na







I / / "*-v ^ /f
731 ^ P ^/f./^^r:^
' -fr.y 1/
Eenvoudige Berekeningen
yoor
HEFWERKTUIGEN,
dook
IF. J\ "V-AJE3S,
W ' er k tuig kundig In gen ieur,
Leeraar aan de ff. B. S. mat 5 jarigen cursus, e.u aan de Academie voor D. K. en T. W. te Rotterdam.
Overdruk uit het:
„Electrotechniscli en V(/erk.tuigk,undig V^eek,blcid."
UITGAVE VAN
J? VAN MANTGEM & DE DOES.
— Verkrijgbaar bij
* DE NEVE & DE HEIJERE,
HO EK HANDEL — ROTTliUDAM.
:SI \V«sl<->Vim« iislruat.







VERBETERINGEN.
lïl/. 9, regel 5 van onderen, te lozen:
Men zou ook kunnen /eggen, dat elke K.(i kracht een tast kan opheffen van....
Regel 2 van onderen bijschrijven de woorden ncodig is.
151/. 23, regel 10 en ir van onderen, staat: he aftrektal, lees: dc aftrekker.
Hl/. 56, regel 3 van onderen, staat middenin 50.8 + 18 |eps. 50.8
50.8 50.8 + 18







VERBETERINGEN.
Blz.^gf, regel 5 van onderen, te lezen:
Men zou ook kunnen zeggen, dat elke K.G. kracht een last kan opheffen van....
Regel 2 van onderen bijschrijven de woorden: ncodig is.
Blz. 23, regel 10 en 11 van onderen, staat: het aftrektal, lees : de aftrekker.
Blz. 56, regel 3 van onderen, staat middenin: 50.8 + 18 lees; 50.8
50.8 ' 50.8 + t8







EENVOUDIGE BEREKENINGEN
VOOR
HEFWERKTUIGEN.







Eenvoudige Berekeningen
VOOR
HEFWERKTUIGEN.
Inleiding.
1. Bij de berekening van de verhouding, die er bestaat tusschen kracht en last bij hefwerktuigen, vindt men in de daarover handelende boeken twee scherp tegenover elkander staande handelwijzen.
In de meeste boeken worden de spanningen in de verschillende parten door letters voorgesteld, en met behulp daarvan wordt door een algebraïsche berekening de verhouding van kracht en last gevonden, met inachtneming van de optredende weerstanden.
Voor leerlingen van ambachts- of avondscholen zijn dergelijke berekeningen geheel ongeschikt, en in boeken voor zulke leerlingen bestemd (bijv. F. J. Berghuis, Beginselen der Werktuigkunde, of G. A. Scholten, Werktuigkunde voor Ambachtslieden) vervalt men daarom in een ander uiterste door alle weerstanden buiten rekening te laten, en slechts de berekende kracht met een zeker percentage te verhoogen.
Er kan echter een middenweg worden ingeslagen, die het voordeel heeft zeer overzichtelijk te zijn, en een goed inzicht te geven in de grootte der verliezen bij verschillende soorten hefwerktuigen. Eenige voorbeelden daarvan volgen hier. *)
Vaste katrol.
2. Als een last van 100 KG. moet worden opgeheschen met behulp van een vaste katrol (üg. 1), dan is er wrij-
*) Deze worden door schr. behandeld in den cursus over "Werktuigkunde aan de Academie van B. K. en T. W. te B.otterdam.
1



vingsweerstand bij de pen in den beugel, terwijl ook de stramheid van het touw (dat wil zeggen de weerstand, dien het touw biedt tegen het loopen in een bocht) invloed heeft.
Men verkrijgt goede uitkomsten, wanneer men aanneemt, dat om 100 KG. op te halen een kracht van 110 KG. noodig is, dus door 10 pCt. bij de grootte van den last te voegen.
(Wordt een ketting gebruikt dan is een kracht van
105 KG. voldoende, d. w. z. 5 pCt. of ^ meer dan de
last.)
3. Wanneer men den last wil laten zakken, dan zal juist het omgekeerde plaats hebben, dat wil zeggen men zal slechts 100 KG. noodig hebben om een last van 110 KG. tegentehouden.
Men zou dus de beide gevallen kunnen samennemen door te zeggen: Als de katrol naar de eene of naar de andere zijde moet draaien, dan moet de kracht aan de zijde waarheen de draaiing plaats heeft 10 (of 5) pCt. grooter zijn, dan de kracht {of de weerstand) aan de andere zijde.
Hiervan wordt bij al het volgende voortdurend gebruik gemaakt.
Verhouding van kracht en last.
4. Wanneer een last van 376 KG. moet worden opgehaald, ziet men gemakkelijk, dat daarvoor een kracht
zal noodig zijn van 376 X KG. = 413.6 KG., want
zoo dikwijls 100 begrepen is op 376, zoo dikwijls heeft men een kracht van 110 KG. noodig. ■><
Men zou ook kunnen zeggen, dat -roer elke KG. -last
een kraeht aaodig is van ^ = bijna 0,91 KG., en
dus voor 376 KG. last een kracht van 376:0.91, of
376; 4» of 376 X K.
Men is gewoon bij alle werktuigen de verhouding van



kracht en last te bepalen, omdat men dan bij een keuze tusschen twee werktuigen voor hetzelfde doel onmiddellijk kan zien, welk werktuig de minste kracht vereischt. In het vervolg zal die verhouding worden voorgesteld
door de breuk =-
-L.
Bij de vaste katrol is dus ^ =1.1.
J L 100
Nuttig effekt.
5. Wanneer er geen schadelijke weerstanden te overwinnen waren (wrijving en stramheid), dan zou bij alle werktuigen de kracht kleiner kunnen wezen, dan in werkelijkheid het geval is.
Zoo zou bij de vaste katrol fig. 1 slechts een kracht van 100 KG. noodig zijn om den last van 100 KG. op te halen, wanneer er geen schadelijke weerstanden waren, terwijl in werkelijkheid 110 KG. noodig is. Aan de verhouding:
kracht, die noodig zou zijn als er geen schadelijke weerstanden waren,
kracht, die in werkelijkheid noodig is om een bepaalden last op te heffen, geeft men den naam van nuttig effekt of werkingsgraad. In het volgende zal voor deze uitdrukking steeds de letter n worden gebruikt.
Bij de vaste katrol is dus n = -= bijna 0.91.
6. Neemt men aan dat de schadelijke weerstanden evenredig toenemen met kracht en last (wat by de meeste werktuigen ongeveer het geval is), dan blijft het nuttig effekt van een werktuig altijd dezelfde waarde behouden, hoe groot of hoe klein de last ook is. Dit geeft aan-



leiding om het nattig effekt op een andere wijze te bepalen, als volgt.
Men kan den last — 1 KG. nemen, en dan de kracht berekenen zoowel met als zonder inachtneming van de schadelijke weerstanden.
Maar de kracht die noodig is om 1 KG. op te heffen,
wordt aangegeven door de breuk y-, dat wil zeggen men
behoeft slechts de verhouding van kracht en last te bepalen. Die verhouding moet men dus bepalen zonder de schadelijke weerstanden te rekenen, en dan nog eens met inachtneming van die weerstanden. De verhouding van de beide verkregen getallen geeft dan het nuttig effekt aan.
Bij de vaste katrol is:
zonder schadelijke weerstanden ~ = -12®. = j
Li 100
cnrae' ■ • E = W=U-
dus is n = = 0.91.
Nadat eenige takels besproken zijn, zal nog een andere wijze worden aangegeven om het nuttig effekt te bepalen (N°. 27).
Als men de keus heeft tusschen twee werktuigen voor eenzelfde doel, dan is d&t werktuig het voordeeligst waarvan het nuttig effekt het grootst is, want daarbij zijn de schadelijke weerstanden het kleinst.
Men is dus gewoon bij elk werktuig, behalve de verhouding van kracht en last, ook nog het nuttig effekt aantegeven.
Losse katrol.
7. Bij de losse katrol (fig. 2) kan men niet onmiddellijk de verhouding van kracht en last bepalen, maar moet men ook rekening houden met de doode part (d. w. z. het gedeelte touw tusschen de katrol en het vaste bevestiginspunt). Deze wordt gespannen, en als men de spanning er in 100 KG. noemt, dan is een kracht noodig van 110



KG. om de katrol naar links te doen draaien. Men zie hiervoor het besprokene in N°. 2 en 3.
Ook is dit gemakkelijk in te zien, wanneer men fig. 2 omgekeerd voor zich legt, en dan vergelijkt met de (niet-omgekeerde) fig. 1. Want de omgekeerde fig. 2 schijnt dan ook een vaste katrol voortestellen.
In fig. 2 zijn de halende part (d. w. z. het gedeelte touw, waaraan de kracht werkt) en de doode part evenwijdig ondersteld, en in dat geval kunnen ze samen een last dragen van 100 + 110 = 210 KG.
(Wat er plaats heeft, als de parten niet evenwijdig zijn, komt elders ter sprake).
Dus de verhouding van kracht en last is:
K - no
L 210 ~ d24 }
8. Waren er geen schadelijke weerstanden, dan zou bij een spanning van 100 KG. in de doode part, K ook = 100 KG. zijn, dus L = 200 KG. en daardoor K = J00 L 200 ö'
Als er dus geen wrijving enz. was, dan zou voor elke KG. last een kracht noodig zijn van 0,5 KG. terwijl in werkelijkheid elke KG. last een kracht van 0.524 KG. vereischt. Het nuttig effekt of de werkingsgraad van de losse katrol is dus:
11 0.524" = °'9ü5Men zou ook de gewone breuken voor ^ kunnen behouden, en schrijven:
*) Alle berekeningen zyn uitgevoerd met behulp van een rekenliniaal.



