Stuomdr. .de Industrie. J. van Dki-thn - Utrecht. C li fff Involuties op rationale krommen. joh. a. vreeswijk jr. INVOLUTIES OP RATIONALE KROMMEN. Involuties op rationale krommen PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN Doctor in de Wis- en Natuurkunde aan de rijks-universiteit te utrecht na machtiging van den rector magnificus Dr. J. M. S. BALJON Huogi.kjlkaak in i>k Faculteit dku Goi>uiclkkbi>hkii> volgens kksluit van den senaat der universiteit tkgün dh bkdenkinftkn van dk Faculteit der Wis- en Natuurkunde te verdedigen op Dinsdag 9 Mei 1905 des namiddags ten 3 ure dook JOHANNES ADRIANUS VREESWIJK Jr geboren te Gouda Stoomdrukkerij „de Industrie" J. Van D rut en - Utrecht I9°5 I i Aan het einde van mijn proefschrift gekomen is het mij een aangename taak U, Hoogleeraren der Wis- en Natuurkundige Faculteit, mijn dank te betuigen voor het onderwijs, dat ik van U mocht ontvangen. In het bijzonder voel ik mij verplicht aan U, Hooggeleerde De Vries, Hooggeachte Promotor, door Uwe voortdurende belangstelling in mijn werk en door de vele raadgevingen die ik in verschillende omstandigheden van U ontving. INHOUD. Bladz. HOOFDSTUK I. § i en 2. De quadratische involutie op een rechte lijn. i § 3. De involutie van den Pcn graad op een rechte . 6 § 4. De involutie van den Pen graad op eene kegelsnede. 8 § 5. Constructies 11 § 6. Duale beschouwingen over involuties op een kegelsnede 12 § 7. De Ip op een willekeurige rationale vlakke kromme 14 HOOFDSTUK II. § 1 en 2. De algebraïsche verwantschap 17 § 3. De involutorische of symmetrische verwantschap . 24 § 4. Collocale stelsels 25 § 5 en 6. Involuties van hoogeren rang 26 § 7. Collocale involuties van hoogeren rang . . . . 32 ij 8, De P op een cubische vlakke kromme met een lus. 34 HOOFDSTUK III. § 1. De involutie Ip op een willekeurige rationale vlakke kromme 38 § 2. De involutie Ip op een willekeurige rationale vlakke kromme 42 § 3. De involutie Ip der raaklijnen aan een rationale vlakke kromme 44 § 4. De involutie I2 op een rationale vlakke C3. . . 46 § 5. De involutie I3 op een rationale vlakke C3 . . . 47 § 6 en 7. De involutie 12 op een kromme van de vierde orde met drievoudig punt 51 S 8. De involutie I3 op een kromme van de vierde orde met een drievoudig punt 57 VIII Bladz. S 9. 10 en ii. Insnijdende bundels 58 ü 12. I' undamentale involuties op rationale krommen van den vijfden graad 64 $ '3- Over stelsels van kegelsneden die bij involuties op rationale krommen behooren 67 HOOFDSTUK IV. ij 1. Involuties op rationale ruimtekrommen ....71 8 2 en 3. Het regelvlak (P, P2) -1 8 4. Het trisecanten oppervlak 7^ 8 5- De vlakke doorsnede van het regelvlak (P, P2). 76 § 7. Toepassing voor n = 3 77 § 8. De I2 op een rationale J<3 jq 8 9. Toepassing voor 11 = 4 80 8 10. De involutie Ip g, Sn. Het geslacht van het regelvlak (P, P4). ... 82 8 12. De ruimtekromme waaraan de vlakken (P, P.2 P3) oseuleeren ^ 8 '3- Dualistische beschouwingen 86 >5 14. Kubische involuties van den eersten en tweeden graad op kubische ruimtekrommen 87 hoofdstuk v. 8 1. Rationale Ruimtekrommen g4 8 2. Centrale projectie der Rn gg 8 3- Raakvlakken en raaklijnen 06 8 4. Osculatievlakken en Dubbelraakvlakken ... 98 8 5. Oppervlak der bisecanten, rustende op'n rechte lijn 99 8 6. Oppervlak der Trisecanten 101 § 7. Normalen der Rn HOOFDSTUK I. § i. De quadratische involutie op een rechte lijn. Bepaling. Hebben wij een stelsel van puntenparen Pt P2, zoo dat P, en P2 elkaar ondubbelzinnig bepalen, dan noemen wij zoo'n puntenstelsel eene involutie van den tweeden graad of eene I2.» Een bundel kegelsneden bepaalt op een willekeurige rechte / zoo'n involutie. Immers neemt men op l een punt dat we P! noemen dan bepaalt dit punt met de vier grondpunten A) A2 A3 A4 van den bundel een kegelsnede die l, behalve in P|, nog in een tweede punt snijdt. Dit laatste punt noemen wij nu P2. Het is. wanneer P] bekend is, geheel ondubbelzinnig aangewezen. De kegelsnede (At A2 A3 A4) P) P2 is echter ook bepaald zoodra het punt P2 gegeven is. Dan vinden wij bij P2 het zelfde punt P! waarvan wij vroeger uitgingen. Men zegt nu dat de punten P) en P2 aan elkaar zijn toegevoegd , dat wil dus zeggen dat wanneer we één van die punten weten, het andere ook aangewezen is. Het is duidelijk dat voor alle puntenparen door de verschillende exemplaren van den kegelsnedenbundel op / ingesneden, hetzelfde kan gezegd worden en dat we op die manier op de lijn I een stelsel van oneindig veel puntenparen hebben verkregen, dat voldoet aan de bepaling van eene involutie van den tweeden graad aan het begin van deze § gesteld. De lijn / wordt de drager der quadratische involutie I2 genoemd. We kunnen gemakkelijk drie paren eener I2 verkrijgen door ons te bedienen van de drie ontaarde kegelsneden gaande door de vier basispunten. Door middel van de algebra laat zich het begrip van involutie even goed verstaan. Voor de algebraïsche voorstelling der involutie kiezen wij op de drager / een willekeurig punt X dat nulpunt van telling wordt voor de afstanden of abscissen van alle punten der lijn / tot aan dat nulpunt X. De stand van een punt P, op / is dan door de abscis x bekend, terwijl evenzoo de plaats van een punt P2 door de bij behoorenden abscis y kan gegeven worden. Bestaat nu tusschen de bedoelde grootheden x en y de betrekking a x y + b (x-f-y) + c = o . . . . (i) waarin a. b en c bepaalde coëfficiënten zijn, dan blijkt onmiddellijk dat wanneer het punt P, en dus de x bekend is, de y ondubbelzinnig wordt gevonden en andersom, wat weder hierop neerkomt dat de punten P, en P2 elkaar volkomen bepalen, of m. a. w. dat P, en P2 «toegevoegde» punten zijn. Maar het is eveneens duidelijk dat welk punt men ook op l als P, kiest, men daarbij steeds één punt P2 zal vinden en dat dit laatste punt weder het eerste kan opleveren. 1 )e beschouwde toestand van de oneindig vele punten eener rechte lijn / is slechts een bijzonder geval eener meer algemeene gedachte. Het kan n.1. zijn dat aan het punt P is toegevoegd het punt Q, maar dat nu het punt Q niet het punt P aangeeft maar een ander punt van /. Er bestaan dan eigenlijk twee puntenstelsel op /: het stelsel (P) en het stelsel (O). Men noemt ze eollocaal., omdat zij op denzelfden drager zijn gelegen. Elk punt van / is op te vatten als een punt I' van het eene stelsel en wijst dan het toegevoegde punt ij van het andere stelsel aan. Maar noem ik dat eerste punt Q'(=P) dan hoort er een punt P' bij dat niet het genoemde punt (J is. Wel zijn de punten der lijn l één aan één aan elkaar toegevoegd, welk verband men een projectie/ verband noemt, of ook projectieve verwantschap. Door eene bilineaire vergelijking van de gedaante a x y -|- b x —|- c y -)- d = o . , . . (2) is zij volkomen bepaald, wat na het gezegde geen verdere toelichting' behoeft. Stelt men nu in deze laatste vergelijking de coëfficiënten van x en y aan elkaar gelijk, dus b = c, dan komt vergelijking (i) te voorschijn, waarmee is aangetoond dat de quadratische involutie een bijzonder geval is van eene verwantschap één aan één, gedacht tusschen de oneindig vele punten eener rechte lijn. § 2. Wij keeren terug tot de vergelijking (i) der quadratische involutie, en schrijven die in den vorm * y + 1' (x + y) + 7 — " (0 ° Xa verschuiving van het nulpunt over een afstand '' vinden wij in de nieuwe coördinaten voor de vergelijking der I2. £ vi = constante (3) ten opzichte van het nieuwe nulpunt M. Onderstellen we het geval £ = v/, dan wordt (3) £2 = constante. £ = + ]/ constante (4) waaruit blijkt, dat er steeds twee punten D, en D2 bestaan, die met hun toegevoegde punt samenvallen. Men noemt ze de dubbelpunten der quadratische involutie. Ook uit vergelijking (1) volgt het onmiddellijk; men stelle slechts x = y waardoor een quadratische vergelijking in de parameter x ontstaat waarvan de beide wortels de twee dubbelpunten der I2 vertegenwoordigen. Maar de vorm (4) heeft het voordeel dat daaruit eenvoudig is te zien, dat het nieuwe nulpunt M het midden is der beide dubbelpunten I), en D2. Meetkundig laat zich vergelijking (3) nu op de volgende wijze schrijven, wanneer Pj, P2 ean willekeurig paar der 12 voorstellen M P,. MP2 = MDj2 = MD22 hetgeen eenvoudig wil zeggen dat de punten P: en P2 door de dubbelpunten der involutie harmonisch worden gescheiden, welke stelling voor directe omkeering vatbaar is. Uit (4) is nog af te lezen, dat de dubbelpunten D, en D2 bestaanbaar maar ook onbestaanbaar kunnen zijn; imaginaire dubbelpunten komen in het volgende geval voor. De verwantschapsvergelijking der quadratische involutie had den vorm a x y + b (x + y) -f c = o . . . . (i) zij bezit klaarblijkelijk twee onafhankelijke coëfficiënten, d.w.z. elke quadratische involutie is door twee paren volkomen bepaald, of anders: wanneer twee paren gegeven zijn, kan men alle andere paren vinden. Stel nu de paren A,,A2 en B,. 02 zijn op de drager / gegeven. Richt men nu op Ai A2 en 1?! B2 als middellijnen twee cirkels op en neemt aan dat zij de snijpunten S en S' hebben. Wij zien dan dat SA! J_ S A2 en S Bi J_ S B2. Kiest men Cj willekeurig op / en verbindt Ci met S, dan staat in S maar één lijn loodrecht op Q S. Snijdt deze loodlijn de lijn l in het punt C2, dan geldt SC] _!_ SC2. Bij eiken willekeurigen straal Q S, wordt slechts één andere gevonden C2 S, en omgekeerd doet C2 S weder Cj S terugvinden. Breiden we de bepaling, aan 't hoofd van deze § genoemd, uit tot stralen van eene waaier dan blijkt dat al de rechte hoeken in 't punt S gevormd eene straleninvoliitic uitmaken van den tweeden graad. De snijpunten van toegevoegde stralen n.1. de punten A],A2; Bj,B2; C),C2 enz. zijn nu vanzelf in een ^gerangschikt. Door het punt S of ook door het ten opzichte van / symmetrisch gelegen punt S' is de I2 volkomen bepaald. De twee paren A,,A2 en Bi, B2 geven aan waar de punten S en S' zijn te vinden en hiermee is de stelling dat elke quadratische involutie door twee paren volkomen bepaald wordt, ook meetkundig opgehelderd. Bij de straleninvolutie (S) is het bestaan van rfWV;r/stralen ten eenenmale onmogelijk en de bijbehoorende punteninvolutie op / kan dan ook geen dubbelpunten vertoonen. Wij hebben hier een geval van imaginaire dubbelpunten verwezenlijkt. Men kan ook zeggen de paren der bedoelde involutie worden ingesneden door alle cirkels gaande door de punten .S' en S', en de onmogelijkheid van het onstaan van dubbelpunten is weder in te zien. In geval de paren Ai,A2 en Bi,B2 zoo gegeven zijn, dat de segmenten A] A2 en Bj Ii2 elkaar uitsluiten, zal de besproken constructie falen; we volgen dan een anderen weg. Ergens in het vlak beschrijven wij een willekeurigen cirkel en nemen daarop, eveneens willekeurig, het punt Mi aan. De lijnen Mi Aj en Mi A2 snijden op den cirkel de punten Xi X2 in; de lijnen Mi B] en Mi B2 de punten Yi,Y2. Het snijpunt der verbindingslijnen Xi X2 en Y] Y2 noemen we M2. Denken wij aan alle stralen door M2 of van den waaier M2, dan vormen de op eiken straal gelegen snijpunten met den cirkel de paren eener quadratische involutie. De stralenbundel (Mi) geeft op dezelfde wijze een involutie van den tweeden graad. De beide collocale involuties hebben de paren (Xi,X2) en (Yi,Y2) gemeen; zij zijn derhalve identiek, d. w. z. de beide waaiers (Mi) en (M2) snijden dezelfde involutie op den cirkel in. Of ook de verbindingslijnen van toegevoegde punten eener I2 op een cirkel gaan door een vast punt. Hier het punt M2. Is het punt M2 uit de twee gegeven paren Ai, A2 en B], B2 gevonden, dan trekken we een willekeurigen straal door M2, die de snijpunten Zi Z2 oplevert. Projecteer deze uit M], dan wijzen de lijnen Mi Zt en M] X2 op de lijn l het paar (C],C2) der involutie aan, waartoe ook Ai,A2 en B(, B2 behooren. Uit M2 gaan nu of twee reëele of twee imaginaire raaklijnen aan den cirkel. In het eerste geval zullen de beide raakpunten R, en R2 de duboelpunten voorstellen der involutie (X, Y), en zij zullen uit M] geprojecteerd noodwendig de beide bestaanbare dubbelpunten der op l gelegen involutie (A B.) aanwijzen. Ging de eerste constructie slechts in één geval door, de laatst besprokene is in beide gevallen te gebruiken. Toepassingen: 1. Een bundel kegelsneden bepaalt op een recht l een I2. Lettende op de drie ontaardingen zien wij de bekende stelling van Desargues dat de overstaande zijden van een volledigen vierhoek op een rechte drie paren eener zelfde involutie insnijden. 2. Elke I2 bezit twee dubbelpunten. Door vier punten gaan derhalven steeds twee kegelsneden die een gegeven rechte aanraken. 3. Ligt de gegeven rechte in het oneindige dan blijkt dat er door vier willekeurige punten steeds twee parabolen gaan. § 3. De involutie van den pen graad op een rechte. Bepaling. «Hebben wij een stelsel van puntengroepen Pj Pp, zoodat elke groep door één harer punten, onverschillig welk volkomen bepaald is, dan noemen wij zoo'n puntenstelsel eene involutie van den p'n graad of eene lp.» Een bundel krommen van den pcn graad zal op een rechte / zoo'n lp bepalen. Algebraïsch kan men de involutie van den pen graad, op de lijn / als drager gelegen, voorstellen door de vergelijking a x + * b* = 0 (') waarin av en />>x' functies van den pen graad in x zijn. De coördinaat x is te rekenen van af zeker nulpunt op den drager / en X is een parameter. Zoodra men aan X een bepaalde waarde toekent, levert de vergelijking (1) voor de veranderlijke x blijkbaar p waarden. Elke waarde van A geeft een groep van p punten aan. Is omgekeerd een punt Pi door de abscis x, gegeven dan wordt door de substitutie dezer abscis in de vergelijking (1) de parameter x gevonden en zijn de p wortels van vergelijking (1) bepaald. Hieruit is te zien dat door één punt jP| steeds een groep van p punten bepaald wordt waartoe ook dat punt Pi zelf behoort, terwijl het weder onverschillig is van welk punt der groep men uitgaat. De mogelijkheid bestaat dat de vergelijking (i) voor een bepaalde waarde van A twee gelijke wortels bezit. In zoo'n geval is liare afgeleide nul. Eliminatie van A tusschen vergelijking (:) en hare afgeleide zal eene vergelijking van den graad 2 (p—1) in x doen ontstaan d. w. z. «Elke involutie van den pe" graad bezit 2 (p— 1) dubbelpunten». Neemt men op den drager der Ip twee nulpunten aan, dan kan men de plaats van een punt bepalen door de verhouding der afstanden tot die twee nulpunten en met homogeene coördinaten werken. Dan is de Ip algebraisch voor te stellen door de vergelijking up (x, x2) + * vP (xi x2> = o. De functies n en 7' zijn nu van den pen graad in Xj en x2. Voor dubbelpunten der Ip moet nu gelden: du, dv du, dv d^ + Adx,=° d^ + Adx„-°- Eliminatie van A levert du d v d v d v clx,' d x., d Xj d x, Deze functionaal determinant is van den graad 2 (p— 1), waaruit het bovengenoemden resultaat weder blijkt. Op soortgelijke wijze is te onderzoeken of de Ip drie- of meervoudige elementen bezit. Maar in 't algemeen zijn die er niet. Is er een p-voudig element en nemen wij dit tot nulpunt van telling, dan is de Ip voor te stellen door XP + A Cp (x) = O. cp (x) = functie van den pen graad in x. Voor dubbelpunten is p xp - 1 -)- a 0' (x) = °. Eliminatie van A geeft de vergelijking: xp cp' (x) — p XP -1 cp (x) = O. Zij heeft (p — i) wortels de nul zijn d. w. z. F.lk p-voudig punt vervangt (p i) dubbelpunten». Ergens anders liggen er nog (p — i). Uit den vorm der vergelijking ap + A bp = o X ' X is weder te zien dat de Ip door twee groepen volkomen bepaald is; want dan zijn de functies a£ en bp bekend, waarmee de vergelijking der Ip kan samengesteld worden. § 4. De involutie van den pen graad op eene kegelsnede. De Ip die wij tot nu toe op een rechte hebben beschouwd, laat zich. onmiddellijk op elke rationale vlakke kromme overbrengen. In de eerste plaats op eene kegelsnede. Nemen we op een gegeven kegelsnede een willekeurig punt en projecteeren wij uit dat punt de Ip, die op een rechte in hetzelfde vlak is gelegen, dan snijdt de projecteerende stralenbundel op de kegelsnede eene puntenreeks in, welke ook eene Ip is, wegens de overeenkomst één aan één tussclien de punten der beide reeksen. We spreken nu over de Ip op de kegelsnede ontstaan. Worden de toegevoegde punten door rechte lijnen twee aan twee verbonden, dan is de vraag: wat is de omhullende van al deze verbindingslijnen? De klasse laat zich makkelijk bepalen. Immers door 'n willekeurig punt F! van de kegelsnede C2 kunnen niet meer dan (p— 1) raaklijnen der omhullende gaan; nl. alleen die welke het bedoelde punt Pj met de (p— 1) punten P2,... Pp verbinden die door de involutie aan het punt Pj zijn toegevoegd. De klasse der omhullende of der zoogenaamde involutiekromme is derhalve (p — 1). Voor p —2 is de involutiekromme een enkel punt. Wij zagen dan ook vroeger dat de verbindingslijnen van toegevoegde punten eener I2 op een cirkel door één punt gingen. Bestaan op een kegelsnede twee involuties, bijv. eene Ip en eene lq, dan hebben zij involutiekrommen waarvan de klasse achtereenvolgens is (p— i) en (q— i). De beide omhullenden zullen blijkbaar (p i) (q—i) gemeenschappelijke raaklijnen bezitten. Zoo'n raaklijn ontstaat, wanneer de twee collocale involuties een paar gemeen hebben, zoodat twee collocale involuties Ip en lq steeds (p—i) (q—i) paren gemeenschappelijk hebben. De involutiekromme der Ip en de drager C2 hebben 2 (p—1) gemeenschappelijke raaklijnen. Wat beteekenen die voor de lp? Het zijn eenvoudig de 2 (p— 1) raaklijnen die men in de dubbelpunten der Ip aan de kegelsnede kan trekken. Onder vertakkingspunt verstaat men een punt waarvoor twee toegevoegde punten samenvallen. Zoo zal een groep van p toegevoegde punten waaronder een dubbelpunt P] = P2, (p — 2) vertakkingspunten bezitten P3 Pp. Aan elk der punten P3 Pp is immers het dubbelpunt P( = P2 toegevoegd. De 2 (p — 1) dubbelpunten der Ip doen dus 2 (p — 1) (p — 2) vertakkingspunten ontstaan. Uit een vertakkingspunt P3 gaan naar het bijbehoorende dubbelpunt P, = P2 de twee raaklijnen Pi P3 en P2 P3, die samenvallen, d. w. z. elk vertakkingspunt is op de involutiekromme gelegen. Zoo liggen er 2 (p—1) (p—2) punten der omhullende op de kegelsnede, m. a. w. de graad der involutiekromme is (p — 1) (p — 2). Dubbelraaklijnen kan de involutiekromme niet bezitten; daarvoor moesten in één groep minstens twee dubbelpunten voorkomen en dat is in het algemeen niet het geval. Nu is volgens een der formules van Plücker n = k (k — 1) — 2 t — 3 (3- Voor de involutiekromme is gevonden , n = (p— i) (p — 2) I k = p — i ' t = o Bijgevolg ook (3 = o. De onmogelijkheid van buigpunten blijkt bovendien meetkundig. Voor het geslacht der omhullende is makkelijk te vinden R = '/2 (p — 2) (p — 3). We zien uit het bovenstaande dat eerst een cubischc involutie een eigenlijke involutiekromme bezit en wel een involutickegclsnedc. De