Stoomdr. 'de Industrie» J. van Druten - Utrecht. Over eenige aantallen van kegelsneden, ■ die aan acht voorwaarden voldoen. - A. A. Dalhuisen. Over eenige aantallen van kegelsneden, - die aan acht voorwaarden voldoen. - Over eenige aantallen van kegelsneden die aan acht voorwaarden voldoen PROEFSCHRIFT ter Verkrijging van den graad van Doctor in de Wis- en Natuurkunde aan de rijks-universiteit te utrecht na machtiging van den rector magnificus Dr. J. M. S. BALJON Huoolrkraak in i»k Faculteit men Goiküclkbkdhkii» VOLGENS BESLUIT VAN DEN SENAAT DER UNIVERSITEIT tegen de bedenkingen van de Faculteit der Wis- en Natuurkunde te verdedigen op Maandag 17 April 1905 des namiddags ten 4 ure door ALEIDA ALBERDINA DALHUISEN geboren te Kampen Stoomdrukkerij „de Industrie" J. Van Druten - Utrecht 1905 AAN MIJNEN VADER EN DE NAGEDACHTENIS MIJNER MOEDER Gaarne maak ik van de mij hier aangeboden gelegenheid gebruik, om mijn hartelijken dank te betnigen aan de Hoogleeraren in de Faculteit der Wis- en Natuurkunde voor hunne welwillende leiding bij mijne studiën, zoowel in als buiten de collegezaal. Dat een groot deel van dien welgemeenden dank U toekomt, Hooggeleerde J. de Vries, Hooggeachte Promotor, behoef ik U nauwelijks te verzekeren; Uwe belangstelling in mijn werk zal ik steeds dankbaar gedenken. INHOUD. Bladz. Inleiding 1 HOOFDSTUK I. Bepaling der aantallen P2 yn pT, P /xm vn pT, T (/.m ■/" pr . . 4 HOOFDSTUK II. Bepaling der aantallen kegelsneden, die aan acht voorwaarden voldoen 19 HOOFDSTUK III. Bepaling der aantallen ontaarde kegelsneden, die aan zeven voorwaarden voldoen 38 HOOFDSTUK IV. Over stelsels van OO1 kegelsneden en daardoor gevormde oppervlakken 54 Overzicht der uitkomsten 77 Stellingen 79 INLEIDING. § 1. In zijn „Kalkül der abz&hlenden Geometrie" geeft Dr. H. Schubert in Hoofdstuk IV, § 20, eenige tabellen, die een overzicht geven van aantallen kegelsneden, welke aan acht gegeven voorwaarden voldoen. Deze tabellen zijn afgeleid uit twee andere, welke aantallen ontaarde kegelsneden aanwijzen, die aan zeren voorwaarden voldoen. Die afleiding geschiedt met behulp van twee eenvoudige formules, die betrekkingen aangeven, welke bij stelsels kegelsneden tusschen de grootheden [j., v, p, 3 en v\ bestaan. Hierin stelt voor: (j. het aantal kegelsneden, waarvan het vlak door een gegeven punt gaat. v het aantal kegelsneden, die eene gegeven rechte snijden. p het aantal kegelsneden, die een gegeven vlak aanraken. 3 eene ontaarding van den tweeden graad. v) eene ontaarding der tweede klasse. Door Dr. Schubert zijn echter slechts enkele voorbeelden gegeven van de bepaling der uitkomsten, die in de tabellen der ontaardingen neergelegd zijn, en uit deze tabellen zijn alleen door berekening, met behulp van bovengenoemde formules, de aantallen kegelsneden afgeleid, die aan acht voorwaarden voldoen. Daarom heb ik mij in dit proefschrift ten doel gesteld, eenige aantallen kegelsneden, die aan acht gegeven voorwaarden voldoen, te bepalen enkel met behulp van het beginsel van het behoud van het aantal en tevens de geheele afleiding van de tabellen voor de ontaarde kegelsneden hierin te geven. Hierbij heb ik gebruik gemaakt van eenige, in die richting verkregen resultaten, die door Prof. Dr. J. de Vries reeds zijn neergelegd in eene mededeeling: „Over het aantal kegelsneden, die acht gegeven rechten snijden" (Verslagen Kon. Academie van Wetenschappen te Amsterdam, X, 1901, bl. 192) en op deze uitkomsten heb ik verder voortgebouwd. Tevens heb ik een onderzoek ingesteld naar de oppervlakken, die ontstaan uit stelsels van OO1 vele kegelsneden, die aan zeven voorwaarden voldoen. § 2. Als men de aantallen kegelsneden zoekt, die voldoen aan de voorwaarden (j.m yn pT, waarin m -f n + r = 8, krijgt men voor de mogelijke waarden van m, n en r de volgende tabel: ij.3 y5 /z2 yG f/. y7 ■/ fx3 y4 p (J.2 y5 p fjt, ye p y7 p H*v*p* y4 p' (i y5 p2 v'p9 H*v*p* ,xv*p* vV f*3 y p* (jl2 y2 p4 [/. y3 p4 y4 p4 t**p' pb P^P* 'V p2 Pa n v pG y2 p6 pp1 * p7 />s Hierin stelt voor: p het aantal kegelsneden, waarvan het vlak door een bepaald punt gaat. v het aantal kegelsneden, die eene gegeven rechte snijden. p bet aantal kegelsneden, die een gegeven vlak aanraken. Deze tabel zal nu berekend worden volgens het beginsel van het behoud van het aantal. Dit beginsel luidt aldus: Het aantal figuren, dat aan bepaalde voorwaarden voldoet, verandert niet of wordt oneindig groot, als men de voorwaarden continu wijzigt. Als men met behulp van dit beginsel de tabel zoekt, moet men uitkomsten gebruiken, verkregen in twee andere tabellen, die hier volgen: P2 v4 P (4. v5 P P*y3p P /4V*p P y5p P2 y2 p* P ijl v3 p2 P y4 p2 P2y p3 Pfty'p3 P >3p3 P'p* P f4, > p* Py2p4 P /4. p& P ■/ pb Pp 0 T ,4 y4 T v5 T ,4 y3 P T -Ap T ,4 >2 p* T y3 p2 T,4V p3 T y'1 p3 T ,4 p4 Typ4 T pb Hierin stelt voor: P het aantal kegelsneden, die door een gegeven punt gaan. T het aantal kegelsneden, die eene gegeven rechte aanraken. 14, y en p hebben dezelfde beteekenis als in de eerstgenoemde tabel. Wij gaan nu eerst de laatstgenoemde tabellen zoeken. HOOFDSTUK I. Bepaling der aantallen P2>" p\ P/xm ynpr, T/*m >n p\ § 1. >'■ De voorwaarde P- geeft aan, dat de kegelsneden door twee gegeven punten Pi en P2 moeten gaan. Verder moeten ze vier gegeven stralen >1, y2, ys, yx snijden. Legt men drie van deze stralen, b.v. y,, y2, y» in een vlak O, dan ligt in een willekeurig vlak door Pi P2 geene kegelsnede, die aan de vraag voldoet, omdat ze den doorgang van m, yt, y-i, >4 met Pj en P2 moet verbinden. Dit is alleen mogelijk, wanneer de vier doorgangen collineair zijn of als twee dier doorgangen samenvallen. Het eerste gebeurt, als men een vlak legt door P, PL, en den doorgang van y4 op
1, 1/3. In dit vlak bepaalt men de snijpunten met de overige drie rechten en vindt dan door vijf punten ééne kegelsnede, die voldoet. Zoo zijn er in het geheel drie. Verder kan men de transversaal t leggen uit P op >4 en *5; vervolgens brengt men een vlak door /x en t, dan snijdt dit vlak het vlak O volgens eene rechte, die met t eene ontaarding van den tweeden graad vormt, welke voldoet. Legt men eindelijk het vlak door ;x, door P en door het snijpunt Qi van met O, dan kan men de snijlijn bepalen van dit vlak {(x P Qt) met het vlak
4, va snijden en een vlak p aanraken. Legt men weer drie stralen vu >2, >3 in een vlak
1, >2, >3, welke op de overige drie rechten rusten en p aanraken. Volgens de gevonden waarde voor P2 v3 p is dit voor elk der snijpunten van >i, en zes, dus voor alle samen 18. Legt men de transversaal t uit P op v4 en op de snijlijn l van p met Q en vervolgens uit het snijpunt van t en l de transversaal t' naar het snijpunt Qa van v* met O, dan vormen t en t' een lijnenpaar, dat dubbel te tellen is, omdat p door haar dubbelpunt gaat. Zoo vindt men er nog een, dus dit geeft samen vier oplossingen. Verbindt men de snijpunten Q4 en Qa van >4 en v5, dan snijdt deze verbindingslijn den doorgang l in een punt S. S met P verbonden geeft dan de tweede rechte van een lijnenpaar, dat voldoet en dubbel te tellen is, omdat p door haar dubbelpunt gaat. In het geheel vindt men dus 18 -\- 4 + 2 = 24 oplossingen, zoodat P y5 p = 24. p P2- De kegelsneden moeten door P gaan, vier stralen >i, v2, >3, snijden en twee vlakken pi en p2 aanraken. Legt men weer >1, >2, >3 in een vlak O, dan voldoen vooreerst alle kegelsneden door P en een der snijpunten van >1, >2, *3, welke de overige twee rechten snijden en pi en pt aanraken. Volgens de gevonden waarde voor P2 ■/ p2 is dit aantal voor elk der drie snijpunten acht, dus in het geheel vindt men op deze wijze 24 oplossingen. Als de doorsnede van pt en p2 het vlak in een punt S snijdt, verbindt men P met S. Deze rechte wordt tot een lijnenpaar aangevuld door de verbindingslijn van S met den doorgang van met p. Deze oplossing geldt voor vier, omdat pi en p-2 door haar dubbelpunt gaan. Men vindt dus 24 + 4 = 28 oplossingen, zoodat P >4 p* = 28. * > - • H'er Raan de kegelsneden door P, snijden drie gegeven rechten >1. y2, >3 en raken aan drie vlakken pi, pt, p9. Legt men >i, v2, v.3 weer in een vlak 0, dan voldoen alle kegelsneden door P en elk der drie snijpunten van v\, v2, >3, welke de overblijvende rechte snijden en pt, p2, p3 aanraken. Volgens de gevonden waarde voor P2 > pa is dit aantal voor elk der snijpunten acht, dus in 't geheel 3 X 8 = 24. Hier voldoet geene ontaarding van den tweeden graad, omdat het snijpunt van p\, p2, p3 niet in 0 ligt en uit een punt geene rechte kan gaan, die op drie stralen rust. Ook voldoet geene ontaarding der tweede klasse, want eene rechte kan uit een punt niet op vier stralen rusten. Dus is Pv3/ = 24. De kegelsneden moeten door P gaan, twee stralen vi en v2 snijden en vier vlakken p 1, pg, pa, ^4 aanraken. Legt men hier drie vlakken pi, p2, pa door eene rechte /, dan voldoen vooreerst kegelsneden in het vlak door P en l gebracht. Hierin vindt men behalve P nog de twee snijpunten met vi en v2 en behalve l nog den doorgang met p4. Er zijn vier kegelsneden door drie punten, welke twee rechten raken, maar elk van deze oplossingen moet dubbel geteld worden, daar de raaklijn I hier dubbel in rekening moet worden gebracht. Daarom vindt men op deze wijze 4X2=8 oplossingen. Ook voldoet de ontaarding van den tweeden graad, die gevormd wordt door de rechte, gaande door P en het snijpunt Q van pi, pt, p3, p4 en de rechte uit Q op en Deze oplossing is voor acht te tellen, want de rechte l is dubbel te tellen en pi gaat door het dubbelpunt. In het geheel vindt men dus 8 -)- 8 = 10 oplossingen, zoodat P >2 = IQ. P y r"'- Door P moeten de kegelsneden gaan; verder moeten ze eene rechte > snijden en vijf vlakken pif ps% p3, pi, pt, aanraken. Legt men pt, pt, pa door eene rechte I, dan voldoen hier alleen kegelsneden in het vlak door P en /. Hierin zijn vier kegelsneden door twee punten, die drie rechten raken. Elk inoet echter dubbel geteld worden, omdat ook hier de rechte l weer dubbel te tellen is. Eene ontaarding is hier niet mogelijk, want pi, pt, pa, pt, pt gaan niet door één punt en uit P kan geene rechte gaan op >1 en verder door de twee snijpunten van l met en p& of naar n, l en de snijlijn van pt en p6. Dus is P>f-5 = 8. F r"- Hier moeten de kegelsneden door P gaan en verder zes gegeven vlakken pi, p2, p3, p4l p6i pu aanraken. Legt men weer drie vlakken pi, pt, p3 door eene rechte /, dan voldoen alleen kegelsneden in het vlak, gebracht door P en /. In dit vlak liggen het punt P en behalve l nog de drie doorgangen van pt, p6, p«. Men vindt dus hierin twee kegelsneden, die door een punt gaan en vier rechten aanraken. maar ze zijn dubbel te tellen, omdat de rechte l weer dubbel als raaklijn moet worden opgevat. Dit geeft dus 2X2 = 4 oplossingen. Eene ontaarding voldoet hier niet, omdat pi, p», p», pt, pt, p, elkaar niet in één punt snijden en er ook geene transversaal mogelijk is uit P naar l en door het snijpunt van pt, pa, p6 of door t snijpunt van pi, pt, pt, pt en op de snijlijn van pa en po. Dus is P p' = 4. § 4. ^ y ■ De voorwaarde l geeft aan, dat de kegelsneden eene gegeven rechte t moeten aanraken. De kegelsneden moeten dus liggen in eenig vlak door t. Daar haar vlak eveneens door een gegeven punt ,jl gaat, is het vlak dus volkomen bepaald. Verder moeten de kegelsneden vier gegeven stralen v\, Vi, >3, >4 snijden. Men legt drie stralen >i, >2, v3 zoodanig, dat de snijpunten Qii ö2> uiet het vlak der kegelsneden in eene rechte n liggen en zoekt verder het snijpunt Q( van >4 met O. Dan voldoet als eenige oplossing de rechte n met de verbindingslijn van Q4 niet het snijpunt van n en t. Deze ontaarding van den tweeden graad is dubbel te tellen, daar t door het dubbelpunt gaat. Zij is ondubbelzinnig bepaald en eene eigenlijke kegelsnede voldoet niet, omdat drie punten in eene rechte liggen. Dus is TV >4 = 2. J P • Het vlak 0 der kegelsneden is weer bekend door de rechte t en het punt p. Verder moeten de kegelsneden drie gegeven rechten vi, y, snijden en een vlak p aanraken. Men legt t door het snijpunt Q van v met het vlak Q en tevens daardoor de snijlijn l van p met 0. Verder zoekt men de snijpunten Q2 en Q3 van y2 en y3 met 0. Nu voldoet alleen de ontaarding van den tweeden graad, gevormd dooide rechten Qi Q2 en Qi Qa. Deze geldt echter voor vier, daar er twee raaklijnen door haar dubbelpunt gaan. Zij is ondubbelzinnig bepaald en er voldoet hier geen eigenlijke kegelsnede, omdat er twee raaklijnen door een punt der kegelsnede gaan. Men vindt dus: T> y V = 4. T/y.