100 . 110 _ 100 ^ 210 _ 21 _nnKK
" 200 • 210 200 ^ 110 22 " d '
Takels.
9. Een takel bestaat uit de vereeniging van een aantal vaste en losse katrolschijven, waardoor een enkel touw (of ketting) geschoren is. (Alleen bij sommige takels, bijv. Spaansche takels zijn er twee verschillende touwen, of wel een touw en een ketting).
De schijven zijn vereenigd in katrolblokken; en wel kunnen in elk blok de schijven naast elkander geplaatst zijn, dus draaibaar om eenzelfde pen, of onder elkander. In het laatste geval noemt men het blok een vioolblok, vermoedelijk omdat het eenigszins de gedaante heeft van een viool, doordien de schijven van verschillende grootte zijn, en het blok dus aan de eene zijde breeder is dan aan de andere.
De deelen van het touw tusschen de blokken heeten parten; het deel waarin de kracht werkt heet weder halende part; het deel dat aan den beugel van een der blokken is vastgemaakt heet doode part.
Bij een vioolblok blijven de parten op eenigen afstand van elkander, zoodat ze minder tegen elkander schuren, maar omdat de blokken langer zijn dan gewone blokken, loopen ze spoediger tegen elkander, wat dus verlies geeft in hoogte van heffing. Daarom worden zulke blokken weinig gebruikt.
10. In de gewone blokken hebben alle schijven eenzelfde middellijn. In de volgende figuren is voor de duidelijkheid aan de schijven van eenzelfde blok verschillende middellijn gegeven, omdat anders verschillende parten langs eenzelfde lijn zouden moeten worden geteekend.
Slechts bij fig. 14 en 15 hebben de schijven werkelijk verschillende middellijn.
11. In het volgende zuilen worden besproken de:
derdehandtakel, met één schijf in elk blok;
talie, met twee schijven in het vaste (boven)blok, en een in het losse of vliegend (onder)blok;



noktakel, met drie schijven in het vaste, en twee in
het losse blok; machtstakel; spaansche takel; differentiaaltakel, en een samenstel van twee takels.
De toepassing op vierlooper, gijntuig, takel met liggende blokken, enz. wordt aan den lezer overgelaten.
Bij alle berekeningen is ondersteld, dat de parten evenwijdig loopen, al zijn ook op de teekeningen sommige in zeer schuinen stand aangebracht.
Derdehandtakel.
a. Zonder schadelijke weerstanden. (fig. 3).
12. Stelt men de spanning in de doode part 100 KG. dan is de spanning in de volgende part ook 100 KG. en de
kracht eveneens 100 KG. De last wordt gedragen door de twee parten tusschen de blokken, en is dus 200 KG.
, K _ 100 _ .Bijgevolg - 0.5.
b. Met wrijving enz. (fig. 4).
13. Stelt men de spanning in de doode part 100 KG. dan is ze in de volgende part 10 pCt. meer, das 110 KG., en de kracht moet weder 10 pCt. meer zijn, alzoo 110 + 11 = 121 KG.
De last is nu gelijk aan 100 + 110 = 210 KG., zoodat:
l = z = •-•
en de werkingsgraad: n = Qiy=rg = 0.8G7.



Talie.
a. Zonder wrijving, enz. (fig. 5).
14 Stel weder de spanning in de doode part 100 KG., dan is ze in alle andere parten ook 100 KG., dus is dan K = 100 KG., en L = 300 KG.
A1 K 100 1
Alzoo: r = w = s = °-m
b. Met wrijving enz. (fig. 6).
15. Stel spanning in doode part 100 KG., dan is ze in de volgende part 10 pCt. meer. dus 110 KG., in de daaropvolgende weder 10 pCt. meer, dus 110 + 11 = 121 KG., en de kracht nog eens li) pCt. meer, dus 121 + 12.1 = 133.1 KG.
De last is 100 + 110 + 121 = 331 KG., dus K _ 133.1 _
L 331 "" '
0 333
en daardoor n = - = 0.827.
0.402



Noktakel.
a. Zonder wrijving enz. (lig. 7).
16. Spanning in alle parten 100 KG., dus K = 100 KG.,
L = 500 KG., bijgevolg ^ = l = 0-2-
b. Met wrijving enz. (tig. o).
17. Spanning in doode part 100 KG., in volgende part 110, in daaropvolgende 121, dan 121 4- 12.1 = 133.1, daarna 133.1 + 13.31 = 146.4, dus K = 146.4 + 14.6 = 161 KG., terwijl L = 100 + 110 + 121 + 133.1 + 146.4 = 610.5 KG.,
, , K _ 161 _ . a.
zoodat: = —— = 0.264
L 610.5
0 2
en daardoor: n = . ' , = 0.757.
0.264
Het zakken van den last.
18. In het voorgaande is alleen gelet op het ophalen van den last; met een enkel woord zal nu nagegaan worden wat er plaats heeft bij dalen.



Waren er geen schadelijke weerstanden, dan zou de toestand bij ophalen en laten zakken hetzelfde wezen. B\jv. bij den noktakel, fig. 7, is de spanning in alle parten, en ook de kracht in beide gevallen 100 KG,, en de last
500 KG., dus f = \ = 0.2.
L 5
Is er echter wrijving enz. dan wordt de toestand anders.
19. Bij alle vorige gevallen werd uitgegaan van de doode part; daarin werd de spanning telkens 100 KG. gesteld.
Bij dalen van den last is het gemakkelijker op andere wijze te beginnen, en wel uittegaan van de kracht.
Stelt men deze 100 KG., dan is in de vorige part de spanning 100 + 10 = 110 KG. in de daarvoorgaande 110 + 11 = 121 KG.„ dan 133.1 KG., daarna 146.4 KG. enz.
Schrijft men die getallen in fig. 8 dan ziet men dat
L = 110 + 121 +- 133.1 + 146.4 + 161 = 671.5,
, K _ 100 _nl,n
en dus r = =0.149.
L 671.5
Men zou ook hier kunnen spreken van een nuttig O 149
effekt, dat dan zijn zou ^ ^ = 0.745.
Met dit nuttig effekt zou men rekening moeten houden, wanneer de takel in hoofdzaak gebruikt werd voor het laten zakken van lasten.
De lezer kan voor de andere nog te bespreken takels, dergelijke berekening verrichten.
Verhouding van de snelheid van kracht en last.
20. De verhouding van kracht en last als men geen wrijving enz. in rekening brengt, kan nog voor een ander doel gebruikt worden dan in tiet voorgaande gedaan is, namelijk om de verhouding te bepalen van de snelheid van kracht en last.
Het is wenscheiijk deze te kennen, omdat als men de keuze heeft tusschen twee werktuigen om een bepaalden



last op te heffen, niet alleen nagegaan moet worden welk van beide de kleinste kracht vereischt, of welk liet grootste nuttig effekt heeft, maar in sommige gevallen ook met welk van beide het opheffen in den kortst mogelijken tijd kan geschieden.
Wanneer bijvoorbeeld een aantal vaten in een schip of een pakhuis moeten worden gebracht, dan is het meer van belang, dat dit in den kortst mogelijken tijd geschiedt, dan wel dat de kleinste kracht daarvoor besteud wordt.
21. In fig. 7 wordt de last gedragen door 5 parten met
gelijke spanning, zoodat de kracht ^ van den last kan
zijn. Men kan nu onmiddellijk aantoonen, dat de hoogte
welke de last stijgt ook ^ zal wezen van de lengte
touw, die moet worden ingehaald.
Want als men de last 1 M. wil opheffen, moet elk van de parten tusschen de blokken 1 M. korter worden, zoodat de halende part 5 X 1 M. moet worden ingepalmd. Terwijl dus de last 5 maal grooter is dan de kracht, is
de weg van den last ^ deel van den weg van de kracht.
Men drukt dit gewoonlijk uit door te zeggen: „Wat men wint aan kracht, verliest men in weg."
22. Zooals bekend is noemt men den weg, dien een lichaam in éen seconde aflegt, de snelheid waarmede het lichaam beweegt.
Bij den beschouwden takel is dus de snelheid van den
last - van de snelheid van de kracht, en men kan dus 5
zeggen:
„Wat men wint aan kracht, verliest men aan snelheid."
23. Hoe kleiner de snelheid van den last is, des te meer tijd is noodig om den last over een bepaalde hoogte op te heffen; dus kan men ook zeggen:
„Wat men wint aan kracht, verliest men aan tijd."



Deze uitspraak, in elk der drie vormen, geldt voor alle werktuigen.
24. Als men nu voor een of ander werktuig de verhouding wil kennen van de snelheid van kracht en last, is het
slechts rioodig de verhouding j- te bepalen zonder inachtneming van de schadelijke weerstanden, en de verkregen verhouding om te keeren.
Bij de vaste katrol is:
K _ 1 , snelheid kracht L - I' dus snelheid last ook = h Bij de losse katrol en bij den derdehandstakel is: K _ 1, snelh. K _ 2 L 2' ÖUS snelh. L ~ T Bij den talie is:
K _ 1 . sn. K 3
T ~ a' dus T~ ~ T-
L 3 sn. L 1
Bij den noktakel is:
K _ 1 sn. K 5
T dus T- =
L 5 sn. L 1
Arbeid.
25. Men zegt dat een kracht arbeid verricht, wanneer haar aangrijpingspunt verplaatst wordt, en de grootte van den arbeid geeft men aan door de grootte van de kracht te vermenigvuldigen met den weg, die het aangrijpingspunt verplaatst wordt in de richting van de kracht.
Als bijvoorbeeld een man een kracht van 15 KG. in horizontale richting uitoefent, en daardoor een wagen verplaatst over een weg van 4 M., dan verricht die man een arbeid van 15X4 dus 60 Kilogrammeter (afgekort KGM.)
Als iemand een gewicht van 12 KG. 3 M. hoog oplicht, verricht hij een arbeid van 12 X 3 = 36 KGM.
In het algemeen: als een last van L KG. over een hoogte van h M. moet worden opgeheven, dan is daarvoor een arbeid noodig van L X h KGM.



26. Geschiedt dat opheffen door middel van een takel, dan wordt die arbeid geleverd door de kracht, die aan de halende part werkt.
Onderstel dat daarvoor de takel fig. 7 gebruikt wordt; als dan wrijving enz. niet in rekening worden gebracht,
weet men, volgens N". 16 en 24, dat K = * L, terwijl (met
O
of zonder wrijving) de weg van den last ^ is van den weg
van de kracht. Om den last h M te doen stijgen, moet men dus de halende part 5/(M inhalen; dit is dus de weg welke de kracht aflegt, zoodat de arbeid van de kracht
K X 5 h
zal wezen.
Omdat K = ^ L, is het product K X 5 h juist gelijk
aan L X h, dat wil dus zeggen: de arbeid van de kracht is juist gelijk aan den arbeid, die noodig is om den last op te heffen.
Of wel, als men den arbeid van de kracht beicegingsarbeid, en den arbeid, die noodig is om den last op te heffen weerstandsarbeid noemt, heeft men de uitspraak: de bewegingsarbeid is even groot als de weerstandsarbeid.
Korter, doch minder juist, zegt men ook:
De arbeid van de kracht is gelijk aan den arbeid van den last.
27. Zijn er schadelijke weerstanden, dan is de kracht
grooter dan ^ L, dus is de arbeid van de kracht grooter
dan de arbeid, noodig om den last op te heffen, en de overmaat van arbeid dient om de schadelijke weerstanden te overwinnen.
Het nuttig effekt van een werktuig wordt nu dikwijls gezegd te zijn: „de verhouding van den nuttigen arbeid tot den verrichten arbeid".
Onder nuttigen arbeid verstaat men daarbij den arbeid,