I3 op de kegelsnede C2 is door de twee drietallen Aj,A2, A3 en B1.B2.B3 volkomen bepaald, en de zes verbindingslijnen dezer beide drietallen raken nu aan een tweede kegelsnede k2. (Tieten we dit resultaat in een bekenden vorm dan krijgen we: Zijn twee driehoeken beschreven in zekere kegelsnede dan raken hunne zes zijden aan een nieuwe kegelsnede». Wij zien, dat er een heel stelsel van driehoeken bestaat die aan dezelfde voorwaarde voldoen. In 't algemeen is de omhullende der Ip niet rationaal. Het geslacht kan verminderen, wanneer in één groep der involutie meer dan één dubbelpunt aanwezig is. Dan wordt het geslacht der involutiekromme voor elk meerder dubbelpunt met één verlaagd. Een groep der Ip bepaalt •/2 p (p— 1) raaklijnen aan de omhullende die door V2 (p—1) ip -)- 2) raaklijnen bepaald is, zooals volgt uit hare klasse. En zoo zien we licht in dat de omhullende der verbindingslijnen van toegevoegde paren, o. a. door één volledige groep der lp en (p—1) geheel willekeurige puntenparen bepaald is, terwijl dan ook de involutie zelf bepaald zal zijn. § ,v Constructies. Zoodra op een kegelsnede twee paren Ai, A2 en 15,, B2 gegeven zijn, is een I2 bepaald, d. w. z. dat we dan alle paren kunnen vinden. Zoek slechts het snijpunt M der lijnen A],A2 en Bj, B2. Iedere willekeurige lijn door .1/zal dan een ander paar der involutie bevatten. Dit punt M is niets anders dan het reeds besprokene klassepunt der ontaarde involutiekromme. De cubische involutie is door twee drietallen (A) en (B) bepaald. Hoe vinden we dan de overige drietallen? Daartoe nemen we op de kegelsnede het punt P willekeurig aan. De twee ontaarde kegelsneden (PA], A2A3)en(PB1, B2 B3) bepalen de vier grondpunten P, Q, R, S van een bundel. Omdat nu één der basispunten nl. het punt P óp de kegelsnede is gelegen, zullen de exemplaren van den bundel eene I3 voortbrengen op de kegelsnede van uitgang. De ontaarde kegelsnede (Q S, P R) levert een 3e groep (C.) Is nu op de kegelsnede eene cubische involutie gegeven door de beide groepen (A) en (B) dan is het mogelijk het drietal te bepalen waarvan één punt C3 vooruit aangewezen is. De lijnen A2 A3 en B2 B3 bepalen het punt .S'. Trek nu C3 S dan snijdt deze lijn het punt P in. De rechte Q A, en P B, geven nu op B2 B3 en A2 A3 de plaats der basispunten Q en R aan. Trek nog Q R en men vindt de punten C) en C2 die met het vooraf bepaalde punt C3 ééne groep vormen, Geef C3 telkens anderen standen, dan zijn op deze wijs alle groepen der I3 te verkrijgen. Men kan ook uit deze constructie zien dat de 13 door één drietal (A) en twee paren B2, B3 en volkomen bepaald is. Immers deze bepalen het punt Q. De lijn Aj Q geeft 't punt P. Het punt A' wordt gevonden als het snijpunt van A2 A3 en B2 B3, terwijl A2 A3 door Q C2 in het vierde basispunt R wordt gesneden, waardoor de bundel weder bekend is. Voor de biquadratischc involutie geldt ongeveer dezelfde constructie. Stel gegeven de viertallen (A) en (B) van een 14 op een kegelsnede. De ontaardingen (Aj A2. A3 A4) en (li, l^, B3 B4) leveren vier snijpunten, die een bundel kegelsneden bepalen. De derde ontaarding levert een derde viertal (C). Door herhaalde toepassing dezer constructie vinden wij zooveel groepen als wij willen. § 6. Duale beschouwingen over involuties oij eex kegelsnede. In het platte vlak zijn punt en rechte duale begrippen. Zoo kan een stralenbundel, die uit 'n punt AI een op een rechte gelegen quadratische involutie projecteert, als de duale omzetting dier I2 worden beschouwd. De stralenbundel met M als middelpunt is dan eene quadratische straleninvolutie. Zij zal twee dubbelstralen bezitten. Bestaat op een rechte een I,, dan kunnen wij op dezelfde manier, door projectie uit een willekeurig centrum M, een straleninvolutie van den pen graad verkrijgen, waarin nu 2 (p—1) dubbelstralen aanwezig zijn. 1 lebben wij een schaar van kegelsneden d. w. z. alle kegelsneden die aan vier vaste rechten raken, en trekken wij uit een willekeurig punt .1/ de raaklijnen aan de exemplaren van de schaar, dan vormen die raaklijnen eene I2. In de schaar komen drie ontaardingen voor n.1. de drie paar overstaande hoekpunten van de volledige vierzijde gevormd door de vier vaste rechten. Wij vinden hieruit de duale stelling van üesargues dat n.1. de drie paar overstaande hoekpunten van een volledige vierzijde, uit een willekeurig punt door drie paren eener zelfde straleninvolutie geprojecteerd worden. Trekken wij in elk punt van een punteninvolutie I2. die geplaatst is op een kegelsnede, de raaklijn dan worden de raaklijnen der kegelsnede in de paren eener I2 gerangschikt. Dat de meetkundige plaats der snijpunten van toegevoegde stralen in dit geval eene rechte lijn m is, volgt hieruit dat op elke raaklijn slechts één punt dier meetkundige plaats is gelegen. Zijn van zoo'n straleninvolutie twee paren bekend, dan wordt door hunnen beide snijpunten de stand der lijn m gevonden. Elke twee raaklijnen uit een punt van m vormen nu een paar der involutie. De dubbelstralen zijn de raaklijnen in de snijpunten van m met de kegelsnede. Op dezelfde wijze kunnen wij ons de raaklijnen aan een C2 gerangschikt denken in de groepen eener I3. De meetkundige plaats der snijpunten van toegevoegde raaklijnen of de zoogenaamde involutiekromme zal nu een kegelsnede zijn. Immers elke raaklijn wordt door twee toegevoegde gesneden. Wij krijgen zoo een stelsel driehoeken om de kegelsneden van uitgang beschreven, waarvan de hoekpunten liggen op een nieuwe kegelsnede. Wanneer nu in 't algemeen de raaklijnen aan een kegelsnede eene I,, vormen, zal de involutiekromme F van den graad (p—i) zijn. Bevindt zich nog eene involutie Iq op de kegelsnede dan heeft die eene involutiekromme T' van den graad (q— i). De beide involutiekrommen hebben (p—i) (q- i) snijpunten m. a. w. de collocale raaklijneninvoluties Ip en Iq hebben (p—i) (q—i) gemeenschappelijke paren. De kegelsnede en F hebben 2 (p—1) snijpunten ontstaande uit de raakpunten der 2 (p—1) dubbelstralen. Elke dubbelstraal wordt door (p—2) toegevoegde stralen gesneden, welke raaklijnen aan 1' zijn en tegelijk aan de kegelsnede. De kegelsnede en 1' hebben dus 2 (p—1) (p—2) gemeenschappelijke raaklijnen. Het blijkt hieruit dat de klasse van F moet zijn (p—1) (p—2). Dubbelpunten zal F niet hebben. Bovendien volgt uit k = n (n — 1) — 2 S — 3 x, waarin è = o dat ook n — o. Voor het geslacht van F geldt g = 1/2 (n — 1) (n — 2) — è — x of g 1/2 (p — 2) (p — 3) Het geslacht der involutiekromme is hetzelfde voor de punteninvolutie als voor de raaklij neninvolutie. Is ook duidelijk, want het geslacht is duaal in zich zelf. Een volledige groep raaklijnen eener Ip geeft V2 p (p—1) punten van de involutiekromme. Deze laatste is van den graad (p 1) en zal derhalve door één volledige en (p—1) willekeurige raaklijnenparen bepaald zijn. Twee groepen van ƒ raaklijnen bepalen de involutiekromme T, omdat zij de Ip bepalen. In elke groep zijn V2 p (p—1) punten van r gelegen, en in't geheel zijn door twee groepen p (p—1) punten bepaald. Doch F is van den graad (p—1) en daarom door '/2 (p—1) (p —(— 2) punten bepaald. Eisch nu p (p— O > V2 (p— 1) (p-(- 2) of P2 — 3 p > — 2 dan volgt dat zoodra p > 2 twee volledige groepen van raaklijnen meer punten der involutiekrommen geven dan voor haren bepaling noodig zijn. Zoo is bij een raaklijnen I4 de involutie krommen F van den derden graad. Twee groepen raaklijnen leveren 12 punten van F, die reeds door 9 punten bepaald is. En zoo zien wij dat de 12 hoekpunten van twee volledige vierzijden gevormd door raaklijnen aan één kegelsnede op een K3 liggen. Bovendien blijkt dat een 14 van raaklijnen aan een kegelsnede door drie drietallen is te bepalen. Want zij leveren ons 9 punten der involutiekromme, die daarmee bepaald is. De 14 is dan ook bepaald. § 7. DE Ip OP EEN WILLEKEURIGE RATIONALE VLAKKE KROMME. Behalve op eene kegelsnede kunnen wij de Ip van een rechte overbrengen op iedere rationale kromme. Immers iedere kromme van het geslacht nul kan vertegenwoordigd worden door een puntenreeks op een rechte. Neem bijv. een cubische kromme met een dubbelpunt D dan zal de stralenbundel met D als centrum de C3 punt voor punt projecteeren op een willekeurige rechte. Omgekeerd is nu de involutie Ip van een rechte over te brengen op de kromme C3 door middel van den waaier D. Zoo ook bij een C4 met drievoudig punt. Maar in 't algemeen zullen wij de C„ van geslacht nul moeten projecteeren door een bundel Cn _ 2 gaande door de V2 (n—1) (n — 2) dubbelpunten der C„ en nog (n — 3) willekeurige punten. Ieder exemplaar van den bundel heeft nu één veranderlijk snijpunt met de C„. Door de raaklijnen aan de exemplaren van den bundel te trekken in één der basispunten, wordt de bundel vervangen door een waaier. De snijpunten van dezen waaier met een willekeurige rechte stemmen nu een aan een overeen met de punten der Cn. Met het bepalen van de involutiekromme F der Ip op een rationale Cn geplaatst, zal het niet zoo eenvoudig gaan, als toen de kegelsnede draagster was. Bij een I2. die zich op een C3 met een dubbelpunt D bevindt, is terstond op te merken, dat bij het punt D twee toegevoegde punten behooren; dat dus uit D twee raaklijnen aan de involutiekromme gaan, die dan een kegelsnede is. Is op diezelfde C3 eene 13 aanwezig, dan worden aan het dubbelpunt D vier punten toegevoegd en wordt de klasse der omhullende vier. Maar wanneer de C„ algemeenen wordt is van te voren over r niets te zeggen, wat graad of klasse aangaat. Alleen het geslacht zal hetzelfde zijn als we vroeger vonden, toen de Ip op een kegelsnede werd beschouwd. Stel toch de lp gegeven op een rationale Cn. Beeld de Cn met de lp er op, af op een kegelsnede. We zien dan op die kegelsnede eene involutie Jp ontstaan. Met de lijn P, P2 die twee toegevoegde punten der Ip verbindt, zal nu overeenkomen de lijnen P' P" die de overeenkomstige punten van de involutie Jp bevat. De raaklijnen der omhullende F van Ip stemmen een aan een overeen met die der omhullende van Jp. De involutie- kromme F van de involutie Ip heeft in dit geval het zelfde geslacht als de omhullende der involutie Jp op de kegelsnede. Voor het geslacht van F geldt dus evenals vroeger g = '/2 (p — 2) (p — 3). Tevens zal men licht inzien dat het aantal dubbelpunten der Ip ook geene verandering kan ondergaan en 2 (p— 1) blijft. HOOFDSTUK II. § i. De algebraïsche verwantschap. De verdere behandeling der involuties vereischt de kennis der verwantschapstheorie. Wij willen haar in dit hoofdstuk ontwikkelen. Denken wij ons twee rechten en op elk een nulpunt, dan laten de punten van de ééne lijn zich door de abscis x en die van de andere zich door de abscis y aanwijzen. Beschouwen we nu de vergelijking A y" + B y» - ' + + R v -f T = o . . . (i) waarin | A am, n x"' -{- atn _ i( n x 1 —|— —|— a„, n ) B = ain, n — i x"1 -f- a,„ _ i, n — i xn'~~ 1 a„, „ — i ( I — am, o. xm -f- am _,, o xm-' -(- -(- a„, „. Deze vergelijking is van den graad >/ in y, terwijl de coëfficiënten functies van x zijn van den graad m. Nemen we een punt X op de ééne lijn en substitueeren we de bijbehoorende abscis x in de vergelijking (i), zoo zien we dat al de coëfficiënten A, B, . . . T bekend worden en dat wij voor de onbekende y uit die vergelijking n waarden kunnen berekenen. Wordt dus op de ééne lijn één punt X willekeurig aangenomen, dan zijn daardoor n punten Y bepaald. Maar bij het willekeurig aangenomen punt Y zijn op dezelfde manier /// punten X te vinden. De genoemde vergelijking legt een verband tusschen de punten X van een bepaalde rechte en de punten Y van een andere rechte en wel zoodanig dat met één punt X overeenkomen >t punten Y, en met één punt Y overeenkomen m punten X. Men zegt nu, dat tusschen de punten X en Y een verwantschap (m, 11) bestaat, of ook dat de puntenstelsels (X) en (Y) in m—n— ledig verband staan. Ieder stelsel op zichzelf heet, wanneer het op een rechte of in 't algemeen op 'n rationalen drager wordt gevonden, een rationaal elementen stelsel. Laten we de beide rechten, waarop we de stelsels (X) en en (Y) dachten, in één vlak vallen, dan is licht te begrijpen dat zij tegelijkertijd op een kegelsnede kunnen voorkomen. Daartoe kiezen we slechts een willekeurig punt M op een in het bedoelde vlak gelegen kegelsnede C2. Projecteer uit M de beide stelsels (X) en (Y), en de punten der C2 worden gerangschikt in dezelfde verwantschap (m, n). De beide rechten waarop we de puntenstelsels (X) en (Y) dachten, mogen we ook laten samenvallen. Maar dan hebben we aan één nulpunt genoeg. De veranderlijken x en y uit vergelijking (1) stellen in dit geval afstanden tot hetzelfde nulpunt voor, vandaar de mogelijkheid dat zij aan elkaar gelijk worden, en een punt X met zichzelf overeenkomt. Het is een punt X = Y dat tot beide stelsels behoort. Men noemt zoo'n punt gemeenschappelijk aan beide puntenstelsels een coïncidentie. Ilun aantal is gemakkelijk te vinden. Schrijven we de verwantschapsvergelijking verkort f (x, y) = o dan vinden wij de bedoelde punten door x = y te stellen in die vergelijking, waardoor ze in x of in y van den graad (m -)- 11) wordt; m. a. w. «elke verwantschap (m, n) bezit (m -)- n) coïncidenties». Met één punt X komen n punten Y overeen. Vallen twee van deze n punten Y samen dan spreekt men van een dubbelpunt. Het punt X waarvoor twee bijbehoorende punten Y zijn samengevallen heet een vertakkingspunt. Algebraïsch is hun aantal te vinden door te vragen, hoeveel gelijke wortels y, heeft de vergelijking f(x, v)=o bij een bepaalde waarde van x? Men elimineere y uit f (x, y) = o en uit hare afgeleide naar y, en zal een vorm verkrijgen in x van den graad 2 m (n— 1), hetgeen beteekent dat het stelsel X 2 m (n— 1) vertakkingselementen bezit of dat het stelsel Y 2 m (n — 1) dubbelpunten vertoont. Men verkrijgt dit resultaat ook als volgt. Willen we berekenen het aantal dubbelpunten van het stelsel X, dan zoeken we het verband dat er tussehen die punten X onderling bestaat. Met één punt X komen overeen n punten Y, en met ieder dier punten Y nog (m 1) andere punten X. Tussehen de punten X onderling bestaat dus eene verwantschap met symbool [n (m — 1), n (m — 1)] Zij bezit 2 n (m 1) coïncidenties d. w. z. het stelsel X bezit 2n(m 1) dubbelpunten en het stelsel Y evenveel vertak kingspunten. Denken we nog steeds dat de stelsels (X) en (Y) op de zelfde rechte als drager voorkomen met het zelfde nulpunt, dan is het mogelijk dat bij een zeker punt X behoort een ander punt Y en dat hetzelfde punt X als een punt Y beschouwd het eerste punt Y oplevert, dat dan nu een punt X moet heeten. Men kan immers elk punt A als een punt X en als een punt Y beschouwen. Bij zoo'n punt A behooren in 't algemeen twee verschillende punten; n.1. bij de opvatting A = X het punt Y' en bij de beschouwing A = Y het punt X'. Is nu X' = Y' dan heeft men een zoogenaamd involutorisch paar (X = Y, X'eeeY'). Het snelst vindt men het aantal involutorische paren langs den algebraïschen weg uit de verwantschapsvergelijking: f (x, y) = o. We moeten de wortelparen hebben die bij verwisseling der waarde van x en y blijven voldoen, dat zijn de waarden die voldoen aan f (x, y) = o èn aan f (y, x) = o. Beschouw deze vergelijkingen als voorstellende twee algebraïsche krommen van den graad (m -f- n); die hebben (m n)2 snijpunten. Alle wortels der vergelijking f (x, x) hooren er ook onder. Dat zijn er (m n). Zij geven volgens vroeger de coïncidenties aan. De substitutie x = o geeft slechts n waarden y. Derhalve liggen m punten in 't oneindige op de Y-as, voor de eene kromme en tl punten op de Y-as in 't oneindige voor de andere kromme. Op de ) -as vinden we daardoor mn snijpunten. Op de X -as evenzoo. We houden nu over (m -(- n)2 — (m -f- n) — 2 m n = m (m — 1) -f- n (n — 1) voor het aantal snijpunten dat wij bedoelen. Het aantal involntorischf paren is nu de helft daarvan dus V2 ;m (m — 1) -(- n (n — 1)! daar elk wortelpaar verwisselbaar is. $ 2. Willen we het laatste resultaat langs anderen weg afleiden dan zouden we de verwantschap (m, n) tussehen de punten eetier kegelsnede kunnen bestudeeren. We zagen reeds hoe zoo'11 verwantschap op een kegelsnede ontstaan kan, en noemen de oneindig vele punten der kegelsnede wanneer ze in het ééne stelsel gedacht worden X, in het andere Y. We zullen het dus hebben over de verwantschap (X, Y) op eene kegelsnede. Het symbool dier betrekking is (m, n). Evenals bij de Ip op een kegelsnede is ook hier te spreken van eene directiekromme, of omhullende van verbindingslijnen van toegevoegde punten; deze is uiterst belangrijk. Bij een willekeurig punt A = X [d. w. z. het punt A in het stelsel (X) gedacht] behooren n punten Y, terwijl bij dat zelfde punt A = Y behooren m punten X, zoodat in 't geheel aan elk willekeurig punt der kegelsnede (m n) punten toegevoegd zijn, of anders door elk willekeurig punt der kegelsnede gaan (m -f- n) raaklijnen aan de directiekromme F. De klasse van F is bijgevolg (m -(- «) Zoodra we er in slagen het aantal snijpunten van F met de kegelsnede te bepalen, is de graad van de omhullende F bekend. Stellen we ons even zoo'n snijpunt P voor, dan is het duidelijk dat uit dat punt P twee samengevallen raaklijnen aan de directiekromme moeten gaan, want P zal immers op die directiekromme liggen. Flet punt P is een vertakkingspunt wanneer van de toegevoegde punten er twee samenvallen bijv. P' = P". Maar dan vallen de raaklijnen PP' en PP", die uit P vertrekken aan F, ook samen, wat met zich meebrengt dat zoo'n punt P op F ligt. Derhalve liggen alle vertakkingspunten der (m, n) op I'. Dat zijn er uit de beide stelsels (X) en (Y) samen 2 m (n — 1) -|- 2 n (m — 1). Ze liggen vanzelf op de kegelsnede en wij zien dat de directiekromme r en de kegelsnede bezitten 2 m (n—1) -(- 2 n (m — 1) snijpunten. Dit zijn nog niet alle snijpunten. Het is denkbaar dat een punt X samenvalt met een der toegevoegde punten Y. Buiten het bedoelde punt X = Y liggen dan (m—1) punten X en (n — 1) punten Y. Men kan daarom uit dat punt (m-f-n — 2) raaklijnen aan F trekken. We vonden echter voor de klasse van F het getal (m n), zoodat blijkt dat de lijn die de samengevallen punten X en Y verbindt voor Iwee raaklijnen geldt. Die lijn is tevens raaklijn aan de kegelsnede in het punt X = Y. Het blijkt ons hieruit dat de kegelsnede en F elkaar in zoo'n punt X = Y aanraken. We hadden intusschen ook evengoed over een coïncidentie X = \ kunnen spreken. Want dan hebben we zoo'n punt X dat met één der toegevoegde punten Y samenvalt. De directiekromme F en de kegelsnede hebben dan ook evenveel aanrakingspunten als er coïncidenties der (m, n) bestaan, dus (m -)- n). Zij vertegenwoordigen natuurlijk dubbel zooveel snijpunten, liet totale aantal snijpunten tusschen de directiekromme F en de kegelsnede