sent pour l'évaluation des éléments // et z du système de meines superflu. Dans le cas ou ü y a /• systènies de meines superfius, les /• -j- 1 premiers tenues de 1'équation finale entre y et z sont nécessaires pour évaluer les éléments // et z des /• systènies de racines superfius. Divisant le deuxième, Ie troisième, etc. coëfficiënt de 1'équation finale par le premier coetficient, 011 ohtient des résultats qui sont respeetivement, égaux a -C:+?+ +*> ''hl* i y/m-i yim\ I 2n Zint— 1 Zlm J f (77), (_ 1,/. ('h Hl • • -9* .'/•:• • •,'//.-! Uk +1 , \?1 2-2 . . .Z/, r*i Z.1 . . . Zjc _ \ Z/i -j- 1 .'/Im-I. 4. j ///,„-/, 4- 2- • >!/(„> \ zlm-k + \ yhii_k + 2_ Zbn J' etc. De ces égalités on peut déterminer les valeurs suivantes: -<*+?+••■+*) I "l ~2 k I Hh #2 _J_ _|_ _ .'/k-\ï/k \ I '2 *3 > (78), jySif2" -:n | zt Z2. . .z, exprimées en fonetion de coetfieients de ré(pmtion finale et des hu—/■ systènies de racines indépendants. C'es valeurs forment les coetfieients du deuxième, troisième, etc., I' -f- l'"me terme d'une équation homogène entre ) et z du degré, on 1'on prend 1'unité pour le coetficient du premier terme. Les /• systènies de racines de 1'équation ainsi obtenue représentent alors les valeurs de // et - ortent aux /■ systènies de racines superfius des équations données. Keniarque. Pour 1'évaluation d'un seul système de racines superflu on peut se servir aussi des coetfieients du premier et du dernier terme de 1'équation finale, pour trois systènies de racines superfius \x3+t>3*i!/-\-i%xi*-\-bixy*-\-bixyz-\-btxz'1-\-b1y*-\-bby*z-]-b9yzi-\-bioz* = 0, j Si ces équations n'ont pas de systènies de racines égaux, il existe saus doute un seul système de racines superflu '). Constituons 1'assemblant des coetfieients, prenant 8 pour le degré de la fonction F: \ ai K j j a-i K ! «3 h | «4 bA \ '> (so). ! ae *e I a7 L j "s h I ! ag K ! al0 bl0 | et 1'assemblant des buit systènies de racines indépendants: i ïl 1) 3 /j7 3 >)1 3 i) d •)) 3 /y» 3 /v> «3 X 1 fï x*y* x\V 2 xt>;/2 xeJ2 xÏH2 x*y2 X\!h~ 1 X2^2Z2 X%}l3^3 XiUv:i Xbyhzb xl!/lz1 t''8-3/8~8 /o 1x ! r - 2 ~ ~2 r - 2 r » 2 ,, - 2 7, - 2 r - 2 « r2 • • • V J • ■'rl 2" 2 3*3 4 4 5 5 ^6z(i a7Z7 a8~ 8 //l" Ü2 //33 y4^ ^53 V V //88 yA i/2z2 y2h y2h y2h y*\ u2zi y2z% y\h2 y*z2 >uz2 y^2 y^2 niz2 y»*»2 y & ** 3 « if « B « 3 « 3 « 3 w 3 'l "2 3 4 5 6 "7 '8 ') Nous nous abstenons dans ce mé moiré d'entrer en des partieuiarités relatives aux systènies de racines su]ierflus puur le cas oii les équations données admettent des systènies de racines égaux. Au moven du dernier asseniblant on peut fornier les deux éfjusitions résultrfïites indépendantes: X|;iX~U — X, :]x2z -|- X, 4a?y2 — X,^xyz -f- X, (Vrz2 — X,,^3 + X,.„.y2~ — X,,/A-2 4- Xl(1023 = 0 , | ^ — Xl 2a?8 -f X^xh— X24 4 \ 7 + 7^" + 7 T 9D (84), "l 2 8 9 47,48,49,50,51,52,53,54,55 d'oü s'obtient immédiatement le rapport de //9 par z9 exprimé en fonction des buit autres systènies de racines. La valeur de ). Le coëfficiënt de //'J est égal au produit des deux facteurs suivants: 1. celui qui est coiuuiuii a tous les coetticients de l'équation tinale, y conipris le facteur coinnum ii tous les déterininants de 1'assemblant des coetticients; i. le résultant des équations oiï se ramènent les équations données en égalant a zéro la variable z. Le coëfficiënt de z9 se coinpose également de deux facteurs, dont le premier est le mênie que le premier facteur du coëfficiënt de y9 et le second le résultant des équations que 1'on obtient en égalant la variable y a zéro dans les équations données '). Xotant ces resultants par -ftr = 0 et -/f!,/ = 0, on obtient la relation: 9 y 4H. 49. 50.51.52,53.54.53 Pw>, 47.48.49,50,51,52,53,54 /c~\ D /> (•■/• nz = 0 Jl,, = 0 C oinnie les coetticients de //'•> et z9 dans l'équation tinale (HG) torinent une proportion avec les produits des racines de cette équation, ou obtient: »\ -h ■ ■ = ~~\ :V • ■ • -» ~9 H /> !/ = O '«- — () En appliquant la niénie méthode a l'équatioii tinale entre x et z, on trouve l'égalité: ') Comparer: L'équation tinale, £ lft et suivants. .r2 . . . a?8 a\j ;/x y2 ■ • •!]§>/% z\ z2 ■ • • • z8 g9 »» ^,=» " xz XZo 1 dans laquelle lt_ 0 représente le résultant des équations: "i f + «8 fz + «9 ygi + «io *3 =0 > I )0 'h f + !liz H~ h y*1 + 6io = 0 > i R;/ _ „ le résultant des équations: «1 ,v:i + «3 \ xA + tiA xlz -f b6 ,r.r2 -f 0,o z3 = 0 , 1 ( -S;=o le résultant des équations: «i '®3 + «■> ^y + «4 + «7 / = 0 • j />i ^7,10 Xj :i, X|)(! ,X,,0 X|.>, ^ , X| 7 ^7,9 ? X7 XH,j , X,i6,X1i10 + X3,8,X;w0 X|t4, X|_7-j-X.)4, Xi7 Xt IQ» X,,O , XM0) X;j )n , \;,o Xli8) Xoj , X4 7 d'oiï I'on peut déduire aisément les valeurs de y9, ~ en fourtion des huit autres systèuies do raeines des équations dounées (70). III. T rois «M|iiiilions lioino^t'iics a <|iialre variables. 1. Noiuhre des systèuies de meines superflus. 37. Soient -r' -t-»2 r'_l !/-\r"u-^-a^x1—'2 yJ-(- . .. —f—»' =0,1 x '<)—x>"+^2 1 >/ //:f .i"" _1 * -f fii 1«+// ■ ■ ■ +^»» + 3j «'" = », |(95) y(x,y,z,u)—cxx" 4y+CsX"-1 z-\-Cix>'-^ K-fc.tf"-2 . 4-C,n + 3N»" =0, 1 (. 