foj frm L'ÉQUATION FINALE i' \u TH. IBIES, l'iipfisscnir a 1 <■ c«»1»■ niovrnm' o i. L'ÉQUATION FINALE PA II I2L BES, Professeur a l'école moyenne de 1'Etat „Willem II" a Tilbourg. Verhandelingen der koninklijke Akademie van Wctensclia|i|ien le Amsterdam. (EERSTE SECTIE). Deel VIII. N'° 1. AMSTERDAM, JOHANNES MÜLLEH. 1901. TABLE DES MATIÈRES. L'équation finale 5 Chapitre I. Elimination entre deux équations homogènes a trois variables 0 Première méthode (5 Deuxicme méthode, par laquelle on obtient les meines résultats. ... I () Quelques propriétés des coefticients des équations finales 11) Bésultats obtenus pour des valeurs du degré oids du résultant de n équations honiogènes a n variables J). Au lieu de développer le résultant des n étjuations considérées, il serait plus aisé de fornier inunédiatement 1'équation tinale ordonnée suivant les arguments consécutifs d'une fonction homogène des //j -|- 1 variables restantes. On peut y parvenir d'après la ') Voir fi. Salmon, Le^ons d'Algèbre Supérieure, n" 77. methode d'eliniination elite Bczout, comme il sera démontré dans la suite de cc mémoire '). I. Elimiiialion enlre deux équations liomogènes a trois variables. PREMIÈRE MÉTHODE. $ 2. Soient V (*,//, z) = et X sont des fonctions hoinogènes u coefficients indéterininés su x.,, etc. Tont système de racines des équations (1) satisfait aussi a l'équation F= 0 (3). Quand il est possible de trouver pour les grandeurs s des valeurs <(ui réduisent la fonction F a une fonction de deux variables, l'équation (3) sera l'équation finale, un facteur ou un multiple de cette équation, selon que le degré de l'équation trouvée est égal, supérieur 011 inférieur a hu. § 3. Supposons en premier lieu le degré de la fonction F arbitraire. Le degré de F étant ceux des fonctions «P et X sont respectivement /•—l et /•—m. La fonction F contient alors (i 4- l)(*4-2) , , 0 — tenues et les fonctions $ et X respectivement z l) Comparer: Théorie générale de l'élimination, d'après la méthode Bezout, suivant un nouveau procédé (Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam [Eerste Sectie], deel VI, n° 7). les équations données, respecliveiiient des degrés / et m. L'équation finale contient dans cc cas deux variables et est du degré lm. Fornions la fonction homogene de degré quelconque F = 4>

et X sont des fonctions homogènes a coefficients indéterininés slt s3, etc. Tout système de racines des équations (1) satisfait aussi a l'équation F= 0 (3). Quand il est possible de trouver pour les grandeurs s des valeurs qui réduisent la fonction F a une fonction de deux variables, l'équation (3) sera l'équation finale, 1111 facteur ou 1111 multiple de cette équation, selon que le degré de l'équation trouvée est égal, supérieur 011 inférieur a hu. § 3. Supposons en premier lieu le degré de la fonction F arbitraire. Le degré de F étant ceux des fonctions et X sont respectivement /•—l et /•—///. La fonction F contient alors (i+l)(* + 2) , , . v — tenues et les fonctions $ et X respectivement z (k — / -f- 1) {k — / —f— 2) (/■—m-\- 1 )(/•—m -J- 2) «j = et «2 = —- —— termes. En développant la fonction F suivant les arguments consécutifs d'une fonction homogene des variables x,y,z; puis, suivant les quantités sl,si,sv etc., on obtient 1'identité x'~ ö, —(— —1 ^—J— er'"—1 z6:l x''~~ y2 -f- z1" 6„= \ xk~' qp -f- s2xk~'~xy (5). = o , ] La forme de la fonction F fait obtenir innnédiatement quelques systèmes de raeines s' pour ces é(|uations. Ecrivant 1'équation (8) dans la forme —X - = («>), X f les deux membres deviendront égaux pour toutes les valeurs des variables x,y,z, si 1'on pose ®=xf et Xzz — ff (7)> ou f est une fonction homogene du degré /•—l—m des variables x, y, z. On peut satisfaire a ces équations d'autant de manières ([ite la fonction , (1•—/—?« -|-1) (k—/—w-f-2) f a de tenues, c est-a-(lire de v2 = —— — manières. On obtient ainsi pour les équations (5) systèmes de raeines s'. § 5. Ces r.j systèincs do racines &' sont indépendants. Pour le démontrer, multiplions-les respectivement par les arbitraires tx, . ... t,v et ajoutons-les; les fonctions linéaires honiogènes üinsi obtenues, égalées a zéro, forment vl équations linéaires homogènes t, Ces équations peuvent se réduire aux deux groupes suivants: Groupe T, se composant de «j équations dont les coeftieients 11e renferinent pas d'éléments a, Groupe II, se composant de u., équations dont les coeftieients ne renferinent pas d'éléments b. Multiplions les équations de chaque groupe successivement par les arguinents consécutifs d'une fonction honiogène — respectivement des degrés k—/ et l-—m — des trois variables #, //, z, oü on, ij, z sont des grandeurs arbitraires, et ajoutons les résultats de cliaque groupe; on obtiendra les deux équations T % = o , T et § 7. En substituant les valeurs (H-2) i — 2 - ' _(/■■—/-)-!)(/■—/-[-2) ! (/•—w-)-l)(/•—v«-|-2) ^ | _ _ 2- —| ï t —J— • o (k — /— m -j- 1) (/■—/— /« -j- 2) v2 = „ = iJ (*_|_1)(/._|_2) (2* + 8)(/+w) (/+w)s 2 2 ~~ 2 dans la fornie v — vt -f- v2, on véritie aisénient la relatiou v — z'j —(— i\j = lm (10). § 8. Coinme on ne pent satisfaire a l'équation (C) indépendamment des valeurs des variables x,y, z par plns dc t\, systèmes de valeurs indépendants, il n'e\iste pour toutes les équations ö cjiie r2 systèmes de meines s indépendants entre en\. L'équation (10) nous niontre que los équations 0 sont lic'es par lm relations linéaires indépendantes, car on sait que la relatiou /•j — /■ = n — m (11) est véritiée, si m équations linéaires hoinogènes a // variables, lic'es par /' relations linéaires indépendantes, out en tont /■, systèmes dc raeines indépendants, et réeiproquement J). Quand on donne a l'équation (4) la fornie 1'\ 4 p-i ^2 ~f^3 "h ■ • • • ~f"Pr 9,. -f- *2 • ■ • ■ + <**, -f" +1 +i + • • • • -f" + a, £«,+«, (12), les symboles 'C représentent les fonctions linéaires qu'on peut i'ornier des colonnes dc l'assemblant de la fonction F. Commc les équations 6 sont liées par lm relations linéaires indépendantes, on ponrra satisfaire aux équations 'C par //// systèmes de raeines indépendants entre eux. § 9. L'assemblant des i\, systèmes de raeines est sup|)lémen- ') Voir: Théorie générale dc 1'élimination, § ")(>*. faire 11 tont asseniblant qu'on peut former avec v—lm lignes quelconques de 1'asseinblaiit de la fonction F. Les déterminants contenus dans v—/m lignes queleonques de eet asseniblant sont done divisibles par leur determinant supplementaire de l'assemblant des systèmes de raeines s', et tous les déterminants contenus dans v—lm colonnes de l'assemblant de la fonction /'"sont divisibles par le niênie determinant supplementaire de 1'assemblant des systèmes de raeines s'. § 10. Après eet te digression sur les propriétés dc 1'assemblant de la fonction F nous revenons au problème de la détermination des valeurs # qui réduisent la fonction F a une fonction de deux variables. Pour que ce cas se présente, il faut (pie les coefficients de tous les termes de la fonction F qui ont pour facteur une même variable s'évanouissent et que ce 11e soit pas le cas avec tous les autres. Le nombre v—/•—1 de ces coefficients doit donc être inférieur a v—lm, car les v équations 6 sont liées par lm relations linéaires indépendantes. La différenee entre v—lm et v—k—1, c'est-a-dire —|— 1 — lm, est donc 1111 nombre positif. 