is nu 2 m (n—i)-|-2n (m — 1) -f- 2 (m -(- n) = 4 m n. De orde van F is alzoo = 2 m n. De omhullende F zal bovendien een aantal dubbrtrmklijncn bezitten. Hun aantal zullen we berekenen uit het aantal involutorischr paren der (m, n), waar het ons eigenlijk om te doen was. Herinneren we ons weder de oneindig vele punten der kegelsnede, vertegenwoordigende twee puntenstelsels (X) en (Y) in m - n-ledig verband en projecteeren wij ze uit twee geheel willekeurige centra A en B, door de stralenbundels (x) en (y). Dat er nu tusschen die waaiers (x) en (y) ook eene (m, 11) bestaat, spreekt vanzelf, en door dualistische omzetting van het voorafgaande volgt dat de meetkundige plaats der snijpunten S van toegevoegde stralen de graad (m -)- n) moet hebben. Trouwens, men ziet het evengoed rechtstreeks. De beide stralenbundels (x) en (y) teekenen op een willekeurige rechte een puntenstelsel of met svmbool (m, n), of met (m n) coïncidenties. En dat zijn alle punten S, hetgeen beteekent dat de graad der meetkundige plaats van S is (m + n). Gemakkelijk zien we ook in dat de meetkundige plaats van S in het centrum A een ;«-voudig en in centrum B een «-voudig punt zal hebben. Projecteeren we nu op de ander mogelijke manier, d. w. z. het stelsel (X) uit B en het stelsel (Y) uit A, door de stralenbundels (x') en (y') dan ontstaat een andere meetkundige plaats van punten S' die weer een kromme van den graad (m -f- n) is, maar nu met een «-voudig punt in A en een w-voudig punt in B. De krommen (S) en (S') hebben in 't algemeen (m + n)2 snijpunten. Hoe zijn die te verantwoorden? Terstond zien wij er n m in het centrum A en evenveel in centrum B. Buiten A en B, d. w. z. ergens anders, dus nog (m2-|-n2) snijpunten. Denken we ons eens zoo'n snijpunt S = S'. De eenvoudigste voorstelling van het ontstaan van zoo'n punt S = S' is dan dat het stralenpaar x, y met het stralenpaar x',y' samenvalt, d. w. z. x = x' en y = y'. Dan moet vanzelf S = S'. Doch x = x' en y = y' is onmogelijk zooals een figuur ons doet zien. Is dan x = y' en y = x' mogelijk? Zeer goed. We hoeven slechts te letten op een coincidentie X = Y. Projecteeren zoo'n punt X = Y uit A dan blijkt x = y'; projectie uit B geeft evenzoo x' = y. Er zijn (m -)- n) coincidenties, waardoor (m + n) snijpunten Se=S' gevonden zijn. Xu schieten er nog m (m—i)-(-n(n—i over. Om deze te verklaren gaan wij den invloed van een involutorisch paar na. Zij X = Y en X' = Y' zoo'n puntenpaar. Wat gebeurt er nu bij projectie uit A en B, alsook andersom? Dan wordt AX = AY = x=y' AY' = AX'=y' = x BY' = BX' = x' = y BX = BY=x' = y waaruit volgt dat het snijpunt (x, y) = (x', y') en het snijpunt (x, y) = (x', y') beide één punt S leveren. Een involutorisch paar geeft derhalve tot twee punten S aanleiding, waaruit we dan ten slotte zien, dat het overschietende aantal snijpunten nl. m (m—i)-f-n(n—!) kan verklaard worden door de aanwezigheid van V2 m (m - i)-f1/2 n (n— 1) involutorische paren. De twee samenvallende verbindingslijnen der punten X = Y en X' = Y' vormen blijkbaar een dubbelraaklijn van F. De directiekrommen F der verwantschap (m, n) is nu van klasse (m -f- n), van graad 2 m n, en bezit V2 |m(m —i)-f n (n — 1) [ dubbelraaklijnen. De duale beschouwing gehouden over eene (m, 11) tusschen raaklijnen aan eene kegelsnede kan nu opleveren eene directiekromme (dat is de meetkundige plaats van snijpunten van toegevoegde raaklijnen) waarvan de graad (m -f- n) en de klasse 2 m n is, voorzien van '/2 ; m (m — 1) -)- 11 (11 — 1) j dubbelpunten. § 3- i)e involutorische of symmetrische verwantschap. De algemeene vergelijking der (m, n) was f (x, y) = o in x van den mcn in v van den «cn graad. Zij bezit 1/2 ! m (m — i) -f- n (n—i) J involutorische paren. In het geval dat m = n, zijn er m (m— i) involutorische paren. Vinden we er meer, dan beteekent dat, dat de krommen (S) en (S') der voorgaande paragraaf die nu van den graad 2 m worden, meer dan 4 m2 snijpunten bezitten, m. a. w. dat de krommen (S) en (S') samenvallen. Elk punt S is dus ook een punt S'. Daarvoor moeten alle paren der verwantschap (X, Y) involutorische zijn, vandaar dat men spreekt van eene involutorische verwantschap. Ze heet ook wel eene symmetrische verwantschap. Want zoodra de vergelijking f (x, y) ■ o symmetrisch is, [waarvoor m = n moet zijn en de coëfficiënten zoodanig dat door de verwisseling van x en y de vergelijking niet verandert], zijn alle paren dier verwantschap involutorisch. Met het punt P = X komen dan m punten Y = Q overeen. terwijl met hetzelfde punt P = Y dezelfde m punten Q = X overeenstemmen, wat het kenmerk van involutorische paren is. We beschouwen als voorbeeld een involutorische verwantschap (2, 2) afgebeeld op een kegelsnede C2. Zij de kegelsnede D2 de directiekromme. We kiezen op C2 het willekeurige punt X en trekken uit X twee raaklijnen aan D2, waardoor op C2 de punten Y, en Y2 worden ingesneden. Uit het punt Y,=X' gaan dan twee raaklijnen aan D2 die de punten X = Yj' en Y2' insnijden op C2. Was Y2 = Y2', dan hadden we een cubische involutie, waarin de punten X, Y),Y2, een gesloten groep vormen. Immers de groep X, Yj,Y2, bepaalt drie raaklijnen. Kies nog twee raaklijnen P),P2 enPi.P3. De drietallen X, Yj, Y2 en P),P2, P3 bepalen een cubische involutie. De involutiekegelsnede dezer cubische involutie heeft vijf raaklijnen gemeen met I)2, en is dus identiek met D2. De involuties zijn dan ook identiek. Gemakkelijk is uit het bovenstaande af te leiden dat een cubische involutie bepaald is door een drietal en twee paren. Zij Ai,A2, A3, het gegeven drietal; Bi, 1*2 en CV C2 de beide paren. Elk dezer punten is toegevoegd aan twee andere; behoort dus tot eene (2,2). Van de directiekegelsnede dezer (2,2) zijn vijf raaklijnen gegeven, die tevens raaklijnen van de involutiekegelsnede zijn. De twee bedoelde kegelsnede vallen samen en derhalve zijn de involuties weder identiek. Wij vonden het laatste in 't vorige hoofdstuk langs anderen weg. De symmetrische verwantschap (m, n) zal (m -)- m) = 2 m coïncidcntics bezitten, dat zijn punten die met hun toegevoegde samenvallen. Zijn aan het punt X de m punten X' toegevoegd en vallen van deze laatste punten er twee samen, dan hebben we een dubbelpunt X', met het punt X als vcrtakkingsclcmcnt. Het aantal van beide is 2 m (m — 1). 4) 4. COLLOCALE STELSELS. Men kan zich op een zelfde kegelsnede voorstellen eene verwantschap (m, n) tegelijk aanwezig met eene involutie lp. Zij hebben directiekrommen van klasse (m -)- n) en (p — 1). Het aantal gemeenschappelijke raaklijnen dier beide krommen is derhalve (m-(-n) (p 1). Anders gezegd: «Eene verwantschap (m, n) en eene Ip die collocaal zijn hebben steeds (m -f- n) (p—1) gemeenschappelijke paren». Een symmetrisch elementenstelsel (m, n) heeft eene directiekromme van klasse m. Is zoo'n stelsel collocaal met eene Ip op een kegelsnede dan zullen er blijkbaar m (p 1) gemeenschappelijke paren zijn. Twee stelsels (m, n) en (m'. n') hebben (m -f- n) (m' -)- n') gemeenschappelijke paren en twee symmetrische stelsels (m, m) en (m', m') zullen m m' gemeenschappelijke paren be- zitten, wanneer zij tegelijk op een zelfde kegelsnede aanwezig zijn. Twee verwantschappen beide met symbool (m, n) moeten (m -f- n)2 paren gemeen hebben, en Twee symmetrische stelsels beide van graad m, moeten m2 paren gemeen hebben wanneer zij collocaal zijn. Worden de besprokene stelsels door projectie overgebracht op andere rationale dragers dan zullen de genoemde stellingen blijven gelden. De verkregene resultaten zijn ook algebraïsch te verkrijgen uit de meermalen gebruikte verwantschapsvergelijking f (x, y) = o. 5. Involuties van hoogeren rang. Volgens de gegevene bepaling van involutie moest elke groep van ƒ elementen, door één dier elementen onverschillig welk, bepaald worden. We spraken dan over eene involutie van den pc" graad; we hadden er bij kunnen voegen «en van den eersten rang, want er bestaan ook involuties van hoogeren rang. Bepaling. ()nder eene involutie van den pr" graad en den k'" rang verstaat men een elementenstelsel bestaande uit groepen van p elementen, waar elke groep door k willekeurige elementen bepaald is.» Het svmbool voor zoo'n stelsel is Ik. Voor de I„ is nu p p k = 1, vandaar dat we dan over eene involutie van den eersten rang zouden kunnen praten. Dergelijke puntenstelsels laten zich gemakkelijk denken. Eene vlakke cubische kromme wordt door alle rechten uit het vlak, gesneden volgens de groepen eener involutie van den derden graad en den tweeden rang, P. Alle vlakken der ruimte snijden een rationale ruimtekromme Rp volgens de groepen eener involutie van den pf" graad en den derden rang, D. De studie dezer hoogere involuties wordt eenigszins ingewikkelder. Door k geheel willekeurige elementen wordt een groep van p elementen bepaald. Natuurlijk k < p. Neem nu eens (k—i) elementen e,,e2 ek^, willekeurig aan dan is nog slechts één ander willekeurig punt noodig om een groep van / punten te bepalen, als wij het tenminste over eene ƒ>//;//Vv/involutie hebben. Denk verder de gekozen (k 1) punten als vast, dan blijkt dat de veranderlijke punten eene Ip _k + , vormen van den eersten rang. Deze involutie Ip_k_|_, bezit 2 (p — k) dubbelpunten, d. w.z. wanneer men (k — 1) punten e,,e2 ek_, willekeurig kiest zijn er 2 (p —k) groepen waarin die punten e,,e2 ek_, voorkomen en waarin bovendien een dubbelpunt aanwezig is. Toch hoeft zoo'n dubbelpunt niet steeds buiten de (k 1) punten e te vallen, want elk dier punten zal in een bijzonder geval dubbelpunt kunnen worden. Men mag immers elk der punten e als dubbelpunt beschouwen en dan is telkens een groep van p punten bepaald. We nemen nu het aantal vaste punten één minder; we denken bijv. de punten e,,e2 ek_2 als vaste punten. Zoodra het punt ek, er willekeurig bij gekozen wordt, zijn er 2 (p — k) groepen bepaald met een dubbelpunt D. zooals boven bleek. Een willekeurig dubbelpunt I) zal echter met de (k — 2) punten e een heele groep van ƒ punten vastleggen, of één punt D bepaalt (p k) punten ek ,. We zien tusschen de punten 1) en de punten ek , eene verwantschap ontstaan van den vorm ;(P — k), 2 (p k) (, Zij bezit volgens vroeger 3 (p k) dubbelelementen; zoo vaak valt een punt D met een punt ek_, samen. De samenvalling van een punt I) met een punt ek_, doet een drievoudig punt ontstaan, m. a. w. (k — 2) willekeurig gekozen elementen zullen in 3 (p — k) groepen met een drievoudig element voorkomen. Weder zal elk dier (k — 2) vaste elementen als drievoudig mogen aangenomen worden, waardoor telkens een groep van p punten bepaald is. Zijn er (k — 3) punten e,,e2 ek_3 vast, dan zal één willekeurig punt ek _ 2 voldoende zijn om 3 (p — k) groepen met een drievoudig punt te bepalen, en wordt bij die (k — 3) punten r een punt /\ gevoegd, dan is een heele groep bepaald of wel zijn dan (p — k) punten e^ 2 aangewezen. Tusschen de punten /\ en ek _ 2 bestaat daarom eene verwantschap met symbool : (p — k), 3 (p — k) j. De 4 (p — k) dubbelelementen dezer verwantschap zijn 4 (p — k) viervoudige punten der involutie, en het blijkt hieruit dat (k — 3) geheel willekeurig gekozen elementen in 4 (p — k) groepen met een viervoudig element voorkomen. Elk der (k — 3) vaste punten e is ook als viervoudig element op te vatten, waardoor telkens een groep van p elementen bepaald is. Het algemeene resultaat is uit het besprokene af te leiden. Worden n.1. (k 1) willekeurige elementen vastgehouden dan komen die in (1-)- 1) (p —k) groepen tegelijk met een (1 -f- i)-voudig element voor. Voor het grensgeval 1 = k 1 zien we dat ieder punt r der involutie Ik in k (p — k) groepen met een k-voudig element voorkomt. Een k-voudig element bepaalt echter een heele groep van p punten dus nog (p — k) punten r. De verwantschap tusschen de punten e en de k-voudigc punten der I£ moet derhalve voorgesteld worden door ; (p— k), k (p —k){. Zij geeft (k —(- 1) (p k) punten der involutie IJ aan die (k -f- i)-voudig zijn. In elke involutie van den pen graad en den k°" rang is het aantal der (k-f- i)-voudige elementen (k+ 0 (P — k). Men kan steeds k punten geheel naar willekeurig kiezen, steeds zal een groep van p punten bepaald zijn. Zoo kan men ze ook laten samenvallen twee, drie, enz. tot k toe. Elk punt als X'-voudig element opgevat zal ook een groep van p punten bepalen. Valt nu een der toegevoegde punten met 't /'-voudige samen dan ontstaat een (k -(- i)-voudig punt. Hun aantal is nu gevonden. § 6. In een P zal iedere groep van p elementen door twee geheel willekeurig gekozen elementen bepaald zijn. Doch het komt voor dat twee elementen e) en e2 geen groep bepalen. Het eenvoudigste is dat we weten de beide elementen e! en e2 komen voor in twee groepen. Dan moeten zij noodzakelijk in alle groepen der P thuis behooren. Stel toch de I2 algebraïsch voor door de vergelijking: fo "t" Ai f] ^2 $2 = ° waarin de functies f van den pen graad in de veranderlijke x zijn. Zijn nu twee elementen e! en e2 bekend dan weten we de bijbehoorende waarden x, en x2, die gesubstitueerd in de genoemde vergelijking, twee van die vergelijkingen doen ontstaan, zoodat uit dat tweetal de beide parameters xi en a2 oplosbaar worden. Zet nu in de bovenstaande vergelijking de gevonden waarden van ai en a2, dan heeft men ééne vergelijking van den pr" graad in de veranderlijke x. De p wortels dezer vergelijking bepalen nu de p elementen eener groep, waaronder ook de gegevene C| en e2. Zoo vinden we dan de groep van p elementen zoodra er twee gegeven zijn. Ook kan hieruit blijken dat het geheel onverschillig is, van welke twee elementen men oorspronkelijk uitging. Maar in geval nu de functies f0 en f, twee groepen voorstellen, die beide het paar ej e2 bevatten, zullen zij een factor

) (P — 6) (p — 7) 1. 2.3.4. groepen met vier dubbelpunten zijn. Voor eene lk vindt men dat er p 2k (p — k) (p — k — 1)........... (p — 2 k -|- 1) 1.2 k. groepen met k dubbelpunten zijn. S 7. Collocale involuties vax hoogf.ren rang. ()p eenzelfden drager stellen wij ons voor eene P en eene I2, en wij willen onderzoeken hoeveel groepen van drie elementen die twee involuties gemeen hebben. Een element p van de involutie P bepaalt nog (p- 1) andere elementen elk dezer elementen p' bepaalt met het eerste element p eene groep der P. Er zijn nu (p 2) elementen p en (q — 2) elementen q over. Valt 'n element p met een element q samen dan zijn de drie elementen p, p' en p i== q aan de beide involuties gemeen. We zoeken dus het verband bestaande tusschen de bedoelde elementen p en q. Een element p bepaalt (p — 1) elementen der P, welke 1/2 (p— i)(p— 2) paren (p, p') vertegenwoordigen, terwijl elk paar (q — 2) elementen q aanwijst, Een element q vasthoudende, vormen de overige elementen eene P t, die met de P gemeen heeft (p— 1) (q - 2) paren. Elk paar bepaalt (p — 2) elementen p. De verwantschap der elementen p en q is volgens het bovenstaande ['/alp— 1) (p — 2)(q — 2), (p— i)(p—2)(q—2)] Zij heeft 3/2 (p — 1) (p — 2) (q — 2) dubbelementen; zooveel gemeenschappelijke drietallen moeten er nu zijn. Maar zoo'r drietal (p, p', p") staat gelijk met drie paren en daarom is het aantal gemeenschappelijke drietallen der P en P (P 1.2. Het aantal viertallen elementen dat eene involutie P en eene involutie P gemeen hebben, vindt men op een soortgelijke wijze. Kies drie elementen p,p' en p" der Puit één groep, dan bepalen zij (p 3) elementen p der P en (q — 3) elementen q der P, en wij hebben slechts het aantal gevallen p = q te bepalen. Een punt p bepaalt (p- 1) punten p die ^ ''' j' " ' ^ drietallen kunnen vormen; en elk drietal wijst (q - 3) punten q aan. Een punt q bepaalt eene P t, die met de Ip volgens boven gemeen heeft (P-.kp-j) drieBUen> 1.2. terwijl door elk zoo'n drietal (p—3) punten p zijn aangewezen. Uit het gezegde ziet men licht in dat tusschen de elementen p en q de overeenkomst ro» 'iip- «)p ü(q 'Kt _jL(e !>,, WW <*• 1.2.3. dubbelementen bezit. Zooveel gemeenschappelijke viertallen moeten er dan ook zijn. Maar één viertal staat gelijk met vier drietallen, vandaar dat het aantal gemeenschappelijke viertallen eener I,, en eener P ten slotte is (P— »)(P — *)(P— 3) . _ , 1.3. terwijl door elk zoo'n drietal (p—3) punten p zijn aangewezen. Uit het gezegde ziet men licht in dat tusschen de elementen p en q de overeenkomst dubbelementen bezit. Zooveel gemeenschappelijke viertallen moeten er dan ook zijn. Maar één viertal staat gelijk met vier drietallen, vandaar dat het aantal gemeenschappelijke viertallen eener I,, en eener P ten slotte is Do behandelde gevallen geven ons het recht om in het algemeen te beweren dat het aantal groepen van (k —f— i) elementen, gemeenschappelijk aan een involutie P en aan eene involutie Ik voorgesteld /al worden door (P~ « Op soortgelijke wijze vindt men als oplossing van de meest algemeene vraag, dat eene involutie Ik' en eene involutie P (P k ) (P — k' 0 (p — k' — k —[— i) 1.2 . ...k. X v (q k)(q —k — 1) (q — k' — k -f i) 1.2 k' groepen van (k-(-k') elementen gemeen hebben. Alleen de berekening is meer omslachtig. (*) S 8. De P op een cubische vlakke kromme met een lus. Als eenvoudige toepassing van de voorgaande algemeene beschouwingen over involuties van hoogeren rang, zullen wij behandelen de involutie van den derden graad en tweeden rang, welke op een cubische kromme met een dubbelpunt wordt ingesneden door alle rechten uit het vlak. Een P bezit (p— i)(p -2) neutrale paren en bijgevolg bezit de P slechts één neutraal puntenpaar, dat blijkbaar in het dubbelpunt D is te vinden, want iedere rechte door het punt I) geeft een drietal der involutie terwijl steeds twee punten in I) vallen, liet paar 1^ = 1)=!) behoort dus in oneindig vele groepen thuis. Wij nemen in het vlak een willekeurige rechte l en projecteeren op die rechte l de involutie en wel uit het dubbelpunt 1). Op / ontstaat dan mede eene J* als afbeelding van de involutie op de cubische kromme. Door middel van een (*) Zie voor de rechts treek sche afleiding van dit resultaat G. K. Nugteren, Proefschrift. Utrecht 1901. op l gelegen nulpunt N mogen wij de verwantschapsvergelijking der I2 schrijven in den vorm axi x2 x3 + a-i (x, x2 -j-x2 x3 -f-X] x3) -f-a2(Xi -|-x2 -|- x3)+a3=o waarin de» veranderlijke x de abscis van een punt der lijn / ten opzichte van X voorstelt. Het blijkt dadelijk dat wanneer men twee punten kent, daardoor een derde punt bepaald is. Voor x3 is te vinden X' ~t" a2 X'-') ;l3 ao x, x2 -(- ai (x, -)- x2) -|- a2 In geval nu ;io x, x2 -)- ai (X) -f- x2) -f- a2 = o j ai X] x2 —|— a2 (X] —x2) —j— a3 o ^ wordt x3 = "■ en dus onbepaald terwijl men vindt ai a3 a — xi X» = Xi 4- x., - a0 a2 — a* " ao a2 — a' De twee onbekenden X] en x2 kunnen nu gevonden worden uit de vierkantsvergelijking: (ao a2 — a*) x2 -(- (ao a3 — ai a2) x -)- (ai a3 