**** Differentiaal-meetkundige eigenschappen ïan stralenstelsels,
A. L. ZAALBERG.





DIFFERENTIAAL-MEETKUNDIGE EIGENSCHAPPEN VAN STRALENSTELSELS.





A'* + Y2 + Z8 = 1 XdX + YdY + ZdZ = O 6t X-\-tt2 Y + f>3 Z = O
#1dX + »adY+«sdZ=0
vindt men:
r = 2 X dx -f- r'
Door ze respectievelijk te vermenigvuldigen met dX, dY en dZ en op te tellen vindt men:
2dxdX-\-r'2{dX)*=0 Uit de beide laatste vergelijkingen volgt nu:
2 dx dX + r 2 (dXY — 2 X dx. 2 (dX)* = 0
ot' na weglating van oneindig kleinen van de derde orde:
2 dx dX r ~ ~~ 2(dX)2 '
Vervangen wij hierin dx door ^ du + di< enz. en
maken wij gebruik van de boven ingevoerde notatie, dan gaat dit over in:
e + (ƒ + D t + Qt"_ _ . (3). r~~~ L-j- 2 Mt-\- Nt2 ''
Neemt men op het beginoppervlak een willekeurige kromme <p (u,v) = 0 aan, dan zullen de stralen van het stelsel, gaande door de punten dier kromme, een regelvlak vormen, dat scheef of' ontwikkelbaar kan zijn, en waarvan q, (M) v) = 0 ook als de vergelijking kan worden beschouwd.
De abscis van het centraalpunt op een straal van het regelvlak, d. w. z. het punt, waar zulk een straal wordt gesneden door de gemeenschappelijke loodlijn van dien straal en een daarop volgenden, tot het regelvlak behoorenden , wordt gevonden door in formule (3) t te vervangen dq>
dll
door t— .
d(p
dl'


De strictieljjn van dat regelvlak wordt dan verder bepaald, door de aldus gevonden waarde van r in de uitdrukkingen (1) te substitueeren.
In de meetkunde wordt dikwijls met vrucht gebruik gemaakt van de zoogenaamde spherische afbeelding van een stralenstelsel; hieronder verstaat men het volgende. Men trekt van uit een vast punt O een lijn, die de richting heeft van den straal (u, v) van het stralenstelsel en beschrijft met Ü als middelpunt een bol met de lengte eenheid tot straal; het punt, waar deze bol door den genoemden straal uit O gesneden wordt, noemt men het spherisch beeld van den straal (u, v) van het stralenstelsel.
Geeft men de kromlijnige bolcoördinaten, die bjj dit beeld behooren, ook de waarden u en V, dan hebben de krommen U = constant en v — constant van het oppervlak tot beeld do krommen u = constant en v = constant op den bol. Bij deze spherische afbeelding worden de rechthoekige coördinaten van een punt (u, v) op den bol juist do reeds vermelde grootheden X, }r en Z behoorende bij het punt (tl, v) op het beginoppervlak.
Het lijnelement van don bol wordt dan gegeven dooide vergelijking:
da2 = L du2 -j- 2M du dv -f- N dv* .... (4)
Om de waarde van t te vinden, waarvoor r in (3) een maximum of minimum wordt, hebben we het tweede lid, naar t gedifferentieerd, nul te stellen.
Dit geeft:
<2 HN (/•+ f') - gM] + t [eN - gL\ + 4-[eM-iHf+r)] = 0 .... (5)
Deze vergelijking bepaalt voor elk punt (u,v) op het beginoppervlak twee richtingen (twee waarden van /), iu welke men van af dat punt naar een volgend punt moet overgaan, opdat de abscis van dat punt op den door (//, i>)


gaanden straal, dat den kortsten afstand heeft tot den straal door het punt (udu, v-\-dl1), maximum of minimum zij. Gaat men in eenc andere richting van liet punt (u, v) uit, dan zal dat punt van don door (u, v) gaanden straal, dat den kortsten afstand heeft tot den straal door (M -(- du, v du), tusschen deze beide uiterste standen, de zoogenaamde grenspunten op den straal (u, v), gelegen zijn.
De vergelijking (5) kan ook anders worden opgevat, n.1. als de differentiaal vergelijking van twee stelsels krommen op het heginoppervlak of van de beide stelsels, daarbij behoorende, regel vlakken. I)ie regel vlakken, gevormd door stralen van het stelsel, zoodanig, dat do strictielijnen dier oppervlakken do meetkundige plaatsen zijn der grenspunten, op die stralen gelegen, worden de hoofdregel vlakken van liet stralenstelsel genoemd.
Do vlakken door straal (u, v) en de beide gemeenschappelijke loodlijnen van dien straal en twee opvolgende stralen, behoorende tot het eerste en tweede hoofdregclvlak, heeten hoofdvlakken.
Do richtingen der zooeven genoemde loodlijnen staan loodrecht op elkaar. liet bewijs hiervan is aldus.
Noemen we de wortels van vergelijking (5): tt en 12 dan hebben wc:
/ _l t eN-gL _ \L(f-\-f') — eM
2 gM-tnnf+n 1 h~gM-tN(r+n —
Hieruit volgt:
L + -f- t2) -f- N tj2 = 0 .... (7)
I)e beteekenis hiervan is, dat bij de spherische afbeelding do elementen (du, du) en (du, t2du) op den bol een rechten hoek met elkaar maken; daar nu de genoemde loodlijnen respectievelijk loodrecht zijn gericht ten opzichte van de stralen van den bol, getrokken naar de


punten («, v), (w -(- du, v-^-t^du) en (u, i>), (« + du, 0p het oppervlak, zijn ze ook loodrecht gericht ton opzichte van die elementen op den bol en vormen dus ook mot elkaar een rechten hoek.
Uit de vergelijkingen ((>) volgt verder:
e + + (8)
Noemen we de abscis, die behoort bij het grenapunt (<t): rt en die, behoorende bij het grenspunt (t2):r2, dan is ton gevolge van (3):
e + if+nt^gts _ r*~~ L-\-2Mtt-\- Nts ~
\e + 2 (/ + f") tïl +Ji U (/ + f') -f- gij
maar daar, ten gevolge van (8):
e + i (/"+/') 'ï — — 'a la (/ + D + fl*il en ten gevolge van (7):
L + Mtt=-ta {M+NtJ kunnen we schrijven:
0 ~t~ j (ƒ ~t~ f ') h __ a (/ -f~ f ) \
L+Mtt M + Ntt
_ e + •§ (/ 4" /") ^2 2 (ƒ ~t~ / ) 2 i
2 — L-\- Mti M -\-Nt2 ' ' ' 7
Elimineert men hieruit l, dan vindt men, ter bepaling van de abscissen der grenspunten, de volgende vierkantsvergelijking:
A*r*+r[eN—M(f+f')+gL]+ *-(^-)' =0...(10)
"Wanneer wc den afstand der grenspunten noemen 2d en do abscis van het punt op den straal, dat midden tusschen de grenspunten gelegen is en middelpunt van den straal wordt genoemd >n, dan worden deze gevonden uit de vergelijkingen :


, r„—v, r, +r2 .
d = -g-^-— cnm= ^ .... (11)
waarbij we r2 > r, veronderstellen.
De vergelijkingen (5) en (10) hebben steeds reëele wortels. (Ondersteld wordt, dat men niet reëele stralenstelsels te doen heeft.) Allereerst volgt dat uit de uitdrukking (3), die, wijl voor goenc enkele reëele waarde van t de noemer nul wordt, steeds eindig is en eenc bepaalde maximum en minimum waarde moet hebben. Doch hot volgt ook uit do discriminant van (5) of (10), die men schrijven kan in don vorm:
m./.jvi' (W'j U±D_i\ L " il Ni (L 2 Af Si 2 SI M
d. i. wanneer men:
ƒ + — Q stelt:
2 M L~ 2 M N ~
LN{LN(P- O)2 + 4 M'PQ)
Wijl nu L N > M2 is, zal deze discriminant grooter dan \[* (P Q)2, d. i. zeker positief zijn. Alleen dan is zij nul, wanneer zoowel P als Q = 0 is, d. i.
De beide grenspunten op een willekeurig en straal van ren stralenstelsel gelegen, zullen alleen dan samenvallen, wanneer voldaan is aan de voorwaarden
^ (ƒ~t~ f') _ 9 fio\
L~ 2 M ~~ N - 1
Men verkrijgt de beide grensoppervlakken van bet stelsel, d.w.z. de meetkundige plaatsen der op do stralen van het stelsel gelegen grenspunten, door in (1) voor X achtereenvolgens rx en r2 uit (10) te substitueeren. Ook die grensoppervlakken zullen dus steeds reëel zijn.
Eindelijk verkrijgt men het zoogenaamde middenoppervlak van het stralenstelsel, d. i. de meetkundige plaats van het


punt, «lat op eiken straal midden tussehen de grenspunten 'ligt, het zoogenaamde middelpunt, door in de vergelijkingen
V —I— V
(1) voor l te substitueeren m = 1 ^—-•
Uit dc definitie volgt onmiddellijk, dat liet middenoppervlak zal samenvallen met het beginoppervlak, wanneer:
Lg~(f+ f') M + Ne = o (13).
Middenomhullende van een stralenstelsel noemt men het oppervlak, dat omhuld wordt door do vlakken, in de middelpunten van de stralen, loodrecht op die stralen aangebracht.
Wijzen we de loopende coördinaten van een punt in het vlak, hetwelk in het middelpunt loodrecht op den straal (u, v) staat, door </>,, cp2 en <p3 aan, dan voldoen deze aan de vergelijking:
(y, — x) X -f- (ip2 — </) F -f- (<pa — z) Z = m .... (14).
waarin m de abscis van het middelpunt voorstelt en x, g en z de coördinaten van het punt van het beginoppervlak , waar dit door straal (u, v) gesneden wordt. Het door dit vlak omhulde oppervlak zal dus de ïniddcnomlnillende zijn.
Tenslotte noemt men wel middenregelvlakken van het stralenstelsel, die regeloppervlakken, welker strictielijnon op het middenoppervlak liggen. Wijl dan in (3), tengevolge van (10),
r >'i ~l~ r2 Lg — (f f') M -\- Ne
2 2A8
moet zijn, is de differentiaalvergelijking dezer oppervlakken :
e 4. (ƒ + f') 14- u i2 Lg - (/•+ /") M-\rNe_ ' 2 t + 'J ... (15).
2A2 L -f 2 M t + N t2
Uit het voorgaande volgt dus, dat in 't algemeen door eiken straal van bet stelsel twee hoofdregelvlakken en twee middenregelvlakken gaan.


Onder don parameter van een straal op het regelvlak (p{U, v) = 0 van liet stralenstelsel, door de Franschen para-
mètre de distribution genoemd, verstaat men Lim. , waarin
aa
A p den kortsten afstand van dien straal tot een opvolgenden straal van het stelsel, op hetzelfde regelvlak gelegen, voorstelt, terwijl A a de hoek is, dien beide stralen met elkaar maken. Uit de vergelijkingen (2) n. 1. :
r X -f- Ht dp = dx -t- r' (X-j- dX) rY+62dp = dy + r'{Y + dY) r Z -j- dp = dz-\- r' {Z -|- dZ)
volgt, als men deze vergelijkingen achtereenvolgens met , ft2 en ft3 vermenigvuldigt en dan optelt:
dp — 2 0, dx.
Verder is
da = l/ (dX* -f dY* + dZJ) = da = = (L da2 -f- 2 M du dv-\- N dv2),
zoodat de parameter P voor een straal (u, v), gelegen op liet oppervlak rp («, v) = 0, zal zijn:
p_2Q1 dx da -
Wijl:
X -}- b2 1 -{- h3 Z = 0 en dX-\- dYdZ= 0 is,
moet:
Hi _ _ «3 YdZ—ZdY~ ZdX— XdZ ~~ XdY—YdX
Elk dezer breuken is gelijk aan
1 _ 1
^(dx* + dY* +dz2) ~~ '


zoodat:
YiZ-ZiY „ ZdX-XdZ XdY-YdX da 1 d°
Nu is echter:
dZ ylX— L/jtf — — L
} M du A V du *v /
dZ y * Y L / N-- Af
iüT- ?w ~~ A \ ?M
en hieruit:
r^_2dy = -^j(]W^-L^)<l« +
waarbij A de positieve wortel is.
Tot deze vergelijkingen kan men op de volgende manier
geraken. Men heeft:
^s=0cD2Ir°'
waaruit volgt:
x Y JL .«4-
ÏTJZ—dZdY - dZ dX_dX<*Z_ vcyY_yY*A dU ?V du dV du dv du dv du cv du < V
Verder kan men steeds stellen:
'S = U+'S+C5 *£ = **+»£+c£
*g- rg = A*+B%+c%
waarin A, B en C nog onbekend zijn.


Vermenigvuldigt men deze vergeljjkingen achtereenvol-
gens met: le X, Y, Z; 2« —, —, —; 3e —, —, —
en telt op, dan verkrijgt men:
A=<) BL+CM= 0 £itf+CiV=l,
1/ L . .
waaruit B — — -V- ; C = Uit geeft dan:
?U ? w A \ dv /
In verband hiermede, wordt dan:
2 dx — — (Afe — L/") cüi2 + JNc — Lij -f
_j_ (/• — ƒ') M \ du dv -f- (f N —gM) dv2 •
De parameter van den beschouwden straal, liggende op het oppervlak <p (w, t') = 0, wordt dan:
1 \(eM-f'L)+ \Ne-Lg + (f-f')M\ t +(f N-gAl) t>] 1 ~ ~ "a L-f- 2 Mt + Nt2
waarin t moet voldoen aan de vergelijking
*!L _l t ^ = 0.
du ' du
Wijl men deze uitdrukking ook aldus kan schrijven:
i f \eM ~ (nr)LI+ (eN ~9L)t+\ (ƒ4"-)N ~gM\12
P== ~"a L -f 2 Mt -f Nt2 '
- ~yP ■ ■ ■(16)
blijkt hieruit, dat dc parameter van een straal, wanneer deze gerekend wordt te behooren tot een der hoofdregelvlakken, bepaald door de vergelijking (5), zal zijn:


P,= <£=p . . . ■ (lï)
waarin P, hoofdparoMeter wordt genoemd.
Onder do regel vlakken, gevormd door stralen van een stelsel, komen twee stelsels ontwikkelbare oppervlakken voor. Ten einde deze te bepalen kan men zeggen, dat, als de straal:
I = x -)- A X y = >i~\- A Y £= zA Z .... (I) een ontwikkclbaar oppervlak doorloopt, op eiken straal een punt moet kunnen gevonden worden, in 't welk die straal de keerlijn van liet ontwikkclbaar oppervlak aanraakt. \ oor eene verplaatsing langs die keerlijn moet dus:
d>i d£ .. n
i = Y=-z "■''"•of:
dx + AdX+XdA dy + Ad F+ YdA _ dz + A d Z+ ZdA I ~ Y Z
Door van ieder dier verhoudingen dA af te trekken, gaan ze over in:
dx + AdX _ dij+AdY_ dz + Ad Z X ~ Y Z
*X
Door teller en noemer van de eerste breuk met , van
de tweede met — en van de derde met — en vervolgens du ™
inotf--' — en— te vermenigvuldigen en gebruik te maken
dv dv
^ v ^ y
van de betrekkingen 2 X — = 0 en 2 X r- = 0, volgen ° du dv
hieruit de volgende twee formules:
(e A L) du -j- (A-!- A Al) dv = 0 ) (18) (/" + A M) du -f (gf + A N) dv = 0 )' ' ' '


Elimineert men hieruit allereerste, dan verkrijgt men voor de differentiaal vergelijking der ontwikkelbare oppervlakken van het stelsel:
(eM-fL) + \eN-gL-\-(f-f')M\ t + tfN-g M)t*=0... (19)
waarvan we do wortels zullen noemen i, en r2.
Hieruit volgt, dat er door eiken straal twee ontwikkelbare oppervlakken, gevormd door stralen van het stelsel, gaan.
Ueze vergelijking had men ook kunnen vinden door op te merken, dat voor de ontwikkelbare oppervlakken, door een straal gaande, de parameter P nul moet zijn. Uit (1 (i)
volgt dan onmiddellijk de vergelijking (19).
Elimineert men daarentegen uit beide vergelijkingen (18) du en dv, dan verkrijgt men ter bepaling van de abscissen der beide punten, in welke een straal van liet stelsel de keerlijnen van de beide ontwikkelbare oppervlakken aanraakt, welke punten de focaal of brandpunten, op dien straal gelegen, genoemd worden, de vierkantsvergelijking (hierin is. A door q vervangen):
(e + qL) (gr + qM) - (/'+ qM) (f + qM) = 0
of:
C2 A* + ? [eN - (ƒ+f') M + gL] + (eg- ff') = 0.... (20)
Noemt men do wortels dezer vergelijking q l en q2 , dan zullen de beide focaal oppervlakken of de beide bladen van liet focaaloppervlak, d. w. z. de meetkundige plaatsen der brandpunten, op do stralen van het stelsel gelegen, (ook de meetkundige plaatsen dor keerlijnen van de ontwikkelbare oppervlakken, gevormd door stralen van hot stolsel) verkregen worden, door in de vergelijkingen (1) voor Aachtereenvolgens en q2 te substitueeren. Elke straal raakt dus de beide focaaloppervlakken aan.


De vlakken, langs straal (u, v) rakende aan de beide ontwikkelbare oppervlakken door dien straal, heeten brandof focaalvlakken.
Men kan ook nog een andere definitie geven van een brandpunt op een straal. Wanneer we ons in een punt van straal (u, v) de raakvlakken denken aan de verschillende regelvlakken van het stralenstelsel, die gaan door straal (it, t')> dan kan men de vraag stellen, hoe moet dat punt gelegen zijn, opdat al die raakvlakken samenvallen. Stellen we daartoe de vergelijking op van het raakvlak in ecu punt van straal («, v) aan een regelvlak door straal (w, v) met vergelijking q> (u, v) = 0. Do coördinaten van punten op dit regelvlak zullen gegeven zijn door de vergelijkingen:
! = *-{- kX n = y + AY f = * + AZ
en 9 (M> = °*
Hieruit volgt, voor eene verplaatsing (df, cUh dC) op. dit regelvlak:
waarin t voldoet aan de vergelijking.
^1^=0 ?u ^
Door de vergelijkingen (21) respectievelijk te vermenigvuldigen met ^ eu ^ en vervolgens op te tellen,
krijgt men:
2 — d| = du [(e + AL) + t (/ + AM)J.
i>U
(21)








o Qs Pi
6 _ 2 
en verder:
Q2 = m-\-6 Qt=m — <5 en dus, daar d = \ (r2 — rt):
d* - 6» = = P,2 (24).
Hieruit volgt, dat de grenspunten steeds verder van het middelpunt verwijderd zijn dan de brandpunten en tevens, dat ó slechts reëel is, wanneer:
d>|PJ
Terwijl dus de op een straal gelegen grenspunten steeds reëel zullen zijn, is dit met de beide brandpunten (en dus ook met de beide focaaloppervlakken) niet altijd het geval.
Uit de tweede definitie, die gegeven is voor de brandpunten , kan men nog eenc betrekking afleiden, die bestaat tussehen den parameter P van een straal, de abacisBendeibrandpunten, den hoek tussehen de brandvlakken <p {tl t2) en de grootheid r bepaald door vergelijking (3).
Is P de parameter van een straal (u, v) van het stelsel, wanneer deze beschouwd wordt als lijn van een regelopperviak, gevormd door stralen van het stelsel, dan zal de hoek </>, ien het raakvlak in een willekeurig punt M van den straal maakt met het raakvlak in het centraalpunt op dien straal, bepaald worden door:
l
tg V = p
waarin l den afstand voorstelt van het punt M tot het centraalpunt.
Is dus r de abscis van dit centraalpunt en zijn en q2 de abscissen der brandpunten op den straal, waarbij r dooide vergelijking (8) bepaald wordt, terwijl Pl en o., de wortels
2


zijn der vergelijking (20), clan is de tangens van den hoek cpl tussehen de raakvlakken aan 't beschouwde regelvlak in het brandpunt en het centraalpunt:
tg<P t =
Evenzoo is de tangens van den hoek <p2 der raakvlakken aan liet beschouwde regelvlak in het brandpunt q., en liet centraalpunt:
tOV 2 = —
Voor den hoek q> (il i2), gevormd door de raakvlakken aan dit regelvlak in de beide brandpunten van den straal (u, v), cn volgens de tweede definitie van brandpunt zijn dit de beide focaalvlakken door dien straal, heeft men derhalve:
ff (t, i2) — fPi <p2
dus:
taw U r)= tgg>1 ~ tg^~ --
1 " 1 -f tgvi tgv* p2 + (pi — r) —>■)'
Hierbij is ondersteld, dat het centraalpunt en de beide brandpunten aan den zelfden kant van het beginpunt op den straal zijn gelegen en dat q1 > q2 > r is. Maakt men daaromtrent eene andere onderstelling, dan verkrijgt men hetzelfde resultaat, waarbij alleen het teeken eene wijziging
kan ondergaan. Algemeen schrijven wij daarom:
'»»(■■'»> = ±■■■■ <25)
Nemen we in deze formule voor P do waarde van den hoofdparameter P1, en voor r de abscis van een grenspunt
rt, dan vinden we:
'•»»<*• ••»=ppfcfj ■ • • ■ <2(i>


daarbij gebruik makende van de betrekkingen (23) en (24).
Wanneer de stralen van een stelsel allen loodrecht staan op een zelfde oppervlak, noemen we het stelsel een normaal stralenstelsel. Dit zal het geval zijn, wanneer we voor de abscis in (1) een functie van u en v kunnen vinden, zoodanig, dat het punt g, rj en £ een oppervlak doorloopt, waarvoor de door dat punt gaande straal van het stelsel de normaal is. Dan moet dus
nul zijn voor allo waarden van t. Deze voorwaarde kan gesplitst worden in de beide:
2X — == 0 en 2X = 0. du dv
^+*",)=°""XV('I+4+*w)="
maar daar:
2X — = 0; 2X ~ = 0 en 2Xl = 1, du dv
worden de twee voorwaarde vergelijkingen:
iU v v ? r _ _ v V —
du " tu du
Zal er dus een functie k bestaan, dan moet aan do intograbiliteitsvoorwaarde voldaan zijn, hetgeen oplevert, na in
d*X
beide leden 2X —7- weggeschrapt te hebben:
cll cV
dX dx ^ dx
dl) dll tU dl'
of in de gebruikte notatie:
f—f'


