r s 6 1,01478 61 1,01539 62 I101599 Men krijgt dus tenslotte r door substitutie te bepalen uit: r — 0,053 / aw\ r \ 0,875 | 1 - rjü'0;05 {* ~ itToiToJWij zagen, dat bij jaarlijksche betaling der coupons de reëele rente grooter was dan 6 %, en dichter gelegen bij 6 dan Bij 6% %. Bij half jaarlijksche couponbetaling wordt de reëele rente vanzelf nog iets grooter, en men kan de substitutie dus beginnen bij r = 0,06. Men vindt ook thans wederom, dat de rentevoet grooter dan 6 % is, doch dichter gelegen bij 6 dan bij 6£ %. *) Vgl. Koersbepaling bij gebroken tijdseenheden. (Archief Verz. W. XVI, 1918, p. 222—223). a) De tafel van s, als table VII voorkomende in Textboók I (1915. L c. p. 221) gaat niet verder dan tot r = 0,05. Gecompleteerde tafels der renteconstanten zullen binnenkort in Set Verzekerings-Archief worden opgenomen. 3) Van de boeken, waarin deze tafel van log. s is overgenomen, noemen wij H. charlon. Théorie mathématique des opérations financières. (Paris. Gauthiers-Villars. iste Uitgave, 1869, p. 65) en V. baerlocher. Handbuch der Zinseszins-, "Renten-, Anleïhen- und Obligationen-Rechnung. Füssli. Zürich. 1885. p. 243). 53 Wij willen nu den koers der overige Nederlandsche oorlogsleeningen bepalen, waarbij de belegger, evenals bij de leening- 1918, een reëele rente van 6 % van zijn geld maakt. Met halfjaarlijksche couponbetaling zal verder geen rekening worden gehouden, behalve dan voor zooverre dit noodig is om den gevonden koers telkens te reduceeren tot dien van 1 Juni 1920, den datum, waarvan ook bij de bovenstaande rentabiliteitsberekening is uitgegaan. gc. De ^3 % leening 1917. Wij merkten reeds op, dat deze leening een gewone annuïteitsleening is met 40-jarigen duur. De aflossingen geschieden jaarlijks, te beginnen met 1 Augustus 1919; de couponbetalihg vindt plaats op 1 Augustus en 1 Februari. Volgens § %b heeft men dus voor den wiskundigen koers op 1 Augustus 1919 na de aflossing en de betaling der coupon: asa"|6 P" a3ü|4,5 ' x = 0,8204. Om dezen koers te herleiden tot dien van 1 Juni 1920 moet daarbij 0,0035 worden opgeteld l), zoodat men voor den koers op genoemden datum, uitgedrukt in percenten, vindt 82,39, terwijl de koerslijst 78 aanwees. Het fonds stond è) De wijze van berekenen dezer herleidings-bedragen doet voor het hier beoogde doel niet ter zake. De waarde daarvan is, behalve voor de 4% leening 1916, ontleend aan Van Overeem's Leerboek III (1. c. p. 34c)—351), en voor laatstgenoemde leening op dezelfde wijze bepaald als aldaar. De in het Leerboek III voor de 5 % 1918 aangenomen koers van 87, 5 % is blijkens het Amsterdamsen Effectenblad van 4 Juni 1920 de op kwarten "afgeronde koers voor coupures van 500 gulden. Waar hier verder naar den koerslijst wordt verwezen, zijn op dezelfde wijze bepaalde 54 derhalve naar de rentabüiteitsbasis van de leening 1918 bijna 4.3 % te laag. gd. De 4% leening ipió. De duur van de beide vorige hier behandelde leeningert was niet precies gelijk aan een rond aantal jaren, en in verband daarmede kon ook de laatste annuïteit niet volkomen gelijk zijn aan de voorafgaande annuïteiten. Deze omstandigheid is tot dusverre verwaarloosd. Ditzelfde zal echter niet geschieden bij de beide leeningen van 1916, omdat men dan met versterkte aflossingen te doen heeft, en een fractie van de laatste annuïteit hier meer gewicht in den schaal kan leggen. Ook het feit, dat de verdere aflossingen op onregelmatige wijze geschieden, heeft invloed op de koersbepaling. Den koers definieerden wij namelijk als de contante waarde van al hetgeen in de toekomst nog aan rente en aflossing zou worden ontvangen per eenheid van nog uitstaand kapitaal. Bij regelmatige wijzen van aflossing bleek de koersbepaling te kunnen geschieden zonder dat men er zich rekenschap van gaf, welk gedeelte van de leening werkelijk nog uitstond. Bij onregelmatige wijzen van aflossing speelt het nog uitstaande leeningsbedrag echter altijd een zekere rol. Van de twee in § 8/ besproken wijzen van behandeling is in dit geval de eenvoudigste, om de contante waarde van de per eenheid van uitstaand kapitaal te ontvangen renten en aflossingen te zoeken, door die van het nog uit- koersen bedoeld. Hoe sterk factoren met een niet voor berekening vatbaren invloed op den koers kunnen inwerken blijkt bijv. hieruit, dat van de hier bedoelde leening de stukken van 1000 gulden op 1, 2 en 3 Juni 1920 steeds bijna 2 °L lager noteerden dan de coupures van 100 gulden, hoewel zij uit een rentabiliteitsoogpunt toch volkomen gelijk zijn. 55 staande kapitaal te deelen door het bedrag van dat kapitaal. Het nog uitstaande kapitaal kan men dan nog weer uitdrukken in percenten van het totale kapitaal. De aflossingen van de 4 % leening 1916 zijn begonnen op 1 October 1918. Aanvankelijk wordt jaarlijks van het kapitaal afgelost, en de totale aflossing per eenheid van oorspronkelijk kapitaal bedroeg dus na de aflossing op 1 October 1919: 0,0025 ST|1 — 0,0051, zoodat nog uitstond 0,9949. "De eerste jaarbetaling bestaat uit 4 % rente en aflossing, en aangezien de 19 onversterkte jaarbetalingen, waarvan er nog slechts 17 moeten plaats vinden, gelijk zijn aan de eerste, terwijl de volgende 6 jaarbetalingen met 12 % versterkt zijn, en er tenslotte nog een betaling van de boven sub a op 0,0999 berekende laatste aflossing, vermeerderd met 4 % rente daarover, volgt, wordt de koers x bepaald door: x = —-— (0,1625 aö5l5 jr— 0,12 alTIo + 0,1039 Aïïjs). 0,9949 v ' 3 ' ~ oy *IV Hierbij is de 17 jaar uitgestelde 6-jarige annuïteit ter grootte 0,12 omgezet in het verschil van een dadelijk ingaande 23-jarige en een dadelijk ingaande 17-jarige annuïteit van dezelfde grootte. Men vindt: x = 0,7716. Om dezen koers te herleiden tot dien van 1 Juni 1920 moet daarbij 0,0041 worden opgeteld *), zoodat men voor den koers op genoemden datum, uitgedrukt in percenten, 1) De coupon vervalt op 1 April en 1 October. Voor het getal 0,0041 zie de noot onder c. 56 vindt 77,57, terwijl de koerslijst 77 aanwees. Het fonds stond derhalve* naar de rentabiliteitsbasis van de leening 1918 ruim 5 % te laag. ge. De 4^ % leening 1916. De aflossingen van de 4^% leening 1916 zijn begonnen op 1 November 1917. Aanvankelijk wordt jaarlijks 5 % van het kapitaal afgelost, en de totale aflossing per eenheid van oorspronkelijk kapitaal bedroeg dus op 1 November 1919 na de aflossing: O.OO25 S"3|4^ = 0,0078, zoodat nog uitstond 0,9922. De eerste jaarbefeling bestaat uit 45 % rente en £ % aflossing, en aangezien de 13 onversterkte jaarbetalingen, waarvan er nog slechts 10 moeten plaats vinden, gelijk zijn aan de eerste, terwijl de volgende 6 jaarbetalingen met 12 % versterkt zijn, en er tenslotte nog een laatste betaling volgt van de boven sub a op 0,1213 berekende aflossing, vermeerderd met 4^ % rente daarover, wordt de koers x bepaald door: » x — -———~ (0,167? tfïfTie — 0,12 + °>I268 AïTlti). 0,9922 J ' Hierbij is de 10 jaar uitgestelde 6-jarige annuïteit ter grootte 0,12 omgezet in het verschil van een dadelijk ingaande 16-jarige en een dadelijk ingaande 10-jarige annuïteit van dezelfde grootte. Men vindt: x = 0,8633. Om dezen koers te herleiden tot dien van 1 Juni 1920, moet daarbij 0,0039 worden opgeteld zoodat men voor l) De 'coupon vervalt op 1 Mei en 1 November. Voor het getal 0,0039 zie de noot onder c. 57 den koers op genoemden datum, uitgedrukt ïn percenten, vindt 86,72, terwijl de koerslijst 83 aanwijst. Het fonds stond derhalve naar de rentabiliteitsbasis van de leening 1918 ruim 32 % te laag. 9/. De 5 % leening 1914.. Deze leening is, gelijk reeds werd opgemerkt, afgelost, en zij blijft dus buiten beschouwing. § 10. De dwaling van den levensduur. Een van de redenen, waarom wij in de vorige paragraaf juist de rentabiliteit der Nederlandsche oorlogsleeningen als voorbeeld van koersbepaling hebben gekozen, was, dat dit onderwerp ons van zelf brengt op het aanbevelen van een maatregel, welke voor de moderniseering der intrestrekening ten onzent dringend noodig is, namelijk de verbanning van het gevaarlijke begrip levensduur eener obligatie. Het is toch immers juist een zoo actueel en belangrijk onderwerp als de koers onzer oorlogsleeningen, dat zoowel door den heer Van Overeem in den derden druk (1920) van zijn Leerboek ZZZ1) als door den heer Van Voorst in zijn artikelen in het maandblad De Accountant 2) ten onrechte met behulp van het begrip levensduur wordt behandeld. ') L. c. p. 343—352- Zie ook p. 334—343- 2) p. van voorst. De Nederlandsche oorlogsleeningen en haar rentabiliteit onderling vergeleken. (De Accountant. Januari 1919, jg. 25 p. y-—10). Idem. De koersen der Nederlandsche oorlogsleeningen in het ontwerp van wet op de vermogensaanwasbelasting. (De Accountant. December 1919. jg. 25. p. 172—173). Idem. De koersen der Nederlandsche oorlogsleeningen. (De Accountant. Maart 1920, jg. 26. p. 37—40). 58 Deze onjuiste rentabiliteitsbeschouwingen spruiten voort uit de opvattingen, welke op dit punt ook reeds in de vorige drukken van genoemd leerboek werden gehuldigd. De heer Van Overeem is namelijk van meening, dat de wiskundige koers eener bij uitloting aflosbare obligatie zoowel bepaald kan worden op grond van den mathematischen als op grond van den gemiddelden of van den waarschijnlijken levensduur van het stuk. Voorts doet hij in theorie van een persoonlijke voorkeur voor het gebruik van den gemiddelden levensduur blijken, zonder overigens de consequenties van die voorkeur ook geheel te aanvaarden. Het zou nu echter niet aangaan, om aan ons geheele handelsonderwijs ten laste te leggen, dat het zonder uitzondering rechtstreeks medewerkt aan deze verkeerde toepassing van het begrip levensduur in de intrestrekening; want er zijn meerdere schrijvers wien te dien aanzien geen verwijt kan treffen. Wel mag echter uit het feit, dat kennis van de foutieve methode van toepassing van den levensduur, zooals die bij Van Overeem wordt onderwezen, algemeen als een eisch voor het examen Middelbaar Onderwijs Boekhouden wordt beschouwd, en dat de op diezelfde onjuiste methode gegronde berekeningen over de koersen onzer oorlogsleeningen, welke in De Accountant werden gepubliceerd, aldaar en in het Maandblad voor het Boekhouden zonder de geringste tegenspraak zijn gebleven, worden geconcludeerd, dat de ernstige aard van de bedoelde fout in onderwijskringen onvoldoende wordt begrepen. Deze aard is dezelfde als die van het, vooral in vraagstukken, niet speciaal bestemd voor het verzekeringsonderwijs, vroeger zooveel, en thans ook nog wel, doch in mindere mate, voorkomende abuis, dat de contante waarde eener lijfrente gelijk zou zijn aan die eener annuïteit met 59 een duur, gelijk aan den gemiddelden levensduur van den lijfrentenier. En wie iets weet van de oplettendheid, welke het den verzekeringswiskundigen steeds kost om dit telkens en overal wederom opnieuw opduikend misverstand uit den weg fe ruimen, zal begrijpen met welk een misnoegen door hen de bloeiperiode wordt aangezien, welke ditzelfde misverstand tegenwoordig in de Nederlandsche intrestrekening beleeft. Het gevaar van de hier bedoelde fout schuilt niet zoozeer in de gevolgen bij de toepassingen — ofschoon die in bepaalde gevallen ook belangrijk kunnen wezen — als wel in de omstandigheid, dat leerlingen, die zich aan de autoriteit van een schrijver verplicht gevoelen om de foutieve redeneering tot eiken prijs in zich op te nemen, er hier primo aan worden gewend om zich den inhoud van een betoog door oefening eigen te maken, zonder dezen werkelijk te hebben begrepen — want van begrip kan in casu geen sprake zijn ') — en secundo voor de toekomst moeilijk toegankelijk worden gemaakt voor een correcte uiteenzetting van het begrip kanswaarde. De bezwaren tegen dei wijze, waarop de koersbepaling van uitlootbare obligatiën door middel van den levensduur in Van Overeem's Leerboek lil wordt behandeld, zijn door mij in 1918 reeds elders ') te berde gebracht, en ofschoon daarop noch in eenig artikel, noch in den sedert verschenen derden druk (1920) van het boèk is gereageerd, zal daarop thans toch niet worden teruggekomen. Wel zal echter worden aangetoond, dat de strijd tegen de onjuiste toepassing l) Men zie de hier volgende tabel van Charlon. *) De levensduur van obligatiën in Van Overeem's Leerboek van het Handelsrekenen. („De Verzekeringsbode" van 23 November 1918. jg. 38. No. 8. p. 57—60). 6o van den levensduur bij rentabiliteitsberekeningen reeds een lang leven achter den rug heeft, en dat een pleidooi voor de verwijdering van dien levensduur — welke ook voor niets anders dienen kan, althans te dienen behoeft — inderdaad behoort tot ons eigenlijke onderwerp: de móderniseering der intrestrekening. Men heeft hier namelijk in de intrestrekening niet te doen met een nieuwe gedachte, maar met een oude en gerenommeerde dwaling. Reeds in 1869 noemde Charlon het in de eerste uitgave van zijn Théofie mathêmatique des opèrarations financières ') een grove, maar toch vrij algemeene fout om te meenen, dat de gemiddelde en de waarschijnlijke levensduur eener obligatie kunnen dienen om den prijs daarvan te bepalen. Daarvoor moesten zij gelijk zijn aan den mathematischen levensduur. En om goed te doen zien, hoe sterk deze drie grootheden voor eenzelfde obligatie, wel Leeftijd Levensduur: der i | obligatie. Mathematische. Gemiddelde. Waarschijnlijke. o 54.37 7i.27 , 77,33 20 42,90 54,13 58>68 39 32,3° 38,93 41-85 59 21,40 24,35 25,60 69' 16,05 17,69 18,22 77 11,84 12,68 12,76 79 10,79 11,48 ii,47 89 5,61 5,74 5-37 90 5,09 5,20 4,80 ') Gauthiers-Villars. Paris. 