3 ) ! les équations dounées, respeetivement des degrés /, m et », oiï / ]> m > n. Prenant / pour le degré de In fonetion F, on obtient les valeurs: -et3) • =]+)+(/_ „+,) * -1 *+3)+r V" 3)+c";,+3) •'<9,,) /" Hl il —f— 3\ f'» = ( 3 ) On tire de ees valeurs les conclusions suivantes: 1. Si m —|— n 3, w < 3, et par conséquent /> m n — 3, le nombre des systèuies de raeines superflus est -', = (" + r') <*»>; 3. Si ///]>3,0 m -|- >i 3, le nombre des systèuies de raeines superflus est & -H = - ('" I') + C +1~') ('•>*); 4. Si n > 3, /m -|- n — 3, le nombre des systèuies de raeines superflus est C71)-CT1)+("+rI) • <»»>< 5. Si // > 3, / <[ /// -f- n — 3, le noiubre des systèuies de raeines superflus est nn -f -n— I—1\ ni— l\ ''2 ''s- C 3 ) ( 3 ) -Cï,)+("+»~1) <"»<»■ Kxeniples: Pour 1=2, >n = 2 , n = 2 , on trouve — r3 — 1 ; / = 3 , = 3 , n = 2 , „ „ — v3 = 4 ; / = 4 , M == 3 , n = 3 , „ „ — f3 = 10; „ / = 7 , «< = 6 , n = 5 , „ „ v2 — ^*3 = 105 ; etc. Remarque. La formule qui fournit le noiubre des systèuies de raeines superflus dans le dernier cas, peut aussi s'appliquer aux autres cas, si 1'on regarde coinme des zéros les coeffieients binoniiaux des puissances négatives qui se présentent dans le cas ou l^>m-\-n—1 !). ') Les résultats obtenus dans ce paragraphe 11 ■ different pas de ceux mentionnés par Jacoiu dans le journal de Crelle, tonie 15 (183ti), et (|u'il ('non re comme snit: Si v -)- v, sed n, v2 = 0, = 0; ( Après avoir eonstruit les assernblaiits des coettieients, ~"''/" + 4/>H,32,33,35 2w't_h Vin,M //4 = 0 . . . .(104), Vyn. 18.l9.aii"' h V'll', 1X, 1U,20^3-f" VyMi. 17,1(1,211'-'"" ~t~ 'Vlli, 17,18,20 'V'ni. 17,18. 10 " ' == 0. . . .(105), '^pi. m. «», uiy~ "I" "/Ai, s. H, 111,y ~f ~/v,, 7, o, ut *" "h 2/\7,8,1.^« + V.,7,«,!»«2 =<»■■• .(106), W 7.0, I.»//2 -+ '2V\ 7.'•>, «.** + "lP\ li, !t. 1«y» 2/>.j,<;, 7,102® ^Pd,o,7,'.i a~ — " • • • • (l 0 7). Si 3/?i7,i8,ivio es* différent (le zéro, les équations (104), (105) et la troisièine équation (102) suttisent pour l'évaluation des quatre svstènies de racines des équations données (102). 8i 1'ou a ®p171819ao = 0, l'équation (105) se ramèue a une équation entre les deux variables r et ti du troisièiue degré, ayant au inoius pour raeines tous les svstènies de meines différents de l'éijuation tinale (104). L'équation (100) est dans ee eas divisihle par le liinoine i/y7,«,!).10~ 2/Ai,8,!),10M (MI'S). Deux svstènies de raeines s'olitiennent en résolvant ré(|uation 2A 8.o,t"~ + ^i.8.0,1 0« = 0 (100), l'équation (107) et la troisièine équation (102), et les deux autres par la résolution des équations: Vlli,18.10,20~'iH_ 'Vlli,17,10,•20~~^-t~'V'/l(i,17,18.20~''"~f~ 'i//lli,17,18.10 W | | | j ^7,8,0,10 2 + "A,s .. I 2A, 7. 9. in z1 2Pe, 7.8.m -f- 7;r,. 7. s. 9 .. ,1],. y~\ ~wn—« =t' (lll) Pi. 8. 9,10 Z \ / . . .(113) °ixl + Vy+ ». /) I) . . • V» * *)> .c = 0 ■* !/= 0 •"* = 0 = 0 dans laquelle ltx = ü représente le résnltant des équatiuns: "b?r + aet/2 -f- <1-1/H H" n*-f- + a10u2= 0, J h f + K?fz + biÜ" + /;8-2 + Kzu + ^iü«2= °> ' • (115), c5 f + '\-J~ + W + r8r'2 + 'y + cio*2 = , ) et ainsi de suite. Par 1'application de la méthode de Sylvester on obtient pour les susdits résultants des tormes coniposées de dcterminants de l'assemblant: «i K c\ n-i f'-i c «,0 bl0 c10 En remplacant ces déterniinants par les dcterminants supplémeiitnires de l'assemblant des sept systèmes de racines indcpendants: 2 o ,9 „9 9 o u «1 V 3 4 % a'« *7 'rl//l 'r2^2 *3^3 *4*4 *5*5 *6*6 *7*7 *1 ~ 1 X2Z2 *3Z3 1?'4~4 XbZb *6~6 *7~7 ®2«2 #3a3 ,r4//4 xbub Xnu(. ay/7 2 9 2 2 2 9 9 *i *2 *3 *4 y* *6 *7 (117) *1 ~] «/a-a *3^3 *4~4 *5~5 //6rG //T~7 2 -|- '<2 = 0 > I f3 = O , (2), %, = O , respeetivemeiit des degrés gx, y2, y3,. . . . gn '). Si la fonction Fe st „, <1>.{ (I a coetticients indéterininés sl,s2 s„t sont respeetivemeiit des degrés j—gvj—gvj—gv j—f/n- Pour toute Videur du degré de la fonction F qui n'est pas in- n férieur a Z //,,—//, n peut former avec les eoetficieuts des équa1 tions donuées un asseniblant relations linéaires liées a leur tour par v.A relations linéaires, et ainsi de suite Les valeurs v que nous avons en vue sont les suivantes: • =ft") , <3)- v = n—g\—9i • • —n + »y I Entre les valeurs v il existe, comme on sait, la relation: v '-1 H~ W2 H~ ( "V" ~ • • • 9n (4). Après avoir supprimé de rassemblant de la fonction F les colonnes qu'on peut regarder comme dépendantes des autres colonnes, 011 obtient 1111 asseniblant de v lignes et de vx—v2 -\~ v3— . . . -)- (— ') Nous supposons que deux quelconques des fonctions

les valeurs propres a éütniner un nonibre de v—!)\ y-i •••!/„— 1 termes de la fonction F, 011 peut obtenir un total de ( V . , ) équations 1 V/l.72.- • " 3n + iy résultantes, contenant chacune comme variables gx g2 . . . gn -f- 1 arguments différents de la fonction F. La valeur j = gx g„ ... g,t conduit, comme on sait, aux équations finales. Si 1'on prend pour j des valeurs inférieures a gx y2 • • • ,)w 011 obtient des équations résultantes qui contiennent en général plus de deux variables. La plus petite valeur qu'on [misse donner a j, est le plus grand degré des équations données; remarquons cependant (pie (pielques valeurs v changent de signification, si 1'on prend pour^'des valeurs n inférieures a "L gK—n. C'est le cas avec vn et (pielques autres valeurs 1' v qui contiennent des coefficients binomiaux de puissances négatives. Les coefficients binomiaux de puissances négatives qui se présentent dans les valeurs v, ne se rapportent pas a des relations linéaires entre les colonnes de 1'assemblant de la fonction F'). Aussi on ne s'en occupe pas, quand il s'agit de déterminer le nonibre total des relations linéaires indépendantes qui existent entre les colonnes de l'asseniblant de la fonction F. Nous verrons plus tard que la présence de coefficients binomiaux de puissances