DE OUDSTE INTRESTTAFELS IN ITALIË, FRANKRIJK EN NEDERLAND MET EEN HERDRUK VAN STEVINS „TAFELEN VAN INTEREST"
C. M. WALLER ZEPER



















STELLINGEN
i.
Gegeven zijn een schoof 5 van vlakken en een kluwen G van quadratische oppervlakken. De dubbelstralen van de straleninvolutie, die twee rechten l en l', welke tot een zelfde vlak van 5 en tot een zelfde oppervlak van G behooren, aan elkaar toevoegt, vormen een congruentie.
Door een willekeurig punt der ruimte gaan vier, en in een willekeurig vlak liggen negentien stralen dezer congruentie.
II.
In zijn boek „Introduction to Mathematical Philosophy", geeft Bertrand Russell de theorie der irrationale getallen van Dedekind niet juist weer.
bertrand Russell: Introduction to Mathematical Philosophy, London, New-York, 1924.
rlchard Dedekind: Stetigkeit und irrationale Zahlen, Braunschweig, 1872, 1892, 1905.
III.
In zijn leerboek der theoretische natuurkunde zet Dr. Clemens schaefer bij het hoofdstuk over electrostatica uiteen, dat er slechts twee soorten electrisch geladen lichamen bestaan.
Dit gedeelte kan scherper geformuleerd worden.
Dr. clemens schaefer: Einführung in die theoretische Physik, Dritter Band, Erster Teil, p. 2 en 3 (1932).







Bij het voltooien van dit proefschrift spreek ik mijn dank uit aan allen, die gedurende mijn studie tot mijn vorming hebben bijgedragen.
Beginnen wil ik met mijn overleden leermeesters Kluyver en Ehrenfest. Ik beschouw het als een groot voorrecht in de gelegenheid geweest te zijn hun colleges te volgen.
Hooggeleerde Van der Woude, Hooggeachte Promotor, Uw duidelijke lessen zullen mij altijd een mooie herinnering blijven. Mijn belangstelling voor de meetkunde is onder Uw leiding steeds grooter geworden.
Hooggeleerde Droste, Uw heldere betoogtrant heeft mij aldoor weer de schoonheid van de wiskunde laten zien.
Hooggeleerde Keesom en De Haas, Zeergeleerde Crommelin en Woltjer, ten zeerste dank ik U voor de lessen, aan mij gegeven.
In het bijzonder wil ik U, Hooggeleerde Van Haaften, gedenken. Gij waart het, die mijn aandacht vestigde op de historie van het practische rekenen. Uw buitengewone belangstelling in de vorderingen van mijn proefschrift en ook Uw raadgevingen waren voor mij steeds zeer waardevol.
Het onderwerp heeft gemaakt, dat de inhoud van dit proefschrift weinig bevat van datgene, wat men in een wiskundig proefschrift verwacht, n.1. wiskunde. Voor niet wiskundigen, die dit boekje ter hand willen nemen, zijn de elementaire berekeningen uitvoerig behandeld.
In het bijvoegsel heb ik een nauwkeurigen herdruk gegeven van de oudste gedrukte intresttafels. De indeeling van de bladzijden en van de regels is dezelfde als bij het origineel. Alleen de gothische letters zijn door de latijnsche vervangen. Drukfouten in het origineel zijn ongewijzigd overgenomen.







INHOUD
BIz.
Inleiding 1
hoofdstuk I. De oudste geschreven Italiaansche intresttafel 7
hoofdstuk II. Oude boeken over Koopmansrekenen in
Italië en Frakrijk 16
Hoofdstuk III. De „Arithmetique" van Jean Trenchant . 23
hoofdstuk IV. De geschiedenis van de intrestrekening in
de Nederlanden 38
Hoofdstuk V. De „Tafelen van Interest" van SimonStevin 42
Hoofdstuk VI. Martinus Wentsel 66
Hoofdstuk VII. Ludolf van Coelen 76
Hoofdstuk VIII. Abraham Verkammen en Ezechiel de
Decker 85
Register 93
Bijlage 97







INLEIDING.
Zoodra het menschelijk bestaan eenigszins georganiseerd is, komt de kennis van het rekenen in het dagelijksch leven te pas. In de oude tijden was de gemiddelde burger hierin niet erg bedreven. De een had er natuurlijk meer vaardigheid in, dan de ander. Zoodoende zocht men eikaars hulp en ontstond het beroep van openbaar rekenmeester. Deze verrichtte zijn werk op straat zooals men nu nog in landen met een groot aantal analphabeten, brievenschrijvers aantreft.
Al spoedig kwam men den rekenenden mensch met allerlei hulpmiddelen tegemoet. Na het tellen op de vingers kreeg men het gebruik van het rekenbord of telraam (abacus), met verschuifbare fiches. Dit instrument stamt uit de oudheid en wordt ook nu nog, in het moderne Rusland, op elk kantoor en in eiken winkel ter hand genomen. We kunnen het den voorganger van onze electrisch aangedreven telmachine noemen.
Een tweede hulpmiddel, met een lange historie, is de tafel, samengesteld om bepaalde berekeningen vlug te kunnen uitvoeren.
Onderzoekingen van de Universiteit in Pensylvania hebben uit de tempelbibliotheek van Nippur vermenigvuldigings- en deelingstafels aan het licht gebracht, die waarschijnlijk stammen uit 3000 v. Chr. Deze bestaan niet maar uit producten en deelingen van getallen van één of twee cijfers, neen, de productentafel is een lijst van getallen 1 p, 2 p, 3 p . . . tot 50 p toe, waarbij p achtereenvolgens de deelers van 12960000 (604) doorloopt van 2 tot 180000 toe1). De deelingstafel bestaat uit twee getallenrijen, die zoodanig naast elkaar zijn geplaatst, dat het product steeds weer 604 is.
x) Tropfke: Geschichte der Elementar-Mathematik 1930, dl. I, blz. 52 en 140. H. V. Hilprecht: Die Ausgrabungen im Bal Tempel zu Nippur, Leipzig 1903. O. Neugebauer: Quellen und Studiën, Bd. I, Berlin 1930. Van denzelfden schrijver: Vorlesungen über Geschichte der Antiken Mathematischen Wissenschaften, Bd. I. Zooals bekend, rekenden de Babyloniërs met een 60-tallig talstelsel.



Ook de tabellen van kwadraten, vierkants- en derdemachts wortels zijn zeer oud. De Egyptenaren gebruikten eveneens tabellen voor hun ingewikkelde breukenberekeningen.
Voor de geschiedenis van de intresttafels behoeven we bij de oude volken niet zoo lang stil te staan. Eenige bijzonderheden over de rente, voor zoover ze betrekking hebben op samengestelden intrest, willen we hier mededeelen !).
Het woord, dat in het Grieksch het meest voor rente gebruikt wordt, róxog is hoogstwaarschijnlijk van TÓxog, het jonge dier, afgeleid. Leende men iemand een stuk vee uit, dan moest hij dit volgens deze opvatting later met het eventueel geworpen jong teruggeven. Wij zijn dus nog in een tijd van ruilverkeer, waarbij van geld geen sprake is2).
De rentevoet in het oude Griekenland was volgens onzen maatstaf hoog. Hij varieerde tusschen 10 en 12 procent. Bij de „scheepshypotheken" 3) was het percentage nog hooger, tot 33^^ % toe en dan niet voor een jaar, maar voor één zeereis, die meestal veel korter duurde. In dezen hoogen rentevoet zit echter ook een risico verwerkt. Ging n.1. het schip verloren, dan werd de schuld niet terugbetaald.
In Rome was de rentevoet lager, maar deze schommelde toch tusschen 6 en 10 %. De wet der twaalf tafelen schreef zelfs 10 % als maximum voor. Daar men deze wet blijkbaar dikwijls overtrad, is dit verbod in 357 v. Chr. weer hernieuwd4). In het algemeen was het in later tijd den Romeinschen patriciër verboden, zijn geld
*) Voor den rentevoet in de oudheid: G. Billeter, Geschichte des Zinsfusses, Leipzig 1898. Zie ook: J. Korver: De terminologie van het credietwezen in het Grieksch; uitgave Paris, Amsterdam 1934.
2) Let ook op het Latijnsche pecunia, van pecus = vee.
3) Eigenlijk bodemerij.
4) Evenals later in de geschiedenis heeft het vaststellen van een maximum percentage en zelfs van een renteverbod, geen succes gehad. Zoo denken wij aan het Christelijk renteverbod. Zie Van Haaften: Eenige niet-wiskundige beschouwingen over de gewone annuïteit. Archief voor de Verzekeringswetenschap, jg. XVII (1919), p. 233 e.v. Louis Theureau: Notice historique sur le prêt a intérêt. Nouvelle Revue historique de droit francais et étranger. 1893 (XVII), p. 708 e.v.



op rente uit te zetten. Herhaaldelijk werd echter, vooral in de provincie met behulp van stroomannen, deze wet ontdoken.
Bijna nergens in de Grieksche of Latijnsche teksten is sprake van samengestelden intrest. Het Grieksche woord voor samengestelden intrest is róxog xóxov, ook wel de meervoudsvorm róxoi róxatv of èrciróxog. De enkele plaatsen, waar deze uitdrukkingen voorkomen, kan men vinden in het reeds geciteerde boek van J. Korver. Hiervan zullen we alleen overnemen een passage uit ,,De Wolken" van Aristophanes, daar er een woordspeling gebruikt wordt over samengestelden interest. Het begrip was het volk dus wel bekend x).
icó xktier' w fio?.oTccrai ccbroi ts xai rdgyrala xai róxoi róxwv.
Wee over jullie woekeraars en je voorgeslacht en nageslacht.
Tóxoi tóxtuv staat dus in de beteekenis van kinderen van kinderen èn van samengestelden interest. De scholiast legde deze woordspeling ook uit met den volgenden regel:
of y«(> jiqüt01 róxoi jraQa&évrog rov (favsiov
xs<pa).aia yiyvófisvoi xóxovs aM.ovq ysvvcüOi.
De eerste rente, die hoofdsom wordt, doordat de leener hem weer uitzet, brengt weer nieuwe rente voort.
Voor rente op rente zetten bestond er in Griekenland waarschijnlijk ook een werkwoord dvaroxi^siv. Het hiervan afgeleide zelfstandige naamwoord dvaToxiafjióg komt voor bij Cicero2).
In zijn brief aan Atticus, bespreekt Cicero een proces tusschen de bewoners van Salamis en twee Romeinsche geldschieters (twee stroomannen). Blijkbaar doelend op een verordening die hij als stadhouder had uitgevaardigd, schrijft hij :
interim cum ego in edicto tralaticio centesimas me observaturum
haberem, cum anatocismo anniversario, ille ex syngrapha postulabat quaternas.
ondertusschen, hoewel ik in mijn overnamebesluit schreef, mij aan een rente van 12 % te zullen houden, met de mogelijkheid voor samen-
-1) Nub. 1156, uitgave van Leeuwen. 2) Ad Att. V 21. 11.



gestelde intrestberekening na één jaar, eischte hij op grond van zijn contract 48 %.1)
Eigenaardig is het, dat Cicero hier het Grieksche woord bezigt. Blijkbaar was het berekenen van samengestelden intrest in Rome niet gebruikelijk, daar er geen Latijnsch woord voor bestond. Hoe de rentevraagstukken in de oudheid opgelost werden, is ons niet bekend.
Wij mogen echter wel zeggen, dat ingewikkelde berekeningen met samengestelden intrest in de oudheid niet voorkwamen. Bij de Romeinen speelden ook de juridische vraagstukken bij leeningskwesties een veel grootere rol dan het rekenkundig gedeelte.
Bij de Indiërs komen wel vraagstukken over samengestelde intrestrekening voor. Deze lijken echter meer gemaakt te zijn terwille van hun algebraïsche oplossing, dan voor hun nut in de practijk. Ziehier een voorbeeld.
Aryabhata, geboren 476 na Chr., geeft den volgenden regel2) :
„Multiply the sum of the interest on the principal and the interest of this interest by the time and by the principal. Add to this result the square of half the principal. Take the square root of this. Substract half the principal and divide the remainder by the time. The result will be the interest of the principal."
De gedachtengang is deze :
Een kapitaal A geeft in de eenheid van tijd een rente x. Zet ik nu dit bedrag x, t tijdseenheden uit tegen denzelfden rentevoet, dan zal de opbrengst aldus berekend worden :
A in eenheid van tijd x oc
x in eenheid van tijd x ;
A
x^t
in t eenheden—r-.
A
x) Zie ook: Billeter, l.c. p. 98 e.v. In Rome werd de rente maandelijks betaald. Centesima is dus 1/ioo per maand, dus 12 %.
6% = dimidia centesima 4% = tertia pars centesimae 3% = quadrans centesimae 2) The Aryabhatiya of Aryabhata, an ancient Indian work on Mathematics and Astronomy, translated with notes by Walter Eugene Clark, professor in Sanskrit in Harvard University 1930. p. 38 en 39.



Prins Maurits sprak geregeld, ook op zijn veldtochten, met Stevin over allerlei wiskundige kwesties. Wanneer belangrijke onderwerpen besproken waren, wilde de prins, dat hiervan een schriftelijk verslag gemaakt werd. Deze papieren verlieten den Prins, zoo vertelt Bosmans, nooit. Om nu gedurende den oorlog dit alles niet verloren te laten gaan, verordineerde hij, dat de geschriften gepubliceerd zouden worden. Dit gebeurde ook en wel tegelijk in het Hollandsch, Latijn en Fransch. De respectievelijke titels zijn: „De Wisconstighe Ghedachtenissen", „Hypomnemata Mathematica", „Memoires Mathématiques". Elke editie telt vijf deelen, maar van de Fransche uitgave bestaat alleen deel 1, 2 en 5 en van 3 de eerste helft. De rest is nooit uitgekomen. De drie edities verschenen in de periode tusschen 1606 en 1608. De origineele tekst is de Hollandsche. De Latijnsche vertaling werd gemaakt door den welbekenden Leidschen hoogleeraar Willebrord Snel. De Fransche vertaling is van den secretaris van Frederik Hendrik, Jean Tuning. Maar, zooals hierboven reeds gezegd, is dit werk niet heelemaal compleet. Al deze boeken zijn zeldzaam.
In „De Wisconstighe Ghedachtenissen" zijn niet alle werken van Stevin opgenomen. Zoo staat er b.v. niet in de „l'Arithmetique" *).
In 1634 zijn de werken van Stevin opnieuw uitgegeven onder den
titel: Oeuvres mathématiques de Simon Stevin de Bruges 
revues, corrigées et augmentées par Albert Girard, uitgegeven te Leiden bij Bónaventure en Abraham Elzevier in 1634.
Alle werken door Stevin zelf in het Fransch uitgegeven, zooals „Castrametation", „Fortification par Escluses" en 1'Arithmetique, neemt Girard zoo over. Alleen in de l'Arithmetique wijkt de Girardeditie op twee plaatsen af. Hierin is opgenomen de „1'Appendice Algebraique" (van 1594) 2) en „Une solution du Problème 19 du livre II des Arithmétiques de Diophante par Maurice de Nassau".
Dit laatste bevat een vraagstuk over de oplossing van een stelsel eerste graadsvergelijkingen met meerdere onbekenden. Het is een van die uitgewerkte gesprekken met den prins en komt eigenlijk uit het 5e deel van „De Wisconstighe Ghedachtenissen". Girard
1) Dus ook niet de „Tafelen van Interest".
2) Een exemplaar van dit zeldzame werk uit 1594 is bij den brand van de bibliotheek te Leuven in 1914 verloren gegaan (zie Bosmans).



heeft het in de „l'Arithmetique" bij de vergelijkingen geplaatst i).
Wanneer Girard iets in den tekst van Stevin veranderde of bijvoegde, deelde hij dat steeds mede.
In een artikel van het „Verzekerings Archief", getiteld „De zestiende eeuwsche intresttafels van Stevin, Wentsel en Trenchant", wijst Van Haaften op de noodzakelijkheid de teksten van de verschillende edities der Intresttafels van Stevin eens te vergelijken 2).
Hij zegt dit naar aanleiding van het artikel „l'Arithmetique de lean Trenchant" van H. Bosmans S. J. 3).
Op drie verschillende plaatsen in den eersten druk der „Tafelen van Interest" wordt over Jean Trenchant gesproken. Deze passages komen niet voor in den Franschen tekst van de Girard editie van 1634 4). Bosmans waarschuwt nu deze uitgave voor historische doeleinden te gebruiken en doet het in het volgende voorkomen alsof Girard de schuld draagt van het weglaten der betreffende gedeelten. Van Haaften merkt hier op, dat dit op andere punten voor de Girard editie misschien mag gelden, maar dat hier voor het gedeelte dat de intrestrekening behandelt, de schuld maar niet direct op Girard geschoven moet worden. Er bestaat toch een Fransche uitgave van de „Tafelen van Interest" uit 1585, door Stevin zelf bewerkt en volgens de beschrijving die Bierens de Haan 5) over de werken van Stevin geeft, is het veel aannemelijker, dat deze drie plaatsen ook in de uitgave van 1585 niet voorkomen.
Had Bosmans dit gecontroleerd en gevonden dat ze daar wel voorkwamen, dan had hij ook deze gedeelten niet zelf in het Fransch behoeven te vertalen in zijn bovengenoemd artikel, gelijk hij uitdrukkelijk zegt gedaan te hebben. Had hij de gedeelten daar
J) Zie Bosmans. Biografie Nationale de Belgique.
2) Jaargang X, 1929, p. (99) e.v.
3) Annales de la Société Scientifique de Bruxelles XXXIIIe Année (1908/1909). Second fascicule, p. 184, 192.
4) Zie voor den volledigen titel blz. 51.
5) Bouwstoffen voor de Geschiedenis der Wis- en Natuurkundige Wetenschappen in de Nederlanden. (Overgedrukt uit de Verslagen en Mededeelingen van de Kon. Akademie van Wetenschappen). Tweede verzameling 1887, p. 186, 187 en 214, 215.



niet gevonden, dan was er geen enkele reden in dit geval Girard voor de verandering aansprakelijk te stellen.
Wij zullen hieronder de verschillende edities gaan vergelijken en kunnen nu alvast even vooruit loopen met mede te deelen, dat bij vergelijking der verschillende teksten blijkt, dat het vermoeden van Van Haaften volkomen juist is.
De „Tafelen van Interest" zijn vijf keer uitgegeven. De eerste drie edities zijn heel zeldzaam. Van elke uitgave is een in ons land aanwezig !).
Eerste editie:
Tafelen van Interest, Midtsgaders De Constructie derselver, ghecalculeert Door Simon Stevin Bruggelinck t' Antwerpen bij Christoffel Plantijn in den gulden Passer MDLXXXII.
Hiervan ken ik slechts vier exemplaren, één in de Koninklijke Bibliotheek te Brussel, één in de Universiteitsbibliotheek te Gent, één in de Bibliotheek Plantijn te Antwerpen en één in de Rotterdamsche Gemeentebibliotheek 1373 E 11 (samen in een bandje met de „Bewijsconst" en „De Thiende" van 1585, ook een zeer zeldzaam werkje) 2).
Tweede editie.
Deze komt voor als een gedeelte van het werk :
L Arithmetique De Simon Stevin de Brvges, Contenant les Computation des nombres Arithmetiques ou vulgaires: Aussi
*) Van sommige meer.
2) In hetzelfde bandje zit ook gebonden een werkje over intrestrekening van later datum, getiteld: Tafel of Instructie/ welcke dient tot klare beduydinge I zoowel voor d' ontfanghers van den veertichsten Penninc der verkochte ende vervreemde onroerende goederen als anderen die den zelfden moeten betalen. Ooc voor een yeghelijc / om te weten het onderscheydt tusschen wtstaende ende ghereede Penninghen / alle teghen den Penninc zestien s' Jaers. Door C. I. Broersz. Liefhebber der Rekenkonst van nieus overzien. Tot Rotterdam. By Jan van Waesberghe / aen de Merct/ in de Fame 1609.
Bij het verkoopen van onroerende goederen en andere finantieele handelingen werd een belasting geheven van den veertigsten penning (dus van 40 penningen 1 penning belasting V/i %)■ Zie in dit boek het hoofdstuk over Ludolf van Coelen. Het werkje van Broersz. geeft niets nieuws. Alles is zeer eenvoudig gehouden, ür blijkt uit, dat de belasting in 1598 voor het eerst geheven, in 1609 nog bestond. Deze Broersz. is waarschijnlijk dezelfde als Broessoon op p. 38.
4



1'Algebre, auec les equations de cinc quantitez. Ensemble les quatre premiers liures d'Algebre de Diophante d'Alexandrie, maintenant premierement traduicts en Frangois. Encore vn liure particulier de la Pratique d'Arithmetique, contenant entre autres, Les Tables d'Interest, la Disme. Et vn traicté des Incommensurables grandeurs : Auec 1'Explication du Dixiesme Livre d'Euclide. A Leyde, De rimprimerie de Christophle Plantin, MDLXXXV.
Hiervan heeft de Koninklijke Bibliotheek te Brussel twee exemplaren. Verder is er één in de Gemeente Bibliotheek te Brugge, één in de Bibliotheek Plantijn te Antwerpen, één in de Bibliotheek van de Sterrewacht te Ukkel (bij Brussel) en één in de Bibliotheek van de Hollandsche Maatschappij van Wetenschappen te Haarlem.
Derde editie :
Tafelen van Interest, Midtsgaders De Constructie der selver, ghecalculeert Door Simon Stevin Brugghelinck. Nu op nieu ghecorrigeert ende vermeerdert deur den Auteur selfs. t' Amstelredam, By Barendt Adriaensz. Woonende Inde Warmoesstraat, int Gulden Schrijff boeck. Ao. MDXC x).
Hiervan ken ik slechts het bestaan van één exemplaar, n.1. in de Universiteitsbibliotheek te Amsterdam, 976 F 262. De slotpagina draagt het jaartal 1591 2).
Noch Sarton, noch Bosmans noemt dit werk, terwijl de laatste in de „Biographie Nationale" alle werken van Stevin in chronolo-
*) Op blz. 43 noemden wij dit boek reeds en gaven wij tevens de plaatsen op, waar dit boek beschreven wordt.
2) Voorafgaande aan dit werkje bevindt zich in hetzelfde bandje een intresttafel van Martinus Wentsel uit het jaar 1594, bij denzelfden Barendt Adriaensz. uitgegeven. De titel is : „Proportionale Ghesolveerde Tafflen van intrest van de Kustingbrieven of te Rentebrieven, zij te betalen op terminen op vervolgende iaeren, ofte opt eynde des laetsten iaers van de brieven. Om stracx te connen sien sonder te behoeven veel chijfferens ofte rekenens, wat die gereet weert zijn. Met perfecte instructie hoe die taeffelen te verstaen zijn, op diversche exempelen verclaert ende angewesen. Tweede Editie Door Marthinum Wentselaum Aquis Graniensis. t' Amstelredam. Ghedruckt bij Barendt Adriaensz, inde warmoesstraat int Schryfboeck 1594.
Zie hiervoor ook M. van Haaften: „De zestiende-eeuwsche intresttafels van Stevin, Wentsel en Trenchant". Het Verzekerings Archief 1929, jaargang X, blz. (99) e.v.



gische volgorde vermeldt en van elk boek het aantal herdrukken en het jaar waarin die verschenen zijn, meedeelt. Deze uitgave is dus blijkbaar onbekend en heel zeldzaam.
Druk en uitvoering zijn minder goed verzorgd dan die van de eerste twee edities.
Vierde editie:
Deze komt voor in de door Girard herziene uitgave van de Arithmetique (1625).
L'Arithmetique de Simon Stevin de Bruges Reueuë corrigee et augmentée de plusieurs traictez, et annotations par Albert Girard Samielois Mathematicien. A Leide de l'Impremerie des Elzeviers MDCXXV.
Hiervan zijn meerdere exemplaren bekend, o.a. is er één in de Universiteits Bibliotheek te Amsterdam, 1018 H 18, en één in de Provinciale Friesche Bibliotheek te Leeuwarden 85 B. B.
V ijfde editie :
Deze staat in de verzamelde werken van Simon Stevin, uitgegeven door Albert Girard in 1634 bij Elzevier te Leiden !).
Les Oeuvres Mathematiques De Simon Stevin de Bruges Ou sont inserées les Memoires Mathematiques, Esquelles s'est exercé le Tres-haut et Tres-illustre Prince Maurice de Nassau, Prince d'Aurenge.... Le tout revue, corrigé et augmenté par Albert Girard Samielois, Mathematicien. Chez Bonaventure et Abraham Elsevier CIDIDCXXXIV.
Dit werk komt tamelijk veel voor. De meeste lezers van Stevin gebruikten deze uitgave.
Wanneer wij nu de overeenkomsten en verschillen in de edities der „Tafelen van Interest" gaan vergelijken, kunnen wij alles voorloopig in het kort samenvatten op de volgende wijze :
1°. Alle Fransche uitgaven stemmen wat de intresttafels betreft woordelijk overeen, spellingsafwijkingen daargelaten 2).
*) De „Arithmetique" hierin is woordelijk dezelfde als bovenstaande uitgave van 1625. Ook de intresttafels, die hiervan een deel vormen, zijn dus precies gelijk.
2) Voor de andere gedeelten zie Bosmans: Biografie Nationale de Belgique. Dit boek blz. 47.



2°. De voorrede der twee Hollandsche uitgaven is op enkele spellingsafwijkingen na precies dezelfde. Het voorwoord van de Fransche edities is veel korter. Jean Trenchant wordt hierin niet genoemd.
Eveneens zijn de twee andere plaatsen waar Jean Trenchant aangehaald wordt, blz. 23 en 64 van de eerste uitgave zoodanig veranderd in de Fransche edities, dat de naam van Trenchant weggevallen is. In de twee Hollandsche uitgaven staat hier echter woordelijk hetzelfde.
3°. Enkele fouten of vermeende fouten in het eerste gedeelte vóór de eigenlijke intresttafels van de eerste editie, zijn in alle latere uitgaven hersteld. De Hollandsche uitgave van 1590 wijkt hier in enkele bijkomstigheden af van de Fransche. Zoo zegt Stevin in de Fransche dat hij in de eerste editie een vergissing heeft gemaakt, welke hij herstelt. In de tweede Hollandsche editie verbetert hij de fout zonder iets mede te deelen.
Op blz. 47 e.v. van „La Pratique d'Arithmetique", dat een gedeelte is van de „1'Arithmetique" (editie 1585) en waarin de vertaling staat van de „Tafelen van Interest", begint de „Reigle d'Interest" met het volgende voorwoord :
Cincquiesme distinction de la seconde parrie de la Pratique d'Arithmetique, qui est de la Reigle d'Interest.
Paree que les comptes de 1'Interest, sont calculations qui se rencontrent iournellement aux affaires des Hommes, mais souuent si laborieuses que le prouffit que 1'on attend, ne compenseroit pas le temps 6 trauail emploié en icelles; Telles comptes se faisoient communement a tastons. Mais puis apres quelques autres considerant la chose plus intentiuement, ont preparé certaines tables pour eet affaire, par lesquelles fussent ostez telles difficultez. Ces tables estoient en vse par aucuns au pais bas; mais ceux qui les auoient, les tenoient cachez comme grand secret 6 principalement la composition d'icelles estoit cognue a peu de personnes. Or comme 1'opinion gouuernante du monde, me fist croire que le prouffit commun se doibt preferer au particulier, ie diuulgeois il y a environ deux annees quelque traiCté particulier de 1'Interest en nostre vulgaire langage Flameng, auquel nous declarames la construCtion 6 usage d'icelles tables. Nous conuertirons le mesme traicté ici en Fran^ois, corrigeant les fautes de la premiere impression, & 1'augumentant de quelques exemples la ou il viendra a poin£t.



„Kort Claar bewijs, Dat die nieuwe ghevonden proportie eens Circkels iegens zijn diameter te groot is ende overzulcx de quadratura Circuli deszelven vinders onrecht zij. Door Ludolph van Ceulen, gheboren in Hildesheim, woonachtich tot Delfft. Gheprent tot Aemstelredam, by myn, Harmen Janszoon Muller, Figuersnyder, woonende inde Warmoesstraet inden vergulden Passer."
Hoewel geen jaartal op het boekje voorkomt, kan men toch wel met groote zekerheid zeggen, dat het in 1585 uitgekomen is. Van der Eyke beantwoordde het in 1586 met:
„Claerder bewys op de quadrature des cirkels." Het wederwoord hierop is bovenstaande „Proefsteen".
De intrestkwestie, die hier aangeroerd wordt en in de vorige geschriftjes onbesproken bleef, hebben wij reeds vroeger ontmoet 1). Wij nemen het volgende voorbeeld.
De contante waarde van een 5-jarige annuïteit, telkens 100 gulden, bij een enkelvoudiger! rentevoet i, is volgens Van der Eyke:
100 (l+4»)+100(l +3»)+ 100(1+20+ 100(1+fl + 100
1 +5«
en volgens van Coelen :
100 100 100 100 100 1 + 5 i 1 +4i 1 + 31 1 +2i l+i'
Evenals bij Stevin op blz. 26 en 27, is de enkelvoudige intrestrekening de oorzaak van de twee uitkomsten. Deze vormt nu eenmaal niet een logisch sluitend geheel, gelijk de samengestelde intrestrekening.
Aan het slot van den „Proefsteen", kondigt hij een boek aan over intrestrekening. Het heeft nog tien jaar geduurd, voordat dit verscheen. Het is het reeds eenige malen ter sprake gekomen werk „Vanden Circkel", waarvan de volledige titel luidt:
„Vanden Circkel. Daer in gheleert werdt te vinden de naeste Proportie des Circkels-diameter tegen sijnen Omloop, daer door alle Circkels (met alle Figueren, ofte Landen met cromme Linien besloten) recht ghemeten kunnen werden. Item aller
x) Blz. 60.



Figuerensijden in den Circkel beschreven, Beginnende van den 3, 4, 5, 15 hoeck, in Irrationale ghetallen te brengen, al hadde de Figuer veel hondert-duysent hoecken. Item des 7, 11, 13, 17, 19, 23 Hoecxsyden, ende wat sijden ofte Coorden men begeerdt, wekker Boge groot zijn Graden, Minuten, Secunden, etc. Naer elcx behaghen.
Noch de Tafelen Sinuum, Tangentium, ende Secantium, met het gebruyck van dien, hooghnoodigh voor de Landmeters : Met veel andere konstighe stucken, dierghelijcke noyt in druck uytghegheven.
Ten laetsten van Interest, met alderhande Tafelen daer toe dienende, met het ghebruyck, door veel constighe Exempelen gheleerdt, ende door 't gheheele werck bewesen, ende gheproeft.
Alles door Ludolph van Ceulen, gheboren in Hildesheim, beschreven ende inden druck ghebracht.
Tot Delf, Ghedruckt bij Jan Andriesz. Boeckvercooper, woonende aen 't Marct-velt, in 't Gulden ABC. Anno 1596."
Hoewel dus reeds in den eigenlijken titel vermeld wordt, dat de Intrestrekening behandeld is, heeft het tweede gedeelte nog eens een aparten titel. Van Coelen deelt, zooals dat vroeger gewoonte was, den heelen inhoud mede.
„Interest-rekeninghe. In wat manieren daer mede ghehandelt werdt, op veel voorvallende Conditiën, te weten : Geldt seker tijden te belegghen ofte op Renten te setten; Geldt welck over een seker tijdt te betalen is, tot ghereedt geldt te brenghen, 'tsij naer simpel ofte winsgewin; Met veel andere konstighe Rekeninghen.
Item van veelderhande voorbereyder Tafelen, door welcke men terstont Huys- ofte Kustingbrieven tot ghereedt geldt brenghen can.
Ghereedt geldt te belegghen, ende weder Jaerlijcx uyt den Capitael ende ghewin te ontfangen een seker summa tot voldoeninge des aengheleyden geldts; Ofte een Huys, stuck Landts, ofte ander goedt, welck een seker summa ghereedt geldt magh gelden te vercoopen voor een deel ghereedt te betalen, ende de reste te ontfanghen met ghelijcke Jaerlicxe payen daer aen volghende, sulcx: Alsmen de payen Reduceert tot ghereedt geldt (naer sulcken Interest als den Cooper belooft



heeft) ende bij het ghevonden ghereedt geldt ghedaen, soo veel den Cooper ghereedt betaelt, dat dan de summa over een comt met de gereede waerde des Huys ofte Lants, etc. Met noch andere Tafelen, dienende tot verscheyden Exempelen.
Item het maecken ende ghebruyck der Tafelen van Interest; Mede het werck van de noodtwendighste Exempels, met de Proeve van dien.
Ten laetsten ettelijcke konstighe Vraghen, met de beantwoordinge daer bij, dierghelijcken onmoghelijck ghehouden te ontbinden.
Alles door Ludolph van Collen, gheboren in Hildesheim, beschreven ende inden druck ghebracht.
Tot Delf. Ghedruckt bij Jan Andriesz. Boeckvercooper, woonende aen 't Merc-veldt, in 't Gulden ABC. Anno 1596".
De tafels zijn uitgebreider dan die van Stevin. Het belangrijkste beschreven wij reeds x). Van Coelen wist zeer juist het vraagstuk aan te pakken: Hoe los ik een schuld af met een gelijkblijvende annuïteit, het vraagstuk dat Stevin en Wentsel zoo veel moeite gaf. Wij willen er even op wijzen, dat het omgekeerde vraagstuk : Gegeven de contante waarde van de annuïteit en den rentevoet, hoe groot is de schuld?, door Stevin juist wordt opgelost2).
In 1615 heeft de weduwe van Van Coelen het werk „van den Cirkel" nog eens uitgegeven. „Ghedruckt tot Leyden, Bij Ioris Abrahamsz. vander Marsse. Voor loost van Colster, Boeckvercooper".
Behalve de bijvoeging „Tweede Editie" komen de titelpagina's ongeveer overeen. Het portret van Van Coelen uit de eerste uitgave is hier niet in opgenomen, doch heeft plaats moeten maken voor een meetkundige figuur. Het werk zelf is kleiner geworden, omdat veel van de titels en ook de opdrachten en voorredenen weggelaten zijn. Bijgevoegd zijn echter drie strijdschriften :
Solutie ende Werckinghe Op twee Geometrische vraghen by Willem Goudaen Inde Jaren 1580 ende 83 binnen Haerlem aenden Kerckdeure ghestelt. Mitsgaders Propositie Van twee
*) Blz. 71.
2) „Tafelen van Interest", p. 85, Exempel 13.



andere Geometrische vraghen, tsamen door Ludolph van Colen, gheboren in Hildesheim !).
Kort Claar bewys . . . (op p. 78 besproken).
Proefsteen ende Claerder wederleggingh .... (genoemd op p. 77).
De uitgave van 1615 komt tamelijk veel voor, maar het weglaten van verschillende, zij het nu niet juist wiskundige gedeelten, maken haar historisch minder belangrijk.
Een derde uitgave, getiteld : „Ludolphi a Ceulen de Circulo et adscriptis Liber" zag in 1619 te Leiden bij Van Colster het licht. De Latijnsche vertaling is van Snellius. Deze editie is voor de intrestrekening niet van gewicht, want behalve dat de drie strijdschriften hier weggelaten zijn, is ook het gedeelte „Van Interest" uit den tekst verdwenen. Op de titelpagina is net als in 1596 het portret van den schrijver aangebracht, maar het onderste gedeelte van de plaat is verdwenen. Hier staat nu juist in de oorspronkelijke figuur een intrestvraagstuk afgebeeld.
Het is jammer, dat Bosmans in zijn artikel „Ludolf van Ceulen" 2) deze verminkte plaat reproduceert. Hierdoor komt het niet genoeg uit, welk een belangrijke plaats de intrestrekening bij Van Coelen innam.
Het berekenen van rente over gebroken tijdsduur wordt noch bij Stevin noch bij Wentsel exact behandeld en ook Van Coelen faalt hier. Pas in de zeventiende eeuw zal hier in Holland Trenchant de eer toekomen, die hij verdient. Hierover in het volgende hoofdstuk.
De meening van Van Coelen over deze kwestie weten wij juist zeer goed. Deze komt n.1. voor in het merkwaardige geschriftje :
„Corte onderrichtinghe dienende tot het maecken vande reductien vande Jaer-custingen tot gereede penningen, om dienvolgende te eysschen en ontfangen den veertichsten penning op alle vercochte of vervreemde onroerende goeden, volgende tplacaet der Heeren Staten vanden XXII. Decembris vijftienhonderd achtentnegentich.
Gedruckt opt Raedhuys der stadt Leyden, inden Jare 1599.
1) Dit pamflet werd in 1584 bij Cornelis Claesz. te Amsterdam gedrukt. Het is het eerste werk van Van Coelen.
2) Mathesis XXXIX, p. 352 e.v.
6



Het origineel bevindt zich in het stedelijk archief te Leiden. Een facsimilé-uitgave samen in één band met De Witt's „Waerdye van Lijf-renten naer proportie van Los-renten" is als feestgave van het Wiskundig Genootschap in 1879 bij Johannes Enschede en Zonen te Haarlem uitgegeven.
Den 22sten December 1598 namen de Staten van Holland en West-Friesland het besluit een belasting van den veertichsten penning *) te heffen, o.a. op alle contante waarden van annuïteiten. De contante waarde moest uitgerekend worden met den rentevoet „de penning 16" x). Om nu te zorgen, dat de berekeningen overal op dezelfde manier verricht werden, benoemden de Staten bij schrijven van 18 Januari 1599 een commissie, bestaande uit Jan van Hout, secretaris van Leiden, Van der Merwen, schepen van Leiden en Ludolf van Coelen. De commissie maakte een leiddraad, hoe de becijferingen voor de belasting geschieden moesten. Het resultaat is de „Corte onderrichtinghe".
De commissie werd nog uitgebreid met Mathijs Minten, „Franchois" schoolmeester en Jan Pieterzoon Dou, beëedigd wijnmeter, beiden te Leiden.
Uit Van Coelens „Vanden Circkel" is overgenomen de tafel a-j en A-j van den penning zestien, uitgaande van een kapitaal 1000 000 000. Het aantal termijnen is 30. Om den fiscus niets te kort te doen, geeft de commissie ook aan op welke wijze bij tijden korter dan één jaar contant gemaakt moet worden. Hierover zijn de leden het oneens, of liever Van Coelen wil een andere methode volgen dan de overige heeren. In het oorspronkelijk geschrift, gedateerd 31 Januari 1599, wordt echter de methode der meerderheid aangenomen met de vermelding, dat Van Coelen het hier niet mee eens is.
„ Mit welc onze beduncken ooc in alles over een stêmende is
Meester Ludolff van Coelen / uytghezeyt int poinct vande dagen van tgebrokê jaer / by ons als hier voren te zien is / genomen / dat elcken dach tgeheele jaer door / of winnende of verliezende / reeckenende simpelen interest (alzo int eerste jaer geê gecomponeerde mit allé en valt) even veel bedrage moet: wezende de voorsz. van Coelen / nopende tzelve in contrarie gevoelen / gelijc hy zulx in zijné bovenge-
3) Tegen den veertichsten penning, beteekent op elke 40 penningen 1 penning rente, dus 2J^ %. Evenzoo is tegen den zestienden penning gelijk een rentevoet van 634 %•



roerdê uytgegevê bouc / aen de Ile zijde / in het 84e. blat/nu. 41. en aê de Ile. zijde van het 85e blat / nu. 48. in tbreede verclaert:1) En datmen om ten opsicht vande voorsz. dag? een tafel te makê I zoude moeten volghen dezen voet. Alsmen in 365. dagen / mit 16. een gulden / zo wintmen in eenen dach een 365e deel van een gulden / ende zet aldus zijnen regel. 16. en 1. 365e deel van een gulden te betalen over eenen dach / zijn ghereet waerdich 16. 0. 0. hoe veel is waerdich een gulden gedeelt aen 1000000000. deelkens?
Coemt voor een dach 999828796
voor twee daghen 999657650
voor drie daghen 999486565
voor vier daghen 999315537
Ende zo voorts van dach tot dach verlaghende. Ende hoe wel wy den voornoemden van Coelen in tzelve zijn gevoelen geenzins en connê toestaen / mer mit hem daer op inder vruntschap gedencken breeder te handelen: en zulx doende / of onze dolinge van hem te verstaê / of de zijne aen te wijzen: zo hebben wy om ons besluyt hier op tot naerdeel van tgemeene beste niet op te houden / goet gevonden dezen te eynden mit de voorgaende verclaringhe / te meer zo tverschil zeer cleyn is / ende opte vrage wat 1500. 10. 5. over 30 dagen te ontfangê staende / gereet waerdich zijn: de voornoemde van Coelen door zijnêregel werckende / zeyt 1492. 16. 15. wy mit onze voorsz. tafel werckende 1493. 5. 3. en zulx niet meer en verschilt dan 0. 8. 4. twelc té opsicht vanden veertichstê penning / weynich meer als drie penningen Hollants bedragen can.
Zetten wij de meening van Van Coelen in moderne taal om, dan is de contante waarde van de eenheid over het tijdsdeel t afgerent bij een rentevoet i per eenheid :
1
1+tï
Hij neemt hier dus enkelvoudigen intrest en berekent de waarde net als Stevin2). Deze zou het in dit geval, al is hier sprake van samengestelden intrest, niet anders gedaan hebben.
De meerderheid der commissie geeft als oplossing voor het geval :
1 
14-i
a) „Vanden Circkel", 1596. 2) „Tafelen van Interest", p. 21.