1869. p. 127- 6i uiteen kunnen loopen, geeft hij de bijgaande tabel voor wat hij noemt een leening van de derde klasse, dat is een leening zonder premiën, met jaarlijksche aflossingen en halfjaarlijksche rentebetaling. De nominale rente is daarbij 3 %, de reëele 5 %, en de leeningsduur 99 jaar. Het onregelmatige verloop der leeftijden zal wel samenhangen met den wensch om enkele plaatsen te doen uitkomen, waar twee vormen van levensduur aan elkander gelijk zijn. Leon Marie, aan wiens Traité mathêmatique et pratique des opêraiions financières ') (1890), Van Overeem's Leerboek anders op meer dan één punt herinnert, is in zijn meening over het gebruik van gemiddelden of waarschijnlijken levensduur al niet minder positief dan Charlon. Hij noemt de drie vormen van levensduur nog wel ten onrechte ,,quantités intéressantes k étudier dans bien des questions", en wijdt er dan ook wel veel aandacht aan, maar zegt er toch dadelijk bij, dat men er zich voor moet wachten om hen onoordeelkundig in de practijk te gebruiken ,,si 1'on veut éviter des erreurs trés fréquemment commises par les financiers de l'ancien temps 2). En tot staving zijner waarschuwing neemt hij dan ook de Bovenstaande tabel van levensduur uit Charlon over, terwijl hij verderop in zijn werk zegt, dat les anciens Banquiers in het algemeen niet geleerd hadden om onderscheid te maken tusschen de drie vormen van levensduur, en in de koersformule ten onrechte den mathematischen door den gemiddelden levensduur vervingen 3). Deze laatste uitdrukking is, hoewel juist bedoeld, toch 1) Gauthiers-Villars. Paris 1890. 2) L. c. p. 422. ') L. c. p. 425, 516. 62 niet geheel" zonder bedenking; want zij geeft aanleiding tot de meening, dat de koers zooal niet met behulp van den gemiddelden of den waarschijnlijken, dan toch met behulp van den mathematischen levensduur bepaald zou kunnen worden. En ook dat is niet waar, aangezien de mathematische levensduur nooit anders is dan een grootheid, welker waarde uit een gegeven koers voortvloeit. Drukt men de als bekend onderstelde wijze, waarop bij een bepaalde leening de koers samenhangt met den nominalen en den reëelen rentevoet en met den tijdsduur, dus een functie is van i, r en n, uit door: x = f (i, r, n), waarbij i en r gegeven grootheden zijn , dan kan men, daargelaten nu de onjuistheid van de uitkomst, uit deze vergelijking x bepalen, wanneer n óf den gemiddelden, óf den waarschijnlijken levensduur voorstelt, omdat deze onafhankelijk van de vergelijking berekend kunnen worden. Men kan echter nooit zeggen, dat in de practijk *) x bepaald kan worden met behulp van een mathematischen levensduur n, want die mathematische levensduur is per definitie juist de waarde van n, welke aan de vergelijking voldoet voor een gegeven, en dus reeds bekend onderstelde, waarde van x. De heer Van Overeem heeft vermoedelijk getracht dit bezwaar te omzeilen, door niet te spreken van koersbepaling door middel van een zekeren levensduur, doch van koersbepaling op grondslag van een zekeren levensduur2); *) Dat men in een oefenvraagstuk den koers wel met behulp van een bekend onderstelden mathematischen levensduur kan doen bepalen, is duidelijk, doch dit heeft geen practisch belang. *) Zie o. a. Leerboek III, (1920), 1. c. p. 348. Voorbeeld 101. 63 maar hij ontkomt toch ook zoo niet aan de tegenwerping, dat in' de practijk de mathematische levensduur nooit de grondslag van den koers, doch steeds de koers de grondslag van den mathematischen levensduur is. En het zal toch ook zeker op menigen lezer verwarrend werken, dat een gewone bepaling van contante waarden *) een koersbepaling op grondslag van den mathematischen levensduur wordt geheeten, terwijl deze daarbij geen enkele rol speelt, en zelfs niet wordt genoemd, terwijl bij koersbepalingen op grondslag van gemiddelden of waarschijnlijken levensduur deze levensduur eerst afzonderlijk moet worden becijferd. Intusschen blijkt ook Charlon gevoeld te hebben, dat op dit punt meerdere duidelijkheid noodig was. Zijn woorden in de eerste (1869, p. 127—128) en tweede (1878, p. 284) uitgave waren: „C'est donc une erreur grossière, et pourtant assez „commune, de croire que Ia vie moyenne et la vie probable „d'une obligation puissent servir & la détermination de son ,,prix. II faudrait pour cela qu'elles fussent identiques & ,,la vie mathêmatique". In een latere uitgave van zijn werk moet de tweede zinsnede echter vervangen zijn door: ,,Seule la vie mathêmatique est fonction de ce prix.'* Met deze woorden wordt Charlon n.1. geciteerd in La théorie de l'intérêt et ses applications 2) van L. Maingie, het Belgische werk, dat in de internationale litteratuur het Textbook I naar den kroon steekt. Deze schrijver, wien toch niemand kundigheid en ervaring zal ontzeggen3), wijdt aan ') Als op p. 349, voorbeeld 101. 3) Librairie Castaigne. Bruxelles. 1911. p. 183. ') Maingie staat op den titel van zijn werk te boek als: 64 den levensduur van obligatiën ternauwernood een enkele bladzijde, juist zooveel als noodig is om de vroeger op dit gebied begane fouten eenigermate begrijpelijk te maken. Men kan in de intrestrekening evengoed aan obligatiën, die aan uitloting onderhevig zijn, een mathematischen, een gemiddelden en een waarschijnlijken levensduur toekennen als men dit in de verzekeringswiskunde pleegt te doen aan personen, die aan afsterving onderhevig zijn. Het invoeren van het begrip van levensduur in de verzekeringswiskunde is echter geschied terwille van de statistische bestudeering van het sterfteverloop, doch niet voor de bepaling van contante waarden, waarvoor het ook daar niet dienen kan. Van obligatiën boezemt ons echter niet de levensduur, maar alleen de koers of contante waarde belang in, en aangezien wij dit begrip levensduur in de intrestrekening overigens al evenmin voor de waardebepaling kunnen bezigen als in de verzekeringswiskunde, mist het hier recht van bestaan, temeer omdat, waar de toepassing ervan al niet leidt tot hinderlijk foutieve resultaten x), deze in de intrestrekening toch niet eens een bekorting beteekent in verhouding tot het volgen van de juiste methode, gelijk het geval is in de verzekeringswiskunde, waar de gemiddelde levensduur een -rechtstreeks afleesbare grootheid vormt. „Docteur en Sciences physiques et mathématiques ; membre de l'Association des Actuaires beiges; professeur a 1'université de Bruxelles; sous-directeur de la Compagnie Beige d'Assurances générales sur la Vie". *■) Dat de verschillende methodes ook bij leeningen, die ten onzent in de practijk voorkomen, vrij aanzienlijk verschillende resultaten geven, blijkt uit § n d en uit Van Overeem's Leerboek III, L c. p. 351—352- 65 Er zijn meerdere landen, waar men, voor zoover kon worden nagegaan, aan het maken van de hier bedoelde fout zelfs nooit heeft gedacht. In Frankrijk en België wordt er in de meeste bekende leerboeken uitdrukkelijk tegen gewaarschuwd als een gerenommeerde dwaling van vroegere bankiers. Maar in Nederland viert die dwaling nog hoogtij. Daar moet zij jaarlijks worden aangeleerd door de ruim 800 candidaten, welke zich opgeven voor het examen Middelbaar Onderwijs Boekhouden. Daar vormt zij een van de grondslagen van kennis voor de accountants, die een goed inzicht in rentabiliteitskwesties toch wel het allerminst kunnen ontberen. Daar is zij, nog wel in haar ernstigste gedaante, de basis, waarop aan den Minister van Finantiën adviezen worden verstrekt aangaande de koersen, waartegen de Nederlandsche oorlogsleeningen door den staat in betaling behoorden te worden aangenomen bij de eventueele invoering eener vermogensaanwasbelasting Is het dan teveel gezegd, dat in Nederland de intrestrekening ook op dit punt dringend moderniseering behoeft? § 11. Een drietal oudere Nederlandsche leeningen. Naast de Nederlandsche oorlogsleeningen zullen hier als een voorBeeld van toepassing der in § 8 aangegeven rrie- ') Vgl. P. van Voorst. Be koersen der Nederlandsche oorlogsleeningen in het ontwerp van wet op de vermogensaanwasbelasting. (De Accountant, jg. 25. 1919. p. 172—173). Deze schrijver werkt bij voorkeur met den waarschijnlijken levensduur, terwijl de heer Van Overeem (Leerboek III; 1. c. p. 339) tenminste nog den gemiddelden levensduur propageert, en in de practijk 66 thode van koersbepaling nog eenige andere leeningen worden besproken, waarvan de rentabiliteitsberekening in openbare geschriften is behandeld, en wel in de eerste plaats de drie oudere Nederlandsche leeningen, waarvan de heer G. Donker in de Economisch-Statistische Berichten van 31 Maart 1920 *) den koers heeft bepaald met behulp van den gemiddelden levensduur. De aan dit artikel ten grondslag gelegde onderstellingen, als daar zijn, dat voor den wiskundigen koers op een willekeurigen datum bij benadering genomen kan worden die van den voorafgaanden vervaldag der aflossingen, dat halfjaarlijksche couponbetaling geen noemenswaardigen invloed uitoefent, en andere, nemen wij ongewijzigd over. De gegevens zijn, voor zooverre noodig, aangevuld uit Van Oss' Effectenboek2). De berekening geschiedt globaal voor 1 Januari 1920 met een reëelen rentevoet van 6 %. 11a. De 3% leening H. IJ. S. M. 1888. Men heeft hier te doen met een gewone annuïteitsleening, die in 29 jaar zal zijn afgelost, zoodat men voor den koers terstond vindt: _ a%n6 x =: 70,83%. desondanks zelfs wel de zoogenaamde methode van den mathematischen levensduur, alias bepaling der contante waarde, blijkt toe te passen. (Vgl. diens artikel, aangehaald in de eerste noot van § 9a). ') G. Donker. Kans op winst bij uitloting en rentabiliteit Econ. Stat. Ber. jg. 5. p. 280. 2) P. Noordhoff. Groningen. 67 De heer Donker geeft als resultaat van zijn berekening met behulp van den gemiddelden levensduur 68,50 %, en als stand van het fonds in den koerslijst op 26 Maart 1920 62.%. 11b. De 3%% leening Gemeente Utrecht ipoó. De leening bedroeg nominaal 1,5 millioen; afgelost wordt telkens op 1 November, en wel in de jaren 1907— 1926 per jaar 26 mille, in de jaren 1927—1947 per jaar 45 mille, en in 1948 nog 35 mille. Men heeft hier dus te doen met een leeningstype als bedoeld is in het tweede gedeelte van § 8/. Op 1 Januari 1920 is afgelost: 13 x 26 mille = 338 mille, zoodat er dan nog 1162 mille uitstaat. Splits de thans nog 29-jarige leening, waarvan wij het bedrag door 1000 deelen, hetgeen op den koers geen invloed uitoefent, overeenkomstig § 8/ in drie andere, en wel: 1. Een 29-jarige leening, waarop per jaar 45 wordt ontvangen, en die dus groot was 1305. 2. Een 7-jarige leening, waarop per jaar 45—26 = 19 wordt terugbetaald, en die dus groot was 133. 3. Een 29-jarige leening, waarop aan het einde van het laatste jaar 45 — 35 = 10 wordt terugbetaald. Voor den koers x der geheele leening heeft men nu ingevolge § 8/: 0,06—0,035 / _ ■ _ ^ x = 1 — ÏÏ63 ^3°5 1 _ 133 8 ~ 10 L«)- Hierin zijn hlt La en L3 de contante waarden der bedragen, waarover per eenheid van kapitaal van iedere gedeel- 68 tèlijke leening' rente wordt uitgekeerd. Overeenkomstig § 8d en c heeft men voor deze grootheden dus terstond: Li - — (Da)29i6, L. — —y- (Da)T|ö, La ~ aSTj 6. Deze waarden kunnen rechtstreeks uit bestaande tafels worden afgelezen "■). Men vindt dus, zonder dat nog eenige noemenswaardige becijfering heeft plaats gehad: X = 1 — lïoT (l3°5 X 8'8559i - 133 X 3,3753 — 10 X 13,591), x = 76>39 %• De heer Donker geeft als resultaat van zijn berekening met behulp van den gemiddelden levensduur 74,75%, en als stand van het fonds op 26 Maart 1920 68 %, terwijl de onmiddellijk voorafgaande beurskoers 74 % geweest is. lil. De 3?% leening Staatsspoor 1887. 2) Men heeft hier evenals sub a te doen met een gewone annuïteitsleening. Het eerste aflossingsbestanddeel bedraagt 0,7 %, de eerste jaarbetaling mitsdien 4,2 %, met behulp waarvan men uit een tafel van («nS.s)"1 afleest, dat de lee- *■) Vgl. de noot in § Sd. ') De heer Donker betitelt deze leening als 1888. De koerslijst kent echter slechts een leening 1887. De tweede serie daarvan is in 1888 uitgegeven, maar ten aanzien van de aflossingen staan beide seriën volkomen gelijk. 69 ningsduur aanvankelijk 52 jaar heeft bedragen. De eerste aflossing heeft plaats gehad in 1888, en d'e laatste zal dus geschieden in 1939. Op 1 Januari 1920 moeten derhalve nog 20 aflossingen plaats vinden, zoodat de wiskundige koers voor dat tijdstip te bepalen is uit: _ aiö\6 "' "20(3,5' x = 80,70%. De heer Donker geeft als resultaat van zijn berekening met behulp van den gemiddelden levensduur 79 %, en als stand van het fonds op 26 Maart 1920 73,75 %. nd. Vergelijking der resultaten. Men komt voor de drie thans besproken leeningen derhalve tot de volgende resultaten: Koersbepaling door: ,. , , , Beurs- ; Naam van het fonds. Contante Gem. koers. I I Waarde. I Lcvensd. a. 3% H. IJ. S. M. 1888 62 70,83 68,50 b. 3% % Utrecht 1906 68 76,39 74,75 c. 31/2 % S. S. 1887 73,75 I 80,70 79 De conclusie aan het slot van het thans besproken artikel, dat de beurs de koersen veelal niet berekent, maar taxeert, en daarbij de plank wel eens misslaat, behoeft op grond van het bovenstaande dus niet te worden gewijzigd ') Daargelaten nu, dat men bij een enkele waarneming van een weinig verhandeld fonds niet kan nagaan, of een groot verschil tusschen beurskoers en wiskundigen koers te wijten is aan onjuiste taxatie, dan wel b.v. aan geforceerden verkoop bij afwezigheid van vraag. 70 doch daaraan dient slechts te worden toegevoegd dat, wie als de heer Donker de beurs tracht voor te lichten met behulp van den gemiddelden levensduur, haar op een gewoonlijk wel niet gevaarlijken, maar toch op een onjuisten weg zal voeren. ■ § 12. De Fransche agio-leening 1920. 