BIBLIOTHEEK RU GRONINGEN 2441 5818 HAARLEM. DE ERVEN DOOSJES. 1918. TE,. TIVITEITSBEGINSEL. DRIE VOORDRACHTEN GEHOUDEN IN TEYLER’S STICHTING ' DOOR W. H. A. LORENTZ. BEWERKT DOOR DR. W. H. KEESOM. HAARLEM. DE ERVEN DOOSJES. 1913. HET RELATIVITEITvSBEGINSEL DRIE VOORDRACHTEN GEHOUDEN IN TEYLER’S STICHTING DOOR DE. H. A. LORENTZ. BEWERKT DOOR DR. W. H. KEESOM. Het relativiteitsbeginsel, dat wij aan Einstein x) te danken hebben, beweert dat de verschijnselen ineen stelsel van lichamen alleen afhankelijk zijn van de standen en bewegingen van die lichamen ten opzichte van elkander, in dien zin dat het feit, dat een stelsel van lichamen in zijn geheel een of andere standvastige translatie heeft, op de verschijnselen, die zich in dat stelsel afspelen, geenerlei invloed heeft. Op het eerste gezicht krijgt men allicht den indruk, dat dit laatste vanzelf spreekt. Dat men ooit iets anders verwacht, of althans vroeger verwacht heeft, is hieraan te wijten, dat men zich gedurende langen tijd algemeen heeft voorgesteld, dat althans bij electrische en optische verschijnselen een „lichtaether” medewerkt. Deze lichtaether nu zou in twee laboratoria, waarvan het eene eene translatie met betrekking tot het andere heeft, ten opzichte van deze laboratoria eene verschillende beweging kunnen hebben, wat dan allicht een verschil in het verloop der verschijnselen in die beide laboratoria ten gevolge zou hebben. Het relativiteitsbeginsel van Einstein hangt dus nauw samen met de rol, die wij aan den lichtaether toekennen. Herinneren wij ons kortelings de oude voorstellingen aangaande dit medium. *) A. Einstein. Zur Elebtrodynamik bewegter Körper. Ann. d. Phys. (4) 17 (1905), p. 891. 1 Huygens ]) stelde zich den lichtaether niet zoo heel veel verschillend van gewone stoffen voor, Fresnel, Cauchy evenzoo. Volgens hen bestaat ook de aether uit kleinste deeltjes, atomen. Dergelijke voorstellingen vindt men bij Maxwell 2) en Lord Kelvin 8). Lodge 4) berekende zelfs nog niet lang geleden de dichtheid van den aether. Met het oog op de voortplanting der lichttrillingen wordt de aether in die oude theorieën als een elastisch médium beschouwd, en wel, daar de lichttrillingen transversaal zijn, als een medium met de eigenschappen vaneen vast lichaam. De hemellichamen zouden echter bij hunne beweging van die middenstof volstrekt geen weerstand ondervinden. Dit stempelt den aether reeds tot iets zeer bijzonders. ' Fresnel 5) moest bij zijn aberratie-theorie den aether als stilstaand aannemen. De lichamen, zelfs de geheele aarde, zouden dan voor den aether geheel doordringbaar zijn en dezen bij hunne beweging volmaakt in rust laten. Dit is de theorie van den rustenden aether. Wij denken ons, dat men ineen laboratorium bezig is met het bestudeeren vaneen of ander verschijnsel, en dat het laboratorium zich met eene standvastige translatiesnelheid door den aether beweegt. Men kan dit ook zoo uitdrukken, dat de aether ten opzichte van het laboratorium een standvastige translatiesnelheid bezit. Door het geheele vertrek en alle daarin geplaatste toestellen waait met overal gelijke snelheid een aetherwind. Tengevolge van de beweging van de aarde om de zon zal dit in onze laboratoria steeds het geval zijn. Zou deze aetherwind nu bij optische en electromagnetische proeven in hef’ geheel geen invloed hebben? Aan de beantwoording dezer vraag is lang gewerkt. Daar de snelheid van de aarde om de zon slechts ongeveer 1/1 oo o o van de voortplantingssnelheid van het licht bedraagt, *) Chr. Huygens. Traité de la lumière. Leiden 1690, Ostwald’s Klassiker Nr. 20. 2) J. C Maxwell. On action at a distance. Nature 7 (1873), p. 323, 341. 3) Lord Kelvin. Baltimore Lectures on molecular dynamics and the wave theory of light. London 1904. 4) O. Lodge. The density of the aether. Phil. Mag. (6) 13 (1907), p. 488. 6) Lettre de Presnei. a Arago, Sur Tinfluence du mouvement terrestre dans quelques phénomènes d’optique. Ann. de chim. et de phys. 9 (1818), p. 57. Oeuvres complètes de Presnel, t. 2, p. 627. punten voor. PQ heeft de richting van de translatie der aarde in hare jaarlijksche beweging om de zon. PR staat loodrecht daarop. PQ PR = l. Van Puit plant zich een lichtstraal met de snelheid c voort inde richting PQ; eveneens gaat een lichtstraal met dezelfde snelheid van Puit naar R (deze bundels worden verkregen uit één enkelen bundel, die in Pin de richting PQ aankomende, onder een hoek van 45° op eene doorschijnende glasplaat G valt). In Q en R zijn spiegels loodrecht op PQ, resp. PR geplaatst. Het geheel heeft de translatiesnelheid v. Hoe staat het nu met de tijden van heen- en weergang langs PQ en PR? *) A. A. Michelson. The relative motion of the earth and the luminiferous ether. Amer. Jonrn. of Science (3) 22 (1881), p. 20; A. A. Michelson and E. W. Morley. Amer. Journ. of Science (3) 34 (1887), p. 333. kan men verwachten dat de effecten bij proeven, waarbij de voortplanting van het licht wordt bestudeerd, klein zullen zijn. Men kan verwachten, dat sommige, vergeleken met het hoofdverschijnsel, van dezelfde orde van grootte zullen zijn als °/c (v = translatiesnelheid van de aarde of meer algemeen van het systeem, c = voortplantingssnelheid van het licht), terwijl andere effecten van de tweede orde van kleinheid vergeleken met VJC zijn, enz. Wij zullen onmiddellijk vooropstellen dat geen dier effecten vaneen aetherwind op de verschijnselen ooit is waargenomen. Nu gelukte het vrij gemakkelijk eene theorie op te stellen die rekenschap ervan gaf, dat effecten van de eerste orde van grootte niet optreden. Men zou zich nu kunnen voorstellen, dat de effecten van de tweede orde van grootte te klein zijn om waargenomen te kunnen worden. Dit is echter bij een beroemde proef van Michelson !), waarvan het denkbeeld het eerst bij. Maxwell is opgekomen, geenszins het geval. P, Q en R stellen in Fig. 1 vast met de aarde verbonden Fig. 1. Voor den tijd, noodig voor den heen- en weergang tusschen P en Q, vindt men gemakkelijk (men herinnere zich dergelijke vraagstukken uit de rekenkunde: twee voetgangers tegelijk van P en Q naar rechts gaande, en een ijlbode terzelfder tijd van P vertrekkende, Q inhalende deze bevindt zich dan in QL daarna terugkeerende en Pin P2 ontmoetende): 1,1 2lc _2l 1 m c—v c-\-v —'ir c 1 v* 1~~ & Ter berekening van den tijd, noodig voor den heen- en weergang tusschen P en R, bedenke men dat de lichtstraal R zal treffen wanneer dit punt zich b.v. in R3 bevindt (past men de constructie van Huygens toe voor den in P onder een hoek van 45° geplaatsten spiegel, bedenkende dat deze zich met eene snelheid v voortbeweegt, dan blijkt de lichtstraal zich inderdaad in eene richting PR% voort te planten). Na in R> te zijn teruggekaatst zal de lichtstraal P treffen wanneer dit punt zich in Pi bevindt. PRaPi is een gelijkbeenige driehoek, de snelheid van het licht langs PR3 en R3P4 is gelijk aan c. Uit de evenredigheid PA : PR3 v.c, enAA3R3 = l vindt men /•/£. • 'r> c2—v2 waarna voor den gezochten tijd van heen- en weergang gemakkelijk volgt -gj-.g*.l (2) 1/ C2 V2 c ] V2 Het verschil der door (1) en (2) voorgestelde tijden is bij benadering ' (3) c cz waaruit voor het verschil der doorloopen wegen volgt l.\, (4) Dit verschil zou, indien het inderdaad bestond, met behulp van eene gevoelige interferentiemethode bemerkt kunnen worden. Miciielson beschouwde de interferentiefiguur, gevormd door het door de glasplaat G teruggekaatste deel van den bundel Qi P2 en het door dien spiegel doorgelaten deel van den bundel R3 Pi, en wel lette hij er in het. bijzonder op of deze interferentiefiguur bij het draaien van den geheelen toestel met inbegrip van de lichtbron en den kijker waarin de interferentiefiguur waargenomen werd, zich in dezen kijker verplaatste. Men kan zich voorstellen dat bij het ronddraaien nu eens de arm PQ en dan weer de arm PR inde richting der aardbeweging gebracht wordt, en stemde nu de boven verkregen uitkomst inderdaad met de werkelijkheid overeen, dan zou Michelson de door beide interfereerende bundels tusschen P en Q, resp. R doorloopen wegen bedroegen door herhaalde terugkaatsing ruim twintig meter eene verschuiving der interferentiestrepen hebben moeten waarnemen. Dit was echter niet het geval, wat bij herhaling dezer proef door anderen bevestigd is x). Het ziet er dus naar uit alsof de aetherwind, waarvan straks sprake was, niet bestaat. Hoe is nu deze uitkomst te verklaren? Wordt de aether met een zich bewegend lichaam meegenomen? Dit wordt aangenomen inde aberratietheorie van Stores, die echter op vrijwel onoverkomelijke bezwaren stuit. Inde emissietheorie van Newton komt de moeilijkheid in het geheel niet voor. Werd het licht als materieele deeltjes door de lichtbron uitgezonden op overeenkomstige wijze als b.v. een kogel uiteen kanon wordt voortgeschoten, dan zou, zooals men gemakkelijk inziet, inde tijden voor den lubben weergang tussclien P en Q geen verschil bestaan. De reden hiervaK'is dat de uitgezonden lichtdeeltjes, belmßm hunne gewone snelheid c, ook nog/fte snelheid v der lichtbron zouden hebben7I'Brengt men nu, zooals Ritz 2) gedaan heeft, deze onderstelling op de lichtgolven over, dan is eveneens de negatieve uitkomst der proef verklaard. Het postulaat van Ritz kan echter, gelijk de Sitter 3) lieeft opgemerkt, niet aangenomen worden. Laat A 1) E. W. Morley and D. C. Miller. Eeport of an experiment to defect the Eitz Glerald-Lorentz effect. Phil. Mag. (6) 9 (1905), p. 680. 2) W. Eitz. Recherches critiques sur l’électrodynamique générale. Ann. de chim. et de phys. (8) 13 (1908), p. 145. 3) W. de Sitter. Een bewijs voor de onveranderlijkheid van de snelheid van het licht. Zitingsversl. Akad. Amsterdam 21 (1913), p. 1188. en B (Fig. 2) de twee componenten vaneen (spectroscopische) dubbelster voorstellen, en stellen wij ons gemakshalve voor, dat deze zich om hun gemeenschappelijk zwaartepunt M bewegen ineen vlak 'gaande door den inde richting naar P op zeer grooten afstand zich bevindenden waarnemer. Het is duidelijk, dat volgens de onderstelling van Ritz een lichtsignaal door ,1 uitgezonden den waarnemer later zal bereiken dan een tegelijkertijd door B uitgezonden lichtsignaal, als de snelheden dier beide lichamen op het oogenblik van uitzending der signalen door de pijltjes worden aangewezen. Volgens de berekeningen van de Sittek zou dit verschil in aankomst der twee lichtsignalenJ) merkbaar moeten zijn. De gevolgen nu, die dit alles op de betrekkelijke beweging der dubbellijnen in het spectrum der dubbelster zou hebben, zijn in strijd met de werkelijkheid. Wij moeten wel aannemen dat het licht inden aether steeds voortgaat met de snelheid c. Dan blijft de moeilijkheid betreffende de verklaring der negatieve uitkomst van de proef van Michelson bestaan. Deze moeilijkheid nu is opgelost door de contractie-hypothese 2). Volgens deze worden alle afmetingen van den toestel,' die de richting der translatiebeweging hebben, verkort, en wel inde verhouding van 1 tot ■ ■ <«> Deze verhouding is zoo gekozen, dat daardoor juist de moeilijkheid opgelost wordt. Dat dit inderdaad het geval is ziet men gemakkelijk in wanneer men let op de verandering, die hierdoor de tijd van heen- en weergang tusschen P en Q ondergaat, men zie form. (1). Op het eerste gezicht lijkt deze hypothese zeer vreemd. Inderdaad is dit echter niet zoo erg. De molekulaire krachten kunnen heel wel gewijzigd worden bij de beweging' vaneen lichaam door den aether heen, eene voorstelling, die voor de hand ligt ‘) Voor een bepaald geval berekent de-Sitter daarvoor 4 dagen. 