W-ZWIER - GHg & T-JANSMA
INLEIDING TOT DE STUDIE VAN DOORSNEDEN, PROJECTIES EN PERSPECTIEVISCHE ♦ VERSCHIJNSELEN. ♦
ZEVENDE, HERZIENE DRUK.
UITGAVE VAN D. MUS, TIEL
Prijs ƒ 1,60.



É



INLEIDING
TOT DE STUDIE VAN
Doorsneden, Projecties en
Pprsmp.r.tipviMtifi VPTMhiinsp.lp.n
TER VOORBEREIDING VOOR DE AKTE VAN ONDERWIJZER EN VAN HOOFDONDERWIJZER
DOOR
W. ZWIER G.Hzn.,
EN
T. JANSMA.
zevende, herziene druk.
D. MUS — 1918 — TI EL.






VOORBERICHT.
In dezen 7en druk hebben we eenige uitbreiding gegeven aan de behandeling van wat wij projectievische doorsneden hebben genoemd. De figuur, die zich in een snijvlak vormt, onderscheiden we als wiskundige doorsnede.
§ 48 is nieuw.
Dan hebben we aan het slot een § over grenslijnen toegevoegd, waarvan eenige kennis op het examen voor hoofdonderwijzer meermalen gevraagd wordt'. Eigenlijk constructieve toepassing geven we niet, — dit eischt gebruik van het „nieuwe" oogpunt, enz. en dit zou o. i. te ver gaan.
Overigens zijn slechts kleine veranderingen aangebracht.
Wij herinneren eraan, dat het eerste gedeelte tot en met § 43 voor candidaat-onderwijzers bestemd is, misschien met uitzondering van § 37 en 38. Enkele opgaven met een * gemerkt zijn bedoeld voor a. s. hoofdonderwijzers.
Amsterdam, Januari 1948. Z. en J.






INHOUD
Hoofdstuk I. Doorsneden.
Bk.
§ 1. Horizontale en verticale doorsneden. Opg. 1—28 1
§ 2. Doorsneden door allerlei meetkunstige lichamen. Opg. 29—36 . . 9 § 3. Scheeve doorsneden. Opg. 37—40* 12
Hoofdstuk II. Projecties.
§ 4. Het ontstaan van projecties. Opg. 41—47 14
§ 5. Horizontale en verticale projectie in één vlak. Opg. 48—54 ... 17 § 6. Projecties van lichamen met platte vlakken, niet evenwijdig aan
of loodrecht op het projectievlak. Opg. 55—74 20
§ 7. Drie projectievlakken. Opg. 75—78 23
§ 8. Projectie en doorsnede van eenzelfde voorwerp. Opg. 79—83. . . 26 § 9. Gebruik van doorsneden. Combinatie van doorsnede en projectie.
Wisknndige en projectievische doorsnede. Opg. 84—89 . ... 29
§ 10. Nog een ep ander over het gebruik van doorsneden en projecties. 33
§ 11. Projecties van punten, lijnen en vlakken. Opg. 90—108 .... 38 § 12. Samenvatting van het behandelde over doorsneden en projecties.
Definities. Opg. 109 44
Hoofdstuk III. Perspectievische verschijnselen.
§ 13.' Welke perspectievische verschijnselen zijn reeds bij het teekenen
naar de natuur opgemerkt? Definitie 48
§ 14. Wijkende en niet-wijkende lijnen. Het vierzijdig prisma onder ooghoogte met niet-wijkende vlakken. Schijnbare richting van loodlijnen en niet-wijkende waterpaslijnen. Afstand van het model. „Heten" slechts controlemiddel. Opg. 110—114 49
§ 15. Het vierzijdig prisma met wijkende vlakken onder ooghoogte.
Gelijke loodlijnen op verschillenden afstand. Wijkende waterpaslijnen. Twee en meër evenwijdige wijkende waterpaslijnen. Hoe een kistje te teekenen. Opg. 115—119 51
§ 16. Niet wijkende hellende lijnen. Opg. 120—121 54
§ 17. Kube, prisma, vierzijdige piramide (ook de afgeknotte) met gelijke en ongelijke wijking der zijvlakken. Lijnen door en over de kube, — stukken er uit genomen, — alles onder ooghoogte. Opg. 122—184 54
§ 18. Wij kende hellende evenwijdige lijnen. Opg. 185—189 64
§ 19. Horizontale vlakken op ooghoogte. Wijkende waterpaslijnen op
ooghoogte. Opg. 190—193 65



INHOUD.
Blz-
§ 20. Horizontale vlakken boven ooghoogte. Wijkende waterpaslijnen
boven ooghoogte. Opg. 194—215 65
§ 21. Een vlak als lijn gezien, — een lijn als een punt. Opg. 216—221 69
§ 22. Cilinder, kegel, cirkel, bol. Opg. 222—266 71
§ 23. Zes- en achtzijdige prisma's en piramides. Opg. 267—278. ... 83 § 24. Waarnemingen, buiten te doen. De horizon. Horizonshoogte.
Verdwijnpunt. Oogpunt 87
§ 25. Beteekenis van de studie der perspectievische verschijnselen . . 91
§ 26. Iets over den bouw van het oog 92
§ 27. Een middel om gelijkende afbeeldingen te verkrijgen. Opg. 279 . 94
§ 28. Het tafereel 99
§ 29. Toelichting van verschillende opgemerkte eigenschappen met
behulp van het tafereel. Opg. 281—282 102
§ 30. Gelijke 4ijnen, vlakken en lichamen, op verschillenden afstand.
Opg. 282- 283 ' 105
§ 31. Verhouding tusschen de perspectievische lengten van gelijke lijnen, die evenwijdig aan het tafereel loopen, maar zich op verschillende afstanden bevinden. Opg. 284—289 110
§ 32. Evenwijdige wijkende lijnen 113
§ 33. Evenwijdige wijkende vlakken 114
§ 34. Hoe het verdwijnpunt van een lijn te bepalen. Opg. 290—303. . 115
§ 35. De horizon. Opg. 304—306 122
§ 36. Het verdwijnpunt van lijnen, die rechthoekig staan op het tafereel. Opg. 307—326 127
§ 37. Van welke lijnen is het ook van veel belang, het verdwijnpunt
te kennen? 132
§ 38. Het verdwijnpunt van waterpaslijnen, die een hoek van 45° met
het tafereel maken. Grootte der distantie. Opg. 327—349. . . 134
§ 39. Vlakken en lichamen, overhoeks gezien. Opg. 350—370 .... 143
§ 40. De stand van een vlag of een windvaan. Opg. 371—376 .... 147 § 41. Wat met behulp van het geleerde uit afbeeldingen is af te leiden.
Opg. 377—382 150
§ 42. Perspectievische verschijnselen, enz. in een afbeelding op te
merken 156
§ 43. Samenvatting der theorie voor de onderwijzersakte 158
§ 44. De perspectief van punten, lijnen en rechtlijnige figuren, die in
't grondvlak liggen. Opg. 383—393 160
§ 45. De perspectief van een horizontalen cirkel. Opg. 394—397 . . . 165
§ 46. Het gebruik der wijkende schaal. Opg. 398—406 169
§ 47. Het neergeslagen oog. Opg. 407—424 .172
§ 48. Grenslijnen. Opg. 425—429 . . .' 175









HOOFDSTUK I.
DOORSNEDEN.1}
§ 1. Horizontale en verticale doorsneden.
Afdruk ®e neemt 06,5 'aatJe van een poederdoosje, zie fig. 1, en knipt dat overdwars door, in een richting evenwijdig aan den korten staanden rand, b.v. volgens ABCD. Nu maakt ge van een der helften
D
fig. 1. fig. 2.
(fig. 2) den kant, waar de schaar doorgegaan is, met krijt wit en drukt dien dan tegen het zwarte bord af; — als alles _ b correct is geschied en de afdruk goed is gelukt,
F zal zich op het bord een teekeningetje als fig. 3
| q vertoonen. Ge hadt den kant ook met houtskool of
£g 3 met inkt kunnen bestrijken om vervolgens op teeken¬
papier den afdruk te nemen. Figuur 3 is een doorsnede van het doosje; ge ziet, dat we het vlakje geheel omlijnen,
terwijl we het verder hebben gearceerd, — ge kunt 
het ook wel op andere wijze een tintje geven. j
Horizontale Een tweede doosje snijdt of knipt Itoor**"*1* £e door in horizontale richting, — ge
ziet zooveel mogelijk in een plat vlak i te blijven. De snijkanten maakt ge weer wit of zwart om er daarna eveneens een afdruk van te
nemen. Ge krijgt een figuur als nevenstaande (fig. 4). " 
Ook deze is een doorsnede van het doosje. 4_
1) In dit hoofdstak wordt de abstracte, wiskundige doorsnede behandeld; pas na de bespreking der projecties, in § 9, geven we een andere opvatting, een combinatie van doorsnede en projectie, die toegepast wordt in de architectuur, de nijverheid, enz.
DOORSNEDEN. 7e dr. 1



2
Fig. 3 is een verticale, fig. 4 de horizontale doorsnede. De doorsnede vertoont de dikte van het papier, waaruit het doosje bestaat, — deze wordt aangegeven door in de teekening der door¬
snede den afdruk geheet te omlijnen, terwijl die als in de fig. 2 en 3 gearceerd wordt.
Een kurk snijdt ge weer door, precies volgens een horizontaal vlak, een andere volgens een verticaal vlak door het midden, — weer maakt ge op de beschreven manier afdrukken. Fig. 5
blijkt de verticale asdoorsnedc, (ze is door het
midden, door de as genomen); fig. 6 is de horizontale doorsnede.
Holle en massieve voorwerpen
Ge merkt verschil tusschen de doorsneden van het holle doosje en van de massieve kurk. Terwijl de laatste geheel gevulde vlakken vertoonen, krijgen we bij de doorsnede
van het doosje alleen een afdruk van de randen.
Opgaven.
1. Knip een rond pillendoosje, — alleen het doosje, dus zonder deksel — door, volgens een loodrecht vlak door het midden, neem een afdruk van de verticale asdoorsnede, en maak er een correcte teekening naast. Ge zult bemerken, dat de staande vlakjes in den afdruk niet overal even dik blijven, — dit moet vooral in de teekening goed blijken!
2. Maak ook een horizontale doorsnede van het doosje, — èn afdruk èn teekening.
3. Nu een verticale doorsnede door het deksel, — weer èn afdruk èn teekening.
Van dit ronde pillendoosje wenschen we nu doorsneden te hebben door
deksel en doosje beide. Maak maar weer eens eeu afdruk van de verticale doorsnede, — deze is minder duidelijk dan de teekening in fig. 7, waar de randjes a van het deksel en b van het doosje goed te onderscheiden zijn. Geven volgende opgaven tot AaraaWWcc ficmrfln aanleiding, dan
— "O : 
moet ge ook zorgen voor duidelijke teekeningen.
Kube. De horizontale zoowel als de verticale doorsnede evenwijdig aan een ziivlak door een kube
fig. 8. (fig. 8) is een vierkant (zie Qg. 9).



3
Als wij alleen zeggen, dat een kube doorgesneden, dan drukken wij ons Immers, indien zij (zie Noodig, fig. io) volgens het stand van het ,. . . _ _
verticale snij- diagonaalvlak ABCD vlak te weten, wordt doorgesneden, ook dan heeft de doorsnede een loodrechten stand. Verder is dev doorsnede CDFE verticaal en zoo zijn er tal van andere aan te brengen. Het was dus in het bovenstaande noodig te zeggen, dat de doorsnede loodrecht moest zijn, evenwijdig aan een bepaald vlak.
in verticale richting moet worden niet met voldoende scherpte uit.
F
fig. 10.
Opgaven.
4. Maak afdruk en teekening van een verticale doorsnede, evenwijdig aan het lange zijvlak, door het laatje van een lucifersdoosje.
Opmerking. De doorsnede evenwijdig aan het lange zijvlak noemt men wel overlangsche doorsnede, die evenwijdig aan het korte zijvlak, dwarse doorsnede.
5. Maak ze ook van een verticale doorsnede evenwijdig aan het lange zijvlak, door het schuifje. Hier vooral goed oplettent
6. En nu het laatje in het schuifje. Zorgvuldig doorknippen volgens een verticaal vlak evenwijdig aan het lange zijvlak, — eerst een afdruk nemen en dan een correcte teekening maken.
7. Het laatje iets uitgetrokken, — weer wordt een verticale doorsnede gevraagd evenwijdig aan een lang zijvlak, — ge moet u nu de doorsnede voorstellen, de teekening dus maken zonder door te knippen en af te drukken!
8. Teeken een horizontale doorsnede door het ingeschoven doosje, ook door een doosje met halfuitgetrokken laatje.
9. Teeken een verticale doorsnede van het doosje, evenwijdig aan het korte zijvlak van het laatje.
10. Teeken verticale asdoorsnede en horizontale doorsnede van een tumblerglas, ook van een lampeglas, van een karaf, van een trechter.
1*



4
Door vlakken met opening.
Neem een pillendoosje, maak een rond gaatje in den bodem, snijd
vervolgens het doosje (zonder deksel) door volgens een verticaal vlak door de as, en maak een afdruk van de
ontstane doorsnede. Ge ziet, dat ge een afdruk krijgt als in fig. 11, — let vooral op de afbreking van de bodemteekening bij a.
Opgaven.
41. Teeken de verticale asdoorsnede van een gewonen bloempot, — ook de horizontale doorsnede door den bodem, Hierbij een bloempot goed bekijken, — denk aan den rand bij den bovenkant.
12. Idem door een inktflesch met groote ziel, — eerst weer goed bekijken. De horizontale doorsnede wordt halverwege de hoogte der ziel gedacht. De flesch is door een kurk gesloten.
13. Gevraagd de horizontale doorsnede van een uitgeschoven lucifersdoosje juist door den bodem van het laatje, en de verticale door een zijschotje.
14. Gevraagd horizontale en verticale doorsneden door een garenklosje en door een eierdopje. De verticale doorsneden door het midden aan te brengen.
De laatste ook te teekenen, als ge ze buiten het midden denkt, zoodat ze elk uit twee gedeelten bestaan.
Opmerking. Als wij in het volgende de plaats der verticale doorsnede niet nader aanduiden, dan wordt, waar verschillende van deze doorsneden zijn aan te brengen, steeds die door het midden bedoeld.
In het voorgaande is e'r reeds op gewezen, dat de teekening van een
doorsnede door een
Samenstelling
uitgedrukt in doorsnede.
lichaam
fig. 13.
gewoonlijk
preciezer is dan de afdruk er van. Bij de
bespreking van fig. 7 op pag. 2 hebben we hierop uw aandacht gevestigd, en in uw teekeningen naar aanleiding der lucifersdoosjes hebt ge dit ook in het oog gehouden.
Wij zullen nu wijzen op teekeningen van doorsneden door voorwerpen, waarin zelfs meer moet worden uitgedrukt dan de afdruk zou vertoonen. Let maar eens op nevenstaande fig. 12,



5
de verticale doorsnede van een houten kistje. In de teekening ziet ge
de afscheiding aangegeven tusschen den bodem en de zijschotjes, — de
bodem sluit tegen het zijschotje a, terwijl de zijwand b op den bodem
is bevestigd. In de teekening is dus de bouw, de samenstelling van het
kistje uitgedrukt, — deze zou zich in den afdruk niet vertoonen.
Wij vestigen nog de aandacht op de verschillende
Verschillende arceering in de vlakjes, waaruit de doorsnede bestaat. rushltng der a .....
arceeritigslijntjes. Ontbraken de scheidingslijntjes en hadden de arceerings-
lijutjes overal dezelfde richting, dan zou het zijn,
alsof het doosje gestoken of gedraaid was uit een massief stuk hout.
Waar de doorsnede verschillende vlakken vertoont, moet dit steeds ook
door verschil van arceering worden uitgedrukt.
In de doos van fig. 13 bestaat een geheel ander verband tusschen
bodem en zijwanden. Bovendien is hier aangegeven, hoe het deksel over
de doos schuift. In dë zijschotjes bevinden zich twee gleuven, terwijl
het deksel naar de kanten is afgeschaafd, ten einde gemakkelijk door
de gleuven te kunnen schuiven. Als in fig. 13 teekent men bodem en
deksel soms slechts gedeeltelijk, alsof ze afgebroken zijn, wat dit voordeel
heeft, dat de vorm der gleuven in den rechterzij wand zeer scherp uitkomt.
Opgaven.
15. Teeken twee verticale doorsneden (evenwijdig aan de staande vlakken) en een horizontale doorsnede van een gesloten sigarenkistje. De plaatsing der plankjes ten opzichte van elkaar goed bekijken en vooral nauwkeurig trachten uit te drukken, hoe het deksel draait.
16. Id. door een doos van een dominospel met half uitgeschoven deksel (nauwkeurig op de gleuf aan den bovenrand der doos letten, zie fig. 13).
17. Van een sigarenkistje is het deksel heel even geopend, zóó dat het dus een scherpen hoek maakt met het vlak van opening. Gevraagd een dwarse en een overlangsche doorsnede.
18. De indeeling van een teekendoos is in fig. 14 aangegeven. De verticale doorsneden volgens AB en CD
te teekenen, benevens de horizontale A 
doorsnede op de halve hoogte der doos.
Ge denkt de staande kanten en schotjes 1 j 
alle op den bodem bevestigd en de lange ^ ƒ D
staande schotjes tusschen de korte aan- ^ gebracht. Het deksel schuift over de doos en is gedeeltelijk opengetrokken.



6
19. Teeken een horizontale en twee verticale doorsneden door een liegende brilledoos, — een horizontale en een
verticale door een lampeglas met kap, die ge beide op de tafel geplaatst denkt, de kap om het glas.
20. Van een schaar (geen zakschaar), zie fig. 15, moeten de verticale doorsneden volgens A6, CD, EF en GH worden geteekend. Vooral het ding goed bekijken.
21. Door een liggende lei (goed kijken, hoe de lijsten in elkaar grijpen) drie verticale doorsneden te teekenen: door het midden, — door den binnenkant van een lange lijst, zoodat de doorsnede ook
nog door de lei zelve gaat, — idem door een lange lijst verder naar den buitenkant.
fig. 15.
22. Teeken een horizontale doorsnede door een appel.
Bijzondere Hier volgen nog een paar doorsneden van voorwerpen, moeilijkheden, die eigenaardige moeilijkheden veroorzaken.
Fig. 17 is de verticale doorsnede van den pot, in fig. 16 afgebeeld.
fig. 16. fig. 17.
De doorsnede van elk oor is een cirkelvormige figuur, die los naast de doorsnede van den pot komt te staan.
Fig. 19 is een verticale doorsnede door een emmer, zooals er een in fig. 18 is afgebeeld. Het hengsel haakt vast in een opening van een plaatje, dat aan den emmer is vastgesoldeerd. In de doorsnede die door



7
het vlak van het hengsel gaat, moet het plaatje dus in twee stukken
fig. 18. fig. 19. fig- 20.
worden geteekend, — uit de figuur blijkt, hoe dit plaatje tegen den
emmer sluit, — het is duidelijk dat ook het halve hengsel moet worden afgebeeld. Een verticale doorsnede door het midden van den emmer kan weer in allerlei richtingen worden gedacht; — in fig. 20 is een verticale doorsnede afgebeeld, rechthoekig op het hengselvlak. In deze teekening krijgen we het hengsel
dwars doorgesneden, dus als een cirkeltje, — aan den fig- 21.
emmer zien we niet het plaatje. De horizontale doorsnede op de halve hoogte, is een vlak, ingesloten door twee concentrische cirkels, zie fig. 21.
fig. 22.
De figuren 22 en 23 vertoonen respectievelijk een natuurteekening en een verticale- doorsnede van een vogelkooi. De laatste is evenwijdig



8
aan het voorvlak aangebracht en gaat niet door een der tralies van de kooi. Zij vertoont een zeer zonderlinge figuur, maar bij nadere beschou-
fig. 23.
wing blijkt ze volkomen in orde. (Fig. 22 is niet geheel juist: het latje aan de bovenzijde van het rechterzijvlak is verzuimd te teekenen, waardoor ook de eene helft van het bovenvlak niet geheel tot haar recht is gekomen.)
Opgaven.
23. Teeken een horizontale doorsnede van den pot in fig. 16, die dooide ooren gaat.
24. Teeken een verticale asdoorsnede door een kaasstolp.
25. Teeken een verticale doorsnede van voor naar achter door het midden der kooi van fig. 22; voor de constructie der kooi moet ge letten op fig. 23. Eveneens een horizontale doorsnede, die door het voederbakje wordt gedacht.
26. Scharnieren bestaan uit twee deelen, dikwijls metalen platen met busjes, — de platen worden geschroefd b.v. aan deur en deurpost, — aan doosje en deksel, enz., zóó dat de busjes tegen elkaar sluiten. Door de busjes, het zoogenaamde huis, wordt een pen gedreven. Teeken van een scharnier verschillende doorsneden zóó, dat de samenstelling spreekt. Verzuim vooral niet, het ding goed te bekijken.
27. Teeken twee verticale doorsneden door een ketel, één door het opstaande hengsel en de tuit, één dwars door het hengsel, — ook twee horizontale doorsneden, een door ketel en tuit, — een hooger, door deksel en hengsel.



9
28. Teeken twee doorsneden door een hamer, zóó, dat de samenstelling duidelijk blijkt, — arceer het ijzer donkerder dan het hout van den steel. '
^ y Na het voorgaande zult ge de volgende definitie van doorsnede verstaan: De doorsnede is de figuur, die zich vertoont tegen een plat vlak, dat we door een lichaam denken.
§ 1. Doorsneden door allerlei meetkunstige lichamen.
Mede ter kennismaking met allerlei voorwerpen uit de vormleer volgen hier een aantal opgaven, waarin doorsneden worden
gevraagd door dergelijke lichamen.
Prisma's.
fig. 24.
Opgaven.
29. Teeken op ware grootte een verticale doorsnede, evenwijdig aan een
staand vlak, benevens de horizontale doorsnede van een massief regelmatig, vierzijdig prisma, — de hoogte, is 7 cM., de zijde van het vierkant 4 cM.
Opmerking. Het prisma in fig. 24 is recht, omdat de opstaande ribben loodrecht op het grondvlak staan. Het is vierzijdig, omdat er vier zijvlakken zijn, of omdat het grondvlak een vier¬
hoek is. Men noemt een prisma regelmatig, als
het recht is, en het grondvlak een regelmatige veelhoek. De zijvlakken zijn dan alle gelijke rechthoeken.
„ „ , Veelhoeken zijn regelmatig, als alle zijden even lang
Veelhoeken. j a
zijn, en de hoeken alle even groot. Fig. 25 is dus geen
regelmatige vijfhoek, wel zijn alle
zijden even lang, maar de hoeken zijn niet alle gelijk, — / A b.v. is scherp, Z B stomp. Met eenige lucifers legt ge zonder veel moeite gelijkzijdige, niet regelmatige veelhoeken.
Uit hetgeen boven over prisma's gezegd is, volgt, dat een lucifersdoosje den vorm heeft van een recht
vierzijdig prisma; het is echter niet ^ ^
regelmatig.
Fig. 26 is de afbeelding van een scheef driezijdig prisma. De opstaande



10
fig. 26.
ribben staan niet loodrecht op het grondvlak, de zijvlakken zijn geen rechthoeken, maar parallelogrammen.
30. Teeken horizontale doorsneden door een regelmatig zeszijdig prisma, door een regelmatige vijfzijdige piramide, door een rechten cilinder en door een rechten kegel. De lichamen staan op een regelmatigen veelhoek of op den cirkel en zijn alle massief.
Vergelijk grootte en vorm der horizontale doorsneden met die van de grondvlakken bij prisma, cilinder, kegel en piramide.
Opmerking. Een piramide is regelmatig, als het grondvlak een regelmatige veelhoek
is, waarvan het middelpunt samenPiramide valt met het voet,punt (ier loodlijn en kegel. . r °
uit den top.
Een kegel is regelmatig, als het grondvlak een cirkel is, waarvan het middelpunt het voetp.unt is der loodlijn uit den top op den cirkel. Hij is scheef, als die loodlijn buiten het middelpunt van den cirkel valt, zie fig. 27.
Teekenen Een regelmatigen veelhoek
fig- 27. van veelhoek, teekent ge over het algemeen gemakkelijkst in een cirkel. Van vierkant en gelijkzijdigen driehoek. bestaan eenvoudiger construc¬
ties. Om vijf-, zeshoeken, enz. te teekenen, verdeelt ge een cirkelomtrek in zooveel deelen, als de veelhoek zijden heeft, — verbindt ge nu de opeenvolgende deelpunten door rechte lijnen, dan ontstaat de gewenschte figuur. Voor den zeshoek merken we nog op, dat daarvan de zijde zoo lang is als de straal van den omgeschreven cirkel. Om vijfen zevenhoek te teekenen, doet ge goed eerst de zijde van den zeshoek tusschen de punten
het
van den passer te nemen, de lijn dan op goed geluk wat langer of korter



11
te maken, om ten slotte door uitzetting te probeeren, of ge goed hebt geschat.
31. Teeken de verticale doorsnede door het prisma van opgave 29, die door twee overstaande hoekpunten van het bovenvlak gaat. (Gebruik een dobbelsteen of een blok uit een bouwdoos om u dit helder voor te stellen.)
32. Een hol regelmatig zeszijdig prisma staat op den zeshoek. De zijde
daarvan is 3 cM., de hoogte van het lichaam 7 cM. Maak van karton het netwerk op ware grootte (fig. 28) en plak daaruit het prisma. (Zie de opm. bij opg. 30.)
Als ABCDEF (fig. 29) nu het grondvlak voorstelt, dan moet ge op de grootte van uw prisma de verticale doorsneden volgens de lijnen BD en AD teekenen. Uw prisma op de les mede te brengen. (Dit lichaam moet bij volgende opg. weer dienst doen.)
33. Maak van karton het netwerk van een regelmatige zeszijdige piramide, (de opstaande driehoeken naast elkaar te leggen!) en plak daaruit het lichaam. Teeken van uw piramide, waarvan ge zijde en hoogte dus willekeurig moogt nemen, de horizontale doorsnede op het midden der hoogte, benevens twee verticale doorsneden door den top, — de eene snijdt het grondvlak (zie fig. 29) volgens AD, de andere volgens GH. Uw papieren piramide weer op de les mede te brengen.
34. Teeken de verticale doorsnede door het midden van een rechten cilinder en van een



12
rechten kegel. Ook die door het midden van een afgeknotten kegel. Alle lichamen zijn massief.
35. Plak uit karton een regelmatige driezijdige piramide (de hoogte tamelijk groot te nemen). Teeken de verticale doorsnede, die het lichaam in twee gelijke deelen snijdt en door een der opstaande ribben gaat. Uw piramide op de les mede te brengen.
36. Teeken op karton het netwerk van een regelmatig achtvlak (zie
de fig. 30 en 31). Dit lichaam "wordt E uitsluitend ingesloten door gelijk¬
zijdige driehoeken. Het is te beschouwen als bestaande uit twee vierzijdige piramides ABCDE en ABCDF, die met het vierkant ABCD aan elkaar sluiten. Uit de driehoeken a, b, c en d (fig. 30) moet ge één piramide vouwen, enz. Denk door uw achtvlak, in den stand als in fig. 31 een verticale doorsnede door ribbe EB, en teeken die. Kunt ge nog zoo'n verticale doorsnede aan¬
brengen, — en ook zoo'n horizon' tale ? Teeken ook de verticale door¬
snede, die gaat door EG, de loodlijn in A AEB. (Het model moet later weer gebruikt worden).
§ 3. Scheeve doorsneden.
Een staande cilinder is hier doorgesneden volgens een hellend vlak. Ge
begrijpt gemakkelijk,
dat in fig. 32 AB langer moet zijn dan CD; — de afdruk der doorsnede, in fig. 32 afgebeeld, is dan ook geen cirkel, maar een ellips.
Brengt ge een scheeve doorsnede door een cilin-
fig 34 drische kurk, zie fig. 5,
die door het bovenvlak en het ronde oppervlak gaat, dan heeft die den vorm van fig. 34.



13
Opgaven.
37. Op de les mee te brengen laatjes van lucifers- of poederdoosjes, die ge zóó in schuine richting doorgeknipt hebt, dat de doorsneden den vorm hebben: 1°. van een driehoek, 2° van een rechthoek, 3°. van een trapezium.
38. Voor een kube, een vier- en een vijfzijdig prisma na te gaan, welken vorm een scheeve doorsnede al kan hebben.
39. Door drie hoekpunten van een kube (b.v. een dobbelsteen) moet ge een plat vlak denken, dat de omtrek van het lichaam snijdt volgens diagonalen van de zijvlakken. Welken vorm heeft die doorsnede? Hoe moet ge de kube plaatsen, opdat zoo'n doorsnede een horizontalen stand krijgt? Ziet ge in dien stand kans nog zoo'n horizontalen driehoek door drie andere hoekpunten te brengen?
40. * Denk door het middelpunt eener kube een vlak, dat juist door de middens van aan elkaar grenzende ribben gaat. Welken vorm heeft de doorsnede? Plaats de kube weer op een hoekpunt, vestig uw aandacht op de beide driehoeken uit opg. 39, en probeer dan, of ge de doorsnede, waarover we het hier hebben, niet gemakkelijk ziet juist midden tusschen deze driehoeken.



HOOFDSTUK II.
PROJECTIES.
§ 4. Het ontstaan van projecties.
We nemen een portefeuille, waarvan we de bladen (Jmteekenen. ' . ■■,.<■ J
plaatsen als in ng. oo is aangeduid. Desnoods kunnen we
fig. 35.
ook een vel papier gebruiken, waarin we een vouw aanbrengen. Door de eene helft met punaises tegen een kistje of tegen den muur te bevestigen, kan die in loodrechten stand worden gehouden.
Nu zetten we op het horizontale blad een drinkglas waarvan we vervolgens èn op het loodrechte èn op het horizontale blad de projectie willen bepalen.
Daartoe gebruiken we een lange teekenpen, waarin we een stuk wit krijt of houtskool bevestigen. Eerst teekenen we de projectie op het loodrechte vlak. Terwijl we het glas met de eene hand stevig vasthouden, bewegen we de stift daartoe zóó langs den omtrek van het glas dat



15
de punt den vorm afteekent op het bedoelde vlak, en zorgen hierbij, dat de stift steeds loodrecht op het vlak gericht is. Zij staat dus steeds waterpas, maar mag het loodrechte vlak niet onder een scheeven hoek raken.
De ontstane figuur is de projectie van het glas op een lood-
Verticale recnt 0f verticaal vlak, en heet daarom ook verticale proprojectte. . .
jectie. De verticale projectie van dit glas is een gelrjkbeemg
trapezium (fig. 35).
Men zal inzien, dat de teekenstift een hulpmiddel is, om de zaak aanschouwelijk voor te stellen: eigenlijk moet zich om het lichaam een lijn bewegen, die loodrecht staat op het verticale vlak. De figuur, die met behulp der teekenpen ontstaat, is dus inderdaad te groot, — de lijnen moeten alle de halve dikte der stift naar binnen worden gedacht.
Het omteekenen geeft ons een figuur, die veel gelijkt op het glas, als we dat van voren bekijken. Op het verschil komen we nader terug.
Op dezelfde wijze teekenen we de projectie op het hori-
Horizontale zonta|e 0f waterpasvlak, de horizontale projectie. De stift projectie. r ' ,
(deze vervangt ook hier 'weer de lijn) wordt rondom het
glas bewogen, maar nu loodrecht op het waterpasvlak; zij moet dus steeds den stand van het schietlood aannemen (zie fig. 36). De ontstaande figuur is een cirkel, ze komt in vorm en grootte geheel overeen met het bovenvlak van het glas. Echter is hiermede de horizontale projectie niet voltooid. Ook hier wenschen we een figuur te bekomen, die gelijkt
op het glas, dat nu echter van boven af gezien moet worden. De bodem moet dus ook in de teekening voorkomen. Deze kunnen we niet met de loodrechte stift
omteekenen, we moeten ons maar verbeelden, dat dit geschiedt. We zien gemakkelijk in, dat dit een tweeden cirkel geeft, die precies moet worden aangebracht op de plaats, waar de bodem zich bevindt, zoodat de horizontale projectie gevormd wordt door twee cirkels, waarvan de een ter grootte van den bodem, binnen den anderen, gelijk aan het bovenvlak, is geplaatst.
fig. 36.
Omteekenen soms niet mogelijk.



16
In de verticale projectie kunnen we den onderkant evenmin door werkelijk omteekenen verkrijgen. Het is echter duidelijk, dat die een
waterpaslijn geeft: den onderkant van ons trapezium. Later zullen we nog herhaaldelijk gevallen ontmoeten, waarin we ons alleen kunnen verbeelden, dat de stift een ribbe volgt.
Voor de duidelijkheid arceeren we de ontstaande figuur, — zoo is b.v. fig. 37 de horizontale projectie van een ring.
Fig. 38 is dus de verticale projectie van een stroohoed, — ook
deze vertoont weer lijnen, die niet door omteekening zijn ontstaan:
fig. 37.
Eenige voorbeelden
E B
fig. 40.
wij wijzen op den bovenkant van het lint. Bovenstaande fig. 39 is de verticale projectie van een karnton, — wij vestigen hier de aandacht op de koperen banden in de projectie. Weer moeten we ons verbeelden, dat de projecteerende lijn er zich langs bewogen beeft.
Fig. 40 geeft de verticale projectie van een ouderwetsche hanglamp, — fig. 41 van een vaasje. Zooals ge ziet, zijn hier zelfs de lijnen, die ter versiering op het vlak zijn aangebracht, geprojecteerd.



17
Opgaven.
41. Beschrijf op een vel papier op de aangegeven wijze (dus door omteekening) met houtskool de horizontale en de verticale projectie van een drinkglas, dat op een kleinen afstand voor het verticale vlak geplaatst is.
42. Doe hetzelfde met een staand lampeglas. Ook het glas staat niet onmiddellijk tegen het verticale projectievlak.
43. Nog eens de projecties van het drinkglas door omteekening te maken, — nu raakt het glas het verticale projectievlak. Welke projectie is van plaats veranderd?
44. Door omteekening beide projecties van een bloempot te teekenen, ook deze raakt aan het verticale projectievlak. Denk er aan, dat ook de rand in de projecties wordt aangegeven.
45. Teeken door omteekening de projecties van een garenklosje.
46. Door omteekening beide projecties te maken van het laatje van een lucifersdoosje, dat ge met het lange zijvlak evenwijdig plaatst aan het verticale projectievlak.
47. Idem van het doosje, het laatje iets uitgeschoven, — ge plaatst dit met een lang zijvlak tegen het verticale projectievlak. Idem, als het met een kort zijvlak tegen dat projectievlak staat.
§ 5. Horizontale en verticale projectie in één vlak.
As van projectie
Waar gij met de opg. 41, 42 en 43 gehandeld hebt, zooals
s aangegeven, daar zult gij onwillekeurig
in de
vorige ö i
na voltooiing der projectie
de verticaal gehouden helft van uw blad hebben laten vallen, zoodat uw vel overeen kwam met fig. 42. De lijn AS verbeeldt de vouw, waarom het verticale vlak gedraaid is, men noemt ze doorgaans de as van projectie. Boven de vouw bevindt zich de verticale, er onder de horizontale projectie.
Uit uw figuren, ontstaan volgens genoemde opgaven, blijkt, dat horizontale en
DOORSNEDEN. 7e CU*.
fig. 42.



18
fig. 43.
verticale projectie een bepaalden stand ten opzichte van elkaar innemen: de verticale staat n.l. juist boven de horizontale. Bekijken we nog eens de fig. 35 en 36, of liever: herhalen we nog eens, wat daar is voorgesteld, dan wordt ons duidelijk, dat dit het geval moet zijn. De teekenstift heeft zich immers steeds loodrecht op het verticale vlak om het lichaam bewogen, — en eveneens loodrecht op het horizontale vlak. Plaatst gij
nei gias ïu ueu sutuu van fig. 43, dan zal u blijken, dat bij het teekenen van de verticale projectie de stift een stand ac inneemt, terwijl de horizontale projectie van a gevonden wordt door haar den stand ab te geven. Deze twee lijnen vormen met de loodlijn cd, uit c op de as neergelaten, en bd, uit b op dezelfde lijn getrokken,
een rechthoek. Wordt nu het verticale vlak neergeslagen, dan zullen dus bd en dc, die beide rechte hoeken met de as maken, één lijn vormen.
In fie. 44 is door de lijnen abc en de (deze moeten
Verband tusschen ° , rL\-1 i j „u*
beide projecties, even in de figuur worden aangebracht), beide loodrecht
op de as AS getrokken, aan¬
geduid, tot welk verband tusschen beide projecties dit leidt.
Opmerking. In het vervolg behooren in de teekeningen telkens deze loodlijnen gestippeld te worden.
Uit fig. 44 valt verder nog iets te leeren omtrent de overeenkomst tusschen horizontale en verticale projectie. In de verticale projectie is aa de wijdte van de glasopening, — die moet dus wel overeenkomen met de middellijn cc der hori¬
zontale projectie van dienzelfden cirkel. Evenzoo is dd = ee de middellijn van den kleinen cirkel. Als het glas, zie fig. 43, verder van de as werd geschoven, zou de



19
horizontale projectie- zich met het glas van AS verwijderen. In fig. 44 b.v. staat de horizontale projectie dichter bij het projectievlak dan in fig. 43. Het trapezium, dat de verticale projectie vormt, valt met den onderkant in de as, zoolang het glas op het horizontale vlak rust; — wordt het er boven gehouden, dan zal ook de verticale projectie boven de as rijzen. Opgaven.
48. Maak in een blad papier een vouw, die de as van projectie moet voorstellen. (Deze vouw moet toch ook nog door een potloodlijn worden aangegeven.) Neem nu een willekeurig gelijkbeenig trapezium aan als verticale projectie van een glas. Leid daaruit af de horizontale projectie, die ge op willekeurigen afstand van de as moogt plaatsen. — Denk aan de loodlijnen in fig. 44, teeken deze hulplijnen als daar is gedaan met behulp van dunne, korte streepjes, die alle ongeveer even lang zijn.
Waarom kunt ge de verticale projectie niet uit de horizontale afleiden ?
49. Neem een willekeurige figuur tot verticale projectie van een trechter, — denk, dat deze het verticale vlak raakt, — voltooi nu de horizontale projectie.
50. Probeer een tumblerglas om te teekenen, als een ander het iets boven het horizontale vlak houdt. Welke projectie krijgt nu een andere plaats?
51. Teeken op ware grootte beide projecties van een op het horizontale vlak staanden rechten kegel. Middellijn van het grondvlak 4 cM, hoogte van den kegel 6 cM, afstand van het middelpunt tot de as 5 cM.
Idem van een liggenden, en van een rechtopstaanden rijksdaalder. Van den laatsten staan de cirkelvlakken evenwijdig aan het verticale projectievlak.
Opmerking. Bij deze en de volgende opgaven moet de vouw (de as van projectie) steeds als werkelijke vouw voorkomen en als potloodlijn.
52. Gevraagd op halve grootte beide projecties van een kube, waarvan het voorvlak evenwijdig staat aan het verticale projectievlak. Ribbe 8 cM, afstand van liet achtervlak tot de as 3 cM.
53. Gevraagd op ware grootte beide projecties van een lucifersdoosje,
, . "1 waarvan het lange zijvlak evenwijdig staat aan het
Wat uit projecties ... . . , , . „ .
te lezen. verticale projectievlak. Afmetingen 5-/21 3l/2 en ll/2 cM,
afstand van het achtervlak tot de as 4 cM.
Opmerking. Deze en volgende opgaven maken u duidelijk, dat uit de
verticale projecties de hoogte, en lengte of breedte, — uit de horizontale,
lengte en breedte van het lichaam zijn te lezen.
54. Idem, als het doosje met een kort zijvlak tegen het verticale projectievlak is geschoven. In een tweede teekening denkt ge het grondvlak 3 cM boven het horizontale vlak.
2*



20
§ 6. Projecties van lichamen met platte vlakken, niet evenwijdig aan of loodrecht op het projectievlak.
Moet een sigarenkistje worden geprojecteerd, dat op het horizontale vlak staat, en waarvan geen der staande vlakken evenwijdig' is aan het verticale projectievlak, dan krijgen we een eigenaardige figuur als verticale projectie, zie fig. 45, waarop we even de aandacht moeten vestigen.
Wij veronderstellen, dat ge | I I weer door omteekening het
kistje projecteert, — de horizontale projectie wordt een rechthoek in schuinen stand.
Lastiger is het de verticale projectie te teekenen. Ge ziet, dat die vier loodlijnen moet vertoonen; de beide buitenste krijgt ge gemakkelijk op haar plaats, de twee middelste geven echter meer moeite. Met behulp van de
fig. 45. horizontale projectie valt het
echter mee, zie de hulplijntjes in de figuur. Eén der loodlijnen in de verticale projectie is als een zoogenaamde gebroken lijn Volle en geteekend, n.l. die, welke de verticale projectie is van gebroken lijnen. ^ loodrechu Hbhe die ge niet èie() ais ge het lichaam
van voren bekijkt in de richting der projecteerende loodlijnen. Ter onderscheiding van de in de constructie voorkomende hulplijntjes moet ge deze gebroken lijnen iets dikker teekenen en ze om den ander uit streepjes en punten laten bestaan.
In de volgende opgaven krijgt ge ook figuren die in de horizontale projectie gebroken lijnen vertoonen.
. - Opgaven.
55. Maak door omteekening de projecties van een kistje of doosje, waarvan geen der vlakken evenwijdig staat aan het verticale projectievlak.
56. Een regelmatig zeszijdig prisma staat met een zeshoek op het grondvlak. De zijde van den regelmatigen zeshoek is 3 cM, de hoogte van het lichaam 7 cM, de afstand van den zeshoek tot de as ruim 2 cM. Twee zijvlakken staan evenwijdig aan het verticale vlak.
Opmerking. Zooals bij opg. 29 (pag. 9) is opgemerkt, teekent ge den regelmatigen zeshoek in den cirkel. Daar twee zijden evenwijdig loopen aan de as, zult ge beginnen met den straal uit te zetten, te beginnen



21
bij de uiteinden van de middellijn des cirkels, welke aan de as evenwijdig loopt. In de opgave is opzettelijk de afstand tot de as ruim 2 cM gekozen. Dan kunt ge den cirkelomtrek op 2 cM afstand houden.
57. Hetzelfde prisma wordt zoo gedraaid, dat een lange diagonaal van het grondvlak loodrecht staat op de as. De afstand van de as tot het meest nabijzijnde hoekpunt is nu juist 2 cM. (Hier vooral gebruik te maken van het zeszijdig prisma, dat ge vroeger uit karton hebt vervaardigd.)
58. Hetzelfde prisma krijgt een zoodanigen stand, dat de lange diagonalen noch loodrecht staan op de as, nóch er evenwijdig aan loopen. De afstand van de as tot het meest nabijzijnde hoekpunt is weer ongeveer 2 cM. Beide projecties te teekenen.
59. Een regelmatige vierzijdige piramide is in loodrechten stand op het toppunt geplaatst. De zijde van het grondvlak is 8 cM, de hoogte 10 cM. De top ligt 6 cM van de as. Twee zijden van het grondvlak loopen evenwijdig aan het verticale projectievlak. Beide projecties te teekenen.
Teeken ook een horizontale doorsnede.
Waarin verschilt die van de horizontale projectie?
Oi 'merking. Om een goed inzicht in de projecties van de schuine ribben te krijgen, kunnen draad modellen zeer goed dienen, daar die met een teekenstift gemakkelijk te volgen zijn.
60. De piramide van de vorige opgave zoo te draaien, dat geen zijde
en ook geen diagonaal van het grondvlak evenwijdig is aan het verticale projectievlak.
61. Teeken en knip uit karton een netwerk als in fig. 46 (rechts-boven ook nog een randje aan te brengen). Zooals ge ziet, bestaat het uit vier gelijkzijdige driehoeken. Vouw de vlakken samen, en plak de ontstaande regelmatige driezijdige piramide, die, daar alle vier vlakken regelmatige driehoeken
zijn, regelmatig viervlak genoemd wordt. fig- 46.
Maak daarvan door omteekening beide projecties, — ge laat het lichaam op een der vlakken rusten en neemt de 'achterste zijde van het grondvlak evenwijdig aan de as.
Idem, als de voorste zijde aan de as evenwijdig loopt.
Teeken van het viervlak een verticale doorsnede, welke door een der ribben en door de loodlijn gaat, en een horizontale doorsnede, even boven het midden. (Eerst de zijden der driehoekige doorsnede meten 1)
62. Plaats een laag sigarenkistje op een vel papier, hetwelk ge vooraf zoo gevouwen hebt, dat het beide projectievlakken vormt. Het staat



22
tegen de as, en de horizontale ribben maken daarmee scheeve hoeken. Maak nog eens door „omtrekking" beide projecties.
Laat het kistje andere scheeve hoeken met de as vormen, en kom weer op dezelfde wijze tot beide projecties.
A
S
c
fig. 47.
63. Van een ander prisma is in nevenstaande figuur (fig. 47) het grondvlak in zijn stand ten opzichte van de as gegeven. BC is de hoogte. Gevraagd de verticale projectie te voltooien.
Uit projectie lichaam afleiden.
64. Teeken de projecties van een afgeknotte regelmatige vierzijdige
piramide. Twee zijden van het grondvlak loopen evenwijdig aan de as. Welk ander lichaam heeft een gelijkbeenig trapezium tot verticale projectie?
65. Welk lichaam op zijn grondvlak rustende, heeft een regelmatigen zeshoek tot horizontale projectie, en welk dienzelfden zeshoek met volle diagonalen ? — En welk den zeshoek met gebroken diagonalen ? Bestaat er ook verschil tusschen de horizontale doorsneden dezer lichamen?
66. Maak door omteekening van uw papieren regelmatig achtvlak beide projecties. Het achtvlak staat op een hoekpunt, en van het vierkante grondvlak der piramides (zie opg. 36, pag. 12) staan twee zijden evenwijdig aan de as. Teeken ook de verticale doorsnede door het midden evenwijdig aan het loodrechte projectievlak.
Welken vorm hebben in dezen stand de horizontale doorsneden?
67*. Idem, als twee zijden van bedoeld grondvlak hoeken van 45° met de as vormen. Teeken ook weer een verticale doorsnede, die evenwijdig aan het loodrechte projectievlak is gedacht.
68. Welke twee lichamen hebben een gelijkbeenigen driehoek tot verticale projectie en van welke lichamen is de driehoek met zijn loodlijn de verticale projectie?
69. Van welke lichamen kan een vierkant de horizontale projectie zijn? Van welk lichaam een vierkant met volle diagonalen? En een vierkant met gebroken diagonalen?
70. Welke lichamen hebben een cirkel tot verticale projectie, welke een rechthoek, welke een trapezium?
71. Van een recht vierzijdig prisma zijn de afmetingen 4, 7 en 3 cM. Het is geplaatst op een der grootste vlakken, en daarvan maakt de



23
zijde van 7 cM met de as een hóek van 60°, terwijl het achterste hoekpunt tegen de as is geplaatst. Gevraagd de beide projecties.
Opmerking. Een hoek van 60° is de hoek van een gelijkzijdigen driehoek. Is AS (zie fig. 48) dus de as, C het punt van het grondvlak, dat in de as valt, dan beschrijft ge met een willekeurig stuk van CA, b.v. CD een
fig. 48.
gelijkzijdigen driehoek. Neem daartoe CD in den passer, beschrijf met C
als middelpunt een cirkelboog EF, eveneens met D als middelpunt den boog GH, dan is het snijpunt der bogen K het derde hoekpunt van een gelijkzijdigen driehoek CDK. De lijn CK vormt dus met AS een hoek van 60°.
72. Van welk lichaam zijn in fig. 49 de projecties afgebeeld?
73. Teeken beide projecties van een cirkel (gebruik b.v. een ring), die loodrecht op het horizontale vlak staat, maar scheef ten opzichte van het verticale projectievlak.
74. Teeken beide projecties van een cilinder, die op het horizontale vlak ligt, en een schuinen stand heeft ten opzichte van het verticale projectievlak.
§ 7. Drie projectievlakken.
In vorige opgaven is een paar maal de vraag gesteld, uit gegeven projecties af te leiden, welk lichaam de teekenaar gebruikt of gedacht



24
had. Wij willen nu eens nagaan, of dit steeds zoo eenvoudig is. Ge onderstelt, dat fig. 50 de projecties van een recht vierzijdig prisma vertoont. Dit kan zeer goed het geval zijn, echter is ook nog iets anders mogelijk. Immers kan het ook de projecties voorstellen vaneen lichaam als in fig. 51 is afgebeeld, een recht driezijdig prisma, liggende op een der zijvlakken. Om dit lichaam uit 2 projecties te herkennen, hadden we het anders moeten plaatsen ten opzichte van het verticale projectievlak, en wel zoo, dat de driehoek geprojecteerd werd. Van zulke lichamen heeft men dikwijls twee verticale projecties noodig.
Men denkt zich dan het lichaam geplaatst als in fig. 52. Het rust op het horizontale projectievlak, en staat tusschen twee verticale vlakken, die onderling rechte hoeken vormen, en evenwijdig zijn aan zijvlakken van het lichaam. Denkt men het prisma op de drie projectievlakken afgeteekend en
slaat men vervolgens de verticale neer, het eene zijwaarts gedraaid om lijn FE,dan ontstaat fig. 53. A is de horizontale projectie, B en C zijn de twee verticale, DE en FE zijn de twee assen van projectie. In B en C



25
beide is de hoogte van het prisma aangegeven, — deze moet dus in
beide even groot zijn.
HK moet blijkbaar gelijk zijn aan LM; om dit te bereiken, beschrijft
men wel met E als middelpunt de bogen H L en KM. Men
le, 2e en Be noemt ^ wel het bovenaanzicht, B het voor-, C het zijaanproj.-vlak. . . *
zicht van het prisma. Doorgaans plaatst men het lichaam
met enkele vlakken evenwijdig aan de assen, als men de projecties wil
teekenen, zoodat werkelijk de ontstaande figuren vrijwel aangeven, hoe
het voorwerp zich van voren en van ter zijde (op de hoogte van uw
oog gehouden) gezien, vertoont. Zooals in fig. 53 is aangegeven, spreekt
men van het le, — het horizontale projectievlak, terwijl men met 2e
en 3e projectievlak dan de beide verticale bedoelt.
Opgaven.
75. Maak drie projectieteekeningen van een huis van onderstaanden vorm
fig. 54.
(fig. 54). Ge ziet dat de noklijn korter
76. Gevraagd drie projectieteekeningen van een regelmatig achtzijdig prisma, dat op een der zijvlakken ligt en waarvan de eindvlakken loodrecht staan op een der verticale projectievlakken. De afmetingen willekeurig, doch niet te klein te nemen. Ge begint met den achthoek te teekenen.
77. Idem van bovenstaand trapje (fig. 55).
78. Maak eerst een vluchtige schetsteekening van een verticale projectie eener vierkante tafel, en noteer daarin na nauwkeurige opmeting de maten.
fig. 55.
is dan de lengtezijde van het huis.