a*) = o. Hieruit vinden wij twee punten die met elk willekeurig punt des dragers / een drietal der J' vormen. Het is het neutrale paar. Zij worden geprojecteerd door de raaklijnen in het dubbelpunt 1). In een P is het aantal (k —f- i)-voudige elementen (k -j- i) (p — k), zoodat de P drie drievoudige elementen zal bezitten. Om ze te vinden stellen wij in de verwantschapsvergelijking xi=x2 = x3; zij wordt dan: Ho x3 -)- 3 ai x2 -|- 3 a2 x -)- a3 = o. De drie wortels geven de drievoudige punten aan. Hieruit blijkt dat de C3 drie buigpunten zal bezitten. Steeds is één der drie wortels reëel en wij mogen het bestaanbare drievoudige punt als nulpunt X aannemen. Dan moet do laatste vergelijking een wortel x = o bezitten, wat eischt dat a3 = o. Voor de twee andere drievoudige punten houden wij de vierkantsvergelijking :io x2 -)- 3 x -f- 3 a2 = o over. Hare discriminant is !)' = — 3 (4 ao a2 — 3 a2). De voorafgaande vierkantsvergelijking der neutrale punten heeft tot discriminant I) = a* (4 ao a2 — 3 aj) en zoo zien wij dat D en D' steeds van teeken verschillen. Is l)>o dan wil dat meetkundig zeggen, er bestaan twee reëele neutrale punten. Het gevolg is dat dan D'O en dat er twee buigpunten imaginair moeten zijn. Anders gezegd: heeft de cubisehe kromme twee reëele dubbelpuntsraaklijnen dan bezit zij slechts één bestaanbaar buigpunt. Is echter l)<^o en bezit de C3 alzoo een geïsoleerd punt dan is I)']>o d. w. z. alle buigpunten zijn reëel. Zijn D en I)' beide nul dan vallen de twee neutrale punten samen; zij vormen een neutraal dubbelpunt der J-J Dan vallen ook twee buigpunten samen en wel in het keerpunt dat de C3 alsdan bezit. Hebben wij een cubische kromme met een knoop dan kunnen wij de drager l der involutie Jj of de zoogenaamde beeldrechte evenwijdig aan een dubbelpuntsraaklijn nemen en het nulpunt X daar kiezen waar de andere dubbelpuntsraaklijn de beeldrechte snijdt, waardoor wij de vergelijking der J-j kunnen vereenvoudigen. De algemeene vergelijking was ^0 "I- ^1 ^ Xj Xg —|— a2 X] —a3 = o. De neutrale punten moeten nu door x, = o en x2 = 00 gegeven worden. Voor deze beide substituties moeten wij dus X3 = o vinden. Wij zetten de laatste vergelijking in den vorm !;i°xi+ai c+o+ïj x3+!a> x>c: + 0+~ i=a Stellen wij nu | x2 = OO dan k t I x,=o HOOFDSTUK III. § ï. De involutie I>. op een willekeurige rationale vlakke kromme. Aan het eind van het eerste hoofdstuk is gebleken, dat de punten eener rationale vlakke kromme Cn in de groepen eener involutie I,, kunnen gerangschikt worden, en dat van de involutiekromme F (of de omhullende van de verbindingslijnen van toegevoegde punten der I,,) het geslacht onveranderd bleef V2 (p 2) (p — 3) en ook het aantal dubbelpunten der Ip te weten 2 (p— 1). We moeten nu de klasse en den graad van F gaan bepalen. We kiezen een punt M buiten de Cn tot centrum van een waaier. De stralen van dezen waaier M bepalen op de (een zoogenaamde centrale involutie In. Wordt vervolgens de kromme C„ punt voor punt afgebeeld op eene kegelsnede C2 dan vinden wij op die kegelsnede de twee involuties Jp en J„. Zij hebben involutiekrommen van de klasse (p— 1) en (n— 1). Die krommen bezitten dus (p— 1) (n 1) gemeenschappelijke raaklijnen hetgeen wil zeggen dat de Jp en de Jn op de kegelsnede (p— 1) (n— 1) gemeenschappelijke paren hebben. Maar dan moeten de Ip en de I,„ die op de kromme Cn voorkwamen, ook (p— 1) (n — 1) gemeenschappelijke paren bezitten, d. w. z. uit het willekeurige punt M gaan (p—1) (n—1) raaklijnen aan de involutiekromme F; hare klasse is derhalve bepaald door k' = (p 1) (11 1). Het zelfde resultaat is te verkrijgen, door het punt M óp de kromme C„ te kiezen. Dan gaan uit M = Pt (p—1) raaklijnen van T, nl. M P2, MP, M Pp. De involutie door den waaier (M) op de kromme C„ te voorschijn geroepen, is nu eene I„ _ „ die met de gegeven I,, zal gemeen hebben (n — 2) (p — 1) paren. Bijgevolg gaan door het punt M (p — 1) + (n — 2) (p — 1) = (p— ') (n—1) raaklijnen aan F of evenals boven k' =(P— O (n — 1). De rationale vlakke kromme C„ bezit het maximum aantal dubbelpunten. We weten dus 0 = '/2(n — i)(n — 2) en k =n (n— 1)— 2 0 = 2 (n— 1). De kromme Cn en de omhullende F moeten diensvolgens 2 (P—0 (n — i)2 gemeenschappelijke raaklijnen bezitten. Hoe is het ontstaan dier raaklijnen te verklaren? Uit drie verschillende oorzaken. In de eerste plaats geeft een dubbelpunt D der Ip een raaklijn in D aan de kromme C„, die tevens raaklijn aan r is, omdat zij de twee samengevallen toegevoegde punten D verbindt. Zoo ontstaan 2 (p — 1) gemeenschappelijke raaklijnen, want er zijn 2 (p 1) dubbelpunten in de Ip. In de tweede plaats hebben we te letten op de punten S, die door de verbindingslijnen van toegevoegde punten op de kromme C„ worden ingesneden. Zoo geeft de lijn l'i 'J2 (Pi en P2 zijn toegevoegde punten der Ip) natuurlijk (n — 2) snijpunten S met C„. Vallen nu twee van die punten samen dan is de lijn P, P2 raaklijn aan de kromme C„ 111 dat coïncidentiepunt S en ze is reeds raaklijn aan 1' omdat ze twee toegevoegde punten P, en P2 der involutie IP verbindt; dus hebben we zoo een gemeenschappelijke raaklijn van Cn en F gevonden. Hoe groot is nu dat aantal dubbelpunten S? Daarvoor beschouwen we de verwantschap, die tusschen de punten S onderling bestaat; wij noemen twee punten S en S aan elkaar toegevoegd, zoodra hunne verbindingslijn aan F raakt. Door een punt S gaan (p 1) (n 2) raaklijnen aan F, PP' nog een ander paar O,O' der involutie lp bevat. De lijn P P snijdt de kromme Cn nog in (n — 2) punten S. Aan zoon punt S = O is in 1,, b.v. toegevoegd het punt Q'. Wij voegen nu aan elkaar toe het punt O' en de (n — 3) punten S' die op de rechte O P P' zijn gelegen. Aan het punt Q' zijn door do involutie (p— 1) punten Q toegevoegd, terwijl uit elk punt Q— (n — 2)(p—1) raaklijnen aan I' gaan; op elk dier raaklijnen liggen (n — 3) punten S'. Tusschen de punten Q' en S' bestaat derhalve een symmetrische verwantschap met kenmerkend getal (n — 2) (n 3) (P 1 )2- Zij bezit dubbel zooveel coïncidenties Q' = S'. Is echter Q =S dan hebben wij een dubbelraaklijn, waarop telkens vier coïncidenties tegelijk liggen. Wij zien hieruit, dat het aantal dubbelraaklijnen r'2 van I' moet zijn r''2 = V2 (n — 2) (n — 3) (p — 1 )2. Eenvoudiger vindt men het aantal r'2 door op te merken, dat een dubbelraaklijn ontstaat, wanneer de I,, en het stelsel (S, S') een gemeenschappelijk paar hebben. Zij zijn op te \atten als twee symmetrische verwantschappen van de graden (p 1) en (p— i)(n — -0(n 3). Zooals bekendis, hebben die (p i)2(n — -) (n — 3) gemeenschappelijke paren, waaruit blijkt = */2 (p — 1 )2 (n 2) (n — 3). Zijn P, P, P , toegevoegde punten der I,„ dan zijn de lijnen PP' en PP" raaklijnen aan F. De lijn PP bevat nog (n 2) punten S. We voegen de punten S en I' aan elkaar toe en beschouwen de overeenkomst (P", S). Door elk punt S gaan (p—i)(n — 2) raaklijnen aan f, die elk een paar P P' leveren, waar aan telkens (p 2) punten P door de involutie zijn toegevoegd. Dus aan elk punt S zijn (p — 1) (p — 2) (n — 2) punten P" toegevoegd. I it P gaan (p— 1) raaklijnen, die elk een punt P leveren en elk punt P bepaalt (p—2) raaklijnen, dus (p — 2) (n 2) punten S. Maar nu heb ik elke raaklijn tweemaal geteld. Derhalve zijn aan elk punt P" toegevoegd V2 (p — 1) (P -)(n —2) punten S. Het blijkt uit het bovenstaande, dat de verwantschap (P", S) 3/2 (p i)(p — >)(n — 2) coïncidenties moet hebben. Wordt echter P" = S, dan liggen op de lijn P, P', S, drie punten der involutie Ip nl. PP' en P =S. Oio lijn is dan een drievoudige raaklijn aan F. De drie punten P, P' en P" op zoo'n drievoudige raaklijn gelegen zijn allen als een coïncidentie der verwantschap (P", S) op te vatten. Het aantal drievoudige raaklijnen r'3 van de involutie kromme P is daarom " 3 = '/2 (p — 1) (p — 2) (n — 2). s 2. De involutie Ip op een willekeurige rationale vlakke kromme. Door een der formules van PlückER vinden wij nu voor den graad 11' van F 'i k (k 1) - " 2 " 3. (,3 = o.) n' = (n i)(p 1 (np n p) (11 - 2) (11 — 3)(p — i)2_ 3 (n — 2)(p — i)(p — 2) n'=(p— i)(2 n -(- p — 6). Voor het geslacht g' van F geldt dan g' = i/2 (k' ,)(k' 2)-/ 7' = r'2 + 3 rj. g' = '/2(np—n p)(np n p — 1) V2 (n — 2)(p— i)(np n — 3). g'= 1/2 (p2 —5P + 6). g' = >/2 (p— 2)(p — 3). \\ ij zien hieruit dat het geslacht nul is voor p = 2 of p = 3 d. w. z. voor de quadratische en de cubische involutie. De involutie I kan punt voor punt afgebeeld worden op een willekeurige kegelsnede ('2, waarop wij dan eene J krijgen. De omhullende Po van deze laatste involutie moet hetzelfde geslacht hebben als de omhullende [' van I(). Blijkbaar is de omhullende van de (p - i)° klasse en dan is het geslacht van ro Ko = '/2 (p— 2)(p — 3) want in het algemeen heeft f0 geen dubbelraaklijnen. Nu geldt algemeen \'oor het geslacht van F g'='/2 (k'— i)(k' —2)-r' —,3' of omdat steeds go = g' is, '/2 (p— 2)(p — 3)=i/2;(n— i)(p— 1)2— 3(n— 1) (p — 1)+ 2; — T' —13'. 2 (r' + ,3') = (n — 1) (p — i)2— 3(n— 1) (p — 1) + 2 — — (P— 2)(p — 3). of 2 (r' + (3') = (p — 1) (n — 2) (n p — n — 3). Doch wij vonden boven 2 r' = (p — 1) (n — 2) (n p — n — 3), Hiermee is het bewijs geleverd, dat /3' = o is, hetgeen wij steeds als meetkundig duidelijk aannamen. Wij hebben in het voorgaande den graad n' van de involutiekromme F langs indirecten weg bepaald. Wilden wij dien graad //' rechtstreeks bepalen dan zouden wij het aantal snijpunten van Cn en F kunnen zoeken. Snijpunten van Cn en F ontstaan in de vertakkingspunten der Ip. Immers uit het punt P, gaan de raaklijnen Pi P2 Pi 1', aan F. X'allen nu bijv. de punten P4 en \\ samen dan \ allen ook de raaklijnen F, P4 en Pi P5 uit Pj aan F getrokken samen, met het gevolg dat het vertakkingspunt P, op 1' terecht komt. Het aantal snijpunten van C en T op deze wijze ontstaan is 2 (p—i)(p—2), overeenstemmende met het aantal vertakkingselementen der I . Uit de vorige paragraaf is gebleken dat de kromme C en de omhullende F elkaar in 3*(p—i)(n 2) punten aanraken. Daardoor zijn 6 (p — 1) (n — 2) snijpunten verantwoord. Maar het geheele aantal snijpunten laat zich op deze manier niet makkelijk bepalen. 5} 3. I)K INVOLUTIE lp DER KAAKLIJNEN AAN EEN RATIONAI.E VLAKKE KROMME. Zij gegeven de involutie I,, tussclien de raaklijnen eener vlakke rationale kromme Cn. Zoo'n Ip kan bijv. ontstaan door in de punten eener punteninvolutie van den p'» graad de raaklijnen te trekken. Een groep van p toegevoegde raaklijnen bepaalt een aantal snijpunten, die ik .S'zal noemen, en wij gaan nu de meetkundige plaats zoeken van de snijpunten .S'der toegevoegde raaklijnen. De graad n' dier kromme S is eenvoudig te vinden. Wij vragen slechts hoeveel snijpunten van toegevoegde raaklijnen op een willekeurige rechte l gelegen zijn. De raaklijnen uit de punten van / aan de kromme C„ getrokken vormen eene Ik, wanneer k de klasse van Cn voorstelt. Wij zoeken nu het aantal paren dat de involutie U gemeen heeft met de Ip. Om dit aantal te vinden beelden wij de Cn en daarmee de Ip en de Ik af op eene kegelsnede. Voor de raaklijneninvolutie Jp aan de kegelsnede is de involutiekromme (S') van den graad (p 1). De involutie Jk aan de kegelsnede heeft eene involutiekromme van den graad (k 1). De involutiekrommen van Jp en Jk hebben zoodoende (p i)(k 1) snijpunten, d.w.z. Jp cn Jk hebben (p i)(k 1) gemeenschappelijke paren. De Ip en Ik aan de C„ hebben bijgevolg evenveel gemeenschappelijke paren, waarmee bewezen is dat er op elke willekeurige lijn /, (p—1) (k 1) punten S voorkomen. De graad n' van de involutiekromme (S) blijkt alzoo te zijn n' = (p 1) (k 1). We gaan verder met de bepaling van het aantal dubbelpunten o2 van de involutiekromme (S). Beschouwen wij de toegevoegde stralen p en p' die elkaar snijden in het punt -S'. Uit S gaan dan nog (k — 2) raaklijnen / aan de kromme Cn. Noemen wij één dezer raaklijnen t = q dan is daaraan toegevoegd de raaklijn q'. en q met q' bepalen het snijpunt .S". Buiten de raaklijn t = q gaan door .S' nog (k 3) raaklijnen t' en deze alle voeg ik toe aan de raak- lijn q', cn beschouw de verwantschap (t', q'). Aan do raaklijn q' zijn toegevoegd (p— i) raaklijnen q cn op elke raaklijn // liggen (k — 2) (p — 1) punten .S'. Bovendien gaan door elk punt .S' (k — 3) raaklijnen t', zoodat ten slotte aan elke raaklijn q' zijn toegevoegd (p i)2 (k — 2) (k — 3) raaklijnen t'. De overeenkomst (t', q') is blijkbaar symmetrisch en zij zal dientengevolge 2 (p — 1)2 (k — 2) (k — 3) coïncidenties moeten bezitten. Het gevolg van het voorkomen eener coïncidentie q' = t' is dat het punt .S" met het punt •S' samenvalt. Kr ontstaat dan een dubbelpunt S = S' der involutiekromme. Door het dubbelpunt S = S' loopen nu de vier lijnen q = t, q' = t', p en p'. Maar het is duidelijk dat p en p' ook twee coïncidenties p = t', zullen vertegenwoordigen. liet met de coïncidenties q' = t' overeenstemmende aantal dubbelpunten S = S' is daarom 02 = */2 (p — 1 )2 (k - 2) (k — 3). Om het aantal drievoudige punten te bepalen, dat de involutiekromme bezit, redeneeren wij op de volgende manier. Een drievoudig punt zal ontstaan wanneer drie aan elkaar toegevoegde raaklijnen bijv. p, p' en p" door één punt A' gaan. Dan is dat punt .S' natuurlijk drievoudig. We letten op de verwantschap tussclien de raaklijnen t en p". De raaklijnen p en p' bepalen het snijpunt S en de (k — 2) andere raaklijnen uit .S' aan de kromme Cn noem ik t. Valt zoo'n raaklijn t met een raaklijn p" samen dan gaan drie toegevoegde raaklijnen p, p' en p" door één punt .S', dat dan drievoudig wordt. Een raaklijn t bepaalt (p—1) (k—1) punten S, maar wij moeten de (p— 1) punten S door de toegevoegde raaklijnen van t op t ingesneden niet hebben. Bij één raaklijn t behooren derhalve (p— i)(k — 2) punten S, terwijl elk punt S (p — 2) raaklijnen p" aangeeft. Bij één raaklijn t behooren dus (p i)(p—2)(k 2) raaklijnen p". Door één raaklijn p" zijn (p- 1) toegevoegde raaklijnen / bepaald, die V2 (p—i)(p—2) punten S aangeven, terwijl elk punt S nog (k - 2) raaklijnen t bepaalt. Bijéén raaklijn t vinden wij zoodoende V2 (p — 1) (p 2) (k — 2) raaklijnen p". De overeenkomst (t, p") bezit nu 3/2 (p i)(p—2)(k — 2) coïncidenties, (laan echter de drie raaklijnen p, p' en p" door één punt S dan is .S' drievoudig, maar er moet op gelet worden dat nu elk der drie raaklijnen p, p' en p" een coïncidentie p" = t voorstelt. Vandaar dat het aantal drievoudige punten der involutiekromme (S) is 2'3 = V2 (p — 1) (p — 2) (k — 2). Om de klasse k' van de involutiekromme (S) te bepalen, gebruiken we de formule van PlücKER k' = n'(n'—1) — 2I' x =0 I11 ons geval is n' = (p—i)(k—1), en l' = S'2 -(- 3 ^'3, want om de formule toe te passen, moeten eerst alle drievoudige punten tot dubbelpunten herleid worden. Wij vinden daardoor k' = (p— i)(2k+p — 6). Het bestaan van keerpunten is in 't algemeen onmogelijk. § 4. De involutie i2 op een rationale vlakke C3. Een cubische kromme C3 met een dubbelpunt in D nemen wij als draagster eener involutie I2. Om de I2 te krijgen mogen wij twee paren Aj, A2 en Bj, B2 willekeurig op C3 aannemen. 1 lierdoor is de involutie I2 volkomen bepaald. Wat is de involutiekromme F? De klasse van F is k' = (p— 1) (n — 1 ) = 2. Zoodat r eene kegelsnede moet zijn. De cubische kromme C3 en de omhullende r2 hebben 6 snijpunten. De raaklijn A] A2 snijdt de C3 nog in een punt P = B2. Uit P=B2 gaat nu nog de raaklijn B2 Bj aan de omhullende F2. Wanneer nu de lijn Aj A2 de cubische kromme raakt in het punt A2, zal P = B2 = A2 worden en moet ook A\ = B, worden, d. w. z. de twee raaklijnen, die in 't algemeen uit het punt P aan F2 gaan, zijn hier samengevallen, en we kunnen zeggen dat zij elkaar toch nog in P = B2 = A2 snijden. Zoo zien wij dat het punt T)= II. = \: óp de omhullende P2 valt, en dat r2 de lijn A, A2 in het punt A2 zal aanraken. Zoo'11 punt P=A2 is eene coïncidentie van de verwantschap (A, P). Deze bezit het symbool (1,2) zoodat er drie coïncidenties bestaan. [Uit een punt A, gaat n.1. slechts ééne raaklijn A, A2 die ook slechts één punt P op de C3 insnijdt. En uit een willekeurig punt der C 3 dat ik als een punt P kan beschouwen gaat maar eene raaklijn van de soort P Aj A2. Bij één punt P behooren dus twee punten A. De andere raaklijn uit P verkrijgt men door P als een punt der I2 te beschouwen. Uit P = B, gaat dan nog de raaklijn PBj, doch die bedoelen wij niet.] De drie coïncidenties wijzen er op dat de cubische kromme C3 en de involutiekromme l'2 elkaar in drie punten raken. Hierdoor zijn de 6 snijpunten van C3 en r2 te verklaren. De omhullende P2 is dus een driemaal-rakende kegelsnede. De C3 is van de s ierde klasse en r2 van de tweede. I lunne acht gemeenschappelijke raaklijnen zijn nu gemakkelijk te verklaren, De drie raakpunten van C3 en |'2 leveren er zes en de beide dubbelpunten der I2 geven er nog twee bij. § 5. De involutie I3 op eene rationale vlakke C3. Twee willekeurige drietallen A,,A2,A3 en B,, B2. B3 op een kromme C3 met een knoop 1) bepalen een involutie I3. Volgens onze gevonden resultaten heeft de involutie Ip op eene kromme C„ eene omhullende Y waarvan de klasse k' = (p— i)(n—i)endegraadn' = (p—i)(2n + p -6). Voor ons geval is p = 3, n = 3, en vinden wij k' = 4, n'= 6, r'3 = 1. De rechtstreeksche afleiding van dit resultaat is echter belangrijk. Uit het dubbelpunt I) gaan vier raaklijnen aan r d. w.z. de klasse van Y is k' = 4. Zoodoende bezitten C4 en F4 i6 gemeenschappelijke raaklijnen. Hun ontstaan is als volgt te verklaren. De involutie I3 bezit 2 (p—i)==4 dubbelpunten, waarmee vier gemeenschappelijke raaklijnen verklaard zijn. Snijdt de lijn A) A2 de cubische kromme in een punt P dan zien wij gemakkelijk in dat de verwantschap (A, P) tot symbool heeft (4, 2). [Want uit het punt A] gaan de twee raaklijnen Aj A2 en A) A3 die elk één punt P aanwijzen, terwijl uit een punt der C3, als een punt P opgevat, vier raaklijnen aan 1' kunnen getrokken worden, doch slecht:; twee van de soort PCiC2; de andere twee verbinden P = B, met zijn beide toegevoegde punten B2 en B3. Bij één punt A behooren dus twee punten P en bij één punt P vier punten A.] Deze overeenkomst (4, 2) heeft 6 coïncidenties, waaruit blijkt, dat de krommen C4 en P4 elkaar in 6 punten R aanraken; hierdoor ontstaan 12 gemeenschappelijke raaklijnen. We hebben dus de 16 gemeenschappelijke raaklijnen verklaard. De involutiekromme F bezit è'en drievoudige raaklijn. Zij ontstaat uit de lineaire groep die de I3 bezit. Immers, zoodra de drie toegevoegde punten Pi,P2, P3 collineair d. w. z. op ééne rechte liggen, is die rechte Pi P2 P3 eene drievoudige raaklijn der omhullende |\ We moeten echter nog laten zien dat de 13 zoo'n lineaire groep bezit. We kunnen het zien uit de verwantschap bestaande tusschen het punt A3 en het snijpunt P van de lijn