APPLICATHS BP0BT41ITES
DE LA
THÉORIE Dü 0MTEM1EXPOHEBTIEL
EÏTENSION DE L'AKALÏSE 4 L'ESPACE.
— par —
J. H, P E E K.
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editeur: H. EISENDRATH, Rokin 117, Amsterdam. Overveen, le 8 Mai 1909.
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DE LA
THEOBIE Dü OÜATERHION EXPONENTIEL
EXTENSION DE L'ANALYSE A L'ESPACE.
par
J. H. PEEK.
editkur : H. EISENDRATH, Rokin 117, Amsterdam. Oven-vecv, le 8 Mai 1909.
APPUCATIOKSIMPORTAHTES





INTRODUCTION.
Dans ma these stir 1'interprétation géométrique de la formule + »'«)*) j'ai imaginé une eonstruction, dont se dérive un systeme d'unités 1, i, t' et ii', dont les trois dernières sont des vecteurs dans les directions des axes d'un système direct de coordonnées rectangulaires. La construction montre, qu'on peut représenter des rotations dans 1'espace, saus avoir recours a des quantités, qui cessent de suivre les régies élémentaires des opérations algébriques. A eet effet je me suis vu obligé seulement de rejeter 1'hypothèse, admise jusqu'ici, que lu multiplication des deux indices i dans 1'exposant de e de la formule ci-dessus, serait permise. Ce fait et en outre que les fonctions gonioraétriques d'angles imaginaires s'y expriment en quaternions, out saus doute été la cause, que ma thèse n'a pas trouvé un acceuil favorable. La seule critique qui me soit venue sous les yeux, celle de la „Mathematical Uazette", la tournait en ridicule. M'étant mis en rapport avec son auteur, 1'insertion de la justification de ma théorie dans la dite Uazette, que j'avais cru devoir offrir a 1'auteur de la critique, fut refusée. Cette justitication a été insérée depuis «lans la périodique mathématique hollandaise „Wiskundig rijdschrift" de Mai 1909, sous le titre „Explicative notes in
*) H. Eisendrath, Amsterdam.


answer to the review in the Mathematical Gazette". J en ai fait tirer un certain nombre d'exemplaires séparés, donnés en vente chez le libraire nommé dans la note ci-dessous. Je crois donc pouvoir me dispenser d'entrer en répétitions, de plus paree que mon système d'imaginaires se justifiera dans la suite de lui-même en vue des applications que j'ai pu en faire.
Depuis la construction d'Argand-Gauss plusieurs efforts out été faits a dériver de 1'algèbre un système de calcul vectoriel. Argand semble avoir été le ]>remier a prononcer 1'idée de la nature vectorielle de i\ Cependant on n'est pas arrivé a une construction satiefaisante. D'accord avec ce qui m'a été observé de cóté sympathique, la cause de ce qu'on n'est pas arrivé plus tót a une solution, me semble tenir au fait qu'on 1'acherchée plutót dans une ligne, tandis qu'on aurait dó la chercher dans un plan. En outre dans le siècle passé les sciences mathématiques offraient tant de nouveaux" aspects et 1'analyse algébrique des fonctions d'une variable représentable dans un plan offrait un domaine si vaste, qu'on peut comprendre que les esprits n'avaient pas envie a des speculations, qui semblaient offrir peu de perspective. Du reste le célèbre calcul des quaternions, fondé par Hamilton, semblait fournir la preuve qu'un calcul vectoriel dans 1'espace n'était réalisable qu'au dehors du domaine de 1'algèbre.
Le calcul des quaternions de Hamilton me semble être de nature géométrique, raison pourquoi elle n'a pas réalisé complètement les espérances, en vue desquelles il avait été imaginé, en tant qu'il n'a pas réussi en tout point a prendre dans 1'espace le róle des quantités complexes de 1'algèbre dans le plan.
Je ne veux pas nier que ma théorie des rotations dans 1'espace présente certaines difficultés a tous ceux, qui demandent une déduction complètement algébrique. Je répète que e'f — cos tfi sin q> ne me semble être qu'une formule de substititution algébrique, donc que la puissance i n'est pas une puissance proprement dite, mais que i n'y figure a cóté de ij que d'une manière symbolique, et que comrne vraie
formule il faut considérer i n = cos <jp + i sin qp. De ce point de