négatives parnii les valeurs v, nous permet d'évaluer le nonibre des systèmes de racines superflus des é(piations données. § 3. Prenons pour j une valeur qui n'est pas inférieure a n ZgK—ti; les déterminants de l'asseniblant des coefficients forment les coefficients des écpiations résultantes découlant de la fonction F. Le nonibre de ces déterminants est ( ' ). Ces détermi- V/ i !h> ■ ■ ■ 9J nants sont divisibles par un commun facteur du deeré v9 — 2 v., + 3r4— . . . +(-l)»(«-l)r„. PrenantJ = g. g„ . . ,gti, on ne trouve parnii les écpiations résultantes qu'une seule équation qui contient deux variables désignées; cette équation est, comme on sait, l'équation finale entre ces deux variables. Pour bien faire comprendre ce qui snit, nous rappelons la propriété que les déterminants qui forment les coefficients d'une ') Comparer: Théorie générale de 1'élimination (Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam [Eerste Sectie], deel VI, nc 7), § 72 et § 104. equation finale, sont tous divisibles pav un facteur du degré " 1 o—ff\ ff» • • • ■•• la 111 des coefficients. Póur démontrer ce théorème, substituons dans les équations résultantes qui découlent de la fonction F les ff2systèmes de racines des équations données. Chacune de ces équations fournit U\ 9" équations linéaires homogènes entre les ffl . . .//„ -)- 1 coefficients de ces équations. En résolvant ces équations par rapport au\ coefficients on trouve que les déterminants de 1'assemblant des coefficients sont proportionnels aux déterminants supplémentaires de l'assemhlant des systèmes de racines des équations données. Les deux asseinhlants contiennent un nombre égal v de lignes, tandis que le nombre des colonnes du premier déterininant est —v2 -j— »3. .. . -)-• (—l)n_1 v,„ celui des colonnes du second lx //2. •• ensemble v, d'après la relation (4). Ces deux assemblants sont donc réellement supplémentaires. § 5. Si les t/l g2. . . (jH systèmes de racines qu'on obtient en résolvant les équations finales sor.t tous différents, les lignes de rassemblant des systèmes de racines sont liées par r, — Ls— • • • H(—l)"-1 vn relations linéaires. Coinme ce nombre est préciséinent égal a v—<)x r/„. . on en conclut que les colonnes decetasseniblant sont indépendantes. C'est le cas, si 1'on ne prend pas des valeurs pour j inférieures n a Y.gK — 'i. ï Si le ]>lus grand degi'é des écpiations données est inférieur a ce nombre, les y, '/.>■■■ f)n systèmes de racines ne sont pas indépendants. Prenant dans ce cas pour le degré de la fonction F le plus grand degré des équations données, les lignes de l'asseinblant des systèmes de racines sont liées par un nombre de relations linéaires indépendantes, oiï X-, > vx —v2 -f- v3 — . . . -)- (—l)"-1 v„, et par conséquent les colonnes sont liées par /• = /,1 —(v—gx ff.,. . .(/,) relations linéaires, d'après le § 56* de notre mémoire „Théorie générale de Féliniination." On en conclut <{Ue le nombre des systèmes de racines superflus est égal a k. Remarque. Le théorème des assemblants supplémentaires est encore applicable dans le cas ou 1'on prend pour j une valeur n inférieure u S ffK — n, si 1'on supprime de 1'assemblant des systèmes ï de racines un nombre de k colonnes, qu'on peut regarder comme dépendantes des autres colonnes. § 6. Le théorème des assemblants supplémentaires donne le moven de reuiplaeer los coefficicnts dos équations rósultantes par los déterniinants do l'a&semblant dos systèmes do racines dos équations données. Do cette manière 011 obtiont los équations résultantes exprimées par los gx •■• ff„ systèmes dc racines des óquations donnóes. Les équations résultantes ainsi exprimées peuvent s'écrire dans la forine des déterniinants du degré gx //■>■■■ sant dos valeurs des meines variables, prenant Construisons pour cette valeur de / une équation résultante qui contient outre les y,//., ■••!]„ argunionts do la fonction /'composés soulement de deux variables designées, 1'un dos autros arguments; lo coëfficiënt de ce dernier argument est lo déterininant do 1'assoinblant des systèmes de racines <|iii 110 renferine que les valeurs do ces deux variables. 11 est clair que ce déterininant s'annulo dans le oas oii 1'equation finale entro ces deux variables adniet des systèmes de racines égaux. Prenant j <)x . . . //„ 1, tous les déterniinants do l'assemblant des systèmes do racines contiennent en général les valeurs de j>1 us de deux variables; dans des oas particuliers il peut arriver que quelques-uns de ces détorniinants s'annulont. § 7. Pour éclaircir ce qui a été dit dans les paragraphes préoédents, pronons les deux équations homogènes du secoml dogré a trois variables: f>\+ f,'z *y + aA M + <*4f + % y~ + "a ~~ =()' ) (5) \ ,r2 -f ó2 xy -f- b.s xz -f /;4 f + bb yz -f b6 z2 = 0, S Les coetticients do ces équations étant arbitraires, les quatre systèmes de racines de ces équations — xjt y„ z, (i do 1 a 4) — sont indépendants, paree que 2 n'est pas inférieur a^ — »= 2. Prenant j = y2 — 4, on peut fornier l'asseniblant de la fonction F: ] *1 *2 *3 *4 *5 *6 *7 *8 *9 *10 *11 *12 Pl = «l bl p-l = fl2 ax b2 hj Pi = ^Z «A «1 bA bl Pi = i h'A ''i ^Ü)' P'J «6 «5 "3 "2 /;6 /y5 bA fj-> piQ = XZ3 fl-6 ff3 /v3 «4 b4 Pl2 = y*Z «b "i h b\ Pn = y2z'2 "6 "b ai bG ba b4 Pi 4= .f3 «e ab K h Plb~ S* a6 b6 et l'assemblant des systèmes de racines s': *1 *2 *3 *4 *5 'V6 *7 *8 *9 *10 *11 *12 h h\ b'i b'A b\ K b6 ~(ll ~(,2 'ai ~ai ~ab ~a6 • • - (7). I En supprimant de l'assemblant (0) une colonne quelconque, p. ex. la sixième, 011 obtient l'assemblant des coetticients: *1 *2 *3 *4 *5 *7 *8 *9 *10*11 *12 Pl =tf4 ax ij Pi =a?g «2 ax b2 bx h = ®3* «3 «1 h f>x Pi = x-y* ai a.