ERRATA. Op blz. 2, regel 27, staat: «3—nt*=£=0; lees: xh—y(34=0Op blz. 110, regel 10, staat: — t; lees: r. ANALYTISCHE BEHANDELING VAN DE RATIONALE KROMME VAN DEN VIERDEN GRAAD IN EEN VIERDIMENSIONALE RUIMTE WBÊBÊ ANALYTISCHE BEHANDELING VAN DE RATIONALE KROMME VAN DEN VIERDEN GRAAD IN EEN VIERDIMENSIONALE RUIMTE PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE AAN DE RIJKSUNIVERSITEIT TE LEIDEN OP GEZAG VAN DEN RECTOR MAGNIFICUS Dr. L. VAN ITALLIE, HOOGLEERAAR IN DE FACULTEIT DER WIS- EN NATUURKUNDE, VOOR DE FACULTEIT TE VERDEDIGEN OP DINSDAG, 31 OCTOBER 1922, DES NAMIDDAGS TE 4 UUR, door JOHANNES FRIEDRICH DE VRIES GEBOREN TE DÜSSELDORF 's-gravenhage MARTINUS NIJHOFF 1922 Aan mijn moeder en aan de nagedachtenis van mijn vader n Bij de voltooiing van dit proefschrift dank ik allen, die hebben bijgedragen tot mijn wetenschappelijke vorming. In het bijzonder geldt die dank U, Hoogleeraren in de faculteit der Wis- en Natuurkunde, voor het van U ontvangen onderwijs en voor de welwillendheid, die ik meerdere malen van U mocht ondervinden. Met diepe erkentelijkheid gedenk ik de lessen van wijlen Prof. Zeeman. Als een niet genoeg te waardeeren voorrecht, Hooggeleerde Kluyver, beschouw ik het, Uwe colleges te hebben mogen volgen. Zij vormen een der aangenaamste en sterkste herinneringen aan mijn studietijd. Hooggeleerde Ehrenfest, U dank ik voor de belangstelling, welke Gij steeds in mijn studie en mijn persoon hebt getoond. Bovenal echter geldt mijn dank U, hooggeleerde van der Woude, hooggeachte Promotor. De bereidwilligheid, waarmede Gij de leiding van dit proefschrift op U naamt en de wijze waarop Gij mij met raad en voortdurenden steun zijt tegemoet getreden, hebben mij met gevoelens van groote dankbaarheid jegens U vervuld. Dat de bewerking van dit proefschrift voor mij een aangename is geweest, heb ik vooral te danken aan de onverflauwde belangstelling, waarmede Gij het tot stand komen er van hebt gevolgd. Het is mij een diepgevoelde behoefte, U daarvoor mijn dank te betuigen. INHOUD. Blz. INLEIDING IX HOOFDSTUK I Eenige parametervoorstellingen van de rationale kromme van den vierden graad C*4 in een vierdimensionale ruimte . 1 Eenige eigenschappen van figuren, die in eenvoudig verband staan tot de kromme C44 13 HOOFDSTUK II Vlakken en rechten, die in een bijzonder verband staan tot C44. Polaire verwantschap bepaald door C44 17 HOOFDSTUK III A. Ruimten en Oppervlakken bepaald door C44. De ruimte y der osculatievlakken van C«4 met het raaklijnen oppervlak T en het oppervlak S gevormd door de snijpunten van niet opeenvolgende osculatievlakken. De ruimte J der tweelijnen van C44. De poolruimte I. Beschouwingen in verband met genoemde figuren 26 B. Een ruimte in verband met C44 en een punt op C44 . . 44 C. Plückersche getallen van de kromme C44 47 HOOFDSTUK IV Eenige opmerkingen over quadratische ruimten door de kromme C44 51 HOOFDSTUK V Involuties op de kromme C44. A. Quadratische involuties 60 B. Kubische involuties 79 HOOFDSTUK VI Quadratische kegelruimten door de kromme C44 . . . . 83 HOOFDSTUK VII Over de voortbrenging van de kromme C44 door projectieve stelsels van ruimten en stralen 119 HOOFDSTUK VIII Eenige eigenschappen van de krommen C44 door 6 punten 132 HOOFDSTUK IX Eenige eigenschappen van de rationale kromme van den vierden graad C»4 in een driedimensionale ruimte afgeleid uit die van C44 door centrale projectie 145 INLEIDING. Over de rationale kromme van den vierden graad in een vierdimensionale ruimte is weinig gepubliceerd. Deze kromme is de eenvoudigste enkelvoudige kromme, die in een vierdimensionale ruimte gelegen is. Een kromme van den derden graad (kubische ruimtekromme) zal steeds gelegen zijn in een lineaire driedimensionale ruimte. Immers men kan door 4 op laatstgenoemde kromme gelegen punten steeds een driedimensionale ruimte brengen, welke dus met de kromme een oneindig aantal punten gemeen zal hebben. Wij zullen ons uitsluitend bezighouden met een kromme van den 4en graad, die niet geheel in een Hneaire driedimensionale ruimte figt. Dan is die kromme stellig rationaal (zie Hoofdstuk I § 1). Men kan de rationale kromme van den vierden graad, C44, in een vierdimensionale ruimte opvatten als het analogon van de kubische ruimtekromme C83 in een driedimensionale ruimte. De eigenschappen der laatstgenoemde kromme zijn voor het eerst afgeleid door Möbius, Chasles, Schröter, Seydewitz en Cremona. Voor een samenvattende behandeling langs synthetischen weg zie men: P. Zeeman: De kromme lijnen van de derde orde xii inleiding. in de ruimte. (Academisch proefschrift, Leiden, Adriani 1878). Th. Reye: Geometrie der Lage. Band II. Een analytische bespreking is behalve in het oudere in 1867 bij Teubner verschenen werk van: C. A. von Drach: Einleitung in die Theorie der cubischen Kegelschnitte, te vinden in twee tegelijkertijd verschenen werkjes: O. Staude: Analytische Geometrie der kubischen Kegelschnitte. Teubners Sammlung v. Lehrbtichern auf dem Gebiete der Math. Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen Band XXXVIII, 1913;en P. W. Wood : The twisted Cubic. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematica! Physics, N°. 14; Cambridge: at the University Press, 1913. Aangaande de kromme C44 zijn verschenen de volgende artikelen, waarin het doel, dat de schrijvers zich hebben gesteld, langs analytischen weg is bereikt: F. Aschieri : Sulla curva normale di uno spazio a quattro dimensioni. Atti della R. Accademia dei Lincei (Memorie), Serie 4a, Vol. IV. 1887. In dit artikel is het doel, een correspondentie te onderzoeken tusschen de punten van een lineaire vierdimensionale ruimte R4 en de rechten van een lineaire driedimensionale ruimte R3. Dit geschiedt, doordat projectief aan elkander worden toegevoegd, de punten van een kromme C44 in R4 en van een kubische ruimtekromme C33 in R3. Hierbij komen verschillende eigenschappen van C44 en van met deze kromme in verband staande figuren ter sprake. L. Brusotti: Sulla, curva razionale normale dello INLEIDING. XIII spazio a quattro dimensioni. Annali di Matematica (Brioschi), Serie IIP. Tomo IX0 1904. Met verwijzing naar het artikel van Aschieri bespreekt de schrijver hier verschillende eigenschappen van de kromme C44 en van tot deze kromme in betrekking staande figuren als toepassing van de theorie der binaire vormen van den vierden graad. De kromme C44 is synthetisch behandeld door G. A. Schönfeld: De kromme van den vierden graad in de vierdimensionale ruimte (Academisch proefschrift. Groningen, Erven B. v. d. Kamp 1904). De schrijver gaat uit van de ontstaanswijze der kromme als de m. pl. der snijpunten van overeenkomstige ruimten van vier projectieve ruimtenbundels en leidt hieruit verschillende andere ontstaanswijzen af. Verder worden de eigenschappen der kromme en van lijnen, vlakken en ruimten, die met haar in verband staan, langs synthetischen weg gevonden. In de volgende bladzijden is getracht langs analytischen weg verschillende eigenschappen van de kromme C44 en van door deze kromme bepaalde of met haar in verband staande figuren af te leiden. Van laatstgenoemde zijn speciaal onderzocht de quadratische ruimten door C44 (en hieronder meer in het bijzonder de kegelruimten). Voor de bespreking van de classificatie der krommen C44, de stelling van Pascal, de beteekenis der Plückersche getallen voor een kromme C44 — welke getallen in Hoofdstuk III C van dit proefschrift worden afgeleid — en de betrekkingen, waaraan deze getallen voldoen, de behandeling der ontaarde krommen als- XIV INLEIDING. mede voor de nomenclatuur, welke ook in de navolgende bladzijden in hoofdzaak onveranderd gebezigd wordt, verwijzen wij naar het reeds genoemde proefschrift van Dr. G. A. Schönfeld. Eenige opmerkingen mogen nog voorafgaan. Uit de algemeene parametervoorstelling kan door voorgeschreven stand van het coördinatensimplex t. o. v. de kromme — steeds worden homogene coördinaten gebruikt — een eenvoudige vorm worden afgeleid voor de vergelij kingen van de kromme, welke geschikt blijkt om ook de vergelijkingen van met de kromme in verband staande lijnen, vlakken en ruimten in niet te ingewikkelden vorm te geven. Een speciale parametervoorstelling wordt gebezigd in Hoofdstuk VIII, welke aangewezen is, wanneer van de kromme 6 punten gegeven zijn. Bij het onderzoek der door de kromme C44 gaande tweedegraadsruimten doet zich de vraag voor, welke van deze ruimten kegelruimten (met punt-top of toplijn) zijn. Hiervoor wordt vereischt het verdwijnen van een determinant van de 5e orde. Daar deze ontbindbaar blijkt te zijn in twee factoren, welke elk voor zich invariante eigenschappen bezitten voor bepaalde coördinatentransformaties, was het mogelijk deze kegelruimten in verschillende groepen in te deelen. Door centrale projectie van de kromme C44 op een lineaire driedimensionale ruimte ontstaat in deze ruimte een rationale kromme van den vierden graad C48. In Hoofdstuk IX worden langs dien weg eenige eigenschappen van de kromme C43 afgeleid uit die van C44. De rationale krommen van den vierden graad in INLEIDING. xv een (Medimensionale ruimte maken het onderwerp uit der dissertatie: D. J. E. Schrek: Rationale ruimtekrommen van den vierden graad. (Utrecht, J. v. Druten 1915). HOOFDSTUK I. EENIGE PARAMETERVOORSTELLINGEN VAN DE RATIONALE KROMME VAN DEN VIERDEN GRAAD, C44, IN EEN VIERDIMENSIONALE RUIMTE. EENIGE EIGENSCHAPPEN VAN FIGUREN, DIE IN EENVOUDIG VERBAND STAAN TOT DE KROMME C44. § 1. Verstaat men onder de verhoudingen van 4 der grootheden x1( x2, x3, x4 en x6 tot een vijfde de coördinaten van een punt en onder de verhoudingen van 4 der grootheden #> u2, u3, u4 en u5 tot een vijfde de coördinaten van een lineaire driedimensionale ruimte (R3) in een vierdimensionale ruimte R4 met betrekking tot een willekeurige 5-cel (coördinatensimplex) dan vormen de vergelijkingen: px1=a11X4-fa12xs+a13X2+a14X+a16, Px2=a21X4+a22x3+a23X2+a24x+a26, Px8=a31X4+a32x3+a33X*+a34x-f a36, (1) Px4=a41X4+a42X3+a43x2+a44X+a46, Px5=a51x4+a62x3+a53x2+a54X+a66, de algemeene parametervoorstelling van een kromme in R4 van den vierden graad, C44 die niet geheel in een R3 ligt, mits de determinant a der vergelijkingen (1) ongelijk nul is. C44 is dan rationaal.*) Immers, een kromme van den vierden graad, die niet geheel gelegen is in een lineaire ruimte van drie dimensies is stellig rationaal. ») Tenzij het tegendeel uitdrukkelijk blijkt, onderstellen wij in de volgende bladzijden steeds, dat de kromme niet ontaardt. 2 eenige parametervoorstellingen Wij kunnen ftJL de punten van een zoodanige kromme één voor één toevoegen aan de punten van een rechte en omgekeerd. Nemen wij op die kromme 3 punten A, B en C en vervolgens een willekeurige rechte 1, welke het vlak V door A, B en C niet snijdt, dan zal een ruimte R3 door het vlak V de kromme, behalve in de punten A, B en C nog snijden in een punt D, terwijl die ruimte R3 de rechte 1 snijdt in een punt E. Door R3 te laten wentelen om het vlak V laten wij D de kromme en E de rechte 1 doorloopen, zoodat de punten der kromme één voor één correspondeeren met die der rechte en omgekeerd. De Kromme is bijgevolg rationaal. Evenzoo wordt het algemeene stelsel ruimten van de vierde klasse in R4 voorgesteld door de vergelijkingen : aul==a11—4a12x+6a13x2-4a14x3+A16x*, «ru2=A21-^lA22x+6A^-^A^Z+A^x*, °u3=A31-^A32x+6a33x*-^A34x3+a36x*. (2) py2=xs,' Py3=x*, (7) py4=x, PVk= 1. wanneer door yk(k=l, 2, 3, 4, 5.) de coördinaten t. o. v. dat nieuwe simplex worden aangewezen en P een evenredigheidsfactor is. Kiezen wij de punten resp. voorgesteld door: auUx+ +a61U6=°» a12U!+ +a52U6=0> a13ux+ +a53u6=0, (8) a«U,+ +a54U5=°' a »ïf +a55U5=0, tot hoekpunten van een nieuw simplex, dan gaat (5) over in: ov^l, erv2——4X, 0v3=6x2, (9) Ai4A24A34A14A54 Ai5A25A35A45A55 § 5. Het simplex, waarvan de zijruimten door (6) worden voorgesteld is hetzelfde, als dat, waarvan de hoekpunten door (8) worden gegeven. Immers het hoekpunt gevormd door de 4 ruimten, voorgesteld door de laatste 4 vergelijkingen (6) heeft tot vergelijking in de numte-coördinaten uk(k—1, 2, 3, 4, 5): 1, u2 u3 u4 ufi maar krachtens de onderstelling aan het eind van § 3 kan men hiervoor schrijven: a3(a1,u1-|-atlua4-a31u3+a41u4-f-a51u6) =0. (a^O). Iets dergelijks geldt voor de 4 andere hoekpunten, waarmee het gestelde bewezen is. Spoedig zal blijken, dat (9) het stelsel osculatieruimten van (7) voorstelt, waaruit tevens blijkt, dat (2) de osculatieruimten van (1) bepaalt, indien slechts tusschen au en AB het aangeduide verband bestaat. (Zie § 12). § 6. Schrijven we de voorwaarde van het incident zijn van punt en ruimte neer: viYi+V2V8+Vgyg-f- v«y4+^=0 en substitueeren we de waarden van (7) resp. (9) hierin dan komen de betrekkingen: v1x4+v2X3+v8X2-|-v4X-f-v6=0 en Yi—4Xy2+6x2y3-^x3y4+x4y6=0. Hieruit volgt: parameters x^ x2, x8 en X4 der punten van C44, die in een gegeven ruimte (v,, v., v„, v4, vB) 6 EENIGE PARAMETERVOORSTELLINGEN liggen (kortweg de punten x1( x2> X3, x4) kan men vinden door die parameters op te lossen uit bovenstaande vierdegraadsvergelijking in X met de coëfficiënten v. De volgende betrekkingen gelden: v2 X]+X2-r-X8+X4= —i v3 X1X2-r-X1X3+X1X4+X2X34-X2X4+X8X4=-r-—, v4 1 (10) X1X2X8-f-X1X2X4-|-X1X3X4-j-X2X3X4— —. v5 x1xax8x4—+—• Evenzoo: De parameters Xj xa x8 en X4 der ruimten (kortweg de numten x1; X2, X3, x4), welke door een gegeven punt yk gaan kunnen gevonden worden door oplossing van de bovenstaande vierdegraadsveirgelijking in X met de coëfficiënten y. De volgende betrekkingen gelden: x1+x2-t-x3+x4=A ,y8 XiX2 + XjX, + xxx4 + x2x8 + x2x4 + x3x4 = 6—, ,y2 (10)' x1x2x3-f-x1x8x4-|-x2x8x4-i-x1x2x4—4—, _yx XiX2X8X4—. IS ra. § 7. Ruimte door 4 gegeven punten van C4*. De ruimte gaande door 4 gegeven punten X^ X2, X8 en X4 heeft tot vergelijking: Yi—(x1+x2+x3+x4)y2+(x1x2+x1x3+x1x44-x2x8+ +x2x4+x3x4)y8—•(x1x2x3-t-x1x3x4+x2x3x4+ + XlX2X4)y4+XlX2X3X4Y5=0- W VAN DE KROMME C44. 