DOG rSi La Dépendanee oü Hndépendance d'uti système d'équations algébriques, l'AR KL. BES, Professeur a 1'éeole moyenne de 1'Ktat „Willem II'' a ïilbour^. Verhandelingen dei' Koninklijke Uadeniie van \Velensclia|»|ien Ie Amsterdam. (1<: KKS'I'E SEC'TIK). I)«el VIII. >° »i. AMsTKHDAM. JOH ANN KS M ii LLER. 1904. La Dépendance ou iïndópendanee d'un système d'équations algébriques, PAR K.. BBS, Professeur a 1'école moyenne de PEtat „Willem II** a Tilbourg. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Welenscha|i|>en le Amsterdam. (EEKSÏE SECTIE). Deel VIII. N° 6. AMSTERDAM, JOHANNE8 MÜLLER. 1904. TABLE DES MATIÈRES. La dépendance ou 1'indépendance d'an svstème d'équations algébriques.. 5 I. Formes hinaires 6 II. Formes ternaires 8 1. Trois équations non-liomogènes a deux variables g 2. Deux équations non-hoinogèties a deux variables III. F onnes qnaternaires 18 IV. La dépendance ou 1'indépendance des fonctions algébriques 20 Appendices 22 1. Les solutions d'un svstème de « équations nou-hoinog(v'nes a//varia¬ bles appartenant au domaine de l'mfini 22 2. Les solutions d'un svstème de « équations non-homogènes a n varia¬ bles avant un élément comniun oq » 'J :J. Combieu de et quels déteiminants d'un assemblant doivent s'annuler, pour que ce soit le cas avec tous les déterminants de eet assemblant 24 1. Les relations qui doivent exister entre les coefticients de n + 1 équations homogènes a // variables, pour que ees équations admettent une solution eoininime Ofi Krrata du méinoire „Les svstèmes de racines d'un svstème de u équations homogènes a u -(- I variables" 29 La dépendance ou l'indépendance d'nn systènie d'éqnations algébriqnes. $ 1. La théorie de la dépendance ou de l'indépendance d'équations algébri(|ues a été fondéc par Jacobi dans sou mémoire intitulé „De deterniinantibns functionalibns" (Journal de Crelle, toine 22), ou il dit: Voco ae(|uationes a se independentes, quariun nulla neque ipsa identica est neque reliquaruni ope ad identieani reduci potest. II noiume donc indépendantes entre elles quelques éqnations, si aucune n'est identique d'elle-inênie ou ne peut ètre rendue identique au moyen des autres. Cela vent dire en d'autres termes que m équations a a variables, ou m n'est pas supérieur a // (les équations supposées rendues honiogènes), sont dépendantes ou indépendantes, selon qu'on obtient une équation identique ou non-identique en éliminant ///—1 variables entre ces équations. Kn partant de cette détinition nous voulons considérer la dépendance ou rindépendance d'un systènie d'équations algébriqnes. Kn général, nous supposerons les équations coinnie étant nonhoniogènes. S'il nous senible nécessaire, il sera aisé de les rendre honiogènes. § 2. Dans Ie cas ou le uonibre des équations est égal a celui des variables qui y entrent, après avoir rendu les équations honiogènes, la seule condition, pour '<7/ + % x + "i 9* + «5 V + "e — f = 0 » | bx x2-\- b., xy + 6a x -f b4y2 -f- bb y -f- b6 — = 0 , (16)- q x + c2y + c.ó — x, = 0 , ! Le résultat (le cette élimination s'obtient de 1'équation (19) en y substituant aux r/6, b6, c.A respectivement c/(!