Gedrukt lig 0. VAN BOEKHOVEN, Ctrerlit.


DE MATHEMATISCHE THEORIE
DER
LEVENSVERZEKERING.
REDEVOERING
TER OPENING MIJNER ACADEMISCHE LESSEN OVER DE „MATHEMATISCHE THEORIE DER LEVENSVERZEKERINGSWETENSCHAP" AAN DE RIJKS-UNIVERSITEIT TE UTRECHT.
UITGESPROKEN DINSDAG 21 JANUARI 1896.
pooit
DR. G. J. D. MOUNIER.
Tweede Druk.
UTRECHT, W. LEI J DEN ROTH ,
1906.





DE MATHEMATISCHE THEORIE
DER
LEVENSVERZEKERING.
REDEVOERING
ter opening mijner academische lessen over de
theorie der levensverzekeringswetenschap
aan de rijks-universiteit te utrecht.
uitgesproken DINSDAG 21 JANUARI 1896.
DOOR
DR. G. J. D. MOUN1ER.
Tweede Druk.
utrecht,
w. leijdenroth
1906.





Een woord vooraf.
Een schooljongen, die bijna machinaal een algebraïsch vraagstuk oplost, vermoedt niet, dat hij een denkarbeid verricht, die — omgezet in een taal van woorden — een zeer omvangrijk ingewikkeld samenstel van syllogismen zou blijken te zijn.
Dr. J. E. ENKLAAR.
Onze Eeuw. Maart 1905.
De wiskundige analyse in dienst der natuurwetenschap is een deductief redeneeren met behulp van teekens en symbolen, zoo intensief en doordringend, dat zonder haar geen menschenverstand, hoe geniaal ook, er toe in staat zoude zijn Dr J. E ENKLAAR.
terzelfder plaatse.
Door den uitgever daartoe aangezocht, heb ik niet geaarzeld aan diens wensch om een tweeden druk van de hiervolgende redevoering te doen verschijnen, mijn medewerking te verleenen. Wat den tekst der eigenlijke redevoering betreft, kon ik natuurlijk daarin geen wijzigingen aanbrengen. Hij moest ook in dezen tweeden druk volkomen overeenstemmen met het uitgesproken woord. Hiertegen bestond dan ook geen bezwaar, daar het door mij destijds gesprokene nog steeds van actueel belang is en in overeenstemming met het tegenwoordig standpunt der wetenschap. Wel hebben de verschillende onderdeden der levensverzekeringswiskunde in het decennium, dat thans na het uitspreken mijner redevoering verloopen is, reuzenschreden vooruit gedaan; maar in een algemeen overzicht als hier wordt aangeboden, heeft dit geen verandering noodig gemaakt. Uit den aard der zaak moest deze redevoering zich dan ook daartoe bepalen.
Trouwens het verband tusschen koopsommen, premiën,


reserven, af koop waarden, sterftetafels, rentevoet, enz. enz. is zelfs bij eenvoudige verzekeringsvormen van zóó samengestelden aard, dat het niet mogelijk is dat verband in een „taal van woorden" ook maar eenigszins duidelijk te maken. Hierbij kan ik niet nalaten de zoo juiste uitspraken van Dr. J. E. Enklaar ten aanzien van de beteekenis der wiskunde, voorkomende in diens artikel „Het Wereldbeeld der Natuurwetenschap", als motto boven dit „Woord vooraf" te plaatsen; want niet minder dan op de natuurwetenschap in het algemeen, is het woord van Dr. Enklaar van toepassing op dat onderdeel der natuurwetenschap, waartoe de levensverzekeringswetenschap behoort. De oud-hoogleeraar Dr. P. Van Geer van Leiden, thans te 's-Gravenhage, heeft haar met de sterrekunde vergeleken. Inderdaad schijnt ook mij deze vergelijking zeer juist.
De levensverzekeringswiskunde is door haar methode van onderzoek zeer na verwant aan die groep van wetenschappen, die wij als astronomie, mathematische physica en mechanica kennen. Vandaar dat het voor den verzekeringswiskundige niet onverschillig is of hij ook op het gebied der genoemde wetenschappen eenige vorderingen heeft gemaakt. Voor den degelijk ontwikkelden wiskundige, vertrouwd èn met de hoogere èn met de lagere deelen der wiskunde en met hare toepassingen op de natuurwetenschap, worden vele moeielijke en ingewikkelde kwesties op levensverzekeringsgebied hoogst eenvoudig; terwijl zij steeds duister zullen blijven voor den eenzijdig wiskundig gevormden beoefenaar der verzekeringswetenschap. Het is daarom dan ook dat het mij voorkomt, dat steeds zij de beste actuarissen zullen zijn, die op breeden universitairen grondslag hunne studiën hebben voltooid.
DE SCHRIJVER.
Utrecht, 13 October 1906.


Zeer Geachte Hoorders!
Tot opening mijner academische lessen over de „mathematische theorie der levensverzekering", wensch ik heden uw aandacht te bepalen bij een tak van wetenschap van zeer jeugdige dagteekening, die zich echter in de laatste jaren met reuzenschreden ontwikkelt. Deze tak van wetenschap is de „mathematische theorie der levensverzekering".
Ofschoon het mijn uitsluitende taak is de /m:nsverzekeringswetenschap aan deze Universiteit van uit een mathematischthcoretiseh oogpunt te behandelen, is het echter, tot recht verstand van dit deel der verzekeringswetenschap, noodig zich af te vragen, welke de plaats is, die zij inneemt in de encyklopaedie der wetenschappen, die in den ruimsten zin des woords de verzekeringswetenschap vormen.
Daartoe dien ik stil te staan bij de vraag, wat het wezen is van al wat men noemt ,,verzekeren", welke de grondslagen zijn, waarop met name de levensverzekeringswetenschap steunt, welke de hulpwetenschappen zijn, die haar samenstellen en welke de plaats is, door de „mathematische theorie der levensverzekeringswetenschap" onder deze hulpwetenschappen ingenomen.
Het kwam mij voor, dat het wenschelijk was, dit onderwerp voor heden te kiezen, wijl hierdoor een afgesloten geheel wordt gevormd, dat een ieder, die niet opzettelijk mijn lessen zal volgen, in staat stelt een algemeen denkbeeld te verkrijgen van de wetenschap, die aan mijn zorgen is toevertrouwd; terwijl zij, die van mijn onderwijs hopen gebruik te maken, daardoor een kort overzicht ontvangen van hetgeen zij meer uitvoerig van mij te wachten hebben.