12a. Inleiding. De aan het slot van de vorige paragraaf uit de Economisch-Statistische Berichten van 31 Maart 1920 aangehaalde opmerking, dat de beurs op onvoldoende wijze rekening houdt met de wiskundige waarde van de fondsen, is feitelijk de weerklank van een artikel, dat de oud-minister van financiën, Mr. Dr. A. Van Gijn, een week te voren in hetzelfde weekblad had doen opnemen onder den titel: Kans op winst bij uitloting. De aanleiding tot het schrijven van dit stuk werd gevormd door de omstandigheid, dat er omstreeks den genoemden datum in ons land een prospectus werd verspreid van een Fransche staatsleening, waarin wel werd medegedeeld, dat de uitgifte a pari zou geschieden, dat de rentevoet 5 % en de leeningsduur 60 jaar zou bedragen, terwijl de aflossingen met 50 % agio zouden plaats vinden, doch waarin over de wijze van aflossen geheel werd gezwegen. „Wanneer eens iemand", aldus de heer Van Gijn, „een leening uitgaf, en in den prospectus zeide: de rente is zoowat, 5,5 h 6 %, of wel de koers van uitgifte is zoowat 90 a 100 %, dan zoude zulk een prospectus door geen commissinonnair aan zijn clientèle worden doorgezonden. Men 71 zoude terecht vragen om nauwkeurigel) gegevens, wijl anders de menschen niet willen inschrijven. Maar ligt een dergelijke vaagheid verscholen in de aflossingsregeling, dan schijnt zulks niemand te hinderen". De schrijver toont nu verder aan, dat de beide meest voorkomende wijzen van aflossing inderdaad leiden tot rentabiliteitspercentages, welke ongeveer 5 % verschillen, namelijk 5,57 % en ruim 6 %. Dit betoog is vooreerst merkwaardig, omdat de schrijver immuun is gebleken ten aanzien van de heerschende epidemie, om rentabiliteitsvraagstukken op te lossen met behulp van den levensduur, en voorts zeker in niet mindere mate, omdat hier, voor zoover wij konden nagaan, ten onzent voor het eerst in een openbaar geschrift door een niet-verzekeringswiskundige de actuarieele methode wordt gevolgd, welke wij thans trachten te propageeren. Niet, dat de heer Van Gijn gebruik maakt van de universeele notatie; maar hij past toch bijvoorbeeld nergens de sommatieformule van een reeks toe, stuurt daarentegen terstond aan op annuïteiten als op uit tafels bekende grootheden, en bezigt dezelfde korte redeneeringen als bij de universeele notatie tepas komen, al laat hij de formules weg. Men zou haast zeggen, dat de schrijver bij een actuaris ter schole is gegaan, en nu eën illustra- l) Een ander bewijs van gebrek aan nauwkeurigheid in gegevens is, dat in den prospectus van de Nederlandsche 45 % oorlogsleening 1916 als maximum aflossingstermijn 25 jaar is genoemd, terwijl volgens de gegarandeerde aflossingen dat maximum, zooals in § ga, is aangetoond, niet meer dan 21 jaar bedroeg. Vgl. P. van VOORST. De Nederlandsche oorlogsleeningen en haar rentabiliteit onderling vergeleken. (De Accountant. 1919. jg. 25 p. 9). Van Overeem. Leerboek IJl. 1. c. p '345— 346. Voor den prospectus zie Van Oss' Effectenboek. 1915—16. 1. c. II. Prosp. p. 165. 72 tie wilde geven van de in de slotparagraaf nader te bespre'ken stelling, dat de beteekenis van de gewijzigde universeele notatie voor de intrestrekening niet zoozeer ligt in den vorm, waarin men de symbolen schrijft, als wel in de keuze van de begrippen, welke men door symbolen uitdrukt. x) Met alle waardeering voor het bewuste betoog, dat zelfs te volgen is voor iemand, wien ook de eenvoudigste algebraïsche formule schrik inboezemt, geven wij hier toch boven letterlijke overname daarvan de voorkeur aan een eenigszins gewijzigde vertaling in formulevorm. Wij onderstellen dus nu eerst, dat de leening bij gelijke gedeelten wordt afgelost, en vervolgens, dat de aflossing geschiedt door middel van een annuïteit met dien verstande, dat aflossing, agio en intrest ieder jaar een even groot bedrag vormen. 12b. Aflossing met een zelfde bedrag per jaar. In § 8c hebben wij als algemeene koersformule afgeleid: x = i — (r — i) L, waarin de L de contante waarde voorstelde van de bedragen, waarover per eenheid van uitstaand kapitaal rente wordt betaald. Stelt men de contante waarde der aflossingen per eenheid van kapitaal voor door H, dan volgt uit de definitie van den koers als contante waarde van al hetgeen per eenheid van kapitaal aan aflossingen en rente genoten wordt terstond nog een andere algemeene koersformule, n.1.: x = H + iL. J) In casu b.v. de contante waarde eener dalende annuïteit. Voor het symbool (Da)ü zie men § 2 73 Bij leeningen, welker aflossingen met agio geschieden, verdient het gebruik van deze formule x) de voorkeur. Aangezien de aflossingen bij gelijke gedeelten geschieden, wordt bij een uitstaand kapitaal i jaarlijks een bedrag n-' afgelost. De contante waarde van een reeks aflossingen ter grootte i zou aïlr bedragen, zoodat: n a Vanwege de 50 % agio moet het rechterlid echter hier nog met 1,5 worden vermenigvuldigd. Voor L heeft men ingevolge § Sd: L = V (Da)Br. De waarden van de beide hier geldende grootheden H en L kunnen rechtstreeks uit bestaande tafels worden afgelezen a). De koersformule wordt bij uitgifte der leening k pari: I = 1,5 X + 0,05 , J ÓO -"ÓO Substitutie van r = 0,06 geeft: *) Door eliminatie van L uit beide formules vindt men als derde algemeene koersformule: x = -T+0-T-) H- Het is juist deze minst eenvoudige formule, welke men voor de afzonderlijke leeningstypen veelal in de leerboeken vindt gebezigd. Voor een overzicht van de bijzondere formules voor verschillende leeningstypen zie men Koers en Rente (Archief Verz. W. XI, 1910, p. 341); Beschouwingen over politieke rekenkunde (1. c. p. 82), en inzonderheid Het bepalen der contante waarde van effecten (De Verzekeringsbode. jg. 38, 1918—19, No. 6 en 7; p. 43—44 en 52—53). 3) Vgl. de noot in § 8d. 74 I < 1,0129, zoodat de reëele rente iets meer dan 6 % bedraagt. i2c. Aflossing met een annuïteit. Noemt men in het algemeen het agio per eenheid van kapitaal 1, dan wordt dus een schuld i terugbetaald met i + 1. De rente over dit bedrag is i, wat overeenkomt met een rentevoet p, bepaald door: p | rrr De jaarbetalingen aan rente, aflossing en agio voor de schuld i bij den rentevoet i zijn dezelfde als die aan rente en aflossing bij den rentevoet p voor de schuld i ■•+ 1, zoodat men voor de jaarbetaling A heeft: aaP Voor den koers geldt: x = Aaïlr, zoodat bij uitgifte der leening a pari de reëele rente r te vinden is uit: . = (.+1)^, «60 |p waarbij: 0,05 p = —- — 0,0a. i>5 De waarde van «göip kan nu rechtstreeks uit een rentetafel (Spitzer) worden afgelezen, zoodat men vindt: «6ülr = 17,20357, waaruit voor den reëelen rentevoet volgt 5,59 %. De interpolatie is hier geschied tusschen een rentevoet van 5,5 en 5,625%. Daar de heer Van Gijn op een reëelen rentevoet van 75 5,57 a 5,58 komt, is door hem vermoedelijk geïnterpoleerd in een tafel met grootere intervallen. Het verschil doet echter weinig ter zake, omdat in de boven sub b behandelde onderstelling door hem ook niet was nagegaan, hoeveel de rentevoet precies van 6 % afwijkt. Voor een nauwkeurige bepaling van den rentevoet in de gegeven contante waarde eener annuïteit met gegeven duur kan men wel, zooals de heer Van Gijn aan het slot van zijn artikel vermeldt, logarithmen gebruiken, doch men krijgt altijd een voor de practijk voldoende benadering door te interpoleeren in tafels met kleine intervallen van den rentevoet. Zoo geven Mürai, Werker *) en Oakes 2) tafels met intervallen van g; Spitzer 3) tafels met intervallen van ij en ^, waartusschen in dan nog zijn opgenomen tafels voor waarden van den rentevoet, overeenkomende met gebruikelijke waarden van den discontovoet. Arnaudeau 4) geeft tafels met intervallen van -fa, en MacKie5) zelfs met •jLj-. Oakes en Achard hebben afzonderlijke tafels voor bepaling van den rentevoet door interpolatie bij contante waarden van annuïteiten gepubliceerd. Die van Oakes 6) zijn ingericht op gewone interpolatie met intervallen van 3) Voor Murai zie § 15, voor Werker § 2. 2) W. H. Oakes, Table of compound interest. London. 1877. 3) S. Spitzer. Tabellen für die Zinses-Zinsen und BentenBechnung. Fünfte Auflage. K. Gerolds Sohn. Wien. 1911. ) A. Arnaudeau. Tables des intéréts composés, annuités et amortissements. Gauthier-Villars. Paris. 1906. 5) D. MacKie. Tables of compound interest and annuities. Edinburgh 1003. Deze tafel gaat slechts tot 3 %. 6) W. H. Oakes. Tables for finding the intermediate rates of interest between § and 10 percent in an annuity-certain. London. 1887. 6 76 die van Achard vereischen een bijzondere berekening-, waarop hier niet nader kan worden ingegaan *). §13. Waardebepaling met behulp van een nevensymbool. Als bij de koersbepalingen in de voorafgaande paragrafen uitsluitend hoofd-, en geen nevensymbolen gebezigd werden, dan vond dit niet zijn oorzaak in een opzettelijke keuze van de voorbeelden, maar in de omstandigheid, dat de praktijk van zelf veel minder aanleiding tot het gebruik van nevensymbolen geeft. In §§ 3 en 5 is gebleken, dat de slotwaarden van klimmende en de aanvangswaarden van dalende annuïteiten dubbelsommen zijn van de grootheden Snl en Ail, en aan de hand van § 6 kan men de formules voor die enkel- en dubbelsommen steeds terstond neerschrijven in den voor het gebruik van de gewoonlijk beschikbare tafels meest geschikten vorm. Ditzelfde geldt echter niet voor de aanvangswaarden van klimmende en de slotwaarden van dalende annuïteiten. Deze vereischen nog de afzonderlijke toepassing van de in § 6d aangegeven herleidingsformule. Hun gebruik, waartoe van zelf reeds minder vaak aanleiding bestaat dan tot dat van enkel- en dubbelsommen, dient daarom zooveel mogelijk te worden vermeden, en dit is dan ook de reden, dat wij de betrekkelijke symbolen nevensymbolen hebben genoemd. De oplossing van een intrestvraagstuk bestaat gewoon- x) Verbeterde tafels van Achard maken deel uit van het werk van Murai. Het Textbook I (1. c. p. 157—161) vermeldt enkele meerdere of nieuwere titels van tafels. Wij citeerden slechts geraadpleegde uitgaven. 77 lijk hieruit, dat men de gezochte waarde van een samengestelde grootheid öf rechtstreeks bepaalt voor een zeker tijdstip, óf wel, dat men langs twee wegen voor eenzelfde tijdstip de waarde bepaalt van een samengestelde grootheid, waarin de onbekende een rol speelt, en vervolgens de beide gevonden uitdrukkingen aan elkander gelijk stelt. Men kan de keuze van het tijdstip der waardebepaling nu altijd voorloopig zoo doen, dat men bij het optreden van klimmende annuïteiten te rekenen krijgt met slotwaarden, en bij het optreden van dalende annuïteiten met aanvangswaarden ; daarna kan dan zoo noodig de gezochte grootheid nog voor ieder gewenscht tijdstip worden omgerekend. In het volgende voorbeeld, dat aan de practijk is ontleend, heeft men echter een geval, waarbij het werken met aanvangswaarden het snelst tot het doel voert, ofschoon daarbij toch een klimmende annuïteit optreedt. Overigens zou men de nevensymbolen, ook al waren zij voor de practijk in het geheel niet noodig, toch niet kunnen missen voor een duidelijke uiteenzetting van de theorie. Een liefdadigheidsvereeniging kan zich een duurzaam gelijkblijvend jaarlijksch inkomen verwerven door van weldadige leden een kapitaal ter leen op te nemen onder verplichting, om jaarlijks i % van het kapitaal, en na n jaar het geheele restant schuld, af te lossen. Bij de aflossing wordt steeds 3 % enkelvoudige intrest vergoed over den geheelen duur, dien het afgeloste bedrag heeft uitgestaan. Het kapitaal wordt op een basis van 100/% belegd in onaflosbare stukken, terwijl wordt aangenomen, dat terstond na de belegging de rentestand tot ioor% daalt, en de koers der fondsen een daarmede overeenkomstige rijzing ondergaat. 7S Gevraagd wordt, over welk bedrag x de vereeniging jaarlijks kan beschikken in dier voege, dat na aflossing der schuld de haar resteerende fondsen haar een inkomen van hetzelfde bedrag x zullen doen blijven genieten. Wij stellen het geleende kapitaal op i. De daling van den rentestand van i op r peruun brengt de waarde van het kapitaal van i op i:r. De periodieke aflossingen vormen een n-jarige annuïteit van 0,01, waarvan de contante waarde bedraagt 0,01 aïlDe bij dit, en de verdere symbolen, behoorende rentevoet is steeds r. De rentebetalingen bedragen achtereenvolgens: 0,01 x 0,03 X I, 0,01 X 0,03 X 2, 0,01 x 0,03 x n. Zij vormen dus een n-jarige klimmende annuïteit van 0,0003, waarvan de contante waarde bedraagt 0,0003 (Ia)il. ' De eindaflossing is groot 1— 0,01 n, en bedraagt dus met inbegrip van de rente (1 — o,oin) (1 + o,o3n). De contante waarde hiervan is (1 — o,oin) (1 + X>,03n)Aïl. Aangezien de vereeniging over een duurzaam gelijkblijvend inkomen x krijgt te beschikken, moet de bovengenoemde kapitaalwaarde i:r, verminderd met de overige genoemde contante waarden, gelijk zijn aan een kapitaal, dat bij een rentevoet r een rente x afwerpt, dat is dus aan x : r, zoodat: ~- = ~ o,oi«a + 0,0003 (Ia)a — (1—o,oin)(i +o,03n)Aa, x = i—o,oiranl—o,ooo3r(Ia)nl—(i—o,om) (1 + o,03n)rAïlMet behulp van de in § 6 afgeleide betrekkingen: 79 (Ifl)51 = (n+i) aïl — (Da)ïl, n — aa (Da)n = JT— wordt dit: , x = i + 0,000311 — (0,0003 + o,oio3r + o,ooo3nr) ail — — (1—o,oin) (1 + o,03n)rASlDe grootte van x bij gegeven waarden van i,r en n laat zich hieruit met weinig moeite becijferen, terwijl men omgekeerd door het substitueeren van verschillende waarden van n ook gemakkelijk kan bepalen, hoe groot n genomen moet worden om een gewenschte grootte van x te verkrijgen. Geschiedt de daling van den rentestand niet plotseling, zooals hier werd aangenomen, doch geleidelijk, dan kunnen de renteoverschotten door de vereeniging aanvankelijk tegen een hoogeren rentevoet worden belegd, terwijl de koerswinst bij de gedeeltelijke realiseering van het kapitaal dezelfde blijft. De uitkomsten worden in dat meer waarschijnlijke geval dus gunstiger dan in het hier onderstelde. § 14. Het wezen der intrestrekening. Het belang van de herleidingsformules voor de intrestrekening hebben wij in § 6 voornamelijk gemotiveerd op grond van ontstentenis van voldoend volledige intresttafels. Wij maakten aldaar en in § 12c ook nog eenige andere opmerkingen over deze tafels, maar komen thans op dit onderwerp uitvoeriger terug, omdat hier naar onze meening het zwaartepunt van de intrestrekening ligt, en men daarop bij het onderwijs veelal niet voldoende den nadruk laat vallen. Volgens een nog veel voorkomende opvatting vormt de intrestrekening niet 'anders dan een onderdeel der 8o gewone algebra, een toepassing van de meetkundige reeksen. De oplossing van een vraagstuk geschiedt daarbij dan ook op volkomen dezelfde wijze als in de gewone algebra: er worden reeksen uitgeschreven; haar som wordt eerst met behulp der bekende sommatieformule in verkorten vorm gegoten, en daarna aan de hand van een logarithmentafel berekend, terwijl daarnevens dan wordt medegedeeld, dat van enkele dier sommen, en van de grootheden (i +i)n en (i +i) a zelf, de waarden uit tafels kunnen worden afgelezen. Deze methode heeft, zooal ooit, dan toch zeker in het handelsonderwijs, geen reden van bestaan. Zoo iets ingewikkelds als de sommatieformule van een meetkundige reeks komt op een goed geoutilleerd en onder deskundige leiding gesteld kantoor immers zoo goed als in het geheel niet voor, en een leeraar, die zijn discipelen de intrestrekening voor de practijk doceert als een toepassing van de theorie der reeksen, doet niet anders dan zijn natuurlijke neiging," om zijn leerlingen de toepassing der sommatieformules te onderwijzen, botvieren op een tak van handelstechniek, die daaraan in wezen volkomen vreemd is. Het wezen der intrestrekening is geen reeksenleer, maar tafelkunde. Duidelijk en volledig gestelde intrestvraagstukken tot oplossing brengen kan ten slotte een ieder, die over een goede dosis algebraïsche en cijferkunstige vaardigheid beschikt. En als bij het tegenwoordige standpunt van ons handelsonderwijs de intrestrekening zich dan toch als afzonderlijk leervak laat handhaven, dan is dit eensdeels omdat de bewuste algemeene vaardigheid bij den leerling, indien al eenigermate aanwezig, dan toch nooit zoo volmaakt geacht kan worden, dan dat zij door speciale oefening op 8i dit beperkte terrein niet nog voor aanzienlijke verbetering vatbaar zou wezen, en andersdeels omdat de vorm, waarin de intrestvraagstukken zich voordoen, en de eischen, die aan de oplossing worden gesteld, de behandeling" daarvan alleen mogelijk maken voor hen, die een kennis bezitten van intrestgebruiken en intrestgewoonten, zooals alleen door opzettelijke oefening op dit terrein kan worden verworven. Van een eigen methode is hierbij echter voor de intrestrekening nog volstrekt geen sprake. De meer doelbewuste intrestrekening volgens de actuarieele methode staat hier vrij scherp tegenover. Men zou deze in vier afdeelingen kunnen verdeden: een zuiver theoretische '), een toegepast theoretische 2), een technische en een practische3). De kern wordt hierbij gevormd door de technische afdeeling, die in hoofdzaak wordt ingenomen door het onderwerp intresttafels. Het vigeerende systeem, om aan een leerboek uittreksels van tafels van verschillende grootheden voor onderwijsdoeleinden toe te voegen, behoeft hierbij niet te worden afgekeurd, mits de uittreksels hun karakter als zoodanig behouden, dat is, mits zij niet langer zijn dan voor een demonstratie van de inrichting der tafels noodig is. Hoofdzaak moet echter zijn, dat men in een leerboek afdoende wordt ingelicht omtrent de bestaande tafelverzamelingen, en dat niet alleen wat hun titel en 1) Hiertoe behoort onder meer hetgeen boven behandeld is in de §§ 3—6. 