7 Het snijpunt van vier gegeven ruimten Xx, Xa, X8 en X4 heeft tot vergelijking: xiX2X3X4v1+j(X1XaX8-r-X1X8X4-|-X1XaX44-X2X8X4)va-}+*(xix2+xixs+xiX4+XaX8+X2X4+X3X4) v3+£(X1+Xa+ § 8. Raakruimte. Stel, dat van de 4 punten Xx, x2, x3 en X4 van de kromme er 2 samenvallen (x1=X2) dan wordt de ruimte door de 4 punten een raakruimte in 't punt Xx=x2 en de vergelijking van die ruimte wordt, als men Xj=X2=X stelt en x3 en X4 resp. voorstelt door X0 en x0': yi—(2x+x0-|-x0')ya-f-(x2+2xx0+2xx0'+x0x0')y3— —X(XX0+2x0X0'+XX0')y4+X2X0X0'y5=0. (12) Stel, dat van de vier ruimten X^ Xa, X3 en x4 er 2 samenvallen (x1=xa) dan is het snijpunt een raakpunt in de ruimte x^Xg. van het stelsel ruimten. Het raakpunt in de ruimteX(Xj=X2=x), dat ook nog ligt in de ruimten x0(=x8) en x0'(=x4) heeft tot vergelijking: *aVo'vi+iM>^o+2W+xx0')va+£(x2+2xx0+ +2xx0'+x0x0>3+£(2x+x0+x0,)v4+v6=0. (12') § 9. Dubbelraakruimte. Vallen ook nog de beide andere punten x3=X4=x0 samen, dan wordt de ruimte door de 4 punten een dubbehaakruimte in de punten X en X0 en de vergelijking wordt: yx—(2X+2x0)ya+ (x2+4XX0-r-X02)y3—(2X2X0+2XX02)y4+ Vallen ook nog de ruimten X0 en X'0 samen dan wordt de vergelijking van het punt (dubbelraakpunt): Vx8v1+i(xo2x + x8xo)va-r-i(X2+4XX0+X02)v3-r- +X8+X4)v4+v6=0. (11') +*%2y6=o. (13) ++(x+xo)v4+v6=0. (13') 8 EENIGE PARAMETERVOORSTELLINGEN § 10. Drieraakruimte. Vallen 3 van de 4 punten xx, x2, x3 en X4 samen (X1=X2=X3), dan gaat de ruimte door de 4 punten over in een drieraakruimte in het punt x(=x1=X2=x3) gaande door het punt X0=(x4). De vergelijking van die ruimte is: Yi—(3x + X0)y2+(3x2+3XX0)y3—(x3+3x2x0)y4-r. +X%y5=0 (14) Vallen drie der ruimten Xx, X2, X3 en X4 samen b.v. X1=x2=X3, dan heeft het drieraakpunt in een ruimte x(=x1=x2=x3), dat ook nog ligt in een ruimte x0(=X4) tot vergelijking: x%v1+ix2(x+3x0)v2+ix(x-l-x0)v3+J(3x+x0)v4+ +v6=0. (14') §11. Osculatieruimte. Wanneer bovendien nog X0=X, dan komt voor de osculatieruimte in het punt X de vergelijking: Yi^xY2+6x2y3—4X3y4+X*y5=0 (15) en voor het osculatiepunt in de ruimte X: x*v1+x3v2+x2v3+xv4+v6=0 ; (15') § 12. We zien een zeer eenvoudig verband tusschen de kromme C44 (7) en het stelsel ruimten (9). Nemen we n.1. van (7) het punt met parameter xlf dus het punt: pyi=xi4» py2=xi8> pys=xi2. py4=xi> pys^1 en bepalen in dat punt de osculatieruimte aan de kromme (7) dan heeft deze in puntcoördinaten tot vergelijking: yi-^xiy2+6x12y3-^x13y4+xi4y5=o. Deze ruimte heeft dus tot ruimtecoördinaten grootheden evenredig met: VAN DE KROMME C44. 9 1, —4\v +6X!2, —4Xj*, Xx* of aVl=l, ava=—4Xlf aVg^óXj2, av4=-^X13, aV^Xi4. Dit is de ruimte uit het stelsel (9) met parameter X^ Nemen we omgekeerd een ruimte uit het stelsel (9) met parameter X', dan is het osculatiepunt hierin in ruimtecoördinaten voor te stellen door: X'4v1+x'3v8+x'V3+x'v4+v6=0. Dit punt heeft tot puntcoördinaten: pyi=*'4, py2=X'8, Py3=X'2, py4=x', Py5=l. Dit is dus het punt van de kromme (7) met parameter X'. Dus het stelsel (9) stelt de osculatieruimten voor van de kromme (7) en punt van de kromme en osculatieruimte in dat punt hebben dezelfde parameter resp. in de vergehjlringen (7) en (9). Coördinatensimplex. § 13. We noemen de hoekpunten van het simplex 1, 2, 3, 4, 5. De 5-cel is begrensd door 5 ruimten, 10 vlakken, 10 ribben en 5 hoekpunten. Voor het overzicht geven we in een tabel de vergehjlringen van genoemde begrenzende figuren. Ruimten. Vlakken. 1234 x5=0 1235 x4=0 1245 x3=0 1345 Xg=0 2345 x1=0. 123. 124. 134. 234. 125. 135. 235. 145. 245. 345. x4=0, x6=0. x3=0, x5=0. Xa=0, x6=0. X!=0, x5=0. x3=0, x4=0. x2=0, x4=0. Xj=0, x4=0. x,=*0, x,=0. Xj=0, Xj=0. Xj=0, Xa=0, 10 EENIGE PARAMETERVOORSTELLINGEN Lijnen. 12 x8=0, x4=0, x5=0. 1 13 Xa=0, x4=0, x6=0. 2 23 Xj=0, x4=0, x5=0. 3 14 Xa=0, x3=0, x6=0. 4 24 X!=0, x3=0, x5=0. 5 34 xx=0, xa=0, x5=0. 15 x2=0, x3=0, x4=0. 25 x^O, x8=0, x4=0. 35 xx=0, x2=0, x4=0. 45 x1=0, x2=0, x3=0. Volgens (7) is de vergelijking van de kromme C4* t. o. v. het coördinatensimplex: px1=X4, px2=X3, px3=x2, px4=X, px5=l. De kromme gaat door punt 1 (voor x=») en door punt 5 (voor x=0). We zullen nu achtereenvolgens nagaan, welke rol de begrenzende figuren van het coördinatensimplex t. o. v. de kromme C4* vervullen. Ruimten. 1234. Deze ruimte osculeert C44 in het punt 1. De vergelijking van deze ruimte x6=0 gecombineerd met die van C44 geeft 4 samenvallende wortels X=». Op analoge wijze vindt men: 1235 is órieraakruimte in het punt 1 aan C44 en snijdt C44 bovendien nog in 5. 1245 is dubbehaakruimte aan C44 in de punten 1 en 5. 1345 is (Meraakruimte aan C44 in het punt 5 en snijdt C44 bovendien nog in het punt 1. 2345 osculeert C44 in het punt 5. Punten. X2 = Xg=X4=X6=:0. x1=Xg=x4=x6=0. x1=x2=x4=x6=0. x1=xa=x3=x6=0. x1=x2=Xg=x4—0. VAN DE KROMME C44. 11 Vlakken. 123 heeft 3 samenvallende punten met C44 gemeen in 't punt 1 (osculatievlak van C44 in 1). 124 raakt aan C44 in 1. 134 snijdt C44 in het punt 1. 234 heeft geen punt met C44 gemeen. 125 raakt in 1 aan C44 en snijdt de kromme nog in punt 5. 135 heeft de punten 1 en 5 met C44 gemeen. 235 heeft met C44 het punt 5 gemeen. 145 raakt C44 in het punt 5 en snijdt de kromme nog in li 245 raakt aan C44 in het punt 5. 345 osculeert C44 in het punt 5. Lijnen. 12 raakt in het punt 1 aan C44. 13 snijdt C44 in het punt 1. 23 heeft geen punt met C44 gemeen. 14 snijdt C44 in het punt U 24 heeft geen punt met C44 gemeen. 34 heeft geen punt met C44 gemeen. 15 heeft twee punten (1 en 5) met C44 gemeen. 25 snijdt C44 in het punt 5. 35 snijdt C44 in het punt 5. 45 raakt C44 in het punt 5. § 14. In het kort vermeld kunnen wij ons coördinatensimplex dus als volgt aanbrengen. Bij gegeven kromme C44 kiezen we 2 willekeurige punten tot punten 1 en 5, brengen daarin aan de oscillatieruimten x6=0 en xx=0 aan de kromme; de raaklijn in 1 aan de kromme snijdt de ruimte xx=0 in 2 en ÉfffiÉÉ 12 EENIGE PARAMETERVOORSTELLINGEN. de raaklijn in 5 aan de kromme snijdt de ruimte x5=0 in 4; het snijpunt der osculatievlakken van de kromme in 1 en 5 is het punt 3. Spreken we nog af, dat de parameterwaarden in 1 en 5 resp. genomen worden co en 0, dan is — bij geschikte keuze van het eenheidspunt — de kromme voor te stellen door: pXx=X4, pXa=X3, pXj=X2, px4=x, pX5=l. Is het coördinatensimplex gegeven, dan is het aantal krommen C44, die tot deze vijfcel in een dergelijke betrekking staan gelijk aan o=3. Deze krommen zijn n.1. voor te stellen door: pxx=aX4, px2=bx3, px3=cx2, px4=dx, px6=e. Hierin komen voor 3 coëffieiëntenverhoudingen (dx=(x stellende.). Ook blijkt het volgende: Is het coördinatensimplex 12345 gegeven en wenscht men een kromme C44, die tot dit simplex in de aangegeven betrekking staat, dan heeft men gegeven van de kromme: de punten 1 en 5; dus 6 voorwaarden. de osculatieruimten in die gegeven punten j 6 voorwaarden. de osculatievlakken in die gegeven punten (die in de gegeven osculatieruimten liggen); 4 voorwaarden. de raaklijnen in die punten (liggende in de gegeven osculatievlakken); 2 voorwaarden. Dit geeft te samen 18 voorwaarden. Daar er werkelijk aldus een stelsel krommen C44 bepaald is, waarvan het aantal <»3 bedraagt, blijkt dat de opgelegde voorwaarden onderling onafhankelijk zijn. (Zie § 2 van dit Hoofdstuk.) EIGENSCHAPPEN VAN FIGUREN. 13 § 15. Als toepassing van het hier behandelde willen wij de kromme C4* voorgesteld door (7) in verband brengen met eenige ruimten (kegelraimten, welke wij ons voorstellen later uitvoeriger te behandelen), die in eenvoudige betrekking tot de kromme en het coördinatensimplex staan. De kromme C4* ligt op de drie ruimten: P=xix3—x22=0> q=x2x4—V=0, rsx3x5—x42=0 en zal de doorsnede of een gedeelte daarvan moeten uitmaken. De gemeenschappelijke doorsnede van p, q en r zal een kromme van den 8en graad zijn. Terloops zij opgemerkt, dat men p beschouwen kan als de m. pl. van een enkelvoudig oneindig aantal vlakken, welke tot vergelijkingen hebben: x1=vxa, vx3=x„ waarin v een veranderüjke parameter is. Deze vlakken gaan alle door de lijn, voorgesteld door x1=x2=x3=0, d.i. de lijn 45. p is een zoogenaamde quadratische kegelruimte met toplijn. Zoo ook q (toplijn 15) en r (toplijn 12). De ruimten p, q en r hebben behalve de kromme C44 gemeen de lijn voorgesteld door Xa=x3=x4=0 d.i. de lijn 15. Snijdt men een kegelruimte van den 2en graad met toplijn door een ruimte, dan is de doorsnede een kegeloppervlak, waarvan de top het snijpunt is van de toplijn met genoemde ruimte en de beschrijvenden de snijlijnen zijn van de laatste ruimte met de vlakken, waaruit de kegelruimte bestaat. In ons geval zal dat kegeloppervlak quadratisch zijn. Snijdt men de quadratische kegelruimte door een ruimte, die door de toplijn gaat, dan zal de doorsnede 14 EIGENSCHAPPEN VAN FIGUREN bestaan uit 2 platte vlakken, in elk van welke de toplijn ligt. De drie kegelruimten p, q en r zullen we snijden door de ruimte 1234 (deze bevat de topüjn van r) dus door x6=0. De doorsnede van deze ruimte met p is het kegeloppervlak x6=0, xxx3—x22=0 met tot top het punt 4. De doorsnede van dit kegeloppervlak met het vlak 123 is een kegelsnede, die de lijn 12 raakt in 1 en de lijn 23 raakt in 3, zoodat het punt 2 de pool is van de lijn 13 (contactkoorde) t. o. v. die kegelsnede. Dit kegeloppervlak zullen we het oppervlak (1) noemen. De doorsnede van q met de ruimte 1234 is het kegeloppervlak, x5=0,x2x4—x82=0 met tot top het punt 1. De doorsnede van dit kegeloppervlak, dat we (2) noemen met het vlak 234 is een kegelsnede, die de lijn 23 raakt in 2 en de lijn 34 in 4, zoodat het punt 3 de pool is van de lijn 24 t. o. v. die kegelsnede. De doorsnede van r met de ruimte 1234 is het vlakkenpaar x42=0; d.w.z. het vlak 123 dubbel geteld. (De ruimte 1234 raakt dus aan r volgens het vlak 123). Het (samenvallend) vlakkenpaar is dus een ontaard quadratisch kegeloppervlak, dat we (3) zullen noemen. Welke punten hebben nu (1), (2) en (3) gemeen? Wij verwachten 8 gemeenschappelijke punten als doorsnede van de 3 kegeloppervlakken van den 2en graad. Daar de 3 kegelruimten p, q en r de lijn 15 gemeen hebben zal onder de 8 punten zich ook het punt 1 bevinden (snijpunt van 15 met ruimte 1234). in verband met C44. 15 (1) en (2) hebben gemeen de lijn 14 en een kubische ruimtekromme C33, die gaat door de punten 1 en 4. Het oppervlak (3) n.1. het dubbelgetelde vlak 123 heeft 2 punten met de lijn 14 gemeen, vallende in 1. De kromme C83 heeft met het dubbelgetelde vlak 123 zes punten gemeen, die alle zes in 1 vallen. Het vlak 123 is n.1. het osculatievlak van de kubische ruimtekromme in het punt 1. Men kan dit inzien, als men die kromme C38 (gedeeltelijke doorsnede van de kegeloppervlakken XaX4—x32=0 en xxx3—xa2=0) voorstelt door x3> x4> x5> dan vindt men de vergehjkingen van C44. Het behoeft geen nader betoog, dat zoowel T als C44 op y liggen. C44 moet als een drievoudige kromme van y opgevat worden. Immers, elke rechte door een punt P van C44 heeft buiten P nog slechts 3 punten met de 6e graadsruimte y gemeen. Zonder aan de algemeenheid te kort 30 RUIMTEN EN OPPERVLAKKEN te doen, kunnen wij voor P kiezen het punt 5 van het coöixiinatensimplex, dus voor een lijn door P eene, die tot vergehjkingen heeft: x1=a1x4, X2=a2x4, x3=a3X4. Beschouwing van deze vergehjkingen in verband met (3) geeft het resultaat onmiddelhjk. § 3. Het oppervlak T is van den 6en graad. Om den graad van dit oppervlak af te leiden, snijden we het door een willekeurig vlak, voorgesteld door:' xx= 04X3 + p xx4 -l-YxXg, Xa= 4- p ax4+ïax51 dan komen de beide vergelijkingen: X4_aiX2_piX_^1=(A(_4X*+2«1X + P1). X3—agX2— p,X—*(2=(i (—3X2+2 a2X + p2). Door hieruit p. te ehinineeren, vinden wij de parameterwaarden van de snijpunten van het raaklijnenoppervlak van C44 en het genoemde vlak. Wij komen tot de vergelijking: (X4— axX2— PxX—f!) (-^3X2+2a2X + P2) = = (X3—a2X2—paX—rt)(^4X3+2«1X + px), een vergelijking van den 6en graad in X. Het raaklijnen oppervlak is dus van den 6en graad. § 4. Het „dubbeloppervlak" S van de ruimte y. Voorts zal y een dubbeloppervlak hebben in het oppervlak gevormd door de snijpunten van twee (niet opeenvolgende) osculatievlakken van C44. Van dit oppervlak zullen wij de vergehjkingen opmaken. De osculatievlakken aan C44 in de punten met parameterwaarden resp. xx en xa hebben tot vergehjkingen : m BEPAALD DOOR C44. 31 xx—S^Xj-fSx^Xs—X18x4=0, Xg—Sx^+Sx^—x13x6=0; o ~ o en Xj—3X2X34-3X2 2x3—X28x4=0, x2—3x2x3+3x22x4—x28x6=0. Hieruit lossen wij de verhoudingen van 4 der grootheden x^ x2, x3, x4, x5 tot een vijfde op en vinden dan: px^óX^Xa2, PX2=3x1x2(x1+x2), px3=(X14-X2)2-j-2X1X2> (6) px4=3(X14-X2), px6=6. § 5. Het oppervlak S is van den 4>n graad. Om den graad van dit oppervlak af te leiden, schrijven we de vergehjkingen er van in den vorm: pX! = 6p2, px2=3pq, px8=q2+2p, px4=3q, px5=6, voor Xj+x2 q en voor Xx x2 p invoerende. De parameterwaarden der snijpunten van dit oppervlak met een willekeurig vlak voorgesteld door: xr=aix3-r-PiX4-|-Y1X5, x2=aax34-p2x44-Y2x6, volgen uit de vergehjkingen: 6p2= J >>J *J *>J n Xit-^ +x2-^- 4-Xo-^- -r-x4-^- +x5-^-=0. 2bXg^ 3öx3 4ox4 66x5 In de partieele differentiaalquotienten moet voor Xj, Xa, x8, x4, x6resp. gesubstitueerd worden: a, o, o, o, e. Bovenstaande vergelijking wordt dan (onafhankelijk van de verhouding van a en e): x3=0. De raakruimte aan J in alle punten van een bepaalde tweehjn is de dubbelraakruimte van C44 in de 2 punten, waar genoemde tweehjn C44 snijdt. § 10. J is van de x2=rx44-sx6, x3=tx44-ux6, in een tweevlak ligt, dan geeft deze de voorwaarden: p—rL+Mt+0t—0L =0, q—sL+Mu+0u+0M =0, r—Lt 4-M 4-jit—(iL =0, s—Lu+nu+txM=0. Uit deze 4 vergehjkingen van den 2611 graad moeten 4 onbekenden opgelost worden, n.1. L, M, 0 en |x. mm PLÜCKERSCHE GETALLEN. 