11 s'ensuit que la plus petite valeur qu'on puisse donner a k, pour obtenir immédiateinent l'équation chercliée a deux variables est lm. Pour k=lm, 011 obtient les valeurs suivantes: (lm-j-l)(lm-\-2) flm + 2\ 2 ~ V 2 ) ' i'i = -(- u., , I a ^"l l~\-l) (l'" —1~\~ 2) sim — /-[- 2\ I 1 2 2 ) ' l _ ,(23), u ) (lm—m-f-2) //«—m -[ 2 2 " V 2 ) ' (l'u 1—»i-\-\)(lm—l—m-\- 2) sim—/—w4-2\ 2 2 2 ; • 1 I L'équation obtenue pour cette valeur de k est l'équation tinale. Nous verrons bientot <|ue 1'on peut aussi obtenir dans quelques cas l'équation a deux variables en prenant pour le degré de la fonction F une valeur inférieure a lm, mais le degré de l'équation ainsi obtenue 11e descend pas a lm. § 11. On peut satisfaire a v—k—1 équations linéaires homogènes indépendantes a v{ variables par —{— 1 systèmes de racines independents entre eux. II existe déja pour les v — k—1 équations 0 choisies r2 systèmes de racines qui satisfont a toutes les équations 0. II reste encore vl — v-f- k-\- 1—v2 ou £-|-l—lm systèmes qui doivent satisfaire aux c—k—1 équations 0 choisies et non a toutes les autres. § 12. On évalue un pareil système de valeurs en égalant a zéro v2-\-k—lm des indéterminées s; les v1 — (i>2-j-k—lm) ou v—indéterminées restantes s'obtiennent par la résolution des v—k—1 équations linéaires homogènes choisies. l)e cette manière on obtient les autres grandeurs s dans la forme de déterminants du degré v—k—1. Ensuite, 011 doit substituer les valeurs trouvées dans toutes les autres fonctions 0 pour obtenir les coefticients de réquation a deux variables. Cette substitution s'efFectue aisément. 11 s'agit d'évaluer les valeurs des variables de n—1 équations linéaires homogènes a n variables et de substituer les valeurs trouvées dans une fonction lineaire honiogène des mêmes variables. Le résultat est, comme 011 sait, le déterminant formé des coetticients de la fonction donnée et de ceux des équations données. Dans le cas en question le résultat est donc un déterminant du degré v—k. L'équation a deux variables ainsi obtenue est alors du degré k et ses coefficients sont des déterminants du degré v—k. § 13. II est clair (jue l'équation trouvée sera l'équation finale, si 1'on prend pour /• la valeur la ]>lus petite, c'est-a-dire lm. Les coefticients de l'équation finale sont dans ce cas des déterminants du degré v—lm ou (^>H —lm. Comme il a été reniarqué au § 9, tous les déterminants contenus dans 1'assemblant qui fournit les coefticients de l'équation finale, sont divisibles par 1111 même facteur du degré r2 = (^"l ^ 0 "l~^ Ce facteur est 1111 déterminant de 1'assemblant des vt systèmes de racines a' qui satisfont ii toutes les équations 0, car eet assemblant est supplémentaire a tout assemblant (|u'on peut former avec v—lm lignes quelconques de rassemblant de la fonction F. Nous avons déja vu 1) que le degré des coefticients de l'équation finale doit se réduire a !-\-m, Les coefticients de l'équation trouvée doivent donc être divisibles par un commun facteur (lu degré ^ —lui— /—ta. La méthode ar des facteurs superflns. Nous ue mentionnerons pas dans les exeniples la niarehe suivie pour obtenir les résultats. Qu'il suffise de faire connaitre les asseinblants dont nous nous soumies servis, les équations finales et les équations qui nous donnent la troisième variable. Les coefticients de ces équations sont des déterminants contenus dans un assemblant suttisamment indiqué. Nous eniploierons pour ces déterminants des lettres munies d'indices, qui indiquent les ligues qu'il faut supprinier de eet assemblant pour obtenir le déterminant proposé. § 10. Exemples: 1. Deux équations du premier degré: a\x HU -V Hz = 0 > I ., | U*J. x -f /j.y y • f bA z = o , ) ! ^2 Pl = x «, i\ , ... (15). P 2 = y "i 2 Pi = 2 "i b3 Les équations finales: Pa.'/ -h Po ~ = 0 > 1 Pi x —Pi z=o,\ (1(5). P-i x -\~lhV — 0 > ! 2. Une équatiou du secoud et 1'autre du premier degré: «i *2+xy 4- «3 xz + a4 y2 -f w5 + »«-2=° , j I ...... \ j ■ x-|- h.>y -{bAz = u , I *1 *2 'S4 _i I i P\ = x' "i \ p-i — xy "•> K ,j\ pA = icz a.A l,A ltx (18). Pa — y- 'U h Pb = y= ab ''A Ik> Pa = ~2 "u h Les équations finales et quelques équations terminales: Pöfiy2 +/w ~\~ P\.~> z~ = ° > 1 -JW'X'2 -\-P\«XZ +/^3~2 = 0 ' j (1{))> PlA X- ~\~Pl,\xy P\;i y- = O , J —Pm ® -\-pifiy -j- Pip z = o , j Pi?* "I-Pi,3y ~f~P\ft % = o , (o0)) — P\£ X -f - j»i,5 y -\~PwZ = O , ] P\K^y +A, +J»2,3^2 = O , I /»3," + 7*2,5 —Pl^yz = O , (21)i 7*3,6 xy ~h Pifi xs ~\~ Pi# Z2 — O , J 3. Deux équations du second degré: ax 'r2 + a2 *y + «3xz + 1 =A'4 «l =X*y n.y f!{ /), /;, 7*3 = a':'~ «3 «I Al b, Pi =*Y «4 «2 «l i4 #2 ^ I Pb =*2yz «3 «2 «| ^5 ^ ^2 ^1 Pd = «8*2 «6 «3 «, ^ ^ />, Pj =vy* «1 «2 ^4 •> ïii / (23), 7*8 =*TZ «3 "i «3 «2 A, ^4 ^ ^2 ;>y =^2 »<; «5 «j «2 b6 /,- /,, /,, j 7'i0 = ^3 «« «3 k b3 Pu =y4 «4 a4 p\2=yiz «•> w4 ^ Pl3=y2-2 «d «ó «4 as i4 7^14 =^3 «6 «5 i6 *a i"l5 = *4 "« *8 | #1 S.2 £4 £5 £7 £9 ^10 ^11 ^12 ! i'j fj{ />., b3 öi b5 b6-a2 -a3 -«4 -ab -a(> (24). L'équation finale entre y et z, et une équation terminale pour 1'évaluation de x: 7*12,13,14,15 y* "t- 7*11,13,14,15 yAZ + 7*11.12,14,15 «y~~~ j + 7*11,12,13,15 .F' "h Al,12.13,14 Z*= O , I "I 3 1 2 (2j)" 7^12,13,14,15 XZ~ + 7*10,13,14,15 y + 7*10,12,14,15 j* Z I + /^I0,12,13,15 yZ" + 7*10,12,13,14 ~3 = f , J L'équation finale entre x et z, et une équation terminale pour 1'évaluation de y: 7*3,0,10.15 7*1,0,10,15 7*1,3,10,15 | + 7*1,3,0,15 + 7*1,3,0,1(1 ~4 = , ( > .... (20). i'i,0,10,15 V2y + 7*5,6,10,15 X* 7*3,5,10,15 002Z l + 7*3,5,0,15 ll'Z2 + 7*3,5,0,10 Z3 — O , 1 L'équation finale entre x et y, et une équation terminale pour 1'évaluation de z: 7*2,4,7,11 V* + 7*1,4.7,11 7*1,2,7,11 *V 7*1,2,4,11 | + 7>l,2,4,7/= O , 2 3 I 2 2 ) . . • . (2 /). 7*2,4,7,11 ® ~ 7*4,5,7,11 + 7*2,5,7,11 ''",4* 7*2,4,5,11 xy I + 7*2,4,5,7 y3 = O , J Les coefficients des équations (25), (20), (27) sont des déterminants empruntés a l'assemblant (23), après ia suppression d'une des colonnes. Tous les déterminants de eet assemblant sont encore divisibles par le détenninant supplémentaire de l'assemblant (24), c'est-a-dire par b6, après suppression de la sixième colonne dans l'assemblant (23). Voici encore quelques exemples d'équations terminale» contenant plus d'un tenue qui renferme la variable clierchée: 7*9,io,ii,12 xy~z + /^,io.n.i2 xyz~ + p«,%uxJ>ez* + 7^.9.10,12 ƒ* + 7*8.9,-0,11 = 0 » I — P%13,14,15 V* — 7*8,13,14,15 XyZ2 + ^8,9,14,15 | + 7*8,9,13,15 yZ A + 7*8,9,13,14 z* =■ O , 7*8,9.10.11 xy^ + 7*7.9,10,11 Xy2Z + 7*7,8,10,11 + 7*7,8,9,11 >TZA + />7.K9,lll y4 = 0 > DEUXIÈME MÉTHODE, PAR LAQUELLE ON OBT1ENT LES MÈMES RÉSULTATS. § 17, Comme il a été remarqué au § 8, les v équations 0 sont liees par lm relations lineaires indépendantes, (piel que soit le degré de la fonction F. Pour les équations il existe done lm svstèmes de racines p indépendants. 11 est elair qu'un ou plusieurs des svstèmes de racines j! doivent avoir la propriété que leurs éléinents sont proportionnels aux arguments consécutifs d'une fonction honiogène du degré k a trois variables. Pour trouver un tel système de racines, forinons lm svstèmes de racines indépendants dont lm — 1 éléinents correspondant aux termes de la fonction F qui ne renferment que deux des variables, sont des zéros. De ces lm svstèmes de racines p on déduira un autre système dont aucun élément ne s'annule, en les multipliant respectivement par les coefficients indéterminés qx, q.