Aj A2 met de cubische. Dat is eene (1.2) met drie coïncidenties die ééne drievoudige raaklijn bevatten. Maar eigenaardig is een andere afleiding. We hadden de involutie I3 bepaald door de beide drietallen Aj,A2, A3 en Bi,B2, B3. Nemen we nu het punt P geheel willekeurig op C3 aan dan kunnen wij ons denken de kegelsneden (Ai A2 A3 D P) = x en (Bi B2 B3 D P) = j3. Klaarblijkelijk hebben de kegelsneden x en /3 nog twee snijpunten O en R buiten de C3. Deze beide vergelijkingen zijn lineair in x, x2 en (x, -)- x2) zoodra het punt x3 gegeven is; dan kan men uit die twee vergelijkingen het product x, x2 en de som (xj -(- x2) oplossen. Daarna kan men eene vierkantvergelijking samenstellen waarvan X| en x2 de wortels moeten worden. Uit die vierkantsvergelijking vindt men dan X) en x2 in functie van X3. Mij één punt x3 worden dus nog twee punten x, en x2 gevonden, d. w. z. de beide vergelijkingen (2) stellen eene cubische involutie voor. Willen wij nu het gemeenschappelijke drietal van de I3 en de I32 hebben, dan zoeken wij slechts de waarden x,, x2 en x3 die aan de drie bovengenoemde vergelijkingen tegelijk voldoen, liet zijn drie trilineaire vergelijkingen. Maar nemen wij nu x, x2 x3, i Xi x2 en X Xi als onbekenden aan dan worden het lineaire vergelijkingen waaruit die onbekenden Xi x2 x3, ü X] x2 en 2 X| zijn op te lossen. Met deze drie waarden kan men nu eene vergelijking van den derden graad samenstellen, welker wortels de waarden van x, x2 en x3 bepalen. Dit is dan het gezochte drietal dat de 13 en de I32 steeds gemeen hebben. Ter bepaling van den graad n' van F4 gaan wij het aantal snijpunten van C3 met F zoeken. De 6 genoemde raakpunten R van C3 en F4 geven 12 snijpunten. Verder zal, wanneer A2 = A3 is, de raaklijn Ai A2 met de raaklijn Ai A3 samenvallen, waardoor het punt Ai op F komt. De vier dubbelpunten der I3 doen zoo vier snijpunten ontstaan. Bovendien vormen de raaklijnen van de soort PXi X2. P Vj V2 eene quadratische involutie, met twee dubbelstralen zoodat hiermee nog twee snijpunten worden verklaard. In 't geheel zijn er nu 18, waaruit voortvloeit dat de involutiekromme F van den 6<--n graad is F4. Hetzelfde volgt uit n'=k'(k' — 1) — 2 r' n'=4X3-2X3 = 6. § 6. De INVOLUTIE I2 op EEN KROMME VAN DE VIERDE ORDE MET DRIEVOUDIG PUNT. (*) Een kromme van de vierde orde met een drievoudig punt O, is van het geslacht nul en kan ons derhalve dienen als draagster eener quadratische involutie I2. De involutiekromme F is van de derde klasse. Wij nemen het punt S' van C4 willekeurig, en letten op de kegelsnedenbundels bepaald door de basispunten (Ü,S',P,,P2) en (ü,S',Q,,Q2). Die bundels doen nog twee andere quadratische involuties op de C4 ontstaan, die een paar S" S'" gemeen hebben. Wij hebben dus de conische groepen (0,S',S",S'", P,,P2) en fO,S',S",S"',Qt,Q2) waaruit blijkt dat een bundel kegelsneden met de grondpunten (O, S', S", S'") eene involutie I2 insnijdt, die de paren Pi P2 en Q! Q2 bevat. Doch dan is zij noodzakelijk de involutie van uitgang, want eene involutie 12 is door twee paren volkomen bepaald. Bedenkende dat het punt S' volkomen willekeurig werd gekozen, mogen wij zeggen, dat iedere quadratische involutie I2 op een C4 met drievoudig punt door oneindig veel kegelsnedenbundels kan worden ingesneden, terwijl de veranderlijke basispunten S eene cubische involutie I3 vormen. Wij noemen de involutie (S) toegevoegd aan de quadratische. Van de ontaardingen van den bundel (O, S', S", S"') leveren de drie deelen O S', O S" en O S'" geen paren der I2. Alleen de rechten S'S", S"S"' en S'S'" geven paren der I2. Wij hebben hier drie paren der I3 die met drie paren der I2 op ééne rechte liggen. Steeds ligt elk paar der quadratische involutie op een rechte met een paar der toegevoegde. Immers beschouw het paar A],A2 der quadratische involutie en laat de verbindingslijn A) A2 de C4 nog in de beide punten X' T" *) Zie: Jan l>e Vries, Versl. K. A. v. W., Amsterdam i Mei lyoi. ontmoeten. Dan moet blijken, dat T' T" een paar der toegevoegde I3 vertegenwoordigt. Hiertoe kiezen we ergens een ander paar B|, B2 der I2 011 merken op dat de vijf punten O, Bi, B2, T', T" een kegelsnede bepalen, die nog een achtste snijpunt T"' met de C4 heeft. We kunnen nu zeggen dat door de vier punten O, 7', 7", T" twee kegelsneden gaan nl. (O, 7", T", T"' B,, B2) en de ontaarde kegelsnede (O T'", T' T") waarvan de eerste het paar B),!^, de tweede het paar A,, A2 der I2 insnijdt; de bundel kegelsneden bepaald door de vier grondpunten O, T', T", T'", doet derhalve op de gegeven C4 de aanwezige quadratische involutie ontstaan en hiermee is bewezen dat de punten T' T" toegevoegde punten der «toegevoegde» zijn. De verbindingslijnen Ai,A2 van de paren der quadratische involutie I2 zijn de raaklijnen der omhullende F3; en tegelijkertijd zijn het de verbindingslijnen van toegevoegde punten T', T" der cubische involutie en dus raaklijnen van de involutiekromme behoorende bij de I3; zoodat de beide toegevoegde involuties I2 en I3 de zelfde involutiekromme r3 hebben. Door deze kenmerkende eigenschap zijn wij in staat, de verdere bijzonderheden van F3 op andere wijze te verkrijgen, dan in het algemeene geval eener Ip. Voor de omhullende F der I2 geldt k' = (p— i)(n— i) = 3, n' =(p— 1) (2 n -f- p — 6) = 4, r'2 = >/2 (n — 2)(n — 3)(p — 1)2= 1, g'= >/2(p— 2)(p- -3)= O. Daar de I2 en de I3 eene gemeenschappelijke involutiekromme hebben is elk punt der C4 het snijpunt van drie raaklijnen aan l\ want elk punt der C4 is dan als een punt P der I2 maar tevens als een punt S' der I3 aan te zien. Op zoo'n manier zijn aan het punt P, = S' toegevoegd drie punten nl. P2, S" en S'", dus gaan door elk punt der C4 drie raaklijnen d. w. z. de klasse der omhullende F is drie. Dat de C4 en F3 elkaar in zes punten R raken, volgt uit de verwantschap bestaande tusschen de punten A en S der I2 en der I3 die op een zelfde raaklijn lijden. Ze vormen eene (2, 4). De I3 bezit 2 (p—i)=4 vertakkingselementen V' en evenveel dubbelpunten \" = V"' die vier snijpunten van C4 met I 3 en vier gemeenschappelijke raaklijnen in de punten V" = V"' verklaren. De snijpunten van C4 met T liggen in de vertakkingspunten \ ; want de beide uit \ ' vertrekkende raaklijnen V'V" en V'V'" zijn samengevallen. Zoo hebben C4 en F3 6 X 2 + 4 = 12 snijpunten en de omhullende is dan van den vierden graad F'. N" is n' =k'(k' 1) — 2 r'2. 4 = 3 x 2 — 2 72 dus :'2= 1; er is één dubbelraaklijn. Eene I2 en een 13 hebben twee paren gemeenschappelijk. De gevonden dubbelraaklijn bevat die twee paren. De 18 gemeenschappelijke raaklijnen van Cb en F1 laten zich uit het bovenstaande licht verklaren. § 7. Als bijzonder geval der I2 op de C4 met een drievoudig punt O gaan wij na wat er gebeurt, wanneer in het punt O een paar ()'()" der I2 is gelegen. Nu zal deklasse der omhullende F met één verlaagd worden en O wordt een klassepunt. De verbindingslijn der punten O'O" is immers onbepaald. De eigenlijke involutiekromme is een kegelsnede F2. Snijdt de lijn P| I'2 de C4 in de punten S'S" dan vormen de punten S in dit geval een quadratische involutie J2. De raaklijn welke het punt O'" verbindt met het punt dat door 12 aan ()"' wordt toegevoegd snijdt de C4 in de beide punten O' en O", zoodat O'O' een paar is, ook van de toegevoegde J2, De verwantschap tusschen de punten P en S is eene (2, 2), waaruit volgt dat de kromme C4 in vierpunten R door 1 2 aangeraakt wordt, of dat I 2 eene viermaal rakende kegelsnede is. Trekt men in zoo'n punt R de raaklijn, dan snijdt ze nog twee punten T op de C4 in. die beide aan het raakpunt R zijn toegevoegd. Is nu één punt K bekend, dan weten we van de involutie I2ofJ2 twee paren n.1. O'O" en R met éen van de tangentiaalpunten T. De involutie I2 of J2 is daardoor bepaald en de omhullende P2 ook. Tiet blijkt dat door één punt R de drie andere raakpunten gevonden worden, of dat de punten R eene involutie I4 vormen; want het is op oneindig veel manieren mogelijk op de ('4 quadratische involuties in te snijden die een paar in het punt () hebben, zoodat er ook oneindig veel groepen R ontstaan. De algemeene I2 kon ontstaan door een bundel kegelsneden met grondpunten O, S', S", S"\ waarin alleen O een vast punt was en S',S",S"' tot eene I3 behoorden. Neem nu bijv. S ook vast en zoo dat O' = S' wordt, dan beteekent dit, dat alle kegelsneden de raaklijn t' in O' aan de C4 aanraken; neem verder aan dat de punten (S" S'") een J2 vormen. We krijgen op deze manier een bundel kegelsneden die de \ eiste rechte t in () raken en waarvan de twee verandelijke grondpunten een J2 vormen, terwijl op de C4 een quadratische involutie J2 ontstaat. Bovendien wordt elk paar der I2 met elk paar der J2 door een kegelsnede verbonden. < >mdat men de involutie J2 op oneindig veel manieren op C4 kan kiezen zal hij elke raaklijn in O een oneindig aantal bundels behooren. In ons geval is nu de cubische involutie J3 overgegaan in een quadratische J2 en het punt O. Bij een raaklijn t' behooren derhalve oneindig veel krommen I\ waarvan de raakpunten R een biquadratische involutie vormen, die blijkbaar fundamentaal is, d. w. z. alleen afhangende van de kromme C4. In t geheel ontmoeten we zoo drie fundamentaal-involuties op de C4 en drie stelsels van viermaal rakende kegelsneden. De toegevoegde involutie J2 moge een dubbelpunt hebben in I),; de bundel bepaald door D, en de raaklijn in O'" snijdt op de ('4 een I2 in met twee dubbelpunten D„ en D'„. Er zijn derhalve twee kegelsneden die C4 in D, en verder resp. in Dn en D'„ raken. De paren O',O" en I), Dn bepalen eene involutie I2. Ineggen we de kegelsnede, die raakt in D,, J)„ en O'", dan blijkt dat het paar I)| I)j] van I2 met O'" wordt verbonden door een kegelsnede, die hetzelfde paar 1), Dn nog eens insnijdt, en omdat elk paar van l2 met elk paar van J2 door een kegelsnede wordt verbonden, die in O " raakt, volgt dat l>i Dn ook een paar van de toegevoegde involutie J2 moet zijn. O' O" is nog een gemeenschappelijk paar. De twee involuties I2 en J2 zijn in dit geval identiek of samengevallen. De involutiekromme P2 was een kegelsnede d. w. z. uit elk punt Pj der C4 gingen twee raaklijnen die P, verbonden met P2 en met P'2 [wanneer P2 door I2 en P'2 door J2 aan het punt P, is toegevoegd]. Maar I2 =J2; dus 'J2 = P'2 d. w. z. uit een willekeurig punt P, der kromme C4 gaan steeds twee samenvallende raaklijnen aan de omhullende F wat er op wijst dat P ontaard is in een dubbelpunt f\. Iedere lijn door A bevat twee paren der I2=J2 en het is duidelijk dat de twee dubbelpunten der I2 = J2 door twee raaklijnen uit [\ aan C4 moeten aangewezen worden. De overige vier raaklijnen zijn op deze manier natuurlijk niet te verklaren. Echter zijn twee dubbelraaklijnen der C4 als een ontaardingsvorm der viermaal-rakende kegelsnede f op te vatten. Hun snijpunt is dan A- Hiermee zijn de zes raaklijnen uit A aan C4 verklaard. De paren (),() en Dj, D'n bepalen evenzoo een 12 die met haar toegevoegde J2 samenvalt. De beide andere dubbelraaklijnen der C4 zijn dan als de viermaal-rakende kegelsnede te beschouwen. De vier dubbelraaklijnen hebben zes snijpunten die we A kunnen noemen. Elk zoo'n punt A 's op te vatten als middelpunt van een waaier die een fundamentale I2 insnijdt, zoodat op elke straal twee paren voorkomen. Hij het paar ()'()" behooren twee fundamentaalinvoluties, en twee ontaarde kegelsneden gevormd door de vier dubbelraaklijnen dj, d2, dj, d4. Stel dat bij de eene involutie behoort het paar dt d2, met het snijpunt Ai2 = d1d2, dan behoort * vanzelf bij de andere involutie het paar d3, d4 met A34 ^d3 d4. Want was dit niet het geval, zoodat bij de tweede involutie behoorde het paar d2, «13 dan hadden de bedoelde involuties behalve het paar O', O" nog het op de dubbelraaklijn d2 gelegen paar gemeen en vielen zij samen, wat niet kan wanneer zij door waaiers met verschillende centra moeten ingesneden worden. We nemen aan dat aan de fundamentaalinvoluties die het paar O' O" gemeen hebben A12 en /\34 zijn toegevoegd » » » O' O'" » » Al3enA24 » » » o" o'" » » A23en Ah I)e punten I)] en DIt vormden een paar der eene I2. De punten Dj en D'n vormden een paar der andere 12 welke aan O'O" was toegevoegd. Bijgevolg moeten de punten D,, Dn, A12 op eene rechte liggen en evenzoo de punten Dj, D'n, A34- Bepalen we eene involutie I2 door het paar O'O" en het dubbelpunt Dj, dan zijn volgens boven de punten Dn en D'n de dubbelpunten der toegevoegde J2. Dezelfde involutie 12 laat zich bepalen door het paar O', O" en het tweede dubbelpunt D'j, zoodat ook dan Dn en D'n de dubbelpunten der toegevoegde J2 zijn; dus bestaan de kegelsneden, die de C4 raken,achtereenvolgensinO'", D'j, D'n. Op dezelfde manier als boven bepalen de paren O', O" en I)',, Dn eene involutie die met haar toegevoegde samenvalt. Zoo ook de paren O', O" en D'j, D'n. De punten D'lt Dn vormen een paar der ééne involutie, de punten D'j, D'n een paar der andere involutie, die aan O'O" is toegevoegd. Bijgevolg moeten de punten D'j, D'n, A34 op een rechte liggen en evenzoo de punten D'j, D n. Ai?: want wij hadden al de eollineaire drietallen D(, Dn, A12 en Dj.D'ij, A34> Wij hebben hiermee de stelling bewezen dat de punten A12 11,1 A34 ('e nevenhoekpunten zijn van den vierhoek Dj Dn D'j D'n die in de C4 beschreven is. De punten A12 en A34 zijn natuurlijk vast, maar de punten D zijn veranderlijk, zoodat de punten A12 en A34 de nevenhoekpunten van oneindig vele in C4 beschreven vierhoeken zijn. Hetzelfde geldt voor een ander paar punten A> zoodat we tot algemeene uitkomst verkrijgen: Elke twee overstaande hoekpunten der door de dubbelraaklijnen gevormde vierzijde zijn twee nevenhoekpunten van oneindig vele in C4 beschreven vierhoeken. » § 8. de involutie i3 op een kromme van de vierde orde met een drievoudig punt. (*) Is op een C4 met drievoudig punt O een cubische involutie I3 gegeven, dan heeft die eene involutiekromme r van de klasse k = (p — 1) (n — ,) = 6. Dit blijkt ook daaruit dat aan het punt O zes punten zijn toegevoegd. We willen laten zien dat uit twee drietallen der I3 is af te leiden door welken bundel zij is ingesneden. De drietallen A„ A2f A3 en B,, Bj, B3 bepalen met het punt O twee kegelsnedenbundels (O At A2 A3) en (O B, Bj Ii3) die op de C4 twee quadratische involuties insnijden. Deze hebben steeds een paar P', P" gemeenschappelijk. De kegelsneden (O A, A2 A3 P' P") en (C) B, B, B3 P' P") bezitten nog een vierde gemeenschappelijk snijpunt Q dat buiten de kromme C4 ligt. Hieruit zien wij dat de kegelsneden (O P />" Q A, A2 A3) en (O P' P" () B, li, R,) een bundel (OP'P"Q) bepalen die op C4 de gegevene cubische involutie afteekent. De ontaardingen uit den bundel wijzen aan dat er twee lineaire groepen der I3 bestaan, zoodat F* twee drievoudige raaklijnen bezit, en bovendien volgens vroeger V2 (p i)2 (n — 2) (n 3) = 4 dubbelraaklijnen. Derhalve is het geslacht nul en de orde tien. De kromme V en r,* hebben 36 gemeenschappelijke raaklijnen en 40 snijpunten die op de bekende manier te verklaren zijn. Als bijzonder geval kunnen wij aannemen dat de I3 een paar O , O bevat Xu wordt de omhullende ontaard. Ze bestaat dan uit een kromme F5 en het punt O. Wij zagen (*) Jan uk Vries: Verslag K. A. v. W. te Amsterdam; 1 Mei 1401. vroeger dat eene I3 dnor een drietal en twee paren kon bepaald worden. Wij kiezen daarvoor het drietal Aj, A2, A3 en de paren Bi, I$2 en O', O", waardoor wij weder den bundel kunnen vinden die de bedoelde 13 doet ontstaan, Leg de kegelsnede Ai,A2,A3,0'",O'", dus rakende in ()"' en let op het punt P dat zij op C4 aangeeft. Dan de kegelsnede Bt, Bj, P, O"', O'" dus eveneens rakend in O'". De beide kegelsneden leveren nog een snijpunt Q op buiten C4. De vier punten (0"'0"'PQ) bepalen een bundel die op de C4 eene I3 insnijdt en wel de gegevene. Immers één exemplaar geeft het drietal Alt A2, A3, een tweede geeft het paar Bt, B2 en de ontaarde kegelsnede (O'" P, O'" Q) wijst op een drietal dat het paar O', O" bevat. De lijn PQ draagt een drietal der I3 en is dus drievoudige raaklijn der involutiekromme. Verder blijkt gemakkelijk dat F5 nog drie dubbelraaklijnen bezit en dus eene Tj is van geslacht nul. § y. Insnijdende bundej.s. Wij willen in deze paragraaf eens nagaan hoe involuties op een gegeven rationale kromme Cn kunnen ontstaan. Daartoe brengen we de kromme C„ in doorsnijding met een bundel krommen Bm van den graad m. Wij zien dadelijk, dat de snijpunten P van elk exemplaar Bm met de krommen C„ een puntengroep vormen, die door één punt P, onverschillig welk, bepaald is, want met elk punt P is een kromme van den bundel aangewezen. De ligging der basispunten is echter van invloed op de komende involutie. De kromme C„ van het geslacht nul bezit ten hoogste V2(n—i)(n — 2) dubbelpunten I). Wij stellen dit geval aanwezig. Dan bepalen j V2 (n — 3) n — 1 j = >/2 (n2 — 3 n 2) dubbelpunten D een bundel krommen (Bn_3) van den graad (n — 3), terwijl er dan nog tuur dubbelpunten Dj en I)2 overblijven. Dit is de bundel van den hoogsten graad, dien wij door de dubbelpunten kunnen bepalen. Men noemt de involuties door dergelijke bundels ingesneden wel fundamentale involuties, omdat zij met de kromme Cn gegeven zijn. Een exemplaar B „ _ ^ heeft met de kromme Cn natuurlijk n(ti — 3) snijpunten waarvan (n2— 311— 2) inde punten I) terecht komen. Buiten deze punten D wordt de Cn derhalve door elk exemplaar van den bundel Bn _ . in slechts twee punten F gesneden. \\ ij zien zoo op de gegeven Cn een fundamentale involutie van den tweeden grand F2 ontstaan, die met Cn bekend is. Deze involutie F2 onderscheidt zich van de in het voorafgaande besprokene. Immers nemen we D1 = P1 aan, dan snijdt de daardoor aangewezen kromme Bn_3 de C„'voor de tweede maal weer in Dj = P2. Derhalve zijn de dubbelpunten D, en D2 paren der fundamentale involutie I-"2 en dit is bijzonder, want in 't algemeen zullen geen twee toegevoegde punten van een I2 in een dubbelpunt liggen. Elke quadratische involutie is door twee paren volkomen bepaald en onze I-2 dus ook. Zoo bepalen dan de punten I), en I)2 de bedoelde F2. Maar elk ander paar punten I) bepaalt een zekere fundamentale involutie F2. Hieruit volgt dat het aantal mogelijke fundamentale involuties van den tweeden graad op een C„ overeenstemt met het aantal combinaties der punten D twee aan twee. I assen we op deze I-2 de vroeger gevonden formules toe, door p = 2 te stellen, dan vinden wij voor de grootheden, die op de involutickromme F betrekking hebben k'=(p— 1) (n — 1) = n — 1, -'2 = V2 (n — 2)(n —3)(p— i)2= i/2 (n-— 2)(n —3), t'3 = '/2 (p — i) (p — 2) (n — 2) = o, n = (P 1) (2 n -|- p — 6) = 2 n — 4 = 2 (n — 2), g' = 1/2 (p— 2)(p — 3) = O. In de eerste plaats ondergaat de klasse k' eene vermindering, want in Dj en in 1)2 ligt een paar der 1*2. De punten D| en I)2 zijn twee klassepunten van F. De eigenlijke omhullende heeft nu de klasse k' —n—1—2 = n 3. Uit deze formule blijkt dat we eerst voor n = 5, dus op een kromme van den vijfdon graad, fundamentale involuties van do tweede orde ontmoeten. De involutiekromme 1' is dan een kegelsnede. De C„ en r van de klasse k = 2 (n— 1) en k' = n — 3 zijnde moeten 2 (n 1) (n — 3) gemeenschappelijke raaklijnen bezitten. Zij ontstaan i°. Uit de twee dubbelpunten der 12; 2°. llit de coïncidenties der verwantschap |S, S'); do snijpunten der lijnen P, P2 met de Cn zijn punten S; de (S, S') bozit het symbool [(n — 4) (n —3)] met dubbel zooveel coïncidenties. 