2) H. A. Lorentz. Zittingsversl. Akad. Amsterdam 1 (1892), p. Versuch einer Theorie der electrischen und optisoben Ersebeinungen in bewegten Körpern, Leiden 1895, p. 120. Fitz Gerald was tot dezelfde hypothese gekomen en had deze op zijne colleges behandeld, zie 0. Lodge, Aberration problems, London Phil. Trans. A 184 (1893), p. 727. als men aanneemt dat ook deze krachten door tusschenkomst van den aether uitgeoefend worden. Intusschen kon men met de verklaring van liet negatieve resultaat van de proef van MicHelson uit de contractie-hypothese niet volstaan. Er zijn verschillende proeven genomen, die moesten dienen om nog andere effecten van de tweede orde vergeleken met v[c te vinden. Ook van het daarbij verkregen negatieve resultaat moest rekenschap worden gegeven. Zoo komt men tot de vraag of het niet mogelijk is eene algemeene theorie der electromagnetische verschijnselen te ontwikkelen voor alle mogelijke waarden van vjc waarbij wij echter steeds v< c onderstellen: waarden van v grooter dan de lichtsnelheid c zullen wij buiten beschouwing laten. Bij het zoeken naar zulk eene theorie is het wenschelijk gebleken ook voor elk afzonderlijk electron eene contractie als door formule (5) wordt aangewezen, aan te nemen. Gaat men op deze wijze voort, dan blijft er echter inde theorie iets tastends, iets onbevredigends. Meer principiesh-gifig' Einstein te werk, door op den voorgrond_tfi stellen het principe dat steeds en in verschijnselen ineen systeem onafhankelijk zullen zijn van de translatiesnelheid, die het in zijn geheel heeft. o Dit is eene physische hypothese, waarover ten slotte de waarneming uitspraak zal moeten doen. Overigens beveelt zij zich al aanstonds door hare stoutmoedigheid zeer aan. c Wij stellen ons voor twee waarnemers A en B. B heeft eene translatiesnelheid ten opzichte van A. Beide waarnemers doen proeven over allerlei verschijnselen. Zij hebben meetwerktuigen: ‘ meetstaven, uurwerken, galvanometers, enz. Wij onderstellen dat deze meetwerktuigen ten opzichte van de respectievelijke waarnemers in rust zijn. De meetwerktuigen der beide waarnemers worden volkomen gelijk ondersteld. Dat wil zeggen, wij kunnen ons b.v. voorstellen dat er eenmaal gelegenheid geweest is om die werktuigen, terwijl zij ten opzichte van elkander in rust waren, met elkander te vergelijken, en dat er toen geconstateerd is, dat zij volkomen gelijk waren. De beide waarnemers zullen vergelijkingen opstellen, waarmede zij de verschijnselen beschrijven. Zij zullen daarbij gebruik maken van coördinatenstelsels, stel dat dit zijn rechthoekige Cartesiaansche, evenals de klokken rustend ten opzichte van den waarnemer, die er gebruik van maakt. A noemt zijne coördinaten x, y, z. Zijne klokken geven den tijd t. B noemt zijne coördinaten x', y', z'. Diens klokken geven hem den tijd t‘. Er kan verschil tusschen de door A en de door B gebruikte coördinaten bestaan, men denke aan de contractiehypothese. Ook de gang der klokken kan verschillend zijn. Stel nu dat A en B hetzelfde verschijnsel beschouwen. De die B aan de daarbij voorkomende coördinaten en tijden toeschrijft, hangen met de coördinaten en de tijden, waarmede A het verschijnsel beschrijft, samen en wel op eene wijze die tot 1 op zekere hoogte bepaald is, als het relativiteitsbeginsel, inden vorm dien wij er aanstonds aan zullen geven, zal gelden. De vorm der transformatieformules hangt van de richting af, die de wederkeerige translatie der waarnemers ten opzichte van de coördinaatassen heeft. De coördinaatassen der beide stelsels worden voortdurend onderling evenwijdig gedacht. Laten wijde 2-as met de richting der translatie samenvallen, dan kunnen wijde formules inden volgenden vorm brengen: x' —x, y' —y, z' —az bet, t' =at— ~z .. . . (6) Hierin zijn a en b twee constanten, die volgens de vaste betrekking a? b2 = 1 (7) met elkaar verbonden zijn, terwijl wij verder a > 0 kunnen onderstellen, c is als steeds de lichtsnelheid. x, y, z, tin de met accenten voorziene grootheden uitdrukkende vindt men uit (6), van (7) gebruik makende, x x', y = y', z—az' +b c t', t = at' -\-—-z' . . . (8) Deze vergelijkingen kunnen uit (6) verkregen worden door de met accenten voorziene grootheden met de grootheden zonder accent te verwisselen en tevens het teeken van kom te keeren. Vestigt men de aandacht op den oorsprong van het coördinatenstelsel van B (x' =y'= z' = 0), dan blijkt uit de eerste drie vergelijkingen van (6), dat dit zich met eene snelheid v = c (9) a inde richting van de z-as ten opzichte van het coördinatenstelsel van A beweegt. Uit (7) en (9) volgt nu gemakkelijk v a= -—} -.- , b = c (10) V'-$ K-l Wij zouden nu voor allerhande andere grootheden de transformatieformules kunnen gaan opschrijven, met behulp van welke men van eene beschrijving dier grootheden in het stelsel x, y, z, t van A kan komen tot de beschrijving in het stelsel x',y',z',t' van B. Wij zullen ons echter vooreerst tot één voorbeeld beperken, nl. tot het geval vaneen enkel punt, dat zich op willekeurige wijze beweegt. Uit (6) leidt men af dat tusschen de gelijktijdige veranderingen der acht grootheden de volgende betrekkingen bestaan: dx'—dx, dy' dy, dz' = adz bedt, dt' = adt— —dz . . (11) ■ Hieruit vindt men gemakkelijk de transformatieformules voor de snelheidscomponenten x) , dx V x V x " x=dV h ’ «-7V, , en evenzoo f v, _ h _avs~6c (12) als | bws co = a c is, en \x, sy, V- de snelheidscomponenten van het punt in het systeem van A, \'x, \'y, V'- die in het systeem van B voorstellen. Hierbij valt weer op te merken, en iets dergelijks geldt van alle later voorkomende transformatieformules, dat men de omgekeerde formules verkrijgt, als men de grootheden met en de overeenkomstige grootheden zonder accenten met elkaar verwisselt en tevens het teeken van b omkeert. >) Wij stellen vectoren door vette letters voor en hunne componenten door dezelfde letters met geschikte indices. Yoor de grootte van vectoren gebruiken wij ook de overeenkomstige kursieve letters. Het relativiteitsbeginsel kan nu zóó worden uitgedrukt: als Ade verschijnselen beschrijft met behulp van vergelijkingen in welke x, y, z, t, de snelheden Vx, \y, v2, en verdere grootheden als versnellingen, krachten, enz., voorkomen, en als B hetzelfde doet met vergelijkingen die de overeenkomstige door hem in te voeren grootheden bevatten, welke grootheden steeds door accenten van die van A onderscheiden worden en met deze door transformatieformules van bepaalden vorm verbonden zijn, dan zullen de vergelijkingen van B dezelfde gedaante hebben als die van A, zoodat zij daaruit verkregen worden als men de grootheden zonder accenten door de grootheden met accenten vervangt. Uit dit postulaat leidt men onmiddellijk het volgende af: is er een verschijnsel, waarbij de grootheden zonder accenten op eene bepaalde wijze van elkaar afhangen, dan is ook mogelijk een verschijnsel, waarbij de grootheden met accenten op dezelfde wijze van elkaar afhangen. Is voor A dus zeker verschijnsel mogelijk, dan is ook mogelijk een verschijnsel, dat zich op dezelfde wijze aan B voordoet. Dit verschijnsel stelt dan in werkelijkheid een ander geval voor dan het eerste en men kan zich afvragen, hoe dit geval zich aan A voordoet. Het relativiteitsbeginsel geeft aldus de mogelijkheid om uit het bestaan van één verschijnsel de mogelijkheid vaneen ander verschijnsel af te leiden. Het leert uit verschijnselen in eert stelsel lichamen, dat ten opzichte van A in rust is, voorspellen verschijnselen in een systeem, dat voor A in beweging is. Uit (6) volgt onmiddellijk z'-\-ct' =(a b)(z-\-ct), z'— ct’—(a+ b) (z ct) . . (13) Vermenigvuldigt men beide vergelijkingen met elkander, neemt men (7) in acht en voegt men aan de beide leden der verkregen vergelijking V2 -j- y'2 resp. x2 +y2 toe, dan verkrijgt men de belangrijkste betrekking van de relativiteitstheorie: x2 + y'2 -j- z'2 c2 t'2 =x2 +y2 -\- z2 c2 t2 ... (14) Onderstel nu dat op den tijd t = 0 van den oorsprong van het coördinatenstelsel van A (op dat oogenblik tegelijk de oorsprong van het coördinatenstelsel van B) een lichtsignaal uitgaat. Dit lichtsignaal plant zich in het coördinatenstelsel van A naar alle richtingen gelijkelijk met de snelheid c voort. Het opper- vlak, waarop het ten tijde t is aangekomen, wordt aangewezen door de vergelijking a;2 + y2 + z2 c2 fi = 0. Wij denken dat B de voortplanting van ditzelfde lichtsignaal bestudeert. Uit (14) volgt dat voor de punten waar het lichtsignaal op zekeren tijd t' aangekomen is, ook geldt a/24- y'2 + z'2 c2 r2 =O, m. a. w. dat die punten op het tijdstip t' voor B liggen op een bol met den straal c t'. Beide waarnemers zullen dus aan het licht dezelfde snelheid c toekennen. Hierin is, zooals men gemakkelijk inziet, het negatieve resultaat van de proef van Michelson besloten. De tran'sformatieformules (6) en (7) zijn er juist op aangelegd om de betrekking (14) te krijgen. Het relativiteitsbeginsel is eene physische hypothese, die in zich sluit, dat alle krachten zich met de snelheid c voortplanten. Zoo ook de gravitatie. Plantte deze zich met eene andere snelheid c' voort, dan zou voor de verschijnselen waarbij zij in het spel is, nog wel een „relativiteitsbeginsel” kunnen gelden, maar niet dat waarvan nu sprake is. Men zou nl. inde transformatieformules c door c' moeten vervangen. Door substitutie van (10) in (6) verkrijgt men v_ z— vt c2 Z n-s * = 5-7== > r = r (15) l/l-S- V'-T Beschouwen wij in aansluiting aan de zooeven gemaakte opmerking de snelheid c als veranderlijk, en laten wij hare waarde onbepaald toenemen, dan volgt uit (15) voor c = oo z' z v t , t' = t (16) Dit zijnde bekende oude transfórmatieformules om vaneen coördinatensysteem over te gaan op een ander dat zich ten opzichte van het eerste met eene snelheid v volgens de 2-as beweegt. Zij blijken dus nu het relativiteitsbeginsel te vertegenwoordigen voor werkingen, die zich oogenblikkelijk (met oneindig groote snelheid) voortplanten. Ten einde aan hetgeen gezegd is eenigszins te gewennen, zullen wij als rekenvoorbeelden een paar vraagstukken behandelen. Het eerste vraagstuk is dit: Wij denken dat A een staaf heeft, rustend voor hem, op de 2-as gelegen, met de eindpunten op zi =O, z% =l ' (17) t Het relativiteitsbeginsel zegt dat er een geval kan zijn, waarin B hetzelfde ziet als zooeven A, d. w. z. dat voor dezelfde staaf, nu rustend voor Ben liggende op de z'-as, de eindpunten zijn Z\ =O, z2' = l (18) Wat zegt dan A van de staaf? Uit (18) volgt met (6): Zi = c«, z2 = + c t (19) a a a De staaf heeft dus voor Ade snelheid – c =v, en eene lengte a -= l\/\-tr (2°) Qj r ft A zal dus constateeren dat de staaf bij zijne beweging eene contractie inde richting der beweging inde verhouding van 1 tot \/ i VL heeft ondergaan. Men vergelijke hiermede wat V C2 straks bij de bespreking der contractie-hypothese is gezegd. Tweede geval: Vaneen klok, die ten opzichte van A geen translatiebeweging heeft, loopt de wijzer ineen tijd T rond (de wijzer wordt zoo klein ondersteld dat we voor al zijne punten x, y en z = 0 kunnen stellen). Met hetzelfde uurwerk kan zich voor B het verschijnsel voordoen, dat het in zijn' oorsprong van coördinaten staat, en dat de wijzer een bepaalden stand op de oogenblikken «'i = 0, h = T (21) bereikt. Wat zal A hiervan zeggen? De klok heeft voor hem de translatiebeweging (9), en voor hem bereikt de wijzer volgens (8) den bedoelden stand op de tijden ti =O, h =aT (22) Hij schrijft dus aan het zich ten opzichte van hem bewegende uurwerk den omloopstijd a T toe, d. w. z de klok loopt voor hem langzamer inde verhouding van 1 tot 1 V-0- ■ Derde geval: Wij ontleenen dit aan de optica. A beschrijft een bepaald verschijnsel als volgt: Een lichtbron staat voor hem stil inden oorsprong van coördinaten en zendt langs de z-as een lichtbundel uit, waarin de evenwichtsverstoring bepaald wordt door p cos Int +q J. B kan dan volgens het relativiteitsbeginsel met dezelfde lichtbron verkrijgen, dat deze, voor hem stilstaande inden oorsprong van zijn coördinatenstelsel, langs de z'-as een lichtbundel uitzendt, waarin de evenwichtsverstoring bepaald wordt door p cos | n t Z +q | (23) Hoe beschrijft nu A ditzelfde verschijnsel? Voor hem .beweegt zich de lichtbron met de snelheid (9) en wordt de evenwichtsverstoring, gelijk uit (13) gemakkelijk volgt, voorgesteld door p cos I (a + b) n + q I (24) Voor hem is dus, nu de lichtbron zich ten opzichte van hem beweegt, de frequentie geworden c+ v l /jT« (a -j- b) n = ' ut. n 1/ n. X pt V C V Het relativiteitsbeginsel voert zoo tot het beginsol van Dopplek. Wij kunnen ditzelfde herhalen voor het geval, dat het licht zich op een deel van zijn weg voortplant in eene doorschijnende stof, b.v. water. Wij onderstellen dat deze stof voor den waarnemer B stilstaat, en dat deze . er, voor licht van de frequentie n, £ den brekingsindex ft, en dus de lichtsnelheid -- aan toekent. In plaats van (23) komt dan p cos j n +q j (25) en in plaats van (24) p cos !n[(a+ft b) t ——i—z J+qj • • • • (26) Deze formule beschrijft de voortplanting van het licht ineen medium dat zich met de snelheid v = ~ c beweegt. Zij geeft voor de voortplantingssnelheid (verhouding der coëfficiënten van t en z) a -j- ub c + uv r~rc I—c>1—c> fi a -j- b pc-\- v of bij benadering i+o-?)» <27> De voortplantingssnelheid wordt dus door de beweging van het lichaam niet vergroot met de volle snelheid v daarvan, doch slechts met v. De factor 1 is de meesleepingscoëfficient van Presnel. Deze [A komt dus hier als gevolg van het relativiteitsbeginsel te voorschijn. 11. Het relativiteitsbeginsel heeft reeds tot veel litteratuur aanleiding gegeven. Wij zullen ons dus moeten beperken. Zoo zullen wij niet uitvoerig spreken over de wiskundige behandeling en b.v. de sierlijkheid der transformatieformules, gelijk deze in het werk van Minicowski x) op den voorgrond treedt, en die inderdaad zeer treffend is, .niet nader aan wijzen. De transformatieformules, die wij hier nog even herhalen: x' x, y' =y, z' az bet, t' = at —— z, .... (6) «2 52 =l, (7) leiden er toe, den tijd als een vierde coördinaat op te vatten, waarmede men tot de methoden van de vier-dimensionale meetkunde komt. Volgens het relativiteitsbeginsel, zooals dit den vorigen keer 1) H. Minicowski. Die Grrundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgiinge in liewegten Körpern. Nadir. d. Ges. d. Wiss. zn (rottingen. Math. pliys. KI. 1908, p. 54; Raum und Zeit. Phys. Zeitschr. 