die noodig is om den last op te heffen, dat is dus ook de arbeid welke de kracht zou moeten verrichten als er geen schadelijke weerstanden waren. Deze arbeid is dus L X h KGM De werkelijke arbeid heeft bij het besproken voorbeeld de grootte: K X 5 h KGM, en de verhouding der twee arbeidshoeveelheden is
L X h K X 5 h'
De li valt in teller en noemer weg, dus houdt men over
L
K X 5 1 K
Schrijft men dit - ' =r-,
ö ' ij
en merkt men op dat de breuk ^ de verhouding aangeeft
van kracht en last als er geen wrijving enz. is, dan blijkt, dat de verhouding der twee arbeidshoeveelheden ook gelijk is aan de verhouding van
de waarde als geen wrijving enz. wordt ondersteld
de waarde in werkelijkheid
Ij
Dit komt dus geheel overeen met het besprokene in N°. 6.
Machtstakel.
28. Deze behoort tot de samengestelde takels. Het vaste blok (fig. 9) en het bovenste losse blok vormen samen reeds een takel. In plaats van den last is de halende part aangebracht van een tweede los blok enz. Het aantal losse blokken kan zoo groot gedacht worden als men wil; hoe meer blokken er echter zijn, des te minder hoog kan men den last opheffen, zoodat de hoogte van den takel zijn gebruik in den weg staat.
a. Zonder wrijving enz.
29. Noemt men de spanning in de doode part van het



bovenste losse blok 100 KG., dan is ze in de andere part ook 100 KG., en K = 100 KG.
Aan het losse blok kan dan 200 KG. hangen, en dus
hebben beide parten van het tweede losse blok ieder 200 KG. spanning. Dit blok kan dus 400 KG. dragen, en de beide parten van het derde losse blok hebben dus 400 KG. spanning, zoodat de last L = 800 KG. is.
Was er nog een los blok geweest, dan zou men daaraan 1600 KG. hebben kunnen hangen, enz. De getallen 200, 400, 800, 1600 enz., die de gewichten aangeven, welke de



achtereenvolgende losse blokken kunnen dragen, kan men schreven:
100 X 2, 100 X 2\ 100 X 2\ 100 X 2\ en omdat die getallen de machten van 2 bevatten, is de naam „machtstakel" ingevoerd.
T K _ 100 _ 1 _
In Hg. 9 is l 8ÖQ § ~ °'125
b. Met wrijving enz (fig. 10.)
30. Noemt men weder de spanning in de doode part van het bovenste losse blok 100 KG., dan is ze in de andere part 110, en K = 121 KG.
Het losse blok kan dan dragen 100 + 110 = 210 KG., en dit is dus de spanning in de halende part van het tweede losse blok.
In de doode part van dit blok is de spanning dan zoodanig, dat ze met vermeerderd 210 geeft; men moet
dus om die spanning te kennen een elfde deel van 210 aftrekken, wat geeft 210 — 19.1 = 190.9 KG.
(Ter toelichting diene dit: Als de spanning aan eene zijde 110 is, moet ze aan de andere zijde 100 zijn, dus een elfde van 110 minder dan 110).
Het tweede blok kan dus dragen
210 + 190.9 = 400.9 KG. en trekt men hiervan een elfde deel af, dat is 36.4, dan vindt men 364.5 KG. voor de spanning in de laatste doode part.
De last is dus: 364.5 + 400.9 = 765.4,
K 121
zoodat: — = -—— = 0.158 (ruim)
L 755.4
en het nuttig effect n = 0.79.
31. Men zou ook als volgt kunnen handelen:
Bij het eerste losse blok ziin spanningen 100 en 110, die zich verhouden als 1 tot 1.1.
Bij het tweede blok moeten de spanningen zich ook verhouden als 1 tot 1.1, en bij het 3e blok eveneens.



Als dus het eerste blok kan dragen:
100 + 110, ofLJx 110 + 110,
of n X 110'
dan zal het tweede blok kunnen dragen
f} x «. o, «x (flxno),
het derde blok X X ~ X lio); enz.
21
dus elk blok maal meer dan het voorgaande.
Hierbij verkrijgt men dus achtereenvolgende machten 21
van n.
32. Om na te gaan wat er bij het zakken van den last plaats heeft neme men K = 100.
K
Men vindt dan j- = 0.098, en n = 0.785.
Andere samengestelde takels zijn op dergelijke wijze als de machtstakel te behandelen.
Spaansche takel.
33. De beide onderste blokken (fig. 11) vormen met het daardoor heen geschoren touw K-II-I een takel; dit kan zijn een derdehandtakel, zooals in de fig., óf een talie, öf een vierlooper enz.
Doch de blokken zijn gehangen aan een touw of ketting III —IV, die over een vaste schijf loopt.
a. Zonder wrijvinq enz. (fig. 11).
34. Stel dat in de doode part I de spanning 100 KG. is, dan is ze in II eveneens 100 KG., en ook is K = 100 KG.
Maar dan heeft part IV te dragen:
K + 100 + 100 = 300 KG., zoodat dit de spanning is in IV.
In part III is de spanning eveneens 300 KG.



De last wordt nu gedragen door I, II en III, zoodat L = 100 + 100 + 800 = 500 KG.
Bijgevolg is ^ = -M- = I en volgens het besprokene
in No. 21 stijgt de last 1 M. als men de halende part 5 M. inhaalt,
snelheid kracht _ 5 snelheid last 1 b. Met wrijving enz. (fig. 12.)
35. Stel dat in I de spanning 100 KG. is, dan is ze
in II 110 KG., en dan moet K = 121 KG. zijn. De spanning in IV is dus:
121 + 110 + 100 = 331 KG.
Om de spanning in III te berekenen, moet er goed op



gelet worden, dat als het onderste blok omhoog gaat, het middelste blok moet dalen, zoodat part IV het bovenste blok naar rechts moet omtrekken.
Dus moet men van 331 KG. een elfde aftrekken om de spanning in III te vinden, (Zie No. 3 en 30) zoodat deze laatste is:
331 - 30 = 301 KG.
Daardoor vindt men dan:
L = 100 + 110 + 301 = 511, TC 121 O 2
dus T ~ TiT = °'236' en n ~ niqfi
Wegens de groote spanning in c III—IY gebruikt men dikwijls een ketting daarvoor. Is dit het geval, dan wordt de spanning in III
X 331 = X 331 = 315 KG. 105 21
omdat er (zie No. 2) dan slechts 5 pCt. verlies is.
36. Voor laten zakken van den last vindt men
f = 0.188, n= 0.94.
li
De lezer onderzoeke ook den Spaanschen takel, waarbij het middelste blok twee schijven heeft. K 1
Uitkomst j- = -= = 0.143 zonder,
Ij l
en = 0.176 metwr. enz.; n = 0.81.
En eveneens den Spaanschen takel van fig. 13.
K 1
Uitkomst =- = 7 = 0.25 zonder,
li 4
en = 0.288 met wr. enz.: n = 0.865.
37. Vergelijkt men den Spaanschen takel van fig. 11 met den takel van fig. 7 en 8 dan blijkt dat het nuttig effekt (0.845) bij den eersten veel grooter is dan bij den tweeden



(0.757), terwjjl de verhouding der snelheden van K en L bij beiden eenzelfde is.
Om eenzelfden last op te halen is dus de Spaansche takel voordeeliger.
Men ziet gemakkelijk, dat de oorzaak daarvan gezocht moet worden in het aantal schijven. Bij den Spaanschen takel zijn slechts drie, bij den anderen takel zijn vijf schijven aanwezig, en daar bij elke schijf schadelijke weerstanden optreden, moet noodzakelijk de takel met het geringste aantal schijven het gunstigst werken.
Differentiaaltakel.
38. Het benedenblok (fig. 14) bevat één schijf; het bovenblok bestaat uit 2 schijven van verschillende middellijn die één geheel uitmaken; daarover is een ketting zonder eind gelegd.
(Terwijl dus bij de figuren 1 tot 13 de schijven van eenzelfde blok met verschillende middellijn geteekend werden, hoewel ze gelijke middellijn hebben, is bij fig. 14 en 15 wel degelijk verschil in de afmetingen).
Om doorschieten van den ketting te voorkomen zijn die schijven voorzien van nesten. Het benedenblok heeft geen nesten noodig.
Wanneer gezorgd is, dat de straal R van de benedenschijf het gemiddelde is van de stralen Ri en R3 van de bovenschijf, dan hangen de parten tusschen de blokken evenwijdig. Om eenzelfden last te dragen is dan minder spanning noodig, dan wanneer de parten een hoek maken, en dit is dus voordeelig met het oog op den levensduur van den ketting.
39. Bij het ophalen van den last loopt de eene part op, de andere af, en wel wordt 'bij elke omwenteling van de boverHBchijf een lengte 2 tt R, op, en een lengte R: afgewonden, als Ri en R» den grootsten en kleinsten straal voorstellen.
Het verschil 2 tt (Rt — R3) verdeelt zich over de twee
1



parten, zooaac de last een hoogte ir (R,—R,) stijgt, terwijl de kracht een weg 2 ir R, aflegt.
De verhouding der snelheden is dus:
Snelh. K. _ 2 w R, . 2_
Snelh. L. f (R, — R,)' 0 1 _R,'
R,
JJ
De snelheid van den last is dus grooter, naarmate 1 —
R
grooter is, dat wil zeggen naarmate ^ kleiner wordt ge-
xti
nomen.
R
De verhouding welke men kiest, is echter ook van
Ui
andere omstandigheden afhankelijk, zooals uit het volgende blijkt.
40. Omdat zoowel de kracht, die noodig is voor ophalen als de kracht, die noodig is voor laten zakken, vermeld



worden, zullen er drie letters worden gebruikt, namelijk K, voor de kracht, noodig voor ophalen, Ks „ „ „ „ „ laten zakken, K „ „ „ , die noodig zou zijn als er geen schadelijke weerstanden waren.
41. Zonder wrijving enz. zou volgens de voorgaande gelijkheid
K R, ..
L = — Zljn'
Zijn er schadelijke weerstanden, dan kan de spanning in de afloopende part 100 KG. genoemd worden. In de oploopende part is dan de spanning 105 KG. (Zie N". 2.)
Men zou nu licht geneigd zijn te zeggen, dat dan de kracht K, een twintigste meer dan 105 moet zijn; dit is echter onjuist.
Want de spanning 100 helpt de kracht Ki mede om de bovenschijf naar rechts te doen draaien, terwijl de spanning 105 alleen tegenwerkt.
42. In plaats van een kracht 100 werkend aan een straal
R
R, kan men een kracht 100 X ~ denken, werkend aan
rli
een straal R,. (Vergelijk N°. 59.)
Men heeft dan aan de eene zijde van de schijf Rt wer-
kend een kracht K, + 100 X
Ui
en aan de andere zijde de spanning 105 KG.
Om de schijf te doen draaien moet de eerste kracht dus 1.05 maal de tweede zijn,
dus K + 100 §2 = 1.05 X 105,
JA-1
zoodat K, = 110.25-100
Hl
Volgens deze formule voor K, zou het voordeeligst wezen
TD
— zoo groot mogelijk te nemen, omdat dan Ki zoo klein Ri
mogelijk wordt. Maar wanneer R. en Ri weinig verschillen,



rijst de last weinig, en is er dus veel tijdverlies. Nam men R2 = R„ dan zou K, de kleinst mogelijke waarde verkrijgen, maar de last zou dan in 't geheel niet rijzen.
43. Bij het doen dalen van den last, doet zich bij goede keuze van de verhouding R»: Ri een verschijnsel voor, dat bij het gebruik van den takel van zeer veel belang is, zooals nu zal worden besproken.
Neemt men weder de spanning in de afloopende part 100 KG. (die nu van de schijf R, afloopt, fig. 15) dan is de spanning in de oploopende part 105, en als men weder in plaats van die kracht 105, werkend aan den straal R2,
een kracht denkt 105 X ^ aan den straal Ri, dan werkt
.LVi
dus aan de eene zijde van schijf Ri de spanning 100, en
R
aan de andere zijde een kracht K2 + 105 X
Om de schijf te doen draaien, moet de eerste kracht
weder 1,05 maal de tweede zijn, dus:
/ R \
100 = 1.05 ( Ko + 105 X
of:
R
1.05 K, = 100 - 110.25
44. Als nu het aftrekfcat-gelijk is aan 100, dan is K2 nul, d.w.z. de last blijft uit ziel 'f hangen. Is het aftrekfeai grooter dan 100 dan is Ks negatief, d.w.z. men moet aan het andere losse eind («) trekken om den last te laten zakken.
Dit vereischt dus dat:
T>
110.25 X =-3 ten minste = 100,
Ki
dus:
R., . 10
^ ten minste gelijk aan ^
IV] li*
Bij de constructie van differentiaaltakels zorgt men, dat aan deze verhouding wordt voldaan.



