OVER DE GRONDSLAGEN DER WISKUNDE Stoomdrukkerij Firma Robijns & Co., Nijmegen. OVER DE GRONDSLAGEN DER WISKUNDE academisch proefschrift TER VERKRIJGINGVAN DEN GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE AAN DE UNIVERSITEIT VAN AMSTERDAM, OP GEZAG VAN DEN RECTOR MAGNIFICUS DR. J. ROTGANS, HOOGLEERAARIN DE FACULTEIT DER GENEESKUNDE, IN HET OPENBAAR TE VERDEDIGEN OP DINSDAG 19 FEBRUARI 1907 DES NAMIDDAGS TE 3 URE IN DE AULA DER UNIVERSITEIT DOOR LUITZEN EGBERTUS JAN BROUWER, r l GEBOREN TE OVERSCHIE CU I MAAS & VAN SUCHTELEN AMSTERDAM—LEIPZIG. MCMVI1. Bij het indienen van dit proefschrift blijft mij de aangename plicht, u, hooggeleerde van der Waals, van Pesch, Sissingh, Zeeman te danken voor het onderricht, dat ik van u heb mogen ontvangen. En in het bijzonder u, hooggeachte promotor Korteweg voor den grooten invloed op mijn wetenschappelijke vorming uitgeoefend, en voor de tegemoetkoming, belangstelling, en aanmoediging steeds van u ondervonden. INDEX. pag. I. De Opbouw der Wiskunde .... 1 II. Wiskunde en Ervaring 79 III. Wiskunde en Logica 123 Samenvatting . . , T Q T Namenregister DE OPBOUW DHR WISKUNDE ,,Een, twee, drie . . . de rij dezer klanken (gesproken ordinaal-getallen) kennen we uit ons hoofd als een reeks zonder einde, d. w. z. die zich altijd door voortzet volgens een als vast gekende wet. Naast deze rij van klankbeelden bezitten we andere volgens een vaste wet voortschrijdende voorstellingsreeksen, zoo de rij der schriftteekens (geschreven ordinaal-getallen) 1, 2, 3.... Deze dingen zijn intuitief duidelijk. Laat ik nu de rij afbreken b.v. bij 23, en laat ik er dezelfde afgebroken rij nog eens onder schrijven; tusschen beide rijen bestaat dan een correspondentie één aan één. Verwissel ik twee van de getallen der bovenste rij van plaats, dan blijft de correspondentie één aan één bestaan. Door zulke verwisselingen kan ik zorgen, dat een uitgekozen element van de eerste rij correspondeert met het eiement 1 der tweede rij; dan dat een uitgekozen Rekenkunde der geheele getallen. element van de overblijvende der eerste rij correspondeert met het element 2 der tweede rij, enz. ; ik kan m. a. w. een ,,willekeurige volgorde" in de elementen der eerste rij aanbrengen; maar de ordinaalgetallenreeks der tweede rij, waarmee ze correspondeert, blijft dezelfde. Hieruit volgt, dat een willekeurige verzameling van gestelde teekens, die eenmaal geteld is, in een andere volgorde geteld, hetzelfde „aantal" zal geven, d. w. z. de reeks der ordinaalgetallen, waarmee ze één aan één in correspondentie is gebracht, zal bij hetzelfde getal af breken. (Hoofdstelling der rekenkunde). Onder 3 —)— 4 versta ik: Eerst tellen tot 3, en dan doorgaan met tellen, maar de vervolgens komende elementen één aan één correspondeeren laten met de reeks der ordinaalgetallen 1 . . .4. Uit de hoofdstelling der rekenkunde volgt: 3 -f- 4 = 4 -f- 3 '). Evenzoo (3 + 4 ) + 5 = 3 + (4 + 5). Onder 9X4 versta ik: Tel tot 4, zet dan op een andere rij het cijfer 1; tel op de eerste rij nog 4 er bij (de reeds beschreven operatie ,,-|-4"), zet dan op de tweede rij het cijfer 2, enz. ; totdat op de tweede rij het cijfer 9 bereikt is. Onder 9X4 ') Immers 3 4- 4 voert tot 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 7, waar 4— 5—6—7 één aan één correspondeert met 1—2— 3 — 4. Door verwisseling ontstaat 4 — 5 — 6— 7—1 — 2 — 3. Hier correspondeert 4 — 5 — 6 — 7 nog steeds met 1 — 2 — 3 — 4 en 1 — 2 — 3 met zich zelf. De geheele rij correspondeert derhalve één aan één met die welke door het aftellen van 4 + 3 ontstaat. wordt verstaan het dan op de eerste rij bereikte getal. Met behulp der hoofdstelling zijn eenvoudig af te leiden: 9X4 = 4 X 9; (9 X 4) X 5 = 9 X U X 5); 9 x (4 + 5) = (9 X 4) + (9 X 5). Onder 45 versta ik: Tel eerst tot 4, zet dan op een andere rij het cijfer 1; voer daarna de reeds beschreven operatie ,,4 X" uit en zet °P de tweede rij het cijler 2; voer wederom die operatie uit en zet het cijfer 3, en ga daarmee voort tot op die tweede rij het cijfer 5 verkregen is. Onder 4* wordt verstaan het dan op de eerste rij bereikte getal. We kunnen nu de rij der ordinaalgetallen naar links voortzetten met o, — 1, — 2, enz., uit tellingen in twee richtingen de optelling van algebraische geheele getallen definieeren, daaruit de aftrekking en de vermenigvuldiging met een positieven factor; vervolgens de operatie — ( ), en aantoonen dat die met de vermenigvuldiging commutatief en associatief is, waaruit dan de definitie en eigenschappen van vermenigvuldiging met een negatief getal voortvloeien. Onder een rationaal getal verstaan we een paar 3. van ordinaalgetallen, geschreven-, waarvan we, door 2L ^ —- ==—— te stellen, altijd kunnen zorgen, dathettwee— b b de, de „noemer", positief is. We rangschikken ze onder- 3. ^ C ling, door - -r te stellen, zoo (a X d) ^ (b X c). Negatieve getallen. Gebroken getallen. Irrationale getallen. We rangschikken ze tusschen de ordinaalgetallen.door a i. 11 i a i c ad 4- bc = a te stellen. Onder c -4- verstaan we ; 1 „ b d bd j a c ac ^ onder - v -3 verstaan we —. De commutatieve, b d bd associatieve en distributieve eigenschappen zijn nu licht te bewijzen; ook volgt eenvoudig, als we ,,—" en op de bekende wijze door middel van en ,,X" , - . a c ad — bc a c ad denmeeren : -r - . = —, , — en —. b d bd b d bc Vervolgens kunnen we stap voor stap de gebruikelijke irrationalen, (in de eerste plaats de vormen met gebroken exponenten) invoeren, door ze als een symbolisch agglomeraat van reeds ingevoerde getallen te schrijven '), en daarin verder te lezen een verdeeling dier reeds ingevoerde getallen in twee klassen, de tweede waarvan geheel op de eerste volgt, en geen eerste element heeft s); de orderelatie (d. w. z. de voorwaarde voor der nieuwe getallen tusschen de oude wordt dan op grond van die schei- ') Zoo zullen b. v. de wortels van een hoogeremachtsvergelijking worden gelezen als symbolisch agglomeraat van haar coéfli c ienten, aangevuld met een rangcijfer, dat de verschillende wortels, [gerangschikt b. v. eerst naar den modulus en voor gelijke modulus naar het argument], van elkander onderscheidt. ') terwijl daarentegen de eerste dezer klassen somtijds een der reeds ingevoerde getallen als laatste element bezitten kan (zooals 2 bij 41). ding vastgesteld; evenzoo de bewerkingen met de nieuwe getallen, die aan weer nieuwe getallen het aanzijn kunnen geven, en ten slotte worden de reeds vroeger ingevoerde getallen eenduidig met een gedeelte der nieuwe symbolen in correspondentie gebracht, n.1. met diegene, die in de oude getallen een laagste klasse met een hoogste element bepaalden. De ingevoerde symbolische agglomeraten kunnen elk eindig aantal willekeurige reeds ingevoerde getallen bevatten. Daaruit volgt, dat op elk punt van ontwikkeling der theorie het geheel der bekende getallen aftelbaar *) blijft. Immers een aftelbaar aantal aftelbare hoeveelheden is volgens een eenvoudig bewijs van Cantor (Journ. f. Math. 84, pag. 243) ook aftelbaar. Het geheel der getallen, die men zoo op eikpunt van ontwikkeling der theorie heeft ingevoerd, heeft verder de eigenschap, dat het in zich overal dicht is, d.w.z. dat tusschen elke twee nog verdere elementen liggen *). Het heeft dus volgens Cantor (Math. Annalen 46) het ordetype « der rationale getallen, d w.z. is met behoud dei orde- ') d. w. z. in uniforme correspondentie te brengen met de reeks der ordinaalgetallen. *) In het bijzonder liggen tusschen elke twee een oneindig aantal rationale getallen, hetgeen we uitdrukken door te zeggen, dat het systeem der rationale getallen ten opzichte van het geheel der ingevoerde getallen relatief dicht ligt. relaties op het systeem der rationale getallen af te beelden. Het zou niet moeilijk zijn, de nieuwe getallen zoo in te voeren, dat het ordetype « verloren ging, — we zullen daarvan bij den opbouw der meetkunde voorbeelden zien — maar men doet het op de aangegeven wijze uit overwegingen van doelmatigheid, die verband houden met de schepping van het meetbaar continuum, dat we nu gaan beschouwen. Het continuum. In de volgende hoofdstukken zullen we nader ingaan op de oer-intuitie der wiskunde (en van alle werking van het intellect) als het van qualiteit ontdane substraat van alle waarneming van verandering, een eenheid van continu en discreet, een mogelijkheid van samendenken van meerdere eenheden, verbonden door een ,,tusschen", dat door inschakeling van nieuwe eenheden, zich nooit uitput. Waar dus in die oer-intuitie continu en discreet als onafscheidelijke complementen optreden, beide gelijkgerechtigd en even duidelijk, is het uitgesloten, zich van een van beide als oorspronkelijke entiteit vrij te houden, en dat dan uit het op zichzelf gestelde andere op te bouwen; immers het is al onmogelijk, dat andere op zichzelf te stellen. De :ontinuum-intuitie, het,,vloeiende", dus als oorspronkelijk erkennende, zoo goed als het samendenken van meerdere dingen in één, die aan elk wiskundig m gebouw ten grondslag ligt, kunnen we van het continuum als „matrix van samen te denken punten" eigenschappen noemen. Vooreerst is er geen eerste of laatste punt; een puntrij van het ordetype van alle positieve en negatieve getallen is er gemakkelijk op te bouwen; nemen we vervolgens in elk interval weer een punt, in elk der zoo komende intervallen weer, enz., dan krijgen we het ordetype » op het continuum; dat we op deze wijze het eenvoudigste laten correspondeeren met het systeem der eindige duaalbreuken '), maar we zouden het even goed kunnen lezen als een der boven ingevoerde in zich overal dichte getallensystemen; we zien dan direct, dat er op het continuum nog punten zijn, die niet na een eindig aantal der genoemde operaties, elk bestaande in de invoeging van een punt in alle intervallen 3), bereikt worden; immers we kunnen, een bepaald punt P uitkiezend, bij het construeeren der schaal zorgen, dat we buiten dat punt blijven ; we kunnen zelfs zorgen, dat de benadering van het punt door een oneindige duaalbreuk volgens een willekeurige denkbare voortschrijdingswet plaats heeft; terwijl dan 1) dat wil zeggen de in het tweetallig stelsel geschreven breuken, waarin dus voor en achter de komma geen andere cijfers dan 1 en o optreden. *) We kunnen die operatie de „tweedeeling" der intervallen noemen. t Het meetbaar continuum. toch het continuum met schaal, op deze wijze geconstrueerd, in niets zich onderscheidt van een continuum met geheel vrij geconstrueerde schaal; omgekeerd leiden we hieruit af, dat voor een eenmaal op liet continuum geconstrueerde schaal voor elke denkbare voortschrijdingswet een punt bestaat. We kunnen de benaderingsreeks van een bepaald aangewezen punt evenveel nooit af denken, dus moeten haar als gedeeltelijk onbekend beschouwen. Uit het voorkomen van elke willekeurige benaderingswet is volgens Cantor (Jahresbericht der Deutschen Math. Vereinigung I, pag. 77; vgl. Schoenflies, Bericht über die Mengenlehre, ibid. VIII pag. 20) af te leiden, dat niet alle punten van het continuum zijn af te tellen, d. w. z. dat er buiten elke aftelbare hoeveelheid van zulke punten nog andere zijn; (terwijl we hebben gezien, dat het systeem der opgebouwde getallen, die eveneens zijn te benaderen door een eindige of oneindige duaalbreuk, in elk stadium der theorie aftelbaar is.) Als we de duale schaal naar willekeur construeeren, is het niet zeker dat ze overal dicht,wordt, d. w. z. in elk segment van het continuum doordringt. Maar we spreken af, dat we elk segment, waarin de schaal niet doordringt, tot een enkel punt denken samengetrokken, m. a. w. we stellen twee punten alleen dan verschillend, als hun duale benaderingsbreuken na een eindig aantal cijfers gaan verschillen. Nemen we op de geconstrueerde schaal nog een willekeurig punt als nulpunt aan, dan heeft de schaal het continuum tot een meetbaar continuum gemaakt. Uit de meetbaarheid leiden we af, dat elk aftelbaar oneindig aantal punten, gelegen binnen een door twee punten begrensd segment, minstens één grenspunt heeft, d.w.z. minstens één punt zóó, dat naar minstens een van beide kanten binnen elk er aan grenzend segment, hoe klein ook, nog andere punten liggen. ') (Immers anders zou er een kortste afstand tusschen puntenparen zijn, en die zou op ') Door op een segment tusschen twee punten van het continuum, en die punten niet bevattend, een puntrij van het ordetype van alle positieve en negatieve geheele getallen te construeeren, die volgens de maat der duale schaal onbepaald nadert tot de beide eindpunten van het segment, en daartusschen een nieuwe duale schaal te construeeren, die in elk deelsegment van het gegeven segment indringt, toonen we aan, dat het genoemde segment als puntenmatrix gelijkwaardig is met het geheele continuum ; beide vormen een zoogenaamd open continuum. We kunnen hieruit als volgt het gesloten continuum opbouwen. . Een willekeurig punt P op een open tty-if3 . continuum af} heeft links en rechts van zich twee nieuwe open continua xy en 5(3. Omgekeerd bouwen we uit twee open continua xy en $13 een nieuw open continuum at/3 op, door y en 5 door invoeging van een enkel punt P aan elkaar te koppelen. We kunnen nu echter een analoge operatie nog eens doen, door ook a en |3 door invoeging van een enkel punt aan elkaar te koppelen; dan hebben we een gesloten continuum gekregen. De verschuivingstransformatie. het eindige segment slechts een eindig aantal malen kunnen worden afgepast.) We gaan over tot beschouwingen van transformaties van punten van het meetbaar continuum in elkander, en beginnen met de verschuivingstransformatie, die wij uitdrukken door ,a", als a het punt is, waarin het nulpunt overgaat. Zij is op grond van de schaalverdeeling direct duidelijk; en we zien, dat die operatie een groep vormt (dit volgt uit de associatieve eigenschap der optelling), en ook dat ze commutatief is. (d. w. z. dat a -f b = b -)- a, dat de operatie ,,-j- b" op a toegepast, hetzelfde resultaat geeft als de operatie ,a" op b toegepast). '). Van de genoemde groep gelden de volgende eigenschappen: 1°. Ze is eenledig continu, d. i. de verschillende transformaties zijn langs een lineair continuum te rangschikken zóó, dat met een continue beweging langs dat beeldcontinuum correspondeeren gelijktijdige continue bewegingen voor alle punten van het getransformeerd wordende continuum. 2 . Ze is uniform, d. w. z. elke transformatie |) Voor punten der geconstrueerde schaal volgt die commu tatieve eigenschap uit de commutatieve eigenschap der optelling van rationale getallen, terwijl voor punten a en b niet tot die schaal behoorende a + b en b + a dezelfde opvolgende benaderings punten op de schaal geven, waaruit dan op grond van de meetbaarheid van het continuum volgt, dat ze gelijk zijn. voert twee verschillende punten weer in twee verschillende punten over. 3#. Ze is afgesloten, d. w. z. is A1? At, A3.... een aftelbaar oneindige puntrij, die op het meetbaar continuum A tot grenspunt heeft, en evenzoo Bi, B,, B3.... een aftelbaar oneindige puntrij, die op het meetbaar continuum B tot grenspunt heeft, en is er een transformatie van de groep, die het puntenpaar A, Bj overvoert in B2, evenzoo een transformatie, die het overvoert in A;, Bs, enz., dan is er ook een transformatie, die het overvoert in AB. Zij nu gegeven een willekeurige transformatiegroep op het meetbaar continuum, die de 3 bovengenoemde eigenschappen bezit, die dus is eenledig continu, uniform en afgesloten. We kunnen dan daaruit de volgende verdere eigenschappen afleiden. 4°. De volgorde der punten moet bij alle transformaties onveranderd blijven ; immers anders zouden twee punten, wier volgorde veranderd is, elkaar op hun continue banen ontmoet hebben, en zou de uniformiteit der groep gestoord zijn. 5°. Twee verschillende punten kunnen niet door transformaties uit de groep elkander in 't eindige onbepaald naderen. Immers dan zou uit de afgeslotenheid volgen, dat ze samen in een gemeenschappelijk grenspunt konden overgaan, hetgeen weer zou strijden tegen de uniformiteit. 