WERKTUIGKUNDE I.







ONZE TECHNISCHE SERIE
*• Keldcnii *.
■ oea v«ü 337
I. arareet*
WERKTUIGKUNDE I
DOOR
G. H. KOUDIJS
LERAAR AAN DE AMBACHTSSCHOOL TE UTRECHT
EN
Dr. J. WOLTERS—MARX
LERARES AAN DE G. M. S. VOOR MEISJES TE DEVENTER
P. NOORDHOFF N.V. - 1936 - GRONINGEN-BATAVIA







EEN WOORD VOORAF.
Bij de samenstelling van dit werkje hebben we als richtsnoer de leidraad genomen, behorende bij de bekende missive, welke de Minister van O., K. en W. d.d. 5 Aug 1935 tot de Besturen der Ambachtsscholen richtte. Het is dus geheel in overeenstemming met de nieuwe toestand in zake de cursusduur en de verdeling der lesuren.
Ook voor de werktuigkunde is de leerstof in de leidraad in grote trekken aangegeven en in verband met wat van de andere vakken, in casu de wiskunde, daarin is opgenomen, is tevens de wijze van behandelen in grote trekken bepaald. Immers bij het onderwijs in werktuigkunde moet met de wiskunde-kennis onzer leerlingen rekening gehouden worden.
Van de bewegingsleer zijn daarom in het eerste deeltje alleen de eenparige beweging, de eenparig versnelde beweging zonder beginsnelheid en de eenparig vertraagde beweging zonder eindsnelheid behandeld. In het tweede deeltje komen enige moeilijker onderwerpen aan de beurt; de leerlingen hebben dan wat inzicht verworven, terwijl ze tevens over wat meer wiskundige en praktische kennis beschikken.
In verband met het meetkundeprogramma voor het eerste leerjaar hebben we noch van de gelijkvormigheid, noch van de stelling yan Pythagoras gebruik kunnen maken. Om dit gemis te compenseren zijn de tekeningen niet al te klein genomen.
In de paragraaf over de niet-evenwijdige krachten, welke niet op hetzelfde punt werken, is alleen het geval behandeld, waarin beide krachten aan dezelfde kant van de verbindingslijn der aangrijpingspunten werken.
Met het oog op de praktische vorming onzer leerlingen zijn pas in de laatste paragrafen van deel I vraagstukken opgenomen, die aan de praktijk ontleend zijn. Daarentegen is aan dergebjke vraagstukken in deel II een ruime plaats toegekend.
Gaarne betuigen we onze dank aan hen, die ons met raad en daad terzijde stonden. Voor op- en aanmerkingen, die in het belang van het onderwijs zijn, houden we ons aanbevolen.
Utrecht
Deventer
G. H. KOUDIJS.
J. WOLTERS-MARX.



INHOUD.
§ BEHANDELD ONDERWERP. Blz.
Inleiding . . ... . . . • '
1. Eenparige beweging 8
2. Eenparig versnelde beweging 10.
3. Eenparig vertraagde beweging 13
4. Herhaling. . . ■ • • • • • • 16
5. Krachten. Zwaartekracht 18
6. Evenwijdige krachten. Bepaling van grootte en richting der resultante . ... . . 20
7. Momenten 22
8. Evenwijdige krachten. Bepaling van de plaats der
resultante 25
9. H e r h a 1 i n g . . . . , • . 28
10. Niet-evenwijdige krachten.
Samenstellen van twee krachten, die in 1 punt werken 30
11. Niet-evenwijdige krachten.
Samenstellen van twee krachten, die niet. in hetzelfde punt werken • • • • 83
12. De krachtendriehoek 35
13. H e r h a 1 i n g . 37
14. Ontbinden van een kracht in twee evenwijdige
krachten 38
15. Ontbinden van een kracht in twee niet-evenwijdige
krachten • ,• • •
16. Evenwicht-makende krachten 45
17. Herhaling ........ • • • * - 48
18. Algemene herhaling 49



INLEIDING.
Beweging en rust.
Een voorwerp is in beweging t.o.v. (ten opzichte van) een ander voorwerp, als de stand t.o.v. dat andere voorwerp verandert. Als men in een trein zit, is men t.o.v. de wagen in rust, maar t.o.v. het terrein in beweging. Elke beweging moet dus beschouwd worden t.o.v. een lichaam; b.v. de beweging van een pen, waarmee je schrijft, t.o.v. het papier.
In vele gevallen wordt gedacht aan de beweging t.o.v. de aarde: een vallend lichaam, een rijdende trem, een vliegmachine, enz. .
De afstand, die een bewegend lichaam in een bepaalde tijd aflegt, noemt men de snelheid van dat lichaam, b.v. 75 cm per sec, 12 km per uur. In de werktuigkunde schrijft men 75 cm/sec, 12 km/uur.
Wanneer de snelheid van een lichaam niet verandert, zegt men, dat het een regelmatige of eenparige beweging heeft. Is een beweging niet eenparig, dan is hij versneld of vertraagd. Dit kan eenparig versneld of vertraagd zijn en niet-eenparig versneld of vertraagd.
Zulke onregelmatige bewegingen worden niet behandeld.
Overzicht.
Bewegingen
eenparig ' niet-eenparig
versneld vertraagd
eenparig ^niet-eenparig eenparig niet-eenparig versneld versneld vertraagd vertraagd.



§!•
Eenparige beweging.
Een fietser legt elke seconde 5 m af. In 7 seconden legt hij 7 X 5 m = 35 m af. We hebben hier drie grootheden: snelheid (= 5 m per sec), tijd (= 7 sec) en afgelegde weg (== 35 m).
Onthoud: afgelegde weg = snelheid X tijd.
s - = v X t *)
Noemen we de lengte van een rechthoek t, de breedte v en
de oppervlakte s, dan
De lengte geeft dus '/////////////^ het aantal seconden
V van de tjjd aan’ de
'y///y////y///y//y/yy/y// breedte geeft de snelyyyyyyyy/yyy/^^ heid aan in m per sec
'//////////////////////A (m/sec) en de opperFjg j vlakte geeft het aantal
meters van de afgelegde weg aan. Uit de figuur lezen we gemakkelijk de formule en de afgeleide formules:
s s
s = vt;, v = -7 en t = -
t, . v
' Steeds moeten bij elkaar behorende maten 'gebruikt worden!
afgel. weg tijd snelheid
km sec km/sec
km uur km/uur
m sec m/sec
cm sec cm/sec
Fig. l.
*) s = spatium = afstand, v = velocitas = snelheid. t = tempus = tijd.



Maak voor elk vraagstuk eerst een tekening.
Voorbeeld: Iemand loopt 10,8 km in 2 uur. Hoeveel m/sec is zijn snelheid?
v s = 1.0,8 km =
10800 m
t-2 uur m 7200sec
Fig. 2.
s 10800 m , _ ,
v = -r = Tri = 1,5 m/sec.
t 7200 sec '
OPGAVEN.
1. Een auto rijdt gedurende 4| uur gemiddeld 38 km/uur. Hoeveel km is er afgelegd?
2. Een wandelaar legt per seconde 1,5 m af. Hoeveel vordert hij in 20 minuten?
3. Een wielrijder doet 1$ uur over een weg van 27 km. Hoeveel m/sec is zijn snelheid?
4. Een vliegmachine legt gemiddeld 170 km/uur af. Hoeveel vlieguren heeft hij nodig voor de route A’dam—Batavia= 13000 km?
5. De aarde draait in 24 uur eenmaal om zijn as; de evenaar is 40000 km. Hoe groot is de snelheid van een punt op de evenaar in m/sec?
6. De wielrenner Olmo reed op 31 Oct. ’35 in 1 uur 45,090 km. Hoeveel m/sec reed hij? (Afronden in cm).
7. De autorenner Campbell reed een afstand van 1 mijl met een snelheid van 301,1292 mijl/uur. Hoe lang heeft hij er over gereden?
8. Zie vr. 7. 301,1^92 mijl = 484,621 km. Bereken de snelheid in m/sec.
9. De aviateur Delmotte legde op 24 Aug. ’35 1000 km af



met een gemiddelde snelheid van 450,382 km/uur. Hoeveel uren en minuten duurde de vlucht?
10. Zie vr. 9. Bereken de snelheid in m/sec (in cm nauw-, keurig).
§2.
Eenparig versnelde beweging.
Als een trein, auto, enz. begint te rijden is gedurende enige
tijd de beweging met eenparig. De snelheid neemt toe. Is deze toeneming regelmatig, dan noemt men het eenparig versnelde beweging-
Fig. 3 wordt gebruikt bij vraagstukken over een eenparig
versnelde beweging. De horizontale lijn geeft de tijd aan. In fig. 3 stelt die lijn 7 sec voor.
De vertikale lijnen geven de snelheid aan; Vj is de snelheid aan het einde van de eerste sec, v3 die aan het einde van de derde sec, enz. We zien, dat v3 = 3 X vx; v7 = 7 X vx. In het algemeen vt = t X vj‘.
De oppervlakte van de figuur, st, geeft de afgelegde weg in t seconden aan.
Is vx = 2 m/sec, dan is v5 = 5 X 2 m/sec = 10 m/sec. In 5 sec is de snelheid dus met 10 m/sec vermeerderd.
De snelheidsvermeerdering wordt per sec opgegeven, heet dan versnelling en wordt voorgesteld door de letter a. In bo-
. ... ... 10 m/sec » , „
venstaand geval is de versnelling ^—- per sec = 2 m/sec
per sec, kortweg: a = 2 m/sec2. *)
We kunnen nu ook zeggen vfl = 6a.
*) a — acceleratio = versnelling.