2) Hiervan maken o.a. deel uit de §§ 7 en 8. Een splitsing der intrestrekening in een theoretisch en een toegepast gedeelte komt vóór in het in § 10 aangehaalde werk van Maingie. 3) Tot het practische gedeelte behoort niet alleen de uitwerking van getallenvoorbeelden, maar ook al hetgeen in de intrestrekening een zuiver usantieel karakter heeft, zooals het opstellen van een aflossingsplan, aflossing van een annuïteits-, leening bij ronde sommen van honderd, enz. 82 den aard van de tafels, maar ook wat de grenzen en de intervallen van den rentevoet, en wat de aantallen termijnen in iedere tafel betreft. Ook behoort in deze derde afdeeling voor te komen een bespreking van de wijze waarop de tafels worden vervaardigd, en zoonoodig van de tafels, die nog tot stand moeten komen, wil de intrestrekening haar taak naar behooren kunnen vervullen. Het is wel duidelijk, dat geen schrijver van een leerboek aan deze technische afdeeling een behoorlijken inhoud zal kunnen geven, als hij niet de geheele leerstof in alle richtingen grondig heeft doorgewerkt; maar wanneer hij eenmaal heeft aangegeven, welke grootheden bereids zijn getafleerd x) of naar zijne meening alsnog behooren te worden getafleerd, dan dient hij in de eerste en de tweede afdeeling van zijn werk ook niet meer voor het behandelen van intrestkwesties als normaal te beschouwen, de gewone algebraïsche methode, waarbij de tafels altijd den indruk maken van een tamelijk toevallige bate, maar dan moet hij er overal op aansturen om de oplossing van intrestvraagstukken steeds zonder omwegen in zoodanigen vorm te leeren geven, dat van de getafleerde waarden op de voordeeligste wijze partij getrokken kan worden. Zoo komen dan de intresttafels het zwaartepunt te vormen van de intrestrekening, en blijft deze niet langer gewone algebra, toegepast op kwesties van intrest, maar wordt zij een bijzondere algebra met eigen symbolen en een eigen doel: de algebra der getafleerde rente- en discontofuncties. ') Tafleeren in den zin van het Latijnsche tabulare gebruikt o.a. Adriaen Vlack in zijn vertaling van Napier's Rabdologia. •Vgl. E. de Decker. Eerste Deel van de Nieuwe Telkonst. Gouda. P. Rammaseyn. 1626. p. 17, 21. 83 §15. Detafelsvan Murai. De verzamelwerken van intresttafels, waarover men voor practiscH gebruik kan beschikken, voldoen over het algemeen aan de meest uiteenloopende eischen. Er is verschil in de soort der opgenomen tafels, verschil in aantal decimalen, waarin deze zijn uitgewerkt, verschil in het aantal termijnen, verschil in de grenzen, waartusschen men den rentevoet laat varieeren, en verschil in de intervallen van den rentevoet. Bedenkt men daarbij nu nog, dat meerdere van dergelijke verschillen niet alleen bestaan tusschen verschillende verzamelingen van tafels, maar dikwijls ook tusschen de onderscheidene tafels van eenzelfde verzameling, dan is het wel duidelijk, dat het volledig beschrijven van de voornaamste verzamelwerken in een kort bestek bezwaarlijk zou zijn. Een sterk verkorte beschrijving van een twintigtal werken vindt men echter in het hoofdstuk „IntrestTables" van het Textbook P), en hoewel men hier niet met het gelukkigste gedeelte van dit werk te doen heeft — meerdere titels hebbén betrekking op verouderde uitgaven, en er ontbreken belangrijke nieuwe — kunnen hieruit toch waardevolle gegevens op het gebied van intresttafels worden geput. Zoo kan men er wel met zekerheid uit opmaken, dat er geen Engelsche tafel bestaat, die zich met de beste vastelandsche kan meten; maar de onvolledigheid der beschrijving laat- aan den anderen kant weer dikwijls niet toe, om iedere tafel op haar juiste waarde te schatten. Van bijna alle tafels wordt, om een vborbeeld te noemen, het aantal decimalen opgegeven, maar juist ten aanzien van het volledigste werk, dat van Murai, is dit verzuimd! ') L- c. (1915) p. 157—161. 84 Het Textbook 1 staat geheel neutraal tegenover de verschillende boeken, en men kan ook niet ontkennen, dat ieder werk voor sommige gevallen wel eens bijzondere verdiensten zal hebben; doch de lezers' zouden er toch veel meer mede gebaat zijn geweest, wanneer men het uitvoerigste en volledigste verzamelwerk grondig had beschreven, en van de andere werken nimmer iets anders had vermeld, dan hetgeen in de aangenomen standaardtafel niet te vinden is. Als standaard dient men dan te nemen de Ztnseszinsen-, Einlage-, Renten- und Amortisations-Tabellen van H. Murai1), een boek, dat ten onzent niet de bekendheid geniet, welke het verdient, maar dit gebrek aan bekendheid toch ook grootendeels aan zichzelf heeft te wijten. De inleidende tekst van het boek is, ofschoon in Duitsch of Fransch gesteld, vrijwel ongenietbaar, de inhoudsopgave onduidelijk, en de inrichting voor hem, die volledige normale tafels verwacht, hier en daar zonderling en gevaarlijk. Het boek is dan ook slechts te gebruiken, wanneer men er vooraf een eigen inhoudsgave op vervaardigt. Al deze bezwaren doen echter aan de eigenlijke kern van het werk geen afbreuk. Wij willen hiervan thans een overzicht geven, doch laten daarbij de amortisatie- en andere bijzondere tabellen buitpn beschouwing. Murai's werk heeft vooreerst de deugd, dat het rente en disconto onder den naam Decursiv-Zins en Anticipativ-Zins op dezelfde lijn stelt. Van de tafel van iedere grootheid is *) Zweite, verbesserte und vermehrte Auflage. Verlag Arthur Murai. Budapest. 1910. De voorrede dezer tweede uitgave is gedateerd 1899. Het jaartal 1910 slaat dus vermoedelijk slechts op een lateren afdruk eener stereotyp-editie. Het Textbook I (1. c. p. 159) vermeldt een Fransche uitgave van 1901. «5 steeds zoowel de Decursiv-Tabelle als de Anticipativ-Tabeüe opgenomen, al is die opname somtijds meer naam dan werkelijkheid. Dat de correspondeerende rente- en diseontotafels niet door elkander heen gewerkt zijn, lijkt ons geen voordeel. Vooreerst wordt hierdoor het aantal verschillende tafels onnoodig verdubbeld, terwijl bovendien het interpoleeren op deze wijze wordt bemoeilijkt. Wanneer men de tafels door elkander werkt en boven iedere kolom zoowel den renteals den discontovoet plaatst1), dan zal bijvoorbeeld in een tafel van tusschen de kolommen voor de rentevoeten 3,75 en 4 een kolom komen te staan voor den rentevoet 3,895, correspondeerende met een discontovoet 3,75. Moet men dus tusschen de eerstgenoemde kolommen interpoleeten, dan zal men, door den discontokolom mede in rekening te brengen, het interval van 0,25 tot 0,105 01 t°t °,I45 terugbrengen, wat aan de nauwkeurigheid zeer ten goede komt. Staat in een dergelijk geval de discontokolom niet tusschen de rentekolommen in, dan wordt niet alleen het zoeken bezwaarlijker, maar ook de kans op fouten grooter. Alle tafels van Murai bevatten 10 decimalen. De rentevoet en de discontovoet loopen overal van 5 % tot 8 %, en -wel tot 3 % met intervallen van g, en verder met intervallen van Doordat het interval van g niet consequent werd gehandhaafd en 8 % als grens ook te laag is, zal men in de practijk naast de tafels van Murai enkele andere, b.v. die van Werker, niet kunnen ontberen. Het aantal termijnen bedraagt in den regel 100, voor % ') Bij tafel V Decursiv en tafel VI Anticipativ vindt men thans den correspondeerenden disconto-, respectievelijk rentevoet om andere redenen toch reeds anoniem aan den voet der bladzijden afgedrukt. 86 sommige tafels gaat dit echter tot 200. In dit laatste geval bedraagt het aantal termijnen steeds 200 voor een renteof discontovoet van £ tot 2%%, 150 voor 2|—4% en 100 voor 4^—8 %. Wij geven nu eerst den inhoud in de volgorde van de nummers der tafels, (welke niet overeenkomt met die der bladzijden), en voegen daaraan vervolgens nog eenige opmerkingen toe. ,T , 0 "*? Maximum Nummer der \ 'T, ° „ , j j Bladzijden. 2 § Symbool. aantal £ .ss termijnen. I Decurs. 1—33 i Sa 200 Antic. 34—56 d Sa 100 II Decurs. 57—78 i Aa 100 Antic. 79—100 d Aa ■ 100 III Decurs. i 101—133 i ja (en sa) 200 Antic. 134—156 d . jb (en sa) 100 IV Decurs. 157—178 i aH (en aa) 100 Antic. 179—200 d fla (en aa) 100 V Decurs. 201—222 i ss~1 100 Antic. 223—244 d .?a— 1 100 VI Decurs. 245—278 i <7a~1 200 Antic. 279—300 d ag—1 100 VII Decurs (V). 201—222 i aa—1 100 Antic. 301— 332 d ag-1 200 VIII Decurs (VI). 245—278 i sg—1 200 Antic. (VI). j 279^—300 d sg—1 100 Bij tafel I Decursiv bevat zoowel de linker- als de rech- 87 terzijde van iedere pagina een kolom voor het aangeven van het aantal termijnen; beide kolommen verschillen overal een eenheid. Dit hangt samen met het systeem van den schrijver om zijn tafels op afzonderlijke, op groen papier gedrukte, vóórpagina's antwoord te laten geven op verschillende vragen. Zoo zijn hier de hoofdvragen — er zijn er voor deze tafel alleen 8 — die naar de waarde van een thans op intrest uitgezette Mark aan het einde van het nde, respectievelijk het begin van het (n-i)ste jaar. Voor beantwoording der eerste vraag moet men dan de linker, voor die der tweede de rechter termijnenkolom bezigen. Het systeem is volstrekt af te keuren, omdat het te veel aanleiding tot het maken van fouten geeft. Wie gewoon is om de tafel als tafel van Snl te gebruiken en als zoodanig aan anderen in handen te geven, zal goed doen de rechterkolom door te halen. Tafel I Anticipativ en de beide tafels II hebben alleen linker termijnenkolommen. Bij tafel III Decursiv, de rentetafel van sil, treden ook weder ongelijke linker en rechter termijnenkolommen op, maar hier met iets meer reden van bestaan, in zooverre dit thans een hulpmiddel wordt om een tafel van sil te bezigen als tafel van sil. Het cijfer in de tafel zelf, dat te dien einde met i vermeerderd moet worden, is overal onderstreept. Hetv is te betreuren, dat de schrijver datzelfde stelsel ook niet in de termijnenkolommen heeft gevolgd en de beide kolommen aan elkander gelijk heeft gemaakt; men kon dan zeggen, dat de tafel van sil in een van sil overging, als men alle onderstreepte cijfers met i verhoogde. De kans op fouten was daardoor aanzienlijk geringer geworden dan thans, nu men 2 verschillende termijnenkolommen op eenzelfde bladzijde heeft, maar zij zou toch naar onze 88 meening in de dagelijksche practijk nog groot genoeg zijn gebleven om de uitgave van afzonderlijke tafels van sïl er» söl te rechtvaardigen. Tafel III Anticipativ, en de beide tafels IV hebben, evenals trouwens alle verdere tafels, alleen linkertermijnenkolommen. Waar tafel IV die is van ail, en dus wat de termijnenkolommen aangaat, een soortgelijke behandeling zou toelaten als die van sil, blijkt hieruit, dat Murai geer» rekening heeft gehouden met de wenschelijkheid voor het verzekeringsbedrijf om over een tafel van aïl te beschikken. Wij bezigen daartoe echter de tafel van aïl nog liever ongewijzigd, dan met het gevaarlijke hulpmiddel, zooals Murai ons dat hier wederom aan de hand zou hebben gedaan. De onderschriften bij de tafel V Decursiv en bij de beide tafels VI hebben geen betrekking op deze tafels zelf, doch op de daarmede samenhangende tafels VII Decursiv en VIII Decursiv en Anticipativ. De tafels VII bedoelen te zijn tafels vanaa—1. De rentetafels hiervan, welke in het verzekeringsbedrijf zeer veel gebruikt worden, zijn echter niet afzonderlijk afgedrukt, doch de schrijver steunt hierbij op de boven in § 7 aangegeven betrekking: aB-i - *a-1 + | Hij laat namelijk op iedere pagina van V Decursiv drukken: 5^* i VII Decursiv = V Decursiv plus d, waarbij dan d voor iedere kolom afzonderlijk wordt aangegeven. Aan tafel VII Anticipativ, de discontotafel van aa_*r viel een betere behandeling tebeurt. Deze is volledig afge- 89 drukt met het oog op het 'gebruik, dat in het hypotheekwezen gemaakt wordt van annuïteiten met voorafbetaalbaren intrest1). De beide tafels VIII, dat zijn die van sa_1 , zijn evenals die van VII Decursiv, slechts in embryonalen vorm aanwezig, namelijk als onderschriften onder de tafels VI, luidende : VIII Decursiv = VI Decursiv minus i, VIII Anticipativ = VI Anticipativ minus i, waarbij i wederom voor iedere kolom afzonderlijk wordt aangegeven. Murai bezigt hier de uit de zooeven vermelde formule door letterverwisseling terstond volgende betrekking: Sa-1 = <*m~l — i. Dat de schrijver aan deze methode de voorkeur heeft gegeven boven het volledig doen afdrukken der tafels, die hij toch in naam wel degelijk opneemt2), valt zeker evenzeer te betreuren als de omstandigheid, dat hij door gemis aan een behoorlijk teekenschrift zijn werk zoo moeilijk verstaanbaar heeft gemaakt; maar daar staat tegenover, dat Murai's tafels niet alleen de volledigste1 zijn op het terrein van den eigenlijken intrest, doch ook de eerste, die intrest en disconto vrijwel op voet van gelijkheid behandelen. Daarmede is niet gezegd, dat samengestelde intrest en samengesteld disconto in de toekomst ook beiden een "j Vgl. Annutteitsleeningen met achteraf of vooraf betaalbare aflossingen of rente. (Archief Verz. W. Dl. XVII, 1919, p. 299—303). 