Hier wordt dus afgerent evenredig met den bij den rentevoet i
behoorenden discontovoet d, waarbij :
('-*»>
In den „Aenhang", bij het verslag van de commissie behoorende en slechts een week later gedateerd (8 Februari 1599), heeft Van Coelen de andere leden tot zijn standpunt overgehaald.
Dat volgende tgemeene spreec-woort / haest geen spoet en zy / hebben wy / H. E. ende zeer vermogende Heeren / in dezen warachtich gevonden / daer wy t' ooge hebbende om ons te ontlaste van groote moeyten en hooft-quellinge / door tzoeckê van eê corteren wech / in een omwech zijn ghevallen / die ons wel zeer na by / doch niet geheel te recht bracht: twelc was de winninge of verliezinge van de dagê van tgebrokê jaer / te willé vindê by additie vande sommen der dagê opten anderen. Ende hoe wel den wech of manier van wercken by ons hier vorê gestelt / zo naer by coemt / dat den opheve van slants gerechticheyt van dê veertichstê penning daer door eer ende meer vermeerdert dan vermindert wert / doch niet zoo veel dat het yet te pijnewaert bedraecht / zo hebbê wy nochtas de zake in naerder bedenckê nemêde / onze doolinge (zomen se zulx noemen mach) bevonden / (twelc wy ons geensins en schamen rondelicken te bekennê / ten waer men voor schande wilden rekenen als yemant zijn voornemen in een beter verandert / twelck altijt voor wijze luyden daet gehouden is /) dat om de tafelen vande dagen van tgebroken jaer recht te maken / men heeft moeten wercken van dach te dach op den voet by de voornoemde Meester Ludolff / onzen medebroeder in dezen voorgheslagen / 
In dit later gedateerde stuk wordt een intresttafel opgenomen, uitgerekend op de manier van Van Coelen. Hieruit kan men van dag tot dag de contante waarde van 1000 000 000 aflezen. Deze tafel telt 364 termen.
De exactere methode van Trenchant komt geheel niet ter sprake. De eerste Nederlandsche tafels die den Franschman recht doen wedervaren, zullen wij nu bespreken.



HOOFDSTUK VIII.
Abraham Verkammen en Ezechiel de Decker.
De Economisch-Historische Bibliotheek te Amsterdam bezit het boekje :
„Waerachtighe Maendt ende Iaer-Tafelen van Interest, Teghen 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ende 12 ten 100 in 't Jaer, als mede teghen den penningh 10, 12, 13, 14, 15, 16, zoo wel op winninghe als verlies : Wekkers inhoudt dienst ende nutticheydt in de volghende pagie begrepen is. Ghecalculeert ende beraemt door Abraham Verkammen, van Antwerpen, teghenwoordich Stadts Fransoysche ende Duytsche Schoolmeester der Stede Berghen op Zoom. Tot Rotterdam, By Jan van Waesberghe, aen de Merct, inde Fame. Anno 1620."
Hierin staan beknopte maandtafeltjes, uitgerekend op de wijze, zooals Trenchant die aangeeft. In het begin van het werk werden liefst vijf gedichtjes afgedrukt om den lof der tafels te bezingen, terwijl het boekje ook met twee versjes eindigt. Uit de gedichtjes blijkt, hoe belangrijk men het in 1620 vond, dat er nu samengestelde intresttaf eitjes verschenen, waarin de berekeningen over gebroken termijnen exact behandeld werden. Vandaar ook de naam „Waerachtighe Maendt Tafelen". De Decker zal even later van „Ware Maendttafels" spreken. Het kluwen is nu eindelijk ontward, heet het, de juiste methode is gevonden. Verkammen is hier echter niet de ontdekker van, maar Jean Trenchant. Hij verzwijgt dit dan ook niet.
Simon Stevin, schrijft Verkammen, heeft zeer terecht Trenchant genoemd als uitvinder van de jaartafels, maar tevens is de Franschman ook de grondlegger der maandtafels. Van het feit, dat Stevin de berekeningen van Trenchant voor deelen van een jaar ten onrechte onjuist heeft genoemd, wordt daarbij door Verkammen niet gerept.
Het beknopte boekje van den Bergen op Zoomschen schoolmeester, heeft blijkbaar veel invloed gehad, want in het Handboek van het handelsrekenen van Ezechiel de Decker wordt het met eere



genoemd. Van Verkammen zelf weten wij weinig. Hij is omstreeks 1582 hoogstwaarschijnlijk in de Zuidelijke Nederlanden geboren en woonde omstreeks 1620 in Bergen op Zoom, waarheen hij met zijn ouders uit Antwerpen gevlucht was 1).
Met het Handboek van Ezechiel de Decker, bedoelen wij het volgende werk :
„Eerste Deel vande Nieuwe Telkonst, inhoudende verscheyde manieren van rekenen, waer door seer licht konnen volbracht worden de Geometrische ende Arithmetische questien. Eerst gevonden van Ioanne Nepero, Heer van Merchistoun, ende uyt het Latyn overgheset door Adrianum Vlack. Waer achter bygevoegt zyn eenige seer lichte manieren van Rekenen tot den Coophandel dienstigh, leerende alle ghemeene Rekeninghen sonder ghebrokens af veerdighen. Mitsgaders Nieuwe Tafels van Interesten, noyt voor desen int licht ghegeven. Door Ezechiel de Decker, Rekenmr. Lantmeter, ende Liefhebber der Mathematische kunst, residerende ter Goude. Noch is hier achter byghevoeght de Thiende van Symon Stevin van Brugghe. Ter Goude, By Pieter Rammaseyn, Boeckverkooper inde corte Groenendal, int Verguit ABC 1626. Met Previlegie voor thien laren."
Behalve dus de vertaling van Nepers „Rabdologia" („Vande Tellingh door Roetjes") en een herdruk van Stevins beroemde „Thiende", bevat het werk een stuk over Koopmansrekenen door De Decker zelf geschreven.
De Decker is een groot bewonderaar van het tiendeelig breukenstelsel van Stevin en gebruikt het ook in zijn werk. De schrijver legt zich er steeds op toe het rekenwerk zoo eenvoudig mogelijk te maken.
„Van Coopmans Rekeninghen" heeft den volgenden inhoud :
Hoofdstuk I. Van het Maecsel der volgende Tafeltjes,
door kracht van Thiendeelighe voortgang2).
*) Van Haaften: De oudste geschiedenis der tafels voor samengestelden intrest in termijnen. De Verzekeringsbode, Jg. 55 (1936), p. 25 e.v.
2) Het decimale stelsel van Stevin.



Hoofdstuk II. Vande maniere om te wercken met de
Hooftghelden ende hare onderdeelen. Hoofdstuk III. Van de ghemeene specien van gelden te maken tot guld. stuyv. penn. ofte pond. schell. grooten, ende ter contrarie.
Hoofdstuk IV. Vande maniere om te wercken met de onderdeelen van Hooftghewichten in Thiendeelighe voortgangh.
Hoofdstuk V. Vande maniere om te wercken met de onderdeelen van Hooftmaten in thiendeelighe Voortgang.
Hoofdstuk VI. Vande maniere om te wercken in Thiendeelighe voortgangh int ghebruyck der Wissels.
Hoofdstuk VII. Vande maniere om te Rabatteren. Hoofdstuk VIII. Vande maniere om te rekenen op Winsgewin, oft Interest op Interest.
Het zevende en achtste hoofdstuk zijn voor ons van belang.
In het zevende hoofdstuk, dat over enkelvoudig intrest handelt, schrijft De Decker voor, dat bij tijden, kleiner dan één jaar, vermenigvuldigd moet worden met den factor • ^it 's ^us dezelfde
wijze als Van Coelen voorstaat in de commissie van 1599. Alleen wilde deze het ook bij samengestelden intrest doen. Deze manier van contant maken noemt De Decker „rabatteren", wanneer dus gebruikt wordt de enkelvoudige intrestvoet en niet de discontovoet, gelijk de meerderheid der commissie in 1599 voorschreef.
„Also 't ghebruyk van Rabatteren by de Cooplieden seer ghemeen is, soo sullen wy hier oock aanwysen een maniere om de selve te ghebruycken, uyt de selve kracht als de voorgaende Werckinghen, welcke maniere van Rabatteren verstaen wort te wesen een simple Interests rekeninge by Maenden, sulcx datmen na 'tghetal der Maenden, ende een selfde Interests reden, met de Hooftsomme soo veel kan winnen, dat de Hooftsomme ende Winst t'samen bedraghen soo veel alsmen op alsulcken tydt betalen moet, soo dat het Rabatteren niet te verstaen en is, datmen van yder hondert coo vele moet aftrecken, als het



REGISTER.
Abaci, Liber Abaci, 7 e.v. Abacus, 1.
Adriaenszoon, Barend, 43, 50, 66.
Agnolo di Lotto dell' Antella, 9.
Al-Karkhï, 5.
avciToxi&iv, 3.
uvutoxiG/iós, 3.
Andriesz., Jan, 79, 80.
Apianus, Pietrus, 39.
Arabisch cijfersysteem, 7.
Aryabhata, 4.
Aryabhatiya, 4.
Atticus, 3.
Baldi, 10.
Baudrier, 27.
Behourt, Jean Baptiste, 27. Bhascara, 5.
Bierens de Haan, 41, 48, 89.
Billeter, G., 2, 4.
Blok, P. J., 42.
Bodemerij, 2.
Bonaventure, 47.
Boncompaoni, B., 7, 12, 16, 18, 25.
Boncompagni, D, P„ 26.
Borghi, Pietro, 17.
BORGO, LüCA Dl, zie Paciuolo.
Bosmans, H„ 15, 25, 26, 30, 42, 44.
46, 47, 48, 50, 51, 62, 76, 81. Brahmagupta, 5.
Braun, H., 38.
Brigg, H., 89.
BROERSZOON, C. I., 49 (dezelfde als
Broessoon?)
BROESSOON, C. I., 38.
Burger, c. p„ 43.
Busken Huet, 42.
Buteonis, Joan, 25.
Cal ander, 17.
Cantor, 71.
Cardanus, 14, 65.
Chaturveda, 5.
Chiarini, 17.
Cicero, 3, 4.
Claeszoon, Cornelis, 39, 81. Clark, W. E., 4.
Cloeck, Jan Claeszoon, 39. coburg, symon jacop van, 39. Cock, Symon, 39.
Coelen, Ludolf van, 38, 39, 40, 66, 69, 70, 71, 73, 75, 76 e.v., 87. cognet, zie Coignet.
Coignet, Michiel, 39, 70, 71,72,73. colebrooke, h. th., 5.
COLEN, VAN, zie Coelen.
COLLEN, VAN, zie Coelen.
Colster, Joost van, 80. Cornelis, Meester, 74.
Craey, Chatarina, 45.
Dafforne, 66.
Dagomari, Paolo, 16.
decima alteeken, 17.
Decker, Ezechiel de, 40,41,85 e.v. Deel'ingstafels, 1.
Degabiano, Jean, 25.
Dou, Jan Pieterzoon, 82. Duyrcantius, 41.
Elzevier, 47, 51.
Eneström, G., 24.
fmtóxo;, 3.
Eyke, Simon van der, 77, 78. Fakhrï, 5.
Fallet, Gedion, 39.
flbonacci, zie Leonardo van Pisa. flrenze, glovanni en lucca dl, 16. frescobaldi, 9.
General Trattato, 12.



Ghaligai, Francesco, 18.
Girard, Albert, 47, 48, 49, 51. Girard, Samuel, 25. Goniometrische tafels, 79. Goudaen, Willem, 80. Gravelaar, N. L. W. A., 46. Guntero, Edmund, 89.
Haaften, M. van, 2, 23, 26, 40, 41, 43, 46, 48, 49, 50, 60, 66, 71, 76, 86, 90.
HAAN, zie Bierens de Haan. Hagens, Bastiaan, 89.
Hagers, 71.
Helmduyn, Hobbe Jacobszoon, 39. Henderson, James, 89.
Hilprecht, H. V., 1.
Hoecke, Gillis van den, 38, 39. Hoornaert, Ch., 41.
Hout, Jan van, 82.
HUET, zie Busken Huet.
Huguetan, Gilles, 20, 21. Huguetan, Jacques, 20. Huyghens, Christiaan, 45. Huyon, Guillaume, 20. hypotheek, bij Leonardo van Pisa, 8.
INTRESTTAFEL, oudste geschreven, 9 e.v.
INTRESTTAFEL, oudste gedrukte, Bijlage.
Italiaensche practijk, 71.
jacopino, tomasino dl, 19.
Jouve, Michel, 27, 28.
keulen, van, zie Coelen.
Kops, Adriaan Jacops, 89.
Korver, J., 2.
Lan, Jacques myt, 20, 21. Leonardo van Pisa, 7 e.v., 13, 30. Liber Abaci, 7 e.v. Logarithmentafel, 89 e.v.
LUCA Dl BORGO, zie Paciuolo.
Maganza, 17.
Manenti, Giovanni, 18.
Mariani, Giovanni, 19.
Marsse, Joris Abrahamsz. van
der, 80.
Maurits, Prins, 44, 47.
Mellema, 23.
Menher, Valentijn, 39, 67, 70, 71,
72, 73, 74.
Merwen, van der, 82.
Mick, Gerard, 89.
Min-teeken, 39.
Minten, Mathijs, 82.
Moes, E. W., 43.
Morgiani, 17.
Moulert, Symon, 71.
Muller, Harmen Janszoon, 77. Muys, Jan, 39.
Neper, 86, 89.
Neugebauer, O., 1.
Nippur, 1.
PACIOLO, zie Paciuolo.
Paciuolo, 12 e.v., 17, 46, 65. Pagnini, Gian Francesco Pagnini
del Ventura, 9. Paramesvara, 5.
Pegolotti, 9 e.v., 24, 33, 67. Peletier, Jacques, 26.
PELLIZZATI, zie Pellos.
Pellos, 17.
Pensylvania, 1.
Petri, Nicolaas, 39.
pledmonton, monte regal, 21. plsa, zie Leonardo van Pisa. Plantijn, 46, 49, 50, 70. Plus-teeken, 39.
Rabatteren, 87.
Ramaiaseyn, Pieter, 86, 89, 90, 91. Renteverbod, 2.
Rentevoet, (in de oudheid), 2. Riccardiana, Biblioteca, 9. Rigaud, Pierre, 26.
Risen, Adam, 39.







Den Eersamen voorsienigen Heeren Ian Ianss. Baersdorp,
Gheeraerdt Weygherss.van Duyuelandt,Pieter Arentss.van der Werf, Ian Lucass.van Wassenaer, Borghemeesteren,en Ian van Haute Secretaris,midtsgaders Schepenê ende ghemeyne Vroetschap der Stede Leyden, wenscht Simon Steuin gheluck ende voorspoet.
Ghelijckerwijs den iaerlicxschen vloedt des Nilus oorsake was van groote twist die gheduerlick oprees tusschen den inwoonderen van Egypten, omme dieswille zy alle teeckenen daer ieghelicks landt mede af ghepaelt was iaerlicks wtroeyede,welck nochtans by ghevalle een oorsake was van groote eenicheydt die haeren naecomelinghen daer wt ghevolcht is,want heurlieder Koninck beval daer deur den priesteren (ouermidts zij meer ledighen tijdt
had-
A2



hadden dan andere) middelen te practiseren datmen door eenighe ghewisse regelen yeghelik zijn landt zoude mogen wederleueren: De welcke dat te weghebrengende, hebben bevonden dat het productum van twee zijden eens vierhoeckichs rectangels, perfectelick bewees t'inhoudt der seluer superficien, al waer men zegt die edele cöste van Geometrie, tot grooten voordeele der menschen, haeren oorspronck genomen te hebben: Also oock mijne E.voorsienighe Heeren bevinden wy den Interest een oorsake geweest te hebben, die menighen (deur derseluer gewisse rekeninge onbekentheyt) tot schade ghebrocht heeft, welck nochtans een oorsake gheweest is streckende ten profijte der naercomelingen, want naedien de menschen practiserende sagen dat alle Interest (zoo wel gecöponeerde als simpele) van veel iaeren oft termijnen, stont in eenige kennelicke reden tot hare Hooft-söme, so wel als den interest
van



Tafelen van Interest
Definitie 3.
Ratio (welcke van sommige proportie genoemt wordt) die der is tusschen den interest
ende d'Hooft-somme/noemen wy interests reden.
Verclaeringhe.
Als ratio die der is tusschê interest 12.en Hooftsomme ioo.Oft tusschen interest 1 ende Hooftsomme 16.etc.noemen wy in genere interests reden.Ende is te aenmercken datter inde ghebruyck zijn tweederley manieren van interst redenen/ wekker eene heeft het ander van haere termijnen altijt zeker.D'ander maniere beyde onseker.D'interests reden die een termijn zeker heeft is tweeder hande/want oft d'Hooft-somme is altijdt en zeker somme/te weten 100.ende den interest een onzeker somme als 9.oft 10.oft 11.etc.ende wordt dese interests reden dan ghenoemt neghen ten hondert/ thien ten hondert/etc.Oft ter contrarien den interest is altijdt een zeker somme/te weten i.ende d'Hooft-somme onzeker als 15.oft 16.oft 17/etc. Ende wordt dese interests reden ghenoemt den penninck vijfthien/den penninck zesthien etc.D'interst reden die haere termijnê beyde onzeker heeft/ is ghelijck alsmen zeght by exempel 53. winnen t'siaers 4. Van alle welcke int volghende ordentlick t'zijnder plaetse verscheyden exempelen zullen ghegheuen worden.
Defini-



Tafelen van Interest Definitie 4.
Simpel interest is die/ Welck alleenlick van de Hooft somme gerekêt wordt
Verclaeringhe.
Als rekenende 24.1b voor interest van ioo.lb op 2.iaeren teghen 12.ten 1 oo.t'siaers/worden de zelue 24.1b dan simpelen interest ghenoemt.Oft iemandt schuldich wesende ioo.lb/te betaelen ten eynde van twee iaeren teghen 12.ten 100.t'siaers/ ende betaelt ghereedt gheldt/aftreckende voor interest van de Hooft-somme alleene 2 iflb/worden alsdan de zelue 2 if lb simpelen interest ghenoemt/ ende dat tot een differentie des ghecomponeerden interests/welcks definitie aldus is:
Definitie 5.
Ghecomponeerden interest is die/welcke gerekent wordt vande Hooft-somme/midtsgaders van verloope der seluer.
Verclaeringhe.
Als rekenende 25Ülb voor interest van ioo.lb op twee iaeren teghen 12.ten ioo/worden de zelue 25Hlb ghecomponeerden interest ghenoemt/ende dat om dieswille dat op het tweede iaer en wordt niet berekent alleenlick interest van de Hooft-somme 100.lb/maer bouen de zelue wordt noch interest gherekent van den interest van i2.1b verschenen op het ierste iaer bedraeghende iülb alsoo
dat



Tafelen van Interest
dat desen ghecomponeerden interest op twee iaeren meerder is dan haeren simpelen interest van iiilb. Oft wesende iemandt schuldich te betaelen tê eynde van twee iaeren ioo.lb/ende betaelt ghereedt ghelt 79 Hilb/aftreckende 20 f¥ëlb/voor gecomponeerden interest teghen I2.tê 1 oo.t'siaers/zoo dat desen gecomponeerden interest minder is dan den simpelen 3 liilb. Waer deur te aenmerckê is dat wy die ghecomponeerden interest noemen/niet van weghen de quantiteyt waer wt zijn beter gedisiungeerde interest zoude ghenoemt worden/maer van weghen de qualiteyt der operatien in de welcke wy op twee interesten opsicht hebben. Corollarium.
Daer wt volght noodtsaeckelick op alle ierste termijn daer interest op verschijnt/gheenen ghecomponeerden interest te connen gheschieden/int welcke haer sommighe gheabuseert te hebben zal int volgbende t'zijnder plaetsen verclaert worden.
Definitie 6.
Profijtelicken interest is die welcke d'Hooft somme toegedaen wort.
Verclaeringhe.
Ghelijckerwijs 16.1b ghewonnen hebbende op eê iaer 1 lb zal dê debiteur schuldich zijn met Hooftsomme ende interest t'saemen i7.1b/waer deur wy alzulck 1 lb (wantet interest is die d'Hooft-somme toeghedaen wordt ende die vermeerdert) noemen profijtelicken interest.
Defini-



Tafelen van Interest.
Definitie 7.
Schadelickê interest is die/welcke van de Hooft-somme afghetrockê wordt
Verclaeringhe
Als eenen schuldich wesende binnen een iaer ió.lb veraccordeert te betaelê ghereedt ghelt/midts aftreckende den interest tegen den penninck 16.bedraegende ff lb/soo dat by ghereedt gheeft 15-rr lb. Alsoo dan want dese ff lb interest zijn die van de Hooft-somme afghetrocken worden ende die verminderen/noemen wy die schadelicken interest.
Propositie I.
Wesende verclaert Hooft-somme tijdt ende interests reden van simpelen en profijtelicken interest:Den interest te vinden.
Nota
Het is t'aenmercken dat ghelijck discontinua proportie bestaet onder 4.termijnen/welcker dry bekent zijnde wordt daer wt bekent het vierde: Alsoo ook bestaen dese onse interests propositien onder vier termijnê/te wetê Hooft-somme/tijdt/interests reden ende interest/welcker termijnen dry bekent zijnde/vinden wy deur de zelve het onbekende vierde :Dat is/wt bekende Hooft-somme/tijt/ende interests reden/vinden wy den interest:Item wt bekende Hooft-somme/tijdt/ende interest/vinden wy interests reden: Item wt bekende Hooft-Somme/
interests



Tafelen van Interest.
interests reden/ende interest/vinden wy tijdt: Ende ten laetsten wt bekende tijdt/interests reden/ende interest/vinden wy d'Hooft-somme. Alle welcke veranderinghen notoir zijn ex alterna ö inuersa proportione der termijnen. Maer want het termijn des onbekende interests (tot de welcke men oock dickmael d'Hooft-somme geaddeert begeert) in de pracktijcke meest ghesocht wordt/bebbê t'verclaers der propositien op de zelue ghemaeckt/hoe wel zullen dies niet te min onder de zelue propositien exempelen gheuen dependerende wt de voornoemde alteratie der termijnen.
Exempel i.
Men begheert te weten wat den simpelen interest zijn zal teghen 12.tê 100.t'siaers va 224.1b op een iaer.
Constructie.
Men zal wt de dry ghegheuen termijnen vinden t'vierde door dê reghel der proportie/die disponerende aldus: 100.gheuen 12.wat 224.1b ?facit 2Óff lb.
Inder seluer voegen zalmê zegghê dat winnêde ió.lb t'siaers eê lb/so winnê 224.1b t'siaers 14.1b.
Exempel 2.
27.1b gheuen op 4.iaer van simpelen interest i4.1b/wat gheuen 320.1b op 5.iaeren?
Constructie.
By aldien dese vijf termijnen int gheuen niet
ghe-



Tafelen van Interest.
ghedisponeert en waeren als bouen/zoudemen die alsoo disponeren/ende zegghen/t'product der twee ierste termijnen gheeft tmiddel termijn/wat gheeft het product der twee laetste termijnen ?Dat is io8.1b(wat zoo veel is t'product vande twee ierste termijnen te weten 27. met 4) gheuen 14.1b (dat is tmiddel termijn) wat gheuen 1600? (want sooveel is t'product vande twee laetste termijnê te weten 320 met 5.) Facit 207 ülb.
Nota.
Dit voorgaende tweede exempel / met allen anderen dier ghelijcken (welck van weghen de 5. termijnen reghel van vijven ghenoemt worden) moghen ghesolueert worden door eene operatie in de welcke men ghebruyckt tweemael den reghel der proportien / maar dese maniere is corter ende bequaemer.
Exempel 3.
Eenen is schuldich contant 224.lb.Oft hy betaelde binnen 4.iaeren alle iaere het vierendeel/te weten 56.1b.De vraeghe is hoe vele hy ieder iaer betaelen zoude van simpelen interest tegben 12. ten 100. t'siaers.
Constructie.
Men zal aenmercken wat Hooft-somme datmen op elck iaer in handê houdt diemê naer d'ierste conditie in handen niet en zoude ghehouden hebben / ende vinden alsdan door t'voornoemde ierste
exem-



Tafelen van Interest.
exempel dê interest van elcke Hooft-somme op elck iaer.Als tê eynde vat ierste iaer is d'Hooft-somme 224.1b / diés interest bedraecht voor eê iaer 26 ff lb. Ten eynde van het tweede iaer ( wat opt ierste iaer een vierendeel van 244.1b.betaelt wordt ) en zal d'Hooft-somme maer zijn 168.1b wiens interest voor een iaer 20 -h lb.Ten eynde va het derde iaer is d'hooft-somme 112.1b / wiens interest voor een iaer 13 ii lb. Tê eynde va het vierde iaer is d'Hoftsomme 56.1b / wiens interest 6f| lb.
Exempel 4.
Eenen is schuldich binnen vier iaeren 224.1b/ te weten alle iare het vierendeel bedraegêde 56.1b. De vraeghe is hoe vele hy zoude moeten betaelen van simpelen interest teghen 12.ten 1 oo.t'siaers/
zoo hy de voors.somme teenemael betaelde tê eynde van de vier iaeren.
Constructie.
Men zal aenmercken wat Hooft-somme datmen op elck iaer in handen houdt / diemen naer d'ierste conditie in handen niet en zoude ghehouden hebben / ende rekenen daer af den interest. Alsoo dan want men ten eynde va het ierste iaer zoude hebben moeten betaelê naer die conditie 56.1b/ diemen naer dese conditie niet ghegheuen en heeft/ zoudemen ten eynde van het tweede iaer moeten rekenen den interest van de zelue 56.1b. bedraegende 6 ff lb.Ende om dier gelijcke redenen zoudemen
moeten
B



Tafelen van Interest.
terest leyde te weten alsvoren teghen simpelen interest van 12.ten hondert t'siaers / dat de zelue Hooft-somme met haeren interest (zoo d'operatie goedt is) sullen moeten t'saemen bedraeghen ten eynde van den iaere 30o.lb.Alsoo dan die rekenende naer de leeringhe des iersten exempels der ierster propositien sal bedraeghen 32 + lb.welck geaddeert tot de 2677lb. maecken t'saemen de voornoemde 300.lb.waer wt besloten wordt de constructie goedt te zijne.Sghelijcks zal oock zijn de demonstratie van d'ander exempelen deser propositien / welck wy om de cortheydt achter laeten. Alsoo dan wesende verclaert Hooft-somme tijdt ende interests reden van simpelen ende schadelicken interest / hebben wy ghevonden wat die ghereedt weerdich is / t'welck gheproponeert was alsoo ghedaen te worden.
Propositie III.
Wesende verclaert Hooft-somme tijdt ende interests reden van ghecomponeerden profijtelicken interest:Te te vindê wat d'Hooft-somme met haren interest bedraecht.
Nota.
Tot de solutie van de exempelen deser propositien zijn ons van noode de tafelen daer voren af gheseyt is /waer deur zullen hier beschrijuen verscheyden tafelen zoo vele als inde practijcke ghe-
meyn-



Tafelen van Interest
meynlick noodich vallen / te weten x 6.tafelen / al waer altijdt comparatie gheschiet van den interest teghen t'hondert / welcker tafelen ierst zijn zal van een ten ioo.de tweede van twee ten ioo.ende zoo voort tot de 16.tafel / welcke zijn zal va ió.ten ioo. Bouen dien sulln wy beschrijuen acht tafelen / al waer comparatie geschiet van verscheyden Hooftsommen tot interest altijdt i.welcker tafelen ierste zijn zal van den penninck 15.de tweede van den penninck 16.ende soo voorts tot den penninck 22. ende zullen dese tafelen altemael dienê tot 3o.iaeren ofte termijnen.
Constrvctie der tafelen.
Alsoo dan om te comen tot de constructie deser tafelen / zegghe ick in de zelue niet anders ghesocht te worden dan proportionale ghetaelen met de gene daer questie af is. Om de welcke te vinden soo salmen ten iersten nemen eenich groot getal (welck wy noemen den wortel der tafelen) waer af d'ierste cijffer-letter sy i.ende de resterende altemael o.ick hebbe tot dese tafelen ghenomen (hoe wel mê meer ofte min nemen mach) 10000000.Nu dan willende maecken een tafel teghen een ten ioo.ghelijck de volghende ierste is / salmen den voornoemden wortel 10000000.multiplicerê met d'Hooftsomme 1 oo.t'productum is 1000000000.de zelfde



Tafelen van Interest.
de zalmen diuiderê deur d'Hooft-somme met haeren interest daer toeghedaen / te weten door 101. (want ioo.is gheproponeerde Hooft-somme ende i den interest) quotus zal zijn 9900990.dienende voor d'ierste iaer ofte termijn.
Aengaende de reste dieder naer de diuisie blijft als tö°t die laetmê verloren /om datse minder is dan een half / Maer als zulcken reste meerder is dan een half / soo salmen (ghelijck in tabula sinuum en andere meer de ghebruyck is) die veriaeten ende daer voren de gheheele ghetaelen van de quotus van een vermeerderen / want alsoo blijft men altijdt naerder by het begheerde. Nu dan om te vinden t'ghetal des tweeden iaers /salmen de 9900990. wederom multipliceren met ioo.gheeft productum 990099000.welck men wederom zal diuideren door 101.quotus zal zijn 9802960.voor het tweede iaer.
Alsoo oock om te vinden t'ghetal van het derde iaer salmê de 9802960.wederom multiplicerê met 100.geeft productü 980296000.welck mê wederö sal diuideren door 101.quotus sal zijn 9705900. Maer ouermidts de reste van t£t hier meerder is dan een half / zoo salmen om redenen alsvorê de laetste letter des quotus van 1 .vermeerderen / stellende aldus 9705901.voor het derde termijn / ende alsoo voort met d'andere termijnen / welckê in onse tafelen tot 30.ghecontinueert zijn.
S'ghe-



Tafel van Interest van 3.ten 100.
1. 9708738. 9708738.
2. 9425959. 19134697.
3. 9151417. 28286114.
4. 8884871. 37170985.
5. 8626088. 45797°73-
6. 8374843. 54171916.
7. 8130916. 62302832.
8. 7894093. 70196925.
9. 7664168. 77861093.
10. 7440940. 85302033.
11. 7224214. 92526247.
12. 7013800. 99540047.
13. 6809515. 106349562.
14. 6611180. 112960742.
15. 6418621. 119379363.
16. 6231671. 125611034.
17. 6050166. 131661200.
18. 5873948. 137535148.
19. 5702862. 143238010.
20. 5536759' 148774769-
21. 5375494- 154150263.
22. 5218926. 159369189.
23. 5066918. 164436107.
24. 4919338. 169355445.
25. 4776056. 174131501.
26. 4636948. 178768449.
27. 4501891. 183270340.
28. 4370768. 187641108.
29. 4243464. 191884572.
30. 4119868. 196004440.
C3



p
Tafel van Interest van 4.ten 100.
1. 9615385. 9615385.
2. 9245562. 18860947.
3. 8889963. 27750910.
4. 8548041. 36298951.
5. 8219270. 44518221.
6. 7903144. 52421365.
7. 7599i77> 60020542.
8. 7306901. 67327443.
9. 7025866. 74353309-
10. 6755640. 81108949.
11. 6495808. 87604757.
12. 6245969. 93850726.
13. 6005739. 99856465.
14. 5774749. 105631214.
15. 5552643. 111183857.
16. 5339080. 116522937.
17. 5I33731- 121656668.
18. 4936280. 126592948. 10. 4746423. I3I33937I-
20. 4563868. 135903239.
21. 4388335. 140291574.
22. 4219553. 144511127.
23. 4057262. 148568389.
24. 3901213. 152469602.
25. 3751166. 156220768.
26. 3606890. 159827658.
27. 3468163. 163295821.
28. 3334772. 166630593.
29. 3206512. 169837105.
30. 3083185. 172920290.
I



Tafel van Interest van 5.ten 100.
1. 9523810. 9523810.
2. 9070295. 18594105.
3. 8638376. 27232481.
4. 8227025. 354595°6.
5. 7835262. 43294768.
6. 7462154. 50756922.
7. 7106813. 57863735.
8. 6768393. 64632128.
9. 6446089. 71078217.
10. 6139132. 77217349.
11. 5846792. 83064141.
12. 5568373. 88632514.
13. 5303212. 93935726.
14. 5050678. 98986404.
15. 4810170. 103796574.
16. 4581114. 108377688.
17. 4362966. 112740654.
18. 4155206. 116895860. 19- 3957339- 120853199.
20. 3768894. 124622093.
21. 3589423. 128211516.
22. 3418498. 131630014.
23. 3255712. 134885726.
24. 3100678. 137986404.
25. 2953027. 140939431.
26. 2812407. 143751838.
27. 2678483. 146430321.
28. 2550936. 148981257.
29. 2429463. 151410720.
30. 2313774. 153724494.
C4



Tafel van Interest van 14.ten 100.
1. 8771930. 8771930.
2. 7694675. 16466605.
3. 6749715. 23216320.
4. 5920803. 29137123.
5. 5193687. 34330810.
6. 4555866. 38886676.
7. 3996374. 42883050.
8. 3505591. 46388641.
9. 3075080. 49463721.
10. 2697439. 52161160.
11. 2366175. 54527335.
12. 2075592. 56602927.
13. 1820695. 58423622.
14. 1597101. 60020723.
15. 1400966. 61421689.
16. 1228918. 62650607.
17. 1077998. 63728605.
18. 945612. 64674217.
19. 829484. 65503701.
20. 727618. 66231319.
21. 638261. 66869580.
22. 559878. 67429458.
23. 491121. 67920579.
24. 430808. 68351387.
25. 377902. 68729289.
26. 33I493- 69060782.
27. 290783. 69351565.
28. 255073. 69606638.
29. 223748. 69830386.
30. 196270. 70026656.



Tafel van Interest van 15.ten 100.
1. 8695652. 8695652.
2. 7561437. 16257089.
3. 6575163. 22832252. 4- 5717533. 28549785.
5. 4971768. 33521553-
6. 4323277. 37844830. 7- 3759371- 41604201. 8. 3269018. 44873219. 8. 2842624. 47715843.
10. 2471847. 50187690.
11. 2149432. 52337122.
12. 1869071. 54206193.
13. 1625279. 55831472.
14. 1413286. 57244758.
15. 1228944. 58473702.
16. 1068647. 59542349.
17. 929258. 60471607.
18. 808050. 61279657.
19. 702652. 61982309.
20. 611002. 62593311.
21. 531306. 63124617.
22. 462005. 63586622.
23. 401743. 63988365.
24. 349342. 64337707. 25- 303776. 64641483.
26. 264153. 64905636.
27. 229698. 65135334.
28. 199737. 65335071.
29. 173684. 65508755.
30. 151030. 65659785.
D



Tafel van Interest van ió.ten 100.
1. 8620690. 8620690.
2. 7431629. 16052319.
3. 6406577. 22458896.
4- 5522911. 27981807.
5- 4761130. 32742937.
6. 4104422. 36847359.
7. 3538295. 40385654.
8. 3050254. 43435908.
9. 2629529. 46065437.
10. 2266835. 48332272.
11. 1954168. 50286440.
12. 1684628. 51971068. 13* 1452266. 53423334.
14. 1251953. 54675287.
15. 1079270. 55754557-
16. 930405. 56684962.
17. 802073. 57487035.
18. 691442. 58178477.
19. 596071. 58774548. 2°. 5I3854- 59288402.
21. 442978. 5973I38o.
22. 381878. 60II3258.
23. 329205. 60442463.
24. 283797. 60726260.
25. 244653. 60970913.
26. 210908. 6ll8l82I. 27- 181817. 61363638.
28. 156739. 61520377.
29. 135120. 61655497.
30. 116483. 61771980.



Tafel van Interest van den penninck 15.
1. 9375000. 9375000.
2. 8789062. 18164062.
3. 8239746. 26403808.
4. 7724762. 34128570.
5. 7241964. 41370534.
6. 6789341. 48159875.
7. 6365007. 54524882.
8. 5967194. 60492076.
9. 5594244. 66086320.
10. 5244604. 71330924.
11. 4916816. 76247740.
12. 4609515. 80857255.
13. 4321420. 85178675.
14. 4°5133I' 89230006. 15' 3798123. 93028129. 16. 3560740. 96588869. I7' 3338194. 99927063.
18. 3I2955 7* 103056620.
19. 2933960. 105990580.
20. 2750587. 108741167.
21. 2578675. 111319842.
22. 2417508. H3737350.
23. 2266414. 116003764.
24. 2124763. 118128527.
25. 1991965. 120120492.
26. 1867467. 121987959.
27. 1750750. 123738709.
28. 1641328. 125380037.
29. 1538745. 126918782.
30. 1442573. 128361355.
D 2



mm
Tafel van Interest van den penninck 16.
1. 9411765. 9411765.
2. 8858132. 18269897.
3. 8337065. 26606962.
4. 7846649. 34453611.
5. 7385081. 41838692.
6. 6950664. 48789356.
7. 6541801. 5533ii57-
8. 6156989. 61488146.
9. 5794813. 67282959. io. 5453942. 72736901. n. 5133122. 77870023.
12. 4831174. 82701197.
13. 4546987. 87248184.
14. 4279517. 91527701.
15. 4027781. 95555482.
16. 3790853. 99346335-
17. 3567862. 102914197. *8. 3357988. 106272185.
19. 3160459. 109432644.
20. 2974550. 112407194.
21. 2799576. 115206770.
22. 2634895. 117841665.
23. 2479901. 120321566.
24. 2334024. 122655590.
25. 2196728. 124852318.
26. 2067509. 126919827.
27. 1945891. 128865718.
28. 1831427. 130697145.
29. 1723696. 132420841.
30. 1622302. 134043143.



Tafelen van Interest.
telicken interest van ioo.lb.op ó.maenden teghen io.ten ioo.t'siaers te wesen 4.1b. 17B. 7I gr. ende van dry maenden 2.1b.8Ü2 to gr. etc.
T'welck wy door het Corollarium der 5.definitien ontkennen/ende breeder redene daer af gheuen aldus.
Ten iersten/
Alle ghecomponeerden interest bestaet wt twee interestê/d'eene van de Hooft-somme/d'ander van interest van verschenen termijn.
Hier en is gheenen verschenen termijn/waer deur oock gheenen interest van verschenen termijn.
Ergo hier en is gheenen ghecomponeerden interest
Item/
Alle ghecomponeerden profijtelicken interest is voor den crediteur profijtelicker dan simpelen interest.
Desen interest en is voor den crediteur niet profijtelicker dan simpelen interest/maer ter contrarien schadelicker.
Ergo ten is gheenen ghecomponeerden interest.
Schadelicker te zijn/blijckt daer wt/dat Trenchant zeght ter plaetsen als bouen/desen ghecomponeerdê interest op een half iaer te zijne 4.1b. 1^ gr.wiens simpele interest bedraecht 5.1b.
Item/



Tafelen van Interest.
Item/
Op een heel iaer ofte termijn canmen gheen ghecomponeerden interest rekenê/als Trenchant zeluer niet en doet.
Ergo veel min canmen ghecomponeerden interest op een deel des termijns rekenen. Concluderen dan van alle deel va termijn (wel verstaende deel van termijn dat alleene staet/dat is zonder eenich gheheel termijn ofte termijnen tot hem) niet dan simpelen interest te connen gherekent worden.
Wt dit erreur is ghevolght dat Trenchant int 11.art.des voornoemden capittels gheseyt heeft 1 oo.lb.ghereet ten eynde van 7! iaeren rekenende ghecomponeerden interest teghen 10.ten 100. t'siaers weerdicht te zijne 204.lb.7fi.7i gr.welcke nochtans weerdich zijn (naer de leeringhe des voormoêden 2.exempels (204.1b. 12 fi.3fti?lli gr. waer af de demonstratie ten eynde deser propositien sal ghedaen worden.
Exempel 3.
Eenen is schuldich 1200.lb.te betaelen ten eynde van 7.iaeren.De vraeghe is wat die weerdich zijn te betaelen ten eynde van 23.iaeren rekenende ghecomponeerden interest tegen 8.ten 100. t'siaers.
Con.



