[mü> F 40 Boekbinderij Drukkerij RUSTENBURG Tel.6621778 Amsterdam Borkliimlrrij I>rukkOOK H. WERKMAN. Uitgave van B. WESTERA te N1JVERDAL. iqo8. VOORBERICHT. I)e gunstige ontvangst, die het sPractisch Taalonderwijs» ten deel viel deed den uitgever besluiten een soortgelijk werk over het rekenen uit te geven. Dit boek dankt daaraan zijn ontstaan. Het is dus bestemd voor dezelfde groep van personen, die het «PkactiscH Taalonderwijs» gebruiken, voor allen dus, die na de schooljaren behoefte hebben de rekenkunde te bestudeeren, niet om de rekenkunde als zoodanig, maar uitsluitend om voor het leven kennis en vaardigheid te hebben in de verschillende bewerkingen. Bij het schrijven is ook gedacht aan het examen-doen voor de een of andere betrekking, waarvoor bedrevenheid in het rekenen een vereischte is, doch daarnaast bestond vooral het streven een leerboek te schrijven voor hen, die in hun bedrijf voortdurend móeten rekenen. Wie les neemt, vindt in dit boek het behandelde in hoofdzaken terug; wie aangewezen is op eigen studie, kan bij zorgvuldig werken, zelf den weg vinden met behulp van de aanteekeningen en verklaringen hier en daar en aan 't slot. Een boek dus uitsluitend voor de practijk. Een leerboek der rekenkunde in den gewonen zin van het woord is het dus niet. Dat blijkt reeds uit de inhoudsopgave ; de stof, de volgorde der stof en de wijze van behandeling doen zien, dat dit werk geen theorie der rekenkunde is. Werktuiglijkheid zonder begrijppen werd echter steeds vermeden, terwijl in de voorbeelden en vraagstukken getracht werd de aandacht te vestigen op tal van maatschappelijke verschijnselen, die binnen den gedachtenkring vallen van hen, voor wie dit werk bestemd is. Maar al is dit werk dan geen leerboek der rekenkunde, toch hopen we, dat er heel wat uit te leeren valt. Daarover mogen de gebruikers beslissen. H. W. 20 December 1907. INHOUD HOOFDSTUK I. Vier hoofdbewerkingen met geheele getallen. § i. Algemeene opmerkingen '• § 2. Hoe de getallen in elkander zitten 2- § 3. Hoe men de getallen schrijft en uitspreekt ... 5- g 4. Het optellen § 5. Heb ik goed opgeteld § 6. Optellingen maken »uit het liootd» 1 2' g 7. Het aftrekken. Wat het eigenlijk is <3- 8 8. Hoe voert men de aftrekking uit ? *5- t 7 § 9. Het inzicht verhelderd g IO. Hel) ik goed afgetrokken ' gil. Aftrekken uit het hoofd °' g 12. Optellen en aftrekken 2^' g 13. Aftrektal, aftrekker en verschil 2 ■ g 14. Haakjes en accoladen 2^' 8 ie. Het vermenigvuldigen $°' t ■ . . 30. g 16. Drie namen . g 17. De tafels van vermenigvuldiging ...•••• 31- 8 18. Aan 't vermenigvuldigen. De vermenigvuldiger 12 bestaat uit één cijfer g 19. De vermenigvuldiger is een term van de schaal . 34g 20. De vermenigvuldiger is een veelvoud van 10, 100, 1000, enz s ->i De vermenigvuldiger een willekeurig getal . . ■ 37- ~ • 39g 22. Inspringen g 23. Nullen in den vermenigvuldiger • 8 24. De factoren van een product kunnen verwisseld worden g 25. Heb ik goed vermenigvuldigd? ++• § 26. Gedurige producten 44- § 27. De factoren in een gedurig product kunnen verwisseld worden 46- § 28. Twee factoren mogen vervangen worden door hun product 48- § 29. Nog eens de waarde van een gedurig product. . 48. § 30. Vermenigvuldigen uit het hoofd 5°- §31. Het gebruik van haakjes, enz 53. § 32. Het deelen SS- § 33. Andere deelingen 57- § 34. Weer drie namen 5&- § 35. Hoe men deelt S^- § 36. In welke deelen wordt het deeltal verdeeld ? . . 59. § 37. Goed kunnen vermenigvuldigen is een eerste ver- eischte 60. § 38. De vorm van de deeling 61. § 39. Vereenvoudigingen 63. § 40. Nullen in 't quotiënt 65. § 41. Hoe vaak het gaat 67. § 42. Gaat het 5 maal? of meer? of minder? .... 70. § 43. Heb ik goed gedeeld? Ji. g 44. Deelen uit het hoofd 72- g 45. Haakjes 74- g 46. Vragen en opgaven (no. i—40) 75- g 47. Sommen (no. 41—75) . . . . 78. g 48. Het oplossen van vraagstukken 86. g 49. Vraagstukken om beredeneerdoptelossen(no.7Ó— 110) 90. HOOFDSTUK II. Het metriek stelsel. g 50. Wat beteekenen de woorden: het metriekstelsel? 95. g 51. Wat is meten en wegen eigenlijk? 96. g 52. Hoe leert men de maten 99. g 53. Hoe het stelsel van maten en gewichten ingedeeld is 102. g 54. Lengtematen 103. g 55. Vlaktematen 110. § 5&- De ruimte- en inhoudsmaten 115- § 57. Iets over het meten van oppervlakten .... 122. § 58. Verband tusschen de inhoudsmaten 127. § 59. Iets over het meten van inhouden 130. § 60. Verband tusschen de inhoudsmaten 133. § 61. De gewichten 136. § 62. Iets over oude en vreemde maten 139. § 63. Onze munten 141. § 64. Iets over buitenlandsche munten 144. § 65. Vragen en opgaven (no. 111 —175) 147. HOOFDSTUK III. De tiendeelige breuken. § 66. Nog eens: Hoe de getallen in elkaar zitten . . 155. § 67. Hoe men de tiendeelige breuken schrijft . . . 158. § 68. Hoe men de tiendeelige breuken uitspreekt . . 163. § 69. Optelling en aftrekking van tiendeelige breuken . 163. § 70. Herleiding van tiende deelen enz. tot geheelen en omgekeerd 165. § 71. Vermenigvuldiging van tiendeelige breuken . . 167. § 72. Deeling van tiendeelige breuken; de deeler is een geheel getal 172. § 73. Twee decimale getallen door elkaar te deelen . 176. § 74. Decimale getallen en het metriek stelsel . . . 180. § 75. Het woord percent 185. § 76. Sommen (no. 176—187) 194. § 77. Vraagstukken (no. 181—240) 197. HOOFDSTUK IV. De gewone breuken, met nog een en ander over de gehcele getallen. § 78. Ter herinnering 203. § 79. Algemeene beschouwingen 207. § 80. Een rij namen 208. § 81. De belangrijkste eigenschap 210. § 82. Het vereenvoudigen en het gelijknamig maken van gewone breuken 212. § 83. Het vereenvoudigen en het gelijknamig maken van breuken is soms moeilijk s 84. De ontbinding in factoren en eenige kenmerken . I > . van deelbaarheid § 85. De grootste gemeene deeler en het vereenvoudigen van breuken g 86. Het kleinste gemeene veelvoud en het gelijknamig maken van breuken 2" § 87. Optelling en aftrekking van breuken 3 88. Het vermenigvuldigen van breuken 23°- 3 89. Deeling van gewone breuken 234- 3 90. Samengestelde breuken S 91. Herleiding van tiendeelige breuken tot gewone en ->A\. omgekeerd HOOFDSTUK V. Verschillende on derwerkpen. § 92. Sommen (no. 241—3°°) » > • • -47 8 oï Verhoudingen en evenredigheden 255. , 1 1 . . 262. 8 04.. Talstelsels * .ti J- ... 266. § 95. Herleidingen § 96. Romeinsche cijfers 2 s 07. Het oplossen van vraagstukken ~7°* § 98. Vraagstukken (no. 301— s 00 Nog eenige verklaringen en opmerkingen . . • 297. » j • • 3°8§ 100. Antwoorden ERRATA. Pag. 80. Lees voor 86576 (ie aftrekking): 86579. Pag. 151, no. 136, ie vraagstuk. Staat: breed iM.,leesloM. 1'ag. 153, som 157. Lees voor 625 c.M.3 : 625 d.M.3 Pag. 169. Staat vermenigvuldig 5 met 6278; lees : 6278 met 5. Pag. 197- Lees voor 0.00052 : 0.0052. Pag. 199. Lees voor: uitklaarde: uitgeklaarde. Pag. 250, som 264, staat 5|, lees 5$. > 265, staat 9g\, lees 9^1 • Pag. 253, som 290, staat 34, lees 24. HOOFDSTUK I. Vier hoofdbewerkingen met geheele getallen. § 1. Algemeene opmerkingen. De lezer, die zoo even dit boek ter hand heeft genomen, om nauwgezet den inhoud te bestudeeren — want de rekenkunde is niet maar al lezende eventjes te leeren — heeft natuurlijk goed naar school gegaan, heeft daar, onderstellen we, goed wat geleerd, maar — en hier zouden we haast weer «natuurlijk» kunnen schrijven — is ook weer een goed deel vergeten van alles wat hij eenmaal zijn verstandelijk eigendom mocht noemen. Daarom immers werd dit boek opengeslagen: weer leeren, wat vergeten was, en er wat bij leeren ook nog, als 't mogelijk is. Dat laatste, hopen we, hangt alleen van den lezer af, of beter: van den studeerende, want nog eens zij 't gezegd: een leerboek der rekenkunde is geen romannetje, om in een oogenblik tijds te verslinden ; neen : bijwijlen is de kost taai en moet ze brokje voor brokje verorberd worden. Er is een belangrijk onderscheid tusschen het «niet-weten» van hem, die niets geleerd heeft, en van hem, die wel iets wist, maar «alles is vergeten». Komt deze laatste er toe om een leerboek te bestudeeren, dan blijkt het, dat gewoonlijk maar een kleine opfrissching noodig is om alles weer helder voor den geest terug te roepen. Om die reden zullen we dan ook niet de vier hoofdbewerkingen met geheele getallen zoo fijn in de puntjes bespreken, zoo fijn en in bijzonderheden, als dat met aankomende schooljongens het geval moet zijn. Hier en daar een goede kijk op verschillende zaken, enkele opmerkingen daarbij, en dan, dan wil 't wel weer. Pas als we moeten onderstellen, dat de stof ligt buiten de grenzen van de gewone lagere school, of wanneer we meenen, dat de school die leerstof niet voldoende verwerken kon, omdat de leerlingen daarvoor te jong waren, of waar we toepassingen willen geven," die niet de schooljeugd, maar wel de volwassene jeugd interesseeren, daar zullen we zooveel toelichten en bespreken als o. i. nuttig en noodig zal blijken te zijn. § 2. Hoe dc getallen in elkander zitten. Beschouwen we een willekeurig getal, b.v.: 63257893, dan weten we 't natuurlijk nog van de schooljaren, dat de 3 voorstelt 3 eenheden, de 9 » 9 tientallen, de 8 » 8 honderdtallen, de 7 » 7 duizendtallen, de 5 » 5 tienduizendtallen, de 2 » 2 honderdduizendtallen, de 3 » 3 miljoenen, de 6 » 6 tienmiljoenen. Zijn die eenheden centen, dan zijn de tientallen dubbeltjes, de honderdtallen guldens. We herhalen het lijstje: eenheden, tientallen,, honderdtallen, duizendtallen, tienduizendtallen, honderdduizendtallen, miljoenen, tienmiljoenen, enz., want ofschoon het gegeven getal niet meer dan 8 cijfers bevat, we kunnen gemakkelijk genoeg getallen schrijven, die nog grooter zijn, en we zouden dan krijgen, steeds meer naar links: honderdmiljoenen, duizendmiljoenen, tienduizendmiljoenen, enz., ja inderdaad en zoo voort, want er komt geen einde aan. Een tiental is een verzameling van 10 eenheden, en aan elk van die eenheden apart kunnen we denken. Maar als we vele tientallen hebben, dan voegen we die 10 eenheden in gedachten toch telkens bij elkaar als een geheel, als een afzonderlijk iets, als een eenheid. Een cent is een eenheid, maar een dubbeltje, d. i. 10 centen, ook. Zoo kunnen we een honderdtal, een duizendtal enz., ook beschouwen als een geheel, een eenheid, maar om niet in de war te komen met het woord eenheid in t begin van deze §, spreekt men dan steeds van een samengestelde eenheid, of van een eenheid van hoogere orde. Schrijven we nu even dit op : tien eenheden vormen een tiental, » tientallen » * honderdtal, » honderdtallen » » duizendtal, > duizendtallen » » tienduizendtal, enz., dan kunnen we dit in 't algemeen zoo zeggen : 10 eenheden, welke het dan ook zijn, vormen steeds weer een eenheid van hoogere orde. Dat is het eenigste wat noodig is om een goed inzicht te krijgen in de grootte der verschillende getallen. Maar die wetenschap is ook noodig om de verschillende bewerkingen met de getallen te kunnen uitvoeren, ook om later goed te leeren hoe de tiendeelige breuken in elkander zitten, en is dus \an het hoogste belang voor allen, die het rekenen willen leeren. Men make zich dus goed vertrouwd met deze wijze van voorstellen ; elk willekeurig aantal eenheden kan zoo door middel van cijfers op een heel eenvoudige manier binnen het bereik van ons begripsvermogen gebracht worden. Men neme — in gedachten — enkele zakken vol erwten, en strooie ze uit op een vloer. Hoeveel zijn er ? Dat kan geen mensch overzien. Doch leg ze in groepjes van 10, en 't overzicht wordt gemakkelijker. Voeg 10 groepen bij elkaar, en ge hebt honderdtallen. We voegen 10 honderdtallen bijeen, en krijgen duizendtallen. Telkens wordt het aantal groepen kleiner, en het overzicht daarom gemakkelijker. Blijkt dan ten slotte de heele massa te bestaan uit b.v.: 8 maal een hoeveelheid van honderdduizend erwten, 2 j> » * » tienduizend » g » » » » duizend » g » » » > honderd » 4 s » » » tien » en ; erwten bovendien, dan «begrijpen» we de zaak, en we stellen in cijfers het aantal zoo voor: 828947. Opmerkingen, i. Men zou kunnen vragen, waarom men juist 10 eenheden moet nemen, om een eenheid van hoogere orde te krijgen ? Ja waarom? Dat is inderdaad voir 'iet rekenen niet noodig, — 't is niets anders dan een afspraak tusschen alle beschaafde volken der wereld. Maar het rekenen werd niet onmogelijk als we voor 10 gingen lezen: 9, of 20. of 5, of 12, of wat ook. We hebben, zeggen we, het 10-tallig sti/sel, nmr we zouden ook kunnen hebben het <)-, of 20-. ot' 5-, of 12-tallig stelsel. Dan /.ouden we geen 10, maar 9, of 20, of 5, of 12 eenheden moeten hebben, om een eenheid van hoogere orde te vormen. Een voorbeeld : In 't tientallig stelsel is: 73 = 7 X 10 en n°g 3Maar in 't negentallig : 73 = 7 X 9 en nog 3. In 't twintigtallig: 73 = 7 X 20 en nog 3. In 't twaalftallig: 73 = 7 X 12 en nog 3; en in 't vijftallig stelsel zou men nooit 73 schrijven. Indien 't echter niet uitdrukkelijk is vermeld, dan zijn de getallen steeds geschreven in het tientallig stelsel, zoodat in de geheele wereld 73 = 7 X 10 en noS 3- niets meer en niets minder. Men neme eens een 25 gelijke voorwerpen, b.v. centen, en stelle dat aantal eens door cijfers voor: 25 — 2 X 10 en nog 5, zoodat we schrijven 25 (10-tallig stelsel). Maar nemen we aan, dat we de eenheden telkens 9 aan 9 vereenigen en niet 10 aan 10, dan hebben we: 2 X 9 en nog 7, zoodat we schrijven 27 (9-tallig stelsel). Vereenigen we de eenheden 8 aan 8, dan hebben we : 3 X 8 en nog 1, en we schrijven 31 (8-tallig stelsel). Voorts hebben we nog dit: 25 (10-tallig st.) = 3 X 7 en nog 4; we schrijven 34 (7-t. st.) 25 ( > >) = 4 x 6 » > 1; > » +1 (6"1- st-) 25 ( » ») - 5 X 5 > > o; > > ??? niet 50, want omdat we de eenheden telkens 5 aan 5 willen vereenigen, hebben we dit ook te doen met de vijftallen, die samen juist een eenheid van hoogere orde, van de derde orde, laten we maar zeggen, vormen. Er is maar 1 van die eenheden; we schrijven dus 100, want er zijn geen 5-tallen en geen eenheden ; daarom die twee nullen. In 't 4-tallig stelsel is nu 25 = 121, d. i.: 1 eenheid van de 3e orde, d.i, 4X4= l(> (io*1- st-) 2 eenheden » > 2e » » 2 X 4 = 8 * * 1 eenheid — 1. Men probeere 't zelfde eens met een ander aantal voorwerpen. Dat doe men niet eens in gedachten, maar met de voorwerpen, de centen, in de hand. Dan begrijpt men in éénen waarom het 2-, 3-en 4-tallig stelsel in de practijk onbruikbaar zijn. Onderzoek eens wat daar tegen is en tracht dan meteen eens bezwaren te vinden tegen het 25-tallig stelsel b.v. ('). 2. Op examens worden wel eens vraagstukken opgegeven over die talstelsels. Dat is zeer stellig heelemaal nutteloos, — maar voor wie examen moet doen, is alles belangrijk, en we zullen er daarom later een paar bladzijden aan wijden. 3. Op examens ziet men ook deze vraagstukken: Van zeker getal is het derde cijfer van rechts even groot als het eerste, doch ze verschillen in waarde 693. Hoe groot is het cijfer der eenheden ? — Deze en dergelijke vraagstukken zullen we later bespreken ; de oplossing kan men vinden met het geleerde in deze paragraaf. 4. Men kan opmerken, dat van links naar rechts de eenheden der verschillende orden telkens 10 maal zoo klein worden : duizendtallen, honderdtallen, tientallen, eenheden, en dan kun men vragen, of men niet verder kan gaan dan deze eenheden ? Welzeker, men kan doorgaan, op precies dezelfde wijze; dan krijgt men : tiende deelen, honderdste deelen, enz. Hierop berust de leer der tiendeelige breuken. g .i. Hoe men de getallen schrijft en uitspreekt. Men schrijft de eenheden cier verschillende orden eenvoudig naast elkaar ; van rechts naar links het cijfer der eenheden, tientallen, honderdtallen, duizendtallen, enz. enz. 't Gebeurt natuurlijk dikwijls, dat er in een getal geen tien- (') Men raadplege desnoods de laatste bladzijden van dit boek. tallen, of honderdtallen, of wat ook, voorkomen. Dan schrijft men op de plaats daarvan een 0. Derhalve schrijft men 5 honderdtallen en 6 eenheden zoo: 506, en niet 56, want dit laatste getal bestaat uit 5 tientallen en 6 eenheden. Door een o zorgt men dus, dat de eenheden, de tientallen, de honderdtallen enz. op de juiste plaats komen. En dat is noodig. want of zeker cijfer b.v. honderdtallen of duizendtallen voorstelt, is aan mets anders te zien dan aan de plaats waar dat cijfer staat. Wil men nu schrijven 12 miljoen en 6 honderd, dan merkt men alleen dit op: honderdduizendtallen, tienduizendtallen en duizendtallen zijn er niet, evenmin als tientallen en eenheden ; er komen dus 5 nullen in 't getal, dat zóó wordt geschreven : 12 000 600. Heeft men nu echter dit getal: 32 miljoen 68 duizend 84, dan kan men wel zeggen, dat er geen honderdduizendtallen maar niet, dat er geen tienduizendtallen zijn ; immers 68 duizend = 6 tienduizendtallen en 8 duizendtallen. Zoo ook dit: 't is wel waar, dat de honderdtallen ontbreken, maar de tientallen niet, want 84 = 8 tientallen -+- 4 eenheden. Er komen in 't getal dus slechts 2 nullen, n.1. één op de plaats van de honderdduizendtallen, één op de plaats der honderdtallen, en 't getal ziet er zoo uit: 32 068 084. 't Is een heel gemak, als men nog hieraan denkt: Achter de duizendtallen komen steeds nog 3 cijfers, n.1. het cijfer der honderdtallen, dat der tientallen en dat der eenheden. Zijn er geen honderdtallen, geen tientallen en geen eenheden, dan ziet men dus dit achter een getal : 000. Zijn er geen honderdtallen, of tientallen, maar b.v. slechts 3 eenheden, dan ziet men achter de duizenden dit: 003. Zijn er geen maar de lezer vult zelf wel in : wat ontbreekt, wordt voorgesteld door een o. De duizendtallen zelf hebben ook 3 cijfers: dat der duizendtallen, dat der tienduizendtallen en dat der honderdduizendtallen. Bij het uitspreken van groote getallen voegt men steeds de, laten we zeggen: de gelijknamige deelen van het getal bijeen. Niet de duizenden, tienduizenden en honderdduizenden afzonderlijk, maar alle tegelijk : 512613 = 5 h.d. + 1 t.d. + 2 d.+613, wordt uitgesproken als 512 duizend 613. Zoo ook de miljoenen alle bijeen: 326684385678 = 3 honderdduizendmiljoen + 2 tienduizendmiljoen -f 6 duizendmiljoen + enz., spreekt men dus uit als : 326684 miljoen 385 duizend 678. Bij getallen van hoogstens 6 cijfers worden dus de eerste 3 cijfers van rechts afzonderlijk uitgesproken, dus 613, 718, 509 of wat ook ; wat daar voor staat, aan de linkerhand, zijn duizenden. De cijfers 7—12 (van rechts) in nog grootere getallen zijn de miljoenen. En daarvoor? Zelden werkt men met zulke getallen, ook omdat we wel middelen hebben om het schrijven en uitspreken van zulke kolossale getallen te vermijden, maar overigens : wie van namen houdt, die wete het. dat men spreekt van biljoenen, (de cijfers 13—18), triljoenen enz. Over die «middelen» later wel iets. § 4. Het optellen. We onderstellen het optellen nog bekend uit de schooljaren. Doch ziehier toch een optelling, om het inzicht in de zaak te verhelderen. 6584 37268 14639 8673260 516372 9248123 Wie zulk een optelling vindt in een boek, kan direct beginnen. In de practijk echter heeft men verschillende getallen, die eerst opgeschreven moeten worden. Dan denke men er aan, dat de eenheden komen onder de eenheden, de tientallen » » » tientallen, de honderdtallen » » » honderdtallen, enz. Men wil immers de getallen optellen, de eenheden hij de eenheden, de tientallen bij de tientallen voegen, en dit gaat veel gemakkelijker wanneer deze alle juist onder elkaar staan. Vergissingen komen dan minder voor, en vergissen, dat is: verrekenen, dat mag in de rekenkunde niet gebeuren. Daarom plaatsten we de getallen onder elkaar zóó als we deden. Men zie het voorbeeld. Dan telt men op : eerst al de eenheden, en dan pas de tientallen. Of dit noodig is ? Neen, 't kan ook andersom, maar 't is niet zoo gemakkelijk, zooals een enkele proef voldoende leert. In onze optelling hebben we dus: 2 -|- 9 + ^ + 4 = 23 eenheden. In de uitkomst, de som, schrijven we nu alleen de 3 ; de 2 tientallen moeten opgeteld worden bij de tientallen, die we nog hebben op te tellen, zoodat we krijgen 2 + 7 + 6+3 -j_ 6 + 8 = 32 tientallen. Van deze 32 tientallen schrijven we de 2 tientallen op, terwijl de 3 honderdtallen — want 32 t.t. = 3 h.t. + 2 t.t. — opgeteld worden bij de overige honderden. Zoo gaat het door. § 5. Heb ik goed opgeteld ? Wie sommen maakt uit een rekenboek, kan soms het antwoord vinden op de laatste bladzijden er van, maar het practische leven kent geen rekenboeken met antwoorden. Daar, in 't leven nl., schrijft de winkelier een rekening uit, met 3 of 10 of 20 «posten»; hij moet alléén optellen, en vergissen mag hij zich niet. Want is het totaal der rekening te veel, dan mopperen de klanten ; rekent hij te weinig, en de klant maakt hem op zijn fout opmerkzaam, dan slaat hij een mal figuur, en zegt de klant niets . .. dan heeft hij zijn verdienste wèggerekend. Men moet goed optellen, dat mag niet anders. Hoe onderzoekt men dat ? a. Vooreerst kan men, na de rij eenheden opgeteld te hebben van onderen naar boven, nog eens optellen van boven naar onderen. Komt er dan precies hetzelfde uit, en ook weer precies hetzelfde bij de tientallen enz., dan is 't antwoord waarschijnlijk wel goed. Doch zekerheid heeft men niet, vooral niet als men nog niet zoo heel goed rekent. Want beide keeren kan men onwillekeurig dezelfde fouten maken en zoowel de eerste als de tweede maal zeggen 7 -j- 8 = 14. Absolute zekerheid bestaat er zóó dus niet. b. Grooter zekerheid krijgt men als men de rij getallen in twee of drie stukken verdeelt, elk klein rijtje eens optelt, zooals in a is aangegeven, en dan de uitkomst van de twee of drie optellingen weer samenvoegt. Komt er dan nog eens hetzelfde uit als de eerste maal, toen alle getallen tegelijk werden opgeteld, dan is de optelling zeer waarschijnlijk goed. Vertrouwt men zich nog niet geheel, dan kan men de getallen weer in andere groepen verdeelen. Maar is 't wel goed, wel nöódig, om zooveel werk te maken van één optelling ? We herhalen, in de practijk van het leven mag men zich niet vergissen. Geen winkelier, die een rekening uitschrijft, geen timmermansknecht, die zijn werkuren optelt, geen aannemer, die op een karwei wil inschrijven, geen adspirantkommies, die examen doet. Een kwartier langer cijferen voorkomt soms heel wat onaangenaamheden en schade. Het optellen is wel heel eenvoudig, maar o zoo belangrijk. Dat wordt men gewaar op de kantoren, waar men klaagt, dat de klerken zooveel fouten maken. En men weet het: om een half centje verschil wordt soms voor guldens papier beschreven. Dat lijkt alleen maar op schade, maar inderdaad wordt door dat nazoeken, dat wéér optellen, tot in 't oneindige toe, voorkomen, dat er met de cijfers maar zoo'n beetje gewerkt wordt. Alles moet kloppen. Wie eigen zaken drijft, moge zich de vrijheid veroorloven niet op een halven cent te zien, — goed, of beter gezegd : niet goed — maar wie zich slechts een vergist in de honderdtallen centen, is een gulden kwijt, en bij de duizendtallen zijn het allemaal briefjes van tien gulden, die wèggerekend worden, en dat is heel jammer, 't Is ook niet verkeerd, eerst even in 't ruwe uit 't hoofd uit te rekenen, wat er uit een som moet komen, want dat voorkomt ook wel eens fouten, groote fouten ten minste. Heeft men 8 getallen op te tellen, alle om en bij de 1000, dan is 't antwoord wel ongeveer 8000, en wie dus 7000 krijgt, of 9000, denkt licht: maar dat kan toch zoo niet zijn, en rekent opnieuw. Wc geven ten slotte nog maar een voorbeeld. t Tel de 16 volgende getallen bij elkaar: 26 -f 1348 + 679 -f- 44'8 + 739 + 426 -|- 614 + 779 + 5^6 + 3^5+678-|469 -f- 3628 -f 1657 + 32 + 689. Allereerst tellen we de een- 26 heden op, van onderen naar boven en van boven 1348 naar onderen. Telkens blijkt de som te zijn 113 = 3 679 eenheden -(- 11 tientallen. We schrijven dus de 3 'n 4418 het antwoord, en tellen de 11 tientallen op bij de 739 tientallen. 426 Opmerking. In zulke gevallen komen vele 614 vergissingen voor, n.1. als de som meer dan 100 is, 779 zooals hier. Men moet dan natuurlijk schrijven de 586 3 eenheden, en de 11 tientallen optellen bij de 8 -)- 385 3 + 5 enz-> vvant noS eens !I3 — 11 tientallen 578 -)- 3 eenheden. (Het is een uitstekende gewoonte, 469 om deze 11 tientallen in kleine cijfers onder de rij 3628 der tientallen te zetten, waarbij ze moeten worden 1657 opgeteld. Zie het voorbeeld hiernaast.) Die dit niet 32 goed begrijpt, wil dan wel eens in het antwoord 689 schrijven 13, en de 1 optellen bij de tientallen. Dat s 811 js natuurlijk verkeerd, want voor de derde maal 17153 zeggen we 't : 113 = 11 tientallen + 3 eenheden en niet 113 = 1 tiental + 13 eenheden. De som blijkt dan eindelijk te zijn 17153. Als «proef op de som» verdeelen we nu de 16 getallen in eenige groepen, en tellen de antwoorden van elke groep getallen op. 26 739 586 3628 6471 1348 426 385 1657 2558 679 614 678 32 2118 4418 77 9 469 6*9 6006 6471 2558 2118 6006 1715 3 De som blijkt weer 17153 te zÜn* We kunnen de getallen ook in willekeurige volgorde nemen, zoo b.v. : 20 1348 679 4418 4979 739 426 614 779 586 385 678 469 2003 3628 1657 32 689 6355 4976 3816 2003 6335 17153 Zou de kans, dat het antwoord meer of minder is dan 17153 niet vrijwel gelijk zijn aan nul ? Bovendien kan men nog op zooveel manieren de verschillende getallen bij elkaar voegen als men maar wil. Opmerkingen, i. Telt men de eenheden op, en is men zoover, dat inen heeft 9+2 + 7 + 8 + 9 = 35 + 8= , dan telt men die 8 niet bij de 35 op, omdat er vlak boven een 5 staat. Want 35 + 5 is gemakkelijker op te tellen dan 35 + 8. Daar moet men steeds op letten, 't Is natuurlijk niet noodig, maar gemakkelijker. Wie echter vreest zich te vergissen, doe het met. Dan volgt er iets verder 4 + 6, en ook wel eens 8 + 2, 1 + 9, 3 + 7, 5 +- 5 of omgekeerd. Dat is telkens samen 10. Komt er nu. zooals in onze som 63 +4 + 6, dan telt men op: niet 63 + 4 = 67 en 67 + 6 = 73 ; neen, direct 63 + 10 = 73. Dit is alweer niet noodig maar gemakkelijk. Zoo staat er soms ook j I 2 + 1, of 5+2 + 3, of 8 + 1+ 1, wat weer telkens 10 is. Maar wie zich 't optellen zóó eens recht gemakkelijk wil maken, die moet zich, net als in 't practische leven, daarbij niet vergissen. Naast een goed inzicht in de zaak, mag inspanning niet ontbreken. 2. Een handelsman ging met zijn optellingen steeds als volgt te werk. Eerst telde hij de rij der eenheden op van onderen naar boven; stel, dat hij 127 kreeg. Dan telde hij dezelfde rij op van boven naar onderen; kwam er weer 127 uit, dan hield hij deze uitkomst voorloopig voor goed. Kreeg hij een andere uitkomst, dan begon hij de optelling met evenveel zorg van voren af aan (we herhalen met evenveel zorg)^ totdat hij beide keeren dezelfde uitkomst kreeg. Dan ging hij aan de tientallen, die in de meeste gevallen dubbeltjes voorstellen. Hier handelde hij op dezelfde wijs, ja zoo mogelijk met nóg meer zorg: nu ging het om de dubbeltjes, straks om de centen. Dat hij zich bij de guldens nóg meer schrap zette, is te begrijpen. Was ten slotte de optelling af, dan kwam voor hem altijd nog het voornaamste, n.1. het onderzoek of hij ondanks zijn groote nauwgezetheid toch nog niet een groote fout had gemaakt. Door de boomen ziet men soms het bosch niet! Dit onderzoek bestond hierin, dat hij ten ruwste uit het hoofd narekende, hoe groot het* antwoord ongeveer wezen moest. Dan pas had hij vrede met zijn werk, want in elk geval was de fout zoo klein, dat het verschil hem weinig schade berokkenen kon. 3. We zeiden daar: ten ruwste iets uit het hoofd optellen, we geven daar nog dit voorbeeld van : stel dat deze optelling moet worden gemaakt: ƒ 16.50. *) - 8 76. - 3-49 • 15-3°1 1 / 44.04. dan zegt men: het aantal guldens is 16 + 8 + 3 + 15 = 24 + 18 = 42; dan: 50 en 48 ct. is bijna 1 gulden; 76 en 30 cent is ruim 1 gulden; 't antwoord is dus, iets meer of iets minder dan 42 gulden + 1 gulden + 1 gulden = 44 gulden. § 6. Optellingen maken tuit het hoofd*. Wie geen potlood of papier beschikbaar heeft, is wel eens genoodzaakt zijn optellingen uit het hoofd te maken. Dat kan soms ook wel, maar lang niet altijd. In ons voorbeeld, waar we 16 getallen optelden, was 't niet mogelijk, of liever — als die getallen daar zoo staan, is t wel mogelijk, maar — niet wenschelijk, met het oog op de haast onvermijdelijke vergissingen. Wie op een kantoor zit, of examen moet doen, of thuis zit te studeeren, die allen rekenen weinig uit het hoofd. Maar toch gebeurt het, en wel in deze gevallen : Een looper ontvangt bij A. ƒ 37.50 en bij H. ƒ 16.72. De looper zelf denkt dan onderweg : hoeveel geld moet ik in mijn zak hebben ? En om dat uit te rekenen, gebruikt hij geen lei of papier, — hij redeneert: ƒ37 + ƒ 16 = ƒ 53 ; 50 cent + 72 cent = ƒ 1.22; samen is 't dus ƒ54.22. Zoo'n optelling maakt *) Men weet immers dat dit beteekent: 16 gulden en 50 cent? men dus heel anders dan een gewone optelling. We hebben wel eens gezien, dat iemand, die zoo'n eenvoudige optelling moest maken, probeerde zich die getallen voor te stellen alsof ze geschreven voor hem stonden, en dan zóó begon : 2 O — 2 5 ^-7 . — 12, enz. Neen : bij zoo'n optelling moet men zich nooit het geschreven getal voorstellen, maar eenvoudig de zaak zelf. Rij ƒ 39.75 denken we dus niet aan de 3, 9, 7, 5- rnaar aan het feit dat er is : een kwartje minder dan ƒ 40, zoodat, als we moeten optellen ƒ39.75 + ƒ 73-16, dan zeggen we: ƒ73.16 + f 4° = ƒ 113.16; de som is 25 ct. minder, dus 9 cent minder dan ƒ 113» of ƒ 112.91. Zoo doet de zakenman. Wanneer moet men op zoo'n wijze optellen ? We zouden zeggen : als 't heel eenvoudig kan. Dus, wanneer men, op enkele centen, dubbeltjes of kwartjes na, te maken heeft men een ronde som. Zoo is ƒ 18.45 + ƒ 23-95 = v'jf cent minder dan ƒ 18.45 -(-ƒ 24.00, dus ƒ 42.40, ƒ9.80 + ƒ 3-37 = twintig cent minder dan ƒ 10.00 -j- ƒ 3.37, dus ƒ 13.17, ƒ 50.90 -|- ƒ 4.95 = vijf cent minder dan ƒ 50.90 -f- ƒ 5.00, dus ƒ 55.85, of tien cent minder dan ƒ51.00 -f- ƒ 4-95> dus °°k ƒ55.85, — enz. We herhalen : in zoo'n geval zorge men een goede voorstelling te hebben van de beide hoeveelheden ; dan vindt men den weg om tot een goed antwoord te komen vanzelf. § 7 Het aftrekken. Wat het eigenlijk is. Om goed te kunnen rekenen, is er meer noodig dan de verschillende bewerkingen te kunnen uitvoeren, dat wil dus zeggen : goed te kunnen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en deelen. Even belangrijk is 't om te weten wanneer men moet optellen, wanneer aftrekken, enz. en al schijnt dit alles heel eenvoudig te wezen, toch is dit niet altijd zoo. liet optellen geeft in dit opzicht al heel weinig moeite : men voelt onmiddellijk of twee getallen bij elkaar geteld moeten wor- den of niet. Het aftrekken is iets moeilijker; soms ziet men het zoo, en soms moet men toch eventjes goed nadenken om te kunnen zeggen : o, die getallen moet ik aftrekken om te weten wat gevraagd wordt. Dat komt daar vandaan, dat men soms te veel hangt aan een naam. Aftrekken aftrekken welnu, denkt men. dat is «kleiner maken», dat is «verminderen» en anders niets, en wanneer men dus twee hoeveelheden heeft, of liever één hoeveelheid, waarvan een andere hoeveelheid wordt afgenomen, welnu, dan moet men de getallen, welke de grootte der hoeveelheden aangeven, van elkander aftrekken, om te weten, wat er overblijft. Dat is zoo klaar als de dag. Nu, dat is ook zoo, en dat komt heel duidelijk uit in vraagstukken als deze: Iemand bezit ƒ 1215, en geeft daarvan ƒ487 uit. Hoeveel geld houdt hij over? We hebben daar een som geld, ƒ 1215, waarvan een deel wordt afgenomen, en de vraag is nu hoeveel gulden er overblijft. Dat is wel de eenvoudigste vorm, waaronder men zich het aftrekken kan voorstellen : van een som geld iets afnemen ; van een touw een stuk afsnijden ; van een stuk grond een deel verkoopen ; van een partij graan een deel uitzaaien, en dan telkens te vragen : hoeveel blijft er over ? Maar beziet nu eens dit voorbeeld: Iemand moet f 687 betalen, doch hij heeft nog slechts ƒ320. Hoeveel geld komt hij nog te kort ? Dat is geen «overhouden», 't is «te kort komen», en dus precies andersom. We kunnen 't ons zóó voorstellen : Bij die ƒ 320 moet nog zooveel geld gevoegd worden, dat de som van die twee getallen (n.1. 320 en het nog onbekende) samen 687 is. Dus een optelling, waarvan men de uitkomst, de som, weet, maar een der beide getallen niet, — zóó dus : 320 + ? = 657. Hoe rekent men dat nu uit ? Dat wordt óók berekend, door de beide getallen, 687 en 320, van elkander af te trekken. Want we kunnen de zaak ook zóó voorstellen, dat ze er precies zoo uitziet, als die in ons eerste voorbeeld. Ziehier: Denk eens, dat de man die de ƒ 687 moet ontvangen, heel dom is, en daarom op een blad papier 687 streepjes heeft staan. Zoodra hij ƒ 320 ontvangen heeft, schrapt hij ook 320 streepjes dóór, en. wanneer hij nu weten wil wat hij nog te vorderen heeft, kan hij eenvoudig vragen : hoeveel streepjes zijn er nog, die niet doorgehaald zijn ? Van die 687 streepjes werden er 320 weggeveegd, doorgehaald, .... 't is precies ons eerste voorbeeld weer, waar van ƒ 1215 een deel werd uitgegeven. Als we nu die bepaalde hoeveelheden, die ƒ1215 enz. weglaten en in 't algemeen redeneeren, dan hebben we dit. in het eerste voorbeeld: van een hoeveelheid wordt iets afgenomen ; hoeveel blijft er over ? in het tweede voorbeeld: een zekere hoeveelheid moet worden aangevuld tot een andere hoeveelheid ; hoeveel moet er bij . Maar 't zijn twee kanten van dezelfde zaak, en die zaak, dat is het aftrekken, is deze: een hoeveelheid wordt gesplitst in twee deelen, één van die deelen is bekend, en naar 't andere wordt gevraagd. Toegepast op onze voorbeelden hebben we dit . Neem de ƒ1215, en verdeel ze in twee sommen gelds; de eene is ƒ 487, de andere is onbekend. De ƒ6 87 worden betaald in twee keer; de eerste maal ƒ 320 en de andere maal de rest, maar die rest is onbekend . . . . .... Ziet ge, dat we al een heel eind uit den koers zijn met het woord aftrekken ? § 8. Hoe voert men de aftrekking uit ? Als de vorige paragraaf goed begrepen is, dan zijn we zoover dat we, voor eenig geval in de practijk komende te staan, of wel. op een examen eenig vraagstuk lezende, wéten : nu moet er afgetrokken worden. De wijze, waarop de aftrekking uitgevoerd wordt, doet zeer sterk steeds denken aan wat we in het begin van § 7 over het aftrekken zeiden ; 't is maar telkens: We nemen dit af van dat en hoeveel blijft er nu over ? Maar dat hindert niet; als we eenmaal weten, dat de bewerking ons leert het getal te vinden, waarover we 't in § 7 hadden, dan beteekenen de ivoorden, waarin we de werkingen uitdrukken, niets. Moet nu van zeker getal 1256 worden afgenomen, dan kan dit meestal niet in éénen, maar wel in gedeelten, dus afzonderlijk 1000, 200, 50, 6, en weer: eerst de eenheden, dan de tientallen, dan enz., evenals bij de optelling. En thans geven we maar verschillende voorbeelden. a. Trek af: 78549 — 36218. We schrijven de getallen on¬ der elkander als in een optelling-en redeneeren zoo: 78549 van de 9 eenheden gaan 8 eenheden af; er blijft 1 over; 36218 van de 4 tientallen gaat 1 tiental af; er blijven 3 over; 42331 van de 5 honderden gaan 2 honderden af; er blijven 4 over; enz. Dit geval is al heel eenvoudig. b. Trek af: 64327 — 38149. Van de 7 eenheden moeten 9 eenheden af, — doch dit kan niet. Nu redeneeren 38^49 we z0° : ^4327 blijft even groot, als er in plaats van 2 tientallen, 1 tiental staat, terwijl het cijfer der een- 26178 heden met IO vermeerderd wordt. Men doet dan niets anders dan een pakhuisknecht, die een zak meel in een anderen hoek van 't gebouw brengt. In de aftrekking wordt I tiental van de overige tientallen afgezonderd en gevoegd bij de eenheden. Uit is de sleutel van alle aftrekkingen, die niet precies zóó zijn als ons voorbeeld in a. Er wordt dus niet van J, maar van 17 eenheden 9 afgenomen, en dit is 8. Op dezelfde wijze gaat men verder : Een tiental (en niet twee) moet verminderd worden met 4 t.t., wat niet kan. Het aantal honderden verminderen we met i, en verwisselen dit honderdtal voor — niet voor 100 eenheden, want daarmee zijn we klaar, maar voor 10 tientallen, die we noodig zijn. Zoo krijgen we 11 tientallen, waarvan 7 t.t. overblijven, als het aantal met 4 wordt verminderd. En nu de honderden. Er zijn er in 64327 drie honderdtallen, maar om onze aftrekking uit te voeren, kunnen we over niet meer dan twee beschikken, omdat een der honderdtallen bij de tientallen werd gevoegd. Van die 2 moet er 1 honderdtal afgenomen worden ; _ dat kan; èèn blijft er over. In dit geval is 't dus niet noodig een van de duizendtallen te nemen om te vervangen door tien honderdtallen ; dit was alleen noodig geweest als het aantal honderden, 2, niet groot genoeg was om er de honderdtallen van 38149 af te nemen. Om te bepalen hoeveel duizendtallen er overblijven, moeten we een tienduizendtal vervangen door 10 duizenden, waardoor we 14 duizendtallen krijgen. Daarvan blijven er 6 over. Hoeveel tienduizendtallen er overblijven ? Ziehier: 3 moeten er af van 5 (en niet van 6). Er blijven er 2. In 't geheel hielden we over 2 t.d. -}- 6 d. -J- 1 h. -(- 7 t.t. 4- 8 e, = 26178. § 9. Het inzicht verhelderd. Allereerst geven we drie namen : a. het aftrektal, waarmee we — zie voorbeeld b van § 8 — bedoelen het getal 64327, het getal dus, waarvan men aftrekt; b. de aftrekker, n.1. het getal 38149, het getal dus, dat we aftrekken van het eerste getal ; c. het verschil, dat is: de uitkomst, hier dus 26178. Deze drie namen hebben we noodig, omdat we dan bij liet verder bespreken minder woorden behoeven te gebruiken. Examenlui hebben ze bovendien noodig, omdat er in de vraagstukken maar ondersteld wordt, dat ieder de beteekenis kent. Om dus af te trekken, handelen we zoo : Eerst kijken we of het cijfer der eenheden in het aftrektal grooter is dan in den aftrekker; is dit zoo. dan trekken we de eenheden maar even van elkaar af. Zoo ook met de tientallen, enz. Maar is dit niet zoo, dan moeten we «leenen», zooals de schooljongens zeggen, en wel leenen. waar wat is te leenen, doch telkens maar èèn : „Practisch Rekenonderwijs". 2 een tiental, om in te wisselen voor 10 eenheden ; een honderdtal, » » » » » 10 tientallen ; een duizendtal, » » » » » 10 honderdtallen, enz. Het kan nooit voorkomen, dat men 2 of 3 tientallen of honderdtallen behoeft te leenen, nooit. Want de cijfers in den aftrekker zijn alle kleiner dan 10; door het leenen en het wisselen krijgen we in het aftrektal steeds 10 eenheden, tientallen, enz., bij de eenheden, enz., die er al waren, zoodat er dan steeds méér zijn dan in den aftrekker, m. a. w. zoodat we dan steeds kunnen aftrekken. Wie nog niet al te goed vertrouwd is met de aftrekking, doet verstandig die geleende 10, laten het eenheden, tientallen of wat ook zijn, met de aanwezige eenheden enz. vermeerderd, bovenaan te schrijven. Dan komt onze aftrekking — we hebben nog steeds 't oog op voorbeeld b van § 8 — er dus zoo uit te zien : 61421117 64327 38149 26178 Zoodra men buiten dat «doorhalen» en die kleine cijfers kan, moet men het laten. We geven ten slotte een paar moeilijke gevallen, gevallen n.1., waarin in het aftrektal een of meer nullen voorkomen. a) Van de 3 eenheden kunnen de 7 eenheden niet af; tien5913 tallen zijn er niet, — waar dus nu van te leenen f 806H3 We herhalen : men moet leenen waar wat is te leenen, 29857 in dit geval dus van de 6 honderdtallen. We leenen dus 1 honderdtal. Wat zullen we voor dit eene honderdtal inwisselen ? We hebben de keus tusschen 100 eenheden en 10 tientallen, en kiezen dit laatste. Het cijfer der tientallen is dan niet meer o, maar 10. Van die 10 tientallen leenen wij dan 1, en wisselen dit in voor 10 eenheden, en krijgen zoo de 13, die er komen moesten om de aftrekking uit te voeren. Het aftrektal was 80603 of 8 tiend.t. 8 tiend.t. 8 tiend.t. o duiz.t. o duiz.t. ^ O duiz.t. 6 honderdt. en werd: 5 honderdt. e" "°g 5 honderdt. later; o tient. 10 tient. 9 tient. 3 eenheden 3 eenheden 13 eenheden Met de honderdtallen gaat liet evenzoo : 8 honderdtallen kunnen niet van 5 honderdtallen af; dus leenen we, maar niet van de duizendtallen, want die zijn er niet; dus leenen we een tienduizendtal, verwisselen dit voor 10 duizendtallen, en nemen daarvan één ; dan houden we 9 duizendtallen en krijgen 15 honderden. />) 300002 Nog meer nullen, maar de redeneering blijft 198567 dezelfde, n.1. zoo De 7 eenheden kunnen niet afgenomen worden van 2 eenheden, we leenen dus, geen tiental, of honderdtal, enz., want die zijn er niet, maar een honderdduizendtal; we verwisselen dit voor 10 tienduizendtallen; een hiervan voor 10 duizendtallen; een daarvan voor 10 honderdtallen; een daarvan voor 10 tientallen; een daarvan voor 10 eenheden, en krijgen dan dit: 2999912 300002 198567 101435 § !0. Heb ik goed afgetrokken ? Om te onderzoeken of men goed heeft afgetrokken, herinnere men zich eerst het slot van § 7 (zie bladz. 1 5). Daar wordt geleerd, dat het aftrekken van een getal niets anders is dan het splitsen van een get.il in twee deelen, waarvan het eene bekend is, en 't andere niet. Daaruit volgt direct, dat men, die twee deelen bij elkaar voegende, het oorspronkelijke getal moet krijgen, met andere woorden : aftrekker -\- verschil = aftrektal. Dit is echter alleen het geval, wanneer de aftrekking goed is uitgevoerd. Blijkt het, na het optellen van aftrekker en verschil, dat we het aftrektal niet tot som krijgen, dan is de aftrekking verkeerd, althans wanneer de optelling goed was. In elk geval klopt de zaak niet, we cijferen dus nog maar eens over en zullen dan de fout wel vinden. Is de som van aftrekker en verschil gelijk aan het aftrektal, dan is de aftrekking goed. We hadden deze aftrekking (zie § 9): 300002 198567 101435 en maken dan deze optelling: IOI435 198567^ 300002 Is de optelling goed, dan is ook de aftrekking goed. We geven nog «de proef» op een paar aftrekkingen (zie § § 8 en 9): 78549 — 36218 = 42331, want 36218 + 42331 = 78549- 64327 — 38149 = 26178, want 38149 "I" 26178 = 64327. 80603 — 29857 = 50746, want 29857 + 50746 = 80603. Zoo kan men de proef maken op alle aftrekkingen, en dat is niet verkeerd. § 11. Aftrekken uit het hoofd. Om groote getallen af te trekken, gebruiken we gewoonlijk potlood en papier; kleine aftrekkingen kunnen we in den regel uit het hoofd wel maken. Wie zich daarbij echter niet vertrouwt, neme schrijfmateriaal ter hand, want verkeerd werken mag niet. Bij 't rekenen uit het hoofd kan van het vorige niets worden toegepast. Evenmin als men bij het optellen uit het hoofd den gewonen regel volgen kan, zoo min kan men ook bij het aftrekken uit het hoofd de getallen in gedachten onder of achter elkaar zetten, en dan maar beginnen : 8 — 5 = 3 eilz- 's we' 'iee' gemakkelijk als 't op een stuk papier staat, maar wie uit het hoofd zoo wil rekenen, die komt verkeerd uit, omdat men alle cijfers onthouden moet. Men moet wel eens uit het hoofd rekenen, maar ook als men 't niet behoeft, omdat schrijfgereedschap wel aanwezig is, dan is het toch niet goed altijd maar weer naar papier en potlood te grijpen. Wie dat doet, leert wel heel goed aftrekken, maar wordt, indien hij alles zóó volgens één regeltje verricht, op den duur . . . zoo dom, zouden we haast zeggen, dat hij zonder veel moeite de ergste fouten begaat. Neen, 27—8 mag niet op de lei worden uitgerekend zooals men een groote aftrekking uitvoert: 7 kan niet verminderd worden met 8, dus moet er een tiental geleend worden, enz., enz. Hoe dan wel ? Uat zullen we door verschillende voorbeelden duidelijk maken. 