-/2 p2. De rechte t en het punt bepalen weer het vlak 0 der kegelsneden. Bovendien moeten de kegelsneden twee gegeven stralen >i en v2 snijden en twee gegeven vlakken, pi en pa, aanraken. Men legt hier de snijlijnen h en l2 van pi en p2 met 0 door het snijpunt Qi van met O. Verder zoekt men het snijpunt Q2 van >2 met 0. Dan voldoet hier alleen de ontaarding der tweede klasse Qi Q2, die voor vier oplossingen geldt, daar vi en y2 dubbel worden gesneden. Deze ontaarding is ondubbelzinnig bepaald en daar er ook hier geene eigenlijke kegelsnede voldoet, heeft men T p, v2 p* = 4. T /x y p'K De voorwaarden T, ^ bepalen weer het vlak 0 der kegelsneden, en deze moeten dan eene gegeven rechte y snijden en drie gegeven vlakken pi, pz, fa aanraken. Men legt pi en p2 zóó, dat hare snijlijnen h en l> met het vlak O door het snijpunt Q van > met p gaan. Verder zoekt men de snijlijn la van pa met p. Hier voldoet alleen de ontaarding der tweede klasse, gevormd door de verbindingslijn van Q met het snijpunt van h en t. Deze is dubbel te tellen, daar zij v dubbel snijdt, en daar zij ondubbelzinnig bepaald is en er hier geene eigenlijke kegelsnede voldoet, is T f* y fa = 2- T (j. p*. Weer is het vlak p bekend en de kegelsneden moeten vier gegeven vlakken pi, p{, pi, p4 aanraken. Men legt pi, p2, p3 zoo, dat hun snijpunt in p valt; dan zoekt men den doorgang k van p4 met p. De eenige oplossing is de ontaarding der tweede klasse, gevormd door de rechte, die het snijpunt van pit pt, pa verbindt met het snijpunt van h en de gegeven raaklijn t. Deze oplossing is ondubbelzinnig bepaald. Er voldoet hier geene eigenlijke kegelsnede, daar drie raaklijnen door een punt gaan. Men vindt dus t = 1. § 5. T ■/'. Hier moeten de kegelsneden een gegeven rechte 1 aanraken en vijf stralen n, >3, >4, >5 snijden. Laat men t snijden door >i en v2, dan voldoen vooreerst kegelsneden in het vlak gebracht door t en >1 en in dat door t en va. In elk vlak vindt men ééne kegelsnede door vier punten, die t aanraakt, omdat een dezer punten op t ligt en dus het raakpunt is. Deze ééne oplossing zal echter dubbel gerekend moeten worden, omdat zij als twee samengevallen kegelsneden beschouwd moet worden. Als n.1 de vier punten buiten t liggen, voldoen twee kegelsneden; laat men een dezer punten tot t naderen, dan verschillen deze twee kegelsneden steeds minder en valt het punt op t, dan zijn ze samengevallen. Daar tevens >1 of dubbel gesneden wordt, geeft dit voor beide vlakken samen 8 oplossingen, die voldoen. Legt men eene transversaal op t, >3, >4, >5, dan vormt deze transversaal met t eene ontaarding van den tweeden graad. Er zijn twee transversalen op de vier rechten en elke oplossing is dubbel te tellen, omdat de raaklijn t door het dubbelpunt gaat. Zoo vindt men dus nog vier oplossingen. In het geheel zijn er 12 oplossingen, dus vindt men T v5 = 12. ^ r- De kegelsneden moeten eene rechte t raken, vier stralen >1, >2, >3, >4 snijden en een vlak p aanraken. Men laat t weer snijden door en dan voldoen vooreerst kegelsneden in de vlakken door t en >i en door t en v-j. In elk dier vlakken zijn tweemaal twee samengevallen kegelsneden, omdat ook hier een der snijpunten op t ligt. Elke oplossing is dubbel te tellen, daar of tweemaal gesneden wordt. Zoo vindt men dus 1G oplossingen. Verder voldoet de rechte t met de transversaal uit het snijpunt van t met p\ naar y-s en deze oplossing moet viermaal in rekening worden gebracht, omdat t en p\ door het dubbelpunt gaan. In het geheel zijn er dus 1(5 + 4 = 20 oplossingen, zoodat men heeft T >4 p = 20. ^ • Weer raken de kegelsneden eene rechte verder snijden zij drie stralen >i, v*, y3 en raken twee vlakken pt en p2 aan. Men laat t weer snijden door en >2, dan voldoen vooreerst kegelsneden in het vlak door t en die door twee punten gaan en drie rechten aanraken. Dit zijn hier tweemaal twee samengevallen kegelsneden, die elk dubbel te tellen zijn, daar zij vi dubbel snijden. Zoo vindt men dus acht oplossingen; ook zijn er acht in het vlak door t en v2, dus in het geheel lü oplossingen. Hier voldoet geene ontaarding van den tweeden graad, omdat t de snijlijn van pi en p2 niet snijdt. Ook voldoet geene ontaarding der tweede klasse, want eene rechte kan niet op vijf stralen rusten. Dus is T >3 p1 = l(j. Ty'y. Weer raken de kegelsneden aan t, verder aan drie vlakken pu Pi, pa en zij snijden twee stralen en v2. Men laat t weer snijden door >1 en >2, dan voldoen alleen kegelsneden in de vlakken door ( en >i, en t en >1. In elk dier vlakken ligt ééne kegelsnede, die als twee samengevallen kegelsneden te beschouwen is. Zij snijdt vi of v2 dubbel en is dus vour vier te tellen. In beide vlakken samen geeft dit dus acht oplossingen. Er voldoet hier geene ontaarding van den tweeden graad, omdat t niet door het snijpunt van pi, p2, p3 gaat. Evenmin voldoet eene ontaarding der tweede klasse, want uit een punt is geen rechte te trekken, die op drie gegeven rechten rust. Dus is T >2 j3 = 8. T > p4- De rechte t wordt aangeraakt door de kegelsneden en deze moeten tevens op een straal y rusten en vier vlakken p 1, p2, pa, p\ aanraken. Men laat t snijden door de snijlijnen h« en hi van p\ en p2 en van pa en pt, achtereenvolgens in de punten P12 en P34. Als men het vlak brengt door t en h2, voldoet hierin de ontaarding der tweede klasse, die gevormd wordt door de verbindingslijn n van P-u met het snijpunt van genoemd vlak met y. Deze ontaarding is dubbel te tellen, omdat zij de rechte > tweemaal ontmoet. Eveneens vindt men zulk een dubbel te tellen ontaarding in het vlak door t en la 1. Dit geeft dus samen vier antwoorden. Er voldoen hier geene eigenlijke kegelsneden en geene ontaardingen van den tweeden graad, zoodat T > P* = 4. 1 r"*- De kegelsneden moeten weer de rechte t aanraken en bovendien vijf gegeven vlakken p,, p2, p3, flil"pb. Weer legt men de snijlijnen h2 van pi en p2 en /34 van pa en p4 op de rechte t. Er voldoen hier alleen kegelsneden in de vlakken door t en li2 en door t en lau Als h2 de rechte t in P,2, en l9i haar in P:n snijdt, voldoet in het vlak door t en ln alleen de ontaarding der tweede klasse, gevormd door de verbindingslijn van P34 met het snijpunt van ln en pb. Deze oplossing is enkelvoudig. Zoo vindt men eveneens eene ontaarding der tweede klasse in het vlak door t en In en daar er verder geene eigenlijke kegelsneden en geene ontaardingen van den tweeden graad voldoen, is het totale aantal antwoorden hier twee. Dus is T :5 = 2. HOOFDSTUK II. Bepaling der aantallen kegelsneden, die voldoen aan acht voorwaarden. § 1. (j? ■/". De voorwaarde //3 geeft aan, dat het vlak der kegelsnede door drie gegeven punten gaat. Dit vlak is daardoor dus volkomen bepaald. Verder zoekt men de snijpunten Pi, P2, P3, Pj, P5 van yj, >2, >3, >4, vö met het vlak der kegelsnede. Legt men Pi,P2, P3 op ééne rechte, dan voldoet aan de vraag het samenstel van deze rechte met de verbindingslijn van P4 en P5 als ontaarding van den tweeden graad. Dit is blijkbaar de eenige oplossing, zoodat volgens het beginsel van het behoud van het aantal in het algemeen ook slechts ééne oplossing voldoet. Dus is jj? v5 - 1. (Aav*p. Door de voorwaarde p3 is weer het vlak der kegelsnede volkomen bepaald. Men zoekt de snijpunten Pi, P2, P3, P4 van dit vlak met >1, v3, V4. Tevens bepaalt men de snijlijn l van dit vlak met p. Legt men de rechten vi, >2, >3 zóó, dat Pi, P2, P3 in eene rechte lijn t liggen, dan is t de eene rechte van een lijnenpaar, dat voldoet. Het dubbelpunt ligt in het snijpunt S van t en l en de andere rechte is de verbindingslijn van P4 en S. Deze oplossing is blijkbaar slechts op ééne wijze mogelijk, doch is dubbel te tellen, omdat p door haar dubbelpunt gaat. Men vindt dus ^ ^'er 's het vlak weer bepaald; de kegelsneden moeten drie gegeven rechten >i, >2, >a snijden en twee gegeven vlakken pi en p, aanraken. Men zoekt de snijpunten P,, P2, P3 van ^ïi >2, >3 met het vlak der kegelsnede en tevens de snijlijnen h en h van dit vlak met pi en pt. Kiest men pi en pt zóó, dat /i en /2 door Pi gaan, dan voldoet als eenige oplossing de ontaarding van den tweeden graad, gevoimd door Pi Pa en Pi P3. Ze is voor vier te tellen, omdat er twee raakvlakken door haar dubbelpunt gaam zoodat men heeft ft» y» p*-- 4. Weer is het vlak bepaald en de kegelsneden moeten twee gegeven rechten >i en v2 snijden en drie gegeven vlakken pi, pi, pa aanraken. Men zoekt hier de snijpunten Pi en P2 van >i en >2 met dit vlak der kegelsnede en de snijlijnen h,h,h van pi, pt, p3 met dit vlak. Men legt pi en p» zoodanig, dat li en l-> door Pi gaan. Hier voldoet alleen de ontaarding der tweede klasse Pi Pa, waarvan het eene straal punt in P, en het andere in het snijpunt van P, P2 met l3 ligt. De oplossing is blijkbaar slechts op ééne wijze mogelijk, maar is voor vier te tellen, omdat >1 en >2 dubbel gesneden worden. Men vindt dus: fjt3 y2 p3 = 4. ^ Het vlak is bekend en de kegelsneden moeten ééne rechte > snijden en vier gegeven vlakken ph p2, p3, aanraken. Men zoekt de snijlijnen li,h,la,h van het vlak (j.3 met pi, pt, p», p* en het snijpunt P van > met het vlak ,u3. Men kiest ^1 en p2 zóó, dat U en /2 door P gaan. De eenige oplossing is hier eene ontaarding der tweede klasse, gevormd door de verbindingslijn van P met het snijpunt Q van h en h. De beide rangpunten zijn P en Q. De oplossing is dubbel te tellen omdat zij > dubbel snijdt, dus is ft* y p* = 2. Het vlak is bekend en de kegelsneden moeten vijf gegeven vlakken pi, pt, p3, pt, pt aanraken. Men zoekt de snijlijnen h, 1-2, la, h, h van pi, pi, pa, pi, po met /-t3 en kiest pt, p», ps zoo, dat l\,h,h elkaar in één punt snijden. Zij dit punt P en zij Q het snijpunt van U en 1-a, dan is P Q de eenige oplossing, die voldoet. De straalpunten van deze ontaarding liggen in P en Q, en daar deze oplossing enkelvoudig is, heeft men: = 1. § 2. [j.2-/'. De voorwaarde (t2 zegt, dat de kegelsneden in vlakken liggen, die door twee gegeven punten, dus door eene gegeven rechte gaan. Verder moeten de gezochte kegelsneden zes gegeven stralen >1, ■;%, >3, >4, >5, snijden. Men kan hier de gegeven rechte fx3 snijden door drie van de zes stralen, b.v. door -;i, ■>■>, y3. Kegelsneden, die aan de vraag voldoen, vindt men in de vlakken door (x2 en >1, [x2 en en (x2 en v3. Men zoekt dan de snijpunten van zulk een vlak, b.v. van vlak {[.t2 >i), met de overige lijnen >, dus hier met ■j, vs, >4, >5, >n. Door deze vijf snijpnnten gaat ééne kegelsnede, die echter dubbel geteld moet worden, daar zij tweemaal snijdt. In de drie genoemde vlakken vindt men dus samen zes oplossingen; dit zijn eigenlijke kegelsneden. Verder zijn er twee transversalen van (x2, -j\, v-a, en elk van deze beide vormt met /x2 eene ontaarding van den tweeden graad, die voldoet. Er zijn dus zes eigenlijke en twee ontaarde oplossingen, zoodat men heeft ft* = 8. [/?