H. A. LORENTZ COLLECTED PAPERS VOLUME I THE HAGUE MARTINUS NIJHOFF 1935 9 , H. A. LORENTZ COLLECTED PAPERS I H. A. LORENTZ COLLECTED PAPERS VOLUME I WITH A PORTRAIT THE HAGUE MARTINUS NIJHOFF 1935 Copvright 1035 by Martinus Nijhoff, The Hague, Holland AU rights reserved, including the right to translate or to reproduce this book or paris thereof in any forrn printed in the Netherlands CONTENTS Preface vu Over de theorie der terugkaatsing en breking van het licht. (Academisch proefschrift, Leiden, 1875) Inleiding 1 Hoofdstuk I: De theorie van Fresnel 4 „ II: De bewegingsvergelijkingen der electriciteit 30 „ III: De theorie van Maxwell 75 IV: De terugkaatsing en breking van het licht door kristallen 101 „ V: De totale reflectie 133 „ VI: De optische eigenschappen der metalen . . 164 Sur la théorie de la réflexion et de la réfraction de la lumière. (Traduction de la thèse, Leiden, 1875) Introduction 193 Chapitre I: La théorie de Fresnel 195 „ II: Les équations du mouvement de 1'électricité 221 „ III: La théorie de Maxwell 266 „ IV: Réflexion et réfraction de la lumière par les cristaux 292 „ V: La réflexion totale 324 „ VI: Les propriétés optiques des métaux .... 355 PREFACE The present volume of the Collected Papers of the late Professor H. A. Lorentz contains his thesis for the Doctorale at the University of Leiden in 1875. Although being his first contribution to science, it proves to be a masterpiece, showing the lypical qualities of the author's genius: a careful scrutiny, a scrupulous exactitude and a clear imagination. Inspired by a single remark of Helmholtz, Lorentz starled to prove the deficiency of the existing theories of the reflection and refraction of light and gave a detailed explanation of the facts on the basis of Maxwell's theory of electricity and magnetism. In his fundamenlal equations, though, he still follows Helmholtz, but the difference is not essential for the electromagnetic theory of light. The problems alluded to in the young doctor's concluding remarks have been the aim and object of his researches during a considerable part of hislifetime, aswill appear in the succeeding volumes. We believe that we were justified, in honour of the country of Lorentz's birth, to reprint tliis thesis not only in a French translation, but also in the tongue in which it has been written. November 1935. P. ZEEMAN. A. D. FOKKER. PREFACE The present volume of the Collected Papers of the late Professor H. A. Lorentz contains his thesis for the Doctorate at the University of Leiden in i8j$. Although being his first contribution to science, it proves to be a masterpiece, showing the typical qualities of the author's genius: a careful scrutiny, a scrupulous exactitude and a clear imagination. Inspired by a single remark of Helmholtz, Lorentz started to prove the deficiency of the existing theones of the reflection and refraction of light and gave a detailed explanation of the facts on the basis of Maxwell's theory of electricity and magnetism. In his fundamental equations, though, he siill follows Helmholtz, but the difference is not essential for the electromagnetic theory of light. The problems alluded to in the young doctor's concluding remarks have been the aim and object of his researches during a considerable part of his lifetime, as will appear in the succeeding volumes. We believe that we were justified, in honour of the country of Lorentz's birth, to reprint this thesis not only in a French translation, but also in the tongue in which it has been written. November 1935. P. ZEEMAN. A. D. FOKKER. ERRATUM on page 352, read: log s = 9,52214 OVER DE THEORIE DER TERUGKAATSING EN BREKING VAN HET LICHT *) inleiding Bij een theoretisch onderzoek omtrent de bewegingsverschijnselen der electriciteit kwam Maxwell 2) tot het merkwaardige resultaat, dat er een groote overeenkomst valt op te merken tusschen sommige electrische bewegingen en de aethertrillingen, die men aanneemt, om de lichtverschijnselen te verklaren. Hij vond namelijk, dat er in een diëlectrisch lichaam trillende bewegingen der electriciteit kunnen plaats hebben, die zich op dezelfde wijze en met dezelfde snelheid voortplanten als de lichttrillingen. De overeenstemming is zoo groot, dat zij Maxwell aanleiding gaf tot de onderstelling, dat in werkelijkheid het licht zou bestaan uit dergelijke electrische trillingen, een hypothese, die hij voor enkele gevallen aan de ervaring toetste en daardoor tot op zekere hoogte bevestigd vond. Onafhankelijk van Maxwell en langs anderen weg is ook Lorenz 3) tot dergelijke resultaten gekomen. Later heeft Helmholtz 4) bij de opstelling van de bewegingsvergelijkingen der electriciteit de meest algemeene uitdrukking, die men voor de induceerende werking van stroomelementen mag aannemen, ten grondslag gelegd, terwijl door Maxwell en Lorenz bijzondere onderstellingen omtrent die werking waren gemaakt. Helmholtz vond nu, dat ook bij die meer algemeene behandeling van het onderwerp het door Maxwell verkregen resultaat in hoofdzaak blijft bestaan. Tevens maakte hij opmerkzaam op een omstandigheid, *) Academisch Proefschrift, Leiden, 1875. *) Electricity and Magnetism, II, p. 383. Phil. Trans. 156, 459, 1865. ») Pogg. Ann. 81, 243, 1867. *) Crelle's Journal 72, 57, 1870. Lorentz I I die door Maxwell niet is besproken. Hij zegt nl. x) van de door dezen gevonden overeenkomst: „Diese Analogie ist noch in einer andern sehr wichtigen Beziehung vorhanden, welche Herr Maxwell nicht berührt hat. Man hat den mechanischen Zustand des Lichtathers in durchsichtigen Medien bisher dem der festen elastischen Körper gleich gesetzt. Diese Annahme ergiebt aber für die Grenze zweier durchsichtiger Medien andere Grenzbedingungen, als man braucht, um die Refraction und Reflexion des Lichts an dieser Grenze zu erklaren, so dass hier in der theoretischen Optik ein ungelöster Widerspruch bestanden hat. Die Theorie der electrischen Oscillationen ergiebt aber nicht bloss im Innern eines gleichartigen ïsolirenden Medium, sondern auch an der Grenze von zwei solchen Medien, dieselben Gesetze der Fortpflanzung, der Refraction und Reflexion der Wellen, wie wir sie beim Lichte thatsachlich finden, vorausgesetzt dass man ent weder die magnetische oder die di-electrische Polarisationsfahigkeit beider Medien gleich und letztere sehr gross setzt. Von der bezeichneten Alternative hangt es ab, ob die electrischen oder magnetischen Oscillationen eines polarisirten Strahls in der Polarisationsebene geschehen." Het was deze opmerking van Helmholtz, die mij aanleiding gaf, te onderzoeken, in hoeverre de verschijnselen der terugkaatsing en breking van het licht aanleiding geven, om de theorie van Maxwell boven de tot nu toe aangenomen undulatietheorie te verkiezen. Ik heb daartoe in het eerste hoofdstuk de moeilijkheden besproken, die de laatstgenoemde in dit opzicht levert. Na vervolgens in het tweede hoofdstuk de bewegingsvergelijkingen der electriciteit te hebben opgesteld, heb ik in de vier laatste hoofdstukken de hypothese van Maxwell, of de electromagnetische theorie van het licht, beschouwd. Daarbij zijn achtereenvolgens de terugkaatsing en breking van het licht door niet-geleidende, isotrope stoffen, de optische eigenschappen der kristallen, de theorie der totale reflectie en eindelijk *) loc. cit.y p. 68. de terugkaatsing van het licht door metalen ter sprake gekomen. Zooals uit de boven aangehaalde woorden van Helmholtz blijkt, is een deel der resultaten, die ik verkregen heb, reeds vroeger door hem afgeleid. Het is mij echter niet bekend, dat hij meer dan het geciteerde over dit onderwerp heeft geschreven. EERSTE HOOFDSTUK de theorie van fresnel § 1. De tot nog toe aangenomen undulatietheorie — die ik in t vervolg kortheidshalve de theorie van Fresnel zal noemen — rust, gelijk men weet, op de onderstelling, dat het licht bestaat uit trillingen van een veerkrachtige middenstof, den lichtaether, waar aan men, ten einde het bestaan van transversale trillingen te kunnen verklaren, soortgelijke eigenschappen moet toekennen als bij vaste lichamen worden aangenomen. Mocht nu al deze constitutie van den aether aan eenige bedenkingen onderhevig zijn, aan den anderen kant kon men op zoo vele overwinningen wijzen, door de theorie van Fresnel op hare vroegere mededingster behaald, dat men zich geneigd gevoelde, haar boven allen twijfel verheven te achten. Toch geloof ik, dat men wel doet, toe te zien, in hoe verre haar die lofspraak toekomt en in hoe verre zij nog steunt op min waarschijnlijke onderstellingen. Onder de verschijnselen, waaraan de undulatietheorie vooral hare overwinning heeft te danken, komt in de eerste plaats in aanmerking de interferentie van het licht, in de tweede plaats het bestaan van gepolariseerde lichtstralen. Uit de interferentieverschijnselen laat zich met de hoogste waarschijnlijkheid afleiden, dat het licht bestaat in een golvende voortplanting van trillingen, en het gepolariseerde licht bewijst ons vervolgens, dat die trillingen transversaal zijn. Dit is het hoofdbeginsel der theorie en de vaststelling daarvan wordt terecht als een der schoonste resultaten der wetenschap aangemerkt. Maar men vergete niet, dat wij aldus alleen het karakter der lichtbeweging hebben leeren kennen, zonder iets te weten omtrent de stof, die in dezen bewegingstoestand verkeert. Daar de ondervinding geleerd had, dat in veerkrachtige vaste lichamen dergelijke bewegingen kunnen plaats hebben, lag het zeker voor de hand, in het licht trillingen eener veerkrachtige stof te zien. Toch blijft dit een onderstelling en, vooral omdat zich daarnaast andere hypothesen laten opstellen, moeten andere dan de bovengenoemde verschijnselen omtrent hare geldigheid uitspraak doen. Bijzonder geschikt zijn hiervoor de terugkaatsing en breking van 't licht. Wel kan de theorie ongedwongen een verklaring geven van de wetten, die de richting der teruggekaatste en gebroken stralen bepalen; minder volkomen is echter de berekening van de intensiteit dier stralen. De afleiding der bedoelde wetten steunt dan ook alleen op het hoofdbeginsel der theorie, niet op de bijzondere onderstelling, dat het licht in trillingen van een veerkrachtig medium bestaat. Bij de berekening der intensiteit daarentegen moet wel degelijk die onderstelling ten grondslag worden gelegd, daar men anders onmogelijk de noodige voorwaarden voor de grens van twee middenstoffen kan verkrijgen. Een kort overzicht van de pogingen, die men heeft aangewend, om uit de theorie van Fresnel de omstandigheden, die zich bij de terugkaatsing voordoen, af te leiden, zal ons de leemten doen kennen, die er op dit gebied bestaan. Wij zullen ons daarbij steeds tot homogene, doorschijnende lichamen bepalen. § 2. Bij de eerste theorieën omtrent de reflectie ging men uit van de meening, dat in doorschijnende lichamen alleen de aether een rol speelde bij de lichtverschijnselen, terwijl de daartusschen liggende moleculen van de gewone stof werkeloos zouden blijven. Volgens deze beschouwingswijze waren dus de aethertrillingen onmiddellijk te vergelijken met de trillingen van een elastisch vast lichaam, waarop geen uitwendige krachten worden uitgeoefend. Om na te gaan, welke voorwaarden aan het grensvlak van twee middenstoffen moeten gelden, stellen wij ons een dergelijk veerkrachtig lichaam voor, waarvan de constitutie overal doorloopend is, behalve aan eenig oppervlak, waar zij plotseling een sprong maakt. Dit oppervlak kan men dan beschouwen als het grensvlak van twee verschillende, maar met elkander verbonden stoffen; gemakshalve nemen wij aan, dat het plat is en tot yz-vlak van een rechthoekig coördinatenstelsel wordt genomen. Verdeelen wij dan het lichaam door vlakken, loodrecht op de assen, in elementen, die de gedaante van een rechthoekig parallelepipedum hebben, dan is het gemakkelijk, de bewegingsvergelijkingen voor eenig element op te sporen. Wij sluiten daarbij voorloopig die elementen uit, die ge- deelt elij kin het eene, gedeeltelij kin het andere medium zijn gelegen. Hebben de deeltjes van het lichaam op den tijd t zekere verplaatsingen, waarvan wij de componenten l, rh £ zullen noemen, terwijl de coördinaten door x, y, z worden voorgesteld, dan treden, ten gevolge van de relatieve plaatsverandering der deeltjes, de elastische krachten op. Dien ten gevolge werken er op de zijvlakken van een element zekere drukkingen en deze moeten, met de uitwendige krachten, die op het element werken, een resultante opleveren, gelijk aan zijne massa, vermenigvuldigd met de versnelling. Ligt nu het element dxdydz met een der hoekpunten in het punt P (x, y, z) en met het daartegenover staande in het punt (x + dx, y + dy, z + dz), dan schrijven wij voor de componenten der drukking, die op het door P gaande zijvlak dy dz wordt uitgeoefend, Xx dydz, Yx dydz, Zxdydz, zoodat de letters X, Y, Z de richting der componenten aangeven, de kleine index daarentegen de normaal van het zijvlak, waarop de drukking werkt. Schrijft men evenzoo voor de drukking, op het tegenoverstaande zijvlak uitgeoefend, — X'x dydz, — Y'x dydz, — Z'x dydz, dan leveren deze beide drukkingen als resultante op — {X'x — Xx) dydz, — (Y'x — Yx) dydz, — {Z'x — Zx) dydz. Evenzoo kan men met de drukkingen op de overige zijvlakken te werk gaan en vervolgens de componenten opstellen der geheele kracht, die op het element werkt. Zal men nu met geene andere dan eindige bewegingen te doen hebben, dan moet deze kracht oneindig klein zijn en van dezelfde orde als de massa van het element, dus van de orde dxdydz. Dan blijkt het dus, dat X' X , Y' Yx, Z'x — Zx oneindig kleinen van de orde dx moeten zijn; m.a.w. Xx, Yx, Zx moeten doorloopend en overal eindig zijn. Dit geldt voor elk medium en wel, daar wij ook elementen kunnen beschouwen, waarvan één zijvlak in het grensvlak ligt, tot aan dat grensvlak; ook daar moeten dus de componenten der drukkingen eindige waarden hebben. Onderstelt men nu, dat de verplaatsingen der deeltjes zeer klein zijn ten opzichte van hun onderlingen afstand, dan kan men bewijzen, dat de componenten der drukkingen lineaire en homogene functiën zijn van de eerste differentiaalquotienten van tj, £ naar de coördinaten. Zullen daarbij de drukkingen overal eindige waarden hebben, dan moeten die differentiaalquotienten eindig, 5, 7), £ doorloopend zijn. Aangezien nu die voorwaarde ook aan het grensvlak moet vervuld zijn, moeten ook daar de verplaatsingen r\, £ doorloopend zijn. Maar, nu dit eens bewezen is, bestaat er geenerlei bezwaar meer, de boven gegeven beschouwing ook toe te passen op een element, dat gedeeltelijk in 't eene, gedeeltelijk in 't andere medium ligt. Daar de drukkingen op de tegenover elkander staande zijvlakken dy dz dan weer oneindig weinig moeten verschillen, besluiten we dat, bij den overgang van het eene tot het andere medium, ook Xx, Yx, Zx doorloopend moeten zijn. Onderscheiden wij derhalve de grootheden, die op de twee middenstoffen betrekking hebben, door de indices 1 en 2, dan gelden aan het grensvlak de zes voorwaarden = %2> = y)2> £l — ^2» (1) Wi = (*s)s. (Y*)i = (Yx)2, (Zx)x = (Zx)a (2) § 3. Schrijven wij thans X'x — Xx = ?^dx x x dx enz., dan kunnen wij voor de componenten der totale, op het element dxdydz werkende kracht tamelijk eenvoudige uitdrukkingen vinden. Door deze vervolgens gelijk te stellen aan de massa van het element, vermenigvuldigd met de versnellingen 0*/) ~di~dP ' ~dï* ' verkrijgen we de volgende bewegingsvergelijkingen • C 5.ï... waarin p de dichtheid voorstelt, terwijl X dxdydz, Y dxdydz, Z dxdydz de componenten zijn van de uitwendige kracht, op het element dxdydz werkende. Is elk der twee middenstoffen homogeen en isotroop, dan heeft men voor de componenten der drukkingen de volgende waarden *.--2K(i + 6P)' r«--2K(|+ep)' *.—*{% + ")■ (4, Hierbij is P = êx dy dz gesteld, terwijl K en 0 constanten zijn, die van den aard van het medium afhangen. Dit zijn de coëfficiënten der elasticiteit. Door deze waarden in (3) over te brengen en 32 02 S2 ^ dx2 dy2 dz2 te stellen, vindt men, voor het geval dat er geen uitwendige krachten werken, de bewegingsvergelijkingen in den volgenden zeer eenvoudigen vorm SP 9^ = KAl + K( 1+26,-. d\ dP P~W=KAy] + K{l+2Q)-ty- p-5 =**?+*<■+26)-f. (5) Men kan hieruit vervolgens afleiden, dat zich in het lichaam transversale en longitudinale trillingen kunnen voortplanten, en dat de voortplantingssnelheden v en V daarvan gegeven worden door Zijn dus K, 0 en p de constanten, die betrekking hebben op den aether, in een doorschijnend lichaam aanwezig, dan stelt de grootheid v, die door (6) gegeven is, de voortplantingssnelheid van het licht voor. § 4. Wij zijn nu in staat, het vraagstuk der terugkaatsing en breking van het licht te behandelen. Daarbij stellen wij eens en voor al vast, dat het eerste medium, waarin wij den invallenden lichtbundel hebben, zich aan de negatieve zijde van het yz-vlak bevindt en dat de grootheden, die op de twee middenstoffen betrekking hebben, door de indices 1 en 2 worden onderscheiden. Verder zullen wij steeds aannemen, dat de invallende, en dus ook de teruggekaatste en gebroken lichtbundel tot golffront een plat vlak heeft, dat loodrecht op het xz-vlak staat, zoodat dit laatste het invalsvlak is. Wij stellen eindelijk de amplitudo van het invallende licht gelijk aan 1 en zoeken door middel van de grensvoorwaarden, die wij boven opstelden, de amplitudines der teruggekaatste en gebroken trillingen. Zooals men weet, is het voldoende, dit onderzoek te doen voor de twee gevallen, dat de trillingen overal loodrecht op, of overal in het invalsvlak geschieden. Wij zullen ons voorloopig tot het eerste geval bepalen. Alsdan zijn van de verplaatsingen E, = £ = 0, terwijl vj alleen van x en z, niet van y afhangt. Daaruit kan men afleiden, dat aan alle grensvoorwaarden van zelve voldaan is, behalve aan K K v2=—, V2 = 2(1 +0)—. (6) P P t)i = Th en (Yx)l = (YJ,. Uit de omstandigheid, dat aan deze voorwaarden op elk oogenblik en aan elk punt van het grensvlak voldaan moet zijn, kan men tot de wetten der terugkaatsing en breking besluiten; tevens volgt daaruit, dat in het grensvlak de phase der drie lichtbundels dezelfde moet zijn. Nemen wij kortheidshalve die omstandigheden aan, dan kunnen wij voor het invallende licht schrijven 2tt , x z . = cos —- (t cos a.y sin ax + p), T vx vx waarbij T de oscillatietij d, ax de invalshoek is. Evenzoo wordt het teruggekaatste licht voorgesteld door 2n , x z . •q* = ax cos — (f H cos sm ocj + p) 1 Vj Vj en eindelijk, als a2 de hoek van breking is, het gebroken licht door 2tt , x z . . yj2 = at cos — (t — — cos a2— — sm a2 + p). 1 » 2 * 2 Volgens de wet der breking is hierbij sin ax vx sin a2 v2 Neemt men in aanmerking, dat de geheele beweging in het eerste medium gegeven wordt door = Vi + Vi > dan vindt men gemakkelijk uit de twee grensvoorwaarden 7)i = 7)2 en (Ya:)l = (^1)2 de beide vergelijkingen 1 -f- #1 — #2 en K, (1 ai) COS K1 = ^2 C0S 1X2 * Vj V2 Hieruit kunnen de onbekende amplitudines worden berekend en men vindt aldus voor het teruggekaatste licht Kx K2 — cos a, cos a» Vi v2 2 * = X Kl cos ax -| cos a2 § 5. Daar bij gepolariseerd licht de trillingen of loodrecht op, of in het polarisatievlakx) plaats hebben, is het invallende licht, zooals wij dit boven hebben aangenomen, of in het invalsvlak, of loodrecht daarop gepolariseerd. Voor deze beide gevallen volgt echter uit de ervaring voor de amplitudo van het teruggekaatste licht sin (a, — a,) *i=± ■ , (8) sm (ax + a2) en tg (<*i — a2) «i = ± * 1 , 2 , (9) tg («i + «2) welke waarden stellig op zeer weinig na de juiste zijn. De formule (7) zal dus volkomen of bijna met een dezer uitdrukkingen moeten overeenstemmen, zal zij niet met de waarnemingen in strijd zijn. In haar algemeenen vorm vertoont zij echter die overeenstemming volstrekt niet en wij zien ons dus reeds hier genoodzaakt, nieuwe onderstellingen in te voeren. Twee hypothesen laten zich nu opstellen, waarvan de eene (7) tot den vorm (8), de andere tot (9) terug brengt. Wil men namelijk (7) tot (8) terug brengen, dan moet K, Ka cos 04 cos a2 vi v^ ^ sin(a! — a2) _ v^osag— v-jCoskj Kl rnS „ J. K* „ Sin ("» + a«) V1 COS a* + V* COS Ot J —| LUb 0C2 *) Hier verstaat men onder polarisatievlak het invalsvlak van een gepolariseerde lichstraal, als deze zoodanig gereflecteerd wordt, dat de intensiteit van de gereflecteerde straal maximaal is (noot van den bewerker). zijn. Gold hier 't bovenste teeken, dan zou men moeten hebben K, K2 — cos a, : — COS oc2 = vx cos a2 : v2 cos ax, vx V2 wat niet voor eiken invalshoek mogelij kis, daar K en v constant zijn. Neemt men daarentegen het onderste teeken, dan moet Ki K2 —= cos a, : — cos a2 = v2 cos ax : v,. cos a2 vj v2 zijn, en hieraan is voor eiken invalshoek voldaan, als men K± = K2 stelt. Alleen dus door de onderstelling te maken, dat de elasticiteit in de twee middenstoffen dezelfde is, en haar verschil alleen in een verschillende dichtheid te zoeken, kan men (7) tot (8) herleiden. Dit is de hypothese van Fresnel en men moet daarbij aannemen, dat bij gepolariseerd licht de trillingsrichting loodrecht op het polarisatievlak staat. Wil men daarentegen (7) tot (9) reduceeren, dan moet men stellen -icosa, — ^-cosa2^ tgfa—«,) , vtcosax-v2cos a2 K, K~2 ±tg(«1 + a2) Vj cos aj + v2 cos a2 cos oci cos oc2 vl v2 Hier zou de keus van het onderste teeken tot een betrekking voeren, die niet voor alle waarden van a.1 kan gelden. Wij nemen dus het bovenste teeken; dan volgt uit onze vergelijking K, K2 cos ai cos a2 = Vj_ cos ax v2 cos a2, Vj v2 en hieraan is steeds voldaan, als men heeft Xi= y\ \\ ' of, daar vx = -K^j/pi en v| = K2lp2 , Pi == Pi' Men moet derhalve de dichtheden gelijk stellen, om (7) tot (9) te transformeeren. Deze onderstelling is van Neumann afkomstig en daarbij ligt de trillingsrichting in het polarisatievlak. Het blijkt tevens, dat alleen bij een van deze bijzondere onderstellingen de formule (7) met de ervaring strookt en dat het niet mogelijk is, een verklaring der terugkaatsing van het licht te geven, wanneer aan de beide middenstoffen zoowel een verschillende dichtheid, als een verschillende elasticiteit wordt toegeschreven. Van de beide hier besproken onderstellingen moet echter die van Fresnel worden verworpen, daar zij lijnrecht in strijd is met het gedrag der kristallen. Want om dit te verklaren is het noodig aan te nemen, dat in kristallen de elasticiteit voor verschillende richtingen aanmerkelijk verschillend is, en hoe zal men dit rijmen met de omstandigheid, dat bij alle isotrope lichamen de elasticiteit van den aether geheel of bijna de zelfde waarde heeft ? Wat de theorie van Neumann betreft, voor haar bestaat een dergelijk bezwaar niet. Wel schijnt de hypothese zelve eenigszins vreemd, daar men zich toch moeilijk in twee isotrope middenstoffen een verschillende elasticiteit des aethers kan voorstellen, verbonden met absoluut gelijke dichtheid, maar men kan de zaak zoo opvatten, dat de verschillen in dichtheid slechts zeer klein behoeven te zijn, om een aanmerkelijk verschil in elasticiteit ten gevolge te hebben. Bij een eerste benadering zou men dan die kleine verschillen in dichtheid kunnen verwaarloozen op een dergelijke wijze, als men bij vloeistoffen de samendrukbaarheid ter zijde mag stellen. § 6. Nu wij aldus gezien hebben, dat er, wanneer men den aether geheel gelijk stelt met een elastisch vast lichaam, waarop geene uitwendige krachten werken, zeer bijzondere onderstellingen noodig zijn om tot een juiste theorie te geraken, behoeft het ons niet te verwonderen, dat men getracht heeft, zich de hchtverschijnselen op eenigszins andere wijze voor te stellen. Inderdaad is de aether in het algemeen niet vrij, maar liggen tusschen de aetherdeeltjes de moleculen der gewone stof verspreid en het ligt voor de hand, ook aan deze bij de lichtverschijnselen een rol toe te kennen. Het is vooral Cauchy x) geweest, die, bij •) Mémoires de 1'Académie des Sciences. 22, 599, 1850. zijne beschouwingen omtrent de theorie van het licht, de onderlinge werking van dit dubbel stelsel moleculen ten grondslag heeft gelegd. Trachten wij na te gaan, welken invloed deze onderstelling op de lichtbeweging in het algemeen en op de terugkaatsing in het bijzonder moet hebben. Daarbij zullen we, wat bij een eerste benadering geoorloofd is, afzien van de omstandigheid, dat men den aether in een lichaam nu, strikt genomen, niet meer als homogeen mag beschouwen. Door het behouden der homogeneïteit zullen wij geen merkbare fouten begaan, zoo lang op elke molecule een groot aantal andere werken en zoo lang de onderlinge afstand der op elkaar werkende deeltjes zeer klein is, ten opzichte van de golflengte. Voor de elastische krachten tusschen de aetherdeeltjes onderling geldt dan nog alles, wat wij in §§ 2 en 3 gezegd hebben. Maar wij moeten daar nu bijvoegen de krachten, die door de moleculen van het tweede stelsel worden uitgeoefend. Om hiervoor een uitdrukking te vinden zij m'k één dezer moleculen, werkende op het aetherdeeltje m; wij denken ons daarbij de verschillende moleculen m', die in de nabijheid van m liggen, door de indices k onderscheiden. Laat, in den evenwichtsstand, x, y, z de coördinaten van m, xk,yk,zk die van m'k, eindelijk rk hun onderlinge afstand zijn. Stellen wij xk — x = s.k, yk — y = y*, zk — * = z*. dan is derhalve r\ = A + yI + 4 Noemen wij verder, even als vroeger, de verplaatsingen der aetherdeeltjes rj, £, daarentegen die van de tusschenliggende moleculen l', , XJ, dan zijn, ten gevolge van die verplaatsingen, x*, yk, zk toegenomen met %k — 5' 1 —75' £'k~ S Daardoor hebben ook de componenten van de kracht, door m'k op m uitgeoefend, zekere aangroeiingen ondergaan. Ten einde de geheele kracht te vinden, op m werkende, is het voldoende, alleen die aangroeiingen te nemen en over al de werkende moleculen van het tweede stelsel te sommeeren, daar er toch, wanneer de verplaatsingen nul zijn, evenwicht bestaat. Zij nu r* F{rk) de kracht, waarmede m door m'k wordt aangetrokken, dus de componenten daarvan *kF(rk), y kF{rk), z kF(rk), dan is de aangroeiing der eerste X" = {xkF(rk)}(Z'k—Z) + (xfc F(rk)} (ji'k 7]) + + ^{x^K)} waarbij ondersteld is, dat de verplaatsingen der deeltjes zeer klein zijn ten opzichte van hun onderlingen afstand. Door vervolgens naar k te sommeeren verkrijgt men voor de totale kracht, door de deeltjes van het tweede stelsel, in de richting der x-as, op m uitgeoefend, i = S4 Eenvoudiger uitdrukkingen verkrijgt men door in aanmerking te nemen, dat voor alle werkende moleculen xk, ykl zk zeer klein zijn. Beschouwt men nl. l'k, r'k, Z,'k als functiën der coördinaten en verstaat men onder l', tq', de waarden, die zij hebben in het punt x, y, z, dan geeft ons de reeks van Taylor rf , c, , , dl' , dl' dl' 5 dxXk+ dyYk + ~dTZk + 1 (VI' 2 , d%' 8*1' d*i' 2 \"a^ x*+ ly y* + ~wZk + 2 ~tyteykZ*+ , - 3*5' 8'5' \ lSaïz*x* + 2 aï1i^,I'y7' wanneer wij de hoogere machten van xk, yk, zk verwaarloozen. Evenzoo kan men waarden voor yfk— rt, ^ — £ opstellen. Brengt men deze vervolgens in de uitdrukking voor Xk over, dan vallen bij het sommeeren, ten gevolge van de homogeneïteit, de eerste differentiaalquotienten van r\', K' weg. Waren nu al de moleculen aan elkander gelijk, zoodat zij slechts één stelsel uitmaakten, dan zou ook % = l zijn en zouden bij het sommeeren alleen termen overblijven, die de tweede differentiaalquotienten van l', 7)', C bevatten. Het is echter het natuurlijkst, in ons geval aan te nemen, dat de aetheratomen veel kleinere massa hebben dan de daartusschen liggende deeltjes en dat dien ten gevolge 5', 7j', klein zijn ten opzichte van rt, C Het gevolg daarvan is, dat men juist die termen met de tweede differentiaalquotienten mag verwaarloozen, zoolang de uitdrukkingen als *flx. 0** * zeer klein zijn ten opzichte van en dus ook ten opzichte van Dat is echter bij een voortplanting van trillingen het geval, mits de afstand, waarop twee moleculen op elkander werken, zeer klein is, vergeleken met de golflengte. Dit aannemende en dus de termen met de tweede differentiaalquotienten weg latende, verkrijgen wij ten slotte {**F(rj} + (V->i)S-^--{xfc F(rk)} + 0 + (C —QS —(x,FK)}, of, als wij de differentiatie uitvoeren en in aanmerking nemen, dat ons medium homogeen en isotroop is, X = !{FW+X!^}(Ï'-Ï). Zijn er, in het element dx dy dz, p dx dy dz aetherdeeltjes aanwezig en is de kracht, door het tweede stel moleculen op dit element uitgeoefend, X dxdydz, Y dxdydz, Z dxdydz, dan is x = 1z {fW + A S'—ö = MZ — 5) en evenzoo Y = A(t]' — •*)), Z = A(Ï' — Q, waarbij A een constante is, die van den aard van het lichaam afhangt. De bewegingsvergelijkingen van den aether worden eindelijk, daar de laatste krachten als uitwendige zijn te beschouwen, p ^~A(l'-l) = KM + K(l+ 20) ^ , — — = K ^ + K(l + , (10) dP p ~-A^'-X,) = KM, + K{\+ 26) — . Op dezelfde wijze kan men de bewegingsvergelijkingen van het tweede stelsel moleculen verkrijgen. Men vindt daarvoor dl' dP' P'-^T—A(l-l') = K'M' + K'(\+2Q')— , d\' dP' 9 Ah—y\') = K'+ K'{\+2Ü')— , (11) d*Z' dP' p' ~~A{l~l') = K'+ K'{\+2^')— . Hierbij hebben p', K', 0' betrekking op deze deeltjes, op zich zelve beschouwd, terwijl uit de gelijkheid der werking en terugwerking tusschen de twee stelsels volgt, dat A in (10) en (11) dezelfde waarde moet hebben. De aldus verkregen vergelijkingen zijn voldoende, om de 6 grootheden y), £, 7]', als functiën van x, y, z en t te bepalen. Men kan er uit afleiden, dat alle moleculen gemeenschappelijk aan een voortplanting van trillingen kunnen deelnemen, en dat de voortplantingssnelheden van transversale en longitudinale trillingen gegeven worden door de vergelijkingen Lorentz I 2 -<■(& » Het meest voor de hand ligt de onderstelling, die ook Cauchy zeer waarschijnlijk acht, dat de massa der moleculen van het tweede stelsel die der aetherdeeltjes zoo zeer overtreft, dat men de beweging der eerste mag verwaarloozen en ze dus als vaste aantrekkingsmiddelpunten beschouwen. Dan kan men in (10) £' = 7)' = = 0 stellen en zijn deze vergelijkingen ter bepaling van 7), z voldoende. Men vindt dan voor de voortplantingssnelheden v2 = . (14) p-A(T/2-k:)» _2^(1±_6)_ P-4(W § 7. Om na te gaan, wat er bij de beschouwingswijze, die wij nu hebben leeren kennen, van de verklaring der terugkaatsing wordt, dienen wij vooreerst de voorwaarden te kennen, waaraan voldaan moet zijn aan de grens van twee middenstoffen, die beide in het algemeen aether en een tweede stel moleculen kunnen bevatten. Cauchy j) zegt hieromtrent het volgende: „Pour trouver les conditions auxquelles devront satisfaire, sur la surface de séparation des deux corps, les trois déplacements d'une molécule d'éther, mesurés parallèlement aux axes coordonnés, il suffira de considérer les molécules d'éther comprises dans les deux corps comme formant un système unique de molécules, et d'admettre que, dans le mouvement de ce système, les déplacements moléculaires, et leurs dérivées prises par rapport a 1'abscisse x, ou du moinscelles de ces dérivées que ne déterminent pas les équations différentielles des mouvements infiniment petits, varient par degrés insensibles avec cette même abscisse." Dat men, zooals Cauchy zegt, den aether in de beide midden- x) Mémoires de 1'académie des Sciences. 22, 17, 1850. stoffen als één geheel kan beschouwen, is zeker in zoo verre waar, dat men zich aan de grens den aether der twee media als vast verbonden moet voorstellen, maar dit neemt niet weg, dat daar zijne eigenschappen een sprong kunnen maken. Dan heeft men echter geen recht tot de bewering, dat alle grootheden, die de beweging bepalen, aan de bedoelde grens doorloopend zullen zijn; ja, men zal zelfs niet al die grootheden doorloopend mogen stellen, zonder voorwaarden te krijgen, die met elkander in strijd zijn. Cauchy eischt dan ook niet de doorloopendheid van die differentiaalquotienten (nl. de tweede en hoogere), die door de differentiaalvergelijkingen bepaald worden. Het wordt echter niet recht duidelijk, waarom die differentiaalquotienten niet doorloopend behoeven te zijn, de eerste daarentegen wel. Deze omstandigheden maken het, dunkt me, niet overbodig, te onderzoeken, of men de grensvoorwaarden van Cauchy moet en of men ze mag aannemen. Wanneer men in het algemeen verschillende eigenschappen aan den aether der beide lichamen toekent en bovendien in beide ook de tusschenliggende moleculen aan de beweging laat deelnemen, is het opstellen der grensvergelijkingen geen gemakkelijke zaak. Want men heeft dan niet alleen met de voorwaarden voor den aether, maar bovendien met die voor de gewone stof te doen, en hoe zijn in dit opzicht de twee middenstoffen met elkander verbonden? Slechts dan wordt de zaak eenvoudiger, wanneer men de, reeds in de vorige § aangewezen, onderstelling maakt, dat de tusschenliggende moleculen in rust zijn; dan toch heeft men alleen voor den aether grensvoorwaarden op te stellen. Men kan dan verder de krachten, door de gewone stofdeeltjes uitgeoefend, als uitwendige krachten, op den aether werkende, beschouwen. Al werken echter dergelijke krachten, de voorwaarden (1) en (2) van § 2 blijven nog geldig, zooals uit de afleiding dier vergelijkingen blijkt. Voor de terugkaatsing van licht, waarvan de trillingen loodrecht op het invalsvlak plaats hebben, blijft derhalve het onderzoek van § 4 onveranderd bestaan, dus ook de vergelijking (7), waartoe het ons bracht. Ook hier hebben wij dus slechts na te gaan, hoe men (7) tot (8), of (9) zal reduceeren. Om (7) tot (9) terug te brengen is weer, even als in § 5, noodig, dat K±_K2 . hier wordt die voorwaarde, daar de voortplantingssnelheid door (14) gegeven is, p'-^dr) een zeer gekunstelde betrekking, tenzij Pl = p2 en A1 = A2 ware. Was echter A voor alle lichamen even groot, dan zou A = 0 moeten zijn en zou dus nergens een merkbare inwerking van de gewone stof op den aether mogen worden aangenomen. Dan waren wij teruggevoerd tot de eenvoudige hypothese van Neumann. Wil men daarentegen (7) tot (8) herleiden, dan is, blijkens § 5, slechts noodig, dat K, = K2 wordt gesteld. Voor den aether, op zich zeiven beschouwd, moet dus de elasticiteitscoëfficient K overal dezelfde waarde hebben. Omtrent de trillingsrichting heeft men zich daarbij aan de onderstelling van Fresnel te houden. Maar de aldus verkregen theorie is niet meer, zooals de oorspronkelijke beschouwingswijze van Fresnel, met de verschijnselen der dubbele breking in strijd. Immers, al moeten wij, consequent blijvende, nu ook in kristallen aan K voor alle richtingen dezelfde waarde toekennen, de constante A kan nu van de voortplantingsrichting afhankelijk zijn en dit zal steeds het geval moeten zijn, zoodra de verdeeling van de gewone stofdeeltjes niet meer isotroop is. Neemt men eens aan, dat K overal even groot is, dan dient men dit ook voor 6 te onderstellen. Alsdan gaan echter de grensvoorwaarden (1) en (2) over in de volgende. h = li, % = *)*> Si = ^2. (§H£M£H£):(£H£);I 061 zoodat wij dan juist de voorwaarden verkrijgen, die door Cauchy zijn gebezigd. Voor wij verder gaan moet ik nog op een bezwaar wijzen, waaraan de theorie der laatste §§ onderhevig is. Hetzij men de vergelijkingen (12) en (13), of (14) en (15) kieze, het blijkt, dat de voortplantingssnelheid niet meer onafhankelijk is van den trillingstijd. Dit zou een dispersie ten gevolge hebben, niet, zooals de werkelijk waargenomen kleurschifting, met het karakter van een bijkomende omstandigheid, maar een dispersie, die reeds bij een eerste benadering optreedt en dus al licht te groot zou worden. Bovendien kan het gebeuren, dat de door de formules aangewezen dispersie een omgekeerde is. Immers, wij kunnen alleen dan een eenigszins zekere theorie der terugkaatsing verkrijgen, wanneer wij de gewone stofdeeltjes in rust laten en dus voor de voortplantingssnelheid de uitdrukking (14) kiezen. Daar wij verder overal voor den aether, op zich zelve genomen, dezelfde elasticiteit moeten hebben, is 't het natuurlijkst, ook overal de dichtheid gelijk te stellen, zoodat twee middenstoffen alleen in de waarde van A van elkander kunnen verschillen. Daar nu de ondervinding leert, dat v in de luchtledige ruimte, dus voor A = 0, het grootst is, moet in alle andere lichamen A negatief worden genomen. Dan wordt echter v des te kleiner, naarmate T grooter wordt wat op een omgekeerde kleurschifting wijst. § 8. Stuit men reeds op bezwaren, wanneer men het eerste en eenvoudigste geval der terugkaatsing beschouwt, nieuwe moeilijkheden rijzen er op, wanneer men tot het geval overgaat, dat de trillingsrichting in het invalsvlak ligt. Daar alsdan alleen -q = 0, is slechts aan twee van de zes grensvoorwaarden van zelve voldaan, zoodat men vier vergelijkingen overhoudt. Gaat men nu met Fresnel en Neumann, van de onderstelling uit, dat er alleen een teruggekaatste en een gebroken lichtbundel met transversale trillingen ontstaat, dan heeft men in de amplitudines daarvan twee onbekenden en het blijkt dan, dat deze niet zoo kunnen bepaald worden, dat aan de vier vergelijkingen voldaan is. Daarom alleen reeds moeten de eenvoudige theorieën van Fresnel en Neumann worden verworpen; beiden begingen toch de fout, dat zij niet alle voorwaarden van het vraagstuk in rekening brachten. Cauchy zag het eerst de noodzakelijkheid in, de zaak anders op te vatten. Hij nam in aanmerking, dat er in dit geval, behalve de twee bovengenoemde lichtbundels, ook nog teruggekaatste en gebroken longitudinale trillingen ontstaan. De amplitudines daarvan zijn dan twee nieuwe onbekenden, zoodat het aantal der onbekenden aan dat der vergelijkingen gelijk is geworden. Wij zullen in korte trekken de oplossing aangeven, ons daarbij aan de theorie van Cauchy houdende en dus de voorwaarden (16) kiezende. Voor de invallende lichttrillingen schrijven wij daartoe £' = — sin a, cos <1/,,1 2n ( x z \ Sl 1 T1 > = —(t cos a, sma1 Ci = cos ax cos s) cot (aj — a2) — q K ' waarbij q = — tg (fa — p2) is. § 9. De ondervinding leert, dat bij alle doorschijnende stoffen, op zeer weinig na, de vergelijking (9) geldig is en derhalve a1 onafhankelijk is van de voortplantingssnelheden der longitudinale trillingen. Dit is alleen dan mogelijk, wanneer q zeer klein is en men zal derhalve omtrent de longitudinale trillingen zoodanige hypothesen dienen te maken, dat dit het geval wordt. Daar komt nog een andere omstandigheid bij. Men heeft nooit op eenige wijze het bestaan van een teruggekaatst en gebroken golfstelsel met longitudinale trillingen bemerkt, hetzij rechtstreeks, hetzij daardoor, dat een deel der intensiteit van het invallende licht niet in het teruggekaatste en gebroken licht is weer te vinden. Derhalve moet nog worden aangenomen, dat de longitudinale trillingen geen eigenlijken straal kunnen vormen. Dit is mogelijk, zoodra de waarden van [jj en p2, die door (17) worden opgeleverd, onbestaanbaar zijn. Men vindt dan, in plaats van de golfstelsels met longitudinale trillingen, een bewegingstoestand, waarbij de amplitudo, bij toenemenden afstand van het grensvlak, zeer snel afneemt. Tevens verkrijgt dan q een onbestaanbare waarde en men kan daaruit afleiden, dat het teruggekaatste licht een bepaalde phaseverandering ondergaan heeft. Steeds moet echter bij doorschijnende stoffen q zeer klein worden. Men heeft twee wegen gevolgd, om en (32 onbestaanbare waarden te doen aannemen. De eerste bestaat hierin, dat de voortplantingssnelheden der longitudinale trillingen ondersteld worden, zeer groot te zijn. Men vindt dan, door de tweede en hoogere machten van Vj/Vi en \\jV\ te verwaarloozen, na eenige herleiding . v2! - vi q ~ * \\ + VI' en zal hierbij q zeer klein worden, dan moeten ook Vi en V2 zeer weinig verschillen. Er is, voor zoover ik weet, nooit eenige grond voor aangegeven, aan de theorie ontleend, waarom dit zoo zijn moet. Integendeel, wanneer wij voor de voortplantingssnelheden de uitdrukkingen (14) en (15) nemen, die wij als de meest waarschijnlijke leerden kennen, dan is Vi_= V2_ vx v2' daar 0! = 62 gesteld is. Daaruit volgt echter, als n de brekingsindex is, . n2 — 1 welke waarde veel te groot is. Men kan dit bezwaar ontgaan door voor de voortplantingssnelheden niet (14) en (15), maar b.v. (12) en (13) te nemen. Dan wordt echter vooreerst, zooals wij in § 7 opmerkten, de geheele theorie der terugkaatsing twijfelachtig en men zal toch nog bijzondere bijonderstellingen moeten maken, om Vi en V2 bijna gelijk te doen zijn. In de tweede plaats heeft men aangenomen, dat zich in het algemeen longitudinale trillingen slechts kunnen voortplanten met voortdurend kleiner wordende amplitudo; ook dit voert tot dergelijke resultaten, als de vorige onderstelling. Men kan dat verschijnsel opvatten als een absorptie der longitudinale trillingen. Maar, hetzij die absorptie voortspruite uit een onvolkomen elasticiteit van den aether op zichzelven, of uit de medewerking van de moleculen der gewone stof, steeds blijft het een raadsel, hoe zij in alle lichamen bestaan zou, die voor transversale trillingen volkomen (of bijna) doorschijnend zijn. Men kan ook nog zonder absorptie tot een bewegingstoestand van den aether komen, zooals men dien hier noodig heeft, wanneer men aanneemt, dat de voor V2 uit de theorie afgeleide waarde negatief wordt. Daar dit ook in de luchtledige ruimte 't geval zou moeten zijn, waarvoor de vergelijkingen (6) gelden, zou dan 1 +0, dus ook 0 negatief moeten zijn. Stelt men de uitdrukking voor 0 op, afgeleid uit de beschouwing der moleculaire krachten van den aether, dan is het niet onmiddellijk in te zien, of 0 al of niet negatief mag genomen worden. Maar men kan aantoonen, dat bij een negatieve waarde van 1 0 het evenwicht van den aether labiel zou zijn, wat zeker niemand zou willen aannemen. Ik heb hier slechts in hoofdtrekken den weg aangegeven, dien men heeft ingeslagen, om de vergelijking (18) op zeer weinig na met (9) te doen overeenstemmen x). Ik zal de pogingen, die men heeft aangewend, om hiertoe te geraken, door een geleidelijken overgang van het eene medium tot het andere aan te nemen, geheel voorbijgaan. Want, gesteld al, dat men op eenige wijze hierin geslaagd was, en dus voor isotrope stoffen een voldoende theorie der terugkaatsing had gevestigd, dan kan men nog bewijzen, dat deze in strijd is met de waarnemingen, die men omtrent de terugkaatsing van het licht door kristallen verricht heeft. § 10. Het is niet noodig, hier in een uitvoerige beschouwing te treden van de lichtbeweging in kristallen. Genoeg zij het, in herinnering te brengen, hoe het bij éénassige kristallen met de trillingsrichting gesteld is, wanneer men aanneemt, dat bij gepolariseerd licht trillingsvlak en polarisatievlak loodrecht op elkaar staan. Dan ligt, zoowel bij een gewonen, als bij een buitengewonen lichtstraal, de trillingsrichting in het golffront; bovendien ligt zij bij den laatsten in het vlak, dat door de voortplantingsrichting en de optische as gebracht wordt, bij den gewonen straal daarentegen loodrecht op dat vlak. Laten wij licht terugkaatsen, door het platte grensvlak van een éénassig kristal en dat wel zoo, dat de optische as in het invalsvlak *) Voor een meer uitvoerige beschouwing van de in deze § besproken onderwerpen zie men Beer. Pogg. Ann. 91, 268, 279, 467, 561, 1854. 92, 402, 522, 1854. Eisenlohr. Pogg. Ann. 104, 337, 346, 1858. Lundquist. Pogg. Ann. 152, 177, 398, 565, 1874. v. Lang. Einleitung in die theor. Phys., p. 264. ligt. Nemen wij daarbij aan, dat de trillingen van het invallende licht in het invalsvlak geschieden, dan kan er geen gewone straal tot stand komen, wel de buitengewone straal, wiens trillingsrichting ook in het invalsvlak ligt. Bovendien zal ook hier een teruggekaatst en gebroken golfstelsel met longitudinale trillingen ontstaan en het is duidelijk, dat in ons geval voor het laatste de normaal op het golffront en de daarmee samenvallende trillingsrichting in het invalsvlak zullen liggen. Verder is het naar de beschouwing van § 7 duidelijk, dat men ook nu nog de vergelijkingen (16) alsgrensvoorwaarden moet kiezen, daar men toch, consequent blijvende, dient aan te nemen, dat in het kristal de elasticiteit van den aether op zich zeiven beschouwd voor alle richtingen gelijk is aan de waarde, die zij in eenig isotroop medium heeft. Trouwens, op welken grond men ook tot de bedoelde vergelijkingen moge besluiten, daar zij geen grootheden bevatten, die van den aard van het medium afhangen, ligt het voor de hand, ze ook op de terugkaatsing door kristallen toe te passen. Het is dan ook zeker de bedoeling van Cauchy geweest, dat zijne voorwaarden ook aan de grens van een isotroop medium en een kristal moeten gelden. Na dit vastgesteld te hebben, kunnen wij gemakkelijk de intensiteit van het teruggekaatste licht berekenen. Noemen wij a2 den hoek, dien de voortplantingsrichting (nl. de normaal op het golffront) van den buitengewonen lichtstraal met de normaal op het grensvlak maakt, en is (32 de overeenkomstige hoek voor de longitudinale trillingen in het kristal, dan gelden alle vergelijkingen van § 8 onveranderd en wordt dus de gesteldheid van het teruggekaatste licht nog door (18) gegeven. Maakt men nu bij isotrope stoffen zoodanige onderstellingen, dat q zeer klein wórdt en dus op weinig na de formule (9) geldt, dan dient men hetzelfde bij de terugkaatsing door een kristal te doen, zoodat ook daarvoor als eerste benadering de betrekking a _ tg (ai ~ ^ 1 tg (o^ + a2) moet gelden. Vraagt men naar den polarisatiehoek, den invalshoek dus, waarbij ax = 0 wordt, dan moet daarvoor ai + a2 = 90° zijn. Zij nu L de hoek, dien de optische as met de normaal op het grensvlak maakt, dan is de hoek tusschen de optische as en de normaal der gebroken golven L a2. Zijn co en e de hoofdbrekingsindices, dan is, volgens de wet der breking,*) sin2 a2 = sin8 a.1 1 + (-L-1) cos8 (L - a2) . Zal derhalve ax + a2 = 90° zijn, dan moet men hebben tgaa2 = l + (-^-^)cos*(£-a2). (19) Uit de constanten van het kristal en den hoek L kan men, door middel van deze vergelijking, a2 berekenen; het complement daarvan is dan de gezochte polarisatiehoek. Nu heeft Seebeck in een aantal gevallen zeer nauwkeurig den polarisatiehoek gemeten, zoodat men 't middel heeft, de vergelijking (19) met de waarnemingen te vergelijken. Nemen wij het bijzondere geval, dat de optische as in het grensvlak ligt, dan is L = 90° en wordt de vergelijking (19) Ig'., .! + (-!--±)sin- Bij den overgang uit lucht in kalkspaat is (voor de streep D van het spectrum) w = 1,6585, e = 1,4864; ik vind daaruit, door de bovenstaande vergelijking, a2 = 33°8', dus voor den polarisatiehoek 56° 52', terwijl de proeven van Seebeck in dit geval 54° 2' gaven 2). Er bestaat derhalve een afwijking van 2° 50', veel grooter dan met de nauwkeurigheid van Seebeck's bepalingen is over- l) Men zie b.v. Beer, Einleitung in die höhere Optik, p. 268. ') Billet, Traité d'opt. phys. II, p. 173. een te brengen. Die nauwkeurigheid is ook hierdoor bevestigd, dat de door Seebeck gegeven waarden in alle gevallen zeer goed overeenstemmen met andere formules voor de terugkaatsing door kristallen, die door Neumann zijn gegeven. Deze formules geven in het hier behandelde gevalvoor den polarisatiehoek 53°58'40" wat slechts ruim 3' van de waarneming afwijkt. En in alle andere gevallen is hier de overeenstemming even voldoende. De proeven van Seebeck leveren dus het bewijs, dat de formules van Neumann juist zijn, dat daarentegen de theorie van Cauchy met de waarnemingen in strijd is. § 11. En zoo zijn wij teruggekomen op de beschouwingswijze van Neumann met de daaraan verbonden onderstelling omtrent de trillingsrichting. Niemand buiten hem is het gelukt, ook voor de terugkaatsing van het licht door kristallen juiste formules op te stellen. Bewijst dit echter, dat de geheele theorie van Neumann de juiste is? Zeker niet, wanneer het blijkt, dat die theorie, consequent volgehouden, niet meer tot ware uitkomsten voert. Beschouwt men nu de terugkaatsing van licht, waarvan de trillingen in het invalsvlak plaats hebben, bij isotrope stoffen, dan moet men ook als men de theorie van Neumann aanneemt, zorgen, dat aan de vier grensvoorwaarden, die men in dit geval heeft, voldaan wordt. Dit is alleen mogelijk, wanneer men ook hier, even als Cauchy dit deed, longitudinale trillingen invoert. Daardoor verkrijgt men zeer samengestelde uitdrukkingen en het is mij niet gelukt, door eenige onderstelling omtrent de longitudinale trillingen daaruit de formule (8) af te leiden, die in dit geval zou moeten gelden. Het komt mij voor, dat Neumann alleen door eenige grensvoorwaarden (nl. de vergelijkingen (2)) buiten beschouwing te laten er in geslaagd is, tot juiste resultaten te komen. Dat dit mogelijk is wanneer men, tot op zekere hoogte, de voorwaarden van het vraagstuk willekeurig stelt, behoeft ons niet te verwonderen. Evenmin, dat een dergelijke keus, wanneer zij voor isotrope stoffen tot juiste uitkomsten voert, dit ook bij de kristallen kan doen. Daarmede wordt echter de grondslag, waarvan men uitging, maar waaraan men zich niet voortdurend gehouden heeft, niet bewezen waar te zijn. l) Billet. Traité d'opt. phys. II, p. 176. De beschouwingen van dit hoofdstuk — hoe onvolledig ook — zijn genoegzaam, om ons te doen zien, dat men er nog nooit in geslaagd is, een voldoende verklaring der terugkaatsing van het licht te geven, wanneer men uitging van de meening, dat dit in trillingen eener veerkrachtige stof zou bestaan. Bijna zou ik durven beweren, dat deze meening tot geen bevredigende verklaring kan voeren; stellig kan zij het niet, zonder vele gekunstelde bijonderstellingen. In elk geval is men volkomen gerechtigd te beproeven, of men langs anderen weg tot betere resultaten kan komen en elke theorie, die minder zwarigheden oplevert, zal, al is ze misschien nog slechts in ruwe trekken te geven, onze aandacht ten volle waardig zijn. TWEEDE HOOFDSTUK de bewegingsvergelijkingen der electriciteit § 1. Even als de tot nu toe aangenomen undulatietheorie steunt op de leer der beweging van een elastisch lichaam, zijn bij de door Maxwell gegeven beschouwingen de bewegingsverschijnselen der electriciteit ten grondslag gelegd. Voor wij derhalve zijne hypothese kunnen leeren kennen, is het noodzakelijk, vele zaken uit de leer van de electriciteit en het magnetisme in herinnering te brengen. Ik zal trachten, dit zoo beknopt mogelijk te doen, en daarbij vooral de verschillende onderstellingen, die wij moeten maken, duidelijk zoeken aan te wijzen. Alleen langs dien weg toch mag men verwachten, een gegrond oordeel te kunnen vellen over de waarde der verkregen resultaten. Bij de afleiding van de bewegingsvergelijkingen der electriciteit zal ik grootendeels Helmholtz volgen. Even als deze natuurkundige zal ik daarbij uitgaan van de onmiddellijke werking op een afstand; aldus toch hebben wij het voordeel, dat aan de theorie de meest rechtstreeksche opvatting der feiten ten grondslag ligt. Ik wil daarmeê echter niet, zooals men dit soms gedaan heeft, die actio in distans als een onwankelbaar dogma beschouwen; veeleer zijn de verkregen differentiaalvergelijkingen, niet die werking, het eigenlijke uitgangspunt der theorie. Ik acht het niet onwaarschijnlijk, dat men, wanneer eens die vergelijkingen in haar meest waarschijnlijken vorm zijn opgesteld en in een groot aantal gevallen aan de ervaring zijn getoetst, er in zal kunnen slagen, ze ook uit de beschouwing van moleculaire krachten af te leiden. Wij zullen in het vervolg het electrostatische maatstelsel kiezen. Onder een eenheid electriciteit verstaan wij dus een hoeveelheid, die, wanneer ze in een punt is opgehoopt, op een andere, even groote hoeveelheid, in een tweede punt aanwezig, een kracht = 1 uitoefent, wanneer de afstand = 1. De electrische potentiaal- functie, die wij door