10 (1909), p. 104. geformuleerd is, zullen twee waarnemers A en B, van wie B eene eenparige translatiebeweging ten opzichte van A uitvoert, de verschijnselen die zij waarnemen »met behulp van de door elk gekozen geschikte coördinaten-tijd-stelsels door middel van dezelfde vergelijkingen beschrijven. Dit is, zooals reeds gezegd is, eene physische hypothese, die door waarnemingen al of niet bevestigd moet worden. Voor electrlsche. magnetische en optische verschijnselen, voorzoover zij in het vacuum plaats hebben, geldt nu zeker het relativiteitsbeginsel. De vergelijkingen van Maxwell, waardoor zij bepaald worden, zijn nl., zooals aanstonds nog nader zal blijken, invariant voor dein (6) en (7) aangegeven transformatie. Het electromagnetische veld wordt gekarakteriseerd door twee grootheden, door de electrische en door de magnetische kracht. Dit zijn gerichte grootheden, vectoren, waarvan wijde eerste door d en de tweede door h zullen voorstellen. De waarnemer A bedient zich nu bij zijne beschrijving van de electromagnetische verschijnselen van de grootheden d en h, B bij de zijne (met betrekking tot zijn eigen coördinaten-tijdstelsel) van d' en h'. Bestudeeren zij hetzelfde verschijnsel, dan zullen d en d' niet gelijk zijn, en evenmin h en h', en wel hangen deze grootheden volgens de volgende transformatieformules met elkander samen x): dx=a d bh,,, d,,—(i dy + b hx, d .. . . (28) h'x = «hx + h'y = aMy b dx, h's = .... (29) Uit de electrische en de magnetische kracht kunnen nu verder zoowel A als B andere grootheden afleiden, waaraan wij met een enkel woord herinneren. bevat liet electromagnetisch veld een zeker arbeidsvermogen, per volume-eenheid, voor A \ (d2 + h2) (30) en voor B i(d'2 + h'2). De twee waarnemers vinden voor jeenzelfden toestand niet i) Men verifieert gemakkelijk met behulp van de transformatieformules (6) en (7) dat voor de grootheden d' en h' in het coördinaten-tijd-stelsel van B de MAXWELL’sche vergelijkingen gelden, aannemende dat zij dit voor d en h in het stelsel van A doen. Dat d' en h' in het stelsel van B de electrische, resp. magnetische kracht voorstellen, blijkt volgens noot 2, p. 21. dezelfde 'hoeveelheid arbeidsvermogen. Daarin behoeven wij geen bezwaar te zien; voor eiken waarnemer op zich_ zelf geldt de wet van liet behoud van arbeidsvermogen. Inde tweede plaats zullen zoowel A als B van den energiestroom van Poynting spreken. Wanneer gelijktijdig ineen zelfde punt een electrische en eene magnetische kracht bestaan, dan is er in dat punt een energiestroom ter grootte van S = e [d . h] (31) In deze formule stelt |d.h| het vector product van d en h voor, d.w.z. een vector, die loodrecht staat op het door d en h gebrachte vlak, en die in grootte gegeven wordt door het oppervlak van het parallelogram, dat op d en h als zijden beschreven wordt. De energiestroom gaat inde richting, waarin een kurketrekker zou voortgaan als het handvat over den kleinsten hoek van de richting van d naar de richting van h gedraaid wordt. De componenten van den energiestroom worden gegeven door x) S;i' = c (d,, h0 d2 hy), S?/ = c (ds hx dx hs), S0 C (d;,: hy dy hr .. . (32) Het mooiste voorbeeld vaneen energiestroom heeft men in een lichtbundel, waar de periodiek wisselende electrische en magnetische kracht onderling loodrecht zijn, en tevens loodrecht op de voortplantingsrichting staan. S is hier loodrecht op d en h en, daar d en h tegelijk van teeken omkeeren, steeds in dezelfde richting, nl. in die van de stralen. Men spreekt verder van eene ejectromagnetische., hoeveelheid van beweging. Inde mechanica heeft zich bij de bestudeering der botsing het begrip van hoeveelheid van beweging als eene grootheid, die van het eene lichaam op het andere geheel of gedeeltelijk overgedragen wordt, ontwikkeld. Is m de massa vaneen lichaam, dan wordt de hoeveelheid van beweging voorgesteld door mv, eene grootheid, die de richting van de snelheid V heeft. Nu oefent een op een voorwerp vallende lichtstraal daarop een druk uit, die, door Maxwell voorspeld, ook werkelijk gecon- *) Bij deze formules is, evenals bij eenige later voorkomende, ondersteld dat tusscben den voortgang langs de z-as en een wenteling overeen rechten lioek van de x- naar de y-as hetzelfde verband bestaat als tusschen de voortgaande en de draaiende beweging vaneen kurketrekker. stateerd en gemeten is. Inde emissietheorie van Newton zou men dezen druk aan de botsing van de lichtdeeltjes tegen het voorwerp toeschrijven en van de hoeveelheid van beweging dier lichtdeeltjes spreken. Die theorie kan nu wel niet aangenomen worden, maar toch is men gekomen tot het begrip: electromagnetische hoeveelheid van beweging. Het bedrag hiervan wordt aangegeven door G= j,S = i[d.h] (33) Overal waar een energiestroom is moet dus volgens (3B) electromagnetische hoeveelheid van beweging bestaan. Het behoeft nauwelijks gezegd te worden, dat ook de formules (32) en (33), mits alle daarin voorkomende grootheden, behalve c, van accenten voorzien worden, voor den waarnemer B gelden. Terwijl, wat de electromagnetische verschijnselen in het vacuum betreft, de overeenstemming met het relativiteitsbeginsel uit de grond vergelijkingen blijkt, bestaat zij, wat de verschijnselen in ponderabele lichamen aangaat, slechts dan als men nog eenige onderstellingen invoert. Men kan het ook zoo opvatten, dat deze liggen opgesloten inde ééne fundamenteele onderstelling, dat het relativiteitsbeginsel algemeen geldig is. Een van deze hypothesen is de volgende ]): ook een electron zal, wanneer het zich ten opzichte van den waarnemer A beweegt, voor dezen dezelfde contractie ondergaan als de vorige maal met de bewegende staaf het geval bleek te zijn (zie (20)). Het electron, dat verondersteld wordt in rust een bol te zijn, zal dus volgens A bij de beweging eene omwentelingsellipsoide geworden zijn, die afgeplat is inde richting van de beweging. Indien de snelheid van het licht bereikt zou worden (wat evenwel inde relativiteitstheorie geacht wordt onmogelijk te zijn), zou het zelfs tot eene platte schijf zijn samengedrongen. Uitgaande van het ook voor de dynamica van het electron geldig onderstelde relativiteitsbeginsel kan men zeggen dat deze uitkomsten liggen opgesloten in het resultaat, dat bij de behandeling van het vraagstuk van de zich bewegende staaf verkregen is. ') H. A. Lorentz. Electromagnetisclie verschijnselen ineen stelsel dat zich met willekeurige snelheid, kleiner dan die van het licht, beweegt. Zittingsversl. Akad. Amsterdam 12 (1904), p. 986. De krachten, die de gedaante'van het electron bepalen, moeten zoo zijn, dat bij de beweging deze vormverandering plaats heeft. Daar ons de aard dezer krachten onbekend is, verbiedt ons niets dit aan te nemen. Hoe is nu het electromagnetische veld rondom het zich bewegende electron? Wat is de hoeveelheid van beweging? Is het inden toestand van rust een bol met den straal R, en met eene lading e, gelijkmatig over het oppervlak verdeeld, dan is de hoeveelheid van beweging bij de snelheid veen vector, die de richting heeft van de snelheid, en waarvan de grootte bepaald wordt door T) G = ■- --- -- (34) V'-ï Dit is eene zeer belangrijke betrekking. Zij bepaalt de geheele hoeveelheid van beweging, daar wij alle reden hebben om ons voor te stellen, dat de electronen geen gewone materie bevatten. Ter afkorting is in (34) de grootheid m ingevoerd. Deze wordt gegeven door <3s> en mag als eene constante beschouwd worden. R is namelijk de straal van het electron wanneer het stilstaat, terwijl, wat e betreft, men geen reden heeft gevonden om te denken, dat de waarnemers A en B eene verschillende totale lading aan het electron zouden moeten toekennén. Voert men de grootheid Min, die bepaald wordt door M=m , (36) V'-ï dan gaat (34) over in G = Mv, (37) wat den vorm heeft van de oude betrekking uit de gewone mechanica. Men kan aan M eene eenvoudige beteekenis toeschrijven. Stellen wij ons voor dat wij een electron eene willekeurige ■) Voor de afleiding zie men het Aanhangsel onder 1. kromlijnige baan met constante snelheid willen laten beschrijven. Bij deze beweging blijft M constant. Dan is het juist alsof wij met een materieel punt inde gewone mechanica te doen hebben. De kracht, die noodig is- om het electron die baan te laten doorloopen, is dan ook dezelfde als voor een materieel punt met de massa M. Daar deze massa M dus in rekening moet worden gebracht bij krachten, die loodrecht op de snelheid van het electron gericht zijn, wordt M wel de transversale massa genoemd. Er is ook eene longitudinale massa, waarmede men te rekenen heeft bij krachten inde richting van de snelheid. Deze verschilt van de transversale. Met de longitudinale massa behoeven wij ons echter verder niet bezig te houden. Hier opent zich een weg om het relativiteitsbeginsel althans gedeeltelijk experimenteel op de proef te stellen. Men heeft zich vroeger voorgesteld, dat het electron zich bij het overgaan van den toestand van rust in dien van beweging niet zou deformeeren. Abraham l) heeft in die onderstelling de transversale massa berekend en gevonden M= w [-2 ? + + f*2) los > (38) als – l (39) is, terwijl m weer de door (35) bepaalde waarde voorstelt. Proeven, die eene toetsing van (36), resp. (38) mogelijk maken, zijn nu werkelijk gedaan. Men moet daarbij van gevallen gebruik maken, waarin electronen met zeer groote snelheden voortvliegen. Eerst voor deze geven (36) en (38) een merkbaar verschil, zooals bij ontwikkeling dier formules in reeksen naar opklimmende machten van – blijkt. Zulke zeer snel voortvliegende electronen heeft men inde (f-stralen, die door radioactieve stoffen worden uitgezonden, en inde kathodestralen. Uit de baan van deze stralen onder de gelijktijdige werking vaneen electrisch en van een magnetisch veld kunnen besluiten omtrent M getrokken *) M. Abraham. Theorie der Elektrizitat. 11. Leipzig 1905, p. 191, Prinzipien der Dynamik des Elektrons. Ann. d. Phys. (4) 10 (1903), p. 105. worden. Dergelijke proeven zijn gedaan door Kaufmann x), door Bucherer 2) en door Hupka 3), terwijl men op verschillende plaatsen nog wel met zulke onderzoekingen bezig is. Eene definitieve beslissing is nog niet bereikt, maar het ziet er voorshands wel het gunstigst uit voor het relativiteitsbeginsel. Wij zijn zoo gekomen tot de mechanica van het relativiteitsbeginsek Deze onderscheidt zich in verschillende opzichten van de gewone. Men heeft het nl. doelmatig gevonden sommige definities van de gewone mechanica wat te wijzigen, waartegen geen bezwaar bestaat, daar aan de definities geen andere eisch gesteld kan worden dan deze, dat wij met behulp daarvan de verschijnselen geschikt en eenvoudig kunnen beschrijven. Inde relativiteitstheorie gebruikt men ook voor een stoffelijk punt en eventueel voor een lichaam formule (34). De m, die daarin voorkomt, wordt veelal de MiNKOWSKi’sclie massa genoemd. Ook kunnen wij (37) gebruiken met M, welke grootheid wij dan de massa (zonder meer) noemen. De MiNKOWSKi’sche massa is constant, de massa blijkens (36) niet. Wij kunnen nu de kracht definieeren. Wij doen dit juist als inde gewone mechanica volgens Newton ; wij meten nl. de kracht door de verandering per tijdseenheid van de hoeveelheid van beweging. Dit wordt uitgedrukt door de vergelijkingen <4o) of p d Ga; p. _d Gy p dG- 14 il Yx~ dt ’ -// ’ rs” dt 1 > F stelt de kracht voor, Fa; enz., zijnde krachtcomponenten. 1) W. Kaufmann. Die magnetische nnd electrische Ablenkbarkeit der Bec-QUERELstrahlen und die scheinbare Masse der Elektronen. Gött. Nacbr. Matb. phys. KL 1901, p. 143. Über die elektromagnetische Masse des Elektrons, ibid. 1902, p. 291; 1903, p. 90. Ober die Konstitution des Elektrons, Ann. d. Phys. (4) 19 (1906), p. 487. 2) A. H. Bucherer. Messungen an BECQUERELstrahIen. Die experimentelle Bestatigung der LoRENTZ-EiNSTEiN’schen Theorie. Phys. Zeitschr. 9 (1908), p. 755. Verli. d. deutsch. pliysik Ges. 6 (1908), p. 688. 3) E. Hüpka. Beitrag zar Kenntnis der tragen Masse bewegter Elektronen. Ann. d. Phys. (4) 31 (1910), p. 169. Ook voor de nieuwe grootheden die nu zijn ingevoerd, kunnen transformatieformules worden opgesteld. Daarbij vindt men voor de krachtcomponenten x) F, =fA F-, = F', -üL'-i. (*, F, +v,F, + v, F,). (42) co co co C co waarin w dein (12) gegeven uitdrukking voorstelt. Wij zullen van deze formules eene eenvoudige toepassing maken. Een electron staat voor- B stil. Volgens (12) beweegt bet zicli dan voor A langs de z-as met eene snelheid b vz = c. a Voor B werkt op dit electron inde richting van de x -as de kracht F'x = ed'.c (43) Wij gaan nu met behulp van de transformatieformules (42) na welke krachten volgens A op dit electron werken. Men vindt uit (12), (42) en (28) co =l, Fx =e CO d's =e.-(o dx b by) = e (d* – ~ hvj (44) aa ° en wij zien dus dat inde uitdrukking voor de kracht, wan- Vneer het electron zich beweegt, de term e—1 h?