■/> p. Het vlak der kegelsnede moet weer gaan door eene bepaalde rechte \x2. De kegelsneden moeten op vijf gegeven stralen >1, vs, >3, >4, rusten en een gegeven vlak p aanraken. Laat men ook hier de rechte /x2 snijden door drie stralen >1, >2, >3, dan voldoen kegelsneden in de vlakken door [x2 en >1, (x2 en y2 en [x2 en y3. Men zoekt in zulk een vlak, b.v. in vlak (fj.2 >0, de snijpunten Pa, Ps, P4, Ps met de overige stralen *2, •■*», >5 en de snijlijn l met p. Er zijn in het vlak (ft* ;i) dan twee kegelsneden door P2, P3, Pi, Pa die I raken; beide zijn dubbel te tellen, omdat zij >1 dubbel snijden. De drie genoemde vlakken bevatten dus 3X4=12 oplossingen in den vorm van eigenlijke kegelsneden. Er voldoet hier ook eene ontaarde kegelsnede, want als men het snijpunt van [jl2 met p zoekt, vindt men daaruit ééne rechte, die op en v5 rust. Deze rechte vormt met /j.2 eene ontaarding van den tweeden graad, die dubbel is te tellen, omdat p door haar dubbelpunt gaat. Men heeft dus 12 eigenlijke en twee ontaarde oplossingen, zoodat men vindt: [j} v5 p = 14. (u.2-/ p*. De vlakken der kegelsneden gaan weer door de rechte p2; de kegelsneden moeten vier gegeven stralen >1, >3, >4 snijden en twee gegeven vlakken p\ en p-> aanraken. Men laat hier weer (j.2 snijden door vi, v2, >3. Kegelsneden, die aan de vraag voldoen, liggen in elk der vlakken door (j.2 en vi, (j.2 en en /j,2 en >3. Men zoekt de snijpunten van zulk een vlak b.v. van vlak (/z2 >i) met >3, n en de snijlijnen met pi en p-2. In dit vlak (//2 >i) vindt men dan volgens het vroeger gevondene vier kegelsneden door drie punten, welke twee rechten aanraken. Elke kegelsnede moet dubbel in rekening gebracht worden, omdat zij ;i tweemaal snijdt. In de drie genoemde vlakken vindt men dus 3 X 8 = -4 oplossingen in den vorm van eigenlijke kegelsneden. Er voldoet hier geene ontaarding van den tweeden graad, omdat [x2, pi en elkaar niet in één punt snijden. Ook eene ontaarding der tweede klasse is niet mogelijk, want op (z.2, vi, >3, kan geene rechte rusten. Dus is -S p2 = 24. /■*'' p3. Weer gaan de vlakken door p2; verder moeten de kegelsneden drie gegeven stralen >■>, >3 snijden en drie gegeven vlakken pi, pt, p3 aanraken. Laat men weer snijden door vi, v2, >3, dan zullen kegelsneden, die aan de vraag voldoen, liggen in elk der vlakken door fj} en >1, p2 en -j-i en /.i,2 en v». Van vlak >1) zoekt men de snijpunten met *2 en >3 en de snijlijnen met p 1, pt, 03. In dit vlak liggen dan, volgens liet vroeger gevondene, vier kegelsneden, die door twee punten gaan en drie rechten aanraken, maar elk is dubbel te tellen, daar zij v\ tweemaal snijdt. In de drie genoemde vlakken vindt men dus 3 X 8 = 24 oplossingen in den vorm van eigenlijke kegelsneden. Er voldoen hier geene ontaardingen, omdat pi, p», pa de lijn ijl- niet in één punt snijden en er geen transversaal mogelijk is op (j}, >1, >2, y3 en op de snijlijn van twee vlakken p. Men heeft dus fx2>* p4. Door de rechte u- gaan de vlakken en de kegelsneden moeten twee gegeven stralen j\ en >2 snijden en vier gegeven vlakken pi, p2, ps, p4 aanraken. Men legt hier het snijpunt der vlakken pi, p-i, pa op de rechte [u.2, dan vindt men geene oplossing in een willekeurig vlak door omdat daarin de kegelsneden door twee punten zouden moeten gaan en vier rechten aanraken. Men vindt wel eene oplossing in een vlak door [/? en een der drie snijlijnen van pi, p->, p3. In dit vlak zoekt men de snijpunten met >1 en >2 en de snijlijnen met de overige vlakken p. Men vindt dan vier kegelsneden, die door twee punten gaan en drie rechten aanraken. In de drie genoemde vlakken vindt men dus 3X4 = 12 oplossingen in den vorm van eigenlijke kegelsneden. Er voldoet hier ook eene ontaarding der tweede klasse. Legt men n.1. eene rechte uit het snijpunt P van pi, p*, pa op vi en v>, dan kan men hierdoor en door /x2 een vlak brengen. In dit vlak voldoet dan de genoemde rechte als ontaarding der tweede klasse; de rangpunten liggen in P en in het snijpunt der rechte met pt. Deze ontaarding zal viermaal in rekening gebracht moeten worden, omdat /i en >2 dubbel gesneden worden. Eene ontaarding van den tweeden graad kan niet voldoen, omdat pi, p-2, pa, pi elkaar niet in één punt snijden. Men vindt hier dus twaalf eigenlijke en vier ontaarde oplossingen, dus p* >2 p* = 16. /^ pb• Het vlak der kegelsneden gaat weer door p2 en de kegelsneden moeten een gegeven rechte v snijden en vijf gegeven vlakken pi, ps, pa, p±, pb aanraken. Men legt hier het snijpunt P van ^i, p2, p3 weer op p2, dan voldoet geene oplossing in een willekeurig vlak door /x~, omdat de kegelsneden daarin door een punt moesten gaan én vijf rechten aanraken. Wel voldoet eene oplossing in het vlak door [j.2 en een der snijlijnen van pi, pt, pB. Legt men b.v. het vlak door ^ en de snijlijn van pi en pt, dan zoekt men het snijpunt van dit vlak met y en de snijlijnen met de overige vlakken p. Er liggen in dit vlak dan twee kegelsneden door één punt, die aan vier rechten raken. In de drie vlakken, die men kan aanbrengen, liggen dus 3X2 = 0 oplossingen in den vorm van eigenlijke kegelsneden. Ook hier vindt men eene ontaarding der tweede klasse, die aan de vraag voldoet. Legt men n.1. de rechte I uit P op > en op de snijlijn van px en p$, en brengt men het vlak door [j.- en l, dan voldoet l als ontaarding. De rangpunten liggen in P en in het snijpunt van I met de doorsnede van Pa en p&. Deze ontaarding is dubbel te tellen, omdat zij v dubbel snijdt. Daar er hier geene ontaarding van den tweeden graad voldoet, vindt men zes eigenlijke en twee ontaarde oplossingen, dus (j.2 v pb — 8. I*2 p6- Legt men hier weer het snijpunt P van pi, p2, p3 in de gegeven rechte ,*2, dan voldoen er eigenlijke kegelsneden in elk der vlakken door /-t2 en eene der snijlijnen van pi, p», p3. Men vindt in zulk een vlak dan vijf rechten, waaraan de kegel- sneden moeten raken, dus in elk der drie vlakken ééne oplossing. Eene ontaarding der tweede klasse vindt men in liet vlak door ;x* en het snijpunt Q van p4, p6, pe. Deze ontaarding wordt gevormd door de verbindingslijn van P en Q en heelt hare rangpunten in P en Q. Ze vormt een enkelvormige oplossing. Daar er hier geene ontaarding van den tweeden graad mogelijk is, heeft men drie eigenlijke en ééne ontaarde oplossing, zoodat ij? pe = 4. § 3. [J- >'• Het vlak van elke kegelsnede, die aan deze vraag zal voldoen, moet door een gegeven punt /x gaan; verder moetende kegelsneden zeven gegeven stralen y2, f3, v4, >5, h, v7 snijden. Legt men drie van deze stralen, b.v. >i, >3 in een vlak 0, dan voldoen vooreerst alle kegelsneden door een der snijpunten P van die drie rechten, welke op de overige vijf stralen rusten, terwijl hare vlakken door ;x gaan. Door elk der punten P gaan zes zulke kegelsneden, volgens de vroeger gevonden waarde van P ;x y5. Zoodoende vindt men 3X6 = 18 eigenlijke kegelsneden, die aan de vraag voldoen. Als de rechten >4 en het vlak O in P4 en P5 snijden bepaalt deze rechte P4 P5 met ;x een vlak, waarop -;6 en twee snijpunten Qg en Q7 leveren. De rechte P4 P5 in vlak O vormt dan de eene en Q6 Q; de tweede rechte van de ontaarding van den tweeden graad. Daar men zoo zes combinaties van >4, >5, >6, kan maken; vindt men dus op deze wijze zes ontaarde kegelsneden. Als P4 de doorgang van *4 met O is, verbindt men ;x met P4 en zoekt de transversaal van (x P4, >5, y;. Zij deze t dan snijdt het vlak door ;x en t het vlak O in eene rechte t' die met t een lijnenpaar vormt, dat aan de vraag voldoet. Er zijn hier twee transversalen op vier rechten en men kan *4, >6, vu, y-i op vier wijzen drie aan één combineeren, zoodat men op deze wijze 4X2 = 8 oplossingen vindt. Lene ontaarding van den tweeden graad kan niet voldoen, omdat pi, ps, pt, pt elkaar niet in één pnnt snijden. Men vindt liier dus twaalf eigenlijke en vier ontaarde oplossingen, dus M2 v2 /= 16. tA~ 'y r""- Ilet v)ak der kegelsneden gaat weer door en de kegelsneden moeten een gegeven rechte > snijden en vijf gegeven vlakken pi, p2, pa, p4, p& aanraken. Men legt hier het snijpunt P van pu pt, p9 weer op ,jl2, dan voldoet geene oplossing in een willekeurig vlak door p*, omdat de kegelsneden daarin door een pnnt moesten gaan èn vijf rechten aanraken. Wel voldoet eene oplossing in het vlak door ^ en een der snijlijnen van pu ?i, p3. Legt men b.v. het vlak door ^ en de snijlijn van pi en po, dan zoekt men het snijpunt van dit vlak met ? en de snijlijnen met de overige vlakken p. Er liggen in dit vlak dan twee kegelsneden door één punt, die aan vier rechten raken. In de drie vlakken, die men kan aanbrengen, liggen dus 3X2 = 0 oplossingen in den vorm van eigenlijke kegelsneden. Ook hier vindt men eene ontaarding der tweede klasse, die aan de vraag voldoet. Legt men n.1. de rechte I uit P op y en op de snijlijn van px en pb, en brengt men het vlak door /z" en /, dan voldoet l als ontaarding. De rangpunten liggen in P en in het snijpunt van I met de doorsnede van Pa, en pb. Deze ontaarding is dubbel te tellen, omdat zij y dubbel snijdt. Daar er hier geene ontaarding van den tweeden graad voldoet, vindt men zes eigenlijke en twee ontaarde oplossingen, dus t*2 y p5 = 8. 'u' Legt men hier weer het snijpunt P van php2, p3 in de gegeven rechte p2, dan voldoen er eigenlijke kegelsneden in elk der vlakken door //2 en eene der snijlijnen van pt, p2, p3. Men vindt in zulk een vlak dan vijf rechten, waaraan de kegel- sneden moeten raken, dus in elk der drie vlakken ééne oplossing1. Eene ontaarding der tweede klasse vindt men in liet vlak door (J.' en het snijpunt Q van p5, ps. Deze ontaarding wordt gevormd door de verbindingslijn van P en Q en heett hare rangpunten in P en Q. Ze vormt ccn enkelvormige oplossing. Daar er hier geene ontaarding van den tweeden graad mogelijk is, heeft men drie eigenlijke en ééne ontaarde oplossing, zoodat t* ?* = 4§ 3. '■ Het vlak van elke kegelsnede, die aan deze vraag zal voldoen, moet door een gegeven punt p gaan; verder moetende kegelsneden zeven gegeven stralen vi, >2, v9, >4, >b, >c, snijden. Legt men drie van deze stralen, b.v. vi, >2, >» in een vlak , dan voldoen vooreerst alle kegelsneden door een der snijpunten P van die drie rechten, welke op de overige vijf stralen rusten, terwijl hare vlakken door \x gaan. Door elk der punten P gaan zes zulke kegelsneden, volgens de vroeger gevonden waarde van P (jl >5. Zoodoende vindt men 3X0 = 18 eigenlijke kegelsneden, die aan de vraag voldoen. Als de rechten y4 en y6 het vlak O in P4 en P5 snijden, bepaalt deze rechte P4 P5 met /j, een vlak, waarop vu en v7 twee snijpunten Qu en Q7 leveren. De rechte P4 P3 in vlak O vormt dan de eene en Qg Q7 de tweede rechte van de ontaarding van den tweeden graad. Daar men zoo zes combinaties van V4, V5, >6, >7 kan makeu vindt men dus op deze wijze zes ontaarde kegelsneden. Als P4 de doorgang van >4 met © is, verbindt men p met P4 en zoekt de transversaal van /x P4, >5, >0, Zij deze t, dan snijdt het vlak door /a: en t het vlak O in eene rechte t, die met t een lijnenpaar vormt, dat aan de vraag voldoet. Er zijn hier twee transversalen op vier rechten en men kan >4, >5, vu, >7 op vier wijzen drie aan één combineeren, zoodat men op deze wijze 4X2 = 8 oplossingen vindt. Legt men eindelijk eene transversaal t" op y4, y-a, yA, y-,, brengt een vlak aan door /j. en t", en zoekt de snijlijn van dit vlak met ó, dan vormt deze de tweede rechte van een lijnenpaar, dat voldoet; t" is de andere rechte. Omdat v4, y-a, >6, y-, twee transversalen t" hebben, vindt men op deze wijze twee ontaardingen van den tweeden graad. In liet geheel voldoen dus 18 eigenlijke en 10 ontaarde kegelsneden, dus ,jl v7 = 34. fx ■/ p. Hier moeten weer de vlakken der gezochte kegelsneden door [J. gaan en de kegelsneden moeten zes gegeven stralen >i, >2, >3, >4, >ö, snijden en een vlak p aanraken. Legt men weer drie stralen vi, >i, y» in een vlak 0, dan voldoen vooreerst kegelsneden uit een der snijpunten van >i, >2, y3, welke op de overige vier rechten rusten en wier vlakken door ^ gaan, terwijl zij het gegeven vlak p aanraken. Dit aantal is 10, volgens de vroeger gevonden waarde voor P (/. A p. Voor de drie snijpunten van >i, y2, samen vindt men dus 3 X 10 = 30 oplossingen. Zijn Pi en Ps de snijpunten van >« en >B met O, terwijl p het vlak O in den doorgang l snijdt, dan verbindt men P4 en Ps door eene rechte t; deze snijdt l in een punt S. Brengt men een vlak door (j. en t. dan snijdt dit in een punt Q«. Verbindt men S met Qö door eene rechte t', dan vormen t en t' eene ontaarding van den tweeden graad, die voldoet, en dubbel te tellen is, omdat p door haar dubbelpunt gaat. Men kan >5, vu op drie wijzen twee aan één rangschikken; dus zoo vindt men 3X2 = 6 oplossingen. Verbindt men // met liet snijpunt P4 van v4 met 0, dan kan men eene transversaal t" leggen op tu P4, >5, yü en de snijlijn l van p met O. Legt men door p en t" een vlak, dan snijdt dit vlak het vlak