2) Op p. 332 wordt zelfs zonder eenige toelichting van tafel VII op tafel IX overgesprongen. Een verwijzing naar pp. 245 en 279 was hier voor sommige lezers niet overbodig geweest. '90 even belangrijke rol zullen gaan spelen noch ook, dat in iederen tak van finantieel bedrijf op den duur behoefte zal bestaan aan complete tafels van beiderlei soort. Afzonderlijke uitgaven van allerlei combinaties vah verschillende tafels in verschillende uitgebreidheid van aantal decimalen, intervallen en termijnen, en in verschillende wijdte van grenzen van rente- of discontovoet, zullen voor practisch gebruik- in sommige bedrijven handiger zijn dan een compleet verzamelwerk; maar als er eenmaal een groote standaardtafel bestaat, dan kan men door het vervaardigen van bloemlezingen daaruit gemakkelijk aan de behoeften van speciale bedrijven voldoen. De samenstelling van een groote standaardtafel, dat is de weg, dien het op den duur met de intrestrekening, welker wezen wij immers reeds tafelkunde noemden, uit moet. En waar wij hier over de moderniseering der intrestrekening schrijven, en dus ook dit verwijderde doel vóór oogen hebben, daar diende wel bijzondere aandacht te worden gewijd aan een boek, dat, ook wat het disconto betreft, een zoo belangrijke schrede in die richting heeft gedaan als het in velerlei opzicht voortreffelijke werk van Murai. § 16. De wegen der moderniseering. Het sfreven naar moderniseering der intrestrekening kan zich ten onzent hoofdzakelijk in drie banen bewegen. Men kan er vooreerst naar trachten om de Nederlandsche -leerboeken te brengen op het peil van de beste buitenlandsche, het Textbook 1 en het in § 10 genoemde werk *) Behalve in het hypotheekwezen, waar het disconto als vooraf betaalbare intrest optreedt, vindt de samengestelde discontorekening ook toepassing bij berekeningen over verlengbaar acceptcrediet. 9i van Maingie; niet om deze eenvoudig" te copieeren, maar om met behoud van datgene, waarin sommige Nederlandsche leerboeken op hun beurt weer boven de buitenlandsche uitmunten, in het officieele handelsonderwijs eens eindelijk de verbeteringen aangebracht te krijgen, die in sommige kringen reeds lang gemeengoed zijn geworden. Voorts kan men zich ook gedrongen voelen om het internationale peil van de wiskundige theorie van den intrest mede te helpen verhoogen, en zich beijveren om de resultaten daarvan ook in de leerboeken te doen opnemen. En eindelijk kan men als derde punt, waarop moderniseering der intrestrekening van noode is, datgene in het oog vatten, wat logisch misschien het eerste, maar practisch toch het laatste is, den grondslag van het onderricht. De helaas nog veel te weinig talrijke uitingen van verlangen, om de Nederlandsche leerboeken verbeterd te krijgen naar het voorbeeld van de beste buitenlandsche, kan men, kwesties als die over den levensduur van obligatiën en over dte intrestdefinities J) nu daargelaten, in het kort 1) Vgl. de op één na laatste noot in § i. De tegenstand, welke de opvatting van den heer Van Overeem over de splitsing tusschen enkelvoudigen en samengestelden intrest reeds aanstonds van meerdere zijden — o.a. ook van de zijde van den heer De Jongh — heeft ondervonden, is oorzaak dat deze particuliere fout van den genoemden invloedrijken schrijver toch hier bezwaarlijk behandeld kan worden als een punt, ten aanzien waarvan ons geheele onderwijs moderniseering behoeft. Deze kwestie is ook uit een practisch oogpunt niet belangrijk genoeg om thans daarover in herhalingen te vervallen. Ook ten aanzien van dit onderwerp heeft de heer Van Overeem nog niet publiek gereageerd op de reeds 2 jaar geleden tegen zijn onjuiste standpunt ingebrachte bedenkingen, voorkomende in de artikelen, aangehaald in de zooeven genoemde noot 7 92 betitelen als de roep om de universeele notatie. Hierbij dient men echter te bedenken, dat in dit geval de nadruk minder valt op de wijze, waarop de symbolen preeies zijn ingericht, dan wel op het feit, dit men grootheden door bruikbare en onderling samenhangende symbolen voorstelt, en op de wijze, waarop men te dien einde een keuze onder de voorhanden grootheden heeft gedaan. Dat juist die keuze een zaak van zooveel gewicht is, kan men ook voor een ieder, die op dit speciale terrein geen ondervinding heeft, gemakkelijk aannemelijk maken, door hem den tijd zijner eerste kennismaking met de algebraïsche oplossing van vraagstukken te binnen te brengen. Wie herinnert zich uit die dagen niet de uiting, dat de oplossing van een vraagstuk feitelijk gevonden is, zoodra men maar weet wat men x moet stellen? De juiste keuze van x, daarin bestond gewoonlijk de geheele moeilijkheid ! Iets dergelijks heeft men ook in de actuarieele wetenschap. Wie aldaar de oplossing van een vraagstuk opzet zonder grondige kennis der universeele notatie, vervalt allicht in lange algebraïsche omzettingen en in noodelooze en schadelijke becijferingen, die hij zich door het gebruik der notatie volkomen blijkt te kunnen besparen. De notatie is dan ook niet alleen een middel om de uitvoerige gedaante, waarin men de oplossing van een vraagstuk gevonden heeft, achteraf tot een korteren vorm terug te brengen, zooals men haar ook wel ziet toepassen, maar voornamelijk het middel, om van te voren te weten, welke begrippen men bij het vraagstuk afzonderlijk in het oog moet vatten, om de oplossing terstond in enkele regels te kunnen neerschrijven. Hiermede is overigens niet gezegd, dat nu ook allen, 93 die een oppervlakkige bekendheid met de notatie bezitten, haar steeds op deze juiste wijze plegen te benutten. En aan den anderen kant is in § 12 het artikel Kans op winst bij uitloting van den heer Van Gijn genoemd als voorbeeld van een geschrift, waarin het essentieele nut van de toepassing der notatie tot uiting komt, zonder dat daarin ook maar een enkel symbool is te vinden. Dat wij in het bovenstaande de buitenlandsche litteratuur niet als uitsluitend richtsnoer voor de verbetering der Nederlandsche leerboeken hebben aanbevolen, vindt niet rechtstreeks zijn oorzaak in de omstandigheid, dat de in dit geschrift verwerkte beschouwingen over het verband van rente en disconto en over koersbepaling in de buitenlandsche leerboeken nog worden gemist; want wanneer onze Nederlandsche auteurs van leerboeken er zich steeds uitsluitend toe hadden bepaald, om uit de litteratuur datgene over te nemen, wat ook door opname in goede en moderne buitenlandsche werken als juist en belangrijk was erkend, dan zouden wij de laatste zijn om ons over die voorzichtige politiek te beklagen. Onze leerboeken zouden in dat geval immers bevrijd zijn gebleven van de opvattingen over den levensduur van obligatiën en over de scheiding tusschen enkelvoudigen en samengestelden intrest, die wij boven *) reeds als onjuist signaleerden, de eerste een elders reeds lang ondeugdelijk gebleken, maar in onze litteratuur opnieuw met zorg gecultiveerd importgewas, de laatste een wilde plant van Nederlandschen oorsprong. Neen, de buitenlandsche leerboeken voorbij te streven, J) In de §§ 1 en 10, en in den aanvang van de onderwerpelijke paragraaf. 94 dat behoeven wij in het algemeen van ons onderwijs niet te verlangen. Maar als wij het dan toch zouden betreuren, dat het buitenland in deze zonder meer werd nagevolgd, dan zou dat zijn, omdat daardoor in ons land de universeele notatie in de intrestrekening zou worden gepopulariseerd in een vorm, die wij juist van ons land uit op het eerstvolgende actuarieele congres, dat daarvoor gelegenheid biedt, in den geest van § 2 zullen trachten gewijzigd en aangevuld te krijgen. En, ook al mocht het voorlooprg niet gelukken om op dit punt een gunstige officieele beschikking te verkrijgen, dan zullen toch in Nederland de wenschelijke wijziging en aanvullingen allicht reeds thans niet zonder toepassing blijven, en zou een handelsonderwijs, dat daarvan geen notitie nam, toch weder een dergelijke kloof openhouden tusschen zich zelf en het actuarieele onderricht, als wij door middel van dit geschrift willen trachten te helpen dempen. Als derde punt, dat bij moderniseering der intrestrekening ter sprake moest komen, noemden wij eindelijk den grondslag van het onderricht. Knappers Leerboek van het Handelsrekenenl) heeft zich gedurende het leven van den schrijver steeds op het standpunt gesteld, dat de studie van dit leervak in den regel zou worden aangevangen door personen, die onvoldoende bedreven waren in de gewone rekenkunde, en in den aanvang van het Leerboek daarin eerst afzonderlijk onderweien moesten worden. Daardoor vertoonen de uitgaven van dit boek uit het eerste gedeelte van de twintigste eeuw nog een groote gelijkenis met de werken over rekenkunde uit l) Volledige titelopgaven van de hier aangehaalde werken zijn te vinden in de noten van § 1. 95 de i6de en i7de eeuw als die van Stevin en Coutereels, waarin het koopmansrekenen zulk een groote rol vervulde. Kennis van algebra werd, uitgezonderd voor het lezen van enkele noten, bij Knapper niet vereischt, en zelfs de regel van drieën werd steeds getrouw in eere gehouden. Met dit stelsel werd gebroken, toen na Knapper's dood de heer Q. de Bruijn de bewerking van den elfden druk op zich nam, welke in 1918 verscheen. Hierin werden de gewone rekenkunde en de beginselen der algebra bekend ondersteld, zonder dat hier ten aanzien van die kennis een scherpe grens werd getrokken. Ditzelfde standpunt had de heer Van Overeem bij de eerste uitgave van het eerste deel van zijn Leerboek van het Handelsrekenen l)'m 1912 reeds terstond ingenomen, en zijn boek is het ongetwijfeld geweest, dat op dit punt den toon heeft aangegeven. Hoewel voor de lezing hiervan meerdere algebraïsche bedrevenheid wordt vereischt dan voor die van De Bruijn's uitgaven van Knapper, komen beiden toch hierin overeen, dat zij in hoofdzaak bedoelen te zijn leerboeken van handelstechniek. Daarom valt het moeilijk, om aan die boeken uit een wiskundig oogpunt denzelfden maatstaf aan te leggen als aan een leerboek van de wiskundige theorie van den intrest, en leenen zij zich als uitgangspunt voor een bespreking van den wiskundigen grondslag van het onderricht niet zoo goed als het groote leerboek van den heer J. G. de Jongh, dat veel meer mathematisch van opzet is. De hoofdtitel van dit boek: Algemeene rekenkunde en hare toepassingen op handel en bedrijfJ), vrijwaart het op het *) Zie de vorige noot. 96 eerste gezicht voor sommige bedenkingen, welke men er anders terstond tegen zou willen inbrengen; warjt- wie zegt algemeene rekenkunde te onderwijzen, en daarnaast de toepassingen, verbindt zich nog geenszins om zich bij zijn theoretisch onderwijs tot datgene te beperken, wat achteraf voor de toepassingen van belang zal blijken. De ondertitel van het eerste deel geeft echter al dadelijk aan. dat deze restrictie toch niet in de bedoeling van den schrijver heeft gelegen. Die ondertitel luidt namelijk : Reeksen, logarithmen, haar gebruik bij de arbitrage en de berekeningen bij het beleggen van kapitalen en het verstrekken van credieten. De arbitrage laten wij buiten beschouwing, maar overigens geeft deze ondertitel precies de in onze oogen volkomen onjuisten wiskundigen grondslag weer, waarop het tegenwoordige onderricht in de intrestrekening berust. Het is onwaar, dat reeksen en logarithmen worden gebruikt, of althans behooren te worden gebruikt, bij het beleggen van kapitalen en het verstrekken van credieten. Het is onwaar, dat zij de aangewezen grondslagen vormen voor een doelmatige theorie van intrest en disconto. Wie deze stelling zou willen tegenspreken, dient overigens niet over het hoofd te zien, dat wij de continue methode hier geheel ter zijde laten, en ons dus, evenals de Nederlandsche leerboeken, beperken tot de discrete intrestrekening, dat is de intrestrekening met eindige tijdsintervallen. Ook ontkennen wij niet, dat er hier of daar wel eens een enkele zeldzame en opzich zelf staande kwestie te bedenken kan zijn, waarbij de hulp van logarithmen 1) x) Vgl. Verdubbeling van kapitaal. (Archief Verz. W. Dl. XIV, 1915, p. 129—133). 