„ .... qt„„ et en ajoutant les produits. Les sommes ainsi obtenues forment un système de racines pour les équations £ satisfaisant a la condition citée. En divisant ces racines respectivement par les arguments consécutifs d une fonction homogène du degré /• a trois variables, on obtient 1'égalité de v proportions, d'ou 1'on peut éliminer les lm quantités q. Cette élimination pourra se faire de ^ l, ^ ma- nières, c'est-a-dire d'autant de nianières (pi'il y a de combinaisons, lm 1 a lm -f- 1, de v éléinents. Kn efiet, lm 1 membres de cette égalité forinent lm équations linéaires honiogènes entre les lm arbitraires q. L'éliinination de ces arbitraires foumit une relation entre les variables x, y, z et les coefficients des équations (1). Pour obtenir une relation ne renfermant (juc deux variables, il suffit de prendre de la susdite égalité hu -)- 1 membres qui contiennent seulement deux des trois variables x, y, z. Coninie dans une fonction homogène du degré /• a trois variables le nombre des termes qui contiennent seulement deux quelconques de ces variables, est /•-f- 1, il faut que /■ —(— 1 ne soit pas inférieur a lm-f- 1. Ainsi cette méthode, comme la première, donne lm pour la plus petite valeur de /•. Pour cette valeur la relation trouvée est l'équation linale. De la mênie manière 011 peut obtenir des équations terminales pour 1 évaluation de la troisième variable, comme on le verra dans les exemples suivaiits. $ IS. Appliquons la théorie générale du paragraphe précédent, en prenant en premier Iieu l'exeinple de deux équations hoinogènes (17) dont 1'une est du second et 1'autre du premier degré. Les deux systèmes de meines p indépendants contenus dans les lignes de 1'assemblant 1 Pi H Pi Ps P6 1\ /yi,c -p-ifi ]hfi ~Pi,6 Pi,C O (29), 9-2 -Pi,5 Pi,5 ~Pi,r, Pi.:, O -p-M nous mèneront a 1'équation finale entre y et z. De la manière connue on obtient de eet assemblant 1'égalité: f iPu»Z f*Pi* __ —fiPifi ~{~ ftihji = q\Psfi—q-iPs;, _ x2 xy xz ~ — <11 Pifi + 9iPi,a _ q i Pifi —q.,p.,_6 y2 yz~ (30). Des deux derniers membres de cette égalité on déduit 9l ~$2 y z (31), par laquelle 1'égalité (30) se réduit a P*AP H~ P\:>~ Pv&y Pv>2 p.\$y p.\;, z 'ï;2 xy x z p\»y —pkf, ~ Pófi / = (32). Les deux derniers membres de 1'égalité (32) donnent 1'équation finale entre y et p.\<&y2 -\-p^yz -\-P\j>22 = o (33^ Verhand. Kon. Akud. v. Wetent-ch. (1e Sectie). Dl. VIII. \ 9 A 2 tandis que le dernier niembre et 1'antépénultième fournissent 1'équation pour 1'évaluation de x\ — A# « + P'M.y +As ■2 = 0 (34) • I)e la tnême manière on déduit de l'assemblant , P\ Pi Pa Pi Pb Ps |_ qx o -pKl pu3 -pSA j»i,5 -Pi,6 (35) 9 2 ~P\.S P'2,3 O ~~/^3,4 ~"/^3,6 les équations: — Pafi** + Pw*g~2 = 0 ' I (36) Aa® +^1,3^ +AS* = ° ' I et de l'assemblant I Pi Pi Pi P* Pi Pi I 9i P\.4 "Ai A* 0 "As A,e • (37) ^2 0 As "Ai Pi, s ~A® les équations: A4®2+A4'^ — P\Ï!/2 = 0 > j (38) —As® +A5.y -hA*« =° > ! Les équations (33), (34), (36), (38) sont alors les mêmes que les équations (19), (20). Pour deuxième exemple nous détenninerons 1'équation finale entre y et z par rapport a deux équations homogènes du second degré a trois variables (22). Les 12 équations £ sont dans ce eas liées par une seule relation linéaire. De 11 équations £ indépendantes on peut déduire les quatre systèmes de racines // indépendants entre eux contenus dans les lignes de l'assemblant P\ ■ • Pm PH P\Ï PY. t Pw P\o | 9\ Pi,\3,14,15 •• "^10,13,14,15 ^11,13,14,15 ~Pi2,13,14,15° ° 0 ' 9ï "^1,12,14,15 • • ^10,12,14,15 ~P\\,12,14,15 0 ^12,13,14,15 ° ° (39). 9i ^1,12,13,15 • • ""/'lO,12,13,15 Al,12,13,15 ° ° "^12,13,14,15° 94 "^1,12,13,14 • • ^10,12,13,14 ~Pu, 12,13,14 O O O /;12,13,14.15 Par le procédé déja connu on obtient facilement de eet asseinblant les équations: ^12,13,14,15^^ ~f""/;11,13.14,l5P 11,12,14,15^2~2 j ~f"/'l1,12,l3,15^'2'3 12,13,14 Z* ~ °> j 7;12,13,14,15 a~2 "f /'m,13,H.15^3+^10.12.14,1.-.y2- | ~f~~^10,12,13,15^*2 4' /'iO,12,13,14 ~3 = °> J qui sont les mêmes que les équations (25). QUELQUE8 PROPRIÉTÉS DES COEFFICIENÏS DES ÉQUATIONS FINALES. § 19. II importe de raentionner quelques propriétés remarquables des déterminants conteuus dans l'assemblant qui fournit les coefficieuts des équations finales. Le nombre total de ces déterminauts est c'est-a-dire le nonibre des conibinaisons, !m alm, de réléments. l'renant k = ha, on peut écrire ce nombre de la manière suivante: (C]p) (4.,. Les propriétés que nous voulons signaler, sont les suivantes: 1. Parnii les déterminants eontenus dans l'assemblant qui fournit les coefiieients de 1'équation finale, on peut choisir de trois /(lm -fl\\ manieres un nonibre de I \ '2 y I déterminants tous divisibles \ lm / A 2* par un niêine facteur du degré /-\-m, et formant ainsi trois groupes de déterminants. 2. Les déterminants du premier groupe sont divisibles par le resultant des équations a deux variables que 1'on oI)tient en posant x égal a zéro dans les deux équations données; eeux du deuxièine groupe par le résultant des équations a deux variables que 1'on obtient en posant u egal ii zéro dans les deux équations données, eeux du troisième groupe par le résultant des équations a deux variables que 1'on obtient en posant ~ égal a zéro dans les deux équations données. 3. On peut ranger les déterminants des trois susdits groupes de manière que les tenues correspondants sont divisibles par 1111 même facteur du degré v — hu — / — m, v compris le facteur commun a tous les déterminants de 1'assemblant considéré. 4. Tous les coetticients d'une même équation tinale sont divisibles par 1111 commun facteur du degré v — lm—l—m, de sorte que ces coetticients peuvent se réduire a des formes du degré l -\- m. § 20. Pour démontrer ces propriétés, prenons, outre les deux équations homogènes données, 1'équation générale du premier degré a coetticients indéterminés, c'est-a-dire 1'équation: * ~h ^ # ~h c3 * = 0 (42). O11 obtiendra ainsi un système de trois équations homogènes a trois variables dont 011 déterininera le résultant. Prenons a eet etfet, pour le degré de la fonction F la valeur lm, alors 011 obtiendra un assemblant dont les al -f- premières colonnes forment l'assemblant appartenant au système des deux équations homogènes données. Le résultant des trois susdites équations s'exprime, conime 011 sait, par la formule: " /; " dans laquelle les symboles ont la signification connue '). K11 posant successivement dans cette formule 1 . c-j = 1 , c2 = 0 , c3 = 0 , J 2 . c, — 0 , c2 = 1 , c.3 — 0 , / (44), 3 . Cj — 0 , r2 = 0 , nH = 1 , ) '1 Voir: Théorie générale de 1'élimination, § 97. le numérateur de la fraction (43) peut se réduire a un determinant contenu dans 1'assemblant qui fonrnit les coefficients des équations finales des deux équations données, et le dénominateur a 1111e forme du degré v — lm — / — m. Pour = 1 , c2 — c3 = 0, le premier membre de 1'équation (43) se réduit au résultant des deux équations a deux variables que 1'on obtient en posant x égal a zéro dans les équations données. Pour c2 = 1 , c'j = r3 = 0 , le premier membre de 1'équation (43) se réduit au résultant des deux équations a deux variables que 1'on obtient en posant // égal a zéro dans les équations données. Pour c3 = I , c-j — r2 — 0 , le premier membre de 1'équation (43) se réduit au résultant des deux équations a deux variables que 1'on obtient en posant z égal a zéro dans les équations donnéés. Représentant le numérateur de la fraction (43) par P et le dénominateur par Q, on peut écrire 1'équation (43) dans la forme P — E Q (45), dans laqnelle R est du degré l-\~ m et Q du degré v — lm — I — ni. Dans cette formule, li pent avoir les trois valeurs distinctes déja citées. Ponr