t;, I hebben twee transversalen, en men kan >4, ya, yn, op drie wijzen twee aan één combineeren; dus vindt men bier 3X2X2 = 12 oplossingen. Eindelijk zoekt men de transversaal t van y4, >8, >«, I en legt een vlak door p en t, dan snijdt dit vlak liet vlak 0 in een rechte t, die met t een lijnenpaar vormt, dat voldoet en dubbel te tellen is, omdat p door liet dubbelpunt gaat. Daar er twee transversalen t zijn, vindt men hier 2X2=1- oplossingen. In het geheel zijn er dus 30 + 6 + 12 + 4 = 52 oplossingen, zoodat (t p - 52. f* >5 r2- De vlakken der gezochte kegelsneden moeten weer door p gaan; de kegelsneden moeten verder vijf gegeven stralen >i, y-2, y-i, >4, snijden en twee vlakken pi en pt aanraken. Legt men >i,y2, x» in een vlak 0, dan voldoet in O de ontaarding der tweede klasse, gelegd door de punten Q4, Q5, waarvan het vlak door >/. gaat en de straalpunten in de snijpunten met pi en pt liggen. Deze ontaarding zal voor 16 te tellen zijn. Als men n.1. de doorgangen Q4 en Q3 verbindt, snijdt deze rechte de stralen >i en die het vlak 0 bepalen. Bovendien zal ze elke rechte in 0, dus ook y3, snijden en omdat O bepaald wordt door twee rechten, moeten de snijpunten met deze beide bepalende rechten voor de ontaarding dubbel gerekend worden. Daar de figuur vj ook >4 en vg dubbel snijdt, zal ze 16 maal in rekening gebracht moeten worden. Verder voldoen alle kegelsneden door een der snijpunten van ys, waarvan het vlak door fx gaat, en die de overige stralen snijden en pi en p2 aanraken. Dit aantal is voor elk der snijpunten 16, volgens de waarde van P p >3 ps. Zoo vindt men in het geheel 3 X 16 = 48 oplossingen. Trekt men uit den doorgang S van ht = (pi pt) op 0 de transversaal t op y4 en >5 en legt vervolgens een vlak door I* en t, dan snijdt dit het vlak 0 in eene rechte t', die met t een lijnenpaar vormt, dat voldoet en voor vier geteld moet worden, omdat pi en ?■> door het dubbelpunt gaan. Verbindt men Q met S door een rechte t" en legt men een vlak door (j. en t", dan snijdt dit vlak y-a in een punt dat, inet S verbonden, de tweede rechte t'" van een lijnenpaar geeft, dat voldoet. Deze oplossing is eveneens voor vier te tellen. Men vindt ook vier oplossingen, door Qs met S te verbinden. In het geheel zijn er 16 + 48 + 4 + 8 = 7(5 oplossingen, dus heeft men p p2 — 76. / ^ De vlakken der kegelsneden gaan door /.i; de kegelsneden moeten verder vier gegeven stralen yt, >3, >4 snijden en drie gegeven vlakken pt, ;•>, p3 aanraken. Legt men weer in een vlak <£, dan voldoen de ontaardingen der tweede klasse, die bepaald zijn door den doorgang Q4 van op O en het snijpunt van twee der doorgangen van de vlakken p. Deze oplossingen gelden elk voor 8, omdat ze >4 snijden en op y, en v2 rusten; daar de laatste twee het vlak C bepalen, wordt dan elke rechte in O, dus ook >3, gesneden. Daar er drie zulke ontaardingen zijn, geeft dit 3 X 8 = 24 oplossingen. Verder voldoen aan de vraag alle kegelsneden door een der snijpunten van vi, y->, >3, waarvan het vlak door fx gaat en die de overige twee stralen snijden en px, pt, p3 aanraken. Volgens de waarde van P /.1 ■/ p3 is dit aantal voor elk dier snijpunten 16, dus in het geheel 3X1 = 48. Men vindt hier verder geene ontaarding van den tweeden graad, die aan de vraag voldoet, omdat het snijpunt der drie vlakken p niet in O ligt. I11 het geheel zijn er dus 48 + 24 = li oplossingen, zoodat men heeft ijl p3 = 72. Deze uitkomst kan men ook nog anders krijgen. Indien men n.1. niet drie rechten > in één vlak legt, maar drie vlakken p door ééne rechte, kan men ook dit aantal bepalen. M r"'- Men zoekt hier kegelsneden, waarvan het vlak door p gaat en die verder vier gegeven stralen >1, y2, v3, >4 snijden en drie gegeven vlakken pi, p->, pa aanraken. Legt men hier de drie vlakken p door een rechte I, dan voldoen allereerst de kegelsneden, die / raken, vu >2, >3, *4 snijden en waarvan het vlak door fx gaat. Dit aantal kegelsneden is tiree volgens de vroeger gevonden waarde voor T [x v4. Daar echter l reeds bepaald is als snijlijn van twee vlakken p, moet ze als dubbele raaklijn worden opgevat en is elke oplossing dubbel te tellen. Op deze wijze vindt men dus vier oplossingen. Legt men verder eene transversaal t op >2, ys, l, en brengt men dan een vlak door t en /x, dan snijdt dit vlak de rechte v4 in een punt. Dit verbindt men met het snijpunt van /en/; dan vormt deze verbindingslijn met t een lijnenpaar, dat voldoet en voor vier te tellen is, omdat I door haar dubbelpunt gaat. De rechten >i, •;■>, >3,1 hebben twee transversalen en er zijn vier rangschikkingen drie aan één van >2, >3, >4 mogelijk, dus hier vindt men 4 X 2 X 4 = 32 oplossingen. Zal de eene rechte ti van een lijnenpaar rusten op >1 en v2 en de andere tt op >3 en v4, dan zijn t\ en /2 beschrijvende lijnen van de quadratische regelvlakken (vi, >2, /) en (>3, >4, /). Men zoekt nu uit /x een gemeenschappelijk raakvlak aan beide regelvlakken. Er zijn er vier; één daarvan kan men niet gebruiken en wel het vlak door ;x en I. Immers de vier snijpunten van >1, v2, >3, >4 met het vlak door /x en I vormen een volledigen vierhoek, waarvan de diagonaalpunten in t algemeen niet op I liggen. Er blijven drie bruikbare gemeenschappelijke raakvlakken over, dus vindt men hier drie oplossingen. Elke oplossing is voor vier te tellen, omdat I door het dubbelpunt gaat en verder zijn er drie combinaties mogelijk van >1, v2, >3, twee aan twee. Men vindt dus 3 X 4 X 3 = 36 oplossingen. In het geheel zijn er dus 4 -f- 32 -)- 36 = 72 oplossingen mogelijk, zoodat [X S p» = 72. ^ y' P • De V' lakken van de kegelsneden gaan door een gegeven punt (x en verder snijden de kegelsneden drie gegeven stralen >i,>2, >3, terwijl zij vier vlakken px, pt, pa, p*. aanraken. Om dit aantal te vinden, legt men drie vlakken pu p2, p3 door eene rechte I; dan voldoen vooreerst alle kegelsneden, die / aanraken, >1, y2, >a snijden en raken, terwijl haar vlak door (/. gaal. Dit aantal is vier volgens de vroeger gevonden waarde voor T (j.-/ p. Daar echter l als snijlijn van twee vlakken p bepaald is en derhalve voor de kegelsnede, die l raakt, elk \ lak door / raakvlak is, moet de rechte I als dubbele raaklijn worden aangemerkt. Elke oplossing is dus dubbel te tellen en op deze wijze vindt men dus 4X2 = 8 antwoorden op de vraag. Legt men verder een transversaal t uit het snijpunt S van I met pA op vi en >2, dan kan men een vlak aanbrengen door [j. en t. Dit vlak snijdt >u in een punt Q3, en als men S met (v)3 verbindt door eene rechte t', voldoet t' met t als lijnenpaar. Daar I dubbel geteld moet worden en tevens door het dubbelpunt gaat, terwijl ook p4 door S gaat, moet deze oplossing voor acht tellen. Omdat men drie rechten op drie manieren twee aan één kan combineeren, vindt men op deze wijze dus 3 X 8 = 24 oplossingen. Legt men eindelijk een transversaal t op >1, >2, >3, /, dan voldoet deze als ontaarding der tweede klasse, waarvan het vlak door >j. gaat. De rangpunten liggen op l en pt. Daar men twee transversalen t kan leggen op >1, v2,>3,1, voldoen er dus 2X8 = 10 oplossingen, want elke t is voor acht te tellen, daar zij yt, v-i, >3 dubbel snijdt. Samen zijn er 8 + 24 + 16 = 48 oplossingen dus (jl -j3 pi = 48. •* •' • De vlakken der kegelsneden gaan door fj. en de kegelsneden moeten twee rechten >i en >■> snijden en vijf vlakken p\, p2, f3, ft, pi aanraken. Legt men drie vlakken pi, p2, pa door eene rechte /, dan voldoet elke kegelsnede in het vlak (/, //), die / raakt, >1 en snijdt en p± en p& aanraakt. Dit zijn er vier volgens de waarde van T //, y2 p2. Ieder moet tweemaal in rekening gebracht worden, omdat / dubbel te tellen is. Dit zijn dus 8 oplossingen. Legt men een transversaal t op /, yt, y2 en de snijlijn h:, van r-4 en p&, dan voldoet deze ontaarding der tweede klasse, waarvan het vlak door p bepaald is. De rangpunten liggen op l en U-a-, de oplossing is voor vier te tellen, omdat >1 en dubbel gesneden worden. Daar er twee transversalen t zijn, vindt men dus 8 oplossingen. Legt men de transversaal uit het snijpunt Q van l met p± op >1 en >2, dan voldoet deze als ontaarding der tweede klasse, waarvan het vlak door p bepaald is. De rangpunten liggen in Q en in den doorgang met p&. De oplossing moet viermaal in rekening gebracht worden, omdat zij >1 en dubbel snijdt. Zoo vindt men ook vier antwoorden uitgaande van het snijpunt van l met p&. Dus in 't geheel zijn er 8 + 8 + 4 + 4 = 24 oplossingen of f* = 2L De kegelsneden moeten eene rechte ■/ snijden en zes vlakken pi, pt, p&, p^ p&. pu aanraken, terwijl haar vlak door p, gaat. Legt men weer pt, p2, p3 door eene rechte l, dan voldoet vooreerst elke kegelsnede, die / en p4, p-0, pü raakt, terwijl zij > snijdt en haar vlak door (/. gaat. Volgens de gevonden waarde voor T /x v p3 is dit aantal twee. Elke oplossing is dubbel te tellen, omdat I dubbele raaklijn is. Zoo vindt men dus vier antwoorden. Legt men de transversaal uit het snijpunt Q van l met Pi op > en op de snijlijn /50 van p& en pa, dan is dit eene ontaarding der tweede klasse, waarin het vlak door p gaat. De rangpunten liggen in Q en op /5G; de oplossing is dubbel te tellen, omdat ze y dubbel snijdt. Men kan driemaal zulk een snijpunt met l vinden, heeft dus 3X2 = 0 oplossingen. Eindelijk voldoet de rechte uit het snijpunt S van pit p$, pu naar l en > als ontaarding der tweede klasse, waarvan het vlak door (j. gaat. De rangpunten liggen op l en in S; deze oplossing is dubbel te tellen, daar zij y dubbel snijdt. In het geheel zijn er 4 + 0 + 2 = 12 oplossingen, zoodat men vindt (JL V pA= 12. lx p1. I)e vlakken gaan door /jl en de kegelsneden raken de vlakken pi, ^21 p$, pi, pb, ps, pi aan. Legt men pi, pt, ps door /, dan voldoet de kegelsnede, die pt> ;05, pt, pi raakt en in het vlak door /x ligt. Zij vervangt twee oplossingen. Legt men de rechte door het snijpunt S van I met pt naar het snijpunt R van p$, p», pi, dan voldoet deze rechte als ontaarding der tweede klasse, waarvan het vlak door p gaat; R en S zijn haar straalpunten. Ook de snijpunten van l met p$, pa, pi geven zulk eene oplossing, zoodat er samen 2 + 4 = 6 zijn. Dus is H p7 — 6. § 4. >8. Hier moeien de kegelsneden acht gegeven rechten vi, >2, >s, ^4, va, 'ja, '■>!, 'Ja snijden. Legt men l) drie rechten, ■/,, >2,1/3, in een vlak ö, dan voldoet vooreerst de kegelsnede in vlak ó, die door de snijpunten van >4, -Jb, >u, >7, niet vlak O gaat. Deze kegelsnede is voor acht oplossingen te tellen, omdat >1, ■/■>, ya tweemaal gesneden worden. Verder voldoet elke