49 Men vindt: a _ p—rL+Mt _ q—sL+Mu l—t r —u—m i (p—rL4-Mt) (u+M) + (L—t) (q—sL+Mu) =0; (18) s—Lu _r—Lt+M u—M~ L—t * (r—Lt+M) (u+M) + (L—t)(s—Lu) =0. De vergelijkingen (18) hebben 4 stellen oplossingen voor M en L. Een stel L=t en M=—u, dat gelijktijdig de noemers in de uitdrukkingen voor © en fz gelijk nul maakt, heeft hier geen beteekenis. Er zijn in dit geval 3 stellen waarden voor L en M en bij elk stel behoort één 0 en één p. Hieruit volgt: Door een willekeurige lijn gaan 3 tweevlakken van C44 dus: dx=3 en t3=3. da stelt voor het aantal paren raaklijnen van C44, die gesneden worden door een straal van de lijnencongruentie, door een punt P gelegen in een ruimte Rs. ta stelt voor (duaal tegenover d2) het aantal vlakken, die door een punt gaan en in een ruimte ■^3 iïggen, waardoor twee drieraakruimten van C44 gaan. Om dg te vinden, bedenken wij, dat de doorsnede van R3 met het raakhjnenoppervlak een kromme is van den 6en graad C36 met 4 keerpunten. (C44 is keerlijn op het raakhjnenoppervlak). Projecteeren wij C36uit P op een vlak in R8, dan is de projectie een kromme van den 6en graad C26 met 4 keerpunten. C26 is van het geslacht nul, daar C26 punt voor punt 50 PLÜCKERSCHE GETALLEN. correspondeert met C44. Het aantal dubbelpunten van Ca6 is dus 6. Het aantal bisecanten uit P naar C3e is dus 6, dus da=6. d2=t2=6. d3 stelt voor het aantal paren niet op elkaar volgende osculatievlakken van C44, die elkaar snijden in punten, gelegen in een gegeven vlak. Onnuddellijk volgt uit (6) van dit Hoofdstuk, dat d3=4 is. Duaal tegenover d3 staat tx het aantal dubbelraakruimten van C44, die door een lijn gaan. Dus d8=t1=4. Wij hebben derhalve gevonden: s0=0, sx =4, s2 =6, Sa =6, s4=4, s5=0; di=3, ti=4, d2=6, t2 =6, d8=4, t3=3. HOOFDSTUK IV. EENIGE OPMERKINGEN OVER QUADRATISCHE RUIMTEN DOOR DE KROMME C44. § 1. Een kromme C44 snijdt in het algemeen een quadratische ruimte in 8 punten. Liggen dus van die kromme 9 punten op een quadratische ruimte, dan bevat deze laatste de kromme geheel. Daar in de algemeene vergehjking van een ruimte van den 2en graad 15 coëfficiënten (dus 14 coëfficiëntenverhoudingen) optreden is zoo'n ruimte door 14 willekeurig gelegen punten bepaald. Kiest men van die 14 punten er negen willekeurig op een gegeven kromme C44, dan heeft men het nog in zijn macht de ruimte door 5 andere punten (niet op de kromme) te laten gaan. Het vermoeden hgt dus voor de hand, dat door de kromme C44 een vijfvoudig oneindig stelsel ruimten van den 2en graad zal gaan. De algemeene vergehjking van een quadratische ruimte luidt: auxi2+2a12x1xa4-2a18x1xs4-2a14x1x44-2a16x1x6-|- 4-a24xa24-2a23xax84-2a24x2x4-|-2aMx2x64-a83X3a4- +2a84x8x4+2a85x8x64-a44x424-2a48x4x6-|-a56x62=0. Zal nu de kromme pxx=04, px8=03, px8=02, Px4=0, Px6=l op die ruimte gelegen zijn, dan moet identiek voldaan worden aan de achtstegraadsvergehjking in 0: 52 QUADRATISCHE RUIMTEN DOOR C44. au08+2a180'+(aa2+2a13) ©«+(2a14+2a28)06+ + (a334-2a164-2a24) 04+(2a26+2a34)03+ + (a44+2a86)024-2a460 +a„=0. De niimten van den 2en graad door C44 kunnen dus voorgesteld worden door: X (xjXg—x22)+[x (x^—x2x3) + v (xjXg—x2x4)+p (x2x4— —x32)+ T=X1 Xg X2 . Hierin is XT+tia-f vp=0. Deze quadratische kegelruimte door C44 heeft dus tot vergehjking: Xj X2 X3 —X4 X2 X3 X4 Xg x/ —x2' x3' —x4' =0' (5) X2 x3 x4 X5 Haar top is het punt {x^, x^, x3', x4', x5') en zij is de eenige kegelruimte van den 2en graad door C44 met genoemd punt tot top. Wij willen deze kegelruimte (5) nog op andere wijze voor den dag brengen. Schrijft men de vergehjking op van een drievlak van C44, gaande door de punten van C44 met parameterwaarden Qv 02 en©3, en stelt men den eisch dat dit drievlak zal gaan door het punt fJti* Xg', x3', x4', x6') dan gelden de vergehjkingen: xx—XgZO+XjjS©^—x4010g08=O, —x2+x3E0—x4S0102+x6010203=O, Xj'—x2'S0 +x3'S0102—x4'010203=O, * ' —Xa'+Xj/E©—x4'S0102-fx6'010203=O. Eliminatie van 01; 02 en 03 uit (6) geeft de vergehjking: Xl _x2 x3 —x4 X2 X3 X4 X5 _q Xl *2 X3 X4 X2 X3 X4 X5 dezelfde als die wij zooeven vonden. 54 QUADRATISCHE RUIMTEN DOOR C44. Hieruit volgt: Is één der quadratische ruimten door C44 een kegelruimte met punttop P, dan is deze ruimte tevens de meetkundige plaats van alle drievlakken van C44 door P. Hierbij is verondersteld, dat de coördinaten van P niet alle determinanten van de vijfde orde uit M gelijk nul maken. Aan de quadratische kegelruimten door C44 zullen wij een hoofdstuk wijden. (Hoofdstuk VI). § 3. We kunnen in de lineaire vijfvoudig oneindige verzameling van quadratische ruimten door een bepaalde kromme C44 nog beschikken over 5 verhoudingen van 5 parameters in de vergehjking dier verzameling tot de 6e, zoo men één bepaalde ruimte hebben wil. We hebben reeds opgemerkt, dat we de ruimte nog door 5 willekeurig gekozen (niet op de kromme gelegen )punten kunnen doen gaan. Een lijn ligt op de ruimte, zoo drie harer punten er op liggen. We kunnen dus het vermoeden uitspreken, dat door een willekeurige hjn (nullijn van C44) oo2 ruimten zullen gaan, door een éénlijn van de kromme »3 en door een tweehjn co4. Van dit laatste geval willen we 2 voorbeelden bespreken. 1 °. We stellen als eisch, dat een quadratische ruimte R42 gaan moet door de kromme C44 en door een raaklijn aan de kromme in het punt met parameterwaarde ©!, dus door de hjn voorgesteld door: Px1=014+4m©13, px^©!3-^©!2, px3=012+2m©1, px4=@1+m, px6=l. Deze waarden, gesubstitueerd in (1), moeten deze QUADRATISCHE RUIMTEN DOOR C44. 55 vergelijking voor elke waarde van m bevredigen. Genoemde substitutie geeft aanleiding tot: X014+2iji013+(p+3v)012—2(t01+T=O, dus één betrekking, zooals te verwachten was. Stellen we den eisch, dat R42 moet gaan door C44 en 5 harer raaklijnen in de punten met parameterwaarden ©i» ©2. ®8> ®4> ®6» dan blijkt dus: X=0, (jl=0, p=—3v, o=0 en r=0, (7) immers de determinant; 0 4 0 3 0^0] © 4 © a 0 2 © ! ^-oM^-eWi-ej 0 4 0 3 0 2 0 1 (®l-05)(©2-®3)(®a-©4) 044 @43 @42 04 ! 04 063 062 ©6 1 kan niet gehjk nul zijn, daar we geen twee der 5 grootheden ©j, 08, 08, 04 en 06 aan elkaar gehjk onderstellen. Maar de R42 door (7) bepaald gaat nu door alle raaklijnen van de kromme. Hare vergehjking luidt: I=xxx5—4x2x4+3x32=0. (8) Deze ruimte I is dus de eenige quadratische ruimte door C44, waarop 5 verschillende en waarop alle raaklijnen aan C44 liggen. I is de poolruimte van C44, die reeds eenige malen ter sprake is gekomen. 2°. We stellen als eisch, dat de tweehjn, welke de punten met parameterwaarden &1 en —0X van C44 verbindt, op een quadratische ruimte R4'2 door C44 moet hggen. De tweehjn wordt voorgesteld door: xx—01ax8=O, Xa—01ax4=O, x3—012x5=O. Substitutie in (1) voert tot de betrekking (waarin 56 QUADRATISCHE RUIMTEN DOOR C44. het a priori duidehjk is, dat slechts even machten van 0j optreden): Moet nu R'42 door 3 verschillende tweehjnen, die punten van C44 met tegengestelde parameterwaarden verbinden, gaan, dan is daarvoor noodig: X=T=0 en v=p. Immers de determinant: ©!4 ©j2 1 024 @22 , =-(022-©32)(082_012)(0l8_022) 034 082 1 is zeker ongelijk nul. Men ziet, dat een net van exemplaren R'42 voldoet, welke nu echter gaan door alle tweelijnen, welke punten van C44 met tegengestelde parameterwaarden verbinden. De vergehjking van dit net luidt: (X (X!X4—X2X8) + V (XjXg—X32) + ff (X8X4—X2X6) = 0. 1) § 4. Willen we een quadratische ruimte door C44 en door een vlak laten gaan, dan blijkt, dat dit, wanneer het vlak willekeurig genomen wordt (nulvlak is), niet gaat, daar we hier aan 6 voorwaarden moeten voldoen. Meetkundig is dit dadehjk te zien. Stel, dat er een ruimte R42 was door C44 en een nulvlak V. Breng dan door V een lineaire ruimte R3; deze zal dan met R42, behalve, het vlak V, nog een vlak Vx gemeen hebben. De 4 snijpunten van R3 met C44 moeten dan alle in liggen, wat onmogelijk is. Men kan eischen: a. Een quadratische ruimte te brengen door C44 en een éénvlak. In het algemeen zal één quadratische ruimte voldoen. ») Zie Hoofdstuk V, § 16. quadratische ruimten door c44. 57 b. Een quadratische ruimte te brengen door C44 en een twee vlak. Hieraan voldoen ooi quadratische ruimten. c. Een quadratische ruimte te brengen door C44en een drievlak. Hieraan zullen oo2 quadratische ruimten voldoen. § 5. Het geval genoemd onder c. van § 4 willen we nader bespreken, omdat hierbij een stelling betreffende quadratische kegelruimten door C44 voor den dag komt. Een drievlak V door de punten van C44 met parameterwaarden 0j, 02 en 03 kan voorgesteld worden door: Xl=x2Z0—x3X®1e2+xil®1&t®a, X6=0^0^;[X2~'X3S0+X420i02:|- (10) Substitueert men deze waarden in (1) dan komt: X22(-x+0tI^-0^)+x32(-x20102- ~©7^~P+~0A07~)+X* 2(~-+e0i®*©3+ +v20102)+Xax8(XS04--r p + 12 3 . r—so^g—(S0)2_| „se +VL——J+©^+X2X4^0++ De voorwaarden, waaraan de verhoudingen van ^, p, v, p, ï en t moeten voldoen zijn dus: —X0102©34-vS0— px3=X124-(i.X22, pX4=X1+(xX2, pX5=l+H, waarin ja een veranderlijke parameter is, dan geeft de eisch, dat die tweehjn op F moet hggen, de twee condities: x2)2(x1+x2)=0, x1x2(x1—x2)2(x1+x2)=0. Hiervan heeft alleen x14-x2=0 yoor ons geval beteekenis. Op F hggen dus alleen de beschrijvenden van de involutie i, voorgesteld door: xx+x2=0. Wij beschouwen vervolgens de quaestie, of behalve QUADRATISCHE INVOLUTIES. 69 de rechte 24 andere involutieassen op F gelegen zijn. Hiertoe bedenken wij, dat door in (2) x constant te nemen een beschrijvende van de op F gelegen involutie i (voorgesteld door X14-Xa=0) wordt voorgesteld. Stel, dat nog een 2e involutieas 1 op F gelegen was; neemt men dan op 1 een willekeurig punt P en zij P dan het punt van F, waarvan men de coördinaten vindt door in (2) voor X en v resp. x0 en v0 te nemen, dan gaat door P dus de tweehjn van i, behoorende bij de parameters X0 en —X0. 1 zou dus gesneden worden door alle beschrijvenden van i en dit is slechts mogelijk, wanneer 1 identiek is met 24. Op F liggen dus slechts de beschrijvenden van de involutie en de as daarvan. Kegelsneden op F. §11. Twee beschrijvenden van F kunnen niet in één plat vlak liggen. Drie beschrijvenden van F kunnen niet in een lineaire driedimensionale ruimte hggen. Indien wij een ruimte R3 aanbrengen door een beschrijvende b van F, welke ruimte niet door een 2e beschrijvende van F gaat, dan zal de doorsnede van R3 en F bestaan uit: b en een kegelsnede K. Het vlak V van K is tweevlak van C44, welke kromme door K gesneden wordt in de twee punten waar R3 C44 nog snijdt buiten de punten van b op C44. Verder zullen b en K een punt gemeen hebben, zooals in § 14 nader zal worden aangetoond. § 12. Brengen we een ruimte door een tweehjn van C44, die geen beschrijvende van F is, en laat deze tweehjn verbinden de punten van C44 met parameterwaarden X! en X2. Eischen we verder, dat die ruimte 70 QUADRATISCHE INVOLUTIES. gaan moet door de beschrijvende van F behoorende bij de parameterwaarde a, dan moet deze ruimte gaan door de punten met parameterwaarden Xx, x2, a en —a. De vergehjking van deze ruimte is: Xi—(x1+X2)x24-(X1X2—a2)x3+a2(X1+X2)x4— —a^iXaXg^O. Deze ruimte zal het oppervlak F: px1=X* px2=X3v, pXa=X2, pX4=vX, px5=l snijden volgens een kromme. De betrekking tusschen v en X voor deze kromme is: X4—(X1+Xa)vX3+X2(X1X2—a2)+vxa2(x14-x2)— —x1x2a2=0 of (x2—a2){(x2+x1x2)+vx(—xx—x2)}=0, dus: X2—a2=0; X==|=a. Dit geeft de beschrijvende van F, waardoor de ruimte gebracht is, zooals te verwachten was; verder: x24-x1x2+vX(—xx—x2)=0 x2+x1x2 OI V = ; • XXj+XXjj Het resteerende deel van de doorsnede van genoemde ruimte met het oppervlak F heeft dus tot vergehjkingen : pxx=X4, X2(X2+X1X2) pXa- x1+x2 ' PX3=X2, pX4=^+x7« Px5= 1. Men ziet, dat deze kromme (parameter =X2) een kegelsnede is. Ze is gelegen in het vlak, waarvan de vergehjkingen zijn: QUADRATISCHE INVOLUTIES. 71 Xl—(Xl+X2)X2+^lXaX3=0, —x3+ (xi+xa)x4—^2x5=0. Zooals blijkt, is dit vlak en ook de kegelsnede onafhankelijk van a d.w.z. van de beschrijvende van F, waardoor de ruimte door xx en Xa gebracht was. Wanneer X! en x2 gegeven zijn, vinden wij het bedoelde vlak (7) op de volgende wijze: Breng aan de ruimten door Xt en X2 die resp. raken in de punten (1) en (5) aan de kromme C44. Het snijvlak dier ruimten is het bedoelde. De kegelsnede gaat door de punten Xx en X2. Volgens het bovenstaande snijden alle ruimten door een vaste tweehjn van de kromme (die geen beschrijvende van F is) en een veranderlijke beschrijvende van F het oppervlak F volgens dezelfde kegelsnede. Verder volgt direct uit (7), dat de verbindingslijn der punten Xj en Xa in het vlak der kegelsnede ligt. Laat men xx en Xa varieeren, dan krijgt men w2 kegelsnedenvlakken van F. Wij beschouwen twee kegelsneden op F1): PX!=X4, pXx=X4, px =X2(X2+X1X2)> ^ ^X^+XaX^ Xi+Xg X84-X4 px8=x2, en _x2+x1xa x2+x8x4 px4—~t tï—» px4—~t—ra—» "1T«! A8~TA4 ex5=1; px6=i. Snijden deze elkaar? Stel (X2 vervangende door y.) de beide vormen ^ , * en aan elkaar gehjk, Xi+Xa X84-X4 *) Kortweg de kegelsneden (XiXJ en (X»X«). 72 QUADRATISCHE INVOLUTIES. dan vindt men voor {JL=x3x4(^i+X2)-X1Xa(X34-X4) ^3~r^4——*1 één gemeenschappelijk punt dier kegelsneden. § 13. Vraagt mén, hoeveel kegelsneden van F door eenzelfde punt van een der kegelsneden (Xx, X2 b.v.) gaan, dan ziet men, dat de kegelsnede (x6, X6) door het snijpunt der kegelsneden (XXX2) en (X8X4) gaat, als X6 en X6 zoo gekozen zijn, dat X3X4(X1+X2)— X1X2(X3+X4) XSX6(X14-X2)—X^Xg+X,) x3+x4 X2 Xj x6-f-x6—X2—X! Dit geeft één betrekking tusschen X6 en X6. Er zijn dus *1 kegelsneden, die door eenzelfde punt van een der anderen gaan. § 14. Snijdt een kegelsnede van F alle beschrijvenden van F? Zij de beschrijvende: P*1^X1*. RX^vX3!, pXg^2, px4=vX1) px5=l en de kegelschede b.v. de kegelsnede (X3X4). Nemen we in de vergelijking van de laatste voor x: xx dan komt het punt px1=X1* px2=X^-^-p^xi^,px3=X12, x3+x4 X 24-X X px4= ——Px5= 1 • ^ een P1111* van genoemde X3+X4 beschrijvende voor »m&\. X^Xg+X,) Zoo ziet men dadelijk, dat een kegelsnede alle beschrijvenden snijdt en op soortgelijke manier als boven dat door één punt van een beschrijvende oo1 kegelsneden gaan. Beschouwen wij nu de vergehjkingen (7) van het vlak, waarin de kegelsnede (XjX2) ligt: QUADRATISCHE INVOLUTIES- 73 xi—(xi+xa)xa+xixix8=0—xa+ (xi+xa)x4—xix4x6=0. dan blijkt: door een willekeurig punt met coördinaten (a, b, c, d, e) gaat één kegelsnedenvlak van F en wel het vlak, dat men verkrijgt door in (7) voor XjX2 en Xj-|-Xa te substitueeren de waarden, die men voor deze grootheden vindt uit: a—(X1+X2)b4-X1x2c=0 en —c+ +(xi+xa)d—X1X2e=0. Nemen wij een punt op F. b.v. het punt met parameters X0 en v0, dan geven beide bovenstaande vergelijkingen dezelfde betrekking n.1. xo2—(xi+xaKxo+xix2=0Uit de laatste 3 vergehjkingen Xj en X2 elimineerende komt men tot da vergehjking: xi Xa xs —x8 x4 —x6 =0. (8). xo2 ~^oxo 1 Dit is een quadratische kegelruimte met het punt met parameters X0 en v0 tot top, die dus de m. pl. is van alle kegelsneevlakken van F door een punt van F. § 15. Men ziet, dat, wanneer men in de vergehjking van deze kegelruimte substitueert v0=<», deze overgaat in: xix5—xs2=0Dit is een quadratische kegelruimte met tot toplijn de lijn 24. Het blijkt dus, dat de kegelsnedenvlakken gebracht door een punt van de rechte 24, alle door deze fijn gaan. Zal aan de vergehjkingen (7) der kegelsnedenvlakken voldaan worden door de coördinaten van een punt 74 QUADRATISCHE INVOLUTIES. van de lijn x1=x3=x6=0, dan blijkt, dat tusschen de parameterwaarden xx en x2 de betrekking moet bestaan: xx+x2=0. Dan ontaardt de kegelsnede in 24 en een beschrijvende van F. § 16. Stellen wij de vraag, welke quadratische ruimten door F gaan, dan komen wij tot het net: [x (x1x4—x^) +k(x1x6—x32)+o (x3x4—x^)=0. Vergelijken wij hiermede de m. pl. der kegelsnedenvlakken, die door één punt van F met parameters X0 en v0 gaan, dan komen wij (zie § 14) op een quadratische kegelruimte met punttop (het punt met parameterwaarden X0 en v0) tot vergelijking hebbende (de vergehjking 8): —X0a(—XaXg+XaX^—^„Xofx^g—x32) 4+ (x!X4—XaX3)=0. Laat men X0 en v0 varieeren, dan verkrijgt men het genoemde net. Dit bestaat dus uit kegebruimten. Bij gegeven waarde van ji:k:c? vindt men de coördinaten 1 -x f4 k van den top door x0 en v0 op te lossen uit—= —= i —voAo = en de gevonden waarden te substitueeren in —xo px!