De wijsbegeerte leert, dat alle gebeurtenissen door een causaal verband onverbrekelijk aan elkander verbonden zijn. Uit hetgeen eenmaal geschied is, volgt met volstrekte noodzakelijkheid, wat daarna geschieden zal.
Kende men nu dit verband der gebeurtenissen, dan zou van verzekeringswezen geen sprake zijn. Alleen onze onbekendheid met den onverbrekelijken samenhang der dingen, is oorzaak, dat wij omtrent vele gebeurtenissen, die met eenige reden te verwachten zijn, in het onzekere verkeeren. Uit dit oogpunt spreken wij van toeval en noemen wij dergelijke gebeurtenissen toevallig. Die toevallige gebeurtenissen kunnen ons, zoo zij inderdaad plaats hebben, schade berokkenen. Vooruit maatregelen te nemen om zich tegen deze schade te vrijwaren, noemen wij zich verzekeren.
Wilt Gij een voorbeeld?
De landman verzekert zich tegen hagelslag. Of nu zijn land al dan niet door hagelslag zal geteisterd worden, is niet aan willekeur onderhevig; maar volgt onvermijdelijk uit meteorologische wetten. Door de samengesteldheid der gegevens op dit terrein, is de meteoroloog niet in staat daaromtrent voorspellingen te doen, waarbij voldoende in bijzonderheden wordt afgedaald. Voor onze beperkte vermogens doet zich dus hagelslag voor als een toevallige gebeurtenis en zich tegen deze te verzekeren wil dan zeggen: zich een kleine opoffering te getroosten, om, zóó zij mocht plaats hebben, tegen de daaraan verbonden schade gevrijwaard te zijn.
Hieruit blijkt reeds terstond, welke de verhouding is van verzekering en spel. Beide berusten op toeval. Beide vormen een zeker hasard. Maar, terwijl het spel zijn voordeelen dikwijls aanbiedt aan hem, die ze niet van noode heeft, of waarvoor zij betrekkelijk weinig waarde hebben — en dit nog wel ten koste van anderen, die meermalen de verliezen moeielijk kunnen dragen — werpt de verzekering haar voordeelen juist in handen van hen, die door eenig ongeluk getroffen zijn.
Het leven biedt ons in zekeren zin een hasardspel. Men staat daarin bloot aan velerlei rampspoed. Die niets doet dan geheel lijdelijk door het leven te gaan, onderwerpt zich reeds hierdoor aan dat hasard. Dit nu wordt getemperd door het aangaan van verzekeringen.


In het „Archief voor de Verzekeringswetenschap en aanverwante vakken" mede onder mijn redactie uitgegeven *), wees ik, onder het opschrift „Zedelijke premie", uitvoerig op dit verband en leverde daarbij het bewijs, dat hasardspel altijd schadelijk en verzekering, juist opgevat, altijd heilzaam werken moet. Door hasardspel wordt de maatschappelijke orde in haar oeconomische wetten verstoord, door verzekering daarentegen oeconomisch gesteund 2).
Wij beschouwen thans de levensverzekering. Dit woord is minder juist gekozen. Het beveelt zich aan door kortheid, maar geeft geen nauwkeurig denkbeeld van de zaak, die er mede wordt aangeduid en heeft daardoor veel verwarring gesticht.
De levensverzekering is niet een verzekering tegen financiëele schade, veroorzaakt door het verlies van het leven; zooals ten onrechte meermalen wordt beweerd, met bijvoeging dikwijls van de opmerking: „tegen brand verzekert men zich, niet wetende of men ooit brand zal verkrijgen; maar tegen den dood verzekert men zich, wetende, dat men zeker eenmaal sterven zal". Deze opvatting van levensverzekering, waarbij natuurlijk de meest voorkomende vorm, de uitkeering bij overlijden, bedoeld wordt, is geheel onjuist. In de lijn dezer beschouwing zou men zich eigenlijk verzekeren tegen een schade, die zeker komen zal, wat wel geheel in strijd is met het door mij straks ontvouwde beginsel van verzekering in het algemeen.
De eenvoudige levensverzekering, dat is de verzekering van een uitkeering bij overlijden, is reeds van veel samengestelder natuur. Zij is een combinatie van verzekerings- en spaarwezen.
Ieder verzekerde, die een normale gezondheid geniet, heeft gemiddeld nog een zeker aantal jaren te leven; welk aantal afhankelijk is van den reeds bereikten leeftijd. Gesteld nu eens, dat iemand bij zijn overlijden — voorloopig aannemende dat
ij 2ie Deel I. Dit „Archief" wordt uitgegeven door de „Vereeniging van Wiskundige-Adviseurs bij Nederlandsche Maatschappijen voor Levensverzekering" onder redactie van den Heer Dr. J. P- Janse en mij. Er zijn bij het verschijnen van dezen tweeden druk acht deelen van uitgegeven, terwijl ook het negende spoedig compleet zal zijn.
2) Zie mijn artikel in Deel IX getiteld : Afkoop verklaard door verzekering
als spel te beschouwen.


dit over bedoeld gemiddeld aantal jaren zou plaats hebben — een bepaalde som aan zijn betrekkingen wilde nalaten, dan zou hij kunnen bepalen, hoeveel hij op geregelde tijdstippen bij een spaarbank zou moeten inleggen, opdat deze inlagen, na dien gemiddelden tijd, tot de door hem bepaalde som zouden zijn aangegroeid. Het ongeluk, dat hem treffen kan, is nu, dat hij binnen dien gemiddeld nog te leven tijd komt te vallen. Alsdan toch zou het opgespaarde geld nog niet het bepaalde bedrag hebben bereikt.
Tegen dit ongeluk nu beveiligt hij zich door verzekering. Hij verzekert zich tegen een premie hiervoor, dat, indien het opgespaarde geld, door vroeger overlijden, dan waarop gerekend is, nog niet tot het bepaalde bedrag is aangegroeid, de verzekeringsmaatschappij (verzekeraar) dat bedrag tot het bepaalde aanvult en dus de schade, door dat vroeger overlijden veroorzaakt, dekt.
Om de combinatie duidelijk te maken, hebben wij voor een oogenblik twee handelingen ondersteld, te weten: „inleggen bij een spaarbank" en „verzekeren". Deze handelingen worden echter vereenigd en iedere premie, die aan een levensverzekeringsmaatschappij wordt betaald, is de combinatie van zulk een inlage in een spaarbank en de premie voor eigenlijke verzekering.
Maar nog zijn wij er niet. Bij deze voorstelling zou zoowel het storten van inlagen bij de spaarbank, als de premie van verzekering vervallen, indien de gemiddeld te bereiken leeftijd werkelijk was aangebroken. Nu echter sparen en verzekeren vereenigd zijn, gaat men gewoonlijk een stap verder. Door een wiskundige samenstelling zijn „inlage bij het sparen" en „premie van verzekering" reeds tot een enkel bedrag, de aan de maatschappij te betalen premie, te samengesmolten. Nu kan men deze vereenigde premie kleiner nemen; maar daarentegen de bepaling invoeren, dat zij tot aan het overlijden moet worden betaald, zelfs al valt dit na den gemiddeld te bereiken leeftijd. Sterft de verzekerde vóór het bereiken van dien leeftijd, dan blijft dus de wijze van betaling onveranderd; maar wordt hij ouder, dan moet hij thans, ook na dien tijd, de premie geregeld door betalen.
Deze omstandigheid brengt mede, dat de maatschappij bij