27 — 8. In 't aftrektal zijn 7 eenheden, in den aftrekker zijn 8, dat is 7 -(- 1. We nemen nu eerst 7 eenheden van 't aftrektal af, houden dan over de 2 tientallen, dus 20, en verminderen dit getal nog met 1. Dan hebben we dus 20 — 1 = 19* Zoo is ook 65 7 = 65 — 5 — 2, d. w. z., we nemen van 65 eerst 5, en dan 2 eenheden af, en houden nu over 60 — 2 = 58. 33 — 8 = 33 — 3 — 5 =» 30 — 5 = 25. 68 — 9 = 68 — 8 — 1 = 60 — 1 = 59. 124 — 27 =124 — 24 — 3 = 100 — 3 =97. 386 — 97 = 386 — 86 — 11 = 300 — 11 = 289. 1254 — 360 - 1254 — 354 — 6= 900 — 6 = 894. 1560 — 670 = 1560 — 660 — 10 = 900 — 10 == 890. 1684 — 87 = 1684 — 84 — 3 = l6o° = 3 = 1597- De zaak komt dus hierop neer: de aftrekker wordt niet in eenen van het aftrektal afgenomen, maar in tweeën: van 65 eerst 5 van 3^6 eerst 86 > 33 » 3 > 1254 » 354 » 68 » 8 » 156o » 660 » 124 » 24. » 1684 » 84, dus zooveel, als men heel gemakkelijk van het aftrektal kan afnemen. Dan blijft er steeds een rond getal, een >mooic getal over, n.1. 60, 30, 60, 100, 300, 900, 900 en 1600. Deze wijze van aftrekken passen we dan graag toe, als het aftrektal gesplitst kan worden in twee zulke deelen, dat het eene een rond getal is en het andere niet heel veel kleiner is dan de aftrekker. Dus rekenen we op die manier wel uit 1684 — 87, want 1684 = 1600 + 84, en deze 84 is 3 minder dan 87, zoodat het antwoord is 1600 — 3, maar niet 1684 — 313, want 313 = 84 -f- 229, zoodat het antwoord is 1600 — 229, maar dit is niets gemakkelijker uit te rekenen dan 1684 — 313, terwijl we bovendien nog dit extra-werk hebben van 313 te moeten splitsen in 2 deelen, waarvan 't eene 84 is. t Is werk dat niets oplevert. Opgepast dus bij deze sommen. We rekenen op deze manier wel uit 334. — 40 ('t antwoord is 300 — ^), 286 — 90 ( » » 200 — 4)> 1259 — 260 ( > 5 1000 — 1), 1381 — 290 ( » » 1100 — 9), omdat van 300, 200, iooo, t 100 gemakkelijk 6, 4, 1 en 9 is af te trekken, maar we rekenen zoo niet uit 354. — 297 ('t antwoord is 100 — 43), 212 — 166 ( » * 100 54)i 4ig — 386 ( » » 100 — 68), 1560 — 397 ( * * 1200 37), omdat we dan nieuwe aftrekkingen krijgen, die niets gemakkelijker zijn dan de oorspronkelijke. b) De aftrekker is iets minder dan een rond getal, b.v. 97, 95, 199. 398. 990, 8997, enz. Dan zeggen we b.v.: 885 — 97 is 3 meer dan 885 — 100, dus 788. 214 — 95 is 5 meer dan 214 — 100, dus 119. 5816 — 199 is 1 meer dan 5816 — 200, dus 5617. JÖ20 — 398 is 2 meer dan 1620 — 400, dus 1222. 1765 — 990 is 10 meer dan 1765 — 1000, dus 775. 41336 — 8997 is 3 meer dan 41336 — 9000, dus 32339. Men moet trachten zich zeer duidelijk voor te stellen, waarom we telkens schrijven »3 meerc, »5 meert, »i meer«, »2 meer«, >10 meer , »3 meer«. Dit komt zoo: Als we een getal met 97 moeten verminderen, en we doen dit niet, maar integendeel met 100, dan hebben we 3 te veel van het aftrektal afgenomen, en deze 3 moeten dus weer bij het verschil, om een goed antwoord te krijgen. In het practische leven heeft iedereen dit duizenden malen gezien. Iemand heeft iets gekocht in een winkel en moet daarvoor 97 ct. betalen. Hij geeft echter 1 gulden, maar krijgt natuurlijk 3 ct. terug, die weer in zijn zak gaan. Daarom is b.v. 885 ct. 97 ct# _ 885 ct. — 100 ct. vermeerderd met 3 ct., dat is 3 ct. meer dan 785 ct., zooals we schreven. Wie zich deze eenvoudige zaak goed kan voorstellen, kan zoo vele malen gemakkelijk de een of andere aftrekking uitvoeren zonder te cijferen. § 12. Optellen en aftrekken. Er komen soms in 't practische leven zoowel als in rekenboeken vraagstukken voor, waarin eerst moet opgeteld, dan afgetrokken, en dan nog eens opgeteld of afgetrokken worden, of ook wel omgekeerd: eerst een of meer malen aftrekken, dan optellen, enz. In rekenboeken heeft men dit: 878 -f 324 — 1067 4- 67 + 938 — 324 — 638 = en in 't practische leven dit: Iemand ontvangt eerst ƒ 8.78, dan f 3.24. geeft ƒ 10.67 uit, ontvangt ƒ 0.67, dan ƒ 9.38, betaalt y* 3,24, dan nog f 6.38. Hoeveel heeft hij ten slotte ■' Dat is de gedachte, die aan de som uit het rekenboek ten grondslag ligt; maar de vraag is ten slotte: hoe rekent men het uit? Ziehier wat de winkelier doet: hij betaalt b.v. wanneer hij al zijn »te-goed<: binnen heeft, en schrijft alles zoo op: a) Ontvangsten: b) Uitgaven: Ontvangsten ƒ 22.07 eerst ƒ 8.78 eerst ƒ 10.67 Uitgaven -J20.29 dan - 3*24 dan - 3-24 Over f 1.78 dan - 0.67 dan - 6.38 dan j- 9-38 samen ƒ 20.29 samen ƒ 22.07 Wat deden we? De ontvangsten samentellen, de uitgaven evenzoo samentellen, en dan beide uitkomsten van elkaar aftrekken. Zoó maken we ook de som uit het rekenboek. Al de getallen die opgeteld moeten worden, en die dus, behalve nummer I, voorzien zijn van het -f teeken, tellen we eerst bij elkaar, dus 878 _|_ 324 + 67 + 938 = 2207. Daarna worden de getallen opgeteld, waarvoor het — teeken staat, dus 1067 -|- 324 -f- 638. We herhalen: die laatste getallen worden opgeteld, want èn het eerste, 1067, en het tweede, 324, èn het derde, 638, moeten van de som der andere worden afgetrokken, samen dus 1067 + 224 -)- 638 = 2029. Dan wordt de eerste som, 2207, verminderd met de laatste, 2029; er blijft 178 over. Komen zulke «sommen« in het practische leven voor, dan "aat alles vanzelf, want men stelt zich, al rekenende, bij elke handeling een zekere zaak voor, en dan vergist men zich nooit. Men redeneert: eerst gaf ik dat uit, toen dat, en toen dat, dus samen f 20.29. Maar bij de sommen uit een rekenboek gaat het vaak anders. Dat moest wel niet zoo zijn, elke rij van getallen moet de uitdrukking zijn van een zekere reeks van handelingen, en dat is het ook voor ieder, niet die goed rekenen kan, maar die goed begrijpt, wat hij berekent. Zoo'n rij van getallen, waar men beurtelings optellen en aftrekken moet, komt zonder meer alleen voor in rekenboeken — of op examens en ze beoogen dan voornamelijk wat variatie te brengen in het optellen en aftrekken met de bedoeling veel te rekenen zonder zich te vervelen. Maar op examens wil men ook dit weten, of de candidaat de verschillende teekens begrijpt en de bewerkingen kan uitvoeren, waarvan die teekens de uitdrukking zijn. Ue regel is dus: men telt de getallen samen met het +teeken, daarna die met het —teeken, en trekt beide «sommen» van elkaar af. Men verzuime echter niet te bedenken, dat het eerste getal geen teeken voor zich heeft, doch als met het -f-teeken gedacht wordt, en voorts, dat het beslist noodig is zich telkens goed voor te stellen, wat men bedoelt. We gaven een voorbeeld met »inkomsten« en »uitgaven*. Maar 878 + 324 — 1067 -(- 67 + 938 — 324 638 kan ook de uitdrukking zijn van vele andere gedachten, b.v. een eierhandelaar heelt in voorraad 878 stuks, hij ontvangt van iemand • • 324 * > hij verzendt 1067 » , hij ontvangt weer 67 » , daarna nog 938 * > en/" In 't leven kan zoo'n som wel eens niet opgelost worden; gesteld maar, dat er in plaats van 1067 stuks 1267 stuks moesten verzonden worden bij een voorraad van 878 3-4 1-02, dan was dit, althans op dat oogenblik, niet mogelijk. Dan wacht men een beetje met de verzending, en de ervaring leert dan per slot van rekening wel, wat er overblijft. De bovenstaande vorm 878 -f 324 — 1067 + 67 + 938 — 324 — 638 kan ook wel worden uitgerekend door eerst de som te berekenen van 878 en 324, dan daarvan af te trekken 1067, dus zoo. 878 + 324 = !202; 1202 — .10 67 = 135; 135 + 6 7 = 2°2'- 202 -j- 938 = 114°; 1140 — 324 = 8'6; 816 — 638 = 178; maar dat duurt veel langer, en zoo kan t zelfs niet altijd, zooals onze eierenkoopman ondervond. De volgende vorm kan b.\. zoo niet worden uitgerekend: 878 + 324 — 1524 — 318 + 1639 + 75 = want: 878 + 324 == 1202; 1202 — 1524 =?? ? Ja, wat is dat? Daar zit iedereen mee te zweeten: de man die f 15.24 moet betalen en slechts ƒ 12.02 bezit, en de examenman, die een aftrekking moet maken, waarvan de aftrekker grooter is dan het aftrektal. Hij, de laatste, moet dan zóó doen als we aangaven: eerst optellen de getallen met het -(-teeken, dan die met het —teeken en dan aftrekken : 878 *524 29'6 324 3i8 l842 1639 75 1842 1074 2916 Dat is 't antwoord van de geheele som : 1074! § 13. Aftrektal, aftrekker en verschil. Reeds werd gezegd, (zie § 10), dat aftrekker en verschil samen zoo groot zijn als t aftrektal. Deze waarheid geeft aanleiding tot het opgeven van verschillende vraagstukken, als daar zijn : a) Van een aftrekking is het aftrektal 100 en het verschil 64. Wat is de aftrekker ? l>) Telt men de som en het verschil van twee getallen bij elkaar, dan krijgt men 100. Wat is het grootste getal, als het kleinste 24 is ? En zoo zijn er nog wel meer. We zullen later wel verschillende vraagstukken opgeven en deze zoo noodig bespreken, doch we vestigen de aandacht maar vast op deze, omdat zij aanleiding geven, nog wat scherper in zich op te nemen de kwestie, waar we 't hier over hebben. Men probeere 't eens zoo duidelijk mogelijk aan zich zelf te vertellen, wat het antwoord op de beide bovenstaande vraagstukken is. De sommen zijn niet het doel, maar een middel om nog eens goed onder de oogen te zien : aftrektal = aftrekker -f verschil. § 14. Haakjes en accoladen. Bij 't maken van sommen uit rekenboeken—en op examens dus ook — maakt men dikwijls gebruik van haakjes in verschillenden vorm : ( ) ! ! [ 1 De middelste noemt men in t bijzonder «accoladen», de laatste wel eens «vierkante haken». Wat beoogt men daarmee ? Ziehier eenige voorbeelden : a) 687 — (324 4- 168) = . . . . Dat wil zeggen : van 687 moet een getal worden afgetrokken gelijk aan 324 4" 168, dus 492. Er blijft over 195. b) 1612 — (316 — 185) = . . . . Dit is: van 1612 trekt men een getal af gelijk aan 316 — 185, dus 131. Er blijft 1481 over. c) 1547 -f (318 — 167) = . . . . Dit is: 1547 moet vermeerderd worden met een getal, gelijk aan 318 — 167, dus met 151. Voor a) kunnen we ook schrijven: 687 — 324 — 168, want beide getallen moeten van 687 worden afgetrokken. Voor b) kunnen we schrijven: 1612 — 316 4~ 185 of ook 1612 -(- 185 — 316. Dit is iets moeilijker te begrijpen. Er moest van 1612 een getal worden afgetrokken gelijk aan 316 185, dus minder dan 316. Schrijven we nu 1612 — (316 — 185) = 1612 — 316, dan is de aftrekker 185 te groot, en die fout kan hersteld worden als we ook liet aftrektal, 1612, met 185 vermeerderen, dus 1612 — (316 — 185) = 1612 4- 185 — 3'6. Voor c) schrijven we ook 1547 4" 318 — 167» wat geen verklaring behoeft. In c) zijn de haken overbodig. Wat we daar net deden : 687 — (324 4- 168) = 687 — 324 — 168 1612 — (316 — 185) = 1612 — 316 4- 185, noemt men herleiden, een zekeren vorm herleiden tot een anderen van dezelfde waarde. Waar dit noodig voor is ? Wie uitrekenen wil, (zie voorbeeld b): 1612 — (316 — 185) moet 2 aftrekkingen maken, wie 1612 -f- 185 — 316 wil berekenen, maakt één aftrekking en één optelling ; dit laatste is gemakkelijker. Wie uitrekenen wil: (zie voorbeeld a) 687 — (324 -f- 168) zal 't niet zoo doen: 687 — 324 — 168, wat hetzelfde is, maar als men een vraagstuk heeft in dezen laatsten vorm, b.v. 1237 — 324 — 618 — 97 — 128 — . . . . dan schrijft men daarvoor 1237 — (324 + 618 + 97 + ,28)> want voor 4 aftrekkingen krijgt men één optelling en één aftrekking. Zoo doet ook een timmermansbaas, die b.v. 150 guldens heeft, en 12 knechten moet betalen, de een ƒ6.50, de ander ƒ3.24, enz. Hij redeneert niet: wat had ik nog toen de eerste knecht betaald was, enz. enz., neen, hij telt op, wat hij heeft uitgegeven en trekt dan af van ƒ 150. d) 2324 — J618 -f- (i324 — 618)| -f- 413 — [318 — (216 — 112) j. De waarde van zoo n vorm kan op verschillende wijzen worden berekend. Men kan alles herleiden : 2324 — <618 + (1324 — 618) | + 413 — {318 - (216 — II2)| = (en nu laat men de haakjes weg): 2324 _ J618 -f 1324 — 6i8{ + 413 — *318 — 216 + 1121 = (nu blijven ook al de accoladen weg): 2324 — 618 — '324 -)- 618 -)- 413 — 3*8 —216 — 112 = (2324 -|- 618 413 -|- 216) — (618 —(— 1324 318 —(— 112) = 3571 — 2372 = 1199. Men kan ook wel successievelijk alles uitrekenen, eerst b.v. ,324 — 618 = 706 en nog 216 — 112= 104, zoodat men krijgt 2324 — (618 -|- 706) -|- 413 — (318 — 104) = en dan berekent men 618 -j- 70b = 1324 en 3l8— 104 = 214 zoodat men heeft: 2324 — 1324 + 413 — 214 = en nu kan men b.v. voor 2324 — 1324 ook 1000 schrijven, dus 1000 -f 413 — 214 = 1413 — 214 = 1199. Welke wijze van uitrekenen de beste is ? De eerste wijze vraagt 't meeste verstand, de tweede 't meeste werk, ziedaar 't verschil. e) 785693 — |438657 — *268469 — (3827 — 3148)5| = en nu rekenen we eerst uit, wat tusschen de haakjes staat dus 3827 — 3148 = 679: = 785693 — 1438657 — *268469 — 679; | = en nu wordt vooraf uitgerekend wat tusschen de accoladen staat, dus 268469 — 679 = 267790 : = 785693 — |438657 — 267790] = 785693 — 170867 = 614826. Gemakkelijker is het als men den vorm herleidt tot een zonder haken enz. Wie den inhoud der vorige §§ goed heeft verwerkt, schrijft voor den gegeven vorm direct: 785693 - 438657 -f 268469 — 3827 + 3148 = (785693 + 268469 + 3148) — (438657 + 3827) = 1057310 — 442484 = 614826. Bij de eerste wijze van uitrekenen hadden we 4 aftrekkingen uit te voeren, thans 1, maar bovendien 2 optellingen. Dit laatste is natuurlijk het gemakkelijkst, doch wie in een of ander geval moeite heeft met zich goed voor te stellen wat hij doet, die voere liever een aftrekking meer uit, en — vergisse zich niet. üp zich zelf hebben de j ( en | | geen meerdere beteekenis dan de ( ); wij gebruiken ze alleen om duidelijk te doen uitkomen wat we bedoelen, want indien in bovenstaanden vorm alleen haakjes voorkwamen, dan stond er: 785693 — (438657 — (268469 — (3827 — 3148))) een vorm, die wel te ontcijferen is, vooral als men verschillende soorten van haken gebruikt: ( ) ( ) maar accoladen en vierkante haken zijn toch duidelijker. § 15. Het vermenigvuldigen. Het gebeurt soms, dat een meer of minder lange rij van gelijke getallen moet worden opgeteld. Een aannemer wil b.v. berekenen, hoeveel geld hij aan f,2 werklieden moet uitbetalen, als elk hunner f 16.50 heeft verdiend. Dan kan hij 52 keer het getal ƒ 16.50 onder elkander schrijven, en optellen. Dat kan, zeggen we, maar indien eens niet 52, maar 3^59 gelijke getallen moesten opgeteld worden, wat ook voor kan komen, dan is het beslist noodzakelijk uit te zien naar een wijze van berekening, die kórter is dan de gewone optelling. Nu is het inderdaad mogelijk de som van elke willekeurige lange rij van gelijke getallen op een zeer korte wijze te berekenen, en die bewerking heet: vermenigvuldigen. 't Vermenigvuldigen komt in 't practische leven zèèr veel voor, en in rekenboeken moet in elk vraagstuk bijna een of meer malen deze bewerking gebeuren. Men ga maar eens na : Alle ponden zout kosten evenveel; de prijs van 168 pond berekent men dus door middel van een vermenigvuldiging. Zoo ook: elke voet hout, elke meter stof, elke kip, elke honderd eieren, elk mud koren, elk pond vleesch, elke liniaal, elke gros pennen, en de prijs, die voor een zeker aantal van deze hoeveelheden betaald moet worden, vindt men óf door een lange optelling. óf door een vermenigvuldiging. Men begrijpe 't echter goed: Als men vraagt naar den prijs van 23 H.L. koren, dan wordt ondersteld dat elk mud evenveel kost; ander koren kan natuurlijk wel meer of minder kosten. 't Vermenigvuldigen is een bewerking, die op eenvoudige wijze de som leert vinden van een willekeurig aantal gelijke getallen. Men lette vooral op de laatste woorden: gelijke getallen. § 16. Drie namen. Evenals we in de aftrekking spreken van aftrektal en aftrekker, hebben we thans een vermenigvuldigtal en een vermenigvuldiger. Wat dat is ? Het laatste noemt het aantal gelijke getallen, die opgeteld moeten worden ; liet eerste zegt, welke die getallen zijn. Moeten we dus berekenen den prijs van 27 M.*) stof tegen 16 cent den M., dan hebben we op te tellen 27 keer 16 cent: 27 noemen we den vermenigvuldiger, 16 het vermenigvuldigtal. We kunnen ook hier die namen niet missen, al was het ook alleen om in korte woorden uit te drukken, wat bedoeld wordt. De uitkomst van de vermenigvuldiging noemen we het product. Schrijft men de getallen, die vermenigvuldigd moeten worden, achter elkaar, dan verbindt men ze door het teeken X> en leest dan, waar we schrijven 27 X '6 cent, 27 keer 16 cent of 27 maal 16 cent. Het vermenigvuldigtal plaatst men dus achteraan in overeenstemming met den loop der gedachten. l'laatst men de getallen onder elkaar, dan komt het vermenigvuldigtal boven : 1 meter 16 cent 27 27 meter cent. § 17. De tafels van vermenigvuldiging. Wie vermenigvuldigen wil, moet de tafels kennen. Daar gaat niets van af. We geven ze hier niet, natuurlijk niet, zeiden we haast, want we kunnen ons niet voorstellen, dat iemand, die de rekenkunde zelfstandig wil bestudeeren, op school niet zooveel geleerd heeft, dat hij de tafels niet kent, en dus onmiddellijk weet te zeggen dat 7 X 3 = 21 en 8 X 9 = 72 is- 1Jie tafels kent men nooit te goed, want èèn vergissing is oorzaak, dat de geheele vermenigvuldiging over gemaakt moet worden, als n.1. de fout ontdekt wordt. Wie zich dus niet al te goed vertrouwt, schrijve ze maar eens uit en leere ze van buiten, en vergelijke ze met elkaar, zoo b.v.: *) 't Is immers niet noodig hier uitdrukkelijk te vermelden, dat die M. een afkorting is van het woord meter, een L. voor liter, enz.? Ook weet men immers de beteekenis van het woord meter, liter, gram, enz.? Anders zie men het hoofdstuk over 't metriek stelsel. 36 staat in de tafel van 4, want 36 is 9 X 4! 36 » » » » » 9, » 36 » 4 X 9'. 36 » » > » > 6, » 36 '6X6. En dan 24 = 4 X 6 en 6 X 4 en 3 X 8 en 8 X 3> maar 25 enkel gelijk aan 5X5- Enz. Ook dit moet opgemerkt worden, dat het product van twee oneven getallen oneven is, in alle andere gevallen is 't product steeds even. Daarom kan 7X9 nooit 64 zijn, want 64 is even. Schrijf ook de tafel van 3 en van 6 en 9 eens op ; 't blijkt dan dat de som der beide cijfers van al de producten steeds 3 of 6 of 9 is; dat wil zeggen: de getallen 12, 15. 18, 27. 81, zijn alle producten uit de tafels van 3, 6, 9, en de som der beide cijfers van 12 is 1 -j- 2 = 3 »» » » » 515*1 + 5 == 6 » » » d » « 18 » i + 8 = 9 » » » » » > 27 > 2 ")- 7 = 9 » » » » » » 8x » 8 —|— i = 9 Dat helpt ook, om de tafels te leeren. En zoo zijn er meer bijzonderheden aan te wijzen, maar ieder, die goed uit zijn oogen kijkt, merkt ze zelf wel op. Zoo komen de producten van de tafel van 4 ook voor in die van 2, » » » » » » 6 » v » » » 3> » » •» » » » 8 » » » » > 4» maar niet omgekeerd. *) De producten van de tafel van 5 eindigen beurtelings op een 5 of een o, die uit de tafel van 9 vertoonen deze eigenaardigheid, dat het cijfer der tientallen telkens 1 grooter en 't cijfer der eenheden telkens 1 kleiner wordt. § 18. Aan 't vermenigvuldigen. De vermenigvuldiger bestaat uit écu cijfer. Allereerst moeten we leeren vermenigvuldigen met 2, 3, 4, *) Het is zeer aan te bevelen om zich van dergelijke kleinigheden goed rekenschap te geven. Schrijf 't eens op, zoodat er geen speld tusschen te steken is: waarom bv. de producten uit de tafel van 8 wel voorkomen in die van 4, maar die van 4 niet in die van 8. Men raadplege desnoods de laatste bladzijden van dit boek. 5, 6, 7. 8 en g. 't Gaat met al die cijfers op precies dezelfde wijs, en 't is ook 't zelfde wat het vermenigvuldigtal is. We nemen dus ter verklaring maar een voorbeeld, n.1. 9 X 648. Eerst rekenen we 't heel gewoon uit: 648 = 600 -}- 4° + 8, en dus is 9 X 648 9 X 6oo -(- 9 X 40 4-9X8 = 5400 4- 360 4- 72= 5832. Wil men echter op de gewone wijze vermenigvuldigen, dan schrijft men de getallen onder elkaar, eerst het vermenigvuldigtal 648, daaronder den vermenigvuldiger 9, dus zoo: 648 9 5832 De berekening maken we dan ongeveer op dezelfde wijze als zoo pas. met dit onderscheid, dat we ten eerste al wèèr bij de eenheden beginnen, evenals bij 't optellen, en ten tweede, dat we niet spreken van 40 en 600 en 360 en 5400. maar van 4 tientallen en 6 honderden, enz. Onder t opschrijven van 't antwoord zeggen we dus dit: a) 9 X 8 = 72; we schrijven de 2 op, en voegen de 7 tientallen bij de tientallen, evenals bij de optelling; b) 9 X 4 tientallen = 36 tientallen) daarbij voegen we de 7 tientallen, en hebben dan 43 tientallen of 3 tientallen en 4 honderdtallen; de 3 tientallen schrijven we op, en voegen de 4 honderdtallen bij de honderdtallen; c) 9 X 6 honderdtallen + 4 honderdtallen = 58 honderdtallen ; we schrijven dit antwoord in z'n geheel op, want er is niets meer te vermenigvuldigen. Zoo vermenigvuldigen we met al de getallen van 2 tot 9. Dat we bij de eenheden beginnen, is alleen om het antwoord onmiddellijk, zonder fouten, en zonder doorhalen, te kunnen opschrijven. Begonnen we bij de honderdtallen, dan zouden we 54 krijgen, doch dat cijfer zouden we moeten doorhalen, zoodra het bleek, dat bij 9 X 4 tientallen nog 3 honderdtallen zijn; we hadden „Practisch Rekenonderwijs". 3 clan 57; en dat getal moest nog met I vermeerderd worden, zoodra het blijkt, dat het cijfer der eenheden, met 9 vermenigvuldigd, nog 7 tientallen geeft, wat nog wel minder is dan 1 honderdtal, maar er waren immers van de 36 tientallen nog 6 tientallen over en deze 6 tientallen met de genoemde 7 vormen weer een honderdtal, zoodat we eerst de 54, dan de 57 moesten doorhalen om ten slotte 58 te krijgen. Maar dat doorhalen vermijden we liefst. We beginnen dus bij de eenheden, nu en altijd. § 1». De vermenigvuldiger is een term van de schaal. In § 2 spraken we van eenheden, tientallen, honderdtallen, enz. Die reeks van getallen heet de schaal van het tientallig stelsel, en elk van die getallen een term van de schaal. Deze § handelt dus over vermenigvuldigingen als deze: 10 X 87632, 100 X 3785. 1000 X 28679, enz. De eerste vermenigvuldiging zouden we op de gewone wijze kunnen maken: 87632 10 876320 dus zoo, 10 X 2 = 20 > we schrijven de o op, en bewaren de tientallen; 10 X 3 = 3° en 2 == 32 tientallen; we schrijven de 2 op, enz. Maar wie zoo eenige vermenigvuldigingen uitvoert, komt tot de merkwaardige ontdekking, dat het vermenigvuldigtal en het product uit dezelfde cijfers bestaan; alleen komt achter het product een o, maar overigens is er geen verschil: is 't vermenigvuldigtal 87632, dan is 't product 876320; > » » 3265, » » » 5 32650; » > » 20840, » » » » 208400, enz. En dat kan ook niet anders. Om dat te kunnen begrijpen, leze men § 2 nog eens over: hoe de getallen in elkaar zitten. Van rechts naar links volgen op elkaar de eenheden, de tientallen, honderdtallen, enz. en als we ze nu een plaatsje naar links schuiven, dan worden de eenheden .... tientallen, de tientallen .... honderdtallen, de honderdtallen. . . duizendtallen, dus alle 10 maal zoo groot. Om nu een getal met 10 te vermenigvuldigen, doen we eenvoudig wat we hier zeggen, d.i. we maken van de eenheden tientallen, en dat gebeurt als we de eenheden schrijven op de plaats van de tientallen, de tientallen op de plaats van de honderdtallen, enz. Er zijn dan geen eenheden in zoo'n getal; dat duiden we aan door een O. Een voorb.: 87632 = 2 e. -)- 3 t.t. )- 6 h. -)- 7 d. -(- 8 td., 10 X 87632 = 2 t.t. -f 3 h. 6 d. -(- 7 td. 4- 8 hd., m. a. w. 10 X 87632 = 876320. Zoo redeneerende. vinden we voor het vermenigvuldigen met 100 dit: Als het cijfer der eenheden 100 maal zoo groot zal worden, moet het op de plaats der honderdtallen komen. Als dat der tientallen 100 maal zoo groot zal worden, komt het op de plaats der duizendtallen. Als . . . enz. want de redeneering blijft dezelfde, en de slotsom is: De cijfers veranderen niet, maar gaan twee plaatsen naar links; tientallen en eenheden zijn er niet, maar daarvoor schrijven we twee nullen. Zoo gaat het ook met de andere termen van de schaal, met TOOO, 10000, 100000, enz.; de cijfers van het vermenigvuldigtal blijven, maar alle gaan in het product eenige plaatsen uaar links. Hoevoel plaatsen? Vermenigvuldigt men met 10, dan een plaats; de ledige plaats wordt ingenomen door één nul; met IOO, dan twee plaatsen; de ledige plaatsen worden ingenomen door twee nullen; met 1000, dan drie plaatsen; de ledige plaatsen worden ingenomen door drie nullen; met 10000, dan vier plaatsen; de ledige plaatsen worden ingenomen door vier nullen; enz. Dat kan men gemakkelijk onthouden, want TO, 100, 1000, 10000, enz. bevatten ook juist telkens evenveel nullen. Men moet trachten deze zaak goed te begrijpen, omdat later bij verschillende gelegenheden er nog wel eens op gewezen zal worden. Zoo o.a. bij de behandeling van de decifnale breuken. Kigenlijk rekenen, cijferen is het niet; men kan het, als men goed begrijpt, wat in § 2 is geleerd. § 20. De vermenigvuldiger is een veelvoud van ro, ioo, iooo, enz. We moeten b.v. berekenen 50 X 637- Als 10 X 637 = 6370, dan is 't duidelijk, dat 50 X 637, 5 maal zoo veel is, dus 5 X 6370 of 31850. Zoo is ook : 80 X 16 = 8 keer 10 X 16 = 8 keer 160 = 1280. 500 X 23 = 5 » 100 X 23 — 5 * 23°° = 11500. 7000 X 99 — 7 s 1000 X 99 — 1 * 99000 = 693000. Onder elkaar de getallen schrijvende, hebben we dit: 23 500 11500 We moeten, zooals hierboven is aangegeven, 5 X 2300 nemen; we plaatsen dus in gedachte de 2 nullen van 500 achter de 23, en vermenigvuldigen dan alsof de vermenigvuldiger uit slechts één cijfer, uit een 5, bestond. Zoo gaat 't ook in dit voorbeeld : 99 7000 693000 iooo X 99 = 99000, dus 7000 X 99 = 7 X 99000 = 693000. We stellen ons voor, dat er achter de 99 nog 3 nullen staan, en vermenigvuldigen dat getal, 99000, met 7. Nu is 't echter bij 't vermenigvuldigen niet noodig telkens deze redeneering te houden, als we slechts deze ééne waarheid goed in 't oog houden, dat in het product telkens evenveel nullen voorkomen als in den vermenigvuldiger. We begrijpen, uit onze voorbeelden, dat dit zoo wezen moet. Dat nu verkort, neen, dat voorkomt het denken, dat maakt pén of griffel tot een machine. Dat mag wel eens, mits ... de machinist goed weet, wat hij doet. Zoo dus, zonder te denken, en volkomen onbegrijpelijk voor wie 't bovenstaande niet begrijpt, zeggen we : Schrijf in het product alvast zooveel nullen als er in den vermenigvuldiger voorkomen, en vermenigvuldig dan het vermenigvuldigtal met het èène overblijvende cijfer van den vermenigvuldiger. Derhalve: a) 66 b) 2784 c) 3800 5000 200 600 330.000 5568.00 228.00.00 We zeggen in a): Schrijf 3 nullen, en vermenigvuldig dan 5 X 66 (dat is 33°); in b): Schrijf 2 nullen, en vermenigvuldig dan 2 X 2784 (dat is 5 568); in c) : Schrijf 2 nullen, en vermenigvuldig dan 6 X 38o° (dat is 22800). Men lette wel op : niet 6 X 38, maar 6 X 3800 in dit laatste geval. We nemen immers het geheele vermenigvuldigtal, 66, 2784, 3800. We wijzen hierop even, want rekenaars worden door niets meer in de war gebracht dan door nullen. § 21. De vermenigvuldiger is een willekeurig getal. Wie het vorige goed begrepen heeft, kan nu alle vermenigvuldigingen leeren maken. Wil men vermenigvuldigen 368 X 5794. dan nemen de gedachten dezen loop : 368 X 5794 = 3°° keer 5794 en 60 keer 5794 en 8 keer 5794. In § 20 leerden we uitrekenen : 3°° keer 4794» en 60 keer 5794, in § 18: 8 keer 5794. De drie uitkomsten moeten natuurlijk bij elkaar geteld worden. De vermenigvuldiging wordt dus zoo : 5794 368 46352 347640 1738200 2132192 Eerst vermenigvuldigen we 5794 met 8 (zie§ 18); 't product is 46352 Dan 60 X 5794 (z'e § 2°)! 't product is 347640 Ten slotte 300 X 5794 (z'e § 2°) 5 't product is 1738200 De som van de 3 producten is 2132192 Men zorgt er wel voor de 3 antwoorden, de 3 gedeeltelijke producten, zooals de rechte term luidt, goed onder elkander te schrijven, zooals dit bij het optellen is geleerd. De eenheden onder de eenheden, de tientallen onder de tientallen. De o van het tweede gedeeltelijke product komt dus onder de 2 en de eerste nul van het derde gedeeltelijke product komt weer precies onder de nul van 347640. Om dit góed te doen, is het aan te raden de o van 347640 te schrijven voor begonnen wordt met 6 te vermenigvuldigen met 5794, dus voor 34764, en zoo moeten ook de 2 nullen van 1738200 eerder geschreven worden dan 17382. Dan weet men, dat alles goed onder elkander komt te staan, en dat is noodig om goed te kunnen optellen. Beginners, of slechte rekenaars, vergeten wel eens die nullen te schrijven, — en krijgen dan dit: 5794 368 4Ö352 34764 17382 waardoor men natuurlijk een heel verkeerd antwoord krijgt. Ook hebben we dit wel eens gezien : 5794 368 46352 347640 1738200 wat niet opgeteld kan worden, omdat de eenheden niet onder elkaar staan, evenmin als de tientallen, enz. We reven nog een voorbeeld: 287349 63857 2011443 14367450 229879200 862047000 17240940000 18349245093 Ziehier de wijze van uitrekenen : Eerst vermenigvuldigen we 287349 met 7; we krijgen 2011443. Dan met 50; we schrijven 1 nul, en berekenen 5 X 287349 ; dan met 800 ; we schrijven 2 nullen, en berekenen 8 X 287349 ; dan met 3000 ; we schrijven 3 nullen, en berekenen 3 X 287349 ; dan met 60000 ; we schrijven 4 nullen, en berekenen 6 X 287349. En dan tellen we op. Hiermede zijn al de gevallen van de vermenigvuldiging behandeld. Wie alles goed heeft bestudeerd, kan nu gaan vermenigvuldigen. In de volgende 3 paragrafen bespreken we echter nog verschillende voorbeelden, en zullen we nog eenige opmerkingen maken met het doel om de vaardigheid te verhoogen en minder fouten te maken. Maar we zeggen 't nog eens zeer duidelijk : het vorenstaande is voldoende, het volgende geven we alleen voor hen, die gevaar loopen op een effen pad te struikelen. § 22. Inspringen. Van vroeger, van de school, bedoelen we, heeft men misschien het vermenigvuldigen op een andere wijze geleerd, n.1. zoo, dat men telkens moest cinspringen>, een cijfer, of twee, of nog meer. Voor hem, die daaraan nog hangt, zij medegedeeld, dat dit heele inspringen niets anders is dan het weglaten der nullen in het tweede, derde, vierde en vijfde gedeeltelijke product van het laatste voorbeeld van § 21. We bedoelen natuurlijk de 1, 2, 3 en 4 nullen, die we eerst moesten schrijven ; er staan ook nog andere nullen, maar die moeten blijven. De i, 2, 3 en 4 nullen mogen natuurlijk wel wegblijven, als de andere cijfers dan maar op dezelfde plaats komen te staan waar ze nu staan, het cijfer 5 van het tweede gedeeltelijke product onder 't cijfer 4 van het eerste. Dat is inspringen. In het bovenstaande voorbeeld moet men dus telkens één cijfer inspringen. We kunnen dat «inspringen» echter niet aanraden. Een paar nullen maken kost zooveel tijd niet, — en maakt men ze niet, dan staat het denken weer heelemaal stil. Dat is natuurlijk niets, als de som maar goed wordt, doch als men maar machinaal weg een beetje er op los rekent, dan vergist men zich zoo gauwbij alle eenigzins afwijkende typen. En dat is het minder mooie. Daarvan geven we nog eenige voorbeelden. § 2». Nullen in den vermenigvuldiger. O O ) 637826 209 5740434 127565200 133305634 Het eerste gedeeltelijke product vindt men op de gewone wijze: 9 X 637826 = 5740434. Het tweede gedeeltelijke product is 200 X 637826; men schrijft dus eerst 2 nullen. Wie van «inspringen» houdt, laat die twee nullen weg, doch plaatst de 2 voor die nullen op dezelfde plaats als wij, dus onder de 4 van het eerste gedeeltelijke product. b) 386057 30850 Het laatste cijfer van den vermenigvuldiger is een o. Vaak ziet men, dat men ook met die o wil vermenigvuldigen, maar dat is onmogelijk; er zijn o, dat is geen eenheden ; van ver- mènigvuldigen met o kan geen sprake zijn. We beginnen dus te vermenigvuldigen met 50 en schrijven daartoe een o, dan met 800, schrijven twee nullen, dan met 30000, en schrijven vier nullen ; zóó: 386057 30850 19302850 (met 1 nul) 308845600 (met 2 nullen) 1 1581710000 (met 4 nullen) 11909858450 c) 26800900 5008060 1608054000 (= 60 X 't verm.tal, dus 1 nul) 214407200000 (= 8000 X » » 4 nullen) 134004500000000 (= 5000000 X * » 6 nullen) 134220515254000 Het aantal nullen is in de 3 gedeeltelijke producten telkens 2 meer dan we er tusschen twee haakjes achtervoegden; dat komt, zooals men begrijpt, daarvandaan, dat in het vermenigvuldigtal twee nullen voorkomen. Wie van «inspringen» houdt, kan dit hier ook doen, maar zou zich nu ook wel eens kunnen vergissen. 't Is beter telkens even zichzelf af te vragen, wat men doet; dan vergist men zich niet zoo spoedig. § 5i4. De factoren van een product kunnen verwisseld worden. De factoren van een product, dat zijn vermenigvuldiger en vermenigvuldigtal, en wanneer we dus zeggen : de factoren mogen verwisseld worden, dan beteekent dit: voor het vermenigvuldigtal mag men den vermenigvuldiger nemen, en omgekeerd. Niet zoo, dat we voor 16 X 2 3 eent ook mogen lezen 23 cent X l6> want waar we in een vermenigvuldiging den vermenigvuldiger voorop plaatsen, heeft de laatste vorm geen zin. Maar om het aantal centen te berekenen, dat we moeten betalen voor 16 K.G. als i K.G. 23 ct. kost, mogen we evengoed nemen 16 X 23 als 23 X '6- Dat bedoelen we : X 23 = 16 X 20 en 16 X 3 = 32° + 48 = 368. 23 X 16 = 23 X 10 en 23 X 6 = 230 + 138 = 368. Zoo is ook 8X6 = 6X8, T2 X 17 = 17 X i2- 3658 X 6271 = 6271 X 3658. enz. Maar wat zullen we nu met deze geleerdheid aanvangen? Wel, vooreerst is het wéten soms wel gemakkelijk. Wie aan 't rekenen is, en ergens nog op 't papier heeft staan, dat 17 X 12 geliJk is aan 204, die behoeft even later niet weer uit te rekenen, dat ook 12 X '7 evenzoo 204 is, want 17 X 12 = 12 X 17- Ook spaart het soms werk uit, in dit geval b.v.: Moet men vermenigvuldigen 68732 X 95. dus zoo: 95 68732 190 \ 2850 ( 66500 / 5 ged. prod. 760000 1 5700000 / 65:29540 dan kan men ook uitrekenen 95 X 68732, dus zoo: 68732 95 343660 I 2 ged. prod. 6185880 \ 6520540 De/.e laatste wijze van uitrekenen is in zooverre gemakkelijker, dat men niet meer heeft dan 2 gedeeltelijke producten ; in 't eerste geval 5. Nu zijn 2 getallen veel gemakkelijker goed op te tellen dan 5 en oin die reden geeft men er de voorkeur aan. Als men zich éven voorstelt, wat het beteekent: 68732 X 95 en 95 X 68732, dan bestaat er een zeer groot verschil. Kost i K.G. vleesch 95 ct., dan stelt de eerste vorm den prijs van 68732 K.G. voor. De laatste vorm kan dit nooit voorstellen; daar lezen we van 95 keer 68732 centen b.v. Doch de waarde van beide vormen is precies even groot. En dat vraagt men, ten tweede, op examens wel eens om te bewijzen. We hebben 't nog niet aangetoond, dat b.v. 5 X 9 = 9 X 5> doch ziehier. We teekenen een aantal _)_ _|— —)— —|— —(— —J— —)— kruisjes, en vragen : hoeveel staan er in elke rij en hoeveel _|_ _|_ _|_ -(- -j \ 1--(- rijen zijn er ? Op beide vragen _)_ _(_ _J_ _)_ _)— ——j— zijn 2 antwoorden mogelijk. Kijkt men naar de horizontale rijen, dan zeggen we: er zijn 5 rijen, elk van 9 kruisjes, dus in 't geheel 5X9 kruisjes. Kijkt men naar de vertikale rijen, dan zeggen we : er zijn 9 rijen, elk van 5 kruisjes, dus in 't geheel 9X5 kruisjes. Het aantal kruisjes is gelijk, want er is niet één kruisje meer bijgevoegd of weggelaten. Om dus te begrijpen, dat 5X9 en 9X5 evenveel is, behoeven we niet te rekenen; we tellen het aantal eenheden, de kruisjes, eenvoudig, of zoo, of zóó. En dat is steeds zoo. De horizontale rijen kan men langer denken, ook de vertikale. Er konden in elke horizontale rij wel 68732 kruisjes staan; er konden 95 rijen zijn, zoodat het aantal dan werd voorgesteld door 95 X 68732. Maar beschouwden we de vertikale rijen, dan kregen we deze voorstelling: 68732 X 95. want elke rij telde dan 95 kruisjes, en het aantal rijen bedroeg 68732. In de practijk van 't leven kan men van wat we hier leerden, (van deze eigenschap, zegt men ook) gebruik maken om te onderzoeken of er goed is vermenigvuldigd, en, zooals bleek, kan men soms ook het vermenigvuldigen vereenvoudigen. Voor vermenigvuldiger nemen we steeds dat getal, dat uit het kleinste aantal cijfers bestaat. § 25. Heb ik goed vermenigvuldigd? Om te onderzoeken of de vermenigvuldiging goed is uitgevoerd, moeten wij gebruik maken van wat 111 de vorige paragraaf is geleerd. Hebben we dus vermenigvuldigd: 3856 278 dan kunnen we deze beide getallen nog eens vermenigvuldigen op deze wijze: 278 3856 en komt er beide keeren precies hetzelfde uit, dan is de som goed uitgerekend, tenzij, maar dit is hier bijna ondenkbaar, tenzij er beide keeren op dezelfde wijze dezelfde fout is begaan. Kr zullen later nog andere wijzen behandeld worden om te onderzoeken of de vermenigvuldiging goed is. Hij de deeling n.1. en bij het hoofdstuk over de deelbaarheid der getallen. § Ütt. Gedurige producten. Men kan ook meer dan twee getallen met elkaar vermenigvuldigen. Wat wil dat zeggen en hoe komt het voor: Ziehier: Ken aannemer heelt werklieden in dienst, die per uur 20 ct. verdienen. Is de werktijd 9 uur, dan wordt door elk der arbeiders per dag verdiend 9 X 20 tent. Wordt er zoo 16 dagen gewerkt dan kan men, wat de aannemer aan ieder te betalen heeft, zoo voorstellen: 16 X 9 X 20 cent Heeft hij 80 werklieden, dan bedraagt het geheele arbeidsloon 80 X 16 X 9 X 20 cent. Zoo kan men aan de practijk van het leven nog wel andere voorbeelden ontleenen, voorbeelden van 3, 4 of meer factoren. Dit b.v.: Een K.G. meel kost 9 cent, een baaltje bevat 50 K.G., dus kost 1 baal 50 X 9 ct. De winkelier heeft in voorraad 12 balen; deze kosten dus i2 X 50 X 9 Een eierhandelaar levert ergens eiken dag 3 eieren a 4 ct., zoodat hij eiken dag moet noteeren 3 X 4 ct. In 1 week dus 7 X 3 X 4 ct. Hoe men uitrekent, wat er ten slotte betaald moet worden, wat er dus uit de som komt, dat weten we direct als we nagaan, hoe de vorm ontstond. Het eerste voorbeeld: Het arbeidsloon bedroeg 9 X / 0.20 = ƒ 1.80. Het loon voor ieder . . 16 X ƒ = f 28.80. Het geheele loon . . . 80 X ƒ 28.8o = ƒ 2304.—. Het tweede voorbeeld: Een baal meel kost 50 X 9 ct- = / 4-5°12 balen kosten . . 13 X ƒ 4-5° —ƒ 54-—• Het derde voorbeeld: Eiken dag voor 3 X 4 ct. = 12 ct. In 1 week voor 7 X 12 ct. = 84 ct. Welken vorm men nu ook heeft en hoeveel factoren er ook mogen voorkomen, steeds ligt er een reeks van gedachten aan ten grondslag, die geheel overeenkomt met die in onze voorbeelden, en daarom moet de waarde van elk gedurig product, zooals men dit noemt, worden berekend, op de wijze zooals we aangaven, d. w. z.: eerst het product van de eerste twee factoren (van rechts); daarna het product van den derden factor (van rechts) met het vorige product; daarna het product van den vierden factor (van rechts) met het vorige product, en zoo voort. Dan volgt het rekenen denzelfden gang als de gedachten, en dan wordt het antwoord steeds goed. 80 X 77 X 25 X '6 X 13 X 392 berekent men dus zoo: eerst 13 X 392. dan 16 X 1000 X 999 = 999000 (want 25 X 4° = 1000). 32 X 999000 = 31968000, of zoo : 37 X 27 = 99940 X 999 = 3996o, 800 X 3996o = 31968000 (want 25 X 32 = 800). b) 75 X 23 X 25 X 32 X 16. Weer niet zoo : 32 X 16 = 512, 25 X 512 = 12800, 23 X 12800 = 294400, „Practisch Rekenonderwijs". 4 75 X 7°44°° = 22080000, maar zoo : 75 X 32 = 2400 en 25 X 16 = 4°°» de waarde is dus 23 X 2400 X 4°° = 23 X 960000 = 22080000. We kunnen dus deze opmerking maken : Zie of er factoren bij zijn, wier product een rond getal is, en vermenigvuldig dan die factoren met elkaar. Ten slotte nog een opmerking: Van al wat we schreven over de gedurige producten heeft alleen de laatste § waarde voor het practische leven; al 't andere was theorie, noodig echter, omdat anders de practische toepassing van deze § niet te begrijpen was. Maar op examens vraagt men ook wel eens bewijzen van 't een of 't ander, b.v. waarom 6X3X3X2X9=3X^X^X9 of zoo iets, dikwijls heel eenvoudig, waarvan men de waarheid wel voelen kan, en welke men toch niet door een redeneering. waaraan geen enkel woord ontbreekt, kan bewijzen. Daarom gaven we van de gedurige producten iets meer dan deze paragraaf. § 30. V 'ermenigvuldigen uit het hoofd. Evenals vele optellingen en aftrekkingen kunnen er ook vele vermenigvuldigingen uit het hoofd gemaakt worden. Maar niet alle, dat zij verre. Zeer hangt dit intusschen af van de meerdere of mindere vaardigheid in 't rekenen bij elk rekenaar afzonderlijk, van een goeden kijk hebben op de dingen — en dan, wat men »een vlug verstande noemt, dat kan ook al niet ontbeerd worden. We bedoelen dit: wie berekent, dat 12 X 20 = 240 en 12 X 3 = 36 is, en dan die getallen wil optellen, maar onder 't berekenen van dat laatste, van 12 X 3 dus, vergeet, dat hij eerst 240 had, die brengt het in 't rekenen uit het hoofd misschien niet tot professor. »Een goede kijk* hebben op de dingen, dat is weer de hoofdzaak. Bij 't berekenen van 12 X 27\ cent kan men Se" bruik maken van de omstandigheid, dat 27^ ct. = 1 kwartje -)- i halve stuiver, zoodat 't antwoord gelijk is aan 12 kwartjes en 12 halve stuivers of ƒ 3.30, maar wie dat eerste, dat splitsen van 2"]\ cent in twee deelen, niet inziet, en niet begrijpt dat hij daarvan gebruik moet maken, die ... nu ja, die wordt ook geen professor. Uit de hier aangehaalde voorbeelden blijkt ook reeds weer, dat we bij het vermenigvuldigen uit het hoofd geen gebruik maken van den gewonen vorm, waarin we vermenigvuldigen. Dan schrijven we de getallen onder elkaar en vermenigvuldigen, te beginnen met de eenheden, maar bij 't rekenen uit het hoofd doen we dit in 't algemeen niet ; we zien dan veeleer de waarde van vermenigvuldigtal en vermenigvuldiger in verband met andere hoeveelheden, dan op zich zelf. Wie op de gewone wijze wil vermenigvuldigen met 24, zegt: 24 = 20 + 4, maar bij 't rekenen uit het hoofd is 24 = 25 — 1, dat wil zeggen : we vermenigvuldigen met 25, omdat dit uit het hoofd gemakkelijker gaat, en trekken daar het vermenigvuldigtal af. Zoo is 99 nu niet = 90 + 9, maar 100 — 1, 26 » » = 20 -)- 6, » 25 -f 1, 980 » » = 900 -f- 80, » 1000 — 20, 49 ^ ® == 40 —|— 9» * 50 — 1. 28 X 25 » » 20 X 2 5 en ^ X 25- maar 7 X 4 X 25 '» 16 X 5° » » 10 X 5° en 6 X 50, » 8 X 2 X 5°; eilz- We zullen nu achtereenvolgens eenige typen behandelen. a) Een algemeen geval: 12 X We rekenen deze som op 2 manieren uit: Eerste manier: 12 X 3!6 = 12 X 3°° en 12 X '6 = 3600 192 = 3792. Tweede manier : 12 x 316 = 10 x 316 + 2 x 316 = 3160 + 632 + 3792. De eerste manier is de eenvoudigste. Want de 2 gedeeltelijke producten zijn 3600 en 192, die gemakkelijker bij elkaar zijn te voegen dan 3160 en 632, omdat in . het laatste geval beide getallen, 3160 en 632, zoowel honderdtallen als eenheden hebben; bij 3600 en 192 was dit niet zoo. b) Een der factoren is iets minder dan een »mooi« getal. Voorbeelden : 99 X 250 = 100 X 250 — 1 X 250 = 25000 — 250 = 24750. 