3°. Uit de coïncidenties der overeenkomst (P. S) die voor te stollen is door [(n — 2), 2 (n — 4)]; dus (n — 2) + 2 (n — 4) = 3n 10 gevallen P = S. De kromme Cn en T zullen elkaar in P = S aanraken. We moeten derhalve (6 n — 20) gemeenschappelijke raaklijnen rekenen. Deze drie gevallen leveren nu 2 + 2(n — 3)(n — 4)+ 2 (3 n— 10) = 2 (11 — i)(n — 3) gemeenschappelijke raaklijnen, waarmee zij allen verantwoord zijn. Omdat I van het geslacht nul is, zal men voor het aantal dubbelraaklijnen vinden 7'2 = '/2(k'—l)(k' 2)='/2(n 4) (n — ,5) waaruit voor den graad van [' is af te leiden n' = 2 (k' — 1) = 2 (n — 4). De onderstelling 11 = 5 levert dan dat V een kegelsnede zal wezen. Zoekt men het aantal - 2 door het aantal paren te bepalen dat het stelsel (S, S') met de 12 gemeen heeft, dan vindt men te veel, want dit aantal is (11 — 4) (n — 3) en daaruit zou volgen r'2 = '/2 (n — 3) (n — 4) dus voor n = 5 wordt r'2= 1, wat niet waar is. Maar uit I)1 gaan naar F" ~ ' (n 3) raaklijnen. Een draagt het paar D',, I)",, de andere elk een paar P, P2. Op elk dezer (n — 4) raaklijnen is D'lt D", een paar (S, S'). Van het aantal paren dat (S! S') met I2 gemeen heeft, liggen er dus 2 (n 4) in I), en D2. Deze paren leveren geen dubbelraaklijnen, zoodat wij nu voor het aantal dubbelraaklijnen vinden ~'2 = 1/2 (n — 4) n — 5) De dubbelpunten der C„ bepalen een bundel hoogstens van den graad (n — 3), waardoor eene \\ ontstaat. Bepalen wij bundels door minder dubbelpunten, dan ontstaan fundamentale involuties van hoogeren graad. Zoo bepalen 1/2 (n2— 5 n -f- 2) punten D een bundel (B„ _4) v an graad (n 4), waarvan de exemplaren op de kromme Cn eene involutie I- n _ 2 doen ontstaan. Minstens moet weder n = 5 zijn; we krijgen dan een F3, ingesneden door een bundel van den eersten graad bepaald door één basispunt D. Dit zijn de fundamentale cubische involuties die door de waaiers met middelpunten D worden ingesneden. Zoo zijn er natuurlijk zes. I let aantal ongebruikte dubbelpunten is steeds V2 (11 1) (n — 2) — 1/2 (n2 — 5 n + 2) = n. Die u punten D zijn paren der In_2 en weder n klassepunten der omhullende |\ We \ inden daaruit voor de klasse k' der involutiekromme k' = (p — 0(n — 1) —n=(n —3)(n— 1) —n = n 2 5 n -f- 3. \ erdef zullen wij dit onderzoek echter niet voort zetten. Alleen nog de opmerking, dat op een Cn met het maximum aantal dubbelpunten 1/2 (n — i)( n - 2) centrale fundamentale involuties F„_2 aanwezig zijn. Blijkbaar liggen ['/2(n— 1) (n 2) '] = '/2 (n2 3 n) = "(n — 3) paren der Fn_, in de dubbelpunten D, zoodat de omhullende V zal worden samengesteld uit de " (n — 3) punten D en het middelpunt D van den waaier, dat voor ^ f ~2) punten moet ge- teld worden, omdat in liet algemeen de klasse van F zou zijn (n — 3) (11 — 1). I en slotte is het geval denkbaar, dat er onder de singuliere punten der C „ veelvoudige punten voorkomen. Ook dan zijn fundamentale involuties mogelijk. De gegevens worden nu echter te onbepaald om er verder iets over te zeggen. § 10. Een tweede manier om involuties te verkrijgen, leveren de bundels waarvan de basispunten zoo zijn gekozen dat alle dubbelpunten 1) er toe behooren. De dubbelpunten bepalen op zichzelf geen bundel. Er moeten nog eenige punten naar willekeur bij genomen worden; 't zij öp, 't zij buiten de gegeven kromme C„. De bundel van den laagsten graad, die aan genoemde voorwaarde voldoet, is een (Bn _ 2) van graad (n — 2). liet aantal bepalende punten is ['/2 (n —2)(n-f 1) — 1] = 1/2 (n2 — n — 4). Er zijn V2 (n i)(n- 2) punten D. We moeten dus nog Va (n2 n 4)- '/2 (n2 ^n-j-2) = n 3 punten B bij de dubbelpunten kiezen om een bundel (B„ 2) te bepalen. Het is duidelijk, dat nu geen paren der involutie in de dubbelpunten der Cn kunnen terecht komen. Dergelijke bundels leveren ons het meest algemeene geval. Op deze \\ ijs moeten we de involutie Ip ontstaan denken die wij in de eerste paragraaf van dit hoofdstuk bespraken. Alleen \ oor deze involuties gelden de aldaar gevonden formules. \\ orden alle (n 3) punten li buiten de Cn aangenomen dan ontstaat eene involutie In_2. Want een exemplaar Bn _ 2 geeft n (n 2) snijpunt met de C,„ terwijl er (n — i)(n — 2) in de dubbelpunten I) liggen. Het overschietende aantal (n2—2n) —(n2 —3n + 2) = n —2 geeft den graad der komende involutie aan. Men ziet oogenblikkelijk dat, wegens de vrijheid, die bestaat in het aannemen der (11 — 3) punten B, mits zij slechts buiten de Cn liggen, het aantal der involuties In _ 2 zeer groot is. \ erder kan men, door telkens één der verander- lijke punten B op dc Cn te kiezen, den graad der involutie verlagen tot twee. Men heeft dan (n — 4) punten B op Cn te nemen. Door kundels van den graad (>1 2) worden dus involuties Ip aangewezen van p = 2, tot p = (n — 2). Verder gaande bepalen we een bundel (Bn _ ,) van den graad (n - 1) door [V2 (n—i)(n + 2)—1] = V2 (n2-|- n — 2) punten, waaronder de dubbelpunten I) der C„ begrepen zijn. Er blijven V2 (n2 -)- 11 — 4) — V2 (n2 — 3 n -)- 2) = 2 n — 3 veranderlijke basispunten B over, die mede öp of buiten de Cn kunnen gekozen worden. In het eerste geval heeft elk exemplaar B„ , met de kromme Cn gemeen n(n—1) — (n2 — 3n-)-2)=2n — 2 = 2 (n — 1)snijpunten P. Er ontstaat dus eene I2 („ _ Telkens punten B öp de Cn nemende, kunnen wij ook met deze bundels ten slotte eene quadratische involutie insnijden. Door bundels van den graad (n — /) worden involuties Ip ingesneden van p = 2 tot p=2(n—1). Wij kunnen op deze manier involuties van iederen graad op onbepaald veel wijzen verkrijgen. Het bestaan van veelvoudige punten tegelijk met dubbelpunten I) is weder op verschillende wijzen denkbaar; maar die gevallen zijn te onbepaald om voor eenige behandeling vatbaar te zijn. § u. Een derde manier om involuties te doen ontstaan bestaat hierin, dat we alle basispunten B buiten de kromme C„ plaatsen. Het eenvoudigste geval is dan dat we slechts één basispunt B aannemen. De daardoor bepaalde waaier B zal blijkbaar eene centrale involutie involutie In doen ontstaan. Terwijl een In in 't algemeen eene involutiekromme V van klasse k'=(n—i)2 heeft, zal F hier ontaard zijn in het , n (n — 1) centrum H, dcit ^ maal geteld moet worden en de (n — 1) (n — 2) ^ dubbelpunten D van kromme Cn. Het volgend geval is dat wij een bundel kegelsneden (K2) hebben met de vier basispunten buiten de Cn. Er ontstaat eene l2„ waarvan in alle punten D paren liggen. Op deze wijs voortgaande, zien wij dat een bundel (Bm) op de gegevan kromme eene involutie Ip van den graad p = mn zal aangeven. De graad / is steeds een veelvoud van het getal n. Onderstellen wij verder dat er basispunten op de C„ komen, mits buiten de dubbelpunten I). dan geeft een waaier met centrum B op de Cn eene involutie In _,. In 't algemeen snijden dan bundels (Bm) involuties van den graad (m n— i) tot den graad (m n — b) in, als b het aantal basispunten voorstelt. Men krijgt weder involuties van iederen graad. Nog op andere wijzen kunnen involuties ontstaan. Wij zullen die echter niet beschouwen. De gegeven manieren met elkaar vergelijkende kunnen wij de opmerking maken, dat men wel volgens die verschillende methoden involuties van den zelfden graad zou kunnen verkrijgen maar dat zij toch nooit identiek kunnen zijn. Immers, is eene involutie 1,, ontstaan volgens de eerste manier dan is het eene fundamentale involutie; er liggen dan een bepaald aantal paren in de dubbelpunten D. Ontstaat een 1,, volgens de tweede wijze dan zijn er in 'tgeheel %eett paren in de dubbelpunten I) gelegen. Volgens de derde manier is het duidelijk dat alle dubbelpunten I) paren der komende Ip zullen voorstellen. \\ egens het verschillend aantal in de punten D gelegen paren der I,, is zoodoende het insnijden eener zelfde involutie volgens de besprokene handelwijzen eene onmogelijkheid. § 12. Fundamentale involuties op rationale krommen van den vijfden graad. (*) W e spraken reeds in t algemeen over fundamentale involuties op rationale krommen, maar willen nu de bijzonder- l Tan de \ rif.s, Versl. K. A. v. W., Amsterdam, io Februari 1904. heden nagaan, die zijn op te merken, wanneer een C5 met zes dubbelpunten Dk (k = ,, 2,3,4,5,6) de draagster der involutie is. Klaarblijkelijk snijdt een bundel kegelsneden door vier punten D een fundamentale I' b in, waarvan twee paren in D5 en in I)6 liggen. Derhalve is de klasse der involutiekromme 9 twee te verminderen en dus niet (p— i)(n— i) = 4, maar k' = 2; m. a. w. de omhullende wordt een kegelsnedeos,°. Letten wij op de verwantschap (S,S') tusschen de punten S, ingesneden door de verbindingslijnen Pi,P2, dan blijkt, dat de punten S in dit geval een cubische involutie F5,0 vormen, want uit S|=P, gaan slechts twee raaklijnen n.1. 1 1 12 S S S en S| Sj Q| -S- De verwantschap (P, S) is hier eene (2,3) met vijf coïncidenties P^S, waaruit volgt dat de omhullende eene vijfmaal rakende kegelsnede van C5 is. Blijkbaar is <£5.(' omhullende zoowel voor F'-6 als voor de F5,6. 3 Deze vijf raakpunten leveren 10 gemeenschappelijke raaklijnen. De I' " en 1*5.11 hebben samen zes coïncidenties waarmee de overige zes gemeenschappelijke raaklijnen van C® en (p2^b verklaard worden. Een drietal der F'-6 bepaalt met de zes dubbelpunten Dk eene cubische kromme; dus door twee drietallen wordt een bundel van cubische krommen vastgelegd, welke de Fs-6 doet ontstaan. In de punten I)5 en 1)6 liggen twee paren Jer I'2, maar ook twee paren van F3, want zoowel uit I)5 ds uit D6 gaat één raaklijn aan b van de soort Q, Q2 S, D'* = D"5. De C3, die het paar van F3 insnijdt, dat in I)5 ligt, moet noodzakelijk daar ter plaatse een dubbelpunt be'itten, zoodat zij met de overige krommen van den bundel n I)5 twee punten gemeen heeft. Fr liggen dus twee basispunten in D5, wat tengevolge zal hebben, dat alle overige «rommen elkaar in D5 aanraken. Maar dan doen zij het ï\ eneens in I)(,. I it D5 gaat een rechte t5 waarop een Irietal der F*-6 ligt; t5 bepaalt met de vijf overige dubbelpunten D eene ontaarde ( 3. bestaande uit de rechte t5 en ie kegelsnede k* 2 3 4 6. Evenzoo levert 1)6 de ontaarde C3 gevormd door t„ en de kegelsnede k* 2 . Deze twee ontaarde krommen bepalen natuurlijk ook de negen basispunten van den cubischen bundel. Er liggen er vier in Di I)21)3 1)4, twee in 1)5 en twee in !)„, derhalve is het snijpunt van t5 en t6 het negende basispunt. Bovendien moeten de beide ontaardingen elkaar raken in D5, maar ook in I)6. Dit kan alleen als de rechte tg de kegelsnede kj2^6 raakt; en als de lijn t5 dan de kegelsnede k*2^5 raakt, want de beide kegelsneden kunnen niet meer dan de punten D,. I)2,1)3,1)4 gemeen hebben. Alle krommen van den bundel raken derhalve in I)5 aan t5 en in D6 aan te. De fundamentale involuties F]'6 en F>6 met de toegevoegde involuties F^6 en F'-6 hebben de involutiekegelsneden en kegelsneden, die l raken, en de yj dubbelrechten, die / snijden; dus is 2 fx = y + tj. Neem verder een willekeurig punt O als centrum van een waaier. Aan eiken straal s uit O raken ■/ kegelsneden; zij bepalen nog > raaklijnen s' uit O. De overeenkomst (S, S') heeft tot symbool (■/, >) en 2 -j coïncidenties, die ontstaan uit de fjL kegelsneden door 't middelpunt O en de h lijnenparen; want de straal uit O naar het snijpunt van een lijnenpaar 5 is een geval SeeeS'. Nu geldt derhalve de formule 2 v = jt* + 3. Op de rationale kromme C„ zij gegeven een Ip zoodat p > 5. De p punten eener groep combineeren wij vijf aan vijf en letten op de kegelsneden door vijf dezer punten (*) Jan de Vries. Verslag K. A. v. \V. te Amsterdam, 10 Febr. 1904. bepaald Zij vormen een stelsel [C*]. Wij hebben geen dubbelrecht dus is v\ = o en wij vinden i;:r' ofi^=> 2 / — p ~\~ h ' i fX — o Liggen drie toegevoegde punten P P' P" op één rechte dan hebben w,j een drievoudige raaklijn der omhullende. Hun aantal is r'3 = ,/2 (p— i)(p—2)(tl —2). Elke lijn PPT' vormt met een andere lijn die twee tot dezelfde groep behoorende punten P verbindt een lijnenpaar van [L 2j dus is 5 = -', viL~3)(p—4) i.2. ~ /4^'J ')

= Ve (p — i) (p — 2) (p - 3) (p - 4) (n _ 2) of [j. = 2 (n 2) (p — ,)4 y = 4(n —2)(p — ,)4. Een kegelsnede van [( 2] bevat vijf punten Pen(2n -1 punt X. Door een punt P der C„ gaan M kegelsneden waaronder (p- ,)4 die P met vier toegevoegde punten P' verbinden. Er schieten M - (p_ ,)4 = (2 n _ 5)(p_ k(,_ gelsneden over, die vijf punten Q der Ip bevatten en (2 n - 6) punten X'; de verwantschap (X, X') heeft 't symbool ff-n — 61 (2 n 5) (p — 1)4] " ' De 2 (2 n 6) (2 n 5) (p — 1 )4 coïncidenties X = X' vviizen op evenveel kegelsneden, die de C„ in X==X' aanraken. LJe 2 (p — 1) dubbelpunten der Ip leveren 2(p—,)(P—*)(P —3)Jp—4) , 1.2.3. =2(P— ')p — 2)3==8(p— i)4 andere kegelsneden die Cn raken. Ten slotte zal wanneer or hij kiezen. Dan wordt <5 = 6 (n 1). Deze lijnenparen vindt men als volgt: Vooreerst zijn er (n — 2) eollineaire drietallen PP P" die elk met de lijn A| A2 een lijnenpaar vormen. Snijdt verder de lijn A, A2 de Cn in een punt P dan vormt de lijn P' P" met de lijn Aj A2 een lijnenpaar. Zoo zijn er n. Ten slotte is elk der punten A], A2 collineair met 2 (n — 1) paren der I3. Alles te zamen nemende vindt men l = 6 (n 1). Bij een I4 is p = 4 en heeft men maar één puntA! noodig. Dan is l = 3 (2 n — 3). Want er zijn 3 (n — 2) eollineaire drietallen en 3 (n—1) lijnenparen, waarvan elke der rechten twee toegevoegde punten der I4 draagt. De verwantschap (X, X') heeft voor p<5 het kenmerkende getal (2 n — p)(2n — p— 1); de verwantschap (P, X) het symbool [p (2 n -— p), ( 2 n—p)]. Nog bedenkende dat Ip 2 (p — 1) dubbelpunten heeft, vindt men nu voor het aantal C2, die C„ aanraken, 2 (2 n — p) (2 n — p — 1) + + 2(2n —p)(p-fi) + 2(p — i) = 2(2n — i)(2n —p+i). Voor een I8 is (X, X') eene [2 n — 2] (2 n — 3) die met I2 (2 n — 2) (2 n — 3) paren gemeen heeft. Dan zijn er dus (n—i)(2n — 3) kegelsneden die twee paren der I2 dragen. HOOFDSTUK IV. § i. Involuties op rationale ruimtekrommen. De axiale I„. (Haar ontstaan). Deze soort van involutie is bij de rationale ruimtekrommen van bijzonder belang. Wij stellen ons voor dat een rationale ruimtekromme van den n< " graad Rn gegeven is en dat wij een rechte a willekeurig in de ruimte aannemen, welke rechte wij in 't vervolg de as n zullen noemen. En wel omdat wij de rechte a als as van een vlakkenbundel zullen opvatten. Deze door de as a bepaalde vlakkenbundel snijdt de gegeven R„ volgens de groepen eener involutie I„. Immers, in elk element van den vlakkenbundel a verschijnen u snijpunten P met de R„, terwijl elk zoo'n punt P, onverschillig welk, met de as a een vlak van den bundel bepaalt en dus de geheele groep van n punten P bepaalt. De volgens deze manier voortgebrachte involutie is bijzonder i°. Omdat alle punten van één groep in één vlak liggen; 2°. Omdat al die vlakken een vlakkenbundel vormen; 3°. Omdat de graad van zoo'n involutie overeen moet stemmen met den graad van de ruimtekromme waarop zij geplaatst wordt. Een dergelijk puntenstelsel wordt nu eene «axiale, involutie van den «™ graad genoemd. § 2. Het regelvlak (P, P2). De u toegevoegde punten P eener groep der axiale I„ laten zich 2 aan 2 verbinden door lijnen P, P2, welke rechten alle in een zeker vlak der vlakkenbundel a zijn gelegen en daarom noodzakelijk de as a van dien vlakkenbundel moeten snijden. Stelt men zich voor dat op de aangegeven manier alle toegevoegde punten door rechte lijnen zijn verbonden, dan vormen die rechten een regelvlak, dat ik zal noemen het regelvlak (P, P2) of 't regelvlak p. De graad n' van het regelvlak p laat zich eenvoudig bepalen. Volgens bepaling wordt de graad van een regelvlak aangewezen door het aantal beschrijvende lijtien, die een willekeurige rechte lijn / snijden. Kiezen wij dan een geheel willekeurige lijn l in de ruimte en maken haar tot as van een vlakkenbundel. Deze vlakkenbundel l doet op de gegeven kromme Rn een 2e axiale In ontstaan. Het aantal gemeenschappelijke paren der beide collocale axiale involuties van den 11 en jrraad is (n 1 )2. Wordt met mme R„ gesneden. Reschouw slechts de lijn / als as van eenen vlakkenbundel. die op de gegeven R„ eene axiale I„ insnijdt. Het regelvlak p van deze In is van graad (n — 1)2 en bezit derhalve (n 1)2 rechten, die de lijn q snijden, maar die ook / snijden, want p ligt op het regelvlak p. De bedoelde lijnen zijn alle bisecanten, want zij verbinden twee punten van R„. Een punt P, der ruimtekromme R„ bepaalt een groep van >i toegevoegde punten der 1„. Door P, gaan de lijnen Pi Pg, P, P3 P, Pn van het regelvlak p. Elk punt der oorspronkelijke kromme R„ draagt alzoo(n—1) rechten van p en de geheele kromme Rn is een (n — i)-voudigelijn op het regelvlak p. De vlakkenschoof door het willekeurige punt A der ruimte (d. w.z, alle \ Likken door A) snijdt de Rn volgens de groepen eener I,,2, want twee punten Oj en Q2 bepalen met 't punt A een exemplaar van de sehoof en tegelijk een n-puntige groep der involutie. De vorkregen I,,2 bezit~ ~2\neutrale I. 2. elementenparen, d. w. z. paren die geen groep van n punten bepalen wat t geval is wanneer de lijn die zoo'n punten- paar N( X2 verbindt door A loopt. Ik zie daaruit dat door elk willekeurig punt der ruimte (n — i) (n — 2) . , ~ bisecanten gaan. Ook uit elk punt der as a gaan zooveel bisecanten en daar deze nu alle beschrijvende rechten van t regolvlak p zijn is de as a op dat regelvlak (n—i)(n—2) een ^ ^ voudige lijn. Blijkt ook zoo: In elk vlak door a liggen V2 n (n 1) rechten P, Po. Daar n' == (n — 1)' volgt dat a een 1/2 (n — 1) (n — 2)voudige lijn is. >ï 3* bi elk \ lak van den vlakkenbundel (tt) ligt een groep van n toegevoegde punten P der axiale In. We verbinden van zoo'n groep de punten P,, R, en ook de punten P3, lJ4; de rechten P, P2 en P3 P4 zijn lijnen van het regelvlak p. Hun snijpunt Q ligt op een dubbelkromme van p. Er gaan immers twee beschrijvende lijnen van p door het punt Q. Beschouw ik nu een vlak a van den vlakken bundel (a) met de n punten P der involutie er in, dan kan ik op de aangegeven manier meerdere punten Q in 't vlak (*) doen ontstaan. Ter bepaling van het in vlak j* gelegen aantal punten Q kan men als volgt redeneeren: De ti in vlak x gelegen punten P geven " Ver- 1. 