kegelsnede door een der snijpunten van >1,^2, >3, die de overige zes rechten snijdt; volgens de vroeger gevonden waarde voor P ■/' vindt men 18 kegelsneden voor elk der drie snijpunten van v\, v2, vs. In hel geheel geeft dit dus 3 X 18 = 54 kegelsneden. Zoekt men de snijpunten P4 en P5 van >4 en >b met O, dan kan men de transversaal zoeken op P4 Ps, >g, Deze transversaal vormt met P4 P5 eene ontaarding van den tweeden graad, die voldoet. Daar er twee transversalen van vier rechten zijn en men v4, >5, >6, V7, op tien wijzen drie aan twee kan rangschikken, vindt men op deze wijze 10 X 2 = 20 oplossingen. ') Zie Dr. J. de Vries: «Over het aantal kegelsneden, die acht gegeven rechten snijden» (K. A. v. W. te A. 1901, X, blz. 194). Men zoekt de transversaal t van y4, >5, n, ; snijdt deze 0 in T, dan verbindt men T met het snijpunt P8 van ^ en p. liet stel rechten ? en 1 P8 vormt dan eene ontaarding, die voldoet. Hier heeft men dus samen 5X2 = 10 oplossingen, \\ ant er zijn twee transversalen t en vijf combinaties vier aan één van y5, ya, Vt. In het geheel voldoen dus 8 ~£>4 -f- 20 "I- 10 — 92 kegelsneden, zoodat men heeft: y8 = 92. Hier moeten de kegelsneden zeven rechten >1, >2, >3. >4, >5, >6, snijden en een vlak p aanraken. Men legt weer >1, V2, v» in een vlak 0. \ ooreerst voldoen dan in het vlak C twee kegelsneden door de vier snijpunten met v4, >5, vu, y7, welke de snijlijn van p met O aanraken. Elk van beide is voor acht te tellen, omdat zij >1, >2, >3 dubbel snijdt. Zoo vindt men dus 1G eigenlijke kegelsneden. Verder zoekt men het aantal kegelsneden door elk van de drie snijpunten van vi, >2, >3, welke op de overige vijf rechten lusten en een gegeven vlak aanraken. Volgens de vroeger gevonden waarde van P ■/* p is dit aantal 24 voor elk der snijpunten; dus in het geheel vindt men op deze wijze 3 X 24 = 72 oplossingen. Zoekt men de snijpunten P4 en P5 van >4 en yb met 0, dan vormt P4P5 eene rechte van een lijnenpaar, dat voldoet en waarvan het dubbelpunt ligt in het snijpunt S van P4 P5 met den doorgang van p op 0; de andere rechte is de transversaal uit S op '/n en >7. Daar iedere oplossing dubbel te tellen is, omdat p door het dubbelpunt gaat, en men >4, y5, >7 op zes wijzen zoo rangschikken kan, vindt men hier 0X2 = 12 oplossingen, die voldoen. Legt men eindelijk eene transversaal t op >4, >3, en de snijlijn n van 0 en p, dan is dit de eene rechte van een lijnenpaar dat voldoet. Het snijpunt S van t met n is het dubbelpunt en de verbindingslijn van S met den doorgang P7 \an >7 op 0 is de tweede rechte van liet lijnenpaar. Daar do vier genoemde rechten fivee transversalen t hebben, en elke oplossing dubbel te tellen is, omdat p een dubbel raakvlak is, terwijl men v4, >5, >«, >7 op vier wijzen drie aan één kan rangschikken, vindt men op deze wijze 4 X 2 X 2 = 10 ontaardingen. In het geheel zijn er dus 16 + 72 + 12 + 10 = 116 oplossingen, zoodat S p = 110. -—— Hier moeten zes stralen >1, >2, va, V4, >5, gesneden entwee vlakken pi en p2 aangeraakt worden. Legt men weer y3 in een vlak Ó, dan voldoen vooreerst vier kegelsneden in dit vlak, die dooi- de snijpunten van *4, >5, >6 met c gaan en de doorgangen van pt en p2 met O aanraken. Daar elke kegelsnede vi, >•>, >3 dubbel snijdt, moet zij achtmaal geteld worden en men vindt zoo dus 4 X 8 = 32 oplossingen. \ erder voldoet elke kegelsnede door een der snijpunten van >1, >2, y3, die op de overige vier rechten rust en de twee vlakken p aanraakt. Dit zijn er voor elk van die drie snijpunten 28 wegens de vroeger voor P >4 p2 gevonden waarde. In het geheel vindt men er hier dus 3 X 28 = 84. Legt men uit het snijpunt S der doorgangen van pi en pt met cp de transversaal op en >5, dan is dit de eene rechte van een lijnenpaar, dat voldoet. S is het dubbelpunt en de tweede rechte is de verbindingslijn van S met den doorgang van op O. Dit lijnenpaar moet voor vier oplossingen gerekend worden, omdat pi en pt door haar dubbelpunt gaan. Men kan v4, >5, op drie wijzen twee aan één combineeren, zoodat men hier dus 3 X4 = 12 oplossingen heeft. In het geheel zijn er 32 + 84 + 12 = 128 oplossingen, zoodat ■/ p2= 128. De kegelsneden moeten hier vijf stralen a, >2, >8, vit >5 snijden en drie vlakken pt, p2, p3 aanraken. Legt men vu y2, y3 weer in een vlak
1, >2, tweemaal snijdt. Dit geeft dus 4 X 8 = 32 oplossingen. Verder voldoet elke kegelsnede door een der drie snijpunten van vi, >ü, >3, die op de overige drie rechten rust en de drie vlakken p aanraakt. Dit zijn er 24 volgens de vroeger gevonden waarde van P v3 p3. Op deze wijze vindt men dus 3 X 24 = 72 oplossingen. Daar pi, pi, p3 het vlak 0 in het algemeen niet in één punt snijden, voldoet hiergeene ontaarding met het dubbelpunt in 0. Ook voldoet geene ontaarding der tweede klasse, want die zou op de doorsnede van twee der vlakken én op vijf rechten moeten rusten. I11 liet geheel voldoen dus 72 + 32 = 104 oplossingen, zoodat yV=_104. >4 '■ Hier moeten vier stralen v\, y2, >8, >4 gesneden en vier vlakken pii p-2, p», pt aangeraakt worden. Men legt weer >1, >2, >a in een vlak O, dan voldoen vooreerst twee kegelsneden in 0 door het snijpunt van met cp, die de doorgangen van pi, p», p», p* met © aanraken. Iedere kegelsnede is voor acht te tellen, omdat zij >1, y2, vs dubbel snijdt. Zoo vindt men dus 2 X 8 = 1(5 oplossingen. Verder voldoen alle kegelsneden door een der drie snijpunten van welke op de overige twee rechten rusten en pi, pt, pa, pi aanraken. Volgens de vroeger voor P gevonden waarde zijn er voor elk punt 10, dus in het geheel 3 X 1G = 48. Daar er geene lijnenparen met het dubbelpunt in O en geene ontaardingen der tweede klasse mogelijk zijn, welke laatste op zes rechten zouden moeten rusten óf door een punt gaan en op vier rechten rusten, vindt men hier samen 16 -j- 48 = 64 oplossingen, zoodat v4 px = 64. y' De kegelsneden moeten drie gegeven stralen vi, >2, >3 snijden en vijf gegeven vlakken pt, p2, pa, pt, p&, aanraken. Legt men v\, y2, in een vlak 0, dan voldoet hier vooreerst de kegelsnede, die de vijf snijlijnen van pu p2, p3, p4j pb met 0 aanraakt. Deze eenige oplossing is voor acht te tellen, omdat zij v\, y2, >3 dubbel snjjdt. Verder voldoet elke kegelsnede uit een der snijpunten van vi, >2, >3, welke op de andere rechte rust en vijf vlakken aanraakt. Volgens de gevonden waarde voor P y p5 is dit aantal acht. Uit de drie snijpunten vindt men dus 3 X 8 = 24 oplossingen. Daar hier geene ontaardingen van den tweeden graad met het dubbelpunt in O mogelijk zijn en er ook geene ontaardingen der tweede klasse voldoen, omdat eene rechte niet door een bepaald punt kan gaan en tegelijk op vier rechten rusten, voldoen hier 8 + 24 = 32 oplossingen, zoodat >3 pb = 32. p1'- Hier moeten de kegelsneden twee rechten vi en y2 snijden en zes vlakken ^i, p2, p3, pi, p&, pt aanraken. Legt men hier drie vlakken, pi, p2, pB, door eene rechte t, dan voldoen alle kegelsneden welke t raken, yt en y2 snijden en pif pb, ps aanraken. Volgens de vroeger gevonden waarde voor T yl p3 is dit aantal 8. Daar echter t bepaald is als snijlijn van twee vlakken p, zoodat elk vlak door t ook raakvlak is, moet t als dubbele raaklijn gerekend worden. Iedere oplossing is dubbel te tellen, zoodat men hier 16 oplossingen vindt. Eene ontaarding der tweede klasse kan hier niet voldoen, want uit het snijpunt van pi, p&, pa is geene rechte mogelijk, die op vi, y2, t rust. Ook is geene ontaarding van den tweeden graad mogelijk, omdat pi, p«, p3, pi} pa, p6 elkaar niet in één punt snijden. Dus is v2 pe = 16. y p7. De kegelsneden snijden de rechte > en raken de vlakken pii f2) p$f p4i pt) pi aan. Legt men weer pi, p2, p3 door eene rechte t, dan voldoen de kegelsneden die t raken, y snijden en pt, pt, p6, p7 aanraken. Dit aantal is vier volgens de gevonden waarde voor T v p4. Llke oplossing moet echter dubbel geteld worden, omdat t als dubbele raaklijn is op te vatten. Dit geeft dus 2 X 4 = 8 oplossingen. Daar hier verder geene ontaarde kegelsneden mogelijk zijn, omdat pi, p2, p3, pit pb, ps, elkaar niet in één punt snijden en ook geene rechte te trekken is door twee punten, die op > zal rusten, is hier p1 = 8. Ls. ' 'In aantal kegelsneden te vinden, die aan acht gegeven vlakken pt, p2, p3, pif pb, p7, pi raken, legt men weer drie der vlakken door eene rechte t. Hier voldoen alle kegelsneden die t en p4, pa, p6, p7, ps aanraken. Volgens de gevonden waarde voor 1 p& is dit aantal twee. Elke oplossing is echter om meer gemelde reden dubbel te tellen, zoodat men hier vier antwoorden vindt. Verder zijn er geene ontaardingen mogelijk, omdat ph po, p3, pi, pi, pe, p7, ps elkaar niet in één punt snijden en evenmin Pa, ps, p7, ps. Men heeft dus f" = 4. HOOFDSTUK III. Bepaling dek aantallen ontaarde kegelsneden, die aan zeven voorwaarden voldoen. § 1. Wij willen nu rle aantallen ontaardingen van tien tweeden graad en de tweede klasse vinden, die aan zeven voorwaarden voldoen. (') Deze moeten wij n.1. gebruiken, wanneer wij nagaan de stelsels van OOl vele kegelsneden, die aan zeven voorwaarden voldoen. Als 2 voorstelt eene ontaarding van den tweeden graad en vi eene ontaarding der tweede klasse, terwijl p, y en p de meergenoemde beteekenis hebben, ontstaan de volgende tabellen: 2 M3 y4 è f/.2 y5 l [/.•/' 3 y7 ö [A3 y3 p è (J.2 y4 p h (JL y5 p S y° p h (J.3 y2 p2 l [/.* y3 p2 è> fj. y4 p2 3 y5 p2 ï> v p3 è (X1 y2 p3 h f/. v3 p3 c> y4 p3 3 (J.3 p* 2 (X2 y p* lp y2 p* 3 y:i pi 2 (J.2 pb 2 n y pb 2 y2 pb 2 fjt, p6 S y p6 èp7 en: 1 A vj n* y5 vi fi y" vj y7 V\ (J. y p '/j fx' y p [A p yj y1' p Vj [J.3 y2 p2 11 (A2 y3 p2 vj [l y4 p2 Vj y5 p2 VI [J.3 y p3 ■/, (U.2 y2 p3 VI (J. y3 p3 >j y4 ^ 1 /«S />4 1 /*2 > p'1 vj (J. y2 px -/i y3 p* V, v) /.£ y pb yV*p* Vj (J. p yj y ') Sc Hl'bert geeft in zijn Kalkiil der abxahknden Geometrie, blz. 93, 04 slechts de afleiding van vier dezer aantallen. § 2 bjSjA üoor de voorwaarde ^ is het vlak 0 der ontaardingen bepaald; deze moeten verder vier gegeven stralen >i,y2, >3,^1 snijden. Men zoekt de snijpunten Q,, Q2, QS) Q4 van y,, >2, >3, >4 met het vlak O, dan voldoen aan de vraag de drie lijnenparen van den door Qi,Q2, Qs, Q4 gevormden volledigen vierhoek. Ieder is enkelvoudig, zoodat er dus drie oplossingen zijn en men heeft 3 A = 3. " ft* 'y" r- Door [x" is weer het vlak Q bepaald; zoekt men de snijpunten Qi, Q2, Q3 van >1, >2, y3 met vlak 0 en den doorgang I van p en 0, dan moet het dubbelpunt van elke ontaarding, die voldoet, op l liggen. Men verbindt Qi met Q2, dan snijdt Qi Q2 de rechte l in een punt, en hieruit trekt men de rechte naar Qs. Dit samenstel voldoet aan de vraag, maar geldt voor twee oplossingen, omdat / hier dubbele raaklijn is. Men kan hier de punten Qi, Q2, Qs op drie wijzen twee aan één combineeren, zoodat men in het geheel 3 X 2 = G oplossingen vindt en 2 [.k3 v3 p — G. 2 n3 A p2. De voorwaarde //3 bepaalt weer het vlak 0 der kegelsneden. Verder moeten deze twee rechten >, en v% snijden en twee vlakken pt en pt aanraken. Het dubbelpunt der ontaardingen, die aan de vraag voldoen, ligt in het snijpunt der doorgangen h en h van pi en pt met p. Verder zoekt men de beide snijpunten Qi en Q2 van en yt met 0, dan voldoet als eenige oplossing het samenstel der rechten uit het genoemde dubbelpunt naar Qi en Q>. Deze eenige oplossing is voor vier te tellen, daar pi en pt beide door het dubbelpunt gaan, zoodat 2 [x3 v2 p2 = 4. " ;,jt' * Dooi' [/,3 is het vlak 0 bekend, maar omdat de drie gegeven vlakken pi, p«, p3 dit vlak O in het algemeen niet in één punt snijden, wat toch voor eene S noodig is, voldoet hier geene oplossing aan de vraag. Dus o v p3 = 0. " ^ .Daar evenmin de vier gegeven vlakken pt, pt, p3, het vlak
i, *2, >s, >■», y5 snijden.