6°. Een grenspunt van een puntrij gaat bij een transformatie over in een grenspunt van de getrans- Groepdefinitie der optelling op het continuum. foi meerde puntrij. Immers kiezen we uit de eerste puntrij een rij p uit, waarvan elk volgend punt rechts (resp. links) van het voorgaande ligt, en die zoo het grenspunt in kwestie P benadert, dan geeft die rij bij transformatie een eveneens aftelbaar oneindige rij q, waarvan elk volgend punt rechts (resp. links) van het voorgaande ligt. Zij verder Q het punt, waarin P door de transformatie wordt overgevoerd, dan ligt er geen punt tusschen Q en alle punten q, omdat er geen punt ligt tusschen P en alle punten p; Q is dus grenspunt van q. Kiezen we nu een willekeurig punt als nulpunt, en gaan we uit van een willekeurige transformatie uit de groep, die het punt o overvoert in het punt a, en die we daarom noemen de transformatie ,.4~ a . Het punt, waarin het punt a door de transformatie wordt overgevoerd, noemen we 2a; dat, waarin het punt 2a- wordt overgevoerd, 3a; enz. Door de transformatie is nu een uniforme correspondentie tusschen de punten der zoo geconstrueerde segmenten bepaald. Tusschen het punt o en het punt a moet ergens een punt b liggen zóó, dat de transformatie, die o overvoert, b in a overvoert, dat dus de operatie " k > tweemaal achtereen toegepast, aequivalent is met de operatie „+a". We stellen b = J a, en de correspondeerende punten van b in de verdere segmenten tusschen na en (n +1) a, analoog = 2 a> 2 a enz. Het continuum is nu verdeeld in segmenten = b = \ a, en de punten van al die segmenten zijn in uniforme correspondentie. Zoo voortgaande, construeeren we uit de operatie ,,+ c", die, tweemaal achtereen toegepast, aequivalent is met b", een verdeeling van het continuum in segmenten = c = ^ b = ^ a, en krijgen ten slotte een volledige, in zich overal dichte, duale schaal, die de volgende eigenschappen heeft : a. Ze heeft links noch rechts een begrenzend punt; immers dan zouden de punten a, 2a, 3a enz. een grenspunt hebben, en zouden de punten a en 2a elkaar bij dat grenspunt onbepaald kunnen naderen, hetgeen zou strijden tegen de boven onder 5" genoemde eigenschap. b. Ze ligt op het meetbaar continuum overal dicht, d. w. z. dringt in elk segment van het meetbaar continuum in. Immers vooreerst is duidelijk, dat de schaal onbepaald kleine segmenten bezit; was er nu een segment op het meetbaar continuum, waarbinnen de schaal niet indrong, dan zou men binnen dat segment twee punten A en B kunnen kiezen, en er zouden voor elk segment van de schaal transformaties zijn, die die punten samen er binnen brachten; daar er nu onbepaald kleine segmenten van de schaal zijn, zouden A en B elkaar onbepaald kunnen naderen, hetgeen weer tegen de eigenschap 5" zou strijden. Uit de eigenschappen a) en b) volgt, dat de bij de groep behoorende schaal het continuum op een nieuwe wijze meetbaar maakt; en hieruit volgt de eigenschap: 7°. De groep is commutatief. Ten slotte merken we op, dat door herhaling van een willekeurige continu uitgevoerde transformatie uit de groep, elke transformatie uit de groep wordt gepasseerd, hetgeen we uitdrukken door: 8°. De groepparameter is meetbaar. We hebben zoo gezien, dat een eenmaal als meetbaar bekend continuum op een onbepaald aantal wijzen kan gemeten worden ; immers bij elke eenledig continue, uniforme, afgesloten groep behoort een wijze van meetbaarheid ; omgekeerd behoort bij elke wijze van meetbaarheid een eenledig continue, uniforme, afgesloten groep. Laten we nu de voorwaarde 3° voor de groep weg, dan vervalt ook de eigenschap 5°; het blijft mogelijk een in zich overal dichte schaal bij de groep te construeeren, maar de eigenschappen a) en b) kunnen op de boven aangegeven wijze niet meer worden bewezen; evenmin voor de groep de eigenschappen 7° en 8°. Beschouwen we echter zulk een overal dichte schaal, die de eigenschap b) niet bezit, nader. We zien dan, dat, terwijl in de bijbehoorende groep een punt van het continuum zich binnen een vrij interval beweegt, de grenspunten van de schaal invariant blijven. We hebben dus transformaties, die, hoe vaak ook herhaald, sommige punten op hun plaats laten, welke punten bij andere transformaties zich wèl bewegen; herhaling van continue transformaties van de eerste soort doet dus nooit een transformatie van de tweede soort passeeren, hetgeen we uitdrukken, door de groep niet-meetbaar of nietArchimedisch te noemen Maar ook zien we in dezegroep transformaties, die het geheele vrije interval in een enkel grenspunt van de schaal overvoeren. Deze groep is dus niet uniform. De eigenschap bi van de schaal blijkt dus een noodzakelijk gevolg te zijn van de eigenschappen 1° en 2" van de groep. Anders voor de eigenschap a). Immers de verschuivingstransformatiegroep bij een op het continuum overal dichte schaal, die links of rechts of aan beide zijden een begrenzend grenspunt heeft, is binnen het gebied van die schaal eenledig continu en uniform. Alleen moeten we opmerken, dat nu de punten binnen dat gebied bij geen transformatie de begrenzende punten kunnen overschrijden, en dat die begrenzende punten zelf invariant blijven We zien verder, dat de eigenschappen 3° (afgeslotenheid) en 5° voor het gebied der schaal bestaan. als we de begrenzende punten uitdrukkelijk uitzonderen, want daar kunnen twee verschillende punten elkaar wel onbepaald naderen, terwijl er geen transformatie van de groep is, die ze daar beide in hun grenspunt overvoert. De punten buiten het gebied van de schaal 2 kunnen bij de groep invariant blijven, of getransr formeerd worden binnen nieuwe schaalgebieden, van elkaar gescheiden door invariant blijvende begrenzende punten. De beschouwde groep bepaalt dus op het meetbaar contir.uum een eindige of oneindige reeks van aan elkaar grenzende eindige segmenten, die elk óf invariant blijven, óf worden getransformeerd volgens een eenledig continue, uniforme, en buiten de begrenzende punten afgesloten groep. De invariante, scheidingspunten dei segmenten noemen we de dubbelpunten der groep. De groep is in elk segment tusschen twee dubbelpunten commutatief, terwijl ook de groepparameter meetbaar is. (beide eigenschappen volgen uit de overal-dichtheid der groepschalen.) Resumeerende, hebben we voor zekere groepen op het meetbaar continuum de voorwaarden gesteld, dat ze zijn: 1°. eenledig continu, 2°. uniform, en hebben daaruit voor zulk een groep de volgende verdere eigenschappen afgeleid: 3°. Ze verdeelt het continuum in eindige segmenten, wier scheidingspunten, de dubbelpunten der groep, invariant blijven, en die elk hetzij worden getransformeerd volgens een eenledig continue, uniforme groep zonder dubbelpunten, hetzii invariant blijven. 4°. De volgorde der punten van het continuum blijft bij alle transformaties onveranderd. 5°. De groep is buiten haar dubbelpunten afgesloten. 6°. Buiten de dubbelpunten kunnen twee verschillende punten elkaar niet onbepaald naderen. \ 7°. Een grenspunt van een puntrij gaat bij elke transformatie over in een grenspunt der getransformeerde puntrij. 8°. Op een segment tusschen twee dubbelpunten, dat niet invariant blijft, bepaalt de groep een overal dichte schaal. 9°. De groep is commutatief. lo°. De groepparameter is meetbaar. Zoodat we de opteloperatiegroep op het open continuum, die we hadden gekarakteriseerd als eenledig continue, uniforme, afgesloten groep op het meetbaar continuum, nu ruimer kunnen karakteriseeren als eenledig continue, uniforme groep op het meetbaar continuum, voorzoover binnen het domein tusschen twee van haar dubbelpunten. — Men kan vervolgens die dubbelpunten als eindpunten van het domein van de groep samenvallend denken, en heeft dan de opteloperatie op het gesloten continuum; het sluitpunt, door samenvalling van de beide begrenzende punten ontstaan, heet het oneindigheidspunt van de groep. (Om de transformaties der groep te kunnen afbeelden op de punten van haar domein, hebben we nog een tweede bijzonder punt ingevoerd, dat echter niet, zooals het Groepdefinitie der vermenigvuldiging op het continuum. oneindigheidspunt, binnen de groep zeil een bijzondere rol speelt, n.1. het nulpunt.) Op een eenmaal gegeven schaal kan een willekeurige eenledig continue, uniforme groep zeer ingewikkeld gegeven zijn, maar op haar eigen schaal, zooals we die boven uit de groep construeerden, wordt ze op elk door twee opvolgende dubbelpunten begrensd segment voorgesteld door de groep der opteloperaties. Beschouwen we b. v. op een eenmaal gegeven schaal de vermemgvuldigingsgroep '); zij heeft het punt o tot dubbelpunt, heeft dus twee gescheiden domeinen, n.1. tusschen — c» en o, en tusschen O en -(- ao; haar eigen schaal dekt zich op het laatste domein met de schaal van log X; op het eerste met die van log (— x); op haar eigen schaal is de groep in beide domeinen de optelgroep We stellen ons thans voor, het meest algemeene stel van twee eenledig continue, uniforme groepen op het meetbaar continuum te vinden, die zich laten combineeren tot een tweeledig continue *) groep, en die tweeledige groep op een bijzondere, er bij passende schaal, zoo eenvoudig mogelijk voor testellen. Vooreerst merken we op, dat we, hoe de dubbelpunten der beide componeerende eenledige groepen ook verdeeld zijn, in elk geval het geheele conti- ') d. i. de groep eter operaties van vermenigvuldiging met et-a positief getal. *) d. w. z. waarvan de verschillende transformaties door twee continue parameters bepaald zijn. nuum kunnen verdeelen in segmenten, begrensd door twee dubbelpunten van een der groepen met daartusschen liggend óf één öf geen enkel dubbelpunt der andere groep, en we gaan de constructie der tweeledige groep binnen elk dier segmenten afzonderlijk na; de algemeene tweeledige groep bestaat dan uit een iuxtapositie van zulke segmenten, elk met een tweeledige groep van de gevonden constructie. Als schaal op het segment kiezen we de schaal van de eenledige groep, die de begrenzende punten van het segment als dubbelpunten heeft; in die schaal wordt die groep dan de volledige opteloperatiegroep, wier domein ten opzichte van een willekeurige eenheid van de schaal zich uitstrekt van — co tot -f- oq. Zetten we dat domein als X-as uit, en zetten we als ordinaten uit de toenamen van de bijbehoorende abscissen door een willekeurige transformatie der tweede groep, dan wordt de tweede groep voorgesteld door een systeem van kromme lijnen, die, afgezien van een eventueel gemeenschappelijk snijpunt met de X-as (het eventueele dubbelpunt der tweede groep n. 1.) geheel buiten elkaar liggen. De vergelijkingen dier kromme lijnen stellen we voor door: V = f« (x), en de eisch, die we gesteld hebben, komt hierop neer, dat een willekeurige serie van transformaties, elk uit een der beide groepen, is te vervangen door een enkele transformatie der tweede groep, gevolgd door een enkele transformatie der eerste groep, dus is voor te stellen door: x' = x + f« (x) + |3- We nemen een willekeurig punt op de X-as als oorsprong, en denken het geval, dat de gezochte groep geen dubbelpunt heeft, dus de krommen y == fg (x) buiten elkander liggen. Kiest men den groepparameter « zoodanig, dat de kromme y = fa(x) de Y-as in een punt met ordinaat * snijdt, dan gaat de kromme y = fgCx) — x door den oorsprong. Nu weten we, dat het resultaat van de opvolging van twee transformaties met de toenamefuncties fy (x) — y en fj (x) — 3 is een transformatie met een toenamefunctie f^ (x) -j- <7, die echter o moet worden voor x = o, dus slechts zijn kan: f^(x) — M. a. w. de transformaties x' = x -f- tx (x) — x vormen een eenledig continue groep, die, zoo goed als de door x' = x-|-ia(x) voorgestelde, uniform is, en die verder zich met x' = x * tot dezelfde tweeledige groep laat combineeren, als x'=x-4- '*(*)• De groep x'nx-f- fgf*) — * heeft nu echter een dubbelpunt. Het geval, dat de tweede groep geen dubbelpunt heeft tusschen twee opvolgende dubbelpunten der eerste groep, is dus hiermee teruggebracht tot het geval, dat zij er één heeft, en met dit laatste geval hebben we ons nog alleen bezig te houden. Het dubbelpunt op de X-as kiezen we als oorsprong; de toenamefuncties y = fs(x) snijden nu elkaar in O, en hebben verder geen punt gemeen. Ons doel is, te bewijzen, dat die toenamefuncties differentieerbaar zijn. Stellen we door voor de ordinaattoename der kromme y=f<ï(x)tusschen de abscissenxen x-f A, Daar ^(x) continu is, is *4>a(x) het ook. Denken we ons. dat a4>a(x) gelijke waarden zou krijgen voor twee verschillende waarden van x, stel xf en p. Dan zouden in het systeem, bestaande uit de krommen y — fx(x) -f- (3 en y = fje(x-f p) twee krommen voorkomen, die elkander snijden voor x = x, en x = x,-|-A, dus in het systeem, bestaande uit de krommen y = fg(x x,) + 0 en y = fa(x + x, + p) twee krommen, die elkaar snijden voor x = o en x = A. Maar dit systeem is bevat in de krommenschaar y = fa(x)-f-(3; en daarin kunnen twee krommen, die elkaar snijden voor x = o, elkaar niet nog eens snijden, tenzij — ze dezelfde kromme zijn. Maar dat zou voor de oorspronkelijk beschouwde kromme y = fx(x)beteekenen, dat ze van af x = x, en van af x = xp -f- p een homothetisch beloop zou moeten hebben, m. a. w. dat ze een periodiek-homothetisch beloop zou moeten hebben met periode p. Dan hebben we echter: g$p(x, -f-k)= »$p(xi)i voor een willekeurige waarde van k, en hieruit volgt op dezelfde wijze, als uit «^^(x, +p)= x4>& (*>) het periodiek-homothe- tisch beloop met periode p, nu het periodiek-homo thetisch beloop met periode k. Maar als y = fa(x) een periodiek-homothetisch beloop voor élke willekeurige periode heeft, kan dit niet anders, of y = fa(x) is een rechte lijn, dus zeker een differentieerbare kromme. Is zij geen rechte lijn, dan weten we nu zeker, dat a4>A (x) niet tweemaal dezelfde waarde kan krijgen. Ze moet dus voor een bepaalde * en a 61 steeds stijgen óf steeds dalen, en het is direct in te zien, dat zij voor gegeven « óf voor alle a 's ói voor alle a 's daalt. (Immers stijgt ze voor a, dan ook voor a, ';4a enz.; en ook voor 2 a. 3 a enz.) Denken we nu het differentiequotient van ist (*) gegeven tusschen de abscissen O en a, a en 2 a, 2 a en 3 a enz., als jZ, 2Z, 3Z enz.; dan die tusschen o en ' a, 1 2 a en a, a en l1/» a enz., als XZ0, xZlt ■jZ0, enz.; dan tusschen o en 1/4 a, 1/i a en '/s a, '/« ^ en 4 a enz., als \Z(Hh 1Z0j, jZ]0) [Zjj, jZqo enz.; we krijgen zoo ten slotte een onbepaald aantal indices achter de Z, en we weten dat als aZpen nZ(| een gelijk aantal indices hebben, en het eindpunt van het interval van aZp is het beginpunt van dat van aZq dat dan ,Z„ , aZq,,, uZqoo enz. afnemen, maar blijven boven aZp; evenzoo, dat aZ,,, aZpI, ;(ZMll, aZplll enz. toenemen, maar blijven beneden aZq . De eerste reeks heeft dus een onderste, de laatste een bovenste grens, waartoe tenslotte onbepaald wordt genaderd. Hiermee is hel bestaan van een differentiaalquotient voor een willekeurig punt van y — fx(x) aangetoond, maar nog niet bewezen is, dat het voorwaartsche en het achterwaartsche differentiaalquotient niet zouden kunnen verschillen. Dat is voor ons doel evenwel niet noodig, want de differentieerbaarheid zonder meer veroorlooft, voor ons probleem, d.i. het zoeken van de meest algemeene tweeledig continue, uniforme groep, toe te passen de grondformule van Lie 1), die voor een tweeledige differentieerbare groep wordt: 4>,d4>o — 4>,d4>, = c !<*>, -f c2, en , (i) Bepalen we de punten van het continuum tusschen twee opvolgende dubbelpunten van de groep : — «i. en in komt de differentiaalvergelijking : d, en $tde betrekking: ;; (a) of als we weer werken op de schaal van 4>, '■ (10.; , . . kx + kx , ^ : T-i — ; 4>.2 — £,e ir Door de transiormatie ondergaat dus x een toename: dx = e,ekl -4- f2, en e ondergaat een toename : a(e-k") = —kx zoodat, als wee stellen, en in de schaal der verschuivingsgroep van ? gaan werken : óf , *, at. A. Maar de coëfficiënten van A, B1( . . Bp in deze formules zijn de coördinaten «, (3,,.. , 0P in het oorspronkelijke stelsel; we zien dus, dat de h s dezelfde zijn als de h's. Dus zijn de relatieve coördinaten van punten in eenzelfde ''ruimte projectief gebleken, in het bijzonder dus de dubbelv er houding van 4 collineaire punten. De verdere opbouw der projectieve meetkunde, in de eerste plaats de constructie der tweedegraadsruimten, levert na deze principieele gegevens geen moeilijkheden meer. De Cartesiaansche meetkunde kan worden opgebouwd, door n open continua te nemen, en ondei een punt van nR te verstaan de combinatie van n punten dier verschillende continua. Zulk een punt van "R is te definieeren door n coördinaten, d.w.z. getallen van één geschaald continuum, als we op elk der n gegeven continua een naar beide zijden onbegrensde schaal (dus een translatiegroep) en een eenheids-segment aannemen. De Cartesiaansche meetkunde wordt verder tot een Euclidische meetkunde, als we nog als ,, afstand" van twee punten definieeren / £ ) !