chaque valeur de 11, on peut trouver différentes valeurs pour Q. Afin d'évaluer le nombre de ces valeurs, il est nécessaire de relever les valeurs v qui se présentent a la détennination du résultant de trois équations hoinogènes a trois variables respectivenient des degrés /, m et 1. Ces valeurs v sont les snivantes: _ (*+1) (<- + 2) /* + 2N l 2 V 2 y v\— ai -! oc., -\- &;l , I (k — / —|— 1) (/■ — /4" 2) _ fk — /+2> I *i— 2 ~ V 2 ) ' f ... (40). (/• — ui -\- 1) (/• — m-\- 2) fk — m -f- 2\ «2= 2 = V 2 ) ' -)- 1 \ "3~~ 2 ~ v 2 J v2== Pi + + ^3 . / n — »>) (*—»> + 1) fk— m -f- 1\ \ Pi— 2 ~~ V 2 ) p (^' — 0 (k — / -)- 1) sk — / —f— 1 \ 2 ~~ V 2 ) , , ■ ■ • (40). n {k—l «i-j-l)(&—l—m-j-2) fk-—l—m-x 2\ *= 2 -=\ % )■ —/—ut) (k—I—w-f-1) /|—/—«-|-)\ 3~~ 2 v 2 ' ' . Dans le eas en question on a k — lm. Le nombre des valeurs qu'on peut donner a Q dans 1'équation (45), est alors ou I ^ 2 y 1, c est-a-dire le nombre des combinaisons, lm a lm, v lm / de st.A éléments. Ces valeurs de Q sont les niêines pour ehacune des trois valeurs de 11, de sorte que chaque valeur de Q fournit trois déterminants P, ce qui se voit en considérant les assemblants qui fournissent le résultant des trois équations honiogones dont nous nous sommes occupés dans ee paragraphe. $ 21. Afin de déinontrer que tous les coetticients d'une équation finale sont divisibles par un raênie facteur du degre v—lm—I—m, nous constituons les assemblants qui fournissent le résultant des deux équations données et de 1'équation lineaire (42) aux coetticients indétenninés c. Dans les lm -f- 1 lignes de 1'assemblant de la fontion F qui correspondent aux différents terines de 1'équation finale qui nous occupe, on trouve les coetticients c a l'exeption de 1'un d'entre eux lm fois, placés en lm colonnes de eet asseinblant. Exprimons le résultant des trois susdites équations de telle manière que le numerateur Dv de la traction (43) contienne ces lm colonnes, tandis que les autres colonnes dans lesquelles les coetticients c se trouvent, out été supprimées, Le déterminant D„ ainsi obtenu est divisible par un facteur du degré v2 — 2 v.A — v — lm — l — m. Ce facteur reste le même quelles que soient les valeurs données aux coetticients indétenninés (\,c2,c.A. Egalant a zero le coëfficiënt lequel correspond a la variable qui n'entre pas dans 1'équation finale, le déterminant D,, peut se développer suivant les puissances ascendantes et descendantes des deux autres coefficients c. Comme I),, est divisible par un facteur du degré v — lm — l—m quelles que soient les valeurs des deux coefficients c restants, tous les coeftieients de ce développement sont divisibles par ce facteur. On remarquera que les coefficients de ce développement sont, au signe -j- ou — pres. identiques aux coefficients de 1'equation tinale considérée. Tous les coefficients d'une équation finale sont donc divisibles par ce facteur du degré v — hu— I—ui. Les divisions faites, ces coefficients se réduisent aux fonnes du degré l -|- m, ce qui s'accorde avec la théorie du § 1. ^ 22. Pour éclaircir ce qui a été dit dans les deux paragraphes précédents, prenons en premier lieu pour exemple les deux équations homogènes (17) a trois variables, dont 1'une est du second et 1'autre du premier degré. Le résultant de ces deux équations et de 1'equation liomogène (42) ii coefficients indéterininés s'obtient de la manière connue des deux assemblants suivants: ^2 ^3 ^4 ^5 £7 pl=x2 «J bl Cl = x;/ a2 è2 c2 q p3 = -b3 (48). Nous écrivons le résultant des trois manières suivantes: ! ^ 6i O2 fhy bx f, 11 - "» ''i "< a , : - h m, 4 2 (2 cb 63 fj2 c3 c2 j "G t>3 C.j "i b\ "•> b2 bx c2 R - /;1 <3 '1 - „ I : 2 <50>' h >>, v2 I "6 h t-3 «1 'h d., h.y r., fj o _ ö3 /V3 'h % R - „ . \ - ~ K (51). 4 h> C\, «5 c3 «6 ^ En posant successivement dans ces trois formes les valeurs (44), on démontre que 'P>:\ . pi,-, , pbfl sont divisibles par , P\fl > P-i4> > Pifi ,, „ ,, /j.) , P\$. > P'U > Pifi ,, ,, ,, b3 Le résultant peut s'exprimer encore des trois nianières suivantes: i °1 h\ cl■ fi2 b.2 bx c2 c, (U b,, Ca c. li = ' : - «3 (52)' (l\ ®2 C2 «5 *8 C3 C2 "6 <*3 «1 /yl rl «2 ^2 r2 ('l „ «3 ^ /;1 r3 Cï R = ■■ c2 (.53), «4 f2 ö5 C3 C, "& h H «, e, «2 Ó, C2 ft O 6'g C\ Ji = , 1 : - c, (54). ö5 ^3 ^2 Ci C'i «6 c3 En posant dans la formule (52) c3 = 1, cx = c2 = 0, ,, ,, ,, (53) 1, Cg — 0, » » „ (54) Cj = 1, r2 = c3 = 0, on trouve respectivement «ï *i li — «2 ^2 ^1 (55), a\ 62 le résultant iles équations: "i *■- + «2 xl/ 4- "if = o , I K x + hv =o,| (° )* i | a, K li = a.A b3 bl (57), «6 h le résultant des équations: ai *2 + «3 xz + «e z2 = 0 > i «I X -f i, r = o , \ <•«. «4 b2 11 = «5 h h (59), "6 h le résultant des équations «4 f H- hu* f «6 z2 = o , I t,., = o.) «">>• On en conclut cjue p:,fi ,p3fi sont divisibles par le résultant des équations (56), que />4- ,p.^ ,p^ sont divisibles par le résultant des équations (58), que p^3, jo) 3 ,pl2 sont divisibles par le résultant des équations (60). Si 1'on fait ces divisions, les équations (20) se réduisent toutes a la deuxième des équations (17), comme on pouvait s'y attendre. Posant dans 1'équation (49) c, = o , cette é(juation peut s'éerire - blH = pKj c.f —pifi c2 c3 -}- p56 cf (61), d'ou 1'on déduit que pi:>, pUi ,pr>fi (les coefficients de 1'équation finale entre y et z) sont tous divisibles par bv Posant dans 1 equation (50) c.2 = o , on obtient en développant b2 li = —pt >3 Cl2 -f- piB e, e, -f p.xl. c* (62), d'ou 1'on déduit que pi;i, pifi ,ptfi (les coefficients de 1'équation finale entre x et z) sont tous divisibles par b2. 1 )e la mêrne manière 011 obtient de 1'équation (51) en posant c3 = 0 fjs K = 1j 1,2 cx -( ƒ>,.4 cx c2 —jj.,a c.f (63), d'ou 1'on déduit ! Multipliant les deux équations (CG) respectivement par y et ~ et ajoutant, on obtient 1'équation fin.ile entie y et z: /> h'A C'2 °l _ö' ~r'2 (7). «3 /v(i /y3 «8 Cl hl K «4 ^4 ff5 «4 C-s C2 «6 f'b h hb eS C2 «6 ljr, c9 Posant dans lequation (70) ct = 0, elle peut s'écrire: J öj (l%2 J{ ^ ^ ~ C- c-l C-i + (ƒ><;, 7,8.10 +/%,7,9,10) e2"r32 (/?6,7,9,10 -bp5,«,9,1o)C2e33 +^6,8,9,10^3* (71). Conime cette équation est vérifiée (juelles que soient les valeurs de c et c3, on trouve que ^l0 ,Pw +Pö^w ,p,JM0-\-Pw> Pei,7,n,9 r/^5,7,8,io >^0,7,8,9> les coefficients (le l'équation finale (07), sont tons divisibles par 1 C. Q F. 1) b\ b2 Aprcs division par ce facteur les coefficients de 1'équation finale (ö/) se reduisent a des tormes du quatrième degré, ce qui s'accorde avec la théorie du § 1. § 25. Appliquant la méthode du § 23 au cas de deux équations homogènes a trois variables dont 1'une est du troisième et 1'autre du secoiul degré, on obtient les valeurs: k = l + vi — 1 = 4 , 6-5 i E I v ^ TT = 15 «L = «4-4. Jd. = 9 (72). 1 1.2 ' 1.2 — ' 1.0 „ l2 — — ' Les équations terminales que 1'on peut former a 1'aide de 1'assemblant de la fonction F contiennent la troisième variable au moins dans deux termes. Kn éliminant entre trois de ces équations la troisième variable — ce qui peut se faire sans difticulté en multipliant ces équations par les facteurs propres et en les ajoutant on obtient l'équation finale. Les coefficients de cette équation som tous divisibles par un facteur du quatrième degré, coinme on peut déduire des valeurs 6.5 , . v = = 15 , 3.2 , 4.3 , 5.4 ... / 1 1T2" + Tï" + T¥" = 19 » f 3.2 , 2.1 , 1.0 . (73), Vl~ 1 2 + T2 + TT2~ = 4 ' l / 0.