vue rien ne peut justitier la multiplication des deux i dans eaf, paree que 1'une est symbolique, 1'autre une puissance proprement dite. La multiplication n'étant pas permise, on peut écrire au lieu de la formule symbolique la formule
vraie i ^ Mais 011 a objecté aussi qu'attribuer a cette
formule la valeur cos ip + i* sin ip serait parfaitement arbitraire. On comprend qu'en faisant ainsi je suppose que i' est une racine earrée de —1. E11 effet il n'y semble pas exister une méthode directe de véritication. Cependant cette hvpothèse n'est pas plus arbitraire que celle, qui conduit a la valeur 7r
e 2 *
Une fois admis que la puissance i est une rotation autour de 1'axe OX, par laquelle OZ ou i vient a coincider avec i\ cette opération d'éléver i a la puissance i peut s'exprimer par une opération algébrique élémentaire, a savoir par une multiplication par — ii'. Une fois la construction faite on n'aura donc plus affaire dans le calcul a 1'élévation a la puissance i. Une fois la vraie signification de cette opération étant mise en lumière par 1'évidence de la construction elle-même, on peut s'en passer dans la suite. Seulement il faudra distinguer dans la théorie suivante entre les symboles comme quantités elementaires de la construction, comme
i sin (q + i ifi) = ii' sin (f sin y + i' sin </' cos y -)- i sin «f cos % cos (<p + i ip) = cos  cos tp,
(v + i v)
i" n = cos (<f + i ip) + i ®in (<j> + i ip),
((ju'on peut souligner |>our marquer la différence) d'un cöté, •1'autre cöté comme symboles d'une suite d'opérations algébriques, comme
sin (cf + ' '/') — sin <f ch tp + ' cos <f sh 1 p,
cos (<jp -f-i V')= cos <1 ch ip — i sin q sh </'•
Les premières multipliées par r et écrites si 1'on veut en u, x, ij, s, sont les quantités élcmentaires de 1'espace, analogues a rco8q,ir »in <jp, r cos <1 + ir sin y, ou leur équivalentes en x et


y, (lans le plan. A mon avis on chercherait en vain ÈL lesjustifier comrne telles de plus prés que je n'ai taché a faire. Ma construction les a fournies et en a fait connaitre les régies «ï'opération, d'accord parfait avec les regies générales de 1'algèbre. Ces quantités élémentaires n'ont de commun avec les suites d'opérations que le symbole, réel pour les premières, symbolique pour les secondes. Les secondes ne sont pas applicables seulement aux quantités élémentaires du plan, mais aussi a celles de 1'espace. Elles sont applicables immédiatement au calcul du plan. Les unités 1 et i étant liées par la relation i~ — — 1, il faut, pour pouvoir les appliquer dans 1'espace, chercher des unités, liées de la même manière. On
i + i 1+ii' i — i' ,, A 1—ii* i + i*
les trouve dans —^—- et —^— d un cote, ^— et —^—
AA L
de 1'autre. On voit aisément, qu'on peut écrire toute quantité de 1'espace dans les quatre unités de ces systèmes partiels. Le produit d'une des unités d'un système partiel par une de 1'autre est nul identiquement. Weierstrass a conclu du fait de 1'existence de ces systèmes partiels que le calcul a plus de deux unités élémentaires ne saurait apprendre rien de nouveau. II avait raison en tant que le calcul n'a pas besoin de nouvelles conditions de convergence et de nouvelles fonctions, mais on verra dans la suite, que précisément la réducibilité du système conduit a des simplifications inattendues.
Un seul exemple fera voir, que, dans un cas oü la valeur de la fonction s'obtient trés simplement d'une manière directe, Ï'opération sur les composantes donne la même valeur. Par une intégration dans les plans de (j et de y j'ai obtenu ailleurs de la manière directe
.,v + i n>
log i «■ = i qp + i® V' •
„v +i»
Pour la valeur de i n dans les systèmes partiels on a
l 1 4- ii' , , . i — i% . , .
2 «>s (<P ~ V') + —2— 8171 fa ~ y)\ +
( 1 —ii' . i + i' . . . | + j —^— cos (»v') + —2—8111 fa ^ r


L'opération log. exécutée sur cos « + i sin « donne ia. Par analogie, exécutée sur la composante dans le premier système i —
elle donne —^— (v — V)> —^— ('I V') SU1' cello du second, faisant en total i q + il y, si nous laissons de cóté les pério-
H TT
des. Pour <j = y = —, le quaternion se réduit a ii'. Alors
• 1 "4~ %$
la première composante se réduit a ——, la seconde
ƒ f/fi
a ^ Eu tenant compte des périodes, on trouve des
formules: log (x) = log ((x)) + *2 ni n et log (— x) = log ((*)) +
JT
+ (2 n + 1) i n, log iv = — (i + /*), valeur qu'on déduit direc-
tement du cas général par une simple substitution.
Les unités du quaternion exponentiel se distinguent entre autres de celles du calcul de Hamilton par 1'absence de symétrie. On verra dans la suite que c'est précisément cette propriété, laquelle du reste elles ont de commun avec les unités ordinaires 1 et i, qui favorise beaucouj) les applications.
Le calcul des fonctions dc quantités dans les systèmes partiels ne me semble pas présenter de difficultés, en vue de ce que Weierstrass en a dit (Göttinger Nachrichten 1884), et des notices dans ma réponse a la critique dans la „Matbematical Gazette".
Je crois donc pouvoir m'abstenir de m'étendre sur eet objet. Je me propose de faire suivre les applications suivantes par d'autres, aptes a mettre hors de doute la puissance du calcul aussi sous d'autres points de vue. Je crois que les pages suivantes ^suftiront a illustrer 1'importance du quaternion exponentiel, laquelle jusqu'ici ne semble pas avoir été reconnue.