Tafelen van Interest.
Constructie.
Men sal sien in de tafel van 8.ten io.wat ghetal datter respondeert op het 2 3.iaer/wordt bevonden i703i53.oock mede wat ghetal datter respondeert op het 7.iaer/wordt bevonden 5834903.daer naer zalmen zegghen 1703153.gheuen 5834903. wat gheuen I200.1b?facit 4111 tVöVtVV lb.
Ofte andersins (ende lichter ouermidts de multiplicatie door den wortel der tafelen lichter is dan de voorgaende/want die gheschiet door aensettinghe alleenelick van zeuen o.) machmen rekeninghe maecken op i6.iaeren/te weten van het 7.
iaer tot het 23.sal bedraeghen door het 1.exempel deser prop.411 rVWsWs lb.als voren.
Exempel 4.
Eenen is schuldich 800.lb.te betaelen ten eynde van 3.iaeren /ende noch 300.1b.binnen 2. iaeren daer nae.De vraege is wat beyde dese sommen t'saemen weerdich zullen zijn/ten eynde van 15.iaeren rekenende ghecomponeerden interest teghen 13.ten 100.t'siaers.
Constructie.
Men sal bevinden door het voorgaende 3.exempel dat de 800.lb.zullen weerdich zijn 3467 ïWirVoV lb.ende de 300.1b. ioiSrWsWr welcke 2.sommen bedragende t'saemen 4485lfffiïï4 lb.
E is t'ghe-



Tafelen van Interest.
is t'ghene de 8oo.lb.ende de 300.1b.t'saemen binnen i5.iaeren weerdich zijn.
Exempel 5.
Eenen is schuldich ghereet 224.lb.Oft hy betaelde binnen 4.iaeren alle iaere het vierendeel/te weten 56.1b.midts iaerlicks betaelende den ghecomponeerden interest teghen 12.ten 1 oo.t'siaers. De vraeghe is wat hy iaerlicks zoude moeten betaelen?
Constructie.
Men zal aenmercken wat Hooft-somme datmen op elck iaer in handen houdt diemen naer d'ierste conditie in handen niet en zoude ghehouden hebben/ende vinden als dan den interest van elcke Hooft-somme op elck iaer.
Maer wanter op elck iaer maer betaelinghe te doen en is van Hooft-somme die alleenelick een iaer gheloopen heeft/volght daer wt door het corollarium der 5.definitien in dese ende derghelijcke conditiën (hoe wel nochtans van ghecomponeerden interest veraccordeert is) onmeughelick te zijne ghecomponeerden interest te rekenen/zoo dat • dese questie moet ghesolueert worden door de maniere des derden exempels der ierster propositien. Ende hebben dit exempel hier alleenelick ghestelt als wesende een accident des interests weerdich ghenoteert.
Ex-



Tafelen van Interest.
Exempel 6.
Eenen is schuldich binnen I2.iaeren 5000.1b. te weten alle iaere het xV dat is 416.1b. 13.B.4.gr. De vraeghe is wat die weerdich zijn teenemael ten eynde van de i2.iaeren rekenende ghecomponeerden interest den penninck i5.t'siaers.
Nota.
De solutie van dese ende derghelijcke questien in ghecomponeerden profijtelicken interest en can door de laetste columne der voorgaende tafelê niet ghesolueert worden/ghelijck der ghelijcke questien in schadelicken interest der volghender 4.proposi~ tien daer mede ghesolueert worden/ende dat ouermidts de ghetaelen der seluer columnen voor beyde als schadelicken ende profijtelicken interest niet proportionael en zijn.Soo hebbe ick tot dier oorsaecke oock ghecalculeert tafelen als de voorgaende/dienende tot ghecomponeerden profijtelicken interest/Maer eer dit tractaet wtghegaen is/ben ghecomen ter kennisse van solutie van dese questie op een ander maniere/te weten zonder eyghene tafelen daer toe te moeten hebben :Waer door op dat dit tractaet simpelder zoude zijn/ende dat die verscheyden tafelen niet eer oorsaecke en zouden zijn van confusie dan ter contrarien van claerheydt/en hebben de zelue tafelen hier niet beschreuen/dan alleenelick op dat wy bethoonen zouden
der
E 2



Tafelen van Interest.
der seluer tafelen constructie/proportie/ende eyghenschappen met d'ander voorgaende tafelen/ zullen hier alleenelick dier tafelen een stellen/te weten van den penninck 15.
Constructie van dese tafele.
Deser tafelen constructie en heeft van de andere voorgaende gheen ander verschil/dan dat hier altijdt ghemultipliceert wordt (ter contrarien van de voorgaende tafelen) met het meeste ghetal/ende ghediuideert door het minste.Als dese tafel van den penninck 15. zijn ten iersten 10000000.ghemultipliceert met ió.ende t'productum wederom ghediuideert door i5.gheuende quotü 10666667. voor d'ierste iaer/welck ghetal wederom ghemultipliceert met 16.en t'productum wederom ghediuideert door 15. gheeft den quotus het tweede iaer/eu soo voort met d'ander.Aengaende de constructie der laetster columnen/de zelue gheschiet door additien der ghetaelen der middelste columnê/ghelijck in de voorgaende tafelen/wtgenomen datmen hier bouen d'ierste iaer der middelste columnen sal stellen den wortel der tafelen/te weten 10000000. en de zelfde wortel noch eenmael bouen de laetste columne neuen het ierste iaer/ende voort salmen ordentlick de ghetaelen der middelste columnen adderen als in de voorgaende tafelen ghedaen is/zoo claerlicker in de onderschreuen tafele blijckt.
T afele



Tafele van Interest van den penninck 15.
10000000.
1. 10666667. 10000000.
2. 11377778. 20666667.
3. 12136297. 32044445.
4. 12945383. 44180742.
5. 13808409. 57126125.
6. 14728970. 709345347- 15710901. 85663504.
8. 16758294. 101374405.
9. 17875514. 118132699.
10. 19067215. 136008213.
11. 20338363. 155075428.
12. 21694254. 175413791.
13. 23140538. 197108045.
14. 24683241. 220248583.
15. 26328790. 244931824.
16. 28084043. 271260614.
17. 2,9956313. 299344657. ï8. 31953401. 329300970. 19. 34083628. 361254371.
2°. 36355870. 395337999-
21. 38779595- 431693869.
22. 4I3649OI. 470473464.
23. 44122561. 511838365.
24. 47064065. 555960926.
25. 50201669. 603024991.
26. 53548447. 653226660.
27. 57118343. 706775107.
28. 60926233. 763893450.
29. 64987982. 824819683.
30. 69320514. 889807665. 31- 959128179.
De
E 3



Tafelen van Interest.
De proportie van dese tafele met de voorgaende van den penninck 15.is dese:Soo wy nemen wt elcke deser tafelen twee ghelijcke iaeren/haere responderende gbetaelen in de middelste columne zullen zijn proportionaehals by exempel het dertichste iaer deser tafelen heeft alzulcken reden tot zijn ierste iaer/ghelijck d'ierste iaer van de voorgaende tafel van den penninck 15. tot zijn dertichste iaer/dat is ghelijck 69320514.101 10666667.alsoo 9375000.tot 1442573.
gheweert eenighe differêtie die daer valt op de laetste letter spruytende van weghen de resterende gebroken die men in de constructie verlorê laet/welck verschil hier van gheender estimen en is.Item ghelijck het dryentwintichste iaer deser tafelen tot zijn vijfde iaer/alsoo oock het vijfde iaer der voorgaender tafel van den penninck 15.tot zijn 23. iaer/ende zoo voort met alle d'ander.
Wt welcke proportie volght dat wy met eene deser tafelen zoo vele wtrichten connen/als men met alle beyde de tafelen zoude moghen doen/
Maer in de laetste columne en gaet het niet also/te weten de ghetaelen responderende in ghelijcke tafelen op ghelijcke iaeren en zijn niet proportionael. Ghelijckerwijs als het dertichste iaer der laetster columnen deser tafele en heeft niet alzulcken reden tot zijn ierste/ghelijck het ierste iaer van de voorgaende tafe lvan den penninck 15.tot zijn laetste/
noch



Tafelen van Interest.
noch ter contrarien/noch op eenighe ander manieren en vallen dese termijnen proportionael/ t'welck een oorsaecke was dat wy dese tafelen maeckten als voren gheseyt is.
Om dan de questie van dit exempel te solueren door dese tafel/salmen in de zelue zien wat ghetal datter in de laetste columne respondeert op het 12.iaer/wordt bevonden 175.413791.daer naer van weghen de i2.iaeren /salmen nemen twaelf mael den wortel te weten 10000000. dat is 120000000.segghende 120000000.comen van I754i379i.waer van zullen comen 5000 1b.'facit 7308Ito000 lb.dat is 7308 lb. 18..Ö.I ïW gr.
Nu rester noch dese questie te solueren door onse ierste tafelê/de welcke wy voren gheseyt hebben generael te zijne/aldus:
Constructie van dit 6.
exempel.
Men sal sien wat alsulcke 5000.1b. ghereedt weerdich zijn naer de leeringhe des 6.exempels der volghende 4.propositie (tis wel waer dat in alle stijl gherequireert wordt datmen opereren zoude daert moghelick is wt voorgaende descriptie/ende niet wt volghende/maer ouermidts onse tafelen dienen tot dese ende de volghende propositie/ dat is soo wel tot ghecomponeerden profijtelicken
interest
E 4



Tafelen van Interest.
interest als tot schadelicken/volght daer wt dat dese twee laetste propositien malckanderen verclaeren moeten/waer wt wijder volght dat sommighe operatien deser propositien moeten bewesen worden wt het volghende) wordt bevondê 3 369 rf Ufo lb.
Daer naer salmen sien wat dese somme weerdich is binnen i2.iaeren daer naer teenemael/
wordt bevonden door het ierste exempel deser propositien 7308 tHHff lb.dat is als voren 7308.1b. 18.fi.2 sWoVr gr.alleenelick isser differentie van een zeer cleyn deelken van i.gr. van gheender estimen/ende dat van weghen dat de wterste perfectie (ghelijck oock in tabula sinuum ende veel anderen) in de tafelen niet en is.
Nota
De volghende exempelen dependeren ex alterna vel inuersa proportione deser propositien.
Exempel 7.
Eenen is schuldich ghereedt 400.1b.presenteert ten eynde van io.iaeren 1037.1b.De vraeghe is/tegen wat ghecomponeerde interests reden dat betaelt ware.
Constructie.
Men sal segghê 1037.1b.gheuen 10000000. wat gheuen 400.1b?facit 3857281 .t'zelfde ghe-
tal



Tafelen van Interest.
Constructie.
Men zal zien in de tafel van den penninck 19. wat ghetal datter respondeert op het 9.iaer/wordt bevonden 6302494.Oock mede wat ghetal datter respondeert op het 27.iaer/wordt bevonden 2503440.daer naer salmê zegghen 6302494.
gheuen 2503440.wat gheuen 2000.lb?
facit 794 Iggllèl lb.
Ofte anders machmen doen aftreckende voor 18.iaeren door het 1.exempel deser propositien.
Exempel 5.
Eenen is schuldich te betaelen ten eynde van vier iaeren 306.1b.veraccordeert met zijnen crediditeur die te betaelen in 4.payementen/te weten ten eynde van d'ierste iaer een vierendeel/tweede iaer noch een vierendeel/ende t'derde iaer noch een vierendeel/ende t'vierde iaer t'laetste vierendeel/ midts aftreckende ghecomponeerden interest den penninck 16.De vraeghe is wat hy op elck iaer betaelen zal?
Constructie.
Men zal aenmercken wat penninghen datmen naer dese conditie verschiet diemê naer d'ierste conditie niet en zoude verschoten hebbê/nu dan wantmen naer dese conditie binnen een iaer betaelt t'vierendeel



Tafelen van Interest.
rendeel der sommen bedraeghende go.lb.midts aftreckêde/etc.die mê naer d'ierste conditie binnê 3. iaeren naer daer ierst zoude betaelt hebben/volght daer wt datmen zien zal wat 90.1b.te betaelê binnen 3.iaeren/weerdich zijn ghereedt/wordt bevonden door het ierste exempel deser propositien 75 1088887 lb.voor d'ierste paye.
Ende om der ghelijcke redenen zalmen bevinden 90.1b.op 2.iaerê weerdich te zijne 79 lb. voor de tweede paye.
Ende om der ghelijcke redenen zalmen bevinden 90.1b.op een iaer weerdich te zijne 84ïb.
voor de derde paye.
Ende want de laetste paye op zulcken conditie betaelt wordt als d'ierste conditie was/en zal die winnen noch verliesen/maer zijn van 90.1b.
Exempel 6.
Het zijn 324.1b.te betaelen binnen 6.iaeren/te weten 54.1b.elcken iaere. De vraeghe is wat die weerdich zijn ghereedt ghelt/aftreckende gecomponeerden interest dê penninck ió.t'siaers.
Nota.
Voor alzulcke questien als dit exempel een is/te weten daer betaelinghe in gheschieden op vervolghende iaerê/ende het een iaer zoo veel als het ander iaer/daer toe dient ons de laetste columne in
elcke



Tafelen van Interest.
elcke tafele.Alsoo dan om wt onse tafelen proportionale ghetaelen te crijghen met de ghene daer questie af is/soo salmen den wortel der tafelen te weten i ooooooo.altijdt moeten multiplicerê met soo veel iaeren als daer questie af is/want t'productum heeft dan zulcken reden tot het ghetal responderende op het iaer daer questie af is/ghelijck d'Hooft-somme daer questie af is tot de zelfde Hooft-somme met haeren interest/ghelijck alles claerder zijn zal wt d'exempelen.
Constructie.
Men zal zien in de tafel van den penninck 16. wat ghetal datter in de laetste columne respondeert op het 6.iaer/wordt bevonden 48789356. Daer naer van weghen de 6.iaeren salmen nemen ö.mael 10000000.dat is 60000000.seggende 60000000.gheuen 48789356^31 gheuen 324.1b?facit voor solutie 2Ó3fUfèooé lb.
Exempel 7.
Eenen is schuldich 800.lb.te weten ten eynde van zes iaeren 50.1b. ende voorts alle iaere daer naer 50.1b.tot de volle betaelinghe/welck strecken zal (tellende van het beghinsel af) tot het tween twintichste iaer.De vraeghe is wat die ghereedt weerdich zijn/rekenende gecomponeerden interest den penninck 18.
Con-



Tafelen van Interest.
Constructie.
Men zal zien wat 8oo.lb.weerdich zijn int beghinsel van het zeste iaer/t'welck zoo veel is als oftmen zochte wat alzulcke 8oo.lb.te betaelen op 16.iaeren weerdich zijn ghereedt/wordt bevonden door het voorgaende ó.exempel 521 tWooo lb. ende soo veel zijn die 800.lb.weerdich int beghinsel van het zeste iaer ofte (dat het zelfde is) ten eynde van het vijfde iaer.
Daer naer zalmen zien door het ierste exempel deser propositien wat de zelfde 52iAVö¥ö lb. op vijf iaeren weerdich zijn ghereedt ghelt/wordt bevonden voor solutie 397-HHNrHMMW lb.
Nota.
De volghende exempelen dependeren ex alterna vel inuersa proportione deser propositien.
Exempel 8.
Eenen is schuldich ten eynde van 17 iaeren 700.1b.zijn crediteur schelt hê quijte met 292.1b. ghereedt.De vraeghe is teghen wat ghecomponeerde interestsreden dat afghetrocken waere.
Constructie.
Men zal zegghen 7oo.lb.gheuê 10000000. wat 292.1b.?facit 4171429.t'zelfde ghetal zalmen
F



Tafelen van Interest.
men zoecken ten naesten door alle de tafelen op het zeuenthiende iaer;wordt bevonden in de tafel van den penninck ip.daermen vindt 4i8i203.waer door men zegghen zal dese interestsreden te zijne tegê den penninck ip.t'siaers bycants/maer want 41 71429.wat minder is dan 4181203. soo salmen segghen desen penninck een weynich minder te zijne dan 19.te weten den penninck 18.met eenich ghebroken.
Maer tot een perfecte solutie deser ende dergelijcke questien/ist noodich datmen onder zijn tafelen hebbe een tafel van alzulcken interest reden als daer questie af is/dies niet/zoo en en kanmê de solutie maer bycants zegghen/t'welck in de practijcke oock dickmael ghenoech is.
Exempel 9.
Eenen is schuldich te betaelen teenemael binnen zekere iaeren 1400.lb.ende betaelt die ghereedt met io7.1b.aftreckende ghecomponeerden interst teghen 13.ten 1 oo.t'siaers.De vraeghe is binnen hoe veel iaeren die 1400.1b.te betaelen waeren.
Constructie.
Men zal zegghen i400.1b.gheuê 10000000. wat 107.1b?facit 764286.t'zelfde ghetal salmen soecken ten naestê ende meerder in de tafel van 13.
ten



Tafel van Interest.
ten 100.wordt bevonden 767985.responderende op het 21.iaer.Ergo binnen 21 iaeren waeren de 1400.1b.te betaelen.Ende om nu te vinden wat deel des iaers datter bouen de voor noemde 20.
noch was/salmen zegghen 764286.gheuen 767985.wat ioo?facit iooftfff! van wekken facit men trecken zal 100.de reste is fffüf welcker resten tV (tV van weghen 13.ten 100.) is het deel des iaers datter noch bouen de 21.iaeren was/te weten t'saemen 21 sWsWs iaeren.
Exempel 10.
Eenen ontfangt 1100.lb.ende hem was afghetrocken ghecomponeerden interest teghen den penninck 16.voor 18.iaeren. De vraeghe is/wat d'Hooft-somme was.
Constructie.
Men zal zien in de tafel van den penninck 16. wat ghetal datter respödeert op het 18.iaer/wordt bevonden 3357988.Daer naer zalmen zegghen 3357988.comen van 10000000.waer van comen 1 ioo.lb?facit d'Hooft-somme
_ - - - 26 83300 1U 3 2 75 T¥57iT8ï 1D.
Exempel 11.
Eenen wordt afghetrocken 2022.1b.voor ghecomponeerden interest van 13.iaeren tegen 9.
ten
F2



Tafelen van Interest, ten 1 oo.t'siaers.De vraegbe is wat d'Hooftsomme was.
Constructie.
Men zal zien in de tafel van 9.ten 100.wat ghetal datter respondeert op het 13.iaer/wordt bevonden 3261786.t'zelfde zalmen trecken van 10000000.1b.rest 6738214.Daer naer salmen segghen 6738214.heeft Hooft-somme 10000000.wat Hooft-somme zal hebben 2022.1b?facit 3000-lfiHHHnf lb.
Nota.
Dese dry volghende exempelen worden ghesolueert door de laetste columne der tafelen.
Exempel 12.
Eenê is schuldich 33000.1b.alle iaere 1500.1b. tot 22.iaeren toe/ende zijn crediteur schelt hem quijte met 15300.1b.ghereedt ghelt.De vraeghe is teghen wat ghecomponeerde interestsreden dat afghetrocken is.
Constructie.
Men zal zeggen 33000.lb.gheuê 220000000. (te weten 10000000.ghemultipliceert met 22.iaeren) wat gheuê 15300.1b?facit 102000000.dit ghetal salmen ten naesten soecken door alle de tafelen



Tafelen van Interest.
felê in de laetste columne op het 22.iaer/wordt bevondê in de tafel van 8.ten ioo.al waermen vindt 102007429.waer door men zegghen zal dese interests reden te zijne van 8.ten ioo.t'siaers bycants/maer want 102007429.wat meerder is dan 102000000.soo salmen seggen dese interests reden wat meerder te zijne dan teghen 8.ten 100. te weten 8.met eenich zeer cleyn ghebroken.
Maer tot een perfecte solutie deser ende der gelijcke questien/ist noodich datmen onder zijn tafelen hebbe een tafel van alzulcken interests reden als daer questie af is.
Exempel 13.
Eenen is schuldich te betaelen zeker somme/te weten alle iaere een zesten deel der zeluer sommen/ zes iaeren lanck gheduerende;veraccordeert met zijnen crediteur die te betaelen ghereedt/midts aftreckende ghecomponeerden interest den penninck 16.ende gheeft hem ghereedt 263.1b.De vraeghe is wat d'Hooftsomme was.
Constructie.
Men zal zien in de tafel van den penninck 16. in de laetste columne wat ghetal datter respondeert op het 6.iaer/wordt bevonden 48789356.
Daer naer salmen zegghen 48789356.comen van 60000000. (te weten 10000000.ghemulti-
pliceert
F3



Tafelen van Interest.
pliceert met ó.iaeren) waer van comen 263.1b? facit Hooft-somme 323ÜflMif lb.
Exempel 14.
Eenen is schuldich te betaelen zeker somme/te weten alle iaere het tt der zeluer sommen 2 7-iaeren lanck gheduerende/veraccordeert met zijn crediteur die te betaelen ghereedt/midts aftreckêde 4010.1b. voor ghecomponeerden interest tegen 14.ten 100. De vraegbe is wat d'Hooft-somme was.
Constructie.
Men zal zien in de tafel van 14.ten 100.wat ghetal datter respondeert in de laetste columne op het 27-iaer/wordt bevonden 6935 1565.t'zelfde zalmen aftrecken van 270000000. (te weten 10000000.ghemultipliceert met 27.iaeren) rest 200648435.Daer naer salmê seggê 200648435. compt van 270000000.waer van zal comen 40i0.1b?facit voor solutie 5396 rrrtfgrSb lb.
Demonstratie.
Aenghesien int ierste exempel deser propositien gheseyt is 700.1b.te betaelen ten eynde van 10. iaeren/ghereet ghelt weerdich te zijne 225tWö¥o lb. aftreckende ghecomponeerden interest teghen 12. ten ioo.t'siaers/volght daer wt dat indien mê de zelue 225 tWöVs- lb. terstont op interest leyde teghen
den



Tafelen van Interest, den voornoemden interest van 12.ten 100.dat de selue Hooft-somme met haeren interest (zoo d'operatie goedt is) zullen moeten t'saemen bedraeghen 700.1b.
Alsoo dan rekenende dien interest naer de leeringhe des ierstê exempels der tweeder propositien/ zal bedraeghen met haere Hooft-somme 700.1b. waer wt besloten wordt de constructie goedt te zijne.
S'ghelijcks sal ook zijn de demonstratie van d'ander exempelen deser propositiê/welcke wy om de cortheydt achter laeten.
Alsoo dan wesende verclaert Hooft-somme tijt ende intersts reden van ghecomponeerden schaedelicken interest/hebben wy ghevonden wat die ge reedt weerdich is/t'welck gheproponeert was alsoo ghedaen te worden.
Appen-
F4



Appendix.
TEn laetsten heeft my goedt ghedocht een generale reghel hier te beschrijuen/om van twee ofte meer conditiën de profijtelickste te kennen/ende hoe veel zy profijtelicker is dan d'ander/want hier in is by ghevalle de principaele nutbaerheydt deser tafelen gheleghen/ende dat ouermidts trafiquerende persoonen malckanderen daghelicks conditiën voorstellen/wekker conditiën de beste dickmael gheen van beyden bekent en is.
Om dan metten cortsten dien reghel te verclaeren/zegghe ick/dat men zien zal wat elcke gheproponeerde conditie ghereedt weerdich is in respect van eenighe interests reden/ende dat door de leeringhe van eenighe der voorgaende exempelen/ wekker ghereeder sommen differentie betoont hoe veel d'een conditie beter is da d'ander, t'welck door exempel claerder zijn zal.
Exempel.
Eenen is schuldich 32500.1b.te wetê 1200.1b. ghereedt ende 6500.1b.binnen 3.iaeren/ende de resterende 14000.1b. aldus/te weten op het vierde iaer 500.1b.ende voorts alle iaere daer naer soo.lb.totte volk betaelinghe/welck aenloopen sal 28.iaeren. Ende hem wordt ghepresenteert te betaelen ghereedt 6000.lb.ende ten
eynde



Tafelen van Interest.
eynde van 4.iaeren noch 5000.lb.ende de resterende 2iooo.lb. aldus;te weten op het vijfde iaer 3000.lb.ende voort alle iaere daer naer 3000.1b.tot de volle betaelinghe/twelck aenloopen zal 7-iaeren.De vraeghe is welcke conditie de beste is voor den crediteur/ende hoe vele sy beter is dan d'ander/rekenende ghecomponeerden interest den penninck 16.
Constructie.
De 12000.lb.die ghereedt te betaelen zijn ghereedt weerdt 12000.1b.
Ende de 6500.1b.die binnen 3.
iaerè te betaelê zijn/zijn reedt weerdich door het 1.exempel der 4-prop.54i 5iffloö lb.
Ende de 14000.1b.die te betaelen zijn alle iaere 500.1b.tot 28.iaeren toe/beghinnende van het vierde iaer tot het 32.iaer/zijn ghereedt weerdich door het 7.exempel der
4.prop. 5448 aVoVoVoVV^ölb.
Welcke dry sommê voor de weerde in ghereeden ghelde van d'ierste conditie bedraeghen 22 867AuVWAVoVölb.
Nu volght de calculatie vande tweede conditie. De óooo.lb.ghereedt te betaelen zijn ghereet weerdt óooo.lb.
Ende
F5



Tafelen van Interest.
Ende de 5000.1b.te betaelen ten eynde van het 4.iaer/zijn ghereedt weerdt door het i.exemp.der 4.prop. 3923T®öWölb.
Ende de 21000.lb.die te betaelen zijn alle iaere 3000.1b.tot 7.
iaeren toe beginnende van het vijfde iaer tot het 12.iaer/zullen ghereedt weerdt zijn door het 7.exem-
1 Aar a nmn . - . 64TÜ 2 86 00 7 5 3 |L
pei aer 4»piop. i30247oooooooooooid«
Welcke dry sommê voor de weerde in gereeden ghelde van de tweede conditie bedraeghen. 22948fH$£iHHH>$M lb.
Alsoo dan de tweede conditie (want zy meer bedraecht dan d'ierste) is beter voor den crediteur dan d'ierste. Nu dan afghetrocken de ghereede weerde der ierster conditie van de ghereede weerde der tweeder conditien/rester 8i ^iotorfoOTooolb. ende soo veel is de laetste conditie beter voor den crediteur dan d'ierste/welcke solutie met veel anderen dier ghelijcke daghelicks in praxi te voren comende en zouden zonder t'behulp van dese tafelê niet dan door eenen onestimeerlicken aerbeydt connen ghegheuen worden.
Ander exempel.
Men begheert te weten hoe veel 2000.lb.ghe-
reedt



Tafelen van Interest.
reedt op 7.iaeren beter zijn/rekenende ghecomponeerden interest tegben 4.ten 100.alle vierendeel iaers:dan de zelue 2000.1b.ghereedt op zeuen iaeren rekenende gecomponeerden interest dê penninck iö.t'siaers.
Nota.
Dese conditiën zouden in simpelen interest gelijck zijn/maer in ghecomponeerden interest is de differentie groot.
Constructie.
Men zal zien in de tafel van 4.ten 100.wat 2000.1b.ghereedt met haeren interest bedraegen op 28.termijnen/(want 28.zulcke termijnen maken 7.iaeren) wordt bevonden 5997Hiifrf lb.
Daer naer salmen zien wat 2000.lb.met haeren interest bedraegen op zeuen iaeren teghen 16. ten 1 oo.t'siaers/wordt bevonden door het 1.exempel der 3.propositie 5652-MHHHHHr lb. Nu da afgetrockê 5Ó52fjHHHH^ lb. van 5997-HrHfrf lb.rest bycants 345.lb.ende soo veel bedraecht den interest van d'ierste conditie meer dan den interest van de laetste.
Alsoo dan alsvoren gheseyt is/salmê in alle anderen dier ghelijcken de ghereede weerde zoecken van verscheyden conditiê/ende haere differentien zullen de profijtelickste conditie betoonen.
No-



Tafelen van Interest.
Nota.
Soo iemandt te opereren hadde in cleyne sommen/zoude moghen twee oft dry cijffer lettere van de ghetaelen der tafelen min ghebruycken/die van achteren af cortende/midts der ghelijcke menichte van letteren/oock afcortende van de wortel der tafel/als dies ghelijcke in tabula sinuum ende meer andere oock de ghebruyck is/wantet op cleyne sommen gheen merckelicke differentie en can brengen/ iae dickmael veel minder dan de weerde van den minsten penninck die der ghemunt wordt :Maer op groote sommen zoudet merckelijcker zijn.Daer om hebbê wy onse tafelen ghemaeckt dienende zoo wel tot groote notabele sommen/ghe lijck dickmael zijn penninghen van Banckiers/Potentatê/Prouincien ende dierghelijcke/als tot cleyne sommen.
Finis.







RECEPTIE NA AFLOOP DER PROMOTIE IN HET UNIVERSITEITSGEBOUW











DE OUDSTE INTRESTTAFELS IN ITALIË, FRANKRIJK EN NEDERLAND MET EEN HERDRUK VAN STEVINS „TAFELEN VAN INTEREST"







DE OUDSTE INTRESTTAFELS IN ITALIË, FRANKRIJK EN NEDERLAND MET EEN HERDRUK VAN STEVINS „TAFELEN VAN INTEREST"
PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE AAN DE RIJKSUNIVERSITEIT TE LEIDEN, OP GEZAG VAN DEN RECTOR MAGNIFICUS Dr. J. VAN DER HOEVE, HOOGLEERAAR IN DE FACULTEIT DER GENEESKUNDE, VOOR DE FACULTEIT DER WIS- EN NATUURKUNDE PUBLIEK TE VERDEDIGEN OP DINSDAG 6 APRIL 1937, DES NAMIDDAGS TE 4 UUR
DOOR
CORNELIS MARIUS WALLER ZEPER
GEBOREN TE HAARLEM
AMSTERDAM — 1937 N.V. NOORD-HOLLANDSCHE UITGEVERSMAATSCHAPPIJ



m
IV.
De intresttafels, die in Italië het eerst werden gebruikt, hebben over Frankrijk hun weg naar Nederland gevonden.
Proefschrift, p. 24.
J. tropfke: Geschichte der Elementar-Mathematik,
Erster Teil, 1930.
V.
De opvatting van Stevin, dat men bij tijden korter dan een jaar niet met samengestelden intrest mag rekenen, komt ook tot uiting in het oude Italiaansche „merito a capo d'anno".
VI.
Het is gewenscht, dat het Rijk niet alleen, gelijk nu, de salarissen der verplichte leerkrachten van het lager onderwijs, maar ook de salarissen der leerkrachten van het vakonderwijs aan de Besturen der scholen voor blinden vergoedt.







Aan mijn Vrouw.
Aan mijn Moeder en
de nagedachtenis van mijn Vader.







Hier gebruik ik dus de in de oude rekenkunde steeds weer voorkomenden regel van drieën.
X^t
De rente x met de rente van die rente —r- samen, noem ik B.
A
X^ t
'+~x=B■
Stel nu, dat die B gegeven is en ook A bekend is, dan kan ik x vinden door de vierkantsvergelijking x2t + Ax — AB — 0 op te lossen. De positieve wortel van deze vergelijking is
]/bxo<A + (A)-A * = ')•
Deze wortel wordt nu in bovenstaanden regel met woorden genoemd.
Wanneer dus het kapitaal, de som van de rente in de tijdseenheid en de rente van de rente in een bepaald aantal tijdseenheden gegeven is, dan is de rentevoet te berekenen. De intrestrekening schijnt hier niet aan de practijk ontleend, maar lijkt hier alleen voor te komen om aanleiding te geven tot een vierkantsvergelijking. De commentator Paramesvara geeft nog het volgende voorbeeld :
Laat een kapitaal 100, één maand uitgeleend zijn en laat de ontvangen rente tegen denzelfden rentevoet 6 maanden uitgeleend staan. Wanneer dan de rente en de rente van de rente samen 16 geworden is, dan is de rentevoet blijkbaar 10
A = 100 ( , 
B== 16 K16X 100X6 + 2500-50 _ in
, 6 t = 6
Hetzelfde vraagstuk vindt men ook bij Brahmagupta, geboren 598 na Chr. 2).
De commentator Chaturveda geeft hierbij het volgende voorbeeld: Laat het kapitaal 500 drammas zijn. De rente van dit kapitaal
1) Deze uitdrukking voor den positieven wortel van een vierkantsvergelijking wordt ook gevonden bij den Arabier Al-Karkhï in zijn algebraboek Fakhrï.
Zie History of Mathematics I van David Eugene Smith, blz. 284.
2) H. Th. Colebrooke, Algebra with Arithmetic and Mensuration from the Sanskrit of Brahmagupta and Bhascara, London 1817. Ganita ch. XII, Section II.



gedurende 4 maanden wordt volgens denzelfden onbekenden rentevoet 10 maanden uitgezet. De som van beide wordt 78. Wat brachten die 500 drammas in 4 maanden op? Antwoord : 60 drammas.
A = 500 
B= 78 |X78 X 500 X 5/2 + 2502 - 250=6Q
t = 21/2 (10 = 2xI7 X 4) 5/2
De rentevoet in deze Indische rekenboeken is dus wel hoog. Dit komt ook te voorschijn bij andere intrestvraagstukken van Brahmagupta, zeer eenvoudige vraagstukjes, waarbij geen samengestelde intrest gebruikt wordt.



HOOFDSTUK I.
De oudste geschreven Italiaansche intresttafel.
Wanneer wij nu veel later in den tijd grijpen, dan zien wij dat de intrestrekening veel verder gekomen is. Zeer zeker was men ook vroeger in het rekenen genoeg gevorderd, om dergelijke vraagstukken als nu volgen, op te lossen, maar in de practijk was er blijkbaar geen behoefte aan. In den bloeitijd van den Italiaanschen handel in de middeleeuwen, wordt zeker met samengestelden intrest gerekend. Hoogstwaarschijnlijk zullen daarvóór (in Byzantium) ook wel minder eenvoudige vraagstukken met samengestelden intrest opgelost zijn. Direkte bewijzen hebben wij daarvoor niet.
Voor Italië in de middeleeuwen nemen wij het Liber Abaci van Leonardo van Pisa. De eerste uitgave van dit werk is van 1202. Een tweede bewerking van 1228 is uitgegeven door Bald. Boncompagni, Rome 1857. De schrijver heet ook wel Leonardo Pisano of Leonardo Fibonacci. Pisa streed in die dagen om den voorrang met andere groote handelsplaatsen in Italië, zooals Venetië en Genua.
De vader van Leonardo was bij den handel geïnteresseerd en woonde te Bugia1). Hier ontving Leonardo van een Moorschen schoolmeester zijn eerste onderricht. Als jonge man bereisde hij de geheele Middellandsche Zee en kwam hier in kennis met het IndischArabische cijfersysteem, hetwelk hij als het doelmatigste leerde kennen. In zijn bovengenoemde werk maakt hij gebruik van die cijfers en voert ze in het Westen in.
Alle latere rekenboeken tot de 18de eeuw toe behandelen nog dezelfde stof als dit Liber Abaci.
De renteberekeningen, welke hij uitvoert, zullen wel aan de handelspractijk van dien tijd ontleend zijn.
Leonardo zegt2) :
Iemand leent 100 librae met als onderpand een huis (supra quandam domum). Voor 1 libra moet hij per maand 4 denariën
1) Tegenwoordig Bougie op de Noordkust van Afrika.
2) Liber Abaci fol. 115 recto. Uitgave Boncompagni p. 267.



rente betalen1). Per jaar betaalt hij „nomine pensionis" 30 librae2). Dit is gedeeltelijk aflossing van de hoofdsom, gedeeltelijk rente van de hoofdsom. Na hoeveel tijd is de leening afgelost en dus het huis vrij van hypotheek ?
1 Libra brengt in 1 maand 4 denariën rente op. Dat is dus 4 soldi op 1 libra per jaar.
(12 den. = 1 soldus). Deze 4 soldi zijn £ libra (20 soldi = 1 libra). Dus maakt de geldgever van 5 librae in één jaar 6 librae. (20% rente!). Daar de geldgever van 5 librae in één jaar 6 librae maakt, maakt hij van 100 librae in één jaar 120 librae. Aan het einde van het jaar betaalt hij 30 librae. Hiervan is dus 20 librae rente en 10 librae aflossing van de hoofdsom. Bij het begin van het tweede jaar bedraagt de schuld dus 90 librae. Aan het einde van het tweede jaar moet hij daarvan van 90 = 18 librae rente betalen. Hij betaalt aan het einde van het tweede jaar 30 librae. Hiervan dienen dus 18 voor rentebetaling en 12 voor aflossing. De schuld bedraagt dus aan het einde van het tweede jaar 78 librae.
Leonardo ziet nu zeer juist in, dat de aflossingsbestanddeelen een meetkundige reeks vormen met de rede 1 -+- i 3), want hij zegt:
De eerste aflossing is 10 librae, de tweede 12 librae. Deze staan tot elkaar als 5 : 6. De derde aflossing zal dus zijn •§- X 12 = 14-f librae.
De vierde aflossing zal zijn f-X 14f= 17-^ librae4). De vijfde aflossing zal zijn f X 17^-— 20^^ librae 4) en de zesde aflossing £ X 20^5" — 24fff librae 4).
-1) Hier wordt dus de Romeinsche gewoonte van maandelijksche rentebetaling toegepast.
2) Wij zouden zeggen een annuïteit van 30 librae.
3) i is de rentevoet van de eenheid van kapitaal.
4) In het Liber Abaci vindt men niet:
17,V: 20tVi : 24HI en 99*H maar ff 17; fff 20; f fff 24 en fff f 99.
Deze schrijfwijze is een overblijfsel van de oude stambreuken der Egyptenaren en bleef nog lang bewaard. Dit rekenen was verre van eenvoudig.
Een korte moderne uiteenzetting van het rekenen met breuken vindt men b.v. pas in de „l'Arithmetique" van Simon Stevin, 1585.
ff 17 wil zeggen 17 -K+tï-KV fff 20 wil zeggen 20 -J- f -|- f -)- f -f~ ,r 11 4" iJ -(- T^E.
ff ff 24 wil zeggen 24 -j- f -(- f -j- f -j- f -j- -J- enz.



De zes aflossingen bij elkaar zijn samen 99^-||- librae !). Er valt dus nog maar -|~ft op de schuld af te lossen.
Leonardo gaat nu nog na hoeveel dagen en uren het duurt, voordat ook dit bedrag afgelost is. Dit is al een vergevorderde renteberekening. Wij zijn hier reeds dicht bij de rentetafels. Wanneer zich in de practijk veel dergelijke gevallen voordoen, zal men er vanzelf wel toe komen, dergelijke tafels te construeeren. Wij hebben nu het bewijs dat in de handelshuizen in Italië omstreeks 1340 intresttafels bestonden.
Eerst nog even een ander voorbeeld, nu van samengestelde intrestrekening bij Leonardo Pisano. In hetzelfde werk schrijft hij 2):
Qvidam habuit libras 100; ex quibus quolibet anno de 4 faciebat 5 tam de lucro, quam de capitali; queritur quot ex eis in decem, et octo annis habuerit 
Leonardo vermenigvuldigt 100 achttien keer met en krijgt zoo de juiste uitkomst van ruim 5551 librae.
Wij komen nu aan de oudste geschreven intresttafels, die nog in ons bezit zijn.
In de Bibliotheca Riccardiana te Florence bevindt zich een manuscript eerst overgeschreven door Agnolo di Lotto dell' Antella en daarna door Filippo di Nicolaio di Frescobaldi te Florence in 1471 3). Het is oorspronkelijk een werk van Francesco Balducci Pegolotti en stamt uit ongeveer 1340. De titel is : „Libro di Divisamenti di Paesi".
Dit geheele werk van Pegolotti is overgedrukt in het derde deel van ,,Della Decima et di varie gravezze imposte dal Commune di Firenze Della Moneta en della Mercatura de' Fiorentini fino al Secoio XVI". Het is een vierdeelig werk, dat in de jaren 1765 en 1766 in 4° formaat zonder naam van auteur te Florence verscheen4). De auteur is Gian Francesco Pagnini del Ventura (of Volterra).
Deze Pagnini werd in 1715 te Volterra geboren, studeerde te
Zie noot 4 van pagina 8.
2) Liber Abaci fol. 138 verso.
3) Bibliotheca Riccardiana M. S. 2441.
4) Hoewel op het boek staat Lisbona & Lucca.



Rome in de rechten en vervulde verschillende ambten bij het Toscaansche gouvernement, o.a. dat van Cancellière della Decima1). Hij stierf in 1789 2).
Over Pegolotti weten wij niets meer dan hij zelf in zijn werk vertelt. Hij was commissionnair in dienst van het handelshuis Baldi te Florence. Van 1315, of misschien nog vroeger, tot 1317 woonde hij te Antwerpen en daarna te Londen. Van Mei 1324 tot Augustus 1327 was hij voor het handelshuis werkzaam op Cyprus. Hier voerde hij onderhandelingen om voor zijn landgenooten reductie van belasting te verkrijgen. De inwoners van Pisa behoefden n.1. minder te betalen dan die van Florence. Zijn onderhandelingen werden met succes bekroond.
In 1335 was Pegolotti nóg op Cyprus of hij was er wéér, want in dat jaar verkreeg hij privileges voor zijn firma, betreffende den handel op Aiazzo. Deze plaats op de kust van Klein-Azië tegenover Cyprus was vroeger ook bekend onder den naam Aias of Laias 3). In den Griekschen tijd heette die plaats Aega. Op Andrees Handatlas staat nog een stadje Ajas op diezelfde plaats aan de Golf van Iskenderun. Deze haven was vroeger zeer belangrijk voor den handel op Indië, die van hier verder over land ging.
In 1339 staakte het handelshuis Baldi zijn betalingen. Later is het weer op de been gekomen, want in 1345 ging het nog eens failliet.
Naar aanleiding van de historische feiten in het boek van Pegolotti medegedeeld, wordt dit werk gedateerd op ongeveer 1340.
Het geschrift zouden wij kunnen noemen een handboek voor den handelsman in die dagen, een soort handels-„Baedeker".
De schrijver vertelt bijzonderheden over de verschillende havens en landen, b.v. over de handelswaren welke geïmporteerd en geëx-
1) Een belasting.
2) Deze gegevens en ook de geschiedenis van Pegolotti kan men vinden in het derde deel van het werk van Sir Henry Yule, Cathay and the way thither. Cathay is de middeleeuwsche naam voor China. In dit werk wordt Libro di Divisamenti di Paesi vertaald als „Een boek van beschrijving van landen". Voor de vertaling van Divisamenti verwijst de schrijver naar een plaats in het boek van Marco Polo.
3) Bij Marco Polo.



porteerd worden, over de maten, gewichten en munten en over de handelsgebruiken, die in de verschillende landen bestaan.
Hij noemt de voornaamste handelsroutes van de 14e eeuw1).
De raadgevingen voor het reizen langs die routen doen ons grappig aan. Zoo moet b.v. een koopman voor een reis naar China zijn baard laten staan. In dit boek, dat al dergelijke practische dingen voor den handelsman vermeldt, bevinden zich ook intresttafels en wel voor de rentevoeten 1 %, 1 %, 2 %, 2^ % enz., opklimmende met y2 % tot en met 8 %. Elke tafel gaat echter niet verder dan 20 termijnen.
Het zijn tafels S^]2), dus slotwaarden. Over het gebruik en de manier waarop ze berekend zijn, wordt niets verteld.
De tafels geven telkens aan hoe groot een bedrag 100 bij een bepaalden rentevoet na 1, 2, 3 enz. tot 20 jaar geworden is bij berekening met samengestelden intrest. Deze tafels, welke voorkomen op fol. 191 en 192 van het manuscript te Florence, zijn dus de oudste samengestelde intresttafels, die we nu nog bezitten, maar deze tafels verschenen pas in 1766 in druk.
Tusschen 1340 en de eerste gedrukte tafels van Simon Stevin in 1582, ligt een heele tijd. Zeer zeker waren er in die 250 jaren handelskantoren, die geschreven intresttafels bezaten3).
Mijns inziens zijn deze tafels op de verschillende kantoren aldus ontstaan :
Men had bij een bepaalde berekening een intresttafel noodig. Voor dit speciale geval werd er dan een uitgerekend. Men zette de verschillende termijnen in een rijtje onder elkaar. Het blaadje papier werd na het gebruik opgeborgen. Waren er later nog meer termijnen noodig, dan zette men die er onder. Zoo kregen de kantoren op den duur intresttafels voor verschillende rentevoeten. Misschien kwamen de namen van de schuldenaren er wel op voor. Ze behoorden tot de administratie en men liet ze aan niemand zien.
1) O.a. de volgende : Van Asow naar Peking over Astrakan en door Turkestan; van de Middellandsche zeekust in Klein-Azië naar Noord-Perzië en van Trebisonde naar Noord-Perzië (Tabris).
2) ^ — (1 t)". i = rentevoet per eenheid.
3) Welke echter „als groote secreten by den ghene diese hebben verborghen blijven." Stevin, voorrede „Tafelen van Interest" p. 7.