Is nu voor een zeker stralenstelsel f= f', dan kunnen we dus A door integratie vinden uit:
k - -fSXdx.
Bij de integratie zal dan een willekeurige constante optreden en dus vinden we niet één oppervlak, maar o^1 parallel oppervlakken, die allen normaal zijn tot het stralenstelsel en uit één er van kunnen worden afgeleid door op de normalen van af het oppervlak een constant stuk af te zetten.
Wanneer f — f' worden de bekende termen in de vergelijkingen (10) en (20) identiek, waaruit de volgende eigenschap blijkt:
Bij een normaal stralenstelsel vallen de grensoppervlakken samen met de focaaloppervlakken.
Daar nu vroeger bewezen is, dat de grensoppervlakken steeds reëel zijn, kunnen, wanneer bij een stralenstelsel de focaaloppervlakken imaginair zijn, de grens- en focaaloppervlakken niet samenvallen en is dus niet voldaan aan de voorwaarde f = ƒ ', m. a. w. kan dit stralenstelsel geen normaal stralenstelsel zijn.
Hebben we nu te doen met een normaal stralenstelsel en is dus f = ƒ", dan vallen de brandvlakken door iederen straal samen met de hoofdvlakken en dus staan dan de brandvlakken loodrecht op elkaar. Men kan meetkundig gemakkelijk aantoonen, dat in dit geval de keerlijnen van de twee stelsels ontwikkelbare oppervlakken op de focaaloppervlakken geodetische lijnen zijn. Beschouwen we n. 1. de beide brandvlakken van een straal, dan raakt het eene het foeaaloppervlak in een punt van die keerlijn en het andere is het osculatievlak van die keerlijn; daar nu de focaalvlakken loodrecht op elkaar staan is dit ook het geval met het osculatievlak van de keerlijn en raakvlak; dus is de keerlijn een geodetische lijn. Het omgekeerde is


ook waar. Trekt men n. 1. do raaklijnen aan een stelsel geodetische lijnen van een oppervlak, dan vormen deze raaklijnen een stralcnstelsel, waarbij de brandvlakken loodrecht op elkaar staan en dit kan slechts, wanneer ze samenvallen met de hoofdvlakken en daar dan/'=/'/ moet zijn, is het omgekeerde bewezen.
Wanneer we bij een normaal stralcnstelsel een der parallelle normaaloppervlakken als beginoppervlak kiezen en formule (25) toepassen, dan hebben we hierin tg rp tï) — <v te nemen, dan moet de noemer nul worden of: P* = (Ql — r) (r — q2) . . . . (27)
Bewegen we ons nu langs eene asymptotische lijn op het beginoppervlak, dan zijn de stralen van het stelsel door die lijn do binormalen van die lijn, omdat het osculatievlak van eene asymptotische lijn samenvalt met het raakvlak aan het oppervlak. Hieruit volgt, dat de torsiestraal van de asymptotische lijn gelijk is aan de waarde van P behoorendc bij do waarde r — 0. Deze is \y — ^ ^.Dus:
Be torsiestraal in een punt eener asymptotische lijn op een oppervlak is in absolute waarde gelijk aan l''(— (>, £>2), waarin en q, de hoofdkromtestralen van het oppervlak in het beschouwde punt zijn, welke eigenschap het eerst is aangetoond door Enneper.
Als voorbeeld van een normaal stralcnstelsel noemen we het stelsel gevormd door de gemeenschappelijke raaklijnen aan twee homofocale oppervlakken van den tweeden graad.
Dat dit stelsel een normaal stralcnstelsel is, kan op de volgende manier bewezen worden.
Heeft men b. v. de beide confocalc oppervlakken van den tweeden graad:
a2 — A b- — A c2 — A


*2 | //3 [ — 1
a2 — Xl 62 — At c2 — At
dan zal ccnc lijn, die een punt Mt (xt yt zt) van liet eerste oppervlak met een punt M2(x2 y2 z2) van het tweede verbindt, een straal zijn van het stralcnstelsel, door de gemeenschappelijke raaklijnen der beide oppervlakken gevormd, wanneer dc raakvlakken dier oppervlakken in Mx en \L elkaar volgens de lijn 1,1, snijden, en tevens zullen die raakvlakken de beide, door den straal gaande, focaalvlakken zijn. De vergelijkingen dier raakvlakken zijn nu:
X' t , Yy t , Zzx _ l a* — A b2 — A c2 — A Xx„ Vy2 , Zz2 __ j
a2 — Ax b2 — At~r c2 — A,
Zullen deze elkaar volgens itf, il/2 snijden en dus M 2 in het eerste, Mt in het tweede raakvlak zjjn gelegen, dan moet voldaan zijn aan dc betrekkingen:
, Vi Hz i zi "a _ ] en _xtx'2 . _i_ Ui Vz i z» z* — 1 a^-1,+ ¥=A c2"— A a2 — Ax b2 — At c2
en dus ook aan de betrekking, die men verkrijgt, door deze beide van elkaar af te trekken, d. i. aan:
Xx it'j j tl 1 tl 2 I ~ 2 _ Q
(a2 --A)(a2-A1) ^ (b*-A)(b2— lt) ^ (c2-A) (c«-i.) "
Doch deze vergelijking drukt juist uit, dat de raakvlakken der beide confocalc oppervlakken in Jli, en il/„ loodrecht op elkaar staan, of, dat de beide focaalvlakken,
door den willekeurigen straal Mt M2 van het stelsel, loodrecht op elkaar staan. Dit stelsel is derhalve een normaal stralcnstelsel. Het stelsel der gemeenschappelijke raaklijnen van twee confocalc, kwadratische oppervlakken is een


algebraïsch stralonstelsel van den vierden graad, d. w. z. door een willekeurig punt van de ruimte gaan vier stralen van het stelsel, welke zijn de gemeenschappelijke beschrijvende lijnen van de twee kegels met het punt als top beschreven om de beide confocale kwadratische oppervlakken. Snijdt men deze twee kegels door een willekeurig vlak, dan bestaat de snijkromme uit twee reëele of imaginaire krommen van don tweeden graad. Deze snijden elkaai in vier punten, reëel of imaginair, en deze geven verbonden met den top der kegels de vier reëele of imaginaire stralen. Het stelsel is van de vierde klasse, d. w. z. in een willekeurig vlak liggen vier stralen van het stelsel. Het vlak snijdt n. 1. de beide confocale kwadratische oppervlakken volgens twee reëele of imaginaire krommen van den tweeden graad; deze hebben vier gemeenschappelijke reëele of imaginaire raaklijnen en deze zijn de vier stralen van liet stelsel in het vlak.
Onder een isotroop stralonstelsel verstaat men een stelsel, waarbij de beide grensoppervlakken samenvallen. Opdat dit gebcure, moet rl = r2 zijn en dus voldaan zijn aan de vergelijkingen (12). Hier moet dus overal r = m zijn, m. a. w.:
Bij een isotroop stralenstelsel is het middenoppervlak de meetkundige plaats der strictielijnen van alle regelvlakken van het stelsel.
Kiezen we liet middenoppervlak als beginoppervlak, dan moet voor eiken straal r = 0 zijn, onafhankelijk van /, waaruit volgens (3) de voorwaarden vooi'tvloeicn.
e = {f+f') = g = o
dus:
2 dx dX = o .... (28)
m. a. w.:
Beeldt men het stralenstelsel af op een bol, dan zullen overeenkomstige lijnelementen van liet middenoppervlak en van den hol loodrecht op elkander, staan.


Heeft men omgekeerd een oppervlak 0, waarvan de punten zoodanig met die van oen bol overeenstemmen, dat overeenkomstige lijnelementen loodrecht op elkaar staan, dan zal dit oppervlak liet middenoppervlak van een isotroop stralenstelsel zijn.
De stralen van dit stelsel verkrijgt men, wanneer men door elk punt M van O eene rechte brengt, evenwijdig aan dien straal van den bol, die gaat door dat punt M1 van dien bol, dat met het punt M van O overeenstemt.
l)e vraag alle isotrope stralenstelsels te bepalen, komt dus neer op deze andere: alle oppervlakken te bepalen, waarvan de punten zoodanig met die van een bol overeenstemmen, dat overeenkomstige lijnelementen van beide oppervlakken loodrecht op elkaar staan.
Een eenvoudig voorbeeld van een isotroop stralenstelsel verkrijgt men als volgt. Projecteert men alle punten van oen bol op een willekeurig vlak, dat als vlak X O Y worde aangenomen, dan zal de projectie van liet punt M (x, y, :) van den bol het punt (x, y, o) in X O F zijn. Draait men nu dit vlak een hoek van 90° om O, dan komt het punt M, in M2 (—y,x,o). De punten M (x,y,z) van den bol komen dan zoodanig met de punten M„ (— y, x, o) overeen, dat overeenkomstige lijnelementen loodrecht op elkaar staan; immers dx (— dy) -(- dy dx = o. Dit vlak kan derhalve als middenoppervlak eener isotrope congruentie worden beschouwd; de stralen dier congruentie verkrijgt men als door elk punt JW, van het vlak eene lijn gebracht wordt evenwijdig aan dien straal van den bol, die door het overeenkomstige puut M gaat.
Door weer het middenoppervlak als beginoppervlak te kiezen, wordt (25):


cn volgens (20):
= (30)'
Uit (30) volgt allereerst, dat bij zulk een stralenstelsel de brandpunten op een straal en dus ook de brandoppervlakken imaginair zijn en verder volgt uit (29), dat de parameter P onafhankelijk is van t, hetgeen ook volgt uit (1) door daarin e — (f-\-f') = g = o te stellen; men verf'
krijgt dan P = ~ en dit is onafhankelijk van t. Is omge-
keerd P onafhankelijk van t, dan moet volgens (25) r daarvan onafhankelijk zijn en dus r, = rs zijn.
Uit (29) en (30) leidt men af:
P(Q2 ~ Pi) _ _ ;
d. i.:
(P i ^,) (P — i q2) = o
en daaruit:
Q2=+iP)
Ql = -iPy--w-
Men heeft dus deze eigenschappen van een isotroop stralen stelsel:
1°. De brandpunten op een straal en dus ook de brandoppervlakken zijn imaginair.
2°. De parameter P van een straal is onafhankelijk van het bijzondere regeloppervlak, gevormd door stralen van het stelsel, waarop die straal beschouwd wordt te liggen.
En omgekeerd:
Is bij een stralenstelsel de parameter P onafhankelijk van het bijzondere regeloppervlak, dan is het stralenstelsel een isotroop stelsel


;i«. De afstanden der brandpunten op een straal tot het middelpunt zijn gelijl,- aan den parameter van den straal, vermenigvuldigd met 1/ — ].
Dc differentiaal vergelijking (19), die in 't algemeen de ontwikkelbare oppervlakken van liet stralenstelsel bepaalt, gaat voor een isotroop stralenstelsel, wanneer het middenoppervlak tot beginoppervlak wordt aangenomen, over in:
L + 2 Ml + NI2 = 0
jp t
L du2 + 2 Mdu dv + Ndv2 = 0.
Dit zegt niets anders, dan dat bij de spherische afbeelding van bet isotrope stralenstelsel, dc ontwikkelbare oppervlakken zich zullen afbeelden als spberiscbe krommen, voor welke bet lijnelement nul is, derhalve:
De ontwikkelbare oppervlakken van een isotroop stralenstelsel worden op den bol afgebeeld als de minimaal krommen van dien bol, welke niets anders zijn dan de daarop liggende imaginaire rechte lijnen.
De door een straal («, v) van bet isotrope stelsel gaande focaalvlakken, welke, zooals boven bleek, imaginair zullen zijn, worden bepaald door dien straal en de beide richtin-
dv ii.
gen, aangegeven door die waarden van t — v<' <l<l"
dc betrekking Ldu°- + 2 Mdu dv + Ndv2 = 0 voldoen.
Dc vergelijking van zulk een focaalvlak zal dus zijn, x, ll en z de coördinaten zijnde van 't punt, in t welk die straal bet middenoppervlak snijdt:
(X, — x) (Ydz — Zdij) + (Yt — y) (Zdx — Adr) +• + (Z, - z) (Xdy - Yd.r) = 0
waarin Xt, Yt en X, loopende coördinaten voorstellen. Nu is echter:
dx dX -\-dydY + dz dZ — 0 X dX + YdY+ ZdZ = 0


waaruit volgt:
dX dY dZ
Ydz — Ëdy ~ Zdx — Xdz Xdij — Ydx
zoodat men voor do vergelijkingen der beide focaalvlakken, door den beschouwden straal gaande, verkrijgt:
(Xt—sc)dX + (Yt-y)dY+(Zt—z) dZ = O
waarin men aan achtereenvolgens elk der waarden moet du
geven uit L du2 + 2 M du dv + N dv2 — 0. Doch dit laatste is niets anders dan dXi 4" d 12 -(- dZ2 = 0 en wijl een vlak AX+BY+CZ + D = 0 raakt aan den imaginairen cirkel in 't oneindige, wanneer A2 -\- D'1 -f- C2 = 0 is, heeft men:
De beide focaalvlakken, gaande door een straal van een isotroop stralenstelsel zijn die beide vlakken door dien straal, welke den imaginairen cirkel in 't oneindige aanraken.
En hieruit:
De beide focaaloppervlakken van een isotroop stralenstelsel zijn imaginaire ontwikkelbare oppervlakken om den imaginairen cirkel in rt oneindige beschreven.
Men kan het voorgaande ook nog op andere wijze bcredenecren. Snijden we een beschrijvende lijn van een regelvlak door evenwijdige vlakken, dan zullen deze dc raakvlakken, in de verschillende punten van de beschrijvende lijn aan het regelvlak aangebracht, snijden volgens ljjncn, die allen liggen op een hyperbolische paraboloïde, die dus in ieder punt van de beschrijvende lijn hetzelfde raakvlak heeft als het regelvlak. Men noemt dit een raccordeerende hyperbolische paraboloïde.
Nemen wc nu een willekeurigeu straal van liet isotrope stralenstelsel tot Z as en het vlak door dezen straal en de gemeenschappelijke loodlijn van dien straal en een opvolgenden straal, centraalvlak genaamd, tot AZ vlak aan,


nomen we verder den oorsprong in liet middelpunt van den straal, dan kunnen we door de Z as en den opvolgenden straal van het stelsel een hyperbolische paraboloïde brengen, raccordeerende aan een regelvlak van het stelsel, waarvan die twee stralen deel uitmaken, zoodanig, dat het XZ vlak richtvlak is voor deze paraboloïde, dan moet de vergelijking er van zijn:
waarin P de parameter is, behoorende bij den beschouwden straal van het stelsel. I)e raakvlakken aan die paraboloïde in de brandpunten van den straal UZ, welke brandpunten
volgens het voorgaande tot coördinaten hebben 0, 0, Hr %P
Ö °
zijn de vlakken:
Y—±iX.
Zjj raken dus den imaginairen cirkel in 't oneindige en, daar de raakvlakken dezer paraboloïde, volgens de tweede bepaling van een brandpunt, moeten samenvallen met de beide focaalvlakken door dien straal, geldt hetzelfde voor deze vlakken.
Omgekeerd zal elk stralenstelsel, waarvoor de beide focaaloppervlakken ontwikkelbare oppervlakken zijn, omschreven om den imaginairen cirkel in 't oneindige een isotroop stralenstelsel zijn. Beschouwt men toch weder dezelfde raccordeerende paraboloïde, dan moeten, wijl de focaalvlakken door den straal OZ die paraboloïde en den imaginairen cirkel aanraken en do vergelijkingen dezer vlakken zijn: Y— + iX, de afstanden der brandpunten tot het middelpunt O zijn q2 — iP, e, = l^'
Uit:
, . _ P(Qz — Qi) * 
tg <p t2) — p2 + ^ w & — 62'
waarin 6 de halve afstand der brandpunten, d die der


grenspunten is, volgt dadelijk: d = 0, d.i. do grenspunten, op een willekeurigen straal van het stelsel, vallen samen of dit is een isotroop stralenstelsel.
Uit liet voorgaande laat zich een eenvoudig middel afleiden, analytisch elk isotroop stralenstelsel te bepalen. Zjj Ax -f Bij Cz-\- D — 0, waarin A, B, C en D functies van een parameter zijn, terwijl A'~ -f- B2 -|- C2 = 0 is, de vergelijking van een veranderlijk vlak, dan zal, wanneer men aan dien parameter alle mogelijke waarden geeft, dit vlak een ontwikkelbaar oppervlak omhullen, dat om den imaginairen cirkel in 't oneindige beschreven is. W ijl uit A* -f B2 + C2 = 0 volgt:
(A + iB) (A - iB) -- - C4
zal, als men A + iB — — uC stelt, u een veranderlijke
(j
parameter zijnde, A — iB — — zijn en dus:
a = !=h!c 0 = ^-^0.
2u 2u
Stelt men nu = waarin rp (u) eene willekeurige
C lu
functie van u voorstelt, dan verkrijgt men de vergelijking van een vlak, dat een ontwikkelbaar oppervlak, als boven bedoeld, omhult, in den meest algemeenen vorm: (1 r+2uZ+9>(w) = 0. . . . (32)
en evenzoo zal:
(1 -v2)X — i( 1 +i'2) Y-\-2vZ+q>l (v) = 0. . . . (33) waarin <p1 (y) eene willekeurige functie van v is, een dergelijk oppervlak omhullen. Deze beide vergelijkingen bepalen dus, wanneer men daarin aan u en v alle mogelijke waarden geeft, de stralen van een isotroop stralenstelsel en omgekeerd. Reëele stralen van een stelsel verkrijgt men alleen, door aan u en v geconjugeerd complexe waarden


te geven en voor q> en fl geconjugeerd complexe functies te nemen.
Wil men de coördinaten der brandpunten, op een straal gelegen, vinden dan heeft men slechts te zoeken do punten, in welke de straal, bepaald door (32) en (33) de beide ontwikkelbare oppervlakken aanraakt. Daar nu het vlak (32) het door dit vlak omhulde oppervlak aanraakt volgens de rechte lijn:
(1 - M2) X + i (1 + li2) Y + 2uZ + <p (w) - ü
— 2 nX + 2iu Y + 27. + <p' (m) = 0
zal het snijpunt dezer lijn met het vlak (33) een der gezochte brandpunten zijn. Het snijpunt der lijn:
(1 —v*)X — i( 1 + t>2) F + 2vZ + <pl (v) = 0
- 2vX - 2iv Y + 2Z + <p\ (w) = 0
met het vlak (32) zal het andere brandpunt opleveren. Lost men dus uit deze beide drietallen van vergelijkingen achtereenvolgens X, y en z op, dan verkrijgt men de coördinaten der beide brandpunten. En daaruit weder leidt men onmiddellijk af de coördinaten van liet, op een straal gelegen, middelpunt, wijl dit punt midden tusscheu die brandpunten gelegen is. Aldus verkrijgt men voor de coördinaten van het middelpunt op den straal '):
u + v i ' ✓ _L ' (»i\ * ff (M) + ffi M — 4(1 + uv) ^ ^ ^ Vt ^ 2 (1 + uv)
(v — u) , ,, . . , / ■>, _ ■ 9>1 (v) — 9 (M) y —1 4 (1 4- uv) I * ( ) + 'p 1 ( * I 2 (1 + uv)
uv — l . , . . , , / ■> , _ u<p,{v) + v<p{u) z - 4 (1 + uv) 1 9 ( ) + V 1 { ) » 2 (1 + uv)
Ueze vergelijkingen, waarin x, y en z als functies van twee parameters u en v zijn uitgedrukt, bepalen het midden
l) Zie o. a. üarboux. Théorie générale des surfaces, IV, pas 17.