onverminderde premie het dubbele voordeel zou hebben van vooreerst nog steeds premiën te ontvangen en vervolgens de bedongen som reeds te hebben opgespaard, waarvan zij dus eenigen tijd de renten zou genieten. Dit nu zou schade zijn voor de verzekerden en daarom behoort de levenslang doorloopende premie kleiner te worden genomen.
Al deze omstandigheden kunnen met dezelfde nauwkeurigheid worden in rekening gebracht, als waarmede bijvoorbeeld de loopbanen van hemellichamen worden bepaald. Hoe dat geschiedt, leert de mathematische theorie der levensverzekering. Genoeg evenwel om U te doen zien, dat zelfs de eenvoudigste vorm van levensverzekering een combinatie is van verzekeringsen spaarwezen.
Is hierbij steeds sprake van schadeverzekering? Dit wordt door sommigen betwijfeld. Men beweert dan, dat, zoodra een verzekerde den bepaalden gemiddeld te bereiken leeftijd overschreden heeft, hij niet meer tegen schade verzekerd is. Immers, zoo voert men dan aan, had hij, in dit geval, door zich niet te verzekeren, voordeeliger gehandeld. Een verzekerde voor een uitkeering bij overlijden, die oud wordt, heeft meer bijgedragen, dan noodig zou zijn geweest, om in den vorm van gewone inlagen bij een spaarbank, hetzelfde doel te bereiken.
Wij merken daartegen op, dat men bij deze redeneering geheel uit het oog verliest, dat men de toestanden a priori en a posteriori niet met elkander mag verwarren. De premiën, door den verzekerde gestort, hebben ten deele gediend om het risico te dekken, door hem in vroegere jaren geloopen en slechts een deel daarvan is bestemd, om voor hoogere leeftijden opgespaard te worden. Zoolang de verzekerde den hoogsten ouderdom, die bij de berekening der premiën voor het menschel ijk leven mogelijk geacht wordt, nog niet heeft bereikt, leert de wiskunde, dat de schade, door zijn overlijden veroorzaakt, geenszins gedekt wordt door het niet voor reeds geleden risico verbruikte deel der premiën met daarop gevallen samengestelden interest. Werkelijk bestaat ook hier nog schadeverzekering.
Duidelijker wordt dit nog, indien wij de redeneering, die men tegen deze laatste meening aanvoert, toepassen op de brandassurantie. Een dergelijke assurantie wordt van jaar tot jaar


verlengd. Het risico is of aan geen verandering onderhevig en vereischt dan tot dekking steeds dezelfde premie, geheel bestemd voor het loopende jaar, of verandert wel, waardoor wijziging van premie noodig wordt; maar in dat geval hangt die verandering van omstandigheden af, die zich niet statistisch als waarschijnlijk doen voorspellen. Niets belet ons echter uit een zuiver theoretisch oogpunt te onderstellen, dat een brandassurantie — aannemende dat de waarde van het verzekerde pand en het brandgevaar in dien tijd niet veranderen — voor een reeks van jaren achtereen gesloten wordt en wel tegen dezelfde premie, die voor een enkel jaar zou bestemd zijn.
Men kan nu het aantal jaren zóó groot nemen, dat de premiën met daarop vallenden samengestelden interest in dat aantal jaren aangroeien tot een bedrag, dat grooter is dan de verzekerde waarde. Ontstaat nu geen brand, dan na dat aantal jaren, dan zou de schadevergoeding minder bedragen, dan men zou hebben kunnen verkrijgen door geen premiën te betalen, maar integendeel de daardoor vrij komende bedragen op te sparen.
Zou dan de brandassurantie in dat geval ophouden een scAarfeverzekering te zijn? En hoe, als men eens tot aan de slooping van het pand geen brand verkreeg? Een verzekering houdt toch niet op schadeverzekering te zijn, omdat a posteriori geen schade blijkt geleden te zijn?
Behalve de zooeven besproken verzekering bestaan nog tal van andere verzekeringsvormen. Men kan ze verdeelen in verzekeringen bij overlijden, bij leven en gemengde verzekeringen. Ieder van deze kunnen weer onderverdeeld worden in verzekeringen tegen koopsommen, tijdelijke premiën en voortdurende premiën, waarbij vervolgens verschil kan gemaakt worden tusschen gelijkblijvende en veranderlijke premiën. Deze verzekeringen kunnen nu weer zijn kapitaals- of renteverzekeringen. Verder kan men al deze soorten verdeelen in verzekeringen op één, twee en meer hoofden of lijven, alsmede in verzekeringen met en zonder restitutie van betaalde premiën of koopsommen. Men ziet dus, dat het aantal verzekeringsvormen zeer groot moet zijn en hierbij letten wij nog niet eens


op de variëteiten in iedere soort en bijkomende, vooi de mathematische theorie dikwijls hoogst belangrijke voorwaarden.
Al deze soorten van verzekering vormen combinatiën van verzekerings- en spaarwezen ') en worden in de mathematische theorie der levensverzekeringswetenschap behandeld.
Een korte toelichting van deze verdeeling in soorten van verzekering volge.
Verzekeringen bij leven zijn die, waarbij, indien een of meei personen op een vooraf bepaalden leeftijd of datnm in le\ en zijn, uitkeeringen worden genoten of renten worden getrokken.
Gemengde verzekeringen zijn evenzoo die, waarbij de beide vorige vormen, d. i. de gewone levensverzekering en de verzekering bij leven, gecombineerd voorkomen; bijvoorbeeld een verzekering van kapitaal bij leven op zekeren vooraf bepaalden leeftijd of bij overlijden vóór het bereiken van dien ouderdom.
De verdere door mij genoemde verdeelingen zijn, zonder nadere toelichting, verstaanbaar genoeg, uitgenomen de laatste, waarbij sprake is van „met en zonder restitutie . Hierover
dus een enkel woord.
Wanneer een verzekeringscandidaat wordt aangeraden een verzekering te nemen, waarbij hij een koopsom of premie moet betalen, ter verkrijging van zekere uitkeering of rente onder bepaalde voorwaarden, bijvoorbeeld bij het bereiken \an den leeftijd van zestig jaren, dan stuit men daarbij meermalen op het bezwaar, dat hij de bedenking oppert: „Maar als ik eens vóór mijn zestigste jaar kom te overlijden, dan is al het gestorte verloren". Het is dan dikwijls moeielijk hem duidelijk te maken, dat tegen zijn bedenking over staat, dat hij, dien leeftijd werkelijk bereikende, veel meer ontvangt, dan uit zijn stortingen met daarop gekweekte rente zou zijn voortgevloeid en dat deze twee tegenover elkander staande mogelijkheden, naar de wetten der waarschijnlijkheidsrekening, juist in wiskundig evenwicht verkeeren.
Bemerkt nu een verzekeringsagent, dat op genoemd bezwaar
i) Daarvan zijn uitgezonderd de zelden of nooit voorkomende verzekerin gen. die geen reserve vormen. Hierbij ontbreekt het spaarwezen geheel.


een verzekering zal afstuiten, dan stelt hij dikwijls een anderen vorm voor, waarbij bepaald wordt, dat, bij overlijden vóór den zestigjarigen leeftijd, al de betaalde premiën zullen worden teruggegeven. In dezen vorm wordt het verzekeren in veler oog aannemelijker *).
Toch is het geheele verschil slechts een verschil in vorm. Wat niet teruggegeven wordt is de interest, op de premiën gevallen, en nu worden de premiën, waarbij restitutie bedongen is, zooveel hooger berekend, dat die interest de eigenlijke premie vormt. De zoogenaamde premie is dan niets dan een storting, die öf wordt gerestitueerd óf in de uitkeering wordt terugbetaald. Wat deze meer is dan het bedrag der gezamenlijk gestorte premiën is nu het eigenlijke verzekerde bedrag.
Met dit een en ander meen ik voldoende te hebben aangetoond, hoe talrijk de soorten van verzekering zijn, waarmede de mathematische theorie zich heeft bezig te houden.
Wij komen thans tot de grondslagen, waarop die berekeningen berusten.
Wanneer een verzekeringscandidaat voor zich zelf eens wil nagaan, of een verzekering'al of niet aannemelijk voor hem is, begint hij gewoonlijk met de onderstelling: „dooreen genomen heb ik nog zoo of zooveel jaren te leven". Bij de wetenschappelijke behandeling der levensverzekering mag men echter van zulke geheel ongemotiveerde onderstellingen niet uitgaan. Men dient dan op betere grondslagen te steunen en niet alleen rekening te houden met de vraag, hoelang iemand gemiddeld nog te leven heeft; maar ook met de waarschijnlijkheid, waarmede hij eiken hoogeren leeftijd bereiken kan.
Het hulpmiddel, dat daartoe dient, is de sterftetafel, waaruit de sterf te waarschijnlijkheid van ieder levensjaar, alsmede de gemiddeld te bereiken leeftijd voor iedei verzekerde kan worden afgeleid.
Het doelmatig samenstellen van zulk een sterftetafel is alzoo voor de verzekeringswetenschap van het hoogste belang en een groot deel der mathematische theorie dient daaraan gewijd te
') Inderdaad kunnen dan ook hiervoor in bijzondere gevallen practische redenen bestaan, die geheel buiten de wiskunde omliggen.