2. verbindingsrechten P) P2 die V2 *11 'n M (n (n0 1 1 1-2. I ! 1.2. M snijpunten vertoonen. Hiervan moeten de u punten P, die „ (n — i)(n — 2) elk , , snijpunten vertegenwoordigen afgetrokken worden. De overblijvende snijpunten zijn dan alle punten Q. Hun aantal is derhalve n(n— i)[n(n— i) — 2] n(n— 1 )(n— 2) 2X2X2 2 m " (n i)(n'—jn-f-6)_ n(n - 1) (n j)(n j) 2X2X2 ~ 8 Hiermee is nog niet het totale aantal punten Q gevonden dat in vlak x is te vinden, want de mogelijkheid bestaat dat een punt Q op de as a terecht komt; wij moeten het aantal op de as <1 gelegen punten Q bepalen en die bij het reeds gevonden aantal optellen waarna wij den graad van O gevonden hebben. De lijn P, P., snijdt de as a in een punt, dat ik R zal noemen. Nu wordt de lijn P, P2 door \ " 1' — 1 j rechten 1.2. ' gesneden die toegevoegde punten in vlak x verbinden. Door Pi gaan er (n — 2) en evenveel gaan er door P2. Buiten P, en P2 wordt de lijn P, P2 dus door 'n — ] J — £2 n — 4J rechten gesneden of [1/2 n (11 — 1) — 2 n + = 'n ~ 1. 2. rechten, die ik q zal noemen, want ik kan ook zeggen, op de lijn P) P2 zijn te vinden — punten (J die elk nog een lijn q van het regelvlak bepalen. De snijpunten van deze lijn q met de as a voeg ik toe aan het genoemde punt R en noem ze punten R'. In het vlak * zijn aan het punt R blijkbaar toegevoegd'" ~'"n punten R'. Doch door R gaan — bisecanten, waaronder ook de lijn A' P1 P2. Elke bisecante voegt aan het punt R evenveel punten R' toe, zoodat de verwantschap (R. R'), die klaarblijkelijk symmetrisch is, tot kenmerkend getal heeft: (n - - i)(n — 2)2 (n — 3) 4 Ze bezit tweemaal zooveel dubbelpunten R = R'. Is echter R = R', dan liggen twee bisecanten met a in één vlak en is dat dubbelpunt R == R tevens een op o gelegen punt Q geworden. Bovendien blijkt dat zoo'n coïncidentie dubbel geteld moet worden. Het aantal op de as a gelegen punten Q is dus (n— i)(n — 2)2(n — 3) 4 waardoor ten slotte voor den graad van de dubbelkromme (Q) wordt gevonden n(n — 1)(n — 2)(n — 3) (n — i)(n — 2)2(n --3) 8 ▼ 4 ~ — (" ~ 1) (" — *)(n — 3)(n-f 2 n 4)_ 8 _(n— i)(n — 2) (n —3)(3n — 4) 8 § 4. Het trisecanten oppervlak. We kiezen een willekeurig punt A óp de gegeven kromme R„. De vlakken schoof door dat punt A, bepaalt op de ruimtekromme eene involutie I- . die ——-2)^n—l) neu- n — 1' j y M trale puntenparen bezit. De verbindingslijn van zoo'n neutraalpaar N^Ng loopt door het punt A der ruimtekromme en is blijkbaar een trisecantc. We zien hieruit dat door elk willekeurig punt der ruimtekromme Rn gaan — 2)(n~~3) trjsecanten waar. 1. 2. door ik aan een punt A van R„ kan toevoegen (n — 2) (n — 3) punten X. De verwantschap,tusschen de punten Aen Nissymmetisch en heeft tot kenmerkend getal [(n — 2) (n — 3)]. De verwantschap (A, X) zal tegelijk met de axiale involutie In op de ruimtekromme R„ bestaan en met I„ gemeen hebben (n — 1) (n — 2) (n — 3) elementenparen. Stelt G,, G2 een paar voor dat tot de (A. N) èn tot de In behoort, dan gaat de lijn (t,(t2 door A en zal bovendien de as a der axiale in\ olutie snijden.. Maar in dat geval zullen do drie punten A,(i, en (ij, toegevoegde punten der In voorstellen, en zij vormen drie paren dor axiale I„ die in 't algemeen drie verbindingsrechten bezitten. Deze drie lijnen zijn hier samengevallen vormende do lijn A G( (t2, waaruit blijkt dat elke trisecante die de as a snijdt voor drie koorden geldt. Het aantal trisecanten dat op a rust of de graad van het triso cantenregelvlak is nu klaarblijkelijk '/3 (n — i) (n — 2) (n — 3). Alle trisecanten die a snijden behooren tot de doorsnede van p met 't trisecantenoppervlak. s 5. De vlakke d< x jksnede van het regelvlak (Pj P2). Een willekeurig plat vlak O snijdt het regelvlak volgens eene vlakke kromme van den graad (n — 1 )2. die de volgende bijzonderheden aanbiedt: n -/•• . _ (n—i)(n 2) 1 . /ij vertoont een -voudig punt ter plaatse 1 x 2 waar de as a het snijvlak Q doorboort; 2°. de kromme Rn snijdt het vlak C n-maal. Al deze doorgangen zijn (n i)-voudige punten; 3°. de dubbelkromme (Q) wordt door het vlak cp in (n—i)(n —2)(n 3)(3n —4) 8 punten geneden, welke snij¬ punten allen dubbelpunten der doorsnede zijn; 4°. Het oppervlak der trisecanten levert 1) (n 2) (nj^ 3) 3 trisecanten die ook op p gelegen zijn. Deze geven derhalve evenveel 3-voudige punten in de vlakke doorsnede met Q. \\ ant elke trisecante is drievoudige rechte op p. Met deze gegevens laat zich het geslacht der vlakke doorsnede berekenen dat is volgens bepaling 't geslacht van het involutinegeMiiV. p. Na eerst alle veelvoudige punten be- hoorlijk tot dubbelpunten herleid te hebben vindt men = [(" — ')2 —'][(n— i)2— 3] _ (n— i)(n — 2) I» <2. 1.2. — i/j — 2) ^n2 — 3 11 -f j\ _ (n-i)(n-2)(n —3)(3n —4), | (n — i)(n — 2)(n — j) zoodat na eenvoudige herleiding het geslacht van p blijkt te zijn g' = (" — 2)(n —3) I. 2. § 6. Reehtstreeks laat g' zich ook bepalen, door afbeelding op eene kegelsnede C2. De In gaat dan over in een op die kegelsnede gelegen J,„ waarvan de omhullende of involutiekromme de klasse heeft (n — 1); [want in 't algemeen zullen er geen dubbelraaklijnen zijn; daarvoor moesten er in één groep van toegevoegde punten minstens twee dubbelpunten voorkomen]. Voor het geslacht der omhullende op de C geldt nu g' = V2 (n —2)(n — 3) en dit is nu tevens het geslacht eener vlakke doorsnede van het regelvlak p. Immers de verbindingslijnen P'P" op de C2 stemmen één aan één overeen met de rechten van het regelvlak p en daarom ook met de punten eener vlakke doorsnede p. S 7- Toepassing voor n = 3. De cubische involutie moet door twee drietallen bepaald zijn. Ik neem daarom de tripels A,, A2, A3 en B,, B2, B3 willekeurig op de gegeven cubische ruimtekromme aan. Zij bepalen de vlakken x en [3, waarvan ik de snijlijn <1 zal noemen. Beschouw ik nu de lijn a als as van een vlakkenbundel, dan doet deze laatste op de K3 een axiale I3 ontstaan, die de gegeven groepen (A) en (B) bevat en derhalve de axiale I3 is, welke door de beide groepen bepaald wordt. Door de verbindingslijnen van toegevoegde punten wordt weder een regel vlak p gevormd. I)e as u is op • gelegen, want /ij wordt door alle lijnen P, P2 gesneden en zij moet enkelvoudige richtlijn zijn, daar door elk punt van de ruimte slechts één bisecante kan getrokken worden en dus ook uit elk punt van a slechts één rechte P, P» van p kan gaan. Wij zien verder, dat in elk vlak van den vlakkenbundel gelegen zijn vier rechten van p, en dat het regel vlak derhalve van den 4'" graad is, terwijl de kromme R3 een dubbelkromme op het regelvlak P, P2 is. Ofschoon alle eigenschappen der I3 op een rechte voor deze op een ruimtekromme gelegen I3 moeten blijven gelden, wil ik er toch nog een paar rechtstreeks aantoonen. Zoo werd reeds bewezen, dat een I3 bepaald is door één volledige groep en twee paren. Neem ik de groep A|,A2,A3 en de paren B,, B2 en C],C2 als gegeven aan, dan zijn de snijpunten der rechten B,, B2 en C,, C2 met 't vlak (A, A2 A3) bekend. De lijn door die twee snijpunten is de as a van den vlakkenbundel, die de 13 zal insnijden. Door vier paren is een I3 niet bepaald; want de vier verbindingslijnen Aj A2, Bj B2, enz. moeten alle de as a snijden, doch zij bepalen de as niet. Zij hebben immers twee transversalen a en a' (*) Slechts wanneer a en //' samenvallen is de I3 bepaald. Wanneer is dit zoo? De vier rechten a, b, c, d hebben twee transversalen, die 8 snijpunten doen ontstaan. Lagen echter de vier lijnen a, b, c, d toevallig op één hyperboloïde, dan hadden ze oneindig veel transversalen en was de I3 in 't geheel niet meer bepaald. Maar het kan ook gebeuren dat de vierde lijn d raaklijn is aan de hyperboloïde door de drie andere bepaald, dus aan de hyperboloïde (a, b, c.) Dan hebben de vier krui- (*) St: Vier rechten hebben tieee transversalen. Jinvijs: Drie rechten ir, />, c bepalen een hyperboloïde, welke door de 4f' rechte li in twee punten D, en D., gesneden wordt. Maar door de punten D, en D„ loopen twee lijnen van het stelsel waartoe a, b en c niet behooren. Zij snijden de rechten a, b, c en d. sonde lijnen , c, d slechts één transversaal. Blijkbaar wordt nu de hyperboloïde (a, b, d) aangeraakt door de lijn c; evenzoo moet b raken aan de hyperboloïde (a, c, d) en moet a raken aan de hyperboloïde (b, c, d). Bestaat één van deze gevallen, dan is de I3 ondubbelzinnig door vier paren bepaald. I en slotte nog de vraag, hoeveel paren hebben twee axiale cubische involuties gemeen? De assen der vlakkenbundels die de involuties insnijden a en a' zijn dan bekend. Het regelvlak door a is van den vierden graad en wordt door a' in vier punten A gesneden, waardoor vier lijnen van regelvlak (a) gaan, die natuurlijk tóvcanten van K3 zijn. Omdat ze n' ook snijden zijn het rechte van 't regelvlak (a). De beide regelvlakken hebben die vier lijnen gemeen of m. a. w. de involuties hebben vier paren gemeen. § 8. Df. I2 op een rationale R3. Als bijzonder geval der axiale I3 ontstaat de quadratische involutie, zoodra de as van den vlakkenbundel unisecante wordt. Zijn omgekeerd de paren A,. A2 en B,, B2 eener 1., gegeven en neemt men op de R3 'n willekeurig punt O dan gaat uit O maar één snijlijn l van A, A2 en B1 B2, en wel de snijlijn der vlakken OA,A2 en O B, B2. Nu is /de as van den vlakkenbundel die de I2 doet ontstaan. Alle koorden P, P2 rusten op l. Tiet involutieregelvlak is dus quadratisch, want in elk vlak van den bundel ligt de lijn l en nog een lijn P, P2. Wordt O verplaatst dan kan natuurlijk 't regelvlak niet veranderen, waaruit wij zien dat de koorden de beschrijvende lijnen van 't eene stelsel vormen, terwijl de oneindig velen assen der vlakkenbundels het andere stelsel voorstellen. De koorden zijn alle bisecanten, de assen unisecanten. De dubbelpunten der I2 doen twee raaklijnen der R3 ontstaan. § 9. Toepassing voor x = 4. Stolt men in de algemeene uitkomsten n = 4 dan komen de resultaten voor dit geval te voorschijn. Maar als meer bepaald voorbeeld zal ik het geval 11 = 4 nog opzettelijk behandelen. Alle vlakken door de willekeurig in de ruimte aangenomen as a, snijden de R4 volgens de groepen eener axiale I4. Het regel vlak p is van den graad 9; de R4 vervult op p de rol van drievoudige kromme en de as a die van drievoudige rechte; het eerste blijkt uit het feit dat P] met drie toegevoegde punten verbonden wordt en het laatste is duidelijk wanneer men bedenkt dat de vlakkenschoof door een willekeurig punt der ruimte op de I<4 eene P bepaalt met drie neutrale puntenparen, d. w. z. door elk punt der as a gaan drie bisecanten. Maar p bezit nog een dubbelkromme n.1. de meetkundige plaats der punten O. Weet ik hoe vaak Q op a komt, dan is de graad van (Q) bekend. De verwantschap (R, R') heeft tot symbool (3,3) en bezit 6 dubbelpunten R = R', die tegelijk punten Q op a zijn. Echter is elk dubbelpunt een dubbele coïncidentie, zooals licht blijkt en er liggen zoodoende drie punten Q op de as (i. Ten slotte blijkt nu de graad van de dubbelkromme (Q) te zijn 6, terwijl <1 natuurlijk trisecante van (Q) is. De vlakkenschoof door een punt P' der 1<4 doet een P ontstaan met één neutraal elementenpaar, d. w. z. door elk punt der I<4 gaat slechts één trisecante P' P" P'", terwijl tusschen die punten P eene I3 bestaat, die 2 X 3=6 paren met de axiale I4 gemeen heeft. De bijbehoorende trisecanten moeten allen de as n snijden; doch bedenkende dat zoo'n trisecante drie paren der I4 bevat, komen we tot het besluit, dat de as a door (6: 3) — 2 trisecanten wordt gesneden, die ook drievoudige rechten van p zijn. In de vlakke doorsnede

/2(k'-,)(k'_2)_r' /3' = o. Hieruit is het aantal der aanwezige dubbclraakvlakkcn te vinden. In elk vlak

/2 (p — 1) (k — 1). De verbindingslijnen P, P2 stemmen projectief overeen met de snijlijnen van de osculatievlakken Xl en Xi. Het geslacht van p is daarom ook het geslacht van (x) of g'= 1/2 (p —2)(p—3). I let \lak wordt door (p — 1) vlakken x gesneden en bevat (p — 1) rechten van («); x, raakt aan (p—1) bladen van ix) en is 1/2 (p — 1) (p— 2)-voudig raakvlak. Derhalve zijn al de osculatievlakken der kromme Rn V2 (p— 1) (p 2)- voudige raakvlakken aan het regelvlak (,*). Op (x) ligt ook de kromme (S) die de meetkundige plaats is der snijpunten van drie toegevoegde osculatievlakken Voor haar graad geldt nu n' — '/2 (p — 1) (p — 2) (k — 2) en voor 't geslacht onveranderd. g' = Vö (2 p 1) (p — 3) (p —4). § 14. kubische involuties van den eeksten en TWEEDEN GRAAD OP KUBISCHE RUIMTEKROMMEN. (*) In aansluiting met de eigenschappen der P op een vlakke C3 met een lus (zie Hoofdstuk II) volgt hier de behandeling (*) Jan de Vries . Nieuw Archief voor Wiskunde. Tweede reeks. Vierde deel, ioi —10(1. der p op een cubische ruimtekromme R3, ingesneden door tien vlakkenschoof met centrum Af. We leggen door een willekeurige koorde der R3 een vlakkenbundel en brengen hierdoor de P punt voor punt over op een willekeurige rechte g; wij zien dan op g een J-; ontstaan. Nu is deze involutie voor te stellen door de trilineaire vergelijking ;io X! xs x3 -\- aj E Xi x2 -f- a2 S x -f~ ai = o. Hieruit blijkt dat door een willekeurig punt M der ruimte drie osculatievlakken gaan. Wanneer men heeft a Xj x2 -f" aj (xa -f- x3) a2 = o, ai xa x3 -f- a2 (xs -|- x^ -f- a3 = o, wordt x, onbepaald. De verbindingslijn der neutrale punten P> P.i moet derhalve door M gaan m. a. w. door elk punt M der ruimte gaat één bisecante. Wij herinneren ons verder dat reëele neutrale punten op imaginaire drievoudige punten wijzen en omgekeerd, terwijl wanneer twee drievoudige punten samenvallen daar ter plaatse ook een neutraal dubbelpunt ontstaat. Zijn de neutrale punten Pj en P2 reëel, dan is de koorde M Pi P2 ook reëel, maar gaat door 't punt M slechts één bestaanbaar osculatievlak. Men mag echter het punt M op da lijn M Pt P2 laten verschuiven, het paar P, P2 zal toch neutraal paar der komende P blijven. In 't algemeen geldt dus: Door elk punt van een reëele koorde gaat slechts één bestaanbaar osculatievlak en door elk punt van een imaginaire bisecante gaan drie reëele osculatievlakken, terwijl door elk punt van een raaklijn, behalve het tweemaal te tellen osculatievlak van het raakpunt, nog een osculatievlak gaat. Stel dat de wortels Xj, x2 en x3 der vergelijking t>o x3 + 3 bj x2 + 3 b2 x —(- b3 = o een tripel (B) der Jj bepalen. Dan is /ii 3 b, x.+x. + x.---^, I i . 3 b2 X1 X2 4" X2 x3 -(- X3 Xj — , 1 "O b3 ! x,x,xa = - , "O Zetten wij deze waarden in de vergelijking der J-j, dan komt men tot de voorwaarde: a» bo — 3 a2 bj 3 ai b2 — ao b3 = o. Wegens de symmetrie dezer betrekking mogen we besluiten dat nu evenzoo de drievoudige punten A1.A2.A3 een drietal zullen vormen van die J', waarvan B1,B2, B3 de drievoudige punten zijn. Aan de laatste vergelijking is te voldoen als men neemt bo = ao, bj = ai, b2 = a2, b3 = a3 d. w. z. de drievoudige elementen der J2 stellen ook een drietal toegevoegde punten dierzelfde involutie voor. Stereometrisch beteekent 't dat de osculatiepunten der drie osculatievlakken door M in één vlak u (nulvlak) liggen dat door M (nulpunt) gaat. Maar wegens de bestaande symmetrie geldt algemeen: Wanneer het vlak > drie punten B,. R2, B3 en het snijpunt M der osculatievlakken van Ai.Ag, A3 bevat, dan bevat het vlak Ai.Ag, A3 = fi het snijpunt \ der osculatievlakken van b,,b2, b3. We voegen op deze wijs punt en vlak in de ruimte aan elkaar toe, zoowel in 't geval in het vlak werkelijk drie bestaanbare punten liggen als wanneer door een punt drie bestaanbare osculatievlakken gaan. Gaat uit een punt M slechts één reëel osculatievlak en is A) het osculatiepunt dan kan men door M een vlak y leggen dat de I<3 in de reëele punten B,, B^, B3 snijdt. Is N het nulpunt van > dan is het nulpunt fj. van M bepaald door de drie punten M, N en A,. Snijdt het vlak a de kromme slechts in één reëel punt A], dan kunnen wij in een punt N kiezen waardoor drie bestaanbare osculatievlakken loopen het nulvlak y van N bepalen. Nu is het snijpunt van 't osculatievlak van A, met de vlakken fj. en y, het nulpunt van /j.. Uit 't voorgaande blijkt ie. 't punt M ligt in vlak p » N » » » y 2e. 