dxiyiz, waarbij de eerste integraal over het grensvlak 5 moet genomen worden, terwijl a de cosinus van den hoek is, dien de naar buiten getrokken normaal aan dit oppervlak met de x-a.s vormt. Bepalen wij, op dezelfde wijze, den stand dier normaal ten opzichte der y- en z-as door de grootheden b en c, en behandelen wij de twee andere deelen van cp even als het eerste, dan verkrijgen we ten slotte In woorden overgebracht levert ons deze vergelijking de volgende stelling: Voor een punt, buiten het diëlectrische lichaam gelegen, heeft de potentiaalfunctie, welke het gevolg is van een electrische polarisatie, dezelfde waarde, alsof zij voortsproot uit een gewone electrische lading, waarbij de dichtheid px der electriciteit in het inwendige van het lichaam en de vlaktedichtheid ai aan het grensvlak gegeven worden door Idl , pl~ \ 0* 3y dzj' dj = aZ, + br\ + cC Daaruit volgt echter, dat wij, wat de werking naar buiten betreft, den gepolariseerden toestand door deze verdeeling der electriciteit kunnen vervangen. Beschouwen wij thans de electromotorische kracht voor een punt O, binnen het lichaam gelegen. Daartoe denken wij ons eerst om dat punt de, in de vorige § beschreven, cilindrische holte. Dan ligt O buiten het lichaam en geldt dus de gevonden stelling. Daarbij komt dan in aanmerking vooreerst de lading met de dichtheid p x, ten tweede de lading met de dichtheid a1 over het buitenoppervlak van ons lichaam, eindelijk een dergelijke lading over gronden bovenvlak van de holte. Wordt nu de straal r daarvan oneindig klein, dan is de hoeveelheid electriciteit, op een dezer vlakken aanwezig, oneindig klein van de orde r2, en dus de daardoor in 0 uitgeoefende electromotorische kracht een grootheid van de orde (rII)2. Wij laten echter den straal der holte oneindig klein blijven ten opzichte van de lengte; de laatste grootheid nadert derhalve tot 0. Hieruit volgt, dat wij ten slotte alleen met de beide eerstgenoemde ladingen te doen hebben, zoodat wij kunnen stellen, dat ook, wat de electromotorische kracht in een punt in het inwendige betreft, de diëlectrische polarisatie door de boven aangegeven electrische lading mag vervangen worden. § 4. Men kan het verkregen resultaat toepassen, om de wijzigingen te vinden, die nu aan eenige vergelijkingen moeten worden aangebracht, bij welker afleiding men den invloed der met-geleiders buiten rekening heeft gelaten. Wij beschouwen daarbij alleen het geval, dat men aan eenige geleiders een lading heeft gegeven. Zooals men weet, wordt dan in de leer der electrostatica bewezen, a. dat

= 0; (4) en eindelijk c. dat aan het oppervlak van eiken geleider de voorwaarde 0® . 0® 0® a ——b ——|- c ——4tt(t = 0 (5) ox oy oz vervuld is, waarbij onder de differentiaalquotienten de waarden verstaan worden, die zij onmiddellijk buiten het oppervlak hebben. Deze voorwaarden bevatten op ondubbelzinnige wijze de oplossing van alle vraagstukken omtrent de verdeeling der electriciteit op een stelsel geleiders. Is b.v. de potentiaalfunctie voor eiken geleider gegeven, dan is er slechts ééne waarde van

2, enz., nelt nez, enz., waarbij n van 0 tot 1 toeneemt. Zien wij nu, hoe groot de arbeid is, dien men moet verrichten, om n oneindig weinig, tot n -f- dn, te doen aangroeien. Daarbij moeten wij op den eersten geleider een hoeveelheid electriciteit exdn brengen. Om deze oneindig kleine hoeveelheid van oneindigen afstand te brengen tot op den eersten conductor, waar de potentiaalfunctie n>2 e _ e'it 1 + 4to0 waarbij e = e' Vl + 4tce„ is. Leiden wij nu uit de waargenomen afstooting de hoeveelheid electriciteit af — meten wij deze dus — dan houden wij geen rekening met de diëlectrische polarisatie der lucht. Wij meenen dan, dat wij op eiken geleider een hoeveelheid electriciteit e hebben, in werkelijkheid is zij echter e en wij zien hieruit dat, wanneer wij door onze metingen voor een hoeveelheid electriciteit de waarde e vinden, de werkelijke waarde gegeven wordt door de vergelijking (10). Door een dergelijke redeneering als wij boven bezigden laat zich bewijzen, dat, wanneer in de beide stelsels I en II

welke uitdrukkingen wij in het vervolg zullen bezigen. Om uit de aldus opgestelde algemeene vergelijkingen de betrekkingen af te leiden, die voor een volkomen isolator gelden,hebben wij slechts x = oo te stellen. Tevens blijkt uit het bovenstaande, dat wij in dit geval het meest op de juistheid der theorie mogen vertrouwen, terwijl bij goede geleiders veel meer onzekerheid blijft bestaan. Vooreerst wordt deze veroorzaakt door de mogelijkheid eener afwijking van de wet van Ohm; bovendien weten wij niet met zekerheid, of ook hier een polarisatie der moleculen bestaat, en of zij aan dezelfde wetten onderworpen is als bij isolatoren. Heeft in een lichaam een electrische strooming plaats, dan kan het gevolg daarvan zijn, dat de verdeeling der electriciteit met den tijd verandert. Noemen wij in eenig punt, waar u, v, w doorloopend zijn, p de dichtheid der vrije electriciteit, dan is du dv dw dp dx dy dz dt Is «t de dichtheid van de vlaktelading aan een oppervlak S, waar u, v, w ondoorloopend zijn, dan hebben wij daar evenzoo da a[ux — u2) + 6(t>! — v2) + c(w1 — ze>2) = — . Bij het bepalen van p en <7 moet hier, behalve de electrische ladingen in gewonen zin, ook de lading in aanmerking worden genomen, die men voor de diëlectrische polarisatie in de plaats mag stellen (zie § 3). Door p en g, op de bekende wijze, in de differentiaalquotienten van 9 uit te drukken, vindt men uit de bovenstaande vergelijkingen du dv dw 1 0 . /1Q> 1 =— — (Af[COSid*id°)dsd«. (25) Hierbij moet de integratie over beide geleiders worden uitgestrekt, terwijl A een constante is, die men uit de waarnemingen kan afleiden. De beteekenis van de potentiaal is deze, dat zij den arbeid voorstelt, dien men verrichten moet, om de beide geleiders van een on- i) Onder magnetische laag versta ik hierbij een oneindig dunne laag eener zelfstandigheid, die zoodanig gemagnetiseerd is, dat de magnetische polarisatie een richting heeft, loodrecht op 't oppervlak der laag, en, wat de grootte betreft, omgekeerd even- redig is aan de dikte. eindig grooten afstand te brengen in den stand, waarin zij zich bevinden. Is eens de potentiaal bekend, dan kan men de mechanische krachten, door de geleiders op elkander uitgeoefend, vinden door de stelling, dat de arbeid, door deze krachten bij een oneindig kleine verplaatsing der geleiders verricht, gelijk is aan de aangroeiing van de potentiaal, met het tegengestelde teeken genomen x). De invoering van deze grootheid heeft het voordeel aangebracht, dat zij niet alleen de electrodynamische werkingen bepaalt, maar dat bovendien de wetten der inductie zich nu op zeer eenvoudige wijze laten aangeven. Is s de induceerende, a de geïnduceerde geleider, en wederom de stroomsterkte in den eersten i, dan wordt de electromotorische kracht der inductie langs a, ontstaande uit verplaatsing van s, verandering van i, of uit beide oorzaken te gelijk, gegeven door r d(pi) G = ^T' of, wanneer alleen de intensiteit verandert, door _ „ di Ut' <26> Het volgt onmiddellijk uit de boven voor G gegeven bepaling, dat die grootheid te beschouwen is als de som der electromotorische krachten langs elk element van ~dt' waarbij p eenige functie is, van den onderlingen stand en de lengte der elementen afhangende, maar onafhankelijk van de stroomsterkte. Daar wij nu steeds onderstellen, dat alleen i veranderlijk is, mag men dan ook schrijven G,-^. (27) dt Verder is het dan duidelijk, dat men door integratie van p over de beide stroomgeleiders de grootheid P verkrijgen moet. Dit is het geval, als men stelt cos (ds, da) . . p =—A2 — ds da, (28) r maar dit is niet de eenige uitdrukking, die men kan kiezen. Men mag toch gerustelijk bij (28) termen voegen, die bij de integratie noodzakelijk verdwijnen, zoodra een der geleiders gesloten wordt. Helmholtz heeft nu aangetoond, dat de meest algemeene vorm, dien men voor p mag aannemen, om in dat geval dezelfde uitkomst te verkrijgen als uit (28), de volgende is: p=— IA* -[(1 +k)cos(ds, da) + (1—k)cos{r, ds)cos(r, da)] ds da, (29) als men namelijk nog onderstelt, dat de induceerende werking van stroomelementen op dezelfde wijze van den afstand afhangt, als die van gesloten stroomen. Het is deze uitdrukking, die wij in het vervolg ten grondslag zullen leggen. De hier ingevoerde constante k kan uit de waarnemingen omtrent gesloten stroomen niet worden afgeleid. Stelt men haar = + 1, dan verkrijgt men de uitdrukking (28); neemt men k = — 1, dan komt de formule overeen met die, welke uit de wet van Weber volgt; neemt men eindelijk k — 0, dan komt men, zooals wij later zullen zien, tot resultaten, die met de theorie van Maxwell overeenkomen. Al kennen wij k niet, één zaak is door Helmholtz bewezen, dat die constante nl. niet negatief mag genomen worden, daar in dat geval het evenwicht der electriciteit labiel zou kunnen zijn, zoodat een zeer kleine verstoring van dit evenwicht aanleiding zou kunnen geven tot hoe langer hoe grooter afwijkingen daarvan, iets, dat ten eenenmale met de waarnemingen in strijd is *). §11. Uit de beteekenis van Gj volgt a da Hieruit blijkt, hoe men uit het gevondene de component der electromotorische kracht — zooals wij die oorspronkelijk hebben opgevat — in de richting van da kan afleiden; daarbij wordt de .*) Men vindt het onderzoek van Helmholtz in Crelle's Journal 72 57 1870 een uittreksel in Wiedemann, Galvanismus II, 2, p. 638—649 (tweede uitgave).' •i -dv afIeiding der fo"iiule (27) ben ik in zooverre van Helmholtz afgeweken dat ik mi) bepaald heb tot het geval, dat alleen de stroomsterkte verandert, terwijl de stroomgeleiders in rust blijven. Veranderen ook de grootheden l, m, n, enz., die den stand van het element ds bepalen, dan ligt het wel voor de hand, te stellen r j. ^ dl . dm 1~plt+ + p,t~di + enz"' («) maar, om dit tot (27) terug te brengen, is de onderstelling noodig, dat het tweede lid van (a) steeds een volkomen differentiaal is. Helmholtz maakt die onderstelling en leidt in alle gevallen de inductiewerking van stroomelementen, even als die van gesloten stroomen, uit de beschouwing van hun onderlinge potentiaal af. Evenzoo bezigt d'e ter bepaling der electrodynamische aantrekkingen en afstootingen. Afgezien van de moeilijkheden, die men hierbij kan ondervinden, blijft het aannemen dier potentiaal een hypothese, die voor ons doel niet noodzakelijk is. Wat de constante k betreft, heb ik het onderzoek van Helmholtz niet weergegeven daar de waarde van k voor de theorie der volgende hoofdstukken van geen overwegend belang is. Wij zullen zien, dat, zelfs wanneer k negatief mocht worden genomen — zooals sommigen dit, ook na de bewijsvoering van Helmholtz, nog willen — onze resultaten hunne geldigheid niet zouden verliezen. uitkomst natuurlijk onafhankelijk van de lengte van da. Stellen we dan nu in plaats van da de willekeurige richting h, dan blijkt het ons, dat wij de electromotorische kracht der inductie, door het element ids in die richting uitgeoefend, kunnen voorstellen door dq p — A2 — *h~ dt • waarbij, volgens (29) q = — [(1 + k) cos (ds, h) + (1 —k) cos (r, ds) cos (r, h)] ids. Door hierin voor h achtereenvolgens de richtingen der drie assen te nemen, vinden we de componenten X,Y,Z der electromotorische kracht. Stellen wij ons thans voor, dat wij in de ruimte een willekeurige stroomverdeeling hebben, bepaald door de componenten u, v, w in Pik- punt (x', y', z'), en zoeken we de electromotorische kracht, door verandering van u, v, w, in het punt (x, y, z) uitgeoefend. Beschouwen we vooreerst het element dx', dy', dz', dan kunnen we daarvoor in de plaats stellen drie stroomelementen, waarvoor i en ds de volgende waarden aannemen u dy'dz', dx') v dz'dx', dy'; w dx''dy', dz'. Voor elk dezer stroomelementen kunnen wij de waarde van q zoeken, de drie dus verkregen uitdrukkingen optellen en vervolgens over de geheele ruimte, waarin stroomen voorkomen, integreeren. Verkrijgen we daarbij de waarden U, V en W, wanneer wij voor h achtereenvolgens de richtingen der drie assen nemen, dan is (30) dt dt terwijl men gemakkelijk vindt /"/Yfl+A u 1—k x — x' U=JJJ — [u(x — x') + v(y — y') + w(z — z')]} dx'dy'dz', (31) waarbij onder het integraalteeken u, v, w als functiën van x', y', z' zijn te beschouwen. De uitdrukkingen voor V en W zijn op dezelfde wijze op te stellen. Hiermede zou dit onderzoek zijn afgeloopen, ware het niet noodig, eenige eigenschappen der functiën U, V, W te leeren kennen. Wij stellen daarbij, dat de stroomcomponenten u, v, w, en eveneens 9, overal eindig en op oneindigen afstand 0 zijn, dat echter de drie eerste grootheden aan eenig oppervlak 5 (grensvlak van twee lichamen) ondoorloopend kunnen worden. Wij zullen nagaan, hoe het dan met de doorloopendheid van U, V, W gesteld is; tevens zullen wij eenige differentiaalvergelijkingen leeren kennen, waaraan die functiën voldoen. Evenals bij onderzoekingen omtrent de electrostatische potentiaalfunctie, zijn hier die differentiaalvergelijkingen voor het gebruik geschikter dan de integraalvergelijking (31) !). § 12. Vooreerst moeten wij opmerken — en een dergelijke omstandigheid doet zich bij verschillende, later voorkomende integralen voor — dat, wanneer het punt (x, y, z) binnen de ruimte ligt, waarin de electrische beweging plaats heeft, sommige elementen van de integraal (31) oneindig groot worden. Men kan echter, door invoering van poolcoördinaten, bewijzen, dat daardoor de integraal zelf niet oneindig wordt; dit onderzoek stemt geheel overeen met de beschouwingen, die men op de potentiaalfunctie kan toepassen voor een punt, te midden van de aantrekkende stof gelegen 2). Verder kan men in plaats van (31) schrijven tt f [[\ u '—M ^ r d2r 1) U "JjJ 17 + — 1" Sa?'+'' '+:" ad} en dit wordt eenvoudiger, wanneer men de nieuwe grootheid v~M"^+vw+w^)ix'dy'dz' <32) invoert. Immers, voor een punt (x, y, z), buiten de ruimte, waarin de electrische bewegingen plaats hebben, heeft men klaarblijkelijk Het woord „integraalvergelijking" heeft hier een beteekenis, die afwijkt van de gebruikelijke (noot van den bewerker). ') Men zie b.v. Clausius, die Potentialfunction, §11. \—k 0T fffu ,,,,,, U= — —+]JJ7i*iyiz en evenzoo +ƒƒƒ 7"""' «33> W = 1^^+Ilf7''x,dy'dz'- Dat deze vergelijkingen ook nog gelden, wanneer het punt (x, y, z) binnen de bedoelde ruimte ligt, laat zich door een dergelijk onderzoek aantoonen, als men in de theorie der attractie bezigt om te bewijzen, dat, ook in het inwendige der aantrekkende stof, de krachtcomponenten door de differentiaalquotienten der potentiaalfunctie worden gegeven 1). De uitdrukking voor Y laat zich transformeeren door partieele integratie. Past men deze bewerking op het eerste deel van toe, dan vindt men fffU dx'dy'dz' = JJ[ur] dy'dz' —Jjj r dx'dy'dz'. Hierbij is [ur] samengesteld uit de waarden, die ur aanneemt in de verschillende punten van het grensvlak der ruimte, waarover geïntegreerd wordt, welke de coördinaten y' en z' hebben — mits men die waarden van de behoorlijke teekens voorzie. Onderstelt men nu, dat u bij toenemende waarden van r zoo sterk afneemt, dat ur tot 0 nadert2), en past men de gevonden vergelijking toe op de verschillende deelen der ruimte, die door de oppervlakken S zijn gescheiden, dan komt er fffU~d~7 ^x'^y'^z' ~ ff r^Ul — Uï)ad-S>—-Jj jr dx'dy'dz', *) Clausius, loc. cit. §§ 12 en 13. *) Zal dit zoo zijn, dan moeten u, v, w, voor zeer groote afstanden, geen termen bevatten, grooter dan die van de orde 1/r2. Dit is b.v. het geval, wanneer de stroomcomponenten op dezelfde wijze van de coördinaten afhangen, als de verplaatsingen in een veerkrachtig medium, waarin zich een trillende beweging voortplant. zoodat men verkrijgt Y = JJr {a(«! — m2) + 6(1^ — v2) + c(w1 — zc2)} dS — f f f ( dv dw\ -JJjr\w+w+-*r""- Neemt men echter de vergelijkingen (20) en (21) in aanmerking en stelt daarbij kortheidshalve voor het tweede lid der laatste 1 /9(P\ / 4n .\3«/i \dn/2 waarbij n de normaal aan het oppervlak S is, dan kan men ook schrijven )J«- ~~ 4ÜS fffr A(P dx'dy'dz' • (34) Wij kunnen dezen vorm nog wijzigen door toepassing van het theorema van Green. Daaruit volgt, gelijk men weet, de betrekking fff G A Hdx -fff H AGdz dü -ƒƒ~ dQ. Hierbij zijn G en H twee functiën der coördinaten x, y, z, terwijl de twee eerste integralen over eenig deel t der ruimte, de twee laatste over het grensvlak Q daarvan moeten worden genomen. Stellen wij G = r en H = 9, dan vinden wij fff r A

|iï-4'n'' (37) > S2cp A W — (1—k) —— 4 nw. OZ ut Eindelijk ^dndt men uit dezelfde vergelijkingen du dv dw i—k + + 17 _ ~~T~ + +ƒƒƒ{" V y~r^~ + W dx'dy'dz'- Door integratie bij gedeelten gaat de laatste term, na eenige herleiding, over in — 3

- [— - —1 + dy \ e / dz \ e / dt dz dy _ 0 f 3 T0M 0L1 0 [0L 0Nl{ 0^ \ dy . 0a; 0y . dz dz 8x . J Voor den eersten term in het tweede lid kan men schrijven, zooals uit de eerste der vergelijkingen (46) volgt, A 0X 02 y i a 0 dt dx dt en voor den laatsten term . 0 f 0 r 0L 0M 0N1 1 ^¥fe[07+v+id-ALr {b) Uit (43) volgt echter 0L 0M 0N dx 0y dz =ffflx i (7)+" £ (7)+ v £ (7)] w ~ "ƒƒƒ[* £ (7) +11 £ (7)+v v(t)] en gemakkelijk overtuigt men zich, dat de laatste integraal juist de waarde van 1 voorstelt. Verder volgt uit (43), dat AL = — 4ttA, zoodat (b) wordt 02X 0X — -<4 —|- 4tc A — . 0^: 0i dt Brengen wij de verkregen uitkomsten in (a) over, dan komt er 3 /n 0 /vA 1 + 4ttÖ 0X dy \ s / dz \ e / 6 dt en evenzoo verkrijgen wij _£/5\ 0 (Z\ 1 + 4tc0 a 0(X (!) 02 \e/ dx\z) 0 dt _8 M a /g\ 1 + 47t6 i 0# \ s / 0y \ £ / 0 0^ Om verder de vierde der vergelijkingen ((3) te vormen, differentieeren wij (45) naar x, y, z en tellen op. Dit geeft 3 d\ 3 M s /S\ * ,, 3 (SU , 0F 0W\ 0j(r)+ a^vr)+ alw ——A3) 02 8* . 0y 0^ ^L——-A \^- — 471—1 dx dy _dz dt dt _ SL dM a N — + -r- + -r- = — AX> dx dy dz en 5 = 7] = ^ = L = M = iV =