> ax b± />., bx Pb = x%!/z [ «5 *3 "2 "ï ^ ^3 b., bx Pu = 'r2~2 "h H K h \ Pi = xf ï P» = X'J2z ab «4 «3 "2 ^5 ^ K \ (8). P'J = 'C./~2 «6 «5 «3 K K h '>•! PlO=*Z* «6 «6 *3 ^11 =/ «4 ,Ji Pl2=fZ \ %«i b, b, Pl3 = /■-" «6 «5 ^6 ^5 hi Pu = yz3 . «6 *6 ^5 ^15 = ~4 ^ tous les determinant-s de eet assemhlant sont divisibles par b(), Ie determinant de 1'assem Mant (7), qui est supplementaire u tous les déterniinants de 1'assemhlant (8). 11 suffira de mentionner entre les é(piations résultantes , facteur commuii a tous les déterminants de l'assemblant (8). l)e l'assemblant (11) on déduit plusieurs équations résultantes, e.a.: 3A;.«,!»,10^/2—10 <^2 "f Xfi,9.1o/- + 3j04.6,8.1O.'/^2 + ^4,6.8,!. ^ = 0 (12). Prenant j = gx t/.2 — 2 = 2, 011 voit que l'assemhiant des coefficients | «i #2 J Pi = X'1 «1 K Pi = xn «2 b2 Pi = XZ a3 ^3 _ . (13) Pi = f «4 K Pb = yZ «5 65 = *2 «6 11e renferme que deux colonnes. On peut déduire de eet assemblant plusieurs équations résultantes e.a. 1'équation terminale: "P'A. 4,5,6 x]/ "+ 5,6 X~ + 2Pi,9.5,6P2 + 'Wxi.iJ- + ^•2.3,4,5^ = 0 (14). Les assemblants des systènies de racines des équations données se rapportant aux différentes valeurs du degré de la fonction F sont les suivants: (h 1-2 9S ?4 *4 4 2%* *aW «V 'W,", «sVfe *4^4*4 X2Z2 X 2Z 2 r 2" 2 V 2~ 2 r 2- 2 'tj ^ .<2 -2 'T3 ~3 'r4 ~4 ,ry' «w' i?4.^41 V- «tf8a*2 x._0.d2zs (15), Jy~" a'\?/\ ~12 x%'/-2r-i x3#a2s~ aV/4~4_ a-:' *1*13 'V28 V33 'V43 / .^I4 //24 ^34 y44 .^3- 1 //l3"l //23r2 ;/3% .'/43~4 «2.2 „ 2. 2 2- 2 „ 2. 2 2- 2 V * ~1 ^2 ~2 ~3 !/4 "4 y*A ! .'/l'l3 .y2~23 3W' Mi* .4 4 .4 ,,4 1 2 4 J\ 92 li ?4 xx'A x2 x3s xf x2y x2j/x x2 \ x2y3 x2yi X2z x,% X2% x3% X2z4 xy2 xxy2 xtf* x3y2 x^y2 Xyz x\!/\z\ <^2~2 «r3^3~3 «4*4*4 „„9 9 9 9 9 1 (lv)), ^in" ^2~2~ 4^1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12' ^1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,13» ^1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,14» 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,15 qui ne se composent que des valeurs des deux variables y et Ces cinq déterminants sont divisibles par le déterminant 3X12i34A0 de l'asseniblant (lü) qui renferme seulement les valeurs des meines variables. De l'assemblant (15) on déduit 1'équation finale entre y et z: 4Xit2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 ^1.2,3,4,5,8,7,8,9,10,12 V'" ^1,2,3,4,5,6,7,8.9,10,13^ ~ 2,3,4,5,6,7,8,9,10,~f" 4^"1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,15 ~ " (1^0, ;/4 Ux y-1 //34 :>)i >h yx\ >/2\ y-s% y?z\ o '> •>_ 2 . 2- 2 .. 2- 2 2. 2 O M Q\ ou y-z- yxlz x< yfa' y3%< y4 /22 aW/i2 XZ2 X^2 X.yZ2 x.Az2 x4z2 ou y2z y2zx y2% y.d% y42z4 =0 (23), yz2 yxz2 y2z22 y3z.s2 y4z2 «3 «3 - 3 .3 ~ 3 "1 ~2 "3 ~4 identique a 1'équation (12). De l'assemblant (17) découle 1'équation terminale: 2Xi?2xy — 2X, 3a?z 2XMy2 — 2Xli5tyz + 2XI(1 z2 = 0 (24), | xy xxyx x2y2 xsy3 x4y4 xz Xxzx X2z2 X3ZH X4z4 O" f V\ y Xj .2,3,4,5.7 (27), ^7.8,9,10 ^6,7,8,10 ^6,8,9,10 2 V 2 V 2 V = ete (28). ^3,4,5.6 ' P%y 5,6 ^1,3,5,0 $ 8. Le théorème des assemblants supplémentaires conduit encore aux théorèmes suivants: 1. 11 est iiupossible que tous les déterminants de 1'assemblant des coeffieients s'annulent. Pour lc déinontrer, nous renvoyons aux démonstrations des $ 2—!) de notre méinoire „L'équation finale." Si tous les déterminants de rassemblant des coefficients s'anmilaient, il existerait au moins un système de racines a' satisfaisant a toutes les équations 0, outre les i\,— v:i -f- v*. . . -1)" v„ systèmes de racines indépendants qui satisfont déja a ces équations. Cela étant impossible, tous les déterminants de rassemblant des coefficients ne peuvent s'évanouir. Le cas ou quelques déterminants de l'assemblant des coefficients s'évanouissent, se présente, (|uand le nombre des tenues d'une ou de plusieurs des fonctions (p est inférieur au nombre des termes des équations résultantes, ou, si 1'on a <[ gl //.,. . .yn -)- 1 pour une ou plusieurs valeurs de p. Les équations résultantes renfermant parmi leurs coefficients les déterminants qui s'annulent, se ramènent dans ce cas a des équations d'un degré inférieur au degré adopté pour la fonction F, et elles contiennent un nombre de tenues inférieur ayx dx Oy Oc Ou on peut écrire le système d'équations (2) comine snit: Verhand. Kon. Ak&d. v. Wetensch. (1" Sectie). I'i. VIII. B 2 =0,1 dx dg dz du I d.2 . dq., è'K dcf.j . I ■ x 4- - ii 4- , - s 4- r- «4- = > l dx dg ' dz du (30). , dqn dq„ _ v - ® 4" \ y i—a s 4- ï u \ » dx dg dz du Eu différentiant les équations (2) on obtient de menie le systènie d'équatioiis: *■»(,+*•*+*■ ,6+ *',/« + ■••. = «.) dx ' dg 9 1 dz du / dg 4 P d»+ *♦» dz + A + .... = , dx dg dz du S . . . , . , (31), dg + * + t-- * + +.... = 0 , dx dg d z du ' ou dx, dg, dz, du, . . . rcprésentent les variations siinultanees des variables x, g, z, u,. . . Les u (jt 4~ 1) dérivées partielles des n tonctions (p nienent a l'asseinblant snivnnt: d«f, dtfj ötf t dx dg dz du dq>2 dtf>2 d>i., dq2 j dx ' dg ' dz du (32), , Ö toutesyx . nombre des termes d'une équatiou résultante. II résulte de la que le degré de la fonctiou F dans ce oas ne peut pas être pris inférieur a v ff\ ff-> •••/ équations homogènes a n variables sont de degrés égaux, les dérivées ])artielles du jacobien s'aunulent aussi pour les valeurs considcrees des variables '). Ce n'est pas le cas avec les dérivées des déterminants de l'assemblant fonctionnel, ce qui se prouve facilenient. I. I iio rqualion homogene ;'i deux variables. 