45. Om den last op te heffen is dan noodig een kracht:
K, = 110.25 — 100 X 1? = 110.25 - =
110-91 = 19 KG.
De last zelve is 100 + 105 = 205 KG. zoodat:
S = ü =00925
L 205
De verhouding der snelheden is dan (zie N". 24) snelh. K _ 2 _ 22 snelh. L ~~ 10 — T,
~ïï K 1
zoodat zonder wrijving enz. r = — = 0,0455 zou zijn.
Ij ci ü
O 04.^
Alzoo is het nuttig effekt n = n' = 0,491.
Dit getal is kleiner dan bij andere takels; men heeft echter hier het voordeel, dat de last niet uit zichzelf zakt. De takel wordt zelfsperrend genoemd, omdat ze zichzelf den weg verspert.
Samenstellingen van takels.
46. Men kan zich denken, dat om een of andere reden, bijv. omdat geen reepen van voldoende lengte aanwezig zijn, men genoodzaakt is twee takels onder elkander te gebruiken, (ftg. 16).
De halende part van den ondersten takel wordt ergens vastgemaakt. Trekt men dan aan de halende part van den bovensten takel, dan wordt het bovenblok van den ondersten takel opgetrokken, zoodat de looper daarvan over de schijven wordt gehaald, en dus het onderblok van den ondersten takel tot het bovenblok nadert, terwijl het — zooals van zelf spreekt — bovendien nog evenveel stijgt als het bovenblok.
47. Om j- te bepalen, kan men eerst voor eiken takel afzonderlijk de spanningen in de parten opschrijven, te



beginnen met 100 KG. in de doode part. De getallen 100, 110, 121 en 210 voor den bovensten takel z\jn tusschen haakjes gezet om de volgende reden.
Het onderblok van den bovensten takel moet alles dragen, wat aan het bovenblok van den ondersten takel trekt, dus:
100 + 110 + 121 + 133.1 = 464.1 KG.
Daaruit volgt dat de spanningen en de kracht bij den boventakel te klein zijn aangegeven, immers zou, volgens de getallen tusschen haakjes, die takel slechts 210 KG. kunnen dragen.



Men zal dus al die spanningen moeten vergrooten en
wel in reden van 210 tot 464.1, dus alle vermenigvul-
. , . 464.1 _00i digen met de breuk <2.J1.
Daardoor worden dus de werkelijke spanningen in de doode part:
100 x ^fir = 221 KG-
in de volgende part:
110 X = 243 KG-
terwijl de kracht:
121 X 4^n = 267 KG. zal moeten zijn.
alU
Bijgevolg is:
K - 267 = 0.812.
L 331
48. De lezer kan gemakkelijk nagaan, dat als er geen wrijving enz. was:
1= w = °'667 zou zp'
zoodat:
_ 0.667 _ n QO
n - 0512 - 0 82'
terwijl:
snelh. K _ 3. snelh. L 2 De lezer onderzoeke ook den takel in fig. 17.
Takel van een stoomkraan.
49. Bij de stoomkraan van Brown en Wilson loopt een ketting over twee blokken, ieder met 3 evengroote schijven (fig. 18). (Zie het vermelde in N°. 10 omtrent de grootte van de schyven).
Het onderblok is vast bevestigd aan de kraan; het bovenblok wordt gedragen door de stangen van twee zuigers, die in vertikale cilinders door stoomdruk kunnen



worden bewogen. De halende part wordt langs den kraanarm geleid, en loopt aan het uiteinde daarvan over een vast blok naar beneden.
Aa.n het vrije eind van den ketting kan de last worden gehangen; in den regel kan men echter ook nog werken met een los blok, zooals in de figuur is aangegeven.
Bij deze kraan is het niet de bedoeling om met kleine krachten groote lasten op te heffen, doch om zware lasten met vrij groote snelheid te verplaatsen.
50. Ophalen van den last.
a. Zonder wrijving enz.
Neemt men een spanning van 100 KG. aan in alle parten van den ketting, dan is de kracht, noodig om het



bovenblok omhoog te drukken 6 X 100 KG., terwtfl de last 200 KG. is; dus
K = 6 _ .
L 2
b. Met wrijving enz.
Neemt men de spanning in de doode part bij de losse katrol weder 100 KG., dan is die in de achtereenvolgende parten
105, 110.25, 115.8, 121.55, 127.64, 134, 140.7, 147.75 KG., zoodat om het bovenblok omhoog te drukken een kracht noodig is van
115.8 + 121.55 + 127.64 +134 +104.7 + 147.75 = 787.4 KG., en dus
K _ 787.4 _
L 205 '
Het nuttig effekt van het samenstel is
m = °-782-
51. Dalen van den last, (fig. 19). Wanneer men den stoomtoevoer onder de zuigers afsluit, zullen de zuigers onmiddellijk willen dalen, omdat de stoom in de cilinders weder water wordt (condenseert).
Men is dus niet in staat de zuigers door den stoomdruk op een willekeurige hoogte te doen stilstaan, en evenmin om den last regelmatig te doen dalen.
Daarom is de volgende inrichting aangebracht.
Aan het bovenblok is tusschen de beide stoomzuigerstangen een andere zuigerstang aangebracht, waarvan de zuiger zich beweegt in een vertikalen, met vloeistof gevulden cilinder. Drukt de stoom het bovenblok omhoog, dan wordt de middelste zuiger medegenomen, en de vloeistof boven dien zuiger vloeit door een zijbuis naar de onderzijde.
Houdt de stoomtoevoer op, dan willen de zuigers dalen, doch de middelste blijft nu rusten op de vloeistof, welke niet terug kan vloeien, voordat door den machinist een klep wordt geopend.



De last drukt dus op de vloeistof in den middelsten cilinder.
Neemt men de spanning bij de doode part van het
onderblok 100 KG., dan zijn de achtereenvolgende spanningen :
105, 110.25, 115.8, 121.55, 127.64, 134, 140.7, 147.75 KG., de last is
147.75 + 140.7 = 288.45 KG., en de druk op de vloeistof
100 + 105 + 110.25 + 115.8+121.55 + 127.6 = 680.2 KG., gevende de verhouding
= 2.36.
288.45



52. De lezer voere de berekening uit voor de hydraulische kraan, flg. 20.
De verhouding 110: 100, of 105: 100.
53. Bij alle voorgaande berekeningen is aangenomen, dat
om een touwscniji te aoen uraaieu een kracht van 110 KG. noodig is als de weerstand 100 KG. bedraagt, zoodat de kracht gelyk is 1.1 maal den weerstand (zie N°. 2), terwijl bij een kettingschijf de verhouding 1.05 ondersteld is.
Dit geeft uitkomsten, die met de praktijk vrijwel overeenstemmen. Het spreekt echter wel van zelf, dat de toestand, waarin zich een takel bevindt zeer veel invloed heeft op de grootte van dat getal 1.1 of 1.05.
Denkt men zich een takel met nieuwe blokken en een nieuw touw of een nieuwen ketting, dan is de wrijvingsweerstand bij de pen in de schijven groot, en evenzoo heeft de stramheid een groote waarde. In dat geval is de verhouding van kracht tot weerstand zeer zeker grooter dan 1.1 (of 1.05), en als men dus dit laatste getal voor de berekening gebruikt, vindt men te kleine waarde voor de kracht, die noodig is om
een gegeven last op te henen.
Gebruikt men daarentegen een takel, waarvan de blokken en het touw lang dienst hebben gedaan, zoodat de pennen glad zijn gesleten en het touw zeer slap is (of de kettingschalmen glad zijn geworden), en daardoor de stramheid weinig invloed heeft, of wel als de takel



goed gesmeerd is, dan is de verhouding kleiner dan 1.1 (of 1.05), en bij gebruik van dit getal in de berekening vindt men te groote waarden voor de kracht.
54. Voor een willekeurigen in de praktijk aangetroffen takel zal dus de verhouding in den regel meer of minder afwijken van het getal 1.1 (of 1.05).
Op eenvoudige wijze kan men voor zulk een takel een meer juiste waarde van het verhoudingsgetal bepalen, zooals met behulp der teekeningen, flg. 7 en 8 (N°. 16), zal worden aangegeven.
Bij het opheffen van den last zijn de achtereenvolgende
spanningen:
100, 110, 121, 133.1, 146.4 KG.,
de kracht
K, = 161 KG.,
en de last
L, = 100 + 110 + 121 + 133.1 + 146.4 KG.
Bij het dalen daarentegen is de kracht K2 = 100 KG., zijn de spanningen:
110, 121, 133.1, 146.4, 161 KG., en is de last
Ls = 110 + 121 + 133.1 + 146.4 + 161 KG. De achtereenvolgende spanningen zijn verkregen door elke voorgaande spanning met 1.1 te vermenigvuldigen, en dus kan men ook schrijven, dat bij het ophalen de last
L,= 100 + 100X1.1 + 100X1.P + 100X1.P + 100X1.14 KG. en de kracht K, = 100 X 1.1' KG. zal zijn, terwijl bij het dalen de kracht Ka = 100 KG. en de last
L. = 100 X 1.1 + 100 X 1.1' + 100 X 1.1» + 100 X 1.1* + 100 X U5 KG.
zal wezen.
Men ziet nu dadelijk dat de waarde van Ls verkregen wordt door L! met 1.1 te vermenigvuldigen (want dan worden alle termen van Lt 1.1 maal grooter, en verkrijgt men de achtereenvolgende termen van L.).
Als men dus een last L. wilde opheffen, zou daarvoor