495 X 16 ~ 5°° X 16 — 5 X 16 = 8000 — 80 = 7920. 392 X 23 = 400 X 23 — 8 X 23 = 9200 — 184 = 9016. 23 X 499 = 23 X 500 — 23 X 1 = 11 500 — 23 = 11477. I 2 X 99° = 1 2 X 1OOO — 12 x IO= I 2000 — I 20 = I I 880. Is het noodig deze voorbeelden toe te lichten ? Ieder kan begrijpen, dat 99 X 250 juist 250 minder is dan 100 X 250,— en zoo is ook de gedachtengang in de andere voorbeelden volkomen duidelijk. c) Een der factoren is een deel van een »mooi« getal. Voorbeelden : 12 X 5°=6X 100 = 600. 24 x 250 = 6 X 1000 = 6000 24 X 375 = 72 X 125 = 9 X 1000 - 9000. Dit laatste voorbeeld verklaren we alleen : 375 = 125 4- 125 + 125 *375 = 125 -f 125 + 125 375 = 125 + 125 4- 125 enz. enz. 24 X 375 = 72 X 125. We zouden ook dit kunnen zeggen : 24 X 375 = 24 X 3 X 125 = 72 X I25> zooals men lezen kan in de §§ over de gedurige producten. Omdat S X 125 = 1000, is 72 X 125. d.w.z. 9 maal zooveel, ook 9 X 1000. djI Een combinatie van de a, l> en c. Voorbeelden : 24 X 49 = 12 X 98 = 1200 — 24 = 1176. 16 X '58 = 8 X 3'6 = 2400 4- 128 - 2528, 198 X 25° = 99 X 500 = 49-1 X 1000 = 495oo. Op deze wijze zijn er heel wat vermenigvuldigingen uit te voeren, maar dit hangt voornamelijk van ieders persoonlijk inzicht af. Men vermijde sleur en verrichte nimmer bewerkingen, die men niet begrijpt. e). Geldswaarden. Voorbeelden : 16 halve stuivers zijn 8 stuivers of 4 dubbeltjes of 40 cent. 32 Rijksdaalders zijn 8X4 Rijksdaalders = 8 X f 'O = f 80. . Enz. Dit is niets anders dan wat we noemden onder c. § 31. Het gebruik van haakjes enz. a) Som en verschil. Haakjes ontmoet weer alleen hij, die sommen maakt uit een rekenboek. Ze geven ook hier weer duidelijk aan wat bijeen hoort en wat niet. Wil men dus aangeven, dat eenige getallen moeten opgeteld worden, en dat de som met zeker getal moet worden vermenigvuldigd, dan schrijft men die op-te-tellen getallen tusschen haakjes. 24 X (38 + '6 + 22) wil dus zeggen : tel 38 en 16 en 22 op, en wat er uitkomt, 76 n.1., vermenigvuldig dat met 24. Zoo ook dit: 20 X (38 — 16). Trek 16 van 38 af; er blijft 22 over; vermenigvuldig nu 22 met 20. Zonder de haakjes had men dit: 24 X 38 + 16 + 22 en 20 X 38 — 16, vormen, die ook wel beteekenis hebben, maar — een geheel andere. Want 24 X 38 + 16 + 22 beteekent dit: vermenigvuldig 24 met 38, en tel bij de uitkomst eerst 16 en dan nog 22 op. Zoo wil 20 X 38 — '6 zeggen : bereken 20 X 38 en neem van dat product 16 af. b) Producten. Zijn er twee of meer producten, die opge- teld of afgetrokken moeten worden, clan zou men ook haakjes kunnen gebruiken, maar — men doet het niet. Hebben we dus op te tellen 24 X 716 33 X 5i8 99 X dan schrijven we dit achter elkaar niet zoo : (24 X 7i6) + (33 X 518) + (99 X "6) maar zoo : 24 X 7 '6 + 33 X 519 + 99 X n6. Deze laatste vorm beteekent precies hetzelfde als de eei>ste met de haakjes. Men lette er echter wel op, dat dit hier niet verklaard wordt: 't is eenvoudig een gewoonte, om in een dergelijk geval de haakjes weg te laten. Evenzoo is 26 X 384 — V 112 hetzelfde als (26 x 384) — (31 X 112). Voert men de verschillende bewerkingen uit zooals men ze vindt, dan zou men voor 26 x 384 — 31 X 112 dit krijgen : eerst 26 X 284; het product verminderen met 31, en dit verschil vermenigvuldigen met 112. Dat mag echter niet: men moet eerst de béide vermenigvuldigingen uitvoeren, en dan de producten aftrekken. I11 al de vorige vormen kwamen telkens twee (of drie) bewerkingen voor: vermenigvuldigen en nog iets anders. Zijn er alleen vermenigvuldigingen, dan zijn haakjes niet noodig. Immers (72 X 36) X 58 X (26 X 33) beduidt, als men de haakjes in acht wilde nemen, dit: eerst moet het product berekend worden van 26 en 33 ; dit product moet 58 keer worden genomen ; en dit product moet weer vermenigvuldigd worden met de uitkomst van 72 X 36. Maar wie nog eens naleest, wat we schreven over de gedurige producten, zal begrijpen, dat men dan ten slotte toch heeft: 72 X 36 X 58 X 26 X 39- Haakjes zijn dus in een gedurig product geheel overbodig. § 5JÜ. Het declen. Het vermenigvuldigen geeft ons een middel aan de hand om op zeer korte wijze de som te vinden van een klein of groot aantal gelijke getallen, waarbij we met 3 dingen te maken hebben : a. een hoeveelheid, die eenige malen genomen moet worden; b. een getal, aangevende hoeveelmaal men die hoeveelheid moet nemen ; c. de uitkomst, een hoeveelheid dus, eenige malen de hoeveelheid bedoeld in a. Nu zijn a en b bekend, c moet gevonden worden. In een deeling heeft men dezelfde 3 dingen, maar nu zijn niet a en b, maar a en c bekend, en naar b wordt gevraagd. Tusschen 't vermenigvuldigen en dit deelen bestaat dus ongeveer dezelfde verhouding als tusschen 't optellen en 't aftrekken, want men heeft bij de optelling: a. een hoeveelheid, b. een andere hoeveelheid, c. de uitkomst, de som, bevattende evenveel eenheden als a en b, maar bij de aftrekking : a en b niet, maar a en c, terwijl naar b wordt gevraagd. Om tot het deelen terug te keeren : men heeft dus een hoeveelheid, die gelijk is aan de som van eenige andere gelijke hoeveelheden ; welke die hoeveelheid is, weet men ook, maar hoeveelmaal die hoeveelheid begrepen is in de andere, dat weet men niet. Dat leert een deeling. Begrijpt men die uitdrukking : hoeveelmaal twee hoeveelheden in elkaar begrepen zijn ? We zullen eenige voorbeelden geven. Van 100 L. *) haver krijgt een paard eiken dag 5 L. Na hoeveel dagen zal de haverzak leeg zijn ? Dat wil dus zeggen : hoeveelmaal kan men van 100 L. die 5 L. afnemen ? Nu leert de ervaring dat wel, in dit geval althans, want na den eersten dag zijn er nog 95 I.., » » tweeden » » 5 » 90 I.., » » derden » » » *85 L., enz. 1) Men weet immers uit de schooljaren nog van een L., een M. enz. ? maar dat is een wijze van berekenen, die in 't algemeen veel te lang duurt, zoodat er iets op gevonden moet worden, om 't antwoord spoediger te vinden. Ken deeling leert het. Iemand heeft een lat van 5 M. en zaagt die in stukjes van 25 c.M. Hoeveel stukken krijgt hij ? Een deeling leert het. Iemand wil berekenen, hoeveel lagen steen er gaan in een muur van 54 d.M., als de steenen 6 c.M. dik zijn. Hoeveel planken van 20 c.M. gaan er boven eikaar in een schutting van 3 M. hoogte? Een deeling leert het telkens. Zoo zijn er ontelbaar veel gevallen ; wie om zich heen ziet heeft ze voor 't grijpen. Steeds hebben we te doen met twee hoeveelheden; een groote en een kleinere (bij de geheele getallen althans), en de vraag is steeds: hoeveelmaal kan de kleinste hoeveelheid worden afgenomen van de grootste ? of: hoe groot is het aantal deelen, waarin de grootste hoeveelheid verdeeld kan worden, als elk deel gelijk is aan de kleinste hoeveelheid ? óf, en hier zeggen we hetzelfde, maar in iets algemeener zin : hoeveelmaal is de kleinste hoeveelheid in de grootste begrepen ? óf, en dit beteekent weer hetzelfde: hoe verhouden twee hoeveelheden zich tot elkaar ? Dan eens bezigen we de eene uitdrukking, dat weer de andere. Neem ik meel uit een zak, dan zeggen we : hoeveelmaal kan ik er deze hoeveelheid afnemen; — een lat, een stuk land, een vel papier verdeelen we 't liefst in gelijke deelen ; maar voor beide zeggen we toch: hoeveelmaal is de eene hoeveelheid in de andere hoeveelheid begrepen ? Als van 2 jongens echter de een 3 en de andere 12 cents heeft, dan kan men die hoeveelheden niet best van elkander afnemen; 't liefst zeggen we dan: die centen verhouden zich als 1 tot 4. Om het antwoord te vinden op die sommen, het antwoord, dat ons zegt: zooveelmaal, moet men cijferen, en dat cijferen heet deelen. Maar .... het deelen heeft ook nog een andere beteekenis, en daarom knoopen we hier nog maar een g aan vast. § 3lt. Andere deelingen. Meer in overeenstemming met het woord deel, verdeclen, is een bewerking, die ons een zeker gedeelte van een getal leert vinden; — ook dit heet »deelen«, met meer recht misschien dan de bewerking, die we in de vorige paragraaf bespraken. We geven maar weer voorbeelden. 7 menschen moeten 140 centen verdeelen. Wat krijgt elkr 12 zakken met koren wegen samen 720 K.G. Hoe zwaar is elke zak f Enz. In 't eerste voorbeeld krijgt elk der 7 menschen een zevende deel van 140 centen ; in 't tweede weegt elke zak het twaalfde deel van 720 K.G. We hebben dus twee soorten van deelingen. De eerste soort, die van § 32, noemen we de verhoudingsdeeling, de thans behandelde de verdeelingsdeeling: twee namen, die aan duidelijkheid niets te wenschen overlaten. De verdeelingsdeeling is altijd gemakkelijk te herkennen, maar velen hebben wel eens moeite een vraagstuk op te lossen, dat eigenlijk niets anders dan een verhoudingsdeeling is, omdat ze niet inzien, dat gevraagd wordt naar de verhouding tusschen twee hoeveelheden, naar het aantal malen, dat de eene hoeveelheid begrepen is in de andere. Ook in de uiterlijke voorstelling is er tusschen beide soorten van deelingen eenig verschil. Wil men een hoeveelheid eenige malen nemen, dan duidt men dit aan door het teeken X> W'1 men deelen, dan gebruikt men daarvoor !, twee punten boven elkaar. Vraagt men dus, hoevaak 7 M. begrepen is in 49 M., dan schrijft men dit aldus : 49 M. ; 7 M. = 7 maal, maar wil men weten, wat het 7e deel is van 49 M., dan heeft men; 49 M. ; 7 = 7 M. Wie de kleine getallen, we bedoelen die tot 100 of 200, goed kent, maakt de deelingen, waarvan de te verdeelen hoeveelheid niet grooter is dan 100 of 200, uit het hoofd, — maar worden de getallen gruoter, dan is dit onmogeiijk. Dan moet men cijferen. De ver- deelingsdeeling en de verhoudingsdeeling worden echter op de/elfde wijze uitgevoerd, zoodat men hier — gelukkig ! — niet te doen heeft niet twee verschillende bewerkingen ; — 't is één bewerking, met twee beteekenissen. § 3-4. Weer drie namen. We moeten eerst weer een drietal namen geven. We hebben 't in elke deeling te doen met 3 zaken; in een verdeelingsdeeling eerstens met de hoeveelheid, die verdeeld moet worden ; dat is het deeltal; dan met het getal, die het aantal deelen aanwijst; dat is de deeler: daarna met de hoeveelheid, die de grootte van elk der deelen noemt; dat is het quotiënt. Eigenlijk is er nog een nummer vier; want een hoeveelheid kan soms niet in eenige gelijke deelen verdeeld worden; er blijft wat over, en dat is de rest. In een verhoudingsdeeling is 't precies zoo: een plank van 5 M. moet verdeeld worden ; dat is het deeltal ; elk stukje is 30 c.M. groot; 30 c.M. is de deeler; het aantal deelen is 16; dat is het quotiënt; er blijft 20 c.M over ; dat is de rest. Om een deeling uit te voeren plaatst men deeler en deeltal naast elkaar, en rechts van het deeltal zal men het quotiënt schrijven. Twee strepen dienen als scheiding: 7 1449 M. | 25 M. 675 M. | De eerste vorm is een verdeelingsdeeling. De deeler is 7, het deeltal 1449 M; er wordt gevraagd naar het 7e deel van 1449 M. De tweede vorm is een verhoudingsdeeling. De deeler is 25 M., het deeltal 675 M., er wordt gevraagd hoevaak 25 M. begrepen is op 675 M. § 35. Hoe men deelt. Bij het uitvoeren van elke deeling wordt, zoo noodig, het deeltal gesplitst in eenige deelen. en elk deel wordt dan afzonderlijk door den deeler gedeeld. Dat men ten slotte de deelen van het quotiënt vereenigen moet, is duidelijk. Dit splitsen is noodzakelijk. Immers het is niet mogelijk in eenen te zeggen, wat het i2Sstc deel is van 68375. Maar wel is het mogelijk, als men eerst het 12 5ste deel neemt van 62500, dan van 5000, dan van 875, want het 125ste deel van 62500 = 500 (want 5 X 125 = 625, dus 500 X 125 = 62500); » 5000 = 40 (want 4 X I25 = 5°°> dus 40 X 125 = 5000 ; >875 = 7 (want 7 X 125 = 875); het 125ste deel van 68375 is dus 547. Om goed te kunnen deelen, komen nu twee dingen vooral op den voorgrond: ten eerste: het splitsen van het deeltal in eenige gedeelten; ten tweede: het deelen van elk gedeelte dooiden deeler. We zullen beide zaken afzonderlijk bespreken. Als derde zaak hebben we nog dit: hoe men het quotiënt opschrijft. § !{(>. In welke deelen wordt het deeltal verdeeld? üe deelen, waarin het deeltal verdeeld wordt, moeten een veelvoud zijn van den deeler. Dat wil zeggen: wordt 120 gedeeld door 8, dan splitsen we 't deeltal in deze deelen b.v. : 80 en 40, want beide zijn deelbaar door 8, en niet in deze deelen: 90 en 30, omdat deze niet door 8 deelbaar zijn. Maar welke getallen zijn veelvouden van den deeler? Dit is steeds gemakkelijk te bepalen door hem, die de tafels van vermenigvuldiging goed kent, en wie goed weet te vermenigvuldigen met 10, met 100, met iooo, enz., dus met een term van de schaal van het tientallig stelsel. Wil men daii hebben de veelvouden van 8, dan heeft men dit: a) de eerste rij veelvouden, zullen we maar zeggen, van 8 : 2 X 8 = 16 6 X 8 = 48 3 X » = 24 7 X » = 56 4 X 8 = 32 8 X 8 = 64 5X8 = 40 9X8 = 7 2 b) de tweede rij veelvouden zijn : 20 X 8 = 160 = 16 tientallen, 30 X 8 = 240 = 24 » 40 X 8 = 320 = 32 50 X ^ = 400, enz., dus evenveel tientallen als er eenheden zijn in de eerste rij; c) de derde rij veelvouden zijn : 200 X 8 = *600 300 X 8 = 2400, enz., dus evenveel honderdtallen als er eenheden zijn in de eerste rij; d) de vierde rij 2000 X 8 = 16000, dus evenveel duizendtallen; de vijfde rij evenveel tienduizendtallen ; enz. Daar heeft men de veelvouden, die men bij 't deelen door 8 noodig heeft. De tafel van 8, soms met een of meer nullen, anders niet. Zoo gaat het ook met andere getallen. Wil men b.v. deelen door 32, dan heeft men noodig : eerstens de veelvouden, zooals men die vindt in de tafel van 32, en dan even zooveel tientallen of honderdtallen, enz. Een voorbeeld : deel 32 op 5088. Indien we de rij veelvouden van 32 opschreven zooals hierboven van 8, dan moesten we eerst zijn in de rij der honderdtallen, omdat 5088 = 50 h. -j- 88, dat is: meer dan 32 honderd. Het eerste deel is dus 3200. De rest is 1888 = 188 tientallen en 8 eenheden. In de rij veelvouden zou voorkomen 160 tientallen ; dat is het tweede deel. De rest is 288 = 9 X 32. We hebben daarom dit : 5088 = 3200 -f- 1600 + 288'• het 32° deel is 100 -|- 50 -f- 9 = 159. Zooals we nader zullen zien, wordt aan de bewerking zelf, het eigenlijke deelen, een vorm gegeven, die dit alles nog vergemakkelijkt. Goed kunnen vermenigvuldigen is een eerste vereischte. Om vlug en goed te kunnen deelen, moet men, evenals bij het vermenigvuldigen, goed de tafels kennen, en een product van twee factoren, waarvan de één uit 1 cijfer, de ander uit 2 of 3 of meer cijfers bestaat, vlug kunnen berekenen. En dan vragen we maar : Wat is het 8e deel van 56000 ? Het 8e deel van 56 = 7 ! 't antwoord is dus 7000. Wat is het 32e deel van 19200? Het 32e deel van 192 =6; 't antwoord is dus 600. Voorts moet men berekenen kunnen : 700 X 23> dus 7 X 23 met 2 nullen ; of 5000 X '6, dus 5 X '6 met 3 nullen ; of 20 X !32> dus 2 X '32 met 1 nu': of 800 X ll6> dus 8 X n6, met 2 nullen; of 30000 X 42> dus 3 X 42> met 4 nullen, enz. Wie dat alles vlug en vaardig kan berekenen, is al een heel eind op weg. Maar hij komt er zoo nog niet. Want zooals we zullen zien bij de eerste deeling, die we maken: goed kunnen aftrekken moet men ook nog. Maar dan is men er toch ook ongeveer. § *8. De vorm van de deeling. Indien men een deeling wil maken, b.v. 3648 wil deelen door 8, dan schrijven we dit op, zooals reeds werd aangegeven en gaan dan voort op de wijze hieronder aangegeven : 8 j 3648 j 400 ' 3200 50 448 6 400 456 48 li o Wie de tafel van 8 kent, weet, dat 3200 een der veelvouden van 8 is. Het 8e deel van 3200 is 400. Verminderen we dan 3648 met 3200, dan blijft er 448 over. We nemen nu het 8e deel van 400. Dat is 50. Thans rest er nog 48. Het 8e deel daarvan is 6. Het 8e deel van 3648 *s dus 456. We splitsen het deeltal dus in 3 deelen : 32°°> 4°°> en 4$, en wel juist in deze deelen, omdat dit de grootste 8-vouden zijn, 1! die we konden nemen. En na het 8e deel van déze 8 vonden bepaald te hebben, trokken we telkens deze getallen af van de vorige rest ; de eerste maal natuurlijk van het deeltal zelf. Ten slotte werden de deelen van het quotiënt opgeteld. We weten, de tafel van 8 kennende, onmiddellijk dat we eerst het 8e deel moeten nemen van 3200, maar als de deeler grooter is, en uit 2 of meer cijfers bestaat, dan ziet men dit niet altijd spoedig. Daarvan geven we een voorbeeld. Ziehier : 23 ) 119487 ( Het deeltal bevat 1 honderdduizendtal ; het 23e deel daarvan is minder dan honderdduizend, en daarom gaan we hierop niet in. Ook geven we geen antwoord op de vraag hoeveel het 23e deel is van 11 tienduizendtallen ; 't is minder dan tienduizend. Maar het deeltal is gelijk aan 119 duizend en 487, en thans vragen we : welk veelvoud van 23 kan afgetrokken worden van 119000? Of van 119? We geven daarop een antwoord, dat voor alle gevallen afdoende is, want het antwoord luidt : dat moet men opzoeken ! Als men al vrij wat deelingen gemaakt heeft, dan weet men al spoedig ten naastenbij hoe vaak het gaat, dat is : hoeveel maal er 23 bij 119 is, maar anders is het steeds: opzoeken ! probeeren ! Beginners slaan den bal wel eens heel ver mis, vooral zij, die het rekenen met kleine getallen slecht geleerd hebben, maar dit zij eens en voor altijd gezegd, probeer maar hoe vaak het gaat, — en dan vindt men het steeds. Welnu, na eenig zoeken heeft men : 5 X 23 = 115> 6 X 23 = 138, zoodat 115 het grootste veelvoud van 23 is beneden 119. Omdat 5 X 23 = 115, is 5000 X 23 = 11500, en we hebben nu dit: 23)119487 ( 5000 115000 4487- Op dezelfde wijze gaan we door. Duizendtallen vinden we in het quotiënt niet meer, en we vragen dus direct: wat is het grootste veelvoud van 23 beneden 44. d. w. z. 4400. Omdat 2 X 23 = 46 is, dat is meer dan 44, hebben we als grootste veelvoud i X 23 = 23 ; vve tre^^en van rest 44**7 dus 2300 af, en schrijven in het quotiënt too bii ; dus zoo: 23 )119487 ( 5000 115000 100 4487 2300 2187 Dan vragen we, wat het 23e deel is van de rest, van 2187. 't Zijn tientallen ; we kunnen dus ook vragen ; wat is het 23e deel van 218 tientallen. Daar 9 X 23 = 207, is 90 X 23 = 2°7 tientallen ; we hebben nu dit: 23 ) 119487 ( 5000 115000 100 4487 90 2300 2187 2070 117 En ten slotte: het 23e deel van 117 is 5, waarna er 2 tot rest overblijft. We voegen dit nog aan onze bewerking toe: 23 ) 119487 ( 5000 115000 100 4387 90 2300 5 2187 5195 2070 "7 ij 5 2 § 39. Vereenvoudigingen. Evenals bij het vermenigvuldigen laat men bij het deelen ook vaak de nullen weg. Daardoor verandert de zaak natuurlijk niets. Een andere vereenvoudiging is, dat men al deelende niet telkens de geheele rest opschrijft, maar alleen voor zooverre men die noodig heeft. En ten derde: als men nagaat, dat in onze deeling het quotiënt gelijk was aan 5000 -f~ 100 ~t~ 9° + 5 of 5195. d.w.z. een getal van 4 cijfers, die alle 4 reeds voorkomen in de 4 getallen 5000, 100, 90 en 5, dan kunnen we die 4 cijfers, de 5, de 1, de 9, de 5, ook wel direct achter elkaar schrijven. Maar wie dat alles niet goed begrijpt, die schrijft alles maar breedweg uit, die doet niets, dan wat hem helder en klaar is, en maakt zijn werk goed. We geven nu een voorbeeld, en schrijven twee gelijke deelingen naast elkaar, in de eene alles voluit, in de andere met de vereenvoudigingen, hier boven aangewezen. 24 ) 92488 ( 3000 24 ) 92488 ( 3853 a) ... . 72000 800 aa) ... 72 20488 50 204 b) .... 19200 3 />/>) ... 192 1288 3853 128 c) . . . . 1200 cc). . . . 120 88 88~ d) ... . 72 dd) ... 72 16 16" We geven hierbij deze aanwijzingen : a) Het 24e deel van 72000 = 3000. In aa precies hetzelfde, maar de 3 nullen van 72000 en van 3000 zijn weggelaten. b) De rest is 20488. In bb hebben we van deze rest niet meer opgeschreven dan 204. Dat zijn honderdtallen, want 20488 = 204 h.d.t. -j- 88. Ook kan men dit zeggen : 92 duizend wordt verminderd met 72 duizend; de rest was 20 duizend = 200 honderdtallen. Daarbij kwamen 4 honderdtallen van het deeltal. Zoo komen we ook aan onze 204. In b is 't nu dit: het 24e deel van 19200 = 800. In bb hetzelfde zonder de nullen. r) De rest, voluit geschreven, is 1288. In cc is daarvan niet meer geschreven dan 128, dat zijn de tientallen, omdat 1288 = 128 tientallen en 8 eenheden, enz. d en dd hebben geen verklaring noodig. Bekijken we den tweeden vorm goed, dan zien we dit: eerst gaat het 3000 maal ; we schrijven in 't quotiënt een 3; de rest is 92 — 72 = 20; achter deze rest voegen we de 4 van het deeltal, en krijgen zoo 204; 't gaat nu 8 maal en de rest is 12 ; achter die 12 voegen we de 8 van 't deeltal, enz. Telkens dus 3 handelingen : eerst zien hoe vaak het gaat . dan aftrekken ; daarna een cijfer van t deeltal achter de rest voegen. Dat gaat telkens door, tot men het cijfer der eenheden van het quotiënt gevonden heeft. 8 40. Nullen in 7 quotiënt. Het gebeurt natuurlijk dikwijls, dat er in het quotiënt wel tienduizendtallen en honderdtallen voorkomen, maar geen duizendtallen of tientallen of eenheden. Op de ledige plaats schrijft men dan een nul- Wie geen gebruik maakt van de bekortingen, die we wi de vorige paragraaf noemden, en die dus in het quotiënt krijgt b.v. 70000 600 6 70606 heeft daarmee in 't geheel geen moeite, als de deelen van 't quotiënt goed worden opgeteld, doch wie de cijfers van het quotiënt direct achter elkander in het antwoord schrijft, heeft veel kans zich te vergissen : hij vergeet de nullen, of schrijft ze niet op de juiste plaats. Dat mag natuurlijk niet, en daarom moeten we thans een paar voorbeelden beschouwen, waar nullen in t quotiënt voorkomen. 24 ) 73214 ( 3000 24 ) 73214 ( 3050 72000 5° 72 1214 3050 121 1200 12° 14 5 Het eerste voorbeeld behoeft geen toelichting, want 't is een deeling zonder eenige bekorting, maar over het tweede voorbeeld hebben we 't in deze paragraaf. Dat de 3 van het quotiënt 3 duizendtallen zijn, zien we onmiddellijk, als we even bedenken, dat de 72 onder het deeltal ook duizendtallen voorstellen. Zoo begrijpen we ook, dat er in het quotiënt nog 5 tientallen voorkomen, want de 120 en de 121 in de aftrekking zijn ook tientallen. Geen honderdtallen dus, en geen eenheden ; daarvoor in de plaats komen de beide nullen voor en achter de 5. Werktuiglijk kunnen we dat ook zoo doen : eerst gaat het 3 maal, want 3 X 24 = 72 ! dan blijft er 1 over, dat is 1 duizendtal, waarachter we de 2 honderdtallen voegen van het deeltal, zoodat we krijgen 12 honderdtallen; deelen we nu 24 op deze 12 honderdtallen, dan gaat dit .. O maal, zooals de schooljongensterm is, en inderdaad: van 12 honderdtallen kan niet 100 keer 24 worden afgenomen, of: het 24e deel van 12 honderd is minder dan 100; dan, na het schrijven van die o, voegen we de 1 van het deeltal achter de 12, en krijgen dan 121 tientallen, waarvan het 24e deel 5 tientallen is ; dan houden we over 1 tiental en 4 eenheden of 14 eenheden, en weer gaat het »o maal« : het 24e deel van 14 is minder dan 1. Zoo gaan we werktuiglijk deelen : telkens gaat er i cijfer van het deeltal achter de rest, en telkens vragen we : hoevaak ? Dat kan dan o maal zijn, om 't nog maar eens zoo te zeggen. Nog een deeling: 38 \ 1900076 / 50002 / 190 ^ w 76 o Omdat 5 X 38 = 190 is, gaat het 5 maal. Er blijft dan niets over; de rest is o. We moeten nu achter die rest de duizendtallen van het deeltal voegen, dus weer een o; 't gaat o maal, d.w.z. het quotiënt bevat geen duizendtallen. Ook geen honderdtallen, om dezelfde reden. Ook geen tientallen, want het 38e deel van 7 tientallen is o tientallen. Maar wel 2 eenheden, want 2 X 38 = 76- We hebben tot nog toe ondersteld, dat de lezer werkelijk kon vinden, hoeveelmaal een getal van een ander kon worden afgetrokken. ^Vinden" kan ieder 't ook. maar de een heeft daarvoor meer tijd noodig dan de ander. En wie 't niet direct ziet, of zich vergist, die kan 't altijd verbeteren, zoodra hij 't beter weet. Wie deelt zóó als we 't laatst aangaven, n.1. al de nullen weglaten en niet eerst elk deel van het quotiënt afzonderlijk opschrijven, heeft meer kans fouten te maken, dan hij, die alles volledig opschrijft, in 't bijzonder de deelen van het quotiënt. Schrijft men die deelen van het quotiënt alle voluit op, om deze later op te tellen, dan kan men desnoods een der cijfers van 't quotiënt verkeerd hebben, en toch het antwoord goed krijgen. B.v.: het gaat eerst 6000 maal. Men meent echter van 5000, vermenigvuldigt goed, trekt goed af, verrekent zich ook verder niet, en dan gaat het even later nog 1000 tnaal; men doet het werk in tweeën, wat in eenen had kunnen gebeuren. De deeling had b.v. zoo moeten zijn : 23\ 156561 / 6000 ' 138000 \ 800 18561 7 18400 6807 161 161 O § 41. Hoe vaak het gaat. maar dit kwam er : 23 \ 156561 / 5000 ' 115000 1000 41561 800 23000 7 18561 6807 18400 161 161 O Eerst verkeerd en toch eindelijk goed ! Maar anders wordt het, wanneer men het quotiënt direct in den juisten vorm opschrijft. Als dan de verschillende cijfers van het quotiënt achter elkaar komen, dan krijgt men, goed rekenende, eerst de 6, dan de 8, dan de o, dan de 7, maar wie in tweeën deelt, en eerst een 5 krijgt en daarna de 1, in plaats van direct 6, krijgt, in plaats van het goede antwoord, 6807, dit foutieve 51807. Wat is daartegen te doen ? We wijzen op twee dingen : Ten eerste: men moet zekerheid hebben, dat men den deeler zoovaak van het deeltal afneemt als mogelijk is. We geven dit voorbeeld : 26 ) 176982 ( 6807 Eerst gaan we 26 deelen op 176, 156 en 't gaat, naar we meenen, 6 maal. 209 Om te weten, of 't geen 7 maal kan, 208 vermenigvuldigen we 26 met 7, wat 182 182 geeft, dat is meer dan 176. Daarom 182 gaat het geen 7 maal. Dat er bij 176 O geen 7 X 26 is, blijkt bovendien nog aan de rest, die er overbleef, 20 n.1. Was deze rest grooter dan 26, dan, maar dan ook alleen, mochten we 7, of meer, in 't quotiënt schrijven. Iets dergelijks zien we ook, als we in de meening verkeerden dat van 176 geen 6 X 2^> maar slecht 5 X 26 kon worden afgetrokken, want dan kwam er dit: 20 J 176982 [ 5 _ 130 46 De rest is 46, dus grooter dan 26. Daarom is het cijfer 5 niet goed ; er komt in 't quotiënt een 6, niet minder, maar ook niet meer. Ten tweede: of we het eerste cijfer van het quotiënt vaststellen op een 5 of op een 6, in elk geval zijn het duizendtallen, want zoowel 130 als 156 zijn duizendtallen. Achter de 5 of de 6 mogen we dus nooit meer (maar ook niet minder) dan 3 cijfers plaatsen, n.1. een voor de honderdtallen, een voor de tientallen, een voor de eenheden. Maakten we echter de bovenstaande deeling af, dan kregen we dit: 26 I 176982 ( 51807 130 46 26 209 208 182 182 o een quotiënt, dat achter de 5 nog 4 cijfers heeft, en dat dus niet goed kan zijn. Dat bleek ook reeds, toen we tegen den rerel in, geen cijfer van het deeltal behoefden >bij te halen" : de rest, 46, kon door 26 gedeeld worden, en dat kan anders nooit, dat mag nooit kunnen. Dit in 't voren bepalen hoeveel cijfers er nog moeten komen achter het eerste cijfer van 't quotiënt is ook wel een goed middel om te voelen, dat een of meer nullen in 't quotiënt vergeten zijn. Moet het antwoord b.v. 3 cijfers bevatten achter het eerste cijfer, moet het dus b.v. weer zijn 6807, en men vindt, al deelende 687, dan bedenkt men dit: er moesten 3 cijfers zijn, want de 6 zijn duizendtallen, — er zijn er maar 2, daarom is de deeling niet goed. § 42. Gaat het 5 maal P of meer r of vlinder Zij, die nog niet veel gedeeld hebben, kunnen er soms geweldig naar zoeken, hoe groot het cijfer van het quotiënt moet zijn. Met een oogopslag echter moet men leeren zien, of 't cijfer klein is, bv. 1, 2 of 3, of groot, bv. 7, 8 of 9, of wel ongeveer 5. En ziehier hoe dit gaat: Men bedenke, dat 5 maal een zeker getal precies de helft is van 10 maal dat getal; met 5 vermenigvuldigen is dus geen kunst. Zoo is : 5 X 26 = 13 tientallen, want de helft van 26 is 13 ; 5 X 247 = ruim 123 tientallen, dus ruim 1230; 5 X 846 = 423 tientallen, dus 4230; 5 X 158 = 79 tientallen, dus 790, enz. In bovenstaande deeling (zie § 41), waar eerst 26 moest gedeeld worden op 156, ging het dus minstens 5 maal, want 156 is meer dan 130. Later ging het heel wat meer dan 5 maal, want 209 is veel grooter dan 130 : en daarna ging het weer niet zoo vaak, want 209 is meer dan 182 (zie telkens het laatste voorbeeld in §41). Zoo kijke men telkens goed uit zijn oogen, of het 5 is, of véél meer, of wat minder. We voegen hier nog een opmerking aan toe. Het gebeurt dikwijls, dat twee resten ongeveer gelijk zijn. In dat geval worden natuurlijk de cijfers van het quotiënt ook gelijk of ongeveer gelijk. Zie hier een voorbeeld. Eerst gaat het 9 maal, want 128 J 11517312 ( 89979 8 X 128 = 1024, en dat is minder 1024 dan 1151. 1277 fan moeten we 128 deelen op 1152 I277, op veel meer dus dan op 1253^ 1024; 't moet 9 maal gaan. 1152 I^an op 1253 ;'t gaat weer 9 maal, 1011 want 9 X I2& = 1152 ; we rekenen 8g6 dit natuurlijk niet opnieuw uit. Dan ~i ïc2 deelen we 128 op 1011 ; 't gaat geen 1152 8 maal, want we weten reeds: 8 X q 128 = 1024; 7 maal gaat het dus. Ten slotte hebben we nog eens weer 128 te deelen op 1152. Direct zien we, dat het 9 maal gaat. § 43. Heb ik goed gedeeld? Inderdaad, heb ik goed gedeeld ? Dat mag nu wel eens precies worden nagegaan. Het middel om dit te onderzoeken, is gelukkig heel eenvoudig, en ook zeer gemakkelijk te begrijpen. Deelen was immers : ten eerste een hoeveelheid in eenige gelijke deelen verdeelen en de grootte van elk deel bepalen (verdeelingsdeeling), uf ten tweede een hoeveelheid in eenige gelijke deelen verdeelen en het aantal deelen bepalen (verhoudingsdeeling). Dit bedenkende kunnen we zeggen : als we de grootte van elk deel, het quotiënt dus, bepaald hebben, dan moet de hoeveelheid zelve, dat is het deeltal, gelijk zijn aan het product van deeler en quotiënt (verdeelingsdeeling), en dit is ook zoo, als deeler en quotiënt verwisseld worden (verhoudingsdeeling). In bovenstaand vraagstuk ( § 42) moet dus 128 X 89979 ge''jk z'jn aan 11517312, en als na vermenigvuldiging van 128 met 89979 blijkt, dat werkelijk het deeltal verkregen wordt, dan is de deeling goed, tenzij we ons bij het vermenigvuldigen en bij het deelen beide malen op dezelfde wijze vergist hebben, en dat deze vergissing ook beide malen dezelfde gevolgen had. Dit alles kan, maar de waarschijnlijkheid is zeer gering. Uit deze »proef« op de deeling volgt ook onmiddellijk, dat men door een deeling kan onderzoeken of een vermenigvuldiging goed is (zie § 25). Men deelt het product door een der factoren : het vermenigvuldigtal of den vermenigvuldiger; het quotiënt moet gelijk zijn aan den anderen factor van het product. Xog een opmerking over de proef op de deeling. De rest is niet altijd O, maar dikwijls een meer of minder groot getal. Dat getal wordt dan opgeteld bij het product van deeler en quotiënt, en deze som geeft het deeltal. Zoo : Deeling. 121 8627 | 718 84 22 12 "107 96 11 Proef. 718 12 «436 7180 86l6 I I 8627 § 44. Deelen uit het hoofd. Deelen uit het hoofd kan ook, maar lang niet altijd. Wanneer het kan, dat leze men maar eens na in de paragrafen 6, 11 en 30, waarin ook iets over het rekenen uit het hoofd gezegd wordt, want precies hetzelfde geldt ook nu weer. Het blijkt wel uit de voorbeelden, die we er van geven. 1. De prijs van 4. K.G. suiker is 112 cent. Wat kost 1 K.G. ? We zeggen nu zoo : het 4e deel van 1 gulden is 25 cent; > » » >12 cent » 3 cent; 1 K.G. kost dus 25 cent -f- 3 cent = 28 cent. Het deeltal wordt nu niet gesplitst in 80 -j- 32, maar in 100 -(- 12. Waarom nu liever dit laatste dan het eerste? Men probeere 't zich zelf eens duidelijk te maken. Zoo deelen we ook : 4 op 660; het 4e deel van 600 = 150, van 60 = 15, samen 165 ; 5 op 265; het 5e deel van 250 = 50, van 15 = 3, s&men 53; 8 op 1080; het 8e deel van 1000= 125, van 80= 10, samen 135. 2. Hoeveel stuivers zijn gelijk aan jój cent? 't Deeltal is 36 dubbeltjes en 1 stuiver, of 73 stuiver. Zoo ook: 635 door 5 ; dit is 2 X 63 en 1 = 127 ; 815 door 5 ; dit is 2 X 81 en 1 = 163 ; 860 door 20; dit is 8 X 5 ei1 3 — 43 ; 1640 door 20; dit is 16 X 5 en 2 = 82 ; 375 door 25 ; dit is 3 X 4 en 3 = 15; 8625 door 25; dit is 86 X 4 en 1 == 345 ! 2250 door 50; dit is 22 X 2 en 1 = 45 '> 8800 door 50 ; dit is 88 X 2 = 176 ; 16250 door 125; dit is 16 X 8 en 2 = '30! 33750 door 125; dit is 33 X 8 en 6 = 270; 33000 door 250; dit is 33 X 4 = !32'» 88500 door 250; dit is 88 X 4 en 2 = 354'. enz. De verklaring is eenvoudig. Omdat 1000 = 4 X 25°> 's b.v. 88000 = 88 X 4 keer 250 = 352 X 25°; bovendien is 500 = 2 X 25°> zoodat 88500 gelijk is aan 354 X 25°- Die deelers 5, 20, 25, 50, 125. 250, enz., zijn alle factoren van »mooie« getallen : dit merken we nog even op. Om zulke deelingen te kunnen uitvoeren, behoeven ze niet altijd »op« te gaan. In plaats van 8625 kon er in bovenstaande voorbeelden ook evengoed 8640 staan ; we hadden dan op dezelfde wijze gekregen : 8640 gedeeld door 25 is 345 ; de rest is 15. 3. Wat is het 16e deel van 1584 r Gewoon rekenende, splitsen we 1584 in deze deelen: 1440 -|- 144; uit het hoofd echter in deze : 1584 = 1600 — 16. Dan zeggen we: het 16e deel van 1584 is 100 — 1 = 99. Zoo is ook : 1386 : 7 = (1400 — 14) : 7 = 200 — 2 — 198. ') 495 : 5 = (500 — 5) : 5 = 100 — 1 = 99. 996 : 4 = (1000 — 4) : 4 = 250 — 1 = 249. 1782 : 9 = (1800 — 18) : 9 = 200 — 2 — 198, enz. Maar we herhalen wat we reeds vroeger zeiden, de een kan in dit opzicht veel, de ander weinig, 't Is echter zeer nuttig, zich op deze wijze zooveel mogelijk te oefenen, want men krijgt daardoor een veel beter inzicht in de getallen. 1) Zie over de haakjes § 45. § 45. Haakjes. Wie examen doet, ontmoet vormen met haakjes, waarin gedeeld moet worden. Ziehier verschillende gevallen : Moet een som gedeeld worden door een zeker getal, dan plaatst men die getallen tusschen haakjes : (16 + 28 + 37 -f 34) ; 4. Dat wil zeggen : deel de som van 16 -f- 28 -|— 37 -(- 34 door 4. Hetzelfde geldt voor een verschil: (828 — 739) ; 9 beduidt: deel 9 op het verschil van 828 en 739. In deze beide gevallen kan men ook eiken term van de som of aftrektal en aftrekker door den deeler deelen, en dan de quotiënten optellen — of aftrekken — maar op de aangegeven wijze kan men natuurlijk vlugger werken, omdat men slechts eenmaal behoeft te deelen. Moet een product gedeeld worden door zeker getal, dan kan men dat product tusschen haakjes plaatsen, maar noodig is 't niet. Immers (28 X 48) : 4 = 28 X 48 : 4- De eerste vorm beduidt: vermenigvuldig 48 met 28, en deel het product door 4. De tweede beduidt precies hetzelfde. De deeling door 4 kan zelfs ook eerst worden uitgevoerd, en 't quotiënt kan vermenigvuldigd worden met 28; 't antwoord is steeds gelijk, namelijk 28 X 12 = 336. Men kan ook 28 door 4 deelen, en de uitkomst, 7, met 48 vermenigvuldigen : 't blijft alles hetzelfde. We zeggen : 28 X 4« : 4 = (28 : 4) X 48. Waarom zou dit zoo zijn? Wil men echter 28 deelen door het product van 4 en 48, dan moet men dit product tusschen haakjes schrijven op deze wijze: 28 : (4 X 48). Datzelfde geldt ook voor andere vormen. Men heeft b.v. ioo : (24 : 2) = 100 : 12. 80 : (7 — 2) = 80 : 5. 70 : (3 + 4) = 70 : 7Wat tusschen haakjes staat, moet eerst uitgevoerd worden ; 't hoort bijeen. § 46. Vragen en opgaven. 1. Spreek de volgende getallen uit: 68307902 • 3050678 2000000000 143265867 28463841 3085679841 324616284 32000006 2684673410 200800609 1500000006 123456789 2. Waarom is het van belang, dat in de meeste landen hetzelfde talstelsel is aangenomen ? 3. Waarom zal men in het 5-tallig stelsel nooit 73 schrijven ? (Zie § 2). 4. Zoek voorbeelden, waaruit blijkt, dat soms heel groote getallen noodig zijn ? 5. Waarom moet men bij het optellen en aftrekken steeds rechts beginnen ? 6. Waarom bij het deelen niet ? 7. Bij het vermenigvuldigen begint men ook rechts, maar zou men ook links kunnen beginnen : a) met het oog op het vermenigvuldigtal r £;»»»» den vermenigvuldiger, zoo deze uit meer dan één cijfer bestaat ? 8. Als de som der eenheden van een optelling 187 is, wat moet men dan opschrijven, 7 of 87, en welk cijter moet bij de tientallen gevoegd worden ? 9. Probeer u eens goed rekenschap te geven van de waarheid, dat men de getallen op willekeurige wijze bijeen mag voegen en in groepen verdeelen. 10. Tracht eens precies in woorden op te schrijven, wat een »mooi« getal is. 11. Als ge, een groote aftrekking makend, middenin eens b.v. 15 honderdtallen overhoudt, wat schrijft ge dan op : de 5 of de 1 ? 12. Waarom is het product van twee oneven getallen altijd oneven ? 13. Waardoor is het product van twee even getallen altijd deelbaar ? Schrijf zelf eenige voorbeelden op, en zie 't dan. Probeer daarna aan te toonen dat het zoo wezen moet. 14. Waardoor is het product van twee even getallen, die op elkaar volgen, steeds deelbaar ? Handel als voren. 15. Waardoor is het product van drie op elkaar volgende getallen steeds deelbaar ? Handel als voren. Let op twee verschillende factoren. 16. Als men met 12 moet vermenigvuldigen, doch men vergeet in te springen, waarmee vermenigvuldigt men dan eigenlijk? Door het inspringen krijgt de ,,i" de waarde van „een tiental", doch als men het inspringen vergeet, dan .... 17. Als men met 768 moet vermenigvuldigen, doch het inspringen verzuimt, waarmee vermenigvuldigt men dan ? 18. Op hoeveel nullen eindigen de volgende producten? 280 X 360 50000 X 270 500 X 680 200 X 846000 260 X 3600 3000 X 50000 19. Bedenk eens een vraagstuk, waarin dit gedurig product voorkomt: 82 X 16 x 25 X 12. 20. In welke volgorde zoudt ge de factoren vermenigvuldigen van de volgende gedurige producten : 33 X 28 X 25 X 16 72 X 4 X 37 X 5o 8 X 72 X 125 X 14 24 X 25 X 26 X 27 2X3X4X5X6X7X8 21. Tracht eens duidelijk te maken, dat 12 X 5° = 6 X IOO> en maa'< daarbij alleen gebruik van paragraaf 28. 22. Als men een gedurig product deelt door het product van 2 of meer factoren, is de rest o. Waarom ? 24. Geldt de proef op de aftrekking (zie § 10) ook in een ander dan het 10-tallig stelsel ? 25. Schrijf in cijfers: 12 miljoen 6 duizend 157 324 miljoen 672 duizend 50 duizend 50 200 duizend 2 honderd 20 IOOO biljoen 2000 miljoen 300 duizend 25. 26. Hoeveel honderdtallen kunt ge vormen van de volgende getallen ? 386279840 20000000 16562073 38006270 386579080 26804081 27. Spreek de volgende getallen uit: a) een getal bestaande uit 16 vijven ; b) » » » » 12 zessen ; c) ■» » > » 20 negens ; d) » » » » 8 eenen, gevolgd door 8 zessen. 28. Schrijf in cijfers : 12 duizend 12 honderd 12 eenen 150 duizend 150 honderd 1 50 tienen 1 50 eenen 72 duizend 7200 tienen 630 miljoen 630 tienduizendtallen 630 honderden 630 eenen. 29. Waarom plaatst men bij het optellen en aftrekken de eenheden onder de eenheden ? 30. Hoe duidt men aan, dat de som van 24 en 12 verminderd moet worden met het verschil 29 en 24 ? 31. Wanneer kan men in een aftrekking ook wel aan den linkerkant beginnen? En wanneer in een optelling? 42. Hoe duidt men door haakjes aan, dat de som van 12 en 15 moet vermenigvuldigd worden met het verschil van 26 en 10 ? 33. Iemand vermenigvuldigt een getal met 25, maar vergeet «in te springen» en krijgt tot antwoord 686. Hoe kunt ge aan dit antwoord zien, dat er een fout is gemaakt? Wat is het juiste antwoord ? 34. Spreek uit het grootste getal van 12 cijfers. 35. Kan men aan een deeling ook onmiddellijk zien of het quotiënt grooter of kleiner is dan 10, dan 100? 36. Wanneer is bij een deeling het deeltal gelijk aan het product van deeler en quotiënt ? 37. Waarom is de rest van een deeling altijd kleiner dan de deeler ? 38. Hoe duidt men aan, dat het quotiënt van 192 en 12 gedeeld moet worden door het quotiënt van 96 en 12? 39. Uit hoeveel cijfers bestaat het product van 2 getallen, elk bestaande uit 3 cijfers ? 40. Uit hoeveel cijfers bestaat het product van 2 getallen, waarvan het eene uit 2, het andere uit 4 cijfers bestaat ? Schrijf eerst de kleinste getallen van 2 en van 4 cijfers en vermenigvuldig ; daarna de grootste. § 47. Sommen. 41. Tel de volgende getallen op: «) 57987 + 3264 + 17829 + 384698 = b) 2385 -f 16596 + 432784 + 3682 = c) S8 + 7898 + 96587 -j- 46982 = d) 78264 + 49389 -f 19S467 + 268467 = e) 368728 58784 + 26586 + 683678 = ƒ) 84167 4~ 109846 4" 484 + 287878 = g) 364856 4- 26548 4- 98765 4- 87654 4- 74659 4- 46596 426469 4- 64697 4- 46979 4- 69799 + 97993 4- 79932 = //) 700873 4- 873076 4- 730768 4- 307687 4- 768732 4- 687327 4983264 4- 832649 4- 326498 4- 264986 4- 6498674-77 = Schrijf die getallen onder elkaar. Tel ze op van onderen naar boven en omgekeerd. Verdeel de laatste 2 in groepen, en tel eerst elke groep van getallen afzonderlijk op. 42. Tel de volgende getallen op : 2, 4, 8, 16, 32, 64, enz. tot 15 getallen. Elk volgend getal is dus tweemaal zoo groot als het vorige. 43. Tel op: 3, 9, 27, 81, enz. tot 10 getallen. Elk volgend getal is dus driemaal zoo groot als het vorige. 44. Tel op : 5, 25, 125, enz. tot 8 getallen. Elk volgend getal is vijfmaal zoo groot als het vorige. 45. Tel op : 4096, de helft, de helft, de helft, de helft, de helft, de helft, de helft. Elk volgend getal is dus de helft van 't vorige. 46. Tel op: 15625, het vijfde deel, id., id., id., id. Elk volgend getal is het vijfde deel van 't vorige. 47. Trek af: 68473 28647 369845 38657 19836 169879 268462 26436 346000 169769 19867 169847 364800 20007 208006 198098 16984 190880 48. Trek af: 38467 — 19841 = 28673 — 19650 = 36846 — 7784 = 16984 — 382 = 16468 — 3827 — 308964 — 16467 = 98967 — 19084 = 300000 — 72698 = 30656 — 20871 = 100000 — 30846 = 90890 — 30641 = 700084 — 302698 = Schrijf deze getallen eerst onder elkaar. 49. Bereken op verschillende wijzen : 687324 — 384617 — 184627 = 300867 — 142349 — 131684 = 258467 — 113277 — 123684 = 600867 — 213684 — 306986 = 268471 — 78341 — 152984 = 368417 — 777 — 88888 = 50. Trek 10 maal af: 865790 32640 1580980 8098460 86576 3264 158098 809846 De bedoeling is deze : trek telkens den aftrekker weer van het verschil af, tot maal achter elkaar. Er blijft ten slotte niets over. 51. Vermenigvuldig : 68 X 784 = 368o X 2658 = 32 X 6890 = 1647 X 3264 = 160 X 3264 = 3807 X 4600 = 295 X 2008 = 7200 X 7200 = 52. Vermenigvuldig: 36 X 25 X 72 = 36 X I25 X 33 = 34 X 68 X 36 = 56 X 625 X 72 = 109 X 23 X 77 = 40 X 272 X 25 = 27 X 37 X 824 = 16 X 52 X 5o = 53. Vermenigvuldig: 244 X 613 X 708 X 241 = 314 X 208 X i69 X 306 = 607 x 308 X 209 X 413 = 382 X 641 X 27 X 370 = 54. Vermenigvuldig: 2500 X 36° = 40000 X 3°° — 7840 X 2640° = 30000 X 20000 = 27000 X 37°°° = 6000 X 700000 == 3O00 x 26000 = 360° X 360°° = 55. Vermenigvuldig: 7008 x 3607 = 2080 X 8020 == 2009 X 8706 = 4060 X 3°6° = 7008 x 780° = 762000 x 2008 = 6300 X 30600 = 40008 X 3°°°7 == 56. Bereken het aantal minuten van een eeuw, als er 24 schrikkeljaren onder zijn. 57. Hoeveel seconden telt Januari ? 58. Neem het verschil tusschen 320 X 9^5 en 24 X 3602 vierhonderd acht en veertig maal. 59. Hoeveel is 10001 X 10007 X 10013 minder dan 10003 X 10009 X i°oi5? 60. Hoeveel kwartjes zijn samen: 8755 stuiver + 21 rsd. + 3248 guldens -f~ 78565 dubbeltjes? 61. Hoeveel stuivers zijn 386 kwartjes -j- 2872 dubbeltjes -j617 rsd. ? 