na rtnnpwiüHp van ppti driehoek is 1 basis X hoogte. Die
oppervlakte stelt ae atgelegde weg voor; de afgelegde weg =
= iXfXv„ ziefig.4.
Voor vt kunnen we zetten aXf.
Dus:
s = iXtXaXt = iat2-
De weg, in de vierde sec afgelegd, wordt, voorgesteld door
het trapezium aocu, zie fig. 5. De hoogte AB = 1 sec, De lijn, die het midden van AB met het midden van CD verbindt, is 3£ a. De afgelegde weg in de vierde seconde is dus 3ia X 1 = 3\a.
In de f-de sec wordt (t — i) X a meter'af gelegd. Formules: Vt = at St = Jat2 St« = a (t — £)
Vt St Ste
Afgeleide formules: a = -j a~ t \
t = ?i fl==?J t = Si + i
a p a
Bij elkaar behorende maten:
afgei, weg tijd I snelheid | versnelling
cm I sec | cm/sec | cm/sec2 m sec m/sec m/sec2
Voorbeeld: Een lichaam heeft een eenparig versnelde bewe-



ging. De versnelling bedraagt 4 m/sec2. Hoeveel m wordt in de 6e sec meer af gelegd dan in de 4e?
Oplossing:
De afgelegde weg in de 6e sec = 5£a = 5| X 4 m = 22 m In de 4e sec werd af gelegd 3| X 4 m — 14 m
Verschil 8 m
In de 6e sec wordt dus 8 m meer afgelegd dan in de 4e.
N.B. Weer beginnen met de tekening.
OPGAVEN^
i . ' v. f' ■ ■
1. Een trein begint te rijden; de versnelling is 0,125 m/sec2.
Na hoeveel tijd is de snelheid 24 m/sec?
2. Een bal rolt van een helling; a =.14 m/sec2. Hoe groot is de snelheid na sec?
3. Een knikker rolt in 8 sec van een helling, die 2,5^1^ lang „4 is. Hoeveel cm/sec2 bedraagt de versnelling?
4. Zie vr. 3. Bereken de weg, die in de 8e sec wordt afgelegd.
5. Zie vr. 3. Hoeveel cm legt de knikker in de 7e sec meer af dan in de eerste?
6. Een wagen rijdt van een helling en krijgt een versnelling van 10 cm/sec2. Na 45 sec verandert de helling zó, dat de beweging eenparig wordt. Hoe lang is de le helling?



7 Zie vr. 6. In hoeveel tijd heeft de wagen in totaal 400 m af gelegd? ^
8. Een lichaam beweegt zich gedurende 10 sec met een eenparige beweging, snelheid 40 cm/sec. Een tweede lichaam legt in dezelfde tijd een even lange weg af met een eenparig versnelde beweging. Bereken de versnelling.
9. Een lichaam beweegt zich gedurende 8 minuten met een eenparig versnelde beweging. In de 8e sec wordt 15 cm af gelegd. Hoeveel cm wordt in de 8e min af gelegd?
10. Een lichaam, dat een eenparig versnelde beweging heeft, legt in de 10e seconde 18 m meer af dan in de 4e seconde. Hoeveel m legt het in 12 sec af?
§3. V
Eenparig vertraagde beweging.
Wanneer de snelheid van een bewegend lichaam regelmatig
afneemt, heeft het een eenparig vertraa^e beweging.
Fig. 7 wordt gebruikt bij vraagstukken over een eenparig vertraagde beweging. De horizontale lijn geeft de tijd aan.
In fig. 7 stelt die lijn 6 sec voor. De vertikale lijnen geven de snelheid aan, v0 is de beginsnelheid, vx is de snelheid aan het einde van de eerste sec, a is de vertraging, d.i. de snelheidsvermindering per sec. We zien, dat.Vx = v0 — a; v3 = v0 — 3a. In het algemeen: vt = vo —• °t-
De oppervlakte van de figuur, st, geeft de afgelegde weg in t sec aan; de af gelegde weg = | X f X v0 = iv0t.
Fig. 7.



Formules: vt = v0— at st = Jvot = Jat2
Afgeleide formules: v0 = vt + at v0 = ~ = ~
ft t
t _ Vp — Vt t = — = —
a v0
a _ Vp _ vt
a = — t
i-V-*
a
Bij elkaar behorende maten:
afgel. weg | tijd j snelheid vertraging
cm | sec | cm/sec cm/sec2
m | sec | m/sec | m/sec2
Voorbeelden:
1. Een lichaam heeft een snelheid van 84 cm/sec. Het krijgt een vertraging van 4 cm/sec2. Na hoeveel sec is het lichaam in rust?
Oplossing:
Fig. 8.
/-2l »t,2l. a 4
Het lichaam is dus in 21 sec tot rust gekomen.



2 Een lichaam heeft een eenparig vertraagde beweging en legt een weg van 80 m af in 8 sec. Het lichaam is dan m rust. Bereken de beginsnelheid.
Oplossing:
t = 8 Fig. 9.
St _8
aF<“'
De beginsnelheid is dus 20 m/sec.
Denk er om: eerst de tekening!
OPGAVEN.
1. Een lichaam heeft een snelheid van 240 cm/sec. Het krijgt 1 een eenparig vertraagde beweging en komt in 30 sec tot
rust. Bereken de vertraging. -
2. Een lichaam heeft een snelheid van 15om/sec. Het krijgt
een vertraging van Ö,25pn/sec2. Bereken de snelheid na 12 sec. /
3. Een lichaam heeft een snelheid van 63 cm/sec. Het krijgt een vertraging van 3 cm/sec2. Na hoeveel sec is de snelheid nog 39 cm/sec?
4. Een lichaam heeft een snelheid van 45 m/sec. Het krijgt een vertraging, waardoor het in 18 sec tot rust komt. Bereken de afgelegde weg.
5. Een lichaam legt een weg van 85 cm met een eenparig vertraagde beweging in 17 sec af; dan is het in rust. Bereken de beginsnelheid.
6. Een bal rolt tegen een helling op. De beginsnelheid is



110 cm/sec, na 7 sec is de snelheid 75 cm/sec. Bereken de vertraging.
7. Een lichaam heeft gedurende 12 sec een eenparig vertraagde beweging met een vertraging van 7 cm/sec2 en is dan in rust. Bereken de af gelegde weg.
8. Een lichaam heeft een snelheid van 30 m/sec en krijgt *een vertraging van 12 cm/sec2. Na hoeveel minuten is
het in rust?
9. De snelheid van een lichaam is, 8 sec na het begin van een eenparig vertraagde beweging, nog 65 cm/sec. De vertraging is 4 cm/sec2. Bereken de beginsnelheid.
10. Een lichaam heeft een eenparig vertraagde beweging. De beginsnelheid is 25 cm/sec. Als het in rust is, heeft het 625 cm afgelegd. Hoeveel sec duurde de beweging?
§4.
Herhaling.
1. De maan draait in 27 dagen 7 uur 43 min om de aarde heen met een snelheid van 1 km/sec. Hoeveel km wordt in die tijd afgelegd?
2. De afstand van de zon tot de aarde is 149450000 km. Het licht legt deze afstand af in 8 min 20 sec. Hoeveel km legt het licht per sec af? *
3. Een auto heeft, 30 seconden nadat hij begonnen is te
rijden, een snelheid van 15 m/sec. De beweging was een¬
parig versneld. Hoeveel m heeft hij afgelegd?
4. Een steen valt van een 80 m hoge toren en komt op de grond met een snelheid van 40 m/sec. In hoeveel sec is de weg afgelegd?
5. Een bal wordt over een plank gerold met een beginsnelheid van 1,7 m/sec. Hij ondervindt een vertraging van 0,2 m/sec. Na hoeveel sec ligt de bal stil?
6. De snelheid van een lichaam is, 7 sec na het begin van
m
k



een eenparig vertraagde beweging, nog 625 cm/sec. De vertraging is 25 cm/sec2. Hoeveel sec na het begin der beweging is het lichaam in rust?
7. Een lichaam legt in 35 sec met een eenparige beweging 777 m af. Hoeveel m wordt afgelegd door een lichaam, dat met dezelfde snelheid begint en eenparig vertraagd na 35 sec tot rust komt?
8. Een wielrijder legt in 1£ uur 27 km af. Bereken de snelheid per sec.
9. Een bal wordt tegen een helling opgerold met een beginsnelheid van 5 m/sec. De vertraging bedraagt 0.5 m/sec2. Nadat het lichaam tot rust is gekomen, krijgt het een versnelling van 0,5 m/sec2. Na hoeveel tijd is de bal
• weer beneden?
10. Een lichaam heeft een eenparig vertraagde beweging met een beginsnelheid van 12 cm/sec. Hoe groot is de snelheid van een tweede lichaam, dat met eenparige beweging in dezelfde tijd eenzelfde weg af legt?
Koudijs en Wolters-Marx, Werktuigkunde I.
2