(«)• f(r,) -*-2%,)- f(r,) Evenzoo /r2 dr _ 1 * f'(r2) *2 f"(r,) J <(r)2-f(«) f(.) f(r2) +3l(i)' f(r,) Door aftrekking uit de beide laatste vergelijkingen: /r2^r _ «_ (f(rQ f(r2)| _ r/ f(r)2 (f(r,) f(r2) I - 1'iüJ _ *(ri) f(r2) Maar ook /r2 ^ _ frz— ri). r/ fi(r)* f(r,)f(r2) Derhalve f(r2 —ri) = f(r,) f(r2) —f(r2)f(ri) tl). Nu is f(e) ., dus we weten f(o) = O. f(o)=l. Stellen we in (1) r1=e, dan komt: f(r2) - e fVr2) = f (r2) + * f» f(r2) - * f(r2) <2). Dus f"(o) = o. Differentieeren we (1) naar r^ tot: f'(ri — ri)=f'(ri) f'(ra) — f(ri) '(rj) <3>- Stellen we hierin rx = «, dan komt: f'(r2) - f"(r5) ^ = f'(o) f'(r4) + -f f f*(o)f' (r,) (valt weg) — f "(o) f(ra) (valt weg) — e f'"(o) f(ra>. f"(r2) = f"(o)f(r,) (4). Stellen we f'"(o) ~ a, dan hebben we dus in f de differentiaalvergelijking: d« f ar» —a f> die drie groepen oplossingen bezit, al naar a positief , o, of negatief is, n.1. : (I) f = c, sin (*r-t-c,), of wegens f(o) = o en f'(o)=l , i f=— sin a. r. et (II) t = C, (r -f- c2), of wegens f(o) = o en f'(o)= 1: f = r. (III) f=Cj sh (a r 4-o,), of wegens f(o) = o en ff'{(o) = 1: f = — sh » r. et Alle drie oplossingen blijken aan (H) te voldoen. Willen we alleen singulariteitvrije oppervlakken, dan geeft (II) het gewone Euclidische platte vlak, (III) het hyperbolische vlak, en (I) hetzij een bol (bilateraal), hetzij een elliptisch vlak (unilateraal, van den samenhang van het projectieve vlak) Deze vier oppervlakken blijken dan achteraf, werkelijk den geëischten homogenen bouw te bezitten. Onderzoeken we thans de Ruimten, die aan de voorwaarden van het vraagstuk voldoen, dan weten we, dat de geodetische bollen om een punt zelf vrij in zich bewegelijk moeten zijn, maar daar die bollen 1° eindig en 2° bilateraal zijn, kunnen van de vier boven gevon- den oppervlakken daarvoor niet anders dan gewone bollen worden genomen. Zoeken we dan, welke functie de boogelementen op die bol van den straal moeten zijn, dan vinden we eerst, dat de geodetische lijnen liggen in platte vlakken door M (hier gedefinieerd als oppervlakken, gevormd door de geodetische lijnen van M naar een grooten cirkel op een bol om M), en daaruit, dat weer slechts dezelfde drie functies als boven en dus alleen de vier daaruit op te bouwen Ruimten mogelijk zijn. Op dezelfde wijze als van 2 naar 3 gaat de overgang van 3 naar 4 afmetingen, enz. Voor elk tantal afmetingen bestaan slechts de vier bovengenoemde ruimtetypen, m.a.w. transformatiegroepen. Van de beide groepen bij het boogelement I kunnen we een Cartesiaansche ruimte de bolvormige laten ondergaan, als we haar completeeren met een punt; de elliptische, als we haar completeeren met een ,i_1ruimte in 't oneindige. Deze karakteriseerende voorwaarden voor de groepen der Euclidische en der niet-Euclidische bewegingen zijn ongeveer de oorspronkelijk door Riemann !) er voor gegevene. Eenigszins willekeurig is vooreerst de aanname van het kwadratisch boogelement, en dan die van de differentieerbare coëfficiënten ervan. Lie*) ') „Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen", Gesammelte Werke, i" Aufl. pag. 254. Theorie der Transformationsgruppen III. Abt. IV. Kap. 17. Karakterisecring der Euclidische en niet- Euclidische groepen door Helmholtz. heelt de voorwaarden iets beperkt, door de Euclidische en niet-Euclidische bewegingen te kar akte riseerer, als dié Liesche groepen, welke 1° een kwadratisch boogelement met niet verdwijnende determinant invariant laten, 2° door een vastgehouden punt de oon_l richtingen zóó algemeen transformeeren, als wordt toegelaten door het invariant blijven van de vergelijking, die het boogelement gelijk o stelt (en die natuurlijk een tweedegraadsruimte in den bundel dei lijnelementen voorstelt.) Wordt de eerste voorwaarde vervangen door den eisch, dat de vergelijking, die het boogelement o stelt, invariant moet blijven, dan worden er nog bij gevonden: 1° de groep, bestaande uit Euclidische bewegingen en gelijkvormigheidstransformaties, 2° die bestaande uit Euclidische bewegingen, gelijkvormigheidstransfoi maties en transformaties op wederkeerige voerstralen (de conforme groep). Helmholtz 1) heeft de karakteriseering willen losmaken van de aanname van het boogelement, en. heeft gezocht in een "ruimte alle omkeerbare, continue groepen met £ n (n -j- 1) parameters, wier transformatiefuncties een zeker aantal differentiaal quotienten (voor zoover hij ze n.1. bij zijn ontwikkeling noodig heeft) toelaten, waarbij verder twee punten één enkele invariant, die voor elk ') „Ueber die Thatsachen, die der Geometrie zu Grunde liegen Gött. Nachrichten 1868. puntenpaar een werkelijke beperkende betrekking geeft, en meer dan twee punten geen nieuwe invariant hebben, en waarbij eindelijk die in varianten de eenige beperking in de vrijheid der beweging van de verschillende punten uitdrukken. ') Hij voegt ten slotte nog toe het zoogenaamde monodromie-postulaat, dat eischt, dat bij vasthouding van n—1 punten een nde punt nog een periodieke baan kan beschrijven. Aan al deze voorwaarden bewijst hij dan, dat alleen de Euclidische en niet-Euclidische bewegingen voldoen. Lie heeft later ') echter aangetoond: 1°. Dat de redeneeringen van Helmholtz ongeoorloofd zijn, m.a.w. dat hij stilzwijgend nog meer voorwaarden invoert. Deze komen hierop neer, dat hij uit het vervuld zijn van zijn voorwaarden voor eindig van elkaar verwijderde puntenparen besluit tot een analoog gedrag voor puntenparen, die oneindig dicht bij elkaar liggen; Lie toont door voorbeelden aan, dat die gevolgtrekking ongeoorloofd is ten opzichte van èn den invariant van ') Lie heeft (Theorie des Transformationsgruppen III, pag. 487 en 505) opgemerkt, dat het bestaan van een „afstand" (d.w.z. een invariant) tusschen twee eindig van elkaar verwijderde punten en het bestaan van een invariant boogelement (dus van een invariante ,,lengte" voor alle kromme lijnen) twee wederkeerig van elkaar onafhankelijke voorwaarden zijn. ') Leipziger Berichte 1890; Theorie des Transformationsgruppen III, Abt. V. Verbetering der karakteriseering van Helmholtz door Lie. 4 twee punten, èn de vrije bewegelijkheid, èn de monodromie. Hij laat vervolgens zien, hoe de berekeningen van Helmholtz juist worden, als zijn voorwaarden voor eindig van elkaar verwijderde puntenparen worden vervangen door andere, die voor oneindig dicht bijeengelegen puntenparen gelden. 2°. Dat na deze juistere formuleering der axioma's van Helmholtz. ze nog overbodige bestanddeelen bevatten. Lie toont n.1. aan, dat voldoende is de karakteriseering: ,,Omkeerbare Liesche groep, die in één enkel punt van algemeene ligging vrije bewegelijkheid in het infinitesimale (d.w.z. mogelijkheid van continue beweging bij vasthouding van het punt met een lijnelement, een vlakelement door het lijnelement, een 'element door het vlakelement.... en een n-2element door het n_3element, maar niet meer als bovendien nog een n_1element door het n_2element in rust moet blijven) bezit." Alleen voor n =r 2 geeft deze karakteriseering nog bovendien de groep der spiraaltransformaties, die we door een bijzonder axioma, b.v. het monodromie-postulaat van Helmholtz dienen uit te sluiten. 3°. Dat ook, wanneer men de groepen wil karakteriseer en, zooals Helmholtz oorspronkelijk beproefde, uit het gedrag van eindig van elkaar verwijderde puntenparen, diens formuleering te veel bevat. Lie bewijst n.1. als voldoende de karakteriseering: ,, Omkeerbare Liesche groep zóó, dat na vasthouding van één punt een ander punt zich nog vrij kan bewegen in een zoogenaamde pseudo-bolruimte, dieniet door het vaste punt gaat, en in 't algemeen n—1 dimensies heeft. Verder moet binnen een zeker eindig gebied de eigenschap gelden, dat, na vasthouding van q d'e beoogen uit de axioma's der projectieve meetkunde de verdere stellingen direct te bewijzen, overbodig. De variatieproblemen, die lineaire systemen geven. een enkele platte n—'ruimte) voor den dag komen; leg gen we echter den parallelleneisch van Lobatcheffsky op, dan komt het lineaire systeem van een Cartesiaansche (of ook van een projectieve) ruimte, voorzoover gelegen binnen een willekeurig convex ovaal; welk ovaal men als ,,ovaal der grenspunten" aan het gegeven systeem kan toevoegen. Het lineaire systeem van de hyperbolische "ruimte hebben we hier dus alleen, zoo het ovaal der grenspunten een tweede graads- n~'ruimte is; men kan dit dwingen met den eisch, dat het gegeven systeem een projectieve uniforme groep met \ n (n -}- 1) parameters toelaat. Men kan zich nu vragen, op welke wijze tusschen twee willekeurige punten eener Cartesiaansche ruimte steeds een kromme bepaald kan zijn zóó, dat het geheel dier krommen voldoet aan de bovengenoemde karakteriseeringen van een lineair systeem en zal dan in de eerste plaats denken aan variatieproblemen, waarvoor die krommen extremalen zijn. We weten dat een krommenstel, zooals verlangd wordt, uniform is af te beelden, hetzij op de rechte lijnen eener Cartesiaansche ruimte aangevuld met een ruimte in 't oneindige, hetzij op die eener Cartesiaansche ruimte zonder meer, hetzij op die eener Cartesiaansche ruimte voor zoover gelegen binnen een convex ovaal. Men zal dus zoeken naar variatieproblemen in de Cartesiaansche ruimte, die als extremalen de rechte lijnen geven: immers in de meest algemeene uniforme continue transformatie der oplossing van dit probleem zal men vinden het algemeene variatieprobleem, waarvan de extremalen de sitale eigenschappen van het lineaire systeem bezitten. Over dit vraagstuk zijn onderzoekingen gedaan door Hamel (Mathem. Annalen 57) voor het platte vlak, en in hoofdtrekken voor de 3ruimte; die we, wat het platte vlak betreft, in 't kort weergeven. Hamel stelt de vraag van een eenigszins ander standpunt als hier; het gezochte integraalelement onderwerpt hij daardoor van te voren aan eenige beperkingen, waardoor het zich met de gewone opvatting van „lengteëlement" der metrische geometrie meer of min dekt, en de extremalen, die hij zoekt, speciaal minimaalkvommen zijn. Zoo zoekt hij de minimaaltyrommen van de integraal fds. f (x y tg 3) ee ydx. g (x y tg 3-), waar f een positieve, eenduidige (dit, omdat het lengteëlement omkeerbaar moet zijn) en in 't algemeen continue en naar alle drie argumenten differentieerbare functie voorstelt. Daar de differentiaalvergelijking van het variatieprobleem den vorm d>y A i — 0 d xs moet aannemen, moet g voldoen aan de differentiaalvergelijking: d1 e, de dy ,, + P Ïpdy - öy = ° (dx= P gesteld>- Door deze vergelijking naar p te differentieeren, komt een vergelijking in ^-j|, met de algemeene oplossing: jp» = w(p.y — f*); waaruit ten slotte voor g wordt gevonden: g = c/c/ W (P' y- px) dPdP+ lx + P Fy • (u een willekeurige functie van x en y). Merken we op: /PP P / v (p) dp dp = f (p — 5) v (£) d ?, en stellen we c C J c«/ W = cos8 3-. w, dan komt : g = cos r. w (tg r,y- x tg r)(tg 3-tg r) d t + tg 3^. /"3 1 j.^u, „ <*u g = 3«/ ^•sm^-T)-w-dr + dï+t8^3y f= sin(3—r).w.dr-f ^ cos3 + ^sin3. Hierin wordt als voorwaarde, dat we een minimum hebben, gevonden : w positief voor elke x, y en 3; terwijl verder uit de eenduidigheid van f volgt: a) eenduidigheid van w. b) ^ ^ ""sinr.w.dr. 3-„ ^ 1 f^o "t" "cOST.W.dT. ^ V Zoo wordt ten slotte het boogelement: dl == ds /^sin(3 —T).w(tgr,y —xtgr)dr. 2 3- T7 Hamel onderzoekt dan eerst, in welk geval tot de minimaalkrommen alle rechte lijnen van het platte vlak, de lijn in 't oneindige incluis, behooren zoodat door het variatie-vraagstuk een projectief lineair systeem is bepaald ; hij vindt als v oor waarde, dat /dl langs alle rechte lijnen eindig blijft, en voor alle rechte lijnen dezelfde waarde heeft. Vervolgens geeft hij een kategorie ongeveer overeenkomende met een door Minkowski in zijn „Geometrie der Zahlen" opgestelde geometrie, waar tot de minimaalkrommen alle rechte lijnen, maar niet de lijn in 't oneindige, behooren — het variatie-vraagstuk bepaalt hier dus een volledig Euclidisch lineair systeem —; hij stelt nl. w van haar tweede argument onafhankelijk, en | en | constant, ziet echter voor dit geval van de omkeerbaarheid van het lengte- element af; zoo vindt hij als „maatkromme", d.w z meetkundige plaats der punten op een afstand'i van den oorsprong gelegen: F(r,S) = i — r j ƒ sin(3— r).w(r).dr -f «Cos£4 0sinS I = 0. ' ) En daar het eerste lid hiervan, met een positieven factor vermenigvuldigd, de kromtestraal is en de eenige beperking voor F is, dat w steeds'positief moet zijn, vindt hij als eenige beperking voor de „maatkromme", dat zij overal convex is. Ten slotte geeft hij als voorbeeld van een oplossing, die een Euclidisch lineair systeem binnen een convex ovaal voorstelt, de zoogenaamde Hilbertsche meetkunde: Hilbert definieert n.1. in Math. Ann 46 den afstand tusschen twee punten als de logarithme van hun dubbelverhouding met de snijpunten van hun verbindingslijn met een convex ovaal, waar ze binnen liggen; hij toont l.c. meetkundig aan, dat voor die aanname in een driehoek de som van twee zijden grooter is dan de derde; Hamel laat nu zien hoe ook deze meetkunde uit zijn algemeene formule kan worden afgeleid. Daartoe zoekt hij de functies W en u zóó t* bepalen, dat *2 P P ƒ dx ƒ dp ƒ dp W-f-u{x2y2) —u(xiyi) = X | c c - loc(*l — yl) (X2^—_ V2) (x2 — v,) (Xl — v„) ' en vindt, y — px = b gesteld: VV [p,y_p,] = [^i>]p van welke uitdrukking hij gemakkelijk aantoont, dat ze positief (negatief) is voor 3- in het eerste of derde (tweede of vierde) kwadrant, waaruit dan weer volgt, dat w in elk geval positief is, zooals voor de minimumeigenschap noodig is. Verder vindt hij: x — Vj (c, y — cx) u = log T. 6x —vi (c,y- cx) We kunnen de bovengenoemde Minkowskische geometrie (met omkeerbaar boogelement) als bijzonder geval van deze Hilbertsche meetkunde laten voor den dag komen. Immers stelt Minkowski als boogelement ds f (3-), en HlLBERT: ds ! 1 —laten we nu het (s — Sj sa — s) Hilbertsche grensovaal onbepaald groot van bepaalden vorm worden, dan wordt — 1 oneindig S ~~~ S j Sj S klein, maar tevens voor evenwijdige lijnen gelijk, het wordt dus na vermenigvuldiging met een onein- De mogelijke puntverzamelingen. dig groote constante een functie van de richting alleen, en het boogelement wordt van den vorm ds f (3-). In den aanvang van dit hoofdstuk hebben we 2 soorten lineair geordende puntrijen kunnen opbouwen, n.1. het ordetype u der afgetelde positieve ordinaalgetallen en het omgekeerde type en daarnaast de in zich overal dichte aftelbare rij (het ordetype i der rationale getallen, alle, of tusschen o en 1, of ook der duale schaal, geheel, of tusschen o en 1 ')). Daarnaast hebben we het intuitief continuum beschouwd als meetbaar continuum, en gezien, dat zich elk punt daarop laat benaderen door een duale schaal. Het continuum als geheel was ons echter intuitief gegeven; een opbouw er van, een handeling die „alle" punten er van geïndividualiseerd door de mathematische intuitie zou scheppen, is ondenkbaar en onmogelijk. De mathematische intuitie is niet in staat anders dan aftelbare hoeveelheden geïndividualiseerd te scheppen. Maar wel kan zij, eenmaal een schaal van het ordetype « opgebouwd hebbend, er een continuum als geheel overheen plaatsen, welk continuum dan achteraf weer omgekeerd als meetbaar continuum als matrix van de punten der schaal kan worden genomen. J) waarbij we zullen rekenen, o en 1 zelf naar verkiezing bij de puntrij te kunnen tellen of niet. Zoo kan een gegeven continuum door een ander continuum met lacunes worden overdekt; we behoeven daartoe op het eerste continuum maar een ordetype n te bouwen, dat het niet overal dicht bedekt en vervolgens bij dat ordetype ») het continuum te construeeren; we kunnen dan altijd een punt van het tweede continuum identiek noemen met het grenspunt van zijn benaderingsreeks op het eerste continuum. In zooverre kunnen we dan zeggen: ,,De punten van het tweede continuum maken een deel uit van die van het eerste"; en in zooverre hebben we nu drie wijzen van opbouw voor ,,puntverzamelingen op het continuum", n.1. : 1". kunnen we er volgens eindige getallen of de ordetypen u of «, of ook in afwisseling of onderschikking aan elkaar van deze drie'), discrete, geïndividualiseerde *) Gebruiken we alleen het ordetype in verbinding met eindige getallen, dan krijgen we de zoogenaamde welgeordende verzamelingen, bij den opbouw waarvan elk element, dat later in den opbouw komt, ook later komt in de rangschikking. De opbouw kan als element voor haar eindige getallen of getallen van het ordetype u natuurlijk ook alle reeds vroeger opgebouwde welgeordende verzamelingen nemen. We krijgen zoo achtereenvolgens 1; 2; ... u; u -f- 1; « -+- a; ... u. 2 ;.. . u*; «2 + 1;.. . 