=x04, px2=v0x03, px3=X02, px4=X0v0, px6=l. § 17. De gedaante der vergehjkingen (7): Xi—(X1+Xa)xa4-X1X2X3=0 en —x3+(X!-|-X2)x4—X^aX^O der kegelsnedenvlakken van F voert nog tot volgende beschouwing. In Hoofdstuk VII § 1 vinden wij, dat vier projectieve ruimtenbundels P—tP' =0, Q—tQ'=0, QUADRATISCHE INVOLUTIES. 75 R—tR'=0, S—tS'= 0, waarin t een veranderlijke parameter is, een kromme C44 voortbrengen. Nemen wij eerst de eerste 3 vergelijkingen, dan zien wij, dat deze bepalen een regelvlak, dat door de substitutie P=;x8, P'=x5, Q=Xg, Q/=x4, R=xx, R'=x3 in het straks door ons behandelde oppervlak F overgaat. T. a. p. is uiteengezet (§2), dat van de juist vermelde kromme C44 de drievlakken voorgesteld worden door de vergehjkingen: xP+,,Q4-vR4-pS=0, xP'+jxQ'+vR'+pS^O, waarin x, n, v en p veranderhjke parameters zijn. De verhouding X:(i.:v:p bepaalt dus één drievlak. Op het regelvlak F kunnen we dus, door de ruimtenbundel voorgesteld door S—tS'=0 willekeurig te kiezen een stelsel krommen C44 voor den dag brengen, welke o.a. alle tot drievlakken hebben x8=0, x6=0, d.i. het vlak 124, x8=0 x4=0, d.i. het vlak 135 en X!=0, x8=0 d.i. het vlak 245; De kromme C44, waarvan wij zijn uitgegaan, behoort dus niet tot dat stelsel. Onafhankelijk ook van de keuze der beide basisruimten van den vierden ruimtenbundel resp. voorgesteld door de vergelijkingen S=0 en S'=0, dus voor alle krommen van genoemd stelsel zijn drievlakken de oo2 vlakken, voorgesteld door de vergehjkingen: XXj+iiXj-r-vx^O, XX6+(iX4+vX3=Ö. Dit zijn dezelfde vlakken, als die, welke worden voorgesteld door de vereelii kineen (7^. 76 QUADRATISCHE INVOLUTIES. Dus de kegelsnedenvlakken van F zijn drievlakken van de krommen van genoemd stelsel. § 18. Wij willen nagaan, hoe ten opzichte van die krommen de rechte hjnen op F (beschrijvenden -fde rechte door alle beschrijvenden gesneden, dus de involutieas 24) zich gedragen. De kromme, voorgesteld door: x8—tx6=0, Xg—tx4=0, x1—tx3=0, s—tsx=o, zal de beschrijvende van F: pxx=X04, px8=vX08, px8=X02, px4=vX0, px5=l snijden, wanneer voor t een waarde kan gevonden worden, zóó dat het punt, bepaald door de 4 ruimten behoorende bij die waarde van t, op die beschrijvende ligt. Men ziet voor t=X02 wordt aan de eerste 3 vergehjkingen identiek voldaan, terwijl de 4e één bijbehoorende waarde van v geeft. Derhalve: alle krommen C44 van het bedoelde stelsel hebben de beschrijvenden van F tot éénlijnen. Vervolgens beschouwen wij de hjn 24, de involutieas. Zij S^aiXi+agXg+agXg+a^-r-agXg enS'=p1x1+ + P2X2+P3X3+M4+P5X5. Substitutie van x1=x8= =x5=0 geeft: tx4=x8 en agx24-a4x4—t(pgXg4-p4x4)=0 of «2t+«4—t(Pit+.P*)=°Deze vergehjking geeft 2 waarden voor t. Voor elke kromme C44 van het bedoelde stelsel is 24 tweelijn. De beschrijvenden' van F zijn eenlijnen van elke QUADRATISCHE INVOLUTIES. 77 kromme C44 op F (van de laatst bedoelde krommer C44). Gemakkelijk toont men aan dat door elke éénlij n van een kromme C44 één drievlak van die kromme gaat. Dat is hier het vlak door een beschrijvende en de hjn 24. § 19. Voor de krommen D44 van het behandelde stelsel (waartoe, het zij nogmaals opgemerkt, onze kromme C44 niet behoort) kunnen we een parametervoorstelling op de volgende wijze afleiden'. Gebruiken wij de notatie van § 1 Hoofdstuk VII, dan is bier: Ul = U2=U4=U6=0, Ug=l, ^' = ^' = ^' = ^' = 0, V1=V3=V4=V5=0) Va=l, Vj^Vg^Vg^Vg'^O, v,'=l. w2=Wg=w4=w6=0, w1=l, w1'=w2'=w4'=w5'=0, w8'=l. Dé basisruimten van de 4° ruimtenbundel S—tS'=0, stellen we voor door: S==x14-s3x34-s4x4-|-s6x6=0, S'eex24-s3'x34-s4'x44-s6'x5=0, zoodat sx= 1, s2=0, sx'=0, s2'=l. De in genoemde paragraaf bedoelde matrix wordt hier: 0 0 1 0 —t 0 1 0 —t 0 1 0 —t 0 0 1 —t s,,—ts'3 s4—ts'4 s6—tSg'l Berekenen wij de algebraïsche onderdeterminanten van de 4e orde uit deze matrix, dus de grootheden a1; aa> a8» a4 en a5» dan vinden wij: 78 QUADRATISCHE INVOLUTIES. «1=+t*+S4't»—«4^, a3=t3+s'4t2—S4t, a2=t3(l —S3') +t2(s3—S6') + a4=t2(l—S3') +t(s3— +s5t, —s5')+s6, a6=t24-S4't—S4. Dus de kromme wordt voorgesteld door: pXl=t2(t2+s4't—s4), Px2=t{t2( 1 —s3') + t(s,—s5') 4-ss}, Px3=t(t2+s4't—s4), px4=t2(l—83')+t(s3—s8') +s5, px6=ta4-s4't—s4. Dadelijk is te zien x1x4=x2x3, x1x6=x82 xax6=x3x,; dus al deze krommen liggen op het oppervlak F. Stellen wij kortheidshalve t2+s4't—s4=a en t2(l—Sa')+t(s3—s6')+s6=b, dan kunnen wij schrijven: pxx=t2a, px2=tb, px3=ta, px4=b, Px5=a. Stellen wij hier a= 1, t=-X2 en b=vX dan komt voor den dag: pxx=X4, px2=X3v, px3=X2, px4=vX, px6=l, dus de parametervoorstelhng van F (2). § 20. Eenvoudig is aan te toonen, dat 2 krommen van het bedoelde stelsel (D44 en E44) 5 punten gemeen hebben. /" Drie projectieve ruimtenbundels resp. voorgesteld door: P—tP'=0, Q-tQ'=0, R—tR'=0, . geven als snijlijnen van overeenkomstige ruimten een KUBISCHE INVOLUTTES. 79 regeloppervlak F. Voegen we hieraan toe een vierde bundel S—tS'=0, dan brengen de projectieve bundels een kromme D4* voort; voegen wij een anderen bundel U—tU'=0 toe, dan brengen ze voort een kromme E44. Een punt gemeenschappelijk aan D44 en E44 is een snijpunt van de ruimten: P—^'=0, Q—tjQ'=0, R—txR'=0, S—^'=0 en ook van de ruimten: P—tjP^O, Q—^'=0, R—tjR^O, U—^'=0. De vraag, hoe groot het aantal snijpunten is van D44 en E44 is dus identiek met de volgende: Hoe vaak hebben, wanneer 5 ruimtenbundels projectief overeenstemmen de correspondeerende ruimten een punt gemeen? Wordt P—^'=0 voluit geschreven: p—*iP W^-f (ag—t1d^')xt+ (a6—t1a5')x6^0 en schrijven wij dergelijke uitdrukkingen op met de coëfficiënten b, c, den e voor de andere ruimtenbundels, dan vinden we de gevraagde waarden van tx (die de bedoelde punten bepalen) uit: ai—tiV iW =0. ei— eg—t^'g Er zijn dus 5 snijpunten. B. Kubische involuties. § 21. Voorts leiden wij eenige eigenschappen af, betrekking hebbende op een kubische involutie op de kromme C44. 80 KUBISCHE INVOLUTIES. Denken we ons een éénvlak van de kromme C44 het punt, waarin dat vlak de kromme snijdt, kiezen we gemakshalve tot het punt 5 van het coördinatensimplex — en brengen we daardoor alle driedimensionale lineaire ruimten, dan bepaalt elk dezer ruimten een drievlak van de kromme C44. Deze drievlakken snijden op de kromme C44 een kubische involutie in. Zijn de vergehjkingen van het genoemde éénvlak der kromme: X1=a1X3-|-a2X4, X2=PiX34-P2X4, dan stelt de veigehjking: A(xx—04X3—04X4) +B(x2— P2X4) =0waarin A en B veranderlijke parameters zijn, voor alle ruimten door het bedoelde eenvlak. De parameters der 4 snijpunten van één zoo'n ruimte met de kromme C44 vindt men uit: A(X4— aix2—a2X) 4-B(X»— (JjX*— fi2X) =0, waarvan natuurlijk een der wortels gehjk nul is. De overige drie wortels xx, x2, x3 welke een drievlak bepalen voldoen aan: 1»+|)l2+(_ai-f„-«1_^=0. De vergehjkingen van het bedoelde drievlak luiden dus, -T- vervangende door f^): A Xi+iiA+O-ax— Pii*i)xa— (+a2+p2(x1)x4=0 en X,+1*1X3+ (—ax— PiJii)x4— (4- a24- p2(i1)x6=0. Bepalen wij nu het snijpunt van twee drievlakken, waarvan het eene bepaald is door de ruimte met para- KUBISCHE INVOLUTIES. 81 meter nv het andere door die met parameter n2, dan voldoen de coördinaten van dat snijpunt aan: Xl X2 X3 x4 X6_ B1 -D2-D3--D4-D6' wanneer T>v D2, D3, D4 en D5 voorstehen de determinanten van de 4e orde verkregen door uit onderstaande matrix resp. de le, 2e 5e kolom te schrappen: 1 H (—«1—PlUl) (—«2— Pa^l). 0 0 1 «*1 (—al— Pll*l)»(—a2— P«**l) 1 (x2(—aj— Pl(i2) (—a2—p2(x2) 0 0 1 f*a (—ai—Pit*a)(—a2—Pa^a) I Uitwerking dezer determinanten geeft: Di=(l*i—Ha)2 («22+ai«2Pi—ai2P2—«2PiP2+aiP22). I)2=((4i—Ha)2 («1P1P1— «2P12—«2Pa)» Ds=(f4i—(*a)2 («aPi—«iPa+Pa2)» D4=G*i—Ha)2 (—«a+PiPa)» D6=(f4i—f*a)2 (Pi2—«i+Pt). Hieruit volgt, dat de coördinaten van bedoeld snijpunt onafhankelijk zijn van de parameter j*. Derhalve: Alle drievlakken, die ontstaan bij de wenteling van een lineaire driedimensionale ruimte om een willekeurig éénvlak snijden elkaar in één punt. Verder blijkt door substitutie van de waarden voor de coördinaten van genoemd snijpunt in de vergelijkingen van het éénvlak, dat dit punt in dat éénvlak gelegen is. De bedoelde drievlakken snijden het éénvlak dus volgens een waaier. § 22. Een kubische involutie wordt dus voortgebracht door een ruimte te laten wentelen om een éénvlak; daar wij dan zien, dat de vlakken door de toegevoegde puntendrietallen door één punt gaan, zullen al deze drievlakken 6 82 KUBISCHE INVOLUTIES. een quadratische kegelruimte door C44 vormen. (Hoofdstuk IV). Is omgekeerd een kubische involutie gegeven, dan kunnen wij deze op oneindig veel verschillende wijzen voortbrengen door een ruimte om een éénvlak te laten wentelen. Men kan n.1. twee verschillende drievlakken, welke tot de involutie behooren kiezen. Snijden deze beide de kromme C44 resp. in A, B, C en A', B', C'. Breng door A, B, C en een willekeurig punt D van C44 een ruimte R; door A', B', C' en D een ruimte R'. Het snijvlak van R en R' is een éénvlak, als boven bedoeld. Daar D willekeurig is op C44 voldoen oneindig veel vlakken. HOOFDSTUK VI. QUADRATISCHE KEGELRUIMTEN DOOR DE KROMME C44. § 1. Wij stellen ons voor te onderzoeken, welke van de quadratische ruimten, die door de kromme C44: pXl=04, px3=08, px3=02, Px4=0, Px6=l (1) gebracht kunnen worden, kegelruimten zijn. De vergehjking van alle tweedegraadsruimten door C44 luidt: X (XjXg—X,2) 4- (i (xxX4—XjXj,) + V (XjXg—XgXj 4- + p (xjXi—rx82)+o (xaX4—XaX6) + t foxs—x42) =0. (2). Zal een dergehjke ruimte kegelruimte zijn met als top het punt Pfo', Xg', x8', x/, x6'), dan bestaan de betrekkingen: Xx3'+|ix4'+vx5'=0, —2XXj'—(ix3'—vx4'4-px4'—ctx6' =0, Xxj'—(jiXj'—^2px3'4-ffX4'4-TX6' =0, (3) (ixj'-^vxj'+pxa'+orxa'—2tx4' =0, VXj'—0X2'+ tx3' =0. Hieruit volgt, dat een ruimte, voorgesteld door (2) slechts dan een kegelpunt zal bezitten, wanneer: 0 0 X {x v 0 —2X —(i —v -f- p —a He X —|i —2p a t =0. (4). {i —v4-p o —2t 0 v o t 0 0 Zijn de verhoudingen van 5 der grootheden X, [l, 84 QUADRATISCHE KEGELRUIMTEN DOOR C44. v, p, a en t tot een zesde gegeven, terwijl Voldaan is aan H=0, dan is de kegehuimte bepaald. Zijn niet alle determinanten van de 4e orde uit H gehjk nul, dan heeft de kegelruimte één top {punttop). Zijn alle determinanten van de 4e orde uit H gehjk nul en is van de determinanten van de derde orde uit H er minstens één ongehjk nul, dan heeft de kegelnrimte een top-lijn. Een Joppenvlak" kan niet voorkomen; immers hiervoor wordt vereischt het gehjk nul zijn van alle determinanten van de derde orde uit H. Dit komt neer op het gehjktijdig nul zijn van X, ji, v, P, a en t en dit geval heeft voor ons geen beteekenis. Een quadratische kegehuimte met „toppenvlak" bestaat uit 2 lineaire driedimensionale ruimten, die elkaar in dat vlak snijden. Hierop kan geen „niet-ontaarde" kromme C44, gelegen zijn. Wij hebben dus slechts te onderzoeken quadratische kegelruimten door C44 met punttop en toplijn. Wij merken op, dat een quadratische kegelruimte met punttop A voortgebracht wordt, door een regelschaar, die niet met A in eenzelfde lineaire driedimensionale ruimte gelegen is, uit A te projecteeren. In verband met de eigenschappen van de twee stelsels rechten, welke de regelschaar bevat, geldt voor de bedoelde kegelruimte: Een quadratische kegelruimte met punttop bevat 2 stelsels vlakken I en II. De vlakken van één stelsel hebben slechts het punt A gemeen, terwijl elk vlak van het stelsel I met elk vlak van het stelsel II een rechte door A eemeen heeft; m. a. w. door elk vlak van het stelsel I en QUADRATISCHE KEGELRUIMTEN DOOR C4*. 85 elk vlak van het stelsel II gaat telkens een lineaire driedimensionale ruimte (raakruimte aan de kegelruimte.). Een quadratische kegelruimte met toplijn wordt voortgebracht door een quadratisch kegeloppervlak te projecteeren uit een punt A, dat met genoemd oppervlak niet in eenzelfde lineaire driedimensionale ruimte is gelegen. De verbindingshjn van A met de top van het kegeloppervlak is de toplijn; er hgt een stelsel vlakken op de kegelruimte. Wij vonden reeds, (Hoofdstuk IV, § 2), dat, wanneer een punt (x/, x2', x3', x4', x6') zoodanig gekozen wordt, dat van de matrix M van het stelsel vergelijkingen (3): x3' x4' x6'4 0 0 0 2x2 x3 x4 x4 Xg 0 M= Xj' —x2' 0 —2x3' x4' x6' (5) 0 Xj x2 x2 x3 2x4 0 0 xx' 0 —x2' x8' niet alle determinanten van de 5e orde Av A2, A3, A4, A5, A6 (6) gelijk nul zijn (A1 is gevormd door in de matrix M de le kolom weg te laten enz.), dit punt de top is van één enkele quadratische kegelruimte met punttop, waarvan het eene stelsel vlakken gevormd wordt door drievlakken van de kromme C44 door dat punt. Het andere stelsel bestaat dan uit eenvlakken van de kromme. Verder werd gevonden, dat in dit geval (d. w. z. als M^O) de coëfficiënten X, \l, v, p, a en t de waarden hebben: 86 QUADRATISCHE KEGELRUIMTEN DOOR C44. X—X3 X6 X4 , (X=Xg'X4' Xg Xg , v=x2'x4'—Xg'2, (7) p =xl X6 Xg x4, CT=Xj X4 Xg Xg , t=X1'Xg' Xg' . Hierbij is: XT+fiA5, T — CO A», waarin co een willekeurige constante is. Bekend is, dat de vergehjkingen (3) in dit geval slechts één stelsel waarden als oplossing toelaten, n.1. het stelsel (7). Noemen wij deze waarden X', ji', v', p', a' en t', dan vinden wij: X=kx', M-=k{i', v=kv', P=kP', (11) c; = ka', T = kT', waarin k een willekeurige constante is. Hieruit volgt A^hx', A2=—h\i', A6= —h-c'. (12) Om h te vinden, zal het voldoende zijn één der determinanten Ax, A2, A6 te berekenen, b.v. A2. Wij vinden: A2=—2ji'J', (13) waarin: Xj Xg Xg J'= Xg' Xg' X4' . (14) Xg X4 Xj 88 QUADRATISCHE KEGELRUIMTEN DOOR C4*. Derhalve: A1=2x'J', A8=—2[i'J', A3=2v'J', (15) A4=—2P'J', A6=2a'J', A6=—2t'J', waarin X'=x8'x5'—x4'2, t'sx/x,'—Xa'2. Vervolgens brengen wij den determinant Q in verband met een determinant 8: X (i v 8= p (v + p) —a . (16) V Cf T 8=XpT-j-XvT X Py5=1> de formules (24) onmiddellijk. § 9. Een kort overzicht van de bereikte resultaten betreffende de besproken kegelruimten moge hier geplaatst worden, met het doel, scherp te kunnen aangeven, langs welken weg het verdere onderzoek geleid moet worden. 