02£ „ dP in welke vergelijkingen nog alleen tj, £ voorkomen. Evenals wij hier met de vergelijkingen (1) zijn te werk gegaan, kunnen wij ook met (3) handelen; langs dezen weg verkrijgen wij de volgende betrekkingen, die alleen L, M, N bevatten, 32 t- 32 m 02 jy = — .AW-JP-jp-: (II) Stelt men (I) naast de vergelijkingen (5) van het eerste hoofdstuk, die de verplaatsingen £, rj, ^ der deeltjes van een elastisch vast lichaam als functiën van tijd en plaats bepalen, dan zien wij, dat de hier verkregen betrekkingen denzelfden vorm hebben. Daaruit volgt het gewichtige resultaat, dat aan elke beweging der deeltjes van een veerkrachtig lichaam een mogelijke electrische beweging in onzen isolator beantwoordt, waarbij wij slechts de verplaatsingen door de diëlectrische polarisatie te vervangen hebben. Nu kunnen zich in een elastich lichaam transversale en longitudinale trillingen voortplanten en wij besluiten daaruit, dat in den isolator op dezelfde wijze een voortplanting van transversale en longitudinale electrische trillingen mogelijk is, waarbij wij onder electrische trilling het verschijnsel te verstaan hebben, dat de dielectrische polarisatie een periodieke functie van den tijd is. De voortplantingssnelheden moeten dan uit de vergelijkingen (I) op volkomen dezelfde wijze kunnen afgeleid worden, als wanneer 7], £ verplaatsingen in een veerkrachtig lichaam voorstellen; aldus vindt men voor de transversale electrische trillingen v = —= 1 , (III) R A y/4ti£ (1 + 4-0) en voor de longitudinale v.^=ll/'+4-e, (iv) R A y Aizzk 1 j Wat de vergelijkingen (II) betreft, ook deze hebben denzelfden vorm, als die, welke voor een elastisch lichaam gelden, wanneer hiervoor P = 0 moet zijn, wat met (6) overeenkomt. Bij een veerkrachtig lichaam is P — 0 echter de uitdrukking voor de onsamendrukbaarheid en, daar in een onsamendrukbaar medium van een eigenlijke voortplanting van longitudinale trillingen geen sprake kan zijn, besluiten we, dat in een isolator, die voor magnetische polarisatie vatbaar is, geen longitudinale magnetische trillingen kunnen bestaan. Wel transversale, en voor deze vindt men uit (II), dat de voortplantingssnelheid wederom door (III) wordt gegeven. Aan de uitdrukking magnetische trilling moet hierbij een beteekenis gehecht worden, overeenkomende met die van electrische trilling x). § 2. Wij zullen ons niet bezig houden met de algemeene oplossing der vergelijkingen (I) en (II), daar zij eensdeels volkomen dezelfde is als die van de bewegingsvergelijkingen van veerkrachtige lichamen en daar, aan den anderen kant, een bijzondere oplossing voor ons doel genoegzaam is. Zooals men weet, kan men op grooten afstand van het trillingsmiddelpunt, bij een eerste benadering, de beweging van een elastisch lichaam beschouwen als te bestaan in een voortplanting van trillingen, met een plat vlak tot golffront en met een amplitudo, die overal dezelfde is. In de theorie van het licht komt met dien bewegingstoestand een evenwijdige bundel gepolariseerde lichtstralen overeen. Zoeken wij nu een bijzondere oplossing onzer vergelijkingen van dezelfde soort. Daarbij gebruiken wij onmiddellijk de vergelijkingen (1)—(6) (behalve (4), die hier wegvalt). Gemakshalve nemen wij de voortplantingsrichting tot #-as, dus het golffront evenwijdig aan het yz-vlak. Beschouwen wij dan vooreerst transversale trillingen, zoo dat de electrische trillingen overal evenwijdig aan de y-as gericht zijn, dan kunnen wij voor de diëlectrische polarisatie schrijven 5 = °. V = a cos ~ ^ — -f , £ = 0, ') De resultaten van deze § zijn door Helmholtz aan het einde van zijne meermalen genoemde verhandeling afgeleid. waarbij a de amplitudo, T de osciilatietijd, v de voortplantingssnelheid is. Zien wij dan, of L, M, N zoodanig bepaald kunnen worden, dat aan alle voorwaarden van het vraagstuk voldaan is. Daar wij een bijzondere oplossing zoeken, die een voortplanting van trillingen voorstelt, zullen wij daarbij aannemen, dat alle termen, die geen periodieke functiën van tijd en plaats zijn, verdwijnen en dus b.v. bij integratie naar t de constante = 0 stellen. Daar 35 3*1 % n —-| - + -~= 0, dx dy dz volgt vooreerst uit (5) 9 = 0, en daarmede is ook aan (2) voldaan 1). Verder geven de vergelijkingen (1) 1 2k l x \ Z. = 0, M = 0, N = . «cos — U p), As (1 + 4tc0) v T \ v / waardoor ook aan (6) voldaan is. Wat eindelijk de vergelijkingen (3) betreft, bij substitutie der waarden van L, M, N en 9 geven de eerste en de derde beide 0 = 0, de tweede daarentegen 1 2n . 2n ( x \ . a sin —— \t f- p = Ae (1 + 4x0) v T\ T \ v / 2n , 2n l x \ = 4:vA — asin — U— - + pj, waaruit volgt 1 V' = 4tc (1 + 4rr0) A2 ' wat met (III) overeenkomt. Alle voorwaarden van het vraagstuk zijn nu vervuld en wij kunnen, ten gevolge der gevonden waarde voor v, de uitdrukking voor N korter aldus schrijven N = — 47^4 vt). i) Uit (5) volgt alleen ijp = 0; om nu aan (2) te voldoen moet men echter aannemen 9 = 0. (noot van den bewerker). Dit resultaat is natuurlijk, daar het medium isotroop is, onafhankelijk van de gekozen voortplantings- en trillingsrichting. Nemen wij verder de gesteldheid van het gekozen assenstelsel (hoofdst. II, § 13) in aanmerking, dan kunnen wij het volgende vaststellen. In een isotropen isolator kunnen zich transversale electrische trillingen zoo voortplanten, dat het golffront een plat vlak, de amplitudo overal dezelfde is. De voortplantingssnelheid wordt daarbij gegeven door (III). Ligt de electrische trillingsrichting overal in een vlak, door de voortplantingsrichting gaande, dan bestaat in elk punt een magnetiseerende kracht, loodrecht op dat vlak, zoodat bij een isolator, die gemagnetiseerd kan worden, de electrische trillingen van magnetische vergezeld gaan. Daarbij heeft een draaiing over een rechten hoek van de richting der diëlectrische polarisatie naar die der magnetiseerende kracht denzelfden zin, als de beweging der wijzers van een uurwerk, voor een beschouwer, geplaatst aan de zijde, van waar de trillende beweging komt. Eindelijk wordt de grootte der magnetiseerende kracht bekend, door die der diëlectrische polarisatie met 4rt A v te vermenigvuldigen. Evenzoo kan men longitudinale trillingen beschouwen, met een plat vlak, loodrecht op de *-as, tot golffront. Dan is „ 2tc ( x \ l = acos~[t-- + p), vj = 0, £ = 0, en volgt uit (1) L = M = N = 0, zoodat bij longitudinale electrische trillingen geen magnetiseerende kracht optreedt. Uit (3) vindt men dan verder ^9 dep d(p ~ ay = aT = °' derhalve 9 = -2rV«sin^.(i_i + ^, Lorentz I 6 waardoor ook aan (5) voldaan is. Eindelijk geeft (2), na eenige herleiding, 1 + 4tc va = ■ AiAmk wat overeenstemt met (IV). Het blijkt ten slotte, dat men bij de longitudinale trillingen geheel afhankelijk is van de onbekende constante k. Zoolang deze een positieve waarde heeft is een voortplanting van longitudinale trillingen mogelijk, zooals wij die boven behandelden. Wordt k = 0, dan wordt V = oo; m.a.w. een eigenlijke voortplanting van longitudinale trillingen is dan onmogelijk, wat in dit geval ook onmiddellijk uit de vergelijkingen (2) en (5) is af te leiden.Dit komt overeen met de theorie van Maxwell, waarbij dan ook stilzwijgend k = 0 is gesteld. Kon eindelijk k negatief worden, dan leverde de formule (IV) een imaginaire waarde voor V op; dan kon dus een golvende voortplanting van longitudinale trillingen niet bestaan en men zou bij nader onderzoek tot een geheel anderen bewegingstoestand komen. Niet alleen zijn wij bij deze trillingen van k afhankelijk, maar bovendien wordt door de in § 13 van het vorige hoofdstuk aangewezen moeilijkheid de uitkomst onzeker gemaakt. Geheel anders is het met de transversale beweging. Daar hangt de voortplantingssnelheid niet van k af en de grond voor deze omstandigheid is hierin gelegen, dat bij deze trillingen de electriciteitsbeweging met die eener onsamendrukbare vloeistof overeenkomt en derhalve als een stel gesloten stroomen kan opgevat worden. Bij de induceerende werking van dergelijke stroomen is echter de waarde van k zonder invloed. Tevens bestaat bij eendergelijkenbewegingstoestand, zooals wij in § 13 van 't tweede hoofdstuk opmerkten, ook het daar aangewezen bezwaar niet meer. De beide onderzochte bewegingstoestanden hebben derhalve volstrekt niet denzelfden graad van zekerheid. Alleen bij de transversale beweging zijn wij onafhankelijk van eenige moeilijkheden, die bij de opstelling van de algemeene bewegingsvergelijkingen niet waren te ontgaan. Gelukkig hebben wij in t vervolg vooral met deze trillingen te doen, die wij dan ook, zonder het er uitdrukkelijk bij te voegen, zullen bedoelen. § 3. Wat vooreerst de voortplantingssnelheid dezer trillingen betreft, wij hebben die in (III) aangegeven. Neemt men echter in aanmerking, dat A in die formule de werkelijke waarde dezer constante voorstelt, die door de betrekking (47) van het vorige hoofdstukmet de waargenomen waarde A' is verbonden, dan vinden wij v 1 l/(l + 4to0) (1 -f- 47t0o) A' ' 4tc(1 -f- 4tc0) Voor de lucht wordt dit Y — 1 l/ 1 + 4to" A' < 47TE0 Maxwell, die de bewegingsvergelijkingen der electriciteit op eenigszins andere wijze opstelde dan wij gedaan hebben, vond voor de lucht*) 1 zoodat die snelheid geheel uit electromagnetische waarnemingen zou zijn af te leiden. Werkelijk is l/A' bepaald en men heeft reeds spoedig opgemerkt, dat de uitkomst zeer weinig verschilt van de snelheid van het licht. Dit blijkt uit de volgende opgaven voor deze twee grootheden, beide in meters per seconde. Snelheid van het licht Fizeau 314000000 Astronomische 1 . 308000000 bepalingen j Cornu 300330000 Foucault .... 298360000 _1_ A' Weber 310740000 Maxwell .... 288000000 Thomson .... 282000000 Wat de snelheid van het licht betreft, verdient, dunkt mij, het resultaat van Cornu, wegens de overeenstemming met dat van Foucault, het meeste vertrouwen. De getallen, voor l/A' opgegeven, loopen vrij sterk uiteen, maar aan weerszijden van de door Cornu en Foucault gevonden snelheid van het licht. Zeer is het te hopen, dat l/A' nogmaals met al de nauwkeurigheid bepaald l) Electr. and Magn., § 786. worde, die te bereiken is. Zal men intusschen uit de getallen, zooals zij nu zijn, een besluit trekken, dan kan het geen ander zijn dan dit, dat, bij een eerste benadering, \/A' en de voortplantingssnelheid van het licht als gelijk te beschouwen zijn. En zoo kwam Maxwell tot het resultaat, dat zich in de lucht transversale electrische trillingen kunnen voortplanten met een snelheid, gelijk aan die van het licht. Moeilijk was hierin een louter toevallige analogie te zien. Het zou zeker een zonderling spel der natuur zijn, wanneer zich, behalve die electrische trillingen, andere trillingen van denzelfden aard en met dezelfde voortplantingssnelheid in de lucht konden voortplanten, waarbij de werkende krachten geheel andere zouden zijn, dan bij de eerste. Veel eenvoudiger was het, zooals Maxwell deed, aan te nemen, dat zich slechts ééne soort van beweging met de gevonden snelheid in de lucht kan voortplanten en dat dus het licht in werkelijkheid in electrische trillingen bestaat. Ook wij zullen die onderstelling maken, maar, om dit te mogen doen, moeten wij zoo over e0 beschikken, dat v = l/A' wordt. Daartoe is het voldoende, aan te nemen, dat e„ (en dus ook e voor een willekeurigen isolator) een zeer groot getal is, zoodat men, althans bij een eerste benadering, het omgekeerde ervan ten opzichte van de eenheid mag verwaarloozen. Immers ten gevolge van deze hypothese — die wij in 't vervolg steeds zullen volhouden — mag men in plaats van de waarde, die wij voor v vonden, de grootheid 1 IA' nemen. Wanneer wij de waarschijnlijkheid overwegen, die er voor Maxwell's meening is, moeten wij niet uit het oog verliezen, dat, zooals wij in het eerste hoofdstuk opmerkten, de feiten alleen het hoofdbeginsel der undulatietheorie bewezen hebben, dat de nieuwe theorie onaangeroerd laat bestaan. De gelijkstelling van het licht met de trillingen van een elastisch lichaam voerde echter, gelijk wij zagen, tot zoo groote moeilijkheden, dat dit het zeker van des te meer belang maakt, te onderzoeken, of Maxwell's hypothese een behoorlijke verklaring van alle lichtverschijnselen kan geven. En mocht zij dit beter doen dan de theorie van Fresnel, dan zou men de hoop mogen voeden, dat men met de electromagnetische theorie althans op den goeden weg is, al is onze wetenschap nog te onvolkomen, om alle moeilijkheden te overwinnen. § 4. Vooreerst rijst de vraag op, of de nieuwe beschouwings- wijze ook voor andere diëlectrische middenstoffen dan de lucht de juiste voortplantingssnelheid oplevert. Zoeken wij daartoe de verhouding v0/v, waarbij v0 voor de lucht geldt. Uit (III) volgt v^_ j/ 4tt£ (1 -f 4tt6) v ' 4tc0 (1 + 47t80) Nu is voor alle onderzochte diëlectrische stoffen de verhouding (1 + 4710)/(I -f 4tt0o) zeer weinig van de eenheid verschillend (bij het sterk diamagnetische bismuth is volgens Boltzmann dat verschil minder dan 0,0003), zoodat men slechts een onmerkbare fout begaat, door voor die verhouding de eenheid te nemen. Nemen wij daarbij onze onderstelling omtrent e0 en e in aanmerking, dan mogen wij schrijven ^ = l/ÏE = )/l+4'" =Vk V " 4TO() r l _(- 4ne0 Maar, zooals men weet, is v0/v de brekingsindex n, zoodat men moet hebben K = n*. Men ziet hieruit, dat de theorie in den vorm, dien zij nu heeft, de dispersie niet verklaren kan. Dit is echter geen belangrijk bezwaar; de vroeger aangenomen theorie toch kan dit in haar eenvoudigsten vorm evenmin en het is zeer goed mogelijk, dat wij de dispersie uit onze vergelijkingen zouden zien volgen, zoodra wij bij de behandeling der diëlectrische polarisatie alle omstandigheden in rekening brachten, met name de moleculaire constitutie der stof. Willen wij nu intusschen de waarden van K met die van n vergelijken, dan zullen wij den brekingsindex voor langzame trillingen moeten nemen, daar deze althans meer dan snellere tot de proeven naderen, waardoor wij K bepalen; m.a.w. wij zullen de waarde van n moeten nemen, die uit de dispersieformules voor oneindig lange golven voortvloeit. Maxwell, die het eerst de gevolgtrekking maakte, dat het specifiek induceerend vermogen gelijk moet zijn aan de tweede macht van den brekingsindex, kon dit alleen voor paraffine op de proef stellen. Daarvoor was door Gibson en Barclay *) gevonden K ' 1,975, dus = 1,405. *) Phil. Trans. 161, 573, 1871. Voor den brekingsindex volgde uit de metingen van Gladstone n = 1,422. Men moet hierbij in het oog houden, dat de door Gibson en Barclay verkregen uitkomst, zooals Boltzmann heeft aangewezen, waarschijnlijk te klein is. Bovendien experimenteerden deze waarnemers met vaste, Gladstone daarentegen met gesmolten paraffine. Nauwkeuriger is later K voor eenige stoffen bepaald door Boltzmann en wel volgens twee methoden, uit condensatorproeven nl. en uit de aantrekking, door geëlectriseerde voorwerpen op diëlectrische lichamen uitgeoefend. Bij zwavel, paraffine en colophonium, die de nauwkeurigste metingen toelieten, verkreeg hij de volgende resultaten, als de meest waarschijnlijke uit verschillende proeven. K , n' Condensator- Diêl. proeven aantrekking Zwavel 3,84 3,90 4,06 Paraffine 2,32 2,32 2,33 Colophonium . . . 2,55 2,48 2,38 De brekingsindex van paraffine werd door Boltzmann zelf naar de methode van Wollaston bepaald; zooals men ziet is de uitkomst vrij wat grooter dan die van Gladstone. De overeenstemming tusschen K en n2 is, naar 't mij voorkomt, zoo groot als men met grond bij deze bepalingen kon verwachten. Nog schooner bevestiging van de electromagnetische theorie van het licht wordt opgeleverd door het gedrag der gassen. Boltzmann 2) heeft een reeks onderzoekingen volbracht over het specifiek induceerend vermogen van deze lichamen. De methode, die hij hierbij volgde, komt in hoofdzaak neêr op een vergelijking van het induceerend vermogen K van hetzelfde gas bij verschillende i) Pogg. Ann. 151, 482, 1874.153,525, 1874. Uitvoeriger vindt men sommige zaken besproken in een paar verhandelingen „über die elektrostatische Fernwirkung dielektrischer Körper." Uit een van deze zijn de waarden van K en »* overgenomen. *) Pogg. Ann. 155, 403, 1875. drukkingen. Daarbij bleek vooreerst, dat K met vermeerdering van drukking toeneemt, en wel zoo, dat de aangroeiing van K met die der drukking evenredig is. Door aan te nemen, dat dit voor alle waarden der drukking, tot 0 toe, doorgaat, was Boltzmann in staat, uit zijne proeven de waarde van K voor een gas, vergeleken met het luchtledige, af te leiden. Dan moet \/K, volgens de theorie van Maxwell, gelijk zijn aan den absoluten brekingsindex van het gas, daar het verschil der waarden, die 1 + 4ti0 in het luchtledige en in de verschillende gassen aanneemt, zeer klein is. De volgende tabel geeft voor eenige gassen y/K en den absoluten brekingsindex n, zooals die door Dulong bepaald is. Beide grootheden hebben betrekking op een temperatuur van 0° C. en een drukking van 760 mm. Vk n Lucht 1,000295 1,000294 Koolzuur 1,000473 1,000449 Waterstof 1,000132 1,000138 Kooloxyde 1,000345 1,000340 Stikstofoxydule 1,000497 1,000503 Olievormend gas 1,000656 1,000678 Moerasgas 1,000472 1,000443 Dat in alle gassen e en de voortplantingssnelheid van het licht bijna dezelfde waarde hebben, als in de luchtledige ruimte, wijst er zeker op, dat ook in de gassen de diëlectrische polarisatie haar zetel heeft in den aether, terwijl de in (betrekkelijk) gering aantal voorkomende gasmoleculen op dit verschijnsel slechts een kleinen invloed uitoefenen. Ook bij vaste en vloeibare lichamen wordt het door sommige verschijnselen waarschijnlijk gemaakt, dat tusschen de moleculen nog altijd de aether aanwezig is. Wil men dan een in alle opzichten voldoende behandeling der electrische bewegingen in een dergelijk lichaam geven, dan moet men vooreerst met den aether, ten tweede met de daartusschen liggende moleculen rekening houden. Daarbij komen dan afstand, grootte en vorm 1) Hiertoe behoort b.v. de invloed, dien de beweging der middenstoffen op de lichtverschijnselen uitoefent. der laatste in aanmerking, omstandigheden, waaruit waarschijnlijk de verklaring der dispersie en der draaiing van het polarisatievlak moet voortvloeien. Wij zullen hier deze zaken niet bespreken. Alleen merken wij op, dat men bij de gassen, waar de invloed der moleculen zeer klein is, bij een eerste benadering dien invloed zeer gemakkelijk in rekening kan brengen. Wij nemen daarbij aan, dat de aether in een gas volkomen dezelfde eigenschappen heeft, als in de luchtledige ruimte. Werkt nu op het element dxdydz van een gas de electromotorische kracht X, in de richting der x-a.s, en vormen wij weder, evenals op p. 33, de som Sex, dan bestaat deze hier uit twee deelen, waarvan het eene door den aether, het andere door de gasmoleculen wordt opgeleverd. Het eerste is klaarblijkelijk e0 X dxdydz, waarbij s0 de constante der diëlectrische polarisatie voor de luchtledige ruimte is. Wat de gasmoleculen betreft, onderstellen wij, dat in elke molecule door een electromotorische kracht X een electrisch moment, in de richting dier kracht en met de grootte mX wordt opgewekt, waarbij m een constante is. Zijn nu in de eenheid van volume p gasmoleculen aanwezig, dan vindt men gemakkelijk, dat de gasdeeltjes voor Eex het bedrag mpX dxdydz opleveren. Wij hebben derhalve Sex = e0X dxdydz + mpX dxdydz, of daar, volgens § 2 van het tweede hoofdstuk, ~Lex = eX.'dxdydz , ook, s = e0 + mP- Hieruit volgt 1 4- 4ns 4nmp K = = 1 H — . 1 + 4tts0 1 + 4tc£0 Daar p met de dichtheid van het gas evenredig is, wordt door deze vergelijking vooreerst bevestigd, hetgeen door Boltzmann omtrent de betrekking tusschen K en de drukking is gevonden. Is verder n de absolute brekingsindex, dan heeft men, volgens de theorie van Maxwell, n2 = K, dus n*-l= 4™P .. 1 + 4to0 Daar p met de dichtheid d evenredig is, volgt hieruit, dat w2 — 1 voor elk gas standvastig is. Dit is de uitdrukking voor de bekende wet van Arago en Biot x). Past men dergelijke beschouwingen als de bovenstaande op mengsels van gassen toe, waar m voor elk gas dezelfde waarde heeft, als wanneer het niet met andere is vermengd, dan komt men gemakkelijk tot de wet, die door de genoemde natuurkundigen omtrent de brekende kracht van gasmengsels uit hunne waarnemingen is afgeleid. Dat die wet voor verbindingen van gassen niet meer doorgaat volgt onmiddellijk hieruit, dat daarbij moleculen van geheel anderen aard dan de oorspronkelijke, ontstaan zijn, zoodat omtrent de waarde van m hier niets te zeggen is. Ten slotte merken wij nog op, dat men, daar bij dezelfde temperatuur en drukking fi voor alle gassen even groot is, uit de brekingsindices de verhouding der waarden van m in verschillende gassen kan afleiden. § 5. Het behoeft geen breedvoerige toelichting, dat Maxwell's hypothese alle interferentieverschijnselen verklaren kan. Deze toch vinden hun grond in den aard der lichtbeweging, als een golvende voortplanting van trülingen, verbonden met het principe, dat men het beginsel van de coëxistentie der kleine bewegingen genoemd heeft. Dit zegt echter niets anders, dan dat de som van eenige oplossingen der bewegingsvergelijkingen nog een oplossing is, wat onmiddellijk uit de omstandigheid volgt, dat onze vergelijkingen lineair zijn en geen bekende termen bevatten. Klaarblijkelijk kunnen volgens de nieuwe theorie gepolariseerde lichtstralen bestaan. Inderdaad moet de eerste der in § 2 onderzochte bewegingstoestanden als een bundel gepolariseerd licht worden beschouwd. Daarbij kan men dan voorloopig nog twee zaken aannemen, dat nl. de richting der electrische trillingen in het polarisatievlak ligt, of loodrecht daarop staat. ') Zie Wüllner, Experimentalphysik, II, p. 153. Gaan wij thans over tot de behandeling van de terugkaatsing en breking van het licht aan de grens van twee isotrope diëlectrische middenstoffen. Vraagt men alleen naar de richting der teruggekaatste en gebroken stralen, dan vindt men, dat de theoretische verklaring van de wetten, welke die richting bepalen, onveranderd blijft bestaan. Of echter de electromagnetische theorie in alle opzichten de gesteldheid van het teruggekaatste licht juist aangeeft, en daarbij niet op dezelfde bezwaren stuit, die wij in het eerste hoofdstuk ontmoetten, vereischt een nader onderzoek. Daarbij houden wij ons aan de bepalingen, die wij op p. 9 vastgesteld hebben. De grensvoorwaarden (A) van p. 71 nemen dan den volgenden vorm aan jy. _JU = _ |YV| _/V\ JJi ==.5i> = , (9) s1 e2 L\3*/i \3*/J' si s2 ' Ei e2 daar toch het grensvlak loodrecht op de #-as ondersteld is en dus 3

2k ( x z \ L2 = 47:^4 v2a2sina2cos^2 ^1 = —1< cosa2 sina2+^2), N2=—4tu^4v2 a2cosa2cos'jy2 Vs V2 ' terwijl overal !; = £ = M =

sin qx sm q± uit (135) en (14b) de twee grootheden cos q"x cos <7, «i ~7" en a2 — cos qx cos q'x oplossen. Daar echter in (13a) en (13b) en evenzoo in (14a) en (146) dezelfde coëfficiënten voorkomen, moeten de beide oplossingen dezelfde zijn. Men heeft derhalve sin qx cos q\ sin q2 cos q, ai —- = «i en a„ — = «„ _ sm qx cos qx sin q[ cos q[ ' waaruit volgt 1i = ql = q» dus z ■ z z — sin ax px= — sin a" — p{= -sin«2 — pt. Zal dit langs het geheele grensvlak, dus voor alle waarden van z, juist zijn, dan moet men noodzakelijk hebben sin ax = sin«; ax = a."lt (15) sin a, sin a—<16> en Pi>=PÏ = P*. Wij komen dus vooreerst tot de wetten der terugkaatsing en breking en leeren in de tweede plaats, dat aan het grensvlak de phase onzer drie lichtbundels dezelfde moet zijn. Deze omstandigheden brengen het voordeel aan, dat aan de grens ^ = <{£ = ^2 wordt, waardoor de grensvoorwaarden meer eenvoudige vergelijkingen opleveren. De boven reeds gebezigde conditie geeft dan nu de betrekking 1 + ai a2 £1 e2 Verder geeft de tweede der vergelijkingen (10) (1—Vi cos «i = «2 v2 cos a2, (18) terwijl eindelijk uit (12) volgt (1 + «i) (1 + 4tt0j) Vj sin ax = a2 (1 + 4ti02) v2 sin a2. Door (16) en de waarden van vx en v2 in aanmerking te nemen, overtuigt men zich echter gemakkelijk, dat de laatste vergelijking dezelfde is als (17), zoodat men slechts van deze en (18) voor de bepaling van ax en a2 gebruik heeft te maken. Het vraagstuk is dus juist bepaald en men vindt e2 v2 cos a2 — E! vx cos a — — . ^ i y) e2 V2 cos a2 + ex vx cos Een zeer eenvoudigen vorm neemt deze uitdrukking aan, wanneer wij in aanmerking nemen, dat bij een eerste benadering gerustelijk (1 + 4ttQ1)/(1 + 4tt02) = 1 mag gesteld worden. Immers dan is, blijkens (III), fL-ll waardoor (19) overgaat in Vj cos a2 — v2 cos ax sin . M2= 47r^a2V2Cos4/2, T \ v2 v2 ?2=0, Zijn Pj en (32 de hoeken van terugkaatsing en breking voor de longitudinale trillingen, dan kunnen wij voor deze beweging in het eerste medium stellen 5Ï' = — cos Pi cos zoodat men bij een eerste benadering mag zeggen, dat er geen longitudinale trillingen ontstaan. Lost men uit (25) en (28) de onbekenden op, dan vindt men sin at cos a2 — s2 sin «2 cos ^9) Ul sin ax cos a2 + £2 sin a2 cos ai Stelt men ook hierbij (1 + 4tt01)/(1 + 4-02) = 1, dan wordt ei : e2 = Vj : v? = sin2 a2 : sin2 ax en gaat (29) over in sin a2 cos «2 — s'n ai cos ai 01 sin a2 cos a2 + sin cos ax of _ tg (*,-«,) _ (vi) tg (ot! + a2) terwijl uit (25) volgt sina!!" tg (ax £• Ct X iSi of x2s2 ot x3s3 Op dezelfde wijze veranderen de betrekkingen (39) in Daarentegen blijven alle vergelijkingen onveranderd, die dienen ter bepaling van cp en x door yj, £ (u, v, w) en X, [x, v. Evenzoo die, welke de magnetiseerende kracht aangeven, uit een electrische beweging voortspruitende. Eindelijk worden ook de formules voor de electromotorische kracht der inductie, die het gevolg is van een veranderlijken stroom, of van een veranderlijken magnetischen toestand, niet gewijzigd. Neemt men dit alles in aanmerking, dan vindt men, dat (45) en (46) nog gelden, mits men s en 0 met de indices 1, 2 en 3 voorzie. Verder kan men op die vergelijkingen dezelfde transformaties toepassen, die wij in het tweede hoofdstuk hebben gebezigd, en men komt hierdoor ten slotte tot de volgende bewegingsvergelij kingen d /1 + 47ü®I Sy\£3/ 0z\e2/ 0X dt 1 % , , „ s ZM ^&-^aï-j4(1+4"6J-aT' W 1 07] 1 S? dN — ~ -r- = A(l + 4u0o) —— , e2 dx st dy dt 1 0? 1 07] 1 0£ 02 „ — "a—I a—' = — -\- A* k —— , (b) ex dx e2 dy e3 dz dt2 0iV 0M I" 02

, (1) waarbij 2n ( lx + my + nz , A +-T(< i— + ") en v de voortplantingssnelheid der golven is. Uit de vergelijkingen (a) kunnen wij L, M, N bepalen, daarbij weêr in het oog houdende, dat wij een periodieke beweging zoeken en dus constante termen = 0 moeten stellen. Daardoor vinden wij 1 [qn rm\ L= A( l+4A)vW~17rCOS*' M = (— — —) « cos ^, (2) A (1+ 47:0,,) V \c3 *i / 1 / pm ql\ . N \- flcosip, A (1 -f- 47ü0o) V \ e2! welke waarden tevens aan (e) voldoen. Uit (d) volgt verder 87^2 Acp = — {pl + qnt + ?n) « sin ^ , waaraan voldaan wordt door

— l(pi + qm + rn)], q I pl qm rn\ ml \-l ) ) = S2 V E1 e2 e3 / ^ = 4n A2 (1 -f- 47t0o) v2 [q — m {pl -)- qm + rn)], y l pl qm rn\ — n ( 1 1 ) = 3 \si s3/ = 4tc A2 (1 + 47t0o) v2 [r — n (pl + qm + rn)]. Is de voortplantingsrichting, dus l, m, n, gegeven, dan moeten v> P> q> r aan deze voorwaarden, benevens aan P2 + q2 + r2 = 1 (6) voldoen. Door de vergelijkingen (5), resp. met l, m, n vermenigvuldigd, bij elkaar op te tellen, verkrijgt men 0 = 0, zoodat (4), (5) en (6) slechts vier van elkander onafhankelijke betrekkingen bevatten, juist voldoende ter bepaling van p, q, r en v. Men ziet hieruit, dat een bewegingstoestand, zooals wij dien onderstelden, wel mogelijk is, maar dat bij een gegeven voortplantingsrichting niet elke trillingsrichting kan genomen worden. Uit de opgestelde vergelijkingen laat zich verder bewijzen, dat er drie trillingsrichtingen kunnen gevonden worden, die aan de voorwaarden van het vraagstuk voldoen. § 4. Wij zullen alleen de oplossing der vergelijkingen (4), (5) en (6) geven in de onderstelling, die wij reeds in het vorige hoofdstuk maakten, dat e1( e2 en e3 zoo groot zijn, dat men de omgekeerde waarden ervan ten opzichte van de eenheid mag verwaarloozen. Daardoor wordt de vergelijking (4) veel eenvoudiger; zij geeft dan na deeling door 4n pl -f- qrn + rn = A2 k v2 (;pl -f- qm + rn). (7) Hieraan kan vooreerst voldaan worden door 1 v2 = . A2 k Substitueert men dit in (5) ,dan bepalen deze vergelijkingen met (6) op ondubbelzinnige wijze p,q en r. Deze eerste bewegingstoestand komt, zooals uit de waarde voor de voortplantingssnelheid blijkt, overeen met de longitudinale trillingen bij isotrope lichamen, ofschoon hier de trillingsrichting in het algemeen niet meer loodrecht op het golffront staat. (Alleen wanneer 1 /e ten opzichte van 1 /k mag verwaarloosd worden, zou men dit bij een eerste benadering mogen aannemen). Wij zullen echter met dezen bewegingstoestand in het vervolg niet te doen hebben. In de tweede plaats kan aan (7) voldaan worden, wanneer pl + qm + rn = 0. (8) Deze vergelijking drukt uit, dat er in het kristal een beweging mogelijk is, waarbij de richting der electrische trillingen in het golffront ligt. Dit zijn dus zuiver transversale trillingen en de beschouwing daarvan is voor de theorie van het licht van groot belang. Ten gevolge van (8) veranderen de vergelijkingen (5) in JL_, (Ü + ÜÜ+~)_4»XM1+4A)V#.' si \si e2 e3 / ± — m (£ + ^ + ^=4U^2(1 +4ti0o)v2?, (9) V el £2 e3 / s3 V Si e2 £3 / die nog altijd twee van elkander en van (8) onafhankelijke voorwaarden bevatten. Leiden wij derhalve twee dergelijke betrekkin- gen uit (9) af, dan kunnen wij die in de plaats ervan nemen. Wij elimineeren nu vooreerst uit (9) de grootheden pl qm rn £1 S2 £3 en 4tz A2 (1 + 0o) v2. Dit geeft t_ 1_ L i f S i £ 2 £3 I. ■ "°- 0°) P' q> r Ten tweede eümineeren wij uit (9) l, m, n door de vergelijkingen, met p, q en r vermenigvuldigd, op te tellen en daarbij (8) in aanmerking te nemen. Dit geeft p2 q2 r2 4n A2 (1 -f- 47t0o) v2 = ——|- ——| . (11) £1 e2 S3 Voor onze vier vergelijkingen nemen wij nu (6), (8), (10) en (11). De drie eerste bevatten alleen p, q en r, maar v niet en bepalen dus de trillingsrichting. De laatste leert v kennen, zoodra p, q, r bekend zijn. Uit (11) volgt, dat de voortplantingssnelheid op eenvoudige wijze met de trillingsrichting samenhangt. Om ons dit duidelijk te maken stellen wij 4izA2z1{\ +4 tz%) = R\,' 4tzA2z2 (1 -f- 4tc0o) = R\, ■ (12) 4n A2 e3 (1 +4nQ0)=Rl en construeeren een ellipsoïde met de vergelijking V2 ?2 af + VüT1' (£) Zoeken wij dan de lengte R eener halve middellijn, in de richting {p, q, r) getrokken. Men heeft daarvoor 1 p2 q2 r2 R2 = Rf+R[+Rj' of, volgens (12), 1 _ 1 lp2 q2 r2\ R2 4n A2 (1 + 47t0o) \ Si e2 s3 / ' Vergelijkt men dit met (11), dan vindt men, dat 1 v = ~R' d.w.z. de voortplantingssnelheid van transversale trillingen wordt gegeven door de omgekeerde waarde van de halve middellijn, in de ellipsoïde in de richting der electrische trillingen getrokken. Het oppervlak E, dat wij in het vervolg de polarisatieellipsoïde zullen noemen, leert ons ook op eenvoudige wijze de betrekking tusschen voortplantings- en trillingsrichting kennen. Denken wij ons daartoe door het middelpunt der ellipsoïde een vlak gebracht, evenwijdig aan het golffront en zoeken wij de richting van de assen der ellips e, die uit de snijding ontstaat. Wij moeten dan p,qenr zoo bepalen, dat de waarde (13) voor 1 /R2 een maximum of een minimum wordt; daarbij zijn echter p, q en r gebonden aan de voorwaarde pl + qm m = 0, (a) die uitdrukt, dat de gezochte richting in het bedoelde vlak ligt, en aan p2 + q2 + r2=\. (p) Men moet dan, zooals men weet, de totale differentiaal vanl /R2 naar p, q en r gelijk nul stellen; evenzoo de voorwaarden (a) en (B) differentieeren en uit de drie aldus verkregen vergelijkingen dp, dq en dr elimineeren. Uit (13) volgt aldus pdp qdq rdr ~Rf + R[ + lf=0' of, volgens (12), f> q y — dp + — dq -) dr = 0. ei S2 £3 De voorwaarden (a) en ((3) geven Idp -f- mdq -j- ndr = 0 en pdp + qdq + rdr = 0. Door eliminatie van dp, dq en dr komt er ï- JL L. S1 e2 e3 l, m, n P> q, r welke betrekking met (a) en (p) de richtingen der assen bepaalt. Maar, zooals men ziet, zijn de vergelijkingen (a), (p) en (y) juist dezelfde als (6), (8) en (10), die ter bepaling van de trillingsrichting dienen, waaruit volgt, dat deze met die der assen van onze ellips kan samenvallen. Resumeerende hebben wij nu de volgende stelling, die de lichtbeweging in kristallen geheel bepaalt. In een anisotroop lichaam kunnen zich in het algemeen in een gegeven richting slechts twee golfstelsels met transversale trillingen voortplanten. De richting der electrische trillingen moet nl. samenvallen met een van twee onderling loodrechte richtingen, in het golffront getrokken. Die richtingen worden gegeven door de assen der ellips, die uit de doorsnijding van de polarisatieëllipsoïde met een vlak, door haar middelpunt evenwijdig aan het golffront gebracht, ontstaat. De voortplantingssnelheid van een dezer golfstelsels wordt gegeven door de omgekeerde waarde van de daarbij behoorende halve as der ellips. § 5. Dezelfde stelling heeft men ook afgeleid uit de onderstelling, dat het licht in trillingen eener veerkrachtige stof bestaat, en het wordt in verhandelingen over de dubbele breking bewezen,' dat men alle waargenomen verschijnselen — voor zoover zij op dé richting der lichtstralen en de ligging van hun polarisatievlak betrekking hebben — uit die stelling kan afleiden *), mits men aanneemt, dat de trillingen bij een gepolariseerden lichtbundel loodrecht op het polarisatievlak plaats hebben. Dit laatste hebben wij echter reeds in het vorige hoofdstuk moeten aannemen. Uit het verkregen resultaat volgt derhalve, dat de electromagnetische theorie alle bovengenoemde verschijnselen verklaren kan, zoodat een nadere bespreking daarvan niet noodig is. De bepaling van het golfoppervlak, het gebruik daarvan bij de verschillende vraagstukken der dubbele breking, het verband eindelijk, dat er bestaat tusschen de normaal der golven en den lichtstraal, dit alles blijft bij de nieuwe theorie onveranderd. Wij zullen daarom in de volgende §§ alleen in zoo verre op sommige dezer zaken terugkomen, als zij voor de behandeling der terugkaatsing onmisbaar zijn. In één opzicht is de verklaring der dubbele breking, zooals zij uit Maxwell's theorie volgt, eenvoudiger dan die, waartoe de theorie van Fresnel voert. Gelijk men weet, levert deze in de eerste plaats het resultaat op, dat zich in een gegeven richting drie golfstelsels met bepaalde, onderling loodrechte trillingsverschijnselen kunnen voortplanten. Zal men echter de waargenomen verschijnselen kunnen verklaren, dan moet men aannemen, dat twee dezer trillingsrichtingen een zoo kleinen hoek met het golffront maken, dat men ze bij een eerste benadering in het golffront mag stellen. Hiertoe zijn bepaalde betrekkingen tusschen de constanten van het medium noodig en het blijkt niet duidelijk, op welke eigenschappen des aethers die betrekkingen steunen 2). Bij de beschouwingen van de vorige § daarentegen werd het bestaan van zuiver transversale trillingen mogelijk gemaakt door onze onderstelling omtrent s, die wij reeds vroeger hadden ingevoerd. § 6. De electromagnetische theorie van het licht eischt in kristallen voor de drie hoofdrichtingen verschillende waarden van s, dus ook van K; de laatste moeten, zooals men gemakkelijk vindt, door de vierkanten der hoofdbrekingsindices worden opgeleverd. Kon men dus een condensator vervaardigen, bestaande uit twee plaat- ») Inderdaad staat onze polarisatieëllipsoïde in nauw verband met het elasticiteitsoppervlak van Fresnel, zoodat men tot diens theorie der dubbele breking wordt teruggebracht. Men zie omtrent een en ander Beer, Einleitung in die höhere Optik. 2) Men zie Beer, loc. cit., p. 232—237. vormige geleiders, evenwijdig aan elkaar opgesteld en met een gekristalliseerden, homogenen isolator daartusschen, dan zou de capaciteit moeten verschillen, al naarmate de eene of de andere hoofdrichting loodrecht op de beide geleiders stond. Zoo is echter de proef moeilijk te nemen. Een geschikter middel om de afhankelijkheid van K van de richting te bewijzen vond Boltzmann in de door hem ontdekte diëlectrische aantrekking. Ook het bedrag hiervan moet afhangen van de richting, waarin de electromotorische kracht op het kristal werkt. Boltzmann *) heeft nu een paar bollen onderzocht, geslepen uit natuurlijke zwavelkristallen, daarin langs optischen weg de drie hoofdrichtingen bepaald en vervolgens de diëlectrische aantrekking gemeten voor het geval, dat de electromotorische kracht volgens een dezer hoofdrichtingen werkte. Aldus bepaalde hij de volgende waarden van K voor die richtingen 4,773 ; 3,970 ; 3,811 De vierkanten der overeenkomstige hoofdbrekingsindices zijn 4,596 ; 3,886 ; 3,591 Naar de meening van Boltzmann kunnen de hier voorkomende afwijkingen uit de moeilijkheid verklaard worden, om de electromotorische kracht volkomen in de gewenschte richting te laten werken, zoodat men in de opgegeven getallen een bevestiging van Maxwell's beschouwingswijze zien mag. § 7. Wij hebben ons boven bij het onderzoek der trillingen in het kristal voornamelijk met de diëlectrische polarisatie bezig gehouden ; thans zullen wij zien, hoe het daarbij met de andere groot heden gesteld is, die bij de electriciteitsbeweging in aanmerking komen. Daarbij bepalen wij ons tot transversale trillingen. Dan volgt vooreerst uit (3), zooals te verwachten was, dat overal 9 = 0. Beschouwen wij in de tweede plaats de electromotorische kracht F. Daar hare componenten gegeven worden door X= —. Y = —, Z= 1, S1 E2 £3 ') ^ber die Verschiedenheit der Dielectricitatsconstante des krystallisirteu Schwefels nach verschiedenen Richtungen. Ook Pogg. Ann. 153, 525, 1874. Lorentz I g heeft zij niet meerdezelfde richting als de diëlectrische polarisatie p. De polarisatieëllipsoïde kan ons intusschen op eenvoudige wijze het verband tusschen beide leeren kennen. Brengen wij daartoe een raakvlak aan die ellipsoïde in het punt (x', y', z'), waar zij gesneden wordt door de middellijn, in de richting (p, q, r) der diëlectrische polarisatie getrokken. Laten wij vervolgens uit het middelpunt een loodlijn op dat raakvlak neer, dan heeft men, gelijk bekend is, als p', q', r' de richtingsconstanten dier lijn zijn • # . a- • r' = ■ ï- ■ — P ■ q ' R\' R\' R\' Neemt men de waarden van R\, R\, R\ in aanmerking, dan kan men hieruit afleiden * ■X:?-=^:1:±=X:Y:Z. £l e2 S3 S1 S2 e3 Derhalve wordt de richting der electromotorische kracht aangegeven door de loodlijn op het raakvlak. Planten zich in een kristal transversale trillingen, met een plat vlak als golffront, voort, dan zagen wij in § 4, dat de richting der dieëlectrische polarisatie met een der assen van de ellips e moet samenvallen. Trekken wij dan nu door het uiteinde (x', y', z') dier as een raaklijn aan de ellips, dan ziet men gemakkelijk in, dat die lijn loodrecht moet staan op het trillingsvlak — het vlak nl., dat door de voortplantings- en trillingsrichting gaat. Daaruit volgt, dat ook het raakvlak aan de ellipsoïde in het punt (x', y', z') loodrecht op het trillingsvlak staat en dat dus de loodlijn op het raakvlak, derhalve ook de richting van F, in het trillingsvlak ligt. Is dit echter het geval, dan kan men de electromotorische kracht ontbinden in twee componenten Fp en Fv, de eerste in de richting der diëlectrische polarisatie, de andere in de voortplantingsrichting der golven. Voor de eerste heeft men klaarblijkelijk Ft = P I+fi+,l, ^1 e2 £3 waarvoor men kan schrijven H \Ei e2 es / dus, volgens (11), Fp = 4tt A2 (1 + 4tc 0o) v2 p, (14) welke formule geheel overeenkomt met die, welke voor isotrope lichamen geldt. Is verder (3 de hoek, dien de richting van F met die van p maakt, dan is \\ ij kiezen daarbij het teeken van (3 zoodanig, dat Fv positief is, wanneer de richting ervan samenvalt met die, naar welke zich het licht voortplant. § 8. De richting der electromotorische kracht F hangt op eigenaardige wijze samen met die van den lichtstraal. Daar wij dat verband later noodig hebben, zullen wij het kortelijk bespreken. Herinneren wij ons daartoe de wijze, die de leer der dubbele breking aangeeft, om de richting van den lichtstraal te bepalen, behoorende bij een gegeven golffront. Denkt men zich uit eenig punt O in het kristal een lijn getrokken, daarop een stuk genomen, gelijk aan de voortplantingssnelheid der golven, in de richting dezer lijn, eindelijk door het uiteinde van dat stuk een vlak loodrecht op die lijn gebracht, dan is het omhullende oppervlak van alle dus verkregen vlakken het golf oppervlak. Wil men nu bij een gegeven golffront de richting van den lichtstraal bepalen, dan brenge men aan het golfoppervlak een raakvlak, evenwijdig aan dat golffront; de lijn, die van 0 naar het raakpunt voert, geeft de gezochte richting aan. De vergelijking van het golfoppervlak in vlakcoördinaten g, ty, j (zoo gekozen, dat een vlak, met de coördinaten £, t), j, tot vergelijking op puntcoördinaten heeft %x + Ijy + jz = 1) is x) [£2 + »2 + J2] [£2 v| Vg + y v* v* + j* v* v*] _ - CS2 K +V2) +t)2 (v| +v2)+5* (v*+vf)] + ï = / (S, j) = 0. (16) Hierbij is 0 als oorsprong gekozen, terwijl v1( v2, v3 de voortplantingssnelheden van golven zijn, waarbij de electrische trillingen resp. in de richting der y-, z-as plaats hebben. Fy = FP ■ tg P • (15) *) Beer, loc. cit., p. 321. In de analytische meetkunde wordt verder bewezen, dat de coördinaten van het raakpunt bij (16) evenredig zijn met de eerste afgeleiden van het eerste lid der vergelijking naar %, t), J, wanneer men daarin voor deze grootheden de coördinaten van het raakvlak neemt. Zijn derhalve l', m', n' de richtingsconstanten van den lichtstraal, dan worden deze bepaald door „ , , 3/ . 3/ . 3/ V : m' : n = — : — : —. 0S Voert men de differentiatie uit en neemt in aanmerking, dat volgens onze vroegere notatie l m n 1 ï = 7' " = V's= V' y=R' dan vindt men, dat l' : m' : n' = P1 : P2 : P3, (17) wanneer men stelt P1= lvlv23R2+ l{v 1+vD , P.^mvJvï/P+mR^PvivS+w'vX+w'vïv;]—«(vJ+vÖ, (18) P3= «V2V2i?2 + «^[^Vlvt-|-Wi!v|v?+«2\^\^]— «(vj+vj) • Vermenigvuldigen we deze grootheden resp. met mr — nq, np — Ir, Iq — mp en tellen we ze daarna op. Aangezien l(mr — nq) + m(np — Ir) + n[lq — mp) = 0, kan men voor de uitkomst schrijven Q = i?2 [l(mr—nq) v2v2 + m{np—lr) v* vj + n{lq—mp) v2v2] + + [l(mr—nq) v2 + m(np—lr) \\ + n(lq — mp) V3]. Neemt men verder de waarden van v, Vj, v2 en v3 in aanmer- king, dan kan men de vergelijkingen (9), na deeling door 4n A2 (1 -f 4tt0o) v2, schrijven in den vorm p — R2 [p \l — l(lp vf + mq x\ -f nr v^)] = 0, q—R2[q\l—m{lp\\ + mqxl + nr\l)\ = 0, (19) r — R2 [r v| — n(lp v* + mqx\ + nr v|)] = 0. Door deze achtereenvolgens te vermenigvuldigen met mn (v* — vf), nl (v| — x\), lm (v2 — v2) en op te tellen, neemt het eerste lid der nieuwe vergelijking juist den vorm aan, dien wij boven voor Q neerschreven. Daaruit volgt Q = Pi (mr — nq) + P2 (np — Ir) + P3 (Iq — mp) = 0 en dus, volgens (17), ook l' (imr — nq) + m' (;np — Ir) + n' (Iq — mp) = 0. Deze vergelijking drukt echter uit, dat de richting (l', m', n') met de richtingen (/, m, n) en {p, q, r) in één plat vlak ligt, dat derhalve de lichtstraal in het trillinsgvlak is gelegen. In de tweede plaats vermenigvuldigen wij de vergelijkingen (18) met p vj, q x\, r v2 en tellen op. Daar pl + qm + ra = 0 , vindt men hierdoor pi P v? + P2 q + P3 r v| = = R2 (l2 x\ V3 -f m2 v2v2 -f- n2 v2 v2) (lp v2 + mq v2 -f- nr v2) — — pl (v2 + vf) vjf — qm (v| + v2) x\ — rn (v2 + v|) v^. Het tweede lid dezer vergelijking is echter 0, zooals men kan bewijzen door de vergelijkingen (19), met l v2 vs. ^ v2 v2, n v2 x\ vermenigvuldigd, bij elkaar op te tellen. Men heeft derhalve Pi P v? + P2 q v2 + P3 r v^ = 0. Neemt men (17) in aanmerking, benevens de waarden van vi> v2> v3> dan kan men hiervoor schrijven i> Q r l' JL + m' -i- + n' — = 0. el e2 e3 Daar £/s1( q\zit r/e3 evenredig zijn met de richtingsconstanten der electromotorische kracht F leert ons deze vergelijking, dat de lichtstraal loodrecht op F staat. Door de verkregen resultaten is de richting van den lichtstraal, die bij een gegeven golffront behoort, geheel bepaald. Het blijkt tevens, dat de in de vorige § ingevoerde hoek p ook de hoek is, dien de lichtstraal maakt met de normaal op het golffront. § 9. Als een bevestiging onzer formules kan nog de uitdrukking dienen, die zij voor de magnetiseerende kracht G opleveren. De componenten daarvan worden gegeven door (2), waarvoor men kan schrijven L = (Yn — Zm), A (1 + 47T0O) v V M = ^ (Zl — Xn), A (1 + 47r0o) v V N = (Xm — Yl), A (1 + 47.00) v V en deze vergelijkingen hebben een eenvoudige meetkundige beteekenis. Zetten wij in de voortplantingsrichting een stuk 1 A (1 + 4ti0o) v uit en construeeren wij op dat stuk en de electromotorische kracht F als zijden een parallelogram, dan zijn L, M, N de componenten eener lijn, loodrecht op het vlak daarvan getrokken, terwijl de lengte dier lijn door den inhoud van het parallelogram wordt gegeven. Daaruit volgt, dat de richting der magnetiseerende kracht in het golffront ligt en wel loodrecht op de trillingsrichting. Let men bovendien op de zijde, naar welke de lijn G moet getrokken worden, en die door de gesteldheid van ons assenstelsel bepaald is, dan komt men daaromtrent tot hetzelfde resultaat, dat wij in § 2 van het vorige hoofdstuk voor isotrope lichamen vonden. Daar verder de hoek, dien F met de voortplantingsrichting maakt, i71 P is. heeft men voor den inhoud van het parallelogram en dus voor G | P G — P cos B = 2 ^(1+4ti0o)v h A (1 + 4tz60) v ' of, volgens (14), G — 4k A v p, (20) welke formule ook met de in 't vorige hoofdstuk gevondene overeenstemt. Deze uitkomst, dat de magnetiseerende kracht op volkomen dezelfde wijze bepaald wordt, als bij isotrope middenstoffen, was te verwachten, daar wij van de verschillende waarden, die 1 + 47T0 voor de drie hoofdrichtingen aanneemt, hebben afgezien. Het gevolg daarvan is, dat, evenals in het vorige hoofdstuk, de magnetiseerende kracht uitsluitend van de electrische beweging afhangt. Alle grootheden, die bij de lichtbeweging in kristallen in aanmerking komen, zijn door de bovenstaande beschouwingen van de polarisatieëllipsoïde afhankelijk gemaakt. Hierdoor heeft men het voordeel, dat men niet meer gebonden is aan de bijzondere coördinaatassen, die wij in het begin van dit hoofdstuk kozen. Integendeel, men kan nu aan de assen een willekeurigen stand geven; is dan ook aan onze ellipsoïde ten opzichte der nieuwe assen de juiste ligging aangewezen, dan kan men daaruit door meetkundige beschouwingen alles afleiden, wat men wenscht te weten. § 10. Bij het onderzoek omtrent de terugkaatsing en breking van het licht door kristallen zou men, strikt genomen, een dergeüjken weg moeten inslaan, als in § 7 van het derde hoofdstuk. Men zou dus ook die trillingen in de berekening moeten opnemen, die met de longitudinale beweging in isotrope lichamen overeenkomen. Door dan echter later e zeer groot te stellen, zou men vinden, dat de bedoelde trillingen buiten rekening gelaten mogen worden. Om onze formules niet al te samengesteld te maken, zal ik liever den in § 8 van het vorige hoofdstuk aangegeven weg volgen. Wij wijzigen dus onmiddellijk de grensvoorwaarden door de onderstelling omtrent 1/e in te voeren en zullen dan aantoonen, dat aan de aldus vereenvoudigde conditiën kan voldaan worden, door alleen transversale trillingen in rekening te brengen. Bovendien zullen wij in de grensvergelij kingen aan 1 + 4ti0 voor beide middenstoffen dezelfde waarde toekennen. Bepalen wij ons nu tot het geval, dat men met een isotroop medium en een kristal te doen heeft. Onderscheiden wij het laatste door accenten van het eerste, dan kunnen wij vooreerst de voorwaarden (A) in den volgenden vorm schrijven waaruit men kan afleiden dat, wanneer h een willekeurige richting en Fh de component der electromotorische kracht in die richting is, de betrekking geldt +(£)'• <21> Hierbij komt nog de vergelijking (21) van het tweede hoofdstuk. Is n de normaal aan het grensvlak, dan kan men daarvoor schrijven _ (M = 4* {« (5 -1') + 6fo - V) + c(ï - £')} • (22) dn \dn/ Neemt men in (21) vooreerst voor h de richting n, dan is dn \dn) n " en door