6ü U u ;.. . u ;.. e, (d. i. uu , de machtsverheffing u maal voortgezet) Een welgeordende verzameling heeft de eigenschap, dat zij zelf puntverzamelingen op bouwen; het aantal dezer punten is steeds aftelbaar, en evenzoo het aantal der door puntenparen daaruit op het continuum bepaalde intervallen; in elk van haar intervallen, en evenzoo in haar geheel is de puntverzameling al of niet dicht (hieronder verstaan we: van het ordetype »», nadat alle welgeordende ol omgekeerd welgeordende verzamelingen er in tot een enkel punt zijn samengetrokken). We kunnen ook zeggen: in een willekeurig segment van het continuum (waarvoor ook het geheele continuum kan worden gekozen) is de puntverzameling al of niet dicht; en nader onderzoek leert, dat dit laatste zich als volgt karakteriseert bij benadering van de puntverzameling volgens een willekeurige overal dichte duale schaal op het beschouwde seg- en ook al haar deelverzamelingen een eerste element hebben. Naast de welgeordende kunnen we ook omgekeerd welgeordende verzamelingen krijgen. De eenige wijze om niet welgeordende of omgekeerd welgeordende verzamelingen op te bouwen, bestaat in <•> maal herhaalde tusschenvoeging in welgeordende verzamelingen van welgeordende verzamelingen; hierbij kunnen dan „dichte" (zie den tekst) deelverzamelingen ontstaan. Men vergelijke hierbij een theorema, door Bernstein (Mathem. Ann. 61 pag. 144) uitgesproken: Elke geordende aftelbare verzameling (dus ook elke individueel opbouwbare verzameling; immers zeg ik bij het opbouwen niets omtrent ordening, dan kan ik stilzwijgend al het later bijgebouwde na het vroeger gebouwde denken) is met behoud van orderelaties af te beelden op een deel van het ordetype *i- ment als eenheidssegment geconstrueerd: bij bepaling van elk volgend duaalcijfer is dat öl bepaald door het vorige óf laat keus tusschen twee ; is het laatste het geval, dan is voor elk der beide keuzen het daaropvolgende duaalcijfer weer öf bepaald, óf laat keus tusschen twee, enz. hetgeen zich laat afbeelden door een figuur van den vorm breken we hier elke tak, die zich nooit meer vertakt, af, J) dan blijft ten slotte over öf niets öf een voortdurend zich vermenigvuldigende tweevertakking ; in het laatste geval is de verzameling wèl, in het eerste niet, binnen het beschouwde interval dicht. 2°. kunnen we in intervallen, waarbinnen de laatste ') van links naar rechts naar volgorde van den rang van het duaalcijfer der aanhechtingsplaats; is de afbrekingsoperatie op alle u rangen volbracht, dan wordt zij op dezelfde wijze op het gebleven residu nog eens toegepast. 5 Oplossing van het continuumprobleem. puntverzameling dicht is, haar eerst door de boven beschreven samentrekkingen maken tot een overal in zich dichte verzameling, en dan daarop de operatie ,,completeering tot een continuum" toepassen; de intervallen, die we daartoe uitkiezen, zijn steeds duidelijk te definieeren, want, daar hun aantal aftelbaar is, zijn ze geïndividualiseerd. 3°. kunnen we een puntverzameling scheppen, door aan een continuum in een zeker interval een er op geconstrueerde dichte schaal te onttrekken. Is nu bij den opbouw van een puntverzameling de operatie 2° (al of niet in vereeniging met 3°) toegepast, dan is zij op een continuum ,, af te beelden" ; dit is zoo te verstaan: in beide verzamelingen (het continuum en de gegeven puntverzameling) wordt een welgedefinieerde, dus aftelbare puntgroep uitgekozen zóó, dat alle andere punten als benaderingen ten opzichte van overal dichte deelen van die groep kunnen worden beschouwd, en vervolgens worden de ongedefinieerde punten met elkaar één-éénduidig in correspondentie gebracht, door de overal dichte deelen, ten opzichte waarvan in beide de oneindig voortloopende benaderingen moeten worden genomen, op elkaar af te beelden; de wél gedefinieerde punten kunnen dan altijd nog daarna in correspondentie met elkaar worden gebracht, daar ze in beide aftelbaar zijn. Waaruit volgt, dat elke puntverzameling op het meetbaar continuum (dus ook op het intuitief conti- nuum zonder meer, waarmee we immers eerst kunnen werken nadat we het meetbaar ') — of uit geïndividualiseerde meetbare stukken opgebouwd — hebben gemaakt), die niet aftelbaar is, de machtigheid van het continuum bezit. Hiermee schijnt het „continuum-probleem", door Cantor in 1873 opgesteld en door Hilbert („Mathematische Probleme", Problem no. 1, pag. 263.) als nog steeds actueel gesignaleerd, te zijn opgelost, en wel in de eerste plaats door streng vast te houden aan het inzicht: over een continuum als puntverzameling kan niet worden gesproken, dan in betrekking tot een schaal van het ordetype We kunnen een Cartesiaansche ruimte denken van « dimensies, ook van «* + u dimensies, en daarvan beschouwen alle punten wier coördinaten van lager dan een gegeven nummer, nul zijn. *) We kunnen nog verder gaan, en een Cartesiaansche ruimte van #>)n afmetingen denken. Elke coör- ') De niet-Archimedische pseudocontinua, waarover beneden zal worden gesproken, moeten volgens onze continuum-opvatting als meerdimensionale continua (op een bijzondere wijze geordend en aan een bijzondere transformatiegroep onderhevig) worden opgevat; daar echter volgens Cantor meerdimensionale, en ook aftelbaaroneindig-dimensionale continua zijn af te beelden op eendimensionale, gaat de stelling ook voor èn meerdimensionale èn niet-Archimedische continua door. ') Men vergelijke in dit verband Hilbert, Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber Denkmals in Göttingen, S 33- Niet-Archimedische uniforme groepen op het eendimensionaal continuum. dinaat draagt dan n geheele positieve of negatieve getallen als indices, en we beschouwen slechts die punten, wier coördinaten alleen bestaan (niet nul zijn) voorzooverre alle indices er van grooter zijn, dan die van een bepaalde gegeven coördinaat, zoodat de nummers van de overblijvende coördinaten een welgeordende verzameling vormen. Deze punten zijn lineair te ordenen, door voor 2 punten het vóór of na te beslissen naar de laagst genummerde coördinaat, waarin ze verschillen. Op een zoo geconstrueerd pseudo-continuum (dat een gewoon meetbaar continuum is met nog allerlei punten tusschen een willekeurig er op gekozen punt en een door dat punt begrensd segment, en met bovendien nog allerlei punten rechts en allerlei punten links van alle punten van het gewone continuum) geldt het nu, een groep van hoofdbewerkingen te construeeren, die voor de er op liggende punten van het gewone continuum een groep van hoofdbewerkingen in elkander geeft. We kunnen dan beginnen, voor ieder der coördinaten een schaal en daaruit een gewone optelgroep te construeeren. Daarmee is dan tegelijk een optelgroep voor het geheel geconstrueerd, die werkelijk associatief en commutatief is, en die elk punt in elk ander punt kan overvoeren. Kiezen we vervolgens op elk der schalen willekeurig een 1-punt, dan is de operatie: „vermenigvuldiging met een punt van het gewone continuum" (d.w.z. met een punt, waarvan alle coördinaten nul zijn behalve die met index o) van zelf duidelijk; zij is associatief er met de optelgroep distributief. Zoeken we hierbij een associatieve operatie, die alle indices der coördinaten 1 vergroot, en die we zullen voorstellen door ,,aj X"« speciaal ,,lj X". als ze steeds l-punten in elkaar overvoert (waartoe we onze l-punten altijd geschikt kunnen kiezen). Daar ze de groepen binnen de enkele coördinaten in elkaar moet overvoeren, hebben we nu ook algemeen li Xa, = a,)-i- Zoeken we verder een associatieve operatie, die alle indices der coördinaten « vergroot, en die we zullen voorstellen door ,,aa X"; speciaal „l,, X", als ze het 1-punt van de o-coördinaat overvoert in dat van de «-coördinaat, dat van de «-coördinaat in dat van de 2«-coördinaat, enz. Daar ze weer de groepen binnen de enkele coördinaten in elkaar moet overvoeren, hebben we, als «een eindig getal: 1 u X — ! I'« a ! *> + «' Daar de operaties 1| en 1« samen associatief moeten zijn, hebben we verder: | p»a j u + 2 = 1* X ai = (l« X 1.) X aj = P, X li X 1* X a, = Pi X Ij X {Pi a} w + i = { Pi* a i 1 -+■ 2' en we krijgen, zoo voortgaande: P« = V- En in 't algemeen, als r een willekeurig eindig of oneindig getal: iPt + i a!r + # + i =:'ti Xar + i == X 1]) X at = PiXl,X(1« X ar) — Pi X 1| X ' Pt a i r + u = ! Pi Pt a ! t + u + 1 zoodat in 't algemeen Pt = p«, als a. het eindige deel van het transfinite getal t is. Op dezelfde wijze voeren we in de operatie ,,1*2 X " zóó, dat: V x aT = ; qT a :T + „2, en vinden uit de associatieve eigenschap vooreerst: q*=q * (i — i $ als * en P eindige getallen zijn. En vervolgens hebben we, als v — £ -f- f3»> + «, waarin £ slechts termen van hoogeren, dan den eersten graad in « bevat: | qt ' t + U3 ^ tt3 x ' T = 1.»X 1. X % X i? qx X ',X i»,! X iX 1^ = q"'?X i, X 'p,X... X = !«■ ■*:«.» zoodat we hebben qT = q"r|3- Dat verder deze voor pT en qT als noodzakelijk gevonden voorwaarden ook voldoende zijn, blijkt als we uitrekenen: en j1»i+b1«+.-1«ïX1 X1»,-i-'',«+ '-S*- We vinden dan voor beide uitdrukkingen: pb^i+Mj+bjaa^ q<-,b,+Cibj+c,b,t rc,a,+n,aj+i:ia3 ^ X l(a1+a»+al) + (b,+b1+b»i»)+(C| + <:»+c» wJ' Zoo voortgaande kunnen we ,,las X" X' definieeren, en, als we onder vermenigvuldigen met een som nog verstaan vermenigvuldigen met de termen en dan sommeeren; en opmerken, dat voor de reciproke van een getal alle coördinaten bij opvolging zijn te benaderen, dus ook de deeling uitvoerbaar is, hebben we een volledig stel bewerkingen op ons lineair pseudo-continuum, waarvoor de associatieve en distributieve eigenschappen gelden, maar, als n > 1 is, niet noodzakelijk de commutatieve; immers bijv.: li X 1„ = ltt + j, maar 1« X l| = pw + ,; terwijl we daarentegen boven van het gewone meetbare continuum hebben gezien, dat daar geen groep van hoofdbewerkingen is te construeeren, zonder dat de Commutatieve eigenschap geldt. Het geconstrueerde pseudocontinuum kan wegens het gemis van de meetbaarheid een niet-Archimedisch continuum worden genoemd; het mist bovendien nog een andere eigenschap van het gewone continuum, n.1. de Dedekindsche continuïteit*), die zich als volgt laat formuleeren: wordt het geheel der punten van het continuum in twee deelen verdeeld zóó, dat elk punt van het eene deel hooger in rang is, dan elk punt van het andere deel, dan heeft óf het laagste deel een hoogste punt en het hoogste geen laagste punt, óf het hoogste deel een laagste punt en het laagste geen hoogste punt. Uit deze Dedekindsche continuiteit is trouwens de meetbaarheid direct af te leiden. Wel bezit het niet-Archimedisch continuum Veronesische continuiteit. die aldus is te definieeren: wordt het geheel der punten van het continuum in twee deelen verdeeld zóó, dat elk punt van het eene deel hooger in rang is, dan elk punt van het andere, en kan ik bovendien uit beide deelen steeds 2 punten uitkiezen zóó, dat hun verschil kleiner kan worden dan elke gegeven grootheid, dan heeft óf het laagste ') cf. Dedekind, „Stetigkeit und irrationale Zahlen." deel een hoogste punt en het hoogste geen laagste punt, óf het hoogste deel een laagste punt en het laagste geen hoogste punt. (Is de voorwaarde voor het onbepaald klein worden van het verschil niet vervuld, dan kan het dus voorkomen dat èn het laagste deel geen hoogste punt èn het hoogste deel geen laagste punt heeft.) Zooals we vroeger de projectieve meetkunde opbouwden uit n+1 van een hoofdbewerkingsgroep voorziene gewone continua of complexe continua, zoo kunnen we het nu ook doen uit niet-Archimedische continua. De bewijzen voor de lineaire vergelijkingen van rechte lijnen, platte vlakken enz. (waarbij we er hier intusschen om moeten denken, de coëfficiënten steeds rechts van de coördinaten te schrijven) blijven onveranderd doorgaan; dus ook alle stellingen, die wij boven (zie pag. 54) ter karakteriseering van het stelsel rechte lijnen, platte vlakken enz. in een gewone projectieve ruimte hebben opgenoemd. Hieruit volgt, dat ook de stelling van Desargues (,,als van twee driehoeken de verbindingslijnen van overeenkomstige hoekpunten door één punt gaan, liggen de snijpunten van overeenkomstige zijden op een rechte lijn") of, wat er mee gelijkwaardig is, de stelling van de eenduidigheid van het 4de harmonische punt, blijven doorgaan; evenzoo blijft geldig de projectiviteit van harmonische ligging. Maar onderzoeken we, of doorgaat de stelling van Niet-Archimedische en nietPascalsche projectieve geometrieën. De stelling van Pascal volgt uit bet bestaan van de projectiviteit der relatieve coördinaten, dan blijkt dat af te hangen van het al of niet bestaan van de commutatieve eigenschap der vermenigvuldiging. Hetzelfde geldt voor de er mee gelijkwaardige stelling van Pappus („zijn op twee snijdende rechte lijnen elk 3 punten gegeven, dan liggen de 3 snijpunten der kruisverbindingslijnen van overeenkomstige paren op een rechte lijn"), die Hilbert (Festschrift, in 't bijzonder Kap. VI) noemt de stelling van Pascal. (Van de gewone onder dien naam bekende stelling kan zij n.1. worden beschouwd als het bijzondere geval voor een degenereerende kegelsnede.) Geldt dus de commutatieve eigenschap der vermenigvuldiging niet, dan vervallen mèt de stelling van Pascal verschillende snijpuntsstellingen, b.v. de stelling van het eenduidig bepaald zijn van een gemeenschappelijk harmonisch puntenpaar bij twee puntenparen van een rechte lijn, en ook de zgn. hoofdstelling der projectieve meetkunde: Zijn twee rechte lijnen door een rij van perspectiviteiten op elkaar betrokken, dan is door de betrekking van drie puntenparen op elkaar, ook van elk ander punt het correspondeerende bepaald. Bestaat voor de niet-Archimedische projectieve meetkunde of het gedeelte er van binnen een convex ovaal') t) Is alleen dat beperkte gedeelte gegeven met de (zie pag. 55) karakteriseerende eigenschappen, dan gaat de completeering met ideale elementen volgens schur (Math. Annalen 39) ook voor de niet-Archimedische meetkunde onveranderd door. (of bij de limiet binnen een tweemaal getelde platte " ~ 'ruimte) een congruente groep, d. w. z. een groep in eigenschappen overeenkomende met de elliptische resp. hyperbolische (Euclidische) congruente groep '), dan heeft Hilbert aangetoond, dat alle snijpuntsstellingen doorgaan, dus ook de commutatieve eigenschap der vermenigvuldiging er geldig moet zijn. (Festschrift, Kapitel III; Neue Begründung der Bolyai-Lobatcheffskyschen Geometrie, Math. Annalen 57; vgl. ook Vahlen, Abstrakte Geometrie p. 25i.) Voor een niet-Archimedische projectieve meetkunde binnen een convex ovaal heeft Vahlen (Abstrakte Geometrie p. 204—233) aangetoond, dat alle congruentiestellingen, dus ook de stelling van Pascal, dus ook de commutatieve eigenschap der vermenigvuldiging, zijn af te leiden uit alleen het bestaan van een affine groep, d.i. een projectieve groep, die ieder punt in ieder punt kan overvoeren, en daarbij in elk punt vrije bewegelijkheid in het infinitesimale bezit. ') Zulk een groep is te karakteriseeren als projectieve groep, die: 1". elk punt in elk punt kan overvoeren, 2°. om elk punt vrije bewegelijkheid in het infinitesimale bezit, en „bollen" om het punt bepaalt, die elke