Hieronder waren tafels 5^, en wellicht s— en ön x). Al deze geschreven intresttafels zijn verloren gegaan.
De boekjes voor het practische handelsrekenen vóór 1582 bevatten geen van alle intresttafels. Wel zijn er twee werkjes die er kleine stukjes van geven bij bepaalde opgaven. Hierover straks.
De twee bekende boeken uit het einde der 15e en de eerste helft der 16e eeuw, die de intrestrekening het uitvoerigst behandelen, zijn: De ,,Süma de Arithmetica Geometria Proportioni & Proportionalita" van Paciuolo en
de „General Trattato di nvmeri, et misvre di Nicolaio Tartaglia". Deze werken waren voor de kooplieden echter veel te ingewikkeld en hebben niet direct tot de practische kennis van de intrestrekening bijgedragen.
De „Summa", een van de eerst gedrukte wiskundeboeken, verscheen in 1494 en een nieuwe uitgave ervan zag het licht in 1523 2).
Een exemplaar van de 2e uitgave bevindt zich in de Economisch Historische Bibliotheek te Amsterdam 3).
In het gedeelte van de Summa, dat over de intrestrekening handelt, geeft Paciuolo een klein stukje waarin over het samenstellen van intresttafels gesproken wordt 4).
Ook het boek van Tartaglia, de „General Trattato" (1556—1560) bevat een zuiver theoretisch stuk over de intrestrekening met slechts
!> Sm = (!+'")"
A— = *
"i (1+0"
n — 1
sM==2-(1+')i 0
" 1
O— == ^ ^ | .y i = rente per eenheid.
2) Over Paciuolo, H. Staigmüller: Lucci Paciuolo, Zeitschrift Math. Phys. XXXIV. Hist. lit. Abth. p. 81—102; 121—128. Paciuolo is ook bekend onder den naam Luca di Borgo. Over de „Summa", B. Boncompagni: Atti dell' Accad. Pontificia De' Nuovi Lincei Di Roma. Tom. XVI, 1862/63.
3) No. 8790.
4) Fol. 174 verso van de editie 1523.



enkele eenvoudige opgaven. Van intresttafels is hier geen sprake. Een exemplaar van dit boek, dat uit twee deelen bestaat, bevindt zich eveneens in de Econ. Hist. Bibl. te Amsterdam *). In het eerste deel 2) komt een stuk voor dat over samengestelden intrest handelt: „Del meritar a capo d'anno".
Het begint met het volgende vraagstukje:
Tot welk bedrag groeit een kapitaal groot 300 lb. aan, wanneer het 4 jaar uitstaat tegen samengestelden intrest van 10 % 's jaars ?
Dit wordt op vijf verschillende manieren uitgerekend en de bespreking neemt zeer veel ruimte in beslag. De manieren ontloopen elkaar natuurlijk niet veel en het zou ons op het oogenblik zelfs moeilijk vallen, er nog verschil in te zien.
De eerste oplossingsmethode is de volgende :
Wanneer 100 lb. na één jaar aangroeien tot 110 lb., dan zullen 300 lb. na één jaar 330 lb. worden. Dit is de regel van drieën toegepast. Dezen gebruikt men nu nog drie keer.
100 lb. groeien na één jaar aan tot 110 lb., dus 330 lb. na één jaar tot 363 lb. De volgende twee stappen gaan net zoo en de uitkomst is 439 lb.
Als tweede „manier" neemt Tartaglia de volgende wijze van oplossen :
Wanneer 10 lb. in één jaar aangroeien tot 11 lb., dan zullen 300 lb. vermeerderen tot 330 lb. Dit laat zich nu ook weer drie keer herhalen.
De tusschenwaarden worden verkregen door telkens met 11 te vermenigvuldigen en daarna door 10 te deelen. Dan kan ik ook wel eerst vier keer achtereen met 11 vermenigvuldigen en daarna vier maal door 10 deelen. Dit is de derde „manier". Zoo volgen nog twee dergelijke manieren.
Met dit stukje is de intrestrekening bij Tartaglia voldoende gekarakteriseerd.
De renteberekeningen bij Leonardo van Pisa 3) stonden al op heel wat hooger peil. Het lijkt wel, of van de intrestrekening na 1340 weer veel verloren is gegaan. Hoogstwaarschijnlijk heeft het inzinken van den handel hier schuld aan.
*) No. 8830.
2) Boek XI Cap. X; p. 190 van het eerste deel.
3) Zie hiervoor p. 7 e.v.



Een schuld aflossen met gelijkblijvende annuïteiten is een vraagstuk dat later veel moeite zal geven en tot vergissingen en zelfs tot twist zal leiden. Wanneer wij dan zien wat Leonardo over renterekening reeds schreef, zijn wij geneigd te zeggen: „Hier had hij een betere oplossing gegeven".
Wij willen nog een vraagstuk dat bij Tartaglia voorkomt, ter sprake brengen. Het gaat over renteberekening bij gebroken tijdsduur 1).
Hoeveel wordt 400 lb. na 1 jaar en 6 maanden, wanneer ik samengestelden intrest reken van 20 % per jaar ?
Tartaglia zegt:
In één jaar is de rente 20 %, in 6 maanden dus 10 %, Eén jaar en 6 maanden zijn 18 maanden. Ik reken dus uit, wat 400 lb. worden, wanneer ik ze 3 halve jaren laat uitstaan tegen 10 % samengestelden intrest per half jaar. Antwoord: 400 X 1.103 = 532 £ lb.
Hier ziet hij dus niet in, dat 10 % samengestelde intrest per half jaar meer is dan 20 % samengestelde intrest per jaar.
In het volgende hoofdstuk is Tartaglia het niet eens met Paciuolo, Giovanni Sfortunati van Siena en Cardanus.
Volgens Tartaglia is 100 lb. bij samengestelden intrest van 20 %, na een half jaar aangegroeid tot 110 lb. Neen, zeggen Paciuolo en Giovanni Sfortunati, het is geworden:
109 lb. 1 B 9t»t gr.
Daar 20 B = 1 lb. en 12 gr. = 1 B, is het bovenstaande bedrag gelijk aan 109 TVlb.
Dit antwoord hebben de twee bovengenoemden verkregen door
120 lb. met 10 % af te renten, — 109 Tr^j-
Wanneer zij dus willen weten, hoeveel die 100 lb. na een half jaar geworden is, gaan ze als volgt te werk. Na één jaar is het 120 lb. Welk bedrag zal na 6 maanden bij een rentevoet van 10 % per half
120
jaar 120 lb. geven? Uitkomst lb.
Hetzelfde doet Cardanus als hij wil weten, hoeveel 100 lb. geworden is na iy2 jaar bij samengestelden intrest van 20 % per jaar.
1) Laatste opgave van hiervoor genoemde Cap. X.



Hij rent eerst 3 jaar op, 100 lb. X 1,103 — 172^ lb. en daarna 17? 4
neemt hij lb. = 157 lb. 1 & 9 ft gr.
Zijn Paciuolo, Sfortunati en Cardanus niet iets dichter bij de juiste oplossing dan Tartaglia? Deze drie toch zien in, dat bij samengestelden intrest, in het eerste halfjaar minder wordt opgebracht, dan in het tweede, al is hun oplossing niet de juiste.
Later zullen wij te spreken hebben over Jean Trenchant, die in de geschiedenis der intrestrekening een zeer belangrijke rol speelt.
Trenchant was hoogstwaarschijnlijk bekend met de werken van Tartaglia1). Nu is Trenchant de man, die een helder inzicht had in het rekenen met samengestelden intrest bij gebroken tijdsduur. Misschien heeft bovenstaande oneenigheid in het werk van Tartaglia hem over dit vraagstuk aan het peinzen gebracht.
1) Zie H. Bosmans: L'Arithmétique de Jean Trenchant; Annales de la
Société Scientifique de Bruxelles, t. XXXIII, 1908/1909. Second fascicule
Louvain (1909); p. 184 e.v.



HOOFDSTUK II.
Oude boeken over Koopmansrekenen in Italië en Frankrijk.
Thans volgt een bespreking van boeken over het practische koopmansrekenen, welke vóór 1580 hoofdzakelijk in Italië en Frankrijk het licht zagen. Het aantal hiervan was in de verschillende landen van Europa groot, maar wat er van bewaard bleef, is slechts luttel. Sommige van deze werken zijn de parel in de verzameling van den boekenliefhebber. De hieronder volgende zijn ons inziens voor de geschiedenis der intresttafels het belangrijkst. Enkele bevatten verschillende gegevens, tabellarisch gerangschikt, zeer nuttig in een tijd zonder tiendeelig muntstelsel en met allerlei eenheden voor maten en gewichten.
Een manuscript uit 1339 van Paolo Dagomari (uit Toscane) :
Trattato d' Abacco, d' Astronomia, e di Segreti naturali e medionali.
Dit manuscript bevat een gedeelte dat over koopmansrekenen gaat. Hierin komt o.a. voor, het oude procentteeken _p 100 lano en het teeken lb (lb.) *).
Een manuscript uit 1422, dat zich op het oogenblik in de „Plimpton library" te New York bevindt, van Giovanni, den zoon van Lucca di Firenze. Dit geschrift bevat o.a. vermenigvuldigingstafels 2).
In 1464 begon men in Italië boeken te drukken. Het eerste rekenwerk dat van de pers kwam, was „Het rekenboek" van Treviso door een onbekende geschreven. Van dit zeldzame werk zijn volgens Boncompagni nog maar acht exemplaren over3).
1) Smith: History of Mathematics I (1923); p. 233.
2) Smith: Rara Arithmetica; p. 443.
3) Atti dell' Accad. Pontificia De' Nuovi Lincei Di Roma, Tom. XVI, 1862/63.



Drie jaar later verscheen het eerste gedrukte boek over koopmansrekenen van Giorgio Chiarini:
Qvesto e el libro che tracta di mercatantie et vsanze de paesi, Florence 1481.
Een tweede uitgave van dit boek verscheen in 1498. Paciuolo heeft in zijn „Summa" heele stukken woordelijk uit dit boek overgenomen 1).
Het rekenboek van Pietro Borghi:
Qui comenza la nobel opera de arithmetica ne la qual se tracta tute cosse amercantia pertinente facta et compilata p Piero borgi da veniesa 1484. Hierin bevinden zich tafels van vermenigvuldiging. De opeenvolging van de behandelde stof is precies dezelfde als in alle latere „Arithmetiques": vermenigvuldigen, optellen, de regel van drieën, compagnieschap, „mangelinge", enz.
Een oude Italiaansche „Arithmetique" 2).
Calander Phil. De arithmetrica opusculum Firenze per Lor. de Morgiani et Giovanni Thedesco de Maganza 1491. Het is het eerste gedrukte rekenboek waarin afbeeldingen voorkomen. Een tweede eigenaardigheid van het werk is, dat op blz. 33 een deeling voorkomt, uitgevoerd op de nu nog gebruikelijke wijze3). De oude rekenboeken passen meestal een buitengewoon ingewikkelde manier van déelen toe. Een uiteenzetting van deze methode kan men b.v. vinden bij Tropfke4).
Van Calander zelf, weten we niets. Sfortunati noemt hem in zijn „Nuovo Lume"5) een geleerd man.
Een boek over koopmansrekenen, uitgegeven te Turijn in 1492. De schrijver is Francesco Pellos of Pellizzati, geboren te Nice. Hierin wordt voor het eerst een soort decimaalteeken gedrukt 6).
*) Smith: Rara Arithmetica, p. 11.
2) Beschreven in Smith: Rara Arithmetica, p. 268. Aanwezig in de Econ.
Hist. Bibliotheek te Amsterdam, No. 8780.
s) Staartdeeling.
4) Geschichte der Elementar-Mathematik, Band I (1930), p. 106 e.v.
B) Zie dit boek, p. 18.
6) Een punt. Zie Smith: History of Mathematics, II (1923), p. 239.
2



Summa de Arithmetica van Francesco Ghaligai, een rekenboek voor den koopman uit 1521. Dit werkje vermelden we, omdat van denzelfden schrijver in de Econ. Hist. Bibliotheek te Amsterdam 1) aanwezig is: Pratica d Arithmetica di Francesco Ghaligai Fiorentino Nuouamente Riuista, & con somma Di ligenza Ristampata. In Firenze MDLII. Voor de intrestrekening is dit werkje niet van belang.
Tagliente (Hier.), Opera che insegna a fare ogni ragione de mercatia et a pertegare le terre con arte giometrical. Intitolata Componimêto di arithmetica Congratia & preuilegio MDXXV.
De Econ. Hist. Bibliotheek te Amsterdam bezit een exemplaar hiervan2). Dit rekenboek is uitvoerig door Boncompagni beschreven 3). De titel, ook wat betreft indeeling en hoofdletters van no. 8800, stemt geheel overeen met het door Boncompagni behandelde. Eigenaardig is, dat blz. 8 verso van no. 8800 spellingsafwijkingen vertoont met het exemplaar, dat Boncompagni beschrijft. Deze blz. is echter gelijkluidend met de betreffende passage in de editie van 1515. De uitgave van 1515 heeft als titel Libro de abaco en vermeldt geen schrijver.
Tariffa de combie altro cöporta per zua manenti (Giovanni Manenti) Venetië 1534.
Tafels voor het omrekenen van verschillende geldsoorten zijn hierin opgenomen4).
Nuovo Lume Libro di Arithmetica Intitulato: Nuovo Lume im~ poche molte ppositio niche perattri autori: sono falsamête cöcluse: in questo si emêdano: & castigano: chon chiare: lucide: & aperte dimo strationi: molti bene di scusse, & ventillate. Cö vno breue trattato di Geometria per quato a vno pratico Agrimensore si conuêga, con tauole da comporre le corde: da misurare la tenuta di ciaschuna botte. & etiam li staggiuoli da misurare gli sce mi di quelle Composti
!) No. 8810.
2) No. 8800.
3) Atti dell' Accad. Pontificia De' Nuovi Lincei Di Roma. Tom. XVI, 1862/63, p. 304 e.v.
4) Smith: Rara Arithmetica, p. 174.



per lo acutissimo prescrutatore delle Archimediane & Euclidiane dottrine. Giovanni Sfortvnati da Siena MDXXXIIII !).
Giovanni Mariani, Tariffa perputua. Eerste druk, Venetië 1535.
Dit werk houdt in de eerste uitgebreide koopmanstafels, n.1. vermenigvuldigingstafels voor geld en werd vele malen herdrukt. Twee exemplaren van latere drukken bevinden zich in de Econ. Hist. Bibliotheek te Amsterdam n.1. no. 9460 van het jaar 1591 en no. 9461 zonder jaartal. Voorin staat met inkt geschreven 1516, maar dit kan moeilijk waar zijn.
Tomasino di Jacopino. Stradera del formente. Opera nuova, nelle quale si tratta il prezzo del formento di tempo, in tempo secondo il peso della stradera. Et quanta farina si caua d un sacco di formento, & quante tiere di pane affiorato, & da masseria d'un sacco di farina, secondo il peso. Modona 1544 2).
Het is mogelijk, dat hiervan nog vroegere uitgaven bestaan. Het boek bevat allerlei tafels voor den graanhandel.
Hoewel bovenstaande werken allerlei soorten tafels bevatten, komen in geen ervan intresttafels voor.
De eerste gedrukte intresttafels in Italië zijn bij mijn weten, van:
Torelli Giulio Cesare, Nuova inventione di tariffa, con la quale in un subito senza operare penna si puo vedere ogni ragione di conto . .. Perugia 1591.
In Lyon, het middelpunt van een grooten handel, welke in de 16e eeuw in Zuid-Frankrijk tot bloei kwam, verschenen o.a. de volgende boeken voor den koopman :
Estienne de la Roche, Villefranche. Larismethique nouellement composee par maistre Estienne de la roche dict Ville frache natif de Lyö sus le Rosne diuisee en deux parties dont la pmiere tracte des pprietes pfectiös et regies de la dicte sciêce: cöme le nöbre entier. Le nöbre rout : La regie de troys : La regie dune faulse position : De deux faulses positiös : dapposition et remotiö: de la regie de mediatiö entre le plus et le moïs: de la regie de la chose: et de la quatite des
x) Smith: Rara Arithmetica, p. 174.
2) Econ. Hist. Bibl. te Amsterdam, No. 9430.



pgressiös et pportiös. La secöde tracte de la practicque dicelle applicquee en fait de mönoyes: en toutes marchadises cöme drapperie: espicerie: mercerie et en toutes aultres marchadises qui se vendent a mesure au poiz ou au nöbre: cöpaignies et en troques: es chages et merites: en fin dor et dargent et en lavaleur diceux. En argêt le roy et en fin dargêt dore: Es deneraulx allyages et essaiz. tant de lor que de largêt. Et en geometrie applicque aux ars mechaiques cöme aux massons charpêtiers et a tous aultres besongnös en art de mesure Lyon 1520. Gedrukt bij :
Maistre guillaume huyon. Pour constantin fradin marchant et libraire da dict Lyon.
Estienne de la Roche werd ongeveer 1480 te Lyon geboren. Het bovenstaande is een van de uitgebreidste „Arithmetiques" die in Frankrijk in de 16e eeuw het licht zagen. Een groot gedeelte is gewijd aan de praktijk van den handelsman. De tweede uitgave van 1538 bevat tallooze tafels en draagt den volgenden titel:
Larismetique et Geometrie de maistre Estienne de la Roche dict Ville Franche, Nouuellement Imprimée et des faultes corrigée, a la qvelle sont adioustees les Tables de diuers comptes, auec leurs Canons, calculees par Gilles Huguetan natif de Lyon, Par lesquelles on pourra facillement trouuer les compte;s tous faictz, tant des achatz que uentes de toutes marchandises. Et principalement des marchandises que se uendent, ou achetent a la mesure, cöme a Laulne, a la Canne, a la Toyse, a la Palme, au Pied, et aultres semblables. Au poix, cöme a la Liure, au Quintal, au Millier, a la Charge, au Mare, et a Lonce, a la Piece, au Nöbre, a la Douzaine, a la Grosse, au cent, et au Millier. Auec deux Tables seruantz aulx Librayres uendeurs et acheteurs de papier. Ensemble une Table de despence, a scauoir a tant pour iour, combien on despêd Lan et le Moys, et a tant le moys, combien reuient lan et le jour, et a tant pour an, cöbien on despend tous les moys, ét a combien reuient pour chascun iour. Davantaige, les Tables du fin dor et dargent, pour scauoir (scelon que le Mare de billon tiendre daloy, ou de fin) combien il uauldra de poix de fin or, ou dargent fin.
On les uend .... lenseigne de la sphaere, cheulx Gilles et Jacques Huguetan freres. 1538. Gedrukt: A Lyon par maistre Jacques myt Lan.
In hetzelfde jaar kwam het werkje, iets gewijzigd, nog eens uit.



De naam de la Roche werd niet genoemd. Het verscheen onder den volgenden titel:
Les Tables de divers comptes, avec levrs canons, calculees par Gilles Hvgvetan natif de Lyon, Par lesquelles on pourra facilement trouuer les comptes tous faictz, tant des achatz que uentes de toutes marchandises, soit en gros, ou en detail, a la Mesure ou au Poix, a la charge ou au Nombre. Les Tables aussi du fin Dor & Dargent, pour scauoir, scelon que le Mare de billon tiendra de fin, audaloy, combien il uauldra de poix fin Or, ou Dargent fin. Deux Tables seruantz au Libraires. Et une Table de Despence, a scauoir a tant pour Jour, combien on despend lan 6 le Moys, & a rayson du Moys combien reuient pour an 6 pour chascun Iour, & a tant pour An combien on despend le Moys, & chascun Iour.
La maniere de Aualuer, ou Reduyre par icelles Tables toutes Monnoyes, en Iiures, solz & deniers.
Lart Ö science de Nombrer, Adiouster, Soustraire, Multiplier, & Partir, par le compte des Gectz.
On les uend a Lyon, a lenseigne de la Sphaere, cheux Gilles, & Iaques Huguetan, freres 1538.
Hierin zijn tallooze tafels opgenomen gelijk men ziet; voor het berekenen van inkoops- en verkoopsprijzen, voor het omrekenen van maten en gewichten, voor winst- en verliesberekeningen. Daar de intresttafels hier ontbreken, zijn wij geneigd te zeggen, dat men er omstreeks 1540 te Lyon nog geen behoefte aan had.
Van veel later is het volgende, merkwaardige boek :
Invention Nouvelle et admirable pour faire toute sorte de cöpte, tant de marchandise, comme de chager monnoyes, poids, mesures, de dinerse maniere, pour vendre et acheter, laquelle seruira en tout le monde auec grande facilité, sans getös ne plume.
Et la fin le moyen de metre vn exercit en bataille, de cent usques a quarante mille. Le tout nouuellement composé & mis en lumière par le Monte Regal Piedmonton, Professeur de Mathematique en 1'Vniuersité de Paris. A Lyon, II le vend en rue Mercière a l enseigne de la Sphere 1585 Auec priuilege du Roy1).
Het privilege dateert van 1581, maar Smith gelooft niet, dat het
*) Smith: Rara Arithmetica, p. 385.



werk eerder uitgekomen is, dan 1585 1). De schrijver deelt echter mede, dat hij een gedeelte van de tafels reeds in 1575 te Venetië het licht deed zien.
Het boek bevat een groot aantal tafels van vermenigvuldiging, tot 10 X 1000 toe.
Dus na de „Tafelen van Interest" van Stevin.



HOOFDSTUK III.
De „Arithmetique" van Jean Trenchant.
Stevin noemt, in de voorrede van zijn „Tafelen van Interest"1), Trenchant de eerste samensteller van intresttafels. Trenchant woonde hoogstwaarschijnlijk te Lyon. In elk geval verscheen in 1558 daar ter plaatse een werk van zijn hand, waarin voor speciale gevallen intresttafels gedrukt waren. Wanneer wij straks uitvoeriger op Trenchant en zijn werk terugkomen, zullen wij zien, welk een belangrijke rol deze schrijver in de geschiedenis der intrestrekening speelt.
Niet alleen Stevin wijst op hem, maar ook Wentsel in de voorrede van zijn „Proportionale Ghesolveerde Tafflen van intrest 1594 2).
Verder wordt Trenchant aangehaald bij Verkammen in diens „Waerachtighe Maendt ende Iaer-Tafelen ", 1620 3).
Even vinden we Trenchant vermeld in de „Arithmetique" van Mellema4). Dit boek bevat tevens een eerste begin van intresttafels 5).
Wanneer wij de boeken hierboven genoemd, welke vóór 1558 te Lyon werden uitgegeven, bezien, kunnen wij niet anders zeggen, dan dat de bodem daar zeer gunstig was om nu ook intresttafels te maken.
De „Arithmetique" van Trenchant heeft in de Nederlanden Stevin er toe gebracht voor het eerst intresttafels in druk te doen verschijnen; tafels, die veel algemeener waren, dan de voor speciale gevallen geconstrueerde tabellen van Trenchant.
1) Deze voorrede staat alleen in de editie van 1582 en 1590, niet in de Fransche van 1585, noch in de edities van 1625 en 1634.
2) Zie Van Haaften: De zestiende eeuwsche intresttafels van Stevin, Wentsel en Trenchant. Het Verzekeringsarchief, 1929, X, p. (99) e.v.
Uit de voorrede van het boek van Wentsel blijkt, dat er een vroegere druk verschenen is in 1587, die echter van veel kleiner omvang was.
3) Zie Van Haaften: De oudste geschiedenis der tafels voor samengestelden intrest in termijnen. De Verzekeringsbode, 55e jaargang, (1936), N° 5, p. 25 e.v.
!) Antwerpen, 1582—1586, p. 96 van het 2de deel. Het boek is o.a. te vinden in de Bibliotheek van het Friesch Genootschap te Leeuwarden, K. 51, pl. f 5.
5) Blz. 306 van het eerste deel.



De intresttafels, die na 1340 in Italië weer in onbruik raakten, zijn opnieuw in Zuid-Frankrijk ontstaan en hebben vandaar hun weg naar ons land gevonden 1).
Zooals wij hierboven reeds schreven, is Trenchant ook de vader van de intresttafels over gedeelten van jaren. Van samengestelden intrest bij gebroken tijdsduur had hij een zeer goed begrip. Vroeger spraken we reeds het vermoeden uit, dat hij dit indirect aan de Italiaansche schrijvers ontleende. Hieronder zal blijken, dat Stevin hem op dit gebied niet geheel volgen kon.
De volledige titel van het werkje, waarover wij al telkens spraken, luidt:
1'Arithmetique de Ian Trenchant. De partie en troys livres Ensemble. Vn petit discours de changes Auec L'art de calculer aux Getons. A Lyon Par Jan Trenchant, 1558. Avec Privilege du Roy.
Waren de gegevens over Pegolotti reeds poover, zoodat wij geboorte noch sterfjaar konden aangeven, wij weten tenminste waar hij in den loop van 1315 tot 1340 zooal geweest is. Over Jean Trenchant zullen we ons met veel minder tevreden moeten stellen. Waar hij vandaan kwam, waar hij geweest is, geboortedatum, sterfjaar, het zijn even zoovele vraagteekens. Wij kunnen alleen zeggen, dat hij omstreeks 1560 hoogstwaarschijnlijk in Lyon woonde.
Zijn „Arithmetique", voor het eerst uitgegeven in 1558 te Lyon, werd in een eeuw tijd tallooze malen herdrukt. Toch is er van dit werk maar een klein aantal exemplaren over. Den titel van den eersten druk gaven wij hierboven. In de literatuur wordt slechts één zoo'n eerste uitgave vermeld. Deze bevindt zich in de bibliotheek van het „Trinity College" te Dublin2). Een foto van de titelpagina staat afgedrukt in „Isis"3).
x) Tropfke zegt in zijn „Geschichte der Elementar Mathematik, deel I, p. 198 (uitgave 1930) dat de intresttafels zich van Italië over Duitschland naar Holland uitgebreid hebben. Hij voert voor deze uitspraak, die door geen enkelen schrijver gedeeld wordt, totaal geen bewijzen aan.
2) Zie Mededeeling van Eneström.
Bibliotheca Mathematica, 3e ser., t. 2, Leipzig, 1901, pp. 356, 357.
3e ser., t. 4, 1904, p. 215.
,. „ 3e ser., t. 5, 1905, p. 403.
3) Notes and correspondence. Query N° 38, Iean Trenchant, French mathe-



Toevallig hebben we gevonden, dat er nog een tweede exemplaar van deze eerste uitgave bestaat.
In het ..Bullettino di Bibliografia e di Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche da B. Boncompagni" *) vertelt Boncompagni waar zich exemplaren bevinden van het boek „Logistica" van Ioan Bvteonis.
De „Biblioteca Bodleiana" te Oxford bezit er hiervan een. Er achter nu, in hetzelfde omslag gebonden, zit een eerste druk van de „Arithmetique" van Jean Trenchant. Het titelblad komt precies overeen met de foto in „Isis".
In zijn artikel noemt Sarton als jaren waarin dit werk herdrukt is:
te Lyon 1561, 1563?, 1566, 1571, 1578, 1588, 1602, 1605, 1608?, 1610, 1618, 1631, 1643;
te Parijs 1617;
te Rouaan 1632, 1647, 1660, 1675?
Het was dus niet zeker of de uitgave Lyon 1563 bestaat. Mij is nu gebleken, dat deze editie wel degelijk het licht heeft gezien2).
Sarton deelt verder mede, dat het Britsch Museum een exemplaar heeft van den druk Lyon 1571, de ,,Library of Congress een van den druk Lyon 1578, de „Harvard Library" een van Lyon 1618.
H. Bosmans S.J. geeft in zijn artikel „l'Arithmetique de Jean Trenchant"3) een beschrijving van de editie Lyon 1602, die zich in particulier bezit bevindt4).
De schrijver zegt tevens, dat de Universiteit Gent een ,.Arithmetique" bezit van de Parijsche editie 1617, met hetzelfde aantal bladzijden als de uitgave Lyon 1602 en slechts onbeteekenende verschillen.
matician of the second half of the sixteenth century, „Isis", April 1934, N° 60, Vol. XXI (1), blz. 207. Het artikel is van G. Sarton.
*) Tomo XIII, p. 264 in de noot.
2) Zie dit boek, p. 27.
3) H. Bosmans: L'Arithmetique de Iean Trenchant. Annales de la société scientifique de Bruxelles, t. XXXIII, jaargang 1908/1909. Second fascicule. Louvain 1909, p. 184.
4) L'Arithmetique de Jean Trenchant, Departie en trois Liures Ensemble vn petit discours de Changes, Auec 1'art de calculer aux Getons. Reueuë & augmentée en ceste derniere edition, de plusieurs regies & articles, par 1 Auteur. A Lyon, Par Jean Degabiano 6 Samuel Girard, 1602, 8° 375 pag.



Sarton heeft alleen in handen gehad den druk Lyon 1618 van de Harvard Bibliotheek, titel:
L'Arithmetique de Iean Trenchant. Departie en trois Liures Ensemble un petit discours des Changes. Auec 1'art de calculer aux Getons.
Reueue & augmentée en ceste derniere edition tant de plusieurs regies & articles, par 1 Autheur, que d'une Table de poids de vingt deux Prouinces, correspondans 1'une a 1'autre. A Lyon chez Pierre Rigaud MDCXVIII (375 p.).
Sarton merkt hierbij op, dat de laatste toevoeging misschien reeds in vroegere edities voorkomt. Uit het artikel van Bosmans zien wij, dat deze toevoeging al staat in de uitgave Lyon 1602, behalve dan de gewichtstafel *).
Op 20 April 1929 is, ter gelegenheid van de 150ste jaarvergadering van het „Wiskundig Genootschap" 2) een exemplaar van de „Arithmetique" aan het genootschap ten geschenke gegeven. Dit werk bevindt zich, gelijk alle boeken van het genootschap, in de Universiteits-Bibliotheek van Amsterdam. Het geldt hier de editie Lyon 1610, met denzelfden uitgever en denzelfden titel als bovenstaande druk Lyon 1618. Het bevat eveneens 375 pagina's3). Dit boek heeft blijkens den ingepersten naam vroeger toebehoord aan G. A. Vorsterman van Oijen, te Aardenburg.
Volgens den catalogus van de bibliotheek van prins D. P. Boncompagni, I Rome 1895, p. 493, was ook hier een editie Lyon 1610.
De Plimpton bibliotheek te New York bezit een uitgave Lyon 1578 4).
1) Ook in de editie van 1563. Zie dit boek p. 27.
2) VanHaaften: Het Wiskundig Genootschap, P. Noordhoff, Groningen, 1923.
3) L Arithmetique de Iean Trenchant, Departie en trois Livres. Ensemble un petit discours des Ghanges. Avec 1'art de calculer aux Getons. Revue et augmentee en ceste derniere edition, tant de plusieurs regies et articles, par 1 Autheur, que d une Table des poids de vingt deux Provinces, correspondans 1 un a 1 autre. A Lyon Chez Pierre Rigaud, ruë Merciere au coing de ruë Ferrandiere, 1610.
In hetzelfde omslag gebonden zit een „Arithmetique" van Iaques Peletier. Van Haaften: Verzekerings Archief, 1929, X, p. (99). Zie noot 2) op blz. 23.
4) Smilh: Rara Arithmetica.



Een exemplaar van de editie Rouaan 1632, bevindt zich ook te Amsterdam, in de Econ. Hist. Bibliotheek, no. 8880 *).
Dit werk wijkt alleen in de spelling hier en daar af van het boek dat in het bezit is van het Wiskundig Gennootschap.
Wij zeiden hierboven, dat de editie 1563 werkelijk bestaat. Hierover bestond twijfel. Dit blijkt uit het werk, getiteld: „Bibliographie Lyonnaise. Recherches sur les imprimeurs, Libraires relieurs et fondeurs de lettres de Lyon au XVIe siècle. Par le Président Baudrier. Publiées et continuées par J. Baudrier."
Lyon Louis Brun et Paris A. Picard et Fils 1896.
Op blz. 101 van de „Deuxième Serie" wordt de uitgave 1563 vermeld, waarvan de heer Baudrier een exemplaar in bezit heeft.
L'Arithmetique de Ian Trenchant departie en trois livres, Ensemble Vn petit discours des changes. Avec L'art de calculer aux Getons. Reueue & augmentée de plusieurs regies & chapitres, par 1'Autheur. A Lyon, Par Michel Iove2), A 1'enseigne de Iesvs. M.D.L.X.III.
Gedrukt bij A. du Rosne 1563. 356 pag.
Hetzelfde boek geeft ook de titels van de edities 1566, 1571 en 1578, alle drie uitgegeven bij Michel Jouve3).
x) L'Arithmetiqve de Iean Trenchant. Departie en trois liures Ensemble vn petit discours des Changes. Avec 1 art de calculer aux Getons. Reueuë & augmentée, tant de plusieurs regies & articles, par 1'Autheur, que d'vne Table des poids de vingt-deux prouinces, correspondans 1'vn a 1'autre. A Roven chez Iean Baptiste Behovrt, ruë aux Iuifs, prés le Palais. M.D.C.XXXII (375 blz.).
2) Over Michel Jouve Deuxième Serie, blz. 83.
3) L'Arithmetique de Ian Trencihant departie en trois livres, Ensemble Vn petit discours des changes. Avec l'art de calculer aux Getons. Reueue 6 augmentée de plusieurs regies & chapitres, par 1 Autheur. A Lyon, Par Michel Iove, A 1'enseigne dv Iesvs M.D.L.XVI. Auec Priuilege du Roy. Gedrukt bij: Ambroise du Rosne. 1566. 356 blz. Dit werk is een nauwkeurige herdruk van de editie 1563. Ook van deze uitgave bezit de heer Baudrier een exemplaar.
L'Arithmetiqve de Ian Trenchant departie en trois livres. Ensemble Vn petit discours des changes. Avec l'art de calculer aux Getons. A Lyon, Par Michel Iove, M.D.L.XI (dit laatste jaartal is blijkbaar een drukfout in de „Bibliographie Lyonnaise", het moet zijn 1571, aangezien het werkje met vele andere boeken onder het hoofd 1571 staat). Een exemplaar van deze uitgave is in de „Bibliothèque Nationale" invent. V. 2067, Rés.
1'Arithmetiqve de Ian Trenchant Departie en trois liures Ensemble un petit



Het werkje van 1571 bevat de volgende opdracht:
„Dédicace: A studieuse damoyselles Marguerite et Claude Bullioud, filles de docte et vertueuse damoyselle Marguerite de Bourg, Dame de Gage, Ian Trenchant, Salut.
Blijkbaar was Jean Trenchant gouverneur bij deftige families.
Deze opdracht staat reeds in de eerste editie van 1558.
Er heeft wel eens onzekerheid bestaan over het jaartal van de eerste uitgave. In verschillende drukken (b.v. in die van Lyon 1610 en Rouaan 1632) staat de volgende opdracht1):
A tress illvstre et vertueux Seigneur, Monseigneur de Mandelot .... enz. enz.
Iean Trenchant Salvt.
I avois ces annees passees dressé vne Arithmetique, Monseigneur en laquelle i auois recueilly & mis par ordre, le plus conpendieusement qu'il m'estoit possible, toutes les regies requises, tant pour 1'vsage des marchans, maistres de monnoye, eluz, receueurs, tresoriers, finaciers, que des autres parties de Mathematique, & communs afferes en general, & par tout amené quelques exemples: & de fait auroit ia esté imprimée par deux fois. Voyant donc qu elle auoit esté bien receuë, & instamment encores requise de beaucoup de personnes, cela a fait que ie 1'ay reueuë, & derechef augmeratée de plusieurs regies & articles qui y pouuoyent estre desirez, afin d amasser en vn petit liure, pour le soulagement des studieux, ce qui est dispers en plusieurs: ioint que nous y auons adiouté plusieurs articles, qui n'auoyent encores esté écrits de personne: vous asseurant que qui entendra cete cy, 1 aura bien pratiquee, n aura besoin d'autres, pourueu qu'il sache appliquer noz articles a diuers suiets, ainsi qu'il est besoin. Et pour autant, mon-Seigneur, que vous estes amateur des Mathematiques, & specialement de cete partie, cöme tres-necessaire a toutes sortes d'offices 6 estats, & mesme aux grads Seigneurs qui ont charge des Republiques, Capitaines, & chefs de guerre, surquoy auons mis quelques exemples.
D auantage par ce qu vn chascun (pour 1'excellëce de voz vertuz, fidelité enuers le Roy, douceur & modestie enuers le peuple, & prudence en toutes
discours des changes. Avec L art de calculer aux Getons. Reueüe et augmentee pour la quatrieme edition, de plusieurs regies & articles, par 1'Autheur. A Lyon, Par Michel Iove et Iean Pillemotte. A 1'enseigne du Iesvs. 1578. Avec privilege du Roy. Een exemplaar hiervan is te Bordeaux, bibliotheek „Sciences et arts." N° 7178. Eigenaardig is, dat hier in den titel sprake is van een vierden druk, daar het toch de zesde druk is, die te Lyon verscheen. Van de edities die bij Michel Jouve uitkwamen, is het echter de vierde.
1) Blijkens het artikel van G. Sarton staat dit ook in de uitgave Lyon 1618.



vos affaires) vous aime, obeit & reuere, tendant a vous gratifier de toute son industrie & poimoir; I ay bien voulu de ma part, en signe de congratulation, vous dedier ce petit labeur mien: que si ie connois qu'il vous soit acceptable, cela me donnera occasion (si mes affaires le permettent) produire en bref, en faueur de vostre excellence, entre autres oeuures, vne pratique de Geometrie*), laquelle a mon auis ne sera moins agreable, que profitable & a vous & au public. Dieu m en doint la grace, 6 a vous mon Seigneur longuement & heureusement prosperer. De Lyon ce 9. de Iuillet 1557.
Uit dit jaartal zou nu volgen, dat deze opdracht al in den eersten druk van 1558 voorkomt en dat dus vóór 1557 reeds twee edities van de „Arithmetique" het licht zagen.
In het exemplaar van 1558 te Dublin2) staat echter de volgende opdracht:
A stvdievses damoyselles Margverite et Clavde Bvlliovd filles de docte & vertuese damoyselle Marguerite.de Bourg, dame de gage, Ian Trenchant S.
Apres auoir tresbien consideré, mes damoyselles, que les inuentions & bonnes sciences, dont toute vertu & consequêment toute vraye noblesse procédé, ne nous sont données de nature: ains par la prouidence diuine inspirées seullement a aucuns, en secrette condition de les communiquer liberalement aux autres. Me suys, pour cette cause, mis en deuoir d'ecrire (selon qu'il m'a esté donné d'en haut) certeins trettez & inuentions sur les matematiques, pour en fére part a vn chacun, & proffiter a la ohose publique, a laquelle i'ay singuliere affection. Entre lesquelz, m'a semble bon fére aler ce petit le deuant. Lequel en t'emoignage de la bonne volonté que 1'ay tousiours eue de vous fére honneur & service, comme aussi amateur de voz singulieres, et louables vertus: i ay voulu dedier a voz seigrieuries, esperat qu'il vous pourra grandement ayder a paruenir en toutes bonnes sciences: ausquelles par diuerses legons, & estude continuel: vous, comme bien nées & a toutes vertuz enclines, aspirez tresaffectueusement: en ensuyuant le vertueux train & bon vouloir de ma damoyselle vostre mere. Laquelle estant auiourdhuy tenue en admiration, & mise au reng des plus doctes, a tout son desir mis a vons rendre telles, & plus s'il est possible: pour fère son fruit par ce moyen immortel et parfet: & vous estre doublé mere. Assez bien cönoissante, q cöme il n'y a chose qui plus detienne 1'homme sauuage, brutal, & imhumain, qu'ignorace: aussi par le contrére, qu'il n'y a chose qui plus le rêdre parfet, excelent, & humain, que 1'amour & aprehension de Philosophie. A laquelle par le moyen de ce petit euure q ie vous presente, i'espere qu'aurez plus facile accés.
1) De mogelijkheid bestaat, dat er dus ook een meetkundeboek is van Jean Trenchant.
2) The Library Trinity College.