97 of van reeksen onmisbaar is. En eindelijk zou men wel kunnen zeggen, dat een reeks haar karakter als zoodanig niet verliest, wanneer men de termen eenvoudig bij elkander optelt, in plaats van hun som te bepalen door middel van een sommatieformule; maar het is toch alleen dit laatste, waarop men ten aanzien van de intrestrekening doelt, wanneer men haar een toepassing van de reeksenleer noemt. „* <« yZ>?ii De rente- en discontofuncties buiten Snl en AjH zijn allen meetkundige reeksen, doch de behandeling daarvan met behulp van sommatieformules en logarithmentafels is geen specifieke intrestrekening, maar gewone algebra Dit komt in de practische intrestrekening dan ook niet voor. Het doel der intrestrekening is juist om de voor de practijk te lastige algebraïsche methode overbodig te maken ; het middel, dat zij daartoe bezigt, zijn de intresttafels. Het onderwijs in de intrestrekening behoort dan ook uit te gaan van de gedachte, dat men in de practijk over volledige intresttafels beschikt. Volledig ook in dien zin, dat de intervallen van den rentevoet klein genoeg zijn om onbekende exponenten met voldoende nauwkeurigheid door lineaire interpolatie uit die tafels te bepalen. Welke rol zou men dan aan de logarithmen nog kunnen toebedeelen? Die van hulpmiddel bij de vermenigvuldiging van twee groote getallen? Maar dat is primo niets essentieels voor de intrestrekening, en secundo zal men in de practijk die becijferingen een enkele maal wel uit de hand of met een reken-1tafel, doch in den regel met behulp van een rekenmachine, en niet met een logarithmentafel, uitvoeren. Een tegenwerping, die thans nog voor de hand zou liggen, is, dat kennis van reeksen en logarithmen dan ten 98 slotte nog noodig blijft voor de vervaardiging van die intresttafels. Maar ook dat betwisten wij, tenminste voor .de tafels der toekomst. Wat de reeksen aangaat hebben wij in § 14 reeds opgemerkt, dat men de tafels van enkel- en dubbelsommen niet het gemakkelijkst vervaardigt met behulp van een sommatieformule, maar door gewone optelling. En wil men bijvoorbeeld bij het vervaardigen van een tafel van aïl als controlemiddel toch gebruik maken van de formule: dan behoeft men in de intrestrekening hierin geen sommatieformule te zien, maar een gevolg van de omstandigheid, dat het verschil der contante waarden 1 en Aöl van een heden en een over n jaar betaalbare eenheid van kapitaal gelijk is aan de contante waarde van den intrest, dat is aan iaöi. Wat in de tweede plaats de logarithmen betreft, is het zeker waar, dat een tafel van (i + i)n en van (1—d)n, en tafels van reciproke waarden der verschillende grootheden, voor een klein aantal decimalen het snelst logarithmisch berekend kunnen worden. Maar dat argument legt geen gewicht in de schaal; want voor berekeningen betreffende groote leeningen zijn tafels met een klein aantal decimalen onvoldoende, iets wat bijvoorbeeld Murai reeds aanleiding gaf om tafels in 10 decimalen te publiceeren. Voor de samenstelling van tafels met een groot aantal decimalen kan men echter de logarithmen niet, en althans niet met voordeel *) gebruiken, gezwegen nog van het voor dergelijk *) De rechtstreeksche berekening van een tafel van Sil of Aü verloopt snel, wanneer men geen tiendeelige, maar gewone breuken bezigt. 99 serieus werk niet zoo geringe bezwaar, dat de groote logarithmentafels geenszins vrij van fouten zijn. Gegeven echter het feit, dat er groote en betrouwbare intresttafels moeten bestaan, en dat deze niet logarithmisch zijn berekend, heeft het geen zin meer om over de logarithmische berekening van kleine tafels te spreken, want men zal deze in de toekomst dan toch wel steeds vervaardigen door afronding van de groote tafels, waaraan geen logarithmen te pas zijn gekomen. De voornaamste oorzaak van het feit, dat men reeksenleer en logarithmen nog steeds als de grondslagen voor het onderwijs in de intrestrekening beschouwt, is ongetwijfeld daarin gelegen, dat men het onderwijs te veel inricht naar de. wiskundige behoeften van de leeraren, en te weinig naar de anti-wiskundige behoeften van de practijk. Een duidelijk bewijs daarvan vindt men in de wijze, waarop in De Jongh's leerboek het bepalen van grootheden als Sïl en Aïl wordt besproken. „Voor de practische berekening", aldus deze schrijver1) ,,(.) bestaan drie manieren : a) met behulp van logarithmen; b) met behulp van tafels; c) zonder hulpmiddelen." De bereKening met logarithmen staat als het normale geval voorop. De bepaling met behulp van tafels wordt voor Sïl ingeleid met de woorden2): „Wij hebben voor het gemak bij dit werk tafels gevoegd, die voor zekere waarden van n en p ( = iooi) dadelijk aangeven de waarde Z ' (■ \ •&)"•■ l) L. c. I. (Ed. 1906 en ed. 1915) p. 102—103. ') Ibidem. 100 De tafels vormen hier dus niet de kern der intrestrekening, maar een belang van de tweede orde, iets>voor het gemak. Daarna volgt dan de berekening zonder tafels met behulp van het binomium van Newton, een aan Knappers Leerboek ontleende operatie, waarvan de practische onbruikbaarheid vooral bij de negatieve machten van n (§ 91) duidelijk aan het licht treedt. Misschien zou iemand het feit, dat deze drie methoden werkelijk drie manieren voor de practische berekening worden genoemd, nog willen verdedigen met een beroep hierop, dat de eerste gekend dient te worden voor het geval men niet over een intrest-, doch wel over een logarithmentafel, en de derde voor het geval men over geen enkele tafel beschikt. Maar laat men dan toch niet vergeten, dat de intrestrekening een rekentechniek is. En in welke andere techniek zou men het durven bestaan om zijn onderwijs te baseeren op ontoereikende instrumenten? Leert men soms den metselaar, dat er voor de practische uitvoering van een metselwerk drie methoden zijn, en wel: a) met behulp van een pollepel; b) met behulp van een troffel; c) zonder hulpmiddelen? Onderricht men hem eerst grondig in het metselen met den pollepel, en zegt men hem dan daarna, dat er bij het metselen soms ook wel eens een troffel wordt gebruikt voor het gemak? Tracht men hem ook te overtuigen, dat het nut heeft om bovendien nog zonder hulpmiddelen te kunnen metselen, en dat hij dus alle drie die manieren behoort te verstaan, opdat, wanneer hij zonder troffel op het werk komt, hij in een naburig huis een pollepel kan gaan leenen (methode a), of anders de kalk met de holle hand IOI uit de bak zal kunnen scheppen en met de vingers over de steenen zal kunnen strijken (methode c) J Neen, bij de techniek van steenen en kalk wacht men er zich wel voor om de leerlingen met onnoodige moeilijkheden lastig te vallen; maar in de techniek van den intrest legt men hen struikelblokken in den weg in den vorm van wiskundige bewerkingen, die vreemd zijn aan het wezen der zaak, en die datgene vertroebelen, waar het den renterekenaar tenslotte om te doen is. De gevolgen van die onjuiste handelwijze lieten dan ook niet op zich wachten. De intrestrekening verheugt zich ten onzent in een volmaakte impopulariteit. Noodgedwongen wordt zij voor examens wel naarstig beoefend, maar ook aan velen van hen, die een diploma behaalden, staan de handen voor een juiste en doelmatige toepassing in de practijk volkomen verkeerd. Daaraan immers kan het alleen maar te wijten zijn, dat er zelfs bij hen, die in den effectenhandel hun middel van bestaan moeten vinden, naar de woorden van een man als Van Gijn *): „zulk een „minachting bestaat voor elementen van de waarde, welke ,,met een annuïteitentafel en een beetje nadenken te herrekenen zijn, als men tenminste daaromtrent even be,,hoorlijke gegevens ontvangt als omtrent koers van uit„gifte en bedrag der coupons." De geringe animo, welke de handel aan den dag legt voor een exacte behandeling van koers- en rentabiliteitsvraagstukken berust naast andere oorzaken zeker goeddeels op een tekort aan kennis bij hen, die hier als adviseurs konden optreden. Niet aan kennis van foutieve of omslachtige examenmethodes, die voor de meeste ge- ') Kans op winst bij uitloting. Zie § .12. 102 examineerden" zulke weinig aangename herinneringen achterlieten, dat men in de practijk voor de toepassing veelal terugdeinst; maar aan kennis van de methode „welke met een annuïteitentafel en een beetje nadenken" tot bruikbare resultaten voert; de methode die men, naar het door den heer Van Gijn gegeven voorbeeld, veelal zelfs zal kunnen toepassen zonder kennis van formules en zonder eenige wiskundige opleiding te hebben genoten; de methode eindelijk, die in de actuarieele wetenschap in beginsel reeds lang in zwang is, ook waar zij de intrestrekening behandelt, maar waarvan men 'ten onzent de voordeden aan den handel tot dusverre nog steeds heeft meenen te moeten onthouden. § 17. Stellingen. L Het handelsonderwijs in de intrestrekening behoort van het actuarieele onderwijs in dit leervak het gebruik van de universeele notatie over te nemen. II. In de universeele notatie behoort het symbool s te worden vervangen door s. Verder dienen overeenkomstig de bestaande symbolen als nieuwe symbolen te worden ingevoerd Ai], Sil, D en f. III. De universeele notatie is in naam slechts een bepaalde 103 schrijfwijze, maar haar juiste gebruik vertegenwoordigt inderdaad een eigen methode. IV. 'Intreistrekening en discontorekening behooren theoretisch volkomen op voet van gelijkheid te worden behandeld. V. In het vocabulaire der intrestrekening dienen naast oprenten te worden opgenomen de woorden afrenten, opdisconteeren en afdisconteeren, en naast percent en percentage de woorden peruun en perunage. VI. Voor een uiteenzetting van de geheele intrest- en discontorekening make men gebruik van het dualistische verband, dat onvolledig bestaat tusschen de oprentings- en de afrentingsgrootheden, en eveneens tusschen de afdisconteerings- en opdisconteeringsgrootheden, en volledig tusschen de oprentings- en afdisconteeringsgrootheden, en eveneens tusschen de afrentings- en opdisconteeringsgrootheden. VII. Vooral in het voor de practijk zoo belangrijke hoofdstuk „Koersbepaling" brengt een oordeelkundig gebruik der universeele notatie aanzienlijke vereenvoudiging te weeg. 104 VIII. C'est une erreur grossière et pourtant assez commune de croire que la vie moyenne et la vie probable d'une obligation puissent servier a la détermination de son prix. Seule la vie mathêmatique est fonction de ce prix. (Charlon, Maingie). IX. Logarithmen en sommatieformules van reeksen spelen in de intrestrekening geen rol. X. .Het wezen der intrestrekening is tafelkunde. XI. De tafels van Murai zijn de eenige, welke in beginsel als bijna volledig kunnen worden beschouwd. XII. Het tegenwoordige handelsonderwijs in de intrestrekening is ingericht op de wiskundige behoeften van de leeraren, maar niet op de anti-wiskundige behoeften van de practijk. REGISTER. A 74. Aa '4—35, 55, 56, 76—79, 86, 97—99, I02aa en aa 14—56, 66—69, 73, 74, 78, 79, 85—89, 98. Aangehaalde geschriften 2. Aanvangswaarde 14—31, 76, 77. Acceptcrediet 90. Accountant 7, 10, 57, 58, 65, 71. Achard 75, 76. Achteraf betaalbaar 23, 89. Actuarieele 3, 5, 41, 71, 81, 92, 94, 102. Actuaris 3, 5, 9, 13, 14,59,64,71. Afdisconteeren 1, 17, 26—31, 103. Aflossing 2, 36—57, 61, 66—81, 89. Aflossingsbest. 36, 37, 48, 68. Aflossingsplan 81. Aflossingstermijn 50, 71. Afrenten 1, 17, 20—26,33,38,40, 41, 45, i°3Agioleening 2, 40, 70—76. Algebra 6, 41, 72, 80, 82, 92, 95, 97. Algem. Maatregel v. Best. 4, 5. Amortisation 84. Amortissement 75. Amsterdamsch Effectenblad 53. Anleihen 52. Annuitatenrechnung 12. Annuiteit 2. 7. 8. ia— e8 71 78 Annuiteitenleer 7. Annuiteitentafel zie Tafel. Annuiteitsleenin? 1. 2. -ïs—it. 66 68. ia 81 80. Anticipativ 84—89. Applications 63. Arbitrage 96. Arch. Verz. Wet. 8. ia. 17. ai c2 73, 89, 96. Arnaudeau 75. Baerlöcher 52. Banquier 61, 65. Belasting 48, 57, 65. Belgische 63—65. Belegging 10, 50, 53, 77, 96. Berenten 16. Beschouwingen 8, 14 15, 21, 23, 31, 41, 43, 73Beschouwingswijze 41. io6 Besluit (Kon.) 4, 5. Beurskoers z. Koerslijst. Bloemlezing 90. Boekh. 5, 7, 12, 41, 46,47,58,65. Breuken 98. Bruxelles 64. de Bruyn 9, 95. Budapest 12, 84. Buitenland 13, 90—94. Charlon 52, 59—63, 104. Comrautatie 3. Congres 3, 14, 15, 94. Constante 37, 52. Contante waarde 14, 18, 27,34—73, 98. Continue methode 96. Controle 37. Conversie 44, 45. Coupon 50—56, 66, 101. Coupure 53, 54. Coutereels 95. Credietovereenkomst 23, 96. Cursieve symbolen 14, 15. D 15, 20—35, 43—47, 68, 73, 79, 102. d 16, 17, 23—31, 37, 86, 88. Dalende ann. 15, 20—33 43, 72, 76, 77- Decimalen 32, 47, 83, 85, 90, 98. de Decker 82. Decursiv 84—89. Diminishing 15. Disconteeren 16, 17, 24. Disconto 14, 17, 18, 24—31,84—90, 96. Discontogrooth. 1, 17, 18, 25—33; z. o. Tafel. Discontorekening 1, 23—32, 103. Discontovoet 1, 11, 16,17,25—32, 75- 85, 90. Discrete interestrek. 96. Donker 66—70. Dualiteit 1, 14,18,22—26,30—34, 103. Duhbelsom 19, 22, 30, 32,35, 76, 98. Duitsch 84. Du Saar 7. Dwaling v. d. levensd. 2, 57—70, 104. Econ. Stat. Ber. 66, 70. Eeuwigdurende rente 42. Effecten 73, 101. Effectenblad 53. Effectenboek 66, 71. Einlage 84. Engelsche 3, 9, 13, 83. Enkelsom 22, 30, 32, 35, 37, 76, 98. Enkelv. intr. 8, 77, 91, 93. Erreur 63, 104. Examen 5, 7, 8, 58, 65, 101, 102. Financier 61. Financières 52, 60, 61. Financiewezen 11, 12. Fonds 53—57, 66—72, 77, 78. Fout 8, io, 49, 58—60, 64, 85, 87, 91, 99, 101, 104. Fractie 51. Fransch 2, 65, 70, 84. Functie 14, 62, 63, 82, 97. Gebroken tijdseenh. 49, 51, 52. 107 Geconverteerde 2, 39, 44, 45, 51. Geforceerde verkoop 69. Geklommen waarde 14, 18, 27, 34. Gemiddelde rente 38. Geschriften 2, 13. Gewijzigde univ. not. 15, 72, 94. Grenzen 82, 83, 85, 90. Grondformules 14, 41. Grondslag z. Onderwijs. v. Gijn 70, 71, 74, 75, 93, 101, 102. H 72. v. Haaften (geschr.) 2, 3, 8, 14, 15, 17. 21, 23, 31, 41, 43, 46, 52, 59. 72, 73, 89, 91, 96. Halfjaarl. betaling 44, 50—53, 66. Handbuch 52. Handel 9, 95, 102. Handelshoogeschool 9. Handelsonderwijs 1, 3, 6—8, 13, 58, 80, 91, 94, 102, 104. Handelsrekenen 5—9, 41 47, 59, 94. 95- Handelsschool 5. Handelswetenschap 6 — 8. Herleidingsformules I, 32—35, 43, 76, 79- Herziening 4, 5. Hollandsche Spoor 2, 66, 69. Hoofdsymbool 22—25, 30, 31, 76. Hoogere Burgerschool 5. Hoogleeraar 9, 64. Hulpmiddelen 99, 100. Hypotheek 12, 23, 89, 90. H. IJ. S. M. z. Hollandsche Spoor. I 14, 19—35, 78, 79- i 16—51, 72—80, 86—89. Increasing 14. Inhoud 1, 84, 86. Institute 13. Intérêt 63, 75. Liter mediale rate 75. Internat. 3, 10, 11, 13, 63, 91. Interpolatie 74, 75, 85, 97. Interval 75, 82—85, 90, 96, 97. Intrest 11, 23—25, 34, 75, 96. Intr. vraagst 76, 80—82. Intresttafel z. Tafel. Invaliditeitswet 4. Jaarbetaling 55, 56, 68, 74. de Jongh 9, 41, 91, 95, 99. k 46. Kans 11, 66, 70, 93, 101. Kanswaarde 59. Kapitaal 38, 54, 55, 77—79, 96. Klimmende ann. 14, 19, 21, 29, 30, 33, 76-78. Knapper 9, 94, 95, 100. Koers 38—42, 46, 53—65, 77. Koers en rente 41, 73. Koersbep. 1, 38—79, 93, 103. Koersform. 41—47, 51, 61, 62, 72, 73- Koerslijst 53, 56, 57, 67—69. Koersvraagstuk 41, 62, 101. Koninklijk Besl. 4, 5. L 41, 42—47, 67, 68, 72, 73. Latijnsche 82. Leeftijd 60, 61. Leening 1, 2, 35—79, 98. Leeningsduur 2, 47—50, 54, 66—70. io8 Leeningsleer 41. Leeningstype 39, 42, 44, 46, 51, 67, 73- Leeningvraagstuk 41. Leeraar 12, 80, 99, 104. Lettertype 14, 18, 21—23, 26, 27, 3°, 3»- Letterverwisseling z. Verwisseling. Levensduur 2, 8, 57—71,91,93,104. Litteratuur 3, 7—13, 93. Logarithme 52, 75, 80, 96—104. Londen 3. Lijfrente 58, 59. Maandblad 7, 41, 46, 47, 58. Maatregel v. Bestuur 4, 5. MacKie 75. Maingie 63, 81, 91, 104. Marie 13, 61. Mathêmatique 52, 6o, 61, 64, 104. Methode 9—11, 41, 51, 58, 64, 66, 80—82, 89, 101, 102. Middelb. Boekh. 58, 65. Minister 4, 65, 70. Moderniseering 1, 2, 57, 60, 65. 