halflijn om het punt eenmaal snijden, 3". alle segmenten kan omkeeren, en van alle gelijkbeenige driehoeken de beenen kan verwisselen; en zij bestaat uit bewegingen en symmetrische transformaties, (de laatste alleen voor de hyperbolische en Euclidische groepen uitdrukkehik te noemen.) een congruente projectieve groep. Seini-congru ente groepen der niet-Archimedische meetkunde. Van de niet-Archimedische vlakke meetkunde heeft Hilbert nog een eigenschap bewezen (vgl. ,,Ueber den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck," Proceedings of the London Mathem. Society vol. 35). Bestaan de gewone (Euclidische of niet-Euclidische) congruente groepen, dan geldt, zooals we zagen, de stelling van Pascal; maar dan bestaan er nog naast de genoemde groepen semi-congruente bewegingsgroepen, die alle eigenschappen der congruente bewegingsgroepen bezitten; terwijl tóch het vlak ten opzichte van die groep niet symmetrisch is: een gelijkbeenige driehoek heeft geen gelijke basishoeken. De niet-monodrome spiraalgroep van Helmholtz in de gewone Archimedische meetkunde, doet aan deze eigenschappen denken, maar een segment is hier niet omkeerbaar : immers een draaiing»-verandert zijn „grootte", d.i. zijn invariant ten opzichte van de verschuivingsgroep; en ook wordt, als we een punt vasthouden, elke uit dat punt ontspringende halflijn door elke baankromme meermalen gesneden. Dit wordt indeHilbertsche semicongruente groep voorkomen, door van de beide deelen van den draaiïngshoek (n.1. het eindige en het oneindig kleine: een oneindig groot deel bestaat voor hoeken niet), alleen het tweede met een evenredige vergrooting gepaard te doen gaan. Elk punt beschrijft zoo wel een spiraal, maar alleen ten opzichte van het oneindig kleine deel van den hoek, dat bij de perioden * en 2* telkens weer o is; dus blijft vooreerst het eindige deel van den afstand tot het middelpunt bij de draaiing constant, zoodat de oorsprong niet onbepaald wordt genaderd ; verder wordt elke hallstraal uit het middelpunt door de baankrommen slechts éénmaal gesneden; en ten slotte de omkeerbaarheid der segmenten blijft behouden. In het voorgaande is van de fundamenteele gedeelten der wiskunde getoond, hoe ze zijn op te bouwen uit voorstellingseenheden : door eenvoudige iuxtapositic óf vorming van reeksen van het type *> of * óf van continua; waarbij intusschen in elk stadium van den opbouw als nieuwe eenheden geheele reeds opgebouwde systemen genomen kunnen worden. Dat geen wiskunde, die niet op deze wijze intuitiel is opgebouwd, kan bestaan ; dat dus in dezen opbouw, onder de verplichting, zorgvuldig acht te geven, wat de intuitie veroorlooft te stellen en wat niet, de eenig mogelijke grondvesting der wiskunde is te'zoeken; en hoe elke andere poging tot zulk een grondvesting moet mislukken, zal in het derde hoofdstuk worden uiteengezet. Binnen zulk een opgebouwd systeem zijn dikwijls, geheel buiten zijn wijze van ontstaan om, nieuwe gebouwen zeer eenvoudig aan te brengen, als elementen waarvan de elementen van het oude of systemen daarvan worden genomen, in nieuwe rangschikking, maar waarbij men de rangschikking in het oude gebouw voor oogen behoudt. Op de mogelijkheid De wiskunde kan geen andere materie behandelen, dan die ze zelf heeft opgebouwd. van zulk bouwen van nieuwe systemen in bepaalden samenhang met een vooraf gegeven systeem, komt neer, wat men noemt de „eigenschappen" van het gegeven systeem. En een belangrijke rol speelt bij den opbouw der wiskunde juist dat inpassen in een gegeven systeem van nieuwe systemen, dikwijls in den vorm van een onderzoek naar de mogelijkheid of onmogelijkheid van een inpassing, die aan bepaalde voorwaarden voldoet, en in geval van mogelijkheid naar de verschillende wijzen waarop. Voorbeelden daarvan zijn in het voorgaande behandeld als onderzoekingen naar de mogelijkheid der inpassing van aan zekere voorwaarden voldoende transformatiegroepen in gegeven systemen. (We kunnen daar het continuum der groepparameters als het in te passen systeem beschouwen, en het karakter van dat continuum als groepparametercontinuum als voorwaarde omtrent de wijze van inpassing.) En in dezen vorm hebben we onder meer substraten gegeven van verschillende in de laatste jaren uitgevoerde onderzoekingen, die bedoelden licht te werpen op de grondslagen der wiskunde, en die alleen in den zin onzer vertolking wiskundige beteekenis hebben; dit op grond van opvattingen, die in het derde hoofdstuk zullen worden verdedigd, en als toelichting waartoe de voorgaande ontwikkelingen kunnen worden beschouwd. II. WISKUNDE EN ERVARING Den menschen is een vermogen eigen dat al hun wisselwerkingen met de natuur begeleidt, het vermogen n.1. tot wiskundig bekijken van hun leven, tot het zien in de wereld van herhalingen van volgreeksen, van causale systemen in den tijd. Het oer-phenomeen is daarbij de tijdsintuitie zonder meer, waarin herhaling als ,,ding in den tijd en nog eens ding" mogelijk is, en op grond waarvan levensmomenten uiteenvallen als volgreeksen van qualitatief verschillende dingen; die vervolgens zich in het intellect concentreeren tot niet gevoelde, doch waargenomen wiskundige volgreeksen. En het levensgedrag der menschen zoekt zooveel mogelijk van die wiskundige volgreeksen te kunnen waarnemen, om telkens, waar in de werkelijkheid bij een vroeger element van zulk een reeks met meer succes schijnt te kunnen worden ingegrepen, dan bij een later, ook dan, wanneer alleen bij dat latere het instinct wordt aangedaan, het eerste te kiezen als richting voor hun daden. 6 Het intellect en de sprong van doel op middel. Wiskundige systemen, die meer dan het werkelijke bevatten. (Vervanging van het doel door het middel.) Het oninstinctieve van deze intellectueele handeling maakt echter de zekerheid dat werkelijk de deelen eener volgreeks bijeen behooren alles behalve volkomen, zoodat ze steeds kan worden gelogenstraft, wat waargenomen wordt als ontdekking ,,dat de regel niet langer doorgaat". Intusschen in 't algemeen blijkt de taktiek, bestaande in het beschouwen der volgreeksen en het op grond daarvan teruggaan van doel op middel, waar in het middel gemakkelijker ingegrepen schijnt te kunnen worden, eene doeltreffende en bezorgt de menschheid haar macht. Het gelukt regelmaat op een beperkt gebied van verschijnselen te ontdekken onafhankelijk van andere verschijnselen, die derhalve bij de intellectueele beschouwing volkomen latent kunnen blijven. Om de zekerheid van een waargenomen regelmaat zoo lang mogelijk te handhaven, tracht men daarbij systemen te isoleer en d.w.z. het als de regelmaat storend waargenomene, verwijderd te houden; zoo maakt de mensch in de natuur veel meer regelmatigheid dan er oorspronkelijk spontaan in voorkwam; hij wenscht die regelmatigheid, omdat ze hem sterkt in den strijd om het bestaan, doordat ze hem in staat stelt te voorspellen, en zijn maatregelen te nemen. Het intellectueel bekijken der wereld wint in uitgebreidheid, doordat men, onafhankelijk van directe toepasbaarheid, uit de oer-intuitie van het intellect de abstracte wiskunde (reine Mathematik) opbouwt, en zoo een voorraad van onwerkelijke causale volgreeksen kan klaar hebben, die slechts wachten op een gelegenheid, om in de werkelijkheid te worden geprojecteerd. Men bedenke hierbij, dat de wiskundige systemen, waarin geen tijdcoördinaat voorkomt, bij practische toepassing toch al hun relaties tot causale relaties in den tijd zien worden. Zoo b.v. de Euclidische meetkunde geeft, op de werkelijkheid toegepast, het causaal verband tusschen de resultaten van verschillende metingen, met behulp van de groep der rigide lichamen uitgevoerd. — Onnoodig te zeggen, dat van de elementen en ondergebouwen van een wiskundig systeem bij de toepassing gewoonlijk slechts een klein deel hun correspondeerende in de werkelijkheid vindt: de rest vergemakkelijkt slechts het overzicht daarvan. ') — Evenzoo bestaan de waargenomen volgreeksen reeds bij een ge-.inge ontwikkeling der methode niet meer uitsluitend uit onafhankelijk van den menschelijken wil waargenomen verschijnselen, maar worden deze gecompleteerd met door de menschen zelf te voorschijn geroepene ; (daden zonder eenig direct instinctief doel, maar Uitbreiding van de toepassing der wiskunde door daadwerkelijk ingrijpen. ') ln het bijzonder geeft men aan waargenomen eindige volgreeksen dikwijls de hypothetische (immers alleen wiskundig bestaande) uitbreiding tot reeksen van a termen; op het invoeren van zulk een reeks in onze waarnemingen berust b.v. de oneindige lengte van de tijdcoördinaat. Uitbreiding van het werkelijke tot het mogelijke door inductie. uitgevoerd, alleen om het causale systeem tot breedere handelbaarheid te completeeren); het eenvoudigste voorbeeld hiervan is het door de telhandeling verkregen klankbeeld ') van aantal, of het door de maathandeling verkregen klankbeeld ') van maatgetal. Haar groote macht krijgt echter de wiskundige natuurwetenschap nog niet door het opmerken van voor het instinct ongeveer gelijkwaardige volgreeksen, maar door het samenvatten van een zeer groot aantal van zulke volgreeksen onder één gezichtspunt door middel van een met behulp van mathematische inductie opgebouwd wiskundig systeem, dat wet wordt genoemd; het verschil van twee daaronder vallende volgreeksen berust dan alleen op het verschil in waarden van in de wet optredende parameters. J) Naast de werkelijk waargenomen volgreeksen met hun bepaalde param eterwaarden worden dan die met andere parameterwaarden als mogelijk gesteld; en dat juist de waargenomen parameter waarden alleen werkelijk voorkomen, wordt als toevallig beschouwd. Aan den anderen kant blijkt, dat men vaak een in een enkele waargenomen volgreeks optredende grootheid met succes als toevallige parameterwaarde beschouwt, en zoo met juistheid door inductie nieuwe volgreeksen voorspelt. ') of schriftteeken. ') Haar belangrijkste toepassing vindt de samenvatting door inductie in causaliteitsbetrekkingen tusschen getallen, m. a. w. tusschen resultaten van tellingen of metingen. De eenvoudigste inductieve uitbreiding tot een groep van mogelijke verschijnselen geschiedt langs de coördinaten van ruimte en tijd als parameters. Dat een volgreeks juist daar en toen zich verwezenlijkte, en niet op andere plaats en anderen tijd, is voor den physicus toevallig. En na het opmerken van volgreeksen en het samenvatten daarvan door inductie, gaat de wiskundige actie op de wereld nog verder. Vooreerst worden, om de groote menigte bewerkingen, die afhankelijk zijn van het meetbaar continuum, te kunnen toepassen, de discrete waarnemingen aangevuld tot continue functiesJ); en het is niet alleen de tijdcoördinaat, die continu wordt gemaakt (hier geeft de intuïtie er alle aanleiding toe), maar ook elk functioneel verband tusschen gemeten grootheden, waarmee de tijdcoördinaat niets te maken heeft; dat is een willekeurige daad, weer alleen gerechtvaardigd, omdat ze blijkt, te ,,gaan." Het continu maken der waargenomen functies doet men door de bekende methode der interpolatie, weer een willekeurige daad, die zich weer in de praktijk niet straft. Bij het interpoleeren krijgt men analytische functies; en zulke heeft men toch reeds neiging, in de natuurbeschouwing uitsluitend te gebruiken ; waarom ? Voornamelijk door een willekeurige daad van anthropoinorphiseering der natuur: waar men bij ') vgl. echter pag. 90, noot. Continuïteit der physitche functies. Differentieerbaarheid der physische functies. zijn eigen ingrijpen uit den waargenomen weerstand merkt, alle toestanden slechts geleidelijk te kunnen veranderen, postuleert men voor in de natuur practisch te meten functies in dicht bijeen gelegen argumentpunten ongeveer gelijk gedrag *). Van een lunctie, die tot deze kategorie behoort, behooren ook de differentiequotienten van verschillende orde daartoe (immers deze worden uit dezelfde metingen als de functie zelf bepaald), dus ook de differentiaalquotienten van verschillende orde, en differentiequotienten daarVan, zoo deze diffcrentiaalquotienten bestaan, wat we zullen aantoonen dat het geval is. Zij n.1. x« een der onafhankelijk veranderlijken, en zij fA(x«) het maximum der spelingsgebieden tusschen xx en x^+A van de verschillende differentiequotienten, zooals die hooren bij de verschillende aangroeiingen der onafhankelijk veranderlijke xx, wanneer men die aangroeiingen achtereenvolgens alle waarden laat doorloopen tusschen o en een zekere zoo klein als men wil, doch vast te kiezen waarde a, dan volgt uit het zooeven genoemde postulaat, dat */^metA tot o nadert. Verder hebben we, onder £ een echte breuk verstaande: *) wat niet wegneemt dat men, zonder voor de natuur meer dan een snelle overgang te postuleeren, bij benadering dikwijls discontinuïteiten invoert in het wiskundig beeld tot vereenvoudiging van het rekenen. V V waaruit we in verband met de boven gegeven definitie van £ ^ (xa) afleiden : en hieruit volgt, dat het spelingsgebied ) Waar men zegt: „en zoo voort", bedoelt men het onbepaald herhalen van eetizelfde ding of operatie, ook al is dat ding of die operatie tamelijk complex gedefinieerd. De tweede getalklasse van Cantor bestaat niet. tritt fertig ins Dasein, versehen mit der intrasubjectiven Realitat, welche überall von Begriffen nur 'erlangt werden kann; seine transiente Bedeutung zu constatiren ist alsdann Sache der Metaphysik." Het komt zooals we zien ongeveer neer op het standpunt der axiomatici. We hebben boven getoond dat dit principe niet gewettigd is, en beweren nu op dezen grond, dat de vele paradoxen der „Mengenlehre", waarvan de oplossing met zooveel ijver wordt gezocht, geen recht van bestaan hebben; dat veelmeer de Cantorianen verplicht waren geweest een begrip dat tot een contradictie aanleiding geeft, direct, als zeker onwiskundig gevormd, te verwerpen. Gaan we op enkele punten nader in: Van de definitie der welgeordende verzamelingen volgens Cantor (zie hoofdstuk I pag. 63) weten we, dat ze niet-contradictoor is; immers er bestaan welgeordende verzamelingen, in de eerste plaats het ordetype u van de rij der eindige ordetypen: o, 1, 2. •. Er is dan ook niets tegen, om a te stellen als een nieuw ordegetal, en weer op nieuw te gaan tellen «, « -Hl, *> -+- 2,... 2 u, 2«-f-l, mt'-f-n, Evenmin is er iets tegen, na alle op deze wijze te vormen getallen te stellen een getal «a; we openen ons zoo weer een grooter gebied van volgens een welgeordende rij op elkaar volgende ordegetallen, waarvan de uitdrukking geschiedt door den algemeenen vorm: als eerstvolgende waarop we a" kunnen invoeren. Zoo kunnen we doorgaan, en Cantor toont („Grundlagen" pag. 35) aan, dat elk zoo ingevoerd ordetype, dus ook in elk stadium het geheel der ingevoerde getallen, aftelbaar blijft. Dan laat hij echter volgen : „Wir definiren daher die zweite Zahlenclasse als den Inbegriff aller mit Hülfe der beiden Erzeugungsprincipe (hij verstaat onder die twee principes : een eenheid verder gaan, en van een ordetypc « hetnaasthoogere element, het grenselement, nemen) bildbaren, in bestimmter Succession fortschreitenden Zahlen « : welche der Bedingung unterworfen sind, dass alle der Zahl « voraufgehenden Zahlen, von 1 an, eine Menge von der Machtigkeit der ersten Zahlenclasse bilden." Let wel, ,,den Inbegriff aller"; hij spreekt hier van iets, wat zich niet laat denken, d.w.z. zich niet wiskundig laat opbouwen; immers een geheel, 10 geconstrueerd met behulp van ,,en zoo voort" laat zich alleen denken, als dat ,,en zoo voort" op een ordetype « van gelijke dingen slaat; maar het ,,en zoo voort" hier slaat niet op een ordetype <», en ook niet op gelijke dingen. Cantor verliest dus hier den wiskundigen bodem. Volgens zijn boven aangehaald grondprincipe moet hem dit onverschillig zijn; maar in elk geval moet hij dan toch zorgen, dat hij logisch vasten grond houdt, heeft dus aan te toonen, dat de invoering van dit ,,Inbegriff aller" niet tot strijdigheden aanleiding kan geven, wat hij evenmin doet, wat echter kan geschieden volgens de methode, waarop Hilbert 1) de logische entiteit ,,Inbegriff aller" invoert, en haar niet-strijdigheid bewijst. Cantor gaat nu door en spreekt over zijn tweede getalklasse, alsof hij haar reëel voor oogen had; zijn manier van uitdrukken wijst er alles behalve op, dat hij alleen een logisch systeem op het oog heeft. Bij het bewijzen der machtigheidsstellingen, dat de tweede getalklasse een hoogere machtigheid heeft dan de eerste, en wel de naasthoogere, ziet hij in die machtigheidsgelijkheid resp. ongelijkheid wel degelijk een reëele mogelijkheid resp. onmogelijkheid van een eenduidige afbeelding van twee bestaande getalklassen op elkaar. ') Verhandlungen des internationalen Mathematiker-Congresses in Heidelberg, 1904 p. 183, 184. Van ons standpunt zijn die redeneeringen met de tendens die Cantor er in legt beschouwd, zinloos; het eenige, wat er, met eenige wijzigingen, van te maken is, komt neer op de volgende trivialiteit: Wordt de logische entiteit T (machtigheid der tweede getalklasse) ingevoerd, dan zou het axioma T = A (A is de machtigheid van &>) in het logisch gebouw tot een contradictie voeren; evenzoo de invoering van een logische entiteit I, die de logische functie van een machtigheid zou moeten vervullen, en aan de axioma's A < I < T zou moeten voldoen. Dat is het logische, voor de wiskunde waardelooze resultaat dezer bewijzen van Cantor. Wil men het in wiskundig licht bezien, dan kan men niet anders vinden dan de volgende uitspraak: Onwaar zijn de beide stellingen: 1°. De tweede getalklasse is denkbaar en aftelbaar. 