§ 114. Correspondeerende stershoogten. Eene vaste ster volgt bij hare schijnbare dagelijksche beweging aan den hemel eene baan, die in den meridiaan haar hoogste punt (culminatie-punt) bereikt. Bij twee standen, vóór en na de culminatie, als de ster zich op dezelfde hoogte bevindt, maken de hoogtecirkels van de ster aan weerszijden gelijke hoeken met den meridiaan. Meten wij dus in beide gevallen den horizontalen hoek tusschen de richting van de ster en de lijn, waarvan wij het azimuth willen kennen, dan is de halve som dier twee hoeken het gevraagde azimuth. Zij TN, fig. 125, de richting van den meridiaan, zijn TS en TS' de richtingen van de ster in de twee standen vóór en na de culminatie en zij TA de lijn, waarvan wij het azimuh willen bepalen, dan meten wij den eersten keer hoek ATS=m, m 4" n de tweede maal ATS' = n; het arithmetisch gemiddelde —^— geeft dan den gevraagden hoek NTA. Bij de practische uitvoering richt men met een theodoliet eerst op het punt A en dan op de ster in den stand S; uit het verschil van de twee aflezingen vindt men dem hoek m. Vervolgens laat men den theodoliet staan, tot de ster na de culminatie weer ongeveer dezelfde hoogte bereikt heeft, richt den kijker dan op de ster, zonder hem om de tweede as te draaien en wacht, terwijl men den verticalen draad door draaiing om de eerste as ook op de ster brengt, tot de ster zich op den horizontalen draad bevindt. Door nu, na op den eersten cirkelrand afgelezen te hebben, weer op A te richten en af te lezen, vindt m -f- n men den hoek n; waaruit eindelijk het azimuth «H ^ volgt. L jif* Het tweemaal richten op A is noodig om daardoor de tout, voortspruitende uit een verdraaiing van den theodoliet, tusschen de twee metingen, die geruimen tijd na elkander plaats hebben, te elimineeren. Op deze wijze te werk gaande, kan men zelfs in dien tusschentijd het instrument opbergen, zoo men er slechts voor zorgt, dat de vizierlijn van den kijker bij de twee metingen denzelfden hoek met den horizon maakt. De ster, die men voor deze meting kiest, moet, om de meting onder de gunstigste omstandigheden te-verrichten, zich bij eene geringe hoogte in een vlak bevinden , ongeveer loodrecht *v den meridiaan. Wegens de onregelmatige straalbuiging bij al te geringe hoogte, moet men echter geen waarnemingen doen bij hoogten kleiner dan 10°. namelijk de ster altijd te hoog, zoodat eerst nog voor die straalbuiging eene correctie moet worden aangebracht. Om de meting onder de gunstigste omstandigheden te verrichten , moet men weer eene ster kiezen, die zich bij eene niet te groote hoogte, zoo dicht mogelijk bij het oost- of het west. punt van den horizon bevindt. Hoogten beneden de 10° zijn echter wegens de onregelmatige straalbuiging te vermijden. 1 § 118. Eenige opmerkingen omtrent bovenstaande metingen. Zoöals wij bij de behandeling van den theodoliet gezien hebben, .zijn de fouten in de regeling van des te grooteren invloed op de meting, naarmate de elevatie van de vizierlijn grooter is. Hier dus, waar men bij de sterren of bij de zon altijd met betrekkelijk groote elevatiehoeken te doen heeft, moet men er vobr zorgen, dat het instrument zoo goed mogelijk geregeld is, en dat men steeds door het doen van twee metingen in twee verschillende standen van den kijker, de nog overgebleven fouten elimineert. Het behoeft geen betoog, dat men om dezelfde reden goed moet zorgen voor de juiste verticaal-stelling van de eerste as. \m ii. Kan men de azimuthsbepaling met behulp van de sterren , niet in de schemering verrichten, maar moet men daarmede tot 'snachts wachten, dan is het meestal zoo donker, dat men de kruisdraden in den kijker niet meer kan zien. In een dergelijk geval moet men op de eene of andere wijze de lichtstralen, van eene ter zijde aangebrachte lichtbron, door het objectiefin den kijker doen vallen, om zoodoende het gezichtsveld en de draden zichtbaar te maken. DRIEHOEKSMETING. § 119. Vorm van het net. Voor de opmeting van het net volgens de driehoeks-methode, moet dit net bestaan uit eene aaneenschakeling van driehoeken, waarvan dan minstens eene zijde (basis) en verder alle hoeken gemeten worden. De grootte en de vorm van de driehoeken, de ligging van de basis en hare verbinding met het driehoeksnet, hangen voor een groot gedeelte van het terrein af. Voor de nauwkeurigheid van de opmeting moet men er echter voor zorgen, dat de driehoeken zooveel . mogelijk gelijkzijdig zijn, dat de hoeken dus niet te scherp of te stomp worden, hoeken kleiner dan 20 a 30 graden moet men zooveel mogelijk vermijden, omdat fouten in de hoeken dan aanleiding kunnen geven tot groote fouten in de lengten der daaruit berekende zijden. De basis, zoo die niet een van de zijden van het net vormt, moet door een stel driehoeken, dat aan dezelfde voorwaarden voldoet, met een dier zijden verbonden worden. De basis, zoo er slechts één is, tracht men zooveel mogelijk in het midden van het net te brengen; meet men, zooals aanstonds zal behandeld worden, voor de controle meer bases, dan worden deze-zooveel mogelijk over het net verdeeld. §120. Basismeting. Het meten van de basis, die den grondslag vormt voor de afmetingen van het geheele net, moet met de uiterste zorg geschieden. Men moet daarvoor dus een vlak, zoo *mogelijk horizontaal, terrein kiezen, liefst den zijkant van een rechten weg of een vlak weiland, waarop de basis mei behulp van meetlatten twee- of meermalen gemeten wprdt, om uit het gemiddelde van die metingen de lengte zoo nauwkeurig mogelijk te vinden. Zijn er meer bases, dan worden zij alle op dezelfde wijze gemeten. Daar hun aantal altijd zeer klein is, kan men aan die meting alle noodige zorg besteden om een goeden grondslag te krijgen voor de berekening van het net. Kan men voor de basis geen horizontaal terrein vinden, dan neemt men daarvoor een hellend maar vlak terrein, meet de basis langs dat hellende vlak en herleidt den gemeten afstand tot den horizon, door hetj hoogteverschil van zijn twee uiteinden te bepalen. § 121. Hoekmeting. Het meten van de hoeken geschiedt , met behulp van den theodoliet of de sextant. Met den theodoliet kan men eiken hoek afzonderlijk meten of men kan bij eene rondmeting achtereenvolgens op alle in den omtrek gelegen hoekpunten richten. De laatste wijze van meten is meestal de voordeeligste. Heeft men den theodoliet bijv. in A, flg. 129, opgesteld, dan richt men achtereenvolgens op B, G, D, E, F en ten slotte weer op B (*), om zich daardoor te overtuigen, dat tijdens de rondmeting de theodoliet niet op den voet verdraaid is. Door de aflezingen twee aan twee van elkaar af te trekken, vindt men dan al de hoeken. Met ééne meting van de hoeken zal men zich nooit tevreden stellen, minstens zal men de hoeken tweemaal meten, waarbij men dan tevens van het doorslaan van den kijker en het verzetten van den rand partij zal trekken, om de fouten van het instrument zooveel mogelijk te elimineeren. (Zie ook bladz. 41 tweede alinea.) Tevens is het wenschelijk, bij die tweede meting in omgekeerde volgorde op de verschillende punten te richten, ten einde de draaiing (**), die het statief blijkens de ervaring door de inwerking der zon ondergaat, zooveel mogelijk onschadelijk te maken; ook zal men, doordat men onder eenigszins andere omstandigheden meet, eenige contröle hebben, o. a. op het maken van grove fouten. Wil men eene grootere nauwkeurigheid bereiken, dan zal men de hoeken meermalen meten, waarbij men dan, op'de wijze in § 42 behandeld, zorgt voor de systematische eliminatie van de fouten van den rand. Bij het meten volgens de repetitie-methode met den theodoliet en bij het meten met de sextant, moet natuurlijk elke hoek afzonderlijk gemeten worden. In het eerste geval geschiedt de meting op de in § 41 beschreven wijze; in het tweede geval (*) Van .de tweede meting voor B maakt men bij de berekening geen gebruik. (") Deze zoogenaamde pijler-draaiing heeft echter alleen bij zeer nauwkeurige metingen merkbaren invloed. zal men eiken hoek minstens tweemaal meten, om daardoor vergissingen te voorkomen en een nauwkeuriger resultaat te verkrijgen. § 122. Centreeren der hoeken. Bij de driehoeksmeting doet zich somtijds het geval voor, dat het instrument niet in de verticaal van het hoekpunt kan worden opgesteld. Dit heeft onder anderen plaats, als men tot hoekpunten neemt kerktorens, bliksemafleiders of andere terreinvoorwerpen, of indien het hoekpunt door eene baak is aangegeven, die men niet kan wegnemen om het instrument in de plaats te stellen. In dergelijke gevallen moet men het instrument ter zijde van het hoekpunt, zoogenaamd excentrisch opstellen, en uit de daar gemeten hoeken door berekening de hoeken in het ware hoekpunt afleiden. Deze berekening noemt men het centreeren der hoeken. t Zij A, fig. 130, het hoekpunt van de te meten hoeken, A' de standplaats van het instrument, dan meet men den'hoek BA'G in plaats van BAG; in de twee driehoeken ABG én A'GG, die beide hoek BGG tot buitenhoek hebben, heeft men nu: BGG = BAC '-\- ABA' = BA'C + AGA', of: .^j y BAG = BA'G—ABA' + AGA'; in de driehoeken ABA' en AGA' hebben wij verder: . . „ ., AA' . . ..„ sin ABA = —TrT' sin AA B, V AB en: AA' sin AGA' = , „ sin AA'G; AG en aangezien de hoeken ABA' én AGA' altijd zeer klein zijn, zoo kunnen wij de sinussen door de bogen vervangen, en vinden dus- voor de hoeken uitgedrukt in seconden: . _ ,, AA' sin AA'B ar,ROrt.„ ABA' =—:—— 206265", AB en: AA'sin AA'G „ AGA — 77, 20626o . AG Door deze waarden in de uitdrukking voor BAG te substitueeren, vinden wij eindelijk: BAC—nA'f' AA' sinAA'B ™„„n,„ , AA' sin AA'G .. UAL —BA O- — 20626o" -] —— 206265". Op geheel overeenkomstige wijze vinden wij: CAD » CA'D-AA'^cAA'G- 206265" + ^§^206265", DAE^DA'E-AA^M2 206265" +^^ 206265", FAV-va'v aa' 8inaa'e, AA'sin AA'F &Ah — AA F — 206265" -] — 206265", FAB —FA'P. AA' Sin AA'FonMaK» i AArsm AA'B nnn„„„ juus —JfA B — 206265" -f- — 206265", waarbij alleen valt op te merken, dat de hoeken AA'B, AA'C, AA'D, enz., altijd moeten geteld worden van de lijn AA' af,' draaiende in de richting van de wijzers van het uurwerk tot) aan de, lijnen A'B, A'C, A'D, enz.; zoodat bijv. de twee laatste dier hoeken grooter dan twee rechte hoeken en de sinussen dus negatief worden. Voor de berekening van bovenstaande correcties moet men de afstanden AB, AG, enz., kennen, waarvoor men echter met benaderde waarden kan volstaan, zoodat men die afstanden door eene voorloopige berekening met de niet gecorrigeerde hoeken uit het driehoeksnet kan vinden. Verder moet men den afstand AA' en een der hoeken AA'B, AA'G enz., kennen, die men door directe meting vindt (zié blz. 41 eerste alinea) of zoo dit niet mogelijk is door eene indirecte meting moet bepalen. Soms kan men in het laatste geval den afstand AA' afleiden uit den plattegrond van hèt bouwwerk, waarvan het hoekpunt een deel uitmaakt. Soms echter zal men daartoe eene kleine driehoeksmeting moeten verrichten, door van uit twee punten P en Q, fig. 131, die op een bekenden afstand a van elkaar gelegerl zijn, die hoeken «, 8, y en 3 te meten, waardoor de afstand AA' kan berekend' worden. Mocht ook één der hoeken AA'B, AA'G, enz., niet door. directe meting te vinden zijn ,t doordien men van uit A' niet op A kan richten, zoo heeft men een der punten P en Q, bijv. P, slechts zoodanig te kiezen, dat hoek PA'B kan gemeten worden; door daarvan den berekenden hoek PA'A af te trekken, krijgt men den gevraagden hoek AA'B. van b, zoo zou men omgekeerd voor a gevonden hebben M a, en evenzoo, wanneer men van c was uitgegaan, a, enz. Is n dus het aantal gemeten bases, zoo kan men voor de basis a, waarvan men bij de berekening uitgaat, nemen het gemiddelde —11 + 77 + 4 + enz.). Stelt men: b = (1 -f (3) b', c == (1 -f y) c', n\ b c ) enz., zoo zullen dus de uit de basis a berekende lengten der (Q —1— y —|— enz.X 1 -f- —!— I moeten vermenig¬ vuldigd worden, of wat op hetzelfde neerkomt de logarithmen (Q -4— y -4— enz \ 1 -{-. ———' 'J moeten worden vermeerderd. Daar /3 + y + enz. ,. , ,, P + V -f enz-\ . —■ ! eene kleme grootheid is, is log\ 1 H ' I = n \ n I — M — — - — eDZ' te stellen, als M de modulus van het Brign giaansche logarithmenstelsel is. Gaat men verder na, dat b c —=14-8,— = 1 -j-y, enz., dus ook log b — log b' = log(1 + (3) = b c = MP, log c — log c' = My, enz., dan geven MP, My enz. de verschillen aan van de logarithmen van de gemeten waarden van de bases verminderd met de logarithmen van de met behulp 0 4-y 4- enz. , 1 van a berekende waarden, terwijl dus ook M de n gemiddelde waarden van deze verschillen is. In verband hiermee kan dus de vereffening, der lengtemetingen als volgt worden uitgevoerd. Uitgaande van de gemeten waarde van a berekent men,, nadat de vereffening der hoekmetingen heeft plaats gehad, de logarithmen van alle zijden van het driehoeksnet, berekent nu de verschillen tusschen de logarithmen der gemeten en de logarithmen der berekende waarden van de gemeten bases b, cL enz., neemt het gemiddelde van deze verschillen en telt dit gemiddelde' op bij de logarithmen van alle zijden van het driehoeksnet, Dikwijls wordt ook slechts de gemeten lengte van ééne basis, die dan zooveel mogelijk in. het midden van het net is gelegen, bij de berekening aangehouden; de overige bases dienen dan slechts tot contröle. § 126. Bestaat het net uit eene aaneenschakeling van drie- hoeken, zooals in flg. 132 is voorgesteld, die tusschen twee nauwkeurig gemeten bases AB en LM gelegen zijn, dan zorgt men eerst, dat in eiken driehoek de som der hoeken 180° is,, en gaat dan na of de beide bases samen overeenstemmen. Uit fig. 132 vindt men namelijk de «betrekking: AB sin Ax sin B2 sin C3 sin D4 sin FB sin Ee sin HT sin Gs sin' Ig sin Kw = LM sin Cx sin D2 sin EH sin Ft sin GB sin H6 sin I7 sin K8 sin L9 sin M10. Wordt aan deze vergelijking niet juist voldaan, dan moet aan al de daarin voorkomende hoeken eene correctie ±x worden aangebracht, die op dezelfde wijze als in de vorige paragraaf bepaald wordt. De nauwkeurigheid van de opmeting van een dergelijk net kan men veel vergrooten en de controle veel vermeerderen door, zooals in fig. 143 is voorgesteld\ ook de diagonalen AD, GE; enz., te nemen en dus het geheel te verdeelen in een stel vierhoeken, waarin beide diagonalen voorkomen. De véreffening van de fouten kan men dan in dier voege uitvoeren, dat men elk van de vierhoeken ABGD, GDEF, enz., afzonderlijk beschouwt. Nemen wij den vierhoek ABGD, dan moet de som van de 8 gemeten en in de figuur door létters aangegeven hoeken gelijk aan 360° zijn; is dit niet het geval, dan wordt het verschil gelijkelijk over de 8 hoeken verdeeld' Vervolgens moet a2 +c1 = d2Arb1 zijn; een verschil hierin wordt gelijkelijk over de vier hoeken verdeeld, met dién verstande, dat de hoeken in het ééne lid eene positieve, die in het andere lid eene gelijke negatieve correctie krijgen. Hetzelfde doet men met de hoeken. alt b2, c2 en dlt als niet aan de voorwaarde Bl + b2 = c2 -f dt voldaan is. Eindelijk moet nog voldaan worden aan de betrekking: sin als wiJ AB = A'B' = a, BG = B'C = b en hoek A'B'A" = G'B'C" = 0*f stellen: Inhoud AA"B'B = a (DC -f CC") = a (2rr du bdf>. De inhQud van den sector A'B'A" is gelijk: i B'A'2 X hoek A'B'A" = \ a* dty en die van den sector BPB', als wij BP = c en den hoek BPB' = d? stellen: i BP2 X hoek BPB' = i c2 d die door de lijn AP wordt beschreven, wanneer men zich den planimeter in den stand van flg. 16P (waarbij PC loodrecht staat op (74 n l ïï ^"1 bÜ de draayD^ om de Pool Pbeweegt dan het rolletje met. De constante B hangt o. a. af van de lengte van den arm BP = C; bij sommige planimeters kln van '%ZT* T Vei'anderd Worden' waardoor ook de con stante B tot een rond getal kan worden gemaakt. § 163 Regeling van den planimeter en bepaling van de constanten Zooals wij' boven zagen, kan aan de fwee con staten een bepaalde waarde worden gegeven door regobng van de lengte resp. van AB en van BP. Bovendien moet ookTnler en neemt men het gemiddelde der beide uitkomsten, zoo is hieruit de invjoed van.eene kleine fout in de richting van de as van het rolletje geëlimineerd. Deze instrumenten noemt men compensahe-poolplanimelers. Is de stand van de as onderzoeht, dan kan men de lengte van den arm a regelen, door eene figuur van bekenden inhoud na te meten en te zien of daaruit voor de constante A = 2,rar de juiste waarde, overeenkomende met een rond getal volgt' Is dit met het geval, maar vindt men met de opgegeven waarde van A den inhoud bijv. Je groot, zoo is, dit een bewijs dat a kleiner is dan de lengte, die met de aangenomen waarde' van A overeenkomt en zal de arm dus langer gemaakt moeten worden; vindt men den inhoud te klein, zoo moet men den arm uitschuiven. Is I de inhoud, dien men moet vinden en I' de gevonden inhoud, dan zal men den arm het bedrag: • l' — I . f-a: x moeten uitschuiven, hetgeen gemakkelijk geschieden kan door na losdraanng van de klemschroef L, de micrometerschroef M het vereischte bedrag te draaien en daarna dë klemschroef weer vast, te zetten. De voor dit onderzoek benoodigde figuren van bekenden inhoud kan men verkrijgen door eenvoudige figuren, zooals cirkels rechthoeken of driehoeken, zuiver op papier te teekenen en uit de met een dubbelen decimeter te vinden afmetingen de inhouden te berekenen. Ook worden bij de planimeters voor dat doel zoogenaamdeproefcvrkeU geleverd; deze bestaan uit een koperen plaat, waarin enkele cirkels van bekenden inhoud gegrift zijn of uit een dun koperen lineaaltje, waarin eenige fijne gaatjes op nauwkeurig bekende afstanden zijn aangebracht.' Zet men een dergelijk lineaaltje met eene fijne naald door een der gaatjes op het papier vast en steekt de punt van de stift des planimeters in een ander gaatje, 'dan kan men de punt van die stift eer. cirkel van bekenden straal om de naald .laten beschrijven Is eindelijk de lengte van de stang a geregeld en haar stand nauwkeurig voor later gebruik verzekerd, dan kan men de waarde van de constante B bepalen, door eene figuur van bekenden inheud te meten met de pool daarbinnen geplaatst en zoo mogelijk de grootte van B regelen door verandering van de leng e van den arm BP. De planitoeter wordt echter zelden gebruikt met de pool binnen, omdat de metingen in dezenstand uitoefent, bestaat daarin, dat men de inhouden van de-perceelen, die samen een groep vormen, samentelt, de figuur door deze perceelen gevormd afzonderlijk opmeet en beide inhouden samen vergelijkt. Een groot verschil tusschen beide inhouden wijst natuurlijk op eene fout, die opgespoord en verbeterd moet worden. Kleine verschillen zullen altijd voorkomen ten gevolge van de onvermijdelijke fouten in de waarnemingen. Aangezien, de inhoudsbepaling van grootere figuren-altijd veel nauwkeuriger is dan die van kleinere, vooral ook als men daarbij gebruis maakt van de nauwkeurig bekende inhouden van de vierkanten op de kaart of van de driehoeken of veelhoeken van het net, zoo zal men de inhouden van die groote figuren behouden en bovengenoemde kleine verschillen percentsgewijze over de verschillende perceelen verdeelen. Iets dergelijks heeft plaats bij eene planchet-opneming. Het terrein op een planchet voorgesteld is namelijk meestal begrensd door een rechthoek van nauwkeurig bekenden inhoud. Heelt men nu de inhouden van alle geheele perceelen en gedeelten daarvan, die op het planchet voorkomen, gemeten, dan moet hunne som gelijk zijn aan den nauwkeurig bekenden inhoud van het op het planchet voorgestelde terrein. Kleine verschillen worden hier wederom percentsgewijze verdeeld. Mocht het planchet een te groot aantal perceelen bevatten, om op deze wijze génoegzaam contróle op de inhoudsbepaling uit te oefenen, dan verdeelt men het planchet eerst in vier of meer gelijke rechthoeken, die ieder op dezelfde wijze behandeld worden. HET UITZETTEN VAN RECHTE LIJNEN EN CIRKELBOGEN. § 166. Het uitzetten van rechte lijnen. Door het uitzetten van-eene rechte lijn verstaat men het bepalen en aangeven van een voldoend aantal punten der lijn, die door twee terreinpunten, welke in den regel de eindpunten der lijn zijn, gegeven is. Het aangeven der punten op het terrein geschiedt met behulp van jalons, baken of piketten - op de wijze als in § 108 voor de hoekpunten van een driehoeksnet is uiteengezet. Het bepalen van de plaats der punten geschiedt voor korte lijnen op het oog, door langs de zijkanten der beide baken te richten, die in de twee gegeven punten der lijn geplaatst zijn, öf — zoo men nauwkeuriger wil werken — met behuip van de équerre-op de in § 79 aangegeven wijze; voor lange lijnen echter en daar, waar groote nauwkeurigheid verlangd wordt, met behulp van een theodoliet. Daartoe kan men den theodoliet in het eene eindpunt A der OTt te zetten lijn AB, flg. 163', opstellen, richten op^het andere eindpunt B, en vervolgens in verschillende tusschenpunten F, B, D, C, te beginnen met het meest verwijderde, jalons of baken in het verticale viziervlak laten plaatsen. Bij eene eenigszins lange lijn is het echter doeltreffender om eerst op de beschreven wijze het naastbijgelegen punt C uit te zetten, vervolgens de lijn AG te verlengen tot D, door in G met behulp van den theodoliet een hoek van 180° uit te zetten daarna wederom de lijn CD op gelijke wijze te verlengen, door in D een hoek van 180° uit te zetten, enz. Dit uitzetten van hoeken van 180° geschiedt dan steeds door de alhidade 180° om de eerste as te draaien en niet door den kijker door te standen TxFi en T2F2 uitzetten, die blijkens de figuur gelijk zijn aan: 1\FX = FXM = MF2 = F2T2 = OT2tg [* = Btg 1 « . . (4) Alsdan moeten de punten F1} M en F2 in ééne rechte lijn gelegen zijn, terwijl FXM en F2¥ beide gelijk gevonden moeten worden aan de uitgezette stukken T-Fi = T2F2. Deze methode is vooral daarom aan te bevelen, omdat men daardoor gelijktijdig de raaklijn in het punt M vindt, waarvan men bij het uitzetten der detailpunten kan gebruik maken. Ter bepaling van het punt M kan men ook nog, na de tangentenpunten Ti en T2 bepaald te hebben, van uit deze punten in de richtingen tiH en T2H de afstanden: TxE{ — 1 \E2 = 1\G = T2G = 01\ sin \J § 169. Het uitzetten der detailpunten. Er bestaan verschillende methoden, om ten opzichte van de uitgezette hoofdpunten de detailpunten te bepalen. In hoofdzaak geschiedt dit dooT de eenmaal afgebakende hoofdrichtingen TXH en T2H als abscissenassen aan te nemen en dan door rechthoekige of poolcoördinaten de verschillende punten van den boog aan deze assen vast te leggen; of wel maakt men gebruik van volgens deze wijze reeds uitgezette punten, welker verbindingslijnen hulprichtingen vormen, die dan telkens als nieuwe abscissenassen worden aangenomen. Met het oog op de nauwkeurigheid is het verder wenschelijk, dat de ordinaten, welke van deze abscissenassen worden uitgezet; niet langer worden dan 15 a 20 M. Bij groote bogen zal men daarom niet alleen van' de hoofdrichtingen TXH en T2H, maar ook van de raaklijn in M als > abscissenas uitgaan, waardoor de boog dan in vier afzonderlijke stukken wordt uitgezet. Bij zeer lange bogen kan men bovendien nog van de punten Mx en M2 en de raaklijnen in die punten gebruik maken. De verschillende methoden tot het uitzetten der detailpuntenzullen hier achtereenvolgens worden uiteengezet. 1°. Rechthoekige coördinaten"met gelijke dbscissenverschillen. Bij deze methode neemt men de raaklijn TH, fig. 166, in het tangentenpunt T als abscissenas aan. De ordinaat AnBH — y van den boog, behoorende bij de abscis TA„ = x, wordt dan gevonden uit: y = AnBn= OT— OC—R—WR^ — x2 ..... (7) De wortelgrootheid kan met behulp van eene kwadraattafel, . of, geschreven in den vorm V (B + x) [R — x), met behulp van logarithmen berekend worden. Intusschen zal het om voldoende nauwkeurigheid te verkrijgen meestal noodig zijn, eene zeer uitgebreide kwadraattafel of eene logarithmentafel met 7 decimalen te gebruiken. Daarom geeft men er meestal de voorkeur aan., om de uitdrukking (7) in eene reeks, namelijk: . ^«-^(l-5)- = S+8^+lW+lS+-(8) té ontwikkelen en voor de eenvoudigheid der berekening de abscissen met gelijke verschillen te doen opklimmen. Men zet dös in dit geval op de raaklijn TH gelijke stukken TAX m A{A2 = A2AS, enz., uit, richt in de aldus verkregen punten Alt A2, A3, enz., loodlijnen op en zet daarop de volgens (8) berekende waarde der bijbehoorende ordinaten A1B1 = ylt A2B2 = y2, enz., uit. Heeft men de termen der reeks (8) dan voor-a; = TAX m xx berekend, zoo worden deze voor x = TA2 = x2 = 2xx gevonden door vermenigvuldiging der termen met 4, 16, 64, enz. In het in de noot op blz. 217 vermelde werkje van Sarrazin en Oberbeck vindt men tabellen, waarin voor de meest voorkomende stralen R de waarden y voor verschillende regelmatig opklimmende waarden van x zijn opgegeven. 2°. Rechthoekige coördinaten met gelijke boogverschillen. Terwijl bij de vorige methode op de abscissenas gelijke stukken werden uitgezet, en de bijbehoorendo ordinaten hiervoor-werden berekend, zoo worden nu de abscissen TAx^x,, TA2 — x2, enz., flg. 167 en de ordinaten A1B1 = yl, •A2B2 — y2, enz., telkens zoo bepaald, dat de aldus verkregen bogen TBlt BXB2, enz., onderling gelijk zijn. Stelt men de lengte van deze gelijke bogen door b voor, dan heeft elk dezer bogen een middel- , , . „ 180 b puntshoek 8 = . — graden. 5T R De coördinaten van een willekeurig punt B„, waarvan de afstand tot T, langs den boog gemeten, nb bedraagt, worden dan gevonden uit' de formules: X=-RsinnP, en: F= R (1 — cos n8) = R. 2 sin2 ~ 0. (9) Deze waarden kunnen achtereenvolgens voor n=l, 2, 3, enz. worden berekend en op het terrein uitgezet. In het op blz. 216 genoemde werkje van Kröhnke vindt men tabellen, waarin voor de meest voorkomende stralen de bij elkander behoorende waarden van X en Y voorkomen voor het uitzetten van bogen volgens deze methode. Het uitzetten van bogen volgens beide methoden komt ongeveer op hetzelfde neer.; de eerste is in het gebruik iets eenvoudiger.dan de tweede, omdat de abscissen daarbij steeds een veelvoud van een rond aantal meters (bijv. 20) bedragen; daarentegen verdeelen zich de punten, vooral bij groote bogen, ongelijk over den boog. Bij de tweede methode verdeelen zich de punten gelijk over den boog en heeft men bovendien het voordeel, dat men door het nameten der bogen contröle op de meting kan uitoefenen. Deze contröle kan men bij de laatste methode nog verder uitstrekken, door telkens een punt (B„ _,) met het tweede daaropvolgende (Bn + l) te verbinden en den afstand van het tusschengelegen punt-(B„) tot deze verbindingslijn te meten; voor dezen afstand moet men steeds dezelfde waarde, namelijk B. 2 sin2 ±8, vinden. 3°. Poolcoördinaten. Bij déze methode zet men van uit het tangentenpunt T met behulp van den theodoliet, fig. 168, de hoeken HTBx = y, HTB%=s2y, HTB3 = 3y, enz., uit^ welke zoodanig gekozen zijn, dat de koorden der bogen TBX, BXB%, -BgBg .... juist gelijk zijn aan de lengte van den meetband (of eene andere vaste maat). Stelt men de lengte dezer koorden door c voor, dan is, aangezien de middelpuntshoek T0Bx — 2y is, c=2 Rsiny, en dus omgekeerd zal y volgen uit de formule: smy = -—jï (10) Bij het uitzetten wordt de band met het eene uiteinde in een reeds uitgezet punt van den boog geplaatst, terwijl het andere uiteinde door middel van den theodoliet gericht wordt. Mocht men tengevolge van terreinhindernissen, bij het richten van uit T niet verder kunnen komen dan bijv. het punt B3, dan wordt de theodoliet naar dat punt verplaatst en de boog verder van uit dit punt uitgezet. Om in dit punt Bs de richting deiraaklijn B3H' te bepalen, richt men den theodoliet op T, en draait daarna de alhidade een hoek TB3H, die in dit geval gelijk is aan 180°—3y. In het meergenoemde werkje van Sarrazin en Oberbeck vindt men voor de meest voorkomende stralen de waarden van y en van de veelvouden daarvan. 4°. Ingeschreven veelhoek. Uitgaande van het beginpunt of tangentenpunt T, fig. 169, kan men ook een regelmatigen ingeschreven veelhoek TC&Cs, enz., uitzetten met behulp van de léngten der zijden en de grootten der hoeken. Neemt men hierbij de lengten der zijden TGi = CXG2 = 02Cg = enz = d aan, dan zal de. zijde TGX met de raaklijn TH een hoek HTGX = 3 maken, waarvan de grootte volgens vergelijking (10) bepaald wordt uit: ' ^ s ' d ■ de hoek ATCX zal derhalve 180° — 5 zijn en de hoeken van den veelhoek 180° — 22. Om dus den veelhoek uit te zetten, plaatst men in 2' een theodoliet, zet met behulp daarvan den hoek ATGX = 180° — S uit en bepaalt in de nieuwe richting een afstand TGX = (L. Daarna wordt de theodoliet naar het aldus gevonden purtt Gx verplaatst, waar een hoek 2'C1C2 = 180° — 25 en vervolgens in de nieuwe richting een afstand OjC^ = d worden uitgezet, enz. Met het oog op de gevorderde nauwkeurige centreeringen van den theodoliet neemt men de punten G liefst zoover mogelijk uit elkaar. Zijn de aldus verkregen punten C van den boog te ver uit elkaar gelegen, om den boog met voldoende juistheid aan te geven, dan kan men tusschen iedere twee opvolgende punten, bijv. tusschen G2 en G3, flg. 169, nog een punt Gs' bepalen, door de koorden G2G3 in P middendoor te deelen, en in P eene loodlijn PC3' op te richten ter lengte van den pijl p, die gevonden wordt uit: p=pc3' = oca'—op =11 — 1/ 'm—m2^ _B-B\1--~J _ — + _ + _ + enz. Móet men nog meer punten van den boog C2Cg hebben, dan worden deze van uit de uitgebakende koorde C2C8 uitgezet; de abscissen worden van uit het midden P van de koorde gemeten en de ordinaten loodrecht hierop uitgezet. Deze ordinaten y zijn blijkens flg. 170, waar het gedeelte C^q, van den boog uit fig'. 169 vergroót is voorgesteld, gelijk aan den pijl p, verminderd met de ordinaten y', gemeten van af de raaklijn CS'AS'. Deze laatste worden gevonden door toepassing van een dér methoden .onder 1° of 2°. 0°. Hulpraaklijnen. Na volgens de methode onder 2" zooveel mogelijk punten .Bi B2 • • • ■ Bn B.2„, fig. 171, van den boog te hebben uitgezet, bepaalt men in het laatst uitgezette punt met even rangcijfer, bijv/in B2h): de raaklijn. De richting. hiervan is bekend, wanneer nog een tweede punt van de raaklijn bepaald is. Het gemakkelijkst , leent zich daartoe het punt C, waar de raaklijn in B.2, de uitgebakende hoofdrichting TH snijdt. Zet men nl. van uit het bekende punt An den afstand AnG uit, dan is hierdoor de richting der raaklijn GB2n bepaald, ten opziehte van welke raaklijn nu weer opnieuw zooveel mogelijk punten van den boog worden uitgezet. .zijn, dat een vrij krachtige schok voor den geregelden gang van het instrument vereischt wordt; zoodat bij een eenigszins langzamen en voorzichtigen pas het raderwerk niet in werking komt. Ook geeft het instrument een pas aan bij eiken schok, dien het ondervindt, ook al wordt geen pas_voorwaarts gedaan, bijv. bij het overspringen of overklimmen 'van eene hindernis. Groote afstanden kan men, in plaats van door het aantal en de lengte der passen, ook door de marschsnelheid meten, welke hij eenigszins langen duur gemiddeld op ongeveer 5 K.M. per uur kan worden gesteld. Het spreekt vanzelf, dat ook deze voor ieder persoon onder zooveel mogelijk verschillende omstandigheden proefondervindelijk bepaald moet zijn opl de wijze, zooals hierboven Is uiteengezet.. Ook te paard kan men van dezelfde methode gebruik maken, wanneer de ruiter heeft nagegaan, hoe groot de afstand is, dien het paard in een bepaalden tijd in stap, draf of galop aflegt. Langs min of meer gebaande wegen kan men voor het meten van eenigszms aanzienlijke afstanden ook gebruik maken van het rijwiel, wanneer de lengte, die bij ééne omwenteling der trapas wordt afgelegd, bekend is en het aantal omwentelingen geteld wordt. Is aan. het rijwiel een cyclometer aangebracht, zoo kan de doorloopen afstand onmiddellijk in kilometers worden bepaald. I § 173. Het meten van richtingen en hoeken. In den regel worden bij eene globale opmeting geen hoeken, maar richtingen of azimuthen gemeten, omdat de hierin gemaakte fouten zich minder ongunstig ophoopen dan die, welke in de hoeken aanwezig zijn (zie § 131). Bij voorkeur maakt men daarom gebruik van de boussole, die volkomen dezelfde inrichting kan hebben als de in § 73 beschreven statiefboussole. Wegens de geringere eischen, die hier gorden gesteld, heeft de boussole echter meestal veel kleinere afmetingen, en vervalt het kogelscharnier voor de horizontaalstelling, terwijl het statief vervangen wordt door een eenvoudigen stok met ijzeren punt, die bij het gebruik verticaal in den grond wordt gestoken en waarop dan op de eene of andere manier de boussole wordt geplaatst. Na het gebruik kan de boussole in den zak worden gestoken en de stok als wandelstok' dienst doen. Dikwijls wordt ook gebruik gemaakt van boussoles, welke geen vaste opstelling noodig hebben (zak- of oriënteerboussoles). Een van de meest bekende inrichtingen van dien aard is de - zoogenaamde SMALKALDER-patentboussole, afgebeeld in flg. 173'bc. Deze onderscheidt zich van de statief boussole, behalve door hare kleinere afmetingen en de afwezigheid van een statief, hierdoor, dat de randverdeeling vast met de magneetnaald NZ verbonden en dus steeds in dezelfde richting ten opzichte van den meridiaan geplaatst is, en dat de,aflezing van den rand derhalve in het viziervlak vo' moet geschieden. Tot dit doel is voor de oculairspleet o een prisma p, flg. 178abc, aangebracht, dat, doordien het boven de randverdeeling geplaatste ondervlak bolvormig is afgeslepen, tevens als vergrootglas dienst doet. Het achter de spleet geplaatste oog ziet nu tegelijk den objectiefdraad en het nabij het viziervlak gelegen gedeelte der randverdeeling, welke alzoo kan worden afgelezen. Om _de groote schommelingen der naald spoedig tot een klein bedrag terug te brengen, is meestal eene rem r aanwezig, terwijl door aandraaiing van het schroefje -s de beweging van de naald kan opgeheven worden, wanneer de boussole niet meer wordt gebruikt. Daar het bij het meten uit de vrije hand moeilijk is, de naald volkomen tot rust te brengen, neemt men het gemiddelde van de aflezingen bij de uiterste afwijkingen der naald. Op hetzelfde beginsel berust de in fig. 174 afgebeelde zakboussole van Burnier; de randverdeeling is daar op een aan de naald bevestigden cylinder aangebracht, welke, in eene doos besloten is en door middel van eene loupe l wordt afgelezen. In het algemeen is' het meten uit de vrije hand veel minder nauwkeurig dan met behulp van eene vaste opstelling en tevens veel omslachtiger, wanneer veel richtingen op dezelfde plaats moeten woïden gemeten. Liever plaatst men daarom ook deze boussoles op een stok, waartoe de boussole van Burnier ook de gelegenheid aanbiedt. Nog minder nauwkeurig dan de zakboussole is het zoogenaamde kompas, waaraan geen vizierinrichting aanwezig is. Hierbij wordt gericht met de op de verdeeling aangegeven NZ-lijn en afgelezen aan den noordpunt van de naald. Meet men geen richtingen maar hoeken, zoo geschiedt dit in den regel met eene sextant van kleine afmetingen (zak- of doossextant), of wel met eene overeenkomstige inrichting, die soms gelegenheid geeft om den gemeten hoek, dus het dubbele van den hoek der spiegels, direct op de teekening uit te zetten (sextant-transporteur, reflector van 'Douglas). Zeer ruw kunnen hóeken ook op het oog geschat worden, doch dit is nog moeilijker en eischt nog meer oefening dan het schatten van afstanden. Kleine hoeken kan men op eerfige graden-nauwkeurig schatten, door een dubbelen decimeter met worden opgeteekend, voor het geval bij de meting over eene boussole kan worden beschikt. Gesteld, dat men de meting in A in de richting AB wenscht te beginnen, dan zal men eerst , de azimuthen der 3 in A uitkomende wegen bepalen en_ vervolgens de lijn AB afpassen, daarbij bijv. de as van den weg volgende. Van alle op AB, uitkomende wegen, slooten, heggen, perceelscheidingen, enz., neemt men onderweg de azimuthen op, benevens de afstanden hunner'snijpunten met de as AB van den weg tot het uitgangspunt' A. Van terrein voorwerpen,' buiten de meetlijn AB gelegen, raat men op het oog loodlijnen op AB neer, bepaalt de afstanden der voetpunten dezer lood-lijnen tot het punt A en schat of past af de lengten dier loodlijnen, benevens de afmetingen van het terreinvoorwerp. De ligging van voorwerpen, die verder van AB zijn afgelegen, kan men ook vinden door van uit 2 punten der lijn AB (of van andere meetlijnen) daarop te richten. Van kromlijnige grensscheidingen, zooals bijv. de vaart KL, meet men het azimuth der koorde KL en schat of meet daarbij den pijl van de kromming. Op overeenkomstige wijze worden tegelijk met het afpassen van AB alle( in de nabijheid der lijn AB gelegen voorwerpen opgenomen. Is de lijn AB zeer lang, zoo verdient het aanbeveling, van tijd tot tijd opnieuw het azimuth dier lijn op te nemen. Treft'men, zoo voortgaande, op een geschikten afstand van A een dwarsweg BC aan, zoo slaat men dezen in, na daarvan in B het azimuth bepaald te hebben, en meet, evenals niervoren voor de lijn AB is beschreven, alle terrein voorwerpen, die men tegenkomt, ten opzichte van deze lijn als meetlijh op. .Hetzelfde heeft plaats voor de lijnen CD, DE, EA, diè den eersten gesloten veelhoek, waarvan hierboven sprake was, voltooien, In het punt E aangekomen, heeft men natuurlijk de contróle, dat de afgepaste afstand EA en het gemeten azimuth dier lijn moeten overeenkomen met hetgeen de teekening daarvoor aangeeft. Nadat men zoodoende den veelhoek is rond gewéést en alles heeft opgemeten, wat in de onmiddellijke nabijheid der zijden lag, zal men nu eerst het binnenste van den veelhoek bijwerken, daarbij eventueel van open hulp veelhoeken gebruik makende, die aansluiten aan den hoofdveelhoek. Op overeenkomstige wijze wordt nu een tweede veelhoek onderhanden genomen, die tegen den veelhoek ABCDE aansluit, enz. Zooals reeds gezégd is, moet van het opgenomene nauw- A keurig aanteekening worden gehouden en wel zoodanig, dat iemand, die niet bij de opneming tegenwoordig is geweest, De bovengenoemde voorwaarden zijn niet alle even belangrijk: de eerste is de voornaamste. Is namelijk aan den tweeden eisch van regeling niet geheel voldaan of is de^as bij de opstelling niet zuiver verticaal gesteld, dan zal bij het richten in verschillende richtingen de bel niet blijven inspelen en dus ook de vizierlijn niet horizontaal blijven. Wanneer men echter telkenmale, vóórdat men op de baak afleest, de bel met de stelschroeven opnieuw doet inspelen, dan is, als slechts aan de eerste voorwaarde van regeling nauwkeurig voldaan wordt, de vizierlijn telkens horizontaal. Wel is waar blijft daarbij de vizierlijn niet volkomen in hetzelfde horizontale vlak, maar de daaruit voortspruitende -fout is. geheel oribeteekenend, zoolang de richtlijn van het niveau niet al te veel van den stand rechthoekig op de as of deze laatste te veel van den verticalen stand afwijkt. (*) Ofschoon dus* om deze reden deze laatste voorwaarden niej geheel mogen verwaarloosd O Dit kan binken uit de volgende berekening van de grootte ^van. de fout in een bijzonder geval. Laten A', B' en C, flg. 183, de horizontale projecties van de drie stelschroeven voorstellen en laten de beide baken zich ter'weerszüden van het instrument in het verticale vlak CD bevinden, dat rechthoekig staat op AB. Nemen wij dan dit vlak als verticaal projeotievlak aan . en onderstellen wij, dat M"V de in dit vlak gelegen omwentelingsas is, M"Vi de horizontale vizierlijn op het oogenblik, dat do kijker pp de linkerbaak gericht is, en 90° — t de hoek tusschen beide lijnen, dan zal, nadat de kijker 180° gedraaid is, M"E do nieuwe stand der vizierlijn zijn. Aangezien deze lijn en dus ook dé daaraan evenwijdige richtlijn met den horizon thans oen hoek 2 S maakt, zal — als de bel opnieuw met behulp van de schroef C tot inspelen wordt gebracht — het geheele instrument om de lijn AB een hoek 2J wentelen; het punt M" beschrijft daarbij het cirkelboogje M"m en de vizierlijn zal in den stand mK2 komen, op het oogenblik, dat de rechtorbaak wordt afgelezen. De vizierlijn bevindt zich dus bü het aflezen der rechterbaak .het bedrag mn hooger dan bjj het aflezen op de eerste baak. De daardoor veroorzaakte fout mn wordt gevonden uit de gelijkvormigheid van A A"M"F met het kleine driehoekje M"mn, waarvan de zijden loodrecht staan op die van den eerstgenoemden driehoek. Daaruit toch volgt: mn:A"F = rnüf * : A"M", mn = A"F X r^f,7 - X 2 Bij verplaatsing van de oculairbuis in verband met verschillende afstanden dient de vizierlijn den zelfden stand te behouden (verg. § 7). Gaat de lijn, volgens welke het kruispunt van de draden bij verplaatsing van de oculairbuis zich beweegt, niet door het optisch midden van het objectief, doch heeft deze lijn overigens een vasten stand, dan is deze afwijking niet hinderlijk, aangezien bij regeling van de vizierlijn voor een grooten afstand de fout bij kleinere afstanden een constante is. (*) Verandert echter de vizierlijn op onregelmatige wijze ten gevolge van onjuistheden in de constructie van hét instrument, zoo moeten bij het waterpassen de fouten, die bij de meting zouden (*) Het bewijs hiervoor kan als volgt worden gegeven, feit O, flg. 181, het objectief voor van den küker van een waterpasinstrument, F het brandpunt, CF de bü grooten afstand geregelde vizierlijn; zü FK de lün volgens welke het kruispunt van de draden beweegt, « de hoek die deze lün met de vizierlijn voor grooten afstand maakt; zü verder K de plaats van het kruispunt der draden bü het richten op eene baak in V, — CB = b is dan de beeldsafstand —, dan is PT' de fout voor den afstand O V = r. Nu is; VV =Vx boek VCV", hoek VCV = hoek KCB = -—--, b KB = « X FB, zoodat: b is de brandpuntsafstand^, dan is FB = b — f\ en: b ■ Uit de formule voor positieve lenzen: * b f volgt: x (b - n = bf, alzoo: VV' = 1x/= constante. / worden gemaakt, door bijzondere voorzorgen worden ontgaan (zie Hoofdstuk XXII). § 178.1 Opstelling en gebruik. Aannemende, dat het instrument, aan de in de vorige paragraaf genoemde voorwaarden voldoet, dan geschiedt de bepaling van het hoogteverschil van twee punten in het algemeen op de volgende wijze. Het instrument wordt zoodanig geplaatst, dat men op de baken, die op die twee punten opgesteld zijn, kan aflezen De as wordt vervolgens zoo goed mogelijk verticaal gesteld en de kijker op een der baken gericht. Speelt de bel dan niet volkomen in, dan moet men haar eerst doen inspelen door middel van de stelschroef, die zich het dichtst onder den kijker bevindt, en leest men daarna op de baak den stand van den horizontalen draad af. Daarna richt" men op de tweede baak, doet opnieuw de bel inspelen en leest weer af. Het verschil der twee aflezingen geeft dan het hoogteverschil. Mocht de vizierlijn niet zuiver evenwijdig zijn aan 'de richtlijn van het niveau, dan zal men in de meting eene fout maken, die men echter kan elimineeren door de standplaats van het instrument zoodanig te kiezen, dat het op gelijke afstanden van de twee baken verwijderd is {waterpassen uit het midden). Men maakt dan bij beide aflezingen dezelfde fout in denzelfden zin en deze vernietigen elkaar dus bij het aftrekken. § 179. Regeling. Ofschoon uit de vorige paragraaf gebleken is, dat men den invloed van eene niet-volkomen regeling, in het bijzonder van de vizierlijn ten opzichte van de richtlijn van het niveau, kan elimineeren door uit het midden te waterpassen, is het toch steeds gewenscht, zoo nauwkeurig mogelijk aan de in § 177 genoemde voorwaarden, doch in het bijzondér aan de eerste, de hoofdvoorwaarde, te voldoen, omdat het meestal moeilijk en soms onmogelijk is, zich streng aan het waterpassen uit het midden te houden. De wijze van onderzoek en de volgorde,, waarin de regeling moet plaats hebben, hangen geheel af van de inrichting van het instrument. Bij sommige instrumenten zijn kijker en niveau onderling en met de as vast verbonden en moet het onderzoek naar de hoofdvoorwaarde, namelijk naar de evenwijdigheid van richtlijn en vizierlijn op het terrein, volgens eene min of meer omslachtige methode plaats hebben. Bij andere instrumenten echter kunnen kijker en niveau, hetzij te zamen, hetzij ieder afzonderlijk, van de overige deelen van het instrument ver- nu eerst de - béide schroefjes S en S' aan de vorken, wanneer de vaste nok N', dat is dus die zondêr correctieschroef, er achtereenvolgens tegen wordt gelegd; vervolgens legt men de nok N met de correctieschroef tegen éeh van de beide schroefjes, en voert men de regeling uit met behulp van de correctieschroef aan die nok. In plaats van een der nokken van een correctieschroefje te voorzien, kan men ook het diaphragma draaibaar maken. De regeling geschiedt 4an door eerst een van de nokken, bijv. N', tegeh een der schroefjes, bijv. S', te leggen en dit 'schroefje te draaien tot de horizontale draad loodrecht op de as staat; vervolgens legt men de andere nok N tégen hetzelfde schroefje S' en onderzoekt of ook thans de draad nog loodrecht op de as is ; vertoont zich eene fout, dan wordt deze voor de eene helft weggenomen door middel'van het schroefje S', en voor de andere helft door het verdraaien van het diaphragma, waartoe bijv. eerst een bevestigingsschroefje K moet wordeji losgedraaid. Nadat nien zich overtuigd heeft, dat het schroefje tii In flg- 188 is een waterpasinstrument, dat van een dergelijk zoogenaamd reversieniveau is voorzien, afgebeeld. Zijn de twee richtlijnen,rdie het niveau aanbiedt, zuiver evenwijdig, dan kan de fout in den niet-evenwndigen stand van de vizierlijn ten opzichte van deze richtlijnen geëlimineerd worden door het doen eener tweede meting, na alvorens den kijker 180° om zijne lengteas gedraaid en daarna de bel wederom tot inspelen gebracht te hebben. Maakte de richtlijn BB' toch een hoek « en de vizierlijn VV' een hoek B met de as TT' .der tappen, dan zal in het eene geval, flg. 190», fle vizierlijn eene. elevatie «-f 3 bezitten; in het tweede geval, na draaiing van kijker en niveau om de as TT', flg. 190b, en na horizontaalstelling der tweede richtlijn B^', zal de vizierlijn echter, eene gelijke depressie « + /? hebben; het gemiddelde van de beide aflezingen op de baak zal dus van de regelingsfouten bevrijd zijn. Het is duidelijk, dat gelijkheid van de middellijnen der tappen hier geen vereischte is. Ook zal men hier kunnen volstaan met twee vaste nokken Nen N', die respectievelp tegen de schroefjes S en S' kunnen gelegd worden, omdat men den kijker slechte in twee standen behoeft te gebruiken. Bij de regeling van het niveau geschiedt het* onderzoek of de richtingen en de as der tappen in .hetzelfde vlak liggen op dezelfde wijze als in § 24 is vermeld. Tot het evenwijdig stellen van de richtlijnen aan de as der tappen wordt de kijker echter niet omgelegd, maar, nadat de bel tot inspelen is gebracht, 180° om zijne as gedraaid en de uitwijking, die zich dan vertoont, voor de helft weggenomen met behulp van de verticale correctieschroef aan het niveau. De bovenbeschreven eliminatie en regeling hangen af van de zuivere evenwijdigheid der richtlijnen: eene fout in dit opzicht kan niet worden weggenómen of geëlimineerd. Om het niveau in dit opzicht te onderzoeken, kan men — na den kijker nauwkeurig gecentreerd te hebben — een der richtlijnen op de in § 180 verklaarde wijzè evenwijdig aan de vizierlijn brengen; nu stelt men de geregelde richtlijn horizontaal, draait men dan den kijker 180° om zijne lengteas, dan moet de bel nog inspelen. Het spreekt vanzelf, dat*kleine fouten, die bij deze verschillende regelingen kunnen achterblijven, de juistheid van het onderzoek zullen schaden. Om dit onderzoek nauwkeuriger te maken, is bij de nieuwere instrumenten het reversieniveau zoodanig aan den kijker bevestigd, dat men het ook om- gekeerd, dat is met het rechteruiteinde links, met den ■ kijker kan verbinden. In dit geval geschiedt het onderzoek naar de evenwijdigheid der richtlijnen op de volgende wHze. Men richt den kijker op eene vastopgestelde baak, leest daarop bij inspelende bel af, en herhaalt de aflezing, na den kijker 180° om zn'ne as gedraaid en de bel opnieuw tot inspelen te hebben 'gebracht; het gemiddelde dezer aflezingen zou overeenkomen met den horizontalen stand der vizierlijn, zoo de richtlijnen van het niveau evenwijdig . waren. Zijn deze echter niet evenwijdig, maar maken zij een hoek

gebleken, dat die correctie in verreweg de meeste gevallen evenredig is met de temperatuur en dat zij van de aneroïde-aflezing moet worden afgetrokken. Zij dus b de zoogenaamde temperatuürscoëfficiënt, (die meestal tusschen 0,06 en 0,18, voor de temperatuur naar den honderddeeligen thermometer, gelegen is), dan is de aan de aneroïde-aflezing' aan te brengen temperatuurscorrectie: — bt. 2°. De verdeelingscorrectie. Is de aneroïde niet zuiver geregeld, zoodat eene verandering van.1 millimeter in den stand van de aneroïde niet overeenkomt met eene verandering van 1 millimeter kwik in de drukking der lucht, maar bijv. met (1 + c), dan zal, als de aneroïde van 760 millimeter tot A stijgt, de luchtdrukking niet met 4 — 760, maar met: (A — 760) (1 -j4 c) == (4 — 760) + c (A — 760) zijn toegenomen; komt de aneroïde-aflezing dus bij 760 millimeter met die van den kwikbarometer overeen, dan zal zij nu c(A — 760) lager staan en de aneroïde-aflezing A moet dus met de verdeelingscorrectie: c (A — 760) vermeerderd worden. 3°. De standcorrectie. Zijn deze twee correcties aan de aneroïde-aflezing A aangebracht, dan zal deze meestal nog een constant verschil met de op nul graden gereduceerde aanwijzing van den kwikbarometer opleveren. Om dus deze aflezing er uit te kunnen afleiden, moet er nog eene derde correctie a worden aangebracht, die den naam van standcorrectie draagt. Is dus A de aflezing van de aneroïde, t hare temperatuur en B0 de op nul graden gereduceerde aanwijzing van den kwikbarometer, dan is: S0 = A -f a — bt -f c (A — 760). Bij metingen in hooggelegen landen, waar de gemiddelde drukking veel minder is dan 760 millimeter, is het beter in plaats hiervan eene waarde aan te nemen, ongeveer overeen komende met die gemiddelde drukking. § 189. Veranderingen van de constante van de aneroïde. De twee constanten b en c, voortspruitende uit den invloed 17 meter de invloed der aardkromming beneden een millimeter blijft, maar bij grootere afstanden zeer snel toeneemt en spoëdig meer dan een millimeter bedraagt. § 194. Straalbuiging. Tot dusver onderstelden wij, dat de lichtstralen in de lucht rechte lijnen doorloopen, zoodat de punten E en F, flg. 194, waarin wij" op de baken aflezen, gelegen zijn in het horizontale platte vlak, dat door de vizierlijn gaat. In werkelijkheid is echter de lucht, waardoor de lichtstralen tot ons komen, geen homogene middenstof, maar bestaat zij, indien zij volkomen in evenwicht is, uit concentrische lagen, die eene des te mindere dichtheid bezitten, naarmate zij hooger gelegen zijn. Een gevolg hiervan is, dat de lichtstralen niet in rechte lijnen tot ons komen, maar volgens gebogen lijpen en wel volgens lijnen, die in verticale vlakken gelegen zijn en den hollen kant naar de aarde keeren, zoodat alle voorwerpen schijnbaar hooger gelegen zijn dan in werkelijkheid plaats heeft. De invloed van de straalbuiging is niet altijd even groot, maar naarmate de verandering van de dichtheid der lucht van de eene tot de andere laag grooter of kleiner is, ten gevolge van eene verandering in de luchtdrukking of in de temperatuur, zijn ook de lichtstralen meer of minder gekromd; zoo is na een helderen nacht en bij een onbewolkten hemel, als de onderste luchtlagen sterk zijn afgekoeld, de straalbuiging op haar grootst, maar neemt bij het warmer worden dier luchtlagen af, totdat zij in den namiddag een minimum bereikt; zij wordt dan weer grooter en blijft toenemen tot na het 'ondergaan van de zon. Op een dag daarentegen, waarop de hemel voortdurend bewolkt is, en waarop er dus weinig verandering in de temperatuur plaats heeft, verandert de straalbuiging ook slechts zeer weinig. Een tweede verschijnsel, dat met de straalbuiging in zeer nauw verband staat, is de zoogenaamde deining of onrust der beelden. Als de luchtlagen zich niet in een evenwichtstoestand bevinden, dan zullen bij de beweging, die de lucht ondergaat, de van een zeker voorwerp tot ons komende lichtstralen telkens door luchtlagen van andere dichtheid heengaan-en daardoor dus telkens anders gebroken worden, hetgeen zich voor het oog voordoet, alsof dat voorwerp zich in eene snelle op- en neergaande beweging bevindt, 's Ochtends, als de onderste luchtlagen sterk zijn afgekoeld, heeft men een sterke deining, die echter langzamerhand afneemt, doordat de zon de onderste luchtlagen verwarmt, totdat gedurende eenige oogenblikken een toestand van evenwicht in de luchtmassa intreedt en de beelden in rust zijn. Daar de zon echter voortgaat met de onderste luchtlagen te verwarmen, zoo zal het evenwicht weer spoedig verbroken worden en de deining weer opnieuw intreden. Eenige uren vóór zonsondergang, als de uitstraling van de aarde de overhand verkregen heeft boven de verwarming door de zon, treedt er wederom een evenwichtstoestand in, waarbij de beelden gedurende eenige uren in rust verkeeren. Na den ondergang der zon neemt de deining wederom een aanvang. De oogenblikken, waarin de beelden zich in rust bevinden en waarop de straalbuiging eene gemiddelde waarde bereikt, zijn voor het hoogtemeten in het algemeen de meest geschikte oogenblikken van den dag. Op de overige gedeelten van een zormigen dag zal men door de deining minder juist kunnen richten, en ook slechts zeer onnauwkeurig dé baak kunnen aflezen, tenzij deze zeer dicht bij het waterpasinstrument geplaatst is. Uit het voorgaande blijkt, dat, wanneer de horizontale vizierlijn DE, fig. 194, op de baak gericht wordt, men niet in het punt E der baak zal aflezen, maar in een lager gelegen punt E", omdat de lichtstraal, die in horizontale richting in den kijker komt, een gebogen weg heeft doorloopen, waarvan de holle zy'de naar beneden is gekeerd. Ten gevolge van de straalbuiging leest men dus op de baak het gedrag EE" te weinig • af. Deze fout kan op overeenkomstige wijze berekend worden als die, welke de aardkromming teweegbrengt, wanneer men de zeer flauw gekromde'lijn DE" als een cirkelboog beschouwt met een straal pR, die eenige malen grooter is dan- de straal R der aarde. Men vindt dan: EE" = 2pR of, als men -~ door de letter a voorstelt: 2p w» a EE =(i ^ De-coëfficiënt p, die den naam draagt van coëfficiënt van de straalbuiging, kan slechts langs empirischen weg gevonden worden (zie § 208). " Hij is niet altijd even groot, maar evenals de straalbuiging zelve veranderlijk van het eene oogenblik op het andere. Bij de rust der beelden heeft hij de gemiddelde waarde 0,07 (*), maar hij kan in abnormale gevallen tot 50 a 100% zoo in positieven als in' negatieven zin daarvan afwijken. Blijkens het vorenstaande veroorzaakt de straalbuiging eene fout in de aflezing, die het tegengestelde teeken heeft als de door de aardkromming teweeggebrachte, doch slechts ongeveer een zevende deel van deze bedraagt. § 195. Waterpassen uit liet midden. Uit de voorgaande twee paragrafen is gebleken, dat — zoo men de vizierlijn DE, flg. 194, van een geregeld en goed opgesteld waterpasinstrument op eene in A opgerichte verticale baak richt, — aan de aflezing AE" = k, twee correcties moeten worden aangebracht, om het juiste • hoogteverschil AE' van de punten D en A te krijgen. Men heeft namelijk: AE' = AE"-EE'+EE"^k-£R ' k-f^ (1 - f$ waarin alzoo EE' den invloed der aardkromming en EE" dien der straalbuiging voorstellen. *>'■'*•? Was bovendien het instrument niet volkomen geregeld, d.w.z. was de vizierlijn van den kijker niet juist evenwijdig aan de richtlijn van het niveau, maar had zij bij inspelende bel eene kleine voorwaartsche helling S, dan 'zou men hierdoor Sa te veel aflezen op de baak en was dus het juiste hoogteverschil tusschen D en Af. k — sa— yë (1 ~2 ~ Op gelijke wijze vinden wij voor het juiste hoogteverschil tusschen D en B, als BE" = l de aflezing op de baak in B voorstelt, DF= a' den afstand en fj.' den coëfficiënt der straalbuiging pp het oogenblik, dat de baak in B wordt afgelezen: :l-Sa'-^a~2fi'). (*) Uit eene reeks van waarnemingen in Noord-Duitschland verricht, heeft Majoor Haktl de volgende uitdrukking voor fi afgeleid: 2 « = 0,1041 + 0,0840 6", waarin b voorstelt den tijd voor of na den middag, uitgedrukt in hot halve tijdsverloop tusschen zonsopgang en zonsondergang als eenheü}. Door deze twee waarden van elkaar af te trekken, vinden wij dus voor de juiste hoogte van B boven A, in plaats van k — i: of, voor het geval dat de aflezingen op de baken zoo spoedig na elkaar geschieden, dat de coëfficiënt der straalbuiging'geacht mag worden niet te zijn veranderd: (k — l) -f S {a' — a) + - ~ — (1 — 2 ft). Uit deze uitdrukking voor het juiste hoogteverschil zien wij, dat de plaats van het instrument ten opzichte van de baken niet onverschillig is voor de nauwkeurigheid van de meting. Door a = a' te maken, m. a. w. door het instrument midden tusschen de twee baken, of minstens op gelijke afstanden van beide baken te plaatsen, worden zoowel de fout, die men maakt ten gevolge van den niet-evenwijdigen stand van vizierlijn en richtlijn, als die doer de aardkromming en — voor zooverre mén de straalbuiging als constant mag beschouwen — ook de fout door de straalbuiging volkomen geëlimineerd. Daar men den afstand van de baak tot het instrument meestal niet grooter neemt dan 100 a 120 meter, is trouwens eene kleine verandering in den coëfficiënt der straalbuiging ft van geen beteekenis, omdat de geheele invloed van aardkromming en straalbuiging op iedere aflezing op dien "afstand slechts klein is. Het is dan ook hoofdzakelijk om de regelingsfouten van het instrument te elimineeren, dat men zooveel mogelijk altijd uit het midden waterpast. Slechts wanneer het instrument volkomen nauwkeurig geregeld is, of de regelingsfouten door het doen eener tweede meting voor elke, baak afzonderlijk kunnen geëlimineerd worden, zal men zich niet streng aan het waterpassen uit het middèn behoeven te houden. § 196. Aaneengeschakelde waterpassing. Indien het hoogteverschil van de twee punten meer bedraagt dan de lengte van de waterpasbaken, of indien de afstand zoo groot is, dat men op de baken niet meer met voldoende nauwkeurigheid kan aflezen, dan kan men het hoogteverschil niet meer direct op de, bovenbeschreven wijze vinden. Men moet dan zijne toevlucht nemen tot eene aaneengeschakelde water-passing. Moet het hoogteverschil van de punten A en B, flg. 195, bepaald worden, dan neemt men eenige tusscheDpunten C, D, E, F, enz., aan; bepaalt dan achtereenvolgens de hoogteverschillen van A en C, C en D, D en E, enz., tot men eindelijk in B komt. De algebraïsche som van al die hoogteverschillen geeft dan het hoogteverschil van A en B. De tusschenpunten C, D, E, enz., kunnen meestal willekeurig gekozen worden; men moet er echter voor zorgen, dat beide keeren, dat men op dezelfde baak afleest (bijv. op de baak in C van uit Gr en H), het voetpunt van de baak juist op dezelfde hoogte staat. Daartoe slaat men een houten piketpaaltje in den grond en plaatst de baak daarop. Gemakkelijker nog is het in flg. 196 voorgestelde waterpaspiket, zijnde een zware ijzeren bout, die van boven bolvormig is afgerond, opdat de baak daarop geplaatst zich steeds op hetzelfde punt zou bevinden. De aan het piket verbonden beugel, die, als de baak op het piket zal geplaatst worden, omgeslagen wordt, dient om het piket uit' den grond te halen en gemakkelijk te kunnen meenemen. Het bepalen van het hoogteverschil van twee opvolgende tusschenpunten noemt men een slag; de baak en het piket, die zich daarbij vóór het instrument bevinden in de richting, waarin men waterpast, worden vóórbaak en vóórpiket genoemd; de andere achterbaak en achterpiket. § 197. Voorzorgen bij de aaneengeschakelde waterpassing. Aangezien de fouten, bij de verschillende slagen begaan, zich, alle ophoopen in het eindresultaat, zoo moet men zorgen alle fouten en vooral die, welke steeds in denzelfden zin voorkomen, zoo goed mogelijk te elimineeren of te voorkomen. Vooreerst moet men zorg dragen voor het nauwkeurig wegnemen'van de parallax in den kijker. Wanneer men uit het midden waterpast, lette men er vooral op de oculairbuis gedurende^ een slag niet te verplaatsen (verg. § 7 en § 177); terwijl men, wanneer eenmaal de parallax goed is weggenomen en de afstand tot de baken dezelfde blijft, goed doet noch de oculairbuis, noch het oculair te verplaatsen. (*) (*) Een ongeoefend waarnemer vooral is allicht geneigd, wanneer ten gevolge van verschil in de verlichting de baak minder duidelijk lijkt, de oculairbuis i'n of uit te draaien om scherper te zien; is eenmaal de küker goed gesteld, zoo is dit uit den aard der zaak geheel verkeerd. Heeft de helper, van wien in §198 sprake is, een anderen afstand van duidelijk zien dan de waarnemer en zou deze dus om scherp te zien het oculair in of uit moeten schuiven, zoo beperke d'; helper zich tot het controleeren van de aflezing in centimeters. Men moet verder zorgen zooveel mogelijk uit het midden te waterpassen, om daardoor de fouten van het instrument, de aardkromming en de straalbuiging te elimineeren. Is men om de eene of andere reden genoodzaakt, een slag te maken met ongelijke afstanden, zooals bij Z, flg. 195, is voorgesteld, dan moet men de daardoor wellicht ontstane fouten onmiddellijk bij den volgenden slag vernietigen, door hierbij de afstanden in tegengestelden zin ongelijk te nemen. Men zal de afstanden EL en LF&ys zoodanig nemen, dat LF~ EL = BK— KE is; hierdoor wordt de invloed van de fout van het instrument, wanneer de stand van de vizierlijn ten opzichte van de richtlijn niet verandert, volkomen geëlimineerd, omdat 'deze evenredig is met het verschil van de afstanden van het instrument tot achterbaak en tot voorbaak. De aardkromming en de straalbuiging echter, welker invloeden volgens § 195 evenredig zijn met het verschil van de vierkanten dier afstanden, zullen alleen dan volkomen geëlimineerd zijn, als BK = LF en KE = EL is, maar aangezien bij de geringe afstanden, die bij deze wijze van waterpassen worden genomen, die invloeden zelf reeds zeefr klein zijn, zoo heeft men hierop niet al te streng te letten. Met het oog op eventueele verandering van den stand van de vizierlijn bij het maken van een slag met ongelijke afstanden, zal men, zoo de constructie van het instrument dit toelaat, voor vóór- en achterbaak elk, onmiddellijk achter elkaar tweë aflezingen verrichten -en bij de tweede aflezing den kijker om de lengteas 180° omdraaien. Verder moet men zorgen, dat de baak, die bij den eenen slag voorbaak was, bij den volgenden slag achterbaak wordt en omgekeerd, om daardoor de fout te elimineeren, die ontstaat, als van een of van beide baken het nulpunt niet juist overeenkomt met het ondervlak van de baak. Wordt toch bij den eenen slag hierdoor de hoogte van het voorpiket boven het achterpiket te groot gevonden, zoo zal .bij den volgenden/ slag die hoogte evenveel te klein gevonden worden; in de algebraïsche som der beide hoogten, d.i. in de hoogte van Het voorpiket van den laatsten boven het achterpiket van den vorigen slag is deze fout alzoo geëlimineerd. In eene waterpassing met een even aantal slagen heeft deze fout alzoo geen invloed; bij een oneyen aantal slagen moet men bij deh laatsten slag in beide richtingen op dezelfde baak aflezen. Ook op een zuiver verticalen stand der baken moet goed gelet worden, daar men bij niet-verticalen stand steeds te veel afleest. Zijn de baken niet van een schietlood of van een doos- " niveau voorzien, zoo kan men de baken in de richting van den waarnemer beurtelingé een weinig voor- en achterover laten hellen; de kleinste aflezing, die men daarbij bij inspelende bel waarneemt, komt dan met den verticalen stand overeen. 'Men kan ook de baken opstellen met behulp van drievoeten, zooals in flg. 196 is aangegeven. Aangezien dan zelfs bij sterken wind de baak onbeweeglijk staat, kan de aflezing met meer juistheid en veel vlugger gesehieden. Voor het gebruik van den drievoet (*) wordt aan het boveneinde van de baak volgerïs de lengteas eene ijzeren stang aangebracht, die met eenige speling past in eene opening in eene ijzeren plaat, welke den kop vormt van den drievoet. De drievoet wordt' opgesteld bovèn de plaats, waar het piket staat; de stang wordt door de opening gestoken en de baak met behulp van schietlood of niveau door verplaatsing van de beenen van den drievoet verticaal gesteld; voor kleine vérplaatsingen door verschuiving van het ondervlak van de baak over het piket. Verder moet de bel op het oogenblik, dat de baak wordt afgelezen, zuiver inspelen. Daar eene verandering van standplaats bij het instrument meestal voldoende is, om de bel te doen uitwijken, is het noodig,' dat een tweede persoon de bel doet inspelen op het oogenblik dat de eerste afleest, tenzij, zooals bij sommige instrumenten het geval is, boven of-terzijde van het niveau een spiegeltje is aangebracht, dat den voor het oculair staanden waarnemer in staat stelt, de bel zelf te doen inspelen, zonder zijne standplaats te verlaten. Om ontregeling van het instrument ten gevolge van eenzijdige verwarming door de zon zooveel mogehjk te voorkomen, is het bij nauwkeurige metingen ook zeer gewenscht, om kijker en niveaudoor een scherm tegen de directe inwerking der zonnestralen te 'beschutten. Ten slotte heeft men nog te letten op eene geschikte keuze van den afstand tusschen baak en instrument; men moet dezen niet al te groot nemen, omdat het anders niet meer mogelijk is met voldoende nauwkeurigheid op de baak waar te nemen. Bij een goed waterpasinstrument stelt men dien afstand het best, zoo het terrein zulks toelaat, op hoogstens 100 meter; bij instrumenten met een minder goeden kijker of met een niet al te gevoelig niveau, moet men hem echter geringer, bijv. op (*) De inrichting in flg. 196 voorgesteld, is ontworpen en toegepast door den Ingenieur van de Gemeentewerken te Rotterdam W. Cool naar aanleiding van een artikel van J. J. Buddisqh in het weekblad De Ingenieur n°. 31 van 4 Augustus 1900. zal" men telkenmale de hoogte van de vizierlijn boven den grond meten, om daardoor ook de hoogtqn van de punten' H, K, L, M, N, 0, enz., flg. 208, boven bet aangenomen peil te vinden. Telt men namelijk bij de gevonden hoogte van het voorpiket boven het peil de op de voorbaak afgelezen hoogte op, dan vindt men de hoogte van de vizierlijn boven het peil; trekt men hiervan de hoogte van de vizierlijn boven den grond af, dan heeft men de hoogte van de standplaats van het instrument boven het peil. *> jiio- Op deze wijze vindt men de hoogten van de punten A, H, B, K, G, L, D, M, E, N, F, 0, G, enz., boven het peil, terwijl met behulp van den band hunne onderlinge afstanden gemeten worden, waardoor dus die punten gemakkelijk in teekening kunnen gebracht worden. Voor dit in teekening brengen is het gemakkelijk, dat de afstand van baak en instrument steeds een zelfde rond aantal meters, bijv. 100 of 50, bedraagt, zoodat men niet dan bij uiterste noodzakelijkheid daarvan afwijkt. Gaat men op deze wijze te werk, dan moeten punten, zooals a, b en c, die voor het lengteproflel van veel belang zijn, omdat daar de helling van het terrein verandert, als tusschenpunten worden opgenomen, door daar even eene baak te plaatsen en daarop af te lezen; trekt men die aflezingen van de hoogte van de overeenkomstige vizierlijn boven het peil af, dan vindt men de hoogten van die punten boven het peil. De plaats van die punten in horizontalen zin wordt bepaald door hun afstand tot, aan het instrument te-meten. Op dergelijke wijze worden ook alle andere punten bepaald, die niet -direct tot het lengteproflel behooren, maar toch voor het doel, dat met de geheele meting beoogd wordt, van nut kunnen zijn. Het opnemen van de dwarsprofiel«i geschiedt, zoo zij niet al te uitgebreid zijn, gelijktijdig met de opmeting van hét lengteprofiel door eene waterpasbaak achtereenvolgens op de verschillende óp te nemen punten te plaatsen en daarop met het instrument, dat nog op eene standplaats van het lengteprofiel staat, te richten en af te lezen. Door deze aflezingen van de hierboven bepaalde hoogte van de vizierlijn boven het peil af te trékken, vindt men de hoogten dezer punten boven het peil. Hunne plaats in horizontalen zin wordt bepaald door hét meten van hunne afstanden tot aan het lengteproflel. Zijn de dwarsprofielen te uitgebreid om op deze 'wijze opgenomen te kunnen worden, dan slaat men bij het opnemen van het lengteproflel houten piketten in den grond ter plaatse, waar de dwarsprofielen genomen moeten worden en bepaalt daarvan de hoogten. Na de opmeting van het lengteprofiel worden dan de dwarsprofielen opgenomen, óp de wijze als boven voor het lengteproflel is aangegeven en waarbij telkens wordt uitgegaan van de even vermelde houten piketten. § 208. Overbrengen van het peil over breede rivieren. Bij het overbrengen van het peil over eene breede rivier kan men niet meer door korte slagen en-gelijke afstanden voor en achter het instrument, de fouten Van het instrument en de invloeden van aardkromming en straalbuiging elimineeren. Daar bij de groote afstanden, die men hierbij kan aantreffen, die invloeden zich zeer sterk doen gevoelen, zoo moet men bijzondere voorzorgen nemen, om al die invloeden zoo goed mogelijk te elimineeren. Moet het peil overgebracht worden van het piket A naar het piket B, fig. 204, en kan men ergens ongeveer midden in de rivier bij C op een eiland, eene zandbank of iets dergelijks eéne baak- aanbrengen, dan kan men daardoor de afstanden aanmerkelijk verkorten en de fouten elimineeren door twee slagen te nemen, waarbij de afstanden bij omkeering gelijk zijn. Kiest men namelijk de plaatsen D en E voor het instrument en de plaatsen A en B voor de piketten zoodanig, dat BC = GE en AD = EB is, dan zal men, bij de meting uit B, eene groote fout bij de aflezing op de voorbaak, bij de meting uit E eene even groote fout bij de aflezing op -de achterbaak maken; deze twee fouten heffen elkaar dus op. Dit opheffen van de fouten heeft, voor zooverre betreft den invloed van de aardkromming, altijd plaats; voor de fout van het instrument en van de straalbuiging, alleen onder voorwaarde, dat de fout van het instrument dezelfde gebleven is, en dat de coëfficiënt van de straalbuiging tusschen de metingen in D en in E niet veranderd is. Daarom moet men dus zorgen, dat het instrument zoo voorzichtig mogelijk wordt overgebracht, en dat de waarnemingen zoo kort na elkaar plaats hebben, dat men mag veronderstellen, dat de straalbuiging tusschentijds niet veranderd is. Kan men aan deze laatste voorwaarde niet voldoen, doordat het water te breed is, of doordat bij de overvaart moeilijkheden ondervonden worden, dan moet men zijne toevlucht nemen tot gelijktijdige waarnemingen. Door twee verschillende waarnemers worden de waarnemingen in D en in E gelijktijdig met twee verschillende instrumenten gedaan, waardoor dus zoo goed mogelijk de invloed van de straalbuiging wordt geëlimineerd, Het is echter duidelijk, dat hierbij de fouten van de instrumenten niet geëlimineerd worden, dat dus in de uitkomst nog voorkomt het verschil van de fouten, voortgebracht door de twee instrumenten. Om nu deze fout te elimineeren wordt dezelfde meting herhaald, nadat men de instrumenten voorzichtig verwisseld heeft, om de fout voor en na de verwisseling gelijk te doen zijn. Aangezien nu bij de tweede meting dezelfde fout, maar ia tegengestelden zin, gemaakt wordt, heffen die fouten elkaar op. Is men niet in de gelegenheid eene baak in het midden te plaatsen, dan stélt men eerst het instrument in D, fig. 206, en leest op de beide baken A en B af. Vervolgens plaatst men het instrument in E en bepaalt weer het hoogteverschil tusschen A en B. Door het gemiddelde van die twee uitkomsten te nemen, worden dan weer de fouten geëlimineerd, indien men er voor gezorgd heeft, dat DB = EA en DA = EB is. Het is duidelijk, dat hierbij weer dezelfde voorzorgen als boven genomen moeten worden en dat, als de waarnemingen in D en in E niet kort genoeg na elkaar kunnen geschieden, men de straalbuiging door gelijktijdige aflezingen met twee instrumenten moet elimineeren, terwijl het elimineeren van de fouten dier instrumenten dan weer plaats heeft door het verwisselen daarvan. Zijn de afstanden niet al te groot, dan kan men bij deze meting de gewone waterpasbaken bezigen. Bij grootere afstanden moet men echter afzonderlijke baken of borden daartoe laten Vervaardigen, waarop de verdeelingen door des te grootere vakken worden aangegeven, naarmate de afstanden grooter zijn. Men zal hierbij niet bij inspelende bel aflezen op de baak, maar op de middens van eenige verdeelingen richten en daarbij den stand van het niveau zoo nauwkeurig mogelijk aflezen (verg. § 20). Aangezien de fouten in het richten op de baken met dergelijke groote vakken niet gering zullen zijn, en alle fouten door de groote afstanden belangrijk vergroot worden, zoo moet men onderscheidene metingen doen of meermalen de overbrenging verrichten, om" door het nemen van gemiddelden uit de verschillende hoogteverschillen de fouten in de einduitkomst zoo gering mogelijk te maken. Het spreekt vanzelf, dat men voor deze metingen het gunstigste gedeelte van den dag zal uitkiezen, als de deining zoo gering mogelijk is. g 205. Trigonometrische hoogtemeting op groote afstanden. Zijn de punten, waartusschen het hoogteverschil bepaald moet worden, verder van elkaar gelegen, dan moej; de kromming dér aarde en de straalbuiging in rekening gebracht worden. Zijn in flg. 208 A en B de twee punten, waarvan het hoogteverschil bepaald moet worden, DD het waterpasse vlak overeenkomende met het gemiddelde! oppervlak der zee, en C het middelpunt van dat waterpasse vlak, dat wij als een boloppervlak beschouwen (zie § 193), dan zal, als men uit C als middelpunt, met CA als straal den cirkelboog AB' trekt, deze het niveauvlak van A voorstellen en dus BB' = h het te bepalen hoogteverschil zijn. In driehoek ABC is: • . BAC—ABC ■ BAC—ABC BC-AC_tg~ 2 tg 2 BC+AC BAC+ABC ACB Aangezien nu AC = B'C is, zoo vindt men onmiddellijk voor het gevraagde hoogteverschil: h = BC-AC=(BC + AC)tgA-f-tgBAC-ABC. ' Daar ACB altijd een zeer kleine hoek is, zoo mag de tangens van de helft van dien hoek door den boog, dien Wij door i C zullen voorstellen, vervangen worden, waardoor het product van de twee eerste factoren in bovenstaande formule overgaat in: BC+AC , r boog C, dat niets anders voorstelt dan den horizontalen afstand a van de punten A en B, gemeten ongeveer ter hoogte van die punten, zooals die door directe meting gevonden wordt, of zooals hij door driehoeksmeting uit eene te zelfder hoogte gemeten basis wordt afgeleid. Vervangt men dat product dus in de formule door zijne waarde «, dan vindt men: , BAC — ABC H — a ig — 9 2 (3) of: . DB = a = A / 2HR (12) V 1—2* Ligt een tweede punt E op een hoogte B'E = H' boven het oppervlak der zee, dan zal dit uit A nog zichtbaar zijn, als de lichtstraal EA in 13 het oppervlak der zee juist raakt. Zooeven vonden wij: DB = \ / ^B overeenkomstige V 1 — 2* wijze vinden wij: D'B =\f ~- , waaruit door samentelV 1-2*' ling volgt. voor den grootsten afstand, waarop de punten \A en E wederkeerig zichtbaar zijn. DD' = DB + D'B == 'y' (y H+ V H' j . . (18) Bevinden wij ons in A, dan zien wij de vrije kim in de richting van de raaklijn AF aan den.lichtstraal AB; deze maakt met de horizontaal AG een hoek GAF, die den naam van kimduiking draagt, en die, zooals wij bij de sextant gezien hebben, in rekening gebracht moet worden bij het meten van de hoogte van de hemellichten op zee. Van uit A gezien, zien wij het nunt B onder den elevatiehoek gelijk aan de kimduiking, maar met omgekeerd teeken; van uit 13 gezien, zien wij het punt A onder een elevatiehoek nul. Stellen wij de kimduiking dus door K voor, dan! moeten wij in formule (8) e do.or — Zen e' door nul vervangen, en aangezien B op eene hoogte H beneden A gelegen is, zoo moeten wij h in — H veranderen, waardoor, wij vinden: — H= — atgiK, ' of, aangezien K een kleine hoek is:; a Stellen wij hierin de boven (formule 12) voor a gevonden waarde, dan vinden wü voor de kimduiking: K= — *g = \j 2(1 — 2^)^7" \ 2HR V B ü ■ ■ ' ' (U) V 1-2/* * Subgtitueeren wij in de formules (11), (12), (18) en (14) vóór R en fi de gemiddelde waarden: R = 6382650 meter en Jhm 0,07 en drukken wij den afstand a in kilometers', de hoogten H en H' in meiers en de kimduiking K in minuten uit, dan vinden wij de volgende gemiddelde uitkomsten: Hoogte H, waarop een voorwerp boven het oppervlak der zee moet gelegen zijn om op een afstand a nog zichtbaar te zijn: ÏI = 0,0674a2. Afstand a, waarop een voorwerp, ter hoogte H boven het oppervlak der zee gelegen, nog zichtbaar is: a = 3,85 |/ H. Afstand, waarop twee voorwerpen, ter hoogte ifen H' boven den zeespiegel gelegen, onderling nog zichtbaar zijn: 3,85jj/U+i/JÏ'|. Kimduiking voor een punt, ter hoogte H boven het oppervlak der zee gelegen: g K= 1,79 V H. S BAROMETRISCHE HOOGTEMETING. § 210. Nauwkeurigheid van de barometrische hoogtemeting. Daar de drukking, die lucht in eenig punt uitoefent, afhankelijk is van het gewicht van de zich daarboven bevindende lucht, moet zij met de hoogte langzaam afnemen. Door het meten van de drukking der lucht in twee verschillende punten, met behulp van den barometer, moet het dus mogelijk zijn het hoogteverschil,van die twee punten te bepalen. Bevindt de luchtmassa zich in evenwicht, dan bestaat er eene eenvoudige betrekking tusschen de luchtdrukking en de hoogte. Daar zich echter bij het meten die evenwichtstoestand nooit volkomen voordoet en men de verstoring van het evenwicht moeilijk in rekening kan brengen, zoo ontstaan daardoor fouten, die, gevoegd bij de fouten, voortspruitende uit het bepalen van de drukkingen zelf, en de andere grootheden, zooals bijv. de temperatuur, die men bij de berekening noodig heeft, oorzaak zijn, dat de resultaten door de barometrische hoogtemeting verkregen op verre na de nauwkeurigheid niet bezitten van de trigonometrische hoogtemeting en van het waterpassen. Aan de onder gunstige omstandigheden door barometrisch hoogtemeten verkregen hoogteverschillen kan men alleen, wat de geheele meters betreft, waarde .hechten; de onderdeelen van den meter zijn niet meer te vertrouwen. Het groote voordeel van de barometrische hoogtemeting is echter gelegen in de gemakkelijkheid, waarmede men van een groot aantal zelfs betrekkelijk ver van elkaar - verwijderde punten de hoogte kan bepalen, al is het ook met eene eenigszins geringere nauwkeurigheid. Bij voorloopige opnemingen dus, waar groote nauwkeurigheid bijzaak, vlugheid van werken 19 al te lang tijdsverloop. op het uitgangspunt of op een ander bekend punt moet aansluiten, en de nauwkeurigheid van die meting geringer is dan die met twee aneroïden, zoo kan men een .Uitgestrekt terrein moeilijk met één'aneroïde goed opnemen, als er niet het noodige aantal vaste punten aanwezig, is. Zijn deze niet aanwezig, dan moet men door" waterpassing langs de wegen zich de noodige vaste punten verschaffen, waarvan men bij de aneroïde kan uitgaan. , Aangezien men hier slechts met één aneroïde te doen heeft , zoo valt, bn'.het nemen van het verschil van twee barometerstanden , de standcorrectie van zelf weg, indien zij ten minste in den tusschentijd niet veranderd is, waarvoor men door voorzichtige behandeling moet zorgen, te meer daar men hier de contröle door de vergelijking met eene andere aneroïde mist. Bij de aflezing op de vaste punten moet men echter niet op eene enkele aflezing vertrouwen, maar liefst 2 of 8 aflezingen' na korte tusschenpoozen doen, omdat eene fout "in die aflezing, natuurlijk alle hoogtebepalingen foutief maakt, iets wat niet het geval is bij eene fout in de aflezing op een der andere punten. Na een kort tijdsverloop, liefst niet langer dan één -uur, komt men op het uitgangspunt terug, om daar opnieuw den barometerstand waar te nemen. Is deze veranderd, dan wordt de verandering, zooals wij boven reeds zagen, evenredig met,den tijd verdeeld. v In plaats "van op het uitgangspunt terug te komen, kan men ook op een ander bekend punt aansluiten. Uit het bekende hoogteverschil (h) en den aldaar waargenomen barometerstand (B'0) kan men dan, met behulp van de barometerformule, den barometerstand (B0) in het eerste punt berekenen en daarmede op dezelfde wijze handelen, alsof hij daar zelf was waargenomen. die hoogtelijn gelegen is, en heeft men nauwkeurig de hoogte der vizierlijn berekend, dan kan men daaruit onmiddellijk vinden hoeveel men op de baak moet aflezen, opdat haar voetpunt juist in 'een punt van de gezochte lijn ligt.' De baakhouder verplaatst nu zoolang de waterpasbaak, tot werkelijk die aflezing verkregen wordt en geeft dit punt op het terrein door een jalon aan. Hij gaat dan een tweede, derde, vierde punt, enz., op die wijze opzoeken, voor zoover ze van de standplaats van het instrument nog genoegzaam zichtbaar zijn. De opnemer zoekt vervolgens eene nieuwe standplaats voor het instrument op, om van daaruit de niveau-lijn verder te vervolgen. Het bepalen van de hoogte van de vizierlijn in de nieuwe standplaats geschiedt natuurlijk door het voortzetten van de gewone waterpassing, waarbij men alle voorzorgen heeft in acht te «nemen, vroeger bij de aaneengeschakelde waterpassing .behandeld (zie: § 197)- Tevens zal men voor de contróle van de meting er voor zorgen, ten slotte weer op een punt, waarvan de hoogte bekend is, te sluiten. Heeft men op deze wijze eene hoogtelijn opgezocht, dan kan men op dezelfde wijze overgaan tot het opnemen van eene tweede, eene derde, enz. Al die verschillende hoogtelijnen zijn dan pp het terrein door enkele punten met behulp van jalons aangegeven, en worden volgens eene van de vroeger behandelde, methoden opgenomen en in kaart gebracht.' Bij het opzoeken van de hoogtelijnen op de geschreven wijze, kan eene baak met bordje grooten dienst bewijzen; door het bordje te plaatsen op de hoogte, waarop de kijker gericht moet zijn, ontgaat men het vermoeiende aflezen, kan men veel vlugger werken en. heeft men minder aanleiding tot het maken van fouten. Zijn de hoogtelijnen dichter bij elkaar gelegen, dan de lengte van de baak bedraagt, dan kanomen van uit eene standplaats, gelijktijdig meer hoogtelijnen uitzetten, waardoor de arbeid natuurlijk bespoedigd wordt. § 220. Bepaling van de hoogtelijnen op de kaart. Ter bepaling van de hoogtelijnen op de kaart wordt van eene menigte punten van het terrein de hoogte bepaald en deze bij de projecties dier punten in de kaart geschreven. Heeft men die punten zoodanig gekozen, dat men de verbindingslijn van twee punten op hét terrein nauwkeurig genoeg als eene rechte lijn kan beschouwen, dan kan men op die lijn door eene eenvoudige constructiei of door eene eenvoudige berekening, het punt vinden, dat op eene bepaalde hoogtelijn gëlegeiifis: Heeft men op die wijze eene menigte punten bepaald van de te construeeren hoogtelijnen,- dan, worden de punten van dezelfde hoogtelijn vereenigd, waardoor de hoogtelijnen geconstrueerd zijn: Het is zelfs niet altijd noodig die punten zoo dicht bij elkaar te nemen, zoo men slechts zorgt de punten in profielen te vereenigen, volgens de helling van het terrein. Door die profielen met behulp van de op deze wijze verkregen punten in teekening te brengen en deze door lijnen te snijden op de hoogten van de te construeeren hoogtelijnen, kan men'gemakkelijk in die profielen de punten van gegeven hoogte vinden en in de kaart overbrengen. In flg. 210 is hiervan een voorbeeld gegeven. De punten, waarvan de hoogten gemeten zijn, zijn door cirkeltjes aangegeven en de hoogten er bij geschreven. De profielen, gevormd door de punten tusschen A en B, C en D, enz., zijn in fig. 211 geteekend, door de op de kaart gemeten afstanden naast elkaar uit te zetten en door op de loodlijnen in de aldus bepaalde punten getrokken, de bepaalde hoogten af te zetten. Deze profielen zijn nu verder gesneden door de lijnen op 60, 60, 70, enz., meter hoogte gelegen, waardoor men de snijpunten ab cd, efgh, enz., verkrijgt, die in fig. 210 worden overgebracht, door "Se afstanden te meten tot aan de naastbijliggende verticaal van een punt in fig. 210 gegeven. De op die wijze in de verschillende profielen bepaalde» punten van gelijke, hoogte worden nu door lijnen vereenigd. ' Tot het teekenen van de hoogtelijnen moet men goed bekend zijn met het terrein' en het moet dus steeds gedaan worden door denzelfden persoon, die de opneming verricht heeft. Bij de opneming van het terrein zal hij_ er voor zorgen, op de schetsteekening den algemeenen loop der hoogtelijnen op het oog zoo. nauwkeurig mogelijk aan te geven, om zich daarnaar bij het teekenen der lijnen te kunnen regelen. Voordat de hoogtelijnen in inkt getrokken worden, is het goed de ontworpen lijnen op het terrein zelf nog eens na te gaan, om zoodoende vergissingen of fouten^ die ingeslopen mochten zijn, nog te verhelpen. Het aantal punten, waarvan de hoogten bepaald moeten worden om de hoogtelijnen te construeeren, is niet alleen afhankelijk van de schaal van de kaart en van de nauwkeurigheid, die men van de opneming verlangt, maar ook van den vorm van het terrein en van de goede keuze der punten. Het is moeilijk hieromtrent bepaalde aanwijzingen té doen; bij een V weinig oefening met die opneming zelf, zal men spoedig op het terrein leeren zien, waar men voor de opneming-meer punten noodig heeft en waar men met een geringer aantal kan volstaan' pm overal de vereischte nauwkeurigheid te verkrijgen, zonder de -meting door de opneming van te veel punten langwijlig en kostbaar te maken. § 221. Het ontwerpen van hoogtelijnen op bestaande kaarten,. Bestaat er van het terrein, waarvan de hoogtelijnen moeten opgenomen worden, eene kaart op de vereischte schaal, dan kunnen die lijnen daarop geconstrueerd worden. Men heeft dan slechts de hoogten te bepalen van de verschillende punten van het terrein, die op de kaart voorkomen, om deze onmiddellijk daarop te kunnen overbrengen. Daar, waar deze punten niet voldoende zijn, zal men nog van 'andere punten de hoogten bepalen en deze in kaart brengen, door hunne plaats te bepalen ten opzichte van de op de kaart aanwezige lijnen en punten, met zoodanige nauwkeurigheid, als voor het doel noodig is. De wijze, hoe de hoogten der punten bepaald worden, is verschillend al naarmate van het doel der meting, de vereischte nauwkeurigheid en de gesteldheid van het terrein. Bij een vlak terrein kan de bepaling van de hoogten- dei1 punten' het best door waterpassing geschieden. Men begint dan daarbij met langs de hoofd- en andere wegen door het op te nemen terrein nauwkeurige waterpassingen uit te voeren en aan de punten van bekende hoogte aan te sluiten. Bij deze waterpassingen zal men zorgen een zoo groot mogelijk aantal vaste punten te verkrijgen, om daarvan bij de verdere metingen te kunnen uitgaan; men zal daartoe bij vaste bouwwerken nauwkeurig de hoogten van gemakkelijk terug te vinden punten opnemen of kruishouten inslaan en de hoogten hiervan bepalen-, op. en langs de wegen zal men de zich daar bevindende mijlpalen , grenssteenén als anderszins in de waterpassing opnemen; waar deze niet aanwezig zijn, kan men in enkele boomen kruishouten slaan of waar deze ook mochten ontbreken, zal men door het inslaan van flinke houten piketten of gasbuizen van 1. a 1-5 M. lengte zich tijdelijk vaste punten verschaffen. Is deze hoofdwaterpassing, die als het ware het geraamte of het net van de opmeting-vormt, afgeloopen, dan kan men tot de eigenlijke meting overgaan, waartoe men aaneengeschakelde waterpassingen tusschen de verschillende vaste punten uitvoert en bij iedere standplaats -van het instrument zooveel in den omtrek gelegen punten opneemt, als van daaruit bepaald kunnen worden. • Op meer geaccidenteerd terrein is de opneming met het gewone waterpasinstrument tijdroovend,, doordat men alleen met horizontale vizierlijn kan werken en dus daardoor uit eene zelfde 'standplaats slechts weinig punten kan bepalen. Gemakkelijker in dat geval is een waterpasinstrument, dat voorzien is van de in § 185 beschreven micrometerschroef en waarmede op de aldaar verklaarde wijze ook bij hellenden stand der vizierlijn hoogteverschillen kunnen'gemeten worden, of wel men gebruikt een theodoliet, die ingericht is tot het meten van afstanden (tachymeter), waarmede op de in § 94 beschreven wijze eveneens hoogteverschillen kunnen bepaald worden. Een dergelijk instrument wordt op een punt van het terrein geplaatst, vanwaar men eene menigte punten kan opnemen en hiervan worden dan op de beschreven wijze de hoogteverschillen met het instrument bepaald. Deze meting moet eveneens steunen op eene waterpassing, die langs de hoofdwegen het terrein als met een net overspant. Bij deze waterpassing zorgt men vaste punten te verkrijgen in.de nabijheid van die punten, waar later het instrumeht zal geplaatst worden; wordt dan van een dezer punten het hoogteverschil met het midden van het instrument bepaald, dan vindt men daaruit de hoogte van dit midden boven het algemeene vergelijkingsvlak en uit deze hoogte de hoogten van al de andere punten. Maakt men hierbij gebruik van den tachymeter en plaatst men het instrument boven een punt van het terrein., dat ook op de kaart 'voorkomt, dan kan men tevens eene cohtróle op de opmeting uitoefenen, door ook op den horizontalen rand af te lezen; want deze aflezing, gevoegd /by de vereischte aflezingen voor de hoogtebepaling, geeft tevens richting en lengte van de voerstralen, die volgens § 151 de verschillende punten bepalen. Ook de boven vermelde waterpasinstrumenten met micrometerschroef zijn tot dit doel dikwijls van een horizontalen cirkelrand voorzien. Bij de opneming van eene geheele .