—1 \ ^ = -Ti- = 0 > qui sc présentent a la détermination du résultant de trois équations homogènes a trois variables respectivement des degrés 3, 2, 1. En divisant par ce commun facteur les eoeffieients de 1'équation finale se réduisent a des forraes du cinquième degré, conime ce doit ctre le cas. II. Elimination enlre n équations homogènes •\ n + 1 variables. EXTENSTON DES THÉORTES DU CHAPITRE PRÉCÉDENT. § 26. Les méthodes qui mènent a réquation finale exposées dans le clmpitre précédent, sont encore applicables dans ce cas plus général. Etant donnécs trois équations homogènes a quatre variables ? [x,y,z,u) = 0 , j yj{x,y,z,u) = 0 , (74), ^(x,y,z,u) = 0 , ] respectivement des degrés /, m, «, on peut former la fonction homogene du degré k: F ^ ? -\- X x "+■ ^ tp (?5). Cette fonction permet de former un asscmblant qui contient v lignes et t'j = u.> ~f~ colonnes. Des colonnes de eet asscmblant sont liées par v2 = /3, -■{- relations lineaires, qui sont a leur tour liées par t>3 relations linéaires indépendantes '). La démonstration de ces propriétés peut se faire de la niêine manière que nous avons déinontré les propriétés correspondantes mentionnées dans les paragraphes 3 — 9. Les valeurs v sont liées par la relation v— Vy\-v2 — »8 = lm n (70), ') Comparer: Théorie géuérale de rélimination, § 88—95. qu 011 déniontre par la substitution des valeurs suivantes: p ~f~ 1) -f- 2) (/-+3) + 1.2.3 3 ) V\ =al ~h «2 + ' _(* — /+l)(^_/+2)(i — /-f3) sk—l-\- 3\ 1 1.2.37 " V 3 y ' a __ ^ m ~f~ 1) (/' w (^' — ~f" 3) /k — -|- 3\ 2 1.2.3 \ 3 y' „ * + 1) — « + 2) (k — n-f- 3) sk — «-f- 3\ :i "1.2.3. ~V 3 ) ' %-A+A+A ,|("> n m~n+l)(k—ui—u+2)(k—m—«+3) sk—m—n+&\ 1.2 .3 ==V 3 ) ' o (k—l—n+1) (k—l—n+2) {k—l—n+3) sk—l—n+3\ 2 1.2.3 — V 3 ) ' p (k—l—ui +!)(/-—/—w+2)(k— l—ui+3) fk-l—m-f3\ 3 ~~ 1.2.3 _ \ 3 ) ' .. (&'-l-»i-n+l) (k-l-ui-n ±2) (k-l-m-H+3) sk-l-m-n+3\ ;t 1.2.3 ~ = \ 3 )' Lequation (70) notis montre que les lignes de 1'asseiiiblant de la fonction / sont liées par I m n relations linéaires indépendantes, (1 ou 1 on deduit que la plus petite valeur qu'on puisse donner a k pour deterniiner inimediatement 1'équation a deux variables, est lm u. Pour k — lmn, 011 obtient 1'équation finale. Les detenninants qui fornient les coefficients de cette équation sont du degré ^ ^ — Imu. Ces déterniinants sont divisibles par un corumun facteur du degré — lmn—mn — l» lm, tandis que tous les déterniinants contenus dans 1'assemblant qui foiirnit les coefficients des équations finales sont divisibles par 1111 comniun facteur du degré .1 slmn-I-3\ , , , . , 2 ~ V'A — y 3 J — (ui n-\- In -(- lm) (/m n -f- 2) ,(/-)- m -}- ti) {m n-\- ln-\- l m) -j- / mn ^ 2 (78)' I)u roste, 1'applieation des méthodes exposées dans le ehapitre précédent se fait de la menie manière. Les déterminants contenus dans rassemhliint qui fournit les coefficients des équations finales, ont les mêmes propriétés que celles traitées dans § 19. Parnii ces déterniinants on peut clioisir quatre groupes dont les déterniinants sont divisibles par un mênie facteur du degré mn -{ In j lm. Ce facteur est le résultant des équations a trois variables que 1'on obtient en égalant a zéro 1'une des variables dans les trois équations données. Les déterniinants correspondants de ces quatre groupes sont divisibles par un conunun facteur du degré ^n,l \ Imn mn In lm, qu'on peut trouvel¬ de la même manière qu'au § 20. La démonstration de ces propriétés ne diftêre pas de celle du paragraphe cité. La fonction F qui se rapporte au résultant des trois équations données et de 1'équation linéaire a coefficients indéterniinés, conduit aux valeurs v, v\, v'2, v'.A, r'4, de sorte que les coefficients de 1'équation finale sont divisibles par un comnnin facteur du degré v'2 — 2 v'o -f- 3 v'4. Comme ces valeurs v' sont liées . par les deux relations suivantes: v — v'. 4- v'o — v'o -f- v\ = 0 , 1 , , • • • *(79) v\ 2 v\, 3 v'H — 4 v\ — Imn -|- mn -(- In -\- lm , ' on obtient pour le degré du facteur coinmun aux coefficients de 1'équation finale: v'9 — 2 v'3 -f 3 v'4 = v Imn mn — In — lm __ ^Imn -f- -3^ —_ in fm (S0). $27. Prenons pour exeniple les trois équations suivantesa quatre variables: 4- VU f Hxz-1~"ixu + "i!/1 + "rJ- + «iH" + "»•1 + "9-" 4-"10"2 = °. j -\-b}U 4~^S- == ^ > j (81), c\* 4-'2.'/ -f'V 4"c\" = dont la première est du second et les deux antres du premier degré. Pour obtenir les résultats les plus simples, 011 choisira les valeurs Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (le Sectie). Dl. VIII. A 3. k — Imn =2 > ' C t •'') -10./ l'i = *1 4 *2 -f «3 = 1 + 4 -f 4 = 9 , | (82). vi == @i "t- A» ~f~ ^3 ==1 1 "} 0 "~f~ 0 = 1 , l 1.0.—1 n ] 8 = 1.2. 3" = 0 > J En formant les deux assemblants suivants: | *1 *2 *8 *4 *5 *6 *7 *8 *9 | Pl = '7'2 «1 ^1 /J2 = 'Y:y/ «2 f)\ c2 c\ Pi = ■>'- «3 é3 /yl tf3 Cl JJ4 = xv n4 64 bx r4 Cj /»5 = //2 ö5 /y2 (83), y,6 = yz ö6 0g />2 e3 c2 Pl = «7 /;4 ^2 <4 <2 /V8 = ~~ «8 óa \ ~h ~64 (84) , on obtient immédiatement 1'équation finale entre y et z et les equations terminales pour 1'évaluation des deux autres variables: P»,\0 ~2 + Pi,\o *# + Pa,9 w2 = 0, j ~ Aioy ~h Pi,i>~ ~f~ P:,9 u = 0, (85). /Al,10 x H~ Pk, 10 * ~f" 7^4,9 U == 9, J De la même manière on peut obtenir les autres equations finales et plusieurs autres equations terminales. Les coefficients des équations (85) sont des déterniinants de 1'assemblant (83), après la suppression d'une des colonnes ii 1'exception de la première. Tous ces déterniinants sunt divisibles par le determinant supplementaire de l'assemblant (84), c'est-a-dire par c4, après suppression de la ciuquième colonne dans 1'asseniblant (83). Pour obtenir les quatre groupes de déterminants dont le commun diviseur est le résultant des equations données après qu'on a égalé a zéro 1'une des variables, prenons, outre les équations données, 1'équation du premier degré a coefficients indéterminés: d\X -\- d2 ff dAz -f- d4 u - - 0 (8C). Le résultant de ces quatre équations s'obtient de la nianière connue des deux asseniblants suivants: *1 *2 *3 *4 *5 *fi 'V7 *8 tV!) *10 'VI1 *12 'via Pi = ** "i '>\ ri ,l\ pt — Xff «2 bt b{ <\> (/., '« P\A — 0 , I , . 9 > (91) Pc, io y + p-,,s y~ Pa, ~ = o , i Pifi ~f Plfi "H Pifi ~2 = 9 , I pi,i *2 Pi.i *y -f- Pui y1 — ° , / sont respectivenient divisibles par j ('l c2 cl CS c2 C'i °1 °4 e2 c4 c3 C4 j ' ' I ' I > > j by h., !>x b.A ht b,A />2 b± \ b.A /;4 ('es divisions faites, les coefficients de ces équations se réduisent a des formes du cinquième degré, ce qui s'accorde aveo la valeur vin -j- In -j- l»1- $ 28. II est aisé d'étendre la théorie d'élimination, comme elle a été traitée au § 2G, a n équations homogènes a n -f- 1 variables: <*i = 0 , \ -#«.-^H") , - (> ~ + ») , J Ces valeurs v sont liées par la relation ® + v2 + (— 1) X == ff\ ff2 ffn (!)4)> comme il a été démontré dans la note 3 a la fin du meinoire „Théorie générale de 1'élimination". La plus petite valeur qu'on puisse assigner a j est dans oe eas gx .... y„. C'est a la fois le degré de l'équation finale. Les déterminants de 1'assemblant qui fournit les coefticients des équations finales, sont du degré „ -y, oa ("* ■■•/» + ") Ces déterminants sont tous divisibles par un facteur du degré v2 — ~'*3 ~f~ — -f- (— ])" (« — 1) v„ = (** ' ^ ") — 9i HÏ 9* [2^1 g-2 — n 4- IJ a • (" + ]) 19i 92 • ■ ■ 9n~* ~ ^9*92 ■ ■ ■ 9n-\ ! ((J5). On peut ohtenir cette valeur d'après une méthode conforme u celle de la note 3 qui se trouve a la fin de 1'ouvrage (jue nous venons de citer. L'assemhlant qui fournit les coefficients des équations finales contient ((9\ 92 9n + #Y\ \ n / | déterminants. 