2°. De tweede getalklasse is denkbaar, en er ligt een machtigheid tusschen de hare, en die der eerste getalklasse. Maar dat deze twee stellingen onwaar zijn, wisten we al, want we wisten al dat het eerste deel van beide (de denkbaarheid der tweede getalklasse) onwaar is. En als parallelle wiskundige inhoud der in de bewijzen van Cantor bevatte ontwikkelingen blijft alleen het volgende over : „Er is zeker geen rij met machtigheid A van welgeordende verzamelingen zóó, dat ik nog niet een nieuwe, niet tot die rij behoorende welgeordende verzameling zou kunnen opbouwen. Maar De aftelbaar onaffe verzamelingen. het geheel der welgeordende verzamelingen, die ik in een of ander wiskundig systeem heb ingevoerd, is zeker aftelbaar." (We spreken in deze wiskundige stelling niet van „getallen der tweede getalklasse," omdat het woord klasse hier niet tot ons begrip spreken kan; we spreken ook niet uitdrukkelijk van de ,,aftelbare welgeordende verzamelingen," want we kunnen geen andere welgeordende verzamelingen, dan aftelbare, opbouwen.) Wil men toch van ,,het geheel der welgeordende getallen" spreken, en iets omtrent de machtigheid daarvan zeggen, dan gelukt dat in een eenigszins gewijzigde beteekenis, in verband met de laatstgenoemde wiskundige stelling, door de volgende uitspraak: De machtigheid van het geheel der welgeordende getallen is aftelbaar onaf; we verstaan dan onder een aftelbaar onaffe verzameling een, waarvan niet anders dan een aftelbare groep welgedefinieerd is aan te geven, maar waar dan tevens dadelijk volgens een of ander vooraf gedefinieerd wiskundig proces uit elke zoodanige aftelbare groep nieuwe elementen zijn af te leiden, die gerekend worden eveneens tot de verzameling in kwestie te behooren. Maar streng wiskundig bestaat die verzameling als geheel niet; evenmin haar machtigheid; we kunnen deze woorden echter invoeren als willekeurige uitdrukkingswijzen voor een bekende bedoeling. Als verdere voorbeelden van aftelbaar onaffe verzamelingen kunnen we noemen: Het geheel der definieerbare punten op het continuum; en a fortiori het geheel van alle mogelijke wiskundige systemen. Bij het nooit klaar komend opbouwen van een aftelbaar onaffe verzameling kunnen we al voortbouwende naar opvolging afbeelden op de rij der welgeordende verzamelingen, die eveneens nooit uitgeput raakt; het begrip van gelijkmachtigheid uitbreidend, om het hier toepasbaar te houden, kunnen we zeggen : Alle aftelbaar onaffe verzamelingen zijn gelijkmachtig '). We onderscheiden dus dan voor verzamelingen naar volgorde van grootte de volgende machtigheden: 1°. de verschillende eindige. 2°. de aftelbaar oneindige. 3°. de aftelbaar oneindig onaffe. 4°. de continue. Het continuumprobleem, waarover voortdurend ') Intusschen kan men in zekeren zin ook zeggen, dat aftelbaar onaffe en aftelbare verzamelingen gelijkmachtig zijn, daar elke aftelbaar onaffe verzameling is af te beelden op «- (immers elk gedeelte, dat ik telkens weer toevoeg, als ik de aftelbaar onaffe verzameling opbouw, is af te beelden op &>, immers is aftelbaar, construeer ik zulk een atbeelding voor elk toegevoegd gedeelte, dan beeld ik de onaffe verzameling af op ai + w <* = to*); alleen is deze afbeelding steeds onaf; het bewijs, dat een afbeelding eener aftelbaar onaffe verzameling op een aftelbare onmogelijk is, geldt dan ook alleen voor een affc afbeelding. Het continuumprobleem. bijdragen verschijnen met het doel, de oplossing een stap verder te voeren, stelt den eisch aan te toonen, dat het continuum en het „geheel der getallen van de tweede getalklasse" gelijkmachtig zijn. Uit het voorgaande blijkt nu, dat men daarmee, aangezien nóch het geheel der getallen van de tweede getalklasse, nóch het continuum als systeem van geïndividualiseerde punten wiskundig bestaan, niets duidelijk gedachts kan zoeken, dan de volgende buiten de eigenlijke wiskunde staande logische stelling: ,,Men kan als logische entiteiten invoeren het geheel der getallen van de tweede getalklasse en het geheel der punten van het continuum zóó, dat de aanname dat daartusschen een correspondentie één aan één bestaat, waarbij geen enkel element van een van beide buiten die correspondentie valt, niet-contradictoor is." Maar als men invoert de logische entiteit: geheel der punten van het continuum, en de continuumintuitie heeft verlaten, dus de punten van het continuum moet definieeren, is dat niet anders mogelijk, dan als de te definieeren wetten van voortschrijding voor benaderende duaalbreuken. Nu, als zoodanig is dan het continuum aftelbaar onaf en ook de tweede getalklasse is aftelbaar onaf, de gezochte ogische stelling is dus bewezen. De verwante wiskundige kwestie (dat alle op het continuum te definieeren verzamelingen óf aftelbaar zijn, óf de machtigheid van het continuum 1 op, dat wie zoo iets als axioma invoert, even goed de stelling zelf als axioma nemen kan. Nu weten we, dat behalve de aftelbare verzamelingen, waarvoor de stelling zeker geldt, nog alleen het continuum bestaat, waarvoor de stelling zeker niet geldt, vooreerst omdat men het grootste deel der elementen van het continuum als onbekend moet beschouwen, ze dus allerminst individueel kan ordenen, en dan, omdat alle welgeordende verzamelingen aftelbaar zijn. Ook deze kwestie blijkt dus illusoor. Als hoofdstelling van de leer der transfinite getallen wordt gewoonlijk genoemd het theorema van Bernstein-Schröder : ,,Zijn A en B twee verzamelingen en is A een-eenduidig af te beelden op een deel van B en evenzoo B op een deel van A, dan ook A op B," of wat op hetzelfde neerkomt, (we voeren in het symbool ,,acob", gelezen: a aequivalent met b, om uit te drukken dat a en b een-eenduidig op elkaar afbeeldbaar zijn): Als « A — A, -f- B + C A oc A, dan ook \ A oo A, + B. (Gesteld n.1. dat de stelling in de laatste formuleering bewezen is en gegeven: Het theorema van Bernstein. A r= H, -+-C H = A, +D HcoH, AoaA, hebben we eveneens H,=A,, +Ü, waarin A,, coA, o=A D, o=> D. En nu volgt uit A — A,, + D, -+- C volgens de stelling in de tweede formuleering A oo A,, -+- D, cx> H.) Het bewijs voor de tweede formuleering wordt gegeven als volgt: Passen we de operatie, die A verdeelt in een deel, met het geheel aequivalent, en nog twee andere deelen, weer toe op A,, zoodat A, = Aj 4- B, C,, vervolgens op As enz., dan hebben we ten slotte: A = B -f- B, + B2 -+- -+- C + C, + Cj.... + D, als D de verzameling is, die aan alle opvolgende A's gemeenschappelijk is. Maar duidelijk is C —|— C, -f" Cj -f-.... i>d C, + Cj •. ■ • Dus A oo B -)- Bj —|- Bj •. •. -f- C, -f- Ca —f- .... + D oo Aj + B j en men krijgt de gezochte afbeelding, door Cafte beelden op C,; C, op C2; C2 op C3; enz. Voor de alleen als niet-contradictore logische entiteiten bestaande verzamelingen bewijst dit theorema, dat als A = A, -f- B + C, en er is een een-eenduidige afbeelding van A op Aj gegeven, dat het dan logisch niet-strijdig is, aan te nemen dat ook A en A, + B aequivalent zijn. Wiskundig geeft het ook een middel aan, om een een-eenduidige afbeelding van A op A, + B werkelijk uit te voeren, maar alleen voor de gedefinieerde, de bekende elementen van A, dat is dus voor een aftelbaar onaf gedeelte. Voorde onbekende elementen leert het zulk een afbeelding niet. Zoo b.v. bij een A, die een continuum is, zullen we van een willekeurig element, dat dus alleen bij steeds onaffe benadering bekend is, nooit weten, of het al of niet tot een der C's hoort, en zoo ja, tot welke, dus kunnen we van de benadering van de afbeelding niets zeggen. Wiskundigen zin heeft dus de stelling, zooals ze boven is bewezen, alleen voor eindige, aftelbare en aftelbaar onaffe verzamelingen. Maar daarvoor is haar geldigheid direct duidelijk. Het theorema is zooals we van vroeger (zie Hoofdstuk I pag. 62 — 67) weten, ook geldig voor continua; maar het zooeven gegeven bewijs heeft voor dat geval geen waarde. Nu het theorema zonder beteekenis blijkt te zijn, kunnen we verwachten, dat de vele toepassingen, die de Cantorianen er van maken, even inhoudsloos zijn. Onderzoeken we als voorbeeld een verhandeling van Bernstein in Mathem. Annalen 61. Om het continuumprobleem dichter bij zijn oplossing te voeren, leidt hij daar naast de bekende stelling: De machtigheid, van alle welgeordende typen met machtigheid A {eerste machtigheid) is F (tweede machtigheid) een analoge af: De machtigheid van alle ordetypen met machtigheid A is C (machtigheid van het continuum). Deze stelling grondt hij met behulp van zijn aequivalentietheorema op de beide hulpstellingen: a) Het continuum is aequivalent met een deelverzameling uit het geheel van alle ordetypen met machtigheid A: zeggen we uit de verzameling Oa . b) De verzameling Oa is aequivalent met een deel van het continuum. Het eerste bewijst hij door aan een oneindige duaalbreuk te laten beantwoorden het ordetype, dat ontstaat door tusschen elke twee cijfers achter de komma een ordetype «* + « in te voeren, en vervolgens alle cijfers O te schrappen, en voor alle cijfers 1 een enkel element te zetten. Het bewijs dat hij voor de tweede hulpstelling geeft, is onjuist; zooals hij daar de ordetypen met machtigheid A opbouwt (n.1. eerst één neerzetten, dan de tweede, waarvoor 2 keuzen van plaats zijn, dan de derde, waarvoor er 3 zijn enz.), krijgt hij nooit meer, dan een bijzondere groep van typen, waarvan het aantal aftelbaar is, n.1. 1X2X3X4X***Want het af denken van een aantal A van factoren, dat voor de duaalbreuken van het continuum gebeurt, kan daar alleen geschieden uithoofde van de continuumintuïtie-, een analoge intuïtieve mogelijkheid bestaat hier niet. Hier kunnen we dus alleen aan die ordetypen denken, waarvoor een wet van voortschrijding is gegeven, maar dan wordt de verzameling van ulle ordetypen gedacht als aftelbaar onaffe verzameling van voortschrijdingswetten. Die gegeven af beelding is er dus eene van 0A als wettenverzameling op een deel van het continuum. Keeren we terug tot de eerste hulpstelling, dan kunnen we haar op twee manieren lezen. Of: „Alle punten van het continuum zijn aequivalent met een deel van alle elementen uit 0A." Of: ,,Alle benaderingswetten voor punten van het continuum zijn aequivalent met een deel van alle benaderingswetten voor elementen uit Oa . Alleen de laatste lezing is te combineeren met de tweede hulpstelling, voor zoover ze door Bernstein bewezen mag worden geacht. Maar wat olijft dan nu van het resultaat ? Dat alle voortschrijdingswetten in O, aequivalent zijn met alle benaderingswetten in het continuum, wat vanzelf spreekt, daar beide verzamelingen aftelbaar onaf zijn. De transfinite machtsverheffing. Behalve de rij der welgeordende klassen wordt in de leer der transfinite verzamelingen nog een ander middel gebruikt, om tot steeds hoogere machtigheden op te klimmen, berustend op machtsverheffing tot een transfinite exponent. Men verstaat onder mn de beleggingsverzameling van N met M d.w.z. de verzameling, bestaande uit alle manieren, om met elk element van N een element van M te laten correspondeeren. Men bewijst dan dat voor M > 1, Mn > N. (vgl. b.v. Schoenflies, Bericht über die Mengenlehre, Jahresber. der Deutschen Math. Ver. BdVIII Heft 2 pag. 26; daar wordt bewezen dat NN > N, maar het bewijs laat zich op de hier gegeven stelling onveranderd veralgemeenen). De eerste op deze wijze afgeleide hoogere machtigheid is C = MA waar M eindig of aftelbaar oneindig, en A de aftelbaar oneindige machtigheid; deze beleggingsverzameling kunnen we denken, omdat we het continuum kunnen denken. Maar reeds de volgende beleggingsverzameling der reeks: F = MC kunnen we niet meer denken, dus de stelling dat F (dus b.v. de verzameling van alle functies van een enkele reëele veranderlijke) > C is, heeft geen andere wiskundige beteekenis meer, dan de volgende uitspraak: „Met elk verschillend element van C is eenduidig een verschillende beleggingsgroep in correspondentie te brengen; — terwijl het niet waar is, dat F denkbaar en afbeeldbaar op C zou zijn." Wat we natuurlijk ook zonder het bewijs voor de stelling al wisten, omdat we wisten, dat F niet denkbaar is. Ad. 3°. De klassieke theoretische logica was ontoereikend, om van de wiskunde rekenschap te geven. Haar zoodanig uit te breiden, dat ze dat wol zou kunnen was het doel van de logistici. Nu hebben we gezien, dat de klassieke logica bestudeert de taaibegeleiding der logische redeneeringen, d.w.z. der redeneeringen in relaties van geheel en deel voor willekeurige wiskundig opgebouwde systemen; en we weten uit het feit, dat we die wiskundige systemen zien, dat daar de volgens de klassieke logica elkaar Propositioneele functies en klassen. ') Zoo goed als alle wiskundige taal is ook deze taal zonder moeite te condenseeren tot symbolen. Men vergelijke voor zulk een symbolische taal („Algebra der Logica" genoemd) b. v. A. N. WHITEHEAD, ,,A Treatise on Universal Algebra", Cambridge University Press 1898, pag. 35 sqq. opvolgende volzinnen, die immers wiskundige bouwhandelingen begeleiden, nooit contradicties zullen vertoonen. Zoo voeren we daar veilig in de logische som, het logisch product, en de complementairverzameling d.w.z. de verzameling die als praedicaat heeft de ontkenning van het praedicaat der gegeven verzameling; en passen er veilig toe de principes van identiteit, syllogisme, distributie'), contradictie, en tertium non datur. De logistici gaan omgekeerd van deze principes uit, en leggen als operatiegebied, waarbinnen de met de woorden of symbolen bedoelde relaties moeten bestaan, ten grondslag niet een of ander wiskundig systeem, maar het hersenschimmige ,,alles" — dat, zooals we boven (pag. 138 sqq, noot) zagen, ook Dedekind ten onrechte als uitgangspunt wilde nemen — waaruit ze verschillende klassen definieeren door wat ze noemen propositioneele functies. Onder een propositioneele functie verstaan ze een bewering omtrent x, of omtrent x en y, in 't algemeen omtrent een zeker aantal variabelen, waarin men voor die variabelen alle substituties moet denken; zij rekenen dan, dat door die bewering een klasse bepaald is, bestaande uit alle dingen (of voor meer veranderlijken: groepen van dingen), die, gesubstitueerd, de bewering waar maken. Ze schrijven x 3