§5.
Krachten — Zwaartekracht.
Een potlood rolt van de bank en .... valt. We nemen een boek in de hand. Door een of andere oorzaak houden we het niet goed vast. Ook het boek valt. De oorzaak, waardoor alle lichamen naar beneden vallen, is de zwaartekracht. De zwaartekracht is overal een vertikale kracht, dus loodrecht op het waterpasse vlak.
Men heeft indertijd zo nauwkeurig mogelijk bepaald, hoe | groot de kracht is, die op 1 liter water van 4° C wordt uitge) oefend. Daarna heeft men een stuk platina-iridium*) gemaakt, j waarop de zwaartekracht dezelfde invloed uitoefent. Dit is / het standaard-kg, dat te Parijs bewaard wordt. Een even1 beeld ervan wordt in Delft bewaard. Dit duplicaat van het ^ standaard-kg dient ons, om alle gewichten en krachten te vergelijken.
Men stelt een kracht voor doof een lijn met pijlpunt eraan en met behulp van een krachtenschaal, zie fig. 10.
1 cm = 5 kg.
Fig. 10.
De lijn is 4 cm lang, Omdat de krachtenschaal aangeeft: 1 cm stelt voor 5 kg, wordt door deze lijn een kracht voorgesteld van 4 X 5 kg = 20 kg.
Door van verschillende krachtenschalen gebruik te maken, kan men elke willekeurige kracht voorstellen.
Voor grote krachten gebruikt men b.v. 1 cm = 100 kg, of
*) 90 % platina en 10 % iridium.



1 cm ss 500 kg, voor kleine krachten: 1 cm = I kg of 1 cm = 2 kg, enz.
Denk er om: 1 cm = 10 mm!
De pijl wijst de richting aan, waarin een kracht werkt. In fig. 10 werkt de kracht naar rechts. Het linkeruiteinde geeft het aangrijpingspunt van de kracht aan.
OPGAVEN.
1. Teken een horizontale kracht van 7 kg, die naar links werkt. Gebruik de krachtenschaal 1 cm = 1 kg.
2. Teken een horizontale kracht van 30 kg, die naar rechts werkt. 1 cm = 5 kg.
3. Teken een kracht van 500 kg, die rechts omhoog werkt en een hoek van 30° met de horizon maakt. 1 cm = 100 kg.
4. Teken een kracht van 55 kg, die onder een hoek van 30° met de horizon links omhoog werkt. 1 cm = 10 kg.
5. Teken een vertikale kracht van 200 kg, naar beneden werkende. 1 cm = 50 kg.
6. AB is een vertikale lijn van 1£ cm. (A boven). Teken in A een horizontale kracht van 24 kg naar rechts en in B een gelijkgerichte kracht van 16 kg. 1 cm s 4 kg.
7. AB is een vertikale lijn van 2 cm. Teken in A eén horizontale kracht van 8 kg naar links en in B een tegengesteld-gerichte kracht van 6 kg. 1 cm = 2 kg.
8. Teken twee krachten, in hetzelfde punt aangrijpende. Kt = 32 kg en werkt horizontaal naar rechts, K2 = 28 kg en werkt rechts naar beneden onder een hoek van 60° met Kx. 1 cm = 8 kg.
9. AB is een horizontale lijn van 6 cm. Op onderlinge afstanden van 1 cm Werken er 7 vertikale krachten op van links (A) naar rechts: 200 kg, 350 kg, 400 kg, 250 kg, 200 kg, 300 kg en 450 kg. Alle krachten werken naar beneden. Teken die krachten. Kies zelf een krachtenschaal.
10. Zie vr. 9. Teken de krachten, als die van 350, 250 en 300 kg vertikaal naar boven werken.



§ 6.
Evenwijdige krachten.
Bepalen van grootte en richting der resultante.
Wanneer we twee of meer krachten vervangen door één kracht, die dezelfde uitwerking (resultaat) heeft, worden die krachten vervangen door hun resultante. Het bepalen van die resultante noemt men het resulteren van die krachten.
Het resulteren van evenwijdige krachten is ieder bekend. Als op een weegschaal 2 gewichten van 2 ons en 1 van 1 ons staan, kunnen we ze vervangen door 1 gewicht van 1 pond. Hangt aan een touw een gewicht van 1 kg en nog zo’n gewicht, dan kunnen we die vervangen door één van 2 kg.
Als evenwijdige krachten in dezelfde richting werken, is hun resultante even groot als de krachten samen.
De resultante van evenwijdige, gelijkgerichte krachten is gelijk aan hun som, en werkt in dezelfde richting.
Trekken twee jongens met gelijke kracht in tegengestelde richting aan een touw, dan is er evenwicht. De resultante van twee gelijke tegengesteld-gerichte krachten is nul.
Wanneer de jongens niet even sterk zijn, is er geen evenwicht: de sterkste wint het. In de werktuigkunde zegt men: De resultante van twee, niet gelijke, tegengesteld-gerichte krachten werkt in de richting van de grootste kracht en is gelijk aan hun t&é&chili
Werken er meer dan twee evenwijdige krachten, dan resulteert men eerst alle gelijkgerichte, zodat er twee tegengestelde overblijven, die daarna worden geresulteerd.
Voorbeeld:
Een ballon weegt met pasga^éef,""ballast, enz. 540 kg. De lucht geeft er een opwaartse druk aan van 600 kg. Hoe groot is de stijgkracht?
Oplossing:
De kracht van 540 kg werkt vertikaal naar beneden, die van 600 kg vertikaal omhoog. De resultante is 600 kg •— 540 kg =s 60 kg vertikaal omhoog. De stijgkracht is dus 60 kg.



OPGAVEN.
1. Twee evenwijdige gelijkgerichte krachten zijn 27,5 efl 35 kg. Bepaal de grootte van de Resultante.
2. Twee evenwijdige, tegengesteld-gerichte krachten zijn 285 en 300 kg. Bepaal de grootte van de resultante.
3. In een goederenwagen, die 7 ton weegt, laadt men kolen. De druk op elk der vier wielen is 4250 kg. Hoeveel ton is de lading? (1 ton = 1000 kg).
4. In een bakkerswagen, die 150 kg weegt, laadt men 80 broden van 8 ons, 35 broden van 4 ons en 3,5 kg klein brood. Bereken het totale gewicht.
5. Een schip weegt 65 ton. Het kan totaal 140 ton water verplaatsen. Hoeveel kg goederen kunnen geladen worden? (1 ton = 1000 kg).
6. Op een balk werken de volgende krachten loodrecht naar beneden: het eigengewicht = 450 kg en belastingen van 400, 250, 300 en 270 kg. Bereken, hoe groot de druk op beide steunpunten samen is?
7. Op een wip zitten 4 kinderen, die respectievelijk 35, 42, 48 en 51 kg wegen. De wipplank zelf weegt 60 kg. Hoe groot is de druk in het steunpunt?
8. Een kruiwagen weegt met last 250 kg. De kruier moet met elke hand een kracht van 17 kg loodrecht omhoog uitoefenen. Hoe groot is de druk van het wiel op de grond?
9. De druk op een keersluis is aan de ene kant 147000 kg en aan de andere zijde 98000 kg. Hoe groot is de kracht, waarmede de sluis tegen de muur gedrukt wordt?
10. De arm van een balans (weegschaal) weegt met de schalen 580 gram. Er wordt een lichaam op geplaatst, dat 284 gram zwaar blijkt te zijn. Hpe'groot is de druk in , het steunpunt? V*.



§7.
Momenten.
Een man loopt op een duikplank. Hoe verder hij van de kant af komt (zie fig. 11), hoe verder de plank doorbuigt. Komt dit, omdat de op de plank uitgeoefende kracht groter wordt? Neen, want die kracht (gewicht van den man) blijft gelijk. De uitwerking van een kracht is dus niet alleen afhankelijk van de grootte van de kracht. Dit kunnen we ook opmerken bij weegwerktuigen, waar men met een verschuifbaar voorwerp het gewicht bepaalt.
Uit ervaring blijkt, dat de uitwerking van een kracht t.o.v. een punt afhankelijk is van de grootte van de kracht en de (loodrechte) afstand van dat punt tot de krachtlijn. Het produkt van die kracht en die afstand noemt men het moment *) van die kracht t.o.v. het punt.
Moment = kracht X afstand, loodrecht op de kracht.
M = K X a
Is de kracht 8 kg en de afstand 5 m, dan is het moment 8 kg X 5 m = 40 kgm.
*) M = moment = molnentum = beweegkracht.