-landstreek met behulp van de aneroïde zal men eerst weer door eene waterpassing zich de noodige vaste punten verschaffen, waaraan de andere door aneroïdemeting worden vastgelegd (zie § 215 en 216). Alleen bij eene voorloopige Opneming, die moet dienen om het terrein op te zoeken, dat door nauwkeurige opmeting voor een of ander onderwerp nader moet bestudeerd worden, zal men, zoo de waterpassing niet reeds bestaat, deze achterwege kunnen laten, omdat die opneming miestal eene minder groote nauwkeurigheid toelaat en niet al te veel tijd mag kosten. § 222. Het opnemen van hoogtelijnen door middel van lengte- en dwarsprofielen. Bestaat er van het op te-,nemen terrein geen kaart, dan moet de hopgtebepaling gepaard gaan met de bepaling van de horizontale projecties van de punten. Dit kan geschieden door middel van lengte- en dwarsprofielen of volgens de in § 151 geschetste wijze van opnemen volgens de voerstraal-methode. Bij een lang gestrekt terrein, zooals dat veelal voorkomt bij het ontwerpen van spoorwegen en van andere gemeenschapswegen, neemt men in de lengte van het terrein een lengteprofiel op en rechthoekig daarop eene menigte dwarsprofielen op de wijze, als in § 202 is aangewezen. Als men deze lengte- en dwarsprofielen werkelijk teekent, dan kan men, door daarin lijnen te trekken op de hoogten, overeenkomende met de te construeeren hoogtelijnen, onmiddellijk punten dezer lijnen bepalen en in de kaart overbrengen. Bij het opnemen van eene geheele landstreek op deze wijze moet men eerst door een net de begin- en de eindpunten der profielen in horizontale^ projectie vastleggen en door eene waterpassing de hoogten vari eenige vaste punten bepalen, waarvan men bij de opneming van dê profielen uitgaat. § 223. Het opnemen van hoogtelijnen met den als afstandmeter ingerichten theodoliet. De thans meest gebruikelijke wijze van opmeten is in de § 151 geschetste opneming met den tot afstandmeten ingerichten theodoliet. De grootheden, die daarbij gemeten moeten worden om de punten niet alleen in horizontalen maar ook in verticalen zin volkomen vast te leggen,' zijn daar ter plaatse reeds opgegeven. Dezelfde methode van opmeting kan natuurlijk mede gevolgd worden, wanneer men gebruik maakt van een waterpasinstrument, dat niet alleen van de in § 185 beschreven micrometerschroef, maar tevens van een horizontalen rand voorzien is; daarmede toch kunnen eveneens horizontale hoeken, afstanden en hoogteverschillen bepaald worden, mits deze laatste niet al te groot zijn, daar de schroef meestal slechts het meten van elevatiehoeken van + 4° toelaat. Bij de opneming van eene geheele landstreek zal men beginnen met deze eerst met een net te overdekken, waarvan de hoekpunten de latere standpunten van het instrument zullen zijn In de nabijheid van ieder punt wordt een piket geslagen en worden vervolgens de hoogten van al deze piketten door waterpassing bepaald. Bij de detailmeting plaatst men nu eerst de x .gelijk aan a, dan is de som van de vierkanten: ax2; voor het vierkant van de middelbare fout van de reeks vinden wij dan:' + 00 sax2 vS. ' m2 = timiet n voor n = oo, of ook: + op m2 = Mm x x2 —. _oo n Nu leert de waarschijnlijkheidsrekening het volgende: wanneer men voor het te voorschijn roepen van een verschijnsel een aantal n proeven doet, en bij deze n proeven treedt het verschijnsel a malen op, dan zal, wanneer men het aantal proeven steeds grooter laat worden, de verhouding — tusschen het aantal n geslaagde proeven («) en het totale aantal proeven (n) meer en meer naderen tot de waarschijnlijkheid voor het verschijnsel. Passen wij deze stelling toe op de uitdrukking — onder het n sommatieteeken bij de uitdrukking voor de middelbare fout, waarbij « het aantal fouten is, gelegen tusschen x en x-\-dx, terwijl n het totale aantal fouten is, dan zal dus bij de limiet de waarde van —steeds meer naderen tot de waarschijnlijkheid voor het voorkomen van de fout tusschen de grenzen x en x -f- dx; deze waarschijnlijkheid is gelijk aan f (x) dx; zoodat: + 00 m2 = Jx2 f(x) dx. De gemiddelde fout wordt berekend door de som van de absolute waarden van de fouten te deelen door het aantal. Nemen wij weer als grenzen voor de fouten — oo en -f- oo. Zij het aantal fouten tusschen x en x-\-dx, « en nemen wij weer aan, dat de fouten tusscheri genoemde grenzen even groot zijn, dan zal de som van de fouten tusschen x en x -\- dx gelijk zijn aan ax; de som van de positieve fouten zal aldus gelijk zijn aan: + °° Sax. Wanneer de waarschijnlijkheid voor positieve en negatieve fouten dezelfde is, zal het aantal fouten tusschen —x en — (x-\-dx) eveneens « zijn; bij gelijke onderstelling als boven, zal dan de som van de absolute waarden van de negatieve fouten gelijk zijn aan: — 2 a. x. De gemiddelde,fout zal dan zijn: — 2 * X 2 <"■ X m' =f limiet —— • n of: ,• • 11 ° a , +c° °"\ m = limiet I — 2x —-4- 2x — )• \ -» n o n } 8 Nu is bij de limiet — = f(x)dx, alzoo: n m' == — fx f{x) dx -f- J'x f'(x) dx. Aangezien: —jx f(x) dx = -(- jx (f{x) dx, is dus: m' == 2 fx f(x) dx. De waarschijnlijke fout kan de waarden + r óf — r hebben; de kans, dat dé fout grooter is dan die waarde en kleiner, is even groot, m. a. w. de waarschijnlijkheid, dat de fout gelegen zij tusschen de grenzen — oo en — r, vermeerderd met de waarschijnlijkheid, dat de fout gelegen is tusschen de grenzen -f- r en -|- oo, zal de zelfde waarde geven als de waarschijnlijkheid , dat de fout gelegen zij tusschen de grenzen — r en -(- r; beide waarschijnlijkheden geven samen de zekerheid, zoodat de waarschijnlijke fout een zoodanig bedrag r heeft dat: r 1 J f(x) dx = — Beschouwen wij allereerst het geval dat X de som is van de twee fouten, zoodat wij in het algemeen: X=xx -\- x2 kunnen stellen. Gesteld dat tusschen de grenzen xx en xx -f- dxx een aantal «i fouten Xi voorkomen en wij nemen dxx zóó klein, dat wij deze «i fouten als even groot kunnen beschouwen; zijn verder tusschen de grenzen x2 en x2 -f- dx2 een aantal waarden voor de fout X opleveren; de som der vierkanten van deze waarden is: «1 «2 («ï + oc2)2. Deze uitdrukking, gesommeerd voor alle waarden die de fouten xx kunnen bereiken en voor alle waarden van de fouten x2 en gedeeld door het totale aantal waarden nx X w2 van de fout X, geeft bij de limiet het vierkant van de middelbare waarde van de fout X: M2 = hm. 2 2 - 1 1 ' 2 ■. Schrijven wij bovenstaande uitdrukking in den vorm: + 00+00 M2 = lim. 2 2 (xx 4- x2f — X —> -oo-oo Wl w2 en gaan wij na, dat bij de limiet — voorstelt de waarschijnlijk- heid fx (xx) dxx dat de fout xx gelegen is tusschen de grenzen xx en xx -\-dxx bij de limiet voorstelt de waarschijnlijkheid f2 (x2) dx2, dat de fout x2 gelegen is tusschen x2 en x2 -f- dx2,. dan vinden wij voor M2: , + C0 +00 M2=j j{xx-\-x2)2fx(xx) dxx f2 (x2) dx2; of na eenige uitwerking: + 0O +00 M2 =jxx2 fx (xx) dxxjf2 (x2) dx2 4- — oo — oo + » +co +oo +00 +ƒ *22 fa (x2) dx2 ƒ fx (xx) dxx + 2f x\ fx \x{) dxx ƒ x2 f2 (x2) dx2; in deze uitdrukking is: + a> +od ƒf2 (x2) cfcr2 = 1, jfL (x{j dxx=l, ƒ %2 h (%) dxx = mx2, ƒ x22 /-2 (.r2) cto2 =, m22, + co +00 'Jx1f1(x1)dx1 = 0 en fx2f2(x2)dx2 = 0; —■ 00- —00 zoodat dus: M2 = m-12 -|- m22. Is de fout X gelijk aan het verschil van twee fouten #i en x2\ X=x1 — x2, dan is de middelbare waarde van X eveneens te berekenen uit: Jf2 = m12 + m22, (1) hetgeen uit bovenstaande ontwikkeling gemakkelijk is na te gaan. Wanneer eene fout gelijk is aan de som of het verschil van twee onafhankelijke fouten, dan is het vierkant van de middelbare waarde van de resulteerende fout gelijk aan de som van de vierkanten van de middelbare waarden van de samenstellende fouten. Wij kunnen deze stelling uitbreiden voor meer dan twee samenstellende fouten, het bewijs daarvoor kan geschieden op analoge wijze als boven. Is namelijk: X. = xx±x2±x3± ±xn terwijl de middelbare waarden van de fouten xx, x2, x-3, xn 'respectievelijk 5%, m2, m3, m„ zijn, dan wordt de middelbare waarde van de resulteerende fout X gevonden uit: M2 = wij2-f m22 + m32 + 4-mn2T .... (2) Is eene fout X gelijk aan een constant aantal malen eene andere fout x, is bijvoorbeeld: X= ax. waarbij dus a een constant, bekend getal voorstelt, welke is dan de middelbare waarde M van X, wanneer m de middelbare waarde van z voorstelt? Ook zonder toepassing van de waarschijnlijkheidsrekening is de uitdrukking voor M op de volgende wijze af te leiden. Is m afgeleid uit een groot aantal n waarden van de fout x, namelijk x'x", x'", .... dan kunnen wij ^ons uit ieder van deze waarden, eene waarde voor X afgeleid denken, n.1. X' = a x', X" = ax", X"' = ax"' . . . .; volgens de definitie van de middelbare fout is: M2 = lim. 1=-1, n daar nu: X!2 = a2x'2, X"2 ==-a2x"2, X'"2 = a2x'"2, .... is dus ook: M2=Mm. — - \ n en, daar a een constant getal is: M2 = a2lim. -L_L n Hierin is: Mm. — - — m2, n zoodat dus: M=a m. . . (8) welk resultaat trouwens óok eenvoudig door redeneering is af te leiden. Is eene fout gelijk aan een constant aantal malen eene andere fout, dan is de middelbare waarde'van de eerstgenoemde'fout gelijk aan hetzelfde constant aantal malen de middelbare waarde van de andere fout. Bij eene betrekking: X= a1x1 + a2x2 + a$x% ± . . . . + a„ 'x,,, . . . . (4) waarbij aj* a2, a3, . . . . o„ constante, bekende getallen zij», xi > x% > x81 ■ • ■ ■ xn, Onafhankelijke fouten, waarvan de middelbare waarden respectielijk zijn mlf m2, m3, . . . . m„, vindt men de middelbare waarde M van de resulteerende fout X door toepassing van de formules (2) en (8), uit: M2 = ai2 nii2 -\- «g2 m22 4- «a2 *Wa2 4" 4" aji ontstaan; worden nu verder alle hoeken juist gemeten, dan is de fout die in de plaats van D2 ontstaat D2D2' = 2 axji wanneer ook G2D2 = a is, en de fout B2B2' in de plaats van B2, wanneer de n zijden alle = a zijn: B2B2' = nayi. Eene fout y2 in den hoek A2G2D2 alleen geeft op gelijke wijze eene fout B2B2" in de plaats van B2: B2B2" = {n — 1) ay2; W _»(« —D(8 — 2) • • ■ ■ (S — «+ 1)(S — «)/ 1 \8 * + 1 1.2.3 «(«+1) \2 / de waarschijnlijkheid voor het voorkomen van eene fout, die bestaat uit s elementaire fouten v waarvan er « 4" 1 positief > 0 — 1 negatief zijn. P^nK Uit (14) volgt: dx 2 v 2v of ook, in verband met (12), (13) en (14): df(x) «4-1 —-— == f{x)hm. —L- • dx 2v Nu volgt uit (9) en (10): « = i -s H———, en s — a = i s — —-j 1 2»' 2» zoodat dus:. x l- s — - 2v —-—= f (x) hm. — — i dx ' 2v of ook: ' ' df(x) —x~i WÊM —— = f(x) hm. —5— ——. dx sv2 4- xv -\-2v2 Gaan wij nu tot. de limiet over, d. w. z. nemen wij s oneindig groot, v oneindig klein, dan wordt v in den teller gelijk,aan nul, in den noemer is dan xv, zijnde het product van een eindige grootheid x en een oneindig kleine v, eVeneens gelijk aan nul, zoo ook 2v2; de uitdrukking sv2, die bij de limiet het product is van een oneindig groote en een oneindig kleine, en dus een eindige waarde kan hebben, is gelijk aan het vierkant van de middelbare waarde m van de fout x, hetgeen als volgt is aan te toonen. De fout x, zie verg. (9), is de som van a fouten 4-^ en B fouten —v, alzoo: . x = 4-v-\-v4-v . . . . (a maal) — v — v — v .... (/Smaal); 22 al deze foutjes zijn even groot op het teeken na, de middelbare waarde dezer fouten is dus eveneens v, het vierkant van de middelbare waarde van x is dan volgens (2) blz. 328: m2 = v2 -f v2 -f v2 -f -f- v2 4- P8 4. v2 (a _|_ 0 _ s maal), of wel: s v2 — m2, zoodat dus: df(x) V . —x . ' , dx m2 hieruit volgt: df(x) ___jx_dx v f(x) m2 en bij integratie: tslllll nep . log . f{x) = -x . 4- constante; 2 wi^ wanneer wij voor deze constante nep. log. G nemen, dan is: f(x) x2 nep. log. ——=— — C 2 m2 en: „ .?^js-^ ,! ;> f(x) = Ce ~~ 2^r. Voor de bepaling van de constante gaan wij na (zie blz. 313) dat: jf(x)dx = l, zoodat dus: + <*> X* Cf e ~J^dx=i, De waarde van de hierbij voorkomende integraal is te berekenen met behulp van de integraal van Poisson (*): Je dt = y 7T. hieruit volgt: en bij integratie: nep . log . f{x) = -x . 4- constante: 2m2 wanneer wij voor deze constante nep. log. G nemen, dan is: f(x) x2 ncjj. vuy. — en: „ f(x) = Ce ~~ 2^r. Voor de bepaling van de constante gaan wij na (zie blz. 313) dat: + 00 jf(x)dx = l, zoodat dus: + <*> X* Cf e ~J^dx=i, De waarde van de hierbij voorkomende integraal is te berekenen met behulp van de integraal van Poisson (*): + 00 f f.") Zie.o. a.: „Ch. Storm. Cours d'analyse II. Paris. 1880." Blz. 18 e. v. Stellen wij namelijk: 'x2 llllfll** ' 2 m2 en dus-* dx = m^2dt, dan is, aangezien de grenzen bij de invoering der nieuwe veranderlijke dezelfde blijven: ^^rsÉ oo -■' 4-00 ƒf(x) dx = CmV 2" ƒ e - <" cM = 1 •• : :;>T en alzoo: Cm t/2^=l, of: c_ 1 ; m i> 2 zoodat:/ f{x)dx= * e~2nfidx. mV2ir , Deze formulegeeftalzoo.de waarschijnlijkheid, dat de fout gelegen zal zijn tusschen x en x-\-dx, uitgedrukt in de absolute waarde en de middelbare waarde van x en is bekend onder den naam van de expqnentiëele wet der fouten. § 233. Toepassingen van de exponentiëele wet. De kromme lijn voorgesteld door de vergelijking: m V 2 TT vertoont den vorm van fig. c'; als abscissen zijn de waarden van de fouten uitgezet, de ordinaten stellen de waarden van f(xf voor, deze ordinaten zijn dus evenredig met de waarschijnlijkheid voor het voorkomen van eene fout voorgesteld door de bijbehoorende abscis. De kromme lijn is symmetrisch ten opzichte van de F-as — de waarnemingsfouten zijn eveneens symmetrisch (verg. blz. 313) —; voor eenigszins groote waarden van x zijn de ordinaten zeer klein — de waarschijnlijkheid voor het voorkomen van eene fout neemt met de grootte van de fout sterk af •— ; de kromme lijn nadert de X-as asymptotisch — de waarschijnlijkheid voor het voorkomen van eene oneindig groote fout is nul —. De uitdrukking: +x Wx = f ^r- « *c (16) +» iPrai overeenkomende met f f(x)dx (verg. blz. 811) geeft aan: de waarschijnlijkheid dat de fout gelegen zal zijn tusschen de grenzen — x en -\- x, en wordt in flg. c voorgesteld door den inhoud C' B' A B C, wanneer OC' = 0C = x is. De waarde van: + 00 r5 f 1 e~T*dx J m y 2 ir is gelijk aan de eenheid (verg. blz. 313) en is in fig. c de inhoud begrepen tusschen de kromme lijn en de Xas, deze inhoud is dus eveneens gelijk aan de eenheid; wij zullen zien, dat voor eenigszins groote waarde van de grenzen x een inhoud, die de waarde van Wx in (15) voorstelt, slechts weinig van de eenheid verschilt. Aangezien wij met eene symmetrische functie te doen hebben, kunnen wij voor Wx.oók. schrijven: X Wx= 7^—\e dx ; (16) m V 2 TtJ Deze uitdrukking is voor verschillende waarden van de grens x te berekenen met behulp van de zoogenaamde thètafunctie (*): X , 6(X)=S~ f e-»di!<**). Het verband van (16) met deze thètafunctie is op de volgende wijze op te maken ; voeren wij in (16) een andere veranderlijke in en stellen wij: 2 m2 ' Wx = f ^r" « 2mS dx (15) +» W$3Ë overeenkomende met ƒ f(x)dx (verg. blz. 311) geeft aan: de waarschijnlijkheid dat de fout gelegen zal zijn tusschen de grenzen — x en -f- x, en wordt in fig. c voorgesteld door den inhoud C' B' A B C, wanneer OC' = 00 = x is. De waarde van: + 00 ^2 Het verband van (16) met deze thètafunctie is op de volgende wijze op te maken ; voeren wij in (16) een andere veranderlijke in en stellen wij: (*) Zie o.a.: „Prof. N. O. Grotendorst. Beginselen djer waarschijnlijkheidsrekening en van de theorie der fouten. Tweede druk. Breda. 1910." Blz. 18 e. v. (**) Eene tafel van deze integraal komt o.m. voor op blz. 181—188 van: „Verzameling van wiskundige tafelen enz. Breda. 1897." dan is: ' _ x =■ tm\y 2 en dx = m^2dt, terwijl: Y oor'de grenzen hebben wij: voor a = 0, is t = 0, voor a; == x, is i = — ; m V 2 zoodat dan (16) overgaat in: X 2 r 77T — Wx = — I "'v 1 e -l'2 m |/ 2 dt, of ook: Wx = -^—(mV/'i e-t'dt; welke vorm dezelfde is als die van de thètafunctie, mits wij als argument —X— nemen. mix 2 Willen wij bijv. de waarschijnlijkheid berekenen dat de absolute waarde van de fout gelegen is tusschen de grenzen 0 en m; 0 en 2m, 0 en 3m enz., en stellen wij deze waarschijnlijkheden voor respectievelijk door Wm, W,m, W3m enz., dan moeten wij de thètafunctie berekenen respectievelijk voor; S ( _J?L_ | = 6 (—!— V 9 {y 2), S f—^— \, enz.: en vinden dan: = m, Wm = 0,6826895, = 2m, Wtm = 0,9544997. = 8m, WSm = 0,9973002, = 4m, WKm = 0,9999367, = 5w, W5m = 0,9999994. De waarschijnlijkheid voor eene fout, grooter dan 3 a 4 maal de middelbare waarde van de fout is aldus theoretisch zeer klein, lijkheid dat de fout gelegen is tusschen de grenzen x en x -f- dx in eene reeks ontwikkeld kan worden, waarvan de eerste term de bedoelde exponentiëele uitdrukking is, terwijl de overige termen van dien aard zijn, dat zij dn waarde afnemen naarmate het aantal der samenstellende fouten grooter is." (*) In de mededeeling, waaruit hierboven aangehaald is, heeft Próf. Dr. Ch. M. Schols aangetoond dat de betrekkelijk kleine afwijkingen, die eene groote reeks van waarnemingsfouten ten opzichte van de exponentiëele; wet aanwijzen, voor het grootste deel een gevolg zijn van de verwaarloozing van de verdere termen van bovenbedoelde reeks; de verschillen zijn echter practisch beschouwd zeer klein, terwijl in den regel, vooral bij een betrekkelijk gering jiantal fouten, zooveel storende nevenorristandigheden in werking treden, dat de verwaarloozing van de verdere termen der reeks alleszins gewettigd schijnt. § 234. Afleiding van het beginsel van de methode der kleinste vierkanten. Wij zullen het beginsel van de methode der kleinste vierkanten afleiden voor het geval van directe metingen voor eenè grootheid; voor minder eenvoudige gevallen geschiedt de afleiding op geheel analoge wijze. 'Voor de bepaling van eene grootheid waarvan de juiste waarde > P' is, hebben n directe metingen plaats gehad, welke metingen de volgende waarden opleverden: Pd P21 Ps, ■ ■ ■ ■ Pn) de middelbare fouten bij deze metingen, die in het algemeen ongelijke nauwkeurigheid zullen hebben, zijn respectievelijk: nii, m%, W3, . . . . m„. Welke, is de meest waarschijnlijke waarde welke voor die grootheden uit deze metingen is af te leiden? , Onderstellen wij dat voor deze waarde P wordt aangenomen, dan zijn de schijnbare fouten: ,Xl=Pl-P, x2=p2-P, '....(17) xn =pn — P; (*) Prof. Dr. Ch. M. Schols. De wet van de fouten van waarneming. Verslagen der zittingen van de Wis- en Natuurkundige Afdeeling der Kon. Akad. v. Wetenschappen. 1892/93. Amsterdam. 1898. Voor iedere andere waarde, die wij als de meest waarschijnlijke waarde in aanmerking zouden willen-brengen, kunnen wij eene reeks van schijnbare fouten berekenen. Ook hier geeft de waarschijnlijkheidsrekening antwoord pp de vraag, welke van die aangenomen waarden de meest waarschijnlijke is. d&jboS Het theorema van Bayes namelijk leert het volgende: wanneer een verschijnsel door verschillende oorzaken tot siand kan komen én het verschijnsel heeft plaats gehad, dan is de waarschijnlijkheid, dat het verschijnsel het gevolg is van eene bepaalde oorzaak, evenredig met de waarschijnlijkheid, die deze oorzaak aan het verschijnsel zou geven. De waarschijnlijkheid is namelijk gelijk aan het product van de waarschijnlijkheid a priori voor de werking van de bedoelde oorzaak en de waar-" schijnlijkheid, die de' bedoelde oorzaak aan het verschijnsel zou geven , gedeeld door de'som van die producten voor ieder der verschillende oorzaken. Noemen wij de verschillende oorzaken, die het verschijnsel tengevolge kunnen hebben, 1,'2, 3 . . . . ., de waarschijnlijkheid ' a priori voor het werken van elke oorzaak resp. ply p2, Ps, ; de waarschijnlijkheid , die ieder van deze oorzaken aan het verschijnsel zou geven, resp. wlt w2, w3 . . . ., verder de waarschijnlijkheid, dat na het optreden van het verschijnsel 'eene der verschillende oorzaken het verschijnsel tengevolge heeft gehad, resp. Wu W2, W3 , dan is de waarschijnlijkheid, dat de oorzaak 3 bijvoorbeeld het verschijnsel tot stand heeft gebracht, gelijk aan: w _ - • PsWa , lg PlWl+P2Wi+PSWS+ ■ . . , Hier is het bedoelde verschijnsel het optreden van een der als meest waarschijnlijke aangenomen waarden voor P' die uit de metingen volgt, welke metingen hebben plaats gehad; de verschillende oorzaken, waardoor deze waarden kunnen optreden, worden aangewezen door de verschillende foutenreeksen, die "bij de verschillende voorgestelde waarden behooren. De waarschijnlijkheid a priori voor de werking van eene der oorzaken, dat is voor het optreden van eene bepaalde foutenreeks, is voor alle voorgestelde- waarden dezelfde, zoodat voor dit geval de vergelijking (18) overgaat in: De waarschijnlijkheid, die ieder der oorzaken aan het verschijnsel zou geven, is de waarschijnlijkheid voor bet' gezamenlijk optreden van de fouten van iedere reeks. Die waarde zal inderdaad de meest waarschijnlijke zijn, waarvoor de uitdrukking, overeenkomende met (18a), de grootste waarde heeft. De waarschijnlijkheid voor het voorkomen tusschen de grenzen en xl4-dx1 van de fout xx uit de reeks (17) is: -r- — ü 2^ dXx , ' V HÏ1 J/ 2 TT die voor het voorkomen van de fout x2 tusschen «g en x2 -f- dx%: V 2 w enz. Zij it'j de waarschijnlijkheid voor het gezamenlijk optreden van de fouten uit de reeks (17) welke gelijk is aan het product van bovengenoemde waarschijnlijkheden, zoodat: 1 1 1 -(^~5+ w +"w") 7 7-. rfr w __ _ .... e /2,»r imr - imn ' dx\dx2... p-ia.,.: m Wanneer voor eene grootheid directe metingen met gelijke nauwkeurigheid hebben plaats gehad, is de meest waarschijnlijke waarde gelijk aan het rekenkunstig gemiddelde van de enkele melingen. Nemen wij de middelbare fout in de enkele' metingen pu V2,-...Pn gelijk aan m, dan is volgens blz. 328 de middelbare fout M in P: TUT m M="Vn~ De middelbare fout in de enkele metingen is volgens de definitie: m=V1?1' • • • •(29) hierin zijn x{, x.{, . de ware fouten in de metingen ; de ware fouten zijn in den regel onbekend, omdat in het algemeen de werkelijke waarde P' van de gemeten grootheid onbekend is. De ware fouten zijn namelijk: zï=Pi — P', x,2=P2 — P', Pn j P • Deze vergelijkingen geven in verband met de vergelijkingen (25): xï = Xl + (P-P')r , ^'==^ + iP-P'h ....'(30) xn' = xn + (P — P'). ] Hierin is: P—P' = X (31) de ware fout in het eindresultaat. [re2] = 569,20, en: [rc2J = 575,70. Ook deze waarden geven voor m in tienden van secunden nog hetzelfde bedrag, de afrondingsfeut van P bedraagt ook slechts t^tt secunde. Wij kunnen hieruit echter gemakkelijk nagaan, dat, wanneer het verschil groot is en de waarde van O2] volgens de vergelijkingen (35) of (36) te klein is, gevaar bestaat döor eene te kleine waarde van. ra de waarnemingen te overschatten. Dit gevaar bestaat niet, wanneer de middelbare fout in de enkele metingen'berekend wordt uit de schijnbare fouten zelve; aangezien namelijk [>2J voor het juiste bedrag der meest waarschijnlijke waarde een minimum is, zal de waarde van [x2J, berekend met behulp van eene afgeronde waarde voor P, steeds te groot zijn.i § 238. Voor de bepaling van een grootheid, zijn verschillende seriën metingen (bijvoorbeeld vier) verricht, die de volgende waarden voor de grootheid hebben geleverd: Pi uit eene serie van n1 metingen, P2 „ „ „ „ n2 . „ , - p3 „ „ „ n3 .. , pi :> i . n, „ ; wanneer de enkele metingen alle met gelijke nauwkeurigheid zijn verricht, wordt gevraagd de meest waarschijnlijke waarde P te'berekenen, die uit bovengenoemde waarden is af te leiden. Zijn de enkele metingen gegeven, waaruit de verschillende waarden Plf P2, P3 en P4 zijn berekend, dan is de gevraagde meest waarschijnlijke waarde vólgens § 236 gelijk aan de som van alle metingen gedeeld door het totale aantal n{ + n2 -f- %-f- w4. Zijn de enkele metingen niet bekend, dan gaat men als volgt te werk. Stel de sommen vair de enkele metingen, waaruit pi> p%, p3 en P4 zijn afgeleid, respectievelijk gelijk aan [p]l7 l?h> lP]s en [p]it dan zijn: p1=if^)p2.=i^,p3=i^,P;=i^i.. (38) nx n2 n3 ' 4 w4 1 °' Waren deze sommen bekend, dan zou P gevonden worden uit: p_. M1 + M2+w3 + r?^ uit de vergelijkingen (38).volgt: fp]j5Sff%Pi, [p]o = m2P2, [p]s = nsP3, .[p]* = «*P4; deze waarden in (39) gesubstitueerd geven: nlP1 ± «aPa + "afii + "A- " Wi + % + «8 + % ■ Is m de middelbare fout van de enkele metingen, -dan volgt uit (39) voor de middelbare fout M in het eindresultaat (zie ook blz. 351) h Vnxm2 -f w2m2 + n8m2 + n4m2 ~^i.+ w2 + ^ + "4)2 of m 2f ==—; fjfó§| k »!4-na + «8Tn4 § 239. Directe waarnemingen met ongeluk gewiekt. De resultaten Plf P2, P3 en P4 van de verschillende seriën m de vorige paragraaf besproken,* hebben ongelijke nauwkeurigheid; noemen wij de middelbare fouten van Plt P2, P3 en P* respectievelijk «li, m2, m3 en m4, dan zijn deze, uitgedrukt in de middelbare fout m van de enkele metingen (zie ook § 23b): m m m _J*L_; . hieruit volgt: nim^ = n2m.32 = %m32 = w4m42 == m2. Vergelijken wij deze vergelijkingen met (28*) op blz. 349, dan zien •wij, dat de getallen nu w2, ns en «4 dezelfde beteekenis hebben als de gewichten. Omgekeerd kunnen wij dus -de gewichten gu g2 gn, in § 235 besproken, beschouwen als de aantallen enkele metingen waaruit wij de grootheden met " de middelbare fouten mx, resp.'m2, m3.' ..... », kunnen afgeleid denken, welke (denkbeeldige) enkele metingen alle de middelbare fout /* hebben. Hebben wij ter bepaling van de meest waarschijnlijke waarde P van eene grootheid, waarvan de juiste waarde P' zij. de directe metingen: Pi, P2, Ps P«> = 0iPi2 -2 9iPip + 0i p2> 02^ = 02P32 — 2 02P2 P + 02 ^2, 0.42 = s-„p„2 — 2 g„P.n p + 0» p2; sommeerende verkrijgen wij: [0*2] = [0P2] — 2 P fep] 4- [0] -p2 ; en, in verband met (4=1): [0x2j-[0P2j~[0]p2 ^ i ■ M-[0P2J-P[0P], -(47) ten slotte: fe^feP2]-1^ Van deze drie uitdrukkingen verdient'de laatste, om analoge redenön als aan het einde van § 237 ontwikkeld, de voorkeur. Eene berekening uit de schijnbare fouten bij eene door afronding vastgestelde' waarde van P, zal ook eveneens bij die, volgens (48) berekend, in nauwkeurigheid achterstaan, aangezien het vierkant van iedere (door de afronding-niet nauwkeurig berekende) schijnbare -fout met het bijbehoorend gewicht moet worden vermenigvuldigd. Ook hier échter zal de waarde van [gx2] uit de schijnbare fouten zelve befekend, wanneer er verschil is, te groot zün, dus in gunstigen zin van de juiste waarde afwijken. § 240 Voorbeelden van directe waarnemingen met ongelijk gewieht. I. Ter bepaling van een afstand zijn drie reeksen van metingen verricht; de eerste reeks bestaande uit 6 metingen gaf als resultaat 873,148 M., de 2de reeks die uit 5 metingen bestond gaf 873,143 M., terwijl als resultaat van 3 metingen der derde reeks 873,163 M. volgde; de enkele metingen van iedere reeks hebben gelijke nauwkeurigheid. Welke is de meest waarschijnlijke lengte van den afstand, hoe groot is de middelbare fout van de enkele metingen en die van het eindresultaat i Stellen wij de gevraagde meest waarschijnlijke waarde: !$JËI L = 873<150 M- + F > dan hebben wij de meest waarschijnlijke waarde te berekenen van de verbetering die aan de benaderde waarde 873,150 M. moet worden toegevoegd. De verschillen van de metingen met de benaderde waarde Zijn: Pi = — 2,m.M., p2 = — 7 m.M., ps = + 13 m.M, en de gewichten van deze metingen respectievelijk 6, 5 èn 3. In onderstaande tabel zijn de gegevens voor verdere berekening verzameld: P 0 9P p2 gp2 ! x x2 gx2' — 2 6 — 12 4. 24 1 - 1,4 1,96 11,76 — 7 5 — 35 49 245 I — 6,4 40,96" 204,30 + 13 3 + 39 169 507 j 4- 13,6 184,96 , 554,88 [g] = 14, [gp] = — 8, [gp2] = 776 1 [gx2] = 771,44 De meest waarschijnlijke .waarde van P is: P = |^ = JZ* _0,6m.M. De meest waarschijnlijke lengte van den afstand is alzoo in millimeters: D = 878,149*}M. De middelbare fout p van de enkele metingen is: V n — 1 hierin is: W = [9P2] - 776 - £ i 771,43, 10J 14 terwijl w = 3 is, zoodat dus: \ 1 771,48 = W—r— = 20 m.M. De middelbare föut M in het eindresultaat is: — T7TT \ / - - = 5,2 m.M. V [g] V (« —Dfe] f ' De andere formules voor [gx2] geven: [p2j = fep2] — [g] P2 = 770,96, :fes2] = fep2] — Pfep] = 771,20; ï-.Xih'; " terwijl de berekening met behulp van de schijnbare fouten zelve geeft (zie de tabel): [gx2] = 771,44. II. Uitgaande van vier driehoekspunten A, B, F en G (flg. 134), zijn naar het knooppunt 5 vier veelhoeken gemeten A, 7, 8, 9, 5; B, 4, 5; F, 6/ 5 en G, 10, 11, 5, die tevens zijn aangesloten aan het driehoeksnet (verg. § 186 blz. 170). Met behulp van de azimuthen van de driehoekszijden en de hoeken van de veelhoeken zijn voor het azimuth van de zijde 9—5 de volgende waarden berekend: langs'den lsten veelhoek <*A — 227°39'10", „ „ 2den „ «B = 227°39'45", ~v„ „ 3den W „ «F = 227°39'55", „ 4den „ «c = 227°39'20". Gevraagd de meest waarschijnlijke waarde voor het azimuth van de zijde 9—5 te berekenen, de middelbare fout van dit azimuth, alsmede de middelbare fout van eene enkele hoekmeting; de hoeken van de veelhoeken zijn met den theodoliet en met het oog op de eliminatie van de regelingsfouten tweemaal gemeten. De verschillende waarden voor het azimuth hebben ongelijke nauwkeurigheid. Voor de bepaling van dit azimuth zijn van A uitgaande 4 hoeken gemeten, namelijk in de punten A,l, 8 en 9; van B uitgaande 3 hóeken , in de punten B, 4 en 5; van het punt F uitgaande eveneens 3 hoeken, in F, in 6 en in 5; van G uitgaande weer 4 hoeken, namelijk in G, 10, 11 en 5. Voor de vereffening der metingen dienen wij dus de gewichten van «,, «B, «F en a« te berekenen. Noemen wij de middelbare fout in eene ,enkele hoekmeting m, dan is de middelbare fout m„ in iederen hoek van^den veelhoek, die het gemiddelde is van twee enkele hoekmetingen: (verg. (28) blz. 351). Het azimuth. «, wordt met.behulp van de metingen van den lsten veelhoek berekend volgens de formule: »A = (AB)-\-A + l — 180° + 8 - 180° + 9 — 180°, (verg. § 107, blz. 137 en § 182 blz. 166), waarin (AB) het azi- m muth van de lijn AB voorstelt (dat wij als vastgestekl'dus zonder fout beschouwen); At 7, 8 en 9 stellen de hoeken voor in de gelijknamige hoekpunten. Uit bovenstaande formule volgt voor de middelbare fout m,A in het azimuth «,: mXA2 — m/ 4- m72 -f m82 — m$; aangezien de verschillende hoeken beschouwd worden als met gelijke nauwkeurigheid gemeten, zijn: m/ == »w72 = ma2 — ?n92 — m,,2 = ~ ; en: mJA2 — 2 m". Het azimuth «„ wordt op gelijke wijze berekend uit: «B = (BC) -f B + 4 — 180° + 5 — 180', uit welke vergelijking wij langs analogen weg als boven gevolgd voor de middelbare foutin otg vinden: "Vb2 = — m2. Evenzoo vinden wij voor de middelbare fouten m* en mac resp. in aF en av: - mIF2 = — ra2, m»e2 = 2 ra2. De gewichten zijn omgekeerd evenredig met de vierkanten der middelbare fouten en zijn dus te stellen resp. op: 1 2 '2 l ~2' T' Tm T;; schrijven wij hiervoor: 2 2 "2 2 T'T'TenT' dan zien wij, dat de 'gewichten omgekeerd evenredig zijn met het aantal hoeken van de'verschillende veelhoeken Jverg. blz. 171). Aangezien de gewichten verhoudingsgetallen zijn, kunnen wij daarvoor ook nemen: gA = i, [flP9J = 4900 Uit de berekeningen in deze tabel volgt voor de meest waarschijnlijke waarde <* van het azimuth: « = 227° 39' 30" + -~- = 227° 39' 35". ':.,f - li De som der producten van de gewichten met de vierkanten van de schijnbare fouten is: M = l^2J - Jff = 4900 |pÊ = 4550' zoodat de middelbare fout ti va» de gewichtseenheid wordt: , en de middelbare fout m* in het eindresultaat: M =Jtt-^\l-Ü31 _ = 10". i/fel V (» —Dfel Om de middelbare fout van de enkele hoekmeting te berekenen, getallen met, 24 ter vereenvoudiging van de berekeningen, dan zijn de gewichten respectievelijk: 2,5, 3,0, 3,2, 4,0, 5,0, 6,0; dé gewichtseenheid is echter daarmede eene andere geworden (verg. blz. 350) en wel het gewicht van>eene waterpassing over een afetand van 24 K.M., hetgeen uit het bovenstaande gemakkelijk is af te leiden. Zij de meest waarschijnlijke hoogte: H = '36,525 M. + Pm.M. en noemen wij de verschillen van de gemeten hoogten met de benaderde waarde p, dan hebben wij de volgende berekening: P ff 9P gp* 1) — 9 m.M. 2,5 — 22.5 m.M. 202 5 2) +13 „. 3,0 +,39,0 „ 507 0 3) — 6 „ 3,2 —19,2* „ 115,2 — 20 „ 4,0 —80,0 „ 1600,0 5) + 7 » . 5,0 + 35,0 „ 245,0 6) + 4 I 6,0 +24,0 „ 9ö'o [g] = 23,7, [gp] = — 23,7 [gp2] = 2765,7 Hieruit volgt: F = r i = — 1 m.M. Iff] ën de meest waarschijnlijke hoogte: H= 36,524 M.+ N.A.P. Verder is: [9&] = [gp2] - = 2765,7 - K [g] 23,7 [gx2] = 2742,0, zoodat: „ \ I [ffx2] \ f 2742,0 en: u \ ! [ff*2] A / 2742,0 M~ V Tn-mJ] = V =4>8 m-M- 24 Aangezien tt de middelbare fout is voor 24 K.M., is de middelbare fout m voor 1 K.M.: m_ _iL_ = A / J?74^ = 4,8 m.M. IV Om de hoekwaarde (zie § 20) van het niveau van een waterpasinstrument te bepalen', zijn bij de navolgende standen ■van'de bel de daarnaast vermelde aflezingen op eene op een afstand van 41,253 M. verticaal gestelde zelfleesbaak verricht: uitwijkingen ' aflezingen van de bel: op de baak n —10 1,2S2 M. + 10.' 1,406 „ 2) - 8, 1,275 M. + 8. 1,374 „ 3) — 6 1,261 M. + 6.' 1,337 „ Gevraagd de meest waarschijnlijke waarde voor de hoekwaarde van het niveau te berekenen alsmede de middelbare fout van het resultaat. Aangezien, zooals uit de waarnemingen is op te maken, na iedere meting de baak iets hooger is gesteld, zijn de drie bepalingen onafhankelijk van elkaar; uit iedere bepaling kan eene waarde voor de hoekwaarde worden afgeleid, die nauwkeuriger is, naarmate het aantal deelen waarover de bel tusschen de twee aflezingen op de baak is verplaatst, grooter is. De aflezingen op de baak worden beschouwd als met gelijke nauwkeurigheid verricht te zijn. Uit de metingen volgt, dat met: 20 ■ 16 en 12 niveaudeelen, lengten op de baak overeenkomen respectievelijk gelijk aan: Z1="l24, «2 = 99, Z3 —78 m.M. Gemakshalve zullen wij eerst de meest waarschijnlijke waarde voor 4 maal de hoekwaarde berekenen; noem deze waarde in lengtemaat op de baak uitgedrukt (zie blz. 23) 4Hg en noem: 20= 16=4==a2 en ^ = 3 = 03, 4 ; 4 4 dan zijn de waarden voor 4 maal de hoekwaarde, die uit de metingen ieder afzonderlijk volgen: k h h —j — en —-• «j a2 a3 Is de middelbare fout in de waarden van l2 en l3 = p, dan zijn de middelbare fouten van bovenstaande uitdrukkingen resp. :■ ft fi —,• — en — '<4. «1 «2 «3 en de gewichten: 9i ^ «i2, 92 = «22 en g3 = a£. De meest waarschijnlijke waarde 4HB volgt dan uit: iHB= L °-l = "1 fl2 _ 8 «3 [g] c^2 + a22 -f- a32 ' of wel: A TT ' M De middelbare fout hiervan volgt uit: fefe M- g- _?i2_t* + a#l* + a£f# _ A2 [a2]2 ~ [a2J " In de fgrmule voor de middelbare fout van de gewichtseenheid : SI t WM . is, zie (48) blz. 362: dus^ fe.r2J '== |721 — Ml L J L,J [a2J Voor de berekening met eene benaderde waarde stellen wij: 4HB=-24 + Pm.M., metingen voor A', B' en G' volgende- meest waarschijnlijke waarden zijn, dan zijn de meest waarschijnlijke waarden P1( p pn voor de gemeten grootheden volgens (50): P1 = a1A + b1B+>c1G j P2 = a2A + b2B + c2G I (&i) P„ = a„4 + bnB + c„C | De "schijnbare fouten zijn dan: \n=pn — Pn; of in verband met (51): x'i=p1+-(a1A4rb1B-\-c1C), j a;2 = p2 — (M + hp + c2G), (52) ■ xn = pn — (a„i + b„B + c'nC). I _Dte waarden voor i, B en G zullen de meest waarschijnlijke zijn, waarvoor, zie (22) blz. 349: t>2] = [ | P — M + ^ + cCf) i2 ] = minimum. . . (53) Beschouwen wij deze laatste uitdrukking als eene functie van drie veranderlijke grootheden A, B en G, nl. F (A, B, G), dan zullen de waarden, die aan de vergelijking (53) voldoen, te berekenen zijn uit: dF(A, B, G) _ dF(A, B, C) = dF (A, B, C) = Q dA ' dB dC Deze differentiaal-quotiënten uit (52) berekend en gelijk aan nul gesteld, geven: [a\p — (aA4-bB + cG)\]=0, j [b\p — (aA + bB + cC)]]=0, j (M> [c \p — (aA + bB-\-cG)\]=0, ) waarvoor wij, in verband met de vergelijkingen (52) ook kunnen schrijven; .#§$fc eenvoudige voorbeelden getoond worden op welke wijze de normaalvergelijkingen worden opgemaakt. I. Voor het onderzoek van een buisniveau (verg. § 20) en ter bepaling van de hoekwaarde zijn, bij de uitwijkingen bx, b2; bn van de bel uit den stand bij inspeling, op eene op' bepaalden afstand verticaal gestelde baak aflezingen verricht respectievelijk px, p2, ■ ■ ■ . ■ P«- Gevraagd de meest waarschijnlijke hoekwaarde te berekenen. Zij de meest waarschijnlijke hoekwaarde in lengtemaat op de baak B (uit deze is dan het bedrag in hoekmaat gemakkelijk te berekenen, zie voorbeeld IV blz. 370) en zij de meest waarschijnlijke waarde van de aflezing op de baak bij inspelende bel A, dan is eene aflezing p, bij eerte uitwijking b van de bel, op de waarnemingsfouten na, gelijk te stellen aan: p = A+$B; (doordien de hoekwaarde 15 klein is, kunnen wij het stuk 'b B op de baak, zonder noemenswaardige fout te maken, beschouwen als een cirkelboog beschreven met den afstand tot de baak als straal). De metingen plt p2, • • ■ • Pn geven dan de foutenvergelijkingen, verg. (52): x1=p1 — (A + b1B), «2=P2 — (A-\-b2B), WBÊt'-. xn=pn — (A-\-bnB), waaruit de volgende normaalvergelijkingen zijn op te schrijven: [l*]A-\- [l.b]B = [l.j»] [l.b]A+ [bb]B=[b.p] of wel: > :«.', nAAr [b]B = [p\. [b]A+ [bb]B = [bp].. Uit deze normaalvergelijkingen zien wij o. a., dat de berekening aanmerkelijk vereenvoudigd wordt, wanneer de standen. blt b2 ... .b„ van de bel symmetrisch worden genomen ten opziehte van den stand bij inspelende bel; is bijv. b„ = — öi, b„_ i = — b2 enzf., dan is. [b] =0 en worden de normaal vergelijkingen: n A = [p]. [bb] B = [bp]. - Met het oog op de berekening van de hoekwaarde, kan dan de eerste normaalvergelijking achterwege' blijven. ' II. In een hoekpunt zijn tusschen de vier richtingen 1, 2, ^Jo^ 3 en 4 de vijf volgende hoeken gemeten: 1. 2 =px, 1. 3 =p2, £& <$qS>(pl} 1'4==P3, 2.4 =2h en 3.4=p5. Gevraagd de meest waarschijnlijke waarden van de hoeken, die de richtingen 2, 3. en 4 met de richting -1 maken. Noemen wij de meest •waarschijnlijke waarden van de ge- "~ vraagde hoeken A, B en C, dan kunnen wij de volgende foutenvergelijkingen opstellen: Xi=Pi— A x2=p2 — B »3 —Vs — C Xi=Pi~{—A ■ :(4-'0) x-o=P5 — ( — B + C) Beschouwen wij deze foutenvergelijkingen als van den vorm: - x=p — (aA4- bB + cC),, dan kunnen wij voor het opmaken van de coëfficiënten van A, B en C en van de tweede leden van de normaalvergelijkingen de onderstaande tabel samenstellen: J a | b | c j P j aa j ab j ac j bb, j bc J cc j ap j bp | cp i • i • ipi i • i • i • i • I • \+pi\ ■'!.■•,, 2|'. i-u 11 i üo i 111 i \ n r~ nfe Ht ? m ^ I- [>\ KI ^4* g: {ji De normaal vergelijkingen worden dus: 2^ 25 — C=i32—p5, ~A -B+ 3.G=iJ8+^ + p5; waaruit de meest waarschijnlijke waarden kunnen worden berekend. Om de middelbare fouten van A, B en C, die uit de normaalvergelijkingen (56) berekend worden, te kunnen uitdrukken in de middelbare fout m van de metingen Pi,ft Pn, welke metingen wij met gelijke nauwkeurigheid verricht onderstellen,* zullen wij A, B en g expliciet in Pl, p2, . : . . -Pn uitdrukken. Aangezien de normaal Vergelijkingen geheel lineair zijn, zullen bedoelde uitdrukkingen eveneens lineair zijn; wij zullen daarvoor kunnen stellen: A= «ll>l+ «8*2+ • • • ■ • + «nPn=[«P], ) B = &1p1 + /?2l>2 "f" + &i>» = ' • • • (5?) g = npi -4- r2J?2 + + = 'p}: ' Voor de middelbare fouten, die wij*resp. MA,MB en Mc zullen noemen, vinden wij dan: lm^™. MA* = «!2 m2 -f «22 ™2 + _|_ «n2 m2 = [ «2J m2, 2kfB2 = /S12m24-/?22w2-f ..... +/S,2m2= [/?2] m2, Jft,2 = y> m2 _L. y22 TO2 + ...... + yn2 TO2 = [y2j ™2 I zoodat: MA = mi/ [*2] , JfB = w K [/32J, Ic = m^ [r2J • <68)- Wij hebben dus niet zoozeer de coëfficiënten «, /? en y te kennen, dan wel [«3]„ [/?2J en [y2J. ' ■. Wij zullen A, B en g uit de normaalvergelijkingen oplossen met behulp van de methode der bepaalde coëfficiënten. Voor de oplossing van A namelijk,vermenigvuldigen wij de eerste der vergelijkingen (56) met een coëfficiënt Qn, de tweede met een coëfficiënt Q2i en de derde met een coëfficiënt Q31; wij tellen de dan verkregen vergelijkingen samen; m de verge' ujking, die wij daardoor verkrijgen, bepalen wij nu de coëfficiënten Q11, Q21 en Q8i zoodanig, dat de factor, waarmede A in die vergelijking vermenigvuldigd wordt, gelijk aan li wordt, en de factoren, waarmede B en g worden vermenigvuldigd, gelijk aan nul worden; wij hebben dan A expliciet in de grootheden px p2t pn uitgedrukt. Bovengenoemde vermenigvuldiging en samentelling geeft, na rangschikking van de termen met A, B en C: I [aa] Qu + [ab] Q21+ [ac] Q311 A + j [ab] Qn -f [bb] Q21 + [bc] Q31\B4-[[ac] Qh + [bc] Q21 + [cc] Q31\C= [ap] Qu + [bp] Q21 + [Cp] Q31. Kiezen wij nu Qn, Q21 en Q31 zóó dat: [aa] Qu -f [ab] Q21 -f [ac] Q31 = 1, ) [«*] "''ffi* a" = a»fti'+&«Q2i4-c„Q3i- I De uitdrukking [«2J zouden wij kunnen vinden, door ieder van de vergelijkingen (61) afzonderlijk in het vierkant te verheffen en dan te sommeeren; gemakkelijker échter is beide leden te vermenigvuldigen respectievelijk met «1( «2, . . . . «„, en daarna samen te tellen; wij verkrijgen, daardoor: L>2] = P «] flii 4- [b «] Qsi + [c «] Q31. De uitdrukking [a«] vinden wij door beide leden van de vergelijkingen (61) respectievelijk met au a2, a„ te vermenigvuldigen en dan te sommeeren: [o «] = [aa] Q}14- [ab^ Q21 + [ac] Q3l, (62«) volgens de eerste van de vergelijkingen (59) is deze uitdrukking = 1. [0 «] wordt gevonden door beide leden van de vergelijkingen ■ (61) te vermenigvuldigen respectievelijk met bu b2, b„ en dan samen te tellen: [b «] = [ab] Qu 4- [bb] Q21 + [bc] Q81; ...... (62*) volgens de 2de van de vergelijkingen (59) is deze uitdrukking gelijk aan nul. 4~ i'^f Op gelijke wijze vinden -wij: [c «] = [ac] Qn -f [bc] Qn + [cc] Q31 = 0 (62«) zoodat dus: PfflsP en, zie (58): MA = ra K Qn (63) Nemen wij voor de gewichtseenheid het gewicht van de waarnemingen p1} p2, pn, dan is ra de middelbare fout van de gewichtseenheid-, en het gewicht van A is dan, verg. § 236: 'qu wordt daarom het gewichtsgetal van A genoemd, terwijl de vergelijkingen (59) den naam dragen van gewichtsvergelijkingen voor A. Op dezelfde ,wijze kunnen wij ook [B2] berekenen: Wjj vermenigvuldigen de normaalvergelijkingen (56) respectievelijk met vde onbepaalde coëfficiënten Q12, Q22 en Q32, tellen dan samen, stellen in de som den factor van A=0, dien van 13 = 1 en dien van C — Q en vinden dan voor B —.verg. (60) —: B = [ap] Qa + [bp] Q22 + [cp] fe (64) terwijl: [aa] Q12 -f Lab] Q22 4- [ac] Q32 = 0, ) [ab] Q12 4- [bb] Q22 + [bc] Q32 = 1, (6o)> [ac] Qu + [bc] Qaa 4- [cc] Q32 = 0. ] Uit (CA) volgen voor Blf 02 & de uitdrukkingen: A = «i Qu 4-&i4 ~4>6 H964 -14 21,16 j + 64,4 196. ƒ ■ ■' '/ I ' +0,9 +16 | 69,89 I +235,6 824 methode der kleinste vierkanten. uiteinden- der bel; in de 4de kolom zijn de uitwijkingen ft'van' bel berekend. Bjj de berekening van de hoekwaarde, wil deze op de, meest eenvoudige wijze kunnen geschieden, kan worden ondersteld, dat de uitwijkingen van de bel zonder fout zijn, doch de waar. nemingsfouten voorkomen in de instellingen op de baak. De berekening kan dan op een zelfde wijze; als, boven worden ingericht. Ook hier kunnen benaderende waarden worden ingevoerd. Stellen wij: A — 12240 -f Ai tiende m.M., B = 60 + A B tiende mM., dan zijn de normaalvergelijkingen: ji AÜ [ö] A -B == (ql [6] A A + [bb] A B = [bq]. Met behulp van de cijfers van vorenstaande tabel: 7Ai+ 0,9 A-B = + 16, i 9^ 0,9 A A + 69,89 A B = + 235,6. j In een'geval als dit, is het doelmatig de gewichtsvergelnkingen gelijktijdig met de normaal vergelijkingen op te lossen: 7 0ia + 0,9 fe^O, j 0,9 042 + 69,89 022= 1- I De vergelijkingen (91) geven: • / 16 0,9 _ | / 0 92 \ 16 X 0,9 f 69,89 - ^f- ) A B = 235,6— ■ Hieruit volgt: A-B = 3,347 tiende m.M.; Ai = 1,855 tiende m.M., uit (92): ^69,89--^?-) 022=1, 022 = 0,0143. De hoekwaarde H in secunden is nu": H= 4SSr X 206265" = 24"32. 1 o8720 Voor de foutenberekening is: [z2] = [o2] — A A [q] — A B [bq]; met behulp van de berekende waarden geeft dit: [x2] = 5,732 en voor m2: m2 = = = 1,146. w — 2 o Dus: m = 1,07 tiende m.M. Daar: MB2 = m2Q22 = 0,0189, is: xJfg = 0,118 tiende m.M. en dè middelbare fout in H: MH=0",0ib. I.c.( Het op blz. 370 e. v. sub IV besproken voorbeeld kan eveneens, zelfs gemakkelijker, volgens de' methode van de indirecte waarnemingen worden behandeld. De metingen voor de hoekwaarde B in lengtemaat op de baak geven namelijk aanleiding tot de volgende foutenvergelijkingen: Xi=Pi — b\B, • x2 = p2 — b2B, xn =p„ — b„ B. Aangezien hierbij slechts ééne onbekende voorkomt, is er slechts één normaal vergelijking: [bb]B = [bp], waaruit volgt": De middelbare föut van b is dan: MB = my §22, terwijl Q22 volgt uit de gewichtsvergelijking: [bb] Q22 = 1; zoodat: m . 'WK * ■ M„ = V [bb] Daarbü is: A / [*g '/J m = \ —i—, V?i-i' en: [z*i = [f] - b [bp] = [P2] _ ^ML. De verschillende formules kometi overeen met die van het op blz. 370 e. v. behandelde voorbeeld. EL In het voorbeeld II blz. 377 zijn de metingen voor de hoeken: 1) 1. 2 = 63° 16' 50,"982, 2) 1.3 = 130° 54' 47,"026, 3) ■ . 1.4 = 190° 6' 45,"339, 4) 2.4= 126° 49' 53,"532, 5) 3.4= 59° 11' 58,"388. Gevraagd de meest waarschijnlijke waarden voor de hoeken 1.2, 1.3 en 1.4, de .middelbare fouten vah de enkele metingen en van de meest waarschijnlijke waarden van de daaruit afgeleide hoeken te berekenen. Voor de berekening van de meest waarschijnlijke waarden kunnen wü ook hier benaderde waarden invoeren; wij kunnen daarvoor kiezen de eerste drie metingen; stellen wij derhalve de meest waarschijnlijke waarden van de hoeken 1 „2, 1.3 en 1.4, resp.: 68° 16' 50,"982 + ^, 130° 54' 47/'026 -\-b, 190° 6' 45,"339 + G, dan worden de foutenvergelijkingen: 0" — A , x2= 0" — B ?3 = 0" — ü » 1 „ -f 90,2 +6,2 „ 1 „ +168,9 +10,4 „ 1 „ +242,6 +14,3 „ V 1 „ + 318,2 ■ + 18,5 1 „ +432,1 +24,7 | Gevraagd de meest waarschijnlijke waarden van de lengte van de staaf bij nul graden en van de uitzetting per meter en per graad, de middelbare fouten, van deze resultaten en de middelbare fout in de meest waarschijnlijke lengte van de staaf bij eene temperatuur t. \~ Noemen wij de lengte van de staaf bij nul graden L0 en de uitzettingscoëfficiënt «, dan is de lengte L, bij t graden: Lt = L0 (1 + « 0 = L. 4-L0«t. (Aangezien de lengte i„ van de staaf hier slechts weinig van (*) 1 |ü = 1 mikron = 0,001 m.M. 1 meter verschilt, kan bovenstaande formule vereenvoudigd worden. Stellen wij namelijk:" Lu = 1 -f A,v dan is: = pa -j- * 14- A ot t. Nu is hier A «t zóó klein (voor t= 2ö graden, A = 20 pen « = 18 millioenste, bedraagt A «* minder dan 0,01 /u) dat wij dit bedrag ten .opzichte van « t kunnen verwaarloózen De formule wordt dus: Lt = L0 4- ot t, $M® welke formule lineair is. Pili Stel voor de invoering van benaderde waarden:. £. = 1 M.— 2Qfi + A, en « = 18^ + 5 per 1 graad; _ noemen wij verder de verschillen van de gemeten waarden van L, met de met behulp van de benaderde waarden berekende lengten p, dan zijn de foutenvergelijkingen van den vorm: x=p — (A 4- tB) en de normaalvergelijkingen: nA4-, [ï)B= [p], | Mi +[«]fl = tö>], j(94> waarbij n het aantal metingen is. In de achterstaande tabel zijn de elementen voor de verdere berekening verzameld: (*) (!) Bij <}e becijfering van de coëfficiënten van normaalvergelijkingen kan men de vierkanten berekenen met behulp van kwadraattafels zooals die in de meeste lógarithmentafels voorkomen o. a. in „Verzameling van wiskundige tafelen ene Breda 1897" blz. 287-327; voor de producten kunnen dienst doen productentafels als: „a. L. Crelle, Rochentafeln, enz. Berlin 1880", „Kühtmanns Rechentafeln Dresden, 1911" en vooral twee verschillende „Rechentafeln von L. Zimmerman' Coblenz Liebenwerda 1895", waarbij de eene op 20 bladzijden alle producten van getallen van 2 cijfers met getallen van 3 cijfers geeft, de andere op 100 bladz«den alle producten van getallen van 2 cijfers met getallen van 4 cijfers • de berekening van andere producten wordt met behulp van deze tafels aanmerkelijk x1=ql—(—t'1b4rA'1c), (99) zijn in onderstaande tabel berekend uit de gegevens van vorenstaande tabel; tevens zijn in onderstaande tabel berekend de gegevens voor de gereduceerde normaalvergelijkingen en voor de foutenberekening (eenige van deze berekeningen zijn afgerond). t' A' q t'2 t'A' A'2 t'q A'q q2 — 13,6 + 13,70 +1,92 184,96 —186,32 187,69 —26,11 +26,30 3,6864 — 9,7 —16,15 +0,95 94,09 +156,66 260,82 — 9,22 —15,34 0,9025 — 3,8 + 1,80 + 0,45 14,44 — 6,84 3,24 — 1,71 + 0,81 0,2025 + 2,8 + 7,00 — 0,21 7,84 + 19,60 49,00 — 0,59 — 1,47 0,0441 + 8,8 +13,35 —0,83 77,44 —117,48 178,22 — 7,30 —11,08 0,6889 + 15,7 — 19,70 — 2,28 246,49 — 309,29 388,09 — 35,80 + 44>2 5,1984 + 27,3 +.35,85 +3,32 625,26 —208,71 1067,06 — 80,73 +44,14 10,7228 — 27,1 —*Sö,85 —3,32 Uit de foutenvergelijkingen (99) volgen de norrriaalvergelijkingen: [t't]b— [t'A'] c = — [t'q], 00 -[t'A']b + [A'A']c= [A'q]; en de gewicht'svergelijkingen: [ff] Q22— [fA'] Q32=l, [ff] Qn — f-'i'] §33 = 0, 1Q1) — [t'A'] fe + [A'A'] Q32 = 0, — [fA'] (?23 + [A'A'] §33 = 1- ■ De berekeningen van de laatste tabel geven voor de normaalvergelijkingen : 625,26 b + 208,71 c = + 80,73, 208,71 b + 1067,06 c = + 44,14; a~ „nsffimantnn iran rto orpwiV.hr.svfivcroiiiVine'en 7ün in eetallen- waarde dezelfde. Lossen wij uit de eerste van de normaalvergelijkingen p op, dan vinden wij: 208,71 , 80,73 ,1A0. h = ' c -\ (102) 625,26 T 625,26 en lossen wij tevens Q22 en % op resp. uit de beide eerste 1 vergelijkingen van de beide stellen gewichtsvergelijkingen, dan vinden wij met dezelfde getallen: n 208,71 1 fe = ~ "62cT2rT fe + "625^36"' "(103) n 208,71 v ; fe=-^iïfe; :--(104> deze' waarden gesubstitueerd resp. in de 2de normaal vergelnking en in de 2de gewichtsvergelijkingen geven: ( 1067,06 - fegi ) c = 44,14 - 1°8'71 * 80^ , \ 625,26 j ' 625,26 (l067.06-^^U39 = _^ZL, V ' 625,26 / V32 625,26 / 208 712 \ 1057,06— ' ) Oo„ = l. .* \ ' 625,26 / V88 , Hieruit volgt: c = + 0,01724, §32 = - 0,0003347, = 0,001003; deze waarden gesubstitueerd in de vergelijkingen (102), (103) en (104) geven: UKT 6 = 4-0,1284, g22 = 0,001711, §28 = — 0,0003347 (controle). Voor de berekening van a hebben wij de gevonden waarden van b en c in de vergelijking (98) te substitueeren. 'Om gelijk met deze berekening ook die van het gewichtsgetal §u, dat uit de vergelijking: ' «Qu — IQQsi + U- 760]§31 = 1 . . . ). . . (105) volgt, te kunnen uitvoeren, gaan wij na, dat de normaalvergelijkingen (100) ook zün af te leiden uit normaalvergelijkingen die uit de foutenvergelijkingen (97) zijn op te schrijven (*) door namelijk in de 2de en de 3de van de bedoelde normaalvergelijkingen de waarde van a uit (98) te substitueeren. Op gelijke wijze kunnen wij ons ook de gewichtsvergelijkingen (101) afgeleid denken, de 1ste gewichtsvergelijking van 6 zal dus zijn- (*) Zie pok de algemeene oplossing van normaalvergelykingen § 260. I Uit de aflezingen vinden wij 4 e (*) in hoekmaat uitgedrukt en wel in minuten; uit het bovenstaande volgt voor 4 e in minuten: 4 e = 4/ -- sin[I—K), ■ 360 X 60' waarin p p- = 3435'. -u^ De grootheden e en K kunnen op de volgende wijze in de bovenstaande uitdrukking gescheiden worden. Ontwikkelen wü den sinus van het verschil / en K, dan wordt: 4e = 4-p — sinlcosK— ±p~ cos I sin K . . ; . (109) Stel nu: ^ cosK = A en — 4p~e-sinK=13 r r > dan vinden ,wjj door beide laatstgenoemde uitdrukkingen in het vierkant te verheffen en dan tarnen te tellen: (ipe-y=A*4-B2 en . 1 i/^aqrp •e = J—p (110) deelen wij de uitdrukking voor -b door die voor A dan krijgen wij: ;' 7. b tg:K = ~A *&fy Zijn nu A en b bekend, dan zijn ook e en K te berekenen De waarden A en b in (109) gebracht geven: is = sinI.A 4-cos T.B. Substitueeren wij in deze laatste Vergelijking voor I resp de waarden 0°, 10°, 20°, 170°, dan zijn met de bijbe- O In gevallen als dit, wordt met voordacht eene deeling door i niet uitgevoerd; de afrondingen, die in een dergelijk geval alliehtWden plaats hebben hebben te-grooten invloed op de nauwkeurigheid van liet resultaat dan worden de foutenvergelijkingen: a-i = Pi' — «h' A-= + &-' Aï), ) • x2 = p2' — (a2' A x-\- ö2'.A 2/); | (121) enz. ; De norniaalvergelijkingen ter berekening van A ~= en A y zijn dan: [a'a'] A x + [«'&'] A 2/ = [-'i>'], 1 (122) [a'V] [W] A y = [öy]; 1 ' ' ' V' ' de berekening van de middelbare fouten komt verder geheel overeen met die op blz. 427; odk hier is, aangezien er twee . onbelenden zijn, nl. A * en &y, de middelbare fout van de enkele hoekmeting: waarin n het aantal hoekmetingen voorstelt. b Zijn de gemeten richtingen in P naar de punten Alt A2, As enz. resp. Bu P2, -~s enz., dan moeten wij, om de schijnbare fouten uit te drukken, aan de richtingen 170°29 4' M / p, 9 99448 M„.4.) 290 54 22 cos ' ' I 239 34 42 log AJ sin (ArP) 3,25363 £ 44 3017 logA^cosiAiP) 4,04838 a„ I 42 4623 x + 377771 »i + *2 + ft 326 51 22 i^'sin^P) + 1793,21 Xp + 5670,92 180° 179°59'60" . i (gA3A! 3,94921 log sin n 9,84570__ (A3Ad 110°54'22" logAtAi: sin ai 4,10351 (f2 14 30 53 (AsP) 96 2329 , Zog A\A3 4,04080 io?s»««s 9,88193 . logAUn ;sinat ' 4,20887 loflr^VijisiKOü 4,20887 log sin ((ft + aa) 9,92600_ iojjl^isinii! 4,10361 log A3P 4,13887 Zon e> , [ [gaa]Qn + [gab] Qai 4- [sac] Qn + j [gx'2} = [gx2] 4-^2 4- [<7ao] Q12 4- [flr&6] Q22 + tfl*e] Q32 + ! 4- [fl'ac] Q18 4- [gbc] Q& 4- [gcc] §33. ) In den coëfficiënt van ft2 vinden wij ook hier de eerste van de gewichtsvergelijkingen (128) voor A, de tweede van (129) voor B, de derde van (130) voor C, welke ieder gelijk zijn aan 1; zoodat ajzoo: Dit in (131) gesubstitueerd, geeft na oplossing van ft: n — 3 is weer het aantal overtollige metingen. Voor [gx2] vindt men op gelijke wijze als blz. 387: [gx2] = [gp2] — [gap] A — [gbp] B — [gcp] C. Het in § 242 besprokene is ook van toepassing op indirecte waarnemingen met ongelijk gewicht, mits met de ongelijkheid der nauwkeurigheid rekening worde gehouden. Wat de middelbare fout betreft van eene gröotheid die berekend wordt uit door indirecte waarnemingen gevonden grootheden , zie § 243, zoo zal, hetgeen blijkt uit vergelijking met het aldaar behandelde, bij ongelijk gewicht in de formule (S8) blz. 391 m2 door ft2 moeten worden vervangen, zoodat: § 250. Toepassingen van de methode der indirecte waarnemingen met ongelyk gewicht. Wanneer bij voorbeelden, als in § 245 behandeld, de ongelijke nauwkeurigheid een gevolg is' van de omstandigheid, dat de metingen gemiddelden zijn uit seriën, die uit verschillende aantallen metingen bestaan, zoo bieden de berekeningen geen' bijzondere moeilijkheden aan en komen in hoofdzaak overeen met die van de bij „gelijk gewicht" besproken vraagstukken. Een eenvoudig voorbeeld hiervan is het volgende: [gx'2] = [gx2] 4- 3 p*. L In een punt A zijn tusschen de richtingen naar B, G en ^ ci>^ D de navolgende hoeken met de daarbij gevoegde gewichten '^ y^ gemeten: BAC = 62°27' 5", gewicht 4, (*) BAD = 104°25'36", „ 6, GAD = 41°57'54", „ 6. Men vraagt de meest waarschijnlijke waarden dier hoeken te berekenen. (Eindexamen voor O. I, Pol. School, 1896). Noemen wij de meest waarschijnlijke waarde van de hoeken BAG en BAD resp.: U&W* 62°27'5" + 4 en 104°25'36" 4- B, dan kunnen wij de volgende foutenvergelijkingen opschrijven: v Xl= 0"— A x2 = 0"— B, xs = 37" — (— i -ff B). i De coëfficiënten der normaalvergelijkingen enz. volgen uit onderstaande tabel: a a [ 0 I P I gaa I gab \gbb\ gap I .gbp I gp2 D 4 +1 I • 0" I 4" . I .. o o 0 2) 6 , . +1 I 0" . .6 Of oio 3) B j — 1 +1 |-87" 5 1-5 5 +185" -185" 6845 9 ! — 5 11 4-185 —185 6845 De normaalvergelijkingen zijn: 9A— 5 5=-. 4-185", — 5 A 4-115 = —185"; waaruit volgt: A = 4-15", B = — 10", zoodat de gevraagde meest waarschijnlijke waarden zijn: BAG = 62°27'20", BAD = 104°25'26", CAD = 41°58' 6". \ (*> w» bunnen hier onderstellen, dat de eerste meting het resultaat is van 4, de tweede van 6 en de derde van 5 metingen, welke enkele metingen gelijke nauwkeurigheid helmen, zijn tot op hectometers afgerond). "Wij zullen de meest waarschijnlijke waarden berekenen van de hoogteverschillen met het punt I; ter vereenvoudiging van' de berekening voeren wij benaderde waarden in en wel de langs directen weg gevonden hoogteverschillen met het punt I. Stel dan de meest waarschijnlijke waarden van II boven I: 1,089 M. -j-A, I „ III: 2,588 „ + B, I „ IV: 0,420 „ 4- C, V „ aa I: 0,736 „ 4- D, dan kunnen wij de volgende foutenvergelijkingen samenstellen: ^ = 1089 —(1089 4-^),' / x2 = 2588 — (2588 -f B), xs = 420—( 420 4- C), Xi = 736 — ( 736 4- D), ■ x5 = 3686 ■— (1089 -f- A 4- 2588 -f-B), s6=2171 —(2588 4-J5— 420—C), x7 = 1163 — ( 420 4-C 4- 786 4- D), ; s8= 871 —(1089 -\-A— 736 — D), of wel: xx = 0 — A x2= 0— B %a= 0— G . , Xi=. 0— b, z5 — + 9 — (1 + B) , x6=-\- 3— (B — C) , «7 = + 7— (C-fD), s8 = 4-18 — (A —D). -D). De coëfficiënten van de normaalvergelijkingen en de waarde van [gp2] volgen uit achterstaande tabellen. ga b | c j d p gaa | gab gac | god gbb gbc gbd 1 1251+1 I . i . I . ! o! 25 j '. I . I .1.1.1. I . I 1 i I , • l I i 1 ! I - i I i ;•. 2 j 91■', j+1 j ' J . j 'o j 1 . j -'. J . j 9 I- . . j s ini. i~i+i! . j ■ of. r.!. i.. i. 1. n~ i I. ; 1 r 1 ; i I i I '. I ■ i . I 4 117 . •'! .-1 . j + i ! of . 'I- .••! . I . !-. I . I . ■ I I I I I I 1.1 I I I - I 5 J sl+ll+ll .' ! . 1+ 9| 8 l+8| . |' . | 8 I . |.. I I ) i j . I I i l_ I I i I 6 ! 6 | . 1+ 1 |— lI ;' " |'+ 3 I -. j ■ . ' I . | • I 6 |— 6 i . I I l 1,1 I 1 I |- I i' I I I , 'i ■ I ■ 'l i I ■ i III 7 I 121 . I . .1+1 +1 1+ 7 . . . I ..1.1. I I I I ' 1 I 1 I | 1 l I 8 ! 10 + 1 I . ! . 1 + 18 10 I . I . — 101 . ,—, 48 + 81 0 —10, 23 —6 0 _ I - . I 1 I I 1 I I I I _ I ! gcc j gcd I gdd j gap I gbp j gcp j gdp j gp2 ■ I ■! ■ 1 ■ ! o| - g - I- - I Q »I ■ i ■ I ■ I °M • I o 3 I 11 ! . .1.1. ol . 0 !i I I I i ' I 4 I . ! . I 17 ! . I . I ." ■ ol 0 I I I I I I I ' I .5 | .1 . I . |+ 72 1 + 72 I I ■ .' I 648 6 [ 6 I . I . I . ■ I +181 —1811 ' . . 54 1 i I l.l' l I ■ I . .7 I 12 j+ 12 j 12 j . j . . j +84j+ 84 588 8 . . . 10 |+180 . j . —180 3240 29 +12 39 +252 +90 +66,— 96 4530 De normaalvergelijkingen zijn alzoo: 434 + 85 — 105 = + 252, ] 8A +23 5— 6 G =4-90, — 65 + 29'C+125 = + 66, 1 • (134) — 104 +12(7+395 = — 96. ! De gewichtsvergelijkingen zijn dan, verg. (128),'(129) en (130) blz. 440: 43§n + 8§21 -10Q41 = 1, 8§ii + 23g21— 6§31 =0, - 6 §21 + 29 §31 + 12 §41 = O, ■ • (185i) -10§n + 12§31 + 39§41 = 0; 43.§I2 + 8§22 — 10 Q IQ Qis—^Qn +^ x de middelbare fout m van p gevonden worden uit: verg. (8) blz. 326; nemen wij het gewicht van x als eenheid aan, dan is het gewicht, o- van p: ft^ x* 9~ mp^W de 2de en K8 uit de 3de normaal vergelijking gesubstitueerd in de overige drie vergelijkingep en is dus de oplossing spoedig' teruggebracht, tot die van drie vergelijkingen met drie onbekenden. De keuze voor de volgorde geschiedt hiér gemakkelijk met behulp van de figuur: I, II en III zijn kringen die geen sfde gemeen hebben, voor deze zijn dus de voorwaarden geheel onafhankelijk. De middelbare fout van de enkele metingen bij waarnemingen met gelijk gewicht wordt hier evenals bij de andere methoden gevonden uit de formule: m=\/~ _lMl_ V aantal overtollige metingen' het aantal overtollige metingen, is hier gelijk aan hét aantal voorwaarden v, zoodat: m=VJ?L-- •••(i76) De juistheid hiervan blijkt uit het volgende: bij „indirecte waarnemingen", zie (82) blz. 386, hadden wij voor den noemer der breuk gevonden ra-s, dat is het aantal metingen verminderd met het aantal onbekenden; zooals bij het begin van deze paragraaf is aangetoond, is bij het terugbrengen van het vraagstuk der voorwaardenvergelijkingen tot dat der indirecte waarnemingen, het aantal (onafhankelijke) onbekenden gelijk aan n — v, zoodat dan volgens (82) m zal worden gevonden uit: m=\l— V n—(» — v) overeenkomende met (176). De waarde van [x*\ is te berekenen uit de correcties zelve die m het algemeen toch alle uitgerekend worden, of ook uit een formule die uit de correlatenvergelijkingën (166) is af te leiden: vermenigvuldigen wij namelijk beide leden van (166) resp. met xlt z2 Xn en sommeeren wij, zoo verkrijgen wij: [x2] = [ax] Kx -f [bx] K2 + [cx] Ks, waarin, zie (162): [ax] = rx, [bx] = r2, [cx] = r f zoodat: [a;2] = z1r1 + Z2r2-r-Z3rs . J| J . . (177) Bij ongelijk gewicht volgt de middelbare fout van de gewichtseenheid uit: ^=v^'-(178) welke formule op gelijke wijze als (176) is te vinden, terwijl voor [gx2] dezelfde uitdrukking is af te leiden als voor gelijk gewicht: [gx2] = Kxrx 4- Kyo. 4- Z3r3 . (179) § 264? Middelbare fout van eene functie van direct waargenomen gro'otheden, waartusschen betrekkingen bestaan. (*) Voor de berekening van de middelbare fout in de vereffende grootheden, zullen ook hier (verg. blz. 378) de vereffende grootheden expliciet in de gemeten grootheden moeten worden uitgedrukt. Op gelijke wijze als voor de vereffende grootheden zelve, zal de middelbare fout in eene functie van de vereffende grootheden worden berekend. Onderstellen wij derhalve, dat bij waarnemingen met gelijk gewicht tusschen eene grootheid F' en eenige. van de grootheden P{, P2' P„', op blz. 460 bedoeld, de lineaire betrekking bestaat: 'fM\ F' = hPÏ 4- Z2P2' 4- 4- Z„Pn' = [IP'], (niet-lineaire functies kunnen met behulp van de partieele' differentiaal-quotiënten tot lineaire worden teruggebracht), dan zal de meest waarschijnlijke waarde F van F' worden gevonden uit: P = Z1P14-Z2P24- 4-Z„P„ = [ZP] ; . . . (180) het aantal hierin voorkomende onafhankelijke grootheden is hoogstens n — v, alzoo in > het geval van blz. 460 e. v.: n — 3; eenige van de coëfficiënten l zullen dus gelijk aan nul zijn. De meest waarschijnlijke waarde van de correctie xF, die voor de uit de metingen pX) p2 pn afgeleide waarde van F' kan worden berekend, is dan ook gelijk aan: xP = lxxx 4- I0P2 4- 4- lnxn. (*) Zie Bijlage 0 1906, Is één der coëfficiënten l gelijk aan 1- en zijn de andere alle gelijk aan nul, dan stelt F ééne van de vereffende grootheden voor. De uitdrukking van F in de metingen plt p2 pn zal eveneens lineair zijn en wel van den vorm: F=«lPl + «2P2 + +*njp„ (181) in welke uitdrukking alle grootheden p kunnen voorkomen. Is de middelbare fout van de enkele metingen m, dan is de middelbare fout MF van F, verg. (58) blz. 378: MF=±m\/[<&] (182) Het vraagstuk komt dus voornamelijk neer op de berekenine van [«2], 5 Tusschen de grootheden P van (180) en p van (181) verg. blz. 460, bestaan de betrekkingen: pi=i>i + «i, Pn=pn + xn; deze waarden in (180) gesubstitueerd geven: F = [lp]-]-[lx] (183) De correlatenvergelijkingën (166) blz. 462 geven voor de correcties x< xx = axKx + öjZg 4- CjZg, «2 == 4--&2-Sr2 -t- C2-&3, , xn = anKx + bnK2 4- cnK3; deze waarden in (180) gesubstitueerd, geven na rangschikking: F = [lp] 4" [o Q #i 4- [b l] K2 4- [c 1} K3 (184) De hierin voorkomende correlaten Klt K2 en K3 kunnen uit deze vergelijking geëlimineerd wfrden met bebulp van de normaalvergelijkingen (167); om daarbij echter de metingen pu p* Pn in de uitdrukkingen te behouden, zullen wij voor de tweede leden nemen (zie blz.' 461): *\ = B\ — W\, r2 = R%-[bp], r3 = R2-.m. -7 10. DG HK DC £ fff + 2TX Aangezien de correctie slechts enkele eenheden van de vijfde decimaal van de logarithme zal bedragen, kunnen wij volstaan met benaderde waarden van de gewichten, die wij tevens, als zijnde verhoudingsgetallen, met 10000 vermenigvuldigen: 10000 10000 10000 _ 10000 _ 10000 10000 DG ~ 276,02 ™ db' FG ~"28p4 = 8°'~HÏT~ ~ "Ï80^66 ~ °0i zoodat dus: A l = -36X7 + 55X10 , 36 + 35 + 55 Deze correctie, opgeteld bij de log. overstaande zijden, geeft de log. gecorrigeerde zijden; terwijl ten slotte bij deze logarithmen de zijden worden opgezocht. § 256. Veelhoeksvereffening. Tusschen twee punten A„, coördinaten Xa en Y0, en A6, coördinaten Y„ en Xn, zie ook fig. p, is een open veelhoek aangebracht, aansluitende aan de zijden A0B, azimuth «,„ en' A6C, azimuth «„; van den veelhoek ■ zijn gemeten de hoeken A0! Au . . . . Aü(= Au) én de zijden AoAi = llt AXA2 = 12, A5Aa = ln. Gevraagd deze metingen te - vereffenen. De metingen moeten voldoen aan de voorwaarden: [A\~pxmy>, [l sin «] = A'„ — X„, [Icosa] = Y„ — F„, zie ook § 132 blz. 166 en 167. De hoekmetingen zullen vooraf, dus afzonderlijk, worden vereffend. Geven wij de hoeken correcties resp. geluk aan xx, x2, x», dan volgt uit (1) blz. 166 de voorwaarde: [ A 4- x] = „ 4 *„") — (an\A6 + (l)} + bn\B0 + (2)\ + cA C„ 4(3)!), ) Naar analogie met (206) en (207), kan dan uit'de vergelijkingen (208) de betrekking worden samengesteld: A„ + (1) = ai(Pl + x«) + «2(p2 + x^ + + xn(Pn + xn"); (209) de coëfficiënten « zijn hierbij dezelfde als die welke in (207) voorkomen. Uit (209) in verband met (207) volgt nu; (1) == f7i«i^i" + 02%" + '4- gn*„xn". | Op gelyke wijze kunnen wij voor (2) en (3) afleiden • I ' • • (210) (2) = gxBxx{' 4 fl^a&a" + 4 gj3nxn", (3) = girxxx" 4 g^y^" + •+ gnynxn"; ) de coëfficiënten (3 en y zijn daarbij dezelfde als voorkomen in de uitdrukkingen voor B0 en C0: B0 = 0 APi 4 f/2^2^2 + 4 (7„/?npn, Go = <7inPi + g&iP2 + ..... 4 g„y„p„, (verg. blz. 438). Substitueeren wij de uitdrukkingen (210) in (205), dan krijgen wij na eenige rangschikking: (fiVA 4 ö,1/?1a2 4 o-iyia3) xx" + (g2x^x + g20^ + g^^) x2" 4 ... j • • • + (gn«na,x 4 f/„/?na2 4 o„yna3) xn" = rx, I (ffi«iïi 4 gxBxb2 4 gxyxbs) x{' 4 (g2*2bx + g2/32b2 + g2y2b3) x2" + .... :(211) • • • + (gn<*nbx 4 f/„/?„b2 4 f/„y„b3) xn" = r2. Deze vergelijkingen nu zijn in verband met (204) blz. 500 pp dezelfde wijze te behandelen als de vergelijkingen (162) blz. 461 in verband met [gx2] = minimum, blz. 465. Voeren wü namelijk voor de tivee vergelijkingen (211) twee correlaten Kx en K2'in, dan Binden wij, op gelijke wijze als op blz. 461 en 462 redeneerende (zie ook blz. 465): == (ffi*fii + i/iB&2.+ Q\y&èK-i + (SVibi + 9i0ib.2 4- S'iribs)Z2fj i % .4 .(212) 9nXn" = (g»*»*! + fl,„/?„a2.+ ff»y»a8) Xj + (f/n«nbi + o-„/?,,b2 + gnynba)K2. ' Voor de berekening der correlaten worden deze vergelijkingen op eenigszins andere wijze gerangschikt: <7i%"=(a^ + b^a) 01*1 + (a2Xi + b2K2) g1Bl + {s^Kx + bsK2) gxyy, g„Xn" = (a^i + b.Xa) r/„«n + (a2Zx + b2X2) gnB„ + (a3Zi + bsK2) gnyn; stellen wij nu: [l] = a1X1 + biX2,) [2] = a2X1 + b2Z2, (213) [3] = a3Z-1 + b3Z2;] (deze vergelijkingen worden correlatenvergelijkingën, [1], [2] en [3] hulpgrootheden genoemd), dan worden dus: gi%i" = <7iai [i] + giBi [2] + g&x [3], i . . (214) <7A" = [cd 2] C -f [dd 2] D — [dp 2] = 0. } (229) De eerste van dit stel vergelijkingen geeft voor C de derde eindvergelijking: [cc 2] ^ [cc2] . Deze waarde, gesubstitueerd in de tweede vergelijking van' (229),,geeft de derde gereduceerde normaalvergelijking: |[dd2j-t«wm\ D-\[dP2]- =o- ! [cc 2] ( (lP J [cc 2] ( ' want L' fan] i J [aa] [a«]2 welke laatste uitdrukking, na vereenvoudiging, identiek blükt met den coëfficiënt van B in de eerste vergelijking van (227). of '-wel in overeenkomstigen vorm als (228) en (229) geschreven: [da"3] D— [dpS] = 0. Deze vergelijking geeft de vierde (hier de laatste) eindvergelijking: [dd 3] ' waaruit de waarde van D onmiddellijk kan worden berekend. ■ Door substitutie van deze waarde in de derde eindvergelijking . volgt dan C, door successieve terugsubstitutie van de berekende grootheden in de hoeede eindvergelijking volgt B, ten slotte uit de eerste eindvergelijking A. Zooals in het overzicht (*). op bladz. 520a is aangegeven, kan door de boven'aangegeven reductie voor de berekening van A, B, G en B, tevens de berekening van de som van de vierkanten van de schijnbare fouten worden uitgevoerd (verg. ook bladz. 447 e. v.). %ÈMÊ Bij deze berekeningen is echter controle, ook gedurende de berekening zeer gewenscht; deze wordt op zeer volledige wijze verkregen door een tweede stel controle-vergelijkingen met onbekenden A', B', G' en D' te berekenen (verg. bladz. 483 e. v.) waarbij de coëfficiënten der onbekenden A', B', G' en D' dezelfde zijn als die van de normaal vergelijkingen, terwijl alleen de „bekende" termen verschillen. Deze bekende termen nu, worden op de volgende wijze samengesteld. De foutenvergelijkingen, die de normaalvergelijkingen (225) bladz. 519 opgeleverd hebben, zijn van den vorm: xï - Pi — «1-4 — biB — CjC — d,D, x% =P-z — a2A — b2B — c2G— d2D, x.t =p„ — a,A — bnB —CnC — dJ>. Berekenen wij nu grootheden su s2, s„, die door de volgende betrekkingen met de coëfficiënten van A, B, G en D in bovenstaande foutenvergelijkingen verbonden zijn: (*) Zie hét Voorbericht bij deu achtsten druk. s1=pi — a1 — bl — c1 — d1, j - s2=j*3 — a2 — 62 — c2— dg, f • _ | (.-soU) Sn = Pn — an &n C„ dn. en berekenen wij verder met behulp van deze s-getallen de sommen [as], [b s], [cs] en [ds], dan geven de uit de vergelijkingen (230) afgeleide betrekkingen: [as] = [ap] — [aa] — [ab] — [a c] — [ad], 1 [6s] = [bp] — [ab] - [bb] — [6c] — [bd], [c s] = [cp] — [a c] — [6 c] — [c c] — [c dj, j f2gl i [ds] <= [dp] — [ad] — [6 dj — [cd] — [dd], 1 ' 7 [s s] = [j)s] — [a s] — [6 s] —' [c s] — [d sj, I in de allereerste plaats controle op het juiste opmaken van de coëfficiënten van de normaalvergelijkingen. Lossen wij nu gelijktijdig met de normaalvergelijkingen voor A, B, O en D een tweede stel vergelijkingen met onbekenden A', B', G' en D' als bovenbedoeld' op, waarbij de „bekende" termen [as], [6 sj, [csj en [dsj zijn, dan hebben wij bij de successieve reductie der twee stellen vergelijkingen (zie het overzicht op bladz. 520a), voortdurend contróle op de berekening, zoo wel van de onbekenden uit de normaal vergelijkingen, als ook van de som van de vierkanten van de fouten, doordien na iedere reductie steeds betrekkingen bestaan als boven bij (231) opgeschreven. Aan het einde van de reductie vindt men drie waarden voor [a;2]. Bij de berekening van de onbekenden A, B, G en D door oplossing en terugsubstitutie en gelijktijdige berekening van A', B', C' en B' blijft weer voortdurend controle bestaan, aangezien de onbekenden A', B', C' en D' een eenheid kleiner zijn dan de onbekenden A, B, C en B. Dit laatste is als volgt te bewijzen. De laatste eindvergelijking (zie het overzicht op bladz. 520a) geeft voor D en D' resp.: n = [dp 3] = [ds 3] [dd3]' [dd 3J Uit de contröle bij de derde gereduceerde normaalvergelijking volgt: [ds3] = [dp 3] — [dd 3]; I METHODE DER KLEINSTE VIERKANTEN. 523 dit in de uitdrukking voor B' gesubstitueerd geeft: [dpS] [cl d 3] „ , ïï=wi-\ddé=D-1 •••••• ^ De derde eindvergelijking geeft voor C" C, = _M2] [cA2]. [cc 2] ^ [cc2] Bij invoering van (232) en van de contröle bij de tweede gereduceerde normaal vergelijking: [cs 2] = [cp2]— [cc 2] — [cd 2], ■ wordt: [cd 2] ■ [cd 2] [cp2] [cc 2] M2] [cc 2] ïc'c 2Ï [cc 2] [cc2] [cc 2] ' waaruit in verband met de derde eindvergelijking voor (7 onmiddellijk volgt: C' = C—1. Zoo verder gaande kan op gelijke wijze worden aangetoond, dat: B' = B—\, A'-A — l. Gelijktijdig met de normaal vergelijkingen en de controle-vergelijkingen kunnen ook de gewichtsvergelijkingen worden opgelost. De coëfficiënten van de gewichtsgetallen zijn dezelfde als van de normaalvergelijkingen, bij de reductie zijn de coëfficiënten der gereduceerde _ gewichtsvergelijkingen dus ook dezelfde als die der gereduceerde normaalvergelijkingen' (zie het overzicht op bladz. 5'20a); de coëfficiënten van de eindver gelijkingen voor de .gewichtsgetallen komen dus ook geheel overeen met die der eind vergelijkingen voor A, B, (J en B, alleen de „bekende" termen verschillen. ' De reductie der gewichtsvergelijkingen heeft plaats op de volgende wijze (zie het overzicht}. Uit de eerste vergelijking van ieder stel gewichtsvergelijkingen worden resp. Qu, Q12, Q13 en Qu opgelost en wordt het eerste stel eindver getij kingen verkregen. "Worden de waarden van Ql2, Q13 en Qu gesubstitueerd, in de laatste drie vergelijkingen van het 2de, 3de en 4de stel gewichtsvergelijkingen, zoo verkrijgt men de eerste gereduceerde gewichtsvergelijkingen. De eerste vergelijking van ieder stel eerste gereduceerde gewichtsvergelijkingen levert eene van het tweede stel eindver gelijkingen. De waarden van fe, en Q24 van dit tweede stel eindvergelijkingen, gesubstitueerd in de 2de en 8de vetgelijkingen van het 2de en 3de stel der eerste gewichtsvergelijkingen, geven de tweede gereduceerde gewichtsvergelijkingen, enz. De laatste eindvergelijking geeft Qu; door successieve terugsubstitutie kunnen dan alle gewichtsgetallen worden berekend. Aangezien alle coëfficiënten van de gewichtsgetallen bij de oplossing der normaalvergelijkingen zijn gecontroleerd en de „bekende" termen een zeer eenvoudigen vorm hebben, is andere contröle voor de einduitkomst der gewichtsgetallen, dan het zorgvuldig nazien der niet gecontroleerde berekeningen, overbodig. § 261. Schema der oplossing met behulp van logarithmen. — Getallenvoorbeeht (*). Uit de voorbeelden op bladz. 447 e.v. en bladz. 485, ook in verband met het hieronder volgend schema en voorbeeld, is te zien, hoe de oplossing der vergelijkingen kan geschieden zcrider logarithmen. (**) In het hier volgende schema is de gang der oplossing met logarithmen aangegeven, daarna volgt een voorbeeld in cijfers. Bij het schema en bij het voorbeeld behoören de hulpbladen A en B, die bij de practische toepassing als losse bladen worden gebruikt. De bewerking is in twee deelen vèrdeeld: 1°. de successieve reductie van de normaalvergelijkingen, van de contróle-vergelijkingen en van de gewichtsvergelijkingen en het berekenen van [x2]; 2°. de successieve terugsubstitutie van de gevonden onbekenden en gewjchtsgetallen in de eindvergelijkingen. In het schema en in het voorbeeld zijn beide deelen gescheiden door eene geblokte lijn. De bewerking is de volgende: Schrijf in het schema op den bovensten regel de coëfficiënten, (f) (') Zie het Voorbericht bü den achtsten druk. (**) Het verdient ten zeerste aanbeveling bij de oplossing van normaalvergelijkingen vooraf staten te linieeren „en bij de berekening gebruik te maken van dubbel gelinieerd papier, waarbij de afstand der lijnen in beide richtingen ongeveer 4 m.M. bedraagt. (ï) Daarbij zijn telkens in een volgende vergelijking de coëfficiënten weggelaten, die in de vorige vergelijking reeds voorkwamen; zie ook de afscheiding door eene stippellijn bij de normaalvergelijkingen van het „overzicht". _ SCHEMA voor de oplossing der normaal vergelijkingen, voor de berekening van de som van de vierkanten der fouten en van de gewicbtsgetallen. A'B C D [aa] [«]' ^ -U"JJ ""tOSl ;o0 m k -4 m ,o» ^ _JüiÜ! |! "~| [«■P) | !o , lasl .log ~— l°g + [aal \', °3 taal SL lor, [ad]0 log-^Qu ,-\&» „<-*•«.. ' „-[^ ■-■g-* "~UC -'-ht* T , [ap] I , ["s" 1 '■ + T :—- c—; [aa] | v[aa] [ac] _["c'0. _ [-^] ft, -^]_ + Ja&Ha£L faal-" ! [aa] [fffl | [0a] [Ï6~I] 1 [tol] | [6dl] -[*pl] ||^ -16*1] !oa [66 1] (oa_ [6c 1] I log Ibd 1] log - [bp 1] jj " log - [bil} , , Ibp 1] jS , [6s 1] 1 loa + —— ' log t t»a - rtrr, 9 + [66 n °" T [66 i mi , wnn L iMii m i] 1 „■ - - ^ "* - t66-Ii °» - [STfl ^ " ~ Ï56ÏÏ " " f» « » - [66 ï] ^ .""T66^1]ft:1 " [66 1]C,M " [66 1] ü" [66 1] " i + t*jy |! + tüii - rtTli [66 1] VM [66 1] V44 [66 1] [bb 1 - jM, r C* Ï66l]iV8S [66 l]^34 [66 1] Ij, [66 1] gom Som Som Som Som ft Q» B n [cc] [cd] - [op] - lC8l [ac] [ac] _ [ac] [aa] [ac] rap] jj ■ + . [ac}. [aa] [oo] ;' Som Som Som Som ft3 O:» C C [dd] - [dp] I — Ids] [ad] lail]' [ad] [ap] [aal [as] [aa] ._ [da] j [00] f«tó"i] - [* 1] i — [ds i] [bd lj CMl] [6dl][6pl] j ^ [60" 1] [6«1] [661] _ + [66 1] [66 1], . [éUTS] ■ — [ap 2] — [* 2] ■ _ Led2) lccl2] i [cd2]JcpJ] |] [cd_2]Jcs2) —;* ;.--ïf — [cc 2] " [cc 2] |j t'cc21 t*Tsl — [dp 3] jj — [ds 3] log [dd 3] toa - r«p 3] lo'J — [« i Som Som ! Som • 944 I D • ' I [pp] li>si [ss! [op] [ap] j [ffp]Jas]_ ,; [as]Jas)_ J^aT ï««l tcl" [pp 1] üjs 1] Iss « [5pl][6pl] _[6pl][6sJJ _[ösl]J&ill ' • - ~T66TT_ f66-1' Si__—i^s=-— / ■ . [pj 2] tPS 2] |j lss 2' [cp2][cp2] _[^p2H'?il |! _&3J§$. -•"Tccli [CCj] _J^3— [pp"31 [ï,s 31 [ [dp3][«p3] _[dpmds3] || _^s31/^ - " msi__ ^3] 7^r— [pp7 *] [ps 41 II ^ ■ de noodige zorg en nauwkeurigheid kan geschieden, zal de kaart in den regel worden overgeteekend. Dit geschiedt op dezelfde wijze, als waarop alles is opgemeten, door de hoeken met een graadboog en de afstanden met een dubbelen decimeter direct uit te zetten. Door gebruikmaking van eene rekenliniaal kan men hierbij dan ook gemakkelijk de passen in metermaat veranderen en op een der gebruikelijke schalen uitzetten, kijker, die om eene verticale lijn kan draaien, zoodanig dat de vizierlijn altijd horizontaal is en dus bij de beweging een horizontaal vlak beschrijft. De bepaling van de afstanden der twee punten tot dit vlak geschiedt met behulp van de waterpasbaken, waarop men afleest de punten, waar de horizontale op de baken gerichte vizierlijn deze treft. Zoolang het waterpasse vlak vervangen mag worden door een plat vlak, kan men blijkbaar het hoogteverschil der punten ook vinden door den horizontalen afstand der punten, benevens den elevatiehoek hunner jVerbindingslijn te meten; het product van den horizontalen afstand en den tangens van dien hoek is dan het hoogteverschil. Daar deze. methode van hoogtemeten, die den naam draagt van trigonometrische hoogtemeting, voornamelijk wordt toegepast, wanneer de punten niet dichtbij elkaar zijn gelegen en daar de* invloed van^den gebogen vorm van het waterpasse vlak reeds bij afstanden van weinige honderdtallen van meters duidelijk merkbaar wordt, ~zal men dezen hierbij dus in den regel in rekening moeten bréngen. Dé instrumenten, welke' men bij de trigonometrische hoogtemeting gebruikt, zijn reeds in het Eerste Gedeelte van dezen leercursus beschreven en behoeven dus in dit Gedeelte niet opnieuw vérmeid te worden. Een derde methode om het hoogteverschil van twee punten te bepalen berust op het verschil in drukking, die door de lucht wordt uitgeoefend op een vlak van dezelfde grootte, wanneer het zich op verschillende hoogten bevindt. Daardoor is het mogelijk, om uit de gemeten drukkingen der luofit in twee punten hun hoogteverschil te bepalen. Aangezien het werktuig, waarmede de drukking der lucht gemeten wordt, de barometer is, draagt deze methode van hoogtemeten den naam van barometrische hoogtemeting. Zij is minder nauwkeurig dan de trigonometrische hoogtemeting, die op hare beurt in nauwkeurigheid meestal weer onderdoet voor het waterpassen. \ HOOFDSTUK XX. WATERPASINSTRUMENTEN. § 176. Waterpasbaken. Men onderscheidt twee soorten van waterpasbaken: zelfleesbaken en baken met bordjes. De zelfkesbaak bestaat uit eene platte lat van goed rechtdradig hout, van onderen van een ijzeren *schoen voorzien en op het wit geschilderd voorvlak in decimeters en centimeters verdeeld; van de verdeeling, die zoodanig moet zijn ingericht, dat men met den kijker daarop kan aflezen, zijn in fig. 178_en 179 een paar voorbeelden gegeven. Van den onderkant van den voet als nulpunt beginnende zijn de decimeters naar boven door recht opstaande cijfers genummerd; de verdeeling gaat niet verder dan in centimeters. Wordt de baak in een zeker punt verticaal opgehouden en de kijker bij horizontale vizierlijn op de -baak gericht, dan kan men door de verdeeling af te lezen, waarop de horizontale draad zich in den kijker projecteert, den afstand bepalen van dat punt tot het horizontale vlak door de vizierlijn. Valt de horizontale draad daarbij tusschen twee deelstrepen in, dan wordt het aantal millimeters geschat. De baak met bordje bestaat uit een vierkante lat, waarlangs een bordje op en neer geschoven kan worden. Dit bordje ter grootte van ongeveer 25 centimeter is, zooals fig. 180ab aanwijst, in vier deelen verdeeld, waarvan er gewoonlijk twee wit en twee rood geschilderd zijn. Het wordt door den baakhouder, op aanwijzing van den waarnemer bij het instrument, zoo lang naar omhoog of naar omlaag geschoven, tot de horizontale draad van den kijker juist de horizontale afscheiding op het ■ geschiedt op het terrein. Men plaatst daartoe op twee piketpaaltjes A en B, flg. 184, op ongeveer honderd meter van elkaar, twee waterpasbaken, stelt het instrument in het midden . bij C op en leest bü inspelende bel op deze baken de hoogten H en h af. Het verschil H—h dier twee aflezingen geeft dan zuiver de hoogte 'BB' van den bovenkant van piket B boven dien van piket A aan, ook al is de vizierlijn niet evenwijdig aan de richtlijn, omdat men dan, zooals uit de figuur duidelijk blijkt, op beide baken evenveel te weinig of evenveel te veel afleest. Plaatst men nu het instrument in B op eenigen afstand achter een der baken, bijv. achter de baak B, dan zal men, op beide baken bij inspelende bel aflezende, hetzelfde hoogteverschil Ac'_Bb' — AA' = BB' = H—h moeten vinden. Is echter, zooals in de figuur verondersteld is, de vizierlijn niet evenwijdig aan de richtlijn, dan geeft het verschil H'—h' van de twee aflezingen niet hetzelfde hoogteverschil. Om uit te maken, in welken zin het kruispunt der draden verplaatst moet worden, doet men het best eerst op de dichtstbijzijnde baak, dat is hier B, af te lezen; uit de aflezing h' en de bekéhde hoogte H— h van B boven A, volgt dan, dat men op de baak A zou moeten aflezen: (H— h)-\-h'; leest men daarop, zooals in de figuur is voorgesteld, minder af, den helt de vizierlijn naar beneden en moet men het kruispunt der draden dus een weinig naar omlaag brengen. Is p het verschil tusschen de hoogte [H— h -f- h'), die men moest aflezen en de hoogte H', die men werkelijk afleest, alzoo: p — (H — h -f h') — H' = B'b — Aa = Ac — Aa = ac, dan moet men de draden zooveel verplaatsen, dat de vizierlijn horizontaal wordt en dus op de baak A zal worden afgelezen de hoogte Ac', die bepaald wordt door: -Pij* c'd Ac' = Aa -f ac' = H' + — Xac = tt' + m waarin n dus voorstelt de verhouding van den afstand tusschen de verste baak en het' instrument tot den onderlingen afstand der beide^baken. Heeft men deze aflezing op de tweede baak verkregen, dan leest men nog eens op de eerste en dan op de tweede af, om te zien of het instrument goed geregeld is. - Bij sommige instrumenten van deze constructie zijn geen correctieschroeven voor de kruisdaden aanwezig en moet de regeling ' van den evenwijdigen stand van vizierlijn en richtlijn plaats hebben_met behulp van de schroeven van het niveau. Met behulp van de stelschroeven wordt daartoe de kijker op de juiste aflezing H' + np der verste baak A gericht en de bel, die nu uitwijkt, tot inspelen gebracht met behulp van de correctieschroef aan het niveau. Het is duidelijk, dat de loodrechte stand van de richtlijn op de as in dit geval niet verkregen wordt met de correctieschroef van het niveau, maar met eene andere schroef (op de wijze van schroef H in flg. 187), waar- door kijker en niveau te zamen bewogen worden; deze'laatste regeling kan dan natuurlijk ook eerst plaats hebben, nadat vizierljjn en richtlijn evenwijdig zijn gesteld. § 181. Niveaucirkel van Lenoir. De in flg. 185 voorgestelde niveaucirkel van Lenoir kan gelden als het eenvoudigste type van waterpasinstrumenten, waarbij kijker en niveau elk afzonderlijk van de overige deelen kunnen worden afgenomen. Het instrument bestaat uit een cirkelrand CC, die door middel van drie stelschroeven D ondersteund en horizontaal gesteld " kan worden. Op dien cirkelrand rust de kijker AA met behulp van twee vierkante, even hooge blokken- FF. Op deze zelfde blokken FF rust eindelijk het niveau BB'. De evenwijdigheid van vizierlijn en richtlijn kan hierbij, ten minste in verticalen zin, waarop het vooral aankomt, verkregen worden door: 1°. de richtlijn van het niveau evenwijdig te brengen aan den onderkant van het niveau, en 2°. den kijker te centreeren, d.w.z. de vizierlijn evenwijdig te brengen aan het vlak, gaande door de boven- of door de onderkanten der blokken FF. Wordt aan beide eischen voldaan en plaatst men niveau en kijker op de in de figuur aangewezen wijze op elkaar, dan zal bij inspelende bel de vizierlijn horizontaal zijn. Om te onderzoeken of aan de eerste voorwaarde voldaan is, doet men, zooals reeds in § 23 is behandeld, de bel inspelen en draait dan het niveau op de blokken 180° om eene verticale as om. Speelt het niveau nog in, dan is het goed, anders moet men de uitwijking der bel voor de helft met behulp van de correctieschijf B wegnemen. Om te zien of de kijker goed gecentreerd is, richt men op eene baak en leest af; draait men nu den kijker het onderste boven en leest weer op de baak af, dan zal men dezelfde aflezing moeten verkrijgen. Leest men niet hetzelfde af, dan is de kijker niet goed gecentreerd ep moet men de afwijking voor de helft met behulp van de correctieschroeven EB wegnemen. In plaats van op eene baak, kan men voor dit onderzoek ook op een willekeurig punt richten; na het omkeeren van den kijker moet men dan op hetzelfde punt gericht zijn. Het is duidelijk, dat de twee blokken FF bij dit instrument juist dezelfde hoogte moeten hebben. Alvorens het instrument in gebruik te nemen, kan men zich daarvan op de volgende wijze overtuigen. Men plaatst het niveau op de blokken FF, flg. 186a, en stelt de richtlijn horizontaal met behulp van de stelschroeven. Verwisselt men nu de blokken, zonder daarbij ook-het niveau om te keer en, flg. 186b, dan moet de bel nog inspelen. Doet zij dit niet, dan komt de afwijking overeen met het dubbele van den hook « tusschen het boven- en het ondervlak der blokken; in den regel kan dit slechts verholpen worden door de blokken te laten afslijpen. Eene bijzondere regeling Van het niveau ten opzichte van de as, hier eene denkbeeldige lijn loodrecht op het vlak van den cirkelrand, is niet noodig, omdat de richtlijn vanzelf evenwijdig loopt aan dit vlak, wanneer zij evenwijdig is aan den onderkant van het niveau en dus ook aan den bovenkant der blokken. Het onderzoek of de horizontale draad rechthoekig staat op de genoemde denkbeeldige as of evenwijdig is aan het jlak van den cirkel, geschiedt op dezelfde wijze als in § 180 is vermeld. De eventueele regeling in dit opzicht moet natuurlijk aan het centreeren van den kijker voorafgaan. i § 182. Eliminatie van de fouten van regeling bi] den niveaucirkel van Lenoir. De opstelling en. het gebruik van het instrument komen geheel op hetzelfde neer, als bij het vroeger beschreven waterpasinstrument in § 178 is aangegeven. Men stelt eerst den rand/zoo goed mogelijk horizontaal, door het niveau, dat op de blokken geplaatst is, eerst evenwijdig te brengen aan de verbindingslijn van twee schroeven en het daarmede te doen inspelen, en het dan in eenen stand, rechthoekig op den eersten , met behulp van de derde stelschroef tot inspeling te brengen. Vervolgens richt men op een der baken„ doet de bel juist inspelen en leest af en herhaalt dit ook voor de tweede baak. Bevindt het instrument zich op gelijke, afstanden van de twee baken, dan zijn hierdoor tevens de fouten geëlimineerd, die in het regelen van het instrument mochten overgebleven zijn. Bevindt het zich niet op gelijke afstanden van de twee baken, dan kan men die fouten elimineeren door het doen van eene tweede meting, na eerst den kijker het onderste boven gelegd, het niveau 180° om eene verticale as omgedraaid; en de bel bij het richten op de baken telkens opnieuw met behulp van de stelschroeven tot inspelen te hebben gebracht. Is de kijker namelijk niet goed gecentreerd, dan zal men bijv. den eersten keer een zekeren afstand te hoog aflezen, maar daarna door het onderste boven leggen van den kijker evenveel te laag aflezen, zoodat deze fouten bij het nemen van het gemiddelde geëlimineerd worden. Is de richtlijn van het niveau niet evenwijdig aan de gecentreerde vizierlijn, maar maakt zij daarmede aan de oculairztjde den hoek «, zoo heeft de vizierlijn een benedenwaartsche helling -M%_ a2 - Stelt men hierin 5 = 6382650 meter, dan vindt men bijv. voor a = 100 meter, EE' = 0,783 millimeter en voor a = 200 meter, EE' = 3,134 millimeter. Men ziet dus, dat voor honderd (*) Strikt genomen zün de waterpasse Vlakken geen boloppervlakken, maar omwentelingsellipsoïden, waarvan de kromming dus in verschillende punten en in verschillende richtingen ongeluk is en die zich niet overal op denzelfden afstand van elkaar bevinden. Do kleine verschillen,' die daaruit voortvloeien, zijn echter van dien aard, dat wn daarvan bij gewone waterpassingen mogen afzien; alleen zullen wü voor den straal van den bol, die het niveauvlak voorstelt, dat samenvalt met het oppervlak der zee, den zoogenaamden gemiddelden straal in het beschouwde punt nemen. Deze gemiddelde straal, veranderlijk met de geographisehe breedte, wordt voorgesteld door de formule: '' " 1 — e-sin-B 1 — e^sirfiB' waar n' a do halve groote as (straal van den aequator), b de halve kleine as, 1/ o2 — 62 e = de excentriciteit en B de geographisehe breedte voorstellen. ■ Stellen wij hierin de door Bessei. aangegeven afmetingen der aarde, namelijk : a — 6877397 meter, 6 — 6356079 meter, e — 0,0816968 en voor B de gemiddelde breedte voor Nederland 52°] 0', dan vipden wü: if = 0382650 meter, log B = 6,80500, hoogstens 50 méter, stellen. Ten gevolge van de onrust, der beelden, die zich soms op een afstand van 100 meter reeds, zeer hinderlijk voordoet, is men dikwijls genoodzaakt, ook bij oen goeó\ instrument, de slaglengte in te krimpen. § 198. Uitvoering van de aaneengeschakelde waterpassing. Bij de uitvoering van eene eenigszins aanzienlijke waterpassing heeft men behalve het waterpasinstrument noodig: twee waterpasbaken, twee waterpaspiketten, een hamer voor het inslaan der piketten en een meetband met de noodige pennen voor het uitzetten der afstanden. Dient de waterpassing slechts ter bepaling van de betrekkelijke hoogteligging van eenige punten (overbrenging van het peil) en heeft men geen belang bij de kennis van rAmne onderlinge afstanden, dan kan men — zoo het waterpasinstrument nauwkeurig geregeld is of de regelings, fouten door eene tweede meting telkens geëlimineerd worden -de afstanden van de baken tot het instrument ook voldoende nauwkeurig door afpassing bepalen. Verder moet men beschikken over minstens drie helpers, waarvan er twee, die den naam van baakhouders dragen, hoofdzakelijk belast zijn met de behandeling der baken en het uitzetten der afstanden, terwijl de derde den waarnemer behulpzaam is bij het dragen van het instrument, het doen inspelen van de bel, het controleeren — althans in decimeters en centimeters — van de aflezing, enz. Uitgaande van het punt A, flg. 195, wordt een afstand AG van bijv. 100 meter afgemeten en daar het instrument opgesteld, nogmaals 100 meter verder in C wordt een waterpaspiket ingeslagen en daarop evenals op het punt A een baak geplaatst, die door den baakhouder verticaal gehouden wordt. Met behulp van het instrument, dat men ondertusschen in G heeft opgesteld, wordt nu achtereenvolgens telkens bij inspelende bel eerst op de achterbaak A en daarna op de voorbaak G afgelezen. Het verschil dezer twee aflezingen geeft dan de hoogte van het voorpiket C boven het punt A. Meestal zal men om vergissingen te voorkomen op beide baken tweemaal aflezen, welke aflezingen dan natuurlijk overeenkomstige uitkomsten moeten opleveren. Voor die tweede aflezing is het goed het instrument op 'te nemen en opnieuw op te stellen, zoodat het iets hooger of iets lager komt te staan, om daardoor bij andere verdeelingen op de. baak af te lezen. Geven de beide aflezingen slechts weinig verschillende hoogteverschillen, dan wordt daaruit het gemiddelde genomen. Is de meting van uit G afgeloopen, dan legt de baakhouder bij C zijne baak bij het piket neer en is evenals de andere baakhouder, die zijne baak medebrengt, behulpzaam bij het meten van de volgende afstanden CH en HD, zoo deze meting met denmand geschiedt. De baakhouder, die vroeger in C was, gaat naar dat punt terug en plaatst zijne baak weer op het piket, de andere slaat in D een piket en plaatst daarop de baak, die zich vroeger in A bevond en dus nu voorbaak wordt. Is de meting van uit H afgeloopeh, dan neemt de baakhouder in C het piket uit den grond, om het weer in het punt E te bezigen en er zijne baak op te plaatsen. Op deze wijze voortgaande, komt men eindelijk tot het laatste tusschenpunt F; daar laat men den afstand FB opmeten, plaatst het instrument op de helft van dien afstand en meet nu weer het hoogteverschil van F en B. waarna de meting is afgeloopen. § i 99. Controle op de waterpassing. Eene eigenlijke contróle op de waterpassing heeft men slechts dan, wanneer men bij het einde van de waterpassing op het uitgangspunt terugkomt (kringwaterpassing) of indien men verder waterpassende sluit op een punt, waarvan het hoogteverschil met het uitgangspunt bekend is. In alle andere gevallen heeft men geen contröle en kan men dus nooit op eene enkele waterpassing vertrouwen, maar moet men steeds eene tweede verrichten, hetzij in dezelfde richting, hetzn' in tegengestelde richting (terug-waterpassing). Bij.eene eenigszins uitgestrekte waterpassing is het zaak om van afstand tot afstand vaste punten, zooals bijv. den bovenkant van een steenen plint of van den dorpel Van eene deur of van een raam, of de in § 201 te beschrijven kruishouten,, als tusschenpunten aan te nemen. Hierdoor bereikt men vooreerst het voordeel, dat, als de waterpassing op de eene of andere wijze in het ongereede mocht geraken, men niet noodig heeft van het beginpunt af opnieuw te waterpassen, maar bij het laatste vaste punt kan beginnen. Neemt men ook bij de tweede waterpassing diezelfde vaste punten in de waterpassing op, dan kan men, zoo de twee metingen niet met elkaar sluiten, onmiddellijk nagaan, tusschen welke, van de vaste punten de fout begaan is, en heeft men dus alleen dat gedeelte van de waterpassing te herhalen,1 om de fout te herstellen. § 200. Tereffening der fouten. Is van eene aaneengeschakelde waterpassing het hoogteverschil tusschen het begin- en het eindpunt bekend (bij eene kringwaterpassing is dit natuur- lijk gelijk aan nul) en stemt dit niet overeen met het hoogteverschil, dat men door waterpassing gevonden heeft, zoo zal men uit de grootte der zoogenaamde sluit fout moeten beoordeelen of deze aan de onvermijdelijke waarnemingsfouten dari wel ook aan andere, grove fouten moet worden toegeschreven. (*) In het laatste geval moeten deze fouten door eene nieuwe waterpassing tusschen twee of meer der vaste punten worden opgespoord en verwijderd. In het eerste geval 'echter moet de gemaakte fout over de gevonden onderlinge hoogteverschillen van de opvolgende vaste punten verdeeld worden. Aangezien de fout in de waterpassing in het algemeen met de gewaterpaste lengte zal toenemen, zal het doelmatig zijn, de aan die hoogteverschillen aan te brengen correcties evenredig met de gezamenlijke lengten der slagen tusschen de betrokken vaste punten te stellen. Heeft men tusschen twee punten, waarvan het hoogteverschil met bekend was, twee of meer waterpassingen langs denzelfden weg uitgevoerd, en heeft men daarin overeenkomstig het in § 199 gezegde telkens dezelfde vaste punten opgenomen, zoo kan men het hoogteverschil van twee opvolgende vaste punten eenvoudig gelijk nemen aan het gemiddelde van de hoogteverschillen, die men bij de verschillende waterpassingen daarvoor heeft gevonden. 