00 is dus niet het grootste ordegetal Ten eerste zou de paradox licht te verhelpen zijn door aan O niet opnieuw de eigenschap toe te kennen (aan vroeger geschapen welgeordende typen toch ook alleen bij willekeurige axioma's toegekend), dat O + 1 weer een welgeordend type is. Maar ten tweede mag men zoo iets niet paradox vinden: waar men logische gebouwen schept zonder een wiskunde, die ze als taaibegeleiding accompagneeren, is van elk gebouw a priori even goed mogelijk, dat het strijdig, als niet-strijdig is. Een tweede beroemd probleem uit de leer der transfinite getallen is: ,,Te bewijzen, dat elke verzameling kan worden welgeordend." Cantor sprak deze stelling („Grundlagen" pag. 6) uit als ,,Denkgesetz, * waarvoor natuurlijk niet de minste reden xs, zoodat zijn volgelingen dan ook trachtten haar te bewijzen. In Mathem. Ann. 5g geeft Zermelo zulk een bewijs op grond van het volgend axioma: „Jeder Teilmenge M' einer Menge M kann man em beliebiges Element m', zugeordnet denken, das in }JL selbst vorkommt und das , .ausgezeichnete" Element von M' genannt werden möge." Borel merkt dan in Mathem. Ann. 6o terecht stooten '), behoeft niet te verwonderen, en hun eigen verwondering kan alleen zijn te wijten aan begripsverwarring. Russell („The Principles of Mathematics", Part I, Chap. X) bespreekt het uitvoerigst de volgende contradictie: ,,Er zijn klassen, die zelf als eenheid beschouwd tot hun elementen behooren, b.v. de klasse der klassen, de klasse van alle dingen, die niet leven, en meer. Ik beschouw nu de klasse van alle klassen, die de zooeven genoemde eigenschap, tot hun elementen te behooren, niet bezitten; bezit die klasse dan de genoemde eigenschap? Zoo ja, dan hoort ze tot haar elementen, is dus één van de klassen, die de eigenschap niet bezitten, bezit dus de eigenschap niet. En vice versa: zoo neen, dan staat ze daarin met haar elementen gelijk, behoort dus tot haar elementen, bezit dus de eigenschap wel." Russell suggereert eenige middelen om aan de contradictie te ontkomen maar verwerpt ze dan toch weer en gelooft dat een diepgaande hervorming der logica tot de oplossing noodig zal zijn. Het meest geneigd voelt hij zich tot de opvatting, dat ') In zulk een contradictoor systeem zijn natuurlijk bijna geen redeneeringen meer gerechtvaardigd, daar het voornaamste redeneermiddel, het principe van contradictie, niet mag worden toe gepast. een theorie moet worden gezocht, die niet veroorlooft, alle klassen, zelf als eenheid beschouwd, tot logische subjecten te maken. .„Misschien ook", zegt hij, ,,moet de notie alle dingen worden verworpen, maar elk willekeurig ding moet in elk geval behouden blijven; immers er zijn waarheden, n.1. de logische principes, die voor elk willekeurig ding gelden." Dat is intusschen juist niet waar: logische principes gelden alleen voor woorden met wiskundige beteekenis. En juist omdat Russell's logica niets is dan een woordsysteem, zonder een voorondersteld wiskundig systeem, waarop het betrekking heeft, is er geen reden, dat er geen contradicties zouden komen. Overigens ziet ook het gezond verstand direct, waar de redeneering in kwestie haar leven verliest, dus niet meer betrouwbaar is, en dat zelfs zonder dat de illusie van het hersenschimmige „alles" behoeft te worden weggenomen. Immers gesteld, ik kende een „alles" met een „geheel" van tusschen de dingen bestaande relaties en een stelsel van voor de dingen mogelijke proposities. Dan kan ik voor een propositioneele functie voor elk willekeurig ding op grond van zijn gegeven relaties uitmaken, of het wel of niet de functie waar maakt, dus in welke van de beide door de functie bepaalde klassen het dient te worden geplaatst. Maar wil ik voor het ding, dat de kwestieuze klasse is, onderzoeken, of het de gestelde propositioneele functie waar maakt, dan merk ik, dat de uitvoering van het onderzoek het reeds afgeloopen zijn er van vereischt. Het onderzoek kan dus niet worden uitgevoerd, en zoo is de contradictie opgelost. We hebben hier een propositioneele functie, die twee complementaire klassen bepaalt, die niet aan het principe van tertium non datur voldoen; wat niet behoeft te verwonderen, want de logische principes bestaan slechts voor .1 <3 taal ('er wiskunde; voor andere t^alsjsternen, hoe zeer ook aan de wiskundige verwant, behoeven ze dus niet te gelden. In anderen vorm geeft Russell de contradictie pag. 80 en pag. 102. Daar zegt hij: ,,Er zijn praedicaten, die van hun eigen uitdrukking door woorden gelden; en die dat niet doen. Het eenvoudigste voorbeeld van de eerste soort is wel: een praedicaat zijn. Maar geldt nu de eigenschap voor: niet gelden voor zijn eigen uitdrukking door woorden? Zoo ja, dan neen; zoo neen, dan ja." Hij wil dit oplossen door te zeggen, dat niet gelden voor zijn eigen uitdrukking door woorden geen praedicaat is, wat natuurlijk niemand hem zal toegeven. En evenmin wat hij pag. 88 voorstelt, om te ontkomen aan de contradictie in een derden vorm, die voortvloeit uit de verdeeling van propositioneele functies in zulke als wel en . als niet voor zich zelf gelden, dat n.1. een propositioneele functie niet op zich zelf zou kunnen worden gedacht. Voor de beide laatste contradicties geldt overigens dezelfde oplossing als voor de eerste. Tot zoover de rol van de klassieke logica-, de logistiek vult haar dan verder aan met de zoogenaamde relatielogica, en de conclusie luidt ten slotte, dat zuivere wiskunde niets mag zijn dan een systeem, opgebouwd uit eenige logische grondbegrippen, volgens eenige logische grondprincipes (Russell telt er van de eerste 9 en van de laatste 20); dat zij alleen op deze wijze een vasten grond en een zekeren voortgang behoudt; dat er misschien nog wel een intuïtieve wiskunde ook kan zijn, maar dat die dan uitsluitend bestaat in de toepassing der genoemde zuivere wiskunde op materieele dingen, (vgl. b.v. Couturat, „Les Principes des Mathématiques", Introduction, pag. 4.) Maar zuivere wiskunde is, zooals we weten, nóch het één nóch het ander. De relatielogica dan, aanvangende bij het woord volgen op, dat afbeeldt de meest elementaire daad van wiskundig bouwen, zooals ze direct uit de oer-intuïtie voortkomt, bestudeert de taal der wiskunde in het algemeen, zooals de klassieke logica die van de speciale wiskunde van geheel en deel. Dat in de taal, die de wiskunde begeleidt, de opvolging der woorden aan wetten gehoorzaamt, spreekt van zelf; maar dié wetten als het leidende bij den opbouw der wiskunde te beschorwen, daarin ligt de fout. De relatielogica. r Rekenkunde van Peano. Rekenkunde van Russell. Gaan we ter toelichting in op de theorie der geheele positieve getallen m.a.w. de gewone rekenkunde, zooals ze door de logistici gegeven wordt. Peano („Sul concetto di numero", Rivista di Matematica, t.I; vgl. Couturat, „Les Principes des Mathématiques", pag. 54) voert hier na de klassieke logica in drie nieuwe grondbegrippen: o, N (eindig ordinaalgetal) en seq (opvolger), en vijl daarvoor geldende grondprincipes: 1°. o is een N. 2°. er is geen N, waarvan o de seq. is. 3°. de seq. van elke N is een N. ') 4°. twee N's zijn gelijk, als hun seq.'s gelijk zijn. 5°. een klasse, die o bevat, en die van elke N, die ze bevat, ook de seq bevat, bevat alle N's. Maar leidt Peano hieruit de rekenkunde af, dan bouwt hij weer op een logisch systeem, dat nóch door een bestaansbewijs, nóch door een bewijs van niet-strijdigheid wordt gesteund. Het is dus te veroordeelen op dezelfde gronden als het systeem van Dedekind. (vgl. pag. i38 sqq, noot.) Russell (,,1he Principles of Mathematics" p. 127) verbetert de methode van Peano aanmerkelijk, door te beginnen, cardinaalgetallen te definieeren als klassen van aequivalente klassen, en vervolgens te zeggen: ») Waaraan dient te worden toegevoegd (Poincaré, Revue de Métaphysique et de Morale 1905 p. 833): elk getal heeft een opvolger, elke N heeft een seq. 1°. o is de klasse van klassen, die als eenig lid heeft de nulklasse — de nulklasse zelf gedefinieerd (l.c. pag. 75) als klasse van alle klasse-concepten, die geen leden voor hun klasse geven; en daarom gecenseerd (of als een principe gepostuleerd?) te bestaan —; de klasse o bestaat dus. 2°. 1 is de klasse van klassen met leden, zóó, dat als x tot de klasse behoort, de klasse verminderd met x, geen leden heeft. De klasse 1 bestaat, want heeft reeds een lid dat er toe behoort, n.1. de zooeven gedefinieerde klasse o. 3°. n + 1 is de klasse van klassen, aequivalent met de klasse, verkregen door bij een klasse, hoorend tot de klasse n, een element te voegen. De klasse n + 1 bestaat dus, als n bestaat. 4°. Eindige getallen zijn die cardinaalgetallen, welke behooren tot elke klasse s, waartoe o behoort, en verder n + 1, als n er toe behoort. De zoo gedefinieerde eindige getallen voldoen aan alle postulaten van Peano, zonder nieuwe grondbegrippen en grondprincipes in te voeren, en kunnen dus volgens Russell als bestaansbewijs dienen (als we n + 1 als de seq. van n beschouwen] en Couturat (antwoord aan PoiNCARÉ, Revue de Métaphysique et de Morale 1906, n° 2) legt sterk den nadruk op dit bestaansbewijs, dat de intuïtie van u of van de volledige inductie niet noodig zou hebben, zoodat het logische systeem hier vrij van die intuïtie zou zijn opgebouwd, en zonder behulp Oneindige getallen. van volledige inductie niet-contradictoor zou zijn gebleken. Maar we hebben boven gemerkt, dat het klasseconcept door definitie wél contradictoor is, dat dus nooit de niet-strijdigheid van een logisch systeem mag worden gebaseerd op haar parallel loopen met pseudo-wiskundige operaties in klassen, die alleen door definitie bestaan. Russell schroomt intusschen niet, de volledige inductie, die hij niet als axioma wil uitspreken, toch met de daad toe te passen. Hij bewijst n. 1. dat n 1 het cardinaalgetal van de klasse der getallen o,l,2— n is en dat als volgt: 1 is het cardinaalgetal van de klasse o; 2 (gedefinieerd als 1 + 1) dat van de klasse o, 1 ; 3 (gedefinieerd als 2 + 1) dat van de klasse o, 1, 2; enzoovoort. Evenzoo past hij de volledige inductie toe om te bewijzen, dat een eindig getal niet met een van zijn deelen aequivalent kan zijn (l.c. pag. 121, 123). De gedefinieerde eindige getallen geven meteen de definitie van het cardinaalgetal A der klasse, die ze alle bevat (de eerste transfinite machtigheid), van welk cardinaalgetal Russell zonder moeite bewijst, dat het zelf geen eindig getal is, omdat het n.1. wèl met het geheel aequivalente deelen bezit; vervolgens toont hij aan, dat elke oneindige klasse deelen bezit met cardinaalgetal A. (l.c. pag. 122, 123). Maar de wijze waarop de logistici de verdere wiskunde ontwikkelen heeft, behalve dat de taal zoo- veel mogelijk in symbolische teekens wordt gecondenseerd, geen bijzonder karakter meer. Ze smelt samen met de methoden der Cantorianen en die der axiomatici. De conclusies omtrent de logistiek moeten luiden: dat ze niets kan leeren omtrent de grondslagen der wiskunde, omdat ze onherroepelijk van de wiskunde gescheiden blijft; dat ze integendeel, om een bestaan in zichzelf te handhaven, d.w.z. zich voor contradicties te bewaren, al haar eigen speciale principes heeft te verwerpen en zich heeft te beperken, een getrouwe, machinale, stenographische copie te zijn van de taal der wiskunde, die zelf geen wiskunde is, maar alleen een gebrekkig hulpmiddel voor de menschen, om wiskunde aan elkaar mee te deelen, en hun geheugen voor wiskunde te ondersteunen Ad 4°. De zuiverste consequentie van de hier bestreden methoden, waaraan tegelijk het eenvoudigst en helderst de ontoereikendheid er van blijkt, is getrokken door Hilbert (Verhandlungen des internationalen Mathematiker-Congresses in Heidelberg 1904, pag. 174). In ,,Ueber den Zahlbegriff" (Jahresber. der Deutschen Math. Ver. VIII) had hij de axioma's van de hoofdbewerkingen op het meetbaar continuum geformuleerd en het probleem gesteld, onafhankelijk van eenige wiskundige intuïtie, de niet-strijdigheid van die axioma's te bewijzen (vgl. ook „Mathematische Conclusies omtrent de logistiek. Niet-strijdigheidsbewijzen van teekensysteinen, onafhankelijk van hun be teekenis. Probleme", Problem n° 2, Gött. Nachr. 1900, pag. 264.) Het spreekt van zelf, dat dit alleen te bereiken is door de teekens, die de axioma's uitdrukken, zelf als een wiskundig systeem te beschouwen, de principes van de logica volgens de algebra der logica te formuleeren als regels om dat systeem verder uit te bouwen, en dan wiskundig te bewijzen, dat die uit de algebra der logica afgelezen bouwregels nooit tegelijk een vergelijking en haar ontkenning zullen kunnen afleiden. Het geheel der uit de axiomatische grondvergelijkingen af te leiden vergelijkingen vormt natuurlijk een aftelbaar oneindig systeem. 1» Hilbert schetst l.c. de wijze van uitvoering *) dezer niet-strijdigheidsbewijzen in groote trekken, niet alleen voor het zooeven genoemde stel axioma's der hoofdbewerkingen, maar ook voor dat van verschillende andere deelen der wiskunde. Zoo voert hij b.v. om de grondslagen der Mengenlehre te leggen pag. 182 — 184 het klassesymbool in, ') Immers het geheel van alle combinaties van een eindig aantal der ingevoerde teekens (waartoe ook het teeken = behoort, en die eindig in aantal zijn voor elke wiskundige theorie) blijft aftelbaar, a fortiori dus het geheel van die bijzondere der teekencombinaties, die als ware vergelijkingen zijn te lezen. ') Een enkele maal vergist hij zich, waar hij n.1. pag. 181 een niet-strijdigheid door een voorbeeld bewijst, wat van het door hem ingenomen standpunt natuurlijk ongeoorloofd is. maar alleen in relatie tot reeds ingevoerde symbolen, waardoor hij beveiligd is voor de contradicties van Russell, die klassen invoerde, als door een definitie omgrepen deelen van het al. Nu heelt Hilbert evenwel, zooals hij in zijn inleiding uitdrukkelijk zegt, de adspiratie, om van niets af te beginnen en de wiskunde en de logica zich gezamenlijk te laten ontwikkelen. Maar bij de zooeven genoemde redeneeringen over niet-strijdigheid van axioma's, gebruikt hij steeds intuïtief termen als een, twee, drie, eenige (daarbij een zeker eindig getal bedoelend) en past verder intuïtief alle wetten der logica en ook de volledige inductie toe. Om zich van deze belasting met intuïtieve elementen te ontdoen, gaat hij ten slotte (l.c. pag. 184, V) in eens zijn eigen te voren geschreven woorden bekijken, ziet die complex van woorden en redeneeringen als een wiskundig gebouw aan, dat ook weer volgens regels zich van het begin naar het einde ontwikkelt, en zegt: ,,De wetten volgens welke ik dat taalgebouw zich zie ontwikkelen, heb ik zooeven bewezen, dat nietstrijdig, dus juist zijn. M.a.w. de daar in die taal van mij gehouden redeneeringen bewijzen meteen het intuïtieve in hun eigen daad als gerechtvaardigd." Dat is fout en om de volgende reden: Vooreerst de grond, waarop hij steunt, blijft de intuïtie van zooeven ; immers hij weet alleen : als de intuïtie van zooeven juist is, dan volgt daaruit, dat De poging tot bevrijding dier bewijzen van de intuïtie. de woorden, die die intuïtie begeleiden, zich ontwikkelen volgens een niet-strijdig logisch systeem, wat geen nieuws is; wie zal een wiskundige stelling bewijzen, door op grond van die stelling zelf haar nog eens af te leiden, en dan te zeggen: ,,nu is meteen het onderstelde gerechtvaardigd"? Maar verder: De niet-strijdigheid van het taalsysteem, op grond der wiskundige intuïtie afgeleid, bewijst niet omgekeerd de wiskundige intuïtie, die ze begeleidt, zooals we boven bij de behandeling der axiomatische grondslagen hebben aangetoond, (vgl. ook Poincaré, Revue de Métaphysique et de Morale igo5, pag. 834.) De gewraakte methode overtreft die der logistici doordat zij de ongeoorloofde sprong uit het oude wiskundige gebied door de taaldaad naar een nieuw meermalen achtereen uitvoert en dan doordat zij niet, zooals de logistici, voor twee zulke wiskundige gebieden, die alleen via de taalklanken verband houden, dat intuïtieve verband handhaaft, dus ze als ongelijksoortig blijft behandelen, maar ze gaat verwarren en op één lijn stellen. De logistici voeren den sprong éénmaal uit, en bewegen zich dan wisselend op beide gebieden, ze beide in hun beteekenis handhavend ; Hilbert doet den sprong, waar hij hem doet, gedecideerd en voor goed, blijft dus op het tweede gebied, gebruikt het eerste nog alleen, om het beteekenis in het tweede te geven; doet hem vervolgens een tweede maal weer voor goed, blijft dus op het zoo geschapen derde gebied, en gebruikt daar het eerste en het tweede nog alleen, om ze beteekenis in het derde te geven. Ter toelichting sommen we in genetische volgorde op de hier te onderscheiden verschillende phasen: J. Het zuivere bouwen van intuïtieve wiskundige systemen, die zoo ze worden toegepast, in het ' leven worden veruiterlijkt, door de wereld wiskundig i te zien. ' 2. De taalparallel der wiskunde: het wiskundig spreken of schrijven. 