Legt men eene transversaal /, op >h Vt, y3 en tj,s, dan is het vlak van de ontaarding bepaald; dit is n.1. het vlak door fj. en ti gelegd. Dit vlak snijdt >4 en >5 in twee punten Qi en Q5 en deze verbindingslijn Q4 Qs vormt de andere rechte h van de ontaarding. Men kan ya, >3, *5 op tien manieren drie aan twee combineeren; door elk drietal met (a2 gaan twee transversalen, zoodat men in het geheel 10 X 2 == 20 oplossingen vindt. Dus
0 [x* >5 - 20.
" 'J-~ ^'er g?an de vlakken der gevraagde kegelsneden door
eene vaste rechte en verder moeten de kegelsneden vier gegeven rechten >1, y», vs, >4 snijden en een gegeven vlak p aanraken. liet dubbelpunt der ontaarding moet dus in p liggen.
Men legt eene transversaal t\ op p2, >1, y3; deze snijdt p in het dubbelpunt; het vlak door /en ti is dus het vlak van de ontaarding. Dit vlak snijdt y4 in een punt Q4, en Q4 verbonden met het bovengenoemde dubbelpunt, geeft de tweede lijn t2 van b. Er zijn nu vier combinaties van >1, y2, >3, >4 drie aan één mogelijk; elk drietal bepaalt met p* twee transversalen; elke doorgang van p met het vlak van b is dubbele raaklijn, zoodat elke oplossing dubbel te tellen is. Op deze wijze ontstaan er 4 X 2 X 2 = 10 ontaardingen.
kan ook de vier rechten y2, yB, y4 twee aan twee combineeren. Elk tweetal bepaalt met ,x2 een quadratisch regelvlak en fx* is een beschrijvende lijn van beide regelvlakken. Deze twee regelvlakken snijden p volgens twee kegelsneden, die vier punten gemeen hebben, waarvan er één op ,x2 ligt. De overige drie snijpunten geven ieder eene rechte, die op /x2, y,, y2, >8, y+ rust. Een combinatie van twee dezer rechten vormt eene ontaarding S; er zijn 0p deze wijze drie verschillende ontaardingen te krijgen, die elk dubbel te tellen zijn, daar p door het dubbelpunt gaat. Men kan y,, y2, y3, y4 op drie wijzen twee aan twee combineeren, zoodat men hieruit 3 X 3 X 2 = IS oplossingen vindt.
Samen zijn er dus 18 + 16 = 34 oplossingen, zoodat 2 [X2 y4 p = 34.
"/■*' y3p\ Het vlak van elke figuur c> moet gaan door [x2; verder moeten de kegelsneden drie gegeven stralen j,2) >3 snijden en twee gegeven vlakken pi en p2 aanraken. Het dubbelpunt van elke oplossing moet dus liggen op de snijlijn l12 van pi en pt.
Men legt eene transversaal h op ,/2, y,, y2, ?12, dan snijdt h de rechte l12 in het dubbelpunt, en het vlak van 3 is bepaald door [x2 en ti. Dit vlak snijdt y3 in een punt Q3 en de verbindingslijn van Q3 met het genoemde dubbelpunt geeft de tweede rechte t, van h. Men kan y,, y2, y3 op drie manieren twee aan één combineeren. Elk tweetal geeft met /xs en h2 twee transversalen, zoodat er 3 X 2 = (1 oplossingen zijn. Daar twee raakvlakken door het dubbelpunt van 2 gaan, is elke oplossing voor vier te tellen, zoodat
0 [X2 y3 p2 = 24.
Volgens de voorwaarde p3 zijn drie gegeven vlakken raakvlakken, zoodat het dubbelpunt der ontaardingen met een gegeven punt samenvalt. Het vlak der kegelsneden moet door (x2 gaan en is dus volkomen bepaald door /x2 en het snijpunt van pu p2, p8.
De beide gegeven rechten y, en v2 snijden dit vlak in Qi en °p2. Ook kan de lijn I van vj niet vijf rechten ontmoeten, dus
vi >5 p2 = 0.
vi v*p3. Daar l ook niel tegelijk op vier rechten en op de snijlijn van twee vlakken p kan rusten, is
H v* p3 = 0.
•/iv3p4. De lijn I kan niet drie lijnen v snijden en tevens twee snijlijnen der vlakken p, zoodat
= O-
HOOFDSTUK IV.
Over stelsels van OO1 kegelsneden en daardoor gevormde oppervlakken.
§ 1.
I^'1- Hier vindt men liet stelsel kegelsneden, waarvan liet vlak gegeven is door de voorwaarde fx3. De kegelsneden moeten vier stralen vu >2, >3, snijden, dus gaan door de vier snijpunten P2, P3, P4 van fx:i met >1, >2, >3, >4. Dit stelsel is klaarblijkelijk een bundel kegelsneden.
De bekende twee parabolen hierin vindt men, door er een raakvlak bij te nemen en dan de snijlijn van dit raakvlak met /x3 naar het oneindige te laten gaan. De voorwaarde ixa-/4p gaf' twee kegelsneden, die hier dus tot parabolen worden.
De bekende ontaardingen van den bundel ziet men terug in de voorwaarden: « u:i ■/ = 3 en vt ;x3 v4 = 0.
Als bijzonder geval van dezen bundel kegelsneden vindt men een cirkelbundel, en wel als de snijpunten van >1 en >2 met /x3 in de cyclische punten van het vlak liggen. Alle cirkels van dezen bundel gaan door P3 en P4, dus de meetkundige plaats hunner middelpunten is de middelloodlijn Op P3P4.
'J- 'J Hier vindt men een stelsel kegelsneden, waarvan het vlak is' AHe kegelsneden gaan door de snijpunten P,, P,>, P3 van de rechten >1, >», >3 met /x3 en raken de snijlijn / van p met [x3 aan.
In dit stelsel zijn vier parabolen, want neemt men er een tweede raakvlak p bij, dan ontstaat de voorwaarde /x3 >3 p2 = 4
en laat men nu de snijlijn van dit vlak p naar het oneindige gaan, dan worden deze vier kegelsneden tot parabolen.
De ontaardingen van dit stelsel vindt men uit de voorwaarden S/x3 y3 p = 6 en y n3 y» p = o en dit zijn drie lijnenparen, die elk dubbel in rekening gebracht worden.
De meetkundige plaats van de middelpunten der kegelsneden zal hier eene kromme van den vierden graad zijn met vier punten in het oneindige. De vier parabolen in het stelsel [x •/' p geven vier middelpunten in het oneindige, dus de meetkundige plaats moet ook deze punten in het oneindige bezitten.
Een bijzonder geval krijgt men ook hier, door twee snijpunten b.v. die \an vi en >2 met /x3, naar de cyclische punten te brengen. Alle cirkels gaan door het snijpunt P3 van >3 met (/.' en ïaken de snijlijn I van p met /x3 aan. Een dezer cirkels is II A, als A het voetpunt der loodlijn uit P3 op l is en M het midden van P3 A. Verder voldoet als grensgeval de lijn in het oneindige met de rechte door P3 evenwijdig met l; deze heeft haar middelpunt dus in het oneindige. De meetkundige plaats der middelpunten zal hier een parabool zijn met M tot top en symmetrisch ten opzichte van P3 A.
/x3 y-p2. Dit stelsel kegelsneden ligt weer in het vlak ;x3 en alle exemplaren moeten gaan door de snijpunten Pi en P* van fx3 met >1 en y2 en de snijlijnen li en l2 van (x3 met pi en pi aanraken.
In dit stelsel zijn vier parabolen, want neemt men er een derde raakvlak bij, dan ontstaat de voorwaarde (x3 y2 p3 = 4 en deze kegelsneden worden tot parabolen, als men de snijlijn van [x3 met dit derde raakvlak naar het oneindige verlegt.
Men vindt hier de ontaardingen uit de voorwaarden S fxJ y2 p- = 4 en y /x3 y2 p2 — 4 en wel ééne viervoudige ontaarding van den tweeden graad en ééne viervoudige ontaarding der tweede klasse.
De meetkundige plaats der middelpunten van de kegelsneden in dit stelsel is eene kromme van den vierden graad met vier
punten in hot oneindige, immers de middelpunten der vier parabolen liggen in het oneindige.
Een bijzonder geval van dit stelsel kegelsneden vindt men, als men Pt en P2 in de cyclische punten legt. Er ontstaat dan een stelsel cirkels, die I\ en l2 aanraken, zoodat de meetkundige plaats hunner middelpunten gevormd wordt door de twee deellijnen der hoeken, die li en I» met elkaar maken.
r"'- Het vlak /j.3 der kegelsneden is weer bekend en alle kegelsneden moeten eene rechte y snijden en drie vlakken pi, piy pa aanraken; zij gaan dus door het snijpunt P van > met p3 en raken de snijlijnen lu h_, l3, van pu p2, p3 met aan.
In dit stelsel vindt men de parabolen, door er een vierde raakvlak bij te nemen, waardoor de voorwaarde ,a:l > p* = 2 ontstaat. Men verlegt de raaklijn in (x3 naar het oneindige en vindt dan twee parabolen.
De ontaardingen van dit stelsel vindt men uit S /x3 v p3 — 0 en vj pi3 v pA — G, dus zes ontaardingen der tweede klasse, die echter drie dubbel getelde zijn.
Men vindt hier geen cirkelbundel als bijzonder geval, daar er geen twee punten gegeven zijn, waardoor alle kegelsneden moeten gaan.
r' • Dit stelsel kegelsneden in [j,3 bevat alle exemplaren, die de snijlijnen h, l2, /3, U van pi, p2, p3, px met /x3 aanraken. Dit is klaarblijkelijk eene schaar kegelsneden. De eene parabool der schaar vindt men, als men er een vijfde raakvlak bij neemt, zoodat de voorwaarde /x3 p5 - 1 ontstaat, en vervolgens de snijlijn van dit vijfde raakvlak met pi3 naar het oneindige verlegt.
De bekende ontaardingen van de schaar vindt men terug uit a/xi pi — 0 en yifx3p* = 3, dus tje drie ontaardingen der tweede klasse.