90, 91, 94- Murai 2, 12, 75, 76, 84—90, 98, 104. n 16, 17, 26, 27. Napier 82. Nederland 2, 4, 13, 16, 47, 53, 57, 59, 65, 66, 71, 90—96. Nevensymbool 2, 22—25, 30—32, 35, 76—79- Newton 100. Nieuwe Telkonst 82. Nominaal kapitaal 38, 40. Nominale rente 38, 40, 41. Notatie 13, 16, z. o. Univ. not. Oakes 75. Obligatieleening 36. Obligatie 8, 38, 52, 57, 65, 91, 93. I04; z. o. Leening. Onderwijs 7, 9, 10, 58, 79, 81, 91, 94—99 ; z- o. HandelsondOnregelm. af). 2, 45—46, 54. Oorlogsleening 2, 47—58, 65, 71. Opdisconteeren 1, 17, 26 31, 103. Opérations 52, 60, 61. Oprenten 1, 16—26, 33, 103. Ontwerp 57, 65. v. Oss 66, 71. v. Overeem 6—9, 41,47—53,57 65, 71, 91, 95Pari 40, 41, 48, 70, 74. Percent 38, 49, 103. Percentage 18, 27, 39, 47, 103. Perpetueele rente 39, 42. Perunage 19, 27, 39, 47, 103. Peruuri 38, 49, 78, 103. Petersburg 15. . Polis 23. Polit. rekenk. 14, 15, 21, 23, 31, 4i, 43. 73- Practische 81, 99, 100. Practijk 61, 77, 99, 101—104. Pratique 61. Procent zie Percent. Proefschrift zie Polit. rekenk. Prospectus 70, 71. r 38. 109 Rabdologia 82. Rate 75. Rechnungswesen 12. Reciproke 32, 37, 98. Redacteur 7, 8. Reeks 71, 80, 96—99, 104. Reëele rente 38, 40, 41. Regel van drieën 4, 95. Rekenk. 94—96; z. 0. Polit. rekenk. Rekenmachine 97. Rekentafel 97. Rekentechniek 100. Rentabiliteit 2, 10, 47—79, 101. Rente 14, 18, 23—25, 41, 73, 89. Renteconstante 52. Rentefuncties 14, 82, 97. Rentegrooth. 1, 17—33; z. o. Tafels. Renteperioden 23, 24, 44, 50—53. Renterechnung 75. Rentestand 51, 52, 77—79. Rentevoet 1, 11, 16, 18, 25. Rentevraagstuk z. Intr. vr. Resultaten 2, 69, 91, 102. Richting v. d. tijd 22, 23, 31. Rotterdam 9. s.51, 52. sa 16—37. 76, 86, 87, 99, 102. sa en *a Hi 15, 18—37, 86—89, 102, du Saar 7. "sSfö5 Samengest. disc. 9, 14, 16, 23—31, 89, 90. Samengest. intr. 8, 9; 14—25, 89, 93. Schoolonderwijs 5 ; z. o. Onderw. Schram 7. Schrijfwijze 3, 5, 7, 11 12, 103; z. o. Notatie. Schrijver 2. Schuld zie Leening. Slotwaarde 14—30, 76, 77. Sommatie 21, 22, 29. 30, 34, 35, 43. 7i, 80, 97, 98. Sommatieteekens 18. Sommeerbaar 1, 21, 29, 35. Sommeeren 19, 20, 27, 28. Spaarverzekering 15. Spitzer 13, 43, 74, 75. Spoorwegambtenaar 12. S. S. zie Staatsspoor. Staatsspoor 2, 12, 68, 69. Standaardtafel 84, 90. Statistisch 11, 64, 66, 70. Stellingen 2, 102. Sterfte 15, 64. Stevin 95. Subst. resultaat 49. Sutton 13. Symbolen 1, 10—17, 22—25,30— 39. 72, 76, 78, 86, 92, 93, 102. Tabellen 60, 61, 69, 75, 84, 85. Table 52», 75, 83. Tabulare 82. Tafel 2, 9, 12, 18, 32, 33, 37, 43, 48—52, 68—90, 97—104. Tafelkunde 80, 90, 104. Tafieeren 82. Taxatie 69. Techniek 80—82, 95, 100, 101. Teekenschrift 5, 10, 11, 13, 14, 89; z. o. Notatie. 110 Telkonst 82. Telmachine 32. Termijnen 82—90. Textbook 13, 16, 52, 63, 76, 83, 84, 90. Theoretische !!, 81, 103. Théorie 52, 60, 63, 77, 91, 95' 96. Thoman 52. Tödhunter 13. Toegepaste 13, 81. Toepassingen 9, 95, 96, 102. Traité 61. Tijd 16, 17, 22, 23, 31, 96. Tijdseenh. 44, 51, 52. Tijdschr. 7; z. 0. Arch.; Maandbl.; Verz. Arch. en Accountant. Type z. Leenings- of Lettertype. Uitgest. ann. 55, 56. Uitloting 58, 59, 64, 66, 70, 93, 101. Univ. not. I—21, 71, 72, 92—94, 102, 103. Universiteit 14, 64. Utrecht 2, 14, 67, 69. V 33. Veranderl. ann. 7. Verbetering 5. Verdedigingsbelasting 48. Verdubbeling 96. Verm. aanwasbel. 57, 65. Versterkte afi. 48—50, 54, 55. Verwisseling 22, 23, 26, 31,37,89. Verzamelwerk 83, 84, 90. Verzekering 7, 15- Verz. archief 3, 52. Verz. bedrijf 11, 88. Verz. bode 7, 8, 41, 59, 73. Verz. instelling 5- Verz. wetensch. 8, 9; z. o. Archief. Verz. wezen 11. Verz. wiskunde 3—5, 7> 10—'5, 59, 64. Verz. wiskundige z. Actuaris. Vlacq 82. Vooraf z. vooruit. Voorschot 23. v. Voorst 57, 65, 71. Vooruit betaalb. rente 25, 89, 90; z. o. Anticipativ en Disconto. w 35- Waardebepaling 2, 76- Waardeverm. 16, 17- Wegen d. modernis. 2, 90—102. Werker 12, 75, 85. Wet 4, 57, 65. Wezen der intr.r. 2, 79—82, 100, 104. Winst 66, 70, 79, 93, 101. Wiskundige 12, 95, 99—104. Wisk. koers 38, 45, 58, 66, 69. Zeitrenten 12. Zins 12, 84. Zinseszins 52, 75, 84. DE MODERNISEERING DER INTRESTREKENING Jëftrex door ^ >'( j Dr. m. van haaften Wiskundig Adviseur der Hollandsche Sociëteit van Levensverzekeringen te Amsterdam. Vol Hardt En Waeckt Amsterdam VAN HOLKEMA & WARENDORF 1921. VOORREDE. Deze uitgave is, behoudens het register, een herdruk van een in December 1920 voltooide bijdrage voor het Jaarboekje 1921 van de Vereeniging voor Levensverzekering. De met toestemming der commissie van redactie ondernomen afzonderlijke publicatie geschiedt, teneinde den inhoud van het geschrift beter onder de aandacht te brengen van de onderwijskringen, die als zoodanig van de verzekeringslitteratuur geen kennis nemen. Eerst na het afdrukken werd mij bekend, dat de commissie, belast met het afnemen van het examen Middelbaar Boekhouden in 1920, in haar verslag, voorkomende in het bijvoegsel VR 42 bij de Staatscourant van 16 November 1920, aan haar opvolgster in overweging heeft gegeven om, ten einde de keuze van vraagstukken ruimer te maken, de candidaten voortaan op het schriftelijk examen een logarithmentafel en een rentetafel te laten medebrengen. Of ook hij, die onderschrijft, dat de logarithmen in de intrestrekening geen bijzondere rol vervullen, omdat aldaar onbekende exponentieele ,grootheden steeds met vol- INHOUD. Blz. § i. Handelsonderwijs en universeele notatie 3 § 2. De vastgestelde en de wenschelijke symbolen. 10 § 3. Rentegrootheden 18 a. De rentevoet 18 b. Oprentingsgrootheden 19 c. Afrentingsgrootheden 20 d. Niet sommeerbare grootheden 21 e. De dualiteit van op- en afrenten 22 § 4. De samengestelde discontorekening 23 § 5. Discontogrootheden 26 a. De discontovoet 26 b. Afdisconteeringsgrootheden 27 c. Opdisconteeringsgrootheden 28 d. Niet sommeerbare grootheden 29 e. De dualiteit van af- en opdisconteeren 30 § 6. Herleidingsformules 32 § 7. De gewone annuïteitsleening 35 § 8. Koersbepaling 38 a. Definities. Niet aflosbare leeningen 38 b. Gewone annuïteitsleeningen 39 c. Leeningen', die in eens worden afgelost 40 d. Leeningen, waarvan ieder jaar eenzelfde bedrag wordt afgelost 42 2 Blz. e. Geconverteerde annuïteitsleeningen 44 ƒ. Leeningen met onregelmatige aflossingen. 45 § 9. De rentabiliteit der Nederlandsche oorlogslee- ningen 47 a. Bepaling van den leeningsduur 47 b. De 5 % leening 1918 50 c. » De 45% leening 1917 53 d. De 4 % leening 1916 54 e. De 4^ % leening 1916 56 f. De 5 % leening 1914 57 § 10. De dwaling van den levensduur 57 § 11. Een drietal oudere Nederlandsche leeningen... 65 a. De 3 % leening H. IJ. S. M. 1888 66 De 35 % leening Utrecht 1906 67 c. De 3^% leening S. S. 1887 68 d. Vergelijking der resultaten 69 § 12. De Fransche agioleening 1920 70 a. Inleiding 70 b. Aflossing met eenzelfde bedrag per jaar... 72 c. Aflossing met een annuïteit 74 § 13. Waardebepaling met behulp van een nevensymbool 76 § 14. Het wezen der intrestrekening 79 §15. De tafels van Murai 83 § 16. De wegen der moderniseering 90 § 17. Stellingen 102 Register 105 Aangehaalde geschriften, waarbij geen auteur wordt vermeld, rijn van de hand van schrijver dezes. 3 § i. Handelsonderwijs en universeele notatie. De invoering eener universeele notatie in de verzekeringswiskunde, welke op het tweede internationale congres van actuarissen te Londen in 1898 heeft plaats gevonden, i is voor de ontwikkeling der actuarieele wetenschap een daad van groote beteekenis geweest. In de eerste plaats vormde immers het grondige onderzoek, waaraan men ter gelegenheid van het congres de verschillende tot dusverre gebruikelijke schrijfwijzen heeft onderworpen, een waarborg, dat de gekozen notatie werkelijk als de beste moest worden beschouwd »). Vervolgens bracht de omstandigheid, dat juist de Engelsche notati^ tot universeele werd geproclameerd, mede, dat voor allen, die nog niet in het gebruik van een bepaalde schrijfwijze waren vastgeroest, gemakkelijk toegankelijk gemaakt werd de omvangrijke en belangrijke litteratuur van de natie, die in de verzekeringswiskunde verreweg het meest heeft gepraesteerd. En eindelijk maakte de eenheid van schrijfwijze in de onderscheiden lande.1 het voortaan beter mogelijk, oh eenzelfde kwestie internationaal te bestudeeren, eenzelfde wetenschap door gezamenlijke kracht vooruit te brengen; beter mogelijk ook om in het eigen land partij te trekken van succesvollen arbeid, die in den vreemde was verricht. Een pleidooi voor de universeele notatie in de verzekenngswiskunde, als geheel genomen, behoeft dan ook niet meer te worden gevoerd. Zij heeft bijna over de geheele ) Voor litteratuur betreffende de universeele notatie zij verwezen naar Commvtatiekolommen en Commutatiéteekens (Het Verzekerings-Archief Jg. 1 i02o. p. 94—109) 4 linie gezegevierd en, al zal niemand een ander het recht kunnen betwisten om haar op goede gronden te verbeteren en aan te vullen, zoo drukt toch hij, die haar in zijn geschriften zonder nadere motiveering eenvoudig negeert, daarmede op zijn werk thans zoo ongeveer denzelfden stempel als de moderne schrijver, die zijn lezers oplossingen van ingewikkelde rekenkundige kwesties met behulp van den regel van drieën durft voor te zetten. Wat echter voor de verzekeringswiskunde als geheel kan worden gezegd, geldt ten onzent nog niet voor haar onderdeel, de intrestrekening; want in de verzekeringswiskunde is de universeele notatie reeds alleenheerscheres, maar in de intrestrekening moet zij haar krachben aan velen nog toonen. *) Alleen door den Nederlandschen wetgever wordt zij nog niet in haar waarde erkend, zooals blijkt uit het uitvoerige stuk, dat nog in het einde van 1919 door den Minister van Arbeid aan de Koningin ter teekening is voorgelegd, en dat tot titel heeft: „Besluit van den 28sten November 1919 (Staatsblad No. 791) tot herziening van het Koninklijk besluit van 14 Augustus 1919 (Staatsblad no. 538) tot vaststelling van een algemeenen maatregel van bestuur, als bedoeld in de artikelen 37, derde lid, 40, eerste lid a en b, 40, zesde lid, 41, vierde lid, 43, tweede lid, 50, 67, tweede lid, 87 in verband met artikel 409, 197, tweede lid, en 221, derde lid, der Invaliditeitswet." In dit Besluit tot herziening van een besluit tot vaststelling van een algemeenen maatregel, als bedoeld ene., zooals wij het stuk, met alle respect voor den volledigen titel, wel mogen noemen, geeft de juridisch opgeleide minister, die ongetwijfeld persoonlijk voor den samensteller daarvan moet worden gehouden, blijken v^n een voor een jurist zeer opmerkelijke kennis der verzekeringswiskunde. Doch als de auteur van het besluit, dat een besluit van nog slechts ruim drie maanden oud al moest her- 5 Niet toonen evenwel aan allen, die de intrestrekening bestudeeren of in toepassing brengen als onderdeel der actuarieele wetenschap. Zij houden haar allen voor onmisbaar in beginsel, zij het dan ook niet voor volmaakt in détails. De categorie van de hier bedoelde personen is echter uitermate klein in verhouding tot het aantal dergenen, voor wie de intrestrekening een der talrijke hoofdstukken vormt van de leerstof, die men met den verzamelnaam Handelsrekenen pleegt aan te duiden. Kennis van dit leervak wordt verlangd van alle leerlingen van Hoogere-Burgerscholen en van Handelsscholen; en bovendien wordt zij bijgebracht aan de duizenden, die zich ieder jaar buiten het schoolonderwijs om voorbereiden voor een of ander examen in het boekhouden. Daarentegen blijft de studie der verzekering'swiskunde in hoofdzaak beperkt tot een klein gedeelte van de hoogce en lagere ambtenaren onzer verzekeringsinstellingen, en van hen, die een dergelijke betrekking in de toekomst ambieeren of in het verleden hebben bekleed. De sterkteverhouding van de beide groepen, waarin men de belangstellenden in de intrestrekening kan verdeelen, is zeker met duizend tegen één nog geflatteerd, en indien het aantal leden van iedere groep te beslissen had over de te bezigen schrijfwijze, dan zou het er voor de universeele notatie op dit terrein verre van gunstig uitzien. Het lijdt echter niet den minsten twijfel, dat op den duur de thans zien, rekening wilde houden met het oordeel, dat alle buitenambtelijke verzekeringswiskundigen vellen over het door hem gebezigde teekenschrift, dan werden wij stellig terstond wederom verblijd met een Besluit tot verbetering van een besluit tot herziening van een besluit tot vaststelling van een algemeenen maatregel, als bedoeld enz. 6 zwakste partij den toon zal aangeven, mits zij zich slechts de moeite blijft getroosten om de deugdelijkheid van haar standpunt aan de nu nog overheerschende partij duidelijk te maken. Snel zal zij de overwinning wel niet behalen. Het eerste succes, dat zij kan verwachten, is, dat in de uitgebreidste leerboeken van het Handelsrekenen naast de thans nog uitsluitend gangbare gewone algebraïsche behandeling der intrestrekening mede eenige aandacht wordt besteed aan de behandeling met behulp van de universeele notatie *). Daarmede zal dan tenminste zijn bereikt, dat talrijke personen, die in ons land nog nooit van de universeele notatie hebben gehoord, beginnen te begrijpen, dat de lange algebraïsche formules, die zij tot dusverre bij hun renteberekeningen voor onvermijdelijk hebben aangezien, in de meeste gevallen vermeden kunnen worden. En op den duur zullen er dan wel steeds meerdere komen, die zich afvragen, welk, nut het heeft om de leerlingen in de handelswetenschap eerst de rentevraagstukken langs allerlei omwegen te leeren oplossen, om hep dan in een afzonderlijk hoofdstuk ncjg eens even te laten zien, hoe kostelijk kort die oplossing eigenlijk 'ook wel had kunnen geschieden; want de kracht van de notatie is niet, dat zij het mogelijk maakt om eenmaal behaalde resultaten in een korteren vorm te gieten, maar, zooals straks nader ter sprake komt, dat zij ons in staat stelt om de resultaten langs een veel korteren weg te vinden. *) De heer M. van Overeem,, die met zijn Leerboek van het Handelsrekenen (Utrecht, H. Honig), de richting van het Handelsonderwijs grootendeels beheerscht, koestert een dergelijk voornemen ten aanzien van den vierden druk van het eerste deel van zijn leerboek. 