26
i ' i-; schaal te vervaardigen. Fig. 56 zal zoo'n
3j tp* |,—--^.y» • eerste schets kunnen zijn. Hieruit leest ge
• -** i gemakkelijk, dat de tafel 70 cM breed is, —
■ verder bedraagt de hoogte der pooten tot j het dekblad 76 cM; dit is 2 cM dik; de rand ^ onder het blad tusschen de pooten is 13 cM i hoog, de lade is 28 cM lang, 7 cM hoog; de | pooten zijn van boven 5,5 cM dik, van : onderen 4 cM.
Fig. 57 geeft de naar die schets bett g „ werkte teekening op de schaal 1 : 20. In
deze figuur zijn de maten ten overvloede nog weer aangeduid; dit gebeurt echter niet altijd, en is, daar ze nauwkeurig is uitgevoerd en i/2 cM een lengte van 1 dM voorstelt, ook niet noodig.
§ 8. Projectie en doorsnede van eenzelfde voorwerp.
Wij geven hier nog eens naast elkander verticale projectie en verticale
doorsnede van een
, L Van holle emmer (fig. 58 en
,r „ „ voorwerpen.
\ \ I 59) en van een lade
1 / 1 I 60 en 61). De lijnen ab en
\ I \ I °d z*jn m Qe Pr°ject'etee'tening
\ \ van den emmer noodig, — in
) / j- de doorsnede komen ze daaren-
J- *d/ " * tegen niet voor; daarin geven
fig. 58. fig. 59. we de dikte aan. Met de tafellade is het evenzoo: lijn
a | Jr ab ziet ge wel in de pro-
° I jectie, niet in de doorsnede.
Deze vertoont hier echter %• 60. fig. 61. , ... t v, . u *
de dikte van het hout
benevens de wijze, waarop bodem en zijstukken zijn verbonden. 1)
Schets- en Vervaardig vervolgens een netteekening op de schaal netteehening. ^ ,
Opmerking. Moet een meubelmaker een tafel als model gebruiken, dan zal hij verschillende opmetingen doen en die in ruwe schetsen noteeren, om later een nauwkeurige teekening op
1) In volledige projecties beliooren eigenlijk alle lijuea van het lichaam voor te komen, — in een dergelijke teekening van de tafellade zou die dikte dus ook moeten worden aangegeven. Blijkbaar zgn wij hier met eenvoudiger figuren tevreden.



27
Waar wij in de volgende opgaven projecties ook van Projecties van a|ier]ej gebruiksvoorwerpen gaan vragen, is het noodig nog
hengsels e. d. ° , ., , • . ,. . .
een enkele moeilijkheid onder de oogen te zien, die zien
daarbij voordoet. Zoo hebben sommigen moeite zich goed voor te stellen, hoe zich een hengsel, een oor of een tuit projecteert. Een hengsel is van deze voorwerpen wel het eenvoudigst. Ge neemt eerst maar eens het hengsel alleen, — het is b.v. nog al gemakkelijk, dat van een chocoladeketel los te maken. Gaat ge het nu omteekenen, dan ziet ge, dat de horizontale en ook een der verticale projecties rechthoekige figuren vormen, terwijl de andere verticale projectie den vorm en de dikte heeft van het hengsel.
Van den pot in fig. 16 volgen hier verticale projectie en doorsnede (fig. 62 en 63). De doorsnede is reeds vroeger (pag. 6) besproken, — we
fig. 62. fig. 63.
maken dus enkel een opmerking over de projectieteekening. Ge moet u
hierbij goed voorstellen, hoe beide opstaande deel en van het oor, het voorsteen het achterste, zich in den gegeven stand door dezelfde figuur projecteeren, terwijl het horizontale stuk, dat loodrecht op het projectievlak gericht is, daarop ongeveer door een cirkel wordt weergegeven. Slaagt ge er niet in, u een en ander volkomen helder te maken, bekijk dan eens goed een aarden pot met ooren, zooals ge dien in de keuken wel vindt.
Plaats nu een schenkInplanting feete, ?M voor dat
tij.tr mi e/*ht>yiIrIrfirel ' 0
tuit en oor een stand
geeft evenwijdig aan uw verticale projectie- fig. 64.
vlak. Tracht ge nu de inplanting der tuit op den ketel te projecteeren,



'28
dan blijkt u, dat deze niet samenvalt met de projectie van den ketelomtrek. Bij eenig nadenken vindt ge dit ook natuurlijk: immers de tuit heeft wijdte en breidt zich dus aan 'weerskanten der beschrijvende lijn van den ketelomtrek uit, — zoodat de omtrek van den inplantingsvorm der tuit zich binnen dien van den ketel zal afteekenen (zie fig. 64). Evenzoo vallen de inplantingsvormen van het hengsel geheel binnen de beschrijvende omtreklijn van den ketel.
Opgaven.
79. Teeken de verticale asdoorsnede, die door het oor gaat, van het kannetje, waarvan in fig. 41 de verticale projectie is gegeven. Het voetje is massief.
80. Teeken van de stoof, waarvan fig. 65 de natuurteekening geeft,
drie verticale doorsneden, één door het midden der zijvlakken, één door het midden van het achtervlak, respectievelijk evenwijdig aan de andere staande vlakken en de derde door een zijschotje, evenwijdig aan het overstaande vlak. Evenzoo twee horizontale doorsneden, één boven en één dóór het schotje van den voorkant. Eindelijk moeten de beide verti¬
cale projecties, dus voor- en zijaanzicht, benevens de horizontale projectie worden vervaardigd.
81. Ook van de tafel in fig. 66 moeten doorsneden en de drie projecties worden geteekend. Ge hebt misschien wel eens opgemerkt, dat de meubelmaker zich niet van spijkers bedient, — hij weet op zeer uiteenloopende manier twee
stukken hout aan elkaar te verbinden.
Wij kunnen daarop hier niet ingaan, en maken er slechts melding van, om u bij de doorsnede tot voorzichtigheid aan te maneu. In uw doorsnedeteekening van de tafel drukt ge de verbinding tusschen dekblad en onderstel niet uit: ge moet het laten voorkomen, alsof het dekblad er maar zoo op rust. Tusschen de pooten bevinden zich onmiddellijk onder het tafelblad tusschenstukken, zoogenaamde regels; in fig 67, een horizontale doorsnede, hebben wij aangegeven,
fig. 65.
fig. 67.



29
hoe die regels aan de pooten zijn verbonden. — De tafel heeft geen lade. — Er moeten nu teekeningen worden gemaakt van le. een verticale •doorsnede door het midden van de tafel evenwijdig aan een der kanten van het blad, 2e. een loodrechte lengtedoorsnede door een der regels, 3e. een horizontale doorsnede dadelijk onder het blad, 4e. een id., die
alleen door de pooten gaat. Verder drie projecties.
82. Teeken de drie projecties, benevens twee verticale doorsneden, één juist door de tuit, één door het oor van een stroopkan, — de drie projecties, twee verticale en twee horizontale doorsneden van een theekopje en schoteltje, — idem van een sauskom.
83. Teeken doorsneden en projecties van een
petroleumkan (zie fig. 68), — van twee schakels ^ 6g
van een ketting, l)
§ 9. Gebruik van doorsneden. Combinatie van doorsnede en projectie. Wiskundige en projectieuische doorsnede.
fig. 69.
1) Wij laten hier nog een reeks voorwerpen volgen, waarvan men projecties of doorsneden of beide kan laten teekenen: servetring, potlood, pnnttol, pennehouder, koffiemaatje, bierkruik, waterkit, emmer, fonteintje van een vogelkooi, bloempot in schotel, wijnglas met hollen voet, eierdopje, klomp, heveliuktkoker, test, soepterrine, suikerpot, theepot, teekenpen, melkkoker met deksel, haringvaatje, tobbe, koffiekan met filtreer, voederbakje van een kooi, mosterdpotje met lepeltje en deksel, sauskom, kaasstolp, gieter, waschkom en -kan, vilten heerenhoed, kandelaar, azijnfleach uit olie- en azijnstel, nachtlichtje, vijzel met stamper, proppenschieter, stander met lucifersdoosje, keukenstoel, enz,



30
Combinatie.
Doorsneden Doorsneden worden in de eerste plaats gebruikt bij
6anrfere'"ofcifcenn de stu(-*e van verschillende leervakken.
Zoo geeft uw leerboek over aardrijkskunde welAardrijkskunde. jjcnt een doorsnede van rivierbed met zomerkaden, uiterwaarden en dijken, — van een droogmakerij, van een gebergte, — van een deel der aardkorst (zie fig. 69, het ontstaan van intermitteerende bronnen), — alle met het doel u van de deelen of van den bouw een duidelijke voorstelling te geven.
Meermalen worden combinaties van doorsnede en projectie gebruikt. Moet een timmerman een prisma, zooals in fig. 52 is afgebeeld, maken, dan geeft men ff? ffi hem niet de projecties uit fig. 53, —
men geeft hem wel een
Werk- teekening als in fig. 70, teekening. .
die hrj een werkteekentng
noemt. De figuur vertoond in den rechthoek ABCD d^ verticale projectie, in den gearceerden driehoek EFG de verticale doorsnede, in het
vlak der projectie gedraaid. Ge ziet dat de figuur aldus alle gegevens van het voorwerp op duidelijke en eenvoudige wijze bevat.
Opgave.
84. Teeken de drie projecties van het lichaam, waarvan onderstaande figuur u de werkteekening geeft.
Zooals ge ziet, komt het er niet op aan,
waar precies door het lichaam de doorsnede wordt genomen, en waar die dus in de projectie wordt geteekend. In een werkteekening van een meer ingewikkeld voorwerp vindt ge de doorsneden op allerlei plaatsen, natuurlijk daar, waar zé wat
hebben te zeggen. In uw leerboek voor natuurkunde vindt ge ook meermalen doorsnede en projectie gecombineerd, — men geeft daar projecties
Combinatie in van deeten, dikwijls van een helft van een werktuig, afbeeldingen van „„ „ , .... . , ,
werktuigen. Fig- 72 geeft een dergelijke teekening van een brandspuit, die in uw boek dqprsnede genoemd wordt, 'echter iets anders is, dan wat wij tot dusverre doorsnede hebben genoemd. De achterwanden der pompbuizen en van den windketel zijn geteekend, de wijde afvoerbuis R, die achter het vlak van doorsnede valt, is in
fig. 71.



31
projectie aangegeven, — in een doorsnede, zooals wij die tot dusverre hebben verstaan, zou ze niet aanwezig moeten zijn. Zelfs heeft de teekenaar
% 72.
hier de vrijheid genomen, de zuigerschijf in haar geheel af te beelden, — hij heeft zich dus niet beperkt tot wat zich achter het vlak van doorsnede vertoont. Intusschen is de werkelijke doorsnede door de gewone arceering aangeduid, en blijkbaar dient de projectie van de achterliggende helft van de spuit slechts om juister voorstelling van de samenstelling van het werktuig aan te brengen.
Doorsneden Ook de architect maakt van deze „doorsneden", inderdaad
van den combinaties van doorsneden en projecties veelvuldig gebouwkundige. ■ ., fc . .. . ....
bruik. Hij geert projecties van een gebouw en om kijk te
geven op de inwendige samenstelling, op plaatsing van deuren en ramen, denkt hij het huis volgens een verticaal vlak doorgesneden en geeft dan van een der helften een verticale projectie. Ook hier onderscheidt zich de doorsnede door een eigen arceering van de projectie, zie fig. 73, „doorsnede" en plattegrond eener villa. De doorsnede is genomen volgens lijn OD, die, zooals ge ziet, nog verspringt om het trappenhuis in de doorsnede te kunnen projecteeren. Bestudeert ge de doorsnede nauwkeurig, dan ziet ge in de eerste plaats, wat we tot dusverre doorsnede genoemd hebben, volgetint met zwart of gearceerd. Denkt ge u nu verder het huis volgens een loodrecht vlak op CD doorgesneden, dan blijkt de „doorsnede" verder voltooid te zijn met de verticale projectie van wat achter genoemd vlak CD zichtbaar is. Zie b.v. de bank in de hall, de deuren



32
van die hall naar eetkamer en keuken, de trap, de binten van het dak, enz. De architect stoort zich terecht niet aan de theoretische definitie's.
fig. 73. i)
Hij verzamelt zooveel mogelijk in zijn teekening, die volkomen duidelijk is voor ieder, die ze op de goede manier leest.
Deze doorsnede is dus inderdaad de verticale projectie Projectievische de), acnterhelft van een volgens een loodrecht vlak en wtskundiqe . ... .: f .... ,, ,
doorsneden. doorgesneden voorwerp. We zullen ze daarom projectievische doorsnede noemen. De doorsneden, die wij tot dusverre hebben behandeld, onderscheiden we als wiskundige doorsneden, omdat ze zoo gegeven worden in wiskundige werken.
Van allerlei machinerieën e. d. vindt men in de leerboeken ook horizontale projectievische doorsneden. Hieronder heeft men te verstaan de
1) De oorspronkelijke teekening voor deze figuur is op l/3 verkleind, zoodat de afdruk verkleind is op een schaal 1 : 300.



33
horizontale projectie van het onderste deel van een volgens een horizontaal vlak doorgesneden voorwerp.
Projectie en Ten overvloede geven we hier nog van een emmer doorsneden van naast elkander verticale projectie, verticale wiskundige
een emmer. en verticale projectievische doorsnede. Wij vestigen er de aandacht op, dat in de eerste figuur de waterpaslijnen de projecties
fig. 74.
zijn van heele cirkels, terwijl die lijnen in de derde figuur de projecties zijn van halve cirkels.
Opgaven.
85. Teeken soortgelijke figuren als in fig. 74 van een tumbler.
86. Teeken ze van een theekopje.
87. Idem van een schoteltje.
88. En nu van het kopje als dat op het schoteltje staat. Vergis u niet met de onzichtbare lijnen.
89. Teeken een horizontale projectievische doorsnede van kopje en schoteltje.
Uw onderwijzer zal voor u moeten uitmaken, of ge u met deze soort doorsneden verder moet bezig houden ; — in dat geval zal het noodig zijn nog eenige van de dingen, waarvan ge vroeger wiskundige doorsneden hebt geteekend, of die ge in de noot op pag. 29 genoemd vindt, te behandelen. Ook zoudt ge een doorsnede kunnen teekenen van uw schoollokaal.
§ 10. Nog een en ander over het gebruik van doorsneden en projecties.
Natuurlijke Ook de natuurlijke historie maakt dikwijls van doormstorie. j ■ ■■ . .....
sneden gebruik, — in uw leerboek vindt ge herhaaldelijk
doorsneden van vruchten, van bloemen, van een stam (fig. 75), van
allerlei lichaamsdeelen (hart, enz.); van den grond, om de plaatsing van
holen, nesten en worteldeelen te laten zien, van een bijenkorf, van een
wespennest, enz. Het doel er van is weer duidelijk: een doorsnede toont
ons de samenstelling, den bouw van het voorwerp.
doorsnede. 7e (Ir. 3



34
j)00r Dan worden, we wezen er reeds herhaaldelijk op, om
ambachtslieden, dezelfde reden doorsneden gebezigd door allerlei ambachts¬
lieden .-timmerman, meubel maker, pottenbakker, e. a.
Op de lagere school Op lagere za[ 00k de onderwijzer school. , . . i ••,
vaak naar het krijt
grijpen, om met behulp van een doorsnede een en ander op te helderen, in de eerste plaats onderwerpen als bovengenoemde, die men op school behandelt en dus met een doorsnede zal toelichten. Dan allerlei zaken, die in de leesles ter sprake komen en met een doorsnede uitstekend kunnen wor-
fig. 75. den toegelicht: de inrichting van
een schip, een stoomboot, een hut, een boerenwoning e. d.
Ook van projecties wordt veel gebruik gemaakt.
In de eerste plaats treft men ze veelvuldig aan als De projectie teekenvoorbeelden. Fig. 76 is de verticale projectie van
henvoorbeeld een stroohoed en kan zeer geschikt in de lagere klassen tee envoor ee . worden nageteekend. De volgende fig. 77 en 78, verticale
projecties van een lamp en van een vaasje, komen met vele andere voor als teekenvoorbeelden in de 125 Wandplaten in kleur door W. Zwier G.Hzn. en T. Invtawnn fint Hpza 7.iin verticale
g- ' projecties. Waarom ze als teeken¬
voorbeeld gegeven ? De voorwerpen zelf zijn door de perspectievische moeilijkheden dikwijls nog te lastig om daarvoor te dienen; het projecteeren door omteekening, op de wijze, als we dat in een vorige § toelichtten, is ook door kinderen gemakkelijk te begrijpen, zoodat de teekening zeer goed verstaanbaar kan worden gemaakt, — terwijl verder, zooals reeds is opgemerkt, de verticale projectie doorgaans vrij goed op het voorwerp gelijkt. Het teekenen naar voorwerpen of naar afbeeldingen er van heeft voor kinderen groote aantrekkelijkheid; deze voorbeelden leven meer voor ze dan allerlei fraaie figuren, die de jeugdige teekenaars dikwijls niet weten thuis te brengen. Daarbij zijn de projecties wel zoo te kiezen, dat ze uitstekende oefening geven in het opvatten van verhoudingen, die



35
E B
% 77.
niet in kleine geheele getallen zijn uit-te drukken en dus slechts benaderd
Kunnen worden, waar¬
door het oog de beslissing houdt, — evenzoo in het vrij weergeven van verschillende richtingen (zie fig. 77) — welk een en ander bij het natuurteekenen voortdurend van den leerling gevraagd wordt, zoodat het teekenen naar deze projecties hiervoor een uitstekende voorbereiding is.
In fig. 78 komt hierbij een derde moeilijkheid: het juist opvatten van de beweging van vrijgebogen lijnen.
Dat dergelijke projecties door het kind vrij gemakkelijk begrepen worden, e-eeft den onder¬
wijzer vrijheid zijn lessen met dergelijke figuren Illustratie te illustreeren. In een leesles is sprake van een hooimijt, bij een les. van een tuit|amp (fig- 77) een schuur of wat dan ook, — nu is het soms tamelijk moeilijk, die te teekenen, zooals men ze werkelijk ziet, projectievische afbeeldingen zijn veel eenvoudiger. Een
mw™i ccu amiiiun (ng. iv), *■) een molen zijn in projectie vrij vlug te schetsen, natuurteekeningen naar die voorwerpen zijn veel ingewikkelder.
Voor den onderwijzer is het bij zijn onderwijs dus van belang, dat hij een helder inzicht in projecties heeft. Zooals boven reeds is gezegd, geven ze in vele opzichten een vrij goed beeld van het voorwerp. Vorm, verhoudingen, indeeling van het geheel, verband der deelen kunnen er doorgaans goed aan worden opgemerkt, en de afbeelding draagt er dus heel wat toe bij, om van een voorwerp een voorstelling aan te brengen. Men loopt natuurlijk eenigszins gevaar dat de kinderen zich
1) Deze figuur is een afbeelding van één der 25
otieven van Zwier en Jansv
3*



36
de dingen vlak denken, waarom mondelinge toelichting niet mag uitblijven. Dit bezwaar vervalt echter, als men, ter verlevendiging van de les, van bekende voorwerpen dergelijke afbeeldingen geeft. Waar van hoed en emmer projecties op het bord worden geschetst als fig. 76 en 74 vertoonen, daar zal geen der leerlingen in de meening verkeeren, dat boven- en onderkant niet rond zijn. En ieder, die vooral in de lagere klassen wel eens onderwijs heeft gegeven, weet bij ervaring, hoe de kinderen opleven, als een verhaaltje of de leesles geïllustreerd wordt met zoo'n schetsje. Dat projecties de kinderen niet vreemd zijn, spreekt al heel duidelijk uit het feit dat zij er zelf gebruik van maken. Teekenen zij zelf een glas of een emmer, doorgaans maken zij een verticale projectie.
Soms zal men naast de projectie ook de doorsnede Soms projectie teekeneI1) _ de eerste om het voorkomen, den vorm en doorsnede. ^ heJ. voorwerp weer te geven, de laatste om de samenstelling duidelijk te doen spreken. Zoo zou bij de karnton een doorsnede zeer goed kunnen dienen, om plaatsing en grootte van den stamper te doen uitkomen.
De verticale projectie komt eenigszins overeen met een Gebruik natuurteekening, als men het voorwerp op de hoogte van h°7oZ°e"tiee het °°g voor zich heeft geplaatst. De horizontale projectie 1 vertoont meer gelijkenis met het beeld, dat men van voor¬
werpen krijgt, die zich in onze nabijheid op den grond bevinden, zoodat
men er ongeveer ui iuuuict-um; richting op kijkt. Daar dit niet de meest gewone manier is om de dingen te bezien, bedienen we ons, zooals boven reeds is opgemerkt, in den regel niet van de horizontale projectie, als wij ze willen afbeelden.
Toch wordt deze ook wel daarvoor gebruikt. Zoo is de plattegrond van een schoollokaal of van een huis een horizontale projectie. In fig. 80, den plattegrond van een schoollokaal, zijn de rijen ban¬
ken de kast, de kachel, het bord, deur en schuifdeur duidelijk herkenbaar - ge zult opmerken, dat de projectie der banken niet is afgewerkt, die zou te ingewikkeld worden. Het springt in het oog, dat de kaart van het schoollokaal een vrij nauwkeurig beeld geeft van vorm, indeeling, plaatsing en grootte {niet van de hoogte 1) der meubelen, enz. Zie ook fig 73. Twee verschillende afmetingen geeft de kaart, de plattegrond, in



37
de juiste verhouding. Eigenlijk is elke kaart een projectie. Het gaat moeilijk ons voor te stellen, dat we op een horizontaal Elke kaart is v|ak ajje voorwerpen, die zich op een landschap bevinden, een projectie. ' r '
met een verticale stift gaan omteekenen. Gij kunt u nu
echter wel verbeelden, dat een kaart van het landschap gezien zal worden, als men zich in de lucht zwevende denkt, en zich dan beurtelings plaatst recht boven alle voorwerpen, alle lijnen. Worden die, zooals men ze dan zou zien, op verkleinde schaal en met weglating van verschillende détails, afgebeeld, dan krijgt men eveneens de horizontale projectie.
Een deel van een stad, — straat met boomen, lantaarns, tramrails,
fig. 81.
huizen, tuinen en schuttingen, kade met water en boot, — zal op die wijze in kaart gebracht b.v. fig. 81 kunnen geven. Het vervaardigen van kaarten van grootere uitgestrektheden gaat intusschen minder eenvoudig, — ge kunt u wel voorstellen, dat men daar bezwaren ontmoet in de ronding der aarde, die men bij kleine oppervlakken wel kan verwaarloozen, in grootere niet. Het is hier de plaats niet, na te gaan, op welke vernuftige manieren men er in geslaagd is op een plat vlak vrij nauwkeurig vormen en verhoudingen van de gebogen aardoppervlakte weer te geven, — kaartprojectie is een stukje „aardrijkskunde". Scha l Reeds meermalen hebben we opgemerkt, dat projecties gewoonlijk verschillende afmetingen geven in de juiste verhoudingen, wat in den regel met natuurteekeningen niet het geval is. In vele gevallen worden projecties op schaal geteekend, de Meters van de werkelijke projectie worden in de teekening door dM. cM, enz. aan-



38
gegeven. Doorgaans wordt dit door een aanwijzing aangeduid, — de verhouding wordt b.v. aangegeven door: schaal 1 : 10 (1 dM op de teekening is werkelijk 1 M), 1 : 100, enz., — öf door bij de teekening
een lijn te geven, die 1, 10, 100, enz. M moet voorstellen. architect. gebruiken architect, timmerman, meubelmaker, enz.
projecties, horizontale en verticale, op schaal, waaruit ze gemakkelijk de afmetingen lezen van het gebouw of het voorwerp, dat ze hebben te voltooien.
Een vooroefening voor het werken naar dergelijke teekeningen [is het maken van projecties op schaal naar aanwezige voorwerpen, die daartoe eerst nauwkeurig worden opgemeten.
11. Projecties van punten, lijnen en vlakken.
Het is nu nog noodig, op de projecties iets dieper in te gaan.
In het vorige hebben we reeds herhaaldelijk terloops van projecties van lijnen melding gemaakt, een enkele maal ook van die van een punt, steeds echter slechts in verband met die van een lichaam. Het is echter duidelijk, dat men zeer goed over de projecties van punten, lijnen en vlakken kan spreken, afgescheiden van een voorwerp. Dit sluit niet uit, dat wij in het volgende meermalen naar lichamen zullen verwijzen, vooral waar wij het hebben over lijnen en vlakken.
Opmerking. Om de juiste voorstelling van de besproken zaken te
bevorderen, geven wij den lezer in overweging, verschillende vlakken in papier uit te knippen, en ze in de aangegeven standen te houden.
Projectie van een punt.
fig. 82.
Be projectie van een punt dan in
de eerste plaats. Van punt P (zie fig. 82) vinden we de verticale projectie A door uit het punt een loodlijn op het verticale vlak neer te te laten, terwijl de horizon¬
tale projectie B gevonden wordt, door PB loodrecht op het horizontale



39
vlak te trekken. De afstand van A tot de as wijst dus aan, hoever P bóven het horizontale vlak ligt, — de afstand van B tot de as, hoever P zich voor het verticale bevindt.
L' n loodrecht Opmerking. Wanneer staat een lijn loodrecht op een V op vlak? vlak? Het is gemakkelijk genoeg te zien, of een potlood loodrecht staat op een waterpas- of loodrecht vlak, ook, wanneer het er schuin op staat, — lastiger is het, juist te omschrijven, wat het loodrechte nu wel is.^ Naar alle kanten blijkt de loodlijn loodrecht op het vlak te staan, of scherper uitgedrukt: trekt men
aoor het voetpunt Jts der loodlijn (fig. 82) verschillende rechte lijnen over het vlak, dan vormen deze alle met die lijn rechte hoeken. Eveneens vormt PA rechte hoeken met alle rechte lijnen, die door A in het verticale vlak worden getrokken.
Om een goed inzicht in deze zaak te krijgen, is het van belang ook eens een blad papier in hellenden stand te houden, daar een potlood loodrecht tegen te plaatsen, weer door het voetpunt der loodlijn verschillende rechte lijnen in dat vlak te teekenen en od te merken, dat W nntlnnri
met al die lijnen rechte hoeken vormt s' 83'
(zie fig. 83). Het opgemerkte kan nog verduidelijkt worden op de volgende
wijze. Let men op een
der rechte hoeken van
een vel papier en plaatst
men dezen met één been
op het tafelvlak, tegen
den muur of tegen een
hellend plankje, waarna
men hem om het andere
ais as iaat wentelen, dan doorloopt het eerste been het platte vlak, waarop het rust. De lijn, waarom de hoek draaide, maakt dus rechte hoeken met alle lijnen, door het voetpunt der lijn in het vlak
getrokken. fig, 84



40
Ten einde over de projectie van een rechte lijn tot ^^rechU ï^n**" enke'e °Pmerkingen te komen, moet ge een sigarenkistje tegen de as van projectie plaatsen (zie fig. 84). Ge zult dan zien, dat de verticale projectie van ribbe AB het punt B is, de horizontale van AC het punt C.
Opgaven.
90. Plaats letters bij de andere hoekpunten van het kistje in fig. 84 en noem dan andere ribben, die een punt tot projectie hebben.
91. Wanneer is de projectie van een lijn een punt?
92. Ribbe AB (fig. 84) heeft tot horizontale projectie lijn CD, even
B
fig. 85.
groot als AB, — evenzoo is de verticale projectie van AC, n.1. BD even lang als de lijn zelf. Noem andere ribben, waarvan de projecties dezelfde lengte hebben als die ribben.
93. Wanneer is de projectie van een lijn even lang als de lijn zelf?
94. Wanneer vallen de horizontale projecties van twee evenwijdige lijnen, die beide evenwijdig zijn aan het projectievlak, samen? (Te beproeven met twee potlooden of iets dergelijks.) En wanneer de verticale?
95. Teeken beide projecties van een regelmatige driezijdige piramide, die in den stand van fig. 85 met D tegen de as AS is geplaatst. Het grondvlak van dit lichaam is dus een gelijkzijdige driehoek, en de top valt juist boven het midden van het grondvlak; — dit te vinden door in den driehoek uit D (zie fig. 86) een loodlijn op BC neer te laten en uit B een tweede op CD. De derde loodlijn, uit C op BD, gaat ook door hetzelfde middelpunt O.



41
Is de verticale projectie van BD (tig. 85) evenlang als de lijn zelf? Noem de andere ribben die in de verticale projectie verkort voorkomen. Welke ribben worden in de horizontale projectie verkort?
96. Wanneer is de projectie van een lijn een andere, kortere, lijn ?
97. Wanneer vallen de horizontale projecties van twee evenwijdige lijnen, niet evenwijdig aan het projectievlak samen ? (Zie opg. 95.) En wanneer de verticalè?
De projecties van een vlak.
Plaats het sigarenkistje weer in den stand van fig. 84. Projectie van .. . ... , . .. . . „ „. ...
een vlak. *■'e vertlcale projectie van den rechthoek ABCD is lijn BD,
de horizontale is lijn CD.
Als een uwer teekenplaten tegen den wand hangt, is de horizontale
projectie van het voorvlak daarvan een lijn, en dus ook die van de
figuur, welke op de plaat is afgebeeld.
98. Noem in fig. 84 andere rechthoeken, die zich, hetzij in het horizontale, hetzij in het verticale vlak, als een lijn projecteeren.
99. Teeken nog eens, door omteekenen, beide projecties van een tumblerglas (zie fig. 35 en 36). Wat is de verticale projectie van bovenen ondervlak ?
Wanneer is de projectie van een -®
cirkel een lijn?
Wat is de horizontale projectie van beide cirkels? Wanneer is de projectie van een cirkel weer een cirkel?
100. Het regelmatige zeszijdige prisma (van opg. 31, pag. 11) ligt op een der lange rechthoekige zijvlakken, zóó. dat de zeshoeken even- —
.. . ■ jj n
wijdig aan het verticale projectievlak u
zijn geplaatst. Maak door omteekening van uw papieren prisma de projecties. Uw prisma weer op de les mee te brengen.
Hoe projecteeren de zeshoeken zich op het verticale, hoe op het horizontale vlak ?
Wanneer is de projectie van een zeshoek aan dien zeshoek gelijk, — wanneer is ze een lijn ?



42
Watkandeproj.van 101. Wanneer is de projectie van een plat vlak een plat vlak zijn? gelijk aan dat vlak, wanneer is ze een lijn?
102. Welke zijvlakken van het prisma van opg. 100 hebben tot horizontale projectie rechthoeken, die smaller zijn dan de oorspronkelijke?
Merkt ge in opg. 95 ook driehoeken, die in de projecties van vorm veranderen ?
103. Wanneer is de projectie van een plat vlak een vlak van anderen
vorm ?
fig. 87.
104. Houd een vierkant stuk papier zoo, dat de projectie op het verticale vlak een lijn is, op 't andere een rechthoek. Omschrijf den stand.
105. Een vierkant staat op een zijner hoekpunten loodrecht op het horizontale vlak en evenwijdig aan het verticale. Teeken de projecties, als het hoogste hoekpunt zich loodrecht boven het onderste bevindt. — ook, als dit
niet het geval is. (Gebruik hierbij weer een vierkant stuk papier.)
Vlakken lood- Opmerking. Meermalen was in het voorgaande sprake recht op elkaar, van twee vlakken, die loodrecht op elkaar staan. Dit geeft tot weinig moeilijkheid aanleiding, waar het eene vlak waterpas is. Toch zal men goed doen, ook hier zich goed in de zaak in te denken. Het loodrecht staande vlak kan n.l. draaien, terwijl het toch loodrecht blijft op het waterpasvlak, — hier denke men aan een om haar scharnieren draaiende deur, die toch in alle standen loodrecht op den vloer staat (zie fig. 87). Aan weerskanten ziet men steeds rechte hoeken.
Iets lastiger wordt het geval, waar het eene der twee vlakken een loodrecht vlak is, b.v. de wand. Men is zoo geneigd, een lei b.v., die men er loodrecht tegenhoudt, öf waterpas te plaatsen, öf loodrecht, terwijl ze toch in hellenden stand ook zeer goed rechthoekig tegen den



43
wond Lnn nnnlaii miVinnJon In fin- UB vlal rrQ QQnlrra .rloH.nn in
schillende standen loodrecht tegen een verticaal vlak geplaatst. Het is noodig, dat ge dit eens met een lei of een ander plat voorwerp nabootst.
. . 106*. Omschrijf den stand welken
Projecties van . , , . ,
een vierkant. een viei"kant achtereenvolgens ten opzichte der projectievlakken inneemt, wanneer in de volgende figuren a—g de projecties gegeven zijn (fig. 89).
B.v. voor fig. b: het vierkant heeft een horizontalen stand; twee zijden loopen evenwijdig met de as; verder ligt het iets boven het horizontale projectievlak.
107. Doe hetzelfde met een rechte Projecties van ,-. , , , „
een lün "Jn> wanneer ln de volgende figuren
a—de projecties gegeven zijn (fig. 89.) fig. 88.
De punten a' en a" in de fig. g en h zijn respec-
«° itd\juvuiv nu uc vcinuaic uiu euties vau nei eene uiieinu



44
B.v. voor fig. b: de lijn loopt horizontaal
en maakt scheeve hoeken met het verticale projectievlak, — verder bevindt ze zich iets boven het horizontale vlak, terwijl geen enkel punt het verticale vlak raakt.
Projecties van een punt.
108. Id. met een punt, wanneer in neven¬
staande figuur de projecties gegeven zijn (fig. 91).
§ 12. Samenvatting van het behandelde over doorsneden en projecties. Definities.
Ten slotte volgt hier een overzicht van het in de voorgaande § § behandelde, hetwelk we nog in zooverre aanvullen, dat we hier nauwkeurige definities geven.
Om ons een beeld te vormen van een wisWiskundige doorsnede, kundige doorsnede door een voorwerp hebben aanschouwlijke voorstelling. ° ■ ■■ ....
we ons dus voorgesteld, dat het werkelijk
in eenige richting werd doorgesneden, dat de kant, die door het snijden was ontstaan, met krijt, inkt of iets dergelijks werd bestreken, en eindelijk van dit snijvlak een afdruk werd genomen. Deze afdruk is de doorsnede.
Intusschen
Vlak en doorsnede, kuDnen we ware vorm.
ons ook wel verbeelden, dat door het lichaam een vlak wordt gedacht, een vlak van doorsnede, en kunnen we de doorsnede omschrijven als de nieuwe figuur, die nu in het snijvlak ontstaat. Zoo is in neven-
fig 92 staande figuur 92 door een laatje
een snijvlak gebracht; om de doorsnede te krijgen, zoudt ge moeten teekenen, wat zich tegen dit



45
snijvlak vertoont. Ge hebt er hierbij aan te denken, dat deze figuur in haar waren vorm moet worden afgebeeld, dus als fig. 93. Sommigen komen wel eens in verzoeking, de doorsnede te teekenen
fig. 93.
fig. 94.
fig. 95.
fig. 96.
als ze is afgebeeld aan de natuurteekening van een helft van het doosje, zooals die in fig. 94 is te zien.
Als naast de doorsnede door een kube ook natuurteekeningen van de helften gevraagd werd, zagen
we meermalen eerst de kube geteekend (fig; 95), dan die halve kuben (fig. 96), en nu gaf men aan de doorsnede, een vierkant, denzeifden schijnvorm als ze heeft in een der
geschaduwde vlakken dier halve kuben. Dit mag niet: de doorsnede moet den waren vorm vertoonen, in dit geval dus een gewoon vierkant (fig. 97). In de afdrukken, die ge in 't begin eenige malen hebt moeten maken,
kreeg ze vanzelf de ware gedaante. Voor de definities van projectievische doorsneden verwijzen we naar bladz. 32.
Een projectie hebben we op het projectievlak doen ontstaan door een teekenstift te
laten glijden om het lichaam, om het vlak of langs de
lijn, terwijl de stift daarbij voortdurend een stand behield, fig. 97. loodrecht op het projectievlak. Reeds dadelijk hebben we opgemerkt, dat die stift een lijn moest verbeelden, — met behulp daarvan slaagden we er ook gemakkelijk in, de projectie van lichamen aan te vullen met die van ribben en lijnen, die niet in den buitenomtrek vielen, waarlangs het lichaam werd omgeteekend.
Intusschen zijn we later tot scherpere, wiskundige omschrijvingen gekomen, die we hier nog even doen volgen.
De projectie van een punt is het voetpunt van de lood-
o^paUngè^ ,^n* a"'e we uit c,at punt °P het Projectievlak kunnen neerlaten. De projectie van een lijn bestaat uit de projecties der punten van die lijn. Van een rechte lijn kunnen we ze ook aldus
Projectie, aanschouwlijke voorstelling



46
omschrijven: Ze is de rechte lijn, getrokken tusschen de projecties van de uiteinden. Liggen te projecteeren punten of lijnen reeds in het projectievlak, dan zijn zij zelve tevens de projecties. Vallen de projecties der uiteinden van een lijn samen, wat het geval is, als de lijn rechthoekig staat op het projectievlak, dan is de projectie van de lijn een punt.
De projectie van een vlak bestaat uit de projecties der punten van het vlak, — of: ze is de figuur, ingesloten door de projectie van den omtrek van het vlak. De projectie van een vlak, door rechte lijnen ingesloten, is nog anders te omschrijven: Zij ontstaat door de projecties te bepalen van de hoekpunten en deze projecties in dezelfde volgorde door rechte lijnen te verbinden als dit in het oorspronkelijke vlak met de overeenkomstige hoekpunten het geval is; — de gevormde figuur is de gevraagde projectie. Ligt het te projecteeren vlak reeds in het projectievlak, dan is het vlak zelf de projectie.
De projectie van een lichaam bestaat uit de projecties der punten van het lichaam, of: ze is de figuur, gevormd door de projecties der vlakken van dat lichaam. Heeft het uitsluitend rechte ribben, dan kan men zich ook aldus uitdrukken: Ze is de figuur, gevormd door de projecties der ribben van het lichaam, — of: Men projecteert de hoekpunten van het lichaam en verbindt de projecties op dezelfde wijze door rechte lijnen als dit in het lichaam met de punten zelf het geval is, — de gevormde figuur is de projectie.
Opgaven.
109. Geef een definitie van een wiskundige doorsnede, — wat is een projectievische doorsnede? Welke drieërlei doorsneden hebt ge leeren onderscheiden naar de richtingen, in welke ze werden genomen ? Bij welke lichamen spreekt ge van een asdoorsnede? Wanneer maakt men bij voorkeur gebruik van een doorsnede?
Welke drie projecties hebben we behandeld? Wat is het eerste, wat het tweede, wat het derde projectievlak ? Noem lichamen, waarvan men beide verticale projecties moet kennen, om er een voorstelling van te kunnen krijgen. Welken vorm kan de projectie van een cirkel hebben, en in welken stand van den cirkel zal deze zich in dien vorm projecteeren? En een vierkant? (Zie o. a. na te gaan, wanneer dit zich als rechthoek, wanneer als scheefhoekig parallelogram zal projecteeren).
Wat kunt ge opmerken omtrent de verschillende projecties van een zelfde plat vlak? Wat omtrent de verschillende projecties van een rechte lijn?
Wat is de projectie van een punt, van een rechte lijn, van een ge-



47
bogen lijn, van een vlakke figuur, door rechte lijnen ingesloten, van een lichaam met platte vlakken, van een willekeurig lichaam ?
Welke afmetingen zijn gewoonlijk uit een projectie te lezen? Wanneer gebruikt men in een projectie volle, wanneer gebroken lijnen? Wat is de as van projectie? Wanneer verplaatst zich de horizontale projectie ten opzichte der as, wanneer de verticale? Wanneer gebruikt men projecties?
Noem voorwerpen, waarvan projectie en doorsnede gelijk kunnen zijn, — bij welke voorwerpen leveren ze een eigenaardig verschil?



HOOFDSTUK III.
PERSPECTIEVISCHE VERSCHIJNSELEN.
§ 13. Welke perspectievische verschijnselen zijn reeds bij het teekenen naar de natuur opgemerkt? Definitie.
Zooals wij in ons voorbericht opmerkten, onderstellen wij, dat met de studie van dit deel van ons werkje pas een aanvang wordt gemaakt, als reeds eenigen tijd naar de natuur is geteekend. Ge weet dus, dat we steeds den schijnvorm der lichamen afbeelden, en hieraan hebt ge reeds allerlei verschijnselen leeren opmerken.
Zoo hebt ge meermalen een kube als in
fig. 98 geteekend en hebt ge opgemerkt, dat in dit geval de schijnvorm en dus ook de natuurteekening de volgende bijzonderheden vertoont: van de zes zijvlakken ziet ge er slechts drie; geen der vierkanten wordt in zijn waren vorm geteekend, de staande zijvlakken als trapeziums, het bovenvlak als een onregelmatige
gg vierhoek, het linkerzijvlak breeder dan het
rechter. De waterpaslijnen die van u afloopen, vertoonen zich in uw teekening als schuine lijnen, — en de evenwijdige loopen naar elkaar toe. De loodlijnen daarentegen blijven loodrecht, — wel zijn ze inderdaad even lang, maar de voorste wordt het langst gezien en geteekend.
Door ten opzichte van de kube een andere plaats, hooger of lager, meer naar links of naar rechts, in te nemen, ziet ge ze anders en zult ge ze anders moeten afbeelden. Plaatst gij ze b.v. zoo, dat uw oog zich recht tegenover het midden van het voorvlak bevindt,' dan beeldt ge het blok af, alleen door een vierkant; niet alleen de loodlijnen, maar ook waterpaslijnen worden dan in haar ware richting gezien en geteekend. Al deze verschijnselen nu noemen we perspectievische verschijnselen.
Bij het teekenen naar andere lichamen zult ge soort^l\ame^n'e Se'Üke opmerkingen hebben gemaakt. Buiten zult ge vaak hebben gezien, en ook uit afbeeldingen zal u gebleken zijn, . dat gelijke voorwerpen kleiner moeten worden geteekend, naarmate ze zich verder af bevinden, dat allerlei vlakken anders moeten geschetst,



49
dan ze werkelijk zijn, dat de meeste voorwerpen verschillend moeten worden afgebeeld, als de teekenaar een andere standplaats inneemt Deze perspectievische verschijnselen vertoonen zich niet alleen aan meetkundige lichamen. De schijnvorm van een paard b.v. is een andere als het dier met den kop naar den teekenaar is toegekeerd, dan wanneer het van ter zijde wordt gezien, - portretten verschillen aanmerkelijk, ot ze en face of en profil zijn genomen.
Definitie.
Under perspectievische verschijnselen verstaan we dus alle verschijnselen, die zich vertoonen aan den schijnvorm of aan een natuurteekening van lichamen, vlakken en lijnen, als die in een bepaalden stand van uit een bepaald punt worden gezien. Zij hebben betrekking op het al of niet zichtbaar zijn van een of ander, op den vorm der vlakken, op verhoudingen en richtingen van lijnen. Doorgaans vergelijkt men hierbij den schijnvorm met den waren vorm, en constateert men dus overeenkomst of verschil.
In het volgende zullen we eenige der meest in 't oog vallende perspectievische verschijnselen aan een nader onderzoek onderwerpen, waarbij we ze, uitgaande van aanschouwing, onder regels zullen brengen, en die zoo mogelijk zullen verklaren, vooral door ze met elkaar in verband te brengen om er ten slotte verschillende toepassingen aan te verbinden.
Voor dit onderzoek is het noodig, dat wij die verschijnselen in een geregelde volgorde rangschikken, om ze achtereenvolgens te bestudeeren
§ 14. Wijkende en niet-wijkende lijnen. Het vierzijdig prisma onder ooghoogte met niet-wijkende vlakken. Schijnbare richting van loodlijnen en niet-wijkende waterpaslijnen. Afstand van het model. „Meten" slechts contrólemiddel.
Wijkende en niet-wijkende vlakken.
Ge plaatst een sigarenkistje voor u, zoodat ge
het 7ÏAt. «la in r>n i J. ™ t. . b
— *" "«=»ciioi,-»auue uguur yy. vervolgens geeft ge het een stand, waarin ge het ziet als in figuur 100. In den eersten stand ziet ge het voorvlak
recht voor u, m den tweeden niet, daar staat het schuin voor u, — het vlak verwijdert zich naar achteren van u, evenals dit het geval is met het korte zijvlak van het kistje. We zeggen nu, dat de staande vlakken van het kistje in fig. 100 wijken, het zijn wijkende doorsneden. 7e dr.
fig. 99.