1 °. Ligt de top A van een quadratische kegelruimte niet op J, dan is die kegelruimte de m. pi. van de drievlakken van C44 door A; P is gelijk nul, Q is ongelijk nul; de grootheden X, p t hebben de waarden (7); een toplijn is niet mogelijk, voor dit geval is er steeds een punttop. De voortbrenging is gegeven in § 4. Een punt A niet op J gelegen is de top van slechts één kegelruimte door C44. 2°. Is voor een bepaalde kegelruimte: Q gelijk nul, dan heeft die kegelruimte haar top (of toppen) stellig op J, want ligt de top niet op J, dan is Q ongelijk nul. 3°. Er zijn kegelruimten met punttop, waarvoor P en Q beide gelijk nul zijn. De top ligt dan op C44. De grootheden x, (i, « hebben dan de waarden vermeld in (22). Wij merken op, dat wij in het volgende dus o.a. hebben te onderzoeken de kegelruimten met top (of toppen) gelegen op J (waartoe het geval genoemd onder 3° behoort). 100 QUADRATISCHE KEGELRUIMTEN DOOR C44. § 10. Zonder aan algemeenheid te verhezen (Zie § 8) geven wij aan de coördinaten van den top A, gelegen op J de waarden (a, o, o, o, e). Wij onderstellen a en e beide ongehjk nul en eindig. De vergehjking der kegehuimten wordt: x (Xlx3—x22) + P (x2x4—x32)—x|(x3x6—x42) =0. (27) Deze kegelruimten vormen een bundel. Hierbij is P=—X2-, terwijl Q gelijk nul is. De waarde der determinanten van de 4e orde uit H zijn in onderstaande tabel vereenigd. Bii weglating van de: Bij weg- J lating | Q e Q | S . . eerste kolom. S « g « ij ° vijlde kolom, van de: > o iJ o -g p £ m ~ x > x 1 ■ I i l* rij. ^)2(4X2|+P2). 0. 0. . 0. x^(4X2|+p2). 216 rij. 0. 0. 0. 0. 0. 3derij. 0. 0. 0. 0. 0. 4de rij. 0. 0. 0. 0. 0. 5derij. X2-(4X2-+P2). 0. 0. 0. X2(4X2^+p2). J e e [ e In het algemeen zijn zij niet alle gelijk nul, dus hebben de kegelruimten, voorgesteld door (27), een punttop. Een toplijn wordt gevonden uit: 1°. x=0; d. w. z. wij zien voor den dag komen een kegehnhmte met tot toplijn de tweehjn van C44 door het punt A. Hierbij is ook P gelijk nul. 2°. 4X2-4-P2=0, dus P = ±2XV—^, e e QUADRATISCHE KEGELRUIMTEN DOOR C44. 101 In dit geval bepalen wij de toplijn, door Xj',...: x'6 op te lossen uit (3) na invoering van: |i=v=er=0, a a p = 4-2Xv/ , T=—X— r e e Dan vinden wij: x8'=0,—^x2'=j=x4'v' =0, ex/—ax5'=0. In Hoofdstuk III, § 8, vonden wij deze beide lijnen als de beide involutieassen door A (Zie Hoofdstuk V). Wij hebben dus in het volgende te onderzoeken (algemeene waarden der grootheden X, ji, , t; voortbrenging, gedrag van P en Q enz.): a. De kegelniimten met punttop op J, waarbij wij onderscheiden of de top al of niet op C44 ligt. b. De kegelruimten met een tweelijn van C44 tot toplijn. c. De kegelruimten met een involutieas tot toplijn. Het geval, genoemd aan het slot van § 8 Hoofdstuk III, waar bij het onderzoek naar de rechten op J door een punt van C44 slechts tweelijnen en schijnbaar geen involutieassen gevonden werden, verdient afzonderlijke vermelding. Wij zullen, met het oog hierop, onderzoeken de kegelruimten, welke tot toplijn hebben een involutieas van een ontaarde involutie. Kegelruimten met punttop op J. § 11. Wij onderstellen, dat de punttop A (a, o, o, o, e) niet op Cf gelegen is, dat dus a^; e^O, terwijl a en e beide eindig zijn. Beschouwen wij een exemplaar uit den bundel, voorgesteld door (27): X(X1X8—Xg2) + P (x^—x32)—X-(x3x6—x42) =0, 102 QUADRATISCHE KEGELRUIMTEN DOOR C44. in de onderstelling: X=£0, 4x2-4-p27^D en onderzoeken wij of de tweelijn van C44, welke de punten met parameterwaarden ©! en 02 verbindt, op deze kegelruimte kan liggen, (in dat geval zal het vlak door die tweehjn en den kegeltop ook geheel op haar gelegen zijn) dan vinden wij, dat noodig en voldoende is: *(©i2®22—!)+P®l©2=(), d. w. z. 0x02=0 of 010a=C', waarbii: C4-C'=—- en CC'=—-• J X e Wij kunnen dus de kegelruimte voortbrengen door de lijnen, die de overeenkomstige puntenparen van de involutie 0102=C of ©10a=C' verbinden, uit A te projecteeren. Tot die verbmdingshjnen behoort in beide gevallen de hjn 15, waarop A ligt. Omgekeerd: 1°. Is gegeven een quadratische involutie op C44, dan kan een willekeurig punt op elk der verbindingslijnen van overeenkomstige puntenparen als top van een quadratische kegelruimte door C44 aangenomen worden, die ontstaat door de involutie uit dat punt te projecteeren. Neem n.1. die verbindingshjn, waarop dat punt ligt aan als hjn 15, dan is de vergehjking der involutie 01©2=C; C' is bepaald door: CC'= ; en de vergehj- P king van de kegelruimte door: C4-C =—-. 2°. Zijn gegeven twee quadratische involuties op C44, dan ligt op J steeds een punt, dat de top is van een kegelruimte, die ontstaat door elk van beide involuties uit dat punt te projecteeren. QUADRATISCHE KEGELRUIMTEN DOOR C4* 103 Immers, twee quadratische involuties hebben steeds een puntenpaar gemeen; nemen wij deze beide punten resp. tot punten 1 en 5, dan luiden de vergelijkingen a der involuties: ©10a=C en 01@a=C'; door CC =— is de top, door C+C'=— is de vergehjking van de A kegelruimte bepaald. Wij zagen reeds, dat voor deze kegelruimten geldt: P^O en Q=0. Aangaande de beide stelsels vlakken I en II van deze kegelruimten valt (in aansluiting met § 16, Hoofdstuk V) nog het volgende op te merken: Op de kegelruimte zijn gelegen de tweehjnen van C44, bepaald door de quadratische involuties op C44 resp. voorgesteld door: 010a=C en 01©a=C' (kortweg de involuties C en C). De tweelijnen der beide involuties C en C' vormen resp. de beide derdegraadsoppervlakken F0 en F0-, welke dus op de kegelruimte gelegen zijn. De top A ligt op de tweehjn 15, welke aan beide involuties C en C' gemeen is. Onderstellen wij, dat de vlakken van het stelsel I gaan door de tweehjnen der involutie C en de vlakken van het stelsel II door de tweehjnen der involutie C', dan bhjkt derhalve: De vlakken van het stelsel I zijn kegelsnedenvlakken van het oppervlak Fc-, en de vlakken van II zijn kegelsnedenvlakken van F0. Opmerking: Schrijft men de vergehjking van de kegelruimte: X(XlX3—X22) + p (X2X4—X32)—X^XgXg—x42) =0 104 QUADRATISCHE KEGELRUIMTEN DOOR C44. in den vorm: +4X'^) J—x,(—XXl4- px3+X^x6) =0, dan valt het bovenstaande gemakkelijk te verifieeren. Klaarblijkelijk zijn de vlakken der stelsels I en II tweevlakken van C44. § 12. Wij willen vervolgens afleiden de waarden, welke de grootheden X, t aannemen voor den kegelniimtenbundel, welke een willekeurig punt A op J tot top heeft. Stel, dat de tweehjn van C44, die door A gaat, de kromme snijdt in 2 punten O en O' resp. met parameterwaarden a en p, dan zijn (X2X4—x8a)+{XjXaCXi-r- X2)} (x8x4— —x1xB)+x1V(x8Xs-V)=0. (32) De grootheden x, ji, v, p, o- en t z*y« dws res/>. evenredig met: i, — (Xj+Xj), (Xi+x^2—xxx2, x1x2(x1+x2), x^x,». Foor tfezé kegelruimten geldt, zoowel P=0 a/s Q=0. Voorts zijn voor deze waarden van X, y., v, p, a en t alle onderdeterminanten van de 2' orde uit 8 en die van de 4' orde uit H gehjk nul. Dit kan ook op de volgende wijze blijken, waarbij tevens een andere vorm voor de grootheden X, (z, v, p, ff en t (n. 1. de vorm (7)) voor den dag komt. Uit de vergehjkingen van de tweehjn, welke de punten van C44 met parameterwaarden xx en X2 verbindt: xi— (xi+x2)x2+x1x2x3=0, x2— (x1+x1)x8+x1x1x4=0, x3— (x14-x2)x4+x1x2x6=0, bhjkt, dat, wanneer N een willekeurig op haar gelegen punt is, met coördinaten x/, x5', de betrekkingen gelden: 1 X1-j~X2 xix2 x8'x4'—-x3'2_ x1'x4'—x2'x3' x1'x3'—x8'2 1 x1-t~xa X]Xa X3'x6' X4'2 Xg'x5' X3 X4 Xg x4 x3 2 zoodat wij x, jx, v, p, c en t gelijk kunnen stellen aan de in (7) vermelde waarden. Immers, stelt men de noemers van bovenstaande 110 QUADRATSICHE KEGELRUIMTEN DOOR C44. m^drukkingen resp. v', w', t', x', —en v' dan komt: . =—• 1 2 v' x' 1 2 v' x' Deze waarden geven, in (32) gesubstitueerd resp. de coëfficiënten: 3 , , —vV + n'2 , x , tx, v , de as is. § 17. Zonder aan de algemeenheid te kort te doen, kunnen wij onderzoeken de kegelruimte voorgesteld door: XjXg—x^O, (33) 112 QUADRATISCHE KEGELRUIMTEN DOOR C44. waarvan de toplijn is de lijn 24, de involutieas van de involutie, voorgesteld door 014-02=O. Immers, door de dubbelpunten van een willekeurige quadratische involutie aan te nemen als de punten 1 en 5 en voorts het coördinatensimplex op de bekende wijze aan te brengen valt de involutieas langs de hjn 24. De vlakken van de kegelruimte, voorgesteld door (33), hebben tot vergehjkingen; x1=Px8» Px5=x3> waarin p een veranderlijke parameter is. Zij snijden de kromme C44 in punten met parameterwaarden Vp en —Vp, terwijl zij de hjn 24 bevatten. Zij zijn dus kegelsnedenvlakken van het oppervlak F, gevormd door de tweehjnen van C44, bepaald door de involutie, waarvan 24 de as is. Zij snijden F volgens een lijnenpaar, bestaande uit de involutieas en een tweehjn der involutie. § 18. Wij willen voor de kegelruimten met een involutieas tot tophjn afleiden de waarden van de grootheden X, (a, v, p, a en t, wanneer de punten van C44 met resp. a en p (a^p) tot parameterwaarden de dubdelpunten der involutie zijn. Wij gaan uit van de vergehjking (33), welke de kegelruimte voorstelt met tot toplijn de as 24, behoorende bij de involutie, voorgesteld door: 0X-|-©2=O, waarvan de dubbelpunten zijn de punten 1 en 5 met resp, tot parameterwaarden oo en 0. Gaan wij nu op een ander simplex over met tot punten 1' en 5', waarvan de parameters t. o. v. het oude simplex zijn resp. a en p dan is bekend, dat de transformatieformules gelden: QUADRATISCHE KEGELRUIMTEN DOOR C4*. 113 X1=X1'—4 a4' a5 voor geen enkele waarde van t tegelijkertijd gehjk nul mogen zijn: 1°. de vijf functies alf a2, a3, a4 en a5 hebben geen gemeenschappelijke deeler t—10. 2°. Voor geen enkele waarde van t kunnen constanten X, (i, v, p gevonden worden, die niet alle gehjk nul zijn, zoodat identiek voldaan is aan: x (P-tP')+n (Q—tQ') + v (R—tR')+P (S—tS') =0. (6) Wij komen dus tot het resultaat: Vier projectieve ruimtenbundels brengen een kromme C44 voort. Wij willen nog even ingaan op het hierboven uitgesloten geval, dat voor een bepaalde waarde van t=t0 vier overeenkomstige ruimten uit de bundels (2) een rechte 1 gemeen hebben. Dan zullen voor die waarde t0 de uitdrukkingen 04, a2, a3, a4 en a6 tegelijkertijd gehjk nul zijn. Zonder aan algemeenheid te verhezen kunnen wij t0 gehjk nul nemen. Dit brengt met zich mede, dat de grootheden a16, a^, a^, a46, a^ gehjk nul zijn. In dit geval wordt door de bundels (2) voortgebracht, de rechte 1 en de derdegraadskromme voorgesteld door: 122 VOORTBRENGING VAN C44 ox1=a11t34-a12t2-t-a18t-f-a14, ox2=a8jt3-{-a22t 4~ a-ast "r-*^» «TX3=a81t3-(-a38t H-a^t-f-a^, ax4=a41t34~a42t -|- a^t -f- aM, ffx6=a51t34-a52t -j-a^t-f-a^. De kromme heeft voor t=0 een punt A met coördinaten: o-x1=a14, CTXg^a^, o-x3=a84, a4 en a5 voldoen in dit geval identiek aan: (ux—tux') *x+(u8—tu8') a8+(u8—tUg') a84+ (u4—tu4') a4+ (u6—tu6')a5=0. Dus wordt ook identiek voldaan aan: —Eu/a.+ SK—tO^-^0. 1-1 i-i dt Stellen wij hierin t=0 dan vinden wij: l-=5 Zu^^O; 1=1 d. w. z. het punt A(a14, a^, a^, aM) aM) ligt in de ruimte P=0. Evenzoo bhjkt, dat A gelegen is in de ruimten Q=0, R=0 en S=0. Derhalve: Gaan vier overeenkomstige ruimten uit de projectieve bundels door eenzelfde lijn, dan brengen die bundels nog een derdegraads kromme voort; de lijn en de derdegraadskromme hebben een punt gemeen. § 2. De dragers der 4 ruimtenbundels besproken in de vorige paragraaf hadden tot vergehjkingen: DOOR PROJECTIEVE STELSELS. 123 P=0, P'=0; Q=0, Q'=0; R=0, R'=0; S=0, S'=0. Wij kunnen deze beschouwen als vertegenwoordigers van oo3 vlakken, die eveneens dragers van projectieve ruimtenbundels kunnen zijn, waarvan er 4 dezelfde kromme C44 voortbrengen als de bundels (2). Wij beschouwen daartoe de ruimtenbundels: A—tA'=0, B—rB'=0, C—rC'=0, D—rD'=0, (7) projectief op elkaar betrokken door ruimten aan elkaar toe te voegen, waarvoor f dezelfde waarde heeft waarbij: A=xaP4-(xaQ4-vaR+PaS, A'=XaP'4^aQ'+vaR' + PaS', B=XbP4-,xbQ+vbR+pbS, B'=xbP'+(xbQ'+vbR'4-PbS', C =x0P4-(x0Q+v0R4-PoS, C'=x0P'4-(i0Q'+v0R'+pcS', D=xdP+^Q-|-vdR+pdS, D'=xdP'4-ptdQ'4-vdR' + PdS'. Hierin zijn Xa, na, pd wülekeurige constanten, mits slechts: I k H-a va Pa Xb f*b vb Pb .q Xo f^c vo Po Xd f*d vd Pd Deze laatste voorwaarde drukt uit, dat voor geen enkele waarde van t 4 overeenkomstige ruimten der bundels (7) meer dan één punt gemeen hebben. De bundels (7) nu brengen dezelfde kromme C44 voort als 124 VOORTBRENGING VAN C44 de bundels (2) .Immers, voldoen de coördinaten van een punt voor een bepaalde waarde van t aan: P—tP'=0, Q—tQ'=0, R—tR'=0, S—tS'=0, dan voldoen ze voor dezelfde waarde van t ook aan: A—tA'=0, B—tB'=0, C—rC'=0, D—rD'=0, terwijl ook het omgekeerde waar is. Wij willen nu nagaan, in welk verband de vlakken, voorgesteld door: xP+nQ4-vR+PS=0, xP'4-[xQ'+vR'4-PS'=0, [ h die als dragers van deze ruimtenbundels optreden, tot C44 staan. Vooraf zij nog opgemerkt: Wij noemen 2 ruimten, voorgesteld door resp. de le en 2e vergehjking van (8), overeenkomstig, welke behooren bij eenzelfde waarde van X:|x:v:p. De beide ruimtenstelsels (8) hebben geen ruimte overeenkomstig gemeen, daar voor de bijbehoorende waarde van X:(x:v:p dan identiek moest gelden: xP4-|xQ+vR+PS—t(xP'-f fiQ'4-vR/+pS')=0. Dit laatste is onmogehjk (Zie § 1 Gevolg 2°.). De vlakken voorgesteld door (8) zijn drievlakken van de kromme C44 bepaald door de bundels (2) oj (7). Immers in de ruimte R3 voorgesteld door xP+(xQ-(+vR+pS=0 hggen 4 punten van C44. Om de punten te vinden, welke in R3 gelegen zijn kunnen wij de conditie neerschrijven, waaronder R3 en de 4 ruimten: P_tP'=0, Q—tQ'=0, R—tR'=0, S—tS'=0 (9) door één punt gaan. Deze condifie luidt: DOOR PROJECTIEVE STELSELS. 