1. Nombre des systèmes de racines indépendants. § 1G. Soit q («r,y) = ax x" -f- a2 xn~*y -f a3 x""1//- 4-. . . y"=0 . . . (35) 1'équation donnée du degré n. Le nombre des systèmes de racines est, eoinine on sait, égal a n. ') Voir: G. Sai.mon, Le^ons tl'Algèbre Supérieure, n° 89. En substituant dans 1'équation donnée aux variables les n systèmes de racines (qu'on peut snpposer différents), on obtient entre les n I coetfieients de l'éqnation donnée ti équations linéaires homogènes qui suflisent préeisément puur la détermination des n -|- I coefficients. Dans le eas ou il v a une seule équatiou homogene a deux variables il n'existe done ])as de systèmes de racines superflus. Si réquation donnée a des systèmes de racines égaux, de sorte (|iie le nombre total des systèmes de racines différents est n — les coetfieients de réquation donnée ne sont pas indépendants, mais liés par /• relations. Les lignes de l'assemblant des systèmes de racines différents, prenant j — n, sont dans ce cas liées par k -f- I relations linéaires indépendantes, coinme il sera démontré dans la suite de ce chapitre. 2. Cas ou tous les systèmes de racines sont différents. § 17. Les n systèmes de racines de 1'équatiou donnée (35) torment l'assemblant: ll\ d2 d'ó lC>' Wi x2"~^2 . y\ y* yïl yn" Cet assemblant contient n -j- 1 lignes et n colonnes. Les lignes sont liées par une seule relation lineaire (1'équation donnée (35)), donc les colonnes sont indépendantes entre elles. Indiquant les déterminants de l'assemblant (30) par X,, X.,, etc. 011 obtient 1'égalité: ^ = = X"+L_ (37). a\ ~a2 H (—1)X+1 E11 substituant les valeurs des coefficients tirées de cette égalité, dans 1'équation donnée (35) cette équatiou peut s'écrire dans la fornie: Xj o.i *»-y *r~VW 'Vr = o (39). f ,/i" ?/2n y,." Les déterininants de r.issem Ulant (36) sont tous divisibles par le déteriuinant ]): ™ " —1 r> "~l /*> W—1 lL\ cC2 * • • * X\~~V\ X2l~'% *n~% (40), j^"-1 y»"_1 ce qu'on peut déduire de 1'égalité (37). Comme les déterininants X, et \„ M sont divisiblcs par le determinant (4 0), les déterniinaiits X„, X;j, etc. doivent renferiner également ce facteur. Les svstcines de meines de l'équation (35) étant tous différents, le déteriuinant (40) ne s'annule pas. Dans ce cas on peut diviser l'équation (38) par le déteriuinant (40), d'oii 1'on obtient 1'équation suivante: I //,!/■> ■ //»+''V/i-h- •//»+• - •y»-i)a?n"V/ + (/.,x—x.,y) {y.A x—x.Ay). . .{yHx—-xlty) = 0 (42), qu'on peut obtenir aussi de l'équation (30) en appliquant les tliéorèines coiinus des déterininants. 3. Cas ou quelques systèincs de racincs sont égaux. § IS. Si réquation (3">) adinet des sys ternes de racincs égaux, ') Conijiarcr: Dr. Paui. Gordan's Vorlesungen ülier Invariantentheorie, tome premier, § lt)5. .. (39). (40), Ic determinant (10) et tous les déterininants de l'assemblaiit (36) s'annulent; et réciproquement, si le déteriuinant (40) s'annule, l'équation (35) aura des systèmes de racines éganx, et tous les déterininants de 1'asseniblant (30) s'évaiiouiront également. Si le déterniinant (40) s'annule, il existe entre les lignes de eet asseinblant au moins une relation linéaire. Les u systènies de racines de l'équation (35) satisfont donc u une niênie équation homogene du degré u — 1. 11 s'ensuit qu'au moins deux de ses systènies de racines doivent être égaux. Les ligncs de 1'assemblant (36) sont dans ce cas liées par plusieurs relations linéaires. Si l'équation (35) a en tout a — k systèmes de racines différents, toutes n — /■ -)- 1 lignes consécutives de 1'assemblant (36) sont liées par la même relation linéaire. Pour le démontrer, fornions de la manicre connue 1'assemblant des systèmes de racines, prenant n — / pour le degré de la tonction F. Cet assemblant contient u — k -{- 1 lignes et u colonnes. Dans le cas en (piestion tout déteriuinant de cet assemblant s'annule car il contient au moins deux colonnes identiques. Les lignes de cet assemblant sont donc liées par une relation linéaire. La même relation existe évidemnient aussi entre toutes n — /'' -f- 1 lignes de 1'asseinblant (36). II est clair que les coetticients de cette relation linéaire sont les coetticients dc l'équation dn a—degré qui a pour racines précisément les u—/• systèmes de racines différents de l'équation donnéc. § 19. Si l'équation (35) a en tout u—/■ systènies de racines ditt'érents, les coetticients de cette équation sont liés par/• relations. Pour obtenir ces relations il faut évaluer les /■ systèmes de racines doublés ou inultiples de l'équation donnéc, qui sont, coinine on sait, les solutions coinniuncs dw deux équations: wflj .r"_l -f («—1)«2 + (*—2) = 0 j «3 x"~1 -f- 2 «3 jc"~-y -f- 3 «é ar"_3jr* .. .