—y, , c3— § 8. Le résnltant des équations (15), que 1'on obtient des deux asseniblants suivants J): s2 #3 s4 <*5 se s- s8 x,j -y,0 .ylt #lL, •''8 «i hï ci x2y r/i ^2 'i ci x2 a.A «, b.A bl cs c, xy2 a4 «2 04 ó2 c., Cj / «5 «a bb b.A b2 c.A c., r, (17), * «6 «3 £e b.A c.A r, y9 a\ c2 if2, «5 «4 /;5 ^4 '*8 r2 !) «6 «5 /y(i é5 <3 C2 1 «« /;U <» *1 *2 'V3 *4 #ö #6 *7 *8 ,y!) *10 'V11 *12 'l ! ~Cl ~C2 _C3 «1 «2 *3 «4 «5 "ö (18)> -tj -., bA b4 bb bH égalé a zéro, fornie la condition, pour que ces équations soient dépendantes 2): ') Voir: Théorie générale de l'éliinination, 107. ') Nous supposons ! '!'■différent de zéro. I ''fi ''o I #1 .v;i ., y "b 1 «6 b.A prenant 2 pour Ie degré de la fonction F-). Dans le cas qui nous occupe, ou les équations données sont dépendantes, tous les déterniinants de 1 assenihlant (30) doivent s'annuler, et ces équations sont liées par la relation: #i t> -f- («2 ® -|- «g y + #4) -p ~ 0 (31 )> dans laquelle les symboles # ont les valeurs: ') Comparer: J. Molk, Sur une notion qui comprend celle de la divisibilité et sur la théorie générale de 1'élimination (Aeta Mathematica 6, 1885), cliap. 11, § SJ. *) Voir: L'équation finale [Verhandelingen der Kon. Akad. van Wetensch. (Eeiste Sectie), deel VIII, n". 1], § 1(5. *1 *2 *3 *4 - =- ■ — — 7= .(32) b\ "\ «i \ «i /ji b., \ - a., by a., b2 - «2 bi bi bs b\ "i k ai h k ai bi OU *1 _ *2 __ *8 _ *4 (33)_ h\ " -— a\b\ a\ u2 b\ a\ b3 ai bl La relation de dépendance (31) montre que la fonction "b "4 /;ó /;4 '3 «6 «5 /;ü /y5 Dans lc cas oü les équations (15) admettent une seule solution commune, 011 obtient cette solution en resolvant les équations: Ps H H~Pt» = ü'j (20), —Pe x -\~fia = °'! dans lesquelles les syinboles p representent des determinants designés x) de 1'asseniblant: h *2 *3 *4 *5 a? x bx r, ay r2 c, * «3 ^3 (3 rl (~1)- //- «4 ^4 P2 !f "b K ( 'i C2 1 a{, bH f3 La relation de dépendance entre les équations données est la suivante: (#, x -f" // -j- #3) f + (#4 # H~ #5 ^ T~ (#7 a'2 #8 'r ~~b 0 . . . .(22), dans laquelle les syinboles # representent les determinants suecessiis de 1'asseniblant: ') Nous supposons que )\ ne s'annule pas. a\ c'l «2 l<\ ^2 ^1 '*2 c'l «3 f'l hi h\ C3 C1 rt4 rt2 ^ ^ r2 C1 (?5 «3 ffj i5 ^3 ^2 ('3 f2 " (23)» «6 «3 /;6 ^3 C3 «4 ^4 (2 ff5 fU C3 "e a5 /;6 bö . formé par la suppression des deux dernières colonnes et de la dernière ligne dans 1'asseinblant (17). Dans le eas oiï les équations (15) admettent deux solutions communes, tous les déterniinants de 1'assemblant (21) s'annulent. Les équations (15) sont dans ce cas liées par la relatioii: #1 V + *2 * + (#3 X + *4 y + *5) X ^ () dans laquelle les symboles # représentent les déterniinants suecessifs de 1'assemblant: 1 . ai \ °i a>Lhi c*c\ (25), «3 b.A c3 c{ «4 b4 H formé par les quatre premières lignes de rasseniblant (21), tandis que les deux solutions communes sont détenninées par les équations: (26), /;5,6 X + ^3,6 V + 1'3,5 — 0 ' ) dans lesquelles les symboles sont des déterniinants désignés *) de 1'assemblant: ') La deuxième équation (26) est la mênic que la troisième équation (15). Dans le cas oü i\ „ ou o, s'annule, les deux solutions communes aux équations (15) sont déterminées par les deux équations: <■! y + c, =0, — Po.o x' + ft .» * + P.. = 0- Les determinant» de eet assemblant forment les coefficients des équations finales et des antres équations résultantes. Si tous ces déterminants s'annulent, les équations (34) sont dependantes. $ 12. Comme la relation: (#, 1 (37), — q> S7 X2 »8 xy -j «9 X ■ t #,0 y2 + et out nu commun facteur dans le cas considere. La relation de dépendance (36) se réduit donc a (#t x -f- s2y 4- #3) (f -)- («4 x + «- y + #6) ^ ~ (3S), dans laquelle les symboles # représentent les déterminants successifs de 1'assemblant: a\ \ a2 fi{ b%l b{ "■i «i ''i bl (39)' a4 a2 hA h.L «5 n.A n2 bh bH b2 formé par les cinq premières lignes de l'asseinblant: i ; #1 «2 #3 *4 #5 *6 «r3 «! bx x2y a2 «y b2 hx x2 aA 3 \ ,/ y «5 K 1 ! «6 K (lou lüii (leduit les équations terminales suivantes: 'x /' xy + "x ^ J ■>' + a1 /Jl >r 4- "l /j' _i_ "ï K i ** "» M ' «4 if +|«, + % b\ ■= °. I h) '*+^ ,,,+h '»<*- «< ^ „ "4 «4 r(42)- w'Te T"i1T T'"breS r68 °'l"ati°"S 'loi,e"t être par Ie plus grand commun diviseur des fonctions v et * 2) En een van t ces équations dans la forme suivante: ') De l'évanouissement de tous les déterminants de lassemblant am „f • , ceux de 1'assemblant (35) o„ dêduit facilement ,JUe les " I a- b• "| 6. a, ft, | "" "4 b' h> , i »> «1 6» : «, «, ft, ft, I "« I>. K | I a„ «3 ft„ ft, ' j aka2 b„ ft 1 "• ''«I I «. 6»! I «. ftj s'annulent dans le eas ou les équations (34) sont dépendantes. t ependant, 1 evanouisseinent de ces déterminants n'entraine i,a« 1» i J Celu decoule de J'identité: y <04,+ 4/^. ]"'*/,+ \M.+ =0,1 1 "'2 2 «sM "4 4 ®5 ö «6*H I ; (43) a\''\ (),2l ÖH h x_ "4'U , (!«2^2 v _ j «4 /;4 L () I' ' r/4/y4 ' rt4/y4 ' «6/y(. |_ «4 V ' «5 /y5 >' ' on voit facilement que la uremiere est divisible nar 1 '} u 4- "l 1 a262 a3 3 | et la seconde par 22 x — "4 4 . a4 bA ab bh En divisant par ces facteurs on obtient 1'une et 1'autre fois le plus grand conunun diviseur cherché. Les équations: "'l'+I"1 f'1 =«, I «2 0., ö3 ft, f ; / I (44) ao «2 "4 4 (1 k 'v~ V — 0' I "4 4 «ft 5 déterniinent une solution commune aux équations (34), les autres solutions communes a ces équations doivent satisfaire a 1'équation que 1'on obtient en égalant a zéro le plus grand coinmuu diviseur des fonctions = a{x -f- a2y -| - a.Az -\- «4 = 0 ,1 \p byV -)• b.2y -(- b^z -)-• b4 = 0 ,| (4(J). x+ c32 4 c4 = ü 'I o) = r/ja? ~f~ (Ltf -\- (t.Az -j- — 0 ,1 Ces équations sout dépendantes, si l'on a "ï K c\ d\ «2 h-i c2 di = () (47), «3 /;s C3 4 «4 «4 C4 et elles sont liées par la relation: K ci di ai ri di a\ b\ d\ "\ h\ ci b.2 r.2 (l.j, -— (t.2 c.2 (t.2 -b -f- a2 b.2 d,2 % — a.2 b.,c.2 u 0.. . (4H), h H ds " i ci di a i h * dA " t h c* si la relation (47) est véritiée. 2. Trois équations: Cp = a, x + a2y a3 z + a4 = 0, j 4* ~ ót x -f- b2 y -|- = 0 , | (49). x = cix -+• e2 y + P3z + c4 =0'! Pour la dépendance de ces équations il est nécessaire que tous les déterminants de 1'assemblant: *i H H x ax bx c, y a.2 b.2 r.2 . . (50)> z as b3 cH 1 «4 b4 c4 s'annulent, et ces équations s , 'h 'K1 3. Deux équations: (p ax iv + «2 // + H ~ 4" «4 = 0' I (52). •X 4- b2y 4- /a, -4-^4 = °' ! Ces équations sont dépendantes, si tous les déterininants de 1'assemblant: *1 #2 x a, bx y ö2 (53), * flg Óg I ax b4 s'annulent, et elles sont liées en ee cas par la relation: bx(p — ax -l - (I (54). IV. La dépendance ou l'indépeiidance des fonctions algébriques. § 17. Dans e,e qui précède, nous avons rencontré plusieurs t'ois des fonctions liées par des relations ne contenant pas les variables explicitement. Ces fonctions se nonnnent fonctions dépendantes '). II n est pas nécessaire que les équations obtenues en égalant a zéro quelques fonctions dépendantes, soient elles-inêines dependantes, p. e. les fonctions * "i*4 «2 'I (55) ^ — bxx 4- - * ') Coniparer: H. Laurent, Traité d'Analyse, tome I, « liap. VII. sont certainement dépendantes, car 011 a la relation: — -j- ^2 —aïb\ (56), niais les équations: nvT -f «2 = () , ) ....