Werken twee oi meer krachten op één lichaam, dan kan men de som van de momenten t.o.v. een punt bepalen. Evenals van gelijk- en tegengesteld-gerichte krachten, spreektr men ook van gelijk- en tegengesteld-gerichte momenten. We kunnen die onderscheiding gemakkelijk onthouden met behulp van de minuutwijzer van een klok. Drukken we tegen de wijzer, zodat deze in de goede richting draait, dan ontstaat een wijzermoment of positief moment. Drukken we in tegengestelde richting, dan ontstaat een tegenwijzermoment of negatief moment.
Tegengestelde momenten, die even groot zijn, maken evenwicht met elkaar.
Voorbeeld:
AB is 6 m en wordt in het midden ondersteund. In A werkt een kracht van 20 kg, op een halve meter van A een van 50 kg, in B een van 30 kg en op 0,5 m van B een van 40 kg. Alle krachten werken vertikaal naar beneden. Bepaal het resulterend moment t.o.v. het steunpunt S.
Oplossing:
Schaal 1 : 100. 1 cm = 10 kg. Fig. 12.



De momenten van Kj en K2 zijn negatief, die van K3 en K4 positief.
Mr, t.o.v. S = ■— 20 kg X 3 m = — 60 kgm
Mr2 t.o.v. S = — 50 kg X 2,5 m = — 125 kgm
Mk„ t.o.v. S = 40 kg X 2,5 m = + 100 kgm
MK3 t.o.v.'S = 30 kg X 3 rn = + 90 kgm
5 M = + 190 kgm — 185 kgm = + 5 kgm.
Opmerking:
Mr, = het moment van kracht 1.
2 (sigma) — summa = de som van alle.
OPGAVEN.
Maak voor elk vraagstuk eerst de tekening. Schrijf de afstanden van elke kracht tot het momentenpunt er bij.
1. Een balkonbalk, lang 1,5 m, is aan de linkerzijde in A bevestigd. Op 0,8 m van de muur werkt een kracht van 200 kg loodrecht omlaag. Bepaal het moment t.o.v. A.
2. Een balk AB; lang 5 m, is in A (links) en B ondersteund. Op 1,5 m van A werkt een kracht van 200 kg, op 2,5 m van A een van 180 kg, op 2 m van B een van 220 kg en op 0,8 m van B een van 60 kg. Alle krachten werken loodrecht omlaag. Bepaal 2 M t.o.v. A.
_3. Een weegschaal is in evenwicht. De totale druk op het steunpunt is 4,5 kg. Hoe groot is het moment van deze kracht t.o.v. het steunpunt?
4. In welke richting moet een kracht op de wijzer van een klok werken, als deze op 9 staat, om een positief moment te krijgen t.o.v. het middelpunt van de wijzerplaat?
5. Het moment van een kracht t.o.v. A is 240 kgcm. De afstand van A tot de krachtlijn is 30 cm. Bereken de kracht.
6. Het moment van een kracht t.o.v. A is + 850 kgm. De kracht is 250 kg en werkt loodrecht omlaag. Hoeveel m, links of rechts van A, werkt de kracht?
7. Het moment van een kracht t.o.v. A is — 6270 kgm. De kracht werkt 6 m rechts van A. Hoe groot is die kracht en in welke richting werkt hij?



8. Op een lichaam werken de volgende -momenten t.o.v. A: 300 kgm, 1200 kgm, 800 kgm, 2100 kgm en 1750 kgm. Hoe groot is het moment, dat hiermee evenwicht maakt?
9. Iemand stoot op het eind van een 2,5 m lange duikplank af met een kracht van 150 kg. Bepaal het moment t.o.v. het andere uiteinde.
10. Een wiel heeft een middellijn van 3,5 m. Op de omtrek wordt een kracht van 800 kg uitgeoefend in de richting loodrecht op een straal. Bepaal het moment van die kracht t.o.v. de as van het wiel.
§8.
Evenwijdige krachten.
Het bepalen van de plaats der resultante.
In paragraaf 6 is het bepalen van de grootte en de richting van de resultante behandeld. Werken de krachten langs dezelfde lijn, dan werkt de resultante ook langs die lijn. In andere gevallen maken we gebruik van de momenten-stelling:
Het moment van de resultante van enige krachten t.o.Vf< een punt is gelijk aan de algebraïsche som van de momenten van die krachten t.o.v. dat punt.
Mr = ^M
We bepalen dan de som van alle momenten tot zeker punt en de algebraïsche som van alle krachten. Delen we de eerste uitkomst door de tweede, dan krijgen we de afstand van de resultante tot het punt.
2M a~ 2 K
Voorbeelden:
1. Drie krachten van 12, 18 en 24 kg werken op onderlinge afstanden van 80 en 60 cm, loodrecht naar beneden. Bepaal de resultante.
N.B. Wanneer niet anders vermeld wordt, worden krachten en afstanden steeds van links naar rechts genoemd.



Oplossing:
Schaal 1 : 20. 1 cm e 10 kg.
Fig. 13.
Mr, t.o.v. A= 12 kg X 0 cm = 0 kgcm
Mk, t.o.v. A= 18 kg X 80 cm = + 1440 kgcm
Mr8 t.o.v. A = 24 kg X 140 cm = + 3360 kgcm
SM= 4800 kgcm
2 K = 12 kg + 18 kg + 24 kg = 54 kg.
a = «Mkgcm _ 8 m 54 kg
2. Twee krachten, groot 50 en 80 kg, werken evenwijdig tegengesteld op een afstand van 2,40 m. Bepaal grootte, richting en plaats van de resultante.
Oplossing:



De resultante = 50 kg — 80 kg = — 30 kg, d.w.z.: de resultante is 30 kg groot en werkt loodrecht omhoog.
Mk, t.o.v. A= 50kgX 0 m = 0 kgm
MKj t.o.v. A = — 80 kg X 2,40 m = — 192 kgm
S M = — 192 kgm
S K = — 30 kg
a — n£ §>H1 = 4- 6,4 m, d.w.z.; de resultante werkt op
— 30 kg
6,4 m afstand rechts van A.
OPGAVEN.
1. Twee krachten, groot 30 en 40 kg, werken op 56( cm van elkaar loodrecht naar beneden. Bepaal grootte, richting en plaats van de resultante.
2. Zie vr. 1. De kracht van 40 kg werkt loodrecht omhoog. Bepaal grootte, richting en plaats van de resultante.
3. Drie evenwijdige krachten, groot 200, 240 en 280 kg, werken op onderlinge afstanden van 2,5 m loodrecht omlaag. Bepaal grootte, richting en plaats van de resultante.
A. Zie vr. 3. De kracht van 240 kg werkt loodrecht omhoog. \t Bepaal grootte, richting en plaats van de resultante.
5. Op een 5 m lange balk, zwaar 60 kg, werken aan de uiteinden 2 krachten, elk 540 kg, loodrecht omhoog. Op onderlinge afstanden van 1 m werken 4 krachten, groot 255 kg, loodrecht omlaag, de eerste op 1 m van links. Bepaal grootte, richting en plaats van de resultante.
6. Zie vr. 5. Bepaal grootte, richting en plaats van de resultante der omlaaggerichte krachten.
7. Op een wagen, lang^3 m, plaatst men 6 verschillende vrachten van 200, 120, 270, 180, 215 en 100 kg, respectievelijk op 0,8 — 1,2 — 1,5 — 2 — 2,25 en 2,4 m van het achtereinde. Bepaal grootte, richting en plaats van de resultante.
8. Op een veiligheidsklep 0 2 cm, drukt stoom met een



kracht van 7 kg/cm2. Het gewicht (K2) is 1,5 kg, de belasting (K3) is 5 kg. AB = 8 cm, BC = 4,56 cm en
Fig. 15.
CD = 31,4 cm. Bepaal grootte, richting en plaats van de resultante dezer krachten.
9. Een kruiwagen weegt met belasting 125 kg. De druk van de grond op het wiel is 105 kg. De afstand tussen deze krachten is 20 cm. Bepaal grootte, richting en plaats van de resultante.
10. Van een staaf, die 1 m lang is en 1 kg weegt, ligt 40 cm op de tafel. Op dit einde rust een blok van 10 kg. Aan / het andere einde hangt een gewicht van 4 kg. Bepaal f grootte, richting en plaats der resultante van deze krachten.
§9.
Herhaling.
1. AB is een vertikale lijn, lang 2,5 cm (A boven). Teken in ^A een horizontale kracht van 20 kg naar links en in B een gelijkgerichte kracht groot 25 kg. 1 cm = 5 kg.
2t_JFeken twee krachten, in hetzelfde punt aangrijpend. Kx = 60 kg en werkt horizontaal naar rechts, K2 = 45 kg en maakt met Kx een hoek van 135°. Kies zelf de krachtenschaal.