62. Hoeveel dubbeltjes zijn 78532 kwartjes + 1419 gW. + 7856 rsd. ? 63. Hoeveel centen zijn 3865 kw. — 386 rsd. ? 64. Hoeveel kwartjes zijn 8475 rsd. — 423700 stuivers? 65. Bereken het 50e deel van 27 rsd. zonder te deelen, het 5e deel van 13 gld. zonder te deelen, het 4e deel van 721 gld. zonder te deelen. Het 50e deel van i rsd. is i stuiver, dus .... enz. „Practisch Rekenonderwijs". 6 66. Deel 362784 door 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. I3eel 478736 door 12, 18, 24. 30, 63, 42. Deel 387784 door 348, 648. 738, 948. Neem telkens de proef op de som. Zie § 43. 67. Hereken: 84637 -f- 38265 — 116986 116 Tel de eerste 2 getallen op; trek van de som 116986 af, en deel ket verschil door 116. 68. ( 24 X 3386 — 12 X 6768 ) X 3896 15584 Vermenigvuldig 24 met 3386, dan 12 met 6768, trek de producten af; vermenigvuldig de uitkomst met 3896 en deel dat* door 15584. 69. ( 48679 — 32658 — 14168 + 28679 ) x 4390 7633 Hereken eerst de waarde van den vorm tusschen haakjes ; vermenigvuldig dan met 4390, en deel ten slotte de uitkomst door 7633. I 204 X_225 | j 27 _X '57 | 7 ' | 888 : 74 ) ( 5652 : 12 ) - Vermenigvuldig eerst 204 met 225 ; deel dan 888 door 74 ; en deel ten slotte de eerste uitkomst door de tweede. Doe met den laatsten vorm evenzoo : eerst 27 X *57 en/- l)eel dan de uitkomst van den eersten vorm door die van den tweeden. 71. Bereken het product van 54 X 75 X 84 X 64 en deel het antwoord door 162, 576, 675, 528, 378, 448, 192, 336, 216, 525. 72. België telt 7074910 inwoners. In 1905 werden verbruikt 15947876 H L. inlandsch en 203784 H.L. buitenlandsch bier, 339448 H.L. wijn, 12281 H.L. buitenlandsclie en 452207 H.L. inlandsche .brandewijn. In 1905 werden verrookt: 10178971 K.G. buitenlandsche en 482207 K.G. inlandsche tabak. Bereken de kosten voor iederen Belg gemiddeld, als 1 H.L. bier f 14, 1 H.L. wijn f 59 ; 1 H.L. brandewijn f 65, en 1 K.G. tabak 72 cent kost. 73- Lijstje betreffende het aantal spillen in de k .toenspinnerijen en weefgetouwen in de katoenweverijen te Enschede. AANTAt* SPILLEN R1NI>E iooi, KATOENSPINNERIJEN. _ BI NU» »9°4* IQ°5 /-ra i. Van Heek & Co. 61786 60638 2 Blijdenstein & Co. 32172 29568 3. B. W. en H. ter Kuile 18500 18500 4. Gebr. Van Heek 21300 21300 5. N. V.Ensch.Katoenspinn. 20000 20000 6. N. V. »I)e Bamshoevec 32600 32600 7. G. J. v. Heek en Zonen 41000 40000 8. Gerh. Jannink & Zonen 26000 17000 2 53358 239606 AANTAL WEEKCiE- KATOENWEVE RIJEN. TOITWEN 1905. EINDE X904. 1. Van Heek & Co. 2158 1852 2. Blijdenstein & Co. 586 532 3. Gerh.Jannink & Zonen 1080 885 4. Stoomweverij Nijverheid 270 264 5. Ter Kuile Cromhoff 244 238 6. J. F. Scholten & Zonen 675 675 7. Gebr. Van Heek 468 4-68 8. N. ter Kuile & Zonen 1056 1016 9. Mij. voor Text.-Industrie 80 80 10. E. ter Kuile & Zoon 47' 411 11. N. J. Menko 680 Öio 12. S. J. Menko & Zonen 364 33^ 13. Serphos & Zonen 215 146 14. M. van Dam en Zonen 200 200 15. G. J. van Heek & Zonen 1040 9°2 9587 8615 a. Ga na of de optellingen goed zijn. b. Bereken de toename voor elke fabriek, en tel de verschillen bij elkaar op. De som van deze verschillen, vermeerderd met het eindcijfer van 1904, moet het cijfer van 1905 geven. c. Indien op elk weefgetouw per week f 2.85 werd ver- diend, hoeveel bedroeg dan het arbeidsloon in het jaar 1905 op alle weverijen te zamen ? 74. Staatje betreffende de Rijksmiddelen over de eerste zes maanden van 1905 en 1906. MIDDELEN. j I QOÖ I 9O 5 1. Grondbelasting j ƒ 8.050.808.02 ƒ 7.927.140.30 2. Personeel » 3.952.063.86J » 3.787.900.24 3. Bedrijfsbelasting » 3.322.484.32 » 2.942.168.73}, 4. Vermogensbelasting » 2.563.618.46.] » 2.407.217.51 5. Recht op de mijnen 3 910.23 6. Recht op den invoer * 6.157.549.42^ » 5.726.411.37 7. Formaatzegel » 11.907.00 » 11.193.75 8. Suiker » 10.308.071.46 » 9.133.974.70J 9. Wijn ; » 887.250.88 » 827.117.52 10. Gedistilleerd » 12.587.994.07 » 12.207.102.08 J 11. Zout » 803.317.37 > 785.364.87 12. Bieren en azijnen » 686.865.33 » 661.852.84J 13. Geslacht | » 2.311.822.98J j» 2.080.202.43^ 14. Belasting goud, zilver ; » 211.916.03^ s 197.296.27^ 15. Essaailoon ( » 328.09 » 335-28 16. Zegelrechten j » 2.566.731.07 » 2.376 995.11- 17. Registratierechten j » 3.543.873.48 j » 3.334.801.15 18. Hypotheekrechten : » 389.220.52^ j > 365.724.03^ 19. Rechten van successie | » 5.991.257.41 » 6.890.759.74^ 20. Domeinen » 957-738.29^ » 937.195.21 21. Posterijen > 6.509.132.11 » 6.258.216.5i-J 22. Rijkstelegrafie » 1.448.912.00 » 1.330.418.00 23. Staatsloterij » 402.307.57 » 402.783.81 24. Jacht en visscherij » 34.515.00 » 35.232.00 25. Loodsgelden | » 1.317.340.72 » 1.189.661.48i Totaal j ƒ 75.017.025.49^ ƒ 71.817.975.21 a. Ga na of de beide optellingen goed zijn. b. Hoe groot is het bedrag der posten van minder dan 1 miljoen (post 7, 9, ii, enz.)? c. Hoe groot is het bedrag der posten van meer dan i miljoen (post i, 2, 3, 4 enz.)? d. Tel beide uitkomsten op. e. Hereken ook de toe- en afname van de inkomsten, post voor post. Dat zijn 25 aftrekkingen, of eigenlijk 24. Daaruit is ook het verschil der totalen onderaan te berekenen. Hoe ? Zie § 12. Doe dat. 75. Vroeger kwam op de begrooting voor een Bijdrage van Nederlandsch-Indië aan de middelen tot dekking van 's Rijks uitgaven". Die bijdragen bedroegen: In 1849: f 10.951.394.32J I" 1864: f 22.682.477.95 » 1850: » 7.200.000.00 » 1865: » 34.038.758.63i » 1851: » 6.582.698.15^ » 1866: » 32.690.964.76J » 1852: » 4.700.000.00 » 1867: » 14.856.334.63 » 1853: » 4.769.399.34 » 1868: » 10.671.359.39 > 1854: » 10.644.140.97 > 1869: > 13.475.000.00 ï 1855: » 14.547.850.62 » 1870: » 13.007.749.00 » 1856: > 19.531.700.23J » 1871: » 10.671.685.651 » 1857: » 31.058.421.20 > 1872: » 20.395.586.00 » 1858: » 19.255.637.28J » 1873 : » 10.427.695.00 » 1859: » 3.800.000.00 » 1874: » 10.544.579.00 » 1860: » 22.559.171.43 > 1875: » 23.111.685.00 » 1861 : » 23.194.720.95 » 1876: > 2.700.000.00 » 1862: » 10.067.470.01 J, » 1877: » 2.300.000.00 > 1863: v 30.649.166.36J, Totaal f 441.185.645.91^ Opgaven: a. Ga na of het totaal goed is berekend. b. Bereken het gemiddelde over elk jaar. c. Bereken de jaarlijksche toe- of afname. d. Hoe groot is het gemiddelde bedrag van 1849—1858 r e% id. » 1859—1868? ƒ. id. » 1869—1877? g. Het gemiddelde van deze 3 »gemiddelden komt overeen met het gemiddelde, zooals dat gevonden werd in b, — is 't niet ? h. Hereken dit nog eens op een andere manier: eerst het gemiddelde bedrag van 1849—1853, dan » » » » 1854—1858, dan » » » » 1859—1863, dan » » » » 1864—1868, dan > » » » 1869—1873, dan » » » » 1874—1877, en deel de som van deze 6 antwoorden door 6. 1 let antwoord klopt immers met dat van opgave /> en g ? § 4N. Het oplossen van vraagstukken. De vraagstukken, welke we in de vorige paragraaf gaven, waren in zooverre gemakkelijk, dat ze geen oogenblik nadenken kostten om te beslissen wat er eigenlijk gebeuren moest. Want het was maar altijd: Tel op: Trek af: Vermenigvuldig: Deel: of de vorm der opgave was zoo, dat toch een van deze 4 hoofdbewerkingen direct kon worden toegepast. Nu komen er echter in de rekenboeken een groot aantal vraagstukken voor, waarin ook niets anders behoeft te gebeuren dan een der bovengenoemde bewerkingen, maar men staat dikwijls verlegen, wat men doen moet, Ziehier een voorbeeld. Over ,6 jaar is iemand J maal zoo oud als nu. Hoe oud is hij nu Wat moet er nu met die beide getallen gebeuren, we bedoelen met de 36 en de 3 ? Optellen ? aftrekken ? vermenigvuldigen ? deel en ? We zouden dat kunnen probeeren, door zoo te zeggen : ie. 36 4" 3 == 39 i 's hij dus 39 jaar? Dan is hij over 36 jaar al 75, maar dat is niet gelijk aan 3 X 39- Optellen moeten we dus niet 1 2e. 36 — 3 = 33; is hij dus 33 jaar? Dan is hij over 36 jaar al 69, maar dat is niet gelijk aan 3 X 33- Aftrekken moeten we dus niet. 3e. 36 X 3 = 108 i 's h'j dus 108 jaar .5 Neen, zeker niet, want dan zou hij over 36 jaar 3 X 108 = 324 moeten zijn. Vermenigvuldigen moeten we dus ook al niet! Dan zeker deelen 1 Zie maar 4e. 36 : 3 = 12; is hij dus 12 jaar ? Dan moet hij over 36 3 X 12 zÜn> maar dat is niet zoo, want 36 -f- 12 = 48 ! Zoodat er noch opgeteld, noch afgetrokken, noch vermenigvuldigd, noch gedeeld moet worden. En toch moet de som gemaakt worden ! Om zoo'n som te maken, moet men bqginnen met zich eens goed voor te stellen, wat er eigenlijk staat. Driemaal zoo oud worden, wat is dat? Wie nu 8 is, is dan 24; wie nu 10 is, is dan 30; wie nu 15 is, is dan 45 ; enz. En nu vragen we: Hoe lang duurt het, voor iemand van 8 jaar er 24 is: Immers 16 jaar 1 Hoelang, voor iemand van 10 jaar er 3° 's' Immers 20! Hoelang, voor iemand van 15 jaar er 45 is.' Immers 30! Hoelang, voor iemand van 20 jaar er 60 is? Immers 40! Zie die getallen eens aan ! Zijn de voorste niet de helft van de laatste? Zonder twijfel : 8 is de helft van 16, 10 van 30, 15 van 30, 20 van 40, — en als we dit verschijnsel onder woorden brengen, dan moeten we dit zeggen : a) het eerste getal is de leeftijd van thans; b) het derde segt hoe lang het duurt voor men 3 maal zoo oud is; c) het eerste getal is de helft van het laatste. Komen we nu terug op ons vraagstuk, dan lezen we : Over jaar, dat is: het duurt nog 36 jaar. Dat is dus wat we noemden onder b. En dan : hoe oud is hif nu.- Dat is wat we in a bedoelden. En nu zegt c ons hoe de som gemaakt moet worden : wc moeten 36 deelen door 2. Dus toch deelen! maar niet door 3. Onze «iemand» is thans de helft van 3^> of '8 jaar oud. Dat dit waar is, kunnen we onderzoeken, en wel zoo: Over 36 jaar is hij 18 -|- 36 = 54, en dat is 3 X l8- Vatten we nu de geheele redeneering in 't kort samen, ckm hebben we dit: A.ls iemand ? maal zoo oud wordt als nu, dan duuii dit nog dubbel zoo veel jaren, als hij thans is. Omdat het 36 jaar duurt, is hij thans 18. De vraagstukken uit een rekenboek, en op examens ook, worden op deze wijze opgelost, zooals we zeggen. Om de som uit te rekenen, gaan we 36 deelen door 2 : 2 ( 36 ( 18 maar wie het vraagstuk wil maken, wil oplossen, moet opschrijven, in 't kort ten minste, wat de aanleiding was om zoo te rekenen. Hij moet redeneeren ; het eene gezegde van hem moet volgen uit het vorige, en er mag niets aan ontbreken. Dit noemt men de som beredeneerd oplossen, en dat is geen gemakkelijk werk. Nu nog een voorbeel'd: H heeft p7 gld. en betaalt een schuld aan T, die 39 gld. heeft. Na de voldoening der schuld verhoudt zich hun geld als 7 tot 6. Hoe groot was de schuld r Eerst een opmerking : Hun geld verhoudt zich als 7 tot 6 wil zeggen : H heeft zoovaak 7 gld. als T 6 gld., H kan zooveel stapeltjes van 7 gld. maken als T stapeltjes van 6 gld. En nu redeneeren we zoo: a) H heeft 97 gld., T heeft 59 gld. Dat staat in de som. b) Als ze elkaar geld betalen, wordt het geld, dat ze samen hebben, niet minder of meer. Hoeveel hadden ze samen ? 97 gld. + 59 g'd. = 156 Sld- c) H heeft daarvan zoovaak 7 gld. als T 6 gld. Nemen ze elk een stapeltje geld, en leggen ze die op elkaar, dan is dat stapeltje 13 gld. Nu is 156 gld. = 12 X '3 gld., dat is: ^stapeltjes van 13 gld. Daarvail komt H telkens 7 gld. toe, in't geheel dus 12 X 7 gld- = 84 gld., en T 12 X 6 = 72 gld. dj H had 97 gld., hij betaalt een schuld en houdt 84 gld. over; de schuld was dus 97 gld. — 84 gld. = 13 gld. Daarom krijgt T ook 72 gld., want 59 gld. -)- 13 gld. = 72 gld. De oplossing is nu zoo .- Ze hebben samen gj gld. -j- gld. = 136 gld. Van elke ij gld. bezit H 7 gld. en T 6 gld., van ij6 gld. = 12 X 13 gld; heeft H dus 12 X 7 gld. = enz- ^us ^ getallen met de 1 vooraan, 6 met de 2, 6 met de 3 en 6 met de 4 vooraan, in t geheel dus 24 getallen. Schrijf ze alle en tel ze dan op. Of kunt ge begrijpen, dat de som gelijk is aan 60 duizenden -f* 6° honderden 60 tienen -{■ 60 eenen ? 99. Twee kippen legden in een jaar samen 250 eieren. Had de eene er 12 meer gelegd, en de andere 19 minder, dan was de verhouding tusschen het aantal eieren van elke kip als 4 tot 5* Hoeveel heeft elke kip gelegd ? Zie no. 80 en no. 94. 100. Iemand heeft aan 4 personen geld geleend, aan A zooveel maal f 3 als aan B f 2; aan B zoovaak f 3 als aan C f 2 ; aan C zoovaak f 3 als aan D f 2. Als het uitgeleende bedrag in 't geheel f 195 bedraagt, hoeveel is elk dan schuldig? De hoofdzaak bij deze soort van sommen is, dat men zich de zaken heel goed voorstelt. Ziehier een begin : Aan A zoovaak f 3 als aan B f2, „ B „ f 3 „ „ C f 2. enz. Nu zijn zulke sommen alleen uit te rekenen, als er b.v. staat: Aan A zoovaak f 10 als B f 9 als aan C f 8 enz. Dan kunnen we, bij 't werkelijk verdeelen, aan A eerst f 10 geven, aan B f 9, aan C f 8, en dan weer van voren af, maar in t bovenstaande zou 't zoo moeten : Aan f 3, aan 13 f 2, en dan 13 it'ecr f 3 tegen C f2? Daaruit redt men zich zoo: Geef A 3 X ^ 3» ® 3 X 2« ^us f 9 en ^ 6, dan krijgt C, die f 2 krijgt tegen B f 3, ook 2 X f 2 °f f 4i omdat B 2 X ^ 3 ont" vangt. Dan hebben dus A, B en C in de juiste verhouding dit : de een f 9, de ander f 6, de derde f 4. En betrek er dan D nog in. Waarom moeten we A en B juist 3 maal zooveel geven ? 101. Er worden twee woningen verhuurd voor samen f 140. Vijf maal de huur van de eene is evenveel als 9 maal de huur prijs van de andere. Hoe groot is de luiur van elke woning? 102. A en R huren een stuk bouwland voor f 108, en oogsten daarvan 450 H.L. aardappelen. Als A 50 H.L. aardappelen meer ontvangt dan 15, hoeveel moet elk dan van den huurprijs betalen ? Denk bij zulke sommen niet aan arbeidsloonen enz., als er niets van gezegd wordt. Houd alleen rekening met wat er in de opgave gezegd wordt. 103. Door in een aftrekking het cijfer van de eenheden van den aftrekker weg te laten, wordt het verschil 149?2 te groot. Als het weggelaten cijfer een 9 was, hoe groot was dan de aftrekker ? 104. Twee getallen zijn samen 100. Deelt men ze op elkaar, dan is 't quotiënt 7 en de rest 4. Welke getallen zijn het ? 105. Een jongen moest een getal met 55 vermenigvuldigen, maar hij vergat «in te springen , en kreeg nu 1850 tot product. Hoeveel had hij moeten krijgen ? Hij moest vermenigvuldigen met 5 en later met 50, maar omdat hij 't inspringen vergat, vermenigvuldigde hij de tweede maal weer met 5. 106. Ken daghuurder verdient in twee weken te zamen ƒ 24, maar in de tweede week ƒ 6 minder dan in de eerste. 1 loeveel verdiende hij elke week ? 107. Een getal moet vermenigvuldigd worden met 14, maar men vergeet in te springen en bekomt nu een product, dat 478728963 te weinig is. Hoe groot had het antwoord moeten zijn ? 108. Men deelt een getal door 32 ; het quotiënt is 24335 minder dan het deeltal. Hoe groot is het deeltal ? 109. Iemand moet een getal vermenigvuldigen met 37, maar telt die 37 er bij op. Hij krijgt nu 28763 te weinig. Hoe groot was het vermenigvuldigtal ? 110. Wanneer men een getal met 240 vermindert of door 16 deelt, bekomt men hetzelfde antwoord. Welk getal is dit? HOOFDSTUK II. Het metriek stelsel. § 50. Wat beteekenen de ivoorden : het metriek stelsel ? In liet eerste hoofdstuk, en wel reeds op blz. 4, maakten we kennis met het tientallig stelsel, we noemden ook het negen-, twaalf- en twintigtallig stelsel, en we zouden bij het schrijven der getallen daarvan en nog van andere talstelsels gebruik kunnen maken, doen dat echter zelden, maar hier hebben we nu weer een stelsel, het metriek stelsel. Wat is dat, een stelsel? 't Kijkt zoo'n heel eenvoudig woord, maar wie helder en klaar in een paar woorden precies wil zeggen wat het beteekent, ondervindt dat het nog zoo gemakkelijk niet gaat. Slaan we echter een woordenboek op, dan lezen we daarin o.m. achter het woord stelsel dit: »grondbeginselen, waarnaar men handelt,*- en dat komt wel zoo wat uit, want het 10-tallig stelsel is toch eigenlijk eene uitdrukking, een rij van woorden, die ons dit zegt: het getal 10 is het fundament van de getallen. Begrijpt ge dat? Om een groot aantal eenheden te tellen, legden we ze immers in groepen van 10, en deze weer in groepen van 10. Men herleze dat op bl. 3. Op deze manier, of, om 't iets anders te zeggen, volgens dit stelsel, volgens deze grondbeginselen, kunnen we elk aantal eenheden tellen, het aantal door middel van een getal opgeven. Kn wat is 1111 het metriek stelsel.- Ja, dat 's iets dergelijks, namelijk een heel stel van . . . geleerdheden natuurlijk, waarvan nu niet het getal 10 de grondslag is, zooals van heel het eerste hoofdstuk, maar de meter. Of hadt ge 't niet begrepen, dat het woord metriek familie is van het woord meter ? Toch is dat zoo. In dit hoofdstuk hebben we 't dus niet over de getallen, zooals tot nog toe, maar over den meter, en over alles, wat daarmede in verband staat. Deze beide hoofdstukken staan dus naast elkaar, maar toch zal men ervaren dat tusschen het metriek stelsel en het tientallig stelsel een zéér nauw verband bestaat. De meter ligt ten grondslag aan wat we in eenen noemen : de lengtematen. maar ook aan de vlaktematen, de inhoudsmaten, de ruimtematen, en de gewichten. 't Lijkt onwaarschijnlijk dat er verband bestaat tusschen den meter, waarmede een stuk katoen wordt afgemeten, en de gewichten, waarmede de kruidenier zijn waren afweegt. Toch is dit het geval, zooals blijken zal in de volgende paragrafen. Eerst echter dienen we nog wat anders te zeggen. Iedereen weet, dat er dikwijls gemeten wordt met voeten, met duimen, met yards, met roeden. Die maten behooren niet tot het metriek stelsel, want ze staan tot den meter in geenerlei verband. Toch zullen we ook deze en enkele andere oude en buitenlandsche maten in dit hoofdstuk bespreken, omdat die maten nu eenmaal bestaan en heel veel worden gebruikt. In sommige vakken nog wel meer dan de meter zelf. § 51. Wat is meten en wegen eigenlijk ? We denken eens eventjes weer aan onze groote hoeveelheid erwten (zie blz. 3). We wilden het aantal erwten op een voor iedereen begrijpelijke manier opgeven, maar we kunnen de hoeveelheid ook wel op een andere wijze aanduiden. Erwten worden niet vaak bij 't gewicht verkocht ('). Om de hoeveelheid aan te duiden, nemen we een emmer b.v., vullen die telkens en zeggen: Er (') Zie eens rondom u in de wereld, en geef er u eens duidelijk rekenschap van waarom eieren wel en erwten niet bij 't getal verkocht worden, erwten wel en eieren niet bij de maat, en beide wel bij 't gewicht. Ja, waarom? Zoek meer voorbeelden van dezen aard. waren 39 emmers vol. Dat is voor ons, die er bij staan, voldoende, want we zien zoo'n emmer, maar wie per brief de hoeveelheid wilde opgeven, was toch niet klaar, want onmiddellijk vraagt hij, die daar leest van 39 emmers: en hoe groot was die emmer? En omdat hij dat niet weet, is 't hem ook onmogelijk zich een duidelijke voorstelling te vormen van de hoeveelheid, die b.v. ten verkoop wordt aangeboden. Zullen we elkaar in zoo'n geval volkomen begrijpen, dan moeten die erwten, of wat dan ook, overgestort worden in een maat, waarmee iedereen geheel bekend is, of althans bekend kan zijn. Ken notaris verkoopt een stuk grond, maar hij mag bij den verkoop niet opgeven, dat het bewuste stuk 25 maal zoo groot is als de aardappelakker van zijn buurman. omdat niet ondersteld kan worden, dat iedereen bekend is met dezen akker, zoodat men zich ook geen voorstelling kan vormen van de oppervlakte van het te verkoopen stuk grond. Om dat wèl te kunnen doen is het noodig, dat hij, de notaris, de oppervlakte vergelijkt met de oppervlakte van een stuk grond, waarmee iedereen bekend is. Een gemeentebestuur vvenscht aan te besteden de benoodigde hoeveelheid steenkolen voor de gemeente-gebouwen, maar kan dat alleen doen, indien de verlangde hoeveelheid wordt opgegeven op zulk een wijs, dat iedereen zich daarvan een juiste voorstelling kan vormen. Dus niet 100 karren vol, want hoeveel is dat ? maar b.v. 5000 kilogram, want een kilogram is een maat, die iedereen kent, elke steenkolenhandelaar, elke winkelier, elk gemeentebestuur. Om dus in al die gevallen op te geven hoe groot een hoeveelheid is, of wezen moet, kan geen gebruik gemaakt worden van een willekeurige maat, neen, alles moet vergeleken worden met de grootte van een maat, waaromtrent geen verschil van meening kan bestaan. Zoo wordt de lengte van een stuk katoen vergeleken met de lengte van een meter, de grootte van een akker met de grootte van een stuk grond, lang en breed 1 M., een hoeveelheid graan met een hoeveelheid, die er kan in een maat van een liter inhoud, enz. De vaste maten, waarmee iedereen bekend moet wezen, wor- „Practisch Rekenonderwijs". 7 den op de scholen geleerd en we zullen er in de volgende bladzijden het noodige van vertellen. We noemden reeds de namen : lengtematen, vlaktematen, inhoudsmaten, ruimtematen en gewichten. Dat er verschillende maten noodig zijn, is duidelijk. Immers een stuk katoen kan, wat de lengte betreft, wel vergeleken worden met een meter, maar deze maat, de meter, kan niet dienen om de grootte van een hoeveelheid melk op te geven, en hoe zwaar een brood is, kan men niet meten met een meter, maar 't gewicht moet vergeleken worden met een maat, die een bepaald gewicht heeft ; hoe zwaar een brood is, moet men dan wegen, met gewichten. Als we nu zullen zeggen, wat het is : een hoeveelheid meten, of wegen, dan is 't in een woord dit : vergelijken. Vergelijken n.1. met een andere hoeveelheid, die een bepaalde, onveranderlijke grootte heeft. Die hoeveelheid wordt maat genoemd. Die maten zijn in 't geheele land precies gelijk. Een meter is in Amsterdam precies zoo groot als in Zwolle en in Maastricht. Dat kan niet anders, want al wat met den vorm, de grootte, de inrichting en de verdeeling der maten in betrekking staat, is bij de Wet 1) vastgesteld en door de regeering wordt voortdurend een nauwkeurig toezicht gehouden op al de maten en gewichten, die ergens in gebruik zijn. Vroeger had elke landstreek zijn eigen maten : roeden, voeten, duimen, pondematen, el, spint, schepel, enz. enz., en een voet was hier weer grooter dan daar, en weer anders ingedeeld, wat tot een hopelooze verwarring aanleiding gaf, en een groote belemmering was voor den handel. Die oude maten verdwijnen langzamerhand, sommige zijn er al uit, maar voor we zoo ver zijn, dat geen enkele meer in het dagelijksch leven genoemd wordt, zullen er wellicht nog tientallen van jaren verloopen. Trouwens, nu we óók overal geldende maten hebben, is het bezwaar tegen de plaatselijke maten veel minder dan vroeger. i) Wie daarvan alles wil weten, koope een Wet op de maten, gewichten en weegwi'rktuigen, vastgesteld den 7en April 1869, S. 557, gewijzigd bij de wetten van 27 Mei 1869, S. 88, 19 Juni 1871, S. 62, 31 December 1872, S. 160 en 161, 8 Juli 1874, S. 96, 28 December 1879, S. 249, 30 December 1880, S. 254, 30 December 1881, S. 253, 15 April 1886, S. 64 en 2 Mei 1897, S. 122. Met die 8. bedoelen we het staatsblad, waarin alle wetten worden opgenomen. § 52. Hoe leert men de maten ? We gaan uit van de onderstelling, dat men nog wel wat van de namen der maten en gewichten kent, d. w. z. de namen. meter, liter, kilogram, decimeter, deciliter, hectogram, centimeter, centiliter, decagram, millimeter, milliliter, gram, dekameter, decaliter, decigram, enz. enz. enz. Wie die namen kent, en dan ook nog het verband weet, dat er tusschen de verschillende maten bestaat: i meter = 10 decimeters, i decimeter = 10 centimeters, enz. die kan de sommen uit een rekenboek al heel gauw maken, maar zelfs in dat geval moet men niet denken de maten en gewichten te kennen; integendeel: die niet meer weet, weet mets. Daarmee bedoelen we dit: 't Is heelemaal geen wonder, dat men tegen schooljongens aanloopt, die uitstekend alle sommen uit een rekenboek over maten en gewichten kunnen maken, maar die toch niet in staat zijn te vertellen welke gewichten er op de schaal staan, als de kruidenier 5 pond meel afweegt. Een kruidenier kent de gewichten, want hij gaat er dagelijks mee om. Alleen zulk kennen heeft waarde. Wie alleen maar de namen kent, en de verhouding tusschen de verschillende maten en gewichten uit een boekje weet, is in staat bij het oplossen van vraagstukken uit een rekenboek de grootste fouten te maken; een enkele verwarring in klank brengt zulk een rekenaar van de wijs, maar hij, die met de maten en gewichten kennis gemaakt heeft door ze te gebruiken, vergist zich veel minder, en bovendien: hij ontdekt zijn fouten veel gemakkelijker. Wie in een bleekerij b.v. uit moet rekenen hoe duur het bleken van een meter katoen komt, en dan tot antwoord krijgt: 20 cent, voelt onmiddellijk, dat dit niet waar kan zijn, maar iemand, die niet precies weet wat een meter is, denkt daarover niet verder na en zegt heel gerust: het bleken van 1 meter katoen kost 20 cent. Wie de maten en gewichten wil leeren kennen, moet er mee omgaan. I)at is in alle andere zaken zoo klaar als de dag, maar dat wordt hij het leeren kennen van de maten en gewichten nog wel eens vergeten. Met de maten omgaan, met de lengtematen althans, dat doet een krullenjongen: pas is hij een week in de werkplaats en leert hij eenige planken afmeten met zijn duimstok, of hij spreekt van centimeters en meters met zóóveel verstand, dat hij z'n onderwijzer in de school verbaasd zou doen staan, als .... deze het hoorde. Neem de eerste de beste, die van hectometers geen verstand heeft (en dat zijn er heel wat), maar laat hij acht dagen op een spoorbaan bij een ploeg werkvolk aan den arbeid zijn, en hij spreekt van kilometers en hectometers, alsof hij er zijn leven lang mee omgegaan heeft. En zoo gaat het in alle opzichten. Maar iedereen, zal men direct opmerken, iedereen kan maar niet eens krullenjongen en lijnwerker worden, — en we zeggen t volmondig na: neen, dat kan niet, maar wat iedereen wèl kan, is dit: een duimstok koopen. En wie een echte duimstok te duur vindt, kan wel wat anders krijgen, zoo'n meter bijv., die in tienen kan opgevouwen worden, of een ellemaatje, dat een naaister gebruikt, of een dubbelen decimeter, of een andere in centimeters en millimeters verdeelde liniaal, of wat dan ook, maar altijd iets, dat men in zijn zak kan steken, of oprollen of vouwen kan, en dat maar enkele centen kost. Want men moet het bij zich hebben, en gebruiken. Voor wie dat willen, bestaan er ten opzichte van de lengtematen geen moeilijkheden, maar wie de lengtematen niet zoo wil leeren, verkrijgt geen kennis, die eenige waarde heeft. Een hoofd vol namen, een hoofd vol ballast ! Zoo gaat het ook met de kilometers en de andere groote maten. Langs de wegen ziet men hier en daar palen staan, alle gelijk, alle genummerd. Langs de rijkswegen ziet men die kilometerpaaltjes, zooals ze heeten, overal, langs de spoorbanen ook. Hoever staan die palen van elkaar? Soms 100 meters, soms 500 meters, maar dat kan men altijd op een heel eenvoudige wijze gewaar worden. Men moet zoo'n rijksweg eens opwandelen, en dan de nummers eens bekijken, en als daar dan ergens staat: 34 en op eenige der volgende 34' 34s 343 34' 34' 34' 347 34s 34' 35 dan mag men niet rusten voor men weet hoever die palen van elkaar staan, en waar no. 1 voorkomt. Of reist ge wel eens ? Kijk uit den trein, waar toch niet altijd wat te praten is, kijk uit dus, en zie de kilometerpaaltjes langs de spoorlijn. Worden de nummers grooter of kleiner ? Zoo ja, waar zou dan de telling begonnen zijn ? En let eens op, hoever de afstand is tusschen twee bekende plaatsen, tusschen uw woonplaats en het eerste hoofdstation b.v. of tusschen twee groote plaatsen. Of reist ge per kilometerboekje ? Dan raakt men al heel gemakkelijk vertrouwd met de kilometers, omdat de afstand tusschen de plaats van vertrek en aankomst wordt ingevuld in kilometers. In de vestibule van elk station, vanwaar we met een kilometerboekje vertrekken, hangt een groote lijst, waarop alle stations der betrokken spoorwegmaatschappijen voorkomen en daarachter de afstand van het station tot al die andere stations in kilometers. Men raadplege zoo'n lijst eens, en zoeke eens al de plaatsen op, waar men wel eens geweest is. Hoeveel kilometers was de afstand ? Op heel veel plaatsen ziet men tegenwoordig ook de wegwijzers van den A. N. YV. B., waarop telkens voorkomt hoeveel K.M. de volgende plaatsen verwijderd zijn van de plaats, waar men op dat oogenblik is. Zoo'n wegwijzer zoeke men ook eens op, als 't kan, en vergelijke de afstanden tot de naburige plaatsen met die, welke de Kiloineterlijst van de spoorwegmaatschappij aangeeft. En nu nog naar de ouderwetsche handwijzers langs de wegen. Soms geven ze den afstand tot de volgende plaatsen in uren aan, d.w.z. in uren gaans, maar soms ook in kilometers. Dit laatste is veel beter, want een kilometer is een veel nauwkeuriger maat, dan een uur gaans. Men kijke eens naar de handwijzers, en vergelijke de aangegeven afstanden eens met die van den A. N. W. B. Of staan die er niet naast ? Om de vlaktematen te leeren kennen moet men op dezelfde wijze handelen, d.w.z. zijn (togen wat te doen geven. Als we straks de maten zullen opgeven, dan moet men nooit nalaten die maten in het leven rondom ons op te zoeken ; wie dat niet doet, zal ze niet leeren kennen. Ook met de inhoudsmaten en met de gewichten is dat zoo. Wie ze alleen wil leeren kennen uit een boekje, zal er nooit mee vertrouwd raken ; wie er mee omgaat, kent ze in een oogenblik volledig. We zullen in de volgende paragrafen telkens opgeven waar en hoe men de maten in het werkelijke leven terugvinden kan, opdat de studeerende 't alleen aan zichzelf te wijten heeft als hij niet in een oogenblik alles leert wat hij noodig heeft te weten. § 53. Hoe het stelsel van maten en gewichten ingedeeld is. We zouden in deze paragraaf bijna weer hetzelfde kunnen schrijven als in die, waarin verteld wordt hoe de getallen in elkaar zitten (zie § 2) want tusschen al de maten en gewichten bestaat hetzelfde verband als tusschen de eenheden der verschillende orden (blz. 3). We hadden bij de getallen dit: 10 eenheden van de eerste orde vormen een nieuwe eenheid, n.1. een tiental ; 10 tientallen vormen een eenheid van de derde orde (n.1. een honderdtal), enz. en bij de maten en gewichten hebben we precies hetzelfde : het 10-voud van een zekere maat is weer een nieuwe maat, ') en ook omgekeerd : het 10e deel van een maat is ook weer een nieuwe maat, net als bij de getallen. 15ij de getallen moet men onthouden, hoe de eenheden der verschillende orden op elkaar volgen : eerst de eenheden, dan de tientallen, honderdtallen, duizendtallen, enz. en wie dat maarniet vergeet, kan rekenen. Bij de maten moet men ook iets onthouden, eerst de meters, dan de decameters, en niet omgekeerd. Dat zullen we straks opgeven. (') Men zie intusschen de paragraaf over de vlakte- en ruimtematen. Die overeenstemming in de wijze, waarop de getallen zijn samengesteld en waarop de eetie maat van de andere wordt afgeleid, vergemakkelijkt het rekenen /eer. Wordt nu b.v. gevraagd hoeveel kilometers gelijk zijn aan 123000 meters, dan zeggen we dit: een kilometer = 1000 meters, dus 123000 meters zijn 123 kilometers. We behouden dezelfde cijfers; eigenlijk rekenen, cijferen is niet noodig. Was het metriek stelsel niet tiendeelig ingedeeld, maar bestond er tusschen de maten een betrekking als tusschen voeten en dunnen b.v. (een voet = 12 duim) dan was er een deeling door 12 noodig om 123000 duimen te herleiden tot voeten. Dat kan wel, natuurlijk, maar 't geeft toch meer werk, en 't spreekt ook niet zoo duidelijk. Deze zin : 123000 meter = 123 kilometer, dringt zich sterker aan ons op dan deze : 123000 duim = 10250 voet. De herhaling van dezelfde cijfers, van de I, 2, 3, is daarvan de oorzaak. § 54. Lengten/aten. Ziehier de namen der lengtematen, met eenige opmerkingen daarbij : 1. Dc meter. Hoe lang de meter is, leert ons de duimstok of de een of andere maat, waarop meters zijn aangegeven. Heeft men een duimstok — een gewone duimstok van een timmerman wordt bedoeld — dan moet men nagaan waar de maat begint en waar ze eindigt, héélemaal aan 't eind dus, of eventjes van 't eind af bij een dwarsstreep. Dat blijkt wel uit de nummering, of staan er geen nummers aan t eind toe .' Tel dan de deelstrepen van elk vak, ook van het laatste vak van uw maat, en bepaal zoo zelf waar het eind is. En waar begint elk onderdeel van den meter ? Bij de dwarsstrepen natuurlijk en niet bij de cijfers. Of komt het er niet zoo nauw op aan, meent ge ? Vraag dat eens aan den timmerman. Voor ruim een eeuw kende men den meter niet. Maar het toenemende verkeer deed de behoefte aan een en dezelfde maat voor alle landen gevoelen. Maar welke maat moest dat zijn ? Een bestaande maat uit Amsterdam, uit den Haag, uit Parijs ? Men dacht er eerst aan de lengte van den seconde-slinger als eenheid van maat aan te nemen, maar de overweging, dat deze slinger niet overal op de wereld dezelfde lengte heeft,1) was oorzaak dat dit plan niet aangenomen werd. Eindelijk werd besloten de lengte van een meridiaan2) te bepalen, en het 40 miljoenste deel daarvan als eenheid van lengtemaat aan te nemen. Dat is geschied; het 40 miljoenste deel van den meridiaan over Parijs werd de eenheid van lengtemaat, en men gaf daaraan den naam van meter. De toen, voor ruim een eeuw, gevonden lengtemaat wordt bewaard in Parijs en een copie daarvan in Delft. Meent men nu echter, dat de omtrek der aarde precies 40.000.000 maal een meter is, dan vergist men zich toch, want men heeft later nog eens een meridiaan gemeten, en toen bevonden, dat de lengte grooter is, zoodat de meter, wilde men vasthouden aan het idee, dat de lengte het 40 miljoenste deel moest zijn van een meridiaan, eigenlijk ook een beetje grooter moest wezen, ongeveer een vijfde millimeter. Maar men heeft den meter zoo gelaten als oorspronkelijk bepaald werd. Om nu vertrouwd te raken met den meter zooals wij dien thans kennen, moet men verschillende dingen met den meter gaan meten, b.v. lengte, breedte en hoogte van de woonkamer, lengte en breedte van de straat Toor de woning, van een akker, van een tuin, van de schuur, ja, van al wat men wil. Dan pas weet men te praten van een meter. Niets helpt daarbij meer, dan wanneer men voor het eigenlijke meten den afstand schatten gaat en dan nameet of de schatting juist is geweest. Al heel gauw gevoelt men, dat de meter te groot is om alle voorwerpen, alle afstanden precies te meten ; soms is er iets over, — maar hoeveel ? en dan gevoelt men behoefte aan kleinere maten. Hier volgen dus de onderdeelen van den meter allereerst. l) Zie achter in dit werk hierover eenige opmerkingen. *) Een groote cirkel over de aarde, getrokken over de polen. Zie achterin hierover meer. 2. Dc decimeter. Deze maat is IO maal zoo klein als de meter. 3. Dc centimeter. Deze maat is weer 10 maal zoo klein als de vorige. 4. De millimeter. Deze maat is weer 10 maal zoo klein als de centimeter. Alle drie komen op een duimstok, op een dubbele decimeter en op de meeste linialen voor; op het linnen ellemaatje van de naaister vindt men gewoonlijk alleen centimeters, genummerd van 1 tot 100; de decimeters, afstanden van 10 centimeters, worden gewoonlijk alleen aangegeven door een iets grootere of zwaardere dwarsstreep. Zoo ziet de nummering er ook wel eens uit: 1 23456789 10 1 2345678 9 20 1 234567893O enz. Bij 10, 20, 30, enz. heeft men dan telkens een decimeter; de 1, 2, 3 enz. tusschen 10 en 20 stellen dan voor 11, 12, en die tusschen 20 en 30 evenzoo 21, 22, 23 centimeter. De millimeters zijn niet genummerd. Van centimeter tot centimeter is de afstand in 10 deelen verdeeld, en de afstand tusschen elke 2 streepjes is dan een millimeter. De deellijn bij 5 millimeter is iets grooter dan de andere streepjes, zoodat de ruimte tusschen 2 deelstrepen er zoo uitziet: De eerste en de laatste streep stellen de deellijn van de centimeters voor; de middelste is de deellijn van 5 millimeter; de andere, de kleinste streepjes zijn dus resp. 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 millimeter van de voorste streep verwijderd. Dat de middelste deellijn iets langer is, vergemakkelijkt het aftellen van de millimeters. Beginners meenen wel eens, dat de streepjes de millimeters zijn ; dat is natuurlijk niet zoo : de afstand tusschen twee strepen is een millimeter. En thans, herhalen we, thans aan 't meten. Meet alles, wat u belang inboezemt: deuren en ramen en glasruiten, uw courant en uw boek, uw potlood en uw pennehouder, lengte en breedte van de tafel, van een enveloppe, van de tegels aan den haard; meet de hoogte van de bloemen in den tuin, nu eens en later nog eens weer, meet hoelang ge zelf zijt en uw huisgenooten, en bovenal: noteer dat alles eens precies, zoo precies en zoo mooi, dat ge later nog eens lust hebt uw aanteekeningen in te zien. Maar, als de lust er iti zal blijven, dan moet men geen metingen uitvoeren, waarin men geen zin heeft. Men moet werkelijk belangstellend zijn, maar 't zich niet verbeelden. Hebt ge dus geen zin de lengte van uw tafel te meten? Goed, — dan niet doen, of wacht er mee tot er een nieuw tafelkleed in den winkel besteld zal worden. Dan móet men immers meten. Hebt ge geen zin na te meten hoe groot de bloemen in den tuin zijn? Ga dan uw prijscourant van bloemzaden eens inzien, waarin beloofd wordt dat de asters 20 centimeters groot zouden worden, en zie eens of 't uitkomt. En noteer dat eens, want een volgend jaar wilt ge ze immers grooter hebben, als 't kan? En dat wèèt ge immers niet, als ge 't nu niet aanteekent ? Houdt men — zou gevraagd kunnen worden — houdt men bij u vee? Hoe zwaar is het ? Ge hebt geen bascule, geen veebascule ? Wel, er bestaan boekjes, handleidingen, waarmee men de zwaarte van 't vee kan bepalen door de lengte enz. te meten? Dan wordt het meten wel belangrijk ! We schrijven de namen meter, decimeter, centimeter en millimeter niet altijd voluit, want dat is bij het veelvuldig gebruik te lastig. Xu schrijven we voor meter: M.; » decimeter: d.M.; » centimeter: c.M.; » millimeter: m.M.; het woord meter wordt dus verkort tot M., een hoofdletter; dcci, centi en milli worden d., c. en /«., in kleine letters. Omdat het alle afkortingen zijn, wordt elke letter voorzien van een punt. 5. De decameter (verkort D.M.) of 10 M. In 't practische leven merkt men van den decameter niet veel. Slechts enkele personen gebruiken een maat van 10 M., d. i. een meetlint of een meetketting van 10 M. lengte. Landmeters dus, en opzichters bij groote graafwerken, als kanalen en rivieren e. d. In de rekenboeken vindt men intusschen ook de D.M. en om de vraagstukken waarin deze maat voorkomt te kunnen maken, moet men weten, wat een D. M. is. Zoek dan ergens om u heen een I). M. : een muur, een hek, een heg, een straat, die 10 M. lang is of breed. 6. De hectomctcr (verkort H. M.) of 100 M. 7. De kilometer (verkort K. M.) of 1000 M. Van deze beide lengtematen kan men zeer gemakkelijk een juiste voorstelling krijgen, omdat, zooals we reeds opmerkten (zie blz. 100), langs vele grind- en straatwegen en langs de spoorwegen, paaltjes zijn geplaatst, die de lengte der wegen aangeven, en handwijzers den afstand tot een volgende plaats ook vaak opgeven in K. M. Hoever de paaltjes langs de wegen van elkaar staan.' I )at onderzoeke men zelf. Wanneer men ergens een 1). M. weet, ga men eenvoudig na, hoeveel gewone passen men maken moet om 10 M. af te leggen, en blijkt het dan, dat b. v. 1 D.M. = 16 passen, dan is 1 H. M. = 160 passen. Staan nu 2 paaltjes 160 passen van elkaar, of zoo ongeveer, dan is de afstand van het eene tot het andere zonder twijfel precies een H.M. Wilde men op deze wijze de breedte van een stuk land bepalen, of de lengte van een straat, dan zou dat wel eens 95 M. of 103 M. kunnen wezen, maar de paaltjes langs de wegen staan nooit ongeveer 100 M. van elkaar, of ongeveer 200 M., of ongeveer 500 M., maar steeds precies 100, 200, 500 M. Is de afstand ruim 300 passen, dan heeft men 200 M., telt men 800 passen, dan heeft men 500 Maar men vergete 't niet: als 10 M. - 16 passen is, en dit moet men eerst weten. Heeft men slechts 12 passen noodig om 10 M. af te leggen, dan veranderen natuurlijk de cijfers hiergenoemd alle. Let ook eens op de cijfers, die er op deze kilometerpaaltjes voorkomen. Staan de palen 1 H.M. van elkaar, en ziet men de volgende nummering : 341 342 34:l 34' 34' 34'; 347, (zie blz. 101) dan begrijpt men natuurlijk direct, dat de kleine cijfers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, wijzen op H.M., en dat is ook het geval, als op deze wijze de nummering was aangebracht: 34- 34' 34 in welk geval de paaltjes alle 2 H.M. van elkaar staan. Indien de weg nog een klein eindje verder wordt opgeloopen, dan zien we dit: 347 34s 34» 35 35' 35- 35'. Voor 341 zal dus ook 34 staan, evenals 35 voor 35'. Van 34 tot 35 is de afstand dus io H.M. of i K.M. Van 34 tot 35 zijn we i K.M. verder gekomen, en de paaltjes geven dus dit te lezen : 34 of 34 K. M. 341 x 34 > en i H. M. 34-' » 34 » » 2 » , enz. Waar die nummering begonnen is? Vraag er eens naar, doch denk er toch vooraf even over na. I)at denken moet zich dan bewegen in de volgende richting. Hoeveel tijd is er noodig om i K.M. af te leggen: Dat kan onderzocht worden, met het horloge in de hand. 