9 zich voornamelijk toegelegd op een snelle oogst van dikke leerboeken 1), in plaats van zich te wijden aan een intensieve bewerking van den grond, die haar vooral ook ter verbetering, en niet hoofdzakelijk als bron van inkomsten, was toevertrouwd. De verzekeringswetenschap heeft alle reden tot klagen, dat het product van het gemeenschappelijke land door de medepachtster in discrediet wordt gebracht, en het is dus haar eigen belang, om in haar litteratuur ons officieele onderwijs in de intrestrekening hard te vallen. , Misschien zou het beter zijn, om van eigen ongunstige opinie over anderer verouderde methode naar buiten niet te veel te doen blijken; want wie zijn de rechters, die in deze zullen beslissen? De kleine kring van goed onderlegde actuarissen is ongetwijfeld één in zijn oordeel. Zij weet 'ook, dat dit berust op grondige studie, mede van de Engelsche litteratuur, die door de wederpartij is verwaarloosd, en op een prac- ') Van Knapper's Leerboek van het Handelsrekenen (Arnhem ; J. Rinkes), dat in 1911 zijn negenden druk beleefde, verschenen nieuwe uitgaven in 1915, 1918 en 1920 (beide laatsten bewerkt door G. de Bruyn). Het eerste deel van het reeds genoemde werk van Van Overeem verscheen in 1912, en zag in 1916 en 1918 opnieuw het licht; het tweede deel heeft geen verband met de intrestrekening; het derde deel stamt uit 1915, met nieuwe drukken in 1917 en 1920. Van het boek, genaamd Algemeene rekenkunde, en hare toepassingen op handel en bedrijf, met tafels voor samengestelden intrest en samengesteld disconto, door J. G. de Jongh (Amsterdam. Uitgeversmaatschappij Elsevier), dat in 1906 in twee deelen uitkwam, ging het eerste deel in 1915 nog in bijna ongewijzigden vorm als tweede uitgave opnieuw ter perse. De schrijver is hoogleeraar aan de Handelshooge school te Rotterdam. Zie voor deze boeken de §§ 10 en 16. 10 tijk van beleggings- en rentabiliteitsproblemen, welke voor die van accountants niet onderdoet. Wat hun ontbreekt, is slechts invloed in onderwijskringen, en die zullen zij zeker niet krijgen, indien zij in de critiek van de door hen aangevochten leerboeken geen blijken van groote waardeering geven voor het vele goede, dat deze werken ongetwijfeld ook op intrestgebied bevatten. Maar het valt wel eens moeilijk, om den nieuwen druk van een boek telkens welwillend tegemoet te treden, wanneer artikelen, die ernstige bedenkingen tegen een vorigen druk in het midden brachten, eenvoudigweg onbeantwoord zijn gelaten, en dezelfde ongewenschte methoden en cardinale fouten telkens opnieuw aan de lezers Worden voortgezet. Zij, die gelooven, haasten voorzeker niet; en het. is een veiliger weg om langzaam aan proselieten te maken in de kringen van het onderwijs, dan om door een bittere polemiek een beslissing in. te roepen van rechters, waarvan meerderen zich toch in korten tijd geen grondig oordeel kunnen vormen over de zaak, waar het eigenlijk om gaat, en zich allicht meer zullen laten beïnvloeden door het gezag van een der partijen, dan door de motieven van den strijd. Maar aan den anderen kant is de veiligste weg in den strijd niet altijd de beste, en door voorzichtigheid alleen zijn nog maar zelden belangrijke verbeteringen tot stand gebracht. § 2. De vastgestelde en de wenschelijke symbolen. Het nut van een internationaal vastgesteld teekenschrift laat zich veel gemakkelijker aantoonen voor de eigenlijk gezegde verzekeringswiskunde dan voor de zuivere intrestrekening. In den ruimsten zin van het woord verstaat men onder verzekeringswiskunde alle takken der mathesis, i8 Hoe van deze omstandigheid partij kan worden getrokken bij het gebruik van intresttafels komt in § 15 nader ter sprake. Wij zullen de rentegrootheden nu eerst afzonderlijk bespreken, en vervolgens die bespreking door middel van de dualiteit van rente en disconto pasklaar maken voor de disconfogróotheden. Als wij het gebruik van sommatieteekens daarbij nalaten, dan is dit, om thans geen lezers af te schrikken, die het behandelde juist op die ééne uitzondering na gemakkelijk zouden kunnen volgen, doch geenszins, omdat wij van meening zouden zijn, dat de intrestrekening ook in andere gevallen steeds op die wijze het beste gediend is. §3. Rentegrootheden. 3 Sjjj, jïi = sn + S21 + + sa. Een aantal.n van zulke annuïteiten, met telkens een 1 jaar korteren looptijd, doch met samenvallende slotuitkeeringen, vormt tezamen een klimmende annuïteit, waarvan de uitkeeringen met 1 aanvangen, jaarlijks met 1 toenemen, en met n eindigen. Deze regelmatige klimming overeenkomstig § 2 met I aanduidende, vindt men *): (Is)il = si] + S2l + + sü, = «1 + tt! + + fü. ') De eerste fprmule laat zich met behulp van die voor s^ omzetten in: (Is)a = 1 Siijj + 2 Suq + + n S-5f. Iets dergelijks geldt voor de andere dubbelsommen. 20 Hierbij is: Sol = i, s n = sol = Soi = i) fïl = Sïl. 3c Afrentingsgrootheden. Bij de waarde, die een kapitaal i aan het slot van een tijdvak van n jaar heeft, behoort voor dat tijdvak tengevolge van den samengestelden intrest een aanvangswaarde, die wij Ail noemen, en waarvoor geldt: Aül = ( i + i )"n. Een aantal n van zulke kapitalen, met telkens een i jaar langeren looptijd, vormt een n-jarige annuïteit. De waarden van die annuïteit, onderscheidenlijk voor het tijdstip der eerste uitkeering, en voor een jaar vóór dat tijdstip, stellen wij voor door ail en ail. Deze waarden worden bepaald door de kapitalen stuk voor stuk naar de genoemde tijdstippen af te renten, en de uitkomsten te sommeeren. Men vindt: aü = Aöl + Aïl + + An.,1, ail = Aïi + Ail + + Ail. Een aantal n van zulke annuïteiten, met telkens een i jaar langeren looptijd, doch met samenvallende aanvangsuitkeeringen, vormt tezamen een dalende annuïteit, waarvan de uitkeeringen met i eindigen, jaarlijks met i afnemen, en met n beginnen. Deze regelmatige daling overeenkomstig § 2 met D aanduidende vindt nien: (Da)il = aïl + ail + + ail, (Da)ïl = aïl + ail + + «ïl. Hierbij is: Aöl = i, aïl = aöl = Aöl = 1 aïl = Aïl. 2 1 2& uit alinea 1—3 van 30* door toepassing van de genoemde verwisselingen. Alleen bij de definieerende formules voor Ail en Sil gaat deze verwisseling niet op, omdat daarin andere dan hoofd- of nevensymbolen voorkomen. Wil men in een dergelijke omstandigheid toch letterverwisseling toepassen zonder definitief op het symbool — d over te gaan, dan moet men gebruik maken van de in de volgende paragraaf te bespreken dualiteit van disconto en rente, en na de omzetting — d door middel van de aldaar vermelde formule weder in i uitdrukken 1). v) 4. De samengestelde discontorekening. Ten aanzien van credietovereenkomsten op langen termijn rekent men in den regel met een rente, welke telkens betaalbaar wordt geacht op het einde van een renteperiode. Somtijds echter rekent men o. a. bij hypotheken en bij voorschotten op polissen wel met een vooraf overeengekomen rente, betaalbaar aan het begin van iedere renteperiode. *) Vgl. Beschouwingen over politieke rekenkunde. 1. c. p. 22—23. 35 Sg — 1 sa = —j—. Sommatie van de beide formules, welke de enkelsommen öïl en sil in de grootheden Ail en Sil omzetten, geeft als correspondeerende herleidingsformules van de meest voorkomende dubbelsommen tot enkelsommen: (D*)B Ï fff d. De wijze, waarop in § %d de 4 grootheden zijn afgeleid, welke werden voorgesteld door wat wij noemden de nevensymbolen (Ds)il, (Df)ïl, (Ia)il, (Ia)ü, is meer geschikt om de invoering dier symbolen te motiveeren, dan om de betrokken grootheden numerisch te bepalen. Voor dit laatste doel kan men beter gebruik maken van het feit, dat, wanneer men een reeks natuurlijke getallen van 1 tot n optelt bij een reeks van n tot 1, de som een reeks van n termen is, die allen de grootte n + 1 hebben. Hieruit volgt terstond, wanneer men de waarde der annuïteit op een willekeurig tijdstip door w voorstelt: (Iw)il + (Dw)ü = (n+i) wü. Vervangt men hierin w achtereenvolgens door de letters s, s, a en a, dan krijgt men de 4 formules, welke de 4 niet sommeerbare grootheden op de voor becijfering meest geschikte wijze in de correspondeerende sommeerbare omzetten, ^fr^* § 7. De g'ewone annuïteitsleening. Een van de meest voor de hand liggende toepassingen van het vorenstaande apparaat van formules vindt men bij de gewone annuïteitsleening. 36 Wij stelden de contante waarde van een annuïteit, berekend voor een tijdstip, i jaar voor de eerste uitkeering, voor door aïl; omgekeerd kan men dus een schuld ter grootte i delgen door een n jaar voortgezette jaarlijksche betaling van een bedrag ail"1. Bij een annuïteitsleening zondert men nu dikwijls van iedere annuïteit zooveel af, als noodig is, om de rente over het nog uitstaande deel der schuld te voldoen, en bezigt dan de rest voor aflossing. Heeft men voor de géheele leening slechts met één schuldeischer te doen, dan is een dergelijke operatie, bijzondere omstandigheden daargelaten, volkomen overbodig; doch bij een obligatieleening komt de rente gedeeltelijk in andere handen dan de aflossing, en kan dus de splitsing der annuïteiten niet achterwege blijven. Men kan nu vragen naar de bedragen aan aflossing, waarin een willekeurige annuïteit met het rangnummer m dient te worden gesplitst, en naar het afgeloste en het nog uitstaande bedrag der schuld na betaling dier annuïteit. Aangezien de rente van het aflossingsbestanddeel in eenig jaar juist het bedrag vormt, dat het volgende jaar meer voor aflossing besteed kan worden, is bij een rentevoet i het aflossingsbestanddeel van ieder jaar i+i maal zoogroot als dat van het voorafgaande jaar. Was het aflossingsbestanddeel van de eerste annuïteit dus i, dan was dat der tweede annuïteit (i+i), dat der derde (i+i)2, en dat der nde annuïteit (i +i)n i. Hun som was dan gelijk aan de grootheid, die wij in § 30 door sil hebben voorgesteld. Die som moet echter gelijk zijn aan het kapitaal 1, en dus is het eerste aflossingsbestandeel niet 1, maar sa~?. Daar ieder volgend aflossingsbestanddeel gelijk is aan i+i maal het vorige, is het aflossingsbestanddeel eener annuïteit met het rangnummer m gelijk aan: 37 ■ Sf5=ï| Het deel van de schuld i, dat na betaling- der mde annuïteit is afgelost, is gelijk aan de som der eerste m aflossingsBestanddeelen, en daarvoor kan men nu krachtens de definitie van Sm| terstond schrijven: sa " Er staat dan nog uit een bedrag: De eerste annuïteit is gelijk aan het eerste aflossingsbestanddeel, vermeerderd met de rente over het volle kapitaal i, zoodat: i i <7a " ~ «a J Deelt men de leden dezer vergelijking door i + i, dan komt er: / tt Él l8 aa sa Van deze beide formules, die ook door letterverwisseling uit elkander zijn af te leiden, kan men partij trekken, door van de 4 tafels van reciproke waarden van enkelsommen, waarvan in § 6 sprake was, er slechts 2 onafhankelijk te berekenen, en de beide andere te bepalen door optelling van de constanten i en d bij de het eerst berekende tafels. Ook kunnen bij onafhankelijke berekening der 4 tafels de beide formules als controlemiddel dienst doen. Wij komen hierop in § 15 terug, om thans als verdere toepassing der boven afgeleide formules over te gaan tot het onderwerp: 40 De contante waarde eener annuïteit i is bij een reëelen rentevoet r gelijk aan aïlr, zoodat men voor den koers als contante waarde eener n-jarige annuïteit van de genoemde grootte vindt: x 1 fe 8c. Leeningen, die ineens worden afgelost. Wij bespreken hier den koers uitsluitend als functie van de reëele rente, en laten dus kwesties als aflossingen met agio, en dergelijke, buiten beschouwing. Is de reëele rente r gelijk aan de nominale rente i, dan kan daarom ook de koers niet anders dan i zijn; want deze is thans per definitie de waarde van de eenheid van nominaal kapitaal onder den uitsluitenden invloed van de reëele rente r, en als r gelijk wordt aan den nominalen rentevoet, dat wil zeggen, als men zijn kapitaal niet anders op even solide en liquide wijze beleggen kan als men het inderdaad belegd heeft, dan bestaat er geen zoodanige invloed, zoodat de waarde x onveranderd i blijft. Belegt men zijn kapitaal dus naar den reëelen rentevoet r, dan is de koers i. Belegt men het tegen een anderen rentevoet i, dan ondergaat de contante waarde der aflossingen daardoor geen verandering, want het bepalen van de contante waarde zal uitteraard dienen te geselleden tegen den reëelen rentevoet. De afwijking van den parikoers i kan dus slechts het verschil zijn der naar denzelfden reëelen rentevoet r afgerente waarden van hetgeen men per eenheid van kapitaal aan rente ontvangen zou hebben, indien de belegging tegen den rentevoet r was geschied, en van hetgeen men werkelijk aan rente ontvangt naar den overeengekomen rentevoet i. 47 dere negatief zijn, terwijl volgens d voor de grootheden Lj en L2 hier geldt: L = p (D«)a, en voor de grootheid L,: L, = ail. S^i' § 9. De rentabiliteit der Nederlandsche oorlogslee ningen. 90 leening van hetzelfde jaar, dat de versterking der aflossingen niet met het 2oste, doch met het I4de jaar begint. Men heeft hier dus ter bepaling van den leeningsduur n: 0,0025S 13 + „11,5 -f" 0,12 Sa4,5 ^ 1. *•) Bij een eenvoudige formule verloopt de bepaling van n dikwijls door substitutie, (waarbij men de grenzen eerst schat, vervolgens bepaalt door substitutie van tienvouden, en dan nog verscherpt door substitutie van een vijfvoud) vlugger dan door een herleiding, waarbij de waarde rechtsreeks uit een tafel kan worden afgelezen. De herleiding zou in dit geval door middel van: iÊsÉH Sl9 -)- n| = SÏ9] + Sïa]Sa voeren tot: sil - 7,43, waaruit men met behulp van een tafel dezer grootheid als waarde van n in volle jaren rechtstreeks n = 6 afleest. Bij vergelijking met Van Overeem's Leerboek III (1. c. p. 346) verandere men aldaar het in 1937 nog af te lossen percentage van 87,473 in 93,082. Deze fout heeft op het eindresultaat geen invloed. 50 Met behulp van een tafel van sil4,5 vindt men bij substitutie van n = 6: 0,8787 £ t. Substitutie van n = 7 maakt het linkerlid grooter dan l. Er zijn dus 6 volledige versterkte aflossingen en 1 onvolledige. De grootte van deze laatste is weder gelijk aan het verschil tusschen 0,8787 en de eenheid, dat is aan 0,1213 peruun of 12,13 percent. De 5 % leening 1914 is afgelost en blijft daarom buiten beschouwing. 90. De 5 % leening, 1918. De koers dezer leening was op 1 Juni 1920, toen de eerste aflossingstermijn verviel, 87,5%, en de reëele rente r, welke men bij een belegging van zijn geld in dit fonds maakte, wordt dus higevolge § 8b gevonden uit: 0,875 = —-èr> ^'