zijn. Van die samenstelling hangt meerendeels de bruikbaarheid van een sterftetafel voor ieder bijzonder verzekeringstarief af.
Er zijn zeer verschillende soorten van sterftetafels. Men verdeelt ze in algemeene en bijzondere. Beide kunnen weer onderscheiden worden in tafels van gelijktijdig levenden en van opvolgende generatiën.
Algemeene tafels worden afgeleid uit statistische gegevens, betrekking hebbende op geheele bevolkingen, hetzij van landen of groote steden; bijzondere daarentegen uit de statistische gegevens, betrekking hebbende op bepaalde rubrieken van personen. Bijzondere tafels zijn alzoo o. a. die, welke de verzekeringsmaatschappijen uit haar ervaringen afleiden. Zij toch hebben betrekking op dat deel der bevolkingen, dat zich laat verzekeren, dat is dus, in het algemeen gesproken, op een meer voorzichtig gedeelte. Ook kunnen de maatschappijen afzonderlijke tafels afleiden uit hun waarnemingen betreffende lijfrenteniers, verzekerden voor uitkeering bij overlijden en verzekerden, die een gemengde verzekering hebben gesloten. Uit den aard der zaak zal het volgen, dat de lijfrenteniers een minder spoedige en de tweede rubriek daarentegen een spoediger afsterving zal vertoonen, dan de verzekerden der laatste soort. Immers kan men reeds verwachten, dat in het algemeen zwakke personen niet zoo geneigd zullen zijn een lijfrente te koopen en daarentegen sterke personen er het minst gemakkelijk toe zullen overgaan een uitkeering bij overlijden te sluiten. Ook worden tot de bijzondere tafels gerekend die, welke op bepaalde maatschappelijke positiën betrekking hebben, als op geleerden en geestelijken, handelaren en industriëelen, of meer speciaal rechtsgeleerden, letterkundigen, geneesheeren, predikanten, onderwijzers, spoorwegambtenaren, timmerlieden, arbeiders in loodwitfabrieken, mijnwerkers, enz.
Al deze tafels kunnen betrekking hebben op mannen of vrouwen afzonderlijk, of, voor zoover de aard van het beroep dit toelaat, op de beide geslachten vermengd. Men spreekt dienovereenkomstig van mannelijke, vrouwelijke en gemengde tafels.
Zooals reeds is opgemerkt, worden deze tafels afgeleid uit statistische gegevens. Hierbij kan men öf te doen hebben


met bestaand materiaal, en dan moet men trachten uit dat materiaal op de meest doelmatige wijze een tafel af te leiden, öf men heeft het in de hand de wijze te bepalen, waarop de statistische gegevens worden verzameld. In dat geval dient onderzocht te worden èn welke gegevens men voor het samenstellen van een goede sterfetafel noodig heeft, èn op welke wijze uit deze gegevens zulk een tafel kan worden afgeleid. Bij de algemeene tafels dienen voor dat statistisch materiaal voornamelijk de gegevens, ontleend aan de bevolkingsstatistiek en de volkstellingen.
Nu kan men de tafels afleiden uit hetgeen waargenomen wordt bij gel ij klev enden, bijvoorbeeld gedurende de laatste tien jaren. Daarbij neemt men gewoonlijk de aantallen levenden voor alle ouderdommen en evenzoo de aantallen sterfgevallen voor diezelfde ouderdommen waar. Hieruit kan men een sterftetafel berekenen, welke de afsterving in den tegenwoordigen tijd doet kennen. Ook kan men een groep personen over een geheel menschenleven volgen en daaruit dan een tafel afleiden. Bijvoorbeeld men kan al de geborenen in 1780 volgen tot de laatste ongeveer in 1880 overleden is. Zulk een tafel geeft dan de afsterving voor een bepaalde generatie. Het vervaardigen van goede tafels is een belangrijke zaak en gaat met merkwaardige wiskundige verwikkelingen gepaard. Men dient rekening te houden met epidemiën, met toevallige afwijkingen in de statistiek, die een latere afronding volgens streng wiskundige methode vorderen, enz.
Hebben wij een goede sterftetafel tot onze beschikking, dan kan deze tot grondslag dienen van alle verdere berekeningen. De uitkomsten, die men dan verkrijgt, gelden met groote nauwkeurigheid in de onderstelling, dat de afsterving, die onder de verzekerden eener maatschappij zal plaats hebben, volkomen overeenstemt met die, welke heeft plaats gehad en tot de sterftetafel voerde. Voor het oogenblik nemen wij aan, dat deze overeenstemming werkelijk bestaat. Hoe gehandeld moet worden met het oog op gemis aan overeenstemming, zullen wij later doen zien.
Om nu een denkbeeld te geven van het beginsel, waarop alle premieberekening berust, kiezen wij een eenvoudig voorbeeld.


Wij zullen daarbij buiten beschouwing laten de technische moeielijkheden, die zich bij werkelijke berekening voordoen. Wij zullen ook niet een poging wagen thans eenige wiskundige formules te verklaren. Wij zullen alleen kortelijk doen zien, waarvan de premieberekening uitgaat.
Gesteld de premie moet berekend worden, welke een twintigjarige jaarlijks heeft te betalen, om, indien hij den leeftijd van zestig jaren bereikt, een uitkeering van duizend gulden te ontvangen.
Nemen wij nu eenvoudigheidshalve aan, dat zich zooveel twintigjarigen op deze zelfde wijze willen verzekeren, als het aantal personen bedraagt, op dien leeftijd in de sterftetafel vermeld. Al deze verzekerden zullen dan, geheel in dezelfde omstandigheden verkeerende, ook een even groote premie moeten voldoen. Dadelijk bij het aangaan van het contract met de maatschappij, dat is bij sluiting hunner verzekering, moeten zij een premie betalen. De maatschappij (verzekeraar) ontvangt dus zooveelmaal de premie, als, volgens de sterftetafel, het aantal levenden op twintigjarigen leeftijd bedraagt. Er verloopt nu een jaar. In dien tusschentijd werpt de door allen te zamen gestorte som interest af. Van de twintig jarigen zijn nu nog in leven zooveel een en twintigjarigen, als voor dien leeftijd door de sterftetafel wordt aangewezen. Deze personen betalen nu weer een premie en de op die wijze ontvangen gelden worden gevoegd bij het reeds met interest vermeerderd bedrag. Een jaar later wordt deze geheele som, met de op nieuw daarop gevallen interest, vermeerderd met de premiestortingen van de dan nog levenden, waarvan het aantal in de steftetafel op den leeftijd van twee en twintig jaar te vinden is. Zoo gaat het voort, tot de leeftijd van zestig jaren is bereikt. Op dien leeftijd wordt het bedrag, dat na de laatste storting weer met den daarop gevallen interest vermeerderd is, niet meer door nieuwe premiestortingen verhoogd, maar gebruikt om den zestigjarigen, welker aantal in de sterftetafel is aangewezen, de verzekerde uitkeering te verstrekken. De premie moet dus zoo bepaald worden, dat dc op dien leeftijd aanwezige som, gelijk is aan juist zooveel maal duizend gulden als het aantal personen bedraagt , dat, volgens de sterftetafel, dan nog aanwezig zal zijn.