0. Voor den teruggekaatsten lichtbundel moet, in plaats van a, geschreven worden 180° — a; men heeft derhalve daarvoor L = 4tc Av sin a . p cos to, M = 4n Av p sin w, N = 47ï Av cos a . p cos co, Z = — 4-k. A2 (1 + 4tc0o) V2 cos a . p sin w . Voor een golf stelsel in het tweede medium kunnen de waarden op dezelfde wijze worden neêrgeschreven; alleen levert hier nog Fv een component volgens de 2-as op. De waarde hiervan is gemakkelijk in rekening te brengen; aldus komt er voor een gebroken lichtbundel L' = 4tz Av' sin a'. p' cos o>', M' — 4-k Av' p' sin w', N' = —4n Av' cos a' . p' cos u>', Z' = 4n A2 (1 + 47t0o) v'2 (cos a' sin a>' + sin a' tg (3) p'. Is de amplitudo van het invallende licht 1, die van het teruggekaatste licht a en die bij een gebroken golfstelsel a', dan is po = cos , p = a cos , p' = a' cos = tg co' . . ^ , sin (a — oc) of sin2 a' tfr ft tga> = -tgo>'cos(oc + a') + , . ëP (34) cos co sin (oc — a ) Men kan hiervoor ook schrijven, als men (33) in aanmerking neemt cos (« + oc') 2 sin 2 oc sin2 oc' tg S tg g, g' het verband go : g '■ g' — sin a : a sin a : a' sin a' en hierdoor gaat bovenstaande vergelijking over in (go — g2) sin « cos a = g'2 (sin a' cos x' + sin2 a' sin co' tg (3). Komen in de plaats van de componenten L, M, N de verplaatsingen der aetherdeeltjes, dan moeten hierin g0, g en g' door b0, b en V vervangen worden, waardoor men juist tot (41) komt. Hiermede is aangetoond, dat de magnetiseerende kracht in de eene theorie en de verplaatsing der aetherdeeltjes in de andere op dezelfde wijze wordt bepaald. Gemakkelijk kan men daaruit afleiden, dat men bij beide beschouwingswijzen tot dezelfde resultaten moet komen. Nadat het ons aldus gebleken is, dat de hypothese van Maxwell even goed van alle bij de kristallen waargenomen verschijnselen rekenschap kan geven als de theorie van Neumann, kan ons de keus tusschen beide niet moeilijk vallen. Want, zooals wij m het eerste hoofdstuk zagen, Neumann kon zijne resultaten alleen verkrijgen door de voorwaarden van het vraagstuk gedeeltelijk achterwege te laten. Daardoor missen zijne beschouwingen een vasten grondslag. Bij de nieuwe theorie zijn daarentegen steeds alle omstandigheden in aanmerking genomen, en hierom verdient zij ontegenzeggelijk de voorkeur boven die van Neumann. VIJFDE HOOFDSTUK DE TOTALE REFLECTIE § 1. In de vorige hoofdstukken werd stilzwijgend ondersteld, dat bij de terugkaatsing van het licht ook een gebroken straal ontstaat, een onderstelling, die niet altijd vervuld is, daar er totale terugkaatsing kan plaats hebben. Thans zullen wij de wijzigingen bespreken, die de verkregen resultaten in dit geval ondergaan. Reeds Fresnel *) slaagde er in, uit zijne vergelijkingen voor de gedeeltelijke terugkaatsing uitdrukkingen af te leiden, die van alle eigenschappen van het totaal gereflecteerde licht rekenschap geven. Toch kan men niet zeggen, dat zijne behandeling van dit onderwerp niets te wenschen overlaat. Zooals men weet is het uitgangspunt zijner beschouwingen het optreden van imaginaire grootheden in de voor de amplitudo van het teruggekaatste licht gevonden uitdrukking. Te recht is Fresnel van oordeel, dat, ondanks die imaginaire grootheden, de formules nog steeds de oplossing van het vraagstuk bevatten. Hij maakt vervolgens de gissing, dat een complexe uitdrukking voor de amplitudo gelijk staat met een bepaalde phaseverandering en werkelijk levert hem dit vergelijkingen op, die door de waarnemingen gestaafd worden. Waarom die gissing juist moet zijn wordt echter niet recht duidelijk, terwijl bovendien de theorie van Fresnel in zoo verre een leemte vertoont, dat zij niet weet aan te geven, op welke wijze bij de totale reflectie de lichtbeweging in het tweede medium indringt. Dat werkelijk dat indringen plaats heeft was aan Fresnel bekend en hij spreekt zelf de wenschelijkheid uit, om ook dit verschijnsel uit de theorie af te leiden en aldus een volkomen verklaring van de totale reflectie te leveren. Hij heeft zich dan ook reeds voorgesteld, de zaak aan een strenger onderzoek te onderwerpen, maar hiervan is in zijne Oeuvres complètes niets te vinden. ') Fresnel, Oeuvres complètes, T. I, p. 781 en vlg. Later zijn echter de vergelijkingen voor de totale terugkaatsing langs veel meer bevredigenden weg afgeleid. Zoo vindt men b.v. bij Eisenlohr x) formules, die het vraagstuk geheel oplossen, ook wat de beweging in de tweede middenstof betreft. Vreemd mag het daarom zeker heeten, dat men in de meeste — althans in de mij bekende — leerboeken nog steeds bij de theorie van Fresnel blijft staan, ofschoon deze stellig door een betere kan vervangen worden. § 2. Zien wij vooreerst, wat er bij de totale terugkaatsing van het gereflecteerde en gebroken licht wordt. Wij bepalen ons daarbij tot isotrope middenstoffen, daar toch bij de kristallen dezelfde redeneeringen kunnen toegepast worden. Wij komen daarbij (ofschoon langs eenigszins verschillenden weg) tot dezelfde formules als Eisenlohr, met dit onderscheid intusschen, dat wij de begrippen en de notatie der electromagnetische theorie ten grondslag leggen. Is vooreerst het invallende licht in het invalsvlak gepolariseerd, dan wordt bij de gewone terugkaatsing de geheele lichtbeweging bepaald door de in § 6 van het derde hoofdstuk voor vj, L, N aangegeven waarden, waarbij, zooals wij toen vonden sin (oq — a2) 1 sin (aL + a2) en Zo sin a, 2 sin ax cos ax «, = — (1 + «i) = • • , i x • 2 Si sm a2 sin (ax + a2) Bovendien is p'x = p'[ = pit x" = «i en sin a2 — n sin x1, wanneer wij den brekingsindex 1 jn noemen. Zoo lang aan de hier neergeschreven voorwaarden voldaan is, maken de waarden van 7], L, N een juiste oplossing van de bewegingsvergelijkingen en de grensvoorwaarden uit. Dit zal ook nog het geval zijn, wanneer onze voorwaarden voor a2 een onbestaanbare waarde geven, mits men bij alle herleidingen de in het algemeen voor complexe grootheden geldige regels in het oog houdt. Daardoor verkrijgt men dan voor 7), L en N een stelsel complexe waarden, die echter nog steeds aan alle vergelijkingen van het vraagstuk voldoen. x) Pogg. Ann. 104, 350, 360, 1858. Werkelijk wordt a2 onbestaanbaar, wanneer n > 1 is en de invalshoek den grenshoek overschrijdt. Dan toch wordt sin a2 < 1, en dus cos a2 = i\/n2 sin2 x1— 1. Hierdoor worden de uitdrukkingen voor a1 en a2 complex; gemakkelijk vindt men 1 + n2 cos 2 ocj .2n cos a 1 \/w2 sin2a, — 1 .,. «i = ; 5 1 • 2 , (1) n2 — 1 n2 — 1 cos2 ax . 2 cos oc! vV sin2 at — 1 /ov a, = 2 ï . —— = , (2) n2—1 n(w2—1) w waarvoor wij kortheidshalve schrijven a1 = b -\- ci, a2 = b' + c'i. Voor het invallende licht blijft natuurlijk 271 x z Th - cos — (t cos x1 sin + p) ; (3) 1 Vj Vj de uitdrukking voor het teruggekaatste licht wordt 2tc x z li = (b + c *) cos (* H cos ax sin otj + p), (4) 1 Vj Vj en eindelijk die voor het gebroken licht In x z fit = ib' + c' i) cos ~fr (t y/n2 sin2at— 1 • * -sin ctj^+p). 1 V2 Vj Stelt men (< — ^-sin ax + £) = x (5) 1 vi en 2-k 1 -=-•—Vw2sin2a!—1 = r, (6) -t v2 dan geeft de laatste vergelijking f\t~ \ {b'{erx -f- e rx) cos / — c' (eTX— e~^x) sin ■/} + + i.\ {b' [erx — e~^x) sin x + c' (erz + cos yj. (7) Bij (3), (4) en (7) behooren dan verder de volgende uitdrukkingen voor de magnetiseerende kracht L'1= 4nA vx sin ax. , N'1= — 4n A v1 cos ax. vji, L\ = 4n A Vi sin x1. , 2VJ = 4n A Vj cos 04. r\[, L2 = n . 4n A Vasina!. y]2, Nt = —i . 4nA v2-v/n2sin2a1— 1 .?)2. Hiermede is het stelsel complexe waarden, dat aan onze vergelijkingen voldoet, geheel aangegeven. Nu zijn echter zoowel de bewegingsvergelijkingen als de grensvoorwaarden lineair ten opzichte van I;, 'f\, L, M, N, 9 en hunne differentiaalquotienten, terwijl er geen term voorkomt, die niet een dezer functiën bevat. In dit geval is het bekend, dat, wanneer een stel complexe waarden aan de vergelijkingen voldoet, ook een juiste oplossing verkregen wordt, wanneer men overal alleen het reëele of alleen het imaginaire gedeelte neemt. Doen wij dit, dan komen wij tot de twee volgende oplossingen 2-k , x z . a. = cos — (t cos «j sin ax + P), T \1 vx 2n , x z . 7){=b cos — (t H cos ax sin «1 + P)» I vx vx 2tc z 7)2 = \ {b' (erx + e~^x) cos — —sin ai + P) ~ * vi 2tc z — c' (erx — e~^x) sin — (t sin ax + p)}, v T vx b. Tjj' = 0, 2n x z . r? = c cos — (t -1 cos aj sin ax + p ), 11 T vx V! 2n z = i {b' ierx — e~^x) sin V sin ai + ^') + vi 2 ^ + c' (erx + e~^x) cos {t sin ai + p')}, v T v, waarbij wij in het tweede stel p' in plaats van p hebben geschreven, daar hier p' elke willekeurige waarde mag hebben. De uitdrukkingen voor de magnetiseerende kracht zijn kortheidshalve achterwege gelaten, daar zij gemakkelijk aan de gegeven vormen zijn toe te voegen. Men moet a en b als twee bijzondere oplossingen onzer vergelijkingen beschouwen en men kan daaruit, daar deze lineair zijn, op bekende wijze zoovele oplossingen afleiden, als men wil. Is echter het invallende licht, dus tj/, gegeven, dan mag men nog slechts in b alle grootheden met een willekeurige constante C vermenigvuldigen, en ze vervolgens bij de overeenkomstige waarden van a optellen. Daar hierbij nog C en p' willekeurig zijn, ontstaat de vraag, hoe wij zullen beslissen, welke oplossing aan de werkelijkheid beantwoordt. Daartoe is het niet genoeg, dat een stel waarden aan de bewegingsvergelijkingen voldoet, maar wij moeten overwegen, of de daardoor uitgedrukte bewegingstoestand wel ontstaan kan, wanneer eerst alleen in het eerste medium beweging bestond en van daar uit aan het tweede werd meêgedeeld. Ofschoon nu het onderzoek naar de wijze, waarop die mededeeling plaats heeft, zeer omslachtig is, kan men toch ééne zaak gerustelijk aannemen, dat er nl. geen bewegingstoestand kan ontstaan, waarbij in het tweede lichaam, bij toenemenden afstand van het grensvlak, de amplitudo der trillingen hoe langer hoe grooter wordt. Door dit in aanmerking te nemen komen wij tot een bijzondere oplossing der bewegingsvergelijkingen, die, zooals ons zal blijken, met de werkelijkheid overeenstemt. Immers, daar in de tweede middenstof * positief is, moeten alle termen, die erx bevatten, verdwijnen. En dit is alleen mogelijk, wanneer C = \, ^p' = p — | y wordt gesteld. Hierdoor komt men tot het resultaat , .. , * z . — b cos — (t -| cos ax sin a, 4- p) 4- T Vj Vj I i • 27r , x z . 4- c sin — (t 4- — cos ax — — sin -f p), (8) 7)8 = b' e~^x cos ~ (t— — sin Kl + p) + vi + c' sin ~ (t— — sin Kl + p). (9) Vi Men zou hierbij gemakkelijk de uitdrukkingen voor de magnetiseerende kracht kunnen voegen; men zou dan vinden, dat ook hierbij de termen erx zijn weggevallen. Van de beide formules (8) en (9) komt inderdaad de eerste, die het teruggekaatste licht bepaalt, overeen met de resultaten van Fresnel. Verder wordt door de tweede aangegeven, hoe bij de totale reflectie de lichtbeweging in het tweede medium doordringt. Uit den factor (12) [.L\ = 4nAv sin a . [rj , [A7] — — 4tzA\ cos a . [tj] , waarbij het teeken van den exponent voorloopig willekeurig is. Men overtuigt zich gemakkelijk, dat werkelijk (12) even goed als (11) aan de bewegingsvergelijkingen voldoet. Men kan nu bij eenig vraagstuk vooreerst voor eiken lichtbundel uitdrukkingen van den vorm (12) nemen, hierin alles zoo bepalen, dat aan de grensvoorwaarden voldaan is, en vervolgens overal alleen het reëele gedeelte nemen, dat op zich zelf ook een juiste oplossing zal zijn. Wordt dan bij eenigen lichtbundel cos a imaginair, dan komt in dat reëele gedeelte een exponentieele grootheid voor. Bij een gebroken lichtbundel kan cos a den vorm ki, bij een teruggekaatsten den vorm — ki aannemen, k positief zijnde. In het eerste geval treedt de factor e ±rx, in het tweede eT rx te voorschijn. Aan de conditie, dat de amplitudo bij verwijdering van het brekende of terugkaatsende vlak niet voortdurend mag toenemen, is derhalve zeker voldaan, wanneer men, zooals wij dit in 't vervolg zullen doen, in (12) het onderste teeken neemt. Wij zullen in het vervolg de symbolische waarden (12), waaruit de werkelijke worden afgeleid door alleen het reëele deel te nemen, door insluiting in haakjes van deze onderscheiden. Het spreekt van zelf dat men, wanneer het licht in een ander dan het xz-vla.k gepolariseerd is, evenzoo te werk kan gaan. Wilde men, langs den hier aangewezen weg, de terugkaatsing behandelen van licht, dat in het invalsvlak gepolariseerd is, dan moest men het invallende, teruggekaatste en gebroken licht eerst voorstellen door de symbolische uitdrukkingen — i— (« —oos at— — Binai + p) M ^ T Tl 2tc x z i i \ — i^r(( + —cos ai — — slnai+p) r "i „ „ j Vj *i [yji] — ai e > — i (t— — cosa> — sin oïi+p) Trui = ane v' * ha] Uit de grensvoorwaarden vindt men dan, als vroeger, ax = sin (aj — a2) sin ax 2 sin ocj cos ax sin (ax + a2) ' #2 — sin (ax + a2) sin a, 2 Ten slotte moest men dan alleen het bestaanbare gedeelte nemen. Daarbij moet dan onderscheiden worden, of de invalshoek kleiner of grooter dan de grenshoek is. In het eerste geval zijn cos a2, ax en a2 bestaanbaar en men komt dan tot de resultaten van het derde hoofdstuk. In het tweede geval is cos a2 imaginair, dus en a2 complex en door nu alleen het reëele deel te nemen verkrijgt men de boven voor de totale reflectie gevonden formules. Het gebruik der symbolische waarden stelt ons dus in staat, de gedeeltelijke en de totale terugkaatsing op dezelfde wijze te behandelen 1). § 5. Ik zou hierbij niet zoo lang hebben stil gestaan, indien zich niet bij de totale reflectie eenige omstandigheden voordeden, waarvan de bespreking niet van belang ontbloot is. Terwijl namelijk door Jamin en Quincke is aangetoond, dat de formules voor het totaal gereflecteerde licht door de waarnemingen worden bevestigd, is de juistheid der formules voor het ingedrongen licht nog niet met denzelfden graad van zekerheid bewezen. En ik acht dit te meer van belang, omdat men soms omtrent de verschijnselen, waarvan hier sprake is, andere begrippen koestert dan die, waarop de hier gegeven uiteenzetting steunt. De zaak is b.v. zoo opgevat, alsof het licht, na tot op een bepaalde diepte iii het tweede medium te zijn doorgedrongen, uit het inwendige daarvan werd teruggekaatst en men meende dan in die dubbele terugkaatsing de oorzaak te zien van de phaseverandering bij de totale reflectie. Dit strookt niet met de boven gegeven beschouwingen. Deze gelden voor het geval, dat de twee lichamen scherp van elkander zijn gescheiden. Al neemt nu ook de tweede middenstof aan de beweging deel, dit geeft ons nog geen recht, van een terugkaatsing uit het binnenste daarvan te spreken, iets, dat men zich trouwens niet gemakkelijk zal kunnen voorstellen. Een tweede omstandigheid, die een verificatie der verkregen formules wenschelijk maakt, is deze, dat niet elke theorie dezelfde *) De methode, die wij hier leerden kennen, is steeds door Cauchy bij vraagstukken omtrent trillende bewegingen gebezigd. beweging in het tweede medium vereischt. Immers, wanneer men uitgaat van de onderstelling, dat het licht in trillingen eener veerkrachtige stof bestaat, dan ontstaat vooreerst een beweging in de tweede middenstof, zooals wij die boven hebben gevonden, beantwoordende aan een golfstelsel met transversale trillingen bij de gewone terugkaatsing. Maar, wanneer de trillingsrichting in het invalsvlak ligt, zou daar nog een tweede dergelijke beweging bijkomen, afkomstig van de longitudinale trillingen, die men in de berekening heeft moeten opnemen. Het zou nu kunnen gebeuren, dat bij verschijnselen, waar de eerste beweging merkbaar wordt, ook de tweede een rol speelt. Het is daarom als een steun voor de electromagnetische theorie niet geheel zonder gewicht, wanneer wij aantoonen, dat zich de waarnemingen omtrent het ingedrongen licht geheel laten verklaren door de opgestelde vergelijkingen, waarbij — ten gevolge onzer onderstelling omtrent s — is aangenomen, dat er geene longitudinale trillingen ontstaan. § 6. Om te bewijzen, dat bij de totale reflectie ook het tweede medium aan de beweging deel neemt, is reeds door Newton de volgende proef genomen. Een glazen prisma A met een gelijkbeenigen rechthoekigen driehoek tot grondvlak en een tweede prisma B, van A alleen verschillende door dat het schuine zijvlak niet plat, maar een weinig bol is, worden met deze zijvlakken tegen elkander gedrukt. Men kan dan op bekende wijze éen lichtbundel door het schuine zijvlak van A een inwendige terugkaatsing doen ondergaan onder een invalshoek, grooter dan de grenshoek. Is B niet aanwezig, dan is in dit geval de terugkaatsing totaal en neemt men geen gebroken straal waar. Is echter B tegen A aangedrukt, dan gebeurt er op de plaats, waar de beide glasstukken het naast bij elkander zijn, iets anders. Daar ontstaat wel een gebroken straal, die zich in B voortplant, terwijl de intensiteit van het gereflecteerde licht kleiner is geworden; het gevolg daarvan is, dat men op die plaats in het teruggekaatste licht een donkere, daarentegen in het doorgelaten licht een heldere vlek waarneemt. Uit deze proef volgt met zekerheid, dat de lichtbeweging in de dunne luchtlaag tusschen de beide prisma's doordringt. Uitvoeriger is het beschreven verschijnsel beschouwd door Quincke. In een eerste reeks van onderzoekingen x) stelde hij zich ') Pogg. Ann. 127, 1, 1866. de vraag, hoe diep de beweging in het tweede medium kan indringen ; de grootste diepte, tot op welke zij kan doorgaan, zou gegeven worden door den afstand der prisma's aan den rand der vlek. Volgens de hier gegeven theorie kan men eigenlijk niet spreken van de grootste diepte, tot op welke de beweging zich uitstrekt (daar zij, met afnemende amplitudo, tot op eiken afstand doordringt) ; wel van de grootste diepte, op welke de amplitudo nog groot genoeg is om een gebroken straal op te leveren, die door ons oog kan worden waargenomen. Hierbij komt dus aan den eenen kant de gevoeligheid van het oog des waarnemers, aan den anderen kant de intensiteit van het invallende licht in aanmerking. In overeenstemming hiermede werd dan ook gevonden, dat de rand der centrale vlek steeds vloeiend uitloopt, en dat de middellijn ervan bij zonlicht veel grooter is dan bij kunstlicht. Hebben dus de metingen van de bedoelde diepte geen absolute waarde voor de theorie, zij hebben wel degelijk een betrekkelijke waarde, wanneer zij nl. aangeven, welken invloed verschillende omstandigheden er op hebben. Hieromtrent vond Quincke het volgende: a. De afstand, tot op welken het licht indringt, neemt met toenemenden invalshoek af. b. Bij invalshoeken, die den grenshoek slechts weinig overschrijden, dringt het loodrecht op het invalsvlak gepolariseerde licht, bij grooteren invalshoek het in het invalsvlak gepolariseerde 't verst in het tweede medium door. c. De bedoelde afstand neemt met de golflengte toe. Daaruit laat het zich verklaren, dat de donkere vlek in het gereflecteerde licht een violetten, daarentegen de lichte vlek in het doorgaande licht een rooden rand heeft. d. Brengt men tusschen de twee prisma's een andere doorschijnende stof dan lucht, b.v. water of terpentijn, dan wordt de diepte, tot op welke het licht indringt, des te grooter, naarmate de brekingsindex meer nadert tot dien van het glas. § 7. Een theorie van het beschreven verschijnsel is reeds gegeven door Stokes 1). Daar hem intusschen geen nauwkeurige metingen ten dienste stonden kan het zijn nut hebben, de uitkomsten der theorie met de latere waarnemingen van Quincke te vergelijken. *) Cambr. Phil. Trans. 8, 642, 1848. De verklaring van de zaak is eenvoudig, nu wij gevonden hebben, dat bij de totale reflectie de lichtbeweging in het tweede medium doordringt. Wordt die ingedrongen beweging door een andere middenstof gestoord, dan zal zij tot een gebroken straal in de laatste aanleiding kunnen geven en tevens gedeeltelijk teruggekaatst worden. De teruggekaatste trillingen zullen weer in de eerste middenstof overgaan en daar de eigenschappen van het gereflecteerde licht wijzigen. Zooals men ziet is de verklaring analoog met die der ringen van Newton bij gedeeltelijke reflectie en men zal dan ook hier, strikt genomen, de herhaalde terugkaatsingen aan de beide grensvlakken in rekening moeten brengen. Verbeelden wij ons nu dan een dunne laag van een doorschijnende middenstof (b.v. lucht), aan weerszijden begrensd door dezelfde glassoort met den brekingsindex n (> 1) ten opzichte van de tusschenliggende stof. Zij de vergelijking van het eerste grensvlak x — 0, die van het tweede x — d, zoodat d de dikte der laag is. Verder make een lichtstraal in het glas den hoek a1; in het andere medium den hoek a2 met de normaal der grensvlakken, dan is sin a2 — n sin ax, welke vergelijking een onbestaanbare waarde voor den hoek a2 kan opleveren. Stellen wij de amplitudo van het invallende licht = 1, dan kunnen wij dit voorstellen door de symbolische uitdrukking —i — (t — coa ai— — Binai +p) [?J = e T waarbij q0 de diëlectrische polarisatie voorstelt. Wij denken daarbij steeds aan een der twee gevallen, dat het licht in, of loodrecht op het invalsvlak gepolariseerd is; deze gevallen kunnen echter tegelijk behandeld worden. Is, wanneer de amplitudo van het invallende licht = 1, die van het teruggekaatste licht a. en die van het gebroken licht m bij den overgang uit glas in het tusschenliggende medium, daarentegen a' en m' bij den overgang hieruit in glas, dan is blijkens de formules van het derde hoofdstuk sin (ax — a2) sin (ax + a2) voor licht in het invalsvlak gepolariseerd en, voor een polarisatie loodrecht daarop, tg (a, — J = mm' e—2Tti['—(«COSai + zain aO Vi + pi]!T en tot een teruggekaatste beweging in de dunne laag jyjj __ a'm g—27tiL<+(xoosai — z8inai)v,+p"]i T De grootheden p' en p" worden hierbij bepaald door de voorwaarde, dat aan het tweede grensvlak, dus voor x = d, de exponenten in [rj, [q'{\ en [r^] dezelfde moeten zijn. Daaruit volgt d d p = p cos a2 -j cos of [, dan is [?1] = a é~^ en [q2] = a'mm' g—2y) > zoodat t0] - . .-tl. | «W 1— a'*e2iV wordt, of, als men (13) in aanmerking neemt, na eenige herleiding 1 Kli~" Evenzoo heeft men voor de totale doorgelaten beweging in het tweede glasstuk [-(b + Ci)* en daaruit, als men (19) in aanmerking neemt, b(e2V— l)2 B = — l)2 + 4c2 e2?' ' c(e*r + 1) (e2r-\) c ~ (ezr — i)z + 4c2 e2r ' Hieruit laat zich afleiden B, + ca„ <«*'-'>' . (20) " + {e'T — 1)* + 4e* r*<' V Om de waarden van D en E te beoordeelen merken wij op, dat men heeft 1 _ a2 = 1 — (b + ei)* -- 1 — b2 + c2 — 2bei = 2c2 — 2bei = — 2ci (b + ci) = — 2ci . a, waaruit volgt D + Ei = — 2ci t J_ar (B + Ci) = 2c . g2ïf_ t (C — Bi). Dit geeft ons eV D = 2c . _ i C, E = — 2c . jv _ j B , dus D2 + E2 = 4ca 1)a {B2 + C2), of, volgens (20), 4c2e2r' .... D2 + E2 — + 4c2 c2Y, , terwijl E B /oo\ De vormen (A) en (B) gaan nu over in [(?] = {B + Ci) e~^, IQ'} = (D + Ei) e~^' en hieruit volgt voor de werkelijke beweging Q = B cos <{/ + C sin ty, Q' = D cos 4>' + E sin — 8), Q' = VD2 + E2 cos (' — 8'), (23) wanneer men sin S = ^ —, cos S = — ^ VB2 + C2 -s/B2 + C2 E D sm S' = , cos S' = V-D2 + E2 VD2 + £2 stelt. Hieruit en uit (22) volgt nog, als men in aanmerking neemt, dat c negatief is en dus £enS dezelfde, D en C tegengestelde teekens hebben S' == 8 + irc. (25) Door deze vergelijkingen wordt het teruggekaatste en doorgelaten licht bepaald voor het geval, dat het licht in of loodrecht op het invalsvlak is gepolariseerd. De grootheden 8 en 8' geven de phase dezer lichtbundels aan, terwijl de amplitudines door V-B2 + C2 en y/D2 -\- E2 worden gegeven. § 9. Neemt men de intensiteit van het invallende licht als eenheid, dan wordt die van den teruggekaatsten of gebroken bundel door het vierkant der amplitudo gemeten. Daaruit volgt voor deze lichtstralen J = B* + C\ J' = D* + E*, dus, blijkens (20) en (21), ƒ + ƒ'=!, wat als een eerste bevestiging onzer uitkomsten kan aangemerkt worden. Wij hebben dan verder slechts / te beschouwen, daar /'= 1—/ hieruit onmiddellijk kan worden gevonden. Uit de uitdrukking (e2ï'_l)2 — I)2-)- 4c2 e2Y' blijkt vooreerst, dat / niet meer, zooals bij gedeeltelijke terugkaatsing, een periodieke functie van y' of van de dikte der laag is. Vandaar, dat bij de boven beschreven proef met de beide prisma's geen interferentiestrepen meer worden waargenomen onder de invalshoeken der totale reflectie. Integendeel neemt / geleidelijk toe, wanneer d, en daardoor y', grooter wordt. Immers, stelt men kortheidshalve e2^' = q, dan kan / in den volgenden vorm geschreven worden T= ? . (26) 1 + 4c2 q/{q — l)2 Differentieert men q/ (q— 1)2 naar q,dan komt er —(q +1) /(q 1)3, wat steeds negatief is, daar y' positief en dus q > 1 moet zijn. Daaruit volgt, dat bij toeneming van d, y' en q, qj(q—l)2 steeds af- en dus / toeneemt. Wordt de dikte der laag en dus y' = 0, dan wordt blijkens onze formule ook / = 0. Dit moest ook zoo zijn, want de twee glasstukken vormen dan één lichaam en in het binnenste daarvan heeft geene terugkaatsing plaats. Kan daarentegen de dikte der laag ten opzichte van de golflengte als oneindig groot worden aangezien, dan is y' = oo en men vindt /=1. Zijn derhalve de stukken glas zoo ver van elkander verwijderd, dan komt men tot het gewone geval der totale reflectie terug, zoodat dan het tweede glasstuk zonder invloed is. Tusschen deze twee uitersten verandert de intensiteit langzamerhand van 0 tot 1. En hiermede is de verklaring der centrale vlek bij de proef van Newton gegeven. Bij dezelfde dikte der luchtlaag en denzelfden invalshoek verkrijgt y' niet voor alle lichtsoorten dezelfde waarde. Ziet men vooreerst van de dispersie af, dan blijft voor twee lichtstralen met verschillende golflengte c dezelfde, maar y' en dus volgens het boven- staande ook ƒ' verkrijgen (blijkens 15) een des te grootere waarde, naarmate de golflengte kleiner wordt. Bij dezelfde dikte wordt dus het violette licht het sterkst teruggekaatst, het roode het meest doorgelaten en daaruit laat zich de aan den rand der vlek waargenomen kleuring verklaren (zie § 6, c). De dispersie, die ook c doet veranderen met de golflengte, oefent hierbij een kleinen invloed uit; die verandering van c is echter zoo klein, dat die van q—(q — l)2 de overhand behoudt. Tot betere beoordeeling van de hier gegeven theorie heb ik voor eenige gevallen de intensiteit van het teruggekaatste en doorgelaten licht berekend. Daarbij heb ik ondersteld, dat het licht in het invalsvlak gepolariseerd is en dat de afstand der glasstukken het vierde deel is der golflengte in lucht van de Fraunhofersche lijn D. Daarbij kwam ik tot de volgende uitkomsten: a. Flintglas — lucht — flintglas. n = 1,6160, Grenshoek = 38° 14', Invalshoek = 45°. 7 = 0,611, 7'= 0,389. b. In plaats van geel blauw licht (streep F). n = 1,628, Grenshoek = 37°54', Invalshoek = 45°. 7 = 0,731, 7'= 0,269. De vergelijking van deze beide resultaten bevestigt het boven omtrent den invloed der golflengte gezegde. c. Alles als bij a, maar de invalshoek = 70°. 7 = 0,933, 7'= 0,067. In overeenstemming hiermede is de opgave van Quincke, dat de middellijn der vlek kleiner wordt bij groot eren invalshoek (§ 6, a). d. Flintglas — terpentijn — flintglas. Geel licht (D). n = 1,0911, Grenshoek = 66°25', Invalshoek = 70°. 7 — 0,279, 7'= 0,721. Vergelijkt men c met d, dan ziet men hierin een bevestiging van hetgeen Quincke omtrent den invloed der tusschenliggende stof opgeeft (§ 6, d). Dat eindelijk ook het in § 6, b gezegde met de theorie in overeenstemming is, blijkt van zelve uit de volgende §§. § 10. De amplitudo en phase van het teruggekaatste of doorgelaten licht zijn niet dezelfde voor de beide hoofdgevallen, die wij, wat de polarisatie van het licht betreft, hebben onderscheiden. Duiden wij door de indices p ens aan, of het licht in, of loodrecht op het invalsvlak gepolariseerd is, dan zijn in het eerste geval de amplitudines VBÏ+Cl en VDl + El, en de grootheden, die de phase bepalen, en S;. In het tweede geval komt in plaats hiervan VB*Tcf en VD*S +El 8S en 8;. Het gevolg van de genoemde omstandigheid is, dat, bij een willekeurige lineaire polarisatie van het invallende licht, de teruggekaatste en gebroken stralen elliptisch gepolariseerd zijn. Men kan bij het teruggekaatste licht door den compensator van Babinet de verhouding der amplitudines k-\/BA±£l f B% + C% en het phaseverschil meten. Evenzoo bij het gebroken licht de grootheden 4, ï/öT+ïf », s, Werkelijk heeft Quincke x) voor een aantal gevallen deze metin- l) Pogg. Ann. 127, 199, 1866. gen verricht. Het phaseverschil A gaf hij daarbij in kwart golflengten aan, zoodat A = |(S8-SP), A' = |(s;-s;). Uit de vergelijkingen van § 8 laten zich formules ter bepaling van k, k', A en A' afleiden. Wat het doorgelaten licht betreft heeft men, blijkens de formule (21), daar voor de beide hoofdgevallen y' dezelfde waarde heeft, ^_D»t + El 4_ 4c® c£V' Dl + El (e2ï'—l)2 + 4cl ' (e2Y'_ 1)2 + 4c2 e2Y' 1 +4c2g/(g-l)2 «+44?/(?-l)a- Hierbij is, evenals boven q = e*r gesteld. De grootheid y' is door (15) bepaald, waarvoor men ook, als G de grenshoek is, kan schrijven , „ d y = 2n n — Vsin (aj + G) sin (aj — G). Hieruit volgt nog d .—- log q = 4n n —. log e . Vsin (Kl + G) sin (Kl — G). Stelt men derhalve d 471 n — log e = s, v welke grootheid nu niet meer van den invalshoek afhangt, dan heeft men ter berekening van q de vergelijking log q = s Vsin (ax + G) sin (ax — G). Verder kunnen de in § 8 voor cv en cs aangegeven waarden in een meer geschikten vorm worden geschreven, wanneer men, behalve G, nog een tweeden hulphoek H invoert, die gegeven wordt door de betrekking cot H = n. (H is dus de polarisatiehoek bij den overgang uit het glas in de tusschenliggende stof). Men vindt dan gemakkelijk fl^ / — — — c„ = — 2 cos a1 V sin («x + G) sin (ax — G), w2 — 1 sin2 H °s v sin (ocj + H) sin (o^ — H) Brengt men deze waarden in de voor k'2 gevonden uitdrukking over en stelt daarbij / m2 \2 q T= 16\^zrrj (?_ 1)2' dan verkrijgt men 1 + t cos2 au sin (ax + G) sin (at — G) . ^ [sin (a!+H) sin(a1—//)/sin2//]2+tcos2 axsin (aj-f G)sin (ax—G) Voor het phaseverschil in het doorgelaten licht volgt uit de vergelijkingen (24) • i EgDp-EpDs ESDV-EVDS sin Att A — sin (8a — , _ —r- ™ t\2 < 772 P V(Dl + ED (D*e + E*) D8 + E8 Brengt men hierin de waarden van D en E uit § 8 over, dan komt er na eenige herleiding ■ia' w 1 + 1 c* Cv sm iix A = k . — . -—-—~ ö—r, 7\2 * 1— 1 c. l+4c2?/(?—1)Z Nu volgt uit de in die § opgegeven waarden van b en c h . u r — 2» cos <*! Vn2 sin2 «j — 1 P 8 8 V N/ (w2 — 1) {cos2 ax + n2 (n2 sin2 — 1)} X {1 + n2 cos 2aj — cos2 ocj + n2 (n2 sin2 ax — 1)} = 2n (n2 — 1) sin2 ax cos at V«2 sin2 aj — 1 cos2 ax + n2 (n2 sin2 ocj — 1) = — 2n sin2 ax cos ax V"w2 sin2 otj — 1 . — s en door dit en de waarde van cp in de uitdrukking voor het phaseverschil te substitueeren verkrijgt men sin in A' = — 2n2sin2»1. k' l±± cos «i ^sin («i + G)sin fa — r ? 1 l+fCOs2a1sin(a1+G)sin(a1—G)' Onderzoekt men het licht, dat door den uitersten rand der centrale vlek gegaan is, dan zal men zonder groote fout voor k' de waarde mogen nemen, waartoe die grootheid nadert bij voortdurende toeneming van den afstand der twee glasstukken. Wordt echter y' = oo, dan wordt t = 0, zoodat men voor den rand heeft k' S™2 ^ sin (aj + H) sin (ax — H) ' Voor het teruggekaatste licht zal ik alleen een formule voor k aangeven. Uit de vergelijkingen van § 8 volgt . i/ff + c: c.i/Dj + 3 I K + <=, V K + ' of sin (ax -f H) sin (a, — H) k = • 2 tj k', (30) sin2 H v ' waarbij k de waarde is, die voor het bij dezelfde dikte doorgelaten licht geldt. §11. Quincke heeft vooreerst uit zijne waarnemingen afgeleid, dat de grootheden A en A', die het phaseverschil aangeven bij het teruggekaatste en het doorgelaten licht, 2 verschillen; het phaseverschil is dus een halve golflengte. Dit blijkt b.v. uit de volgende opgaven: Tabel XIc van Quincke. Flintglas-lucht. n = 1,6160, G = 38° 14'. (Licht, dat door een dunne luchtlaag doorgelaten of teruggekaatst is.) a, A' A ot! A' A 38°50' —0,237 —2,237 45° —0,452 —2,408 39 27 —0,270 —2,211 48 5' —0,535 —2,529 40 3 —0,309 —2,288 51 10 —0,499 —2,516 41 55 —0,364 —2,362 57 13 —0,481 —2,488 43 8 —0,393 —2,393 63 1 —0,418 —2,379 De theorie heeft ons de vergelijking (25) opgeleverd; wij hebben dus Sp = , 8^ = Ss + i n en hieruit volgt derhalve A = A'. Dat Quincke A en A' niet gelijk vindt, maar juist 2 van elkander verschillende, is alleen te wijten aan de door hem bij het aangeven van het phaseverschil bij het teruggekaatste licht gevolgde handelwijze. Wanneer wij het phaseverschil 0 noemen, is het bij hem een halve golflengte. Dit in aanmerking nemende ziet men, dat dit resultaat van de theorie door de waarneming wordt bevestigd. Stelt men zich voor, dat de dikte der luchtlaag voortdurend toeneemt, dan zal A' naderen tot de waarde, die men bij het licht waarneemt, dat door den uitersten rand der centrale vlek gegaan is; A daarentegen wordt het phaseverschil voor het gewone, totaal gereflecteerde licht. Beide waarden moeten dus gelijk zijn °f» bij Quincke, 2 verschillen. Dit werd inderdaad bevestigd. Bij flintglas en lucht b.v. werd in de genoemde gevallen voor A en A' gevonden: Tabel Xlb. A A' a, A A' 38°50' —2,248 —0,149 46°52' —2,610 —0,602 39 27 —2,334 —0,328 47 28 —2,624 —0,617 40 3 —2,425 —0,402 48 5 —2,625 —0,630 40 40 —2,442 —0,399 48 42 —2,606 —0,579 41 18 —2,484 —0,469 51 10 —2,588 —0,635 41 55 —2,528 —0,521 57 13 —2,519 —0^562 43 8 —2,549 —0,558 63 1 —2,446 —0,463 45 —2,588 —0,594 De theorie geeft derhalve het juiste verband aan, dat er bestaat tusschen A voor het licht, dat door den rand der vlek gegaan is, en A voor het licht, dat gewone totale terugkaatsing onderging. Het is echter bewezen, dat in het laatste geval de waarnemingen met de theorie overeenstemmen; derhalve moet dit ook in het eerste geval, wat A' betreft, zoo zijn, zoodat wij ons met die grootheid voor den rand der vlek niet verder behoeven bezig te houden. In een aantal gevallen heeft Quincke k' gemeten voor licht, dat door den rand, en tevens k' en A' voor licht, dat door het midden der centrale vlek gegaan is. Ik heb uit de formules der vorige § die grootheden voor eenige gevallen berekend. Voor het midden der vlek is daarbij eerst uit de waarde, die k' voor den eersten invalshoek heeft, log s berekend en daarmede vervolgens de andere gezochte grootheden. Aldus kwam ik tot de volgende resultaten. Xla. Flintglas-lucht. n = 1,6160; G = 38°14'; H = 31°45'. log s = 0,59051. 1 Midden 1 Rand *' | ^ V waargen. ber. waargen. ber. waargen. ber. 40° 3' 1,589 1,589 -0,399 —0,381 2,049 2,019 41 18 1,507 1,499 —0,394 —0,433 1,817 1,745 43 8 1,378 1,352 —0,470 —0,492 1,557 1,453 46 52 | 1,120 1,075 —0,526 —0,556 1,132 1,083 51 10 0,883 0,846 —0,596 —0,566 0,889 0,839 63 1 I 0,562 0,538 —0,463 —0,447 0,581 0,535 Xlla. Flintglas-water. n = 1,2096; G = 55°46'; H = 39°35'. log s = 0,00930. I Midden I Rand k' ^ ^ waargen. ber. waargen. ber. waargen. ber. 56° 2' ' 1,027 1,027 —0,063 —0,063 1,358 1,441 57 13 1,023 1,025 —0,065 —0,067 1,359 1,350 63 1 1,013 1,007 | —0,106 —0,091 1,031 1,046 XlVfl. Kroonglas-lucht. n = 1,5149; G = 41°19'; H = 33°26'. logs = 9,52214. Midden Rand oc, k' a' k' waargen. ber. waargen. ber. waargen. ber. 42°22' 1,008 1,008 —0,047 —0,054 2,000 2,016 43 41 0,993 1,007 —0,047 —0,058 1,663 1,750 1,216 1,007 —0,270 —0,062 1,394 1,545 49 37 1,031 1,002 0 —0,072 1,077 1,097 58 3 0,963 0,983 —0,025 —0,118 0,738 0,729 70 6 0,941 0,895 —0,117 —0,199 0,552 0,523 De waarnemingen voor het midden der vlek schijnen mij hier vrij groote fouten te vertoonen. Quincke geeft dan ook aan, dat deze metingen werden verricht ongeveer een jaar na het samenstellen der prisma s. In dien tijd kan echter de oppervlakte van het glas aanmerkelijk zijn gewijzigd. XlIIa. Flintglas-terpentijn. n= 1,0911; G = 66°25'; H = 42°30'. Rand ai k' waargen. ber. 66°49' 1,115 1,175 68 26 I 1,080 1,118 69 28 I 1,037 1,085 Lorentz I jj XV a. Kroonglas-water. = 1,1339; G = 61°52'; H = 41°25'. IRand k' waargen. ber. 62°26' 1,220 1,257 64 26 1,137 1,164 71 13 0,957 0,954 Quincke heeft eindelijk bij de twee flintglasprisma s, naast het licht, dat door een dunne lichtlaag gegaan is, ook het op 't zelfde punt teruggekaatste licht onderzocht. Daar wij reeds boven over het phaseverschil hebben gesproken, heb ik alleen voor een paar invalshoeken k', A' en k berekend. XIc. Flintglas-lucht. n, G en H als bij XIa. Doorgelaten Teruggekaatst GCi *' * waargen. ber. || waargen. ber. waargen. ber. 38°50' 1,437 1,389 —0,237 —0,300 0,583 0,583 51 10 0,937 0,866 | —0,499 —0,523 | 0,960 1,032 Hierbij was eerst uit de waarde van k voor den eersten invalshoek de dikte der laag berekend en daarbij gevonden log {a-k —] = 0,56288. Over het algemeen vertoonen, naar 't mij voorkomt, de berekende waarden een bevredigende overeenstemming met de metingen van Quincke. Ziet men van XlVa af, dan bestaat steeds bij beide, wat het grooter en kleiner worden betreft, dezelfde gang. Wel zijn de afwijkingen iets grooter dan die, welke bij Quincke's bepalingen omtrent het gewone, totaal gereflecteerde licht bestaan, maar het komt mij voor, dat die omstandigheid in de mindere nauwkeurigheid haar oorsprong vindt, waarvoor de hier besproken proeven vatbaar zijn. ZESDE HOOFDSTUK de optische eigenschappen der metalen § 1. Dat de metalen zich geheel anders dan de doorschijnende stoffen tegenover het licht gedragen bleek vooral, toen men de wijze, waarop zij dit terugkaatsen, aan een nauwgezet onderzoek onderwierp. Ik zal de verschijnselen, die zich daarbij voordoen, hier bekend onderstellen en dus niet in een uitvoerige beschouwing treden van de hieromtrent door verschillende onderzoekers genomen proeven. Het aantal waarnemingen is hier aanzienlijk en ook de theorie liet zich niet lang wachten. Weldra gaven Neumann en Cauchy vergelijkingen, waaruit de waargenomen verschijnselen konden afgeleid worden. Beiden deelden hunne formules zonder bewijs mede; wat die van Cauchy betreft, is echter deze leemte later door anderen, nl. door Beer en Eisenlohr aangevuld. Door deze natuurkundigen werd bewezen, dat men tot de formules van Cauchy kan geraken door in rekening te brengen, dat zich een lichtbundel in een metaal slechts met voortdurend kleiner wordende amplitudo kan voortplanten. Aldus werden de verschijnselen der terugkaatsing in rechtstreeksch verband gebracht met het voornaamste optische kenmerk der metalen, de ondoorschij nendheid. Wij zullen ons hier met het onderzoek hebben bezig te houden, of de hypothese van Maxwell omtrent den aard van het licht op behoorlijke wijze van de bij metalen waargenomen verschijnselen rekenschap kan geven. Het groote verschil tusschen de metalen en de vroeger onderzochte stoffen vloeit bij deze onderstelling uit hun geleidingsvermogen voort. Wij beginnen derhalve nogmaals met de bewegingsvergelijkingen der electriciteit op te stellen, thans voor een homogeen, isotroop, geleidend lichaam. Daarbij nemen wij voorloopig de geldigheid der wet van Ohm aan, terwijl wij bovendien onderstellen, dat ook hier nog diëlectrische polari- satie bestaat. Om echter niet reeds nu den schijn aan te nemen, dat de laatste onderstelling onvoorwaardelijk noodig is, zullen wij in de vergelijkingen (I)—(V) van het tweede hoofdstuk in de plaats van £, rh £ de componenten u, v, w van den geleidingsstroom invoeren, zoodat wij £ = ex«, •*) = txv, £ - zv.w stellen. Tevens vervangen wij weder X, fi, v door 0L, 0M, 02V, waarbij L, M, N de componenten der magnetiseerende kracht zijn. Onze vergelijkingen nemen dan den volgenden vorm aan dw dv __ 1 + 47t0 , dL x A~dT' du dw _ 1 -f 4tc0 dM x ~dt' ' W dv du _ 1 -f 4u0 dN dx dy x A ~dT' du dv dw 1 A2 d2q> dN dM d2cp du ~aI7 = ^ —^7 — 47rsx — 4izu , oy dz dx dt dt dL dN c2o 3v "&-■& (III) dM dL A 02