door ccn 1 jjn, dan is, volgens ocne bekende eigenschap i) de meetkundige plaats van het midden m van deze lijn een minimaal oppervlak. Het raakvlak in m aan dit minimaal oppervlak is evenwijdig aan de beide raaklijnen aan de keerlijnen in P en Q. Zij F, het osculatievlak in P van de eerste keerlijn en V2 het osculatievlak in Q van de tweede keerlijn, dan snijden F, en V, elkaar volgens een lijn, die de oppervlakken S, en S2 b!v. raakt ui a en Nu staat de raaklijn aan de ccne keerljjn in P loodrecht op Vl en do raaklijn aan de andere keerljjn in Q loodrecht op F2, dus de ljjn staat loodrecht op die boido raaklijnen en dus ook loodrecht op het raakvlak in m aan het minimaal oppervlak. En daar het raakvlak in m op geljjke afstanden ligt van de vlakken door P en Q, evenwijdig aan de beide raaklijnen in P en Q aan de keerlijnen, zal dit raakvlak in m ook gaan door het punt, dat de lijn ««, halveert; m. a. w.:
De mtddenomhullendc van een isotroop stralenstelsel is een minimaal oppervlak.
In het volgende hoofdstuk zullen we nog spreken over
een ander soort stralenstelsels en wel over pseudospherische
stralenstelsels. Dit zijn stralenstelsels, waarbij de afstand
der brandpunten, zoowel als die der grenspunten, voor alle
stralen constant is. Uit formule (26) volgt, dat dan ook
do hoek tusschen de beide brandvlakken voor iederen straal constant is.
') Darboux. Théorie générale des surfaces. I. pag. 342.


hoofdstuk ii.
In het volgende willen wij de stralenstelsels onderzoeken, gevormd door de raaklijnen aan een stelsel krommen op een willekeurig oppervlak, dat dan als boginoppervlak zal worden beschouwd en door St zal worden aangeduid, terwijl we het andere brandoppervlak van hot stelsel zullen aanduiden door S,. Ten einde dit onderzoek te kunnen instellen, zullen we eerst afleiden, hoe de grootheden e, f, f', g, L, Af, N en A uit het eerste hoofdstuk uitgedrukt kunnen worden in den hoek «, dien de stralen van het stelsel in het raakpunt vormen met een der coördinaatkrommen, gaande door dat punt, en in de fundamenteele grootheden van de eerste en tweede orde van het boginoppervlak. Als coördinaatstelsel op het oppervlak kiezen wc een stelsel orthogonale krommen u = constant en v = constant, waarbij hot lijnelement don vorm aanneemt:
dSl2 = A2 du2 + C* dv2 on meten den hoek « ton opzichte van de krommen v = constant.
Noemen we de rechthoekige coördinaten van een punt van het boginoppervlak xt, ?/„ zt en de richtingseosinussen van een straal X, Y, Z, dan hebben we: v cosa dxt [ sin« ?.xx ^
X = ~~A C I
^ cosa tyi | sina tyt ^ f34).
1 = ~A ' C l 
cos ci iïz x | sin a iïzt j Z — ~A~ TïT t' V I
3


Verder kunnen we gebruik maken van debetrekkingen:
= A2 2 ^ = O ^ C* ... . (35)
\C>M / Ou Oy \ Ov / v '
en de betrekkingen hieruit door partiëele differentiatie ontstaan :
^L0^JL_ OA Ou Ou2 0;/
OA
Ou OuOy Oy 0#, O2 a?, OC
S .... (36) 2 y _ c —
Oy Ou Oy Ott
V __A^i
Oy Ou2 — Oy ^0*, 02.x, _ g0C Ou Oy2 Ou
Hieruit vinden we:
e O.r, OX _^,0x, cosa O2a?, sin« 0.rt 0«
~~ Ou Ou. du A Ou2 A Ou Ou
cosa O.r, OA . sina02a;1 , cosa Oa?, Oa A2 Ou Ou C OuOy C Oy Ou sina Oa?, OC C2 Oy Ou
In verband met do betrekkingen (35) en (30) wordt dit:
. . /Oa 1 0A\
e = — A sin a ( — — -TT
\ Ou G Oy/
en y.oo vinden we verder op dezelfde manier:
, v Oa?, OX „ /Oa 1 0A\
] — Z —— -— = L cos a t TT )
Oy Ou \0u C Oy /
4> _ V «^1 ^ I • /?« , 1 DC\
/ — ^ — — 4 sin a ( — \- —7- -— 1
Oit Oy \ Oi> 1 A Ou /
_y Oa?, OX ,, /Oa 1 0C\
ö ^ "T T— C COS « ( — 1- J- — ) .
Oy Oy \ Oy A Ou /


Ter berekening van L, M, N en A voeren we de
fundamenteele grootheden van de 2'tp orde D,, /),, in.
Deze zijn in determinantvorm:
0*.t, 02y, O2 Q'-r, 3»y, o2z, y.rl 3'yt 0% I
Ou2 Dtt8 O?/,2 0«0f OmOv OttOu ^l'2
n _ te» »»« 3«1 n _ ^ —ÏL *h- I
"1 — - Ou Ou Ou 3 Ou Ou Ou j
O.r, Oi/, Oz, Or, Oj/, _0zJ_ &rt_ _0£j_ I
Ou Of Oy Of Of Oy Oy Oy ,
Door onderlinge vermenigvuldiging der determinanten 7),, D„ en ƒ)., en door gebruik te maken van de formules (35) en (36), vindt men:
/o2.x,y _ d,2 , /oav, a* /My
\ OuV - A2C2 + \ Ou/ C'J \ 0t- /
^ \0u Of/ _ A2 C2 ^ \ Ov/ ^ \ Ou/
/02;r,\ _ Z)32__ , _c? /ocy , /ocy
\ Of2/ — A2 C2+A2\Ow/ -t"\0y/ I
02.r, 02.r, _ DtJ)2 , OA OA _ A OA OC f • • • • l O Ou2 Ou Oy A2 C2 'Ou Oy C Of Ou l 02r, 02;e, _ Dt /)3_C0CM_ 4_0C OA 1 Ou2 Of2 — A2C2 A Ou Ou C Of Oy v02.r, 02r, _ D21)., _COCOA 3CJC Oy2 ï>u Oy ~ A2 C2 A Ou Oy ' Oy Ou
Nu is:
1*0 /cos « O.r , . sin ct 0-X',\'2 L ~ ^ |_0u \ A~ Ou + C Of /
Voert men de aangegeven differentiatie uit en verheft men het verkregen resultaat tot de tweede macht, dan vindt men, lettende op de formules (35), (36) en (37), na eenige herleiding:
1 [D, cos « D2__sin_«l2 , /Oa _ 1 0A\a A2 C- L A ' ~~ c J \0M C Of/
I O2!/, O2c,


Zoo vinden we op dezelfde manier:
1 [D, cosa , D, sin a"| \D* cosa , Z)8sina"| ,
= [ A 1 c J [ a c J
(Sa _ l_ 0A\ (Sa , J_ SC'\ ' \0u C Su/\Sv A Su /
1 \D0 cos a , Da sin gl2 / Oa , 1 SC\2
— L a C J \ Oy A Om /
en hieruit:
^ = iN_M! = 3iL?[(^ + ^)(^ +
1 0C\ /ö» cosa , D3sina\/0a 1 OAYj2 + Tö«/ \ A ü /\om C oy) •
Ter vereenvoudiging stollen we nu:
Oa 1_ SA
Om C' Oy
0« 1_W
v Oy ^ A Ou
n I)l cos a , j)2 sin a f " A •" C
D, cos a , D3 sin a
U' - A 1 CT~
terwijl we, met het oog op liet vervolg, ook nog zullen stellen:
n , D j sin a 1)2 cos u
F' = A
, 7)2 sin a X>3 cos a
^ ~ A C


Nu kunnen we schrijven:
e — — AP sin a L =P ^Pl \
f — CP cos « M — P i Q i + PQ I
j ... (38)
f' = — AQ sina N= Q* 4* Q2 i
g = CQ cos a (PQt — Pt O)2 )
Hierbij merken we op, dat, wanneer A in alle punten van een oppervlak nul is, dit oppervlak moet zijn een ontwikkelbaar oppervlak beschreven om den imaginairen cirkel in het oneindige (Darboux. Théorie générale des surfaces, 1 »ère partie; pag. 148, note).
Gebruik makende van bovenstaande formules vinden wc,
dat de differentiaal vergelijking der ontwikkelbarc oppervlakken, gevormd door stralen van het stelsel, die in het algemeen is (Zie Hoofdstuk I, formule (19)):
(f JV — gM) i2 -f-1 eN — gL -f- (/'—/") M j t -f- (eM — f L) = 0
waarbij t— hier wordt:
JLQl j Q Qt cos a. i2-|-(Ciilcosa — A Oisin «)t — AP tsin a ^=0.
A2 C \
Daar we nu het geval uitsluiten, dat het beginoppervlak Sl een ontwikkelbaar oppervlak is, beschreven om den
(PQt — PiQi
cirkel in het oneindige, kunnen wc den factor 
achterwege laten en wordt de vergelijking:
C Q, cos a. i2-f-(,CPt cos a — A Qt sin a) t — AP, sina = 0
of:
(C't cos cc — A sin a) (C>, t + P,) = 0.


Hieraan wordt voldaan:
1°. door: Ct cos« — ylsin« = 0 . . . (39)
Noemen we de aangroeiingen van u en v bjj eene verplaatsing langs eene kromme, die een hoek « met de kromme v = constant maakt, du en du en het quotiënt
— — t,, dan hebben we:
du 1
2 —- l —- dll + —1 du) . Ml \(*u tv / A óu
|]Afl Ct — — —
^ (A*du2-\-C2dv2)
2 du + óu) r
i>y \du / C du
Mn « = c —=====- _ —=====.
Hieruit volgt:
c t ,
^-t, =t(ja.
Door bovenstaande vergelijking (39) worden dus de krommen op het beginoppervlak bepaald, die de parameterkrommen v = constant onder den veranderlijken hoek « snijden, welke krommen we de krommen (a) zullen noemen. De stralen van liet beschouwde stelsel zijn raaklijnen aan deze krommen, die derhalve de, op het beginoppervlak liggende, keerlijnen zullen zijn van ontwikkelbare oppervlakken door stralen van het stelsel gevormd.
2°. wordt aan de vergelijking voldaan door:
Qi t+Pt=0 (40)
Door deze vergelijking worden krommen op het beginoppervlak bepaald, zoodanig, dat, wanneer men door alle punten van zulk een kromme de daarbij beboerende stralen van het stelsel brengt, deze stralen ecu ontwikkelbaar oppervlak vormen, waarvan echter de keerlijn op het tweede brandoppervlak S2 ligt.


Do abscis van liet punt, in hetwelk een straal deze tweede keerlijn aanraakt, de abscis dus van het tweede brandpunt op dien straal, wordt gevonden met behulp van vergelijking (20) uit Hoofdstuk I. Daaruit volgt, wijl de abscis van het eene brandpunt nul is, voor die van het andere:
eN — (/"+/") M + (]L CPl cos a-\-AQt sin « 4]
e«- A® — (PQl — Pt Q) V '
De beide stelsels krommen Q, t-\- — 0 en Ct cos a —
A sin a =: 0, door de beide stelsels ontwikkelbare oppervlakken op het beginoppervlak bepaald, zullen op dat oppervlak geconjugeerde krommen zijn. Immers, opdat die beide stelsels geconjugeerd zijn, moet identiek aan do betrekking:
(«1 + 9 +J>1 = 0
voldaan zijn, waarbij tl en t behooren bij verplaatsingen langs beide stelsels krommen, en dit is werkelijk het geval,
, i Pi i A sin«
wanneer wc substitueeren: t. —— -pr- en t— .
1 (J, C cos«
Men heeft derhalve:
De beide stelsels ontwikkelbare oppervlakkan van het stralenstelsel bepalen op elk der brandoppervlakken twee stelsels van geconjugeerde krommen.
De beide stelsels ontwikkelbare oppervlakken van het stralenstelsel vallen samen, wanneer de stralen raken aan een stelsel krommen op het beginoppervlak, die samenvallen met de hun geconjugeerde krommen, m.a.w., wanneer ze raken aan een der stelsels asymptotische lijnen van het beginoppervlak. De abscissen der beide brandpunten op eiken straal zijn dan nul en dus worden de asymptotische lijnen van dat oppervlak bepaald door de vergelijking:
AQ1 sin a -j- CPt cosa = 0.


De krommen (a) zijn dus asymptotische lijnen van het beginoppervlak, wanneer a ecne zoodanige functie van u en V is, dat identiek aan deze vergelijking wordt voldaan.
Daar voor de krommen («): t = ^ , vindt men
dadelijk, door voor 1\ en Q, hunne waarden te substitueeren, dat die vergelijking kan worden geschreven in den vorm:
Dati-\-2Dtt-\-Dl=0
den gewonen vorm, waarin de vergelijking der asymptotische lijnen optreedt.
' Beschouwen we behalve het stelsel krommen («) nog een
stelsel krommen (a + jj, die n.1. een hoek « + y vormen
met de krommen v = constant en noemen we de waarde van t behoorende bij dit laatste stelsel 11, dan moet, daar
^ t = tga en § tt = tg («+ j), & betrekking beA A \ " '
staan:
?».=-'•
Nu bepalen de beide stelsels ontwikkel bare oppei vlakken alleen dan op het focaaloppervlak twee stelsels van orthogonale krommen, wanneer die krommen samenvallen met de kromtelijnen van dat oppervlak, wijl de beide stelsels kromtelijnen de eenige stelsels van krommen zijn, die èn orthogonaal èn geconjugeerd zijn.
Nu is, tengevolge van de genoemde betrekking.
C* 11 1
A' 1
de voorwaarde, aan welke de beide krommenstelsels. Ct cos « — A sin « = ü en Qlt-\- 1\ = 0


moeten voldoen, om orthogonale stelsels te zijn:
Cs A sin a v _ Pt _ 1 A2 C cos a 01
of:
AQ1 cos a — CPt sin a = 0.
Deze betrekking bepaalt derhalve de kromteljjnon op het oppervlak.
Door hierin weer voor Pl en Ql hunne waarden te
substitueeren en voor ^— te schrijven t, komt de ver-
C cos a
gelijking der kromtehjnen in den gebruikelijken vorm voor den dag, n.1.:
- C2 D2 f + (A2 Da - C* Dt) < + A* P2 = 0.
Uit onze formules kunnen we ook een antwoord afleiden op de volgende vraag.
Voor welke regeloppervlakken, gevormd door stralen van het stelsel, liggen de strictielijnen op liet beginoppervlak S, ?
dv . to\
Dan hebben we ter bepaling van t — , in (•>) van
Hoofdstuk I, welke vergelijking de abscis oplevert van het centraalpunt op een straal van het stelsel, wanneer deze beschouwd wordt als te behooren tot een regeloppervlak door stralen van het stelsel gevormd, die abscis gelijk nul te stellen.
Derhalve:
e + (/ +n t + gl* = 0.
Met behulp van de formules (38) wordt dit:
— ^1 sin «. P+ {Ccosa.P —/Isin«.()(<+6'cos«./2=(> of
| A sin a — C cos a . t ^ j P -f- Qt' —11).


Dit vervalt ton eerste in:
A sin a — Ccosa . t = 0 waardoor weder de krommen («) worden bepaald. De stralen van bet stelsel zijn raaklijnen aan deze krommen en liet raakpunt op zulk een straal, beschouwd als deel uitmakend van een ontwikkelbaar oppervlak, kan als het daarop liggende centraalpunt worden beschouwd.
Ten tweede in:
= 0.
Deze vergelijking bepaalt op het brandoppervlak St een stelsel krommen zoodanig, dat de stralen van het stelsel gaande door de punten van zulk eene kromme een rege oppervlak vormen, waarvoor de kromme stricticlijn ,s. De vergelijking P+Qt = 0 geeft, wanneer men voor P en Q hunne waarden invoert:
. i civ L da -4- ■ v— du = 0 • • • • (42)
Wijl deze vergelijking niet verandert, wanneer « vervangen wordt door « + constante, heeft men:
Die krommen op het brandoppervlak, die strictielijnen zijn voor regeloppervlakkcn, gevormd door stralen van het stelsel, blijven strictielijnen voor regeloppervlakken van het nieuwe stelsel, dat men verkrijgt, wanneer elke straal van het eerste stelsel, in het raakvlak door dien straal aan het brandoppervlak en om het raakpunt, een constanten hoek
gedraaid wordt.
Is a constant, beschouwt men derhalve het stralenstelsel, gevormd door alle raaklijnen van het focaalopporvlak die de parameterkrommen onder een constanten hoek «snijden, dan gaat de vergelijking (42) over in:
L^dv--^ du = 0 («)
,1 du C' dv


Nu vindt men, uit do bekende formule van Bonnet voor de geodetische kromming eener kromme op het opper-
1 1 i
vlak1), dat de geodetische krommingen - en — der para-
ru v
meterkrommen u - constant en v = constant, zijn:
1 1 ?C J_ _ 1_M
r ~~ ~~ AC ?n eD r AC
u v
Voert men dit in de vergelijking (43) in, dan veikrijgt men:
Cdu __ Adu _ 0
r v u v
Daaruit volgt, dat de krommen V— constant alleen dan strietielijncn zullen zijn voor krommen op het oppervlak,
wanneer — = 0, derhalve die krommen geodetische lijnen r
v
van het oppervlak zijn, of:
Zal eene kromme op een oppervlak strictielijn zijn vooi een regeloppervlak, gevormd door raaklijnen aan dat oppervlak, die deze kromme onder een constanten hoek snijden, dan moet die kromme eene geodetische lijn op het oppervlak zijn.
Omgekeerd:
Als eene geodetische lijn op een oppervlak strictielijn is van een regeloppervlak, gevormd door raaklijnen aan het oppervlak, dan moeten die raaklijnen de geodetische lijn onder een constanten hoek snijden.
') B i a n o h i, Vorlesungen über Ditt'erential Geometrie, pag. 14a.





« ook, dat dan do differentiaal vergelijking der strictielijn wordt 4- dv — 0.
•' A du
Daar we do oplossing v — constant buiten moeten sluiten,
dC
wordt de vergelijking der strictielijn — = 0 1).
De beide stelsels krommen op het oppervlak St, bepaald door do vergelijkingen:
A sin a — Ccosa ^ = 0 en P -\- Q -r- =0 du du
dus de op het oppervlak St gelegen strictieljjnen van regeloppervlakken van liet stelsel, vallen alleen dan samen, wanneer:
AQ sin a -|- CP cos a~ 0.
Wijl nu, volgens do reeds genoemde formule van Bonnet, de geodetische kromming — der krommen («) gegooi
ven wordt door:
— = (AQ sin « 4- CP cos «)
r AL
a
troeft deze betrekkin»' aan, dat — nul moet zijn, of, dat do
O ° y
CC
krommen («) geodetische krommen op het oppervlak St moeten zijn. Derhalve:
De beide stelsels regeloppervlakken, waarvoor de strictielijnen op het brandoppervlak liggen, vallen alleen dan samen, wanneer de stralen van het stelsel raaklijnen zijn aan een stelsel geodetische lijnen op dat brandoppervlak.
') Bianchi, p. 221.


1 l_i*A
rv AC <*v
1 _ _ 1 ?C ru ~~ A C hi
De rechthoekige coördinaten xv, xjv, zv, van het middelpunt van geodetische kromming der kromme v =■ constant in een punt (xt yt zt), worden gegeven door de formules:
i Tv *X1 % - + c
en de overeenkomstige coördinaten xw yw zu, voor de kromme u = constant, door de formules:
ru dxt *«=*.+AJÏ
enz.
De richtingscosinussen Ar, F, Z van de verbindingslijn dier middelpunten worden gegeven door:
rv ru ?xt
Y
uV + rv'
Noemen we de ahscis, die op een straal van af het middelpunt (xv, yv, zv) moet worden afgezet om een punt van het gevraagde normaaloppervlak te bereiken: p, dan heeft zulk een punt tot coördinaten:
rv ïxt .
x*+-ö~to+pX
enz.
Daar nu een straal van het stelsel loodrecht staat op het normaaloppervlak, moet men hebben, onafhankelijk van
de verhouding ^:


2 A dxx -f- d (^q -f- p dX 4- X dp = 0.
Nu is 2XdX=0 en SX* = 1, dus:
Voeren we nu voor X, Y,Z enz., de waarden uit (47) in, dan volgt na eenige herleiding:
„ du ( , , drv 1M„)
dp — — ■ = ] — Aru -f- rv — T, ~ ruri\ —
1 ru + rv2 ( u v <*u C du )
t (+. + r '
Wru2-fr02( V v <*v A du uvy
Op grond van de voor ru en rv boven aangegeven waarden is:
-» + C»'. = ».C+^r, = 0 en verkrijgt men dus:
rv d>ry dp = — .
^(V + V)
I)e voorwaarde, dat liet tweede lid eene volledige differentiaal /jj, kan geschreven worden in den vorm:
ru = f(rv).
Is omgekeerd aan deze voorwaarde voldaan, dan is het beschouwde stelsel een normaal stralenstelsel. Door integratie vindt men:


f rv drv
p = — I —- 4- constante.
J ^ [rv* + f (rv)] r
Door dc constante te laten varieëren, verkrijgt men dus alle parallel oppervlakken, die normaal zijn tot het stralenstelsel.
Do zooeven genoemde eigenschap kan aldus worden uitgedrukt:
Zijn de stralen van geodetische kromming der, door een punt van een oppervlak gaande, orthogonale krommen u — constant en v — constant functies van elkaar, dan zal het stralenstelsel, gevormd door de rechten, die de beide middelpunten van geodetische kromming verbinden, een normaal stralenstelsel zijn, en omgekeerd ').
Een ander stralenstelsel verkrijgt men, door do middelpunten van geodetische kromming der krommen v = constant of u — constant respectievelijk met de kromtemiddelpunten der krommen tl — constant of' V = constant te verbinden. Ook hier willen we onderzoeken, onder welke voorwaarde zulk een stelsel een normaal stralenstelsel wordt. Kiezen we nu voor het onderzoek het eerste stelsel, dan
verbindt een straal van het stelsel een punt (r, -|—— — -A, enz.)
Cdv
met een punt (xt -j- hu au enz.), waarin hu voorstelt den kromtestraal van de kromme u = constant in een punt («, v) en ai(, yu zijn de richtingscosinussen van de hoofdnormaal dier kromme. Voor die richtingscosinussen kunnen wc ook schrijven:
„ =h (4si
U U [C2 dv2 C3 dV dV ' ' ' ' ( 1
') Dr. P. Zeeman, I. o. p. 298.