v:: het beginsel, zooeven ontvouwd, goed in het al d^ruit belangrijke gevolgen worden
afgeleid.
tr>t het gegeven voorbeeld te bepalen, Vnnrpprst om ons tot net fsL&c .
stellen velen zich voor, dat bij bet niet-bereikcn, van ^n z S ; lÏÏtTn'van'lk een
deze beschouwing onjuis is, eevallen interesten
. , Allo de gestorte premien en daarop gevauen u
et'l zoo dat zij die vóór hun zestigste jaar overlijden, s ec it „Traee p émiën gestort hebben; terwijl zij daarentegen,
d dlenT^d werkelijk
die grooter is dan zij, door eenvoud,g sparen, bij g i ]
^tU'htr verXS gesproken, is het
bereiken van den leeftijd van ^Tkunnén
, op hun
kunnen bijeenbrengen. ] mtheid kunnen komen;
^ T^nl, »et verhes
hunner gestorte premiên betrekkelijk wemig.
Zich die mogelijke opoffering om de gewenschte zckerne
krijgen- eevole knoopt zich hieraan vast.
ZooaliTwij reeds fpmer^n, taejn met daarop gevallen interesten tot de yer^ke'den, t g
buitenaf wordt aan dit bedrag noch * *'^*6 ^
onttrokken. Hieruit volgt onmiddellijk, „„„„en,
verzekering wel een wordt gebracht,
die tot een zelfde kategone behooren, tot ^ ^
doordien juist zij geholpen worden, die ls „etroffen; maar
waarschijnlijkheid te wachten ongeluk ;
dat de kategorie in haar geheel, door de verzekering


beter conditie gebracht kan worden. Welken vorm van verzekering men ook kiest, steeds verzekert men zich tegen de nadeelige gevolgen van een bepaalde ongelukkige gebeurtenis, die met meerdere of mindere waarschijnlijkheid kan worden verwacht; maar nimmer kan de verzekering strekken tot toestandsverbetering in het algemeen, wat bij werkhedenverzekering dikwijls uit het oog verloren wordt en aanleiding geeft tot den onmogelijken eisch, om door verzekering goed te maken, wat inderdaad slechts het gevolg is van te lage loonen.
Keeren wij tot ons voorbeeld terug.
Toen de verzekerden den leeftijd van dertig jaren hadden bereikt, was er aan gestorte premiên, met daarop gevallen interest, een zekere som aanwezig. Die som was noodig om, vermeerderd met alle volgende premiên en interesten, het voor de uitkeeringen vereischte bedrag op te leveren. Men noemt nu die som de reserve voor de gezamenlijke verzekerden. Deze kan men zich ook over ieder der, volgens de sterftetafel, op dertigjarigen leeftijd nog in leven zijnde verzekerden verdeeld denken. Wat ieder hunner op deze wijze verkrijgt, wordt zijn
reserve genoemd.
De verzekeraar moet nu ten allen tijde zorgen de reserve voor ieder verzekerde aanwezig te hebben. Geschiedt dit met, dan kan zulk een verzekeraar niet aan zijn verplichtingen voldoen.
Ter juister beoordeeling publiceeren daarom solide maatschappijen jaarlijks den stand der verzekeringen en de reserve, die daarvoor op haar balans staat uitgetrokken. Ook de reserve blijkt alzoo een wiskundig nauwkeurig te bepalen bedrag te zijn x)-
') Mecrmale . worilt de reserve eener maatschappij vergeleken met het totale verzekerde bedrag, met de jaarlijks te ontvangen premiên. met het aandeelenkapitaal . enz. De reserve wordt dan uitgedrukt in percenten van een dezer bedragen. Sommige maatschappijen kiezen daartoe dat bedrag uit. dat hij hun bedrijf een hooger percentage oplevert dan bi, dat hunner concurrenten om dan daarmede te bewijzen, .lat zij een betrekkel.jk hoogere reserve beheeren en daardoor meer waarborgen van soliditeit bezitten. Deze opgaven beteekenen echter niets en leveren dan ook niet het minste bewijs op voor de soliditeit der betrokken maatschappij. De grootte van de benoodigde reserve hangt af van den aard der verzekeringen, haar duur, enz Hieromtrent raadplege inen o. a. Vivat's geïllustreerde encyclopedie. Deel VII bladz. 49^4 kol. 2.


Een enkele opmerking dient hier echter noodzakelijk aan te worden toegevoegd. De reserve is namelijk geen persoonlijk eigendom van de verzekerden. Dit zou ongerijmd zijn. Immers ware dit zoo, dan hadden zij het recht deze reserve op te vorderen en deden dit al de verzekerden op één na — ik stel duidelijkheidshalve dit uiterste geval — dan zou die ééne verzekerde met zijn reserve overblijven. Er was dan voor hem geen sprake meer van verzekerd te zijn. De verzekerden hebben zich in zekeren zin verbonden tot onderlinge hulp en wel door tusschenkomst van den verzekeraar. Zij mogen zich daaraan op een gegeven oogenblik niet onttrekken. De reserve kan evenmin beschouwd worden als het gezamenlijk eigendom van al de verzekerden. Dan toch zouden deze verzekerden, mits te zamen optredende, over de reserve kunnen beschikken en alzoo den verzekeraar het middel ontnemen, zijn verplichtingen tegenover ieder hunner na te leven. Ook is de reserve niet het eigendom van den verzekeraar. Deze toch moet haar gebruiken tot nakoming van zijn verplichtingen, tenzij hij in staat ware door bijzondere inkomsten op andere wijze daaraan te voldoen. De reserve is derhalve een zelfstandig onsplitsbaar fonds onder beheer en alzoo in feitelijk bezit van den verzekeraar, dienende om hem in staat te stellen zijn verplichtingen tegenover de verzekerden na te leven *1).
Tot nog toe hebben wij een zelfde kategorie van verzekerden beschouwd. Nu kunnen echter ook verzekeringen volgens verschillende tarieven en verschillende leeftijden elkander onderling dekken; mits steeds de koopsommen of premiën naar de medegedeelde beginselen zijn vastgesteld.
Zooals reeds is opgemerkt, heeft een verzekerde geen recht op zijn reserve, daar deze niet als zijn persoonlijk eigendom mag worden beschouwd. Toch kan in enkele gevallen een deel dezer reserve — wij zullen in het vervolg aanwijzen, waarom juist een deel — als zoodanig worden aangemerkt en, wanneer
>) Deze beschouwing betreft het mechanisme van het verzekeringswezen van uit een zuiver wiskundig standpunt. Er zijn rechtsgeleerden, die beweren dat de reserve het eigendom js van den verzekeraar. Hebben deze rechtsgeleerden gelijk, dan wijst dit o.i. op een onjuistheid in onze wetgeving.