't Blijkt dat het is io, ii of 12 minuten, al naar ge meer of minder hard loopt, en in i uur loopt ge dus 6 of 5 K.M. of eenige H.M. meer dan 5 K.M. Hoelang we nu moeten loopen om 34 K.M. af te leggen, is dan ten naasten bij wel uit te rekenen. Een uur of zes immers. Rn de plaatsen in den omtrek kennen we wel zoo goed, dat we weten welke plaats aan den Rijksweg ongeveer 6 uur van ons verwijderd is. Of zouden we in twijfel verkeeren of het dit gehucht is of dat ? Zou de nummering van den weg, vragen we, begonnen zijn bij een gehucht, d. w. z. zou men een rijksweg hebben aangelegd van uit een heel kleine plaats of nog minder dan dat ? \\ elneen ; daar op ongeveer 6 uur afstands ligt een groote plaats, en daar begint de weg, daar is de nummering aangevangen. En nu, vraag nu eens, b.v. aan den wegwerker, die ginds aan den arbeid is : hij zal 't u zeggen. Een uur loopen is 5 a 6 K.M. Dat hangt af van de snelheid. Heel vaak rekent men een uur op 5555 M., in vraagstukken uit rekenboeken b.v. en op handwijzers e.d. In dit verband is het niet zonder belang eens na te gaan of de cijfers, die op de handwijzers den afstand in K.M. aangeven tot de volgende plaats, ook overeenkomen met den tijd, welke daarvoor gewoonlijk gerekend wordt. Zegt de handwijzer bijv. 4 K.M., dan moet dat ongeveer 3 kwartier gaans zijn. 8. De myriameter (verkort M.M.) of ioooo M. Dit is geen werkelijke maat, enkel een naam om een afstand aan te duiden. Men vindt K.M. en H.M. overal aangegeven langs de wegen, maar de M.M. niet ; daarvoor is deze maat te groot. De Wet, vroeger genoemd, spreekt wel van een myriameter, rekenboeken ook, maar 't practische leven kent de maat niet. De kilometerboekjes van die spoorwegen zouden ook «myriameterboekjes» genoemd kunnen worden, want 500 K.M. = 50 M.M. 1000 K.M. = 100 M.M. 5000 K.M. = 500 M.M. maar men duidt de boekjes altijd aan op de eerste, en nooit op de tweede manier. Wil men mededeelen, hoeveel spoorwegen er in een land zijn, men geeft het op in K.M., nooit in M.M. De M.M. is minder populair dan de K.M. Men lette op de schrijfwijze van deze maten : m.M. en M.M., d.M. en D.M. Met m.M. bedoelen we den millimeter, want alle onderdeden van den meter schrijft men met een kleine voorletter : m.M., c.M., d.M., maar de veelvouden krijgen alle een hoofdletter : D.M., H.M., K.M., M.M. Naast de kennis van de lengtematen, die met behulp van de vorige bladzijden verkregen kan worden, behoeven we nu nog maar even te wijzen op de noodzakelijkheid om de eene maat tot de andere te kunnen herleiden, d.w.z. om vragen als deze te kunnen beantwoorden : hoeveel d. M. zijn gelijk aan 27 M. ? » m.M.» » » 15 d. M..' » M. » » » 8500 c. M. ? Dat is intusschen al heel gemakkelijk. Immers: 1 M. = 10 d. M., dus 27 M. = 27 X 10 d- M- = 27° d.M., enz. Zijn de getallen heel groot, dan ga men voorzichtig te werk. Zoo is dit geval: 1 M. M. = . . . • m. M. ? Dat kan men misschien in eenen niet zeggen, maar men berekent het zoo: i M. = 1000 m.M. (i c. M. = 10 m.M., i d.M. dus 100 m. M., i M. dus iooo m. M.); i M. M. = ioooo M. = 10000 X 1000 m. M. = 100 kjooo m. M., zegge 10 miljoen m. M. En dan dit vraagstuk: 300000000 m. M. = K. M. ? Men deelt eerst door 1000, want 1000 m. M. = 1 M., dus 300000000 m. M. = 300000 M.; en nog eens door 1000, want 1000 M. = 1 K. M., dus 300000000 111. M. = 300000 M. = 300 K M. § 55. Vlaktematen. Verstaat ge het woord vlakte ? Stel 11 een weiland voor, met slooten er om. Zoo n weide kan vlak zijn, of effen, zonder hoogten en laagten. Maar als we van vlaktematen spreken, dan denken we in t geheel niet aan deze beteekenis van het woord vlak. Neen. Het land ligt tusschen vier slooten in. Hoe groot is het? vragen we. Maar als we vragen: hoe groot is déze schuur, deze kerk, dan vragen we toch eigenlijk nog naar iets meer, want we denken niet alleen aan de ruimte op den vloer, maar ook aan de hoogte, aan de gansche ruimte dus tusschen de vier wanden en het dak. Daarvan kan bij een weiland geen sprake zijn ; daar hebben we alleen te maken met de ruimte, die door de vier slooten begrensd wordt. Voor elke gedachte hebben we liefst een afzonderlijk woord, en zoo spreken we van de oppervlakte van een weide, en van den inhoud van een schuur. Hoe groot is, wordt er gevraagd, hoe groot is het tafelblad? Met deze woorden vragen we met naar de lengte, niet naar de breedte, met naar de dikte van 't hout, niet naar de massa hout, maar naar de ruimte, welke het blad aanbiedt aan de bovenzijde, m.a.w. naar de oppervlakte van het blad. Die oppervlakte moet gemeten worden. Wat dat beteekent, kan men nalezen in § 51 '• 't 's de oppervlakte vergelijken met een andere oppervlakte, welke laatste een vaste, onveranderlijke grootte moet hebben, en die maat genoemd, geen lengtemaat, i'lakte maat, omdat men er vlakken, oppervlakken mee gaat meten. Over die vlaktematen dus zullen we in deze paragraaf 'teen en ander vertellen. Hoe zoo'n maat er uitziet r We moeten direct de opmerking maken, dat het met de vlaktematen eenigszins anders gesteld is dan met de lengtematen. Er zijn nl. voorwerpen van hout of band of ijzer van I M. of I D.M., maar er zijn geen voorwerpen, geen dingen dus, die we ter hand kunnen nemen, onder de vlaktematen. Wanneer we dus twee oppervlakten met elkaar willen vergelijken, waarvan de eene dan de maat is, dan kunnen we die maat dus niet ter hand nemen om te meten. Maar we kunnen de maat aangeven door lijnen op den grond, of op papier of hoe dan ook: de ruimte binnen die lijnen is dan de oppervlakte, die als maat dient. De vlaktematen hebben den vorm van een vierkant. Zie hier een vierkant: vier rechte lijnen, alle even lang] de vier hoeken ') zijn alle recht. Oppervlakken zijn klein en groot; er moeten daarom ook groote en kleine vlaktematen zijn. Doch alle zijn gelijk van vorm, precies gelijk; 't zijn alle vierkanten', vier even lange rechte lijnen, vier rechte hoeken. Als vlaktematen heeft men nu, eenvoudig, de vierkanten aangenomen, waarvan de lengte gelijk is aan een der lengtematen. We noemden in de vorige § acht lengtematen, en hebben dus als vlaktematen: ') Wat we met een hoek bedoelen, is toch niet noodig hier uiteen te zetten ? Ook begrijpt men immers het woord vacht in de/.en zin. In timmermanstaal zegt men haaksch- 1. een vierkant, waarvan elke zijde i in. M. is; 2. » » » » » i c. M. » ; 3. > » » » » 1 cl. M. » ; 4. » » » » » 1 M. » ; 5. » » >■ » » 1 1). M. » ; 6. » » t » 1 H. M. j 7. » » » » » 1 K. M. » ; 8. » » » » » 1 M. M. » ; en aan die maten geven we de volgende namen: 1. vierkante millimeter (verkort Q m.M. of m.M.2) ; 2. vierkante centimeter ( » fj c.M. » c.M.2); 3. vierkante decimeter ( » | j d.M. » d.M.2) ; 4. vierkante meter ( » Q M. » M.-); 5. vierkante decameter ( » [j D.M. » D.M.2); 6. vierkante hectometer ( » H.M. » H.M.8); 7. vierkante kilometer ( » K.M. » K.M.2) ; 8. vierkante myriameter ( » M.M. » M.M.2). Een heel eenvoudige zaak dus. Wij geven direct maar de afkortingen van die lange namen. De afkortingen bestaan uit een klein vierkantje voor de lengtemaat, die de zijde van het vierkant aangeeft of uit een kleine twee, rechts-boven die lengtemaat. De laatste verkorting is de meest gewone. Drie van de genoemde maten spelen in het dagelijksch leven een belangrijke rol, en wel no. 4, 5 en 6. Deze drie dienen n.1. om de grootte van landerijen, van bouwterreinen, in 't algemeen om de grootte van den bodem aan te geven. Daartoe worden nimmer kleinere maten gebezigd dan de vierkante meter. No. 7, de vierkante kilometer, dient alleen om zeer groote gebieden aan te geven, niet van landerijen, maar van landen, zooals Frankrijk, Nederland, België, enz. Wilde men de grootte van deze landen opgeven in H.M2, of in M2, dan zou men veel te groote getallen noodig hebben. We gebruiken die groote maten dus om zeer groote getallen te vermijden (zie blz. 7). De grootte van de landen wordt ook wel eens opgegeven in een gr-ootere maat dan in K.M.2, n.1. een vierkante geographische mijl (een vierkant, waarvan elke zijde 80 minuten gaans is). Daarover later wel iets. Men zou ook een M.M.2 kunnen gebruiken, maar het practische leven kent ook deze maat niet. Een M.M.- is een vlaktemaat uit rekenboeken, en dient alleen om herleid te worden tot M2, D.M.2, enz. En nu nog even no. 4, 5 en 6. Allereerst moeten we mededeelen, dat deze maten nog een extra-naam hebben, een dubbden naam dus : de vierkante meter heet ook centi-are (verkort c.A.), » vierkante decameter » » are ( » A.), » vierkante hectometer » » hectare ( » H.A.). De dubbele namen worden echter alleen gebruikt, als men de oppervlakte van den bodem bedoelt. Men zegt dus wel, dat een centi-are grond f 1 kost, maar vertelt nooit, dat een tafelkleed, of een stuk katoen 2 centi-are groot is. Dan is 't altijd : vierkante meter. Men zegt, van grond sprekende, even dikwijls vierkante meter als centi-are, maar de beide andere namen, vierkante decameter en vierkante hectometer, worden heel weinig of nooit gebruikt; men zou ze wel kunnen gebruiken, maar spreekt toch steeds van are en hectare. W e zeggen 't echter nog eens: de namen : centi-are, en hectare, worden uitsluitend gebruikt om de grootte van den bodem aan te geven ; spreekt men over iets anders, dan gebruikt men die namen nooit. In Groningen wordt het koolzaad gedorschen op een linnen kleed van meer dan 6 D.M.2 groot; men mag dan nooit 6 A. zeggen. Maar een kleed van 6 D.M.- bedekt 6 A. grond. Wordt er grond verkocht: de notaris geeft de grootte op in \ \ en c. A.; krijgt men van het kadaster een opgave \an z'n onroerende bezittingen, boven aan de kolommen komen weer deze letters voor: H. A., A. en c.A., zoo b.v. : H. A. A. c. A. Sectie B, no. 354 heide 6 17 » 355 weide 13 8 72 > » 362 bouwland 10 29 56 Totaal: 29 54 78 „I'ractisch Rekenonderwijs". Dat beteekent: het heideveld is groot 6 H. A., 17 A., 50 c. A. ; de weide » , 13 H. A., 8 A., 72 c.A.; het bouwland » » 10 H. A., 29 A., 56 c.A.; alles te zamen: 29 H. A., 54 A., 78 c. A. Hoe groot zijn, ten slotte, de vlaktematen eigenlijk.3 Men kan zich dat, als men de lengtematen kent, wel ongeveer voorstellen, maar die voorstelling munt in den regel niet uit door zeer groote juistheid. Men probeere dus om een m.M.2 te teekenen, en verzuime vooral niet om een c.M.2 en d.M.2 op het papier uit te teekenen1). Men knippe ze desnoods eens uit, en verdeele een d.M.- in c.M.-, — dan weet men, door te tellen, meteen, dat 1 d.M.2 = 100 c.M.1 Zulke dingen moet men niet leeren door er van te lezen, men leere ze door zoo te doen, als hier gezegd wordt. En 1 M.2 kan men met een of ander zwart teekenmateriaal, houtskool of zwartkrijt uitteekenen op een muur, en men kan zoo'n M.2 verdeelen in d.M.2, waaruit dan blijkt, dat 1 M.2 = 100 d.M.2 Of men kan eenige vellen papier, couranten b.v. aan elkaar plakken en dan een vierkant knippen van 1 M.2, of men teekene 1 M.-' uit in 't zand, en geve door 4 stokken op de hoekpunten de grootte aan, kortom, men late het niet bij lezen alleen. En 1 D.M.2, i H.M.2 ? Dat kan ook op dezelfde wijze: 4 flinke latten in den grond, die een vierkant insluiten van de aangegeven grootte. In 't eerste geval moeten die latten dus 1 D.M., en in 't laatste 1 H.M. van elkaar staan. Voor dat laatste heeft men een flinke weide noodip. r» Voorts moet men niet verzuimen zich gegevens te verzamelen van de grootte omtrent stukken grond, die men kent. Hebt ge ) Behalve een verdeelde liniaal is daarvoor ook een instrument noodig om rechte hoeken te teekenen, een winkelhaak dus van den timmerman. Bij het teekenen gebruikt men echter vaak een houten driehoek, waarvan een der hoeken recht is. Zie de teekening hiernaast. zelf land, d.w.z. uw vader? Zoo ja, hoe groot is de weide, hoe groot elk stuk bouwland? Maak er een lijstje van, en ga dan, met het lijstje gewapend, elk stuk eens bekijken. Of weet ge de oppervlakte van elk stuk niet ? Vraag dan, als 't mogelijk is, de koopactf ter inzage, of ter gemeente-secretarie den kadastralen legger. Dan weet ge 't in eenen precies. § 56. De ruimte- en inhoudsmaten. I)e beide woorden : inhoudsmaten, ruimtematen, zeggen duidelijk genoeg, dat die maten noodig zijn om inhouden, om ruimten te meten. De vraag is nu: wat zijn inhouden, wat zijn ruimten, en welke zijn de maten ? Men denke aan een kist. Wat men onder lengte, breedte en hoogte verstaat, is bekend. Ook 't woord oppervlakte begrijpt men ; de schilder bestrijkt die oppervlakte met verf, — maar open nu de kist, en men merkt de ruimte, die er binnen in is. Als we nu spreken van inhouddan bedoelen we die ruimte. Een kast, een kamer, een kerk hebben een zekeren inhoud, een vat, een emmer, een bak, een schaal ook. Dat's duidelijk : er kan wat in. Maar, hieraan denkende, d. w. z. al te zeer vasthoudende aan het woord «inhoud , zal men misschien in de meening verkeeren, dat een steen geen inhoud heeft, en een balk', een plank, een boom e. a. evenmin. Intusschen ook die voorwerpen hebben een inhoud, waaronder men dan dit moetverstaan : ze nemen een sekere ruimte in. Maar dat doen alle lichamen, zal men opmerken, en dat is ook zoo: elk lichaam neemt een zekere ruimte in, alle hebben een zekeren inhoud, alle, een blad papier zoowel als een paleis, alle, maar niet alle evenveel. 1) En de maten, waarmee de inhoud der lichamen gemeten wordt, zijn ook ruimten. Natuurlijk ; lengten vergelijkt men met lengten, vlakten met vlakten, ruimten met ruimten. Stel u voor een kist, Men stelle zich goed voor wat het beteekent : de inhoud van een blad papier, 't Is heel wat anders dan de oppervlakte, d. w. z. de oppervlakte van den bovenkant. Een blad papier is een lichaam met zes zijden, evengoed als een baksteen. lang, breed en hoog i M., en dat hiermee gemeten wordt al het zand van een heuvel, of van een spoordijk, of al het water, dat gedurende één minuut onder de brug van zekere rivier doorstroomt, dan is die kist de maat, de inho'ids- of ruimtemaat. Wie nu de paragraaf over de vlaktematen naleest, zal begrijpen, dat we als maten hebben : 1. een ruimte, lang, breed en diep i m.M.; 2. > » , » » » » i c.M.; 3- » »,» »»»i d.M.; 4- » » , » » » » i M.; 5. » » , » » » » 1 D. M. ; 6. » » , » » » » 1 H. M.; 7. » » , » » » » 1 K. M.; 8. » »,» » > » 1 M. M., en dat de namen dezer maten zijn : 1. kubieke millimeter (verkort: kub. m.M. of: m.M.3); 2. kubieke centimeter ( » » c.M. » c.M.3); 3. kubieke decimeter ( » » d.M. » d.M.3); 4. kubieke meter ( » » M. » M.3); 5. kubieke dekameter ( » » D. M. » D. M.3) ; 6. kubieke hectometer ( » » H. M. » H. M.3); 7. kubieke kilometer ( » » K. M. » K. M.3); 8. kubieke myriameter ( » » M. M. » K. M.3). Maar evenmin als de vlaktematen als stoffelijke lichamen bestaan, is dit met deze ruimtematen 1) het geval, althans met de meeste. We gebruiken deze maten niet als voorwerpen om de inhouden te meten. Dit komt eerstens hiervan, dat de genoemde ruimtematen, op een enkele na, «onhandelbare» dingen zouden zijn (men denke eens aan een kist van 10 M. lang, breed en hoog, die telkens gevuld moest worden, met het water uit een vieer b.v., om daarvan den inhoud te bepalen, — of men denke aan een kistje, dat slechts afmetingen had van 1 m.M.!) — en ten tweede, omdat we steeds kunnen berekenen, hoeveel van genoem- ') De maten van bldz. 116 noemt men ruimtematen, die van blz. 120 inhoudsmaten. de maten een zekere ruimte zou kunnen bevatten, als die maten als voorwerpen werkelijk bestonden. Slechts i d.M.:!, een bakje van I d.M. lang, breed en hoog, zou men met gemak kunnen hanteeren, maar de andere zijn voor 't practische leven te groot of te klein, 't Moet meestal op rekenen aan, en dat berekenen van inhouden is soms gemakkelijk, soms moeilijk, maar gerekend moet er worden, omdat het eigenlijke meten, zooals we dit kennen bij het meten van lengten, onmogelijk is in zeer veel gevallen. Daar, bij het meten van lengten, hadden we den meter, en gebruikten dit voorwerp, maar we kunnen geen c.M.:i nemen om af te passen in een steen, geen d.M.3, om telkens uit te zetten in een boom ; gebruiksvoorwerpen kunnen de ruimtematen clus niet zijn, het eigenlijke meten is onmogelijk. We herhalen : in zeer veel gevallen. Want melk, boonen, meel, en andere artikelen worden gemeten, maar dit is niet precies hetzelfde. Immers, we gaan niet de ruimte bepalen, die door de hoeveelheid melk wordt ingenomen, maar de melk zelf wordt gemeten, d.w.z. de hoeveelheid wordt vergeleken met de hoeveelheid, die zekere maat kan inhouden, en we weten daardoor meteen wel hoe groot de ruimte was, maar deze is niet zelf gemeten. Zoo moeten we ook in rekenen ons heil zoeken, als we den inhoud willen bepalen van kamers en kisten, van steenen en balken e.d. De ruimtematen zijn dus in 't algemeen geen gebruiksvoorwerpen. Een uitzondering zou men echter kunnen maken voor die maten, die wel eens gebruikt worden om grind te meten. Deze zijn n.1. zonder bodem, ten minste, we hebben er zóó wel eens een gezien van i M. lang, i M. breed en 5 d.M. hoog, de helft van 1 M.s dus. Dit is echter geen maat, die volgens de Wet bestaan mag, want art. 21 van het Reglement, regelende den vorm, de samenstelling en de afmetingen der maten en gewichten, vastgesteld 16 Oct. 1869, kent slechts drie stoffelijke ruimtematen: een halve decastère, een dubbele stère, een stère, waarvan de laatste gelijk is aan een M.3 ; — deze 3 maten dus : een halve decastère, of 5 M.:! (verkort: een halve I). S.); een dubbele stère, of 2 M.3 ( » 2 S.) ; een stère of 1 M.3 ( » S.). Hoe ze er uitzien, en waarvoor ze gebruikt worden ? We moeten bekennen ze nooit te hebben gezien, doch in art. 22 van genoemd Reglement lezen we dit: >l)e gedaante van ruimtematen is die van een rechthoekig houten raam, bestaande uit een grondstuk en twee loodrecht daarop geplaatste zijstukken, aan de bovenzijde met een dekstuk vereenigd en aan de buitenzijde elk van »twee schoren voorzien. «Elk zijstuk bevat in het midden een sleuf, een aanvang «nemende twintig centimeters boven het grondstuk, in welke »sleuf zich een lat of balkje beweegt. »I)ie lat of dat balkje wordt door eene schroef aan elk »einde op de vereischte hoogte gesteld. ()p de buitenzijde van elk zijstuk is eene in c.M. ver»deelde maat. ' Deze centimeters worden aangeduid door eenen wijzer, »die aan de beweegbare lat of het balkje gehecht is en met »de onderzijde daarvan in één vlak ligt.» Als men dit goed naleest, dan weet men er ... . nog niets van. Zijn dus de vorige ruimtematen grootendeels namen, toch hebben we ook werkelijk inhoudsmaten, d.w. voorwerpen, ïvaarmce wc meten gaan. Die voorwerpen kent ieder, maar alvorens deze te noemen, wijzen we er eerst op, dat de inhoud van deze maten ten nauwste in verband staat met die welke we reeds noemden. De grondslag van al de maten, die we nu hier op het oog hebben, is de kubieke decimeter, hiervoor genoemd onder 110. 3, maar die in gewijzigden vorm den naam draagt van liter, dien we ook reeds noemden. Die maat kent ieder, — niet den naam alleen, maar ook het voorwerp. In alle winkels is een liter, in alle winkels n.1. waar iets verkocht wordt bij de maat», zooals men zegt, ofschoon de/.e woorden eigenlijk meer zeggen, dan de bedoeling is. Bekijk zoo'n maat eens nauwkeurig. De naam staat er op, zoodat ge niet behoeft te twijfelen. Ze is gewaarmerkt als zuiver, en dus niets te groot, niets te klein. Dat moet onderzocht worden, om de i of 2 jaar, door ijkmeesters, die in elke gemeente zitting houden, en die er, als de maat goed is, een letter in slaan, een ijklcttcr, of, bij afkeuring, een ander merk. Die ijkletter kunt ge zien. Misschien staan er een heele rij van letters ; want is de maat reeds lang in gebruik, dan is ze reeds vele malen onderzocht, en telkens geijkt. Maar de vorige letters gelden niet meer ; alleen de laatste letter heeft nog waarde, maar ook slechts zoolang tot de ijkmeester opnieuw zitting houdt, en er een nieuwe, te voren bekend gemaakte letter in staat. Gemeente of rijkspolitie gaat daarna de winkels rond, om te zien of alle maten geijkt zijn, en te bekeuren ieder die niet-geijkte of afgekeurde maten gebruikt, of zelfs maar in den winkel heeft staan. Een liter behoeft dus voor niemand een vreemdeling te zijn. Maar wanneer gij een onderzoek instelt bij verschillende winkeliers, dan vindt ge verschillende vormen van liters, al naar het gebruik, dat er van gemaakt moet worden. Maar die vormen zijn alle door de Wet vastgesteld. De liter, die de appelenkoopman gebruikt, is anders dan de liter van een handelaar in dranken. Maar 't zijn alle liters, d.w.z. ze hebben een inhoud van i d.M.3 De liter van den appelenkoopman is 107 m.M. hoog, en heeft een middellijn van 109 m.M., die van den handelaar in sterke dranken heeft een hoogte van 172 m.M. en een middellijn van 86 m.M., die van den petroleumkoopman heeft dezelfde afmetingen als de eerste (107 en 109 m.M.), doch is van een andere stof vervaardigd, en heeft bovendien een z.g.n. stortrand. De eerste soort van maten (die voor appels e. d.) is vervaardigd van hout, ijzer, spaan, koper; ze heeten maten voor droge waren, die voor petroleum e. d. zijn vervaardigd van blik en heeten lage vochtmaten ; van deze beide is de hoogte nagenoeg evengroot als de middellijn. De maten voor dranken, waarvan de hoogte dubbel zoo groot is als de middellijn (bij den L. precies, bij de andere nagenoeg), heeten Iwoge vochtmaten; de lage en hooge vochtmaten heeten te zamen ook wel maten voor natte waren. De liter is de grondslag van een heele rij van inhoudsmaten, zeiden we. Ziehier acht namen : 1. de milliliter of het duizendste deel van een liter (verk. m.L.), 2. » centiliter » » honderdste » » » » ( > c.L.), 3. » deciliter » » tiende » » » > ( » d.L.), 4. » liter ( » 1^ 5. » decaliter of 10 L ( » D.L.) 6. » hectoliter » 100 I ( » H.L.), 7. » kiloliter » 1000 L ( » K.L.) 8. » myrialiter » 10000 L ( » M.L.). Voor een deel zijn dat weer namen en meer niet, namen om de hoeveelheid van zekere stof aan te geven. Zoo bestaat er b.v. geen m.L. en geen K.L. of M.L., en een c.L. alleen als maat voor natte waren. Maar de nos. 2—6 bestaan alle als voorwerpen, en die niet alleen, maar nog een aantal meer, veelvouden van deze. Ziehier welke stoffelijke inhoudsmaten we hebben : 1. dubbele hectoliter (alleen voor droge waren); 2. hectoliter; 3. acht decaliter (alleen voor natte waren) ; 4. zes decaliter ( » » » » ); 5. halve hectoliters ; 6. vier decaliter ( » » » » ); 7. drie decaliter ( » » » » ); 8. dubbele decaliter ; 9. decaliter; 10. halve decaliter; 11. dubbele liter; 12. liter; 13. halve liter; 14. dubbele deciliter; 15. deciliter; 16. halve deciliter; 17. dubbele centiliter (alleen voor natte waren); 18. centiliter ( » » » » ). Men moet trachten al die maten te zien, en sommige in al de vormen waarin ze mogen bestaan. Evenals bij de lengtematen geven we hier eenige aanwijzingen, waar men de maten vinden kan. Die voor droge waren bij de handelaren in die artikelen, d.w.z. de handelaren in granen en meel, in ooft, in kruidenierswinkels (in de meeste streken van 't land althans; in sommige streken verkoopt men alles bij t gewicht), bij steenkolenhandelaren, misschien ook wel eens bij den turfhandelaar. Maar't spreekt vanzelf, dat deze laatste bij zijn handel nooit behoefte heeft aan een deciliter, wel aan een maat van 2 H.I.. Ken graanhandelaar daarentegen zal nooit een maat van 2 H.L. gebruiken, want hij heeft geen zakken, die meer graan kunnen bevatten dan I H.L., en bovendien zijn 2 H.L. graan ook te zwaar, om in een zak overgestort of bij een ladder opgedragen te worden (2 H.L. gerst weegt ± 120 K.G.). I)e maten van 2 H.L.., i H.L. en een halve H.L. hebben soms den vorm van een ton (in 't midden wijder dan boven en beneden), doch men ziet ze niet veel meer. Verschillende van de groote maten vindt men bij melkhandclaren en bij de groote petroleumwagens, welke hunne artikelen afleveren aan wederverkoopers. Voorts vindt men de hooge vochtmaten in de lokalen, waar dranken verkocht worden bij de maat. Maar het groote publiek spreekt nooit van H.L., van d.L. enz.; 't is altijd nog mud (voor H.L.),, kop (L. voor droge waren), kan (id. voor natte waren), maatje (voor d.L.), schepel (D.L. voor droge waren; een D.L. natte waren noemt men nooit een schepel, steeds io kan), enz. Vraagt men, waarom al die maten noodig zijn, dan kan men een duidelijk antwoord krijgen bij den graanhandelaar, wanneer hij b.v. een partij graan van 569 L. heeft en die moet meten. Kan hij enkel beschikken over L., D.L., enz., dan zou hij moeten meten: 5 maal een partij van 1 H.L. 6 » » » » 1 D.L. 9 » » » » 1 I,., of omdat graan nooit gemeten wordt met een grootere maat dan een halve hectoliter, zou hij 25 maal moeten meten (10-f-6-j-9). Hij meet echter de 5 H.L. in 10 keer, als hiervoor; » 6 D.L. » 2 » (een maat van 5 D.L. en een van 1 D.L.) * 9 L. » 3 v ( » » » 5 L. en 2 keer 2 L.) de 69 L. dus in 5 keer, in plaats van in 15 maal. We noemden reeds de stère, en deelden toen mede, dat er o.a. een maat bestond van een halve decastère. Ken heele decastère bestaat als stoffelijke ruimtemaat niet. In theorie spreekt men wel van een decasttre (verkort D.S.), of 10 S. = 10 M.3 Ken naam dus, waarin de grootte van eenige ruimte kan worden uitgedrukt; geen voorwerp echter om mee te meten. (>p dezelfde wijze hebben we ook een deelstere (verkort d.S.), of het 10e deel van een S. Ien slotte noemen we hier nog de scheepston, een ruimtemaat voor schepen; spreekt men van binnenvaartuigen, dan is de scheepston 1000 d.M.1 of 1 M.8; bedoelt men buitenvaartuigen, dan is een ton (dan ook wel registerton genoemd) 2830 d.M.3 § 57. Iets over het meten van oppervlakten. Het berekenen van oppervlakten is een zaak, die eerst later aan de orde kan komen, omdat dit, in t algemeen, niet zeer gemakkelijk is. Maar we moeten er 1111 toch alvast iets van leeren, iets, n.1. het berekenen van de oppervlakte van vierkanten en rechthoeken, omdat dit zeer eenvoudig is, en ook, omdat het beslist noodig is om het verband te begrijpen tusschen de verschillende vlaktematen, zooals we die in § 55 hebben opgegeven. We zeiden reeds aan welke eischen een figuur moet voldoen om een vierkant genoemd te worden. Die eischen waren : vier rechte hoeken en vier even lange zijden. We geven nu een naam aan een andere figuur, waaraan we geen andere eischen stellen dan vier rechte hoeken ; omtrent de zijden beslissen we niets. Zoo 11 figuur heet een rechthoek. Ziellier een rechthoek: Om zoo'n figuur te teekenen, is alleen ecu driehoek noodig. Zorgt men dan, dat de 4 hoeken recht worden, dan vindt men, na meting, dat ie. de twee lange zijden even lang zijn ; 2e. dat ook de twee korte zijden even lang zijn ; 3e. dat de twee lange zijden evenwijdig zijn, en ook de twee korte. Maar dit is niet het belangrijkste. \\ ant in de hiernevensstaande figuur geldt ook, wat we onder 1, 2 en 3 noemden, alles, maar in tegenstelling met de eerste figuur, is thans niet één der vier hoeken recht. Dat is het voornaamste : het recht-zijn der hoeken. Daarom is de eerste figuur een rechthoek, de tweede niet. Van een vierkant zijn alle hoeken recht; t is ook een rechthoek, maar van een bijzonder soort: alle zijden zijn nl. even lang. We zullen 1111 de oppervlakte leeren berekenen van rechthoeken. d.w.z. leeren berekenen, hoeveelmaal een zekere vlaktemaat in verschillende rechthoeken kan afgepast worden. Dat berekenen is een zeer eenvoudige zaak voor ieder, die de moeite wil nemen een aantal vierkante centimeters op t papier te teekenen, en uit te knippen, en dan — want dit is de bedoeling — dan eens eenige rechthoeken te vormen door de kleine vierkantjes nu eens zoo en dan weer zoo te leggen. Dan leert men niet lezende, maar werkende. En wel zoo : Neem 24 vierkante centimeters en leg die in 4 rijen. Die 24 c.M.'- vormen dan deze figuur : Een strook, d.w.z. een rij van c.M.- langs de bovenzijde b.v., bevat 6 c.M.-. Meet eens hoe lang en hoe breed de rechthoek is. Of begrijpt ge 't reeds zonder te meten, dat de lengte 6 cM., en de breedte 4 c.M. is, omdat elk vierkant 1 c.M. lang en breed is? Leg dan die 24 c.M.'- eens in strooken van 12 c.M2., of » » » 8 c.M2., dan krijgt men eerst een rechthoek van 2 c.M. breed en 12 c.M. lang, dan » » » 3 » » » 8 :» » . Zoodra we hiervan goed overtuigd zijn, keeren we de zaak om, teekenen eerst een rechthoek van b.v. 8 c.M. lang en 5 c.M. breed en vragen dan a) hoeveel strooken van 1 c,M. breed zijn er, als we den Jechthoek verdeelen ? fi) hoeveel c.M.'- zal elke strook bevatten? Als men dat éénmaal uitteekent, dan kent men het antwoord in elk voorkomend geval en daarom mogen we dat uitteekenen vooral niet verzuimen. 8 c.M. 5 c.M. De redeneering is dan zoo: a) Omdat de breedte 5 c.M. is, komen er 5 strooken van c.M.- b) Omdat de lengte 8 c.M. is, bevat de bovenste strook 8 c.M.2 De bovenste strook is in 8 vierkante centimeters verdeeld, maar alle strooken zijn evengroot; de oppervlakte van den rechthoek is dus 5 X 8 C-M-* = 40 c.M.2 Men zal begrijpen, dat in 't algemeen nu dit waar is: a) Er komen zooveel strooken van c.M.2, als de breedte c.M. bevat. Is de breedte 5 c.M., dan 5 strooken ; is de breedte 12 c.M., dan 12 strooken, enz. b) Elke strook bevat zooveel c.M.2 als de lengte c.M. bevat. Is de lengte 10 c.M., dan bevat elke strook 10 c.M.2, enz. c) Het aantal c.M.2 van elke strook wordt vermenigvuldigd met het aantal strooken om de oppervlakte van den rechthoek te vinden. Een rechthoek van 9 c.M. lang en 4 c.M. breed bevat dus 4 strooken van 9 c.M.2, de grootte is dus 4 X 9 C'M-2 = 3^ c.M.2 Een rechthoek van 45 c.M. lang en 22 c.M. breed bevat 22 strooken van 45 c.M.2 en is dus 990 c.M.2 groot. Enz. 't Is alles hetzelfde. Dat waren nu vierkante centimeters. Om met de andere vlaktematen te kunnen »werken«, zouden we stukjes papier moeten uitknippen van i m.M.2, i d.M.2, i M.2, en/.., tot i M.M.2 toe. Maar men begrijpt, dat zulks niet gaat en om dus te berekenen hoeveel M.2, D.M.2, enz. een stuk land groot is, gaat het niet aan om dat stuk uit te teekenen en te verdeelen zooals we boven aangaven. Maar wat we in werkelijkheid niet kunnen doen, dat kunnen we toch in gedachten wèl. Zoodra we hieraan beginnen, blijkt het, dat we in elk geval precies dezelfde redeneering moeten houden als hierboven met de c.M-, Men verbeelde zich slechts, dat bovenstaande rechthoek een stuk land was, lang 8 D.M. en breed 5 D.M. Dan kon men dat stuk verdeelen in 5 akkers, elk van 1 D.M. breed, en elk van die 5 akkers weer in 5 stukjes grond van 1 D.M.2, kortom, de teekening, die ons dit moest verduidelijken, en de redeneering, die we dan moesten houden, het al veranderde niet. In eiken rechthoek hebben we dus zooveel strooken van 1 D.M., als de rechthoek D.M. breed is, t 1 K.M., » •» » K.M. » », enz. en elke strook bevat zooveel D.M.2 als de lengte D.M. is, » K.M.2 » » » K.M. » , enz. Vragen we dus, hoeveel M.2 een akker groot is, die 27 M. lang en 3 M. breed is, dan zeggen we : a) er zijn 3 strcoken ; t>) elke strook is 27 M.2 groot; c) de oppervlakte is 3 X 27 M.2 = 81 M.2 Hoe groot is een heideveld, lang 25 H.M. en breed 12 H.M. ? We zeggen dit: a) er zijn 12 strooken van 1 H.M. breed; b) elke strook bevat 25 H.M.2 ; c) de oppervlakte is 12 X 25 H.M.2 = 300 H.M.2 Opmerkingen. In 't werkelijke leven niet, maar in vraagstukken uit rekenboeken ontmoet men dit: De lengte wordt opgegeven in M., de breedte in c.M. Een vloer is lang 5 M. en breed 345 c.M. Hoe groot is die vloer? Er zijn 345 strooken van 1 c.M. breed; elke strook bevat 300 c.M.2, want 5 M. = 500 c.M. De oppervlakte is dus 345 X 5°° c.M.2 = 172500 c.M.2 Op iets dergelijks moet men steeds letten, n.1. of lengte en breedte in dezelfde maat zijn uitgedrukt. Is dit niet het geval, dan moet men beide eerst tot dezelfde maat herleiden. § 58. Verband tusschen de vlaktematen. Het vorige stelt ons in staat de verhouding na te gaan, die er bestaat tusschen de verschillende vlaktematen. Dat wil zeggen : het is soms noodig te weten hoeveel m.M.2 gelijk zijn aan een M2, hoeveel d.M.2 aan I M.M2, enz. en dat kunnen we berekenen als de vorige § goed is begrepen. Een c.M.2 is een rechthoek lang io m.M. en breed io m.M. Die rechthoek kan dus verdeeld worden in io strooken van io m.M.2 zoodat we krijgen: i c.M.2 = io X '° m.M.2 = ioo m.M.2 Een d.M.2 is een rechthoek, lang ioo m.M. en breed ioo m.M. Daarom is i d.M.2 = ioo X 100 m.M.2 = ioooo m.M.2. Een K.M.2 is een rechthoek, lang iooo M. en breed iooo M.; we hebben dus dit: i K.M.2 = iooo X 1000 M.2 = ioooooo M.2. Op deze wijze kunnen we elke willekeurige vlaktemaat uitdrukken in een andere, kleinere l) maat. We beschouwen de maat als een rechthoek en vragen dan slechts hoe lang en hoe breed die rechthoek is. Maar we kunnen de zaak ook nog een beetje anders onder de oogen zien. We schrijven eerst de lengtematen op in de gewone volgorde: m.M., c.M., d.M., M„ D.M., H.M., K.M., M.M. Van links naar rechts genomen, is elke volgende maat precies io maal zoo groot als de vorige. Willen we nu de verhouding bepalen tusschen twee op elkaar volgende vlaktematen, en dus vragen: i) Ook in een grootere maat, maar daarvoor moet men eerst het hoofdstuk over de tiendeelige breuken bestudeeren. hoeveel m.M.2 zijn er in i c.M.2 ? » c.M.2 » » » i d.M.8? » d.M.2 » » » i M.2 ? enz. dan hebben we telkens dit: er zijn io strooken, elke strook bevat 10 vierkanten, de oppervlakte is dus 100: eerst 100 m.M.2, dan 100 c.M.-, dan 100 d.M.2, enz. De op elkaar volgende lengtematen worden telkens 10 maal zoo groot; de op elkaar volgende vlaktematen 10 X !0 of ioo maal. We gaan nu een stapje verder, slaan één maat over, en vragen nu: hoeveel m.M.2 gaan er, niet in i c.M.2, maar in i d.M.2? c.M.2 » » » » i d.M.2, » » i M.2 ? d.M.2 » » » » i M.2, » » i D.M.2?enz. dan zeggen we, in 't laatste geval b.v. dit: i D.M. is ioo d.M., i D.M.2 bevat dus ioo strooken van ioo d.M.2, dus iooood.M.2 En zoo is het telkens. Mocht men 't zóó niet kunnen begrijpen, dan zeggen we dit: i D.M.2 = ioo M.2 (zie boven); elke M.2 = ioo d.M.2, dus i D.M.2 of ioo M.2, ioo X 100 d.M.2 = ioooo d.M.2. Slaan we derhalve een maat over, dan krijgen we een lengtemaat, die ioo maal zoo groot is, en een vlaktemaat, die ioo X ioo of ioooo maal zoo groot is. Moeten we zóó nog meer voorbeelden bespreken ? Het zal wel niet noodig zijn. Alleen nog dit: Vraagt men hoeveel m.M.2 er gaan in I M.M.2, d.w.z. heeft men een vraagstuk waarin een groot getal voorkomt, dan neemt men voor 't gemak even rust bij de M. bijv.: i M.M. = ioooo M. (4 nullen); 1 M.M.2 dus 100000000 M.2 (8 nullen); 1 M. == 1000 m.M. (3 nullen); 1 M.2 dus 1000000 m.M.2 (6 nullen); 1 M.M.2 = 1000000 X 100000000 = 100000000000000 m.M.2 (14 nullen). Merk ook nog op, dat het aantal nullen steeds even is, 2, 4, 6, 8, 10, 12 of 14. We herinneren er aan, dat 1 H.M.2 1 H.A. genoemd wordt, i D.M.2 nok i A. i M.2 i c.A. Wanneer we nu eerst dit weten: i H.M.- = 100 1).M.8 = 10000 M.2, dan kunnen we ook direct schrijven: i H.A. = 100 A. = ioooo c.A.; immers in de beide regels staat hetzelfde. En dan nog dit: i D.M.2 = 100 M.2, of i A. = 100 c.A.; ook hier staat in beide regels hetzelfde. Dat i H.A. = 100 A. is, zegt de naam reeds: hecto = 100. En i A. - 100 c.A., evenals i M. = 100 c.M., i L. — 100 c.L., enz. Wat moet men nu aanvangen met de kennis, die uit de vorige bladzijden opgegaard kan worden r In hoofdzaak bestaat dit uit het herleiden van de eene maat in een andere. Dat vraagt het practische leven, dat vragen ook de sommen uit de rekenboeken. Zoo b.v. : Hoeveel M.2 is li H.A. 57 A. 20 c.A. :1 En ook dit: Een stuk land is 420 M. lang en 160 M. breed. Hoeveel H.A. is dat? De oppervlakte van het land is (zie § 57) 160 X 42° M.2 = 67200 M.2 = 6 H. A. 72 A. — Een weide, groot 5 H.A. 36 A. 22 c.A., wordt in een zeker aantal gelijke stukken verdeeld. Om de oppervlakte van elk deel te berekenen, is het noodig, in den regel althans, om de grootte van het geheel uit te drukken in M.2 Zoo komt op elk gebied kennis der vlaktematen te pas. Een schilder moet een muur schilderen ; de kosten berekent hij per M.2, maar om dit te kunnen is het noodig de oppervlakte van den muur te berekenen. Een arbeider maait een gedeelte van een korenveld ; — de grootte moet berekend worden. Een aannemer berekent het aantal steenen voor een straat ; hij weet hoeveel hij per M.2 noodig heeft, en moet dus de grootte van de straat weten in M.2 Enz. .Practisch Rekenonderwijs' 9 § 59. Iets m'cr het meten van inhouden. Een balk kent ieder. Talloos veel voorwerpen hebben den vorm van een balk. Beschouw er eens één wat nader, een lucifersdoosje b.v. Is 't geen balk ? Neen, niet wat betreft het gebruik, maar voor zoover den vorm aangaat, komt zoo'n doosje volkomen overeen met een balk in onze woning. Laten we slechts vergelijken. Aan een balk, zoowel als aan een doosje, aan een sigarenkist, enz. zijn een boven- en een ondervlak, een voor- en een achtervlak, een linker- en een rechterzij vlak. Aan een lucifersdoosje kunt ge die vlakken aanwijzen : het bovenvlak is voorzien van een etiquet; het ondervlak staat op tafel ; het linker- en rechterzijvlak zijn de smalle opstaande kanten ; het voor- en achtervlak zijn de korte einden aan het eigenlijke doosje, dat de lucifers bevat. 't Is noodig zich van deze eenvoudige dingen goed rekenschap te geven, — en dezelfde vlakken op te zoeken aan de andere voorwerpen, een sigarenkistje, een balk (aan een balk in een woning zijn slechts drie vlakken te zien, drie zijn onzichtbaar), een plank, een tafelblad, een boek, een vel papier, een woonkamer, een vensterruit, een vierkante lat. Al die dingen zijn balkvormig. Maar aan een cent, een torenspits, een bezemsteel zijn geen zes vlakken; ze zijn niet balkvormig. De balkvormige lichamen zijn wel eens, naar verhouding, kort of lang, hoog of laag, smal of breed, — maar aan alle vindt men zes vlakken, en die zes vlakken staan op elkaar zooals we ze vinden aan een balk, een sigarenkist: rechthoekig n.1., of loodrecht, zooals men ook zegt. Men kent immers deze laatste uitdrukking? De timmerman gebruikt zijn winkelhaak en zijn schietlood om iets loodrecht op te zetten, de muren van een huis b.v. De woonkamer heeft dan ook denzalfden vorm als een sigarendoos: de wanden staan loodrecht op den vloer en de zolder is hieraan evenwijdig. Nu moet de inhoud van die lichamen gemeten (zie § 56), of liever: berekend worden. Om dat • berekenent goed te leeren, moet men eigenlijk beschikken over een zeker aantal kubieke centimeters van hout of steen, voorwerpen dus, zooals we ook vierkante centimeters gebruiken bij het leeren berekenen van de oppervlakte van een rechthoek. Er zijn wel c.M.3 in den handel; ze worden wel in scholen gebruikt om aan eerstbeginnenden het rekenen te leeren, maar met een beetje goeden wil kan men zich een c.M.;! ook wel voorstellen, ook wel een d.M.3 of M3. Wanneer men echter over een aantal c.M.3 kan beschikken, moet men niet laten met deze kleine kuben .te werken. Maar zoo niet, dan pakke men de kamer maar eens vol met d M.3 — in gedachten althans. We beginnen in een hoek van den vloer, en schuiven maar aan, aldoor maar aan, één enkele rij langs de eene zijde. Het werk valt tegen, want we zijn nog niet zoo gauw in den anderen hoek. Hoe lang is de kamer ? Niet minder dan 4 M. en 8 d.M., zoodat er 48 aaneengeschoven kunnen worden. Maar daarmee is de vloer niet bedekt. Een rij er naast: weer 48 d.M.3 En aldoor maar weer rijen, tot van den vloer niets meer te zien is. De vloer is 40 d.M. breed, er zijn dus maar even 40 rijen noodig, dat is dus 40 X 4^ °f '920 d.M.3 Dat is al heel wat. Als ge elke minuut 20 plaatstet, zoudt ge maar even 96 minuten, of meer dan 1^ uur noodig hebben om den vloer geheel te bedekken. Maar de kamer is daarmee niet gevuld: nog slechts één enkele laag ligt op den vloer. Opnieuw aan den arbeid. Weer een laag, weer ruim uV uur gewerkt, weer 1920 d.M.3 geplaatst. Dat's twee lagen. En nu eens omhoog gekeken, naar den zolder, die 36 d.M. boven den vloer is. We begrijpen 't: er moeten 36 lagen gelegd worden, — doch omdat niet dit ons doel is, het werken n.1., maar wel het berekenen van het aantal d.M.3, zeggen we nu eenvoudig: er zijn 36 X 1920 = 69120 d.M.3 noodig. Bij een werkdag van 9 uur zouden we in een week niet klaar komen. We kunnen nu dit vaststellen. in elke rij van de ie laag gingen zooveel d.M.3 als de kamer lang was; er gingen zooveel rijen in de eerste laag, als de kamer d.M. breed was; er waren zooveel lagen noodig, als de kamer d.M. hoog was. En dat is altijd zoo, ook als de cijfers door andere worden vervangen. Was de kamer 52 d.M. lang, 45 d.M. breed, 40 d.M. hoog, dan telde de eerste laag 45 X 52 d.M.8, en in 't geheel waren er noodig 40 X 45 X 52 d.M.:i = 93600 d.M.3. Een blok hout kunnen we niet vullen met d.M.3, maar, zoo noodig, wel verdeden in d.M.3 De redeneering is dezelfde als hiervoor. Is het blok 3 d.M. dik (hoog), dan kan het verdeeld worden in 3 slagen" van 1 d.M.; elke laag bevat dan zooveel d.M.3 als het grondvlak d.M.2 is. Dit laatste is niets anders, dan wat we hiervoor zeiden. Want het grondvlak bestaat uit eenige rijen vierkanten, en op elk vierkant is een d.M.3 geplaatst. Is 't blok 8 d.M. lang en 5 d.M. breed, dan bestaat één laag uit 8X5 d.M.3 = 40 d.M.3; 't geheele blok is groot 3X4° d.M.3 = 120 d.M.3 Maar dat waren alle d.M3. Doch of het zijn d.M.3 of M.3 of wat ook, steeds kunnen we ons elk balkvormig lichaam op dezelfde wijze „samengesteld" denken, en steeds houden we dezelfde redeneering. Oppervlakten werden alle op dezelfde wijze berekend, of het d.M.2 waren ofK.M.2(zie bl. 126), inhouden ook. Voorbeelden: Hoeveel c.M.3 is een doosje groot, lang 12, breed 8, hoog 5 c.M.? Op den bodem kunnen staan 8 X 12 c.M.3 ; er kunnen 5 lagen in geplaatst worden; de inhoud is dus 5 X 8 X 12 c.M.3 = 480 c.M8. Hoeveel M.:t is een zaal groot, lang 20 M., breed 12 M., hoog 5 M. ? De redeneering is dezelfde; de inhoud is 5 X 12 X 20 M.3 = 1200 M.8 enz. Opmerking. Vindt men in een vraagstuk de „afmetingen", d. w. z. lengte, breedte en hoogte, opgegeven in verschillende maten, dan moeten deze eerst herleid worden tot dezelfde maat. Bv. Een plank is 5 d.M. lang, 25 c.M. breed en 28 m.M. dik. Hoe groot is de inhoud? We zeggen: 5 d.M. = 500 m.M., 25 c.M. = 250 m.M; de inhoud is dus: 28 X 25° X 5°° m.M.:i = 3500000 m.M.3 Deze opmerking komt dus overeen met die op blz. 126. § 60. Verband tusschen de inhoudsmaten. We kunnen thans berekenen hoeveel c.M.3 er gaan in een M.3, hoeveel M.3 in een K.M.3, hoeveel d.M.3 in een M.M.3, enz. Ziehier de rij der ruimtematen: m.M.3, c.M.3, d.M.3, M.3, D.M.3, H.M.3, K.M.3, M.M». Beginnen we met de verhouding aan te geven tusschen twee op elkaar volgende maten, evenals in § 58. Een c.M.3 kan beschouwd worden als een balkvormig lichaam, lang 10, breed 10 en hoog 10 m.M.; daarom is 1 c.M.3 = 10 X 10 X 10 c.M.3 = 1000 m.M3. Een d.M.3 is een ruimte van 10 c.M. lang, breed en hoog; daarom ook dit : 1 d.M.3 = 10 X 10 X 10 c.M.3 = 1000 c.M3. En hetzelfde kan worden opgemerkt ten opzichte van de andere inhoudsmaten. Verhouden zich de lengtematen als 1 tot 10, dan de inhoudsmaten als 1 tot 10 X 10 X 10 1000. We bepalen nu de verhouding tusschen twee niet op elkaar volgende maten, tusschen c.M.3 en M.3, tusschen d.M.3 en K.M3. Dat kan op twee wijzen. Ziehier : a) 1 M.3 is een ruimte van 100 c.M. lang, breed en hoog ; 1 M.3 is dus 100 X 100 X 100 = 1000000 c.M3. 1 K.M.3 is een ruimte van 10000 d.M. lang, breed en hoog; 1 K.M.3 is dus 10000 X 10000 X 10000 d.M.3 = 1000000000000 d.M3. />) 1 M.3 = 1000 d.M.3, 1 d.M.3 = 1000 c.M.3, 1 M.3 dus 1000 X 1000 c.M.3 = 1000000 c.M3. 1 K.M.3 = 1000 H.M.3 ; 1 H.M.3 = 1000 D.M.3 ; 1 D.M.3 = 1000 M.3, 1 M.3 — 1000 d.M.3, dus i D.M.1 of 1000 M.;t == ioooooo i H.M.'1 of iooo D.M.:! == iooooooooo d.M.3, i K.M. ' of iooo H.M.3 = ioooooooooooo d.M.8, t Gaat dus precies als bij cie vlaktematen, de wijze van berekenen n.1. Maar de uitkomst is anders. Als men de lengtematen, vlaktematen en inhoudsmaten naast elkaar schrijft, dan krijgt men dit lijstje van de verhoudingen : VERHOUDING DER VERHOUDING DER VERHOUDING DER LENGTEMATEN: VLAKTEMATEN: INHOUDSMATEN. i tot 10 (i nul ) i tot 100 (2 nullen) i tot iooo (3 nullen) 1 > 100 (2 nullen) 1 » — (4 nullen) 1 » — (6 nullen) 1 » 1000 (3 nullen) 1 » — (6 nullen) 1 » — (9 nullen) 1 » 10000 (4 nullen) 1 » — (Snullen) 1 » — (12 nullen) ^nz. Enz. Enz. I11 § 56 bespraken we den liter met de onderdeelen en veelvouden er van. Om te berekenen hoe de verhouding is tusschen deze inhoudsmaten, verwijzen we naar 't slot van § 54. waar de herleiding der lengtematen besproken wordt; — 't is hier precies hetzelfde. 