een kracht noodig zijn, die 1.1 maal grooter is dan is de kracht K,, waarmede men L, kan ophalen, dat wil zeggen een kracht = 100 X 1.1' X 1.1, dat is = 100 X 1.1'.
Men heeft dus de volgende uitkomst verkregen:
Om een last L, van de aangegeven grootte te laten dalen, is een kracht noodig K2 = 100 KG., en om dienzelfden last op te heffen is een kracht vereischt = 10(3 X 1.1'.
Alzoo verhouden die twee krachten zich als 100 tot 100 X 1.1% of als 1: 1.1'.
55 Onderstel nu dat bij een nieuwen takel het verhoudingsgetal niet 1.1, maar 1.13 was, dan zou volgens het voorgaande de verhouding der krachten, noodig om eenzelfden last te doen dalen of op te halen, zijn als 1: 1.13'.
Wanneer men dus van een of anderen takel het verhoudingsgetal wenscht te kennen, dan heeft men slechts aan den takel een willekeurigen last te hangen (waarvan de grootte niet bekend behoeft te zijn), en te bepalen de grootte van de kracht, die noodig is om dien last op te heffen (bijv. door het hangen van gewichten aan de halende part), en ook de grootte van de kleinste kracht, die het dalen belet.
Uit de verhouding van de twee verkregen waarden, moet dan de zesde machtswortel getrokken worden met behulp van een rekenliniaal of een logarithmentafel.
50. In dit geval moest de zesde machtswortel getrokken worden; het getal zes geeft het aantal parten aan, de halende part medegerekend.
Bij een anderen takel, bijv. dien van fig. 5 en 6, waarbij het aantal parten vier bedraagt, moet men den vierden machtsvfortel trekken uit de gevonden verhouding. Enz.
Andere werktuigen.
57. Er zijn takels, waarbij de kracht werkt aan den omtrek van een touw- of kettingschijf van grooter middellijn dan de katrolschijven, of waarbij de overbrenging



met worm en rad gebruikt wordt, of waarbij tandraderen voorkomen.
Om zulke takels te kunnen bespreken is het noodig de wrijvingsverliezen te kennen, welke bij die verschillende vormen van overbrenging optreden, en deze moeten dus vooraf worden aangegeven.
Tegelijkertijd zullen dan eenige werktuigen besproken worden, waarbij die overbrenging eveneens voorkomt, en eerst daarna zal nog een enkele takel worden nagegaan.
Tandradoverbrenging.
58. Als een kracht door middel van tandraderen wordt overgebracht is er om twee redenen verlies:
1®. door de wrijving van de tanden der twee raderen onderling;
2*. door de wrijving bij de tappen (evenals bij katrolschijven).
Gemiddeld geeft de eerste wrijving 6 pCt., de tweede 3 pCt. verlies.
Als dus aan den omtrek van den eenen steekcirkel *) een kracht van 100 KG. werkt, dan gaat daarvan wegens de tandwrijving slechts 94 KG. over op het andere rad.
Door de tapwrijving wordt van elke 100 KG. slechts 97 KG. nuttig gebruikt, dus van 94 KG. komt slechts
97
94 X ^ = 91.2 KG.
terecht.
Alzoo gaat van 100 KG. aan den omtrek van het eene rad slechts 91.2 KG. over op het andere, dat is dus ongeveer een elfde van 100 KG. minder dan 100 KG.; de werkingsgraad is n = 0.912.
Om een kracht van 100 KG. op het tweede rad over te brengen is dus noodig een kracht van
CT5I2 = m5 KG'
*) Alle tandraderen zijn door hun steekcirkels aangegeven.
8



Gemakshalve zal hiervoor 110 KG. worden genomen; men ziet, dat de verhouding van kracht en weerstand dan dezelfde is als bij een katrol.
Die verhouding is weer een gemiddelde waarde, welke bruikbaar is voor de meest voorkomende tandradoverbrengingen.
Soms treft men rondsels aan met een gering aantal (3, 4, 5) tanden, bijv. bij dommekrachten. Bij deze is wrijving der tanden over elkander grooter dan bij grootere raderen, en het nuttig effekt is dus kleiner.
Als gemiddelde kan men daarvoor 0.80 nemen, wanneer het rondsel op een tandrad werkt, en 0.85 als het in een heugel grijpt.
Herleiding van een kracht tot een anderen arm.
59. Als aan den omtrek van een kruk, fig. 21, een zekere kracht wordt uitgeoefend, dan zou men die kunnen veivangen door een andere kracht, welke aan een kleineren hefboomsarm werkt, op voorwaarde, dat men de kracht
in dezelfde reden grooter maakt, als de hefboomsarm
kleiner is geworden.
Wanneer dus een kracht van 15 KG. aan een kruk



van 40 cM. lengte werkt, dan zal men aan een kruk van 25 cM. lengte een kracht moet aanwenden van
40
15 X ^ = 24 KG. om dezelfde uitwerking tfi Vfirkriiffen
Men zegt, „dat de krachten omgekeerd evenredig zijn met de hefboomsarmen, waaraan ze werken, en „dat men een kracht, die aan een of anderen hefboomsarm werkt, herleidt tot een anderen arm".
60. Behalve bij een kruk, kan zulk een herleiding worden toegepast bij een haspelrad, dat is een rad, waarover een touw of ketting zonder eind loopt, dat door klemming of door de aanwezigheid van nesten het rad kan doen draaien.
Ook bij een stelsel van meer dan twee tandraderen komt de herleiding te pas.
Bij de volgende werktuigen wordt dit besproken.
Windas.
61. Als over de rol (fig. 22) een koord gelegd was, waaraan de last hing, terwijl aan de andere zijde een kracht K1 werkte, dan zou de rol op dezelfde wijze werken als een katrol, en men zou weder hebben
K1 = L = 100 KG-. zonder wrijving enz., en K1 = 1.1 L = 110 KG. met wrijving enz.



Als nu de kruk staat in den stand van flg. 22, dan moet de kracht K aan de kruk zoodanig zijn, dat ze, herleid tot den omtrek van den rol, (100 of) 110 KG. wordt. Dus moet zonder wrijving enz.
K = 100 X ^ = 28.6 KG.
zijn, en met wrijving enz.
K = 110 X g = 31.4 KG.
De stand van de kruk heeft invloed op de grootte van de kracht. In de standen flg. 23 en 24 moet K een andere waarde hebben dan in flg. 22, zooals elders zal
worden aangetoond.
Het verschil is echter niet belangrijk genoeg om nieuwe
J. . mnnr
berekeningen op ouoncu, ^ omdat ook de man, die de kruk draait, daarop niet altijd dezelfde kracht uitoefent. De gunstigste stand van de kruk is vertikaal naar boven, terwijl de man van zich afdrukt (flg. 23).
In dien stand kan éen man geduiende korten tijd een kracht van 20 KG. uitoefenen. De ongunstigste stand is vertikaal naar beneden, terwijl de man de kruk naar zich toehaalt.
Bij windassen gebruikt men meestal twee krukken, éen aan elk eind van de rol — in tegengestelde richting, zoodat de een vertikaal omhoog is als de ander vertikaal naar beneden staat. Ook wel plaatst men de krukken onder 90°.
Kaapstander.
62. De lezer voere de berekening voor j- voor dit werktuig uit, in de onderstelling dat de rol 20 cM. middellijn heeft, en 8 mannen aan vier spaken duwen, zoodanig



dat 4 mannen aan een hefboomsarm van 1.20 M. en 4 aan een hefboomsarm van 90 cM. werken, terwijl ze ieder 15 KG. druk uitoefenen.
Men beginne de krachten te herleiden tot den omtrek van den rol.
Windas met tandradoverbrenging *).
63. Om een last van 100 KG. op te halen (flg. 25), zou aan den omtrek van den rol een kracht van 110 KG. noodig zijn.
Herleidt men die kracht tot den omtrek van den steekcirkel van het aan den rol bevestigde tandrad, dan vindt men
110 X ^ = 31.2 KG.
3o
voor de kracht, die aan den omtrek van dat rad moet werken. Aan den omtrek van het kleine rad moet dan een kracht werken, die een tiende van 31.2 meer is dan 31.2 KG. (N°. 58), dat is
31.2 + 3.1 = 34.3 KG., en deze kracht herleid tot een hefboomsarm gelijk aan de kruklengte geeft
34.3 X = 4.3 KG,
40
*) Zie beschrijving in Lichtenbelt „Het scheeps-stoomwerktuig", 3« deel.



voor de kracht, die aan het uiteinde van de kruk moet aangrijpen.
Dns is
Zonder wrijving enz. zou men hebben: kracht aan omtrek rol 100 KG.
Ie rad 100 X KG.,
2e „ hetzelfde,
„ „ kruk 100 xg X A = 3.57 KG,
TC 3 57
dus jij = 0.0357, en daardoor n = = 0.831.
64. Bij de berekening van overbrengingen zooals in fig. 25,



kan zich het geval voordoen, dat niet de stralen van de tandraderen gegeven zijn, maar het aantal tanden van elk.
Omdat de stralen der raderen zich verhouden als de aantallen tanden, kent men dan de verhouding der stralen.
Om te laten zien, hoe men dan te werk kan gaan om de verhouding van kracht en last te bepalen, zal nog eens fig. 25 beschouwd worden, doch nu met de onderstelling, dat alleen de verhouding 1 : 7 van de stralen der raderen bekend is, en niet de stralen zelf gegeven zijn.
Noemt men den straal van het kleinste rad r, dan is die van het andere 7 r, en men heeft dus:
Voor L = 100 KG., is aan den omtrek van den rol een kracht noodig van 110 KG., en aan den omtrek van het rad op den rol een kracht
na x i».
7 r
Aan den omtrek van het kleinste rad wordt dan een kracht vereischt
110 X X 1.1,
7 r
en aan de kruk een kracht
110 X ^ X 1.1 X
7 r 40
De r in den noemer valt weg tegen de r in den teller, en men houdt dus over:
110 X X 1.1 X -L 7 40
Schrijft men dit:
110 X 10 X 1.1 X | X i,
dan blijkt dat de verhouding 1: 7 daarin voorkomt. Schrijft men de uitdrukking als volgt:
1.1 X 100 X 10 X 1.1 X y X JQ,
of
(lOO X 10 X | X i) X 1.1 X 1.1,
dan ziet men, dat de vorm tusschen haakjes de kracht aangeeft, die noodig zou zijn, als er geen schadelijke weer-



standen waren, en dat die vorm vermenigvuldigd wordt: met een factor 1.1 voor het verlies door stramheid en wrijving bij den rol,
en met een tweeden factor 1.1 voor het verlies door tand- en tapwrijving bij de raderen.
t\ ; 7,1
/ UVICV.
65. Bij de dommekracht in fig. 26 is op de as van de kruk een rondsel met 4 tanden aangebracht, dat in een rad met 18 tanden grijpt. Op de as van dit rad is weder een rondsel met 4 tanden, dat op een rad met 20 tanden werkt, en op de as van dit laatste rad is evenzoo een rondsel met 4 tanden, dat den heugel doet bewegen.
De krukarm is 260 mM., de rondsels hebben achtereenvolgens stralen van 12.1, 15.9 en 21 mM., de tandraderen stralen van 54.5 en 79.5 mM.
Om de verhouding van kracht en last te berekenen, zal op dezelfde wijze worden tewerk gegaan als in N". 64; nl. zal eerst die verhouding bepaald worden als geen wrijvingsweerstanden in aanmerking worden genomen, terwijl daarna voor elke over-
*) Fig. 26, 31, 32, 33, 34 zijn ontleend aan Ernst, Hebezeuge.