de verzekerde zijn verzekering wil doen vervallen, kan hem deze som worden uitbetaald. Men noemt dat bedrag dan „afkoop".
Ook kan op dat bedrag geld aan hem worden geleend, in welk geval de verzekering in stand blijft en het geleende, met daarop vallenden interest, ieder jaar met de reserve wordt verrekend en, nog niet afgelost zijnde, ten slotte met de uitkeering 1).
Bij al de voorgaande beschouwingen is voorloopig ondersteld, dat de afsterving onder de verzekerden juist zoo zal plaats hebben, als volgens de sterftetafel verwacht kan worden. Wij zullen thans nagaan op welke wijze voorzien wordt tegen mogelijke verschillen in afsterving.
In de eerste plaats kiest men voorzichtige sterftetafels, d. w. z. bij verzekeringen, waarbij de verzekeraar tot uitkeering bij overlijden verplicht wordt, kiest men een sterftetafel, die een vrij sterke sterfte en bij die verzekeringen, waarbij juist het langdurig leven moeielijkheid voor den verzekeraar zou kunnen opleveren, daarentegen een sterftetafel, die een vrij langen levensduur aangeeft. Natuurlijk mag men hierbij niet overdrijven. Toch zal door dezen maatregel verkregen worden, dat zeer waarschijnlijke afwijkingen in de sterfte eerder tot een overschot dan tot een te kort moeten leiden.
In de tweede plaats verhoogt men de, naar het reeds medegedeelde beginsel, gevonden premie, die wij netto-premie noemen, met een geringen opslag — gewoonlijk enkele percenten van de netto-premie — bruto-opslag genaamd en verkrijgen alzoo de bruto-premie. Deze laatste premie is nu die, volgens welke verzekerd wordt. De bruto-opslag dient voornamelijk tot dekking van administratiekosten; doch tevens om mogelijke nadeelige afwijkingen in sterfte of rentevoet goed te maken. Jaarlijks wordt dan ook bij solide verzekeringsinstellingen de
') Niet in alle gevallen, waarin afkoop kan plaats hebben, is ook beleening mogelijk. Voor dit laatste is nog noodig dat de reserve ook in de toekomst grooter blijve dan het geleende bedrag. Zoo is voor een tijdelijke levensverzekering (verzekering van een uitkeering bij overlijden, mits dat overlijden vóór het bereiken van een vooraf bepaalden leeftijd plaats heeft) wel afkoop mogelijk, maar geen beleening, daar de reserve in de toekomst tot nul kan dalen.


te verwachten en werkelijke sterfte berekend en de reserve vastgesteld, die voor de nog loopende verzekeringscontracten moet aanwezig zijn. Men oefent zoodoende op den gang van zaken voortdurend de vereischte controle uit.
In de derde plaats maakt men gebruik van geneeskundige keuring. Zonder deze bestaat het gevaar, dat, vooral als het belangrijke verzekeringen betreft, in den regel door een verstandelijk meer ontwikkeld publiek gesloten, juist minder sterke of ziekelijke personen eerder zullen overgaan tot het zich verzekeren van een uitkeering bij overlijden dan zij, die krachtig en gezond zijn. Dientengevolge zou het gehalte der verzekerden, tot deze rubriek behoorende, een gemiddeld korteren levensduur vertoonen, dan waarop volgens de sterftetafel gerekend is. Dit zou financieel noodlottige gevolgen kunnen hebben. Om dat nu te voorkomen, laat men tot deze en dergelijke verzekeringen niemand toe, die niet eerst geneeskundig gekeurd is en daarbij gebleken is een normale gezondheid te genieten, althans geen kwalen of gebreken te bezitten, die een korteren dan de normale levensduur voor hem doen verwachten. Werd nu een ieder verzekerd, dan zou deze keuring niet noodig zijn, daar, bij het opmaken der algemeene sterftetafels, sterke en zwakke, gezonde en zieke personen door elkander zijn waargenomen. Maar, waar ieder bepalen kan of hij zich al dan niet zal verzekeren, bestaat de ernstige vrees, dat, zonder de keuring, de schaal naar de zwakke en zieke personen zal overhellen. Worden nu door de keuring deze personen geweerd, dan zou hieruit, oppervlakkig beschouwd, volgen, dat de verzekerden gemiddeld een langeren levensduur zullen vertoonen, dan waarop in de sterftetafel gerekend is. Men vergete echter niet, dat ook zeer sterke en gezonde personen gevonden worden, die zich juist uit dien hoofde niet licht op deze wijze verzekeren en dat de keuring wel de beslist onaannemelijke personen tegenhoudt; maar toch een grootere neiging om zich te verzekeren zal blijven bestaan bij de zwakkere dan bij de sterkere onder de aannemelijke personen. De ondervinding leert dan ook, dat, gedurende de vijf eerste verzekeringsjaren, de sterfte onder de gekeurden iets geringer is dan de sterftetafels aangeven; maar dat na dien tijd het verschil tusschen gekeurde en gemengde bevolking nauwelijks meer merkbaar is.


In omgekeerden zin heeft een dergelijk verschijnsel plaats bij lijfrenteniers. Deze personen blijken een minder groote afsterving te geven, dan de algemeene sterftetafels aanwijzen. Zwakken en lijdenden toch zullen niet zoo spoedig tot het nemen van een lijfrente overgaan als anderen.
Wij komen, na deze beschouwingen, als van zelf op den „afkoop" terug. Daarbij kan een deel der reserve worden teruggegeven. Wij zullen thans zien waarom juist een deel.
Onder de verzekerden, wier contract reeds eenigen tijd loopt, komen natuurlijk zieken en gezonden voor. De gezamenlijke verzekerden vormen, als het ware, een beeld van de bevolking, waarin ook zieken en gezonden voorkomen. Nu wordt de reserve voor ieder verzekerde persoonlijk berekend, d. w. z. hem wordt een met zijn leeftijd overeenkomenden gemiddelden gezondheidstoestand toegekend. Daardoor is dus voor het geheel der verzekerden, welk geheel als zoodanig een gemiddelden gezondheidstoestand geniet, in de plaats gedacht een ander geheel van verzekerden, waarin ieder voor zich zulk een gezondheidstoestand deelachtig is. De persoonlijke reserve, die men vindt, geldt dus slechts als een gemiddelde, met behulp waarvan de totale reserve wordt opgemaakt. Zij is de reserve voor een theoretisch persoon, voor den verzekerde in de plaats gedacht, en geenszins de reserve voor den verzekerde zelf. Is deze laatste bijvoorbeeld doodehjk ziek en verzekerd voor een uitkeering van duizend gulden bij overlijden, dan kan de reserve voor dezen theoretischen persoon bijvoorbeeld slechts vijftig gulden zijn; terwijl zij voor den werkelijk verzekerde bijna duizend gulden moet bedragen. Was hij daarentegen lijfrentenier, dan zou gevonden kunnen worden, dat de reserve voor den theoretischen persoon acht duizend gulden is; terwijl zij voor den werkelijk verzekerde inderdaad slechts iets meer dan nul bedraagt. In het eerste geval zal natuurlijk geen afkoop worden gevraagd en in het tweede zou een som worden teruggegeven, die niet voor den verzekerde, maar voor een theoretisch persoon geldende is, tot groote schade zijner medeverzekerden. Om dit nu te voorkomen, kan in zulke gevallen geen „afkoop" worden toegestaan, dan na keuring en wordt bovendien slechts een deel, bijvoor-