1 K.L. = 1000 L., 1 L. = 10 d.L., dus 1 K.L. = 1000 X 10 d.L. = 10000 d.L. Moeilijkheden levert dit een en ander niet op. Maar we dienen het nog even te hebben over het verband tusschen de m.M.3, c.M.3, d.M.3, M.3, D.M.3, H.M.3, K.M.3, M.M.3 tereener zijde, en de m.L., c.L., d.L, L„ D.L., H.L., K.L., M.L., anderzijds. Wie § 56 naleest, is in staat het verband in elk bijzonder geval op te sporen, doch we zullen toch eenige gevallen behandelen om den zoekende t werk te vergemakkelijken. We beginnen met wat we weten : 1 d.M.3 = 1 L. Dat is het uitgangspunt. En dan gaan we voort: 1 M.:< = 1000 d.M.3 of 1000 L. = 1 K.L. 1 D.M3 = 1000 M.3 = 1000 K.L. 1 d.M.3 - 1000 c.M.3, 1 L. = 1000 m.L, dus 1000 c.M.3 = 1000 m.L., of 1 c.M.3 = 1 m.L. Alleen i m.L., i L., i K.L. komen onder een anderen naam ook in de eerste rij inhoudsmaten voor, n.1. als i c.M.8, i d.M.:i, i M.3, maar dat gewirwar van de rnilli-, centi- en deci- is wel in staat iemand van de wijs te brengen. Allerlei vragen kunnen nu gedaan worden ; hoeveel m.M.3 bevat i m.L. ? c.M.3 » i c.L. ? » d.M.3 » i d.L. ? d.L. » i d.M.3 f » L. » i M.3 ? » D.L. » i D.M.3 ? enz. En deze : hoeveel m.L. bevat elk der inhoudsmaten van de eerste rij. Men schrijve 't eens op, en men komt dan tot deze eind-uitkomst: i M.M.3 = ioooooooooooooooooo m.L. Een aardig getalletje. Naast deze vergelijking van de verschillende maten komen we nog even terug op de decistère, de stère en de decastère. Een stère is 1 M.3, i d.S. het tiende deel van i S., en i D.S. = 10 S. Omdat i S. = i M.3 = iooo d.M.3 = iooo L., is 1 d.S. = 1 H.L. Zoo is ook 1 D.S. = io S. = iooood.M.3 = ioooo L. = 1 M.L. 't Is niet moeilijk dus, als men zich de zaken maar goed voorstelt: D.S., D.L., en D.M.3, 't is alles eensluidend, maar daarom toch verre van gelijk. Zoo ooit, dan moeten er bij dit werk de gedachten bij. De vraagstukken, waarin in rekenboeken opgaven over de inhoudsmaten voorkomen, eischen kennis van al het voorgaande, omdat het herleiden, het overbrengen van de eene maat in de andere, in bijna elke som voorkomt. Dat herleiden is een lastig struikelblok. Men probeere zijn krachten eens aan het volgende: a) 2758632 L. = . . . M.3 + . . . c.M3. b) 728 d.S. = , . . d.L. c) 4820000 m.L. == . . . D.L. d) 784 D.L. — . . . d.S. -|- . . . d.M3. e) 285 K.L. = . . . c.M.3 ƒ) 84 D.S. = . . . D.L. g) 784 M.L. = . . . Aanwijzingen. a) 1000 L. = 1000 d.M.3 = 1 .M3. Vraag dus eerst: hoeveelmaal 1000 L. is er bij 2758632 L. />) Denk er aan, dat I d.S. = 100 L. of 1000 d.L. c) Herleidt 4820000 m.L. eerst tot L. d) Denk er weer aan, dat 1 d.S. = 1 H.L. of 10 D.L. Bij 784 D.L., is dus 78 d.S., want er is 78 X 10 D.L.,enz. e) 1 K.L. = 1000 L. = 1000 d.M.:) = . c.M.3 ƒ) 1 D.S. = 10 S. = 10 M.8 = 10000 L., enz. g) 1 M.L. = 10000 L. = 10000 d.M.3 = . c.M.3 § 61. De Gewichten. 't Woord >gewichten" staat in verband met wegen, en inderderdaad dienen gewichten dan ook om de voorwerpen te wegen het gewicht er van te bepalen. Wat wegen is, zeiden we reeds in § 51, de zwaarte van twee voorwerpen vergelijken, waarbij een der voorwerpen dient als maat; de uitkomst der vergelijking, d.i. het wegen, noemt men dan het geivicht der voorwerpen. We wezen er op, dat er verband bestaat tusschen de in de vorige paragrafen behandelde maten en de gewichten, 't Schijnt wel vreemd, dat dit verband bestaat tusschen de gewichten uit den kruidenierswinkel en den meter, maar toch is het zoo. Want als eenheid van gewicht is aangenomen het gewicht van een liter -water. Dat water moet dan zuiver zijn, natuurlijk, en het moet aan zekere voorwaarden voldoen, n.1. een temperatuur hebben van 4° C., omdat het gewicht van 1 L. water dan het grootst is, maar indien aan deze beide voorwaarden voldaan is, dan is 't gewicht van 1 L. water de gewichtseenheid. Dat gewicht noemt men 1 Kilogram. Men kan ook uitgaan van het gewicht van 1 c.M.3 water, het duizendste deel van 1 d.M.3; het gewicht hiervan heet / gram. Hiervan zijn de andere gewichten afgeleid op dezelfde wij/.e als de lengtematen van den meter, de inhoudsmaten van den liter, zoodat men deze namen heeft: I m.G., dat is : het duizendste deel van I gram, I c.G., > » > honderdste » » 1 > , i d.G., » » » tiende > » i » , i G., i D.G., » » 10 gram, i H.G., » » 100 > , i K.G., » » iooo » , i M.G., » » ioooo » . De laatste vijf van deze gewichten kan men vinden bij alle winkeliers, de eerste drie zijn in 't gewone leven niet in gebruik, omdat ze daarvoor te klein zijn. Ze hebben een heel anderen vorm dan de andere gewichten; 't zijn n.1. vierkante plaatjes van koper, zilver, platina of aluminium. Om gewichten van i m.G., i c.G., I d.G. en de andere kleine gewichten beneden I gram (n.1. 500, 200, 100, 50, 20, 10, 5, 2, 1 milligram) te zien, moet men wezen bij een apotheker, die deze gewichten gebruikt bij het afwegen van zijn geneesmiddelen, waarvan soms uiterst kleine hoeveelheden noodig zijn. Maar de andere gewichten dan zijn bij de winkeliers. Daar vindt men op de toonbank een houten blok met gewichten, waarin zich bevinden: een gewicht van I G., twee gewichten » 2 G., een gewicht » 5 G., twee gewichten » 1 D.G., een gewicht » 2 D.G., een gewicht * 5 D.G., twee gewichten » 1 H.G., een gewicht » 2 H.G., een gewicht » 5 H.G., te zamen dus 12 gewichten. Sommige winkeliers bezitten alleen de laatste 5, want het afwegen van een hoeveelheid van 1, 2 en 5 gram komt in de meeste zaken niet voor, terwijl 1 en 2 D.G. van zekere waren wel eens worden afgewogen, maar de omstandigheid dat een gulden juist i I).G. weegt, is oorzaak, dat men een gulden in de schaal werpt, waar een D.G. moest zijn. Soms ontbreken de dubbele* gewichten ; in plaats van twee is er maar een gewicht aanwezig van 2 D.G., 1 D.G. en 1 H.G. Deze »dubbele* gewichten zijn natuurlijk niet noodig om de gewichten te leeren kennen, maar om het gewicht te kunnen bepalen van elke willekeurige hoeveelheid van zekere waar. Er moet b.v. 9 D.G. worden afgewogen. Daartoe neemt men dan 1 gewicht van 5 D.G., 1 gewicht van 2 D.G. en 2 gewichten van 1 D.G. Had men van deze laatste dus geen dubbele , dan kon men niet verder wegen dan 8 D.G. Men behelpt zich in zoo'n geval wel, — maar toch, met 12 gewichten is men steeds klaar. Maar bereken 1111 eens hoe zwaar al die 12 gewichten zijn. Ziehier : 1. een gewicht van 5 H.G. . . . 500 G. 2- » » » 2 H.G. . . . 200 G. 3. 4. twee gewichten » 1 H.G. . . . 200 G. 5. een gewicht > 5 D.G. ... 50 G. 6. » » » 2 D.G. ... 20 G. 7. 8. twee gewichten * 1 D.G. ... 20 G. 9. een gewicht > 5 G 5 G. 10. 11. twee gewichten > 2 G 4 G. 12. een gewicht > 1 G 1 G. Te zamen 1000 G. ino. 1 is zoo zwaar ais de andere 11; de nos. 3 en 4 zijn elk zoo zwaar als nos. 6—-12 ; 110. 7 en 8 elk zoo zwaar als nos. 9—12, no. 9 zoo zwaar als nos, 10—12. Behalve deze gewichten zijn er nog gewichten van 1, 2, 5, 10 en 25 K.G. ') De gewichten beneden 1 K.G., die uit het blok, zijn steeds van koper; de andere gewichten zijn gewoonlijk van ijzer, mógen echter ook van koper vervaardigd worden. Ieder is in de gelegenheid de gewichten te leeren kennen, ') Meergenoemd Reglement noemt ook gewiehten van 50 en 20 K.G. omdat ze op zoovele plaatsen aanwezig zijn. Men neme ze in de hand, en bekijke ze. De naam staat er op ; een of meer ijkletters zijn er in geslagen. Onder in de meeste gewichten is een holte, vierkant of schroefvormig, waarin bij liet ijken eenig lood gegoten wordt als ze iets te licht blijken. Meet ook eens de hoogte van de koperen gewichten en de middellijn van het grondvlak, d. i. de lijn, die juist door het midden der opening getrokken kan worden ; men zal iets verrassends opmerken. Onderzoek dit zoo mogelijk ook bij de ijzeren gewichten. De herleidingen van K.G. tot DG. enz. zijn heel eenvoudig; 't gaat precies zoo als bij de lengtematen. § (>Ü. Iets over oude en vreemde maten. Wc hebben reeds gezegd, en het blijkt uit de bespreking van het metriek stelsel ook voldoende, dat al onze maten en gewichten ten nauwste in verband staan met het tientallig stelsel. Dat was in vroegere eeuwen niet zoo. De landstreken stonden, wat betreft het gebruiken van maten en gewichten, veel meer op zichzelf dan thans, nu spoorwegen en telegraaflijnen en stoombooten een enormen omzet van handelswaren veroorzaken van 't eene land naar 't andere, en hoe meer dit in den loop der tijden het geval werd, hoe krachtiger het verlangen werd naar één vast stelsel van maten en gewichten voor de geheele wereld. Toen ontstond het metriek stelsel, dat, in 't eene land wat eerder dan in 't andere, thans in bijna al de landen van Europa is ingevoerd. Maar naast het metriek stelsel van maten en gewichten bleven ook nog de oude maten en gewichten bestaan, ja, in het dagelijksch leven doet men nog maar voortdurend, alsof er in t geheel geen metriek stelsel is. Overal zijn onder 't volk nog de vroegere benamingen in gebruik, en nog lang zal het duren voor ze geheel en al tot de geschiedenis behooren. Die oude maten moeten dus gekend worden. Maar we wijzen er uitdrukkelijk op, dat al die namen niet gegeven kunnen wor- den, ') — en bovendien is het niet noodig. Ziehier dus enkele: i el (oude el, Amsterdamsche el) = 688 m.M. i Amsterdamsche voet = 314 m.M. 1 )eze voet is verdeeld in 11 duim. 1 Amsterdamsche roede = 13 Am. voet. 1 Rijnlandsche voet = 314 m.M. Deze voet is verdeeld in 12 duim. i Rijnlandsche roede = 12 Rijnlandsche voet. 1 Engelsche el = 915 m.M., (yard, zie op de garenklossen). 1 Engelsche voet = 305 m.M. Deze voet is verdeeld in 12 duim (men denke aan spijkers van 1,2,3 duim enz.; 't zijn deze duimen). Voorts zijn er verscheidene namen overgebleven van vroegeren tijd, welke namen echter niets anders aanduiden dan de vroeger door ons gegeven maten. We noemen: 1 mud of H.L. en daarnaast 1 last = 30 mud. 1 kan of kop. 1 maatje of d.L. 1 vingerhoed of c.L. 1 Nederlandsche roede of D.M. 1 Nederlandsche el of M. 1 palm of d.M. 1 Nederlandsche duim of c.M. 1 streep of m.M. 1 (Nederlandsche) mijl of K.M. 1 pond, 1 ons, 1 lood, voor 5 H.G., 1 H.G. en 1 D.G. De volgende maten zijn nog officieel in gebruik : 1 geographische mijl of 7407 M. (zie blz. 112) 1 knoop = ruim 15 M. 1 kabellengte = 225 M. Deze beide laatste maten worden uitsluitend gebruikt bij de zeevaart. Men leest dat een schip een vaart had van 18 knoopen, dat het strandde 2 kabellengten van de kust, enz. Dan wijzen we nog op de vroegei reeds genoemde (zie blz. 108 en 112): 1 uur gaans = 5555 1 ton = 1 M3, voor buitenvaartuigen 2830 d.M.3 1) Een H.A., A., c.A., M.2 enz., worden gebruikt om de grootte van een stuk land aan te geven, enkele maten dus slechts. Vroeger had men bijna 150 van deze maten. Dat de lengte van spijkers opgegeven wordt in Engelsche duimen, is nogal natuurlijk, omdat de groote ijzerfabrieken juist in Engeland gevonden worden. De dikte van planken, delen en balken wordt ook steeds opgegeven in duimen en gedeelten van duimen ; de lengte wordt uitgedrukt in voeten. De meeste oude maten zijn in ons land nog in gebruik. Ook de Engelsche, die we noemden (yard) zijn hier inheemsch, b.v. op katoen fabrieken, waar men werkt voor Engelsche markten. In andere landen gebruikt men evenzoo oude maten van vroeger, naast de nieuwe van het metriek stelsel. § <»3. Onze Munten. Als men over maten en gewichten spreekt, dan worden in een adem meestal ook de munten genoemd, ofschoon ze geen deel uitmaken van het metriek stelsel. Wat munten eigenlijk zijn ? Niets anders dan een rutlviiddil voor geleverde artikelen, voor verrichten arbeid en bewezen diensten. 't Spreekt van zelf, dat zulk een belangrijke zaak als het muntwezen door de Wet geregeld is, en dat particulieren zich, wat betreft het vervaardigen van munten, van alles hebben te onthouden. We onderscheiden drieërlei soort van munten, n.1. standpenningen, pasmunten en negotiepenningen. Allereerst zullen we aangeven wat hieronder wordt verstaan. Standpenningen zijn een wettig betaalmiddel tot elk willekeurig bedrag, 't Zijn in ons land : het gouden tientje, de rijksdaalder, de gulden, en de halve gulden. Zij onderscheiden zich in dit opzicht van de pasmunten, die men in betaling slechts behoeft aan te nemen tot een beperkt bedrag, n.1. de bronzen pasmunten : de halve cent, de cent, en de halve stuiver, tot een bedrag van f 0.25, en de zilveren pasmunten: het dubbeltje, en het kwartje, tot een bedrag van f 10.—. Behalve deze hebben we sedert September 1907 een nikkelen pasmunt van 5 cent. Heeft iemand een hoeveelheid goud, waarvan men gaarne gouden tientjes wil laten vervaardigen, dan kan dit aan de Rijksmunt te Utrecht geschieden, tegen betaling, — en hier onderscheiden de standpenningen zich wederom van de pasmunten, die niet voor rekening van particulieren mogen worden aangemunt. Daarvoor zijn goede redenen. Bezit iemand een hoeveelheid zilver — geen zilveren munten, maar voorwerpen van zilver, en is de handelswaarde daarvan ƒ 25, dan zou van dit zilver een aantal kwartjes vervaardigd kunnen worden, maar .... tot een bedrag van meer dan f 25. Dit komt daarvandaan, dat men voor ƒ25 betrekkelijk een groote hoeveelheid zilver heeft, omdat het zilver goedkoop is. Heeft een stuk goud en een stuk zilver op een gegeven oogenblik dezelfde waarde (de hoeveelheid zilver is natuurlijk zeer veel grooter dan de hoeveelheid goud) dan bestaat de mogelijkheid, dat dit later niet meer zoo is, dat het zilver minder in waarde is geworden b.v. \ roeger moest de hoeveelheid zilver ruim 15 maal zoo groot zijn om dezelfde waarde te hebben als het goud; thans heeft men ongeveer 30 maal zooveel zilver noodig. In dien tijd — we bedoelen den tijd, dat de grootte, het gewicht en de samenstelling der munten bepaald werd, was het zilver van 10 guldens even duur als het goud van een gouden tientje, doch thans is dat op verre 11a niet het geval. We smelten onze guldens, onze halve guldens en onze rijksdaalders dus maar niet, en evenmin onze zilveren pasmunten, want de massa zilver, die we dan verkrijgen, wordt door niemand tegen munten weer ingeruild. Dat onze rijksdaalders dus een rijksdaalder waard zijn, kan men eigenlijk niet zeggen: we doen maar zoo alsof een rijksdaalder een rijks- daalder is en een gulden een gulden, maar de innerlijke waarde, de waarde van het zilver, is veel geringer. We zeiden dat standpenningen mochten aangemunt worden voor rekening van particulieren ; we noemden een rijksdaalder, een gulden en een halven gulden standpenningen en betoogden dat deze niet konden worden aangemunt. 't Eene is natuurlijk met het andere in strijd. De waarheid is, dat onze zilveren standpenningen vroeger evenveel waarde hadden als er op de munten stond uitgedrukt: een gulden bevatte voor een gulden zilver ; toen waren onze zilveren standpenningen in waarheid standpenningen 1 nu eigenlijk niet meer. Men zou dus eigenlijk kunnen beweren, dat er aan zekere risico aan verbonden is om b.v. iooo gulden te ontvangen in guldens of rijksdaalders, omdat er een tijd zou kunnen komen, dat de zilveren standpenningen geen waarde meer hadden als munten, maar eenvoudig als metaal, en in dat geval zou men belangrijke verliezen kunnen lijden. Maar het gevaar is tamelijk denkbeeldig. Omgekeerd : als ieder op een oogenblik, dat het zilver goedkoop was, zooals thans, zilveren standpenningen mocht laten aanmunten, dan zou dit voor den betrokkene zeer veel voordeel opleveren. Die tijd is echter geweest, ook toen het zilver reeds goedkoop was, doch daarvan werd zulk een ruim gebruik gemaakt (in 1873 binnen 6 maanden tijds b.v. voor f 25000000), dat de maatregel moest worden ingetrokken. We moeten hier nog eenige namen en uitdrukkingen aan toevoegen. Wanneer men in een land alleen gouden standpenningen heeft, dan zegt men dat het muntstelsel gebaseerd is op den gouden standaard. Heeft dat land alleen zilveren standpenningen, dan spreekt men van den zilveren standaard. Heeft men beide, dan spreekt men van den dubbelen standaard, in tegenstelling van den enkelen standaard in eerstgenoemde gevallen. Ons land had den dubbelen standaard, had gouden en zilveren standpenningen, doch nu de reêele waarde (de eigenlijke waarde van het metaal) der zilveren standpenningen kleiner is dan de nominale waarde der munten (de waarde die op de munten staat uitgedrukt) en dus de vrije aanmunt van zilveren standpenningen (voor particu- lieren) is geschorst, nu hebben we niet meer den dubbelen standaard, ook niet den enkelen standaard echter, omdat we in naam nog zilveren standpenningen hebben; we spreken nu van den hinkenden standaard. In de meeste landen is de toestand precies dezelfde, en die is veroorzaakt door den lagen prijs van het zilver. Om dien veranderden toestand ten opzichte van de zilveren standpenningen aan te duiden, noemt men deze laatste tegenwoordig teekenmunten. I hans nog een enkel woord over de negotiepenningen. Ze zijn geen wettig betaalmiddel. De waarde van het metaal is ongeveer gelijk aan 't bedrag dat er voor betaald wordt, zoodat ieder ze kan laten aanmunten. De waarde rijst en daalt met het metaal waaruit ze bestaan. Er zijn alleen gouden negotiepenningen, nl. de dubbele gouden Willem, de gouden Willem, de halve gouden Willem, de dubbele gouden dukaat en de gouden dukaat. Men ziet ze echter in ons land niet of weinig ; in Indië zijn ze echter in gebruik. En nu nog even iets over de bankbiljetten. Ieder kent ze; we kunnen dus volstaan met te vertellen dat er zijn van 10, 25, 40, 60, 100, 200, 300 en 1000 gulden. Muntbiljetten zijn er niet meer. De muntbiljetten van 10 en van 50 gulden zijn in 1904 door 't Rijk aan de circulatie onttrokken. § 64. Iets over buitenlandsche munten. Men kent — althans bij name — vreemde munten, d. w. z. munten van andere landen. Geen rekenboek is er, of er komen sommen in voor over die munten, alle vragende herleiding tot Nederlandsch geld, of omgekeerd, of wel : er wordt gevraagd een bedrag in Engelsch geld aan te geven door middel van Eransche munten. Maar toch, ook zonder bepaald te moeten rekenen, kan een ontwikkeld mensch niet zonder de kennis van eenige der buitenlandsche munten. Lees maar de krant, en ge hoort daarin van een louis dor. Wat is dat ? Servië leent zoo en zoovele dinar; — wat is dat ? In den oorlog tusschen Rusland en Japan hoorde men spreken van een yen, een roebel, en bij andere gelegenheden weer hoort men spreken van Turkschc ponden, van een kroon in Duitschland, van een idem in Denemarken en van nog een idem in Hongarije, en dan weer ziet men dit mooie teeken £ of $ voor een getal staan, of de waarde van een artikel wordt uitgedrukt in j en d, en altijd weer vraagt de beschaafde lezer : wat is dat ? — en hij is niet bevredigd zoolang hij geen meer of minder afdoend antwoord weet. Ziehier dus iets over de munten in het buitenland. i. Frankrijk. Het Fransche muntstelsel is van tamelijk veel belang, omdat het in een aantal landen is nagevolgd, of zelfs overgenomen, en ook : omdat men, hoewel een eigen muntstelsel hebbende, een of meer van de Fransche munten ten grondslag heeft genomen bij de regeling van eigen muntstelsel. In Frankrijk heeft men gouden, zilveren en bronzen munten. De gouden munten zijn van 100, 5°> 2°> 10 en van 5 francs. No. 3 van die 5, die van 20 francs noemt men een louis dor. 155 van die munten wegen precies een K.G. De gouden munten bestaan uit 900 deelen zuiver goud tegen 100 deelen koper. De zilveren munten zijn van 5> 2 en 1 franc en van 5° en 20 centimes. Die van 5 francs bestaat uit 900 deelen zilver tegen 100 deelen koper; de andere bevatten 835 deelen zilver. De bronzen munten zijn van 10, 5, 2 en 1 centime; ze bestaan alle uit 950 deelen koper, 40 deelen tin en 10 deelen zink. Een franc heeft een waarde van ongeveer 47 van onze Nederlandsche centen. Soms rekent men een franc wel eens iets hooger, 47^ cent of 48 cent. De centime is ongeveer ^ cent, want 1 franc = 100 centimes. Wie aa» onze Nederlandsche spoorwegstations een louis d'or in betaling geeft, komt daarmede wel terecht, en wat men rekent voor een franc, dat vindt de reiziger op een lijstje in de vestibule, waar de kaartjes genomen worden. Een zilveren 5-franc-stuk weegt evenveel als onze rijksdaalder, 25 gram. 2. Italië, Zwitserland, België, Griekenland, Rumenië, Servië, Bulgarije en Spanje hebben een muntstelsel, dat overeenkomt met dat van Frankrijk. De eerste drie sloten in 1865 met Frankrijk een overeenkomst, waartoe in 1868 ook Griekenland „Practisch Rekenonderwijs", 10 toetrad. Uie overeenkomst noemde men de Latijnsclu- muntconvcntic, waarbij o.a. bepaald werd, dat de munten van het eene land als wettig betaalmiddel zouden gelden in de andere landen. De laatste vier landen namen de munten van Frankrijk eenvoudig over. Maar t®ch spreekt men in al die landen niet van 1 franc ; in Italië noemt men diezelfde munt een lire, in Spanje een peseta. Maar alle hebben dezelfde waarde, en dezelfde samenstelling. 3. Peru, Bolivia, Columbia, Equador en Venezuela, alle republieken in' Zuid-Amerika, hebben dezelfde of bijna dezelfde munten als Frankrijk. 4. Oostenrijk en Rusland deden in zekeren zin ook met Frankrijk mee. De gouden munten zijn op dezelfde wijze samengesteld als de Fransche. In Oostenrijk heeft men een gouden munt van 8 florijnen, gelijk aan een Fransche munt van 20 francs, en een van 4 florijnen, gelijk aan 10 francs. Daaruit volgt, dat een florijn in Oostenrijk 120 cent waard is tegen een franc 48 cent. In Rusland heeft men ook een gouden munt gelijk aan de Fransche louis d'or, n.1. een munt van 5 roebel, en een zilveren roebel gelijk aan 4 francs (het vijfde deel van een louis d'or i« 4 francs). Een zilveren roebel is dus 4 X 47i cent = f 1.90. Maar bij een wijziging van het Russische muntstelsel kreeg men o.a. papieren roebels of kredietroebels, die een andere waarde hebben; 15 kredietroebels zijn n.1. gelijk aan 10 gouden roebels. Deze kredietroebel, waarvan de waarde dus ongeveer f 1.30 is (10 maal ongeveer f 1.90 gedeeld door 15), is thans de munteenheid in Rusland ; wanneer men tegenwoordig dus leest van roebels zonder meer, dan wordt daarmee déze roebel, de kredietroebel bedoeld. 5. Duitschland, Engeland, Portugal ') en de Noorsche landen gingen met Frankrijk niet mee. De gouden munten van Duitschland zijn op dezelfde wijze samengesteld (900 deelen zuiver goud, 100 deelen zilver), maar de waarde van deze munten staat in geen verband met die der Fransche. Men heeft o.a. een gouden munt van 20 mark ; een mark is + 59 cent, en is verdeeld ') We vonden ergens vermeld, dat ook 1'ortugal tot de Latijnsche muntconventie behoorde. in 100 pfennigc. Een gouden munt van 10 mark heet een kroon% In Denemarken, Zweden en Noorwegen heeft men een zilveren kroon, verdeeld in 100 'óre ; de waarde is ± 7° cents. In Denemarken heeft men bovendien een Rigsdaler, verdeeld in 6 marken van l6 skillingen ; de waarde is ± f 1.30. En nu Engeland. Ieder heeft gehoord van eenguinea (waarde bijna f 12.60), van een pond sterling (waarde bijna f 12.—), van een shilling (waarde 60 cent), en dan heeft men een penny (5 cent) en een farthing (het vierde deel van een penny). Een pond sterling duidt men dikwijls aan door £ ; shilling en penny worden verkort tot s en cl. Deze afkortingen, de s en de d ontmoet men dikwijls in buitenlandsche marktberichten. Uit het bovenstaande bleek, dat de gouden munten in alle landen bestaan uit 900 deelen goud en 100 deelen koper. In Engeland echter is de verhouding anders. De gouden munten bestaan er uit 11 deelen zuiver goud tegen 1 deel koper. 6. Nu nog even naar 't land van de Turksche ponden, naar Turkije dus. De waarde van een Turksch pond is + 11 gld., en verdeeld in 100 piasters. Dan naar Servië, waar men rekent bij dinars (waarde ± 49 cent), naar Hongarije, waar we nog eens een kroon ontmoeten, maar nu ter waarde van ± 50 cent, naar Japan, waar men spreekt van yen, ter waarde van ± 124 cent, naar Amerika, het land van den dollar, ter waarde van ± f2.50, verdeeld in 100 centen, d.w.z. Amerikaansche centen. Ziedaar de voornaamste munten in het buitenland. § 65. Vragen en opgaven. 111. Herleid tot M.: 728 D.M., 324 K.M., 27 H.M., 350 d.M., 628000 m.M., 73200 c.M. 112. Herleid tot c.M.: 2857 NI., 381 D.M., 26 K.M., 262 H.M., 8530 m.M., 72 d.M. 113. Herleid tot H.M.: 78000 M., 382000 d.M., 28 K.M., 220 M.M., 32000000 m.M., 7200000 c.M. 114. Vul in: 86 K.M. = H.M. = IJ.M. = M. = d.M.= c.M. = m.M. 728 M.M.= » » > » » 755H.M.== » » » » * » 8200 D.M. = » » » » » » 7270000 c.M. = » » » 5300 M. = » » » » » » 115. Tel op : 28H.M.+ 328M.M.+ 72 d.M. + 38700 c.M. = d.M. 738H.M.4- 190 d.M. + 22D.M. + 61300 c.M. = d.M. 268 D.M. + 268 M. + 268 H.M. + 268 K.M. = M. 78000 c.M. + 7800 d.M. + 780D.M. + 78 K.M. = m.M. 2200000m.M.-f- 22000 c.M. -f- 22H.M.-)- 220K.M. = M. 25 c.M.-j- 250 M. + 2600H.M. + 25000M.M. = c.M. 116. Herleid tot K.G.: 72800D.G., 23oM.G.,78oooG.,43800000 d.G., 4320000 H.G., 380 M.G. 117. Herleid tot D.G.: 378 M.G., 280 KG., 67800 KG., 780 G., 7200000 d.G., 2480000 m.G. 118. Herleid tot c.G.: 1 M.G., 1 H.G., 1 K.G., 1 D.G., 1 Gr. 1000000 m.G. 119. Vul in: 627000 G. = K.G. = H.G. = D.G. = G. = d.G. = c.G. 728 K.G. = » » > p » » 38200 K.G. = » » » 60 M.G. = » » » » 728000 D.G. = » > » 700000000 c.G. = » » » » » » 120. Tel op: 23 K.G. -f- 230 D.G. + 2300 H.G. 4" 48600 (j. + 230000 c.G. = G. 72 K.G. 4- 6200 c.G. 4" 84700 D.G. 4- 48600 D.G. -\- 3000000 m.G. = d.G. 28000 H.G. 4- 3800 K.G. 4" 820000 G. 4" 38000 D.G. 4" 200000000 M.G. = G. 728 M.M. = 755 H.M.== 8200 D.M. = 7270000 c.M. = 5300 M.= 2 K.G. + 2 H.G. + 2 D.G. + 2 G. -f" 2 d.G. — m.G. 301 K.G. 301 D.< 1. -f- 301 d.G. 4 30 m.G. + 1 M.G. = m.G. 78000 G. 4~ 280 K.G. -|- 7 M.G. -\- 680000 m.G. -j- 250 d.G. = G. 121. Herleid tot L.: 782 K.I.., 386 D.L., 7260 d.L., 58000 c.L., 3844 H.L., 5268 M.L. 122. Herleid tot d.L.: 28 K.L., 384 L., 48670 c.L., 2 M.L., 480000 m.L., 68200 H.L. 123. Herleid tot H.L. : 28 M.I.., 3846 K.L., 8400000 d.L., 28000 L., 3480000 c.L., 2846700000 m.L. 124. Vul in: 865 KI.. = H.L. = D.L. = L. = d.L. = c.L. = m.L. 240 D.L. == » » » » » > 23 M.L. = » » » » » » 8200000 m.L. = » » » » » > 286000 d.L. = » » » » » » 78200 L. = » » » » » » 125. Tel op : 84000 K.L. 8400 H.L. 4" 840 D.L. -|- 84 L. — 28K.L. 4- 23 D.L. 4- 781 c.L. + 71 M.L. = 284 D.L. 4- 468 c.L. 4- 3 m.L. + 28670 M.L. = 784 D.L. 4" 784 H.L. 4- 784 m.L. 4- 784 c.L. = 28 H.L. 4- 28 m.L. 4- 28 c.L. 4- 28 M.L. = 78 D.L. 4- 780 m.L. 4- 7800 D.L. 4- 780000 L. = 126. Hoe groot is een stuk land, lang 230 M., breed 68 M. ? » 32 M., » 16 M. ? » 384 M., > 272 M. ? 127. Hoe groot is een vensterruit, hoog 62 c.M., breed 24 c.M. ? » 38 c.M., » 28 c.M.? » 29 c.M., » 18 c.M.? 128. Hoe groot is een vel papier, lang 8 d.M., breed Go c.M. ? » 62 c.M., » 320 m.M.? » 204 m.M., » 16 c.M. ? 129. Hoe groot is een straat, lang 12 D.M., breed 12 M.? > 720 H.M., » 5 M.? » 78 D.M., > 25 M. ? 130. Hoeveel steenen gaan er in een straat, lang 516 M., breed 20 M., » 28 H.M., » 6 M., » 32K.M., » 25 d.M., als een steen 20 c.M. lang is en 5 c.M. dik ? 131. Herleid tot M.2: 78 K.M.'-, 280000 c.M.2, 38200000 d.M.-, 280 D.M'-. 132. Herleid tot c.M.'- : 28 M.M.2, 78 d.M.2, 7840 M.2, 3820000 m.M2. 133. Herleid tot A.: 8800000 d.M.2, 78000000 c.M.2, 280 H.M.2, 7800000 c.A. 134. Vul in: 84000000000 m.M.2 = c.M.2 = d.M.2 = M.2 27 K.M.2 = » 78200 A. = > » » 704000 c.A. = » > > 20000000 c.M.2 = » >, > 8 H.A. = » » > 135. Tel op: 38 M.2 -f 684 H.A. -f 72 d.M.2 = 782 M.2 + 8467 K.M.2 + 28460 d.M.2 = 84300 H.M.2 + 280 H.A. + 23 M.2 = 2008 D.M.2 + 6167 K.M.2 + 168 d.M.2 = 168 d.M.2 + 168 c.M.2 + 168 A. = 20000 d.M.2 4- 2000 c.A. 4- 200 m.M.2 = 136. Hoeveel M.3 is een zaal, lang 12 M., breed 1 M., hoog 6 M.r » 15 M,, » 12 M., » 5 M ? » 20 M., » 12 M., » 6 M. f 137. Hoeveel d.M.3 is een kist, lang 8 d.M., breed 7 d.M., diep 5 d.M.r 4 d.M,, » 3 d.M., » 3 d,M.f » 10 d.M., » 8 d.M., » 4 d.M.? 138. Hoeveel c.M.3 is een doos, lang 15 c.M., breed 10 c.M., diep 12 c.M.? > 32 c.M., * 18 c.M., » 16 c.M. ? » 48 c.M., » 32 c.M., » 16 c.M. ? 139. Hoeveel L. graan gaat er in een kist, lang 12 d.M., breed 75 c.M., diep 60 c.M.? > 8 d.M., » 45 c.M., » 40 c.M. ? » 75 c.M., » 65 c.M., » 40 c.M.? 140. Hoeveel c.L. water gaat er in een glazen bak, lang 40 c.M., breed 24 c.M., diep 7 c.M.? » 625 m.M., » 182 m.M., » 64 m.M.? » 3 d.M., » 25 c.M., » 16 c.M.? 141. Herleid tot c.M.3: 12 M.3, 35 d.M.3, 8000000 m.M.3 2 D.M3. 142. Herleid tot M.3 : 780000 d.M.3, 28 M.M.3, 3860000000 c.M.3, 86 K.M3. 143. Herleid tot m.M.3: 2 c.M.3, 2 M.3, 72 d.M.3, 310 D.M3. 144. Vul in: 280000000000 m.M.3 = s»M.3 = d.M.3 = M.,! 32 D.M.3 = » = » = » 8600000000 c.M.3 = 220 d.S. = » = * — ' 8 D.S. — » = » = » 7800 S. = » = * = * 145- Tel op: 782 d.M.3 -j- 22 L. -f 78222 = 856 d.S. + 856 d.L. -f 856 d.M.3 = 1 D.S. -f 1 D.L. + 1 d.M.3 = 72 K.M.3 -f- 72 M.3 -)- 72 D.M.3 = 2200000 d.M.3 -)- 220000 d.L. -)- 22000 d.S. = 4 H.M.' -f- 40 H.I.. -f 4000000 d.M.3 = 146. Welke gewichten zet men op de schaal, als men wil afwegen: 31250 G., 38650 G., 250 G., 149 D.G., 154 H.G., 292 K.G. ? 147- Welke gewichten moeten er op de schaal van een bascule staan, als er op de brug een hoeveelheid waren staat van 62 K.G., 384 K.G., 625 D.G., 34 H.G., 75850 G., 400 G. ? 148. Als er op de schaal van een bascule gewichten staan van : 38 H.G., 250 G„ 678 D.G.. 43 K.G., 15 H.G., 825 G„ hoe zwaar zijn de waren op de brug dan? 149- Een emmer weegt 3 K.G. en 5 H.G., en met water gevuld juist 4 maal zooveel. Hoe groot is die emmer? 150. Een fleschje weegt 115 G., met water gevuld 365 G. Hoeveel c.L. is dat fleschje groot? 151. Een kist is 8 d.M. lang en 5 d.M. breed, en kan juist 2 H.L. gerst bevatten. Hoe diep is de kist? 152. Iemand heeft 3500 M.- bouwland. Het vijfde deel daarvan heeft hij beplant met aardappelen, die een opbrengst geven van 400 H.L. per H.A., het vierde deel is begroeid met boonen, welke een opbrengst geven van 20 H.L. per H.A., en de rest is bezaaid met rogge, gevende een opbrengst van 30 H.L. koren en 5000 K.G. stroo per H.A. Als de aardappelen f 2.50, de boonen f 10, de rogge f 5.00 per H.L. kosten en het stroo f 20.00 per 1000 K.G., wat is dan de opbrengst? 153. Men wil een stuk bouwland bezaaien met kalk. 't Land is 1S0 M. lang en 50 M. breed, en de bouwvoor zal tot op 40 c.M. diepte voor een duizendste deel uit kalk bestaan. Hoeveel H.L. heeft men noodig? 154. Als men een bloemtuin van 12 M. lang en 8 M. breed bezaaien wil met chilisalpeter, gerekend tegen 200 K.G. de H.A., hoeveel G. heeft men dan noodig? 155. Een balk is 15 d.M. lang, 28 c.M. breed en 25 c.M. hoog. Als elke d.M.3 van dat hout 55 D.G. weegt, hoe zwaar is de balk dan ? 156. Hoeveel M.2 is een rechthoek, lang 80 d.M. en breed 125 c.M.? 157. Herleid tot d.S.: 625 c.M.3 + 1 D-M.3 + 7995 X 125000 c.M.3. 158. Een kamer is 2625 d.M.2 groot. Als de breedte 525 c.M. bedraagt, hoe groot is dan de lengte ? 159. Als voor 30 K.G. 'suiker evenveel betaald wordt als voor 24 M. katoen, hoe duur is dan 6 M. katoen, als 272 K.G. suiker f 65.28 kost? 160. Iemand heeft 80 geldstukken, die te zamen een waarde hebben van een rijksdaalder. Als hij niets anders bezit dan stuivers en halve stuivers, hoeveel heeft hij dan van elke soort? 161. Iemand laat een sloot graven, lang 5 H.M., diep 1 M. en gemiddeld 16 d.M. breed. De aarde strooit hij uit over een stuk grond, breed 50 M. Als het land 4 c.M. wordt opgehoogd, hoe lang is het dan ? 162. Iemand koopt op de markt 2 koeien en houdt dan nog f 50 over. Als de eene koe 3 rnaal zooveel kost als de andere, hoeveel geld had hij dan, als hij op f 20 na nog een koe had kunnen koopen zoo duur als de kleinste? 163. Een kamer is 36 d.M. hoog, 55 d.M. lang en 45 d.M. breed. Als de deuren en ramen enz. 12 M.2 groot zijn, hoeveel M.2 behang heeft men dan noodig om de wanden te behangen? 164. Van een opgaande deeling is het quotiënt 27 en het verschil tusschen deeler en deeltal 182. Hoe groot is het deeltal ? 165. Een rechthoekig tafelblad is 108 c.M. lang en 96 c.M. breed. Als van deze tafel aan alle zijden 12 c.M. wordt afgenomen, hoeveel wordt de tafel dan kleiner ? 166. Een weide, lang 172 M. en breed 124 M., wordt door een sloot in de lengte verdeeld in 2 gelijke deelen. Als de sloot van boven 2 M. breed is, hoe groot is dan elk stuk ? 167. Hoeveel cijfers heeft men noodig om alle getallen tot en met ioooo op te schrijven? 168. In een bak van 12 d.M. lengte en 6 d.M. breedte staat 480 L. water. Men werpt er een steen in, lang 4, breed 3, dik 2 d.M. Hoe hoog staat het water dan ? 169. A bezit f 320 meer dan 15. Als 15 aan A nog f 160 geeft, heeft A 3 maal zooveel als K. Hoeveel hebben ze samen ? 170. In een bak kan 12 H.L. water. De bak is 1 M. lang en 12 d.M. breed. Men giet er 84 D.L. water in; hoe ver staat het beneden den rand ? 171. Een voetganger gaat langs een weg van 18 K.M. en legt per minuut 60 M. af. Een half uur na hem vertrekt een fietsrijder, die zich 4 maal zoo snel beweegt. Hoe lang moest de voetganger nog loopen, toen de fietsrijder hem passeerde? 172. Een stuk land is 325 M. lang en 130 M. breed. Men graaft er rondom een sloot af van 2 M. breedte; bovendien een sloot in de lengte en een in de breedte, die elk 1 M. breed zijn zoodat het land in 4 gelijke stukken verdeeld wordt. Hoe groot wordt elk stuk? Hoe groot zijn de slooten te zamen? 173. Een koopman mengt dooreen: 25 K.G. rijst van 12 cent en 50 K.G. van 6 cent. Wat kost dan 1 K.G. ? 174. Iemand moet een getal deelen door 12, en deelt daartoe eerst door 2 en het quotiënt door 10; zijn quotiënt is thans 15. Hoeveel is dat te klein ? 175. Een bak, lang 15, breed 8 en diep 5 d.M. staat vol water. Men schept er 2 H.L. uit en werpt er daarna een steen in, lang 5, breed en dik 4 d.M. Hoever staat het water nu beneden den rand ? HOOFDSTUK III. De tiendeelige breuken. § (». Nog eens: Hoe de getallen in elkaar zitten. In 't begin van het eerste hoofdstuk, in § 2 (blz. 5, opmerking 4) namelijk, werd de opmerking gemaakt, dat de rij der eenheden van de verschillende orden, de miljoenen, honderdduizenden, tienduizenden, duizenden, enz. niet bij de eenheden van de ie orde behoefde te eindigen, doch dat die rij ook voortgezet kon worden, — tot in 't oneindige toe, kunnen we er thans bijvoegen. De eenheden der op elkaar volgende orden verhouden zich tot elkaar van links naar rechts als 10 tot 1 : dat was zoo bij de eenheden, die wij zooeven noemden, t zal ook zoo zijn bij de eenheden, waar we 't in de volgende bladzijden over zullen hebben. Een voortzetting dus van wat in het eerste hoofdstuk besproken werd. Allereerst moet men den naam leeren van die nieuwe eenheden. Wanneer men een geheel verdeelt in 10 gelijke declen, dan krijgt men de eerste van die nieuwe eenheden ; we noemen ze een tiende deel. Verdeelt men een tiende deel weer in 10 gelijke deelen, dan heet elk deel een honderdste deel, en dit is de tweede der nieuwe eenheden. Dat we die eenheid**» honderdste deel noemen, is te begrijpen. Immers, wanneer elk van de tiende deelen in 10 gelijke deelen wordt verdeeld, dan is het geheel verdeeld in 100 deelen, en als dit het geval is, en de deeltjes zijn alle gelijk, dan heet elk deel een honderdste deel. Die naam drukt uit, welke verhouding er bestaat tot het geheel, en omgekeerd : de verhouding tot het geheel bepaalt meteen den naam, niet alleen in dit besproken geval, de honderdsten, maar steeds, in alle gevallen. ') De derde nieuwe eenheid ontstaat op dezelfde wijze als de vorige: een honderdste wordt in 10 gelijke deelen verdeeld, en elk deel heet een duizendste deel. Immers, indien men de verdeeling toepaste op elk honderdste deel, zouden er iooo gelijke deelen ontstaan ; daarom heet elk gedeelte een duizendste. Verdeelt men elk van die loooe deelen weer in 10 gelijke deelen, en elk van die kleinere deeltjes weer in tienen en «raat men daarmee dóór, dan krijgt men telkens weer een eenheid van een nieuwe, lagere orde. Ziehier het overzicht van de verdeeling en de namen van de nieuwe eenheden : eerst in • 10 deelen; elk deel heet een ioedeel; dan » ioo » ; » » » » IOOe » ; dan » iooo » ; » » > » ioooe » ; dan » ioooo » ; » » » > iooooe » ; dan » iooooo » ; » » » » ioooooe » ; dan » ioooooo » ; » » , » 1000000e » ; enz. Maar, zal men vragen, kan een geheel in zóóveel, in i miljoen deelen en meer, verdeeld worden? Dat hangt er natuurlijk van at, wat voor geheel men neemt, t Kan een speld zijn, en dan gaat de verdeeling moeilijk voor ons, maar er kan ook een kapitaal van 25 miljoen guldens zijn, en daar kan men het miljoenste, ja, nog wel een heel wat kleiner deel van nemen. En dan herinneren we er aan, dat — maar men zie hier eerst naar § 60, dat 1 M.3 = 1000000000 m.M.3, zoodat 1 m.M.3 het 1000000000e deel. d.w.z. het duizend-miljoenste deel is van 1 M.3. Natuurlijk wordt een M.3 nooit in 1000 miljoen gelijke deelen verdeeld, maar dit inzicht in de samenstelling der getallen stelt ons in staat om deze en dergelijke verhoudingen in getallen uit te drukken en daar is 't om te doen. Wat we hier leerden, herhalen we even in 't kort: ten eerste, ') Verdeelt men een geheel in ,t gelijke deelen, dan heet elk deel een vierde deel; in 8, dan heet elk deel een ac/llste deel, enz. dat telkens een nieuwe eenheid ontstaat, als de vorige in 10 gelijke deelen verdeeld wordt, en ten tweede, dat we, om den naam van die eenheden te vinden, telkens berekenen moeten in hoeveel deelen het oorspronkelijke geheel verdeeld zou worden, als de verdeeling werkelijk werd uitgevoerd. Ter weerszijden van de eenheid, die van de eerste orde n.1. hebben we: 1 plaats van links de tientallen, van rechts de tiende deelen ; 2 plaatsen » » honderdtallen, » » » honderdste deelen, 3plaatsen > » duizendtallen, » » » duizendste deelen, enz. enz. Links en rechts kan de rij worden voortgezet, zoover ons denkvermogen reikt, en altijd heeft men, zoowel links als rechts, dit, dat 10 eenheden van zekere orde gelijk zijn aan een eenheid van de volgende orde, die luiks staat, zoodat elke eenheid rechts van een andere gelijk is aan het ioe deel van die andere eenheid. Men heeft dus : een tienduizendtal is tien duizendtallen ; een honderdste deel > » duizendste deelen ; een miljoenste deel » » tienmiljoenste deelen , een duizendste deel » » tienduizendste deelen , enz. We weten nu dus van I tiende deel, » i honderdste deel, » i duizendste deel, » i tienduizendste deel enz., alle eenheden, waarmee men tellen kan, evenals met de eenheden der hoogere orden, met de tientallen, honderdtallen enz. We kunnen dus tellen : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9 tiende deelen. En dan io tiende deelen, — maar dat 's een geheel, dat's i. Evenzoo met honderdste deelen : I, 2, 3, 4 honderdste deelen, tot 99 honderdsten toe, want 100 honderdsten is een geheel. Daarbij bedenken we dat 10 honderdsten = 1 tiende 20 honderdsten = 2 tienden. en dat we natuurlijk wel verder kunnen gaan dan 100 honderdsten, dus ioi, 102, 103, 104 honderdsten enz., maar dit is 1 geheel en 1 honderdste, 1 geheel en 2 honderdsten enz. Met de duizendsten, de tienduizendsten enz., gaat het precies zoo. Getallen, die een deel van een of meer geheelen voorstellen, noemt men breuken. Het getal 10 is de grondslag van de verdeeling bij de breuken, welke we hier behandelen, want de verdeeling van één geheel geschiedt in 10 deelen, of in 10 X 10 of in 10 X 10 X 10 deelen enz., en daarom noemt men ze tiendeelige b> enken of decimale breuken. Wordt een geheel niet zoo verdeeld, maar op een andere wijs, dan spreekt men van gewone breuken. De tiendeelige breuken sluiten zich geheel aan bij de geheele getallen, zooals uit de vorige beschouwingen reeds bleek. Ook zijn ze van zeer veel beteekenis voor het gewone leven, en kunnen we tal van toepassingen ontleenen aan het metriek stelsel, dat hiervoor reeds behandeld werd. Om deze redenen behandelen we ze direct na het geleerde over de geheele getallen en het metriek stelsel, want het tiendeelig stelsel van maten en gewichten en de tiendeelige breuken vormen met de geheele getallen een afgerond geheel. § <»7. Hoe men de tiendeelige breuken schrijft. Men schrijft de tiendeelige breuken, zooals men de geheele getallen schrijft: de eenheden van de verschillende orden in de gewone volgorde naast elkaar. Om geheele getallen te kunnen schrijven moet men weten hoe de eenheden op elkaar volgen: eerst de eenheden, dan, links, de tientallen, de honderdtallen enz., en bij de tiendeelige breuken is dit evenzoo : eerst de tiende deelen, daarnaast, rechts, de honderdste deelen, de duizendste deelen en wat er meer volgt. Zijn er geen honderdste deelen, maar wel duizendste deelen, b dan schrijft men op de plaats der honderdste deelen een o. En in andere, gelijksoortige gevallen ook. Heeft men 1111 te schrijven : 7 honderden, J tientallen, 5 eenheden, 9 tiende deelen, 8 honderdste deelen, dan schrijft men dus eenvoudig : 73598 mèt nog iets. Want 73598 is gelijk aan 7 tienduizendtallen, 3 duizendtallen, enz., en volstrekt niet gelijk aan 7 honderden en 3 tientallen. I)e tiende deelen en de honderste deelen zijn oorzaak, dat we verkeerd uitkomen : de 8 moeten honderdste deelen voorstellen, en zooals we 't hier schrijven zijn t eenheden, de 9 moeten tiende deelen zijn en in 73598 zijn het tientallen; de 5 moeten eenheden zijn, en 't zijn honderdtallen. Dat mag niet. En om dat bezwaar te ondervangen, om te zorgen dus dat de 5 eenheden die we wilden schrijven ook werkelijk als 5 eenheden worden opgevat, heeft men afgesproken om achter het cijfer, dat de eenheden voorstelt, een teeken te plaatsen, een komma of een punt. Dat 's naar verkiezing. Houden we dit in 't oog, dan moet het getal, dat we straks wilden schrijven, zoo worden voorgesteld : 735-98, met een punt achter de 5. Die punt zegt: de 5 zijn eenheden, derhalve de 3 tientallen, de 7 honderdtallen en ook : de 9 zijn tiende deelen, de 8 honderdsten. We herhalen: de punt wijst dat aan ; te lèèren, te begrijpen is dat niet. Wel is het te begrijpen, dat er iets moet geschieden om te zorgen dat eenheden en tientallen, en de eenheden van al de verschillende orden zoo worden opgevat als de bedoeling is, maar dat men daarvoor een punt gebruikt, en die plaatst achter de eenheden en voor de tiende deelen, dat is bloot een afspraak. Links van de punt heeft men dus achtereenvolgens de eenheden, tientallen, enz., rechts de tiende deelen en wat er meer volgt. Vroeger (zie § 3) werd 't reeds uiteengezet, dat men, om te bepalen of zeker cijfer eenheden of tientallen voorstelt, alleen maar de plaats beschouwt, waar 't bedoelde cijfer voorkomt, — en zoo gaat het thans ook met de tiende, honderdste en duizendste deelen. Schrijft men een 3 vlak achter de komma, dan zijn het tiende deelen, maar komt er een 3 op de 4e plaats achter de komma, dan zijn het tienduizendste deelen. Thans eenige voorbeelden : 12 geheelen 7 tienden 8 honderdsten, schrijft men zoo : 12.78. 15 geheelen, 8 tienden, 7 honderdsten, 5 duizendsten, 3 tienduizendsten, 5 honderdduizendsten, 8 miljoensten zoo : 15-875358. 16 geheelen, 3 duizendsten op deze wijs: 16.003. Want tiende deelen en honderdste deelen zijn er niet; vandaar die 2 nullen. Die nullen mag men niet weglaten, want schreef men de 3 onmiddellijk achter de punt, dan had men 3 tiende deelen. 