+ ^Yfw + m~ü en hierdoor wordt (18) dP 1 3 iTin p+"Ï-ïïw (IV) waarbij du dv dw ^ d x dy dz is gesteld. Voor (40) schrijven wij hier dL dM dN 1 1 1 = —r AY . dx dy dz 4-n:0 Door vervolgens x te elimineeren komt er (V) dx dy dz en % kan nu verder buiten beschouwing gelaten worden, terwijl wij in (i)—(V) onze bewegingsvergelijkingen hebben. § 2. Om vooreerst te onderzoeken, op welke wijze zich in den geleider transversale electrische trillingen met een plat vlak tot golffront kunnen voortplanten, gaan wij uit van de symbolische uitdrukkingen M = M = °> | (1) [v] = ae-2ni(t-xB+p)IT- j Zooals men ziet is, bij de keus van dezen vorm der bijzondere oplossing, aangenomen, dat de voortplantingsrichting met de x-, de trillingsrichting met de y-as samenvalt. Uit (1) volgt vooreerst p = 0. Voorts geeft (IV) dan cp = 0 en hiermede is ook aan (II) voldaan. Verder vindt men uit (I) [L\ = 0, [M] = 0, n\n = — . « e-2™«~xB+p)IT. L J A (1 + 4TC0) Aan (V) en aan de eerste en derde der vergelijkingen (III) is door de aangegeven waarden reeds voldaan; de tweede daarentegen geeft de voorwaarde 2 T R2 = 4tt£ A2 (1 + 4tc0) + i . A2 (1 + 4n0) . (2) In twee opzichten verschilt dit resultaat van hetgeen wij vroeger bij isoleerende lichamen vonden. Vooreerst wordt R2 onbestaanbaar en in de tweede plaats afhankelijk van den oscillatietijd. Hetzelfde is ook met R het geval, zoodat men R = q + ri (3) mag stellen, waarbij q en r uit de constanten van het medium en uit den trillingstijd kunnen worden afgeleid. Neemt men deze waarde van R in aanmerking, dan kan voor [v] en [N] geschreven worden _ a g—Ïltrx/T—ïni(t—qx + p)IT [N] = — (q 4- r i) — a ë~2™xir—27ti«—qx+pVT L J W ' A (1 + 4tc0) en neemt men hiervan alleen het reëele gedeelte, dan wordt de uitdrukking voor de werkelijke beweging 2n v = a e—^rx'T cos —(t — q x -f- -p), N=—ae~2KrxlTj^-^ qco/j (t—qX+p)+rsin j{t-qx+p) . § 3. Uit deze uitdrukkingen blijkt, dat bij de voortplanting der trillingen in het metaal de amplitudo in de voortplantingsrichting hoe langer hoe kleiner wordt, dat er dus absorptie plaats heeft. Dit had men, ook zonder eenige berekening, kunnen inzien. Immers, in een geleider wordt steeds een deel van het arbeidsvermogen der electrische beweging in warmte omgezet. Bestaat dus het licht in electrische stroomingen, dan moet in een geleider de lichtbeweging gedeeltelij kin warmte veranderd,d.w.z. geabsorbeerd worden. Werkelijk zijn alle goede, metallieke geleiders zeer weinig door- schijnend, terwijl de meeste lichamen, die het licht bijna onverzwakt doorlaten, isolatoren zijn. Maxwell *), die het eerst op het verband tusschen het geleidingsvermogen en de ondoorschijnendheid wees, heeft de intensiteit van het licht, dat door een dun metaalblad wordt doorgelaten, met zijne theorie vergeleken. Uit de vergelijkingen (2) en (3) volgt 2 T 2qr = A2 (1 + 4u0), x dus r = — A*(\ + 4710), x daar, blijkens de laatste formules van de vorige §, l/q de voortplantingssnelheid v is. Kent men deze dus en den weerstand x, dan kan men r berekenen en dus vinden, hoe sterk het licht geabsorbeerd wordt. Zeer nauwkeurig kan deze berekening nooit zijn, omdat men x niet met groote juistheid kent, en v nog veel minder. Omtrent de wijze van berekenen geeft Maxwell verder niets aan; hij zegt alleen, dat een dun goudblaadje hem veel doorschijnender bleek te zijn, dan met de theorie overeenkomt. Aangezien nu r en dus de absorptie des te kleiner wordt, naarmate x toeneemt, is deze afwijking in dien zin, dat het metaal voor snel afwisselende stroomen, zooals de lichttrillingen, een kleiner geleidingsvermogen schijnt te bezitten dan voor de stroomen, die wij als zoodanig kunnen waarnemen. En dit moet zoo zijn, wanneer men aanneemt, dat bij veranderlijke stroomen de wet van Ohm slechts bij benadering geldig is, een onderstelling, die wij reeds in het tweede hoofdstuk hebben besproken. Immers, onderstellen wij, dat bij het optreden eener electromotorische kracht de stroom niet onmiddellijk begint met de door de wet van Ohm gegeven intensiteit, maar dat er een zekere tijd noodig is, om hem zoo ver te doen aangroeien, dan kan het gebeuren, dat, bij stroomen van zoo korten duur als de lichttrillingen, de electromotorische kracht niet lang genoeg in dezelfde richting werkt, om den stroom met zijn volle sterkte te doen optreden. Dan moet echter de stroomsterkte steéds kleiner zijn, dan zij volgens de wet van Ohm zijn moest, m.a.w. het metaal zal *) Electr. and Magn. §§ 798—800. zich ongeveer gedragen, alsof het geleidingsvermogen kleiner was dan voor de gewone electrische stroomen. Vertoont dus reeds bij de metalen de theorie afwijkingen van de feiten, nog grooter verschil openbaart zich bij de electrolyten. Wel is hier het geleidingsvermogen veel kleiner dan bij de metalen, maar toch niet zoo gering, dat men zou mogen verwachten, dat verscheidene dezer lichamen, zooals dit toch het geval is, volkomen doorschijnend zijn 1). Het is de vraag, hoe men deze moeilijkheid zal oplossen. Maxwell zegt hieromtrent het volgende: We may suppose, that in the case of the rapidly alternating forces which come into play during the propagation of light, the electromotive force acts for so short a time in one direction that it is unable to effect a complete separation between the combined molecules. When, during the other half of the vibration, the electromotive force acts in the opposite direction it simply reverses what it did during the first half. There is thus no true conduction through the electrolyte, no loss of electric energy, and consequently no absorption of light. Ik betwijfel het, of hiermede de zwarigheid voldoende wordt opgelost. De beschouwingen van Clausius over de electrolyse hebben het waarschijnlijk gemaakt, dat de electromotorische kracht bij dit verschijnsel de verbonden moleculen niet behoeft te scheiden. Integendeel, zelfs de zwakste electromotorische kracht zal onmiddellijk de moleculaire beweging in den electrolyt influenceeren en ik zie niet in, waarom, al werkt die kracht nog zoo kort, hierbij de weerstanden tegen de beweging niet even goed zullen optreden als bij stroomen van langeren duur. Komen echter die weerstanden in het spel, dan zou een deel van het arbeidsvermogen der electrische beweging in warmte overgaan en dus het licht geabsorbeerd worden. Waarschijnlijker komt het mij voor, dat wij ook bij de electrolyten, evenals bij de metalen, de verklaring van de besproken afwijking moeten zoeken in het onvoldoende der wet van Ohm. En dat dit vooral bij electrolyten van grooten invloed moet kunnen zijn is zeker, want wij weten, dat daar bij de electrische beweging een l) Integendeel, wanneer men de formules der vorige § op electrolyten toepast, dan leert de berekening, dat een laag van deze lichamen, waarvan de dikte eenige millimeters bedraagt, het licht aanmerkelijk zou moeten absorbeeren. zekere massa der gewone stof in beweging gebracht moet worden. Intusschen spreekt het van zelf, dat voor een in alle opzichten juiste behandeling van dit onderwerp de moleculaire theorie der electrolyse verder ontwikkeld zou moeten worden. § 4. Wij zullen ons verder bepalen tot de metalen en wel tot het verschijnsel, dat bij deze het best is waargenomen, de terugkaatsing van het licht. Daartoe is in de eerste plaats noodig, dat wij de uitdrukkingen opstellen voor een trillende beweging, die zich niet meer volgens een der assen, maar in eenige andere richting voortplant. Dit is na het onderzoek van § 2 gemakkelijk (door een verandering van coördinaatassen) te bereiken. Men verkrijgt daarbij het volgende resultaat. Ligt de voortplantingsrichting in het xz-vlak en maakt zij met de *-as den hoek Vooreerst kan uit (6) en (9) x geëlimineerd worden; bepaalt men zich ook hier tot het geval, dat de verhouding (1 -f 4tcÖ2)/(1 + 4710!) = 1 mag gesteld worden, (wat alleen bij de sterk magnetische metalen niet geoorloofd is) dan komt er LX = L*. (10) Differentieert men verder (5) naar t, dan kan men uit de aldus verkregen betrekking en (8) de differentiaalquotienten van 9 elimineeren. Dit geeft (1 + i)"f-=" + t,K(1 + i)lr' Daar wij steeds ondersteld hebben, dat voor een isoleerende stof s zeer groot is, mag men in het eerste lid dezer vergelijking den tweeden term ten opzichte van den eersten verwaarloozen. Bij het metaal weten wij voorloopig omtrent e2 niets, maar toch ziet men gemakkelijk in, dat men in het tweede lid onzer vergelijking den derden term mag weglaten, daar hij zeer klein wordt ten opzichte van den eersten. Immers men kan voor den derden term schrijven x du 47T dt of, als x' de waargenomen waarde van den weerstand is, blijkens (16) van het tweede hoofdstuk, 1 x' du 1 -f 4tzz0 4n dt Neemt men nu de waarde van x' en van T bij de lichttrillingen in aanmerking, dan vindt men, dat bij de metalen reeds x' du 4rc dt kleiner is dan u, zoodat men, daar e0 zeer groot is, zonder eenigen twijfel den boven neergeschreven term met betrekking tot u mag verwaarloozen. Onze vergelijking wordt derhalve 0?! du _=„+«,*_ („) en de beteekenis hiervan is, dat de component van den totalen stroom loodrecht op het grensvlak doorloopend is, zoodat aan de grens geen opeenhooping van electriciteit plaats heeft. Daarbij moet dan aangenomen worden (t) ~(T) ■ Xdx^ \ dx /2 wat dan ook uit (8) volgt. Wij zullen nu wederom bewijzen, dat men door alleen transversale trillingen in de berekening op te nemen aan de aldus gewijzigde grensvoorwaarden voldoen kan. Men kon ook hier, evenals in het derde hoofdstuk, beginnen met de onderstelling, dat ook longitudinale trillingen optreden; uit de verkregen resultaten zou dan blijken, dat de amplitudo dezer trillingen ten opzichte van die der transversale mag verwaarloosd worden. Beschouwt men alleen transversale trillingen, dan is, daar overal 9 = 0, aan de voorwaarden, dat cp en de differentiaalquotienten ervan doorloopend moeten zijn, van zelve voldaan. Wij hebben dan nog slechts met de vergelijkingen (4), (7), (10) en (11) te doen. § 6. I. Is vooreerst het invallende licht in het invalsvlak gepolariseerd, dan kunnen wij het voorstellen door M = e~% lL'i\ = sin ai • «~*K. Ki 4n A [iVJ -— cos oc1. e *K, Ki 2n 1 = -jr (t — x i?i cos ax — z sin oq + p), Rx = — . vi Evenzoo schrijven wij voor het teruggekaatste licht M = «i [Z-3 = sin 04 . a1 e~^K, [N£ = ^-cosa.'i.a1e-iK', 271 <\>'i — — (t + x R1 cos sin + p), voor de beweging in het metaal eindelijk (§ 4) 0] = a2 e—i+„ rr n xRz • —ii> f£„] = —— — sin a,. a„ e 1 2J i4 (1 + 47Ï02) 2 [2VJ = *^2 cos a2. a2 .4 (1 + 4tt02) 27C vj/2 = — (2 — x i?2 cos a2 — z R2 sin a2 + />). Hierbij zijn a1; a^, a2 de hoeken van inval, terugkaatsing en breking, alle zoo gerekend, dat de cosinus positief is. De grootheden p zijn bij de drie bewegingen gelijk gesteld, daar toch bij verandering van p de geheele vorm e~1^ slechts met zekeren factor vermenigvuldigd wordt, dien men ook bij a kan voegen. Aan het grensvlak, dus voor x = 0, volgt vooreerst uit de eerste der vergelijkingen (4) — e~ilK + — = x «2 e~vK. (12) e1 Si Daar dit voor alle punten van het grensvlak moet gelden en al en a2 niet van z afhangen, vindt men hieruit gemakkelijk, dat aan de grens <14 = 4*i= 4*2 moet zijn, waaruit volgt // «i = 04 en sin ax = i?2 sin a2. (13) De eerste vergelijking drukt de wet der terugkaatsing uit, de tweede die der breking in denzelfden vorm als bij isolatoren *). Thans wordt (12) 1 -J- #i =x«2. (14) e2 Aan de vergelijking (11), de tweede van (4) en de eerste van (7) is van zelve voldaan. De tweede van (7) geeft ons de betrekking — (1 - «J cos «, = ^(1+4„9i) «, COS «, , welke, na vermenigvuldiging met A (1 + 4*00 = A( 1 + 4*02) den vorm aanneemt 1 — a1 Ri cos ax = i?2 x a2 cos a2, ei of, volgens (13), 1 — a1 . sin a2 cos x1—xa2 sin ax cos a2. (15) Ei Eindelijk geeft de vergelijking (10) 471 ^ /i . \ • X ^2 "KT ('+ S1" «■ = Ta+ISj 51,1 en past men hierop dezelfde transformatie toe, die wij zooeven bezigden, dan komt men tot (14) terug. Derhalve zijn (14) en (15) *) Ik heb hier de wet van breking uit de grensvoorwaarden afgeleid, daar as bij metalen een complexe waarde verkrijgt, zoodat het gewone bewijs voor die wet hier niet doorgaat. de eenige voorwaarden ter bepaling van a1 en a2; men vindt daaruit sin (<*! — a2) ai = • '/ j T' sin (ax + a2) zoodat het teruggekaatste licht wordt voorgesteld door r >n sin (cti «2) ^—2m(t +xKt cos ai—z/Jisin ai +p)IT sin (ax -J- a2) § 7. II. Is ten tweede het invallende licht loodrecht op het invalsvlak gepolariseerd, dan kunnen wij de invallende, teruggekaatste en gebroken beweging voorstellen door [i£] = — sin ax. e—[£[] = cos ax. e~lK 4tc A .., m = K2 = — ax sin [Q = —a1 cos ^ . e~ 4tz A . t „ [M'[\ = Ki [m] = — a2 sin a2. e~vK, \w\ = a2 cos a2. e"-1^„ [MJ = TIHmSJ waarbij <\i'v <\i'[ en ^2 dezelfde beteekenis hebben als in de vorige §. Uit de grensvoorwaarden laat zich ook hier op dezelfde wijze de wet der terugkaatsing en de vergelijking (13) afleiden, wat de waarden van 44, en tp2 aan het grensvlak wederom gelijk maakt. Alsdan geeft de tweede der vergelijkingen (4) — cos ax = x a2 cos a2. (16) £i Evenzoo geeft de eerste van (7) 4n A , . xi?2 -^-(1+«i)-^(1+4tc02)«2. wat, na herleiding, overgaat in 1 "t~ ai . sin a2 = xa2 sin ax. (17) ei Eindelijk volgt uit de vergelijking (11), na deeling door i e^K, 0 + ai) -jT sin <*i = «2 sin a2 ^e2 x ~ + ij . Neemt men nu in aanmerking, dat uit de waarden van R, en R, volgt 97" Rl = 4tt e2 A* (1 + 4tc02) +i A2(l + 47r02) = ~ T 1 \ T» -v ?2 ƒ 2 , . I a 1 l Zn Vej 2tu xsJ 2n xsx \ 2 T ) dan kan men voor de verkregen vergelijking schrijven /i i _ \ 2tt (1 + «i) ~jr sin az = «2sina2-^- — xs1( of, als men (13) in het oog houdt, 1 + ai ■ sin a j = xfl2 sin , ei wat dezelfde vergelijking als (17) is. Daar aan de overige grensvoorwaarden van zelve voldaan is, hebben wij ter bepaling van en a2 alleen (16) en (17). Men vindt daaruit „ _ tg («i — «2) Ci J — — tg («1 + «2) zoodat het teruggekaatste licht nu wordt voorgesteld door rol = —— « + xfl, coa a,—ziï, sin «1 + p)/T /-r>\ tg (ai + a2) • (B) Q is hierbij de (geheele) diëlectrische polarisatie. Lorentz I § 8. De symbolische uitdrukkingen (A) en (B) hebben denzelfden vorm als die, welke voor niet-geleiders gelden. Maar zoodra men, om de werkelijke teruggekaatste beweging te verkrijgen, alleen'het reëele gedeelte neemt, houdt de overeenstemming op. Want bij de metalen moeten wij in 't oog houden, dat R2 en daardoor a2 complex worden, terwijl deze grootheden bij met-geleiders bestaanbaar zijn. Om na te gaan, wat er nu van (A) en (B) wordt, zal ik eemge herleidingen volgen, die door Eisenlohr *) bij de afleiding der vergelijkingen van Cauchy zijn gebezigd. Eisenlohr verkrijgt nl. die formules door in de voor doorschijnende lichamen geldige uitdrukkingen voor den brekingsindex een complexe uitdrukking 0 te stellen; van daar, dat het verdere onderzoek naar de door (A) en (B) voorgestelde beweging grootendeels met dat van Eisenlohr samenvalt. Noemen wij de standvastige verhouding sin a, — = n sin a2 ook hier den brekingsindex, dan is, blijkens (13) en (3) n R1 Ri Voeren wij in plaats van q en r twee nieuwe constanten aenx in, zoodat n — b (18) R i Kx dan zijn deze met q en r door de volgende betrekkingen verbonden 1 _ r CS cos t = —, O Sin T — — en er en t beantwoorden aan 0 en e bij Eisenlohr. J) Pogg. Ann. 104, 368, 1858. Blijkens (13) wordt nu sin (*! sin a2 - e tT, a dus cos a2 = j/1 — e~2iT = P e t- tg («i + a2) , , cos «l „i (t—co) 1 + _ e en hier is 1 — m'2 b„ _ 2m' sin (t — co) l+2m'cos(r—co)+ra'2 ' l-f-2m'cos(T—co)+m'2' o cos ax m' = . P De formules (A) en (B) voor het teruggekaatste licht worden nu 0)2 = («' + a' i) e~*K, [Q] = (b' + b" i) e^K en door hier alleen het reëele deel te nemen verkrijgt men y= Va'2 + a"2 cos (Vi — dp), Q = Vb'2 + b"2 cos (<|£ —dt), waarbij a" b" óp = Bg tg —, ds = Bg tg —. Is derhalve het licht in het invalsvlak gepolariseerd, dan wordt de intensiteit van het teruggekaatste licht gegeven door (1 — m2)2 4- Am2 sin2 (t + co) T = a'2 4- a"2 = - -—- - = p {1 + cos (t + co) + m2}2 1 + m2 ^ - e'; + ")• 2".~ =tg(/-w. (22) 1 + m2 j cos (t + co) . 2ra wanneer 2m cot / = cos (T + Co) . — 1 + m2 of, blijkens de waarde van m, cot / = cos (t + co) sin |2 Bg tg (23) gesteld wordt. De grootheid dp, die de phase bepaalt, wordt gegeven door a" . , 2m *««» = ~r~ — sin (t + co) . i 1 — m2 of tg dp = sin (t + co) tg |2 Bg tg . (24) Is daarentegen het licht loodrecht op het invalsvlak gepolariseerd, dan vindt men op dezelfde wijze voor de intensiteit tgfe —fru), (25) cot g = cos (t — co) sin ^2. Bg tg ^gcos aijj (26) en voor de phase tg d8 =sin (t — co) tg Bg tg ^ °°S ai j|. (27) § 9. De opgestelde vergelijkingen veroorloven uit de constanten van het metaal voor elk der beide hoofdgevallen de intensiteit en de phase van het teruggekaatste licht te berekenen. Daar echter deze grootheden niet voor beide trillingsrichtingen dezelfde waarde aannemen, zal, wanneer het invallende licht op willekeurige wijze lineair gepolariseerd is, de teruggekaatste straal elliptische polarisatie vertoonen. Uit de daaromtrent verrichte waarnemingen is men in staat de verhouding der amplitudines k = ^/I„\IV en het phaseverschil ds — dp te vinden. Daar men vooral deze grootheden heeft gemeten, is het wenschelijk de theoretische waarden daarvoor op te stellen. Men bereikt dit het gemakkelijkst als men Ol^^c' + Ci a' + a" i stelt. Aangezien b' + b" i = VÏ7 (cos d» + * sin ds) en a' 4. a" i = Vh (cos dv + i sin ' wordt dan c' _(_ c" i = k {cos (d8 — dp) + i sin (ds — dp)}, waaruit volgt c" k --- -yV2 + c"2 en tg (da — dp) = — ■ Blijkens de oorspronkelijke uitdrukkingen voor a' + a" i en b' + b" i hebben wij j sin2«! r_i(T+t0) cos (ax + a2) qp cos «! c' -f- C i — r cin2 r* cos (ax — a2) sm a! e—i (T+to) ap cos ax waaruit volgt, als men sin2 x1 „ = m ap cos ax stelt, 1 m"i f 2m" sin (t + o>) c'= l+2w"cos (r+w)+m"2' C ~~ l+2m"cos(T+a))+w"2' Hieruit vindt men ten slotte, wanneer k = tg h, cos 2h — cos (t + co) sin 12 Bg tg ( —) 1, (28) { \ ap cos a! / J tg (i. ■- i.) = sin (t + ») tg {2 Bg tg (^~)} • (29) De hier verkregen vergelijkingen zijn dezelfde als die, welke door Cauchy aangegeven en door Eisenlohr afgeleid zijn. Het is echter door Jamin en Quincke bewezen, dat deze formules op bevredigende wijze met de waarnemingen overeenstemmen, niet alleen wanneer de terugkaatsing in de lucht, maar, volgens den laatst en natuurkundige, ook wanneer zij in een andere doorschijnende middenstof plaats heeft. Aldus zien wij, dat de hypothese van Maxwell ook hier tot vergelijkingen van den juisten vorm voert. Gaan wij thans na, hoe het met de waarde der daarin voorkomende constanten gesteld is. § 10. Bij de waarnemingen komt vooral één bijzonder geval ter sprake, dat nl. het phaseverschil ds — dp = (een kwart golflengte )wordt. Dit heeft voor één bepaalden invalshoek, den hoofdinvalshoek A plaats en men noemt de waarde H, die h of Bg tg k in dit geval aanneemt, het hoofdazimuth. Deze twee grootheden hangen op bepaalde wijze met de constanten g en t samen. Uit (29) volgt nl., daar tg (ds — dp) — 00 moet worden voor = A, opa = tg A sin A (30) en uit (28) vindt men dan t + coa = 2H. (31) Hierbij zijn pa en coa de waarden, die pen u voor x1 — A aannemen. Verder heeft men tg (t — w) sin 2t — sin 2w tg (t + co) sin 2t + sin 2co dus voor den hoofdinvalshoek volgens (19) tg (t — Ma) ^ g2pa2 — sin2 A tg (t + toa) a2pa2 + sin2 A ' en dit gaat, ten gevolge van (30) over in tg(T —coj _ — CQS 2 A ^ (32) tg (f + wa) Men kan, wanneer A en H uit de waarnemingen bekend zijn, uit (31) en (32) gemakkelijk t en u>a berekenen. Vervolgens kan a bepaald worden uit (20), waarvoor men ook kan schrijven „_«gA]/^H5. (33) f COS (T — wj Langs dezen weg heeft Eisenlohr uit de door Jamin voor den hoofdinvalshoek en het hoofdazimuth gegeven waarden voor eenige metalen en voor verschillende streepen van het spectrum de constanten a en t (bij hem 0 en e) bepaald. Uit de aldus samengestelde tabel is het volgende een uittreksel D E F H Zilver . ... A 72°30' 71°30' 69°34' 66° 12' iï 40 9 40 19 39 46 39 50 t 79 15 79 29 77 54 77 16 log O 0,4595 0,4283 0,3703 0,2740 Zink A 74°27' 73°28' 72°32' 71°18' H 18 45 21 13 22 44 25 18 T 35 24 39 57 42 38 47 19 log g 0,5442 0,5117 0,4824 0,4435 Spiegelmetaal. A 74° 7' 73°35' 73° 4' 71°56' H 27 21 25 52 26 15 28 0 t 52 27 49 16 49 53 53 4 log s 0,5237 0,5090 0,4929 0,4568 §11. Vergelijken wij thans deze waarden van er en t met onze theorie. Uit (18) volgt K —- = ct2 e2%T ■ K\ aan den anderen kant blijkt uit de vroeger voor R1 en Rt opgestelde waarden, dat K = fi , I__L ■^1 Ei 271 ' zoodat de betrekking 2 -2iT e2 . . T 1 a2 e = + , (34) El /.Ti xex ' moet gelden. Daarbij leiden wij af £ T 1 ct2 cos 2t = -— en a2 sin 2t = — . si 2TU xsx De eerste dezer vergelijkingen levert echter een ernstige moeilijkheid op. Want t is, zooals men in bovenstaande tabel ziet, in vele gevallen grooter dan 45°. Dan is cos 2t negatief, en zou dit ook met e2/£l het geval moeten zijn, wat niet mogelijk is. Zonder eenigen twijfel is derhalve de theorie, zooals wij die boven gegeven hebben, niet juist. Het is de vraag, of de oorzaak hiervan gezocht moet worden in den grondslag der electromagnetische theorie, dan wel in eenige bijzondere onderstelling, die wij gemaakt hebben. Tot nog toe heeft deze theorie ons zoo juiste uitkomsten opgeleverd, dat ik tot het laatste gevoelen overhel. Te meer omdat de moeilijkheid kan opgelost worden door in onze beschouwingen een verandering te brengen, waarop wij reeds zijn voorbereid, door nl. de absolute juistheid der wet van Ohm voor veranderlijke stroomen te doen vallen. Toen wij in het tweede hoofdstuk deze wet bespraken, zagen wij reeds, dat de meest waarschijnlijke betrekking tusschen de electromotorische kracht en de stroomcomponenten wordt uitgedrukt door ■y . T7. dv c)w X-xu + g — , Y = x.v + g-, z = xw-f g_. (35) Bij het opstellen der bewegingsvergelijkingen en grensvoorwaarden is nu X = x«, Y = v.v, Z = v.w gesteld, zoodat wij thans, wanneer wij van de uitdrukkingen (35) willen uitgaan, alle vergelijkingen zouden moeten wijzigen. Bepalen wij ons echter tot trillende bewegingen, dan zijn die veranderingen op zeer eenvoudige wijze aan te geven. Vooreerst is het gemakkelijk in te zien, dat ook de gewijzigde bewegingsvergelijkingen lineair zullen zijn, zoodat men nog op dezelfde wijze met symbolische uitdrukkingen mag werken als wij dit tot nog toe gedaan hebben. Bij bewegingstoestanden, zooals wij die hier onderzoeken, worden de stroomcomponenten voorgesteld door vergelijkingen van den vorm [u] = a *-2 **«-»'*), waarbij D van t onafhankelijk is. Dan is blijkens (35) [X] = (x—igyjM, [Y] = (x-igy)M. = Deze uitdrukkingen zijn van denzelfden vorm als die, welke wij vroeger aangenomen hebben, alleen is x vervangen door x—-»g27c/T\ Doet men dit in onze formules, dan moet men een symbolische oplossing verkrijgen, die aan de gewijzigde voorwaarden van het vraagstuk voldoet, en men moet daaruit wederom door alleen het reëele deel te nemen de juiste uitdrukkingen voor de werkelijke beweging kunnen afleiden. Het geheele onderzoek van de vorige §§ blijft derhalve onveranderd; alleen verandert de waarde van R\!R\. Vroeger was * = h.+ iL.±; R\ El 2n xex dit wordt nu = — + i — . Rl El 2n {y. — ig2nlT)z1 of, als wij kortheidshalve 2ngfy-T = s stellen, £ T 1 52 Ti — s 2 _ fi _L V = — -1 . • R\ cx 27WS! ' 1 —is Sl 27TTXE! 1 + S2 Zal dit nu = a2 e2ir zijn, dan moet men hebben £o T s ct2 cos 2t = . (36 s1 27rxe1 1 -f- s2 en T 1 a2 sin 2t = . . (37) 271XSJ 1 + s2 Nu kan werkelijk cos 2t een negatieve waarde aannemen, zooals wij zagen, dat het geval is. § 12. Deze vergelijkingen kunnen iets eenvoudiger geschreven worden. Vooreerst stellen wij, als ej op de lucht betrekking heeft — = K. Ten tweede merken wij op, dat in onze formules x de werkelijke waarde van den weerstand voorstelt, die, blijkens (16) van het tweede hoofdstuk, met de waargenomen waarde aldus samenhangt x' 1 -j- 4ns1 waarvoor men kan stellen ƒ x x £, = . 1 4re Hierdoor worden (36) en (37) 2 T s ct2 cos 2t = K . x' 1 + s2 en . • „ 27 1 ) De waarden ,die men bij een zelfde metaal, in verschillende gevallen, voor A en H heeft gevonden, loopen zeer uiteen. Onzuiverheden en veranderingen der oppervlakte spelen hierbij zonder twijfel een voorname rol. Ook is het mogelijk, dat de temperatuur hier van invloed is, daar, zooals men weet, de weerstand in hooge mate daarvan afhankelijk is. slechts als een eerste benadering mag aangemerkt worden. Misschien zal zij belangrijke wijzigingen ondergaan, zoodra onze begrippen omtrent het zeer ingewikkelde verschijnsel, dat wij beweging der electriciteit in geleiders noemen, helderder zijn geworden. Blijkt daarbij het boven omtrent de afwijking van de wet van Ohm gezegde werkelijk juist te zijn, dan zou men een resultaat verkregen hebben, dat voor de electriciteitsleer van belang zou zijn.Men zou dan eens de grootte dier afwijking nauwkeurig kunnen bepalen en aldus zou er eenig licht verspreid worden omtrent de massa der stof, die bij een electrischen stroom in beweging verkeert. § 13. Een paar zaken zullen wij ten slotte met een enkel woord bespreken, al is het dan ook slechts om te zien, hoever wij nog van een volledige kennis van de optische eigenschappen der metalen verwijderd zijn. Vooreerst de door Jamin opgemerkte en in de tabel van § 10 aangegeven afhankelijkheid van den trillingstijd. Daar in onze formules T voorkomt, had ik verwacht, dat zij van die afhankelijkheid op bevredigende wijze rekenschap zouden kunnen geven. Het bleek mij echter, dat dit niet het geval is. Dit bewijst ons, dat hier nog omstandigheden in het spel moeten komen, wier invloed wij bij ons onderzoek verwaarloosd hebben. Het laat zich trouwens verwachten, dat de oorzaken, die bij doorschijnende stoffen de kleurschifting ten gevolge hebben, ook hier zullen optreden. In de tweede plaats de terugkaatsing door een metaal, wanneer zij niet in de lucht, maar in een andere isoleerende middenstof plaats heeft. Quincke x) geeft hieromtrent de volgende waarden voor hoofdinvalshoek en hoofdazimuth op: Terugkaatsing op zilver A H n Lucht 74° 19' 43°48' 1 1 Water 71 28 44 3 1,336 Terpentijn 69 16 43 21 1,474 n Lucht 74 50 43 20 1 Flintglas 69 48 4122 1,626 m Lucht 75 57 44 1 1 l Kroonglas 69 5 42 28 1,515 ») Pogg. Ann. 128, 561, 1866. Hierbij is n de brekingsindex van de stof, waarin de terugkaatsing plaats heeft, terwijl de bij elkaar gevoegde opgaven op hetzelfde zilver betrekking hebben en dus met elkander vergeleken kunnen worden. Volgens onze theorie, zoowel als volgens die van Eisenlohr, wordt de brekingsexponent bij een metaal gegeven door — = a etT. Ri Neemt men nu in plaats van lucht een medium met den brekingsindex n, dan wordt Rx door nR1 vervangen, terwijl R2 onveranderd blijft. Derhalve moet in dit geval t nog dezelfde waarde hebben, maar a moet n maal kleiner zijn geworden. Ik heb uit de opgaven van Quincke a en t berekend en daarbij de volgende waarden verkregen: log O T °g " (uit de waarde voor lucht) Lucht .... 87°24' 0,5174 I Water.... 87 52 0,4257 0,3916 Terpentijn . . 86 9 0,3595 0,3489 Lucht .... 86 24 0,5351 Flintglas . . 81 37 0,2077 0,3240 Lucht .... 87 54 0,5744 Kroonglas . . 84 4 | 0.3545 0,3940 De laatste kolom bevat de waarde van log a, zooals zij volgens het bovengezegde uit die, welke voor de lucht geldt, berekend kan worden. Slechts in zooverre bestaat hier zeker overeenstemming dat a, volgens de theorie zoowel als de ervaring, des te kleiner is, naarmate n grooter wordt. Maar er bestaan zoo groote afwijkingen, dat er of aan de nauwkeurigheid der waarnemingen, of aan de juistheid der theorie nog zeer veel moet ontbreken. samenvatting Vatten wij thans, aan het einde van deze beschouwingen gekomen, het besprokene kortelijk samen. De voornaamste verschijnselen, die zich bij de terugkaatsing en breking van het licht voordoen, hebben ons het middel geleverd om de deugdelijkheid op de proef te stellen van de verschillende begrippen, die men zich omtrent den aard der lichtbeweging heeft gevormd. Eerst uitgaande van de meening, dat de lichttrillingen als bewegingen van een veerkrachtig lichaam zouden zijn op te vatten, zagen wij ons weldra tot verschillende bij onderstellingen gedwongen en het gelukte zelfs niet, die zoo te kiezen, dat van alle verschijnselen rekenschap werd gegeven. De theorie van Maxwell daarentegen werd door het gedrag der isoleerende lichamen steeds bevestigd en vereischte bij de metalen alleen een onderstelling, die zeer waarschijnlijk is en reeds vroeger gemaakt was. Verder hadden wij bij die theorie slechts noodig te stellen, dat s een zeer groot getal is, waardoor verschillende moeilijkheden uit den weg werden geruimd. Het gevolg van deze hypothese was, dat wij slechts transversale trillingen in rekening behoefden te brengen, en dat bovendien de vergelijkingen voor de grens van twee lichamen zoo werden gewijzigd, dat wij daar met geen opeenhooping van electriciteit te doen hadden. In alle gevallen, waarop wij de theorie hebben toegepast, komt dus de beweging der electriciteit overeen met die eener onsamendrukbare vloeistof en daardoor zijn de verkregen uitkomsten onafhankelijk van eenige moeilijkheden, die wij bij de opstelling van de algemeene bewegingsvergelijkingen der electriciteit aantroffen. Zoo brengt ons het onderzoek der terugkaatsing en breking tot de slotsom, dat aan Maxwell's hypothese de voorrang boven de vroegere undulatietheorie moet toegekend worden. Ook de andere lichtverschijnselen beloven, in verband met die hypothese beschouwd, veel bij te dragen tot vermeerdering onzer kennis. Men denke slechts aan de kleurschifting, de draaiing van het polarisatievlak en de wijze, waarop deze met de moleculaire structuur samenhangen; verder aan de mechanische krachten, die misschien bij de lichtverschijnselen kunnen optreden en aan den invloed, dien uitwendige krachten, of de beweging der middenstoffen daarop uitoefenen. Eindelijk aan de emissie en absorptie van het licht en de stralende warmte. Met betrekking tot de laatste verschijnselen ligt een belangrijke gevolgtrekking uit Maxwell's theorie voor de hand. Wanneer het waar is, dat licht en stralende warmte in electrische trillingen bestaan, dan is de onderstelling zeer natuurlijk, dat ook in de moleculen der lichamen, die deze trillingen in het omringende medium opwekken, electrische bewegingen plaats hebben, waarvan de intensiteit met de temperatuur toeneemt. Dit denkbeeld, dat niet nieuw is, maar vooral aan de electromagnetische theorie van het licht een hoogen graad van waarschijnlijkheid ontleent, schijnt mij toe, zeer vruchtbaar te zijn. In de theorie der warmte mag men misschien van de beschouwing dier electrische bewegingen niet onbelangrijke resultaten verwachten, vooral met 't oog op de energie der bewegingen, die in de moleculen plaats hebben en waarvan het bedrag tot nog toe tot groote moeilijkheden aanleiding gaf. Op het gebied der electriciteitsleer zou het genoemde denkbeeld kunnen voeren tot een verklaring van de warmteontwikkeling door den stroom, van de thermostroomen en de daarmede verwante verschijnselen. Eindelijk zou de theorie van het licht hebben aan te wijzen, hoe de bedoelde electrische bewegingen met den physischen en chemischen toestand der stof samenhangen, een samenhang, die aan de, in verrassende resultaten zoo rijke, spectraalanalyse ten grondslag ligt. Wel verre dus van een definitieven vorm te hebben aangenomen, eischt de theorie van Maxwell nog opheldering van vele zaken, waarvan thans de verklaring niet, of slechts in ruwe trekken, te geven is. Maar juist hierin is voor een deel het nut van elke uitbreiding onzer natuurkennis gelegen, dat zij ons duidelijker voor oogen stelt, wat er nog te doen overblijft, en de richting aangeeft, waarin men zich met goed gevolg bij verder onderzoek zal kunnen bewegen. SUR LA THEORIE DE LA RËFLEXION ET DE LA REFRACTION DE LA LUMIERE *) introduction Dans un travail théorique relatif aux lois du mouvement de 1'électricité, Maxwell 2) parvint a établir ce résultat remarquable qu'il existe de grandes analogies entre certains de ces mouvements électriques et les vibrations de 1'éther qui servent a expliquer les phénomènes lumineux. En particulier, il trouva qu'un diélectrique peut être le siège de mouvements vibratoires d'électricité, qui se propagent de la même manière et avec la même vitesse que les vibrations lumineuses. La concordance est a ce point parfaite que Maxwell fut conduit tout naturellement a supposer qu'en réalité la lumière elle-même devait être constituée par des vibrations électriques du même type; il soumit cette hypothèse au controle de 1'expérience pour quelques cas particuliers et la trouva effectivement confirmée dans une certaine mesure. Indépendamment de Maxwell et par une autre voie, Lorenz3) est arrivé a des résultats analogues. Plus tard, pour établir les équations générales de 1'électricité, Helmholtz 4) prit comme point de départ 1'expression la plus générale qu'on puisse adopter pour 1 action inductrice des éléments de courant, alors que Maxwell et Lorenz s'étaient contentés de certaines hypothèses particulières relatives a cette action. Dans ces conditions Helmholtz trouva que 1'essentiel du résultat de Maxwell subsiste, même si 1'on adopte ce point de vue plus général. II attira en outre 1'attention sur une circonstance que Maxwell n'avait pas envisagée. Au sujet de 1'analogie découverte par ce dernier, Helmholtz dit notamment5): ") Traduction de la thèse, Leiden, 1875. ') Electricity and Magnetism, II, p. 383, Phil. Trans. 156, 459, 1865. ») Pogg. Ann. 81, 243, 1867. «) Crelle's Journal 72, 57, 1870. *) loc. cit., p. 68. Lorentz I 13 „Diese Analogie ist noch in einer andern sehr wichtigen Beziehung vorhanden, welche Herr Maxwell nicht berührt hat. Man hat den mechanischen Zustand des Lichtathers in durchsichtigen Medien bisher dem der festen elastischen Körper gleich gesetzt. Diese Annahme ergiebt aber für die Grenze zweier durchsichtiger Medien andere Grenzbedingungen, als man braucht, um die Refraction und Reflexion des Lichts an dieser Grenze zu er klaren, so dass hier in der theoretischen Optik ein ungelöster Widerspruch bestanden hat. Die Theorie der elektrischen Oscillationen ergiebt aber nicht bloss im Innern eines gleichartigen isolirenden Medium, sondern auch an der Grenze von zwei solchen Medien dieselben Gesetze der Fortpflanzung, der Refraction und Reflexion der Wellen, wie wir sie beim Lichte thatsachlich finden, vorausgesetzt dass man entweder die magnetische oder die dielectrische Polarisationsfahigkeit beider Medien gleich undletztere sehr gross setzt. Von der bezeichneten Alternative hangt es ab, ob die electrischen oder magnetischen Oscillationen eines polarisierten Strahls in der Polarisationsebene geschehen." Ce fut cette remarque de Helmholtz qui m'incita a chercher dans quelle mesure les phénomènes de réflexion et de réfraction de la lumière sont susceptibles de guider nos préférences plutöt du cöté de la théorie de Maxwell, que vers la théorie ondulatoire admise jusqu'a présent. Pour le voir, j ai commencé par exposer dans le premier chapitre les difficultés auxquelles se heurte cette dernière théorie. Après avoir établi dans le second chapitre les équations du mouvement de 1'électricité, j'ai considéré dans les quatre derniers 1'hypothèse de Maxwell ou la théorie électromagnétique de la lumière. II y est question successivement de la réflexion et de la réfraction de la lumière pour des corps non-conducteurs et isotropes, des propriétés optiques des cristaux, de la théorie de la réflexion totale et enfin de la réflexion de la lumière par les métaux. Ainsi qu'il ressort du passage que nous venons de rappeler, Helmholtz était dé ja arrivé avant moi a une partie des résultats que j'ai obtenus par la suite. J'ignore toutefois s il a écrit sur ce sujet autre chose que les lignes que nous avons citées plus haut. CHAPITRE PREMIER la théorie de fresnel § 1. La théorie ondulatoire admise jusqu'è. présent et que, pour abréger, j'appellerai dans ce qui suit „la théorie de Fresnel", repose, comme on le sait, sur 1'hypothèse que la lumière est constituée par les vibrations d'un milieu élastique, 1'éther, auquel on est obligé d'attribuer des propriétés analogues a celles des solides, si 1'on veut être en mesure d'expliquer 1'existence des vibrations transversales. Malgré les objections que soulève cette conception de 1'éther, on a pu jusqu'a présent compter a 1'actif de la théorie de Fresnel tant de victoires sur les anciennes théories rivales, qu'on a été ten té de lui accorder de ce fait un crédit illimité. Je crois cependant qu'il est utile d'examiner jusqu'a quel point elle le mérite, et dans quelle mesure la vraisemblance des hypothèses sur lesquelles elle repose laisse a désirer. Parmi les phénomènes auxquels la théorie ondulatoire doit principalement son succès, il faut citer d'abord le phénomène des interférences et ensuite 1'existence de la lumière polarisée. En partant des phénomènes d'interférences on peut conclure avec une trés grande probabilité que la lumière consiste en une propagation ondulatoire de certaines vibrations; la lumière polarisée montre ensuite que ces vibrations sont transversales. Cette idéé constitue le principe fondamental de la théorie et sa découverte peut être considérée a juste titre comme un des plus beaux résultats acquis par la science. Cependant, il ne faut pas perdre de vue le fait qu'elle peut nous donner des informations uniquement sur les caractéristiques des déplacements lumineux, sans rien nous apprendre au sujet du milieu qui leur sert de support. L'expérience ayant montré que de pareils mouvements peuvent exister dans les corps solides élastiques, il était tout naturel de considérer la lumière comme constituée par les vibrations d un tel milieu. Ceci n'en est pas moins une hypothèse et le fait qu'on aurait pu tout aussi bien en imaginer d'autres, nous oblige a nous adresser k des phénomènes distincts des précédents, pour décider de sa validité. Les phénomènes de réflexion et de réfraction de la lumière sont particulièrement bien adaptés a ce but. En effet, la théorie de Fresnel peut fournir aisément une explication des lois qui déterminent la direction des rayons réfléchis et réfractés; par contre, la manière dont elle calcule les intensités de ces rayons est moins satisfaisante. La démonstration de ces lois repose uniquement sur le principe fondamental de la théorie et ne fait appel en aucune manière a 1'hypothèse particulière d'après laquelle la lumière est constituée par les vibrations d'un milieu élastique. Par contre, lorsqu'on calcule les intensités, on doit s'appuyer directement sur cette hypothèse pour arriver a déduire correctement les conditions sur la surface de séparation de deux milieux limitrophes. Un court apergu des tentatives qui ont été faites pour décrire le phénomène de la réflexion de la lumière au moyen de la théorie de Fresnel, mettra en évidence les lacunes qui subsistent encore dans ce domaine de la théorie. Nous nous bornerons ici aux corps homogènes et transparents. § 2. Le point de départ des premières théories de la réflexion était 1'hypothèse que pour les corps transparents seul 1'éther joue un röle dans les phénomènes lumineux, les molécules de la matière restant inactives. D'après cette manière de voir, les vibrations de 1'éther sont donc directement comparables aux vibrations d un corps solide élastique qui ne subit 1'action d'aucune force extérieure. Pour nous rendre compte de la nature des conditions qui doivent être remplies dans ce cas a la surface de séparation de deux milieux, imaginons un corps élastique dont la constitution soit continue partout excepté sur une surface déterminée, oü elle présente une discontinuité. Cette surface peut alors être considérée comme la surface de séparation de deux milieux matériels différents mais Hés; pour simplifier, nous supposerons en outre que cette surface soit plane et nous choisirons un système d'axes de coordonnées rectangulaires dont elle constituera le plan yz. Divisons le corps en éléments parallélipipédiques par des plans perpen- diculaires aux axes; il est trés facile d'écrire les équations du mouvement de ces éléments. Nous excluons pour 1'instant les éléments qui se trouvent en partie dans un des milieux et en partie dans 1'autre. Soient x, y, z les coordonnées et yj, £ les composantes du déplacement d'un élément, a 1'instant t. Par suite des déplacements relatifs de ces éléments, des forces élastiques prendront naissance dans le corps. Par conséquent, les faces d'un élément subiront des pressions qui donneront, avec la force extérieure agissant sur eet élément, une résultante égale a la masse de 1'élément multipliée par son accélération. L'un des sommets de 1'élément dxdydz se trouvant au point P (x, y, z) et le sommet opposé au point (x + dx, y + dy, z + dz), nous écrirons les composantes de la pression qui s'exerce sur la face dydz passant par P, sous la forme Xxdydz, Yx dydz, Zxdydz, de manière que les lettres X, Y, Z indiquent la direction des composantes, et que 1'indice désigne la normale a la face sur laquelle s'exerce la pression. Si 1'on écrit de la même fa5on les composantes de la pression exercée sur la face opposée, — X'x dydz, — Y'x dydz, — Z'x dydz, on aura pour la résultante des deux pressions - (X'x - Xx) dydz, - (Y'x - Yx) dydz, - (Z'x - Zx) dydz. On peut opérer de la même manière pour les autres faces et calculer ensuite les composantes de la force totale s'exergant sur 1'élément. S'il n'y a que des déplacements finis a considérer, il faudra que cette force soit infiniment petite et du même ordre de grandeur que la masse de 1'élément, c'est-a-dire de 1'ordre de dxdydz. II en résulte donc, que X'x — Xx, Y'x — Yx, Z'x — Zx doivent êtredes infiniment petits de 1'ordre de dx\ en d'autres termes, Xx, Yx, Zx doivent' être continus et finis en tout point. Ceci est valable pour chacun des deux milieux jusqu'a la surf ace de séparation; en effet, nous pouvons raisonner sur un élément dont une des faces coïncide avec cette surface et trouver que les composantes des pressions doivent y avoir également des valeurs finies. Si 1'on suppose maintenant que les déplacements des éléments sont trés petits par rapport a leurs distances mutuelles, on pourra démontrer que les composantes des pressions sont des fonctions linéaires et homogènes des dérivées premières de y), Z par rapport aux coordonnées. Les pressions ayant partout des valeurs finies, il en résulte que ces dérivées partielles doivent être finies et que 7), £ doivent être continus. Ces conditions subsistent même sur la surface de séparation; donc, les déplacements y), £ doivent également être continus sur cette même surface. Ceci démontré, il n'y a aucune difficulté a appliquer les considérations ci-dessus a un élément qui se trouve en partie dans un des milieux et en partie dans 1'autre. La différence des pressions qui s'exercent sur les faces opposées dydz, étant infiniment petite, les composantes Xx, Yx, Zx ne doivent pas présenter de discontinuité lorsqu'on passé d'un milieu a 1'autre. Si nous distinguons les grandeurs se rapportant aux deux milieux par les indices 1 et 2, nous aurons, a la frontière, les six conditions suivantes: Zi = ?2- % = *12. £i = £2. 0) Wi = (Xx)2, (YJi = (Yx)2 , (Zx\ = (Zx)2. (2) § 3. Ecrivons maintenant que dXr , X'x — Xx= dx, etc.; x x dx nous pouvons trouver des expressions assez simples pour les composantes de la force totale qui s'exerce sur 1 élément dxdydz. En les égalant ensuite a la masse de 1'élément, multipliée par les composantes de 1'accélération d% dbi W ~dt* ' ~dt*' nous obtenons les équations du mouvement suivantes: 3'5 v, X + ~te+W ' p!"5._y + ^ + ^ + ^-O. p SC 3* 8y & SK 7 az, az,_0 f>V_Z + 17" + 17+ 3« (3) oü p représente la densité, et oü X dxdydz, Y dxdydz, Z dxdydz sont les composantes de la force extérieure s'exe^ant sur 1'élément dxdydz. Pour deux milieux homogènes et isotropes, les composantes des pressions ont les valeurs suivantes x'=-2K(S+ep)' y»--2fc(l+ep)' *•—^(f+4 w y-=z»=-£fê+|)' *«-y-=-K(f+ê)- On a posé „ di 07i as p = — -j—- + — • dx dy dz ' K et 0 sont des constantes qui dépendent de la nature du milieu. Ce sont les coefficients d'élasticité. En introduisant ces valeurs dans (3) et en posant 02 02 02 A = 1 1 dx* dya dz2' on trouve que les équations du mouvement, dans le cas oü il n'y a pas de forces extérieures ont la forme trés simple suivante -KAS + xi. + ajf. P^=ifA, + K(l+20)^, oK dP p^=iCAï + K(1+29)-. (5) On peut en déduire que des vibrations transversales et longitudinales peuvent se propager dans le corps, et que les vitesses respectives de propagation v et V sont données par v2 = — , V2 = 2(1 + 0) — . (6) Si donc K, 0 et p étaient des constantes caractérisant 1'éther qui se trouve dans un milieu transparent, la grandeur v donnée par (6) représenterait la vitesse de propagation de la lumière. § 4. Nous sommes maintenant en état de traiter le problème de la réflexion et de la réfraction de la lumière. Admettons, une fois pour toutes, que le premier milieu dans lequel se propage le rayon lumineux incident, se trouve du cóté négatif du plan yz et que 1'on différencie les grandeurs se rapportant aux deux milieux par les indices 1 et 2. Dans la suite, nous admettrons en outre, que le front d'onde du rayon incident et, par conséquent les fronts d'onde des rayons réfléchi et réfracté, sont des plans perpendiculaires au plan xz, ce dernier étant par conséquent le plan d'incidence. Posons enfin 1'amplitude de la lumière incidente égale a 1 et proposons-nous de chercher, au moyen des conditions de continuité è. la surface de séparation, les amplitudes des vibrations réfléchies et réfractées. Ainsi qu'il est bien connu, il suffit d'examiner les cas particuliers pour lesquels 1'éther vibre partout soit dans le plan d'incidence, soit normalement a ce plan. Nous nous bornerons pour le moment au second cas. Les déplacements i; et £ sont nuls, t] étant fonction uniquement de x et z. II en résulte que toutes les conditions a la frontière sont identiquement satisfaites a 1'exception de = >12 en (Yx)l = (Y's)2 On peut déduire les lois de la réflexion et de la réfraction du fait que ces conditions doivent être remplies a chaque instant et en chaque point de la surface de séparation; il s'ensuit en même temps que les phases des trois rayons lumineux doivent être égales sur cette même surface. Pour abréger admettons ces résultats; nous pouvons alors écrire pour la lumière incidente 2-k x z ^1 = c°s (t cos ocj sm <*! + p), 1 Vj \1 ou t est la période, 04 1'angle d'incidence. La lumière réfléchie peut être représentée de la même manière par „ 2-k x z % - cos — (t H cos ax sin otj + f) 1 Vj vx et enfin, si a2 est 1'angle de réfraction, on aura pour la lumière réfractée 2tz x z •*)2 = «2 cos — [t cos a2 sin a2 + -p). 