'Wm Anders is het echter, zoo de waterpassingen langs verschillende wegen met andere lengten, zijn verricht. Laten bijv tusschen de punten A en B, flg. 198, drie waterpassingen verricht zijn, respectievelijk lang lu l2 en Z3, en voor het hoogteverschil der punten A en B daarbij gevonden zijn hu h2 en ha; dan zal, zoo de waterpassingen onder ongeveer gelijke omstandigheden hebben plaats gehad, aan die uitkomst de meeste waarde moeten worden gehecht, welke berust op de waterpassing van de kortste lengte. In plaats dus van hier als eindresultaat het eenvoudige gemiddelde te nemen van de drie ( ) De theorie der fouten leert, dat onder overigens gelijke omstandigheden (zelfde mstrument, waarnemer, slaglengte, enz.) de middelbare fout in de waterpassing toeneemt met den vierkantswortel uit de gewaterpaste lengte (zie § 240 III) Deelt men alzdo de gevonden sluitfout door den wortel uit die lengte, uitgedrukt bijv in kilometers, zoo krijgt men bfl eene behporlnk uitgevoerde waterpassing de middelbare fout per kilometer. De grootte dezer fout, die natuurlijk van velerlei omstandigheden zal af hangel en o. a. met sterkere vergrooting van den kijker grootere gevoeligheid van het niveau en tot zekere grens ook met het kleiner worden der slaglengten afneemt, moet beneden eene bepaalde grens blijven, afhangende van het doel der waterpassing en van de bereikbare nauwkeurigheid met de beschikbare hulpmiddelen. metingen, zal men elk der waarden lh, h2 en h8 eerst met een zekeren factor (gewicht) moeten vermenigvuldigen en de som van de producten door de som der factoren deelen (vergelijk de overeenkomstige handelwijze in § 136). Deze gewichten moeten des te grooter zijn, naarmate de waterpassing korter is en kunnen dus omgekeerd evenredig met de lengten gesteld worden, zoodat men voor het hoogteverschil vindt: hi . >% % Nadat aldus het hoogteverschil tusschen A en B is vastgesteld, wordt de totale correctie h — hx voor de waterpassing A123B verdeeld over de onderlinge hoogteverschillen der vaste punten A, 1, 2, 3 en B, naar evenredigheid van de lengte der waterpassing tusschen die punten. Op gelijke wijze wordt gehandeld, met de beide andere waterpassingen. Minder eenvoudig wordt de vereffening, wanneer verschillende gewaterpaste lijnen elkaar in meer dan twee punten ontmoeten en een net van gesloten veelhoeken of kringen vormen, flg. 198/in elk waarvan de algebraïsche som van de hoogteverschillen der tusschenpunten gelijk aan nul moet zijn. Wil men hierbij niet de meer bewerkelijke, maar nauwkeurige methode der kleinste vierkanten volgen, zoo kan men bijv. eene voor vele gevallen voldoende benadering verkrijgen langs den volgenden weg. Laat flg. 199 het net der waterpassingen voorstellen, welke verondersteld worden met dezelfde nauwkeurigheid te zijn uitgevoerd. Men kan nu beginnen met elk der kringen 1, 2, 8 4 5 en 6 voor zich te vereffenen, door de sluitfout van den kring over de hoogteverschillen van de daarin aanwezige vaste punten te verdeelen naar evenredigheid van de lengten der waterpassing tusschen die punten. Hetzelfde doet men met den kring ABCDEF die den buitenomtrek van het net vormt; heeft men bij het opmaken der sluifïouten van de kringen deze alle in denzelfden zin doorloopen, zoo zal de sluitfout van den buitenomtrek blijkbaar de analytische som van de sluitfouten dér kringen 1—6 moeten zijn, hetgeen als contróle dienst kan doen. Daar nu elke lijn tot twee kringen (den buitenomtrek daaronder begrepen) behoort, virtdt men zoodoende voor het hoogte- 18 verschil van elk paar opvolgende punten twee waarden, waarvan het gemiddelde genomen wordt. Telt men -nu in eiken kring wederom de aldus gevonden gemiddelde hoogteverschillen samen, dan krijgt men wederom eene sluitfout, waarmede op overeenkomstige wijze kan gehandeld worden als met de oorspronkelijke fouten. Deze bewerking kan zoo vaak herhaald worden, tótdat de sluitfouten zoo klein geworden zijn, dat men tot eene definitieve vaststelling der hoogteverschillen kan overgaan. Hiertoe wordt met de laatstgevonden waarden een der kringen, bijv. 1, evenals bóven vereffend en de aldus gevonden hoogteverschillen der punten A, B, K en G als de juiste aangenomen; op dezelfde wijze handelt men met den kring 2, daarin echter het hoogteverschil van B en K' uit den vorigen kring overnemende en de sluitfout alleen over de lijnen BC, CD en DK verdeelende. Zoo voortgaande, kan men achtereenvolgens de kringen 3, 4, 5 en 6 vereffenen, waardoor vanzelf ook de waterpassing ABCDEFA langs den buitenomtrek zal vereffend zijn. § 201. Overbrenging van Het peil. Om de hoogteligging van verschillende punten met elkaar te kunnen vergelijken, wordt de hoogte van ieder punt bepaald ten opzichte van een vast waterpas vlak, dat den naam van Peil draagt. Hier te lande en in Duitschland wordt als zoodanig algemeen het Amsterdamsche peil gebezigd, ongeveer overeenkomende met de gemiddelde hoogte van den vloed in het IJ bij Amsterdam vóór de afsluiting bij Schellingwoude, en gelegen op 9 voet 5 duim Amsterd. maat (= 2,6769 meter) beneden de middenwaarde uit de hoogten van het midden der groeven in de marmeren steenen, met opschrift: ,,Zeedijks Hoogthe zijnde negen voet vijf duym boven Stads Peyl", in de Oude Haarlemmersluis, de Nieuwe Brugsluis, de Kolksluis, de Kraansluis en de West-Indische sluis te Amsterdam. Om in de verschillende deelen van het land de hoogten van alle punten ten opzichte van dit A. P. gemakkelijk te kunnen bepalen, heeft men door middel van aaneengeschakelde waterpassingen dat peil door het geheele land verspreid, door namelijk van eene' menigte vaste verkenmerken de hoogte boven >dat peil te bepalen. Van een dergelijk punt uitgaande, kan men nu door eene aaneengeschakelde waterpassing de hoogte van een willekeurig punt boven A., P. bepalen en op die wijze ook meer vaste verkenmerken verkrijgen. Voor vaste verkenmerken wordt meestal gebruik gemaakt van den in fig. 200 voorgestelden kruishout, die aan den achterkant van eene veer voorzien is, die in eene horizontale voeg van het metselwerk van eenig hecht bouwwerk wordt gedreven. De kop van dezen bout is van voren «van een kruis voorzien, van welks horizontalen arm de hoogte boven A. P. wordt opgegeven. Van de plaats, waar zulk een bout geslagen wordt, moet een zeer nauwkeurige beschrijving gegeven wórden, om daardoor later dien bout gemakkelijk te kunnen terugvinden en zijne identiteit met volkomen zekerheid te kunnen vaststellen. Hiertoe is het niet alleen noodig het bouwwerk aan te geven, waarin zich de bout bevindt en de zijde van het bouwwerk', waarin die bout is geslagen, maar zijne plaats moet nauwkeurig worden opgegeven door de afstanden tot andere vaste punten van het gebouw, zooals de zijkanten van deuren en ramen, de onderof bovenkanten van dorpels of kozijnen, enz. Tot hetzelfde doel wordt gebruik gemaakt van de in fig. 201 en 202 voorgestelde peilmerksteentjes, die 24 cM. hoog en 86 cM. ' breed zijn en voor het grootste gedeelte in het metselwerk worden ingelaten. Op het voorvlak wordt de hoogte van het midden van de horizontale streep bij. fig. 201 of van het platte vlakje ab bij fig. 202, bóven Amsterdamsch peil ingebeiteld. Daar de plaats van deze peilmerksteentjes meestal veel minder nauwkeurig omschreven is dan die van kruishouten en zij veel meer in het oog springen, waardoor zij, bij vernieuwing van gebouwen, allicht worden op zij gelegd om later weer ongeveer op dezelfde plaats te worden ingemetseld, loopt men groot gevaar eene foutieve aanwijzing van het peil te verkrijgen. Om deze reden zijn de kruishouten verre boven de peilmerksteenen te verkiezen. Bij de in 1875 en volgende jaren uitgevoerde nauwkeurigheidswaterpassing bestaan de hoofdmerken uit een bronzen bout, 9 of 15 cM- lang en 2 bij 2 cM, in het vierkant, die over eene" lengte van 50 mM. cylindriscb uitgeboord is. Deze bout is beschermd door eene daarvoor geplaatste bronzen plaat, lang 20, hoog 12 cM., die van eene groef voorzien is, welke in hetzelfde horizontale vlak met de as van het boutgat ligt; dit boutgat is door eene ronde opening van 18 mM. in de plaat zichtbaar. De secundaire merken bestaan uit een dergelijken bout zonder plaat. Ter verificatie of aan het merk op de eene of andere wijze eenige verandering mocht gekomen' zijn, heeft men boven en onder ieder dier merken twee kleine boutjes als verklikkers toegevoegd en de afstanden daarvan tot den bout gemeten. " De uitkomsten van deze waterpassing, die voortaan den grondslag vormen van de hoogtemetingen in Nederland en door de letters. N.A.P. worden aangeduid, zijn vervat in het tweede deel van de werken vari de Rijkscommissie vöor Graadmeting en Waterpassing, dat tot titel heeft: „Uitkomsten der Rijkswaterpassing , ontworpen en aangevangen door L. Cohen Stuabt, voortgezet en voltooid door H. G. van de Sande Bakhuyzen en G. van Diesen." 1875—1885. 's Gravenhage. 1888. In aansluiting met het net der nauwkeurigheidswaterpassingen zijn in de jaren 1886 en 1887 van wege den Algemeenen Dienst van den Waterstaat waterpassingen verricht, zoodanig verdeeld, dat men in elk punt van ons land op een afstand van ten hoogste 25 kilometer een goed bepaald hoogtemerk kan vinden; terwijl bovendien in het tijdperk 1887—1891 verschillende gewone waterpassingen werden gedaan, om de hoogteligging van de nulpunten van de peilschalen langs de hoofdrivieren, de Zeeuwsche stroomen, de Noordzee en de ^Zuiderzee ten opzichte van het vergelijkingsvlak te bepalen. Al deze hoogtemerken zijn, vereenigd met die der nauwkeurigheidswaterpassing, provincies'gewijze opgenomen in een 11-tal registers onder den titel: Hoogte van Verkenmerken volgens N.A.P., gevonden bij de nauwkeurigheidswaterpassingen en jde waterpassingen van den Algemeenen Dienst van den Waterstaat", 's Gravenhage. 1906 (wijzigingen 1907). Bovendien zijn in aansluiting met bovengenoemde waterpassingen in het tijdvak 1891—1897 nieuwe waterpassingen verricht door den Rijkswaterstaat, waarbij de hoogteligging van een aantal nieuwe verkenmerken werd bepaald, die vermeld worden in een'. 11-tal registers onder den titel: „Hoogte, van verkenmerken volgens N.A.P., -gevonden bij de verspreiding van het N.A.P. door den Rijkswaterstaat", 's Gravenhage. 1898. § 202. Het opnemen van lengte- en dwarsprofielen. De doorsnede van het terrein met een verticaal vlak noemt men een lengteprofiel, onverschillig of de doorgang van dat vlak met een horizontaal vlak eene rechte, eene gebogen of eene gebroken lijn is. De verticale doorsneden van het terrein volgens vlakken, rechthoekig op de richting van een lengteproflel ,s noemt men dwarsprofielen. De opmeting van het lengjeprofiol- heeft plaats door eene aaneengeschakelde waterpassing, waarbij de waterpaspiketten natuurlijk geplaatst worden in de lijn, volgens welke het lengteproflel moet worden opgenomen. Om zooveel mogelijk punten van het lengteproflel op te nemen, \ TRIGONOMETRISCHE HOOGTEMETING. §_204. Trigonometrische hoogtemeting op korte afstanden. Zijnde punten A en B, fig. 206, waartusschen het hoogteverschil gemeten moet worden, in horizontalen zin zoo dicht bij elkaar gelegen, dat men van de aardkromming en van de straalbuiging (zie § 194) mag afzien, dan is het waterpasse vlak van A een plat vlak, dat het door A en B gaande verticale vlak volgens AB snijdt. De afstand BB' — h van het punt 13 tot dat waterpasse vlak is het gezochte hoogteverschil. Bepaalt men nu, hetzij door directe meting of als dit niet mogelijk is, hetgeen meestal het geval zal zijn, door driehoeksmeting, den horizontalen afstand AB' en door meting met een van de vroeger behandelde instrumenten den elevatiehoek BAB' = e van den lichtstraal BA, "dan vindt men voor het hoogteverschil onmiddellijk uit de figuur: h — atge . . . Hf) Meestal is het niet mogelijk het instrument, waarmede de elevatiehoek gemeten wordt, juist te plaatsen in het eene punt en daarmede op het andere punt te richten. De hiervoor aan te brengen correctie kan gemakkelijk bepaald worden. Zijn P en Q, fig. 207, de punten, waarvan men het hoogteverschil QQ' wil kennen, en heeft men het instrument in A op eene hoogte k boven het punt P geplaatst en gericht op het punt B, op eene hoogte l boven Q gelegen, dan geeft bovenstaande formule het hoogteverschil BB' van de punten A en B. Uit de figuur volgt dan onmiddellijk voor het hoogteverschil QQf-. Q.Q' = BB' -\-k — l = atg e + k—l, (2) zoodat de aan te brengen correctie gelijk is aan k — l. Brengt men niet den ter hoogte van de punten A en B gemeten afstand in rekening, maar den zoogenaamden tot hèt oppervlak der zee herleiden afstand BD' = a, dan moet aan bovenstaande formule eene kleine correctie worden aangebracht. Zijn namelijk AD = H en BD' = H' de hoogten der punten A en B boven het oppervlak der zee, dan gaat de formule voor h, als men wederom tg i G= i G stelt, over in: ji 2R + H+H' „, BAC—ABC h= ctg , - BAC—ABC . H+H' BAC—ABC =R X Ctg g 1 \ G.ig I of, als men i?X C = DD' — a stelt en opmerkt, dat p£q ABC R X G.tg — • op weinig na het hoogteverschil h voorstelt, zoodat men in den laatsten term G.tg -~ AB door h —- mag vervangen, dan gaat de formule over in: R , BAC — ABC , H-\-B7 h h = a tg g +—TT" J BAC — ABC , H'2 F2 -a^ 2R --2B • (4) § 206. Waarnemingen uit één uiteinde. Er blijft nu nog over het bepalen van de twee hoeken BAC en ABC; daarbij heeft men twee gevallen te onderscheiden, of men'narnelijk alleen den elevatiehoek in één punt, bijv. A, meet, of dat men het ook in het tweede punt B doet. Bij het meten van den elevatiehoek in A wordt de hoek gemeten tusschen de richting, waarin de lichtstralen van B tot ons komen en de horizontaal, dus tusschen de raaklijn AF aan den gebogen lichtstraal AB en de raaklijn AG aan den cirkelboog AB'. Stelt men dien elevatiehoek FAG = e, dan moet men daarvan den hoek FAB = 3, die den invloed van de straalbuiging voorstelt, aftrekken, om den hoek BAG te vinden. Merkt men nog op, dat 67-4.0 = 90° is, dan vindt men: BAC=90°4re — S. Voor den hoek ABC vindt men nu uit de figuur, als ACB — C gesteld wordt: ABC = 180° — BAG— ACB == 180° — 90° — e + 3 — C = = 90° — e + S — G, en dus: BAC — ABC _ (90° + e — S) — (9QP — e4rS—C) _ g _ j _j_ ^ a waardoor (3) overgaat in: h = atg(e — S-\-\C) (5) Den in deze formule voorkomenden middelpuntshoek G kan men gemakkelijk vinden door den horizontalen afstand a der twee punten door den straal R van de aarde te deelen. Wat den invloed der straalbuiging betreft, zoo is in § 194 gebleken, dat ten gevolge hiervan op eene op een afstand a geplaatste ucfi baak bij horizontale vizierlijn ——- te weinig wordt afgelezen, als ft den coëfficiënt der straalbuiging voorstelt. De afwijkingshoek S bedraagt in dit geval dus —- of ft C, welke uitdrukking ook R voor hellenden stand der vizierlijn nog mag gebruikt worden. De formule (5) wordt na substitutie dezer waarden dus: h = atg(e—&C-\-lC) (6) Zooals wij in § 194 gezien hebben, is de coëfficiënt ft, waarvan de gemiddelde waarde bij de rust der beelden 0,07 bedraagt, aan vrij groote veranderingen onderhevig, welke men moeilijk in rekening kan brengen. Vandaar dat men door éénzijdige meting van den elevatiehoek, vooral bij groote afstanden, geen groote nauwkeurigheid kan bereiken, tenzij men in de gelegenheid is, om op de in § 208 te beschrijven wijze de grootte van den coëfficiënt tijdens de waarneming uit andere waarnemingen af te leiden. Kan dit niet geschieden, dan dient men eene gemiddelde waarde ft aan te nemen, die men voor Nederland het best doet te berekenen uit de in de noot op blz. 265 opgegeven formule, daarbij rekening houdende met het tijdstip der waarneming. Indien de afstanden niet al te groot zijn, kan men G en 5 als kleine grootheden beschouwen, waarvan de 2de en hoogere machten .verwaarloosd mogen worden , en daardpor formule (5) pog vereenvoudigen. Ontwikkelt mep die formule volgens de reeks van Taylor en verwaarloost men daarin die 2de en hoogere machten van Oen J, dan gaat zij over in: , , , a({-C— 2) h = atge-\ — of, als men C en J door hunne waarden: ~ en /u.C = p—- vervangt en voor den cosinus van den meestal kleinen hoek e de eenheid schrijft: h = atge+~ (1^- 2fi) , (7) Waarin dUs^— den invloed , van de aardkromming en f* ~ den invloed van de straalbuiging aangeeft, evenals in §§ 198 en 194 gevonden is bij het waterpassen, dat trouwens kan beschouwd worden als een bijzonder geval van trigonometrische hoogtemeting, waarbij de elevatiehoek steeds nul is. § 207. Gelijktijdige wederkeerige waarnemingen. Meet men niet alleen den elevatiehoék e in het punt A, waardoor men vindt: BAG=90°4re — 2, maar meet men ook den elevatiehoek e' in het punt B, dan is: ABC=90° -\-e' — S', als S' den invloed van de straalbuiging in het punt B voorstelt. Uit deze twee uitdrukkingen volgt: BAG— ABC _(90°-f e — 3) — (90° + e' — 2') _ e — e' 2—2' 2 2 ~—~2~ 2~' waardoor (8) overgaat in: H |||||||; . waarin nu aileeri het verschil van de invloeden der straalbuiging in A en B voorkomt. Richt men de meting zoodanig in, dat de elevatiehoeken e en e' in de punten 4 en B gelijktijdig gemeten worden, dan kan men, indien het hoogteverschil niet al te groot is, de twee correcties 3 en 3' aan elkaar gelijk stellen, waardoor uit bovenstaande formule de invloed van de straalbuiging geheel verdwijnt en zij dus in den volgenden eenvoudigen vorm overgaat: e — e' ft = a tg —— . (8) Door de gelijktijdige wederkeerige waarnemingen wordt dus de invloed van de straalbuiging geëlimineerd en daardoor is men dus in staat veel nauwkeurigere uitkomsten te verkrijgen, dan, door de waarnemingen uit één uiteinde. § 208. Bepaling van den coëfficiënt der straalbuiging. Den coëfficiënt /u. van de straalbuiging kan men bepalen, indien men den elevatiehoek meet in een punt, waarvan het hoogteverschil met het punt, waarop gericht wordt, bekend is. Uit (o) volgt namelijk, als h bekend is en men daaruit 3 oplost: 3 = e+' C- Bg tg --, of, na deeling door C: 3 Bgtg^-e (9) Indien het hoogteverschil van de twee punten onbekend is, kan men dien coëfficiënt ook uit de gelijktijdige wederkeerige waarnemingen afleiden. In driehoek ABC, fig. 208, is namelijk, zooals wij boven gezien hebben : BAC = 90° + e — 3, ABC = 90°-\-e' — 3', AGB= C. Daar nu de som van deze drie hoeken 180° moet bedragen, *zoo :is: e + e' +C— 3_3' = 0, of: 3 + 3' = e -f- e' -f C, of, als wij voor de gelijktijdige wederkeerige waarnemingen 3 = 3' = fi C stellen: 2> C=e + e'-(- C, I en dus: ■* 2G (10) Heeft men van uit één punt de hoogteverschillen van eene menigte in den omtrek gelegen punten te bepalen, dan is het practisch niet wel mogelijk al die hoogteverschillen door gelijktijdige wederkeerige waarnemingen te vinden. Men kan dan op één dier punten een waarnemer met een hoekmeetinstrument plaatsen en van tijd tot tijd, bijv. om het uur of om het half uur, gelijktijdige waarnemingen voor dat punt doen en in dien tusschentijd de hoogten der andere punten door meting uit één uiteinde bepalen. Uit de gelijktijdige wederkeerige waarnemingen wordt dan telkens volgens (10) de coëfficiënt van de straalbuiging bepaald, en daaruit door interpolatie met behulp van den tijd, de waarde van den coëfficiënt bepaald, die men bij de waarnemingen uit één uiteinde moet in rekening brengen. Hetzelfde doel zal men ook zonder gelijktijdige wederkeerige waarnemingen kunnen bereiken, als van een der omliggende punten het hoogteverschil h bekend is. Door van tijd tot tijd op dit punt te richten en den elevatiehoek te meten, vindt men volgens (9) telkens de waarde van den coëfficiënt /u. Het is duidelijk, dat zoowel (9) als (10) eenè des te nauwkeurigere waarde, voor p zullen geven, naarmate de punten verder uit elkaar gelegen zijn, zoodat men, zoowel in het eene als in het andere geval, voor de bepaling van p punten zal kiezën, die zoover mogelijk uit elkaar liggen. § 209. Afstand waarop twee voorwerpen wederkeerig zichtbaar zijn. — Kimduiking. De hier ontwikkelde formules geven het antwoord op eenige vraagstukken, waarvan het nuttig kan zijn de oplossing hier aan te stippen. A^ls het punt A, fig. 209, zich op eene hoogte AD = H boven het oppervlak der zee bevindt, dan zal men op dat oppervlak kunnen zien tot het punt B, waar een lichtstraal, uitgaande 'van A, juist het oppervlak raakt. Van uit B gezien, wordt het punt A, waarvan het hoogteverschil met B gelijk is aan H, waargenomen onder een elevatiehoek nul. Stellen wij dus in (7): h — H en e = 0, dan' vinden wij: (11) / hoofdzaak is, kan deze wijze van hoogtemeting met vrucht worden toegepast. , §211. Barotneterforraule van La place. Ten einde de betrekking na te gaan, die er bestaat tusschen de luchtdrukking in twee punten en hun hoogteverschil, zullen wij den evenwichtstoestand nagaan van de lucht; die zich bevindt in een cylinder, waarvan de doorsnede gelijk is aan een vierkanten meter en waarvan grond- en bovenvlakken in dezelfde waterpasse vlakken liggen als de punten, waarvan het hoogteverschil zal bepaald worden. Beschouwen wij daartoe de lucht, begrepen tusschen tw^ee vlakken, respectievelijk op de afstanden z en z-\-dz boven het benedenste punt gelegen, dan is, als y het gewicht van een kubieken meter lucht voorstelt, het gewicht van die lucht gelijk aan ydz. Stelt men de drukking ter hoogte z gelijk, aan p, zoo is die ter hopgte z-\-dz gelijk aan p -f-dp, en dus de drukking, die .de lucht in opwaartsche richting ondervindt: p — (p-\- dp) = — dp. Deze drukking gelijk stellende aan het gewicht van de lucht, vinden wij: dp = — y dz. Aangezien de beschouwde luchtlaag een geringe dikte heeft, zoo mogen wij voor de berekeningen van y de drukking overal gelijk aan p stellen. Noemen wij dus t de temperatuur en a den uitzettings-coëfficiënt der*lucht, y0 het gewicht van een kubieken meter lucht bij 0° en bij een druk van 760 millimeter kwik of van 0,76 s kilogram per vierkanten meter, waarin s het gewicht van een kubieken meter kwik voorstelt, dan is volgens de wet van Boyle: y y°D,76s " l + «i' Substitueeren wij deze waarde in bovenstaande vergelijking en deelen wij door p, dan vinden wij: yo d p 0,76 X s(l + «0 " Integreeren wij nu deze vergelijking en beschouwen wij daarbij de temperatuur, die slechts weinig met de hoogte verandert, als constant, dap vinden wij: Nep log p •= C- — z yi 0,768(1 +«0 ' waarin C de constante van de integratie is. Aangezien nu voor 2 = 0, p = P dé drukking in het benedenste punt moet zijn, zoo is G = Nep log P; en daar voor z = h,p gelijk moet worden aan de drukking P' in het hoogste punt, zoo vinden wij: Nep log P' =■ Nep log P - vW^V Ar * i 0,76 X s (1 + at) ' of: . 0,76 X s , * P Aangezien de drukkingen P en P' evenredig zijn met de tot nul herleide barometerstanden P0 en B'0 en in bovenstaande vergelijking alleen de verhouding ~ voorkomt, zoo mogen wij deze vervangen door de verhouding vervangen wij boven- 0 dien de Neperiaansche logarithmen door gewone, dan vinden ■wij, als wij den modulus 0,43429448 door M voorstellen: A= Ka + al) log (1) ^ o waarin K de constante waarde voorstelt. Substi- tueeren wij daarin voor s, y0 en M de bekende waarden dan vinden wij voor den coëfficiënt K van bovenstaande formule, die meestal den naam van de formule van Laplace draagt de' waarde: Z= 18404. § 212. Volledige barometerformule. Bij de afleiding van vorenstaande formule is alleen rekening gehouden met de drukking en de temperatuur van de lucht. De overige omstandigheden, die invloed hebben op de verandering van de drukking der lucht met de hoogte, en waarvan de voornaamste zijn- de vochtigheid der lucht, de verandering van de zwaartekracht met de geographisehe breedte -en hare verandering met de absolute hoogte, kunnen voldoende in rekening worden gebracht door voor den coëfficiënt; K eene eenigszins andere waarde te nemen, overeenkomende met den gemiddelden vochtigheidstoestand der lucht en de gemiddelde geographisehe breedte en absolute hoogte, waarop de waarnemingen plaats hebben., Om te laten zien, hoe die coëfficiënten bepaald worden, geven wij hier zonder bewijs de volledige barometerformule: ;«=18404(l-f0,002578co82/?(l +2^Ul + 0,377|j(14-«0%|r, &) waarin B de gemiddelde'geographisehe breedte, H de gemiddelde hoogte boven de zee, B den straal der aarde, e de gemiddelde spanning van den waterdamp en b den gemiddelden barometerstand voorstelt. Door nu voor 0, H, e en b gemiddelde waarden in te voeren, geldende voor de streek waar, en het jaargetijde waarin de waarnemingen gedaan worden, wordt de coëfficiënt K van de formulé van Laplace : K= 18404 (1+0,002573 cos 2B)(l -f2— J^l + 0,377 yj. . . (3) Stellen wij bijv. voor Nederland gemiddeld 0 = 52°10', H= 0, e = 10 millimeter, geldende,voor de zomermaanden, en ft = 760 millimeter, dan vinden wij: ^V*^ Vs-ft^f K= 18484. § 213. Hulpmiddelen ,voor de berekening van de hoogteverschillen. Bij de opneming van een groot aantal punten met behulp van de aneroïde, zal men de, berekening van de hoogteverschillen volgens de hiervoren behandelde formule door middel van vooraf berekende tabellen trachten te vereenvoudigen. Daartoe schrijven wij de formule van Laplace onder den volgenden vorm: hJKlog^— Klog^. die des te grooter zal zijn, naarmate de verstoring van het evenwicht en de horizontale afstand der punten grooter zijn. Men moet daarom vermijden, direct het hoogteverschil van punten te bepalen, die al te ver van elkaar verwijderd zijn. Ook moet men vermijden, het hoogteverschil direct te bepalen van punten, die zich in zeer ongelijke meteorologische toestanden bevinden, zooals bijv. punten aan weerszijden van een bergrug. Verder zijn wij uitgegaan van de veronderstelling, dat op beide punten gelijktijdige waarnemingen gedaan worden. Dit laatste is noodig, omdat de drukking van de lucht in den loop van'den dag op dezelfde plaats langzaam verandert. Men is genoodzaakt met twee aneroïden en twee waarnemers de metingen te verrichten. Wel kan men, de meting met één aneroïde verrichten, maar dan moet men na een niet al te lang tijdsverloop (bijv. een uur) op het uitgangspunt terug komen en daar opnieuw de aneroïde waarnemen,- om de verandering van de luchtdrukking te kunnen nagaan. Uit die twee waarnemingen kan men dan door interpolatie evenredig met den tijd, de barometerstanden afleiden, die gelijktijdig hebben plaats gehad met de op de andere punten waargenomen aneroïde-aflezingeri. Deze wijze van handelen zal alleen dan juiste resultaten opleveren, f als de drukking van de lucht in den tusschenttjd eVenredig met den tijd veranderd is. Heeft de verandering niet op die wijze plaats, dan ontstaat daardoor dus eene nieuwe bron van fouten voor de meting; zoodat dan ook de metingen^ met één aneroïde eene minder groote nauwkeurigheid bezitten dan de gelijktijdige metingen met twee aneroïden. Zij kunnen echter bruikbare resultaten leveren, zoo men zorg draagt, na een niet al te groot tijdsverloop op hetzelfde punt (of een ander punt, waarvan de hoogte bekend is) terug te keeren en geen waarnemingen te doen bij stormachtig weer, als de barometerstand aan onregelmatige veranderingen is blootgesteld. Van de verschillende grootheden die, behalve de luchtdrukking, op. het hoogteverschil van invloed zijn, wordt, zooals uit § 212 blijkt, alleen de temperatuur rechtstreeks in rekening gebracht. Deze moet dus met behulp van een thermometer in beide punten worden bepaald. Het gemiddelde van beide temperaturen wordt in de formule ingevoerd. § 215, Uitvoering der meting met twee aneroïden. Heeft men van eene menigte punten op een terrein de hoogten barometrisch te bepalen en zijn van eenige dier punten de hoogten bekend, dan zal men achtereenvolgens de puDten opnemen, die om de bekende punten heen gelegen zijn. In het punt van bekende hoogte wordt eene aneroïde opgesteld, die wij den naam van 8tandanero'ide zullen geven en die op bepaalde tijden, bijv. om het half uur of om de tien minuten, wordt afgelezen. ' De tweede aneroïde, die den naam van veldmeroïde draagt,' dient om op de verschillende punten den barometerstand te bepalen. Aangezien het bij de hoogtemeting hoofdzakelijk aankomt op het verschil in barometerstand en de standcorrectie van de aneroïde daarop van veel invloed is, zoo moet men de verandering, die deze kan ondergaan hebben, zorgvuldig elimineeren. Men plaatst daartoe, voordat- de meting met de veldaneroïde aanvangt, de twee aneroïden naast elkaar en leest die minstens 3-malen met tusschenpoozen van bijv. 20 minuten gelijktijdig af. • Zijn. de aflezingen van beide aneroïden tot kwikhoogten gereduceerd, dan zullen zij dezelfde aanwijzingen moeten geven; doen zij dit niet, dan geeft hun verschil de correctie aan, die aan de aflezingen van de oene aneroïde moet aangebracht worden om deze vergelijkbaar te maken met de aflezingen óp de .andere. Wanneer men 'savonds thuis komt, worden de twee aneroïden weer samen vergeleken, om zich te overtuigen, dat de correctie onveranderd gebleven is. De waarnemingen, die op de verschillende punten van het terrein zijn verricht, zijn opgeteekend met den thd, waarop zij gedaan zijn. Met behulp van dien tijd kan men dan uit de waarnemingen met de standaneroïde, desnoods door interpolatie, de correspondeerende barometerstanden vinden. Is op het terrein geen genoegzaam aantal punten van bekende hoogte aanwezig, dan moet men de hoogten voor de standplaatsen van de standaneroïde, door de aneroïdemeting zelf bepalen. De bepaling van deze hoofdpunten van de meting moet 'echter nauwkeuriger geschieden dan die van de overige punten en daarom moét men hiertoe onderscheidene aflezingen doen. Men richt de meting dan als volgt in. 's Ochtends bij het vergelijken van de twee aneroïden spreekt men af, waar het volgende hoofdpunt zal gelegen zijn, en wanneer de waarnemer met den veldbarometer daar zal aankomen. Deze begeeft zich dan op weg, neemt de noodige punten op en zorgt vóór of op den bepaalden tijd in het bepaalde punt te zijn. Daar aangekomen, wordt zijne aneroïde standaneroïde en .wordt om de tien minuten afgelezen. De waarnemer met de vroegere standaneroïde blijft nu nog eenigen tijd waarnemen, tot hij minstens drie gelijktijdige waarnemingen, met tusschenpoozen telkens van 10 minuten, met de nieuwe standaneroïde heeft en gaat dan op weg, hetzij direct naar het volgende hoofdpunt, hetzij tot het doen van waarnemingen op tusschenpunten, al naar men heeft afgesproken. Op het hoofdpunt aangekomen, worden de twee aneroïden weer met elkaar vergeleken, waarna men van uit dat nieuwe punt weer op dezelfde wijze kan voortmeten. Daar de bepaling van de hoogteverschillen, der hoofdpunten door drie gelijktijdige waarnemingen geschiedt, zullen ze natuurlijk nauwkeuriger dan die der nevenpunten bepaald worden. Men moet echter steeds zorgen de ophooping van fouten zooveel mogelijk tegen te gaan, door zooveel als het kan aan punten, waarvan de hoogten nauwkeurig bekend zijn, aan te sluiten. § 216. Uitvoering der meting met één aneroïde. Aangezien men bij de meting met één aneroïde telkens na een niet OPNEMEN VAN HOOGTELIJNEN. § 217. Hoogtelijnen. Om van een terrein eene duidelijke voorstelling te maken, waarin men alles, wat op het terrein betrekking heeft, kan terugvinden, is het meestal niet voldoende het' terrein alleen in horizontale projectie voor te stellen. Uit de Vervaardigde kaart moet men tevens de hoogte van ieder punt van het terrein, hetzij direct, hetzij door eene eenvoudige constructie of berekening, kunnen vinden. Te dien einde zou men van een zeker aantal punten van het terrein de hoogteligging kunnen bepalen en in de kaart door cijfers kunnen aangeven.' Uit een dergelijke kaart kan men wel al het noodige afleiden, zij geeft echter een zeer slecht overzicht van het terrein. Men moet veeleer trachten de voorstelling van het terrein zoodanig te maken, dat daarop als met een oogopslag het reliëf van het terrein te zien is. Eene duidelijke voorstelling van het reliëf van het terrein, verbonden met eene volledige aanwijzing van de hoogteligging van de verschillende punten, verkrijgt men door de kaart van hoogtelijnen -of niveaulijnen te voorzien. Denkt men zich het terrein gesneden door een stelsel 'waterpasse" vlakken, dan zullen deze op het terrein een 'stel van lijnen bepalen, waarvan alle punten dezelfde hoogte hebben. Deze lijnen op de kaart overgebracht, geven onmiddellijk eenduidelijk overzicht van het beloop van het terrein, van de hellingen, van de hoogste en de laagste punten, enz. Neemt men die niveauvlakken op onderling gelijke alfstanden, en schrijft men bij enkele der' daardoor voortgebrachte niveaulijnen de hoogte., dan kan men van elk punt van het terrein de hoogte uit de kaart vinden, op de niveaulijnen direct uit de hoogte dier lijnen, en voor tusschengelegen punten door eene eenvoudige interpolatie. Tevens geeft de onderlinge afstand der lijnen een overzicht van de grootte der hellingen van het terrein in de verschillende punten. De verticale afstand aan de hoogtelijnen te geven, hangt hoofdzakelijk af van de schaal van de kaart, maar ook eenigszins van den aard van het terrein. Is de schaal van de kaart grooter, dan kan men meer niveaulijnen in de kaart opnemen en den verticalen afstand daarvan dus kleiner nemen. Bij een vlak terrein, waarbij de hoogtelijnen in horizontale projectie, in vergelijking met een bergachtig terrein, verder uit elkaar liggen, kan men hetzelfde doen. De verticale afstand der niveaulijnen is dus zeer verschillend: in meters uitgedrukt, kan men daarvoor ongeveer nemen: het cijfer, dat de schaal van de kaart uitdrukt, gedeeld door een getal, gelegen tusschen 250 en 5000, natuurlijk zoodanig, dat het aantal meters een rond getal is. § 218. Algemeen overzicht. Het vervaardigen van eene kaart met hoogtelijnen kan op-twee verschillende wijzen plaats hebben: men kan de hoogtelijnen op het terrein zelf bepalen en dan in kaart brengen, of men kan van.eene menigte punten van het terrein de hoogten bepalen, deze in kaart brengen en dan daaruit op de kaart de hoogtelijnen afleiden. De eerste methode is zeker de( nauwkeurigste; zij is echter zeer omslachtig, langwijlig en daardoor kostbaar. Zij wordt tegenwoordig dan ook weinig meer toegepast; alleen daar, waar het in betrekkelijk vlak terrein op eene eenigszins groote nauwkeurigheid aankomt, zooals bij irrigaties, enz., is zij met vrucht te gebruiken. De tweede methode van meten gaat veel sneller en is dus minder kostbaar. De nauwkeurigheid van de opneming staat wel eenigszins bij de vorige achter; dit is echter meestal geen bezwaar, terwijl ze zoo noodig gemakkelijk kan vergroot worden, door het'aantal op te nemen punten te vermeerderen. § 219. Bepaling van de hoogtelijnen op het terrein. De • De bepaling van de hoogtelijnen op het terrein geschiedt met behulp van het waterpasinstrument. Uitgaande van een vast punt, kruishout, peilmerkstreepje of dergelijk, waterpast men voort, tot men gekomen is ter hoogte van de op te zoeken niveaurijn. Natuurlijk moet men daartoe op het terrein zelf terstond de berekening verrichten. Is men eindelijk zoover gevorderd, dat de vizierlijn van den kijker 0,5 a 1,5 M. boven baak .op het piket en bepaalt uit de daarop afgelezen-hoogten de hoogte van het midden van den kijker, ten opzichte waarvan' dan later al de andere punten in hoogteligging bepaald worden. Is het bij de opneming alleen te doen om de hoogtelijnen, niet om de grensscheidingen, enz., dan kiest men de op te nemen punten zoodanig, dat de hoogtelijnen daardoor zoo goed mogelijk worden bepaald. Is het tevens te doen om de grens? scheidingen, enz., in kaart te brengen, dan begint men met daarvoor de noodige punten op te nemen, en voor zóóverre deze niet voldoende zijn voor de hoogtemeting, worden zij dan door andere punten aangevuld. Bij de opneming van een lang gestrekt terrein, waarbij men de geheele breedte van de op te nemen strook van eene standplaats van het instrument kan overzien, zal men voor het net meestal een gestrekten veelhoek nemen. Deze veelhoek wordt dan meestal met hetzelfde instrument gelijktijdig met de details opgenomen en dan ook de hoogte van een volgend punt uit die van een vorig punt met hetzelfde instrument bepaald. De opvolgende standpunten van het instrument, het net van de opmeting vormende, moeten natuurlijk nauwkeuriger dan de detailpunten bepaald worden; hiertoe worden, als men van A naar B gaat, de afstand van A tot B en het hoogteverschil van beide punten met het instrument zoowel van uit A als van uit B bepaald. Tevens kan men ter contröle een derde punt nemen, dat uit beide standpunten'zoo in horizontalen als in verticalen zin bepaald wordt. § 224. Opneming in bosschen. De grootste moeilijkheid biedt de opneming in dicht begroeide bosschen aan. Eene nauwkeurige opneming is daar zeer dikwijls geheel onmogelijk, zonder in het bosch veel hout om te hakken. Meestal echter kan men er met eene veel minder nauwkeurige opneming volstaan. Moeten later aldaar werken worden aangelegd, die eene nauwkeurige-opneming vereischen, dan kan men uit de minder nauwkeurige opneming gemakkelijk die deelen uitkiezen, die voor het werk in aanmerking kunnen komen en ze nauwkeuriger opnemen; de aan die opneming bestede grootere moeite en kosten worden dan vergoed door de mindere uitgebreidheid van het terreingedeelte, waarover zij zich uitstrekt. De opneming van een dergelijk boschrijk terrein kan moeilijk op de boven beschreven wijze geschieden. In dergelijke gevallen kan men door de wegen, paden of open gedeelten, die het bosch aanbiedt, of die men zich op min kostbare wijze kan verschaffen, zooveel mogelijk gestrekte veelhoeken met korte zijden met behulp van de boussole opnemen Voegt men aan de boussole eene inrichting toe tot het meten van verticale hoeken (zie §, 73) en meet men daarmede telkens de hellingen van de zijden van den veelhoek, dan kan men de hoogten van de hoekpunten berekenen, deze in teekening brengen en daaruit de hoogtelijnen afleiden. Neemt men hierbij voor de lengten der zijden, in schuine richting gemeten, de lengte van den band of van den meetketting (10 of 20 meter), dan kan men gemakkelijk uit eene tafel van de natuurlijke cosinussen en sinussen de horizontale afstanden en de hoogteverschillen aflezen, ■waardoor de berekening aanmerkelijk bekort wordt. Op deze wijze zijn in fig. 209, tusschen de punten U, V, W en X drie veelhoeken opgemeten, die voldoende zijh om een groot gedeelte van de hoogtelijnen tusschen 90 en 160 meter te bepalen. 20 AANHANGSEL. METHODE DER Kleinste Vierkanten. § 225. Methode der kleinste vierkanten. De methode der kleinste vierkanten leert de meest waarschijnlijke waarde van grootheden berekenen uit meer waarnemingen dan voor de bepaling dier grootheden noodzakelijk zijn. § 226. Middelbare fout. Ten einde de nauwkeurigheid van de metingen en van de daaruit afgeleide resultaten te kunnen beoordeelen, wordt de middelbare fout (eene verkorting van de middelbare waarde der fouten) in de metingen en in de resultaten berekend. § 227. Waarnemingsfouten. De grootheden, die door metingen worden verkregen, zijn alle min of^ meer aangedaan met fouten. Bij deze fouten onderscheiden wij: 1". constante en regelmatige of systematische fouten, 2°. toevallige of onregelmatige fouten. Wanneer de waarnemingen aan berekeningen volgens de methode der kleinste vierkanten worden onderworpen, moeten zij zooveel mogelijk ontdaan worden van de constante en van de regelmatige fouten, zoodat daarin, zoo mogelijk, alleen toevallige of onregelmatige fouten van waarneming voorkomen. De constante en' regelmatige fouten zijn. een gevolg o.a. van onvolkomenheden in de meetwerktuigen, van het niet geregeld zijn van de instrumenten, ook van invloeden buiten de instrumenten als temperatuursverschillen en anderszins — voor zoover deze. invloeden in bepaalden zin werkzaam zijn —, in enkele gevallen ook van onvolmaaktheid van ons waarnemingsvermogen ; de persoonlijke fout bij astronomische metingen bijv. behoort tot deze categorie. De waarnemingen, waarin dergelijke fouten schuilen: zullen \ in bepaalde richting van de juiste waarde der waargenomen grootheden afwijken. Kunnen de bronnen van deze fouten worden opgespoord, zoo zijn die fouten te ontgaan: door regeling van de.instrumenten, of wel door de fouten te elimineeren, of ook door die fouteninvloeden zoo goed mogelijk in rekening te brengen. De toevallige fouten van waarneming, voor zoover de bronnen daarvan zijn na te gaan, hebben hun ontstaan te danken o.m. aan onvolkomenheden in ons waarnemingsvermogen, afwisselende temperatuursverschillen, beweging in de lucht, onvasten stand van de instrumenten, ook aan den gemoedstoestand van den waarnemer, enz., voor zoover deze fouten een toevallig karakter hebben. In tegenstelling namelijk met de constante en regelmatige fouten kunnen de toevallige fouten evengoed negatief als positief zijn en kunnen, binnen zekere grenzen, alle mogelijke waarden bereiken. Bij de meeste waarnemingen zijn verschillende oorzaken aan te wijzen, die aanleiding geven tot kleine fouten, welke evengoed positief als negatief kunnen zijn. Deze kleine fouten vormen gezamenlijk de toevallige fout in de waarneming, terwijl iedere oorzaak op zich zelf foutjes levert, die eveneens een toevallig karakter hebben. Bij hoekmetingen bijvoorbeeld zijn meerdere bronnen van fouten aan te geven, die toevallige fouten veroorzaken (verg. § 43): 1°. de fouten in het richten, en wel vooreerst ten gevolge van onvolmaaktheid in het waarnemingsvermogen, verder ten gevolge van minder goede verlichting en niet symmetrische gedaante van het voorwerp waarop gericht wordt, van laterale refractie, van .onvolkomenheden van den kijker, van den niet volkomen vasten stand van het instrument, enz.; 2°. de fouten in het aflezen, die een gevolg kunnen zijn van de niet juiste verdeeling van den rand en van den nonius (voor zoover de daaruit voortspruitende fouten een toevallig karakter dragen), van minder zuivere afwerking der deelstrepen, van het al of niet aanwezig zijn van parallax bij het aflezen, enz. Ieder van deze fouten-oorzaken kan eene kleine afwijking van de juiste waarde bij eene waarneming geven, die evengoed in den eenen als in den anderen zin kan optreden. Zijn toevalligerwijze de meeste van deze samenstellende foutjes positief, dan vertoont de meting eén vrij groote positieve fout; is — en hiervoor is de kans grooter — een deel der foutjes positief, het andere deel negatief, dan zal de resulteerende fout klein zijn, positief of negatief naar gelang de positieve of de negatieve foutjes den boventoon voeren, hetzij door grootte, hetzij door aantal. Hieruit is gemakkelijk na te gaan dat de kans, om eene toevallige fout van eenigszins groot bedrag in de waarneming te krijgen, steeds minder bedraagt dan de kans om eene kléinere fout te maken; eveneens is gemakkelijk in te zien dat bij het toevallige karakter der samenstellende foutjes de kans voor het maken van een positieve fout van een bepaald bedrag dezelfde is als de kans voor het maken van eene evengroote negatieve fout. De waarschynlykheid (*) voor het voorkomen van een fout x, zal uit den aard der zaak verband houden met de absolute waarde van deze fout, en aldus voor te stellen zijn als eene functie van x. De waarschijnlijkheid voor het optreden van een bepaalde waarnemingsfout is uit den aard der zaak zeer klein, de grootte van deze waarschijnlijkheid heeft dan ook practisch geen waarde. Van grooter belang is echter de kans dat eene fout zal gelegen zijn tusschen twee bepaalde grenzen. Nemen wij deze grenzen zeer dicht bij elkaar en wel x en x -f- dx, waarbij wij ons dx oneindig klein kunnen denken, dan kunnen wij onderstellen dat binnen deze nauwe grenzen de waarschijnlijkheid voor de fout niet verandert; de waarschijnlijkheid, da^ de fout gelegen zal zijn tusschen de grenzen x en x-\-dx^ is dan evenredig met het verschil der grenzen en dus voor te stellen door: f(x) dx. De waarschijnlijkheid, dat de fout gelegen zal zijn tusschen twee grenzen -\-a en — b, wordt dan voorgesteld door: +« ff(x)dx. iéétÉi^é. — * Is de wet bekend, volgens welke de waarschijnlijkheid voor het voorkomen van eene fout met de grootte van die fout (*) De mathematische uitdrukking voor de waarschijnlijkheid van een verschijnsel is de verhouding tusschen het aantal jimsüjs. even waarschijnlijke gevallen, waarhij het verschijnsel zal optreden, en het totale aantal mogelijke, even waarschijnlijke gevallen, waarbij men het bedoeld verschijnsel zou kunnen verwachten, verandert, m.a. w.: is f(x) bekend, dan kan bovenstaande uitdrukking voor verschillende grenzen worden berekend. Wij zullen later deze wet voor de toevallige waarnemingsfouten opmaken in de onderstelling, dat deze fouten zijn ontstaan door de samenwerking van een zeer groot — een oneindig groot — aantal fouten-oorzaken, die ieder op zich zelf een zeer kleine — oneindig kleine r- fout leveren, welke evengoed, positief als negatief kan zijn. In de werkelijkheid zal de samenstelling van de fouten zeer groote afwijkingen vertoonen van bovengenoemde veronderstelling; intusschen zal de op bovengenoemde onderstelling berustende theorie met des te meer kans op welslagen worden toegepast, naarmate het aantal foutenoorzaken bij eene meting grooter is en de daardoor te verwachten fouten meer het karakter van toevallige fouten zullen hebben. (*) Is — b de grootste negatieve en -fa de grootste, positieve waarde, die eene fout kan bereiken, dan is: -M jf (x)dx — 1, — b d. w. z. de waarschijnlijkheid, dat de fout gelegen is tusschen de uiterste grenzen, is de zekerheid. Bij de bovengenoemde onderstelling betreffende de samenstelling van toevallige fouten zijn de grenzen van de fouten — oo en + oo; zijn namelijk toevalligerwijze alle samenstellende O In enkele gevallen, waarbij met vrij groote zekerheid is na te gaan, dat de fouten niet het gewenschte toevallige karakter zullen hebben, wordt in het algemeen toch de op het voorkomen van toevallige fouten gebaseerde methode van de kleinste vierkanten toegepast. Als voorbeeld diene het volgende: op een ongeveer vlak en horizontaal terrein wordt eene basis gemeten met behulp van meetlatten; wordt de meting een of meermalen herhaald, dan zullen de resultaten in het algemeen kleine afwijkingen ten opzichte van elkaar vertoonen; voor do meest waarschijnlijke lengte van de basis wordt dan (ook volgens de methode der kleinste vierkanten) aangehouden het rekenkunstig gemiddelde van de verschillende bü meting gevonden waarden. Gaan wij echter na, dat bü eene met behulp van meetlatten zorgvuldig uitgevoerde basismeting de hoofdoorzaken voor het maken van fouten gelegen zullen zün 1». in het niet geheel volgens de juiste richting leggen der meetlatten, 2°. in het volgen van de kleine hellingen, die het terrein allicht zal vertoonen >terwijl deze beide foutenoorzaken afwükingen in denselfden sin ten gevolge zullen hebben, dan ligt het voor de hand dat de kleinste der gemeten waarden, en niet de gemiddelde, het dichtst bü de juiste waarde zal gelegen zün (in de onderstelling namelijk dat bovengenoemde werkelük. de hoofdoorzaken voor fouten zijn en niet bijv. het onwillekeurig verschuiven Oer meetlatten, hetgëen toevallige fouten kan veroorzaken). fouten positief, dan is de resulteerende positieve fout oneindig groot — de waarschijnlijkheid echter voor dit gezamelijk optreden is ook oneindig klein (terwijl de waarschijnlijkheid voor het optreden van eene eenigszins groote fout ook reeds zeer klein zal blijken te zijn). Voor de toevallige fouten geldt dus: Voor een deel resumeerende, kunnen wij nagaan, dat de toevallige waarnemingsfouten de volgende eigenschappen vertoonen : f°. de som van een groot aantal waarnemingsfouten zal in 2°. voor een groot aantal van deze fouten zal het aantal positieve fouten ongeveer overeenkomen met het aantal negatieve fouten; 3°. de kans voor het optreden van positieve en van negatieve fouten is dezelfde; 4°. de kans voor het optreden van een grootere fout is kleiner dan de kans voor het optreden van kleinere fouten; 5°. de kans voor het optreden van de fout nul zal de grootste zijn. § 228. Meest waarschijnlijke waarde. Wanneer men grootheden door.meting wil bepalen, dan zal men ter wille van de contröle en van de nauwkeurigheid meer metingen uitvoeren dan voor de bepaling van die grootheden strikt noodzakelijk zijn. Ten gevolge van die waarnemingsfouten zal men voor de resultaten, die men zou kunnen afleiden door bijv. telkens een groep van waarnemingen samen te stellen, waaruit die resultaten zijn te berekenen, verschillende stellen van waarden vinden; ook zou men uit al de waarnemingen telkens op andere wijzen verschillende stellen waarden voor de gevraagde grootheden kunnen berekenen. (*) Deze uitdrukking geldt ook voor fouten die — b en + a als grenzen hebben, want de waarschijnlijkheid, dat de fouten voorkomen tusschen — oo en — b en tusschen + a en + oo.'is gelijk aan nul, alzoo: den regel zeer klein zijn; Welke van deze stellen zal de meest juiste waarde bevatten? Alleen wanneer de juiste waarden van de grootheden bekend zijn, is dit met zekerheid aan te geven. Zijn de juiste waardan niet bekend, dan kunnen de berekende waarnemingsfouten eenige aanwijzing geven; met behulp van elk uit de waarnemingen afgeleid stel waarden kunnen wij eene reeks van fouten berekenen; vergelijken wij deze fouten-reeksen, dan zal dat stel waarden de meest waarschijnlijke waarden van de grootheden aanwijzen, waarbij de reeks van fouten behoort voor welker ge~ zamenlijk optreden de waarschijnlijkheid het grootst is. Is. de wet bekend, die de waarschijnlijkheid voor het voorkomen van toevallige waarnemingsfouten volgt, dan zijn daaruit de voorwaarden af te leiden waaraan de bovenbedoelde berekende waarnemingsfouten moeten voldoen en zijn dus tevens de meest waarschijnlijke waarden te berekenen. De verschillen tusschen de gemeten waarden en de meest waarschijnlijke waarden van grootheden worden de schijnbare fouten genoemd. § 229. Middelbare fout, gemiddelde fout, waarschijnlijke V fout- Ter beoordeeling van de nauwkeurigheid van de metingen wordt met behulp van de waarnemingsfouten een of ander gemiddelde berekend; als zoodanig noemen wij de middelbare fout, de gemiddelde fout (éene verkorting van de gemiddelde waarde van de fout) en de waarschijnlijke fout. (*) De middelbare fout is gelijk aan 'den wortel uit de som van de vierkanten van de fouten gedeeld door het aantal (het vierkant van de middelbare fout is dus gelijk aan de gemiddelde waarde van de vierkanten van de fouten). De gemiddelde fout wordt berekend door de som te nemen van de absolute waarden van de fouten en deze som door het aantal te deelen. De waarschijnlijke fout is eene fout van zoodanig bedrag, dat er evengroote kans bestaat eene fout te maken die 'grooter is, . als eene fout te maken die kleiner is dan dat bedrag. Zullen deze gemiddelden zooveel mogelijk betrouwbaar zijn, zoo dienen zij berekend te worden met behulp van de ware fouten. Bij de volgende theoretische beschouwingen zullen wij , dan ook onderstellen, dat vde ware fouten bekend zijn, terwijl (*) De naam waarschijnlijke fout is feitelijk niet goed gekozen: de grootte van deze fout is niet die, waarvoor de waarschijnlijkheid zoo groot mogelijk is: de waarschijnlijkheid is het grootst .voor de fout nul. later 'zal worden aangegeven, op welke wijze de middelbare fout zoo nauwkeurig mogelijk met behulp van de schijnbare fouten kan werden bepaald en hoe de gemiddelde fout en de waarschijnlijke fout uit de middelbare fout worden berekend. Nemen wij als voorbeeld de ree,ks van ware fouten in de eerste kolom der tabel op bladz. 316, waarvan in de 2de kolom de vierkanten (afgerond op twee decimalen) zijn opgenomen, dan is de middelbare fout (die wij door de letters m of M zullen aanduiden) voor deze reeks, volgens bovenstaande definitie: V352,50 „ . —= 5,02. N De gemiddelde fout (voorgesteld door m' of M'): 55,53 m' = —~- = 3,97. • 14 Voor het bepalen van de waarschijnlijke fout (?-, B) rangschikken wij de fouten, als in de 3de kolom aangegeven, naar de grootte, onafhankelijk van het teeken. De waarschijnlijke fout is nu zóó te nemen, dat er evenveel fouten grooter zijn als kleiner dan dit bedrag; hier, waar het aantal even is, kunnen wij iedere willekeurige waarde nemen tusschen 8,32 en 3,38 begrepen, bijv.: • r ==3,35; 1 Hoe grooter het aantal fouten is, hoe meer betrouwbaar de berekende waarden van m, m' en r zullen zijn. Theoretisch zullen wij ons voorstellen, dat wij met een zeer groot, een oneindig groot aantal fouten te doen hebben. In verband daarmede is dan de definitie van de middelbare fout: de limiet waartoe de uitdrukking: • A / [*?J m=\n nadert, wanneer n = co wordt. ([x2] stelt voor: xx2 -f- x%2 -f xê + x2). I I I I I ■ — 5,37 28,84 0,46 — 1,76 3,10 0,08 r I ■ ■ + 8,38 70,22 . 1,00- |j + 3,17 10,50 0,21 \ — 2,87 | 8,24 1,20 jj + 2,49 6,20 0.78 — 4,92 24,21 1,30 J +18,06 326,16 • 0,80 + 2,13 4,54 2,13 + 0,08 0,01 j 0,98 + 1,80 1,69 2,87 + 2,05 4,20 1,24 • +12,13 147,14 3,32 — 0,78 0,61 1,25 — 3,70 13,69 3,38 + 1,24 1,54 1,76 — 1,00 1,00 3,70 — 1,25 1,56 2,05 i + 3,38 11,42 4,92 + 0,21 0,04 I . 2,49 — 3,32 11,02 5,37 -f 0,98 0,96 3,17 + 0,46 0,21 5,37 — 5,12 26,21 5,12 — 5,37 28,84 8,38 +17,54 307,65 17,54 — 1,20 1,44 12,13 1 — 0,80 0,64 18,06 + 27,78 352,50 + 27,76 688,93 — 27,75 Ij —27,77 Evenzoo is de gemiddelde fout: , ,. [absolute waarde van x] m = hm — -!— w voor n = oo. Wanneer wij eene reeks van n fouten hebben, terwijl de grenzen' van de fouten zijn — oo en +00, en wij beschouwen de fouten gelegen tusschen de waarden x en x -{- dx, dan kunnen wij, als dx klein is, alle fouten, die tusschen deze beide waarden gelegen zijn, gelijk aan x stellen; is het aantal van deze fouten De uitdrukking:, J xf{x) dx geeft,'volgens de beschouwing bij de afleiding van de formule voor de gemiddelde fout, de som van alle fouten gedeeld door het aantal (iedere fout echter met het bepaalde teeken der fout in aanmerking genomen). Voor de toevallige fouten van waarneming zal deze uitdrukking bij de limiet gelijk aan nul zijn; alzoo: fx f(x) dx = 0. Zou de som van een zeer groot aantal fouten een positieve of een negatieve waarde van eenig bedrag opleveren, zoo zou dit wijzen op het voorkomen van constante fouten bij de waarnemingen, of van regelmatige fouten die in een bepaalde richting werkzaam zijn. Van de drie besproken gemiddelden verdient de middelbare fout ter beoordeeling van de nauwkeurigheid van mëtingen om verschillende redenen de voorkeur. Oorspronkelijk zijn de drie gemiddelden willekeurig aangenomen (*); practisch zal die grootheid het meest worden toegepast, die bij de minst omslachtige berekening de beste resultaten levert. Van de middelbare fout is de theoretische uitdrukking de meest eenvoudige; de bepaling van de waarschijnlijke fout is, , vergeleken met de berekening van de beide andere grootheden' zeer omslachtig vooral bij een groot aantal fouten, aangezien eerst de, fouten naar de grootte moeten worden gerangschikt. Zooals later blijken zal, kan de middelbare fout in den regel gemakkelijk worden berekend uit de waarnemingen, ook zonder dat de fouten zelve worden uitgerekend; voor de berekening van de gemiddelde fout kan dat niet. Dat de middelbare fout in het algemeen een beteren maatstaf vormt voor de beoordeeling van de nauwkeurigheid van de waarnemingen, kan blijken uit het volgende voorbeeld. Wanneer wij voor de foutenreeks in de 4de kolom van de L£? Z0VS,ali! 5emiddelde 00k wel voorgesteld de derdemachWortel uit de »m v.n 4«d.riefhtaderfout.n gedeeld door het aantal; dit gemiddelde heeft echter in de practfllc geen ingang gevonden. tabel op blz. 316'de middelbare fout, de gemiddelde fout en de waarschijnlijke fout opmaken, zoo vinden wij daarvoor> m = 7,01 ff- m' = 3,97 r'= 1,25 a 1,76. Toevalligerwijze is de gemiddelde fout voor beide reeksen dezelfde, de middelbare fout voor de 2de reeks is grooter, de waarschijnlijke fout kleiner. Gaan wij echter na, dat bij de 2de reeks wel is waar verschillende kleine fouten voorkomen, maar ook een tweetal grooter fouten die aanmerkelijk verschillen van de andere in de 2de reeks voorkomende fouten, terwijl bij de 1ste reeks (eerste kolom van de tabel) de fouten minder groote sprongen vertoonen, dan is de onderstelling gewettigd, dat de waarnemingen die de 2de foutenreeks hebben opgeleverd minder goed zijn dan die, welke de eerste foutenreeks gaven — de gemiddelde fout wijst daaromtrent niets uit, de middelbare wel degelijk. Aangezien voor het berekenen van de middelbare fout het bedrag van de fouten tot d'e tweede macht wordt verheven, zal eene grootere fout naar verhouding meer invloed op het bedrag der middelbare fout uitoefenen dan eene kleinere fout. In verband met de verschillende beschouwingen over toevallige fouten van waarneming, ligt het trouwens ook voor de hand, dat grootere fouten op minder nauwkeurige waarnemingen zullen wijzen. Voor toevallige waarnemingsfouten is, zooals later zal blijken, de middelbare fout de grootste der drie gemiddelden; door nu de middelbare fout te nemen als maatstaf voor de nauwkeurigheid der waarnemingen, zal men zoodoende de waarnemingen , niet overschatten. Beschouwen wij in de theorie de middelbare fout, berekend uit een oneindig- groot aantal fouten, in de practijk daarentegen zal dit aantal dikwijls slechts klein zijn; de waarde van de middelbare fout zal echter des te meer vertrouwen verdienen, naarmate het aantal fouten, waaruit die waarde is afgeleid, grooter is. Ook bij één enkele meting kunnen wij spreken van middelbare waarde van de fout, hetzij dat deze berekend is uit een groot aantal'dergelijke metingen, hetzij dat de waarde van de middelbare fout op een of andere, in den regel op de ondervinding berustende, wijze geschat is. Bij hoekmetingen met behulp van een goed geconstrueerd instrument met nonius-aflezing bijvoorbeeld, waarbij niet nauwkeuriger dan in eenheden van den nonius, of hoogstens in halve eenheden, wordt afgelezen, zal de middelbare fout in eene. hoekmeting, afgeleid uit twee metingen (bijv. eene in den gewonen stand, de tweede in den doorgeslagen stand van den kijker) zijn te schatten op 1 of 1,5 eenheden van eene noniusaflezing. Lezen wij nauwkeuriger af (verg. § 11), bijvoorbeeld tot in tienden van nonius-eenheden, dan kan de middelbare fout geschat worden op 2 of 3 tienden van de eenheid van den nonius, wanneer overigens het instrument en vooral de randverdeeling goed geconstrueerd zijn. SSligs Bij aflezing op eene, op 80 Meter geplaatste, in witte en zwarte centimeterblokjes verdeelde, waterpasbaak bijvoorbeeld, zal de middelbare fout in ééne enkele aflezing geschat kunnen worden op 1 m.M. bij gebruikmaking van een goed waterpasinstrument met een kijker van ongeveer dertigmalige vergrooting en fijne kruisdraden en met een niveau met eene hoekwaarde van hoogstens 30". Is de kijker minder goed, zijn de draden minder fijn, is het niveau minder gevoelig of is de afstand grooter, dan zal de middelbare fout op 2 of 3 m.M. of meer kunnen worden geschat. Het spreekt van zelf, dat ook bij groote ondervinding en bij het zooveel mogelijk rekening houden met alle bij-omstandigheden, eene op bovenstaande wijze geschatte waarde van de middelbare fout tot onjuiste gevolgtrekkingen kan voeren; toch kan, zooals later zal worden aangeduid, van eene dergelijke waarde in de practijk een nuttig gebruik worden gemaakt. Is eene, fout berekend uit andere fouten, waarvan de middelbare waarden' bekend zijn, zoo is de middelbare waarde van die fout uit de middelbare waarden van de samenstellende fouten te berekenen (zie de volgende §). § 230. Voortplanting van de fouten. Wanneer een fout X gelijk is aan de som of aan het verschil van twee onafhankelijke (*) fouten a-, en ,r2) terwijl,de middelbare waarden van de laatstgenoemde fouten respectievelijk mx en m2 zijn, welke is dan de middelbare waarde M van de resulteerende fout X? Zij de middelbare fout m1 afgeleid uit een, groot aantal nx waarden voor de fout x\, namelijk x{, x{', x{" .... terwijl m2 eveneens is afgeleid uit een groo't aantal n2 waarden voor de fout x2, namelijk x2', x2", x2" . . . ., dan kunnen wij uit de samenstellende fouten verschillende waarden voor de fout X afleiden, en wel «iXna waarden. (*) Onder onafhankelijke fouten worden hier verstaan fouten, die optreden bd geheel onafhankelijke metingen. 21 Deze uitdrukking is van den vorm van de formule (4) blz. 324 • df df df ' ~dp~2 ' ~dpé 'zijQ factoren > die uit de betrekking (6) met behulp- van de gemeten (of uit metingen afgeleide) grootheden worden berekend (in verband daarmee zijn met voordacht in de uitdrukkingen -2L,^L,JLt in (7) de accenten weggelaten). Voor het vierkant van de middelbare waarde M van X volgt dan in verband met (5) blz. 325: ^=(iTF-2+(^)2-8+(l)2-a+---« § 231. Toepassingen. I. Voor het nauwkeurig uitzetten van eene lengte van 20 Meter ter controleering van meetstaven, meetbanden en meetkettingen, wordt gebruik gemaakt van een ijzeren meetstaaf, die tusschen twee eindstrepen bij de temperatuur waarbij de lengte wordt uitgezet juist één meter lang is (gemakshalve wordt verder van den invloed van temperatuursverschillen afgezien). De lengte van dezen ijzeren meter is bepaald door vergelijking met een standaardmeter; voor de middelbare fout bij deze vergelijking is gevonden 0,008 mM. De ijzeren meter is bij de streep 0 en bij de streep voor 100 cM. voorzien van eenige in vijfde deelen verdeelde millimeters, bij welke deelstrepen met een loupe wordt afgelezen; wanneer nu bijvoorbeeld de middelbare fout bij het uitzetten van één meter lengte met de staaf 0,03 mM. bedraagt (deze waarde zal ongeveer kunnen volgen uit een (groot aantal metingen met een dergelijken meter), wordt gevraagd de middelbare fout in den uitgezetten afstand van 20 Meter. De middelbare fout mx in de lengte van 20 Meter ten gevolge van de onzekerheid (middelbare fout = 0,008 mM.) in de lengte van den ijzeren staaf, i# volgens,(3) blz. 326: ' 5% = 20 X 0,008 mM. = 0,16 mM.' Wanneer wij alleen .in aanmerking nemen de middelbare fout bij het uitzetten van 1 Meter met de staaf, dan volgt de middelbare'fout m2 in de uitgezette lengte volgens (2) blz. 323 uit: mi = 0,032 _|_ 0,032 -f + 0,032 (20 maal) = 20 X 0,0009 m2a = 0,018' of: m-i = 0,131 mM, Houden wij rekening met beide middelbare fouten, dan wordt de middelbare fout M in het resultaat gevonden uit: M2 — mL2 -|- m22, M2 = 0,0256 + 0,018 = 0,0486, M =0,21mM. Opmerking. Uit dit vraagstuk volgt o. a., dat de middelbare fout in het resultaat van eene lengtemeting als gevolg van de onzekerheid in de lengte van het meetinstrument (meetstaaf, meetband, meetketting) evenredig is met de gemeten lengte; terwijl de middelbare fout ten gevolge van de onvermijdelijke waarnemingsfouten gedurende de lengtemeting slechts evenredig is met den wortel uit de gemeten lengte. II. Voor de bepaling van eene grootheid P is deze grootheid w-maal gemeten, de resultaten van de metingen zijn pf; p2 > p3) ..... pn, deze metingen hebben plaats gehad met gelijke nauwkeurigheid, de middelbare fout bedraagt m, hoe groot is de middelbare fout M in P? De meest waarschijnlijke waarde van P is (zooals ook later blijken zal) het rekenkundig gemiddelde van de gemeten waarden': r_ [p] _Pi+i?2 + >?3+ -\-P«. n n schrijven wij deze uitdrukking in den vorm: lil p==pi+p2+p±+ n n n n Noemen wij de fouten bij de metingen p1, p2, Pa, . . . . pn respectievelijk xlt x%, x3, x„, dan zal de fout X in P gelijk zijn te stellen aan: ' *xz x^ n n n n en dan is volgens (4) en (5) bladz. 324 en 325: ^2=Bi_i_msi , , m2 i n2 ^ n2 "i n2 ^~r n2 ' wanneer mx, m2, m3 ..... mn de middelbare waarden voorstellen respectievelijk van xlf x2, x3, xn; of, aangezien volgens onderstelling mx = m2 = m3 == =■> mn = m is, 2 nm2 OT2 n2 n zoodat: m V n (Vergelijk § 48). III. In twee punten B en C; waarvan de afstand a gemeten is, zijn, ter bepaling van den afstand AC=b, de hoeken' ABC =3 en ACB-=y gemeten. De middelbare fout in de lengtemeting is m,, die in de hoekmetingen respectievelijk m3 en my, hoe groot is de middelbare fout van b ? Volgens de sinusformule is: |pl|l D — a sin & ,.. siiiBAC~~ sin\3-\-y) Beschouwen wij b als: /u b = f(a,3,y) dan is volgens (8) bladz. 326: / jm3cos(3 + y)\2 Mk- slnW+V) ( * + aSSfe Mf f | ,-sw2/?cos2(/?4-o/) \ = sm2(/? + r) m> Is de driehoek ongeveer gelijkzijdig dan is: sin 3 ='sin y = sin (3 -f y) = sm 60° = j j/ 3, cos (/? -|- y) = cos 120° = — }, zoodat: . '»V2 = »'.r -j- a «2 >«42 4- a" m„2. Zij bijvoorbeeld 56' = a = 100 M., de middelbare fout ma in de lengtemeting =0,1 M., wanneer nu mjg = m> = 3', of in analytische maat uitgedrukt = . dan volgt voor de middel-o4oo bare fout van b: mb* — 0,01 4- 0,0102 4- 0,0025 = 0,0227 en voor: mt = Q,15 M. Wanneer wij de hoekmetingen nauwkeuriger verrichten, zoodat m\=:V(— )•dan wordt: mb- = 0,01 4- 0,00113 4- 0,00028 = 0,01141, of: m„ — 0,11 M. Wenschen we een nog nauwkeuriger resultaat te verkrijgen, zoo blijkt grootere nauwkeurigheid in dc hoekmetingen niet doeltreffend te zijn. Wordt de lijn BC nauwkeuriger gemeten, zoodat m„ bijv. =0,04 M. wordt, dan vinden wij met wié = m> = l': (jfÜ mb~ = 0,0016 4- 0,00141 = 0,00301, of: mb = 0,055 M. Uit deze berekeningen is gemakkelijk na te gaan, dat men het meest rationeel resultaat verkrijgt, wanneer in de uitdrukking voor mb2 de term met m2 en de som van de termen met mg en m. - eene ongeveer evengroote waarde hebben. Wil men bijvoorbeeld bij een zelfden, ongeveer gelijkzijdigen driehoek de meting van eene zijde van 100 M. en van twee hoeken zoo inrichten, dat men voor eene andere zijde een middelbare fout van 0,01 M. vindt, dan is dus bij: mb2 = ma2 4- 4 a2tng 4~ i f2?»* 2 = 0,0001 te zorgen, dat als volgt over de verschillende termen verdeeld wordt: -«ElSj . mb- = 0,00005 4- 0,00005. Het vierkant van de middelbare fout m„ in de lengtemeting is dan: ma- = 0,00005 dus ongeveer: m„ = 0,007 M. • te nemen. Terwijl: f a2mg -f -J De waarschijnlijkheid namelijk voor het optreden van « malen het verschijnsel met de waarschijnlijkheid p is p*, en de waar- (*) G. Hagen. Grundzüge der Wahrscheinlichkeits-Rechnung. Berlin 1837. Blz.JM, schünlijkheid vopr het optreden van /? malen het verschijnsel niet de waarschijnlijkheid q is qs; die voor het éénmaal in een aangewezen volgorde optreden van * malen het eerste en (3 malen het tweede verschijnsel: Dit optreden kan 'echter op een aantal verschillende wijzen plaats hebben, dat uitgedrukt wordt door: «770! of na 'vereenvoudiging: s (s — 1) (s — 2). . . . (s — «-f 1) 1.2.3.... 2 j - 0,8 | 0,64 ! — 3,3 I 10,89 32.9 K I|_ 2,9 | 8,41 || + 0,4 I 0,16 24.6 ' — 5,4 .' 29,16 | — 7,9 62,41 33,3 + 3,3 I 10,89 + 0,8 0,64 26,3 I _ 3,7* ■ _ 13,69 / — 6,2 | 38,44 89.0 I -f 9,0 ' 81,00 j* -f 6,5 42,25 28.7 . _ 1,3 j 1,69 ' F — 3,8 ' 14,44 35.1 I _|_ 5,1'f 26,01 f + 2,6 6,76 35,7 .1 -f 5,7 j 32,49 -f 3,2 . 10,24 41,5 -(- 11,5 j 182,25 | 4- 9,0 ■ L 81,00 24>7 - 5,3 j- J; 28,09 j| — 7,8 60,84 ^32,5 .4. 2,5 j _ 6,25 0,0 0,00 649,8. '4- 75,5 706,20 4- 42,7 582 20 3% 25,7 - 42,9 ' -4- 49,8 — 0,2 De middelbare fout M in het eindresultaat bedraagt: M = — = 1'\ 24. (*) \/n Aan het bedrag van de middelbare, fout in het eindresultaat zien wij dat de meest waarschijnlijke waarde niet nauwkeuriger behoeft te worden berekend dan boven is geschied; de tiende deelen van secunden in de berekende waarde zijn niet als nauwkeurig te beschouwen, aangezien wij zelfs, wat de secunden betreft, geen volle zekerheid hebben. Berekenen wij de som van de vierkanten van de schijnbare fouten met behulp van de formule (35), dan vinden wij: [jcB] = 706,20 — 20 X 2,52 = 581,20. De formule (36) geeft: [X2] = 706,20 — 49,8 X 2>5 = 581 >70De schijnbare fouten (zie de 3de en de 5de kolom van de tabel) geven hier dezelfde waarde als de formule (37). De be rekening met behulp van (35) wijkt het meest van de waarde uit (37) berekend af; dit verschil is te wijten aan de afronding • van de waarde van P (wanneer de deeling :« „opgaat", dan zullen de verschillende berekeningswijzen dezelfde waarde geven); in (35) komt het vierkant van P voor, de afrondrngsfout van P zal hier ruim tweemaal zooveel invloed hebben als in de.uitdrukking \v\ P in (36). De waarden,-voor dit geval met de fomrate 35) en (36) berekend, zijn beide te klem, doordat bij de Gronding P te groot werd; op de berekening van de waarde ' van m heeft het verschil hier .echter geen invloed. De grootte van het verschil hangt behalve van de grootte der ailngsfout ook af van de grootte der benaderde waadde Berekent men [x*] volgens de vergelijkingen (3o) en (36) met behulp van 42°34'0" als benaderde waarde, dan vindt men respectievelijk: TT^oTTet resultaat van eene berekening, als boven behandeld, wordt vaak SegeV°n: 42»34'32",5±1",24. Uit deze schrWe, welke vrfl algemeen, vooral^««^f^t blz. 341 en 353) bedraagt slechts ruim 0,68. met de gewichten respectievelijk: 9i, 92, 9a, • • • • ff», ' ■ , dan kunnen wij de meest waarschijnlijke, waarde P berekenen door dit vraagstuk terug te brengen tot het in § 238 behandelde en vinden dan: p _ 9lP 1 + 92P2 + ■ • ■ • 4- 9nPn ffi + 92 + •••• + ff» of wel: • p^ fep] [ff] ' Deze waarde kunnen wij echter ook rechtstreeks afleiden uit (24) op blz. 349. De schijnbare fouten zijn namelijk, wanneer P de meest waarschijnlijke waarde is: ^oc^Jbo^h (&)) Xi=Pi — P, \ ^-p: (40) Xn=P„—P. ) Volgens (24) moet P voldoen aan de voorwaarde: [g x2] = [g(p — p)2j = minimum. Beschouwen wij ook hier weer P als veranderlijke grootheid, , dan zal de waarde van P volgen uit: d[g{p— P)2] _ö dp ' of ook: [g(P — P)]=0; dat is: [ffPl-[g]P = o, zoodat: iif Ui Noemen wij de middelbare fouten van de metingen pi, p2,.. .pn respectievelijk m1, mg, . . . . m„, dan is, aangezien: 1 fe] + [ff] ++ [ff] ' de middelbare fout M in P te berekenen uit: M ~ [g? + [9? ++ [9? Nu is echter (zie ook § 235): m-? = — ,m22 = —, m„2 = —, 9i 9% 9n ^ zoodat: [g]2 ' of wel: M2 W*-, M ~ [gf en: /X (J, / Hierin is 67 = [g], zooals aan den vorm der uitdrukking gemakkelijk is te zien, het gewicht van het eindresultaat P. Voor de berekening van de middelbare fout van de gewichtseenheid ft, hebben wij de schijnbare fouten xx, x2, . : ... xn waarvan de middelbare waarden zijn respectievelijk mx, ra2,... w„; wü zullen echter eerst trachten (i uit te drukken in de ware fouten: — P,irr P\ ] ^S' «4 = j>a- -P', .......... . (42) Xn'—Pn P', I t^Sl waarvan , dus ook de middelbare waarden zijn mu resp.. m2, to3 mn.- Uit deze reeks van ware fouten kunnen wij de volgende samenstellen: |$ ^{vg^xdvgz x'nygn, . * . . . (43) waarvan, volgens (3) blz. 324, de middelbare waarden zijn respectievelijk : mi V gt, m%V g2 muy g„; deze waarden in het vierkant gebracht geven: fifiWi3, g*m# wélke waarden, zie (23°) blz. 349 alle'gelijk, zijn aan ft2 In (43) hebben wij dus eene reeks van n fouten die n tot middelbare waarde hebben, zoodat dus: Wij kennen echter de ware fouten niet; de vergelijkingen (41) en (42) geven ook hier: x\' = xi + (P — P') = x-i + X, X2=xz + (P-P') = x2 + X, , (45) . xn'■= x, + (P — P') = jj + X, " ' wanneer X de ware fout in P voorstelt. Brengen wij de vergelijkingen (45) in het vierkant, vermenigvuldigen wij dan die vergelijkingen • respectievelijk met , g2 9» en tellen daarna samen, dan vinden wij: . . [ffx'2] — [gx2] 4- 2 [gx] X -f- [g] X2. Hierin is, (zie blz. 359): [90c] = [g(p — P) 3 = 0. SjJ Vervangen wij ook hier (verg. blz. 352) X2 door M2, dan is: [gx'2] = [gx2] -f [g] M2, of in verband met: k=—— : V[9] [gx'2] = [gx2] + # Substitueeren wij deze waarde in de vergelijking (44) dan vinden wij, na eenige herleiding: ~ - vn—1 De in deze uitdrukking voorkomende waarde van [gx2] kunnen wij berekenen uit de vergelijkingen (40) door deze in het vierkant te brengen en respectievelijk met gu g2l ...... gn te vermenigvuldigen: gaan wij na, dat wij de meest waarschijnlijke waarde kunnen afgeleid denken uit (verg. blz. 171): 14 .zoodat dus: „ 2 __ 32mA2 4- 42'm,,2 -j- 43mP3 -J- 32 mt2 . 142 aangezien nu: o O 9 o 3 , ,3 "V- = 2w*,' m-B- = g- m2, m,,? = — en m,*= 2 m2, is: 14 en dus, in verband met de boven gevonden waarde van Jfa: m = 1<6". c€S^| III. .Voor de bepaling van. verschillende vaste punten met het oog op het opnemen van hoogtelijnen (verg. Hoofdstuk XXV) zijn langs 6 verschillende wegen waterpassingen verlicht naar een zelfde punt. De lengten van de gewaterpaste lijnen en de hij deze waterpassingen voor het bedoelde punt gevonden hoogten, bedragen respectievelijk: 9,6 K.M. 36,516 M. 4- N. A. P. - 8,0 „ 36,538 „ 7,6 „ 36,519 „ 6,0 „ 36,505 „ - „ 4,8 „ 36;532 „ 4,0 „ 36,529 „ 1 Gevraagd de meest waarschijnlijke hoogte voor het punt,, de middelbare fout van dit resultaat en de middelbare fout van de waterpassingen per K.M. te berekenen. De gewichten van de verschillende boven opgegeven hoogten kunnen omgekeerd evenredig gesteld worden met de lengten van de gewaterpaste lijnen (verg. § 200), hetgeen als volgt is te verklaren. Het hoogteverschil van twee onmiddellijk op elkaar volgende tusschenpunten bij eene aaneengeschakelde water- passing (zie de § § 178, 192 en 196), is gelijk aan het verschil tusschen de aflezingen k en l op twee in deze punten opgestelde waterpasbaken; het hoogteverschil Y\ van de eindpunten bij eene aaneengeschakelde waterpassing is gelijk aan de algebraïsche som van de hoogteverschillen der tusschenpunten en alzoo gelijk aan de som van de aflezingsverschillen: V1 = k1 — l1-\-k.2—lo4- knl — Z„i." Onderstellende dat de afstanden van het instrument tot de baak steeds gelijk worden genomen (*) en de middelbare fout van eene aflezing =w is, dan zal het vierkant van de middelbare fout ?% van het hoogteverschil Vx gelijk zijn aan: mi2 = m2_L.m2 + w2_L.m2_ m2 -f »l2 = 2 YlX m2, wanneer w, het aantal slagen van de waterpassing voorstelt; zoodat dus: wij = m |/ 2 %. De middelbare fout m3 van het hoogteverschil F2 bij eene aaneengeschakelde waterpassing met ra2 slagen, waarbij dezelfde afstanden van het instrument tot de baak worden ondersteld, is dan: ^-*^\- mg = »i|/21?2. • Bij gelijke slaglengten is het aantal slagen evenredig met de lengte -van de gewaterpaste lijnen en zijn dus de middelbare fouten evenredig met den wortel uit de lengten en alzoo de getvichten omgekeerd evenredig met de lengten. (* *) De gewichten zijn hier dus gelijk te nemen aan: 1 J_ J_ JL _L, _!_; 9,6' 8,0' 7,6' 6,0' 4,8' 4,0 ' daarbij is dan de gewichtseenheid het gewicht van eene waterpassing over één K.M.; vermenigvuldigen wij deze verhoudings- (•) Bij eene aaneengeschakelde waterpassing zal men zonder noodzakelijkheid hier niet van afwijken. - , . . ("> Ook al zijn de slagen niet alU gelijk, zoo kunnen de boven opgemaakte betrekkingen toch aangehouden worden, mits de waterpassingen worden uitgevoerd door denzelfden waarnemer (of gelijk geoefende waarnemers!, met hetieirde instrument (of met gelijksoortige instrumenten) (zie blz. 821) en met dezelfdo (of met gelijksoortige) baken, in het algemeen in het geval er geen bepaalde reden bestaat om een verschil in de nauwkeurigheid van de enkele aflezingan te onderstellen. dan zijn de-waarden voor de aflezingen, die met de benaderde waarde overeenkomen: 120, 96 en 72 m.M. en de verschillen met de metingen: j>!=4, p2 = 3 enp3 = 6 m.M. Met deze waardep voor p\, ih en Pb in de plaats van de grootheden h, h en h in (49), zie boven, vinden wij: [op] _ BX4 + 4XM1lX6 = óO==lm_Mi P==W~ 25TÏ6 + 9 50 Zoodat dus: 4 Jij, = 25 m.M. en de hoekwaarde H in secunden: tt_I . 206266" = 21",25. n ~~ 4 41263 Verder is: en dus: fM. '' . Jg*L,0|6f . 7 w —1 zoodat: „ \ I-Ê— =\j= 0,1 m.M.; hieruit volgt voor de middelbare fout in de hoekwaarde, in secunden: -tr . JL . Ji- . 206266" = 0",126. M»- 4 41253 Om ook de middelbare fout m in de enkele aflezing te be rekenen, gaan wij na, dat , de middelbare fout is mhet^-scM van twee aflezingen, zoodat dus: ™ = y 0,25 = 0,5 m.M. § 241. 'Indirecte waarnemingen met gelijk gewicht. Voor de bepaling van eenige, bijvoorbeeld drie, grootheden waarvan de juiste waarden zijn A', B' en G', zijn niet deze grootheden maar andere waargenomen, waarvan de juiste waarden zijn Pit P% -P»', welke laatste met eerstgenoemde grootheden in bekend verband staan; wanneer nu het aantal n van laatstgenoemde grootheden grooter is dan drie (voor dit voorbeeld) dan Is de vraag: voor A', B' en C' de meest waarschijnlijke waarden te berekenen. De vergelijkingen, die het verband tusschen A', B' en C' en, de grootheden P/, P2', ...... Pn' aangeven en waarvan ondersteld wordt, dat zij onafhankelijk van elkaar zijn, zullen in het algemeen van den vorm zijn: Pi' = /i U', B', C% P2' = f2(A', B', C), Pn' = fn )A', B', C). ' Alvorens het algemeene geval te behandelen, zullen wij het . bijzondere geval bespreken, dat genoemde^ vergelijkingen lineair zijn en dus van den vorm: Pi' = axA' + bxB' -f cxG' j P2'= cA'+otB + c^l _ (50) " Pn' = anA' + b„B' -f cnG' ) in welke vergelijkingen alt a2, a„; b1} b2, b„; ci> c2, c„ geheel bekende constante coëfficiënten voorstellen. Is het aantal onafhankelijke vergelijkingen 3, dan kan uit de metingen voor de grootheden P' voor A', B' en G' elk slechts ééne waarde worden berekend; omtrent de nauwkeurigheid van ' de metingen en van de daaruit berekende grootheden zou daaruit niets kunnen worden afgeleid. Alleen wanneer n grooter is dan 3, kan bijvoorbeeld uit ieder stel van drie vergelijkingen een stel waarden voor A', B' en G' worden berekend en kan dus worden gevraagd naar de meest waarschijnlijke waarde van deze grootheden en naar de nauwkeurigheid. Zijn nu bij metingen, die met gelijke nauwkeurigheid zijn verricht, voor P,', P2', P„' gevonden de waarden pu P%> Pn en onderstellen wij dat A) B en C de uit deze [ax] ~0, [bx] = 0, [cx] =0. ..... . (55) Voeren wij de sommeeringen in de vergelijkingen (54) bij gedeelten uit, dan krijgen wij: [a*]A + [ab]B4-[ac] G=[ap], [ab] A -f- [b2] B -f- [bc] G — [bp], [ac] A4-[bc]B4-[c2] C=[cp]. Deze vergelijkingen dragen den naam van normaalvergelijkingen. Voor de regelmaat worden deze meestal in den volgenden vorm geschreven: • [aa] A -f {ab] B + [ac] G = [ap] , ) [ab] A -f [bb] B -f [bc] C=[bp], (56) [ac] A -f [bcf B -f [cc]G= [cp]. ) Deze vergelijkingen kunnen door hun regelmatigen en overzichtelijken vorm uit de betrekkingen (50) of uit de foutenvergelijkingen (52) onmiddellijk worden opgeschreven. De plaats, de volgorde en de vorm der coëfficiënten van A, B en G in de normaal vergelijkingen is gemakkelijk te bepalen uit onderstaanden coëfficiënten-vierhoek: ! I . j j a | ö j c a j aa j ab j ac b | afe | &b bc c i ac j bc j cc De eerste vergelijking wordt meer speciaal de normaalvergelijking van A genoemd, omdat deze verkregen is door het differentieeren van [x2J naar A, zie (53) en (54), en daardoor in deze vergelijking de kwadratische coëfficiënt ([aa]) bij A voorkomt; evenzoo heeten de 2de en de 3de vergelijking de normaalvergelijkmg van B resp. van G. (*) Alvorens de middelbare fouten te berekenen, zal aan eenige O Voor eene algemeene methode voor de oplossing van de normaalvereeliikmgen, zie § 260. ' v Uit de vergelijkingen (66) blijkt dan verder, zie ook (65) dat: i'U [a 0] — [aa] Q12 4- [ab] g22 + [ac] Q32 = 0} ] [b 0] = [ab] Q12 + [bb] Q22 + [bc] Q32 = l\ . . ;' (67) [c 0] = [ac] Q12 + [bc] Q22 + [c c] Q32 = 0. ) Zoodat aldus: [0*} = Qa, en, zie (58): M„ = m y Q22 l ' (68) 022 is het gewichtsgetal van B, de vergelijkingen (65) zijn de gewichtsvergelijkingen voor B. Het gewicht ff, van 13 is nu.- Met behulp van drie coëfficiënten Q1S, en Q33 kunnen wij als.boven ook voor de bepaling van [y2] handelen. Wij vinden achtereenvolgens, de uitdrukking voor C: C = [ap] Qa + [bp] 023 + [op] Q3S (69) de geioichtsvergelijkingen voor O: [aa] Q13 + [ab] 023 + [ac] Q33 = 0, 1 [«*] 013 + [bb] Q23 + [6c] Q33 = 0, (70) [ac] Q13 -f [6c] g23 + [cc] ft» = l; ) de uitdrukkingen voor ylf y2, y„: 'yi = aiQis + b1Q23-\-c1Q33> \ = «2 018 M- 62 028 + het gewichlsgetal van C terwijl het gewicht Gc van G is: |1 -$§f; §f| | Om de middelbare fouten MA, M„ én Mc te kunnen berekenen, moet ook m, de middelbare fout van de, volgens onderstelling met gelijk gewichte verrichte, waarnemingen, berekend worden. Noemen wij x{, x2. xn' de ware fouten in jp,, resp. p2, Pn, dan is de middelbare fout m: a / \X'2] De ware fouten zijn: x{ =jPi — Pi', x2' =p2 — P2', X„' —Pn Pn'', of wel in verband met (50) blz. 373: x{ =lh— (a^A' + b^' + ^C) j •^2' =^2— (M' + ^B' + ^C) ( (74) . Xn' =pn— (anA' + ö„P' + e„C') / De ware fouten zijn in het algemeen ook hier niet bekend; het verband tusschen de ware en de schijnbare fouten vinden wij uit de vergelijkingen (74) en (52) blz. 374, als volgt: x{ = xx -f- ai U — A') + &i (P — P') + ci (C— C'), j x2' = x2 + a2{A— A') + b2 (P — P') + c2(C— C'), f. (75) xn' = xn + a„ U — 4') + o„ (P — P') + c„ (C — C"). ) Hierin zijn: j._j.'