RELATIONS ENTRE LES FONCTIONS DE rn ET LEURS DÉRIYÉES. CONDITJON QUE V2<? SOIT NULLE.
Les unités de ma thèse sur 1'interprétation géométrique dans 1'espaee de la formule re^f +' a savoir 1, ii*, i* et?, nous mettent en état de construire des fonctions , qui dans toute 1'étendue de 1'espace, exceptés les points singuliers, satisfont a 1'équation
sri +2 + = v2* = °-
}ix1 dy ' d z 2
Prenant comme variable
rn =. ii* ax — ii by -+- i cz,
(oü j'écris — i*, paree que, d'accord avec ma construction, il est dans la direction des y négatives d'un système d'axes direct, tandis que ii* et i sont respectivement dans les directions des x et des z positives), oü ii*, i' et i sont des symboles, dont la multiplication s'exécute suivant les relations:
i'i = —1, (i*)*~ = — 1,
on trouve que la fonction monogène «jp (r q) satisfait il 1'équation différentielle:
X72(ï(r,j) = al — &2 — cl-
Mettant a2 — b- — c'1 — 0, toute fonction monogène de r {> satisfait donc a 1'équation de Laplace. Pour cela il n'est pas nécessaire que a, b, c soient des constantes absolues, inais seulement que ce ne soient des fonctions de x, y, z, de sorte qu'elles peuvent être des fonctions du tenyis t, liées par la relation
da db J c a —- — h — — c — = 0.
S t *t d t
v2 Etant une operation réelle, tandis que <p (r nj se compose de quatre parties, a savoir
Sj + Px ii' — Q1i* + üj i,
il faut que V2 = V2 Pi — V2 Q\ — V2 Pn = 0 .


Preimnt 1'integral J q (ro) <1. (r q) , 011
ƒ (Si + P\ u» — i* + li\ i) («"' a dx — i* b dy + i r dz) ,
le résultat ne peut être autre chose qu'une nouvelle fonction monogène de la variable r o. Executant les multiplications, on trouve:
j (Pi ndx — Qib dy — Ui c dz) 4- i i' f (S\ n dx — R\ l> dy —
— Q\ c dz) — i' ƒ (Ri a dx + Si bdy -f- 1\ c. dz) + i J (Q, ndx +
+ Pi b dy + Si cdz), ce qu'on peut de nouveau écrire sousla forme
S + P ii* — Q i' + /«' i — v (x (') ■
On en dérive:
d s d s n s
jT = Pl ^ b > d"T = - A>'c'
jt P d P d P
ïï=Sia> ïy = ~Rlb> Ï7=~QiC'
d « _ p d « - o , * _ „
*T-R>a>ïy jT-PiC'
<* p ? p ÖP
aT = &«, ^7 = /,fc' yr=kSiC (!)
Considérons les intégrales des composantes de <j (r «) d, (rg), prises le long d'une courbe fermée. En les transformant au moyen du théorème de Stok es en intégrales prises sur une surface, terminée par cette courbe, on déduit que les composantes de jn (r (>) d (r (>) seront nulles, si a tous les points de la surface les équations
J_ *Si _ J ?P] _ 1 iQi
a dx b dy c dz '


1 dlli _ 1 d,S'i _ 1 dP,
a dx b dy r dz J_ dQt _ 1 dPL _ J_ dSi n dx b dy cdz snnt satisfaites. En gónéral a cause do (1) ces conditions sont satisfaites. Donc, a condition que la fonction (j (r») est uniforme, tinie et continue a tous les points de la surface, la valeur de
j<V (rij) d (r <j), prise ü partir d'un même point initial, sera
indépendante du chemin parcouru sur la surface, et, a une constante prés, aura une valeur déterminée a tous ses points. Par un déplacement continu de la surface on en déduit facilement que 1'intégrale aura une valeur définie a tous les points d'un volume simplement connexe, oü q (ro) est partout uniforme, finie et continue.
La propriété V2 'I' = 0, qui s'applique aussi a la fonction i|» est d'importance dans tous les cas, qu'il s'agit d'un potentiel de force, ou de vélocité. Choisissant conune tel la fonction S, obtenue comme partie scalaire d'une certaine fonction ip (ra), on trouve comme composantes des forces ou des vélocités:
dS n dS ~ . dS n
Mi = — 1 \ CL , V\ Z=Z • — Qx I) , Wi = = li\C .
dx dy dz
11 faut donc, en vertu de la condition V2 V' = ^ > clue
V2S = al^i_6i^l_cHi = 0 (2)
2 dx dy dz
r, , , . , , . }/' iü
Calculant la valeur de h —— -) , on trouve
dx dy dz
S\ (o + b + c).
En général cette expression ne peut pas s'annuler, sauf le cas exceptionnel, oü Si s'évanouit. Quoique l\.,P = AoQ = — A2 -ft — 0 , on peut donc considérer P , Q et R comme les composantes du potentiel vecteur d'un mouvement rotationnel. On trouve comme composantes tt2, v%, w2 «le la vélocité de ce mouvement et pour les rotations f, »/, £:


u2=~ — — c), £ =P2\b(a + b) + c(o + c)j ,
dy dz
v.2=\- — ^ = — Qi (« + <'), y—— Q2\<(b—c)+ffl(a + 6){, dz dx '
w2 = -— — --— =Ri (a-)- b), u = AM bib —c) — a(a-|-c)!. dx dy '
On en obtient
ï?» + Ül + '3 - u=(6_C) ih -
dx dy dz dx
-(a+c)^-+(a + b)l^- (3)
d IJ dz
II est remarquable que Si n'entre pas dans les composantes des vélocités, ni dans u\, v\ , wi, ni dans u>, v>, w» .
De la théorie précédente on peut tirer de fort simples méthodes pour construire des problèmes de hydrodynamique dans trois dimensions. On n'aura qua imaginer une fonction i/i, la développer dans ses parties scalaire et vectorielles, alors les composantes pourront ètre considérées comme potentiel scalaire et comme composantes d'un potentiel vecteur. üepuis 011 prend la dérivée de </>, a. s. <f . Les composantes dans le développement de «j auront une relation fort simple aux vélocités, dont les composantes de >p représentent le potentiel scalaire ou les composantes du potentiel vecteur. 11 faut toujours avoir en vue, que a'2 — b- — c2 = O exige que a, b et c soient déterminées de sorte que cette équation soit satisfaite, ce qui est possible d'une infinité de manières par des systèmes de valeurs réelles.
Dans les problèmes correspondantes de deux dimensions 011 n'a pas besoin d'une telle relation. Le même cas se présente ici, si par exemple b ou c est égal a zéro. Alors, pour <pie la condition soit satisfaite, il faut que a- — r- ou ce qui est le cas des fonctions monogènes dans le plan.
On véritie aisément que la relation (2) est en effet satisfaite. On peut former la seconde dérivée ' ^ ^, qui s'écrit
d(r c>)2
dl!


de même dans la forme
-f- H} jPo — t' (fó ■ i /tj .
On peut, écnre par analogie:
<^'i o d Qi ., . d A'i 
~~r — O2 ö , Oo 6 , —— 02 C . . . (4)
dx dz
Substituant ces valeurs dans 1'expression (2), 011 obtient
X/2S = S2{a*~ b* — <*) .
On trouve des relations analogues pour P, Q et R, de sorte qu'011 a:
ce qui s'annule sous la condition fondamentale a2—b-—c- — (), si nous excluons le eas oü F" (rp) serait intinie.
De la même manière au moven des formules (4) 011 véritie la relation (3).
11 résulte de ce que précède que des opérations géométriques, comme la recherche des composantes, se traduisent dans la théorie présente par un simple procés de différentiation.
Jusqu'ici nous n'avons considéré que le cas d'un mouvement stationnaire. En général a, b et c et par suite S, P, Q. R pourront être des fonctions du temps t.
II va sans dire que la condition a'2 — b'2— c2 = 0 n'est pas
du2 dw2 •, „ ... .
necessaire pour que —- h (- soit nulle. Si la condi-
dx dy
tion n'est pas satisfaite, S pourra être considérée comme potentiel de vélocité d'un fluide compressible. Alors les fonctions b~f2(t), c—fa(t) sont a choisir d'accord avec les équations de mouvement ou éventuellement avec leur intégrale commune et avec 1'équation de continuité et avec la relation entre la pression et la densité.
Je me bornerai a illustrer la théorie par un seul exemple
concret. Soit ip (r q) =■ p log (r q) , donc ^ ,
d((fr) ry
d'2 ip (r o) 1
d (r y)'2 (rp)2