9i 9-2 ■ ■ ■ 9» ' On peut choisir parmi ces déterminants m —|— 1 groupes de ((9\ 92 9n + * — lyv \ m / 1 déterminants, tels que les determinants 9\ 92 9n / d'un mème groupe soient divisibles par le résultant des n équations données après avoir égalé a zéro 1'nne des variables. Les déterminants corrcspondants de ces h -f- 1 groupes ont pour commun divisenr une forme du degré On peut démontrer ces faits en constituant les assemblants qui se présentent a la détorinination du résultant des n équations homogènes données et de 1'équation homogene du premier degré a coefficients indéterminés. De ces assemblants on peut aussi déduire que les coefficients d'une (■(piation finale sont divisibles par un commun facteur du degré "2 — *V's -f «r'4.... -f (— iy + i» V„ + i. Les svmboles v affectés d'accents sont ici les valeurs v qui se présentent a la déterinination du résultant des susdites n 1 équations. Ces valeurs sont liées par les deux relations suivants: r r\ 4- r'.2 — r'3 -f . . . J 1) " + 1 r'„ + \ = 0 , / r'l Sr'i + *r's — • ■ • + v + l = ^i Ui ■ ■ ■ 'Ju + - ffi m ■ • • !/n -l,! d'oiï 1'on déduit facilement la valeur r'2 — 2r'a -|- 3r\ —■ . . . -f- (—L)» + > n r'n + | = j " 'J\ Ui ■ I bx x2 -f />., xy -f- b3 xz + b4 xu -f- b-0 y2 -f- bQ yz -j-b^u . . (98), + é8 ~2 -f- K + ^10 U~ = 0 ' | Cj x C2y -f- C3 s + r4 u — ü , dans lesquelles 011 a (jx = 2, g2 = 2, y3 = 1, 011 obtient les valeurs suivantes: / = <7IM3 = 4 7.6.5 o- I v — TX3 — 3o , I 0 5.4.3 1 6.5.4 in ( Vl~ 2,lT2.3 + 1.2.3 — 40 ' ) (99). v — t) 4.3.2 I 3 2.1 — 0 2 1.2.3 1 1.2.3 ~ ' 2.1.0 .. r3 = TX3 = ° A 1'aide des assemblants <|iii se rapportent aux équations (98), 011 trouve iminédiatement 1'équation finale entre y et 4 ! -.3 ' „2 ,2 ^32.33.34,35 Z "1~ />31J33.3i.35 ~ 11 ~T />31,32,34,35 2 U P'M.32,33,35 ~ i ~t"~ Pi\,32,33,34=0 (100), dans laquelle les coefficients sont des déterminants du degré 31. Les autres équations finales et les équations terminales s'obtiennent de la mêine manière. Les coefficients de 1'équation finale (100) sont tous divisibles par le quotiënt de deux déterminants dont 1'un est du degré 27 «— 2 = 2") et 1'autre du degré 2, de sorte que le degré de ces coefficients se réduit a 8, ce qui s'accorde avcc la valeur f/i!/3 !l\!hy O11 trouve ces déterminants en considérant les assemblants par lesquels 011 obtient le résultant des équations données et de 1'équation hoinogène du premier degré a coefficients indéterminés. Les valeurs v qui se rapportent a la détermination du résultant de ces équations sont les suivants: 7.G.5 ... r = 1.273 = 35 . \ v'i = 2 Hi +2-rlfï = 6 , lii- + 4' ïM+TTj = 27 . _ O 210 I O 3-21 3 1.2.3 T • 1.2.3 — 2 ' 1.0.-1 '4= i.2. 3 = 0 ' d'oiï 1'un peut conclure aux résultats déja mentionnés. Renmrque. Si 1'on avait elioisi pour le degré de la fonction b une valeur j supérieure a gx gt, . ... gH, ou aurait obtenu différentes équations du degre /• entre les deux variables restantes. Les coefficients de ces équations peuvent se réduire néanmoins a des fonnes du degré £ gx 10.17.10.20 —}-/?J0,17.1«.20■?'<2 —}—/'ie.17,1X.19 "3 = j f (100) —/'17,18.t9,20y^»-f-/'15,18,19,20*3-|-/'15,17,19120^2« ~J—i»15,17,18,20 ^"3 "9 = 0, ( Multipliant les équations (106) respectivement par - et h et ajoutant, on obtient 1'équation finale entre ~ et te. />lü,18,19,20 Z* + (/> 16,1749,20 +/»15,18,19,2») S** + (/Mo,17,18,20 -f* ^15.17,19,20.) **«* 4" (/)16,17,18,19 -|-/'l''),17,l8,20l Ztt3^15,17,18,19 M' = 0 (10/). De la même manière 011 peut obtenir les autres équations finales. Les coettieients de ces équations, qui sont du seizième degré, sont encore divisibles par un determinant du huitième degré, connne on peut le voir dans la troisième formule (105). ÉVALUATION D'UNE FONCTION HOMOGÈNE QUELCONQUE DES VALEURS QUI FOK Al ENT UN SYSTÈME 1)E RACINES DE N ÉQUATIONS HOMOGÈNES A iV+1 VARIABLES. § 31. La méthode d'éliniination exposée dans ce qui précède nous permet de déterininer 1'équation finale entre deux quelconques des variables, et les équations terminales pour évaluer les autres variables. En résolvant ces équations on obtient les systèmes de meines ou les solutions communes des n équations honiogènes données a n -f-1 variables. Nous nous proposons de déterminer dans ce qui suit une fonc- tion homogene quelconque des valeurs qui forment un système de racines de ces équations '). II est clair que 1'équation qui donne la solution de ce problème est du degre gl . . . . gn, si les n équations données sont respectivement des degrés gl,g2, .... gn. Pour le démontrer, égalons a un symbole quelconque la fonetion homogene ü évaluer. Transportons ce symbole au premier membre de 1'égalité obtenue, et mettons-le dans le coëfficiënt d'un tenue qui a pour argument une seule variable. De cette manière 011 obtient une équation homogene a n -(-1 variables dont 1'un des tenues renferine dans sou coëfficiënt le symbole introduit, divisé par 1'argument de ce terme. Si 1 011 joint cette équation aux n équations honiogènes données, 011 obtient 1111 système de // -f- 1 équations honiogènes a n-f-1 variables. Le résultant de ces équations, étant par rapport aux coefficients de la dernière équation du degré gl y«. . . . —1 c2 Pa = ~2 'h h c3 ^9 = ~U ! ^3 1 C3 Pio = «2 _l , I I ___ 8l 82 *3 *4 *b *6 *7 h *9 C1 c2 c3 -1 ~6i ~h ~h ■ ■ ■ • (H2), d'oü 1'on obtient l'équation cherchée entre z et u: P,\ 10 Z' + j»8,10 ZU H PSfl «2 — 0 (113), dans laquelle les eoefficients sont des déterminants de l'assemblant que Ion obtient en supprimant dans l'assemblant (111) une colonne quelconque, lti première et Ia dernière exceptées. Ces eoefficients sont tous divisibles, outre par le determinant supplémentaire de l'assemblant (112), par le déterminant ^b- , ClC2 ce (pi on peut prouver de la ïncnie manière qu'au § 27. En divisant ces eoefficients par leur plus grand commun diviseur ils se reduisent a des formes (lont le plus grand degré est cinq, ce qui s'accorde avec la valeur du § 31. ( hoisissons comme deuxième exemple les mêmes équations (108) et évaluons la fonction homogene du second degré: u1 r, x- -f r2 wy -f r3 xz -f- c4y2 -f- cbyz c6z2 (114). En operant de la même manière que dans 1'exemple précédent on obtiendra pour résultat l'équation 7^2,33,34,35 -4 "f" Pi\,32,34,35 ~2 "2 4" Pm,32,33,34 «4 = 0 (115), qui est analogue a l'équation (100) du § 29. Ees (Eoefficients de cette équation, étant tout au plus du degré 31, sont divisibles par le quotiënt de deux déterminants dont le premier est du degré 25 et 1'autre du degré 2, de sorte que la plus grande valeur pour le degré de ces eoefficients se réd uit a huit, ce (pii s'accorde avec la théorie du § 31. Si nous substituons dans l'équation (115) a u- un symbole du premier degré, le degré de cette équation par rapport a w se réduit alors Ti 2, ce qui s'accorde avec la valeur du § 31. § 34. Dans le cas oü 1'on a n +1 Y 9k ~ n < gxg2 yll+i (116), le degré de la fonction F est encore susceptihle de diniinution. Pour trouver l'équation cherchée, 011 se sert, connne au § 30, de plusieurs équations terininales. Ce cas se présente dans le deuxième exemple du paragraphe précédent, ou 1'on a = 2, = 1, g.A = 2. La plus petite valeur qu'on puisse prendre pour le degré de la fonction F, est dans ce cas trois. De la manière connue on obtient les deux équations terininales: //17.1H,1U,2H !Jl,~ "f" /'lü,18,19,20 ~3 ~f~ /'iB,17,18,20 ~U~ = 0 , j | "^17,18,19,20 yzu "j- ,^15,17,19,20 4 " P\a, 17,18.19 " = 0 , J