Verder hebben we de betrekkingen:
l)c richtingscosinussen A', 1, Z van den beschouwden straal van het stelsel zijn nu:
h _ r-V Y=rLi£....(49)
1/(V+V)
enz.
Noemen we weer, als boven, de abscis, die we op dien straal, vanaf het punt (x, + hu au enz.) moeten afzetten, om een punt van het normaaloppervlak te bereiken, p, dan vinden we hier:
dp = — 2 SX dxt -\- X d (huau)
Voeren we voor X, Y en Z de waarden (49) in, dan volgt, na eenigc herleiding:
, du r h±_ i h
P ^ (V +VH C M ?M
^ it rv v <U', ?«ul _ __ dv Cr„ + hu _
~~C~ W du v (ftM a + rv«) L
Kjv to,
~~C J
Maar uit au ^ = 0 volgt:
^ 7tT — ~~ M tuTv011 '?v ?v ~ u W '


Ten gevolge van de formules (48) is:
d2 j:t __hu t2 , ,lu dC dC
~ ~a<t?u>v — G'2 dudv dv2 + C*düdv
d*JC1__K /d*Xt Y /?cY
a<t ity* C- \ dv2 ) C2 \du)
Met liet, oog op de formules (37) en bedenkende, dat AC AC , , , 1 D3
'« = ■- TA e" r« = ■~ S[ c" ,cr,,<!r' d"' TTU = A&' 'a
dV du = tt-t -I „ , vinden we:
K2 ^u2 %2
?2.Ti _ _^UdC
dudv ^12C4 rv rUt
y ?2x'i --91
2a" dv* ~ ku'
Hieruit volgt:
h*j ^ v ^2
dp= — dhu —— du.
V(V+V) AC*Ru\/(hu*+rv*)
Zeer eenvoudig wordt deze uitdrukking voor D, = 0, d. w. z. wanneer de krommen u = constant en v ' constant samenvallen met de kromtelijnen op het beginoppervlak, dan is het tweede lid een volledige differentiaal alléén dan, wanneer rv = f(hu); in dit geval is dus het stralenstelsel een normaalstelsel, en omgekeerd. Daarbij is dan in 't midden
gelaten of die uitdrukking, wanneer D, ^ 0 is, en dus
de parameterkrommen niet met de kromtelijnen samen vallen, niet eene totale differentiaal kan zijn.
I)e bewezen eigenschap luidt nu aldus:


Verbindt men de kromte middelpunten van een stelsel kromtelijnen van ecu oppervlak met de middelpunten van geodetische kromming van het andere stelsel kromtelijnen, zoodaniq, dat de verbonden middelpunten telkens behooien bij een zelfde punt van het oppervlak, dan vormen die verbindingslijnen een normaal stralenstelsel, mits de afstanden van die middelpunten tot dat punt van het oppervlak f uncties zijn van elkaar en omgekeerd ').
Voor liet geval nu, dat we juist beschouwden, dat de krommen u — constant en v - constant kromtelijnen zijn, worden de altscissen der tweede brandpunten, die niet op het beginoppervlak liggen, op de stralen van de beide stralenstelsels der raaklijnen aan de krommen v — constant cn u — constant, die we zullen noemen qc en qu, gegeven door de formules:
AC AC
Qu - iA_
dv
welke volgen uit formule (41), door achtereenvolgens cc =0 cn «=J te stellen, na 1)2 = ü genomen te hebben. Hieruit volgt:
= 2)
rv = *u
Daar nu de osculatievlakken der krommen v = constant en u — constant brandvlakken zijn van de stelsels raak-
') A. Poll. O» the focnl surfaces of tho congruencea of tangents to u given aurface, (American Journal of Matlicro<itics.) pag. 11J.
'') Darboux, 3iome partie, pag. 121.


ljjnen aan dc krommen v — constant cn u = constant, terwijl de raakvlakken aan het beginoppervlak de bijbehoorende brandvlakken zijn, moeten die osculatievlakken in de middelpunten van geodetische kromming raken aan de tweede brandoppervlakken Sv en Su van die stralenstelsels. Hieruit volgt, dat het gegeven beginoppervlak en het tweedebrandoppervlak Sv der raaklijnen aan de krommen v — constant b. v., do oppervlakken van de kromtemiddelpunten zijn van de paralleloppervlakken, behoorende bij het zooeven genoemde normaal stralenstelsel. De normalen der oppervlakken Sv en hebben dus do richting van dc binormalen der krommen v — constant en u — constant in correspondeerende punten. Zjjn nu b.v. de krommen v = constant vlakke krommen, dan zijn de normalen van Sv langs de krommen v = constant op dat oppervlak evenwijdig. De raakvlakken van Sv langs elke kromme v — constant vallen dan samen tot één vlak, en daar dus die raakvlakken alleen afhankelijk zijn van den parameter t', is Su een ontwikkelbaar oppervlak, terwijl de krommen v = constant op Sv de beschrijvende lijnen zjjn ').
Zijn de kromtelijnen v - constant b.v. geodetische lijnCn, dan zijn ze vlakke krommen tegelijk en verkeeren we in een bijzonder geval van het hierboven beschouwde.2)
Zijn op het oorspronkelijk oppervlak de kromtelijnen v = constant b.v. vlakke krommen en is tevens voldaan aan de voorwaarde ru = f(hv), dan zullen op de paralleloppervlakken, waarvan de normalen zijn de verbindingslijnen der geodetische kromtemiddelpunten der kromtelijnen u — constant met de kromtemiddclpunten der vlakke kromtelijnen v — constant, de krommen v = constant ook zijn vlakke kromtelijnen. Immers langs deze krommen zullen do nor-
') A. Peil. (1. c. p. 119).
'') Bianchi. pag. 166.


malen aan liet oppervlak elkaar snijden, en tevens zullen deze normalen allen in hetzelfde vlak gelegen zijn.
Nu blijft nog over te onderzoeken, onder welke voorwaarde de verbindingslijnen van de kromtemiddelpunten der krommen u = constant en v = constant respectievelijk met de middelpunten van geodetische kromming der krommen u = constant en v = constant, normaalstelsels vormen. Onderzoeken we daartoe het eerste stelsel, dan verbindt een straal
van het stelsel een punt Xx + J mCt ^ P"nt
(x,x + au hu, enz.), waarbij weer:
ri _ i
«u — "w [ C* dv J
enz.
Verder hebben we de betrekkingen:
v, dc'u _ n • y ^-i—o
^ = 1 ^ *u = °! M M *>
Do riehtingscosinussen X, Y, Z van een straal van het stelsel zijn:
ru <\r!
K au ~~ Aju
X =
Immers:
P'u i V _ r 2 _i_ ft « — 2 2VU^U =
2rufe„/ C\
= r'M2 + & u" — ^ V C' <*u /'
maar:
1 ___L.
— — rM'
hieruit volgt voor de laatste waarde: (ru- hu2)-


de bovengcvonden waarden voor de fundamenteele grootheden der eerste en tweede orde, behoorende bij het oppervlak S2, te substitueercn. Stellen wij nu ter vereenvoudiging:
'±+2iL-<, )
Su + AC->' lv + AC-1 /
\ . (08)
0 Qce Pee \
A cos cc -)—— ïtil C sin a -f- j
dan gaan de voor die grootheden gevonden vormen over in:
, , 'Yoa'V „ , , CVft.'V 1
t -ffl, + C2 ha' — H- A*C*ha*
I< _ ml m2 + A2L2hai
1),' Pi QaRa , .1 ha sin a
H~~V ACh +m1 QaBa
a ' ) ... . (59)
D' Qi9aRa , Ahasin «
nT=p-AVK+m'-;jr-
1\ Qg »« _ Chaco*a ~ 'l A C ha m-1 qu Ra
ü3' _ ViJaRa_ Cha008 a 11 ^ A C ha " qu Ha
Met behulp hiervan heeft men nu dadelijk:
Qct Ra
11* — EG — F8 = (Q1 ro, - 1\ m*)' A.t C2 h,
en:
D' D>'~ = (o,- f, «,)(»^ + P~T)


waaruit voor de totulo kromming l\2 van het oppervlak S2 volgt:
sin « . p cos «
A* C' ha* (1 c A h 2 ~ mi — pim*
_ .1 C sin2 (f A 'l sin « -f Cp cos « ^ ^
Va mi — Pim2
I)e, in hot voorgaande gevonden, algcmcenc uitdrukkingen voor de fundamenteele grootheden der tweede orde en de totale kromming van het oppervlak S2 worden veel eenvoudiger, wanneer men op <S', in plaats van als paranieterkrommen aan te nemen een willekeurig stelsel orthogonale krommen, de kromtelijnen als zoodanig aanneemt en bo\en-
i) 13e hier ingevoerde grootheden in j en wi2 hebben eone eenvoudige meetkundige bctoekenis. De raaklijn der kromme v = Gonst. op het tweede brandoppervlak maakt met do coördinaatassen hoeken, welker cosinussen zijn:
1 <\c2 1 0//» 1 ^
E Ou ' l/I IOit
De hoek alt gevormd door don straal van het stelsel, gaande door een punt («, r) van S2 mot de door dat punt gaando kromme v = Const, wordt dan bepaald door:
1 Zx 1 (0.r, tx
1 v — = - tv) —- 1 n 4- X -— >
cüS «> = T7! o„ 1/ e \ Ou + e«o!t + Ou s
1 / . 0 Qa \
= = ( A cos a 4- -~— I.
I/ E\ Ou /
Evonzoo vindt wen:
1 / . .
sin», = —-(Caina + j.
Derhalve heeft men:
mt = 1/ E cos o, »i2 = 1/ G sina,.


Onder de stralenstelsels, die de in het voorgaande behandelde eigenschappon bezitten, komen voor de pseudo-
toont inen nog iets meer algemeen aan, dat, wanneer de krointoljjnen van het cene brandoppervlak overeenstemmen met een stelsel toogevoegde krommen op liet tweede, ook de asymptotische lijnen zullen overeenstemmen. Neemt men toch op het eene brandoppervlak S, de kromteljjnen als parameterkrommen «=Const, v = Const aan, dan is l\ — 0. Wijl nu met deze krommen overeenstemmen een stelsel toegevoegde krommen op het tweede brandoppervlak, is ook Z>2' = 0. Uit geeft met liet oog op de vroeger voor D.2' gevonden uitdrukkingen (59):
. P.'l ViiJa A sin a sin cp
K r "777i An • r m2 = Ö
AC) AC sin rp 1 Qa
S<V _L_ Vi Qct C cos a sin (p
hv + AC\ ACsïnïp ~ = 0
of
<V . P^42Csin a sin2 cp
s+ïö—w"
, V,' AC2 cos a sin2 cp
Met behulp daarvan gaan de uitdrukkingen voor D,'en I>3'overin
D/ -4P. sin.gr> sin a . A sin a sin cc A sin cc sin rc> i
W ~ ~ "'2 rt H mi " = TT !Qx >nl -
11 ViCa Qa ViQa C '
ƒ),' Gty.sinroeosa Ceososinop Ccos a sin w i _
— »i y—i r r ]Q m. — P. m
" pi Qa Co I\ Qa l 1
en hieruit volgt:
1>1' X/'1sina Jj,
D„' C0, cos a D3
... „ D. cosa „ D, sin a „ ...
w,j' ^ i = -—^ is. Doch dit drukt juist uit, dat
de asymptotische lijnen op beide brandoppervlakken overeenstemmen' Voor de derde soort stralenstelsels is niet, zooals Demoulin beweert:


spherischo stralenstelsels, die tor loops roods genoemd zijn. Een stralenstolsel wordt een psoudospherisch stralenstolsol genoemd, wanneer zoowel de afstand der brandpunten, als die der grenspunten op een straal van het stolsel gelegen, constant is. Wijl voor zulk een stelsel Qa constant moet
zijn, evenals of cot <p, zooals uit de vergelijking tor rct
bepaling van do abscisson der, op een straal gelegen, grenspunten blijkt, zal do algemeene formule voor de totale kromming van S2 hier worden:
sina w Q,' A sin a + ? 1' a h - — ~Q[ A coTa — P, C sin « '
Voert men hierin do waarden van 1\ enz. in, dan vindt men voor do waarde der tweede breuk — 1 en dus:
A = — si"2 'p.
Qa
Wijl zoowol q uls Qu constant zijn, is het brandoppervlak S, een oppervlak van constante negatieve kromming; hetzelfde vindt men voor 8^ door bijv. S2 als het oorspronkelijk gegeven oppervlak aan te nemen. Derhalve heeft men do eigenschap:
A', A', = ("~ )4 douh A' K' = - (t/) '
hetgeen onmiddellijk uit de, door Waelseh bewezen eigenschap, voort-
VlT«t-de mededeoUng van Cosserat, voorkomende in het bovengenoemde deel der Comptes-rendus wordt voor de eerste maal bewezen, dat de, door ltibauoour gevonden, eigenschap voor stralenste seis waarbij de asymptotische lijnen op S. en S., overeenstemmen, mag worden omgekeerd, dat zij dus karakteristiek is voor d.e stralenstelsels.


De brandoppervlakken van een Vseudospherisch stralenstelsel zijn pseudosplierische oppervlakken, die dezelfde con stante, negatieve kromming hebben. Die kromming zal gelijk zijn aan het omgekeerde der ticeede. macht van den constanten afstand der gmispunten, met het negatieve teeken
genomen.
Rij deze stralenstelsels zullen de asymptotische lijnen der 'beide brandoppervlakken overeenstemmende krommen zijn. Dit volgt onmiddellijk uit de omkeerbaarheid van de stelling van Ribaucour, docli kan ook als volgt direct worden aangetoond. Nemen wij op het pseudospherischc oppervlak St de kromtelijneu als parameterkrommen iUln, dan is D, = 0. Dit geeft de volgende vereenvoudigingen :
t\ • /) sin ff IK cos cc
,,i = iVp, = «. = ~ü '
D,sin« -P3 cos a m — A cos «, m2 — C sin a.
q" AC* * 1
Ten gevolge daarvan gaan de fundamenteele grootheden
£ i)3' van het tweede brandoppervlak S2, die bepaald
worden door de formule (59) over 111
IV da' cos2 "
E—A2 cos2 a + - Aï C2 sin2 (p
d. i. wijl
sin2 rp _ 1. — _ is:
—T — _ A 1 — A4 C4


zoowel de afstand der op oen straal gelegen brandpunten, als die der op dien straal liggende grenspunten constant is. Ten einde dit aan te toonen en tevens te doen zien, hoe men dergelijke stelsels kan verkrijgen, bepalen wij den hoek «, dien de raaklijnen aan een pseudospherisch oppervlak met de parameterkrommen v = Const. moeten maken, opdat dit stelsel een pseudospherisch stralenstelsel zij, als functie van u en i'. De voorwaarde daarvoor is, zooals uit de vergelijking (40) ter bepaling van de grenspunten volgt:
A Q, sin « + C l\ cos a _
- Y> Q[ -P,Q
lia C Pcos « A Q sin « __ ^
— =- A L cp^osa^AQ^ina
waarin a en m constanten voorstellen.
Lost men uit beide vergelijkingen P eii Q op, dan vindt men, P. Q, Pt en Ql door hunne waarden vervangende, waarbij weder ondersteld wordt, dat de parameterkrommen samenvallen met de kromteljjnen van liet eerste brandoppeivlak S,:
1 M A sin a I) a'a>* u
(>« C tv ci C
dcc 1 dC C cos« Dasm a
dv A ?u ~ ^ C'
of
1 (Vi „4 sin u Dtcos ct j
du = C ~ A*C (
. > . ("4).
<*« 1 dC C cos« /J3SIII cc ^
du .4 du ci A C~
/al het 1111 mogelijk zijn, uit deze beide vergelijkingen ic als functie van u en 0 te bepalen, dan moet aan de


integrabiliteitsvoorwaarde voldaan zijn, d.w.z. de beide waar-
dpn van ' *La- , die men uit deze vergelijkingen kan afleiden ?mdu
moeten aan elkander gelijk zijn. Dit geeft.
* / 1 ?-4\ _l_ L sin cc — m cos a | ) +
SVC *»/ « ?r ?V\AC/
. « t A cos cc . JJtsin a ) _
+* I ~a<C- t -
i 1 -■ ) — 1 -6' oos « — m sin « ) + *
— (>u\ J. W a V4 ü /
' <*m < « AC
Substitueert moa hierin de waarden \an (>w '11 llit; (>4), dan wordt dit na eenige herleiding.
* (1 dA\ + 0 (l dC) - -
*v \ c tv / + tu V4 ÏH< / a A c
l*/Z>,\ Jh*Al- m cos w < >y U* cj ~~ ^ c8 1
i (> / ^3 \ I | — 0.
- m sin " ( - du \TC2/ + .43 C M S
\u is, volgens de bekende formules van (xauss en Codazzi, die de betrekkingen geven, welke tusschen de fundamenteele grootheden .4, C, Z>, en />3 van het oppervlak S, bestaan1):
D l>t 1 ü ( 1 (>^'\ _|_ *
^ — ~~£* c* 3 ~~ 2 C' \-4 *•«/ ,v \ c iH' / ^
waarin l\ de totale kromming van liet oppervlak S, voor-
') Zie bijv. Bianohi, Vorlesungen über Differentiulgeoraetrie, S 90—91.


stelt, terwijl de coëfficiënten van m cos a en m sin « nul zijn. Voert men dit in, dan gaat derhalve de gevonden voorwaarde over in:
_ACK-^£-m*ACK = 0
Cl
waaruit volgt:
K_ L__
a* (1 -f- m2 )
De integrabilitei tsvoorwaarde der vergelijkingen (h4) zegt dus niets anders, dan wat boven reeds langs anderen weg gevonden was, dat het brandoppervlak S, en evenzoo S, een pseudospherisch oppervlak moet zijn, terwijl do totale kromming van beide oppervlakken dezelfde is.
Is dus het pseudospherisch oppervlak, dat brandoppervlak van het te bepalen stelsel moet zijn, gegeven, dan vindt men den hoek ce als functie van U en V uit (»>4). Daaruit volgt toch:
( A a A L 1
Voert men hier eene nieuwe veranderlijke in, door te
stellen V) = t(j | en dus:
2 dw 2 w 1 —
dan gaat deze vergelijking over in:
+ 4 Tb-S*


l)(>7.o differentiaalvergelijking is van den vorm:
dw = (P -f- Qw -f- ftw2) du + (/', + Qtw + /?tw2) dv . . . (05)
waarin P, Q, i?, Pt, Qt, bekende functies van u en v zijn. Door deze vergelijking, die van het type der vergelijkingen van Riccati is, wordt w en dus ook « alseene functie van u en v bepaald.
Derhalve: Is een pseudospherisch oppervlak gegeven, dun zijn er x1 pseudospherische stralenstelseh voor welke dit oppervlak een der beide focaaloppervlakken is. De krommen («) op het gegeven oppervlak, welke door de stralen van het stelsel worden aangeraakt, worden bepaald door de vergelijking (65).
Kiezen wij ter toepassing het oppervlak, dat bepaald wordt door de formules:
x = sin u cos v, y = sin u sin v, z = cos u -j- log tg
welk oppervlak ontstaat door de tractrix x = sin u, z - cos u u
+ l°g 2 0111 ('e 88 O Z te laten wentelen.
In dat geval heeft men:
te iJL == pos u sin v cos- u
sr=00S1<0„SV, ,^ = ^
^ = -.mu«nv, |=0
Vx . ^' _ sin u 8in v d*z _ cos u (1 + sin2 u) _ = _ B,n u cos t, {,U2 —, - 
57-57-= — cos ?t sin V ^=coaue09V p.~ = 0 dn tv 1 *udv
. !—\L — ««. yjii 7/ yju i! ^"Z ^
— = — sin u cos v, dv2 — ,n ^ = O
waaruit volgt:


/cU'V .2 , V: dx —() v (*X\ = sin'tt.
2 \Sü) ~ W
Het lijnelement van dit oppervlak heeft den vorm fa* — pot2 u du''l + sin2 u dv2.
Verder wordt:
n 2^1 — D = O /J. = cos2 M sin t<
~~ sin u ' 2
l)c parameterkrommen zijn hier, zooals ook onmiddellijk uit de voor x, y en z gegeven uitdrukkingen volgt, de kromtelijnen , terwijl de totale kromming van 't oppervlak zal zijn
Di2l = - 1 A*C* '
Werkelijk hebben wij dus hier met een pseudospherisch oppervlak te doen. De vergelijking (65) ter bepaling van
w = tg" wordt in dit geval, wijl A = cot u , C = sin u is:
dw = -1- | — am w' 4"2 w cot u 4" am )
i i _ a vu- sin u — 2 am w cos u — (1 + «)sin u \ ^2 at
Hier bestaat tusschen de beide constanten a en m nog eene betrekking. Immers de totale kromming van het oppervlak is in deze constanten uitgedrukt K= —
wijl echter die totale kromming voor het gegeven oppervlak gelijk — l is, moet men hebben:
a2(l + me) = 1.
Elke integraal van de gevonden differentiaalvergelijking levert nu een pseudospherisch stralenstelscl op, waarvoor het gegeven oppervlak een der brandoppervlakken is.