brenging de werkingsgraad in rekening zal worden gebracht.
a. Zonder wrijving.
66. Om een last van 100 KG. op te heffen, is een kracht noodig aan den omtrek van:
het rondsel, dat in den heugel grijpt:
100 KG.; het rad met 20 tanden:
91
100 x m;
het rondsel, dat op het rad van 20 tanden werkt:
dezelfde kracht als de voorgaande; het rad van 18 tanden:
100 x w x tl KG-;
het rondsel op de krukas:
dezelfde kracht als de voorgaande;
de kruk:
100 x w x -Mf x w =0 358 K0'
b. Met lori/jving.
67. Bij elke overbrenging is verlies, en wel komt bij den heugel van elke 100 KG. slechts 85 KG. terecht, en bij de raderen van elke 100 KG. slechts 80 KG. (Zie N°. 58).
Terwijl men dus, als er geen wrijving was, met een kracht van 0.358 KG. een last van 100 KG. zou kunnen opheffen, kan nu niet meer dan
100 X 0.85 X 0.80 X 0.80 = 54.5 KG. worden verplaatst.
K 0.358
De verhouding zonder wrijving is , en met
O 358
wrijving ^ , zoodat het nuttig effekt is:
0.358 0.358 , 0.358 v 54.5 „Ac,,
" = Tor11 °f Töö x omof 0 M5'
Om dus een last van 6000 KG. te lichten zou noodig zijn:
zonder wrijving X 0.358 = 21.48 KG.



.. . 6000 n OEt1 21.48 — on . xrn
en met wrijving X 0.358 — Q — 39.o Kli.,
Het nuttig effekt van een samengesteld werktuig.
68. Bij alle voorafgaande werktuigen was er krachtsverlies tengevolge van wrijvingsweerstanden enz. op verschillende plaatsen; bijv. bij de dommekracht in fig. 26 bij elke tandradoverbrenging, en in fig. 25 bij de tandradoverbrenging en bij het touw.
Elke nieuwe overbrenging doet den werkingsgraad verminderen ; wanneer men den werkingsgraad van elk der overbrengingen kent, is het gemakkelijk den werkingsgraad van het geheele werktuig te bepalen.
Hoe men daarbij te werk moet gaan is feitelijk reeds aangegeven in N°. 64 tot 67. Door een kracht 0.358 KG. aan de kruk zou een last van 100 KG. kunnen opgeheven worden als er geen wrijving was. De wrijving bij heugel en rondsel veroorzaakt, dat slechts
100 X 0.85 KG. kan gelicht worden; de wrijving bij het rad van 20 tanden en het daarop werkende rondsel maakt, dat van elke 100 KG. slechts 80 KG. terecht komt, zoodat de last slechts
100 X 0.85 X 0.80 KG. kan wezen, en door de wrijving bij het rad van 18 tanden en het rondsel op de krukas wordt van elke 100 KG. ook slechts 80 KG. nuttig gebruikt, zoodat in het geheel in plaats van 100 KG. niet meer dan
100 X 0.85 X 0.80 X 0.80 kan worden opgeheven.
De werkingsgraad is dus
0.85 X 0.80 X 0.80 - 0.544. d. w. z. gelijk aan het product van de getallen, die den werkingsgraad der achtereenvolgende overbrengingen aangeven.
69. In 't algemeen: als achtereenvolgens een aantal



overbrengingen van beweging toegepast worden, waarvan het nuttig effekt wordt voorgesteld door
Hjj Ü2) n3) enz., dan is het nuttig effekt van het geheele samenstel: n = n, X n3 X na X enz.
70. Men denke er om, dat deze uitkomst alleen kan worden toegepast als de overbrengingen achter elkander geschieden, terwijl bij de eerste overbrenging de kracht aangrijpt, en bij de laatste de last werkt. Dus kan men de berekening in het algemeen niet toepassen bij een takel; want wel zijn daar achter elkander een vaste schijf, een losse, weder een vaste, weder een losse, enz., maar de last wordt gedragen door de losse schijven te samen en niet door de laatste losse schijf alleen. De machtstakel (fig. 9 en 10) maakt hierop echter een uitzondering, zoodat voor zulk een takel het besprokene in No. 69 geldig is.
Schroeflijn.
71. In fig. 27 zijn de vertikale en horizontale projectie van een cilinder geteekend.
Denkt men een punt, dat over het cilinderoppervlak beweegt, dan zal de horizontale projectie van dat punt steeds op den cirkelomtrek vallen, terwijl de vertikale projectie verschillende hoogten boven het grondvlak kan hebben.
Onderstelt men dat het punt zoodanig beweegt, dat de hoogte boven het grondvlak voortdurend evenredig is met den boog, welke door de horizontale projectie wordt doorloopen (gerekend van af een vast punt A), dan beschrijft het punt een kromme lijn, die schroeflijn genoemd wordt.
Men kan zulk een schroeflijn verkrijgen door een stuk papier, fig. 28, waarop een rechte lijn AC is getrokken op den cilinder te wikkelen, want als men de lijn AB langs den omtrek van het grondvlak legt, zijn de hoogten van twee punten, bijv. bij 5 en bij 9, evenredig met de lengten A5 en A9, die cirkelbogen zijn geworden.
Omgekeerd: als men een cilinderoppervlak ontwikkelt,



d. w. z. als men het doorsnijdt volgens een beschrijvende lijn, en dan in een plat vlak uitlegt, dan zal een schroef¬
lijn, die op het oppervlak geteekend was, overgaan in een rechte lijn.



72. Een schroefijjn kan geteekend worden als volgt:
Verdeel den grondcirkel in een aantal (bijv. 12) gelijke deelen, en trek in de vertikale projectie een even groot aantal (12) lijnen evenwijdig met AA1, en op gelijken afstand van A A1 en van elkander. Haal het punt 1 van den cirkel op naar de le lijn, het punt 2 naar de 2e lijn, enz., en verbindt de verkregen punten.
78. Als men den cirkel eenmaal is rondgeweest is het bewegende punt gestegen van A naar C. De hoogte A C noemt men den spoed van de schroeflijn.
Wanneer in fig. 28 (de ontwikkeling van fig. 27) de lengte van A B juist gelijk is aan den omtrek van het grondvlak van den cilinder dan is B C de spoed.
Hoe grooter de spoed wordt genomen, des te grooter wordt de hoek C AB; men zegt dat deze hoek de helling van de schroeflijn aangeeft. Op eiken cilinder kan men de helling van een schroeflijn willekeurig kiezen tusschen 0° en 90°.
De schroeflijn in fig. 27 wordt rechtsch genoemd, omdat ze naar de rechterzijde oploopt (ook als men den cilinder geheel omgekeerd voor zich plaatst).
Had men de cijfers in het grondvlak in tegengestelde richting genomen, dus 1, 2, 3, enz., waar nu 11, 10,9 enz. staan — dan zou een schroeflijn verkregen zijn, die naar de linkerzijde oploopt, en die dus linksch genoemd wordt.
(Als men in fig. 27 het getrokken deel van de schroeflijn stippelt, en het gestippelde deel trekt, dan verkrijgt men zulk een linksche schroeflijn).
Schroef.
74. Men denke een vierkant tegen den cilinder geplaatst, (fig. 29), waarvan het vlak — bij verlenging door de as van den cilinder gaat, éen zijde in het cilinderoppeivlak ligt, en éen hoekpunt zich in het punt A van fig. 27 bevindt, terwijl de zijde gelijk is aan den halven spoed van een op den cilinder geteekende schroeflijn.



Onderstelt men dat dit vierkant draait om de as van den cilinder, terwijl tegelijkertijd het hoekpunt A de
scnroeilijn volgt, dan doorloopt het vierkant een vierkanten schroefdraad, en de cilinder met den draad samen



vormen een vierkanten schroef (en wel een rechtschen).
De punten van het vierkant, die op het cilinderoppervlak liggen, beschrijven schroeflijnen, welke geheel gelijk zijn aan de door A doorloopen schroeflijn.
De uiterste punten van het vierkant beschrijven ook schroeflijnen met denzelfden spoed als de voorgaande, maar gelegen op een grooteren cilinder. Die schroeflijnen kunnen op dezelfde wijze worden geconstrueerd als de lijn in fig. 27; zie fig. 29.
Ontwikkelt men den grooteren cilinder (dus den cilinder, waaruit de schroef gesneden wordt), dan zou de schroeflijn overgaan in een rechte lijn A C„ (fig- 80), terwijl de ontwikkeling van den oorspronkelijken cilinder (den kern van de schroef) een lijn AC gaf. (AB, en AB zijn gelijk aan den omtrek van den grooten en den kleinen cilinder).
Alle punten van het vierkant tusschen de beide cilinders ingelegen, beschrijven schroeflijnen, waarvan de helling inligt tusschen de helling van AC en AC,.
Om de berekeningen te vereenvoudigen neemt men nu de helling van de schroeflijn voor punten op het midden van den schroefdraad als gemiddelde helling van de schroef, en dus neemt men om die helling te teekenen A Ba = t X de gemiddelde dikte van de schroef — d. w. z. £ (dikte schroef + dikte kern) —, en B3 C2 = spoed.
75. In plaats van een vierkant, kan men een andere figuur op dergelijke wijze doen bewegen, bijv. een gelijkzijdigen driehoek met zijde gelijk aan den spoed, of een trapezium, enz.
In het volgende wordt voorloopig slechts gesproken over de schroef met vierkanten draad.
76. Als om de schroef een moer gelegd wordt, die dus inwendig een draad heeft, welke past in den draad van de schroef, dan kan men door draaiing van het eene lichaam aan dit lichaam of aan het andere een verplaatsing geven, en wel kan men hebben:
1*. de schroef draait; de moer verplaatst zich in de richting van haar as;