-|" ""h+1 Un~1 == " 1 (pie 1 'on obtient en dittérentiant l'équation (35) par rapport a ,r et a /. Si les équations (43) admettent nnc ou plusieurs solutions communes, le résultant de ces éciuations doit s'annuler. Gonstituons pour rccliercher les solutions coniinunesrtwctpiations (43) les asseinblants de la f'onetion F de ces éz) jc> + »3 + "3 .f'-1 ^ + «Ü x>~2yz + ff0 *<-2*2 «7 Jr'~3y3 _f_ _j_ _ 0 , | * (j-.y, •?) = bx x>« J'"-2y3 +4. x"'-2y« j ■••• (J0 + '>n x"' ~'1:~ + h ■*■"" ~V 4~ +^»i +2^"' = 0 , | les équations données, respectivement des degrés / et ui, oh/> m. Prenant / pour Ie degré de la fonction F, on obtient les valeurs: • =('t3) • i '■i ■=1 + (' ")• | t32)- ^■ I Ou peut tirer de ces valeurs les coiiclusions suivantes'): 1. Si m < 2, les hu systèmes de racines des équations donuées sont indépendiints; 2. Si m > 2, le nombre des systèmes de racines superflus est (m—1) (m—2) ^y//_K 1.2 = \ 2 ) <3S>- Exemples: Pour / = 8, m = 3, on trouve v2 = 1, » l — 4, m — 3, „ „ v2 = 1, » /= 4, = 4, „ „ ?'2 = 3, etc. Kcmarque. La formule (jui fournit le nombre des systèmes de racines superflus dans le deuxiènie cas peut aussi s'appliquer nu premier cas 2). ') Comparer le mémoire (le Jacobi dans le journal de Crelle, tome 15(1836), intitulé: De relationibus, quae locum habere debent inter puncta intersectionis duarum curvaruin vel trium superficieruni algebraicum dati ordinis, simul cum enondatione paradoxi algebraici. Voir aussi: G. Sai.mon, Courbes planes. n°. 33. *) Si le premier inenibre de l'équation du degré le plus élevé peut se décomposer en des facteurs de moindres degrés, le nombie des systèmes de racines superflus peut s'élevir a CV) , ce qui se prouve géométriquement sans aucune difliculté. Nous nous bornons a ivlever cette particularité, dont la démonstration algébrique nous conduirait a de trop ampies détails. 2. Kvaluation des systèmes de racines. PREMIER CAS. '/'ou* les systèmes de racines des équations données sonf différents. $ 22. Pour évnluer les lm systèmes de racines des équations (51), formons les équations résultantes entre les hn -(- 1 derniers arguinents de la fonction prenant successivement pour le degré de cette fonction lm, lm — 1, hn — 2, etc. La première équation resultante est l'équation finale entre y et r, la deuxièiue contient, x au premier degré, mais seulement dans le premier tenne; la troisième ljf contient dans les deux premiers termes, la quatrième dans les trois premiers termes, etc. Les deux premiers termes de la troisième équation résultante ont pour facteur nn binonie entre y et c du premier degré, les trois premiers tenues de la quatrième équation un trinome entre y et r du second degré, et ainsi de suite. Si tous les systèmes de racines de l'équation finale entre y et z sont differents, les deux premières équations résultantes suftisent pour 1'évaluation des hn systèmes de racines des équations données. § 23. Si l'équation finale a en tont lm — 1 systèmes de racines différents, le coëfficiënt du premier tenne de la deuxièine équation résultante s'annule (§ 10). Cette équation se ramène donc a une équation entre y et z du degré lm — 1, ayant pour racines les lm — 1 systèmes de racines différents de l'équation finale. La deuxième et la troisième équation résultante sont dans ce cas divisiblcs par le binonie entre y et z du premier degré renferiné conime facteur dans les deux premiers tenues de la troisième équation résultante (§ 11). En divisant ces deux équations par le binonie considéré on obtient deux équations d'oü 1'on peut évaluer lm — 2 systèmes de racines des équations données. Pour 1'évaluation des deux autres systèmes de racines, il faut égaler a zéro le binonie considéré, et tonner une équation résultante dont deux termes eontiennent x, 1'un au second, 1'autre au premier degré. En résolvant ces deux équations on obtient les deux autres systèmes de racines des équations données. § 24. Si l'équation finale a en tont lm — 2 systèmes de racines différents, les coefficients des deux premiers terines de la troisième équation résultante s'annulent, et cette équation se ramène a une équation entre y et ; du hn — 2"degré dont les racines sont les lm — 2 systèmes de raeines différents de l'équation filiale. Par rapport aux deux autres systènies de raeines de l'équation filiale les deux eas suivants peuvent se présenter: 1. 1'équation finale a deux systènies de raeines doublés; 2. cette équation a uil seul système de raeines triple. Dans le premier eas la troisièine et la quatriènie équation sont divisibles par le trinonie entre y et z du second degré eontenu eoninie facteur dans les trois premiers tenues de la quatriènie équation résultante. En divisant ces deux équations par le trinonie considéré 011 olitient deux équations propres u évaluer lm — 4 systènies de raeines des équations données. Pour 1'évaluation des quatre autres systènies de raeines, on doit égaler a zéro le trinonie considéré et fornier une équation résultante dont les trois premiers tenues contiennent#, le premier au second, les deux autres au premier degré. La résolution de ces deux équations fournit les quatre autres systènies de raeines. Dans le second eas le trinonie entre y et z du second degré qui est facteur des trois premiers tenues de la quatriènie équation résultante se raniène a un carré parfait. La troisième et la quatriènie équation résultante sont dans ce eas divisibles par le binome qui est la racine carrée du susdit trinonie. Ces divisions faites, on obtient deux équations propres a évaluer lm — 3 systènies de raeines des équations données. Pour évaluer les trois autres systènies de raeines on égale a zéro le binome en question et on forine une équation résultante dont les trois premiers tenues contiennent x, respectivement au troisième, au second et au premier degré. Ces deux équations fournissent les trois systènies de raeines restants des équations données. § 25. II nous scnilile inutile d'entrer dans de plus amples détails pour montrer comnient 011 peut continuer cette théorie. Le nombre des eas qui peuvent se présenter quand 1'équation finale a en tont lm — k systènies de raeines différents équivaut a celui des nianières dont 011 peut partager le nombre /• en des nombres entiers !). ') On peut déterminer ce nombre en partant du développement suivant: -i ^ r-j .yt, Ti „-,= 1 + * + 2," + 3x' + 5,< + 7.r" + 11," (1—.r)(l—x ) 1—x )(1—x ) (1— + 15®' + 22x' + 30a:9 + 42®"* + .... + n„ a* + oü le coëfficiënt nk de la puissance de .