50
vlakken, — terwijl we het voorvlak in fig. 99 niet-wijkend noemen. In fig. 100 wijkt het lange zijvlak naar links, — het verwijdert zich immers naar links van u, — het korte zijvlak is een rechts-wijkend vlak.
Beide keeren Wijken heeft ook het tn verschillende
richtingen. bovenvlak van het kistje een wijkenden stand. Dit is mede het geval met de zijvlakken van het kistje, wanneer ge het ziet als in fig. 99; die zijvlakken wijken dan recht van u af.
Het is duidelijk, dat ge ook omtrent de overige niet zichtbare vlakken van het kistje dergelijke opmerkingen zult kunnen maken, ook die zijn alle wijkende vlakken, behalve in fig. 99 het achtervlak.
Wijkende en Wij onderscheiden evenzoo wijkende en niet-
niet-wijkende lijnen, dijkende lijnen. De ribben van voor- en achtervlak van het kistje in fig. 99 wijken niet, — de waterpaslijnen van het bovenvlak, die zich van u verwijderen, zijn wijkende lijnen. De ribben van het kistje in fig. 100 zijn alle wijkende lijnen behalve de loodlijnen. Onder de wijkende lijnen der kistjes zijn er, die naar links wijken, andere wijken naar rechts, weer andere recht van u af. Geeft ge het kistje een hellenden stand, door een of ander voorwerp onder een der punten te plaatsen dan vertoont het lijnen, die naar boven, andere, die naar beneden wijken.
Plaats van te In de volgende opgaven moet ge de voorwerpen,
teekenen voorwerpen. A[e ge jn teekening moet brengen, een flink eind voor u plaatsen, — de grootste niet-wijkende lijn, die ge door het voorwerp kunt brengen, hetzij in de hoogte of in de breedte, moet minstens driemaal gaan op den afstand tusschen het voorwerp en uw oog. De ondervinding heeft geleerd, dat dit noodig is, als men het geheele lichaam in één oogopslag met voldoende scherpte wil overzien, — en dit wordt voor het teekenen vereischt. Zooals ge zult bemerken, moet ge steeds een weinig op de dingen kunnen neerzien, echter weer niet te veel: bovenvlakken moeten zich niet veel breeder vertoonen dan in de zooeven besproken afbeeldingen der sigarenkistjes, — zoodat ge bij het bekijken der voorwerpen bijna in horizontale richting ziet.
Middel om Op gemakkelijke wijze kunt ge u overtuigen, of ge goeden afstand u werkelijk op genoemden afstand bevindt van voorwerpen nemen. ^ groep, die ge wenscht te teekenen. Ge strekt een arm
fig. 100.



51
voor u uit met wijd uitgespreide vingers en nu moet ge de modellen zien binnen de ruimte, bedekt door hand en vingers. De verhouding tusschen den grootsten afstand der vingertoppen en den afstand van de hand tot het oog is n.1. ongeveer als 1 : 3.
Opgaven.
Opmerking. Alle voorwerpen moeten iets, maar niet te veel, onder de hoogte van uw oog worden geplaatst.
Zie er u bij deze teekeningen aan te wennen, niet eerst te „meten", maar direct uw indruk van het voorwerp neer te zetten. Desnoods „meet" ge na ter controleering, maar beperk u ook hierin zooveel mogelijk.
110. Maak zelf een teekening van een gesloten sigarenkistje, — het lange staande vlak wijkt niet. Idem als het korte vlak niet wijkt.
111. Maak teekeningen van een open kistje zonder deksel in beide standen.
112. Een vrij dik, ingenaaid gesloten boek zet ge staande voor u, — het titelblad niet wijkend, — maak er in dien stand een teekening van.
113. Maak een teekening van het laatje van een lucifersdoosje, waarvan de lange staande vlakken een niet-wijkenden stand hebben. Idem, als de korte vlakken niet wijken 1
114. Idem van een uitgeschoven lucifersdoosje, waarvan de lange, staande vlakken niet wijken. Idem, als de korte rechthoeken een nietwijkenden stand hebben.
Opmerking. Telkens hebt ge de niet-wijkende vlakken in hun waren vorm afgebeeld, en de niet-wijkende lood- en waterpaslijnen in haar ware richting.
§ 15. Het vierzijdig prisma met wijkende vlakken onder ooghoogte. Gelijke loodlijnen op verschillenden afstand. Wijkende waterpaslijnen. Twee en meer evenwijdige wijkende waterpaslijnen. Hoe een kistje te teekenen.
In de teekening van het kistje met uitsluitend wijkende vlakken (fig. 100) hebben de zijvlakken den vorm van trapeziums. De loodlijnen hebben haar richting behouden, zij wijken dan ook niet, — de waterpaslijnen loopen alle schuin, zij loopen op, zeggen we: wij rekenen de richting altijd uit van het naastbijzijn.de punt. De voorste loodlijn a is langer geteekend dan b, die zich op grooter afstand bevond dan a, — en in verband daarmede kunnen boven- en onderkant van het korte zijvlak geen evenwijdige lijnen blijven, — deze lijnen c en d moeten
4*



52
elkaar naar achteren schijnen te naderen. Ook d en e loopen naar elkaar toe, — en ge bemerkt, — evenals ge dit bij het teekenen naar andere voorwerpen ook reeds hebt bespeurd, — dat lijn d minder oploopt dan lijn c, en iets meer dan e; de richting van de middelste lijn ligt in tusschen die der beide andere. Dit is ook het geval met de schijnbare richtingen der drie lange ribben.
Bij het teekenen van de verschillende voorwerpen blijft „Het meten u er aan gewennen niet met „meten" te beginnen;
zeer beperken. 0 . "'j
zoo noodig overtuigt ge u door nameten, of ge goed
gezien hebt, maar ge moet op uw oogen leeren vertrouwen, wilt ge ooit tot vlug schetsen komen, en daartoe brengt ge het niet, als ge telkens weer het maatstokje te hulp roept.
Een kistje teekent ge op de volgende wijze. Ge zet eerst Teekenen van j twee buitenste loodlijnen a en b neer (fig. 101) en tracht een kistje. . a. , , • , i ■
in haar lengte meteen iets van de hoogte uit te drukken,
deze wordt straks preciezer bepaald. Tusschen a en b komt de middelste loodlijn c. Ge neemt daartoe de grootste breedte in uw potlood dat ge dus niet-wijkend op armlengte-afstand vóór u houdt. Hierin wijst ge de plaats aan van c, en nu geven de twee stukken van de grootste breedte in uw potlood de verhouding aan der breedte van de twee staande vlakken. Nu volgen de onderste oploopende waterpaslijnen, — het is wel haast de grootste moeilijkheid uit de geheele teekening, hieraan de goede helling te geven; maakt ge in dit opzicht een fout, dan krijgt ook dadelijk het bovenvlak een verkeerde breedte. Ge houdt,
om van de helling een juisten indruk
l ,l " "U-^-T' *e krijgen, uw potlood of een stokje
! k met gestrekten arm recht vóór u in
i £ horizontalen stand zóó, dat ge punt
c D in het stokje ziet, — en nu moet
q p ge scherp den hoek opvatten tus-
JL^r^fZ— schen het stokje en lijn e, die daarna
d kan worden geteekend. Ge zult er-
varen, dat beginners doorgaans den hoek te groot nemen. Om u tegen overdrijving te vrijwaren, wijst ge met de punt van uw potlood, dat ge met gestrekten arm voor u houdt, naar F, — vervolgens beschrijft ge met die potloodpunt in heen- en weergaande beweging een waterpaslijn over het kistje en tracht in c, waarvan ge zoo ongeveer de lengte hebt, de plaats van het punt G op te vatten, waar deze lijn door bedoelde waterpaslijn wordt gesneden: maar even boven D. Na correctie volgt de andere wijkende waterpaslijn uit D. Nu ziet ge de lengte van c te bepalen, ook in verband met de geheele hoogte. Ten einde de richting van lijn k te



53
bepalen, handelt ge als volgt: Ge bedekt lijn e met uw (niet-wijkend) potlood en verplaatst dit dan zonder zijn stand te veranderen naar H, ge ziet dan duidelijk dat k iets minder oploopt.
Om het bovenvlak te voltooien is het noodig, nog twee lijnen te teekenen, die iets naar de andere toeloopen. Het snijpunt L verplaatst zich bij een kleine afwijking in richting der lijnen sterk ten opzichte van punt H. Er moet dus scherp worden gelet op de ligging van punt L, — teeken er met uw potlood op de manier, die we zooeven beschreven, een loodlijn door en zie, waar die door een zijvlak gaat. En zie nu toe, of uw bovenvlak ook te breed is geworden, — wij wijzen er op, dat men in het begin moeite heeft, dit op te merken; in uw teekening op het vlakke stuk papier staat dit vlak recht boven de zijvlakken, — in werkelijkheid strekt het zich naar achteren uit en ge weet, dat het nog al vrij breed is. Het is de moeilijkheid de dingen vlak te zien, zooals men het noemt: dat naar achteren zich uitstrekken moet ge op uw papier weergeven, door zekere uitgebreidheid naar boven en door het elkaar naderen der evenwijdige lijnen. Om van die schijnbare hoogte een goede voorstelling te krijgen, brengt ge uw potlood, weer recht vóór u, horizontaal door L, en nu moet ge zien, hoever L zich boven H bevindt.
Opgaven.
(De voorwerpen weer op goeden afstand, en niet te veel onder ooghoogte te plaatsen. De bovenvlakken blijven dus vrij smal; ge moet een ding maar eens teekenen met breed bovenvlak en dan de figuur voor u houden. Het bovenvlak schijnt een hellenden stand te hebben, het heele ding helt schijnbaar Voorover).
115. Maak twee teekeningen van een sigarenkistje, waarvan beide staande vlakken wijken. Het kleine zijvlak moet in de tweede teekening ongeveer half zoo breed worden gezien als in de eerste.
116. Maak twee teekeningen in dezelfde standen der vorige opgave van een laag kistje zonder deksel, hetwelk ge zóó plaatst, dat de bodem even kan worden gezien. Er op te letten, dat de lijnen aan den bodem evenwijdig loopen met andere ribben van het kistje, — het opgemerkte omtrent drie evenwijdig wijkende lijnen blijkt ook op te gaan bij vierl
117. Teeken een boek in liggenden stand: le met den langen kant in niet-wijkenden stand, 2e met den korten kant naar u toegekeerd, niet-wijkend, 3« met deze beide vlakken wijkend.
118. Plaats van een portefeuille het eene blad in niet-wijkenden stand voor u, het andere ligt horizontaal, naar u toegekeerd, — maak er zóó een teekening van.



54
119. Noem eenige voorwerpen waaraan ge buiten de school hebt opgemerkt, dat loodlijnen die in werkelijkheid even lang zijn, op grooteren afstand korter schijnen.
§ 16. Niet-wijkende, hellende lijnen. Opgaven.
120. Ge plaatst het hooge gesloten sigarenkistje voor u met het groote staande zijvlak in niet-wijkenden stand. Nu zet ge aan den eenen kant onder het kistje een lucifersdoosje, waardoor het natuurlijk aan den eenen kant opwipt, —■ het groote zijvlak mag echter niet gaan wijken. In dezen stand er een teekening van te maken! Wat merkt ge op omtrent de richting der niet-wijkende hellende lijnen in uw figuur?
121. Nu zet ge het weer recht neer, het korte zijvlak in niet-wijkenden stand. Ge opent het deksel zoo ver naar buiten, dat de eene kant op de tafel rust. Een teekening te maken! — Een tweede, wanneer het deksel slechts even, onder een scherpen hoek, geopend is. Maak weer een opmerking over de richting der niet-wijkende schuine lijnen.
Eigenschap van We kunnen nu zeggen, nadat we ook gezien niet-wijkende lijnen. hehheü> dat neilende i^eQ in niet-wijkenden stand haar ware richting behouden, — dat dit met alle niet-wijkende rechte lijnen het geval is.
§ 17. Kube, prisma, 4 zijdige piramide (ook de afgeknotte) met gelijke en ongelijke wijking der zijvlakken. Lijnen door en over de kube, — stukken er uitgenomen, alles onder ooghoogte. Opgave.
122. Teeken een kube onder ooghoogte, met niet-wijkend voorvlak, l)
Kube, . Ge plaatst de kube nu zóó voor u, weer onder ooggelijke wijking hoogte dat de viakken alle wijken, — de beide zichtbare zijvlakken. ,
staande vlakken even sterk, — ge ziet dit gemakkelijk
daaraan, dat ze beide even breed schijnen, zie fig. 102. Van de punten A, B
1) Wij geven ia overweging schetsen te laten maken naar een draadkube, die aan eiken leerling afzonderlijk getoond wordt, zóó, dat deze telkens twee vlakken recht voor zich heeft. Boven- en ondervlak zijn horizontale vlakken.
Een volgenden keer herhale men dezelfde oefening, maar dan met de kube in hellenden stand, voor- en achtervlak niet-wijkend.
Daar deze standen bij het gewone klassikale natnurteekenen slechts bij uitzondering eens voor een enkelen leerling voorkomen, dringen wij er sterk op aan, ze in dezen vorm opzettelijk te geven.



55
en C, die alle in het grondvlak liggen, komt B het meest naar voren, terwijl A en C even ver naar achteren vallen. In de teekening komt B dus het laagst, — A en C worden even hoog geteekend, zoodat de diagonaal AC waterpas loopt. Dit is om dezelfde
reden het geval met DE. Het punt G zal juist boven F worden gezien, omdat in den gegeven stand BF de achterste loodrechte ribbe der kube zal bedekken.
Het grondvlak zal breeder worden gezien dan het bovenvlak,—ge ziet er meer op, — daarom is BH grooter dan FK.
Het bovenvlak heeft den vorm van een onregelmatiger- vierhoek, — van de diago naai DE zijn beide stukken
even groot, daar de lijn niet wijkt; — van FG wordt daarentegen de voorste helft FK grooter geteekend dan de achterste.
fig. 102.
Opgaven. (De lichamen blijven onder ooghoogte.)
Deellijnen over de vlakken.
123. Teeken uit het hoofd een kube, waarvan de staande vlakken gelijke wijking hebben. Benaal met
behulp der diagonalen de middens van die zijvlakken, en breng dan door die punten loodlijnen. Hoe zou het komen, dat de voorste helft van het vlak breeder wordt gezien dan de achterste? — Verdeel ieder vlak in vier gelijke deelen door ook waterpaslijnen door het midden aan te brengen. — Worden de loodlijnen ook in ongelijke stukken verdeeld?
124. Verdeel de staande vlakken in vieren met behulp van loodlijnen. Trek daartoe in de helft van een vlak weer diagonalen. Verdeel het bovenvlak door lijnen evenwijdig aan de zijden, in vier gelijke deelen. Gelijke stukken Opmerking. Wat ge hier hebt opgemerkt omtrent gelijke
van wijkende stukken van wijkende lijnen, dat die in de teekening n.1.
ijnen. naar acnteren toe kleiner worden, zult ge zeker ook buiten meermalen hebben gezien, — op een weg met op gelijke afstanden geplaatste boomen of telegraafpalen, — in een straat met lantarens.
125. Teeken een staande portefeuille, waarvan ge de bladen gelijke wijking geeft, in twee standen: le. den rug naar u toegekeerd, 2e. zóó, dat ge in de opening tusschen de bladen ziet. Misschien bevindt zich op het ééne blad een etiquet, anders denkt ge er een op. — Ge zorgt er voor, ook den bovenkant van de bladen onder ooghoogte te houden.



56
Kube, — ongelyke De kube laat ge nu draaien om de voorste loodlijn
wijking zijvlakken, dtp „ j„t A n ^.t-,
J " J ah, zoodat AD naar voren komt, en CE achterwaarts
wordt verplaatst. Ge ziet het rechterzijvlak in dezen stand breeder dan
het andere, — dit laatste wijkt veel sterker, en het punt A ligt
dan nu ook minder ver naar achteren dan C, zoodat het ook minder
hoog moet worden geteekend (fig.
Er-^-- 1'1 _~———D 103). BA loopt dus minder op dan
BC. Om dezelfde reden komt D niet zoo hoog als E. De diagonalen AC en DE loopen in dezen stand der kube dus op naar het smalle zijvlak. — Vooral, waar het bovenvlak vrij smal wordt gezien, en dit is zooals ge weet, het geval, als het zich slechts a weinig onder het oog bevindt, kan
B aeze opmerKing van belang zijn. Het
fig. 103. is dan soms haast niet mogelijk, het
verschil in hoogte tusschen D en E op te merken, — en hier is deze perspectievische kennis dus meer dan controlemiddel.
Punt G bepaalt ge weer, door er een loodlijn door te brengen en te zien, waar die tusschen de loodlijnen van het breedste vlak komt. Ook let ge er op, dat DG en FE elkaar iets naderen, — eveneens FD en EG.
Als het voorvlak niet wijkt, ziet ge geen Eén staand vlak niet-wijkend, ■■ i„i i, •• , , ■
dan 't andere onzichtbaar. Z«vlak' ~ WOrdt .een zlJvlak ook maar even zichtbaar, dan wijkt ook het voorvlak, al is
dit dan ook slechts weinig. Later komen we op dezen regel terug, daar hij in een enkel geval niet opgaat.
Opgaven. (Alles onder ooghoogte.)
126. Teeken naar de natuur een kube met ongelijke wijking der .staande vlakken, — in een tweede teekening neemt ge het verschil in
breedte tusschen de vlakken anders.
127. Teeken een staande, geopende portefeuille met ongelijk wijkende bladen, — le met den rug naar u toegekeerd, 2e naar u toe geopend.
128. Teeken uit het hoofd een kube met ongelijk wijkende staande vlakken en verdeel elk der zichtbare vlakken door lijnen evenwijdig aan de verschillende ribben in vier gelijke deelen. Geef door een stippellijn de loodlijn door het midden der kube aan, — hierbij zult ge het grondvlak moeten schetsen, om daarin het uiteinde van die loodlijn te bepalen.



57
Vierzijdige 129. Teeken uit het hoofd een regelmatige vierzijdige piraptramt e. mj(je) d;e ge overhoeks ziet, le de zijvlakken met gelijke wijking, 2e met ongelijke wijking. (De top valt boven het snijpunt der diagonalen van het grondvlak, — in de tweede teekening zult ge dit dus in zijn geheel even moeten teekenen), t)
130. Maak teekenin gen van dezelfde piramide in beide standen, als die omgekeerd staat.
131. Teek en in beide standen uit het hoofd een kube, waarop een vierzijdige piramide is geplaatst, die even hoog is als de kube. Het grondvlak der piramide is even groot als een zijvlak van de kube. Denk er aan, de hoogte van de piramide te vergelijken met een loodlijn in de kube op denzelfden afstand van u.
132. Idem, — weer beide standen, — als de piramide op haar punt staat, en op de piramide de kube.
Lijnen en vlakken 133. Teeken naar de natuur de kube met ongelijke door de kube. wijking der zijvlakken. Trek daarin de vier lichaamsdiagonalen, — bedenk, dat die alle door het midden van de kube moeten gaan.
134. Teeken een kube, in tweeën verdeeld door een vierkant, evenwijdig aan het grondvlak, op halve hoogte aangebracht, — de onzichtbare lijnen stippelen! — De kube drie standen te geven: le met voor- en achtervlak niet-wijkend, 2e de staande vlakken met gelijke, — 3e met ongelijke wijking.
135. Idem, — nu teekent ge de twee vlakken, die de kube telkens in gelijke helften deelen en evenwijdig loopen aan staande zijvlakken. Ook de lijn aan te brengen, volgens welke deze vlakken elkaar snijden.
136. Teeken weer naar de natuur de kube met verschillende wijking der zijvlakken en teeken daarin met stevige stippellijnen de drie lijnen, aan te brengen tusschen de middens van twee overstaande vlakken. Ge ziet zeker wel in, dat ook die lijnen door het middelpunt van de kube moeten gaan 1
137. Een kube wordt in vier gelijke stukken verdeeld door twee deelvlakken, één horizontaal, een ander verticaal evenwijdig aan een der staande zijvlakken. Er worden teekeningen, zoo mogelijk naar de natuur, gevraagd van de lichamen, die overblijven, als beurtelings één der stukken wordt verwijderd. Eerst neemt ge een kube met twee nietwijkende vlakken, daarna een alleen mét wijkende vlakken, hierbij in de verschillende teekeningen telkens den stand iets te wijzigen.
138. Nu neemt ge twee snijvlakken evenwijdig aan de staande vlakken, 1) Wij onderstellen, dat het lichaam op de les naar de natuur is geteekend.



58
Breedte van even wijdige, vlakken.
weer door de middens der ribben. Dezelfde teekeningen te maken als uit de vorige opgave.
139. Ge denkt de kube in 4 stukken verdeeld door twee verticale vlakken volgens de diagonalen van het bovenvlak aan te brengen. Beurtelings wordt weer één stuk weggenomen. Weer moeten teekeningen van de overblijvende lichamen wordenv gemaakt, — ge geeft de kube de standen als in de vorige opgaven.
Wij komen nog even op het teekenen van de kube terug, — omdat we nog een opmerking hebben te maken over de plaats van punt G (zie fig. 104). Ge hebt gezorgd, dat DG en FE elkaar iets naderen, — eveneens
FD en EG. Bij eenige overdrijving echter plaatst ge het punt G verkeerd. Let ge nu op de beide evenwijdige staande zijvlakken, dan hebt ere in de schiin-
bare breedte daarvan een tweede aanwijzing voor de plaatsing van G.
Wij onderstellen, dat ge hierbij
gebruik maakt van een sigarenkistje, dat ge met zeer geringe wijking van het lange voorvlak voor u plaatst. Van de twee staande zijvlakken zoudt ge nu het eene smaller moeten teekenen dan het andere, als het n.1. mogelijk was dit te zien. Ge ziet meer langs het eene, ge zoudt meer tegen het andere zien. Eveneens zal in bijgaande teekening der kube vlak
17l?Dn _:_u n_„ . i
j. jn. nii:DKj ziuii sinaiier vertoonen aan
e' ' vlak GDAL. i)
Een vlak in dezen stand moet blijkbaar naar links worden verplaatst, om als lijn te worden gezien. Het wordt betrekkelijk breeder, naarmate het verder van den „lijnstand" verwijderd is. „Betrekkelijk" breeder zeiden we, want het achterste vierkant is iets verder af, en zal dus iets lager worden gezien dan het voorste. Het verschil in breedte tusschen de beide vierkanten wordt daardoor al heel gering, — ge moet u derhalve voor overdrijving wachten.
Opgaven.
Liggend drie- 140. Teeken een liggend regelmatig driezijdig prisma, zydig prisma. ^e met je driehoeken niet-wijkend, 2° met de lijnen van den rechthoek, waarop het lichaam rust, in wijkenden stand; hier goed nagaan, hoe ge den top van den wijkenden driehoek kunt vinden.
1) Een kube van ijzerdraad vertoont dit verschijnsel zeer duidelijk.



59
Afgeknotte vier- 141. Teeken uit het hoofd een recht afgeknotte zijdige piramide. 1 • ••»■ • ■ ■ , . ,
J r regelmatige vierzijdige piramide jn drie standen, —
twee zijden van het grondvlak niet-wijkend, 2e wijkend onder gelijke,
3e onder ongelijke hoeken. Om de richting der opstaande ribben te
bepalen, voltooit ge eerst de geheele piramide.
142. Idem, als de piramide omgekeerd staat, dus op het kleinste vierkant. Voltooi eerst de piramide, — begin met het bovenvlak. Drie standen.
143. Teeken op een regelmatig vierzijdig prisma een afgeknotte vierzijdige piramide, waarvan het grondvlak even groot is als en samenvalt met het bovenvlak van het prisma. De piramide is tweemaal zoo hoog als het prisma. Twee standen: de zijvlakken met gelijke en met ongelijke wijking.
Gelijke rechthoeken 144. Leg een gesloten cahier voor u op de tafel,
en vierkanten voorkant en rug niet-wijkend, den rui? van u afteken elkaar. , , „ . , , , , .
gekeerd, schets het, — sla het cahier vervolgens
open, en voltooi uw teekening. Hoe zoudt ge u met behulp der diagonalen in den geheelen vorm, gemakkelijk kunnen overtuigen of de middellijn op de goede plaats staat? Den afstand niet te klein nemenI
145. Idem, maar nu wijken de zijden.
146. Teeken een horizontaal vierkant onder het oog (vooral niet te hoog, denk u het vierkant als bovenvlak van een kube), de zijden wijken onder verschillende hoeken. Links naar voren moet er een even groot vierkant tegen aan worden gelegd, zóó, dat ze samen een rechthoek vormen. (Van dien rechthoek is dus de eene helft gegeven, — het midden van den rechthoek kunt ge in de zijde van uw vierkant op 't oog nemen, — door dit punt gaat een diagonaal van den rechthoek).
147. Maak drie rechthoeken, door het tweede vierkant beurtelings ^tegen een andere zijde van het vierkant te leggen.
148. Zet een gesloten sigarenkistje voor u, — de lange staande vlakken niet-wijkend. Teeken het, — open het deksel nu, zoodat het horizontaal komt te staan (van u af) en breng dit nu ook in uw figuur aan. Idem, als de korte zijvlakken niet wijken.
149. Idem, als alle staande vlakken van het kistje wijken.
150. Zet het deksel in loodrechten stand. Teeken het kistje met vooren achtervlak niet-wijkend, — het deksel eerst voor, dan achter. Ook als de kleine zijvlakken niet wijken.
151. Teeken het als de staande vlakken alle wijken.
,152. Denk nu, dat het voorvlak kan openslaan. Teeken dit kistje, als



60
dit vlak om den onderkant kan draaien, en onder een rechten hoek is neergeslagen. En hoe wordt de teekening, als het achtervlak, overigens in dezelfde omstandigheden verkeerende, draaien kan? De staande vlakken alle in wijkenden stand.
153. Neem ten slotte het (kleine) rechterzijvlak tot opendraaiend vlak, en open dit, als het om den bovenkant kan draaien, 1° onder een hoek van 90°, en 2e zóó, dat het een loodrechten stand krijgt. Weer wijken alle staande vlakken.
154. Van een grooten vierkanten koffer zijn 2 zijvlakken niet-wijkend. Om den koffer zijn twee kruistouwen geslagen. Op het midden van het voorvlak en van het bovenvlak zijn rechthoekige stukken papier geplakt, die voor adressen hebben gediend. Een teekening gevraagd.
155. Idem, als de zijvlakken wijken.
156. Van 4 lucifersdoosjes maakt ge een vierzijdig prisma, dat zoo lang wordt als de gezamenlijke lengte bedraagt van twee korte zijvlakken, zoo breed als het lange zijvlak en dat de hoogte krijgt van twee doosjes. Beurtelings wordt een der doosjes weggenomen. Teeken wat er overblijft, le als de lange zijvlakken der doosjes niet wijken, 2e als de korte zijvlakken niet wijken, 3e als beide vlakken wijken.
Opmerking. Ge hebt nu al meermalen de eigen-
Qelüke stukken van „„t t . j . ...l . ü ... ,
wijkende lijnen. schap toegepast, dat van gelijke stukken van wijkende lijnen de voorste het. langst worden geteekend.
CL h c tl
« d
i V \ . .
fig. 105.
fig. 106.
Niet wijkende vlakken 157. In fig. 105 ziet ge een vierzijdig prisma
en zichtbaar zijvlak, „e u„ u j l ■ ir. ■
J afgebeeld, waarvan de bovenste helft in vieren
is verdeeld. In fig. 106 ziet ge hetzelfde prisma, alleen zijn nu de
stukken b en c weggenomen. Teeken het, als ge a en c wegdenkt.
Opmerking. Ge ziet, dat van a en d de voorvlakken niet wijken,
terwijl toch zijvlakken zichtbaar worden. Blijkbaar is dit een gevolg
van het feit, dat ze deelen uitmaken van een groep. Bekijkt ge die in
haar geheel, dan vindt uw oog zijn rustpunt in het midden er van, —
tusschen a en d in dus, — hebt ge één prisma te teekenen, dan rust
uw oog ongeveer op het midden daarvan.



61
158. Denk het prisma met de andere staande vlakken niet-wijkend, — o en c worden weggenomen, teeken wat overblijft, — idem als b en d worden verwijderd.
159. Idem als alle zijvlakken wijken.
160. Schuif 3 lucifersdoosjes met de korte zijvlakken tegen elkaar, plaats ze voor u met de lange zijvlakken niet-wijkend, en maak in dezen stand van het drietal een natuurteekening, — en een tweede schets, nadat ge het middelste doosje voorzichtig heb weggenomen.
161. Teeken eenige op een • niet-wijkende rij rechtop staande boeken. Neem er een paar uit, terwijl de overige blijven staan, — en maak hiervan een nieuwe teekening. .
162. Teeken een horizontaal vierkant, waarvan 2 zijden niet wijken, en verdeel het door lijnen evenwijdig aan de zijden in 9 gelijke vierkanten. Idem, als van het vierkant alle zijden wijken.
Kube in achten. 163. Een kube ziet ge met twee vlakken niet-wijkend.
Het lichaam wordt volgens vlakken, evenwijdig aan de zijvlakken en die juist door de middens der ribben gaan, in 8 gelijke kuben verdeeld. Teeken de lichamen, die overblijven, als beurtelings wordt weggenomen: le de bovenste kube voor rechts, 2e de bovenste kube links, 3e de onderste kube rechts, 4e de bovenste kube achter.
164. Idem, met ongelijke wijking. Bij elke teekening de verhouding tusschen de breedten der zijvlakken anders te nemen.
165. Ge denkt u een teekendoos, waarvan ge in fig. 14 de indeeling ziet aangegeven. Het deksel, een enkel plankje, draait aan den achterkant en is le onder een scherpen hoek, 2e horizontaal geopend.
Teeken die doos le met de lange vlakken niet-wijkend, 2e met de korte vlakken niet-wijkend, 3e met alle vlakken wijkend. Dus 6 teekeningen te maken. Geen dikte aangeven.
166. Het blad van een tafel is een vierkant. Binnen den mlTrand. Duitenkant bevindt zich een rand, die overal even breed is.
Teeken zoo'n tafel naar de natuur, terwijl ge u er zóó voor plaatst, dat twee kanten niet wijken. Hebt ge thuis niet precies zoo'n tafel, zie u dan te behelpen, desnoods met een lei, — vraag u goed af, waar ge den rand het breedst ziet, — en bedenk, dat in een vierkant de- binnenhoeken van den rand in de diagonalen vallen. Zie de plaats der pooten te bepalen met behulp van die deelen van het blad, waaronder ze zich precies bevinden, Denk tusschen de uiteinden van vooren achterpoot aan denzelfden kant een lijn, en vraag u af, aan welke lijn van het blad deze evenwijdig loopt.



62
167. Teeken een holle kube (de opening aan den bovenkant) met vrij dikke zijwanden, le met het voorvlak niet wijkend, 2e met de staande zijvlakken wijkend. —• Teeken de kube nog eens in deze beide standen, als de opening in een staand vlak is aangebracht.
168. Teeken nog eens de beide lichamen uit opg. 143, — nu is het grondvlak der piramide kleiner dan het bovenvlak van het prisma. De ontstaande rand is overal even breed.
169. Id. als het omgekeerd is, als het grondvlak der piramide dus grooter is dan dat van het prisma.
170. Teeken een schuurbakje met middenschot, — het bodemplankje springt aan alle kanten buiten de zijschotjes uit en is rechthoekig afgezaagd, — le met een lang zijvlak, 2e met een kort zijvlak nietwijkend, 3e met alle staande zijvlakken in wijkenden stand.
171. Idem als het bodemplankje buiten den bak van boven tot onder is afgeschuind.
172. Teeken een eenvoudig massief trapje van Gelijke, horizont, vlakken drie treden _ ie recht van voren gezien, 2« met op verschilt, hoogte. . .
de zijkanten niet-wijkend, 3e overhoeks gezien.
Welke wijkende waterpaslijnen teekent ge schuiner, de onderste of de bovenste ?
Opmerking. Ook hier valt u weer de waarheid der eigenschap op, dat van gelijke horizontale vlakken onder ooghoogte de laagstgeplaatste het breedst worden geteekend.
173. Teeken een lucifersdoosje met gedeeltelijk uitgeschoven laatje, le met het lange zijvlak, 2e met het korte zijvlak niet-wijkend, het laatje naar u toe, 3" als in 2e, nu het laatje van u af, 4e met beide zijvlakken wijkend, het laatje naar u toe, 5e als in 4e , het laatje van u af. Het doosje niet te laag plaatsen, het bovenvlak mag niet te breed worden.
174. Door het midden van een vierkant plankje is loodrecht een stok gestoken, die er aan beide kanten evenver uitsteekt. Een teekening gevraagd, als het plankje horizontaal staat en de kanten alle wijken. Het plankje moet dikte hebben. Ook als het plankje een verticalen, wijkenden stand heeft. (Teeken eerst het plankje. Denk het in dezen stand tot zijvlak van een kube, voltooi deze en zie nu, of ge niet gemakkelijk de richting van den stok vindt.)
175. Twee even groote, vierkante plankjes, waarvan het eene waterpas ligt, zijn juist in het midden rechthoekig door elkaar gestoken, de snijlijn loopt evenwijdig aan een zijde. De plankjes op twee manieren te teekenen, le het verticale plankje niet-wijkend, 2e van het horizontale plankje beide zijden wijkend.



63
%. 107
176. Teeken nog eens het trapje uit opg. 172. Over de treden en even vóór het trapje ligt een looper. Alle horizontale ribben wijken.
Teeken hetzelfde lichaam in omgekeerden stand.
177. Maak teekeningen van een lange bank, waarvan nevenstaande fig. 107 een verticale projectie voorstelt. Ge denkt u achtereenvolgens recht voor den korten kant van de bank — recht voor den langen kant, — terwijl ge eindelijk de bank overhoeks ziet. 178. Een blokletter, waarvan nevenstaande figuur een projectie vertoont, denkt ge u ontstaan uit een stuk hout in den vorm van een recht vierzijdig prisma, waarvan de voorzijde een vierkant is, dat in 9 gelijke vierkanten is verdeeld. De dikte neemt ge willekeurig. De letter wordt overhoeks gezien, en moet in twee
standen worden geteekend, staande en liggende.
179. Teeken een staand Romeinsch kruis in wijkenden stand, (hoofdbalk 5, tegen dwarsbalk 3 deelen.)
180. Het kruis in liggenden stand te teekenen, 1» met den hoofdbalk niet wijkend, 2e met alle vlakken wijkend.
481. Van een overhoeks staande kube (zijvlakken met. ongelijke wijking) worden de punten aan den bovenkant afgesneden door driehoeken, die door de middens van 3 aangrenzende ribben worden aangebracht. Een teekening gevraagd, — eveneens van de kube, als de punten aan het ondervlak worden afgesneden.
182. Van een kube worden aan den bovenkant de hoeken afgesneden door platte vlakken, die door de middens van twee opeenvolgende zijden van het bovenvlak gaan en door dat hoekpunt van het grondvlak, hetwelk het uiteinde is van de loodlijn tusschen die twee zijden. Teeken de kube in 3 standen, het verschil in breedte tusschen de zijvlakken wordt telkens anders genomen. Het ontstane lichaam is een prismoïde.
Foutieve 183. Achterstaande fig. 109 is al een zeer mislukte teekefiguren. „■ , , TTr ,,
ning eener kube. Welk der twee zichtbare zijvlakken is het breedst geteekend; — welk moet dus het sterkst wijken? Loopen AC en AE dan wel goed, — kunt ge dit ook zien aan de ligging der punten C en E? En hoe is dit met BF en BD, en met F en D? Is de wijking der ribben van het bovenvlak juist? Welk stuk van de diagonaal moet ge grooter zien, BO of OG? Vergelijk de lengte van CD met die van AB en van EFt Teeken de kube, zooals ze wezen moet.



64
184. Welke fout vertoont onderstaande teekening van een opengeslagen boek? Geef zelf een goede schets. Q
fig. 109. fig. 110.
§ 48. Wijkende, hellende, evenwijdige lijnen.
Zet een sigarenkistje voor u, de lange vlakken niet wijkend, het deksel aan den achterkant draaiend. In de eerste teekening is het deksel gesloten, in de tweede teekening staat het rechtop. Nu teekent ge het kistje met het deksel onder een scherpen hoek geopend. De zijkanten van het deksel loopen naar onderen naar elkaar toe. Keert ge het kistje om, zoodat het deksel aan den voorkant vast zit en in schuinen stand naar beneden hangt, dan loopen de zijkanten van het deksel naar boven naar elkaar toe.
Opgaven.
185. Geef het kistje een stand, zoodat alle staande vlakken wijken. Geef het deksel hellende standen als in de twee laatste teekeningen der vorige opgave en maak teekeningen van het kistje.
186. Weer moet het kistje worden geteekend. Het deksel zit aan den achterkant vast en is onder een scherpen hoek geopend.
187. Een bordpapieren portefeuille rust met den rug op den grond. Beide bladen zijn iets geopend. Teeken de portefeuille:
lste als de horizontale lijnen niet wijken. 2de als ze dit wel doen.
188. Een eenvoudig huisje heeft een model, waaraan figuur 112 (foutief) is ontleend. Hoe zal dit huisje zich vertoonen als ge het ziet met niet wijkenden langen gevel?
189. Een eenvoudig droogrek staat op vier pooten, waarvan de boveneinden verbonden zijn door een horizontale lat. Teeken dit samenstel, als de horizontale lat niet wijkt.



65
§ 19. Horizontale vlakken op ooghoogte. Wijkende waterpaslijnen op ooghoogte.
Opgaven (teekeniDgen naar de natuur).
190. Teeken een sigarenkistje, waarvan de zijvlakken wijken, hetwelk ge zoo hoog geplaatst hebt, dat ge niet meer op het bovenvlak ziet" maar er precies langs kijkt. Hoe ziet ge de wijkende waterpaslijnen van het bovenvlak? J
191. Ge opent het deksel horizontaal, - geeft de vlakken van het kistje een andere wijking, neemt weer het bovenvlak precies op ooghoogte, — en maakt een teekening.
192 Zet een ongeveer onder een rechten hoek geopende, staande portefeuille voor u met den bovenkant precies oP ooghoogte, beide bladen wijken Teeken ze 1° als de rug van u is afgekeerd, 2« als die naar u toe^ gekeerd ,s. Hoe teekent ge weer de wijkende waterpaslijnen op ooghoogte? Eigenschap. Uit vorenstaande oefeningen zal u gebleken zijn, dat de horizontale bovenvlakken op ooghoogte zich als waterpaslijnen vertoonen. Ge hebt reeds geconstateerd, dat gelijke vlakken onder ooghoogte smaller werden, naarmate ze hooger waren geplaatst, zoodat ge* reeds op de eigenschap van het waterpasvlak op ooghoogte waart voorbereid. De wijkende waterpaslijnen op ooghoogte hebt ge ook als waterpaslijnen geteekend, - in tegenstelling met die onder ooghoogte die zich steeds als oploopende lijnen vertoonen. Wel hebt ge vroeger opgemerkt, dat ze minder schuin schenen te loopen, naarmate ze zk-h hooger bevonden, i)
Opgaven.
193. Maak nog eens de opgaven 131, 141, 158, 163, 168 169 176 — het bovenste horizontale vlak nu op ooghoogte.
§ 20. Horizontale vlakken boven ooghoogte. Wijkende waterpaslijnen boven ooghoogte.
Opgaven.
194. Ge plaatst u zóó voor de deuropening van een kamer, dat ge die niet-wijkend ziet. Nu opent ge de deur onder een scherpen hoek (zij draait naar u toe), zoodat ze u vrij smal lijkt. Maak een teekening van kozijn en deur, _ ook de paneelen moeten in uw figuur komen In_twee_andere teekeningen geeft ge de geopende deur telkens een
JW= sus t as x&ffï&r*
doorsneden. 7e dr.



66
anderen stand, — in één er van staat ze onder een stompen hoek open. Vooral nauwkeurig de richting der wijkende lijnen op te vatten, — welke wijkende waterpaslijnen loopen schijnbaar op, welke waterpas, en hoe loopen die boven ooghoogte ?
195. Misschien is er bij u thuis een deur, waarvan ge u op den goeden afstand kunt plaatsen, als ze van u af draait, — de buitendeur, de deur van een balkon, of een deur tusschen twee vertrekken bv. Maak van kozijn en geopende deur weer drie teekeningen, — standen als van de vorige opgave. Hoe loopen in uw teekeningen weer de waterpaslijnen boven ooghoogte?
196. Plaats u zóó voor een kast, dat het vlak van de deuropening niet wijkt. De deur is geopend, zoodat ge ze vrij smal ziet. Breng in teekening wat ge ziet, — op de planken slechts een enkel voorwerp te teekenen.
197. Zet een portefeuille zóó hoog voor u, dat de bovenkant zich boven ooghoogte bevindt. De bladen zijn onder een stompen hoek geopend, — vier teekeningen te maken, met gelijke en ongelijke wijking der bladen, — met den rug naar u en van u af gekeerd, l)
198. De waterpaslijn in fig. 140 geeft ooghoogte aan. Teeken nu een geopende portefeuille, die met
| den rug naar u is toegekeerd, op 5
hoogten: le geheel onder ooghoogte, 2e met den bovenkant op ooghoogte, enz. (zie de figuur.) g Ongelijke wijking der bladen.
199. Idem, als de rug van u is afgekeerd.
Schijnen Telkens hebt ge opgemerkt, dat wijkende waterpaslijnen
af te loopen. Doven ooghoogte als afloopende lijnen worden geteekend,
dat ze schuiner loopen naarmate ze sterker wijken of hooger geplaatst zijn.
Ook buiten de school zult ge dit verschijnsel meerBuiten de school. , , , , , . t&> . , . „.
malen hebben opgemerkt. Ziet ge een lange straat at,
dan schijnen de wijkende waterpaslijnen boven ooghoogte, langs dakgoten
en raamkozijnen af te loopen. Kijkt ge 's avonds naar de lichten.van
een lange rij lantarens, dan ziet ge de lijn langs die gaslampen weer
naar beneden hellen.
1) Weer geren wij in overweging op de les voorwerpen te laten teekenen, geheel of gedeeltelijk boven ooghoogte.



67
Opgaven.
200. Teeken weer de voorwerpen genoemd in de opgaven 131, 141, 158, 163, 168, 169; van elk lichaam maakt ge twee teekeningen' waarbij ge het le geheel boven ooghoogte denkt, 2« gedeeltelijk onder,' gedeeltelijk boven ooghoogte.
201. Teeken een kozijn met geopend luik. Het kozijn niet-wijkend, het luik geopend onder een scherpen hoek, ten l*e naar u toe, ten 2de van „ af Alles telkens op de 5 hoogten van opg. 198. Dikte wordt niet uitgedrukt, i)
202. Teeken uit het hoofd een kozijn met twee openslaande deuren, — het kozijn in niet-wijkenden stand. Vier verschillende teekeningen de deuren naar u toe of van u af geopend, met gelijke en ongelijke wijking. Alles zonder dikte.
203. Teeken een straatlantaren in hoofdlijnen (op een afgeknotte vierzijdige piramide rust een niet-afgeknotte), overhoeks gezien.
204. Teeken een uitstaand droogrek, elke helft met twee latten, deze als enkele lijnen weer te geven, le met de latten niet-wijkend, 2« met de latten recht van u af wijkend, 3« met de latten wijkend in schuine richting. Een paar lakens aanhangen. De bovenlat boven ooghoogte.
205. Teeken 1« een kube, 2« 3/4 kube, 3« 7/8 kube (telkens ontbreekt het stuk Voor-onder) op de vijf hoogten van fig. 110. Alle vlakken wijken.
206. Een toren bestaat uit een prismatisch onderstuk, waarop een vierzijdige piramide rust; - het grondvlak van het prisma is een vierkant, - de hoogte der piramide is gelijk aan die van het prisma. In een der muren een deur en een luik aan te brengen. Twee teekeningen met gelijke en ongelijke wijking der zijvlakken. 2)
Te sterke »scueiuene maien reeds wijking, hebt ge opgemerkt, dat ge moet zorgen, dat evenwijdige wijkende lijnen elkaar niet te sterk naderen. Bij sterke wijking lijkt het vlak, waaraan de lijnen zich vertoonen, zeer lang. Hier (fig. 111) geven we een schetsje van een weg, gedeeltelijk door twee muren ingesloten. Het zal u opvallen, dat de eene muur heel wat langer schijnt dan de andere.
hoewel de schijnbare breedte juist dezelfde is.
1) Men kan zich hierbij bedienen van het model uit de co
ö% t . ""«"ve van oer lande, Amsterdam.
*i is men eenigszras in de gelegenheid dan raden wg zeer aan, ook bniten de school
waaZ metlh ™ f"t Vt" Merb^ Wat «* ™' 60 is omtrent den a Zd
waarop men zich van de te teekenen voorwerpen moet bevinden.
5*
fig. 111.
-tie z. j.. voor wem en vnnr



68
Opgaven.
Foutieve 207. Fig. 112 is een foutieve afbeelding van een huisje. figuur. Onderstel, dat de wijkende waterpaslijnen in hoofdzaak goed ver-
loopen, op welke hoogte heeft de teekenaar zich dan bevonden? Corrigeer de figuur. Maak een afbeelding, als de teekenaar zich op den beganen grond heeft bevonden.
208. Teeken naar de natuur een hoek van uw kamer. Hier vooral hebt ge nauwkeurig den afstand te nemen. Ge past op de bekende manier den afstand tusschen duim- en vingertop overhoeks op den vloer af tusschen de plinten van de twee wanden; bij die lijn
mag de voorgrond van uw » 112
teekening beginnen. Door
uw hand loodrecht te draaien, zoodat de duimpunt op de zooeven verkregen lijn tusschen de plinten valt, bepaalt ge de hoogte van uw schets.
209. Teeken op dezelfde wijze een bovenhoek van de kamer.
210. Door een openstaande deur ziet ge recht in een lange gang, die met een blinden muur eindigt. Aan den eenen kant van de gang een raam, aan den anderen twee deuren te teekenen, — de gang is iets breeder en hooger dan het deurkozijn. In de gang ligt een looper, voor de deur een mat. Een en ander in teekening te brengen.
211. Teeken een staand schoolbord, — het bord draait om een verticale as, de lijst staat niet-wijkend, het bord is half opengedraaid.
212. Idem, nu draait het bord om een horizontale as.
213. Denk u recht voor het boerenhuisje geplaatst, waarvan achterstaande fig. 113 een afbeelding voorstelt, i) Teeken het met de venster-
1) Fig. 113 is een der nummers van de 125 Wandplaten door Zwier en Jansma.



69
luiken onder scherpe hoeken geopend, het deurtje E onder een stompen
hoek, en de bovendeur op een kier opengezet. Zelf denkt ge u gelijkstraats.
214. Maak een schets, zooals het huisje, overhoeks gezien, zich zou kunnen vertoonen.
215. Figuur 114 stelt voor de teekening van een huisje. Maak een opmerking omtrent de hoogte der standplaats van den teekenaar.
Is de richting der wijkende waterpaslijnen, bepaaldelijk van AB, wel goed? Staat de top C op de goede plaats? Is de opening van het dakvenster D wel juist in het midden van den gevel geteekend? En het raam E? Het luik D heeft zijn
waren vorm en is dus niet-wijkend geopend, — is het nu wel in orde, dat de opening breeder is geteekend dan het luik zelf? De deur F is naar binnen geopend. Welké fout vertoont de bovenkant? De opening G van den schoorsteen moet een horizontalen rechthoek voorstellen, — de teekenaar heeft gedaan, alsof hij er flink kon inkijken, — moet die opening werkelijk zoo worden afgebeeld? — De ramen H en E moeten inderdaad even hoog zijn, — ge ziet wel, dat ze in de teekening niet dien indruk maken. Verleng langs boven en onderkanten van beide de watemasliinen tot. za rihho ATT nnt.
moeten, dan zult ge duidelijk het verschil in hoogte kunnen constateeren.
Maak een juiste teekening, als ge u op ooghoogte denkt van iemand, die nog door de deur kan, — id. als ge u op een ladder met uw ooe
fig. 114.
op de» hoogte der dakgoot denkt.
§ 21. Een vlak als lijn gezien, — een lijn als een punt. Opgaven.
216. Wanneer wordt een horizontaal vlak als een rechte lijn gezien ?