d'oü 1'on peut déduire en éliininant // 1'équation cherchée: Pid, 18,10,20 ^ "I- (/'lti.17,18,20 "F /;l-M7,rV2o) "f" /'i:.,17,18.19 == '' . (1 1 8)> qui est analogue a l'équation (107). Comme au § 30 on peut prouver que les eoefficients de cette équation, étant tout au plus du degré l(i, sont divisibles par un comniun facteur du degré 8, de sorte que la plus grande valeur du degré de ces eoefficients se réduit a huit.. III. Kliniination entre n óc|iiations homogènes a u -f- ii, variables. § 35. Dans ce cas, qui est le plus général, on peut éliininer n — 1 variables, de sorte que le résultat est une équation homogene a //j 1 variables. Cette équation sera l'équation finale, si le degré en est égal a gx g., . . . . //„. Le degré de ses eoefficients ($ 1) doit être égal a v gl . . . . //„_[. Les méthodes expliquées dans les chapitres précédents sont encore applicables dans ce cas, niais clles sutHseut telles quelles seuleïuent pour trouver l'écpiation finale dans le cas particulier ou les équations donuées, a 1'exeption d'une d'entre elles, sont du premier degré. Voici quelques exeniples: 1. Deux équations homogènes a (|iiatre variables, dont la première est du second et 1'autre du premier degré: n\ x~ a2 XÜ H~

  • i Prenaut j — 2, ou obtient les valeurs: " =• ft8) i" • ". = T§ + TX§ = 5 ■ <120>' V2 = 0,1 et l'assemblant: | Sl H h *4 *5 I - - I — i>\ =xl n\ K P-l — xy ,li hx PA = xz aA ''A K p4 = xu I «4 bx hx Pb = f ah K (121). Pa = Pi — yu °i ^4 ^2 /'h — z" i as ^3 p9 = ~U "9 b4 h3 P10 = "" ai0 d'ou 1'on peut déduire lequation finale entre y, z et u-, ^6,7,8,9,10y* ~f" /'ó.r,8,9,10yz ~f~ /'ó,0,8,9,10yu ~f" A"i.(i,7,9,10 ~2 + ^5,6,7,8,10 ZU "H A,6,7,8,9 «2 = 0 (122). De la mêine manière on peut obtenir les autres équations finales. Les coefticients de 1'équatiou (122) sont des determinant» du cinquième degré, tous divisibles par b^. On peut trouver ee conimun facteur en prenant, outre les deux équations données, les deux équations du premier degré a coetticients indéterminés: Ci x + c2y + c3s + c4u = 0 , j ^ dx x -f (L,y 4- d.Az -(- d4u = 0 , j Le résultant des quatre équations homogènes (119) et (123) a quatre variables peut s'exprimer par I «i K «.> h) (5, et "s h h\ ci d\ 'h h\ c\ (/i _h / /•• 1 11 = -c, .(124). «« % % 'k ^ ^ «7 ^2 r4 '2 f/2 «8 r3 f/3 «9 ^4 /;3 '4 r3 "4 r/3 «10 /y4 p4 'U Posons cx = 0 , f2 = 1 , f/j = 0 , é/2 = 0. Prenant r;i = 0 , = 0 , d.A et d4 arbitraires, 011 peut conclure que 9, /V,7,8,11» .#>,6,7,9,10 s,)llt divisibles par h{~. Prenant c4 = , f/3 - , ca et d4 arbitraires, 011 trouve que /Ai,7.8,9,10 et 7,8,9,10 sont divisibles par hx2. Prenant c3 = 0 , d4 = , c4 et d3 arbitraires, on conclut que j»5,6,8,9,io est aussi divisible par bx 2. Trois équations homogènes a ciiuj variables dont la première est du second et les deux autres du premier degre: «1 *' + "2 + "3 *s + "i •«' + "li 'J1 + "7 3" + °8 y I + "#y!' + "lO ^ + "11 + "12 + "13 "I" °14"® + "15 1'2 ^ U > I (125) Aj £ -f- i3 ij -(- z -f- « -)- ^5 » = ü , I q * + <-3 y + CS 2 + " + r5 p = 0 • Prenant — 2, 011 obtient les valeurs sui\antes: v = 0 + 4) = 6f)-4-3 = 15 \ V 4 / 1.2.3.4 1 ' ' I „ — A^i21 | o 5.4.3.2 ƒ 1 1.2.3.4 1.2.3.4 — ' f (120), V) = 43-21 _L O 8.1.1.0 _ ] 2 1.2.3.4 ï 1.2.3.4 — 1 ' = 0 , et les assembliints: *1 *2 *3 *4 *5 *6 *- *8 *9 *10 *11 Pi = X2 «1 \ ct P> — xy o2 /a, bx c2 cx Pi = xz «3 'h C.d cx Pi = 2U «4 'u bx C4 Cx Pb = Xl' «5 h K ch cx Pg = y~ "w b2 H Pi = y~ ('i K K f 3 c2 Ps =y« «g b4 K ?4 c2 (127), P9 = U° «9 b-a f>2 ch . C2 Pio — s" «10 h ci J'\ 1 — ~U «11 /;4 ^3 r4 p3 P\ 2 = zv «12 K h >'b c3 P\'i ~ U" «13 b4 r4 1' 14 — UV «14 bb ^4 c5 ff4 Pl 5 = »2 «15 ^5 '5 'V1 *2 *3 *4 *5 *6 'y7 *8 *9 *10 *11 ^1 ri f2 ^3 c4 ''ö ~^1 ~b2 ~b'S ~b4 ~bb ' (128), (1 011 1'ou peut déduire l'équation finale entre z, u et v: Pu, 12,13,14,15 ~t~P 10.12,13,14,15 ~u 4~ P\0,\\,13,14,15ZV ~f" /Mt),11,12,14,15 P\0,11,12,13,15 Uv "f" PlO, 11,12,13,14 V2 ~ 0 (1 2U). Les coefficients de cette équation sont des détcrininants du dixième degré, tous divisibles par 1111 facteur du cinquièmc degré, c'est-a-dire h b 2 par Cj X 1 2 > fpi'ès supprcssion dc la deuxième colonne dans I Cl C2 l'asseinblant (127). On peut trouver cc facteur dc la même nianière que dans 1'excmple précédent. 3. Deux équations homogènes a cinq variables dont la première est du second et 1'autre du premier degré: a\ + "i x!> + "i xz + "i xu + "ó •tr + "k !)' + "1 y: + JTK -f- figyr j + "10 "2 + "11 rr + "li "l" "\ i + "15 rl = 0 , f (130). bi x J/ f = 0 , | Prenant j — 2, on obtient les valeurs: ,, — fj + *\ — 6.5.4.3 _ t - s V 4 J 1.2.3.4 ' J 4.3.2.1 , 5.4.3.2 .. V nQn "i = 1T2.W.T + X2XT = 0 > (l,il)' V2 = 0 , ) et l'asseniblant *1 *2 *3 *4 *5 *6 Pi = «i ,Ji Pi = «2 h h\ Pa = xz «3 h bi J'i — XII ft4 fjA Oy Pb = XV «5 hb K Pu = y2 «6 fj2 p-i = y~ h h Ps «8 h4 h (132), Po = yv «9 h h PlO = Z" ö10 ^3 Pil = ZU «11 b4 Z>-3 PÏS = ™ «12 K h Pl3 = U" «13 ^4 #14 = UV «14 /j5 K #15 = «15 K j Verhand. Kon. Akad. v. Wetenscli. (1® Sectie) Dl. VIII. A 4. d'oiï 1'on peut obtenir facileinent 1'équation finale entre /, z, u et v. Les coettioients de cette équation sout tous divisibles par hj3, de sorte (jue leur degré peut se réduire a 3, la soumie des degrés des deux équations données. § 36. Dans le paragraphe précédent nous nous sommes borné a considérer des exemples ou 1'on a n S//A — (n — 1) = gn (133). 1 Si cette condition est reniplie, il est aisé d'obtenir immédiatement 1'équation finale en appliquant 1'une des deux méthodes expliquées dans le premier chapitre. 11 est clair que 1'équation (133) est seulcment véritiée, si toutes les équations données, a l'exception d'une d'entre elles, sont du premier degré. Prenant dans ce cüs j = y, f/2 .... , on ol)tient les valeurs suivantes: _ (J + * + >/-)-«! — 1 ) 'I v _ (" — lN) (J + " Hr ui —4\ / 3 \ 3 ✓ \ » -|- — lx ' l c=!) citii) vn = 0 , J I/assemblant de la fonction F se compose .dors de v lignes et de Vy colonnes. Les colonnes de eet assemblant sont liées par v» — -f- v± —. . . . -(- (— 1)"^,, relations linéaires, de sorte que ü'j — -j- v.A —. . . . -|- (— l)"y„ colonnes sont indépendantes entre elles. Eutre les valeurs v il existe dans ee cas la relation suivante: v — fi -f ij — -\- - . . + (— 1)>„ = — 1 • (135). On peut démontrer cette relation en substituant les valeurs (134) dans le premier meinbre de 1'équation (135), d'ofi 1'on tiouve: r -r, + r3 1) »rtl =- 1 + '' 1)A (" ~k *) (/ + *^i~*) ■ ( ' le deuxième niembre de cette équation est, d'après la note 3 ii la tin de ce mémoire, égal a — 1. L'équation (135) nous inoiitre que les lignes de i'assemblant de la fonction F sont liées par Q — 1 relations linéaires, de sorte que v -f- 1 — (^ , "0 ''»ncs (lueïcon(ll,es so,,t indépen- dantes entre elles. Conune ^ est précisément le nombredes terinesde1'équation finale entre les -j- 1 variables restantes, on conclut qu'on peut déterminer les coeffieients 9 de la fonction /'de telle sorte que seuls les terines qui n'appartiennent pas a 1'équation finale, disparaissent de cette fonction. De cette manière on obtient donc 1'équation finale. Les coeffieients de cette équation sont des détenninants du degré o -j- 1 — ^ contenus dans un asseniblant de v lignes et de v -(- 1 — ^ "l^ colonnes. Tous les déterminants de eet asseniblant sont divisibles par un comtnun facteur du degré v2 — 2 3 —{— 3 r4 — .... -f- (— 1)" ~1 (n — 1) vn . En divisant par ce coniinun facteur, les coeffieients de 1'équation finale se réduisent a des fornies du degré Vy — 2 v2 -|- 3 v3 — .... -j- (— 1)" ~ 1 n v„ — ■+ 'T<"7')C+:+:;r;-0=i+<'-i>('t,"0 ■ - y1 "o yz ~f~ "i y" 4" *8 + atzu + «10«» = 0 , bl x* -)- i3 xy -f- i3 x: -f- i4 xu -f- l>-„ y1 -f" h Hz "I" h ~H K ri -)- zu -f- i10 ti2 — 0 , Quelle est dans ce cas la plus petite valeur qu'on puisse donner a j pour obtenir immédiatement 1'équation cherchée a trois variables? Prenant j — 4, on obtient • = Ct3) - w = 85 , I v — ft.4.3 — 20 I (144), v2 = 0 , (ï + ".