Vous pryant de laccepter, G le lire d'autant bonne affection, que i'ay eiie de le vous xendre facile, 6 ny rien oublier que i'aye peu connoêtre y pouuoir estre desiré.
De Lyon ce 4 d'Octobre, 1558.
De opdracht, gedateerd 9 Juli 1557 is dus waarschijnlijk van later datum. Is het jaartal 1557 misschien door een drukfout ontstaan?
Voor de beschrijving van de indeeling van het boekje volgt hieronder een gedeelte uit de voorrede van den eersten druk x). Hieruit blijkt dat het stuk over intrestrekening, zooals het in de uitgave Lyon 1610 staat, zeker ook al in de eerste uitgave voorkomt. De leeningskwestie van den Franschen koning wordt n.1. genoemd en hier omheen groepeeren zich de vraagstukken met intresttafels.
dont le premier (het eerste boek) contient 1'ordre de conter, la
sinification & valeur des figures de chiffre, nombrer tout nombre, ensemble les quatre principales operations qui sont ajouter, soustrére, multiplier, & partir tant en nombre entier, phisic, que rompu, auec plusieurs regies de pratique ou regies brieues, le fin de 1'or & de 1'argent, & aualuations d'iceux.
Le second contient par bel ordre les principales regies qui se font par le moyen dessusdittes operations: comme la regie de troys, rebourse, doublé, composée, conjointe laquelle avons ainsi nominée, des troques, de compagnye, des alyages, des monnoyages, & des fausses positions toutes lesquelles regies y avons amplement declarées. Et le troysieme enseigne ce qui est moins vulgaires, & toutesfoys qu'on pourroit, desirer d'avantage, tant pour le fait de marchandise que pour 1'intelligence & pratique des autres parties de mathematique: comme 1'extraction des racines quarrées, G cubiques, 1a doctrine des proportions, medietéz, 6 des progressions sur lesquelles avons trouvé & mis une invention pour continuer toutes les autres qui ne sont multiples: & consequemment montré a soudre plusieurs questions, méme certeins contes des banquiers enuers le Roy, & assez d autres, autrement ou sans cela insolubles. Outre plus, nous avons ajouté un petit discours touchant le fait des changes: ensemble la maniere de calculer avec les getons 
De inhoud van de eerste twee gedeelten verschilt niet met het behandelde in welke andere „Arithmétique" ook. De stof uit het Liber Abaci van Leonardo Pisano is precies dezelfde. Het derde
1) Zie ook H. Bosmans S.J.: 1'Arithmetique de Iean Trenchant, Ann. de la Soc. Scient. de Brux., t. XXXIII, 1908/1909, Sec. fascicule. Louvain 1909, p. 184.



deel is voor ons het belangrijkste, daar dit een stuk over intrestrekening bevat.
Chap. VIII, Livre III, gaat over ,,La progression Geometrique, 6 questions sur icelle." Hij behandelt hierin uitgebreid de meetkundige reeks en geeft aan hoe men lijstjes van getallen kan maken, die termen zijn van een meetkundige reeks, wanneer de eerste term en de reden gegeven zijn. Dit is dus al intresttafeltjes maken. De eigenlijke intrestrekening komt pas aan de beurt in Livre III, Chap. IX. Dit hoofdstuk kan men geheel vinden in „Het Verzekerings Archief", in modern Fransch overgezet, door Mevr. Van Wouden—Veldkamp1). Van deze „vertaling" zullen we gebruik maken en dus niet den oud-Franschen tekst afdrukken. De oorspronkelijke uitgave heeft in dit gedeelte vele drukfouten, juist in de getallen. In het artikel van Mevr. Van Wouden—Veldkamp zijn deze fouten met opzet letterlijk overgenomen2).
Trenchant geeft de volgende beschrijving van enkelvoudigen en samengestelden intrest en disconto:
Meriter (placer a intérêt) c'est donner ses deniers pour profiter (tirer profit de), a raison d'un tant pour livre ou pour 100 par an, demi an, quart d'an, par mois ou autre terme accordé. En fait de mérites, deniers et temps y sont inséparablement requis, car 1'un ne fait rien sans 1'autre. Toutefois ce chapitre n'enseigne qu'a calculer les mérites ou intéréts de quelque somme qui se payent aussitöt que le terme est échu, car cela se fait par une simple régie de trois, comme dans un chapitre précédent nous 1'avons suffisamiment exemplifié (expliqué); mais seulement pour calculer les intéréts qui sont demeurés a payer par plusieurs termes. Et de la vient que nous avons deux sortes de mérites, 1'un dit mérite simple et 1'autre mérite a chef de terme (chef bout fin; mérite a chef de terme = intérêt composé) et aussi leurs contraires a savoir démérite ou disconte simple et disconte a chef de terme. Mérite simple c'est quand le profit échu et demeuré a payer ne profite (rapporte) jamais rien, mais le principal seulement. Et mérite a chef de terme, c'est quand le profit échu gagne comme le principal. [Quant aux discontes ils seront déclarés par exemples ci-après chacun en leur ordre.]
Als voorbeeld van een opgave over enkelvoudigen intrest kan het volgende dienen:
x) Jaargang XI, 1930, p. (74) e.v.
2) Mevr. Van Wouden—Veldkamp geeft een „vertaling" van Chap. IX uit de editie Lyon 1610, het exemplaar van het Wiskundig Genootschap.



Een burger zet 678 lb. op enkelvoudigen intrest uit van 10%» Tot welk bedrag is dit kapitaal na 9 jaar aangegroeid? Evenals bij Tartaglia wordt dit vraagstuk van alle kanten bekeken. In zijn geheel willen wij overnemen vraagstuk 6 van Chap. 9, omdat Stevin in zijn „Tafelen van Interest" deze oplossing fout vindt. De bespreking zullen wij echter uitstellen tot het punt waar wij de oplossing van Stevin er naast kunnen beschouwen.
Si quelqu'un devait 600 livres a payer le tout au bout de 4 ans, et son créditeur le priait de les lui payer en 4 termes (a savoir au bout du premier an et clhacun des autres le quart en lui discontant simplement a raison de 12 pour cent par an), a savoir combien il lui faudrait payer ehaque année? Considère qu'il faut disconter pour un an, pour 2 et pour 3 ce qu'il avance. Donc pour 4 ans suppose 400; puis avise qu'un cent en principal et intérêt fait en un an 112 livres; en deux 124; et en trois 136; a ces trois sommes il faut ajouter le quatrième terme 100 qui ne mérite rien: elles se monteront a 472. Puis dis: si 472 viennent de 400, de combien 600. Tu trouveras 508 ff: dont le i a savoir 127 livres et 5:ïï est ce qu'il devrait payer par dhacun des 4 ans. Pour en faire la preuve:
regarde que 127profitent 15 par an; puisque le premier paiement profite par trois ans, il gagne donc 3 fois 15if ce qui est 45sf: par la même raison le second paiement gagne 30§£ et le troisième 15 . Ajoute maintenant tout le profit qui se monte a 9IJ} aux 4 paiements 508ff, il viendra 600 comme il fallait. Autrement pour savoir tout le gain, multiplie 15par 6, car les trois paiements gagnent par 6 termes, proviendra 91 f®.
In vraagstuk 10 geeft Trenchant voor het eerst een tafeltje van samengestelden intrest en wel het volgende1):
10000000 22264619 49420698
10833333 24120325 53539090
11736111 26130352 58000681
12714120 28307882 62834071
13773630 30572872 68070244
14921432 33220611 73742764
16164788 35880662 79887994
1752959 38870718 86545327
18971289 42109944 93757458
20552230 45619106
*) In dit tafeltje bevinden zich verschillende drukfouten. Zoo moet b.v. het 7e getal van de eerste kolom 16164885 zijn en het 8e getal 17511959. Het le getal van de tweede kolom moet zijn 22264916.



Het is een tafeltje van „den penningh 12" d.w.z. van elke 12 penningen 1 penning rente per jaar, dus een rentevoet van 8^- %.
Een bedrag van 10 000 000 wordt bij een rentevoet van &j%, wanneer ik met samengestelden intrest reken, na 1 jaar: 10 000 000 X 1,0833333, na 2 jaar: 10 000 000 X (1,0833333)-' enz. Het is een tafeltje van opgerente waarden (Sn ). Evenals in de tafeltjes van Pegolotti wordt hier uitgerekend tot welk bedrag een bepaald kapitaal aangroeit bij samengestelden intrest na 1, 2, 3 enz. jaar.
Stevin geeft juist tafeltjes van afgerente waarden (A^), dus het kapitaal, dat na 1, 2, 3 enz. jaar bij bepaalden rentevoet en samengestelden intrest tot 10 000 000 aangroeit.
Trenchant lost met dit tafeltje vraagstukjes op, waarbij ook berekeningen over gedéélten van een jaar voorkomen. De manier waarop Trenchant dit doet, draagt Stevins goedkeuring niet weg. Deze laatste is van meening, dat over perioden korter dan een jaar niet met samengestelden intrest gerekend mag worden. De Franschman echter, staat dichter bij de moderne opvatting. Trenchant redeneert als volgt:
Om te weten tot welk bedrag 10 000 000 is aangegroeid na 14 jaar, neem ik den Hen term (de le telt niet mee) van het lijstje, dat is 30572872. Wil ik de grootte van het kapitaal weten na 14-| jaar, dan neem ik het halve verschil van den 15en en den Hen term, dat is dus de helft van 2647739 of 1323869 en tel dat op bij den 14en term. Voor 1 maand doe ik hetzelfde met T'¥ van het verschil en voor 15 en 3 dagen voer ik dezelfde berekening uit met respectievelijk -fa en -j-J-g- van het verschil1).
Eigenlijk is dit toch niet nauwkeurig, zegt Trenchant. Als een kapitaal 100 op samengestelden intrest gezet wordt van 8^-%, dan zal dat in een half jaar geen 4-£- opbrengen, maar minder. Immers in het tweede half jaar geeft ook de 4^ rente. Om het precies te weten, moet ik de middelevenredige van 100 en 108,33333 nemen, dat is 104,08329. Om de rente over 3 maanden te weten, neem ik weer de middelevenredige tusschen 100 en 104,08329, dat is 102,02121 enz., enz.
x) Het jaar wordt hier dus op 360 dagen gerekend (dit gebeurde al veel vroeger).
3



Voor de renteberekening bij gebroken tijdsduur vermenigvuldigt hij het kapitaal dus bij een half jaar met (1 + i)1'», bij drie maanden met (1 i)'U bij één maand met (1 -)- i)1'». Door nu 10 000 000 achtereenvolgens met (1,083 )''12, (1.083)2'12 enz. tot (1,088)"'™ te vermenigvuldigen, krijgt hij het volgende tabelletje:
10000000 10066924 10134295 10202121 10270397 10339130 10408329 10477985 10548108 10618700 10689764 10761304
Dit geeft hem dus de grootte van een kapitaal 10 000 000 bij samengestelden intrest van 8^% na 1, 2, 3 ... tot en met 11 maanden toe. Wanneer hij nu de rente wil weten na 7 maanden en 15 dagen, is hij niet consequent. Hij neemt den 7en term en telt daarbij op het halve verschil van den 8en en 7en term en voor 3 dagen gaat hij evenzoo te werk.
Uit dit alles blijkt, dat Trenchant reeds aardig op weg was, een continue intrestrekening op te bouwen.
We zullen nu vraagstuk 14 en de volgende, die daar direct mee samenhangen, bespreken. Stevin noemt deze opgave in het voorwoord van zijn „Tafelen van Interest"1).
En 1'an 1555, le Roi Henri pour ses affaires de guerre, prenait argent des banquiers, a raison de 4 pour 100 par foire: c'est meilleure condition pour eux, que 16 pour 100 par an. En ce même an avant la foire de la Toussaint il re?ut aussi par les mains de certains banquiers la somme de 3954941 écus et plus, qu'ils appelaient le grand parti, a condition qu'il payerait a raison de 5 pour 100 par foire, jusqua la 41 ième foire; a ce paiement il demeurerait quite de tout; a savoir laquelle de ces conditions est meilleure pour les banquiers? La première a 4 pour 100 par foire est évidente, c'est a dire: on voit son profit évidemment. Mais la dernière est
x) P- 6.



difficile; de sorte que les inventeurs de cette condition la ne 1'ont trouvée qua tatons et presque avec un labeur inestimable. Maintenant je veux montrer a faire telles calculations légèrement (facilement) et précisément avec raison demonstrative facile a entendre, de la fa?on suivante.
Er wordt dus het volgende gevraagd: De koning leent 3954941 écus van de bankiers. Hij moet hiervan elk kwartaal rente betalen1). Na 41 termijnen moet de leening afgelost zijn. Wat is voor de bankiers voordeeliger: dat de koning per kwartaal 4 % rente betaalt en daarna ook de hoofdsom teruggeeft, óf dat hij 5 % rente betaalt per kwartaal en na 40 kwartalen alles afgedaan heeft en dus niet de hoofdsom teruggeeft.
Trenchant redeneert nu als volgt: Neem een schuld, groot 100 écus en de aflossing volgens het tweede geval. De koning betaalt dus 5 % per kwartaal en aan het einde vindt geen terugbetaling van de hoofdsom plaats. Vergeleken met het eerste geval geeft hij het eerste kwartaal 1 écu meer. Deze dient echter voor aflossing van de hoofdsom. Het tweede kwartaal lost hij op dezelfde wijze 1 écu van de hoofdsom af en bovendien brengt de écu van het vorige kwartaal gedurende een kwartaal rente op2). Omdat de heele leening na 41 termijnen afloopt, staat de eerste aflossing 40 kwartalen uit, de tweede aflossing 39 kwartalen, enz. Trenchant zegt nu zeer juist:
Indien de som van al die aflossingen met de daarbij gekweekte rente aan het einde van den 41 en termijn 100 écus (== de hoofdsom) bedraagt, dan zijn beide condities gelijk. Het is dus noodig te weten, hoeveel 1 écu + rente geworden is na 1, 2, 3 ... enz. kwartalen.
Hij geeft daarvoor de volgende intresttafel3):
10000000 13685690 18729812
10400000 14231311 19479000
10816000 14802442 20258165
11248640 15394540 21068491
11698585 16010322 21911231
12166529 16650735 22787680
12953190 17316764 23699187
13159317 18009435 24647155
1) Te Lyon waren vier jaarmarkten (= foires) per jaar.
2) Ook hier, neemt hij stilzwijgend aan, is de rente weer 4 % per kwartaal.
3) Ook hierin staan weer drukfouten. De 7e term moet zijn 12653190 en de 10e 14233118.



25633041 32433975 41039325
26658363 33731334 42680898
27724697 35080587 44388134
28833685 36483810 46163659
29987033 37943163 48010206
31186514 39460889
Het is een tafel S^, uitgaande van een bedrag van 10 000000. De écu van de eerste aflossing heeft 40 kwartalen rente gegeven en is dus waard geworden, zie ik uit de tafel, -f-jHjóoooo- De ^cu van de tweede aflossing heeft 39 termijnen rente gegeven en is dus aangegroeid tot een bedrag van -fo-g-g-^Üoo enz- Tel ik alle termen bij elkaar op en deel ik de uitkomst door 10 000 000 dan krijg ik het bedrag, dat de koning van de 100 écus hoofdsom heeft afgelost. De optelling geeft 998265338. Van de hoofdsom is dus terugbetaald 99 iVoVo^W- De uitkomst is iets minder dan 100, dus de eerste voorwaarde is gunstiger voor de bankiers.
Trenchant weidt nog verder over deze opgave uit: Gesteld, dat ik nu eens weten wil, hoe het elk kwartaal met de aflossing staat. Dan moet ik nog een ander tafeltje maken. De eerste term van de nieuwe tafel is gelijk den eersten term van de vorige. De tweede term van de nieuwe tafel is gelijk aan de som van de eerste twee van de vorige tafel. De derde term van de nieuwe tafel is gelijk aan de som van de eerste drie termen van de vorige tafel enz. enz.
Ik krijg dan:
10000000 200236865 529662844
20400000 218245300 560849338
31216000 236975512 593283333
42464640 256451116 627014667
54163225 276712281 662095254
66329754 297780772 698579064
78982944 319692003 736522227
92142261 342479683 775983116
105827951 366178870 817022441
120061662 390826625 859703339
134863504 416459066 904091473
150258044 443117429 950265132
166268366 470842126 998265338
182919101 499675811



Dit is een tafel s^1). Daar ze door optelling uit de tafel verkregen is, zonder dat daarin meerdere decimalen bepaald werden, zijn de laatste cijfers van de tabel s-r niet juist. Behalve dat, staan er ook nog drukfouten in.
Met behulp van deze tafel, zegt Trenchant, kan ik nu na elk kwartaal zeggen, hoe het met de aflossing staat. Uit den tienden term volgt, dat na het tiende kwartaal van de hoofdsom 100, 12ToWoV2öö is terugbetaald en dus nog 87^öVVooo- afgelost moet worden.
Er volgen nog een paar opgaven, die met behulp van dit tafeltje naar aanleiding van dezelfde leeningskwestie uiteengezet worden. De oplossingen zijn zeer uitvoerig. In de hierboven aangehaalde gevallen hebben wij ze eenigszins verkort, zonder aan den loop van het bewijs afbreuk te doen.
1) Ook Stevin geeft in zijn „Tafelen van Interest" dergelijke tabellen. Dit
zijn echter tafels a~\.



HOOFDSTUK IV.
De geschiedenis van de intrestrekening in de Nederlanden.
Wanneer Dr. H. Braun in zijn artikel „Vom Rentenbarwert zur Todesfallpremie (1671—1770)"*) de berekeningen van De Witt in zijn „Waardye van lyfrenten naar proportie van losrenten" (1671) in verband brengt met de „Tafelen van Interest" van Simon Stevin (1582), dan zou men hieruit de gevolgtrekking kunnen maken dat tusschen deze twee tijdstippen, die ongeveer honderd jaar uit elkaar liggen, in Nederland niets anders op het gebied van intresttafels verschenen is. Dit nu is in het geheel niet het geval.
Vóór 1600 is het aantal uitgegeven intresttafels in de Nederlanden klein. Wij kennen als schrijvers slechts Stevin, Wentsel en Van Coelen2). De eerste twee deelen mede, dat vóór hen de Franschman Trenchant intresttafels samenstelde3).
Het is voor de geschiedenis belangrijk even aan te halen wat Wentsel in zijn opdracht van de „Proportionale Ghesolveerde Tafflen van intrest" zegt4) :
„Ik heb oock in dese mijn tweede edictie willen ghedachtich wesen, die groote diligentie mijnder voorgangeren ende mede hulperen, die ic geensins en begheere in vergetentheyt te stellen. Als namentlycken die seer subtylen en sinryke Iean Trenchant, den welcken ick achte te wesen inventeur van de wortelen daer vuyt dat die proportien der Taefelen van Interest ghemaeckt zyn. Ende die zeer ervarene ende wel vermaerde Simon Stevyn, die ick beneffens den voornoemden Trenchant, seer estimeere ende laudere. Item C. I. Broessoon, die oock een fraey boexken aan den Interest heeft laten vuyt ghaen.
Oock hebben noch eenighe andere in cas van den Interest wat gheschreven? Als namentlicken: Gillis van den Hoeck5), Niclaes Tar-
1) Het Verzekerings-Archief. jg. I (1920), p. 129 ev.
2) Zie de volgende hoofdstukken.
3) Zie het voorgaande hoofdstuk.
4) Zie het hoofdstuk van Wentsel.
B) In Arithmetica, een sonderling excellent boeck leerende veel schoone ende perfecte regulen derselver Conste eenen yeghelijcken seer profijtelijck ende van



taglia, Pietrus Apianus, Adam Risen, Christoff Rudolf x), Valentyn Menher, Symon Iacop van Coburg, Pierre de Sovonue, Niclaes Pieterszoon van Deventer, Michiel Coignet, Hobbe Iacobszoon-), ende veel andere meer, der welcke diligentie ick niet gaerne en soude willen voorbij gaen.
Sonder eenighsins te vergeten noch viere seer constrycke ende vermaerde mannen, in Arithmetica, en int stuc vant reduceren der kusting brieven, als namelycken: D'eersame Mr. Gedion Fallet, Secretarius der Vermaerde Coop stadt van Amstelredam, D' eersame Ian Claessoon Cloeck, Coopman ende burgher der stede Amstelredam. Voorder Ian Muys Burgher tot Delft. Als oock Mr. Ludolf van Coelen, mede Burgher tot Delft. Alle zeer ervaren ende excelent in desen deele, alsoo ick dickwils van hen heb hooren seggen ende eens deels oock ghesien heb. Onaengesien ic doch noyt van hen niet inden druck ghesien en heb.
De namen van de hier genoemde wiskundigen zijn bijna alle bekend. Van geen van deze ken ik boeken die intresttafels bevatten, behalve dan van Van Coelen, maar deze zijn eerst in 1596 in druk verschenen.
Na 1600, neemt het aantal intresttafels, meestal opgenomen in boeken over het koopmansrekenen, zeer toe. Het getal boekjes, die
noode te weten. Wtghegeuen ghecalculeert en versaemt met grooter neersticheyt. By Gielis vandê hoecke. Op de laatste bladzijde: Gheprent Thantwerpen op die Lombaerden veste teghen die gulden hant ouer. By my Symon Cock. Int Jaer ons Heeren MCCCCC ende XIV den IX dach Februarij.
Het is het eerste boekje in Holland, waarin + en — teekens voorkomen. Voor het eerst verschenen deze teekens in het Duitsche boekje „Behêde vnd hubsche Rechnung auf allen kaufmanschaft". Pforzheim 1489, schrijver Johann Widman.
Het boekje van Van den Hoecke is te vinden in de Econ. Hist. Bibl. te Amsterdam No. 8785.
1) Christoff Rudolf geeft in zijn „Exempel-Büchlein" (1530 en 1540) de oplossing van een rentevraagstuk, waarbij de rentevermeerdering, telkens na één jaar onder elkaar gezet, aan een intresttafel doet denken. Zie Smith, History of Mathematics II, p. 241.
2) Met Hobbe Iacobszoon is hoogstwaarschijnlijk bedoeld Hobbe Jacobszoon Helmduyn. De Amsterdamsche Universiteits Bibliotheek bezit van dezen schrijver een defect rekenboekje uit 1569 (976 E 46). Dit boekje bevat op het gebied der intrestrekening niets nieuws. Titel: Rekenboek Tracterende van alderhade coopmanshandeling een yeghelick zo coopluyden als anderen zeer nut ende bequaem. Geordonneertt op Amstelredamsohe munte en ghewichte Door Mr. Hobbe Jacobsz. Helmduyn. Op nieus ghecorrigeert en verbetert door P. V. B. Ghedruct tot Amstelredam / by Cornelis Claess. Op 't water / in t Schrijf-boeck.



de intrestrekening behandelen en in de 17de eeuw het licht zagen, zal wel de 100 naderen. Men moet er echter rekening mee houden, dat vele van die rekenboekjes voor altijd verdwenen zijn en nooit een plaats in een onzer bibliotheken hebben weten te veroveren. Vele van die werkjes bevatten intresttafels.
Wanneer men deze boekjes wil opzoeken, stuit men op de volgende moeilijkheid. De titel van vele werkjes zal niet aangeven, dat aan de intrestrekening een groote plaats is ingeruimd, terwijl andere, die in de titelopgave aangeven de intrestrekening te behandelen, hierover slechts enkele algemeenheden ten beste geven.
Dit eerste geldt vooral voor oudere werkjes over rekenkunde, die den titel van Arithmetica of iets dergelijks dragen, terwijl de inhoud meer met dien van onze boeken over handelsrekenen overeenkomt.
De meeste van de in de boekjes opgenomen tafels steunen direkt op Stevin of van Coelen. Een goed voorbeeld hiervan is b.v. :
„De Arithmetica van Pieter Smits Fransoysche SchoolMeester tot Haerlem Verdeelt in vier Deelen met eenighe Tafelen van Interest, Die voor desen noch by niemandt uyt ghegeven en sijn"1).
In tegenspraak met den titel zijn geheele stukken uit de intresttafels woordelijk overgenomen uit Stevin's „Tafelen van Interest".
De tafels van Stevin, Wentsel en Van Coelen hebben ieder hun eigen cachet, wat nu niet van de tafels na 1600 verschenen gezegd kan worden.
Wij moeten hier direkt een uitzondering maken voor Verkammen en Ezechiël de Decker2). Hieruit volgt dus reeds voldoende, waarom wij aan het vijftal Stevin, Wentsel, Van Coelen, Verkammen en De Decker afzonderlijke hoofdstukken gewijd hebben.
Voor hen, die over de verdere oud-Nederlandsche intresttafels meer wenschen te weten, zij verwezen naar de artikelen en geschriften van Van Haaften en Du Saar3).
De hier volgende hoofdstukken geven een overzicht van de geschiedenis der intresttafels in de Nederlanden tusschen de jaren
1) Tot Leyden Ghedruckt voor Iacob Roels, Boeck-verkooper / wonende over het Wees-huys Anno 1635. Amsterd. Un. Bibl.
2) Zie het hoofdstuk Verkammen en Ezechiël de Decker.
3) Van Haaften: Gegevens voor de geschiedenis der intrestrekening in Neder-



1582 en 1630. Hieruit zal blijken, dat De Witt niet naar de tafels van Stevin behoefde te grijpen. Tallooze tafels stonden hem ten dienste, o.a. de zeer uitgebreide van Ezechiël de Decker.
larïH. De Verzekeringsbode, Jg. 40 (1921), p. 165 e.v.
Van Haaften : Leerboek der intrestrekening, p. 568—571.
Du Saar: Over een ouderwetsch boekje. De Verzekeringsbode, Jg. 39 (1920), p. 274 e.v.
Du Saar: Nog enkele gegevens voor de geschiedenis der intrestrekening in Nederland. De Verzekeringsbode, Jg. 40 (1921), p. 306.
Du Saar: Duyrcantius' Intresttafels. De Verzekeringsbode, Jg. 40 (1921), p. 359 e.v. en p. 371 e.v.
Du Saar: Over een oud rekenboekje (Ch. Hoornaert, Aritmetica ofte Rekenkonste). De Verzekeringsbode, Jg. 41 (1922), p. 152.
Du Saar: Feiten ten behoeve van de geschiedenis der intrestrekening in Nederland. De Verzekeringsbode, Jg. 41 (1922), p. 372.
Du Saar. Naar aanleiding van de geschiedenis der intrestrekening. De Verzekeringsbode, Jg. 41 (1922), p. 429.
Du Saar: Van der Schuere's Rekenboek. De Verzekeringsbode, Jg. 42 (1923), p. 12 en p. 19.
Du Saar: Het rekenboekje van Marten Wilkens. De Verzekeringsbode, Jg. 42 (1923), p. 261.
Zie ook Bierens de Haan: Bibliographie Néerlandaise, Rome 1883; en : Bouwstoffen voor de geschiedenis der Wis- en natuurkundige Wetenschappen in de Nederlanden.



HOOFDSTUK V.
De „Tafelen van Interest" van Simon Stevin.
De oudste gedrukte intresttafels voor algemeen gebruik geschikt, zijn de hierachter opgenomen intresttafels van Simon Stevin. We zullen straks gedeelten van dit werkje bespreken en den tekst in de verschillende herdrukken, die het licht hebben gezien, vergelijken. Vóór deze uiteenzetting willen wij eerst iets meedeelen over Stevin zelf en zijn werken. Meer uitgebreide gegevens vinden we in:
1. H. Bosmans S. J: Biographie Nationale, publiée par 1'Academie royale des sciences des lettres et de beaux-arts de Belgique, t. XXIII, col. 884—938. Bruxelles 1924.
2. Van denzelfden schrijver: Le mathématicien beige Simon Stevin de Bruges, (1548—1620). Periodico di Matematiche. Luglio 1926. Serie IV, vol. VI, n. 4 pag. 231—261. Bologna Nicola Zanichelli.
3. W. van der Woude en P. J. Blok: Nieuw Nederlandsch biografisch woordenboek. (N. N. B. W.) 5, 815—818. Hendrik en Simon Stevin1).
4. G. Sarton: Simon Stevin of Bruges. Isis, July 1934, No. 61, Vol. XXI (2), pag. 241 e.v.
5. Van denzelfden schrijver: The first explanation of decimal fractions and measures (1585). Together with a history of the decimal idea and a facsimile of Stevin's Disme. Isis, No. 65, Vol. XXIII, (1), June 1935, pag. 153—244.
6. De boeken en artikelen, welke aangehaald zijn in de geschriften, genoemd sub 1—52).
1) Hierin staat als jaar van uitgave der Tafelen van Interest, 1583. Dit moet zijn 1582.
2) Zie ook Busken Huet: Het land van Rembrand. Kort geleden verscheen er ook een populaire levensbeschrijving van Dr. Antoon de Saedeleer: Simon Stevin van Brugge. Uitgave de Reyghere, Brugge. (Z. j. uitgegeven in 1936).











Vooral op 1 zij gewezen. Hierin bevindt zich een uitvoerige en nauwkeurige bibliografie 1).
In geen der bovenstaande artikelen wordt echter vermeld de tweede vermeerderde Hollandsche uitgave der intresttafels Amsterdam 1590.
Tafelen van Interest, Midtsgaders De Constructie der selver, ghecalculeert Door Simon Stevin Brugghelinck. Nu op nieu ghecorrigeert ende vermeerdert deur den Auteur selfs. t' Amstelredam, Bij Barendt Adriaensz. Woonende Inde Warmoesstraat, int Gulden Schrijff boeck. Ao. MDXC2).
Wij hebben dezen druk alleen vermeld en beschreven gevonden in:
De Amsterdamsche boekdrukkers en uitgevers in de zestiende eeuw. Begonnen door E. W. Moes. Deel III, door Dr C. P. Burger. Uitgever, C. L. van Langenhuysen. Amsterdam 1910, pag. 290, 292.
M. van Haaften: De zestiende eeuwsche intresttafels van Stevin, Wentsel en Trenchant. Het Verzekerings Archief 1929, jaargang X., pag. (99) e.v.
Bij vele gebeurtenissen in het leven van Simon Stevin moeten wij de uitdrukkingen „ongeveer" en „niet vroeger dan" gebruiken.
Stevin was een man, die in het openbare leven weinig naar voren trad. De gegevens, die wij omtrent hem bezitten, zijn dan ook alle ontleend aan boeken van hemzelf of zijn zoon Hendrik. Hij was Zuid-Nederlander, immers in 1548 werd hij te Brugge geboren. In Antwerpen werkte hij als kassier en boekhouder op een handelskantoor. Later keerde hij naar zijn geboortestad terug als ambtenaar bij de financiën. Vooral deze eerste betrekking is voor de geschiedenis der intresttafels van belang. Op dit kantoor n.1. heeft hij misschien kennis gemaakt met die tafels, reeds lang vóór 1582 in manuscript aanwezig, maar daar als „groote secreten" verborgen gehouden. Zeer zeker leerde hij daar de tijdsbesparing kennen, die het gebruik van deze tabellen geeft.
Ongeveer dertig jaar oud verliet hij de Zuidelijke Nederlanden, maakte eerst reizen naar Pruisen, Polen en Noorwegen, woonde
1) Hiervoor ook: Bibliotheca Belgica, le Ser., t. 23. Gand. Onder Stevin. 1880—1890.
2) Amsterdamsche U. B., 976 F 26.



daarna in Middelburg en werd in 1581 burger van Leiden. Waarom hij Brugge verliet, is niet heelemaal duidelijk. Bosmans zegt1): „ paree qu'il n'avait pu obtenir la franchise des droits sur la bière". Behalve deze kwestie heeft echter ook de overheersching van de Spanjaarden in de Zuidelijke Nederlanden een grooten stoot hiertoe gegeven. Godsdienstvrijheid zocht hij in het Noorden niet, hij bleef katholiek, maar de vreemde overheersching had niet zijn sympathie.
De Tafelen van Interest, zijn eerste boek, schreef hij te Leiden, immers onder de voorrede staat Leyden 16 Julij 1582 en het boek is opgedragen aan de magistraten der stad o.a. den uit het beleg van Leiden bekenden Pieter Adriaansz. van der Werff2). 16 Februari 1583 liet hij zich inschrijven als student aan de Leidsche Universiteit. Ook doceerde hij hier theoretische en toegepaste wiskunde en telde o.a. Maurits onder zijn leerlingen. Zoo ontstond het eerste contact tusschen den prins en Stevin. Prins Maurits had een groote vereering voor den genialen wiskundige, dien hij later op allerlei wijze aan zijn persoon heeft verbonden. Van nu af aan verbeterde zijn positie zich steeds. In 1590 woonde hij te Delft en later in 's-Gravenhage. Wanneer weet men niet precies, in elk geval vóór 1600. In 1592 werd hij hoofdinspecteur van waterstaat, in 1593 ingenieur en kwartiermeester bij het Staatsche leger. Deze beide betrekkingen kreeg hij door toedoen van den prins. In 1600 stichtte Maurits een ingenieursschool, verbonden met de Leidsche Universiteit3). Stevin stelde het leerplan vast en gaf hier les. Hij doceerde niet in het Latijn, zooals gewoonte was, maar in het Nederlandsch, dat hem zeer na aan het hart lag 4). In de laatste jaren van zijn leven, werd hij door Maurits benoemd tot superintendant zijner financiën.
Op 64-jarigen leeftijd huwde Stevin met de veel jongere
a) Biografie Nationale de Belgique.
2) In de voorrede staat Pieter Arentss. van der Werf, maar volgens het N. N. B. W. V 1110 was in dien tijd de uit het beleg bekende Pieter Adriaansz. van der Werff, burgemeester van Leiden.
3) Eenigszins te vergelijken met de in 1794 te Parijs gestichte „Ecole Polytechnique Deze school telde onder haar leermeesters en leerlingen groote wiskundigen.
4) Zie daarvoor zijn „Vytspraeck van de weerdicheyt der duytsche tael" achter: „Beghinselen der weeghconst, 1586".



Chatarina Craey. Zijn financiën stonden hem waarschijnlijk toen eerst toe, dien stap te doen. Uit dit huwelijk werden twee zonen en twee dochters geboren. Frederik, de oudste (1613—1639), werd in 1629 student te Leiden en overleed daar als jurist op jeugdigen leeftijd.
Hendrik werd, toen hij 25 jaar was (14 Febr. 1639) als student te Leiden ingeschreven. Reeds daarvóór had hij diepgaande studiën over de werken van zijn vader gemaakt. Na zijn verblijf te Leiden, ging ook hij in het leger en werd op zijn beurt, door toedoen nu van Willem II, ingenieur en kwartiermeester in het Staatsche leger. In 1649 trok hij zich echter als particulier terug en wijdde zich geheel aan de nagedachtenis van zijn vader. Diens handschriften waren door zijn oudsten zoon Frederik en Catharina Craey niet zorgvuldig behandeld en daardoor verstrooid geraakt. Hendriks werk is het nu geweest, deze papieren zooveel mogelijk weer te verzamelen, waarin hij zeer goed, maar niet geheel is geslaagd. Aan hem danken wij:
Materiae Politicae. Bvrgherlicke Stoffen. Vervanghende Ghedachtenissen der oeffeninghen des Doorluchtichsten Hooghstghebooren Vorst en Heere Mavrits bij Gods Genade Prince van
Orangie, etc. Beschreven deur: Simon Stevin van Brugghe 
En uyt syn naghelate Hantschriften by een ghestelt deur sijn Soon Hendrik Stevin Ambachtsheere van Alphen.
Tot Leyden, Ter Druckerye van Ivstvs Livivs, tegen over d'Academie (1649).
Hendrik Stevin was in correspondentie met Christiaan Huyghens.
Tenslotte rest ons nog te vermelden de namen der twee dochters, Susanna en Levina.
In 1620 stierf Simon Stevin. Dit jaartal is tenminste aangebracht op een olieverfportret van hem, gemaakt door een onbekenden schilder en in het bezit van de Universiteit te Leiden. De plaats van overlijden staat ook niet vast. 's-Gravenhage en Leiden worden genoemd. Was het te 's-Gravenhage, dan hoogstwaarschijnlijk in zijn huis (nu Raamstraat 47) waarin zich ook een buste van hem bevindt. 6 Mei 1623 werd n.1. dit huis door zijn weduwe verkocht. Deze was inmiddels (28 Februari 1621) hertrouwd met Maurits de Viry (of de Virieu) en verhuisde met haar tweeden man in 1623 naar Leiden. Chatarina Craey overleed 5 Januari 1673.



Stevin was een wiskundige van groot formaat. Sarton noemt hem zelfs in het hiervoor aangehaalde artikel: „The most original man of the second half of the sixteenth century." Bij deze beschouwing zondert hij dan Galilei uit (1564—1642), daar deze hoort tot de eerste helft der zeventiende eeuw.
Voor de Nederlanden kunnen we Stevin noemen den wegbereider van de exacte wetenschappen. Dit niet alleen op theoretisch gebied, maar ook juist in de practijk der wiskundige vakken. Niemand vóór hem heeft deze zoo gepopulariseerd. Behalve de „Tafelen van Interest" heeft hij op het gebied van het practische rekenen geschreven over het boekhouden en het handelsrekenen en een uiteenzetting gegeven over een notatiewijze van een decimaal breukenstelsel. In verband met het boekhouden en handelsrekenen noemen we zijn: Livre De Compte De Prince A La Maniere
D'Italie 1608 i). Behalve dit werk schreef hij ook over
boekhouden in de „Verrechting van Domeine" dat opgenomen is in het op blz. 45 reeds genoemde boek „Materjae Politicae".
In „De Thiende" geeft hij zijn notatie van een tiendeelig breukenstelsel en gaat tevens na op welke wijze de hoofdbewerkingen met deze breuken verricht moeten worden. Dit werkje zag in 1585, waarschijnlijk tegelijk met de Fransche vertaling „la Disme", bij Plantijn te Leiden het licht. Deze Fransche editie is geen afzonderlijk deeltje, maar opgenomen in la Pratique d'Arithmetique, welk boekje zelden afzonderlijk voorkomt, maar meestal het tweede deel vormt van de L'Arithmetique 2).
1) Dit boek is hoogstwaarschijnlijk ook afzonderlijk in het Nederlandsch verschenen, maar hiervan zijn geen exemplaren bekend. De Nederlandsche tekst zal wel niet afgeweken hebben van den tekst in het vijfde deel der Wisconstighe Ghedachtenissen. Hier komt n.1. een stuk voor getiteld „Van de Vorstelicke Bouckhouding. Zie Dr. P. G. A. de Waal: „Van Paciolo tot Stevin, 1927, Roermond, J. Romen 6 Zonen. Dit werk behandelt de geschiedenis van het boekhouden. Bosmans: Biografie Nationale de Belgique.
2) Over „De Thiende" zie de hierboven aangehaalde artikelen van Bosmans en Sarton en verder N. L. W. A. Gravelaar: De notatie der decimale breuken. Nieuw Archief voor Wiskunde, tweede reeks Deel IV, 1906, blz. 54 e.v.
D. E. Smith: The invention of the decimal fraction. Teachers College Bulletin, n. 5. New-York, 1910—11.
M. van Haaften: De Thiende van Stevin. De Verzekeringsbode, jg. 40 (1921), blz. 73 e.v.