70
217. Teeken naar de natuur een niet-wijkend kozijn met geopende deur; van de deur ziet ge alleen de dikte. Ge plaatst u recht voor het midden der opening. Maak een opmerking omtrent de plaats van uw oog en het vlak van de deur.
218. Zet een sigarenkistje zoo voor u, dat ge juist langs een staand zijvlak ziet, en maak er in dien stand een teekening van.
219. Teeken naar de natuur een sigarenkistje met in schuinen stand geopend deksel. Ge plaatst het zoo voor u, dat ge van het deksel alleen maar diktekanten ziet. Te teekenen in twee standen, beurtelings het lange en het korte staande vlak niet-wijkend. Onderzoek, of ge weer een soortgelijke opmerking als bij de vorige opgaven kunt maken.
Wanneer vlak In het algemeen hebt ge dus opgemerkt, dat een vlak als lijn gezien. a|g een recnte ijjn worc|t gezien, als ge er juist langs kijkt, — als uw oog zich in het platte vlak bevindt, waar de figuur in ligt.' Bedenkt ge, dat elk vlak, hetwelk ge door uw oog kunt denken, een oogvlak is, dan kunnen we den regel ook aldus formuleeren: Een vlak vertoont zich als een rechte lijn, als het in een oogvlak-ligt.
Reeds meermalen hebben we opgemerkt, dat van twee gelijke evenwijdige wijkende vlakken dat het smalst wordt gezien, hetwelk, evenwijdig aan zich zelf verplaatst, den kortsten weg behoeft af
Breedte van. ^e leggen om te komen in den stand, waarin het zich gelijke evenw,
wykende vlakken. a's een 'VJn zou vertoonen. Dit spreekt vooral bij horizontale vlakken. Intusschen kan het, zie pag. 58, zeer goed voorkomen, dat twee gelijke evenwijdige wijkende vlakken even breed worden geteekend, — als het breedste zich n.1. op grooter afstand bevindt en dus kleiner schijnt. Vooral valt dit op bij draadmodellen, waar ge de vlakken beide in hun geheel ziet. l) Ge zult de algemeenheid van den regel nog even moeten toetsen aan hellende vlakken 1
Wanneer rechte Houdt ge uw potlood vóór u, eerst in horizontalen lijn als punt. stand in verschillende richtingen, zoodat ge alleen de dikte er van ziet, dan zult ge opmerken, dat het in al die standen precies naar uw oog is gericht. Een rechte lijn zou zich in die standen als een punt vertoonen. Ook moet ge het potlood allerlei hellende standen geven, naar boven van u wijkend, ook naar onderen, telkens zóó, dat ge weer alleen de dikte ziet, — een lijn zou een punt schijnen, — steeds merkt ge weer op, dat het potlood, de lijn naar uw oog wijst. Een lijn, door uw oog gaande, noemt men wel oogstraal, zoodat we ons
1) Wij wijzen op de wenschelijkheid, met het oog op het besproken verschijnsel, hier een paar schetsen naar draadmodellen te laten teekenen.



71
ook aldus kunnen uitdrukken: Een rechte lijn wordt als een punt gezien, wanneer ze een deel uitmaakt van een oogstraal.
Opgaven.
220. Kunt ge een loodlijn als een punt zien?
221. Hoe hoog moet een waterpaslijn zich bevinden, als gij ze als een punt wilt kunnen zien? Plaats een sigarenkistje zóó voor u, dat ge een der lange ribben als een punt ziet, en teeken het in dien stand. Id., als één der korte ribben u een punt schijnt, l)
§ 22. Cilinder, kegel, cirkel, bol
Het teekenen van ellipsen.
Voor met de behandeling van cilinders enz. te beginnen, maken we een opmerking over het teekenen Her ol li neon
zie fig. 115. De ellips is in het midden bij a het breedst en wordt'
fig. 115.
naar de punten geleidelijk smaller, toch blijft ze daar rond. Foutief zijn vormen als in 2 en 3, fig. 2 omdat die over een groot gedeelte van de lengte even breed blijft, fig. 3 omdat die scherpe punten vertoont. Een ellips wordt het best geteekend in twee neerzetten, zie
1) Wij raden aan, op de teekenlea aan elk der leerlingen weer de draadknbe te laten zien, zóó, dat een der ribben een punt schijnt, en er in dien stand een teekening v.n te vragen. Boven- en ondervlak ook nu horizontaal. Ook van het draadmodel van een zèszijdig prisma, als men dit bij de hand heeft; — de zeshoeken worden niet-wnkend gehouden



72
fig. 4. Eerst wordt in één haal de ronding abc getrokken, vervolgens adc.
Het teekenen eerst van de bovenhelft bad, om daarna de onderhelft bed aan te brengen geeft licht de ellips van fig. 3 met hoekige punten.
Fig. 5 vertoont nog een smalle en een breede ellips.
Een voorbeeld van een ellips met scherpe hoeken vinden we in fig. 116.
Om deze fout te vermijden, voltooit ge de geheele ellips en trekt daarna raaklijnen uit den top. Ge krijgt dan het vloeiende verloop als bij den bodem van den emmer in fig. 118.
Opgaven.
222. Teeken naar de natuur een cilindrische chocoladebus, staande, le geheel onder ooghoogte, 2e met het bovenvlak op ooghoogte, 3e half onder, half boven ooghoogte, 4e met het ondervlak op ooghoogte, 5e geheel boven ooghoogte..
223. Doe hetzelfde met een tumbler.
224. Teeken een lampekap, zooals ge die op de lamp ziet, dus boven ooghoogte.
225. Teeken een bloempot.
226. Teeken een emmer onder ooghoogte, — ook als ge hem voor u op de tafel. plaatst.
227. Op welke hoogte moet een horizontale cirkel zich bevinden, zal hij als een lijn worden gezien ? Wanneer ziet ge een hellenden cirkel als een lijn? Waar moet een loodrechte cirkel, die tevens recht van u wijkt, geplaatst zijn, als ge hem als lijn wilt zien ? Geldt de algemeene regel dus ook voor den cirkel? Wanneer is de schijnvorm van een cirkel weer een cirkel? Wat is hij, wanneer hij noch cirkel, noch lijn is? — Teeken een horizontalen cirkel onder ooghoogte en er boven. Herinner u hierbij de cirkels zooals die zich vertoonen aan den cilinder, opgave 222 en teeken telkens daar de lijn 't dikst, waar ze het meest naar voren komt.
Denk er aan dat in een waterpasvlak onder ooghoogte die punten het laagst geteekend worden, welke zich het meest nabij u bevinden, — terwijl in een dergelijk vlak boven het oog de meer verwijderde punten in de teekening het laagst komen.



73
Cirkel waterpas, Vertoont een horizontale cirkel zich als een ellips,
plaats van het dan rijzen daarbij een paar kwesties, die we even ter middelpunt. J J r
sprake moeten brengen.
In de eerste plaats: waar vallen middelpunt en middellijn van den
cirkel? Ge weet, dat in een ellips de groote as AB en de kleine CD
elkaar middendoor deelen. M is dus het middelpunt van de ellips.
Is bovenstaande ellips (fig, 117) nu b.v. de afbeelding van een horizontaal liggenden cirkel onder ooghoogte, dan is M niet het middelpunt van den cirkel. Immers de beide helften der middellijn, welke als CD wordt gezien, worden niet even groot geteekend, — de voorste straal moet langer worden dan de achterste, zoodat het middelpunt b.v. wordt gezien in O. EF is dus de afbeelding der middellijn, welke niet wijkt. Zij wordt korter geteekend dan een koorde, iets er voor, n.l. AB.
Opgaven.
Cirkels in 228. Teeken een horizontaal liggend wagenwiel met 8 Standen** spaken, dat zich onder ooghoogte bevindt. Twee spaken wijken niet, een ander paar wijkt recht van u af. Teeken eerst de ellips met behulp der assen, plaats dan de middellijn en verwijder ten slotte de lange as der ellips. Bedenk verder, dat het punt G (zie fig. 117), waar een der andere spaken begint, dichter bij E ligt dan bij C, daar het stuk CG veel minder verkort wordt gezien dan GE. Het wiel moet door één cirkel worden weergegeven, de as van 't wiel door een punt, de spaken door enkele lijnen, en verder neemt ge de spaken in het vlak van het wiel. De ellips mag niet te breed zijn.
229. Maak drie teekeningen van twee wielen, geheel als uit de vorige opgave, het ééne wiel iets links, het andere iets rechts van het oog geplaatst. Beide staan loodrecht, en de cirkelvlakken wijken recht van u af. In de eerste teekening bevinden ze zich beide onder het oog, in het tweede is het middelpunt op ooghoogte gelegen, in de derde staat dit boven het oog. Vraag u vooral af, hoe de horizontaal staande spaken moeten worden gericht. Bedien u hierbij van een kartonnen schijf, waarop ge de noodige lijnen teekent.



74
230. Door een horizontale cirkelvormige schijf is in het midden loodrecht een stok gestoken, die er half boven, half onder uitsteekt. Maak hiervan 3 teekeningen: met de schijf onder, op en boven de hoogte van het oog.
231. Teeken een kegel, waarvan het grondvlak horizontaal geplaatst is. De top valt boven O, zie fig. 117 — de schuine, beschrijvende lijnen raken de ellips iets boven A en B. Wij herinneren nog eens, dat de elliptische lijn geleidelijk in de beschrijvende lijnen verloopt, niet hoekig, zooals dat soms wel eens geteekend wordt (zie fig. 116). Het grondvlak onder, op en boven ooghoogte te nemen.
232. Knip uit een stuk karton twee niet te kleine even groote cirkels, die moeten dienen om u de schijnvormen voor te stellen van de dubbele cirkelmodellen van Bes. Die moet ge teekenen in de volgende standen:
a. den eenen cirkel horizontaal, den anderen verticaal, niet-wijkend, — den eersten onder, op en boven ooghoogte, den tweeden voor en achter den horizontalen; in het geheel maakt ge dus zes teekeningen.
b. den eenen horizontaal, den anderen verticaal, recht van u af wijkende, — den laatsten links van 't oog, en er recht voor.
Stel u telkens de vraag, of de lijnen, die de niet-wijkende middellijnen der beide cirkels weergeven, in uw teekening wel gelijke lengte moeten hebben.
Naar aanleiding van bovenstaande opgaven hebt ge zeker reeds opgemerkt, dat een horizontaal geplaatst cirkel vlak smaller en^fstand* wordt, naarmate het ooghoogte nadert, en omgekeerd in van ooghoogte, breedte toeneemt, als het zich, hetzij naar boven, hetzij
naar beneden, er van verwijdert. Evenzoo is een cirkelvlak in loodrechten wijkenden stand op een bepaalde plaats een lijn, terwijl het bij verwijdering naar links of naar rechts toeneemt in breedte.



75
Doorsnede Hier wenschen we nog een enkele opmerking over een doorsnede te maken. Fig. 118 is de natuurteekening van een emmer onder ooghoogte, fig. 119 een natuurteekening van een halven emmer, ontstaan door het geheele voorwerp volgens een verticaal vlak door te snijden. Ten einde de helft van het plaatje, waarin het hengsel vasthaakt, duidelijk te laten uitkomen, .is het halve hengsel in deze teekening weggelaten. Het is u duidelijk, dat deze helft niet de doorsnede is, — deze, gedacht door het vlak van het staande hengsel, geven we nog eens in fig. 120. In de (wiskundige) doorsnede moeten we de figuur hebben, die we zouden krijgen, als we werkelijk of in onze gedachten afdrukten, wat zich tegen het snijvlak vertoont.
Opgaven.
233. Iemand ziet boven het midden van een ronden put loodrecht naar onderen. Hoe vertoont de put zich?
234. Teeken een karnton, waarvan fig. 121 de verticale projectie is. Teeken ook de verticale, wiskundige en projectievische doorsnede.
235. Twee wagenraderen zijn onderling door een as verbonden. Ze wijken recht van u af. Teeken ze le, als het eene rechts, het andere links van 't oog staat, 2e als een rad juist recht voor het oog geplaatst is. Geen dikte aangeven.
236. Teeken een staanden trechter, geheel onder ooghoogte; denk hem vervolgens gedeeltelijk onder, gedeeltelijk boven ooghoogte, — en teeken hem eindelijk, zoo¬
als hij zich zou vertoonen, als hij zich hooger dan 't oog bevond.
237. Teeken een theebus. Ook worden weer gevraagd beide projecties en de verticale doorsneden als bij opgave 234.
238. Teeken een wijnflesch, een vergiet, — van beide ook de verticale doorsneden.
We moeten nog een opmerking maken over het teekenen eener ronde Sch' f. scnï^ ^e 'e8* een heeren-stroohoed met platten rand, of een matelot voor u op de tafel, en laat dien op den bol rusten. Doorgaans is deze wel niet geheel cirkelrond, maar de rand is wel overal even breed, en de afwijking van den cirkel is niet zoo groot,



76
of we kunnen ons er wel een cirkel uit voorstellen. Beide cirkels, die ge ziet, vertoonen zich aan u als ellipsen. Waar ziet ge nu den rand
het breedst? Bij a en b (zie fig. 122), immers daar is de breedtelijn nietwijkend, — bij c zult ge hem heel wat smaller teekenen, — bij d nog minder breed: d is verder af dan c. Het blijkt u, dat de beide ellipsen, die den rand insluiten, niet dezelfde groote as zullen hebben; die van
den buitensten cirkel ligt meer naar voren dan die van den binnensten. Dat dit verschijnsel zich wel moet vertoonen, blijkt uit onderstaande
figuur »123. Het oog O, dat we iets hooger denken dan de schijf, richt zich op de geteekende concentrische cirkels, — den buitensten zal het in ab het breedst zien, — den binnensten in cd, — ab en cd zullen dus de groote assen zijn der ellipsen, want als zoodanig zullen de cirkels gezien worden, ef is de gemeenschappelijke middellijn der beide cirkels.
Wil men zoo'n schijf teekenen, dan doet men het verstandigst eerst de buitenste ellips te teekenen, vervolgens daarbinnen punten neer te zetten van de tweede ellips en deze verder op 't oog in de eerste te trekken. De groote assen toch zullen zoo dicht bij elkaar komen, dat het moeilijk gaat ze beide neer te zetten.
Opgaven.
239. Tracht aan te toonen, dat het gedeelte, hetwelk ge van een staanden cilinder ziet, kleiner is dan de helft van dit lichaam.
240. Teeken een hoed, als in het voorgaande is bedoeld, — id. in omgekeerden stand.
241. Teeken een garenklosje.
242. Teeken een liggend horloge met wijzerplaat. Denk om de cijfers . concentrische cirkels, teeken die eerst, en let er op, dat de (Romeinsche)
cijfers gericht zijn naar het middelpunt der plaat.
Fouten bij vazen Bij het teekenen van kannen en vazen worden diken kannen. vvij Is eigenaardige fouten gemaakt. Fig. 124 vertoont in 1 een foutieve teekening naar een vaas, die in 2 in projectie is gegeven. In fig. 1 is de hals verkeerd op den romp ingeplant, ge merkt het dadelijk, als ge een dergelijk voorwerp maar eens — onder



77
ooghoogte gehouden — aandachtig bekijkt; ge ziet dan den hals den romp vorm oversnijden op de manier, zooals dit in 3 is aangegeven. In 3 is de zaak ook toegelicht. Over de projectieteekening in 2 zijn eenige horizontale lijnen getrokken, projecties van horizontale cirkels. In 3 zijn deze cirkels geteekend, zooals ze zich aan uw oog zouden vertoonen, alle dus als ellipsen. De Gguur, die ge nu als rompvorm waarneemt,
is uus mei meer ue projectievische vorm, begrensd door de zuivere beschrijvende lijnen, — het is de vorm, die verkregen wordt door een omhullende raakfiguur om de verschillende ellipsen aan
te brengen en deze vorm rijst hooger dan de projectie, zie fig. 3, waar ook deze laatste in de figuur geteekend is. De romplijn oversnijdt dus den hals.' — Ook de voet is in 1 niet juist, ook daar krijgen we een oversnijding; de begrenzende lijnen van het voetsilhouet worden, zie fig. 3, door den rompomtrek oversneden.
Het is de projectie, die den waren vorm van de vaas vertoont, het zuivere beloop der beschrijvende lijnen. Dit feit geeft aan de studie van projecties nog meer beteekenis.'
Opgaven.
243. Maak van een eenvoudige kan of vaas verticale projectie en natuurteekening (het voorwerp onder ooghoogte).
244. Eveneens van een theekopje en -schoteltje.
245. Teeken een andere kan of vaas. Eveneens verticale projectie en doorsnede.
Cilinder en kegel Een eigenaardige moeilijkheid doet zich bij het teekein schuinen nen van lichamen met cirkelvormige eindvlakken voor, als die lichamen een liggenden of hellenden stand hebben. Bij cilinder en kegel in rechten stand, d. w. z. met de cirkelvlakken horizontaal (zie o.a. figuren naar aanleiding van bovenstaande opgaven) kunt ge telkens opmerken, dat de lichaamsas in het verlengde valt van de korte as der ellips.
Hoe is het hiermede, als de genoemde voorwerpen een hellenden stand aannemen? Om u van het verband tusschen de omwentelingsas van kegel- of cilindermantel en de assen der ellips goed rekenschap te geven, moet ge dit bestudeeren aan een voorwerp in den vorm van die lichamen,



78
b.v. aan een drinkglas, een cacaobus of iets dergelijks. Wij veronderstellen, dat ge een tumblerglas gebruikt; dit neemt ge in hellenden stand in de hand en houdt het zoo, dat ge de opening als een lijn ziet. Ge moet u overtuigen, dat die lijn a (fig. 125) een rechten hoek maakt met de omwentelingsas b. Vervolgens geeft ge aan de as b een andere helling. Kantel het glas, zoodat het bovenvlak zich weer als een rechte
lijn vertoont, — ook nu moet ge opmerken, hoe a en b een rechten hoek maken. Dit is in al dergelijke standen van het glas het geval.
Ge geeft het glas weer een stand als in fig. 125. Terwijl ge het nu ongeveer zijn helling laat behouden, kantelt ge het een weinig naar u toe, zoodat de opening zich als een smalle ellips vertoont. De omwentelingsas b maakt nu (fig. 126), ge ziet het duidelijk, — een rechten hoek met de lange as a der ellips. De kleine as daarvan is derhalve
oon Hooi van Ha om won tolin rrcaa h
0 -
Houdt ge het glas in andere standen en laat ge ook daar den cirkel van een lijn tot een zeer smalle ellips aangroeien, dan zult ge steeds
neizeiiue verscuijusei opmeiKeu.
Zet ge de wenteling van hét glas voort, dan blijkt u, dat de ellips toeneemt in breedte. In den beginne kunt ge nog zien, dat de lijnen a en b rechte hoeken vormen, maar later wordt dit moeilijker, daar het niet gemakkelijk is, in een cirkel, die zich als een vrij breede ellips vertoont, metjuistheid de plaats der assen aan te geven.
Om te doen inzien, dat ook hier de lichaamsas loodrecht staat op de lange as der ellips, zullen we uitgaan van een anderen stand
van het lichaam,' waarbij we den cirkel werkelijk als cirkel zien. We onderstellen, dat we dit beproeven met een kegel, waarvan de top naar u is toegekeerd. Ge ziet den kegel dus als een cirkel, en den top in het middelpunt daarvan. Draai den kegel nu als in fig. 127, en merk goed op,



79
dat de cirkel versmalt in de richting der lichaamsas van den kegel. De richting, waarin die versmalling plaats grijpt, geeft u de plaats aan der korte as, en ook nu ziet ge deze dus samenvallen met de as van den kegel.
Helt een cilinder derhalve naar voren, dan kan hij worden geteekend als in fig. 428. In de as AB van het ronde oppervlak, die met de beschrij¬
vende lijnen naar onderen naar één punt gericht is, liggen de korte assen van de ellipsen der eindvlakken. De lange assen CD en EF maken daarmede rechte hoeken, en ze deelen de korte assen middendoor. De bovenste ellips
wordt betrekkelijk smaller gezien dan de onderste: — want verplaatsen wij den cirkel zonder hem een anderen stand te geven, verder naar boven, dan nadert hij de plaats, waar hij als lijn gezien wordt.
Ook bij cilindrische en kegelvormige lichamen in liggenden stand gaat de gevonden regel door. Ook hier staat de korte as der ellips in het verlengde van de lichaamsas.



80
Figuur 129 is de afbeelding van den hollen cilinder die op het ronde oppervlak ligt en waarvan het cirkelvlak en dus ook de beschrijvende lijnen wijken. Hier moogt ge wel bijzonder acht geven op den stand der ellips, — vele teekenaars zijn geneigd, die maar loodrecht te plaatsen. De schijnbare breedte van den rand is weer het grootst in de richting der lange as; verder verwijzen we naar fig. 122. Opgaven.
246. Teeken naar de natuur een liggende chocoladebus, lichaamsas wijkend.
247. Teeken eveneens een servetring, in dien stand.
248. Teeken naar de natuur een chocoladebus boven 't oog, die achterover helt.
249. Denk u onder ooghoogte een liggenden cilinder, waarvan het cirkelvlak wijkt. Denk u nu den cilinder hol en volgens een horizontaal vlak doorgesneden. Teeken den ondersten halven cilinder.
250. Teeken naar de natuur een staande bus, — het deksel is er afgenomen en staat er schuin tegen.
251. Teeken twee halve staande cilinders, de rechthoeken met verschillende wijking. Eerst teekent ge heele cilinders en dan brengt ge snijvlakken door de lichaamsassen.
252. Van een gesloten broodtrommel is het deksel een halve cilinder. Teeken hem, de staande vlakken in wijkenden stand en let daarbij vooral op den vorm der halve ellipsen, — deze schetst ge eerst ih haar geheel, — en op de plaats der inplanting van het handvatsel.
253. Teeken een stoof naar de natuur, twee staande vlakken nietwijkend. Bekijk goed de gaten.
254. Teeken een kaatsbal op, onder en boven ooghoogte. Hoe ziet ge dus steeds een bol?
255. Teeken een bol, die zich onder ooghoogte bevindt. Denk hem hol en doorgesneden volgens een horizontaal vlak. Neem nu een koffiekommetje, waarvan het bovenste gedeelte ongeveer den vorm van een halven bol heeft, en teeken met behulp van dit kommetje aan den halven bol een voetje. Denk het kommetje zoover met water gevuld, dat ge het kunt zien, en duid ook dit in uw teekening aan.
256. Plaats een staand ingebonden boek voor u, dat ge zóó openslaat, dat de bladen waaiervormig uitstaan. De rug is naar u toegekeerd, de bladen van den band wijken. Het boek te leekenen.
257. Idem als de band van u afgekeerd is.



84
Stand van een deksel met 258. Onderstaande figuur stelt weer een behulp van een cirkel. ■ , • l_. ,.r , .
sigarenkistje voor. Wordt het deksel, dat aan den achterkant bevestigd is, geopend, dan beschrijft zijn voorkant een cilindervlak. Teeken van dien cilinder de eind vlakken, die zich als èllipsen zullen vertoonen, - ook hier krijgt de lange as natuurlijk een stand rechthoekig op dien der lichaamsas I — en schets nu het deksel in eenige standen.
Maak deze opgave nog eens; nu is het deksel aan den voorkant bevestigd.
Dan nog eens, als het kistje zich boven ooghoogte bevindt.
Ook nog een teekening te vervaardigen, als het bovenvlak
aiou op oognoogte bevindt en het deksel aan den voorkant is bevestigd.
259. Het kistje nog eens te teekenen, 4° als de korte staande vlakken niet wijken, 2* als de lange vlakken niet wijken.
2W. Een horizontale vierkante plank wordt gezien als in fig. 434. doorsneden. 7e dr. g



82
Er wordt verondersteld, dat er een cirkelvormig stuk is uitgezaagd, en de vraag is, de opening aan te geven. Onwillekeurig plaatst de teekenaar de hoofdas in de richting der zijkanten van de plank, en — de teekening is foutief. Maak dit duidelijk door te veronderstellen, dat de cirkel het grondvlak is van een loodrecht geplaatsten cilinder.
Opmerking. Een ander middel om u de fout te doen opmerken, is het volgende. Denk, dat de plank een willekeurigen vorm heeft, en laat gevraagd zijn, daarin een horizontaal cirkelvormig gat te teekenen. Zonder aarzelen wordt dit met een horizontale hoofdas neergezet, als in fig. 132. Teeken nu om de ellips het wijkende vierkant uit de vorige figuur, en ge hebt den cirkel in den goeden stand in het vierkant geplaatst. De vorm van het stuk hout kan toch niet van invloed zijn op den schijnvorm van den cirkel.
^ 1 261. Teeken een dobbelsteen, dien ge
j overhoeks ziet. Op de vlakken oogen te ^ ^ plaatsen (deze te teekenen in de diagonalen). Ten einde goed den schijnvorm dier cirkelvormige oogen op te vatten, neemt ge b.v. een cacaobus, die ge telkens zóó plaatst, dat een eindvlak denzelfden stand heeft als de cirkel, welken ge moet teekenen. Foutieve 262. Welke fout vertoont
figuren. nevenstaande afbeelding van een
cilinder (fig. 133)?
263. En waarom is fig. 134 geen juiste
fig- 133- teekening van een tumblerglas?
264. Fig. 135 stelt de afbeelding van een put voor. In welk opzicht is
fig. 184. fig- 135<
de cilinder goed geteekend? Is de bovenrand echter wel juist; — waarom mogen a en b niet even groot zijn?



83
265. Leg twee dominosteenen voor u, — niet te veel onder ooghoogte, — de eene dwars naast de andere, beide in wijkenden'stand, en maak er een teekening van.
266. Teeken nog eens de stoof, alle zijschotjes wijken.*
Nog een voorbeeld, om het belang van het teekenen in de school te laten zien.
Stel, ge leest met de klasse de aardige fabel van L. Leopold: „Hoe de
ge zijt tot dat gedeelte genaderd, waar het winterkoninkje in een raolsgat kruipt en de uil op wacht wordt gezet. Wat leeft dat verhaal eensklaps voor de jeugd, indien ge met behulp van een schetsje als in fig. 136 laat zien, waar de kleine bedrieger zich heeft verstopt. De uil, die zijn eene oog een dutje laat doen, kan in uw teekening wel achterwege blijven. De figuur is een teekening naar de natuur. De opening van het cilindrische molsgat, een horizontale doorsnede van een cilinder in hellenden stand, is in schijnvorm afgebeeld, — de doorsnede
van den gang met een loodrecht snijvlak is in waren vorm gegeven. § 23. Zes- en achtzijdige prisma's en piramides.
Voor over zes- en achtzijdige prisma's en piramides enkele opmerkingen te maken, zal het noodig zijn, over zesen achthoek iets te zeggen.
„., ... l In de eerste plaats dan iviet-wy kende ,
zeshoek. de regelmatige zeshoek. . • De niet-wijkende veel¬
hoek is in 6 gelijkzijdige driehoeken te verdeelen (zie fig. 137), die alle hun top in het middelpunt M vinden en elk één der zijden tot basis hebben. BD is



84
een waterpaslijn. Beide helften van AC zijn loodlijnen in de twee driehoeken, die met MB tegen eikaar sluiten, AC staat dus ook loodrecht op de twee waterpaslijnen van den zeshoek. Tusschen M en D bevindt zich nog een dergelijke loodlijn. Deze loodlijnen verdeelen met het punt M lijn BD in . 4 gelijke deelen.
Zeshoek lood- Verder merken we nog op, dat de hoogte van den
recht wijkend. zeshoeJi kleiner is dan de breedte, BD immers is een lange
diagonaal, AC een kleine, of: BD is een middellijn van den omgeschreven
cirkel, AC een koorde. Wij geven den zeshoek een loodrechten wijkenden
stand, half onder en half boven ooghoogte.
A\ Om hem te teeltenen bepalen we eerst de
/ ; \ / ! \ verhouding van hoogte en breedte (zie fig.
/ I . \ / | \ 138). De breedte is kleiner geworden; deze
/ ' f | \ _ was eerst grooter dan de hoogte en kan
r( ! > ■ 4-0 °
\ [ ,' \ < / dus in den wijkenden stand zeer goed nog
\ ! / \ j / daaraan gelijk zijn. De loodlijnen zijn lood-
\ ; / \ | / lijnen gebleven, de achterste is echter
\l/ \W korter dan de voorste; de waterpaslijnen
gg ig8 wijken, en loopen dus op, als de zeshoek
onder 't oog geplaatst is. De indeeling der
loodlijnen is onveranderd, BD deelt elk der loodlijnen juist in twee
gelijke deelen. De deelen' van BD zijn echter niet meer evengroot, —
het stuk bij B zal het langst zijn, de andere zullen achtereenvolgens
in lengte afnemen. Men zorge hierin vooral niet te overdrijven.
„ , , Ligt de zeshoek waterpas (fig. 139) met twee zijden
Zeshoek waterpas. ° . .., , ,.
niet-wijkend, dan blijven die zijden met de diagonaal BD waterpas, de loodlijnen eD het punt M blijven de niet-wijkende lijn BD in vier gelijke stukken indeelen, — de loodlijnen naderen . elkaar naar achteren, en ook
^ '^—^^ worden ze door BD niet meer
D^^lL—J. i—-^^^>>n middendoor gedeeld; het
^ , voorste stuk wordt in de
O teekening het grootst.
fiS- 139, Als de zeshoek waterpas
ligt, terwijl alle zijden wijkend zijn, dan brengt dit weer een wijziging in de figuur, maar na het opgemerkte kunt ge die nu zelf wel nagaan, — eveneens de vervorming, welke wordt opgemerkt, als.de zeshoek een hellenden stand aanneemt.
Opgaven.
267. Teeken uit het hoofd een horizontaal liggenden regelmatigen zeshoek, als alle zijden wijken.



35
268. Teeken een regelmatigen zeshoek, die rust op een zijde, le als hij voorover helt, met de waterpaslijnen niet-wijkend, 2e met diezelfde helling, als de waterpaslijnen wijken, 3e als de zeshoek achterover helt, en alle lijnen wijken.
269. Teeken een regelmatig zeszijdig prisma (bij deze en de volgende opgaven uw kartonnen prisma te gebruiken, — zie pag. 10), dat rust op den zeshoek,'een der zijvlakken ziet ge niet-wijkend, het geheel onder ooghoogte.
270. Teeken hetzelfde prisma, in den stand van opg. 269, maar nu wijken alle vlakken, — a, als ge slechts twee rechthoeken ziet, b, als ge er drie kunt zien, het lichaam onder ooghoogte.
271. Teeken hetzelfde lichaam a, met het ondervlak onder, het bovenvlak op ooghoogte, b, het geheel boven de hoogte van het oog.
272. Teeken een regelmatige zeszijdige piramide in de standen van opg. 270 en 271, b. Denk weer om de ligging van het middelpunt, in verband met den top der piramide.
273. Teeken een regelmatig zeszijdig prisma, dat rust op een rechthoek in de volgende standen:
a. de zeshoeken niet-wijkend.
b. alle vlakken in wijkenden stand. Hierbij moet ge in den achtersten zeshoek de horizontale diagonaal teekenen. en de loodlijnen, — en vooral letten op de schijnbare breedten der beide zeshoeken (zie het opgemerkte bij de bespreking der kube op pag. 58.)
Achthoek Wij denken ons een regelmatigen achthoek in loodrechten nte wij end. gtantj en niet-wijkend voor ons geplaatst. De hoogte der figuur is in dien stand juist gelijk aan
de breedte. Twee zijden en twee diago- S \
nalenzijn waterpas gericht, terwijl even- / \ '. \.
eens twee zijden en twee diagonalen, / \ ' >v
zie fig. 140, loodlijnen zijn. De vierhoek, r1- "g\ -\c
in het midden van het vlak, gevormd ! door de loodrechte en de horizontale diagonalen, is een vierkant, — de hoeken
er van toch zijn recht, en de zijden \ d\_
even lang als die van den achthoek. N. ; \ /
Omtrent de indeeling van de diago- \^ i ' /
naai AE wijzen we op het .volgende. -\! \/
A ABC heeft twee hoeken van 45°, *
zoodat AB BC. AB2 -f BC2 of 2 AB2 g'
is gelijk aan AC2. Stellen we AC, dat is de zijde van den achthoek



86
nu gelijk aan 10, dan hebben we 2 AB2 — 100, AB2 = 50, of AB = ruim 7. — DE is evenals AB, ruim 7, zij is immers een rechthoekszijde van een driehoek, aan A ABC gelijk en gelijkvormig. BD, het deel van de diagonaal tusschen AB en DE, is, zooals reeds is opgemerkt, gelijk aan een zijde van den achthoek, d. i. 10. De stukken van de diagonaal
zijn dus 7, 10 en 7, het middelste is derhalve
/] \ bijna 11/2 maal elk der andere. De horizontale
/ \ 1 \ diagonalen zijn op dezelfde wijze ingedeeld.
/ 1 , \ Wat verandert nu in de figuur,
/ J ; \ Id'J»l*™deht' a's we het vlak een verkorten
1 *" l stand geven (fig. 141) ? Onder-
1 | stellen we in de eerste plaats — wij denken
1 het vlak half onder half boven ooghoogte —,
1 1 dat het loodrecht blijft, zooals dit het geval
zal zijn bij een achtzijdig prisma., dat op een
1 _i J der lange zijvlakken ligt. De breedte is veel
\ 1 1 . / verkleind, — stel, dat die ongeveer de helft der
■ \ 1 / hoogte is geworden. De loodrechte zijden en
\ 1 '/ diagonalen hebben haar stand behouden, de
V ^______y horizontale echter niet. Staat de geheele acht-
gg 14.1 hoek nog onder 't oog, dan loopen deze alle op.
De indeeling der loodlijnen is niet veranderd, daarvan blijven de stukken "zich verhouden als 1, bijna II/2 en 1. De deelen der wijkende waterpaslijnen worden echter verkort gezien, — de meer verwijderde betrekkelijk het meest, zoodat de verhouding hier niet geheel dezelfde blijft.
Ligt de achthoek waterpas, met twee zijden nietwaterpas. wjjjsen(ji (jan hebben ook de diagonalen, welke met die zijden parallel loopen, deze richting, zoodat die haar indeeling behouden. De andere, die daar loodrecht op gericht zijn, worden nu wijkende gezien,
zij worden dus niet evenwijdig
«r^r^TI c —'v-Trrrr^— geteekend en hebben een ge-
4et_»^„.. wijzigde verhouding tusschen
fig 142 ^: de deelen. (Zie fig. 142).
Wijken ook de andere diagonalen, dan zullen deze mede oploopen, en de stukken, welke het minst verwijderd zijn, betrekkelijk het langst moeten worden geteekend.
Helt de achthoek vóór- of achterover, dan vindt op dezelfde wijze wijking der diagonalen plaats.
Opgaven.
274. Teeken een regelmatigen achthoek, le in de standen als in de



87
fig. 141 en 142, maar beide smaller, onder ooghoogte 2e als de waterpaslijnen niet wijken en de figuur achteroverhelt, 3e als zij voorover helt.
275. Teeken een regelmatig achtzijdig prisma (ge dient u dit lichaam zelf uit karton te vervaardigen), dat op den achthoek rust, terwijl twee vlakken niet wijken. Het staat geheel onder het oog. De twee zichtbare wijkende rechthoeken wijken even sterk, — in het grondvlak liggen, zie fig. 142, de beide achterste punten, die ge er van kunt zien, evenver naar achteren, zoodat de diagonaal er tusschen, en derhalve ook de voorste zijde van den achthoek als waterpaslijn wordt gezien.
276. Laat het prisma iets draaien, zoodat ge 4 vlakken ziet, de twee buitenste niet even sterk wijkende.
277. Het achtzijdig prisma te teekenen in de standen van het zeszijdig prisma in opg. 271 a en b.
278. Teeken een regelmatige achtzijdige piramide, — den achthoek in den stand van opg. 275, — evenzoo in dien van opg. 276. Bedenk dat de top loodrecht valt boven het midden van het grondvlak, — dit geeft in de tweede teekening eenige moeite, daar zult ge met behulp van een paar diagonalen, die aan de zijden evenwijdig loopen, het voetpunt der hoogtelijn moeten bepalen.
§ 24. Waarnemingen, buiten te doen. De horizon. Horizonshoogte. Verdwijnpunt. Oogpunt.
Terrein van Het is noodig, dat ge u voor de volgende waarnemingen waarneming. naar buiten begeeft Bijna overa| in ons lflnd yindt gA
wel een tamelijk uitgestrekt vlak veld, dat vrij uitzicht biedt, dus met niet te veel geboomte begroeid is, — de horizon is derhalve öf zichtbaar öf aan uw oog onttrokken door huizen of boomen, die door den grooten afstand zóó klein schijnen, dat ge met vrij groote nauwkeurigheid wel de plaats er van kunt vaststellen. In ons poldergebied slaagt ge stellig wel met een waarnemingsterrein, — dit is ook daarom bijzonder geschikt, omdat ge daar gemakkelijk een dijk kunt beklimmen, .vanwaar ge straks opmerkingen moet maken.
„ . , Eerst denken wij ons staande op het terrein, dat we
Hortzon vaak te , . ... . . , , . ,
hoog geteekend. Saan bekijken, en waar hier en daar een huis, een schuur,
boomen, hekken, koeien, enz. te zien zijn. Ge merkt, dat
de grond tot den horizon schijnt op te loopen, — alles wat we daareven
zagen, is op dien grond geplaatst. In een teekening van het landschap
zou dus alles op de ruimte tusschen den voorgrond en dien horizon
een plaatsje moeten vinden, — en reeds daarom zult ge 't begrijpelijk



88
vinden, dat beginners in den regel den horizon te hoog teekenen, — zé weten geen raad met al wat ze zien, en waarvan het een dikwijls wat hooger moet dan 't andere.
De horizon is een cirkel; volgt ge het gedeelte dat Als waterpaslijn . . . , . . , , , ,
gezien. Se voor u zlet met Qen vlngeri dan merkt ge, dat ge
dit als een waterpaslijn zult moeten teekenen. Hebt ge nu op uw waarnemingsterrein palen van ongeveer gelijke
„ , hoogte staan, — loopt er b.v. een wee door met tele-
Op ooghoogte. , , , ,, , ,
graarpalen, — dan moet ge eens nagaan, welk deel van
een paal ongeveer boven den horizon uitkomt; laat het b.v. ongeveer het 2/3 deel zijn. Beproeft ge dit ook voor een anderen meer verwijderden paal, dan komt ge daar tot dezelfde uitkomst. Bij boomen van ongeveer dezelfde hoogte ziet ge een soortgelijk verschijnsel, — aan huizen, masten van schepen, grazende koeien eveneens. En gaat ge nu na, waar de horizon zich afteekent op voorwerpen in uw nabijheid, dan bemerkt ge, dat dit precies op de hoogte van uw oog gebeurt. Ge wijst hem aan op een boom, als ge staat, — dan als ge knielt: de horizon rijst en daalt met uw oog. Laat ge nu dingen op grooten afstand door den horizon snijden, dan merkt ge ook daar, dat dit precies op ooghoogte het geval is, — dit verklaart, waarom de horizon zich op alle palen, enz. op hetzelfde punt afteekent. — 't Is wenschelijk, dat ge nu van het terrein een schetsje maakt. Ge stuit echter op de moeilijkheid, waar uw voorgrond te beginnen, en verder zit Een schets, „e veriep-en met de breedte van uw teekening. Daarom waar voorgrond .
beginnen. een kleine herinnering. Vroeger is opgemerkt, dat ge
u op den goeden afstand van de te teekenen voorwerpen hadt te plaatsen, — die moest driemaal de lengte bedragen van de grootste niet-wijkende lijn, door het voorwerp of de groep te brengen. Waar ge nu op uw teekening ook een stuk van den horizon wilt plaatsen, dient ge na te gaan, wat ge al zoo verder nog wenscht te teekenen: een huisje hier, een boom daar, enz. — hierbij probeert ge, of ge (zie pag. 50) alles tusschen duim en pinktop ziet, als ge de uitgespreide hand met gestrekten arm voor u houdt. Ge moet echter rekening houden met de hoogte van uw teekening, — ook die mag niet grooter zijn dan 1/3 van den afstand. Ge bepaalt nu, welk stuk lucht ge op uw teekening wenscht. te hebben, — stel b.v., dat ge dit ongeveer tweemaal zoo hoog wilt als het landschap. Nu houdt ge weer de uitgespreide hand voor u, maar zóó gedraaid, dat de toppen van pink en duim loodrecht onder elkaar komen, — ge ziet nu de grootste „hoogte" van uw teekening, verdeelt die ongeveer over lucht en grond, en nu wijst de duim de plaats waar de voorgrond begint. Wat zich dichter bij u bevindt, teekent ge niet. — Ge komt op deze manier tot een teekening, die ongeveer vierkant is, —



89
het spreekt vanzelf, dat ge deze ook kleiner kunt nemen, kleiner in de hoogte, in de breedte, in beide afmetingen, — grooter moogt ge uw figuur echter niet maken. Wilt ge den voorgrond dichter bij, dan zult ge minder lucht moeten teekenen. In geen geval brengt ge den voorgrond te dicht bij u: de voorwerpen, die zich op zeer korten afstand van u bevinden, zouden dan te groot moeten worden afgebeeld.
Ge moet nu in uw teekening eerst den horizon aangeven, daarna de breedte van den voorgrond, — en verder een boom, een huisje in de nabijheid schetsen, waarbij ge er inzonderheid voor zorgt, dat de horizon op de juiste plaats door het voorwerp gaat. Bij volgende dingen moet ge telkens nagaan, of ze hooger of lager komen te staan.
Wenschehjk is het nu, hetzelfde of een soortgelijk hofgtftandplaats. landschaPJe van hooger standpunt te teekenen, boven op een dijk of uit het raam van een bovenwoning b.v. Weer moet ge hier dezelfde waarnemingen doen: waar de horizon zich afteekent op gelijke voorwerpen, — opmerken, dat hij een waterpaslijn schijnt en ook, dat hij zich weer op ooghoogte bevindt. En weer maakt ge een teekening.
Zit ge in een spoortrein,, teeken dan den horizon
Andere plaatsen „#> . . - ,
van waarneming. eens af °P uw coupéraampje, — weer ziet ge hem op ooghoogte. Verzuim ook niet, dit aan de kust eens waar te nemen, — aan het strand, zoowel als boven op het duin of op den zeedijk, — en merk dan op, hoe de masten der visschersschuiten bijna alle, veraf of dichtbij, geheel boven den horizon uitsteken, — en later van uit uw hooger standpunt gezien, er bijna geheel onder duiken.
In uw schetsjes hebt ge ook weer gemerkt, hoe Richting wijkende j ■ ... , , . ,
waterpaslijnen. wijkende waterpaslijnen onder ooghoogte oploopen,
die boven ooghoogte afloopen. Zijn er soms op ooghoogte, die hebt ge in de richting van den horizon gezien, dus als waterpaslijnen.
TT- . .. , Het is nu wenschelijk, ook de volgende waarnemingen Yerdwynpunt. . J 0 6
buiten te doen. Hiervoor kan een lange, rechte spoorbaan dienen (zie fig. 143), ook een recht stuk kanaal met telegraafpalen of boomen aan den kant. De palen worden alle weer op dezelfde betrekkelijke hoogte door den horizon gesneden. Ge ziet den weg, als ge er langs kijkt, in de verte smaller worden, de zijkanten zult ge teekenen — ge maakt weer een schetsje, — als oploopend e lijnen, en ge merkt, dat die elkaar in den horizon ontmoeten. Ook de lijnen over de toppen der telegraafpalen en die door de ondereinden; — en verder ziet ge, dat al deze evenwijdige lijnen, die aan de palen, langs de wegkanten, langs de rails naar datzelfde punt van den horizon gericht zijn! — Deze lijnen worden daar in de verte door den grooten afstand



90
onduidelijk, — men zegt, dat ze in den horizon haar gemeenschappelijk verdwijnpunt hebben.
Waarom in den Eigenlijk is het niet zoo vreemd, wat go hier waarhorizon? neemt. De afstanden tusschen de evenwijdige lijnen, —
""^^^^ ^
door de dwarsleggers, de telegraafpalen aangegeven, schijnen voortdurend kleiner, hoe verder ze zich van u bevinden, — heel in de verte lijken ze haast niemendal meer te zijn; de wijkende lijnen schijnen dus wel samen te komen, — en waar de horizontale lijnen onder ooghoogte tot den horizon oploopen, die boven ooghoogte afloopen, daar moet het ontmoetingspunt wel in den horizon vallen.
_ . . Eindelijk moet ge nog een alleenstaand kerkje, een Aan een huisje. , . „ , . . , , , ..,
huis ot een schuur uit perspectievisch oogpunt bekijken
en in teekening brengen. Alleenstaand, want ge moet gezicht houden
op den horizon of dien ten minste zoo ongeveer kunnen bepalen. Ook
hier moet ge opmerken, dat twee evenwijdige wijkende waterpaslijnen,
b.v. onder- en bovenkant van een muur zoodanig naar elkaar toeloopen,
dat ook zij, verlengd, in den horizon zouden samenkomen, — daartoe
teekent ge ze maar in de lucht na en verlengt ge ze. En ook ziet ge,
dat de waterpaslijnen van een rij ramen zich mede naar datzelfde
verdwijnpunt richten. Ge merkt dat deze opmerking u bij uw teekening,
waarin ge den horizon aangeeft, zeer kan dienen.
Ook aan een lange huizenrij in een t96 eeuwsche
In lange straat str&at van een onzer steden kunt ge soms 't zelfde
verplaatsing . °
van het oogpunt, feit constateeren. Ge plaatst u in het midden der straat.
De bovenste waterpaslijnen langs goten en ramen der
lange kazernewoningen aan weerskanten van de straat schijnen u sterk
te dalen, die aan den onderkant loopen op, en hebt ge aan 't eind der
straat misschien nog het vrije veld voor u, dan ziet ge weer al die lijnen
(ook die der trottoirs en langs onder- en bovenkanten der lantarens)



91
als stralen zich naar een zelfde punt van den horizon richten. Hebt ge hierop eenmaal kijk gekregen, dan verplaatst 'ge u naar den rechterkant der straat. De lijnen loopen nu anders, — die links van u loopen meer schuin, die aan den anderen kant rechter af of op, — het verdwijnpunt heeft zich met u naar rechts verplaatst. Gaat ge aan den linkerkant van de straat staan, dan ziet ge 't omgekeerde: steeds hebt ge het verdwijnpunt recht voor u. Later zullen we op dit verdwijnpunt terugkomen, — omdat het recht voor uw oog ligt, noemt men het wel het oogpunt.
§ 25. Beteekenis van de studie der perspectievische verschijnselen.
natuur- Nu ge al met een aantal perspectievische verschijselen ee enen. kennis hebt gemaakt, mogen we wel eens samenvatten, welke de beteekenis is van de bestudeering er van. In de eerste plaats heeft deze tengevolge, dat men de lichamen in bepaalde standen nog aan nauwkeuriger beschouwing onderwerpt. Daardoor krijgt het teekenen naar de natuur een krachtigen steun. Verder weet ieder teekenaar bij ervaring, welk een uitstekend controlemiddel hij in de kennis van enkele perspectievische regels heeft. Wij wijzen er met nadruk op, dat deze kennis bloot als controlemiddel mag dienen; bij het teekenen gaat het oog voor het oordeel: eerst teekenen, eerst zien, daarna pas redeneeren!
Waar men echter uit het hoofd teekent, waar men Reekenen"1 dus D'oot gedachte voorwerpen afbeeldt, daar verandert de zaak. Dan werpt het oordeel veel gewicht in de schaal, dan is bedoelde wetenschap al van zeer veel nut.
Het lezen, het verstaan van afbeeldingen leert elk afbeeldingen menscn'< k'eine kinderen reeds herkennen portretten, zien op platen bekende dieren. Ook is door ervaring bij iedereen een goede dosis onbewuste perspectievische kennis aanwezig. Elkeen ziet, dat de teekenaar der kube in fig. 98 het voorwerp in schuinen stand voor zich heeft gehad, dat hij er verder bovenop keek, dat het rechterzij vlak meer van hem is afgewend dan het- linker, — maar alleen zij, die van de perspectievische verschijselen eenige studie hebben gemaakt, weten zich rekenschap te geven, waarom uit die teekening dit alles kan worden gezien. Dit weten geeft als elke wetenschap trouwens, een zekere mate van genot, maar het maakt ook werkelijk het verstaan, het lezen van afbeeldingen gemakkelijker. En men ziet meer in een teekening dan een ander zonder genoemde kennis. Zoo zult ge soms uit een figuur kunnen afleiden, op welken afstand de teekenaar zich van bepaalde voorwerpen heeft bevonden. Hierop komen we later terug.