/ voorkomt. Dit is de bekende kracht, die een zich bewegend electron van het magnetisch veld ondervindt. De hiervoor gevonden uitdrukking is juist die, welke altijd daarvoor aangenomen is, en die dus nu blijkt uit het relativiteitsbeginsel te kunnen worden afgeleid 2). Welke waarde moeten wij aan deze uitkomst toekennen? Niet al te veel, alles toch is er op aangelegd om. dit te krijgen. Toch ook wel weer wat. liet relativiteitsbeginsel kopv h pelt de bestanddeelen d , en "- – van de kracht, die op het ') Zie Aanhangsel onder 2, 2) Omgekeerd volgt (43), wanneer wij (44) als geldig aannemen, waaruit, hetzelfde betreffende A'y en d'c bewijzende, besloten kan worden, dat d' in het stelsel van B de electrische kracht voorstelt. Tot een overeenkomstig besluit geraakt men eveneens gemakkelijk wat betreft h. (Yerg. p. 15, noot 1.) electron werkt, aan elkaar en beschouwt ze als in wezen niet verschillend. Of alleen het eerste deel der kracht in het spel is, dan wel daarnaast ook het tweede, dat hangt er maar van af, vanuit welk systeem het electron beschouwd wordt. In dit aan elkander koppelen van het electrisch en het magnetisch veld, dat trouwens ook reeds inde formules (28) en (29) wordt aangetroffen, ligt zeker iets moois. Wij kunnen nu terugkeeren tot de vraag wat er eigenlijk wel noodig is als het relativiteitsbeginsel zal uitkoken? Wij stellen ons voor, dat een physicus of een astronoom een systeem van deeltjes of lichamen bestudeert, dat hij het zoover gebracht heeft, dat hij alle bewegingen aan bepaalde krachten kan toeschrijven en dat hij kan zeggen hoe deze krachten van' de onderlinge plaats, de snelheden, zoo noodig versnellingen, enz. afhangen. Stel, het is de waarnemer A die dit alles gedaan heeft. De waarnemer B beschouwt op zijne wijze dezelfde verschijnselen. Uit (42) kunnen afgeleid worden de krachten die hij moet aannemen. Wat nu noodig is is dit, dat de krachten, die B invoert, in zijn beschrijvingssysteem op dezelfde wijze van de onderlinge standen, enz. afhangen als dit voor A het geval was. Is aan deze voorwaarde niet voldaan, dan zijnde verschijnselen niet met het relativiteitsbeginsel in overeenstemming. Men kan deze overweging toepassen op de algemeene aantrekkingskracht of gravitatie en b.v. de vraag stellen: onder welke voorwaarden zal het relativiteitsbeginsel voor de bewegingen in het zonnestelsel gelden? Inde eerste plaats merken wij op dat de attractiewet van Newton er niet mede in overeenstemming is en dat dus het relativiteitsbeginsel eene wijziging van die wet vereischt*). Hoe deze wijziging zijn moet, is niet geheel bepaald en voor willekeurige snelheden wordt het vraagstuk zeer ingewikkeld. Beperkt men zich echter tot grootheden van de tweede orde, dan kan men gemakkelijk eene zoodanige wijziging aanbrengen. Een der mogelijke wetten van aantrekking, voor welke het relativiteitsbeginsel geldt, wordt door het volgende gegeven 2): *) H. Poincaré. Sur la dynamique de I’électron. Rendiconti del Cireolo matematico di Palermo 21 (1906), p. 129. H. A. Lorentz. Alte und neue Pragen der Physik. Phys. Zeitschr. 11 (1910), p. 1234. J) Zie Aanhangsel onder 3. 1) W. de Slïter. Ou the hearing of the prineiple of relativity on gravitational astronoroy. Monthly Notiees of the Royal Astron. Soc. 71 (1911), p- Twee punten 1 en 2 trekken, als zij beide stilstaan, elkaar aan met eene kracht R, die van den afstand r afhangt. Als zij zich met de snelheden Vj en v2 bewegen, bestaat de op 1 werkende kracht uit twee deelen. Het eerste is eene aantrekking R+~4 V R + \ V2r2 (r — v2 cos (Vj, v2) Rj. (45) Het tweede heeft de richting van v2 en de grootte 4 vlr v2 R (46) c- Hierin is Vir de component van Vi volgens de van 1 naar 2 getrokken verbindingslijn; v2(- de overeenkomstige component van V2. In zooverre is in (45) en (46) het vraagstuk iets algemeener gedacht dan het gestelde, dat R hier eene willekeurige functie van r kan zijn. Met de wet dat de werking gelijk is aan de terugwerking is het hier uit. Er moet dus onderscheid gemaakt worden tusschen de kracht, die werkt op 1 en de kracht, die werkt op 2. Indien nu de gravitatie op dein (45) en (46) aangegeven wijze van de snelheden afhangt, dan is aan het relativiteitsbeginsel voldaan. De vraag rijst: is dat in werkelijkheid het geval? Hier zou zich een tweede middel voordoen om het relativiteitsbeginsel, nu meer in het bijzonder wat de gravitatie betreft, op de proef te stellen. Men zou moeten nagaan of de astronomische bewegingen beter beschreven kunnen worden met de vergelijkingen (45) en (46) dan met de ongewijzigde wet van Newton. Zooals uiteen onderzoek van de Sitter x) blijkt, zouden waarnemingen met eene iO-maal zoo groote nauwkeurigheid als de tegenwoordige hierover kunnen beslissen. Men ziet nl. aan (45) en (46), dat de termen, die van de snelheden afhangen, alle van de tweede orde van grootte zijn. Hun invloed wordt dientengevolge zeer klein en kan op het oogenblik niet met zekerheid geconstateerd worden. Eender gevolgen van de aangegeven wijziging van Newton’s gravitatiewet zou zijn eene langzame beweging van het perihelium van Mercurius. Eene dergelijke beweging bestaat inderdaad. De waargenomen beweging bedraagt in eene eeuw 44". De hier besproken wijzigingstermen kunnen geven eene beweging van 7."15- Feitelijk kan dus hier van eene bevestiging niet gesproken worden. Ziehier een ander belangrijk astronomisch vraagstuk. Maxwell x) heeft opgemerkt, dat uit de waarneming der verduisteringen van de wachters van Jupiter de snelheid van het zonnestelsel door den aether heen zou zijn af te leiden. Denken wij ons ter vereenvoudiging dat van uit Jupiter telkens wanneer de punten P en Q (Fig. 3) van de cirkelvormig onderstelde baan gepasseerd worden, lichtseinen afgegeven worden, en dat zich een waarnemer op de zon bevindt. Verder dat het geheele systeem een snelheid v (inde richting Z P) ten opzichte van den aether heeft. Beschouwen wij dit alles met behulp vaneen coördinatenstelsel en van uurwerken, die inden aether stilstaan. Wij moeten dan besluiten dat het lichtsein een korteren tijd noodig heeft om vanuit P de zon te bereiken dan om dat vanuit Q te doen, en mogen derhalve verwachten, dat de tijd, die er verloopt tusschen het oogenblik, dat een sein vanuit P de zon ontmoet en het oogenblik dat het eerstvolgende sein vanuit Q de zon bereikt, langer is dan de tijd, die er dan nog verloopt voordat er weer een sein vanuit P op de zon aankomt. Het verschil dier tijden zou een effect van de eerste orde zijn, en het zou ook bestaan, wanneer de tijdstippen werden afgelezen op een uurwerk, dat de waarnemer op de zon bij zich heeft en dat in zijne beweging deelt. Dit laatste is waar, welken invloed de beweging ook op den gang van dat uurwerk moge hebben. Het relativiteitsbeginsel postuleert, dat de waarnemer op de zonde achtereenvolgende, afwisselend van P en Q uitgezonden seinen met gelijke tusschenpoozen op elkaar ziet volgen. Dat wij zooeven tot een ander besluit kwamen ligt daaraan, dat wij bij *) J. C. Maxwell. Encyclopaedia Britannica, 9th. ed., article „Eth,er.” Fig. 3. de beschrijving met behulp vaneen coördinatenstelsel, waarin het geheele zonnestelsel naar rechts gaat, met de wijziging van Newton’s gravitatiewet rekening hadden moeten houden. Daardoor wordt het bovengenoemde verschil weer te niet gedaan en wel doordat de tijden, waarin de planeet een halven omloop volbrengt, eerst van P tot Q, dan van Q tot P, niet meer gelijk zijn. Men mag zich niet voorstellen, zooals Maxwell stilzwijgend deed, dat de beweging van de planeet ten opzichte van het genoemde coördinatenstelsel bestaat in eene gelijkmatige cirkelbeweging verbonden met eene gelijkmatige translatie. Zij wordt van meer ingewikkelden aard. Hier doet zich dus weer een middel voor tot toetsing van het relativiteitsbeginsel wat betreft de gravitatie. Zich op het standpunt van Maxwell plaatsende, heeft Bitrton *) plannen gemaakt om te trachten uit dergelijke waarnemingen eene snelheid van het zonnestelsel ten opzichte van den aether te vinden. Hij hoeft echter van te. voren eene schatting gemaakt van de waarschijnlijke fout, diè aan de uit die waarnemingen afgeleide snelheid ten opzichte van den aether eventueel zal zijn toe te kennen, en vindt deze van dezelfde orde van grootte als de relatieve snelheden der hemellichamen, waardoor de beslissing vooralsnog dus weer moeilijk wordt. Men kan alleen zeggen dat, zoo de waarnemingen eene aanmerkelijk grootere snelheid opleverden, daarmede het relativiteitsbeginsel weerlegd zou zijn. Hoe dit zij, wij mogen ons bij den tegenwoordigen stand onzer kennis het geval denken dat het relativiteitsbeginsel door alle waarnemingen bevestigd wordt. Gesteld dat dit zoo is, hoe moeten wij het dan opvatten, welke waarde moeten wij aan het relativiteitsbeginsel toekennen ? Dit is eene vraag, waarin een physicus zich, strikt genomen, niet te zeer behoeft te verdiepen. Hij kan tevreden zijn als hij weet dat de verschijnselen van dien aard zijn, dat zij in het stelsel x, y, z, t en in het stelsel'*', y', z', t' op dezelfde wijze beschreven kunnen worden. Intusschen zal het goed zijn, de vraag toch niet geheel te laten rusten. Stellen wij ons voor dat de zoo dikwijls genoemde waarnemers *) C. Y. Bukton. The Sun’s motion witli respect to the aether. Phil. Mag. (6) 19 (1910), p. 417. Verg. ook H. A. Lorentz, 1. c. p. 22, IV. de Sitter, 1. c. p. 23. A en B van gedachten kunnen wisselen. Dan zal er tusschen hen allicht eene discussie ontstaan. B.v. over de vraag wie van beiden zich bewogen heeft en wie niet. Het is duidelijk dat, wanneer er niets anders is dan zij en hunne laboratoria, die vraag geen zin heeft. Is er echter een aether, die zooveel substantialiteit bezit, dat het nog zin heeft te spreken van beweging ten opzichte daarvan, dan zou de vraag: wie heeft zich bewogen ten opzichte van den aether, wel zin hebben. De quaestie, wie van beiden zich ten opzichte van den aether zou hebben bewogen, dan wel of zij dat beiden gedaan hebben, zouden ,1 en B echter (het relativiteitsbeginsel hier steeds als algemeen geldig vooropgesteld zijnde) niet kunnen uitmaken. Vervolgens zouden zij over hunne metingen kunnen debatteeren. A zou tot B kunnen zeggen: ik heb duidelijk gezien dat uw meetstaven korter waren dan de mijne. B zegt dan echter hetzelfde tot A, en de discussie zou weer hopeloos zijn. Is er een aether, dan zouden zij tot eene bevredigende overeenkomst kunnen geraken door b.v. aan een meetstaaf, die ten opzichte van den aether in rust is, de voorkeur te geven. Uitmaken, wie van beiden of wel dat geen van beiden een zoodanige meetstaaf had gebruikt, konden zij echter weer niet. Over hun stelsels van tijdmeting zou eene dergelijke discussie kunnen plaats hebben. Een heftig twistgesprek zouden zij kunnen krijgen over de vraag naar de al of niet gelijktijdigheid van bepaalde verschijnselen. Verschijnselen, niet op dezelfde plaats voorkomende, die voor A gelijktijdig zijn, zijn het voor B niet, en het geval zal zich zelfs kunnen voordoen, dat A zegt: het verschijnsel 1 heeft plaats vóór het verschijnsel 2, terwijl B het omgekeerde beweert 1). Zouden de waarnemers het tijdsbegrip als iets primairs willen beschouwen, geheel afgescheiden van het ruimtebegrip, dan zouden zij wel erkennen, dat er eene absolute gelijktijdigheid bestaat, al zouden zij het onbeslist moeten laten, of die gelijktijdigheid door gelijke waarden van t, door gelijke waarden van t', of misschien noch door het een, noch door het ander wordt aangewezen. ’) Intusschen zal een verschijnsel 2, dat als gevolg vaneen verschijnsel 1 optreedt, steeds door beide waarnemers na dit laatstgenoemde verschijnsel gezien worden, indien men ten minste overeenkomstig de relativiteitstheorie de mogelijkheid, dat eene werking zich met eene snelheid grooter dan de lichtsnelheid voortplant, uitsluit. Einstein zegt kort en goed dat al de zooeven genoemde vragen geen zin hebben. Hij komt dan ook tot eene „afschaffing” van den aether. Dit laatste is trouwens tot op zekere hoogte eene quaestie van woorden: het maakt niet veel verschil of men spreekt van het vacuum of van den aether. In elk geval heeft het volgens Einstein geen zin te spreken van beweging ten opzichte van den aether. Evenzoo ontkent hij liet bestaan van absolute gelijktijdigheid. Het is zeker merkwaardig dat deze begrippen van relativiteit, ook wat den tijd betreft, zoo snel ingang hebben gevonden. De waardeering van die begrippen behoort voor een groot gedeelte tot het gebied der wijsbegeerte en men kan dan ook het oordeel aan haar overlaten, vertrouwende dat zij de besproken quaesties met de noodige grondigheid zal bezien. Zeker is het intusschen dat het voor een groot deel van de wijze van denken waaraan men gewoon is, zal afhangen of men zich tot de eene of de andere opvatting het meest aangetrokken gevoelt. Wat spreker zelf betreft, hij vindt wel eene zekere bevrediging inde oude opvattingen, dat de aether althans nog eenige substantialiteit bezit, dat tijd en ruimte scherp te scheiden zijn, dat van gelijktijdigheid zonder nadere toelichting mag worden gesproken. Wat dit laatste betreft, mag men zich misschien beroepen op ons vermogen om ons willekeurig groote snelheden voor te stellen. Daarmede komt men heel dicht bij het begrip van absolute gelijktijdigheid. Ten slotte dient te worden opgemerkt, dat inde stoute bewering, dat snelheden grooter dan de lichtsnelheid nooit waargenomen zullen worden, eene hypothetische beperking van het voor ons toegankelijke ligt, die niet zonder eenig voorbehoud kan worden aanvaard. Den volgenden keer zullen besproken worden.: de beschouwingen van Einstein over het verband tusschen energie en massa, zijne pogingen om voor versnelde stelsels iets dergelijks te doen als volgens het besprokene voor stelsels met eenparige beweging gedaan is, en de toepassing daarvan op de gravitatie. Wij zullen nu als voorbereiding tot de behandeling van het verband tusschen energie en massa nog een drietal punten bespreken. Voor de energie vaneen electron of een stoffelijk punt, dat zich met de snelheid v beweegt, vindt men x) t – yC *) Zie in liet Aanhangsel onder 2 verg. (16). Voor de directe berekening zou men bij de energie van het electromagnetische veld nog moeten optellen de configuratie-energie van hetelectron. Verg. H. A. Lorentz. Theory of Electrons, p. 213. overeenkomstig (51). Uit (86) volgt echter m = 0, (55) zoodat een lichtbundel geen MiNKOWSKi’sche massa heeft. Ten slotte nog het volgende geval: Een aan de binnenzijde volkomen spiegelend omhulsel is möt zwarte straling, beantwoordende aan eene bepaalde temperatuur T, gevuld. De energie daarvan voor een waarnemer ten opzichte van wien het omhulsel in rust is, zij fO. Voor een waarnemer ten opzichte van wien het omhulsel zich met eene snelheid v beweegt, is er eene energie x) «= , /• -V (56) en eene hoeveelheid van beweging O = y (57) Uit (37) en (36) volgt ook nu weer m = J- (58) 111. De vorige maal is reeds met een enkel woord gesproken over het merkwaardige door Einstein aangewezen verband tusschen energie en massa. Wij moeten bij de bespreking van dit onderwerp twee verschillende massa’s goed uit elkander houden, namelijk m, eene constante, de MiNKOWSKi’sche massa, en M, niet constant, welke <) Bij de berekening hiervan 'moet ook rekening gehouden worden met de energie resp. de hoeveelheid van beweging, die aan het omhulsel eigen is. Zie H. A. Lorentz. Over de massa der energie. Zittingsversl. Akad. Amsterdam 20 (1911), p. 87. grootheid wij bij de behandeling vaneen enkel electron of van een stoffelijk punt de transversale massa genoemd hebben. Tusschen beide bestaat, gelijk wij reeds zagen, de betrekking ym ,■ <3 1/i-w als v de translatiesnelheid is. M wordt daarbij zoo gedefinieerd dat nog altijd als inde mechanica van Newton G = M v (37) is. De formule (36) bepaalt dan m. De vorige week hebben wij een drietal eenvoudige stelsels beschouwd. In alle drie gevallen kwamen wij tot de betrekking * = -?