2'. de moer draait; de schroef verplaatst zich i. d. r. v. h. a.;
3*. de schroef draait; de moer is vast, dus de schroef verplaatst zich i. d. r. v. h. a.;
4*. de moer draait; de schroef is vast, dus de moer v. z. i. d. r. v. h. a.
Gewoonlijk kan men niet door de schroef (of de moer) te trekken of te drukken de moer (of de schroef) doen draaien; dit kan alleen plaats hebben als de spoed zeer groot is (bijv. bij een omzetmechanisme voor kleine bootmachines, en bij een drilboor). In den regel is dus de schroef met moer zelfsperrend (zie Nn. 45).
77. Van de vier genoemde gevallen zal slechts een enkel worden nagegaan. In het algemeen heeft men — hoe de inrichting van het hefwerktuig verder ook zijn moge — altijd een van beide volgende gevallen:
l6. de last hangt aan, of drukt op de schroef en de draad van de schroef drukt op den draad van de moer;
2'. de last hangt aan, of drukt op de moer, en de draad van de moer drukt op den draad van de schroef.
De last komt dus te rusten öf op den draad van de moer, öf op den draad van de schroef, en in beide gevallen wordt ze door draaiing van het andere lichaam langs dien draad verplaatst.
78. In beide gevallen is er wrijving van den eenen draad langs den anderen, doch bovendien is er nog wrijving op een andere plaats, en wel:
In geval le van N°. 76, op de plaats (of plaatsen) waar de schroef gesteund wordt;
in geval 2', op de plaats waar de moer gesteund wordt;
in geval 3", op de plaatsen waar de last op de schroef drukt of er aan hangt (want in den regel mag de last niet met de schroef meedraaien);
in geval 4', op de plaats waar de last op de moer drukt of er aan hangt.
De steunvlakken bij de schroef (1* en 3') zijn steeds kleiner dan de steunvlakken bij de moer (2* en 4e), zoodat



de wrijvingsverliezen bij draaiende moer grooter zullen wezen dan bij draaiende schroef.
In geval 2" moet bovendien de schroef door een bijzondere geleiding (bijv. een gleuf) verhinderd worden met de moer mede te draaien, zoodat nog op een derde plaats wrijving optreedt. Dit geval is dus het ongunstigst. In geval 1' moet de moer geleid worden.
Vijzel.
79. Hierbij (fig. 31) heeft men het 3* geval van N°. 76; de schroef wordt gedraaid, en verplaatst zich in de vaste moer. De last drukt op de klauw bovenaan de schroef. De draad van de moer draagt dus het gewicht van last en schroef samen.
Om de verhouding van kracht en last te berekenen, is het gemakkelijkst gebruik te maken van de gelijkheid van den bewegingsarbeid en den weerstandsarbeid, zooals in N". 26 besproken is. a. Zonder wrijving.
80. Onderstel dat de spoed van de schroef s mM. is, en dat de kracht K aan een hefboomsarm van 1 M. werkt, dan verricht K bij een geheele omdraaiing van de schroef een arbeid
K X 2 r 1 Kilogrammeter.
De last stijgt dan een hoogte van s mM., dus de weerstandsarbeid is
L X ^ KOM.
(s moet tot meters herleid worden; daarom is
geschreven).
Alzoo is
K X 2 r 1 = L X
of
K _ s
L 1000 X 2 ir X 1'



Duidelijk ziet men hieruit, dat als de spoed kleiner wordt genomen, de kracht evenredig kleiner kan wezen,



maar omdat bij kleineren spoed, de last bij elke omdraaiing van de schroef minder stijgt, heeft men weder de bevestiging van de uitspraak in N°. 21, 22 en 23.
Getallenvoorbeeld: Is de spoed s = 11 mM., en de hefboomsarm 1 = 2 M., dan is de arbeid van de kracht:
K X 2 sr X 2. en de arbeid van de last:
L X -!11000'
dus
KX2tX2 = LX 0.011,
of
K _ 0.011 _ 0.011 L 4 X t 12.56 ~ °-000875Om een last van 10.000 KG. op te heffen zou dus slechts 8.75 KG. noodig zijn. b. Met wrijving.
81. De draad van de schroef wordt bij de draaiing gedrukt tegen den draad van de moer. Verandert men de helling van den draad, dan verandert ook de grootte van de drukking (bij eenzelfde kracht K).
En omdat de wrijving afhangt van de grootte van den druk, is de wrijving bij een schroef ook afhankelijk van de helling, zoodat het nuttig effekt in verband zal staan met de helling van den draad.
Twee schroeven met eenzelfde uitwendige middellijn, en eenzelfde kerndikte zullen verschillend nuttig effekt hebben als de spoed verschillend is.
Om nu den wrijvingsweerstand in rekening te brengen, is het eenvoudigst de schroef te vergelijken met een andere schroef met grooter spoed, voor welke de ver-
houding j- zonder wrijving dezelfde waarde heeft als bij
de te onderzoeken schroef met wrijving.
En wel verkrijgt men uitkomsten, die met de praktijk overeenstemmen, als men den spoed vermeerderd denkt met 0.45 van de gemiddelde dikte van de schroef. Dat



wil zeggen: Om de verhouding met wrijving te weten voor een schroef met spoed s, heeft men niets anders te doen dan de verhouding T zonder wrijving te berekenen
Ij
voor een schroef met spoed s + 0.45 d, als d de gemiddelde dikte van de schroef voorstelt *).
Wanneer dus in het getallenvoorbeeld van N°. 80 de gemiddelde dikte d = 100 mM. is, dan is de verhouding K _ 2 ic X 2 _ nnfU„fi L 00.11 + 00.45 0.00436,
d. i. ongeveer vijfmaal zoo groot als zonder wrijving.
Nuttig effekt.
82. Zonder wrijving is de verhouding
K _ s
L 1000 X 2 ie X 1' met wrijving is de verhouding
K _ s + 0.45 d L 1000 X 2 x X 1' en dus is volgens N°. 6 het nattig effekt gelijk aan de verhouding van die twee verhoudingen, d. w. z.
s
n ~ s + 0.45 d' of als men teller en noemer door s deelt
1
n = 
1 + 0.45 -
s
In het voorbeeld van N°. 80 heeft men daardoor __ 0.011 _ 11 _ 11 _ 1
n 0.011 + 0.045 11 + 45 56 onSeveer 5*
Vijzel met slede.
83. In fig. 31 kan door middel van de horizontale schroef de vijzel met den last verschoven worden.
Er is dus wrijving tusschen de onderplaat van den vijzel en de bovenzijde van de slede. Onderstelt men dat voor
*) Het is schr. niet bekend of deze eenvoudige berekening reeds elders vermeld is.



elk KG. druk de wrijvingsweerstand 0.15 KG. is, (of m. a. w. dat de wrijvingscoëfficiënt 0.15 is), dan zou voor een last van 10.000 KG. op den vijzel, en een eigen gewicht van 100 KG. de wrijvingsweerstand zijn 10100 X 0.15 = 1515 KG.
Deze weerstand moet overwonnen worden door de kracht, die de horizontale schroef ronddraait.
De berekening daarvan wordt aan den lezer overgelaten ; men neme den hef boomsarm van de kracht 20 cM., de spoed van de schroef 10 mM., en de gemiddelde dikte 40 mM.
Vijzel met tandradoverbrenging.
84. In fig. 32 is aan de kruk een rad met 12 tanden aangebracht, dat in een rad met 30 tanden eriiDt. Met dit
laatste draait een rad met 12 tanden mede, dat in een rad met 30 tanden grijpt, 't welk naast het eerste rad geplaatst is, en over de krukas heendraait. Aan het laatste rad van 30 tanden is een kegelrad met 16 tanden



bevestigd, dat een ander kegelrad, met 20 tanden, doet draaien, waarin de moer is gesneden, die door haar draaiing de verplaatsing van de schroef veroorzaakt. Men heeft dus hier het 2" geval van N". 76. De schroefdikte is 52 mE, de spoed 15 mM., dus de draadhoogte 7.5, en de gemiddelde dikte 44.5 mM. De krukarm is 25 cM.
a. Zonder wryving.
85. Als de kruk éénmaal wordt rondgedraaid, maakt het rad 12 op de krukas éen omwenteling; het rad 30, waarin
12
het grijpt, ^ omwenteling; het rad 12 naast het rad 30, oU
12
evenzoo ^ omwenteling; het rad 30, dat over de krukas
Ov
12 12
beweegt r- X ^ omwenteling; het kegelrad 16 even-
0\J öü
veel, en het kegelrad 20 daardoor
X — X — omwenteling. 30 30 20 8
De schroef gaat bij elke omwenteling van dit laatste
rad 15 m.M. omhoog, dus nu:
H x 12 x 16 x 15 mM
30 30 'N 20 '
= i-xf-xixi5 = || = 1.92 mM. 5 5 5 uo
Bij éen omwenteling van de kruk verricht de kracht
K een arbeid
K X 2 5T X 0.25 KGM., en de last een weerstandsarbeid
L X 0.00192 KGM.,
zoodat
K X 2 r X 0.25 = L X 0.00192,
* = = 0.00122.
b. Met wrijving.
86. Het nuttig effekt is volgens N". 69 gelijk aan het



product van de waarden van het nuttig effekt voor elk der overbrengingen.
Yoor de drie tandradoverbrengingen is dit telkens 0.91 (zie N°. 58), voor de schroef met moer kan het op dezelfde wijze worden uitgedrukt als in N". 81 gedaan is.
Alleen moet er op gelet worden, dat de moer draait, zoodat het nuttig effekt kleiner is dan wanneer de schroef draaibaar was gemaakt (N°. 78).
In plaats van te nemen
— 3 — — ft w
n ~~ s + 0.45 d 15 + 20 35
is het bij draaiende moer noodig
_ s *s n ~ s + 0.82 d ' te stellen, dus voor de gegeven afmetingen
15 15 15 ^
n ~~ Ï5~H- 0.82 X 44.5 ~ 15 + 37.3 52.3
Men heeft in het werktuig het kegelrad 20 laten loopen over rollen, waardoor de wrijving minder is, dan wanneer het over een vlak sleept; en men komt tot een vrij juiste uitkomst door het gemiddelde te nemen van 0.43 en 0.287, dus n = 0.36 te stellen.
Dan is het nuttig effekt voor het geheele werktuig 0.91 X 0.91 X 0.91 X 0.36 = 0.27, en dus is met wrijving-.
K = 2^ = ,0045,
Om een last van 7500 KG. op te heffen is dus noodig een kracht
K = 7500 X 0.00452 — bijna 34 KG.
87. Wanneer de last moet dalen, neemt men de beide onderste tandraderen weg, en verschuift de krukas, zoodat het rad 12 in een vertande uitholling van het rad 30 komt, en daarmede dan éen geheel uitmaakt. Draait men de kruk, dan neemt deze — zonder tusschen-overbrenging — het kegelrad 16 mede.
*) Zie noot op blz. 52.