92
Bij het onderwijs -Eindelijk is de studie van veel beteekenis voor u, tn natuurteekenen. Qie s|ater geroepen kunt worden onderwijs in het teekenen naar de natuur te geven. Dan zult ge ervaren, hoe gemakkelijk die kennis is bij de bespreking en bij de correctie. In zeer vele gevallen weet ge reeds, hoe het voorbeeld zich, van uit een bepaalde plaats gezien, moet vertoonen, zoodat ge de juistheid van een antwoord kunt beoordeelen, zonder dat ge het model van dezelfde plaats als uw leerling behoeft waar te nemen. Dit kan b.v. voorkomen bij het beoordeelen van de verhouding der breedte van zijvlakken, van de lengte van loodlijnen, van de richting van wijkende waterpaslijnen, enz. Ten einde u tot critiek over teekeningen op te wekken, hebben we onder de opgaven enkele foutieve figuren gegeven, die verbeterd moesten worden.
§ 26. Iets over den bouw van het oog.
Tot dusverre hebben wij allerlei voorwerpen naar de natuur of uit
het hoofd geteekend. Wij zullen nu met een meer constructieven opzet
kennis maken, en enkele opgemerkte regels nader toelichten.
Tot goed begrip daarvan is noodig, dat we enkele opmer-
Buiten- kingen maken over den bouw van het oog. Aan de buitenopperolak. ° ° .
oppervlakte van uw oog merkt ge een zwart, sterk spiegelend
cirkeltje, de pupil. Deze is omgeven door een ring, die allerlei kleuren kan hebben, bruin, blauw, grijs, enz., het regenboogvlies. Daaromheen merkt ge nog het „wit" van het oog. Wij kunnen onze oogen bewegen; het schijnt dan wel, dat alleen regenboogvlies en pupil binnen- of buitenkant van het oog naderen, en het „wit" zijn plaats behoudt, maar let ge op enkele adertjes, die zich hierin doorgaans wel vertoonen, dan blijkt heel spoedig, dat de pupil een vaste plaats heeft in dat „wit" en het geheele oog een draaiende beweging maakt.
Hoornvlies Bekijkt ge van ter zijde het oog van uw buurman, (zie doorschijnend, fig. 144), dan valt u op, dat regenboogvlies (a) en pupil (b) zich niet aan de oppervlakte bevinden, maar dat •mA. 0 er zich een doorschijnend vlies overheen welft,
^""^MlÉïvcSt». 'ne* hoornvlies (c). — Een verticale doorsnede van caIÉÉI3! ™ffe& 008 zou ongeveer de volgende figuur te zien
^^^^^!*==^^w geven (fig. 145). Het zichtbare deel van het oog '^•jr maakt deel uit van een bolvormig lichaam, dat
fig. 144. de oogkas grootendeels vult, en hetwelk van voren
geheel of gedeeltelijk door de oogleden is bedekt. Doorsnede oog. De reeds genoemde deelen van het oog vertooDen zich ook hier: a hoornvlies, b het regenboogvlies, c (een opening dus in het regenboogvlies) de pupil; d is de witgekleurde



93
harde oogrok (het .,wit'' van het oog), die den stevigen buitenwand van het oog vormt. Aan den achterkant treedt in den oogbol de gezichtszenuw ƒ, die zich als een dun vlies op de binnenzijde van den harden oogrok voortzet, het netvlies g. De ruimte tusschen het hoornvlies en
het regenboogvlies is gevuld met een waterachtig vocht; achter de pupil bevindt zich een glasachtig lichaam, de kristallens h, die door spieren met den binnenwand van het oog is verbonden, terwijl het verdere gedeelte van den oogbol, k, gevuld is met een geleiachtige massa.
Zullen wij nu een voorwerp kunnen waarnemen, dan moet netvlie°P z'cn daarvan op het netvlies een scherp beeldje vormen, en dit geschiedt met behulp van wat de lichtstralen op hun weg door het oog ontmoeten, vooral van de kristallens h. Van het netvlies is een gedeelte bijzonder gevoelig voor lichtstralen, en wel de zoogenaamde gele vlek (l), die zich bevindt, waar de as van het oog, welke door het midden van het hoornvlies en de pupil wordt gebracht, het netvlies snijdt. Als we iets scherp wenschen waar te nemen, draaien we onwillekeurig den oogbol in zoo'n stand, dat het voorwerp zich juist in het verlengde der oogas bevindt.



94
Omgekeerd Op het netvlies vormt zich, evenals op de plaat van den beeld. photograaf, van de dingen, welke er voor geplaatst zijn, een verkleind, omgekeerd beeld. Deze netvliesbeeldjes nu nemen wij waar; door de ervaring hebben wij geleerd, die beeldindrukken te verbinden aan voorwerpen buiten ons; — een kind van 1 a li/2 jaar heeft daarin al heel wat ondervinding. En onbewust hebben we ons. aangewend die beeldjes omgekeerd op te vatten, om een goede voorstelling te krijgen van wat zich in de ruimte vertoont.
Reeds meermalen vonden we gelegenheid er voor te waarschuwen, dat men bij het teekenen niet te dicht bij de voorwerpen mag plaats nemen, en gaven wij een regel, dien men hierbij had in acht te nemen. Deze kan nu worden toegelicht.
Zooals is opgemerkt, ontstaan alleen zeer scherpe
Omvang groep, beelden van voorwierpen of deelen er van, als die zich »n een oogopslag 1
te overzien. afteekenen op de gele vlek. Ook in de nabijheid der
gele vlek is het netvlies nog wel zeer gevoelig voor lichtindrukken, — op grooteren afstand daarvan is het dit minder, zooals duidelijk blijkt, als men b.v. zonder de oogen van stand te doen veranderen, naar een afbeelding tegen een wand kijkt. Van andere platen, in de nabijheid der eerste, ziet men dan nog. slechts den vagen omtrek.
Onderzoekingen daaromtrent hebben geleerd, dat men in één oogopslag nog met voldoende scherpte voorwerpen of groepen van voorwerpen kan overzien, als men zich op een afstand bevindt, die ten minste gelijk is aan driemaal de grootste (niet-wijkende) afmeting van voorwerp of groep. Trekt men rechte lijnen uit het oog naar de uiterste punten der groep, dan zullen deze hoogstens hoeken van ongeveer 20° mogen vormen.
§ 27. Een middel om gelijkende afbeeldingen te verkrijgen.
Tot zoover de beschouwing van het oog. Wij hebben dit tamelijk uitvoerig behandeld, omdat we eenig begrip der- beeldvorming op ons netvlies noodig hadden voor het vervolg.
Wij brengen nog eens in herinnering, wat we bedoelen met de uitdrukking: „ik zie een huis, een paard." We.zien dan het beeld van een huis, een paard, op het netvlies van onze oogen.
Oppervlakkig beschouwd, zouden we dus de daar geTeekening niet vormc|e afbeelding moeten teruggeven, om een gelijkende netvliesbeeld. teekening van een of ander voorwerp te krijgen. Reeds dadelijk blijkt hiertegen echter een bezwaar te bestaan. Het netvlies is een flauw gebogen vlak, terwijl wij steeds op een plat



95
vlak teekenen, en een afbeelding op een gebogen vlak is niet juist gelijkend op een plat weer te geven.
„..,,, In fig. 146 zien we een andere manier aangeduid, om
snijvlakken, dj
tot een teekening te komen. Van een boom vormt zich in
het oog, — dit is in de figuur vergroot voorgesteld, — een beeld doordat
lichtstralen van alle punten van het voorwerp het netvlies treffen. Een drietal dier stralen zijn aangeduid. Denkt men nu tusschen het oog en den boom platte vlakken, A en B b.v., welke door die lichtstralen worden gesneden, dan vormt zich op die vlakken een afbeelding. Deze zal dan het meest overeenkomen met die op het netvlies, als het vlak ongeveer denzelfden stand heeft als dit vlies, als dus de oogas loodrecht op het vlak is gericht. In den stand, dien het oog in fig. 146 heeft, staat dit vlak derhalve loodrecht. Laat men het vlak voor- of achterover hellen, dan behoudt de teekening ongeveer dezelfde breedte, maar wordt ze aanmerkelijk langer.
Op de beschreven manier kunnen we dus een teekening verkrijgen van een of ander voorwerp. Is deze figuur nu juist? Ze stemt niet volkomen overeen met die op het netvlies; — de afbeelding b.v. van een kube op het netvlies zal allerlei gebogen lijnen vertoonen, die in de figuur op de hulpvlakken A en B door rechte lijnen worden weergegeven, — de verhouding tusschen hoogte en breedte der afbeeldingen op hulpvlak en netvlies zal echter vrij wel gelijk zijn, evenzoo die tusschen de schijnbare breedten der vlakken, terwijl verder de schijnbare richting der waterpaslijnen ook groote overeenstemming zal vertoonen. Nemen wij de afbeelding op een hellend vlak, dan wijkt deze veel meer af van die, welke zich op het netvlies vormt.
Maar hoe oordeelen we eigenlijk over het al of niet
'tuktning^ ' gelijken eener teekening? Wij vergelijken ze dan immers niet met het figuurtje op het netvlies 1 — We gaan eenvoudig na, of ze op ons denzelfden indruk maakt als het afgebeelde voorwerp, en dit zal blijkbaar het geval zijn, als ze op het netvlies



96
hetzelfde beeldje vormt. Bekijken we, zie fig. 146, den boom, of wel zijn afbeelding op vlak B, — deze gehouden op de plaats, waar ze genomen is, — in beide gevallen ontstaan precies dezelfde stralenbundels, die op het netvlies volkomen gelijke beeldjes zullen vormen. Hieruit blijkt, dat de figuur op vlak B wèl gelijkt, dat ze, hoewel afwijkend van het netvliesbeeld, volkomen juist is.
„, .. Toch is er nog één bezwaar. Boven spraken we van
Hellend snijvlak. -„ r
een langgerekte figuur, die zich op vlak B zou vormen,
als we dit b.v. lieten vooroverhellen. Bekijken we nu deze figuur, terwijl we het vlak( op denzelfden afstand dezelfde helling geven, dan ook ontstaat de oude stralenbundel weer, dan ook vormt zich op het netvlies het beeldje van den boom. Dus zou ook deze afbeelding gelijkend zijn? Dit geeft niemand toe, — blijkbaar moet nog iets worden toegevoegd.
Wat dit moet zijn, hierop is reeds gezinspeeld, toen
Hoe bekijken we we opnierkten, dat de afbeelding op het hellende vlak een afbeelding? r ° r
ook weer in een hellenden stand moet worden gehouden, — en deze afzonderlijke vermelding wijst er reeds op, dat dit niet de gewone stand is, dien we aan een afbeelding geven. Wij plaatsen die doorgaans loodrecht op onze oogas, zoodat we er recht op kijken, — een boek waar we in schuine richting óp neerzien, geven we veelal een hellenden stand, — we plaatsen ons gaarne recht voor een gravure, — hangt een schilderij op eenige hoogte, dan laat men ze wat vooroverhellen.
Als wij dus recht voor ons uitzien, zooals in fig. 146, dan moeten wij een loodrecht vlak gebruiken, om tot een gelijkende afbeelding te komen.
Waar we dit hulpvlak precies plaatsen, doet blijkbaar Plaats snijvlak niets af Hoe A\cY^eT we het naar het oog verschuiven, onverschillig. °
des te kleiner echter zal de afbeelding zijn: op vlak A
ontstaat een kleiner beeld dan op B. Ook kan dit hulpvlak zeer goed
achter het voorwerp worden gedacht, b.v. in C. Dan krijgen, we een
afbeelding, grooter dan het origineel.
In de practijk kunnen we ons zeer goed, — dit is over-
Teekenenop bekend — van een glasruit bedienen. We plaatsen ons glasruit ° .....
voor de ruit, houden het hoofd onbeweeglijk, sluiten één
oog, en kijken vervolgens naar een voorwerp achter het glas. Zorgen we
nu, met een stuk toiletzeep of speksteen op de ruit punten aan te teekenen,
welke punten van het voorwerp voor ons oog bedekken, en die dus
punten zijn van de lichtstralen van dat voorwerp naar ons oog gaande,
dan vormt zich op de ruit een gelijkende afbeelding. Het voorwerp is
op de ruit „omgeteekend".
Opgave.
279. Maak op de beschreven manier op een glasruit een teekening van een huis, een tuin met schutting, een molen, of wat ge bij u



97
door de ramen kunt zien, calqueer die teekening en breng ze op de Fes mee.
„. We moeten bij het teekenen met één ooq zien, omdat
jSten met ■ u ■ u -j
één oog 1D Dei°e ooeen verschillende beelden vor- IÏT77—- igi^ff n—~-~~aseB^
men. Een kube, die vrij dicht bij f 'i , Hu lllll (Pllll
u staat, zal zich voor het linker- li'1' KI
oog anders vertoonen dan voor l|''j!i, ffffP )',[|n|(' KPll
het rechter. Het rechteroog ziet __p^^ ^~-~^^p-^
iets meer van het rechterzijvlak fig. 147. fig 148_
(fig. 148) het linker ziet het lin-
kervlak breeder (fig. 147), waar het zich meer vóór bevindt. Ge moet niet verzuimen, u door proefneming van de juistheid dezer opmerking te overtuigen.
Duidelijk blijkt nog uit onderstaande afbeeldingen (fig. 149, 150 en 151), hoe een lichaam op rechter- en linkeroog verschillende indrukken
1 R
\\ //
%• 149. fig. 150. fig. 151.
moet maken. Ge moet u voorstellen op een klein glazen voorwerp in den vorm van een afgeknotten kegel neer te zien, terwijl uw oogen zich er slechts zeer weinig boven bevinden, het rechter in R, het linker in L (fig. 149). Uit de teekening ziet ge, dat voor R het bovenvlak een gedeelte R' van het grondvlak zal bedekken, terwijl dit bij L heel anders is: daar wordt het bovenvlak aan den rechterkant van 't grondvlak gezlen, bij L'. Het linkeroog ziet het lichaam als in fig. 150 is afgebeeld, — het rechter, als in fig. 151.
Op stereoscoopplaten vindt ge twee afbeeldingen van eenzelfde voorwerp of groep, de ééne voor het rechter, de andere voor het linkeroog die soortgelijke verschillen vertoonen als de hier besprokene. Daar beide oogen van eenzelfde voorwerp dus verschillende beelden doorsneden. 7e dr. y



98
vormen, zullen we bij het opvatten van den schijnvorm steeds één oog
mrtaran olniion Wo tlinnpn
dus van het oog spreken.
Hoe het gebruik Een potlood , , , . „ voor een van net rechter- of loodrecht van het linkeroog c'a*- een zeer verschillende teekening kan vragen van voorwerpen, waarvan het een zich voor het andere bevindt, ziet ge ook uit de volgende proef, die ge zelf nemen moet.
Ge houdt een potlood BA op geringen afstand voor eeu boek of een cahier CD, en stelt u voor van beide in dien stand
een teekening te willen maken. Wij denken het vlak CD doorzichtig. Ziet ge met uw linkeroog L, dan zult ge het potlood rechts in l (aan den vóórkant E van den rechthoek) moeten teekenen. Gebruikt ge uw rechteroog R, dan ziet ge het potlood links, voor r, aan den achterkant van het vlak.
Hulpvlak bij Van een hulpvlak, rechthoekig geplaatst op de richting het „meten". yan uw zjeD) neb ge in de practijk ook reeds meermalen gebruik gemaakt. Als ge bij het teekenen naar de natuur het zoogenaamde „vergelijkend meten" toepast, meet ge in den grond der zaak op een denkbeeldig vlak, dat ge. op armlengteafstand loodrecht geplaatst hebt tusschen uw oog en het voorwerp. Dat vlak werd gesneden door de oogstralen van het voorbeeld naar uw oog, waardoor zich op het hulpvlak een afbeelding van het model vormde. En hiermede moest uw teekening gelijkvormig zijn, zoodat ge zeer goed verhoudingen en richtingen in die denkbeeldige figuur kondt gaan onderzoeken, om ze op uw papier over te nemen.
En al meet ge niet, — ge herinnert u, dat we u steeds hebben aangeraden, direct uw indruk neer te zetten, — toch bedienen we ons ook dan wel van lijnen in zoo'n vlak. Zóó, waar we de richting van wijkende lijnen bepalen (zie pag. 52), — en ook, waar we het verdwijnpunt zochten der wijkende waterpaslijnen van het huisje (zie pag. 90).
Ook van een hulpvlak achter een blok of draadmodel
Hulpvlak neDt e wej eens gebruik zien maken. Dit was dan het
achter model. . , , , j, ji 
geval, als er achter een dergelijk teeken model een donker
vlak, het bord of de muur was geplaatst, zoodat de figuur zich daar
scherp tegen afteekende.



99
eênllZtr 0pMERKIN(ï- BÖ het teekenen naar plaat meet ge, zooals ge zult weten, altijd evenwijdig aan de plaat. Ge herinnert u, dat de doorsnede van een kegel gelijkvormig is aan het grondvlak, als ze daaraan evenwijdig is genomen. De doorsnede door den kegel van lichtstralen, welke uw oog tot top en de figuur op een plaat tot grondvlak heeft, moet dus evenwijdig zijn aan de plaat, zal ze volkomen op die figuur gelijken. Uw meetvlak is zoo'n snijvlak', en het moet derhalve evenwijdig aan de figuur worden geplaatst.
Ge teekent de figuur dan ook niet, zooals ge ze ziet, — dit merkt ge duidelijk, — als ge in schuine richting naar de plaat kijkt. Een cirkel op een plaat zal zich, in schuine richting bekeken, als een ellips voordoen. Men wil echter, en dit is een eigenaardig verschil tusschen het plaatteekenen en dat naar de natuur, rnen wil een figuur, op een plaaf hebben geteekend, zooals'ze is, — een natuurvoorwerp, zooals dit zich aan ons vertoont. Zooveel mogelijk zorgt men natuurlijk wel, dat de teekening op een plaat zich vertoont, zooals ze is, — dat dus het vlak van de plaat niet wijkt. — De teekeningen naar een plaat behooren van alle leerlingen gelijk te zijn. Een voorwerp vertoont zich aan allen verschillend. Het moet worden geteekend zooals het gezien wordt, dus zijn de teekeningen alle ongelijk.
In fig. 446 hebben wij het hulpvlak een loodrechten stand gegeven, omdat we daar het oog recht voor zich uitziende hebben geplaatst. Hellend Wanneer wiJ 'n een hellende richting zien, naar
. hulpvlak. boven (naar een toren b.v.) of naar beneden, (van een toren, een heuvel, van een trap, enz.) dan krijgt ook de oogas een zekere helling, en we zullen ons dus ook het hulpvlak hellend moeten voorstellen. Soms zal het zelfs horizontaal moeten worden gedacht, — als we n.1. in loodrechte richting naar boven of naar beneden kijken, in een put of uit een raam eener bovenverdieping.
De meest gewone richting, waarin we echter zien, is de horizontale, recht voor ons uit, zoodat we in den regel aan het hulpvlak een loodrechten stand zullen moeten geven.
§ 28. Het tafereel.
Van één der besproken hulpvlakken zullen we in het volgende dikwijls gebruik maken.
In achterstaande figuur 153 is een weg afgebeeld, waarop zich een man bevindt. Aan den linkerkant van den weg ziet hij een vrij hoogen boom verderop een hek, - rechts in de eerste plaats wat struikgewas, en op'
7*



100
grooteren afstand een boerenwoning, waarvoor zich nog een boom bevindt.
Wij willlen nu nagaan, hoe die man den weg kan Hulpvlak over afbeelden door de vraag te beantwoorden, wat hij op weg. hulpvlak zou zien afgeteekend, dat hij recht voor
zich, dwars over den weg geplaatst, dacht. In onze figuur zijn er, zooals ge ziet, twee aangebracht. De eene doorzichtige rechthoek bevindt zich
juist voor, den boom aan den linkerkant van den wandelaar, — de tweede is verderop geplaatst, vóór hek en huisje. Stellen wij ons nu voor, zooals in de vorige § is besproken, dat de lichtstralen, die van de dingen vóór hem naar zijn oog gericht zijn, de hulpvlakken snijden, dan ontstaan
daarop teekeningen. De figuur op het voorste vlak verschilt natuurlijk van die op het achterste.
Op het voorste hulpvlak, zie fig. 149, vertoont zich een gedeelte van den boom links, — de oogstralen naar zijn top, dit blijkt uit de vorige figuur, snijden het rechthoekige vlak niet: dit is daarvoor te klein genomen. Het hek en het huisje met zijn boom zijn geheel zichtbaar,



101
hiervan kunt ge u overtuigen, als ge in fig. 153 uit het oog van den
wandelaar stralen trekt naar de genoemde voorwerpen. ludpvlak het twee(*e hulpvlak zal een teekening ontstaan als
fig. 155. De. boom links komt er niet op voor, — het gedeelte van den weg voor het huisje, dat is afgebeeld, is korter. Daar dit doorzichtige vlak breeder is genomen dan het eerste, komt op den voorgrond meer van het land aan weerskanten van den weg te zien. .
Geen van beide teekeningen bevat het struikgewas, dat zich dicht bij den aanschouwer, rechts van hem, bevindt.
Telkens is dus op het hulpvlak afgebeeld al wat zich daarachter vertoont. Uit de fig. 154 en 155 kunt ge nu wel afleiden, waar de gebruikte hulpvlakken zich hebben bevonden: ze waren geplaatst onmiddelijk tegen den voorgrond der figuur. Ook kunt ge gemakkelijk zien, hoe groot ze ongeveer geweest zijn, — terwijl het voorste bijna tweemaal zoo breed was als de weg, was het tweede wel driemaal zoo breed.
De teekening in fig. 155 is meer verkleind dan die in fig. 154, — op beide vlakken toch teekent de weg, waar het tafereel er op rust, zich in zijn ware breedte af, en die is in de laatste afbeelding kleiner dan in de eerste.
Voor vele afbeeldingen van landschappen, van kamers, enz, kunt ge nu dergelijke opmerkingen maken: ge kunt precies aanwijzen, waar het hulpvlak zich heeft bevonden, ge kunt iets zeggen van de grootte. Zoo'n teekening is dus gemaakt met gebruikmaking van één bepaald hulpvlak, voor fig. 154 was het een ander dan voor fig. 155, en dit bepaalde hulpTafereel. vlak nu noemen we in de perspectief het tafereel. In den regel geeft een afbeelding zeer verkleind terug, wat zich daarop vertoont. Schetst ge een landschap, dan teekent ge eigenlijk na, wat zich op het tafereel, dat ge eerst op een bepaalde plaats denkt en sen bepaalde grootte geeft, zou moeten vertoonen. Uw blad papier, evenals



102
het tafereel een plat vlak, wordt dus een getrouwe afbeelding van het beteekende tafereel.
En als gij nu een blok schetst, kunt ge u dan ook een feekenen tafereel denken? Zeker, gij teekent immers behalve het blok een stukje voorgrond, een deel van de tafel, waarop het staat, om daar een schaduw op te kunnen leggen. Waar ge nu uw voorgrond begint, daar is het tafereel, — ge teekent, wat zich daarachter bevindt. In den regel zal het dus heel dicht bij het af te beelden blok geplaatst zijn. Het staat loodrecht op de oogas, die ge over het midden van blok of groep richt. Gij en een andere teekenaar, die wat ter zijde van u zit, zult dus verschillende tafereelen bezigen.
Loodrecht Zooals in de vorige § is opgemerkt, vormt het te gebruiken tafereel. hulpvlak steeds een rechten hoek met de oogas. Gewoonlijk zal het tafereel derhalve weer eeu loodrecht vlak zijn. Ziet ge echter naar boven of naar beneden, dan zal het een anderen stand hebben.
In dit werkje zullen we alleen over een loodrecht geplaatst tafereel spreken.
In onderscheid met het tafereel, — dat ge dus, als ge een blok teekent, op korten afstand daarvóór moet denken, — kunnen we het vlak, waarin ge meet, een hulptafereel noemen, evenals dat andere, wat soms achter een blok wordt geplaatst.
_ . . . Het tafereel is derhalve een denkbeeldig plat vlak, dat Defimtte. ,,, .... . .
loodrecht op de richting, waarin ge ziet, dus gewoonlijk
in verticalen stand, wordt gedacht, onmiddellijk voor de te teekenen
voorwerpen en waarop we deze denken afgebeeld. Om de afbeelding
te verkrijgen, verbinden toe punten van het voorwerp door rechte
lijnen met het oog. De snijpunten dezer lijnen met het tafereel geven
punten van de afbeelding.
§ 29. Toelichting van verschillende opgemerkte eigenschappen met behulp van het tafereel.
Niet-wijkende Van niet-wijkende vlakken hebben we opgemerkt, lijnen en vlakken. dat ze jn de teekening hun waren vormj _ van
niet-wijkende lijnen, dat ze haar ware richting behouden. We kunnen dergelijke vlakken en lijnen nu ook omschrijven door te zeggen, dat ze evenwijdig loopen aan het tafereel.



103
Het opgemerkte verschijnsel is gemakkelijk te verklaren. Onderstel, dat een vierkant stuk karton in loodrechten stand recht voor u staat, .. evenwijdig aan uw tafereel. De piramide van lichtstralen, die het vlak omhult en uw oog tot top heeft, wordt door het tafereel, dat evenwijdig loopt met bet grondvlak der piramide, ook volgens een vierkant gesneden.
Dezelfde redeneering gaat op voor elk willekeurig vlak, dat maar evenwijdig geplaatst is aan het tafereel: voor een cirkel, een vierkant op een punt geplaatst, voor welken veelhoek ook.
Uit het voorgaande volgt onmiddelijk, dat de lijnen van die vlakken in de perspectievische teekening ook haar ware richting zullen behouden.
Die lijnen ook loopen alle evenwijdig aan het tafereel, immers, overal, in alle punten, zijn ze evenver van het tafereel verwijderd. Voor de lijn afzonderlijk is de redeneering echter ook gemakkelijk te geven. Stel, dat in fig. 156 O het oog is, T het tafereel, AB een lijn evenwijdig aan het tafereel.
De oogstralen van AB naar O vormen een driehoek ABO, die door het tafereel, dat aan AB evenwijdig is, volgens ab, // AB zal worden gesneden.
Een rechte lijn Een rechte lijn wordt als een punt gezien, als ze een als punt gezien. deei van een oogstraal. Probeer het nog maar eens met een potlood of een breinaald in allerlei standen.
Met behulp van het tafereel blijkt het ook weer gemakkelijk, dat van liin AR. dip. naar het
oog gericht is, de perspectief een punt moet zijn. Verbinden wij toch achtereenvolgens de punten van AB met O, dan gebruiken we steeds dezelfde verbindingslijn, zoodat we in het tafereel maar één snijpunt verkrijgen.
Een plat vlak ^en P^a* vlak wordt als een rechte lijn gezien, als als lijn gezien, het in een oogvlak ligt. Ge moet dit nog eens nagaan



104
met behulp van een blad papier, dat ge loodrecht, horizontaal en in allerlei hellende standen houdt.
Denken we ons tusschen het oog O (zie fig. 158) en een in loodrechten stand recht daarvoor geplaatsten driehoek ABC, waar ge juist langs ziet, het tafereel, dan blijkt, dat de stralenbundel, die den driehoek
omvat en op uw oog gericht is, vlak moet zijn. Was het punt B iets naar achter verplaatst, dan zou een piramide ontstaan: nu vormt zich een driehoek ACO, die het tafereel volgens een loodlijn snijdt. Gebogen lijn als Ook een gebogen lijn kan zich als eene rechte verrechte gezien. toonen, mits het maar een lijn is, die ge in een plat vlak kunt denken. (Op een bol, op een trekpot kunt ge er wel teekenen, die geen vlakke lijnen zijn 1) Om dit u duidelijk te maken, teekent ge op een zijvlak van een sigarenkistje lijnen als in fig. 159 en plaatst het
Bisije zoo voor u, uai ge aai vibk ais een loounjn ziet. Nu geeft ge het kistje zoo'n stand, dat ge het bedoelde vlak als een waterpaslijn waarneemt.
Het vlak met de verschillende lijnen is in beide gevallen als een rechte lijn gezien, — in het eerste geval zaagt ge het als een loodlijn, in het andere als een waterpaslijn. Ge zult u gemakkelijk kunnen voorstellen, dat elke afzonderlijke lijn zich in den eersten stand als loodlijn zou hebben vertoond, ook al was ze niet op het verticale vlak geteekend. In den tweeden stand moet ze door een waterpaslijn worden afgebeeld.
Opgaven.
280. Houd uw teekenpen zóó in horizontalen en in hellenden stand, dat ze, als ge er naar kijkt, juist een loodrechte roede van een raam schijnt te bedekken.



105
281. Maak een schetsje van 3 potlooden, die ge op de tafel vóór u legt, zóó, dat ze recht van u afgekeerd zijn. Het middelste moet daarbij juist voor uw oog liggen.
§ 30. Gelijke lijnen, vlakken en lichamen, op verschillenden afstand.
Daar het verschijnsel der schijnbare „verkleining" op grooteren afstand tot verschillende bijzondere opmerkingen aanleiding geeft, behandelen we dit afzonderlijk.
- Eigenaardig blijkt hier b.v. hoe onbewust we dikwijls onze gezichtsbeelden in werkelijkheid omzetten, en hoe vaak ons weten, hier speciaal onze kennis van ware grootte en vorm der dingen den naïeven kijk op .de schijnvormen in den weg staat. Zoo frappeert het genoemde
verschijnsel ons het meest aan voorwerpen, die we niet genuMcdijk ^^^li^s zien- Dit springt in het oog, als wij eens nagaan opgemerkt. aan w'e sommige „verkleiningen" wel het eerst opvallen.
Alle menschen, die het torenhaantje van zijn gewoonlijk zoo hooge standplaats omlaag zien komen, worden door zijn grootte getroffen; niemand had de wetenschap, dat hij wel een M. hoog was. Maar aan stadskinderen, die weinig buiten zijn, valt de schijnbare versmalling van een laan b.v. veel meer op dan aan de landjeugd, die met dit feit vertrouwd is, die dagelijks in bosschen dwaalt en bij ervaring weet, dat de laan overal dezelfde breedte heeft. Evenzoo zullen de eersten spoediger over de kleine koeien spreken dan de anderen. Dezen echter zien weer beter de nauwwordende straten en de korte lantarens in de verte.
Opgave.
Teekenen naar 282. Waarschijnlijk is er bij u thuis wel een kamer, e natuur. waaruit ge aan den overkant der straat op een muur met ramen ziet. Plaats u dan op eenigen afstand van een raam van die kamer, — ge zult dan binnen den omtrek van een ruit een deel van den muur van den overkant met enkele ramen opmerken. Teeken die ruit met wat ge er door kunt waarnemen. Beproef duidelijk te zeggen, wat de teekening u leert.
r. , Met behulp van het tafereel kunnen we gemakkelijk
Bereaeneering. .......
laten zien, dat gelijke lijnen, enz., zich in het algemeen
daarop kleiner afteekenen, naarmate ze zich op grooter afstanden bevinden. „In het algemeen" zeggen we; waarom we deze beperking in acht nemen, zal zoo dadelijk blijken.



106
. In fig. 160 zien we lijn CD in het tafereel bedekt door cd, lijn AB door ab. De beenen van A ABO vallen buiten die van A CDO, en
daardoor moeten wel in elk willekeurig vlak, dat door beide driehoeken wordt gesneden, verschillende snijlijnen ontstaan.
Met de afteekening van vlakken en lichamen is het niet anders. Zie fig. 161, waar we de perspectievische afbeelding van twee gelijke cirkels hebben gegeven.
Opgave.
Een feit, met 283. Teeken, zie opg. 282, op de ruit een raam van den
regel schijnbaar overkant, als ge u zoover van de ruit bevindt, dat ge ze tn strijd. ...
met gestrekten arm maar nauwelijks kunt bereiken. Maak
er een tweede teekening op, na u dichter bij de ruit te hebben geplaatst.



107
Ge ziet, dat de tweede teekening kleiner is dan de éérste, terwijl ge u toch dichter bij het raam van den overkant hebt bevonden. Het zou dus grooter moeten worden geteekend? Waarschijnlijk hebt ge al begrepen, dat de oorzaak van het opgemerkte feit gelegen is in de verandering van den afstand van het oog tot het hulptafereel. In fig. 162 zal AB, indien het oog zich in O bevindt, als ab op de ruit worden geteekend; de afbeelding wordt veel kleiner, als het oog zich dichter bij de ruit, in O' bevindt, — de lijn wordt dan als a'b' gezien.
Gezichtsbedrog omtrent Een eigenaardig gezichtsbedrog kunt ge nog
betrekkelijke hoogte . , . , , . ,
van gebouwen. waarnemen met betrekking tot de hoogte van
hooge gebouwen, torens e. d., waarvan de grootte
dikwijls meer op een afstand spreekt dan in de nabijheid. Ge wandelt
b.v. m de richting van toren AB, waarvoor zich de huizen van een dwarsstraat bevinden. Lijn CD vertoont daarvan de hoogte. Bevindt ge u in P, dan ziet ge den toren met het stuk EB boven de huizen uitkomen. In Q is dit gedeelte tot FB ingekrompen, in R is het nog kleiner geworden (GB), — het schijnt, dat de toren, achter de huizen wegzinkt, dat hij „kleiner wordt" als ge dichterbij komt.
Wij moeten nu een geval vermelden, waar de regel niet doorgaat, en hiermee ons „in het algemeen" motiveeren.
Wanneer gaat Boven, in § 28 hebben wij besproken, wanneer een regel niet door. lijn zich afbeeldt als een punt, een vlak als een lijn.



108
Wordt een lijn als een punt gezien, dan kan een andere, die even lang is, zeer goed verder af zijn, terwijl ze zich als lijn en dus grooter vertoont. Met een vlak is het evenzoo. Een rechthoek zal zich, wanneer dit vlak, verlengd, door het oog gaat, als een lijn afteekenen, — evenwijdig aan het tafereel, zal hij zich als rechthoek vertoonen, en hij kan dan zeer goed verder af zijn. Ook in hellenden stand zal hij zich doorgaans als vierhoek vertoonen, en ook dan kan hij verder af zijn,
terwijl toch zijn oppervlak zich grooter kan afteekenen, dan dat van een anderen rechthoek, die bijna een lijn schijnt. Zie fig. 164, waar rechthoek A zich als lijn a, B zich als vierhoek b, C zich als c op het tafereel vertoont.
Het opgemerkte omtrent het kleiner worden van lijnen en Ge™fz*fde vlakken, die zich van ons verwijderen, gaat altijd op voor lijnen en vlakken, die evenwijdig aan het tafereel geplaatst
zijn. JJie toen oenouaen nun waren stand of vorm.
Afstand achter Het zal u het tafereel. opgeva||en zijn, dat wij voorwerpen en vlakken, die evenver achter het tafereel, naast elkaar of ook hoven elkaar geplaatst zijn, evenver van uw oog verwijderd beschouwen. Strikt genomen, is dit niet altijd juist. Stel, ge kijkt naar fig. 165, terwijl ge uw boek een loodrechten stand geeft. Geplaatst uw oog recht voor cirkel B.



109
1
Dan bevinden zich de cirkels op verschillende afstanden van uw oog, B is het minst ver verwijderd. Het verschil wordt betrekkelijk gering, als ge uw oog verder van het papier brengt. Denkt ge een tafereel voor de drie cirkels geplaatst, dan is het van alle hetzelfde. Zoodra ze ver genoeg zijn verwijderd, dat ge het geheel in één blik kunt overzien, kunt ge ze als vlakken beschouwen, die alle evenver van u verwijderd zijn.
Dit blijft ook in het vervolg de voorwaarde. En dan zullen we dus gelijk mogen stellen de uitdrukkingen: die voorwerpen bevinden zich op gelijke afstanden van het oog, en: zij bevinden zich op gelijke afstanden achter het tafereel.
Uit het voorgaande blijkt voldoende, dat we in de schijnbare grootte der voorwerpen een belangrijk hulpmiddel hebben by het
Sc tien van schatten van den afstand, waarop ze zich van ons be-
afstana door \ t > r
schijnb. grootte, vinden. Om uit die schijnbare grootte echter den afstand te kunnen afleiden, moeten we de werkelijke grootte van het voorwerp kennen, immers kunnen twee voorwerpen van verschillende afmetingen zeer goed op het netvlies beeldjes vormen, welke gelijk zijn.
Zoo vormen zich (zie fig. 166) van de lijnen AB en CD volkomen gelijke beelden ef.
Hebben wij derhalve van de grootte van een voorwerp geen juiste voorstelling, dan zullen we zeer gemakkelijk fouten begaan bij het schatten van den afstand. Reizigers in bergstreken bedriegen zich dikwijls in den afstand van bergtoppen; deze schijnen gewoonlijk veel dichterbij dan inderdaad het geval is.
.., . Opmerking. Een ander middel om afstanden te
verwilderde voorw. , .. c± ,./... , ,
nevelachtig. schatten geeft het feit, dat de lucht niet volkomen
doorschijnend is, waardoor verwijderde voorwerpen
eenigszins nevelachtig gaan zien; vorm, schaduw en kleur zijn niet meer
scherp te onderscheiden. Dit middel passen we dikwijls, onbewust in
den regel, toe, in verband met het zooeven genoemde. Ook hier laten



110
wij ons meermalen misleiden, — bij zeer helder weer schijnen ons de afstanden vaak kleiner dan in werkelijkheid het geval is.
Onbewust al weer maken we ook dikwijls gebruik Atu!sLZ°ooerenn van het aantal voorwerPen, hetwelk zich tusschen voorwerp. ons oog en een voorwerp bevindt, om den afstand te bepalen, waarop het van ons verwijderd is. Veel of weinig telegraafpalen, huizen, enz. geven o. a. daarvoor aanwijzingen. Om die reden is het Voor een ongeoefende zoo moeilijk, de breedte van een rivier of plas, afstanden langs het strand, waar deelpunten ontbreken, eenigszins juist te schatten.
Zijn voorwerpen niet te ver verwijderd, dan hebben Oogassen* * we 'n ne* z'en me' *wee oogen een middel, om den afstand met andere bekende afstanden te vergelijken. We kijken met twee oogen, en zullen beide oogassen op het voorwerp richten. Bevindt dit zich nu dicht bij ons, dan zullen de oogassen een grooteren hoek maken dan wanneer het verder verwijderd is. Door het spiergevoel, dat we bemerken, als we de oogbollen draaien, ontvangen we een gewaarwording omtrent dien hoek, en deze gewaarwording hebben we, weer onbewust, in verband gebracht met den afstand van het voorwerp.
§ 31. Verhouding tusschen de perspectievische lengten van gelijke lijnen, die evenwijdig aan het tafereel loopen, maar zich op verschillende afstanden bevinden.
Opgave.
„T , 284. Zet drie kegels uit een kegelspel voor u, den
Waarneming. , n , , ,
eersten op 1, den tweeden op 2, en den derden op o M
afstand. Nu gaat ge iets zijwaarts op den grond zitten, zoodat ge alle
kegels goed kunt zien, en ze bijna juist achter elkaar hebt. Ge blijft
er voor zorgen, dat uw oog 1 M van den voorsten kegel verwijderd is.
Van deze plaats teekent ge, wat ge ziet. Tracht vooral de schijnbare
hoogte der kegels nauwkeurig te bepalen.
Hebt ge soms geen kegels bij de hand, dan kunt ge drie even lange
stokken nemen, die ge tegen den wand of tegen stoelen zet, of in den grond
steekt. Ge moet zorgen, dat ge niet te veel op den eersten stok neerziet.
Uit opg. 284 hebt ge bemerkt, dat de schijnbare lengten van eenige gelijke loodlijnen, die ongeveer in één vlak met uw oog loodlUnm geplaatst zijn, en zich op verschillende afstanden van u bevinden, zich omgekeerd verhouden als die afstanden. Dat dit het geval moet zijn, blijkt gemakkelijk uit het volgende.



111
Andere Ge denkt u in een lange straat, staande naast een der
waarneming. ]antarenS) zie fig. 167. Ziet ge nu |angs die lantaren
naar andere aan denzelfden kant in de straat, dan kunt ge daarvan
de schijnbare lengte gemakkelijk vergelijken. Lantaren B zal een perspectievische lengte hebben, juist gelijk aan de helft van die van A, G is gelijk, aan het derde deel van A, enz. De afstanden der opeenvolgende lantarens hebben we gelijk gedacht, — de driehoek, die G tot basis en uw oog tot top heeft, wordt dan op het derde deel der hoogte door A gesneden, evenwijdig aan de basis. Volgens een bekende meetkundige eigenschap is het stuk van A, dat in den driehoek valt, lijn DE, nu het derde deel van C. Men zou hierbij het tafereel door A kunnen denken.
Opgaven.
285. Tracht in den stand van fig. 167 een drietal lantarens of telegraafpalen te zien, en breng in teekening, wat ge dan opmerkt.
286. Leg een viertal gelijke penhouders,
potlooden of latjes in den in WrnmS' fiS' 168 aangegeven stand voor
u op tafel, — zorg, dat ge er juist overheen kunt zien, en dat uw oog (in O) zich op een afstand van het voorste voorwerp bevindt, gelijk aan den ouderlingen afstand van uw „waterpaslijnen", — geef op het voorste latje aan, hoe groot ge de andere ziet, en probeer tot verband tusschen afstand en schijnbare grootte te komen.
287. Doe dezelfde waarneming op nieuw, maar verplaats nu uw oog voor het midden van het voorste latje.
Ge merkt een soortgelijk verschijnsel als bij de loodlijnen; B (zie fig. 168) ziet



112
ge half zoo lang als A, C schijnt daarvan het 1/3 gedeelte, enz. Trekt ge, zie de figuur, lijnen naar het oog O, dan ziet ge, dat BO lijn A juist in het midden snijdt. CO snijdt A op het derde deel van haar lengte, enz.
Opgaven.
288. Laat de vier latjes uit opgave 286 tegen boeken of kistjes rusten,
waardoor ze een hellenden stand bekomen. Ge zorgt, dat ze ^atand6 Prec'es evenwijdig en in één vlak staan, en dat ze op gelijke
afstanden achter elkaar geplaatst zijn. Ge zet u nu voor de latjes zóó, dat ze niet wijken, dat ge u evenver van het eerste latje bevindt, als dit van het tweede verwijderd is, met uw oog bijna in het vlak, door de latjes gedacht. In dezen stand moeten deze geteekend worden.
(Ook nu weer vindt ge hetzelfde verband tusschen afstand en lengte. De schijnbare lengten der lijnen verhouden zich omgekeerd als de afstanden tot uw oog.)
289. Plaats een der kegels uit opg. 284 iets naar links, en maak daarna een teekening. Doe eveneens met een der pennehouders uit opg. 28U; ze ook in dezen stand te teekenen. Opg. 288 nog eens te maken, nadat ge een latje iets naar links en een ander iets naar rechts hebt verplaatst.
In de opgaven 284—288 konden we telkens door uw oog Vege'** en ^e *e vergelijken lijnen één vlak brengen, of juister: ze lagen bijna in één vlak. Komt er nu ook verandering, als van de loodlijnen de een iets naar links, de ander iets naar rechts wordt verplaatst, — als van de waterpaslijnen de een zich iets hooger bevindt dan de ander ? Nemen wij ,eens aan, dat in fig. 167 tegenover lantaren C een andere wordt geplaatst die zich aan den overkant der straat bevindt. Denken we nu twee waterpaslijnen, die de toppen en de voetpunten der beide lantarens verbinden, dan wordt een groote rechthoek gevormd, die evenwijdig staat aan uw tafereel en dus een rechthoek blijft. Beide lantarens zult ge derhalve even groot moeten afbeelden. —■ Een dergelijken rechthoek kunt ge u denken, als boven een der waterpaslijnen in fig. 168 een andere van gelijke lengte wordt gedacht. Met hellende lijnen passen we dezelfde redeneering toe, — alleen vormen we dan in den regel geen rechthoeken, maar parallelogrammen, die evenwijdig aan het tafereel zijn geplaatst en dus hun vorm behouden. Den regel kunnen we bijgevolg in het algemeen aldus formuleeren: Als gelijke evenwijdige, nietwijkende lijnen zich op verschillenden afstand van u bevinden, dan denkt ge ze zoo verschoven, dat ze in één vlak komen te liggen. Ze moeten daarbij evenver van uw tafereel verwijderd blijven. De schijnbare lengten der lijnen verhouden zich omgekeerd als de afstanden, waarop ze in dien stand van u verwijderd zijn.