=zXi, B — B' = XB, C—C' = XC de ware fouten, in A, B en C. Substitueeren wij deze waarden in de vergelijkingen (75), brengen wij dan deze vergelijkingen m het vierkant en tellen daarna samen, dan krijgen wij: [x'2] = [x2]4-2[ax]XJ 4-2[bx]XB 4-2[cx]Xc + ] + [aa]X2 + [ab]XAXB + [dc]XAZc+ I + [ab]XAXB4- [bb]X„2 + [bc]XBXc4~ (76) + [ac]XAXc4- [bc]XBXc-\- [cc]XL2 j (in welke uitdrukking met voordacht eenige termen met dubbele producten gesplitst zijn.) In dé vergelijking (76) zijn, zie (55) blz. 375: [ax] = 0, [bx] = 0, ,[cx] = 0. Verder zullen wij (verg. blz. 352) X2, X/ en Xc2, welke waarden in het algemeen onbekend zijn, vervangen respectievelijk door Mc2, MB2 en Mc2, dat zijn de gemiddelde waarden van de vierkanten van de fouten in A resp. B en O (zie blz 314 2de alinea van § 229). Zoo'zullen ook wij XAXB, XAXC en 'xBXc door de gemiddelde waarden van deze producten vervangen' die wij zullen noemen resp. MAb2, MAC2 en MBC2. . De vergelijking (76) wordt dan: [%'2] = [oc2] + [aa] Ma2 + [ab] MAB2 + [ac] Mac2 + I + [ab] Mab2 + [bb] MB2 + [bc] Mbo2 + _ (77) + [«c] Mac2 -f [öc] Jfsc2 _j_ [cc] ^ j Uit de eerste twee vergelijkingen (57), blz. 378. volgt voor de fouten in A, resp. B: Xa = X1X1' +«3^2' + +«n«„', xB=bxx{+82X2' 4- 4- /W, zoodat het product wordt: X (61>' te ver" menigvuldigen respectievelijk met ffx, S2, ffn en dan te sommeeren: [« ff = [a ff Qn + [b ff Q3i + fc B] QuIn deze vergelijking zijn, zie de vergelijkingen (67): [o/3] = Q, [ö/?] = l, [c/?] = 0, zoodat dus: l*ff = Qn- Deze waarde kunnen wij echter ook berekenen, uit de vergelijkingen voor Blt ff2> B», (66), door deze te vermenigvuldigen respectievelijk met «1( «2, • • • • • «- en aan samen te tellen: [« ff = [CL a] Q12 +, [6 «] 022 + LC «] 032, waarin (zie ook 62 «>; 6>en c): [o«] = l, [b»] = 0, [c«] = 0, zoodat ook: V [»B] = 012- Wij vinden alzoö dat: 012=021, terwijl: . A ,nös jf^B2 = m2 Q21 = m2 012 ('8) Langs denzelfden weg zullen wij, aangezien uit de eerste en de derde vergelijking, van (57) volgt: XA = *xx{ 4-,«a»y +' + olnX"'i' Xc = y&i + t$\ 4" + y***'-! deze uitdrukking is gehjfc aan nul (zie blz. 822 en 328). VUU1 Ue ^moeide ™e MAC2 van het productX,Xc vinden, MAC2 = [ay]m2, terwijl uit de vergeipingen (61) na vermenigvuldiging resp. Vi, y-2, yn en sommeering blijkt, dat: en in verband met (72;: [°[7/] = Q31. - voo?^:^610^^ Vinden "8 eene tweede waarde [*y] = [aa] Q1S _|_ [6a] fe _|_ fcaJ in verband met (62" ''' c).: zoodat dus ook: 013 = 031 en: . fP/}* MAC 2 = m2Q31 = m2Q13 (79) Ten slotte geven de tweede en derde vergelijking van (57): XB = (3xX{ 4-0^4- + ^ , < ' . • - Xc = y1x1'4-y2X.2> + 4-rA'; waaruit voor de gemiddelde waarde van het product XBXC volgt: Mj)c2 = [0y]m2. ■ De vergelijkingen (66) geven voor [/3y]: ■ Wy] = [ay] Q12 4-[by] Qé _|_ [cy] Qs2! en (72) in aanmerking genomen: Wt = 032. Ook uit de vergelijkingen (71) volgt [8y]: Wy] = [a/3] Qa + [b/3] Qis + [c/3] fe en bij substitutie van de vergelijkingen (67): [{3y]=Q2S-> 25 alzoo: 023 =y 0321 en: MbC2 = Wfl Q32 = TO2 023 (8°) Vervangen wij nu in de vergelijking (77) Mf, MB2 en Mc2 resp. door m2 Qu, m2 022 en m2 033 — zie (63), (68) en (73) — en ook HG*2, Mac2 en MBC2, blz. 383, door de daarvoor gevonden waarden, daarbij voor Mab* achtereenvolgens de beide in (78) opgegeven waarden nemende, evenzoo voor Mac2 en Mbc2 de in (7,9) resp. (80) vermelde waarden, dan vinden we, na afzondering van m2: [ [aa] 0n + 02i + M 0si + | [X'2] = [X2]'+ m2 + [Ob] 012 + [Ö&] 022 + [OC] 032 + 1 ( + [aC] 013 + [bc] 023 + [CC] 033 . ! In den coëfficiënt van w2 komen voor: de eerste van de gewichtsvergelijkingen (59) van A, de tweede van de gewichtsvergelijkingen (65) van B en de derde van de gewichtsvergelijkingen (70) van C, welke ieder gelijk zijn aan 1; zoo alzoo: [x'2] = [x2] + 3 m2. Deze laatste uitdrukking in de vergelijking: blz. 382,, gesubstitueerd , geeft na oplossing van m voor de 1 middelbare fout van de enkele metingen: I | ys ; ■ f! Hadden wij niet 3 maar in het algemeen s onbekenden A, B G j)t , dan zouden wij (aangezien het getal 3, waar- ' méde'w wordt verminderd, gelijk is aan het aantal stellen gewichtsvergelijkingen, welk laatste aantal weer gelijk is aan het aantal onbekenden) gevonden hebben: m= A/J^L (82) V n — s t 7w1S ï6t zo°™mde aarttal overtollige metingen (*) Voor de bepaling van s onbekenden, zijn strikt genomen «onafhankelijke metingen (hetzij directe of indirect vo?doenTe eener *™ — «,hV°°K het-bfekenen van ^ in de formule (81) kunnen de schnnbare fouten met behulp van de gevonden, meestTaar schijnlijke, waarden uit de foutenvergelpingen röTbl 4, Tl^'^'T^ iS ~v-l gtallen WvTr , hier kunnen de middelbare fouten worden berekend zonder de schijnbare fouten zelve uit te rekenen Wy kunnen, om [x*] te berekenen, de vergelijkingen (52) in het vierkant verheffen en dan samentellen; de beXnit i en dan [x2] = [px] — [ax] A — [bx]B - [cx] C, hierin zijn, zie (55) blz, 375: [ax] = 0, [bx] = 0, [cx]— Ö. ' samen te tellen, zoodat dus: . en dan [a;2j = ^ — t«PJ ^ — [bp] B~[Cp]G. (83) TergeSkin^r^T11- ïf^S dC °p,0Ssin^ ™ ««—1- gewichtsgetallen twee aan twee aan elkaar gelijk zijn, vereen- oag 'V6 f°rmUleS «• de « gewichtseenheid, uitgedrukt in de * T de mIddelbare van de het aantai «rto^ SÏÏ W nebben dft T' • ?Uen W« steeds binden nemingen met gel«k gewkW fSsfbV rkp jonden bü directe waar- slechts ^onbektrvforkomt en dus\Tn ^ T^' 861 ■ ™« metingen (n-1) is. US b,) n metl°f?en het aantal overtollige of ook, wanneer wij stellen: ^^u6, M - , •. f [c] M cl = C{, C2 — —— = Co', ... c ^ r ' 'f n n Xi = Qi — + ci' C), «2 = ?a — (&a' -B + c2' 0), ^.'= 2» — (bn'B + cH'C). ' Uit dit nieuwe stel foutenvergelijkingcn kunnen op dezelfde wijze normaalvergelijkingen worden samengesteld als in § 241 is getoond, nu echter voor slechts twee onbekenden. - BiJ het opmaken van de middelbare fout in de enkele metingen hebben wij te bedenken, dat de fouten in. q?q. .. q geen onafhankelijke fouten zijn (de fouten in deze' grootheden zün nu van den vorm x — Jjjjüj de middelbare fout. m in de enkele metingen zal voor dit geval dus niet gevonden worden ,uit: V[£C2] n — 2 doch uit de formule: m = \/^L. \ n — 3 § 243. Middelbare fout van eene grootheid, die berekend wordt uit, door indirecte waarnemingen, gevonden grootheden. Wordt eene grootheid, waarvan de juiste waarde B' is, afgeleid uit grootheden waarvan A', B', G', .... de juiste waarden zijn, voor welke laatste grootheden volgens de methode der indirecte waarnemingen (zie § 241) de meest waarschijnlijke waarden A, B, C, . . . . zijn berekend, dan zal, wanneer tusschen de juiste waarden de betrekking bestaat: R' = f(A', B', G', . . . .), de meest waarschijnlijke waarde B van de te bepalen grootheid zn'n: - B = f(A, B, G, . . . .). De middelbare fout van R kan hier niet worden berekend volgens de formule (8) blz. 326, aangezien de fouten in A, B, C, . . . .'. niet onafhankelijk van elkaar zijn (verg. de uitdrukkingen voor XA, XB, Xc blz. 383 en 384). Onderstellen wij, dat B' een functie is van drie grootheden A', B' en G', dan is de fout XE in de meest waarschijnlijke waarde B: XR = R—B' = f(A, B, G) — f(A', B', G') . . . (87) De fouten XA, XB en Xc in A resp. B en G zijn: XA = A-A', XB = B — B', XÓ=C-C'; waaruit volgt: A = A'4-XA, B = B'4-XB, C=C'+XC; deze waarden, in (87) gesubstitueerd, geven na ontwikkeling volgens Taylor en vereenvoudiging, en na verwaarloozing, ten opzichte van de eerste machten, van de tweede en hoogere machten en van de producten van XA, XB en Xc: ' df df ,df » x*=dAXA + dBXBTdcXc- Brengen wij deze vergelijking in het vierkant: Nu is MB2 de gemiddelde waarde voor XR2; vervangen wij x/> xbi Xc2, XAXB, XAXG en XBXC door de in §■ 241 gevonden gemiddelde waarden voor deze grootheden, dan is alzoo: § 244. Invoeren van benaderde, waarden. Ook bü de berekening volgens de methode der indirecte waarnemingen is het in vele gevallen doelmatig om benaderde waarden in te voeren, ten einde de berekeningen te vereenvoudigen (verg. § 237). Zooals uit het volgende blijkt, blijven de berekeningen in dit geval dezelfde als in § 241—243 zijn aangegeven. Nemen wij voor de meest waarschijnlijke waarden A, B en O van grootheden A', B"en G', zie (50) blz. 373, die dóór meting van Pt', P2' p„' zullen worden bepaald, als benaderde waarden aan: A0, B0 en G0 en stellen wij: i=X + Al, P = P„+AP, 0=0.4-AC. De benaderde waarden kunnen worden gevonden bijvoorbeeld door uit drie van de betrekkingen (50) met behulp van de daarbij behoorende metingen p, eene waarde voor A', B' en O' te berekenen. Wij hebben dan verder de meest waarschijnlijke waarden ,uitte rekenen van de verbeteringen, die nog aan A0, B0 en 0„ moeten worden aangebracht. Substitueeren wij bovenstaande waarden voor A, B kn 'C in de fouten vergelijkingen (52) blz. 374, dan vinden wij na eenige . uitwerking: *i =Pi — % A — Dj. P„ — a C0 — {ax A A 4- i>! A B 4- cx A O), *2 =Pz — a2A0 — b2 B0 — c2 Cu — (a2 A A 4- b2 AB+'c2 A O), mn =>n — «„ A0 — bn B0 — cn C„ — (an A A + bn A B + c„ A C). Stellep wij: px — aj A0 — öj P„ — Cl C0 = qt, p2 — a2 Aü — b2 B0 — c2 G0 = q2, pn — a„ A0 — bnB0 — cn'C0 = qn, 'aangorden nu de foutenvergelijkingen: *i = «1 — («i A A + bi A B -f ci A C), j ^2="32— («2 A i+ b-2 A B + CaA C), j _ . _ _ (S9) fn = qn — (a„ A A + b„ A B + c„ A O; ) welke vergelijkingen geheel van denzelfden vorm 'zijn als de vergelijkingen (52); de normaalvergelijkingen voor A A, A B en A C hebben dus ook denzelfden vorm als (56), de gewichtsvergelijkingen blijven geheel dezelfde en ook de berekeningen van de middelbare fouten en van de som van de vierkanten van de schijnbare fouten blijven dezelfde als in § 241 besproken; voor de metingen Pl, p2, p„ treden de verschillen qx, q2, qn in de plaats en voor A, B en' G de correcties AA, A B en A G. § 245. Voorbeelden van indirecte waarnemingen met gelijk gewicht. La. Voor het onderzoek van het niveau van een waterpasinstrument zijn, bij de in de eerste kolom van nevenstaande tabel vermelde uitwijkingen van de bel, de in de tweede kolom vermelde aflezingen verricht 'op eene, op een afstand van 53,72 M. verticaal opgestelde waterpasbaak. i Met behulp van deze waarnemingen kan ook'de hoekwaarde van het niveau worden berekend (verg. blz. 376 en 377). , • Voeren wij voor de aflezing A bij inspelende bel en de hoekwaarde B van het niveau in lengtemaat op vde baak benaderde waarden in, dan kunnen wij stellen: A = 1224 -f A A m.M. B = 6+A B m.M.; de foutenvergelnkingen zijn dan van den vorm: x = q-— (A A-\-b AB); de grootheden q zijn opgegeven in de 4de kolom' van nevenstaande tabel en berekend uit de 3de kolom in verband met de benaderde waarden. De normaalvergefijkingen zijn van den vorm (zie ook blz. 376): «Ai =fa], \ ' m [bb]AB = [bq], j• • en in verband met de in de tabel berekende waarden voor [q], [bb] en [bq]: 11 Ai =- 2 * 110 A £ = + 39, Waarnemingen. Uitwijkingen Aflezingen Waterpasinstrument De Koningh Juni 1905. van de bel (ö) op de baak. j q 'b2 \ bq \ q2 + 5 1,255 •)! 1,254.1-.4-1 | 25 -f 5 1 + 4 1,249 j 1,248 j + 1- 16 | + 4 1 + 3 1,243 ■ ,|j 1,242 j -f-1. j 9 ' j + 3 1 + 2 1,237 i 1,236 !'+l-'| 4 1+2 1 + 3 1,231 '' I 1,230 f + lj 'l + 1 i O 1,224 • , j 1,224 j • 0-1 O . J O O — 1 J,217 1,218 —1 1 ! + 1 - 1 ■ — 2 1,211 ' 1,212 #| 4 I + 2. ) 1 — 3 1,205 1,206 | —1 ... -9 . +7 8 .1 , — 4 ,j 1,198 j 1,200 | —2 16 j + 8:M 4 — ö 1,192 1,194 1- ^-2 25 11 + 10 '^ .4 0 I —2 | 110 | +39 j . 16 . Hieruit volgt: A B = 0,355 m.M. en: B = 6,355 m.M. De hoekwaarde 11 in secunden is dan: 6j855 53720 X 2Q6265" = 24",4. Voor de berekening van de middelbare fouten is, zie (83) blz. 387, [x2] = [q*] — A A [q] — A B [bq]; AA en A-B volgen, in de metingen uitgedrukt, uit (90): zoodat dus: n " [bb] [x2] = [q*]. Ml [Qg]3 n [öbj of, na substitutie van de verschillende in de tabel voorkomende waarden: — 2 392 ' [^^16-ir--ïïö-' [z2] = 1,809. Voor de middelbare fout m in de enkele meting, zie (82) blz. 386, vinden wij: , [x2] 1,809 m2 = 0,201, m = 0,45 m.M. De middelbare fout MB in de hoekwaarde B volgt uit (68), zie blzl 381, MB = m V > en het gewichtsgetal Qaa uit de gewichtsvergelijkingen, verg. (65) blz. 380, ra Qi2 = 0, [bb] 022= 1; alzoo: en: ^=^—0,00183, j|fg = 0,043 m.M. De middelbare fout MH in de hoekwaarde H bedraagt dan: ^ _°_>043_ 6265", 53720 ^ ' ifH==0,"16. I.b. Voor hetzelfde niveau is het onderzoek nog op andere wijze ingericht (verg. § 20 blz. 24); terwijl de horizontale draad van het diafragma van den kgker op de middens van eenige centimeterblokjes werd ingesteld, is de stand van de bel tot op tienden van niveaudeelen afgelezen. In de nevenstaande tabel zün in de eerste kolom de centimetermiddens vermeld, waarop de draad werd ingesteld, in de 2de en 3de kolom de daarbij behoorende aflezingen van de t j Lt !lM.-20^ + 18i| p | t* tP *J - S 7 - 180,6 I - 176,6 - 4,0 I 75,69 j + 34,80 16,00 35 - 862 - 83,0 - 3,2 12,25 + 11,20 10,24 lin J + 8,8 + 0,2 2,56 + 0,32 0,04 + 6'.2+90,2! + 91,6 - 1,4 38,44 - 8,68 1,96 + 10,4 + 168,9 +167,2 + 1,71 108,16 + 17,68 2,89 + 14 3 +242J6 + 237,4 + 5,2 j 204,49 + 74,36 27,04 + 18,5 + 318,2, +313,0 + 5,21 342,25 + 96,201, 27,04 + 24,7! + 432,1 + 424,6 1 610,09 +185,26 ,_56,25 J^fé^l' "+983^ ' + 11,2 I 1393,93 | + 411,13 j 141,46 De. normaal vergelijkingen zijn alzoo: SA 4- 63,5 B= 11,2 , 63,5^ + 1393,93 5 = 411,13, en de gewichtsvergelijkingen: 8Qn+ 63,5 Q21=l, 8Q12+ 63,5 0^ = 0 63,5 Qn + 1393,93 Q21 = 0, 63,5 Q12 + 1888,98 = 1- De oplossing van deze vergelijkingen geeft: ^ = - 1,474^, £ = + 0,362/*; .Q11 = 0,1968, Q21=Q12=-0,00892, fe = 0,001124. De meest waarschijnlijke waarde van de lengte bij nul graden is dus: L0 - 1 M. — 21,47 p, die van de uitzetting per meter en per graad: « = 18,36 ft. De middelbare fout van de enkele metingen is: A / m * / m_ terwijl: [x*] = [p2] — [p] A — [tp] B = 141,46 + 16,509 —148 829 [x2]= 9,140; zoodat: m2 = 1,523, m = l,23,«. De middelbare fouten van L0 en « zijn resp.: ^=^ = «11/ Qn = 0,54ja, =Mtt = mV Qm = 0,0412ft. De meest waarschijnlijke lengte Lt van de staaf bij l graden is: L, = Lt + « < = 1 M. — 21,47 ^ -f t. 18,36 ,a. De middelbare fout daarvan wordt gevonden met behulp van de formule (88), blz. 391: hierin is : dLt _ dLt _ * dL„ ~ ' d«( ~ L : alzoo: v' Mh* = ™2 | Qu +1* + 2 bare fout de volgende waarden: t = —15 graden, MLt = 1,041 ft, t = + lQ graden, M, = 0 443 ü ~10 » 0,858, 15' „ ' 0,523,' v - o „ 0,688, 20 „ 0,661., ». 0,544, 25 „ 0 827 + 5 i 0,451, 30 „ 1,008.' Voor temperaturen van 5-10 graden blijkt deze middelbare fout de kleinste waarde te hebben. Gaan wij na voor welke waarde van t de waarde van Mh, of wat op hetzelfdè neerkomt, van MLf uit (95) minimum is, dan is dat voor die waarde tj waarvoor de eerste afgeleide van M,2 naar t gelijk is aan nul, of wel voor: 2^fe'+"2Qi-2=.-0,' , -alzoó voor: ■ fe Dit quotiënt kunnen wij berekenen uit de eerste vergelijking van het tweede stel gewichtsvergelijkingen, zie ook (94): »ï Qi2+ [flfe = 0; zoodat dus de bovenstaande waarde van tm is: L = O- = 7,9 graden. n De minimumwaarde van de middelbare fout, met behulp van (96) berekend, is: Mt minimum = 0,485/4. De lengte van de staaf .is alzoo het nauwkeurigst bekend bij eene temperatuur overeenkomende met de, gemiddelde waarde van de temperaturen waarbij de staaf is .vergeleken met den standaardmeter. Voor temperaturen, die van deze gemiddelde waarde veel afwijken, vooral wanneer de temperaturen gelegen zijn buiten de bij de vergelijking voorkomende, te de nauwkeurigheid veel geringer. , iv. Voor de bepaling van de constanten van een metaalbarometer (verg. § 188 e. v.)j zijn de aneroïdeaflezingen bij verschillende barometerhoogten en b£ verschillende temperaturen vergeleken met de aanwijzingen van een kwikbarometer. In nevenstaande tabel zijn onder t de temperaturen vermeld, onder A de aflezingen in m.M. van de aneroïde, onder B0 de op nul graden gereduceerde aanwijzingen van den kwikbarometer. ' i B„ B0 — A (A — 760) ' - 4,5 771,95 772,38 +0,43 + 11,95, — 0,6 742,10 741,56 —0,54 — 17,90 + 5,3 760,05 759,01 —1,04 . + 0,05 + 11,9 765,25 763,55 1,70 + .^25 + 17,9 771,60 769,28 — 2,32 .*+11,60 + 24,8 738,55 734,78 —3,77 —21,45 +54>8 — 8,94 —10,50 + 9'1 —1,49 — 1,75 De formule: , ^ B0 = A + a — b t + c (A — 760), (verg. blz. 257), waarin a de slandcorrectie, b de temperaümrscorrectie en c de verdeelingscorrectie voorstellen, geeft aanleiding tot de volgende foutenvergelijkingen: Xi = (Bol — Ax)— ja — txb + Ui —760)cj . . . (97). De waarden van (B0 — A) en van de factoren (4 — 760) zijn in de bovenstaande tabel berekend. De constante a heeft in de foutenvergelijkingen den factor 1, wij kunnen alzoo ter vereenvoudiging van de berekening de standcorrectie a elimineeren ' ' T § 242 blz- 888 389. De normaal vergelijking van a, uit de foutenvergelijkingen (97) opgemaakt, is: n a — [t] b + [A — 760] c = [B„ — A], waarbij n = 6 is, zoodat: LBc-4] W U- 760] n ^7rö~ -^H"C (98)- De coëfficiënten van de gereduceerde foutenvergelijkingen: ^-^-^-^_}_(4_^)t + ^_w_y=i!S!!!).j, die wij schrijven onder den vorm: n Qa — [t] §22 + [A — 760] §32 = O . . . . . . (106) en de 1ste voor c: n Qm — [<] §23 + U - 760] §83 = O (107) : Aangezien §21 = §12 en §3i= §i8, volgen de waarden voor §21 en §31 in (105) uit de waarden voor §12 en §13 resp. uit (106) en (107), wanneer in laatstgenoemde vergelijkingen de bovenberekende waarden voor §22, §52 = §23 en §38 worden gesubstitueerdWij hebben alzoo: — 8,94 - 54,8 —10,50 M a — _! -j— b -z— c = — 0,ooo m.M. 6 6 b '§12= +-5|8§224--^§32 = + 0I01504, §13 = + -^f- «23 + «33 = +0,001302, ten slotte: 1 ; 54,8 . . 10,50 noa,,, «11 = J H +-Qai^ g «bi= 0.32U4- Voor de foutenberekening hebben wij: \ 1 m en hierin: ' [x2] =f {an deze paragraaf. (* *) Deze berekeningen worden gecontroleerd door samentelling van de minuten in de verschillende kolommen: (zie de tabel op blz. 413). [XI] - [I] = lp], IXT] — [V] = [ff]; terwijl ook lp] + W = [2 3] en [j>] — [?] = [4 S]. Theodoliet Wanschaff 9 c.M. n°. 4 (Rijkscommissie voor Graadmeting). 15 Mei 1901. "•'■'I " MtJj "' | ' | ' | " |- " j «» j «m j „■ 1,;. ; „ . ' + ' U'b °'2 + 1.0 4 1,00 + 0,643 + 0,766 + 0 68 6^1 ' " 'K° ^ • +» + 0,7 0 0,49 + 0,700 0,000 + 0 84 tl2 9 29 ' ' +0'3 -°'4 -0'1 +°'7 1 0,49 + 0,689 - 0,122 0 2 0 Zll o +°'° ~°'8 -°'3 +°'3 9 0,09 + 0,282 - 0,103 'u h£ 1,0 800 1 1 0,9 — 02 0 9 n ± nn .0 „ „„ 30 1,1 1,0 810 1,8 18 -0 00 _0 0 n ^ ^ + ^ 40 0 7 ftK ' ' "O'1 "O'1 1 0,01 -0,077 + 0,064 -0,05 40 0 7 0,5 320 2,8- 2,4 - 0,2 + 0,1 -0,1 -0,3 1 0,09 - 0,193 + 0,230 ' -015 2» o°8 Sn '11;0 -0'8 °'° -0-8 -0'3 '9 °-09 -ii6° "°26° fS ou J-j^ 0,8 ö40 1,1 1,2 —04. _i_ n 1 n o nK „ 70 0 8 n« LKn ' :„ ' -0.3 - 0,5 9 0,25 - 0,171 +0,470 - 0,33 'u «,a 0,8 850 0,7 1,0 — 0 6 + n q n o „ „ . „ ' 1- _J _Z_ I ZL +0'3_ _ ' | Jl°f 4 0,64 - 0,139 + 0,788 - 0 41 ^ £g 23'8 % Ui TH -¥ +0,3 l,i" +^0- ~\ __l_ j__ -0,780 — 0,225 + 2,4 — 6,9 - — 4 5 + Q a ' I '°'J +».3 j + 6,180 + 8,574 I MÉTHODE DER KLÉINSTE VIERKANTEN. 12 3l2 20.25 8 [x2] = [(23)2] _ i_J_ = 1,29 - = 0,165 , zoodatv: j m^=^ = 0,0097, «V = 0',10. Met behulp van deze middelbare fout kunnen wij ook de middelbare fout berekenen in de enkele aflezingen; 2 S is namelijk berekend uit de som van p en q, drukken wij p en q uit in de aflezingen, dan is: 5l^*H3 2 5 = II— I — 180° + II' — I' + 180° en m2è2 = mu2 + mx2 -f- '%r2 + '%2Aangezien de aflezingen gelijke nauwkeurigheid hebben, is: mn = mir — "V = mi, zoodat: m2j2 = 4 m/. en : mof mT = —— - 0',0o. Met behulp van de waarden 4 e kan de lineaire excentriciteit CC' — e als volgt worden berekend. In driehoek CC' I is: e 'sin e G' I ^sin C'CI' nemen wij G' I gelijk aan den straal r (van het kleine verschil kan in een uitdrukking voor e worden afgezien), en vervangen wij sin e door boog e (de invloed van de exentriciteit is in den regel zeer klein); gaan wij verder na, dat hoek C' C'J gelijk is aan het verschil van de aflezingen in [de punten I en K van den rand, dus gelijk aan het verschil van de bogen ol en oK; noëmen wij die aflezingen I en K, dan is-dus C' CI = I— K en £ = — sin (I—K) . * (108) r de invloed van de exentriciteit uitgedrukt in boogmaat. hoorende waarden van 4 e uit de tabel de volgende foutenvergelijkingen samen te stellen: x0 =4e0 — (sin h .A-\-cosI0 . E), x10 = 4 e10 — (sin I10 .A + cos Iw . B), xm = 4 e170 — (sin Im. A + cos Im. B). Uit deze volgen de normaalvergelijkingen: [sin21]A4- [sin I cos I] B = [4 e sin I), [sin I cos I]A4- [cos21] B = [4 e cos I]. In deze vergelijkingen is: [sin2I] = j [1 - cos 2 I] = | [1] - g- [cos 2'I]. [1] is het aantal waarnemingen 4 e, stel dit = rc, dan is: 1 n . '¥[l]=2' aangezien de verschillende waarden van I gelijkelijk tusscben 0° en 180° en dus de waarden van 21 tusschen 0° en 360 verdeeld zijn, isj [cos 21] = 0. Evenzoo is:' [sin I cos I] = — [sin 21] = 0, en is: i n [cos2J] = -[l + cos21]~,/^7 De normaal vergelijkingen worden alzoo: — A = [i$sinl], 2 ' — B = [4 e cos 2]; 2 zoodat dus: n n De gewichtsvergelijkingen zijn: n en 4 fe = o, f fe =l. zoodat: MA=mvQn = m ^1 MB = m V Qf = w A/| • I De excentriciteit (110) wordt berekend uit: 4,o de middelbare fout daarvan is dus: r me — —fi- m ; 4 p y a*+b* ' stellen wij: VA* + W=*f{A, B), dan is de middelbare fout van l^A^A-B2, zie (88) blz. 891, te berekenen uit: t ; = np\(*lU>B)\*0 ldf (A,B)V df(A,B) df(A,B) . | hierin is: Qn=-, «22==-;, Qi2 = o, ' terwijl verder, df(A,B)_ A df(A, B) B dA " 1/^24752 ' dB ~ vf j¥qrg2 ' zoodat: S ( 2 _g2 O j O 27 en alzoo: r /% /• 2 m. — —— m \ / — ip Y n Wij vinden hier m, uitgedrukt in dezelfde maat als de straal r. Volgens (111) is: — B en, tevens gebruik makende van de boven gevonden vereen voudigingen: hierin is: dK 1 _ _B__ jfJT 1 — 1 ~dA~~, . B2 ' A2 eQ dB ~~ B2 ' A"' 1 + ~A2~ 1 + A2 na substitutie en ontwikkeling geeft dit: 2 1 ms2 — m1.—- 75 , —„ n A2 -\- B2 en: 1 \ I 2 mt — m — . _ \/ VA2 + B2 V n Deze waarde is uitgedrukt in analytische maat; m en V^A2 4- B2 zullen wij namelijk in dezelfde maat als 4e, dat is in minuten t uitgedrukt vinden. Aangezien de excentriciteit klein is, zal mK eene vrij groote waarde hebben, substitueeren wij namelijk voor \^A2 + B2 — ép— , dan wordt: r m r /» / 2 i-p e \ n m wordt wel is waar gedeeld door p = 3488', maar gaan wij na, dat de excentriciteit zelden meer bedraagt dan; 0,01 m.M., T dan is — bij een straal r = 4,5 cM. allicht meer dan 4500; wij zullen dus voor mK in den regel meerdere graden vinden; mv in graden is dan: 360° iÖPÉ waarin />° = —— = 57° ruim. Z ic De excentriciteit e is, (zie (110): en: 2 o Hierin is n = 18, dus: - • 6',130 = 0',681, S=~X 8',574 = 0',953 en: i/I^qrp = ri 7L De straal van de randverdeeling is 45 m.M., verder is: , 1 % — = 9,89794 —10 4 log r — 1,65321 , 1 log — = 6,46373 — 10 P log 1/ Ja -)- J52 _ o,06856 j loge = 7,58344 —10 zoodat: e = 0,0038 m.M. Blz. 415 (111) hebben wij gevonden: 4* Éi A en van de bekende punten P„. de benaderde plaats van het onbekende punt, P de meest waarschijnlijke^ plaats, dan zijn _P0Q - Ax en PQ = Ay de correcties, die' aan X0 resp T moeten wo-den aangebracht, om de meestwaarsGhijnlijke waarden van de coördinaten van het punt te geven. Nu is p, de waarde van het azimuth (richtingshoek) van de richting A,P welke waarde met behulp van de formule: X0 — Xi f*** t-ï{-(U3) (verg. § 110, blz. 139) kan worden berekend; ct' is het azimuth van'p6 riChting Van Uit Al naar de meestwaarschijnlijke plaats Uit de figuur volgt: Pi' = *f = -J^ -06265". P0B en QS zijn te beschouwen als cirkelbogen, beschreven resp. met AXP0 en AiQ als stralen. Aangezien A x en A x vergeleken met den afstand AXP, en daarmede overeenkomende afstanden, zeer kleine grootheden zijn, kunnen wij stellen: P0B= &xcos (115) sin ~j cos jfj (verg. § HO); zoodat dus: Y A X COS Ei A « «i» m *- = F -06265", * = Aj/sm^ 2Q6265„ i 2 + «2 A X + &2 A '7, _ _sm ?t cos ft 206265", i>i = - gt" e' "''i 206265", enz. . . (117) X„ - X, ïo — Yi of ook: et, =- Io~rt 206265", &! = - X°~ 1 206265", enz. . . . (118) Ook kunnen deze coëfficiënten worden berekend uit logarithmenverschillen, die tegelijk met de berekening van de azimuthen uit de formules (118) zijn op te schrijven. Teekent men namelijk aan bij de berekening van tg 2, de aangroeiingen A log (Xo — X,) en Alog(Y0 — Y,) voor éên meter resp. va/n log (Xo — Xi) en log(.Y0 — r"i) en de aangroeiing A log tg %\ voor één secunde van log tg t\, dan vindt men % en 6, uit: >A?og(X°-X!) Aiog(r.--i) enz (119) Alogtgti ' Alogtgti Ter nadere toelichting van dit laatste diene het volgende. Wanneer iog- (X0 — Xt + + 1 m.) geschreven wordt in den vorm: zo9 ^1 + "aöeWsinfl 008 fl) en de aangroeiing van log ig ?i: i" jr ^^=^6266""" Zoo is dan met 1 meter als eenheid van lengte en 1 secunde als eenheid der hoekmaat: Ai-gtXo-XQ = *yw» 2062-65", Alog tgP Xo — X, overeenkomende met de formule (117), waarin dan: a2 = -^206265», l% 1 _ f^h 206265». enz. Zijn nu de uit de metingen in de punten Ax, A2, A3 enz. afgeleide azimuthen (zie § 142 blz. 179): (AXP) = Ru (AgP) = P2, U3P) = i?3 enz., dan zijn de schijnbare fouten hierin: Xi = R1 — ()J; [a&] Aa-+[&6] Ay-=[6(P — f>)]. , De hieruit berekende waarden van A x en A y geven dan voor de meestwaarschijnlijke waarden van de coördinaten van P: xr = Xo + &x, r, = r0 +Ay; terwijl de middelbare fouten volgen uit de formules: MXv — MAx = mv Qn, Mrp = MAy = m]/ Q22; De gewichtsgetallen, die hierin voorkomen, vindt men uit de vergelijkingen: [aa] Qn + [ab] Q21 = 1, [aa] q12 4. [a&] q22 = 0, [ab] Qn + [66] Q21 = 0, [a6] Q12 -f [66] Q22 =- 1, de middelbare fout m in de enkele richting uit: V w — 1 terwijl daarbij: [~2] _ [(R-p)2] — A x [a(R — A2PAS, enz.: (92 — 91) + (a2 — aj) A x -f (b2 — 0l) A 2/, (Pa — Pa) — (as — ~i — (Pa - Pi) =Pl', a2~ai = ai', b2 - ^ = b/ p2 = (p3 - -2) =^ a3 - a2 = a2', &8 — b2 = 62; enz- enz. enz. S^s1^ tn:z tr j5olrr furm >ies (m,; ai8) - ^ x\ =Pi' — (%' A * -f b{ a y). ~2 = Pe' — (-2' a ~ -f 62' a y), xa =Ps' — (a3' A ~ -j- bs' a y), enz. Benoitnaalvergelijkingen hebben nu denzelfden Vorm als boven (WJ). Wat de foutenberekening aangaat, dient er op gelet te worden, dat hier het aantal onbekenden drie is, namelijk Ax, a-l6,vZ' Z00dat' bij' een richtingen gelijk aan n, dé middelbare fout in de enkele richtingsmeting volgt uit: m a/_kj_ v M —3 III. De metingen hebben plaats gehad in de reeds vastgestelde punten en m het onbekende punt. De benaderde coördinaten van het punt P worden berekend zoo mogelijk uit metingen in de reeds vastgelegde punten (ato zijnde deze de meest eenvoudige 'methode), of wel uit metingen m het punt P. Op de wijze hiervoren sub I en II aangegeven worden normaalvergelijkingen opgemaakt voor Ax en Ar zijn de metingen in P hoekmetingen, dan worden de overeenkomstige vergelijkingen eenvoudig samengesteld en dan daaruit de correcties Ax en Ay berekend; zijn in P richtingen gemeten, zoo moeten de volgens II & opgemaakte normaalvergelijkingen, alvorens deze bij de andere worden opgeteld, met 2 worden vermenigvuldigd. De meting namelijk voor eene richting van uit een der reeds vastgelegde punten naar het onbekende punt, kan altijd worden beschmiwd als het resultaat van de meting van één hoek als «x in figuur 140; deze meting heeft dus hetzelfde gewicht als een hoekmeting in hei-punt P. Van eene richting daarentegen bedraagt, wanneer de omstandigheden eenT.Ï T^r ' ^ h&t dubbete ™n <£- van twee 25 ë-JS 6en h°ek H -el«k ™ «et verschil van twee richtingen R2 en Px: H=R2-R. en zij de middelbare fout voor eene richting m, dan volgt (zie ook blz. 323) de middelbare fout mH voor den koek uit: mfi2 = m2-frf = 2_m2, de^chtin^en &We nauwkeurigheid hebben; noemen W1J h6t gewicht voor -en richtingsmeting g, dan is, aangezien de gewichten omgekeerd evenredig zijn met de vierkanten van de middelbare fouten, het gewicht van de hoekmeting \g. Bij de berekening van de middelbare fouten is hier, bij een totaal aantal metingen n, de noemer van de uitdrukking voor = b-W\ B-? \p' = B- en welke laatste met eerstgenoemde grootheden verbonden zijn door de betrekkingen, zie ook (50) • P{ = axA' + bxB + ClC', P2' = a2A' + b2B' + c2C', Pn' hebben resp. de waarden opgeleverd: pu p2 Pn, Ditma"al zulleQ wij onderstellen, dat de metingen niet met gelijke nauwkeurigheid hebben plaats gehad en dat'de gewichten voor de metingen resp. mx, m2 mn, dan vindèn wij voor de middelbare fouten MA, MB en Mc: ma2 = 0iV™i2 + gg*gmg + 4- g2 «n2m2; mb2 = ftW + ff-2Wm22-r- 4- g2B2mn2, Mc2 = g^y^m^+g^y^m^A- + gfvM2. Is nu verder de middelbare fout van de gewichtseenheid (i, dan worden bovenstaande vergelijkingen, aangezien: nii2 = ~ , m22 = m 2 _ Jfi -V=fi «rV2 4- 02 «aV 4-'- • . . 4- g„ «„V = [g »2] A2, 'mb2=z9iBi2M2 + ffsM*84" 4- * » * d» £TBS):"1' afStaDd 10 200 «Sen ^ ptaH£be7S V638 2w=1-7m-M- Welke waarde geheel'in overeenstemming is met de b« gebruik van boven™ noemd waterpasinstrument te bereiken nauwkeurigheid, 8 ïi=fi-fiU, B, C), j *2=Pa-/iiU, -B, C)r f (154) s„=pn — fn(A, B, G). ) Door het invoeren van benaderde waarden kunnen wij deze foutenvergelijkingen lineair maken. Stel namelijk: i = i,-)-Ai, B = B„ + AB, C=C + AC, waarin A0, B„ en C0 benaderde waarden zijn —die bijvoorbeeld te vinden zijn uit drie van de betrekkingen (153), waarin voor de grootheden P de metingen p zijn gesubstitueerd —; deze in (154) ingevoerd geven: Xi=Pi — AUo + A^L, B0+ AB, 0, + AC), x2=Pa — f% (4. + AA, B0+ AB, C0 4- A C), x„ = Pn — ƒ„U» + A1,5.+ A-B, C. + A C). Ontwikkelen wij bovenstaande „functies" volgens Tatlor en verwaarloózen wij de tweede en hoogere machten en de producten van de correcties AA, A B en A C, die uit den aard der zaak klein zullen zijn, dan worden de foutenvergelijkingen: Wl-AU., B0, C,-(f}&A + ^AB+ fc Ac), xn=pn~fn & % Q-(-g- A g + A B+ % A I Stellen wij nu: cZ/i dA | dfi \ d/g cZ/"2 , df2 I j»a-^U., B., C0) = g2)5I = «2,^=&2^c=C2' . . (166) pn-fAA0, B0, Q = o„, ^ = ^ = &»>dC = c»> ) log f„ log x log q log ~ log ~ 2,51465 1,68753 1,16534 3,17298 2,34596 1,52504 1,02531 3,01049 2,02098 1,40654 1,07918 2,89199 1,78398 1,31387 0,97313 2,79932 1,59864 1,23805 19,69897 2,72350 1,44700 x x2 f f2 1489,3 221,80 ! 1024,5 I 104,95 779,8 60,81 627,1 39,69 529,0 27,99 4449,7 455,24 7 x8 I , x* I x2 x8 I i *i logW loaT± \logvq l°9-^^mT,'l log — Q2 1,51894 0,69192 18,50130 2,67428 11,84726 3,00260 1,03147 0,04196 ; 3,04629 2,05678 j 1,06727 ! 2,09258 0,67597 9,56796 | 2,86316 1,75515 ! 0,64714 j 1,72632 0,39796 9,19728 ' 2,57177 1,37109 ! 0,17041 I 1,14354 0,17050 8,89400 , 1,14597„ 9,86947j 8,59297J 8,29194 X^' X* X2 X8 x* X* f8 fi f2 q f3 2 fï 2 f? «2 33,032 4,9194 | 3171,8 472,37 i 70,350 | 1006,00 10,752 J 1,1014 1112,5 113,97 j 11,675 | 123,76 4,742 0,3698 729,7 56,90 4,438 I 53,25 2,500 0,1575 373,0 : 23,50 j 1,480 13,92 1,481 0,0783 |—14,0 —0,74 —0,039 1 0,02 . 52,507 6,6264 j 5373,0 . 666,00 | 87,904 1196,95 De normaalvergelijkingen zijn dus: &A1 + 4449,7 . 2 A B + 455,24 A C = 5373,0, 4449,7 A i + 455,24. 2 A B + 52,507 AC = 666,00, 455,24 A4 + 52,507 .- 2 A -B + 6,6264 A C = 87,904 en: [>£2] = 1196,95 — 5373,0 A'l-666,00. 2 A 5 — 87,904 A G. De oplossing van deze vergelijkingen en de foutenberekening geven: A4--0,014, 2 A-B = — 0,484, A G = -f-18,05; MAA = 0,086, Jf8AB = 0,228, ifAC= 7,94; daarbij is [gx2].= 6,74 en dus: | „ = ^1 = 8,37, het vierkant ,a'2 van de middelbare fout van de oorspronkelijke gewichtseenheid is het 10000ste deel hiervan: ft'2 = 0,000337 en ^ = 0,0184. " De gevraagde brandpuntsafstand is: f = 337 — 0,24 = 326,76 m.M., en de middelbare fout van deze bepaling: Mf = 0,118 m.M. § 253. Directe waarnemingen met voorwaarden-vergelijkingen. Wanneer in een driehoek AB G de drie hoeken zijn gemeten, zoo zal in het algemeen de som der metingen niet gelijk aan 180° zijn; van'de drie metingen is ééne zoogenaamd overtollig. Bü het bepalen van de meest waarschijnlijke waarde van de drie hoeken, die wij van gelijke nauwkeurigheid zullen onderstellen, moet behalve aan de voorwaarde dat de som van de vierkanten der fouten eèn minimum moet zijn, ook worden voldaan aan de voorwaarde dat de som van de meest waarschijnlijke waarden 180° moet bedragen. Een dergelijk vraagstuk kan worden opgelost volgens de methode der indirecte waarnemingen: van de gemeten groot: Noemen wij de sluitingsfout van den driehoek 180° —px —p2 —Ps — r dan is: S=P2+~, terwijl door substitutie in (159) volgt: C=Ps+i- Wij vinden dus de meest waarschijnlijke waarden door aan iederen hoek eene correctie toe te voegen, die gelijk is aan Va tan de sluitingsfout van den driehoek (verg. § 125).' Wanneer het aantal metingen n groot, het aantal voorwaarden v daarentegen klein is, zoo zal het aantal onafhankelijke onbekenden n — v groot zijn; bij oplossing volgens de methode der indirecte waarnemingen is het aantal normaalvergelijkingen eveneens n— v en wordt dan de oplossing omslachtig; in een dergelijk geval is het meer' voordeelig de hieronder te behandelen methode der directe waarnemingen met voorwaarden-vergelijkingen te volgen. Voor eenigszins algemeene behandeling van de methode zullen wij onderstellen, dat voor n grootheden, waarvan de werkelijke waarden zijn Px', P2' Pn', door directe metingen met gelijk gewicht zijn gevonden de waarden ph p2 pn en de genoemde grootheden daarbij moeten voldoen aan eenige, bijvoorbeeld drie voorwaarden: zoo zal in het algemeen aan de vergelijkingen niet worden voldaan. Wij zullen, om rekening te houden met de gestelde voorwaarden, aan iedere meting eene correctie toevoegen; deze correcties, die wij resp. x1,x2, x3 xn zullen noemen, moeten dus voldoen aan de vergelijkingen: «i(Pi 4- x{) 4- a2(p2 4- x2) 4- a3(p34-x3) -fa,(p, + xn) = Bh h (Pi + xj) 4- b2 (p2 4- x2) 4- b3 (p3 + x3) 4- bn (pn 4- xn)=B2, »i (Pi 4- X]) 4- c2 (p2'+ x2) 4- c3 (p3 4- x3) + c- (Pn+x„) = Pg; Voorbeelden. I (zie ook I blz. 4431. In een punt A zijn tusschen de richtingen B, C en D de navolgende hóeken 'met de daarbh' gevoegde gewichten gemeten: BAG = 62°27' 5", gewicht 4, BAD = 104°26'36", „ 6, ' CAD = 41°57'54", „ 5. Gevraagd de meest waarschijnlijke waarde dier hoeken te berekenen. De gemeten grootheden moeten na correctie voldoen aan de voorwaarde: BAD 4- x2 = BAC-\- xx 4- CAD 4- x3. Hieruit volgt in verband met de metingen de voorwaardenvergélijking: xi — x2 + xs = r = 37". De normaalvergeiyking, verg. (172), is7 in verband met de gewichten: ~aa~\ „ — \K=r. m ' lillil • ' zoodat: K=Q0". "' De correlatenvergelijkingën zijn, zie (171): 4 xy = 60" Xi = 15" 6 x2 = — 60" en x2 — — 10" 5 x3 = 60" x3 = — 12"; de meest waarschynlyke waarden van de hoeken zijn dus: BAC = 62°27'20" BAD = 104°25'26" CAD 41°58' 6". II. Ook het vraagstuk II, blz. 444, kan volgens de methode der voorwaardenvergelijkingen worden berekend. Zooals uit het hieronder te bespreken voorbeeld is af te leiden, geeft de op blz. 444 e.v. behandelde vereffening aanleiding tot vier normaal- vergelijkingen en staan dan voor de berekening der meest • waarschijnlijke hoogten der verschillende punten, wat den omvang der berekening betreft, beide methoden ongeveer gelijk. In het geval voorgesteld in fig. m is dit' niet meer zoo. Van acht punten zijn langs dertien lijnen hoogteverschillen bepaald. Bij vereffening volgens „indirecte waarnemingen''' geeft het vraagstuk aanleiding tot zeven normaalvergelijkingen overeenkomende met zeven onafhankelijke hoogteverschillen tusschen acht punten, welke normaalvergelijkingen worden samengesteld uit dertien foutenvergelijkingen. Volgens de methode der „voorwaardenvergelijkingen" is de vereffening de volgende. Noemen wij de gemeten hoogteverschillen overeenkomende met de cijfers van de figuur hu H ft 13, de lengten van de gewaterpaste lijnen resp. lx, h hs 'en zijn de hellingen van de verbindingslijnen der punten als in de figuur door pijltjes is aangegeven. Voor iederen gesloten kring van het waterpasnet is eene voorwaarde op te: stellen: de algebraïsche som van de hoogteverschillen is gelijk aan nul. Bij dertien metingen voor zeven onbekenden zijn zes zoogenaamde overtollige metingen en zijn alzoo zes onafhankelijke voorwaarden voor de metingen op te stellen; het meest voor de hand ligt daarvoor te kiezen de voorwaarden behoorende bij de in de "figuur door romeinsche cijfers aangegeven kringen. Brengen vWij aan ieder der gemeten hoogteverschillen eene correctie aan en zijn deze correcties resp. xlt x2 x13, dan zn'n de voorwaarden voor de positieve hoogteverschillen: *i + %i + h + x3 = hz -f x2 , \ hi + %i + K -f x6 = h5 -j- x5 ,. I h + x-i + h + xg = h9 +' x9 , . f h + xo + ha-\-x9^-h10 + x10 = hn + xn, ■ • <173) ^2 + ^21 + ^6 + «6 = ftli + «11 + ftl2 + «12, I h + x1=hi-\-xi + hi ■\-x1 -f- hls + xm. J Hieruit volgen de onderstaande voorwaardenvergelijkingen voor " de correcties, welke vergelijkingen tevens gerangschikt zijn met het oog op het opmaken 'van de normaalvergelijkingen en van de correlatenvergelijkingën: Xi — x2 + xs ^ . . tü<\% . . k. .\'{, . =rit \ ' •||"-'-' Xi — xs + Xo • h \<+,i4 . = r2, J • • -^K?-' -«6 • Ü' • +x9 + x10 + xn .=^, . .(174) «2 • |)" • +Z6 • • — *U —«12 • ==^6, I xi • '• —xt . .,— ,x7 . |Jt . . — x13 = r6, | de tweede leden van deze voorwaardenvergelijkingen zijn: r1 — h2 — h1 — hs, ^ = hu —1 h5 — hg — h10, r2=hB — hi — h6, r5 = hn — h2 — her{-h12, r3 = h9—,h7— hs, r6 = hi —hx + h7 + hl3. Voor het opmaken der normaal vergelijkingen, zie (172) blz. 465, gaan wij na, dat de gewichten der hoogteverschillen omgekeerd evenredig kunnen worden gesteld aan de lengten der j 1 1 overeenkomstige gewaterpaste lijnen, de uitdrukking — , —fa ffl 92 enz. voorkomende in de normaalvergelijkingen zijn dus resp. Ik!-'' gelijk aan Zx, l2, . . . . De normaalvergelijkingen worden alzoo: + ?'i!JT1 . - . Éi . — h Ke = rlt \ ". 4- IV K2 . — h #4 + *6 K5 — h '2, . +r*Ks-k Ki . -h K6 = rs, . — Z6 K2— Z9 Es + l^u Ki 4-Zn Z5 . =r4, - Z2 JTi + Z6 K2 . + ZU li+CUs • ='5, . + Zj Zi —Z4 JT2—Z7 -Kg . . 4- Zi:ï3 K6 = r6, hierbij is: ZJ-^Zj-fZa + Zg, zy = Z7 + Z8 + Z9, l£:l = «5 + ^9 + ^10 + ^1 enz. Uit de normaalvergelijkingen kunnen de correlaten worden berekend ; deze in de onderstaande uit (174) samengestelde correlatenvergelijkingën gesubstitueerd, verg. (171) blz. 465, geven dan de correcties: £i= ZjZi + ZiZe, x6 = Z6Z2 + Z6ZB, xn= — Z11Z4—«n^B, «2 =— Z2Jf1 + ZoZ5, X1 = IrjKz — Z7-K6, «i2 =— ^12 -?5 f , X3 = l3Ki, Xg = Z8Z3, «18 = — «18-^6- Xi-= hK2— liKe, Xg = — IgKg+lgKi, «5 = ~ h %2 + «5 3*1 «10 = *10 #4- Qpwerfciwp/. De volgorde bij de opstelling van de voorwaardenvergelijkingen is niet onverschillig. Bij een vraagstuk, als ■hier besproken, waarbij eenige voorwaarden geheel onafhankelijk van elkaar zijn, is het zaak deze voorwaarden voorop te stellen; daardoor worden dan eenige coëfficiënten van de correlaten in de eerste en tweede normaal vergelijking (175) gelijk aan nul, waardoor de berekening aanmerkelijk wordt vereenvoudigd. Bij de oplossing nl. worden Kx uit de 1ste, K2 uit zoodat dus, na overbrenging van de tweede leden naar de eerste: ■[aa] Kx + [ab] Z2 4- [ac] Z3 4- [ap] — Bx = 0, j [ab] Kx 4- [bb] Z2 -f [bc] Z3 4- [bp] — B2 = 0, . . (185) [ac] Z1 + [bc]Z24-[cc]Z34-[cj5] —i?s = 0. J Ter eliminatie van* Kx, Z2 en Z3 passen wij weer de methode der onbepaalde coëfficiënten toe (verg. blz. 378); vermenigvuldig nl. de eerste vergelijking van (185) met eene-hulpgrootheid Lx, de tweede met L2, de derde met L3, sommeer dan de drie vergelijkingen en trek de som af van (184); stel nu na rangschikking de coëfficiënten van Kx, Z2 en Z3 in de verkregen uitdrukking gelijk aan nul, dan hebben wij: [al] — [aa] Lx — [ab\L2 — [ac] L3 = 0, j [bl] — [ab]Lx — [bb]L2 — [bc]L3 = 0, (186) [cl} — [ac]Lx — [bc]L2 — [cc]L3 — 0; } terwijl voor F overblijft: F = [lp] — [ap] Lx — [bp] L2 — [cp] L3 4- BXLX 4- B2L2 4- B3L3. Noemen wij: BXLX 4- B2L2 4- B3L3 = C, C is, dan eene constante waarde. Eangschikken wij de uitdrukking van F als hier volgt: F = C 4- (lx — axLx — bxL2 — cxL3) px 4+ (h — «2-^1 — b2L2 — c2L3)p2 4- 4- (ln — anLx — bnL2 — cnLs)pn; (187) dan komt, wanneer: lx — axZ/X — bxL2 — cxL3 = \ X4 Xi „ x, ' H *, *» *u *, *» *» «- *» *» '» ****** ** ******** ~r ! . ^ 1 , i ij .+ 1+1 +1 ... , ■ ■ ' 1' ;| -|_- | ■} : 2) . I j . +1 +1 +1 - ■ ' '' ' ' ' -' '— — '—>— - — — - ' 3) . J . i . . • • +1+1+1 ■ • ' j 'J ' 'I ' | I ' 7 i 1—' '— '—1 - ' 4) ' ... | . . .' +1+1+1 . I .j| • ' - .j • ■• ' ■ / . _j * I * ' |_J ~65 = ° »7 "7 77 77 : 7 ~|~: ^^|3j^~|IÏ!~~_' ^i. ^.J_^_- _:. i •1 • +46=0 - -- 17 + 1 + 1 + 1 . . . . | . . . i . . + 20 = 0 6) . • ,( ! j « | ~ 7 ] . ~ . . 71 •■! • ' • +1+1+1 • ! • ! • • . * . + 2 = 0 -v .■ i.l.i. . . +i!+i+i . . -4+2=0 8) I • • l_' 'Jj I I _ . i ' ' ' ~' I 1 . . . '}.'. . +1+1+1+41 = 0 9) I 1_ _1 U__ |__ , " • I . 1 I i ...0 = 0 io) +1 . . +1 . . +1 . . +1 . . +1 • ; |_ '\_ ; '_ __!_; I _ : - r~ +i+i . . - +i . . +i •• • « o = o io . +i . ; • • • • II . I . L_ - mr': +(M»-| 2,44101, — 7, FG=* 288,84, 2^45231, 2,45281,' 0, ' HK= 180,66, 2,25686, £ 2,25676, +10. Beschouwen wij de resultaten der lengtemetingen als van ge-. lijke nauwkeurigheid, hetgeen'in het algemeen -wel gewettigd is, aangezien de lengten der verschillende bases niet veel zullen uiteenloopen, dan hebben wij hier eenvoudig, zooals in § 125 is aangegeven, de som der verschillen, door drie gedeeld, als correctie aan ieder der log. overstaande zijden toe te voegen. Willen wij echter iets strenger te werk gaan en rekening houden met.het verschil in nauwkeurigheid der lengtemetingen, dan kunnen wij de middelbare fouten van de lengtemetingen, zie § 281, blz. 826, beschouwen als evenredig met den wortel uit de gemeten lengten en dus het gewicht omgekeerd evenredig met de lengte nemen; de meest waarschijnlijke) correctie, A l voor de logarithmen der overstaande zijden wordt dan: Hoek-j Gemeten 'I Gecorrigeerde I . ^^TT~~T Gemeten punt.! hoeken. hoeken. Utnen- zijden. a0 \ 205°42'55" 206°42'50" 'j 185°26'*7" j ak j 158°41'44" 153°41'39" 31° 9'37" j 224,82 -M. ae | 216°54'36" K 216°54'31" 4P51'16" ! 181,18 „ an 220°51'38" j 220cöl'34" 41°45'47" 77,15 „ ■at 74°16i 2" I 74'15'57" 82°37'21" 248,11 „ a5 275°53'29" ! 275°58'24" 386°Ö3'18" 181,86 „ 'aq r98°56'84" 98°56'29" 72°46'42" 176,90 „ I . 351°42'11" 1246°15'58" . 1: 1 . 166°15'24" ' 34" 7 5" | Hieronder zijn verder berekend de waarden van Isinx en Icosx, ter bepaling van de tweede leden rx en r2 van de norf maal vergelijkingen (194) blz. 492, terwn'1 tevens de gegevens voor de coëfficiënten der normaal vergelijkingen zijn Berekend. h . . h | k | h k h ■\ M ] "\ i ~~1 ~ logl 2,35184 ] 2,25811 j 1,88784 j 2,39465 ! 2,12011 12,24773 log sin « | 9i718S5 8,92750 | 9,82351 9,99689 | 9,59387„ 9,98008 log cos x 9,93233 I 9,99844 19,87268 | 9,10858 j 9,96367 9,47189 logl sin * j 2,06569 11,18561 1,71085 | 2,39104 | 1,71898„ 2,22781 log Icos x - 2,28417 j 2,25655 11,76002 ; 1,50323 j 2,08378 11,71912 kglsin2x 11,780 10,113 1,534 ' '2,387 I 1,808 2,208 log Isinx cos«, 1,998 11,184 . 1,684 1,500 1,678,, j 1,699 leg l cos2 a j 2,216 2,255 1,683 10,6i2 2,047 |l,191 l sin x Ica&a h + 116,38 +192,88 h + 15,88 +180,53 ls + 51,89 + 57,65 h +246,06, + 31,86 h — 51,76 +121,28 l„ + 168,97 + 52,37 [l sin x] = + 646,32 [l cos «J == + 635,97 X„ — X„== +646,16 F„ — Y„ = + 63§,18 r1==— 0,16 ?•«==+ 0,21 De coëfficiënten van de normaal vergelijkingen zijn hieronder becijferd: l sin2 x l sin xcosx l cos2 x 60 +100 164 1 + 15 180 . 84 + 88 43 244 g>h + 82 , ' 4 20 ggj - 48 in 161 + 50 16 [l sin2 «J = 520 [i sin x cos«]=+. 187 [l cos2 «] = 518 De normaal vergelijkingen zijn alzoo: 520 A'j + 187 K2 = — 0,16, ' 187 A'i + 518 A~3 = + 0,21. Hieruit volgt voor de correlaten: A'! = — 0.000521, K., — + 0,000594. De substitutie in, de'vergelijkingen (196a), welke berekening met de rekenliniaal kan geschieden, geeft dan: ^ j h k h h h 4 , ■ o rr ï I H lairfiaKx —0,031 —0,001 —0,0181 — 0,127 — 0,010 — 0,084 l sina cos 8_^ S-„ normaalvergelijkingen op te maken, waaruit de meest waar" «*ön^waarden van deze s-'v onbekenden volgen Te O Zie ook Bfllage Q. K. I. v. I. 1906.' 32 meest waarschijnlijke waarden van de overige v onbekenden zijn dan af te leiden met behulp van de v voorwaarden. In de meeste gevallen is de hieronder volgende methode gemakkelijker. Zijn A, B en C resp. de meest waarschijnlijke waarden van de onbekenden, dan geven de metingen p1}p2, . . . . . p„ de foutenvergelijkingen: x1=p1 — (.a1A-\-b1B-l~c1C), 1 , (198) Xn==Pn-(anA-\-bnB + cnC). ! Beschouwen wij de grootheden A', B' en G' als niet verbonden door de voorwaarden (197) en maken wij met behulp van de foutenvergelijkingen normaal vergelijkingen op, op gelijke wijze als in § 241 is geschied, dan zullen de waarden A0, B0 en Cu, die daaruit volgen, niet de meest waarschijnlijke waarden A, 5. en C opleveren, doch zullen daaraan nog correcties moeten worden aangebracht. De normaalvergelijkingen verg. (126) blz. 438 en de daarbij behoorende gewichtsvergelijkingen, verg. blz. 439 en 440 zullen zijn: [gaa] A0 + [gab] B0 + [gac] C0 = [gap], \ [gab] A„ + [gbb] B0 + [gbc] G0='[gbp], > (199) [gac] A0 + [gbc] B0 -f [gcc] G„ = [gcp]; ) [gaa] Qu + [9ab] Qn + [9™] Qsi = 1 > \ [gab] Qu + [gbb] Q21 + [gbc] Q31 = 0, [gac] Qn + [gbc] Q21 + [gcc] QS1 = 0; I [gaa] Qi2 + [gab] Q22 + [9ac] Q32 = 0, [gab] Ql2 4- [fl-bo] Q22 + [gbc] Qs2 = l, > • • • [f/ac] Q12 + [gbc] Q22 + [9'cc] Q32 = 0ï l [r/aa] Q13 + [gab] Q^ + [gac] Qm = 0, j [5 X 0,850 = - 0,644», 1,0 IV- 0,5 V + 1,5 VI = o,097 4- 0,5 X 0,850 2 + 0,328. Wh' voeren hier een dergelijke voorwaarde in als boven. Tellen wij nl. bij bovenstaande vergelijkingen op de vergelijking: 0,5 IV + 0,5 V + 0,5 VI = 0, dan gaan de normaalvergelijkingen over in: 2,0 IV — 0,5 VI = + 0,2165, + 1,5 V = —0,5445,' — 0,5 IV + 2,0 VI = + 0,328. Hieruit volgen: IV = + 0,"159, V = — 0,"863, VI = + 0,"204. De meest waarschijnlijke waarden van de richtingen zy'n alzoo: *4: 0° 0' 0,"159, 5: 40 21 57, 687, 6: 88 57 2, 204. De gewichtsvergelijkingen zijn nu: 2,0Q44 _0,5 - G»"8 8~' Q<* = ïï' Gs*'='9* = Of 065=056 = 0. 2 V64 =v OéG = jËT ) Voor de foutenberekening hebben wij in dit geval: [gx'*]B = 0,5 X 0,2892_|_ 0,0972 _l. 0,5 X 0,8502 — 0,2165 X IV -f + 0,5445 X V — 0,328 X VI en na substitutie van de berekende waarden voor IV, V en VI: [gx'% = 0,1002. De stationsvereffening voor het punt O komt geheel overeen met die voor het punt A. De meest waarschijnlijke waarden voor de richtingen in dat punt volgen op de zelfde wyze als boven: 7: 0° 0' 0,"225, 8: 40 5837, 054, 9 : 83 43 47, 722; terwijl de gewichtsgetallen zijn: Qn — , Osa = ij~; O99 = > de andere gewichtsgetallen zijn nul. Voor de foutenberekening vinden wij op gelijke wijze als bü A: [gx'\ - 0,0492. Voor het punt D komt de vereffening overeen met die van het punt B. De meest waarschijnlijke richtingen in dit punt zijn, 10: 0° O' 0,"048, 11: 48 42 26, 680, 12: 104 36 43, 277; en de gewichtsgetallen, zie ook bij het punt B: n 8 Sï 2 8"~ Vl010 = ltf' 9nii=-g-, 0l2 12 = 'jg-- Ou 10= Oio n = O, O1211 =.0ni2 = 0; / O12 10. = Oio 12 = pr; Voor de waarde van (gx'2]D vinden wij op dezelfde wijze als voor het punt B: [gx'"]è = 0,1127. . Met behulp van de waarden der hoeken berekend met de richtingen, zooals deze uit dit' eerste gedeelte der vereffening zijn verkregen, kunnen nu voor de netsvereffening de voorwaardenvergelijkingen overeenkomende met (205) worden samengesteld. De elementen voor deze samenstelling zijn hieronder verzameld. 1°. Voorwaarde: hoek 1— 3 82°42'30,"648 „ 4— 6 88 57 2, 045 7— 9 83 43 47, 497 „ 10—12 104 36 43, 234 S*7& 360 O 3, 424 * . Zjbcd 8, 860 + 0, 436 2°. en 3'. Voorwaarde: few 0,"809 sDAM 0,"852 hoek 1 — 2 48°17'49, 278 hoek 4 — 5 40°21'Ö7, 478 „ 5 — 6 48 35 4,567 „ 8 — 9 42 4510,668 96 52 54, 654 83 7 8, 998 iABM 1,"128 £BCM l/'071 hoek 7 — 8 40°68'36, 829 hoek 2—3 34°24'41, 370 ,, 11—12 55 5416,597 „ 10—11.48 42 26,637 96 52 54, 554 83 7 9, 078 96 62 54, 654 88 7 8, 998, • +0, 100 • —0, 080 Wat de vierde voorwaarde betreft, zou eene wijze van opstelling als op blz. 158 enz. besproken, bij het gebruik van logarithmen met zeven decimalen (daarbij voor de. grootheden A de aangroeiing van den log. sinus voor 1" nemende), voor de coëfficiënten der correcties in de voorwaardenvergélijking waarden geven, die, vergeleken met de coëfficiënten in de le—3e vergelijking, zeer groot zijn; daarom wordt in dit geval de volgende ontwikkeling toegepast: Is x" de correctie in secunden, die aan een hoek f moet worden aangebracht, dan is volgens Taylor : . S§. ,, x" d. log sin

log.sinus cotg. log.sinus cotg. hoek 1— 2 9,8730900 0,891 hoek 5— 6 '9,8750226 0,882 „ 4— o 9,8113520 1,176 „ 8— 9 9,8317666 1,082 ■ „ 7— 8 9,8167414 1,151 „ 11—12 9,9180856 0,677 „ 10—11 9,8758419 0,878 „ 2— 3 9,7521503 1,460 9,3770253 9,3770251 9,3770253 —2 en nu is: „ 206265" [0 ~2MxW==-°'"09b- Uit bovenstaande berekeningen volgen nu de voorwaardenvergelijkingen : — (1> +(3) — (4) +(6)4- + ~(2) 4(5) 1 —(6)4 — (2) 4(3) , 4(4) —(5) 4 - 0,891 (1) 4 2,351 (2) — 1,460 (3) — 1,176 (4) 4 2,058 (5) — 0,882(6) 4 , ~{7) +(9) —(10) 4(12)=4 0,"436, ■ (7) +(8) —dl) —(12)= 40, 100, 11K1,_ + ® -dO) .4(11) =-0,080, 1,151 (,) 4 2,233 (8) - 1JD82 (9) -0,878 (10) 4 1,555 (11) - 0,677 (12) = - 0, 095. Nu kan worden overgegaan tot de samenstelling der normaalvergelijkingen, verg. (218), die hier vier in getal zullen zijn, . en wel van den vorm: [a a] Z, 4 [b a] K2 + [c a] K3 + [d a] Z4 = rh [a b] Kt 4 [b b] K2 4 [c b] K3 4 [d b] Z4 = r2, [a c] Zj 4 [b c] K2 4 [c c] K3 + [d c] Z4 = r3, [ad]Z14[bd]Z24[cd]Z34[dd]Z4 = r4. Voor de berekeningen van de coëfficiënten dezer vergelijkingen moeten w« dus ook de grootheden a, b, c en d kennen; gemakshalve zullen, wij de gewichtsgetallen alle met 3 vermenigvuldigen; voor de grootheden a bijv. vinden wij: «i = a, X 8 Qn = — |j a3 = a3 X 8 Qm = 4 l, a4 = a4 X 8 Qu 4 ag X 8 Q64 = —1,2, Oq = ki X 3 Q46 4 a6 X 3 Qee. = 4 1,2, a7 = a7 X 3 8 Ki + 0,0940 A4 =+0,"436, ] 11,2Ag— 2,8 A8 + 1,5952A4 = +0, 100, ( — 2,8 Ag +11,2 A'8 — 2,0608 A4 = —0, 080, j (220) + 0,0940 A'i + 1,5952 A'2 — 2,0608 AV+ 85,9709 A4 = —0, 095. ) De oplossing van deze vergelijkingen, die op ongeveer dezelfde wijze als die op blz. 485 kan geschieden, geeft voor de correlaten: Aj = + 0,"04958, Ag = + 0, 00797, A3= —0, 00579, Z4 = —0, 008^6. Substitueeren wij deze waarden in de correlatenvergelijkingën (218) blz. 502, dan vinden wij voor de hulpgrootheden: [1] = — 0,"0385, [5] = + 0,"0066, [ 9] = + 0,"0591, [2] = — 0, 0103, [6] = + 0, 0447, [10] = - 0, 0408, [3] = + 0, 0488, [7] = — 0, 0536, [11] = — 9, 0191, [4] = — 0, 0513, [8] = — 0, 0055, [12] = + 0, 0599. ïen slotte vinden wij door substitutie van deze hulpgrootheden in de vergelijkingen (215) blz. 502, na afronding op drie decimalen, de correcties: 33 (li - — 0,"038, (5) = + 0,"013 , ( 9) ^ 4- 0,"0Ö9, (2) = —0,010, (6) = + 0,051, (10) = —0,041, (3) = 4- 0,' 049, (7) = — 0, 054, (11) = — 0, 038, (4) = — 0, 064, (8) = — 0, 006, (12) = 4- 0, 080. Deze correcties in de samenstellingen voor de voorwaarden, zie blz. 510 en 511, gesubstitueerd, geven voor de: lste voorwaarde: Jrffft hoek 1— 3 ( 82°42'30,"735 4— 6 • 88 57 2, 160 7_ 9 83 43 47, 610 „ 10—12 104 36 43,. 355 3,860 3,860 0 2de en 3de voorwaarde: eCWf 0,"809 £dam Ö,"852 hoek 1— 2 48°17'49, 306 hoek1 4— 5 40°21'57, 555 5— 6 48 35 4, 605 „ 8— 9 42 45 10, 733 9^"5254^"72Ö .H 83 7 9, 140 eABM 1,"Ï28 ^ bch 1,"071 hoek 7- 8 40°5S'36, 877 hoek 2- 3 34°24'41, 429 11-12 55 5416,715 "„' 10-11 48 42 26, 640 ^254/720 83 7 9, 140 4de voorwaarde: log. sinus. ( 1— 2) 9,8730901 log. sinus. ( 5— .6)-9,8750227 ( 4— 5) 9,8113522 „ „ ( 8— 9) 9,8317667 " " ( 7- 8) 9,8167415 „ „ (11—12) 9,9180858 l (10—11) 9,8758419 „ „ ( 2— 3) 9,7521505 ~9^3770257 . - 9,3770257 Yoor de foutenberekening hebben 'wij, verg. blz. 504: [gx"2] = r-Jtx 4- r-2fea + r3fcs + rih en na substitutie, daarbij in aanmerking nemende (verg. blz. 512) dat. ft = 3 Z: [gx"2] = 0,0696. Nu is, verg. ook blz. 499: [gx2] = [gx'2] A + [gx'2] B + [gx'2} c + [gx'2] D% [gx"2]; na substitutie van de op bladz. 508, 509, 510 en hierboven gevonden waarden wordt dan: [gx2] = 0,5408. ffj|| De middelbare fout van de gewichtseenheid volgt nu uit de formule (219) bladz. 505, waarin het aantal metingen n gelijk is aan 12; s-: het aantal onafhankelijke onbekenden, te weten 2 in erk der hoekpunten A. B, C en D, is 8; terwijl het aantal voorwaarden v gelijk aan 4 is. Alzoo is: § '259. Middelbare fout in eene functie van indirect waargenomen grootheden waartusschen betrekkingen bestaan. (*) Eene grootheid waarvan de juiste waarde F' is, is verbonden met grootheden waarvan A', B' en C' de juiste waarden zijn, dc-or eene lineaire betrekking, bijv.: F' = lxA' + l2B' + l3G'. De grootheden A', B' en ü', die indirect waargenomen kunnen worden, moeten voldoen aan bepaalde voorwaarden. (Eene niet lineaire functie wordt door reeksontwikkeling tot het geval voor eene ftraeaire.teruggebracht.) Zijn 1, S en C.de volgens de methode van § 257 berekende meest waarschijnlijke waarden van A', B' en C", dan is de meest waarschijnlijke waarde F van F': F=l1A + l2B + l3C. (221) In de onderstelling dat tusschen de grootheden A', B' en C' en de te meten grootheden P' dezelfde betrekkingen bestaan als sub (196) blz. 497 aangegeven, terwijl ook de voorwaarden waaraan A', B' en C', moeten voldoen door de vergelijkingen (') Zie ook Bijlage Q. K. I. v. I. 1906. (197) blz. 497 worden aangeduid, kunnen wij, op ongeveer gelijke wijze als in § 254 blz. 470, aan de hand van de ontwikkelingen in § 257 de volgende formules afleiden voor de berekening van de middelbare fout MF van F. Met behulp van de vergelijkingen: [aa] X14-fba]i2 = [az]> 1 ,2oo> [ab] L1 + [bb]i2 = [b«], $/ worden hutpgrootheden Lx en L% berekend, de coëfficiënten in het eerste lid dezer vergelijkingen zijn dezelfde als voorkomen in de normaalvergelijkingen (218) bladz. 503. Berekent men verder: \.t [J» Q] = h2 Qn + hh Qn + hh Qm + ) 1 + hhQi2-\-W %2 + ¥flfe+ (223) + hhQl3 + hhQ2S + W \„al Qn + [ab] Qlt +'[«„ = 1 l«te eindvergelükiutr. lste Btel éiBdyergeltjkingèo., ^-Wjj.M^ ËlS 7) + I3Ë ! i££ï i 0 _ [«« n [«"J „ 1 rt ^ 1 """ laa] f»! I [»«] [ V" [aal ~ [oo] ~ iaa] '14 + ,„„ W., = _ 52*j ^ _ [££) - , [aa] [aa] [aa] | a 6] |oc \ad\ Q,3 = — —- O-, - - «r, — - ft, [aa] " |aa] [aa] x'''' j O,, = -- ft, - k":|ft4- ^Qh . j v'4 [aa] v-4 laai V,u M ^ lste gereduceerde normaalveïg#lflkülg«n. j l8l> gereduceerde gewichts-vergelilkingw. (t! il l 1 [?'« S S t K *J*- *j = ? - lte 13 ! t» II 0é + l»c l] Qm + ffM lUft, = 1 i J 1 + (c C 1 6 + [cd 1 \ l) — co 1=0 1 — [CS II I6c 1! -I- \rr II O 4- \r,l 11 O _ 11 ,id i, b + 1,-d i! c + ,dd i,,7, _ \4 i\ m o [ _ y ïj J f»« J( g + f^e }1 $» * f*J }j §| Z ö Som van de vierkant.-!, der fouten. [66 1] ft, + [»« 11 fta + [6d H ft, = 0 _ ,6„ i, b - e* n r - ^ n ;> + fw ,] = M . ; [E Jj g + [y J| g + Mj^. = 1 U0ntn>1"- 166 1] ft, -I- |6<- 1] ft4 -f- [6d 1] ft4 = ö i,,„ 11 , , , [6c 1] ft4 + [cc 1| Ó,4 + [cd 11 Q., = 0 2de eindvergelijking. 2d« stel ..indvergelijkingen. Ji = _ l6cJJ,r _ [~rf-1J JJ + I^Ll1 | r [6c 1| [6dl| , 1 [66 1] [66 11 f [65 1] I . [66 ïj «■ = * : V» " ^ 9a + jM jj 166 1) !™ |66 11 *M 16c 11 [6d II U>4 = ü.„ — — ü.. [56 1| m [bb 1| v** 2de gereduceerde norn.aalvergeWcingo.,. 2de gereduceerde gewichts-vergelijkingen. L6d o] r ± rH SI n ~ \'',p 2' " 0 ; ~ f«» «I I» 21 + |cd 21^ = 1 [( d 2] < + [dd 21 7» - [dp 2] = rt . j - [a's 21 | [cd 2| fe! + W 8) ™ = rt Som van de viork. der fouten. — l/d< 2] C — [dp 2] I) -f- [c/, 2] = [aS? [.pè'2] ' Controle. - [c s 21 - M« 81 + Ft» 21 - r„ 91 f| + (cd 2] QM = u I i W « -I - [W ^1 |cd 2) ^ -f- [dd 2| = 1 :!,lr «indvergelöktag. 8de 3te] eindvergeipingen. ' cm •■' I .'{jd i a lc*2}a + 1 f^2] T(cc2| ; -,c,.2] ! ^ = -^2] ^+-|*c aj ' , [ed 2] , = - ,cc 2] y« 3de gereduceerde normaalveïgeliiking. 3de gereducèerde gewichts-vergelijking. m [dd. 3] Z> - [dp 8] = 0 ' : - [d.„ 8] I ' .• m „ g<4 _ j - « Som van de vieïk. dor fouten. - [d/, 91 ü +• | jip 31 = u*i i [p»8] j Contróle. - [ds 3] -f [ps 3] = [si 3] «de (laatste) eindvergelijking. 7) = ?! |A'31 I Wtste eindverae1itVinB c 1 |dd3J ! ptj | matste einaveigeHjkiug. <^44 = rjj- Som van de vlerkanten der fouten. 41 = |j-i | [ps 4] 1 Contróle. [ps 4J = |ss 4] [ab] | [ac] [ad] [ap] [as] log log log log + - — log -] [aa] [aa] [aa] [aa] [aa] [ab] [ab] , [ac] [ac] , [ad] [ad] [ap] [ap] , [as] [as] log — log — log — log — log — [aa] [aa] [aa] [aa] [aa] i _ [ab] [ac] [ac] [ad] [ad] [ap] _ [ap] [as] " [aa] [aa] " [aa] [aa] [ab] [ad] [ac] [ap] [ad] [as] " , [aa] " [aa] " [ aa] I foc] [aff] Jac] [as] [aa] " Jaa] [aft] [as] ■ [aa] ' • Touwen - | - - ' [6c 1] ' [bd 1] , [6p 1] . , (6s 1] loa — - log loa + lwJ + r'i'. ,, w* [66 1] [66 1] " T [66 1] j [66 lj [6e 1) [ooi] , [bdlUbdl] , [6pl][6pl] L [6sl][6sl] ^--766 11- ;' ~ » '• 109 ~ tWlT P ftsif- K [6c 1] [6£1] |6dl)[6pl] _ J[6pl]J5sl] [66 1] " [66 1] " [66 1] [6c 1] [bp 1] , [6dl] [bsl] " + [&6~i] " [66 1] [6c 1] [6»1] " [66 1] Vouwen ■- — [cd 2] [cp 2] , [cs 2] Joa _ i ioa + y-- log + —-J- [cc 2] [cc 2] [cc 2] [cd 2] [cp2] _ [^ntcsS] " + [cc 2] " [cc 2] [cd 2] [cs 2] " ' [cc 2] ~ 1 "Vouwen + [dd 3] / [Ai 3] Hulpblad a. ' _ ^[Saj , " [dd 3] Hulpblad K. . ïoa Q 1 2 3 4 1 I - ïogr ft i log ft2 Jc-a ftj | log ft4 j 2 [ log ft5 i /o;/ ft, Jog ft;i % a ft, toj/ ftt j' '«7 ft4 ioff log A' log B' log C' J log l>" de bekende termen en de contróle-termen met het teeken zooals zij voorkomen in het overzicht op bladz. 520a en evenzoo de waarden [pp], [p s] en [si]. Schrijf onder de coëfficiënten van de eerste vergelijking hunne logarithmen. Schrijf compl. log. van den eersten term op de aangeduide plaats in het schema en ook op een los strookje papier , op dit laatste als log. van het getal met het negatieve teeken. Leg het hulpblad A op het schema zoodanig, dat de getrokken „verticale" lijnen overeenkomen. . Tel de log. van het strookje op bij elk der log. van de termen der eerste -vergelijking van het schema en schrijf deze sommen op den bovensten regel van het hulpblad A. Tel de logarithmen van het hulpblad A op bij de daarboven staande logarithmen van het schema en schrijf deze sommen in de overeenkomende kolommen op het hulpblad (hierbij een regel overslaan op het hulpbl&d). Verschuif het hulpblad een kolom naar rechts en tel weder den bovensten regel bij de daarboven staande logarithmen van het schema en schrijf de sommen in de overeenkomende kolommen op het hulpblad. Verschuif het hulpblad weder eene kolom naar rechts, tel weder op, enz., totdat de eerste logarithme van het hulpblad opgeteld is bij de laatste van de eerste vergelijking van het schema. Zoek de getallen bij de logarithmen van het hulpblad A (uitgezonderd die van den bovensten regel) en schrijf deze getallen achtereenvolgens onder de coëfficiënten enz. van de tweede en verdere vergelijkingen in het schema, neem hierbij de logarithmen van kolom tot kolom, telkens van boven beginnende en schrijf de getallen achtereenvolgens 'op den tweeden regel onder de tweede en verdere vergelijkingen van het schema. Tel den tweeden regel bij genoemde vergelijkingen op bij den eersten. , De aldus verkregen getallen zijn de coëfficiënten enz. van de eerste gereduceerde normaalvergelijkingen enz., welke aan de contróle moeten voldoen op het overzicht onder deze vergelijkingen aangegeven. Vouw het hulpblad A op de aangewezen plaats om. Behandel de tweede vergelijking van het schema op gelijke wijze als de eerste en zet de reductie voort tot aan het einde van het schema, waar dan drie gelijke waarden van [xz] worden gevonden. Schrijf de Jaeide laatste logarithmen van elk der bovenste regels van ieder gedeelte van hulpblad A in liet schema op den regel onder de geblokte lijn, telkens in de laatste twee kolommen van iedere vergelijking — de laatste twee kolommen van hulpblad A blijven nu verder buiten gebruik. Schrijf de getallen welke bij de logarithmen van de laatste gereduceerde normaalvergelijking behooren in het schema onder de getrokken lijnen; schrijf deze getallen (volledigheidshalve) onder de optellijnen in het schema. Qu, D en D' zijn nu bekend: contröle D—D' — -f- 1. , Schrijf de logarithmen van Qu. IJ en D' op hare plaats op het hulpblad B. Leg het voorlaatste gedeelte van hulpblad A op hulpblad B zoodanig, dat de laatste twee kolommen van hulpblad A vallen buiten de geteekende kolommen van hulpblad B. Tel den bovensten regel van hulpblad A (waarin nu alleen , [cd 2] 9 [c c 2] voorkomt) °P biJ den ondersten regel van hulpblad B (log IJ') en schrijf deze som in de kolom voor 6" van het schema, Tel achtereenvolgens den bovensten regel (zie boven) van hulpblad A bij iederen volgenden regel van hulpblad B (resp. log I), log Qu) en schrijf de sommen in iedere van rechts naar links volgende kolom van de derde vergelijking van het schema (de kolommen resp. voor Ü en Q3i). Zoek de getallen bij de logarithmen in het schema, schrijf die in de kolom onder de getrokken lijn en tel dan op , clan zijn Qm, C en C' bekend: contröl C — C = -4-1. Schrijf log Q3i op het hulpblad B boven log Qu; schuif het hulpblad A nog een regel hooger, tel weer op en schrijf de som in het schema in de kolom voor Q33. ' ' Zoek de getallen bij de logarithmen van deze kolom en tel ' samen, dan is Q33 bekend. Schrijf log Q33, log Q3i, log O en log C' op het hulpblad B. Vouw het hulpblad A boven den bovensten regel van het tweede gedeelte om. Tel den bovensten regel van hulpblad A op bij de regels van hulpblad B van onder af en schrijf de sommen in de kolommen bij de tweede vergelijking van het "schema van rechts naar links (de kolommen resp. van B, B', Q24, Q28). Zoek de getallen bij de logarithmen en tel samen. Q2S, QM) B en B zijn'nu berekend: contröle B — B' = -f-1. Vul het hulpblad B aan met de logarithmen van de gevonden VOORBEELD voor de oplossing der normaalvergelijkingen, voor de berekening van de som van de vierkanten der fouten en van de gewi clitsvergelijkln gen. A B C D 3 -j- 247,17 i — 243,0» | — 247,0» + 203,(52 | — 39,77 j — 79,72 2,39300 | 2,38384,, 2,39278,, 2,30882 ! 1,59950» 1,90157» 7 60700 ! I ! J 9,20656 ! 9,60867 0 99500 6,95721» ' 0,32202,, 7.41702,, 8,91870 9,95748 7,83863 '■ 7,61256,, : 8,04510 : 6.40598 ! 9,50629,, I 0,1200*,. 7,47096 . 7,9023:! 7.60662,, ; 7,0352:! . 8,35557» ; 0,00372,, + 0,0040 _ L.. _ + 0,1009 j+ 0,322»' + 0,0010 - 0.0009 — 0,0002 ! — 0,0026 ! + 0,0829 I + 0.900, + 0,0069 : — 0,0041 + 0.0111 + 0,0003 j - 0,3208 I — 1,3203 + 0,0030 + 0,0080 — 0,0040 I + 0,0011 l_— 0,0227 !i — 1.00*1'. + 0.0149 ! + 0,0030 ; -f-o,ooo9 ! —0,0012 —o.io» : — 1,100 Qu On Oh ^ A' + 402,92 i + 305.09 ! 261,67 + 50,50 jj + 259,15 — 240,26 , — 243,57 , + 200,75 — 30,21 — 78,6» "+ 162,06 + 61,52 j — 00,92 + 17,29 j +180,55 2,21128 j 1,78902 j 1,78470» 1,23779 | 2,25680 7,78872 j L _ 9,02651,, | 0,04532,, 6,61487 i 5.97968 j 7,07468 8,57642,, 9,015H„ 7,19052 i 7,62306,, ] 5,98394» 9,08425 . 9,69864 + 0,0061 ; J j — 0,1003 I — 1,1100 + 0,0004 | + 0.0001 j + 0,0012 — 0,0377 — 0,4122 + 0,0016 — 0,0042 I - 0,0001 + 0,1214 + 0,4996 " + 0.0081 i — ,,,0041 -r 0.0011 — 0,023 j —1,02:'. Qa | + 36,61 i +178,87 — 23.27 ; + 23,04 j_- 6,54 — 68,29 ' +. 89V78 |~t^"~ 7,21 28,07- I + 1ÏÓ,58 1,95294 ; 0,85794,, 1,44824 i 2,04868 S.04706 ! ._' 9,49530» , 0,00074,, 5,31120 0,40620 7.90794,, | 8,94666» + 0,0111 ' - 0,3128 [ — 1,2324 + 0,(1000 + 0,000:: — 0,0081_ ■_— 0,0884_ + 0,0111 L i**0,OÖ08~ v- 0,321 — 1,321 + 506,50 ' - 9,75 ■ + 204,98 ~+~33S,70 -f 23,01 270,00 " — 22,82 + 6,48 -1- 67,62 " + 315,94 "~j~'+—29149. : + 3"'S,22 2,49880 ; 1,50174 2,64046 7,50120 ; 9,00294,, 0,04160,, f 0,0032 - 0.101 : — 1,101 •+- 0,0032 ~| — 0,101 — 1,101 0+1 J' "' + 115,63 i + 196.97 , + 839,88- — 6,40 ! — 12,83 i — 25.71 + 109,88 + 184,14 | -r 814,17 — 1,84 — 19.19 — 200.41 + 107.39 " -f- .104,9.5 : -f- 613.76 + 98,01 , -f 130,30 + 477,48 = -f 95,41 I '+ 95,41 j -T 95.43 9,-9988* . 9,99978 ! 9,91582» j 9,20056 9,50857 2,88068» 1 2,39256b 2,28464b i 0,80612» 1,41014» HH 2,38062,, 2.30860 l.nir,:S8 1.10*1.1» 2.30266 1.00034» j 1,81730 i ■■ 1,59840» 1,00135» ■■ Vouwen \. - 0,57774» ! 0,57348 ! 9,02051» I 0,04532» BH 1 30070» ' 1,35824» I 6,26430,, :' 2.30192,, WÊ 1 30250 0,81127 1.28311» 6.81553» i 1,83008 ■■ 11*3434,, ■ Vouwen --- - j - k 8,00500 | 9,49530» I 0,09074,, HJ 9,70294» i 0,94354» '; 2,13442» 09 0,35324 ; 1,58898» : 0,94808 I Vouwen -]' !' 9,00294» p 0,04106» 0,50408» ! 2,58212,, Hlll]l1»Ia«l A. 1.54340,, Hulpblad B. log g 1 2 S 4 1 8,17349 j 7,47712 i 7,83885 ! 7,07918» HJ 2 j 7,47712 ■ 7,90849 7,61278» ; 7,04139 , ■ 3 I 7,83885 : 7,61278» j 8,04532 i 6,4002o j H 4 | 7,07918» | 7,04139 j 6,40620 j 7,50120 \ H log A B I C D j 9,00000,, ! 8,36173» j 9,50651» : 9,00294» ' I log A' B' C" b' 0,04139 j 0,00988» | 0,12000» ; 0,04106» » I I 1 METHODE DER KLÉINSTE VIERKANTEN. ' o27 waarden van Q23 en Q24, tel den bovensten regel van hulpblad A hierbij op en schrijf de sommen in het schema. Zoek de getallen bij de logarithmen en tel samen, dan is Q22 bekend. Vul het hulpblad aan met de logarithmen van de gevonden waarden. Nu wordt de bovenste regel van het eerste gedeelte van hulpblad A op hulpblad B geplaatst enz. en het tefugsubstitueeren op gelijke wijze vervolgd, totdat alle onbekenden en gewichtsgetallen berekend zijn. No. 516. DR. CH. M. SCHOLS. Ü1METI en WATERPASSEN. NEGENDE DRUK. BEWERKT' DOOS F. X H. M. THYS, Civiel Inaenieur, • Lesnaar aan de Koninklijke Militaire Acaiemis. Met «en Atlas van 23 Platen ea «ene uitslaande plaat aan tut einde van dan tekst. BRBDA. DE KOSUsKLIJXE MI4T^0)^p£DEMIE. 1 9,1 2. (Ongewijzigd Iierörukt>ï« 1919). w LANDMETEN EN WATERPASSEN. No. 516. DR. CH. M. SCHOLS. NEGENDE DRUK. BEWERKT DOOR F- J. H. M. THYS, Oiriel-Ingenieur, mr aml "e Koninklijke Militaire Academie. Met een Atlas van 23 Platen en BREDA. ^ AQZÜiraa/Jo MILITAIRE ACADEMIE. 19 12. (Ongewijzigd herdrukt in 1919). KOKINKLWKE BIBLIOTHEEK De cursus m Landmeten en Waterpassen, in hoofdzaak samengesteld naar de voordrachten door mij gedurende zes jaren aan ae Koninklijke Militaire Academie te Breda gehouden, bevat een kort overzicht van de thans meest gebruikelijke instrumenten en mjzen van opnemen. In de eerste plaats geschreven als hand-' teidtng voor het onderwijs aan genoemde Academie, konden enkele onderwerpen, zooals het vereffenen der routen, de nauwkeurigheid der metingen, enz., daarin slechts zeer kort of in het geheel niet oehandeld worden, omdat de grondslagen, waarop die behandeling zou moeten berusten - de waarschijnlijkheidsrekening en de methode der kleinste vierkanten - in het leerplan der Academie met zijn opgenomen. Alleen in die gevallen, waarin eene vereffening der fouten absoluut noodzakelijk is, zooals bij de drie-' hoeks- en de veelhoeksmeting, zijn eenvoudige handelwijzen aangegeven, om bij benadering tot dat doel te geraken. Hierachter volgt eene opgave van de voornaamste werken die bij de samenstelling van dezen cursus geraadpleegd zijn en waarvan de studie kan aanbevolen worden. De colleges van mijn vroegeren leermeester, wijlen professor „■ L; GoHEN Stuabt, en de herhaalde besprekingen met Z.H.G. zijn met zonder invloed op de samenstelling van dezen cursus gebleven. De grooie belangstelling, die hij bij voortduring in het welslagen van het door mij ondernomen werk toonde, doet het mij betreuren, den nu voltooiden arbeid niet meer aan zijn oordeel te kunnen onderwerpen. CH. M. SCHOLS. DELFT, 1878. Voor den achtsten druk is de- volgorde, zooals deze door de Bewerkers van den 6*» en den 1*™. druk was gekozen, behouden. Wijzigingen van meer of minder belang zijn vooral aangebracht m de paragrafen -5, 7, 10—13, 20, 23, 31, 34 38 39 48 49, 54, 55, 68, 72, 80, 83, 93, 121, 123, 125, 150, 162 ' 177,' 184, 197 en in verband hiermede zijn eenige figuren toegevoegd1 vervangen, gewijzigd of weggelaten. De ondergeteekende, die langen tijd onder leiding van wijlen Prof. Schols werkzaam was en nog vol eerbied voor.de buitengewone geestesgaven en de veehmvattende kennis van den grooten wiskunstenaar en geodeet tot hem-opziet, hoopt bij zijn werk zooveel mogelijk in den geest van wijlen den Schrijver gehandeld te hebben. Verschillende wijzigingen danken hun aanzijn aan besprekingen die ondergeteekende met Prof. Heuvelink in de jaren 1897-1902 mocht hebben. Aan het einde van Hoofdstuk Villis, als uitbreiding van % 82 aan de hand van een negental figuren besproken eene bepaling van de fouten in het prisma van Bauernfeind. Het onderzoek naar eene methode voor nauwkeurige bepaling dier fouten, heeft gedurende vele jaren voor wijlen Prof. Schols een onderwerp van studie uitgemaakt, waaraan Z.H.G. gedurende de weinige vrije oogenblikken, die zijn veel omvattende werkkring hem liet met bijzondere voorliefde arbeidde. Aan de meest eenvoudige resultaten van deze studie is in het „Landmeten en Waterpassen van Schols" eene kleine plaats gegeven. Bij de samenstelling van plaat XVI, behoorende bij eene aan de detailmehng volgens de coördinatenmethode gegeven uitbreiding is een dankbaar gebruik gemaakt van een „veldwerk" mij in 1901 door den (toenmaligen) Landmeter pte u. in Ned.-Indië L* PoLDERMAN> *«r kennismaking met de bij het kadaster m Inclie meest gevolgde methode van detailmeting, welwillend ter hand gesteld. Het Hoofdstuk over Phologrammetrie is in den achtsten druk weggelaten, om meer plaats te maken voor een Aanhangsel, handelende over de „Methode der kleinste vierkanten". Werd in 1878 door wijlen den Schrijver reeds betreurd, dat onderwerpen als „de vereffening der fouten en de nauwkeurigheid der metingen enz." niet behandeld konden worden, zoo behoeft het niet meer betoog, dat nu, ongeveer 30 jaar later, bij de steeds zich uitbreidende toepassing van de methode der kleinste vierkanten, de noodzakelijkheid zich sterker deed gevoelen van eene, zij het ook korte, bespreking dier onderwerpen bij de „Handleiding voor Landmeten en Waterpassen". Aan de hand van eenvoudige onderstellingen omtrent de samenstelling van waarnemingsfouten, zijn eenige stellingen van de „Foutentheorie" bewezen en is het grondbeginsel van de „Methode der kleinste vierkanten" afgeleid; eenige hennis van de „Waarschijnlijkheidsrekening" is daarbij vooropgesteld. Bij de afleidingen is in hoofdzaak gevolgd het dictaat door wijlen Prof. Schols in zijne colleges gegeven; eenige moeilijkheden bij de meer strenge afleiding, welke moeilijkheden door wijlen Prof. Schols op zoo uitnemende wijze zijn opgelost in: „Over de fouten in de ruimte en in. het platte vlak" (*), zijn hier door bijzondere onderstellingen omtrent de samenstelling en de grenzen der waarnemingsfouten ontgaan. By de samenstelling is verder gebruik gemaakt o. a. van bijlage Q van het blijvend gedeelte van het Jaarboekje van'het Koninklijk Instituut van Ingenieurs, bewerkt door Prof. Schols , naar deze bewerking het laatst in 1903 uitgegeven en herzien door Prof. Heuvelink in 1906. In navolging van de herziening door Prof. Heuvelink, zijn ook de berekening van de middelbare fouten van de resultaten bij vereffening met voorwaardenvergelijkingen en de meth'ode van de indirecte waarnemingen met voorwaardenvergelijkingen besproken. Bij de behandeling van de oplossing der normaalvergelijkingen volgens Gauss in de § § 260 en 261 zijn het „Overzicht", hel „Schema", het „Voorbeeld", en de daarbij gevoegde toelichtingen, grootendeels overgenomen uil een door Prof. Heuvelink ten behoeve van de berekeningen voor de Rijkscommissie voor Graadmeting en Waterpassing samengesteld overzicht dier oplossing; voor de daartoe welwillend verstrekte vergunning bied ik Z.H.G. by dezen mijn welgemeenden dank. Breda, Maart 1908. F. j. H. M. THYS. O Verhandelingen van de Kon. Akad. v. Wetenschappen, Deel XV. Amsterdam. 1875. LITERATUUR-OPGAVE. Dr. C. M. v. Bauernfeind. Elemente der Vermessungskunde. 7e Aufl. Stuttgart. 1890. Jordan—Keinheitz—Eggert. Handbuch der Vermessungskunde. Erster Band. Ausgïeichungs-Rechnung. nach deiMethode der kleinsten Quadrate. 6» Aufl., bearbeitet • von Dr. O. Eggert. Stuttgart. 1910. Zweiter Band. Feld- und Landmessung. 7c.Aufl. bearbeitet von Dr. O. Eggert. Stuttgart. 1908. Dritter Band, Landesvermessung und Grundaufgaben der Erdmessung. 5' Aufl. bearbeitet von Dr. C. Reinhertz. Stuttgart. 1907. Hartner—Dolezal. Hand- und Lehrbuch der niederen Geodasie. 10' Aufl. Wien. 1910. Dr. Ch. A. Vogler. LehrbuclTder Praktischen Geometrie. Erster Teil. Vorstudien und Feldmessen. Braunschweig. 188o. Zweiter Teil. Erster Halbband. Anleitung zum Nivellieren oder Einwagen. Braunsch wei'g. 1894. Dr. Ch. A. Vogler. Geodatische TJebungen für Landmesser und Ingenieure. Erster Theil. Feldübungen. 3» Aufl. Berlin. 1910. Zweiter Theil. Winterübungen. 2' Aufl. Berlin. 1901. Dr. Ch. A. Vogler. Abbiidungen geodatischer Instrumente. 36 Lichtdrucktafeln nebst Text.\ Berliu. 1S92. O. Brathuhn. Lehrbuch der praktischen Markscheidekunst. 4° Aufl. Leipzig. 1908. c P. Uhlieh. Lehrbuch der Markscheidekunde. Freiberg in Sachsen 1901. W. E. A. von Schlieben. Vollstandiges Hand- und Lehrbuch. der gesammten Landmesskunst mit besonderer Berücksichtigung der preuss. Verm..Vorschriften : Kat. Anw. VIII und IX vom 25 Okt. 1881. 9° Aufl. Halberstadt und Leipzig. 1896. E. Thiéry. Des iristruments topographiques. Description, réglage et méthodes d'observation. Paris. 1900. Ch. L. Durand—Claye, A. Pelletan et Ch. Dallemand. Lever des plans et nivellement. Paris. 1889. A. Pelletan. Traité de topographie. Deuxième Edition. Paris. Ilf* ' ' 19n- Dr. W. Jordan und K. Steppes. Das Deutsche Vermessungswesen, Stuttgart. 188*2. De meetinstrumenten in gebruik bij den Topographischen Dienst in Nederlandsch-Indië. Samengesteld bij de VII?0 . Afd. van het Départ. v. Oorlog. (Onderafd. Topographische dienst). Batavia., 1893. Algemeene Instructie voor de ambtenaren van het kadaster, 's Gravenhage. 1900. Handleiding voor de technische werkzaamheden van kadastrale hermetingen, 's Gravenhage. 1902. A. Soutendjjk. De hypothecaire en kadastrale boekhouding en die der schepen en vaartuigen in Nederland, omgewerkt eh aangevuld door J. Mulder. Tiel. 1902. M. de Vos. Het kadaster en de boekhouding op de hypotheken. Groningen. 1902. Tijdschrift voor kadaster en landmeetkunde. Utrecht. 1885 en volgende jaren. F. Lorber. Ueber die Genauigkeit der Langenmgssungen mit Messlatten, Messband, Messkette und Drehlatte. Wienj 18.77. H. Herman. Zeevaartkunde. Den Helder. 1902. Dr. P. J. Kaiser. Theorie en beschrijving der thans bij de Nederlandsche Marine in gebruik zijnde zeevaartkundige werktuigen. Leiden. 1897. Die Instrumente der trigonometrischen Abtheilung der Landesaufnahme. Berlin. 1897. Zeitschrift für Vermessungswesen; im Auftrag und als Organ des Deutschen Geometervereins. Stuttgart. 1872 u. ff. Zeitschrift für Instrumentenkunde. Organ für Mittheilungen aus dem gesammten Gebiete der wissenschaftlichen Technik. Berlin. 1881 u. ff. F. G. Gauss. Die trigonoraetischen und polygonometrisehen Rechnungen in der Feldmesskunst. 3e Aufl. Hallef a. S. 1906. F. G. Gauss. Die Teilung der Grundstücke, ins besondere unter Zugrundelegung rechtwinkliger Koordinaten, nebst' 4-stellige log. und trigon. Tafeln. Berlin. 1909. Dr. Ch. A. Vogler. Grundlehren der Kulturtechnik. Berlin. 2" Aufl. 1899. Anweisung (IX) vom 25 Oktober 1881 für die trigonometrischen und polygonometrischen Arbeiten bei Erneuerung der Karten und Bücher des Grundsteuerkatasters. Berlin. 1881. Anweisung (VIII) vom 25. Oktober 1881 für das Verfahren bei Erneuerung der Karten und Bücher des Grundsteuerkatasters. Berlin. 1882. Mittheilungen des K. K. MilitairGeographischen Institutes. Wien. 1881 u. ff. W. Jordan. Ueber die Genauigkeit einfacher geodiitischer Operationen. Zeitschrift für Mathematik und Physik. Herausgegeben von O. Schlömilch, E. Kahl und M. Cantob. Leipzig. 1871. Jahrgang XVI, S. 397 u. ff. Fr* B. Helmert. Studiën über rationelle Vermessungen. Leipzig. 1868. Zeitschrift, als boven. Jahrg. XIII, S. 73 u. ff. C. M. Goulier. Études théoriques et pratiques sur les levers topométriques et en particulier sur la tacliéometrie. Paris. 1892. Bruno Schulze. Das Militarische Aufnehmen. Leipzig und Berlin. 1903. M. de Vos. Leerboek der lagere geodesie". Groningen. 1905. Dr. W. Jordan. Hilfstafeln für ïachymetrie. 4' Aufl. Stuttgart 1908. Dr. F. Beger. Tachymetertafeln als Erganzungen derv Jordanschen „Hilfstafeln für Tachymetrie". Stuttgart. 1910. J. J. Bayer. Nivellement _ zwischen Swinemünde und Berlin. Berlin. 1840. G. Fuss, A. Sawitsch und G. Sabler. Messungen zur Bestimmung des Höhenunterschiedes zwischen dem Schwarzen und dem Caspisdien Meere. St. Petersburg. 1849. C. M. v. Bauernfeind. Ergebnisse aus Beobachtungen der terrestrischen Refraction. Erste Mitteilung. Abh. d. k. bayer. Ak. d. Wiss. II. Cl. XIII. Bd. III. Abth. München. 1880. C. M. v. Bauernfeind. Ergebnisse aus Beobachtungen der terrestrischen Refraction. Zweite Mitteilung. Abh. d. k. bayer. Ak. d. Wiss. II. Cl. XV. Bd. I. Abth. München. 1883. C M. v. Bauernfeind. Ergebnisse aus Beobachtungen der terréstrischen Refraction. Dritte Mitteilung. Abh.' d. k. bayer. Ak. d Wiss. II. Cl. XVI Bd. III. Abth. München. 1888. Staiupfer—Dolezal. Theoretische und praktische Anlèitung zum Nivelliren. 10* Aufl. Wien. 1902. C. Fietsen. Nivellierkunst. Anlèitung zum Nivellieren. 6' Aufl. .. Leipzig. 1908. H. Hartl. Die Höhenmessungen des Mappeurs. Anlèitung zum trigonometrischen und barometrischen HÓhenmessen. 2" Aufl. Wien. 1884. Wfflk-. Th. Bleckmann en E. Steuenvald. Nota omtrent verrichte waterpassingen over breede stroomen. Notulen deivergaderingen van het K. Instituut van Ingenieurs, 1867—58, bladz. 104. E. Steuerwald en J. M. F. Wellau. Waterpassingen over de Westerschelde, van Vlissingen naar Breskens en van Neuzen naar Ellewoutsdijk. Verhandelingen van het K. Instituut van Ingenieurs, 1860—61, bladz. 22. H. F. Beijerman en W. -de Man. De overbrenging van het Amsterdamsche peil naar Texel en Vlieland. Vei handelingen van het FL Instituut van.ingenieurs. -1878—79, bladz. 1. L. Cohen Stuart, H. C van de Sande Bakhuyzen en (*. van Diesen. Uitkomsten der Rijks waterpassing 1875—85. 's Gravenhage. 1888. Lijst van de lijnen der nauwkeurigheidswaterpassingen verricht in 1886 en. 1887. 's Gravenhage. 1890. Hoogte van verkenmerken ' volgens N. A. I'., gevonden bij de nauwkeurigheidswaterpassingen en de waterpassingen van den Algemeenen Dienst van den Waterstaat. (Voor iedere provincie afzonderlijk), 's Gravenhage. 1906. (Metjaarlijksche lijsten van vastgestelde wijzigingen). Hoogte van verkenmerken volgens N. A. P., gevonden bij de verspreiding van het N. A. P. door den Rijkswaterstaat, 's Gravenhage. 1898. Dr. P. Sclireiber. Handbuch der barometrisrhen Höhenmessungen. Weimar. 1877. Dr. C. Jelinek. TJeber die Constanten der Aneroïde und über Aneroïde mit Höhenscalen. Sep. Abdr. a. d. Sitzb. der k. Akad. der Wissensch. B. LXXH. Abth. II. Dec. Heft. Jahr. 1875. Wien. 1876. Dr. C. Koppe. Die Aneroïd-Barometer von Jacob Goldsohmid und das barometrische Höhenmessen. Zürich. 1877. Dr. H. Schoder. Hülfstafeln zur barometrischen Höhenbestimmung nebst einer Anlèitung zur Untersuchung und zum Gebrauch der Pederbarometer. Stuttgart. 1874. J. Höltschl. Das Höhenmessen mit Metall-Barometern Wien 1870. J. Höltschl. Die Aneroïde von Naudet und von Goldschmid Wien. 1872. Dr. W. Jordan. Barometrische Höhentafeln für Tiefland und für grosse Höhen. Hannover. 1896. C. M, v. Bauernfeind. Neue Beobachtungen üfce- die tagliche Periode barometrisch bestimmter Höhen. Abh. d. k. bayer. Ak. d. Wiss. II Cl. XIV. Bd. III. Abth' München. 18S3. Dr. Ch. A. Togler. Anlèitung zum Entwerfen graphischër Tafeln Berlin. 1S77. Dr. Ch. A. Vogler. Graphische Barometertafeln. Bra'unschweig 1880. Dr. C. Koppe. Die Photogrammetrie oder Bildmesslmnst Weimar 18S9. F. Steiner. Die Photographie im Dienste des Ingenieurs Wien 1891—1894. F. Schiffner. Die photograptiische Messkunst. Halle. 1892. Ed. Dolezal. Die Anwendung der Photograpbie in der praktischer! Messkunst. Halle. 1896. A. Sehell. Der photogrammetrischè Stereoskopapparat. " Wien■' 1904. O. Hagen. Grundzüge der Wahrscheinlichkeitsrechnung Berlin 1837. Laplace. Théorie analytique des probabilités. Nouvelle édition Paris. 1847. Dr. A. Sawitsch. Die Anwendung der Wahrscheinlichkeitstheone auf die Berechnung der Beobachtungen und geodatischen Messungen oder die Methode der WÉÉ) kleinsten Quadrate. Deutsch bearbeitet von C. G. Lais. Mitau und Leipzig. 1863. S. F. Lacroix. Traité élémentaire du calcul des probabilités. 4e Edition. Paris. 1864. H. Laurant. Traité du calcul'des probabilités. Paris. 1873. J. B. J. Liagre. Calcul des probabilités et théorie des erreurs. Paris—Bruxelles. 1879. Dr. A. Mey'er. Vorlesungen über Wahrscheinlichkeitsrechnung. Leipzig. 1879. J. Bertrand. Calcul des probabilités. Paris. 1889. • H. Herz. Wahrscheinlichkeits- und Ausgleichungsrechnung. Leipzig. 1900. N. C. Grotendorst. Beginselen der waarschijnlijkheidsrekening en van de theorie der fouten. 2"c druk. Breda. 1910. J. Kozak. GTundlehren der Wahrscheinlichkeitsrechnung als Vorstufe für das Studium der Fehlerausgleichung, Schiesstheorie und Statistik. Wien. 1912. Chr. L. Gerling. Die Ausgleichungs-Rechnungen der practischen Geometrie, oder die Methode der kleinsten Quadrate. Hamburg und Gotha. 1843. Ch. Fr. Gauss. Méthode des moindres carrés, traduit par J. f Bertrand. Paris. 1855. Ch. Fr. Gauss. Abhandlungen zur Methode der kleinsten Quadrate. In" deutscher Sprache herausgegeben von Dr. A. Börsch und Dr. P. Simon. Berlin. 1887, Dr. Ch. A. Vogler. Grundzüge der Ausgleichungsrechnung. Braunschweig. 1883. Dr. C. Koppe. Die Ausgleichungsrechnung nach der Methode . der kleinsten Quadrate. Nordhausen. 1885. E. Czuber. Theorie der Beobachtungsfehler. Leipzig. 1891. O. KoII. Die Theorie der Beobachtungsfehler und die Methode der kleinsten Quadrate mit ihren Anwendungen auf die Geodasie und die Wassermessungen. 2° Aufl. Berlin. 1901. A. Cappilleri. Einführung in die Ausgleichungsrechnung. Leipzig und Wien. 1907. F. R. Helmert. Die Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate mit Anwendungen auf die Geodasie, die Physik und die Theorie der Messinstrumente. 2e Aufl. Leipzig und Berlin. 1907. E. Hegémann. Uebungsbuch für die Anwendung der Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate auf die praktische Geometrie. 3" Aufl. Berlin. 1908. J. Kozak. Grundprobleme der Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate. Wien und Leipzig 1907. INHOUD. ' ■ ••■•*.- Bladx. inleiding . lste Gedeelte. LANDMETEN. A. INSTRUMENTEN. HOOFDSTUK ï. Vizierinrichtingen. § 1—2. Gewone vizieren g § 3. De kijker als viziennrichting 5 § 4. Mechanische inrichting van den kijker .6. § »• Het wegnemen der parallax en het richten met den kijker. . 7 § 6. Samengestelde oculairen 3 § 7. Kruisdraden 9 HOOFDSTUK II. -Randverdeeling en inrichtingen tot het aflezen daarvan. § 8. Cirkelrand * 1, § 9. Alhidade . . 12* § 10—11. Nonius 12 § 12. Afleesmicroscoop ig' § 13. Micrometische microscoop. . 17' § 14. Excentriciteit . . . .v . 'ia' 'HOOFDSTUK HL Paslood en niveau. § 15. Paslood ... .H . . B,:g-: § 10. Timmermanswaterpas ; ' ' ' ' * § 17. Onderzoek van bet timmerhiariswaterpas '■ :'. '• ' ' 20' § 18. Eliminatie van de fout in de plaatsing van het nulptmt' 21' § 19. Buis-luchtbel . . . \'». ; ■■■X..-. ' 99' § 20. Het meten van kleine hellingen door" de uitwijking der' bel 99 § 21. Bevestiging der luchtbel-buis . ' ' ', " ' ' 2i' § 22. Horizontaal stellen- van een vlak'.' ■' ' ' .' ' ' 25 § 23. Regèling van het niveau tot het horizontaal stellen ■ van een vlak . . . ;•-->«. .. § 24. Horizontaal stellen van eene' omwenrêlïngsas' ' 26 § 2o. Verticaal stellen van eene omwehtelingsas ' ' 99' § 26. Regeling van het niveau tot het verticaal stellen van' ' eene as § 27. Doosniveau j Vj' r]0 HOOFDSTUK IV. Theodoliet. § 28-29. Beschrijving.. • S0—31. Het meten van horizontale hoeken. .'."''" 35* § 32—34. Het doorslaan van den kijker. . . 37 S Üo~n8' °nderzoek en regeHng van den theodoliet .' ' ' 42' ! ?!" ^ijzigde inrichtingen van den theodoliet . . ' 48' § 40—43. Repetitie en reïteratie ' ' -0' § 44. Het meten van verticale hoeken .' . .." ,' ' - ' '5-' § 4p. Het doorslaan van den 'kijker *.' ' ' ' ' ' § 46-47 Onderzoek en regeling van 'den theodoliet voor °' het meten van verticale hoeken . . , " 57 ' § 48. Becijfering op den tweeden'cirkelrand ' ' ' ' ' 50' * i0' ^wijzigde inrichtingen van het niveau. .' ' r.' •;' ; 6L" HOOFDSTUK V. ' Sextant. § 50. Inleiding _ - 64 § 51. Terugkaatsing op twee spiegels. '. '"; \ ■ ''/ ' '-' $± Bladz. § 52. Beschrijving 66. § 53. Gebruik 67. § 54. Tndexcorrectie . 68. § 55. Spiegelparallax 70. § 56. Opstelling . 78. § 57. -Voorwaarden van regeling 74. § 58. Regeling van den grooten spiegel 74. § 59. Regeling van den kleinen spiegel . 75. § 60. Regeling van den kijker. . . . . ,. 76. §61. Correcties %voor de fouten, die niet door regeling zijn'weg te nemen . . .... . . . . ... . 78. § 62. Herleiding van den hoek tot den horizon 80. § 63. Benaderingsformule voor kleine elevatiehoeken. . .81. § 64. Het meten van verticale hoeken. ....... 83. HOOFDSTUK VI. Planchet. § 65. Inleiding 86. § 66. Planchet . . . 87. § 67. Vizierliniaal . . 87. § 68. Opstelling ....... 88. § 69. Onderzoek van' het planchet 90. '§ 70. Regeling van d'e vizierliniaal met gewone vizieren. . 90. § 71. Regeling van de vizierliniaal met kijker 91. HOOFDSTUK VII. BOUSSOLE. § 72. Declinatie van de magneetnaald. . . . . . , . 93. § 73. Beschrijving van de boussole 95. § 74. Het meten met de boussole. . . ., . y. . .. . . 96. § 76. Onderzoek van de boussole . 98. §76. Opstelling van de boussole 99. HOOFDSTUK VIII. Het uitzetten van hoeken. § 77. Algemeen overzicht 101. § 78. Equerre d'arpenteur . . . . . . *. .. . . . .,101. Bladz. § <9. Gebruik van de équerre d'arpenteur 102. § 80. Opstelling en onderzoek van de équerre d'arpenteur. 103. § 81. Spiegelkruis 104 § 82. Prisma van Bauernfeind. . . 105. § 83. Prismakruis van Bauernfeind 106. Sub § 82. Bepaling van de fouten in het prisma van Baüebnfeind _ 107 HOOFDSTUK IX. Meetlatten. Meetband, Meétkettinb; § 84. Het meten van afstanden .;.. ■ >&,. ng, § 85. Meetlatten . . . . .4 .114 §, 86. Meetband H5 § 87—88. Het meten met den band ....... 115 § 89. Meetketting. . . ... . .. . . . , ... , ' ' ' 117' HOOFDSTUK X. Afstanümeteb. § 90. Inrichting "* ns § ;91- He* meten van afstanden bij horizontale vizierlijn. 119. § 'y2- Het meten van afstanden bij hellende vizierlijn, .. 120. - § 93. Bepaling van de constanten. . 121* § 94. Het meten van hoogteverschillen. . ... . .122. § 95—96. Centraliseerende lens. (Afstandmeter van Porbo). 122! B. OPMETINGEN. HOOFDSTUK XI. Aloemeene gang der meting. § 97. Kaarten 127 § 98. Net en detailmeting. ' .,' 127' § "■ De vei-schillende methoden van opmeting. . . 128* § 100. Keuze der methode. • . ........ . 129 § 101. Het in teekening brengen van de opmeting." . [,181. Bladz. § 102. Het verkennen van- het terrein en het vaststellen van het net. . . .. . .,. . . . . ...', . . . - 132. § 103. Het uitzetten van het net. . . '. . . , . . . 133. § 104. Het opnemen van het net en van de details. . . 134. HOOFDSTUK XII. Coördinatenberekening. § 105. Keuze van het assenstelsel 136. § 106. Gegevens voor de berekening 137. § 107. Berekening der azimuthen 137. § 108. Berekening der coördinaten 139. § 109. Het in teekenlng brengen van de punten, door middel van de coördinaten. ........ 139. § 110. Het berekenen van de lengte .en van het azimuth van eene lijn uit de coördinaten van de eindpunten _ 139. § Hl- Berekening van de geographische lengte en breedte. 140. § 112. Invloed van de convergentie der meridianen op de berekening der azimuthen 142. § 113. Astronomische azimuthsbepaling 143. § 114. Correspondeerende stershoogten. . 144. § 115. Correspondeerende zonshoogten. ....... 146. § 116. Grootste digressie. . .•' . 147. § 117. Stershoogte . . *&| 148. § 118. Eenige opmerkingen omtrent bovenstaande metingen. 149. HOOFDSTUK XIII. Driehoeksmeting. § 119. Vorm van het net 150. § 12Ö7Basismeting." 150. § 121. Hoekmeting. 151, § 122. Centreeren der hoeken. 152. § 123. Controle 154. § 124—126. Vereffening der fouten, ... . . \ . . . 156. § 127. Berekening der driehoeken. . . . .• 161. § 128 Coördinatenberekening', 162. § 129. Opneming van het driehoeksnet met behulp van j^Ssf- het planchet . . . , '. . ... ..' 168. HOOFDSTUK XIV. Veelhoeksmeting. § 130. Vorm van het net 164 § 131. Opmeting - . 1fi-' § 132. Controle 166 § 133. Aansluiting aan ontoegankelijke punten. . 167' § 134. Vereffening der fouten. 15» § 135. Meer nauwkeurige vereffening der fouten. . . . 169. § 136. Veelhoeks vertakkingen ' ] 70* § 137. Opneming met behulp van het planchet .... 172.' HOOFDSTUK XV. Secundaire deiehoeksmeting. § 138. Hoofddriehoeksnet 174. § 139. Secundaire driehoeksmeting . 17-' § 140. Het vastleggen door een net van driehoeken aan twee bekende punten 176 ■§ 141. Het vastleggen door een net van driehoeken aan . drie bekende punten 177 § 142—143. Het vastleggen van ieder punt afzonderlijk door hoekmeting in de bekende punten 179. § 144—145. Het vastleggen van ieder punt afzonderlijk door hoekmeting in het onbekende punt. .... 