3. Op een balk, lang 7 m werken, met onderlinge afstanden van 1 m, 8 krachten, elk 300 kg. De balk weegt 200 kg
^ en wordt op \ n* van de uiteinden ondersteund. Teken de gegeven krachten en de reacties in de steunpunten, die 1300 kg zijn.
4. De druk op elk der 2 achterwielen van een auto is 1200 kg. De druk op elk der voorwielen is 1£ maal zo groot als op elk der achterwielen. Bereken het totale gewicht van de auto.
5. Een schip weegt 80 ton. Het kan totaal 175 m3 water
verplaatsen. Hoeveel kg goederen kunnen geladen —~ worden?
6. De arm van een balans weegt 750 gram. De schalen zijn gelijk belast. De druk in het steunpunt is 2250 gram.
/ Hoe groot is de druk, die op elk der schalen uitgeoefend wordt?
7. Het moment van een kracht t.o.v. A is + 325 kgm. De kracht werkt 5 m links van A. Bepaal grootte en richting van die kracht.
8. Een ijzeren blok, zwaar 648 kg, steunt op een balk op 1,60 m van de muur, waarop die balk steunt. Bepaal het moment t.o.v. dat steunpunt.
9. Drie evenwijdige krachten, groot 12, 16 en 20 kg, werken
op onderlinge afstand van 1 m, loodrecht omlaag. Bepaal grootte, richting en plaats van de resultante.
Van een staaf, die 1,40 lang is en 5 kg weegt, ligt 60 cm op een tafel. Op dit einde rust een blok van 8 kg. Aan het andere einde hangt een gewicht van 5 kg. Bepaal grootte,' richting en plaats van de resultante dezer krachten.



§10.
Niet-evenwijdige krachten.
Samenstellen van twee krachten, die in één punt werken. Werken twee krachten in dezelfde richting, dan is de resul-
Fig. 16.
tante gelijk aan de som van die krachten (zie § 6). Werken ze in tegengestelde richting, dan is de resultante gelijk aan hun verschil.
Ook wanneer 2 krachten, die op een lichaam werken, een



hoek met elkaar maken, kunnen ze door één kracht vervangen worden.
Om een wagen te trekken, heeft men er twee touwen aangebonden. Een man loopt links voor de wagen en een ander loopt er rechts voor. Doordat deze mensen niet recht voor de wagen lopen, maken de trekkrachten een hoek met elkaar. De
wagen zou even goed getrokken kunnen worden door een paard, dat er recht voor loopt.
Het toestel, af geheeld in fig. 16, leert ons, dat de resultante der krachten niet gelijk is aan de som.
Door de ijzeren bal worden de unsters een eindje uitgerekt. Ze wijzen allebei 135 gram aan. Er werken dus twee krachten, elk groot 135 gram, onder een hoek. Het resultaat is, dat de bal blijft hangen. Dit zelfde resultaat kunnen we verkrijgen, door de bal aan één unster te hangen. We zien dan, dat er een kracht van 175 g voor nodig is.
Teken de krachten van 135 g in de richting, waarin de unsters hangen en laat ze in één punt aangrijpen. Construeer het parallelogram, waarvan deze lijnen zijden zijn. De diagonaal stelt de richting en de grootte van de resultante voor. Door verandering in de stand der haken, kan ook de stand der unsters veranderd worden.



Ter verduidelijking kan ook een tweede toestel dienen. Zie fig. 17. Door een los bord er achter te plaatsen kan men de richting der krachten eemakkeliik tekenen. Ook hier bliikt. dat
de resultante bepaald kan worden m.b.v. een parallelogram (zie fig. 18).
Kx is 12 kg en K2is 16 kg. De ingesloten hoek is 80°.
We tekenen Z A = 80°. Volgens de krachtenschaal (1 cm = 4 kg) tekenen we Ki drie en K2 vier cm lang. Daarna trekken we BD evenwijdig aan AC en CD evenwijdig aan AB. De diagonaal AD geeft de plaats, de grootte en de richting van de resultante aan. R wordt voorgesteld door een lijn van
5,4 cm, dus K = 5,4 X 4 kg = 2-1 ,b kg.
We hebben dus nodig de tekening (zie fig. 18) en verder: Kj. - 12 kg K2 = 16 kg
R = 5,4 X 4 kg = 21,6 kg.
Voorbeeld: Op punt A werken 2 krachten: = 40 kg en
K2 = 30 kg, onder een hoek van 90°. Bepaal de resultante. Oplossing:



OPGAVEN.
Bepaal van de volgende krachten, die in één punt werken, de resultante:
1. Kx = 15 kg; K2 = 18 kg; Z A = 60°.
2. Kx = 200 kg; K2 = 250 kg; Z A = 40?.
3. Kx= 60 kg; K2 =s 70 kg;ZA=110°.
4. Kx = 18 kg; K2 = 22,5 kg; L A = 57°.
5. Kx = 0,4 kg; K2 = 0,5 kg; Z A = 85°30'.
6. Kj = 125 kg; K2 = 150 kg; Z A = 150°.
7. Kx = 2000 kg; K2 = 2250 kg; ZA= 75°.
8. Kx = 285 kg; K2 = 190 kg; Z A = 20°.
9. K1= 700 kg; K2 = 590 kg;ZA=165°.
10. Kx = 8 kg; K2 = 10 kg; Z A = 90°.
§11.
Niet-evenwijdige krachten.
Samenstellen van krachten, die niet in hetzelfde punt werken. Als twee niet-evenwijdige krachten niet in een zelfde punt
werken, bepalen we eerst het snijpunt van de lijnen, waarin de Koudijs en Wolters-Marx, Werktuigkunde I. 3



krachten werken, punt C. Hier zetten we de gegeven krachten
I in richting en groot“ te uit en construeren het parallelogram. De diagonaal geeft de richting van de resultante aan en stelt tevens de grootte ervan voor; het aangrijpingspunt ligt daar, waar de diagonaal of het verlengde ervan AB snijdt.
Voorbeeld:
AB is 2 m. In A
werkt Kx = 4 kg, in B werkt K2 = 5 kg. Kx maakt met AB een hoek van 90°, K2 maakt met BA een hoek van



OPGAVEN.
Bepaal plaats, richting en grootte van de resultante der volgende krachten. Kx werkt in A, K2 en B, Z A is de hoek tussen Kx en AB, Z B is de hoek tussen K2 en BA:
1. AB = 70 cm;K1= 10 kg;
K2= 8 kg;ZA= 90°;ZB= 30°.
2. AB= 2 cm;K1 = 520 kg;
K2= 680 kg;ZA= 150°;ZB= 130°.
3. AB= 14 cm;K1= 170 kg;
K2= 275 kg;ZA= 30°;ZB= 70°.
4. AB= 6 cm; Kt = 2200 kg;
K2= 1900 kg;ZA= 75°;ZB= 40°.
5. AB= 1.80 m; Kx = 150 kg;
K2= 130 kg;ZA= 110°;ZB= 140°.
6. AB= 2,50 m;K!= 0,5 kg;
K2= 0,4 kg;ZA= 67°;ZB= 22°30'.
7. AB = 65 cm; Kx = \\ %7,5kg;
K2= <820|\'kg;ZA= 18°;ZB= 90°.
8. AB= 12,5 cm;K1= 75 kg;
K2= 60 kg;ZA=U6°;ZB—153°.
9. AB= 4^ dm;Kx= 240 kg;
K2= 320 kg;ZA= 50°;ZB= 40°.
10. AB= 1,5 m;^'^ 18 kg;
K2= 24 kg;ZA= 55°;ZB= 45°.
Fig. 23 stelt de bepaling van grootte, richting en plaats
§12.
De krachtendriehoek.
van de resultante van Kx en K2 voor.
Z DAB = 60°.
Vergelijken we AABC met A ACD, dan zien we, dat ze congruent zijn. BC = AD. Z A en Z B zijn samen 180°, dus Z B = 180° — 60° = 120°
KT
1 cm = 2 kg. Fig. 23.



De resultante van Kx en K2 kan dus ook bepaald worden
door een driehoek. Denk erom: zowel Kx als K2 werken in A. Z B is het supplement van de gegeven hoek.
Voorbeeld:
Op een punt werken 2 krachten, K1=16 kg en K2=12kg, onder een hoek van 135°. Bepaal.de resultante.
Oplossing:
OPGAVEN.
Bepaal de resultante van de volgende krachten, die in één punt werken:
1. K1= 45 kg; K2 = 55 kg; Z A = 82°.
2. Ki = 90 kg; K2 = 80 kg; Z A = 164°.
3. Kx = 380 kg; K2 = 400 kg; Z A = 66°.
4. - Kx = 60 kg; K2 = 40 kg; Z A = 148°.
- 5. Ki = 200 kg; K2 = 225 kg; Z A = 60°.
6. Kx = 40 kg; K2 = 35 kg; Z A = 52°30'.
7. Kx = 150 kg; K2 = 175 kg; Z A = 135°.
8. Kx = 270 kg; K2 = 240 kg; Z A = 20°.