Ook hier vindt men geen cirkelbundel als bijzonder geval.
8 2.
t*~>0- De kegelsneden, waarvan de vlakken door twee gegeven punten, dus door eene gegeven rechte (j.2 gaan, en die vijf stralen >i, >2, va, >4, ^5 snijden, vormen een oppervlak van den achtsten graad. Immers zoekt men het aantal snijpunten van dit oppervlak met eene willekeurige rechte, m. a. w. het aantal kegelsneden, dat voldoet aan 1/6, dan is dit aantal acht.
De gegeven rechte (/,- zal eene zesvoudige rechte op dit oppervlak zijn. Legt men n.1. een willekeurig vlak door p1, dan vindt men daarin, behalve de rechte p'2, slechts ééne kegelsnede, die de vijf rechten >3, >4) -/b ontmoet. Daar de doorsnijding in dit vlak van den achtsten graad is, moet [j.' zesmaal tol het oppervlak behooren. Uit eenig punt van [j? zullen dus zes kegelsneden van dit stelsel gaan; hieruit vindt men eene vroeger gevonden waarde terug, n.1. P a >5 = 6.
Dan ^lgt hieruit, dat de kegelsneden, die voldoen aan de \ 001 waarde P/^y', dus door een gegeven punt gaan, vier stralen snijden en hun vlak door een bepaald punt zenden, een oppervlak vormen van den zesden graad. Op dit oppervlak zal P(x eene viervoudige rechte zijn; want legt men eenig vlak door P dan vindt men daarin, behalve de rechte P [j., slechts ééne kegelsnede, welke door vijf punten gaat. De doorsnede is van den zesden graad, dus de rechte P p moet viermaal tot het oppervlak behooren.
Het punt P zal op deze rechte een vijfvoudig punt zijn, omdat de eene kegelsnede er ook nog door gaat.
Lit elk punt van P /x gaan dus vier kegelsneden van dit stelsel, zoodat men hier weer terugvindt P" -A = 4.
De kegelsneden, die voldoen aan de voorwaarde P-' >3, dus door twee punten gaan en drie stralen snijden, vormen derhalve een oppervlak van den vierden graad. Hierop is Pi P2 eene dubbelrechte, omdat een willekeurig vlak door Pj P2 als doorsnede behalve PiP» slechts ééne kegelsnede bevat. De punten P, en P* zijn drievoudige punten op dit oppervlak, daar deze ééne kegelsnede ook door beide punten gaat.
Op de zesvoudige rechte y.' van het oppervlak, gevormd
door de kegelsneden, die aan de voorwaarde (x2 v5 voldoen, vormen die kegelsneden eene verwantschap, waarin met elk punt der eene reeks zes punten der andere overeenkomen. Deze (6, 6) bevat 12 coïncidenties; dus vindt men hier terug, dat Tv5 =12 is, want elke coïncidentie geeft aan, dat eene kegelsnede raakt aan [x1.
Op dit oppervlak vindt men ook rechte lijnen, gevormd door de ontaarde kegelsneden. Omdat n.1. è //2 ■/" = 20 en si ,a- >5 = 0, liggen er 20 ontaardingen van den tweeden graad of 40 enkelvoudige rechten op dit oppervlak.
Ook de rechten v\, >a, *a liggen op het oppervlak, daar zij door alle kegelsneden gesneden worden. Zij zijn enkelvoudig, want een willekeurig vlak door /x'2 geeft slechts ééne kegelsnede, die haar snijdt.
Een willekeurig vlak O snijdt het oppervlak in eene kromme van den achtsten graad met een zesvoudig punt L, den doorgang van cp met de zesvoudige rechte fx2. De klasse dier kromme zij k, dan is k = n (n — 1) — 2 2 — 3 z, waarin n den graad der kromme, h haar aantal dubbelpunten en x haar aantal keerpunten voorstelt. Omdat het zesvoudige punt L telt voor 1jt X 0 X 5 dubbelpunten en er verder geene dubbelof keerpunten zijn, is /• = 8 X 7 — 6 X 5 = 26. Uit het zesvoudige punt L gaan naar deze kromme dus nog 26 — 2XC = 14 raaklijnen. Aan het vlak O zullen dus 14 kegelsneden van het stelsel moeten raken en omdat cp geheel willekeurig genomen is, vindt men hier terug, dat fx2 p = li is.
Er zullen 14 parabolen op dit oppervlak liggen, want legt men het vlak cp in het oneindige, dan worden de 14 kegelsneden, die cp aanraken, tot parabolen.
De meetkundige plaats der middelpunten van de kegelsneden in het stelsel (/x2 ■/") is eene ruimtekromme van den 14en graad; immers er liggen 14 punten in het oneindige. Elk vlak door fx2 geeft slechts ééne kegelsnede door vijf punten, dus één punt der meetkundige plaats buiten fx2. Dus /x2 wordt 13 maal door deze ruimtekromme gesneden.
!J' y kegelsneden, die aan deze voorwaarde voldoen, vormen
een oppervlak van den 14'!™ „raad< lmmers het aantaI snjj._
punten van dit oppervlak niet eene rechte wordt bepaald door de waarde van [x2 yh p en deze is 14.
De rechte jx' is eene tienvoudige rechte op dit oppervlak. Legt men n.1. een willekeurig vlak door (x2, dan liggen, behalve pr, in dat vlak twee kegelsneden, die door de vier snijpunten met >i, >>, y3, yi gaan en de snijlijn met p aanraken. Daar de doorsnijding van den graad 14 is, moet p* tienvoudig zijn. Uit elk punt van [x2 gaan dus 10 kegelsneden van dit stelsel, waaruit men terugvindt, dat P/0ty4(j= 10 is.
De kegelsneden, die voldoen aan de voorwaarde P tx ■/ p, vormen dus een oppervlak van den tienden graad met eene zesvoudige rechte P [x, omdat een vlak door P /x behalve deze rechte twee kegelsneden bevat en de doorsnede van den tienden graad moet zijn.
Uit elk punt van de rechte P /x gaan dus zes kegelsneden van dit stelsel, waaruit weer volgt, dat P2 p — G is. Dus de kegelsneden, die voldoen aan de voorwaarde P" y2 vormen een oppervlak van den zesden graad met een dubbelrechte Pi P2, want een vlak door P! P2 bevat, behalve deze rechte, nog twee kegelsneden, en de doorsnijding moet van den graad zes zijn. De punten Pi en P2 zijn dan viervoudige punten O]» dit oppervlak, omdat de beide kegelsneden ook door Pi en P» gaan.
Op de tienvoudige rechte /x2 van het oppervlak (jx2 y* p) bepalen de kegelsneden eene verwantschap (10,10). Deze heeft 20 coïncidenties, zoodat ,x2 door 20 kegelsneden wordt aangeraakt, waaruit men terugvindt, dat T p = 20 is.
Op dit oppervlak liggen ook rechte lijnen, gevormd door de ontaarde kegelsneden in het stelsel /x2 yl p. Omdat S (x2 >4 ;= 34 en v) (x- y4 p = 0, vindt uien hier 34 ontaardingen van den tweeden graad, dus 34 rechte lijnen, omdat elke figuur o in liet genoemde aantal voor eene dubbele oplossing is gerekend.
Ook de rechten vu y2, y3, liggen op dit oppervlak, omdat alle kegelsneden op hen rusten. Zij zijn evenwel dubbelrechten, omdat een vlak door /x2 twee kegelsneden bevat,
die vi, '/•>, va, V4 snijden. Door elk punt van >x, y2, >s, >4 gaan dus twee raakvlakken aan het oppervlak.
(*' Het oppervlak, dat gevormd wordt door de kegelsneden,
die aan deze voorwaarde voldoen, is van den graad 24, omdat
v* p* = 24.
Een willekeurig vlak door p2 geeft vier kegelsneden, die door de drie snijpunten met >1, >2, >3 gaan en de snijlijnen met p 1 en p2 aanraken. Daar de doorsnede in dit vlak van den graad 24 is, moet ,a2 eene zestienvoudige rechte op dit oppervlak zijn. Uit elk punt van /x2 gaan dus 1G kegelsneden, waaruit men terugvindt, dat P/^ys/52 = 16 is.
De kegelsneden, die aan de voorwaarde P (u. y2 p2 voldoen, zullen dus een oppervlak van den graad 1G vormen, waarop P p. eene achtvoudige rechte is. Immers in een vlak door P liggen, behalve P p zelf, vier kegelsneden door drie punten, die twee rechten aanraken. Uit elk punt van Pp gaan dus acht kegelsneden van dit stelsel, waaruit volgt dat P2 y2 p2 — 8 is.
De kegelsneden met de voorwaarde P2 y p2 vormen dus een oppervlak van den achtsten graad. Omdat in een vlak door Pi P2 vier kegelsneden liggen en de doorsnijding van den graad acht is, ligt de rechte Pi P2 niet op dit oppervlak. De punten Pi en P2 zijn echter viervoudige punten op dit oppervlak, want in elk vlak door Pi en P2 gaan vier kegelsneden door beide punten.
De rechten >1, v->, y3 zijn viervoudige rechten op het oppervlak {jj.- ■/ p'2). Immers in een vlak door /u.2 liggen vier kegelsneden, die deze rechten snijden.
Verder liggen op dit oppervlak nog rechte lijnen, gevormd door de ontaarde kegelsneden van het stelsel rx2 v3 p2. Deze vindt men uit è p2 y3 p2 = 24 en jj p2 y8 p2 = 1G en dit zijn zes viermaal getelde ontaardingen van den tweeden graad en tiree achtmaal getelde ontaardingen der tweede klasse. Op dit oppervlak liggen dus nog 12 -f- 2 = 14 rechte lijnen.
Op de 16-voudige rechte p2 vormen de kegelsneden van het stelsel p* v3 p2 eene verwantschap (1(1, 1G). Deze heeft 32 coïncidenties, doch deze zijn niet alle raakpunten voor kegelsneden. Op dit oppervlak liggen nl. ontaardingen der tweede klasse, die op p2 rusten en dus p2 in twee samenvallende punten snijden. Daar echter geen rangpunt van deze ontaardingen op /j.2 ligt, is dus p2 geene raaklijn der figuur. Om dus het aantal kegelsneden te vinden, dat aan /x2 raakt, moet men van de 32 coïncidenties aftrekken de 16 coïncidenties, ontstaan uit de snijding van //.' niet de ontaardingen der tweede klasse. Dus (j.2 is raaklijn voor 10 kegelsneden, waaruit men terugvindt, dat Tj>3^2=16 is.
■a" Daar [x2 >3 p3 = 2t, is het oppervlak, gevormd door de kegel¬
sneden, die aan de voorwaarde [jl2 -j2 p3 voldoen, van den 24stcn graad.
Dit oppervlak bevat ft2 als zestienvoudige rechte, want in een vlak door p2 liggen vier kegelsneden door de snijpunten met vi en vt, die de snijlijnen met pi, pt, pa aanraken. Daar de doorsnede van den graad 24 is, moet p* lG-voudig zijn. Uit elk punt van /x2 gaan dus 1G kegelsneden van dit stelsel, zoodat P v2 p3 = 1G.
De kegelsneden met de voorwaarde P [x v p3 vormen dus een oppervlak van den zestienden graad. Dit bevat de achtvoudige rechte P /x, omdat in een vlak door P ;x, behalve deze rechte, vier kegelsneden liggen en de doorsnede van den graad zestien is. Uit elk punt van P /x gaan dus acht kegelsneden van dit stelsel, zoodat P2 > p3 = 8.
De kegelsneden met de voorwaarde P2 p3 vormen dus een oppervlak van den graad 8, waarop de rechte Pi P2 niet ligt, want een vlak door Pi Po geeft als doorsnijding vier kegelsneden. De punten Pi en P-j zijn echter viervoudige punten op dit oppervlak, want in eenig vlak door Pi en P2 liggen vier kegelsneden door deze beide punten.
Op het oppervlak (/x2-/2 p3) zijn en >•» viervoudige rechten,
omdat in een vlak door /x2 vier kegelsneden liggen, die op vi en y2 rusten.
Ook liggen er nog rechten op dit oppervlak, afkomstig van de ontaardingen in dit stelsel en deze vindt men uit 2. p» p* — 8 en Yj /x- v2 pA = 24. Dit zijn echter ééne ontaarding van den tweeden graad, die achtmaal in rekening is gebracht en zes ontaardingen der tweede klasse, die elk voor vier geteld moeten worden. Dan liggen er dus 2 + 0 = 8 rechten op dit oppervlak.
Op de zestienvoudige rechte /.j.2 vormen de kegelsneden van dit stelsel [x2 ■/-p3 eene verwantschap (10, 10), die 32 coïncidenties heeft. Hieronder zijn ook de snijpunten van /x2 niet de ontaardingen der tweede klasse en dit zijn er 24. Daar /x2 hiervoor geene raaklijn is, omdat geen straalpunt op /x2 1'gti zÜn er maar acht kegelsneden, die u2 aanraken. Daaruit vindt men terug, dat T v2 p3 = 8 is.
v ' De kegelsneden, die aan deze voorwaarde voldoen, vormen een oppervlak van den zestienden graad, omdat ;x2 >2 p4 — j(j
In /xJ heelt dit oppervlak eene 12-voudige rechte, omdat een vlak door [x2 als doorsnede, behalve [x2, nog twee kegelsneden bevat, die door een punt gaan en vier rechten raken. Uit elk punt van fx2 gaan dus 12 kegelsneden van dit stelsel, zoodat men terugvindt, dat P[xvp4=t2 is.