1 v2 v2 On a, d'après la loi de réfraction sin at v1 sin a2 v2 En remarquant que le mouvement total dans le premier milieu est donné par *11 = ^1 + f>ï. on trouve facilement, grace aux deux conditions rii = ij, en (yx)1 = (yx), les deux équations 1 -(- ax = a2 et ki , k, (1 — aj) cos ax = a2 cos a2. Ces relations permettent de calculer les amplitudes inconnues a1 et a2 et 1'on trouve de cette manière pour la lumière réfléchie Kx K2 — cos a, cos a2 _ V1 v, Ul K2 ^ — cos a, H cos a2 Vx V2 § 5. Les vibrations qui constituent un rayon de lumière polarisée ont lieu soit dans le plan de polarisation 1), soit dans une direction perpendiculaire a celui-ci; donc, d'après ce que nous avons admis plus haut, la lumière incidente sera polarisée ou bien normalement au plan d'incidence, ou bien dans ce plan. L'expérience donne dans ces deux cas, pour 1'amplitude de la lumière réfléchie , sin (ai — a2) ai — ± ~—~j r (°) sm (ax + a2) et , tg (a1 — x2) «i = ± —7 : r. tg (ai + a2) valeurs qui sont certainement exactes a peu de chose prés. La formule que nous avons trouvée plus haut doit nécessairement coincider avec 1'une ou 1'autre de ces deux expressions, sous peinede conduire è. des résultats en contradiction avec l'expérience. Or, sous sa forme générale (7) ne coïncide absolument pas avec (8) ou (9); pour rétablir 1'accord nous sommes donc forcés d'introduire de nouvelles hypothèses. Deux hypothèses sont possibles, la première ramenant (7) a la forme (8) et la seconde a la forme (9). Si 1'on veut ramener (7) a la forme (8), il faut que K i K2 cosoci cos a2 . . . vx v2 sin(a1 — a2) v1cos a2—v2 cos Kx K2 ^ sin (ax + a2) vx cos a2 + V2 cos ax cos a, H cos a2 vx v2 x) On entend par plan de polarisation le plan d'incidence d'un rayon de lumière polarisée quand celui-ci est réfléchi de manière que 1'intensité du rayon réfléchi soit maximum (note de 1'éditeur). En prenant le signe supérieur, on aurait Kx K2 — cos a2 : — cos a2 = Vx cos a2 : V2 cos oc1, V1 V2 ce qui n'est pas possible pour un angle d'incidence quelconque, K et v étant des constantes. Par contre, en prenant le signe inférieur, on a Kx K2 — cos x1: — cos a2 = v2 cos ax : vx cos a2, V1 V2 condition qui est satisfaite pour un angle d'incidence quelconque si 1'on pose Kx = K2. On peut donc ramener (7) a (8), en faisant 1'unique hypothèse que 1'élasticité des deux milieux est la même, leurs caractères différents résultant uniquement des valeurs différentes de leurs densitées. C'est 1'hypothèse de Fresnel et 1'on doit admettre que dans ce cas, la direction des vibrations de la lumière polarisée est perpendiculaire au plan de polarisation. Si 1'on veut ramener (7) a (9), on doit poser Kx K2 cos ax cos a2 vi v2 _ tg («! — a2) _ v1 cos otj — V2 cos a2 ^cos«1 + ^cosa2" tg(ai + a2)^ vlCosa1 + v2cosa2- Vx V2 Le choix du signe inférieur conduirait a une relation qui ne serait pas valable pour toutes les valeurs de c/.v Nous prenons donc le signe supérieur; il résulte alors de notre équation que Kr K2 cos ax : cos a2 = Vj cos ax : v2 cos a2, V1 V2 relation qui est toujours satisfaite si Kr K, v? v| ' ou puisque 1'on a = KJPl en \\ = KJp2 , Pi = P2- Pour donner è. (7) la forme (9), on doit donc égaler les densités. Cette hypothèse est due a Neumann, et dans ce cas la direction des vibrations se trouve dans le plan de polarisation. II résulte donc de ces considérations que c'est seulement grace a 1'une ou a 1'autre de ces deux hypothèses que la formule (7) peut conduire a des résultats en accord avec 1'expérience, et qu'il n'est pas possible d'expliquer la réflexion de la lumière, si les deux milieux ont en même temps des densités et des élasticités différentes. Des deux hypothèses considérées ici, celle de Fresnel doit être rejetée, paree qu'elle est en contradiction flagrante avec la manière dont se comportent les cristaux. En effet, il faut admettre que dans les cristaux, 1'élasticité prend des valeurs notablement différentes, suivant la direction considérée. Comment peut-on alors concilier ce fait avec 1'hypothèse que dans tout corps isotrope 1'élasticité de 1'éther ne change pas du tout, ou varie extrêmement peu ? Cette objection n'est plus valable dans le cas de la théorie de Neumann. A première vue, 1'hypothèse sur laquelle repose cette théorie peut paraitre bien étrange; en effet, il est difficile de représenter deux milieux isotropes ayant des élasticités différentes et en même temps des densités absolument identiques. On peut cependant le concevoir, en admettant qu'une petite différence de densité entraine une différence relativement grande d'élasticité; en première approximation, on peut donc dire que les densités sont les mêmes, en négligeant leur petite différence comme on négligé par exemple la compressibilité dans 1'étude des liquides. § 6. Apres nous être rendu compte que, si 1'on identifie 1'éther a un corps solide élastique soumis a des forces extérieures nulles il devient nécessaire d'introduire des hypothèses particulières pour aboutir & une théorie correcte, nous ne nous étonnerons plus de ce qu'on ait tenté de se représenter les phénomènes lumineux d une fagon quelque peu différente de celle qui précède. On peut raisonner de la manière suivante. Dans les phénomènes qui nous intéressent 1'éther n'existe pas seul, en général; parmi les molécules d'éther se trouvent toujours des molécules de matière, et 1'idée vient immédiatement k 1'esprit de faire également jouer a ces dernières un röle dans les phénomènes lumineux. C'est Cauchy *) •) Mémoires de 1'Académie des Sciences 22, 599, 1850. principalement, qui dans ses réflections sur la théorie de la lumière a pris comme point de départ les actions réciproques de ce doublé système de molécules. Tachons de nous rendre compte des conséquences qu'entraine 1'adoption de cette hypothèse sur la théorie de mouvements lumineux en général, et sur celle de la réflexion en particulier. Nous négligerons le fait que, maintenant, on ne peut plus considérer 1'éther comme parfaitement homogène, ce qui est légitime en première approximation. En conservant cette homogénéïté nous ne commettons pas d'erreur sensible, si nous admettons qu'une molécule subit 1'action d'un grand nombre d'autres molécules et que les distances mutuelles des molécules actives sont trés petites vis-a-vis de la longueur d'onde. Par conséquent, tout ce que nous avons dit aux § 2 et § 3, au sujet des forcesélastiques entre molécules d'éther subsiste; il nous faudra seulement introduire de plus dans le calcul les forces exercées par les molécules du second système. Pour y arriver, soit m'k une de ces molécules, agissant sur la molécule d'éther m; nous distinguerons les différentes molécules m', voisines de m, par les diverses valeurs de 1'indice k. Soient x, y, z les coordonnées de m; xk, yk, zk celles de m'k, enfin rk leurs distance dans la position d'équilibre. Posons xk — x = xk, yk — y = yk, zk — z = zk, d'oü '1 = xf + y\ + 4 Comme précédemment, désignons par £, ij, Z, les déplacements des molécules d'éther et par r{, Z,' les déplacements des molécules de matière; par suite de ces déplacements, xk, yk, zk varieront de yi'k—n, K'k-K. A cause des mêmes déplacements les composantes de la force exercée par m'k sur m subiront certains accroissements. Afin de trouver la force totale exercée sur m, il suffira d'évaluer ces accroissements et de sommer pour toutes les molécules du second système, 1'équilibre ayant lieu en effet quand tous les déplacements sont nuls. Soit rk F{rk) la force avec laquelle m'k attire m, et dont les composantes sont xsF(rfc), ykF(rk), zkF[rk), 1'accroisement de la première composante sera alors x"= l) + + l-{xkF(rk)} (U-K), oü il est sous-entendu, que les déplacements des particules sont petits par rapport a leurs distances mutuelles. En sommant par rapport a k, on obtient la force totale exercée sur m par les molécules du second système dans la direction de 1'axe des x, 1 = 21, On obtient des expressions plus simples, en remarquant que les xk, yk, zk sont trés petits pour toutes les molécules actives. Si 1'on considère %k, r'k, £,'k comme fonction des coordonnées et si 1'on désigne par t\', XJ leurs valeurs au point x, y, z, on obtient en développant en série de Taylor s-«-e-t+l^+fy. + lr«' + 025' „ 32?' \ +2^z*x*+2a^x*yr oü nous avons négligé les puissances de xk, yk, zk supérieures a 2. On peut obtenir de la même fa?on les valeurs de v{k —1\, Z,'k — C En les introduisant dans 1'expression de Xk, toutes les dérivées premières de i\', "CJ disparaissent en vertu de 1 homogénéité. Si nous supposons pour un instant que toutes les molécu- les sont identiques de fagon que les deux systèmes se réduisent a un seul, on devra poser <;' = <; et seules les dérivées secondes des subsisteront dans la sommation. Mais dans notre cas il n'en est pas ainsi; 1'hypothèse la plus naturelle consiste a admettre que les atomes d'éther ont une masse beaucoup plus faible que celle des particules matérielies qui les entourent et que par conséquent 5', V, C sont petits par rapport a 7), II résulte que 1'on peut negliger les termes renfermant des dérivées secondes toutes les fois que les expressions de la forme 32?' 2 Xfc sont petites par rapport a l' et, par conséquent, petites par rapport a l' — l. C'est ce qui arrivé précisément dans le cas d'une propagation de vibrations, lorsque la distance è. laquelle deux molécules commencent a agir 1 une sur 1'autre est petite par rapport a la longueur d'onde. Cela étant, on obtient finalement, en négligeant les termes qui renferment des dérivées secondes * = fê' - l) 2 ~ {xkF(rk)}+ S-A.{x, F(r,)} + ou, en dérivant et en remarquant que notre milieu est homogène et isotrope, Si le nombre de particules d'éther présentes dans 1'élément dxdydz est p dxdydz et si la force exercée par les molécules du second système sur eet élément est X dxdydz, Y dxdydz, Z dxdydz, on aura X _ 12 {%) + A (5' - 5) - A (5' - 5), et de la même manière Y = AW-ri), Z = A(Z — Q, oü A est une constante dépendant de la nature du corps. En considérant ces dernières forces comme forces extérieures, les équations du mouvement de 1'éther deviennent donc finalement 02? dP p w~Aii' ~5) = * 45 + (1 + ' &' f)2y. BP t^-AW—n) = KAi> + KV+2)>)-^, (10) 32 y dP 9±±-A(ï-Q = KM: + K(l+2Q)—. On peut obtenir de la même fagon les équations du mouvement des molécules du second système. On trouve 82E' SP' 4K-51-^A5' + K,(l + 26')— , p'^-4(l-V) = X'AV+K'(l+2e-)^, (11) 32£' SP' p'^-A(K-Z') = K'AK' + K'(l+2e')— . Les constantes p', K', 0' se rapportent ici aux molécules du second système considérées isolément, alors que, en vertu de 1'égalité de 1'action et de la réaction entre les deux systèmes, A conserve la même valeur dans (10) et (11). Les équations ainsi obtenues sont suffisantes pour déterminer les 6 grandeurs £, t], £, f\', £' en fonction de x, y, z et t. On peut en déduire que toutes les molécules peuvent participer en commun a une propagation d'ondes et que les vitesses de propagation des vibrations transversales et longitudinales sont données par les équations q 2tz J i" L'hypothèse la plus simple, et que Cauchy considère comme la plus vraisemblable est que la masse des molécules de seconde espèce est beaucoup plus grande que celle des molécules d'éther, et que 1 on peut, par conséquent, négliger leurs mouvements et les considérer comme des centres fixes d'attraction. On peut alors poser dans (10) = tj' = Z,' = 0 et ces équations (10) sont suffisantes pour le calcul de i;, rj, £. On trouve dans ce cas pour les vitesses de propagation v2=P — mtw ^ 2K(l + 6) p — A(T/2n)*' (15) § 7. Pour voir ce que devient 1'explication du phénomène de la réflexion dans la nouvelle manière de voir que nous avons examinée jusqu ici, il faudra tout d'abordtrouverlesconditionsauxquelles doivent satisfaire les déplacements a la surface de séparation de deux milieux qui contiennent tous les deux a la fois de 1'éther et un second type de molécules. Cauchy x) dit a ce suiVJ: „Pour trouver les conditions auxquelles devront satisfaire, sur la surface de séparation des deux corps, les trois déplacements d'une molécule d'éther, mesurés parallèlement aux axes coordonnés, il suffira de considérer les molécules d'éther comprises dans les deux corps comme formant un système unique de molécules, et d'admettre que, dans le mouvement de ce système les déplacements moléculaires, et leurs dérivées prises par rapport a 1 abscisse x, ou du moins celles de ces dérivées que ne déterminent pas les équations différentielles des mouvements infiniment petits, varient par degrés insensibles avec cette même abscisse." ') Mémoires de 1'Académie des Sciences. 22, 17, 1850, Lorentz I 14 L'idée, émise par Cauchy, d'après laquelle ont peut considérer 1'éther contenu dans les deux milieux comme formant un tout, est certainement exacte en ceci qu'on doit en considérer les parties qui se trouvent des deux cötés de la surface de séparation comme fortement liées 1'une a 1'autre; cependant, cela n'exclut en aucune fagon la possibilité que leurs propriétés subissent une discontinuité sur cette même surface. En d'autres termes, on n'a pas le droit d'affirmer que toutes les grandeurs qui définissent le mouvement restent continues quand on traverse cette surface; si on le fait, on tombe inévitablement sur des conditions contradictoires. Aussi, Cauchy n'exige-t-il point la continuité des dérivées partielles du second ordre ou d'un ordre supérieur, qui apparaissent dans ses équations différentielles. On ne voit d'ailleurs pas trés bien, en réalité, pourquoi ces dérivées partielles ne devraient pas être continues, alors qu'on est obligé d'admettre que les dérivées premières le sont. Cela étant il ne me parait pas inutile d'analyser la question d'un peu plus prés et de chercher si 1'on doit et si 1'on peut admettre les conditions de Cauchy. D'une fagon générale, il n'est pas facile d'écrire les conditions a la frontière des deux milieux, lorsqu'on admet que 1'éther possède des propriétés différentes dans ces deux milieux et lorsqu'on suppose en outre, que les molécules qui y sont plongées prennent part au mouvement. En effet, dans ce cas, on doit se préoccuper non seulement des conditions relatives a 1'éther, mais aussi de celles concernant la matière et 1'on doit se demander quelle est la relation entrt' " deux milieux a ce point de vue. Le problème ne se simplifie que dans 1'hypothèse des molécules matérielies immobiles, hypothèse déja faite au § précédent; il ne reste plus alors qu'a chercher les conditions relatives a 1'éther. On peutensuite considérer les forces agissant sur 1'éther et exercées par les molécules matérielies comme des forces extérieures. Les conditions (1) et (2) du § 2 restent valables même s'il existe de telles forces, ainsi qu'il résulte immédiatement de la manière même dont on les a établies. Dans le cas de la réflexion d'un rayon lumineux vibrant perpendiculairement au plan d'incidence, 1'analyse du § 4 etl'équation (7) a laquelle elleconduit, ne subissent aucune modification. II suf fit donc, ici aussi, de voir comment on peut réduire (7) a 1'une des formes (8) ou (9). Pour ramener (7) è. la forme (9), il faut que 1'on ait, ainsi qu'au §5, kl_K1. y\ v j ' la vitesse de propagation étant donnée par (14), cette condition devient relation tres compliquée, sauf si pj = p2 et A1 = A2. Si A avait la même valeur pour tous les corps, il faudrait que A = 0, et 1'on ne pourrait admettre 1'existence d'aucune action de la matière sur 1'éther. Nous serions alors ramenés a 1'hypothèse simple de Neumann. Au contraire, si 1'on veut ramener (7) a la forme (8), il suffit de poser, comme au § 5 K^K,. Le coëfficiënt d'élasticité de 1'éther doit donc avoir partout la même valeur; quant a la direction des vibrations, on doit s'en tenir dans ce cas è. 1'hypothèse de Fresnel. La théorie ainsi obtenue n'est plus alors en conflit avec les phénomènes de doublé réfraction comme 1'était la théorie initiale de Fresnel. En effet, dans les cristaux, K conservera une valeur indépendante de la direction; la constante A pourrra néanmoins dépendre de la direction de propagation et il en sera toujours ainsi dès que la répartition des particules matérielles ne sera plus isotrope. Admettons pour 1'instant que K ait partout la même valeur; nous devons dans ce cas supposer qu'il en est de même pour 0. Les conditions (1) et (2) a la surface de séparation deviennent donc = ?2> ''li = "*)2> £l = ^2> = (3] (3) (16) \ - Tt sin a'+? pour les vibrations transversales réfléchies £ = —«iSinalCos^,\ 2n( x z \ cos «, cos «pi j- t r+ ^cos ai - sm ai+4 et enfin pour les vibrations longitudinales réfléchies 5i" =—&1 cos cos tPÏ',1 m _2n( x Z . \ Kï' = bl sin (3j cos«PÏ'J T \ + Vj008^1"" Vj sm + oü Pj est 1'angle de réflexion. Nous pouvons représenter de la même manière les rayons réfractés; pour les vibrations transversales nous aurons — a2 sin oc2 costp2 2tc [ x z \ t, - «, COS., COSfe - -f l' ■- ^ 008 '*>- y, ™ - ■+ *} et pour les vibrations longitudinales = ^2cos P2cos 1-^ = C0S ' (1+fli)i^l_6l cos p1 = a2^!^ + 62cosp2. v sinaj sin a2 On trouve, pour 1'amplitude de la lumière réfléchie, 1'expression suivante assez simple: cot(a1 + a2)+? , ax = —— , Uöi cot (ax — a2) — q oü q = — tg (px — p2). § 9. L'expérience nous apprend, qu'a peu de chose prés, la relation (9) est valable pour tous les corps transparents et que par conséquent a1 est indépendant de la vitesse de propagation des ondes longitudinales. Or, d'après la formule, ceci n'est possible que si q est trés petit et par conséquent on sera obligé d'introduire certaines hypothèses relatives a ces ondes longitudinales pour que cette condition puisse être remplie. II faut encore tenir compte d'une autre circonstance. L'existence d'ondes longitudinales réfléchies ou réfractées n'a jamais pu être mise en évidence, ni directement ni indirectement, (en constatant, par exemple, qu'une partie de 1'intensité incidente ne se trouve plus dans la lumière réfléchie et réfractée). On devrait donc admettre que les ondes longitudinales ne peuvent pas constituer un vrai rayon. Cela est possible, si les valeurs de (Jj et p2 données par (17) sont imaginaires. On trouve alors, au heu d'un système d'ondes a vibrations longitudinales, un état de mouvement dont 1'amplitude diminue trés rapidement avec la distance è. la surface de séparation des deux milieux. En même temps, q acquiert une valeur imaginaire et 1'on peut en conclure que la lumière réfléchie a subi une variation de phase. De toute faijon q doit toujours être trés petit pour des milieux trans- parents. Pour justifier les valeurs imaginaires de et [i2 on a suivi deux voies différentes. Premièrement on a supposé que la vitesse de propagation des ondes longitudinales était trés grande. On trouve dans ce cas, après quelques calculs, en négligeant les carrés et les puissances plus élevées de et vl/\l que . v?-v* CJ = t — — q vï + vr pour que q soit trés petit, il faut que la différence entre \1 et V2 soit également trés petite. A ma connaissance, on n'a jamais donné d'argument théorique valable en faveur de cette dernière hypothèse. Au contraire, si nous prenons (14) et (15) comme vitesse de propagation, — et nous savons que ces expressions sont les plus vraisemblables, — on aura Il = II vx v2' puisqu'on a posé 0X = 02. On en déduit, n étant 1'indice de réfraction, n2 — 1 q—i , W2 + 1 valeur qui est beaucoup trop grande. On peut éviter ces difficultés en prenant comme vitesses de propagation, par exemple, les valeurs (12) et (13) au lieu de (14) et (15). Mais alors, ainsi que nous 1 avons fait remarquer au § 7, toute la théorie de la réflexion devient douteuse et on est obligé d'y ajouter encore d'autres hypothèses particulières, pour rendre trés petite la différence \1 — V2. En second lieu, on a admis qu'en général, des ondes longitudinales ne peuvent se propager qu'avec une amplitude continuellement décroissante; cette supposition nous conduit aux mêmes resultats que 1'hypothèse précédente. Ce dernier phénomène peut être interprété comme une absorption des ondes longitudinales envisagées. Mais que cette absorption soit due a une élasticité imparfaite de 1'éther considéré en lui-même, ou al'actiondesmolécules matérielies, le simple fait qu'elle existe dans tous les corps qui sont parfaitement (ou a peu prés) transparents pour des vibrations transversales, n'en reste pas moins un mystère absolu. Cependant, sans être obligé d'introduire cette absorption, on peut imaginer un état de mouvement de 1'éther qui satisfasse aux conditions requises, a condition d'admettre que la valeur de V2 déduite de la théorie peut devenir négative. Ceci doit être également vrai dans le vide, oü la propagation est régie par les équations (6); notre hypothèse exige donc que 1 + 0 et par conséquent 0 soit négatif. II n'est pas possible de se rendre compte immédiatement si 0 peut être négatif ou non d'après son expression déduite de la considération des forces moléculaires. Cependant, on peut montrer que, pour une valeur négative de 1 + 0, 1'équilibre de 1'éther est instable, ce qui est certainement inadmissible. Je me suis borné ici a indiquer dans ses grandes lignes, la voie qu'on a suivie pour réaliser un accord approximatif entre les équations (18) et (9) 1). Je ne m'occuperai pas des tentatives ayant le même but et basées sur 1'hypothèse de 1'existence d'une couche de passage continue entre les deux milieux. En effet, même en admettant qu'on ait réussi a établir sur ces bases une théorie satisfaisante de la réflexion dans les corps isotropes, il sera toujours possible de démontrer que cette théorie est en contradiction avec les observations concernant la réflexion de la lumière par les cristaux. § 10. II n'est pas nécessaire d'entrer ici dans une étude détaillée des mouvements de la lumière dans les cristaux. II suffit de rappeler ce que deviennent les directions de vibration dans les cristaux uniaxes, lorsqu'on admet que les plans de vibration et de polarisation sont perpendiculaires 1'un a 1'autre. La direction de vibration se trouve alors dans le front d'onde, tant pour le rayon ordinaire que pour le rayon extraordinaire; ce dernier vibre dans un plan passant par la direction de propagation et 1'axe optique, tandis que les vibrations du rayon ordinaire ont lieu normalement a ce plan. Considérons maintenant un rayon de lumière réfléchi par la face plane d'un cristal uniaxe, dont 1'axe optique est situé dans le plan d'incidence. Si nous admettons que les vibrations de la lumière incidente ont lieu dans ce plan, le rayon ordinaire ne pourra pas exister et il ne subsistera plus qu'un rayon extraordinaire vibrant, *) Pour une étude plus détaillée des sujets traités dans ce paragraphe, voir: von Lang, Einleitung in die theor. Phys. p. 264. Beer. Pogg. Ann. 91. 268, 279, 467, 561, 1854; 92. 402, 522, 1854. Eisenlohr. Pogg. Ann. 104. 337, 346, 1858. Lundquist. Pogg. Ann. 152. 177, 398, 565, 1874. lui aussi, dans le plan d'incidence. En outre, des ondes longitudinales réfléchies et refractées apparaitront et il est clairque dans notre cas la normale aux ondes réfractées, ainsi que la direction de leurs vibrations qui coïncide avec elle, se trouveront également dans ce plan. D'après les considérations développées au § 7, ilest naturel d'adopter dans notre cas 1'expression (16) comme condition a la surface de séparation, puisque, logiquement, on doit admettre que dans un cristal 1 élasticité propre de 1'éther dans toutes les directions a la même valeur que dans un milieu isotrope quelconque. En réalité, quelle que soit la manière de les établir, les équations fondamentales ne contiendront jamais des grandeurs dépendant de la nature du milieu; il est donc naturel qu'on puisse les appliquer également au cas de la réflexion cristalline. Cauchy était certainement d avis, lui aussi, que ses conditions étaient applicablesè la surface de séparation d'un cristal et d'un milieu isotrope. Ceci étant, nous pouvons trés facilement calculer 1'intensité de la lumière réfléchie. Soit (18) et «(«! — u2) + b(vj — v2) + c(w1 — w2) = <»» Or, (19) exprime d'une fa^on générale la relation qui existe entre les composantes du courant et la fonction potentielle. Pour des diélectriques parfaits, dans lesquels les composantes du courant sont données par (13), ces équations peuvent être intégrées par rapport a t. S'il n'existe pas d'autre charge dans le diélectri- que ou sur la surface S, en dehors de la charge équivalente a la polarisation diélectrique, on trouve dl dr 1 te+W + ~te"°4Ï * <20) et « W + b fa-ri + c = i- {« {^1 -(-g-JJ + relations que nous avons dé ja écrites au § 4. II est encore intéressant de nous rendre compte quelles sont les conditions pour que la distribution d'électricité libre ne varie pas. II résulte des équations ci-dessus qu'on doit avoir du dv dw dx dy dz (22) et, sur la surface 5 a(ui — ui) + b(v1 — w2) + c(w1 — w2) = 0. II en sera ainsi pour un isolant parfait, si a chaque instant dl dZ — 4 4 — = 0 dx dy dz (22) et si a(h — li) + &(ili — %) + c(^i — Q = 0. Lorsque les équations (22) ou (23) sont satisfaites, le mouvement de 1'électricité devient tout a fait analogue a celui d'un fluide incompressible. § 10. Après avoit étudié 1'action d'une force électromotrice, analysons d'un peu plus prés cette force en elle-même. Elle provient de différentes sources. Nous avons déja écrit plus haut les composantes de la première partie de cette force, qui dépend de la répartition de 1'électricité. Une autre partie est due aux actions inductrices et cette seconde partie doit être divisée a son tour en deux autres, 1'induction pouvant provenir soit d'un courant, soit d une aimantation variables avec le temps. Nous ne nous occuperons pas ici de 1'induction provoquée par le mouvement dun courant ou d un aimant; en effet, nous admettons que les corps dans lesquels ont lieu les phénomènes électriques étudiés par la suite, sont au repos. Les expériences qui ont servi a établir les lois de 1'induction ont été effectuées sur des conducteurs linéaires (fils minces). Elles ne fournissent donc pas ce que nous avons appelé la force électromotrice F, mais une autre grandeur G que nous appellerons force électromotrice le long du conducteur. Si a est le conducteur et F la composante de F dans la direction de o- on a G=fFada; (24) en d'autres termes, G est le travail que la force exerce sur 1'unité d électricité positive lorsqu'on déplace cette dernière le long du conducteur. Examinons d'abord les conclusions qu'on peut tirer des observations de G, lorsque 1'induction est produite par un courant électrique. Les seuls résultats précis qu'on ait a ce sujet concernent le cas oü le courant inducteur est également linéaire, les deux conducteurs étant en outre fermés. L'expérience montre que les phénomènes d induction sont en relation trés étroite avec les actions électrodynamiques; cela nous oblige donc a dire d'abord un mot a ce sujet. Les belles recherches d'AMPÈRE ont démontré, que 1'action mutuelle de deux courants fermés est absolument identique a celle de deux feuillets magnétiques 1), chacun d'eux étant limité par un des conducteurs de courant. Ainsi qu'il est bien connu les forces mécaniques qui s'exercent entre deux aimants peuvent être calculées a partir d une quantité qu'on appelle le potentiel des deux aimants. II doit donc être possible de procéder de la même fa P s'obtient évidemment en prenant 1'intégrale de p pour les deux conducteurs de courant. On peut prendre évidemment , „ cos (ds, da) P — —A2 - dsda, (28) mais cette expression de p n'est pas la seule qu'on puisse choisir. II est évident que, sans rien changer au résultat final, on peut ajouter a (28) des termes dont 1'intégrale s'annule dès que 1'un des conducteurs est fermé. Helmholtz a montré que la forme la plus générale de p qui conduise au même résultat que (28) est la suivante: p=—~ _42 -[(1 +k)cos(ds,da) + (\—k)cos(r,ds)cos(r,da)] dsda, (29) 2 r pourvu qu'on suppose, de plus, que 1'action inductrice des éléments de courant d'une part, et celle des courants fermés d'autre part, sont représentées toutes les deux par unemêmefonctiondela distance. C'est cette expression que nous prendrons comme point de départ dans ce qui suit. La valeur de la constante k que nous venons d'introduire dans la formule précédente ne peut pas être déduite de mesures effectuées sur des courants fermés. Si on la pose égale a + 1, on obtient 1'expression (28); si 1'on pose k — — 1 la formule concorde avec celle qu'on déduit de la loi de Weber; enfin si 1'on pose k = 0, on arrivé, ainsi que nous le verrons plus tard, a des résultats en accord avec la théorie de Maxwell. Malgré notre ignorance en ce qui concerne la constanteHelmholtz a pu démontrer qu'il n'est pas permis de lui assigner des valeurs négatives parceque dans le cas contraire 1 équilibre de 1'électricité risquerait de devenir instable: une toute petite perturbation donnerait naissance a des écarts de plus en plus considérables, ce qui est en contradiction absolue avec 1'expérience x). *) Ces recherches de Helmholtz ont été publiées dans le Journal de Crelle, 72, 57, 1870; on en trouvera un extrait dans Wiedemann, Galvanismus ii, 2, p. 638 649 (deuxième édition). En établissant la formule (27), je me suis écarté de Helmholtz, en ce sens que je me suis borné au cas oü seule 1'intensité du courant varie, les conducteurs restant au repos. Si les quantités l, m, n, etc., qui définissent la position de 1'élément ds, varient également, il est naturel de poser di .dl .dm . . " PTt + PltYt + P,l~dt + CnZ" (a) mais, pour ramener cette expression k (27), il faut admettre que le second membre de (a) est une différentielle totale exacte. Helmholtz fait cette hypothèse et deduit dans tous les cas 1'action inductrice des éléments de courant ainsi que celle des courants fermés, en partant de considérations sur leur potentiel mutuel. II utilise également ce potentiel pour le calcul des attractions et répulsions électrodynamiques. Indépendamment des difficultés auxquelles elle peut conduire, 1'adoption de ce potentiel n'en reste pas moins une hypothèse, absolument inutile pour le but que nous poursuivons. . Je n'ai pas reproduit ici les considérations de Helmholtz, relatives 4 la constante h, la valeur de cette constante ne présentant pas d'intérêt particulier pour la théorie développée dans les chapitres suivants. Nous verrons plus loin que nos résultats restent valables même si 1'on donne è. k une valeur négative, comme certains auteurs semblent vouloir le faire, même après la démonstration de Helmholtz. DE LA RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE 245 §11. II résulte de la définition de Gv que ce qui montre comment on peut déduire des considérations précédentes la composante de la force électromotrice dans la direction de di7, c'est-a-dire la „force électromotrice", dans le sens que nous avons attribué a ce terme au début; le résultat est naturellement indépendant de la longueur de da. Si au lieu de da nous considérons maintenant une direction arbitraire h, nous voyons qu'on peut représenter la force électromotrice d'induction, produite par 1'élément ids dans cette direction h, par la formule p ^2 *h~ A dt' oü, d'après (29) ? = — [(1 + k) cos (ds, h) + (1 — k) cos (r, ds) cos (r, h)~\ ids. En prenant pour h successivement les directions des trois axes, on aura les trois composantes X, Y, Z de la force électromotrice. Imaginons une distribution spatiale quelconque de courant définie en chaque point (x', y', z') par les composantes u, v, w et cherchons la valeur au point (x, y, z) de la force électromotrice engendrée par la variation de u, v, w. Considérons d'abord 1'élément de volume dx'dy'dz'; dans eet élément nous pouvons remplacer notre distribution par trois courants élémentaires, pour lesquels i et ds ont les valeurs suivantes: u dy'dz', dx'; v dz'dx', dy'; w dx'dy', dz'. Pour chacun de ces éléments de courant on peut chercher la valeur de q, ajouter les résultats obtenus et intégrer ensuite pour toute la région de 1'espace dans laquelle circulent ces courants. Soient U, V, W les valeurs ainsi obtenues en prenant pour h successivement les directions des trois axes, nous aurons dU dV dW X = — A2 — , Y = — A* — , Z = — A° — , (30) dt dt dt v ' et 1'on trouvera facilement que u 1—k x — x' U=JJJ {—'7 + — —' . [u(x — x') + v(y — y') + w[z — z')] | dx'dy'dz'. (31) Sous le signe d'intégration u, v, w doivent être considérés comme des fonctions de x', y', z'. Les expressions de V et de W peuvent être calculées de la même fatzon. Cette analyse pourrait s'arrêter ici, s'il n'était pas nécessaire d'étudier encore quelques propriétés des fonctions U, V, W. Nous admettons que les composantes de courant u, v, w sont finies partout et nulles a 1'infini, exactement comme la fonction potentielle 9 et que, de plus, elles peuvent être discontinues sur une certaine surf ace S (surf ace de séparation de deux milieux). Dans ce qui suit nous chercherons coinment se comportent les fonctions U, V, W du point de vue de la continuité, et nous examinerons en même temps certaines équations différentielles auxquelles doivent satisfaire ces fonctions. Comme dans le cas des recherches concernant la fonction potentielle électrostatique, ces équations différentielles sont plus faciles a utiliser que 1'équation (31). § 12. Remarquons d'abord que lorsque le point (x, y, z) se trouve dans la région de 1'espace oü ont lieu les déplacements d'électricité, certains éléments de 1'intégrale (31) croissent au dela de toute limite; la même chose se produit pour d'autres intégrales que nous rencontrerons plus tard. En introduisant des coordonnées polaires on peut cependant démontrer que malgré cela, 1'intégrale elle-même ne devient pas infinie; le procédé est tout a fait analogue a celui qu'on emploie pour calculer la valeur de la fonction potentielle en un point intérieur au milieu attirant x). Au lieu de (31) on peut écrire rrr\u 1—ar av , av , avii U = / / < 1 u b v —— + w „ „ , > dx dy dz , J J J \r 2 dx dx' dxdy dx dz JJ et cette expression se simplifie si 1'on introduit la nouvelle grandeur v=iII{-^+"w+w^)ix'dyd'- (32) *) Voir p.e. Clausius, Die Potentialfunction, §11. En effet, en un point (x, y, z) extérieur a la région dans laquelle 1'électricité se déplace, on a \—k ST fffu et de même v=-nr % + III7 d''iy'iz'■ (33) w-1^^+IIl7d"'dy'iz'- On peut démontrer que ces équations sont encore valables lorsque le point (x, y, z) est intérieur a la région considérée; le procédé utilisé est analogue a celui qu'on emploie dans la théorie de 1'attraction pour démontrer que les composantes de la force sont données par les dérivées partielles de la fonction potentielle 1), même a 1'intérieur du milieu attirant. On peut transformer 1'expression T au moyen d'une intégration par parties. Si 1'on applique ce procédé au premier terme de T, on trouve j JJu "g-7 dx'dy'dz' = JJ[ur] dy'dz' — j'j'j r dx'dy'dz'. Dans cette formule \uf\ représente les valeurs que prend ur pour les différents points de coordonnées y' et z' de la surface limitant le domaine d'intégration, a condition qu'on attribue a ces valeurs des signes convenables. Supposons maintenant, que pour des valeurs croissantes de r, u diminue d'une manière suffisamment rapide pour que ur tende vers zéro a), et appliquons la relation trouvée aux différentes parties de 1'espace limitées par les surfaces S; il vient fff U~d~T = fj— u2)adS—fj jr ^-dx'dy'dz', x) Clausius, loc. cit. §§ 12 et 13. *) S'il en est ainsi, u, v, w ne doivent pas renfermer, pour r grand, des termes d'un ordre supérieur k \/r*. Cela arrivé, par exemple, lorsque les composantes du courant dépendent des coordonnées de la même manière que les déplacements d'un milieu élastique oü se propage un mouvement ondulatoire. de sorte qu'on trouve Y = ƒƒ*r {«(Mj — Mg) + b(v1 — v2) + c(w1 — w2)} dS — rrr t du dv dw\,,,,,, -JJJr[M+W + ü~)dxdydz- Tenons compte maintenant des équations (20) et (21) et, pour simplifier, remplagons le second membre de (21) par 1 |Y8) Du fait que l'électricité se comporte comme un fluide incompressible on peut conclure seulement *-«ishii- On trouve Y = 0 en substituant ce résultat dans 1'équation (34) (note de 1'éditeur). Pour la détermination de x on a ici les équations 0X 3 (x Sv 1 a^ + "^ + ¥=4^Ax' (40) a(Xi X2)-fè((i1 — M-2) -|- c(vx — v2) = —ja —("3#) +t[(IHI)J+-[(ïH#)J}- <**> dont la première est valable en tout point oü X, [z, v sont continus et la seconde sur toute surface S, oü cette continuité n'existe plus. Ces équations sont analogues aux équations (20) et (21) relatives a la polarisation diélectrique. Pas plus que la constante e, la constante 0 n'a pu être déterminée expérimentalement; seul le rapport Q des valeurs prises par (1 + 47T0) pour différentes substances est connu, et cela nous permet de supposer qu'il existe également une polarisation magnétique du vide. Toutefois, pour tous les corps, a 1'exception des métaux magnétiques, le rapport Q est peu différent de 1'unité de sorte que 1'on ne commet pas d'erreur sensible en posant <2=1. On sait qu'un courant électrique exerce dans son voisinage une force magnétique et que, d'un autre cöté, une variation de 1'état magnétique a pour conséquence des phénomènes d'induction; il en résulte la nécessité de tenir compte de la polarisation magnétique. Nous établirons d'abord les équations qui définissent 1'état magnétique résultant d'un courant électrique. La force magnétique (L, M, N) est la force que le champ exerce sur un pole nord portant une unité de magnétisme; étudions tout d'abord cette action. Elle n'a pu être observée que lorsque les courants qui agissent sont fermés et lorsqu'a travers de chaque section du conducteur il passé la même quantité d'électricité. Si 1'on veut connaitre la force magnétique, exercée par un élément de courant, on a le choix entre diverses valeurs de cette force qui conduisent toutes au même résultat pour les courants fermés. II en résulte que si nous adoptons une de ces valeurs, la théorie ne sera exacte que dans la mesure oü l'électricité en mouvement pourra être considérée comme un système de courants fermés. II en est ainsi lors- que 1'électricité se déplace a la facjon d'un fluide incompressible, et dans toutes les applications des chapitres suivants cette condition sera toujours remplie. L'accord avec la théorie d'AMPÈRE est réalisé lorsqu'on exprime la force exercée par un élément de courants ids sur un pöle nord, portant une unité de magnétisme, par la formule A ids sin(r, ds) r2 Cette force est normale au plan qui passé par ds et par r, et son sens est donné par une règle connue. La constante A est identique a celle qui apparait dans nos équations précédentes x). Afin de calculer, sans ambiguïté, les composantes de cette force, il est nécessaire de fixer le choixdu système de coordonnées. Nous conviendrons donc que lorsque 1'observateur sera placé du cöté des z positifs il verra toute rotation (d'un angle droit), amenant 1'axe des x positifs sur 1'axe des y positifs, s'effectuer dans le sens de la marche des aiguilles d'une montre. Si 1'on décompose alors ds en trois composantes dx', dy', dz', et si le póle nord se trouve au point (x, y, z), on aura pour les composantes cherchées £'O)-*" £(f). • n'=Ai[dx'U^)-dy'U 7).- Si maintenant nous voulons calculer la force magnétique qui résulte d'une répartition arbitraire du courant dansl'espace.ainsi que nous 1'avons admis dans les paragraphes précédents, et si nous nous bornons tout d'abord a 1'élément dx', dy', dz', nous devrons remplacer idx', idy', idz', dans les expressions ci-dessus, par u dx'dy'dz', 11 dx'dy'dz', w dx'dy'dz' . *) Helmholtz emploie également la formule que nous avons choisie, malgré qu'elle ne concorde pas avec son „Potentialgesetz". Par conséquent, pour obtenir la force magnétique totale, il faudra intégrer dans tout 1'espace. On aura donc L = A ƒƒƒ[" S (?) ~ " ¥(r)] d"'dy'dZ' et des expressions analogues pour M et N. Ces expressions peuvent être mises sous une forme plus simple, grace aux équations (33). Si on dérive la seconde par rapport a z, la troisième par rapport a y et si 1'on retranche 1'un de 1'autre les résultats obtenus, T1 disparait et on obtient 1'intégrale ci-dessus, de sorte qu'on peut écrire /0F 3W\ / dW dU\ \ dz dy )' ~ \dx dz)' A7 ./dü dV\ \~~ty Sx)- (41) Considérons maintenant la force électromotrice d'induction produite par une variation de 1'état magnétique. Nous utiliserons le fait qu'un aimant infiniment petit est équivalent, pour tout ce qui concerne son action a 1'extérieur, a un courant circulaire infinitésimal, situé dans un plan perpendiculaire a 1'axe de 1'aimant. L'induction produite par une variation du moment magnétique sera la même que celle qui provient de la variation correspondante de 1'intensité du courant. On peut appliquer a cette induction les formules des §§ 10, 11 et 12. Le courant étant fermé, on peut choisir k arbitrairement, donc poser par exemple k = 1 et faire usage de la formule simple (28). Un aimant inifiment petit situé au point (x', y', z'), dont 1'axe est dirigé suivant Oz et dont le moment est it, peut être remplacé par un courant circulaire d'intensité i et de rayon infiniment petit R, situé dans un plan parallèle au plan xy. On a alors la relation AinR2 = ||. (42) Les composantes de la force électromotrice au point (x, y, z) que ce courant produit (lors d'une variation de i), ont pour valeurs 0 r a /1 m 0 r _ 0 /1 \l A'n rR' % (7)] s (7)] ■ °' ou encore, grace a (42), a r 0 /i\l ar 0 /i\l Ax{n^)[-A °' Ces expressions définissent également la force électromotrice d'induction, produite par 1'aimant considéré, lorsque son moment varie. Pour deux aimants de cette sorte, ayant les moments l et m et dont les axes sont parallèles aux axes x et y, nous aurons de la même manière les forces électromotrices suivantes 0 L 0 / 1 \1 „ 3 L 0 / 1 \' °' S.ï' 7)] • dl Sy[rj\' _^1L»(I)1. 0, dt dz \r/j dt dx \ r / S'il existe maintenant dans 1'espace une polarisation magnétique quelconque, on pourra remplacer 1'élément de volume dx'dy'dz' par trois aimants infiniment petits ayant comme moments ï = X dx'dy'dz', ttt = [i. dx'dy'dz', tt = v dx'dy'dz' et ensuite, au moyen des expressions ci-dessus, on pourra calculer 1'induction produite par eet élément. II suffira alors d'intégrer sur tout 1'espace pour trouver la composante totale de la force électromotrice due a une variation de la polarisation magnétique, dont les composantes seront par conséquent x Wtv i (7 HI? 4//M(7)-* £(7)]^ oü X, fi., v doivent être considerées comme fonctions de x', y', z'. Les expressions ci-dessus se simplifient considérablement si nous introduisons les nouvelles grandeurs suivantes: L = JJJ— dx'dy'dz', M = ƒƒƒ ^ dx'dy'dz', (43) N = [J[~ dx'dy'dz'; elles deviennent, en effet, 0 / SN 0M\ 0 /0L SN\ 0 / 0M 0L\ dt\dy 02 j' dt \ dz 'dx')' ~dt\dx~~Hy}^ Remarquons encore, qu'en vertu des relations (43) les grandeurs L, M, N peuvent être considérées comme les fonctions potentielles d'une distribution de masses de densités X, fi, v, finies en tout point. II en résulte que L, M, N et leurs dérivées premières sont partout continues. § 14. Arrivés a ce point nous pouvons enfin écrire les équations définissant d'une fagon générale le mouvement de 1'électricité et 1'état magnétique correspondant. Pour cela, nous devons d'abord égaler £/e, 7)/e, £/e aux composantes de la force électromotrice. Nous supposons en outre, qu'il n'y a pas de force extérieure; la force électromotrice se compose alors des trois parties que nous avons écntes en (1), (30) et (44). On a de cette fa?on = Ai JN7 0M" e dx dt dt dy dz rj _ 0