• waarin f de energie van liet stelsel is, in het eerste en derde verder tot f0 m = waarin e0 de energie voorstelt als het stelsel in rust is (in het tweede geval, een bundel lichtstralen, is een dergelijke rusttoestand niet bestaanbaar). Deze uitkomsten doen de gedachte opkomen, dat er misschien wel in het algemeen eene dergelijke betrekking tusschen energie en massa zou kunnen bestaan. Inderdaad is daar veel voor te zeggen. Om dit in te zien zullen wijde zaak wat algemeener behandelen. Wij denken ons een willekeurig stelsel S van stoffelijke punten en lichtstralen. De stoffelijke punten voeren allerhande bewegingen uit, en de lichtstralen planten zich in willekeurige richtingen voort. Dit systeem wordt beschouwd dooreen waarnemer ff, die van het coördinaten-tijd-stelsel x.y,z, t gebruik maakt. Hij zal opmerken, dat het systeem arbeidsvermogen heeft en hij kan dit tot op zekere hoogte meten, hetzij door het systeem in zijn geheel te beschouwen, hetzij door de verschillende onderdeelen in het oog te vatten, de energieën van elk daarvan op te maken en ten slotte de som te nemen. Daarbij blijft, daar hij slechts verschillen in arbeidsvermogen kan meten, inde totale energie eene onbe- paalde constante. Behoudens deze beperking leert de waarnemer echter het arbeidsvermogen kennen. Hij kan ook de hoeveelheid van beweging opmerken en meten, b.v. door, evenals bij de beschouwing der energie, op de onderdeelen van het systeem te letten. Inde hoeveelheid van beweging G komt geene onbepaalde constante voor. Voor een stilstaand punt moet men nl. G = 0 stellen, daar de hoeveelheid van beweging eene gerichte grootheid moet zijn, en men voor zulk een punt niet zou weten welke richting men eraan zou moeten toekennen. Wij zullen daarom aannemen dat voor een willekeurig stelsel van stoffelijke punten, wanneer zij alle in rust zijn, G = 0 is. Welke beweging zal de waarnemer A aan het systeem S, waarin wij nu ook straling aanwezig kunnen denken, in zijn geheel toekennen? Inde oude mechanica lette men op de beweging van het zwaartepunt van het systeem, en stelde men bij wijze van spreken de beweging van het systeem gelijk aan die van het zwaartepunt. Inde relativiteitstheorie is geen zwaartepunt gedefinieerd, maar kan men als volgt te werk gaan. Vooreerst, als men, door de hoeveelheden van beweging voor alle bestanddeelen samen te nemen G = 0 vindt, dan zullen wij zeggen: het stelsel in zijn geheel genomen heeft geen beweging. Is echter voor den waarnemer Ade resulteerende hoeveelheid van beweging G niet nul, dan voeren wij, van de transformatieformules gebruik makende, een tweeden waarnemer Bin, nadat wij ter vereenvoudiging de 2-as inde richting van G gelegd hebben. Wij kiezen nu a en b, welke grootheden door de betrekking a2 b2 = 1 met elkaar verbonden zijn, zoo dat voor B het systeem geen resulteerende hoeveelheid van beweging heeft. Het ligt dan voor A voor de hand, te zeggen dat het coördinatenstelsel x', y', z' zich met het stelsel S beweegt en aan dit laatste de snelheid V* = b; c (59) tv toe te schrijven, die de oorsprong van x', y', z’ volgens (9) in x, y, z, t heeft. Daarna zal A aan het systeem eene massa M toekennen, die bepaald wordt door de vergelijking (37). Nadat op deze wijze is vastgesteld, hoe men, vaneen bepaald stelsel x, y, z, t gebruik makende, de massa M van het stelsel in zijn geheel genomen, zal te weten komen, kan de vraag gesteld worden: als men het systeem tweemaal beschouwt, n.l. in verschillende toestanden, zoodat de energie verschillende waarden heeft, hoe is het dan in die beide gevallen met M gesteld ? Wij kunnen dit uitmaken, als wij eerst de transformatieformule voor de hoeveelheid van beweging leeren kennen. Dus stellen wij ons nog eens voor, dat het systeem 8 wordt waargenomen door twee waarnemers A en B, werkende respectievelijk met z, t en z', t' (op x, y, x', y' hebben wij niet te letten). De waarnemer A kan dezelfde zijn als die van zoo even, de waarnemer B daarentegen is niet dezelfde, doch heeft nu eene willekeurige translatiesnelheid volgens de z-as ten opzichte van A, zoodat eene willekeurige waarde (< 1) heeft. De z-as is weer gekozen inde richting van de translatiesnelheid van het systeem. Om nu het verband te vinden tussehen de hoeveelheden van beweging G en G', die A en B, beiden inde richting van de z-as, aan het stelsel toekennen, voeren wijde onderstelling in, dat de MiNKOWSKi’sche massa van het systeem voor beide-waarnemers dezelfde is. Dit komt uit voor de eenvoudige gevallen, die wij behandeld hebben: een electron, een lichtstraal, zwarte straling ineen omhulsel. De transformatieformule voor de snelheid van het systeem is, nu wij deze als zooeven gezegd gedefinieerd hébben, volgens (12)!) v's =—s , (60 CO waarvoor men kan schrijven V'3 Vs bc Vermenigvuldigt men deze vergelijking met de onderstelde betrekking m' = m, (62) i) Immers de oorsprong van het coördinatenstelsel, dat zoo gekozen is, dat voor een waarnemer, die zich met dat stelsel meebeweegt, G = 0 is, heeft in het stelsel van Ade snelheid Vs, in dat van B de snelheid v'z, zoodat Vs en v'a volgens (12) moeten samenhangen. dan volgt met het oog op de definities van 0 en M G' = a G bcM, (63) de gezochte transformatieformule voor de hoeveelheid van beweging vaneen willekeurig stelsel. Met behulp van (68) kunnen wij nu werkelijk het verband tusschen de energie e en de massa M, dat wij voor enkele bijzonder eenvoudige gevallen hebben leeren kennen, tot een willekeurig stelsel uitbreiden. Wij denken ons daartoe twee stelsels S, en S2, die op zoodanige wijze op elkaar werken dat de hoeveelheden van beweging, die oorspronkelijk voor beide stelsels volgens de z-as gericht zijn, ook alleen inde richting dier as veranderen. De werking zij na zekeren tijd afgeloopen. De veranderingen der hoeveelheden van beweging en eveneens die van andere grootheden worden door het teeken A aangewezen. De indices 1 en 2 hebben op S, en S2 betrekking. Twee waarnemers A (z, t) en B (z', t') beschouwen het verschijnsel. Wat den aard der onderlinge werking betreft, nemen wij alleen aan, dat de wetten van het behoud der hoeveelheid van beweging en van het behoud van arbeidsvermogen gelden, en wel dat dit zoowel voor den eenen als voor den anderen waarnemer het geval is. Wij hebben dan Aöl + A(?2 = 0, A Gy' + A Qi' = o . . . . (64) Uit (64) en (63), deze laatste vergelijking achteenvolgens op Si en S2 toegepast, volgt A Mv + A M2 = 0, (65) terwijl uit de wet van het behoud van arbeidsvermogen, voor den waarnemer A toegepast, volgt Ab + A *2 = 0 (66) Weet men nu dat SL eender vroeger beschouwde eenvoudige systemen (electron, lichtbundel, enz.) is, waarvoor de betrekking (50) geldt, en dat dus A M, = A' <67> is, dan volgt uit (65) en (66) dat noodzakelijk hetzelfde voor het tweede systeem geldt: A Ah = (68) 3 Hiermede is voor een algemeen geval bewezen dat met elke verandering der energie eene daaraan evenredige verandering der massa gepaard gaat. Men kan dit trouwens door de nadere beschouwing van bijzondere gevallen verifieeren; hiermede houdt zich de heer Grondijs bezig. Dat de massa vaneen lichaam van zijne energie afhangt, zal menigeen op het eerste gezicht bevreemden. Daarom is het van belang met een paar eenvoudige voorbeelden te doen zien dat men zich veelal van die afhankelijkheid gemakkelijk rekenschap kan geven. Vooreerst een enkel eïectron. Hiervoor komt de gevonden stelling hierop neer, dat, zooals men reeds lang weet, de massa M des te grooter is, naarmate het eïectron zich met grooter snelheid beweegt. Inde tweede plaats: een gesloten vat waarin zich een gas bevindt. Hoe bemerken wij bij het in beweging brengen van dit stelsel dat het gas er in is? Stellen wij ons voor, dat het vat de gedaante vaneen rechthoekig parallelepipedum heeft en dat wij er inde richting van eene der ribben, stel van links naar rechts, eene eenparig versnelde beweging aan geven. Wij zullen aannemen dat de wanden van binnen ruw zijn, en dat dus de molekulen na de botsing eene beweging hebben, samengesteld uit de translatiesnelheid van den wand en de warmtebeweging. ler vereenvoudiging stellen wij ons voor dat het gas zoo verdund is, dat van de onderlinge botsingen der molekulen mag worden afgezien. Had nu het stelsel eene standvastige snelheid, dan zouden de molekulen daarin deelen, en zouden de stooten zoowel tegen den linker als tegen den rechterwand even sterk zijn als wanneer het vat stilstond. Is echter de beweging versneld, dan heeft op het oogenblik eener botsing een molekuul niet de volle snelheid van voortgang van het vat; het heeft n.l. de snelheid van voortgang, die iets vroeger, op het oogenblik der laatst voorafgegane botsing bestond. Gemakkelijk ziet men in dat hierdoor de botsingen tegen den linkerwand sterker en die tegen den rechterwand minder sterk zullen worden dan bij eene gelijkmatige beweging het geval zou zijn. Zoo komt het dat het vat van het gas eene resulteerende kracht naar links ondervindt, en dat dus de versnelling eene grootere kracht vereischt dan wanneer het vat ledig was. Dit drukken wij uit door te zeggen dat de massa van het stelsel grooter is geworden. Wat nu echter de toeneming van deze massa betreft, die volgens de stelling van Einstein door eene vermeerdering der inwendige energie, d.w.z. door eene versterking van de molekulaire beweging van het gas, wordt teweeggebracht, het lijdt geen twijfel dat men zich ook daarvan rekenschap zal kunnen geven door op de intensiteit der botsingen tegen de tegenovergestelde wanden te letten. Men zal echter deze botsingen naar de regels van de relativiteits-mechanica moeten behandelen. Dergelijke opmerkingen gelden voor een omhulsel dat met zwarte straling gevuld is. In het feit dat deze laatste tot de massa van het stelsel bijdraagt, en wel des temeer naarmate hare energie grooter is, ligt niets geheimzinnigs. Het is uit den drukte verklaren, dien de stralen op de wanden uitoefenen en die, als het omhulsel eene versnelde beweging naar rechts heeft, tegen den linker wand grooter is dan tegen den rechterwand. Het verdient de aandacht dat inde algemeene stelling alleen sprake is van de gelijktijdige veranderingen van de energie en de massa. De vraag is of men het verband dat daartusschen bestaat, tot de waarden zelf der beide grootheden kan uitbreiden, en dus in het algemeen mag stellen dat if=4 c2 is. Hier ontstaat eene moeilijkheid wegens het voorkomen van eene onbepaalde constante inde energie. Aan een electron of een stoffelijk punt zou inden toestand van rust de energie mc2 moeten worden toegekend, en natuurlijk zou het verband tusschen M en e (in tegenstelling met dat tusschen AM en A f)> slechts dan eene diepere beteekenis hebben, als die waarde mc2 iets meer was dan een willekeurig aangenomen onbepaalde constante, als zij uiteen voorstelling over den aard van het deeltje kon worden afgeleid. Bij een volkomen hard en onveranderlijk bolvormig atoom kan van dit laatste geen sprake zijn. lets anders is het bij een electron; dit is, als het stilstaat, door een electrisch veld omringd, en vertegenwoordigt dus een zeker arbeidsvermogen. Berekent men dit, dan verkrijgt men echter niet mc2. Immers, voor een bolvormig electron met uniforme oppervlaktelading is volgens (35) e2 m = ft 2~P’ O TT C2 li terwijl voor de energie van het veld gevonden wordtx) e2 8 TT R Zal de betrekking e = Mc2 bestaan/dan moet er dus in het electron nog eene andere energie aanwezig zijn. Het ligt voor de hand hierbij aan de spanningen te denken, die Poincaré in het electron onderstelt teneinde met de afstootende krachten, die de electrische oppervlakteladingen op elkaar uitoefenen, evenwicht te maken2), maar deze kunnen ons niet baten, daar aan die spanningen eene potentieele energie met eene onbepaalde constante beantwoordt. Alles samengenomen zal men zich inde stelling tot de gelijktijdige veranderingen moeten bepalen, of wel zeggen dat de betrekking f = Mc2 geldt, zoo men de onbepaalde constante int er naar Mest. Er moge nog op gewezen worden dat men deze laatste stelling ook aldus kan uitspreken: Men kan de onbepaalde constante in de energie t vaneen systeem zoo kiezen, dat tusschen de energie f en de hoeveelheid van beweging G de betrekking bestaat f = c2 (69) V Wij kunnen nu overgaan tot de belangrijke beschouwingen van Einstein over het zwaartekrachtveld, het laatste onderwerp dat wij te behandelen hebbeü. Als inleiding daartoe moeten wij er den nadruk op leggen, dat het relativiteitsbeginsel, waarover wij tot nu toe gesproken hebben, alleen dan geldt, als het eene stelsel eene standvastige translatiesnelheid ten opzichte van het andere heeft. Het geldt niet als de relatieve beweging in eene rotatie of in eene versnelde of vertraagde translatie bestaat. In deze gevallen kunnen de vergelijkingen van de physica niet met betrekking tot coördinatentijd-stelsels in beide systemen in denzelfden vorm gebracht worden. Verliest men deze aan de geldigheid van het relativiteitsbeginsel gestelde grenzen uit het oog, dan kan men tot zonderlinge *) Men vindt deze uitdrukking gemakkelijk met behulp van (30) uit eene beschouwing van het electrostatisch veld rondom het rustende electron. 