<• reprësente le nombre clierché. Voir: L. Eiü.eii, Introductio in analysin infinitorum, g ."524, traduit en allemand par H. Maskk (1885) sous le titre ..Einleituntf in die Analysis des Unendlichen." Cependant, on 11e doit pas oublier ), 2/>3,4A*2 -f- + Xs, 4.«y~ + 2A',3,4,5 22 = Ö (56). Si tous les systènies de raeines de l'équation finale (51) sont différents, les équations (54) et (55) suffisent pour révaluation des «piatre systènies de raeines des équations (5). Si l'équation finale (54) a en tont trois systèmes de raeines différents, 011 aura V^7.N.'i, 10 == 6. ('), et les équations (55) et (50) se raniènent aux deux suivantes: '/Ai, H, 9,10 y '^ "f" 3/Ai,V.Mü//2~ ~\~ '/Ai, 7, H. 1(1 yz~ ~\~ 'V;ii.7. «,!l ~ ' ==r ", ) I (iJS)- (2Ps, 4.5, It y + 2P± 4.5,6 ~) X -f X 5,6 ƒ*+ 3.4.>J " "f l'l, 3. 4,5 ~ 2= < >, I Dans ce cas, on obtient deux svstèmes de raeines des é(|uations données en résolvant les équations: In.f' "f" 'V"5. 7.'.I.1M V~~ H~~ 'VA;. 7.S. 4"" W 7. N.11 ^3,4,5,0 y +^4,5,6^ .. (59), „ , V>, 3,5,0 y2 + 2P>. 3.4. li UZ + W 3.4. r>Z _ n | ' 2« « 4- 2» 2 P'. 1,4,5,6 y li, 4,5, •" " I et les deux autres systèmes de raeines par la résolution de l'équation Verhand. Kon. Akad. v. Wetonsch. (le Sectie). Dl. V1I1. 3 Vo.5.6.'/ + ¥2,4.r.,6 3 = 0...; (60) et 1'une des équations (5). Si 1'équation finale (54) a en tout deux systèmes de racines différents, on aura ¥3,4, 5,6=(> et ¥2.4,5,6 = 0 (61)- Les quatre systèmes de racines s'obtienuent dans ce cas en résolvant 1'équation >2,3,5,0y2 + ¥2,3,4,6yz + >2,3.4.5 *2 = o (62) et 1'une des équations (5). Connne les équations données n'ont pas de systèmes de racines doublés ou multiples, il est impossible que 1'équatioii finale ait un système de racines triple. § 27. Prenons pour deuxième exeniple les équations: alxi-\-n.lxiy-\-aix'iz-\~aixy,>-^raixyz-\-ae)xz'lJra1>ji-{-aky12-\-atfzi-\-awz* = 0 . I ij x* -f- />, xy -f /;3 xz (U 'f + '>i 'J2 + ,J6 zl = 0 > ^ oü 1=3, ?« = 2, et supposons que ces équations n'aient pas de systèmes de racines doublés 011 multiples. Formons les équations résultantes suivantes: ¥ï3,24,2.',26,27,2*3'6 ~t~ ¥22,24,25,26,27.'28j'5':::-f~ ¥22,28,25,26,27,28y42;2_f~ ¥'22,23,24,26,27,28.5' ~ 3 H~ *^22,23,24,25,27,28^^^ "f" ¥'22,23,24.25.26,ii*y~^ ~K ^22,23,24,25,26,27 ~ 0 • • (64), ¥ 16,17,18,19,20,21 "I- ¥l.*i,17,18,19,20,21 J'"'"I" jPl5,16,18,19,20,21 ^ ^ ^15,16,17,19,20,21 V ~~ ~t~ ¥l5,16,17,18,20,21 y2~^~\" ^15,16,17,18,19,21 ~T ¥l5,l6,l7,18,l9,20= 0 . . (05), ¥l0, 11,12,13,14,15 X./z2 4" ¥.1, 11,12,13,14,15 + 4/?!t,10,12,13,14,15^4 + ¥9,10,11,13,14,IS^ + %10.11,12,14,15^^" + %,10,11,l2,13,l5y~3 + ¥->,10,11,12,13,14 ~ = 0. . . .(06), ¥5,6,7,8,9,10 ^y2 "I- ^4,6,7,8,9,10 H- ¥4,5,7,8,9,10 XZ" "f" P4,5.6.8.9,10^ + ¥4^6,7,9,10^^ + 3A5,6,7,8,10^2 + ¥4.5,6,7,8,9= 0 . (67). Pour obtenir les systèmes de racines des équations données (63), on procédé avec les équations (04) a (07) de la mème manière que l'on a fait dans le paragraphe précédent avec les équations (54) a (.>6). Dans le cas oü ¥5,6,7,8,9,10 — 6, ¥1,6.7,s,y,io — 0, ¥4,5,7,8,9,10 == ® (68), 1 équation finale (04) a en tont trois systèmes de racines différents, déterminés par l'équation : -\- '/?4,5,6,7,9,10^1.5,0,7,8,!)Z'A = 0.. . (09). 1 ar rapport aux systèmes de racines doublés ou multiples de 1 equation finale les trois cas suivants pourraient se présenter: 1. trois systèmes doublés, 2. un système triplo et 1111 système doublé. 3. un système quadruple. Dans le premier cas 011 obtient les systèmes de meines des équations données par la résolution de l'équation (0!)) et de la deuxième des équations (03). Les deux autres cas pourraient se présenter seulement, si les équations données admettaient des systèmes de racines doublés ou multiples. 11 en serait de même, si Pon supposait que l'é(piation finale ent moins dc trois systèmes de racines différents. ('es cas restent donc ici hors de considération. D E U X I È M E CAS. Les équations données admettent des systemen de racines égaux. $ Pour s assurcr de 1'existence de systèmes de racines doublés ou multiples, il faut former le résultant du système d'équations compose des équations données (51) et d'une des équations as inutile de mppeler ici que la méthode par laquelle on obtient réquation finale et les autres équations résultantes donne encore un autre moven pour former les équations fournissant les solutious communes n équations homogènes a u variables. Par 1'application de cette méthode on peut écrirc inunédiatement les équations qui fonrnissent ces solutious communes. § 29. Quoiqu'on puisse évaluer de cette manière les systèmes de racines doublés ou niultiples, il n'est pas nécessaire de les déterminer séparénient des autres systèmes de racines des équations données. On se servira plu tot de la méthode que nous avoiis appliquée, lorsqu'il s'agissait ,(•) /A~ -f (^1,3,4,5 + Vl.2,4,0)^2 + 2.,5^=0 (72). Cependant, tenant compte dc révanouissement de et f/{ dans les équations (5), on peut tonner les équations résultantes suivantes: Vl.13.H.I5y3~ ~h Vl,12,14.ir.y~" Vl,1-2,13,H~ ^1,12,13,14s* = 0 j 3/>l,8,n,10 y'A -f Xw y2Z +Vl,7,8,l 0 y2 + X7iK,, 23 =0,j..