9. Kx = 10 kg; K2 = 12,5 kg; L A = 70°. 10. Kx = 3000 kg; K2 = 4500 kg; LA= 90°.
§13.
Herhaling.
1. Op een punt werken twee krachten, Ki — 40 kg en K2 = 45 kg, onder een hoek van 45°. Bepaal de resultante d.m.v. het parallelogram.
2. Op punt A werken twee krachten, Kx = 2000 kg en K2 = 2500 kg, onder een hoek van 90°. Bepaal de resultante d.m.v. een parallelogram.
3. Op punt A werken twee krachten, Kx = 0,4 kg en K2 = 0,6 kg, onder een hoek van 120°. Bepaal de resultante d.m.v. een parallelogram.
4. AB = 6 m. In A werkt Kt = 40 kg onder een hoek van 110° met AB, in B werkt K2 = 70 kg onder een hoek van 160° met BA. Bepaal de resultante.
5. AB = 40 cm. In A werkt Kx = 6 kg onder een hoek van 40° met AB en in B werkt K2 = 8 kg onder een hoek van 45° met BA. Bepaal de resultante.
6. AB = 2,20 m. In A werkt Kx = 25 kg onder een hoek van 120° met AB en in B een kracht K2 = 20 kg onder een hoek van 100° met BA. Bepaal de resultante.
7. In A werken 2 krachten,, Kx = 72 kg en K2 = 84 kg, onder een hoek van 60°. Bepaal de resultante m.b.v. een driehoek.
8: In A werken 2 krachten, Kx = 20 ton en K2 = 18 ton, onder een hoek van 150°. Bepaal de resultante m.b.v. een driehoek.
9. In A wérken 2 krachten, Kx = 150 kg en K2 = 160 kg, onder een hoek van 50°. Bepaal de resultante m.b.v. een driehoek.
10. In A werken 2 krachten, Kx = 250 kg en K2 = 50 kg, onder een hoek van 95°. Bepaal de resultante m.b.v. een driehoek.



§ 14.
Ontbinden van een kracht in twee evenwijdige krachten.
Wanneer we een kracht ontbinden in twee krachten, die in dezelfde lijn werken, dan kunnen ze in gelijke richting of tegengesteld aan elkaar werken.
Werken ze in dezelfde richting, dan is hun som gelijk aan de gegeven kracht. Werken ze tegengesteld, dan is hun verschil daaraan gelijk.
Wanneer we een kracht ontbinden in twee evenwijdige krachten, die niet in dezelfde lijn werken, dan kunnen ze ook in gelijke richting of tegengesteld aan elkaar werken.
In fig. 26 is R de resultante van 1^ en K2. We kunnen dus Kx en K2 door R vervangen en het resultaat blijft gelijk. Omgekeerd kunnen we R door Kx en K2 vervangen, zonder dat het resultaat verandert. We passen dan de momentenstelling



t.o.v. A toe: MR = SM. MR = R X 0 = 0. Dus de som van de
andere momenten t.o.v. A moet ook =0zijn, d.w.z.: de momenten moeten even groot zijn, maar tegengesteld. Dus:
Kx X ax — K2 X o2. Bovendien is
R = Kt + K2. Moet een kracht in twee tegeugesteldgerichte krachten ontbonden worden, dan liggen deze aan dezelfde kant van A, zie fig. 27. De momenten zijn dan immers tegengesteld.
Schaal 1 : 20. 1 cm = 10 kg. 0ok h,er 1S
Fig. 27. X öi = K2 X 02
Verder is R = Kx — K2. Voorbeeld: Ontbind R = 15 kg in twee tegengesteld-
gerichte krachten, waarvan de grootste, Kx — 25 kg, op 20 cm rechts van R werkt.
Oplossing:
K2 = 25 kg—15kg= = 10 kg en werkt tegengesteld aan R. KxX AB = K2XAC 25 X 20= 10XAC
AC = “ 50.
wem aus ou cm Schaa, i : 10. i cm _ 5 kg. rechts van R. Fig 2s.



OPGAVEN.
1. Ontbind R = 25 kg in twee evenwijdige gelijkgerichte krachten, Kx = 15 kg en K2 = 10 kg, zó, dat de afstand tussen R en Kx 4 cm is.
2. Ontbind R = 40 kg in twee evenwijdige tegengesteld-gerichte krachten, waarvan de grootste 70 kg is, terwijl de afstand tot R 2,10 m is.
3. Ontbind R = 32 kg in twee evenwijdige gelijkgerichte krachten, waarvan de afstanden tot R 55 en 33 cm zijn.
4. Ontbind R = 12 kg in twee evenwijdige tegengesteld-gerichte krachten, die op 42 en 28 cm van R werken.
5. Ontbind R in twee evenwijdige gelijkgerichte krachten, Kx = 36 kg en K2 = 24 kg, die 40 cm van elkaar werken.
6. Ontbind R in twee evenwijdige tegengesteld-gerichte krachten, Kx = 16 kg en K2 = 80 kg, die 64 cm van elkaar werken.
7. Ontbind R = 40 kg in twee krachten, die elk op 6 cm afstand, van R werken.
8. Ontbind R = 30 kg in twee krachten, die op 12 en 18 cm rechts van R werken.
9. Ontbind R = 70 kg, die in A werkt, in twee krachten, die respectievelijk 12 cm links en 16 cm rechts van A werken.
10. Ontbind R = 210 kg in twee krachten, waarvan de grootste, Kj = 280 kg, op 2 m rechts van R werkt.



§15.
Ontbinden van een kracht in twee niet-evenwijdige krachten.
Voor het ontbinden van een kracht in twee niet-evenwijdige krachten, kan men gebruikmaken van een parallelogram. De diagonaal stelt de gegeven kracht voor, de zijden de gevraagde krachten (fig. 29). Voor het construeren van een parallelogram moet men, behalve de diagonaal, nog 2 gegevens hebben.
Als regel zijn dat de richtingen der zijden, dus L Ax en Z A2.
Omdat het een parallelogram is, is Z Cx = Z Ax en Z C2 = Z A2. Worden de 4 hoeken uitgezet, dan snijden de benen elkaar in B en D. Met behulp van de krachtenschaal bepalen we de grootte van Kx en K2.
Het is ook mogelijk een kracht R te ontbinden in twee andere, Kx en K2,
m.b.v. een krachtendriehoek. Ook hier zijn, behalve R, nog 2
gegevens nodig. Z B is gelijk aan de hoek, die K2 in A met R maakt. Ih werkelijkheid gaan de drie krachten door hetzelfde punt.
- rr •
Om de richting van
krachten te bepalen, maken we gebruik van de volgende eigenschappen :
I. In een gespannen touw werkt een trekkracht in de richting van dat touw.



2. Werkt een kracht op een staaf, dan kan het gevolg zijn:
Fig. 31a. Fig. 316. Fig. 31c. Fig. 31d. Fig. 31e.
een trekkracht, fig. 31a;
een drukkracht, fig. 316;
een buigkracht, fig. 31c;
een druk- en een buigkracht, fig. 3lef;
een trek- en een buigkracht, fig. '31e.
3. Zijn 2 staven scharnierend verbonden en werkt op het punt van 'samenkomst een kracht, dan ontstaan in die staven krachten in de richting van die staven:
twee trekkrachten, fig. 32a; twee drukkrachten, fig. 326; een trek- en een drukkracht, fig. 32c.
4. Werkt een kracht loodrecht op een vlak, dan neemt het vlak die druk op (normaaldruk).
5. Werkt een kracht schuin op een vlak, dan ontstaat normaaldruk (dus een kracht, loodrecht op het vlak) en een kracht, evenwijdig aan het vlak.



Deze laatste kracht tracht het voorwerp te verschuiven. De wrijving werkt de beweging tegen.
Voorbeeld:
De schilden van èen zaagdak hellen onder hoeken van 30° en 60°. In de nok werkt een kracht van 2000 kg vertikaal naar beneden. Bepaal de druk in de richting der schilden.
Oplossing:
In de richting BC
wprkt
Ki = 2,5 X 400 kg = 1000 kg.
In de richting BA werkt K2 = 4,3 X 400 kg =± 1720 kg.
OPGAVEN.
1. Een terrein wordt verlicht door lampen, die hangen als in tig. 34. B als een scharnier beschouwen. De lamp weegt 6 kg. Bepaal de spanning in AB en BC.
2. Een transportkabel overspant 18 m. Als de belasting, groot 400 kg, in het midden is, zakt de kabel 2 m door. Hoe groot is de spanning in beide kabelstukken?
3. Een schilderij, zwaar 2 kg, hangt aan een koord. De ogen zijn 80 cm van elkaar verwijderd. Het koord hangt aan een haak, die 30 cm boven het midden van



de verbindingslijn der ogen is. Hoe groot is de spanning in het koord?
4. Op een telefoonpaal (waar bovengrondse leiding in ondergrondse leiding overgaat) werkt een horizontale kracht op 4 m hoogte, groot 120 kg. Op dezelfde hoogte is een kabel aangebracht, die een hoek van 45° met de paal maakt. Bepaal de druk in de paal en de spanning in de kabel.
5. De spantbenen van een kapspant, die 4 m lang zijn, sluiten een rechte hoek in. De vertikale druk op het bevestigingspunt is 500 kg. Bepaal de drukspanning in de spantbenen.
6. Om een perronwagen vooruit te duwen heeft men een kracht van 30 kg nodig op de boom, die een hoek van 30° met het horizontale vlak maakt. Hoe groot is de kracht, die de wagen op het perron drukt(vertikaal)en hoe groot de horizontale kracht, die de wagen vooruit duwt?
7. Een hellend vlak maakt met het horizontale vlak een hoek (hellingshoek) van 20°. Op de helling ligt een voorwerp, zwaar 25 kg. Bepaal de normaaldruk en de kracht langs het vlak.
8. Een polsstok maakt een hoek van 60° met de vloer. Hii
wordt met een kracht van 30 kg in de richting van de stok gedrukt. Hoe groot is de normaaldruk en hoe groot de kracht evenwijdig aan de vloer?
9. Een katrol hangt aan een haak, die door middel van 2 stangen aan een muur is bevestigd (zie fig. 35). De stangen maken met de muur hoeken van 60°. Op de as van de katrol wordt een kracht
van 160 kg vertikaal naar beneden uitgeoefend. Bepaal de spanning in de staven.