Do boven verkregen resultaten omtrent pgeudosphcrische stralenstelsels en nog enkele andere kan men in een zooi symmetrisel.cn vorm verkrijgen door invoering eener grootheid, die in liet voorgaande niet werd beschouwd, den hoek namelijk, dien de beide door een punt van bet pseudospberisehc oppervlak gaande asymptotischo lijnen met elkander maken. Zij 2w die hoek en nemen wij weder de kromteljjnen van bet oppervlak tot parameterkrommen aan.
De cosinus van den hoek, gevormd door twee krommen op bet oppervlak, die door een zeker punt («, t') gaan, terwijl de richtingen der raaklijnen aan die beide krommen
worden bepaald door (^)en i- gelijk aan: A°~ + C°' (iË), (du)„ 
H A' + C2{%)X(A2 + ci (sm)2 !
Wijl nu de asymptotischo lijnen van liet oppervlak worden bepaald door 1)Y du2 -j- Da dv- = 0 '8 •
(dv\ (dv\ _ . D±. (dv\ i — o.
\du)t \du)2 /)3' \d«/i \du/2
Daaruit volgt voor den hoek tusschon die krommen:
A'D,+ C°-Dt tos2(°- A*Da- C'2 Dx
A* D3 . .. , _
cos2 w— J)a _ (J2 DJ s,n w — c2 l)l
liet gegeven brandoppervlak is van constante negatiexo kromming en kan vooraf door eene gelijkvormigheidstransformatie worden omgezet in een ander dergelijk oppervlak, waarvoor die kromming gelijk —1 wordt; dan is


Dt IJS = — A* C*
Substitueert men dit in de, voor cos2« en sin2w gevonden, uitdrukkingen, dan geeft de eerste:
(.42 D3s 4" A* C«) eos2 u = A-
waaruit volgt:
l)3 = + AC3 cot w.
Evenzoo vindt men uit de tweede:
D1 = + A3Ctg (o.
Welk teeken voor D3 gekozen wordt, doet niets ter zake, wijl eene verandering van teeken eenvoudig daarop neerkomt, dat de lioek w door zijn supplement wordt vervangen; wij nemen aan:
Dl = — A3C Ig u Da = + AC3 cot w.
Wijl tUBSchen de grootheden A, C, />, en Da de betrekkingen moeten bestaan, die aangegeven worden door de formules van Co d a z z i, is bier, evenals in 't voorgaande:
/ Dt \ — 0
to\A*Cj A&*v
i/M_A?c- = o.
*u\AC*J A3C
Substitueert men hierin de boven gevonden uitdrukkingen van 7)j en D3 in functie van AXC en w, dan gaan zij
over in
lv(-A tg iü) - cot <Ü ~ =0: i (C cot Cü) + Ig « ^ = U of:
1 ZA _ 1_ 0 cos oi __ 1 OC L ?B'n<a — 0
A l)v cos ei Ov — ' C Ou sinw Om


waaruit volgt:
.4 = rp (u) cos &) C = i/» (w) sin w.
Hierin is rp (it) eene functie van (/. alleen, t/'('') (,t'ue functie van v alleon. Met lijnelement op het willekeurig aangenomen pseudospherische oppervlak kan derhalve steeds worden geschreven in den vorm:
ils,2 = )f (?<) cos io{- du2 Jt/' (f) sin oj[- du-
of, als men nieuwe parameters invoert, n.1. rp (tt) du door dut en i/i (v) di' door dvt vervangt, in den vorm:
ds12 = eos2w du,2 -f- sin2w dvt2
waarin w den halven hoek voorstelt , door de asymptotische lijnen in een punt («„vj met elkander gevormd.
De hoek co voldoet hierbij aan de partieele differentiaalvergelijking van de tweede orde:
:2cj :2ft)
— = sin o) <'Os fj.
2ut* cV,2
Dit blijkt onmiddellijk, wanneer men in de formule van Uauss, die de totale kromming van het oppervlak in functie van A en C uitdrukt, nl.
r- 1_*J /* *C\<_L
~~ AC 'Om, \A ïuj rts V' ?vuh
A ~ — 1, A = cos o», C — sin u stelt.
Voor de fundamenteele grootheden der eerste orde K, F en Cr van het tweede brandoppervlak vindt men hier uit ((!){), wijl r>i = — sin2ft) cosa6),/>3 = sin2w cos2ft) is:
/i = cos2«, /' = 0, G = sin2«.
Het lijnelement op dit oppervlak S2 wordt dus bepaald door:
7


iis.,2 = cos 2<cd((l- -+- sin2«rft'i2-
Uit dien vorm voor liet ljjnclcment van ^lgt, ook de krommen m, = Const. en i.»t = Const. kromtelijnen op S, zullen zijn, terwijl « den lialven hoek, door de nsymptotisclie ljjnen van S2 met elkaar gevormd, voorstelt. Derhalve:
De hoek tussrhen <le asymptotische lijnen in een zeker punt op een der hrandoppervlakken van een pseudospherisch stralenstelsel is gelijk aan het dubbele van den hoek, dien de straal van het stelsel, door dit punt gaande, maalt met enne der kromtelijnen door het overeenkomstige punt op het andere brandoppervlak.
J)e asvmptotische lijnen op de beide hrandoppervlakken worden in dit geval bepaald door:
dut 2 — di't2 = 0 of w, + v1 — Const., ?(,—>.'!= Const.
Neemt men nu die asymptotische lijnen als parameterkrommen p = Const., <i = Const. aan, dan verkrijgen de lijnelementen der boido hrandoppervlakken een anderen vorm, die men vindt door in de bovengevonden uitdrukkingen voor die lijnelemeuten te substitueeren: dux — (dp + dq) en dv, ={dp — dq). Daardoor gaan zij over in:
dst 2 = dp2 + 2 cos 2w dp d<i + dq2 ds„2 = dp2 + 2 cos 2« dp dq + dq2
en hieruit volgt weder de reeds boven bewezen eigenschap, dat namelijk de lijnelemeuten der asymptotische lijnen, welke men hieruit verkrijgt door p of' q — Const. te nemen, op beide hrandoppervlakken aan elkander gelijk zijn.
Eindelijk geven de formules (G4) ter bepaling van den hoek «, wanneer men in die formules A = cos w enz. substitueert en verder opmerkt dat do daarin optredende


constanten d en m kunnen worden uitgedrukt iu den constanten hoek <p, dien de heide hrandvlakken, door een straal gaande, niet elkaar maken, ul.
a = sin r/. in = cot <p,
Cci Cm sin a cos co -(- cos «sin m cos <p ?''j _
ïcc ?c) cos cc sin co + cos w sin a cos r/>
Hierin is, wanneer men van een gegeven pseudospherisch oppervlak uitgaat, m eene bekende fnnctic van iit en v,, terwijl rp eene constante is. Ook deze vergelijkingen nemen een meer symmetrischen vorm aan, wanneer men de asymptotische lijnen als parameterkrommen kiest. Dan toch worden zij, ui _)_ v, — '2p en ut — = 2q stellende:
1 Qm Sm Cm Cco) sin m co* m + CO* a sin «cos ,t
% lïp :«/ Sf ~~ Ci^ ~~ «B <1
1 firn dm . Cm _ m« sin m + cos m sin ctcosf/
'2 (Cp Ci) dp 7
Hieruit volgt door combinatie dezer beide vergelijkingen:
?(« + *») = (• ~ •)(! - •»f> = U, l sin <« - ») ?ƒ) sin <-ƒ ' -
*in <• + •> 0 + c,Mi fl = n.t | sin (« + «). dg sin p
Van de integratie dezer beide partieele ditferentiaalvergelijkingen hangt nu het geheele vraagstuk der werkelijke bepaling van pseudospherische stralenstelsels, voor welke een gegeven pseudospherisch oppervlak een der hrandoppervlakken is, af. Elke integraal dier vergelijking zal eeu


dergelijk stelsel en daarmed< k liet tweede brandopper-
vluk volkomen bepalen ').
Op bladzijde Hl werd eene eigenschap afgeleid van stralenstelsels, liij welke op de beide bmndoppervlakken de asymptotische lijnen overeenstemmende krommen zijn. Er bleek, dat in dat geval het produet der totale krommingen van die oppervlakken in twee overeenstemmende punten gelijk is aan het omgekeerde der vierde macht van den afstand der grenspunten, gelegen op den straal, die deze beide punten verbindt. Van zulke stralenstelsels, die in de theorie der oneindig kleine verbuigingen van oppervlakken een belangrijke rol spelen en waartoe o. a., blijkens het voorgaande, de pseudospheriselie stralenstelsels belmoren, onderzoeken wij ten slotte nog de volgende:
Twee willekeurige ruimtekrommen Kl en h 2 zijn gegeven. Wordt een willekeurig punt Pt der eerste met een willekeurig punt P„ van de tweede kromme verbonden en door het midden M van I\P2 eene lijn gebracht, evenwijdig aan de doorsnede der osculatiovlakken der beide krommen in «le punten [\ en P,, dan zal deze lijn, wanneer die punten de gegeven ruimtekrommen doorloopen, een stralenstelsel voortbrengen.
Laten de rechthoekige coördinaten van het punt Pt, in functie van een parameter u, waarvoor wordt aangenomen de lengte van den boog der kromme K15 afgerekend van een vast punt dier kromme, worden uitgedrukt door de formules:
,r = (pl(u) H — Tii1') z = 9>a(u)
') Zie over deze stralenstelsels o. a. Bianchi. Vorlesungcn fiber Difforentialgeometrie, S. 451 en volg. Guichard. Surfaces rapporties ii leurs lignes asymptotique» et oongruenees rapporties a leur# iléveloppables. Annales scientifiqueu Ac 1'École normale supérieure, t. VI, 3e Série.


terwijl «, a', a"; 6, b\ Ij"', c, c', c"; en rt achtereenvolgens voorstellen de richtingscosinussen van raaklijn, hoofdnormaal en binormaal, benevens den kromte- en den torsiestraal in een punt («) der kromme l\ t.
Evenzoo drukken
x — i/ = v>2(y) z = V »(f)
de coördinaten van een punt Pder kromme /v, uit in functie van een parameter t', waarvoor wij weder aannemen de lengte van den boog der kromme 1\\, afgerekend van een vast punt dier kromme, terwijl a,, a i , at ; i>i, bx , bi'i Ci, Ci', Ci", ?2 en r2 voor deze kromme eene dergelijke beteekenis hebben als de analoge grootheden voor A\. l)e coördinaten van het punt 3/l( midden van li1 P2i zijn.
x — ^ .'/ — 9 \'Pi (") + ^2 (")}
- = i (») 4" ^3
waaruit volgt, dat het punt 3/ een translatieoppervlak doorloopt, dat ontstaan kan gedacht worden door een kromme, ilie congruent is met de kromme:
x — ,t f i (m) ü = 9 ^2~ 2
eene translatiebeweging te geven, waarbij één en dus elk harer punten eene kromme doorloopt, congruent met de kromme:
x — 0 (f) y — 2 ^'2 2 ^
en omgekeerd. Verder zijn de richtingscosinussen der snijlijn van de osculatievlakken der krommen /\', en 1\,_ in de willekeurige punten Px en


C' C i" — c" Ct' y_^Ct-CC," x_CCx' — C'Ct ~ sin« «ï « sin •
waarin « do hoek is tusschon de binormalen of dc osculatievliikken der krommen in die punten IJt en P2.
De stralen van het bovengenoemde stelsel worden nu bepaald door de vergelijkingen:
§ = a: 4" rX = y + C — z-\-rZ
waarin r de abscis van een punt op een der stralen, d. i. de afstand van dat punt tot het, op dien straal liggende, punt M is. Ter berekening van de fundamentaalgrootheden
2 — ' A I — 2 ( :A Ven/., van dit stelsel, hebben wij:
iïx 1 ?!l 1 / ^z — ' a"
!u = 2d 2u 2 fu~2a
1 2'J _ 1 _ L a "
Verder:
OX 1 ^ . / ,,dc' , dc"\ _ :u=Tin^!sin°V1 du~Cl du)
l , ,, ■' \
-[c ct -c ct jcos«:uV
is volgens de bekend*' formules \an 1' renet.
dc b dc' _ b' dc" _ b'
da i, du r t du it
terwijl cos « = cc, c'c, -j- c en dns
— sin x-= ' (b ct -f- b' ct' V c, ) iscu r,
DA'
Suhstituccreu ij dit in de juist voor gevonden uit•' *. u
drukkiiii»-, dan gaat deze daardoor over in:


\ ( b' ct" - b" cA+ U C1"-C"C1') cos y
0«t ix sin«\ / li SU1 " \ '
waarbij bct+b'Ct'+ b" Ct" d.i. de cosinus van den hoek tusschen de hoofdnormaal der kromme Kt in F, met dc binormaal der kromme K, in 1\ gelijk cos y gesteld is. Evenzoo stellen wij nog:
bt c —j- bi c —j— be" — cos 6, 6 6i+6'61' + &"6i" = cos^.
is dan «le lioek tusschen de hoofdnormalen der beide krommen in l\ en P2, terwijl <5 dc hoek zal zijn door de hoofdnormaal van K, in het punt P2 met de binormaal van K, in P, gevormd.
Op dezelfde wijze als voor — vinden we:
sr=,Tèr„(*"c' -» c-")+
Verder heeft men:
« = > S,i„.L' - c"dit) -°°>«'£" ■-c"c'')\
2u sin2« l \ dv au I <-y\ /
Maar:
- «in «'> = i (« 6, + «■ 6,' + ».") = t/'
derhalve:
S=7^(C"C'-CV')+^(C"C<-"'")C0'<
-j=,7®r.-"')+ 4


Hieruit volgt dan:
Sx <y\ 1 a a' a" , cos« Ia a' a" I
«as 1 i É = - • ! b b b" + Ei - : C c' c" I cos f.
du du 2T.sin« „ „ , ,, 2?18ina« , n\
! C i C , C j 0 1 ^ I L l
1 leeft men nu de positieve richtingen op raaklijn, hoofdnormaal en binormaal van elk der krommen in een willekeurig punt zoo aangenomen, dat:
adu it, (tj u,'
b b'b" j=+l blb1'bt" =+1
c c' c" 1 c, c,' cx"
dan zal elk der eleineuten van een dezer determinanten gelijk zijn aan de daarbij belioorende onderdeterminante,
dus rt = b' c" — b" c' enz. Met behulp daarvan gaat de juist voor e gevonden uitdrukking over in:
cos« cos a cos2 y cos« i . * I \
ü — . — ... ] sin- « — cos- v ,
2 sin « 2 rt sin3 « 2 rt sur1« f i
Op geheel overeenkomstige wijze vindt men:
„ DA cos u L . /
q = 2 -- v- = — ] sin" « — cos- ö.
•' Dt» Cf 2 ï2 sin 1« I 1
C\ï,' 0 A 1 ^ j i ji ^
f — V— — — ] cos sur « -4- cos « cos y cos o . r ' JV 2 f, sin1« ( )
- . . . . (00)
Ax' i>A l v , • | c /
/'— v —— . cosrfsiira-j-cos«cosycoso;
' ~~ tu tv 212 sin3« ^ ' 1 f S
/'èX\* 1 l . , , /
L = 2' = • , sin- « — cos1 y .
yu / i, sin4« f
A' — 2 (' ^ ) — —ö-r . i sin- « — cos2 r5'
\ t' / rs* sin4 « ( )
1/—21— ) cos sin- ct -I- cos « cos y cos ó'
«>« ,H' /, /„ sin4 ' 1 H
viv * v » | «o


r
Uit deze formules volgt allereerst, dat het stralenstelsel een normaal stralenstelsel zal zij» als f—t •
—| cos ff sin'-« -I- cos a cos y cos 6 ( ( 1 ) = 0.
2 sin3 a \ ' ' ' *•/
Wjjl de vorm tusschen haken niet voor alle waarden van u en v nul kan zijn, is de eenige manier om hieraan te
voldoen = 0. Zal dit voor alle punten der beide
T j T2
gegeven krommen waar zijn, dan moeten en r2 beide constant en bovendien », = — t., zijn. Derhalve:
Allmn, wanneer de beide gegeven ruimtekrommen l(l en K„ krommen min constante torsie zijn en bovendien 11 — 'j is. zal het in 't voorgaande beschouwde stralenstelsel een normaalstelsel zijn.
De oppervlakken, waarvan in dit geval de stralen van liet stelsel dc normalen zijn, verkrijgt men op de gewone wijze. Zijn §, rn C de coördinaten van een punt op een straal, in 't welk deze de normaal is van het, door dit punt doorloopen oppervlak, dan moet 2' A (/; = 0 zijn. Daaruit volgt:
dr = — \ 2 X ^ du -f 2' X du j
d. i. wijl:
! a «' a" )
v X-■ 1 i. _ 008 y
" 2 sin«i C , „ - s'n "
\ ci ci ci !
tn evenzoo z ^ 2sin« 2 ,/ ' sin « sin« '


>~u is, zooals boven bleek:
1 . ?a ' 1
— sin « — = cos v en — sin « = — cos 6. du it ' ?v it
Voert men dit in de voor r verkregen uitdrukking in, dan wordt deze:
r — — ó + • • (67>
waarin de constante torsiestralen der krommen l\\ en K2 nl. en t2 gelijk l gesteld zijn, terwijl C eene integratieconstante voorstelt. De oppervlakken, voor welke de stralen van het stelsel de normalen zijn, worden derhalve bepaald door de formules:
| = x — 0 IX (« + £)» '1 — II 2 ' ^ ("4" @)i f ~ i} IZ(cc-(- 6).
De abseisseu der brandpunten, op een straal van het stelsel gelegen, worden in 't algemeen bepaald door de vergelijking (20)
r ((LN - M*) + (. (eN- (/ + / ')M+gL) + eg- ff' = 0.
Door invoering van de, boven voor e.... N gevonden, uitdrukkingen heeft men nu:
eN — (/'-)- /') M + <jL, —
= " ( 1 — ' ) / (sin2a —cos2y) (sin2« —
21, t2 sm7a \r2 i iJ '
— cos2«5) — (cos [3 sin2« -j- cos u cos y cos <5)2 j


eg - ff' =
— — r—— i («os /J sin2« 4- cos « cos y cos ft)2 —
4r, i2 sm6« ( 11
— eos2«(sin2« — cos2}») (sin2« — cos2ó) |
LN — M2 = ——. .■ — J (sin2« — cos2j')(sin2« — *,2 r2a sin"« (
— cos2 <5) — cos2« (cos /? si ii2« -(- cos « cos y cos ó)2 j.
Nu is:
(cus sin2« -)- cos « cos y cos <5)2 = (sin2« —
cos2j<) (sin2« — cos2ó)').
Derhalve wordt:
eN-(f+f')M-\-gL = U
terwijl
..... i,i* sin2 « ,T ..
eg-ff = (LN — M-)'
Daardoor gaat dan de vergelijking ter bepaling van de abscissen der brandpunten over in:
= 0 (68)
') Tut (ieze betrekking komt men o. a. als volgt. Brengt men door den oorsprong lijnen, evenwijdig tian de binormalen en de hoofdnormalen der beide krommen in P1 en i'„, dan snijden deze lijnen een bol, die den oorsprong tot middelpunt heeft, terwijl de straal gelijk de eenheid is, in vier punten Bl, li.,, Hl en i/2, die de hoekpunten vau een volledigen bolvierhoek zijn. Van dezen vierhoek zijn de beide overstaande zijden ö, 7/, en H, H„, ieder 90°, de beide overstaande zijden /<, IS., en //, 11.1 achtereenvolgens « en jJ, terwijl eindelijk de zijde Bi IIi gelijk y, 1S1 11, — rj is. Uit de elementaire betrekkingen tussehen zijden en hoeken van een boldriehoek, leidt men dan dadelijk de bovenstaande vergelijking af.