2) Verg. H. A. Lorentz. Theory of Electrons, p. 214. gevolgtrekkingen komen. Het volgende geval*) is daarvan een voorbeeld. Een waarnemer A heeft twee gelijke klokken K en K', die eerst beide ten opzichte van hem in rust zijn. Op zeker oogenblik wordt nn echter de klok K‘ (naar rechts bijvoorbeeld) weggeschoten; zij legt met eenparige snelheid een zekeren rechten weg af, keert daarna plotseling om, legt dan met in absolute waarde even groote eenparige snelheid den omgekeerden weg af, totdat zij op het punt van vertrek is teruggekomen, en wordt dan plotseling tot rust gebracht. Gedurende de reis loopt de klok K' langzamer dan K, die op hare plaats is gebleven. Nemen wij aan dat het ontstaan, het omkeeren en het ophouden der beweging geene plotselinge verandering inde aanwijzing van K' brengt 2), dan zal deze klok, nadat zij weer tot rust is gekomen, bij K achter zijn. Laat nu een waarnemer B de. zooeven beschreven beweging van de klok K' medemaken. Dan zou men het volgende kunnen beweren: Voor dezen waarnemer gaat de klok K naar links en komt daarna weer terug. Zij heeft eene dergelijke beweging als straks de klok K' had en zij zal dus nadat de proef is afgeloopen bij K' achter zijn, wat blijkbaar met het zooeven gezegde niet tegelijk het geval kan zijn. De oplossing van deze paradox is hierin gelegen, dat wij, nu B versneld is geweest, niet mogen zeggen, dat B hetzelfde zal zien, kijkende naar de klok van A, als A ziet, kijkende naar de klok van B 3). Het besproken voorbeeld doet zien dat het relativiteitsbeginsel niet doorgaat wanneer het eene coördinatenstelsel een niet eenparige beweging ten opzichte van het andere heeft. De verschijnselen worden in dit geval in het eene stelsel anders beschreven dan in het andere, en het is juist, zooals aanstonds zal blijken, *) Verg. A. Einstein. Ann. d. Phys. (4) 17 (1905), p. 904; P. Langevin. Soientia 10 (1911), p. 31; M. Latje. Phys. Zeitsclir. 13 (1912), p. 118. 2) Wij zullen ons wel moeten voorstellen dat in werkelijkheid eene versnelling of vertraging van de translatie een of anderen invloed op den gang der klok heeft en dat een plotselinge verandering der translatiesnelheid den wijzer plotseling doet verspringen. Intusschen kunnen wij deze elfecten, die onafhankelijk zijn van den afstand tot op welken de klok werd weggeschoten, scheiden van het inden tekst besproken effect, dat evenredig niet dien afstand is. 3) Zie voor verdere toelichting: Aanhangsel, 4. Wij denken ons een coördinatenstelsel x, y, z stil inden aether (zoo men wil is dit slechts eene spreekwijze om eender zooeven genoemde stelsels P, P', P", . .. aan te wijzen). Wij denken ons een tweede coördinatenstelsel x', y', z', de coordinatenassen evenwijdig aan die van het eerste stelsel gekozen zijnde, dat zich met een eenparig versnelde beweging ten opzichte van den aether, in deze verandering waarop het bij Einstein’s beschouwingen óver de gravitatie aankomt. Wat de versnelling vaneen coördinatenstelsel betreft, merken wij nog op dat het eerst dan zin heeft, daarvan te spreken, als men heeft vastgesteld in welk systeem x, y, z, t men de beweging van dat coördinatenstelsel beschrijven zal. Bij een assenstelsel, geheel op zich zelf beschouwd, kan zoo min van de versnelling als van de snelheid sprake zijn. Intusschen kan men wel bij wijze van afspraak vaststellen dat een zeker coördinatenstelsel x, y, z zal geacht worden zonder versnelling te zijn, en dat onder de versnelling vaneen ander systeem, zonder verdere bijvoeging, de versnelling zal verstaan worden, die het heeft ten opzichte van x, y, z, indien daarbij op bepaalde wijze de tijd t als vierde veranderlijke wordt gekozen. „Versnelling” vaneen coördinatenstelsel beteekent dan zijne versnelling in dat bepaalde stelsel x, y, z, t, dat wij P zullen noemen, of ook de versnelling in eender stelsels P', P", enz., waartoe men, van P uitgaande, kan overgaan door transformatieformules, zooals die bij het relativiteitsbeginsel te pas komen, welke stelsels ten opzichte van P niet anders dan eene eenparige translatie hebben. De keus dier groep P, P', P", . . . kan b.v. hierdoor bepaald worden, dat in deze stelsels de beschrijving der verschijnselen eenvoudiger blijkt te zijn dan in eenig ander. Wil men, wat wel het eenvoudigst is, zich een „aether” voorstellen, dan kan men aannemen dat P een in dit medium vastgelegd coördinatenstelsel is. Na deze voorbereiding kunnen wij tot de bespreking van Einstein’s beschouwingen over de zwaartekracht overgaan. Ter wille dér duidelijkheid zullen wij ons daarbij vooreerst tot eene behandeling bepalen, die wel in hoofdzaak, maar niet wat kleine bijzonderheden betreft, juist is. In het bijzonder onderstellen wij bij deze elementaire behandeling dat bij den overgang tot een nieuw coördinatenstelsel de tijd onveranderd wordt gelaten. de richting van de z-as, die wij b.v. naar boven gericht denken, beweegt. De verschijnselen zullen nu met betrekking tot deze twee stelsels op verschillende wijzen beschreven worden. Wij denken ons b.v. een punt, dat in liet eerste systeem rust. Dit punt zal in het tweede systeem naar beneden vallen. Een punt, dat in het systeem z met eenparige snelheid naar boven gaat, kan in z' eerst vertraagd naar boven gaan en dan weer versneld dalen. Een punt, dat in z eene rechtlijnige eenparige beweging heeft, die niet volgens de z-as gericht is, zal zich in z' volgens eene parabool bewegen. Al deze punten bewegen zich in het tweede systeem op dezelfde wijze alsof de zwaartekracht erop werkt. Een waarnemer in het stelsel z' zou, indien hij eens niet wist dat zijn systeem een versnelde beweging heeft, zeggen dat op alle punten in zijn systeem een constante naar beneden gerichte kracht, eene kracht die hij gevoegelijk als zwaartekracht kan aanzien, werkt. Door overwegingen van dezen aard, die hij gepreciseerd heeft door ook, in plaats van t, een nieuwen tijd t' in te voeren, en het verband tusschen z, t en z', t' nauwkeurig aan te geven, is Einstein i) tot een nieuw beginsel, het aèquivalentieprincipe, gekomen, dat als volgt kan geformuleerd worden: De wijziging die de overgang van het stelsel z, t tot een stelsel z', t', dat zich ten opzichte van het eerste volgens de z-as op bepaalde wijze versneld beweegt, brengt inde vergelijkingen, die de verschijnselen beschrijven, is dezelfde als die, welke dooreen homogeen gravitatieveld in het stelsel z, tin die vergelijkingen wordt teweeggebracht. Dit brengt met zich mede, dat alle lichamen even snel vallen. Jïet aequivalentieprincipe van Einstein krijgt heuristische beteekenis als men beweert dat het voor alle mogelijke verschijnselen geldt. Dan kan men er nl. uit afleiden dat in allerhande gevallen een invloed der zwaartekracht, waaraan men anders niet licht zou gedacht hebben, bestaat 2). Wij zullen dit met een paar eenvoudige voorbeelden toelichten. • ) A. Einstein. Über den EinfLuss der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Licbtes. Ann. d. Phys. (4) 35 (1911), p. 898; Lichtgescbwindigkèit und.Statik des Gravitationsfeldes. Ann. d. Pbys. (4) 38 (1912), p 355; Zur Theorie des Gravitationsfeldes. Ann. d. Phys. (4) 38 (1912), p. 443. 2) Daarbij wordt het aequivalentieprincipe in omgekeerden zin als boven uitgedrukt staat gebruikt. In het gravitatie veld met de versnelling g is, zooals men weet, de kromtestraal der baan vaneen stoffelijk punt op een plaats, waar die baan horizontaal loopt, 9 Men kan dit gemakkelijk uit het aequivalentieprincipe afleiden; is de baan in het stelsel z, t recht, dan vertoont zij in z', t' die kromming. Maar geheel op dezelfde wijze besluit men uit dit principe dat een lichtstraal in het gravitatieveld gekromd is, en wel is de kromtestraal op een plaats waar de lichtstraal horizontaal loopt, r2 – (71) 9 Men kan nu echter den loop vaneen lichtbundel met de bekende constructie van Huygens bepalen en komt hierbij slechts dan tot eene kromming als de voortplantingssnelheid niet op elke plaats even groot is. Dit geval zou zich dus in het gravitatieveld moeten voordoen. Laat een straal die op de plaats P waar hij horizontaal loopt, en, bij de snelheid c, de boven aangegeven kromming heeft, tot een oneindig dunnen bundel behooren. Beschouw het golffront van dien bundel in P en den stand dien het een oneindig kleinen tijd dt later inneemt. Daar het golffront loodrecht op de lichtstralen staat, maken de beide vlakken een hoek cdt : = dt 9 c met elkaar en daaruit volgt dat de tussehen de vlakken liggende deelen van twee lichtstralen, waarvan de een op een afstand dz boven den ander ligt, met een bedrag dzdt c van elkaar verschillen. Hieruit blijkt dat de voortplantingssnelheid naar boven toe grooter wordt, en wel in die mate dat het verschil voor de twee genoemde stralen bepaald wordt door dc Het tweede voorbeeld is het volgende. Op twee plaatsen I\ en Po, waarvan de eerste op eene hoogte /<■ boven de tweede ligt, zijn eene lichtbron L, die enkelvoudig licht uitstraalt, en een spectroscoop S geplaatst. Bevinden beide zich ineen stelsel zonder versnelling' en zonder zwaartekracht, dan zal L met eene bepaalde frequentie «i trillen en de streep in S eene daaraan beantwoordende plaats hebben. Om nu uitte maken wat hieraan door de zwaartekracht kan veranderen, hebben wij slechts na te gaan welken invloed eene gemeenschappelijke versnelde beweging van L en Snaar boven zal hebben. Zij de snelheid der lichtbron op het oogenblik van uitzending t’i, die van den spectroscoop op het oogenblik der waarneming v2. Deze laatste is grooter dan de eerste. Volgens het beginsel van Doppler zal dan de plaats der streep inden spectroscoop beantwoorden aan de frequentie «2 =(l +^—)a i (73) V-2 V\ Wanneer men ter berekening van de kleine breuk -- de snelheid van het licht constant = c stelt, vindt men v2 vy – --- h, (74) C zoodat «■2 = h\n\ (75) wordt. Hieruit volgt dat men in het gravitatieveld, op eene bepaalde plaats waarnemend, aan de deeltjes inde lichtbron een des te sneller trilling zal toeschrijven naarmate de lichtbron hooger geplaatst is. Wij hebben hier uit het aequivalentieprincipe twee gevolgtrekkingen afgeleid, die voor experimenteele toetsing vatbaar zijn. Daarbij is het geschikt vaneen zoo sterk gravitatieveld als dat van de zon partij te trekken. Volgens de eerste gevolgtrekking zal de voortplantingssnelheid des te kleiner zijn naarmate men dichter bij de zon komt en zullen de lichtstralen van eene ster, wanneer deze dicht langs de zon heenstrijken, eene afwijking moeten ondergaan, waarvan men de richting gemakkelijk kan aangeven. Voor de grootte vindt men 0.83". De astronomen zullen dit zeker bij gelegenheid op de proef stellen. Volgens de tweede gevolgtrekking zal een natriumdeeltje dat overigens onder gelijke omstandigheden trilt, zoo het licht daarvan op een bepaalde plaats onderzocht wordt, langzamer schijnen te trillen wanneer het zich op de zon bevindt dan wanneer het op de aarde is. De hieraan beantwoordende verschuiving der spectraallijn naar het rood zou ongeveer 1/&oo van den afstand van Di en Dg bedragen. In hoeverre de bestaande waarnemingen voor of tegen deze gevolgtrekking spreken, durf ik niet beslissen. Daar, zooals reeds gezegd werd, het bovenstaande slechts bij benadering geldt, zullen wij nog wat nauwkeuriger nagaan hoe wij het stelsel z', t' zich ten opzichte van 2, t moeten laten