(57) l)y X -\ /)., = 0 , i sont seulement dépendantes, si leur résultant, c-a-d axb2—a^b^, s'annule. Réciproquement, il peut arriver que quelques équations algéhriques sont dépendantes, tandis <|iie les fonctions qui forment leurs premiers inenibres sont indépendantes, p. e. les équations (28) se trouveraient dans ce cas, si tous les déterininants dc 1'assemblaut (30) s'anmdaient, tandis que la fonne 'laxb2 — a2bx ne s'annule pas. § 18. Si le nombre des fonctions que 1'on considère, est d'une unité supérieur ii celui des variables qui y entrent, ces fonctions sont continuellement liées par une relation dans laquelle les variables ne figurent pas explicitement. On obtient cette relation en éliniinant les variables entre les équations que 1'on obtient en égalant ces fonctions a des symboles distincts, coinme nous avons opéré dans les paragraphes 4 et 7. § I!). Pour le cas oiï le nombre des fonctions est égal a celui des variables qui y entrent, Jacobi a montré que le caractère distinctif qui fait reconnaitre si ces fonctions sont dépendantes, consistc en ce que leur determinant fonctionnel s'annule identiquement '). Nous ne nous arrêterons pas a donner la démonstration de ce théorème, laqaelle est d'une notoriété très-grande. 11 suttira de mentionner un exemple. Les fonctions: q> x2 -f n2 xy + x -f a4y- 4 «5U + "e > I ■I bx x -j- b2 y + b.A, | sont dépendantes, si leur déterminant fonctionnel: 2 «i x -f- a2 y -\~ a.A «2 x -f 2 «4 y -f «3 K b, ( ') Voir: Jacobi, De determinantibus functionalibus (Journal de Crelle, tome 22), traduit en allimand dans Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaften. n°. 78. s'annule identiquement, et indépendantes, si ce 11'est pas le cas. Pour la dépendance des fonctions (58) il est donc necessaire (|\ie les trois fonnes 2 a1 b2 — «2 ^1 • a2 ^2 — 2 a4 bl et a3 b., — ab bx s'annulent. Si 1'une de ces fonnes a nne valeur différente de zéro, les fonctions (58) 11e sont pas liées par nne relation oiï les variables 11e figurent pas explicitement. $ 20. Si le nombre des fonctions que 1'on considère, est inférieur a celui des variables qui y eutrent, la condition nécessaire et suffisante, pour que ces équations soient liées par une relation ne contenant pas les variables explicitement, consiste en ce que tous les déterminants de 1'asseinblant fonctionnel de ces fonctions s'annulent identiquement, p. e. les fonctions: (p = ax x + a2y + «3 * -f a4, ) ï = öt x -f- b2 y ~j- b.3 z -f - b4, j sont dépendantes, si tous les déterminants de l'assemblant fonctionnel: | "ï "2 % (61), 1 K K K s'annulent, et indépendantes, si au moins 1'un de ces déterminants a une valeur différente de zéro. Appendices. 1. Les solutions d'1111 système de n équations non-homogènes a n variables appar tenant au do ma ine de 1'infini. $21. Dans notre mémoire intitulé „Les systèmes de racines d'un système de n équations liomogènes a n -(- 1 variables nous 11'avons pas considéré spécialement le cas 011 l un des elements d'un système de racines obtient la valeur zéro. 11 11'v avait pas alors sujet de considérer ce cas en particulier, car les résultats généraux ne subissent pas de modification importante par la présence de telles solutions. Le degre de 1'équation finale reste encore égal au produit des degres des équations données, mais quelques détenninants de l'assemblant des coefticients de ces équations s'annulent