125 Ux tUj' u2—tu8' Vi—tvx' v2—tv2' Wx tWj' w2—tw2' Sj tSj s8 ts2 iug+ztvj-l-vwg-l-^, iu4+ftv4-(-vw4-|-es4) ill6+/*V&-|-VW54-j.S& u8—tu3' u4—tu4' u5—tu6' Vjr-tv8' i v4—tv4' v6—tv5' =0.(10) w3—tw3' w4—tw4' w5—tw6' s3—ts8 s4 ts4 s6 ts6 Deze vergelijking is een vierdegraadsvergelijking in t, waarvan één der wortels is t=0. Dit was te verwachten, daar het snijpunt der 4 ruimten P=0, Q=0, R=0, S=0 ook in R3 gelegen is. Vermenigvuldigen wij de vergehjkingen (9) resp. met X, ji, v en p en tellen op dan komt: xP+nQ+vR+pS—t(xP'+(xQ'+vR'+pS')=0. (11) De 4 waarden van t volgende uit (10) zullen ook aan (11) voldoen. Daar genoemde 4 waarden het eerste hd van XP4(iQ-f-vR+pS=0 gehjk nul maken, maken aj ook de m^drukking t(xP'+(xQ'-|-vR'+pS') gehjk nul. Derhalve hggen de 3 punten van C44 welke behooren bij de 3 waarden van t, welke van nul verschülen, ook in de ruimte voorgesteld door: XP' + !xQ'+vR' + PS' = 0. De vlakken voorgesteld door (8) zijn dus drievlakken van C44. Tevens stellen zij alle drievlakken (oo3) voor van C44, daar in hunne vergehjkingen drie willekeurige parameters lineair voorkomen. 126 VOORTBRENGING VAN C4* Wij komen dus tot de volgende conclusies: De kromme C44 wordt uit elk drievlak volgens projectieve ruimtenbundels geprojecteerd; door vier dezer ruimtenbundels wordt zij voortgebracht. Wij kunnen deze uitkomst ook aldus formuleeren: Projecteeren wij vier der punten van C44 uit een drievlak, dan hangt de dubbelverhouding der vier projecteerende ruimten alleen van de gekozen punten op C44, maar niet van het aangenomen drievlak af. § 3. Wij hebben dus gezien, dat vier projectieve ruimtenbundels een kromme C44 voortbrengen. Het snijvlak van 2 correspondeerende ruimten wordt voorgesteld door: P—tP'=0 en Q—tQ'=0. (12) Beschouwen wij nu alleen twee der ruimtenbundels, dan leert eliminatie van t uit de vergehjkingen (12), dat de snijvlakken van correspondeerende ruimten gelegen zijn op de kegelruimte: PQ'—P'Q=0. Deze kegelruimte wordt gevormd door alle drievlakken van C44 door het punt: P=P'=Q=Q'=0, welke drievlakken (Zie de vergelijkingen (8)) blijkbaar worden voorgesteld door: P—sQ=0, P'—sQ'=0. (13) De vlakken (12) zijn dus eenvlakken van C44, wat o. a. reeds hieruit volgt, dat elk vlak (12) met elk vlak (13) ligt in een ruimte: p_tP^(Q_tQ')=0. § 4. Aan het slot van § 2 vermeldden wij de conclusie, dat door vier projectieve ruimtenbundels, een kromme DOOR PROJECTIEVE STELSELS. 127 C44 wordt voortgebracht en dat de dragers dier ruimtenbundels drievlakken van genoemde kromme C44 zijn. Wij kunnen dus de dragers der 4 projectieve ruimtenbundels wülekeurig onder de drievlakken van C44 kiezen; wij kunnen b.v. aan een paar dezer een punt of een koorde van C44 gemeen geven. Brengen wij twee dezer drievlakken door een koorde van C44 dan zullen de beide bundels door deze vlakken een ruimte gemeen hebben (maar niet overeenkomstig gemeen). Deze bundels kunnen dan voorgesteld worden door: P—tP'=0, Q—tP=0; zij brengen dan voort een kegelruimte: P2—QP'=0, die als tophjn heeft de lijn: P=P'=Q=0. De beide snijpunten van deze hjn met C44 zijn dan hare snijpunten met de tweedegraadsruimte: RS'—R'S=0. § 5. Beschouwen wij nogmaals de vier projectieve ruimtenbundels voorgesteld door de vergehjkingen (2): P—tP'=0, Q—tQ'=0, R—tR'=0, S—tS'=0, waarbij omtrent de dragers dier bundels geen bijzondere onderstellingen gemaakt zijn. De kegelruimten voorgesteld door: PQ'—P'Q=0, QR'—Q'R=0, RS'—R'S=0, SP'—S'P=0, hebben dan de kromme C44 gemeenschappelijk en bevatten geen verdere gemeenschappehjke punten1). x) Ook op de kegelruimten QS'—Q'S=0 en PR'—P'R=0 is C4« natuurlijk gelegen, zoodat C44 de gemeenschappelijke doorsnede is van de 6 genoemde kegelruimten. (Zie § 7). 128 VOORTBRENGING VAN C44 Immers C44 ligt op elk dezer 4 kegelruimten. De eerste drie kegelruimten bevatten elk bovendien nog 2 kegelsneden, welke niet op de vierde kegelruimte liggen. Bij de voortbrenging van C44 als de gemeenschappelijke doorsnede van vier kegelruimten met punttop, kunnen wij deze kegelruimten vervangen door andere met tophjn. Nemen wij de vier vlakken, die de snijpunten van C44 met eenzelfde ruimte drie aan drie verbinden tot dragers van de vier projectieve ruimtenbundels, dan ontstaat C44 als de gemeenschappelijke doorsnede van vier kegelruimten met tophjn. Tevens bhjkt dan nogmaals (Zie Hoofdstuk I § 2) dat C44 door 7 harer punten bepaald is; vier der punten geven de vier drievlakken, dragers der projectieve ruimtenbundels, terwijl de drie overbhjvenden dienen om de projectiviteit vast te leggen. § 6. Beschouwen wij de drie projectieve ruimtenbundels: P—tP'=0, Q—tQ'=0, R—tR'=0, dan brengen deze het derdegraadsoppervlak voort als de m. pi. der snijlijnen van overeenkomstige ruimten voorgesteld door: F=| P Ö R 1=0 **-| P' Q' R' I Twee dezer bundels brengen voort de kegelruimte: PQ'-P'Q=0; twee andere de kegelruimte: PR'—P'R=0. De doorsnede bestaat uit het oppervlak F8 en het drievlak: P=P'=0. DOOR PROJECTIEVE STELSELS. 129 Dit vlak ligt echter niet op de derde ruimte: QR'H3'R=o. § 7. Nemen wij ten slotte nogmaals vier projectieve ruimtenbundels: P—tP'=0, Q—tQ'=0, R—tR'=0, S—tS'=0. Het in § 6 gevonden derdegraadsoppervlak F3 wordt door het vlak: P=P'=0, gesneden volgens een kegelsnede, n.1. volgens de kegelsnede, die de doorsnede van dit vlak is met de kegelruimte: QR'-Q'R=0. De doorsnede van F3 met de kegelruimte: PS'_ P'S=0, is nu een kromme van den 6den graad, waartoe echter behoort de pas gevonden kegelsnede, die wel ligt op: PQ'—P'Q=0, PR'—P'R=0, PS'—P'S=0, maar niet op: QS'—Q'S=0 en RS'—R'S=0. Als de gemeenschappelijke doorsnede der kegelruimten uit de matrix: I P Ö R S il-n | P' Q' R' S' |l vinden wij dus slechts de kromme C44, zooals wij moesten verwachten, terug. § 8. Bij de voortbrenging van C44 door 4 projectieve ruimtenbundels sluit zich de volgende aan: 9 130 VOORTBRENGING VAN C44 Wij nemen 2 projectieve stralenstelsels: P_Q_R_S X (i v p F_Q/_R'_S; X (i v p wier toppen de punten: P=Q=R=S=0 en P'=Q'= R'=S'=0 zijn. In het algemeen snijden twee overeenkomstige stralen elkaar niet; hebben ze echter een snijpunt voor een bepaalde waarde van X:n:v:p, dan voldoen de coördinaten van dat punt aan de vergehjkingen : P—tP'=0, Q—tQ'=0, R—tR'=0, S—tS'=0, waarbij t een bepaalde constante is. De m. pl. van dit snijpunt is dus een C44. De m. pl. der snijpunten van twee projectieve stralenstelsels is dus een kromm,e C44, die door de toppen der beide stelsels gaat. Door deze correspondentie zijn tevens de ruimten door de beide toppen projectief aan elkaar toegevoegd; de doorsnede van een paar correspondeerende ruimten is elk vlak: aP+PQ+YR + SS=0, 1 aP'+pQ'+TR' + 8S'=0. J Doorloopt n.1. de straal: P_Q_R_S X [X v p de eerste van deze beide ruimten, dan doorloopt de met haar correspondeerende straal de tweede ruimte. DOOR PROJECTIEVE STELSELS. 131 Derhalve: De correspondeerende ruimten door de toppen der projectieve stralenstelsels brengen de drievlakken van C44 voort. Tevens zijn door deze projectieve stralenstelsels de vlakken door de beide toppen projectief aan elkaar toegevoegd. De correspondeerende vlakken, die 2 aan 2 in eenzelfde ruimte liggen, brengen de koorden van C44 voort. HOOFDSTUK VIII. EENIGE EIGENSCHAPPEN VAN DE KROMMEN C44 DOOR 6 PUNTEN. § 1. De kromme C44 is door 7 willekeurig gekozen punten bepaald. Noemen wij deze resp. Alf Ag A7. Kiezen wij de punten Av A8, A6 tot hoekpunten van het coördinatensimplex, dan kunnen wij elke kromme C44, door deze 5 punten voorstellen door: Pxi=ë±i' P*=ë=p' '*W*3P px4=0=8' • waarin 8 de veranderhjke parameter en a, p, y, 8 ene de parameterwaarden resp. van de punten Alf Ag, A3, A4, A6 voorstellen. In bovenstaande vergehjkingen komen 10 constanten voor, dus 9 verhoudingen, waarvan wij er over 3 kunnen beschikken door een projectieve transformatie van de parameter: mH-n De 6 overige kunnen dan bepaald worden door C44 de voorwaarde op te leggen door 2 gegeven punten A6 en A7 te gaan. Geven wij nu 7 punten van de kromme, waaronder KROMMEN C44 DOOR 6 PUNTEN. 133 de 5 hoekpunten van het coördinatensimplex en 2 punten resp. met coördinaten: (x/, V» x3', x4', x5') en (x^', xa", x3", x4", x5"), dan is de kromme bepaald. Nu kunnen wij aan drie punten een bepaalde parameterwaarde toekennen. Zij deze voor: (xx', x'2. x'8, x'4, x'5): 0 en voor: (x"1( x"2, x"3, x"4, x"5): », dan gelden de betrekkingen: ai. a2. a3. a4. a5_Y /.„>.„/.„>.„/ a p y ° 6 en a1:a2:a3:a4:a6=x1 :x2 :x3 :x4 .x6 . Nu beschikken wij nog over de vrijheid één willekeurig punt P van de kromme C44 een gegeven parameterwaarde toe te kennen. De vergehjkingen worden nu: xi" xa" v xa" PXi= —77' PX2= —77' pX3= —tt' h©-A he—% xx' x2 x3 x4" Ü x8" PX4= —77' PX5= -77' m x4 x5 waarin h een wülekeurige constante is, welke wij gehjk één kunnen nemen. Vervangen wij nu h© door 0 en nemen wij (xj', x2', x3', x4', x6') tot eenheidspunt aan, dan komen wij tot de vergehjkingen: xi" v x6" Pxi=0=^' pX5=0-x5"' die een kromme C44 voorsteUen door de hoekpunten van het coördinatensimplex, het eenheidspunt en een willekeurig aangenomen punt (xx", x6"). 134 KROMMEN C44 DOOR 6 PUNTEN. § 2. Schrijven wij de vergehjkingen neer van een kromme C44 gaande door 7 punten A1; A2, A3, A4, A6, E en P, waarbij wij de eerste 5 dezer punten tot hoekpunten van het coördinatensimplex kiezen en het punt E tot eenheidspunt, terwijl de coördinaten van P voorgesteld worden door ylt y2,~y3, y4 en y6, dan volgt uit (1), dat deze van den vorm zijn: —«=A' SK& frfe De parameterwaarde van het punt E is 0, die van P is oo. Beschouwen wij P als veranderlijk, dan stellen de vergehjkingen (2) alle krommen C44 voor, gaande door 6 gegeven punten. Hun aantal is drievoudig oneindig. Een nader onderzoek over dit krommenstelsel zou ons te ver voeren. Wij bespreken slechts enkele eigenschappen van de involutie, die ingesneden wordt op een ruimte. Beschouwen wij de 4 snijpunten van zoo'n kromme (2) met een ruimte R3 door P en noemen wij deze punten P, Q, R en S, dan zullen de parameters dezer punten gevonden worden, indien de vergehjking van R3 luidt: a1x1-|-a2x2-|-a3x3-(-a4x44"a5X5=0, (3) waarbij voldaan is aan: aiyi4-a2y2-|-a3y3-l-a4y4+a6y6=0, (4) uit de vergehjking: aiyi ■ a2y2 ajffg a4y4 a5y5 „. ©-yi ©-ya^e-ya o-y4 ©-y5 ' y ] waarvan een der wortels 0 gehjk « zijn moet. KROMMEN C44 DOOR 6 PUNTEN. 135 Inderdaad blijkt bij herleiding van (5) de coëfficiënt van ©4 gehjk nul (n.1. gehjk aan a.1y1+a^y2+asy3+ +a4y4+a5y6) te ziïn- De overige 3 wortels volgen uit de resteerende vergehjking van den derden graad. Het punt P bhjkt nu tot het vlak QRS (drievlak van C44) t.o.v. een tweedegraadsoppervlak 032 in verband te staan als pool en poolvlak, hetgeen wij willen aantoonen. Om de vergehjking van 032 te vinden, zoeken wij de m. pl. der punten P, die in het vlak QRS gelegen zijn, d.w.z. met één der punten Q, R of S samenvallen, dus de m. pl. van de raakpunten van krommen C44 door de 6 punten Alt A2, A3, A4, A5 en E met de ruimte R3. Vergehjking (5) moet dan 2 wortels 0=<» opleveren; de coëfficiënt van 03 moet gelijk nul zijn. De genoemde m.pl. heeft dus tot vergehjkingen: a1Y1(Yi+Y8+Y4+YB)+a,Y1(Y1+Y.+Y4+Y5) + +a8Y3(Y1+Y2+Y4+Y5)+a4Y4(Y1+Y2+Y3+Y5) + +a5Y6(Y1+Y2+Y3+Y4) =0 (6) en a1Y1+a2Y2+a3Y3+a4Y4+a6Y6=0, (6') waarin Yv Y2, Y3, Y4 en Y6 loopende coördinaten voorstellen. Ter afkorting Y1+Y2+Y3+Y4+Y5 gehjk s stellende, kan (6) geschreven worden in den vorm: aiYl(s—Y1)+a2Y2(s—Y2)+a3Y3(s—Y3)+a4Y4(s—Y4) +a5Y6(s-Y6)=0; of s(a1Y1+a2Y2-r-a3Y3+a4Y4+a6Y5)—{*lY1*+atYtt+ +a3Y22+a4Y42+a6Y62)=0. 136 krommen c44 door 6 punten. Krachtens (6') luiden dus de vergehjkingen van bedoelde m. pl.: a1Y12+a2Y22+a8Y82+a4Y42+a6Y52=0 a1Y1+a8Y8+a8Y8+a4Y4+a6Y6=0. 1 ; Het poolvlak van Pfo, y8, y8, y4, y5) t. o. v. (7) heeft tot vergelijkingen: aiyiY1-r-a2y8Y8+a3y3Y8+a4y4Y4-r-a6y6Y6=0, (8) a1Y1+a1Yt+atY,+a4Y4+a5YB=0. (8') Wij zuUen nu bewijzen, dat dit vlak hetzelfde is als het vlak QRS. Dadelijk valt in het oog, dat de ruimte (8) door het punt £ (1, 1, 1, 1, 1) der kromme gaat. De snijpunten van (8) met de kromme (2) bepalende zien wij dus, dat één der wortels 0 gehjk nul moet zijn. De coördinaten (2) in (8) en (8') substitueerende, krijgen wij het volgende tweetal vergehjkingen: aiyi2 | a2y22 i a3ya2 , a4yi2 . asys2 _q /q\ 0—yi^0—y/0—y3"r0—y4^0—y5 \ 1 (een der wortels is 0=0); en verg. (5), aiyi . a2y2 , a3y3 . w , a6y5 =Q m Q—y^Q—y^Q—y^Q—yjQ—y, ' \ 1 (een der wortels is 0=».) terwijl (4) geldt. Wij zullen aantoonen, dat (9) en (9'), na het eerste hd van de eerste vergehjking door 0 gedeeld te hebben, dezelfde derdegraadsvergehjking voorstellen (in (9) valt immers krachtens (4) de term met 0* weg), zoodat dus de 3 snijpunten Q, R, S van (8') met de beschouwde kromme liggen in het vlak bepaald door (8) en (8'). KROMMEN C44 DOOR 6 PUNTEN. 137 Vergelijken wij n.1. lreidederdegraadsvergehjlringen, dan wordt in (9') de coëfficiënt van 08 (zie de herleiding van (6) tot (7)) =a1y12+aay22+a3y82-|-a4y424-a6y62 en in (9) wordt die coëfficiënt dezelfde. In (9') wordt de coëfficiënt van 02 gehjk aan: aiyi(y2y3+y2y4+y2y5+y3y4+y3y5+y4y5) + +a6y6(yiy2+yiy3+y iy4+y2y3+yay4+y3y4) (1 o) en in (9): —{aiyi2(ya+y3+y4+y6)+ +a5y62(yi+ +y2+y3+y4)}- (io') SteUen wij 2 ykyigehjk p(k^l.), dan is (10) k = l. 8. 3. 4, 6 1 = 1. 2. 3. 4, 5 te herleiden tot: wAte—yi(y2+y3+y4+y6)}+ +a6y5{(p— —ystyi+yi+ya+yJ); krachtens (4) is deze vorm dezelfde als de vorm (10'). In (9') is de coëfficiënt van 0 gehjk aan: —{aiyi(y2y3y4+y2y3y5+y2y4y5+y3y4y5) + +a6y5(yiy2y3+yiy2y4+yiy3y4+y2y3y4)} 01) en in (9) is deze coëfficiënt: aiyi2(y2y3+y2y4+y2y5+y3y4+y3y5+y4y5) + +a6y52(yiy2+yiy3+yiy4+y2y3+y2y4+y3y4) • OH Stellen wij 2 y&iyJ)&U k^m; l=£m) ge- k = l. 2, 3, i, 5 1 = 1. 2, 3, 4, 5 m=l, 2. 3. i. 5 lijk q, dan is (11) te herleiden tot: —{aiyi(q—yi(y2y3+y2y4+y2y6+y8y4+ysy5+y4y5)) + +a6y6(q—y5(yiy2+yiy3+yiy4+y2y3+ +y2y4+y8y4))}- Krachtens (4) wordt deze mtdrukking gelijk aan (11'). 