H3
Toepassing. De gevonden regel geeft ons een gemakkelijk middel aan de hand om te kunnen waarschuwen tegen te sterke verkortingen. Ge zult meermalen zelf in dezen hebben overdreven, — ge wist nu eenmaal, dat van twee even lange loodlijnen de meest verwijderde
het kortst moest worden, en dan werd ze wel eens te veel verkort. Door toepassing van den gevonden regel kan men de verhoudingen vinden, en het is voor een keer wel eens goed, dit te doen. Stel, een kube met afmetingen van 3 dM staat op een afstand van 3 M recht voor u. Ge ziet het blok overhoeks (zie fig. 169), de afstand van uw oog tot AB is 3 M, die tot CD zal dan ongeveer 3,2 M zijn. Volgens den gevonden regel zal in uw teekening AB
zich dus tot CD moeten verhouden als 3,2 : 3 of als 16 :15. Zit ge
op een afstand van 5 M, dan wordt de verhouding 5,2 : 5 = 26 : 25. Het verschil tusschen AB en CD is in dit laatste geval dus al zeer gering.
§ 32. Evenwijdige wijkende lijnen.
Het is nu noodig, het feit, dat twee evenwijdige wijkende lijnen elkaar schijnen te naderen, te verklaren.
.... Plaatst ge daartoe een rechthoek voor u, zoodat aa^hetTaferell twee zijden lo°drecht staan, de beide andere waterer tusschen. pas, terwijl het geheele vlak een hoek maakt met het tafereel, dan zult ge de achterste loodlijn korter «ien dan de voorste, en de beide waterpaslijnen ziet ge als twee lijnen die naar elkaar toeloopen. Zie fig. 170, waarin AB grooter is dan CD, en dus AC en BD elkaar naderen. Houd nu twee
oreinaalden op verschillende wijzen aan elkaar evenwijdig, maar niet evenwijdig aan het tafereel : de een boven de ander, — eerst beide waterpas gericht, dan beide naar boven hellende of naar beneden, — vervolgens de een naast de ander, eveneens in de drie zooeven genoemde standen, — en eindelijk beide naalden schuin boven elkaar, — en tracht in al die gevallen tusschen de naalden stellen lijnen te denken
BUBHMjuu, aan nei tafereel, in het eerste geval zullen dat, als in fig. 170, loodlijnen zijn, — in het tweede geval waterpaslijnen, in het doorsneden. 7e dr. g



114
derde steeds hellende. Telkens zullen die verbindingslijnen korter moeten worden geteekend, naarmate ze zich verder achter het tafereel bevinden, zoodat de twee breinaalden in al de genoemde standen moeten worden afgebeeld als lijnen die elkaar naderen. Hieruit volgt reeds dadelijk, dat lijnen, niet evenwijdig aan het tafereel, in den regel niet in haar ware richting worden afgebeeld. (Ge herinnert u hierbij, dat wijkende
waterpaslijnen op oognoogie waterpas woraeu geteekend.)
Vroeger is reeds gezegd, wat we onder wijkende lijnen, hebben te verstaan en dat lijnen links en rechts kunnen wijken, recht van u af, naar boven en naar beneden. De zijkanten AB en CD van een geopend valraam (zie fig. 171) zijn b.v. lijnen, die recht van u af wijken, naar beneden hellend.
Denken we ons de twee evenwijdige wijkende lijnen maar ver genoeg verlengd, dan zullen ze elkaar schijnbaar- steeds meer naderen, tot ze eindelijk bijna zullen samenkomen.
§ 33. Evenwijdige wijkende vlakken.
Zij naderen Denk van een 17e eeuwsche kamer (zie fig. 172) een elkaar tn muur weggenomen, en stel u verder voor, dat ge u op genoegzamen afstand bevindt om het vertrek te kunnen teekenen. Tusschen den vloer en de zoldering ziet ge aan den linkermuur enkele loodlijnen: een paar aan weerskanten van de deur, een tegen den achterwand. De voorste van die loodlijnen zal langer moeten worden geteekend dan de tweede, enz. Hieruit volgt, dat zoldering en vloer elkaar naar achteren toe moeten naderen.
Niet anders is het met de zijwanden van het vertrek. Over de breedte van de kamer ziet ge tusschen de tegels eenige gelijke waterpaslijnen, — de voorkant van het houten vloertje is even lang als deze, — ook die waterpaslijnen moeten naar achteren korter worden geteekend, zoodat de zijwanden mede naar elkaar toeloopen. Evenzoo staan de naar achteren korter wordende kinderbalkjes in verband met het feit, dat de staande vlakken der moerbalken naar elkaar toeloopen.
Evenwijdige vlakken in schuinen stand zullen elkaar ook naderen, naarmate ze zich verder van het tafereel verwijderen. Om dit in te zien



115
denkt ge u er maar weer een stel evenwijdige lijnen tusschen, evenwijdig aan het tafereel.
Vlakken, die niet evenwijdig loopen aan het tafereel, noemen we
wijkende vlakken, zpodat we kunnen zeggen: Evenwijdige, wijkende vlakken loopen naar elkaar toe.
§ 34. Hoe het verdwijnpunt van een lijn te bepalen.
Wij zullen weer aanvangen, door proefneming eenig denkbeeld aan te brengen omtrent de plaats van het verdwijnpunt van evenwijdige, wijkende lijnen. Daarvoor moeten de volgende opgaven dienen, die dus gegeven worden met de bedoeling, vooral de verdwijnpunten op te sporen. De voorwerpen, die ter teekening worden gegeven, hebben vrij groote afmetingen, — het zal u blijken, dat de wijkende evenwijdige lijnen, welke zich aan deze lichamen vertoonen, elkaar daardoor zeer merkbaar naderen, wat voor nauwkeurig werken bijzonder gemak oplevert.
Ge moet bij het teekenen op de volgende wijze TenteT™' handelen- Stel- ge teekent de tafel uit opg. 290. Dan achtergrond. bedekt ge in het hulpvlak (op armlengteafstand van uw oog), dat ge bij het vergelijkend meten steeds gebruikt,
8*



116
de wijkende lijnen met een stokje of met het touwtje van uw schietlood. Ge moet vooral de richting der lijnen scherp opvatten, ge let dus niet in de eerste plaats op haar lengte, maar neemt het touwtje flink lang. Aldus bedekt ge eerst een der evenwijdige wijkende lijnen, en tracht met behulp van den achtergrond (behangsel, platen, enz. op den lokaalmuur) nauwkeurig de plaats van uw touwtje te fixeeren. Daarna bedekt ge een tweede lijn, nu nog eens de eerste, waarbij ge er aan moet denken, dat het u om het ontmoetingspunt der lijnen te doen is, zoodat ge uw oog vooral moet vestigen op dat deel van den achtergrond, waarvoor dit punt zich bevindt.
In de volgende teekeningen moet ge nu telkens het verdwijnpunt aangeven, zoodat ge hebt te zorgen, dat het op uw teeken vel geplaatst kan worden. Hebt ge eenmaal met behulp van den achtergrond het verdwijnpunt gefixeerd, dan moet ge scherp opvatten, waar het zich boven, onder, links of rechts van het voorwerp bevindt. Nu zet ge een voorkant van het te teekenen vlak of lichaam meer, dan geeft ge met betrekking tot die lijn nauwkeurig het verdwijnpunt der wijkende lijnen aan, om vervolgens daarheen die lijnen zelf te teekenen, waarvan ge dus gemakkelijk de juiste richting kunt bepalen, enz. 1)
Denk er vooraf aan, u op den goeden afstand, minstens driemaal de grootste afmeting van het voorwerp, welke ge onverkort ziet, te plaatsen.
Opgaven.
Natuur- 290. Teeken het blad van een rechthoekige tafel met
teekeningen behulp van een verdwijnpunt. Ge plaatst u juist voor verdwijnpunt, bet midden van een der korte zijden. — Voor een tweede teekening verplaatst ge u iets naar links, bijna voor het uiteinde dier korte zijde. — Ge maakt nog een derde teekening, als ge u naar rechts verschoven hebt, bijna voor het rechteruiteinde van de bedoelde zijde.
Welk der drie gevonden verdwijnpunten ligt het hoogst? Liggen ze hooger of lager dan uw oog? Hebt ge ook overeenkomst gemerkt in de verandering van uw standpunt en in die van het verdwijnpunt?
291. Leg een rechthoekig vloerkleedje vóór u op een afstand, zoodat ge het moogt teekenen. Plaats u voor den langen kant op de drie plaatsen als voor de tafel in de vorige opgave is aangegeven. Maak
1) Op opleidingsinrichtingen zal men bet met ons wenschelijk vinden, deze of soortgelijke opgaven staande de les klassikaal te laten maken, of waar de klasse vrij bevolkt is, zoodat voor sommigen de verdwijnpunten wat heel ver zijwaarts mochten vallen, groepsgewijze. Een draaibaar schoolbord is daar een zeer bruikbaar voorbeeld.



117
telkens een teekening, — en beantwoord voor deze schetsen dezelfde vragen, als aan het slot van n° 290 voorkomen.
292. Ge moet nu de geheele tafel uit opg. 290 schetsen. Tusschen de uiteinden der pooten welke zich aan denzelfden kant bevinden, denkt ge 2 rechte lijnen. Van deze beide wijkende lijnen bepaalt ge het verdwijnpunt, evenals van de lange zijden van het tafelblad. Ge neemt ten opzichte van de tafel twee standpunten in, — iets links van het midden der korte zijde, — dan verschuift ge u naar rechts, bijna voor het uiteinde van die zijde.
293. In onderstaande figuur is de stand aangegeven van een geopende deur. AB wijst de plaats aan van den drempel,
BC van de deur. De pijltjes D en E geven aan, A B van welke twee plaatsen ge deurkozijn en deur \ moet bekijken. Ge maakt dus twee teekeningen, \ (ook de paneelen worden aangebracht), en moet \ van boven- en onderkant der deur weer dé ver- a ac
dwijnpunten bepalen en ze in uw teekening aanbrengen. — Onderzoek of de waterpaslijnen I j) I j£
der paneelen zich ook naar dit verdwijnpunt ^ 173
richten. Liggen ze hooger of lager dan uw oog ?
Denk van uw oog een lijn naar het verdwijnpunt en vergelijk de richting van deze lijn met die van boven- en onderkant der deur. — Ga de voorgaande teekeningen nog eens na, en zie, of ge daar ook het gevonden verband opmerkt.
Verdwijnpunt 294. Plaats drie stokken vóór u tegen den muur in van hellende . ■ , ,. , , . . .
lijnen. sterk hellenden stand, — ze moeten echter juist even¬
wijdig staan. Hiervan een schets te maken. Het verdwijnpunt van den eersten en den tweeden stok wordt nauwkeurig bepaald en in uw teekening aangegeven, evenzoo moet ge dat van den tweeden en den derden opsporen. — Ge moet hier zeer nauwkeurig te werk gaan, — doet ge dit, dan blijkt u, dat de drie lijnen één verdwijnpunt hebben. Tusschen dit verdwijnpunt en uw oog denkt ge weer een lijn, waarvan ge de richting moet vergelijken met die der stokken.
295. Nu verzint ge een manier, om de stokken goed schuin, en wel vóórover te doen hangen, b.v. tegen een touwtje, dat ge tusschen twee stoelen spant. Ge handelt hiermede verder geheel als in de vorige opgave.
296. Teeken een sigarenkistje met de lange staande vlakken nietwijkend. Het deksel is aan den achterkant bevestigd en onder een scherpen hoek geopend.
Voor een tweede teekening opent ge het onder een stompen hoek.



148
De richting der hellende lijnen van het deksel bepaalt ge met behulp van het verdwijnpunt.
Regel Proefondervindelijk is u uit bovenstaande opgaven gebleken, dat men het verdwijnpunt van eenige evenwijdige lijnen vindt, door uit het oog een lijn te brengen, aan die lijnen evenwijdig. In de opgaven hebben we het verdwijnpunt bepaald in het meetvlak of op een hulpvlak achter het voorwerp. Waar wij ons in de perspectief steeds de teekening denken in het tafereel, moet echter het verdwijnpunt ook in
het tafereel liggen. Uit bovenstaande figuur 474 blijkt gemakkelijk, dat de lijn uit het oog naar het verdwijnpunt in het meetvlak dezelfde is als die naar dat punt in het tafereel. De teekenaar bedekt daar in zijn meetvlak met een stokje de beide evenwijdig wijkende lijnen, die zich achter het tafereel bevinden. Ge ziet, dat de lijn ÜV' een deel is van OV.
le eigenschap: Waar wij nu het opgemerkte omtrent het verdwijn2 II wijkende punt willen beredeneeren, voor een goed deel, door de ItrdwijnptTt verschijnselen met elkaar in logisch verband te brengen, beginnen we met er nog eens aan te herinneren, dat de zijkanten van een langen, rechten weg, zie fig. 475, als ze voor den
Descnouwer wijsenue lijnen zijn, ernaar moeten naderen, omdat de breedte van den weg steeds kleiner gezien wordt. Uit § 34 blijkt echter, dat die breedte nooit gelijk nul zal worden, al zal zè op zeer grooten afstand dit wel gaan schijnen. De zijkanten AB en CD kunnen nooit geheel tot in V worden gezien, ze verdwijnen in dat punt. Het is onmogelijk, dat ze zich verder voortzetten dan V, — was dat het
geval, dan zou immers de afstand tusschen de lijnen eerst nul, en vervolgens weer grooter gaan worden. De lijnen AB en CD oneindig lang gedacht, zullen in de afbeelding nooit verder gaan dan tot V.



419
2e eigenschap: Beschouwen wij nu lijn AB afzonderlijk. Door ze in verben wijkende band te brengen met een tweede, waarmee ze evenwijdig
lijn heeft j. ^gg^ ong ergeDS jn bet tafereel een punt V moest verdwijnpunt. r> ' o r
bestaan, tot waar de afbeelding van AB zich hoogstens kon uitstrekken, zelfs al werd de lijn zelf tot in het oneindige verlengd. De aanwezigheid van de tweede lijn doet echter aan de afbeelding van AB zelf niets af, — de kant van het tafelblad beeldt zich op een glasplaat niet anders af, als ge dien kant alleen teekent, dan wanneer ge het heele blad voltooit! We komen dus tot de nieuwe gevolgtrekking, dat één enkele wijkende lijn ook een verdwijnpunt heeft. De afbeelding op het tafereel strekt zich niet verder uit dan tot dat punt.
Opmerking. Buiten, op een vlak, weinig begroeid en onbebouwd terrein moet ge u eens overtuigen, dat het verdwijnpunt van twee lange, rechte wijkende sloot- of wegkanten ook werkelijk het verdwijnpunt van een der lijnen afzonderlijk is. Let er dan tevens op, dat het verdwijnpunt van zulke lijnen steeds in den horizon valt.
Be eigenschap: Wij hadden het vorige noodig om aan te toonen, wat Eenige // wijk. 0ns reeds uit voorgaande opgaven gebleken is, dat drie verdwijnpunt °f meer evenwijdige, wijkende lijnen zich richten naar één verdwijnpunt. Onderstel, dat van een drietal evenwijdige lijnen, zie fig. 176, a en
b in V „verdwijnen". Zouden nu b en c wel b.v. V' tot verdwijnpunt kunnen hebben? Immers neen, dan toch zou. de afbeelding der oneindige lijn b zich volgens het voorgaande uitstrekken tegelijk tot V en tot V'.
Welke even- Waar wij ons nu de nijdige lijn opgave stellen, het verqebruiken voor , ... verdwijnpunt? dwijnpunt van eenige lijn op een gemakkelijke manier te vinden, daar hebben we deze kwestie blijkbaar ppgelost,
als we van een andere lijn, evenwijdig aan de eerste, maar het verdwijnpunt weten, immers: het verdwijnpunt van beide lijnen is hetzelfde. In die richting willen we zoeken, en we stellen ons nu de vraag: van welke wijkende lijn is het verdwijnpunt zeer gemakkelijk te bepalen ? En dan herinneren we er aan, dat er wijkende lijnen zijn, die als een punt gezien worden, die immers, welke naar het oog gericht zijn. Deze teekenen zich op het tafereel af als één punt, — dit punt is haar begin en haar einde, dus ook haar verdwijnpunt. Van deze lijnen nu gaan we'



120
gebruik maken om van een willekeurig wijkende lijn het verdwijnpunt te bepalen. Wenschen we b.v. het verdwijnpunt te weten van AB (zie fig. 177), dan denken we een lijn CD // AB, die precies naar O gericht
is. Zij teekent zich af als het ééne punt D, dat dus haar verdwijnpunt is, — en derhalve ook dat van AB. De oneindig lange lijn BA teekent zich dus op het tafereel af als BD.
Hier volgt nog een tweede bewijs: ge kunt de waarheid van den
regel niet te helder inzien.
Stel, dat we van lijn AB (fig. 178) of liever van de lijn,
Tweede waarvan AB een deel is, de perspectief willen bepalen. Zooals oewys. . .
we reeds hebben opgemerkt, is punt c, waar die lijn het tafereel
ontmoet, het beginpunt der perspectief. Verbinden we nu verschillende
punten, A, D, B, enz. met het oog, dan geven die tot perspectieven
de punten a, d, b. De bedoelde verbindingslijnen gaan in stand hoe langer hoe minder verschillen van OV, die uit O evenwijdig aan AB is getrokken. De snijpunten met het tafereel zullen voortdurend dichter



124
bij V komen, — de lijn OE verbindt O met een punt van AB, dat reeds zeer ver verwijderd is, het snijpunt e is nog een punt der afbeelding van AB. Het is echter duidelijk, dat V geen punt van die afbeelding zal zijn, — twee evenwijdige lijnen, hier OV en AB, zullen elkaar nooit ontmoeten, — maar wel zal de afbeelding van AB het punt V op oneindig kleinen afstand kunnen naderen: V is het punt, waarin we AB zien verdwijnen.
Opgaven.
Richting van 297. Zullen de verdwijnpunten van horizontale wijkende
horizontale >,•• u c i 1 ■ „
uükende lijnen. hJnen nooeer of la8er h8gen dan het °°g? In welke opgaven uit deze § hebt ge dit reeds opgemerkt? Hoe loopen dus: 4e horizontale wijkende lijnen boven het oog, 2e horizontale lijoen op ooghoogte, 3° horizontale lijnen onder het oog? Geef voorbeelden van het 4e geval.
298. In welke gevallen wordt een horizontale lijn horizontaal geteekend ?
299. Wat kunt ge zeggen omtrent het verdwijnpunt van wijkende hellende lijnen, die zich naar beneden van u verwijderen, — idem van andere, die naar boven wyken?
Een stijgende luchtballon verwijdert zich van u, hij wordt schijnbaar kleiner en schijnt, hoewel hij nog stijgt, later ook te zakken. Hoe kuut ge dat verklaren? Zou hij, — ondersteld, dat hij volgens een hellende rechte lijn verder stijgt, — schijnbaar ooit tot de hoogte van uw oog kunnen dalen ? (Bedénk hierbij, waar ge het verdwijnpunt dier hellende lijn moet vinden.)
300. Als de perspectieven van twee wijkende lijnen evenwijdig zijn, zijn die lijnen dan zelf ook evenwijdig?
304. Wanneer zijn de perspectieven van evenwijdige lijnen wel evenwijdig ? g^fi'*-
Afbeeldingen van 302. Teeken: 4e een liggend vierkant na, waarvan een vietkant. zijden wijken, — 2e een vierkant, dat op zijn
hoekpunt staat, en waarvan alle zijden wijken. Welken vorm heeft het vierkant telkens?
303. Wanneer wordt een vierkant als een vierkant geteekend? Wanneer als een rechte lijn? Wanneer als een trapezium? Wanneer als een onregelmatige vierhoek ? Kan het ook worden gezien als een parallelogram of als een rechthoek? Welke vormen kan ook weer de projectie van een vierkant vertoonen en welkén stand zal het vierkant daarvoor moeten innemen ?



122
§ 35. De horizon.
De waarnemingen in het vrije veld (zie § 24) hebben u geleerd dat de horizon zich steeds op ooghoogte vertoont. Hier volgt daarvan het
bewijs; — wij zullen aantoonen dat de horizon inderdaad echter iets lager ligt, maar dat het verschil niet waarneembaar is.
Zooals u bekend is, heeft de aarde den vorm van een bol. horizon/ Laat nu in bovenstaande figuur (fig. 179) een deel van dien bol zijn afgebeeld, M is het middelpunt, MA en MB zijn aardstralen. Nu onderstellen we, dat in A iemand op de aarde staat, die met zijn oog O rondkijkt. Hij overziet het gedeelte tot de punten B en O. Al wat zich vóór B, het raakpunt van een zijner ooglijnen met de aarde, bevindt, kan hij op een volkomen vlak terrein nog geheel



123
zien. Van de verderaf gelegen voorwerpen ziet hij alleen het bovenste gedeelte, zoo van den voorbij B geteekenden toren den top. Het gezichtsveld van O zal aldus door een cirkel BCD worden begrensd, en deze lijn is de horizon. In onze figuur zijn de verhoudingen echter geheel verkeerd. MA, de straal der aarde, is ruim 6 millioen M, AO zou Figuur met zeer ver- 18, M moeten V00rstellen! Ge ziet, dat AO veel keerae verhoudingen. .
te groot is genomen, maar wij moesten dit wel
doen, daar ze anders in het geheel niet weer te geven is, en we dan
onze redeneering ook niet verstaanbaar zouden kunnen maken.
Uit de figuur blijkt u, dat het punt B onder O ligt,
Horizon onder de waameiner zjet 0p B neer. Kijkt hij in een waterooghoogte. . r .
pasrichting, dan kijkt hij recht voor zich uit, in een
richting loodrecht staande op die van zijn lichaam, — hij ziet dus
volgens OE, en B ligt daar onder.
We zullen nu aantoonen, dat de afstand BF zoo gering is, dat we
hem met het oog op den afstand van den horizon gerust mogen
verwaarloozen.
In de eerste plaats zullen we daartoe den afstand van den horizon berekenen, dus de lengte der lijn OB. Ge ziet gemakkelijk, dat die afstand grooter wordt, naarmate O meer rijst, — een raaklijn uit O' raakt de aarde in G. Driehoek OBM is in B rechthoekig: volgens een meetkundige eigenschap is dus OB2 = OM2 — MB2. Nemen we nu voor OA, dat is de hoogte van het oog boven de aarde, de gemiddelde menschlengte, d. i. 13/4 M, dan krijgen we OB2 = 60000013/42 _ 60000002 = ruim 21000000 M2. — OB is dus ruim 4500 M. Iemand van gemiddelde grootte heeft den horizon dus ongeveer 4500 M van zich verwijderd.
En nu moet de lengte van BF worden bepaald. Zooals uit de teekening blijkt, is BF = HO, of aan HA + AO. AO is bekend, n.1. 13/4 M, HA moet dus worden berekend. HA is gelijk aan den aardstraal (MA) verminderd met MH en deze lijn is weer te berekenen, HA is ongeveer II/3 M i). HO wordt derhalve ruim 3 M, en dit is ook de grootte van BF.
Oogenschijnlijk beteekent het nog al wat, dat het punt
t Verschil B 3 M beneden ooghoogte ligt. Stellen wij ons den verwaarloosd driehoek OFB echter eens voor, zooals hij er inderdaad uitziet: OB is 4500 M lang, BF 3 M, of OB 1500 tegen BF 1. Willen we een rechthoekigen driehoek teekeneh, die deze verhouding
1) Volgens een meetkundige eigenschap is in den rechthoekigen driehoek OBM BM2 = MH X MO, of: 60000002 = MH X 6000000l3/4, waaruit volgt: MH = 5999982/g ongeveer, en dit geeft voor HA ongeveer II/3 M.



124
vertoont, en nemen we dan de lijn OB 15 cM of 150 ml, dan zou BF 0,1 mM moeten zijn. Het zal u duidelijk wezen, dat een lijntje BF van die lengte niet te teekenen is: in uw figuur zullen B en F samenvallen, en dus ook OF en OB. De lijn uit 0 naar den horizon getrokken, zal dus volkomen waterpas schijnen, of: wij zien den horizon op de hoogte van het oog.
De horizon is derhalve een cirkel op ooghoogte. In
Schijnvorm aansluiting bij wat we in het begin van deze 8 hebben aarde van , , .. r , , 3
hoogte bekeken. ffezeffd over net rijzen of dalen van den horizon, als het oog rijst of daalt, wijzen wij er nu nog op, dat een waarnemer op een toren, een trein die zich van hem verwijdert schijnbaar zal zien klimmen; veraf gelegen punten schijnen hooger gelegen dan andere, die zich dichter bij den toren bevinden, — de aarde zal niet bol, maar zelfs eenigszins komvormig schijnen.
Reeds is opgemerkt, dat de horizon, hoewel hij een
Horizon ah cirkel is, steeds als een waterpaslijn moet worden geteekend. waterpaslyn „.. . .
teekenen. HlJ ls lmnQers een waterpas liggende cirkel, die zich op ooghoogte bevindt; — en in dat geval zien we den cirkel als een waterpaslijn, dus ook elk deel van den cirkel. En van den horizon beeldt ge toch nooit meer dan één klein gedeelte tegelijk af, — ge staat niet als vroeger vóór den cirkel, maar bevindt u in het middelpunt.
Een geheel overeenkomstig verschijnsel zal zich aan u vertoonen, als ge in het midden van een circus staat, en naar den rand eener afscheiding van twee rangen kijkt, die even hoog boven den beganen grond is als uw oog. Draait ge u rond, dan ziet ge zeer goed, dat die rand cirkelvormig is, en toch zult ge elk stuk van dien rand als een rechte waterpaslijn moeten zien, omdat de cirkel zich op ooghoogte bevindt.
Het zichtbare deel van het aardoppervlak schijnt ons waterpas. Dat het dien indruk moet maken, wordt duidelijk, als we nog eens fig. 179 beschouwen: OB is voor ons oog een waterpaslijn, dus moet de gebogen lijn AB, die nog minder afloopt dan OB, dit ook zijn.
3 waterpasvlakken, Achterstaande fig. 180 stelt een raam in een dikken n op oog oogte. muur voor) — het ondervlak AB van de raamopening is op ooghoogte gedacht en wordt dus als één lijn gezien. Onder het raam staat een bank. De vlakken C en AB naderen elkaar naar den achterkant en zouden dat bij verdere voortzetting van vlak C naar achteren steeds meer doen, immers de afstanden zouden door steeds kleiner loodlijnen moeten worden weergegeven. Hetzelfde is het geval met de vlakken D en AB: loodlijn q wordt weer korter geteekend dan p. Strekten de vlakken C en D zich onbepaald ver uit, blijkbaar zouden ze hoe langer zoo meer naderen tot AB; lijn AB is hun grenslijn.



125
Kon men ergens links of rechts van het raam den vrijen horizon zien, dan zou deze zich volgens het voorgaande ook op ooghoogte bevinden evenals AB. AB en H, de afbeelding van den horizon, zullen dus in eikaars verlengde vallen.
We kunnen derhalve zeggen, dat de waterpasvlakken C en D in den
horizon verdwijnen, — het is duidelijk, dat dit ook met alle andere waterpasvlakken het geval zal zijn. Het zichtbare deel van het zeeoppervlak of van den „grond" (dat we, zie de vorige pagina, als waterpas konden beschouwen,) zal dus ook tot den horizon oploopen.
Een punt achter op de bank wordt hooger geteekend
van^kende* dan eeD andei* V0°r °P de bank' of: een Punt in eeD waterpaslijnen. horizontaal vlak onder het oog wordt hooger afgebeeld
naarmate het verder verwijderd is. Let ge op vlak D,
dan merkt ge daar juist het omgekeerde: een punt in een waterpasvlak
boven het oog wordt lager geteekend als het verder af is.
Dan blijkt uit de teekening, dat wijkende waterpaslijnen onder het oog,



126
die b.v. in vlak C, oploopen, — dat andere boven het oog, die in D b.v. afloopen, terwijl die in vlak AB, op ooghoogte, alle als lijn AB worden gezien, zoodat ze horizontaal blijven. Evenals vroeger reeds is opgemerkt, hebben we dus weer: wijkende waterpaslijnen op ooghoogte worden als waterpaslijnen geteekend.
Daar het vlak van de bank, ver genoeg verlengd, in den horizon verdwijnt, zullen ook alle wijkende rechte lijnen, in dat vlak getrokken, haar verdwijnpunt in den horizon moeten hebben. Evenzoo de rechte lijnen, die ge u in vlak D denkt. Verder zult ge u door elke waterpaslijn, op welke hoogte ook geplaatst, een waterpasvlak kunnen denken, dit verdwijnt weer in den horizon, wat dus ook met de lijn zelve het geval moet zijn. Steeds hebben we dus: Alle wijkende waterpaslijnen vinden haar verdwijnpunt in den horizon. (Beredeneer dit ook door toepassing van de eigenschap uit § 34.)
De gevonden eigenschap vooral maakt den horizon wyk*^atl%mn. of de 009h°ogtelijn tot zulk een belangrijke lijn in de perspectief.
In perspectievische teekeningen maken we dan ook steeds van den Definitie bor'zon gebruik. Deze is dus een waterpaslijn op ooghoogte^ die zich in het tafereel bevindt, en dezen naam'draagt, omdat hij de afbeelding is van den werkelijken horizon.
Het horizontale vlak, dat we door ons oog kunnen denken, noemen we wel het horizontale oogvlak. Hierin ligt de werkelijke horizon. Den horizon (in de perspectief) kunnen we dus ook aldus definiëeren: hij is de snijlijn van het horizontale oogvlak met het tafereel.
Opgaven.
304. Een op den grond staand vierzijdig prisma te voltooien, als H (fig. 181) de horizon is, en de drie lijnen drie ribben in stand en
lengte voorstellen. (Verleng een wijkende ribbe tot ze den horizon



127
ontmoet, — dan hebt ge in dit ontmoetingspunt haar verdwijnpunt, en hiernaar richten zich ook de beide ribben, welke met de eerste evenwijdig loopen.)
305. De teekening van een kistje te voltooien, als, zie fig. 182, H
den horizon voorstelt en verder 3 ribben ih stand en lengte gegeven zijn. 306. Van een huis (fig. 183) staan de zijgevels evenwijdig aan uw
tafereel. De gootlijn ziet ge als in de figuur is aangegeven. De teekening te voltooien. Wanneer kunt ge het huis zóó zien ? . Opmerking. Ook uit deze teekening blijkt u, dat lijn H de scheidingslijn is tusschen den grond en de lucht.
§ 36. Het verdwijnpunt van lijnen, die rechthoekig staan op het tafereel.
Opgaven.
Inleidende 307. Teeken nog eens de tafel in den stand van opg. 290 opgaven. q6 zjt jMjs(. voor net midden der tafel (op den goeden afstand 1) Overtuig u op de wijze als op pag. 116 is aangegeven, dat de wijkende waterpaslijnen van het dekblad, en de lijnen, die ge kunt denken van linkervoor- tot linkerachterpoot, evenals die tusschen de rechterzijpooten, alle weer één verdwijnpunt hebben. Zet dat verdwijnpunt



128
in uw figuur op de juiste hoogte en plaats, en tracht te omschrijven, waar het ten opzichte van uw oog ligt.
308. Verplaats u iets naar links, ge blijft echter nog vóór de tafel zitten. Behandeling als voren.
309. Id., als ge uw standpunt rechts van het midden hebt gekozen.
310. Plaats u recht voor een deuropening, zoodat ge die evenwijdig hebt aan uw tafereel. Open de deur onder een rechten hoek naar u toe. Maak van een en ander drie schetsen: le als ge op den grond gaat zitten, 2e terwijl ge gewoon op uw stoel zit, 3e als ge staat. Met het verdwijnpunt der wijkende lijnen handelt ge weer als in de vorige opgaven.
311. Zie nog eens een schetsje te maken van een lange, rechte straat met lantarens, enz., van een langen rechten weg, van een spoorweg met telegraafpalen of van een lange vaart. Plaats zoo mogelijk den horizon op uw teekening (denk er aan, de schets van den weg, enz. niet onmiddellijk voor u te beginnen, maar uw tafereel op den goeden afstand te plaatsen, t)
Plaats van het Een bijzondere plaats onder de wijkende lijnen nemen verdwijnpunt. die ^ we]ke |oodrecht op het tafereel zijn gericht. Uit
de voorgaande natuurteekeningen zal u gebleken zijn, dat ze haar verdwijnpunt vinden op ooghoogte, in een punt récht voor het oog gelegen.
Herinnert gij u den algemeenen regel, in § 34 gevonden, dan bemerkt ge, dat we hier met een toepassing daarvan op een bepaald geval te doen hebben. Volgens dien regel hebt ge uit uw oog maar een lijn te denken, evenwijdig aan die, van welke ge het verdwijnpunt wenscht te weten, en het snijpunt van die lijn met het tafereel zal dat verdwijnpunt zijn. Uit het oog moet voor de lijnen, welke we nu bespreken, dus een loodlijn op het tafereel worden neergelaten, en die lijn is een waterpaslijn, ze bevindt zich op ooghoogte en zal het tafereel ontmoeten in den horizon in een punt, precies recht voor het oog.
Daar zeer dikwijls van lijnen sprake is, die onder rechte Oogpunt hoeken wijken, wordt van haar verdwijnpunt herhaaldelijk gebruik gemaakt. Men heeft het dan ook een afzonderlijken naam gegeven: het oogpunt. Het blijkt de verticale projectie van het . oog op het tafereel te zijn.
1) Zeer frappeert het altijd, als men zich zóó voor een draadknhe met diagonalen plaatst, dat men twee vlakken onverkort ziet en het oog juist voor het snijpunt der diagonalen heeft, dat de vier. wijkende ribben langs de' diagonalen schijnen te vallen. In de teekening ligt dan het snijpunt der diagonalen in het oogpunt. Het is weer zeer aan te bevelen deze proef te nemen, en het opgemerkte in schets te laten brengen, nadat horizon en oogpunt zijn aangegeven.



129
Ge herinnert u, dat op pag. 91 ook reeds van het oogpunt sprake was, — het verdwijnpunt van de lange wijkende horizontale lijnen van een straat die ge in de lengte afziet.
Wij moeten hier nog even herinneren aan wat we vroeger hebben oneeruerkt aan onderstaande fleuren. In fie. 185 vertoonen zich de
kuben a en d zeer eigenaardig, — ge ziet de voorvlakken in hun waren vorm, maar daarnevens de zijvlakken, — heel iets anders, dan wanneer ge een kube alleen teekent. Zoodra ge dan twee staande vlakken ziet, wijken ze beide, — hier wijkt het ééne vlak niet, terwijl toch het tweede zich ook aan u vertoont. Hier — ge merkt het duidelijk, als ge de geheele teekening bekijkt, —■ rust uw oog tusschen a en d, uw oogpunt ligt tusschen beide blokken. Dit zal steeds het geval zijn, als ge een groep overziet, uw oog vindt dan zijn rustpunt ongeveer in het midden er van. De voorvlakken van a en d zijn dan niet-wijkend, ze staan evenwijdig aan uw tafereel. Een enkel kistje, waarvan ge twee staande vlakken ziet, zal zich
dus steeds vertoonen, als in fig. 186, — maakt het deel uit van een groep, waarin het wat naar den kant geplaatst is, dan kan het worden gezien als in fig. 187.
In de volgende opgaven zult ge herhaaldelijk twee voorwerpen moeten teekenen, waarvan het eene iets links, het andere iets rechts van het oog geplaatst is, terwijl voorvlakken of voorkanten evenwijdig met het tafereel loopen. Hier doet zich dus geheel hetzelfde geval voor als bij de besproken kuben. — Wij merken nog op, dat het wenschelijk is, beide voorwerpen niet steeds van dezelfde grootte te nemen, terwijl ze verder niet steeds evenver van het oogpunt behoeven te zijn verwijderd^ Deze afstand mag intusschen niet te groot worden.
doorsneden. 7e dr. 9



130
Opgave.
312. Schuif 3 lucifersdoosjes met de korte zijvlakken tegen elkaar, plaats ze voor u met de lange zijvlakken evenwijdig aan uw tafereel en maak in dezen stand van het drietal een natuurteekening. — Maak een tweede schets, nadat ge het middelste doosje voorzichtig hebt weggenomen.
In verschillende platen en teekeningen kunt ge hetzelfde verschijnsel opmerken, zoo in fig. 153, pag. 100. Daar ziet ge den voorgevel van het huisje in zijn waren vorm, terwijl toch ook een deel van den zijkant is te zien. Maar ook hier is het huisje een deel van een groep en heeft de teekenaar niet alleen naar het huisje gekeken. In de volgende figuur is juist de zijgevel in zijn waren vorm weergegeven, terwijl ook de andere gevel te zien is, — al weer om dezelfde reden.
Opgaven.
313. Neem een horizon aan, daarin het oogpunt, en teeken nu 2 rails van een zeer lange, rechte spoorbaan, die loodrecht op het tafereel gericht is. Ge verbeeldt u voor het midden van den weg te staan, Geef op den voorgrond de drie eerste dwarsleggers aan. (Deze en ook de rails door een enkele lijn weer te geven).
314. Van een waterpas onder den horizon liggenden rechthoek loopen 2 zijden evenwijdig aan het tafereel. De voorste zijde is gegeven. Den rechthoek te voltooien, — de andere afmeting mag willekeurig worden genomen.
Opmerking. In deze en de volgende opgaven begint ge, met steeds horizon en oogpunt aan te nemen, den horizon vooral niet te hoog. De zijden van de vlakken en lichamen, welke rechthoekig op het tafereel gericht zijn, geeft ge willekeurige afmetingen. Om hierin nu overdrijving te voorkomen, doet ge verstandig, een voorwerp voor u te plaatsen, dat öf het in de opgave genoemde ding is, öf het in vorm nabij komt. Plaatst ge dat voorwerp op den goeden afstand (minstens driemaal de grootste niet-wijkende afmeting van het voorwerp of van de groep) en neemt ge de afmeting, welke ge verkort ziet, in uw figuur over, dan voorkomt ge te groote afwijkingen. Bovendien verhindert ge daardoor, dat uw perspectievisch teekenen een constructief gedoe wordt, hetwelk met de practijk niets uitstaande heeft.
315. Van denzelfden rechthoek is de achterste zijde gegeven. Den rechthoek te voltooien.



134
316. Zet twee rechthoekige stukken karton in loodrechten stand voor u, het eene iets links, het andere iets rechts van uw oog, zóó, dat de waterpaslijnen loodrecht gericht zijn op uw tafereel en de geheele figuur onder ooghoogte geplaatst is. Ge onderstelt de voorste loodlijnen van de rechthoeken gegeven, en plaatst daarna horizon en oogpunt, zooals ge die ten opzichte van die lijnen ziet. De figuur constructief te voltooien.
317. Achtereenvolgens houdt ge de rechthoeken, die overigens hun stand behouden: le met de bovenzijden op ooghoogte, — 2e met de bovenzijden boven, en de onderzijden onder den horizon, — 3» met de onderzijden in den horizon, — 4» geheel boven den horizon. Telkens onderstelt ge de voorkanten gegeven, en moet de figuur worden voltooid.
318. De rechthoeken uit de beide vorige opgaven nogmaals te teekenen, als ge de achterkanten als gegeven aanneemt.
319. Een stok ligt waterpas, evenwijdig aan het tafereel. Hij is iri uw teekening gegeven, — nu stelt ge u voor, dat ge hem van u afschuift, zóó, dat hij toch zijn stand ten opzichte van het tafereel behoudt. Ge moet den stok op drie plaatsen teekenen, — en ook in één stand, wanneer hij recht naar u is toegetrokken, dichter bij u dan in den oorspronkelijken stand.
320. Teeken den stok in een paar standen, wanneer hij zich, evenwijdig aan het tafereel, boven de hoogte van uw oog, van u af beweegt. Links er van een loodrechten stok, die recht van u afgeschoven wordt, op een paar plaatsen te teekenen. Het oogpunt komt dus in de figuur tusschen de beide voorwerpen.
321. Van twee sigarenkistjes, waarvan de voorvlakken evenwijdig staan aan het tafereel, zijn die voorvlakken gegeven. Het eene kistje bevindt zich iets links, het andere iets rechts van u, geheel onder den horizon, — gevraagd de kistjes te voltooien. (Te denken aan de opm. bij opg. 314.
322. De perspectievische afbeeldingen te voltooien van drie ingenaaide, staande (gesloten) boeken, die met den rug naar u zijn toegekeerd en op eenigen afstand van elkaar geplaatst zijn. Ge plaatst het eene recht voor u, het tweede iets rechts, het derde iets links van uw oog, en ge moet ze op 4 hoogten brengen: onder het oog, den bovenkant op ooghoogte, de boeken half, en geheel boven het oog. Telkens zijn de rugvlakken gegeven; — op de omslagen een paar lijnen te teekenen, die len titel moeten verbeelden.
323. Van een waterpas liggenden rechthoek loopen twee zijden evenwijdig, aan het tafereel. De voorste zijde is gegeven, — en nu moet
9*



132
eerst de rechthoek worden voltooid. — Deze moet daarna door een lijn, evenwijdig aan de zijkanten in twee gelijke stukken worden verdeeld. Is het moeilijk, het midden van voor- of achterzijde van den rechthoek te vinden? — Vervolgens moet de figuur door een lijn van links naar rechts in twee gelijke deelen verdeeld worden. Is de deellijn een wijkende lijn ? Kunt ge gemakkelijk het midden der zijkanten van den rechthoek vinden ? In een der vorige opgaven he.bben we een punt in het midden van den rechthoek bepaald, — kunt ge dat niet gebruiken, om de deellijn te teekenen?
324. Voltooi een rechthoek, waarvan twee zijden evenwijdig aan het tafereel loopen, als de achterste zijde gegeven is. Verdeel dien rechthoek door drie lijnen in de lengte en drie in de breedte in 16 even groote rechthoeken.
325. Om een rechthoekige bleek, waar ge recht voor staat, zoodat de voorkant evenwijdig loopt aan uw tafereel, bevinden zich aan drie kanten muren, die alle even hoog zijn, maar hooger dan gij zelf. In den achtermuur, iets links van het midden, bevindt zich een deur, die onder een rechten hoek naar u toe geopend is. Ook in den rechterzijmuur is een deur, die eveneens onder een rechten hoek naar de bleek geopend is. Een groote mast is in het midden der bleek opgericht, — daaraan waait in horizontale richting een wimpel naar rechts uit. De voorkant der bleek is gegeven.
Opmerking. Plaats u hierbij op eenigen afstand van de deur van uw kamer en geef die den juisten stand, — dan zult ge het verschil in de lengte der loodlijnen niet overdrijven. Bedenk, dat ge door de deuren moet kunnen gaan zonder te bukken.
326. Teeken weer zoo'n bleek, als ge dezelfde standplaats inneemt, maar nu met den bovenkant der muren juist op ooghoogte. Langs den linkerkant loopt een straatje. Iets uit de vier hoeken staan vrij hooge palen, die door touwen verbonden zijn, welke even doorhangen (waar zakken ze het meest door?). Aan het touw rechts en aan het achterste hangen rechthoekige lakens te drogen. Ook op de bleek ligt een rechthoekig laken met de zijden evenwijdig aan de kanten der bleek.
§ 37. Van welke lijnen is het ook van veel belang, het verdwijnpunt te kennen?
De breedte nog Tusschen vorige opgaven en die uit § 36 zult ge een op 't oog. eigenaardig verschil hebben opgemerkt. Terwijl ge vroeger de richtingen der lijnen en de afmetingen der vlakken steeds



133
geheel op het oog hebt genomen, waart ge in de laatste opgaven meer
gebonden. De schijnvorm van het voorvlak kwam overeen met den
waren vorm, en de richting der lijnen, welke onder een hoek van 90°
weken, was geheel bepaald door de plaats van het oogpunt. De afmeting
van vóór naar achteren hebt ge echter ook hier willekeurig, op het
oog moeten nemen, — en de vraag zal meermalen bij u gerezen zijn,
of er geen middel bestaat, om ook deze met zekerheid te bepalen. In het
volgende zullen we voor veel gevallen daartoe den weg trachten te vinden.
Een der eenvoudigste lichamen is wel de kube, en we Van kube te ,, . . , n... , ,
vinden met zullen hiermede aanvangen. Wij denken ze weer met twee
diagonaal vlakken evenwijdig aan het tafereel, t) Is nu één der zijden
vierkant. yan net voorviak gegeven, b.v. AB (fig. 188,), dan is dit
geheele vporvlak onmiddellijk te voltooien. Het staat immers evenwijdig
aan het tafereel en behoudt dus zijn waren vorm, dien van een vierkant. Verder is de stand der ribben tusschen voor- en achtervlak gemakkelijk aan te geven, deze toch staan loodrecht op het tafereel en vinden haar verdwijnpunt in het oogpunt O. De moeilijkheid is, wij wezen er boven reeds op, de plaats van ribbe CD te bepalen, of: de juiste ligging van C te vinden. Als we ook maar de richting van AC kenden! — Nu is ABCE een vierkant, en de diagonaal AC is een waterpaslijn, die een hoek van 45° maakt met het tafereel. (Waarom ligt het verdwijnpunt van deze lijn in den horizon?)
Als de richting van BE bekend was, zou (zie figuur 188) E bepaald kunnen worden, en ook dan gaf de voltooiing van de kube geen moeilijkheid meer. Ook hier komt het er op aan, het verdwijnpunt te vinden van een waterpaslijn, die een hoek van 45° maakt met het tafereel. Dan willekeurige recht- Dat het niet moeilijk is, met behulp van het
hoeken construeeren. genoemde verdwijnpunt ook rechthoeken samen te stellen, waarvan de zijden zich willekeurig verhouden, blijkt uit het volgende.
11 Eenvoudigheidshalve laten wij het voorwerp, dat zich hier rechts van het oogpnnt zon moeten bevinden, maar achterwege.



134
Zij in fig. 189 AB de voorste zijde van een vierkant, dan richten de zijkanten zich naar het oogpunt O. Is nu V het verdwijnpunt van een der diagonalen, dan is C een der achterste hoekpunten van een vierkant ABCD. Plaatsen we daar een tweede vierkant achter, dan hebben we een rechthoek, waarvan lengte en breedte zich verhouden als 1 : 2. Van dat vierkant is CD de voorkant, de zijkanten liggen in het verlengde van die van het eerste vierkant, de diagonaal, bij D beginnende, loopt evenwijdig met AC en wijkt dus naar hetzelfde verdwijnpunt V, — een en ander geeft E tot achterste hoekpunt van het tweede vierkant. Herinnerende aan een vorige opgave wijzen we nog op een tweede constructie met «behulp van een der diagonalen van den grooten rechthoek, die door A of B en het midden van CD gaat.
In dezelfde figuur is nog een tweede rechthoek geconstrueerd. Zij
FG de voorste zijde van een horizontaal vierkant, dan is dit vierkant fig. FGHK. Om nu eenige van die vierkanten naast elkaar te leggen, merken we op, dat de voorste zijden daarvan alle evenver achter het tafereel liggen, ook alle evenwijdig aan het tafereel loopen, en dus (zie § 31) in perspectief gelijk moeten zijn.
De punten L en M verbinden we derhalve met het oogpunt, en nu is het voldoende KH door te trekken om drie vierkanten naast elkaar liggend te verkrijgen.
Willen we een rechthoek teekenen met een verhouding van lengte tot breedte als 3 : 2, dan hebben we achter GFKH slechts een tweede vierkant te teekenen, evenals we dat achter ABCD hebben gedaan.
§ 38. Het verdwijnpunt van waterpaslijnen, die een hoek van 45° met het tafereel maken. Grootte der distantie.
Plaats van dit Waar ligt nu het bedoelde verdwijnpunt? verdwijnpunt. ^ dat ^ flg m fiA eeQ „aterpB8ijjn ig) die een
hoek van 45° met het tafereel vormt. Ten einde van die lijn het verdwijnpunt te bepalen, moet uit O een lijn OD worden getrokken, evenwijdig aan BA. Het punt D is het gewenschte verdwijnpunt. Zooals we in de vorige § al opmerkten, ligt het in den horizon. En



135
nu is omtrent den afstand van D tot het oogpunt iets merkwaardigs te vermelden.
Driehoek OPD, zie fig. 190, met oog, oogpunt en het verdwijnpunt der besproken lijn tot hoekpunten, is rechthoekig. Het punt P is het hoekpunt van den rechten hoek. Verder loopt OD evenwijdig met BA, zoodat OD een hoek van 45° met het tafereel zal maken, Z ODP is dus 45°. En
dit zal nu ook het geval moeten zijn met Z POD, den derden hoek van den rechthoekigen driehoek. Driehoek POD heeft derhalve twee gelijke hoeken, / D en / O, zoodat ook de beenen PD en PO gelijk zullen zijn.
Was BA geen links-wijkende lijn, zooals in fig. 190, maar rechtswijkend, dan zou D aan den anderen kant van P vallen, maar blijkbaar weer op denzelfden afstand.
Het opgemerkte kunnen we aldus formuleeren: De afstand van het oog tot het tafereel is gelijk aan den afstand van het oogpunt tot het verdwgnpunt van waterpaslijnen, die een hoek van 45° met het tafereel vormen.
Nu noemen we in de perspectief den afstand van het oog tot het
tafereel gewoonlijk de distantie, — deze afstand is Dtstanttepunten. , ,.
, trouwens veelal dezelfde als die van het oog tot de te
teekenen voorwerpen. De bedoelde verdwijnpunten liggen dus zoover
van het oogpunt als de distantie groot is, — om deze reden noemt
men ze gewoonlijk de distantiepunten.
Wij hebben dus nu: Het rechterdistantiepunt is het verdwijnpunt
van rechts-wijkende waterpaslijnen, die een hoek van 45° met het
tafereel maken, — wijken die lijnen naar links, dan vinden ze
haar verdwijnpunt in het linkerdistantiepunt.
Proef- Ge moet vooral niet nalaten op den kamerwand of
onzindelijke {n uw meetv)ak» _ dus te)kens in hulp"tafereelen bepaling. " .
eens de verdwijnpunten te bepalen van links- en ook van



136
rechts-wijkende waterpaslijnen, die hoeken van 45° met het tafereel maken. Daartoe legt ge op een tafel of bankje een paar vrij lange, evenwijdige stokken, die de aangegeven richting hebben. Ge bepaalt er het verdwijnpunt van, en moet nu opmerken, dat het op een afstand ligt van het oogpunt, gelijk aan den afstand van het oog tot het oogpunt. Telkens moet gè in deze ruimte den besproken driehoek trachten te zien, en daarin de gelijke hoeken en de gelijke zijden.
Opgaven.
Contróle der theoretische 327. Plaats twee hooge sigarenkistjes voor u,
constructie waarop are met krijtstrepen kuben, ongeveer
door natuurteekening. . . tw '
kubieke decimeters, hebt afgeteekend. Ze staan
met 1 dM. tusschenruimte met de voorvlakken evenwijdig aan uw tafereel, zoodat ge er dus tusschendoor ziet. Ge plaatst de kistjes op een afstand van 1 M. Nu denkt ge op den halven afstand uw tafereel. De figuur, welke daarop ontstaat, moet ge op halve grootte nateekenen. Op een blad papier, minstens 35 cM. lang, plaatst ge daartoe onmiddellijk aan den kant de linker loodlijn der linksche kube half zoo lang als ge ze met een verdeelde liniaal in dat denkbeeldig tafereel meet. Daarin bepaalt ge nu ten opzichte van die loodlijn nauwkeurig de plaats van het oogpunt, — en neemt dit over op uw teekenvel, waarop ge verder den horizon neerzet en het rechterdistantiepunt (dit komt in uw teekening, die immers op halve grootte wordt uitgevoerd, op een afstand van het oogpunt, gelijk aan 25 cM.). Voltooi nu constructief, als in fig. 188 is geschied, de teekening der linkerkube, maar zorg telkens eerst elke te teekenen lijn aan het voorwerp op te merken, en te zien, dat de constructieve figuur juist de kube gaat vertoonen, zooals ze zich aan u voordoet. Evenzoo met de tweede kube te handelen.
328. Denk nu het tafereel zoover van u af, dat de voorvlakken der kuben er in vallen. Maak evenals in de vorige opgave een constructieve teekening van wat zich op dat tafereel zal vertoonen, nu op 1/4 der ware grootte.
Afstand van Waar wij in de volgende opgaven in den horizon
voorwerp of groep. behaive het .00gpunt 00l£ telkens het distantiepunt noodig zullen hebben, dient eerst nog een en ander te worden opgemerkt omtrent den afstand, waarop de te teekenen voorwerpen van ons oog moeten worden geplaatst. Wij hebben reeds gezegd, dat een plaatsing van een lichaam links of rechts van ons oog geoorloofd was, als dat lichaam deel uitmaakte van een groep van zoodanige uitgebreidheid, dat het oog ongeveer in, boven of onder het midden er van kon rusten. De afstand van die groep moest daartoe minstens driemaal zoo groot zijn als



137
haar grootste niet-wijkende afmeting. Het is nu noodig, hierop wat dieper in te gaan.
Kegel met tophoek Wanneer wij recht voor ons uitkijken, als dus van 20 . de richting van ons zien horizontaal is, — alleen dan bedienen we ons van een loodrecht tafereel. Zien we nu in horizon¬
tale richting, dan krijgen we nog een voldoend totaalbeeld van voorwerpen, welke zich, zie fig. 191, bevinden binnen een kegel met een tophoek van ongeveer 20°, waarvan de hoofdas horizontaal is gericht. Met dezen hoek komt de verhouding 1 : 3 tusschen AB en GO (AB op een willekeurigen afstand van O rechthoekig op de as geplaatst) overeen. In dezen kegel moeten al de lichamen, die men met een verticaal tafereel wil teekenen, een plaats kunnen vinden. Voor voorwerpen onder of boven ooghoogte, zie P of Q in fig. 191, dient men dus ter
beoordeeling van de distantie, zich ook een groep te denken, aangevuld boven of onder het oog. De lichamen, welke zich deels onder, deels boven ooghoogte bevinden, b.v. het vierzijdig prisma R in de teekening, kunnen derhalve het grootst worden genomen.
Bij het teekenen van een kube in den stand van fig. 192 i) zal dus bij het kiezen der distantie niet alleen rekening moeten worden gehouden
1) In de theoretische perspectief vraagt men meermalen afbeeldingen van een enkel lichaam, dat zich in den stand bevindt van de kube in fig. 192. Gij herinnert u, dat wij in § 36 steeds voorwerpen links en rechts van het oog hebben geplaatst. 6e moet n voorstellen, dat ook fig. 192 naar links is aangevuld.