beeld twee derde of drie vierde der reserve teruggegeven, het laatste ook uit de overweging, dat het uittreden uit de verzekering, het zich terugtrekken, in het belang van het algemeen moet worden tegengegaan l).
Tot nog toe hebben wij uitsluitend gesproken over de onderlinge verhouding van de verzekerden. De verhouding, waarin zij tot de verzekeringsinstellingen staan, vordert thans nog enkele oogenblikken onze aandacht.
Zooals gezegd is, wordt op de netto-premie een bruto-opslag gelegd, die noodig is tot dekking der administratie en der afwijkingen in afsterving en gekweekte rente. Daar nu deze opslag voorzichtig moet worden gekozen, vloeit hier gewoonlijk ook nog winst uit voort. Men kan nu met deze winst op verschillende wijze handelen. Zij kan of, bijvoorbeeld om de vijf jaar, aan de verzekerden worden uitbetaald, waarbij het een zeer ingewikkeld wiskundig vraagstuk is, waarover het laatste woord nog moet gesproken worden, hoe die verdeeling o\ er de verschillende verzekerden behoort te geschieden, of de winst kan voor een groot deel aan de verzekerden en voor een ander deel aan de aandeelhouders der instelling van verzekering worden uitbetaald. Ook dit laatste is voor de verzekerden van belang. De aandeelhouders hebben kapitalen gestort bij een verzekeringsinstelling en trekken daarvan den interest. Deze is dus eenvoudig de interest, dien zij van hun eigen geld ontvangen. Maar bovendien genieten zij recht op een deel der winst, waarvoor zij in ruil geven, de verplichting om met hun gestorte kapitalen en dikwijls tot een nog veel hooger bedrag, zich aansprakelijk te stellen voor het geval het mocht gebeuren, dat zulk een instelling, onder buitengewone omstandigheden, moeielijk aan haar verplichtingen zou kunnen voldoen. Door deze gedeeltelijke winstderving van de verzekerden, wordt derhalve daartegenover hun zekerheid verhoogd. Wij willen thans hier niet uitmaken, wat voor de verzekerden in het algemeen beter is: een groot aandeel in de winst of een
') In den laatsten tijd worden nog andere methoden tot berekening van den „afkoop" voorgesteld, bijv. die bij welke voor de bepaling daarvan een andere sterftetafel wordt gebruikt ter berekening van de reserve, die dan geheel als afkoop zal worden beschouwd.


kleiner aandeel en aandeelhouders, als het ware als borgen. Voor beide stelsels, waarvan het eerste meestal in gebruik is bij onderlinge verzekeringen, het tweede bij maatschappijen van verzekering, valt veel in het midden te brengen. Ook is het de vraag wat onder winst verstaan wordt. De een noemt winst datgene, wat, na aftrek ook van de administratiekosten, waartoe verschillende salarissen behooren, overblijft. De ander bezoldigt een deel zijner ambtenaren met kleinere salarissen en vult deze dan aan door hen recht te geven op een gedeelte der winst. In dit laatste geval wordt de administratie geringer en de winst grooter gevonden, wijl daarbij toch een gedeelte van hetgeen de eerste „administratie" noemde, nu als winst wordt beschouwd. Het kan daardoor gebeuren, dat een vrij groot percent van de winst, naar de eerste opvatting, kleiner blijkt te zijn dan een veel kleiner percent van de winst, naar de tweede opvatting berekend.
Nog vele andere gewichtige kwesties komen op dit terrein in aanmerking. Er zijn nog bijzondere soorten van verzekeringen, zooals tegen invaliditeit, ziekte, oorlogsgevaar, enz., alsmede levensverzekeringen onder afwijkende omstandigheden, bijvoorbeeld bij zeereis of verblijf buiten Europa, tegen verhoogde premie wegens minder goede gezondheidstoestand, zonder dat de verzekering geheel onaannemelijk is, enz. !).
De bepaling van risico-reserve voor afwijkingen in de afsterving, benevens alle financiëele en administratieve zaken, welke aan alle bankwezen eigen zijn, komen hier in aanmerking en treden in onmiddellijk contact met de mathematische theorie der levensverzekering. Door dit alles wordt de wetenschap der levensverzekering een vrij omvangrijke tak van wetenschap,
i) Een eigenaardige vorm van verzekering treft men aan in de rijks- en gemeentelijke pensioenfondsen met verplichte deelneming van het ambtenaarsen beambtenpersoneel op voorgeschreven wijze. Daarbij treden geheel andere wiskundige kwesties op dan bij de gewone vrije verzekering. Hieromtrent raadplege men het uitvoerig rapport van schrijver dezes, uitgegeven door de Gemeente Zwolle onder den titel: Rapport in zake de pensionneering van de Ambtenaren en Beambten der Gemeente Zwolle, benevens hunne weduwen en kinderen, uitgebracht aan Heeren Burgemeester en Wethouders der Gemeente Zwolle.


die zich hoofdzakelijk beweegt op natuurwetenschappelijk gebied en voor een niet gering deel ook op rechtsgeleerd en geneeskundig terrein.
De omvang van deze wetenschap is in eenige weinige jaren reeds zoo groot geworden, dat van specialiteiten in verschillende van haar onderdeelen sprake kan zijn en, ofschoon het wenschelijk is, dat niemand, die zich op verzekeringsgebied beweegt, geheel vreemdeling zij in een van haar onderdeelen, is het toch noodig, dat er verschil gemaakt worde, in de voorbereiding van aanstaande
directeuren, die zich meer speciaal op algemeen beheer dienen toe te leggen;
technische-adviseurs, die voornamelijk de mathematische theorie der levensverzekering grondig behooren te kennen, zonder daarom de andere deelen dezer wetenschap te verwaarloozen;
genecskundigc-adviseurs, die een hoofdstudie dienen te maken van de doodsoorzaken en den invloed van verschillende kwalen en gebreken op den levensduur, alsmede van de wijze, waarop die kwalen en gebreken, ook bij frauduleuze geheimhouding van de zijde van verzekeringscandidaten, kunnen worden opgespoord, waarbij het dan tevens nuttig is, dat zij geen vreemdelingen zijn in het geheele mechanisme der verzekering;
rechtsgcleerdc-adviseurs, die, behalve dat zij over nauwkeurige wetskennis en rechtsgeleerde studiën op verzekeringsgebied moeten kunnen beschikken, eveneens met het geheele verzekeringswezen en zijn mathematischen bouw bekend behooren te zijn;
agenten, die, als het ware de adviseurs zijn der verzekerden en verzekeringscandidaten en die dus, behalve een goed begrip van het verzekeringswezen, ook de noodige menschenkennis en kennis van sociale verhoudingen dienen te hebben om een ieder, het voor hem het meest geschikte verzekeringscontract te kunnen aanbevelen.
Al deze personen, ieder op zijn terrein, dienen een juisten blik te hebben op het geheele verzekeringswezen en geen vreemdeling te zijn op het gebied der mathematische theorie. Door deze althans tot op zekere hoogte te verstaan, kunnen agenten de kracht en waarde der tarieven, waarmede zij werken, beter