Zet mm derhalve op eiken straal van In t stelsel, van «/ liet punt M op dien straal, naar beide kanten stukken uit
gelijk aan ^ sin a V—r,r2, dan zullen de uiteinden dezer
stukken de beide brandoppervlakken van het stralemtelsel doorloopen Het translatieoppervlak, Meetkundige plaats van het punt M zal derhalve, het middenoppervlak van het stralemtelsel zijn.
De brandoppervlakken /.uilen alleen dan reëel zijn, wanneer it en i„ verschillend toeken hebben.
De gronspunten, op een straal van het stelsel gelegen, worden bepaald door de vergelijking (10):
(LN - M-) i - -f (/.</ — (/ + /") M + Ne) r + e<j Hier is:
— — _—(~"* " — (sin2« — cos-j') (sin2« — cos2<5) — 4i,i2 sin8«
- /' ) (eos (} sin3 « -(- cos a cos y cos ó)2
lBsii^aXTj i2J
= _ \ _i_ ,l ( l _ 1 Vl (eos /J sin2a +
t 4 ïj t2 sin6« 115 sm6a \il i2) ^
-J- cos ci cos y cos ó)2.
Derhalve gaat de vergelijking ter bepaling van degrenspunten over in:
r- — / ) 4 t, cos-« -f (t2 — ft)- ' — 0 In '
of:
r- — J1,. ; (r, + '•>)" — 4 siu2 O { = o ... . (69).


¥
Zet men derhalve op alken straal tan het s te hel, van af' het, punt M o/> dien straal, naar heide kanten stukken uit
gelijk ^ \/\ (r, + '2)2 — + rt Ts sil|2« o d"n zullen <le nit'
einden van deze stukken de heide i/remoppenlakken van het Ktralenstelsel doorloopen.
Zijn de hoi do krommen van constante torsie en is r, =
— r — L dan is de afstand van M tot een der brandpunten
— I sin a (>n evenzoo ile afstand van M tot een der grens2
punten —l sin«. In dat geval is, zooals boven bleek,
liet stelsel een normaal stralen stelsel en vallen, evenals hij elk dergelijk stelsel, de op een straal gelegen brandpunten samen met de grenspunten.
Bij de beschouwde stralenstelsels zullen nu de asymptotisclie lijnen op de beide brandoppervlakken correspondeerende krommen zijn. De coördinaten toch van een puilt op het eene brandoppervlak worden bepaald door de formules:
c'ct" — c"cx' . . 
- = .r-\ g u — »i*«
c"c. — cct" 
ri=]l+ 1 2
. cc' — c'cl 
£ — z -1 2 7,72
terwijl die van een punt op liet tweede brandoppervlak hieruit worden verkregen door — r,?, in —l ■. te veranderen. Bedenkt men nu dat c, c , c en 7, functies van u alleen, cx, ct', ct" ent, functies van v alleen zijn, dan heeft men:


, ... i/ de'
>u is echter, wijl b = r, ^ «'iiz. in :
2 « = 4 V'" - b"e'> = 2 ( '• tu c"-'<%e) =
Substitueert men tlit in do uitdrukking voor ~, dun gaat
Om
deze daardoor over in:
__ + ct" ^ ~Ta d tc> i/~) _
du" 2 du( tJ
0 ^7i ~t"ci H t2 d
~ 9
Hieruit volgt:
Üjl + ci T* 
;*» f "du21
Verder is:
}•,+|'
Maar:
1 1 ,1 / // ; // //\ 1 / Ac I ,, ^£l_ f, 
2 a 1 2^( 1 1 1 1 2 \T* dv 1 T- dr 1
\ £
Hierdoor ijaat de uitdrukking, voor --- gevonden, over in: ° ° iU'


5~ 2 dv(ct V -r2) +
-\-C— *' c» — ~l* — (c " V — r )
^ 1 dv(1 2'
Waaruit dan weder volgt:
J2t r" l^r 4-r " l^'HTT f]* —
l_? — _ 0 Ti T ct I? 11 (, > |/_7 \_i_
0i>2 2 d?<2 ^ 1 2'^
+ ^ ~ t2 d2.(c " !/ ITT")
+ 2 dv2 ic' '2'
(*« O2);
Voor ^^ , enz. verkrijgt men dergelijke vormen, die
uit de bovenstaande ontstaan door cyclische permutatie van
r, c', c" en c,, c,', c,". Voor de fuudamentaalgrootlieid
•* ^ ^ |
der tweede orde I), — —- , — , — beboorende bij dit 1 (>u2 m y j
brandoppervlak vindt men, wanneer nog
c V zx +ci ^ — *2 a c' + c/l/ — Ta _ r>
~ 2 = A, 2 '
c"\^z -+-c " en —- 1 = C
gesteld worden:
bL^^-aL«^ -®^=ü)


Doch deze determinant in, zooals onmiddellijk blijkt, wanneer men de kolommen achtereenvolgens met A. Ii en (* vermenigvuldigt en daarna de heide laatste hij de eerste optelt, nul. Op dezelfde wijze toont men aan, dat ook />., nul is en dat dit ook voor het tweede hrandoppervlak plaats vindt. Voor die heide oppervlakkon worden derhalve de asyinptotische lijnen hepaald door de vergelijking du di) = of: Op de heide hrandoppervlakken dar beschouwde stralenstelsels zijn de asijmptotische lijnen correspondeerende krommen. Deze krommen stemmen bovendien overeen met die krommen op het middenoppervlak, door welker translatie• leweqinn men zich dit oppervlak kan denken ontstaan te zijn• Hij dit stralenstelsel zal dus, volgens eene vroeger bewezen eigenschap, het product der totale krommingen van de beide brandoppervlakken in overeenstemmende punten gelijk zijn aan het omgekeerde der vierde macht van den afstand der beide gronspunten, gelegen op den straal, die de heide overeenstemmende punten verbindt, d.i.
Hi
Kx K* ~! iu +-4 *. »n*a
Voor 't geval «lat het stralenstelsel een normaalstelsel en dus Tj= —7„ is, wordt dit:
K. ——4 . 4 •
1 - r, sin4«
In dat geval bestaat ook nog eene eenvoudige betrekking tusschen de beide hoofdkromtestralen in een willekeurig punt /' van een oppervlak IV, waarvoor de stralen van het stelsel de normalen zijn. Immers dit punt wordt, volgens (<iï) bepaald door op den daardoor gaandeu straal, van af het punt M op dien straal, een stuk uit te zetten


Hier is de integratieconstante C, die in ((i7) optreedt, gelijk nul genomen. Evenzoo worden de beide, op dien straal liggende, brandpunten volgens (68) gevonden, door op dien
straal van af M uit te zetten een stuk gelijk + ^ I sin a.
Voor de beide hoofdkromtestralen r, en r2 van liet oppervlak N in een willekeurig punt, heeft men dus:
1 I I 1 7 • 1 / 1 , ■
rx — —— I c<~\- l sni a: v2 = — t) l « —1 sin « waaruit
r, — rt = — l sin « r2 -)- rt = — l a.
Eliminatie van « geeft dan de tussehen r l en r, bestaande betrekking:
i\ — r, . r„ -f- rt l = 81 / *
Het oppervlak N behoort dus tot de oppervlakken van Weingarten (W-oppervlakken), bij welke de hoofdkromtestralen in een willekeurig punt functies van elkander zijn. ')
') Zie vour de in 't voorgaande behandelde stralenstelsels en in 't algemeen die stelsels, bij welke op de brandoppervlakken de asymptotisehe lijnen correspondeerende krommen zijn:
Bianohi, Vorlesungen iiber Difl'erentialgeometrie, p. 815 en vlg.
Darbonx, Le^ons sur la théorie des surfaces T III, p. 372 en vlg.
In beide werken worden deze stralenstelsels voornamelijk beschouwd met liet oog op de rol, die zij spelen in de theorie der oneindig kleine verbuigingen van oppervlakken.





STELLINGEN.





STELLINGEN.
i.
De vraag naar liet toeken van den parameter /' van een straal, beschouwd als behoorende tot een regelvlak, gevormd door stralen van een stralenstelsel, is van ondergeschikt belang. Alleen bij vraagstukken, betrekking hebbende op de continue afwikkeling van regel vlakken van liet stelsel op andere oppervlakken, kan dit van belang zijn. (Darboux. ilièrae part. pag. 802).
II.
De uitdrukkingen: „Twee oppervlakkeu zijn op elkaar afwikkelbaar, of: „van twee oppervlakken zijn de lijnelenieiiten gelijk", zijn niet equivalent.
III.
Zijn iSj en S'._, twee oppervlakken met gelijk lijnelement en verbinden we telkens twee correspondeerende punten op en S2 niet een vast punt O, terwijl dan de voerstralen genoemd worden r, en ?\>, dan krjjgt men twee andere oppervlakken 2, en 2'2, met gelijke lijnelemeuten, door
die voerstralen te verkorten in de verhouding — .
1 r,2 — r„2
De uiteinden van de nieuwe voerstralen dan zullen op 2', en 2'., weer correspondeerende punten zjjn.


IV.
Wanneer een vlakke kromme oen dubbelpunt heeft, zal de eerste poulkromme van een punt P, op een der raaklijnen, in liet dubbelpunt, de eerstgenoemde kromme in dat dubbelpunt raken. Ook in dit geval wordt dus het aantal eigenlijke raaklijnen, dat men uit l> aan de kromme kan trekken met twee verminderd. (Sa 1 in ou, Traité de Géométrie Analyti(|ue. Courbes I'lanes. Paris ÜSH4. pag. ÏN.)
V.
I)e cinematische methode in de vlakkentheoric, zooals die door Darboux en anderen wordt gebruikt, verdient afkeuring wegens liet weinig overzichtelijke der resultaten.
VI.
De theoretische Mechanica is geen onderdeel der Analyse; deze laatste is slechts eene hulpwetenschap voor de Mechanica.
Vil.
E. Studv /.egt bij de behandeling van de geschiedenis der imaginaire grootheden (Encyclopadie der Mathematischen Wissenschaften. Bd 1. heft 2. pag 14!).):
„Leider hatt Gauss die von ihni vcrsprochene ltcchtfertigung der Einführung der „imaginiiren" oder, wie er spater lieber sagte, „complexen" Grossen niemals geliefert, und das ist wohl der Grund dafür, dass man auch lieute noch in verbreiteten Lehrbiicliern eine Art der Üarstellung antrifft, der man scliwer entnehnien kann , was nach Ansicht der Verfasser Definition und was Folgerung sein soll. I>it laatste is mijns inziens in liooge mate toepasselijk op de behandeling dezer grootheden door Laurent (Traite d Algèbre. Cliap. IN )•


VIII.
Hoewel de hypothese van hot uit elkaar vallen der «tomen ter verklaring van de radioactieve energie \ ei 1 ( t< \oikiczti is boven die van uitwendige krachten, worden de bezwaren tegen deze laatste door sommige schrijvers wel eens overdreven. (F. Soddy, Die Radioaktivitat. Deutsche rebersotzi.ug von Prof. ft. 8i eber t. Lcipzig ,1 «04. pag. 38).
IX.
Do samendrukbaarheid, door Amagat voor COa bij hoogen druk gevonden, kan hot gevolg zijn van een onvoldoend nauwkeurige correctie voor de samendrukbaarhei van het glas van don piëzomoter buis.
X.
])o roden, waarom do poging van Lebedew, om do theorie van Bredichin omtrent do kometen staarten (Y o u n " Text-book of fteneral Astronomy. pag. 41 o) m overeenstemming te brengen met de eloctromagnotisohe lichttheorie, eerst onopgemerkt is gebleven, moet meer gezocht worden in het ontbreken van proeven aangaande den druk van het licht, dan in den veronderstelden physischen toestand dier lichamen. (Ar rboni«s, Ueber die Lrsache der Nordlichtor. Physikalische Zeitschrift. 1900. N . 6 pag. -)•
XI.
liet resultaat van do onderzoekingen van Orew ("Y oung. V Test-Book of General Astronomy- pag 1111* noot), onitieu Je verplaatsing van de speetraallijnon aan den oost- en we.tL de zo», waaruit zou volgen, dat deoWtarende laa- gassen om de zon aan den zonsequator vormngd «o.dt vindt steun in de opvattingen van Etude». (£>-«•» Sonnentheorie. Annalen der 1'l.ysik. 4» Mgo. lid. .. 1902).


XII.
Ten onrechte wordt door F1 et oh er liet ontstaan van meteorieten, kometen en andere kosmische stof' onafhankelijk gesteld van de zon en andere hemellichamen. (British Museum (Xatural 1 listory). Mineral Department. An lntroduktion to the study of meteorites. Bv L. Fletehor. 1904).
XIII.
In de meeste leerboeken der Rekenkunde wordt de bewerking der optelling van geheele getallen direct verklaard na de behandeling der optelling zelf. Wensehelijk is het met deze verklaring te wachten tot na de behandeling van de vermenigvuldiging, daar bij de verklaring der bewerking van de optelling eene eigenschap der vermenigvuldiging wordt toegepast.
XIV.
Dat op de gymnasia de behandeling der verkorte bewerkingen niet in het leerplan der wiskunde is opgenomen, leidt voor aanstaande philosophen later tot groote moeilijkheden.
XV.
Het is wensehelijk, dat het voorbereidend onderwijs tot de Universiteit aldus worde vervormd, dat daarin eene plaats worde ingeruimd voor de behandeling van de beginselen der Differentiaal en Integraal rekening.





Differentiaal-meetkundige eigenschappen van stralenstelsels.
froefsoxirxft
TBR VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN
Doctor in de Wis- en Natuurkunde
AAN DE RIJKS-UNIVERSITEIT TE LEIDEN,
OP GEZAG VAN DEN RECTOR-MAGNIFICUS
Dr. J. VAN LEEUWEN Jr.,
HOOGLEERAAR IN DE FACULTEIT DER LETTEREN EN WIJSBEGEERTE,
VOOU DE FACULTEIT DEK WIS- EN NATUURKUNDE TE VERDEDIGEN
op Dinsdag 18 April 1905, des namiddags te 4 uren,
DOOlt
ALBERTUS LODEWIJK ZAALBERG,
UEUOREN TE AAKLANDEltVEEX.
■•ofcfcSo-" 
LEIDEN ,
S. C. VAX DOESBURG!I.
1905.


■


AAN MIJNE VROUW
EX AAS 1>E
NAGEDACHTENIS MIJNER OUDERS.





Het is mij een aangename plicht aan V, Hoogleeraren in <le faculteit der Wis- en Natuurkunde, mijn dank te betuigen voor het onderwijs, dat ik van I heb mogen ontvangen, en voor de beu-ijzen van toegenegenheid, die ik, in den loop van mijn studietijd nok daarna, van velen Uwer heb ondervonden.
Hooggeleerde Zeem nu, Hooggeachte Promotor, ik ben niet in staat, hier in eenige woorden uit te drukken, hoeveel Gij in den korten tijd, dien ik met TJ in aanraking ben gekomen, voor mij hebt gedaan, nog minder V mijn dankbare gevoelens jegens U te vertolken.
Ik kan U echter de verzekering geven, dat ik nooit zal verfjeten, hoeveel (Hij door Uw onvermoeide hulp, la raadgevingen en Cue. aansporingen hebt bijgedragen tot het tot stand komen van dit proefschrift.
Hooggeleerde Van deer, ik behoef l wel niet te zeggen, hoezeer het mij gespeten heeft, dat L vóór de voltooiing van mijn proefschrift, het besluit hebt meenen te moeten nemen l'w Hoogleeraarsambt, neer te. leggen. De vriendschap en belangstelling, die ik steeds van I heb mogen ondervinden, zullen mij niet licht uit, het geheugen gewischt worden. Moge Gij in staat gesteld worden nog geruimen tijd, in Uwe tegenwoordige betrekking tot de VniverMteit. in het belang van de studenten werkzaam te zijn.





F NI, KI Dl NU.
De theorie van de stralenstelsels, of stralencongruenties, die ik me in liet volgende voorstel te behandelen, wortelt in een probleem uit de natuurkunde. Malus, een Fransch natuurkundige, toonde in 1 SOS in een geschrift, getiteld ,Optiquc,'l voorkomende in Cahier XIV van het Jonviutl dn l"Ecuh- Poli/techniijue aan, dat de lichtstralen, afkomstig van een vast lichtgevend punt, welke worden teruggekaatst door een willekeurig oppervlak, ook na de terugkaatsing, de normalen blijven van een oppervlak.
Deze stelling werd daarna aanmerkelijk uitgebreid door Dupin, Cauchy, Q nételet, (iergonne en Lévistal. Malus ging echter uit van het meer algcmeene begrip van stralencomplex, d.w.z. eene verzameling van v.* lijnen in de ruimte, die dus hepaald worden door drie van elkaar onafhankelijke parameters. Door eene betrekking aan te nemen tusschen die drie parameters kwam lijj tot eene verzameling van \s ljjuen in de ruimte, genaamd stralencongruentie, door de beschouwing waarvan liij geraakte tot bovenvermelde stelling. Ook hier werd, evenals in meerdere gevallen, b.v. geljjk bij de onderzoekingen van Fourier over de warmtegeleiding, het denkbeeld van den natuurkundige overgenomen door de wiskundigen.
In het jaar 1828 begon llamiltoii zijn studie der congruenties en publiceerde de resultaten hiervan in drie opstellen (Irish Trans. 13. 1828; 10. 1880; 17. 1837).


Maar de grootste schrede voorwaarts in do theorie werd gedaan door Klimmer, die zijn resultaten in l(S(i() neerlegde in twee artikelen (Crelle's Journal. Bd. 57 en Bcrl. Monatsber. 1859—t>0). Deze arheid behoort'tot de differentiaal meetkunde, terwjjl daarnevens zieli langzamerhand ontwikkelde het meer algebraïsche deel der theorie, d.w.z. liet deel, waarbij liet verband tusschen de parameters wordt aangegeven door eene algebraïsche betrekking. Men spreekt in dat geval dan ook van algebraïsche complexen en congruenties. Ook aan dit deel der theorie heeft Klimmer een ruim aandeel genomen, (iierl. Abh. IS(ifi). Maar in nog meerdere mate l'lücker, die een niet gering deel zijner nieuwe, zoogenaamde lijnmeet'kunde, aan de theorie der congruenties wijdde.
De inhoud van dit proefschrift blijft op liet terrein van liet differentiaal gedeelte der theorie. Vele wiskundigen hebben zich hiermede met groot gevolg bezig gehouden; hun namen zullen bij de verschillende resultaten van zelf vermeld worden, evenals de plaatsen, waar men deze te zoeken heeft. Ten slotte zjj nog opgemerkt, dat, in het bijzonder met betrekking tot de leer der oneindig kleine verbuigingen van een oppervlak, de theorie voorbestemd schijnt te zjjn nog een grooten rol te spelen in de meetkunde.
Bianchi laat zich hierover aldus uit:
„Dicse Theorie, die au» Kragen der geometrischen Optik hervorgegangen ist, luit für die Kliiehonlehro immer mehr an Bedeutung gewonnen, und es soheint nicht zweifelhaft, das» »ie in Zukuiift noch viel mehr zu den Kortschritten der <Teometrie beizutragen bestiiiiint ist". (Kuigi Bianchi, Vorlesungen iiber Differential Geometrie. Deutsche l'ebersetzung. Leipzig. 1899).
Het eerste Hoofdstuk stel ik mij voor te wijden aan de resultaten van Klimmer en de isotrope stralenstelsels,


terwijl ik in lief tweede Hoofdstuk wil behandelen stralenstelsels, bestaande uit de raaklijnen aan een familie krommen, o|> oen willekeurig oppervlak getrokken, terwjjl daarbij van zelf de zoogenaamde pseudospherisehe en andere bijzondere stralen stelsels ter sprake zullen worden gebraelit. Gaarne had ik aan dit alles nog toegevoegd een beschouwing over stralenstelsels, die eorrespondeerende punten van twee op elkaar af buigbare oppervlakken verbinden, maar het bleek mij niet mogelijk hier binnen een niet te goruimen tijd vermeldenswaardige uitkomsten te verkrijgen.
Een groot deel van de bovenvermelde bijzonderheden werd door nijj geput uit: E. Pascal, Repertorium der Hühoron Mathematik. II: Geometrie. Deutsolie Ausgabe. Leipzi;;. 1902.