Dat hij de voorrede van de Fransche uitgave wat omwerkt, en bijvoorbeeld de opdracht aan de Leidsche burgemeesters weglaat, kunnen we begrijpen. Waarom noemt hij echter niet Trenchant als den vader der intresttafels, wat hij wel doet in de Hollandsche uitgaven ? Uit het bovenstaande maakt de lezer op, dat het idee van de tafels uit Holland komt. Stevin was wel wat chauvinistisch, hetgeen blijkt in zijn uitspraken over de Hollandsche taal, die hij de beste ter wereld vond. Is het hierom, dat hij overal in de Fransche uitgaven den naam Trenchant verzwijgt ?
Een onbelangrijke afwijking van den Franschen en Hollandschen tekst komt voor in Exempel 2 van Propositie 11).
Op blz. 23 staat na Exempel 6 een Nota, waarin voor den tweeden keer Jan Trenchant genoemd wordt. Dit voorbeeld, zegt Stevin, is genomen uit de „Arithmetique" van dezen schrijver. Den betreffenden tekst drukten wij af op blz. 32. De oplossing van Trenchant draagt Stevin's goedkeuring niet weg. Dit geheele gedeelte, Exempel, Nota en Constructie komt ongewijzigd voor in de tweede Hollandsche editie van 1590. Zelfs een drukfout2) op blz. 24 van de eerste editie, regel 4 v.o. werd niet verbeterd.
In de Fransche editie staat het volgende (uitgave 1585, blz. 61) :
EXEMPLE VI.
Quelcun doibt 600 lb. a paier au bout de 4 ans, 6 accorde auec son crediteur, des les paier en 4 paiements, a scauoir au bout du premier an vn quart, & au second an encore vn quart, & au troisiesme an encore vn quart, 6 au quatriesme an le dernier quart, rabatant interest simple a raison de 12 pour 100 par an, cöbien debura il paier a chascune année?
Nu volgt hierop direct:
CONSTRUCTION.
On verra quel argent on debourse selon ceste condition, que 1'on n'eust
1) „Tafelen van Interest", p. 15. In de Fransche uitgaven zet hij in de „Construction" tusschen haakjes dat hij den regel van vijven toepast en in den Hollandschen tekst zegt hij dat in de „Nota". De Fransche intresttafels zijn echter een deel van „La Pratique D'Arithmetique" waarin een groot stuk gewijd wordt aan het rekenen met evenredigheden en waar op blz. 37 ook de regel van vijven behandeld wordt.
2) Hier staat 105 lb., in plaats van 150 lb.



pas deboursé selon la premiere. Or doncques par ce que selon ceste condition on paie en vn an le quart de la somme montant 150 lb. rabatant, &c lesquelles on eust premierement paié selon la premiere condition en 3 ans apres; S'ensuit qu'on verra combien 150 lb. a paier en 3 ans, vallent argent comptant, & se trouve par le second exemple de ceste proposition 110 Tr,7 lb., pour la, premiere paie. Et pour semblable raison les 150 lb. vaudront en argent comptant sur 2 annees 120 |° lb., pour la seconde paie. Item les 150 lb. vaudront argent comptant sur 1 année 133 lb. pour la troisiesme paie. Mais paree que 1'on paie la dernière paie en telle condition comme estoit la premiere, il n'y aura de la mesme aucun interest, & fera de 150 lb.
Hier is dus de geheele aanval op Trenchant weggelaten.
We willen nu de oplossing van Trenchant1) en die van Stevin met elkaar vergelijken. Het blijkt dan, dat ze beiden gelijk hebben. Den uitleg dien Trenchant geeft vinden wij in onzen tijd niet heel duidelijk. Zijn redeneering „vertalen" we aldus :
Gesteld, dat ik aan het einde van vier op elkaar volgende jaren betalingen doe van telkens 100 lb. In het geheel wordt dit dus 400 lb. Als ik enkelvoudigen intrest bereken van 12 %, zal aan het einde van het vierde jaar de waarde van al die betalingen zijn, 136 lb. + 124 lb. + 112 lb. + 100 lb. = 472 lb.
Heb ik dus over vier jaar 472 lb. af te lossen, dan kan ik die schuld delgen met 400 lb., wanneer ik n.1. aan het einde van elk jaar 100 lb. teruggeef.
Ik moet echter over vier jaar een schuld aflossen van 600 lb. Dit geld kan ik terugbetalen met een som van X 400 lb. =
508ff lb., als ik n.1. aan het einde van elk jaar het vierde gedeelte of 127^ lb. aan den schuldeischer geef.
Deze „vertaling" is ook nog wel omslachtig, maar dit hebben wij gedaan, om geheel parallel te blijven met het betoog van Trenchant.
In het kort kunnen wij zeggen :
Trenchant lost de schuld van 600 lb., over vier jaar te betalen,
af, met de gelijkblijvende annuïteit . (waarbij i = 0,12).
4 —f— 61
Nu Stevin.
Hij begint eerst in de „Nota" (ed. 1582 en 1590) Trenchant
-1) Zie dit boek p. 32.



te bestrijden. Het blijkt, dat hij Trenchant niet goed begrepen heeft.
„Is dan te weten dat Trenchandt ondersoeckt wat dese 600 lb. ghereedt weerdich zijn / wordt bevindê 508 ff lb. welcks vierendeel 127 lb Hij zeght te wezen dat men op elck der vier iaeren zoude moeten betaelen."
Trenchant zegt niet, dat de contante waarde van 600 lb. over vier jaar te betalen, 508 ff lb. is, zooals we hiervoor gezien hebben.
Die 600 lb. zou „ghereedt weerdich" zijn, lb. of aan het einde
1 ,T:O
van het eerste jaar^^ lb. Immers dit verstaat Stevin, net als wij, 1,36
onder contante waarde.
Stevin begreep dus niet, hoe Trenchant aan bovenstaande gelijkblijvende annuïteit 127-^ lb- kwam. Ook in het vervolg van de „Nota" gebruikt Stevin de uitdrukking „ghereedt weerdich" foutief. Wat vindt hij zelf als uitkomst ?
In de „Constructie" blijkt, dat Stevin het begrip „ghereedt weerdich" in denzelfden zin gebruikt als wij contante waarde.
Stevin betoogt: De 600 lb., die ik over vier jaar schuldig ben, betaal ik af, door elk jaar 150 lb. terug te geven. De eerste aflossing, die aan het einde van het eerste jaar plaats heeft, komt eigen-
... 150
lijk drie jaar te vroeg en is dus „ghereedt weerdich" lb. =
110-iV lb.
De tweede betaling is op dezelfde manier „ghereedt weerdich" lb. = 1204t lb-, en de derde 133+1 lb.
1,24
De laatste betaling, die precies op tijd komt, wordt 150 lb. Nu het bewijs, dat zoowel Trenchant als Stevin gelijk heeft. Trenchant betaalt elk jaar de gelijkblijvende annuïteit
_600 600 600 600 /* = oi»
4 + 6«' 4 + 6i' 4 + 6i' 4 + 6i'
Stevin betaalt de jaarlijks wisselende bedragen
TXT-5 TTT-: 15°' (»= 0,12).
1 -f-3i 1 + 2t 1 +i Trenchant betaalt aan het einde van elk jaar een zelfde bedrag



(annuïteit), Stevin zorgt dat elk der betaalde bedragen een zelfde slotwaarde heeft. Zij vatten de afspraak tusschen crediteur en debiteur verschillend op, maar beide oplossingen zijn correct1).
Een opgave, ongeveer gelijk aan bovenstaande, behandelt Stevin al even vroeger, n.1. Exempel 4 van Propositie I (op blz. 17). Hierbij doet zich echter niet de moeilijkheid voor of van een al, dan niet gelijkblijvende annuïteit sprake is, want in de opgaaf staat, dat de schuldenaar elk jaar het vaste bedrag 56 lb. moet aflossen. Hij krijgt het antwoord langs twee verschillende wegen, waarvan de laatste doet denken aan dien van Trenchant.
Deze methode heeft hem blijkbaar na zijn aanval op Trenchant, bij het neerschrijven van Exempel 7 van Propositie II 2) nog beinvloed, want hij wil deze wijze van oplossen weer toepassen. De manier die bij de opgave van Trenchant goed is, geeft hier, in Exempel 7 mechanisch toegepast, een verkeerde uitkomst, daar heel iets anders gevraagd wordt.
Berekend moet worden de contante waarde (Stevin spreekt van ghereedt ghelt) van een gelijkblijvende annuïteit. Om nu den regel van drieën te kunnen gebruiken, neemt hij achtereenvolgens zes betalingen: 112, 124, 136, 148, 160, 172, waarvan de contante waarde 600 is.
Dit is echter geen gelijkblijvende annuïteit.
Een opgave met een gelijkblijvende annuïteit is ten tijde van Stevin dus wel een moeilijk vraagstuk. In de tweede editie evenwel, herstelt hij zijn fout volkomen en laat tevens zien, dat het bij dergelijke vraagstukjes gemakkelijker is, van intresttafqls gebruik te maken. In dit geval natuurlijk van enkelvoudige intresttafels. Wij laten hem zelf aan het woord in La Pratique d'Arithmetique (1585) blz. 62 e.v.
1) Slotwaarde bij Trenchant:
600 600 600 „ . ,. . 600 T+67(1 + 30 + (1 + 2,) +1+^ U+,) + 4+67 = 60°'
bij Stevin :
U + 3>) + -~T(1 + 2i) + ^(1 + i) + 1S0 = eoo.
2) Tafelen van Interest, p. 25.



EXEMPLE VII.
II y a 324 lb. a paier en 6 ans, a scavoir 54 lb. par an; Combien vaudront les mesmes en argent comptant, rabatant interest simple a raison de 12 pour 100.
Nota. Nous auions en la premiere impression (sans en faire particuliere demonstration) suiui en eest exemple la maniere de quelques autres, mais depuis il m'a esté di£t par quelcun qu'il y aucrit de Terreur, ce que trouuant veritable, nous 1'auons corrigé, & en donnons maintenant construction telle;
CONSTRUCTION:
On verra quel argent on débourse selon ceste condition que 1'on n eust pas deboursé selon la premiere, or doncques par ce que selon ceste condition on débourse 54 lb., qui estoient a paier en vn an apres, s'ensuit qu'on verra combien les mesmes 54 lb., a paier en vn an, vallent argent comptant, 6 se trouve par le precedent premier exemple de ceste proposition 48 T'T lb. Et pour semblable raison autres 54 lb. pour 2 annees, vaudront argent comptant 43 \\ lb. Et autres 54 lb. pour 3 annees, vaudront 37 lb. Et autres 54 lb. pour 4 annees vaudront 36 lb. Et autres 54 lb. pour 5 annees, vaudront 33 § lb Et autres 54 lb. pour 6 annees vaudront 31 lb. Et la somme desdictes six parties est pour solution 233 AVAWs lb. Et 1'abusée solution de la premiere impression estoit seulement 228 if lb.
Nota. Par ce que c'est operation labourieuse de faire pour chascun terme vne particuliere computation comme ci dessus, principalement quand il y a beaucoup des annees, on pourra faire des tables par lesquelles on soluera telles questions par vne seule operation, en ceste sorte :
Pour faire vne table de 12 pour cent, on prendra quelque grand nombre dquel le premier charactere soit 1, & tous les autres 0, comme par exemple 10000000 -1), que nous appellons racine de table. Disant 112 (a sgauoir capital 100 auec interest d'vne année) donnent 100, combien 10000000? faict 8928571, pour nombre respondant a la premiere année. Puis pour trouver le nombre respondant a deux années, on dira 124 (a sgauoir capital 100 auec interest de 2 ans) donnent 100, combien 10000000? faiêt 8064516, (nous ne prenons ici cure de la reste) lesmesmes aioustez a 8928571 font 16993087, pour nombre respondant a deux annees. Puis pour trouuer le nombre respondant a trois ans, on dira 136 (asgauoir capital 100 auec interest de 3 annees) donnent 100, combien 10000000 ? faict 7352941, le mesme aiousté a 16993087 faict 24346028 pour nombre
1) 10 000 000 is hetzelfde getal, dat ook Trenchant neemt, wanneer hij zijn intresttafels berekent.



respondant a trois ans. Et ainsi on procedera pour faire des années, autant qu'on voudra que nous auons continué iusques a 8 termes en ceste sorte :
Table d'interest simple dommageable, de 12 pour 100.
1. 8 9 2 8 5 7 1
2. 16993087
3. 24346028
4. 3 1 1 0 2 7 8 5
5. 37352785
6. 43166738
7. 4 8 6 0 1 5 2 1
8. 53703562
Or pour soluer la question de ce 7e exemple par ceste table on multipliera le racine de la table 10000000, par les annees de la question, qui est par 6, font 60000000; Puis on dira 60000000 donent 43166738 (qui est le nombre respondant a six ans.) combien 324 lb.? faict pour solution cöme dessus 233 AVüVïïVï lb- Car 1'autre estoit 233 lb. 2 fi 0 iYtVWVj gr., & ceste ci vaut 233 lb. 2 B 0 isjiVAVïï gr. qui ont tant seulement quelque petite difference de nulle estime, a cause que 1'extreme perfeCtion n'est pas aux tables, pour les restes qu'on delaisse en la construction 1).
Hier heeft hij de fout uit de eerste editie dus volkomen hersteld.
Hetzelfde doet hij ook in de tweede Hollandsche uitgave van 1590.
Alleen verzwijgt hij, dat in de eerste editie een fout is gemaakt2).
Er staat te lezen :
EXEMPEL 1.
Het zijn 324 lb. / te betalê binnê 6 jaren/ te wetê 54 lb. t'siaers. Vrage wat de selue weerdich zijn gereet geit / aftreckêde simpele interest tegê 12 té 100.
CONSTRUCTIE.
Men zal zien wat ghelt dat men nae dese conditie verschiet / dat men na v' eerste niet en soude verschoten hebben. Nu dan want men na dese conditie verschiet 54 lb. die te betalen waren binnen 1 iaer daernae/ soo moetmen sien hoe veel de selue 54 lb. te betalen binnen een iaer / weerdich zijn gereet ghereedt geit / ende wort bevonden deur het voor-
1) 1 lb. = één „Pond Vlaems" = 20 B of 6 Gulden.
1 fl = één „Schellingh" = 12 gr.
1 gr. = één „Grootje" = 8 „Penninghen".
2) Zooals hiervóór is medegedeeld, komen de verschillende Fransche teksten woordelijk met elkaar overeen.



gaende eerste exempel van dese propositie / 48 T\ lb. Ende om der gelijcke redenen sullen ander 54 lb / op 2 iaeren weerdich zijn gereet 43 lb. En de derde 54 lb. op 3 jaren 37 ib. En de vierde 54 lb. op 4 jarë 36 lb. Ende de vijfde 54 lb. op 5 jarè 33 i lb. En de laetste 54 lb. op 6 iaren 31 ü lb. En de somme der bouè schreuen ses partien is voor solutie 233 ïVïVïSVï lb.
NOTA.
Maer want dit moeyelijck is voor elck termijn een byzonder reeckeninge te maken / als hier boven / voornamelick alst van veel iaeren of termijnen is / soo machmen tafelen maken / deur welcke mê sulcx sal moghen solueren met een werckinghe aldus :
Om te maken eè tafel van 12 ten 100/men sal nemen eenich groot getal / waer af d' eerste letter sy 1 / ende al d ander 0; als by voorbeelt 10000000. t' welck wy noeme wortel des tafels; seggende 112 (te weten capitaal 100 / metten interest van een iaer) geuen 100, wat 10000000? compt 8928571 /als ghetal dienende voor t' eerste iaer? Aengaende het overschot / dat laet men verloren gaen / als van geender acht zijnde. Voorts om te vinden t' getal van 2 iaren / mê sal seggen 124 (te weten 100 capitael / metten interest van twee iaren) geuen 100 wat 10000000? compt 8064516/ de selue vergaert tot 8928571 / maken 16993087 / voor t' getal der twee iaren. Daer nae om te vinden het ghetal dre drie iaren / men sal segghen 136 (te weten capitael 100 / metten interest van 3 iaeren) geuen 100 / wat 10000000 ? compt 7352941 /'de selue vergaert tot de 16993087 / maken 24346028 / voor t' getal der drie iaren. Ende alsoo machmen voort varen met soo veel iaeren alsmen wil / welcke wy in dese tafel tot 8 termijnen veruolcht hebben / in deser voege.
Tafel van simpelen schadeljcken interest I van 12 ten 100.
1. 8 9 2 8 5 7 1
2. 16993087
3. 24346028
4. 3 1 1 0 2 7 8 5
5. 37352785
6. 43166738
7. 4 8 6 0 1 5 2 1
8. 53703562
Nu om deur dese Tafel te solvere de questie van die seuende exempel / men sal Multiplicere de wortel des tafels 10000000 / met de iaren daer questie af is / te weten / met 6 / maeckt 60000000 / daerna salmen-seggen / 60000000 gheuen 43166738 (t' welck het ghetal is ouercomende inde tafel tegen de 6 Jaren) wat 324 lb. ? compt 233 aya'svü lb. die doen 233 lb. 2 b 0 avsvüvi gr. en d' ander



solutie was 233 VVVtVtV» lb. doende 233 lib. 2 & 0 AVAVA gr- welcke solutien alleenlijck verschil hebben van een zeer cleyn ghedeelte van 1 gr. / dat van gheender achte en is / deur oorsaeck dat de uyterste volmaecktheyt inde tafel niet en is / om de resten die men int maecken der tafelen verloren laet.
In de latere uitgaven is Stevin van meening, dat hij Exempel 9 en 10!) niet juist heeft opgelost. Nu kan men bij deze twee opgaven verschillende antwoorden krijgen. Dit komt omdat er in beide gevallen van enkelvoudigen intrest sprake is en deze vormt nu eenmaal geen logisch sluitend geheel 2). De kwestie, die zich hierbij voordoet, was in vroeger tijd een prachtig object, om elkaar over aan te vallen.
Exempel 9 luidt als volgt: Wanneer iemand over 5 jaar 200 lb. moet betalen, met welk bedrag kan hij dan over 2 jaar deze schuld aflossen, wanneer met enkelvoudigen intrest van 10 % gerekend wordt 1 In zijn eersten druk berekent Stevin dit als volgt:
5 Jaar vroeger was deze schuld waard j^^ lb. (i — 0,10) en
2 jaar daarna dus ^ X (1 + 2i) = 160 lb. Neen, zegt hij in
den tweeden druk van 1585, wanneer wij op deze manier te werk gaan, zouden wij ook aldus kunnen redeneeren :
1000 Jaar vroeger was deze schuld waard t _^qqö~- en 997 ïaar
daarna is de waarde j ^qqq. X (1 + 997 i) = 199^lb. 3).
De juiste oplossing is de volgende, zegt Stevin :
Na 5 jaar is de schuld 200 lb. Wij willen de waarde na 2 jaar
weten, dus moeten wij 3 jaar afrenten. De uitkomst is ^00__
1+31
153H lb.
Exempel 10 wordt in de latere drukken ook volgens deze methode veranderd.
„La Pratique d'Arithmetique", 1585, blz. 65 e.v. :
*) „Tafelen van Interest", p. 26 en 27.
2) M. van Haaften : Leerboek der Intrestrekening § 8.
3) Eigenlijk staat er 199 T55°T lb., maar dit is een rekenfout.



EXEMPLE IX.
Quelcun doibt 200 lb. a paier en 5 ans; Combien vaudront elles en 2 ans, a interest simple de 10 pour 100 par ans?
CONSTRUCTION.
L'on soubstraira 2 ans de 5 ans, reste 3 ans, ausquels les dictes 200 lb. vaudront (par le 2e exemple de ceste proposition) 153 lb.
Nota. Nous auons corrigé en la construction de ce 9e & du suiuant 10e exemple Terreur de la premiere impression. Quant a ceux qui 1'estiment pour bonne, disans que ces 200 lb. valoient passé 5 ans 133 $ lb. les mesmes vallent en deux ans pour conclusion 160 lb. Ils errent, comme nous faisions quand nous le fimes ainsi; Car ie pourrois dire par mesme raison 200 lb. valoient passé 1000 ans lb., les mesmes vallent en 997 ans 199 xVr lb., de sorte qu il y auroit a rabatre pour 1'interest, seulement T\°r lb., mais selon 1'autre compte 66| lb.; ce qui est absurd. Doncques ces 200 lb. ne vallent pas d'auantage que 153 lb., mais qu'il ne vallent pas moins 1'aduersaire mesme le confesse, parquoi 153 lb. sont la vraie solution.
EXEMPLE X.
Quelcun doibt a paier en 3 ans 420 lb., & en 6 ans apres 560 lb. Combien vaudront ces deux parties ensemble a paier en deux ans, a interest simple de 10 pour 100 par an?
CONSTRUCTION.
Les 420 lb. a paier en 3 ans, vallent en 2 ans par le precedent 9 exemple 381 T9T lb. Et les 560 lb. a paier en 6 ans apres, qui est en 9 ans, vallent en 2 ans par lediÊt 9e exemple 329 r\ lb., lesquels auec lesdictes 381 fr lb., font pour solution 711 lb.
In de tweede Hollandsche uitgave van 1590 spreekjt Stevin heelemaal niet over de „fout" die hij in de eerste editie gemaakt heeft. Hier staat op blz. 24 e.v.:
EXEMPEL 9.
Een is schuldich 200 lb. te betaelen in 5 iaeren / wat sullen die weerdich zijn in 2 iaeren / rekenende simpelen interest teghen 10 ten hondert.
CONSTRUCTIE.
Men sal trecken 2 iaeren van 5 iaeren / blijft 3 iare / op de welcke de voor noemde 200 lb. weerdich sullen zijn (deur het tweede exempel van deze propositie) 153 lb.



EXEMPEL 10.
Eenen is schuldich binnen 3 iaren 420 lb. / ende binnen 6 iaren daerna noch 560 lb. De vraghe is wat dese partien weert zijn te betalen t' samen op 2 iaren / rekenende simpelen interest tegen 10 tè 100?
CONSTRUCTIE.
De 420 lb. te betalen binnê 3 iaren /zijn weerdich binnen 2 iare / deur het voorgaende 9 exempel/381 TST lb.: ende de 560 lb. te betalen op 6 iaren, daer nae I dats binnen 9 iaeren / zijn weerdich binnen 2 iaeren / deur het voornoemde 9. exempel / 329 T'T lb. welcke met de voorsz. 381 T®T lb. / maecken voor solutie 711 lb.
Wij kunnen de berekening van Stevin in zijn eersten druk niet zoo verkeerd vinden. Het is nu eenmaal de eigenschap van dergelijke vraagstukjes met enkelvoudigen intrest, dat ze verschillende oplossingen toelaten.
De vergissing, die Stevin echter hiervóór in opgave 7 maakt, is een echte fout. Eigenaardig is nu, dat H. Bosmans S. J. wijst op dwalingen, in den eersten druk van de intresttafels en dan de bovenstaande opgaven 9 en 10 noemt, terwijl dit geen eigenlijke fouten zijn. Over opgave 7 rept hij in het geheel niet !).
De bespreking van de tafels zelf kan kort zijn, want op blz. 31 e.v. zet Stevin heel duidelijk uiteen, hoe hij ze berekend heeft. Hij gaat steeds uit van een kapitaal 10 000 000 om breuken te voorkomen en introduceert hier dus niet zijn befaamde tiendeelige breuken (De Thiende 1585). Het is haast onnoodig te zeggen, dat bij het neerschrijven van de tafels dit idee telkens weer bij hem opgekomen is. Hij durfde hoogstwaarschijnlijk niet bij de eerste gedrukte intresttafels ook nog met de nieuwigheid van zijn tien-
1) H. Bosmans onder Simon Stevin in de Biographie Nationale, t. XXIII,
col. 884 e.v. Hij wijst hier op het feit dat de intrestrekening in vroegere
tijden zoo moeilijk gevonden werd en schrijft nu : „Stevin lui-même en est la
meilleure preuve. Malgré son talent, il lui arrivait de s'embrouiller dans la solution.
Temoin les raissonnements fautifs des exemples 9 et 10. Avec sa modeste habituelle 1 auteur reconnut plus tard lui même ses erreurs, dans la traduction frangaise de ses tables d'interêt, publiée dans son Arithmetique".



deelig breukenstelsel voor den dag te komen, bang, dat het den eenvoudigen lezer dan te ingewikkeld worden zou.
Om de contante waarde van een schuld, groot 10 000 000 over één jaar te betalen, bij een rentevoet van 1 % uit te rekenen, vermenigvuldigt hij de 10 000 000 met d.w.z. hij vermenigvuldigt eerst met 100 en deelt daarna door 101. Het zevende cijfer rondt hij naar boven af als de breuk, die bij de deeling ontstaat, ]/2 of meer bedraagt. Is dit niet het geval, dan wordt naar beneden afgerond. Bij de volgende tafels gaat hij op dezelfde manier te werk. Van blz. 35 tot en met 58 geven ze allemaal afgerente waarden („schadelicke interest"). Dit is ook het geval met de tweede tafel, die op elke bladzijde naast de eerste is afgedrukt. Het zijn tabellen a , en dus zóó uitgerekend, dat elk nde getal de som is van alle getallen 1 tot en met n, van de eerste tafel. Uit deze lijst kan men aflezen de contante waarde van een n-jarige annuïteit van 10 000 000, aan het einde van elk jaar te betalen. Eigenaardig is het, dat hij niet tabellen met opgerente waarden („profijtelicke interest") opneemt. Alleen op blz. 69 geeft hij voor een bepaalden
rentevoet zoo'n tafel S- en s . Om „confusie" te voorkomen, heeft n n I '
hij er maar niet meer van dergelijke opgenomen, zegt hij. Stevin vertrouwt zijn lezers blijkbaar niet genoeg om ze beide soorten tegelijk in handen te geven. Ze zouden dan wel eens, wanneer ze slotwaarden bij een bepaald vraagstuk noodig hadden, naar de tafel van aanvangswaarden kunnen grijpen. Veel begrip van intrestrekening kende hij zijn lezers niet toe.
In bovengenoemd exempel 6 wordt het volgende gevraagd : Wat is de slotwaarde van een bepaalde gelijkblijvende annuïteit na 12 jaren bij samengestelden intrest van 62/3 % 1) 1
Eerst rekent hij dit uit met een speciaal voor dit doel vervaardigde s^ tafel, maar hij is zeer blij, dat het hem gelukt is, een methode te vinden, om ook in dit geval aanvangswaarden-tafels te gebruiken.
Zijn methode is de volgende. Hij zoekt op de aanvangswaarde der 12-jarige annuïteit en rent dit bedrag 12 jaar op. Hiervoor kan hij toch de tafel An gebruiken. Een voorbeeld zal dit verduidelijken.
Op blz. 51 in de tafel „van den penninck 15" staat bij den
a) Tegen den penninck 15.



twaalfden termijn 4609515, d.w.z. dit kapitaal wordt bij dien rentevoet na 12 jaar 10 000 000. Nu kan ik met den regel van drieën elk willekeurig bedrag bij dien rentevoet 12 jaar oprenten. Het is een heele berekening op deze manier en Stevin vergist zich dan ook bij de laatste deeling. Tegenwoordig zouden we zeggen: „Zoo wordt de „confusie" nog grooter".
Bij de berekening van intrest over gebroken tijdsduur heeft Stevin het standpunt van Trenchant nog niet bereikt. Hij vindt zelfs x) dat de Franschman hier geheel verkeerd handelt en waarschuwt zijn lezers nadrukkelijk voor „het erreur", dat hij in zijn „Arithmeticque" heeft bemerkt.
Evenals vroeger wordt ook nu weer in de Fransche uitgaven de naam Trenchant weggelaten. De tweede Hollandsche editie van 1590 bevat hier denzelfden tekst als die van 1582 2). Hieronder volgt de Fransche passage :
Exemple II. (Deze stemt overeen met den Hollandschen tekst. Hierna volgt:)
Nota. II y a des aucuns qui comptent interest composé de partie d'année, ce que nous disons ne se pouuoir faire, dont la raison est telle: Tout interest composé consiste en deux interests, 1'vn du capital, 1'autre d'interest de terme escheu. II n'y a ici point de terme escheu, par quoi il n'y a point d'interest de terme escheu. Et par consequent il n'y a ici nul interest composé.
ITEM.
Tout interest composé ö prouffitable, est plus vtile pour le crediteur que interest simple. Cest interest n'est pas plus vtile pour le crediteur, que 1'interest simple, mais au contraire plus dommageable, comme ils vuellent. Ergo tel interest n est point composé.
ITEM.
Ils ne comptent point d'interest composé d'vne année entiere. Doncques de plus forte raison ne se pourra compter interest composé, de partie d'année. Nous concluons doncques qu'on ne peut compter interest composé de
*) Tafelen van Interest, p. 62 e.v. 2) Een enkel woord daargelaten.



partie de terme, a scauoir partie de terme qui consiste seule, sans aucun entier terme ou termes auec lui1).
Volgens Stevin kan men dus over tijden, korter dan een jaar, niet met samengestelden intrest rekenen. Een van de voornaamste redenen is wel de volgende. Samengestelde intrest over een gedeelte van een jaar geeft een kleinere uitkomst, dan enkelvoudige over denzelfden tijdsduur. Dit is nu niet mogelijk, want samengestelde intrest moet altijd meer opbrengen, dan enkelvoudige. Reeds vroeger merkten wij op, dat Paciuolo, Sfortunati en Cardanus ditzelfde beter inzagen, hoewel hun oplossing niet juist was 2). Ook Wentsel3) stond hier nog op het standpunt van Tartaglia en Stevin 4). Eerst Abraham Verkammen gebruikte de methode van Trenchant in zijn „Waerachtighe Maendt ende Iaer-Tafelen van Interest" anno 1620.
Kunnen wij in de laatste kwestie het inzicht van Stevin niet zoo bewonderen, het voor het eerst uitgeven van gedrukte intresttafels, maakt hem, die in de geschiedenis der exacte vakken al zoo'n belangrijke rol speelt, voor altijd tot een van de hoofdfiguren uit de historie der intrestrekening.
1) Hierna volgt Exemple III. Dit vraagstukje vertoont eenige afwijking met de overeenkomende opgave in de Hollandsche edities. Het verschil is onbelangrijk.
2) Zie dit boek p. 15.
3) Zie over Wentsel het volgende hoofdstuk.
4) Zie b.v. blz. 19 c.v. van de „Proportionale ghesolveerde Tafflen van intrest".
5



HOOFDSTUK VI.
Martinus Wentsel.
Het lezen van bovenstaanden naam roept in de geschiedenis der wiskunde niet herinneringen bij ons op zooals dat bij den naam Stevin en den hieronder volgenden Ludolf van Coelen het geval is.
Martinus Wentsel was dan ook van veel kleiner formaat. Toch speelt hij in de geschiedenis van het boekhouden 1) en in die der intrestrekening een rol.
De Amsterdamsche Universiteits Bibliotheek bezit van zijn hand een boekje, getiteld:
„Proportionale Ghesolveerde Tafflen van intrest Van de Kustingbrieven of te Rentebrieven, zij te betalen op terminen op vervolgende iaeren, ofte opt eynde des laetsten iaers van de brieven. Om stracx te connen sien sonder te behoeven veel chijfferens ofte rekenens, wat die gereet weert zijn. Met perfecte instructie hoe die taeffelen te verstaen zijn, op diversche exempelen verclaert ende angewesen.
Tweede Editie Door Marthinum Wentselaum Aquis Graniensis. t'Amstelredam. Ghedruckt bij Barendt Adriaensz. inde warmoesstraet int Schryfboeck" 1594 2).
Dit werkje dateert van 1594, maar blijkens de voorrede heeft Wentsel ook al in 1587 gedrukte tafels uitgegeven van veel kleiner omvang. Bij mijn weten zijn hiervan geen exemplaren bekend.
Daar hij dus hoogstwaarschijnlijk de eerste was, die na Stevin intresttafels in druk liet verschijnen, moet zijn naam niet vergeten worden. Daarbij komt nog, dat hij in zijn tijd nogal op den voorgrond getreden is. Zijn naam wordt genoemd in Dafforne's „The Merchant Mirrour" (1636) 3).
De Waal3), die van hem alleen een handschrift kent4), spreekt
*) P. G. A. de Waal: „Van Paciolo tot Stevin", 1927.
2) M. van Haaften. „De zestiende eeuwsche intresttafels van Stevin, Wentsel en Trenchant". Het Verzekerings Archief, 1929, jaargang X, p. (99).
3) De Waal, l.c„ p. 192.
4) Instrucsye op het Italiaens bouckhouden. Bibl. Technische Hoogeschool te Delft.



het vermoeden uit, dat Wentsel de boeken van Menher bestudeerd heeft. Zooals hieronder blijken zal, is dit vermoeden juist.
Over zijn leven is niets bekend. Uit de „Proportionale Tafflen" en het hier later te noemen „Fondament van Arithmetica" blijkt, dat hij achtereenvolgens in Rotterdam, Amsterdam en Middelburg woonde. Hij was in deze plaatsen schoolmeester. Uit de bijvoeging Aquis Graniensis volgt, dat hij oorspronkelijk uit Aken kwam.
Wentsels tafels zijn anders ingericht dan die van Stevin. De tafels A— geven direct de afgerente waarden van 1000 gulden in guldens, stuivers en penningen1). Begonnen wordt met 1 jaar, dan 2 jaar, tot en met 30 jaar. Ze zijn dus te vergelijken met die van Pegolotti. De tafels a—^ ontstaan bij Wentsel niet door het optellen van de verschillende A^'s, maar hij kiest een heel ander systeem. Voor 5 jaar geeft hij in zijn tafel a—^ de contante waarde van 5 achtereenvolgende jaarlijksche betalingen van 200 gulden (1 °6° °) • Voor 8 jaar de contante waarde van 8 jaarlijksche betalingen van 125 gulden (' °g00) enz. Wanneer hij nu vraagstukken met deze tafels heeft op te lossen, komt hij met deze tafels a-j voor moeilijkheden te staan.
Wentsel bezat een zeer vechtlustige natuur, een eigenschap, die hij met meerdere rekenmeesters uit zijn tijd gemeen had. Daarbij was hij stijfhoofdig, want gemaakte fouten wilde hij niet erkennen. Of begreep hij zijn fouten niet? Misschien was het ook wel om zijn aanzien als schoolmeester niet te doen dalen, dat hij zich schrap zette tegenover de meening van anderen. Ook Wentsel vergist zich met de gelijkblijvende annuïteit.
In de „Proportionale Tafflen" vinden wij op blz. 108 de volgende opgave:
Item een Man is schuldich 662 gul. te betalen ten eynde van 3 jaeren. Daernae accordeert hij met zijnen crediteur die te betalen in 3 payementen te weten ten eynde des eersten iaers een derden deel. Ten eynde des tweeden iaers noch een derden deel Ende ten eynde des derden iaers het leste derden deel. Alsoo allen iaers ghelijcken veel? De vraghe is hoe veel sal hij betalen op elcken termijn. Zoo men rekent ghecomponeerden Interest Teghens 10. ten 100. t'siaers?
1) Stevin laat bij alle berekeningen de breuken staan. Zie „Nota" op blz. 60 van de „Tafelen van Interest". 1 Gulden = 20 „Stuyvers", 1 „Stuyver" = 16 „Penninghen" = 8 „Duyten".



Antwoorde: Gaet op folio 41 inde 20 Taeffel By het tweede Jaer. Alwaer dat staedt 826 gul. 8 stuv. 14 pennin. ghereedt ghelt1).
Soo seght dan: 1000 gul. gheven 826 gul. 8 stuv. 14 pen. Wat gheven 220| gul.?
Dat is het derden deel van de voorschreven 662 gul. Facit comt 182 gul. 7 stuv. 5 tÈïï penningen. Daernae neemt voor v tghereede gheldt des eersten Jaers. Op folio 41 voorschreven. Als namelijcken 909 gul. 1 stuv. 4 pen. Segghende: soo 1000 gul. gheeft 909 gul. 1 stuv. 4 pen.
Wat gheeft 220 f guldens?
Facit 200 gul. 11 stuv. 15 IJ pen. Tot dese twee partijen dan addeert die derde ofte leste pay, de welcke onveranderlijck blijft naer beyde conditiën, als namelijcken 220 gul. 13 st. 5 J pen.
Somma: so compt te samen 603 gul. 12 st. 11 pen. Eyndelijcken overmits dese propositie ofte opgave vereyscht. Elcke Jaerlycxse paye ghelycken veel te wesen. Soo divideert die 603 gul. 12 st. 11 pen. in 3 deelen. Soo comt voor elcke paye die Somme van 201 gul. 4 st. 3J penningen.
Wentsel neemt dus de foutieve uitkomst:
/ 662/ 662/ \
(w + <ï+? +
inplaats van:
662
l+(l+«) + (l+i)2'
In dezelfde fout vervalt Wentsel op blz. 109 opgave 12:
Item eenen Heere heeft een Rente van 1000 gul. verschijnende ten eynde van 5 Jaeren. Die 1000 gul. nu begheert hij tonfanghen in 5 achtervolgende iaerlycsche payen Mids cortende ghecomponeerden interest teghens 3Vs ten 100 tsiaers dat is den Pennink 302). Doch hij begheert Jaerlijcx t'ontfanghen vuyt de gheheele masse Dat is: vuyt gheheel zijnen ontfanck van de voornoemde 5 jaeren een gherechte vijfde deel. De vraeghe is hoe veel sal hij jaerlijckx ontfanghen.
Antwoorde: Deeldt ten eersten die voorschreven 1000 gul. in 5 parceelen ofte deelen. Soo compt 200 gul. Voor elck deel, waer op dat ghy hier ten eersten v rekeninghe hebt te fonderen: om alsoo (door de hier aen volghende operatie) te sien wat die 4 iaerlijcxe payen (want de vijfde immobil blijft) haeren ghecomponeerden Interest afghecordt zijnde, zullen bedraghen?
Om dan ten eersten te sien, wat dat deerste paey der 200 gul. De
1) Tafel A~{.
2) „Tegen den pennink 30" wil, zooals bekend is, zeggen op elke 30 penningen kapitaal 1 penning rente.



welcke nae de tweede conditie ten eynde van 1 Jaer verschijnen sal. Als dan ghereedt weerdt wesen sal. Soo gaet op Folio 99. Dat is inde 78 Proportionale ghesolveerde Taeffel van Interest, Bij het vierde Jaer alwaer dat staet 877 guldens 1 stuyver 8 penninghen ghereedt gheldt. Wat gheeft 200 guldens?
Facit: 175 guldens 8 stuyvers 44/s penninghen. Ten tweeden soect het gereede ghelt van de tweede paye aldus neet voor v het gereede geit / twelc staet op de voornoemde 78 taffel van Interest, by het derde Jaer als namelijcken 906 gul. 6 st. 4 pen. Segghende 1000 gheeft 906 gul. 6 st. 4 pen. Wat gheeft 200 gul. Facit 181 gul. 5 st. 4 penningen.
Op dezelfde wijze rekent hij nu uit: voor »de derde
paye" uitkomst 187 gul. 6 st. lf pen. ^ voor >>de vierde paye"
uitkomst 193 gul. 10 st. 15-| pen. „De vijfde paye" blijft 200 gul.
Hij telt nu alles op *) en neemt van de som het vijfde deel. Voor de gelijkblijvende annuïteit vindt hij op deze wijze 187 gul. 10 st. Ify pen.
Hij gebruikt dus weer de oplossingsmethode:
/ 1000/ 1000/ 1000/ 1000/ \ i/ [ 's i te | h | LL _i_ 1000/ \
/5V(i+«r Mi+o3 mi+/)2+ i+i + l5J-
Over deze berekening is hij van verschillende zijden aangevallen. Ludolf van Coelen wijst hem zeer juist zijn fout aan2). Hij gaat hier echter koppig tegen in en geeft voor de juistheid van zijn bewering het volgende nietszeggende bewijs:
Ende ist dat ghy Curieus zijt, ende begeert te weten die somme van den Interest, die van elcke paye int particulier ende van alle payen int generael hier afghetrocken is. Soo treckt tghereede geit van deerste paey van 200 gul. Soo comt v den Interest die van deerste paey afghetrocken is.
Als namelycken Gul. 24 . 11 . 11 i
ende op sulcke manier sult ghy vinden van de tweede paey afgetrocken Gul. 18 . 14 . 12
Van de tweede3) Paey Gul. 12. 13. 14 f
ende van de vierde Paey Gul. 6.9. |
Den Interest doet tsamen Gul. 62 . 9 . 6 §
1) Uitkomst 937 gul. 10 st. 93/s pen.
2) Zie dit boek, p. 71.
3) Drukfout voor derde.



Daer toe gheaddeert den ontfanck als namelijcken 937 gul. 10 st. 9 | pen. Somma so compt wederom 1000 guldens als boven.
Zooals wij dus zien, telt hij de bedragen, die hij achtereenvolgens van de 200 gulden afgetrokken heeft, allemaal bij elkaar op en is dan tevreden met het „bewijs", dat dit alles samen met de resten der 200 gulden weer 1000 gulden wordt. Hiermede gewapend, voelt hij zich sterk genoeg, zijn aanvallers af te slaan.
NOTA.
Dese questie heeft wijlen Valentijn Menher, in zijn ghesolveerde questien onder zijnen regel van Interest ghestelt ghehat de welcke daer nae wtten name van Michiel Cognet Anno 1573 tot Antwerpen is ghedruckt gheweest ên in zijn Arimetique mede by zijnen reghel van Interest ghevoeght -1).
Ende doorsake nu dat ick dese selve questie alhier ghedachtich ben is omdat Meester Felix van Sambix School-meester tot Delft2) mij dese selve questie int Jaer 86 voorghestelt ende begheert dat ickse hem maken soude. Ende hy seyde, dat hyse wel conde maecken maar doch dat hyse niet en verstonde, dies ik zeer verwondert was, ouermits ick achte het verstandt voor het werck gaen moet ende niemant niet doen en can, dat hy niet en verstaet.
Soo heb ickse hem als doen ghedissolveerdt op die maniere als hier voorsz. is.
Doch alsoo hem de voornoemde Mr. Felix als doen (sonder eenich bewijs ter werelt by te brengen) verbalijcken teghens mijne voorsz. dissolutie opponeerde. Soo heb ick tselve al hier willen weder aanroeren ten eynde soo de voornoemde Meester Felix nu noch wat beters wiste hier voor te brenghen, dat mach hy doen want ick alletijts willich ende bereyt ben te leeren tgene daer ick ignorant van soude moghen wesen.
Meester Felix voelde dus blijkbaar ook, dat er iets niet in orde was. Er kwam echter een ander die het woord voor hem deed.
In 1596 verscheen Ludolf van Coelens boek „Van den Circkel" en hierin nam de schrijver den handschoen op. Een gedeelte van
x) Livre d'Arithmétique contenant plusieurs belles questions & demandes propres & vtiles a tous ceux qui hantent la Trafique de Marchandise composé par feu Valentin Mennher Allemand reueu, corrigé & augmenté en plusieurs, endroits par Michiel Cognet ensemble Vne ample declaration sur le fait des changes item Vne petit discours de bien et deüement disconter auec solution sur diuerses opinion y proposees. Antvers Iean Waesberghe 1573. Antwerpen Bibl. Plantijn.
2) Over Felix van Sambix kan men gegevens vinden in het Nieuw Nederl. Biogr. Woordenboek V, 652.



dit boek, „Van den Interest" getiteld, bevat intresttafels en verschillende rente-opgaven waaronder ook de hiervoor genoemde opgaaf van Wentsel. Van Coelen doet het op de manier ■ 1000 —c— x en krijgt als uitkomst 187 . 2 . 11" S i If" ')•
Menher en Cognet krijgen, behalve dat een cijferfoutje gemaakt is, ook de juiste uitkomst en wel door de onbekende x te stellen 2). Zeer terecht was Felix het met Wentsel niet eens, zegt van Coelen. De „konstighe Felix" werd dan ook geprezen. Wentsel bekende echter geen ongelijk. In 1599 verscheen er van hem:
T' Fondament van Arithmetica: mette Italiaensche Practijck 3) / midtsgaders d' aller nootwendichste stucken van den Reghel van Interest. Beydes in Nederduyts ende in Franchois met redelicke ouereenstemminghe ofte Concordantiën. Alles
Door Martinvm Wenceslaum AQVis granensem Midder-
bvrgh Symon Moulert 15994).
Hierin staan geen intresttafels. Elke bladzijde is in tweeën gedeeld en naast den Hollandschen tekst, vindt men de Fransche vertaling.
Op Fol. lil5) vinden wij weer dezelfde opgave6).
Item eenen Heere heeft een Rente van L. 1000 alle 5 Jaren, die wil hy ontfangen in 5 Jaerlicxsche Payen te wete alle Jaer ghelijcke veel. De vraghe is hoe veel dat hy Jaerlicx ontfanghen sal, soomen rekent 3* ten 100. t siaers van Interest, ende allen Jaers Interest op t'interest?
Facit L. 187 fl 10 gr. 1
*) Door een andere wijze van samenstelling der tafels Anï kan Wentsel niet zoo gemakkelijk aan die uitkomst komen. Zie dit boek, p. 67.
2) Met behulp van Cos.
3) Daar de verkorte titel genoemd wordt bij De Waal (l.c.) en bij Hagers, (Het boekhouden als wetenschap. Uitgave van der Laan, 's-Gravenhage, z. j.) rijst het vermoeden, dat beide schrijvers in de meening verkeeren dat „mette Italiaensche Practijck" het Italiaansch boekhouden bedoeld wordt. Het wil echter niets anders zeggen, dan dat er rekenkundige vraagstukken op een in Italië gebruikelijke wijze in opgelost worden. Zie Cantor: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. Zweiter Band (1200—1668), p. 232.
4) Amsterdamsche U. B. 967, C 16. De Plimpton Bibliotheek te New York bezit ook een exemplaar, Smith: Rara Arithmetica.
Zie ook Van Haaften: „De zestiende eeuwsche intresttafels van Stevin, Wentsel en Trenchant". Het Verzekerings Archief van 1929, jg. X, blz. (99) e.v. Het boek draagt ook een Franschen titel, die een vertaling is van den Hollandschen.
5) Eigenlijk 211, want de pagineering is in de war.
«) N° 23.