138 KROMMEN C44 DOOR 6 PUNTEN. Eindelijk is in (9') de bekende term gelijk aan: ^^^^5+ +^^^^4 of (a14-a2+a3+a4-|-a6)y1yay3y4y6. (12) In (9) wordt deze: —{aiyi2(y2y3y4+y2y3y5+y3y4y5+y2y4y6) + +a5y52(yiy2y3+yiy2y4+yiy3y4+y2y3y4)} • (12') Stel: yiy2y3y4+yiy2y3y5+yiy2y4y5+yiy3y4y5+y2y3y4y5 gehjk r, dan is (12') te herleiden tot: —{a^r—y^^-f +a6y5(r—yiyay3y4)} of tot: (a1+a2+a3-|-a4+a5)y1y2y3y4y5. Dus het poolvlak van (y^ y2, y3, y4, y5) bevat de punten Q, R en S. Derhalve: Een kromme C44 door 6 gegeven punten snijdt een bepaalde ruimte R3 in 4 punten, welke de hoekpunten vormen van een viervlak, dat poolviervlak is t. o. v. een tweedegraadsoppervlak 032, dat de m. pl. is van de raakpunten van de krommen C44 door de 6 gegeven punten met de ruimte R3. § 3. Wij kunnen de boven besproken derdegraadsvergelijking de volgende gedaante geven (Zie § 2): —03[a1yi(y24-y3+y4+y6)+ +a5y5(yi+ +y2+y3+y4)]+®2[aiyi(y2y3+yay4+y2y5+y3y4+ +yay5+y4y5)+ +a6y5(yiy2+yiy3+yiy4+ +y2y8+y2y4+y3y4)]—®[aiyi(y2y3y4+y2y3y5+ +y2y4y5+y3y4y6)+ +a6y5(yiy2y8+ +yiy2y4+yiy3y4+y2y3y4)]+(a14-a2+a3-i-a4+a5) yiy2ysy4y5=0. welke afgekort geschreven kan worden: KROMMEN C44 DOOR 6 PUNTEN. 139 — 03 2 ajytfk+e2 2 a^v^,—0 2 atf1yky1ym+ 1. k. 1, k, 1. i, k, 1. m. + 2 a1yiyky1ymyn=0. (13) i, k, 1. m, n Hierbij moeten in de sommaties i, k, 1, m en n in elk product steeds verschillend genomen worden. Wij hebben reeds gevonden de m. pl. der punten, waarin de krommen, voorgesteld door (2), de ruimte, voorgesteld door (3), aanraken; wij kunnen haar het dubbeloppervlak van de involutie noemen, welke genoemde krommen insnijden in die ruimte. Wij leiden vervolgens af de vergehjking van het vertakkingsoppervlak, d.w.z. de m. pl. der punten, die met een punt van het dubbeloppervlak tot eenzelfde viertal punten van de involutie behooren. Zal P (y,) op dat oppervlak hggen, dan moet P (y^ zoo aangenomen worden, dat de vergehjking (13) twee gelijke wortels heeft. Wordt dus met D de discriminant van (13) bedoeld, dan is: D=0 de vergehjking van het vertakkingsoppervlak, dat derhalve van den veertienden graad is. Hieruit volgt weer: De krommen C44 door 6 gegeven punten, die een gegeven ruimte raken vormen een ruimte van den achttienden graad, daar zij deze snijdt in de punten van het vertakkingsoppervlak en raakt volgens het dubbeloppervlak. Vervolgens is uit (13) af te lezen: De m. pi. der punten, waarin 3 punten van eenzelfde viertal der involutie samengevallen zijn, vormen een kromme van den zesden graad: 140 KROMMEN C44 DOOR 6 PUNTEN. 22^=0; Sa,y,yk=0; Sa^^^O; of: 2^=0; Sa#i2=0; Sa^y^O. Voorts zijn er vier en twintig krommen C44, die door 6 gegeven punten gaan en een gegeven ruimte tot osculatieruimte hebben; deze ruimten zijn osculatieruimten in de punten, waar alle 4 punten van eenzelfde viertal uit de involutie samenvallen; zij worden bepaald door: 23^=0; Sa^y^O; ^#^=0; 2a,y1ykyiym=0, of: 2^=0; 2a1y21=0; Sa^^O; Sa^^O. § 4. De ruimte R3 wordt door een lijn 1, die 2 der 6 punten (basispunten) Av A2, A3, A4, A6 en E verbindt, gesneden in een punt M en door de ruimte R3' door de andere 4 der basispunten volgens een vlak V. V is het poolvlak van M t. o. v. 032 in R3. 1 gaat door A6 en E. De vergelijkingen van 1 zijn: pX!=l, px2=l, px3=l, px4=l, pX6=l-(-(X. (14) De coördinaten van M zijn dus: illl [a1+aa-|-a3-|-a4 De ruimte R3' door Alt A2, A3 en A4 heeft tot vergehjking: x6=0, (15) zoodat de vergehjkingen van V zijn: x6=0 en a1x1+a2x2-f-a3x3+a4x4+a5x5=0. (16)" De vergehjkingen van het poolvlak van M t. o. v. 032, voorgesteld door: KROMMEN C44 DOOR 6 PUNTEN. 141 aiX124-asX82--r-a3X32-l-a4x4 4-3-5X5 —0 en ajXj + a2X2 4" a3x3 ~t" a4X4 "T" a5X5= luiden: a1x14-a8X24-a8x34-a4x4—(a14-a24-a84-a4)x6=0 en a1x14-a2x84-a8x84-a4x44-a8X5=0. (17) Deze vergelijkingen stellen evenals (16) het vlak V voor. V is dus het poolvlak van M t. o. v. 082. Het vlak V door 3 der basispunten (Ax, A8, A8) en het vlak V' door de andere 3 (A4, A6, E) snijden R8 resp. volgens 2 hjnen 1 en 1', die toegevoegde poollijnen zijn t. o. v. 082. De vergehjkingen van 1 zijn: x4=0; (18) x6=0; ai^x 4* a8X2 4" 03X3=0 ] die van 1': x—x3=0; (19) x2—x3=0; (a^aa+agJx^a^+agXg^O. Bepalen we de toegevoegde poolhjn van 1 t. o. v. 082 dan vinden we: X,—x8=0; xx—x2=0; (20) (a14-a24-a3)x14-a4x4+a5x5=0Deze vergelijkingen stellen de hjn 1' voor. Bepalen wij de toegevoegde poolhjn van 1' t. o. v. 082, dan vinden wij 1. 142 KROMMEN C44 DOOR 6 PUNTEN. § 5. Hieronder volgen nog eenige opmerkingen over het door (7) voorgestelde oppervlak 082 het „dubbeloppervlak" in R3, in verband met het stelsel krommen C44 door 6 gegeven punten. a) Gaat R3 door het snijpunt P van AXE en de , ruimte A2 A3 A4 A6, dan zal P hggen op het dubbeloppervlak in R3. De vergelijkingen van AXE zijn: px1=14-(i, px2=px3=px4=px5=jx. De vergelijking van de ruimte A2A3A4A5 is: X!=0. De coördinaten van P zijn dus (0, 1, 1, 1, 1). De vergehjking van R3 is: ajX j -f - a2x2 4~ a3x3 -|- a4x4 (a2 4- a3 -|- a4) Xg=0 en de coördinaten van P voldoen tevens aan: ajX^-l-a^Xg -|-a3x32-|-a4x42 (a2-|-a3-|-a4)xg =0. b) Gaat R3 door het snijpunt P van 2 vlakken Vx en V2, die elk voor zich gaan door drie van de 6 gegeven punten, dan ligt P op det dubbeloppervlak in R8. Gaat door Av A2 en A3 en V2 door A4, A5 en E, dan zijn de vergehjkingen van V1 en V2 resp: x4=0 en x6=0; P heeft dan tot coördinaten (1, 1, 1, 0, 0.). De vergelijking van R3 luidt: a^j-l-ajXa—(a14-a8)x84-a4x4+a6x6=0 en de coördinaten van P voldoen tevens aan: a1x124-a2x22—(a14-a8)x32+a4x424-a6x62=0. c) Gaat de ruimte door één der 6 gegeven punten (Ax), dan wordt het dubbeloppervlak in Rg een kegel met A1 tot top. KROMMEN C44 DOOR 6 PUNTEN. 143 De vergehjking van R3 wordt: a2x2 4~ a^x3 4- a4x4 4~ 3-gXg=0. Het stelsel: aax224-a3x32-)-a4x424-a6x52=0 en agXj^ajX^a^^agX^O stelt een quadratisch kegel-, oppervlak voor met Ax tot top. d) Gaat R3 door 2 der 6 gegeven punten (Ax en Aj) dan ontaardt het dubbeloppervlak in 2 vlakken, die elkaar volgens de lijn A^Aj snijden. De vergelijking van het dubbeloppervlak in R3 is in dit geval: a3X3 ~r"a4x42~r"a5x68==0 en a3x3+a4x4+a6x6=0. Deze beide vergehjkingen stellen 2 (reëele of imaginaire) vlakken voor met bestaanbare snijlijn AXA2. Het bhjkt, dat voor a3a4a6(a3-f a44-a5)=0 de 2 vlakken samenvallen; voor a3=0 gaat R3 bovendien door A3, voor a4=0 door A4, voor a5=0 door Ax en voor a3-|-a4-fa6=0 door E. Het gehjk nul zijn van twee dezer grootheden a3, a4, a6, a8+a44-a5 heeft hier natuurlijk geen beteekenis. R3 zou dan door 4 der 6 gegeven punten gaan. Wij hebben dus ook bewezen: e) Gaat de ruimte R3 door 3 der 6 gegeven punten, dan ontaardt het dubbeloppervlak in R3 in twee samenvallende vlakken, welke die drie punten bevatten. § 6. De eerste vergehjking van het stelsel (7): a1x124-aaxa24-a3x32-|-a4x424-a6x62=0 stelt voor de ruimten van den 2en graad R42, voor welke het coördinatensimplex A1A2A3A4A6 poolvijfcel is. Uit de gelijkwaardigheid der 6 punten Alf A2, A3, A4, A6 en E volgt dus deze stelling: Het dubbeloppervlak 032 gelegen in een ruimte R3, 144 KROMMEN C44 DOOR 6 PUNTEN. kan beschouwd worden als de gemeenschappelijke doorsnede van R8 met 6 bepaalde tweedegraadsruimten R42; /. o. v. elk dezer is een vijf cel, waarvan de hoekpunten zijn 5 der 6 gegeven punten A1} Aa, A3, A4, A6 en E, poolvijfcel. HOOFDSTUK IX EENIGE EIGENSCHAPPEN VAN DE RATIONALE KROMME VAN DEN VIERDEN GRAAD C34 IN EEN DRIEDIMENSIONALE RUIMTE1), AFGELEID UIT DIE VAN C44 DOOR CENTRALE PROJECTIE. § 1. Wanneer wij een willekeurig punt P (niet op C44 gelegen) verbinden met alle punten van C44 dan ontstaat een kegelopperylak K44 van den 4en graad, dat een willekeurige ruimte R8 (niet door P gaande) snijdt volgens een rationale kromme van den vierden graad C48. De drievlakken van C44 door P vormen een quadratische kegelruimte, welke door R8 volgens een tweedegraadsoppervlak gesneden wordt. Op dit oppervlak ligt C48. De rechten van het eene stelsel snijden C48 in 3 punten, die van het andere in één punt. Door P gaan 4 osculatieruimten aan C44. Deze 4 ruimten hebben 4 samenvallende beschrijvenden van K44 met. K44 gemeen en snijden elk R3 volgens een vlak, dat 4 samenvallende punten met C43 gemeen heeft. Deze 4 punten zijn de planaire buigpunten van C.8 Omgekeerd zal elk vlak in R8, dat C48 in 4 samenvallende punten snijdt uit P geprojecteerd worden door een ruimte, die met K44 4 samenvallende be- ') D. J. E. Schrek. Rationale krommen van den vierden graad. Acad. Proefschrift. (Utrecht, J. v. Druten, 1915). 10 146 EIGENSCHAPPEN VAN DE RATIONALE KROMME C43. scbxijvenden gemeen heeft en dus C44 osculeert. Bijzondere gevallen: d) Ligt P op het oppervlak voorgesteld door (6) van § 4 Hoofdstuk III, de m. pl. der snijpunten van 2 nietopeenvolgende osculatievlakken van C44, dan heeft C34 slechts 2 verschillende planaire buigpunten. Neem voor P b.v. het punt 3 (snijpunt der osculatievlakken van C44 123 en 345). De osculatieruimten van C44 gaande door genoemd punt osculeeren C44 in punten met parameters X, welke voldoen aan 6x2=0. Van de verwachte vierdegraadsvergehjking ontbreken de termen met X4 en X3. De gezochte parameterwaarden zijn dus x=co (dubbel geteld) en X=0 (dubbel geteld). De bedoelde planaire buigpunten zijn de snijpunten van 31 en 35 met R3. Echter heeft C43 in de beide genoemde punten ook buigpunten in den gewonen zin. Projecteeren wij n.1. uit een punt P gelegen in een osculatievlak1) van C44, dan zal dat osculatievlak C44 in drie samenvallende punten snijden en tevens de ruimte R8 volgens een hjn, die met C48 drie samenvallende punten gemeen heeft. De bedoelde lijn is dus een buigraakUjn. b) Ligt P op een raakhjn van C44, dan gaan door P drie samenvallende osculatieruimten; dus heeft C43 ook 2 verschillende planaire buigpunten, waarvan één is een keerpunt. c) Ligt P op de ruimte I=yiy5^y2y4+3y32=0' (Zie Hoofdstuk III § 11) dan hggen de 4 punten, waar de osculatieruimten uit P aan C44 deze kromme osculeeren in een ruimte door P,dus de snijpunten der verbindings- *) d. w. z. ligt P op de ruimte y (Hoofdstuk III, § 2). EIGENSCHAPPEN VAN DE RATIONALE KROMME C48. 147 lij nen van P met genoemde 4 punten snijden R8 in 4 punten, die ook in die ruimte door P liggen. Daar ze ook in R8 liggen, die niet door P gaat, liggen ze in één plat vlak. Op deze bijzondere gevallen komen we nog terug. § 2. Aangezien door een willekeurige lijn (nullijn van C44) 6 drieraakruimten van C44 gaan, zullen door een willekeurig punt S van R8 6 osculatievlakken van C48 gaan. Deze is van de 6e klasse. Daar door een éénlijn van C44 3 drieraalaruimten gaan van C44 kan men door een punt A van C48 drie osculatievlakken aan C43 aanbrengen. § 3. Deze drie osculatievlakken osculeeren C48 in 3 punten welke met het genoemde punt A van C48 in één vlak hggen. Een drieraakruimte, die C44 osculeert in een punt met parameter X en de kromme bovendien nog snijdt in een punt met parameter x0 heeft tot vei^ehjking: xi—(3x+x0)x24-(3x2+3xx0)x3—(x3+3x2x0)x4+ -t-x3x0x5=0 (1). Nemen wij X0=0 en eischen wij, dat een wülekeurige éénlijn door dat punt in de drieraakruimte ligt, dan zal, als deze hjn wordt voorgesteld door: x1=a1x4, Xj= p\x4, X8=TiX4, zij dus moeten hggen in de ruimte voorgesteld door: Xj—Sxxj-fSx^a—x8x4=0. Hieruit volgt de betrekking: ai—OPiX-r-SyjX2—X8=0. Hieraan voldoen drie waarden van X. Wij noemen deze Xj, x8, en x3. 148 EIGENSCHAPPEN VAN DE RATIONALE KROMME C43. We merken nog op, dat (04, px, fv 1, 8X) een punt op de gekozen éénlijn is, niet samenvallend met haar snijpunt met C44. Beschouwen wij nu den determinant: 0 0 0 0 1 I i a 1 S al Pl ïl 1 «1 Pl ïl 1 81 X 3 X 2 X 1 A= V V *x2 *i 1 =Ws x\ fl £ 1 . (3) X * X 3 X 2 X 1 2 2 2 A2 A2 A2 A2 1 X 3 X 2 X3 1 *8* ^88 X82 X8 ^ / dan is gemakkelijk te bewijzen, dat deze wegens (2) gehjk nul is. Bovenstaande determinant ontmoeten wij nJ. dok bij de kubische ruimtekromme: pxx=X3 px2=x2 px3=X px4=l, waarbij uit het feit, dat hij gehjk nul is, volgt dat de drie punten der ruimtekromme in een zelfde vlak hggen met het snijpunt hunner osculatievlakken. Derhalve is hier A=0, zoodat wij dus vinden: Een éénlijn van C44 hgt in eenzelfde ruimte met de drie punten, waar de drieraakniimten, die door haar gebracht kunnen worden, de kromme C44 osculeeren. Voor de kromme C43 volgt dus hieruit: Door een willekeurig punt van C43 gaan drie vlakken, welke de kromme elders osculeeren; de drie punten liggen met het eerst aangenomen punt in éénzelfde vlak. § 4. De vergehjkingen van een raakvlak, dat C44 bovendien nog in een ander punt snijdt luiden: Xl—(2x+x1)x2+(x24-2xx1)x3—x2xxx4=0, , —x2+(2x+Xi)x3— (x2+2xx1)x4+X2X1x5=0. Zij doen inzien, dat door een willekeurig punt in het algemeen 4 zulke vlakken gaan, hetgeen voor C43 neerkomt op het bestaan van 4 rakende trisecanten. EIGENSCHAPPEN VAN DE RATIONALE KROMME C43. 149 § 5. Neemt men op C43 een punt P en snijdt het osculatievlak in P de kromme bovendien nog in Q, dan noemt men PQ, zoo het osculatievlak in Q de kromme bovendien nog in P snijdt, hoofdkoorde van C48. Teneinde het aantal dezer hoofdkoorden en eenige eigenschappen hiervan af te leiden, vragen we ons af, hoeveel drieraakruimten van C44 door een willekeurig punt (a, b, c, d, e) gaan, die zóó paarsgewijze te rangschikken zijn, dat één drieraakruimte, die C44 in het punt met parameter X osculeert nog gaat door een punt met parameter x0, terwijl de andere C44 osculeert in het punt met parameter X0 en de kromme snijdt in het punt met parameter X. Dan moeten x en x0 voldoen aan: a—(3x4-x0)b+(3x2+3x0x)c—(x34-3x2X0)d+X8X0e=0, a—(3x0+x)b+(3x02+3xx0)c—(x03 +3x02x)d+ (5) +xx03e=0. Lost men uit de eerste vergehjking van (5) x0 op en substitueert men de gevonden waarde in de tweede, dan komt een tiendegraadsvergelijking in X, die 10 waarden voor x geeft. Duidelijk is, dat hierbij voorkomen de 4 parameters X van de punten, waarin de 4 osculatieruimten door (a, b, c, d, e) C44 osculeeren. De andere 6 waarden voor X zijn de gezochte. ,, . ,. L a-^xb+Sxac—X3d Men vindt: Xn=z— „ n, —• (6) 0 b^ïXc-r-SxM—X»e v ' Deze uitdrukking geeft de bij een waarde X behoorende waarde X0. De opgaaf doet zien, dat X en X0 verwisselbaar zijn, zoodat gevonden worden 3 paren punten, dus 3 paren 150 EIGENSCHAPPEN VAN DE RATIONALE KROMME C48. drieraaknnmten door (a, b, c, d, e), die de onderstelde eigenschap hebben. Teneinde, zonder aan de algemeenheid te kort te doen, de vergehjkingen iets te vereenvoudigen, kiezen we a, b, c, d en e zóó, dat de beide ruimten x2=0 en x4=0, die de vereischte eigenschap hebben door het gegeven punt gaan, m. a. w. we kiezen het genoemde punt in vlak 135 en kennen het de coördinaten a, o, c, o, e toe. Dan gaan (5) en (6) resp. over in (7) en (8): a+c(3x24-3XX0)+eX3x0=0, .