138
rnet ac = 2a6, maar ook met eg = lef. Dit is in deze figuur werkelijk geschied: OD is gelijk aan driemaal eg.
In fig. 193 is de distantie veel te klein genomen, wel ^,'S*«WiZe»n°a* 's ze meer dan driemaal de grootste afmeting der kube, maar er is-verzuimd ook links van O een voorwerp te denken. Ge bemerkt ook zonder deze verklaring wel, dat de kube een
zeer vreemden indruk maakt, ge hebt hier volstrekt geen vrede met het niet-wijkende voorvlak.
Ziet ge naar voorwerpen, die in verband met den gegeven tafereel. regeI te noog °* te laaS geplaatst zijn, om er een voldoenden totaalindruk van te ontvangen, als ge in waterpasrichting voor u kijkt, dan zult ge uw oog naar boven of naar beneden moeten richten, en in deze gevallen moet uw tafereel een hellenden stand bekomen, wat o.a. dit gevolg heeft, dat twee loodlijnen in de teekening moeten worden afgebeeld als lijnen, die elkaar naderen. Dit hebt ge misschien wel eens opgemerkt in photo's van hooge gebouwen, die op te kleinen afstand waren genomen. Dan geeft men de camera een hellenden stand, de loodlijnen verwijderen zich naar boven hoe langer zoo meer van het tafereel en komen op de plaat dan ook voor als lijnen, die elkaar in die richting naderen.
In enkele der volgende figuren hebben wij in dit opzicht zelf gezondigd, omdat de teekeningen anders niet met voldoende
Distantie- duidelijkheid in het kort bestek van de breedte eener punten buiten , , , „
teekenvlak. Pagma konden worden afgedrukt, — ge zult zelf gemakkelijk kunnen opsporen in welke. In uw opgaven moet ge dit voorbeeld echter niet volgen, — het maakt, dat uw schets een minder natuurlijk voorkomen krijgt. Leg dan maar liever naast het papier, waarop ge werkt een tweede stuk, waarop ge den horizon doorteekent, en het distantiepunt aangeeft. Een enkelen keer (zie fig. 216) handelen wij ook op deze wijze.
Eigenlijk moeten in elke goed uitgevoerde figuur de distantiepunten buiten het vlak van teekening vallen. Zij liggen immers zoover van



139
het oogpunt, als de afstand van het oog tot het tafereel bedraagt, — en van den lichtkegel van fig. 191 bevinden de uiterste punten zich op het i/e der distantie van O. — Op geen enkele goed geteekende plaat zult ge dan ook de distantiepunten binnen de grenzen der voorgestelde figuur kunnen aanwijzen.
rr , .. Evenmin mogen de verdwijnpunten van twee wijkende
Verdwijnpunten r J
van twee zijden horizontale lijnen, die een hoek van 90° vormen, beide
van rechthoek ver op het teeken vlak voorkomen. Op de afbeelding van van el aar. een bruggetje in fig. 194 liggen de verdwijnpunten
van AB en AC veel te dicht bij elkaar. Worden deze punten V en V'
respectievelijk door rechte lijnen met het oog verbonden, dan loopen deze evenwijdig met de lijnen van het bruggetje, waaruit volgt, dat ze een rechten hoek vormen. De hoek, dien de oogstralen naar de uiterste punten der teekening vormen, is dus ook veel grooter dan 20°, zoodat de distantie te klein is genomen. Ge ziet trouwens wel, dat de figuur in velschillende opzichten een dwazen indruk maakt, — zoo schijnen de lijnen AD en EC, de lengten der opritten, die gelijk bedoeld zijn, dit in 't geheel niet. Wijs nog andere overdrijvingen aanl Een beter uitgevoerde teekening vindt ge op pag. 155.
Opgave.
329. Maak een teekening van het bruggetje, waarbij ge de afstanden tusschen V en V' betrekkelijk grooter genomen hebt, — voorzie opritten en bruggetje van leuningen.
Opmerking. In de volgende opgaven onderstellen wij telkens, dat horizon, oogpunt en distantiepunten gegeven zijn (de distantiepunten doorgaans buiten uw teeken blad). In uw constructies moet ge vooral niet telkens hetzelfde distantiepunt gebruiken. Is daaromtrent niets naders opgemerkt, dan plaatst ge de voorwerpen in hun gewonen stand: de meeste onder het oog, sommige, zooals huizen en torens er grootendeels boven, — in deze § houden we ze nog met één of meer vlakken



440
evenwijdig aan. het tafereel. — Dikte van deuren, muren, planken, enz. behoeft niet te worden aangegeven.
Opgaven.
Verschillende 330. Een horizontaal liggend vierkant, waarvan twee
lijnen blijven xüden evenwijdig loopen aan het tafereel, in perspectief eventviidig aan *• . . , li¬
jkt tafereel. te brengen, als gegeven is: 48 de voorste waterpaslijn,
2e de achterste waterpaslijn, 3e een der zijden, welke
loodrecht op het tafereel staan, 4e een diagonaal.
334. Maak door teelte'ningen duidelijk, dat een horizontaal liggend vierkant, waarvan twee zijden evenwijdig aan het tafereel loopen, den vorm kan hebben van de drie verschillende soorten van trapeziums en omschrijf de drie gevallen.
332. Kuben in perspectief te brengen, als gregeven zijn: 4B de voorste zijde van het grondvlak, 2e de bovenzijde van het achtervlak, 3e een der zijkanten van het bovenvlak, 4e een der diagonalen van het grondvlak. In één teekening telkens twee kuben te nemen.
333. Een rechthoekige bleek is tweemaal zoo lang als breed, — de lengtezijde loopt evenwijdig aan het tafereel. Aan de achterzijde bevindt zich een muur, waarvan de hoogte het vierde deel is van de lengte der bleek. Iets links van het midden daarvan is een deur, die onder een rechten hoek naar voren geopend is. De deuropening willekeurige wijdte te geven.
Opmerking. De muur staat evenwijdig aan het tafereel en behoudt dus zijn waren vorml — De lijn van de voorpunt der geopende deur tot het daarmee overeenkomende punt bij de deuropening maakt een hoek van 45° met het tafereel.
334. Teeken het kozijn eener porte-brisée evenwijdig aan het tafereel. De deuren staan onder hoeken van 90° naar u toe geopend.
335. Bekijk de bleek van opg. 333 van een aanmerkelijke hoogte en laat ze geheel door zoo'n muur omgeven zijn. In den voormuur is een deur onder een rechten hoek naar de bleek toe geopend, in den rechterzijmuur eveneens (ook bij deze deur een lijn te zoeken, die een hoek van 45° met het tafereel vormt).
336. Een toren bestaat uit een prismatisch onderstuk, waarop een vierzijdige piramide rust: het grondvlak van het prisma is een vierkant; de hoogte is driemaal een zijde van het vierkant; de hoogte der piramide is gelijk aan die van het prisma. (Wees voorzichtig met de distantie!) De toren staat links van het oog, — teeken rechts een huis, als fig. 54, pag. 25.



141
337. Twee even groote, vierkante plankjes, waarvan het eene waterras ligt, zijn juist in het midden rechthoekig door elkaar gestoken, de inijlijn loopt evenwijdig met zijden van het horizontale vierkant. De jlankjes op twee manieren te teekenen, le met het verticale plankje evenwijdig aan het tafereel, 2e met hetzelfde loodrecht op het tafereel gericht.
338. Verdeel de voorste zijde van een horizontaal vierkant in 3 gelijke ieelen. Trek uit de deelpunten lijnen evenwijdig aan de zijkanten. Zie au, of ge de lijnen kunt teekenen, welke evenwijdig aan de voorste rijden het vierkant in 3 gelijke strooken verdeelen. Geef het vierkant door verschillende arceering het voorkomen van een deel van een tegelvloer.
339. Teeken met behulp van het gevondene in de vorige opgave, rechthoeken, waarvan de zijden zich verhouden als 1: 3, — 2:3, — 3:4. 3e moet ze dus elk uit een vierkant laten ontstaan.
340. Verdeel een horizontaal vierkant in 9 kleine vierkanten. Plaats 3p het voorste vierkant links een kube, op het middelste vierkant in le tweede rij een prisma, tweemaal zoo hoog als de kube, op het achterste vierkant rechts een piramide, met een hoogte, 3 maal zoo groot als een zijde van het grondvlak. Telkens zijn de vierkanten de grondvlakken van de te teekenen lichamen.
341. Van een loodrecht geplaatst Romeinsch kruis bestaat de hoofdbalk uit 5 kuben. Aan weerskanten van de vierde kube naar boven, bevinden zich nog twee kuben. — Dit kruis op twéé manieren (op één teekening) in perspectief te brengen, le met den dwarsbalk evenwijdig aan het tafereel, 2e met den dwarsbalk loodrecht op het tafereel.
342. Aan die vierde kube worden vier kuben, aan elk der staande vlakken één, bevestigd. Gevraagd een perspectievische teekening; het kruis links van het oog, rechts teekent ge maar een ander voorwerp.
343. Tegen den linkerzijkant eener horizontale vierkante plank, waarvan twee zijden evenwijdig met het tafereel loopen, is een andere plank in loodrechten stand gespijkerd, waarvan de hoogte het 2/3 deel is van de lengte. Die plank is door 2 lijnen in de lengte en 2 in de hoogte in 9 gelijke rechthoeken verdeeld. De middelste van die rechthoeken wordt er uitgezaagd en aan den achterkant, ook in loodrechten stand tegen de horizontale plank, juist in het midden bevestigd. Van het ontstaande voorwerp een perspectievische teekening te maken. (Geen dikte aangeven).
344. Van een huis met loodrechte vijfhoekige zijgevels is de grondvorm een vierzijdig prisma, waarop een driezijdig prisma rust. De lengte, die naar u is toegekeerd, is tweemaal de breedte, — de hoogte van



142
het dak boven de zoldering de helft der lengte. In den voormuur twee ramen, in het midden van den zijgevel een deur te teekenen. Het huis iets links van het oog, — rechts vult ge de teekening met een schutting, die aan den voorgevel aansluit. — Als ge de hoogte van den horizon op ll/2 M stelt, hoe hoog is dan het huis in uw teekening?
345. Onderstel, dat een ondiepe, vierkante kuil met loodrechte wanden, waar ge recht voor staat, moet worden geteekend. Ge teekent eerst het vierkante bovenvlak, geeft vervolgens aan een der achterste hoekpunten de diepte aan (kunt ge die aan den voorkant van den kuil wel zien?) en voltooit vervolgens den kuil. Over den kuil liggen twee stokken, een in de lengte, een in de breedte, — over den bodem liggen juist onder de andere ook twee stokken. (Bij den rand van den kuil een punt op den bodem te zoeken, dat juist onder een punt van den bovenkant ligtl) Te schaduwen, — hierbij arceert ge de loodrechte vlakken met loodlijntjes, — ge denkt, dat het licht van rechts invalt, — om de schaduw der stokken te vinden, legt ge over het laatje van een lucifersdoosje maar een houtje.
346. Een dergelijken kuil te teekenen, driemaal zoo lang als breed, — de breedte is naar u toegekeerd. In de breedte ligt over den kuil een plank, die aan den eenen kant een leuning heeft. Van die plank hangt een touw loodrecht juist tot op den bodem van den kuil. Om den kuil loopt een voetpad, dat een breedte heeft gelijk aan het vierde deel van die van den kuil. Een muis loopt van het voetpad links naar dat aan den rechterkant dwars door den kuil, — zij weet dus volgens een loodlijn naar beneden en ook weer naar boven te komen, — ge moet den weg teekenen, dien ze gevolgd heeft. (Bedenk, dat het pad den vorm heeft van den rand van een vloerkleed, en bepaal de breedte van de korte stukken ervan met behulp der vierkantjes, die ge bij de hoekpunten kunt opmerken.)
347. Een lange schutting rust tegen 9 loodrechte palen. Zij staat rechthoekig op het tafereel. De hoogte is 2 M, de horizonshoogte 11/4 M. Ge teekent eerst de schutting, waarvan ge de verhouding van hoogte tot lengte willekeurig moogt nemen, — dan hebt ge de plaats der palen aan de kanten. Vervolgens bepaalt ge als in een vorige opgave de plaats van den middelsten paal, enz. Ge plaatst de schutting rechts van het oog, — uw teekening naar links te vullen met een hek, evenwijdig aan het tafereel, dat tegen den voorkant der schutting aansluit.
348. Tegen een schutting, geplaatst als die in de vorige opgave, staat een ladder in loodrechten stand, — de sporten staan dus loodrecht op het tafereel. — In de eerste plaats moet dit worden geteekend. —



143
Op een tweede teekening denkt ge de laddef weer loodrecht tegen de schutting, maar dan trekt ge aan het ondereind, waardoor ze een schuinen stand verkrijgt. Hoe loopt de waterpaslijn, die de onderste punten der boomen beschrijven, ten opzichte van het tafereel? Zal de voorste boom langer of korter worden geteekend, als hij in den loodrechten of in den schuinen stand staat? De schutting staat bezijden het oogpunt, ge plaatst aan den anderen kant wat ge goedvindt.
349. Opg. 346 en 348 uit het hoofd te teekenen zonder dat ge op uw figuur den horizon aanbrengt. Ge neemt in uw verbeelding wel een bepaald oogpunt en bepaalde distantiepunten aan, maar plaatst ze niet op uw teekening.
§ 39. Vlakken en lichamen, overhoeks gezien.
Tot nu toe hebben we steeds alleen die rechtlijnige figuren in perspectief gebracht, welke tot grondvorm hadden een vierkant in horizontalen stand, waarvan twee zijden evenwijdig liepen aan het tafereel. Het vierkant *n net vo'§enae zuHen we een reeks vlakken en lichamen leeren teekenen, die het horizontale vierkant, waarvan de zijden hoeken van 45° met het tafereel maken, tot grondvorm hebben.
Van dat vierkant (zie fig. 195) richten twee zijden AB en EC zich
q.^ s 
1
fig. 195.
naar het rechterdistantiepunt D, de beide andere AE en BC hebben het linkerdistantiepunt D' tot verdwijnpunt.
Van de beide diagonalen maakt de een AC, een rechten hoek met het tafereel, — deze vindt haar verdwijnpunt dus in het oogpunt, — de andere diagonaal BE loopt evenwijdig met het tafereel en zal dus als een waterpaslijn worden geteekend.
In deze en de volgende teekeningen worden in den horizon dikwijls beide distantiepunten gebezigd. Daardoor kan de distantie niet groot worden, — vooral hier is er dus gevaar, dat de figuur te groot genomen wordt en daardoor onnatuurlijke verkortingen gaat aannemen. Zoo noodig neemt ge de distantiepunten buiten de grenzen van uw papier.



144
Opgaven.
Opmerking. Als we in de volgende opgaven een horizontaal vierkant overhoeks plaatsen dan denken we telkens een diagonaal loodrecht op het tafereel.
350. Loopen in het perspectievisch vierkant wel twee zijden 'evenwijdig? Welke figuur is het dus?
Wanneer werd een vierkant ook nog weer als vierkant geteekend, wanneer als trapezium? Zou het ooit als een parallelogram kunnen worden gezien ?
351. Welke vierkanten hebben we nog niet constructief in perspectief gebracht ?
35'2. Het vierkant (zie fig. 195) te voltooien, le als AB, — 2B als AC gegeven is, — 3e als BE bekend is.
353. Het vierkant te voltooien, als AB gegeven is. Verdeel nu de diagonaal BE in vier gelijke deelen (waarom kan juist die lijn gemakkelijk worden verdeeld ?) Trek vervolgens lijnen, waardoor het vierkant wordt ingedeeld in 16 gelijke kwadraten.
354. Van een dergelijk overhoeks geplaatst vierkant is een zijde gegeven. Het vierkant is het grondvlak van een vierzijdig prisma, waarop een vierzijdige piramide rust, die hetzelfde grondvlak heeft als het prisma. De hoogte van beide lichamen is even groot. (Om de hoogte der piramide te vinden, moet ge in het prisma weer een „onverkorte" lijn trachten op te sporen, die zich op denzelfden afstand van het tafereel, dezelfde diepte, bevindt als die hoogte, en waarvan de verhouding tot de hoogte bekend is.)
Teeken van deze blokken de verticale doorsnede evenwijdig aan het tafereel, benevens horizontale en verticale projectie (ook het verticale projectievlak evenwijdig aan het tafereel te plaatsen.)
355. Een overhoeks geplaatst horizontaal vierkant, waarvan één zijde gegeven is, wordt in 9 gelijke vierkanten verdeeld. Dit vierkant is het bovenvlak van een vrij dikke plank, waarvan ge de dikte willekeurig moogt nemen. De vierkanten, die aan de hoekpunten liggen, worden afgezaagd. Het licht valt van links.
356. Over het midden van een overhoeks geplaatste horizontale, vierkante plank loopen lijnen evenwijdig aan de zijden. Daarop zijn plankjes getimmerd ter hoogte van het 1/4 deel der lengte van de diagonalen. De dikte der plankjes niet aan te geven. Van het vierkant is een der achterste zijden gegeven. (Een der diagonalen ziet ge onverkort, — ge hebt dus te zorgen, op denzelfden afstand als die diagonaal de hoogte der plankjes te bepalen).



145
357. Een regelmatige vierzijdige piramide staat op haar grondvlak
en wnrrlt. nvprhnoL-a rrwmn T\n <„n I j.
o • -"f
iets boven den horizon uit en draagt aan een loodrechte staaf een windwijzer. De wind komt van rechts. De vaan geeft ge maar een zeer eenvoudigen vorm, zooals in fig. 196. De piramide staat met haar grondvlak juist- in het midden van een grooter vierkant. Er aan te denken, dat de hoekpunten van het kleinere vierkant juist in de diagonalen van het grootere vallen. Een zijde van dit groote vierkant is gegeven, — de afmetingen der piramide willekeurig te nemen.
358. Een overhoeks liggend vierkant, waarvan een zijde gegeven is, is het grondvlak van een regelmatige vierzijdige piramide, waarvan de top boven den horizon uitsteekt. Deze piramide wordt afgeknot volgens een vlak, evenwijdig aan het grondvlak. Het lichaam driemaal te teekenen: a met dit vlak boven, b in, c onder den horizon.
359. Op twee manieren horizontale rechthoeken te teekenen, waarvan de zijden zich verhouden als 1 : 2, en 2 : 3, als de zijden hoeken van 45° met het tafereel maken (zie opg. 339).
360. Van een sigarenkistje verhouden zich de afmetingen van het grondvlak als 1 : 2. De zijden maken met het tafereel hoeken van 45°. Van het grondvlak is een der korte zijden gegeven, — de hoogte kan willekeurig worden genomen. Over het midden van het boven- en van het zichtbare korte zijvlak zijn rechthoêkige prentjes geplakt.
361. Een recht driezijdig prisma ligt op een zijvlak, — hiervan verhouden zich de zijden als 2:1. Die zijden maken hoeken van 45° met het tafereel. Als de langste der zijden gegeven is en de hoogte der eindvlakken willekeurig mag worden genomen, wordt gevraagd het prisma te voltooien.
362. Aan weerskanten van een weg staan palen, telkens tegenover elkaar, op afstanden gelijk aan de breedte van den weg. De palen komen gedeeltelijk boven den horizon uit. Ge ziet dien weg onder een hoek van 45°.
363. Teeken een recht vierzijdig prisma, waarvan het grondvlak een vierkant is en de hoogte willekeurig. Ge ziet het weer overhoeks. Het bovenvlak te verdeelen in 9 vierkanten. Het prisma wordt volgens de deellijnen loodrecht doorgezaagd, en nu worden de stukken bij de hoekpunten weggenomen.
364. Een rechthoekige vloermat is driemaal zoo lang als breed. Zij is in 3 vierkanten verdeeld, — in elk vierkant worden de diagonalen
doorsheden. 7e dr. jq



146
getrokken, die echter niet geheel tot de hoekpunten worden doorgeteekend. Op de mat staan dus 3 kruisen, als in het Amsterdamsche wapen. De mat op twee manieren te teekenen, a met twee zijden evenwijdig aan het tafereel, b in een stand, zoodat de kanten hoeken van 45° met het tafereel vormen.
365. Op het vierkante bovenvlak van een regelmatig vierzijdig prisma is een regelmatige vierzijdige piramide geplaatst, waarvan het grondvlak grooter is dan het bovenvlak van het prisma, en er aan alle kanten evenver buiten uitsteekt. De hoogten der lichamen willekeurig te nemen. Van deze blokken 3 teekeningen te maken: 4e overhoeks gezien, met den horizon boven het grondvlak van de piramide, 2e als in 4e, maar met den horizon beneden dat vlak, 3e met zijvlakken evenwijdig aan het tafereel geplaatst, en den horizon beneden het grondvlak der piramide.
Van de blokken 2 verticale doorsneden te maken, een door het midden, evenwijdig aan vóór- en achterkant, — de tweede door de diagonalen. Eveneens horizontale en verticale projectie, — de diagonalen van de vierkanten loopen evenwijdig met de as.
366. Een trapje met 3 treden denkt ge u op de volgende wijze uit een recht vierzijdig prisma te zijn ontstaan. Van het prisma zijn hoogte en lengte elk in drie gelijke deelen verdeeld, waarna door de deelpunten vlakken zijn aangebracht, evenwijdig aan vlakken van het
'blok, — door nu daarvan stukken te verwijderen, blijft het trapje over. Over het midden der treden is een looper gelegd, waarvan een deel over den grond ligt.
Het trapje willekeurige afmetingen te geven, — en het tweemaal te teekenen, a met vlakken evenwijdig aan het tafereel, b met vlakken, die daarmee hoéken van 45° vormen. Ge houdt het trapje massief.
367. De voorwerpen, bedoeld in de laatste drie opgaven, uit het hoofd te teekenen, zonder den horizon te gebruiken. Ge stelt hem u natuurlijk wel voor, evenals ge u dit oogpunt en distantiepunten zult doen. Den horizon denkt ge lager dan in de constructieve teekening.
368. De teekening van onderstaande tafel te voltooien (fig. 197.)



147
369. De tafel zoo te plaatsen, dat twee zijden evenwijdig aan het tafereel loopen.
370. Een vierzijdige piramide rust op een vierzijdig prisma (als in den toren van fig. 205). Die piramide naar onderen voort te zetten tot ze den grond bereikt en dus het prisma geheel omhult. (Het komt er op aan, de eindpunten te vinden der opstaande ribben van de piramide. De diagonalen van het grondvlak van 't prisma moeten samenvallen met die van 't grondvlak der piramide I)
§ 40. De stand van een vlag of een windvaan.
Meermalen wordt op examens een candidaat voor de opgave gesteld op een toren een windvaan of een vlag te teekenen, als de wind van links of van rechts, van voren of van achteren komt. Onze ondervinding is steeds geweest, dat zonder opzettelijk voorafgaande behandeling dergelijke vragen gewoonlijk onbeantwoord blijven, ook door overigens goed onderlegde leerlingen, — hierin, en in het feit, dat ze een uitstekend middel zijn tot repetitie van al het behandelde, vinden we voldoende aanleiding, er een afzonderlijke § aan te wijden.
Muur van een Nemen wij in de eerste plaats een vlag. Stel, dat uit toren even- een opening in den voormuur van onderstaanden toren tcijdig tafereel. (% 198) een vlag wordt uitgestoken. 1) Wij hebben alleen verdwijnpunten besproken van waterpaslijnen, en dat slechts in twee standen, die, welke hoeken van 90° en van 45° met het tafereel maken.
> ci uci wcicu we uug, uai lijnen, dus ook waterpaslijnen, welke evenwijdig aan het tafereel loopen, haar richting behouden. Tot deze drie verschillende standen zullen we ons hier dus bepalen.
Den vlaggestok A denken we in horizontale richting uitgestoken, — hij staat dan loodrecht op het tafereel en zal dus zijn verdwijnpunt hebben in het oogpunt, — zie de Sguur. Bij stil weer zal de
viag reent naar beneden hangen, zooals in stand B; — de onderkant
1) In deze en in de volgende figuur denke men zich de teekening weer links van het jogpunt aangevuld.
10*



448
van het doek is, als de stok, loodrecht op het tafereel gericht, — voor en achterkant zijn loodlijnen evenals de lijnen tusschen de banen. De breedte der vlag moet vooral niet worden overdreven. — Waait de vlag schuin of waterpas uit, 't zij naar links of naar rechts, dan onderstellen we maar, dat ze een zuiver rechthoekigen vorm bewaart. Voor- en achterkant van het doek blijven evenwijdig aan het tafereel, en behouden dus in de teekening hun richting, — de onderkant is steeds evenwijdig aan den stok, en vindt dus ook hier zijn verdwijnpunt in het oogpunt. Zie de figuur, waar de vlag in een paar dergelijke standen is voltooid. Ge bemerkt, dat van de vlaggen de voorkanten alle even lang geteekend zijn, — evenzoo de achterkanten.
Wordt, als in fig. 499, de vlag uit een zijmuur van uit zijmuren. aen t°ren gestoken, dan staat de stok evenwijdig aan het tafereel en moet dus in de teekening zijn richting behouden, We nemen hem horizontaal, om straks met het doek geen
moeite te krijgen, dat toch bij schuinen stand meestal geen rechthoek zou blijven. De verdere bespreking geven we in vraagvorm, — de lezer kan op alle vragen het antwoord vinden.
Waarom kunnen we nu de vlag alleen maar loodrecht laten hangen, of horizontaal laten uitwaaien ? Welken vorm zal hij in het eerste geval hebben ? Van welke twee kanten kan de wind in het tweede geval komen ? Waar zullen dan de zijkanten hun
verdwijnpunt vinden? Waaraan ziet ge, dat in de figuur de kant der vlag, welke aan den stok bevestigd is, dichter bij u is dan de vrije kant? Van welken kant waait dus de wind, van voren of van achteren ?
Opgaven.
371. Verander de teekening, zoodat de wind van den achterkant komt.
372. Plaats den vlaggestok loodrecht op den top van den toren. Laat de vlag waterpas naar links uitwaaien. Idem naar voren.
Toren over- Wordt de toren overhoeks gezien, zie fig. 200, dan staat hoeks gezien. ue uitgestoken, horizontale stok evenwijdig met den torenkant, en vindt hij dus zijn verdwijnpunt in een distantiepunt. Waait



149
de vlag horizontaal uit, dan zijn de lange zijden daarvan evenwijdig
met de kantlijn AB, en vinden ze haar verdwijnpunt in het andere distantiepunt. De vierde zijde der vlag FE heeft haar verdwijnpunt in D'. Waaraan ziet ge, dat de vlag van u afwaait?
Opgave.
373. Maak een andere teekening, waarin ze naar u is toegekeerd. Maak een derde teekening, waarin de vlag loodrecht naar beneden hangt. (Denk om het verdwijnpunt van den onderkant der vlag!)
Vaan // BiJ net tee" aan of J_ kenen eener
°P windvaan doen tafereel. . , , zich naast de
besprokene nog enkele nadere moeilijkheden voor. In nevenstaande figuur (fig. 201) bevindt zich aan den top van een hoogen mast een windvaan, — ter wille van de duidelijkheid is de vaan wat eroot eeteekend
Zooals ze in de teekening is gegeven, waait de wind evenwijdig aan het tafereel, en komt hij van links.
Opgave.
374. Teeken de vaan, als de wind van voren komt, rechthoekig op het tafereel. Id., als de wind juist van den tegengestelden kant waait.
Nu zullen wij niet meer spreken van links, rechts, enz., maar de ligging der windstreken vaststellen, zoodat we dan Noordenwind, enz. kunnen onderscheiden. Voor alles is het nu noodig, dat ge u de ligging dier windstreken goed voorstelt. Plaats daartoe het boek loodrecht, en als ge teekent, nu en dan uw blad papier. We zullen beginnen te onderstellen,



150
dat het Noorden ligt achter het boek, het Zuiden er voor, — dan is het Oosten aan den rechterkant, het westen links. Welke wind waait er, als de vaan staat als in fig. 201? — Hoe is de wind, als gij de vaan in de richtingen stelt, zooals ge die in opg. 374 hebt geteekend?
Laten we nu nagaan, hoe de wind is, wanneer de vaan
mintafereel. gericht is als in fie> 202 ZiJ wÜst naar een distantiepunt, de richting van den wind maakt dus een hoek van 45° met het tafereel. Het balletje der vaan wijst naar voren, die punt toch
Staat hooger dan het rechthoekige gedeelte, en een waterpaslijn boven 't oog wordt lager geteekend, naarmate zij zich verder verwijdert. Houdt ge uw potlood in de richting van den wind, dan ziet ge, dat die uit het Z.W. komt.
Opgaven.
375. Teeken den mast, als de wind N.O. is, — ook als deze Z.O. is.
376. Teeken den mast, terwijl ge het N. aan den rechterhand neemt, als de wind le uit het N.O., 2e uit het N.W. komt.
§ 41. Wat met behulp van het geleerde uit afbeeldingen is af te leiden.
Vinden IQ den regel is het zeer gemakkelijk, in een gegeven
van horizon, afbeelding den horizon te vinden. Geeft de teekening een landschap weer, dan is deze lijn dikwijls gegeven (zie b.v. de fig. 157. 166, 167 en 168). In andere figuren zijn doorgaans wel een paar evenwijdige wijkende waterpaslijnen op te merkèn, waarvan door verlenging het verdwijnpunt kan worden bepaald, dat in den horizon ligt. Soms is een wijkende horizontale lijn horizontaal geteekend, zij ligt dan in den horizon.
De hoogte van den horizon, d.i. dus de hoogte van
Hoogte nej Q0„ yan (jen teekenaar, is mede niet moeilijk te bepalen. oog teekenaar. „ , , , , ... . ,
Valt b.v. de nok lijn van een huis juist in den horizon, dan



151
bevindt het oog van den waarnemer zich juist op de hoogte van het dak. Reiken de hoofden van eenige menschen juist tot den horizon, dan heeft blijkbaar de teekenaar op den grond gestaan; blijven die hoofden er alle even onder, dan heeft hij een hooger standpunt ingenomen, zoodat hij over de andere menschen kon heenzien. — In onderstaande figuur 203 zijn twee dames afgebeeld, van wie de eene verder van den teekenaar is verwijderd dan de andere. Wij onderstellen ze beide van dezelfde grootte. De afstanden van haar voeten tot den horizon zijn bij beide gelijk, — die afstanden geven n.l. aan, hoe ver twee evenwijdige vlakken, het grondvlak en het horizontale oogvlak, van elkaar
zijn verwijderd. Het oog van den teekenaar heeft zich ruim twee M. boven den grond bevonden. Zoo blijkt uit het mannetje in fig. 204, dat het oog van een aanschouwer zich twee menschlengten boven den beganen grond heeft bevonden. Dat blijkt ook uit de snijding van den horizon met het zolderraam. De voorste boom blijkt ongeveer 3 X 1,75 Meter hoog. Ook de hoogte en breedte van het huisje is zoo na te gaan. Oog unt dikwijls is ook het oogpunt gemakkelijk te vinden. Als op een plaat vlakken in hun waren vorm zijn geteekend, kunnen we daaruit afleiden, dat die evenwijdig aan het tafereel waren geplaatst. Doorgaans bevinden zich in de teekening wel audere lijnen, waarvan we weten, dat ze loodrecht op die vlakken zijn gericht. Zij maken dus rechte hoeken met het tafereel, en vinden derhalve haar verdwijnpunt in het oogpunt. — In fig. 204 (de tafereelen zullen we wegdenken) ziet ge, dat de voorgevel van het huisje zijn vorm heeft behouden, de lijnen van het dak loopen dus naar het oogpunt. Ge vindt, door die lijnen naar den horizon te vervolgen, het oogpunt tusschen de twee tafereelen.



152
De lijnen van het hek tegenover het huisje blijken ook naar dit oogpunt gericht, waaruit volgt, dat het hek rechthoekig op den weg is geplaatst. Eindelijk, en hier zult ge nog eens ervaren, dat we met onze perspectievische kennis meer in een figuur lezen dan vroeger, kunnen we iets opmerken omtrent de plaatsing van den
Betrekkelijke boom voor het huisje. Trekt se van den voet van den stand van
voorwerpen. stam een lijn naar het oogpunt, dan snijdt deze lijn, die loodrecht op den weg is gericht, den onderkant van den muur van het huisje. Hieruit volgt, dat de boom zich voor de woning
bevindt, en niet er naast, zooals een oppervlakkig beschouwer licht zou beweren. Op dezelfde manier blijkt, dat het hek op den voorgrond zich niet links van het huisje bevindt, maar juist aan den rechterkant (zie de fig. 154 en 155).
Voor de bepaling der distantiepunten is het noodig ergens in de . figuur een horizontaal geplaatst vierkant te vinden, waar¬
van zijden hoeken van 90° of van 45° met het tafereel
maken. — In bovenstaande figuur 205 herkent ge b.v. wel het grondvlak



453
van den toren als een vierkant, terwijl ge tevens opmerkt, dat die toren overhoeks is gezien. Een onder- en een bovenkant van het gebouw vinden hun verdwijnpunt in D, dat dus het rechterdistantiepunt zal zijn. Het oogpunt ligt in O, zoodat de distantie op de teekening door OD is aan te geven. Wordt nu de vraag gesteld, waar het oog van den teekenaar ten opzichte van het tafereel moet worden gedacht, (wij wijzen er nogmaals op, dat de teekening dikwijls, en hier zeker, een verkleinde afbeelding van het tafereel is), — dan is daarop nu een antwoord te geven. Het bevindt zich op den afstand OD voor het oogpunt. — Is de hoogte van den toren bekend (te vinden als de hoogte van den horizon gegeven is), dan is die met OD te vergelijken, zoodat dan de afstand in M. is uit te drukken.
Hoewel we over de verdwijnpunten van willekeurig, wijkende horizontale lijnen slechts hebben opgemerkt, dat ze in den
Verschillende horizon gelegen zijn, toch zult ge u herinneren, dat
wijking van ,.. , , ,.
horizontale lijnen. dle llJnel[li (we onderstellen ze op dezelfde hoogte) als ze zich onder den horizon bevinden, meer oploopen, naarmate ze sterker wijken, — zijn ze boven den horizon geplaatst,
aan is net omgekeerde het geval. Van den toren in fig. 205 loopen de zichtbare lijnen op den grond beide even sterk op, terwijl de onderkanten van de spits onder gelijke helling afloopen. In nevenstaand prisma (fig. 206) loopen de rechtswijkende lijnen sterker op dan de linkswijkende, waaruit volgt, dat het rechterzij-
vlak meer in stand met het tafereel verschilt dan het lange voorvlak. Opgaven.
377. Fig. 207 is de afbeelding van een op den grond liggend vierkant.
Neem deze figuur over, en leid daaruit af, waar horizon, oogpunt en distantiepunten zich bevinden. — De teekenaar heeft gestaan, — bepaal nu ongeveer de lengte der zijde van het vierkant.
a/ö. rig. jus is de afbeelding van een vierkant. Welken stand had het?



454
379. Hoe bepaalt ge in onderstaande afbeelding (zie (ig. 209) het oogpunt? Op welke hoogte bevond zich het oog van den teekenaar? Zijn de luiken der ramen onder hoeken van 90° geopend ? En de bovendeur in den linkermuur? Bepaal met behulp der overhoeksche tegelrijen,
die ge in den vloer opmerkt, de distantiepunten. Zijn de luiken soms ook onder hoeken van 45° geopend? Is het vertrek vierkant? — Maak een schetsje van de kamer (de kinderbalkjes kunnen achterwege blijven, de moerbalken worden echter geteekend), — geef daarin aan horizon, oogpunt en distantiepunten, en bepaal den afstand, waarop de teekenaar zich heeft gedacht, als de kamer 6 M. breed is.
Maak een tweede schets van het vertrek, waarin ge de distantie kleiner neemt; de bovendeur moet onder een rechten hoek worden geopend, de luiken onder hoeken van 45°.
380. Neem een copie van fig. 54 (pag. 25); — leid uit de figuur den horizon af, en tracht te laten zien, dat de noklijn op de goede plaats staat. (Ge moet in uw teekening doen uitkomen, dat ze zich juist boven een lijn midden over de zoldering bevindt.)
384. Als in nevenstaande teekening van een bruggetje AB een volwassen persoon voorstelt, kan de teekenaar dan met hem op dezelfde hoogte hebben gestaan ?



155
Bepaal deu horizon. Hoe hoog heeft het oog van den teekenaar zich boven den grond bevonden ? Zou AB over de brug kunnen zien ? Tracht dit door het teekenen van enkele lijnen duidelijk te maken. AB loopt rechtuit over de brug, teeken den weg, dien hij volgt, en teeken ook den weg, dien B doorloopt. Waar zal AB bij het bestijgen van de helling juist over de brug kunnen zien? Geef eveneens de plaats aan, waar hij bij het afstijgen juist langs het bovenvlak van de brug kan zien? Als AB zich b.v. in C bevindt, geef dan het punt aan, waar hij zou
staan, als de helliDg er niet was, zoodat hy op den beganen grond stond. — Teeken voor de brug een vlot dat precies door de brugopening kan. — Denk AB zwemmende vóór de brug, zóó dat hij zijn oog in 't watervlak heeft; ziet hij dan DE als op- of als afloopende lijn? En FG? En hoe ziet hij het bovenvlak van de brug? Maak een teekening van wat hij ziet, als hij zijn hoofd iets boven 't water uitsteekt en hij zóóver van het bruggetje zwemt in de richting der brug, dat hij 't geheel, met de beide opritten, in één oogopslag kan overzien.
382. Bepaal in achterstaande figuur oogpunt en horizon.
Welke gevel is hooger, die van het huis met den trapgevel op den voorgrond links of die van de kerk in het verschiet?
Denk in de deur van genoemd huis een man, wijs aan, tot hoe hoog zijn hoofd ongeveer reikt, en bereken dan de hoogte van den gevel. Laat den man de kade oversteken tot aan den walkant, en zeg nu, hoe hoog de walbeschoeiing ongeveer is, hoe breed de kade en hoe breed de gracht.
Kan een volwassen man door de deur van het huisje op het vlot gaan, zonder zich te bukken? Hoe hoog zijn de paaltjes van het hek langs de brugkanten ? Zal de teekenaar zich op den beganen grond hebben bevonden ?
Als het vlot zich voortbeweegt in den stand, welken het nu inneemt, zal het dan midden onder de brug doorgaan? Is het huisje niet te hoog voor de brug ?
De man, die zijn schuit voortroeit, is reeds onder de brug door. Als



156
hij in de richting, welke de schuit nu heeft, is doorgevaren, heeft hij dan onder de brug zijn riemen kunnen uitslaan?
Denk u den beschouwer, — op denzelfden afstand als nu, — op een
ander vlot staande; hoe ziet hij dan gracht en kaden? Het is om het beloop der groote lijnen te doen, zoodat ge in uw teekening alles maar zeer schetsmatig hebt aan te geven.
Hoe wordt een en ander gezien door iemand, die zwemt?
En hoe door een ander, die, — weer op denzelfden afstand, — op den nok van een vlothuisje staat?
§ 42. Perspectievische verschijnselen enz. in een afbeelding op te merken.
Op onze lessen aan adspirant-onderwijzers bekijken we ten slotte met de leerlingen een paar platen uit perspectievisch oogpunt, — welke repetitielessen als zoodanig eigenaardige beteekenis hebben. Als de leerlingen hierbij geen leiding hebben, zijn ze doorgaans spoedig uitgepraat, — het blijkt noodig, de verschijnselen eenigszins te sorteeren, — zoodat we gewoonlijk eindigen, met een samenvatting te geven van de verschijnselen, waarop moet worden gelet. Dit schema laten we hier



157
volgen, — wij kunnen aanbevelen, aan de hand er van enkele platen te bekijken (b.v. van den eersten druk van Bos' platen: Een veenkolonie, — van IJkema: De Statenvergadering van Holland, — een plaat van Van Lummel).
I. In de eerste plaats wordt de vorm der vlakken nagegaan. Wijkende en niet-wijkende vlakken aanwijzen, — zijn er ook, die
als een lyn worden gezien (ook letten op niet-mathematische vlakken, b.v. een uithangbord, een lettervorm, een spiraal).
Welk verschil,ziet ge tusschen schijnvorm en waren vorm? Na te gaan voor vierkant, rechthoek, cirkel, — ook voor driehoek, trapezium (b.v. een der kanten van een dak).
Zijn er ook evenwijdige gelijke vlakken in wijkenden stand, zoo ja, welk is het breedst?
Ziet ge ook horizontale cirkels beven of onder ooghoogte, — waar is de voorkant, waar het middelpunt?
Zijn er soms ook huizen op de plaat geteekend, waarvan ge twee zijmuren ziet, den een wijkend, den anderen niet? Hoe dit te verklaren?
II. Lijnen.
a. Richting.
Welke hebben haar ware richting (loodlijnen niet te vergeten), welke niet? Zoo mogelijk ook nagaan voor hellende lijnen.
Horizontale wijkende lijnen onder-, op- en boven ooghoogte, — soms is de schijnrichting loodrecht (ook te letten op de lijnen langs bovenen onderkanten van ramen, enz., over een rij boomen e. d.)
Evenwijdige wijkende lijnen, — zoo mogelijk ook hellende.
Het verdwijnpunt van wijkende horizontale evenwijdige lijnen bepalen.
b. Grootte.
Lengte van gelijke lijnen evenwijdig aan het tafereel, op verschillenden afstand (hoogte van huizen, lantarens, telefoonpalen, boomen, breedte van een weg, de grootte van menschen en dieren), — zoo mogelijk ook van hellende lijnen.
Gelijke stukken op niet-wijkende lijnen zijn gelijk, — ongelijke behouden haar ware verhouding (indeeling van een loodlijn of van een waterpaslijn over een gevel van een huis, door ramen, deuren, enz.).
Gelijke stukken op wijkende lijnen zijn ongelijk in de teekening, veranderde verhouding van ongelijke stukken (dezelfde lijnen over een gevel in wijkenden stand, — afstanden tusschen boomen, lantarens, enz.).
De hoogte van ramen in twee gevels van een huis vergelijken.
De hoogte van b.v. twee huizen vergelijken.
III. De horizon. Soms zichtbaar.
Anders te bepalen met behulp van evenwijdige wijkende waterpas-



158
lijnen, — uit de schijnbare breedte van horizontale vlakken, — of uit een wijkende waterpaslijn, die horizontaal loopt. — Hoogte van den teekenaar.
Waterpaslijnen opsporen, die haast evenwijdig schijnen, maar het niet zijn, omdat haar ontmoetingspunt buiten den horizon valt.
Opmerken, dat verschillende even groote voorwerpen op overeenkomstige plaats door den horizon worden gesneden, — of er betrekkelijk evenver onderblijven (blijft één man er b.v. zooveel onder'als de grootte van zijn hoofd bedraagt, dan moet een ander er ook ongeveer de grootte van zijn hoofd onder blijven, enz.)
Soms fouten in de figuur te vinden, — inzonderheid tegen den vorigen regel. Deuren zijn soms zoo laag, dat er geen man door kan.
IV. Het oogpunt.
Het verdwijnpunt van lijnen, rechthoekig op het tafereel (deze lijnen te vinden met behulp van andere, evenwijdig aan dit vlak); waar ergens stond de teekenaar?
Nagaan, of sommige lijnen ook onder een rechten hoek wijken (of b.v. een luik, een raam, een deur, onder een rechten hoek geopend is).
Nagaan met behulp van het oogpunt, of b.v. een boom recht voor een huis staat (zie pag. 152).
V. Het lezen van maten in de teekening,
Uit de grootte van een man of de hoogte van een deur, de geheele hoogte van een huis, de hoogte van een lantaren, de breedte van een weg, de ooghoogte bepalen.
§ 43. Samenvatting der theorie voor de onderwijzersakte.
In het volgende geven we een aantal vragen met verwijzingen naar bepaalde pagina's in dit werkje, waar een kwestie is besproken.
Voor de kennis van doorsneden en projecties verwijzen we naar § 12 en opg. 109, waar voor deze onderdeelen een dergelijk overzicht is gegeven.
Verder zij nog opgemerkt, dat we het distantiepunt hebben beschouwd als een onderwerp voor de hoofdakte, zoodat we dat hier niet zullen noemen.
1. Wat zijn perspectievische verschijnselen (§ 13)?
2. Welke beteekenis heeft de st udie der perspectievische verschijnselen(§ 25).
3. Waarom spreekt men in de perspectief van het oog (pag. 97)?
4. Geef een definitie van het tafereel en zeg hoe een afbeelding op het tafereel ontstaat (pag. 102).
5. Waarom heeft het gewoonlijk een loodrechten stand, wanneer helt het, wanneer is het een horizontaal vlak (pag. 102)?



159
6. Wanneer wordt een vlak in zijn waren vorm geteekend, wanneer een lijn in haar ware richting (pag. 103)?
7. Wanneer is de perspectief van een lijn een punt (pag. 70 en 103, twee omschrijvingen 1)?
8. Wanneer is de perspectief van een vlak een lijn (pag. 70 en § 29, twéé omschrijvingen!)?
9. Hoe oordeelt ge over de betrekkelijke breedte van gelijke evenwijdige wijkende vlakken (pag. 70)?
10. Wat weet ge van de schijnbare lengte van gelijke lijnen, die evenwijdig aan het tafereel loopen, maar zich op verschillenden afstand bevinden (pag. 108)?
11. Geef een sprekend voorbeeld, dat het noodig is, hierbij te spreken van lijnen, evenwijdig aan het tafereel (pag. 108)?
12. Hoe oordeelt ge over den afstand, waarop voorwerpen zich van u bevinden (pag. 109)?
13. Hoe beredeneert ge, dat wijkende evenwijdige lijnen elkaar in de teekening naderen (pag. 113)?
14. Hoe onderscheidt ge de wijkende lijnen (pag. 50)?
15. Hoe bepaalt ge gemakkelijk of ge u op den goeden afstand van het model bevindt (pag. 50)?
16. Geef een definitie van het verdwijnpunt van een lijn (pag. 119).
17. Hoe bepaalt ge het verdwijnpunt van een lijn (pag. 119)?
18. Welke drie eigenschappen worden aangetoond om tot de eigenschap van het verdwijnpunt te komen (pag. 118)?
19. Op welke hoogte ligt het verdwijnpunt van horizontale lijnen ? En dat van hellende?
20. In welke gevallen wordt een horizontale lijn horizontaal geteekend? Wanneer op-, wanneer afloopend?
21. Hoe kan een vierkant worden gezien en wanneer zal het een bepaalden vorm vertoonen ? En een rechthoek ? Maak duidelijk, dat ze nooit den vorm van een parallelogram kunnen aannemen.
22. Hoe kunt ge een cirkel zien, en wanneer zal hij die vormen vertoonen (§ 22)?
23. Als ge een cirkel als een ellips ziet, waar bevindt zich dan de voorkant van den cirkel ?
24. Vallen de middelpunten van cirkel en ellips samen ?
25. Waarom moet ge bij het teekenen van de ellips niet beginnen met de lange middellijn van den cirkel neer te zetten?
26. Maak een opmerking omtrent de schijnbare breedte van een horizontalen cirkel, die naar boven en naar beneden wordt verplaatst (pag. 74, zie ook vraag 9)?
27. Wat is het horizontale oogvlak (pag. 126)?