Hij kan nu de tafels niet gebruiken en berekent met den regel van drieën elke „paey". Voor de verschillende betalingen krijgt hij weer bijna dezelfde getallen, maar nu precies in breuken, uitgecijferd. In 1594 waren de uitkomsten door de onnauwkeurigheden van de tafel slechts benaderingen. Met al die groote breuken gaat hij nu nog eens op dezelfde wijze als vroeger zijn „bewijs" geven van de juistheid zijner beredeneering. Vóór hij met de berekening begint, zet hij het versje: „Hier op besiet het werck dwelc stom is Sal beantwoorden t'gheen dat erom is".
Na de berekening plaatst hij den volgenden oproep aan den lezer:
„Aenden goetwillighen ende onpartijdighen Leser.
Lieue ende wil beminde Onpartijdighe Leser/dese voorschreuen 23. Questie / heeft wijlen meester Valentijn Menher saligher in een Boecxken ghestelt / ende heeft aldaer Conclusie ofte voor het Facit ghestelt / de somme van L. 187. J3. 2. gr. 5j'WVVV. De selve Questie heb ick alsoo ghedruckt ghesien in een Boecxken onder des voornoemden Menhers name wtgheghaen / Anno 1584.
Doch in des Menhers Boeck/by zijn leuen anno 1565 x). wt ghegaen / vinde ick dat Menher dese selue Questie verhandeldt / ende voor Solutie ghesteldt heeft de Somme van L. 187. b. 2. gr. 1 1tVïVtV. Daer naer heb ick in eenen anderen Boeck ghesien anno 73 wtghegaen / onder den name van Meester Michiel Cognet / de seluighe Questie de welcke Cognet steldt voor Solutie der seluer Questien / de Somme van L. 187. .8. gr. — f ssf tst.
De selue Cognet / aldaer met een Nota verclarende / als dat den voornoemde Menher dese voorschreuen questie gesolueert heeft op verscheyden reysen / maer dat hy altijt gestelt hebbe 11. gr. en gedeelte /en hy Cognet / also hy daer verhaelt / gesocht hebbende doorsake van des Menhers faute: In desen ghevonden te hebben / dat / als Menher hadde L. 187.
2 AWtVt• Om da te resoluerë de tV/ïts't in gr- hy vergeten soude hebben van den denominator d'eerste figure 4. alleenlicken stellende IïItst de welcke gedeelten gheven (seght Cognet) dat Menher wiè 11 tVVVtV Soo veel verhaelt Cognet. Daer nae Anno 86 is my dese selue Questie gheproposeert / geworden (meer om my te berispen ende te verdrucken / dan om my te vorderen) van Meester Felix School-meester tot Delft: Den welcken ick de Solutie van dien/als doen stracx (ghelijck ickse oock hier ghestelt heb / ouerantwoordet hebbe:)
De selue Meester Felix (onaenghesien / alsoo 't ghebleken is) dat hy t' stuck selfs niet en verstondt (alsoo hy oock selfs seyde) heeft ghelijcke wel de voornoemde mijn Solutie (omdatse iuyst met des voornoemden
1) V. Menher: Pratique briefue pour cyfrer et tenir Livres de Comptes. 1550 en 1565 (Un. Bibl., Leiden, Econ. Hist. Bibl., A'dam).



Menhers Solutie niet en accordeerde) verbalicken wederstaen ende berispt / sonder ander bewijs ter werelt voor te brenghen.
Dit ds alsoo verbleuen totten Jare 94 toe. Soo is ghebeurt dat wij een boecxken hebben laten wtgaen / geintituleert Proportionale Ghesolueerde Tafelen van Interest1). In twelcke boecxken / dat wy dese voornoemde des Menhers Questie mede by ghevoecht hebben / ten eynde / dat: Indien de voornoemde Meester Felix / als noch eenich bewijs wiste by te brenghen / stonste hem vry / ende indien niet: So was de selve onse Solutie ghestelt/ten oordeele van allen verstandighen ende onpartijdigen Rechteren/ende dat is also verbleuen geheele 10. jaren lanc/dat wy daer niet meer van ghehoort en hebben. So is ons ten lesten ter hant gecomen eenen boeck/geintituleert van den Circkel/daer in gheleert wert te vinden de naeste proportie des Circkels Diameter teghen synen omloop/etc.
Deses boecx autheur heb ick tot Delft gehouden (want ic anders niet en wiste) als voor mynen goeden ende getrouwe confrater ende specialen goeden vrient: also veel als ick als doen wt sijne woorden ende wt zijn ghelaet conde verstaen ende mercken / soo dat ick seer verwondert was / als ick in voorn, sijnen boeck lase inde 99. questie / op folio 94. en 95 dese selue questie / int lange en int breede verhandelt den voorsz. Meester Felix een schoone en fraye varue aenstrijckende / en my ter contrarien geheel leelijc en swart makende / om my also stinckède te maken voor de gheheele weirelt / sonder dat ic hem oyt int minste / met woorden oft met wercken oft met gedachten misdaen hebbe.
Doch voor ende eer ick deses voors. autheurs boeck ter hant creech / so was al tgheruchte hier tot Middelborch /ter plaetsen mijnder tegenwoordige habitatien. Ende de blamatie ouer my wyt gebreydet / door den dienst van eenen des voornoemden Meester Felix consorten / oft vrienden / tselue meer verdubbelerende dan verbeterende.
Dus machmë sien int hier aenvolgende verhael / hoe fraey dat dese ghesellen met malcanderen accorderen / ofte ouer een stemmen ouer de vooornoêde questie van wijlen Valentijn Menher.
De voornoemde Meester Felix / die my aenvanckelijcken het twist vier ghestoct ende t' venijn gebrocht heeft. Seyde my selfs dat hy de questie niet en verstande / ergo. Nihil fiat, dan dat hy slechs den roervinck was.
Ten tweeden: Valentijn Menher / wesende propositeur vande voor noemde questie/stelt voor solutie de somme van L 187. B 2. gr. 5.tWVtV-
Meester Michiel Coignet comt daer nae en seght dat hy des Menhers faute verbetert heeft / en dat de solutie behoort te wesè de söme va L 187 fl. 2 —roltli ■ Daer nae comt de ghene/de welcke in zijnen boeck te verstaen geeft / dat hy de naeste proportie des Circkels Diameter tegen zijnen omloop leert vinden. Die schrijft in zijnen voor noemden boeck op folio 95. met eenen dubbele sin. Want hy seght dattet Menher door regula Cos/oprecht gesolueert heeft/ende met eenen soo schrijft hy ooc dat de selue Menher oock selfs in de voornoemde questie een
Hij spreekt hier niet van een vroegeren druk (1587).



Letter int gebroken versien heeft / ende gelijcke wel soo schrijft hy oock aldaer met eenen / dat men niet en behoort de lofwerdighe mannen / de welcke in dese heerlijcke conste/veel schoone dinghen beschreuen / ende int licht gebrocht hebben / te berispen sonder eenige bewijsreden ofte verbeteringhe van haerlieder werck etc.
Dus soo bestraft my den desen / als oft ic den goeden en constrijcken / wijle Meester Valentijn Menher berispt hadde/doch de conscientie vandè voornoemden Meester Felix / en van zijnen onder-meester Meester Cornelis ghenaemt / dien hy als doen hadde / moeten my contrarie ghetuyghen. Want ic hen als doen seyde op verscheyden reysen / als dat ic meer geloofde / dattet inden Druck versien was / dan dattet door des Menhers faute soude wesen / hoe can dan iemant geseggen dat ick den Menher voorsz., daer in berispt soude hebben?
Dus soo connen alle onpartijdighe rechters lichtelijcken verstaen en oordeelen met wat geest dat desen gedreuê wort/de welcke my soo schandelijcken beschuldicht en bestraft / als oft ic eenige lofweerdige mannè berispt hadde welcke in dese heerlijcke constë veel schoone dingen beschreuen / en int licht gebrocht hebben daer hy doch int minste niet / noch stof noch materie niet toe en heeft om sulcx te bewijsen.
Dus soo sullen wy het contrarium bewijsen. Want hy schrijft op folio 95. van zijnen voornoemden boeck/hoe dat Menher dese selue questie / door den reghel Cos / oprecht ghesolueert heeft / wt gesödert (segt hy) dat hy eè letter int gebroken versien heeft te setten. Merckt: hy wil aldaer den Menher lauderen / ende des seluen werck approberen / en nochtans seght hy aldaer op folio 95. voorsz. dat de selue Menher / een letter int ghebroken versien heeft. Siet doch eens hoe soetkens dat dit luydet / ende hoe fraey accordeert dat op malcanderen / te seggen wt eenen monde / een selfs sake wel ghesolueert te syn / ende ook versien te syn. Men segt gemeenlijck / so wanneer yemant mist: hy heeft zijn cas versie. Want hy schrijft aldaer wt druckelijcken / dat Meester Felix niet te beschuldighen en is.
Nu Meester Felix hielde des Menhers solutie voor goet / ende gheene andere / als hy met my mondelijcken daervan disputeerde I ende den desen seght / dat Menher een letter int gebroken versien heeft / ende ghelijckewel I soo seght hy ooc I als dat Meester Felix daer in niet te beschuldighen en is. Ergo / soo bekent den desen des Menhers solutie / tê faueure van Meester Felix / voor goet.
Waerom stelt hy da een ander solutie? Oft met wat reden can hy bewijsen dat Menher de selue questie door den regel Cos oprecht ghesolueert heeft / de wijle hy doch oock al met eenen daer stracx by schrijft / dat selue Menher / een letter int gebroken versien heeft te stelle?
Wentsel gaat nog vele bladzijden door met zich boos te maken op meester Sambix en een zekere Anthony Smijter. Zijn taal is hier niet zeer gekuischt.



De aanval is echter voornamelijk op Meester Sambix gericht.
Wentsel heeft blijkbaar van Coelen wel nagelezen, maar de berekening niet begrepen, daar hij zijn eigen oplossing voor de goede blijft houden.
Om te laten zien hoe goed hij wel cijferen kan, gaat Wentsel nu de contante waarde uitrekenen van een acht jaar uitgestelde annuïteit. Alles zonder gebruik te maken van intresttafels. Deze berekeningen, waarbij getallen van over de dertig cijfers voorkomen, nemen elf bladzijden in beslag. Aan het einde van dit alles schrijft hij:
Daerenbouen soo heb ick moeten lijden / dat des voornoemden meester Felix vrienden ende consoorten / alhier tot Middelburgh ter plaetsen mijnder habitatien / hebben gaen stoffen ende blasen meest by allen School-meesteren ende Boeckvercooperen / en de by anderen meer 
Hoewel Wentsel nog veel meer op het hart heeft, willen wij afscheid van hem nemen. Uit zijn werken blijkt, dat hij een goed cijferaar was. Het feit dat hij zoo kort na Stevin intresttafels in druk liet verschijnen, die in enkele opzichten voor de kantoren practischer waren, is de reden, dat wij hem in de geschiedenis der intrestrekening niet voorbij mogen gaan.



HOOFDSTUK VIL
Ludolf van Coelen i).
De moeilijkheden, die wij reeds bespraken, komen ook te voorschijn in de geschriften van Ludolf van Coelen (1540—1610). Op blz. 71 ontmoetten wij hem reeds in den strijd over het aflossen van een schuld met een gelijkblijvende annuïteit. Maar ook op andere punten is hij met zijn tijdgenooten aan het twisten geweest.
Ludolf van Coelen ~) werd te Hildesheim (bij Hannover) geboren en heeft behalve in Keulen, gelijk de naam reeds aanduidt, in Lijfland en in Antwerpen gewoond. Gedurende den tijd, dien hij in Holland doorbracht, was Delft zijn woonplaats. Stevin en Van Coelen waren bevriend3) en, zooals hiervoor gebleken is, kenden ook Wentsel en Van Coelen elkaar.
Van het drietal Stevin, Wentsel en Van Coelen, dat vóór 1600 intresttafels in druk liet verschijnen, staan de eerste en de laatste als wiskundigen veel hooger dan Wentsel. Wentsel was een zeer nauwgezet rekenaar, maar verder heel middelmatig. In den hiervoor aangehaalden strijd blijkt meer koppigheid dan verstand.
Van Coelen heeft met Wentsel de militante natuur gemeen; behalve rekenmeester was hij dan ook schermmeester. Zijn grootste bekendheid dankt hij aan de berekeningen om een groot aantal decimalen van het getal n te bepalen, maar ook in de geschiedenis
J) Verwezen zij naar het artikel over Van Coelen, van C. de Waard, Nieuw Nederl. Biogr. Woordenboek VII en naar de artikelen over Van Coelen van M. van Haaften: „De Verzekeringsbode" Jaarg. 39 (1920) No. 18, 19, p. 138, 148. Corte Onderrichtinghe in de Reductie van Iaercustingen. Jaarg. 39 (1920) No. 21, p. 165. Aenhang totde voorgaende Corte Onderrichtinghe. Jaarg. 55 (1936) No. 16, 18, 22, p. 85, 97, 121. Ludolf van Ceulen (1540—1610) en zijn geschriften over intrestrekening.
2) Zijn naam wordt ook gespeld Ludolph en Van Collen, Van Colen, Van Ceulen en Van Keulen.
3) H. Bosmans S. J.: Un Emule de Viète. Annales de la Soc. Scientifique de Brux., tome XXXIV, 2e partie (1910), p. 88 e.v.



VANDEN CIRCKEL.
|Satr in gliclccrt tocrüt tcbtnucn öt
tiacöe i&2opojtte Ces €irtUtls-triamrtft trgrn fptirti £>mloop / dart
Dooj «11» Cireftels(met alle jfiguemi/ oftt Hanten met eromine Uinien bedoten) rrrfjt jjfjemeten tumnen Uittflm. leem aller ƒ igueren fjiDtn in Den «Citekel bcGrtjirum' ©tjpnnenDe ban ben i / 4 / s I <1 boeeltin Jttationale ofjetallcn te toenam' al IjaDDe De ƒiguet Deel IjonDert-Dup&m lioethm. Jteni Des 7/ ui nl 17/15/ ij tyoetïlpDen/ enDeumtfpDenoftt «ToojDni inen begerratuiricfiet ©oge groot 31)11 • «Staten/£0mutcn; «xrunDetiiiK.
41aetelfïbel)agf)en.
Noch de Tafelen SlNWM, TANGENTIVM, ende SECANTIVM, met het gebruydc vin dien, hoogh-noodigh voor de Land-meters: Met veel andere konlbghc ftuckcn, dierghelijckc noytindruck uytghegheven.
1Ctn lartfftn tian Jntrrrfl/met albttfjanöt ïafelrn öatt tot öirtiftv
De; met het gljebjupeb / Doo? Deel eonOigije «Stempelen gljeleetDt/
enteDooj tgljefjeeletareft betalen; enDegfiepjoeft.
AllesdooeLVDOLPH van C EVLEN, gheborenin H1LDESHEIM, befchicven, ende inden dtuck ghebratht.
Tot Delf,
<N)et)?ucKtïjp3'an antjjief?. ©octtojtrtooptt/toootttufcf atn't
flj)ara-btU)t/nVt<3uIDtn ABC. Annoij9«.







der intrestrekening is hij een hoofdfiguur. In zijn boek „Vanden Circkel" (1596) folio 97 verso, noemt hij zich zelfs als de eerste samensteller van intresttafels. Daar het 14 jaar later dan de „Tafelen van Interest" van Stevin verschijnt, klinkt dat een beetje vreemd, temeer daar zij geen onbekenden van elkaar waren. Reeds dertig jaar vroeger, dus in 1566, legde hij zich toe op het oplossen van intrestvraagstukken, schrijft hij, en op folio 105 deelt hij mede, dat reeds in 1575 door hem intresttafels aangewend werden. Dit nu kan zeer goed; wij deelden mede, dat vóór 1582 op de handelskantoren intresttafels voor bepaalde gevallen werden aangelegd.
Hoe het ook zij, zijn tafels werden eerst in 1596 gedrukt, terwijl het principe door Trenchant x) in 1558 duidelijk uiteen gezet was.
Het eerste werk over intrestrekening van Van Coelen draagt het jaartal 1586. Toen kwam n.1. uit :
„Proefsteen ende Claerder wederleggingh dat het claarder bewijs, (so dat ghenaempt is) op de gheroemde ervindingh vande Quadrature des Circkels een onrecht te kennen gheven, ende gheen waerachtich bewijs is.
Hier bygevoeght Een corte verclaringh aengaende het onverstant ende misbruyck inde reductie op simpel interest. Den ghemeenen volcke tot nut. Tsamen door Ludolf van Colen woonachtich tot Delft.
Gheprent tot Aemstelredam by my Harmen Janszoon Muller, Figuersnyder, woonende inde Warmoesstraat inden vergulden Passer (1586)" 2).
Dit geschrift is ontstaan, door een twist over de cirkelkwadratuur en intrestberekeningen tusschen Simon van der Eyke en Van Coelen.
Van der Eyke, een réfugié, gaf n.1. in 1584 een oplossing van de cirkelkwadratuur3) en hier tegenin ging het volgende werkje van Van Coelen :
1) Nergens noemt Van Coelen den naam van den Franschman, met wiens werk hij blijkbaar niet bekend was.
2) AmsterdamsChe Universiteitsbibliotheek, en Bibliotheek van de Universiteit te Leiden.
3) „Quadrature du cercle ou manière de trouver un carré égal au cercle donné."



ten hondert van soo veel maenden bedraeght, ... maer . .. moet men verstaen, soo boven gheseyt is, te hebben alsulcken ghereeden somme, die wederom ten eynde van soo veel Maenden, kan winnen so veel met de selve Interests reden, als daer gherabatteert is, te weten na simpelen Interest, 'twelck soo 'tselve nae behooren gherekent wordt, gheschiet in manieren als hier in volghende Exempelen gheleert sal worden".
De Decker geeft rabattafels van 8, 9, 10, 11 en 12%. Van 8% bijvoorbeeld met behulp van de breuk 1 t Loopt van 1/12 tot
1 Ti. U,ÜO
20/12, dus voor één tot en met twintig maanden. Steeds staan er negen van die tafeltjes bij elkaar, zoodat de contante waarde van 1, 2, 3 enz. tot 9 gulden toe direct af te lezen zijn. Wil men b.v. 321 gulden afrenten, dan zoekt men in het tabelletje van 3 gulden, vermenigvuldigt met 100, kijkt in het tafeltje van 2 gulden en neemt dit bedrag 10 maal, waarna men het bedrag voor 1 gulden er nog bij telt. Voorwaar een gemakkelijke methode in de practijk.
In het achtste hoofdstuk wordt de samengestelde intrestrekening behandeld. Dit gedeelte bevat jaartafels van 5, 6, 7 en 8 procent en van den penning 13, 14, 15 en 16. Bij elk getal staat weer het tweevoud, drievoud tot en met negenvoud, zoodat al het vermenigvuldigen tot optellen teruggebracht wordt. Op deze wijze worden gegeven tafels A-j, a—^ en S^. Niet wat men zou verwachten tafels S-|. Voor gebroken tijdsduren staan op dezelfde wijze ingerichte „Ware Maendttafels" afgedrukt, uitgerekend zooals Trenchant dit reeds in 1558 voorschreef. De becijfering hiervan geschiedt echter niet op de vlugste manier.
Gevraagd de slotwaarde van een geldsom te bepalen na 6 maanden. Deze kan ik vinden door het trekken van een vierkantswortel, n.1. door de middelevenredige te bepalen van het kapitaal en de slotwaarde na één jaar. Trek ik nogmaals een vierkantswortel, dan krijg ik de waarde van het opgerente kapitaal na 3 maanden. Een derde machtsworteltrekking levert mij de slotwaarde na 1 maand.
Wij zouden nu zeggen het bedrag voor 2 maanden krijg ik door te vermenigvuldigen (1 + i)r>. (1 + i)h. De Decker doet dit echter door den wortel te trekken uit (1 + i)Ti. (1 -)- i)ïS. Merkwaardig is



het, dat ook Trenchant en Verkammen dit doen. Namen zij deze methode van elkaar over? Verkammen van Trenchant en De Decker weer van Verkammen?
De tafels van De Decker zijn er al goed op ingericht om bij het rekenen tijd te besparen. Hij was het ook, die in de zeventiende eeuw het practische cijferen in Holland zoo'n groote vlucht deed nemen.
Hoewel niet op de intrestrekening betrekking hebbende, willen wij hier ook even stil staan bij de werken over zeevaartkunde en de logarithmentafels. De Decker, die eerst in Gouda en daarna in de havenstad Rotterdam woonde, heeft n.1. hierover ook boeken doen verschijnen.
In 1631 verscheen bij Pieter Rammaseyn te Gouda zijn : „Practijck van de Groote Zeevaart". Dit boek bevat: ,.Tafels van Hoeckmaten, Raeck-lijnen, ende snijlijnen".
Dit is dus een goniometrische tafel. In 1659 werd dit werk nogmaals in Rotterdam uitgegeven x).
Een eereplaats in de geschiedenis der wiskunde verdient hij echter door zijn „Tweede Deel van de Nieuwe Telkonst" (1627). Het is nog steeds niet algemeen bekend, dat een jaar eerder dan de beroemde tafels van Vlacq, De Decker reeds alle logarithmen van 1 tot 100 000 in dit werk opnam 2). De tafels van Vlacq zijn een nadruk hiervan, waarbij zelfs hetzelfde zetsel gebruikt werd.
Een exemplaar van dit zeldzame werk, waarvan zelfs geschreven is dat het nooit heeft bestaan, vindt men in de bibliotheek der Levensverzekering Maatschappij „Utrecht"3).
Dit is niet de eenige logarithmentafel van De Decker. In 1626 verscheen :
„Nieuwe Telkonst, inhoudende de logarithmi voor de ghetallen
1) Practijck van de Groote Zeevaert, Ende nu op nieuws verryckt met twee Aenhange: 't Onvermogen der Gelyck-Gradige Pas-kaert door Gerard Mick; Practijck der Stierluyden door Adriaan Jacops Kops. Tot Rotterdam by Bastiaan Hagens, 1659. Bierens de Haan: Bibliographie Néerlandaise; Rome (1883), p. 70, 71. Idem, Bouwstoffen, 1. c. I, p. 13.
2) Tropfke: Geschichte der Elementar-Mathematik (1933), deel II, p. 224.
3) Een nauwkeurige herdruk der titelpagina in: No. XIII Bibliotheca Tabularum Mathematicarum. Being a descriptive catalogue of mathematical tables by James Henderson M. A. Cambridge University Press (1926), p. IV en 52 e.v.



beginnende van 1 tot 10.000, ghemaeckt van Henrico Briggio, Professor van de Geometrie tot Ocxfort. Mitsgaders De Tafel van Hoeckmaten ende Raecklijnen door het ghebruyck van Logarithmi, de Wortel zijnde van 10000,00000 deelen, ghemaeckt van Edmund. Guntero Professor vende Astronomie tot Londen. Welcke ghetallen eerst ghevonden zijn van Ioanne Nepero Heer van Merchistoun: ende 't gebruic daer van is met eenige Arithmetische, Geometrische ende Spherische Exempelen cortelick aenghewesen, Door Ezechiel de Decker, Rekenmeester, ende Lantmeter residerende ter Goude. Ter Goude, By Pieter Rammaseyn, Boeckverkooper inde corte Groenendal, int verguit ABC. 1626. Met Previlegie voor thien laren".
Vooral zij hier verwezen naar de artikelen van M. van Haaften 1). In 1630, gaf De Decker nogmaals intresttafels uit:
„Nievwe Rabat-tafels Waer door sonderlingh licht ende perfect gevonden wort het gereet geit van eenige somme die te betalen is over eenige Maenden, het Rabat afghetrocken zijnde teghen 8.9.10.11. ofte 12 ten hondert in 't Iaer.
Mitsgaders van Interest op Interest, Om alle Custingh-brieven tot gereet geit te maken, te vinden het gereet geit van een somme die verschijnt ten eynde van eenige laren; ende als een somme eenige laren op winst gelegen heeft, te vinden hoe veel die bedraeght met de winst te samen, den Interest gerekent tegens 5.6.7.8. ten hondert in 't Iaer, ende tegens den penningh 13.14.15. ende 16. Wtgegeven en van nieuws oversien door Ezechiel de Decker, Rekenmeester ende Landtmeter, residerende tot Rotterdam. Noch is daer by ghevoeght de Thiende van
J) Van Haaften: Ce n est pas Vlack, en 1628 mais De Decker en 1627, qui a publié le premier, une table de logarithmes étendue et compléte. Nieuw Archief voor Wiskunde. Tweede reeks. Deel XV (1925), p. 49 e.v.
Idem. De Decker's logarithmentafel „Tweede deel van de nieuwe Telkonst" gevonden. De Verzekeringsbode, Jg. 39 (1920), No. 49, p. 383 e.v.
Idem. De Decker's Eerste Deel van de Nieuwe Telkonst. De Verzekeringsbode, Jg. 39 (1920), No. 52, p. 406 e.v.
Idem. De Decker als schrijver over Intrestrekening. De Verzekeringsbode, Jg. 40 (1921), No. 4, p. 25 e.v.; N. 5, p. 37 e.v.
Idem. De kleine logarithmentafel van De Decker. De Verzekeringsbode, Jg. 40 (1921), No. 19, p. 146 e.v.



Symon Stevin van Brugghe, leerende door ongehoorde lichtigheyt alle rekeningen onder den Menschen noodigh vallende, afveerdigen door heele getallen sonder gebrokens.
Ter Govde, By Pieter Rammazeyn, Boeckverkooper inde korte Groenendal, in 't verguit A.B.C. 1630. Met Privilegie voor thien laren".
De tafels zijn precies dezelfde als die van 1626. Voor meerdere voorbeelden, hij geeft er hierin slechts acht, verwijst hij dan ook naar zijn „Eerste Deel vande Nieuwe Telkonst". Stevin's Thiende welke achter in het werk opgenomen is, draagt als jaartal 1626.
Met deze tafels willen wij deze geschiedenis besluiten.
Wij hebben hieruit gezien, dat met De Decker een nieuwe periode in de intrestrekening ingeluid wordt. Het vraagstuk van de renteberekening over gebroken tijdsduur is opgelost, zijn tafels zijn practischer ingericht dan die zijner voorgangers. De latere intrestrekening steunt op De Decker. Hij heeft echter niet, evenmin als de groote Stevin, het tiendeelig stelsel van maten en gewichten ingevoerd kunnen krijgen. Dat hij het groote nut hiervan, vooral in verbinding met een tiendeelig breukenstelsel, inzag, strekt hem tot eer.
Wat de geschiedenis der logarithmentafels betreft, zijn wij zeer kort geweest. Meerdere gegevens kan men in de genoemde artikelen en geschriften vinden.
De Decker was na Stevin, de groote wegbereider in Holland voor het practische rekenen. Alleen reeds zijn logarithmentafel maakt hem tot een van de wiskundigen der zeventiende eeuw, wiens naam wij niet mogen vergeten.







Roche, Estienne de la, 19, 20, 21. Roels, Jacob, 40.
rosne, a. du, 27.
Rudolf, Christoff, 39.
Saar, du, 40, 41.
Saedeleer, A. de, 42.
Sambix, Felix van, 70, 71, 72, 73, 74, 75.
Sarton, G„ 25, 28, 42, 46, 50. savonue, zie Sovonue. scheepshypotheken, 2.
schuere, van der, 41.
Sfortunati, Giovanni Sfortunati van slena, 14, 15, 17, 19, 65. Smith, D. E„ 5, 16, 17, 18, 19, 21,
26, 39, 46, 71.
Smits, Pieter, 40.
Smijter, Anthony, 74.
Snellius, 47, 81.
Sovonue, Pierre de, 39. Staartdeeling, 17.
Staigmüller, H„ 12.
Stevin, Frederik, 45.
Stevin, Hendrik, 43, 45.
Stevin, Levina, 45.
Stevin, Simon, 8, 11, 22, 23, 24, 32, 33, 34, 37, 38, 40, 41, 42 e.v., 66, 67, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 83, 85, 86, 90, 91.
Stevin, Susanna, 45.
Summa de Arithmetica, 12 e.v., 17.
Tagliente, 18.
Tartaglia, 12 e.v., 38, 39, 65. Theureau, L., 2.
T&XO$, 2.
Torelli, Giulio Cesare, 19. Trenchant, J., 15, 23 e.v., 38, 43, 48, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 64, 65, 77, 81, 85, 88, 89. Treviso, Rekenboek van, 16. Tropfke, J., 1, 17, 24, 89.
Tuning, Jean, 47.
VENTURA, zie Pagnini.
Verkammen, Abraham, 23, 40, 65, 85 e.v.
Vermenigvuldigingstafels, 1, 22. VlRIEU, zie Viry.
VlRY, MAURITS DE, 45.
Vlack, Adriaan, 86, 89, 90. volterra. zie Pagnini. vorsterman van oljen, G. A., 26.
Waal, P. G. A. de, 46, 66, 71. Waard, C. de, 76.
Waesberghe, Jan van, 49, 70, 85. Wentsel, Martinus, 23, 38, 40, 43, 50, 65, 66 e.v., 76, 80, 81. Werff, Pieter Adriaansz. van
der, 44.
wldman, johan, 39.
WlLKENS, MARTEN, 41.
willem ii, stadhouder, 45. Wiskundig Genootschap, 26, 82. Witt, Johan de, 38, 41, 82. Woude, w. van der, 42. Wouden—Veldkamp, Mevr. van, 31.
Yule, H„ 10.







Cafclrn tiau
INTEREST,
Midtfgaders
De Conflxuótie der fel-
ucr, ghccalculccrt Door Simon Steuin Brugghclinck.
t Antwerpen, By Chriftoflfel Plantijn in .den gulden Pafler.
M. D. LX XX1U



van een termijn tijdts tot haere Hooft somme in zekere reden staetjNochtans datmen tot de kennisse van dese reden, niet dan door al te verdrietigen grooten aerbeydt ende tijdt verlies en conde comen;Jae grooter voor eenen die grooten handel doet,dan hem zijn tijdt zoude toelaeten,waer toe noch algebra, noch andere regulen niet en hebben connen ghenoech doen:Soo zijnder ten laetsten gheinventeert zekere tafelen,door de welcke iegelicken maer simpelicken ervaren inde reghel der proportien (welcke sommige reghel van dryen noemen) zal ex tempore moghen solueren alle questie van Interest inde practijcke ghemeynelick te voren comende.
Welcke tafelen midtsgaders haere constructien ende ghebruyck,ick in dit tractaet ordentlick naer mijn vermogen verclaeren zal.Niet dat ick die wtgeue als voor mijne inventie,maer wel als door my gheamplificeertrwant voor my
heeft
a3



heeft van de zelue geschreuen Jan Trenchant int 3.boeck zijnder Arithmetic.
quen int 9.cap,art.i4.al waer den zeluen Auctheur ghemaeckt heeft eene deser tafelen van 41.termijnen teghen Interest van 4.ten 100.op elck termijn, geduerende elck termijn dry maenden. Ende hoe wel hy dese tafele niet ghemaeckt en heeft tot alzulck een generale ghebruyck als wijse hier presenteren (want hy opsicht gehadt heeft op de profijtelickste conditie van tween die de banckiers presenteerden aen Hendrick Koninck van Vranckerijck int iaer i555.ouer een Hooft-somme van 3954641 goude croonen,welck genoemt wierdt le grad party,al waer zy den Koninck presenteerden,oft dat hy betaelen zoude 4.ten 100.van simpelen interest alle vierendeel iaers,oft dat hy betaelen zoude 5.ten 100.ende dat 41.termijnen ofte vierendeelen iaers gheduerende,ende dat hy daer mede verloop ende interest
teene-



teenemael zoude betaelt hebben) Doch zegghen wy hem tot goeder ende eeuwiger gedachtenis deser tafelen met rechte een inventeur ghenoemt te worden.
Hebbe oock verstaen dat der zeluer tafelen hier in Hollandt by eenighe schriftelick zijn,maer als groote secreten by den ghenen diese hebben,verborghen blijven,ook niet zonder groote cost de selue te crijghen en zijn,ende principalick de compositie die zegt men zeer weynich persoonen ghetoont te worden. Voorwaer tis te bekennen dat de kennisse deser tafelen voor den ghenen diese veel van doen heeft,is een zaecke van grooter consequentien,maer die secreet te houden schijnt eenichsins een argument te zijne van meerder liefde tot profijt dan tot conste.Want dat hem iemandt laet dyncken dat hyt al ghesien heeft dat door dese tafelen mach gedaen worden,schijnt zoo veel als oft hy hem persuadeerde de terminos infinitae lineae
ghe-
A4



ghevonden te hebben;want ghelijck de verscheyden conditiën die traficquerende persoonen malckanderen daghelicks voorstellen oneyndelick zijn,alsoo oock de verscheyden verholen ghebruycken deser tafelen:Daerom een lief-hebber der consten meer begheerende wt dese tafelen te leeren dan hy weet,hem en schijnt gheen beter middel te zijne (ouermidts d'ooghen meer sien dan d'ooghe) dan dat hyse divulgere.Twelck ick alsoo verstaende,hebbe de zelue mijne E. Heeren onder de protectie van U.E.ende tot nutbaerheyt der ghemeynte laeten wtgaen:Niet twijfelende (waer toe my een argument is d'openbaer experientie van U.E.in de voorderinghe ende bescherminghe der ghemeyne zaecke tegen alle stormen deses onghevalligen tijts)
ofte U.E.en zal mijnen wille welcke de ghemeynte gheerne nutbaeren dienst dede voor goet aensien.Vaert wel In Leyden desen 16.Julij,An.1582.
Argu-



Argument
HOewel deses tractaets tijtel spreeckt alleenlick van tafelen van interest/ als wesende t'principael tot welcks eynde dese descriptie beghonnen is; Sal nochtans beneuen de tafelen tot meerder verclaeringe een generael discours maken van allen interest (in de practijcke ghemeynlick ghebruyckt) begrepen onder 7.Definitien ende 4. Propositien met haeren explicatien.De definitien zullen zijn verclaeringhen vande eyghene vocabulen deser regulen/als wat dat is Hooft-somme/ Interest/interests reden/Simpelen interest/Ghecomponeerden interest/Profijtelicken interest/ende schadelicken interest.Onder de propositien (midtsgaders verclaeringhe des simpelen interests) sal verclaert worden de constructie deser tafelen/ende door diuersche exempelen de ghebruyck der zeluer. Wekker propositien ierst sal sijn van simpelen profijtelicken interest/De tweede van simpelen schadelicken interest/De derde van ghecomponeerde profijtelicken interest/De vierde van ghecomponeerde schadelicken interest.Tot welckes meerder verclaeringhe begrijpen wy de Hooftartijckelen des tractaets int volghende tafelken aldus:
In-
As



Tafelen van Interest
Interest is \ Simpel , Schadelik
°^te ^ Gbecomponeert \
( öchadehck
Definitie i.
Hooft somme is die/ daer den interest afgherekent wordt.
Verclaeringhe.
Als (by exempel) iemandt wtgheuende ió.lb op dat hij daer vorê ontfange eê 1b t'siaers va interest wordt alsdan de 16 lb Hooft-somme ghenoemt. Oft iemandt schuldich wesende 20.lb te betaelen binnen een iaer/ende gheeft ghereedt gbeldt 19.1b aftreckêde eê lb voor interest/wordt alsda de 20.lb Hooft -somme ghenoemt.
Definitie 2.
Interest is een somme diemê rekent voor t'verloop van de Hooft-somme ouer eenighen tijdt.
Verclaeringhe.
Als wanneermen zeght 12.ten 100.t'siaers/ dat is soo veel als 12.interest va 100.Hooft-somme ouer een iaer tijdt/alsoo dat Hooft-somme interest ende tijdt/zijn dry onscheydelicke dingen/dat is/Hooft-somme en is niet dan int respect van eenich interest/ende interest niet dan int respect van eenighe Hooft-somme ende tijdt.
Defini-



Tafelen van Interest.
moeten rekenen ten eynde va het derde iaer interest van 112.1b bedraeghende 13 H lb. Ende ten eynde van het vierde iaer interest van 168.1b bedraeghende 20 ys lb/ welcke dry sommê van interest bedraeghende t'saemen 40 ^ lb is den simpelen interest diemen ten eynde van de vier iaeren zoude moeten betaelen.
Ofte andersins mochtmen soecken proportionale ghetaelen met de ghene daer questie af is ende onbekent zijn / aldus:
100 gheuen op het ierste iaer o. 100 gheuen op het tweede iaer 12. 100 gheuen op het derde iaer 24. 100 gheuen op het vierde iaer 36.
Somme 400. 72.
Ende segghen daer naer 400.gheuen 72. wat gheuen 224.1b? Facit als voren 40 yV.lb.
Nota
De dry volghende exempelen dependeren ex alterna vel inuersa proportione propositionis.
Exempel 5.
48.1b gheuen op 3.iaere van simpelen profijtelicken interest 9-lb.De vraeghe is teghen hoe veel ten ioo.t'siaers dat betaelt is.
Constructie.
Laet de termijnen ghedisponeert worden als int voorgaende tweede exempel gheseyt is aldus:
48.ghe-



Tafelen van Interest.
48. gheuen op 3. iaer 9.1b/ wat gheuen ioo.lb. op iaer? Facit (nae de leeringhe des voorgaenden 2.exempels) 67 ten 100.
Exempel 6.
Men begheert te weten hoe langhe 260.lb loopen zullen teghen 12.ten ioo.t'siaers om te winnen 187.lb-4.fi.
Constructie.
Men sal zie wat 260.lb t'siaers winnê / wordt bevonden door d'ierste exempel 31^ lb; daer naer salmen diuideren 187.1b 4..Ö door 3i|lb / gheeft quotum ende solutie ó.iaeren.
Exempel 7.
Eeenen ontfanght 187.1b 4..6. voor simpelen interest teghen 12. ten 100.voor ó.iaerê. De vraeghe is wat d'Hooft-somme was.
Constructie.
Men sal zien wat ioo.lb teghen 12.ten hondert winnen op 6.iaer/wordt bevondê 72.1b.daer naer salmen segghen 72.comen van 100 / waer van zullen comen 187.1b.4.5? Facit voor solutie 260.1b.
Demonstratie.
Ghelijck int ierste exempel hem heeft 100.tot 12/ alsoo heeft hem 224.1b.tot 26M lb deur de constructie. Ergo 26M lb zijn met die ander termijnen proportionaal naer de begheerte.
S'gelijcks sal oock zijn de demöstratie va de andere
B2