(73). 2/A,4.5,0 XZ "f2A3,5,6 y* +VlAW F +Tl,3,4,r,22 = 0 J ') On obtient cette équation en éliminant x entre les ileux éiiuations term in al es: Vmab xz + 'PlAM y' ■+■ VlAM yZ + 'p1AM z' — ® » —'pi.4,5,6 <~y 4- 'pi,w y' + 'pi,j,4,6 y- + Via-w 0 Ou déduit de ces «'«jiisitions que 1'iin dos systèmes de meines des équations (71) est x — 1111 nombre arbitraire, y = 0, z = 0, et (jue les trois au tres systèmes de racines de ces équations, i »; ditf'érant de zéro, sont déterminés pnr les deux dernières équations (73). 3. Détermination des systèmes de racines superflus en fonction des autres systèmes de racines. § 31. Si m > 2, les lm systèmes de racines ohtenus par les méthodes expliquées dans les paragraplies précédents sont liés par (^' 0 ^ relations, de sorte (|ue 1'on peut regarder lm-— (j 1 0\ /ƒ —1 2\ v , / j — Q 0 1 j—] systèmes de racines comme inde- pendants entre eux. Cependant, on ne peut prendre arbitrairement un si grand nombre de systèmes de racines, car les coetticients de la deuxième éqnation (51) sont déja parfaitement déterminés par Q' J, ^—1 systèmes de racines indépendants, c'est-a-dire par m (/ — ni) — 1 systèmes de racines de moins que lm— (^' 0 Les m (l — m)—1 systèmes de racines restants doivent être clioisis de telle manière qu'ils satisfassent a 1'équation liomogène du m"'""' degré determinée par les ' + -) — 1 autres systèmes de racines indépendants. Cependant ce n'cst pas la seule condition alaquelleles/w— Q" g systèmes de racines indépendants doivent satisfaire ]). Si 1'on vent que les é(piations (51) ne puissent se (lécomposer en facteurs de degrés inférieurs, il n'y a pas plus de m/c — ^ °" ("' t 2) - C"_ 2 + 2) - 1 'ics ("' t 2) - 1 Vtóm» de racines considérés qni peuvent satisfaire a une même éqnation homogene du degré entre les meines variables, oü k ', et ainsi de suite. § 3:2. Cola posé, tonnons 1'asseinblant des coetlieients, prenant/pour le degré do la fonction F. Cet assemblant eontient 1 -j- colonnes. Formons ensuite pour la même valeur du degré de la fonction F 1'assemblant des lm — Q' 0 ^ systèmes de racines indépendants. Cet assemblant est supplementaire a 1'assemblant des coetticients. Les équations résultantes qu'on peut former au moven de ces assemblants, contiennent en tont termes, de sorte qu'il inanque dans cliaque éqnation résultante ^ argunients de la fonction F. Les coetticients de ces équations ne dépendent que des lm—' 0 ^ systèmes de racines indépendants. Prenant j = l, on peut former en tont un nombre d'équations . / et2) \ résultantes egal al, , I. Ces équations resnltantes ne \( 1+)/ (l — m —I— 2\ O ) —f— 1 équations résultantes dans lesqucllcs ^ termes manquent des ^ 4- 1 tenues désignés, on obtient un système d'équations résultantes qui sont indépendantes par rapport aux argunients de la fonction /] car leur assemblant eontient un déterniinaut (lont tous les éléments sont des zéros, excepté ceux de la diagonale. Ces équations linéaires par rapport aux argunients de la fonction F sont véritiées en tout par Ct2)-('"^+2)-'='»-(V) systèmes de racines indépendants. Le nombre des systèmes de racines superflus des équations données doit donc ctre C" 2 ')■ tó,lll,nt s'accordant avec la formule (53). § 33. II n'est p as ditticile d'iudiquer comment on exprime les systèmes de racines superflus en fonction des lm— (^" 0 ^systèmes de racines indépendants. Prenons / pour le degré de la fonction F, constituons les équations résultantes et exprimons les coetticients de ces équations par des determinauts de rasseuihhint des systèmes de racines indépendants. Ces équations résultantes sont toutes du degré. Dans le cas ou 1'on a m << /, quelques-unes de ces équations se réduisent a des équations du degré m, le nombre des tenues de la deuxième ('(juation (51) étant inférieur au nombre des tonnes d'une éqnation résultante formée pour / = /, car la relation (»' + -)<(/+2)-(/-» + 3) (75), qui se ramène a /(/—;«)> 1 (7(5), est véritiée dans le cas eonsidéré (§ 8, 1). On peut alors remplacer les deux équations données (51) par deux équations résultantes indépendantes respoetivenient du degré / et m, dont los coetticients s'expiïnient par dos déterminants de 1'assemblant des systèmes do racines indépendants. hu partant do ces deux équations formons Péquation tinaio entre deux variables quelconques. De cetto manière on obtient une équation tinale dont les coetticients ne peuvent dépendre que dos hu — ( „ ) systèmes de racines indépendants. Kn appliquant les tliéorèmes de Viète, 011 peut déduire de cetto équation tinale une équation lioniogènc du degré (^" 0 ^ entre les mênios variables, dont les systèmes do racines sont précisément los systèmes do racines de Péquation tinale qui se rapportent aux Q" 0 systèmes de racines superflus dos équations données, coni 111e il sera exposé dans la suite de ce cliapitre. § 3-1. S'il n'existe qu'un seul systèine de racines superttu, los deux premiers coetticients do Péquation tinale entre y et .r obtenue d'après la méthode expliquée dans lc paragraphe précédent sutti- 2. Evaluation (les systèuies de raeines. § 38. Cette evaluation s'opère de la mênie nianière d«2 = / . . (102), 'i-r +c2y =0, ] ou / = 2, m = 2, n = 1.