12 geheelen, 3 tiende deelen, 5 duizendste deelen, 7 miljoensten schnjtt men op deze wijze: 12.305007. Er zijn geen honderdste deelen, vandaar een o tusschen de 3 en de 5 ; er zijn evenmin tien- en honderdduizendste deelen, daarom schrijft men 2 nullen tusschen de 5 en de 7. Hoeveel cijfers er achter het decimaalteeken geplaatst moeten worden, wordt dus bepaald door de eenheden van de laagste orde, welke er in het getal voorkomen. Zijn dat tiende deelen, dan komt er maar een cijfer achter de punt, zijn het honderdste deelen, dan komen er 2 cijfers, zijn het miljoensten, dan 6, zijn het duizendmiljoensten, dan 9, enz. Derhalve schrijft men : 1 geheel en 1 honderdmiljoenste zoo: 1.00000001. Soms gebeurt het, dat er geen geheelen te schrijven zijn. Maar dan moet dit toch worden aangegeven, natuurlijk door een °. 25 geheelen en 4 duizendsten schrijft men zoo: 25.004, maar 4 duizendsten alleen op deze manier : 0.004. Ziehier nog eenige getallen : 3 honderdsten : 0.03. 2 tienden en 5 duizendsten: 0.205. 3 honderdsten en 5 duizendsten en 6 honderdduizendsten : 0.03506. 8 miljoensten : 0.000008. 3 duizendmiljoensten : 0.000000003. Zoowel voor de geheele getallen als vo'>r de tiendeelige breuken gelden dus deze waarheden: 1. De eenheden van de verschillende orden worden naast elkaar geschreven. 2. Zijn van zekere orden geen eenheden aanwezig, dan schrijft men in de plaats daarvan een o. 3. Bij de geheele getallen wordt het aantal cijfers van het getal bepaald door de eenheden van de hoogste orde ; bij de tiendeelige breuken door die der laagste Orde. En thans nog een opmerking. Men zie de voorbeelden van de vorige bladzijde nog eens aan, en merke op, dat het aantal eenheden van de verschillende orden steeds zeer gering was, steeds minder dan 10. Dat staat daarmee in verband, dat de eenheden van elke orde weer een eenheid van een hoogere orde vormen. Zijn er meer dan 9 eenheden van zekere orde, dan dienen we even te bedenken, dat we nooit meer dan 9 eenheden tegelijk kunnen schrijven. Toch kan het voorkomen, dat we hebben 628 duizendsten, of 72 honderdsten, of 7853 tienduizendsten, of een ander groot aantal eenheden van de een of andere orde. Bij het schrijven van deze getallen zou men zoo kunnen redeneeren : ten eerste: bij 628 duizendsten zijn geen tiende of honderdste deelen ; men schrijft dus 0.00628 ; . . . . maar 't is mis; ten tweede: bij 72 honderdsten zijn geen tiende deelen; men schrijft dus 0.072: .... óók mis; ten derde: bij 7853 tienduizendsten zijn geen tiende, honderdste of duizendste deelen; men schrijft dus 0.0007853, . . . . maar ook dat is mis. En waarom ? Zie eens hier : 628 d. = 62 X 10 d- en ^ d., of 62 h. en 8 d. Er zijn dus wel honderdste deelen, n.1. 62. En verder : 62 h. = 6 X IQh. en 2 h. of 6 t. en 2 h. Daarom is 628 duizendsten gelijk aan 6 t. 2 h. 8 d., zoodat men dit heeft : 628 d. = 0.628. Zoo is ook 17 honderdsten = 10 h. -)- 7 h. of 1 t. -|- 7 h., dus 17 h. = 0.17. Voorts: 7853 tienduizendsten = 785 X 10 tc'- r 3 tc^ — „Praktisch Rekenonderwijs". 11 785 d- -|— 3 td. 785 d. = (zie boven) 7 t. -j- 8 h. -f 5 d., zoodat men heeft : 7853 td. = 0.7853. Wanneer men niet meer dan 9 eenheden van zekere orde heeft, dan is 't niet mogelijk eenheden van hoogere orde te vormen, maar zoodra het aantal eenheden grooter is dan 9, moet dit wel geschieden, omdat dit noodig is voor het goed schrijven der getallen. Dat 628 duizendsten niet gelijk zijn aan 0.00628, zien we onmiddellijk, als we nagaan, dat dit laatste getal niet meer dan 6 duizendsten bevat, en bovendien nog 2 td. en 8 hd. Zoo is ook 0.017 niet 17 h.; 't is maar 1 honderdste en 7 duizendsten, en 0.0007853 is niet 7853 td., maar slechts 7 td., 8 hd., 5 m. en 3 tm. Straks zeiden we reeds: Als een getal duizendsten bevat, mogen er niet meer dan 3 cijfers achter de punt ; daarom ook is 0.00628 niet goed, want in dit getal komen 5 cijfers achter het decimaalteeken. En zoo gaat het ook in de beide andere voorbeelden. Hoe schrijft men nu 123 miljoensten ? Het kortst zeggen wij 't zoo : Omdat we miljoensten hebben, mogen er hoogstens 6 cijfers achter het decimaalteeken komen ; daarom : 123 m. = 0.000123. Willen we 't niet machinaal doen, maar elke handeling be grijpen, dan is 't dit : 123 miljoensten = 12 X 10 m. -f- 3 m. = 12 h.d.-)-3 m. 12 hd. = 10 hd. -f- 2 hd. = 1 td. —(— 2 h., zoodat we hebben : 123 m. = 1 td. -f- 2 hd. -f- 3 m. = 0.000123. En nu nog eenige dergelijke voorbeelden : 123 honderdduizendsten = 0.00123 (5 c. achter het d.t.) 729 tienmiljoensten = 0.0000729 (7 c. » » » ) 29 duizendsten = 0.029 (3 c. » » » ) f o-./: i.: i • 1 _x r» ^ 50zkj ucnuuizenasien = 0.5020 4 c. » > » ; enz. § 68. Hoe men de tiendeelige breuken uitspreekt. Na het vorige kannen we hierover kort zijn. In de eerste plaats merken we op, dat de eenheden der verschillende orden nooit afzonderlijk worden uitgesproken. Men mag dus 38.208 nooit zoo lezen: 38 geheelen, 2 tienden en 8 duizendsten. Geen enkel getal op deze wijze. Alles wordt integendeel tegelijk uitgesproken, zoodat men het vorige getal zoo in woorden uitdrukt: 38 geheelen, 208 duizendsten. Dat 38.208 gelijk is aan 38 g. en 208 duizendsten, evenzeer als aan 38 g. 2 t. en 8 d., volgt uit de vorige paragraaf. Men spreekt dus uit: 0.857 : 857 duizendsten; 3.2586 : 3 geheelen en 2586 tienduizendsten; 28.0065 : 28 > » 65 » ; 138.20084 : 138 » » 20084 honderdduizendsten; 0.00072 : 72 honderdduizendsten; 0.100002: 100002 miljoensten; derhalve: al wat achter het decimaalteeken staat, in èènen, en aan die deelen geeft men den naam van de eenheden der laagste orde, die in 't getal voorkomen. § 69. Optelling en aftrekking van tiendeelige breuken. De optelling en de aftrekking bieden weinig moeilijkheden aan. Voorbeelden. Tel op: 687.3 275.486 248.628 84.07 0.5965 3.00084 6.3 5-2783 12111 11211 942.8245 367.83514 Evenals bij de optelling van de geheele getallen moet men ook hier beginnen met de som te zoeken van de eenheden der laagste orde, dus met de tienduizendsten in de eerste, en met de honderdduizendsten in de tweede optelling. Geheel rechts dus, zooals men dat ook bij de geheele getallen doet, en om precies dezelfde reden. In het eerste voorbeeld staat èèn getal, waarin tienduizendsten voorkomen ; t is het derde getal. Die 5 kunnen we direct in het antwoord opschrijven. In het tweede en derde getal komen duizendste deelen voor ; we tellen op : 8 duizendsten en 6 duizendsten zijn 14 duizendsten, of 1 honderdste en 4 duizendsten. Die 4 schrijven we in 't antwoord ; de 1 wordt opgeteld bij de honderdsten. In t tweede en derde getal komen honderdsten voor, n.1. 2 en 9 ; — dat geeft, met de 1, 12 honderdsten, waarvan 2 worden opgeschreven in het antwoord en de 1, dat is 1 tiende, wordt opgeteld bij de tiende deelen. Er zijn 3 -f- 6 -J5+3+1 tienden of 18 tienden = 1 geheel en 8 tienden. Deze laatste 8 wordt opgeschreven, de 1 wordt opgeteld bij de eenheden links van het decimaalteeken, enz. In het tweede voorbeeld wordt precies op dezelfde wijze gehandeld. Men ziet, dat men dus op dezelfde wijze optelt als bij de geheele getallen. Zijn er ergens meer dan 9 eenheden van zekere orde, dan worden deze herleid tot eenheden van een hoogere orde. t Is zaak om zorg te dragen, dat de tiende deelen gevoegd worden bij de tiende deelen, de honderdsten bij de honderdsten enz. evenals men ook bij de optelling van geheele getallen er voor moet zorgen, dat men de duizendtallen voegt bij de duizendtallen. Evenals bij de geheele getallen verkrijgt men dit ook nu het best, door de eenheden van dezelfde orde precies onder elkaar te schrijven, zooals dit ook bij de geheele getallen geschiedt. Dat krijgt men al zeer gemakkelijk, wanneer men de decimaalteekens in ééne rij ander elkaar plaatst. t Aftrekken gaat ook op dezelfde wijze als bij de geheele getallen. Een moeilijkheid ontmoet men hier, namelijk deze, dat er in het aftrektal soms minder cijfers achter de punt voorkomen dan in den aftrekker, o. a. in dit voorbeeld : 18.72 3.58678 15.13322 In dit geval handelt men zoo: Er komen iti 18.72 geen kleinere eenheden voor dan de honderdste deelen, doch indien men achter dit getal nog o duizendsten, o tienduizendsten en o honderdduizendsten voegt, dan wordt het aftrektal niet grooter of kleiner : 18.72 = 18.72000. Schrijft men nu daaronder den aftrekker, dan krijgt men dit: 18.72000 3-58678 15.13322 Men trekt nu gewoon af. 't Is niet noodig die nullen op te schrijven, men kan zich verbeelden dat ze er staan, en dan aftrekken. 't Is, meenen we, niet noodig hier te betoogen, waarom 18.72 = 18.72000 is. Bij alle aftrekkingen kan men op deze wijze handelen, want door het bijschrijven van eenige nullen verandert de waarde van een decimaal getal niet. En met deze weinige aanwijzigingen stappen we van het optellen en aftrekken af. § 70. Herleiding van tiende deelen, enz., tot geh.eelen en omgekeerd. Voorbeelden : Hoeveel tiende deelen zijn er in 87 geheelen? Hoeveel honderdste deelen zijn er in 85.75? i'1 22.4? Hoeveel duizendsten in 34.856? in 16.84? in 12.5? We berekenen dit zoo : 1 geheel is 10 tienden ; 87 geheelen dus 87 X >0 t. = 870 tienden. 1 geheel is 100 honderdsten ; 85 geheelen dus 8500 honderdsten ; daarbij moeten nog 75 honderdsten ; we hebben dan 85.75 = 8575 honderdsten. Evenzoo is 22.4 = 2200 honderdsten -f- 40 honderdsten = 2240 honderdsten. I geheel is iooo duizendsten ; 34 geheelen dus 34000 duizendsten ; daarbij moeten nog 856 duizendsten ; dan hebben we : 34.856 = 34856 duizendsten. Op dezelfde wijze vinden we ook de andere : 16.84 =■ 16840 duizendsten. 12.5 = 12500 duizendsten. 't. Komt hierop neer : Geheelen tot 10e deelen herleiden geschiedt door er een o achter te voegen. Komen er reeds 10e deelen in 't getal voor, dan laat men eenvoudig het decimaalteeken weg (22.4 = 224 tienden). Geheelen tot iooste deelen herleiden geschiedt door er twee nullen achter te voegen. Komen er reeds iooste deelen in 't getal voor, dan laat men het decimaalteeken eenvoudig weg (85.75 = 8575 honderdsten). Bevat het getal alleen tienden (22.4 b.v.), dan voegt men hierachter een o (22.4 = 22.40) en laat dan de punt weg: 22.4 = 2240 honderdsten. Met de duizendsten gaat 't evenzoo : 16.84 = 16.840 = 16840 d. 12.5 = 12.500 == 12500 d. Zie nog deze voorbeelden: 38.5079 = 385079 tienduizendsten. 66.2 == 66.2000 = 662000 tienduizendsten. 38.400809 = 38400809 miljoensten. 22.38 = 22.380000 = 22380000 miljoensten, enz. 't Omgekeerde is nu zeer gemakkelijk. Voorbeelden : Hoeveel geheelen zijn er bij 1857 tienden, 62389 honderdsten, 172009 duizendsten, 58200065 miljoensten ? Tiende deelen worden 10 aan 10 tot een geheel vereenigd. We vragen dus : hoeveel maal kan men van 1857 tienden 10 tienden afnemen ? Een deeling door 10 dus (verhoudingsdeeling). En later, in de volgende sommen, een deeling door 100, door 1000, door 1000000. Hoeveel maal dat gaat? Wie 't niet direct weet. moet de deeling maar uitvoeren. I>e eerste geeft tot quotiënt 185, tot rest 7. De 185 zegt: zooveel maal zijn er 10 tienden, zooveel maal is er 1 geheel. De 7 z'jn tiende deelen, die er overblijven. Zoo is dus 1857 t. = 185.7. Men berekene nu zelf de andere. Men vindt dit: 62389 h. = 623.89. 172009 d. = 172.009. 58200065 m. = 58.200065. Om honderdsten te herleiden tot geheelen, schrijven we dus een punt 2 plaatsen van rechts; zijn het duizendsten, dan 3, tienduizendsten, dan 4, miljoensten, dan 6, enz. Wat hier in deze paragraaf voorkomt, komt telkens te pas in elke vermenigvuldiging en in elke deeling, waarin decimale getallen voorkomen. § 71. Vermenigvuldiging van ticndeeligc breuken. a) De vermenigvuldiger is een geheel getal. We nemen maar een voorbeeld: Als / M. laken f 3.25 kost, wat is dan de prijs van 25 M. r Ziehier: f 3.25 Er wordt eenvoudig vermenigvuldigd, alsof 25 er geen decimaalteeken in het vermenigvuldig- 1625 tal stond, alsof f 3.25 dus was: 325. Men kan 650 zich dat ook gemakkelijk voorstellen ; immers f 81.25 f 3.25 = 325 centen. Wanneer we 't niet hebben over guldens, maar over iets anders, waarvan het honderdste deel geen afzonderlijken naam draagt, dan hebben we echter toch steeds : 3.25 = 325 honderdsten. We vermenigvuldigen dus eenvoudig 325 met 25, en denken er dan aan: de 325 zijn honderdsten, liet antwoordt luidt: 8125, d.w.z. 8125 honderdsten. Deze worden nu herleid tot geheelen, tot 81.25. In 't kort is de redeneering dus zoo: 25 X f 3--5 = -5 X 32S honderdste guldens = 8125 honderdste guldens = f 81.25 (zie § ;o). Nog een voorbeeld : 24.275 9 218.475 Eerst zeggen we: 24.275 = 24275 duizendsten. Dat wordt met 9 vermenigvuldigd; 9 X 24275 d. = 218475 d. En dit getal is gelijk aan f 218.475. In liet product wordt de punt derhalve op dezelfde plaats geschreven als in het vermenigvuldigtal. b) De vermenigvuldiger is een decimaal getal. Voorbeelden : 0.5 X 62.78 = 0.83 x 48-2 = 6.5 X 287.94 = 3.65 X 4 896 = Vraagt men, wat deze vormen beteekenen, dan antwoorden we dit : de eerste vraagt b.v. naar den prijs van 0.5 A. grond, als 1 A. f 62.78 kost; de tweede naar b.v. 0.83 A., de derde naar 6.5 A., enz. ()in t product te berekenen, redeneeren we zoo: Vermenigvuldigen we 62.78 niet met 0.5, maar met 5, dan is de vermenigvuldiger 10 maal te groot. Het product dus ook. Dit product moet gedeeld worden door 10, om het goede antwoord te vinden. We kunnen ook zoo redeneeren ; voor den vermenigvuldiger nemen we 5, dat is 10 X 0.5 ; voor 't vermenigvuldigtal nemen we 6278, dat is 100 X 62.78 ; t product . 5 X 6278 is dus 10 X 'OO of 1000 maal te groot, en moet dus door 1000 gedeeld worden om 't goede antwoord te krijgen. Nu is 5 X 6278 = 31390, dus 0.5 X 62.78 = 31.390 = 31-39- Het tweede voorbeeld : voor 0.83 nemen we 83, of 100 maal 0.83 ; voor 48.2 nemen we 482, of 10 maal 48.2 ; 't product van 83 en 482 is dus 1000 maal te groot. Het derde voorbeeld : voor 6.5 nemen we 65, of 10 maal 6.5 ; voor 287.94 nemen we 28794, of 100 maal 287.94; 't product van 65 en 28794 's weer 10 X 100 of 1000 maal te groot. Het vierde voorbeeld : voor 3.65 nemen we 365, of 100 X 3-^5 ; voor 4.896 nemen we 4896, of 1000 X 4-896; 't product van 365 en 4896 is nu 100 X 'ooo = 100000 maal te groot, en 't moet dus door 100000 gedeeld worden. Zooals reeds bleek in § 70, kunnen we door 10, 100, 1000, enz. deelen door in het getal een decimaalteeken te schrijven zooveel plaatsen van rechts, als door het aantal nullen van de genoemde termen der schaal wordt aangewezen. De eerste vermenigvuldiging maakt men dus zoo : vermenigvuldig 5 met 6278 en schrijf een decimaalteeken 3 plaatsen van rechts (er moet door 1000 gedeeld worden) ; de tweede : bereken 83 X 482 en schrijf weer een decimaalteeken 3 plaatsen van rechts ; de derde: bereken 65 X 28794 en schrijf weer een decimaalteeken 3 plaatsen van rechts ; de vierde: bereken 365 X 4896 en schrijf een decimaalteeken 5 plaatsen van rechts (er moet nu door 100000 gedeeld Ziehier : 62.78 48.2 287.94 4.896 0.5 0.83 6.5 3.65 38.390 1446 143970 24480 38560 1727640 293760 40.006 187 1.61 o 1468800 17.87040 Dc nullen achter het product kunnen natuurlijk worden weggelaten. De antwoorden zijn dus: 31.39,40.006, 1871.61 en 17.8704. De decimaalteekens weglaten en dan vermenigvuldigen is al heel eenvoudig, 't Eenigste, dat moeilijkheden oplevert, is : het plaatsen van het decimaalteeken, als het vermenigvuldigen is afgeloopen. Maar men zoeke het verband op tusschen de plaats van het decimaalteeken en de door ons gevolgde redeneering. De feiten kan men aan de voorbeelden zien : 't eerste voorbeeld : 't vermenigvuldigtal heeft 2, de vermenigvuldiger I, 't product 3 cijfers achter het decimaalteeken; in 't tweede voorbeeld is dat I en 2 en 3 ; in 't derde voorbeeld 2 en 1 en 3 ; in 't vierde voorbeeld 3 en 2 en 5. Aan die voorbeelden ziet men, dat het product telkens zooveel cijfers achter het decimaalteeken heeft, als het vermenigvuldigtal en de vermenigvuldiger samen. En dat moet ook zoo. Want wat is 't geval ? We redeneeren van achteren af: Waarom (zie het 4e voorbeeld) moest daar het decimaalteeken 5 plaatsen van rechts ? Immers, omdat het eerst verkregen product, 1787040, maar even 100000 maal te groot was. En waarom was dit zoo? Omdat het vermenigvuldigtal 1000 en de vermenigvuldiger 100 maal te groot genomen werd, en dit laatste, omdat beide getallen respectievelijk 3 en 2 cijfers hadden achter het decimaalteeken, dat weggelaten werd. Zie thans het derde voorbeeld : Het vermenigvuldigtal wordt 100 maal te groot genomen : er staan 2 cijfers achter het decimaalteeken dat weggelaten wordt ; de vermenigvuldiger wordt 10 maal te groot, als het decimaalteeken wegvalt; het product van 65 en 28794 moet dus gedeeld worden door io X 100 of 1000, en dit doet men, door het decimaalteeken 3 cijfers van rechts te schrijven, dat is: 2 -)- 1. We herinneren hier weer aan het verband, dat er bestaat tusschen de plaats van het decimaalteeken en de term van de schaal, waarmee 't getal vermenigvuldigd wordt als dit teeken wordt weggelaten. Staan er 2 cijfers achter het decimaalteeken, dan wordt 't getal met 100 vermenigvuldigd als de punt wordt doorgehaald, en 100 is een getal met 2 nullen ; staan er 3 cijfers achter, dan wordt 't getal 1000 maal zoo groot als de punt weg- blijft, en iooo is een getal met 3 nullen. Vermenigvuldigt men nu die getallen zonder de decimaalteekens met elkaar, dan wordt het product 100 X 1000 ==: 100000 maal te groot, d. i. een getal met 5 nullen, 't product moet dus door 100000 gedeeld worden, en dat doet men door de punt te schrijven 5 plaatsen van rechts. Men kan 't dus zoo zeggen : 't product heeft zooveel cijfers achter het decimaalteeken, als 't vermenigvuldigtal en de vermenigvuldiger samen. Ziehier deze voorbeelden : 7.28 X 6.359; vermenigvuldig 6359 met 728 en schrijf een punt 5 plaatsen van rechts ; 0.6284 X 3-827 ; neem 6284 X 3^27, en schrijf de punt 7 plaatsen van rechts ; 328.6 X 523-6; neem 3286 X 523^ en schrijf de punt 2 plaatsen van rechts ; 7857 X 200.8; neem 7857 X 2008 en schrijf de punt 1 plaats van rechts (zie ook de voorbeelden onder a); 0.078625 X 0.016; neem 78625 X en schrijf de punt 9 plaatsen van rechts. In dit laatste voorbeeld krijgt men heel wat nullen in 't product. Die blijven staan, tot de punt op d'r plaats is. En dan nog iets. Hoeveel is 0.12 X 0.12? Welnu: 12 X 12 = 144 ; hierin moet het decimaalteeken 4 plaatsen van rechts. Dat kan niet, zal men zeggen. Toch wel ; want als men de punt op de aangegeven plaats heeft geschreven, heeft men 144 tienduizendsten, dit dus : 0.12 X O-12 = 0.0144. 't Product heeft dus werkelijk 4 cijfers achter het decimaalteeken. Wel bevat 144 maar drie cijfers, maar de o helpt ook hier. Zoo ook in het voorbeeld van straks. 0.078625 0.016 471750 i» • 786250 0.001258000 't Product van 78625 en 16 bevat 7 cijfers , daar cr 9 achter de punt moeten, is 't noodig 2 nullen te schrijven voor 't cijfer I. Men denke ook nog eventjes na bij een voorbeeld als dit: 16000 X 0.700625. 't Geval hoort onder a, doch we komen er hier op terug wegens de plaats van het decimaalteeken en de nullen. Ziehier : 0.700625 16000 4203750000 7006250000 11210.000000 't Voorbeeld is niet moeilijker dan de andere, maar men zorge er voor al de nullen te plaatsen die men krijgt door 0.700625 met 16000 te vermenigvuldigen, 't Antwoord is 11210; de laatste 6 nullen laat men weg. § 754. Deeling van tiendeelige breuken ; de deeler is een geheel getal. Wanneer de deeler een geheel getal is, en het deeltal een decimaal getal, dan is 't zeer gemakkelijk te begrijpen, hoe zoo'n deeling wordt uitgevoerd. Ziehier dit vraagstuk : 77 Meter katoen kost f 4.93. Wat kost 1 M. r 't Eenvoudigste is, om evenals bij de vermenigvuldiging, de punt weg te laten. Nu is f 4.93 = 493 honderdste gulden, in dit geval dus centen. We deelen 493 door 17, en als't antwoord gereed is, vergeten we niet, dat het quotiënt geen guldens voorstelt, maar honderdsten van guldens. Precies zoo als bij de vermenigvuldiging. i/) 493 (29 17) f4-93 ( fo.29 34 34 153 153 '53 153 o o Gedurende het deelen doet men dus alsof in het deeltal geen decimaalteeken voorkwam. Is de deeling afgeloopeti, dan %iet men waar de punt moet staan. Ziehier nog eenige voorbeelden, waarbij we toelichting niet noodig achten. 15) 7305 (487 60 130 120 105 105 o 25 ) 625 ( 25 50 125 135 O 15) 73-05 (4-87 60 130 120 105 105 O > 5 J 0.00062 5 ( 0.00002 5 50 125 125 O Men kan 't ook wel machinaal doen, zonder over iets na te denken dus. Zie het laatste voorbeeld : 25 op de eerste o gaat o maal ( ie nul van 't quotiënt); 25 » » tweede o » o » ( 2e » » » ); 25 » » derde o » o » ( 3e » » » ); 25 » » vierde o > o » ( 4e » » » ); 25 » >6 > o > ( 5e » » » ); 25»» 62 » 2 » (de 2 » » ); 25 > » 125 » 5 » (de 5 » > ). Soms gaat een deeling niet op : 8 ) 7-5 ( 0.9 7 2 3 Maar de 3 in deze rest zijn tienden, die we tot 30 honderdsten herleiden ; en de rest, die dan blijft, tot duizendsten, de volgende tot tienduizendsten. Dat gaat telkens, door achter de rest een o te voegen. 8 ) 7 5 ( 0.9375 72 30 24 60 i6 40 4° o Deelt men machinaal, zooals we hier boven aangaven, dan komt de punt direct op de plaats. Waar het decimaalteeken anders moet staan? Achter de rest werd 3 maal een o gevoegd (n.1. achter 30, 60 en 40); we deelden dus eigenlijk 8 op het deeltal 7.5000. Men ziet het: 4 cijfers staan er achter de punt, evenals straks in 't quotiënt, in 0.9375. Soms gaat een deeling nooit op: 3)s-5 ( I-8333 6 ) 4.4 ^ 0.73333 3 42 25 20 24 18 10 ~20~~ _9 18 10 20 _? 18 10 20 9 18 1 Telkens keert hier dezelfde rest terug ; daar komt nooit een eind aan. Deelt men twee geheele getallen door elkaar, dan blijft er dikwijls een rest over. Maar wie kennis heeft van de tiendeelige breuken, kan nu het quotiënt zoo nauwkeurig bepalen als hij wil. Eerste voorbeeld: Deel 8 op 27. 8 ) 27 ( 3-375 _24 30 24 60 56 40 Wie alleen maar de geheele getallen kent, zegt: deelt men 8 op 27, dan is 't quotiënt 3 ; de rest is ook 3. Nu zeggen we: het quotiënt van 27 en 8 is 3-375- Tweede voorbeeld: Derde voorbeeld: 20 ) 187 ( 9.35. 40 ) 3181 ( 79-525 180 280 70 381 60 360 100 210 100 200 cT 100 80 200 200 o Vierde voorbeeld: Vijfde voorbeeld: 12 J 97 J 8.0833 15 j 88 | 5.866 96 75 100 13° 96 120 40 100 36 9°_ 40 100 36 90 4 10 In 't tweede voorbeeld is 't deeltal feitelijk 187.00, in 't derde 3181.000, in 't vierde 97.0000, in 't vijfde 88.000. In 't vierde en vijfde voorbeeld blijft telkens een rest over, telkens dezelfde: aan de deeling komt weer geen eind. In 't vierde voorbeeld is liet quotiënt dus niet precies 8.0833; maar *t is toch minder dan 8.0834. 't Werkelijk quotiënt ligt daar tusschen 8.0833 en 8.0834. In 't vijfde ligt het tusschen 5.866 en 5.867. § 73. Twee decimale getallen door elkaar te deelen. Voor we bespreken hoe we twee decimale getallen op elkaar r.ullen deelen, is 't noodig even na te gaan wat we daarmee bedoelen. We leerden vroeger twee soorten van deelingen kennen : verdeelingsdeelingen en verhoudingsdeelingen. Men kan zich zeer goed voorstellen een hoeveelheid in 5 gelijke deelen te verdeelen (verdeelingsdeeling), maar wat moeten we er bij denken, als gevraagd wordt een geheel te verdeelen in b.v. 4.8 gelijke deelen r Daar kan men zich moeilijk een voorstelling van vormen, en evenmin gaat dit, wanneer men verlangt een geheel te verdeelen in 0.5, in 0.98 gelijke deelen. Maar plaats nu naast elkander deze vraagstukken : 5 M. katoen kost f 0.575 ; wat kost 1 M. ? 4.8 M. katoen kost f 0.60 ; wat kost 1 M. ? 0.5 M. katoen kost f 0.18 ; wat kost 1 M. ? In al deze gevallen moet er gedeeld worden, eerst f 0.575 door 5; dan f 0.60 door 4.8; daarna f 0.18 door 0.5. 't Zijn alle verdeelingsdeelingen. Een verhoudingsdeeling is gemakkelijk te begrijpen. Ziehier dit voorbeeld : Aan arbeidsloon betaalt iemand f 162 ; een arbeider krijgt f 9; hoeveel arbeiders waren er ? Men kan zich echter evengoed voorstellen, dat aan elk arbeider f 8.50, of f3.75 wordt betaald, of wat ook, en dan heeft men deze deelingen : f 162 : f 8.50 en f 162 : f 3.75. Na deze korte uiteenzetting over de beteekenis van deze soort van deelingen, bepalen we er ons toe om het deelen zelf te bespreken. Een paar voorbeelden zijn voldoende. 4.8 M. katoen kost f 0.60. Wat kost 1 M. ? Deze deeling moet op deze wijze uitgevoerd worden : 4.8 ) f 0.60 J We redeneeren zoo : Als 4.8 M. f 0.60 kost, dan zal 48 ^•> of 10 X 4-8 M., ook 10 X f °-6° kosten, of f 6.00. Daarmee is het vraagstuk van denzelfden aard geworden als die van de vorige §, n.1. zoo : 48 J f 6.00 | f 0.125 4 8 120 96 240 240 o T M. kost derhalve f o. 125. Zoo kan men steeds handelen. Kost dus 0.5 M. f 0.18 en moet er derhalve gedeeld worden : f 0.18 : 0.5, dan zegt men dit: Als 0.5 M. f 0.18 kost, dan kost 5 M. f 1.80, en 1 M.: f 1.80 : 5. Zoo is ook: 0.96 : 0.4 = 9.6 : 4 3.865 : 0.96 = 386.5 : 96 3.8267 : 4.628 = 3826.7 : 4628. 50847 : 0.652 = 50847000 : 652. 3.0008 : 1.00056 = 300080 : 100056. 2.5 : 0.625 = 2500 : 625. 't Komt hierop neer : Men laat uit den deeler het decimaalteeken weg, waardoor deze deeler of 10, of 100, of 1000 maal zoo groot wordt, en neemt dan ook het deeltal 10, of 100 of 1000 maal zoo groot. Zoo wordt het quotiënt gevonden. „Practisch Rekenonderwijs". 12 Maar redeneeren is geen werken. Als men in de practijk voor een deeling komt te staan : 2.5 : 0.625, dan schrijft men daarnaast niet : 2500 : 625 ; dat deden wij, om te doen begrijpen hoe men het antwoord vindt. In de practijk doet men zoo: Komen er in het deeltal minder cijfers achter het decimaalteeken voor dan in den deeler, dan schrijft men achter het deeltal een, twee of meer nullen, en laat dan niet het decimaalteeken weg, maar denkt het weg. Dan doet men 't zelfde wat we boven deden : deeler en deeltal 1000 maal zoo groot nemen. Zoo dus 0.625 ) 2.500 4^ 2500 o Komen er in het deeltal meer cijfers achter het decimaalteeken voor, dan doet men ook maar of men dit teeken niet ziet. Het gevolg hiervan is, dat de deeler b.v. 100, en het deeltal b.v. 10000 maal te groot genomen wordt. Maar de fout, die daardoor ontstaat, kunnen we gemakkelijk herstellen, door in het quotiënt ergens een punt te schrijven. Waar die moet staan, blijkt uit het volgende. Die plaats van het decimaalteeken in het quotiënt — dit zeggen we terloops even — is bij het deelen van decimale getallen een moeilijkheid, waar velen altijd zeer mee te worstelen hebben. Toch is 't gemakkelijk genoeg te begrijpen. We herinneren er aan, dat in een opgaande deeling het deeltal gelijk is aan 't product van den deeler en het quotiënt, en als we ons herinneren, dat in het product zooveel cijfers achter de punt komen, als in den vermenigvuldiger en het vermenigvuldigtal samen, dan hebben we in een deeling dus dit: in het deeltal (dat is 't product van deeler en quotiënt), staan zooveel cijfers achter het decimaalteeken als in den deeler en 't quotiënt samen, en in 't quotiënt alléén, want daarom is 't hier begonnen, in 't quotiënt alleen zooveel als het verschil bedraagt tusschen het aantal cijfers achter het decimaalteeken van deeltal en deeler. Bijv.: staan er achter het decimaalteeken in 't deeltal 6, in den deeler 3, dan in 't quotiënt 3 ; staan er achter het decimaalteeken in 't deeltal 8, in den deeler 2, dan in 't quotiënt 6; staan er achter het decimaalteeken in 't deeltal 5, in den deeler 5, dan in 't quotiënt o; en staan er achter het decimaalteeken in 't deeltal 2, in den deeler 6, dan in 't quotiënt geen 4, want in 't quotiënt en in den deeler moeten samen zooveel cijfers achter het decimaalteeken, als in 't deeltal, en 6 -j- 4 is geen 2. We schreven hieromtrent zooeven reeds, dat men achter 't deeltal eenige nullen plaatst, hier dus 4 nullen. Zoo in deze deeling: 0.000625 deelen op 0.05 wordt 0.000625 deelen op 0.050000 en de deeling wordt dus zoo uitgevoerd : 0.000625 J 0.050000 | 80. 50000 O Geen decimaalteeken dus in 't quotiënt. Gaat een deeling niet direct op, dan is het zaak goed in 't oog te houden hoeveel cijfers er achter het decimaalteeken van het deeltal staan. Ziehier: 0.375 ) 0.015 ( wordt allereerst 0.375 ) 0.0150 ( maar ook dan nog kan men 375 niet op het deeltal deelen, en we schrijven 0.375 ) 0.01500 ( 4 1500 o Is 't quotiënt nu 4? Neen, want het deeltal, 0.01500 heeft 5 cijfers achter de punt, de deeler 3, het quotiënt dus 5—3=2, en 't moet dus zoo zijn : °-375 ) 0.01500 | 0.04. § 74. Decimale getallen en het metriek stelsel. De opmerking werd reeds gemaakt, dat de kennis van de tiendeelige breuken vooral van belang is met betrekking tot het metriek stelsel. Welk gebruik er van de tiendeelige breuken gemaakt kan worden, zullen we in deze paragraaf door eenige voorbeelden toelichten. a) Herleiding van lengtematen. We drukken de verhouding der lengtematen uit in geheele getallen, zooals dit in § 54 is geleerd: 1 M. = 1000 m.M., als een grootere maat wordt herleid tot kleinere lengte-een-heden, en door middel van decimale getallen in gevallen als deze: 1 m.M. = 0.001 M., waarin een kleine lengte-eenheid wordt herleid tot een grootere. We geven hiervan de volgende voorbeelden, en herleiden eerst 15 d.M. tot D.M. Omdat i d.M. 0.01 I). M. is (want 1 D.M. = 100 d.M., zie § 54) is 15 d.M. = 0.15 D.M. Hoeveel K.M. is 729 c.M. ? 1 c.M. = 0.00001 K.M. (want 1 K.M. = 100000 c.M., zie § 54), dus: 729 c.M. = 0.00729 K.M. Op zulke vragen kan men ook op een andere wijze het antwoord krijgen, en wel zoo: 729 c.M. = 72.9 d.M. (het decimaalteeken 1 plaats van rechts, want 729 c.M. = 729 tiende d.M. = 72.9 d.M.) 729 c.M. = 7.29 M. = 0.729 D.M. = 0.0729 H.M. = 0.00729 K.M., het decimaalteeken dus telkens i plaats verder naar links, omdat de maat telkens 10 maal zoo groot wordt (M., D.M., H.M., K.M.) en 't getal voor die maat daarom 10 maal zoo klein (729, 72.9, 7.29, 0.729, 0.0729, 0.00729). Een ander soort van vraagstukken : Waaraan is 72.935 H.M. gelijk ? Achter het decimaalteeken staan de tiende deelen ; de 9 stelt dus tiende deelen van H.M. voor, dus D.M. Daarop volgen 3 honderdsten van HAT., dan 3 duizendsten, zoodat we hebben : 72.935 H.M. = 72 H.M., 9 D.M., 3 M., 5 d.M. Zoo is ook : 8.67859 K.M. = 8 K.M., 6 H.M., 7 D.M., 8 M., 5 d.M., 9 c.M., en dit kan weer zoo worden gelezen: 8.67859 K.M. = 8 K.M., 67 D.M., 859 c.M., of op welke wijze men 't ook wil. De zaak is dus deze: De op elkaar volgende lengtematen verhouden zich als 1 tot 10. Om deze verhouding uit te drukken, maakt men gebruik van de tiendeelige breuken, want de op elkaar volgende eenheden der verschillende orden verhouden zich op dezelfde wijze. De herleiding der lengtematen bestaat in het herleiden van groote maten tot kleine, en van kleine tot groote. 't Is hetzelfde als wat we ook hebben bij de geheele getallen. Wanneer men echter alleen over geheele getallen kan beschikken, zijn de herleidingen beperkt; nu is dat niet het geval. Hebben we 87 M. te herleiden tot d.M., c.M., m.M., dan kan men dat, als men de geheele getallen kent: 87 M. = 870 d.M. = 8700 c.M. = 87000 m.M., maar vraagt men 87 M. te herleiden tot D.M., H.M. en K.M., dan kan dit alleen geschieden door middel van decimale breuken : 87 M. - 8.7 D.M. = 0.87 H.M. = 0.087 K.M. = 0.0087 M.M. Nog eenige voorbeelden : 86.782956 K.M. = M. Omdat 1 K.M. = 1000 M., moet het gegeven getal met 1000 vermenigvuldigd worden ; de punt komt dus 3 plaatsen naar rechts, tusschen de 2 en de 9. 486.5735 H.M. = m.M. We weten 't: i H.M. = 100 X 1000 m.M. = iooóoom.M; het gegeven getal moet met 100000 vermenigvuldigd worden. Door het decimaalteeken weg te laten, vermenigvuldigen we met 10000; met nog een nul er achter hebben we 100000 maal het gegeven getal : 48657350 m.M. 45627 m.M. = K.M. Daar 1 K.M. = 1000000 m.M., hebben we 45627 miljoenste K.M. = 0.045627 K.M., — enz. b) Herleiding van gewichten, inhoudsmaten en eenige ruimtematen. De verhouding tusschen de gewichten : M.G., K.G., H.G. D.G., G., d.G., c.G., m.G. is dezelfde als die er tusschen de lengtematen bestaat. Met de inhoudsmaten : K.L., H.L., D.L., enz. is 't precies zoo. En 't zelfde geldt van de ruimtematen D.S., S. en d.S. zie § 60). Wat we hierboven onder a dus zeiden over de herleiding van lengtematen, geldt ook voor al de thans genoemde maten. Daarom slechts deze voorbeelen : 17 D.G. = 1.7 HG. = 0.17 K.G. = 0.017 M.G. 5 d.S. = 0.5 S. = 0.05 D.S. 129 m.G. = 0.129 G. = 0.000129 K.G. 85.679 K.G. = 85 K.G. 679 G. 348.26 D.S. = 348 D.S. 2 S. 6 d.S. 0.85679 M.G. = 8 K.G. 5 H.G. 6 D.G. 7 G. 9 d.G. c) Herleiding van vlaktematen. Schrijft men de vlaktematen op : K.M.-', H.M.2, D.M.2, M.2, d.M.2, c.M.«, m.M.2, en ook deze: H.A., A„ c.A., dan is elke volgende maat 100 maal zoo klein als de vorige. Daarom is 1 H.M.2 = o.or K.M.2, want 1 K.M.2 == 100 H.M2 (zie § 58) en 1 D.M.2 = 0.01 H.M.2, enz. f 18 M.2 =0.18 D.M.2 27 A. = 0.27 H.A. 54 c.A. = 0.54 A. 92 d.M.2 = 0.92 M.2 De verhouding van 1 K.M.2 tot 1 D.M.2, van 1 H.M.2 tot I M.2, enz., is als 10000 tot 1 (zie § 58), en soms is de verhouding van twee vlaktematen als 1000000 tot I, zoodat men heeft 1 M.2 = 0.0001 H.M.2 (1 H.M.2 = 10000 M.2) 91 d.M.2 = 0.0091 D.M.2 (1 D.M.2 = 10000 d.M.2) 1 d.M.2 = 0.000001 H.A. (1 H.A. = 1000000 d.M.2) 1 m.M.2 = 0.00000001 A. (1 A. = 100000000 m.M.2) Daar men telkens een nieuwe vlaktemaat krijgt, door IOO, 10000, 1000000 enz. andere vlaktematen te nemen, of het honderdste deel enz., heeft men thans telkens te vragen: is het nu het honderdste, het tienduizendste deel enz. van de een of andere maat; tiende deelen, duizendste deelen komen niet voor (wel de termen van de schaal met een even aantal nullen, niet die met een oneven aantal). En wil men b.v. 78.23846 M2. herleiden tot d.M.2 enz., dan vraagt men evenzoo : hoeveel honderdsten zijn er, hoeveel tienduizendsten, hoeveel miljoensten, enz. Ziehier : 78.23846 M.2 = 78 M.2 + 0.23 M.2 + 0.0084 M.2 + 0.00006 M.2 of = 78 M.2 + 23 d.M.2 + 84 c.M.2 + 60 m.M.2 Geen 6 m.M.2 ? Neen, want 1 m.M.2 = 0.000001 M.-, en 0.00006 M.2 = 0.000060 M.2, d. w. z. 60 m.M.2 Zoo is ook : 78.2835 H.A. = 78 H.A., 28 A., 35 c.A. 15.84671 D.M.2 = 15 D.M.2, 84 M.2, 67 d.M.2, 10c.M-'. (niet 1 c.M.2) In de practijk van het rekenen komt de herleiding van vlaktematen hierop neer : Zie of er een even aantal cijfers achter het decimaalteeken staan; zoo niet: schrijf er dan een o achter. Verdeel dan de cijfers achter het decimaalteeken in vakjes van 2, en geef daaraan de namen in de gewone volgorde. Staan er voor het decimaalteeken M.2, dan daarachter eerst d.M.-' dan c.M.-, dan m.M.2 Staan er links van het decimaalteeken K.M.-', dan rechts eerst H.M.2, D.M.2, M.2, d.M.-' enz. Derhalve is: 826.78326598 K.M. 2 = 826 K.M.'-,78 H.M.2,3 2 D.M.2,65 M.2,98 d.M.2 Wil men niet alle maten afzonderlijk opnoemen, maar vraagt men b.v.: 826.78326598 K.M.2 = d.M.2, dan kan dit natuurlijk berekend worden na de eerste herleiding. Maar als men zich even herinnert, dat 1 K.M.', — 100 H.M.a, 826 K.M.S dus 82600 H.M.1, dan is 826.78326598 K M.' — 82678.326598 H.M.' en op dezelfde wijze = 8267832.6598 D.M.2 = 826783265.98 M.' = 82678326598 d.M.2 Telkens wordt de maat 100 maal zoo klein, en het getal voor de maat dus 100 maal zoo groot. Op deze wijze maakt men alle herleidingen. Wil men dit berekenen : 46.3826597 H.M.2 = m.M.2, dan redeneert men op deze wijze : Schrijft men het decimaalteeken achter de 8, dan heeft men D.M.2, achter de 6, dan heeft men M.2, achter de 9, dan heeft men d.M.2, met 1 nul achter de 7 heeft men c.M.2, met nog 2 nullen heeft men m.M.2 : 46.3826597 H.M.2 - 463826597000 m.M.2. d) Herleiding van ruimtematen. Men herleze eerst § 60, dan weet men direct, dat 1 d.M.3 = 0.001 M.3 1 M.3 = 0.001 D.M.3 enz. Was de verhouding van twee op elkaar volgende vlaktematen steeds als 1 tot 100, bij de ruimtematen is die verhouding steeds als 1 tot 1000. Maar afgezien van dit verschil herleidt men de ruimtematen op dezelfde wijze als de vlaktematen. Zonder moeite begrijpt men dus de volgende voorbeelden : 17 d.M.3 — 0.017 M.3 = 0.000017 D.M3, enz. 872 m.M.3 = 0.872 c.M.3 = 0.000872 d.M.3 = 0.000000872 D.M.8 enz. 85463279 c.M.3 =85463.279 d.M.8 == 85.463279 M.3 = 0.085463279 D.M.3 enz. 5.62784 M.3 = 5 M.3, 627 d.M.3 840 (en niet 84) c.M3. We hebben in § 3, bldz. 7 reeds gezegd, dat we het gebruiken en uitspreken van zeer groote getallen vermijden konden. Dat kan niet altijd, maar soms toch wel. Heeft men b.v. 8765326984698372 m.M.3, dan is dit een moeilijk uit te spreken getal, maar na herleiding heeft men b.v. 8 H.M.3, 765 D.M.3, 326 M.3, 984 d.M.3, 698 c.M.3, 372 m.M.3, en dit is gemakkelijk te lezen en te begrijpen. Zoo ook dit nog : 8765326984698372 m.M.2 of 87 M.M.2 65 K.M.2 32 H.M.-' 69 D.M.2 84 M.2 69 d.M.2 83 c.M.2 72 m.M2. of 876532 H.A., 69 A., 84 c.A., 698372 m.M.2. Herleiden tot eenheden van hoogere orde is dus het middel om het uitspreken van groote getallen te voorkomen. En als men niet herleiden kan, b.v. wanneer we geen m.M.2 maar M.M.2 hadden ? Als de grootste maten gebruikt worden, en dan nóg wordt een zeer groot getal verkregen, dan helpt herleiding niet: hoe kleiner de maat, hoe grooter het aantal. De afstand van de aarde tot de zon is een zeer groot aantal K.M. Om dien afstand op iets eenvoudiger wijze aan te geven, gebruikt men dikwijls een geheel andere lengtemaat, de middellijn der aarde b.v. En voor nóg grootere lengten nog grootere maten. Zoo kan men in de boeken lezen, dat de afstand van de eene ster tot de andere zoo en zooveel maal de afstand van de aarde tot de zon is. Dat is ook een middel om groote getallen te vermijden. § 75. Het woord pc reent. Een zeer veelvuldig gebruik van de tiendeelige breuken wordt gemaakt door de verhouding van twee hoeveelheden in percenten uit te drukken. Dat wil zeggen: in honderdste deelen. Iedereen heeft meermalen het woord percent hooren zeggen. Men spreekt van geld leenen tegen een rente van 4 percent, of iets dergelijks. Wie zijn geld aan anderen ten gebruike afstaat, verlangt daarvoor een zekere vergoeding, die grooter of kleiner wordt, naarmate het uitgeleende kapitaal grooter of kleiner is, en deze vergoeding wordt niet aangegeven van de geheele geldswaarde tegelijk, maar steeds wordt gezegd: van eiken gulden wordt zooveel cent, van elke honderd guldens zooveel guldens betaald. Men begrijpe dit vooral goed, want het staat in verband met een paar aan te leeren woorden. Een stuk land kan verhuurd worden »in massa«, maar ook per H.A.; in dit laatste geval wordt de huurprijs van het geheele stuk gevonden door den eenheidsprijs te vermenigvuldigen met het aantal hectaren. In geldzaken handelt men steeds op de laatste wijze. Nooit zegt men: ge zult me van deze f 1500 elk jaar 40, 50, 60, 80. ioo, of meer guldens huur geven, maar steeds zegt men : van elke f 100 betaalt ge 4, 5, 6 guldens of hoe dan ook. Of liever: dit zegt men niet, maar men bedoelt het, en drukt zich uit in deze woorden : van de f 1500 wordt elk jaar 4, 5, 6 percent rente betaald. Het woord rente ziet op den eenheidsprijs voor de vergoeding ; en die vergoeding bedraagt voor het geheele uitgeleende kapitaal dus 15 X 4 guldens = 60 guldens, en 15 X 5 guldens = 75 guldens, als de rente 5 percent is. Hier noemen we ook het woord intrest: de 60 en 75 guldens, die we hadden, m. a. w. de geheele vergoeding. Van een kapitaal van f 1000, dat uitstaat tegen een jaarlijksche rente van 5 percent, wordt dus elk jaar f 50 intrest ontvangen. Het woord percent wordt door een teeken aangeduid door °|fl. Ziet men dus geschreven 4 0 0, dan leest men zulks 4 percent; komt men tegen: 25 0 0, dan leest men 25 percent. Dit alles is zeer eenvoudig. SA In de practijk van het leven, en in de rekenboeken evenzeer, ontmoet men vele vraagstukken, die alle op het vorige betrekking hebben. Alle vraagstukken handelen over : kapitaal rente, intrest, en dikwijls ook over den tijd, waarin het kapitaal op rente uitstaat. Drie dingen zijn dan gegeven, naar het vierde wordt gevraagd. Zoo in deze vraagstukken : Een kapitaal van f 960 staat uit tegen 5 °0; hoe groot is de jaarlijksche intrest? Een kapitaal staat uit tegen 4 0 0. Als de intrest elk jaar f 20.80 bedraagt, hoe groot is het kapitaal dan r Enz. 't Eerste vraagstuk lost men op deze wijze op: Elke f 100 levert f 5 op; f 960 dus 9.60 X f 5 = f 4S- Het tweede zoo: f 100 levert f 4 op : f 20.80 = 5.20 X f 4; 't kapitaal is dus f 5.20 X f 100 = f 52a In de handelswereld wordt het woord percent mede zeer veel gebruikt. Men geeft aan hen, die contant of binnen een maand betalen, 1 °j0 korting, d. vv. z. men mag de rekening verminderen met I honderdste deel van het bedrag, met 1 cent van eiken gulden, dus bijv. op deze wijze: 't Bedrag der rekening is . . f 47.44 De korting van 1 °j0 bedraagt f 0.47 De rekening wordt voldaan met f 46.97 In coöperatieve winkelvereenigingen e. d. wordt elk jaar de winst verdeeld. Indien de winst 19 °l0 bedraagt, dan ontvangt een lid der vereeniging, die in het jaar voor f 386.75 kocht, f 386 75 van w'nst f73 48, zooals de berekening 0 Uj hiernaast aangeeft. Vele levensverzekerings- maatschappijen keeren elk jaar, of na een 348075 tijdperk van 3 of 5 jaar b.v. een deel van - de winst aan de verzekerden uit. Bedraagt f 73.4825 die uitkeering over een tijdvak van 5 jaar 12.4 °|0, dan ontvangt iemand die f 720 aan premiën heeft betaald, dus terug 0.124 X f 72° = f 89.28. Op dezelfde wijze f 720 worden ook de inkomsten van vele rei/.igers 0.124 °f agenten van groothandelaars bepaald. —— Zij ontvangen provisie, d. w. z. eenige percenten van het bedrag, waarvoor verschillende afnemers gedebiteerd werden. Verkoopt ' ~ iemand dus in zeker tijdperk voor f 9627.50. f 89.280 en bedraagt de provisie 1.5 °i0, dan is het salaris van den reiziger 0.015 X f 9627.50 = f 144.41. f 9627.50 In het practische leven zijn de bereke- 0.015 ningen iets eenvoudiger, iets onnauwkeuriger ook. Zoo zal men in het eerste en derde 9607500 voorbeeld de 75 en 50 centen verwaarloo- — zen, en dus voor vermenigvuldigtal nemen f 144.41250 f 386 en f 9627. In het tweede voorbeeld is dit reeds gebeurd; wanneer de premien inderdaad f 720.65 bedroegen, neemt men toch f 720. Dit bespaart op de kantoren, waar duizenden vermenigvuldigingen gemaakt moeten worden, zeer veel werk. In den landbouw en in de aanverwante bedrijven begint de percent-rekening een groote rol te spelen. Men garandeert in voederartikelen zóó en zooveel percent eiwit, of zetmeel, of vet. Is het artikel verpakt in balen van 100 K.G., dan bevat elke baal zooveel K.G. van elk der genoemde stoffen als door het cijfer der percenten wordt aangewezen. Heeft men veekoeken, die elk 1 K.G. zwaar zijn, en bevat de koek 48 0 (1 eiwit, dan is er in elke koek 0.48 K.G. Zoo garandeert men in kunstmeststoffen b.v. 15.6 " f, kali of 27 0 0 phosphorzuur of 15.5 0 0 stikstof. Elke zak van 100 K.G. bevat resp. 15.6 K.G. kali, of 27 K.G. phosphorzuur, of 15.5 K.G. stikstof. Massa's van deze cijfers vindt men in de prijscouranten van de handelaars in kunstmeststoffen : men bestudeere zoo'n prijscourant eens, en berekene hoeveel 1 K.G. kost van het hoofdbestanddeel der meststof. Wordt b.v. kainiet met 16 0 () kali verkocht voor f 2.40 en patent kali met 27 °|0 kali voor f 6.75 de too K.G., dan leert een eenvoudige berekening in welke mest de kali het duurst is. Men spreekt in den kunstmesthandel ook van meststoffen, die 93 0 fijnmeel bevatten, of dat 80 °|() oplosbaar is in water, en deze uitdrukkin gen zijn te begrijpen, als men tenminste niet valt over het woord ifijnmeel» en over de uitdrukking «oplosbaar in water». Een zaadhandelaar verkoopt gras- en klaverzaden en garandeert daar 90 0 ,, kiemkracht (van elke 100 korrels zullen er 90 moeten ontkiemen) en 95 0 0 zuiverheid (in een zak met Westerwoldsch raai- gras zullen er van elke 100 korrels ook werkelijk 95 korrels van die soort moeten zijn), 5 0 0 kunnen dus andere zaden zijn, onkruidzaden b.v. of andere gras- en klaverzaden. Al die zaken kunnen gecontroleerd worden door de landbouw-proefstations te Hoorn, Maastricht, Groningen enz. en in de verslagen van die inrichtingen, die elk jaar gedrukt worden, wemelt het van percenten. Het zou niet mogelijk zijn trouwens om op een andere wijze een even duidelijk beeld te geven van de resultaten der onderzoekingen. Men stelle dit maar eens naast elkaar : en vrage : van welke soort is de kiemkracht het grootst ? 