182. ■§ 146- Het vastleggen van elk punt afzonderlijk door hoekmeting zoowel in de bekende punten als in het onbekende punt 185 :§ 147. Keuze der methode. ' jgg' HOOFDSTUK XVI. Detailmeting; § 148. Algemeen overzicht . . .' .' ■ ' . :.' \ 1S8 § 149. Detailmeting met meetband, meetketting of meetlatten en équerre. . 189 § 150. Controle op de meting. — Het teekenen van'de details • W1 •.§ 151. Detailmeting met een theodoliet'ingericht tot'afstandmeter. (Tachymetrie) 192. Blaaz- § 152. Contrölè op de meting. — Het in teekening brengen van de details 194. § 153—154. Detailmeting met het planchet 195. § 155. Controle op de meting. . . 197.. HOOFDSTUK XVII. Inhoudsbepaling. § 156. Algemeen overzicht 198. § 157. Opmeting van enkele perceelen 198. § 158—159. Berekening uit de gegevens van de detailmeting ....... 199„ § 160. Berekening uit de meting op de kaart 201. § 161. Poolplanimeter. . ,. U 202.. § 162. Inhoudsbepaling met den poolplanimeter 203.- § 163. Eegeling van den planimeter en bepaling van de constanten • 205.. § 164. Krimpen van het papier 208.. § 165. Controle en vereffening der verschillen 209.. HOOFDSTUK XVIII. Het uitzetten van rechte lijnen en cirkelbogen. § 166. Het uitzetten van rechte lijnen 211. § 167. Het uitzetten van cirkelbogen 214. § 168. Het uitzetten der hoofdpunten 214. § 169. Het uitzetten der detailpunten. / ■. 218. § 170. Keuze der methode , • 223.. HOOFDSTUK XIX. Globale opmetingen. § 171. Inleiding 225. § 172. Het meten van afstanden. .■ 226.. § 173. Het meten van richtingen en hoeken 228. § 174. Wijze van opmeten en in teekening brengen. . . 230- 2cie Gedeelte. HOOGTEMETEN. Bladz. § 17o. Inleiding « 234. A. INSTRUMENTEN. HOOFDSTUK XX. Waterpasinstbumenten. § 176. Waterpasbaken 236. § 177. Waterpasinstrument 237. § 178. Opstelling en gebruik 240* § 179. Regeling . '\ . * 24o' § 180. Waterpasinstrument, waarbij kijker en niveau vast verbonden zijn met de as 241. § 181. Niveaucirkel van Lenoir 243. § 182. Eliminatie van de fouten van regeling bij den niveaucirkel van Lenoir. 244. § 183. Waterpasinstrument van Becker en, Buddingh. . 245. § 184. Waterpasinstrumenten, waarbij de kijker met cylin- drische tappen in vorken rust 246. § 185. Micrometerschroef. 251* HOOFDSTUK XXI. Barometer. § 186. Kwik- en metaalbarometer ,' . 254. § 187. Beschrijving van de aneroïde van Naudet. . . . 254. § 188. Herleiding van de aneroïde-aflezing tot kwikhoogte. 256. § 189. Veranderingen van de constanten van de aneroïde. 257. §190. Bepaling van de constanten b en c 258. § 191. Bepaling van de standcorrectie 260. B. OPMETINGEN. HOOFDSTUK XXII. Waterpassen. Bladz § 192. Beginsel 261. § 193. Aardkromming 261. § 194. Straalbuiging .263. § 195. Waterpassen uit het midden ' . . . 265. ■§ 196. Aaneengeschakelde waterpassing 266. § 197. Voorzorgen bij de aaneengeschakelde waterpassing. 267. § 198. Uitvoering van de aaneengeschakelde waterpassing. 270. § 199. Controle op de waterpassing. . 271. § 200. Vereffening der fouten 271. § 201. Overbrenging van het peil. . '. 274. § 202. Het opnemen van lengte- en dwarsprofielen. . . 276. ■§ 203. Overbrengen van het peil over breede rivieren. . . 278. HOOFDSTUK XXIII. Trigonometrische hoogtemeting. •§ 204. Trigonometrische hoogtemeting op korte afstanden. 280. ■§ 205. Trigonometrische hoogtemeting op groote afstanden. 281. •§ 206. Waarnemingen uit één uiteinde 282-. § 207. Gelijktijdige wederkeerige waarnemingen .... 284. § 208. Bepaling van den coëfficiënt der straalbuiging. . 285. § 209. Afstand waarop twee voorwerpen wederkeerig zichtbaar zijn. —■ Kimduiking. . . . • 286. |^|fl HOOFDSTUK XXIV. Barometrische hoogtemeting. § 210. Nauwkeurigheid van de barometrische hoogtemeting. 289. § 211. Barometerformule van Laplace. . ... . . . 290. § 212. Volledige barometerformule . . . . ... . . 291. -§ 213. Hulpmiddelen voor de berekening van de hoogte- , • verschillen 292. § 214. Horizontale afstand der punten. — Gelijktijdige^ waarnemingen 293. s Daar de kruisdraden steeds moeten samenvallen met het werkelijke beeld in den kijker, zoo moeten bij het oculair van Ramsden de kruisdraden zich buiten, daarentegen bij dat van Huygens de kruisdraden zich in het oculair bevinden. De twee lenzen bij het eerste oculair, fig. 10, kunnen dus, evenals bij het enkelvoudige oculair, fig. 6, in één buisje vereenigd worden, dat in de oculairbuis, waarin het diaphragma met de draden is aangebracht, geschoven wordt. Het richten met den kijker, van een RAMspEN-oculair voorzien, heeft dan ook juist op dezelfde wijze plaats als hier voren (§5) bij den enkelvoudigen kijker is uiteengezet. Bij het oculair van Huygens, ,flg. 12, daarentegen, moet het diaphragma tusschen de twee lenzen van het oculair aangebracht zijn. Dit maakt een klein verschil bij het richten; om de draden duidelijk te zien, moet men hier alleen de ooglens O ten opzichte van de draden verplaatsen, of het diaphragma met de draden in het oculair ten opzichte van de ooglens .verschuiven. In flg. 12 is een HuYGENS-oculair voorgesteld, waarbij op laatstgenoemde wijze de regeling plaats heeft. De openingen in de oculairbuis, waardoor de correctieschroefjes gaan, zijn langwerpig, zoodat men, door tegen deze schroefjes te drukken, het diaphragma met de draden in de richting der buis kan verplaatsen. Worden eindelijk de draden duidelijk gezien, dan heeft het verdere richten weer plaats op de wijze, als boven voor het RAMSDEN-oculair beschreven. De plaatsing der kruisdraden bij het oculair van Ramsden heeft het voordeel, dat het beeld dier draden ook geheel van kleurschifting is bevrijd, wat niet het geval is bij het oculair van Huygens , waarbij men de kruisdraden alleen door de oculairrens bekijkt. Bovendien kan men het oculair van Ramsden uit den kijker nemen, ten einde het te reinigen, of bijv. door een ander sterker vergrootend oculair te vervangen, zonder dat daardoor de stand der vizierlijn wordt gewijzigd. Voor kijkers, die van kruisdraden* zijn voorzien, wordt daarom meestal het oculair van Ramsden verkozen. Voor kijkers, die niet als vizierinrichting, behoeven te dienen, verdient echter het oculair van Huygens, wegens zijn meerdere optische volkomenheid, de voorkeur. HOOFDSTUK II. RAND VERDEELING EN INRICHTINGEN TOT HET AFLEZEN DAARVAN. § 8. Cirkelrand. Bij de meeste instrumenten, die dienen tot het meten van hoeken, treft men een verdeelden cirkelrand aan, waarop de hoeken in graden en onderdeelen van graden worden afgelezen. De verdeelingen zijn Onmiddellijk op den uit koper vervaardigden rand aangebracht, of, zooals bij fijnere instrumenten veelal het geval is, op een ingelegde zilveren of platina reep, soms, zooals bij de houten octanten en sextanten, op ivoor. De meest gebruikelijke verdeeling is de sexagesimale, waarbij de omtrek van den cirkel in 360 graden, de graad in 60 minuten, de minuut in 60 seconden verdeeld wordt; voor de graden, minuten en seconden worden bij deze verdeeling de teekens °' " gebruikt. Op enkele instrumenten treft men.de. centesimale verdeeling aan, waarbij de cirkelomtrek verdeeld wordt in 400 graden, de graad in 100 minuten en de minuut, in 100 seconden; de graden worden bij deze verdeeling, ter onderscheiding van de vorige, door de letter g aangeduid,-terwijl de minuten, seconden en verdere onderdeelen meestal als decimalen van de graden geschreven worden. De graden op den cirkelrand zijn meestal onderverdeeld in halve of in derde graden, bij fijnere geodesische instrumenten in zesde, uiterlijk in twaalfde deelen van graden. De graden worden om de vijf of om de tien, in ééne richting omgaande, meestal in de richting, waarin zich de wijzers van het uurwerk bewegen (bij de Boussole echter veelal in tegengestelden zin), van 0 tot 360 of tot 400 genummerd. Somwijlen, vooral bij cirkelranden, die dienen tot het meten van verticale hoeken, zijn de graden, van twee diametraal tegenover elkaar liggende punten uitgaande, in twee richtingen van 0 tot 90 of tot 100, ofwel in eene zelfde richting van 0 tot 180 of tot 200 genummerd. Ten einde echter het aflezen gemakkelijker te maken, zijn in den regel de tientallen, dë vijftallen, de eenheden en de onderdeelen van graden door verdeelstrepen van verschillende lengten van elkaar onderscheiden. • § 9- Alhidade. Om eene as, die in het middelpunt van dencirkelrand rechthoekig staat op het vlak van dien rand, is een wijzer of alhidade draaibaar. De hoek, dien men wil meten, wordt door deze alhidade doorloopen en moet dus op den rand nauwkeurig kunnen worden afgelezen. Hiertoe kan op de alhidade een enkele lijn als index zijn aangebracht, of wel, zij kan, tot het aflezen van de onderdeelen van de verdeel ing, van een nonius, eene afleesmicroscoqp- of eene micrometrische microscoop voorzien zijn. Wordt de stand-van den index ten opzichte van de randverdeeling in twee opvolgende standen van de alhidade afgelezen, dan vindt men door aftrekking van beide aflezingen den door de alhidade doorloopen hoek. Niet altijd heeft, zooals hiervoren is beschreven, de cirkelrand eenen Vasten stand en is de wijzer of alhidade beweegbaar; men treft ook inrichtingen aan, waarbij de cirkelrand beweegbaar is en de indexstreep of de inrichting tot nauwkeuriger aflezing vaststaat. § 10. Nonius. In het algemeen verlangt men de aflezing tot op- veel kleinere onderdeelen van graden dan die, waarin de rand verdeeld is; is de alhidade alleen van een indexstreep voorzien , dan moeten die kleinere onderdeelen door schatten bepaald ■ worden. Wordt grootere, nauwkeurigheid in de aflezing der onderdeelen vereischt, dan kan daartoe de alhidade van een nonius voorzien zijn. Zij AB, flg. 14, een gedeelte van een in halve graden verdeelden cirkelrand, C de alhidade, O het daarop aangebracht index streepje, dan vindt men voor den stand van dat indexstreepje 2°, plus een stukje kleiner dan een halve graad; door schatten vindt men hiervoor ongeveer 2/8 van den afstand van twee verdeelstrepen, dat is 20', zoodat de aflezing wordt 2°20'. 'Om de bepaling van den afstand tusschen de deelstreep 2° en de indexstreep nauwkeuriger te maken, is de nonius aangebracht, bestaande uit een van deelstrepen voorzien gedeelte DE van een cirkelrand, aan de alhidade verbonden en met deze langs den rand beweegbaar. De afstand der deelstrepen echter is niet dezelfde als op den cirkelrand, maar meestal iets kleiner {gelijkloopende nonius (*)) en wel zoodanig, dat n deelen van (") In tegenstelling van terugloopende nonius, waarbij de noniusdeëlen ietsgrooter zijn dan de randdeolen, tengevolge waarvan de becijfering van den nonius in den nonius even lang zijn als (n — 1) deelen van den rand. Wordt de afstand van twee deelstrepen op den rand uitgedrukt door a, dan is de afstand van twee deelstrepen op den nonius -—- a — a ——; zoodat dus het verschil lusschen een randdeel n n en een noniusdeel gelijk is aan een randdeel gedeeld door hét getal, dat aangeeft hoeveel deelen vati den nonius overeenkomen met een deel minder op den rand. In tig. 14, waar de rand in halve graden verdeeld is en waar 15 deelen van den nonius overeenkomen met 14 randdeelen, is dat verschil dus: = 2'. lp Gaan wij de deelstrepen op den nonius na, dan zien wij, dat de streep 18 in het verlengde valt van, of zooals men zegt, samenvalt met een deelstreep op den rand, de deelstreep 16 zal echter van de daaraan voorafgaande streep op den rand een stukje afwijken gelijk aan het verschil van een rand- en een noniusdeel, bij de deelstreep 14 is die afwijking dubbel zoo groot geworden, bij de streep 12 driemaal zoo groot enz.; bij de streep 0, die tot index dient, is die afwijking gelijk geworden aan 9maal het verschil van een rand- en een noniusdeel, dus hier «3 X 2' = 18'. De afstand van de streep 2° op den rand en de indexstreep! op de alhidade is dus 18' en de aflezing bijgevolg 2° 18'. Uit het bovenstaande voorbeeld blijkt duidelijk, hoe men van den nonius gebruik maakt. De aanwijzing van de deelstreep op den rand, die het nulpunt van den nonius (index) onmiddellijk voorafgaat, wordt op den rand afgelezen; hierbij moet dan nog gevoegd worden de afstand van die deelstreep tot het nulpunt, welke afstand met behulp van den nonius bepaald wordt, door na te gaan welke deelstreep van den nonius samenvalt met eene deelstreep van den rand. Het product van het rangcijfer dezer deelstreep met het verschil van een nonius- en een randdeel geeft dien afstand aan. Om deze vermenigvuldiging te ontgaan, is zij op den nonius zeiven reeds uitgevoerd. Zoo staan bijv. in fig. 14 op den nonius niet de rangcijfers 0, 5, 10 en 15, maar hunne producten met 2 dus 0, 10, 20 en 80, die onmiddellijk de minuten aangeven. Zoo lazen wij dus op den rand af 2° en op den nonius bij de deelstreep, die samenvalt met een deelstreep van den rand, 18', dus te zamen 2° 18'. tegengestelde richting moet loopen van die op den rand. oVor dezen nonius, die op gelijke wijze als de gelijkloopende wordt afgelezen, maar in de praktijk zelden voorkomt',, zullen wij hier niet verder uitweiden. Gaat de becijfering van een verdeelden cirkelrand in twee richtingen, bijv. van twee nulpunten uit naar links en naar rechts van 0° tot 90°, dan heeft men voor de aflezing een zoögenaamden dubbelen nonius noodig, d. i. een nonius, welke van den index uit naar links en naar rechts verdeeld is, en waarvan men dan, al naar gelang van het deel van den cirkelrand, waarop de aflezing geschieden moet, de naar links, dan wel de naar rechts verdeelde helft bezigt. Bij enkele randverdeelingen, vooral bij die waarbij de randdeelen betrekkelijk klein zijn, treft men een nonius aan, waarvan n deelen overeenkomen met 2n — 1 deelen van den rand; hier bedraagt het verschil tusschen twee deelen van den rand en één deel van den nonius: een n',e deel van een randdeel. De aflezing geschiedt hier geheel op dezelfde wijze als bij den gewonen nonius. § 11. Bij het aflezen van den nonius moet men eenige voorzorgsmaatregelen in acht nemen. Vooreerst moet men er voor zorgen, het oog steeds te plaatsen in het vlak, dat in het punt, waar de samen valling plaats heeft, rechthoekig staat op den omtrek van dén rand, om daardoor den schadelijken invloed van eene wellicht aanwezige parallax (verschilzicht) te ontgaan. Valt namelijk het vlak van den nonius niet volkomen samen met het vlak van den cirkelrand, dan zal eene verplaatsing van het oog naar rechts of naar links eene schijnbare verplaatsing van de rand- en noniusdeelstrepen ten opzichte van elkaar ten gevolge hebben, zoodat men bij êene verkeerde plaatsing van het oog andere strepen zal zien samenvallen, dan in werkelijkheid plaats heeft. Zij bijv. in fig._15, waar het vlak van den nonius op eenigen afstand onder dat van den rand gelegen ~is, het oog geplaatst in de richting A, dan zal men dèelstreep a van den nonius zien samenvallen met deelstreep a' van den rand; doch bij eene verplaatsing van het oog naar de richting B of naar de richting C, zal men de deelstrepen b en c van den nonius achtereenvolgens, met de deelstrepen b' en c' van den rand zien samenvallen. Is boven den nonius eene loupe aangebracht, om daardoor de deelstrepen duidelijker te kunnen waarnemen, dan moet men tot hetzelfde doel de loupe zoo plaatsen, dat de samenvallende' deelstrepen zich midden daarin verloonen? Heeft men eene streep op den nonius gevonden, die samenvalt met eene deelstreep op den rand, dan ga men na of de ter rechter- en ter linkerzijde onmiddellijk daarnaast gelegen deel- stropen evenveel van de correspondeerende strepen op den rand afwijken. Is dit 'werkelijk het geval, dan kan men zich van de samenvalling van de eerste overtuigd houden. Daar echter bij de begin- en de eindstreep slechts aan 'eene zijde verdeelstrepen aanwezig zijn, is ten behoeve dezer controle op den nonius meestal eene oververdeeling aangebracht, d. w. z. vóór de nulstreep en na dè eindstreep zijn nog een of twee strepen, aangebracht, zooals in fig. 14 door stippellijnen is aangegeven. Is er geene streep op den nonius, die juist samenvalt met'een deelstreep van den rand, dan neemt men de aanwijzing van de deelstreep van den nonius, die het dichtst staat bij eene deelstreep van den rand; wijken twee opvolgende deelstrepen ongeveer evenveel en in tegengestelde richting af, dan kan men het gemiddelde nementusschen de aanwijzingen van die beide strepen. Door vergelijking van de opvolgende afstanden tusschen de strepen van den nonius en van den rand, wanneer geen streep van den nonius is aan te wijzen die met een randstreep samenvalt, is men na eenige oefening in staat nauwkeuriger af te lezen dan boven is aangegeven. In fig, 14" is een deel van een nohius voorgesteld waarmede, op de gewone wijze te werk gaande, op den in halve graden verdeelden rand tot in minuten is af te lezen. (*) De aflezing in minuten is (zooals gemakkelijk is na te gaan) 25° 4'; de meer juiste aflezing aan den nonius is echter zooveel meer dan 4', als de. grootte van het stukje a bedraagt, dat de streep 4 van den nonius voorbij streep 27 van den rand staat. Om de grootte van a te bepalen, gaan wij na dat de som van de stukjes a en b één minuut bedraagt; is nu bijv. a de helft van &, dan is a = !/3 minuut en de aflezing in tiende deelen van minuten: 25°4',3. Zijn a en b gelijk, dan is de aflezing 25° 4',5; is b = 1/2a dan is de aflezing in tiende deelen van minuten: 25°4',7. Bedraagt de afstand a minder dan de helft van b, doch valt de streep 4 van den inonius nog' niet samen met de streep 27 van den rand (hetgeen dan te zien is aan de ongelijkheid van de afstanden b en c), dan is de aflezing 25°4',2 of 25° 4',1, al naar gelang het verschil tusschen b en c beter of minder goed zichtbaar is. Bij aflezing van 25° 4',4 zal o- iets kleiner zijn dan b, maar grooter dan de helft van b, enz. O In de figuur 14» is het verschil tusschen een randdeel en een noniusdeel duidelijkheidshalve veel grooter geteekend dan Vso van een randdeel, en zijn gemakshalve de strepen van den nonius en de strepen voor de graden van den rand van cijfers voorzien. Op die wijze is bij eenige oefening tot op 1 a 2 tienden eener noniusaflezing nauwkeurig af to1 lezen. (*) § 12. Afleesmicroscoop. Sneller en nauwkeuriger dan met een nonius kan men onderdeelen eener randverdeeling aflezen met eene afleesmicroscoop. Tot voorbeeld is hier gekozen de in flg. 16" afgebeelde afleesmicroscoop zooals deze vervaardigd wordt door de firma Kern & 0°. te Aarau. In het algemeen bestaat zij uit een objectief d en een Ramsdenoculair ab, waaronder zich ter plaatse, waar het beeld van den cirkelrand in de microscoop gevormd wordt, een dun glazen plaatje c bevindt, waarop eene zeer fijne schaalverdeeling is aangebracht. Een der strepen van deze schaalverdeeling is langer dan de andere (streep aa in fig. 16b en 16") en dient als indexstreep. Door wijziging van den afstand van het objectief tot den cirkelrand, hetgeen geschiedt door de buis waarin zich het objectief d van de microscoop bevindt met de vrije hand op of neer te schuiven, zoo noodig na de klemschroef e te hebben losgedraaid, is de microscoop zoodanig te regelen, dat het beeld van een randdeel juist in grootte overeenkomt met het aantal (bijv. 10) verdeelingen op hét glasplaatje; men kan dan een randdeel direct in 10, door schatting in 100 deelen onderverdeelen. Mocht bij de aflezing parallax worden waargenomen, zoo wordt dit verholpen door wijziging van den afstand van het glasplaatje tot den cirkelrand , hetgeen geschiedt door de geheele microscoop na losdraaien van de klemschroeven e en e' op en neer te schuiven. Daar hierdoor echter de grootte van het beeld der randverdeeling verandert, moet deze bewerking hand in 'hand gaan met de vorige. Het aflezen-, fig. 16" en 16°, met behulp van zulk een microscoop geschiedt door bij de waarde van de randstreep, die onmiddellijk aan de indexst/reep aa der schaalverdeeling voorafgaat, de waarde van het aantal enkele verdeelingen van de glasplaat op te tellen, die tusschen deze voorafgaande randstreep en de indexstreep aa gelegen zijn. i In fig. 161', waar de strepen der sexagesimale randverdeeling derde 20' deolen van graden = 20' aangeven, is elk schaaldeel = — = 1 (*) Bij deze wijze van aflezen ia de parallax van grooten invloed op de nauwkeurigheid van de aflezing; in verband daarmede verdient het aanbeveling midden onder de loupe, aan de loupe of aan den loupo-drager, een stift te laten bevestigen (zie fig. 30 aan do rechter loupe bij «). Do lonpo wordt nu steeds zoo gesteld, dat de punt van de stift zich — iets buiten de afscheiding van rand en nonius — bij de samenvallende strepen bevindt. en kan men door schatting tiende deelen van minuten vinden; de aflezing heeft dus plaats als volgt:- directe aflezing op den rand: 24°20' 16 geheele schaaldeelen ad 1': 16' naar schatting. A schaaldeel: 0',3 Juiste aflezing: 24°36',8. In flg. 16c, waarde strepen der centesimale randverdeeling halve graden = 0,500 aangeven, is elk schaaldeel „ _ 0 05 10 ' a kan men dus A schaaldeel = 0,0050 schatten; de aflezing bedraagt derhalve in dit geval: - directe aflezing op den rand: 373,50 g 6 geheele schaaldeelen ad 0,05gr: 0,80 •naar schatting T'„ schaaldeel = 7 X 0,005g: 0,035 " ' Juiste aflezing: 373,835gr. Tot verdere regeling van de microscoop kunnen de navolgende correcties worden aangebracht: 1°. door middel van de drukschroef h en de trekschroeven g * en g' kunnen de randstrepen en de randbecijfering op de daarvoor bestemde plaats in het gezichtsveld van de microscoop gebracht worden; 2°. door eene draaiing van de microscoop met de vrije hand — zoo noodig na de klemschroeven ee' losgedraaid te hebben — kunnen de deelstrepen op het plaatje c in de microscoop evenwijdig gebracht worden aan die van den rand; 3°. door middel van de schroeven f en f' kan de index aa vande ééne microscoop zoodanig gesteld worden, dat hij 180° (c.q. 200 g) verschil in aflezing geeft met dien van de diametraal daartegenovergestelde microscoop. § 13. Micrometrische microscoop. Veel nauwkeuriger en gevoeliger dan de afleesmicroscoop is de micrometrisehe, flg. 17- , waarbij het verdeelde glasplaatje der afleesmicroscoop verengen is door een rechthoekig raampje of slede aa, fig. I7«h waarbij 2 evenwijdige draden bb gespannen zijn. De slede kan zoodanig door de micrometerschroef c bewogen worden, dat bijv ééne omwenteling van de schroef de slede — en dus ook dé"' draden — verplaatst over den afstand van 2 randstrepen- de onderdeelen eener omwenteling worden afgelezen op den ver- 2 deelden kop d'(trommel) van de micrometerscluoef, die zich langs een vasten index % beweegt. De om horizontale staafjes gewonden veren e drukken steeds de slede-naar links, zoodat de punt van de schroef steeds tegen de nok n wordt aangedrukt en de doode gang der'schroef wordt belet. Om een bepaalden stand der draden als normaalstand aan.te duiden, is boven de slede aa eene dunne dekplaat f aangebracht, die door middel van de schroef g, welke door het verbindingsstuk l gaat en de veer v, vast aan de micrometerkast verbonden is. (In fig. 17e is deze plaat afzonderlijk geteekend, in flg. 17" is zij weggelaten en alleen het verbindingsstuk l aangegeven.) In deze dekplaat bevindt zich eene opening, die het gezichtsveld der microscoop vrijlaat, doch waarin een inkeping k, flg. 17ac, zichtbaar is, welke de indexlijn aangeeft. Staat nu de trommel d op haar nulpunt en tevens de inkeping k midden tusschen de draden bb — waartoe de plaat f door de correctieschroef g zoo noodig kan versteld worden —, dan valt de indexlijn midden tusschen de draden. Ook kan ten behoeve van dien normaalstand aan den trommel eene correctie aangebracht worden; de trommel is namelijk alleen door wrijving aan de micrometerschroef verbonden. Om nu op den rand af te lezen, worden de draden door draaiing aan de schroef bij h, tot aan de onmiddellijk voorafgaande randstreep-voortbewogen; het midden der .draden heeft dan juist dat onderdeel van het randdeel doorloopen, waarvan men de grootte wenscht. te bepalen, en hetwelk op den trommel wordt afgelezen. Het verdient aanbeveling om de draden met alleen op* de randstreep, die de indexlijn voorafgaat, maar ook op de naastvolgende te richten, op den trommel nogmaals de onderdeelen af te lezen en dan het gemiddelde der heide uitkomsten te nemen. Bij sommige instrumenten moet men aan de micrometerschToet niet ééne, maar meerdere omwentelingen geven om de draden over den afstand van 2 randstrepen te verplaatsen. In dit geval is dé dekplaat f van meerdere tanden (een zoogenaamden kam, fig 17d) voorzien, wier onderlinge afstand met eene enkele omwenteling der schroef overeenkomt. De volle omwentelingen ' der söhroef worden dan op den kam, de onderdeelen weer op den trommel afgelezen. tjj&S § 14. Excentriciteit. Bij het voorgaande is verondersteld, dat het draaipunt van de alhidade juist samenvalt met het middelpunt van de randverdeeling; is aan deze voorwaarde met voldaan, dan wordt de hoekverplaatsing van de alhidade niet met juistheid gemeten door den boog op den rand afgelegd; er ontstaat dus eene fout, die der excentriciteit genaamd. Zij in figuur 18 C het middelpunt van de randverdeeling, G' .het draaipunt van de alhidade, G'A' en G'B twee opvolgende standen van de alhidade, dan is AG'B de hoekverplaatsing, die men wil bepalen; in plaats daarvan leest men echter den boog AB af, die de maat is van den middelpuntshoek AGB. Het verschil van de twee hoeken AG'B en AGB is dus de fout van de excentriciteit. Bij een vollen cirkelrand heeft men een eenvoudig middel om de uitkomst van de meting onafhankelijk te maken van die fout. De alhidade, aan den anderen kant van het draaipunt verlengd,' is daar ook van een index, c. q. nonius of microscoop, voorzien! Bevindt de eene index zich dus bij A, dan is de andere daar diametraal tegenover geplaatst in A'; doorloopt de eerste den boog AB, dan doorloopt de tweede gelijktijdig-den boog A'B'. Worden nu steeds de aanwijzingen van beide indices afgelezen dan leert de eene den boog AB, de andere den boog A'B' kennen en, aangezien nu hoek AG'B gemeten wordt door de halve som van de bogen AB en A'B', zoo geeft het gemiddelde van de aanwijzingen van beide indices den gevraagden hoek, geheel en al bevrijd, van de fout van de excentriciteit. (Voor de bepaling van de excentriciteit zie Aanhangsel § 246.) HOOFDSTUK III. PASLOOD EN NIVEAU. § 15. Paslood. Een koord, aan het eene einde vastgehouden en aan het andere roet een gewicht bezwaard, geeft, zoo het geheel vrij hangt, een verticale lijn aan. Deze eenvoudige inrichting, onder den naam van paslood of schietlood bekend, wordt in het landmeten gebruikt om baken verticaal te stellen, en om een punt van een instrument op een onderliggend vlak te projecteeren. Tot dit laatste doel geeft men aan het gewicht den vorm van een in een punt uitloopend omwentelingslichaam, zoodat ophangpunt, zwaartepunt en spits in eene rechte lijn -liggen, waardoor de spits juist in het verlengde van het koord valt. § 16. Timmermanswaterpas. Het timmermanswaterpas dient om met behulp van het paslood eene horizontale lijn aan te geven. Een samenstel van latten, fig. 19, vormt een gehjkbeenigen driehoek, in den top G.waarvan een paslood is opgehangen, en waardoor bij D door een streepje«de richting van de uit C op AB neergelaten loodlijn is aangegeven. Valt liet vrijhangend paslood met deze loodlijn samen, speelt het schietlood in, dan is de lijn AB en dus ook de bovenkant XX' van de liniaal, waarop het waterpas staat, horizontaal. Is het timmermanswaterpas, zooals in fig. 20 is voorgesteld, tevens van een graadboog voorzien, waarvan het middelpunt in C en het nulpunt in de loodlijn GD ligt, dan geeft, als de basis AB niet horizontaal is, het paslood op dien graadboog de helling van de basis aan. § 17. Onderzoek van het timmermanswaterpas. Om te onderzoeken of de lijn CD werkelijk rechthoekig staat op AB., plaatst men het waterpas op den bovenkant van een liniaal, die men met behulp van wiggen of schroeven verstellen kan. Door middel hiervan laat men het koord inspelen; is dan de lijrï CD werkelijk rechthoekig op AB, dan zal de bovenkant van de liniaal horizontaal zijn; draait men het waterpas dan 180° om eene verticale as om en plaatst het weer op de liniaal, dan zal het koord weer moeten inspelen. Doet het dit niet, dan is dit een bewijs, dat de lijn CD niet rechthoekig staat op AB; de lijn, die den boek, gevormd door GD en het koord in den tweeden stand, middendoor deelt, zal dan de lijn zijn, die rechthoekig op AB staat. Kan de liniaal niet met behulp van wiggen of schroeven versteld worden, kan men het paslood dus niet doen inspelen, dan toekent men in beide standen van het instrument de richting van het koord aan; de lijn CD moet dan den hoek, door die twee richtingen gevormd, middendoor deelen. § 18. Eliminatie van de fout in de plaatsing van het nulpunt. Het onderzoek naar de juiste plaatsing van het nulpunt van den graadboog geschiedt op geheel overeenkomstige wijze. Men kan echter ook, zonder den stand van het nulpunt te verbeteren, door eene dubbele meting de gevraagde helling bepalen met eliminatie van de fout in het nulpunt. Onderstellen wij namelijk dat het nulpunt onjuist ware aangegeven, dat het zich moest bevinden in D, flg. 21", doch in D' was gesteld, zoodanig dat hoek DGD' = S is. Zijln dit geval de aflezing bij H: D'H = «, dan is, als wij de helling van de liniaal door i voorstellen: Draaien wij nu het waterpas 180° om een' verticale as om en plaatsen het wee.r op de liniaal, flg. 21", dan vinden wij als wij nu aflezen: D^H' — /3: waarvan de eerste uitdrukt, dat de fout in de plaatsing van het nulpunt gelijk is aan het halve verschil van de twee aflezingen, terwijl de tweede uitdrukt, dat het gemiddelde- van de twee' aflezingen de helling geeft, onafhankelijk van de fout in de plaatsing van het nulpunt. Men kan dus altijd^door het doen van twee aflezingen, de i = « -j- S. i = /3 — S. Uit. deze twee vergelijkingen volgt: d = „ en i — L-!- 2 2 fout van het instrument'elimlneeren, of wel, die fout, eens bepaald zijnde, bij iedere meting in rekening brengen. § 19. Buis-luchtbel. Waar het op grootere nauwkeurigheid bij het aangeven van de horizontale of de verticale richting aankomt, dient men eene meer volkomene inrichting dan het paslood, te bezigen. Deze bezit men in de luchtbel of het niveau, dat onder twee vormen voorkomt: het buisniveau en het doomiveau. Het buis-niveau, fig. 22, bestaat uit eene cylindervormige glazen buis, waarvan de bovenzijde inwendig volgens de lengte flauw cirkelvormig is uitgeslepen. Deze buis, aan beide zijden behoorlijk afgesloten, is voor het grootste gedeelte met alcohol of aether gevuld; de overblijvende ruimte, die door damp van de vloeistof wordt ingenomen, doet zich als eene langwerpige luchtbel voor. Aangezien de bel bij verhooging van de temperatuur kleiner wordt (doordat de vloeistof sterker uitzet dan het glazen omhulsel) en hare bewegelijkheid daardoor vermindert, is bij sommige niveau's eene inrichting aangebracht, om de lengte deibel te regelen. Daartoe is aan het eene uiteinde van het niveau eene kleine kamer aangebracht, die door eene opening nabij den bodem met het eigenlijke niveau in verbinding staat; deze kamer bevat eveneens vloeistofdamp, die men door de buis verticaal te houden in het niveau kan brengen, of waarin men een deel van den damp der bel kan doen overgaan. Uitgaande van het midden der buis, is op haar bovenvlak naar weerszijden eene verdeeling in gelijke deelen aangebracht. Komt het midden van de bel juist overeen met het midden of nulpunt dier verdeeling, hetgeen men waarneemt, door na te gaan of de twee uiteinden der bel evenver van het midden afstaan, dan zegt men dat het niveau of dat de bel inspeelt. De raaklijn aan de cirkelvormige lengtedoorsnede van de buis, ter plaatse van het nulpunt der verdeeling , draagt den naam van richtlijn. Is het niveau nu volkomen cirkelvormig uitgeslepen, dan zal, aangezien de luchtbel altijd het hoogste_punt inneemt, de richtlijn horizontaal zijn, zoodra het niveau inspeelt. In de richtlijn heeft men dus eene lijn, waarvan men met nauwkeurigheid kan nagaan of zij horizontaal is, en daardoor is men dus in staat den horizontalen of den verticalen stand van andere lijnen te onderzoeken. § 20. Het meten van kleine hellingen door de uitwijking der bel. Is de richtlijn niet horizontaal, speelt m. a. w. het niveau niet in, dan geeft de uitwijking van de bel onmiddellijk de helling van de richtlijn aan. Zij tqch A, fig. 23, het nulpunt der verdeeling , dan is aa de richtlijn, en zij het middelpunt dér bel in B, dan is de raaklijn bb in B horizontaal, en de helling van de richtlijn bijgevolg gelijk aan den hoek tusschen aa en bb. Daar nu deze hoek gemeten wordt door boog AB, zoo is AB de maat voor de helling der richtlijn. De uitwijking van het midden der bel uit het nulpunt der verdeeling, wordt gevonden uit de standen van de uiteinden deibel ten opzichte van dat nulp'unt. Is bijv. w de aanwijzing van het linker-uiteinde der bel, links van het nulpunt, en n de aanwijzing van het rechtéruiteinde, rechts van het nulpunt, dan wykt het midden der bel — deelstrepen links van het nulpunt uit. Wil men de helling der richtlijn in minuten of seconden uitdrukken, dan moet deze waarde nog vermenigvuldigd worden met de zoogenaamde boekwaarde van het niveau, d. i. de- hoekverplaatsing , die de richtlijn ondergaat bij eene verplaatsing van de bel over ééne verdeeling van het niveau. Om die boekwaarde te bepalen, kan men het niveau zoodanig met een kijker verbinden, dat de richtlijn van het niveau ongeveer evenwijdig loopt aan de vizierlijn van den kijker en den kijker richten op eene waterpasbaak (zie Hoofdstuk XX: Waterpasinstruménten), die op een bekenden afstand B vóór den kijker is geplaatst. Men brengt nu de bel zooveel mogelijk naar voren, doet die inspelen tusschen twee strepen en leest op de baak af; daarna brengt men de bel zooveel mogelijk naar achteren, doet haar wederom inspelen tusschen twee strepen en leest. opnieuw op de baak af. Men kan deze waarnemingen eenige malen herhalen, nadat men met behulp van de stelschroeven het instrument eenige milimeters hooger of lager heeft geplaatst, of wel nadat men de baak iets hooger of lager heeft gesteld. Zij a het verschil van de twee aflezingen, en n het aantal verdeelingen, waarover de bel zich heeft verplaatst,. dan geeft — de hoek- n waarde aan in lengtemaat op de baak, -~ in deelen van dun nB . straal, en - V 206265" in seconden. nB Deze methode tot het bepalen van de helling der richtlijn kan tevens worden toegepast bij het onderzoek naar de juistheid van het niveau. Daartoe brengt men de bel zooveel mogelijk naar voren of naar achteren, doet haar tusschen twee strepen inspelen en leest op de baak af; vervolgens verplaatst men de bel telkens over ééne verdeeling van het niveau, en leest daarbij weder op de baak af; de verschillen van 2 opvolgende aflezingen zullen dan even groot moeten zijn. Bij zeer gevoelige niveau's gaat men voor de bepaling van de hoekwaarde op de volgende wijze te werk; terwijl de bel zich zooveel mogelijk naar .voren bevindt, richt men den horizontalen draad in den kijker op een centimeiermidden (*) van de baak en leest den stand van de beide uiteinden van de bel in tiende deelen van de verdeeling van het niveau af, daarna brengt men de bel naar achteren, richt weer op een centimetermidden en leest weer den stand van de beide uiteinden der bel af in tiende deelen. De afstand der centimetermiddens, gedeeld door het verschil in stand van het midden der bel bij de beide waarnemingen, geeft dan de hoekwaarde in lengtemaat op de baak. Op gelijke wijze als boven besproken, kan de waarneming herhaald worden. Ook het onderzoek kan op overeenkomstige wijze geschieden: men richt den horizontalen draad in den kijker op opvolgende centimetermiddens en leest daarbij den stand van de uiteinden van de bel af in tiende deelen; de verschillen voor de opvolgende standen van het midden der bel zullen dan gelijk moeten zijn. § 21. Bevestiging der luchtbel-buis. De glazen-niveaubuis is meestal in een koperen omhulsel gevat, dat aan de bovenzijde open is, om de bel in haren stand ten opzichte van de verdeeling op de buis te kunnen waarnemen. Door middel ,van dit omhulsel is de luchtbel-buis, overeenkomstig het doel,-waartoe zij zal dienen, aan een voet of aan een instrument bevestigd. Daar de luchtbel bij verwarming van het niveau aan ééne zijde, bijv. door de zon, zich naar de warmtebron toe beweegt, wordt het genoemde koperen omhulsel bij een gevoelig niveau soms nog door een glazen buis omgeven, en wordt het bij het gebruik op het terrein door een scherm tegen de directe inwerking der zonnestralen beschut. ~ De voornaamste' doeleinden, waartoe het niveau wordt gebruikt, als: het horizontaal stellen van een vlak of van eene (*) Bij hot gebruik van een baak, als in fig. 169 afgebeeld, richt men op het midden van een centimeterblokje; bn een .baak, als in fig. 168 voorgesteld, op het midden tusschen twee strepen. ■ Het richten op het midden van eén centimeterblokje of op het midden tusschon twee strepen is, zooals trouwens gemakkelijk is na te gaan, reel nauwkeuriger te doen, dan het aflezen in millimeters op eene in centimeters verdeelde baak. cilindervormige as, en het verticaal stellen van eene omwentelingsas, zullen hier achtereenvolgens behandeld worden. Andero doeleinden, waartoe het niveau bij het landmeten nog gebruikt wordt, zullen bij de verschillende instrumenten van zelf ter sprake komen, § 22. Horizontaal stellen van een vlak. De luchtbel-buis, in fig. 24 voorgesteld, is ingericht tot het horizontaal stellen van een vlak; zij is daartoe op eenen, aan de onderzijde vlak afgeslepen, voet AB bevestigd en wel zoodanig, dat de richtlijn van het niveau evenwijdig loopt met den onderkant van dien voet. Is dit toch het geval, dan zal, zoodra de luchtbel inspeelt,, die voet en dus ook het vlak, waarop hij rust, ten minste in de richting van het niveau, horizontaal zijn. Om te onderzoeken of een vlak horizontaal is, heeft men slechts, met behulp van het niveau, na te gaan of twee elkaar snijdende lijnen , in dat vlak gelegen,'horizontaal zijn. Plaatst men dus het niveau in twee elkaar snijdende richtingen op het vlak en speelt het in beide standen in, dan is het vlak horizontaal. Om een vlak, dat door de drie stelschroeven A, B en C, fig. 25, in willekeurigen stand kan worden gesteld, den horizon"! talen stand te geven, plaatst men het niveau daarop volgens eene richting 7, evenwijdig aan de lijn, die twee stelschroeven, bijv, A en B, vereenigt en brengt het niveau door draaiing aan een van beide of aan beide te zamen tot inspelen. Bij die draaiing volgt de bel den duim der linker- en den wijsvinger der rechterhand.. Vervolgens plaatst men het niveau in eene richting rechthoekig op de eerste, dus volgens II, en brengt het wederom tot inspelen, maar nu door uitsluitend met de schroef G te werken. De twee lijnen I en II zijn zoodoende beide horizontaal gesteld en dus is het geheele vlak horizontaal. Daar ecBter bij het werken met de schroef C het vlak niet wentelt om de lijn AB, in dat vlak gelegen, maar om de lijn A'B', die de punten van de schroeven A en B vereenigt, en deze lijn in het algemeen met horizontaal is, zoo zal de horizontale stand van I daardoor allicht een weinig verstoord worden en is het dus noodig, de bewerking nog eens te herhalen. § 23. Regeling van het niveau tot het horizontaal stellen van een vlak. Wij hebben boven gezien, dat tot het horizontaal stellen van een vlak, de richtlijn-van het niveau evenwijdig moet loopen met den onderkant van den voet. Om dit te kunnen verkrijgen is het niveau GD, fig. 24, aan het uiteinde D om eene as draaibaar en wordt het aan het andere uiteinde C door eene correctieschroef, die door een spiraal veer wordt tegengewerkt, vastgehouden. Met behulp van deze correctieschroef kan men nu aan de richtlijn den vereischten stand geven. Ten einde den stand van de richtlijn ten opzichte van den voet te onderzoeken, plaatst men het niveau op het vlak en laat het op de in § 22 beschreven wijze met behulp van de stelschroeven in tivee onderling loodrechte standen inspelen. Is het niveau nu goed geregeld, dan zal in elk der gebezigde standen de onderkant van den voet en dus de bovenkant van het vlak horizontaal zijn; draait men het niveau dus 180° om een verticale as om ten opzichte van een der twee standen en plaatst het weer op het vlak, dan moet het weer inspelen. Was daarentegen het niveau niet goed geregeld, maar maakte de richtlijn AB, flg. 26, een hoek « met den onderkant GD van den voet, dan zou bij het inspelen der bel de onderkant van den voet, en dus ook een lijn in liet vlak in de richting waarin het niveau staat, een hoek a met den horizon maken. Draait men nu het niveau 180° om, tengevolge waarvan het uit den stand ABGD in den stand A'B'GD komt, dan maakt de richtlijn A'B' met den horizon een hoek, gelijk aan den hoek tusschen die lijn en den horizon, plus den hoek tusschen de richtlijn en den onderkant van den voet, dat is dus een hoek 2a. De bel wijkt dus uit over een afstand, overeenkomende met het dubbel van de fout in het niveau. Om dus het niveau te regelen, moet men de helft van de uitwijking der bel wegnemen met behulp van de'correctieschroef van het niveau, waardoor de helling van de richtlijn even groot wordt als die van den voet GD. Daar het moeielifk is, om in eens juist de helft van de uitwijking weg j^ nemen, zoo moet men de bewerking nog eens herhalé*n, na eerst de bel weer te hebben doen inspelen in twee onderling loodrechte standen, met behulp van de stelschroeven van het vlak. De zich nog vertoonende kleine uitwijking deibel wordt weer voor de helft met behulp van de correctieschroef weggenomen. § 24. Horizontaal stellen van eene omwentelingsas. Moet het niveau dienen tot het horizontaal .stellen van eene omwentelingsas XY, flg. 27?''°, dan rust het met twee vorken abcd, a'b'c'd' op de cylinderyprmige tappen der as XY. Deze tappen hebben gelijke middellijn en rusten in twee pannen, waarvan minstens ééne in verticalen zin kan verplaatst worden, bijvoorbeeld door middel van de stelschroeven (verg. fig. SP" E, F en G) waardoor het instrument ondersteund is. De eiscben, waaraan, zulk een niveau — los niveau ofruiterniveau genoemd — heeft te voldoen, zijn: 1°. de richtlijn moet met de as in een vlak liggen; ■ 2°. de richtlijn en de as moeten in dat vlak evenwijdig aan elkaar zijn. Voldoet het niveau aan deze twee eischen, dan is bij inspelende bel de richtlijn en dus ook de as XY horizontaal. Om het niveau te regelen, zijn tweeërlei correctieschroeven aangebracht; de schroeven BB' dienen om de richtlijn in één vlak te brengen met de as XY en de schroeven CC' om die lijn in dat vlak evenwijdig aan die as te maken. Aan den eersten eisch moet voldaan zijn, opdat de stand van de bel niet afhankelijk zij van eene kleine overhelling van het niveau ter eener of ter anderer zijde van het verticale vlak, dat door de-as XY gaat.' Hadden toch de richtlijn ab en de asXFden onderlingen stand' in fig. 28* iiï twee projecties voorgesteld en speelde de' bel in, dan zou de verticale projectie a"b" der richtlijn eene'horizontale lijn zijn; geeft men echter, in A staande, aan het niveau eene kleine draaiende beweging om de as naar zich toe, dan komt de verticale projectie der richtlijn in den stand a{'b{' en beweegt zich de bel alzöo naar rechts in de richting van het hoogere uiteinde b. Bij eene draaiing van het niveau van zich af, fig. 28", zal de bel echter naar links in de richting van het hoogere uiteinde a uitwijken. Lagen richtlijn en as echter, ofschoon niet evenwijdig, wel in hetzelfde vlak, fig. 29, zoo zou de richtlijn bij deze bewegingen om de as een kegelvak beschrijven en de bel dus in beide gevallen naar denzelfden kant b in de richting van den top des kegels uitwijken. Was de richtlijn evenwijdig met de as, dan zou de bel ook na de wenteling blijven inspelen. Het is hieruit ook duidelijk, hoe het niveau met betrekking >t den gestelden eisch beproefd en zoo noodig geregeld kan worden. Men plaatst het namelijk naar behooren op de tappen, brengt het door middel van de schroeven van de beweegbare pan of door middel van de stelschroeven, die het instrument tot dat doel aanbiedt, tot inspelen en geeft vervolgens aan het niveau, dat steeds op de tappen blijft rusten, eene kleine wentelende beweging om de as XY, zoo in de eene als in de andere richting; verplaatst de bel zich bij beide bewegingen in tegengestelden zin, zooals in flg. 28">, zoo kruist de richtlijn de as en kan uit de richting> waarin de bel uitwijkt, gemakkelijk opgemaakt worden, in welken zin men met de schroeven BB' moet werken om de fout weg te nemen. Wijkt de bel echter niet uit, of verplaatst zij zich bij beide bewegingen in denzelfden zin, zooals in flg. 29, zoo is dit een bewijs, dat de richtlijn en de as in één vlak liggen. Het onderzoek mét betrekking tot den tweeden eisch geschiedt op overeenkomstige wijze als is aangegeven bij het onderzoek van het niveau, dat zal dienen tot het horizontaal stellen van een vlak. Na het niveau naar behooren op de tappen geplaatst te hebben en met behulp van de schroeven van de beweegbare pan of van de stelschroeven van het instrument te hebben laten inspelen, wordt het op de as 180° omgedraaid; speelt de bel nu weer in, dan is het niveau goed geregeld, speelt zij niet meer in, dan neemt men de helft van de uitwijking der bel met behulp van de schroeven GG' weg. Het is duidelijk, dat beide aangegeven correcties steeds hand aan hand moeten gaan. Heeft eerst de correctie met de schroeven GG' vrij voldoende -plaats gehad, dan corrigeere men het niveau zoo goed mogelijk in horizontalen zin met. de schroeven DB', om dan de correctie in verticalen zin met de schroeven GG' te voltooien. Is het niveau, zooals zulks bij enkele instrumenten het geval is, aan de as zelf bevestigd, dan geeft dit bij het gebruik en bij die regeling geen verschil; alleen moet voor de correctie met de schroeven DD' de as met het niveau meedraaien en moet voor de correctie met de schroeven CC' de as in de pannen worden omgelegd. , Het geregelde niveau kan niet alleen dienen om de omwentëlingsas horizontaal te stellen, maar ook om kleine hellingen dier as te meten. Is toch de richtlijn evenwijdig aan de as, zoo zal de uitwijking der bel de helling van de richtlijn en dus ook van de as aangeven. Ook met een niveau, dat alleen'aan den eersten eisch voldoet, en waarbij de richtlijn ab, fig. 30, dus een , hoek S maakt met^ de as XY, kan men echter die helling met eliminatie der fout S bepalen door het doen eener dubbele meting. Hiertoe wordt de helling der richtlijn ab door aflezing van de uitwijking der bel bepaald, het niveau daarna 180° omgedraaid, wederom op de tappen geplaatst en de helling der richtlijn in (haar nieuVen stand a'b' gemeten. Uit de figuur blijkt dan onmiddellijk, dat de helling der as XY het gemiddelde is van de hellingen der richtlijn in de beide standen, terwijl de fout 2 het halve verschil^ der hellingen is. Uitwijkingen der bel in tegengestelden zin' moeten hierbij natuurlijk met het tegengestelde "teeken worden in rekening gebracht. É Bij de vorenstaande metingen en onderzoekingen is van de onderstelling uitgegaan, dat de cylindrische tappen der as volkomen gelijke middellijnen bezitten. Bij eene as, die in haro tappen kan worden omgelegd en van een tos niveau voorzien is, kan men onderzoeken of aan dezen eisch voldaan is, door, na' het niveau geregeld en de bel te hebben laten inspelen, de as om te leggen zonder evenwel het niveau mede om te draaien; wijkt de bel dan uit, dan zijn de tappen niet even groot. § 25. Verticaal stellen jran een omwentelingsas. In fig. SP", stelt A eene kegelvormig uitgeboorde bus voor, die door drie schroeven E, F en G ondersteund wordt en daardoor gesteld kan worden. In die kegelvormige bus past de as B, waaraan het bovendeel IIH van het instrument bevestigd is, zoodat dit bovendeel om de meetkundige as van' de kegelvormige bus kan draaien. Ten einde deze as verticaal te stellen, is aan het bovendeel een niveau GD zo'odanig verbonden, dat de richtlijn van dat niveau rechthoekig staat op de verticaal te stellen as. Draait men het bovendeel van het instrument nu om de as rond, dan zal de richtlijn een plat vlak beschrijven, rechthoekig op die as. Staat dit denkbeeldige vlak horizontaal, hetgeen men kan nagaan door te onderzoeken of het niveau in, twee verschillende standen, die liefst rechthoekig op elkaar staan, inspeelt, dan is ook de as verticaal. Tot het verticaal stellen van de as is het dus slechts noodig dat denkbeeldige vlak horizontaal te stellen, hetgeen op overeenkomstige wijze kan geschieden, als hierboven voor het horizontaal stellen van een vlak in het algemeen is geleerd. Men brengt nameUjk het niveau door draaiing om de as evenwijdig met de verbindingslijn van twee stelschroeven, bijv. E en F, en brengt het daarmede tot inspelen; vervolgens draait men het bovendeel 90° om en doet het niveau inspelen door middel van de stelschroef G. Om gelijke reden als vroeger herhaalt men de bewerking nog eens. ^ Speelt de bel van het geregelde niveau niet in, dan geeft de uitwijking der bel den hoek aan, ,dien de projectie der as op een verticaal vlak door de richtlijn maakt met de verticaal. § 26. Regeling van het niveau tot het verticaal stéllen van^ eene as. Zooals uit het bovenstaande blijkt, moet de richtlijn rechthoekig staan op de as; om dit te verkrijgen, is het niveau bij D weer om eene as draaibaar en wordt het bij -G door eene correctieschroef vastgehoqden. Om te onderzoeken of aan dezen eisch voldaan is en zoo noodig het niveau te regelen, gaat uien op overeenkomstige wijze te werk als bij het niveau, dat moést dienen tot het horizontaal stellen van een vlak. Na de as, zoo goed als dit met het niet geregelde niveau mogelijk is, verticaal gesteld te hebben, brengt men het niveau door draaiing van het bovendeel van het instrument boven een deischroeven en doet het daarmede juist inspelen. Draait men nu het bovendeel van het instrument 180° om, dan moet, als het niveau goed geregeld is, de bel nog inspelen. Speelt zij niet meer in, dan geeft om gelijke reden als vroeger de uitwijking het dubbel van de fout aan en deze uitwijking moet dus voor de helft met de correctieschroef G worden weggenomen. Ten einde zeker te zijn, dat het niveau nu goed geregeld is, herhaalt men het onderzoek, na eerst de as met het nu geregelde niveau beter verticaal gesteld te hebben. Men kan zich deze regeling ook aldus voorstellen. Stel in fig. 32 staat de richtlijn ab van het niveau niet loodrecht op de as cd; maar maakt daarmede een hoek acrö = 90° —a, dan zal, wanneer de bel inspeelt, de richtlijn, zooals in de figuur Ondersteld is, horizontaal zijn, de as daarentegen met de verticaal cf een hoek « maken. Draait men nu het bovenstel 180'3 'om dan komt de richtlijn in den stand a'b' zoodanig, dat hoek a'cd = 90°— a is. Uit de figuur blijkt nu onmiddellijk, dat de hoek bca', dat is de helling van de richtlijn, gelijk is aan 2a, waaruit volgt, dat de uitwijking van de bel overeenkomt met het dubbel van de fout. Neemt men nu met behulp van de correctieschroeven de helft van de uitwijking weg, dan verplaatst men de richtlijn over een hoek a, zoodat zij komt in den stand a"b", dat is loodrecht op de as cd, § 27. Doosniveau. Het doosniveau, flg. 33, bestaat uit eene ronde koperen doos, van boven afgesloten door eene aan de benedenzijde bolvormig uitgeslepen glasplaat. De doos is weer voor het grootste gedeelte gevuld met alcohol of aether , eene zoogenaamde luchtbel overlatende, die altijd het hoogste punt tracht in te nemen. Het schroefje S, fig. 33, in den bodem deidoos dient om vloeistof in het niveau te brengen, wanneer de bel tengevolge van ondichte sluiting te groot zou zijn geworden. Doven op de glazen plaat zijn eenige concentrische cirkels gegrift; staat de luchtbel juist concentrisch met deze cirkels, dan zegt men dat zij inspeelt; het raakvlak aan het bolvormige oppervlak ter plaatse van het middelpunt der cirkels en dat den naam van richtvlak draagt, is dan horizontaal) Een dergelijk doosniveau wordt gebruikt, om een vlak horizontaal of eene lijn (omwentelingsas, baak) verticaal te stellen. - Tot het horizontaal stellen van een vlak de onderkant deidoos, flg. 33, afgeslepen volgens een plat vlak, evenwijdig met het richtvlak. Plaatst men het doosniveau dus op een plat vlak en doet het inspelen, dan is het richtvlak en bijgevolg ook het eerste vlak horizontaal. Hoe men op de eenvoudigste wijze de bel tot inspelen brengt, moge uit het in flg. 34 voorgestelde geval blijken. De bel, die eerst in D staat, wordt door de schroeven A of B of door beide samen in #gebracht, dat is in de loodlijn , uit het midden.der concentrische cirkels op AB neergelaten. Door nu aan de schroef C te draaien, kan men de bel onmiddellijk bij F tot inspelen brengen. Om dezelfde reden als bij het buisniveau.is vermeld, moet deze bewerking herhaald worden. Om te onderzoeken of het richtvlak werkelijk evenwijdig loopt met den onderkant der doos. kan men een vlak met behulp £m een buisniveau horizontaal stellen en dan nagaan of het daarop geplaatste doosniveau inspeelt, of men kan ook het niveau met behulp van de stelschroeven van het vlak tot inspelen brengen en het dan 180° op het vlak omdraaien. Speelt het niet meer in, dan moet men den onderkant door afslijpen (correctieschroeven zijn zelden aanwezig) evenwijdig met het richtvlak brengen. Tot het verticaal stellen van eene as is het doosniveau, flg. 35, zoodanig aan het bovenstel bevestigd, dat het richtvlak rechthoekig op de as staat. Stelt men dan het richtvlak horizontaal door de bel te doen inspelen, dan is de as verticaal. Om aan het niveau den juisten stand ten opzichte van de as te geven, wordt het niveau door eene veer V tegen de punten van drie correctieschroefjes, waarvan er een in de figuur zichtbaar is, aangedrukt. Bij de regeling kan men dan als volgt te werk gaan. Als aan dezelfde, as ook een buisniveau verbonden is, kan men haar eerst hiermede verticaal stellen, en dan het doosniveau met behulp van de drie correctieschroefjes tot inspelen brengen. Is een dergelijk buisniveau niet aanwezig, dan brenge men het doosniveau tot inspelen en draaie nu het bovendeel van het instrument 180° om; blijft het nog inspelen, dan is het goed geregeld, wijkt de bel uit, dan moet die uitwijking voor de helft door middel van de drie correctieschroefjes worden weggenomen. 'THEODOLIET. > § 28. Beschrijving. De theodoliet is een instrument, dat drent tot het meten van horizontale en van verticale hoeken. Onder horizontalen hoek verstaan wij den hoek tusschen de horizontale projecties van twee rechte lijnen, of wat hetzelfde is, den standhoek van de twee horizontaal projecteerende vlakken' van die-lijnen. Onder verticalen hoek verstaan wij zoowel den hoek, dien eene rechte lijn maakt met hare horizontale projectie, als dien, welken zij met de verticaal maakt. In het eerste geval noemt men den hoek; een elevatie- of een depressiehoek, al naarmate men het deel der lijn beschouwt, dat boven of dat beneden het horizontale vlak van het waaraemingspunt is gelegen; in het tweede geval heet de hoek senithhoek of nadirhoek, al naarmate de hoek met het naar boven of met het naar beneden gerichte deel van de verticaal bedoeld wordt. Tot het meten dezer hoeken is de theodoliet in hoofdzaak'als volgt ingericht. Een verdeelde cirkelrand Blt flg. 86, die door middel van een drietal stelschroeven A ondersteund wordt, dient om daarop de horizontale hoeken af te lezen. Om eene as (1ste as) loodrecht op het vlak van den cirkelrand en gaande dooi; diens middelpunt, is een wijzer of alhidade D draaibaar, die aan beide einden van een nonius — c q. microscoop — voorzien is. Op de alhidade zijn twee armen I aangebracht, die in pannen K eindigen, om dé as L (2de as) op te nemen, waaraan de kijker M bevestigd is Aan deze zelfde as is, ten einde de beweging van den kijker om die as te meten, een cirkelrand B2 bevestigd; de noniussen P, waarmede op dien rand wordt afgelezen, zijn aan een der armen I verbonden. - i' Behalve de genoemde hoofdbestanddeelen zijn er nos verschillende onderdeelen, die tot het nauwkeurig meten veel bijdragen en die wij dus moeten leeren kennen httl^TT6?- °P h6t ten'ein te kunnen ^bruiken, wordt een Zn a hfi0ute^drieTOet of datief geplaatst. Deze bestaat uit een kop Afig. 37, en drie beenen E, die door middel van scharTZTÏ T °P verbonden z»a> om daardoor de beenen naar de oneffenheden van het terrein te kunnen stellen. De beenen znn beneden van spitse ijzeren schoenen F voorzien,' waarmede z« m dèn grond gedrukt worden, door den voet op den^uitsprong G te plaatsen. 1 Aan het boveneinde kunnen de beenen draaien om de as B, tig. 38, die door den aan de stang C bevestigden ring gaat. Wordt de schroefmoer B op deze stang vast aangeschroefd f dan wordt het been in de cyhndervormige uitholling van den kop vastgedrukt en daardoor dat been met den kop vast verbonden De bevestiging van den theodoliet op den drievoet moet de werking met de stelschroeven A, flg. 86, toelaten en tevens eene • ^EnTrn11 d VaD, f f6616 iDStrUment °P den drievoet mogeni maken om daardoor het midden van het instrument juist verticaal boven een bepaald punt van het terrein te kunnen breng n ' ïe in t" 87vnW°rdt,d,rm t0t Stand gebracht met behulp van ae in ng. 39 voorgestelde veer eeitr^fr"15' %- 39' 'Vm het in^ument wordt op de e-Lt Z e ook L^S (Wer d°°r de m°er D> die om de «chroef C past, zie ook flg. 36) eene schroefstang EF bevestigd die door eene opening van den kop A van den drievoet gaat én waarop de moer G geschroefd is. Tusschen deze moer en & plIatT S^toT***"* d6n k°P A drUkt' "evindt6£ efé spiraalveer, die de moer 6? en daarmede de stang EF en het in- vSSn tnaDorIaaf,d,rUkt eQ h6t -^enfdus op den voet vastklemt. Door middel van de moer G- is het mogelijk de spannmg van de spiraalveer naar willekeur te regelen, terwUl de groote opening in den kop van den drievoet het verschuTve7van is LrlnTl* °Pden V°et t0elaai Beneden aan de stangjg -is nog een haakje Z bevestigd, om daaraan een schietlood op te hangen dat, ten einde het midden van het instrument op het lenl fiSeC eeren' U" ^ °Dgeveer even — gewichten AenB, figyéO, .benevens een koord G is saamgesteld. waarvan m S iT winre? A'h6taDdere d°°r middel ™ het dekpTSe D in hit enkel f; BOmstlwordt'ter bereiking van hetzelfde doel, in het enkelvoudige schietlood (§ 15) een knoop, flg. 41, gelegd Aan den eersten cirkelrand fig. 36, is de bus B bevesS' waardoor het instrument ondersteund wordt. Deze bus is kegelvormig uitgehold en daarin past de kegelvormige as van de alhidade D. Om deze as, die wij de eerste as noemen, en die bij het gebruik verticaal gesteld moet worden, kan het geheele bóvenstel van het instrument draaien. De alhidade D heeft veelal den vorm van een vollen cirkelrand (alhidade-cirkel) en dekt zoodoende de verdeeling van den rand Bt, die daaïdoor voor beschadiging gevrijwaard is. Ter plaatse, waar de nöniussen, meestal door I en II aangeduid, zijn aangebracht, is uit den alhidadecirkel een stuk uitgenomen en door'een glazen plaatje vervangen. Daarboven, zijn de loupen E aangebracht om de noniussen beter te kunnen aflezen en de illuminators F, om het daglicht daarop terug te kaatsen. (*). Door middel van de schroef 6? kan men de alhidade D met den cirkelrand Ex verbinden, zoodanig, dat de beweging van de alhidade en van het geheele bóvenstel van het instrument ten opzichte van den rand is opgeheven; de schroef H laat dan echter nog eene fijne beweging van het bóvenstel toe, die noodig is om dén kijker juist te kunnen richten. Deze inrichting voor vastklemmen en fijne beweging, die ook bij vele andere instrumenten voorkomt^ is in fig. 42abc op grootere schaal in detail voorgesteld. De twee plaatjes "A en B, waarvan het eene onder, het andere boven den cirkelrand is aangebracht, kunnen door het aandraaien van de schroef 6? aan den rand B worden .vastgeklemd; was nu het plaatje B aan de alhidade bevestigd, dan zou deze ook met den rand verbonden ën geene beweging meer mogelijk zijn. De verbinding van het plaatje B heeft echter plaats door de schroef H, die den naam van micrometerschroef draagt en die in het bolletje F, dat met de alhidade verbonden is, hare moer vindt en in het bolletje E, dat met B verbonden is, kan draaien. Wordt dus de schroef E omgedraaid, dan moet het bolletje F en daarmede de alhidade om de eerste as eene kleine hoekverplaatsing ondergaan. Om den dooden gang van de schroef op te heffen kan tusschen de bolletjes E en F om de schroef een spiraalveer worden aangebracht. . Bij het meten van verticale hoeken is het tevens noodig, de beweging van den kijker om de tweede as L te kunnen opheffen en daaraan eene fijne beweging te kunnen mededeelen. De inrichting daartoe zou dezelfde kunnen zijn als boven béschreven is; bij den in fig. 86 voorstelden theodoliet is dit doel op eenigszins andere wijze verkregen; door middel van de schroef Q wordt, (*) Voor de beteofcenis van ff zie de noot op pag. 16. De dLrand /' tnM ^ °g °m die as ^gedeeld. van metingen aanvang fraan m°et; alvorens men eene reeks worden Xan g ' ^ ^ ^etew van ^n theodoliet De eischen van regeling zijn- 2». De eerste as moet verticaal staan. Wet onderzoek of aan de voorwaarden van regeling voldaan is onTregelingzelve tot een volgende paragraaf uitstellende zullen Wij hier Can hoe het instrument wordt opgesteld en de hon- ^tT^ZToT^ terrein zoodanig hoven het iTk^en kop op ^l^^X^ oreert ZTtZl" ffSSp van « schietlood dat Tn den haak K wordt opgehangen , onderzoekt men nu of he midden van het instrument in de verticaal van he hoekpunt tt mocht dit niet het geval zijn, dan wordt hetinstrument op to^Sw^tomBHg verschoven en met de schroefm e G vasteezet mocht de afwijking te groot z«n, dan kan deze bij defaSebeeTden drievoet natuurlijk alleen verholpen worden male7te heVhalen, zooals in Hoofdstuk III rs medegedeeld. ^ ai Ts de theodoliet aldus opgesteld, dan kan men overgaan • ment heeft opgesteld, naarte. punten B en G Men beg te^—rG eTQ gedraaid^«-J op die wijse de^ kijker ^J^^^^^ ^ in het gezichtsveld ^^^^^ÏSidÏ om de eerste as op, draden vertoont, dan heft men de *™e^ d middel is en die zoo noodig verhelpt. Heeft men aldus op het punt B gericht, dan leest men den stand van beide noniussen af en herhaalt diezelfde bewerking voor het punt G. Men neemt nu voor elk van de richtingen naar B en naar C de graden én de onderdeelen afgelezen op den rand bij de nul van nonius I en het gemiddelde van de aflezingen aan de noniussen I en II; het verschil van deze waarden geeft dan den gevraagden horizontalen hoek, vrij van een mogelijk aanwezige fout van excentriciteit (zie § 14). Dat de aldus gevonden hoek werkelijk de horizontale hoek tusschen de lijnen AB en AC is, valt gemakkelijk in te zien. Door het richten op het punt B gaat het vlak, dat de vizierlijn bij eene draaiing om de tweede as beschrijft, door het punt B. ■ Dit vlak, loodrecht staande opvde horizontale tweede as, is dus' het horizontaal projecteerend vlak van de lijn AB. Door draaiing, van. het bóvenstel van het instrument om de eerste as, tot men gericht is op C, wordt dit vlak het horizontaal projecteerend vlak van AC, en de hoek, door dat vlak doorloopen, dat* is de op den cirkelrand gemeten hoek, is dus de standhoek tusschen die twee projecteerende vlakken, dat is de te meten hoek. Heeft men meer dan één hoek in hetzelfde punt te meten, bijv. de hoeken, gevormd door de lijnen, gaande naar de punten B,C,B,E, enz., dan richt men achtereenvolgens op de punten B, G, D, E, enz. en leest telkens de beide noniussen af. Door de gemiddelde aflezingen, berekend op boven aangegeven wijze, I twee aan twee van elkander af te trekken, vindt mén al dé verlangde hoeken. § 32. Het doorslaan van den kijker. Zooals wij boven gezien hebben, moet de theodoliet en in het algeméén ieder instrument aan zekere voorwaarden van regeling voldoen; wordt hieraan niet voldaan, dan ontstaan er fouten in de meting. Men moet natuurlijk zorgen de uitkomsten der meting te vinden, bevrijd van deze fouten. Dit kan geschieden door het instrument naar behooren te regelen of door de meting zoodanig in te richten, dat die fouten geëlimineerd worden. Is dit laatste mogelijk, dan is het zaak van die methode van meting gebruik te maken, ook al heeft men het instrument goed geregeld, want bij het regelen kunnen nog kleine fouten overgebleven zijn en deze worden dan door de meting zelve geëlimineerd. Bij een theodoliet is het mogelijk de fouten , die voortspruiten uit het niet-voldoen aan de laatste twee voorwaarden van regeling (zie blz. 35), te elimineeren en wel door het doorslaan van den kyker. De stutten I van den theodoliet (zie flg. 36) zijn zoo lang gemaakt, dat het objectief of wel het oculair van den kijker vrij over den alhidadecirkel kan bewegen en dus het oculair aan die zijde, kan komen, waar eerst het objectief was; dit objectief komt daardoor natuurlijk aan de andere zijde, waar zich vroeger het oculair bevond. Deze beweging van den kijker noemt men het doorslaan. Meet men nu tweemaal denzelfden hoek, eens met den kijker in den gewonen stand, daarna met den kijker in den doorgeslagen stand, dan worden door het nemen van het gemiddelde uit de twee aldus, gevonden waarden Voor den hoek, de fouten, voortspruitende uit het niet zuiver regelen van vizierlijn en tweede as, geëlimineerd. § 33. Om aan te toonen, dat hierdoor werkelijk de bedoelde fouten geëlimineerd worden, zullen wij veronderstellen, dat een der punten, bijv. het punt G, fig. 44a, met het punt A in een horizontaal vlak ligt, dat het punt B zich echter op eenige hoogte daarboven bevindt. Nemen wij nu door het punt B een verticaal projectie vlak V aan, dat loodrecht staat op de horizontale projectie van AB, en dat door het horizontale vlak door A volgens de lijn HH wordt gesneden, dan zal het punt G, volgens bovenstaande onderstelling, in dit horizontale vlak liggen, en het punt B zich daarop^in B' projecteeren. Is de theodoliet nu goed geregeld en goed opgesteld, dan zal, als wij op B gericht hebben en den kijker om de tweede as draaien, tot hij den horizontalen stand verkrijgt, de vizierlijn een verticaal vkk beschrijven, dat het vlak V snijdt volgens de lijn BB', loodrecht op HH, zoodat de vizierlijn den stand AB' verkrijgt. Richten wij nu op het punt C, dan doorloopt de kijker dus den horizontalen hoek B'AG, d.i. de hoek, dien wij willen meten. Staat nu echter de tweede as A-ffi niet loodrecht op de eerste (deze laatste echter wel "verticaal en de vizMliju wel lüodrechT op de tweede as), maar projecteert zij zich op het vlak V volgens Dj'^j' als de kijker op B gericht is, dan zal bij de draaiing van den kijker om de tweede as de vizierlijn een plat vlak ABB1 ' beschrijven, loodrecht op de tweede as, dat het vlak van projectie snijdt volgens de lijn BBU loodrecht op D{E{. Bij het richten ' op C' zien wij nu, dat de kijker den horizontalen hoek B^ACmoet doorloopen, waaruit volgt, dat wij voor den hoek eene te groote -waarde vinden, en wel dat de fout gelijk is aan den hoek BXAB', Na het doorslaan van den kijker moeten wij, pm weer op B te richten, het bóvenstel van het instrument om de eerste as omdraaien, waardoor de tweede as in den stand D2E2 komt, symmetrisch met D& ten opzichte van het verticale vlak A BB' gelegen. Bij het neerslaan van den kijker beschrijft de vizierlijn nu weeleen plat vlak ABB2, loodrecht op de tweede as, dat het vlak van projectie snijdt volgens de lijn BB2, loodrecht op de nieuwe projectie B2'B2' van de tweede as. Bij het richten op O moet de kijker dus thans den horizontalen hoek B2AC doorloopen, die blijkens de figuur evenveel te klein is, als de eerstgemeten hoek BiAC te groot was. Door het nemen van het gemiddelde wordt dus de fout geëlimineerd. tweede as wel loodrechTop de eerste'erf deze l^ste~vèr£^' dan zal, ais wij den kijker 'eerst op B gericht hebben en hem daarna om de horizontale as D1E1,-fig. 44», wentelen, de vizierlijn AB een kegelvlak ABBn beschrijven, met de tweede as 2)^ als as en een halven tophoek D^AB, die weinig van 90° verschilt. Daar het horizontale vlak, door A gebracht, een vlak van symmetrie is voor den kegel en voor het vlak V, zal de doorsnede van dezen kegel met het vlakvF een hyperbool BBX zijn, waarvan de bestaanbare as langs HH valt, en waarvan BBi een deel voorstelt, in de onderstelling, dat de vizierlijn links van de loodlijn op de as afwijkt. De kijker is dus na het neerslaan gericht op-P, en de hoek, dien wij op den rand bepalen, is dus de hoek BXAC, d.i. wij maken eene fout gelijk aan den hoek BxAR. Slaan wij nu den kijker door, dan zal de vizierlijn, die wij eerst naar links uit het vlak loodrecht op de tweede as zagen afwijken, evenveel naar de rechterzijde uitwijken en zal de tweede as, na weer op B gericht te hebben, *den stand D2E2 innemen, symmetrisch met D& ten opzichte van het verticale vlak ABW gelegen. Bij het neerslaan van den kijker zal dus het vlak F gesneden worden door de vizierlijn volgens de hyperbool BB2, die symmetrisch met BBt ten opzichte van BB' ligt. Bij het richten op O doorloopt de kijker-dus den horizontalen hoek B2AG, waaruit blijkt, dat wij nu eene fout B2AB' maken, even groot als bij de eerste meting, maar thans in tegengestelden zin. Uit het gemiddelde der twee metingen valt de fout dus weg. Zijn bovenstaande fouten gelijktijdig aanwezig, dan voegen de invloeden zich eenvoudig samen en worden dus ook gezamenlijk geëlimineerd. Is het punt C niet in een horizontaal vlak gelegen met A, dan maakt men bij C eene dergelijke fout als bij B, en is (wanneer het punt C ook boven het horizontale vlak van A is gelegen) de fout in den horizontalen hoek gelijk aan het verschil der fouten, die bij B en bij C zijn gemaakt. Uit de figuren 44' en 44b valt nog op te merken, dat de fouten van regeling des te meer invloed hebben op de waargenomene - richting van een punt, naarmate dit onder een grooteren elevatieof depressiehoek wordt gezien. Voor een elevatie- en een depressiehoek van gelijke grootte zijn de fouten, welke door den önjuisten stand der tweede as worden teweeggebracht, gelijk maar tegengesteld; de fouten echter door onjuiste regeling van de vizierlijn veroorzaakt, in denzelfden zin en gelijk. Op de gemeten horizontale projectie van een hoek BA 0 zal de eerstgenoemde fout . dus des te grooter zijn, naarmate de elevatiehoeken der beenen AB en AG meer van elkaar verschillen; de laatstgenoemde fout echter neemt toe met het grooter .worden van het verschil in de absolute grootten dier elevatiehoeken, afgezien alzoo van hun teeken. De genoemde regelingsfouten .hebben geen invloed op I de uitkomsten der meting, wanneer de beenen AB en AC dezelfde elevatie bezitten. (*) ' (*) Uit de figuren 44" en 44l> kunnen overigens gemakkelijk de fouten gevonden worden, die in de enkele meting van den hoek worden gemaakt. Is «, flg. 44», de hoek, dien de tweede as maakt met het vlak, loodrecht op de eerste 'as, dan zal ook de hellingshoek D^BB^ van de projectie van $E gelijk « mogen gesteld worden, aangezien de tweede as slechts een zeer kleinen hoek met het vlak V maakt. Stelt men h = hoek BAK den elevatiehook van AB, en «T = hoek BxAB de fout in'de enkele meting, dan is: : SBi BBtga. . ta t = = = tg*tg h, J AR BKcotgh of, daar a en f steeds zeer klein zijn: l = * tg h. Is (8, fig. 44, de hoek, dien de vizierlijn afwijkt uit het vlak, loodrecht op de tweede' as, én S = hoek B'ABi do fout in de enkele meting, dan is hoek D^AB = hoek DiABn — 90° — /2, en dus hoek KBnA = In driehoek AB'Bn heeftenen dan: AB- Wegens de kleinheid van i en /? mag men hierin stellen: pBp — AB„ — AB' = AB — AB!} • Wanneer men hoeken meet tüsschen. de richtingen naar punten die op zeer uiteenloopende afstanden van het hoekpunt zijn verwijderd , waarbij dus steeds opnieuw, de parallax moet worden weggenomen, zoo mete men iedere richting onmiddellijk na elkaar in den gewonen stand en in den doorgeslagen stand van den kijker; daarbij zorgdragende, dat men gedurende de meting voor één punt de oculairbuis niet verplaatst. In het algemeen verdient het aanbeveling gedurende de hoekmeting de oculairbuis niet te verplaatsen (tenzij men bovenstaande methode volgt), aangezien door deze verplaatsing de stand van de vizierlijn allicht kleine veranderingen kan ondergaan (zie ook § 7). De fout, welke gemaakt wordt, doordat de eerste as niet zuiver verticaal staat, kan niet door middel van eene dubbele meting geëlimineerd worden. Aangezien deze fout in den regel een grooteren invloed op de uitkomsten der meting heeft, dan die, welke ontstaan ten gevolge van een onjuisten stand van de tweede as ten opzichte van de eerste en van de vizierlijn ten opzichte van de tweede as, zoo is het doorslaan van den kijker wel een belangrijk, maar niettemin een onvolkomen middel ter . vermijding van fouten in de hoekmeting en blijft het zaak, steeds de eerste as zoo zuiver mogelijk verticaal te stellen. (*) zoodat: . ' AB — AR sm £ = st'B/3 = (sech — Vjsinfi of ook: e = (sech -l)P = ptghtg 1/2h. Was do elévatiehoek van AC niet nul, maar h\ zoo worden bij C overeenkomstige routen gemaakt, en zouden de fouten in de enkele meting worden: i = *(igh-tgV), en: t = /8 (sec h - sec ft') = £ (ty htg V, ft - 4g ft' tg i/2 ft'). O De fout, welke gemaakt wordt, indien de eerste as AG een kleinen hook y van de verticaal afwijkt, kan gemakkelijk als volgt gevonden worden. , Z h'ef°e IIH'' flS- 45. de doorsnede van het horizontale vlak door ^jhethet vlak dat in A normaal op de eerste as AG staat en zfl AD do stand der in het laatstbedoelde vlak gelegene tweede as bU het richten op het linkervoorwerp B. De hoeklLlD =*', welke de tweede as met hare projectie maakt, wordt dan blijkens de figuur gevonden uit: * . , BD B'Figy of: «' = y sin p, waarin f den hoek tusschen HH' en het verticale vlak door de tweede as voor- I § 35. Onderzoek 011 regeling van den theodoliet. Er bestaan verschillende methoden, om te onderzoeken of de theodoliet aan de laatste twee eischen van regeling (blz. 35) voldoet. Het doorslaan van den kijker levert daarbij veel gemak op, omdat men daardoor in staat is, den theodoliet aan ieder van deze twee voorwaarden afzonderlijk te toetsen, terwijl men bij een theodoliet, waarvan de kijker niet kan doorslaan, op deze beide voorwaarden gelijktijdig moet onderzoeken. Wij zullen hieronder afzonderlijk nagaan het onderzoek met behulp van het doorslaan van den kijker en zonder het doorslaan van den kijker; en daarbij evenals in de vorige paragrafen veronderstellen, dat de kijker centrisch aangebracht en het niveau aan de alhidade verbonden is. Hoe in dit geval aan den eersten eisch van regeling voldaan wordt, m. a. w. hoe het niveau, dat dienen moet om de eerste as verticaal te stellen, geregeld moet worden, is in het vorige hoofdstuk uitvoerig behandeld. Het bijzondere geval, waarbij het niveau op de tweede as rust, alsmede het geval, dat de kijker excentrisch aan de tweede as bevestigd is, wordt hierachter afzonderlijk besproken (zie § 39). § 36. Om te onderzoeken of bij een theodoliet met doorslaanden kijker voldaan is aan den tweeden eisch van regeling, m. a.w. of de tweede as rechthoekig staat op de eerste, plaatst men den theodoliet op (een afstand van 3 a 4 M. voor een muur en brengt daarop, op eene hoogte ongeveer dubbel zoo groot als die van het instrument boven den grond, een scherp begrensd merk aan (bijv. een zwart punt van een millimeter middellijn op een stukje wit papier). Na den kijker hierop gericht te hebben, draait stelt. De fout, die door de helling *' der tweede as wordt teweeggebracht bü het richten op B is blijkens de onmiddelijk voorafgaande noot: S' = »' tg h = y sin $ tg h. Bü het richten op het rechtervoorwerp C maakt men een overeenkomstige fout: 1' = y sin (p + A) tg h' als A de te meten horizontale projectie van den hoek BAC voorstelt. De fout in den gemeten hoek bedraagt dus: S' = y [sin ftgh — sin{9 + A) tg h']. Voor gelijke waarden van h en h' (wanneer dus de fouten in den stand zoowel van tweede, as als van vizierlijn geen invloed hebben) is f' een maximum voor: Hi&^l sinf = -sin(P + A) = l, of: ï = !)0° en 4 = 180°; deze maximumwaarde is dan i'mux- y(tgh +.tg/<•')~%ytgh. men hem voorzichtig om de tweede as, tot hij eene benederïwaartsche helling heeft, ongeveer gelijk aan de helling, die hij vroeger naar boven had, en laat het punt aanteekenen, waarop de kijker nu gericht is. Slaat men den kijker nu door en richt hem (door draaiing ook om de eerste as) weer op het eerste punt, dan moet hij bij het naar beneden slaan weer op het tweede punt kunnen gericht komen; is dit niet het geval, dan staat de tweede as niet rechthoekig op de eerste. Om de juistheid van bovenstaand onderzoek aan te toonen, stelle AAX, fig. 46, de projectie van de eerste as op den muur voor, DE de daarop loodrecht veronderstelde tweede as en 4 het punt, dat op den muur is aangegeven en waarop de kijker gericht wordt. Slaat men den kijker nu naar beneden, dan beschrijft de vizierlijn een plat vlak, rechthoekig op de tweede as en dit vlak snijdt den muur volgens eene lijn, rechthoekig op de projectie DE van de tweede as, dat is dus volgens de lijn AAX. De kijker is dus ten slotte gericht op het punt Ax en het is dit punt, dat men laat aanteekenen. Slaat men nu den kijker door en richt weer op het punt A, dan komt daardoor de tweede as weer in denzelfden stand DE, en de vizierlijn volgt op den duur weer dezelfde lijn AAX, zoodat men weer op het punt Ax gericht komt. Is de tweede as daarentegen niet rechthoekig op de eerste, maar projecteert zij zich bijv. volgens DXEX, dan zal bij het naar beneden bewegen van den kijker, de vizierlijn de lijn AB beschrijven loodrecht op DXEX, waardoor men op het punt B gericht komt; dit punt laat men op den muur aanteekenen. Slaat men nu den kijker door en richt hem weer op A, dan zal door het draaien om de eerste as,^de tweede as den stand D2E2 verkrijgen; bij het naar beneden slaan volgt de vizierlijn dus de lijn' AC loodrecht op D2E2, zoodat men ten slotte op Cin plaats van op B gericht is. Uit de figuur is gemakkelijk te zien, dat hoek BAC het dubbel is van de afwijking « van de tweede as, uit het-vlak loodrecht op de eerste as. Deze afwijking is dus gelijk aan uitge* ■ 2AAX drukt in deelen van den straal als eenheidy (*) Jjte ^tinf vin Z f kl"f " kEn de daardoor Weggebrachte fout in de verbad met de fX ïl vo1^ ^ noot op blz. 40 bereke»d worden, en hieruit afXd t hoi! gew;nscht?.en bereikbare nauwkeurigheid der meting worden ^nl»v , v n'e v6 reg6ling der tweede as bij do enkele meting vanaen hoek TSS^JflZ * ^ »° « * -arde voor Bij bovenstaand bewijs is men stilzwijgend van de veronderstelling uitgegaan, dat de vizierlijn rechthoekig staat op de tweede as. Is aan deze voorwaarde niet voldaan, dan is dit toch zonder invloed op het onderzoek, als men er slechts voor gezorgd heeft, zooals boven is aangegeven, bij het naar boven en bij het naar beneden richten, aan den kijker telkens dezelfde helling te geven. De vizierlijn beschrijft dan wel niet de rechte lijnen AB en AC, maar stukken van hyperbolen, gaande door A en B en door A en G, welke respectievelijk de projecties en D2H2 van de tweede as tot reëele assen hebben, zooals in § 34'nader is aangetoond. Heeft men op bovenstaande wijze gevonden, dat de tweede as niet rechthoekig staat op de eerste en heeft men uit de afwijking van het punt G ten opzichte van B nagegaan, in welken zin de afwijking plaats heeft, dan kan men met behulp der correctieschroeven (zie üg. 36 en flg. 63) haren stand verbeteren en dan nog eensV onderzoeken, of de regeling juist is, of in welken zin de stand der as verbeterd moet worden. Bij de practische uitvoering van bovenstaand onderzoek is het moeilijk, om de punten B en G op den muur met de noodige juistheid te laten aanteekenen; men doet daarom beter om beneden bij den muur een dubbelen decimeter in horizontale richting te plaatsen en in beide gevallen bij het naar beneden slaan 'van den kijker daarop tot in tiende deelen van millimeters de plaats af te lezen, waar het kruispunt der draden zich op de schaal projecteert. Verkrijgt men dan béide keeren dezelfde aflezing, dan staat de tweede as loodrecht op de eerste; verkrijgt men niet dezelfde aflezing, dan is het verschil van beide aflezingen, de afstand van de punten B en C, waaruit men gemakkelijk de fout kan berekenen. Uit beide aflezingen kan men tevens nagaan, in welken zin de afwijking plaats heeft en hoe de fout dus verholpen moet worden, v ■ § 37. Om bij een theodoliet met doorslaanden kijker te .onderzoeken of aan den derden eisch van regeling voldaan is, m.a.w. of de vizierlijn rechthoekig staat op de tweede .as, richt mén den kijker op een niet te dichtbij gelegen punt, dat men — om den invloed van een onjuisten stand der tweede as onschadelijk te maken — zoodanig kiest, dat de kijker ongeveer loodrecht staat op de eerste as, en leest den stand der noniussen op den eersten cirkelrand af. Slaat men nu door en richt men weer op hetzelfde punt, dan moet men op de noniussen 180° meer of minder aflezen, Is dit niet het'geval, dan staat de vizierlijn niet loodrecht op de tweede as, en hetgeen riien meer of minder dan 180° gedraaid heeft, is het dubbel van de afwijking. * Stelt DE, fig. 47 (in projectie op een vlak loodrecht op de eerste as), de projectie der tweede as voor, dan zou de vizierlijn den stand VVX moeten hebben, loodrecht op DE; stel echter, dat de vizierlijn den stand AB heeft en gericht is op het punt P, zoodat' zij een hoek 90° — /3 met de tweede as maakt. Slaat men den kijker door, dan zal de vizierlijn, draaiende om DE den stand AXBX verkrijgen, en nu is het duidelijk dat, om die vizierlijn weer in den eersten stand te brengen, zoodat zij weer gericht is op P, zij om de eerste as een hoek moet draaien, gelijk aan Bx0B = 180° + 2/3. Heeft men op bovenstaande wijze gevonden, dat de vizierlijn niet loodrecht staat op de tweede as, dan verdraaie men voor de correctie het bóvenstel met behulp van de micrometerschroef U, flg. 86, een hoekje, gelijk aan de fout /3, waardoor de tweede as, die eerst den stand DXEX, fig. 48)Vbad, in den stand D2E2 en de vizierlijn van den stand AB in den stand A2B2 komt. Door nu met de correctieschroefjes, die op het diaphragma werken, het kruispunt der draden op het punt P te brengen, komt de vizierlijn in den juisten stand AB, rechthoekig op de tweede as D2E2. Ook kan men, na voor de fweede maal op P gericht te hebben, het bóvenstel met behulp van de micrometerschroef zoover verdraaien, dat men op de noniussen 180° meer of minder afleest, dan bij het begin. De vizierlijn AXBX en de tweede as DE komen dan in den stand van fig. 49, waarbij mén niet meer op het punt P gericht is, en de afwijking, die men waarneemt, komt overeen met het dubbel van de fout. Om de vizierlijn te regelen, heeft men nu slechts met behulp van de correctieschroefjes O, fig. 36, het kruispunt der draden zooveel te verplaatsen , dat de afwijking voor de helft is weggenomen, waardoor de vizierlijn in den stand V7X, rechthoekig op BE, komt. De bewerking wordt hierna nog eens herhaald. Bij het onderzoek en de regeling op de beschreven wijze is men afhankelijk van de nauwkeurigheid van de aflezing op den rand. Zoo men den theodoliet wenscht te gebruiken tot het verlengen van lijnen op het terrein, is dit niet nauwkeurig genoeg en kan men ook den stand van de vizierlijn ten opzichte van de tweede as als volgt onderzoeken. Daartoe richt men den kijker op een punt P, fig. 50. Laat daarbij de tweede as DE een hoek 90° — /3 met de vizierlijn AB maken; men slaat nu den kijker door, en laat in de richting JjZfj, die de vizierlijn daarbij verkrijgt, eene baak Q plaatsen. Richt men nu weer op P' door draaiing van het bóvenstel om de eerste as, dan zal de tweede as den stand DLEi verkrijgen, en de vizierlijn dus, na den kijker andermaal te hebben doorgeslagen , niet meer op Q gericht zijn, doch eene uitwijking QOB2 vertoonen, die blijkens de figuur gelijk is aan het viervoud van de fout (3 in den stand der vizierlijn. Om de vizierlijn te regelen, kan men met behulp van de schroef voor fijne beweging H, fig. 36, het kruispunt der draden over drie vierden van de afwijking verplaatsen, daarna met behulp van de correctieschroef O, fig. 36, het kruispunt zooveel ver. plaatsen, dat de kijker weer op de baak Q gericht wordt. (*) § 38. Om bij een theodoliet, waarvan de kijker niet kan doorslaan , te onderzoeken of de tweede as loodrecht op de eerste en de vizierlijn loodrecht op de tweede as staat, st'elt men de eerste as juist verticaal, richt den kijker op eene verticale lijn (bijv. op een vrij hangend, aan het benedeneinde met een gewicht bezwaard koord) en beweegt hem om de tweede as op en neer. Is nu aan beide voorwaarden van regeling voldaan, dan zal de vizierlijn een plat verticaal vlak beschrijven en' dus steeds op de verticale lijn gericht blijven; doet zij dit niet, dan is aan een van beide of aan beide voorwaarden niet voldaan. .Stelt AB, tig. 5P, de verticale lijn voor, geprojecteerd op een daarachter gelegen verticaal vlak, 0 het punt van die lijn, waarop men bij horizontalen stand van den kijker gericht heeft, dan zal, als de tweede as niet loodrecht op de eerste, maar de vizierlijn wel loodrecht op de tweede as staat, de vizierlijn bij de beweging om de tweede as een plat vlak beschrijven, loodrecht op de niet horizontale tweede as; dat vlak is dus niet verticaal en snijdt dus het projectieylak volgens eene schuine lijn ab; waaruit volgt, dat men bij het naar boven en naar beneden bewegen van den kijker, het kruispunt-der draden in tegengestelden zin van de verticale lijn zal zien afwijken en dat, als men aan de vizierlijn eene zelfde helling naar boven -en naar beneden geeft, de uitwijkingen x even groot zullen zijn. Is de tweede as wel rechthoekig op -de eerste, maar de vizierlijn (*) Omtrent de noodzakelijkheid van het verbeteren der fout & in den stand der vizierlijn bU het doen van enkele hoekmetingen, waarbij geen gebruik wordt gemaakt van het doorslaan van den kijker, geldt eene overeenkomstige opmerking, als in de noot op blz. 43 voor de fout * in den stand der tweede as is gemaakt. niet rechthoekig op de tweede as. dan zal de vizierlijn bij hare beweging om de tweede as, een kegel vlak beschrijven met horizontale as, dat het projëctievlak snijdt volgens eene hyperbool a'Ob', fig. 51", met horizontale bestaanbare as en waarvan dé top in 0 ligt. Hieruit volgt, dat bij het naar boven en naar beneden bewegen van den kijker het kruispunt der draden beide keeren in denzelfden zin zal uitwijken; en dat bij eene gelijke helling van de vizierlijn naar boven en naar beneden, de uitwijkingen y ook gelijk zijn. Zijn beide fouten gelijktijdig aanwezig, dan is de geheele uitwijking gelijk aan de som van de uitwijkingen door beide veroorzaakt, zoodat men bij het in fig. ölc voorgestelde geval, bij het naar boven bewegen de uitwijking A"a" =p = x + y zal krijgen en bij het naar beneden bewegen de uitwijking B"b" = q = x — y; dat is: bij gelijke helling naar boven en naar beneden verkrijgt men ongelijke uitwijkingen. • Uit het bovenstaande volgt dus deze regel. Richt men bij , horizontalen stand van de vizierlijn op de verticale lijn en geeft men daarna aan den kijker eene helling naar boven en eene gelijke helling naar beneden, dan duiden: gelijke uitwijkingen in tegengestelden zin op den niet loodrechten stand van de tweede as op de eerste, gelijke uitwijkingen in gelijken zin op den niet loodrechten stand van de vizierlijn op de tweede as, terwijl ongelijke uitwijkingen in denzelfden of in tegengestelden zin op de gelijktijdige aanwezigheid van beide fouten duiden. Uit de grootten A"a"=p en B"V' = q der afwijkingen kan dan gemakkelijk worden afgeleid, hoe groo.t de afwijkingen Aa=x, flg. 51', en A'a' = y, fig. 51", zijn, welke voortvloeien respectievelijk uit den onjuisten stand van tweede as en vizierlijn • in het géval van fig. 51c is bijv.: ' ' x = i (p -f £2) en y = | [p — q). Met behulp der correctieschroeven NN, fig. 36, aan de pan der tweede as, wordt de afwijking x én met behulp der correctieschroefjes O, fig. 36, aan het diaphragma, wordt de afwijking y weggenomen, waarna het onderzoek nog eens wordt herhaald. (*) O Uit de afwijkingen x en y kunnen gemakkelijk de fouten « en £ in den stand van de tweede as en van de vizierlijn berekend worden, welke men moet kennen ZJZ r ° dr/°tUtfn °P de gr°°tte van een «en horizonnen hoek te bepalen en daaruit af te leiden, of regeling van .het instrument in verband met de te bereiken nauwkeurigheid noodzakelijk is Noemt men namelijk den afstand van hét middelpunt van den theodoliet tot Sommige instrumenten, waarvan de kijker niet op de in § 32 besproken wijze kan doorslaan, zijn ten behoeve eener gemakkelijke regeling zoodanig ingericht, dat dè kijker uit de tappannen kan worden gelicht en daarna doorgeslagen; ook kan dan de kijker worden omgelegd, d.w.z. de tappen.der tweede as kunnen worden verwisseld. Het onderzoek naar den juisten stand van vizierlijn en tweede as kan dan als volgt geschieden. Men richt op een punt P en legt den kijker om; is men nu weer op P gericht, dan staat de vizierlijn rechthoekig op de tweede as; zoo niet, dan komt de afwijking overeen met het dubbel van de fout. Is deze fout weggenomen, dan kan de juiste stand van eerste en tweede as onderzocht worden op de wijze als bij doorslaanden kijker is besproken. § 30. Gewijzigde inrichtingen van den theodoliet. Is de theodoliet voorzien van een op de tweede as rustend ruiterniveau, zooals in fig. 52 schematisch is voorgesteld, dan moet het instrument aan de volgende eischen van regeling" voldoen: ( 1°. de richtlijn van het niveau moet evenwijdig zijn aan de tweede as; 2°. de tweede as moet rechthoekig staan op de eerste as; 3°. de vizierlijn moet rechthoekig staan op de tweede as. Het voldoen aan den eersten eisch geschiedt op de in § 24 aangegeven wijze. Voor wat den tweeden eisch betreft, onderzoekt men óp de aan het ,vrühangende koord D, dan volgt uit eene vergelijking van fig. 51» en flg. 44» in verband met de noot op blz. 40: x = D.tgS=D.t — D.atgh, of: x a = — tgh: D , of wel, indien men , flg. bi», OA = a = Dtg h stelt: *= — tg*h. a Evenzoo leidt men uit flg. 51h en flg. 44'> gemakkelijk af: y = Digi — D. i = B/S tg li tg V» ?