„ a+c(3x02+3x0x)+ex0»x=0 * 1 en , —a—3cX2 X°=3cx+X8e' <8>Substitueeren wij deze waarde voor x0 in de T vergehjking van (7) dan vinden wij: (ae—9c2) (e2x»+6cex7—6acX8—a2x) =0. (9) Deze vergehjking is, zooals we konden verwachten van den 9en graad, waaruit nogmaals blijkt, dat één der gezochte parameterwaarden oneindig is, terwijl ook nul een wortel dezer vergehjking is. Onderstellen wij voorloopig ae—9c2 ongehjk nul dan is: e2X8+6ceX«—6acx2—a2=0. (10). De parameters x der punten, waarin de osculatieruimten door het punt (a, o, c, o, e) aan C44 deze kromme osculeeren, voldoen aan: ex4+6cx2+a=0. (11) Het ligt dus voor de hand te verwachten, dat het 1 e lid van (11) een factor is van het le hd van (10). Inderdaad is e2x8+6cex«—óacx2—a2==(eX4+6cX2+a) (ex4—a). EIGENSCHAPPEN VAN DE RATIONALE KROMME C43. 151 De parameters X, die voldoen aan ex4—a=Ozijnde gezochte. Wij vinden: x= + v/-, —i^-e e e e Paarsgewijze behooren bij elkaar de parameterwaarden : 0 en ao,4-<&- en —en — e e e e Op te merken valt, dat elk paar door elk ander paar dezer punten harmonisch gescheiden wordt. Verder valt het in het oog, dat in de gevonden parameterwaarden de coördinaat c niet voorkomt. Hieruit volgt, dat de gevonden drieraakruimten niet slechts het punt (a, o, c, o, e) gemeen hebben maar de rechte hjn ex1=ax6, x2=0, x4=0. Deze uitkomsten geïnterpreteerd voor C43 geven de stellingen: 1 °. Een kromme C43 bezit in het algemeen drie hoofdkoorden. 2°. De drie hoofdkoorden van een kromme C43 gaan door één punt. § 6. Deze uitkomsten zijn in verband te brengen met vroeger gevondene, indien wij beschouwen de uitkomsten verkregen in Hoofdstuk V naar aanleiding van de aldaar besproken involutieassen en van de in Hoofdstuk II besproken, door C44 bepaalde, polaire verwantschap. Wij vonden n.1. Is (i) een involutie op C44 en de bijbehoorende involutieas, dan wordt aj gesneden door de involutie- 152 EIGENSCHAPPEN VAN DE RATIONALE KROMME C43. assen van involuties, waarvan de dubbelpunten een puntenpaar van (i) vormen. Nemen we voor (i) de involutie met tot dubbelpunten de punten l(x=<») en 5(X=0), dan hebben de puntenparen bij deze involutie behoorende tot parameterwaarden Xx en —Xx; kiezen we nu tot dubbelpunten van een tweede involutie (i') de punten p en —p, dan zal de as a't behoorende bij (i') de as a^ van de eerste involutie (i) snijden. T. a. p. bewezen we, dat in het vlak door a1 en a't ook nog lag de involutieas a"t behoorende bij de involutie (i"), welke tot dubbelpunten had de punten met parameterwaarden ip en —ip. Nu is in de genoemde polaire verwantschap aan een involutieas toegevoegd een vlak (involutievlak) dat de doorsnede is van die drieraaknumten A en B, osculeerende aan C44 resp. in de beide dubbelpunten der involutie a en b, waarbij B C44 nog in a en A C44 nog in b moet snijden, (b.v. de hjn 24 en het vlak 135). Het bhjkt dus, waar we weten (p gehjk aan stellende), dat de 3 involutieassen, behoorende bij involuties met resp. tot dubbelpunten de punten met parameterwaarden 0 en », 4-^^ en —v^> —iv7-» in één plat vlak liggen, dat de doorsneden van de zoo juist behandelde paren drieraakruimten (involutievlakken) (osculeerende in telkens één der punten en gaande door het andere) door één rechte lijn moeten gaan. EIGENSCHAPPEN VAN DE RATIONALE KROMME C43. 153 § 7. In § 5 onderstelden we ae—9c2 ongelijk nul. In Hoofdstuk III § 4 is afgeleid, dat de m. pl. van de snijpunten der osculatievlakken van C44 een oppervlak S is, voor te stellen door: px^óx^Xg2, Pxa=3x1xa(x14-x2), Px8=(x14-xa)24-2x1xa, px4=3(x14-xa), px6=6. Is dus ae—9c2=0, dan ligt het punt (a, o, c, o, e) op S, is dus een snijpunt van 2 osculatievlakken van Daar in de polaire verwantschap met een dubbelraakruimte aan C44 overeenkomt het snijpunt der beide osculatievlakken in de raakpunten dier ruimte van C44, kan men uit de in Hoofdstuk V genoemde stellingen: 1) Alle involutieassen, die een involutieas p snijden hggen in een ruimte. 2) De ruimte, waarin alle involutieassen hggen, die een bepaalde involutieas p snijden is de dubbehaakruimte aan C44, in de punten, welke de dubbelpunten zijn van de involutie, welke de as p bepaalt, afleiden: de stellingen'. 1) De involutievlakken, die met één bepaald involutievlak in één ruimte liggen, gaan alle door één punt. 2) Het punt, waardoor alle involutievlakken gaan, die met een bepaald involutievlak in één ruimte liggen, is het snijpunt van twee osculatievlakken aan C44, in de punten, iie dubbelpunten zijn van de involutie, welke laatstgenoemd involutievlak bepaalt. Ligt dus het punt P, waaruit we C44op R3 projecteeren op S, dan heeft dit voor C43 de beteekenis, dat deze oneindig veel hoofdkoorden bezit, daar door P ian oneindig veel involutievlakken gaan. De door- 154 EIGENSCHAPPEN VAN DE RATIONALE KROMME C43. snede van R3 met een dier involutievlakken bepaalt een hoofdkoorde. Opmerking: Vergelijking (9) luidde: (ae—9c2)(e2X9+6ecX7— —-óacx3—a2x)=0. Is nu a=e=o, dan wordt deze vergelijking, zonder dat ae—9c2 gelijk nul is, onbepaald. Nu is het punt P samengevallen met het punt 3, ook een punt van S. § 8. Zonder nu nader op de eigenschappen van de kromme C48 in te gaan, willen wij eenige eenvoudige parametervoorstellingen afleiden voor het algemeene en voor eenige bijzondere typen van de kromme C43. § 9. Projecteert men de kromme C4* uit een punt P (a, o, c, o, e) op de ruimte R3 voorgesteld door: Ax1+Bx2-|-Cx3-|-Dx4-(-Ex6=0, (12) dan zijn de vergehjkingen van het projecteerende kegeloppervlak: pxx=x4-|-(ia, pxa=x8, pxa=x24-(xc, (13). px4=X, px6=l+|ie. De kromme C43 gelegen in de ruimte (12) kan dus voorgesteld worden door (12) en de vergehjkingen: pzx=cx4—aX2, pz8=X3, pz8=c—ex2, pz4=X, wanneer cpxx—apx8 door pzx en cpx5—epx8 door pz8 wordt vervangen. EIGENSCHAPPEN VAN DE RATIONALE KROMME C48. 155 Oogenschijnlijk treden in deze laatste vergehjkingen meer constanten op, dan in de vergelij kingen (10) van Hoofdstuk I, 3 in de aangehaalde dissertatie van Dr. Schrek; stelt men echter x=At, dan komt: P z1=c A*t4—aAH2=t2 (c A4t2—aA2), pz3=c—eA^2, pz4=At. cA4 aA2 Bepaalt men nu A zoodanig, dat —=—xi' d311 C eA wordt A=4/—\ stelt men vervolgens c=n-v/— dan e e worden de vergelijkingen: pz^n-tV- —atV-' e e e pz8=nv/^—etV-» pz4=tv/^Stelt men eindehjk: z^ayiV-' z8=ey3V^ z4= y*v\> 156 EIGENSCHAPPEN VAN DE RATIONALE KROMME C43. dan kan C43 worden voorgesteld, - door m vervangende, door (12) en de vergelijkingen: pyi=mt*—t2, py2=t3, Py3=m-t2, (14). py4=t» welke slechts één constante bevatten. De meetkundige beteekenis der zijvlakken van het in R3, voorgesteld door (12), gelegen coördinatentetraëder is de volgende: Het zijvlak, voorgesteld door y!=0, raakt C43 in het punt van C43 met parameter 0 en gaat door de trisecante van C48, welke de punten van C48 met parameterwaarden 0, +V— en —V— verbindt, m m Het zijvlak, voorgesteld doory2=0, is osculatievlak aan C48 in het punt van C43 met parameter 0 en gaat door dat met parameter co. Het zijvlak, voorgesteld door y8=0, raakt C48 in het punt van C48 met parameter co en gaat door de trisecante van C48, welke de punten van C43 met parameterwaarden co, -y/m en —\/va. verbindt. Het zijvlak, voorgesteld door y4=0, is osculatievlak aan C48 in het punt van C43 met parameter oo, en gaat door dat met parameter 0. De snijlijn der beide osculatievlakken y2==0 en y4=0 is hoofdkoorde van C43. De beide andere hoofdkoorden verbinden resp. de punten van C48 met parameterwaarden 4-1 en —1; en 4-i en —i. (Zie § 5). 1 EIGENSCHAPPEN VAN DE RATIONALE KROMME C48. 157 § 10. Ligt het punt P op de ruimte I=xxx5—4x^X4+ +3x82=0, dan moet m voldoen aan 3m2+1=0. (Zie§ 1, c). De 4 planaire buigpunten van C43 hggen nu in één vlak. §11. Nemen wij P op het oppervlak, gevormd door de snijpunten van 2 osculatievlakken aan C44 en kiezen wij hiervoor het punt 3, dan gaan de vergehjkingen (13) over in: pxx=X*, pxa=x3J Px8=x1+|i, (15). px4=x, Px6=l. Deze kromme C43 kan dus voorgesteld worden door (12) gecombineerd met: pxx=X*, pX*=X8' (16). px4=X, v ' px6=l- Deze voorstelling is de parametervoorstelling van Cremona .voor een kromme C48 met 2 stationnaire raaklijnen (buigraakhjnen) in de punten der kromme C43 met parameterwaarden 0 en ». In elk dier punten heeft C48 een stationnair raakvlak, resp. voorgesteld door xx=0 en (12), en x6=0 en (12). De vlakken x2=0 en (12), x4=0 en (12) zijn osculatievlakken aan C43 in de punten met resp. tot parameterwaarden 0 en co, nog gaande resp. door de punten co en 0 van C43. § 12. Nemen wij P op een tweehjn van C44 (geen raakhjn), dan heeft C43 een dubbelpunt. 158 EIGENSCHAPPEN VAN DE RATIONALE KROMME C43. Zijn de awrdinaten van P: (a, o, o, o, b), dan gaan de vergeüjkingen (13) over in: px1=X4-|-(ia, px2=X8, pX3=X2, (17). px4=x, px6=l+(ib. C48 kan dus worden voorgesteld door: (bxj—ax6 gelijk yx stellende,) (12) en: py1==bx4—a, 'y,-£ (18) § 13. Nemen wij P op een raaklijn aan C44 dan heeft C48 een keerpunt. Kiezen wij voor P het punt 2 dan gaan de vergehjkingen (13) over in: pxx=X4, pxg=x3-|-(i, ï>X3=X*, (19). pX4=X, Px6=l. C48 kan dus worden voorgesteld door (12) en: PX!=X4, px3=X2, j px4=X, px6=l. Deze kromme heeft een keerpunt in het snijpunt van de hjn 21 met de ruimte R8 voorgesteld door (12). STELLINGEN. I. De dubbelraakruimte, aangebracht aan de kromme C44 in twee gegeven punten dier kromme, is raakruimte aan elke kegelruimte van den tweeden graad, die C44 bevat en tot toplijn heeft een as van een quadratische involutie, waarvan genoemde punten een puntenpaar vormen. II. Op blz. 35 van dit proefschrift komt, naar aanleiding van het onderzoek, betreffende de rechten, welke gelegen zijn op de ruimte J der bisecanten van de kromme C44 en gaan door een punt dier kromme, onder b. voor de betrekking: qr — ps = 0. Substitueert men deze betrekking in de t. a. p. genoemde 2e vergelijking, dan geeft deze substitutie aanleiding tot: r(r2—qs)=0. De onderstelling r=0 geeft geen rechten, welke niet vervat zijn in de aldaar onderzochte onderstelling r2—qs=0. III. Wanneer onder de bepalende elementen eener algebraïsche kromme in een n-dimensionale ruimte voorkomen, een gegeven punt, de raakhjn in dat ii stellingen. punt, het osculatievlak in dat punt, enz. enz. dan moet men bij het opmaken van het aantal onafhankelijke voorwaarden, welke aan de kromme opgelegd zijn, voorzichtigheid betrachten. IV. In Mach : Die Mechanik in ihrer Entwicklung (1921; Blz 338 en 339.), wordt naar aanleiding van het beginsel van d'Alembert, een voorbeeld aangehaald, waarbij wordt opgemerkt, dat de oplossing belangrijk vereenvoudigd wordt, door, slechts lettende op de verhouding der snelheden, toe te passen de begrippen statisch moment en traagheidsmoment „in etwas verallgemeinerter Form". Het aangehaalde voorbeeld, een foutief uitgewerkt vraagstuk, doet zien, hoe hcht men op deze wijze tot verkeerde conclusies geraken kan. V. Een scherpe formuleering van de voorwaarden, waaronder alle determinanten van de pe orde, welke gevormd kunnen worden uit een matrix met p rijen en q kolommen, gelijk nul zijn, is o. a. met het oog op toepassingen in de meetkunde van veel belang. VI. De multiphcatorenmethode van Lagrange behoort niet uitsluitend behandeld te worden als hulpmiddel bij de theorie der maxima en minima met nevenvoorwaarden. VII. Hoewel het natuurlijk bet eekenis heeft onderscheid te maken tusschen de complete en de algemeene integraal als oplossingen eener partieele diffe- myrTBumi y immrrii'Jtn.rTO' stellingen. III rentiaalvergelijkmg van de eerste orde, moet aar het onderscheid niet te veel waarde wordeö gehecht VIII. Het verdient geen aanbeveling in een werk als Higher Mathematics edited by Merriman anc Woodward; (New-York, John Wiley & Sons, 1896^ dat een beknopte, samenvattende bespreking dei stof beoogt, het opsporen van verschillende complete integralen eener partieele differentiaalvergelijking var de eerste orde slechts in verband te brengen met hel vinden van verschillende oplossingen der gelijktijdige differentiaalvergelijkingen van Charpit en Lagrange zonder de gebruikelijke afleiding van een complete integraal üit een andere vooraf te bespreken. (Zie de noot op blz. 364 van het aangehaalde werk.). IX. Het verdient waardeering, wanneer in een leerboek over differentiaal- en integraalrekening, de toepassingen van dit gedeelte der wiskunde op de theoretische mechanica niet slechts beperkt blijven tot bepalingen van zwaartepunten en traagheidsmomenten, maar daarbij ook het onderzoek der bewegingen van puntsystemen én dat der differentiaalvergelijkingen, welke in de mechanica optreden, tot zijn recht komt. X. De definitie, welke Dr. Gustav Jager geeft van den „cürl" van een vector is niet in overeenstemming met de gebruikelijke. Theoretische Physik, Band III, § 46 (1915.). iv stellingen. XI. Hoewel de uitdrukking voor de stroomsterkte bij „rechthoekschakeling'' van n(=pq) galvanische elementen maximum wordt voor ru=-ri) mag daaruit niet de conclusie worden getrokken, dat de stroomsterkte zoo groot mogehjk is voor zoodanige waarden van p en q, waarbij de uitwendige weerstand zoo dicht mogehjk ligt bij de inwendige weerstand van de batterij. XII. Het is gewenscht in de physica-lessen voor leerlingen van gymnasia, hoogere burgerscholen en kweekscholen voor onderwijzers een gedeelte der physica te behandelen volgens den historischen ontwikkelingsgang dier wetenschap. XIII. Aan de behandeling van den thermometer dienen proeven vooraf te gaan, welke doen zien, dat het volumen der hchamen geen noodzakehjk criterium is ter beoordeeling van den warmtegraad. XIV. Aan de verdiensten van van Marum en Paets van Troostwijk in zake het verdichten van gassen tot vloeistoffen, wordt te weinig recht gedaan. (Zie: Het aandeel van Nederland in de ontwikkeling der Natuurkunde gedurende de laatste 150 jaren door Prof. Dr. J. P. Kuenen. Gedenkboek van het Bataafsch Genootschap der proefondervindelijke wijsbegeerte te Rotterdam 1769—1919.)