Nous pouvons écrire r o dans la forme
rl-f-ii' i — i' ,, ,1 1
l [—2~ ax + —__ (by + cz)J i «'ax — i' by + icz = = li — £•>.
I rl — ii* i+i* .. 1 \
[ —2— ax + ^ y ~ C2)J
Toute fonction développable en série consiste en des operations algébriques, qu'on peut appliquer séparément a £, et . Donc if> (?'(') — Si + log h) , oü les valeurs de log £i et de log 2f2 sont:
log ?! = —2 ^<i2 x2 + (by + cz)2 +
i — i' , by + cz ,, i«— i*
-4- —^— are. tan. — 1- zien —-—
L ax 2 '
| j ji
log 'é, = - log i^a"x2+(by — cz)i +
i + i' . by — cz . , i + i*
4- —5— are. tan. — h (2 k + 1) n —^— .
I ax l
Mettant done
ifi (r o) = S + ii* P — i* Q + iR ,
on obtient:
^ u J log ^'a2x'2 + (by + cz)2 + log ^a'2x'2 + (by — cz)'2 J ,
P — ' u [ log V(t2 .r- + (b y + cz)'2 — log ^n- x- +(by — cz)'2 j , ' ' )
n 1 | . by+cz . by—cz j 1
Q — s H are. tan. - are. tan. — —— u(ik + l)ji ,
2 | ax ax 12
n_l( j by+cz by — cz I 1
h = -fil are. tan. — + are. tan. — + — (4 &+1) n .
^ I (t 'jc d x \ Z
De même on a pour 1'évaluation de
+ —i' Q1+iRl, — = ~ i + **—
a (r (j) 1 1 1 1 r (> 2 r q
1 4- ii* 1 — ii*
1 1 —ii* —-s— —Ö—-
+ 2 ~ ~Tt f~'~


__ I 1 ax i — i' by + ra |
I 2 l/a2p + (Jy + 1 Wa2 ^2 + ^ qjh af 1 *
y 1 | 1 — ii' ax
VGS2? + (% + fZ)2 I 2 l/a2 x2 + (ly _ c2)2 ~
t + i* by — cz | 1
2 l a'2 x- -t- (by — ra)2 I f«- x- + (by — ra)2 '
d'oü 1'on obtient:
.) o fa x /i " x
1 a1 x2 + (V>7/ + *)• ffl- x2 + (/>y — cz)- '
2 y» — fia:e unx
1 O*** + (% + «)• a-x- + (&y — af '
2 n — — •" (*f + «) (êf — cz)
1 n4 ar + (iy + ra)8 as a? -+- (fy _ cz)s '
.) ft __ — (% + «) (% — CZ)
i a2 «2 + (by + ra)2 + a2 x2 + (% — af '
taudis que pour ^ = S2 + ii< l\ — i< Q._, + i R., 011 obtient:
V — „ a ^ i a x
O) — ,M , + ft ; ,
j ff.2 Z-' + (6y + cz)2 |5/l J a2 a:2 + (by — ra)2 j J/l
P2=#.- aX p aX ,
j a2 x2 + (% + ra)2 J3/j J «8 a;2 + (/^ — cz)2 J 3/i
g2=-,, <*+* . + »r •- •,
J a2 x2 4- (% 4- ra)2 j '2 ja2x2 + (6y — cz)'-^1*
R2 = -u (^ + CZ> <(ty~«)
J ffl2 X2 4- (fo/ + ra)2 j3/ï j a2 x2 4- (6y — ra)2 j3/l
On peut donc déterminer très-facilement toutes les quantités caractéristiques du mouvement. Je n'entrerai pas dans


la discussion des formules obtenues, les cas pouvant se multiplier indéfinément, ni dans la recherche <les conditions terminales auxquelles la solution peut satisfaire. Seulement je veux ajouter que la methode est applieable aux problèmes analogues d'électricité et de magnétisme.
Les fonctions splériqives font un cas particulier des fonctions monogènes de r«. Posons — cox- <i cos2 ip,
sin u sin y sin ip cos u sin q cos </»
x r A 'y—r A • z~r—A"~ '
o« if et ii' sont les angles de ma construction.
Dans ces coordonnées on trouve pour 1'équation de Laplace
LI (r2 *l\ , d*/ vj
rl &r \ dr) r2sin qp sin y frf dtp r-sin-1/> a
A2 *2ƒ
+ ~o -~~9 x—T> —" (O)
r-sni-q & iv / Dans le oas d'une fonction sphérique d'ordre n, on a
fr(j2Jr)~n(n + 1)Pn'
oü Pn est la fonction superficielle. En effet on trouve que (<»)" satisfait a 1'équation
+.<.+» i',+2 w&• ££ + .4- %%+
smq sm ip dif> stn~ y dq2
. * >;'■? =o (6)
sin- <f d tp2 x '
On peut vérifier de même que, remplagant tp par — tp, qp par — , ou <i et tp par — if et — tp, <j" satisfait encorq après ces substitutions. Si nous écrivons pour i> dans ces cas successivement «t(,, q9, 1(1, on trouve que de plus
turwt+n + v+w irt\
'J (V(V«Wr (<)
satisfait & 1'équation (6). Faisant varier t, u, v, w, de sorte ' que leur somme reste constante, on obtient donc 1111 nombre de fonctions surpassant de beaucoup 2 ( t + u4-v -+- w) -f1 , celui-ei étant le nombre d'entre elles qui peuvent être consul éjées comme indépendantes. La vêritieation de ces faits, avant en