dans ce cas *). § 22. Dans le cas oiï 1'on considère un système de n équations non-hoinogènes a n variables, 011 rencontre parfois des solutions q. En choisissant q—1 lignes non liées entre elles par une relation linéaire et ne contenant pas une ligne composée de zéros seuls, ces lignes forment un déterminant avec chacune des autres lignes de rasseniblant considéré. On obtient ainsi p — q -f- 1 détenninants, liés par une relation linéaire. Si ces détenninants s'annulent, les autres détenninants de rasseniblant considéré s'annulent également. Cela se voit facilement en ') Comparer: Les systèmes de racines, § 26. ') Voir: Les systèmes de racines, § 3. considérant les p équations linéaires homogènes a q variables qu'on peut former des lignes de 1'asseinblant proposé J). § 2(i. Considérons en deuxième lieu le cas ou les coefficients des p—q relations linéaires existant entre les lignes de 1'assemblant considéré forment les arguinents consécutifs d'une fornie binaire dn degré p—1. Si les variables de cette fornie ne peuvent s'annuler, le nombre des déterminants qui doivent s'annuler, pour que ce soit le cas avec tous les autres, se réduit a p—q. Les p — q -j- 1 déteriuinants que 1'on obtient en snpprimant alternativement p—1 lignes de p— q -)- 1 lignes consécutives sont liés par la menie relation lineaire. Si p—q de ces déterminants s'annulent, le dernier s'annule ésralenient, et de niêine tous les autres déterminants de 1'assemblant O ' considéré. Si 1'on admet que 1'une des variables de la fornie binaire puisse obtenir la valeur zéro, les conclusions que 1'on pent tirer dans le cas ou les variables ne peuvent s'annuler, deviennent inexactes. Dans ce cas, la première ou la dernière ligne de 1'asseniblant considéré doit se composer de zéros senls. Pour tirer la conclusion que tous les déterminants de 1'assemblant s'annulent,il faut que ce soit le cas avec p — q-(-1 déterminants clioisis de telle manière qu'atfcun d'entre eux ne contiemie la première ou la dernière ligne. § 27. Dans le cas ou les lignes de l'asseniblant considéré sont liées par p—q relations linéaires dont les coefficients forment les arguments consécutifs d'une fornie ternaire, on peut tirer des conclusions analogues a celles du paragraphe précédent. II est clair que ce cas ne se présente que, si p a une valeur de la fornie ('ó). Si les variables de la fornie ternaire ne peuvent s'annuler, 1'évanouissenient de p—q déterminants désignés de 1'assemblant suftit, pour que tous les autres s'annulent. Si 1'on admet que 1'une des variables de la fornie ternaire peut obtenir la valeur zéro, 011 conclut facileinent que les lignes de l'asseniblant qui s'accordent avec les termes de la fornie ternaire 11e contenant pas la variable considérée, sont liées entre elles par une relation linéaire. Les déterminants qui contiennent toutes ces lignes s'annulent identiquenient. Afin que dans ce cas tous les déterminants de rasseniblant s'annulent, il suffit que ce soit le cas avec p—q -f- 1 d'entre eux, ne J) Voir: Théorie générale ile 1'élimination, § 4—7. conteiiant pas toutes les lignes qui s'accordent avec les tenues de la forme ternaire, se composant exclusivement de deux variables. 4. Les relations qui doivent exister ent re les coefficients de n -j- 1 équations liomogènes a n variables, pour que ces équations adraettent u 11 e so 1 ution com 111 une. § 28. 