10. Van een kapspant is het ene spantbeen 2 m, het andere 3,46 m. De afstand tussen de voetpunten is 4 m. Op het bevestigingspunt van de spantbenen wordt een kracht van 2000 kg uitgeoefend. Bepaal de spanning in elk spantbeen. 
§16.
Evenwichtmakende krachten.
Wanneer een voorwerp t.o.v. een ander voorwerp in rust is, bestaat er evenwicht.
Elk voorwerp, dat staat, hangt, enz. wordt op zijn plaats gehouden door een stelsel van krachten, dat in evenwicht is.
Staat een voorwerp op een horizontaal vlak, dan oefent het vlak een vertikaal omhooggerichte druk uit, die even groot is als het gewicht van het voorwerp. Deze reactiekracht maakt evenwicht met de zwaartekracht en wordt daarom evenwicht¬
makende kracht genoemd.
Wanneer 2 krachten evenwicht maken, zijn ze even groot en werken tegengesteld langs dezelfde lijn.
Zijn 3 krachten in evenwicht, dan is elk der krachten gelijk en tegengesteld gericht aan de resultante der beide andere.
In fig. 36 zijn 3 krachten voorgesteld, die evenwicht maken: K2 en K3. R is de
resultante van K2 en K3. R is evengroot als en tegengesteld-gericht aan Kx.
Drie niet-evenwijdige krachten, die samen in evenwicht zijn, werken langs lijnen, die elkaar in één punt.snijden. Zijn van 2 der krachten richting en grootte bekend, fig. 37a, dan kan de derde kracht bepaald worden m.b.v. een krachtendriehoek, fig. 37b. De pijl van de evenwichtmakende kracht is juist



andersom gericht als die van de resultante. Men noemt deze driehoek een gesloten krachtendriehoek.



Fig. 38 en 39 geven de richting van de kracht, die evenwicht maakt met 2 evenwijdige krachten.
Voorbeeld:
Twee krachten, Kx = 28 kg en K2 = 36 kg, werken onder een hoek van 70°. Bepaal de evenwichtmakende kracht.
Oplossing:
E = 5,2 X 10 kg = 52 kg.
K,
1 cm = 50 kg.
Fig. 40.
OPGAVEN.
1. Aan een touw hangen 2 voorwerpen, respectievelijk 8 en 5 kg zwaar. Hoe groot is de kracht in het touw, die er evenwicht mee maakt?
2. Twee jongens trekken ieder aan een eind van een touw, respectievelijk met krachten van 18 en 20 kg. Welke kracht moet hierbij komen, om evenwicht te maken?
3. Op een horizontale wipplank zitten drie kinderen van 45, 40 en 27 kg. Bepaal de evenwicht-makende kracht in het steunpunt.
4. Twee krachten, elk 70 kg, werken onder een hoek van 120°. Bepaal richting en grootte van de evenwichtmakende kracht.
5. Twee evenwijdige, tegengesteld-gerichte krachten, Kx = 40 kg en K2 = 25 kg, werken op 1,50 m van elkaar. Bepaal plaats, richting en grootte van de evenwicht-makende kracht.
6. Een lamp, zwaar 8 kg, hangt aan een staaldraad boven



een straat. De bevestigingspunten zijn 15 m van elkaar verwijderd. De lamp hangt in het midden. Daar is de draad 2 m lager dan in die bevestigingspunten. Bepaal de krachten in de draden, die evenwicht maken met het gewicht van de lamp.
7. Een staaf is 1 m lang. Aan het ene uiteinde hangt 34 kg, aan het andere 51 kg. Waar moet de staaf ondersteund worden om evenwicht te maken? (Gewicht staaf verwaarlozen).
8. Een voorwerp, zwaar 40 kg, ligt op een helling met een hellingshoek van 25°. Bepaal de reactiekracht van het vlak (loodrecht op het vlak) en de wrijving (langs het vlak naar boven).
9. Aan een touw, dat over een katrol loopt, hangt een last van 20 kg. Aan het andere einde van het touw wordt ook met een kracht van 20 kg getrokken. De beide parten maken een hoek van 30°. Bepaal de reactie in de as van de katrol.
10. Aan een vertikale paal zijn 2 staaldraden tegenover elkaar bevestigd. De draden maken hoeken van 60° met de grond. In beide draden is een trekkracht van 80 kg. Welke drukkracht in de paal maakt evenwicht?
§17.
Herhaling.
1. Ontbind R = 50 kg in twee evenwijdige gelijkgerichte krachten, waarvan de afstanden tot R 140 en 60 cm zijn.
2. Ontbind R = 10 kg in twee krachten, die op 14 en 21 cm rechts van R werken.
3. Ontbind R = 40 kg in twee krachten, waarvan de grootste, Kj = 100 kg, 28 cm rechts van R werkt.
4. Een schilderij, zwaar 2,2 kg, hangt aan een koord. De ogen zijn 85 cm van elkaar verwijderd. Het koord hangt aan een haak, die 30 cm bóven de ogen is. Hoe groot is de spanning in het koord?



5. De spantbenen van een kapspant, die 5,40 m lang zijn, sluiten een hoek van 75° in. De vertikale druk op het bevestigingspunt is 1200 kg. Bepaal de drukspanning in de spantbenen.
6. Op een helling met een hellingshoek van 15° ligt een voorwerp, dat 200 kg zwaar is. Bepaal de normaaldruk en de kracht in de richting van de helling.
7. Een voorwerp, zwaar 5 kg, ligt op een helling met een hellingshoek van 30°. Bepaal de reactiekracht van het vlak en de wrijving.
8. Een staaf is lang 1 m en weegt 4 kg. Aan het ene einde hangt 10 kg en aan het andere 8 kg. Waar moet de staaf ondersteund worden, om in evenwicht te zijn?
9. Op het linkereinde van een horizontale staaf werkt een kracht van 25 kg vertikaal naar beneden; 40 cm naar rechts werkt een kracht van 40 kg vertikaal omhoog. Bepaal de grootte, richting en plaats van de evenwicht-makende kracht.
10. Aan een ring zijn 3 touwen bevestigd. Twee ervan sluiten een hoek van 120° in en zijn gespannen met krachten van 15 en 18 kg. Bepaal de richting en de spanning in het derde touw.
Algemene herhaling.
1. Een wielrijder legt een weg van 126 km af in 6 uur 18 min. Bereken zijn gemiddelde snelheid in km/uur.
2. Een sneltrein legt de weg Batavia-Soerabaya, — 842,4 km — af met een gemiddelde snelheid van 9,725 m/sec. Hoe lang duurt die reis?
3. Iemand loopt 5,4 km per uur. Hoeveel legt hij af in 25 min?
4. Een bal rolt van een hellende plank. In de 8e sec is de afgelegde weg 1,20 m. Bereken de versnelling.
5. Een trein begint te rijden en legt in de eerste twee min
Koudijs en Wolters-Marx, Werktuigkunde I. 4



met een eenparig versnelde beweging 720 m af. Aan het eind van de eenparig versnelde beweging is de snelheid 15 m/sec. Hoe groot is dan de af gelegde weg?
6. Een lichaam, dat een eenparig versnelde beweging heeft, legt in de 13e sec 45 cm meer af dan in de 3e sec. In hoeveel tijd heeft het 900 cm afgelegd?
7. Een lichaam heeft een snelheid van 175 cm/sec. Het krijgt een eenparig vertraagde beweging en komt in 7 sec tot rust. Bereken de vertraging.
8. Een trein heeft een snelheid van 68 km/uur. Hij krijgt een vertraging van 0,25 m/sec2. Hoeveel m wordt tot de rusttoestand afgelegd?
9. Een lichaam heeft een eenparig vertraagde beweging. Vier sec na het begin van die beweging is de snelheid 28 m/sec en tien sec na dat begin is de snelheid 4 m/sec. Bereken de beginsnelheid.
10. Teken drie evenwijdige, vertikaal naar beneden werkende krachten van 10, 15 en 17 kg met onderlinge afstanden van 4 en 3 cm.
11. Teken 3 op één punt werkende krachten, die hoeken van 120° insluiten. K4 = 10 kg, K2 = 16 kg en K3 = 20 kg.
12. Op een balk werken 5 evenwijdige krachten: Kx in A, K2 in B, K3 in C, K4 in D en K5 in E. AB = 1,5 m, BC = 2 m, CD = 2 m en DE = 1,5 m. K2 en K4 zijn 250 kg en werken vertikaal omhoog. De andere krachten zijn ook 250 kg en werken vertikaal omhoog. Geef hiervan een tekening.
13. Op een wip zitten 3 kinderen, die respectievelijk 60, 45 en 30 kg wegen. De wipplank zelf weegt 55 kg. Hoe groot is de druk in het steunpunt?
14. Een kruiwagen weegt met last 225 kg. De kruier moet met elke hand een kracht van 18 kg loodrecht omhoog uitoefenen. Hoe groot is de druk van het wiel op de grond?
15. Op een keersluis drukt het water aan de ene kant met een kracht van 225000 kg en aan de andere kant met een kracht van 117800 kg. Hoe groot is de kracht, waarmee