\ = a.4.8 ^ i0 V «, J 1.8.3 d'ou 1'on peut eonelure <|iie les équations tenninales contienneut 13 tenues, dont trois au moins renfennent la quatru-ine variable. Les coefficients de ces équations tenninales sont des détenninants du liuitiènie degré conteuus dans 1'asseinblant suivant: ,V, Kj 8,t #3 #(i #7 8a Pi = «I by Pi — x*~y "i n\ b> b\ Pa = x"'~ «3 «i t>., /\ = xu «4 ax b,t b{ Pb = aT «5 «i b. Pa = xyz f>i <'i K K f,i p- = xyu n- «4 n, b1 bx b., P* —xz' fli bA b3 p.\ = aozu a,t \ = a\ h\ pn = xy tto b., i /'■& = \ ,1 »i r'\ a, "i /yi i . ■''!/ i , •'- + , ■'•«+ . ^ ~r , y- | ^2 ^2 r/3 ^3 | ai ab 5 j "6 6 r/i «, ; a* bi a-, by a-y b* r _ + 1 1 ,w + 1 1 ,3_|_ 1 1 .-«+ 1 1 «» = O ....(147). I rty 4- j «8 «9 A,J rt1(j ijo En substituant Ia valeur de x tirée de cette équation dans 1'une des deux équations données (141), on obtient 1'équation finale. Le degré de cette équation est quatre, coninie ce doit être le cas, niais la fornmtion de ses coeflieients n'est pas si siniple qne dans le cas oü 1'on aurait choisi une plus grande valeur pour le degré de la fonction F. N O T E S. 1. Q u e 1 q u e s t h é o r è ra e s s u r 1 e s c o e f f i c i e n t s b i 11 o 111 inaux. 1. Théorhne: (- !)'■ Q Qt Z *) = • Démonstration: \\\ (-»'■ © (:=;) = v <-■>> = = '' ( »" — )> + *"/ — 1 '' '' «P/——■ƒ))n—2p+kj — 1 # IA-/1 1/./1 = 8 * l/V !(»—ƒ) n-2/V-l 1/./1 =>:«-'»* c>'^=o ;»-"*©=°- 2. hm».- j';o)C-')=cto- Démonstration *).- © c-Ï-O - f++1X! ♦«-*' 0X-i-0+(f~i>-' -*]|0)G-'-*)l- r,? J(i+1'('4-i)0-i-')+© (f-*)l= i'ï <0 C-,) +" XQ) W-X' (OG-Oi!' (;)©+> >::@c-,)i=+,-4+.->:;c)C',) *) Comparer: Wiskundige Opgaven met de Oplossingen door leden van het Wiskundig Genootschap, ter spreuke voerende „Een onvermoeide arbeid komt alles te boven". Amsterdam 1882. Tome I (1875—1881), n' 1G2. Dc lii il s'ensuit: <ö w - t±^±i*£cc-u Kn appli(|uant cctte formule jw-fois on obtient: >:oxA)-,i+7^i)-:i:c()(-o- {■)>'!-' _ (>l -f- r\ l/'/i V 1' J' Démonstration: D'après la notc 2, on a X <-1)' (ÖC-O- X f<- ""0) X Cr) C-0 !• Kn développant la deuxième sornine dans le second membre on obtient: ' s" ■)* (;) C »0 - (v) X(-1 ■ )l CD C; 0+ (i=;) * s" <- »* (;) CT")+Cn) * *" <- •>* © (V)+••• ...+(V) - C -")*sV «* © (:=0+G'-O', 1 >' 6) G--T-<)+ (; r O',, v-(00 +••• +C^+01E;<-,)" ©G~0 • (»it+o 's' <- »* © G-0+C)C)= G-Ö + >" C-40 © G-Oi - Gn> puis<|ue, d'après la notc 1 : :?:<-© 04)=«■ 4. Tlmrème: ^ (-l)*-U Q (*ƒ) = « + ,) Démons fratio/i: © (•")= C-O = ■'•,X,<-"'CTi)(-i-o="C-7+o d'après la notc .'3. 2. Quelques remarques relatives aux résultats obtenus par l'application des théories exposées dans ee niémoire. 1. Notations des déterminants contenus dans un assemblant. Afin d'éviter toute confusion, 1'auteur s'est cru obligé de snivre la notation indiquée au § 2 dc sou niémoire „Théorie générale de rélimination". Les indices désignent les nnméros des lignes ou des colonnes qu'il faut supprimer de 1'assemblant pour obtenir le déterminant proposé. Si la difFérence entre le nonibre des lignes et celui des colonnes n'est pas considérable, cette manière de noter les déterminants d'un assemblant n'ofFre aucune difticulté. Les déterminants d'un assemblant sont tantot précédés du signe tantot dn signe —. Nous regrettons de ne pas avoir réussi dans nos recherches d'une notation qui pennette de supprimer ces deux signes. 2. Construction des équations finales, des équations terminales et des au tres équations résultanten. II ne faut que peu d'exercice pour étre en état de construire iiiiiiiédiateinent les équations résultantes mentionnées ei-dessus d'un svstèine de n équations homogènes a n -f- 1 variables. Le degré de ces équations est égal au produit des degrés des équations données. Constituons rassemblant de la fonction F qui se rapporte au svstème des équations données, prenant pour le degré de cette fonction la valeur déjit assignée, et mettons devant les lignes de eet assemblant les arguinents des tenues qui se rapportent a ces lignes. Déterminons ensuite quelles colonnes de eet assemhlnnt doivent être suppriinées pour obtenir rassemhlant (lont les déterininants fonnent les coefficients des susdites équations résultantes. Si eet assemblant contient p lignes et q colonnes, oü p > q, les susdites équations résultantes se composent de p — q -f- 1 termes. En supprimant de eet assemblant les j) — q lignes qui se rapportent a p — q termes de ]'équation résultante qui nous occupe, on obtient un déterminant. Ce determinant représente, au signe -{ou — pres, le coëfficiënt du terme de 1'équation résultante lequel ne se trouve pas parmi les p — q tenues dont les lignes correspondantes out été suppriméea dans 1'assemblant. 3. Regie pour les signes -{- ou — des eoeffcients des Ier mes des équations finales, des équations terminales et des autres équations résultantes. Les signes -)- et — précédant les coefficients de ces équations s'expliquent par la formation de ces coefficients. Quand on considère tous les tennes d'une même équation résultante, il n'est pas difficile de déterminer (juels termes doivent être précédés du signe -f" 0,1 (^e —• Les coefficients de ces termes sont des déterminants du degré se composant de lignes identiques, a une ligne prés. Quand on place cette dernière au-dessus des autres lignes, on passé un nonibre pair ou impair de lignes. Selon que le nombre des lignes passées est pair ou impair, on donne au déterminant le signe -j- ou — (ou inversement). 4. Équation terminale d'un degré plus élevé que le premier. La méthode (pie nous avons indiquée pour 1'obtention des équations finales, des équations terminales et des autres équations résultantes fournit un total de ( ^ . , ) équations résultantes y — ? + 1 entre p — q-f-1 arguments différents de la fonction F. Si 1'une des équations finales a des racines égales, le cas peut se présenter qu'il est impossible de trouver une équation terminale du premier degré par rapport a la variable qu'on vent évaluer. Dans ce cas tous les coefficients de cette équation terminale s'annulent. Pour obtenir une équation (jui peut remplacer cette équation terminale, ou peut choisir une autre équation résultante oü il entre, si part les deux variables de l'équation finale, la variable consideree. Cette équation est alors d'un degré plus élevé que le premier. Les coefiieients de cette équation sont encore des deterniinants de l'asseinblant qui fournit les coefiieients de l'équation finale. 5. Kquation (male a plus de deux variables. Nous ne prétendons pas avoir épuisé dans le troisieme chapitre le sujet dc l'élimination de n — 1 variables entre n équations homogènes a n-\-U\ variables; nous n'avons fait qu y inentionner les résultats qu'on obtient en appliquant les méthodes des deux premiers chapitres. A notre regret nous n'avons pu expliquer pourquoi les équations obtenues par 1'application de ces méthodes sont de degrés plus liauts qu'il ne t'aut d'après notre théorie. Nous crovons (jue ce cas de l'élimination peut encore donner lieu a des recherches importantes. (24 Juni 1901.)