bewegen, als de regels voor de lichtvoortplanting in 2', t' redelijk eenvoudig zullen zijn. Stelt men de voorwaarde dat in dit stelsel de voortplantingssnelheid c' eene functie zal zijn van 2' alleen, d.w.z. dat zij op eene bepaalde plaats onafhankelijk zal zijn van i' en van de richting van den lichtstraal, dan is de vorm der transformatieformules geheel bepaald 1). Men kan dan schrijven 2=a (2' 20'), ct = b (2' 20'), (76) waarin 1 / kt' kt'\ , 1 / kt' kt'\ «=T(« +e ), i=-2 (. -« ) ■ (77) terwijl z'0 eene constante is. Men zou evenzoo in plaats van 2, t en t' kunnen invoeren 2 zO, t tO, t' to', maar dit kan vermeden worden door geschikte keus van het punt van waar men 2 en van de oogenblikken van waar men t en t rekent. Waarom de constante zo' is opgenomen zal aanstonds blijken. Uit (77) volgt data en J voldoen aan a2 &2 = 1 (78) Uit (76) en (78) vindt men voor de beweging, in het stelsel 2, t, vaneen punt met standvastige 2' de betrekkingen Z2 _ C2f2 = (g' Z0 )2, 2 = 1/(2'— Zo')2 + c2<2,. .. . (79) c2* (80) dt l/(z' *) Zie: Aanhangsel, 5, en verg.: P. Ehrenfest. Over Einstein’s theorie van het stationaire gravitatieveld. Zittingsversl. Akad. Amsterdam 21 (1913), p. 1234. Dit is geen eenparig versnelde beweging. Trouwens de onderstelling van eene eenparig versnelde beweging zou deze moeilijkheid medebrengen, dat de snelheid c ten slotte zou overschreden worden. Bij de beweging volgens (76) en (77) zal blijkens (80) de snelheid c eerst na oneindigen tijd bereikt worden. Voor de versnelling op het oogenblik t = 0, die wij g zullen noemen, heeft men -(SLoTO waaruit volgt z'-z0' = j (82) De grootheid g stelt de versnelling voor, die het stelsel zin z, t naar boven heeft en daarmede hangt nu volgens het aequivalentieprincipe de door de zwaartekracht teweeggebrachte benedenwaarts gerichte versnelling samen. Zooals men ziet is g niet op alle hoogten dezelfde, maar men kan gemakkelijk aantoonen dat de veranderlijkheid aan de waarneming moet ontsnappen. Kiest men nu den oorsprong van z' ineen punt nabij het aardoppervlak, waar g eene bepaalde waarde gu heeft, dan volgt uit (82) cï z'— Z0 9 o Hadden wijde constante zo' willen vermijden, dan hadden wij Q2 den oorsprong op den zeer grooten afstand beneden het aard-9 o oppervlak moeten kiezen. Dit is de reden waarom wij zo' inde formules hebben opgenomen. Wij zullen nu de snelheid van het licht nader beschouwen. Uit (76) en (77) volgt dz = adz' -j- bc dt’, cdt = ac'dt' -j- bdz (83) als c' = k (z' zo') (84) is. Deze differentiaalformules zien er juist zoo uit als die, welke uit de vroegere formules (8) volgen, alleen is in sommige termen c' in plaats van c gekomen. Uit (83) leidt men gemakkelijk af de reciproke betrekkingen dz' = adz bedt, c' dt' a cdt bdz, . . . . (85) die, behoudens de gedeeltelijke vervanging van c door c', met (11) overeenkomen. Uit (83) volgt verder dz -j- cd t= (a -j- b) (dz' -j- c'dt'),) dz cdt (a b) (dz c d t'), I waarna men, acht slaande op (78) en bedenkende dat x' = x, y' = y is, vindt d& + dy* +d& &dP = dxP-\-d.y,* +d& c'W2. . (87) Deze vergelijking leidt tot liet besluit dat c' de lichtsnelheid in het systeem z', t' voorstelt. Uit (84) en (81) volgt nog dc kdz' ~ ————7 dz = °'l dz', (88) Z Z0 C-1 welke betrekking bevredigend met (72) overeenkomt. Ten slotte nog iets over de vraag of de energie gewicht heeft. In het aequivalentieprincipe ligt een bevestigend antwoord op die vraag opgesloten. Het eischt nl. dat alle lichamen even snel vallen, dat het b.v. geen verschil maakt of een holte in het vallende voorwerp gevuld is met zwarte straling van eene lage of van eene hooge temperatuur. Dus is in het algemeen het gewicht evenredig met de massa. Gelijk wij gezien hebben is echter de massa vaneen of ander stelsel des te grooter naarmate het meer energie bevat. Ditzelfde moet nu van het gewicht gelden en in dezen zin kunnen wij zeggen dat de energie gewicht heeft. De mogelijkheid hiervan blijkt trouwens uiteen paar eenvoudige voorbeelden. Wij denken ons een vat waarin zich een gas bevindt. Zou dit gas meer kunnen wegen naarmate de temperatuur hooger is? Ja. Immers de wijziging die de wet van Newton volgens het relativiteitsbeginsel moet ondergaan, zou kunnen medebrengen x), dat een zich bewegend molekuul in meerdere mate dan een stilstaand door de aarde wordt aangetrokken. Dat ook de aanwezigheid van zwarte straling in eene holte het gewicht vaneen lichaam kan vermeerderen, is gemakkelijk N in te zien, als men bedenkt dat volgens het bovengezegde een lichtstraal onder den invloed der zwaartekracht gekromd wordt. >) Dit zou echter niet het geval zijn zfto de aantrekkingswet den in (45) en (46) uitgedrukten vorm had. Men denke slechts aan het geval dat een bundel stralen als een boog met de uiteinden op den wand van de holte rust. Men begrijpt dat dan de aan die uiteinden uitgeoefende lichtdruk tot eene benedenwaarts gerichte kracht aanleiding kan geven. Eenigszins paradoxaal hiertegenover staat dat een lichtstraal, die zich inde richting naar boven voortplant, volgens (84) in snelheid toeneemt. Nadere berekening leert echter dat de hoeveelheid van beweging vaneen dergelijken begrensden lichtbundel bij het naar bovengaan afneemt. Het is dus alsof er eene benedenwaarts gerichte kracht op den lichtbundel werkt, zoodat men ook met het oog hierop kan zeggen dat de straling gewicht heeft. Eene experimenteele toetsing van de uitspraak dat de energie gewicht heeft, zou volgens J. J. Thomson op de volgende wijze mogelijk zijn. Radioactieve stoffen zenden voortdurend behalve deeltjes van verschillenden aard ook energie inden vorm van straling (/-stralen, warmtestralen) uit, waaruit men kan besluiten dat zulk eene stof zoolang zij nog niet te dicht bij haar eindtoestand is gekomen, eene groote hoeveelheid inwendige energie bevat, waaraan eene bepaalde massa beantwoordt. Zal nu die energie in gelijke mate tot het gewicht bijdragen? Neemt men aan, dat de bedoelde energie wel massa maar geen gewicht heeft, dan zou een slinger waarvan de lens eene radioactieve stof bevat of draagt, langzamer moeten slingeren dan een overigens gelijke slinger, waarbij de radioactieve stof dooreen niet radioactieve vervangen is. Voor eenigen tijd is dit door Southerns *) in het laboratorium van J. J. Thomson onderzocht. Hij kwam tot de conclusie, dat de verhouding tusschen massa en gewicht bij uraniumoxyde en bij loodoxyde niet meer dan hoogstens 2WOOO verschilt. Indien men aanneemt, dat de energie geen gewicht heeft, dan zou dat verschil naar zijne schatting 2~6o"öo moeten bedragen, zoodat deze proeven er inderdaad voor spreken om aan de energie ook gewicht toe te kennen. Men kan eindelijk vragen: Zou ook de kracht waarmede een lichaam andere voorwerpen aantrekt, bij vermeerdering van de energie die het bevat, grooter worden ? Inde leer der gravitatie wordt aangenomen dat de vaneen lichaam uitgaande gravitatie *) L. Southerns. Determination of the ratio of mass to weig'ht fora radioaetive substance. Proc. Royal Society, London, A 84 (1910), p. 325. evenredig is met zijne (trage) massa, eene stelling die men uit de gelijkheid van werking en terugwerking kan afleiden als men uitgaat van de evenredigheid der op een lichaam werkende gravitatie met die massa, en die tot op zekere hoogte ook volgt uit de overeenstemming der uitkomsten die men voor de gravitatieconstante verkregen heeft door de proef van Cavendish met verschillende zelfstandigheden (lood en kwik) voor het aantrekkende lichaam te nemen. Natuurlijk zal men met het uitbreiden der genoemde evenredigheid tot de uiterst kleine massaveranderingen, waarvan in het voorgaande sprake was, voorzichtig moeten zijn. Ziet men inde generalisatie geen bezwaar, dan kan men zich voorstellen dat ook van de energie eene aantrekkende werking uitgaat, tengevolge waarvan twee lichtbundels die zich naast elkaar voortplanten, al is het ook onmerkbaar weinig, naar elkaar toe gekromd zullen worden. Verder onderzoek zal over de waarde dezer denkbeelden uitspraak doen. Hoe echter de beslissing moge uitvallen, men moet bewondering gevoelen voor het vernuft, waarmede Einstein al deze mogelijkheden heeft uitgedacht. AANHANGSEL. 1 Electromagnetische hoeveelheid van beweging vaneen electron dat zich met eenparige snelheid voortbeweegt. Wij denken ons eerst een bolvormig electron met den straal R en eene lading e uniform over het oppervlak verdeeld; het middelpunt bevindt zich inden oorsprong O van het coördinatenstelsel van A, voor wien het electron in rust is. Buiten het electron bestaat dan eene electrische kracht, die volgens het verlengde van den uit O getrokken voerstraal r gericht is en de grootte heeft (te bedenken is hierbij dat onze eenheid van hoeveelheid electriciteit l/4 n maal kleiner is dan de gewone electrostatische eenheid). De componenten van de electrische kracht zijn D e x . e y . e JL ft\ x 4TT r'2 r ’ y 4ir r2 r ’ z Anr2 r >) De formules in dit aanhangsel worden met kursieve cijfers, genummerd. Verder is h = O (2) Binnen het electron is overal d – 0, h = 0 (3) Wij beschouwen nu het volgende geval. Uit het relativiteitsbeginsel volgt dat met hetzelfde electron de waarnemer B, die zich met zijn coördinatenstelsel ten opzichte van A met eene snelheid v = —c (4) CL volgens de z-as beweegt, kan te zien krijgen, dat het electron voor hem in rust en bolvormig is, eene uniforme oppervlaktelading, totaal ten bedrage van e, bezit en zijn middelpunt in O' heeft. Verder dat voor hem dan buiten het electron H ' e x' H' – e y' d ' e z' ) ■ 4 jrr'2 r’ y 4nr'2 r'’ “ 4nr'% r' ( _ (5j h' = 0, \ en binnen het electron d' = 0, h' = 0 (6) is. Hoe doet zich dit alles aan A voor? Voor hem beweegt zich het electron met de snelheid v volgens de z-as. Verder is voor hem, volgens de uit (28) en (29) volgende betrekkingen dx =ad x ”1“ h — ady bh x> ds—ds,. .. . (/) hx ah'x b& y, hy ah y -j- bd hs ~h., ■ • • • ($) buiten het electron ex_ey’ , e z x a4 71 r’2 t ’ y a 4 nr'2 r' ’ “ 4nr'2 r' hx = – bh, =O, . . . . (10) 4nr 2 r y 471-r 2 r en binnen het electron d= 0, h = 0 (11) De componenten der electromagnetische hoeveelheid van beweging per volume-eenheid worden nu voor een volume-element buiten het electron volgens (33), zie ook (32), gegeven door1) _ b e2 x'z' x c 1 Qnïr'i r'2 ’ I fi _ b e2 l ~ c lÖttV1 r'2’ i -• •• v > ab e2 x'2A~t/’2 1 Gs = cl 6 n2r'4 r ' j Binnen het electron is G = 0. De componenten van de totale hoeveelheid van beweging worden nu gevonden door G;r, G;/, Gs met dS te vermenigvuldigen, als dS een volume-element in het systeem van A voorstelt, en dan naar x, y en zover de geheele ruimte buiten het (ellipsoidische) electron te integreeren, waarbij bedacht moet worden, dat x=x,y'=y, z = az en r'2 x'2 -j- y 2 -j- z 2 is. De integratie wordt iets eenvoudiger door de waarde dS in te voeren, die B aan het volume-element dS toekent: dS = dS' (13) a Wij kunnen dan naar x', y', zover de ruimte buiten het electron integreeren, waarbij wij in het oog houden dat dit in het stelsel x', y', z' een bol met den straal R en het middelpunt inden oorsprong is. Klaarblijkelijk zal nu, wegens het voorkomen van oneven machten van x', y', z' inde eerste en tweede der uitdrukkingen (12) de integratie van G® en Gy 0 opleveren, waaruit blijkt dat de resulteerende hoeveelheid van beweging volgens de z-as gericht is. Verder is de integratie van G3 gemakkelijk uitte voeren. Men bedenke b.v. dat, als ƒ (r') een willekeurige functie van r' is, de drie integralen ƒ x'2 ƒ (r') dS', ƒ y'2f(r') dS', jz'2 f(r')dS' gelijk aan elkaar zijn, en dat elk daarvan dus gelijk moet zijn aan het derde deel hunner som. i) Aangenomen wordt dat deze in het veld aanwezige eleetromagnetisehe hoeveelheid van beweging de eenige hoeveelheid van beweging is. Voor de energie van het electron geldt iets dergelijks niet, daar een deel daarvan aan de door Poincaré onderstelde spanningen beantwoordt. lr 4 rx o I r'2 / (r) dS' = -g- TT I r4f(r) dr . R Dit op de laatste der uitdrukkingen (12) toepassende komt men tot de door (34) en (35) bepaalde waarde. 