HOOFDSTUK I.
Algemeene eigenschappen van stralenstelsels.
Onder een stralenstelsel verstaat men een verzameling van cv.2 lijnen, zoodat dus de stand van ieder dier lijnen bepaald wordt door twee van elkaar onafhankelijke parameters. Men kan voor deze laatste kiezen de kromlijnige coördinaten u en v van een punt op een gegeven oppervlak, waarin dit gesneden wordt door den te bepalen straal van het stelsel. Dit oppervlak wordt genoemd bet beginoppervlak. De richtingscosinussen van een straal zijn dus functies van de kromlijnige coördinaten, die behooren bij het snijpunt van dien straal met het beginoppervlak; deze richtingscosinussen noemen wij: X, Y en Z. De rechthoekige coördinaten van een punt van bet oppervlak denken we ons gegeven dooide vergelijkingen:
x — <pt (w, v) y — z = f' (u»v)
Verder voeren we, in navolging van Kummer,1) de volgende notaties in:
*=■»(iy
dU ?V tU dV
6=-<!)' '-GS)"
') Het eerst is do theorie der strnlenstelsels ontwikkeld door Kummer. (Crelle's Journal, Bd 57, 1860 en Berl. Monatsber. 1859-60).
1


e = 2^JL f' = S-— g = 2 — —
?u <Vt ?udv dv dv
EG —F* = A* LN— M* = A2 dv _
dü~
Beschouwen we nu een willekeurigen straal van het stelsel, dan worden de coördinaten van een willekeurig punt op dien straal gegeven door de vergelijkingen:
| = a? + AX t] = y-{-XY f = z-\-XZ . . . . (1)
waarin X voorstelt de abscis van het punt (|, ??, f) d. w. z. den afstand van dat punt tot liet op den straal gelegen punt ;/, z) van liet beginoppervlak.
Gaat men van een straal (w, v) van het stelsel, die liet beginoppervlak in een punt M (x, y, z) snijdt, over tot een opvolgenden straal (u -j- du, V -|- dv), die mot dat zelfde oppervlak hot punt Mt (xdx,y-\-dy, zdz) gemeen heeft, dan zal de gemeenschappelijke loodlijn van beide stralen ben b.v. in de punten P en P, snijden. Is MP — T en M, Pj =r' en zijn verder f)1, H2 en ba de cosinussen der hoeken door PPX mot de coördinaatassen gevormd, dan vindt men door de gebroken lijnen OMP Px en O Mx Px op de drie assen te projecteeren:
rX -f-ex dp = dx -\-r' (X dX) )
rY4-6adp = dy 4-r'(Y + dY) } .... (2) rZ -f- h3 dp = dz -(- r' (Z + dZ) )
Hierin stelt dp de lengte der lijn PP, voor, terwijl A* -f- dX, y+ dY, Z-f- dZ de cosinussen zijn der hoeken, welke de door M, gaande straal van het stelsel niet de coördinaatassen maakt.
Door deze vergelijkingen respectievelijk te vermenigvuldigen met X, Y en Z, op te tellen en gebruik te maken van do betrokkingen:


Die twee stelsels regeloppervlakken vallen dan samen met een der stelsels ontwikkelbare oppervlakken van liet stelsel.
dv_
De beide stelsels krommen A sin « — C cos «t-( — " eu
p _|_ Q — (), zijn alleen dan twee orthogonale stelsels, wanneer voldaan is aan de betrekking:
A Q cos a — C P sin « = 0.
Wijl de geodetische kromming —7- r- der krommen,
•' » r/ ,n\
("+■%)
die de krommen («) onder een rechten hoek snijden, bepaald wordt door de formule:
——-—— = (A Q cos a — C Psina) r l | n\ AC (a + 2)
zegt de gevonden betrekking, dat do rechthoekige doorsnijdingskrommen dor krommen (a) geodetische lijnen moeten zijn. Derhalve:
Alleen dan, wanneer de stralen run het stelsel bestaan uit raaklijnen aan de rechthoekige doorsnijdingskroinmen van een stelsel geodetische krommen op het brandoppervlak, zullen de beide, op dit opptrrlak gelegen, stelsels strictielijnen van regelvlakken van het stelsel orthogonale krommen zijn.
I11 Hoofdstuk 1 is reeds bewezen, dat, zal het stralenstelsel een normalenstelsel zijn, voldaan moet zijn aan de voorwaarde f~f en tevens is daar aangetoond, dat de stralen van het stelsel dan moeten zijn raaklijnen aan een stelsel geodetische lijnen op het brandoppervlak. De voorwaarde f—f' wordt hier:
A Q cos a+CP sin « = 0





C
Qn = ~*u dip
De tweede kromtestraal wordt dus + ^gr> — •
dq>
Voor het geval, dat C eeno functie van tp alleen is, zijn dus de beide kromtestralen van het normaal oppervlak functies van elkaar. Zulk een oppervlak wordt een W oppervlak genoemd, omdat Weingarten zich het eerst met zulke oppervlakken heeft bezig gehouden. Wanneer het lijnelement van een oppervlak kan gebracht worden in den vorm: ds2 = du2 -\- f(u) dv2 is het afwikkelbaar op een omwentelingsoppervlak.
Uit het bovenstaande volgt dus, dat de beide oppervlakken der kromtemiddelpunten van alle W oppervlakken, waarvan de kromtestralen door dezelfde betrekking verbonden zijn, afgewikkeld kunnen worden op omwentelingsoppervlakken, waarvan de vorm van het lijnelement alleen afhangt van de betrekking tusschen de kromtestralen ').
Wij willen nu nagaan, wat er wordt van de vergelijking ter bepaling van de abscissen der grenspunten op een straal van liet stelsel.
In formule (10) uit Hoofdstuk ] hebben we gevonden:
A2ra_j_r eN—M(f+f')+gL +je0 —(~ip-) J = 0.
Nu is, zooals reeds volgt uit (41), de coëfficiënt van r in deze vergelijking gelijk aan —A2 qa, waarin qa de abscis is van het tweede brandpunt, op den beschouwden straal gelegen.
Verder vindt men, met behulp van de formules (38):
') Dnrboux. 3ièmo pnrtio. pag. 326.


eg _ ff +/y — — AC P Q sin « cos « - ^ (C P cos « -
— AQ sin a)2 = — ~ (CPcosk -f 4(?sin«)2.
Voert men dit in en stelt tevens voor A2 de waarde (PQi ~ dan gaat de vergelijking ter bepaling van
A2 C2
r over in:
A2C2 (CPcosa-f ,l(?sina)2 _ 4 (Pg.-f.W
Men kan deze vergelijking nog in een anderen vorm brengen, door op te merken, dat de geodetische kromming
— der krommen (a) wordt gegeven door:
ra
— = (CP COS a + AQ sin a).
r AC ct
Verder merken we op, dat,, wanneer we de kromtestraal van de kromme (a) in een zeker punt ha noemen en de kromtestraal van de normaal doorsnede, die de kromme («) in datzelfde punt aanraakt, Ra en wanneer we nog den hoek tusschen de richtingen van Rtt en ha noemen e, dat dan:
1 sin £
r h a a ... . (45)
1 COS f
zr — h
a cc
zooals onmiddellijk uit het theorema van Meusnier volgt. Hieruit volgt do betrekking:
V V V


Nu is:
_L_ »/d*X, \ 2 _ [~cos_a ^ /te, cos et te, sin a\
haa \ ds2 / — [ A du\du A +TtT~cT/ +
. sin a _9 ftxx cos a ?x1 sin «\12 + C Mi [du A + h> ~C~)
of:
1 „ Fcos a dX sin «(>AH2 _ cos2 c<
h((2 ~ L A du C~'foi ~ A2
2 sin acosd .. , sin2 « ,, AC ~C*~
Door invoering van do waarden voor L, M en N uit (.'{8) wordt dit:
^ 2 A*~C* i ^os a ~f~ AQi s'n «)2 -f-
cc
+ (PCcosct -j- QA sin «)2.
Met behulp van de bovengevonden waarde voor 
CL
volgt hieruit:
Jf — i JïjJT (Cpi eosa-f AQt sin a).
a
Men kan dus schrijven:
_j_ AC (CP cos« -f- AQ sin «)
>•„ - (PQV^Q) '
Substitueert men dit in (44), dan verkrijgt men voor de vergelijking ter bepaling van de abseissen der grenspunten op een straal:


Q 2 R 2
r2~r^--TF^ = ° (46)
a
Hieruit volgt:
1°. Bestaat hot stralenstelsel uit do raaklijnon van oen
stolsol geodetische lijnon op hot oppervlak, dan is — =0
a
en heeft men dus voor do abscissen der grenspunten op oen straal r = 0 en r = qu. Op eiken straal vallen dan do brandpunten samen met do grenspunten. Inderdaad is in dat geval hot stelsel een normaalstelsel.
20. De vergelijking (46) kan niet dienen ter bepaling van de abscissen der grenspunten, wanneer do krommen (a) zijn asymptotische lijnen op liet brandoppervlak. Dan toch is, wijl de beide brandpunten op een straal samenvallen, ptt = (), doch tevens 7?^ —cv. Voor dat geval kan do vergelijking (44) aldus worden vervormd:
Uit Qa = 0 of' C.P, cos « -f- AQt sin « = 0 volgt:
p ^ 8'n a o
l— C cos a
en dus:
CP cos a -f- AQ sin a C cos « C
{PQl-plor~~or~D1 D3 '
A C 9
Maar uit: CPl cos « -f- AQX sin a = 0 volgt ook: A2 D3 tg- a-\-2ACD2tgcc-\-C2Dl=:0
en dus:
- CD. -f \/~C*~D2*-C2DlD3 *»" = —'■ AD?' *- ;


zoodat:
~A + C' t(Ju =±~a ^W-Dx D,).
Hierdoor gaat do vergelijking (44) over in:
A 4 r*4
r2 = 0.
4 (ü,'-DtDn)
Nu is do totaio kromming van het oppervlak in een punt:
1 _DXD3-D22 Rt R2 ~ A* C*
als R1 en R„ do hoofdkromtestralen in dat punt zijn.
Wij verkrijgen dus, ter bepaling van de grenspunten op de stralen van een stelsel, die uit de raaklijnen aan asymptotische lijnen van een zeker oppervlak bestaan:
r2 + = 0.
4
Hieruit volgt:
Beschouwt men liet stralenstelsel, gevormd, door de raaklijnen aan een stelsel asymptotisclie lijnen op een willekeurig oppervlak, dan verkrijgt men de grensopperrlakken van dit stelsel, door op eiken straal van af liet raakpunt met het oppervlak naar weerskanten een stuk af te zetten, gelijk
Is dus liet oppervlak niet willekeurig, docli van constante negatieve kromming, zoodat R2 = — a2 is, a eene constante zijnde, dan zal de afstand der beide grenspunten op een straal van het stelsel constant en wel aeliik a zijn.


■
Bovendien is voor die streden de aftstand der brandpunten constant en teel yelijk O 1).
Reeds in Hoofdstuk I is er sprake geweest van pseudospherische stralenstelsels. Het stralenstelsel, gevormd door de raaklijnen aan een stelsel asymptotisehe krommen van een pseudosplieriscli oppervlak is dus een bizonder pseudospherisch stralenstelsel en wel een, waarbij de afstand der brandpunten nul is. Evenzoo zal liet stralenstelsel, gevormd door de normalen van een oppervlak, waarvoor bet verschil der hoofdkromtestralen in de verschillende punten constant is, een pseudospherisch stralenstelsel zjjn, waarbij zoowel de afstand der brandpunten als die der grenspunten gelijk is aan dat constante verschil.
In het algemeen zal voor een pseudospherisch stralen-
Ra
stelsel, volgens( vergelijking (46), zoowel qu als — constant
ra
moeten zijn, d. i.:
AQt sin a+ CP, cosa _ CP cos a A Q sin a __
JP^Q—PQi) ~a CPjCos a + ^QjSÏn a
waarbij a en m constanten zijn.
Elimineert men uit deze betrekkingen a, dan houdt men eene betrekking tusschen de fundamenteele grootheden van het gegeven brandoppervlak over, eene voorwaarde dus aan welke het oppervlak moet voldoen om van zulk een stelsel brandoppervlak te kunnen zijn. Deze is, dat het oppervlak een pseudospherisch oppervlak moet zijn, d. w. z. een
') (Nieuw Archief voor Wiskunde. Tweede reeks, deel IV, pag. 315) Dr. P. Zeeman. Eigensehappon van eenige bijzondere stralenstelsels.
Door een cijfer of drukfout in dit stukje is ergens het cijfer 4 weggevallen, waardoor gevonden wordt 1/ (— KlR,) in plaats van
X-\S (-li, li,).
ê


oppervlak, dat in alle punten cenc constante negatieve totale kromming heeft.
Op dit oppervlak zjjn dan de stralen van het stelsel raaklijnen aan zulke krommen, dat de hoek tusschen de hoofdnormaal dier kromme en de normaal van het opper-
Ra
vlak in een zelfde punt constant is; immers, daar-—con-
1 a
stant moet zijn, volgt, dat ook tg e constant moet zjjn uit formules (45). Later zullen we het bewijs leveren van de genoemde eigenschap en de vergelijking afleiden van die krommen op het pseudospherisch oppervlak, waarvan de raaklijnen liet pseudosphorische stralen stolsel vormen.
Met de krommen («) en huu orthogonale trajectoriën,
de krommen (« +), zijn nog andere stralenstelsels verbonden, ïi.l. die, welke bestaan uit de verbindingslijnen van kromtemiddelpunten en middelpunten van geodetische kromming der genoemde krommen.
Onderzoeken we eerst liet stralenstelsel bestaande uit de verbindingslijnen van de middelpunten van geodetische kromming der krommen (c<) niet de overeenkomstige middelpunten der krommen -j- ten opzichte van de vraag,
onder welke voorwaarde dit stelsel een normaal stelsel zal zijn. Wij doen niet aan de algemeenheid te kort, wanneer we, ten einde dit onderzoek zoo eenvoudig mogelijk te maken, voor de krommen («) aannemen de parameterkrom-
men v = constant en voor de krommen ( « "t" >> ^) l'° Para"
meterkrommen u = constant.
De stralen van geodetische kromming der krommen V — constant en M — constant, zijn :





D'3 uit de overeenkomstige grootheden D,, D„ en Da van S1 ontstaan door ;r, yl zt te vervangen door x, y, z2.
Nu is:
\ Ou / \ Om 1 Om Ou / /r»Y\2 r*r ? A' /^a\2
= + +2f„-s^'^ + (05) +
1 Om Ou
Hierin is:
v/'^V — r — ^ p 2 | r>2 V3j?t ^e —
-l~a° c*71 +1
— AP sin «, JSX —-1 = yl cos a Om
waardoor de voor E gevonden uitdrukking overgaat in:
p 2 /<* QaV Cft
£= /12 + ?a2} + Pa ( + V^J - 2 9a A P sin « + 2 A cos «
of:
/ \ / ? Qa\ Pl*Qa
E = yA sm a - QaPf + [A cosa-f-^ J + A„ p •
Let men nu op do in het voorgaande voor gevonden uitdrukking (41):
CPt cos cc "j- A Q | sin cc
*a= PQt- P, <y dan heeft men:
n (A sin cc n ) r, A Q sin « -(- CP cos «
/\ Sin C( Q I O i ^ L P ' 1 A n • I /in
^ce ( ) a A (Jt sin « -f- LtJl cos «


Wjjl echter
1 A ()sin«-f- CPcoaa 1 A (J, sin« —|—C P1cosa
rn ~ AC Pn ïïa ~ A*T*
waarin Ra voorstelt do kromtestraal der normaaldoorsnede van hot oppervlak, dio in hot beschouwde punt do daardoor gaande kromme (et) aanraakt, terwijl ra de straal van geodetische kromming is, zal :
P i Q H
A ■ n a a
A sin a — q P = , 
"n AL ra
en dus:
/. Q(t\ Pi29„ / nJ\
E — IA cos « -f *_ (1 4- J*_\
\ ^ *«/ A*V V ^ ra*J
Evonzoo heeft men:
/ dQa\ / / fl«2\ >
F = (,1 cos « + —j (C sin „ + —) + ^ (H^r) • • • (»°)
fï = (Csin«-f+w(1+-^)
Iets eenvoudiger nog worden doze formules, wanneer men invoert den kromtestraal ha der kromme («) iti het beschouwde punt. Volgens eeno bekende eigenschap toch is:
_L — J_ _|_ J V ~ K* + r„'
R 2 R 2
CC / CC \
cn dus —— =/1-) g-V Dit invoerende verkrijgt men
"« \ rct /
voor de fundamenteele grootheden dor eerste orde E, Feu G
van het tweede brandoppervlak S„:
5


. C> N2 P,2 Q 2 R 2
£= A«.+ £ +^hr^
X ' (t
/ \ / > P. Q, so 2 R 2
F= (ylcos«+^)(Csina+3^)+ A*&h-r-
x / \ / «i
, J»„v, ^
C = C.in„+^)+ °t;.
' Cl '
In verband hiermede wordt het lijnelement op dit oppervlak:
ds2 = E du2 -|- 2 F du dv + G di'2
P 2P 2
= |A cos « du + C sin « dv + dQa>* + A?C*ah , (pi du + Qidl')2
«
of, wijl .4 cos « du C sin « dv = dsa, het element der kromme («):
q 2 R 2
ds2 = (d^ + d^)2 + (Ptdu+Qtdvy.... (52)
cc
Van de verschillende vormen, die men in sommige gevallen nog aan dit lijnelement kan geven, vermelden we alleen de volgende. Men heeft:
dsa = A cos « du -f- £• sin « dv
ds , n — — A sin cc du 4- C cos cc dv cc -4-
2
waarin ds , n liet lijnelement der orthogonale trajecto« -4- —
2
riën van de krommen (a) voorstelt.
Hieruit volgt:
cos cc dsn — sin cc ds^ ji sin « dia + cos cc dsa _|_ n
du — 2 . (h'= c ~~


en:
l\ du + Q,du = j^.co»a+^g,8ina j ^ +
, ( AQx cos « — CPl sin a j n
AC ) «+,,•
\ allen dus de krommen («), aan welke de stralen van liet stelsel raken, samen met een stelsel kromteljjnen van liet oppervlak, in welk geval, volgens het voorgaande ') AQi eos « — CP, sin a = 0 is, dan wordt dit:
1 > du-f Q dy=CPt wa + AQ^ina _ _ AC
1 i <ri ctöa— cusw
1 ct
\ oor dat geval verkrijgt dus het lijnelement op het tweede brandoppervlak den eenvoudigen vorm:
Q 2
ds» = + dQa)* + ~ dsa* *) (53)
CC
In het algemeene geval echter, dat de stralen van het stelsel niet raaklijnen aan een stelsel kromteljjnen zijn, laat zich het lijnelement van S2 niet tot dezen eenvoudigen vorm terugbrengen. Die reductie zal evenwel mogelijk zijn voor bizondere lijnelementen van dit tweede brandoppervlak en wel voor die, welke overeenstemmen met eene verplaatsing van het punt (<r, y t zx) langs eene kromme («)t d. i. voor die lijnelementen, voor welke
— A sin « du -j- C cos « de = 0 is :1).
') Zie pag. 41.
') Zie Peil, On tbe Foeal Surfaces of the Congruencea of Tangents to a given Surface. American Journal of Mathematica, vol 20. p. 10fi.
3) Door eene eenvoudige beschouwing van cinematischen aard, kan men dit resultaat als volgt verkrijgen. Neemt men een willekeurig punt M op Su dan zal de verplaatsing, die hot uiteinde Ml


Uit do formule (52) volgt nog, dat, wanneer men liet punt (.t, y t z,) zich zoo op het oppervlak St laat verplaatsen, dat I\ du -f- Q, dv = 0 of I\ t — 0 is, het overeenstemmende lijnelement van S2 zal zijn:
ds = ds 4- dg .
a ' vct
In dat geval zal de kromme, door het punt (xt y l zx) op het beginoppervlak doorloopen, zoodanig zijn, dat de stralen van het stelsel, gaande door de punten dier kromme, een ontwikkelbaar oppervlak vormen, waarvan de keerlijn op S2 is gelegen. In de laatste formule is dus ds oen element van die keerlijn.
Uit (53) leidt men verderaf, dat, wanneer -f- = G gesteld wordt, het lijnelement van 't oppervlak den vorm:
van den door M gaanden straal van het stelsel ondergaat, wan' eer
M zich verplaatst naar een opvolgend punt N der zelfde kromme (a),
de resultante zijn van drie verplaatsingen en wel: le de translatie
MN = ds die verkregen wordt door den straal van M naar N a»
in zijn eigen richting te verschuiven, 2e de toename der lengte van den afstand MM t = p der beide brandpunten, als het punt M zich naar N verplaatst, 3e eene rotatie om N, ten gevolge van welke do straal door M de richting van den straal door N d. i. van de raaklijn in N aan de kromme (a) verkrijgt. Ten gevolge dier rotatie doorloopt het uiteinde M1 van dien straal een lijnelement = Qa dip als dip den hoek tussohen de raaklijnen in M en N voorstelt; dit lijnelement is loodrecht op de beide eerste verplaatsingen. Voor de totale verplaatsing van het uiteinde Mt, d. i. het lijnelement op 6'2, als M zich langs do kromme (a) verplaatst, heeft men dus, wijl ds
" = h is:
dif> °
I Y1 e«"
«h» = («fca + rfea) +^~~» dsa'
a
Ook in hot algemeene geval zou men door eeno dergelijke redeneering de bovengenoemde uitdrukking voor het lijnelement op S.2 kunnen vinden.