<■ of: / y 1 y_ tgh y_ ^ j. ~ D ' tghtg i/jft ~ « ' tglttglj«h ~ a C° 3 2 In deze formules stelt h den elevatioliook der vizierlijn voor en z(jn * en VS uitgedrukt in deelen van den straal. in § 26 behandelde wijze of de richtlijn van het niveau loodrecht • staat °P de eerste as; is dit het geval, dan staat ook de daaraan evenwijdige tweede as loodrecht op de eerste. Ten ,einde zich bij dit onderzoek onafhankelijk te maken van eene fout, die in de regeling van het niveau ten opzichte van de tweede as mocht zijn overgebleven, is het goed, om na het 180° omdraaien van het bóvenstel het niveau op de as om te zetten zoodat het weer in zijn oorspronkelijken. stand komt. Staat dé richtlijn van het niveau niet loodrecht op de eerste as, dan wordt dit verholpen met behulp van de correctieschroeven die op de tweede as werken, waardoor gelijktijdig richtlijn en tweede as loodrecht komen op de eerste as. Tot dit doel is bij den in fig. 52 voorgestelden theodoliet een der stutten van de tweede as, fig. 58, van een spleet voorzien, die door middel van de drukschroef A en de trekschroef A' wijder en nauwer kan gemaakt worden, tengevolge waarvan het op dezen stut rustende uiteinde der tweede as daalt of rijst. Het onderzoek of aan den derden eisch voldaan is, kan geschieden op de in § 37 aangegevene wijze of, als de kijker niet kan doorslaan, met behulp van eene verticale lijn, zooals in de vorige paragraaf is beschreven; bij dit laatste onderzoek wordt de tweede as met behulp van het niveau zuiver horizontaal gesteld, waardoor men geheel onafhankelijk is van den niet loodrechten stand van de tweede as ten opzichte van de eerste. Bij sommige instrumenten is de kijker van den theodoliet excentrisch aangebracht; in dit geval moet het instrument aan . dezelfde eischen voldoen (zie § 30) alsI de theodoliet, waarbij de kijker centrisch is aangebracht. Bij het meten behoeft slechts dan met de excentriciteit rekening te worden géhouden, wanneer de hoek maar éénmaal gemeten wordt; doch meet men den hoek tweemalen, eenmaal met den kijker in gewonen en daarna met den kijker in doorgeslagen' stand, dan worden niet alleen de fouten, voortspruitende uit het niet zuiver regelen, van vizierlijn en tweede as, doch tevens die der excentriciteit geëlimineerd. Zij, om dit aan te toonen, hoek BAC=--a, flg. 54 de te meten hoek, dan zal men in den gewonen stand van den kijker eerst bijv. hoek BAïC=a1 en daarna in den doorgeslagen stand hoek BA20=H meten. Uit de figuur blijkt dan onmiddellijk: (2,-1-/1 =a -f« «2 + « = a -f (3 4 waaruit volgt, dat «=. -i— —, d.w.z. dat de gevraagde hoek gelijk is aan het gemiddelde dei' twee metingen. Het onderzoek naar den juisten stand van de .eerste en de tweede as geschiedt geheel op dezelfde wijze als in § 36 beschreven , mits men zorge, dat de dubbele decimeter gelegen is in een verticaal vlak, gaande door het punt van den muur, waarop men richt. Bij het onderzoek echter naar den juisten stand van vizierlijn en tweede as volgens de methode, in § 37 aangegeven, moet men met de excentriciteit rekening houden, of op een ver verwijderd punt richten. Voor het geval men beschikt over een tweede instrument, onverschillig welk, is het eenvoudiger voor laatstbedoeld onderzoek de navolgende methodè toe te passen. Men richt den kijker van het hulpinstrument op een ver afgelegen punt P; men plaatst den theodoliet met excentrischen kijker er voor, en richt, nadat men de kruisdraden van dezen kijker ongeveer in het brandpunt gesteld heeft, op het kruispunt der draden van den eersten kijker, slaat men nu den excentrischen kijker door, dan moet men ook op P gericht zijn; zoo niet,, dan komt de afwijking, die men Waarneemt, overeen met het dubbel van de fout. De regeling geschiedt op overeenkomstige wijze, als voor den theodoliet met centrischen kijker is beschreven. § 40. Repetitie en reïteratie. Wil men eene grootere nauwkeurigheid in het meten der hoeken verkrijgen, dan men bereiken kan door het eenmaal meten van de hoeken op de bovenbeschrevene wijze, dan moet men die hoeken meermalen meten, om uit de uitkomsten dier metingen een resultaat af te leiden, waarop de verschillende bronnen van fouten een zoo gering mogelijken invloed hebben. Twee verschillende methoden van meting worden daarbij in hoofdzaak toegepast, de repetitie- en de reïteratie-methode. Bij de eerste methode meet men het veelvoud van den hoek, waaruit men dan door deéling den enkelvoudigen hoek verkrijgt. Bij de tweede meet men denzelfden hoek op verschillende, regelmatig langs den omtrek verdeelde deelen van den rand en neemt daaruit het gemiddelde. § 41. Bij de toepassing van de eerste methode moet de . theodoliet bijzonder daarvoor zijn ingericht (repetitie-theodoUet). De cirkelrand Bx moet namelijk, niet zooals in fig. 36, met de bus É verbonden zijn (maar zooals flg. 55 dat voorstelt, ten opzichte van die bus kunnen draaien, om eene as, samenvallende met die, om welke het bóvenstel ten opzichte van den rand draait Door middel van dé klemschroef 67' kan de rand aan de busB verbonden en met behulp van de micrometerschroef H' daaraan eene fijne beweging gegeven worden. ( °FlJ^„met benuIP van den aldus ingerichten theodoliet den hoek BAC in het punt A te meten, richt men eerst op het punt B en leest den stand der noniussen af, waarna men den kijker op G richt door het bóvenstel over den rand te bewegen (klemschroef 67, micrometerschroef H). Las men nu weer den stand der noniussen af, dan zou men door aftrekking den te meten hoek vinden; in plaats hiervan richt men den kijker weer op het punt B, door den rand, met het bóvenstel samen, te bewegen (schroeven 67' en H') en vervolgens op C, door alleen het bóvenstel zonder den rand te verdraaien (schroeven 67 en H) Bij deze laatste beweging doorloopen de noniussen op den rand andermaal den te meten hoek; lezen wij daarna den stand der noniussen af, dan vinden wij, door aftrekkingVvan de eerste aflezing, het dubbel van den gevraagden hoek. Het is duidelijk, hoe men op deze wijze het 3, 4 in het algemeen het n-voud van den hoek kan vinden. Men heeft slechts afwisselend op het eene punt (2?) te richten, door den rand te verdraaien (schroeven 67' en H') en op het andere (C) door den kijker ten opzichte van den rand te bewegen (schroeven tr en li). Heeft men bij het begin op den nonius afgelezen a„ en na n malen den hoek op den rand doorloopen te hebben (n repetities) «„ en is de nonius daarbij m malen het nulpunt voorbijgegaan, dan zal de waarde van den hoek zijn- «n —ao-f- m. 360° n Hoewel het alleen noodig is bij het begin en bij het einde van de bewerking de noniussen af te lezen, zoo is het toch wenschehjk dit ook na de eerste repetitie te doen, ten einde onmiddellijk eene benaderde waarde voor den hoek te vinden waaruit men dan later gemakkelijk kan opmaken, hoeveel malen de nonius het nulpunt van den rand gepasseerd is (het getalm «bovenstaande formule). Uit de grootte van het verschil van deze benaderde waarde en de einduitkomst kan tevens beoordeeld worden, of men gedurende de meting geen grove fouten bijv. het draaien aan eene verkeerde micrometerschroef, begaan heeft. Bij een theodoliet met doorslaanden kijker neemt men het aantal repetities n bij voorkeur even. en voert men dan de eene helft der metingen in den gewonen, de tweede helft in den doorgeslagen stand van den kijker uit. De eindaflezing in graden op den rand moet dan aan den tegengestelden nonius plaats hebben als de beginaflezing. • Behalve dat de repetitie-theodoliet aan de boven behandelde algemeene voorwaarden voor den theodoliet moet voldoen, moeten de twee assen (de meetkundige assen der kegels I en I', tig. 55), om welke de rand met het bóvenstel en het bóvenstel afzonderlijk kunnen bewegen, onderling evenwijdig zijn. Het onderzoek of aan deze voorwaarde voldaan is, kan als volgt plaats hebben. Het niveau, dat op den theodoliet aanwezig is, wordt nauwkeurig ten opzichte van een der assen geregeld en die as nauwkeurig daarmede verticaal gesteld; door vervolgens het bóvenstel van den theodoliet om de andere as te laten draaien, kan men zien of deze ook verticaal en dus evenwijdig aan de eerste is. § 42. Bij de reïteratie-methode wordt dezelfde hoek verschillende malen gemeten en wel op verschillende deelen van den rand. Bij de toepassing dier methode is het dus noodig, dat men den rand kan verplaatsen. Hiertoe kan de theodoliet ingericht zijn op dezelfde wijze als de repetitie-theodoliet, maar ook een veel eenvoudiger ingerichte theodoliet kan daarvoor dienst doen; zelfs kan men den enkelvoudigen theodoliet gebruiken, als men hem slechts telkens op den drievoet een zekeren hoek verdraait. Om straks te vermelden reden moet men zorgen, dat de aflezingen plaats hebben op punten, die zooveel mogelijk op onderling gelijke afstanden langs den rand gelegen zijn. Daartoe moet, om den hoek n malen te meten, terwijl er 2 noniussen zijn, de rand telkenmale V~ verdraaid worden. Met behulp van den 2n eenen nonius leest men dan op de eene helft van den rand op n evenver van elkaar gelegen punten af, terwijl men met behulp van den anderen nonius datzelfde op de andere helft van den rand doet. § 48. Ten einde beide methoden met elkaar te kunnen vergelijken en zoo noodig eene keuze te kunnen doen, dienen wij de uitwerking na te gaan van elk der verschillende' fouten, die invloed hebben op het eindresultaat. Deze fouten kunnen daartoe verdeeld worden in: 1°. de fouten in het richten; 2°. de fouten in het aflezen en 3°. de fouten in de verdeeling. De eerste dezer fouten is het gevolg van verschillende oorzaken, als: van slechte verlichting en niet-symmetrische'gedaante van het voorwerp, waarop gericht wordt, van ongelijkmatige breking van de lichtstralen in de lucht (laterale refractie), van onvolkomenheden van den kijker, van het aanwezig zijn van parallax in den kijker, van den niet volkomen vasten stand 'van het instrument, enz. Doordat deze omstandigheden van het eene op het andere oogenblik veranderen, is de fout in het richten eene veranderlijke (toevallige) fout, d. w.z.: als wij herhaalde malen op hetzelfde voorwerp richten, zooals dit bij' beide methoden geschiedt, dan zal de fout nu eens positief, dan weer negatief, nu eens grooter, dan weer kleiner zijn, waardoor die fouten elkaar voor een groot deel opheffen. De fout in het aflezen is ook eene veranderlijke (toevallige) fout, die weer van verschillende oorzaken afhankelijk is, als: van de juiste verdeeling van den rand en van den nonius, van de zuiverheid der deelstrepen/ van het al of niet aanwezig zijn van parallax, enz. Bij de reïteratie-methode, waar wij het gemiddelde nemen uit eene menigte aflezingsverschillen, zullen deze fouten elkander dus, evenals die van, het richten, onderling gedeeltelijk vernietigen. Bij de repetitie-methode is de'werking geheel anders, daar lezen wij slechts bij het begin en bij het einde af. Op het ra-voud van den hoek komt dus de geheele fout van het verschil tusschen de eind- en de beginaflezing; maar als wij door n deelen, zal in den enkelvoudigen hoek ook slechts het nie deel van de fout Voorkomen. Daar nu de theorie van de fouten leert, dat bij het nemen van het gemiddelde uit een aantal waarnemingen, die met toevallige fouten aangedaan zijn, deze slechts in reden van Vn verminderd worden (*), zoo wordt de invloed van de fouten van aflezing bij de repetitie-methode beter verminderd dan bij de reïteratie-methode het geval is. De fouten in de verdeeling dragen een geheel ander karakter. Voor een en dezelfde deelstreep is die fout uit den aard der zaak constant; eerst als men de fouten in verschillende deelstrepen nagaat, zijn die veranderlijk, d.w.z. dat hare langs den rand / gemeten afstanden tot eene vaste streep eene veranderlijke fout vertoonen. De vermindering van dien invloed heeft dus bij de repetitie-methode, waar men slechts bij twee deelstrepen afleest (*) Zie Aanhangsel § 231, op dezelfde wijze plaats, als wij boven voor de aflezingsfouten hebben gezien. Bij de reïteratie-methode is de zaak echter van meer ingewikkelden aard. Als wij den hoek steeds op dezelfde plaats op den rand aflazen, dan zouden wij telkens dezelfde fout maken en deze zou.dus uit het gemiddelde niet verdwijnen. Doordat men echter telkens den hoek op een ander gedeelte van den rand meet, is de fout veranderlijk en bij het nemen van het gemiddelde heffen die fouten elkaar dus voor een groot gedeelte op. Hadden nu de fouten in de opvolgende deelstrepen datzelfde toevallige karakter, dat wij in de fouten van het richten en van het aflezen hebben aangetroffen, dan zouden die fouten, evenals de vorige, bij de reïteratie-methode in veel geringere mate worden opgeheven dan bij de repetitie-methode. Dit is echter niet geheel en al het geval; de fouten in de verdeeling worden bij de reïteratie-methode in sterkere mate opgeheven en wel om de volgende reden: Onderzoekt men de fouten in de opvolgende deelstrepen van een zuiver verdeelden cirkelrand, zooals die tegenwoordig in de goede werkplaatsen wordt afgeleverd, dan zal mén vinden, dat daarin wel fouten aanwezig zijn, maar dat deze foutenregelmatig toe- en afnemen, waardoor zij elkaar grootendeels •zullen opheffen, als men de aflezingen gelijkelijk langs den geheelen rand verdeelt. Bij de minder zuiver verdeelde cirkelranden hebben de fouten in veel geringere mate dit regelmatig karakter; daar wordt de fout dus beter vernietigd door de repetitie- dan door de reïteratie-methode. Uit bovenstaande beschouwingen is nu gemakkelijk na te gaan, welke methode men in gegeven omstandigheden zal toepassen. Bij de groote metingen, waar het op de uiterste nauwkeurigheid aankomt, waar men groote theodolieten bezigt met zeer zuiver verdeelde cirkelranden en micrometrische microscopische aflezing, waardoor de fouten in het aflezen zeer klein zijn, daar verdient de reïteratie-methode de voorkeur. Bij de kleinere instrumenten met minder zuiver verdeelden rand en nonius, is de repetitie-methode op hare plaats. Ook bij de kleinere theodolieten met zuiver verdeelden rirkelrand, maar waarop de aflezing met behulp van den nonius geschiedt en dus minder nauwkeurig is, kan die methode nog met vrucht worden toegepast. Er is nog een andere reden, waarom men bij waarnemingen volgens de repetitie-methode, minder juiste uitkomsten zal verkrijgen. Door het voortdurend in denzelfden zin draaien, ontstaan namelijk kleine fouten, die steeds in denzelfden zin werken en dus als constante fouten niet door het repeteeren kunnen verminderd worden. Deze fouten, die tot enkele seconden kunnen opklimmen, zijn een van de voornaamste redenen■, waarom de repetitie-methode voor nauwkeurige metingen zelden meer wordt toegepast. § 44. Het meten van verticale hoeken. Indien de theodoliet moet dienen tot het meten van den verticalen hoek, dien de vizierlijn met den horizon maakt, als de kijker op een bepaald punt gericht is, dan moet het instrument, behalve aan de in - § 30 genoenide eischen, nog aan de voorwaarde voldoen, dat de vizierlijn van den kijker, wanneer de noniussen van den verticalen cirkelrand op nul staan, evenwijdig moet zijn aan de richtlijn van het niveau. Is dit het geval, dan zullen in iederen willekeurigen stand van den, kijker, de noniussen den hoek aanwijzen, dien de vizierlijn lop dat' oogënblik met de richtlijn van het niveau maakt. Is de richtlijn van het niveau horizontaal (speelt de bel in), en is de kijker op een bepaald punt P, flg. 56, gericht, dan leest men op den rand den hoek POH af, dien de vizierlijn Met den horizon maakt, d. i. de te meten hoek. Om met een gerégelden theodoliet een verticalen hoek POH, %. 56, .te méten, gaat men dus als volgt te werk. Na het instrument te hebben opgesteld, op de wijze als hiervoor bij het meten van horizontale hoeken is -behandeld, richt men den kijker met de hand óp het punt P en heft door het aandraaien van de klemschroef Q, flg. 36, de beweging, om de tweede as op. Vervolgens gaat men na of de bel van het niveau inspeelt en doet die zoo noodig, met behulp van eene stelschroef, inspelen, waarna men door middel van de micrometerschroef T flg 36' het kruispunt der draden met het juiste punt P doet samenvallen. De aflezingen van de noniussen geven dan den gevraafrden elevatiehoek POH. § 45. Het doorslaan van den kijker. Staan de noniussen bij den evenwijdigen stand van vizierlijn en richtlijn niet op nul, maar bijv. op +p, dan zal men voor alle elevatiehoeken waarden vinden, die den hoek p te groot zijn. Men moet dus aan alle aflezingen de uitdrukking — p als correctie toevoegen. De fout -\-p draagt den naam van index fout, de correctie —p den naam van indexcorrectie. Door het doorslaan van den kijker is men wederom in staat de fout der regeling, hier de indexfout, te elimineeren. « Laten namelijk in-flg. 57» bij inspelend niveau en bij horizon- taal gedachten stand der vizierlijn de diametraal gelegen noniussen iVj en JV2 niet nul, maar de onbekende indexfout -\-p aanwijzen, dan zal de kijker, indien deze op het punt P gericht wordt, uit den horizontalen stand een hoek A gedraaid worden, die gelijk is aan den gevraagden elevatiehoek POH; tegelijkertijd zal daarbij het punt B van den rand tegenover den nonius Nx komen, m. a. w. als de kijker op P gericht is, zal men op de noniussen eene waarde B aflezen, die p te groot is, zoodat: A = B— p. Denken wij nu de vizierlijn,weer horizontaal, en draaien wij het bóvenstel van het instrument 180° om de eerste as, dan komt de vizierlijn in den stand van flg. 57", welke het spiegelbeeld is van flg. 57", en na den kijker te hebben doorgeslagen, en de vizierlijn weer horizontaal te hebben gedacht, in dien van flg. 57°. Richten wij nu weer op P, dan zal de vizierlijn weer een hoek A moeten draaien en op de noniussen zal men eene waarde C aflezen, die p te klein is, zoodat: A = C+p. Uit deze twee vergelijkingen volgt: P-f-C B—G 4=—i— en * = —2~' waarvan de eerste waarde ons den elevatiehoek doet kennen met eliminatie van de indexfout en de tweede waarde de indexfout uitdrukt. Door het doen van twee metingen kan men dus altijd de indexfout elimineeren, of indien men eene elevatie wil bepalen, door slechts éénmaal te richten, de eens gevondene indexcor- C — B ' ' rectie —p — telkens in rekening brengen. Deze correctie moet dan opgeteld worden bij de aflezingen, als de kijker in den gewonen stand staat en afgetrokken worden, als hij zich in den doorgeslagen stand bevindt. .Bij bovenstaande beschouwing zijn wij stilzwijgend van de onderstelling uitgegaan, dat er geene excentriciteit aanwezig is en de noniussen juist diametraal tegenover elkaar staan, waardoor de aflezingen bij beide noniussen aan elkaar gelijk worden. Is dit echter niet het geval, dan zijn beide aflezingen niet aan elkaar gelijk, maar door het nemen van het gemiddelde, ver- dwijnen de fouten, die daaruit voortvloeien (zie § U). Bovenstaande waarden B, G en p moeten dus beschouwd worden als de gemiddelden uit de twee waarden, geldende voor de twee noniussen en de twee nulpunten. § 46. Onderzoek en regeling van den theodoliet voor het nieten van verticale hoeken. Als de kijker kan doorslaan, zijn zooals wij in de vorige paragraaf gezien hebben, het onderzoek en de regeling strikt genomen overbodig. Wil men echter, na door dubbele meting onderzocht te hebben of eene indexfout aanwezig is, den theodoliet regelen, d.w z • wil men de indexcorrectie tot nul reduceeren, dan kan dit op twee verschillende wijzen geschieden: 1°. door de vizierlijn met behulp van de kruisdraden te verplaatsen en 2°. door de noniussen te verschuiven. In het eerste geval zal men, na een verticalen hoek door dubbele meting bepaald te hebben, de noniussen op d'e juiste elevatie plaatsen en vervolgens op het punt richten, door het diaphragma met behulp van de daartoe aanwezige correctieschroefjes O, flg. 36, te verplaatsen. In het tweede geval richt .men op het punt en verplaatst de noniussen, tot zij de iuiste elevatie aangeven. § 47. Kan de kijker niet doorslaan, dan zijn onderzoek en regeling minder eenvoudig. Beschikt men over een tweede instrument, onverschillig welk dan kan men de helling van de vizierlijn als volgt meten Men. richt daartoe het hulpinstrument op een verafgelegen punt P plaatst den te onderzoeken theodoliet er voor en richt op het kruispunt der draden van den eersten kijker; de beide vizierlijnen zijn dan onderling evenwijdig, maar tegengesteld gericht Indien A de elevatie van de vizierlijn van den hulpkijker B de aflezing op den verticalen rand met eene verdeeling als in flg. 57' is voorgesteld en p de indexfout is, zoo is: A = B +p. Draait men nu het bóvenstel van den theodoliet om de eerste as en richt men dan op het punt P, dan zal - aangezien dit punt veraf ligt — de elevatiehoek der vizierlijn van den theodoliet A zijn, en wanneer G de aflezing is: A = G—p, waaruit volgt: G—B Wil men den theodoliet regelen, dan kan dit met behulp van B -4- G den thans bekenden elevatiehoek A — — op dezelfde wijze geschieden, als in de vorige paragraaf is aangegeven. Op het terrein kan eene overeenkomstige methode ook worden toegepast, zonder gebruik te maken van een hulpinstrument. Daartoe slaat men op het terrein op een niet al te korten afstand van elkaar 2 houten paaltjes P en IJ, fig. 58al', plaatst den theodoliet boven het paaltje P, fig. 58a, en zet boven het paaltje Q eene baak, waarop men een merk heeft aangebracht op eene hoogte a gelijk aan de hoogte van de vizierlijn boven P en bepaalt nu den elevatiehoek, waaronder men dit merk ziet. Vervolgens 'plaatst men, fig. 58b, het instrument boven het paaltje Q, nadat men het merk op de baak in overeenstemming gebracht heeft met de hoogte a' van de vizierlijn boven Q. Richt men thans op dit merk, zoo heeft de vizierlijn blijkbaar dezelfde helling, doch met tegengesteld teeken, als in het eerste geval. De indexfout zal dus, evenals boven, worden aangegeven door het halve verschil van de aflezingen bij beide metingen. Is het niet mogelijk van een der voorgaande^ methoden, gebruik te maken, dan kan men de noniussen op nul stellen en onderzoeken of de vizierlijn van den kijker nu evenwijdig is aan de richtlijn van het niveau, volgens eene methode, die. later bij het waterpasinstrument (zie Hoofdstuk Waterpasinstrumenten) uitvoerig zal behandeld worden. Blijkt die evenwijdigheid niet te bestaan, dan kan men de kruisdraden met behulp van de schroeven aan het diaphragma zoolang verplaatsen, tot die evenwijdigheid verkregen en het instrument geregeld is. Men kan de evenwijdigheid ook tot stand brengen door middel van de micrometerschroef voor de beweging om de tweede as; heeft men dit gedaan, dan leest men op de noniussen de indexfout af en die grootheid, met het omgekeerde teeken genomen, geeft de indexcorrectie. Wil men de indexfout wegnemen door verplaatsing van de noniussen, dan heeft men deze nu slechts zoo lang te verschuiven, dat zij beide op nul wijzen. § 48. Becijfering op den tweeden cirkelrand. Bij bovenstaande beschouwingen is van de onderstelling uitgegaan, dat I de becijfering op den tweeden cirkelrand van twee nulpunten uitgaande, in twee richtingen van 0° tot 90* telt, zooals fig 57">° zulks nader aanwijst. Bij deze wijze van becijfering doen' zich twee omstandigheden voor, die gemakkelijk aanleiding tot fouten geven: 1°. Zijn er dubbele noniussen noodig (§ 10, voorlaatste alinea) waarvan de eene helft dient bij het meten van elevatie en de andere helft bij het meten van depressiehoeken • hierdoor bestaat het gevaar, dat men op de verkeerde • helft van den nonius afleest; 2°. moet meri op het terrein bij eiken gemeten hoek steeds het positieve of het negatieve teeken voegen, om elevatieen depressiehoeken te kunnen onderscheiden Doelmatiger is in dit opzicht de becijfering in fig. 59* voortot360° WaarbiJ' ^ Cirkelrand gaande becijferd is van 0° zin?90°T97r5e 6tandrVa,n ™ierIijn en richtl«n ™et de afle- m dien st nd ^ 'l? het geval> maar *»* men in dien stand van den kijker 90° + v of 270° + » af dan is eene mdexfout +p aanwezig, die weer door dubbele meting kon worden geëlimineerd. ■ ö me? TfT 7*™ fdeneereDde als § ^ * beschreven, ziet men, dat bij de meting van den hoek POH, fig 59' in den eenen stand aan den nonius wordt afgelezen (aan nonius I wanneer twee diametraal staande noniussen zijn aangebracht):' in den doorgeslagen stand, fig. 59c: C=270o-fp — A. Uit deze twee'vergelijkingen volgt door aftrekking: C—B —j— = W-A d.w z.: het halve verschil der beide aflezingen geeft de juiste waarde van den zenühhoek onafhankelijk van derindexfout, terwijl **T fer aüezingon constant en gelijk-aan 360° + 2p is Bij het meten van een depressiehoek A' vindt men op gelijke wijze als boven voor de aflezing in den stand van fig 59»: . B' = 90°+p — A', in dien van 59°: a' = 270°+|)-f A'.; zoodat: -^=^ = 90° + 4', dat is ook in dit geval de zenühhoek; terwijl ook nu de som 860° -(- 2p is. Is de becijfering in tegengesteldé richting aangebracht, de aflezing bij evenwijdigen stand van vizierlijn en richtlijn evenals boVen 90° of 270°, dan geeft bij elevatiehoeken en bij depressie- < hoeken het halve verschil van de grootste en de kleinste aflezing den nadirhoek. De som geeft^ook hier in beide gevallen 360° -f 2p. Ook bij deze inrichting is echter voor elevatie'en depressie de zenühhoek te vinden, door het halve verschil van de kleinste en de grootste aflezing te berekenen, nadat men bij de kleinste aflezing 360°. heeft opgeteld. Is bij eene doorgaande becijfering.van 0° tot 360°, bij evenwijdigen stand van vizierlijn en richtlijn, de aflezing (behoudens de indexfóut) 0° tot 180°, dan vindt men bij positieve richting van de becijfering voor een elevatiehoek A in den eenen stand eene aflezing; B=p-\-A, in den doorgeslagen stand: 0=180° + » — A\ dus voor het halve verschil: •^=^ = 90-1, 2 s dat is de zenühhoek. De som geeft 180° + 2p. Bij het meten van een depressiehoek A', in den eenen stand: B' = 360°+.» — A', f in den doorgeslagen stand: C' = 180° -\-p-\-A'. Ook hier is dan: lT-ir + 360° . 2 m de zenühhoek. De som geeft dan 540° + 2». Neemt men in het laatste geval het halve verschil van de grootste en de kleinste-aflezing, dan vindt men bij depressie den nadirhoek, dat is dan evenals bij elevatie een hoek kleiner dan 90°, hetgeen aanleiding kan geven tot vergissingen als boven onder 2° genoemd. Eene andere eveneens doelmatige becijfering is in tig. 60abc voorgesteld; de randverdeeling is van twee diametraal gelegen nulpunten in de zelfde richting tot 180° becijferd. Voor een elevatiehoek A leest men in den eenen stand af flg. 60": ' B = p + A, in den doorgeslagen stand, fig. 60': C = 180°-f-|) — A. Uit het halve verschil . C—B 2 =90°-^, vindt men den zenühhoek. Voor een depressiehoek A' zal men vinden in den stand van fig. 60a: £' = 180° +p — A', in den doorgeslagen stand: i C'=p + A'; terwijl: C' — B' + 360° 2 = 90°+ 4' weer den zenühhoek geeft. De som van de twee aflezingen is in beide gevallen 180 -f- 2». Minder doelmatig is eene becijfering waarbij men van éénnulpunt uitgaande, in twee richtingen tot 180° telt; o. a. wijl hier gebruik moet worden gemaakt van dubbele noniussen. § 49. Gewijzigde inrichtingen van het niveau. Niet altijd is het niveau op de in fig. 36 aangegeven wijze met het bóvenstel van den theodoliet verbonden; het kan ook op één der i volgende wijzen zijn aangebracht. a. Het niveau kan'op de tweede as rusten op de wijze van flg. 52; het meten van verticale hoeken heeft dan op eene eenigszins gewijzigde manier plaats. De regelingsvoorwaardev voor het meten van verticale hoeken wordt dan als volgt: De vizierlijn van den kijker moet wanneer de noniussen van den verticalen rand op nul staan, rechthoekig staan op de eerste as. Staat deze laatste dan zuiver verticaal, en de vizierlijn er loodrecht op, dus horizontaal, dan wijzen de noniussen een elevatiehoek van 0° aan; Wordt daarna de vizierlijn gericht volgens eene lijn, waarvan men de elevatie wil bepalen, dan wijzen de noniussen den juisten hoek aan. Voor het geval de kijker kan doorslaan, hebben het onderzoek en het elimineeren van de indexfout door eene dubbele meting juist op dezelfde' wijze plaats als in de §| 45—46 is beschreven; bij een niet-doorslaanden kijker echter geschiedt het onderzoek met behulp van een tweede instrument (zie § 47), of volgens een andere aldaar besproken methode, doch met dit eenige verschil, dat men in plaats van het niveau te doen inspelen, de as telkenmale juist verticaal plaatst. b. Het niveau kan met den kijker vast verbonden zijn, als schematisch in flg. 61 is aangeduid; men zal dan voor het meten van verticale hoeken de richtlijn van het niveau evenwijdig stellen aan de vizierlijn van den kijker op eene later bij het waterpasinstrument te behandelen wijze en dan, na op het voorwerp te hebben gericht en de noniussen te hebben afgelezen, de vizierlijn horizontaal stellen, door het niveau te doen inspelen en de noniussen weer aflezen; het verschil dier twee aflezingen geeft dan den ge vraagden hoek. Is aan het instrument een ander buisniveau aanwezig, zoo verdient het steeds de voorkeur bij het meten vah' verticale hoeken van dat buisniveau gebruik te maken. c. 'Bij de instrumenten, bestemd van het nauwkeurig meten van verticale hoeken-, is meestal voor dit doel een afzonderlijk niveau aangebracht. De twee noniussen N zijn dan niet, zooals in fig. 36, vast aan één der stutten I verbonden, maar zooals flg. 62 en fig. 63 aangeven, aan eene alhidade B, die om de tweede as A draaien kan. Aan die alhidade is een verticale arm G verbonden, die op dezelfde wijze als dit met den arm S in fig. 36 het geval is, door een micrometerschroef D en een veer E wordt vastgehouden , en waaraan tevens het niveau F voor de hoogtemeting verbonden is. De voorwaarde van regeling, waaraan een instrument, voorzien van een dergelijk alhidade-niveau F, moet voldoen, is deze: £»e vizierlijn van den kijker moet, wanneer de noniussen van .den verticalen rand op nul staan, evenwijdig loopen aan de richtlijn van het alhidade-niveau. Bij de meting van een* verticalen hoek richt men den kijker op het punt, laat vervolgens het niveau J-inspelen met behulp van de micrometerschroef D en leest af Bij deze inrichting is men geheel onafhankelijk van een met zurVer verticalen stand van de eerste as. Bij eene inrichting als' in fig. 36 is voorgesteld (zie ook § U) moet men om onafhankelijk te zijn van een mogelijk onjuisten stand van de eerste as, even vóór het zuiver richten van den kijker, de bel van het niveau VW op de eerste as met behulp van een stelschroef A, fig. 36, laten inspelen daardoor echter verandert de stand van den horizontalen rand; moet men nu tevens horizontale hoeken meten zooals o.al het geval is bij tachymetrie (§ 151), zoo geeft dit aanleiding tot onnauwkeurigheden, die dus bij de inrichting met het alhidade-niveau worden ontgaan Ook is de tijd, die verloopt tusschen het zuiver richten en het aflezen bij inspelende bel, bij laatstgenoemde inrichting korter. Om het instrument te regelen, meet men door dubbele meting een elevatiehoek en plaatst dan, terwijl nog PP het punt gericht is,, de noniussen op de juiste aflezing, door middel van de micrometerschroef D van de alhidade"' Om thans de bel te kunnen doen inspelen, is het niveau niet direct aan den dwarsarm C, maar aan een afzonderlijke plaat Z ff i ,T ^ dWarSarm verb0«den is met behulp van de schroef G en de twee correctieschroefjes g en ƒ welke tegen de in den dwarsarm geschroefde stift A steu- kan menl7m0dië ? ^ & Wat los te ^aien, kan men het niveau met behulp der schroefjes g en o' om G draaien en alzoo de bel tot inspelen brengen. HOOFDSTUK T. SEXTANT. § 50. Inleiding. De spiegelinstrurnenten, waarbij de hoeken in hun eigen vlak gemeten worden, bieden het groote voordeel aan, van geen vaste ondersteuning te vereischen, waardoor zij niet alleen voor den zeeman van het grootste belang zijn, maar ook aan den ingenieur en den landmeter^goede diensten kunnen bewijzen. Niet alleen bij peilingen in rivieren en in zee, ter bepaling van de punten waar men peilt, maar ook op den vasten wal kunnen zij met vrucht worden toegepast. Wel is waar staan zij bij den theodoliet eenigszins achter, doordat de hoeken in hun eigen vlak gemeten worden en dus door berekening tot den horizon moeten worden herleid; ook zijn de metingen in den regel minder nauwkeurig, ten gevolge van-het niet in rekening brengen van de fouten die niet door regeling zijn weg te nemen (§ 57 en 61). Dit neemt echter niet weg, dat er gevallen kunnen voorkomen, waarin de spiegelinstrurnenten verre de voorkeur verdienen, wijl zij soms nog gemakkelijk gebruikt kunnen worden op plaatsen, waar men voor den theodoliet kostbare stellingen zou moeten oprichten. Van de -verschillende vormen, waaronder de spiegelinstrurnenten voorkomen, zullen wij hier alleen de sextant uitvoerig behandelen. De overige, minder algemeen voorkomende spiegelinstrurnenten, verschillen in vqrm soms zeèr veel van de sextant, maar de algemeene beginselen, waarop zij berusten, komen met die van de sextant overeen, zoodat eene afzonderlijke behandeling overbodig is. § 51. Terugkaatsing op twee spiegels. De inrichting van "de sextant berust op het volgende grondbeginsel:,Wanneer een lichtstraal, gelegen in een vlak, rechthoekig op de gemeene door- i snede van'twee vlakke spiegels, achtereenvolgens op beide spiegels wordt teruggekaatst, dan zal de tweemaal teruggekaatste lichtstraal m datzelfde vlak liggen ert met den oorspronkelifken lichtstraal een hoek maken gelijk aan het dubbele van den hoek der beide spiegels. Laat in flg. 64 het vlak van teekening een..vlak zijn, dat rechthoekig staat op de gemeene doorsnede A van de twee spiegels, waarvan de lijnen £ en Cde doorgangen met dat vlak aangeven; laat verder BC een lichtstraal voorstellen, in het vlak van teekening gelegen en invallende' op den spiegel C, dan zal deze lichtstraal, teruggekaatst worden in de richting CB, die in datzelfde vlak gelegen is en met de normaal op den spiegel C een hoek y maakt, gelijk aan den invalshoek van den lichtstraal RC De lichtstraal CB, pp den spiegel B vallende, wordt daar teruggekaatst in de richting BC', die weer gelegen is in 'het vlak van teekening en met de normaal op den spiegel B een hoek (3 maakt, gelijk aan den invalshoek van den lichtstraal CB op dien spiegel. De tweemaal teruggekaatste lichtstraal BC' is dus met den oorspronglijken BC in één vlak gelegen en zal dezen bijgevolg in een punt C' snijden. De hoek BC'C=a, dien deze twee lichtstralen samen maken is nu juist gelijk aan het dubbele van den hoek BAC=BBG = d van de twee spiegels. In A BCC' toch, is//BCB = 2y buitenhoek en dus gelijk aan /_ BC'C -j- ,/_ CBC' = a-\-2/3 waaruit volgt: a = 2y — 2(3 = 2 (y — f3). In A BCD is /_BCc = y buitenhoek en dus geliik aan ZBDC + £ CBD = « + /?, alzoo: « = y — f3. Uit deze twee vergelijkingen nu volgt onmiddellijk: a = 2«, d. w. z.: de hoek tusschen den oorspronkelijken en den dubbel teruggekaatsten lichtstraal is gelijk aan het dubbele van den hoek der twee spiegels. Plaatst men het oog ergens in de lijn BC', dan zal men het punt B in de richting L zien, en is de spiegel B slechts voor de benedenste helft verfoelied, dan zal men door het bovenste onverfoeliede gedeelte een in L gelegen voorwerp kunnen waarnemen en met het beeld van het voorwerp B zien samenvallen De hoek, dien de spiegels in dat geval samen maken, zal dan 6 de helft bedragen van den hoek, waaronder de lichtstralen -der beide voorwerpen elkaar in het punt G' zouden ontmoeten; kan dus gene op het instrument worden afgelezen, dan is ook deze bekend. § 52. Beschrijving. De sextant, in flg. 65"" in projectie op de helft van de ware grootte voorgesteld, bestaat in hoofdzaak uit een gedeelte van een verdeelden cirkelrand AA' ter lengte van iets meer dan 60°, die door middel van een stel speeken met zijn middelpunt vereehigd is. De alhidade EF, die om het middelpunt van den rand draait, is aan het eene uiteinde voorzien van een nonius, eene inrichting tot vastklemmen G, en eene inrichting voor fijne beweging H; op het andere uiteinde, dat in de cirkelvormige plaat E uitloopt, is door middel van drie schroefjes c, c', c" een kastje G bevestigd; in dit kastje is een spiegel, de groote spiegel aangebracht, waarvan het vlak rechthoekig staat op het vlak van den cirkelrand. Op de buitenspeek, die zich aan . de tegenovergestelde zijde van het nulpunt der verdeeling bevindt, is bij B de kleine of kimspiegel aangebracht, die een vasten stand ten opzichte van den rand heeft. Van dezen spiegel is slechts de onderste helft verfoelied; het bovenste gedeelte is doorzichtig gelaten om daardoorheen een voorwerp , achter dien spiegel gelegen, te kunnen waarnemen. De bevestiging van dezen spiegel loopt bij verschillende sextanten zeer uiteen; bij de in fig. 6o"b voorgestelde kan door middel van de schroef b de helling van den spiegel ten opzichte van het vlak van den rand veranderd worden, terwijl de schroefjes aa de gelegenheid geven, dien spiegel om eene loodlijn op dat vlak eèh weinig te verdraaien. Tegenover den kimspiegel is aan de andere buitenspeek aan de zijde van het nulpunt van den verdeelden rand een kijker D verbonden, die, gericht op den kimspiegel, dient.om het samenvallen van het direct geziene met het .dubbel teruggekaatste beeld nauwkeuriger te kunnen waarnemen. Deze kijker is geschroefd in den ring d, fig. 66, die met twee stiften ƒ tegen een tweeden ring d' rust en daarmede door middel van de twee correctieschroefjes e en e' verbonden is; hierdoor is het mogelijk, de as van den kijker evenwijdig aan het vlak van den rand te stellen. Aan den ring d' is verder een vierkante stift g bevestigd, die de moer vormt van een schroef k, welke met behulp van den geranden kop l kan gedraaid worden, waardoor de stift g in de bus h kan op en neer bewogen worden. Hierdoor is men in de gelegenheid, den kijker hooger of lager te stellen, en tl v ff, 0flmmder lichtstralen van het linker- en minder of meer lichtstralen van, het rechtervoorwerp op te vangen, teneinde zoodoende de betrekkelijke helderheid der beide beelden te kunnen Daar de kijker bij dit instrument alleen dient, om het samenvallen van twee beelden duidelijk waar te nemen, dus niet om op een bepaald punt te richten - zoo behoeven in den kijïer oofS'vSf-V ïacM te z»n' en kan men bij de sextant ook een Gahlelschen of Hollandschm kijker bezigen, waarvan het objectief u t eene achromatische positieve en het'oculïïr uit een negatieve lens bestaat, en die bij dezelfde vergrooting korter is dan de gewone kijker en bovendien rechtopstaande heldere beelden vormt (nachtkijker, sextant de nuit) Wanneer de beide voorwerpen zeer dichtbij of op zeer verschi lenden afstand zijn gelegen, gebruikt men soms ook we m plaats van den kijker, eene buis zonder glazen, die aan den' TlZet Waamemer eeno^°P-t kleine oogopentg Behalve de hier beschrevene hoofdbestanddeelen zijn aan de sextant meestal nog twee stel gekleurde glazen N en p" bracht, waarvan één stel achter den kimspiegel en let ZSe tusschen den kimspiegel en den groeten spiegel kan geSacM rnSmaantT11 ^ ^ » b«het waa« van de sexSrbi ErTT' d°Ch k°men bÜ het gebruik> dat ^n de sextant bij het landmeten gemaakt wordt, zelden te pas Tot daTv et f dien;°0keen glaasje. (Wleurde ootdop) dat voor het oculair van den kijker geschroefd wordt en dé voorkeur verdient boven de glazen N en P, als beide voorwerpen even helder zijn; zoo bijv. bij het bepalen van de indexïoTSie door middel van de zon, waarop wij straks terugkomen De loupe-P, die bij K aan de alhidade bevestigd en om dat punt beweegbaar is, is bestemd om het aflezen op den nonrus gemakkelnk te maken. Verder zijn nog aan het instrumen het houten handvat M en meestal onder A, A' en C drie pootjes aangebracht. ' 10 dne §53. Gebruik. Ten einde met de sextant den hoek te meten, waaronder twee voorwerpen van uit een gegeven ount gezien worden, neemt men het instrument met hetSdvaÏÏ de rechterhand, de linkerhand bij de klemschroef t? ptodê vervolgens brengt men het instrument met den ^eTZrtet oog, zoodanig dat het vlak van den cirkelrand evenwi dS loop aan het vlak van den te meten hoek en dat het draa punt van de alhidade in het hoekpunt komt. Met den kijker door'het onverfoeliede gedeelte van den kimspiegel naar het links gelegene voorwerp L, fig. 64, ziende, zal men, tegelijkertijd, in het verfoeliede gedeelte van dien spiegel verschillende voorwerpen door dubbele terugkaatsing waarnemen; verder den grooten spiegel met behulp van de alhidade bewegende, zal men eindelijk ook het beeld van het tweede of rechts gelegen voorwerp R in het verfoeliede gedeelte van den kleinen spiegel te zien krijgen. Is dit beeld eindelijk tot dicht bij het direct geziene linkervoorwerp gekomen, dan zet men de klemschroef G vast en draait daarna zoolang aan de schroef H voor de fijne beweging, totdat het dubbel teruggekaatste beeld van het rechtervoorwerp zoogenaamd samenvalt met het direct geziene linkervoorwerp. Voor het duidelijk waarnemen dier samenvalling is het noodig, dat de beide beelden ongeveer even helder zijn. Mocht dit niet het geval zijn, dan kan zulks verholpen worden door het op' en neer bewegen van den kijker door draaiing' aan den geranden kop l (§ 52). Maakt men bij het waarnemen geen gebruik van een kijker, zoo moeten de beide punten juist op de grens van het verfoeliede en niet-verfoeliede gedeelte van den kleinen spiegel gebracht worden. Leest men nü op den cirkelrand den hoek af, dien de twee spiegels onderling maken, dan is volgens § 51 de hoek tusschen de lichtstralen, die van beide voorwerpen komen, het dubbele hiervan. Daar echter op den rand de halve graden als heele graden zijn aangeteekend, zoo leest men onmiddellijk het dubbele van dén boek der twee spiegels, dat is dus de gevraagde hoek, af. Op deze wijze kan men met de sextant alle hoeken meten van 0° tot 130°; voor grootere hoeken zouden de lichtstralen onder te scherpe hoeken op den grooten spiegel invallen, tengevolge waarvan de beelden onduidelijk en weinig helder zouden worden; om deze reden wordt de rand niet grooter dan 65° a 75" gemaakt. § 54. Indexcorrectie. Opdat de hoek, dien men op den cirkelrand afleest, werkelijk het dubbele zij van den hoek der spiegels, moet het nulpunt zoodanig geplaatst zijn, dat, als de spiegels evenwijdig zijn, de nonius op nul staat. Is hieraan niet .voldaan, dan ontstaat eene fout, die den naam- draagt van indexfout. Om de evenwijdigheid der twee spiegels te onderzoeken, stelt men dén nonius op nul en richt vervolgens op eene ster of een ander verafgelegen voorwerp, bijv. een kerktoren; valt nu het voorwerp samen met zijn dubbel teruggekaatst beeld, dan zijn beide spiegels evenwijdig. Is dit echter niet het geval, dan zijn, terwijl de nonius op nul staat, de spiegels niet evenwijdig, en is derhalve eene indexfout aanwezig, die weggenomen kan worden, door bij onveranderden noniusstand de beide beelden tot samenvallen te brengen, hetgeen geschieden kan, door den kimspiegel met behulp van de daartoe aanwezige correctieschroefjes (bij de in flg. 65"b voorgestelde sextant de schroefjes aa) een weinig te verdraaien. Het is niet voldoende eens voor altijd den stand van den kleinen spiegel te regelen, daar er door storende omstandigheden licht eene kleine verandering kan ontstaan, die onmiddellijk tot eene fout in de meting aanleiding geeft. Men is dus verplicht die regeling meermalen, ja zelfs dagelijks te herhalen. Boven het dagelijks'regelen van den stand van den kimspiegel verdient het bepalen van de fout, die men bij de meting maakt door deze regeling achterwege te laten, de voorkeur. Deze fout toch, is voor alle hoeken, die men meet, even groot en kan dus bij het begin eener reeks van metingen bepaald en vervolgens bij iederen hoek als correctie aangebracht worden. Deze correctie, die den naam draagt van indexcorrectie, zullen wij door de letter 2 uitdrukken en haar teeken zoodanig nemen, dat zij steeds bij de aflezing moet opgeteld worden. Hebben wij op den rand dus afgelezen een aantal graden, minuten en onderdeelen van minuten door A voorgesteld, dan is de voor de indexfout gecorrigeerde aflezing: A -f- 2. Ter bepaling van de waarde der indexcorreotie 2 kan men het direct geziene beeld van een ver verwijderd punt, bijv. een toren beter eene ster, met zijn tweemaal teruggekaatst beeld laten samenvallen. Leest men alsdan op den cirkelrand een hoek p af, dan is p -f-J = o, omdat de lichtstralen, van een ver verwijderd punt komende, evenwijdig zijn, en dus samen een hoek van 0° maken. Hieruit volgt dus: 2 = -p. Ter bepaling van de indexcorrectie wordt veelal van de zon gebruik gemaakt, waarbij men dan den vroeger besproken gekleurden oogdop voor den kijker moet plaatsen. Daar het echter moeielijk is om nauwkeurig de samenvalling van de twee zonnebeelden waar te nemen, zoo meet men den hoek «, waaronder de middellijn LB, fig. 67, van Nde zon gezien wordt, op twee wijzen, namelijk door het dubbe} teruggekaatste beeld van de zon de eerste keer aan de linkerzijde van de direct geziene zonneschijf te doen raken, en de tweede keer aan de rechterzijde daarvan. In het eerste geval ziet men het dubbel teruggekaatste beeld van het rechteruiteinde B der middellijn samenvallen met het direct geziene linkeruiteinde L, en meet men dus een hoek.a; is nu de aflezing op den rand m, dan is de gemeten hoek gelijk aan de met S gecorrigeerde aflezing: iïltJÊi a = m -\- S, In het tweede, geval wordt het dubbel teruggekaatste beeld van het linkeruiteinde L' der middellijn tot samenvallen gebracht met het direct geziene rechteruiteinde B', men meet dan een negatieven hoek «; Leest men nu n af, dan is: — a ss n -f- S. Door nu beide vergelijkingen samen te tellen, vindt men: 0 = /w-f-n-f-2d\ of: 2 m-\-n = 2 Hebben wij bijv. den. eersten keer afgelezen -f- 33'15" en den tweeden keer — 30'15", dan is de indexcorrectie: s = _ 3315"-3015" 2 Uit de metingen volgt tevens de juiste waarde van a; door aftrekking van de bovenstaande vergelijkingen vindt men: , 2« = m — n, of: m — n * = —2 — Daar (deze waarde nagenoeg constant en voor eiken dag in de astronomische jaarboeken opgegeven is, heeft men hierin een middel, om de nauwkeurigheid der waarneming te controleeren. In den regel wordt de bepaling van S eenige malen herhaald, en het gemiddelde der gevonden uitkomsten genomen. § 55. Spiegelparallax. Is van de voorwerpen, waartusschen de hoek gemeten wordt, het linker dichtbij gelegen, dan moet behalve de indexcorrectie nog eene tweede correctie worden aangebracht. Zij bijv. de hoek LGB=G, flg. 68, te nieten, dan plaatst men de sextant met het middelpunt van den cirkelrand in het punt G. Op die wijze meet men echter den hoek tusschen de lichtstralen C'L en G'B, dat is dus hoek LG'B = G'. Daar nu de te meten hoek C buitenhoek is van den driehoek LG'G, zoo is deze gelijk aan de som van de hoeken bij G' en bij L waaruit volgt: ' G=G'-\-L. Hebben wij eindelijk op den cirkelrand afgelezen een hoek A, dan is C' = A + 5, zoodat wij voor den ge vraagden hoek vinden: C=A+S Jf-L. Is nu de afstand van het punt G tot aan de lijn BG', dat is de afstand van het midden van den grooten spiegel tot aan de as van den kijker, gelijk aan d', en de afstand van het linkervoorwerp gelijk aan D, dan is L, in seconden uitgedrukt, gelijk aan: d 206265" D ' of als wij d 206265" doorV voorstellen, gelijk aan waardoor de juiste waarde van den hoek wordt: C=:A4-S4-~. D Aan de aflezing op den cirkelrand moeten dus twee correcties worden aangebracht: de indexcorrecties S en de spiegelparallax —. De in deze laatste uitdrukking voorkomende grootheid d" is eene constante van het instrument, die eens voor altijd kan bepaald worden, terwijl de grootheid D voor ieder punt op het terrein op.de eene of andere wijze moet bepaald worden. Ter bepaling van d" laat men een zeer dichtbij (bijv. op een afstand van 2 a 4 meter) gelegen voorwerp, met zijn dubbel teruggekaatst beeld samenvallen. Bij voorkeur zal men hierbij de sextant op een tafel plaatsen en als voorwerp kiezen eene verticale lijn geteekend op een strookje papier, dat tegen den muur kan worden bevestigd; het midden van den spiegel (het midden van het pootje onder den spiegel) wordt nauwkeurig op den bepaalden- afstand van het voorwerp gesteld en bij de waarneming zorg gedragen, dat de samenvalling in het midden van den kijker plaats heeft. Vindt men als gemiddelde van eenige aflezingen voor een zelfden afstand een waarde q, dan is, omdat het rechts en het links gelegen voorwerp hier samenvallen en wij. dus een hoek van nul graden meten: 0 = q -f- 3 -f- , waaruit onmiddellijk volgt: d" = — D (q + 2). Stel bijv. dat men in do hiervoren op de indexcorrectie onderzochte sextant het beeld van een op 3 meter afstand gelegen voorwerp met zijn dubbel teruggekaatst beeld heeft doen samenvallen en dat men daarbij heeft afgelezen: — 55,50", dan is: d" = — 3 (— 56'50" — 1'30") = 3 X 57'20" = 172' = 10320". Voor die sextant is alzoo de juiste waarde voor een hoek C bij aflezing A en een afstand D van het linkervoorwerp: 10320" G = A— 1'30"H —, waarbij D in meters moet zijn uitgedrukt. Voor dit instrument, waarbij d" = 10320", hetgeen nagerioeg overeenkomt met d = 0,05 meter, zal dan L zijn: bü een afstand Z>= 10 meter, L = —— =■ 17'12", J D „ „ „ £ = .100 „ , L = ^-= 1'43", en i y „ D = 1000 „ , i = —- = 010". Is men niet in de gelegenheid geweest, het instrument vooraf te onderzoeken en dus de grootheden 5 en d" te bepalen of is de afstand D onbekend, dan kan men nog een anderen weg inslaan om de invloeden van indexfout en spiegelparallax te ontgaan. Door eerst den hoek op de gewone wijze te meten , vindt men : Laat men dan het direct geziene beeld van het links gelegen voorwerp met zijn dubbel teruggekaatst beeld samenvallenf en leest men daarbij A' af, dan is, omdat men een hoek van ml graden meet: -r -r D waaruit door aftrekking volgt: C=A — A'. Deze methode, waarbij de invloeden van indexfout en spiegelparallax direct geëlimineerd worden, is altijd toe te passen; zij staat echter bij de eerst behandelde methode verre achter,-omdat de waarneming van de samenvalling van een eenigszins verwijderd voorwerp met zijn eigen beeld altijd minder nauwkeurig is Zoodra dus de grootheden S, d" en D bekend zijn, of de gelegenheid bestaat die te bepalen, zal men liefst de eerste methode toepassen en alleen zijne toevlucht tot de laatste nemen, als een dier grootheden onbekend is. § 56. Opstelling. Daar de sextant bij het gebruik vrij in de hand wordt gehouden, zoo kan van eene opstelling van het instrument in den eigenlijken zin van het woord geen sprake zijn; men moet bij de meting er echter voor zorgen, dat het middelpunt van den rand ligge in het hoekpunt van den te meten hoek en verder dat de samenvalling zóóveel mogelijk in het midden van het gezichtsveld van den kijker worde waargenomen. In § 51 hebben wij namelijk gezien, dat de op den grooten spiegel invallende lichtstraal, evenals de dubbel teruggekaatste en dus ook de lichtstraal, die van het direct geziene voorwerp komt, gelegen moet zijn in een vlak, rechthoekig op de gemeene doorsnede van de twee spiegels. Aan deze voorwaarde nu is voldaan, als wij bij eene goed geregelde sextant de samenvalling zien plaats hebben in het midden van het gezichtsveld, zoodat de lichtstralen volgens de as van den kijker invallen. Ziet men daarentegen de samenvallende beelden hooger of lager in het gezichtsveld, dan is niet meer aan die voorwaarde voldaan en men begaat eene fout. Daar deze fout echter bij eene geringe uitwijking uit het midden van het gezichtsveld, vooral bij het meten van niet al te groote hoeken, zeer klein is, zoo behoeft men niet angstvallig de beelden bij de waarneming van de samenvalling in het midden te brengen; bij het meten van groote hoeken wordt deze fout van meer belang en het is dan zaak, de samenvalling meer op de juiste plaats waar te nemen. Of de beelden zich bij de waarneming een weinig rechts of links van het midden van het gezichtsveld bevinden, is geheel onverschillig, daar men de twee spiegels te zamen kan draaien om eene as, evenwijdig met hunne gem'eene doorsnede, zonder dat daardoor de richting van den tweemaal teruggekaatsten lichtstraal verandert. Alleen als het linkervoorwerp zich zeer dichtbij bevindt en men dus eene. correctie voor de spiegelparallax moet aanbrengen, is het zaak nauwer op deze omstandigheid te letten, dewijl het niet invallen van de lichtstralen volgens de as van den kijker eene verandering van den afstand d (§ 55) ten gevolge heeft, die bij eene kleine waarde van den afstand D van het linkervoorwerp de grootte van de spiegelparallax merkbaar verandert. § 57. Voorwaarden van regeling. Om de hoeken volgens het in § 51 behandelde beginsel 'te kunnen meten, is het noodig: 1°. dat de groote spiegel rechthoekig staat op het vlak van den cirkelrand; 2°. dat de kleine spiegel rechthoekig staat op dat vlak; en 3°. dat de as van den kijker evenwijdig loopt aan datzelfde vlak. Aan deze drie voorwaarden, kan door regeling van het instrument voldaan worden. Verschillende fouten echter, voortvloeiende uit de niet juiste verdeeling van den cirkelrand of van den nonius, uit de excentriciteit van den grooten spiegel of van de as der alhidade ten opzichte van den cirkelrand, uit de niet-evenwijdigheid van voor- en achter vlak' van de spiegels, enz., kunnen niet door regeling voorkomen worden, en moeten dus bij de uitkomsten der meting in rekening gebracht wórden. § 58. Regeling van den grooten spiegel. Om te onderzoeken of de groote spiegel rechthoekig staat op het vlak van den cirkelrand, plaatst men de alhidade in dier voege, dat de groote spiegel nagenoeg op het midden van den rand gericht is, en houdt dan de sextant voor het oog, op de wijze als in fig. 69a is aangewezen. In den spiegel zal men nu het uiteinde A van den rand zien, langs dien spiegel het andere uiteinde A'; deze beide moeten samenvallen als do spiegel werkelijk rechthoekig op den rand staat, want het spiegelbeeld van A, fig. 69", vormt zich op de normaal AA' op den spiegel en komt dus in A'. Helt daarentegen de spiegel, bijv. voorover zooals in fig. 69c, dan vormt zich het beeld van A op de normaal AA" en komt dus in A" te liggen, dat is boven het uiteinde A' van den rand. Omgekeerd zal men, als de spiegel achterover helt, het beeld van A onder A' waarnemen. (*) Blijkt bij dit onderzoek, dat de spiegel niet den juisten stand . heeft, dan wordt dit verholpen door middel van de daartoe aanwezige correctieschroefjes; zijn deze zooals bij de in flg. 65ab voorgestelde sextant niet aanwezig, dan kan men den stand van den spiegel regelen, door de schroefjes c c' c", flg. 65'b los te draaien en onder het plaatje, waarmede het kastje van den spiegel op de alhidade bevestigd is, een stukje panier of bladtin te leggen, aan den voorkant, of aan den achterkant, al naarmate de spiegel te veel voorover of achterover helt, en daarna de schroefjes weer vast aan te draaien. Door nu andermaal den stand van den spiegel te onderzoeken, overtuigt men zich of de regeling is afgeloopen, dan wel of het stukje papier of bladtin dikker of dunner genomen moet worden. § 59. Regeling van den kleinen spiegel. Het onderzoek van den rechthoekigen stand -van den kleinen spiegel ten opzichte van den cirkelrand, kan men het gemakkelijkst ver- O Wenscht men de grootte van den hoek to bepalen, dien de spiegel afwijkt van den stand, rechthoekig op den rand (zie de noot aan het einde van s 60) f.an 'kaf men daartoe gebruik maken van twee eartonnen viziertjes A ongeveer 15 cM. hoog, flg. 70, in een raamwerk verschuifbaar, elk voorzien van eene oogopening P.en van eene verdeeüng in centimeters van uit P naar boven en " naar onder. Plaatst men nu de sextant op eene tafel met de alhidade in dier voege, dat de groote spiegel nagenoeg op het midden van den rand gericht is, en stelt men do viziertjes A en B op ongeveer gelijken afstand, bijv. 1 M., respectievelijk vóór en achter den grooten spiegel, flg. 71, dan zal men A zoodanig in het raamwerk op of neer kunnen schuiven, dat, als men door de opening P ziet, het beeld van de hoiizontale streep door P, dat men in den spiegel waarneemt, samenvalt met de streep door de oogopening Q, welke langs den spiegel heen wordt gezien. Draait men de alhidade 180° om, zoodat het spiegelend oppervlak naar B gekeerd wordt - waartoe sommige deelen der sextant zullen moeten worden verwijderd en ziet men dan door de oculairopening Q van B, zoo zal men, indien de groote spiegel loodrecht staat op het vlak van den rand, nu ook de streep door I zien samenvallen met het spiegelbeeld der streep door Q van het viziertje B Helde de spiegel daarentegen, flg. 72, onder een hoek 90° - « ten opzichte van den rand dan zal, als men den grooten spiegel 180° draait, deze uit den stand ƒ in den stand II komen. Ziet men nu door de opening O, dan zal men het spiegelbeeld van de streep door O niet zien samenvallen m^ de streep door P 1° \m:S\eZ frP,G Z°°alS Uit d6 flgUm' Wm' komt ^ afwijking overeen met Het dubbel der fout s in den juisten stand van den grooten spiegel Is mi de afstand PC = m en de onderlinge afstand der viziertjes /en B gelijk aan D, dan .zal de fout i in minuten geluk zün aan : g Uk X 3438', richten, nadat eerst de stand van den grooten spiegel geregeldis, door na te gaan of deze door draaiing van de alhidade evenwijdig aan den kleinen spiegel kan gebracht worden; want aangezien dan beidé evenwijdig zijn, zal, als de eene rechthoekig op den rand staat, de andere dit ook doem Van de evenwijdigheid der beide spiegels overtuigt men zich door op eene ster of een ander ver verwijderd voorwerp, bijv. een kerktoren, te richten en te zien of het direct geziene beeld door het dubbel teruggekaatste juist bedekt wordt; heeft dit plaats, dan zijn beide spiegels evenwijdig. Ziet men echter het dubbel teruggekaatste beeld A lager, flg. 73a (met kijker ziende) of flg. 73b (zonder kijker ziende) of wel hooger dan het direct geziene beeld B, dan is dit een bewijs, dat de kleine spiegel ten opzichte van den grooten spiegel in het eerste geval achterover, in het laatste geval voorover helt. Het onderzoek en de regeling hebben dus als volgt plaats: men richt door den kijker en het onverfoeliede gedeelte, van den kleinen spiegel op het ver verwijderd voorwerp, en draait de alhidade zoolang, tot het dubbel teruggekaatste beeld zich ook in het gezichtsveld vertoont. Kan men nu door draaiing van de alhidade de samenvalling bewerkstelligen, dan heeft de kleine spiegel den goeden stand; zoo niet, dan brengt men het dubbel 'teruggekaatste beeld door draaiing van-de alhidade zoo dicht mogelijk onder of boven het direct geziene beeld, fig. 73ab, en doet vervolgens de samenvalling plaats hebben door de helling van den spiegel te veranderen met behulp van het daartoe aangebrachte correctieschroefje (het schroefje b, bij de in flg. 65ab afgebeelde sextant). Voor deze regeling is het strikt genomen niet noodig, een zeer ver verwijderd voorwerp te nemen. Neemt men een dichterbij gelegen voorwerp, dan zijn bij de samenvalling van beeld en voorwerp beide spiegels wel niet evenwijdig, maar hunne gemeene doorsnede staat, als de groote spiegel goed geregeld is, loodrecht op het vlak van den rand, waaruit volgt, dat ook de kleine spiegel den juisten stand ten opzichte van den rand heeft. § 60. Regeling van den kijker. Zooals in § 52 reeds is opgemerkt, is in den kijker, die bij de sextant gebruikt wordt, geen vizierlijn aanwezig, dewijl men bij het meten niet noodig heeft op een bepaald punt te richten, maar slechts de samenvalling van twee beelden heeft waar te nemen. Waar dit nu in het gezichtsveld van den kijker plaats heeft, is betrekkelijk onverschillig; het is slechts noodig, dat de lichtstralen ongeveer evenwijdig loopen aan een vlak, rechthoekig op de gemeene doorsnede der twee spiegels, dat is, evenwijdig aan het vlak van den cirkelrand. Óm dit te verkrijgen zorgt men, dat de as van den kijker, waaronder wij hier verstaan-, de richting waarin de lichfetralen van voorwerpen, die wij in het midden van het gezichtsveld waarnemen, tot ons komen, evenwijdig loopt aan den rand, en dat men de samenvalling zooveel mogelijk m deze as, dat is dus in het midden van het gezichtsveld waarneemt. Om te onderzoeken of deze as evenwijdig loopt aan het vlak van den cirkelrand, plaatst men de sextant in ongeveer horizontalen stand op eene tafel en zet op den rand in eene lijn evenwijdig aan den kijker, twee even hooge viziertjes A en B in fig. 74 op ware grootte voorgesteld, bestaande uit een voetje' en rechthoekig daarop een plaatje, dat in het ééne vizier van «ene kleine opening, in het andere van eene grootere opening Waaim een horizontale draad, voorzien is. Richt men nu den -kijker zoodanig op een schérp begrensd punt, dat het beeld van dat punt zich juist in het midden van het gezichtsveld vertoont, dan moet de lijn, door de twee viziertjes bepaald 'door datzelfde punt gaan, of daardoor gebracht kunnen worden door een der viziertjes een weinig te verschuiven. Heeft dit niet plaats, dan is de as van den kijker niet evenwijdig aan den rand en moet zij dus geregeld worden door middel van de vroeger beschreven correctieschroefjes e en e', fig. 66. Is men niet in het bezit van genoemde ■ viziertjes, dan kan men, door het oog in het vlak van den rand.te hebben en er over heen te zien, dezen richten op eene eenigszins ■ ver afgelegen lijn, bijv. den dorpel van een venster of de kroonlijst van een gebouw, en nagaan of die lijn zich dan midden in het gezichtsveld van den kijker vertoont. Richt men den rand op eene nabijgelegen lijn, dan moet natuurlijk de kijker gericht zijn op een punt, dat evenveel boven die lijn gelegen is, als de as van den kijker boven het vlak van den rand (*). S\ Tea„.emdel. na te Saan' ^ hoeverre het noodig is, de sextant zuiver te regelen, diene het volgende: Bedraagt de fout in den stand van den grooten spiegel en van de kükeras " ™tol'. enT 13 de kleine wiegel volgens § 59 naar behoord ten opzichte van den grooten spiegel geregeld, dan zal men, by het meten met do sextant, ten gevolge dier .afwnkingen hoogstens <*ne fout maken geluk aan JjL mi„utm. (Hierbij is verondersteld, dat de gemeten hoek a, flg. 64, hoogstens 130° en de'hoek B tns- § 61. Qorrecties voor do fouten, die niet door regeling zyn wog te nemen. Zooals wij in § 57 gezien hebben, zijn er in de sextant verschillende oorzaken voor fouten aanwezig, die niet door regeling zijn weg te nemen. Daar deze fouten alleen veranderen met de grootte van de hoeken, die men meet, zoo kan men eens voor altijd de waarden dier fouten voor verschillende hoeken bepalen,- en later bij het meten van dergelijke hoeken, die fouten met omgekeerd teeken als correctie aanbrengen. De bepaling dezer fouten of correcties geschiedt op de volgende wijze: men meet met de sextant, na haar behoorlijk geregeld te hebben, voor zooverre betreft de fouten, die door regeling zijn weg te nemen, verschillende nauwkeurig bekende hoeken; de verschillen tusschen die bekende hoeken en de daarvoor gevonden waarden door meting met de sextant (na het aanbrengen van de indexcorrectie en de correctie voor de spiegelparallax) geven dan de correcties aan. Bepaalt men op deze wijze de correcties voor verschillende hoeken, bijv. van 5 tot 5 of van 10 tot 10 graden, tusschen 0° en 130°, dan kan men later bij het gébruik van tusschengelegen hoeken de correcties door interpolatie vinden. Deze correcties moeten dan aan de gemeten hoeken worden aangebracht, boven en behalve de reeds vroeger vermelde indexcorrectie en spiegelparallax. Bekende hoeken ter bepaling dezer correcties kan men op een der volgende wijzen verkrijgen. 1°. Door van uit een bepaald punt met een ander nauwkeurig instrument, bijv. een theodoliet, de hoeken tusschen een aantal in den omtrek gelegen voorwerpen te meten. Op deze wijze worden onder andere de sextanten voor de Nederlandschë marine te Leiden in het gebouw voor de verificatie der zeeinstrumenten onderzocht, waar men van uit een bepaald punt, schouwde kijkeras en de normaal op den kleinen spiegel 156 bedraagt). Kan men ê2 dus eene fout van A minuten in de meting toelaten, dan mag — hoogstens A bedragen, en dus ê hoogstens geluk aan J/800 A zftn. Was de toe te laten fout, 1 ™ eS 1 bijv. 5" of minuut, dan mag — hoogstens tot —, of ê hoogstens tot V— = 5 minuten opklimmen. Het is dus niet noodig, kijker en grooten 12 spiegel volkomen Juist te regelen; eene afwijking kleiner dan 5 minuten is-inhet hier bedoelde geval geheel onschadelijk. in een voor dat onderzoek bestemd vertrek, de hoeken tusschen de m den omtrek gelegen torens en speciaal daartoe aangebrachte merken nauwkeurig gemeten heeft. 2°. Door stersafstanden. De plaatsen van eene menigte sterren aan den hemel zijn door astronomische waarnemingen nauwkeurig bepaald. Hun onderlinge afstand kan dus met juistheid berekend en vergeleken worden met de uitkomst der meting met de sextant. Daar hun stand echter veranderlijk is ten gevolge van refractie, aberratie, eigenbeweging, enz., wordt die berekening zeer omslachtig. Om in^ dit bezwaar te voorzien, zijn door L. Janse Bz. (*) tafelen'berekend', waarin 946 afstanden tusschen 44 der voornaamste sterren voorkomen. Hij geeft die afstanden verbeterd voor abberratie en eigenbeweging van 10 tot 10 dagen voor het jaar 1865, met de aan te brengen correcties ter herleiding voor volgende jaren. Eene volgende tabel geeft de aan te brengen correctie wegens de refractie. Daar deze correctie afhankelijk is van de hoogten van beide sterren tijdens de waarneming, zoo moeten deze hoogten door directe meting gevonden worden of uit den tijd der waarneming met behulp van een paar daartoe ingerichte tabellen worden berekend. 3°. Door rondmeting (Tour d'horizon volgens Benzenberg) Rondom een punt P op een eenigszins uitgestrekt terrein plaatst men bijv. zes baken, zooveel mogelijk op onderling gelijke afstanden, zoodat de verbindingslijnen dier baken met het punt P zes hoeken vormen, van ten naaste bij 60°. Met de sextant worden nu deze zes hoeken gemeten (natuurlijk met in rekening brengen van indexcorrectie en spiegelparallax) • hunne som moet dan gelijk zijn aan 360°, zoo er voor hoeken van 60 geen fout bestaat. Verschilt die som van 360° dan is het zesde gedeelte van ,dat verschil de correctie voor' hoeken van 60°. Op deze wijze kan men, door meer of minder baken te bezigen, de correcties voor hoeken van 120°, 90° 72° 60° 45° enz. bepalem ' ' ' ' Voor kleinere hoeken kan men ook tusschen twee baken ' welker verbindingslijhen met het punt P een hoek vormen' SI TafeI°f' bey.aUende 9*G afstanden van 44 der voorjjaamste sterren, verbe- H de foutn 6' eigfnbreging 6n refraCtiö' ¥ g*ruike b« onderdek *£lam, 1867 spiegel.nstrumenten, berekend door L. Jahse Bz., Am- waarvoor de correctie reeds bepaald is, zoodat men.dien hoek met de sextant nauwkeurig kan meten, eenige baken op onder-ling gelijke afstanden plaatsen; meet mon nu weer de hoeken, welke gevórmd worden door de verbindingslijnen van deze baken met P, dan moet hunne som weer gelijk zijn aan den geheelen hoek; eene afwijking daarvan stelt ons weer in staat de correctie te berekenen. Grootere hoeken, die niet op deze wijze te vinden zijn, kan men op het terrein samenstellen uit twee kleinere, wier correcties op bovenstaande wijze bepaald zijn. § 62. Herleiding van dén hoek tot den horizon. Daar de drie punten, die op het terrein een hoek bepalen, meestal niet in een horizontaal vlak gelegen zijn, zoo zijn de hoeken, die met de sextant gemeten worden, geen horizontale hoeken; zij moeten dus vóór het gebruik, dat men in het landmeten er van maakt, eerst op het horizontale vlak geprojecteerd worden, d. i. tot den horizon worden herleid. Zijn A, B en C, fig. 75, de punten, die den hoek AGB = C bepalen, 'zijn verder a en b de projecties van de punten A en P op het horizontale vlak gaande door G, dan is aGb — G' de tot den horizon herleide hoek. Om den hoek G' uit den, met de sextant gemeten, hoek G af te leiden, moeten wij ook de hoeken kennen, die de lijnen GA en GÉ met hare horizontale projecties Ca en Gb maken, dat zijn de hellingshoeken ACa = h en BCb = h', of hunne complementen, de zenithhoeken CAT=Z en BGT = Z'. . Trekken wij de lijn AH evenwijdig met ab, dan is driehoek ABH rechthoekig in H, waaruit volgt: AB2 = AH2 -\- BH2. Uit de figuur volgt verder: AB2 = BC2 -\-AG2 — 2 BC. AG cos C, AH2 = ab2 — bC2 -f aC2 — 2 bC. aCcos C — = BC2 cos2 h' -{-AG2 cos2 h — 2BC.ACcosh cos h' cos C', en: BH2 = (Bb — Eb)2 = (Bb — Aa)2 = (BGsin h' — ACsin h)2 = = PC2 sin2 h' -\-AG2 sin2 h — 2PC. AC sin h sin h'. _ Deze waarden voor AB2, AH2 en BH2 in de'eerste vergelijking overbrengende, zoo komt er, na weglating van de termen, die tegen elkaar wegvallen en na deeling door — 2BG.AC: cos G = cos h cos h' cos C' -f sinh sin h', waaruit onmiddellijk volgt: cos G' = -~ C~ 8in h f!Ë *' cos h cos h' | * ^* de§nra8;t,i!en"deringf01,m,,le V00r k,eine e«e™«ehoeken. In de hoeken O^ «Hoeken h en h> veelal klein, zoodat de hoeken G en G weinig van elkaar verschillen. In dergelijke gevallen is het gemakkelijker en nauwkeuriger, het MetaTtÏÏ daneÏÏTe°zne dLTeTerf ? ^ 69fl M met d° eenheid als straal, 232- = 2, en TO- / " ™ de «ne ztfden bekend, daar DE=C, gevraagde hoek aCb = C' Is ' ^ en CB ^an, en dns de Uit de bolvormige driehoeksmeting volgt nu onmiddellijk: . cos c=cosZcos Z' + sin Zsin Z' cos C', cos C' = cosG-«>sZcosZ- cos G—sinh sinh' sm Z sin Z' cos h cos h' hoek'c-Tok 'l7JH+*Z+ Z,'}' T kM men ter berekening van den gevraagdon ook van een der volgendejqrmules gebruik maken: 1 sin!-C' = \ Isin <-S~Z)(S — Z') V sin Z sin Z' cos i 0' = \ I tinSsbHS-'C) i . . . V sinZsinZ' iglC' =\l sïntë-ZlïiniS- ZT) 'v'^f" \l sin Ssin (8 — C) waarvan men die kan Wezen, welke in het bijzondere ~v,l , , , . het gemakkelijkst is. / 'Wondere geval voor de berekening 6 schil tusschen V en G uit eene eenvoudige benaderingsformule te berekenen en dit bij C op te tellen, om C' te vinden. Stellen wij daartoe in de laatste formule, C' = C-f- A , waarin dus A dat kleine verschil is, dan vinden wij: cos C — sinhsin h' cos (G + A) = cos h cos h' f of: cos Gcos A — sin Gsin A = cosCi/a + tg*h)(l + tg*h')—tg h tgh'. Daar wij nu aannemen, dat A en A' en dus ook A kleine hoeken zijn, zoo mogen wij, met verwaarloozing van de derde en hoogere machten dier hoeken, hunne sinussen en tangenten door de bogen en cos A door de eenheid vervangen (*), waardoor wij vinden: cos c— A sin G = cos Cv' 1 + A2 + A'2 + Wh'* — hh', of, als wij de kleine grootheid 7i27i'3 onder het wortelteeken ten opzichte van A2 -f 7i'2 verwaarloózen en voor 1/1 -f- A2 + h'2 ft2 -\- h'2 schrijven: 1 -\ , hetgeen eveneens neerkomt op het verwaarloózen van grootheden van dezelfde orde als h2h'2, dan vinden wij: / }fi 4; n'2 \ cos G— A sin C= cos G11 + —^ ) — hh', of _ h2-\-h'2 ,., mm — cos C - + M A = — sinC Voeren wij in deze uitdrukking den halyen hoek G in, ver-' vangen wij dus sin C door 2 sin i G cos {- G en cos C door co82 i Q — sin2 i G en vermenigvuldigen wij dan tevens hh' met cos21 C-f sin2 J C= 1, dan vinden wij na eenige herleiding: / h -4- h' \2 , _ / A — A' \2 . , n (*) Hlerbn wordt A2 verwaarloosd; maar aangezien A van de tweede orde zal blijken te zijn, is deze verwaarloozing geoorloofd. 3 de toepassing van deze formule heeft men er op te letten, J»tA,K en A m deelen van den straal zijn uitgedrukt. Worden - Ln ïi£f SegeVe°' dM1 m0et men diG eerst door het takken nï ' f fnde 26 in deelen van ^n straal uit te drukken Om nu ook A m minuten te vinden, moet men weer met datzelfde getal vermenigvuldigen, waaruit voor/het gTvaï aar n, n en A m minuten worden uitgedrukt, volgt: §64. Het meten van verticale hoeken. Wil men met de - sextant den hoek bepalen, dien de lichtstraal, komende van een zeker voorwerp, met zijne horizontale projectie maakt, dan heeft men daartoe nog een hulpwerktuig, den zoogenaamden kumU honzon (*), die uit een horizontaal spiegelend oppervlak bestaat, noodig. Deze spiegel wordt gevormd door eene zuiver gepolijste metaal- of glasplaat, of door het oppervlak, van eene vl30? De eerste wordt door drie stelschroeven ondersteund en met behulp van eene luchtbelbuis horizontaal gesteld. De vloeistofspiegel bestaat uit een ondiep bakje met olie of kwikzilver gevuld, waarvan het oppervlak, als de vloeistof in rust is van nT wi", ^ ^ °m de groote bewegelijkhe d' van het kwikzilver weg te nemen, wordt het in .een rood koperen schaaltje gedaan, dat inwendig geamalgameerd is- en om den invloed van den wind te ontgaan, plaatst men over den spiegei soms een blikken dak, in welks schuine zijden twee d or hLT ter.d°Tlati^ ™ de.lichtstralen, maa? die ook door blaadjes mica kunnen gesloten worden, bijaldien de wind nog hinderlijk mocht blijken te zijn. Voor het meten van een verticalen hoek richt men nu den daaSilt v, kbeeld;an ^ V°°rWerp in den ^nsthorizo" daarbij hfct vlak van den rand verticaal houdende, en laat het TltZl? "gelezenhoek geeft, fla het aanbrengen der indexcörrertie door de beide spiegels dubbel teruggekaatste beeld van het voorwerp samenvallen met het eerstgenoemde beeld. Ligt het voorwerp veraf, dan is de gemeten hoek het dubbele van den elevatiehoek. Zij nl. AB, fig. 76, het spjegelend-oppervlak, CD een daarop invallende\lichtstraal, waarvan de helling « moet bepaald worden en komende van een verafgelegen voorwerp, bijv. eene ster S, dan zal de lichtstraal in de richting DE worden teruggekaatst, zoodanig, dat /_EDA = /_CDB = a is. Deze teruggekaatste lichtstraal maakt met den door de sextantspieg^ls dubbel teruggekaatsten lichtstraal GE, welke evenals CD van de ster komt en dus evenwijdig aan CD loopt, een hoek 2«, want uit de figuur bhjkt: GEF= CDF= CDB + BDF= CDB + EDA = 2 CDB = 2 b sin3 of, als wij voor den nonius van den kleinen hoek C den boog schrijven en |3 door de benaderde waarde f* vervangen: C= - — i g t2 sin 1 * cos i «,= 2 cos» |«, b sin { 9 waaruit dus voor den gévraagden elevatiehoek volgt: ■ $ = 1 * + -r cos2 -l , die samen een viziervlak vormen rechthoekig op het ondervlak van de liniaal en evenwijdig aan den zijkant ab, waarlangs de lijnen op het planchet getrokken worden. Behalve van de beschreven inrichting wordt ook gebruik gemaakt van linialen met kijkers. Zijn deze vizierlinialen, zooals thans veelal geschiedt, tevens ingericht tot het meten van afstanden (Hoofdstuk X) en van verticale hoeken, dan vormen zij met het planchet een zeer geschikt geheel, vooral, zooals later zal blijken, voor detailmeting (Hoofdstuk XVI). Een dergelijke liniaal, naar het Duitsch ook wel Kippregel genaamd, is in fig. 88*bc op de helft der ware grootte voorgesteld. Op de_houten liniaal AA, die aan eene zijde schuin is afgesneden en met een metalen reep is belegd, om daarlangs de lijnen op het planchet te trekken, is door middel van de schroeven G, do voetplaat B van de züil I) bevestigd. Op deze zuil zijn - twee armen GG' aangebracht, waaraan zich de pannen van de as MN bevinden; een dezer armen is zoo ingericht, dat door middel der correctieschroeven H de as MN evenwijdig gesteld kan worden aan den onderkant van de liniaal. Aan de as MN is eindelijk de kijker 0 verbonden, waarvan de vizierlijn recht• hoekig staat op de as MN, zoodat die vizierlijn, bij draaiing van den kijker om die as, een plat'viziervlak beschrijft, rechthoekig op dén onderkant van de liniaal. Bij sommige vizierlinialen zijn nog correctieschroeven aangebracht, om dit viziervlak evenwijdig aan den zijkant van de liniaal en dus de as MN loodrecht óp dien zijkant te plaatsen. Tot het meten der verticale hoeken is aan de as MN nog een' cirkelrand Q bevestigd, waarop de hoeken met behulp van den klepnonius B worden afgelezen. Aan de andere zijde der as bevindt zich nog de inrichting voor vastklemming K en de micrometerschroef L voor de fijne beweging. § 68. Opstelling. Bij het werken met het planchet moet dit aan de drie volgende voorwaarden van opstelling voldoen: 1°. Het punt van het planchet, dat het punt van het terrein voorstelt, van waaruit men zal gaan meten, moet in de | verticaal van dit punt gelegen zrjn. 2°, • Het bovenvlak van het planchet moet hqrizontaal zijn. 3°. Het planchet moet georiënteerd zijn, d.w.z. de lijnen, die reeds op het planchet getrokken zijn, moeten evenwijdig loopen aan de overeenkomstige lijnen op het tefrein. Aan de eerste voorwaarde wordt voldaan door het verzetten van den drievoet, of indien het planchet slechts weinig behoeft verplaatst te worden, door dit op den drievoet te verschuiven. Het onderzoek, of aan die voorwaarde voldaan is, heeft plaats met behulp van het schietlood, dat men op het oog genoegzaam nauwkéurig onder het punt van het planchet kan houden, dat men op het terrein moet projecteeren. Wordt grootere nauwkeurigheid vereischt, hetgeen echter zelden het geval zal zijn, dan kan men gebruik maken van den haak ABCD, fig. 85. Den eenen arm AB van dien haak legt men op het planchet met de punt A bij het punt, dat men op het terrein moet projecteeren , het aan den anderen arm in D opgehangen schietlood zal dan de projectie van dat punt op het terrein aangeven. De haak moe.t natuurlijk zoo zijn ingericht, dat de lijn AD rechthoekig staat op den onderkant van den arm AB; of hieraan voldaan is, kan gemakkelijk nagegaan worden, door den haak eerst m den stand ABCD, fig. 86, en vervolgens in den stand AB C D', die ongeveer 180° van den eersten verschilt, aan hetzelfde punt A van het planchet te leggen; het schietlood moet dan in beide gevallen hetzelfde punt van het terrein aanwijzen. Het horizontaal stellen van het bovenvlak geschiedt door de stelschroeven , met behulp van een buisniveau of een doosniveau op de wijze als vroeger uitvoerig is uiteengezet (zie § 22). Om het planchet te oriënteeren zorgt men, dat eene lijn die bepaald wordt door het punt, waar het instrument wordt opgesteld, en door een tweede punt van het terrein op het Planchet getrokken is. Men plaatst dan de liniaal met den zijkant langs die lijn en richt vervolgens de vizierlijn of het viziervlak van de liniaal door draaiing van het planchet op dat tweede punt. Het is duidelijk, dat bij het oriënteeren het punt van het planchet met blijft liggen in de verticaal van het terreinpunt waarboven het aanvankelijk lag. Het vervullen van deze*lrie voorwaarden van opstelling zal dus steeds hand aan hand moeten gaan Men zal dus eerst beginnen met op het oog, door het stellen van den drievoet en het draaien van het planchet om zijne as te trachten aan die drie voorwaarden te voldoen. Men kan dan met de opgegeven hulpmiddelen de opstelling nauwkeuriger verrichten en, zoo daarbij eene eenigszins groote verplaatsing van het planchet voorkomt, het onderzoek nog eens herhalen De. opstelling van het planchet kan ook als volgt geschieden Doof eene eenvoudige constructie bepaalt men het punt op het terrein, waarboven het middelpunt van het planchet moet iTfId; 20 nJ- AB de'J«n °P het ^I-rein waarmee «o van het planchet moet overeenkomen, dan laat men uit het Z SrVT hf PlanCh6t eene l0odl«n neer °P ^ lijn ab en meet de lengten aq en qp. Zet men nu van uit A in de «SnL 6611 afStand AQ = aq en ïoodrechf hierop een af™ = & mt> dan ^1 P de plaats aangeven, waarboven het midden van het planchet moet worden opgesteld. Na de midr eng.T P stelt men dus het Pochet met zijn' A P °P met behulP van het schietlood, zet het planchet horizontaal, plaatst de vizierliniaal langs ab, en richt door draaiing van het planchet op B. Uit de figuur blijkt dat dan he punt « ook in de verticaal van het hoekpunt1 A zal boTen11? ggen" fÖ de 4raaiiDg bl«ft n'L het Punt P loodrecht r DhtP''™ de ^erllniaal, die langs ab ligt op het punt B gericht dan zal, aangezien driehoek aqp gelijk en gelijkvormig met dnehoek *QP{ het punt a loodrecht boven A komen " Bij de opstelling van het planchet kan men in aanmerking nemen, dat een fout van een of twee centimeters in de opstelling in den regel niet zal hinderen, mits het planchet horizontaal, gesteld en goed georiënteerd zij. § 69. Onderzoek van het planchet. Het bovenvlak van het planchet moet.een plat vlak zijn, rechthoekig op de as. Om te onderzoeken of het bovenvlak van het. planchet een plat vlak is, legt men er in verschillende richtingen eene volkomen rechte liniaal op en gaat na of deze overal het planchet over de volle-lengte raakt. Mocht dit niet het geval zijn, dan moet het planchet door afschaven vlak gemaakt worden. Of het bovenvlak, rechthoekig op de as staat, kan men onderzoeken , door dat vlak met een niveau juist horizontaal te stellen en het planchet vervolgens om zijne as te draaien; blijft daarbij het niveau inspelen, dan heeft de as den.juisten stand. Daar het draaien van het planchet om zijne as alleen voorkomt bij het opstellen, niet bij het eigenlijke meten, zoo is een niet-rechthoekige stand van de as ten opzichte van het bovenvlak van het planchet weinig hinderlijk. Mocht dit geval zich werkelijk voordoen, dan zal, als het bovenvlak horizontaal gesteld is, en men het planchet ter orieBteering een weinig draait, het bovenvlak wel niet horizontaal blijven, maar door de stelschroeven weer gemakkelijk horizontaal gebracht kunnen worden. § 70. Regeling van de vizieriinlaal met gewone vizieren. Het viziervlak van de liniaal moet een plat vlak zijn, rechthoekig op het ondervlak van de liniaal, en zoo er verschillende viziervlakken aanwezig zijn, dan moeten deze alle samenvallen. Op de eerste voorwaarde onderzoekt men de liniaal door'haar op een zuiver 'horizontaal gesteld planchet te plaatsen en op eene zuiver verticale lijn te richten, die door een schietlood aangegeven wordt; wordt het koord van het schietlood dan over de geheele lengte door den objectiefdraad gedekt, dan heeft het viziervlak den vereischten stand; zoo niet, dan moet men de liniaal verbeteren door de schroefjes, waarmede de objectiefplaat D, fig. 84, op de liniaal AB is bevestigd, los te maken en weer vast te schroeven na tusschenvoeging van een stukje papier of bladtin. Daar het bij dit onderzoek vooral op den horizontalen stand van het planchet, in eene richting rechthoekig op die van de liniaal, aankomt, zoo plaatst men in die richting op het planchet een buisniveau, om daarmede den horizontalen stand van het. planchet voortdurend te kunnen nagaan. Zijn er verschillende viziervlakken. doordat men verschillende oculairopeningen of eene oculairspleet heeft, dan moet men het samenvallen der viziervlakken onderzoeken, door een dier vlakken' op een punt (of op het verticale koord) te richten en na te gaan, of de andere er ook op gericht zijn. Krocht dit niet het geval- zijn, dan verbetert men de liniaal met behulp van de schroefjes, waarmede de oculairplaat C, fig. 84, op de liniaal is bevestigd. Strikt genomen zou ook de zijkant van de liniaal, waarlangs < ^ Potloodlijnen getrokken worden, evenwijdig moeten zijn aan het viziervlak; anders zullen de potloodlijnen niet evenwijdig z«n aan de overeenkomstige richtingen op het terrein. Om dit . te onderzoeken, plaatst men de liniaal op een zuiver horizontaal gesteld planchet, en richt op een verwijderd punt. Men plaatst vervolgens twee fijne naalden langs den zijkant der liniaal en gaat na,, of de lijn der naalden ook op het punt gericht is. 18/dit met het geval, dan is de zijkant niet evenwijdig aan het viziervlak. Meestal is geen correctieinrichting aanwezig om dit te verbeteren. Noodzakelijk is dit ook niet, omdat eené afwijking m dit opzicht slechts ten gevolge heeft, dat de lijnen >op het planchet met de overeenkomstige lijnen van het terrein een constanten hoek maken, die gelijk is aan den hoek tusschen het viziervlak en den zijkant van de liniaal. De hoeken tusschen de lijnen op het planchet zijn dus juist; maar de teekening is ten opzichte van het terrein den genoemden hoek gedraaid. § 71. Regeling van de vizierliniaal met k\jker. Ook bij deze inrichting moet het viziervlak een plat vlak zijn, rechthoekig op den onderkant van de liniaal, hetgeen verkregen wordt door to zorgen, dat de vizierlijn van den kijker rechthoekig staat op de as en dat de as evenwijdig loopt aan den onderkant van de liniaal. Is aan-de zuil, die de as draagt, een niveau verbonden in eene richting, evenwijdig aan die as en is eene schroef aanwezig, om as en niveau te zamen te verplaatsen, dan moet de as evenwijdig loopen aan de richtlijn van dit niveau. Deze laatste constructie is verre te verkiezenwanneer het planchet niet volkomen horizontaal is, wordt door het doen inspelen van de bel de as horizontaal gebracht en' daardoor het viziervlak, dat bij de beweging van den kijker om de as beschreven wordt, verticaal: -Voor het onderzoek kunnen al de methoden worden toegepast,' die bij den theodoliet beschreven zijn, indien men slechts in acht neemt, dat voor de eerste as hier de loodlijn op het planchet in de plaats treedt; 'het omdraaien van de eerste as moet dus vervangen worden door het omzetten van de liniaal, en het juist 180° omdraaien, door het trekken van eene lijn langs de liniaal en deze na het omdraaien daar weder langs te plaatsen. Bij de liniaal met niet-doorslaanden kijker dient men zich, evenals in § 70 is aangegeven, voortdurend door middel van een buisniveau, dat rechthoekig op de richting van de liniaal staat, van den horizontalen stand van het planchet in die richting te overtuigen. Evenals bij den theodoliet geeft het doorslaan van den kijker ook hier veel gemak bij het onderzoek, en het is daarom, dat, al kan de kijker niet op de gewone wijze worden doorgeslagen, hetgeen voor de waarnemingen zelf geenszins noodzakelijk is, dë kijker toch in den regel uit de tappannen kan worden gelicht en dan doorgeslagen, of, wanneer de constructie van het instrument dit toelaat, kan worden omgelegd. Bij de in. flg. 83abc voorgestelde liniaal kan dit geschieden door de schroefjes P en de daaronder liggende plaatjes weg te nemen. Het onderzoek of de zijkant van de liniaal evenwijdig loopt aan het vlak, waarin de vizierlijn van den kijker zich bij draaiing om de kijkeras beweegt, geschiedt op overeenkomstige wijze als voor de vizierliniaal met gewone vizieren is beschreven. Zooals in § 67 reeds-is opgemerkt, zijn soms correctieschroefjes aangebracht, om de liniaal in dit opzicht te regelen (in den regel door draaiing der zuil D, fig. 83, om hare lengteas). Het meten van verticale hoeken met de vizierlihiaal heeft op overeenkomstige wijze plaats als bij den theodoliet is behandeld. (Zie § 44—49.) Aangezien het bezwaarlijk is, het planchet voortdurend volkomen horizontaal te houden, zoo zijn de in § 49 sub b en c behandelde constructies te verkiezen. Het onderzoek naar de indexfout, alsmede de regeling, geschieden ook volkomen op dezelfde wijze als bij den theodoliet. BiOUSSOLE, § 72. Declinatie van de magneetnaald. De boussole, berustende op de eigenschappen van de magneetnaald / stelt ons in staat het azimuth van eene lijn te meten, dat is de hoek, dien hare-horizontale projectie met eene vaste lijn maakt. Voor deze vaste lijn wordt meestal de lijn NZ of de ware meridiaan genomen, maar daartoe kan even goed elke andere lijn dienen die een vasten hoek met den waren meridiaan maakt. Zooals bekend is, neemt eene magneetnaald, die zich in een horizontaal vlak vrij kan bewegen, eene bepaalde richting aan die den naam van magnetischen meridiaan draagt. Het is ten ppzichte van dezen magnetischen meridiaan, dat de azimuthen met de boussole gemeten worden. < Had deze magnetische meridiaan eene vaste richting, m.a.w maakte hij met den waren meridiaan altijd en overal denzelfden hoek — declinatie der magneetnaald genaamd — dan kon men met de. boussole de azimuthen nauwkeurig meten. Daar echter de declinatie der magneetnaald aan vele veranderingen onderhevig is, zoo is de meting met de boussole voor geene groote nauwkeurigheid vatbaar. . Ten .einde te kunnen nagaan, welke nauwkeurigheid met de boussole te bereiken is en welke eischen men aan eene boussolemeting kan stellen, zullen wij in het kort de voornaamste veranderingen aangeven, waaraan de declinatie der magneetnaald onderhevig is. Vooreerst is de declinatie veranderlijk met tfe plaats. Hier te lande en m geheel Europa en Afrika is de declinatie westelijk in Amerika en een groot gedeelte van Azië daarentegen is zij oostelijk. De declinatie- verandert echter niet sprongsgewijze maar geleidelijk, on neemt hier te lande ongeveer met 27" per. KM.'af; als wij ons naar het Oosten en met 6" per KM., als wij ons naar hot Zuiden verplaatsen. Niet alleen heeft de declinatie der magneetnaald voor elke plaats op aarde eene verschillende waarde, maar zij ondergaat op eene zelfde plaats voortdurend verandering; deze veranderingen kunnen worden verdeeld in regelmatige en onregelmatige. De regelmatige veranderingen dragen naar gelang der tijdruimte, waarin zij plaats hebben, den naam van seculaire of van dagelijksche veranderingen; de onregelmatige veranderingen worden ook wel storingen genoemd. Ten gevolge van de seculaire verapdering beschrijft voor eene bepaalde, plaats de magneetnaald ten opzichte van den geographischen meridiaan eene voortdurende, zeer langzame slingering, waarvoor zij eene groote tijdruimte noodig heeft, die bij eeuwen geteld wordt. Zoo was in het midden der 16de eeuw de declinatie hier te lande oostelijk, nam gaandeweg af, tot zij ongeveer in het midden der 17do eeuw nul en vervolgens westelijk werd. Na in westelijken zin tot het begin der 19de eeuw te zijn toegenomen en een maximum van ongeveer 22° bereikt te hebben, is zij Weer aan het afnemen, bedroeg in 1911 ongeveer 12°50' en vermindert nog jaarlijks met ongeveer 8'. Te Batavia was in 1911 de declinatie oostelijk en bedroeg 0°44', de jaarlijksche vermindering is ongeveer 2'. Daar de metingen met.de boussole zich meestal slechts over een klein terrein uitstrekken en in betrekkelijk korten, tijd zijn afgeloopen, zoo heeft zoowel de declinatieverandering, die een gevolg is van de verplaatsing der boussole, als de seculaire verandering weinig of geen invloed op de nauwkeurigheid der, meting. Die veranderingen kunnen echter gemakkelijk in rekening gebracht worden, waar het geldt het bepalen van het ware azimuth, door de declinatiè te gebruiken voor de plaats waar, en den tijd waarop de metingen verricht zijn. ; Van meer belang is de dagelijksche verandering van de declinatie. Van 's ochtends 7 a 8 uur af neemt hier te lande de westelijke declinatie van de magneetnaald snel toe, tot zij in den namiddag omstreeks 1 a 2 uur haar maximum bereikt, om dan weer af te nemen, eerst vrij snel tot 6 a 7 uur 's avonds en dan langzamer den geheelen nacht door tot 's ochtends 7 a 8 uur (daarbij ongeveer 11 uur 's avonds een secundair minimum en ongeveer 3 uur 's nachts een secundair maximum vertoonehd), waarop de naald weer opnieuw- hare beweging in westelijke richting begint. Deze beweging, die zich hier te lande in den Stomer gemiddeld over eén boog van ongeveer 10' tot 12' en in den winter van ongeveer 4' tot G' uitstrekt, heeft plaats gedurende de meting, zoodat men telkens de azimuthen ten opzichte van eene andere lijn bepaalt. Aangezien nu deze verandering zeer ongelijkmatig plaats heeft, is het niet mogelijk haar in rekening te brengen (tenzij men inlichtingen kan verkrijgen van een magnetisch of meteorologisch instituut of gebruik kan maken van een declinatorium) en, blijven dus de fouten die daardoor ontstaan, in de uitkomsten der meting. De magnetische storingen eindelijk zijn gedeeltelijk een gevolg van veranderingen in de activiteit van de zon en treden vooral in sterke mate op bij noorderlicht, waarbij de stand der naald onregelmatige afwijkingen vertoont, waarvan het bedrag soms tot een graad kan opklimmen. Ten gevolge van de dagelijksche verandering der declinatie en van de magnetische storingen is' het zonder bijzondere hulpmiddelen niet mogelijk, met de boussole nauwkeurige metingen te verrichten, en het is daarom overbodig hooge eischen te stellen aan "de inrichting en de regeling van dat instrument. Zorgt men, dat bij groote storingen, die zich door de onrust der magneetnaald kenmerken, geen waarnemingen verricht worden, dan kunnen in de meting toch nog fouten voorkomen die wellicht tot 10' kunnen opklimmen. Op plaatsen, dichter bij den evenaar gelegen, zijn de dagelijksche beweging en de invloed van de storingen minder groot zoodat men aldaar eene eenigszins grootere nauwkeurigheid met de boussole kan bereiken. De dagelijksche veranderingen te Batavia strekken zich gedurende de maanden Mei tot Juli uit over een boog van ongeveer 2', gedurende de maand December over een boog van ongeveer 4'. § 73. Beschrijving van de boussole. Bij de in flg 78 voorgestelde boussole - statief boussole genaamd -, rust de magneetnaald NZ door middel van een agaten hoedje op eene stift die in het midden van eene cylindervormige koperen doos is aangebracht. In de doos, die van boven door. eene glazen pjaat bedekt is, bevindt zich op een verheven rand eene graadverdeeling en wel zoo, dat, als de rand horizontaal staat, de naald zich in het vlak van den rand bevindt, met haar uiteinde zoo dicht mogelijk bij de verdeeling, om hierop met behulp van de punt der magneetnaald den stand der doos ten opzichte van den magnetischen meridiaan te kunnen aflezen. Op twee diametraal tegenover elkaar gelegen plaatsen aan den omtrek van de doos i bevinden zich twee opslaande platen, de eene voorzien vall eenige oculairopeningen of eene oculairspleet, de andere van eene objectiefopening met paardenharen draad, waardoor eene viziervlak gevormd wordt, dat rechthoekig staat -op het vlak van den rand enidoor de lijn gaat, die de verdeelingen 180° en 0° verbindt. In plaats van de gewone vizieren vindt men ook wel een kijker boven of onder de boussole om eene as draaibaar, welke as evenwijdig loopt aan den rand. Het ^viziervlak van den kijker moet natuurlijk denzelfden stand hebben als boven is aangegeven. De doos eindelijk is draaibaar om eene aa, die rechthoekig staat op het vlak van den rand en' die bij het gebruik verticaal gesteld wordt. De inrichting, om die as verticaal te stellen, kan dezelfde zijn als hiervoren bij den theodoliet en het planchet nader is beschreven. In fig. 78 is eene meer "eenvoudige inrichting aangegeven, die wel is waar geen zoo nauwkeurige verticaalstelling toelaat als de vroeger beschrevene met behulp van stelschroeven, maar die geheel past bij' de geringe nauwkeurigheid met de boussole te bereiken. Bij die inrichting, bekend onder den naam van kogelscharnier, gaat de as door een bol A, die door middel van de schroef D tusschen de twee vleugels B en O wordt vastgeklemd; deze vleugels zitten eindelijk op eene kegelvormig' uitgeholde bus, die op den kegelvormig afgedraaiden kop van den drievoet geplaatst wordt. Maakt men de schroef D even los, dan kan het geheele bóvenstel om het middelpunt van den bol draaien; door dat bóvenstel dan met de eene hand zoo vast te houden, dat de as verticaal staat, kan men het in dien stand bevestigen, door de schroef weer vast te draaien. ^Bij sommige metingen is het wenschelijk, de boussole te voorzien van eene inrichting tot het meten van verticale hoeken en van afstanden; daartoe is dan, zooals o. a. bij de boussole tranchemontagne het geval is-,' aan de kijkeras een verticale cirkelrand bevestigd, waarop met behulp van één of twee noniussen de hoeken kunnen worden afgelezen; de kijker is dan meestal tevens tot afstandmeten (Hoofdstuk X) ingericht. Tot het nauwkeurig meten van verticale hoeken is in dit geval dan gewoonlijk aan de boussole een buisniveau verbonden, evenwijdig aan het viziervlak van den kijker. § 74. Het meten met de boussole. Stel dat wij- willen be- palen het magnetische azimuth van de lijn AB flg 79 _ dat is de hoek MAB, dien de lijn AB met de richting AM 'van de magneetnaald maakt - dan plaatsen wij de boussole met haar middelpunt boven het punt A en richten de lijn 180°-0° met behulp van de vizierinrichting op het punt B; het is duidelijk dat wij dan op den rand bij het noordeinde N van de naald den gevraagden hoek zullen aflezen. nJ,elf fm*n *et azimuth uit ^t Noorden langs het Oosten naar het Zuiden enz., dus in de richting, waarin de wijzers van het horloge bewegen, dan moet de becijfering op dén rand zooals zulks in flg. 78 is, voorgesteld, in tegengestelde richting' plaats hebben. 