11 nous parait que la dépendance d'équatioiis hoinogènes dans la cas oü leur nombre est supérieur a celui des variables qui v eutrent (voir § 2), exige 1'existence d'une solution commune a toutes ces équations. Cette assertion n'est pas une conséquence directe de la détinition de dépendance donnée par Jacobi, niais elle découle nécessaire ment des recherches faites dans le mémoire présent. Pour que // —(— 1 équations homogènes a n variables admetteiit une solution comiuuue, il ne suftit pas que les u -(- 1 svstènies de de 71 équations homogènes a n variables, obtenus par la suppression successive de rune de ces équations, aient des résultants qui s'annulent, mais il faut qu'ils admettent le même système de racines. Ou obtient les relations qui doivent exister entre les coetticients de n 1 é(piations homogènes a u variables, pour que ces équations admettent. une solution commune, en considérant ce système d'équatioiis coiiime un système de n -f- 1 équations homogènes a n -|- 1 variables dont 1'une des variables a obtenu la valeur zéro. Dans ce cas il existe, comme nous avons vu, une relation lineaire entre les lignes de 1'assemblant de la fonction b appartenant au système de n + 1 équations considérées, tpii s'accordent avec les terines de la fonction F ne contenant pas la variablc introduite, la<|iielle doit s'annuler. Tous les déterininants de l'asseniblant formé par ces lignes doivent donc s'annuler. Les équations qui expriment 1'évanouissement de ces déterininants, forment alors les conditions qui doivent être remplies, pour (jue les équations données admettent une solution commune. Si les équations données sont respectivement des degrés , y2 > 9v ■ ■17.,+* °" h > i} suffit de prendre -\- —(n—1) pour le degré de la fonction F dans la formation de eet assemblant. Voiei un exeniple. Les équations: «4 :f i "5 Uz + "a s' = 0 > i i>,'/ + h)' + K-2 = o.\ <•*> HV-VC3* = ü>! admettent une solution commune, si tous les determinant» de 1 assemblant: «4 ,J\ c2 a5 a4 b5 b4 c3 r2 (68) an ab K h '3 H ö8 h'2 + h xy H- h xz + 'u r +- *>h yz + i9 z2 = o, I (öfi) Cx x2 -f C2 ,ry f Ca xz -f- c4y2 -f cbyz -f c6 z2 = 0 ,1 ' 4 >'2 4 4 'K>/ + ds ** + dx H2 + 'k r~ + d« Z2 = () ,! admettent une solution commune, si tous les déterniinants s'aniiulent que contieut 1'assemblant suivant: "1 ,J\ ci (,\ «2 Cj fl?2 ^1 ff3 ,ix h.A c3 r, 5 b4 1).A />., fb C4 r3 C2 7). <*« "5 «3 "2 /; c5 'i db di «6 ^5 /;H ^5 '5 4 4 r/fi rH (/6 Hemarquons, en terminant, <|iie les déterniinants de cet asseniblant contenant toutes les colonnes qui sont liées par une relation linéaire, s'annulent identiquement. Les coetticients de ces relations linéaires sont contenus, coninie 011 sait, dans les lignes de 1'assemblant suivant: ! I 'h 'h <\ 'U 'U ~''l ~ci '('i ~ci 'co ~re ~d\ -6 'k 'k 'U 'h 'Je -«1 -«2 -ff3 -»i -»5 '«6 'l '2 's Ci '5 c6 "^1 '^3 ~^>i -h ~^6 "r'l "Cj "'3 "5 "l "3 "3 «4 "i "6 ' bx />, ''a bl h- b,. -«3 -«t -tf5 -«6 errata du mé moiré „Les systemes tl e meines cl tin système de ti é (| u a t i o n s hom ogen es a u -j- 1 variables. Page 20, ligne 12, au lieu de ces, lisez: ses. „ 28, „ 7, au lieu den mots si deux cle ces déterminants, lisez: si deux déterminants désignés de eet assemblant. Page 28, ligne 12, au lieu des mots si trois de ces déterminants, lisez: si trois déterminants désignés de eet assemblant. Page 31, ligne 10, au lieu de la, lisez: le. „ 47, „ 5 d'en bas, au lieu de < v -f- /i, lisez: p < v -)- v. (30 Januari 1004.)