Enfin, nous devons encore adjoindre aux équations établies les conditions (8), et (y). Considérons d'abord la condition (S). Puisque S est ici la surface qui limite 1'espace a 1'infini, cette condition sera satisfaite si 1'on a, a 1'infini, 5 = ?) = S = X = li. = v = 9 = z = 0, (V) ainsi que nous 1'avons toujours supposé. Enfin, tenons compte de la condition (y) relative a la continuité. Faisons passer au premier membre tous les termes des équations (45) et (46); les expressions ainsi obtenues doivent être continues partout, même sur la surface S, oü certaines des fonctions £, 7], £, X, (j., v peuvent éventuellement subir une discontinuité. Ce caspeut par exemple se produire a la surface de séparation de deux milieux; les conditions de continuité ci-dessus nous fournissent dans ce cas les importantes conditions a la frontière, que nous cherchons. Les expressions £ 0

e e e par les valeurs égales XM, XV, Y.W, et de poser ensuite e = 0. Les équations précédentes restent valables, même si 1'on n'admet pas que le corps considéré puisse être polarisé magnétiquement. En effet, les rapports X/0, y./Q, v/0 gardent leur signification, malgré que 0 et par conséquent X, |x, v soient nuls. Ils représentent les composantes de la force magnétique et celle-ci existe toujours quand 1'électricité est en mouvement, même si elle n'est pas capable de provoquer de polarisation magnétique. Si 1 on a affaire è. des corps n'ayant que des propriétés magnétiques ou diamagnétiques faibles, ce qui est généralement le cas, on peut prendre pour 0 la valeur 0O relative a 1'air sans commettre d erreur sensible. II est alors possible, d'éliminer X, [l, v des équations (I) et (III) et par conséquent d'obtenir des équations ne contenant que kj, £ et 9. Dérivons la troisième équation (I) par rapport k y et la seconde par rapport k z et retranchons; en tenant compte de la première équation (III), on obtient s[s(KGKG)MD- système de trois équations que nous complèterons par une quatrième en transcrivant 1'équation (II) sans aucune modification. Ces quatre équations, qui déterminent E, 7), 9 et par conséquent le mouvement de 1'électricité (abstraction faite de la polarisation magnétique), montrent clairement que la nature de ce mouvement est la même quelle que soit la valeur que 1'on donne a G0. D'une fa <5' restera encore valable. Pour la détermination de x on peut faire usage de (40) que nous écrirons ici sous la forme dL dM dN 1 1 1 = Ay. dx dy dz 4710 Or, x n'intervenant que dans deux équations peut être éliminé; cela donne dL dM dN ir+-7r- + -^=0' dx dy dz de sorte que nous pouvons le laisser complètement de cöté. Pour arriver a saisir d'une fagon plus immédiate la nature du mouvement de 1'électricité, il est préférable de donner aux équations du mouvement une autre forme qu'on peut obtenir de la fagon suivante. En dérivant la troisième et la seconde des équations (1) par rapport ky et k z respectivement, en retranchant et en utilisant (3), on trouve dP T 339 d2l' ■—-—Ai; = A2 e (1 + 4tc0) ——— , dx V ' dxdt2 dt2 oü 1'on a posé pour simplifier dl 9vj 0C „ — + — P • dx dy dz En éliminant Atp entre (2) et (5), il vient d2q> (1 + 4to) P = A2kz En dérivant cette relation par rapport a x, puis en transportant la valeur de 03

i, 2n( x z . \ L[ = 4nA v1 sin ax cos 44, | <{£ = —I* cosaj sinocj+pJ, N[ = —471^4 v1 cos a1 cos 44, Vl Vl les vibrations réfléchies par Th = aicos 2k( x z \ L\ — 4nA Vja1 sina?cos44, 4£ = + —cosa'^ sina^+^i , W'-^vUlcos^cosK,) v' V' ' et le mouvement réfracté par y)2 = a2 cos 4>„ 2n( x z . \ L2= 4nA v2«2sinot2cos(J>2 ji = y ' — —cos«2——sina2+p2l, N2=—471^4 v2a2 cos a2cos4i2 2 avec £ = £ = M = cp = 0 partout. a1> a'l et a2 représentent respectivement les angles d'incidence, de réflexion et de réfraction, les signes étant choisis de fagon que ces angles soient tous aigus. II est facile de voir que toutes ces conditions sont identiquement satisfaites, a 1'exception de la deuxième du groupe (9), la deuxième du groupe (10) et 1'équation (12); il suffira donc de ne tenir compte que de ces trois dernières. Or, x étant nul sur la surface de séparation, la première de ces équations donne ici 1 2n ( z \ 2n ( z \ — cos — ^— — sm a, + p[J + ax cos — — sin < + p'{J = 1 2 n ( z \ = — a2 cos — I * sin oc2 + p2 , T \ v2 si 1'on pose, pour abréger, 2n ( z \ 2n / z \ "F\v^ smai~Pi) = fi> sm ai pij — gfc, 2 ti / z \ — I — sin a2 — p2\ = q2, on trouve 1 i («W 1 /\ — cos 9lj + alCos[— q{j =_«2cos^— — q2 J. Cette équation devant être vérifiée pour toutes les valeurs de t, on en déduit les deux conditions 11 sin 1 sin ff, 1 ai ——- = — — 7 (13a) sx ex sm q[ s2 sm q"x v ' et 11 cos 1 cos q2 -+ — a1- " = —«2 if. (136) Sj ex cos qx e2 cos qr De la même manière une seconde condition a la surface donne deux équations de la forme „ , sin o? „ sin ff» P + T«i— = Sa2 . , (14a) sm q\ sm q[ v ' „ , cos q'[ „ cos ö» P + Ï«1 ~ = Sa2 (146) cos q\ cos q[ On peut tirer de (13a) et (14a) les deux inconnues sin q'i sin q9 «1^—37 et , sin q[ sin qx et de (13&) et (145) les deux grandeurs cos cf' cos <7, ^ et a2 H cos qx cos q{ Ces deux solutions doivent être identiques, puisque les mêmes coefficients apparaissent tant dans (13a) et (13è) que dans (14a) et (146). On a donc sin q[ cos q\ sin q2 cos q2 ai ~~t — ai ~T r~ j = — , sin qx cos qx sin qx cos q{ d'oü il resulte que §1 = ?1 = ?2> donc z . z . z . — sin ax — Pi — — sin atj — = — sin a2 — p2. Vj vx v2 Ces relations étant valables sur toute la surface frontière, donc pour toutes les valeurs de z, on a nécessairement sin ax = sin a^, ax = aj, (15) sin 04 sin a2 = (16) ▼l V2 et P'l = P"l = p2- Nous arrivons donc ainsi aux lois de la réflexion et de la réfraction, et nous apprenons ensuite, que sur la surface frontière la phase des trois rayons lumineux doit être la même. Cette particularité présente 1'avantage d'entrainer sur la surface frontière la condition = (]/J = ']>2, ce qui simplifie considérablement les équations fournies par les conditions a la frontière. La condition déja utilisée ci-dessus, donne alors la relation 1 + «i a2 ——=-• (17) £1 e2 De plus, la deuxième des équations (10) donne (1—«i) Vj cos x1 = a2 v2 cos a2, (18) tandis qu'il s'ensuit de (12) que (1 + ai) (1 + 4710^ Vj sin ocj = a2 (1 + 4t:02) v2 sin a2. Cette équation est identique a (17), ainsi qu'on le voit facilement en tenant compte de (16) et en se reportant aux valeurs de vi et v2; pour déterminer ax et a2 il suffira donc d'utiliser (17) et (18). Le problème est donc bien déterminé et 1'on trouve e2v2 cos a2 — e^v, cos a, «i = , (19) e2v2 cos a2 + cos ai Cette expression prend une forme trés simple lorsqu'on remarque qu'en première approximation on peut poser (1 + 4tc0x)/(1 + 47t02) = 1. Alors, en vertu de (III), «i vj e2 vj ' ce qui permet d'écrire pour (19) „ _ vi cos a2 — V2 cos ax sin ax cos a2 — sin a2 cos otj X ———————— - — Vj cos a2 + v2 cos aj sin a1 cos a2 + sin a2 cos ax sin (a, — a,) «i = — —. (V) sm (ax + ag) On trouve de plus, en vertu de (17), comme valeur de 1'amplitude de la lumière réfractée s2 ., , . e2 2 sin a, cos a, a2=-(l + «,) = - . . , (Va) ei Sl sm (ax + a2) L'expression (V) est en accord avec les résultats expérimentaux pour le cas d'une lumière polarisée dans le plan d'incidence. On en conclut que dans le cas considéré la théorie électromagnétique condui t a des résultats exacts, pourvu que 1' on suppose que dans un rayon de lumière polarisée les vibrations électriques sont perpendiculaires au plan de polarisation *). § 7. Si les vibrations électriques se trouvent dans le plan d'incidence et si, par conséquent, la lumière incidente est polarisée perpendiculairement a ce plan, il est naturel d'admettre (comme dans la théorie de Cauchy) qu'en dehors des vibrations transversales réfléchies et réfractées il existe aussi des rayons formés par des vibrations longitudinales. Nous commencerons donc par adopter cette hypothèse en laissant a la théorie le soin de décider si éventuellement on peut laisser de cöté ces mouvements longitudinaux. Nous poserons donc pour la lumière incidente (voir § 2): = — sin aj cos 44, Y' = cos a, cos dij , , 27t / x z . \ 1 , ,, iL! = — t cos a, — — sin a, + p , M[= 47T^ViCos^, |yi T\ \1 1 v1 9i = 0, pour les vibrations transversales réfléchies: = — a1 sin ax cos *]/[, = U1 C0S ai C0S <14 > I " ^ (t I X Z c-ir, _L_ jA , Ti «=— H cosa, smaj + p , M\= A-kAvxcos,j T \ v1 vx / •px — 0, et pour la lumière réfractée: £2 = — a2 sin a2 cos i];2,1 S2 = a.cosa.cos^. , 2^_*cos a2_lsina2 + A M2= 4nAa2v2cosy2, T \ v2 v2 / ?2= 0, Si Pj et p2 sont les angles de réflexion et de réfraction des vibrations longitudinales, on peut écrire pour ce mouvement dans le premier milieu: x) Maxwell déduit ce résultat des phénomènes de doublé réfraction. Electr. and Magn. § 797. ?x = — b1 cos Pj cos , K" = èisinpjcosix', \.m_2n( x z . \ 9Ï' =—2rviè1sin^,[^1 ~ r\ +V cosPi~ vrSmPi+P\' Ml - 0, et dans le second milieu = b2 cos p2 cos i\l'2 ,' Ca = b2 sin (32 cos <\>'2, ,, 2n (J x „ z . \ 9i = 2TV2Z>2sin4*2,| T \ V2 C°S m;= 0, En outre, on a partout v) = L = N = 0. Pour abréger nous admettrons la validité des lois de la réflexion et de la réfraction, ainsi que 1'égalité en phase des différents systèmes d ondes a la frontière. On pourrait d'ailleurs les déduire des conditions a la frontière, par la même méthode que dans le cas précédent. D'après ces lois on a sin (VI) tg («1 + «2) tandis que (25) donne sinax L , tg (ax — a.)l a2 = — 1 + . fVIal Sin a2 [ tg (ax + a2) [Vla) Comme on le voit, (VI) est en parfait accord avec 1'expérience. Le résultat trouvé précédemment par Helmholtz (Introd. p. 194) est donc démontré. Nos formules justifient sa remarque suivant laquelle on peut également arriver a des résultats exacts en posant ei = e2 et en différenciant les deux milieux uniquement par leurs propriétés magnétiques. En effet, dans ce cas (19) se transforme Lorentz I 19 en (VI) et (29) en (V). Mais, puisque ce cas n'est sans doute pas réalisé dans la nature, nous ne nous en occuperons pas. § 8. II n'est pas sans intérêt de comparer la présente théorie a celle de Cauchy, qui avait le même but. Pour arriver a des résultats exacts dans le premier des deux cas envisagés plus haut, la théorie de Cauchy devait faire 1'hypothèse, que 1'élasticité de 1'éther est partout la même (Chap.I, § 7). Nous avons du poser, nous aussi, (1 + 47t01)/(l + 4tt02) = 1, relation qui en réalité n'est pas une hypothèse, mais une condition imposée par 1'expérience. D'une fa<;on générale, on peut donc compter comme un avantage de la théorie de Maxwell le fait, qu'elle rattache directement les propriétés optiques des corps aux résultats expérimentaux. Ensuite, dans le second cas, la théorie de Cauchy rencontrait des difficultés lorsqu'elle voulait se débarrasser des vibrations longitudinales. Dans la théorie de Maxwell ce but est immédiatement atteint au moyen de 1'hypothèse que e est trés grand; rien ne s'oppose a 1'adoption de cette hypothèse qui fournit la valeur exacte de la vitesse de propagation et qui, en outre, nous permettra de surmonter d'autres difficultés. En tenant compte de cette dernière hypothèse, on aurait pu traiter le second cas d'une fagon beaucoup plus simple; en effet, son introduction permet de modifier immédiatement les conditions a la frontière. II résulte de l'élimination de ep entre la première des équations (9) et (11), que 1 + 4TCE! _ 1 + 4to2 Sl S2 > Si e2 et, par conséquent de (11), que Si maintenant l/s1 devient infinement petit, il résulte de ces équations que le rapport diffère infiniment peu de 1'unité et que (3

s3 dy e2 dz dt i di ia? „ , n SM — ~T -^=41 +4710,0—, (a) sx dz e3 dx dt 1 07] 1 dl A , „ SN ~ir—^ = ^4(1 +4u0o) —, e2 ox Ej dy dt 1 dl 1 07) 1 0£ . 02