3. Het wiskundig zien van de taal: opgemerkt worden logische taalgebouwen, opgetrokken volgens principes uit de gewone logica of uit de uitbreiding daarvan met relatielogica, de logistiek, maar de elementen dier taalgebouwen zijn taaibegeleidingen van wiskundige gebouwen of relaties. 4. Het niet meer denken aan een beteekenis van de elementen der zooeven genoemde logische figuren; en het nabouwen van die figuren door een nieuw wiskundig systeem der tweede orde, voorloopig zonder taal, die het bouwen begeleidt; het is het systeem van de logistici, dat bij de minste vrije generalizeerende uitbreiding zeer goed vatbaar wordt voor de figuur der contradictie, tenzij daartegen de voorzorgsmaatregelen van Hilbert worden genomen, en het zijn deze voorzorgsmaatregelen, die den eigenlijken inhoud der verhandeling van Hilbert uitmaken. Opsomming der bij de logi sche behande ling der wiskun de verwarde phasen. 5. De taal der logistiek, d.w.z. de woorden, die het logistisch bouwen begeleiden en motiveeren; Peano zorgt wel zooveel mogelijk om ook de begeleidende gedachten aan symbolische teekens te binden; niettemin blijft dan het systeem te splitsen in het eigenlijke gebouw, en de principes volgens welke het gebouw zich ontwikkelt; al worden die principes eveneens symbolisch geformuleerd, zulke formuleeringen moeten worden beschouwd als heterogeen ten opzichte van de verdere formules, waarop die eerste worden toegepast niet als formuleeringen, maar als intuïtieve daden, waarvan de toegevoegde formuleeringen slechts de taalbegeleidingen zijn. Hilbert heeft die intuïtieve daden, dus ook de begeleidende taal meer noodig dan Peano, omdat hij de niet-strijdigheid van zijn logistisch systeem in zichzelf wil bewijzen, iets waarom Peano zich niet bekommert. Tot de vijfde phase behoort de woordinhoud der verhandeling van Hilbert tot aan pag. 184, V. 6. Het wiskundig zien van die taal; dezen stap uitdrukkelijk te doen, is iets essentieels bij Hilbert in onderscheid van Peano en Russell; hij merkt, op zijn eigen woorden terugziende, logische figuren op, die zich ontwikkelen volgens logische en arithmetische principes, ook o.a. het theorema der volledige inductie; de elementen dezer logische figuren, zooals de woorden mehrere, zwei, Fortsetzung, an Stelle von, beliebig, enz. zijn taaibegeleidingen van bouwhandelingen in het zooeven genoemde wiskundig systeem der tweede orde. 7. Het niet meer denken aan een beteekenis van de elementen der zooeven genoemde logische figuren, en het nabouwen er van door een nieuw wiskundig systeem der derde orde, voorloopig zonder begeleidende taal. Den overgang van 6 naar 7 volvoert Hilbert t« sy w gedachten l.c. pag. 184 en i85 onder V, eerste alinea. 8. De taalbegeleiding van het wiskundig systeem der derde orde, die den opbouw van dat systeem motiveert, en de niet-strijdigheid er van aantoont. Deze phase is, in de woorden der zooeven genoemde alinea l.c. pag. 184, i85, de laatste die bij Hilbert wordt aangetroffen. Men zou nog verder door kunnen gaan, maar de wiskundige systemen van nog hooger orde zouden alle ongeveer eikaars copieën • zijn; het heeft dus geen zin den gang verder voort te zetten. Intusschen de vorige phasen, vanaf de derde zijn evenmin van wiskundig belang. Wiskunde behoort slechts in de eerste thuis; van de tweede kan zij zich in het practische leven niet vrijhouden, maar die phase blijft een niet-wiskundige onbewuste daad, al of niet vervolgens door toegepaste wiskunde geleid en gesteund, maar nooit een prioriteit ten opzichte der intuïtieve wiskunde verkrijgend. De kritiek van POINCARÉ. De logistiek en het cantorisme zijn reeds scherp gekritizeerd door Poincaré (Revue de Métaphysique et de Morale igo3, n° 6; 1906, n° 1, 3); hij laakt voornamelijk in de logistiek de petitio principii en in het cantorisme de aanname van het actueel oneindige. Zoo raakt hij intusschen niet het hart van de kwestie, dat dieper zit, n.1. in de verwarring van de daad van het bouwen der wiskunde en de taal der wiskunde. De petitio principii is in zekeren zin geoorloofd, want waar dit: :n de daad van den opbouw van het taalsysteem wordt uitgevoerd, raakt zij aan de volkomenheid van nat taalgebouw als zoodanig niet; een ongeoorloofde petitio principii in de wiskunde zouden we alleen hebben, als op grond van een primaire wiskundige intuïtie later in verdere phasen van het wiskundig bouwen diezelfde intuïtie weer voor den dag zou komen, en dan zou worden gesignaleerd als niet primair. Maar de fout der logistiek bestaat hierin, dat zij niets schept dan een taalgebouw, dat nooit in de eigenlijke wiskunde kan worden overgevoerd. ') En het actueel oneindige der Cantorianen, dit bestaat wel degelijk, als we het maar beperken tot het intuïtief opbouwbare, en dat niet door niet te verwezenlijken logische combinaties willen uitbreiden. ') Wèl wordt de petitio principii natuurlijk ongeoorloofd, zoodra men, zooals HlLBERT, uit het taalsysteem omgekeerd op de primaire intuïtie, die het begeleidt, wil concludeeren. Hoe weinig Poincaré er aan denkt, den intuïtieven bouw der wiskunde als eenigen grondslag voor zijn kritiek te nemen, blijkt uit zijn woorden (l.c. pag. 819): „Les mathématiques sont indépendantes de 1'existence des objets matériels; en mathématiques le mot exister ne peut avoir qu'un sens, il signifie exempt de contradiction Het doet haast aan zijn tegenstander Russell denken. De wiskunde is zeker geheel onafhankelijk van de materieele wereld, maar bestaan in wiskunde beteekent: intuïtief zijn opgebouwd; en of een begeleidende taal vrij van contradictie is, is niet alleen op zichzelf zonder belang, maar ook geen criterium voor het wiskundig bestaan. Het wiskundig bekijken van taalteekens, 't zij woorden of Peanistische teekens, kan omtrent de wiskunde niets leeren; men beschouwe wiskundige formules niet als een onafhankelijk bestaan voerende „waarheden", maar alleen als hulpmiddel door teekens, om zich zoo ekonomisch mogelijk te herinneren, hoe in een zeker gebouw een ander gebouw is ingepast. Zoo leze men in de formule 13 = 7 + 6 de herinnering aan het inpassen in een groep waarlangs men tot 13 kan tellen van een groep bestaande uit de iuxtapositie van een groep waarlangs men tot 6, en een waarlangs men tot 7 kan tellen. 12 Samenvattende: De wiskunde is een vrije schepping, onafhankelijk van de ervaring; zij ontwikkelt zich uit een enkele aprioristische oer-intuïtie, die men zoowel kan noemen constantheid, in wisseling als eenheid in veelheid 1). Vervolgens het projecteeren van wiskundige systemen op de ervaring is eveneens een vrije daad, die in den strijd om het bestaan doeltreffend *) De eerste bouwdaad heeft twee samengedachte discrete dingen (zoo ook Cantor, Vortrag auf der Naturforscherversammlung in Kassei 1903); F. meyer (Verhandl. des Heidelberger Kongresses p. 678) zegt dat één ding genoeg is, want dat de omstandigheid dat ik dat ding denk er als tweede ding bij kan worden genomen; wat onjuist is, want juist dat er bijnemen (d.w.z. stellen onder vasthouding van het vroeger gedachte) vooronderstelt de intüitie van twee; welk wiskundig systeem dan eerst daarna op het oorspronkelijk gedachte ding en het ik, dat het ding denkt, wordt toegepast. blijkt; het eene wiskundige systeem kan daarbij praktischer, ekonomischer blijken, dan het andere, althans voorzoover betreft een bepaalde kategorie van doeleinden, die men door middel van die systemen tracht te bereiken: absoluut doeltreffend zijn ze geen van alle, de Euclidische meetkunde even weinig als de logische redeneeringen of de electronentheorie. In de wiskunde behooren wiskundige definities en eigenschappen niet zelf weer wiskundig te worden bekeken, maar alleen een middel te zijn, om eigen herinnering of mededeeling aan anderen van een wiskundig gebouw zoo ekonomisch mogelijk te leiden. Erzijnelementen van wiskundige bouwing, die in het systeem der definities onherleidbaar moeten blijven, dus bij mededeeling door een enkel woord, klank of teeken, weerklank moeten vinden; het zijn de uit de oerintuïtie of continuumintuïtie afgelezen bouwelementen ; begrippen als continu, eenheid, nog eens, enzoovoort zijn onherleidbaar. Een logische opbouw der wiskunde, onafhankelijk van de wiskundige intuïtie, is onmogelijk — daar op die manier slechts een taalgebouw wordt verkregen, dat van de eigenlijke wiskunde onherroepelijk gescheiden blijft — en bovendien een contradictio in terminis — daar een logisch systeem, zoo goed als de wiskunde zelf, de wiskundige oer-intuïtie noodig heeft. NAMENREGISTER. Ampère (II) g2. Apollonius (III) 126. Aristoteles (III) i35. Bernstein (I) 64; (III) i53, i56, 157. Bolyai (III) i36. Borel (III) 152. Burali-Forti (III) i5i. Cantor (I> 7, 10, 67; (III) 133, 142 — 147, i5i, I52; 179. copernicus (II) 104. Couturat (II) 94, 99, 109, 110; (III) 165 — 167. Dedekind (I) 72; (III) i38—140, 160, 166. Desargues (I) 73. Dirichlet (II) 88. Euclides (I) 55; (II) 110, 121; (III) i33—137. Hamel (I) 57, 5g, 60; (II) 108. Helmholtz (I) 48—50, 76; (II) 94, 99, 112, 113. Hilbert (I) 35, 5i, 52, 60, 61, 67, 74—76; (II) 88; (III) 126, 133, I34, 136—138, 140, 142, 146, 169—176. Kant (II) 94, n3—n5, 118, 121; (III) i35. Klein (I) 42, 5i, 54, 55; (II) 110. Lagrange (II) 89, 91. Lechalas (II) 94. Leibnitz (III) 129. Lie (I) 25, 35, 41, 42, 47, 49—51; (II) 112, 113; (III) 126, 140. Lobatcheffsky (I) 56; (III) i33, i34, i36. Lüroth (I) 54. Mannoury (III) 140. Meyer 179. Minkowski (I) 5g, 61. Pappus (I) 74. Pascal (I) 74—76. Pasch (III) i33, i36. Peano (III) i33, 161, 166, 167, 174. Pieri (III) i33. Poincaré (II) 88, 89, 94, 104, 106, 107; (III) 167, 172, 176, 177. Pringsheim (II) 88. Riemann (I) 47; (II) 94, 99; (hl) :36. Russell (II) 94, 99, 106, 108—in, 116, 121; (III) i33, 161 —168, 171, 174, 177. schoenflies (I) io ; (III) l58. schröder (III) l53. Schur (I) 35, 55, 74; (III) i33. Spinoza (III) i35. Thomson (II) 90. Vahlen (I) 75; (III) 140. Whitehead (III) i5g. Zermelo (III) 152. Zeuthen (I) 54. STELLINGEN. I. Ten onrechte zegt Schubert {Enz. der Math. W%s. I A. l.§i): „Dinge zahlen heisst: sie als gleichartig ansehen, zusammen auffassen, und ihnen einzeln andere Dinge zuordnen, die man auch als gleichartig ansieht.".... ,,Wegen der Gleichartigkeit der Einheiten unter einander ist die Zahl unabhangig von der Reihenfolge, in welcher den Einheiten die Einer zugeordnet werden." II. De geoorloofdheid der volledige inductie kan niet alleen niet worden bewezen, maar behoort ook geen plaats als afzonderlijk axioma of afzonderlijk ingeziene intuïtieve waarheid in te nemen. Volledige inductie is een daad van wiskundig bouwen, die in de oer-intuïtie der wiskunde reeds haar rechtvaardiging heeft. III. De taal van de Euclidische meetkunde, en eveneens van de daarin door Pasch en Hilbert gebrachte verbeteringen ontleent haar betrouwbaarheid slechts hieraan, dat tevoren onafhankelijk van die taal de wiskundige systemen en relaties zijn opgebouwd, die door de woorden als afgesproken teekens symbolisch voorgesteld worden. De meetkunde van Eüclides en evenzoo de verschillende pathologische geometrieën van Hilbert verschijnen, op deze wijze bezien, als bestudeering van in gegeven systemen in te passen, zekere eigenschappen bezittende transformatiegroepen. IV. De verdediging door Klein („Zur ersten Verteilung des Lobatcheffsky-Preises", Mathem. Ann. 5o) van de beperking tot analytische transformaties bij de onderzoekingen van Lie over de grondslagen der meetkunde, is ongegrond. V. De hoofdbewerkingen op het meetbaar continuum behooren door groepentheorie te worden gedefinieerd. VI. In de natuurkunde is een onderscheiding tusschen phenomenologische en theoretische beschouwingen niet vol te houden. In het bijzonder bestaat tusschen het karakter der verklaring van de eigenschappen van gassen en vloeistoffen door moleculen en van die van het licht door electrische trillingen geen principieel onderscheid. VII. Het toekennen van ,,objectiviteit" aan physische grootheden als massa en aantal berust op de invariabiliteit daarvan bij een belangrijke groep van verschijnselen in het wiskundig natuurbeeld. VIII. De verstandhouding der menschen berust op het bouwen van gemeenschappelijke wiskundige systemen, en het verbinden aan eenzelfde element van zulk een systeem van een levenselement voor elk der individuen. IX. Wiskunde is onafhankelijk van logica; practische logica en theoretische logica zijn toepassingen van verschillende gedeelten der wiskunde. r x. Logische redeneeringen over de wereld kunnen alleen zeker gaan, als begeleiding van vooraf opgebouwde op de wereld geprojecteerde wiskundige systemen ; de contradicties van de logistiek behooren te worden verklaard uit het ontbreken van zulke systemen, de antinomieën van Kant uit het niet vasthouden aan eenzelfde wiskundig systeem over het geheele verloop van eenzelfde redeneering. XI. Ten onrechte zegt Houël (Cours de Calcul Infinitesimal tome I, pag. 3): "Une Science fondée sur des hypotheses qui sont compatibles entre elles, et qui ne sont pas réductibles a un moindre nombre, est absolument vraie au point de vue rationnel et abstrait, quand même elle ne se trouverait pas conforme aux faits réels qu clle était destinée a représenter." XII. Behalve de eindige, bestaan geen andere machtigheden dan aftelbaar oneindig aftelbaar oneindig onaf continu. XIII. De tweede getalklasse van Cantor bestaat niet. XIV. Clausius (Die Potentialfunktion und das Potential, 4e Aufl., Leipzig i885, pag. 127) legt aan een scalarfunctie U, om gelijk aan ~te zyn> de volgende 4 voorwaarden op: 1°. lim U = o. 2°. lim R o. 3°. U en haar eerste en tweede afgeleiden mogen nergens oneindig worden. 40. vaU kan binnen een zekere in 't eindige gelegen ruimte willekeurige eindige waarden hebben, maar is daarbuiten tot in 't oneindige overal o. Van deze vier voorwaarden zijn de laatste drie overbodig. Wel moet men eventueele Vs in 't oneindige in rekening brengen, maar voor beschouwing van de gradiënt kan dit weer buiten rekening worden gelaten. XV. Clausius (1. c. pag. 12 5) leidt uit de 1. c. pag. 118 gestelde voorwaarden, dat in't oneindige lim R en lim R2^ niet oneindig groot mogen worden, de eenduidigheid der GREEN'sche functie u af. Voldoende is hier echter de voorwaarde, dat u in 't oneindige o wordt. XVI. Blumental bewijst Math. Ann. 61 pag. 235 sqq. voor vectordistributies, die in het oneindige o worden, met behulp van de eindigheid en differentieerbaarheid: v=|\y-Voj /^v-+|^7-v7oj/^^-+v» Deze stelling is echter juist, onafhankelijk van de eindigheid en differentieerbaarheid. XVII. Bij het verifieeren, of een uit een differentiaalvergelijking afgeleide singuliere oplossing werkelijk voldoet, is het niet noodig, om haar, zooals algemeen wordt aangegeven, in de differentiaalvergelijking te substitueeren. Cayley, Messenger of Mathematics II pag. 6—12, VI pag. 23—27. Forsyth, A Treatise on Differential Kquations, pag. 30—36. HouëL, Cours de Calcu/ Infinitésimal, tome II, $ 855. XVIII. Laurent [Sur les principes fondamentaux de la Théorie des nombres et de la Geometrie pag. 9) verzuimt een bewijs te geven, dat in een systeem van homogene quantiteiten een quantiteit, die van een effect nul is ten opzichte van één andere quantiteit, dat ook is ten opzichte van alle quantiteiten. Verder ontbreekt (1. c. pag. 20 en 23) een bewijs voor het Archimedische axioma. XIX. In de logistiek behoort streng te worden onderscheiden tusschen het teekensysteem, dat wordt opgebouwd, en de principes volgens welke het wordt opgebouwd. XX. Het kan niet gelukken, de betrouwbaarheid der wiskundige redeneeringen te verzekeren, enkel door uit te gaan van eenige scherp gestelde axioma's en verder streng vast te houden aan de wetten der theoretische logica. XXI. Ongegrond is de overtuiging van Hilbert (Gött. Nackr. 1900', pag. 261): „dass ein jedes bestimmte mathematische Problem einer strengen Erledigung notwendig fahig sein müsse, sei es, dass es gelingt, die Beantwortung der gestellten Frage zu geben, sei es dass die Unmöglichkeit der Lösung und damit die Notvvendigkeit des Misslingens aller Versuche dargetan wird."