De kegelsneden, die aan de voorwaarde P fx p4 voldoen, vormen een oppervlak van den twaalfden graad met de achtvoudige rechte P (x. Immers in een vlak door P fx liggen, behalve deze rechte, nog twee kegelsneden. Uit elk punt van P (x gaan dus 8 kegelsneden, waaruit opnieuw volgt dat PV = 8is.
De rechte > is eene dubbelrechte op het oppervlak {[x2 > a4), want in eenig vlak door ;x2 liggen twee kegelsneden, die beide op y rusten.
Verder liggen er op liet oppervlak nog rechte lijnen, die afkomstig zijn van de ontaardingen in dit stelsel. Deze vindt men uit S fx-v p4 = 0 en vj fx2 v p4 = 20 en wel alleen lOont-
aardingen der tweede klasse, die elk tweemaal in rekening worden gebracht. Dus door /x2 gaan 10 vlakken, die het oppervlak langs eene rechte raken.
Op de 12-voudige rechte [u.2 vormen de kegelsneden eene verwantschap (12, 12), dus met 24 coïncidenties. Hieronder zijn er 20, afkomstig van de 20 ontaardingen der tweede klasse en die niet meetellen voor raakpunten. Er zijn dus vier kegelsneden, die [x2 aanraken, waaruit opnieuw volgt, dat Tv/ = 4 is.
r"'- De kegelsneden vormen hier een oppervlak van den achtsten graad, omdat p* v p'° = 8.
In (j.2 heeft dit oppervlak eene zesvoudige rechte, omdat een vlak hierdoor, behalve slechts ééne kegelsnede bevat, die aan vijf rechten raakt. Uit elk punt van gaan dus zen kegelsneden van dit stelsel, waaruit men terugvindt, dat P fx pb = G is.
Op het oppervlak {(j.2 p5) liggen rechte lijnen, afkomstig van de ontaardingen in het slelsel. Deze vindt men uit o ^ pb = 0 en ■/, /x2 p° = 10, dus 10 enkelvoudige ontaardingen der tweede klasse.
Een willekeurige doorsnede van het oppervlak met een vlak (p is eene kromme van den graad 8 met een zesvoudig punt L. Dit punt is het snijpunt van de zesvoudige rechte (jl2 met 0. Deze kromme is dus van de klasse 8X7 — 6X5 = 26 en het aantal raaklijnen uit L aan deze kromme is dus 26 — 2 X 0 = 14. Maar hieronder zijn 10 oneigenlijke raaklijnen, want de 10 ontaardingen der tweede klasse geven in O ook twee samenvallende punten. Dit zijn in het algemeen geene raaklijnen voor die ontaardingen, want hare straalpunten liggen in het algemeen niet in p. Dus O wordt door vier kegelsneden aangeraakt en men vindt hier dus terug, dat [j.2 p6 = 4 is.
Op de zesvoudige rechte /j.2 van het oppervlak (p2 pb) bepalen de kegelsneden eene verwantschap (6,6) met 12 coïncidenties. De tien ontaardingen der tweede klasse op dit
oppervlak geven wel coïncidenties, doch geene raakpunten zoodat //- maar door twee kegelsneden wordt aangeraakt' waaruit men terugvindt, dat T p6 = 2 is.
§ 3.
!±^_ De kegelsneden, waarvan het vlak door een gegeven punt ^ gaat en die zes Begeven rechten >2, „5, >4, >5) snijden! vormen een oppervlak van den 34*ten graad) onidal het aanta]
snijpunten van dit oppervlak met eene rechte 34 is; immers fx y' = 34.
Op dit oppervlak liggen „lf >2. >3, V4f >5, a]s zesvoudige rechten, want uit eenig punt P op gaan zes kegelsneden ^an dit stelsel, omdat P p >5 = 6 is.
Verder liggen op dit oppervlak rechte lijnen, die afkomstig zijn van de ontaarde kegelsneden in dit stelsel. Deze vindt men uit Spy 70 en >j/x yu = 0; de 70 ontaardingen van den tweeden graad leveren 140 rechten op dit oppervlak.
e meetkundige plaats der kegelsneden, die door een punt P gaan, vier rechten Vl, y2, y3, >4 snijden en waarvan het vlak door tj, gaat, is een oppervlak van den zesden graad. Immers P (jl >5 = 6, du» het oppervlak geelt zes snijpunten met eene rechte.
Elk der rechten y2, y3, >4 is eene enkelvoudige rechte op
het oppervlak (P ,j. -S\ omdat uit elk van haar punten slechts
eene kegelsnede van dit stelsel gaat. Legt men n.1. een vlak
door P, door een punt P' van n en door dan ligt daarin
slechts eene kegelsnede door P, P' en de snijpunten van dit vlak met y2, y3, >4.
Ook liggen er ontaardingen op dit oppervlak, want legt men eene rechte t uit P op >2, en vervolgens een vlak oor (j. en t, dan vormt de verbindingslijn van de beide snijpunten van dit vlak met y3 en y4 de tweede rechte t' van een hjnenpaar, dat voldoet. Daar er zes combinaties van de vier rechten zijn te maken, vindt men dus zes ontaardingen van den tweeden graad op dit oppervlak; hierop liggen dus, Denalve >i, y2) v3, f4, nog 12 rechte lijnen.
V P- De kegelsneden, die vijf rechten vu >2, v.3, v\, snijden, een vlak p aanraken en haar vlak door /x zenden, vormen een oppervlak van den graad 52, omdat [x yG p = 52 is.
De rechten vi, y2, >% vt, >5 zijn tienvoudige rechten op dit oppervlak, want uit eenig punt op een dezer rechten gaan tien kegelsneden van dit stelsel, omdat P ;x -A p = 10 is.
Verder liggen op dit oppervlak nog rechte lijnen, die afkomstig zijn van ontaarde kegelsneden. Deze vindt men uit S ft j/5 p = 100 en (jl vb p = 0. Er liggen 50 dubbelgetelde ontaardingen van den tweeden graad, dus 100 rechten op dit oppervlak.
De meetkundige plaats der kegelsneden, die door een punt P gaan, drie rechten vi, y2, >3 snijden en een vlak p aanraken, terwijl haar vlak door fx gaat, is een oppervlak van den tienden graad, omdat P /x A p = 10 is.
Elk der rechten vi, v2, >3 is eene dubbelrechte op dit oppervlak, omdat uit elk harer punten twee kegelsneden van dit stelsel gaan. Legt men n.1. een vlak door P, door een punt P van i/i, en door /x, dan liggen daarin twee kegelsneden door vier punten, die eene rechte aanraken.
Er liggen ook ontaardingen op het oppervlak (P [x >8 p). Legt men n.1. eene rechte t uit P op en >2, vervolgens het vlak door /x en t en verbindt men het snijpunt van dit vlak en v3 met den doorgang van t op p, dan vormt deze verbindingslijn mot t eene ontaarding van den tweeden graad, die voldoet. Men vindt drie combinaties van de drie rechten v twee aan één, dus dit geeft drie lijnenparen of zes rechten op dit oppervlak.
jx_A_£. De kegelsneden, die aan deze voorwaarden voldoen, vormen een oppervlak van den 76stcn graad, omdat [x ■/' p2 = 76 is.
De rechten >1, >2, >3, >4 zijn 16- voudige rechten op dit oppervlak, want uit eenig punt op >1 gaan 16 kegelsneden van dit stelsel, omdat P ;x •/ p- = 16 is.
Verder liggen op dit oppervlak nog rechte lijnen, die afkomstig zijn van de ontaardingen in dit stelsel. Deze vindt
men uit 5 p >4 p2 = 68 en >) /x ^ p* = 32. Dit zijn 17 viermaal getelde lijnenparen en twee lG-maal getelde ontaardingen der tweede klasse. Dit geeft dus samen 34 -f 2 = 30 rechte lijnen op het oppervlak.
De kegelsneden, die door een punt P gaan, twee rechten vi en y-i snijden, twee vlakken pi en pt aanraken en haar vlak door (/. zenden, vormen een oppervlak van den graad 1G, omdat P (j. >3 p8 = 10 is.
De rechten en >2 zijn viervoudige rechten op dit oppervlak, warit uit elk van haar punten gaan vier kegelsneden van dit stelsel. Legt men n.1. een vlak door P, door een punt P' van en door fx, dan liggen daarin vier kegelsneden, die door drie punten gaan en twee rechten aanraken.
Er liggen ook ontaardingen op dit oppervlak (P ,x p2), want legt men eene rechte t uit P op >i en op de snijlijn h2 van pi en p2, vervolgens een vlak door /x en t en zoekt dan „ liet snijpunt Q van y2 met dit vlak, dan vormt de verbindingslijn van Q met het snijpunt van t en lVi de tweede rechte t' van een lijnenpaar, waarvan t de andere rechte is. Zoo vindt men er nog een, dus er liggen twee lijnenparen of vier rechten op het oppervlak.
Ook is er eene ontaarding der tweede klasse. Legt men n.1. de rechte t uit P op :'i en >2, dan voldoet deze als dubbelrechte, waarvan het vlak door fx en t bepaald is. Hare rangpunten liggen in de doorgangen van t op pi en p2. Langs haar ligt een raakvlak door p aan het oppervlak.
y' Dit stelsel kegelsneden vormt een oppervlak van den graad 72, omdat [j. >4 p3 = 72 is.
De rechten vi, ■/•>, liggen er op en zijn 16-voudig, omdat uit een willekeurig punt van vi zestien kegelsneden gaan; immers P >2 p3 = 1G.
Verder liggen op dit oppervlak nog rechte lijnen, afkomstig van de ontaarde kegelsneden in dit stelsel. Deze vindt men uit 0 a pó = 24 en vj /x v3 p3 = 48 en wel drie achtmaal getelde ontaardingen van den tweeden graad en zes achtmaal
getelde ontaardingen der tweede klasse. Er zijn dus samen G -f- C = 12 rechten op dit oppervlak.
De kegelsneden, die door een punt P gaan, eene rechte y snijden, drie vlakken pi, p2, pa aanraken en hun vlak door // laten gaan, vormen een oppervlak van den graad 10, omdat P [X y2 p3 — 16 is.
De rechte v is eene viervoudige rechte op dit oppervlak, want uit elk van haar punten gaan vier kegelsneden van dit stelsel. Immers, legt men een vlak door P, door een punt P' van v, en door //, dan liggen daarin vier kegelsneden door twee punten, die drie rechten aanraken.
Er liggen ook ontaardingen op dit oppervlak. Verbindt men het snijpunt Q van de vlakken pi, p2, p3 met P door eene rechte t; legt daarna het vlak door /x en t en zoekt het snijpunt R van dit vlak met >, dan vormt de rechte R Q met t een lijnenpaar dat voldoet. Er liggen dus twee rechten op dit oppervlak.
Legt men uit P de transversaal t op v en op eene snijlijn l van twee der vlakken p, dan voldoet t als ontaarding der tweede klasse, waarvan het vlak door /x en t bepaald is. Hare rangpunten liggen op l en in het derde raakvlak. Zoo vindt men er drie, dus er liggen nog drie rechten op dit oppervlak.
Zoekt men de kegelsneden, die raken aan eene rechte I, drie stralen vi, /3 snijden en haar vlak door fx zenden, dan vormt dit stelsel (T /x -y'3) een dubbelvlak als ontaarding van een quadratisch oppervlak. Immers zoekt men het aantal kegelsneden van dit stelsel, dat eene rechte snijdt, dan is dit aantal twee volgens de waarde van T /x ■/. Deze rechte heelt dus twee punten met dit vlak ([x, T) gemeen en het vlak is dus een dubbelvlak.
(x v2 pi. Dit stelsel kegelsneden vormt een oppervlak van den graad 48, omdat (x y3 p4 = 48 is.
De rechten vi en va liggen er op en zijn twaalfvoudig, omdat
uit een willekeurig punt van >i of ^12 kegelsneden gaan; immers P p y pi = 12.
Verder liggen op dit oppervlak rechte lijnen, afkomstig van de ontaarde kegelsneden in dit stelsel. Deze vindt men uit o [x y2 p4 — 0 en q /x y2 pl = 40 en wel tien viermaal getelde ontaardingen der tweede klasse. Er liggen dus tien rechten op dit oppervlak.
De kegelsneden, die door een punt P gaan, vier vlakken pi> P2, pa, pi aanraken en haar vlak door /x zenden, vormen een oppervlak van den graad 12, omdat P {x y p* = 12 is. Op dit oppervlak liggen geene lijnenparen, omdat pi, p2, p3, p* elkaar niet in één punt snijden.
W el liggen er ontaardingen der tweede klasse op, want legt men de transversaal t uit P op de snijlijnen In en h\ van pi en p% en van pa en pi, dan voldoet t als ontaarding der tweede klasse, waarvan het vlak bepaald is door t en [x, en de rangpunten liggen in ho en /3j. Daar men drie zulke ontaardingen der tweede klasse vindt, geeft dit drie rechten op het oppervlak.
Ook is eene rechte t mogelijk uit P naar het snijpunt Q van drie vlakken p; deze ontaarding der tweede klasse voldoet, want haar vlak is bepaald door [x en t en hare rangpunten liggen in Q en in het vierde vlak p. Omdat men vier zulke ontaardingen vindt, geeft dit nog vier rechten op het oppervlak.
Zoekt men de kegelsneden, die raken aan eene rechte l, aan een vlak p, twee stralen yt en >2 snijden en waarvan het vlak door [x gaat, dan vormen deze een viervoudig vlak als ontaarding van een biqnadratisch oppervlak. Immers zoekt men het aantal kegelsneden van dit stelsel (T