Tafelen van Interest.
dere exempelen / welcke om de cortheydt wy achterlaeten.
Alsoo dan wesende verclaert Hooft-somme tijt ende interests reden van simpelen ende profijtelicken interest is den interest ghevonden.T'welck geproponeert was alsoo ghedaen te worden.
Propositie II.
Wesende verclaert Hooft-somme tijdt ende interests reden van simpelen ende schadelicken interest:Te vinden wat die gheereet ghelt weerdich is.
Exempel i.
Het zijn 300.1b te betaelen binnen een iaer.De vraeghe is wat die gereedt ghelt weerdich zijn aftreckende simpelen interest teghen 12.ten hondert t'siaers.
Constructie.
Men sal adderen tot 100.zijnen interest 12.
maecken t'saemen 112,ende segghen:
112.worden 100 / wat 300.1b? Facit 267T lb.
Exempel 2.
Het zijn 32.1b te betaelen binnen dry iaeren, De vraeghe is wat die ghereedt weerdich zijn aftreckende den interest teghen den penninck 16.
Constructie.
Men sal adderen tot 16. zijnen interest van dry iaeren / te weten 3. maeckent 'saemen 19.ende segghen
19.co-



Tafelen van Interest.
ip.comen van ió.waer af 32.1b? Facit 26f&lb.
Exempel 3.
Het zijn 250.1b.te betaelen binnen ó.maenden.De vraeghe is wat die weerdich zijn ghereedt ghelt aftreckende teghen den penninck 16.
t'siaers.
Nota.
De solutie van dese ende derghelijcke questien (welck ick ook gheappliceert hebbe totten ghecomponeerden interest daer t'zijnder plaetsen af zal geseyt worden) want ick die ghevonden hebbe ende by niemandt anders en vinde / achte die nu ierstmael wtghegaen te zijne.
Constructie.
Men zal zien wat deel de ó.maenden zijn van een iaer / wordt bevonden i daerom salmen adderen 16.met i en zegghen; 16I worden 16. wat 250. lb? Facit 242 H lb.
Item hadden de voor noemde 250.1b te betaelen gheweest binnen 3.maenden / zoo zoudemen zegghen (want 3.maendê een vierendeel iaers is) 16|worden 16.wat 2501b? Facit 2461% lb.
Ofte hadden de voor noemde 250.lb.te betaelen gheweest op i.maendt / zoo zoudemen zegghen (want 1. mandt is itV t'siaers) i6t? worden 16 / wat 250.1b?
Ofte hadden de voor noemde 250.lb.te betaelen gheweest op 7.weken / zoo zoudemen zegghen
(want
B3



Tafelen van Interest.
(want 7.weken is ^ t'siaers) 16 ^ worden 16.wat 250.1b?
Ofte hadden de voornoemde 250.1b.te betaelen gheweest op 134 daghen / zoo zoudemen zegghen (want 134.daghen zijn iU t'siaers) 16 Ui worden 16.wat 250.1b?
Alsoo dat men in zulcke questien altijt moet zien wat deel den gheproponeerdê tijdt is van het iaer /
ende voort als bouen.
Exempel 4.
Het zijn 320.lb.te betaelen binnen 3.iaeren en 3-maenden.De vraeghe is wat die weerdich zijn ghereedt ghelt aftreckende teghen dê penninck 16. t'siaers simpelen interest.
Constructie.
Men sal tot 16.adderen zijnen interest van 3 i lb. (3 ilb. van weghen 3 i iaeren) maeckê t'saemen igi/ende segghen/ i9icomen van ió.waer af 320.1b? facit 265 #lb.
Nota.
S'ghelijcks zal oock zijn d'operatie in alle andere deelen des iaers bouen eenighe gheheele iaeren / als lichtelick te mercken is wt t'voorgaende exempel.
Exempel 5.
Het zyn 230.lb.te betaelen ten eynde van 5.
iaeren.De vraeghe is wat die ghereedt weerdich zijn aftreckende in zulcken reden als hen heeft 23.
Hooft-



Tafelen van Interest.
Hooft-somme tot simpelen interest 6.en dat van 3.iaeren.
Constructie.
Men sal ten iersten sien wat ó.lb.interest van 3.iaeren bedraeghen op i.iaer / ende wordt bevonden 2.1b.Alsoo dan desen interest is van 2.ten 23.
t'siaers / waer deur de werckinghe ghelijck zal zijn de voorgaende des 2.exempels deser propositien aldus:Men sal adderen tot 23.sijnen interest van 5-iaeren / te weten io.lb.maecken t'saemen 33.1b.
ende segghen 33.worden 23.wat 230.1b? Facit voor solutie 160 lb.
Exempel 6.
Eenen is schuldich 600.lb.te betaelen al t'saemen ten eynde van vier iaeren / ende veraccordeert met zijn crediteur die te betaelen in 4-payementen / te weten ten eynde van het ierste iaer een vierê deel/ het tweede iaer noch een vierendeel / het derde iaer noch een vierendeel / ende t'vierde iaer t'laetste vierendeel / midts aftreckende simpelen interest teghen 12.ten 100.t'siaers.
Nota.
Ick hebbe in dit exempel ghenomen de zelfde somme ende questie die Jan Trenchant heeft int 3-boeck zijnder Arith.cap.p.art.ó.op dat ick te claerder zoude toonen de differentie ouer zulcken questie van zijne solutie ende de mijne.Is dan te weten dat Trenchandt ondersoeckt wat dese 600.
lb.ghe-
B4



Tafelen van Interest.
lb.ghereedt weerdich zijn / wordt bevondê 508 ff lb. welcks vierendeel als 127VV lb.Hy zeght te wesen dat men op elck der vier iaeren zoude moeten betaelen.
Maer ick zegghe ter contrarien gheen questie te wesen van vier betaelinghen van het ghene de 600.lb.ghereedt weerdich zijn / maer van vier betaelinghen der 600.lb.zeluer.Dit is soo veel ais oft den debiteur totten crediteur zeyde:De 600.lb. die ick v schuldich ben teenemael ten eynde va vier iaeren / de zelfde zal ick v betaelen in vier payementen / te weten alle iaere het vierendeel der zeluer / als 150.1b.midts aftreckende op elcke betaelinge simpelen interst teghen 12.ten 1 oo.t'siaers.Twelck wesende den sin deser questien volght daer wt een constructie als volght.
Constructie.
Men zal aenmercken wat penningen dat men naer dese conditie verschiet diemê naer d'ierste conditie niet en soude verschotê hebbê.Nu dan wantmen naer dese conditie binnê eê iaer betaelt t'vierêdeel der sommen bedraeghende i5o.lb.midts aftreckende / etc. diemen naer d'ierste conditie binnen 3.iaeren daer naer ierst zoude moeten betaelen /
volght daer wt dat men zien zal wat 105.1b.te betaelen in 3.iaeren weerdich zijn ghereet / wordt bevonden door het 2.exempel deser propositien 11 o t*V lb.voor d'ierste paye.Ende om der ghelijcke
redenen



Tafelen van Interest.
redenen salmen bevinden 150.1b.op 2.iaerê weerdich te zijne ghereet 120 ff lb.voor de tweede paye.
Ende om der ghelijcke redenen zalmen bevindê 150.1b.opi.iaer weerdich te zijne 133 tt lb.voor de derde paye.
Ende want de laetste paye op zulcken conditie betaelt wordt als d'ierste conditie was / en zal die winnen noch verliesen / maer zal zijn van 150.1b.
Exempel 7.
Het zijn 324.1b. te betaelen binnen 6.iaeren / te wetê 54.1b.t'siaers.Vraeghe is wat de zelue weerdich zijn ghereedt ghelt / aftreckende simpelen interest teghen 12.ten 100.
Constructie.
Men zal soecken proportionale ghetalen met de ghene daer questie af is aldus.
100 comen voor 1 iaer van 112.
100 comen voor 2 iaeren van 124.
100 comen voor 3 iaeren van 136.
100 comen voor 4 iaeren van 148.
100 comen voor 5 iaeren van 160.
100 comen voor 6 iaeren van 172.
Sóme 600. Somme 852.
Daer naer segt men 852.zijn ghereedt weerdich 600.wat zullen ghereedt weerdich zijn 324.1b?
Facit 228 fr lb.ende soo veel is de voornoemde somme ghereedt weerdich.
Exem
B5



Tafelen van Interest.
Exempel 8.
Eenen is schuldich te betaelen binnen 3.iaeren 260.1b. en binnê 6.iaeren daer naer noch 240.1b. E)e vraeghe is wat die t saemen ghereedt weerdich zijn. Aftreckende simpelen interest teghen 12. ten 1 oo.t'siaers.
Constructie.
De 26o.lb.zullen ghereedt weerdich zijn naer het tweede exêpel deser prop.191 tV lb.en de 240.1b. zullen ghereedt weerdich zijn 201 ff lb.nu dan gheaddeert 191 tt lb.met 201 rllb.maecken t'saemen 393^¥r;ende soo veel is alle de schuldt ghereedt weerdich.
Exempel 9.
Eenen is schuldich 200.lb. te betaelen binnen 5-iaeren.De vraeghe is wat die weerdich zijn binnen 2.iaerê rekenende simpelen interest teghen 10. ten 1 oo.t'siaers.
Constructie.
Men zal zien wat de 200.lb.weerdich zijn gereedt door het 2.exempel deser prop.wordt bevondê 133 i lb. Daer naer salmen sien wat 133ilb.gereedt weerdich zijn binnen 2.iaeren naer de leeringhe der ierster prop.wordt bevonden x60.lb.ende zoo veel zijn die 200.lb.weerdich binnen 2.
iaeren.
Andere maniere.
Ofte andersins ende lichter machmê doen aldus:



Tafelen van Interest.
dus:men sal zien wat ioo.lb.weerdich zijn op 5. iaeren / wordt bevonden 15o.lb.Insghelijcks wat 100.weert zijn op 2.iaeren wordt bevonden 120. Daer nae zalmen segghen i5o.gheuen 120.wat 2001b? Facit als voren ióo.lb.
Exempel 10.
Eenen is schuldich te betaelen binnen 3.iaeren 420.1b en binnen ó.iaerê daer naer noch 560.1b. De vraeghe is wat dese partijen weert zijn te betaelen t'saemen op 2.iaeren rekenende simpele interest teghen 10.ten 1 oo.t'siaers.
Constructie.
Men sal zien wat dese partijen t'saemen weerdich zijn ghereedt door het 8.exempel deser prop. wordt bevonden 617fff lb.Daer naer salmen sien wat de zelue ghereedt / weert zijn binnen 2.iaeren / wordt bevonden door d'ierste propositie voor solutie 741 -£rr lb.
Ander maniere.
Ofte andersins machmen zien wat 420.1b. op 3.iaeren weerdich zijn op 2.iaeren / wordt bevonden door het 9.exempel deser propositien 3871%lb.
Ende inder seluer voeghen worden de 560.1b. op twee iaeren weerdich bevonden 353 H lb. welcke twee sommen als 387yV met 353 11 maecken t'saemen voor solutie als voren 741 VrV lb.
Nota.
De volghende exempelen dependeren ex al-
terna



Tafelen van Interest.
terna vel inversa proportione der propositien
Exempel 11.
Voor 500.lb.te betaelen ten eynde van 5.iae~ ren ontfangtmen ghereedt 333 | lb.De vraeghe is teghen hoe vele ten ioo.simpelen interest dat afghetrocken is.
Constructie.
Men sal segghen 333 llb.comen van 500.1b.
waer van ioofFacit 150.van de zelue zalmê treeken 100.rest 5o.welcke ghediuideert door 5.iaeren gheeft quotum 10.Ergo teghen 10.ten 100.wasser afghetrocken.
Exempel 12.
Voor 400.1b.ontfangtmen ghereedt 250.1b. aftreckende simpelen interest teghen 10.ten 100. t siaers.De vraeghe is voor hoe langhe tijdt afgetrocken is.
Constructie.
Men sal segghen 250.1b. comen van 400.1b.
waer van 100? Facit iöo.lb. van de zelue zalmen trecken 100.rest óo.welck ghediuideert door 10. (10.van weghen 10.ten 100.) gheeft quotum 6.
Ergo voor ó.iaeren wasser afghetrocken.
Exempel 13.
Eenen is schuldich binnen 3.iaeren 420.lb.ende binnen ó.iaeren daer naer noch 560.lb.De vraeghe is wat tijdt dese partijen t'saemen verschijnen



Tafelen van Interest.
nen zullen / rekenende den simpelen interest teghen io.ten i oo.t'siaers.
Constructie.
Men sal zien wat dese twee sommen t'saemen ghereedt weerdich zijn / wordt bevonden door het 8. exempel deser prop. 61 7 fff lb.Daer naer salmen sien door het 6.exempel der ierster prop.Hoe langhe 617 fff lb. loopen zullen tegê 10.tê 1 oo.t'siaers tot zy weerdich zijn 980.1b. (welck de somme zijn van 420.lb.ende 5Óo.lb.)ofte (dat tzelfde is)
tot zy ghewonnen hebben 362 tï¥ lb.Facit voor solutie 6 fret iaeren.
Exempel 14.
Eenen ontfangt 66611b. ende hem hadde afgetrocken gheweest simpelen interest teghen 8.ten 1 oo.t'siaers voor 10.iaeren.De vraeghe is wat d'Hooft-somme was.
Constructie.
Men zal adderen tot 100.zijnen interest van 1 ó.iaeren comt t'saemen 18o.segghende 100.comen van 180.waer van 666 | lb?Facit d'Hooftsomme I200.1b.
Demonstratie.
Aenghesien int ierste exempel deser propositien gheseyt is 300.1b.te betaelen op een iaer / weerdich te zijne ghereedt ghelt 267^ lb.Aftreckende simpelen interest teghen 12.ten 1 oo.t'siaers / volght daer wt dat in dien men die 2677- lb terstont op interest



Tafelen van Interest.
S'ghelijcks zal oock zijn de constructie van alle die ander tafelê / want daer wy in de ierste tafel altijdt multipliceren met ioo.ende diuideren door 101. alsoo sullê wy in de tweede tafel (welcke is van 2.ten ioo.)altijdt multipliceren met ioo.ende diuideren door 102.ende in de derde tafel altijt multipliceren met 100.ende diuideren door 103.ende soo voort in d'andere. Item de constructie der tafele van den penninck 15.is de voorseyde oock gelijck / want men multipliceert hier altijdt met 15.en men diuideert door 16. (te weten door i5.ghepro~ poneerde Hooft-somme ende daer toe haeren interest 1.) Alsoo oock in de tafel van den penninck 16.multipliceert men altijdt met 16.ende men diuideert door 17.ende zoo voorts met d'andere.
Dese tafelen alsoo ghemaeckt voor eenighe iaeren worter by elcke tafel noch een columne gestelt / welcke dienen zal tot ghecomponeerdê interest van partijen die in vervolghende iaeren te betaelen zijn elck iaer euen veel / ghelijck d'exempelen daer af t'haerder plaetsen zullen ghegheuen worden / wekker columnen constructie aldus is:
Men zal (tot de constructie deser columnen der tafel van i.ten 100.)de 9900990.staende neuen d'ierste iaer ofte termijn noch eenmael stellen neuen t'voornoemde ierste termijn / daer naer salmen adderen de twee sommen responderêde op de twee ierste iaeren als 9900990.met 9802960.bedrae-
ghen
C



Tafelen van Interest.
ghen t'saemen 19703950.die salmen stellen neuen het tweede iaer.Daer naer salmen adderê de dry sommen responderende op de dry ierste iaeren /bedraeghen t'saemê 2940985 1 .ende soo voorts totten eynde.Soo dat t'laetste ghetal deser laetster columnen 258077051.531 sijn de somme van alde ghetaelen der voorgaende columne.
In der seluer voeghen salmê oock tot alle d'andere tafelen elck zoodaenighe laetste columne maken.Soo dat elck deser tafelen zal hebben dry columnen :D'ierste columne beteeckenêde iaeren /ende d'ander twee dienende tot solutien van questien / als int volghende blijcken zal.
Tafelen van Interest.
Tafel



Tafel van Interest van i.ten 100.
1. 9900990. 9900990.
2. 9802960. 19703950.
3. 9705901. 29409851.
4. 9609803. 39019654.
5. 9514656. 48534310.
6. 9420451. 57954761.
7. 9327179. 67281940.
8. 9234831. 76516771.
9. 9143397. 85660168.
10. 9052868. 94713036.
11. 8963236. 103676272.
12. 8874491. 112550763.
13. 8786625. 121337388.
14. 8699629. 130037017.
15. 8613494. 138650511.
16. 8528212. 147178723.
17. 8443774. 155622497.
18. 8360172. 163982669.
19. 8277398. 172260067.
20. 8195444. 180455511.
21. 8114301. 188569812.
22. 8033961. 196603773. 23- 79544Ï7- 204558190. 24. 7875660. 212433850. 25« 7797683. 220231533.
26. 7720478. 227952011.
27. 7644038. 235596049.
28. 7568354. 243164403.
29. 7493420. 250657823.
30. 7419228. 258077051.
C2



Tafel van Interest van 2.ten 100.
1. 9803922. 9803922.
2. 9611688. 19415610.
3. 9423244. 28838834.
4. 9238455. 38077289.
5. 9057309- 47Ï34598-
6. 8879715. 56014313.
7. 8705603. 64719916.
8. 8534905. 73254821.
9. 8367554. 81622375.
10. 8203484. 89825859.
11. 8042631. 97868490.
12. 7884932. 105753422.
13. 773°325* ii3483747-
14. 7578750. 121062497.
15. 7430147. 128492644.
16. 7284458. 135777102.
17. 7141625. 142918727.
18. 7001593. 149920320.
19. 6864307. 156784627.
20. 6729713. 163514340.
21. 6597758. 170112098.
22. 6468390. 176580488.
23. 6341559. 182922074.
24. 6217215. 189139262.
25. 6095309. 195234571.
26. 5975793- 201210364.
27. 5858621. 207068985.
28. 5743746. 212812731.
29. 5631124. 218443855.
30. 5520710. 223964565.



Tafel van Interest van 6.ten 100.
1. 9433962. 9433962.
2. 8899964. 18333926.
3. 8396192. 26730118.
4. 7920936. 34651054.
5. 7472581. 42123635.
6. 7049605. 49173240.
7. 6650571. 55823811.
8. 6274124. 62097935.
9. 5918985. 68016920.
10. 5583948. 73600868.
11. 5267875. 78868743.
12. 4969693. 83838436.
13. 4688390. 88526826.
14. 4423009. 92949835.
15. 4172650. 97122485.
16. 3936462. 101058947.
17. 3713643. 104772590.
18. 3503437- 108276027. *9- 33°5I29- 111581156.
20. 3118046. 114699202.
21. 2941553. 117640755.
22. 2775050. 120415805.
23. 2617972. I23°33777-
24. 2469785. 125503562.
25. 2329986. 127833548.
26. 2198100. 130031648.
27. 2073679. 132105327.
28. 1956301. 134061628.
29. 1845567. 135907195.
30. 1741101. 137648296.



Tafel van Interest van 7.ten 100.
1. 9345794- 9345794-
2. 8734387. 18080181.
3. 8162979. 26243160.
4. 7628952. 33872112.
5. 7129862. 41001974.
6. 6663422. 47665396.
7. 6227497. 53892893.
8. 5820091. 59712984. 9- 5439337- 65152321.
10. 5083493. 70235814.
11. 4750928. 74986742.
12. 4440120. 79426862.
13. 4149645. 83576507.
14. 3878173. 87454680.
15. 3624461. 91079141.
16. 3387347. 94466488.
17. 3165745. 97632233.
18. 2958640. 100590873.
19. 2765084. 103355957.
20. 2584191. 105940148.
21. 2415132. 108355280.
22. 2257133. 110612413.
23. 2109470. 112721883.
24. 1971467. 114693350.
25. 1842493. 116535843.
26. 1721956. 118257799.
27. 1609305. 119867104.
28. 1504023. 121371127.
29. 1405629. 122776756.
30. 1313672. 124090428.
C 5



Tafel van Interest van 8.ten 100.
1. 9259259. 9259259.
2. 8573388. 17832647.
3. 7938322. 25770969.
4. 7350298. 33121267.
5. 6805831. 39927098.
6. 6301695. 46228793.
7. 5834903. 52063696.
8. 5402688. 57466384.
9. 5002489. 62468873.
10. 4631934. 67100807.
11. 4288828. 71389635.
12. 3971137» 75360772.
13. 3676979. 79037751-
14. 3404610. 82442361.
15. 3152417. 85594778.
16. 2918905. 88513683.
17. 2702690. 91216373.
18. 2502491. 93718864.
19. 2317121. 96035985.
20. 2145482. 98181467.
21. 1986557. 100168024.
22. 1839405. 102007429.
23. 1703153. 103710582.
24. 1576994. 105287576.
25. 1460180. 106747756.
26. 1352019. 108099775.
27. 1251869. 109351644.
28. 1159138. 110510782.
29. 1073276. 111584058.
30. 993774- 112577832.



Tafel van Interest van 9.ten 100.
1. 9174312. 9174312.
2. 8416800. 175911x2.
3. 7721835. 25312947.
4. 7084252. 32397199.
5. 6499314. 38896513.
6. 5962673. 44859186.
7. 5470342. 50329528.
8. 5018662. 55348190.
9. 4604277. 59952467. 10. 4224107. 64176574. ïi. 3875328. 68051902. 12- 3555347- 71607249.
13. 3261786. 74869035.
14. 2992464. 77861499.
15. 2745380. 80606879.
16. 2518697. 83125576.
17. 2310731. 85436307.
18. 2119937. 87556244.
19. 1944896. 89501140.
20. 1784308. 91285448.
21. 1636980. 92922428.
22. 1501817. 94424245.
23. 1377814. 95802059.
24. 1264050. 97066x09.
25. 1159679. 98225788.
26. 1063926. 99289714.
27. 976079. 100265793.
28. 895485. 101161278.
29. 821546. 101982824. 3°. 753712. 102736536.



Tafel van Interest van io.ten 100.
1. 9090909. 9090909.
2. 8264463. 17355372.
3. 7513148. 24868520.
4. 6830135. 31698655.
5. 6209214. 37907869.
6. 5644740. 43552609.
7. 5131582. 48684191.
8. 4665075. 53349266.
9. 4240977. 57590243. 10. 3855434- 61445677. ïï. 3504940. 64950617.
12. 3186309. 68136926.
13. 2896645. 71033571.
14. 2633314. 73666885.
15. 2393922. 76060807.
16. 2176293. 78237100.
17. 1978448. 80215548.
18. 1798589. 82014137.
19. 1635081. 83649218.
20. 1486437. 85135655.
21. 1351306. 86486961.
22. 1228460. 87715421.
23. 1116782. 88832203.
24. 1015256. 89847459.
25. 922960. 90770419.
26. 839055. 91609474.
27. 762777. 92372251.
28. 693434. 93065685.
29. 630395. 93696080.
30. 573086. 94269166.



Tafel van Interest van i i.ten 100.
1. 9009009. 9009009.
2. 8116224. 17125233.
3. 7311914. 24437147.
4. 6587310. 31024457.
5. 5934514. 36958971.
6. 5346409. 42305380.
7. 4816585. 47121965.
8. 4339266. 51461231.
9. 3909249. 55370480. 10. 3521846. 58892326. ïï. 3172834. 62065160.
12. 2858409. 64923569.
13. 2575143. 67498712.
14. 2319949. 69818661.
15. 2090044. 71908705.
16. 1882923. 73791628.
17. 1696327. 75487955.
18. 1528223. 77016178.
19. 13 76777. 78392955.
20. 1240340. 79633295.
21. 1117423. 80750718.
22. 1006687. 81757405.
23. 906925. 82664330.
24. 817050. 83481380.
25. 736081. 84217461.
26. 663136. 84880597. 27- 59742°* 85478017.
28. 538216. 86016233.
29. 484879. 86501112.
30. 436828. 86937940.



Tafel van Interest van 12.ten 100.
1. 8928571. 8928571.
2. 7971938. 16900509.
3. 7117802. 24018311.
4. 6355180. 30373491.
5. 5674268. 36047759.
6. 5066311. 41114070.
7. 4523492. 45637562.
8. 4038832. 49676394.
9. 3606100. 53282494.
10. 3219732. 56502226.
11. 2874761. 59376987.
12. 2566751. 61943738.
13. 2291742. 64235480.
14. 2046198. 66281678.
15. 1826962. 68108640.
16. 1631216. 69739856.
17. 1456443. 71196299.
18. 1300396. 72496695.
19. 1161068. 73657763.
20. 1036668. 74694431.
21. 925596. 75620027.
22. 826425. 76446452.
23. 737879- 77184331.
24. 658821. 77843152.
25. 588233. 78431385.
26. 525208. 78956593.
27. 468936. 79425529.
28. 418693. 79844222.
29. 373833. 80218055.
30. 333779- 80551834.



Tafel van Interest van 13.ten 100.
1. 8849558. 8849558.
2. 7831467. 16681025.
3. 6930502. 23611527.
4. 6133188. 29744715.
5. 5427600. 35172315.
6. 4803186. 399755oi.
7. 4250607. 44226108.
8. 3761599. 47987707.
9. 3328849. 51316556. 10. 2945884. 54262440. u. 2606977. 56869417.
12. 2307059. 59176476.
13. 2041645. 61218121.
14. 1806765. 63024886.
15. 1598907. 64623793.
16. 1414962. 66038755.
17. 1252179. 67290934.
18. 1108123. 68399057.
19. 980640. 69379697.
20. 867823. 70247520.
21. 767985. 71015505.
22. 679633. 71695138.
23. 601445. 72296583.
24. 532252. 72828835.
25. 471019. 73299854.
26. 416831. 73716685.
27. 368877. 74085562.
28. 326440. 74412002.
29. 288885. 74700887.
30. 255650. 74956537-



Tafel van Interest van den penninck 17.
1. 9444444. 9444444.
2. 8919753. 18364197.
3. 8424211. 26788408.
4. 7956199. 34744607.
5. 7514188. 42258795.
6. 7096733- 49355528.
7. 6702470. 56057998.
8. 6330111. 62388109.
9. 5978438. 68366547.
10. 5646303. 74012850.
11. 5332619. 79345469.
12. 5036362. 84381831.
13. 4756564. 89138395.
14. 4492310. 93630705. 15- 4242737. 97873442.
16. 4007029. 101880471.
17. 3784416. 105664887.
18. 3574r7i- 109239058. *9- 33756o6. 112614664. 29. 3188072. 115802736.
21. 3010957. 118813693.
22. 2843682. 121657375.
23. 2685700. 124343075.
24. 2536494. 126879569.
25. 2395578. 129275147.
26. 2262490. !3i537637.
27. 2136796. 133674433.
28. 2018085. 135692518.
29. 1905969. 137598487.
30. 1800082. 139398569.
D 3



Tafel van Interest van den penninck 18.
1. 9473684. 9473684.
2. 8975069. 18448753.
3. 8502697. 26951450.
4. 8055186. 35006636.
5. 7631229. 42637865.
6. 7229585. 49867450.
7. 6849081. 56716531.
8. 6488603. 63205134.
9. 6147098. 69352232. 10. 5823567. 75175799n. 5517063. 80692862.
12. 5226691. 85919553.
13. 4951602. 90871155.
14. 4690991. 95562146.
15. 4444097. 100006243.
16. 4210197. 104216440.
17. 3988608. 108205048.
18. 3778681. 111983729.
19. 3579803. 115563532. 2°. 3391392. 118954924.
21. 3212898. 122167822.
22. 3043798. 125211620.
23. 2883598. I28095218.
24. 2731830. 130827048.
25. 2588049. I33415097.
26. 2451836. 135866933.
27. 2322792. 138189725.
28. 22OO54O. 140390265.
29. 2084722. 142474987.
30. I975000. 144449987.



Tafel van Interest van den penninck 19.
1. 9500000. 9500000.
2. 9025000. 18525000. 3- 8573750. 27098750.
4. 8145062. 35243812.
5. 7737809. 42981621.
6. 7 350919. 50332540.
7. 6983373. 573I59I3-
8. 6634204. 63950117.
9. 6302494. 70252611.
10. 5987369. 76239980.
11. 5688001. 81927981.
12. 5403601. 87331582. *3- 5Ï33421- 92465003.
14. 4876750. 9734I753-
15. 4632912. 101974665.
16. 4401266. iq637593I.
17. 4181203. 110557134.
18. 3972143. 114529277. *9- 3773536. 118302813.
20. 3584859. 121887672.
21. 3405616. 125293288.
22. 3235335- 128528623. 23- 3073568. 131602191.
24. 2919890. 134522081.
25. 2773895. 137295976.
26. 2635200. 139931176.
27. 2503440. 142434616.
28. 2378268. 144812884.
29. 2259355. 147072239.
30. 2146387. 149218626.
D 4



Tafel van Interest van den penninck 20.
Nota
Dese tafel is de voorgaende tafel van 5.ten ioo.ghelijck.
Tafel



Tafel van Interest van den penninck 21.
1. 9545455- 9545455-
2. 9111571. 18657026.
3. 8697409. 27354435.
4. 8302072. 35656507.
5. 7924705. 43581212.
6. 7564491. 51145703.
7. 7220650. 58366353.
8. 6892439. 65258792.
9. 6579146. 71837938.
10. 6280094. 78118032.
11. 5994635. 84112667.
12. 5722152. 89834819.
13. 5462054. 95296873.
14. 5213779. 100510652.
15. 4976789. 105487441.
16. 4750571. 110238012.
17. 4534636. 114772648.
18. 4328516. 119101164.
19. 4131765. 123232929.
20. 3943958. 127176887.
21. 3764687. 130941574.
22. 3593565. I34535I39-
23. 3430221. 137965360.
24. 3274302. 141239662.
25. 3125470. 144365132.
26. 2983403. 147348535.
27. 2847794. 150196329.
28. 2718349. 152914678.
29. 2594788. 155509466.
30. 2476843. 157986309.
D 5



Tafel van Interest van den penninck 22.
1. 9565217. 9565217.
2. 9149338. 18714555.
3. 8751541. 27466096.
4. 8371039. 35837I35-
5. 8007081. 43844216.
6. 7658947. 51503163. 7- 7325949. 58829112.
8. 7007429. 65836541.
9. 6702758. 72539299.
10. 6411334. 78950633.
11. 6132586. 85083213.
12. 5865946. 90949159.
13. 5610905. 96560064.
14. 5366953. 101927017. *5- 5Ï33607. 107060624.
16. 4910407. 111971031.
17. 4696911. 116667942.
18. 4492697. 121160639.
19. 4297362. 125458001.
20. 4110520. 129568521.
21. 3931802. 133500323.
22. 3760854. 137261177. 23- 3597339- 140858516.
24. 3440933. 144299449.
25. 3291327. 147590776.
26. 3148226. 150739002.
27. 3011347. 153750349.
28. 2880419. 156630768.
29. 2755183. 159385951.
30. 2635392. 162021343.
Eynde der Tafelen.



Tafelen van Interest.
Nota
Ouermidts alle interst reden die metten hondert wtghesproken wordt/is altijdt oock eenighe interests reden die metten penninck can wtghesproken worden/ende ter contrarien (als by exempel 5.ten 100.mach oock gheseyt worden dê penninck 20.) zullen wy alles tot meerderen gherieue haere comparatien (zoo verre onse tafelen strecken) verclaeren aldus
1 , 100 15 [6|
2 g 50 16 Sr1 6i >_)
3 33* •§ 17 S 5
4 o 25 c 18 0 5f tr
¥ ^ { K f O
5 m' 20 a 19 ~ 5ts 3
6 £ 16| c 20 ^ 5 ro*
7 0 I4f Q 21 5* 4if r*
8 « I2| 22 4T®r
9 [ w
10 ST 10
11 9 TT
12 «
13 g 7ïV
14 3. 7t
15 8 61
16 ** 61
De



Tafelen van Interest.
De tafelen dan alsoo bereydt zijnde/zullen nu volghen de exempelen dienende tot de voorschreuen 3.propositiê/welcker exempelen ierste aldus is:
Exempel i.
Men begheert te weten wat Hooft-somme 380.lb.met haeren gbecomponeerden profijtelijcken interest teghen 11.ten xoo.t'siaers op 8.iaeren bedraeghen zal.
Constructie.
Men sal sien in de tafel van 11.ten 100.wat ghetal datter respondeert op het achtste iaer/wordt bevonden 4339266.waer deur men zegghen zal 4339266.gheuê 10000000. (welcke 10000000. den wortel van de tafel zijn) wat 380.1b?
facit 875 Issilie lb.
Nota.
Wy sullen in de volghende exempelen ghemeynelick achter de gheheele ponden het ghebroken stellen sonder tzelfde ghebroken in radicem fractionis te conuerteren/dat is/ad numeros inter se primos.oft oock sonder fl ende gr.daer wt te trecken/op dat de solutien alsoo te claerder blijuen/ wantet ghenoegh is datmen sulcks in praxi doet.
No-



Tafelen van Interest. Nota.
Soomen wilde weten wat den interest van dit exempel bedraecht/soo salmen de 380 lb. af treekenrvan de 875 fstllgg lb.rest 495 tüglgfl lb. voor den interest van acht iaeren/s'ghelijcks zalmen oock moghen doen in alle de volghende exempelen.
Exempel 2.
Men begheert te weten wat Hooft-somme 800.lb.met haeren ghecomponeerden profijtelijcken interest teghen den penninck i5.t'siaers op 16I iaeren bedraeghen zal.
Constructie.
Men zal van wegê een half iaer/eê half adderê tot I5.(dese 15.is van weghen den penninck 15.) maeckt 15 1 ende multiplicerê daer naer 3560740. (welck t'ghetal is responderende op het 16.iaer in de tafel van den penninck 15.) met de 15. gheeft productum 53411100.t'zelfde zalmen diuideren door de i5i/gheeft quotum 3445877.1'welck een ghetal is responderende op het i6i iaer / ende staen zoude tusschen het 16.ende 17.iaer in de tafel van den penninck I5.by aldien de tafel van halue iaere tot halue iaere ghemaeckt waere.
Daer



Tafelen van Interest.
Daer naer zalmen zegghen 3445877.gheuen iooooooo.wat 800 lb?
f"3Clt T 21194 8,3 1U
idtlL ^ ¥4 4 5 8 7 7 1U'
S'ghelijcks zal oock zijn d'operatie in alle andere deelen des iaers/want waerender tot eenighe iaerê dry maendê/so zoudemen/(om dat dry maenden een vierendeel iaers is) dan opereren met een vierendeel/ghelijckmen bouen ghedaen heeft met een half/ende soo voort met alle ander deel des iaers/ghelijck van deser ghelijcke breeder ghetracteert is int 3.exempel der 2.prop.
Nota.
Onder de ghene die in de Arithmeticque van interest gheschreuen hebben/en is my gheen ter handt ghecomen die van den interest subtijlder getracteert heeft/dan Jan Trenchant/is oock een Arithmeticque die by velen niet weynich gheacht en is: want de derde druck der zeluer wtghegaen is. In de zelue Arithmeticque hebbe ick zeker erreur van den interest bemerckt/t'welck (aenghesien om des zelfden authoriteyt zulck erreur te schadelicker mocht zijn) niet onbillich en schijnt al hier verclaert te worden aldus.Int 3.boeck cap.9.art.
io.zeght Trenchant op een deel des termijns zonder gheheele verschenen termijnen ofte termijn gecomponeerden profijtelicken interest te connen geschieden zegghende de nghecomponeerden profijtelicken



Tafelen van Interest.
tal salmen ten naesten zoecken door alle de tafelen op het thiende iaer/wordt bevonden in de tafel van io.ten ioo.al waer men vindt 3855434.
waer door men zegghen zal dese interests reden te zijne teghen 10.ten ioo.t'siaers bycans/maer want 3855434.wat minder zijn dan 3857281.soo zalmen zegghen dese interests reden een weynich minder te zijne dan teghen 10.ten 100.
Maer tot een perfecte solutie deser ende dergelijcke questien/ist noodich dat men onder zijn tafelen hebbe een tafel van alzulcken interests reden als daer questie af is/dies niet/zoo en kanmen de solutie maer bycans zegghen/t'welck in de practijcke oock dickmael ghenoech is.
Exempel 8.
Men begheert te weten hoe langhe 800.lb.
loopen zullen teghen ghecomponeerden profijtelicken interest van den penninck 17.t'siaers/om met haeren interest t'saemen weerdich te zijne 2500.1b.
Constructie.
Men sal zegghen 25oo.lb.geuê 10000000. wat gheuen 8oo.lb?facit 3200000.t'zelfde ghetal salmen zoecken ten naesten ende meerder in de tafel van den penninck 17.wordt bevonden 3375606.responderende op liet 19.iaer.Ergo
ig.iae-
E5



Tafelen van Interest.
i9.iaeren zullen de 8oo.lb.loopen. Maer om nu te vinden wat deel des iaers de voornoemde 800.lb.noch te loopen hebben/zoo zalmen de 3375606.multipliceren met 17. (met 17. van weghen den penninck 17.) gheeft productum 57385302.t'zelue zalmen diuideren door de 3200000.gheeft quotum 17IMt010 welcke 17. men veriaeten zal ende hebben alleene opsicht op het ghebroken/welcke ons alzulck een deel des iaers beteeckent als de 800.lb.noch bouen de i9.iaeren te loopen hebben/te weten in als igffooooo iaerê.
Exempel 9.
Eenen ontfangt 700.1b.voor ghecomponeerden profijtelicken interest tegen 13.ten ioo.t'siaers voor 9-iaeren.De vraeghe is wat d'Hooft somme was.
Constructie.
Men zal zien in de tafel van 13.ten 100.wat ghetal datter respondeert op 9.iaeren/wordt bevonden 3328849.t'zelfde zalmen trecken van 10000000.rest 667115 i.daer naer salmen zegghen/interest 6671151.heeft Hooftsomme 3328849.wat Hooft-somme zal hebben interest 700.1b ?facit 349 Hfff !rHb.
Demonstratie.
Ghelijck int ierste exempel deser propositien
hem



Tafelen van Interest.
hem heeft t'ghereede tot het ghene verschijnen zal binnen 8.iaeren daer naer rekenende profijtelicken interest teghen ii.ten ioo.t'siaers (want zulck is de conditie des voornoemden exempels) alsoo heeft hem 4339266.tot 10000000.door de tafelê/ende zoo hem heeft 4339266.tot 10000000. alsoo heeft hem oock 380.1b.tot 875 lb. door
de constructie.Ergo 875 forlM lb. is des iersten exempels waere solutie.Sghelijcks zal ook zijn de demonstratie van alle die ander exempelen/welck wy om de cortheyt hier achter laetê.Alsoo dan wesende verclaert Hooft-somme tijdt ende interests reden van ghecomponeerdê profijtelicken interest/ hebben wy ghevonden wat d'Hooft-somme met haeren interest bedraecht/t'welck gheproponeert was alsoo ghedaen te worden.
Propositie IIII.
Wesende verclaert Hooft-somme tijdt ende interests reden van ghecomponeerden schadelicken interest:Te vinden wat die ghereet ghelt weerdt is,.
Exempel 1.
Het zijn 700.1b.te betaelen ten eynde van thien iaeren.De vraeghe is wat die ghereet weerdich zijn/aftreckende ghecomponeerden interest teghen 12.ten ioo.t'siaers.
Con-



Tafelen van Interest.
Constructie.
Men sal sien in de tafel van 12.ten 100.wat ghetal datter respondeert op de 1 o.iaeren/wordt bevonden 3219732.waer door men segghen zal 10000000.gheuen 3219732.wat gheuen 700.1b?facit 225-fyWoV 1b.
Exempel 2.
Het zijn 600.lb. te betaelen binnen 13! iaeren. De vraeghe is wat die weerdich zijn ghereedt aftreckende ghecomponeerden interest teghen 14. ten ioo.t'siaers.
Constructie.
Men sal zien in de tafel van 14.ten 100.wat ghetal datter respondeert op het 13.iaer/wordt bevonden 1820695.t'zelfde zalmen multipliceren met ioo.gheeft productum 182069500.
t'welck men diuideren sal door 107. (te weten met ioo.ende 7.daer toe ghedaen van weghen een half iaer interest) gheeft quotum 1701584.
t'welck een ghetal is dat in de tafel responderê zou de op het 13 1 iaer/by aldien de tafelen met halue iaeren ghemaeckt waerêjdaer naer salmen seggen 10000000.gheuen 1701584.wat gheuen 6oo.lb?facit i02r<HHHblb.
S'ghelijcks zal oock zijn d'operatie in alle andere



Tafelen van Interest.
dere deelen des iaers/want waerender tot eenighe iaeren dry maenden/zoo zoudemen (om dat 3.dry maenden is een vierendeel iaers) dan diuideren (in de plaetse daer bouen met io7.ghediuideert is) met 1031/ende soo voorts met alle ander deel des iaers/ghelyck van deser ghelijcke breeder ghetracteert is int 3.exempel der 2.propositien.
Exempel 3.
Eenen is schuldich te betaelen binnen 5.iaeren 800.lb.ende binnen 4.iaeren daer naer noch 600.lb. De vraeghe is wat die t'saemen ghereedt weerdich zijn/aftreckende ghecomponeerden interest teghen 15.ten ioo.t'siaers.
Constructie.
De 8oo.lb.op 5.iaeren zullen ghereedt weerdich zijn door het ierste exempel deser propositien 397tVWot lb.ende de 6oo.lb.op 9.iaeren zullen ghereedt weerdich zijn door t'voornoemde ierste
xirnlrl/rt ftirnn rrttvitvi A l-> r\ s\ Vx r\
de t'saemen 5681V0W0 lb.is de solutie.
Exempel 4.
Eenen is schuldich 2000.lb.te betaelen ten eynde van 2 7.iaeren.De vraeghe is wat die weerdich zijn te betaelen ten eynde van 9.iaeren aftreckende ghecomponeerden interest den penninck 19.
Con-