9
lieu dans un ordre d'idées tout difFérentes des présentes, je erois devoir me bomer a les communiquer sans preuve. On peut se oonvaincre que (q)" est en effet une fonction sphérique d'ordre n, en écrivant « en coordonnées polaires et de ce qn'elle satisfait a 1'équation difFérentielle des foneticus sphériques dans ees coordonnées. Du reste 011 voit aisément que celle en <j et V' est |>aire par rapport a ces angles. C'était en cherchant une solution en <j et ip de 1'équation des fonctions sphériques, que j'ai trouvé qu'en introduisant a, b et c, liées par la condition «2 — b'2— c2 = 0, on pourrait éviter les développenients en série. Depuis j'ai trouvé cette condition être suffisante pour les autres fonctions monogènes, pour satisfaire a 1'équation de Laplace.
De cette manière nous pouvons obtenir les fonctions sphériques sous une forme fort simple, de sorte que 1'évaluation peut s'exécuter d'une manière commode.
Cherchons maintenant a déduire des solutions réelles.
On peut écrire
rt — f + . ot»vom«p |
1 A A A i
sous la forme:
1 -+- ii1 sin <1 sin y i — i * b sin q> cos <jp 4- c sin q cos ip
, I 2 " a ; y A l=., _ ,
I 1+ii' sin q sin ip i + i' bsin i/j cos <f—c sin g> cos ip j 1 -j>
T~a A 2 A !
Mettons
a sin qi sin </' b sin w cos w + c sin <1 cos w
— u, cos u,, ——— — u, tin u,,
d'une part,
a sin q sin <f . b sin W cos q —csin a cos w __ — u, mmt et — — —- = „, xin m%t
d'autre part, alors il s'ensuit:
,«1 = ^ I/a'2 sin2 q sin'2 + fb sin ip cos q + c sin q cos ip)-,


b , c
(</ u. — — rot (f -r — cot if>,
CL d
2 MN 2 if sin - ip + (b sin <l> ros (/ — ëMN  ros i/')- ,
A
(y a 2 = ~ cot <ft — C»< tl> ,
a n
de sorte qu'on a
r / 1 + ii' . i — i* . \
rt> = r lu j / ^— cos u x -+- —-— sm «, 1 +
f\ — ii{ , i + . \1
+ f2 I H C0S "2 + n nn "2 ) •
On en trouve
[/ l j/i i ji \
,«i " f —2— rosn«i+—^—sin nu ij +
/I — ii' .i + i* . \ "1
+ ."2" ^— C0H n "2 + —2— sin n "2)\ '
Substituant maintenant dans r<j —1/» au lieu de ip, les systèmes de valeurs uj , uj et u.,, «2 ehangent de signe et de place dans les systèines partiels. O11 obtient alors
r / ^ —j— 11' ^ __ j i \
(r= rm fi2m I —s— (,os m "2 +" —0— sin m «2 ) -+-
/I — «' i + i' . \ ~1 + ."1 ( —s— c08 m 01 ö~ SrH m "l ) I'
Multipliant on obtient pour la valeur de (r y)n (r Q^)m
tl 1 "f" 'il' 'l ■ j' i ~I
Pin ,u2m 1 —~2 cos(nux+rnu2)+ ----- siii()iu{ + m«2^J +
l 1 XIj1 Ij "f* ^ j "1
r'n + " ^,"im.«2nj—2— ro8(n«2+m«\)-*-—-—sinfauz+rnaxpy
C'est une autre fonction sphérique d'ordre m + n. On trouve pour ses coraposantes en 1, ii*, — i' et i :
*^—-"5" ï'm + n j ,U]n tt2cos(nui~\~m«+ «1m H2ncos(u u2+mu\)\ (8)


P=^ + cos(nui + m«i)— i*imP2ncos(n«2+mal)\ (9)
Q—~rm + n^filnfiomsiri(nai + mu.i)—filmfionsin(na2+maj^j (10)
R = rm + " j iii" «2m sin (n «j+m«jJ+fi\m ui" sin (n ag+m«x) j. (11)
Faisant varier m et n de sorte que m + n est constante, on trouve en S±P un système de (m + n + l) fonctions indépendantes. II en est de même de Q ± R. De P, Q, R et S nous obtenons donc un système de 2 (m 4- n ■+ 1) fonctions, dont une doit être exprimable linéairement dans les autres.
On peut obtenir 1111 système complètement déterminé en posant a2 = 2 62 = 2 c2 = 1.
INTÉGRALE PRISE SUR UNE SURFACE FERMÉE S.
Calculons 1'intégrale JJf(to) ii'adydz—i' bdxdz + icdxdyJ. que pour abréger je veux écrire dans la suite sous la forme ffF(ro) dSv. Si on remplace F(vq) par S -f PU'—Qi' + Ri, 1'intégrale se partage dans les composantes suivantes:
ƒƒ<" ady dz — Qb dxdz — Rc dx dy) -+-
4- JJ (Sa dy dz — Qc dx dy — Rb dxdz) —
—'' ƒƒ dy dz) +
+ i ƒƒ (Sc dx dy + Pb dx dz + Qa dy dz).
qu'011 peut remplacer par 1'expression suivante en intégrales prises dans 1'étendue d'un volume terminé par la surface S, si nous supposons que F (tq) est finie et continue dans toutc 1'étendue du volume:


Au moyen des relations (1) elles se transforment en: < «-' — & — c*) ƒƒf(S\ + ii' Px — i' ft + iRi )dr =
donc
ffF(rQ)dS9 = («2 _ 62 _ *) Iff dr (12)
A condition que F (ry) est tinie et continue dans toutc1'étendue du volume et que la condition a- — b- — r- = 0 est satisfaite, 1'intégrale est iiulle.
On pourra déduire de ce fait des méthodes de calcul d'intégrales doublés détinies.
Supposons maintenant que la fonction F(rn) a un infini A quelque point 1' du volume. Supposons que c'est un póle et en premier lieu qu'il est de premier ordre, de sorte qu'on peut écrire
f(tq) = .
rn — rv op
Calculons dans ce cas
i!k\™ 1^=111
oü h est la normale extérieure a la surface.
De la relation (12) on dérive:
dr,. ,i3)
1'intégration de volume pouvant s'effectuer par couclies intinitésimales, n étant partout tangente aux trajectoires orthogonales de ces couclies.
Tant que - . ^ ^ = F (r o) reste finie et n'a pas de discona (r (>) ' 1
i


tinuité dans 1'intérieur du volume terminé par la surface
hi valeur de ff — ! F(ro)[dSp sera donc nulle.
JJ dn, I
Si *'(,,,)= ,r;rt)= .'■<"> iÉiU,
r o — r o r o — r o (r « — v o r
s p sp * p *p v * p *P'
de sorte que 2'" (r») aussi bien que F(tq) est intinie au point P. Cependant si y (r <») et qp' (r <<) sont linies et continues dans le volume, on peut exclure 1'infini de 1'intégration en enveloppant le point P d'une petite sphère è, centre P. Considérant le volume comme terminé par cette sphère d'une part et par la surface S d'autre, 011 dérive de la formule (13),
appliquée a ce volume, que jjyn \ F'(tq) J d S^ prise sur la
surface S doit être égale a — ff J- \F' (ro\' d Sa prise sur la
JJ on I (
surface de la petite sphère, a condition que le sens positif de la normale la sphère soit pris dans la direction du point P. II est facile d'évaluer la dernière integrale.
On peut écrire
r" — rP— aiii (x — XP) —h(y — yp) + c' <2 ~ zp) >
ou bieu:
r (i — rp (i?) — (li' al — i' bm + i m) r' = u' r',
oii r' = V(x — x;)2 + (y — yp)- + (z —
l, m, n étant les cosinus-directeurs de r'. De plus on a d Sj, — tt' r- dr>, de sorte qu'on voit qu'a la limite seulement
la partie ! F(r n)[ peut contribuer a la valeur de
ii r* dn I v ' I
1'intégrale. On trouve donc a la limite:
" ff Al F(r"} i dS'=fh yw ",p2rf" = ~ffq(r<f) da>
ce qui donne — 4 t cj (r ( «().


On en conclut
<p (rpQp) = -4-ff-^ V'(rg) d Sf , . . . (14) t \ p*>p/ Air JJ dn ro — rp()p
1'intégrale étant prise sur une surface fermée entourant le point P, a condition que <j(ro) et <j'(rp) soient linies et continues partout dans le volume terminé par cette surface.
De plus nous avons supposé tacitement que <| (rij) est uniforme dans toute 1'étendue du volume.
Par analogie avec la théorie dans le plan on pourrait appeler q (rp op) le résidu de la fonction F(tq) relatif au point /'.
Différentiant 1'expression par rapport a rpon trouve:
♦'<.>«»>=- -^ff^ dS« ■■■■ <I5)
TT r (r.-w dS" ■ ne>
Les fonctions -7—étant toutes linies et continues (rn — rp ijpf
sur la surface S, toutes les fois que rpop détermiue un point a 1'intérieur de la surface S, les intégrales auront toutes des valeurs linies. Donc toutes les dérivées de <j (rp op) sont des quantités linies dans 1'intérieur de la surface S. Elles sont aussi continues paree que, (r +11 étant finie, <j(r) doit nécessairement ètre continue. Donc si une fonction de rg est continue et uniforme et que m dérivée est finie et continue daim toute 1'étendue d'un volume S, toutes les dérivées de cette fonction seront de même dew fonctions unifonnes et continues dans toute 1'étendue du même volume.
O11 déduit aussi facilement de la théorie précédente, que toute fonction uniforme de rn, qui ne se réduit pas a une constante doit devenir intinie pour quelque valeur linie ou intinie de tq, et d'autres propriétés relatives aux zéros et aux infinies, analogues a celles de la théorie de deux dimensions.


DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE.
Si 011 multiplie par <i> (rq) dSe los deux membres de 1'identité
_JL zri+ift + ii. , i
*¥—>>f* rf i,s (»s r3 + 2os + 2^
r/i
il résulte des formules précédentes, qu'en les intégrant dans toute 1'étendue du volume terminé par S, après en avoir pris les dérivées par rapport a la normale a S, on obtient:
lil ^ * = /£ ^ iS> + " "JJs ^ ■*>+■-
■■■<">
rn
'I i rp = 'J (°) + r,. Vp 't '(0) 'I- ^1 "(0) + 
+ 'J+I?;+1 ffiziiïL 1 ds.... as»)
p JJ }»> ts + 2qs + 2 rpQp " v '
To
Si le dernier terme est infiniment petit pour s infiniment grand, la formule donne le développement de qp (rp op) en une série convergente, suivant les puissances entières et positives de rpop. Elle est analogue au théorème généralisé de Maclaurin.
Si nous supposons le volume, oü <| (ro) et q' (r«) restent finies et continues, être terminé par une sphère de rayon B, la valeur du terme complémentaire sera égale a
Pour que ce terme soit infiniment petit pour rp<fiilfaut et il suffit que y '(vq) soit finie sur toute la surface de la sphère aussi bien que y (rt>), t>s + - comme ys n'étant qu'une fonction
sphérique superficielle. On obtient les valeurs de — et de —
,,S Q8 + *
au moyen des formules de page 17, en remplacant n succes-


sivement par —s et par —(s + 2) et en rempla^ant r par 1. De cette manière on voit qu'elles restent finies.
Les conditions de convergence sont donc contenues dans les conditions générales du développement.
Évidemment la serie donne le développement de qp(ro) en fonctions sphériques d'ordre positive. Donc toute fonction de r(j, uniforme dans un volume ter miné par une sphère, qui avec sa dérivêe reste finie et continue dans toute l'étendue de cette sphère, est développable en une serie de fonctions sphériques d'ordre ascendant pour toutes les valeurs de rg dans cette sphère.
Si y(rQ) en méme temps que satisfait aux conditions
posées dans un volume, compris entre deux sphères de rayons r et I{, la formule (14) reste applicable pourvu que 1'intégrale du second membre soit prise sur les surfaces des deux sphères, les normales étant prises dans la direction extérieure au volume. Pour la preuve que dans 1'intégralè prise sur la sphère extérieure a rayon r le terme complémentaire tend a zero pour s infiniment grand, la methode précédente reste applicable, cependant les coefficients ne s'expriment pas dans les dérivées successives de la fonction (j (tq). Pour 1'évaluation «1e la partie se rapportant a la sphère inférieure, la méthode ne peut pas servir, paree qu'elle conduit a une série divergente. Pour 1'évaluation de cette partie, nous développons
suivant les puissances ascendentes de vq , ce qui
r a fp Qp
conduit a 1'identité
1 1 1 1 r y r2 (>2
re — rpQp~~~Wb1 ~
rPrP
«
,^ + lpS + l 1
•rf + ln8+l T& + 2 + 2 y« >
V P 1 -—
Tl> C'p
r'+i o'+i 1
oü le dernier terme peut s'écrire . . " .. .
^ C'p rQ~ tpQP
Pour la seconde partie de 1'évaluation du second membre de (14) on a r<Crp, de sorte que de la même manière et sous les


mêmes conditions pour s — cc le terme complémentaire de la seconde partio tend ii zero que celui de la première partie. II en résulte que la seconde partie est développable en une série des puissances descendantes de rv yp , correspondantes ii des fonctions sphériques d'ordre négative. Les coefficients de
(rj' VpY sont de la forme ff — i / ^rri dSv , ceux de — —~
JJ dn I Ms + 1 I s (rPl>,Y+l
ont la valeur ƒƒ --- j(r«)s (/•)j dSe , les premières intégrales
prises sur la sphère extérieure, les secondes sur la sphère intérieure. Ces dernières n'ont de valeur que dans le cas oü if (rp) a des infinis au dehors de la sphère extérieure. Donc toute fonction de rq , Jinie et continue aussi bien que sa dênvée dans un volume compris entre deux sp'hères et uniforme dans ce volume, est développable en une serie de puissances asccvdantes et descendantes de ry, correspondant a des fonctions sphériques d'ordre positive et négative. (II va de soi qu'une condition ivnplicite de toute la théorie est a- — b- — c2 = 0).
On voit par ce qui précède, qu'une théorie parfaitement analogue ii celle du plan se laisse développer pour 1'espace et que les harmoniques sphériques y tiennent une place parfaitement analogue a celle des harmoniques circulaires dans le plan. Dans la théorie du quaternion exponentiel les premières sont des puissances n-ièmes (n positif) de la variable, comme les dernières le sont de la variable complexe ordinaire. Quant aux puissances négatives il faut v ajouter le facteur 1
—■ pour en obtenir une harmonique d'ordre négative, qu'elle soit circulaire ou sphérique.
ollo