't punt M ligt in vlak y » N » » » fi Dus de lijn M N moet de snijlijn der vlakken p en y zijn, of anders. «Wanneer het punt X in 't nulvlak van M ligt, is ook M in het nulvlak van X gelegen.» § 15. We beschouwen M en X als middelpunten van twee vlakkenschooven. Blijkbaar zal nu de vlakkenbundel door de lijn M X die tripels insnijden welke gemeen zijn aan de beide involuties J2 door M en X bepaald. Zij vormen eene cubische involutie I8 die derhalve voor te stellen is door de twee trilineaire vergelijkingen: \ a<, x, x2 x3 -f a, X x, x2 -|- a2 X x -f a3 = o ' b0 x, x2 xj + b, S x, x2 -)- bs Z x + b3 = o Wij maakten hiervan reeds in Hoofdstuk III gebruik, Stelt men x2 = x3 dan krijgt men na eliminatie van x, ter bepaling van de dubbelpunten der I3 de volgende vergelijking ;io x2 -(- - ai x -f- a2, ai x2 -(- 2 a2 x -f- a3 bo x2 -j- 2 bi x-|- b2. b] x2 -}- 2 b2 x-f- b3 waaruit blijkt dat de I3 vier dubbelpunten bezit. Hiermee gaat samen dat door de as M X vier raakvlakken aan R3 gaan of dat elke rechte der ruimte door vier raaklijnen gesneden wordt. Het ontwikkelbaar raaklijnenoppervlak der R3 is derhalve van den vierden graad. Snijdt de as van den vlakkenbundel de R3, dan ontstaat eene quadratische involutie I2. Deze heeft slechts twee dubbelpunten zoodat nu de as buiten de R3 nog door twee raaklijnen gesneden wordt. Elke unisecante wordt door twee raaklijnen ontmoet; de beide andere zijn samengevallen tot de raaklijn in het snijpunt der unisecante met de R3, zoodat wij zien dat de cubische kromme keerkromme is van haar raaklijnenoppervlak. Nemen we de doorsnede van twee osculatievlakken als as van een vlakkenbundel dan bezit de op g geprojecteerde I3 twee drievoudige punten. Hebben deze de coordinaten x = p en x = q, dan kan de vergelijking der bedoelde I3 geschreven worden in den vorm (x p)3 = A (x — q)3; dus is x — p = X '/3. (x — q) Geven we nu één punt xj dan vinden wij, omdat de tï- >. maar één bestaanbare waarde bezit en p zoowel als q reëel zijn, voor x2 en x3 twee toegevoegd imaginaire punten. De bedoelde I3 heeft dus dit eigenaardige dat al hare driepuntige groepen slechts één bestaanbaar punt bezitten. § 16. We leggen door de willekeurige lijn / een vlak t, dat de R3 in A,. A2 en A3 snijdt en noemen het nulpunt F,. Draait 't vlak z om l, dan loopt P, over een rechte l'. Immers, zijn M en N twee punten van /, dan moeten de bijbehoorende nulvlakken /x en > door Pt gaan. De punten M en N zijn \'£tst en de punten ^ en y ook. De snijlijn van fi en * is dus de genoemde lijn l'. De bisecante P, Q2 Qa bepaalt met /' een vlak, dat nog een punt Q3 op R3 aanwijst. De lijn O, Q3 snijdt op l' een punt P2 in, dat nu natuurlijk het nulpunt is van 't vlak (P2 /). Zoo geeft Q, Q2 op l' een punt P2 aan, dat evenzoo het nulpunt van 't vlak (P3/) voorstelt. Wij zien hieruit dat de punten (P) een kubische involutie op l' vormen, die uit de as / geprojecteerd wordt door een kubischen vlakkenbundel, waarin (P, /) (P2 /) P3 /) een drietal vormen. Laten wij het vlak z in een raakvlak der R3 overgaan, rakende in 't punt Ai = A2 = A12, dan is de raaklijn a,2 in dat punt te beschouwen als grensstand der doorsnede van twee osculatievlakken in dat punt. Het nulpunt P van 7is nu t snijpunt van a12 met 't osculatievlak in A3. De raaklijn al2 stelt dan de bisecante uit P' voor, zoodat A12 een paar P,, (J, der involutie (Q) voorstelt. Het blijkt dus, dat de 4 dubbelpunten der involutie (A) tegelijk de dubbelpunten der involutie (Q) zijn. Maar 4 punten der Rs kunnen slechts de dubbelpunten van twee involuties I3 vertegenwoordigen, want de vier raaklijnen in die punten hebben altijd slechts t\\ ee transversalen l en Deze l en l' zijn de assen der beide bundels, die de involuties moeten insnijden. We noemen 'le involuties op l en op l' toegevoegd. Tusschen hen bestaat de wederkeerige betrekking, dat elk paar der eene involutie het neutrale paar is eener kubische involutie van den tweeden graad waarvan de drievoudige elementen een drietal der tweede involutie vormen. Zoo ligt bijv. het paar Q,, Q, op de bisecante P, Q, Q8. De vlakkenschoof uit P, snijdt op de R-, eene J* in, waarvan 't tweetal Q, Q2 't neutrale paar is. I evens gaan uit P, ook drie osculatievlakken aan R„, die drie drievoudige elementen A, A2 A3 der J* aanwijzen. Maar volgens 't voorgaande liggen nu de drie punten At A2 As in 't vlak x, dat door l en P, gaat. en vormen zij dus een drietal der involutie (A). Hoort l tot een stralenbundel waarvan 't middelpunt het nulpunt van zijn vlak is, dan valt l' met l samen. Men kiijgt dan eene involutie die aan zichzelf is toegevoegd. Zooals reeds vroeger werd opgemerkt, kan eene I3 niet alleen door twee drietallen maar ook door één drietal A! A2 Aj en twee paren B,, B2 en Q, C2 volkomen bepaald worden. I Iet blijkt ook hier. Immers de as van den insnijdenden bundel is dan de lijn, die de snijpunten van Bt B2 en C, C2 met t vlak Ai A2 A3 verbindt. (Teeft men vier puntenparen, dan hebben de door hen bepaalde koorden twee transversalen, die de assen kunnen voorstellen van twee bundels. Door vier paren zijn derhalve twee kubische involuties aangewezen. Bestaat op R3 eene biquadratische involutie I4, dan vormen de vlakken, die elk drie toegevoegde punten bevatten, een stelsel zoodanig, dat door een punt P, drie van die vlakkeng aan n.1. P, P2 P3, P, P2 P4 en P, P,, P4. Zij osculeeren derhalve een tweede kubische ruimtekromme. Bedenken we dat de I4 door twee quadrupels bepaald is, dan vinden we hieruit de stelling: dat de vlakken van twee in een R:, beschreven tetraëders osculatievlakken zijn aan een tweede R3. Drie op Rs willekeurig gekozen viertallen bepalen eene biquadratische involutie van den tweeden rang P. Vormen Pi, P2, P3, P4 een groep dezer P dan gaan door de koorde P, P2 twee vlakken P, P, Ps en V, P2 P4, die elk een tripel der involutie dragen. Die vlakken omhullen derhalve een quadratisch involutieoppervlak. Wij zien hierdoor de stelling bewezen dat drie willekeurige ingeschreven tetraëders een er Rs aan een zelfde quadratisch oppervlak omgeschreven zijn. HOOFDSTUK V. 8 i. Rationale Ruimtekrommen. Algemeene eigenschappen. De vlakken der ruimte snijden op een rationale ruimtekromme van den ;/cn graad eene involutie P in. 1 wee punten A en B, die op de ruimtekromme Rn als vast aangenomen worden, bepalen de as van een vlakkenbundel, die op Rn eene P_2 afteekent. Deze involutie bezit 2 (n — 3) dubbelpunten, of anders. Stelling: «Door elke bisecante gaan 2 (11 — 3) raakvlakken aan de R„». Het gevolg is dat (wanneer A=B, d. w. z. wanneer de Stelling: as A B raaklijn wordt aan de R„) door elke raaklijn 2 (n — 3) vlakken gaan die nog ergens anders raken». Het zijn alle dubbelraakvlakken, met raakpunten A en R. De raaklijnen in de punten R snijden de raaklijn in A, dus Stelling: <• Iedere raaklijn wordt steeds door 2 (n — 3) andere gesneden.» De vlakken door een willekeurig punt P der ruimte (vlakkenschoof P) geven op de R„ een P aan, met 3 (n — 2) drievoudige punten, d. w. z. Stelling: ' Door P gaan 3 (n --2) osculatievlakken of de klasse der ruimtekromme is 3 (n — 2)». De vlakkenschoof door P. bepaalt eene P, die 2 (n — 2) (n — 3) groepen met twee dubbelelementen bezit dus Stelling: < Door elk punt der ruimte gaan 2 (n — 2) (n — 3) dubbelraakvlakken >. Ligt P op de kromme dan wordt een P _ _ ingesneden met 3 (n — 3) drievoudige punten, dus Stelling: « Door elk punt van de kromme Rn gaan 3 (n — 3) osculatievlakken die ergens anders osculeeren. - , bez'1 j 2 -—— neutrale puntenparen, d. w. z. Stelling: «Door elk punt der ruimtekromme R„ gaan V2 (n 2) (n — 3) trisecanten». -1 rnnet 2 (n — 3) (n — 4) groepen met twee dubbelelementen bezitten, dus Stelling: «Door elk punt der Rn kunnen 2 (11 — 3) (n — 4) dubbelraakvlakken gebracht worden. De vlakken der ruimte snijden op de R„ een involutie in, die 4 (n -- 3) viervoudige elementen bezit, waaruit volgt Stelling: «De rationale ruimtekromme R„ bezit in 't geheel 4 (11 — }) vierpuntige osculatievlakken (stationaire vlakken)». Ook is bekend dat de P bezit ^ ^2- (n — 3) (n — 4) (n — ,5) groepen met drie dubbelpunten d. w. z. Stelling: «De nttionale ruimtekromme Rn bezit in 't geheel 4/3 (n — n (n — 4) (n — ,5) drievoudige raakvlakken.» De P bezit V2 (n 1) (n — 2) neutrale elementen, of Stelling: «Door elk punt der ruimte gaan 1/2 (n — 1) (n — 2) bisecanten». § 2. Centrale projectie der rx. De rechten die de ruimtekromme uit het willekeurig in de ruimte genomen punt P projecteeren, vormen een kegeloppervlak van den ne" graad. Het willekeurige vlak Q snijdt den kegel volgens eene \ ldkke kromme kn, die een zeker aantal dubbelpunten zal bezitten. Immers, gaat door P een bisecante, dan is die te beschouwen als doorsnede van twee bladen. In cp levert zoo'n bisecante dan een dubbelpunt, en in 't geheel komen er V2 (n — 1) (n — 2) dubbelpunten in Q. Dit aantal is echter het maximum aantal dat een vlakke kromme van den nm graad kan vertoonen. Het geslacht der kromme k„ is dus tml. Komt het punt P op de r„ dan wordt de projectiekegel van den graad (n — i). De vlakke kromme in

p de ruimtekromme dan gaan in

i keerpunten. Voor den graad der dubbclkromme op het raaklijnenoppervlak wordt alzoo gevonden: (2 n — 3) (n — 2) — n = 2 (n — 1) (n — 3). Nemen we voor / een secante, dan geeft de vlakkenbundel l op de R„ een In _, met 2 (n — 2) dubbelpunten, of door / gaan 2 (11 — 2) raakvlakken, die buiten /de Rn raken, liet raakvlak door / telt derhalve voor twee. Nemen we de lijn l als tórcante dan geeft de vlakkenbundel door l op de 1<„ een In _ 2 met 2 (n —3) dubbelpunten Door een bisecante gaan 2 (n — 3) raakvlakken, terwijl elk raakvlak in de steunpunten voor twee geldt. Beschouwen we de raaklijn als grensgeval van een bisecante dan blijkt dat door elke raaklijn gaan 2 (n 3)dubbel- raakvlakken. [Zie § 1.] Is de lijn / trisecante dan snijdt de vlakkenbundel door l op de Rn in een Jn _ 3, met 2 (n — 4) duobelpunten. Door elke trisecante gaan derhalve 2 (n - 4) raakvlakken. 1 it een willekeurig punt A der ruimtekromme gaan '/2 (n 2) (n — 3) trisecanten [zie 1], die de kromme elk nog in twee punten B. zullen snijden. De verwantschap tusschen de punten A en 14 is blijkbaar symmetrisch en heeft tot kenmerkend geval (n _ 2)(n — 3); zij bezit derhalve 2 (11 — 2) (n — 3) dubbelpunten. Deze punten A = B wijzen raaklijnen aan, die de kromme snijden in de punten B1; deze snijpunten moeten punten der dubbelkromme van het ontwikkelbaar oppervlak der raaklijnen zijn. Derhalve XvYvpunten. Zoo zijn er dus 2 (n 2) (n - 3). Iedere raaklijn wordt door 2 (n — 3) raaklijnen gesneden. De raakpunten van elkaar snijdende raaklijnen vormen eene symmetrische verwantschap [2(11 — 3)]. Deze heeft met de verwantschap [(„ _ 2) (n - 3)] der punten (A, B) een aantal paren gemeen dat gevonden wordt door de forniuli _ (n 2) (n 3)2. \ an deze gemeenschappelijke paren zijn ir 2 (n 2) (n 3) afkomstig1 van do raaklijnen die de <-n snijden. De overschietende 2 (n — 2) (n 3)(n--4) paren wijzen op het aantal malen dat de raaklijnen in twee punten van een zelfde trisecante elkaar snijden. De dubbelpunten der [2 (11 — 3)] zijn de raakpunten der stationaire raakvlakken (planaire buigpunten). Zij liggen ook op de dubbelkromme. Dan wordt tevens een trisecante door de onmiddellijk volgende gesneden en vormt een z.g. ribbe» vanhetregelvlak der trisecanten. § 4- OSCULATIEVLAKKEN EN DUBBELRAAKVLAKKEN. I Iet raakvlak door de raaklijn a in een punt A der ruimtekromme en door een willekeurig punt P der ruimte wijst (n _ 2) punten B aan op R„. Een lijn B P bepaalt een vlakkenbundel waarin 2 (n - 2) raakvlakken. Met één punt B komen dus 2 (ti _ 2) punten A overeen. De verwantschap tusschen de punten A en B heeft nu tot symbool [(n — 2), 2 (n — 2)] met 3(11 — 2) coïncidenties A = B d. w. z. Door elk willekeurig punt der ruimte gaan ,(n-'l osculatievlakken ». De genoemde verwantschap heeft 4 (n — 2)(n —i) vertakkingspunten. In die gevallen ontstaan dubbelraakvlakken n.1. wanneer twee punten B samenvallen. Maar zoo'n dubbelpunt B is ook als een punt A te beschouwen en dan is A ook een dubbelpunt. Elk dubbelraakvlak telt dus tweemaal. Hun aantal is dus 2 (n 2) (n 3) De vlakkenschoof door P geeft hetzelfde resultaat. (5; i.) Door een punt P der ruimtekrommen gaan 3 (n — 3) osculatievlakken die elk (n — 4) punten O op R„ aanwijzen. De punten P en O zijn blijkbaar in een symmetrische verwantschap verbonden die voorgesteld kan worden door het symbool [3 (n — 3) (n — 4) ]. Hierin komen 6 (n — 3) (n — 4) elementen voor die aan zich zelf zijn toegevoegd, d. w. z.: 6 (n — 3) (11 4) oseulatievlakken raken nog ergens anders. Het laatste stelsel bezit bovendien 6 (n — 3) (n 4) (3 n2 — 21 n -f- 35) vertakkingselementen. Tot deze vertakkingselementen behooren ook de 6 (n — 3) (n 4) (n 5) punten die met een coïncidentie P = O in een zelfde osculatievlak liggen. Zoo blijven nog over 6 (n — 3) ('i — 4) (3 n2 —22 n -f- 40) paren van vertakkingspunten P, O. Dus 3 (n — 3) (11 — 4)2 (3 n — 10) paren van oseulatievlakken die een koorde gemeen hebben. § 5- Oppervlak der bisecanten, rustende op een rechte lijn. Een willekeurig plat vlak door een lijn l wordt door de Rn in n punten gesneden, die V2 n (n — 1) tórcanten bepalen. Uit elk punt van / gaan V2 (11 — 1) (n — 2) bisecanten. De lijn 1 is dus een V2 (n— 1) (n — 2)-voudige lijn en het oppervlak O der bisecanten is blijkbaar van den graad V2 n (n — 1) + 1/2 (n — 1) (n — 2) = (n — 1)2. Een willekeurige rechte lijn in de ruimte wordt derhalve door (n — 1 )2 bisecanten gesneden, hetgeen ook direct blijkt, wanneer we door de laatst bedoelde lijn en vlakkenbundel leggen. Die heeft dan tot doorsnede met de kromme een I„. Op de Rn zijn nu twee involuties van den >/"• graad aanwezig die (n — 1)2 gemeenschappelijke paren hebben. De verbindingslijnen dezer paren zijn, bisecanten, die de lijn / maar ook de andere rechte snijden. Het raakvlak aan O in één der n snijpunten S! van Rn met een vlak door / bevat de raaklijn s, in S, aan R„ en één der bisecanten S, S2, S, S„. In elk punt der ruimtekromme R„ bestaan nu (n — 1) . raakvlakken aan het oppervlak O der bisecanten d. w. z Rn is een (n — i)-voudige lijn op O. Beschouwen we de >1 in een vlak door / gelegen snijpunten S met de ruimtekromme, dan geven de snijpunten van in dat vlak gelegen bisecanten dubbelpunten Q afkomstig van de op O gelegen dubbelkromme. De graad dezer dubbelkromme (Q) is (zie Involuties op Rationale Krommen) 1/8 (11 _ 1) (n — 2) (n — 3) (3 n — 4). Nemen we de lijn l als secante in het punt S, dan valt het oppervlak der bisecanten O uiteen in den kegel van den graad (n— 1), die de R„ uit S projecteert en een regelvlak van den graad (n — 1)2 — (n — 1) = (n — 1) (n — 2). Elk vlak door de secante / snijdt behalve het steunpunt S, nog (n — 1) punten S2 Sn in. Men heeft in S2 klaarblijkelijk (n — 2) raakvlakken welke de raaklijn in S2 verbinden met de bisecanten S2 S3 S2 Sn. I11 elk punt der Rn zijn dus (n — 2) raakvlakken aan het oppervlak der bisecanten. De ruimtekromme Rn is op dat oppervlak een (n — 2)-voudige lijn; (n — 2) bladen van hot oppervlak O gaan door de ruimtekromme. De cis l van den vlakkenbundel blijft V2 (n — i)(n 2)- voudig. In elk vlak door / bevinden zich nog (n — 1) punten S. Zij geven '/s (n — 1) (n — 2) (n — 3) (n — 4) punten Q aan, cn men vindt dat de dubbelkromme (Q) van den graad '/s (n — 2) (n — 3) (n — 4) (3 n — 7) is. De lijn / kan ook ^/.vreante S, S2 zijn. Dan ontstaan twee kegels van den graad (n — 1). Het overschietende regelvlak is nu van den graad (n— i)2_ 2(n— 1) = (n — i)(n — 3). De lijn l is in dit geval [>/2 (n — 1) (n — 2) — i]-voudig. In het punt S3 zijn nu (n — 3) raakvlakken. De ruimtekromme is (n — 3)-voudige lijn op O. De dubbelkromme (Q) is nu van den graad >/s (n — 3) (n _ 4) (n — 5) (3 n — 10). [Elke bisecante S3 S4 bepaalt met l een vlak en aan iedere bisecante zijn dus (n — 4) punten S5 S„ toegevoegd, terwijl door elk punt S3 en l één vlak gaat, dat nog (n — 3) punten S4 Sn bepaalt of 1/2 (n — 3) (n - 4) bisecanten.] Nemen we een /mrcante Si S2 S3 als as eener vlakkenbundel dan wordt op de Rn eene I„ 3 bepaald. De trisecante zelf is een [V2 (11— i)(n — 2) — 3]-voudige lijn op het oppervlak der bisecanten, dat nu van den graad (n — 1)2 _ 3 (n _ 1) == (n — 1) (n — 4) is. Is het punt S4 zijn nu (n — 4) raakvlakken. De Rn is op O een (n — 4)-voudige lijn. De graad der dubbelkromme (Q) zal zijn 1/8 (11 — 6) (n — 4) (n — 5) (3 n — 13). § 6. Oppervlak der Trisecanten. Om den graad n van het oppervlak der trisecanten te vinden, beschouwen wij de verwantschap tusschen twee op een zelfde trisecante gelegen punten Pk en zoeken het aantal paren welke zij gemeen heeft met de axiale involutie In bepaald door een willekeurige lijn a. Uit elk punt P, der Rn gaan / snijpunten der R„ met het vlak in 't oneindige ge\ en dus geen normalen ofschoon die1 snijpunten dubbelpunten der I2n zijn. St: «Door elk willekeurig punt P der ruimte gaan derhalve (3 n — 2) normalen». I it elk punt van een willekeurige lijn l gaan (3 n 2) normalen. Een vlak p door l geeft u snijpunten S met R„. Het normaalvlak in S snijdt © volgens een lijn die in S normaal is. De lijn I wordt nu blijkbaar door tt in © gelegen normalen gesneden. De graad van het regelvlak O. der normalen die allen de willekeurige lijn l snijden is dus (4 " — 2). ()p liet regelvlak O komt voor een dubbelkromme Q. Elk vlak door / geeft 11 normalen gelegen in dat vlak; dus n (n — 1) j , snijpunten, die nu dubbelpunten Q zijn d. w. z. punten Q waaruit twee normalen gaan. Maar op de lijn / komen ook zulke punten Q te liggen. Wijs ik de n snijpunten van l met de n normalen die in elk vlak door l zijn gelegen, door de letters T, . . . Tn aan dan bestaat tusschen de op l gelegen punten T een symmetrische verwantschap. Uit T, gaan 3 (n — 2) normalen, die (3 n 2) vlakken © door l bepalen, terwijl in elk vlak O weer (n — 1) punten Tk liggen. Het kenmerkende getal der genoemde verwantschap is dus [(311 — 2) (n — 1)] met 2 (n 1) (3 n 2) coïncidenties welke dan dubbelpunten zijn die op l liggen. Doch is /) zoo'n coïncidentie, dan liggen twee normalen door 1) in één vlak met l en bij elk dier beide normalen behooren nu (11 — 2) toegevoegde punten, in plaats van (n—1). Zoo'n punt D is derhalve een dubbele coïncidentie. Op de lijn / liggen zoodoende (n — 1) (3 n — 2) punten Q, waardoor ten slotte blijkt dat de graad van (Q) is 1/2 " (n — i) + (n — i) (5 n — 2) = 1/2 (n — 1) (7 n — 4). Beschouwen we thans het regelvlak gevormd door de normalen die op een bepaalde krgrlsnrdc k2 rusten, Uit elk punt van k„ gaan weder (3 n — 2) normalen, zoodat k2 een (311 — 2)-voudige lijn is op het gezochte regelvlak. Het vlak der kegelsnede zelf bevat weder n normalen, die elk den omtrek van k2 tweemaal snijden en dus voor 2 n exemplaren zijn te tellen. We vinden zoo voor den graad van het oppervlak der normalen, die op een gegeven kegelsnede rusten, (3n 2) X 2 -f- 2 n = 8 n — 4=4(:n — 1). I ït elk punt P der ruimtekromme gaan (3 n — 2) normalen, die in een ander punt der kromme loodrecht staan. Het normaalvlak in P snijdt n punten in op de Rti; en de (n 1) buiten P gelegen punten Q bepalen normalen, die in P loodrecht staan. Dus uit die (n — 1) punten Q kan men (n — 1) normalen in P trekken. Maar zooals gezegd gaan uit elk punt Q (3 n — 2) normalen op Rn. Bij één punt Q behooren derhalve (3 n — 2) punten P °en bij eén punt P (n— 1) punten Q. Dit geeft een overeenkomst (P, Q) van den vorm [(3 n — 2), (n— 1)]. Deze verwantschap bezit 1/2 (3 n 2)(3 11 2 — 1) -j- i/2 , _,) = 1/2 (5 n — 2). 3. (n — i)-|- i/2(n — i)(n_2) = V2 (n 1). 2.(5 1 — 4) = (n — ,) (5 n — 4.) involutorische paren. Is yRS) zoo'n paar dan wil dat zeggen dat met het punt R zoowel als punt van het stelsel P als als punt van het stelsel Q steeds het punt S overeenkomt. Dat komt hierop neer dat de verbindingslijn R S in R èn in S normaal is, of dat zij dubbclnormasX is. Er zijn alzoo (n— 1) (5 n 4) dubbel- normalen. STELLINGEN. Stellingen. i. "\ oor «/W-rationale krommen gaan de eigenschappen der involuties, in dit proefschrift behandeld, niet meer door. II. Het beschouwen van involuties met veelvoudige punten zal nog belangrijke uitkomsten kunnen geven. III. De leer der verwantschappen is voor de synthetische behandeling der rationale krommen van veel belang. IV. Het is verkeerd dun Ie beschouwingen overbodig te achten. V. In de Beschrijvende Meetkunde zijn de benamingen horizontaal- en vertikaal projecteerend vlak zeer onpractisch. Beter is eerste en tweede projecteerend vlak. VI. De uitdrukking «tegenover een grootere hoek staat een grootere zijde is niet op twee willekeurige driehoeken van toepassing. VII. De eigenschap dat de som van n termen eener reeks niet verandert, als men de termen onderling verplaatst, gaat niet meer door als n = 00 wordt. VIII. Het physisch effect van ethergolven hangt slechts af van hun snelheid. IX. De benamingen magnetisch veld» en electrisch veld» zijn minder juist. X. De vergelijking van de electriciteit met een onsamendrukbare vloeistof is in strijd met onze tegenwoordige voorstellingen. XI. Door de proeven van Hertz is de meening, dat de werking der electriciteit eene werking op afstand was, onhoudbaar geworden. XII. De grondwaarheden der natuurkunde zijn slechts gedeeltelijk te vergelijken met de axioma's der wiskunde.