8 pfRetfime7oniet h6t ma^etische, maar het ware azimuth PAB fig. 79, van de lijn hebben, dan moet men van het aldus gevonden magnetische azimuth de loestelijke declinatie PAM der magneetnaald aftrekken. Daar de rand slechts verdeeld is in heele en halve graden en men bij de punt der naald moet aflezen, zoo kan men het in die aflezing moeielijk verder brengen dan tot ongeveer 10' eene nauwkeurigheid geheel in overeenstemming'met de door andere .oorzaken begrensde nauwkeurigheid. Eene ingewikkelde inrichting om nauwkeuriger aflezing te verkrijgen zou dan ook geheel doelloos zijn. s Bij het aflezen dient men zich echter onafhankelijk te maken van de parallax, door zich in het verlengde van de naald te plaatsen, en van de excentriciteit der naald, door ook bij de Zuidpunt af te lezen. Vermeerdert of vermindert men deze ' laatste aflezing met 180°, dan verkrijgt men eveneens het azimuth en door dan het gemiddeldé te nemen tusschen dit en 1dt,N°0rdpUnt afSelezene, verkrijgt men de uitkomst, onafhankelijk van de fout van de excentriciteit. Zeer dikwijls treft men, boussoles aan, waarbij, zooals in flg. 80 is voorgesteld, de vizierinrichting op zij van de doos is midSZi n flaatSt,men eene Olijke boussole met haar middelpunt 0 boven het punt A, dan zal men bij het bepalen van het azimuth van AB eene fout maken, die echter des te ïïfïf w Z1JD' naarmate het Pünt B verderaf gelegen is. Mocht het punt B zoo dichtbij gelegen zijn, dat die fout te giootzou worden, dan kan men haar verhelpen, door niet het middelpunt van de boussole, maar de vizierinrichting boven het punt A te brengen, zooals in de figuur is aangegeven. Men leest in dat geval het azimuth MOO van de aan I/evenwholge lijn OC, die de punten 180° en 0° van den rand verbindt af- dit is blijkbaar hetzelfde als het azimuth van AB. Kan de vizier/inrichting doorslaan, zoo kan men ook het middelpunt del- boussole boven A plaatsen en de fout in het azimuth door dubbele meting elimineeren. Is namelijk in den gewonen stand der vizierinrichting de aflezing aan de Noordpunt der naald a, fig. 81", en in den doorgeslagen stand de aflezing aan de Zuidpunt (3, fig. HV", zoo wordt in beide gevallen dezelfde fout 2r=./_ ABC=/_ ABC', maar in tegengestelden zin gemaakt. Het gevraagde azimuth NAB zal dus gelijk zijn aan de halve som der aflezingen * en B. Het bepalen van horizontale hoeken met de boussole, door van elkaar af te trekken de azimuthen van de twee beenen, kan geen groote nauwkeurigheid opleveren, omdat de azimuthen met behulp v£ln de boussole niet nauwkeurig gevonden worden. Bij sommige instrumenten heeft men beide zaken gecombineerd, namelijk het meten van hoeken en van de azimuthen .van lijnen, maar zoodanig, dat de verschillen van deze laatste met veel grootere nauwkeurigheid de hoeken tusschen de lijnen aangeven. Daartoe is het instrument ingericht als een theodoliet, terwijl eene magneetnaald aanwezig is, om met behulp daarvan den rand zoodanig te oriënteeren, dat de aflezingen tevens ten naastenbij de azimuthen aangeven. § 75. Onderzoek van de boussole. Het onderzoek van de boussole moet zich uitstrekken over de gevoeligheid van de magneetnaald en over den stand van het viziervlak ten opzichte van de as. De gevoeligheid der naald kan men onderzoeken door op een verwijderd voorwerp te richten en, nadat de naald tot rust gekomen is en men haren stand heeft afgelezen, de boussole voorzichtig één of meermalen rond te draaien en ten slotte weer op hetzelfde punt te richten. Is de naald bij deze beweging rustig blijven staan en heeft zij na de proef denzelfden stand als daarvóór, dat bezit zij de noodige gevoeligheid. Men kan ook, nadat de magneetnaald tot rust gekomen is, haar door middel van een ijzeren voorwerp in schommeling brengen en nagaan, of zij weer in denzelfden stand tot rust komt. &«Mf Is de boussole, zooals in fig. 78, voorzien van gewone vizieren, dan moet het viziervlak, hierdoor gevormd, evenwijdig loopen aan de as. Het onderzoek hieromtrent geschiedt op overeenkomstige wijze als bij de vizierliniaal van het planchet is beschreven, met deze kleine wijziging, dat men de as verticaal stelt in plaats van het planchet horizontaal te stellen. h de boussole van een kijker voorzien, die om eene tweede as kan draaien, dan moet de boussole aan dezelfde eischen voldoen die w« vroeger aan den theodoliet gesteld, hebben. Het onderzoek heeft op overeenkomstige wijze plaats Strikt genomen zou bij beide inrichtingen het viziervlak tevens moeten gaan door de lijn 18p°-0° of minstens daaraan evenwijdig moeten loopen, terwijl de magnetische as van de maeneetnaald zou moeten samenvallen met hare meetkunstige' as Eene afwijking hieromtrent is echter in vele gevallen niet hin-' derlijk en in.de overige gevallen gemakkelijk in rekening te .brengen. Is die fout namelijk aanwezig, dan komt in ieder azimuth dat men meet, dezelfde fout, voor, hetgeen daarmede overeenkomt dat men meet ten opzichte van eene andere vaste lijn, die met den magnetischen meridiaan een vasten hoek maakt, gelijk aan de bedoelde fout. Is het ons dus alleen te doen om de azimuthen ten opzichte van eene willekeurige lijn te meten dan heeft die fout in het geheel geen invloed f en is het ons te doen om het ware azimuth te bepalen, dan moeten wij slechts in plaats van de declinatie der magneetnaald de zoogenaamde declinatie van de boussole nemen, dat is de hoek dien het viziervlak met den waren meridiaan maakt, als dé ™ Z Til^ De deCliDatie kUMen w«' voor de Plaats waar en den tijd waarop de meting geschiedt, gemakkelijk vinden, door met de boussole het azimuth te bepalen van eene lijn, waarvan het ware azimuth bekend is; het verschil tusschen die twee is de gevraagde declinatie. Is op het terrein geen Jijn met bekend azimuth gegeven, dan moet men eerst langs astronomischen weg het azimuth van eene lijn of de richting van den meridiaan bepalen. (Zie § 118 en volg.) § 76 Opstelling van de boussole. Bij het gebruik van de boussole moet men er voor zorgen, dat zich geen ijzerdeelen in de nabijhe d bevinden, die aan de magneetnaald eene^ afwijking zouden kunnen geven. Zoo moet men vermijden, ijzeren IZTÏZ VenfZa? mede te voeren> den meetketting of andere ijzeren'meetinstrumenten; te dicht bij de boussole te brengens tijdens het aflezen en de boussole in de nabijheid van ijzeren voorwerpen, zooals ijzeren bruggen W, te bezigen Verder moet bet midden van het instrument gebracht worden in de verticaal van het punt, waaruit men moet meten, (tenzq de viziennnchting excentrisch is en niet kan doorslaan) én moet de as verticaal staan. Het eerste onderzoekt men met het schietlood, het tweede met behulp van het niveau Is de boussole ingericht zooals in fig. 78 is voorgesteld, dah plaatst men een doosniveau op het glazen deksel en doet het inspelen door de schroef D los te maken, het bóvenstel met de eene band den juisten stand te geven en met de andere de schroef weer aan te draaien. Het is hierbij noodig, dat het glazen deksel rechthoekig staat pp de as; of aan deze voorwaarde voldaan is, kan men gemakkelijk onderzoeken, door, als de bel inspeelt, de boussole om de as te draaien. HET UITZETTEN VAN HOEKEN. § 77. .Algemeen overzicht. Tot het uitzetten van gegeven hoeken op het terrein kunnen in het algemeen alle instrumenten dienen, die hiervoren beschreven zijn. Is bijv. op het terrein het hoekpunt benevens een der beenen van den hoek gegeven, dan plaatst meri een theodoliet in dat punt, richt den kijker volgens de gegeven lijn en leest den stand van den nonius op den eersten rand af. Draait men nu het bóvenstel zooveel om, totdat men op den nonius een aantal graden en minuten, gelijk aan dat van den uit te zetten hoek, meer of minder afleest, dan heeft men slechts in het viziervlak van den kijker eene baak te, laten plaatsen, om den hoek daardoor op het terrein aan te geven. Met de overige instrumenten gaat men op overeenkomstige wijze te werk. Het uitzetten van hoeken van een willekeurig aantal graden en minuten komt in de praktijk zelden voor, veel daarentegen het uitzetten van eenige hoeken van bepaalde grootte, als van 45°, 90° en 180°; maar vooral van 90°. Tot het uitzetten van deze hoeken heeft men eenvoudige instrumentjes, die veel gemakkelijker in het gebruik zijn door hunne meer eenvoudige samenstelling en geringer volume. Deze instrumenten hebben twee viziervlakken, die den gevorderden hoek met elkaar maken, of het zijn spiegelinstrumenten, waarin twee vaste spiegels voorkomen, die samen een hoek vormen gelijk aan de helft van den uit te zetten hóek; deze spiegels kunnen dan gewone spiegels zijn van verfoelied plas glas of wel de zijvlakken van glazen prisma's. Van elk dezer verschillende soorten zullen wij er een nader beschrijven. §78. Équerre d'arpenteur; De équerre d'arpenteur, ook bekend onder'de namen van achtkant, octogeen en latidmeterskruis, hoewel deze laatste benaming meer toekomt aan eene eenigszins andere constructie, die vroeger tot hetzelfde doel gebruikt werd, is in fig. 88 op de helft der ware grootte voorgesteld. Boven op eene kegelvormig uitgeholde bus, die op een stok of op een drievoet geplaatst wordt, bevindt zich een holle achtkantige doos van koper. In twee tegenover elkaar staande zijvlakken A en B zijn twee vizierinrichtingen aangebracht, waardoor men in twee tegenovergestelde richtingen kan richten en waarmede men dus hoeken van 180° kan uitzetten. In ëe twee zijvlakken , ;die rechthoekig staan op de eerste en waarvan er slechts een bij C zichtbaar is, zijn dergelijke vizierinrichtingen aangebracht , zoodat- men daardoor twee viziervlakken verkrijgt, die rechthoekig staan op de viziervlakken door A en B gevormd en waarmede het dus mogelijk is, rechte hoeken uit te zetten. In de vier overige zijvlakken zijn enkel smalle spleten aan-' gebracht, omdat sommige waarnemers het richten door twee zulke spleten verkiezen boven het richten met de andere vizierinrichtingen. Zij kunnen ook dienen om in verband met die andere vizierinrichtingen hoeken van 45° uit te zetten. § 79. Gebruik van de équerre d'arpenteur. Het uitzetten van hoeken van 180° heeft plaats bij het verlengen van eene lijn AB naar C, fig. 89, of bij het zoeken van een punt op de lijn AB, fig. 90, als men bij geen der punten 1 of 5 kan komen. In het eerste geval plaatst men de équerre in B, fig. 89, en draait haar zoo, dat een der viziervlakken op A gericht is; door de ,zich daarboven of daaronder bevindende vizierinrichting ip tegengestelde richting ziende, kan men dan eene baak in die richting, dus in G doen plaatsen. In het tweede geval plaatst men het instrument ergens in G, fig. 90, zoo goed als zulks op het oog kan geschieden, in de ■lijn AB, richt op A en ziet nu of men ook op B gericht is. In het geval in de figuur voorgesteld, valt het viziervlak rechts van het punt B, waaruit men opmaakt, dat men zich naar links, bijv. naar D moet verplaatsen, om. daar het onderzoek opnieuw in te stellen en zoo lang te herhalen, tot men werkelijk een punt gevonden heeft, op de lijn AB gelegen. Het uitzetten van rechte hoeken komt voor bij het oprichten van eene loodlijn BC, flg. 91, op eene gegeven lijn AB en bij het zoeken van het voetpunt E van de loodlijn uit een punt D, buiten de lijn AB, op die lijn neergelaten. In het eerste geval plaatst men de équerre in B, richt een der viziervlakken op A en laat dan eene baak C plaatsen in het viziervlak, dat rechthoekig staat op het eerste. In het tweede geval stelt men het instrument in een punt F van de lijn AB, zoo goed als zulks op het oog kan in het voetpunt der loodlijn, en onderzoekt' of de loodlijn in dat punt opgericht door D gaat; zoo niet, dan , kan men zien in welke richting, en ook ongeveer hoeveel, men het instrument in de lijn AB moet verplaatsen om dichter bij het gevraagde voetpunt te komen, alwaar men hetzelfde onderzoek herhaalt. § 80. Opstelling en onderzoek van de équerre d'arpenteur. Bij het gebruik moet het midden van het instrument in de verticaal van het hoekpunt gebracht worden en de meetkunstige as van het instrument verticaal staan, zoodat ook de viziervlakken verticaal komen. Verreweg het eenvoudigste bij het gebruik is het, de équerre op een stok te plaatsen, die van onderen in een ijzeren punt uitloopt; men plaatst den stok dan met zijn uiteinde in het bedoelde punt Van het terrein en plaatst hem op het oog verticaal. Alleen wanneer men te doen heeft met een zeer weeken of met een harden bodem, waarin men den stok met kan vastzetten, is men genoodzaakt zijne toevlucht te nemen tot een drievoet. Men onderzoekt dan met behulp van een schietlood, of door het voorzichtig laten vallen van een steentje, of het midden van het instrument zich in de verticaal van het bedoelde punt bevindt. De équerre wordt weer op het oog verticaal geplaatst. De hoofdvoorwaarde, waaraan de équerre moet voldoen, is dat de twee viziervlakken den gewenschten hoek met elkaar maken. Dit kan men onderzoeken door rondmeting (tourd'horizon) Van uit een punt van het terrein, waar men de équerre plaatst' zet men bijv. vier malen met de équérre denzelfden hoek naast elkaar uit; komt dan het laatste been van den vierden hoek juist overeen met het perste been van den eersten hoek dan maken de gebezigde viziervlakken de juiste hoeken met elkaar; zoo niet, dan is de équerre onbruikbaar en moet door den instrumentmaker verbeterd worden. Het is duidelijk, dat men bij dit onderzoek telkens dezelfde viziervlakken moet gebruiken en dus- de équerre telkens een hoek van 90° moet verdraaien. Het onderzoek naar de juistheid der hoeken van 45° heeft op overeenkomstige wijze plaats. Een andere voorwaarde is, dat de viziervlakken,platte vlakken moeten zijn. Men kan dit onderzoeken door langs de boyen-' zijde van het viziervlak op een punt te richten en na te gaan of , bij beweging van het oog langs de oogspleet naar beneden, het Viziervlak op het punt gericht blijft. § 81. Spiegelkruis. Het spiegelkruis, waarvan in flg. 92»b eene afbeelding voorkomt, bestaat uit twee spiegeltjes KenG, die .een vasten hoek-met elkaar maken en waarvan het eene K slechts half verfoelied of lager dan het andere is. Ziet men nu in dezen kleinen of half verfoelieden spiegel K het tweemaal teruggekaatste voorwerp A samenvallen met een tweede voorwerp G, dat mep over dien spiegel of door het onverfoeliede gedeelte heenziet, dan maken, volgens hetgeen wij bij de sextant gezien hebben, de lichtstralen, die van beide voorwerpen komen, samen eèn hoek gelijk aan het dubbele van den hoek der twee spiegels; is deze dus 45°, dan staan die lichtstralen rechthoekig op elkaar. Om met dit instrumentje de loodlijn BC, fig. 91, in B op AB op te richten, plaatst mgn zich daarmede in B met het gezicht naar C, neemt door dubbele terugkaatsing de baak A in den kleinen spiegel waar, en laat dan in C eene baak zoodanig stellen, dat men die, over den kleinen,spiegel heenziende, ziet samenvallen met het beeld van A. Om het voetpunt E deiloodlijn , uit D op AB neergelaten, te bepalen, plaatst men^ zich met het instrument op dezelfde wijze ergens in een punt F van de lijn AB en ziet of het punt D samenvalt met het beeld van A ; zoo niet, dan verplaatst men zich zoolang naar rechts of naar links in de lijn AB, tot die samenvalling plaats heeft; het spiegelkruis is dan in de verticaal van het voetpunt gelegen. In het gebruik is het spiegelkruis veel gemakkelijker dan de hiervoren beschreven équerre d'arpenteur; daar het evenals de sextant geene vaste ondersteuning vordert, is een stok of drievoet overbodig; bovendien kan het gemakkelijk in den zak geborgen worden, zoodat het, zonder de andere werkzaamheden te bemoeilijken, toch altijd voor het gebruik bij de hand is. Ook bij het neerlaten der loodlijnen ontgaat men het lastige opstellen, dat bij de équerre soms voor ééne loodlijn drie- of viermalen moet geschieden. fgaljS Voor het uitzetten van een horizontalen hoek is het echter noodzakelijk, dat de beide voorwerpen, die men moet laten samenvallen, ongeveer even hoog zijn gelegen als het instrument, iets wat bij de équerre geen vereischte is. Het spiegelkruis kan düs slechts gebruikt worden in vlak of weinig geaccidenteerd terrein. Het onderzoek naar den juisten stand der spiegels geschiedt op dezelfde wijze; als bij nie équerre is behandeld, doormiddel van rondmeting; mochten de spiegels den juisten stand niet bezitten,, dan kan men hun dien geven, door een der spiegels met behulp van eene daartoe aangebrachte correctieschroef S te verplaatsen. Door aan de spiegels hoeken van 221/2° of 90° te geven, kan men ook hoeken van 45°, respectievelijk 180° uitzetten. § 82. Prisma van Bauernfeind. Het prisma van Bauernfeind, in flg. 98 voorgesteld, bestaat uit een glazen prisma waarvan de normale doorsnede een gelijkbeenige rechthoekigé driehoek -is met eene ongeveer 4 cM. lange hypothenusa. Daalde twee grondvlakken en het verfoeliede hypothenusavlak door koperen platen beschermd zijn, blijven alleen de twee rechthoekszijden vrij, die door middel van een, om -eene as draaibaren, beugel kunnen bedekt worden, zoodat het geheel eene zoo kleine ruimte inneemt, dat het gemakkelijk kan geborgen worden. De beugel, 90° omgedraaid zijnde, dient tot handvat en het instrument is voor het gebruik gereed. In dezen laatsten stand is het prisma in de figuur voorgesteld. De twee spiegels, waarop de terugkaatsing plaats heeft, worden hier gevormd door het verfoeliede hypothenusavlak AB fig 94 en één der rechthoekszijden, bijv. BC, waar totale terugkaatsing plaats heeft. b Valt van een punt P een lichtstraal Pa evenwijdig met het grondvlak van het prisma op het vlak AG in, dan-wordt hij volgens ab gebroken, in b teruggekaatst naar c en daar weer teruggekaatst naar d, waar hij het prisma^ in de richting de -verlaat en/in het bij e geplaatste oog treedt; ziet men met dat oog tevens over het prisma heen, naar eene bij Ó geplaatste baak, dan zal, zoo men het beeld van P ziet samenvallen met Q, de hoek QRP recht zijn. Dat die hoek werkelijk recht is, is gemakkelijk na te gaande lichtstraal nb toch wordt op de twee vlakken BG en AB teruggekaatst en maakt dus met cd een hoek gelijk aan het dubbele van den hoek ABG, dat is, hij staat rechthoekig op cd daar nu de normalen ag en dh ook rechthoekig op elkaar staan' ™;?,V! h06?en gab en cdh ^ elkaar gelijk, waaruit onmiddellijk de gelijkheid der hoeken Paf en Rdk volgt De Innen aP en dR maken dus met de onderling rechthoekigé normalen af m dk gelijke hoeken in denzelfden zin en zijn dus ook onderling rechthoekig. Daar de richting RQ, waarin men het voorwerp P waarneemt, steeds loodrecht op Rp en alzoo t onafhankelijk van de grootte van den invalshoek Paf is, zoo beweegt het waargenomen beeld van P niet mede met het prisma, wanneer dit laatste om eene verticale lijn wordt gedraaid. Hierdoor kan men het beeld, dat door dubbele terugkaatsing ontstaat, gemakkelijk onderscheiden van beelden, die op andere wijze worden gevormd. Dit prisma wordt op dezelfde wijze gebruikt eri onderzocht Aals, hét hiervoren beschreven spiegelkruis. Van regeling kan natuurlijk- geen sprake zijn; een prisma, dat niet goed bevonden wordt, moet eenvoudig niet worden aangenomen. § 83. Prismakruis van Bauernfeind. Het prismakruis van Bauebnfeind bestaat uit twee prisma's, die op de wijze als in fig. 95ab is voorgesteld, op elkander geplaatst zijn. Het oog wordt zoodanig geplaatst, dat men tegelijk in beide prisma's ziet. Ziet men nu het beeld van een baak in het eene prisma samenvallen met het beeld van eene tweede baak in het andere prisma, dan zijn de lichtstralen, die van die twee baken komen, evenwijdig, of wat hetzelfde is, zij maken samen een hoek van 180°. De loop van de lichtstralen kan op tweeerlei wijze plaats hebben. In het in fig. 95a veronderstelde geval worden beide lichtstralen Pos en Sd' tweemaal teruggekaatst op dezelfde wijze als bij het enkele prisma, fig. 94, tengevolge waarvan de uittredende lichtstralen, die in het oog komen, rechthoekig staan op de intredende lichtstralen. Vallen de uittredende lichtstralen dB dus samen, d.w.z. worden de voorwerpen P en S in de beide prisma's boven elkander gezien, dan loopen de intredende Pa en Sd' evenwijdig. In het tweede geval, fig. 95", wordt ieder van de lichtstralen slechts eenmaal teruggekaatst en wel op het verfoeliede hypothenusavlak. Vallen de uittredende lichtstralen GB samen en is de hoek tusschen de hypothenusavlakken 90°, zoo volgt uit de gelijkheid der in de figuur met « aangegeven hoeken ook de evenwijdigheid der gebroken lichtstralen ab en a'b' en dus ook van de invallende lichtstralen Pa en Sa'. Van deze twee wijzen om het prismakruis te gebruiken, verdient de eerste de voorkeur en wel om verschillende redenen. Vooreerst staan bij deze wijze van werken- de beelden stil, waardoor de samenvalling beter te beoordeelen is, dan wanneer die beelden samen heen en weer bewegen, zooals in het tweede geval plaats heeft, wanneer men hét instrumentje een weinig verdraait. In de tweede plaats.is de richting, waarin men de beelden ziet, juist loodrecht op de invallende lichtstralen, zoodat I men tegelijkertijd eene loodlijn er mede kan uitzetten. In de derde plaats, en dit is van het grootste belang, is de hoek, dien men er mede uitzet, altijd 180°, ook dan, wanneer de twee hypothenusavlakken niet loodrecht op elkander staan Bij de tweede wijze van werken zet men een hoek uit, die het dubbele is van den hoek tusschen de twee hypothenusavlakken; is deze dus met zuiver recht, dan is de uitgezette hoek ook niet juist 180° maar wijkt daarvan af een hoek, die het dubbele is van de afwrjking van den hoek der twee hypothenusa's van een rechten hoek. Om te onderzoeken of.de twee hypothenusavlakken loodrecht op elkander staan, kan men nagaan of de twee rechthoeksvlakken evenwijdig zijn, door een rechte lijn, bijv. eene raam™fe' ï*el"k °P.de twee bakken te laten terugkaatsen. Gaat het beeld over beide vlakken onafgebroken door, dan is het goed; ziet men het beeld bij den overgang van het eene op het andere vlak verspringen, dan loopen die vlakken niet evenwijdig en staan dus de "hypothenusavlakken niet loodrecht op elkander Eene eenigszins andere inrichting van het prismakruis is in ng. 96 voorgesteld. ! •?etJ00g' in R ^plaatst, kijkt in de richting Rd tegelijk m beide onmiddellijk boven elkaar geplaatste prisma's; in het bovenste prisma loopt een lichtstraal na breking in d, terug- ÏTnTp- £ ,V* ° ef breking in °» in de ™hting naar een punt P, m het onderste prisma na breking in d, terugkaatsing m c en ^ en breking in a', in de richting naar S. Onafhankelijk van den stand der prisma's ten opzichte van elkaar is aP i dR en ab ± dit, en zijn dus aP en a'S evenwijdig dnm-J Üf e1inv.f1ht?g Zijn de beeIden helderder, omdat de bundels dooi de dubbel teruggekaatste, lichtstralen gevormd elkaar beter bedekken; ook kunnen de prisma's door de montuur beïr beschermd worden; alleen bij R, b en b' zijn openingen noodS IZ hïuf »D h°tken VaD 180°; ^ « d^en T°°rqbet Ultzet en van °o*ken van 90' (bij de inrichting, in vnjlaten)V0°rge m°et de montuur de rechthoekszijden geheel Sub § 82. Bepaling van de fouten in het prisma van prisma platte vlakken zun en de ribben evenwMia aan elkaar hmpen, kan men met eenvoudige hulpmiddelen de fouten L een prisma op de volgende wijze bepalen. C) Zie ook bet Voorbericht bij den achtsten druk. Ben lichtstraal, die in de richting a,b,, flg. ,97, op de rechthoekszijde AG invalt, wordt gebroken volgens ft,c,, dan teruggekaatst volgens c,üt en treedt volgens d,d,' uit; een deel van het licht echter zal worden teruggekaatst volgens cZ,e,, dan volgens e,/i, bij ft heeft totale terugkaatsing plaats in de richting f,gt, bij gt _treedt het licht uit volgens gtgt'; een deel echter kaatst weer terug volgens ft,, dan volgens h(kk, bij k, heeft weer totale terugkaatsing plaats volgens k\lx, zoodat bü lt een lichtstraal na zevenmalige terugkaatsing uittreedt volgens- IQföfë Een lichtstraal a2&2, flg. 98, evenwijdig aan a,&, op AC invallend, wordt gebroken volgens &2Cj, verder teruggekaatst volgens Cjeüjej/jflfjftjfe, en zal na breking in lt uittreden volgens Jjj»,; bij e, treedt licht uit volgens exet', bij gx volgens gtfi . terwijl bij c, en bij kt totale terugkaatsing plaats heeft. Beide lichtstralen Z,m, en üsms treden, wanneer de hoeken van het prisma juist 90° en 45° zijn, na zevenmalige terugkaatsing evenwijdig aan elkaar uit, waarbij de hoeken van uittreding i' gelijk zijn aan de invalshoeken i. De loop van de lichtstralen kan op de volgende wijze gemakkelijk worden geconstrueerd. Wanneer het prisma van stand I, flg. 97, om de zijde AC wordt omgeslagen in stand II, zal volgens de wetten van terugkaatsing hét punt ft, in h0 komen, zoodat Z,ft0 een rechte lijn is; het prisma uit stand II om de hypothenusa in stand III omgeslagen, geeft het punt 'en *V biJ' uittreding wordt als volgt berekend. Volgens de wetten van breking is: sin i ^»SöSè •I' sin r ' n is daarbij de brekingsindex, dus: sin L' == n sin rj:'. smit' = n sinr,', zoodat:, ; ■ , sin ij' — sin ■«,' = n (ifin rt' — sin r,'), of ook: 8j itzïy cos1l±1L = n sin rf^\m ïl±i£. 2 2 2 2 Het verschil tusschen it' en it' en tusschen ?•/ en ?■/ is klein; door JLtl. = , en SÜpl = r te stellen, waarbij i en r resp. de invalshoek en de brekingshoek voorstellen bij den op AC invallenden evenwijdigen bundel, vindt men: ., ., cos.r h ~h —n f (?•,' — r,'). cos l 1 11 De brekingsindex voor het glas, waaruit meestal deprisma's zijn vervaardigd, is op 1,52 te stellen; neemt men 1 = 60° , , cos ?• I \~^sT°P weinig na = 2'5> zoodat in verband met (4): h' — h' = 20 y. Het verschil in richting van de uittredende bundels is dus twintig maal de fout in den hoek B. Voor het onderzoek kiest men op eenigszins grooten afstand (bij een prisma mét rechthoekszijden van 2 cM., op minstens 200 M.) een voorwerp — baak, dakruiter, schoorsteen — dat goed tegen de lucht afsteekt. Om een invalshoek van 60° te krijgen, kan men gebruik maken van een houten driehoek met ,een hoek van 30°,' zooals in flg. 103 afgebeeld is; richt men den naad ab op het voorwerp, en plaatst men het prisma tegen den zijkant in stand I, dan is de invalshoek op AC — 60°. (Ka opstelling kan de driehoek verwijderd worden.) Bij S plaatst men een dofzwart' scherm om de van die zijde komende lichtstralen y die het onderzoek zouden beletten, te onderscheppen. Kijkt men nu in de rechthoekszijde BC, dan ziet men, in het linkergedeelte volgens m3Zj (dt'dt van flg. 97) kijkende door enkele terugkaatsing (in ct flg. 97) het beeld van het voorwerp zeer helder; dit heldere beeld geeft tevens de richting aan, waarin men verder kijken moet. Rechts van het heldere gedeelte bü lit flg, 103 (zie ook fig. 98), ziet men een lichtzwak beeld van het voorwerp (wanneer de ribben van het prisma niet evenwijdig z\jn, staat dit beeld hooger of lager dan het enkel teruggekaatste beeld). Dit zevenmaal teruggekaatste beeld nu kan men over den afstand van a' tot y' in de rechthoekszijde BC waarnemen. Vertoont de hoek B een fout, dan zal men bü fj', wanneer ✓men het oog van links naar rechts beweegt, twee beelden op gelijke hoogte zien, ofwel het beeld zien verspringen: de afstand van de beelden, of de afstand waarover het beeld verspringt, is dan twintig maal de fout in den hoek B. Verspringen de beelden, dan is de fout,positief (de hoek is te groot); zün beide beelden gelüktüdig zichtbaar, dan is de fout negatief. Uit den afstand van de beelden in verband met de afmetingen en den afstand van het vporwerp is de grootte van de fout te bepalen. Is büv. de hoek waaronder men de middellün van een fabrieksschoorsteen op grooten afstand ziet 3 minuten, en ziet men bü f3' gelijktijdig 2 beelden, die elkaar juist raken, dan 3' is de fout in B: — —; de hoek B is dus ongeveer 9 secunden 20 ' te klein. Zonder het prisma te verplaatsen, kan men ook de fout in A bepalen. Plaatst men namelijk een tweede scherm S' zóó, dat ; het intreden van den lichtbundel tusschen aa' en f3(3' belet wordt — de 'enkel teruggekaatste, heldere bundel is dan verdwenen — dan zal men (zie ook fig. 99), bü y* (fig. 103) inkükende, eveneens twee beelden zien, waarbü de afwüking overeenkomt met twintig maal de fout in hoek A. Met behulp van den zeshoek l3b^q AC, fig. 99, is dit in verband met (3) blz. 109, gemakkelü'k op te maken. Ook de fout in den rechten hoek kan op een dergelijke wijze worden bepaald, fig. 400, 101 en 102. Eén bundel lichtstralen ShÏÏ u°Vi°\e6n in flg- 100 ^gegeven; eert tweede, even£ ™ Se nd9ienTTT,flg- 10V T derde> evenwijdige bundel dien van fig 102. Uit den zeshoek ltb0pqrA, flg. 100, den zevenhoek VvpqrsA, flg. 101, en den achthoek \bjqr Tl (.of den zeshoek l,b0uvBC), flg. 102, volgt: ^ — Vt = s + 6a; + 4ï/, »'s' — J*s =4s -f 5a; + 3?/. rs' — rs = 7s + 4a; + 2?/ (= — a — 4.r — Qy); en in verbland met (1) blz. 108, terwijl r, = »•, -r ; »/ =.4è, »s'- »*j' = 4z. • Het verschil tusschen de hoeken van uittreding bü invak Stelt men het prisma, flg. 103, in stand II tegen den ziikant het Z TnTh 'f ^ driehak daWmen licLtrflen nl^ !n^k (df rb« zorgende de °P CB invallende bii % Hf ondèrscheppen), in het rechterdeel van CA z\J waarbiïinfkökende' lichtzwakke beelden hoek betoaV 0r7hfVien maal de fout in den rechten. uubk Dearaagt. Om by deze waarneming hiriderliik lirhi t« kunnen onderscheppen, moeten bü «, en | schtrml^ipltts? enPiKnZn^' fen 8cherm' dat den bundel tusschen «' schfpl dan ïltée'maal teruggekaaïste stralen onderscuepi, aan Kan men bu y' eveneens den invloed van di* ™n on eTeren 1r , f6^611 ^ 6,1 VaD dezeIfde Shotte eTne foï n lnt.m ^ **** richting meten' geeft Steeds ^Z Z IT ^ Zin' Beide f°Uten ZUl,en dus «^ds opnoopen en elkaar nimmer vernietigen. stinuifI!netband\De, StaIeD meetbanden of meetveeren be- ïftot 11,^ f ^ Staal VaD 10 of van 20 meter lengte, lo tot 80 milhmeter breedte en ongeveer r/a millimeter dikte ?e°L&b°Utf ^ meetbaDden verdeeld rdedLtrï de halve meters, de oneven en de even meters zijn in den f'ï Pl?tjeS VaD b«zon**en vorm onderscheiden; bij 5 10 en 15 meter bevinden zich plaatjes met cijfers, flg loV Aan beide enden bevinden zich handvatten, flg 107' die' van half-cirke vormige uithollingen voorzien zijn. De afstand van aan^nï,?11 ^\^^gen geeft d? lengte dfr matt aan In plaats van de uithollingen zoodanig te maken dat zi1 beide naar den band gekeerd zijn, treft men zeTn d^n regel aanwaarbij een van.de uithollingen omgekeerd is, flg 10? oen afS T T1 de lmëte Van den ba«d ook nemen den afstand van de achterkanten der uithollingen waardoor men onafhankelijk is van de dikte der pennen ^' h^ meten me dezen band moet het handvat, waarvan de uitholhng^naar buiten gekeerd is, steeds vooraan zijn vafzes^of ZlT' ^ *M meetPe°nen ten getale van zes of van 11, om daarmede het uiteinde van den band op het terrein aan te geven. Deze pennen, flg. 107- zün meestal van ijzerdraad en van zoodanige dikte, dat zij jui tTassen de half-cirkelvormige uitholling van het handvat. band8 woiSen^r ** ^ T°* het meten met den oand worden twee personen vereischt. De eene houdt het teTwTdeXÏ^^ b« h6t b6ginpUnt ^ te Aeten^ . PeZn die ^ °P-h6t terrdn Uitlegt' De tweie persoon, die alle pennen bij zich heeft, strekt den band recht en in de richting van den te meten afstand, brengt het handvat bij den grond en steekt door de uitholling in het handvat eene pen verticaal in den grond. Na het handvat van de pen afgenomen te hebben, sleept hij den band voort, terwijl de man, die achter aan den band is, volgt tot hij bij de pen gekomen is. Deze legt nu zijn handvat om de pen, terwijl de bandsleeper den band weer recht en in de richting strekt en het uiteinde door eene pen aangeeft. Bij het verder meten neemt de man, ' diö zich achter bij den band bevindt, telkens de gebruikte pennen mede, zoodat uit hun aantal dat der uitgemeten banden elk oogenblik kan worden nagegaan. Is men bij het eindpuntvan den te meten afstand gekomen, dan geeft het aantal pennen bij het achtereinde van den band het aantal malen aan, dat men twintig meter heeft afgemeten, terwijl de geheele meters en de decimeters op den band worden afgeteld. Is de te méten afstand langer dan 12 (resp. 7) banden, dan v worden, zoodra de bandsleeper de llde (resp. 6de) pen heeft uitgezet, hem de 10 (resp. 6) overige pennen, die zich achter bij den band bevinden en een rond aantal van 200 (resp. 100) meter voorstellen, overgegeven; doordat men 11 (resp. 6) pennen heeft, blijft bij dat overgeven altijd eene pen in den grond, om het uiteinde van den band nauwkeurig aan te geven. § 88. De band moet natuurlijk de juiste lengte hebben; heeft een band eenmaal de juiste lengte en wordt hij met zorg behandeld, dan zal hij geen voor de practijk hinderlijke lengteverandering ondergaan. Men kan de lengte op de volgende wijze controleeren. Men spant den band op een vlak terrein met behulp van twee meetpennen uit en legt daarnaast ter vergelijking vier vijfmeterlatten. De afwijking, die hierbij .gevonden wordt, kan dan, waar. zulks noodig is, in rekening gebracht worden. Evenals met de meetlatten, moet ook met den meetband stëéds in horizontalen zin gemeten worden; kan men daarbij den band niet op den grond leggen, dan moet men het uiteinde van den band daarop overbrengen, door de meetpen goed verticaal in den grond te steken. Is de hoogte daarvoor te groot, dan laat men de pen onder het uiteinde verticaal hangen en dan naar omlaag vallen, in welk geval zij op het terrein de projectie van het uiteinde van den band zal aangeven. Is het terrein zoo ongelijk, dat de band over het grootste gedeelte van zijne lengte vrij komt te hangen, dan is het wenschelijk, een kprteren band of slechts een deel van den band te bezigen. Bij' zeer groote hoogteverschillen, zooals kunnen voorkomen bij het meten dwars over een dijk, is het beter die stukken met behulp van meetlatten te meten. Het meten vooral met een band van 25 tot 30 millimeters breedte is, wanneer het met zorg geschiedt, slechts weinig minder nauwkeurig dan het meten met latten, het gaat daarbij vlugger ,en is veel minder vermoeiend. § 89. Meetketting. De meetketting, flg. 107efg,,meestal ter lengte van 20 meter (soms ook van 10 meter) bestaat uit veertig (resp. 20) schakels van dik ijzerdraad, samengevoegd met koperen of ijzeren ringen, op zoodanige wijze, dat elke schakel met de halve middellijn der ringen de lengte heeft van een halven meter. De ringen, die van de uiteinden des kettings afgerekend, bij de halve meters voorkomen, zijnvmeestal van ijzer, die bij de heele meters van koper. Van vijf tot vijf meter zijn deze van een dwarsstaafje voorzien, flg. 107f. De grootere ring met dwarsstaafje, "die zich in het midden, dus bij de tien meter, bevindt, is veelal zoo ingericht, dat de ketting daar uit elkaar kan genomen worden, om er een van 10 meter Van te maken. Aan de uiteinden bevinden zieh handvatten met dwarsstukken, waaraan zich halfcirkelvormige uithollingen bevinden, meestal op de wijze als in fig. 1078 voorgesteld. De meetketting van 10 meter is op gelijke wijze ingericht, soms met kleinere schakels van 2 of 2x/2 decimeter. Het meten met den ketting geschiedt ongeveer op dezelfde wijze als met den band. Het langwerpig wórden der ringen en het buigen der schakels maakt dat de lengte van den ketting bij den aanvang van iedere meting moet worden gecontroleerd; bij hét strekken van den ketting moeten steeds zorgvuldig de daarin mogelijk aanwezige kronkels wórden verwijderd. Het meten met den ketting is dan ook veel minder nauwkeurig dan het meten met den band. AFSTANDMETER. § 90. Inrichting. Afstandmeters noemt men instrumenten > waarmede men, door waarneming uit één uiteinde eener lijn, de lengte dezer lijn kan bepalen. Zij worden voornamelijk daar gebezigd, waar directe meting niet of slechts gebrekkig zou kunnen worden toegepast, of waar de afstanden van een groot aantal punten tot hetzelfde punt moeten bepaald worden, vooral ook, wanneer men de hoogteverschillen dier punten wenscht te kennen. De nauwkeurigheid echter staat, waar het groote afstanden geldt, achter bij die door directe afstandsmeting. Sommige afstandmeters eischen in het verwijderde eindpunt der te meten lijn eene verdeelde baak; andere niet. Alleen de eerste worden in het landmeten gebruikt, omdat zij in het algemeen nauwkeuriger zijn. Het bepalen van afstanden met deze afstandmeters berust op de berekening van een langgestrekten driehoek ABC, flg. 108, waarvan de kleine basis BC door eene baak gevormd wordt, die zich op het eene uiteinde bevindt, terwijl de tophoek A en (zoo noodig) een van de andere hoeken door den eigenlijken afstandmeter, in het andere uiteinde van den te meten afstand, bepaald worden. De inrichting van den afstandmeter kan dan, zoodanig zijn, dat men aan den hoek A eene standvastige waarde geeft en de daarbij behoorende lengte van de basis BC op de baak afleest, of dat men steeds eene zelfde basis BC op de baak neemt en den daarbij behoorenden tophoek A of eene daarvan afhankelijke grootheid meet. Van de vele verschillende inrichtingen, die tot het meten van afstanden volgens bovengenoemd beginsel dienen, zullen wij er hier slechts één beschrijven, die aan ieder instrument, dat van een goeden kijker voorzien is, kan aangebracht worden, door op het diaphragma aan de kruisdraden A en B, flg. 109, nog twee andere draden G en D, evenwijdig aan den horizontalen draad toe te voegen. De groote eenvoudigheid dezer inrichting, die meestal naar Reichenbagh of ook wel draden-afstandmeier genoemd wordt, is oorzaak, dat zij bij het landmeten tegenwoordig meer en meer gebruikt wordt. De baak, waarop de basis BG wordt afgelezen, is de gewone zelfleesbaak, fig. 178 en^ 179, die in Hoofdstuk XX: Waterpasinstrument, uitvoeriger ter sprake koflat. Bij voorkeur wordt deze afstandmeter gebruikt bij horizontalen stand der vizierlijn, waarbij dan geen andere hulpmiddelen als de genoemde noodig zijn. Wil men met het instrument echter ook horizontale afstanden meten bij hellenden stand' der vizierlijp, zoo moet aan den kijker, evenals bij den theodoliet, een verticale cirkelrand worden aangebracht, met behulp waarvan de elevatiehoek der vizierlijn kan worden bepaald. § 91. Het meten van afstanden bjj horizontale vizierlijn. Laten M en N, fig. 110, de puhten zijn, waarvan de horizontale afstand D bepaald moet worden, dan plaatst men de baak MH in het eene punt, het instrument met de as, waarom de kijker kan draaien, boven het tweede punt en richt den kijker op de baak. Veronderstellen wij nu eerst, dat de vizierlijn ABE, door het optisch middelpunt B van het objectief en het kruispunt van den verticalen en den middelsten draad A bepaald, daarbij horizontaal komt en laten dan G en D de beide andere horizontale draden voorstellen. Is de kijker op de baak gericht en zuiver daarop ingesteld, dan zal men twee punten G en H van de baak zien samenvallen met de twee horizontale draden Cen J; leest men dus bij die twee punten op de baak af, d. i. bepaalt men de afstanden MG en MH, dan vindt men, door die twee van elkaar af te trekken, de lengte GH= h, die als basis moet dienen bij het bepalen van den afstand. Om die punten G en H op de baak te vinden, hebben wij slechts den loop van twee lichtstralen na te gaan, waarvan de eene uit C, de andere uit D komt. Van al de lichtstralen, die wij hiertoe kunnen kiezen, zijn de * stralen.CZ en DL, evenwijdig met AB, de meest doelmatige'; deze worden door het objectief zóódanig gebroken, dat zij door het buitenbrandpunt F gaan en verlengd zijnde, de baak in de bedoelde punten G en Pt snijden. De driehoek FGH heeft 1 nu een voor alle afstanden constanten tophoek — vfent die hoek is tevens^ de tophoek van den gelijkbeenigen driehoek KLF, die eene constante basis en eene constante hoogte heeft — en dus is dé horizontale afstand FE evenredig met GH=h, zoodat wij FE=*=Ah mogen stellen. Voegen wij hierbij den afstand F0=*F-\- G = B, dan vinden wij voor den afstand MN—D bij horizontale vizierlijn: D — Ah + 5, waarin A en B twee constanten zijn, die afhangen van de afmetingen van het instrument en dus voor ieder instrument afzonderlijk moeten bepaald worden. Wat de constante B aangaat, daarvan is de waarde boven reeds gebleken; en wat A betreft, de beteekenis daarvan voor het instrument kunnen wij gemakkelijk uit de gelijkvormige driehoeken FGH en FKL vinden; de eerste heeft tot basis h, tot hoogte Ah, de tweede tot basis KL — CD = d,, den afstand der draden, en tot hoogte den brandpuntsafstand BF—F; daaruit volgt dus: hoogte Ah F f. basis h d of: ... ■ , '$& % 02. Het meten van afstanden bjj hellende vizierlijn. Is de vizierlijn, gaande door B en den middelsten draad, niet horizontaal, maar maakt zij met den horizon een hoek <*, die op den daartoe aanwezigen cirkelrand wordt afgelezen, dan moet bovenstaande formule eene kleine wijziging ondergaan. Zij OFE, flg. 111, die vizierlijn, F het buitenbrandpunt, en zijn FG en FHde lichtstralen, die, van de twee andere draden komende, naar dat buitenbrandpunt gebroken worden, dan is GH=h de afstand, die op die baak wordt afgelezen. Trekken-wij nu in E, eene lijn G'H' rechthoekig op FE, dan is volgens bovenstaande formule de schiüne afstand OE gelijk aan Ah' -j- B, als G'H' = h' gesteld wordt. Aangezien nu hoek HEH' = GEG' = « is en de hoeken HH'E en GG'E weinig van een rechten hoek verschillen (doordat de hoeken HFE en GFE altijd zeer klein zijn), zoo mogen wij voor H'E en G'E respectievelijk schrijven: HE cos» en GE'cos a, en dus is h' = G'H' = GHcos* — hoos*, waardoor de uitdrukking voor den schuinen afstand OE overgaat in: Ahcos-fl = F+f-e F+f^e, ^ F + f—e of daar: F _ Ad F+f-e- f • B=C+F— y-Ad. Is die waarde werkelijk nul, dan bestaat dus de betrekking C+F= —— Ad. Wordt nu de waarde van A verminderd met a, door den afstand e te wijzigen , da» gaat de uitdrukking voor B over in: B=C+F— -~{A-a)d, of, als men bovenstaande betrekking in aanmerking neemt, in B = ~-ad^{C+F)-~. Heeft men dus bij het opspannen der draden er voor gezorgd, dat de constante A tot op bijv. 2% na de gevorderde waarde heeft, en is bijv. C+F=bO centimeter, dan wordt, door het verplaatsen der centraliseerende lens, OP hoogstens 2 = 50 X = 1 centimeter, eene grootheid, die bij het meten met den afstandmeter kan verwaarloosd worden. Om den afstand der lenzen te regelen, zoodanig dat A de juiste waarde heeft, plaatst men de baak op een afstand van juist 100 meter voor het instrument en ziet of men daarop tusschen de draden den juisten afstand afleest (bijv. voor A = 100, één meter of voor ^4== 200 y een hal ven meter). Leest men te veel af, dan schroeft men de beide schroefjes ss, welke de buis met den centraliseur vasthouden, los, en brengt men door tegen deze schroefjes te drukken, de centraliseerende lens iets verder van het objectief: leest men te weinig af, dan maakt men den afstand dezer beide lenzen iets kleiner, zoolang totdat men de juiste aflezing verkrijgt, waarna de binnenhuis met de 2 schroefjes weer wordt vastgezet. Om na te gaan, of de constante B werkelijk nul is of wel eene zoo kleine waarde bezit, dat zij verwaarloosd kan worden, moet de waarde van B bepaald worden, door aflezing op eene zeer dichtbij geplaatste baak. Men plaatst daartoe eene in millimeters verdeelde schaal op den kortsten afstand, waarop nog scherp gesteld kan worden, en leest den stand der draden daarop tot in tiende deelen van millimeters af. Het verschil van' de aflezingen bij de twee draden, vermenigvuldigd met de constante A, moet dan gelijk zijn aan den afstand van de schaal tot het midden van het instrument. Is dit niet het geval, dan geeft het verschil de waarde van B; bedraagt deze slechts enkele centimeters, dan kan zij bij het berekenen van' de afstanden verwaarloosd worden. ƒ B. OPMETINGEN. HOOFDSTUK XI. ALGEMEENE GANG DER METING. § 97. Kaarten. Bij het opnemen van een terrein stelt men zich meestal ten doel, van dat terrein eene kaart op de eene of andere schaal te vervaardigen. De schaal van de kaart en de meerdere of mindere volledigheid, waarmede de details opgenomen moeten worden, hangén af van het verdere doel, waarvoor de kaart zal dienen en waarvoor dus de opneming wordt verricht. Zooals reeds in de Inleiding van dezen leercursus is 'opgemerkt, zullen wij ons hier slechts bezighouden met de opneming van een terrein van zoodanige uitgebreidheid, dat het waterpasvlak daarbij als een plat vlak kan beschouwd worden. Dit is bij de nauwkeurigheid, die men bij de hiervoren beschreven instrumenten en methoden van meting bereikt, nog he,t geval, als het terrein zich in geen richting verder dan 10 uren gaans uitstrekt. In dit geval verstaan wij onder eeri kaart eene volgens zekere schaal verkleinde projectie op een plat en horizontaal vlak van de punten en lijnen, die op het terrein voorkomen. § 98. Net en detailmeting. Bij het opnemen van een terrein moet men steeds zorgen van het groote in het kleine te meten, dat wil zeggen, dat men eerst het terrein als het ware in groote trekken'moet opnemen, door de betrekkelijke ligging van slechts enkele weinige punten en lijnen van dat terrein zoo nauwkeurig mogelijk op te meten en in teekening te brengen. Ten opzichte van het aldus verkregen geraamte, dat het ne\ genoemd wordt, worden dan de kleinere details door eene afzonderlijke detailmeting opgemeten en geteekend! Gaat men op deze wijze te werk, dan verkrijgt men eene gelijkmatige nauwkeurigheid in alle deelen van de opneming, doordat de fouten, die bij elke meting begaan worden, zich niet nadeelig ophoopen in eenig gedeelte der opmeting. Door eerst het net, dat slechts uit weinige lijnen en punten bestaat, zoo nauwkeurig mogelijk op te nemen, verkrijgt men een stelsel vaste punten, waaraan dë detailpunten zooveel mogelijk elk afzonderlijk worden vastgelegd ; zoodat de fouten, bij de bepaling van het eene detailpunt gemaakt, zonder invloed zijn op de bepaling van de andere. § 99. De verschillende methoden van opmeting. De opmeting zoowel van het net als van de details, door middel van afstanden en hoeken, heeft plaats volgens verschillende methoden, waarvan wij de voornaamste hier in het kort zullen uiteenzetten. * 1°. De coördinaten-methode. Laten in fig. 115, A, B, G, enz., eenige van de op te nemen punten voorstellen, dan kan men de plaats van die punten ten opzichte van de lijn OP op het terrein bepalen, door uit die punten de loodlijnen Aa, Bb, Cc, enz., op *de meetlijn OP neer te laten en de afstanden Oa, Ob, Oc, enz., benevens de loodlijnen aA, bB, cC, enz., te meten, waardoor dan de coördinaten van die punten ten opzichte van een rechthoekig coördinatenstelsel bepaald zijn. 2°. De voerstraal-melhode. Volgens deze methode worden de punten A, B, G, enz., fig. 116, alle met een centraalpunt O verbonden, door het meten van de voerstralen OA, OB, OG, enz., en van de hoeken POA, POB, POC, enz., die zij met eene bepaalde richting OP maken. 8°. De basis-methode. De punten A, B, O, enz., fig. 117, worden hierbij aan de basis PQ, waarvan de lengte zoo nauwkeurig mogelijk bepaald wordt, vastgelegd door het meten van de hoeken APQ, BPQ, GPQ, enz., en van de hoeken AQP, BQP, GQP, enz., die de lijnèn, uitgaande van P en Q, met de basis maken. 4°, De driehoeks-methode. De volgens deze methode op té nemen punten A,B, G, enz., fig. 118, worden door de verbindingslijnen AB, BG, AG, enz. tot een stelsel van driehoeken, vereenigd. gen van de verbindingslijnen, bijv. AB, wordt gemeten, en dient dan als basis voor het geheele driehoeksnet, waarvan verder alle hoeken gemeten worden. De lengten van de andere verbindingslijnen worden door berekening uit de basis AB en uit de gemeten hoeken gevonden. 5°. De veelhoeks-methode. Bij de veelhoeksmeting vormen de verbindingslijnen van de punten een veelhoek, die zooals in flg. 119 gesloten of zooals in flg. 120 open kan zijn. De betrekkelijke ligging der punten wordt dan bepaald door het meten van de onderlinge afstanden der punten en van de hoeken, die deze afstanden in die punten samen maken. § 100. Keuze der methode, a. Detailmeting. Bij de detailmeting zijn het vooral de onder 1°, 2° en 3° Van de vorige paragraaf genoemde methoden van meting, die in toepassing komen. De bij de coördinaten-methode benoodigde meetlijnen, *de bij de voerstraal-methode benoodigde centrale punten en dé bij de basis-methode benoodigde bases worden gevonden in de lijnen en de hoekpunten van bet net. Welke van de 3 methoden men in een gegeven geval zal toepassen, hangt af van den aard van het op te meten terrein, van de nauwkeurigheid, die men wenscht te bereiken, van de instrumenten, die men gebruiken wil, en van den tijd, die voor de opmeting beschikbaar is. Bij de detailmeting volgens de coördinatenmethode heeft men slechts zeer, eenvoudige-instrumenten noodig, namelijk een meetband of een meetketting, meetlatten en een instrument tot het uitzetten van rechte hoeken. Daar men de abscissen en de ordinaten der detailpunten direct moet kunnen meten, is de methode Voornamelijk slechts geschikt voor vlak of weinig geaccidenteerd terrein, in welk geval zij het meest wordt toegepast en ook meestal het nauwkeurigste is. De detailmeting volgens de voerstraal-methode is alleen dan practisch, wanneer men tot het meten der verschillende voerstralen beschikken kan over een theodoliet, die ingericht is tot het meten van afstanden (tachymeter); of wanneer, zoo de meting geschiedt met behulp van een planchet, met de hierbij behoorende vizierliniaal afstanden kunnen gemeten worden. Daar het meten van de afstanden zoowel bij horizontalen als bij^hellenden stand der vizierlijn vlug kan geschieden en daarbij aüeen in de verschillende detailpunten eene baak behoeft te wdrden opgehouden , is deze methode geschikt voor de opmeting zoowel van vlakke als van geaccidenteerde terreinen, mits deze van uit de standplaatsen goed kunnen worden overzien. De nauwkeurigheid 9 is natuurlijk vooral afhankelijk van de fouten, die bij het afstandmeten worden gemaakt, welke meestal grooter zijn dan die van de directe afstandsmeting. De basis-methode wordt voor de detailmeting meestal slechts toegepast, wanneer men gebruik maakt van een planchet en de daarbij behóorende vizierliniaal niet tot het meten vvan afstanden is ingericht; of wel, wanneer men de daarbij benoodigde hoeken afleidt uit photographieën, die van uit de uiteinden der basis genomen en ten opzichte van deze georiënteerd zijn (Photogrammetrie, Stereoscopische opneming). Daar het bij de toepassing der basismethode niet absoluut noodig is, dat de op te meten detailpunten toegankelijk zijn, .is deze methode in het bijzonder geschikt voor onbegaanbare of ontoegankelijke terreinen (bijv. hooggebergten, rotsen, enz.), ofschoon zij natuurlijk ook in andere gevallen kan worden toegepast. Maakt men daarbij gebruik van het planchet, dan is de opneming nog al tijdroovend; bij toepassing der photogrammetrie echter, wordt het terreinwerk tot een minimum teruggebracht. De onder 4°. genoemde driehoeks-methode is voor de detailmeting ongeschikt, terwijl de veelhoeks-methode daartoe alleen dan met vrucht kan worden toegepast, wanneer het er op aankomt, enkele weinige rechtlijnige grensscheidingen op te nemen, die dan vanzelf reeds een veelhoek vormen. b. Opmeting van het net. Bij de opneming van het net komen de onder 1°, 2° en- 3" genoemde methoden alleen in aanmerking bij een weinig uitgestrekt terrein, dat in alle richtingen kan overzien worden. Bij een eenigszins uitgestrekt terrein zijn het de driehoeks- en veelhoeks-methoden, die in toepassing komen. Daar, waar de omstandigheden zulks toelaten, is de driehoeks-methode altijd boven de veelhoeks-methode te verkiezen en wel, omdat men daarbij bijna uitsluitend te doen heeft met het meten van hoeken, flat veel gemakkelijker en nauwkeuriger geschieden kan, dan het meten van de vele afstanden, die men bij de veelhoeks-methode noodig heeft. Voor de enkele basis, die bij het driehoeksnet voorKomt, kan men een daartoe bij uitstek geschikt terrein opzoeken en aan het meten van die basis de noodige zorg besteden, om die te meten met eene nauwkeurigheid, overeenkomende met die van de overige metingen ; iets wat bij het groote aantal van de te meten afstanden ♦voor de veelhoeks-methode niet mogelijk is. Een ander voordeel van de driehoeksmeting is gelegen in Ó£ voortdurende contróle, die inen op de meting kan uitoefenen, door meer hoeken te meten dan strikt noodig zijn voor de berekening van het net,, eene contröle die bij de veelhoeksmeting slechts zeer schaars en gebrekkig aanwezig is. Hoewel de veelhoeks-methode dus in menig opzicht bij de driehoeks-methode achterstaat, is zij echter in vele gevallen de eenige mogelijke en wel vooral daar, waar men te doen heeft met een bedekt terrein. Op een dergelijk terrein, waar een driehoeksnet geheel onmogelijk is, kan men altijd nog langs de wegen en paden, die er in voorkomen, een veelhoek aanbrengen. In een dergelijk geval stelt men het net samen uit eenige aaneengesloten veelhoeken, die 'deels gesloten, deels open veelhoeken vormen, en waarvan de laatste, uitgaande van een punt van een vorigen veelhoek, sluiten op een ander reeds opgenomen punt. (Zie flg. 136.) Dikwijls doet het geval zich voor, dat in het driehoeksnet gedeelten gelegen zijn van dien aard, dat het daarover niet kan uitgestrekt worden; in die gedeelten moet men dan door veelhoeksmeting, aansluitende aan de punten van het driehoeksnet,. de noodige lijnen en punten bepalen, om daaraan de details te' verbinden. (Zie flg. 134.) Het net bestaat dan zooveel mogelijk uit een driehoeksnet, aangevuld waar zulks noodig is, door een stel van veelhoeken. Soms ook doet men het net bestaan uit een betrekkelijk gering aantal driehoeken en vult dit dan aan met verschillende veelhoeken, die zoo goed mogelijk met de driehoekspunten verbonden worden en de noodige meetlijnen voor de detailmeting opleveren. (Zie fig. 135.) By de opneming van een zeer lang gerekt terrein, zooals veelal bij het opmeten van het traceVvan een weg voorkomt, is de veelhoeksmeting vanzelf de aangewezen weg tot het verkrijgen van de noodige meetlijnen voor het opnemen van de details. § 101. Het in teekening brengen van de opmeting. Bij / het in teekening brengen van het óp te meten terrein heeft men te onderscheiden of de opmeting plaats heeft met het planchet of dat zulks geschiedt met eenig ander instrument, waarbij de onmiddellijke uitkomsten der metingen in cijfers verkregen worden. In het eerste geval heeft het teekenen op het terrein plaats gelijktijdig met de opmeting, in het laatste geval moet dit later thuis geschieden. Het in-teekening brengen van de uitkomsten der metingen , die in cijfers gegeven zijn, kan op tweeërlei wijze plaats hebben.' Men kan het terrein juist op dezelfde wijze in teekening bren- gen, als waarop het is opgenomen, d.w.z. de gemeten afstanden en hoeken direct met den dubbelen decimeter en een graadboog op het papier overbrengen, of men kan eerst door berekening de coördinaten van alle punten ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel bepalen en de punten dan met behulp van die coördinaten in teekening brengen. De eerste methode vereischt weinig of geen bèrekening, zij geeft daarentegen, voor het geval dat een volgend punt telkens ten opzichte van een vorig punt moet worden in teekening gebracht, door de geringe nauwkeurigheid, die bij dat teekenen bereikt kan worden, aanleiding tot eene nadeelige ophooping van fouten. Bij de tweede methode is deze ophooping niet te vreezen, aangezien men de berekening zoo nauwkeurig kan maken als men verkiest en de fouten van teekening zich niet voortplanten, doordat elk punt afzonderlijk wordt in teekening gebracht; zij geeft daarentegen meer werk, wat de berekening betreft. Voor het in teekening brengen van het net, dat slechts uit een gering aantal, zoo nauwkeurig mogelijk opgenomen, punten bestaat, zal men dus de laatste methode volgen. Het geringe aantal punten maakt het berekenen van de coördinaten niet zoo bezwarend, terwijl de ophooping van de fouten in het teekenen volgens de eerste methode de bij het opmeten verkregen nauwkeurigheid zou te niet doen. Bij het in teekening brengen van de details zal men echter den eersten weg volgen, aangezien het groote aantal dier punten de berekening van de coördinaten onmogelijk zou maken, en de ophooping van fduten hier niet zoo zeer te vreezen is, doordat de verschillende details direct aan het net worden verbonden. § 102. Heb verkennen van het terrein en het vaststellen van het net. Alvorens men met de opneming van eenig terrein begint, moet men zich van de gesteldheid daarvan goed op de hoogte stellen, door het in alle richtingen te verkennen, om daardoor te weten te komen, wat opgenomen moet worden en hoe die opneming het gemakkelijkst zal uitgevoerd worden. Bestaan er reeds kaarten van het op te nemen terrein, dan kan men daarvan, hoe onvolledig 'zij soms ook mochten zijn, bij die verkenning een goed gebruik maken. Op die kaarten, zoo noodig op het oog eenigszins bijgewerkt, kan men dan het net voor de opmeting ontwerpen. Heeft men dergelijke kaarten niet tot zijne beschikking, dan moet men beginnen met eene schets van het terrein te vervaardigen, door de voornaamste wegen, grensscheidingen en andere voorname terreinvoorwerpen zoo goed mogelijk op het oog en den . pas op te nemen. (Zie Hoofdstuk XIX: Globale Opmetingen.) ' Heeft men het terrein goed verkend en eene schets daarvan vervaardigd of eene bestaande kaart zooveel noodig bijgewerkt, dan ontwerpt men daarop het net voor de opneming. Aangezien dit net voor het grootste gedeelte uit een driehoeksnet zal bestaan, zoo moet men in de eerste plaats een geschikt terrein opzoeken voor het meten van de basis. Vervolgens kiest men de andere driehoekspunten zoodanig, dat zij een geschikt driehoeksnet vormen, dat op eene voordeelige wijze met de eindpunten van de basis verbonden is, en waarvan de zijden en hoekpunten zoo gelegen zijn, dat de op te nemen details ten opzichte van die zijden of punten zoo gemakkelijk en nauwkeurig mogelijk kunnen opgenomen worden volgens de methode, die mén daarvoor gekozen heeft. Voor die gedeelten van het terrein, waarover men het driehoeksnet niet kan uitspreiden, ontwerpt men dan een stelsel van veelhoeken, dat zoo goed mogelijk aan de in de nabijheid gelegen driehoekspunten aansluit. Heeft men op deze wijze het net voorloopig vastgesteld, dan moet men zich opnieuw naar het terrein begeven, om na te gaan of het vastgestelde net in alle deelen zoo kan behouden blijven, of dat het in een of ander opzicht nog gewijzigd moet worden, om het gemakkelijker en nauwkeuriger te kunnen opnemen en het beter in verband te brengen met de op te nemen details. löyil § 103. Het uitzetten van het net. Is het net eindelijk voor goed vastgesteld, dan gaat men over tot het uitzetten er van, door de verschillende hoekpunten werkelijk op het terrein zichtbaar aan te geven. De wijze, waarop dit geschiedt, hangt van omstandigheden af. Heeft men te doen met een betrekkelijk klein terrein, waar de hoekpunten dicht bij elkaar liggen en dat in korten tijd wordt opgenomen, dan kan men die punten eenvoudig door baken of jalons aangeven. Dit zijn ronde stokken van ongeveer 4 centimeter middellijn en 2 a 3 meter lengte, van onderen van een ijzeren schoen voorzien en meestal over de lengte afwisselend rood en wit geverfd. Is de meting van eenigszins langeren duur, waarbij de jalons niet onafgebroken kunnen blijven staan, dan kan men de hoekpunten door ingeslagen piketten aangeven, ten einde ze telkens gemakkelijk te kunnen weervinden; men zprge dan, dat de jalon, waarop gericht wordt, ten opzichte van den piket steeds op dezelfde plaats komt tel staan. Moet men de baken opgrootere afstanden kunnen zien, dan neemt men daarvoor jalons, van een vlaggetje voorzien (vlaggebaken) of dunne sparren, die 0,8 a 1 meter in den grond worden gegraven, door een drietal schoren in den verticalen stand worden gehouden en die men, om ze beter te kunnen zien, met kalkwater wit maakt. Om deze sparren gemakkelijker te kunnen herkennen, wordt aan het boveneinde soms een bosje stroo, een mand, een vlag of iets dergelijks bevestigd. Deze voorwerpen dienen alleen om de baken op grooteren afstand te kunnen terugvinden; het richten moet steeds plaats hebben op de baak zelve. Om de fout, die een niet-verticale stand der baak bij het richten zou veroorzaken, zoo klein mogelijk te maken, richt men bij voorkeur op het laagst gelegen punt der baak, dat nog goed zichtbaar is. Bij sommige metingen, zooals bijv. bij de kadastrale metingen, is het wenschelijk de driehoekspunten op zoodanige wijze op het terrein aan te geven, dat zij later, lang na de meting, nog gemakkelijk teruggevonden kunnen worden ,"-©01 veranderingen, die op het terrein hebben plaats gehad, op eenvoudige wijze te kunnen opnemen en in de bestaande kaarten te kunnen overbrengen. Hiertoe geeft men die hoekpunten jloor hardsteenen aan, die dan natuurlijk zoodanig geplaatst moeten worden, dat zij niet hinderlijk zijn voor den landbouw. Deze steenen laat men boven den grond uitsteken, of zij worden na afloop der meting en wegneming der baken met grond overdekt, zoodat''zij niet beschadigd kunnen worden. Ook kan men molensteenen 0,5. a 1~M. onder den beganen grond plaatsen^ waarbij dan het midden van de opening het hoekpunt aanwijst. Heeft men die punten later weer noodig, dan kan men uit de daarvan opgemaakte beschrijving gemakkelijk de plaats vinden, waar men moet graven om het oude hoekpunt weer te voorschijn te brengen. Tot hetzelfde doel wordt ook gebruik gemaakt van draineerbuizen, die verticaal in den grond geplaatst «n met grond overdekt worden. § 104. Het opnemen van het net en van de details. Is het net op deze wijze uitgezet, dan kan men eindelijk tot de eigenlijke , opmeting overgaan. Meest zal mén daarbij beginnen met het net afzonderlijk op te meten om daarna over te gaan tot de detailmeting. De berekeningen, die vooral bij het net noodig zijn, zal men thuis verrichten op de dagen, die men niet voor den veldarbeid kan bezigen. Worden de details opgenomen met instrumenten, waarbij men de uitkomsten in getallen verkrijgt, dan kan die berekening zelfs na de detailmeting worden uitgevoerd; heeft de opneming van de details echter plaats met behulp van het planchet, dan moet het net berekend en in teekening gebracht zijn, voordat men met die opneming kan , beginnen en men is dan soms genoodzaakt, onderscheidene dagen daaraan te bostéden, die beter konden gebruikt worden voor den terreinarbeid. De achtereenvolgens te verrichten werkzaamheden bestaan dus in het algemeen in het opmeten van het net, hei) berekenen van het net, het berekenen van de coördinaten der hoekpunten, de detailmeting en het in teekening bi'engen. In de volgende hoofdstukken zullen deze onderdeelen ieder afzonderlijk behandeld worden. COÖRDINATENBEREKENING. § 105. Keuze van liet assenstelsel. Het coördinatenstelsel, dat bij het landmeten gebruikt wordt om de hoekpunten van het net. in teekening te brengen, is het rechthoekige coördinatenstelsel. De ligging van dit coördinatenstelsel is ten opzichte van het net volkomen bepaald, als men de coördinaten van één punt van dat net kent en tevens den hoek, dien een der lijnen van het net met een der assen maakt. Bij de keuze van deze drie grootheden of — wat op hetzelfde neerkomt — van den oorsprong en de richting der assen, heeft men te onderscheiden, of de meting geheel op zich zelve staat dan wel of zij aansluit aan andere bestaande metingen. Staat de meting geheel op zich zelve, dan is men geheel vrij in de keuze van de assen. Als oorsprong der coördinaten zal men dan meestal een punt van het driehoeksnet kiezen en wel een punt, dat op het terrein altijd gemakkelijk kan worden teruggevonden, bijv. een kerktoren of een ander verheven punt, dat als hoekpunt geschikt is. De richting van één der assen kan men dan geheel willekeurig kiezen en bijv. laten samenvallen met eene in dat hoekpunt uitkomende zijde van het net. Veelal neemt men echter voor die richting den meridiaan in den oorsprong aan. Hiertoe moet men dan van een der lijnen van het net het azimuth bepalen; de wijze, waarop zulks geschiedt, zal aan het einde van dit Hoofdstuk worden uiteengezet. Staat de meting in verband met andere metingen, dan zal men meestal het daarbij gebezigde coördinatenstelsel overnemen. De coördinaten van één der hoekpunten, alsmede de hoek tusschen een der lijnen van het net 'en een der assen, moeten dan hetzij uit de vroegere meting bekend zijn of daaruit worden afgeleid. Voor deze afleiding naar Hoofdstuk XV verwijzende, zullen wij die grootheden hier als bekend aannemen. § 106. Gegevens voor de berekening. Ter berekening van de coördinaten van de punten Au A2, Aa, enz., flg. 12,1, uitgaande van de bekende coördinaten X0 = OB0 en F0 = JS040 van het punt A0, verbindt men die punten tot een doorloopenden veelhoek, zooals in de figuur door getrokken lijnen is aangegeven; van dien veelhoek moet men dan kennen: de lengte van de zijden, die wij door a0, au a2, enz., zullen uitdrukken, en de hoek, die zij met een van de assen, bijv. de F-as, maken, en die wij door «0, «1; *2, enz., zullen voorstellen. Wat de eerste betreft, deze worden bij het meten volgen's de veelhoeks-methode door directe meting gevonden, bij de driehoeks-methode vindt men ze uit de berekening van de driehoeken, zooals bij de driehoeksmeting nader zal worden uiteengezet. De hoeken, die de zijden met de F-as maken, en die wij in 't algemeen (ook bij een willekeurig assenstelsel) met den naam van azimuthen zullen bestempelen, in de onderstelling, dat de F-as de richting van den meridiaan volgt, worden bij de meting volgens de veelhoeks-methode met de boussole door directe meting gevonden; in alle andere gevallen moeten zij door berekening uit de hoeken van den veelhoek worden afgeleid, hetzij dan, dat die opmeting .heeft plaats gehad volgens de veelhoeksmethode en men die hoeken dus onmiddellijk gemeten heeft, of dat zij door samentelling van verschillende hoeken van het driehoeksnet moeten gevonden worden. § 107. Berekening der azimuthen. Om de berekening van de azimuthen en van de coördinaten zoo eenvoudig mogelijk te maken en vergissingen daarbij zooveel mogelijk te voorkomen, is het zaak zoowel de azimuthen als de hoeken in eene bepaalde richting te tellen. Als zoodanig zullen wij voor het vervolg aannemen de richting, waarin de wijzers van het uurwerk zich bewegen. Ter bepaling van het azimuth van eene lijn A^, flg. 122, brengen wij dan door het eerstgenoemde eindpunt A0 daarvan eene lijn AqE, evenwijdig met de F-as en laten die zoolang in de richting van de wijzers van het uurwerk draaien, tot zij met de lijn A0AX samenvalt; deze hoek is in de figuur met « aangeduid. Evenzoo had men door het andere eindpunt Ax eene lijn AXG evenwijdig aan de F-as kunnen trekken en deze door draaiing in den aangegeven zin met de lijn kunnen doen samenvallen; men krijgt dan het azimuth «' van de lijn AXAQ, hetwelk 180° van het azimuth « der lijn A•;.->" Heeft men uit deze formule het azimuth berekend, dan vindt men voor de lengte van de lijn A0AX de twee volgende uitdrukkingen : A0A fc^0; e^ AoAi = ^^, . . . . (5) sin* ' ^ 1 cos ? A * 'eVen' met de eenheid als straaI- en in lifn 1! dentale vlak geprojecteerd. Eene verticale en'punt ^ he^felPTftr0kken' Sn«dt dat «ak in van ZlnertJTUnt °lT&i ^ ^ naar het middelpunt op den bol df n ÏÏ611' d6n bö1 in%het punt S> dat d"s cTrkel door ?^ vertegenwoordigt, Een groote de leLï l rg0ebracht> Wt den hoogtecirkel der zon aan; van detoSe Cï^" •?* zenithsafstand «f het complement ï!£KL f ^ W1J eenelijn evenwijdig aan de aardas, drLt Het lt™ b°Vn PUnt P' dat den naam ^n pool araagt Het vlak van den grooten cirkel door Ten P gebracht geeft het meridiaanvlak aan. De boog NP is dan de poSSSte ■ïiLT^ dbreef'pr het complement van *>^K dP Wf iJ g deD b°°g van den ^ooten cirkel PS, dan is de leng e daarvan de poolsafstand of. het complement van de declinatie van de zon. In den driehoek PTS, dfe den nalm van Pluchen ariekoek draagt, geeft verder de hoek bf? he" Stellen wij nu de geographisehe breedte van de standplaats 10 B de hoogte van de zon-ft, de declinatie van dé zon op den middag D, en op het oogenblik van de eerste waarneming D — S, dan is: PT = 90° — B, TS = 90°—h, PS = 90° — D + en hoekPrS = ^-r-a> en uit den driehoek PST volgt dus: cos PS = cos PT cos TS + sin PT sin TS cos PTS, of: . sin (D _ 5) = siw P 8i« ft + cos B cos h cos (A + a)t Op overeenkomstige wijze yinden wij uit driehoek PS'T waarin S' het middelpunt van de zon bij de ^eede waarneming voorstelt, en waarvan op dat oogenblik de declinatie D + ïis. gin (d 4. » = sin P sin Ti + cos B cos h cos (A — a). Trekken wij deze twee vergelijkingen van elkaar af, dan vinden wij: 2 cos D sin S = 2 cos P cos h sin Asina, of, aangezien 3 en a kleine hoeken zijn: cos D a = S cosBeoshsinA • , Stellen wij-den uurhoek TPS die overeenkomtmet; den tijd die er nog moet verloopen voor de culminatie, dus ongeveer de helft van h" tijdsverloop tusschen de twee waarnemingen, door de letter t voor, dan is in driehoek PIS: sinPS_==smPTS^f ~sinTS T sinTPS ' of: ; . . cos (D — 3) sin (A ± a) _ c~ösïi sin t ' Laten wij in deSe vergelijking de kleine hoeken^ en aten ' opzichte van D en A weg, dan vinden wij: ^^J— sint' waardoor de correctie overgaat in: 0 _ J_ cos B sint- JDe hierin voorkomende grootheid 3 is de toeneming van de declinatie der zon in den tijd t. Is # de toeneming der declinatie in 48 uren, dan vermeerdert zij in één uur met en dus in t 48 t uren met —. waardoor wij ten slotte vinden: 48 cos B sin t, Wat betreft de grootheden l, t en B, die in deze correctie voorkomen, daarvan vindt men de eerste door het verschü te ZrnZ dGfnSie Van de zon °P *» volgenden en den vongen dag , zooals die in astronomische jaarboekjes is opge- nTL^ töd/ ^l1 V°ld0ende ^uwkeurig vinden door ™™ï^h°P USSChen de twee waarnemingen met een zakuurwerk te bepalen en door 2 te deelen. De breedte B eindelijk kan men gemakkelijk uit eene goede kaart overnemen. J! II6', ?TtSte digressie' Vo]gt men met den kijker van een theodohet eene ster S, fig. 128, die tusschen de pool en het toppunt culmineert, dan zal men die ster naar het westen m-twiiSr^' tPt-'Sl gek°men' haar grootste westelijke uitwijking (digressie) bereikt heeft, waarna zij als 't ware zich eenigen tijd langs den verticalen draad beweegt. De ster keert nu naar den meridiaan terug, culmineert in S2 (onderste culminatie) en wijkt naar het oosten uit, tot zij in S3 hare grootste uitwnkmg bereikt en zich weer in westelijken-zin gaatTe wegen. Meet men bij een dezer standen, die op de beschreven wijze gemakkeip kunnen gevonden worden, den horTzonX hoek i ussehen de ster en de lijn, waarvan 'hetaziS mS bepa^d worden, dan vindt men dat azimuth door aftïekïmg öf bijtelling van den hoek, dien bij die standen de hoogtecirkel van de ster met den meridiaan maakt. ««recnkei Dezen hoek, die in de figuur door PTS^PTS^A wordt voorgesteld kan men gemakkeip berekenen. Daa! de steTden kiemen cirkel 5W3 met P ab pool beschrijft en £. en S S7SI£ t f Van de Parallactische driehoeken recht. In die rechthoekige driehoeken zijn nu bekend: PT == 90^ g en ps __ pg3 — go0 — D, als D de declinatie voorstelt; wij vinden1 dus door toepassing van den regel van Nepee: cos (90° — PSi) = sin PT sin 6'j2'P of: of: nin PS, Sin PSo Sinsar a=-«ftno^J.Jr — . -prn — „;n prp ma T) 8inA=='c^B- Om den tijd te weten, waarop de grootste digressie intreedt en waarop men dus voor de waarneming gereed zal moeten zijn, berekent men den uurhoek TPS,= U. Men heeft namelijk: cos TPSi = tg PSi cotg PT, of: cos U=cotgDtgB. Hieruit vindt men U en, door daarbij de rechte klimming der ster op te tellen, den sterretijd, waaruit men wederom gemakkelijk den middelbaren tijd, waarop de grootste digressie bij Si intreedt, kan afleiden. De poolster is voor deze meting de meest gunstigei ster, omdat zij door hare langzame beweging een geruimen tijd in de grootste digressie blijft. § 117. Stershoogte. Men kan eindelijk het azimuth van eene lijn bepalen, door den horizontalen hdek te meten tusschen die lijn en de richting naar eene ster op een willekeurig^oogenblik - trekt men hiervan den hoek af, dien de hoogtecirkel van de ster met den meiidiaan maakt, als die ster zich ten oosten van den meridiaan bevindt, of telt men dien hoek er br, wanneer de ster zich in het westen bevindt, dan heeft men het gevraagde azimuth. " t..jj„ Het bepalen van dien hoek kan geschieden door gelijktijdig de hoogte van de ster te meten. In dat geval z|n m den parallacüschen driehoek PTS, flg. 127, de dne zijden bekend en men kan den gevraagden hoek, die door PTS wordt voorgesteld, dus gemakkelijk berekenen. Men moet er echter op bedacht zijn, dat de hoogte, die met behulp van den theodoliet gemeten wordt, niet de ware hoogte van de ster is. Ten gevolge van de straalbuiging ziet men § 123. Controle. Voor de berekening van het driehoeksnet is het strikt genomen niet noodig, alle'drie de hoeken in iederen driehoek te meten; zelfs zou men in enkele driehoeken in het geheel geen hoeken behoeven te meten; zoo bijv. ihj fig. 129: heeft men daar de lijn AB als basis en in ieder van de 4 driehoeken 1, 2, 3 en 4, twee hoeken gemeten, dan is ook de 5de driehoek volkomen bekend en zou het dus overbodig zijn, daar hoeken te meten. In werkelijkheid zal men echter trachten om in alle driehoeken zooveel mogelijk alle hoeken te meten, eensdeels om daardoor eene controle op'de meting te verkrijgen, anderdeels om' uit al die gegevens een nauwkeuriger resultaat te kunnnen afleiden. Om dezelfde-reden wordt meestal ook meer dan één basis gemeten. Bepaalde men zich alleen tot het meten van het strikt noodige, dan «ou eene fout, bij een of meer van die grootheden gemaakt, onopgemerkt blijven en een groot gedeelte van de daarop gegronde berekeningen onjuist zijn. Heeft men echter meer grootheden gemeten dan noodig zijn, dan bestaan tusschen die grootheden zekere betrekkingen (*), voldoen de uitkomsten der meting niet aan die betrekkingen, dan wordt mén daardoor gewaarschuwd, dat bij de meting van de eene of andere grootheid eene fout gemaakt is, die men moet herstellen, alvorens tot de berekening over te gaan. Bij de driehoeksmeting heeft men, door het meten van alle hoeken en van onderscheidene bases, de gelegenheid om zoo volledig mogelijk controle op de meting uit te oefenen, waardoor die methode van opmeting verrèweg de voorkeur verdient boven de veelhoeks-methode, waarbij, zooals wij in het volgende Hoofdstuk zullen zien, de controle zeer- gebrekkig is. De betrekkingen, waaraan de gemeten hoeken en afstanden van het net moeten voldoen, zijn de volgende: , (*) Bij een driehoeksnet., als in lig. 129*aangegeven, is bet aantal betrekkingen tussenin de gemeten grootheden gelijk aan het aanfal zoogenaamde ^overtMtge metingen, hetgeen men als volgt bewijzen kan. By een driehoeksnet met n hoekpunten heeft men strikt noodig Sn-r 3 gegevens (daaronder begrepen minstens eene basis). Bevat het net d driehoeken en zijn alle hoeken en verder o bases gemeten, dan is het aantal metingen 3d + h, het aantal overtollige metingen 8d+b — Sn + 8. ■■' .. . . Het aantal betrekkingen, onder 1° (blz. 155) genoemd is d; noemen wu ^ïet aantal centrale punten c, dan is l*t aantal betrekkingen onder 2" genoemd c, dat onder 3° genoemd eveneens c, terwijl het aantal volgens 4° 6-1 bedraagt , het totale aantal is dus: d + 3c + b - 1. Gaat men nu na dat het aantal drie!hoeken d = n - 2 + c, en substitueert men de uit deze laatste vergelijking volgende waarde voor «inde uitdrukking voor het aantal overtollige metingen, dan vindt men dezelfde uitdrukking als die voor het aantal betrekkingen. 1°. In eiken' driehoek moet de som van 'de drie hoeken 180° zijn. 2°. In de punten, waaromheen alle hoeken gemeten zijn, zooals de punten A, D, E, H, K en R, in flg. 129 en die wij centrale punten zullen noemen, moet de som van de hoeken 360° zijn. Meet men de hoeken met den theodoliet, door achtereenvolgens op de verschillende punten te richten en dan de aflezingen twee aan twee van elkaar af te trekken, dan zal de som van zelf 360° zijn; dit geeft dus geen controle. Men kan op deze wijze alleen controle verkrijgen , als men de hoeken met de sextant gemeten heeft, of indien men met den theodoliet iederen hoek afzonderlijk gemeten heeft. 