2. Transformatieformules voor de hoeveelheid van beweging en voor de krachtcomponenten. Energie vaneen stoffelijk punt. In het stelsel x, y, z, t worden de componenten der hoeveelheid van beweging vaneen stoffelijk punt bepaald door s. = w • ■G* =, / ,■ ■ <«> l/i-y. Vi-7 V'-i en de krachtcomponenten door p dG* p_d Gy – dGs hk\ dt ’ Vy ~ dt ’ *•- dt { ’ Men overtuigt zich gemaklcelijk ervan, dat v*Fx + v„Fy + veFs = (16) is, als men m c2 ' V^l' stelt. Het ligt nu voor de hand, het eerste lid van (16) als den per tijdseenheid door de kracht F verrichten arbeid op te vatten en t als het arbeidsvermogen van het stoffelijk punt. De vergelijking drukt dan de energiewet uit. Natuurlijk kan men bij de aangegeven waarde van t eene willekeurige constante voegen. In het stelsel x', y', z', t' gelden formules die denzelfden vorm als de bovenstaande hebben; alleen moeten alle grootheden met uitzondering van c en m van accenten worden voorzien. Wij zonderen ook muit omdat wij ons voorstellen dat bij de beschrijving in x', y', z', t' aan m dezelfde waarde wordt toegekend als bij de beschrijving in x, y, z, t. Wat nu de transformatieformules betreft, herinneren wij er vooreerst aan, dat tusschen de gelijktijdige veranderingen van x, y, z, t, en x', y', z', t' het verband bestaat: dx' dx, dy' dy, dz'— adz bedt, dt' = adt —~dz = a dt = a>dt, . . . . (17) waaruit de vroeger aangegeven transformatieformules voor de snelheidscomponenten volgen. Uit deze kan men verder de betrekking afleiden. Houdt men deze in het oog, alsmede de vergelijkingen (14) en de overeenkomstige voor G'.c, G';/, G'z, dan vindt men gemakkelijk uit de transformatieformules voor de snelheden G'x = Qx, G'y = G,y, G'3 = aGs O Dit geeft, als met het teeken d de aangroeiingen gedurende den tijd dt worden voorgesteld, d G'x = d G:C, d G'y = d Gy, dG's adGz dt cidGs (vxFx F-) dt. c c Om de transformatieformules voor de krachtcomponenten te verkrijgen hebben wij slechts deze vergelijkingen door (17) te deelen. Dit geeft F' – F F' r-x ■ xi 1 y 1 yj i (O CO f .... (18) F', =- Fs – – (vx F:c + v, F, + v2 Fe). co C co ! Het verdient opmerking dat ook alle betrekkingen gelden, die men uit bovenstaande formules verkrijgt, wanneer men de grootheden zonder accenten door de overeenkomstige met accenten vervangt, en omgekeerd, en tevens b door b. Daarbij is 1 CO Qj • C CO 3. Toepassing van het relativiteitsbeginsel op twee elkaar aantrekkende stoffelijke punten. Als de werking van het tweede op het eerste punt door de in (45) en (46) uitgedrukte wet bepaald wordt, zijnde componenten der op 1 werkende kracht, zoo 2 zich inden oorsprong van coördinaten bevindt, en x, y, z de coördinaten van 1 zijn, F- =-T[B + ? \t*** + T (’• fr -R) ~) – vxv2 cos (Vi, v2) Rj J + -2- Mir B V2*, enz ] Wij zullen nu bewijzen dat, indien deze uitdrukkingen gelden in het stelsel x, y, z, t, daaruit vergelijkingen van denzelfden vorm in het door (6) bepaalde stelsel x', y', 2', t' kunnen worden afgeleid, wel te verstaan zoo men termen die met betrekking tot de snelheden van hoogere dan de tweede orde zijn, verwaarloost, en evenzoo termen waarin de tweede machten of produkten van snelheden met versnellingen of hoogere differentiaalquotienten naar den tijd vermenigvuldigd zijn. Wij kunnen zelfs aantoonen dat de formules (19) „invariant” zijn niet alleen bij dein (6) uitgedrukte transformatie, maar ook bij eene meer algemeene, die wijde „algemeene relativiteitstransformatie” zullen noemen. Aan (6) geven wijden naam van „bijzondere relativiteitstransformatie”. Schrijven wij ter vereenvoudiging inplaats van x, y, z, ct : Xi, x2, x3, Xi, en evenzoo inplaats van x', y', z', c t': x\, x'2, x's, x\, dan wordt de algemeene relativiteitstransformatie bepaald door x\ = au X\ -j- aia X‘2 + «13 Xs + «14 Xi, \ X2 = «21 Xi + «22 X2 + «23 X3 + «24 Xi, | Xs «3l X\ + «32 X2 + «33 X3 + «34 Xi, i Xi = «41 X\ -j- «42 X2 -j- “43 X3 -j- «44 Xi, / waarin de constante coëfficiënten zoodanige waarden hebben dat identiek x\2 + x‘224" x’s2 x'i2 = X\2 -f- x22 -j- Xs2 Xi2 is, en dat de determinante op de coëfficiënten de waarde -j- 1 heeft. Bovendien zij «44 positief. Men ziet gemakkelijk in dat de transformatie (6) als een bijzonder geval in (20) begrepen is, en dat hetzelfde geldt van transformaties die op de x- of de y-as op dezelfde wijze betrekking hebben als (6) op de z-as. Bij al die bijzondere relativiteitstransformaties blijven twee coördinaten onveranderd. Verder vallen onder (20) ook willekeurige wentelingen der coördinaatassen, waarbij de tijd onveranderd wordt gelaten. De (algemeene) relativiteitstransformaties hebben de volgende eigenschappen, die ieder wiskundige gemakkelijk kan bewijzen: a. Het omgekeerde van eene relativiteitstransformatie is weer eene relativiteitstransformatie. b. Twee op elkaar volgende relativiteitstransformaties A en B zijn aequivalent aan eene enkele relativiteitstransformatie, waarvan de coëfficiënten uit die van A en B kunnen worden afgeleid (samenstellen van transformaties). c. Eene relativiteitstransformatie kan ontbonden worden in wentelingen en eene bijzondere relativiteitstransformatie. d. Eene gegeven relativiteitstransformatie A kan ontbonden worden in eene willekeurig te kiezen relativiteitstransformatie B en eene tweede relativiteitstransformatie C, waarvan de coëfficiënten uit die van A en B kunnen worden afgeleid. e. Eene gegeven relativiteitstransformatie A kan ontbonden worden in wentelingen, eene willekeurig te kiezen bijzondere relativiteitstransformatie I en eene tweede bijzondere transformatie 11. Het is de laatste stelling die wij bij het bewijs van de invariantie der formules (19) zullen gebruiken. Het is n.l. vooreerst duidelijk dat deze vergelijkingen tegenover wentelingen invariant zijn; dit volgt aanstonds uit de omstandigheid dat inde inde formules (45) en (46) gegeven uitdrukking voor de werkingswet in het geheel niet van coördinaatassen sprake is. Verder kunnen wijde transformaties I en II op eene bepaalde wijze kiezen. Als n.l. door de transformatie A, waarvoor wij het bewijs willen leveren, de snelheid van het punt 2 van v2 in v'2 overgaat, kiezen wij I zoodanig dat die snelheid van v2 in 0 overgaat. De transformatie II moet dan zoo zijn dat zij de snelheid van 2 van 0 in v'2 verandert. Wij behoeven nu de bedoelde invariantie slechts voor de transformaties I en II te bewijzen. Zelfs kunnen wij ons tot II beperken, daar de transformatie I het omgekeerde is van eene transformatie die van denzelfden aard als II is. Dientengevolge levert het bewijs voor. I geene moeilijkheid op, als het voor II is geleverd. Wij kleeden het bewijs zoo in, dat II de overgang van x', y , z', t' tot x, y, z, t volgens de formules (6) is. Stel dat de waarnemer Ade punten 1 en 2 op den tijd t 0 beschouwt, dat dan het punt 2 inden oorsprong-van zijn coör- dinatenstelsel ligt en de snelheid v% inde richting der z-as heeft en dat het punt 1 de coördinaten x, y, z heeft en op een afstand r van 2 is gelegen. Kiest men nu de constanten a en b zoo dat de snelheid van Bin het stelsel x, y, z, t juist de zooevengenoemde v% is, dus bc v 2 —C= V 2, a = 7-7===, 0 = -y====, a v c2 2 v c2 v%2 dan bevindt zich voor B het punt 2 op den tijd t' O inden oorsprong van coördinaten met de snelheid O, terwijl 1 op den tijd t’ = -z de coördinaten , x' =x, y' y, z' az heeft. Werkt nu voor B op dat oogenblik op 1 een kracht met de componenten F'x, F'y, F's, dan zullen voor Ade componenten der op den tijd t = O op 1 werkende kracht volgens (18) bepaald zijn door Fx =co F'x, Fy =co F'y, Fz =—F's +—(vlxF'x +ViyFV+Viz F's), (21) CL CL C waarin .wij inden laatsten term Fx, Fy, Fz, door F'x, Fy', F's hebben vervangen. Dit is geoorloofd omdat deze componenten met Via, Via, Vjz vermenigvuldigd worden, die met beet a a trekking tot de snelheden van de tweede orde zijn. Men mag daarom in dien laatsten term van de snelheden voor zoover zij inde krachtcomponenten voorkomen geheel afzien, maar dan vallen, zooals uit (18) blijkt, Fx, Fy, Fs met F'*, F'y, F'~ samen. Verder is bV ia u> = a • c Wij nemen nu aan dat voor B dein (19) uitgedrukte wet geldt. Wil hij op den tijd t’ de op 1 werkende kracht aangeven, dan moet hij erop letten waar het punt 2 zich op dien tijd t' bevindt, daar inde wet sprake is van gelijktijdige standen. Op den tijd t' O bevindt 2 zich inden oorsprong van coördinaten, maar B mag zeggen dat het ook op den tijd t' z daar is, daar de snelheid van het punt O is, en de verplaatsing van het eene oogenblik tot het andere dus door de versnelling en de hoogere differentiaalquotienten der snelheid naar den tijd bepaald wordt, waarbij die grootheden met de tweede en 'hoogere machten van 2 vermenigvuldigd worden. Uit de formules (19) volgt dus, daar V'2 = 0 is, F', = —-v R', F,/ F's = —4- R', ff J 9- 7* waarbij r' den afstand van het punt (x', y', 2') tot O voorstelt en R' de waarde die de functie R aanneemt als men daarin r door r' vervangt. Wij substitueeren nu deze waarden in (21) en houden daarbij den graad van benadering waartoe wij ons beperken willen, in het oog. Dus is v2‘2 v2 b v2 ffl=l+ b~~7’ v22 \lsv2 co=l+2^-^’ x' =x,y'=y,2' = (l + 2, , v22 s2 / v22r\ 5> '^r+272V = V + 272)r’ ry p, V22r d R R = R r -7 y 2 c 1 d r X _ v22r\ Xy' _ _ V22r\ y (* _l_ 2 V22r\ £ r' V 2 c2/ r’ r' \ 2 c2/ r’ r' \ 2c2 Jr’ en eindelijk, als men E+ Ü T E+ T v22r 0' ”E) " Vl2*2 A’ |= S stelt, F»; =—~s, F s = —^rS, = Vir-Rt*. Dit komt met (19) overeen, daar V2x =O, \2y -0, v2s; = V2is. 4. Vergelijking van twee uurwerken, waarvan het eene in het stelsel x, y, 2, t stilstaat en het andere over zekeren afstand heen ent weer gaat. Om allen twijfel weg te nemen zal het goed zijn, dit vraagstuk der twee klokken nog iets nader te beschouwen. Daarbij beschrijven wij wat er gebeurt, in termen zooals de waarnemer A ze zou gebruiken. De klok K' beweegt zich in het stelsel z, t eerst inde richting der positieve z-as en daarna in tegengestelde richting, terwijl de klok Kin het punt O (z = 0) blijft staan. De afstand waarover K' zich beweegt, wordt door A op een meetstaaf afgelezen, die voor hem in rust is. De tijd t wordt aangewezen door de klok K en, zooals wij ons kunnen voorstellen, bovendien dooreen aantal andere klokken („d-klokken”) die alle. in het stelsel z, t rusten en in verschillende punten der z-as zijn opgesteld. A heeft deze klokken met K „gelijk” gezet door, in O staande, telkens de klok K en een dier andere te gelijk af te lezen, en daarbij rekening te houden met de omstandigheid dat het licht een zekeren tijd behoeft om den afstand van die andere klok tot O af te leggen. Dat een zich bewegend lichaam, de klok K' of de waarnemer B, een zeker punt der z-as op den tijd t bereikt, beteekent dat, als het daar is, dein dat punt geplaatste d-klok den tijd t aangeeft. Zij nu v de absolute grootte der snelheid en T de (door de d-klokken aangewezen) tijd die aan de heenreis en ook aan de terugreis besteed wordt, dan wordt de plaats van K' van t = 0 tot t—T bepaald door z = vt ' . . .' (22) en van t T tot t = 2 T door z = v (2 T— t) (23) Op elk oogenblik bestaat tusschen de aanwijzing t' van de klok K' en de aanwijzing t van de ZL-klok, waarbij zij zich juist bevindt, de betrekking wij weten n.l. uit het inde eerste voordracht gezegde dat de klok K' inde hier aangegeven mate langzamer loopt dan de d-klokken. Er is ondersteld dat op het oogenblik van vertrek de klok K' op nul staat. Bij het omkeeren is en na afloop der proef *' = 2 1-$ T, terwijl dan de klok K den tijd t = 2 T aanwijst. De waarnemer B ziet dus werkelijk dat ten slotte zijne klok bij K achter is en wij moeten nu ophelderen hoe hij niettemin zoowel gedurende de heenreis als gedurende den terugtocht K langzamer kan zien loopen dan zijne eigen klok, zooals door het relativiteitsbeginsel geischt wordt. Wij zullen ons voorstellen dat B voortdurend met een kijker de klok Kin het oog houdt en de aanwijzingen daarvan met die van K' vergelijkt. Wil hij uit deze waarnemingen afleiden, welke standen der twee uurwerken „gelijktijdig” voorkomen, dan moet hij rekening houden met den tijd dien het licht noodig heeft om van K tot hem te komen. Dit kan hij op verschillende wijzen doen en het is wel mogelijk dat die voor tijden dicht bij het omkeerpunt niet tot dezelfde uitkomst leiden. Wij onderstellen dat hij zich van eene methode bedient, die het voordeel heeft, dat er geene meetstaaf bij noodig is, en die hem, als hij onbewust is van zijne eigen beweging, onberispelijk moet voorkomen. Zij bestaat hierin dat B de klok K telkens slechts voor een oogenblik verlicht en wel dooreen kortstondigen lichtbundel dien hij zelf uitzendt. Hij leest nu op zijn klok K' af: den tijd t\, waarop hij het licht uitzendt en den tijd t2', waarop hij de wijzerplaat van K verlicht ziet; tegelijk met dit laatste neemt hij den stand r van K waar. Daar hij, onbewust van zijne eigen beweging, aanneemt dat het licht zich met dezelfde snelheid van hem af en naar hem toe voorplant en dus aan de voortplanting naar K toe evenveel tijd besteedt als aan den terugweg, besluit hij dat de klok K den afgelezen stand t heeft op het oogenblik waarop K' op t' = ~2 (h' “f" %;) wijst. Voor deze laatste waarde kan men ook schrijven <•=4l/ i-4i-H2)’ als (z, t'), ct= ip (z', t') ....... . (30) Dan komen wij tot de voorwanrden (!?)‘-(I?)'-1 dg> H d'P _ n tp^ z' Ht’ dz dt' ’ {r ’ e;-r m ■ ••••<*> Trekt men van de naar z' gedifferentieerde vergelijking (32) die af, welke men verkrijgt als men (31) naar t' differentieert en door 2 deelt, dan komt er d2cp dcp d2 ip dip __ „ dz'2 dt' ~~ Jz'2 dt' ’ waaruit, als en niet 0 zijn, in verband met (32) volgt d t dt' ö2 qi cl2 lp d z'2 d Z2 dep ~ slp dz' dz' Uit deze vergelijking blijkt dat de verhouding van en ~ en vervolgens uit (31) dat elk dezer differentiaalquotienten op zich zelf onafhankelijk van z' is. Wij stellen dus dep T dip dz' =h’ d7~ 2>

zo' de tijden t en t’ in dezelfde richting veranderen, dan volgt uit (42) dat 7y positief is. Dit in het oog houdende vinden wij uit (35) 1 | k(V to') -k(V to') j T2 = Y\e ~e (• De transformatieformules die men verkrijgt als men de waarden van Ti en rl\ in (41) en (42) substitueert, blijken nu werkelijk aan de voorwaarde (29) te voldoen als c'2 =k2 (z' zq')2 en dus, zoo men z' > zo' stelt, c' = k (z' zo') is. Laat men de constanten to, z0 en to' weg, dan gaande transformatieformules over in die welke inden tekst zijn aangegeven.