de deur tegen de muur wordt gedrukt?
16. Het moment van Kx t.o.v. A is — 1250 kgm . 1^=375 kg en werkt loodrecht omhoog. Hoeveel m links of rechts van A werkt Kx?
17. Op een lichaam werken enige krachten, waarvan de momenten t.o.v. A zijn: -|- 450 kgm, — 700 kgm, — 1250 kgm en + 750 kgm. Hoe groot is het moment, dat hiermee evenwicht maakt?
18. Een wiel heeft een middellijn van 3,20 m. De daarom lopende drijfriem oefent op de omtrek een kracht uit van 750 kg. Bepaal het moment van deze kracht t.o.v. de as van het wiel.
19. Twee evenwijdige krachten, groot 56 en 32 kg, werken loodrecht omlaag. De afstand tussen de krachtlijnen is 1,10 m. Bepaal grootte, richting en plaats van de resultante.
20. Op een veiligheidsklep (zie fig. 15), waarvan de middellijn 2,4 cm is, drukt de stoom met een kracht van 7 kg/cm2. Het gewicht G is 1,7 kg, de belasting B is 8 kg. AB = 5 cm, BC = 8 cm en CD = 30 cm. Bepaal grootte, richting en plaats van de resultante dezer krachten.
21. Een kruiwagen weegt met de last 175 kg. De reactiedruk op de grond is 140 kg. De afstand tussen deze krachten is 18 cm. Bepaal grootte, richting en plaats van de resultante.
22. Op punt A werken 2 krachten, Kx = 27 kg en K2 = 33 kg, onder een hoek van 73°. Bepaal de resultante m.b.v. een parallelogram.
23. Op punt A werken 2 krachten, Kx = 2,8 ton en K2 = 3 ton, onder een hoek van 170°. Bepaal de resultante m.b.v. een parallelogram.
24. Op punt A werken 2 krachten, Kx = 1200 kg en K2 =s 700 kg, onder een hoek van 95°. Bepaal de resultante m.b.v. een parallelogram.
25. AB = 1,5 m. In A werkt Kx = 16 kg onder een hoek van 20° met AB en in B werkt K2 = 20 kg onder een hoek van 50° met BA. Bepaal de resultante.



26. AB = 6,10 m. In A werkt Kx = 1200 kg onder een hoek van 150° met AB en in B een kracht van 1000 kg onder een hoek van 165° met BA. Bepaal de resultante.
27. AB = 2,95 m. In A werkt Kx = 75 kg onder een hoek van 95° met AB en in B een kracht K2 = 100 kg, onder een hoek van 100° met BA. Bepaal de resultante.
28. In A werken 2 krachten, Kx = 30 kg en K2 = 34 kg, onder een hoek van 140°. Bepaal de resultante m.b.v. een driehoek.
29. In A werken 2 krachten, Ki = 130 kg en K2 = 110 kg, onder een hoek van 75°. Bepaal de resultante m.b.v. een driehoek.
30. In A werken 2 krachten, Kx = 120 ton en K2 = 140 ton, onder een hoek van 60°. Bepaal de resultante m.b.v. een driehoek.
31. Ontbind R = 450 kg in twee evenwijdige gelijkgerichte krachten, die elk op 3,5 m van R werken.
32. Ontbind R = 100 kg in twee evenwijdige krachten, waarvan de grootste 60 kg is, terwijl de afstand tot R 80 cm is.
33. Ontbind R = 25 kg in twee krachten, waarvan de kleinste 40 kg is en op 2,60 m rechts van R werkt.
34. Een transportkabel overspant 13 m. Als de belasting, groot 500 kg, in het midden is, zakt de kabel 1,80 m door. Hoe groot is de spanning in beide kabelstukken?
35. Een polsstok maakt een hoek van 70° met de vloer. Hij wordt met een kracht van 26 kg in de richting van de stok tegen de vloer gedrukt. Bepaal de grootte van de normaaldruk en van de kracht langs de vloer.
36. Van een kapspant helt het ene spantbeen onder een hoek van 60° en het andere onder een hoek van 30°. In het bevestigingspunt werkt een vertikale kracht van 1600 kg. Bepaal de spanning in elk spantbeen.
37. Drie evenwijdige, gelijkgerichte krachten, Kx = 16 kg, Ko = 12 kg en K3 = 20 kg, werken op onderlinge afstanden van 10 en 8 cm. Bepaal grootte, plaats en richting van de evenwicht-makende kracht.



38. Twee evenwijdige, tegengesteld-gerichte krachten, Kx = = 225 kg en K2 = 200 kg, werken op een afstand van 70 cm van elkaar. Bepaal grootte, plaats en richting van de evenwicht-makende kracht.
39. Twee krachten, Kx = 80 kg en K2 = 60 kg, werken onder een hoek van 55°. Bepaal de evenwicht-makende kracht.
40. Twee krachten, Kt = 600 kg en K2 = 450 kg, werken onder een hoek van 145°. Bepaal de evenwicht-makende kracht.



€^IE
TECHNISCHE SEEIE
MEETKUNDE I en II
DOOR
B. H. GERRITSMA en G. H. KOUDIJS Prijs per deeltje f 0.70
P. NOORDHOFF N.V., GRONINGEN-BATAVIA



P. WIJDENES en H. J. v. d. PLOEG
ALGEBRA VOOR HET NIJVERHEIDSONDERWIJS
2de druk gec. ƒ 1.50. Antwoorden ƒ 0.60.
P. WIJDENES en H. J. v. d. PLOEG
MEETKUNDE VOOR HET NIJVERHEIDSONDERWIJS
Met 190 fig. en gradenboog. 2e druk geb. ƒ 1.95.
Antwoorden voor docenten gratis.
P. WIJDENES en H. J. v. d. PLOEG
REKENEN VOOR HET NIJVERHEIDSONDERWIJS
Met 25 fig. 2e dr. gec. ƒ 1.30. Antwoorden ƒ 0.60.
P. v. LEERDAM
OEFENMATERIAAL, WISKUNDE EN STATICA
Voor Technische Examens, Examens B.N.A., N. Acteir — Machinisten Examens enz.
750 vraagst. ƒ 1.50. Antw. ƒ 0.40.
C. KAMP en W. M. L. C. ZANDVLIET
WERKTUIGKUNDE
Leerboek voor het voorbereidend middelbaar technisch onderwijs, monteurs- en machinistenopleidingen en zelfstudie, met 170 fig. en ± 400 vraagst. Geb. ƒ 2.75. Antw. ƒ 0.35.
Uitgaven van P. NOORDHOFF N.V. — Groningen—Batavia



P. W. en C. F. FREDERIK
AANSLUITING REKENEN OP DE LAGERE SCHOOL, MEETKUNDE U.L.O., H.B.S. EN GYMNASIUM.
ƒ 0.90. Antw. ƒ 0.30 (gratis voor gebruikers).
P. W. FREDERIK en J. DE RAAD
DE PERSPECTIEVISCHE VERSCHIJNSELEN
ten dienste van de onderwijzei*sopleiding. ƒ 1.25.
H. C- BOONSTRA
PRACTISCHE VRAAGSTUKKEN OVER DE BESCHRIJVENDE MEETKUNDE
met hoofdpunten van de theorie ten dienste van het nijverheidsonderwijs. * 2de druk, met 49 fig. ƒ 1.20.
C. GROUSTRA en F. v. GUNST
TAALCURSUS VOOR NIJVERHEIDSSCHOLEN
2de druk, geheel omgewèrkt door F. v. Gunst en C. v. Wijk.
ƒ 1.75, gec. ƒ 2.00.
D. DE VRIES
BOUWKUNDE
Handleiding bij het onderwijs in de kennis der bouwmaterialen. De voornaamste materialen der bouwambachten. Leerboek voor inrichtingen van technisch onderwijs en yoor eigen studie.
Deel ï. Steen -— 4de driik, bewerkt door F. Wind.
ƒ 2.00, geb. ƒ 2.75.
Deel-II. Hout — 4de druk, bewerkt door F. Wind.
ƒ 2.00, geb, ƒ 2.75.
Uitgaven van P. NOORDHQFF N.V. Groningen'—Batavia