160
28. Wat is de horizon (twee omschrijvingen)-en waarom heet die lijn zoo (pag. 126)? Kent ge er een anderen naam voor?
29. Welke lijnen vinden haar verdwijnpunt in den horizon?
30. Hoe kunt ge in een teekening den horizon vinden (pag. 150)?
31. Geef een definitie van het oogpunt (pag. 128, twee omschrijvingen).
32. Noem de eigenschap van het oogpunt.
33. Hoe bepaalt ge op een plaat het oogpunt (pag. 151)?
§ 44. De perspectief van punten, lijnen en rechtlijnige figuren, die in 't grondvlak liggen.
Nog te Waar wij in het voorgaande op meer of minder conheUerftofn structieve wÜze tot de afbeelding van verschillende voorwerpen zijn gekomen, hebben wij de lichamen in den regel zulke standen gegeven, dat de waterpaslijnen niet weken of wel onder hoeken van 90° en van 45° en hebben we steeds aangenomen, dat de afbeelding van één der lijnen in het tafereel was gegeven. In moeilijke gevallen namen we de vrijheid, sommige afmetingen „op het oog" te bepalen.
Deze zullen we nu meermalen constructief leeren vinden. Andere zaken, die nog aan de orde komen, zijn o. m. de volgende: een horizontale figuur in perspectief te brengen, waarvan de zijden wijken onder andere hoeken dan 45° of 90° — in de- teekening de juiste ligging te bepalen van een punt, op een bepaalde plaats boven den grond gelegen, — een wijkende lijn even lang te nemen als een andere niet-wijkende, enz.
Het is noodig, dat ge u het volgende zeer helder voorstelt, waarom we u in overweging geven aldus te handelen. Ge neemt een rechthoekig stuk karton of ijzergaas en vouwt dat, als in fig. 212 is aangeduid. In dezen stand verbeeldt nu het loodrechte gedeelte het tafereel — in het bovenste waterpasvlak bevindt zich het oog van den teekenaar O, zoodat H H den horizon voorstelt. In het onderste naar links omgeslagen waterpasvlak eindelijk denken we aanvankelijk de punten, lijnen en vlakken gelegen, welke we in perspectief willen brengen. Dit vlak draagt den naam van grondvlak, de snijlijn er van met het tafereel, AB, is de grondlijn.
Wij wenschen nu eerst een punt c in het grondvlak
Een punt in in perspectjef te brengen. Dit zullen we doen door net grondvlak. r r °
van twee lijnen, welke elkander in dat punt snijden,
de perspectief te bepalen.
De lijnen, welke daarvoor als vanzelf zijn aangewezen, zijn die, welke



461
hoeken van 90° en van 45° met het tafereel maken, omdat daarvan de perspectieven zeer gemakkelijk kunnen worden bepaald. Immers van bc valt de perspectief in 6P (P is het oogpunt, het voetpunt van de loodlijn uit O, het oog, naar den horizon getrokken), — en van a'c, een voor het oog rechtswijkende waterpaslijn, die een hoek van 45° met het tafereel maakt, richt de afbeelding zich naar het rechterdistantie¬
punt D. Het snijpunt c' van bP en o'D is derhalve de perspectievische afbeelding van het punt c. "Wij hadden even goed van de linkswijkende lijn ac kunnen gebruik maken; in dat geval hadden we ook het linkerdistantiepunt D' moeten bezigen. Hebt ge op uw kartonnen model deze constructies uitgevoerd, overtuig u dan, dat c' werkelijk de afbeelding op -het tafereel is van het punt c, door bij c' een gaatje te maken in het karton. Kijkt ge nu van O door deze opening, dan ziet ge juist het punt c. l)
Het grondvlak Nu slaat ge het grondvlak naar beneden om, zoodat neerges ogen. net met ne(. taferee| m een yjak j£0mt tfi ]jggen> (je
verkrijgt dan achterstaande figuur 213.
HH is de horizon, AB de grondlijn, P het oogpunt, D en D' zijn de distantiepunten, — c is het punt, dat in perspectief moest worden gebracht. Het oog moet vóór P worden gedacht, op een afstand gelijk aan PD, — het grondvlak toch was eerst van u afgekeerd. Vooral dit laatste moet ge u goed duidelijk maken met behulp 'van uw kartonnen model: a'c is een links-, ac een rechtswijkende lijn.
Constructie. Moet dus van een punt c de perspectief worden bepaald,
1) Bij het gebruik van uw kartonnen model zal u soms de noodzakelijkheid blijken, de lijnen aan beide kanten van uw ondoorzichtige vlakken aan te brengen. doorsneden. 7e dr. H



162
waarvan we weten, dat het in het grondvlak ligt op een afstand van
het tafereel gelijk aan 1 cM (we zeggen dan, zooals ge weet, dat de diepte 1 cM bedraagt), terwijl het oog zich 2 cM boven het grondvlak bevindt en 1 cM rechts van het punt c, en eindelijk de distantie 2,3 cM bedraagt, dan wordt als volgt gehandeld, zie fig. 213.
Wij trekken de grondlijn AB, en 2 cM daarboven den
horizon HH, plaatsen hierin P, en 2,3 cM links en rechts van P de punten D en D'. 1 cM links van P en 1 cM beneden AB bevindt zich het punt c. cb teekenen we loodrecht op AB, bP is van die lijn de perspectievische afbeelding, —' vervolgens trekken we ca', zoo, dat / ca'b = 45°. a'c is dus een linkswijkende lijn (denk vooral hier weer het grondvlak naar achteren omhooggeslagen 1), die haar verdwijnpunt vindt in het linkerdistantiepunt D, zoodat a'D de afbeelding is van a'c. Voor de perspectief van c vinden we dus het snijpunt van bP en a'D, n.l. c'. In plaats van de linkswijkende lijn a'c hadden we ons ook van de rechtswijkende ac kunnen bedienen, — daarvan is de perspectief aD'.
Om uit c lijnen naar de grondlijn te trekken, die Lijn met / 45° daarmee hoeken van 45° vormen, kunt ge gebruik op gron yn. maken van de eigenschap, dat b.v. in driehoek a'bc de hoeken c en a' beide 45° zijn, zoodat ook bc en a'b gelijk zijn. Ten einde dus het punt o', of ook a te bepalen, zet ge van b cb rechts en links op de grondlijn uit.
Vooreerst is het onnoodig, beide distantiepunten te gebruiken.
Opgave.
383. Bepaal de perspectief van een punt, als tih = 1 M, O 0,5 M rechts ligt van het punt, D = 2 M, d = 11/2 M. Te teekenen op een schaal 1 : 20 (Hier en in het vervolg beteekent Uh de horizonshoogte boven het grondvlak, O het oog, I) de distantie, d de diepte, d.i. den afstand van het voorste punt van een voorwerp of van een figuur tot het tafereel, — terwijl met AB de grondlijn en met HH de horizon zal worden aangewezen).
Rechte lijn Wil men nu een bepaalde rechte lijn, die in het gronden figuur, vlak is gelegen, in perspectief brengen, dan behoeft men slechts de perspectieven te bepalen der beide uiteinden, om deze vervolgens te verbinden.



163
Evenzoo is het nu gemakkelijk, een willekeurige figuur, die in 't grondvlak ligt, en door rechte lijnen wordt ingesloten, in perspectief te brengen. Men bepaalt de perspectieven der hoekpunten en verbindt
die twee aan twee op dezelfde wijze als dit in de figuur zelve is geschied.
_ , _', Dikwijls Verkortingen.
kan men echter allerlei verkortingen aanbrengen.
Moet b.v. de perspectief van rechthoek abcd worden bepaald, waarvan twee zijden evenwijdig loopen aan het tafereel, dan bepalen we eerst op de gewone wijze de per¬
spectieven a' en d' van a en d. Nu weten we verder dat de perspectieven van ab en cd waterpaslijnen zullen zijn, zoodat we, als we IJP naar het oogpunt hebben getrokken, uit a' en d' slechts nog waterpaslijnen hebben te teekenen om de perspectievische afbeelding a'b'cfd' van den rechthoek te voltooien.
In fig. 215 is een vierkant in den stand van den rechthoek uit fig. 214 in
perspectiet gebracht. Hier is nog minder constructie noodig. De perspectieven van AD en BC liggen in XP en IJP, terwijl diagonaal AC al een waterpaslijn is, die onder een hoek van 45° naar rechts wijkt, zoodat we deze lijn hebben te verlengen tot de grondlijn, het snijpunt met het rechter distahtiepunt moeten verbinden, en zoo gemakkelijk de perspectieven
o en c vinden, cd en ab zijn weer waterpaslijnen, zoodat dit vierkant al op zeer eenvoudige wijze kan worden voltooid.
Opgaven.
384. De perspectief te bepalen van een in 't grondvlak gelegen recht-
doorsneden. 7e dr. j<«



164
hoek, lang 3 cM, hreed 2 cM; de lange rechthoekszijden loopen evenwijdig met AB, Uh = 3 cM, D = 12 cM, d = 1 cM, O ligt boven het midden der figuur.
385. Id. van een in 't grondvlak gelegen vierkant met een zijde van 2l/2 cM, dat met twee zijden evenwijdig loopt aan AB, üh — 3i/2 cM, D = 14 cM, d — 2 cM, P valt gelijk met de rechterzijde der figuur.
Een andere verkorting is de volgende. Stel, dat (zie 'verdw^npunten. %• 210) een zeshoek abcde f in perspectief moet worden gebracht. Van de punten c en d worden op de gewone manier de perspectieven c' en d' bepaald. Nu merken we op, dat cd, be en af evenwijdige wijkende horizontale lijnen zijn, die dus een gemeenschappelijk verdwijnpunt in den horizon hebben. Dit kunnen we in onze figuur vinden, daar c'd' binnen de grenzen van de teekening den horizon in V bereikt, db en ea staan loodrecht op het tafereel,
haar snijpunten met de grondlijn verbinden we met P, evenzoo het snijpunt van de loodlijn uit f met de grondlijn. Trekken we nu uit d' een waterpaslijn, dan vinden we e', evenzoo geeft de waterpaslijn uit c' het punt f' l). Door vervolgens e' en f met V te verbinden krijgen we de punten a' en b'; b' was ook te vinden, door nu uit a' een waterpaslijn te trekken naar d'P.
In deze. figuur valt het distantiepunt buiten het vlak van teekening (zie pag. 139).
Opmerking. Het is raadzaam deze verkortingen, en vooral het gebruik van verdwijnpunten zooveel mogelijk toe te passen. In de constructies, inzonderheid bij het verbinden van een paar punten kan licht een
1) Deze lijn is in onze figunr niet aangegeven, daar die anders onduidelijk zou worden. Uw eigen constructies moeten op vrij groote schaal worden uitgevoerd, — daar plaatst ge natuurlijk elke lijn, die ge noodig hebt.



165
kleine fout worden gemaakt, en dan is het zeer storend voor het oog, als wijkende evenwijdige lijnen niet hetzelfde verdwijnpunt hebben. Bovendien zijn het inderdaad verkortingen, zooals ge hebt kunnen zien.
Opgaven.
386. Breng op dezelfde wijze als in fig. 216 is geschied, een zeshoek in perspectief.
387. Breng in perspectief een in 't grondvlak gelegen vierkant (zijde 3 cM), waarvan een der diagonalen loodrecht op het tafereel staat. Hh = 4 cM, d = 1 cM, D = 14 cM, O juist boven 't midden der figuur.
388. Id. een regelmatigen achthoek, waarvan twee zijden evenwijdig loopen aan het tafereel. De zijde is 2 cM, overigens zijn de gegevens als in de vorige opgave.
389. Id. een regelmatigen zeshoek met een zijde van 2l/2 cM, waarvan geen zijden evenwijdig met het tafereel loopen. Gegevens verder als voren, behalve dat P ongeveer gelijk valt met de linkerzijde der figuur.
390. De perspectief te teekenen van een kube, die op 't grondvlak rust, en waarvan twee zijvlakken evenwijdig aan het tafereel zijn geplaatst. De gegevens willekeurig te nemen. (Ge begint met van het grondvlak op de in deze § behandelde manier de perspectief te bepalen, — vervolgens teekent ge op de voorste zijde van het grondvlak het voorvlak, — in de achterste punten van het grondvlak richt ge loodlijnen op, enz.).
391. Maak met behulp van het in het tafereel neergeslagen grondvlak perspectievische constructies naar aanleiding van de opgaven 148, 143 en 167 (Teeken eerst in 't grondvlak de horizontale projecties en breng die in perspectief).
392. Teeken een horizon en een grondlijn, — neem P en D willekeurig. Plaats nu ergens tusschen AB en HH een punt, dat de perspectief moet voorstellen van een punt in het grondvlak. Bepaal door den omgekeerden weg te gaan als op pag. 162, waar dit punt zich juist heeft bevonden.
393. Teeken als in fig. 215 tusschen HH en AB de perspectief van een vierkant, waarvan twee zijden evenwijdig loopen aan het tafereel. Bepaal weer de ligging van dit vierkant in het grondvlak.
§ 45. De perspectief van een horizontalen cirkel.
Vroeger is opgemerkt (pag. 81), dat een horizontale cirkel gezien wordt als een ellips, waarvan de groote as waterpas wordt geteekend. De



166
leerboeken der constructieve perspectief geven dezen regel echter niet; voor cirkels, welke links of rechts van P geplaatst zijn, komen zij tot . groote assen, die van de waterpaslijn afwijken, en de figuren, die in den tekst worden gegeven, vertoonen soms vrij groote verschillen. Deze
zijn grootendeels het gevolg van de veel te kleine G*t°l9klinan distanties, waarmede in die figuren is gewerkt. Een enkele distantie. «naai hebben wij ons in onze illustraties ook wel eens
aan deze fout bezondigd, maar daar gaf de figuur ten slotte toch niet tot zeer verkeerde conclusies aanleiding. Met den cirkel is dit wel het geval, vooral, als men bedenkt, wat wij vroeger omtrent de distantie hebben opgemerkt. Zoo b.v. fig. 217. Ge ziet onmiddellijk,
dat de distantie PD veel te klein is genomen, — vooral springt u dit in het oog, als ge bedenkt, dat de cirkel zich heel wat links van P bevindt, — het uiterste punt in de teekening op het tafereel wel ± 5 cM, — zoodat we ons ook rechts van P een even groot stuk moeten voorstellen (zie pag. 137). Verbeeldt ge u nu het oog op een afstand PD ss 6I/2 cM vóór P, dan blijkt u, dat de verhouding 1 : 3 zelfs in de verte niet bereikt wordt, dat de tophoek van den kegel, waarvan op de aangehaalde pagina sprake is, veel grooter is dan 30°. — Dat op deze wijze misvormde figuren moeten ontstaan, behoeft nauwelijks meer verklaring I
In fig. 218 geven wij voor geheel denzelfden cirkel onder juist gelijke



167
omstandigheden dezelfde constructie, maar nu met een behoorlijke distantie (36 cM). Het distantiepunt D moest daardoor buiten ons blad vallen, op uw teekening moet het punt natuurlijk voorkomen. In de ellips in deze figuur ziet ge niet, dat de groote as een schuinen stand heeft, wat bij deze ligging van P theoretisch echter wel in zeer geringe mate het geval moet zijn. Uit fig. 218 bemerkt ge, dat deze afwijking in de practijk gerust buiten rekening kan worden gelaten. Teekeningen als in fig. 217 hebben dit gevaar, dat ze bij den lezer groote verwarring stichten; ze wekken bij hem de raeening dat hij de voorwerpen als zulke dwaze vormen moet waarnemen.
Hoe wordt nu een cirkel in perspectief gebracht? Van cirkel ^en öePaa't de perspectief van enkele punten van den
worden cirkelomtrek, en trekt door deze punten uit de hand de acht punten, ellips. Bij voorkeur neemt men natuurlijk punten, die zeer
bepaald. gemakkelijk te construeeren zijn, die dus snijpunten zijn van lijnen, welke loodrecht op, of evenwijdig aan de grondlijn gericht
zijn, of er hoeken van 45° mede maken. Wij bespreken hier alleen de constructie, waarvan in de fig. 217 en 218 is gebruik gemaakt. De cirkel is geplaatst in een vierkant, waarvan twee zijden evenwijdig loopen aan het tafereel. De diagonalen zijn daarin aangebracht en tevens de lijnen ab en cd, welke loodrecht staan op AB en door de snijpunten



168
van diagonalen en cirkelomtrek gaan. Uit de figuur blijkt duidelijk, hoe nu, door het vierkant, de diagonalen, benevens ab en cd, in perspectief te brengen, van de ellips een achttal punten worden gevonden. Met behulp hiervan wordt deze verder uit de hand geteekend.
, Hebt ge nu constructief een staanden cilinder te teekenen,
dan bepaalt ge op de pas besproken manier eerst de perspectief van het grondvlak (zie fig. 219). Om tot het bovenvlak te komen, moeten we ook daarvan een aantal punten bepalen. Uit de punten van
het onderste vierkant teekenen we loodlijnen naar boven, en nemen we nu aan, dat cc' de hoogte (in c) voorstelt van den cilinder, dan toont de figuur met voldoende duidelijkheid aan, hoe het omhullende vierkant met diagonalen en deellijnen verder kan worden bepaald. Ten slotte teekenen we ook hier de ellips door het gevonden achttal punten.
Opgaven.
394. Breng als in fig. 218 een horizontalen cirkel, iets rechts geplaatst van het oog, in perspectief. Eveneens, als in fig. 219 een rechten cilinder, iets rechts van het oog.
395. De perspectief te bepalen van een staanden, rechten cirkelkegel, waarvan de hoogte gelijk is aan driemaal de middellijn van het grondvlak.
396. Construeer een kube, waarvan twee vlakken evenwijdig aan het tafereel geplaatst zijn. Op elk vlak zijn cirkels aangebracht, die zoo groot mogelijk zijn, en in de middelpunten daarvan cirkelvormige stippen, 't Geheel bevindt zich iets bezijden P. De distantie niet te klein nemen.



169
397. Construeer op de volgende wijze een lampekap, die den vorm > heeft van een afgeknotten kegel. Ge denkt de kap in een afgeknotte reg. vierz. piramide geplaatst, — van grond- en bovenvlak daarvan loopen twee zijden evenwijdig aan het tafereel. Onder AB teekent ge het vierkant met zijn deellijnen, dat het grondvlak voorstelt, en brengt dit in perspectief. Eerst voltooit ge nu de geheele piramide, die, met het oog op den platten vorm der kap, niet te hoog mag zijn, vervolgens construeert ge het bovenvlak. Om hierin de punten voor de deellijnen van voor naar achter en van links naar rechts te vinden, verbindt ge, zie fig. 218, de perspectief der punten b en d met den top der piramide, enz.
§ 46. Het gebruik der wijkende schaal.
Reeds meermalen hebben we de perspectief bepaald van punten, boven het grondvlak gelegen, b.v. die van de bovenvlakken van verschillende lichamen, den top van kegel en piramide, enz. In den regel was dan in perspectief gegeven de horizontale projectie van dat vlak of van dat punt in het grondvlak, terwijl de perspectievische hoogte mede gemakkelijk Was op te sporen of willekeurig mocht worden genomen.
Een middel, om de perspectief van elk punt boven het
Hoogte kube aroDa,y\gf]i te bepalen, als daarvan de grond projectie en de overhoeks ° . gezien. hoogte gegeven zijn, kennen we echter nog niet, — en
toch hebben we daaraan vaak behoefte. Laat b.v. gevraagd
zijn een kube in perspectief te brengen, als deze op het grondvlak staat
en scheeve hoeken maakt met het tafereel. We nemen aan een horizon,
een grondlijn, plaatsen daaronder ergens een vierkant en brengen dit in perspectief, — maar we weten niet, hoe hoog we het bovenvlak hebben



470
te plaatsen. We kunnen 't wel ongeveer op het oog doen; dit mag hier echter niet meer: wij moeten nu nauwkeurig werken.
Van de kube kennen wij de ware hoogte: die toch is gelijk aan de zijde van het vierkant. Onderstellen wij nu, zie fig. 220, dat we de perspectievische lengte der loodrechte ribbe boven x willen bepalen. Daartoe denken wij door het voetpunt x en den top dier ribbe loodlijnen op het tafereel; deze zullen dit vlak ontmoeten in a' en b.v. in a; aa' is dus de ware hoogte l). De perspectieven der genoemde loodlijnen beginnen dus in a en in a' en richten zich naar P. Alle loodlijnen tusschen aP en ct'P zijn derhalve even lang en wel zoo lang als ad'. De perspectief van x is e', hier zal de gevraagde ribbe zich moeten bevinden, — deze is in de perspectief weer een loodlijn, zal zich uitstrekken tot aP, en bijgevolg ee' zijn. Op deze wijze kunnen we dus de perspectievische lengte van een der staande ribben van de kube vinden, en nu is het lichaam verder gemakkelijk te voltooien.
Opgaven.
398. Bepaal de perspectief eener kube, die op het grondvlak staat en waarvan de staande vlakken scheeve hoeken maken met het tafereel.
399. Neem in het linkervoorvlak van deze kube een willekeurig punt aan en bepaal in het tegenoverstaande vlak een punt, dat daarin op geheel overeenkomstige plaats is gelegen als het eerste punt in het eerste vlak.
400. Bepaal direct in de perspectievische teekening eener kube in den stand van opg. 398 (deze als in die opg. te construeeren) den doorgang (het snijpunt) van de lijn, die twee punten als in opg. 399 verbindt, met het vlak, dat door de diagonalen gaat der beide andere staande vlakken.
404. Construeer een staand zeszijdig prisma, waarvan geen zijvlak met het tafereel evenwijdig loopt; — de hoogte is driemaal een zijde van het grondvlak.
Doorgaans bepaalt men de perspectievische hoogte niet in de perspectiefteekening, maar daarnaast, omdat rnen in die teekening dikwijls toch al veel lijnen krijgt, zooals b.v. in de laatste opgave.
Men kan zeer goed, zie fig. 220, de loodlijn aa' ergens dieptlschall. anders °P AB plaatsen, b.v. in qy, en daarna q en y met P verbinden. gP en yP zijn dan eveneens de perspectieven van twee lijnen, die in q en y loodrecht op het tafereel staan. Men
1) Hier uw kartonnen tafereel (zie pag. 161) te gebruiken, — een paar breinaalden kunnen de loodlijnen verbeelden. Ook bij het volgende znlt ge het voor de duidelijkheid niet best kunnen missen.



171
denkt nu tusschen deze lijnen op gelijke diepte als x een loodlijn, en verbindt daarvan de uiteinden met die der loodlijn in x. De verbindingslijnen loopen waterpas, en met de loodlijnen vormen ze een rechthoek, evenwijdig aan het tafereel. Onder- en bovenkant geven dus in de perspectief waterpaslijnen, terwijl de beide loodrechte zijden zich evenver achter het tafereel bevinden en derhalve dezelfde perspectievische lengte hebben. Zie de figuur, waar de rechthoek in het tafereel is afgebeeld, en waar ge ziet, dat de loodlijn eet even groot is als die tusschen qP en yP. De lengte van eet is dus met behulp van qy te bepalen.
Echter is het niet eens noodig van P gebruik te maken. Stel, dat in qy een paar evenwijdige horizontale lijnen, die scheeve hoeken met het tafereel maken, dit vlak ontmoeten. Denken we ook dit paar lijnen door waterpaslijnen evenwijdig aan het tafereel, met de loodlijnen, welke in a en a' eindigen, verbonden, dan vormt zich weer een rechthoek, die evenwijdig staat aan het tafereel, en in perspectief dus ook een rechthoek geven zal. Zie fig. 220, waar bedoelde lijnen weergegeven zijn door qV en yV; — als wijkende lijnen, welke scheeve hoeken maken met het tafereel, vinden ze haar verdwijnpunt immers niet in P. De figuur maakt u aanschouwelijk hoe de loodlijn tusschen deze twee lijnen op den afstand a'x weer even lang wordt als ee'.
Figuur yqP of yq\ heet de wijkende schaal of ook de diepteschaal.
Opgaven.
402. Maak nog eens opg. 398 met behulp der wijkende schaal, en teeken in elk der vierkanten een cirkel, die aan de zijden raakt.
403. De perspectief te bepalen van een regelmatig achtvlak, waarvan een der lichaarasdiagonalen verticaal staat, terwijl geen der ribben evenwijdig loopt aan het tafereel (Ge teekent onder AB de horizontale projectie, bepaalt vervolgens de ware hoogte der verschillende punten, enz.).
404. De perspectief te teekenen van een verticaal staand kruis, waarvan de armen evenwijdig aan het tafereel gericht zijn. De staande balk bestaat uit 5 kuben, de zijarmen, die zich aan de 4» daarvan bevinden, elk uit één.
405. Id. van de letter, bedoeld in opgave 175; — de vlakken maken scheeve hoeken, verschillende van die van 45°, met het tafereel. Ge begint met de grond projectie in perspectief te brengen.
400. Een in perspectief gegeven wijkende horizontale lijn in 5 gelijke stukken te verdeelen (Teeken in het tafereel door één uiteinde A der lijn een waterpaslijn, — die de perspectievische afbeelding voorstelt van een waterpaslijn, evenwijdig aan het tafereel, — verbind A met een punt V in den horizon; trek nu uit V een rechte door het andere eind der te



172
verdeden lijn en verleng deze rechte tot ze de waterpaslijn ontmoet. Verdeel het stuk, dat hiervan nu is afgesneden, in 5 gelijke deelen, — van een in gelijke deelen verdeelde lijn, evenwijdig loopende aan het tafereel, blijven in de perspectievische afbeelding de stukken even groot, — en verbind de deelpunten met V. De ontstaande lijnen loopen alle met de reeds naar V getrokken lijnen evenwijdig, — zij verdeelen één lijn in vijf gelijke stukken, en zullen het dus ook elke andere lijn doen, welke ze snijden.)
§ 47. Het neergeslagen oog.
Ge moet nog eens uw gevouwen stuk karton ter hand nemen, dat
ge gebruikt hebt ter verklaring van fig. 212. Nu brengt ge niet alleen '
het grondvlak in het tafereel, maar ook het horizoutale oogvlak. Zien
wij, wat nu gebeurt. OD (zie fig. 212) was evenwijdig met ca' en ge
merkt, dat in het vlak van het tafereel, waarin grond- en oogvlak zich
nu ook bevinden, die lijnen evenwijdig blijven loopen.
Moet dus b.v. van een horizontale lijn ab (zie fig. 221)
Bepaling xvan h t verdwiinpixnt worden bepaald, dan kan men ook verdwijnpunten. J r r
aldus te werk gaan. In het tafereel slaat men het oog
neer, zoodat PO — PD en nu trekt men OV evenwijdig aan ab. Het
snijpunt met den horizon, V, is het verdwijnpunt.
Ten einde de perspectief te verkrijgen van de rechte lijn, waarvan ab een deel is, verlenge men deze tot ze het tafereel ontmoet, ZV is de gevraagde perspectief. — Waar wij reeds meermalen op het groote belang van het gebruik van verdwijnpunten wezen, zal het onnoodig zijn, nader de beteekenis van het „neergeslagen oog" uiteen te zetten.
Vooral .valt u dit op, als ge nog eens fig. 216 bekijkt. Een kleine
onnauwkeurigheid in de constructie geeft een verkeerd verdwijnpunt, en hoe licht ontstaat bij de verbinding der punten c' en d' een kleine afwijking in de richting. Bij het gebruik van het neergeslagen oog bestaat dit bezwaar niet, terwijl men verder nog dit voordeel heeft, dat men onmiddellijk ziet, van welke lijnen de verdwijnpunten binnen het teekenvlak vallen.



473
Opgaven.
407. Breng een horizontaal vierkant in perspectief, waarvan de zijden onder hoeken van 30° en 60° wijken. (Verleng de zijden tot ze de grondlijn ontmoeten, — gebruik verder de verdwijnpunten, met behulp van het neergeslagen oog te bepalen).
408. Verbind in de perspectievische teekening van het vierkant uit de vorige opgave twee willekeurige punten in aangrenzende zijden gelegen. Bepaal in de beide andere zijden twee willekeurige punten, zoodat de lijn tusschen die twee punten evenwijdig loopt aan de eerste.
409. Breng een horizontalen zeshoek en een horizontalen achthoek in perspectief.
440. Een horizontale hoek is in perspectief gegeven, — dien hoek middendoor te deelen. Bepaal de verdwijnpunten V en V' der beenen, — trek uit O lijnen naar die punten, — deze loopen evenwijdig aan de beenen van den hoek, en vormen dus den oorspronkelijben hoek, — deel Z VOV' nu middendoor, — het snijpunt der deellijn met HH geeft het verdwijnpunt der te construeeren lijn.)
444. Een wijkende horizontale lijn is in perspectief gegeven, — door die lijn ergens een andere waterpaslijn te trekken, die ze rechthoekig snijdt.
442. Neem op een der lijnen van af het snijpunt een stuk aan als halve diagonaal van een vierkant en jroltooi deze figuur met behulp van hoeken bij 't neergeslagen oog.
443. Van twee wijkende waterpaslijnen, in het grondvlak gelegen, zijn alleen de verdwijnpunten gegeven, de lijnen zelf dus niet. Gevraagd den hoek te construeeren, welken ze vormen.
444. Met behulp van het neergeslagen oog en de wijkende schaal een staande kube in perspectief te brengen, waarvan alle zijvlakken wijken.
445. Evenzoo een vijfzijdig prisma, waarop een vijfzijdige piramide
met hetzelfde grondvlak is geplaatst. De hoogte van elk der lichamen is driemaal zoo groot als een zijde van het grondvlak.
446. Door a (fig. 222) een waterpaslijn te teekenen, evenwijdig aan het



474
tafereel, even lang als ab, de afbeelding van een wijkende waterpaslijn. Stel, dat ac de gewenschte lijn is, dan zal A abc gelijkbeenig moeten zijn, bc is de' basis. Met O als top moet een gelijkbeenige driehoek worden geteekend, gelijkvormig aan, en in den stand van den waren driehoek ABC. Het verdwijnpunt van ab doet de richting AB vinden, door O trekt ge verder een waterpaslijn, omdat AC waterpas is, enz. De basis van den driehoek bij O levert het verdwijnpunt van bc.
417. Teeken in a een loodlijn z= ab. Voltooi een kube, waarvan ab, een zijde van het grondvlak, gegeven is.
448. Construeer in a een horizontale lijo _L ab, en neem die van uit a tweemaal zoo groot als ab (zie opg. 444). Bepaal van uit a op het andere been van den rechten hoek een stuk, gelijk aan ab. Tracht daartoe, als in opg. 446. door bij O een gelijkbeenigen driehoek te teekenen, de ware richting en daarmee het verdwijnpunt der basis van dien driehoek te vinden. Vervolgens de aanwijzing bij opg. 406 te raadplegen.
419. Een regelmatig vierzijdig prisma te teekenen; de lange zijde is tweemaal zoo lang als de kortste. Het rust op een rechthoek, de kortste zijde ab (fig. 222) daarvan is gegeven.
420 ln fig. 223 stellen BC en DE, twee elkaar rechthoekig midden-
doordeelende lijnen, de onderkanten voor van twee rechthoeken, die op den grond staan. De aanschouwer bevindt zich in A en ziet in de richting van het pijltje.
Eerst moet met behulp van het neergeslagen oog de rechthoek op BC worden geteekend, als gegeven is, dat BC een hoek van 30° met het tafereel maakt, en de hoogte van den rechthoek tweemaal zoo groot is als BC. Ge neemt B op een willekeurige plaats in het tafereel en geeft BC willekeurige lengte. (Zie opg. 416).
424. Voltooi de figuur uit de vorige opgave door nu ook den rechthoek op DE te teekenen, die even hoog is als de andere.
422. Neem in elk der voorste helften van de beide rechthoeken een punt, doch kies het een vrij wat hooger dan het andere. Bepaal nu, waar de verbindingslijn tusschen beide punten den grond snijdt. Gebruik hierbij de grondprojecties van beide punten I
423. Kies een punt achter B, echter minder ver achter het tafereel dan D, en in den grond. Richt in dat punt een lijn op, gelegen in een



175
vlak evenwijdig aan het tafereel, die een hoek van 60° maakt met den grond en die de opening naar rechts heeft. Er wordt gevraagd te bepalen, waar deze lijn de rechthoeken op BO en DE snijdt, — het zichtbare gedeelte van de lijn te verzwaren.
424. Neem een punt in de voorste loodlijn van den rechthoek op BC, — denk door dit punt een waterpas vlak, en teeken de doorsneden van dit vlak met de beide staande rechthoeken. Wat weet ge van de afbeelding van die doorsnede, als het horizontale vlak zich op ooghoogte bevindt?
§ 48. Grenslijnen.
Voorbeelden. Van de kamer van fig. 172, pag. 115, geven we hier in fig. 224 nog een schetsje in enkele hoofdlijnen. Beschouwing der figuur toont u aan, dat de zijwanden der kamer elkaar naar achteren naderen. Denkt ge ü in plaats van de muren onbegrensde loodrechte vlakken, dan zult ge inzien, dat de schijnbare afstand tusschen
Ar. ..|n|,i,nn „t„„A„ 
wordt, zoodat deze eindelijk elkaar in een lijn schijnen te ontmoeten. Deze lijn, hier eén loodlijn, heet grenslijn. Immers zij vormt de schijnbare grens van de oneindige vlakken die zich door deze lijn niet kunnen voortzetten; dan toch zouden zij zich weer van elkaar verwijderen. Iets dergelijks kunt ge
opmerken omtrent de vlakken van zoldering en vloer. De loodlijnen tusschen deze vlakken worden naar achteren steeds korter; ook deze vlakken naderen elkander. Denkt ge ze vervangen door onbegrensde horizontale vlakken, ook dan vindt ge in de teekening een grenslijn, hier een horizontale lijn en wel den horizon.
Herlezing van het opgemerkte bij fig. 180, pag. 125, toont u eveneens aan, dat evenwijdige horizontale vlakken den horizon tot grenslijn hebben. Daar de teekening van een vlak geen andere zal zijn of ge het vlak alleen dan wel met een andere daaraan evenwijdig vlak afbeeldt, moet elk wijkend vlak zoo'n grenslijn hebben.



176
Hoe vinden wij nu de grenslijn van een vlak? Laten wij dit nagaan _. voor een aan drie zijden onbegrensd gedacht horizontaal
vlak A, dat zich uitstrekt achter het tafereel T (zie fig. 225). De teekening yan het vlak begint bij zijn snijlijn b met het tafereel. De afbeelding van een lijn C in het vlak A evenwijdig aan T getrokken, vinden wij door een vlak C O te brengen door de lijn en het oog O; de snijlijn c van dit vlak met het tafereel is de gevraagde afbeelding. Op dezelfde wijze vinden wij voor afbeelding van lijn D de snijlijn van vlak D O met T nl. d. De afbeelding van E is e enz.
De lijnen c, d, e komen steeds hooger in T te liggen, de afbeelding
van vlak A zal dus ook stijgen. Brengen wij nu door het oog een vlak F O evenwijdig aan A, dan zal dit genoemd vlak niet meer ontmoeten. Een vlak, dat iets naar beneden helt, zal dit wel doen, de snijlijn daarvan met het tafereel' behoort nog tot de afbeelding van A. Met de snijlijn O' van het evenwijdige vlak FO zal dit niet meer het geval zijn. Lijn O' is de grenslijn van de afbeelding van vlak A. Wij hebben dus:
De grenslijn van een vlak is de snijlijn met het tafereel van een ander vlak, evenwijdig aan het eerste, dat door het oog gaat.
Opmerking. De lezer zal hebben opgemerkt dat bovenstaande redeneering geheel overeenkomt met die omtrent het verdwijnpunt op pag. 120. Wij geven in overweging ook ons eerste bewijs der eigenschap van het verdwijnpunt (zie pag. 118) toe te passen op wijkende vlakken, derhalve op grenslijnen.
Voor een horizontaal vlak brengen we dus ook een horizontaal vlak



177
Bijzondere door het oog, dat het tafereel zal snijden volgens een gevallen. horizontale grenslijn. Een loodrecht wijkend vlak heeft een loodlijn tot grenslijn. Staat hel loodrecht op het tafereel (zie fig. 224),' dan loopt de loodrechte grenslijn door het oogpunt, maakt het scheeve hoeken met het tafereel, dan gaat de loodrechte snijlijn niet door het oogpunt. Vlakken, evenwijdig aan het tafereel, hebben geen grenslijn.
In fig. 225 ziet ge, dat de grenslijn O' van vlak A evenwijdig loopt met de snijlijn 6 van A met T. Dit is een gevolg van het feit dat beide lijnen b en O' snijlijnen zijn van de evenwijdige vlakken A en FO met T Passen we deze eigenschap toe op hellende vlakken, dan vinden we daarbij tweeërlei stand van de grenslijn. Een hellend vlak kan het tafereel snijden volgens een horizontale lijn of volgens een hellende; de stand van de grenslijn zal hiermede overeen komen.
Definitie ^en grenslijn is de lijn, tot waar een afbeelding van een onbegrensd wijkend vlak zich naar achteren kan uitstrekken.
Omtrent de beteekenis der grenslijnen in de perspecBeteekenis van tief maken we reeds dadelijk een kleine opmerking. grenslijnen. J r °
Neemt ge weer voor u de teekening der kamer (fig. 224),
dan wordt u duidelijk dat elke wijkende lijn in het loodrechte vlak haar verdwijnpunt moet vinden in de grenslijn van dat vlak. En omgekeerd geeft een verdwijnpunt van een lijn u de plaats van de grenslijn van het vlak waarin genoemde lijn ligt. Deze zal dus gaan door het oogpunt en moet een loodlijn zijn. Wilt ge nu twee evenwijdig hellende lijnen over den wand teekenen dan trekt ge de eene a en verlengt haar tot ze de grenslijn ontmoet. Het punt V is dan haar verdwijnpunt en hiernaar richt zich een tweede lijn b evenwijdig aan de eerste. Ge weet reeds dat horizontale vlakken op- of afloopen naar den horizon, we drukken dit dus nu uit door te zeggen, dat horizontale vlakken den horizon tot grenslijn hebben.
Toepassing. *n ^S- merkt ge vier grenslijnen op. In de eerste plaats den horizon H, de grenslijn van alle horizontale vlakken.
Ten tweede hebben de waterpasribben van het korte staande vlak P tot verdwijnpunt. Genoemd vlak staat loodrecht en heeft dus /een loodlijn tot grenslijn. Dit wordt dus de loodlijn door P.
Ten derde' de grenslijn van het deksel. De korte hellende lijn E van het deksel ligt in het loodrechte vlak, waarin ook het staande zijvlak ligt. Genoemd vlak heeft PV tot grenslijn. Alle lijnen in dit vlak hebben dus hun verdwijnpunt in PV. Verlengen wij dus E totdat ze PV ontmoet, dan geeft het snijpunt V het verdwijnpunt. Het hellende vlak van het deksel geeft bij snijding met het tafereel een horizontale snijlijn. De grenslijn zal dus ook een horizontale lijn zijn, die door V moet gaan.



178
Om de grenslijn van het diagonaalvlak abcd te vinden, handelen we geheel als bij het deksel. De lijnen cd en ba staan loodrecht
op het tafereel, hebben dus P tot verdwijnpunt. De snijlijn van het diagonaalvlak abcd met het tafereel, loopt evenwijdig met bc, de grenslijn dus ook. Deze zal derhalve zijn een lijn F, door P evenwijdig aan bc.
Aan het vorige verbinden we nog de volgende opmerkingen. Als ge weet, dat de diagonaal gd evenwijdig loopt aan lijn E, dan valt het u gemakkelijk de grenslijn van het diagonaalvlak door dg te bepalen (de waterpaslijn = door V).
Bedenk hierbij dat dit vlak evenwiidiff loont aan
het deksel en dat beide vlakken dus dezelfde grenslijn moeten hebben. Als ge er op let, dat iedere lijn in een bepaald vlak haar verdwijnpunt vindt in de grenslijn van dat vlak, dan valt 't u gemakkelijk van allerlei lijnen nu de verdwijnpunten te vinden. Zoo vindt ca haar verdwijnpunt, waar ca de grenslijn F snijdt. Evenzoo bd. Bepaal nu zelf eens de verdwijnpunten der diagonaal in het deksel en in het diagonaalvlak dat door gd gaat.
Opgaven.
425. Van een schommel staat de balk, waaraan hij hangt, evenwijdig aan het tafereel. De touwen hangen loodrecht. Bepaal de grenslijn van de loodrechte vlakken, die de touwen onder het schommelen beschrijven. Wat weet ge van de grenslijnen van de plank onder het schommelen? In welken stand heeft het vlak van de plank geen grenslijn ?
426. Van het vlak E B C (fig. 31, pag. 12) moet de grenslijn worden bepaald. Hiertoe bepalen wij de verdwijnpunten van twee lijnen van het vlak; de grenslijn gaat dan door deze twee verdwijnpunten. Wat is het verdwijnpunt van B C (te bepalen met behulp van A D)? Om het verdwijnpunt van E B te vinden, zoeken we eerst het verdwijnpunt van haar projectie



179
B D, dat in den horizon ligt. De grenslijn van het staande vlak B D E is de loodlijn door laatstgenoemd verdwijnpunt. Het verdwijnpunt van B E is nu het snijpunt van B E met deze grenslijn. — De gevraagde grenslijn van E B C is de lijn, getrokken door de verdwijnpunten van B C en van B E.
427. Bepaal op dezelfde wijze de grenslijnen van de beide zichtbare dakvlakken van het huisje in fig. 54, pag. 25.
428. Bepaal de grenslijnen van de beide staande vlakken van den t or.en in fig. 205, pag. 152. Om de grenslijn te vinden van een der driehoekige dakvlakken merken we op, dat de verdwijnpunten der schuine lijnen van den driehoek niet zijn te bepalen, omdat de eene evenwijdig loopt aan het tafereel en de andere als een loodlijn gezien wordt. Wij maken nu gebruik van een willekeurige lijn, die we uit het voorste hoekpunt van den driehoek naar de overstaande zijde trekken. Bepaal daarvan de horizontale projectie en zoek dan evenals in de vorige opgave het verdwijnpunt van die willekeurige lijn.
429. Bepaal de grenslijn van het loodrechte vlak van den oprit van fig. 210, pag. 155, en vervolgens die van het schuine vlak.






Bij den uitgever dezes zijn mede verschenen:
S. P. Bakker en C. L. Bruist, Teekenoefeningen voor de Lagere School. Oude Serie. 12 nummers a f 0,\7ll%. Kieuw© Serie. 10 nummers a f 0,20.
Teekenschrift voor de Lagere School in 10 nummers.
P. Lz. Berghuis, Perspectief. Leerboek voor hen, die studeeren voor de akte Handteekenen lager onderwijs of voor de Hoofdakte, ten dienste van Bouwkundigen en ten gebruike op Teekenscholen. Met 61 tusschen den tekst gedrukte figuren. Zesde druk f 1,75.
H. J. van Dijk, Het Perspectievisch schetsen zonder constructie, ten dienste van hen die voor teekenacte studeeren f 1,50.
M. H. van Gestel, Methodiek van het Teekenonderwijs op de Lagere School, ten dienste van hen, die studeeren voor eene Teekenakte, voor de Hoofd- of Onderwijzersakte. Met 66 tusschen den tekst geplaatste figuren. Zevende, verbeterde en vermeerderde druk f 0,90.
S. Goslinski Jr., Perspectief. Voor examen Hoofdakte en teekenakte L. O. f 1,35.
D. Lako, Methodiek van het Lager Onderwijs in Teekenen. Met platen-atlas. Prijs, met atlas ƒ 2,90. Gebonden ƒ 3,50.
D. Lako, Overzicht van de Geschiedenis van het Teekenonderwijs, meer bepaald met het oog op de ontwikkeling van het Teekenonderwijs in Nederland f 2,—, gebonden f 2,75.
G. A. Scholten, Het Lijnteekenen als voorbereiding voor het Vakteekenen. Eerste deel. Handleiding ten gebruike aan AmbachtsDag- en Avondscholen, Teekeninrichtingen, H. B. Scholen en voor Zelfoefening. Met 21 platen en 66 figuren tusschen den tekst. Vierde druk f 0,90. — Tweede deel. Handleiding voor Voortgezet Teekenonderwijs en voor Zelfoefening. Met 105 figuren tusschen den tekst en 44 platen f 4,25.
G. A. Scholten, Het Projectieteekenen als voorbereiding voor het Vakteekenen. Eerste stuk. Handleiding ten gebruike aan AmbachtsDag- en Avondscholen, Teekeninrichtingen en voor Zelfoefening. Met 70 figuren tusschen den tekst. Vierde druk f 0,90. — Tweede stuk. Handleiding voor Voortgezet Teekenonderwijs en voor Zelfoefening. Met 229 figuren tusschen den tekst. Tweede, vermeer, druk f 3,75.
Herman J. de "Vries, Projectie Opgaven voor Hoogere Burgerscholen en ten dienste van candidaten voor Teekenacten. Eerste deel. Gebonden f 1,10. Tweede deel. Gebonden f 1,10.
Herman J. de Vries, Meetkunstige Constructies en Meetkunstig Vlakornament. Ruim 50 opgaven voor het aanvangsonderwijs in het teekenen met instrumenten. Gebonden f 1,10.



uitgaven van d. mus, tiel.
Methode ZWIER en JANSMA.
125 Wandplaten voor Teekenonderwijs, £ in kleur.
Prijs compleet f 30,—■ opgeplakt ƒ 80,— le Serie No. 1— 44 » 10,— » » '27,50. Derde druk. 2e » No. 45— 88 » 10— » » 27,50. Derde druk. 3e » No. 89—125 ï 10,— » » 25,—. Tweede druk.
Teekenpapier bij de Wandplaten per boek ƒ 1,35; per riem ƒ 25,—.
Vijf en twintig vrije motieven,
aanvulling van de seriën I en II der Wandplaten. Prijs f 6,—, opgeplakt f 16,—.
Toelichting
bij de Vijf en twiniig vrije motieven f 0,60.
Het teekenen naar vlakke Figuren.
Handleiding bij het voorbereidend teekenen, bij het teekenen naar vlakke voorwerpen en bij het teekenen naar de Wandplaten in kleur. Met vele figuren, en 17 platen in kleur. Zesde, herziene druk f 4,50 ingenaaid, f 5,25 gebonden.
Het teekenen naar de Natuur.
Handleiding voor de Lagere School. Met tal van figuren. ƒ 3,75 ingenaaid, f 4,50 gebonden.
Voorbereidend Teekenen.
Zes Stukjes. Eerste Stukje, zesde druk. Tweede Stukje, vijfde druk. Derde Stukje, vierde druk. Vierde en Vijfde Stukje, derde druk. Zesde Stukje, tweede druk. Prijs van ieder Stukje ƒ 0,15.
Een Leergang voor het Teekenonderwijs.
Ten behoeve van Kweek- en Normaalscholen. Tweede druk f 0,60.
*' Een fraai geïllustreerd prospectus met beschrijving der methode wordt op aanvraag gratis en franco toegezonden.