inzien en verschijnselen verklaren, die de verzekerden of verzekeringscandidaten niet aanstonds duidelijk mochten zijn.
Met het oog op dit alles wordt door mij aan deze Universiteit een cursus gegeven in de mathematische theorie der levensverzekering, zeker een der meest omvangrijke deelen \an deze wetenschap. Wat nog ontbreekt, is het rechtsgeleerd en geneeskundig gedeelte, d;it wel ten deele op andere collegts, in verband met onderwerpen, die daar behandeld worden, tot zijn recht komt; maar niet op zulk een wijze, dat het met het door mij te behandelen een afgeronden cursus vormt. Ook de oeconomische wetenschap en het boekhouden zouden hier nog aan behooren te worden toegevoegd en zoodoende zou een volledige cursus tot stand kunnen komen, vormende een gelegenheid tot opleiding van al die personen, welke zich op de levensverzekering wenschen toe te leggen. Zoolang dit echter nog niet het geval is — en er wordt door mij ernstig naar gestreefd dit ideaal te verwezenlijken — wensch ik, volgens een bekend hollandsch spreekwoord, te roeien met de riemen, die ik tot mijn beschikking heb, hopende dat na een niet al te lang tijdsverloop een volledige universitaire opleiding op het terrein der levensverzekeringswetenschap aan deze l niversiteit zal kunnen worden geopend l).
i) De Vereeniging van Wiskundige-Adviseurs bij Nederlandsche Maatschappijen voor Levensverzekering heeft sedert 1902 een cursus geopend tot opleiding van Candidaat-Actuarissen.
Deze cursus wordt gehouden te Amsterdam en gegeven door leeraren, tlie de Vereeniging daartoe heeft aangewezen. Verdere inlichtingen daaromtrent zijn te bekomen bij den secretaris dier vereeniging, Dr. M. C. Paraira, Sarpliatistraat 117 te Amsterdam. Ook te Utrecht wordt door schrijver dezes, daartoe door genoemde vereeniging als leeraar aangesteld, bij voldoende deelneming, een dergelijke cursus gegeven, die echter samenvalt met een deel zijner gewone colleges.
Het diploma van Candidaat-Actuaris. wordt verkregen na aflegging van een te Amsterdam jaarlijks in December te houden examen. Dit diploma heeft tot strekking te bewijzen, dat de bezitter bekend is met de allereerste grondbeginselen der verzekeringswiskunde en daardoor in staat onder den wiskundigen adviseur of actuaris eener levensverzekeringsinstelling min of meer zelfstandig werkzaam te zijn. Voor hen, wier uitsluitend doel is het verkrijgen van het diploma van Candidaat-Actuaris, is het volgen van den Amsterdamschen cursus het meest aan te bevelen; terwijl de Utrechtsche meer bestemd blijft voor studenten, die hun candidaats in de wis- en natuur- of wis- en sterrekunde hebben afgelegd. Men zie overigens hieromtrent den Universiteitsgids 1905—1906.


Bedrieg ik mij niet, dan is het mij, Zeer Geachte Toehoorders, mogen gelukken, U in vogelvlucht een denkbeeld te geven van'het mechanisme der levensverzekering en U alzoo de stof te toonen, waarmede de beoefenaar van de mathematische theorie dezer wetenschap zich heeft onledig te houden. In aard en karakter behoort zij tot de groep van natuurwetenschappen en, evenals haar zusters, gaat ook zij uit van gegevens aan de waarneming ontleend, waarop dan zuiver wiskundige ontwikkelingen worden toegepast. Deze wiskundige ontwikkelingen voeren tot uitkomsten, die van praktische beteekenis worden zoo voor verzekeraars als verzekerden, mits, en hierop dient nadruk gelegd, niet worde uit het oog verloren, dat de logische consequentiën, waartoe de zuiver wiskundige behandeling leidt, geen grooter waarde of beteekenis kunnen verkrijgen, of op grooter nauwkeurigheid kunnen bogen, dan die aan de gegevens, waarop zij is toegepast, behoort te worden toegekend.
Toen, zij het dan ook als niet verplicht leervak, een bescheiden plaatsje aan de levensverzekeringstechniek aan deze Universiteit werd gegund, werd hierdoor en, naar mijn overtuiging, terecht — het beginsel uitgesproken, dat de levensverzekeringswetenschap behoort tot die wetenschappen, welke in het kader eener universitaire opleiding volkomen passen.
Het is gemakkelijk den weidschen naam van wetenschap toe te kennen aan velerlei noodzakelijke vakkennis. Ja, zelfs zal men moeilijk eenige beroepsbezigheid vinden, waarbij niet de bekendheid met een of meer wetenschappen een noodzakelijk vereischte is. Daarom echter kan men nog niet het geheel van voor zulk een beroep benoodigde kennis plaatsen op de lijst
der zelfstandige wetenschappen.
Voor nog niet vele jaren zou dit laatste volkomen van toepassing zijn geweest op de techniek der levensverzekering; maar bij de reuzenschreden, die zij sedert dien tijd mocht maken en de vlucht, die zij thans genomen heeft, kan dit, zelfs met een schijn van grond, moeielijk meer worden beweerd.
Geen tak van wiskunde, tot zelfs in de hoogste deelen, of hij vindt reeds zijn toepassing op dit terrein. Door den aard der gegevens, waarvan de „mathematische theorie der levensverzekeringswetenschap" uitgaat, vormt zij een volkomen afgerond en zelfstandig geheel, in vele ten nauwste met elkander samen-


hangende hoofdstukken verdeeld. Over haar bestaat reeds een uitgebreide litteratuur bij alle beschaafde volken der wereld, wetenschappelijke tijdschriften zijn geheel aan haar gewijd en de boekdeelen, die haar tot onderwerp hebben, zijn reeds bij vele honderden, ja zelfs bij duizenden te tellen. Daarom mijn dank aan hen, die medegewerkt hebben haar een besche
plaatsje aan deze Universiteit in te ruimen.
Weledele Heeren Studenten, inzonderheid Gij, die behoort tot de wis- en natuurkundige faculteit en voorts Gij allen, die mijn colleges, ook voor niet-studenten bestemd, wenschen te
V°Ernbehoort moed toe colleges aan te kondigen, handelende over een wetenschap, die niet onder de verplichte leervakken is opgenomen. De prikkel, dien het examen aanbiedt, en die als 't ware tot het college lieendrijft, is daarbij met aanwezig en de verplichte leervakken eischen reeds veel tijd en inspanning.
Toch heb ik te hooge gedachten van U, mijne Heeren, dan dat ik zou kunnen gelooven, dat in de eerste plaats het examen U naar het college zou drijven. Ik meen, dat voor en boven alles de liefde tot de wetenschap U voert tot de bronnen van kennis en daarbij niet alleen de zucht om met abstracte geleerdheid uw hoofden te vullen; maar om met deze kennis een zegen
te zijn voor de maatschappij, die U wacht.
Ik weet wel, dat niet allen, die mijn colleges zullen volgen, later in de gelegenheid zijn als technicus bij een instelling van verzekering op te treden, hoewel bij de uitbreiding van het verzekeringswezen ten onzent, meer en meer technici van noode zijn; maar ik meen toch te moeten opmerken, dat geen wiskundige in den tegenwoordigen tijd meer vreemdeling nu g blijven op dit terrein van wetenschap. Welke ook uw verdere loopbaan moge zijn, t zij Gij leeraar zul. worden aan «mge instelling van onderwijs in een groote oi kleine gemeente, m een kleine vooral, hetzij een andere werkkring U wacht, meermalen zal men uw advies inwinnen, hetzij tot regeling van een of ander plaatselijk fonds, hetzij tot het geven van raad aan personen, die zich willen verzekeren en zich tot U, als wiskundige wenden, om eenige voorlichting te ontvangen, omtrent de voordeden, die verschillende maatschappijen hen aanbieden.
Zoo is dan voor U allen de mathematische theorie der levens-


verzekering niet alleen van wetenschappelijke waarde, maar wordt die waarde nog verhoogd door haar practische beteekenis.
Het is mij daarom aangenaam U te mogen inleiden in een wetenschap, die mij lief en dierbaar geworden is èn om haar wetenschappelijke beteekenis èn om het nut, dat zij sticht. Moge dan ook mijn zwakke krachten aan dit onderwerp besteed, met uw belangstellende aandacht te zamen werken tot meerderen bloei onzer Universiteit.
Ik heb gezegd.