*
Q 2
ds2 =dG- + -r?-ds -
r ll 2 CC
a
aanneemt. Doch dit is de vorm van liet ljjnelement op een oppervlak, waarvoor de parameterkrommen zijn geodetische lijnen op dit oppervlak en hunne orthogonale trajectoriën. Derhalve:
Wordt het stralenstelsel gevormd door de raaklijnen van een der stelsels kromtelijnen op een oppervlak St, dan zullen op het tweede brandoppervlak een stelsel geodetische lijnen en hunne rechthoekige doorsnijdingskrominen worden bepaald door de vergelijkingen:
s — Const. s -4— o -— Const.
« a 1
of:
J | .1 cos « du -|- C'sin « dv j = Const.
n ^ i , \. , f ^ ^ , r. i. f
J ~r '1 cos a j «m + J I >y~ ~r ^sin a ) dv — Const.
Wij gaan nu over tot de bepaling der fundamentaalgrootheden van de tweede orde D/, V2' en Da' voor het tweede brandoppervlak S2. Volgens de definitie dier grootheden heeft men:
IJ ' — | 2 *^2 J') ' | '*2 ^2 ^2 JJ ' d.V2 <*'''2
1 ! dll* dll dv ! 2 dll dv du dV 3 j dvs 1>U du
Zijn A*2, r2, Z2 de richtingscosinussen der normaal in liet punt (m, i') van S2, dan is:
A- ' *!
11 f fat (V )
■


derhalve:
/V y V C>' X2 _ _ V ^2
II 2 dll2 ^ dll dll
1)2 - — 2 Y fV" '' 2 — — 2 —^2 _ _ y (> r2
II 2 dlldv dll dv dv dll
' V y y «*'#, _ _ v'jY? ^'2
// — 2 ?»» ~ iH> 3y
waarin II2 = E G — F2.
Nu is do normaal van het oppervlak S2 in 't punt («, v) evenwijdig aan dc binormaal dor kromme (a) in het overeenstemmende punt van St, omdat de heide focaalvlakken door den straal, die deze beide punten verbindt, zijn het raakvlak aan S1 in (», v) en het osculatievlak der kromme («) in dat punt, welk laatste vlak raakvlak aan S0 is. Is nu (f dc hoek, door die beide focaalvlakken gevormd en zijn A", \\ Z, de richtingscosinussen der normaal van Sl in het beschouwde punt, dan heeft men:
2 A*2 Xl = cos q>
„ .. \ cos « dx. sin a dx. )
~ \ » i /~ï—v . — 1 -- sin rf
2 ( C dv A du ) '
y Y ( cos « ^1 1 s^n « «*#1 ) n
2\ A du + C OiM
waarvan de laatste uitdrukt, dat de binormaal der kromme («) loodrecht is op de raaklijn dier kromme, terwijl de tweede aangeeft, dat de binormaal met de raaklijn der kromme
/a -f- een hoek gelijk 'y — <p maakt. Uit deze vergelijkingen volgt:


A'2 = A'j cos <p -f- | sin (p \
Y2 = r, cos rp -f-1] sin tp i .... (54)
Z2 = Zj cos cp -f- f sin <p i
waarin:
cos a sin a ?x. ê = enz.
C ïv A ?u
Met behulp van de bovenstaande uitdrukkingen voor A'2, Y2, Z2 en die welke boven voor »'2, f/2, z2 werden gevonden, beeft men nu:
Dt' dJC2 ?.''2 ( f»A'2 . .
,. — 2 — —t- = — > cos <p -4- -5- sin w —
11 ?u du ( ?u T 1 ?u T
/v- • , I ^ )
-t- + X _ j . . . . (.,0)
benevens dergelijke uitdrukkingen voor ^ , ~jj •
Ten einde hot tweede lid om te zetten in een vorm, die alleen grootheden bevat, welke betrekking hebben op het gegeven oppervlak S\ en het stralenstelsel, moeten de producten als
Su ?U ' 2u ?ll
enz. daarin worden uitgedrukt. Vrij eenvoudig kan dit geschieden door op te merken, dat elk der vormen
0.Y, 3| 31 5X
Oit ' du ' Oy' dit ' Oy
enz. beschouwd kan worden als eene lineaire functie van
A'j, , waarbij de coëfficiënten eenvoudige waarden
hebben, die van de fundamenteele grootheden voor St en het stralenstelsel afhangen. Stelt men toch:


i£=«-y.+'tS-+c^
lïf = ar-+l'^t' + °TvS~
dZ, f*'?. ,
——- = ClZ, —1- b —r (- C •
du 1 dll, du
Vermenigvuldigt men nu die vergelijkingen achtereenvolgens met „Y„ Ft, Z„ daarna met ^ ^ , ~ en
eindelijk met —11, —— en telt telkens de resultaten J du ' du dV
samen, dan vindt men:
a_0, b — — j-^, — lc>3-
Stelt men evenzoo:
dX . ,dxt . dxt
-— — Cl A , -f- b ~r— —1— O ~r~
du du du
dV (>ƒ/, . , dy,
—■— — u -) . —|— b —— —f- 6 .
du 1 du 1 do
dZ dZ d:.
~ = aZl + b ' 1 + c ^
du du 1 du
en vermenigvuldigt deze achtereenvolgens met dezelfde
factoren als boven, dan vindt men na optelling: «
1', , P sin a Pcos«
"=AC 6 = c = —C--
Op die wijze te werk gaande, verkrijgen wij dan:


:.v( _ nt tV4 d2 cV, i
iu ~ AH: :u AC3 dv
SXt _ /), Sxt _ L>3 tol OÜ A3c AC3 Ov
Of Pt' y Pcosoda11 P sin ctO.i-,
ïü~~ IC ' 1 ~~ A 3m C ~~ Öy
} ....(o6)
Of Qx' Q cos os Ox, 0 sin « ïXj i
Öy = — ~AC " 1 X ~öü ^ 3y 1
c\V _ P, P sin (tOxt , P cos ft 0#, |
7u ~ AC ' 1 ,1 Om + C Dy I
O.Y O. v Q sin a Zx, , Q cos a Ou:,
^ = ÖÜ+-C--S I
d )r ^
cn analoge formules voor —, x— enz. b Dit Dit
Substituecren wij nu deze vormen in de formule (55)
D ' j.
voor —jj-i dan gaat deze, na eenige herleiding over 111:
11 — C0S(p ( AC AC AC Ou ) +
P P ' ?Qcc)
+ sin <p j ,1 P cos « + jljT <?« + P 2u ) +
tPl(fa*m<p yty
+ ) JC— +(A S,U a~F*J cos V) du
7>, , i\ cos a , P/ sina , \ ervangt men hierin door — 1 ^— dan
laat zich deze formule brengen in den meer eenvoudigen vorm:
Di' (ty , s°« 8hly , / i • p ^ >i
TT = K+Tü\ j Ad + (a 8,n « - Pp«)c0"'S +
t , ?Pa)( „ . , Pt cosjp)
+ SA eü8a+^ilP8in*,+-j<r- v


QaRct ...
Vervangt men hierin .1 sin «— P Qa door ^Cr 1
de berekening der fundamentaalgrootheden van de eerste orde bleek reeds de gelijkheid dezer beide uitdrukkingen),
P Iï
verder P door A 81" a — en merkt °P' dat' W1J] f
Qa AL a
de hoek is tusschen het osculatievlak der kromme (a) in
't punt (u, ») en het raakvlak van 't oppervlak in dat punt,
n _ ((l de hoek zal zijn tusschen de normaal van 't oppervlak en de hoofdnormaal der kromme (a), waaruit volgt: ha = lia sin <p ha = racosy
dan gaat de laatst gevonden vorm voor -jj- over in.
p++i,«..+£| 1 11 ~~ AC) AC ha Ou) Q„I>a
en evenzoo:
J) ' tt<p . I\' ) QiQaBa . . *Qa \ Aha 8in a
# = + ,aBa | ....(57)
O. (.* , J*«| Ck«m "I
= ,57, + %) -ACkT ~ IA 5» i 1
^ _ fe g.') M _ L iin. + £) ^
11 AC\ AC htt ( 3«M QaBcc
Hieruit laat zich nu dadelijk eene uitdrukking afleiden voor de totale kromming in een punt (u, t') van het tweede brandoppervlak S2. Daartoe hebben wij slechts in de bekende formule voor die kromming, n.1.
r - D* D* ~ D"
~ II*


dien nog oen bijzonder stralenstelsel, nl. dat, hetwelk gevormd wordt door de raaklijnen der kromteljjnen van één stelsel, bijv. v = Const, beschouwt. In dat geval tocli moet Z)2 = 0, a = 0 worden gesteld, waaruit volgt:
= Qt= o, l\' = o, .' = -
zoodat men verkrijgt:
Dt' J)i QaRa?(p 7),_n. °Pg-
~ll — A* C ha Dm' 2 ' H Ot'
en:
Z(f
A1 C2 sin2 y
Uit het feit, dat hier gevonden wordt I)„' = 0 volgt, dat de krommen u = Const, f = Const, die op het tweede brandoppervlak overeenstemmen met de kromtelijnen van het eerste, toegevoegde krommen zijn. Men had dit ook uit de vroeger bewezen eigenschap, dat nl. de beide stelsels ontwikkelbare oppervlakken van een stralenstelsel op elk der focaaloppervlakken twee stelsels van toegevoegde krommen bepalen, kunnen afleiden.
In dit bijzondere geval, zullen de vergelijkingen der asymptotische lijnen op de beide brandoppervlakken S, en S2 worden bepaald door de beide vergelijkingen:
T)l du2 + D3dv2 =0
en:
dJL du2 - dv2 = 0.
A - Chtt Ou QaBa
l)e asymptotische lijnen op die beide oppervlakken zullen derhalve overeenstemmende krommen zijn, wanneer aan de betrekking:


Qce^ct ?<p - 1 P«
A2C ha2u DaQaRa du
voldaan is.
Doeli hieruit volgt:
9f c>a _ ^ A*C* ha2 _ A2C2 sin2 ^ dïi " 9v — D3Qn2Ra2~ ^iQct2
Do totale kromming van S2 gaat daardoor over in: A*C* sin4 q> 1 sin4y
hi-~D^r^r-Tt~^~r
of:
Kt K2 = S-H^f e«
A*C*
waarin Kl — -y=r~j=r r'° totale kromming van het eerste
1 3
brandoppervlak S1 voorstelt. liet tweede lid in deze vergelijking is het omgekeerde der vierde macht van den afstand der op een straal van het stelsel gelegen greuspunten. Zijn toch rt en r2 de abscissen dier grenspunten, dan vonden wij vroeger (4G):
C«2 Ra
rt +r2 = ga rt r2 = 
1 CC
derhalve:
(r, >.)—?„ j + ) sin, f
en:
hl A,= (rx - r2)4 ' • - ' (01)


Heeft men dus het stralenstelsel, gevormd door de raaklijnen van een stelsel kromtelijnen op een oppervlak en zijn de asymptotische lijnen op de beide brandoppertlakken correspondeerende krommen, dan zal het product der totale krommingen dier oppervlakken in overeenstemmende punten gelijk zijn aan het omgekeerde der vierde macht van den afstand der grenspunten op den straal van 't stelsel, die deze beide punten verbindt.
Ook in het meer algemeene geval, dat liet beschouwde stralenstelsel gevormd wordt door de raaklijnen aan de willekeurige krommen («) op het oppervlak S\ geldt dezelfde eigenschap. Ten einde dit aan te toonen, berekenen wij eerst de waarden der vormen:
D1 D2' — D2 Dx', D2D3' -D3D2, D3Dx' -D2D2', en D1D'S-D2B2',
die wij in 't volgende noodig hebben. Met het oog op do voor Dt', D2', D3' in (59) gevonden waarden, heeft men
J.jy-fl.a,- = Sü, D, -P,D.\ +
tl AC hcc r1 1 2)
Ah„ sin cc i „ )
-) — Sj)lm2 D2 mi.-
Qa Hu ( )
Maar, wijl:
D, CÜ8« . I)2 sin a n D, cosrt P3 sin«
P,= -LT- + -t-c~' <?, = —3— + —5—•
Q,D,-P,D, = \n,D,-D,'\ =A'C> K, sin«.
Derhalve verkrijgt mon:


1), IK' - »2 Pt'— J« R" A* C- A', sin 1+*** £** \Dtm, \
H 1 hn n«
En op dezelfde wijze zal men vinden.
D2D3'-D3Dt = _ e» h\ cosa-Cha™a\D2m2-DamJ
[{ ' hn Qana
„ ƒ? Ahr, sin « i
D_a Pi' — Dj Jh'_ = ^ C°Kt cos«+ —p— l
H ha -"« I
„ « Ch„ cos «
D. D.'-DtD.' = 0 e« c» Kt«»« 
jy 1 h(l nu I
Heeft men nu een stralenstelsel, gevormd door de raaklijnen aan de krommen («) op het oppervlak S,, zoodanig,
dat de asymptotische lijnen op de beide focaaloppervlakken iS cn S2 overeenstemmen, dan moet.
Dt _ D2 _ X>8 ,
d\~d2 n,'
Doch daaruit volgt, gelet op de twee eerste der bovenstaande
formules» wijl nu DtDt—D2Dl en D2D3 — 32 beide nul zijn:
yl2(> Q^JiaIi1 \ Cp cos« + sin« j =
ha
= ^ j m2 (CDt cos « + AD2 sin «) -
(>« Ra '
- m, (OD2 eos« -f AD3 sin«) j.
Of, wijl
OD, cos« + AD2 sin« = AC. Pt,
CD, cosce + AD3 sin« = AC. Qx is:
+ A, -in. _ = -,^-Tr
0, *, — f, •», Sa -ia ' ' '


Substitueert men dit in de boven voor I\2 gevonden vorm, dan gaat deze daardoor over in
Sin4g>
K, K„ = —T-*
1 -
Derhalve:
Wanneer de asymptotische lijnen op de beide brandoppervlakken van een stralenstelsel overeenstemmende krommen van beide oppervlakken zijn, dan 's 1'et product der totale krommingen van die beide oppervlakken in overeenstemmende punten gelijk aan het omgekeerde der vierde macht van den afstand der beide grenspunten op den straal gelegen, die deze beide punten verbindt').
Overeenstemmende punten van beide oppervlakken zijn hier, evenals in het voorgaande, die punten in welke zij door een zelfden straal van het stralenstelsel worden aangeraakt.
I)e juist bewezen eigenschap is voor uitbreiding vatbaar. Zijn de stralenstelsels zoodanig, dat met de beide stelsels asymptotische lijnen van een der brandoppervlakken, op het andere stelsels van toegevoegde krommen overeenstemmen , dan moet uit
Dt du2 + 2 Dt du dv + D3 dv2 = 0
welke vergelijking de asymptotische lijnen van het eene brandoppervlak bepaalt, volgen:
L)t' 6uótw -f V2' {du ó,v + óv ótu) -f 1)3 6vdtv = 0
door welke vergelijking twee toegevoegde richtingen op
') Ribaucour. Étude «les élassoïdes ou surfaces ii courbure moyenne nulle. (Mémoires couronnés et publiés par 1'Académie royale de Uelgique: t. XLIV, 1881).
6


het andere bepaald worden. Lost men dus uit de eerste
de beide waarden van ^ op, welke daaraan voldoen, dan du
moeten deze ook aan de laatste voldoen. De daartoe noodige en voldoende voorwaarde is:
7)3 7),' — 2 D2 D,' + DlDa' = O
of
(£>3 Dx' — IK. D2') + (/>, DaD2 D2') = 0.
Substitueert men hierin de, op pag. 80, verkregen resultaten, dan wordt dit:
A2 C2 A', —| Cp cos « + Ai] «in « \ =
"ce
sMt {Al), sin «-f CD, cos «) - m, {Al), sin « + CD, cos «)< '
waaruit:
Aq sin « -j- Cp cos a sin2y
Qt m, — Wl2
De uitdrukking voor de totale kromming A'2 van het tweede brandoppervlak wordt dan:
i- sin4y i- i' r _ ain>
A2 = nr ()f Ai A« —7"«~ " ' " ' l )
Derhalve:
ffrt»n«er rfe asymptotische lijnen van het eene brandoppervlak van een stralenstelsel overeenstemmen met een stelsel toegevoegde krommen op het tweede brandoppervlak, is het product der totale krommingen van die heide oppervlakken in correspondeerende punten gelijk aan het omgekeerde der vierde macht van den afstand der grenspunten,


gelegen op den straal, die de beide punten verbindt, met het negatieve teeken z).
Omgekeerd zullen, nis oon stralenstelsel zoodanig is, dat het produet der totale krommingen van de beide brandoppervlakken in de beide punten, in welke zij door een zelfden straal worden aangeraakt, gelijk is aan bet omgekeerde der vierde macht van den afstand der op dien straal gelegen grenspunteu, de asymptotische lijnen dier brandoppervlakken correspondeerende krommen zijn. Opdat dit toch plaats vindt, is uoodig en voldoende:
Dx D2 - 1)2 Dt' = 0 D2 Dt' - D3 Da' = O.
Nu is gegeven voor het product der totale krommingen in overeenstemmende punten der brandoppervlakken:
, • • r- i V. D„— I)22 .. , d. i. wanneer men hierin A, door—! en K2door
de waarde uit (60) vervangt:
Oi mi — Pi ms —
DJ),- l)2 2 P«2 { cos «fd<p P,'\ , sin « fdjp Qj\\ _ " A* C ~ sin2y / A AC/ C \h' AC/)'
Bovendien vindt men door gelijkstelling der beide, boven D '
voor —jj- verkregen, uitdrukkingen:
C cos «. m, + A sin «. m2 =
= g"2 i p 1*1 4- _ (, (If. 4- LCÏ.
ACsin2y, I 1 \du AC) " 1 \hi AC/)
') Waelsch. Comptea Rendu» de 1'Academie des Seinneos. T. 118.


Lost men uit deze beide vergelijkingen m, en mop, dan heeft men:
m' = A'C°.in.» |D' (te + ïè") ~D' (te + Mji = 3ït^lTn> iD* (te + AC') ~ D' (te + lt)j-
Rn hieruit volgt onmiddellijk:
/>.- D. m, = - 44-
A2 L- sin2^ \(>u -46/
*, ■».-Dtmt = - ~ V *L + 5il\
^42 C2 sin2gp AC /
d. i. blijkens het voorgaande Dx D2' - D2 Dt' = 0 D2 Ba' - D3 D2' = 0 i).
') In Deel CXVIII van de Comptes rendus dc 1'Acndc-mie dos Sciences komen een drietal korte mededeelingen van de lieeren Demou 1 in, Cosserat en Waelsch voor over metrische eigen» schappen van stralenstelsels. In de eerste beschouwt Demnulin drie soorten van stralenstelsels en wel:
1" die, bij welke op de beide brandoppervlakken de asvmptotische ljjnen correspondeerende krommen zijn.
die, bij welke op deze oppervlakken de kromtelijnen correspondeerende krommen zijn.
3« die, bij welke de asymptotische lijnen op het eone oppervlak correspondeeren met de kromtelijnen op het tweede.
Volgens hem is voor elk dezer drie stralenstelsels het product dor totale krommingen van de brandoppervlakken in twoo overeenstemmende punten:
(17-
Voor de eerste soort stralenstelsels is dit niets anders dan de eigenschap, die het eerst door Ribaueour is bewezen. Hij het doorhem gegeven bewjja gaat Demoulin uit van enkele eenvoudige eigenschappen van regelvlakken.
De tweede soort stralenstelsels is dezelfde als de eerste. Gemakkelijk


E=c-?~l(A>D9-C*Dt). 1
Evenzoo vindt men:
F= 0, G = — (A2 Da - C2 Dt).
Verder:
j~. , i ~ Pot s'n u cos u . A2 sin « cos « sin r//
1 ~ A*C* sin <p + ^ j).... (63)
- 8in«co»« \üt2 2 sin2 A2 C2 sin f ( A2 Qce2 i
_Pasinoco8«^z>i yj)
~ A* C* ain9(A* C2) 1
terwijl men op analoge wijze verkrijgt:
• ~ ' • — cs »in»U' ei •'
Uit deze formules blijkt nu onmiddellijk, dat de differentiaalvergeljjking der asymptotische lijnen op het tweede brandoppervlak S2, nl.
/>,' du2 -f- 2 1>„' dit dv + 1)3' dv1 — 0
zich reduceert tot:
i>, du2 + D3 du2 = li
in. a. w., dat de asymptotische lijnen op beide brandoppervlakken correspondeerende krommen zullen zijn. Doch bovendien is I)2' — 0, F — 0, derhalve zullen de krommen u = Const., v — Const. op S2 een orthogonaal stelsel van verwante krommen bepalen, d. \v. z. ook de kronitelijjnen der beide brandoppervlakken zijn correspondeerende


krommen, terwijl daaruit dan verder volgt, dat met elk stelsel van verwante krommen op het eene brandoppervlak een dergelijk stelsel op het andere overeenstemt.
Doch bovendien blijkt nog. dat eorrespondeerende bogen der asymptotische krommen op de beide brandoppervlakken dezelfde lengte hebben. Immers, de lijnelementen op beide oppervlakken worden bepaald door:
dst2 = A-du- -f C2dv2 ds2 2 =. E du2 -j- G dv2
= (A*l).s - C2I\) (^du> - ^ dv,y
Deze ljjnelementen zijn dan alleen aan elkander gelijk, wanneer voldaan is aan de betrekkingen:
A* = (A2D3 - C*Dt) C*=-(A*])i — C*U1.
Uit beide volgt:
A2 D3 sin2 u -f C2 1>1 cos2 cc = 0.
Doch dit geeft, wanneer men ^1 °"S " door Pt, —
door <Jt vervangt, do vroeger, op pag. 39, gevonden vergelijking der asymptotische lijnen van hot oppervlak St. Derhalve:
Heeft men een pseudospherisch st ralenstelsel, dun zullen de asymptotische lijnen der beide brandoppervlakken eorrespondeerende krommen zijn; dezelfde eigenschap geldt voor de k omtelijnen dier oppervlakken. Correspondeerende bogen der asymptotische krommen op die oppervlakken hebben dezelfde lengte.
In al het voorgaande werd aangenomen, dat pseudospherische stralenstelsels bestaan d. w. z. zulke stelsels, hij welke