et „ dL „ dM „ dN 1 1 "a~ 2 ~al ^ ~a— = • 0a; 0y 02 4-re En éliminant de nouveau x entre les deux seules équations qui le renferment et en nous rappelant 1'hypothèse relative a 0, nous trouvons dL dM dN ~a '—al—'—a~~ — ® " (e) 0# dy dz § 3. Cherchons les conditions de propagation dans un cristal d'un système d'ondes planes dont les vibrations électriques ont toutes la même direction. Supposons que la direction de propagation, c'est-a-dire la normale au front d'onde, soit donnée par les cosinus l, m, n des angles directeurs et que la direction de vibration soit définie de la même fagon par les grandeurs p, q,r\ nous pouvons alors représenter les vibrations électriques par 1 = pa cos 4», v\ = qa cos ty, £ = ra cos i\i, (1) oü . 2n ( lx + my + nz \ t(' v—+d) et ou v est la vitesse de propagation des ondes considérées. Nous pouvons tirer L, M, N des équations (a), en nous rappelant comme plus haut que nous cherchons un mouvement périodique et que nous devons, par conséquent, annuler les constantes d'intégration. Nous trouvons ainsi T _ 1 (qn rm\ ~ A (1 +4T:60)V U7~17rCOS q, r (10) Eliminons ensuite l, m, n en multipliant les mêmes équations par p, q et r, en additionnant et en tenant compte de (8). On obtient 4nA2 (1 + 4-00) v2 p2 ö2 r2 £o £o (ii) Choisissons (6), (8), (10) et (11) pour constituer notre système de quatre équations fondamentales. Les trois prémières ne renferment pas v, mais seulement p, q et r; elles déterminent par conséquent la direction des vibrations. La dernière permet de calculer v dès qu'on connait p, q, r. II résulte de (11), que la vitesse de propagation dépend d'une manière trés simple de la direction des vibrations. Pour nous en rendre compte, posons 47i^42 ex (1 + 471 0O) = R\, 47r^42 e2 (1 -f 47t 0o) = R\, (12) 4-kA2 S3 (1 + 47t 0O) = et considérons un ellipsoïde ayant pour équation x2 y2 z2 Cherchons la longueur R du demi-diamètre dirigé suivant (ft, q, r). On obtient 1 ft2 q2 r2 R2 = R[ + + ^ ou, d'après (12) 1 1 / ft2 q2 r2 \ R2 4tzA2 (1 -f- 47t0o) \ gj s2 e3 ) ' Si 1'on compare cette expression a (11), on trouve que 1 V ~ ~R' en d'autres termes, la vitesse de propagation des ondes est donnée par 1'inverse du demi-diamètre de rellipsoïde, qui a la même direction que les vibrations électriques. La surface E, que nous appellerons dans ce qui suit l'elliftsoïde de ftolarisation, nous permet d'exprimer d'une manière trés simple la relation qui existe entre la direction de propagation et la direction de vibration. En effet, imaginons un plan parallèle au front d'onde et passant par le centre de 1'ellipsoïde et cherchons la direction des axes de 1'ellipse d'intersection e. II suffira de déterminer p,qetr de fa<;on que la valeur (13) de 1 /R2 soit maximum ou minimum ft, q et r étant liés par les conditions pl + qm + rn = 0, (a) qui exprime que la direction cherchée se trouve dans le plan considéré, et par p2 + q2 + r2= 1. (p) Ainsi qu'il est bien connu, il faut pour cela prendre la différentielle totale de 1 /R2 en considérant p, q, r comme variables, 1'égaler a zéro et éliminer dp, dq et dr entre cette équation et celles qu'on obtient en différentiant (a) et (|3). II résulte de (13) que pdp qdq rdr ou, d'après (12), *bar — dp + — dq -1 dr = 0. S1 e2 e3 Les conditions (a) et ((3) donnent Idp + mdq + ndr == 0 et pdp + qdq + rdr = 0. En éliminant dp, dq et dr, il vient L JL L S1 e2 e3 l, m, n P> i> r équation qui avec (a) et ((3) détermine la direction des axes. Mais il est facile de voir que les équations (a), ([3) et (y) sont identiques aux équations (6), (8) et (10) qui définissent la direction de vibration; il en résulte que celle-ci peut coïncider avec la direction des axes de 1'ellipse considérée plus haut. En résumé, nous pouvons énoncer le théorème suivant, qui définit complètement le mouvement de la lumière dans les cristaux. En général, dans un corps anisotrope, deux systèmes d'ondes a vibrations transversales peuvent se propager dans une direction donnée. La direction des vibrations électriques coïncide avec 1'une des deux directions mutuellement perpendiculaires, tracées dans le front d'onde, et données par les axes de 1'ellipse d'intersection de 1'ellipsoïde de polarisation avec un plan mené par son centre, parallèlement au front d'onde.La vitesse de propagation de chacun de ces systèmes d'ondes est donnée par 1'inverse du demi-axe correspondant de 1'ellipse d'intersection. § 5. Ce même théorème peut être déduit de 1'hypothèse que la lumière est constituée par les vibrations d'un milieu élastique. On démontre dans les travaux sur la doublé réfraction que tous les phénomènes observés, ayant trait a la direction des rayons lumi- neux et a la position de leurs plans de polarisation, peuvent être expliqués x) en faisant appel a 1'hypothèse ci-dessus, du moins si 1 on admet que, dans un rayon polarisé, les vibrations sont perpendiculaires au plan de polarisation. Nous avons déja dü d'ailleurs admettre cette hypothèse dans le chapitre précédent. Par conséquent, il résulte des considérations précédentes, que la théorie électromagnétique est en mesure d'expliquer tous les phénomènes dont il est question plus haut, de sorte qu'il est inutile d'insister davantage sur ce point. La détermination de la surface d onde, 1 emploi de celle-ci dans les différents problèmes de doublé réfraction, et enfin, la relation entre la normale aux ondes et le rayon lumineux subsistent intégralement dans la nouvelle théorie. Pour cette raison, dans les paragraphes suivants nous ne reviendrons sur certains faits connus que dans la mesure oü cela nous sera utile pour 1'étude de la réflexion. La théorie de Maxwell donne une explication de la doublé réfraction, plus simple, en un certain sens, que celle a laquelle conduit la théorie de Fresnel. Comme on le sait, il existe d'après cette théorie trois systèmes d'ondes qui peuvent se propager dans une direction donnée et dont les vibrations ont lieu suivant des directions perpendiculaires entre elles. Si 1'on veut rendre compte dans ce cas des phénomènes observés, il faudra admettre que deux de ces directions de vibration font avec le front d'onde des angles négligeables, de fagon qu'on puisse les considérer en première approximation, comme se trouvant dans le front d'onde. Cela exige que les constantes du milieu satisfassent a un certain nombre de relations, mais on n'aper^oit pas clairement la nature des propriétés de 1'éther sur lesquelles elles reposent2). Par contre, dans les considérations du paragraphe précédent, 1'existence dé vibrations purement transversales est justifiée par notre hypothèse fondamentale relative a s, que nous avons déja introduite précédemment. § 6. D'après la théorie électromagnétique de la lumière, les valeurs de e et par conséquent celles de K suivant les trois directions principales d un cristal, doivent être différentes; ainsi qu'on le ') En effet, notre ellipsoïde de polarisation est en rapport trés étroit avec la surface de 1'elasticité de Fresnel, de sorte qu'on est ramené k sa théorie de la doublé réfraction. Voir a ce sujet Beer, Einleitung in die höhere Optik. ') Voir Beer, loc. cit. p. 232—237. voit facilement, les valeurs de K doivent être égales aux carrés des indices principaux de réfraction. Si 1'on pouvait donc construire un condensateur constitué par deux plaques conductrices parallèles séparées par un isolateur homogène cristallisé, on trouverait une capacité variable avec la direction principale qui coïnciderait avec la normale aux plaques. L'attraction diélectrique qu'il avait découverte, a fourni a Boltzmann un meilleur moyen pour démontrer 1'existence d'une variation de K avec la direction. Le résultat doit dépendre également de la direction suivant laquelle la force électromotrice agit sur le cristal. L'expérience est trés difficile a réaliser de cette manière. Boltzmann x) a déterminé par une méthode optique les trois directions principales de deux sphères taillées dans des cristaux de soufre naturel et a mesuré ensuite l'attraction diélectrique dans le cas oü la force électromotrice s'exerce dans une de ces directions. Par cette méthode il a trouvé les valeurs suivantes de K pour les trois directions principales: Les carrés des indices de réfraction principaux correspondants sont 4,596 ; 3,886 ; 3,591 D'après Boltzmann, les écarts que présentent ces nombres peuvent être expliqués par les difficultés qu'on éprouve a faire agir la force électromotrice exactement dans la direction voulue, de sorte qu'il est parfaitement légitime de considérer lesrésultatsci-dessus comme fournissant une confirmation de la théorie de Maxwell. § 7. Jusqu'a présent, en analysant les vibrations électriques dans un cristal, nous nous sommes préoccupés surtout de la polarisation diélectrique; nous allons examiner maintenant comment se comportent les autres grandeurs qui interviennent dans le mouvement de 1'électricité. Nous nous bornerons a des vibrations transversales. D'abord, comme il fallait s'y attendre, il résulte de (3) qu'on a partout cp = 0. Considérons ensuite la force électromotrice F. Ses composantes étant données par 4,773 3,970 3,811 X = 1 y = ^ > 1 > z= £1 e2 *) Über die Verschiedenheit der Dielektricitatsconstante des kristallisierten Schwefels nach verschiedenen Richtungen. Voir aussi Pogg. Ann. 153, 525, 1874. ïl s'ensuit que sa direction ne coïncide plus avec celle de la polarisation diélectrique p. L ellipsoïde de polarisation peut nous servir a trouver facilement le lien entre ces deux directions. Menons un plan tangent a 1'ellipsoïde au point (x', y', z') oü il est coupé par le diamètre parellèle a la direction (p, q, r) de la polarisation diélectrique. Abaissons ensuite du centre une perpendiculaire sur ce plan tangent; on sait que, si p', q', r' définissent la direction de cette perpendiculaire, on aura Rl ' Rl ' Ri " Si 1'on tient compte des valeurs de R\, Rl Rl on peut en déduire P' : q' :r' = : JL = x : Y : Z. S1 s2 e3 el S2 e3 Par conséquent, la direction de la force électromotrice est donnée simplement par la perpendiculaire au plan tangent. Nous avons vu au § 4, que lorsque des vibrations transversales se propagent dans un cristal par ondes planes, la direction de la polarisation diélectrique coïncide avec un des axes de 1'ellipse e. Menons alors une tangente a 1'ellipse a 1'extrémité (x', y', z') de eet axe; on voit trés facilement que cette droite doit être perpendiculaire au plan de vibration, c'est-a-dire au plan passant par la direction de propagation et la direction de vibration. II en résulte que le plan tangent a 1'ellipsoïde au point (x', y', z') est également perpendiculaire au plan de vibration et que, par conséquent, la perpendiculaire au plan tangent, donc aussi la direction de' F, se trouvent dans le plan de vibration. S'il en est ainsi, on peut décomposer la force électromotrice en deux composantes F et Fv, la première dans la direction de la polarisation diélectrique et la seconde dans la direction de propagation. Pour la première on a évidemment S1 e2 s3 que 1'on peut aussi écrire sous la forme \ £1 £2 e3 / Lorentz I 2Q ou, d'après (11), Fp = 4-A2 (1 + 4tt0o) v2p, (14) formule identique a celle des corps isotropes. Si p est 1'angle que fait la direction de F avec celle de p, on a Nous choisissons le signe de (3 de manière que Fy soit positif, quand sa direction coïncide avec la direction de propagation de la lumière. § 8. La direction de la force électromotrice F est liée a celle du rayon lumineux d'une manière trés curieuse; comme nous aurons besoin plus loin de cette relation, nous allons 1'examiner rapidement. Rappelons d'abord le procédé utilisé dans la théorie de la doublé réfraction pour trouver la direction du rayon lumineux qui correspond a un front d'onde donné. Par le point O d'un cristal tragons une droite, prenons sur celle-ci un segment égal a la vitesse de propagation des ondes dans cette direction et enfin, menons par son extrémité un plan normal a ce segment; 1'enveloppe de tous ces plans normaux constituera alors la surf ace d'onde. Si 1'on veut maintenant déterminer la direction du rayon lumineux qui correspond è. un front d'onde donné il suffira de mener un plan tangent a la surface d'onde parallèlement è. ce front d'onde; la droite joignant O au point de contact du plan tangent donne la direction cherchée. L'équation de la surface d'onde en coordonnées tangentielles g, t), j (choisies de manière qu'un plan de coordonnées g, >), J ait pour équation en coordonnées ponctuelles %x + -f- jz = 1) estx) [S2 + V + i2] [£2 v£ v* + v2 v2 + 5* v? v2] -ft2(v? +V2) +i)>(v2 +v2)+j^(vf+v*)] +1 = /(ï.I», J) = 0. (16) O est 1'origine, vx, v2, v3 sont les vitesses de propagation des ondes, et les vibrations électriques ont lieu respectivement dans la direction des axes x, y, z. F* = FP tg P • (15) l) Beer, loc. cit. p. 321. On démontre en géométrie analytique que les coordonnées du point de contact entre un plan tangent et la surface (16) sont proportionnelles aux dérivées premières du premier membre de cette équation par rapport k g, t), 5, prises pour les valeurs des coordonnées du plan tangent considéré. Soient alors l', m', n' les coefficients directeurs du rayon lumineux, qui sont donc déterminés par ,, . , , df df df L : m : n = —— • • _ 35 dtf ' di ' Si 1'on effectue la dérivation et si 1'on se rappelle que' d'après nos notations précédentes, / m n 1 v-ï=«- on trouve que V : m' : n'= P1 : Pa ; pa> (17) oü 1'on a posé Pi= /V®v^2-f Z/?2 [/2 V2 V3+w2 V3 v2+«2 Vj Vg]— /(Vg-I-Vg), P2=mv^v12i?2+mi?2[/2v22v32+m2v|v?+M2vM]_w(v2+v2)) (18) P3= «v2v2ft2+wi?2[Z2vIv2+m2v32v2+n2v12v2]-«(v2+v2). Multiplions ces quantités respectivement par mr — nq, np — lr, Iq — mp et ajoutons. En vertu de l{mr — nq) + m{np — Ir) + n(lq — mp) = 0, on peut écrire le résultat sous la forme Q = R2 [l(mr nq) v2 v2 + m{np~lr) v2 v2 + n(lq—mp) v2 v2] + + tl(mr—nq) v2 + m(np—lr) v2 + n{lq~mp) v2]. Si 1 on tient compte, en outre, des valeurs de v, v1( va et v3 on peut écrire les équations (9), après les avoir divisées par 4nA2(\ + 4tc0o) v2, sous la forme p — R2 [p\\ — + mq\\ + «rvj)] = 0, q — R2 [qv\ — m(lp\\ + mqvf + nrvf)] = 0, (19) r — R2 [rvl — n{lp\\ + mq\\ -f »rv§)] = 0. En les multipliant successivement par mn{\\ — v|), — lm (vf — vf) et en ajoutant les résultats, le premier membre de 1'équation ainsi obtenue prend exactement la forme de Q que nous avons écrite ci-dessus. II en résulte que Q = P1 (mr — nq) + P2 (np — Ir) + P3 [lq — mP) — 0 et donc, en vertu de (17), que l'(mr — nq) + m'(np — Ir) + n'(lq — mp) = 0. Cette équation montre que les directions (l', m', n'), (l, m, n) et (p, q, r) sont dans un même plan, et que par conséquent le rayon lumineux est contenu dans le plan de vibration. Multiplions ensuite les équations (18) par p\\, q\\, r\\ et ajoutons. Puisque pl -f- qm + m — 0, on trouve pi P vï + p» q v2 + P3 r = = R2 (l2 \\ Vg + m2v\ vf + n2\\ v*) {lp vf + mqv% + nrvj) — — pl M + v|) v* — qm (v* + v?) \\ — rn (v? + v|) v*. Le second membre de cette équation est nul, comme on peut s'en assurer en multipliant les équations (19) par /v'vf, mv*v*> et en les additionnant. On a, par conséquent, P1p\\ + P2qv\ + P3r\\ = 0. Si 1'on tient compte de (17), et des valeurs de vf, v|, v§ on peut écrire cette équation sous la forme et + m.L + w.L_o. E1 e2 s3 0r> Ptz 1» ?/s2. rln étant proportionnels aux coefficients directeurs de la force électromotrice F, cette équation nous apprend que le rayon lumineux est perpendiculaire a F. Les résultats obtenus montrent donc que la direction d'un rayon lumineux, correspondant a un front d'onde donné, est entièrement déterminée. On voit également que 1'angle [3 introduit dans le paragraphe précédent, est aussi égal a 1'angle que le rayon lumineux fait avec la normale au front d'onde. § 9. L expression de la force magnétique G a laquelle nous sommes conduits, peut aussi être considérée comme une justification de la théorie. Les composantes de cette force sont données par (2) et on peut les écrire 1 L=A( 1+4*%)VIY"-Zm)K-AV++*4* &-*')■ N-AjTf Ces équations ont une signification géométrique trés simple. Si nous portons un segment égal a 1 A (1 + 4tcG0) v dans la direction de propagation et si nous construisons le parallélogramme ayant comme cötés la force électromotrice F et ce segment L,M,N seront les composantes d'une droite perpendiculaire a ce plan et dont la longueur serait égale a la surface du parallélogramme. II en résulte que la direction de la force magnétique se trouve dans le front d'onde et qu'elle est perpendiculaire a la direction de vibration. Si, de plus, on examine le sens dans lequel on doit mener la droite G, sens qui est déterminé par la nature de notre système de référence, on arrivé au même résultat qu'au § 2 du chapitre précédent, cas des corps isotropes. L'angle que F fait avec la direction de propagation étant égal a — (3, 1'aire du parallélogramme, c'est-a-dire G, a pour valeur 1 -F. G - F cos 8 = 2 , A (1 + 47t0o) v A (1 + 47:0o) v ou, d'après (14), G = 4tcAv p, (20) formule qui concorde également avec les résultats du chapitre précédent. Le fait que la force magnétique est déterminée absolument de la même fafon que dans le cas des milieux isotropes, n'est pas surprenant, étant donné que nous n'avons pas tenu compte des valeurs différentes de (1 + 4t:G) dans les trois directions principales. II en résulte que, tout comme dans le chapitre précédent, la force magnétique dépend uniquement des mouvements électriques. Les raisonnements précédents rattachent a 1'ellipsoïde de polarisation toutes les grandeurs que 1'on rencontre dans 1'étude des mouvements lumineux dans les cristaux. Cette circonstance présente 1'avantage de nous rendre complètement indépendants du système particulier d'axes que nous avons choisi au début de ce chapitre. On peut prendre maintenant un nouveau système d'axes absolument quelconque; il suffira de placer correctement notre ellipsoïde par rapport aux nouveaux axes, pour pouvoir en tirer tout ce que 1'on désire par de simples considérations géométriques. § 10. Rigoureusement parlant, on devrait suivre dans 1'étude de la réflexion et de la réfraction par les cristaux un chemin analogue a celui que nous avons suivi au § 7 du troisième chapitre. On devrait donc tenir également compte des vibrations correspondant aux mouvements longitudinaux dans les corps isotropes. En remarquant ensuite que e est trés grand, on arriverait a la conclusion que les vibrations en question peuvent être négligées. Pour ne pas trop compliquer les formules, je préfère suivre la voie qui a été indiquée au § 8 du chapitre précédent. Nous modifierons donc immédiatement les conditions a la frontière, en intro- duisant notre hypothèse relative a 1 /e, et nous montrerons ensuite que 1'on peut satisfaire aux conditions ainsi simplifiées en tenant compte uniquement des vibrations transversales. De plus, nous admettrons que les valeurs de (1 + 4^6) pour les deux milieux, de part et d'autre de la surface frontière, sont égales. Bornons-nous maintenant au cas oü 1'un des milieux est isotrope et oü 1'autre est un cristal. Désignons les grandeurs relatives k ce dernier par les mêmes lettres que pour le premier, mais accentuées; nous pouvons alors écrire les conditions (A) sous la forme z+^~z'+[i)- Lorsque h est une direction quelconque et Fh la composante de la force électromotrice dans cette direction, on peut déduire des relations précédentes que <2i> II faut encore ajouter a celles-ci 1'équation (21) du second chapitre. Si n est la normale a la surface frontière, on peut écrire cette équation sous la forme 09 /0, N = 4nAv cos a . p cos , p' = a' cos = —S . 7. (37) sin (a -fa) v ' On peut également déduire des équations précédentes que a _ sin a>0 sin (q — q') cos (« + a') — sin2 q' tg p/sin w' sinw ' sin (q + «') cos (q — a') + sin2 q' tg p/sin w' ' ^ équation dont 1'emploi est préférable a celui de (36) dans le cas particulier oü W = (0Q = 1 Tl . Nous avons donc établi les équations, qui permettent de résoudre tous les problèmes concernant la réflexion de la lumière par les cristaux. § 13. Parmi les questions traitées dans le premier chapitre, nous avons déja examiné une question analogue, pour un cas des plus simples. Nous avons constaté que, même dans ce cas simple, la théorie de Cauchy est en contradiction avec 1'expérience, tandis que les formules établies par Neumann conduisent a des résultats exacts. Ces formules restent en bon accord avec les observations de Brewster, de Seebeck, de Sénarmont et d'autres physiciens même dans des cas plus compliqués; en particulier, leur exactitude a été démontrée par les mesures trés précises de Seebeck. Si donc nous réussissons a montrer que nos résultats concordent avec ceux que fournissent les formules en question, nous aurons démontré, par cela même, que dans ce domaine la théorie electromagnétique de la lumière peut également expliquer tous les phénomènes observés. Neumann a développé sa théorie dans un travail trés étendu 1), en suivant une voie tout a fait différente de celle que nous avons adoptée. II considère d'abord le cas général de deux rayons réfractés, et seulement a la fin de son travail2) ü déduit, des équations obtenues, les formules applicables lorsqu'un seul rayon réfracté est en jeu. A eet effet, il établit une distinction entre le rayon ordinaire et le rayon extraordinaire, ce qui au fond n'est qu'une ques- l) Abhandlungen der Berliner Academie, 1835 d 1 *) p. 144 et 145. ' ' tion de convention, puisque tous les deux peuvent être traités exactement de la même fagon. Dans le cas oü seul le rayon ordinaire existe, Neumann donne les équations suivantes sin2 cp ter q' j_ _ _/ x— -J / /\ i TOl xg u = — xg x cos ^9 — cp ; -f cos x' sin (9 + 9') t s, cos(cp + 9,)t y ^ 2 sin 2 9 sin2 9' tg q' cos (9—9') sin 2 (9—9') sin (9+9') cos#'' (39) sin (9—9') 3 / i /\ " sin (9 + 9 ) 9, 9', x', a', 8' désignent ici les grandeurs que nous avons appelées 1 et lorsque 1'angle d'incidence dépasse 1'angle limite. Dans ce cas sin a2 > 1 et par conséquent cos -2*=T~' ^zri) • <2> relations que nous écrirons, pour abréger, ax = b + ci, «2 = b' -f- c'i. Pour la lumière incidente on a évidemment la même expression qu'auparavant 2tt , x z . ... r? = cos (t cos — -— sm ax -f p) ; (3) T Vj Vi 1'expression correspondante pour la lumière réfléchie devient == (b -(- ci) cos (t + — cos oii sin ax + p), (4) T Vi vx et enfin celle pour la lumière réfractée 2k , ix , z , . 7]2 = (è' + c't) cos — (2 — -—- y/n2 sin2 a,— 1 sin ax -f- ^) • T v, vt Posons ™ (* — —sin aj + />) = x (5) ■i vi et 2re 1 , — \/w2sinsa1—1=»"» (6) r v2 la dernière équation donne ^ = i {V (erx + e~^x) cos x — c' (erx — «-**) sin x} + + i . $ {b' (erx — e~^x) sin z + c' (erx + e~^x) cos x>. (7) La force magnétique aura alors les composantes suivantes, correspondant a (3), (4) et (7) L'i = Vjsinaj.yji, N'i =—4nA vj cos ai. ■»£, L\= 4nA v, sinai.7)1', = 4kA v1 cosai.tjJ, L2 = n4nA v2 sin ax. yj2 , N2 = —i 4tzA v2 y^sin"^— 1. v)2. Cet ensemble constitue le système complet de valeurs complexes, qui satisfont a nos équations. Or, aussi bien les équations du mouvement, que les conditions a la limite, sont linéaires par rapport a tj, £ L, M, N,

\°) T \1 Vj 2n z t)2 = b' e~rx cos — (t sin «! + />) + ■L vi 2j- g + c' e-rx sin ^ (t sin u.1 + ft). (9) ■L On pourrait facilement adjoindre a ces expressions celles de la force magnétique; on constaterait alors que, la aussi, les termes en erx auront disparu. La première des deux formules (8) et (9), celle qui détermine la lumière réfléchie, concorde avec la formule de Fresnel. La seconde montre de quelle fagon le mouvement lumineux pénètre dans le second milieu lors d'une refléxion totale. On voit qu'a cause du facteur e~^x 1'amplitude diminue trés rapidement avec la distance & la surface frontière. En vertu de (6) on peut écrire x rx = 2n y Vn2 sin2 — 1, l étant la longueur d'onde dans le second milieu. On voit que, pour des distances trés grandes par rapport a la longueur d'onde, rx devient également trés grand et ™ trés petit, de sorte que le mouvement devient imperceptible. Au contraire, on pourra encore le déceler tant que x ne dépassera pas quelques longueurs d'ondes. § 3. On peut procéder de la même manière dans le cas d'une lumière incidente polarisée perpendiculairement au plan d'incidence. Comme précédemment, nous n'aurons a nous préoccuper dans ce cas que des expressions relatives au mouvement transversal, puisque nous avons vu au § 7 du troisième chapitre que notre hypothèse concernant s rend les vibrations longitudinales négligeables. On a ici, pour la lumière réfléchie a = tg (ai ~ aa) . 1 tg (ai + «2) ' dans le cas de la réflexion totale cette expression prend la forme == b -j- ci, oü 1'on a posé __ cos2 «j — m2 (n2 sin2 x1 — 1) cos2 <*! -f n2 (n2 sin2 — 1) et c 2» cos x1 y/n2 sin2 ax— 1 cos2 aj + n2 (n2 sin2 — 1) (10) a2 aussi devient imaginaire et on trouve pour i;, M un système de valeurs complexes. En choisissant parmi les différentes solutions possibles celle pour laquelle 1'amplitude dans le second milieu ne croit pas indéfiniment avec la distance a la surface frontière, on obtient le résultat de Fresnel pour la lumière réfléchie et on trouve pour le second milieu un mouvement analogue a celui du paragraphe précédent. § 4. L'analyse du phénomène de réflexion totale nous a donc fait connaitre un état de mouvement, caracterisé par les exponentielles réelles qui entrent dans son expression analytique, et qui est tout a fait différent du mouvement ondulatoire que nous rencontrons habituellement. II peut arriver que dans certains problèmes on soit amené a considérer plusieurs états de vibration de ce genre. Ainsi, par exemple, le mouvement qui a pénétré dans le second milieu pourra y subir a son tour une réflexion et conduire a un mouvement de même nature que le précédent. Ce mouvement ne devra pas devenir de plus en plus fort a mesure qu'on s'éloigne de la surface réflechissante, ce qui interdit ici 1'apparition de facteurs de la forme e~n. Pour résoudre d'une manière satisfaisante tous les problèmes analogues a ceux qui précédent, il est utile de pouvoir représenter analytiquement sous une seule et même forme les divers mouvements que nous avons étudiés jusqu'è. présent. La théorie des nombres complexes nous en offre le moyen. Jusqu'a présent nous avons utilisé une solution particulière des équations fondamentales pour représenter un faisceau de lumière polarisée. Par exemple un tel faisceau de lumière polarisée dans le plan xz était représenté par des expressions de la forme 2u x z . r] = a cos — (t cos a — — sin a + p), L = 4u^4vsin a . yj, N = —47r^4vcosa.yj, 00 oü a est un angle aigu lorsqu'il s'agit d'un rayon incident ou réfracté, et obtus dans le cas d'un rayon réfléchi. Nous remplacerons maintenant (11) par des expressions complexes, en substituant a la fonction trigonométrique une fonction exponentielle, de manière que la partie réelle de 1'ensemble soit identique è. (11). Nous poserons donc, a eet effet, , . 2n x z r n ± * ~7fr ('—— cosa— — sina+p) M = «« , (I2) [L] = 4-Av sin a . [tj] , [iV] = — 4nAv cos a . [yj], le signe de 1'exposant étant provisoirement indéterminé. On peut aisément se convaincre que (12) satisfait aussi bien que (11) aux équations du mouvement. Etant donné un problème quelconque, on peut donc représenter d'abord chaque faisceau lumineux par des expressions de la forme (12), déterminer ensuite tous les paramètres de fa^on que les conditions a la frontière soient satisfaites, et enfin ne garder que la partie réelle de 1'expression finale, qui sera, elle aussi, une solution de notre système primitif. Pour un rayon quelconque 1'existence d'un cos a imaginaire se manifestera par 1 apparition d'une exponentielle dans cette partie réelle qui constitue notre solution. Pour un faisceau lumineux réfracté cos a peut avoir la forme ki et pour un faisceau réfléchi la forme — kt (k étant positif). Dans le premier cas, le facteur qui apparait est e ±rx dans le second cas eTrx. En choisissant dans (12) le signe inférieur, ainsi que nous le ferons dorénavant, on est sur de satisfaire en tout cas a la condition que 1'amplitude ne croisse pas indéfiniment avec la distance au plan réfringent ou réfléchissant. Dans ce qui suit, nous écrirons entre crochets les valeurs symboliques (12), pour les distinguer des vraies valeurs qui s'en déduisent en prenant uniquement la partie réelle. II est évident qu'on peut suivre le procédé indiqué plus haut, meme lorsque la lumière n'est pas polarisée dans le plan xz. Si 1'on avait voulu traiter par ce procédé le cas de la réflexion totale d un rayon polarisé dans le plan d'incidence, on aurait dü commencer par représenter la lumière incidente, réfléchie et réfractée par les expressions symboliques suivantes: r M —«-y-— oosa!—— sinai+p) [yjJ = e T ▼« . 271 „ , X z r "1 —»-^T (i + — cosat— — sinai+p) [%] = axe 1 v' v' .211..® 2 r —oosa, —— 8ina.+p) [tjJ = a2 e T v> (12) On aurait déduit ensuite, comme précédemment, a partir des conditions a la frontière sin (a.j — oc2) sin 2 sin cos ax a1 1 / I \ > = • " ; / I • sin (aj + a2) sm a2 sin (at + a2) Enfin, il aurait fallu prendre uniquement la partie réelle, ce qui aurait amené la nécessité de distinguer les deux cas oü 1'angle d'incidence est plus petit ou plus grand que 1'angle limite. Dans le premier cas cos a2, a1 et a2 sont réels et on arrivé aux résultats indiqués au troisième chapitre. Dans le second cas cos a2 est imaginaire, donc ax et a2 sont complexes; en prenant uniquement la partie réelle on obtient les formules trouvées ci-dessus pour la réflexion totale. L'emploi des valeurs symboliques nous permet donc de traiter par la même méthode les deux phénomènes de la réflexion partielle et de la réflexion totale 1). § 5. Je ne me serais pas arrêté si longtemps sur cette question, si a ce phénomène de réflexion totale ne se rattachaient un certain nombre de considérations dont 1'examen ne me semble pas dénué d'intérêt. En effet, Jamin et Quincke ont démontré que les formules de la réflexion totale sont confirmées par 1'expérience, tandis qu'il n'a pas encore été possible d'établir avec le même degré de certitude la validité des formules concernant la lumière qui pénètre dans le second milieu. J'attache a cette circonstance d'autant plus d'importance que les phénomènes dont il est question ici ont été parfois interprétés en partant de conceptions tout a fait différentes de celles que nous avons prises pour base dans ce travail. Par exemple, on a admis que lorsqu'il y a réflexion totale la lumière pénètre jusqu'a une certaine profondeur dans le second milieu, pour être ensuite réfléchie; on a même cru voir dans cette doublé réflexion la cause du changement de phase qui a lieu lors d'une réflexion totale. Cette interprétation n'est pas en accord avec la théorie que nous avons développée plus haut. En effet, cette théorie n'est valable que pour le cas de deux corps nettement séparés 1'un de 1'autre, et même si elle nous conduit a admettre que le second milieu prend part au mouvement, rien ne nous autorise a *) La méthode que nous avons employée ici a toujours été utilisée par Cauchy pour résoudre des problèmes de mouvements vibratoires. parler d'une réflexion a 1'intérieur de celui-ci, réflexion qui, du reste, ne serait pas facile a imaginer. II y a un second fait qui rend désirable une vérification précise des formules obtenues; la nature du mouvement dans le second milieu diffère suivant la théorie utilisée. En effet, si 1'on part de 1'hypothèse que la lumière est assimilable aux vibrations d'un milieu élastique, on arrivé a un mouvement qui est précisément celui trouvé ci-dessus, et qui correspond au système d'ondes transversales de la réflexion ordinaire. Mais, lorsque la direction de vibration se trouve dans le plan d'incidence, un second mouvement pourrait prendre naissance, provenant des vibrations longitudinales qu'on doit introduire dans les calculs. II peut se faire que ce second mouvement joue également un röle dans les phénomènes pour lesquels le premier mouvement est facile a mettre en évidence expérimentalement. Nous aurons donc trouvé un argument non dépourvu d'intérêt en faveur de la théorie électromagnétique, si nous arrivons a montrer que les observations concernant la lumière transmise sont parfaitement explicables au moyen des équations que nous avons données, pourvu que 1'on admette, conformément a notre hypothèse sur s, qu'il n'existe pas de vibrations longitudinales. § 6. Pour démontrer que le second milieu prend également part au mouvement dans le phénomène de la réflexion totale, Newton a fait 1'expérience suivante. On presse 1'une contre 1'autre les deux faces obliques d'un prisme de verre A ayant comme base un triangle rectangle isoscèle et d'un second prisme B, identique au premier a cela prés que sa face oblique au lieu d'être plane est légèrement sphérique. On envoie ensuite un faisceau lumineux et on lui fait subir une réflexion inférieure sur la face oblique de A sous un angled incidence plus grand que 1'angle limite. Lorsqu'on enlève B, la réflexion est totale et on ne constate pas 1'existance d'un rayon réfracté. Si B est appliqué contre A, le phénomène est tout a fait différent autour du point oü les deux morceaux de verre sont le plus prés 1'un de 1'autre. On constate 1'apparition d'un rayon réfracté qui se propage dans B et en même temps une diminution de 1'intensité de la lumière réfléchie; il en résulte qu'on observe en ce point une tache sombre dans la lumière réfléchie, et une tache claire dans la lumière réfractée. On peut conclure de cette expérience, que le mouvement lumi- neux pénètre certainement dans la mince couche d'air qui existe entre les prismes en contact. Le phénomène décrit a été analysé plus en détail par Quincke. Dans une première série de recherches *) celui-ci se demande quelle est la profondeur atteinte par le mouvement dans le second milieu; la profondeur maxima serait donnée par la distance entre les prismes au bord de la tache. D'après la théorie exposée ici on ne peut pas parler en toute rigueur d'une profondeur maxima que le mouvement pourrait atteindre (puisqu'avec une amplitude décroissante, il pénètre a toute distance dans le second milieu); il est plus correct de parler de la plus grande profondeur a laquelle il garde encore une amplitude suffisamment grande pour pouvoir donner naissance a un rayon réfracté observable. Dans ce cas, la sensibilité de 1'oeil de 1'observateur d'une part et 1'intensité de la lumière incidente de 1'autre, entrent donc en ligne de compte. Conformément è. ces prévisions, Quincke a trouvé que le bord de la tache centrale n'est pas nettement délimité, mais présente un dégradé progressif et que son diamètre est beaucoup plus grand pour la lumière solaire que pour la lumière artificielle. Quoique les mesures de cette profondeur n'aient pas une importance décisive du point de vue théorique, elles ne manquent pas sans doute d'une certaine valeur, en particulier par les renseignements qu'elles fournissent sur 1'influence relative des diverses circonstances dans lesquelles le phénomène se produit. A ce sujet, Quincke trouve que: a) La lumière pénètre jusqu'è. une distance, qui diminue lorsque 1'angle d'incidence augmente. b) Lorsque 1'angle d'incidence est légèrement plus grand que 1'angle limite, la lumière polarisée perpendiculairement au plan d'incidence pénètre plus loin dans le second milieu que la lumière polarisée dans ce plan. Lorsque 1'angle d'incidence devient de plus en plus grand, c'est au contraire la lumière polarisée dans le plan d'incidence qui pénètre le plus loin. c) La distance augmente avec la longueur d'onde. De la découle 1'aspect de la tache sombre dans la lumière réfléchie et celui de la tache claire dans la lumière réfractée qui sont bordées respectivement de violet et de rouge. d) Lorsqu'on introduit entre les deux prismes une matière x) Pogg. Ann. 127, 1, 1866. transparente autre que 1 air, par exemple de 1'eau ou de 1'essence de térébenthine, la profondeur jusqu'a laquelle pénètre la lumière est d autant plus grande que 1'indice de réfraction du milieu interposé se rapproche davantage de celui du verre. § 7. Une théorie des expériences qui viennent d etre décrites a déja été donnée par Stores 1), mais celui-ci ne disposait pas en son temps de mesures précises qui lui auraient permis de 1'étayer. II peut être intéressant de reprendre maintenant la théorie que nous avons donnée et comparer les résultats qu'on en déduit a ceux de Quincke. L'interprétation de ces résultats est immédiate après notre expérience que dans le phénomène de la réflexion totale le mouvement lumineux pénetre dans le second milieu. Lorsque ce mouvement tombe sur nouveau milieu, il peut donner lieu a un rayon réfracté et en même temps il est réfléchi partiellement. Les vibrations réfléchies reviendront alors dans le premier milieu et modifieront les propriétés de la lumière qui s'y trouve. Comme on le voit, 1 explication est analogue a celle des anneaux de Newton avec réflexion partieüe; strictement parlant on devrait donc tenir compte, ici aussi, des réflexions successives sur les deux surfaces de séparation. Imaginons maintenant une couche mince d'un milieu transparent (une couche d air, par exemple), limitée des deux cötés par deux bloes de verre de même composition, ayant tous les deux un indice de réfraction par rapport au milieu intermédiaire égal a n > 1. Soit x = 0 1 équation du premier plan de séparation, x = d celle du second, d étant par conséquent 1'épaisseur de la couche. Supposons que 1'angle du rayon lumineux avec la normale aux plans de séparation soit égal a «x dans le verre et a oc2 dans 1'autre milieu; on aura sin a2 = n sin ax, équation qui peut conduire a une valeur imaginaire de a2. Nous pouvons représenter la lumière incidente par 1'expression symbolique . 27t .. X z |= <*"*1—-sinoc+p) l> Cambr. Phil. Trans. 8, 642, 1848. l'amplitude étant prise égale a 1'unité et q0 désignant la polarisation diélectrique. Dans ce qui suit nous aurons toujours en vue un cas déterminé parmi les deux cas possibles: lumière polarisée dans le plan d'incidence ou lumière polarisée perpendiculairement è. celui-ci; cependant, il n'y a aucune difficulté a traiter ces deux cas simultanément. L'amplitude de la lumière incidente étant égale a 1'unité, soit a l'amplitude de la lumière réfléchie et m celle de la lumière réfractée au moment du passage du verre dans le milieu intermédiaire; soient ensuite a' et m' les amplitudes analogues pour la lumière qui, poursuivant son chemin, passé de ce milieu dans le verre. D'après les formules du troisième chapitre, on aura sin (<*! — a2) u = sin («i + a2) dans le cas d'une lumière polarisée dans le plan d'incidence et tg («i — v'+ï>,/i. On déterminera les grandeurs p' et p" en écrivant que sur le deuxième plan frontière, donc pour x = d, les exposants qui apparaissent dans [r J , [g£| et [^] doivent être les mêmes. II en résulte que et d d p = p cos a2 H cos ax p" — p — 2 — cos a2 Le mouvement [r^] donnera naissance sur le premier plan frontière a un mouvement transmis [q2 ] dans le premier bloede verre et è. des vibrations réfléchies [rj dans la couche mince. On aura alors — 2ni [^2] — a'mm'e—T— [' + + «sina.)/v.+p»] Ce dernier mouvement subit le même sort que [rj. En utilisant la valeur de p" donnée plus haut, on trouve .< W = «'2 [rj, si 1'on pose 2k d y — -=r — cos a2. -* v2 En désignant par l la longueur d'onde dans le milieu intermédiaire, on peut remplacer cette formule par o d Y = 2tt - cos Pour le mouvement transmis dans le deuxième bloc de verre on a de même une expression de la forme m = [q'i] + r?Ü + [q's] + etc. = = W (1 +a'2 e2ir + e4ir + etc.) = M ' 1—a'2 e2ir Si nous posons 2- /, x z . d ~f (t — — cos a, --sina, + — cos aj + p) = nous aurons également [?i] = mm' e i(<^' = (1 — a2) e—, de sorte que, pour la lumière transmise, nous obtenons 1'expression Remarquons encore que les grandeurs ij; et _ j) a = v ; 1— a2e~2V' v l'e*r — a2 ( V-fT(6+ „•)»• d'oü, en tenant compte de (19), (**' _ 1)2 + 4c2 e2Y, ' C_c(&'+1) (e2V—\) (e2V — 1)2 + 4c2 e2r • II en résulte que («T'— l)» + 4c'e*r' montre tout d'abord, que ƒ n'est plus une fonctionpériodiquedey' ou de 1'épaisseur de la couche, comme dans la réflexion partielle. C'est pour cette raison que dans 1'expérience des deux prismes, décrite ci-dessus, on n'observe plus de franges d'interférence pour les angles d'incidence supérieures & 1'angle de la réflexion totale. Au contraire, ƒ croit de plus en plus lorsque d et, par conséquent, y' augmentent. En effet, si 1'on pose ft' = q, on peut écrire ƒ sous la forme suivante 1 J ~ 1 + 4c2q/(q —• l)2 ' ^ La dérivée de q/(q— l)2, par rapport a q, est égale k — (? + !)/( ^ "5 h-z hv = ^9 H ) dx dy dz x x dt2 dN dM d2cp du — —— = A ——— — 4tcx — Anu , dy dz dx dt dt dL dN 32cp dv dM dL [ 02

oü 1'on a posé „ du dv dw P = 1 1 . dx dy dz Remplagons également (40) par dL_ dM dN 1 dx ^ dy dz 4n0 ^' En éliminant y , il vient dL dM , dN ^+%r+v=°' m ce qui permet de ne plus tenir compte dorénavant de y. Nos équations du mouvement sont donc données par le svstème (I)-(V). § 2. Examinons tout d'abord la propagation par ondes planes des vibrations électriques transversales. Partons pour cela, des expressions symboliques. [«] = [w] = 0, 0] = a e—^Ut—xR+p)IT^ (1) Le choix de la forme de cette solution particulière implique 1 hypothèse que la direction de propagation coïncide avec 1'axe des x et la direction de vibration avec 1'axe des y. On déduit tout d'abord de (I) que P = 0. En vertu de (IV), on a alors

sm (aj + a2) de sorte que la lumière réfléchie est représentée par (*** e—2ni(i +xR, cos cti— zK, gin ai +p)iT sin (a} + a2) § 7. II. Supposons ensuite que la lumière incidente soit polarisée perpendiculairement au plan d'incidence; nous pouvons représenter le mouvement incident, réfléchi et réfracté par les formules Ki] = — sin ocj. g—% [£[] = cos ax . e-% M K1 K3 = — a, sin aj . p£] = — cos a.{ . e~^, Ki [u] = — a2 sin a2. *+■, [w] = a2 cos oc2. e~"'+•, oü 2 sur la surface de séparation. La deuxième des équations (4) donne alors 1 — a1 cos »] = *«, cos oc2. (16) ei De même, la première des équations (7) donne /, , \ *^2 "ffT(l + ^ = TÖTW""' ou encore, après réduction, 1 + ai ■ sin a2 = y.a2 sm ax. (17) II résulte enfin de l'équation (11), après division par ië~"ilK, que /, , x 271 • . / 2it \ (! + «Jysm (Xj = a2 sm a21 e2 x — + 11. Si 1'on tient compte maintenant du fait que les valeurs de Rx et R2 satisfont a 2 T R\ = 4m2A* (1 + 4tc02) + i A2( 1 + 4tt02) = x = R\(^ + i^±\ = R\L±L^ + ï\, ysx 27c y£1) 2n xex \ T J on peut écrire pour l'équation obtenue , .271, . R\ 2tc (1 + «i) — sin dj = Hjsma,^ — xe^ ou, en vertu de (13), 1 + . sin a2 = xa2 sin ax, ei qui est identique a (17). Les autres conditions a la surface frontière étant identiquement satisfaites, il ne nous reste que (16) et (17) pour déterminer ax et a2. On trouve alors tg («i — «2) al — ~7 j T » tg (<*! + a2) de sorte que la lumière réfléchie est représentée maintenant par j^J = *2) ^—27ti (t + xRi cos ai—zRi sin ai + v)'T tg (Kl + a2) oü Q est la polarisation diélectrique (totale). § 8. Les expressions symboliques (A) et (B) ont la même forme que les expressions correspondantes pour les corps non-conducteurs. Mais si, pour trouver le mouvement réfléchi vrai, on n'en prend que la partie réelle, cette concordance disparait. En effet, nous ne devons pas perdre de vue que R2, et par conséquent a2, sont des quantités complexes pour les métaux, tandis qu'elles sont essentiellement réelles pour des corps non-conducteurs. _ Pour voir maintenant comment se comportent (A) et (B), j utiliserai certains raisonnements employés par Eisenlohr dans 1'établissement des équations de Cauchy. En particulier Eisenlohr obtient ces équations en introduisant, dans les expressies pour les corps transparents, un indice de réfraction complexe de15, il s ensuit que nos déductions concernant le mouvement représenté par (A) et (B), coïncideront en grande partie avec celles d'elsenlohr. Appelons également „indice de réfraction", le rapport constant sin ocj — = n, sin a2 on aura, en vertu de (13) et (3), *, R, + R, Remplagons q et r par deux nouvelles constantes a et t, reliées aux précédentes par la relation suivante "" J;+ k'="" • (18) donc 1 r ff cos t = —, ff sin t = —; ff et t correspondent au 0 et au e de Eisenlohr. En vertu de (13), on a sin «, sin 2 Are tg (——— jj (26) et pour la phase ( la cos a,\] , „ tg da =sin (t — w) tg |2 Are tg ( jj . (27) § 9. Lorsqu'on connait les constantes du métal, les équations que nous avons établies permettent de calculer pour chacun des cas principaux 1'intensité et la phase de la lumière réfléchie. Ces grandeurs n'ayant pas la même valeur pour les deux directions principales, il en résulte que si la lumière incidente est polarisée iinéairement dans une direction quelconque, le rayon réfléchi sera polarisé elliptiquement. Les expériences relatives a ce phénomène nous permettent de déterminer le rapport des amplitudes k = Vl8jlp et la différence de phase ds—dp. II est utile de calculer les valeurs théoriques de ces grandeurs puisqu'elles ont formé le principal objet des mesures expérimentales. La manière la plus simple de le faire est de poser a + a t Etant donné que b' + i>" i = y/ig (cos d8 + i sin ds) et a' + a" i = y'/p (cos dp + j sin dp), on a c' + c" i = k {cos (ds — dp) + i sin {d8 — dp)}, d'oü il résulte que k = Vc'2 + o2 et tg (i —d) = ~. c En vertu des expressions initiales de a' + a"i et b' + b"i, nous avons sin2 a, ,, , , 1 L_ g—<(T+tO) c> c«i _ COS («i + «2) _ Op COS OCj cos («, a2) t , sin2»! ' ap cos ax En posant sin2 a, — =m". dp COS OCjl il en résulte que C' = 1 — m"2 2m" sin (t + co) 1 +2w" cos (t+w) +m"2' ° 1 +2m"cos (t+w)+m"2' Si k = tg h, on trouve finalement que cos 2h = cos (t + co) sin <2 Are tg /sin aL.\l ( (28) l \ap cos x1/J tg K — <*p) = sin (t + to) tg (2 Are tg ( Sm a' . (29) ( \ap cos aj/J Les équations obtenues sont identiques a celles qui ont été données par Cauchy et démontrées par Eisenlohr. Jamin et Quincke ont montré que ces formules concordent d'une manière satisfaisante avec les observations, non seulement lorsque la réflexion se produit dans 1'air, mais aussi (suivant Quincke), lorsqu'elle a lieu dans un autre milieu transparent. Nous voyons donc que 1'hypothèse de Maxwell conduit dans ce cas a des équations de forme correcte. Examinons maintenant la valeur des constantes qu'elles renferment. § 10. Un certain cas particulier est surtout important pour les observations, a savoir, celui pour lequel la différence de phase est égale a un quart de longueur d'onde, donc ds—dp — tz/2. Cela a lieu pour un angle d'incidence déterminé, l'angle d'incidence principal A, et on appelle azimut principal la valeur II, que h ou are tg k prend dans ce cas. Ces deux constantes sont reliées d'une certaine manière aux constantes a et t. II résulte, en particulier de (29) que, tg {ds — dp) tendant vers oo pour ax = A, on a apa = tg A sin A (30) et en vertu de (28) que t + o>a = 2H ; (31) pa et coa sont les valeurs que prennent p et w pour ax = A. On a, en outre, tg (t — w) sin 2t — sin 2w tg (t + w) sin 2t + sin 2w donc, d'après (19), pour l'angle d'incidence principal tg (t — oü D est indépendant de t. D'après (35) on a [X] = (*-^)M, [*] = (*-*!)[■]. ^ = H- Ces dernières expressions ont la même forme que celles que nous avons admises auparavant; nous y avons seulement substitué x — ig2iz/T a x. En procédant de la même manière avec toutes nos formules, nous obtiendrons une solution symbolique qui satisfera aux nouvelles conditions du problème, et dont la partie réelle constituera 1 expression exacte du mouvement effectif. Par conséquent, toutes les considérations des paragraphes précédents subsisteront, seule la valeur de i?2/^i étant différente de ce qu'elle était auparavant. On avait ^2 = c, . T_ 1 £i 2tz xex Cette valeur devient maintenant | . T 1 Ei 1 2tc * (x — ig2n/T)Sl ' OU, en posant pour abréger 2ng/xT = s, —I =—+i T 1 _ ^ , T —s •^ï ei 2nxe1 1 — is Ej 2nxs1 1 —f- s2 En égalant cette expression a a2 e2ir, on déduit que 2 O S2 T S o2 cos 2t /oA £i 2nxs1 I -f s! ^ et T 1