3°. Indien men van eene zijde uitgaande, langs eene reeks driehoeken, de lengte van die zelfde zijde-berekent, dan moet deze uitkomst overeenstemmen met de waarde, waarvan men is uitgegaan. Bij een driehoeksnet, op de eenvoudige wijze samengesteld ^als dóór flg. 129 wordt aangegeven, waar de driehoeken enkel tegen elkaar liggen, zonder gedeeltelijk over elkaar heen te vallen of zonder dat daarin zoogenaamde 'diagonalen voorkomen (de verbindingslijnen van de toppunten van twee verschillende driehoeken, bijv. eene lijn AK), kan men deze voorwaarde het gemakkelijkst in formule te brengen, door de driehoeken te beschouwen, die om een centraal punt liggen. Beschouwt men dit punt als den gemeenschappelijkén top van deze-driehoeken, zoo luidt die voorwaarde als volgt: Het product van de sinussen van de rechts gelegen basishoeken moet gelijk zijn aan het product van de sinussen van de links gelegen basisboeken; of, wat voor de berekening gemakkelijker is: de som van"de logarithmen van de sinussen van .de rechts gelegen basishoeken moet gelijk zijn aan de som van de logarithmen van de sinussen van de t links gelegen basishoeken. Drukken wij in verband met fig. 129 de hoeken uit, door de bij het hoekpunt geplaatste letter met het nummer van den v driehoek als index, dan zijn, in de om het centrale punt A gelegen driehoeken,^, ,>C2, D8, Ei: Fs de aan de rechterzijde, en d, D2, -#3, Fi, Bö de aan de linkerzijde van de respectievelijke bases gelegen hoeken. Tusschen die hoeken en de zijden van de driehoeken bestaan nu de volgende betrekkingen; -■■ sin Bx sin Cx AG AB ' sin C2 _ sin B2 ~~KB~~ AG ~' sin B3 sin Eg AE ~ AB ' sin Ei sin F± AF ~ AE~' sin F5 sin B5 AB~~ ~ AF waaruit door vermenigvuldiging onmiddellijk volgt: sin Bi sin G2sin B3 sin P4 sin F5=sinGisin D2 sin E3 sin F4 sin B5; of, wanneer wij van beide leden de logarithmen nemen: log sin Bx-\-log sin G2 -f logain D3 rf-log sin £4-f-log sinF5= = log sin G^ log sin B2-\-log sinE3 -j-,log sin % -j- log sin B5. . (IV 4°. Heeft men meer dan eene basis gemeten, zooals bijv. de lijnen AB en RT in flg. 129, dan moet, als men, van de lengte van een daarvan uitgaande, de lengte van de andere berekent, deze overeenkomen met de lengte, die men door directe meting gevonden heeft. Bij een klein driehoeksnet zal men die beide bases aan twee tegenovergestelde uiteinden van het net meten; bij een grooter net neemt men eene basis in het midden om daarop de berekening te steunen en brengt dan langs den omtrek van het net verschillende contróle-bases aan. § 124. Vereffening der fouten. Toetst men de uitkomsten der waarnemingen aan bovenstaande voorwaarden, dan zullen zij meestal daaraan niet volkomen voldoen; kleine verschillen, voortspruitende uit de kleine onvermijdelijke fouten van waarneming, zullen zich altijd vertoonen; alleen als de verschillen groot zijn, wijst dit op fouten, die opgespoord en verwijderd moeten worden, alvorens men tot de verdere berekening kan overgaan. De kleine verschillen, die zich altijd vertoonen, moeten nu in de eerste plaats over de verschillende gemeten grootheden verdeeld worden, zoodat de aldus gecorrigeerde hoeken en afstanden nu volkomen aan bovenstaande voorwaarden voldoen, Het bepalen van de daartoe aan die grootheden aan te brengen correcties noemt men het vereffenen der fouten. Dit vereffenen der fouten, wil het op de voordeeligste'wijze geschieden, moet plaats hebben volgens de methode der kleinste vierkanten; de berekeningen echter, die daarvan in dit geval het gevolg zijn, zijn zoo omslachtig en langwijlig, dat zij de moeite niet zouden beloonen, die men, bij een eenigszins uitgebreid net, bij het gewone landmeten daaraan zou moeten besteden. Wij zullen ons daarom bepalen tot het aangeven van eene benaderde berekening voor de vereffening van de fouten, die, gegrond op de theorie der kleinste vierkanten, bij een betrekkelijk zeer geringen arbeid, eene voor het doel meestal voldoende nauwkeurigheid oplevert. § 125. Bij een driehoeksnet, samengesteld als het in flg. 129 voorgestelde, zal men niet gelijktijdig de fouten in alle driehoeken vereffenen, maar ieder stel driehoeken, -dat om een zelfde 'centraalpunt gelegen is, afzonderlijk beschouwen, om daarin de fouten te verdeelen. Zoo zal men bijv. eerst de vijf driehoeken nemen om het punt A gelegen, dan de zes driehoeken om het, punt D; daarbij zal men dan .echter aan de driehoeken 2 en 3, die eens voor goed zijn vastgesteld, niets meer veranderen, maar de fouten alleen op de hoeken van de driehoeken, 6, 7, 8 en 9 vereffenen. Vervolgens overgaande tot het punt E, zal men daar de fouten verdeelen alleen over de hoeken van de driehoeken 10, 11, 12 en 13 en dus die van de driehoeken 3, 4 en 9 onveranderd laten. Zoo voortgaande, zal men in H de vier driehoeken 14, 15, 16 en 17, in K de twee driehoeken 18 en 19 en in R de twee driehoeken 20 en 21 nemen, om daarover de fouten te verdeelen. Bij het eerste'stel van driehoeken rondom het punt A neemt men eerst in iederen driehoek de som van de drie hoeken en wat deze som meer of minder dan 180° is, verdeelt men 'gelijkelijk over de drie hoeken. Telt men nu de aldus gecorrigeerde hoeken in het centrale punt samen, dan zal men meestal niet juist 860° vinden, het verschil verdeelt men dan gelijkelijk over die hoeken, aangezien hierdoor de som van de drie hoeken in eiken driehoek niet meer 180' blijft, zoo moet men aan elk der basishoeken de helft der correctie met het tegengestelde teeken aanbrengen. In flg. 129 zal men dus dit verschil voor een vijfde gedeelte op elk der hoeken om het punt A en voor een tiende deel op elk der basishoeken moeten vinden. Past men op de basishoeken, waaraan nu reeds twee kleine correcties zijn aangebracht, de vergelijking (1) van § 123 toe, dan zal daaraan meestal niet volkomen voldaan worden. Om hieraan te voldoen, telt men bijv. bij alle rechterbasishoeken eene zelfde correctie op en trekt die van al de linkerbasishoeken ■ af. Ter bepaling van deze correctie, die wij door x zullen voorstellen en die evengoed negatief als positief kan zijn,'hebben wij dan eenvoudig de betrekking: log sin (Bx -f- x) -f- log sin (C2 + + log sin {D3 -f- x) -\log sin (EA -\- x) -f- log sin (F5 -j- x) == log sin (Cx — x) -flog sin (D2 — x)-\- log sin(E3 —j x) + log sin (Fé — x) -\log sin (B5 — x); waarin Bx, C2, enz., de gemeten hoeken met de twee reeds aangebrachte correcties beteekenen. Ter oplossing van x uit deze vergelijking merken wij op, dat aangezien x altijd zeer klein is, wij voor log sin (Bx -\-x) mogen schrijven (log sin Bx -j- x At i), als x in minuten uitgedrukt wordt »en As i de aangroeiing van log sin Bx voor één minuut beteekent, eene grootheid, die wij uit de logarithmentafel vinden, door het verschil te nemen van twee opvolgende log sin, namelijk van log sin (Bi -\- 1') en log sin Bx. Voor hoeken kleiner dan 90° is deze aangroeiing alzoo positief, voor hoeken grooter dan 90° echter negatief. Op deze wijze vinden wij: log sin (Bx -f- x) = log sin B1 -f- x At i log sin (G2 -f- x) = log sin C2 -f- # Ac ■ log sin (D3 + x) = log sin D3 -f-x Ad 3 log sin (F4 -[■#) = Zoo sin E:s -\- x A» 4 ■ Zoff sm (-F5 -j- x) = log sin F5 -j- x Af 5 Zoo sin (Cx — x) = Zop/ sm Cx — 2; Ac 1 Zoo sin (B2 —x) — log sin D2 — x[\i2 log sin (JE3 — x) = log sin E3 — x Ar 3 •Swf . log sin (F4 — x) — log sin F4 — x A/ 4 log sin (B5 — x) — log sin B5~— x At'5 waardoor de vorige Vergelijking overgaat in: log sin Bx -f- Zoo sin G2 -\- log sin D3 -f- Zoo stra -Z?4 -f- log sin F§ -f- a; (A 1 1 + A c 2 + A a 3 + A4 + A /■ 5) = log sin Gx -f log sin D2 -f- log sin Es log sin Ft + log sin B5—x (Ac 1 + A j 2 + A,. 3 + A, 4 + At c)- Stellen wij nu door R de som van de logarithmen van de sinussen van de rechts gelegen basishoeken, door L de som van de logarithmen van de sinussen van de links gelégen basishoeken en door 2 de som van de aangroeiingen voor één minuut van al die logarithmen-sinussen voor, dan wordt deze vergelijking: R + x2 — L*=0, of: L — R x=^y~. (2) Deze waarde met CO vermenigvuldigende, krijgt men de aan te brengen correctie uitgedrukt in seconden-. Voor de driehoeken om het punt D zal men nu eerst in de driehoeken 6, 7, 8 en 9 de som van de driehoeken tot 180° maken. Dan de zes hoeken om D samentellen, daarbij uit 2 en 3 de gecorrigeerde hoeken nemende en uit 6, 7, 8 en 9 de gemeten hoeken met de eerste correctie; hetgeen men hierbij meer of minder dan 360° vindt, wordt dan gelijkelijk over de vier hoeken D6, Z>7, D8 en D9 verdeeld. De basishoeken in diezelfde driehoeken 6, 7, 8 en 9 verkrijgen eene half zoo groote correctie met het omgekeerde teeken. Eindelijk toetst men de basishoeken aan vergelijking (1) blz. 156, waarbij men voor de driehoeken 2 en 3 weer de gecorrigeerde en voor 6, 7, 8 en 9 de gemeten hoeken met de twee tot nu toe bepaalde correcties moet nemen. Wordt aan die voorwaarde niet juist voldaan, dan wordt aan ieder van de basishoeken van 6, 7, 8 en 9 weer eene kleine correctie aangebracht, bepaald volgens bovenstaande form. (2), waarbij, dan onder s alleen moet verstaan worden de som van de aangroeiingen van de logarithmen der sinussen van de basishoeken in 6, 7, 8 en 9. Op dezelfde wijze^gaat men nu te werk met de driehoeken om E, waarbij dan alleen aan de hoeken van 10, 11, 12 en 13 correcties worden aangebracht, enz. Is er meer dan ééne basis gemeten, dan moet men thans nog de lengte van de basis, waarvan men bij de berekening uitgaat, zoodanig.vaststellen, dat de berekende lengten van de bases zooveel mogelijk strooken met de gemeten lengten, daarbij de hoeken evenwel onveranderd latende. Hiertoe berekent men (zie § 127), uitgaande van de gemeten lengte a van ééne basis, de overige bases, waarvoor men bijv. vinden zal b', c', enz., terwijl de gemeten lengten o, c, enz. zijn. Was men nu bij de berekening niet uitgegaan van a, maar naten uit een der veelhoeken, dan wijst dit op eene fout in de berekening van dien veelhoek* § 129. Opneming van het driehoeksnet met behulp van het planchet. De opneming van het net met behulp van het planchet is niet toe te passen, tenzij het terrein eene zoo geringe uitgebreidheid heeft, dat het in zijn geheel met alle details op één planchet kan opgenomen worden. Bij- een grooter terrein zou men eerst het net op kleine schaal "^een planchet moeten opnemen, en het dan moeten vergrootèn om er details in te brengen, waardoor natuurlijk de fouten in de opneming met het planchet ook vergroot worden. In een dergelijk geval moet men het net met de meer nauwkeurige instrumenten: theódoliet of sextant, opnemen en het planchet alleen voor de details bezigen. De opneming met het planchet, die wij hier zullen behandelen, heeft dus alleen betrekking op een klein driehoeksnet. Bij die opneming moet men beginnen met de basis AB te meten en op verkleinde schaal op het planchet te teekenen; zij deze daar aangeduid door ab. Men stelt het planchet dan op in A, fig. 129, dus met a boven A en ab gericht op B, en richt nu achtereenvolgens op G, D, B en F en trekt langs de liniaal de overeenkomstige lijnen. Het planchet in B opsteUende en oriënteerende op A, kan men, door op G en F te richten, uit de snijding van de langs de liniaal te trekken lijnen met de vroeger uit a getrokkene, de punten c en f vinden, die de punten C en F van het terrein voorstellen. Gaat men nu naar C, stelt daar het planchet op en oriënteert het op A, dan kan men, vóór men nieuwe punten bepaalt, op de meting contröle uitoefenen, door op B en F.te richten en te zien of de zijkant van de liniaal respectievelijk door de punten b en f gaat. Op deze wijze voortgaande, verkrijgt men telkens door de snijding van twee lijnen de nieuwe punten op het planchet en kan men voortdurend op de meting contröle uitoefenen, door op al de zichtbare en reeds opgenomen punten te richten en na te gaan, of telkens de zijkant van de liniaal door het overeenkomstige punt van het planchet gaat. Ten slotte kan men dan op de geheele opneming nog eene contröle uitoefenen, door een of meer contröle-bases te meten en deze met de op de teekening te meten lengten te vergelijken. VEELHOEKSMETING, § 130. Vorm van het net. Aan de veelhoeken, die tot aanvulling van een driehoeksnet dienen, moet men een zooveel mogelijk gestrekten vorm geven, zoowel voor het geval, dat men -uitsluitend veelhoeken bezigt om de noodige meetlijnen te verkrijgen, fig. 135, als dat zij zich alleen over die gedeelten van het terrein uitstrekken, waar geen driehoeken aan te brengen zijn, fig. 134. Die veelhoeken moeten dus langs den kortst mogelijken weg van het eene eindpunt naar het andere gaan, hetzij dat deze eindpunten driehoekspunten zijn, bijv. B, 1,.2, 3, E—B, 4, 6, 6, F, fig. 134, en A, 1, 2, 3, 4, C—C, 5, 6, 7, B, fig. 135, of punten van reeds bepaalde veelhoeken, bijv. A, 7, 8, 9, 5—2, Ï2, 18, 14, 6, fig. 134, en B, 11,12, 2—2, 13, 14, 6, fig. 135. Zal het geheele net door veelhoeksmeting worden opgenomen, dan begint men met om het- op te nemen terrein, zoo dicht mogelijk langs de grens daarvan, een grooteh gesloten veelhoek ABCDEFG, flg. 136, met een zoo gering mogelijk aantal zijden aan te brengen. Deze veelhoek wordt dan door open veelhoeken, die weer een zooveel mogelijk gestrekten vorm hebben, in kleine deelen verdeeld, om daardoor de noodige meetlijnen voor de detailmeting te verkrijgen. In fig. 136 heeft men bijv. eerst den veelhoek A, 1, 2, 3, 4, E aangebracht en dan het punt 2 met de punten C, D en 67 verbonden door de veelhoeken Gt §, 7, 2—D, 10, 9, 2 en 67, 5, 6, 2; verder heeft men F met 3 door F, 11, 12, 3 enA met 8 door A, 13, 14, 8, . verbonden, enz. Deze veelhoeken zijn weer door kleinere veelhoeken, die in de figuur zonder verdere aanduiding aangegeven zijn, vereenigd. § 181. Opmeting. De opmeting van de veelhoeken geschiedt 6f door het meten van de zijden en van de hoeken tusschen die zijden, öf door het meten van de zijden en van hare azimuthen. De zijden worden tweemaal gemeten met behulp van den meetband, van den meetketting of van meetlatten. Is het terrein voor deze directe lengtemeting niet, geschikt, öf kan men zich met geringere nauwkeurigheid tevreden stellen, zoo kunnen de zijden ook met behulp van den afstandmeter worden gemeten, indien het hoekmeetinstrument daarvoor is ingericht; in elk geval zal men dan de zijden van uit beide uiteinden meten, om zoodoende grove fouten te voorkomen. Heeft de meting van de hoeken plaats gehad met behulp van theodoliet of sextant, dan worden volgens § 107 de azimuthen en verder volgens § 108 de coördinaten berekend. Bij het meten van de azimuthen met behulp van de boussole vervalt natuurlijk de eerste berekening, zoodat men onmiddellijk tot de berekening van de coördinaten kan overgaan. De wijze van opmeting van de veelhoeken heeft ook invloed op hun vorm. Bij de opmeting met instrumenten, waarbij hoeken gemeten worden (theodoliet, sextant, planchet), zal namelijk eene fout in de meting van den hoek tusschen twee; zijden invloed hebben op de richtingen van alle volgende zijden; men zal daarom de zijden liefst zoo lang mogelijk maken en haar aantal zoo klein mogelijk nemen. Zeer korte zijden toch geven aanleiding tot groote fouten in de hoeken en deze planten zich voort op alle daaruit berekende azimuthen. Kan men dergelijke korte zijden niet vermijden, dan moet men zorgen, het instrument zoo zuiver mogelijk in de verticaal van het hoekpunt te plaatsen en zoo zuiver mogelijk op het midden van de baken te richten, die de beenen van den hoek aangeven. (*) Bij de opmeting met de boussole echter worden de azimuthen van de zijden, onafhankelijk van elkaar, direct gemeten, Eene fout in de meting van het azimuth van eene zijde heeft dus geen invloed op de richtingen der volgende zijden, maar veroor-, zaakt alleen eene gelijke evenwijdige verplaatsing van alle (*) Is nl. het punt der baak, waarop gericht wordt,, op een afstand a uit de verticaal van het juiste hoekpunt gelegen, en is D de afstand van dit punt tot het hoekmeetinstrument, zoo kan in de waargenomen richting eene fout: — 206265" gemaakt worden. Voor o = 0,005 meter en B = 60 meter, zou dit reeds 20" 6 kunnen bedragen. Eene dergelijke fout kan eveneens gemaakt worden, wanneer wel op de juiste verticaal van het hoekpunt gericht wordt, maar het hoekmeetinstrument niet volkomen op de juiste plaats is opgesteld. volgende hoekpunten. Om deze zoo klein mogelijk te maken, zal men dus liefst een groot aantal korte zijden kiezen. (Zie Aanhangsel § 231 IV.) § 132. Contröle. De contröle is bij de veelhoeksmeting veel minder volledig dan bij de driehoeksmeting. Zoowel bij een gesloten als bij een open veelhoek heeft men, als alle hoeken en alle,zijden gemeten zijn, hoogstens cMe voorwaarden, waaraan de gemeten grootheden moeten voldoen, en die dus op de aanwezigheid van fouten in de meting kunnen wijzen, zonder echter te kunnen aangeven, in welk gedeelte van den veelhoek de fout moet gezocht worden. De drie genoemde voorwaarden bestaan daarin, dat de sommen van de hoeken, alsmede van de grootheden asintx en acoëoi (zie § 108), vooraf bekende grootheden zijn en die sommen daaraan dus gelijk moeten zijn. Nemen wij eerst een open veelhoek, bijv. B, 1, 2, 3, E, flg. 134, die twee hoekpunten B en E van "een vooraf vereffend en berekend driehoeksnet verbindt. Laten in dien veelhoek gemeten zijn de hoeken CB1 = A0, B12 = AX, 123 = ^i2» 23-Z?-=^.3, SED = An en laten de bekende azimuthen van BG en ED De uit te voeren berekeningen zijn dus de volgende.: vooreerst het berekenen van de grootheden a sin* en a cos* en het nemen van hare sommen. Verschillen die-sommen slechts zeer weinig van hare juiste waarden, dan kan men die afwijkingen volgens de vorige paragraaf verdeelen; zijn de verschillen echter grooter, dan berekent men de grootheden asin2*, a sin* cos* en acos2* en telt die samen, waardoor men de coëfficiënten van de vergelijkingen (10) vindt, die door oplossing de waarden van A en B leveren. ? Met behulp daarvan en van de reeds berekende grootheden asin2*, enz., vindt men volgens (8) en (9) de aan asin* en a cos * aan te -brengen correcties. Zijn deze aangebracht, dan kan men daaruit onmiddellijk de coördinaten van de -hoekpunten berekenen; de correcties voor de zijden zelf te berekenen is natuurlijk overbodig. § 136. Veelhoeksvertakkingen. Heeft men niet te doen met een enkelen veelhoek, maar met een stelsel van veelhoeken, die in enkele punten aan elkaar sluiten, zooals bijv. de veelhoeken B, 4, 5, B, F—A, 7, 8, 9, 5, en 67, 10, 11, 5 in flg. 134, dan kan men twee wegen inslaan. Men kan eerst dien veelhoek nemen, die laags den kortsten weg twee driehoekspunten vereenigt en in ieder opzicht de meeste waarborgen oplevert voor eene nauwkeurige opmeting, en de fouten in dien veelhoek eerst geheel vereffenen. Zij dit hier bijv. de veelhoek B, 4, 5, 6, F, dan wordt daardoor het punt B bekend en hieraan kunnen nu de twee andere veelhoeken verbonden worden, alsof 5 een vast driehoekspunt was. Zijn de andere veelhoeken echter van dien 'aard, dat zij ook eene goede opmeting waarborgen, dan is het beter de fouten in die veelhoeken samen te vereffenen, waartoe men als volgt te werk gaat. Uitgaande van de vier punten A, B, F en 67, berekent men langs de vier daaraan aansluitende veelhoeken het azimuth van eene in het knooppunt 5 eindigende lijn, waardoor men op die .wijze vier verschillende waarden zal vinden, die wij door *A, *„, *p en *G zullen voorstellen en die onderling kleine verschillen zullen vertoonen. Voor het azimuth van die lijn neemt men dan een gemiddelde * aan en verdeelt de verschillen *A — *, *„ — «,*F — * en ~*0 —* gelijkelijk over de hoeken van de veelhoeken Aö, Bh, Fh èn 675., Bij het nemen van het gemiddelde * moet men er echter op bedacht zijn, dat die waarde *t,*B, enz., een grooter vertrouwen bezit, die op een kleiner aantal hoeken berust. Om dit in rekening te brengen, vermenigvuldigt men iedere waarde « met een factor en deelt de som der producten door de som van de factoren, zoodat men vindt: a _ Pa«a + Pb*b +Pf"f + Pg*g Pa + Pb + Pf +Pg ' ■ De factoren p, die den naam van gewichten dragen, moeten nu des te grooter zijn, naarmate het aantal hoeken van den veelhoek kleiner is; wij zullen die hier dus omgekeerd evenredig met dat aantal kunnen nemen. Om de berekening te vereenvoudigen, zal men van ieder der waarden «,,«7, enz. een zelfde waarde aftrekken en aldus de correctie berekenen ,■ die aan deze benaderde waarde van het azimuth * moet worden toegevoegd. Zijn op deze wijze de hoeken gecorrigeerd, dan kan men daarmede-de^ azimuthen * en de grootheden asin* en acos* berekenen, en, uitgaande van de coördinaten van de punten A, B, F en 67, langs de verschillende veelhoeken, de coördinaten van het punt 5 berekenen. Uit de verschillende waarden Xa, Ya, Xb, Yb, Xf, Yr X en Y„, die men op deze wijze voor de coördinaten van 5 vindt , neemt men een gemiddelde: z_Paxa-\-Pbxb +p(x(+p„x„ en Pa+Pb+Pf + Pg ' . waarbij men de gewichten pa, pb, enz., omgekeerd evenredig •kan nemen met de lengten (sa) van de overeenkomstige veelhoeken. Zijn op deze wijze de coördinaten van punt 5 bepaald, dan verdeelt men de verschillen Xa — X, Ya — Y, enz., wederom volgens § 134 over de grootheden asin* en a cos * en berekent daarmede de coördinaten van de veelhoekspunten. Ook hier zal Qm mi de richting te bepalen, waarin men de zijden van het driehoeksnet moet projecteeren, ten einde de grootten van de correcties van de tegenovergestelde hoeken in dat net te bepalen, wordt de zijde AC van driehoek ABC, die tegenover denhoek^ ligt, welke de grootste correctie in absolute waarde verkrijgt, verdeeld in een aantal gelijke deelen, overeenkomende met het aantal seconden, dat S„ bevat en op deze lijn het punt & opgezocht, dat zoodanig gelegen is, dat Ab overeenkomt met 3C en .bC met tA. De lijn AC is dan de lijn waarop, en tso oe richting, waarin geprojecteerd moet worden Om bijv de correctie voor hoek PBQ te vinden, projecteert men de twee punten P en Q en leest bij die projecties de afstanden Ap = 14,"2 en Aa = 20,-1 af; het verschil Aq -Ap = ~*1~U' 2==0>"9 geett dan de correctie voor dien hoek. Bij het bepalen van hef teeken der correctie diént men er goed op te letten, dat men alle hoeken in denzelfden zin telt bijv. in de richting, waarin de wijzers van het uurwerk zich bewegen De hoek PRQ bijv. in den gelijknamigen driehoek, Lf; het been RP moet doorloopen, om samen te vallen met BQ; de overstaande zijde wordt dus • daarbij doorloopen in de richting PQ en deze heeft tot projectie pq,dat is eene lijn van dezelfde richting als de projectie Ab die over- ' eenkomt met de correctie van hoek C. Daar men van deze hitste echter weet, dat zij positief is;, zal dus de correctie a%7»'3 van>ek PRQ eveneeQs positief zijn. Voor den hoek echter' die tegenover dezelfde zijde QP staat, is de correctie even groot, maar met omgekeerd teeken ; want deze hoek wordt doorloopen van de zijde FQ naar de zijde FP en dus de overstaande zijde in de richting van Q naar P. De projectie Sr11 ^ ^ lijP 9P' ^ hi?' 6ene ne^atieve waarde Ap - Aq . V42;. He* vJastIe^ei van ieder punt afzonderlijk door hoekmeting m de bekende punten. Zijn A, en A2 flo- U0 twee punten met bekende coördinaten (hoekpunten van het groote pet of reeds bepaalde punten van het secundaire net), zoo wordt de ligging van een punt P blijkbaar bepaald door de meting van de hoeken A^P^a, en PA2AX=H in de beide bekende punten. Door middel van den sinusregel vindt men in driehoek de lengte de lijnen A,P en A2P, en Sar hare azimuthen respectievelijk: 2 ' UiP) = (AxA2) 4- ai en: (A2P) = (A2Ax) — «2 1 bedragen, zoo kunnen de coördinaten X en Y van P dus berekend worden uit: X = Xx -f AXP sin (AXP) = X2 + A2P sin (A2P), en: Y=YX + AXP cos (AXP) — Y2 -f 42P cos (A2P). waarin ^Yi en X2Y2 respectievelijk de coördinaten der punten Ax en A2 voorstellen. Ter contröle van de berekening is het raadzaam, X en Y zoowel uit de coördinaten Xx en Yx van Ax, als uit de coördinaten X2 en Y2 van A2 af te leiden. In den regel zal men in het bekende punt Ax niet alleen den hoek *x van de richting AXP met de lijn AXA2, maar ook den hoek «8 met de aansluitende lijn AxAt van het groote net meten! Het spreekt van zelf, dat dan vóór de berekening de som' Van de hoeken *x en «8 gelijk moet gemaakt worden aan den bekenden hoek A2AXA4 uit het groote net, door aan elk dier ' gemeten hoeken eene gelijke correctie aan te brengen. Dezelfde opmerking geldt natuurlijk voor de meting in de andere punten. § 148. Heeft men uit meer dan twee bekende punten Ax, A2, As en 44 de richtingen naar P bepaald, dan geven elke twee richtingen, die niet in eikaars vjerlengde vallen, eene bepaling van het onbekende punt P. Daar vier lijnen elkaar twee aan twee in het algemeen in 6 punten snijden, zoo krijgt men dus voor elk van de coördinaten van P ook 6 verschillende waarden, waaruit men een gemiddelde kan nemen. Bij het nemen van dit gemiddelde moet men evenwel in het oog houden, dat de waarden der coördinaten in het algemeen des te meer vertrouwen zullen verdienen, naarmate de hoek tusschen de richtingen, waaruit zfl zijn afgeleid, meer tot 90ö nadert en naarmate de afstand van het punt P tot dé betrokken punten kleiner is. Noemt men xx2, xxs, xu enz., de abscissen van het punt P, zooals die gevonden worden uit de metingen respectievelijk in Ax en A2, Ax en A%, Ax en AA. zoo kan men met deze omstandigheid, evenals in § 136, rekening houden door bij het nemen van het gemiddelde de waarden x12l xxs, xu enz., met zekere factoren.(gewichten) te vermenigvuldigen en de som der producten te deelen door de som dier factoren. Zoo zal men dus bijv. voor de abscis van P kunnen aannemen: x _ #12*12 +i>13^18 +PljXu -f P-23^23 +^24^24 +PuXSi Pl2 +J>13 + Pu +P23 + 1>24 + i>84 ~ * en voor de ordinaat van P eene overeenkomstige uitdrukking. De factoren p zal men, naar hetgeen boven gezegd is, bijv. evenredig kunnen stellen aan de sinussen van de boeken tusschen de betrokken richtingen en omgekeerd evenredig aan de gemiddelde afstanden van het punt P tot de beide betrokken punten. Het is duidelijk, dat men bij de vaststelling dezer factoren volstaan kan met eene ruwe benadering en dat het bijv. voldoende is, hoeken en afstanden te bepalen, uit eene met behulp van een graadboog geconstrueerde teekening. Ter vereenvoudiging van de berekening zal men benaderde waarden voor de coördinaten van P invoeren, bijv. de waarden berekend uit de metingen in twee punten. \ Men kan nu nog de omslachtige nauwkeurige berekening van de coördinaten der snijpunten van alle richtingen twee aan twee vermijden, door den volgenden graflschen weg in te slaan. Uit de gemeten hoeken in twee punten, bijv. Al en A2, berekent men eerst op de in § 142 aangegeven wijze nauwkeurig de coördinaten x12 en y12 van het snijpunt der waargenomen richtingen 4jP en A2P. Het aldus bepaalde punt, dat wij P12 zullen noemen, is wegens de fouten in de meting (doch ook wegens de fouten in de als juist aangenomen coördinaten van de punten Ax en'A$ nog niet het juiste punt P. Denkt men zich nu door P^, flg. 141, twee assen P12Z' en P^F' gebracht, respectievelijk evenwijdig aan 'OX en OF, dan kan men een van de stukken x' of y' berekenen, die dooide waargenomen richtingen A3P, A^P in de andere bekende punten van deze assen worden afgesneden. Is bijv. A een punt met de coördinaten x en y, van waaruit op P is gericht, en is « het waargenomen azimuth der richting AP, zoo heeft men blijkens de figuur: x? = Pl2B = {y12 — y)tgx — (x12 — x) > V' = — P12C=(xn.~x)coig« — (2/i2 — y) { • • • • (2) Voor elke richting wordt nu een dezer stukken op groote schaal, bijv. op heele of halve ware grootte, op de betrokken as uitgezet, en door het aldus gevonden punt met behulp van een graadboog en het uit de waarneming afgeleide azimuth die richting getrokken. Zoodoende krijgt men even zoovele lijnen (hier vier: Alt A2, A3 en Aif fig. 142), als er richtingen bepaald zijn, en hare snijpunten twee aan twee P12, PX3 .... enz. . . . geven de relatieve ligging aan van de verschillende bepalingen van het punt P. Meet men dus uit de teekening de abscissen dier snijpunten op ten opzichte van het assenstelsel X'PX2Y', en substitueert men deze in het tweede lid van de vergelijking (1), zoo vindt men hieruit de correctie, die mén nog aan de abscis x12 aan het punt P12 moet aanbrengen , om de abscis van het definitieve punt P te verkrijgen. Op overeenkomstige wijze vindt men de correctie, die aan yX2 moet worden aangebracht. § 144. Het vastleggen van ieder punt afzonderlijk door hoekmeting in het onbekende punt. Geschiedt de hoekmeting van uit het vast te leggen punt P, flg. 143, zoo moet men Van uit dit punt drie punten i1; 42 en i3 met bekende coördinaten kunnen zien, tusschen welke de hoeken «j, <*2 (en ter contröle ook «$) worden gemeten. Dat hierdoor de plaats van het punt P bepaald wordt, blijkt uit de eenvoudige overweging, dat het punt P gelegen moet zijn zoowel op den cirkelboog, bevattende den hoek . AoAo . , 8inx en steeds kleiner dan 180°, en is dus \.(% — ,), stnax ' x' eö: 8171*2 waarna men de coördinaten X en F van' P ter contröle wederom tweeledig kan berekenen, namelijk uit: • tak' X= X14r AXP sin UXP) = X3 -f 48P sin (43P), en: F = F, + 4,P cos UiP) = F8 + 43P cos U3P).' . In het geval, voorgesteld in fig. 144, gelden, met inachtneming der in die figuur geschreven notaties, volkomen dezelfde formules. De nummering der hoekpunten- kan steeds zoodanig plaats hebben, dat een der gevallen, voorgesteld in fig. 143 en 144 zich voordoet. § 145. Heeft men uit P de hoeken gemeten, tusschen meer dan 3 bekende punten, bijv. de hoeken *lt a2l <*3 en a4 tusschen de punten Ax, A2, A3 en Ait fig. 145, zoo geeft elk dezer hoeken met de daartegenover liggende verbindingslijn "der bekende punten eene meetkundige plaats, namelijk een cirkelboog, waarop het punt P moet gelegen zijn. In de onmiddellijke nabijheid van het punt P mogen deze cirkelbogen zonder groote föut vervangen worden door hunne raaklijnen in P of in een punt, dat daar zeer dicht bij ligt. Kan men deze raaklijnen vinden, dan kan alzoo de bepaling van een gemiddelde voor dé coördinaten van P op overeenkomstige wijze plaats vinden als in § 143. Hiertoe merken Wij op, dat, zoo BiPBÏ, fig. 143, de raaklijn in P voorstelt aan den cirkelboog, die den hoek *x bevat: ZA2PB1 = /_A2A1P = beschouwt als direct te zijn gemeten. Het vraagstuk wordt daardoor teruggebracht tot het in § 143 behandelde geval. § 147. Keuze der meting. Bij het vastleggen van eene reeks van punten aan een bekend net, heeft men eerst te kiezen tusschen de beide hoofdmethoden, namelijk de' vastlegging door middel van een net van driehoeken^, of wel de vastlegging van elk punt afzonderlijk. De eerste methode, waarbij de vast te leggen punten tot een driehoeksnet worden vereenigd, dat aan 2 of 3 punten van het groote net wordt verbonden, heeft het voordeel, dat de betrekkelijke ligging van de punten, die tot dezelfde groep behooren, goed bepaald is; daar staat echter tegenover, dat de punten, tot verschillende groepen behoorende, onderling slecht bepaald zijn, zooals dit bijv. in flg. 138 het geval is met de punten 2 en 4 ten opzichte van 5 en 8 en ten opzichte van 12 en 13; en zooals dit het geval zal zijn met de punten, die vastgesteld zijn aan een bepaalden driehoek ten opzichte van de punten, die aan een anderen driehoek verbonden worden. Deze wijze van opmeting is dus goed toe te passen daar, waar betrekkelijk kleine deelen van het terrein afzonderlijk worden opgenomen, die dus door één detailnet kunnen overspannen worden, dat dan op de beschreven wijze aan het groote net verbonden wordt. Dit geval doet zich o. a. daar voor, waar iedere gemeente, zooals zulks in sommige landen geschiedt, afzonderkjk wordt opgenomen, zonder dat het verband met andere genieenten in acht genomen wordt. Moet daarentegen de geheele opmeting een geheel vormen, dan kan men het verband van de verschillende deelen beter verkrijgen, door ieder punt afzonderlijk vast te leggen. Men moet dan echter zorgen, die punten niet alleen vast te leggen aan de punten van het groote vdriehoeksnet, maar ze tevens te verbinden aan de in de onmiddellijke nabijheid gelegen punten, die reeds vastgelegd zijn. Een voorbeeld hiervan geeft fig. 147: A, B, G, D, E, F en 67 zijn de bekende punten van het groote driehoeksnet. Het punt 1 wordt nu vastgelegd aan de punten A, B, C, D en 67'; het punt 2 aan B, 0, D en 1; het punt 3 aan B, G, D en 2; het punt 4 aan D, C, 2 en 3; het punt 5 aan D, G, 2 en 4, enz. Zoo verder gaande, verbindt men de opvolgende punten steeds aan de omliggende punten van het groote net en de in de onmiddellijke nabijlïeid gelegen en reeds bepaalde punten van het detailnet, en verkrijgt daardoor eene goede verbinding van de punten zoowel aan het hoofdnet als onderling. Het verdere verloop van de meting, in fig. 147 voorgesteld, kan gemakkelijk uit de figuur worden nagegaan. De vastlegging houden worden. Op het geheugen mag men daarbij niet vertrouwen, maar men moet de aanteekeningen zoodanig maken', dat iemand, die niet bij de meting is tegenwoordig geweest, het terrein volgens die aanteekeningén kan in kaart brengen. Als voorbeeld van aanteekening moge fig. 149 dienen. Gaandeweg met de meting maakt men een schets van het terrein, waarop alle lijnen, die op het terrein aanwezig zijn, getrokken worden; terwijl dé lijnen, die voor de meting gediend -hebben, door streep- of stippellijnen worden aangegeven. Al de cijfers,1 die betrekking hebben op de gemeten coördinaten, worden geschréven in eene richting, loodrecht op de richting, waarin zij gemeten zijn; zij stellen steeds de afstanden voor op de meetlijn tot het beginpunt, en op de loodlijnen de afstanden tot aan de, meetlijn. Zoo zal men bij de punten h en k altijd schrijven de afstanden eh en ek en niet el} en hk. Gemeten lengten, die geen betrekking hebben op de coördinaten, worden geschreven, evenwijdig aan de lijn, waarin zij gemeten zijn en tusschen haakjes of tusschen twee streepjes geplaatst (zie bijv. bij de in de schets voorkomende gebouwen en bij de'lijnen lm, mn, np, wx, xy, yz, enz.). Van .gebouwen *en andere kunstwerken, die een regelmatigen plattegrond hebben en waarvan niet alle punten door coördinaten kunnen worden vastgelegd, worden twee of drie punten op de bovenbeschreven wijze opgenomen en verder de plattegrond op zich zelf opgemeten, zooals uit de in de ^schets voorkomende gebouwen kan blijken. Zijn er gedeelten van het terrein, die niet of moeilijk ten opzichte van de meetlijnen, die het net oplevert, 'kunnen opgenomen worden, dan moet men daarvoor hulpmeetlynen aannemen. Zoo zal men bijv. den weg qr gemakkelijker ten opzichte van de hulpmeetlijn s<- opmeten, waardoor men het neerlaten en meten van lange loodlijnen vermijdt. Deze hulpmeetlijn verkrijgt men door tijdens de meting langs AB bij s eene baak te laten staan, die men in de schets, fig. 149, door een vlaggetje aangeeft; hetzelfde doet men bij t tijdens het meten langs AC, en legt dus op deze wijze de nieuwe meetlijn aan het groote net vast. Voor de* opneming van drie van de op de schets voorkomende gebouwen heeft men als hulpmeetlijn genomen de in u op AB opgerichte loodlijn uv; in het snijpünt v met de driehoekszijde BC wordt ook een jalon opgesteld, waarvan de plaats bij meting langs BC wordt bepaald. Ook lijnen, evenwijdig aan de zijden van het net en hiervan op een bepaalden afstand verwijderd, zoomede lijnen, welke met genoemde zijden een hoek van 45° maken, als wel gebroken lijnen, welker brekingshoeken met een eenvoudig boekmeetinstrumentje worden bepaald, kunnen soms met vrucht als hulpmeetlijnen dienst doen. § 150. Controle op de meting. — Het teekenen van de details. Bij de meting moet men tevens zooveel mogelijk op contröle bedacht zijn. Dan kan men langs verschillendé wegen verkrijgen: öf dóór de punten ten opzichte van verschillende meetlijnen op te nemen, öf bij rechte grensscheidingen door daarvan minstens drie punten op te meten, die dan in de kaart op eene rechte lijn moeten liggen. Vooral dient men bij het vastleggen van hulpmeetlijnen op contröle bedacht te zijn,, door, waar zulks mogelijk is, die hulpmeetlijnen door middel van minstens drie punten aan het net te verbinden. Het in teekening brengen van de details geschiedt, zooals in § 101 is aangegeven, op dezelfde wijze, als waarop zij zijn opgenomen. Nadat het net door middel van de coördinaten van de hoekpunten in teekening is gebracht, zet men langs de meetlijn met behulp van den dubbelen decimeter de daarlangs gemeten afstanden af. In die punten richt men vervolgens loodlijntjes op, waarop de daarlangs gemeten afstanden worden uitgezet. De aldus in kaart gebrachte punten worden nu onmiddellijk volgens de aanwijzingen van de schets vereenigd, en de deelen, die niet door coördinaten zijn opgenomen, bijgeteekend. Is aldus het opgenomene in teekening gebracht, dan worden daarop al de voor de contröle gemeten afstanden, nagemeten en met de aanteekeningen vergeleken. Komen deze;afstanden goed uit, dan kan de kaart in inkt worden gezet en verder worden afgewerkt. Eene methode voor de detailmeting, die nauw verband houdt met de coördinaten-methode, is de opmeting volgens lijnenverband. Deze methode kan vooral met vrucht worden toegepast bij opneming van platte gronden van gebouwen en van perceelen met rechte grensscheidingen. Op plaat XVI is eene opmeting volgens deze methode voorgesteld. ABCD stelt een veelhoek voor, de lengte van de zijden en de grootte van de hoeken zijn in de teekening aangegeven. Van een groot aantal punten zijn de coördinaten op de gewone wijze opgemeten. De lijn ab is eene hulpmeetlijn; de punten a en b worden gedurende de meting door jalons aangegeven. De snijpunten c en d van een verlengde perceelscheiding niet de veelhoekzijde BC en de hulpmeetlijn ab zijn eveneens door jalons aangegeven; langs de lijn cd is van uit c gemeten voorde bepaling van de plaats van verschillende details en van snijpunten met andere hulpmeetlijnen, en is voor controle de lengte der hulpmeetlijn gemeten. De begrenzingen van platte gronden van de gebouwen gelegen in den vierhoek aBcd zijn verlengd, de snijpunten met meetlijnen en hulpmeetlijnen, zoo noodig op het terrein door jalons aangegeven, zijn evenals de verschillende details opgemeten op analoge wijze als volgens de coördinaten-methode geschiedt. De punten e en f zijn de snijpunten resp. met AD en ab van de verlengde zijde van den plattegrend van een gebouw; gh is weer een hulpmeetlijn voor de verdere opmeting van de gebouwen in den vierhoek Aaef gelegen; enz. De wijze van aanteekening is in hoofdzaak dezelfde als die, welke bij de gewone coördinaten-methode besproken is. Het beginpunt van de meting bij een meetlijn is meestal aangegeven door een omgekeerde pijlpunt, zie bijv. bij c en bij e; de lengten van veelhoekszijden zijn dubbel, die van hulpmeetlijnen zijn enkel onderstreept. Ten einde de metingen volgens lijnenverband niet te verwisselen met die volgens de gewone coördinatenmethode zijn de uitgezette rechte hoeken door cirkelbogen aangegeven. §151. Detailmeting met een theodoliet ingericht tot afstandmeter. (Tachymfetrie). Bij het opmeten van de details met behulp van een theodoliet, waarvan de kijker tot afstandmeter is ingericht, plaatst men het instrument in een hoekpunt A van het net en richt eerst, om de meting te oriënteeren, den kijker op een ander punt B van het net en leest den stand van beide noniussen op den 'eersten cirkelrand af. Om nu de verschillende om het punt A gelegen detailpunten op te nemen, gaat een baakhouder met de voor het afstandmeten bestemde baak achtereenvolgens op die verschillende punten. 1, 2, 3, enz., staan; de waarnemer bij het instrument richt daarop en leest de punten af, waar zich de twee voor het afstandmeten bestemde draden op de paak projecteeren, alsmede de standen van de noniussen op de twee cirkelranden. Door deze vier grootheden voor elk punt is de ligging van dit punt ten opzichte van het net volkomen bepaald., Door aftrekking toch van de aflezingen op den horizontalen cirkelrand bij het richten op de baak in het detailpunt 1 en op het punt B vindt men den hoek r dien de lijn .41 met de lijn AB maakt. Zijn verder o en b de aflezingen aan den onder- en -den bovendraad en is « de op den tweeden cirkelrand afgelezen elevatiehoek der vizierlijn, zoo is de horizontale afstand van A tot 1, volgens § 92: D = Ah cos2 « -\-Bcos «, waarin A en B de constanten van den afstandmeter en h = o — b het verschil van de aflezingen aan de beide uiterste draden voorstellen. Wil men ook de hoogteligging der detailpunten ten opzichte van de standplaats van het instrument kennen, zoo zou men strikt genomen volgens § 94 ook de hoogte H moeten aflezen, waarop zich de middendraad op de baak projecteert. Voor de hoogte van het detailpunt boven het middelpunt van het instrument vindt men dan: i Ah sin 2a -\-Bsina — H. Hoezeer het voor de controle ook gewenscht ia om de hoogte H af te lezen, kan men meestal volstaan door voor deze hoogte het gemiddelde J (o -f- o) te nemen van de .aflezingen aan de beide andere draden, daar het bij de bepaling .van de hoogteligging der detailpunten niet op een enkelen centimeter aankomt. Om regelmatig en vlug volgens deze methode te meten, is het gewenscht, hiervoor vier personen te gebruiken. De eerste persoon maakt tijdens of vóór de meting van het op te nemen terrein eene schets, waarop alle op te nemen punten aangewezen en in de volgorde, waarin de waarnemingen .plaats hebben, genummerd worden. Naar de aanwijzingen van dezen -persoon plaatst de tweede, de baakhouder, zijn baak in de op te nemen detailpunten. De derde persoon doet de waarnemingen,aan het instrument: hij richt den kijker, zoo mogelijk bij,.©ngeveer horizontale vizierlijn, op de baak en leest den stand der uiterste draden af; hij geeft vervolgens den baakhouder een teeken, dat bij zich naar een volgend detailpunt kan begeven en .leest intusschen den stand van eewder noniussen op eiken cirkelrand af. Al deze waarnemingen worden door den vierden persoon in een vooraf klaargemaakt en bijzonder daarvoor ingericht zakboek met dezelfde volgnummers, die op de schets voorkomen, aangeteekend. Om zeker te zijn, dat deze nummers met dié in de schets overeenkomen, is het gewenscht, dat, de. eerste aan den vierden persoon, om de 5 of 10 detailpunten een teeken 13 tiehoek a de afstanden te berekenen, hetzij volgens de algemeene formule D = Ah cos2 die een bekenden door .„ f *' ? te meten met den Planimeter en vervolgens door middel van de in § 163 aangewezen formule te berekenen hoeveel men den arm moet inschuiven. § 165. Contróle en vereffening der verschillen. Bij de bepaling van de inhouden der perceelen moet, evenals bij elke meting, contróle worden uitgeoefend; deze kan men bij ieder perceel afzonderlijk uitoefenen, door den inhoud op twee verschillende wijzen in driehoeken te verdeelen. Eene dergelijke 2lTJTl^ °°k re6dS gevoerd bij de berefening nlWn in ^ff C°Ördinaten der hoekpunten; dat was echter alleen eene contróle op de berekening, niet op de meting De voornaamste contróle, die men op de inhoudsbepaling 14 slaan, tenzij de theodoliet en in het bijzonder de vizierlijn volkomen nauwkeurig geregeld mochten zijn; immers was dit niet het geval, dan zou telkens .eene fout gemaakt worden gelijk aan het dubbele van de fout in den stand der vizierlijn ten opzichte van de tweede as. Mocht men op de bovenbeschreven wijze niet vólkomen op het eindpunt B uitkomen, zoo kan men het verschil over de tusschenpunten naar evenredigheid van de afstanden verdeelen. Daar men nauwkeuriger een hoek kan meten dan wel uitzetten, zoo doet men nog beter als volgt te handelen. Men zet eerst het punt c op de beschreven wijze voorloopig uit en meet daarna zoo nauwkeurig mogelijk met den theodoliet den horizontalen hoek cAB. Blijkt deze niet volkomen gelijk te zijn aan nul, maar bijv. gelijk aan « seconden, zoo bevindt zich de baak c op een afstand cG = r- X D van de lijn AB, waarin D' den afstand van A .tot G voorstelt; deze laatste behoeft voor deze berekening slechts benaderend, bijv. door afpassing of door meting met den afstandmeter, bekend te zijn. Door nu de baak G over den berekenden afstand cG in de vereischte richting te verplaatsen, kan het punt C der lijn AB zeer nauwkeurig worden aangegeven. Op gelijke wijze handelt men met het punt D, dat men eerst voorloopig uitzet, om daarna uit den afstand GD en het verschil van den gemeten hoek ACd met 180° wederom het bedrag dD te berekenen, waarover de baak d moet verplaatst worden, om nauwkeurig in het punt D deilijn • AB te-komen, enz Op deze wijze kan men eene rechte lijn van verscheidene kilometers lengte uitzetten , zonder noemenswaard te verloopen. Bij het verlengen eener lijn AB, flg. 168", doet zich soms het geval voor, dat op het terrein aanwezige voorwerpen, zooals gebouwen, kleine boschperceelen en dergelijke het directe uitzetten dier verlengde lijn verhinderen. Heeft deze hindernis slechts geringe uitgestrektheid, zoo kan men in B eene lijn BE loodrecht op AB, in E eene lijn EF loodrecht op BE en in F wederom eene lijn FG loodrecht op EF uitzetten. Neemt men nu FC = BE, dan zal de in G op FC opgerichte loodlijn het verlengde van AB zijn. Beter echter is het gebruik te maken van eene willekeurige hulplijn A'F', flg. 168c, waarop men van uit de gegeven punten A en B der te verlongen lijn loodlijnen AA' en BB heeft neergelaten. .Meet men nu deze loodlijnen, benevens de afstanden A'B' A'C', A'D', .enz., zoo kan men gemakkelijk berekenen, hoe lang men de loodlijnen C'C, BD-, E'E,- enz., maken moet, om de punten C, D, E, enz., van de lijn AB te krijgen/ ' Dezelfde methode kan ook worden toegepast, wanneer de eindpunten dei lijn gegeven zijn en zich de hindernissen daartusschen bevinden, bijv. wanneer in flg. 163c de punten A en F gegeven waren. Is de uit te zetten lijn echter zeer . lang of hebben de hindernissen grooten omvang (bosschen, bergen enz.), zoo kan de yoorgaande methode practisch niet meer worden toegepast. Om de richting te bepalen, waarin in een dergelijk geval de lijn AB, flg. 164, van uit A of B moet worden uitgezet, worden deze punten zoo mogelijk door een driehoeksnet verbonden, dat op de gewone, in Hoofdstuk XIII beschreven, wijze wordt opgemeten en waarvan de zijden, na vereffening van de fouten, uit de gemeten basis worden berekend. Ten opzichte van een willekeurig rechthoekig coördinatenstelsel, waarvan men een der assen het best met eene zijde en den oorsprong met een hoekpunt tan het net laat samenvallen, berekent men nu vólgens § 107 eerst de hoeken der zijden met de F-as (de richtingshoeken) en vervolgens op de in §§ 108 en 128 beschreven wijze de coördinaten van. de hoekpunten. Uit de verkregen coördinaten van A en B kan men dan volgens § 110 den richtingshoek (AB) van de verbindingslijn AB vinden, waarna ook /_ CAB = S = = (AB) — (AC) bekend wordt. Stelt men den theodoliet in A op, zoo kan de hoek CAB uitgezet en een tusschenpunt L bepaald worden, waarna de lijn AL achtereenvolgens, na opruiming der hindernissen, kan verlengd worden. Op overeenkomstige wijze kan men van uit B met het uitzetten beginnen. Daar na berekening van den hoek S ook alle hoeken bekend zijn in de driehoeken, welke door de lijn AB van het driehoeksnet worden afgesneden, zal men ter contróle ook de lijnen CG, CH en EK berekenen en de punten 6?, H en K door het uitzetten van die afstanden, zoo dit mogelijk is, op het terrein bepalen. Is het niet mogelijk, om de punten A en B door een driehoeksnet te verbinden, doordien bijv. het geheele tusschengelegen terrein bedekt is, dan blijft niets anders over, dan de punten 4 en B te verbinden door een of meer veelhoeken, zooals ACDB en AFEB, die om of door het bedekte terrein gelegd zijn. Na opmeting, vereffening der fouten en coördinatenberekening der hoekpunten volgens Hoofdstuk XIV, kan dan het uitzetten op overeenkomstige wijze plaats hebben als boven is beschreven. § 167. Het uitzetten van cirkelbogen. Vaak komt het voor, dat bij den aanleg van straten, spoorwegen, kanalen, enz., rechte lijnen door cirkelbogen verbonden worden, om zoodoende verkeerswegen te vormen, waarvan de as in horizontale projectie eene vloeiende lijn is. Bij het uitzetten der cirkelbogen zal' men evenals bij rechte lijnen trachten, een zoodanig aantal punten op het terrein aan te geven, dat het beloop van den boog daardoor duidelijk zichtbaar wordt, en tevens het bepalen van verdere tusschenpunten later zonder groote berekeningen of constructie kan geschieden. Aangezien het middelpunt van den boog niet op het terrein wordt aangegeven, zoo is het niet doenlijk, daarvan bij het uitzetten gebruik te maken; gewoonlijk zijn gegeven de richtingen der lijnen, die door den cirkelboog verbonden moeten worden, alsmede de straal van den boog. Ook hier wordt het beginsel van steeds van het groote in het kleine te meten, doorgevoerd, en zal men beginnen met de hoofdpunten (of hoofdrichtingen) op het terrein uit te zetten, om vervolgens ten opzichte hiervan de detailpunten, dat zijn de onderscheidene punten van den boog zei ven, te bepalen. Bij de spoorwegen heeft men tusschen de rechte einden en de cirkelbogen overgangsb'ogen, waarbij de straal geleidelijk overgaat van oneindig groot tot de lengte van den straal van den cirkelboog. Dit is vooral noodig met het oog op de verhooging vanden buitenrail in een bocht; deze verhooging is namelijk omgekeerd evenredig met de lengte van den straal en kan dus bij een overgangsboog als boven bedoeld geleidelijk worden aangebracht. (*) § 168. Het uitzetten der hoofdpunten. Laten AB en' CD, fig. 165, de beide rechte lijnen voorstellen, die door den boog TiMT2 met een gegeven straal R moeten verbonden worden en die elk door twee punten op het terrein zijn aangegeven. De hoofdpunten van den boog zijn dan: 1°. het hoekpunt H, waarin de beide rechte gedeelten elkaar snijden; 2". de tangentenpunten 1\ en 1 \, die de aansluiting van den boog aan de rechte gedeelten bepalen, en waarin deze dus den boog aanraken; 3*. het midden M van den boog. (*) Voor de oyergangsbogen wordt verwezen naar de taljellemverkjes op blz. 210 en 217 genoemd. Bij het bepalen van deze hoofdpunten moet men onderscheiden het geval, dat hoekpunt H toegankelijk en bruikbaar is; dat wil zeggen, dat het gemakkelijk op het terrein kan worden aangegeven en de afstanden HTX, HM en HT2 kunnen worden uitgezet, — en het geval, waarbij men van het hoekpunt H geen gebruik kan maken, hetzij dit punt ten gevolge van terreinhindernissen niet kan bepaald worden, hetzij doordien groote hoogteverschillen het nauwkeurig uitzetten der bovengenoemde afstanden onmogelijk maken. Is het punt H toegankelijk en bruikbaar, dan worden de lijnen AB en CD verlengd en wordt haar snijpunt, d. i. het hoekpunt H bepaald, in dit punt wordt met behulp van een theodoliet de hoek AHC=f zoo nauwkeurig mogelijk gemeten, waaruit dan direct de • grootte van den middelpuntshoek « = TxOT2 = = 180° — het gewone meten met den band. Het uitzetten moet echier tot korte bogen beperkt blijven, daar hier eene snelle opeenhooping van fouten te vreezen is. Waar het op geene groote nauwkeurigheid aankomt, kan deze methode echter met vrucht worden toegepast. GLOBALE OPMETINGEN. § 171. Inleiding. Onder vluchtige of globale opmetingen verstaat men die, waarbij het niet zoozeer in de bedoeling ligt. eene nauwkeurige kaart van het terrein te verkrijgen, als wel om in den kortst mogelijken tijd en met de eenvoudigste Hulpmiddelen eene schets van het terrein te bekomen, die in hoofdzaak de betrekkelijke ligging der verschillende terreinvoorwerpen aangeeft. Reeds in § 102 is er op gewezen, dat het maken van eene dergelijke schets meestal aan eene geregelde nauwkeurige opmeting dient vooraf te gaan, ten einde daardoor te weten te komen, wat moet worden opgemeten en hoe aan het net de doelmatigste vorm kan worden gegeven. Èr zijn echter ook gevallen, waarin men zich met de globale opmeting zelve moet tevreden stellen en waarbij de geregelde opmeting gewoonlijk achterwege blijft. Dit doet zich o.a. voor bij het in kaart brengen van minder bewoonde of'weinig bezochte streken, waarvan geen kaarten bestaan en welker nauwkeurige opmeting te veel tijd in beslag zou nemen en de,moeite met zou loonen. Een vluchtige opmeting, die slechts'weinig meer tijd vordert dan voor het bereizen of doorkruisen der streek noodig is, is dan aangewezen. Ook voor den officier te_ velde zijn deze globale opmetingen van belang, daar hij zijne in te dienen schriftelijke rapporten, indien daartoe aanleiding bestaat, zal verduidelijken door eene' vluchtige terreinschets, tot het maken waarvan uit den aard der zaak slechts weinig tijd beschikbaar is. (*) (*) Zie: Voorschrift op den Velddienst, van liet Xederlandsche leger. 1909. § 12. 15 De nauwkeurigheid, welke bij eene dergelijke globale opmeting kan verkregen Worden, is afhankelijk van den beschikbaren tijd, de gebezigde hulpmiddelen, de gesteldheid van het terrein, en niet minder van de geoefendheid en den aanleg van den persoon, daar voor dit werk een zekere Handigheid in het vlug en juist schetsen van de situatie wordt gevorderd. „ . v Bestaan van het terrein reeds kaarten, zooals dit thans in alle beschaafdë"landen het geval is, dan overtreffen deze, zoowel wat inhoud als nauwkeurigheid betreft, de beste vluchtige opmeting; in dit geval bepaalt zich deze laatste dan ook slechts tot het bijwerken der bestaande kaarten, zooals het aangeven van nieuwe wegen, vaarten, huizen, perceelscheidingen, enz. De weg, dien men bij deze metingen moet inslaan, wijst zich voor ieder bijzonder geval vanzelf aan. In het volgende zal dan ook verondersteld worden, dat eene dergelijke kaart niet aanwezig en het terrein alzoo volkomen onbekend is. De globale opmeting van een dergelijk terrein geschiedt in hoofdzaak volgens dezelfde beginselen als de hiervoren behandelde geregelde of meer nauwkeurige opmeting, en berust op het meten of schatten van afstanden en van richtingen of hoeken. Evenals vroeger beschrijven wij eerst de hulpmiddelen, die tot dit doel toegepast worden, om vervolgens in het kort de eigenlijke wijze van opmeting te vermelden. §172. Het meten van afstanden. De snelste manier om afstanden te bepalen bestaat zeker wel hierin, dat men deze op het oog schat; zij is echter^tevens de minst betrouwbare en eischt veel oefening. Om hierin eenige vaardigheid te verkrijgen, begint men eerst met bekende afstanden op het terrein te ver-i gelijken met andere lijnen. Deze kan men zoodoende schatten en naderhand hetzij direct, hetzij op eene goede kaart nameten, waarby men zal trachten, zich daarbij telkens van de gemaakte fouten" rekenschap te geven. Verschillende omstandigheden oefenen namelijk op eene juiste schatting invloed uit, zooals: de meerdere of mindere verlichting in verband met de weersgesteldheid, den aard en de ligging van omliggende terreinvoorwerpen en niet het minst de richting van de te schatten lengte; zoo is het gemakkelijker den afstand van een punt tot den waarnemer dan den onderlingen afstand van twee willekeurige punten te schatten. Bij"eene opmeting, die eenige aanspraak op nauwkeurigheid wil maken, zal men dit schatten van afstanden op het oog beperken tót. korte lengten van bijv. 100 M., welke slechts moeten dienen tot het in teekening brengen van minder belangrijke details, waarvan de minder juiste ligging aan de nauwkeurigheid der schets in het algemeen weinig schaden kan. Waar meer nauwkeurigheid wordt verlangd, en dus zeker bij de meting van de^zijden der veelhoeken, die in den regel het net van de opmeting zullen vormen, maakt men bijna altijd gebruik van het meten op den pas. De gewone paslengte van een persoon van middelbare lengte bedraagt ongeveer 0,80 M., doch wisselt af tusschen 0,70 en 0,90 M. (*) Ook bij denzelfden persoon is deze lengte echter niet geheel constant, doch afhankelijk van de gesteldheid van den bodem (hard, glibberig, mul of moeilijk begaanbaar), van de helling van het terrein', van de weersgesteldheid (voor of tegen wind, hitte, enz.) en ook van den physieken toestand van den mensch. Het is daarom' raadzaam, de grootte van den pas" zooveel mogelijk onder verschillende omstandigheden te bepalen. Dit geschiedt op de eenvoudigste wijze door eene lijn van bekende, doch niet al te kleine lengte, bijv. den afstand tusschen twee kilometerpalen , lanSs een WQS, af te passen' en die lengte door het aantal passen te deelen. tëif$*t • Aangezien het tellen van het aantal passen vaak aanleiding geeft tot het maken van fouten, maakt men soms gebruik van een passenteller ^een instrumentje in den vorm van een horloge, dat automatisch het aantal passen aangeeft. Daartoe wordt het toestelletje zoodanig langs het been gehangen, dat het bi) eiken pas van het been een schok ontvangt, waardoor een tandrad door tusschenkomst van een veerend gewicht telkens één tand verspringt en een wijzer zich daarbij over ééne verdeeling van «ene wijzerplaat beweegt. Gewoonlijk treft men eene tweede wijzerplaat aan, waarop honderdtallen en een derde, waarop duizendtallen van passen/ worden aangegeven. Sommige instrumenten geven in plaats van het aantal passen den afgelegden weg in kilometers aan en dragen dan den naam van pedometers. De pas moet daarbij natuurlijk eene bepaalde lengte hebben; bij sommige pedometers is eene inrichting aanwezig, waardoor de aanwijzingen op de wijzerplaat in overeenstemming kunnen gebracht worden met de bijzondere paslengte van den persoon, die den pedometer gebruikt. Bij het gebruik van deze toestellen moet men er op bedacht - , ° De ge;v5ne militaire pas bedraagt 0,75 M. en kan allengs door oefening vei" ï"*?, T Intusschen is deze Pas kunstmatig, hetgeen hieruit blijkt dat de soldaat meestal z«n natuurlijken pas herneemt, zoodra h« hierin wordt vrij- gestrekten arm horizontaal voor het oog te houden en te zien, welke lengte op den dubbelen decimeter overeenkomt met de beide punten, waartusschen men den hoek wil meten; deze lengte, gedeeld door den afstand van het oog tot den decimeter en vermenigvuldigd met 57, geeft ongeveer den hoek in graden. Voor een persoon van miudelbare lengte komt het aantal centimeters vrijwel met het aantal graden overeen. Grootere hoeken kan men zoodoende in twee of meer gedeelten meten. In ieder geval behooren deze ruwe schattingen echter steeds beperkt te blijven tot minder belangrijke, op' zich zelf staande terreinvoorwerpen. § 174. Wijze van opmeten en in teekening brengen. De globale opmeting van een terrein geschiedt volgens dezelfde beginselen als de hiervoren behandelde nauwkeurige opmeting. Doordien het terrein echter geheel en al onbekend is, kan er van een eigenlijk net voor de opmeting, dat op het terrein is of kan worden uitgezet, geen sprake zijn. Veeleer zal men dit net tijdens de meting moeten vormen door lijnen, die op het terrein aanwezig zijn (bijv. de assen of zijkanten van wegen, kanalen, slooten, enz.), of die daarop gemakkelijk, bijv: door verbinding van duidelijk zichtbare punten, kunnen worden vastgelegd. Deze lijnen zullen dan in den regel gesloten veelhoeken vormen, waarvan men de lengten der zijden door afpassing en de richtingen hiervan met de boussole opmeet. (*) Tegelijk met de meting, wordt van deze veelhoeken eene schets op schaal gemaakt, zoodat men direct contróle op de meting kan .uit-, oefenen en zich .op het terrein zelf kan overtuigen, dat geen groote fouten zijn ingeslopen. Met het oog op deze contróle is het gewenscht, deze veelhoeken niet al te groot, bijv. hoogstens een vierkanten kilometer, te nemen. Aan deze. veelhoeken worden de details door middel van de coördinaten-', de voerstraal-, de basis- en dikwijls ook van de veelhoeksmethode vastgelegd, daarbij de afstanden, de hoeken of de richtingen, die daarvoor benoodigd zijn, metende of schattende, al naarmate de gewenschte nauwkeurigheid zulks vordert. Fig*. 177 geeft een voorbeeld, waaruit nader blijkt, hoe de opmeting geschiedt en op welke wijze de uitkomsten kunnen (*) BU het verkennen van lange smalle terreinstrooken, die slechts vluchtig kunnen worden doorloopen, zooals bijv. bij expedities het geval is, komen ook open veelhoeken voor, waarvan de zijdon dan meestal uit do marschsnolheid en de azimuthen met de boussole of het kompas gemeten worden, terwijl de afgolegen details door meting van richtingen of wel op het oog worden bepaald, • volgens de aanteekeningen "het terrein kan in kaart brengen. Daartoe wordt gaandeweg van het terrein eene schets op schaal gemaakt; het gemakkelijkst geschiedt dit door het papier te spannen op een scheisplanchet, fig. 175, zijnde een rechthoekig plankje van ongeveer. 'iO X 30 centimeter, hetwelk met een koord, dat aan twee diagonaal tegenover elkaar gelegen hoeken van het planchet bevestigd is, om den hals wordt gehangen; men heeft dan voor het meten en het opteekenen beide handen vrij, terwijl het planchet gemakkelijk naar alle richtingen gedraaid kan worden. Doelmatig is het nog aan de onderzijde "van het plankje eene portefeuille aan te brengen tot opberging^ van papier en afgewerkte schetsen. Het papier neemt men bij voorkeur gelinieerd en gebruikt dan de daarop voorkomende evenwijdige lijnen om de richting van den magnetischen meridiaan aan te geven. De gemeten azimüthen der lijnen worden met behulp van een graadboog uitgezet, door dezen bijv. - met zijn middelpunt in het waarnemingspunt en met zijn rechten kant op het oog evenwijdig aan de linieering te plaatsen, fig. 176, en vervolgens den waargenomen hoek af te zetten. Op de aldus geteekende lijn wordt door een pijltje^ aangeduid dè richting, waarin men gemeten heeft, terwijl links daarvan de grootte van het azimuth in graden wordt bijgeschreven; zoo stelt bijv. het cijfer: 7°, geschreven naast den pijl, aangevende de richting AB, het azimuth in graden voor, dat men bij het richten van uit A op .B heeft afgelezen. De cijfers, die betrekking hebben op coördinaten en steeds een geheel aantal passen aangeven, worden geschreven loodrecht op de richting, Waarin zij gemeten zijn en links of rechts van de meetlijn, al naar gelang de plaats-, ruimte op de schets zulks toelaat; zij stellen weer steeds de afstanden voor op de meetlijn tot aan het beginpunt dier.meet_ lijn en op de andere coördinatenlijnen de afstanden tot aan de meetlijn. Cijfers, die geen betrekking. hebben op coördinaten, zooals: de pijlen van kromlijnige perceelscheidingen, de afmetingen van gebouwen of andere kunstwerken, enz., worden geschreven evenwijdig aan de lijn, waarvan zij de lengte aangeven en tusschen haakjes of tusschen streepjes geplaatst. De soort van grond, als: bosch, bouwland, enz., de aard der perceelscheidingen, als: heg, sloot, vaart, enz., alsmede die der terreinvoorwerpen, als: huis, schuur, enz., wordt in de schets zooveel mogelijk bijgeschreven en aangegeven met de daarvoor gebruikelijke teekens. Aangezien het in teekening brengen op het terrein niet met 2de GEDEELTE. HOOGTEMETEN. INLEIDING. § 175. Zooals in de Inlèiding van dezen leercursus reeds is opgemerkt, verstaat men door een waterpasvlak of niveauvlak een vlak, dat in elk zijner punten rechthoekig staat op de richting der zwaartekracht, welke laatste door de richting van een vajhangend schietlood wordt aangegeven. De oppervlakte van een stilstaand water is alzoe een dergelijk vlak. Met voldoende benadering kan een niveauvlak als boloppervlak worden beschouwd. Twee punten, die in hetzelfde waterpasse' vlak zijn gelegen, worden gezegd even hoog te liggen; zijn zij in verschillende waterpasse vlakken gelegen, dan wordt hun hoogteverschil bepaald door dep verticalen afstand van het eene punt tot het waterpasse vlak, dat door het andere punt gaat. Zooals bekend is, hebben dë- waterpasse vlakken eene gebogen gedaante. Zoolang de'horizontale afstand der punten, waarvan men het hoogteverschil wil meten, echter gering is,. kan men de waterpasse vlakken door die punten beschouwen als evenwijdige platte vlakken. Het hoogteverschil van beide punten kan in dit geval bepaald' worden, door daarboven een waterpas vlak aan te brengen en de afstanden van beide punten tot dit vlak te meten; het verschil der twee afstanden geeft dan het gevraagde hoogteverschil. Deze methode voor het bepalen van het hoogteverschil van twee punten staat bekend onder den naam van waterpassen. Het waterpasse vlak wordt voor bovengenoemd doel verkregen door middel van het waterpasinstrument, bestaande uit een bordje bedekt. Om nu den afstand dezer horizontale afscheiding AB tot den voet der baak te bepalen, is deze aan de voorzijde in decimeters verdeeld, terwijl het bordje van eene één decimeter hooge uitsnijding G is voorzien, waarvan een zijkant in millimeters verdeeld is, beginnende bij de' horizontale streep. Tegenover de in de uitsnijding verschijnende decimeterstreep deilat leest men op deze laatste verdeeling "Bij de' opstelling behoeft dan alleen nog voldaan te worden aan de voorwaarde, dat de omwentelingsas verticaal zij; de vizierlijn zal dan steeds horizontaal zijn, welken stand men ook aan den kijker geve. wijderd worden, waardoor eensdeels de regeling vereenvoudigd wordt, anderdeels de fouten in de regeling van het instrument kunnen geëlimineerd worden, ook al waterpast men niet uit het midden. Strikt genomen, kunnen alle instrumenten van de tweede soort op dezelfde wijze behandeld en geregeld worden als die der eerste soort, zoo men er slechts voor zorgt, de bewegelijke deelen steeds in denzelfden betrekkelijken stand te gebruiken. Door de gewijzigde inrichting dier instrumenten kan men echter ook langs een anderen weg tot de regeling geraken en, zoo .men wil, in sommige gevallen de fouten van regeling, bij de meting elimineeren. Die methoden van regeling en meting zijn voor iedere bijzondere inrichting verschillend, wij zullen ons echter moeten bepalen om eenige gebruikelijke typen elk afzonderlijk na te gaan. § 180. Waterpasinstrument, waarbij kijker en niveau vast verbonden zün met de as. In flg. 182 is een waterpasinstrument voorgesteld, dat op de eenvoudigste wijze is ingericht, en waarbij de kijker AA en het daaraan evenwijdige niveau BB' vast aan elkaar en aan de daarop loodrecht staande as zijn verbonden, eene inrichting die de meeste waarborgen tegen " ontregeling aanbiedt. Deze as kan in de bus C draaien en doormiddel van de stelschroeven DD, waarmede het instrument op den drievoet steunt, verticaal gesteld worden. Met behulp van de correctieschroef B is het mogelijk de richtlijn van het niveau, dat om B' kan draaien, loodrecht op de as te stellen en door middel van de schroefjes EE, die op het diaphragma werken, kan de vizierlijn van'den kijker evenwijdig aan die richtlijn gebracht worden. Om dit instrument te regelen, begint men met de richtlijn van het niveau op de in §' 26 vermelde wijze loodrecht op de as te brengen.' Van den juisten stand van den horizontalen draad van het diaphragma ten opzichte van de as overtuigt men zich door op een punt te richten en den kn'ker om de as te draaien; blijft de draad daarbn steeds door hetzelfde punt gaan, dan staat hij loodrecht op de as; zoo niet, dan moet men de fout herstellen, door het diaphragma een weinig te verdraaien, waartoe bij de meeste instrumenten op de eene of andere wijze gelegenheid is. Deze regeling kan natuurlijk die van het niveau 'ook voorafgaan. Het onderzoek naar de evenwijdigheid van richtlijn en vizierlijn 16 nu is: log — 9 B = log — [4 s cos I] = 0,93318n log 9 A = log [4 e sin I] = 0,78746 0,14672B dus: K == 360° — 54°26' = 305° 34'; uit: 4/9— cosK= A' en 4p — sinK — —J5, r r zie blz. 415, volgt namelijk, dat cos K hetzelfde teeken heeft als A, sinK hetzelfde teeken als —B, de cosinus is positief, de sinus negatief, de tangens negatief (contröle), dus is K in het vierde kwadrant gelegen. De middelbare fout m — mie in de enkele waarde van 4 e is: en de som van de vierkanten der schijnbare fouten, (83) blz. 387: [x2] = [ (4 e)2 ] — A [4 e sin I] — B [4 g cos I]. Substitueeren wij hierin: A = y [4 e sin I] en B — [4 s cos I], dan wordt: [4£SotJ]2 [4ecosI]2 Dz2] = [(4 £)2]-^ ^ §77-73 Daarbij is, zie ook de tabel op blz. 413: [ (4 6)2] = 12,65 _[UsinIf =_ 9 ' _\A1cosIf_ _ 9 [~2] = 0,3066, »i 4e2 = 0,0192; n = 18, dus n — 2 = 16, alzöö: ' Ook uit deze waarde kan, aangezien: - - = i> — q = II— I— 180 — (II' — I' + 180°), de middelbare fout in de enkele aflezing worden berekend; op gelijke wijze als op blz. 414, vinden wij: mie nir = —_=0,07. 1 2 ' Volgens de boven gevonden formules (blz. 417 en 418) zijn: hieruit volgt: me = 0,00015 m.M., mK = 2°,3. De vergelijking (108) blz. 414 geeft aan, dat de invloed van de excentriciteit grafisch kan worden voorgesteld door eene smusoïde; de vorm van deze lijn is in de voorstelling van de waarden p en q, fig. ƒ, zonder de kromme lijn, dan ook reeds zichtbaar.' De meest waarschijnlijke vorm van deze sinusoïde is geteekend door van af eene as O'X op een afstand gelijk aan A = 0/125 (zie blz. 412), de in de laatste kolom, met behulp van de meest waarschijnlijke waarden van e en K, berekende waarden voor 2p~sin(I—K) uit te zetten. De afwijkingen — de overblijvende fouten — wijzen op waarnemingsfouten of op fouten in de randverdeeling; globaal kan een besluit omtrent de aanwezigheid van fouten in de randverdeeling worden genomen door de reeks van waarnemingen een tweede maal te verrichten; herhalen zich de afwijkingen in de voorstelling van p en q ongeveer .op,dezelfde plaatsen en op gelijke wijze, dan zijn deze hoogstwaarschijnlijk toe te schrijven aan fouten in de randverdeeling. (*) O Zie voor nauwkeurig onderzoek van randverdeelingen o.a.: „Prof Dr Ch M. Schols. Mededeeling omtrent het onderzoek van de randverdeelingen van de theodoheten rn gebruik b« de Rgksdrlehoeksmeting. Verslagen defafdeeling W*s- en Natuurkunde van de Kon. Akademie van Wetenschappen 1894/95", Voor een nader onderzoek (*) van de fouten in de randverdeeling kunnen wij het volgende opmerken. Bij de bovenstaande berekeningen zijn de fouten in de randverdeeling stilzwijgend opgenomen bij de toevallige fouten van waarneming en zijn dus de onnauwkeurigheden van de verdeeling beschouwd als eene van de oorzaken voor de waarnemingsfouten. Voor de aflezingen behoorende bij de figuren d en e hebben wij blz. 414 en 421 gevonden: 22 = II— I—180° -f II' —.!"+' 180° en 4e = II— I—180°— U'-\-I'—180°. Zonderen wij nu de fouten van de randverdeeling, die wij y zullen noemen, af van de waarnemingsfouten x bij aflezing, dan kunnen wij de fouten x2s in 22 en in xie in 4e. als volgt samengesteld denken:* %1 = xn + Vu — % — Vi + xir + Vir — Xr — Vr, xu = xn 4- yn — Xr — yj — Xjj,^- yir -f xr 4- yr. De waarnemingsfouten x zijn daarin als zuiver toevallige fouten te beschouwen, waarvan de waarden bij I, II, I' en II' in het algemeen verschillen; aangezien echter (zie fig. d en e) de aflezing I' ongeveer op dezelfde plaats geschiedt als de aflezing II en II' ongeveer ter plaatse" van I, zoo kunnen wij yr = yn en yn, = yT stellen. Bovenstaande vergelijkingen worden dan: X1t ~ XU Xj 4- Xn, Xj; | xH = xu — xT — xn. 4- xr4-2y II—2yI. ( " * Onderstellén wij nu, dat de fouten y, beschouwd voor de verschillende plaatsen van den rand, waarbij afgelezen is, een toevallig karakter hebben, dan kunnen wij ook voor deze fouten de middelbare waarde berekenen. Uit de vergelijkingen (112) volgt namelijk: m2/ — mn2 4-,mT2 4- mir2 4- mT,2 nii s2 = mn2 -f niT2 -\- mu.2 4- mr2 + myII2 + 4 myI2; de aflezingen hebben met gelijke nauwkeurigheid plaats gehad; (*) Zie ook: nDr. W. Jordan, Handbuch der Vermessungskuride II Rand,. Stuttgart 1897 blz. 2?6", nemen wij nu ook aan, dat my voor de verschillende plaatsen van den rand dezelfde is, dan is; wi9 / 2 = 4 m,2, m4 i2 = 4 m;2 -f 8 m„2 en 8m2 = m4s2 — mg/2 ' Substitueeren wij in deze laatste vergelijking de voor m2<-2 op blz. 414 en voor m4ê2 op blz. 421 gevonden waarden, dan is dus: 8 m2 = 0,0095 en m,j = 0,085. Opmerking. Uit de ontwikkelingen,óp blz. 416 volgt, dat de berekening' van de excentriciteit eenvoudig is, wanneer de aflezingen gelijkelijk langs den rand worden verdeeld, bijv. • om de 10 graden; hierbij dient te worden opgemerkt, dat het niet wenschelijk is met eene van de afleesinrichtingen (nonius, afleesmicroscoop of micrometrische microscoop) op de strepen van 0°, 10°, 20°, enz. in te stellen en dan aan de diametraal daartegenover gelegen inrichting af te lezen; aan de eene zijde is dan de waarnemingsfout eene instellingsfout, aan de andere zijde eene afleesfout, van beide fouten is het karakter in het algemeen verschillend: bij vereffening van waarnemingen volgens de methode der kleinste vierkanten is het wenschelijk, dat het karakter der waarnemingsfouten zooveel mogelijk hetzelfde zij. De volgende overweging doet nog een ander nadeel zien van het instellen aan de eene zijde; na eenige aflezingen blijkt spoedig in welken zin en ongeveer tot welk bedrag de invloed van de excentriciteit zich voordoet, daardoor zullen de waarnemingen partijdig, niet meer onbevooroordeeld zijn; de onpartijdigheid in de metingen, die voor het behoud van het toevallige karakter der waarnemingsfouten noodzakelijk is, is gemakkelijker te bereiken wanneer in de aflezingen eenige afwisseling optreedt. Met het oog op de groote middelbare fout in de waarde van K (zie.blz. 418 en 421) is gemakkelijk na te gaan, dat het niet noodzakelijk is de aflezingen te verrichten aan de strepen 0°, 10°, 20°, enz.; wanneer de strepen, waarbij de aflezing plaats heeft, 1 of 2 graden van 0°, 10°, 20° enz. verwijderd 'zijn, zoo zal daardoor geen storende fout in de metingen optreden;' men bedenke echter bij het aflezen aan een nonius; dat de invloed van de excentriciteit wordt bepaald niet ter plaatse van het nulpunt van den nonius, maar ter plaatse waar de strepen van den nonius samenvallen met de randstrepen. Fouten in de lengte van de noniussen (c. q. in de lengte van de fijne verdeeling van de microscopen, of in den gang van de micrometrische microscopen) kan men ontgaan door steeds ongeveer op dezelfde plaats van den nonius (c. q. van de fijne verdeeling of van de schroef) af te lezen. § 247. Secundaire driehoeksmeting (•). Eene van de voornaamste toepassingen van de methode der indirecte waarnemingen is die op de secundaire driehoeksmeting en wel bij het verbinden van ieder punt afzonderlijk aan de hoekpunten van het groote net of aan andere reeds vastgelegde punten (verg. § 139, blz. 175 onder 2°). Wanneer men namelijk bij- het meten alleen in de bekende punten (verg. § 143) van uit meer dan twee punten naar het onbekende punt P heeft gemeten, of wel wanneer men bij het meten alleen in het onbekende" punt P de hoeken heeft gemeten tusschen de richtingen naar meer dan drie bekende punten, zoo zou men, volgens de methoden in § 142 en § 144 beschreven, verschillende waarden voor de coördinaten van het punt P kunnen berekenen; volgens de methode der kleinste vierkanten kan men dan de meestwaarschijnlijke plaats van het punt bepalen. Bij de verdere behandeling van het vraagstuk zullen de verschillende gevallen afzonderlijk worden besproken. I. De metingen hebben plaats gehad alleen in de bekende punten. Voor de coördinaten van het punt P worden benaderde waarden X0 en Y0 berekend met behulp van de metingen in twee van de bekende punten (zie § 142). Bij de keuze van de metingen voor de berekening van X„ en Y0 dient men er op te letten, dat de te berekenen waarden in het algemeen des te nauwkeuriger zullen zijn, naarmate de hoek in P tusschen de richtingen naar de twee bekende punten minder van 90° verschilt en naarmate de afstanden van P tot genoemde punten kleiner zullen zijn. Zij in fig. g (***) XOY het coördinatenstelsel, A, (Xlt Yx), (*) Zie ook: „Bijlage Q van het Koninklijk Instituut van Ingenieurs". O Zie de uitslaande plaat aan het einde van dit Aanhangsel. resp. zijn glt g2 gn- Weer is hier de vraag voor A', B' en C' de meest waarschijnlijke waarde te berekenen. De schijnbare fouten in de metingen, verg. (51) blz. 374 en (62) blz. 379 zijn ook hier: xx=pi — {ctxA 4- b{B + cxG), x2 =P% — (a2A 4- b2B 4- c2C), (124) xn =p„ — (anA 4- b„B 4- cnG) Nu echter zullen de meest waarschijnlijke waarden volgen uit: [gx2] = [g j p — (al 4- 4- c(7) j2 ] = minimum, zie (24) blz. 349. Differentieeren wij bovenstaande uitdrukking naar A, naar B en naar C en stellen wij de differentiaalquotiënten gelijk aan nul, dan krijgen wij: [ga \ p — (aA 4- bB 4- cG) \ ] = 0, j [gb\p — (aA-\-bB-\-cC)\]=oA (125) [gc \p — (aA+bB + cC)\] =0; ) of ook in verband met (124): [gax\ = 0, [gbx] — 0, [gcx] = 0. Voeren wij de sommeeringen in (125) bij gedeelten uit, dan volgen voor de meest waarschijnlijke waarden A, B en G de normaalvergelijkingen: [gaa] A 4- [gab] B 4- [gac] C = [gap], \ [gab] A + [gbb]B + {gbc]C=[gbp], (126) [gac] A + [gbc]B-\-{gcc]C = [gcp]. ' Voor de berekening van de middelbare fouten van A, B en G gaan'wij na,'dat uit bovenstaande vergelijkingen voor A, B en G lineaire uitdrukkingen in plt p2 ..... Pn zullen volgen; deze uitdrukkingen zullen zijn van den vorm: i = 5fi«iPi 4- g&2p2 4- 4- gn«npn = [g*p ], B = giffiPi 4- g2B2p2 4- -)- gnBnVn = [gPP), G = g-l/lPl + P272 P2 + + gnVnPn = [ö"XP]- Noemen wij de middelbare fouten van px, p2 pn verder O *o TnT'* °P Uit de eerste ^geiping van (140), (141,) aÜ ™ A ?P- UI de 6erste van ieder der stellen u*-iiJ, U412) en (1413), dan volgt: W' 21,51 ° 21,51 ^+^57' (142) HM 0 _ , 6_n 1,86 1 22 +21,51Vs2~ 2l7T^2 + ^5T- (T43) n _V- 6 n 1,8» 1 fe - + 2l^T^-^^> e (144) Oo -_l 6 n 1,86 h ^-+2X57^-0^57 ^- ) krtavvïr11 ^ ^ °P anal°ge WiJze als *>oven, dan ver- 27,83 C + 12,52 ï)= -f78,03 , J + 12,52 C -f 36,51 D = -41,13; ••••(145) 27,33 §33 4- 12,52 §43=1, i + 12,52 §33 + 36,51 §43 = 0; j (146i) 27,83 §34+ 12,52 §44 = O, / + 12,52 §34 + 36,51 §44 = i; j (1462) [gx2] = 2967 — 78,03 C + 41,13 D. ^Q^To C-f,de 6erSte ^elijMug van 145, die geven f P" ^ ^Ö^gen (146,) en (1462) 0== 12,52 78,03 27,33 + 27^33 '(147> O — 12,62 n 1 33 ~ 27,88 043+2^33 '(148) O — 12,52 27,38 Q"> • • ■■ (149) na substitutie op analoge wijze als voren, vinden wij: 30,76 D = - 76,88; . (150) 29 30,76 §44 = 1; • • • • (1B1) [gx2] = 2744 -f- 76,88 D . . . .- (152) De oplossing van de vergelijking (150) en (151) geeft: D = — 2,50 m.M., §44 = 0,0825; de substitutie van D in (147), die van §44 in ,(149) en die van §34 uit (149) in (148) geven: §34 = — 0,0149, C = + 4,01 m.M., §38= 0,0434; de substitutie van 0 en D in (142), die van §44, §34 en §33 in (144) en die van §24 en §33 uit (144) in (143) geven: §24 = — 0,0070, §23 = +0,0134, B = + 3,35 m.M., §22 = + 0,0508; terwijl de substitutie van B en D in (137), die van §44, §34, §24, §23 en §22 in (139). en die van §14 en §12 uit (139) in (138) geven: §14 = + 0,0089, §18 = — 0,0060, §12 = —0,0111, A = + 4,66 m.M., §11 = + 0,0275. Ten slotte geeft de substitutie van D in (152): [gx2] — 2552. De meestwaarschijnlijke waarden van de hoogteverschillen in millimeters zijn dus: II boven I 1094 m.M. I' „ III 2591 „ I „ IV 424 „ V „ I 734 „ en de hoogten van de verschillende punten in Meters boven N.A.P.: II 6,405 M. +N.A.P., III 2,720 „ „ , IV 4,887 „ "„ , V 6,046 „ „ . De *normaalvergelijkingen worden dan: I X I X*^ 1 I X*^ nAi + | y |2AB+| |AC = | — q j X 1 x^ i I x^ I 1 x*^ I f J A A t1 _p_\ 2 A B + \_v J A G= !_¥ q_\ ¥_| A A+ |>J2 A*+ |JdAC= UKI f,2 De waarden voor —, berekend met behulp van f, = 327 m.M. x en met behulp van de waarden vap x bb' (156) en de bh'be- hoorende waarden van qx enz. volgens (157), zb'n nu in millimeters: f> — 1 x 2195.7 4-14,3 3192,0 -f 10,6 4193,4 -f 12,0 5190.8 , + 9,4 6180.9 — 0,5 Eenvoudigheidshalve zullen wij bij de verdere berekeningen de gewichten met 10000 vermenigvuldigen. De coëfficiënten van de normaalvergelijkingen en de waarde van [gx2] volgen uit de nevenstaande berekeningen: heden, waarvan het aantal n uit den aard der zaak steeds grooter is dan het aantal voorwaarden v, kan een aantal v worden geëlimineerd en uitgedrukt in de overige grootheden; voor het aantal n — v onafhankelijke grootheden kunnen foutenvergelijkingen worden opgeschreven en daaruit normaalvergelijkingen samengesteld. Zyn bij de meting van de drie boeken van den driehoek de gemeten waarden voor de hoeken 4, B en C resp. plt p2 en p3, dan zijn, wanneer A, B en C de meest waarschijnlijke waarden van de hoeken voorstellen, de foutenvergelijkingen: xi=Pi — A, 1 yfe)* x2=p2 — B, (158) «3 =i>3 — 4 + 5 4- G= 180° Volgt Ia Pi+ ^1+^2 + ^+^3-+ a% = 180ö, ..... (168) waarbij xx, x2 en x3 de correcties zijn voor de hoeken. Uit (168) volgt de voorwaardenvergélijking: xi + xz + x3 = 180° —Pl —p2 —^3 = r, r ïs dan de sluitingsfout van den driehoek. Uit deze eenige voorwaardenvergélijking volgt één normaalvergelijking: [ad]K = r, waarin, aangezien de 8 coëfficiënten a = 1 zijn,[aa] = 8 is, zoodat: 8 De correlatenvergelijkingën zijn: Xi = K, x2 = K, x3 = '.Zl j alzoo: r .r r hetzelfde resultaat dat langs eenigszins omslachtigen weg in het begin van deze § is verkregen. II. (Zie ook II blz. 377 en II blz. 398). Tusschen de verrichtingen 1, 2, 3 en 4 zijn de vijf volgende hoeken gemeten: 1) 1.2= 63ü16'50",982, 2) 1.3 = 130°54'47",026, 3) 1.4 = 190° 6'4o",33.9, 4) 2.4 = 126°49'53",532, 5) 3.4= 59°11'58",388. Gevraagd de meest waarschijnlijke waarden van deze hoeken te berekenen. • - Noemen wij de meest waarschijnlijke correcties voor de'hoeken resp. Xi, x2, xs, Xi en x5, dan kunnen wij voorde vijf metingen, waarvan er drie onafhankelijk zijn, de volgende twee voorwaarden opschrh'ven: . 2.4 +a4 = l.4 +a;s — (1.2 +.%), 8 .4 + % = 1.4 + .r3 — (1.3 + x2). Hieruit volgen de twee voorwaardenvergelijkingen: a-'i—^3 + ^4 = 1 -4 — 1.2 — 2.4=*-!, x% — *3 + «5 = 1. 4 — 1.3 — 3. 4 = r2, of, na substitutie van de metingen (en na rangschikking deitermen , met het oog op gemakkelijke samenstelling van normaalvergeiykingen en correlatenvergelijkingën): X\ — xs + Xi = + 0,"825, x2 — xa — x5 = — 0,"075. Deze voorwaardenvergelijkingen leveren de volgende normaalvergelijkingen : 3Zi+ Z2 = + 0,"825, Z! + 3Z2 = —0,"075; waaruit wij voor de correlaten vinden: Z^ + OZ'319, Z2 = —0,"131. De correcties volgen nu uit de correlatenvergelijkingën: Xl= Kx - = + 0,"319, x2 = Z2 = — 0,"131, x3 = — Kx — Z2 = — 0,"188, Xi= = + 0,"319, x5= Z2 = —0,"131. Deze correcties, bij de metingen gevoegd, geven dezelfde resultaten als op blz. 399 en 400 zijn gevonden (het verschil ■van ééne eenheid van de laatste decimaal voor de hoeken 2 4 en ó. 4 is een gevolg van afronding). Hebben de metingen1 ongeluk gewicht, zoo ondergaan de formules de hieronder volgende veranderingen. Zijn, bij dezelfde vooropstellingen als op blz. 460, de gewichten van de metingen Pl, p2 p% resp. g - . . „■ dan komt in plaats van de formule (163): / [flw2] = minimum, waaruit volgt: ffiZidx1 + g2x2dx2 + g3x3dx3+.... + gnxndxn = 0 . (169) Op de voorwaardenvergelijkingen (162) heeft de ongelijke nauwkeurigheid geen invloed; tusschen de in (169) voorkomende differentialen bestaan .dus de betrekkingen (165): f De middelbare fout van.de meest waarschijnlijke waarde voor den hoek 2.3, verg. blz. 401, welke hoek niet direct is gemeten, kunnen wij bijvoorbeeld vinden uit de betrekking: 2.3 = 1.4 — 1.2 — 3.4; (met voordacht is hier niet eene van de meest eenvoudige betrekkingen gekozen). . De meest waarschijnlijke waarde van de correctie voor de uit de metingen af te leiden waarde van 2 • 3 is dan: «2 , 3 1— — «l + «3 — «q. Voor de samenstelling van de coëfficiënten van de vergelijking (192) en de tweede leden van (190) hebben wij de onderstaande tabel: l a b P al bl 1) —1+1 0 1 —1 0 3) + l — 1 — 1 1 —l_i 5) — 1 0+1 1 0—1 ! 3 —2—2 zoodat alzoo: Q, = 3 + 2 ix + 2 L2. De hulpgrootheden Lx en L2 volgen dan uit: 8i!+ Zs = -2, i1 + 8£8 = — 2; dus: lUll Êf| , en ten slotte: q = 3 _i i _ i = i, De gevraagde middelbare fout is dus: Jfs 3 = m 1/q = m, zie ook blz. 401. § 255. Vereffening van een driehoeksnet. Bij vereffening volgens de methode van de kleinste vierkanten dient in aanmerking te worden genomen of de metingen hoekmetingen, dan wel richtingsmetingen zijn, aangezien de resultaten voor beide gevallen verschillen. Dit kan blijken uit het volgende eenvoudige voorbeeld: In de beide. driehoeken ABC en ACD,'zie fig. n, bedragen 'de sluitingsfouten resp. —12" en + 20". Worden de metingen als hoekmetingen vereffend, dan bedraagt de correctie voor iederen hoek van driehoek ABC: — 4", die voor de hoeken van driehoek 4CZ>: + 6J" (verg. blz. 463). De voorwaardenvergelijkingen zijn namelijk: xi + x2 + x3 — — 12", xi + «5 + «6 = + 20", vefeelSd?ten T eD Van inde 12de «■ de 13de vergelijking zijn op twee decimalen afgerond • vJlr-t0^'0^ Mj de opIossin^ (*) worden behalve de normaalvergelijkingen nog een tweede stel van dertien vergelijkingen coXfnV °f e?nden Van deZe ™*W**en hebben Sfde pS vanndf hl T^ten ^ de ^alvergeipingen; in betndT t? "beken?e termen (-»•) komen daarin voor de «bekende termen onder S (zie blz. 482), die gelijk zijn aan ^ COÖffi?enteD Van de enlen'beSflS * ™ nVï .de, taalvergelijking bij welke zij behooren. Wan- oploss n" t i kW Wki^en ™dt opgelost, welke oplossing gelijk met die van de normaal-vergelijkingen ge- conteroL:(Z,e °°k ^ U1 dan -« ~ volgende 1°. na de eliminatie van één of meer onbekenden is, in de JïïkTÏ^ ^Pingen, de term onder 5 steeds ef den h ? T Ian de coëffl«énten van de correlaten veigeïking; " *!? ^ r Va" de gerende 2°' _° de °nbekenden van het tweede stel vergelijkingen ééne eenheid kleiner dan de correlaten. Wanneer ééne vi ve~C°?rÓlfS (afg6Zien Van kleine schillen tengevolge van afronding) niet uitkomt, zoo wijst dit op een rekenfout die onmiddellijk kan worden opgespoord en Tengevolge van den eenvoudigen vorm der normaalvereelii kingen kunnen hier negen correlaten gemakkelijk SmeeS 10' enTreSnTi?^de 6erStfe ~ Ver*S- b« elkaar, gelijking Van drimaaZ de «««fo ver- 2°' ertrekTlde-Ve/gelÖkingen 1}' R 7>' 8> en 9) «men,, iping J de S°m af van fiemml de verge- - 3°. vermenigvuldigen wij de eerste zes vergelijkingen re,r, met^de bpehoorende coëfficiënten van "if /TreS wij de som van de zoo verkregen vergelijkingen af van . driemaal de twaalfde vergelijking 4». vermenigvuldigen wü ten slotte de vergelijkingen 1) 6) '), 8) en 9) resp. met de bübehoorende coëfficiënten van' O Zie'ook de algemeene opging aan het einde ya„ dit Aaj)lmngse] ] Kl° - j K" Kl3 j Ai3 - r s 1 ! + 12 ~2 -0,12 ! +0,32 -48 I -37,80 K»' \ +T +0-01 1 +4 |+3,15 ■ ' '!f8 . 1,44 -l;4l + o,oe I + o,'o5 ! +A44, | + 0,27 Aio = j +3,06 t +2,06 I I + 10 t + 0,18 + 0,02 I - 22 — 18 80 , -^0,88 \ -0,02 +0j05 I - 8 | _ 630 II + 9,67 | +0,16 I +0,07 I' ^30— . ZT^Ïo en = I _0'16 _0,07 j' , 30 20,10 V ■ W7 9,67 + 9^7 + 9,67 I • . + 3,10 1 + 2,08 +-0,39 —0,88 — 0,10 —0,09 #11 = +'2,61 +1,61 I j + 0,94 — 0,50 ' + 21,12 I + 2162 - 0,00 ; +_0J00_ I -^0,48 — o|.38 II1 +0,94 I .-0,50 I +20,64 | + 2L24' .. 1 ~Q'°° I rO'O^L ±_0,50 I + 0,33 III. +0.94 | — 0,50" .+"21,14 "-T2Ï37 k = ■ +0'60 I _2üt i ■ 2M7 12 . I 0,94 0,94 I " 0,94 . , | —22,49 —22,95 j + 28,70 + 28,16 AI2 = j + 6,21 ' + 5,21 I + 1,04 . _ 58,75 ! — 52,87 — 0.01 j + 1,28 | + 1,01 II —1,03 j —52,47 . — 6Ï.86 -0,00 + 0,22 + 0,15 III + 1,03 -52,25 — 5"Ï,7Ï 3^0,27_ + 11,24 +11,47 IV +0,76 I -41,01 '1 _ 40,24 Ai3= j + 63,96 I +52,95 j ,-■ ■ ■■■ i- '. : De andere correlaten volgen nu met de onbekenden der controle-vergelijkingen , uit de overige normaal vergelijkingen, zie blz. 482, met behulp van berekeningen als hieronder voor Kx en K2 zijn aangegeven: + 48 j -f- 38,05 | — 97 i — 101,08 ' —10,79 J — 10,59 — 0,50 — 0,42 + 1,55 + 1,30 — 3,06|— 2,06 — 2,61 — 1,611 3^2== _ i00)ö6 I — 103,56 — 3,06 — 2,06 3 Kx = + 28,09 j + 25,09 I ^_ _ 83(52 | _ 34)52 Kx == + 9,86 j -f 8,36 enz. De resultaten van de oplossing der normaal vergelijkingen zijn nu: Kx=+ 9,36, Ki—+ 21,25, K7'—— 1,54, K10= + 3,06, K2 = — 33,62, K6 = —16,42, K8 = + 0,26, Ku = + 2,61,' Kn — + 53,95. K3=+ 0,94, i'6 = ^- 8,06, K9 = — 13,64, Z12=+6,21, De correcties worden nu berekend, zie de tabel op blz. 488—489 , met' behulp van de correlatenvergelijkingën, die onmiddellijk uit de voorwaardenvergelijkingen zijn op te schrijven. Bij de afronding tot op segunden zijn eenige correeties, met name: a%, Zxx, z-xi en a;20 niet afgerond naar het naastbijgelegen geheele getal, wijl anders niet zou worden voldaan aan de. 2de, 4de, 5de, 7de en 10de voorwaardenvergélijking; om namelijk tevens aan de 10de voorwaardenvergélijking te voldoen is in driehoek (2) niet de correctie zt van —30,46 naar —31 afgerond , doch de correctie z5 van — 32,40 naar 33; zoodoende is verder aan alle voorwaardenvergelijkingen voldaan. B%'"De waarde van [x2] voor de berekening van de middelbare fout m in de enkele hoekmeting volgt hier het gemakkelijkst (*) uit de formule (177) blz. 470, dus voor dit geval: dit geeft: ' [x2] = A>! + K2r2 + + AVl8; [z2] = 7570; (•) Voor eene andere1 berekeningswijze zie de algemeene oplossing der normaalvérgèl vjkingen. zoodat: m—\ —-—- = 24 . ■ V 18 Berekenen wij [x*] uit de correcties van de achterstaande tabel, zoo vinden wij: [.t2] = 7581. De eerst berekende waarde is de meer juiste; de uit de afgeronde waarden van de correcties berekende waarde van [x*] is grooter dan de andere waarde, wijl de op secunden afgeronde correcties niet de meeat waarschijnlijke zijn; de daarbij behoorende is dus niet de minimum-waarde. Voor de verdere berekening van het driehoeksnet en de vereffening van de lengtemetingen, worden bij de gecorrigeerdex hoeken de log. sinus opgezocht; daarby maken wü. voor de hoeken, waarvoor de correcties in de 12de en in de 13de voorwaardenvergélijking voorkomen, gebruik van de gegevens op blz. 479; de log. sinus van deze hoeken behoeven dus niet weer in de logarithmentafel te worden opgezocht. De log. zyden van het net worden nu voorloopig berekend met behulp van log. FG = log. 283,34 - 2,45281; deze log. wordt opgeschreven tegenover den hoek A van driehoek (5). De berekening met behulp van de sinusformule, zie § 127, is geheel in de tabel uitgevoerd. .Noemen wij de zijden tegenover de hoeken A, F en G van driehoek (5) resp. a, f en g, dan is a de bekende zijde en volgen de beide andere zijden uit: - f a '*"„" « ' = éUÜ 8m-1 ' 9 = -—-. sm. G, of in logarithmen: tog. f— (log. a — log. sin.A) -f log. sin. F, log. g — (hg. a — hg. sin. A) -j- log", sin. G. Wy' hebben dus slechts log a — hg. sin. A uit te rekenen en daarbh' resp. hg. sin. F en hg. sin. G op te tellen om hg. f en log. g te vinden; log. a — hg. sin. A = 2,50619 is neergeschreven onder de lijn, die zich onder de drie log. sinus van den driehoek bevindt, deze waarde bij den 2dën en 3den log. sinas opgeteld geeft: _ hg. f = 2,42746, log. g = 2,44976. verg. (10) blz. 170. Uit deze vergelijkingen kunnen X, en X2 worden berekend.. De con-elatenvergelijkingen, zie (171) blz. 465 , geven nu voor de correcties der zijden: . Xi = Zi sin «j Xi -f-1\ cos «1K2, 1 x2 — l2 sin