1£
De berekening van — wordt aan den lezer overgelaten.
L
Worm en wormrad.
88. In fig. 33 is de overbrenging aangegeven van een worm op een wormrad. De worm is een schroef, ontstaan door de beweging van een trapezium met basishoeken van ongeveer 75° langs een schroeflijn, op de in N°. 74 voor
het vierkant aangegeven wijze. Dikwijls worden twee of drie draden aangebracht. De spoed en dus ook de helling is dan vrij groot.
In de figuur zijn er twee draden met een spoed s = 50.8 mM. (2 Eng. duim), de gemiddelde dikte is 40 mM. Volgens N". 82 is dus het nuttig effekt
_ 50.8 _ 50.8 + 18 _ 50.8
" 50.8 + 0.45 X 40 . . 50.8 68.8 ~
Er moet opgemerkt worden, dat door den weerstand van het wormrad, de worm sterk aangedrukt wordt tegen
r—C24-



zijn steunpunt, zoodat wegens daardoor opgewekte wrijving het nuttig effekt minder wordt, en wel tot op 0.85 of 0.90 van de berekende waarde vermindert.
Dus moet men n nemen tusschen 0.85 X 0.74 = 0.63
en
0.90 X 0.74 = 0.665 en kan daarom ongeveer n = 0.68 stellen.
Takel met worm en wormrad.
89. Bij den takel van fig. 34 wordt een kettingschijf met 6 nesten bewogen door middel van een wormrad met worm, welke laatste door een haspelrad wordt rondgedraaid. Een losse katrol kan al of niet gebruikt worden.
De afmetingen zijn: worm als in N°. 88, wormrad 24 tanden, straal van het haspelrad 145 mM., straal kettingschijf 49 mM.
a. Zonder wrtyving enz.
Bij éen omwenteling van het haspelrad verricht de kracht K een arbeid
K X 2 x X 145.
De schroef maakt dan éen omwenteling en brengt — omdat er twee draden zijn — het rad twee tanden vooruit.
Het rad en daardoor de kettingschijf maakt dus — omwenteling, zoodat de ketting -L deel van 2 ir X 49 (den omtrek van den steekcirkel van de kettingschijf) opschuift.



Door de aanwezigheid van de losse katrol stijgt de last de helft van dat bedrag, dus
1. X 2 r X 49, en de weerstandsarbeid van den last is
L X i X 2 i X 49.
24
Bijgevolg is
K X 2 x X 145 = L X ^ >< 2 f X 49,
en
5 = — = 0.0141.
L 24 X 145
b. Met wrijving enz.
90. Bij het haspelrad is de verhouding van kracht en weerstand als 105: 100 (zie N". 2), zoodat het nuttig effekt is
_L_ = 0.953.
1.05
Yan worm en wormrad is het nuttig effekt 0.68, van de kettingschijf weder 0.953, en van de losse katrol evenzoo. Dus is voor het geheel het nuttig effekt:
0.953 X 0.953 X 0.953 X 0.68 = 0.59, en daardoor is met wrijving enz.:
5 = °-0U1 = 0.0239.
L 0.59
Voor een last van 4000 KG. is dus een kracht van 95.6 KG. noodig.
Praktische Regel voor Takels.
91. In N°. 68 en 69 is gesproken over het nuttig effekt van een samengesteld werktuig; in N°. 70 is vermeld, dat de gevonden uitkomst voor een takel niet geldt.
Voor takels kan echter een praktische regel gegeven worden, die als volgt kan worden afgeleid.
Als voorbeeld wordt gekozen flg. 8. *)
*) Zie pag. 9



De spanning in de parten is daarbij:
100, 110, 121, 133.1, 14G.4,
dus de last
L = 610.5,
en de kracht
K = 101 KG.
Waren er geen weerstanden, dan zou om 610 5 KG. op te halen een kracht noodig zijn
K, = r X 610.5 = 122.1 KG.
5
Zonder groote fout kan men den last gelijk nemen aan 5 maal de spanning in de middelste part (121 KG.), en dus geeft die spanning bij benadering de waarde aan van de kracht K,. (De spanning is iets kleiner dan K„ omdat de spanningen 100, 110 enz. toenemen volgens een meetkundige reeks, en het verschil vau twee opvolgende dus telkens grooter wordt).
92. Wanneer men dus den last door 5 deelt, verkrijgt men een getal (122.1), dat iets grooter is dan de spanning in de middelste part.
Vermenigvuldigt men met 1.1 can is
V X 1.1
O
iets grooter dan de spanning 133.1 in de volgende part. Evenzoo is
^ X 1.1 X 1.1
5
iets grooter dan de spanning 146.4 in de daaropvolgende part en
^ x 1.1 X 1.1 X 1.1
O
iets grooter dan de kracht K.
Men heeft hier, om K te vinden, c/n'emaal met l.l moeten vermenigvuldigen, omdat na de middelste part nog twee parten en de halende part volgen.
Rekent men de halende part mede, dan is 3 juist de helft van het aantal parten; dus zou men ook 6 maal met 1.05 kunnen vermenigvuldigen of, wat hetzelfde is,



bij de waarde van F vijf procent daarvan kunnen optel-
O
len, bjj de uitkomst weder 5 pC. daarvan, enz., zesmalen achter elkander. Men verkrijgt dan een waarde voor K die ongeveer 1 pC. te hoog is. (Wel is ook 1.05' niet geheel gelijk aan 1.1', doch de fout is zeer gering).
93. Was er één part meer geweest, dan zouden de spaningen zijn:
100, 110, 121, 133.1, 146.4, 161,
L = 771.5, en K = 177.1 KG.
Zonder weerstanden zou, om 771.5 KG. op te heffen, een kracht noodig zijn:
771
K, = = 128.6 KG.,
iets grooter dan het gemiddelde van de spanningen 121 en 133.1 van de beide middelste parten. Vermenigvuldigen met 1.05 geeft dan:
-6 X 105
iets grooter dan de spanning 133.1.
Evenzoo is
t X 1.05 X 1.1 b
iets grooter dan de spanning 146.4,
X 1.05 X 1.1 X 1.1
O
iets grooter dan de spanning 161,
- X 1.05 X 1.1 X 1.1 X 1.1
b
iets grooter dan de spanning K, en wel ongeveer 1 pC. grooter.
94. Het blijkt, dat men met 1.05 moet vermenigvuldigen, omdat het aantal parten even is. en er dus twee middelste zijn; en dat men dn'emaal den factor 1.1 moet gebruiken, omdat het aantal parten 2 X 3 = 6 is.
Men zou dus in plaats van driemaal met 1.1, ook



zonder groote fout zesmaal met 1.05 kunnen vermenigvuldigen, dus in het geheel zevenmaal, of, wat hetzelfde
is, bij de waarde ^ vijf procent daarvan kunnen optellen,
bij de uitkomst 5 pC. daarvan, enz., zevenmalen achter elkander.
95. Neemt men in aanmerking, dat bij den eersten takel 5 schijven zijn en bij den tweeden 6, dan zou men den regel kunnen volgen:
Bepaal de kracht K,, die noodig zou zijn om een gegeven last op te halen, als er geen schadelijke iceerstanden waren, voeg daarbij 5 pC., bij de uitkomst weder 5 pC. daarvan enz., evenveel malen als er parten zijn, de halende medegerekend, öf eenmaal meer dan er schijven zijn. Trek van de uitkomst 1 pC. af; öf ook:
Bepaal de kracht K„ die noodig zou zijn om een gegeven last op te halen, als er geeft, schadelijke weerstanden waren, voeg daarbij 10 pC. voor de eerste schijf, en daarna telkens 5 pC. voor de andere schijven. Trek van van de uitkomst 1 pC. af.
Voorbeeld. Om met een takel met 5 schijven een last van 800 KG. op te halen, zou een kracht noodig zijn
van —— =160 KG. als er geen schadelijke weerstanden 5
waren.
De berekening wordt nu :
160 +10 pC. daarvan = 160 +16 =176 176 + 5 „ „ = 176 + 8.8 = 184.8 184.8 + 5 „ „ = 184.8 + 9.24 = 194.04 194.04+ 5 „ „ = 194.04 + 9.7 = 203.74 203.74 + 5 „ „ = 203.74 + 10.19 = 213.93 213.93- 1 „ „ =213.93- 2.13 = 211.8 Dus is een kracht van 212 KG. noodig.
96. De regel gaat ook door voor den Spaanschen takel, doch moet daarbij ruim 2 pC. worden afgetrokken. De afleiding daarvoor blijve achterwege.



Voorbeeld. Om met een Spaanschen takel met 3 schijven in 't geheel een last van 600 KG. op te halen, zou zonder
weerstanden een kracht van = 120 KG. noodig zijn.
(Zie N°. 33).
De berekening wordt nu:
120 + 10 pC. daarvan = 120 +12 = 132 132 + 5 „ „ =132 + 6.6 = 138.6 138.6 + 5 „ „ = 138.6 + 6.93 = 145.53 145.53 - 2 „ „ =145.53- 2.91 = 142.6 Dus is een kracht van 142 KG. noodig.
Als bij een Spaanschen takel een ketting gebruikt wordt (zie N°. 35), rekene men voor elk blok 5 pC.



INHOUD.
Bladz.
Inleiding j
Vaste katrol 
Verhouding van kracht en last 
Nuttig effekt ''
Losse katrol *
Takels ®
Derdehandtakel '
Talie °
Noktakel ^
Het zakken van den last 
Verhouding van de snelheid van kracht en last 1"
Arbeid ^
Machtstakel j
Spaansche takel 
Differentiaaltakel 2®
Samenstellingen van takels 24
Takel van een stoomkraan 26
De verhouding 110 : 100, of 105 : 100 30
Andere werktuigen 32
Tandradoverbrenging 
Herleiding van een kracht tot een anderen arm _
Windas 
Kaapstander 
Windas met tandradoverbrenging 37
Dommekracht 
Het nuttig effekt van een samengesteld werktuig 42
Schroeflijn ^
Schroef f
' Vijzel f
Vijzel met slede _
Vijzel mot tandradoverbrenging 53
Worm en wormrad ^
Takel met worm en wormrad 57
Praktische regel voor takels 58











Bij de Uitgevers NIJGH & VAN DITMAR zyn verschenen en alom verkrijgbaar:
HET SCHEEPSSTOOMWERKTUIG,
Een Handboek, hoofdzakelijk ten dienste vnn hen, die zich voorbereiden tot het Slaats-Exuinen voor Machinisten ter Koopvaardij,
door A. D. F. W. LICHTENBELT,
Hoofdleeraar van de Afdeeling Werktuigkunde aan de Academie van B. K. en T. W. te Rotterdam.
Eerste Deel. Stoomketels en toebehooren, derde,
vermeerderde druk f 5 9°
tweede Deel. Het Hoofdwerktuig en de voort-
stuwers. Derde vermeerderde Druk „ 5 90
Derde Def.L A. Hulp- en Bijwerktuigen. Tweede vermeerdeide Druk in bewerking.
Vierde Deel. Theoretisch Gedeelte „ 4.90
De verschillende deelen zijn ook gebonden in donkergroenen geheel linnen band met goud stempel verkrijgbaar.
De prijs is dan f 0.60 per Deel hooger.
Vraagstukken over Werktuigkunde,
met toelichtingen en de hoofdpunten der theorie, door F. J. CHERPION,
Leeraar in de Wis- en Werktuigkunde te Rotterdam.
A (voor eerstbeginnenden) f 0.65, ANTWOORDEN ƒ0.25. B 15°, dit0 » ° 45-
Handleiding voor het gebruik van de Rekenliniaal,
van DENNERT en PAPE, FABER en TAVERNIER-GRAVET,
door F. J. VAES.
Werktuigkundig Ingenieur.
Prijs ƒ 0.60.