't Is niet mogelijk dat zóó maar te zeggen, maar als eene berekening leert, dat de kiemkracht van de eerste soort 94.62 0 () is (264 : 2.79), en dat de kiemkracht van de tweede soort 94.54 °0 is (520 : 5.50), dan blijkt het dat de eerste soort iets beter is. Wie zijn zaken precies wil nagaan, krijgt ook nog al iets met de percent-rekening te doen. Dat geldt voor groote en voor kleine ondernemingen. In een hoenderpark leert de boekhouding over twee jaren b.v. het volgende : van 279 klaverzaden ontkiemen er 264 ; van 550 andere klaverzaden ontkiemen er 520, Voederkosten ... ƒ 557.92 Arbeidsloonen ...» 57*6o Transporten . . . . » 25.13 Rente van 't bedrijfs- UITGAVEN IN 1905 : UITGAVEN IN 1906: ƒ 822.15 » 75.80 » 29.24 kapitaal . . . . » 37.25 Andere uitgaven . . ■» 7.13 » 41.60 » 9.22 Totaal ƒ 685.03 Totaal ƒ 978.01 Men heeft aan zoo'n opgave wel iets, maar toch niet zeer veel. Druk echter hetzelfde uit in percenten, dan begrijpt men z'n eigen zaak veel beter. Men krijgt dit: In 1905 : In 1906: Voederkosten : Arbeidsloonen : Transporten : Rente van 't bedrijfskapitaal Andere uitgaven : 81-44 °|0 84-05 n|0 8.40 » 7.75 » 3-66 » 2.98 » 5-43 » 4-25 » 1.04 » 0.94 » Dit overzicht is veel leerzamer. Transportkosten b.v. zijn improductieve uitgaven; dat zij in 1906 lager zijn, is een goed verschijnsel. We moeten nog even toelichten, hoe we aan de cijfers komen. De totaal-uitgaven bedroegen in 1905 f 685.03, de voederkosten f 557.92. Van elke f 100, die er uitgegeven werden, waren er dus f 557-92 : 6.8505 = f 81.44 besteed aan voederartikelen, d.w.z. 81.44 °|0- Zoo zijn de volgende cijfers resp. de quotiënten van deze deelingen f 57.60 : 6.8503, enz. In zulk een zaak, een hoenderpark, kan nog veel meer berekend worden. Zijn er 150 kippen, dan kunnen deze in een maand van 30 dagen 30 X 15° eieren of 4500 eieren leggen, indien men van elke kip eiken dag een ei verkrijgt. Maar dat krijgt men niet. Wanneer men bijv. 3127 eieren heeft verkregen, dan is dit 69.4 °|0 van het maximum, en mochten latere jaren dan leeren, dat het werkelijk aantal in denzelfden tijd resp. 65 64 °|0. 63 °|o 's> dan dringen deze cijfers krachtiger aan tot bestudeering van eigen zaak, dan het beste betoog zou kunnen doen. Ongeveer dezelfde rol vervult de percentrekening in de stastistiek. Jaar op jaar houdt men aanteekening van de cijfers, die op verschillende zaken betrekking hebben, en de cijfers worden van verschillende plaatsen en van verschillende landen geplubiceerd en bestudeerd. Op deze wijze verkrijgt men zulk een belangrijk materiaal om toestanden in eigen land en in eigen woonplaats te leeren kennen, dat men zich moeilijk meer een tijdperk denken kan zonder deze gegevens. Neem twee concurreerende havensteden, bijv. Rotterdam en Antwerpen. Van alles wat uit Engeland naar het vaste land van Europa verscheept wordt, gaat een deel naar Rotterdam, een deel naar Antwerpen. De cijfers voor beide plaatsen worden genoteerd, jaar op jaar; men berekent, hoeveel percenten van den geheelen uitveer uit Engeland in Rotterdam komt, en welk deel naar Antwerpen gaat, en wordt dan het eene cijfer steeds grooter, het andere kleiner, dan weet men, waar men de toekomst gerust tegemoet kan zien, en ook, waar men, hetzij door verbetering van scheepvaartwegen, hetzij door andere wetten omtrent den invoer, moet trachten verbeteringen in den bestaanden toestand aan te brengen. Dit veld van rekenen is onbegrensd. Hoe groot is het aantal zeil- en stoomschepen, dat in de verschillende havens van ons land binnenkomt, en welk gedeelte van den geheelen invoer ter zee heeft elke havenplaats ? Naar welke havenplaatsen neemt de invoer het meest toe ? Hoe groot is de aanwas van de bevolking gedurende de laatste tientallen jaren ? Wordt de aanwas sterker of minder sterk ? Dit blijkt als men het volgende lijstje invult: van 1830—1839 bedroeg de aanwas > 1840—1849 » > » » 1850—1859 » » » » 1860—1869 » » j> zielen of ... 0 0, » » » , » » » » > » » , enz. Waar is die aanwas het sterkst, in Zuid-Holland, in Drente? In de steden boven 20000 inwoners of op het platteland ? Waar zijn die cijfers het grootst? Hoeveel 0 0 van de sterfgevallen moeten er toegeschreven worden aan tuberculose, aan mazelen, enz. ? Hoe groot is het sterftecijfer van de kinderen beneden 1 jaar? Neemt dat cijfer af of toe? Men ziet het: elk gebied levert zooveel cijfers, zooveel studiemateriaal, dat men op dit gebied niet licht uitgerekend wordt, en vooral niet : uitgestudeerd. We zullen een paar cijfers geven ontleend aan de werkelijkheid. Veenhuizen, weet men, is een bedelaarskolonie. Hoe groot wel, zou men denken? Ziehier: 3180.4080 H.A., dus 3180 H.A. 40 A., 80 c.A. Van dien grond is: 172.27 H.A. blijvend groenland, 5 59-18 H.A. bestemd voor wisselbouw, 497.84 H.A. bosch, [6.22 H.A. gesticht, 1804.7842 H.A. heide, veen, enz. 126.3938 H.A. huizen, enz. enz. Men kan die getallen in percenten uitdrukken. Als van 3180.4080 H.A. of 31.804080 X 100 H.A. 172.27 H.A. groenland is, dan is dit van elke 100 H.A. 172.27 H.A. : 31.804080 = 5.4 H.A. ; de kolonie heeft dus 5.4 °() blijvende weide. Zoo ook: 559.18 : 31.804080 = 17.6 °0 bouwland (voor wisselbouw), enz. Welke landen leveren de koffie aan de wereldmarkt, en hoeveel ? Ziehier het statistisch overzicht van de koffieproductie der aarde voor 1905 06: Hoeveelheid in In % der totale tonnen: productie: Brazilië 690000 76.66 Venezuela 30000 3.33 Columbia 30000 3.33 Guatamala 30000 3.33 San Salvador 30000 3.33 Haïti 24000 2.66 Mexico 18000 2.00 Nederl. Koloniën 15000 1.66 Portorico 12000 1.33 Costarica 12000 1.33 Nicaragua 6000 0.66 Martinique en Guadeloupe 3000 0.33 Men ziet het: onze Java-koffie neemt op de wereldmarkt niet zulk een belangrijke plaats in als we zelf wel eens geloofd hebben. Ziehier een staatje betreffende de bevolking van ons land : BEVOLKING NAAR PROVINCIËN AANWAS IN de volkstelling van de bevolkingsregisters PERCENTEN 1849 op 31 Dec. 1896. Noord-Brabant. 396.420 539 725 36 °n Gelderland . . . 370.716 548.748 Zuid-Holland . 563.425 1.082.678 Noord-Holland. 477.079 933.692 Zeeland .... 160.295 211.617 Utrecht 149.380 241.178 Friesland.... 247.360 339425 Overijsel .... 215 763 319-494 Groningen . . . 188.442 292.834 Drente 82.738 143.028 Limburg .... 205.261 276.239 Het aantal inwoners van Noord-Brabant is in genoemd tijdperk toegenomen met 539.725 — 396.420 = 143.305 zielen. In percenten uitgedrukt is dit 143305 : 3964.20 = 36 °i0. Berekent men dien aanwas ook voor de andere provinciën, dan geeft ons die lijst een zeer leerzaam overzicht van de ontwikkeling van ons land gedurende een halve eeuw. Aan wat we hierboven schreven met betrekking tot kapitaal, rente en intrest moeten we nog iets toevoegen, iets over samengestelden intrest. Wat daarmee bedoeld wordt, zullen we in een voorbeeld duidelijk maken. Een kapitaal van f 1000, dat tegen 4 °in wordt uitgezet, groeit in 1 jaar tijds aan tot 1.04 X f 1000 = f 1040. De eigenaar van het geld kan den intrest dan opvorderen, d. w. z. f 40, waardoor de schuldenaar weer, als in 't begin, f 1000 schuldig is. W7ordt de intrest echter niet opgevorderd, dan kan de intrest beschouwd worden als kapitaal, dat ook rente afwerpt, zoodat aan het einde van het tweede jaar de intrest geïnd kan worden van een kapitaal van f 1040. Die intrest bedraagt dan 10.40 X f 4 = f 41.60, en de eigenaar van het geld heeft dus een tegoed van „Practisch Rekenonderwijs". 13 f 1040 -)- f 41.60 = f 1081.60. Van dit kapitaal wordt weer de intrest berekend, en opgeteld bij de f 1081.60. We krijgen dan f 1124.864. We zeggen nu: de f 1000 stonden 3 jaar uit op samengestelden intrest; elk jaar werd de intrest weer bij het kapitaal gevoegd, en het kapitaal werd dus steeds grooter. Wordt de intrest niet als rentegevend kapitaal beschouwd, dan spreekt men van enkelvoudigen intrest. Een kapitaal van f 1000 levert tegen 4 °i0 dus f 40 op ; ontvangt men van dezen intrest geen rente, dan is de intrest van het tweede jaar weer f 40, en na 3 jaar is het kapitaal aangegroeid tot f 1000 -f- 3 X f 4° = f 1 '20. Uitgezet op samengestelden intrest groeide f 1000 in dien tijd aan tot f 1124 en ruim 86 cent: tot een grooter bedrag dus, want de intrest was ook rentegevend. f 2000.00 Nog een voorbeeld, f 2000 staat tegen I-Q5 5° 0 's jaars °P samengestelden intrest 10000 uit. Na 1 jaar is 't kapitaal aangegroeid 200000 tot f 2100, na 2 jaar tot f 2205, na f2100.00 na 1 jaar. 3 jaar tot f 2315.25, na 4 jaar tot 1.05 f2431.0125. Telkens vermenigvuldigen 10500 we met 1.05. Die berekening wordt op f 210000 den duur zeer omslachtig, want nu reeds 2205.00 na 2 jaar. staan er 4 cijfers achter het decimaal1.05 teeken en in de volgende vermenigvuldi- 11025 ging reeds 6, dan 8, dan 10, dan 12, enz. 220500 Wie echter in de noodzakelijkheid ver- f2315.25 na 3 jaar. keert nog wat verder met die vermenig1 -05 vuldiging te moeten doorgaan,kan gerust 1157625 een aantal cijfers achter het decimaaltee- 23152500 ken verwaarloozen ; de rente van eenige f 2431.0125 na 4 jaar. tiende deelen van centen is zoo gering, dat het betalen onmogelijk, en het berekenen nutteloos is. § 76. Sommen. 176. Tel de volgende getallen op : 86.72 -f 348.6 -f 0.8273 + 58.729 = 177- 26.84 + o.268 + 46-83 + 8.46827 = 6i5-7 + 32-48 + 2.684 4- 1.6897 = 0.0084 + 0.987 -f- 3.26848 4- 0.00084 = Vul in : 86.72 4- — 100. 3.846 4- = 5.987. 2.486 4- = 3.682. 38.67 4- = 99.531. 684.98 4- == 1000.08. Trek af: 178. 186.7 — 84.68279 = 4862.7 — 3.00848627 = 0.8264 — 0.008462 = 38.469 — 14.6878 = 0.84987 — 0.7306 = 5400 — 609.8476 = 179. Bereken: 68.46 -|- 32.84 -|- 0.2868 — 86.729 = 3.862 4" 4.684 4- 6.7824 — 0.0084 = 4.8627 — 8.6273 + 6.6845 4" 0.00847 = 2.008 4" 4.899 4" 3.7826 — 2.8647 = 48.6782 — 15.60846 — 14.6836 — 12.68467 = 180. Bereken : 86.7. 10 maal. Ue helft. Het 100e deel. Tel op. x) 0.00625. 1000 maal. 100 maal. Het 50e deel. Tel op. 0.0016. 5 maal. 5 maal. 25 maal. Tel op. 0.00252. Het 3e deel. Het 3e deel. 184 maal. Tel op. 181. Vermenigvuldig: 62 X °-68 = 28 X 0.007 = 78 X 5783 = 56 X 0.0845 = 104 X 278.56 = 84 X 3-268 = 539 X 0.8406 = 179 X 0.00084 = 5080 x 3.827 = 2840 X 0.82657 = ') Bedoeld wordt : schrvf 86.7. Dan 10 X 86.7, dus 867. Daarna de helft van dit laatste getal, dus 433.5» Daarna het 100e deel van 433.5, dus 4.335. 182. Vermenigvuldig: 3-8 X 68 6.7 X 586 5.84 x 382 6.723 X 617 3.8084 x 384 183. Vermenigvuldig : 3-5 X 2.67 6-72 X 34-8 8.64 X 61.6 38.72 X 3-84 58.058 X 26.7 184. Deel : 867.48 : 4 = 32.844 : 14 = 6.16786 : 17 = 384.4896 : 121 = 74.2164 : 92 = 185. Deel: 1-57458 : 2.3 = 30144.4 : 0.0062 = 120.32 : 300.8 = 168.36732 : 627.3 = 2236.52 : 0.46 = 186. Deel: 408.642 : 80.6 = 1266.9 : 41 = 4.1344 : 0.608 = 154.128 : 30.4 = 16104.16 : 80.2 = 187. 7.8 x 6.72 0.168 2.8 X 56 6.7 x 67 0.84 X 284 0.087 X 304 0.3279 X 5 67.2 X 4-86 3.84 x 0.084 4.67 x 0.0426 3.87 X 3.384 0.267 X 0.6279 39.69 : 6.3 = 157.842 : 0.27 = 19.404 : 1.98 = 3.20032 : 0.00064 == 412.5 : 0.0055 = 138.1276 : 3.419 = 4243.5 : 20.5 = 1644.1 : 40.1 = 16.441 : 0.41 = 2.23652 : 48.62 = 16.8 : 6.72 111.5 : 0.025 59.25 = 2.37 1.17 : 46.8 486.72 : 1.04 4.68 x 078 3-9 i °4 X 4 6384 44.6 7-8 X 5241.6 67.2 § 77. Vraagstukken. 188. Een balk heeft een lengte van 57.8 d.M., een breedte van 3.4 d.M. en een oppervlakte van 6.9904 M.2 Hoe groot is de inhoud ? 189. liereken .- 8.4 d.M.2-)- 0.007 M.2-)- 3.5 c.A.-|-2.4986 c.M.2 = M.2 38.6 c.A. +0.0468 K.M.2 -f- 0.0078 H.A.-(-4.6328 d.M.4. = H.A. 268.4 c.M.2 + 3.168 D.M. + 5.267948 H.A. + = c.A. 562 d.M.2-)- 562 c.M.2 + 0.562 m.M.2-|- 562.5 c.A. = H.A. 190. Rereken : 0.625 X ( 58.72 — 0.26 : 0.00052 | 0.002725 191. I11 een kamer, lang 5.6 M. en breed 4.8 M., ligt een kleed met een rand van 2.5 d.M. breedte. Hoeveel M.2 is de rand ? 192. Verminder de som van 5.68 d.S., 3.24 K.L. en 8260 d.M.3 met het verschil van 9.00007 M.3 en 3.58627 c.M.3 193. Een kamer, lang 4.8 M., breed 3.6 M., hoog 3.5 M., wordt behangen. Ramen en deuren zijn samen 14.6 M.2 Hoeveel papier is er noodig ? 194. Van een deeling is het deeltal 0.0125, het quotiënt 0.16 en de rest 0.0005. Hoe groot is de deeler ? 195. 0.0008 S. 4~ 0.008 K.L. = c.M.3 3.284 M.2 + 0.078 H.A. = A. 5.826 K.L. -|- 0.582 D.S. = L. 4.8267 H.A. -)- 2467 d.M.2= c.A. 3.9984 K.G. -}- 2.8674 d.G. = G. 196. In een fabriek heeft men twee bakken met graan. De eerste is lang 72 d.M., breed 45 d.M., en 8 d.M. diep; de tweede 67.5 d.M. lang en 0.72 D.M. breed. Als beide bakken even groot zijn, hoe diep is de tweede dan? 197. Men heeft 480 K.G. rijst van f 0.16 de K.G. en een betere soort van f 0.22. De geheele partij wordt door elkaar gemengd en verkocht met 5 ö(ü winst voor f 115.29. Hoe groot was de tweede partij ? 198. Welk deel is 1 m.G. van 1 K.G.? 0.01 d.S. van 1 K.L.? 1 c.M.* van 1 H.A.f 0.01 L. van 1 D.S. ? 0.0001 H.A. van o. 1 A ? 199. Iemand koopt 150 K.G. rijst van f 11.20 de 100 K.G. Bij het verkoopen is er 20 n>0 bedorven ; de winst is nu 25 ° -n. Hoeveel zou de koopman gewonnen hebben, indien er half zooveel bedorven was? 200. Welk kapitaal moet 2 jaar tegen 6 rt]Q op samengestelden intrest uitstaan om aan te groeien tot f 2752.82? 201. Van 1 Januari tot 1 Juli 1906 vertrokken van Hamburg 94494 landverhuizers; in 1907 gedurende hetzelfde tijdperk 121501. Met hoeveel percent nam het aantal landverhuizers toe ? 202. Voor Bremen zijn dezelfde cijfers 223230 en 269882. Met hoeveel percent nam daar het aantal toe ? 203. Op 31 Dec. 1849 telde Nederland 3.056.879 zielen, op 31 Dec. 1896 4.928.658. Druk de toename in percenten uit. 204. Amsterdam telde 31 Dec. 1849 224035 zielen, 31 Dec. 1896 494189. 1 Aug. 1907 564284. Met hoeveel percent nam het aantal inwoners toe gedurende de beide tijdperken ? 205. De inklaringen in Amsterdam en Rotterdam bedroegen in netto tonnen : Amsterdam. Rotterdam. in 1880 720000 1681000 1885 1015500 2120500 i8go 1895 1897 1182500 1281670 1590000 2918500 4215000 5430000 Druk de toename gedurende het tijdvak 1880—85, 85—90, go—95, 95—97 voor beide steden in percenten uit. 206. Geef aan hoeveel percent de inklaringen van Amsterdam bedroegen van die van Rotterdam. 207. De gezamenlijke inhoud der in onze havens in- en uitklaarde schepen bedroeg in 1850 6325000 M.3, in 1896 44182000 M.3 Met hoeveel percent nam de inhoud toe? 208. Het aantal inwoners van Amsterdam bedroeg op 1 Aug, 1907 564284, waarvan 269923 mannen. Hoeveel 0 0 behoorde tot de mannelijke, hoeveel tot de vrouwelijke bevolking ? 209. Het aantal langs den Rotterdamschen Waterweg in- en uitgeklaarde schepen bedroeg in 1875 7127 met een inhoud van 6602465 M.3 > 1895 10922 » » » » 21171138 M.3 » 1905 '7937 » » » » 49036539 M.3 Met hoeveel percent nam het aantal schepen toe a) van 1875—1895, b) van 1895—1905 ? 210. Met hoeveel percent nam de inhoud toe a) van 1875—1895, b) van 1895—1905 ? 211. Met hoeveel percent nam de gemiddelde inhoud der schepen toe a) van 1875 — 1895, b) van 1895—1905? 212. De ontvangsten van de scheepvaart op de Dedemsvaart bedroegen in 1904 f 35533-22J> in '90S f 35265,26^, in 1906 f 28091.614. Met hoeveel percent namen de inkomsten jaarlijks af ? 213. Aan de sluis te Almelo kwamen in 1905 1740 schepen met een inhoud van 40265 ton, » 1906 1711 » » » » » 5°412 * • Met hoeveel percent nam de inhoud der schepen gemiddeld toe? 214. Druk den bevolkingsaanwas onzer provinciën van 1849—1896 in percenten uit (zie blz. 193). 215. Ken kapitaal van f 1560 staat uit tegen 5 percent 's jaars. Hoe groot is de intrest na 7 maanden ? 216. Een kapitaal, groot f 1920, staat 1 jaar op rente uit, en groeit in dien tijd aan tot f 2054.40. Tegen welk percent staat het kapitaal uit ? 217. Een agent eener handelszaak verkoopt in zekeren tijd voor f 1247.50. Als hij 7.5 percent provisie geniet, hoeveel ontvangt de groothandelaar dan ? 218. In een zaak wordt in zeker jaar f 43857.50 winst gemaakt. De gezamenlijke directeuren ontvangen hiervan 8 °|0, en van de rest ontvangen de aandeelhouders 75 °0. Hoe groot is het bedrag, dat aan de aandeelhouders uitgekeerd wordt ? 219. Iemand heeft in 10 jaren f 1237 aan contributie in een levensverzekering betaald. Als dan aan hem 12.4 °|0 wordt terugbetaald, hoeveel ontvangt hij dan ? 220. Iemand betaalt een rekening van f 86.75, maar kan 3 percent korten. Met hoeveel kan hij de rekening voldoen ? 221. Een rekening, waarop 5 percent gekort is, wordt voldaan met f 170.05. Hoe groot was de rekening? 222. Iemand geniet 3 percent provisie, die f 85.50 bedraagt. Hoeveel ontvangt de groothandelaar zelf? 223. Iemand mag van een rekening 15 percent korten. De korting bedraagt f7.65. Met hoeveel wordt de rekening voldaan ? 224. Als iemand uit een levensverzekering f 73.08 van zijn premie terugkrijgt, terwijl de winstuitdeeling bepaald is op 11.6% hoeveel premie heeft hij dan reeds betaald ? 225. Iemand geeft 4% van zijn geld uit, en daarna nog 5 °|o van de rest. Als hij f410.40 overhoudt, hoeveel had hij dan? 226. Iemand ontvangt uit een spaarbank, die falliet is, 42 °,0 van zijn kapitaal terug. Als hij f411.80 schade lijdt, hoe groot was dan zijn tegoed en hoeveel ontvangt hij terug? 22/- Een winkelvereeniging keert 12 0 () uit. Iemand ontvangt f 6.60. Hoeveel had hij gekocht ? 228. Amsterdam telde op 1 Sept. 1907 564474 zielen. Met hoeveel °j0 nam de bevolking in Augustus 1907 toe (zie 110. 204) ? 229. Twee kapitalen, waarvan het eene dubbel zoo groot is als het andere, staan op intrest uit, het kleinste tegen 4, het grootste tegen 3 0 0. Na hoevele jaren is de intrest van beide kapitalen zoo groot als het kleinste kapitaal? J) 230. Een koopman heeft zijn waren verkocht, en berekent dat hij juist 5 °j0 van den verkoop heeft gewonnen. Hoeveel °|0 is dat van den inkoop ? 231. Iemand wint 15 °j0. Hoeveel n;0 is dat van de som van in- en verkoop ? En hoeveel "j0 van het verschil tusschen in- en verkoop ? 232. 2.04 °J0 van een kapitaal is juist f51. Hoe groot is dat kapitaal ? 233. Iemand verkoopt een partij goederen met 20 °|0 winst Hij geeft echter 5°|0 korting. Hoeveel °io wint hij nu ? 234. Een partij waren wordt verkocht met io°|() winst. Doordien korting gegeven wordt, bedraagt de winst slechts 5.6 °|0. Hoeveel bedroeg de korting ? 235. Twee kapitalen, samen f 1500 groot, staan op intrest. Als het eene uitstaat tegen 40 0 en het andere tegen 5 °i0, wordt gevraagd naar de grootte der beide kapitalen, als de jaarlijksche intrest f 65 bedraagt. 236. Iemand verkoopt zijn goederen voor f 1293.60, en wint daardoor 5 °|0. Als hij f 182.10 minder had ontvangen, hoeveel °0 had hij dan verloren? 237. Iemand zet f 2000 op intrest tegen 5 0 'sjaars. Twee jaar later zet hij f 3000 uit, tegen 4 °|n. Na hoeveel jaar hebben beide kapitalen evenveel intrest opgeleverd ? ') Waar niet uitdrukkelijk gesproken wordt van samengestelden intrest, wordt steeds enkelvoudige intrest bedoeld. 238. A bezit f 25 meer dan 15. A geeft 10 °|0 van v.ijn geld aan B. en nu hebben ze evenveel. Met hoeveel °|0 is B's geld vermeerderd ? 239. Een stuk land wordt verkocht met 15 °|0 winst. Als inen verkoop samen f 2676.75 bedragen, vraagt men voor hoeveel geld het land verkocht is ? 240. Iemand verliest 5°ln van zijn geld. en wint later 6° 0 van t geen hij na zijn verlies nog over had. Als hij nu 7 cent meer heeft dan hij oorspronkelijk bezat, hoeveel had hij dan tenslotte? HOOFDSTUK IV. De gewone breuken, met nog een en ander over de geheele getallen. § 78. Ter herinnering. Men kent ccn kalven cent, en weet, dat men voor deze drie woorden ook kan schrijven: J cent. En voorts zijn bekend : J M., J, L., £ K.M., -J H.A., \ brood, 4 uur, i minuut, ^ jaar, enz. Voor | leest men telkens: een half, of een halve. Hoe zich een halve cent verhoudt tot een heelen cent, een half jaar tot een heel jaar, dat weet ieder door de ervaring zoo goed, dat het niet noodig kan zijn daar een enkel woord over te spreken. Een vierde komt in het practische leven veel minder voor. Maar een pannekoek wordt in 4 gelijke deelen verdeeld, en ook een appel. Ook is een vierde el bekend. In sommige streken rekent men ook met een vierde cent, niet als geldstuk, maar men geeft toch den prijs van enkele waren in vierden van een cent aan en zegt b.v.: verleden week kostte een ei 3 cent, thans 3 en een vierde cent. Ook in den timmerwinkel komen vierden voor; planken van 3 vierde duim, spijkers van een en een vierde duim. En zoo heeft men misschien nog wel eenige voorbeelden meer van vierde deelen. In cijfers geschreven ziet men niet zooveel als dezen vorm krijgt een ieder dagelijks onder de oogen op 3 van onze munten, -J- veel minder vaak. Hoeveel het is : een vierde cl, een vierde duim, een vierde uur, is evengoed bekend als een halve el; in 't algemeen kunnen we zeggen: | js » » » vierde » ^ \; acht » > » > » half » -A- = -J ; en zoowel door aanschouwing als door redeneering weten we dat: 3 _ JL • 5 _ IJ. . 3 14. 3 — . 8 16' 8 1 B > 8 16' 4 — 1 B ' en bovendien : 1 4- JL = _9 5 I 1 _ 11 , 1 — u, 2 ' 1B 1fi > 8 I 1S 1fi > 1 16 1B * Van zulke kleinigheden moet men zich goed overtuigen. Ook al kan men het vorige, al lezende, begrijpen, toch is het noodig werkelijk uit te voeren wat hier beschreven werd. Met de verdeeling van het vel papier kan men doorgaan ; eerst nog eens in tweeën, en er ontstaan twee cn dertigste deelen, dan, als we telkens weer in tweeën vouwen : vier en zestigsten, enz. Iets anders weer. Neem een ongevouwen vel papier, en verdeel het in drieën; elk deel heet nu cm derde. Dit is minder dan een half en meer dan een vierde. Vouwt men het papier daarna dubbel, dan is elk derde in tweeën verdeeld, en we hebben dan 6 gelijke deelen. Kik deel heet een zesde. Telkens weer dubbel gevouwen krijgen we twaalfden, vier en twintigsten, acht en veertigsten. Aan de lijnen op het vel papier kunnen we zien, en door redeneering kunnen we begrijpen dat : de helft van een derde is een zesde; » » » » zesde » » twaalfde; » » » » twaalfde » » vier en twintigste, en dus ook : i 2 * 2 4-1 i-5 lü • 3 — 1 • 1 — -2_ i = t' f — f > t — T2 > t — TÏ ' o 2 ' ia 24' en ook : i + « = «=ri;l i = « = 2Een derde deel werd in tweeën verdeeld ; we hadden 't ook kunnen verdeelen in drieën. Dan was het geheel verdeeld in negenen, en elk deel heette dan J. Dan weer elk negende deel in tweeën, in drieën, in vieren; we kregen dan resp. -j^, ^. Zoo kunnen we doorgaan. Het ongevouwen vel had ook verdeeld kunnen worden in 5 gelijke deelen; elk deel had dan geheeten : een vijfde. En een vijfde weer in tweeën, in drieën, in vieren ; dan hadden we resp. H)> lV> /(>• Kortom door letterlijk de verdeelingen uit te voeren, en de deelen met elkaar te vergelijken, kunnen we reeds heel wat wetenswaardigheden omtrent de gewone breuken opdoen. Maar we herhalen : lezen is niet voldoende ; men moet het doen wat we zeiden, omdat dan alleen heldere voorstellingen ontstaan. En dan make men zelf eens een rij sommen, die men met een gevouwen vel papier voor zich, zichzelf opgeeft, en oplost; de antwoorden heeft men meteen voor zich. Zoo b.v. ten opzichte van de twintigsten : 22O = A; ~h = I + ia — A; A = To ~t~ 20 > ïO — I3T> ïmi ! 4 _4 1 ■ 2 • go — 10 — 5 ' 20 ' /o =5 + 20 = 4 '> 29D = I + 2*0 = è — 2 0 '» U = h> Vz = u = n = n = « = « - i* - m = M = Wie dit gedeelte van de gewone breuken onder de knie wil hebben, kan het, wanneer men slechts met het verdeelen van papier, het trekken van lijnen, e.d. niet te zuinig is. Uit het voorgaande volgen een heele massa dingen. De geheele leer der breuken ligt er in opgesloten. In hoe grooter aantal deelen een geheel wordt verdeeld, hoe kleiner elk deel wordt: ,J, b J, J, l, J, i, 1, ^ is dus een rij van getallen, die steeds kleiner worden. Men kan telkens de helft nemen van een dier getallen : de helft van ^ van £ = ,1,, » I = b » + = lV 1 4=1. » i = ïV " 5 iV' ' i == ïV > waaruit we reeds voelen hoe de helft van een breuk verkregen wordt, èn het derde deel, èn het vierde, enz. Ien opzichte van het vermenigvuldigen kunnen we dezelfde opmerkingen maken : 2 X { = b - X tV = b 2 X i = b 2 X A = b 2 V JL — 1 -> V _L 1 ^ A ff 4' 2 A H — f- Wanneer men nauwkeurig vergelijkt: | en i, J en dan begrijpt men reeds, dat 2 X = 4*5 is, zonder ooit het 96e of het 48e deel van een hoeveelheid te hebben gezien. Men vergelijke nog: f en b 1% en f en i en j, ff en f en f, A en I» 18 en TO en i en f, 12 en -§ en f. Telkens noemen we 2 of 3 getallen, die dezelfde waarde hebben en wanneer men ze goed aanziet, dan kan men reeds daaruit ten opzichte van andere getallen iets dergelijks besluiten. Zoo b.v.: Is 12 = 1 ? En 4® = I f -.'4 — t ' F'" 75 — 3 ' In de volgende paragrafen echter zullen deze zaken achtereenvolgens aan een nauwgezette beschouwing onderworpen worden. Maar nog eens zij 't gezegd : met het voorgaande make men zich door eigen aanschouwing vertrouwd. Eerst daarna volge een redeneering in 't algemeen. § 7». Algt •meene beschouwingen. Men verdeelt dus een geheel in een zeker aantal gelijke deelen. Vooral op dat eene woord gelijke lette men. In de vorige paragraaf werd het geheel telkens slechts in een klein aantal gelijke deelen verdeeld, omdat we de verdeeling werkelijk wilden uitvoeren, maar men kan zich natuurlijk ook voorstellen, dat het aantal deelen grooter is, zeer groot zelfs, iooo, ioooo, 13857, of wat ook. Zoo'n kleiner of grooter deel is weer een eenheid op zich zelf. Het bestaat, in werkelijkheid dan of in gedachten, evenzeer op zichzelf als een meer of minder groot aantal geheelen. , o^x>0 of zoo iets van 1 H.L. erwten kan men zich evengoed voorstellen als een waggon van 80 H.L. Het eerste kan b.v. 1 erwt zijn. Beschouwt men die kleine deeltjes op zich zelf, dan kan men er allerlei bewerkingen mee uitvoeren ; men kan zich veel van die eenheden voorstellen, men kan twee of meer hoeveelheden er van optellen of van elkander aftrekken, — kortom, al wat vroeger geleerd is van de geheele getallen, geldt ook voor de breuken. Van een rekenkundig standpunt beschouwd, is er geen verschil tusschen een baal koffieboonen en een miljoenste deel van een enkele boon. 't Zijn beide eenheden, waarvan we, in gedachten, veel of weinig kunnen nemen, we kunnen ze tot groepen vereenigen, we kunnen ze samenvoegen, scheiden, verdeelen, en al die bewerkingen met de eene sóórt van eenheden zoowel als met de andere. Zoo beschouwd kunnen we ons dus evengoed een voorstelling maken van H.L. graan als van 83 H.L. In 't eerste geval hebben we eenige duizendsten van een H.L., in 't laatste geval H.L. De streep en rle 1000 van ,12,, zijn slechts noodig om de grootte der eenheden aan te duiden ; anders beduiden ze niets. Men kan echter nog een andere beteekenis hechten aan de breukvormen van de vorige bladzijden, aan r^0> enz. Het vier en twintigste deel van een vel papier wordt aangeduid door 2\, en het vier en twintigste deel van 16 vellen zal dus 16 maal zijn, dus. Daar is geen verschil in of men het 24e deel neemt van 1 vel, en dan 16 van die deelen, óf van 16 vellen telkens als deze vellen slechts even groot zijn. Maar in 't eerste geval heeft men : 16 vier en twintigsten van 1 vel, en in 't laatste : het vier en twintigste deel van 16 vellen. Hieraan kan men bij eiken breukvorm denken, zoodat dus ook kan zijn: het iooe deel van 12; ^ het 525e deel van 49, het 557e deel van 328 enz. Een breukvorm kan dus ook voorstellen : het quotiënt van twee getallen. Die getallen, zooals later blijken zal, kunnen geheele getallen zijn, maar ook, een van beide, of beide, gebroken. § 80. Een rij namen. Zooals bleek, is er bij elke breuk één getal, dat aanwijst, in hoeveel deelen het geheel is verdeeld. Dat getal heet de noemer der breuk. Er is ook een getal, dat aanwijst hoeveel deelen van het geheel er genomen worden. Dat getal heet de teller. In £ is dus 5 de teller, 8 de noemer; in is 7 de teller, 12 de noemer. Het aantal deelen, dat door den teller wordt aangewezen, kan kleiner, maar ook grooter zijn dan het aantal, dat door den noemer wordt aangewezen. Is het aantal grooter, dan is het natuurlijk niet mogelijk dat aantal deelen te vormen van één géheel; er moeten dan 2 of meer geheelen verdeeld worden. Om £■ te krijgen verdeelt men een geheel in 8 gelijke deelen en neemt daarvan 7; om y> te krijgen, moet men twee geheelen verdeden, men krijgt dan 16 achtsten, en daarvan kan men dan 10 nemen, of zooveel men wil. Men heeft dus breuken grooter dan. en kleiner dan een geheel, en aan deze breuken geeft men afzonderlijke namen. De breuken, grooter of gelijk aan een geheel, heeten oneigenlijke breuken: die, welke kleiner zijn dan een geheel, heeten eigenlijke breuken. Van deze laatste is de teller kleiner dan de noemer, van de eerste gelijk aan, of grooter. Eigenlijke breuken zijn dus f, |, y\ ; oneigenlijke J||, ff, V.7, 1"°- Oneigenlijke breuken zijn dus grooter dan een geheel. Men kan onderzoeken uit hoeveel geheelen en uit hoeveel deelen deze breuken eigenlijk bestaan. Zoo is l8° = I geheel en kortweg geschreven ij. Zulk een vorm, bestaande uit een geheel getal, en uit een breuk, noemt men e> dan 's deze breuk gelijk aan f. Wie 't zóó niet begrijpt, neemt een lijn, en verdeelt die in 12 gelijke deelen b.v. Een flinke deelstreep wijst j\> aan. . | __ . | . | Men verdeelt dan elk 12e b.v. in drieën ; dan krijgt men 3 maal zooveel deeltjes, dus 36, en tot aan de forsche deelstreep natuurlijk ook 3 maal zooveel, dus 21. III II I I I I I II I I 1 I I I I I I I I I I II lil lil II I f* lilt I Daarom is A Een ander voorbeeld. Men neme een vel papier, verdeele het in 4 deelen, en daarna elk 4e deel in b.v. achten. Dan krijgt men ten slotte 32 gelijke deelen, en voor | dus 3 X 8 = |f Wanneer teller en noemer met hetzelfde getal vermenigvuldigd worden, dan volgt daaruit onmiddellijk, dat men teller en noemer ook door hetzelfde getal mag deelen. Het eene is, herhalen we, een gevolg van 't ander. Als we teller en noemer met hetzelfde getal vermenigvuldigen, dan wordt deze bewerking ongedaan gemaakt door daarna teller en noemer door hetzelfde getal als waarmee vermenigvuldigd werd, te deelen. Bij kunnen we ons voorstellen, dat van zekere breuk teller en noemer met 3 vermenigvuldigd zijn, waarna er -i-| kwam ; die nog onbekende breuk was dus Ook kan men redeneeren zooals hierboven. Als herleid wordt tot een breuk, waarvan de noemer 8, dus 3 maal zoo klein wordt, dan wordt elk deel 3 maal zoo groot, en daarom kan het aantal deelen, dat is de teller, 3 maal zoo klein worden. We herhalen: de/.e eigenschap is bij de gewone breuken schering en inslag; schier geen som of'men maakt er gebruik van. S N2. liet vereenvoudigen en het gelijknamig maken van gewone drenken. Zooals uit de volgende paragrafen blijken zal, is het dikwijls noodig breuken gelijknamig te maken. Heeft men twee of meer breuken, f, •> en y0, dan kan men teller en noemer met zulk een getal vermenigvuldigen, dat alle denzelfden noemer krijgen. Die gemeenschappelijke noemer kan dan b.v. 60 worden. Daartoe moet de noemer van de eerste breuk vermenigvuldigd worden met 15, van de tweede met io, van de derde met 6, en, indien de breuken dezelfde waarde zullen behouden, worden ook de tellers resp. 15, 10 en 6 keer genomen. Dan heeft men: -si - 4 5 jji) 7 4 o * «0' « ï 0' 10 tiö" Dat we juist 60 kiezen, komt daar vandaan, dat zoowel vierden als zesden en tienden herleid kunnen worden tot 60e deelen en niet tot b. v. 50e deelen. Wil men zoo J en | gelijknamig maken, dan zoekt men evenzoo een noemer, door 8 deelbaar en door 9, en dat is b.v. 72. We hebben dan h = en ^ Een vergelijking tusschen de grootte der breuken is zóó \eel beter mogelijk dan wanneer ze nog in hun oorspronkelijken vorm zich vertoonen. De gemeenschappelijke noemers, 60 van het eerste, en 72 \an het tweede voorbeeld, zijn niet de eenigste, die we konden kiezen. Wel zijn het de kleinste. Het gelijknamig maken van breuken is dus mogelijk, nu we weten, dat teller en noemer van een breuk met hetzelfde getal mogen worden vermenigvuldigd, zooals in § 81 is aangetoond. Ook het vereenvoudigen sluit zich aan hij het geleerde in diezelfde paragraaf: t berust op de andere eigenschap, dat men teller en noemer door hetzelfde getal mag deelen. (jevraagd wordt, jj!, jjj te vereenvoudigen. Welnu 3 en 12 zijn beide deelbaar door 3, 10 en 16 door 2, 25 en 40 door 5 ; daarom is 3 = 1 jj) — 25 5 12 4' 16 8' 4 0 — 8' Op dezelfde wijze, door teller en noemer door hetzelfde getal te deelen, kan men soms breuken, waarvan teller en noemer groote getallen zijn, op eenvoudige wijze voorstellen. Deelt men b.v. van 2433ö^ teller en noemer door 48, dan krijgt men 4:!s, en hiervan zijn teller en noemer door 3 deelbaar, zoodat men heeft: 4 32 — 3 — _a •2304 48 — 16' De meest verschillende breuken blijken dan soms dezelfdewaarde te hebben. Dit is het geval b.v. met ff, ff, tVo> i''< alle zijn gelijk aan 3. Het vereenvoudigen heeft geen ander doel, dat wat direct in de bewerking ligt opgesloten; we stellen de waarde der breuk voor door cijfers, die zoo klein mogelijk zijn, 0111 daardoor van die waarde een zooveel mogelijk juiste voorstelling te verkrijgen. § N3. Het gelijknamig maken en het vereenvoudigen van breuken is soms moeilijk. \\ il men twee of meer breuken gelijknamig maken, dan is het soms een heel moeilijke zaak om den gemeenschappelijken noemer te bepalen. Zijn de noemers der breuken klein, dan ziet men vaak onmiddellijk welken gemeenschappelijken noemer de breuken hebben. We geven eerst eenige voorbeelden van kleine noemers. a) en jj. We zien direct, dat de gemeenschappelijke noemer 6 wordt. Want 3e deelen zijn te herleiden tot 6e deelen. "I' 10 en 40- gemeenschappelijke noemer wordt 40: de 5e en 10e deelen zijn te herleiden tot 40e deelen, omdat 5 en 10 deelbaar zijn op 40. c) j', ;j en j!. De 3e deelen kunnen herleid worden tot 6e en tot 9e deelen. Maar, ze herleidende tot 6e deelen, hebben we |, | en |j, d. w. z. nog 6e en 9e deelen. Wat we deden, is dus niet voldoende: de 3e, 6e en 9e deelen moeten herleid worden tot dezelfde deelen. We hebben dus behoefte aan een getal, dat door 3, 6 en 9 deelbaar is. Dat is b.v. 20 niet en 25 niet, en we kunnen !) daarom de 3e, 6e en 9e deelen niet herleiden tot 20e of 25e deelen. Na eenig zoeken vinden we 18 b.v. of 36 of 54: al die getallen zijn deelbaar door 3, door 6 en door 9_ en 't is daarom mogelijk de genoemde breuken te herleiden tot 18e deelen: | = }f, | = J§, f = li 't Laatste voorbeeld doet reeds zien, dat het zoeken van,den gemeenschappelijken noemer dan reeds moeilijk is, als de noemers der breuken nog klein zijn. Nog moeilijker is dit in het volgende voorbeeld : d) .}» en T,'s en De gemeenschappelijke noemer moet een veelvoud zijn van 27, 't moet een veelvoud zijn van 28, èn van 63. We deelen dan 27, 28 en 63 op dien noemer, vermenigvuldigen het quotiënt met de tellers, en hebben dan de breuken gelijknamig. Evenwel zal men niet gemakkelijk een getal vinden dat zoowel een veelvoud is van 27, als van 28 en 63. De gemeenschappelijke noemer is 11.1. 756. Op een wijze echter kan men steeds een gemeenschappelijken noemer vinden, en wel door de noemers der breuken met elkaar te vermenigvuldigen. In 't vorige geval dus : door het product te bepalen van 27, 28 en 63 ; want dat product is deelbaar door elk der factoren 27, 28 en 63. Maar dan krijgt men soms een zeer groot getal, hier b.v. 47628. Dat echter willen we niet, we verlangen een kleineren noemer, liefst den kleinsten, omdat de breuken dan het gemakkelijkst te begrijpen zijn. Bij het gelijknamig maken van breuken hebben we dus behoefte aan het kleinste genieene veelvoud der noemers, en dat kleinste gemeene veelvoud der noemers moeten we leeren bepalen. Iets dergelijks doet zich voor bij het vereenvoudigen van 'j Kur.nen ? Ja 't kan wel desnoods. breuken. Zijn teller en noemer beide kleine getallen, dan kost het niet veel moeite. Teller en noemer van Jj deelt men door 2, en dan is men gereed; van }j? door 4, van l,jj door 4, van -AJ door 8, enz., want men ziet onmiddellijk dat 6 en 8 geen anderen gemeenschappelijken deeler hebben dan 2 en dat 12 en 16 beide door 4, 16 en 20 eveneens beide door 4, en 16 en 24 beide door 8 gedeeld kunnen worden. Wel is waar hebben b.v. 16 en 24 nog andere gemeenschappelijke deelers, maar deelt men teller en noemer door 8, d. i. door den grootsten gemeenschappelijken deeler, dan is direct zooveel vereenvoudigd als mogelijk is. Maar vereenvoudig nu Welke gemeenschappelijke deelers hebben teller en noemer nu ? Daar is weer geen zoeken aan; de grootste, en in dit geval de eenigste gemeenschappelijke deeler is 271. Bij het vereenvoudigen van breuken hebben we dus behoefte aan den grootste tl gemeenen deeler van teller en noemer, en ook dien grootsten gemeenen deeler zullen we thans leeren vinden. Geen gemeenschappelijke deelers kunnen echter gevonden worden zonder dat de deelers van de getallen bekend zijn. We kunnen elk getal beschouwen als het product van twee of meer factoren; elke factor is een deeler, het product van twee of meer factoren is weer een andere deeler. Maar welke getallen zijn er met elkaar vermenigvuldigd om het getal 1008 te verkrijgen ? 1008 = 2X2X2 X 2 X 3 X 3 X 71 1008 bestaat dus uit eenige factoren 2, 3 en 7, en de deelers van 1008 kunnen we zoodoende bepalen. Drie dingen zijn dus te leeren : a) een getal in factoren ontbinden ; b) het zoeken van den grootsten gemeenen deeler; c) het zoeken van het kleinste gemeene veelvoud. § 84. De ontbinding in factoren en eenige kenmerken van deelbaarheid. Wanneer zeker getal gegeven is, is het de allereerste vraag : Waardoor is dat getal deelbaar ? Dat is niet altijd gemakkelijk te zien, soms kost het zelfs heel veel gecijfer voor men het weet, maar enkele deelers van sommige getallen kan men op een zeer eenvoudige wijze vinden. — en dat dient thans eerst geleerd. a) Wanneer is een getal deelbaar door 2 ? Dat zijn alle even getallen; de oneven getallen niet. Elk aantal eenheden kan men leggen in rijen van tien; dan blijven óf geen, óf nog enkele eenheden over. Elke rij van 10 kan men leggen in groepen van 2 ; — kan men de overblijvende nu ook nog leggen in groepen van 2, dan kan het geheele aantal eenheden door 2 gedeeld worden. B.v. 76858 = 7685 X 10 en nog 8. 7685 X 10 is een veelvoud van 2; 8 is een veelvoud van 2; dus 76858 is ook een veelvoud van 2. We kunnen 't ook zoo zeggen : een getal is deelbaar door 2, als het laatste cijfer door 2 deelbaar is, of: als het laatste cijfer even is. b) W'antieer is een getal deelbaar door 3Evenals 2 is 5 een factor van 10; elk willekeurig aantal tientallen is dus deelbaar door 5. Is het cijfer der eenheden nu o of 5, dan is 't geheele aantal eenheden door 5 deelbaar. 565 = 56 X 10 en nog 5; 56 X 10 is deelbaar door 5, 56 X 10 en 5 dus ook. Een getal is dus door 5 deelbaar, als het cijfer der eenheden een 0 is of een 5. e) Wanneer is een getal deelbaar door j • 't Getal 3 is geen factor van 10 ; we kunnen dus niet op dezelfde wijze als bij 2 en 5 bepalen of een getal door 3 deelbaar is. We gaan thans tientallen, honderdtallen, enz. afzonderlijk na, en merken op : 10 is een veelvoud van 3 en nog 1, IOO » » » » 3 * » I, 1000 » » » » 3 * » 1, enz. hlke term van de schaal is een veelvoud van ? en noir 1 »' O " Daarom is 700 een veelvoud van 3 en nog 7, 8000 » » » 3 » » 8, 900000 > » » 3 » » 9. Elk veelvoud van een der termen is een veelvoud van 3 vermeerderd met het cijfer dat aangeeft hoeveelmaal zekere term van de schaal genomen is. Nemen we nu een willekeurig getal, b.v. 73286, dan kunnen we dit zeggen: 70000 = een veelvoud van 3 en nog 7 3000 =3 » » 3 » » 3 200 = * » » 3 " * 2 80=» > •» 3 » 8 6 = 6 73286 = een veelvoud van 3 en nog 7 + 3 -j- 2 S [-6=26. Of het getal 732^6 deelbaar is door 3 hangt dus alleen af van het getal 26, d.w.z. van de som der cijfers. Is 26 deelbaar door 3, dan 73286 eveneens ; is 26 het niet, dan 73286 evenmin. Op deze wijze kunnen we redeneeren ten opzichte van elk willekeurig getal, en de slotsom waartoe we komen is deze: een getal is deelbaar door 3, wanneer de som der cijfers door ? deelbaar is. Zoo in deze gevallen : 78 is deelb. door 3, want 7 -(- 8 = 15 is deelb. door 3 ; '59 » » » 3» » 1 + 5 + 9 = IS » » » 3 ; 2487» » » 3, > 2 + 4 + 8 + 7 = 21» > » 3, enz., maar 643 is niet deelbaar door 3, omdat 6 + 4 + 3= 13 geen 3-voud is. d) Wanneer is een getal deelbaar door 9Als in c met betrekking tot het getal 3, merken we op : 10 is een veelvoud van 9 en nog 1, 100 » » » » 9 > > 1, 1000 » » » >9**1, enz., en op geheel dezelfde wijze als bij het getal 3 komen we tot dit kenmerk : een getal is deelbaar door wanneer de som der cijfers deelbaar is door Het laatste kenmerk van deelbaarheid is eigenlijk niet noodig voor het ontbinden in factoren : we maken er wel eens gebruik van als proef op de vier hoofdbewerkingen met geheele getallen. Ziehier een paar voorbeelden : 8735 is een veelvoud van 9 en nog 23 13726 » » 9 » » 19 798 >> » *9»» 24 8267 9 » . » 23 31526 is een veelvoud van 9 en nog 89 De som der 4 getallen is 31526: een veelvoud van 9 en nog 3 + I+5 + 2-|-6=i7;de optelling geeft aan een veelvoud van 9 en nog 89. 't Verschil tusschen 17 en 89 is slechts schijnbaar, want 89 en 17 beide zijn veelvouden van 9 en nog 8. De som der 4 getallen is dus een veelvoud van 9 en nog 8 ; dat leert de optelling, en dat leert de negenproef, dat is : het de'elen van eiken term van de som door 9. Ken voorbeeld van de negenproef bij het vermenigvuldigen : 875 is een veelvoud van 9 en nog 2 56»» » »9»»2 5250 4375o 49000 > » , » 9 » > 2 X 2 = 4 In deze vermenigvuldiging hebben we eveneens de negenproef genomen. Beide 56 en 875, zijn veelvouden van 9 en nog 2 ; t product dus een veelvoud van 9 en nog 2 X 2 '). Is dat zoo? 49000 is een veelvoud van 9 en nog 4 -f- 9 = 13, dus inderdaad een veelvoud van 9 en nog 4. Zijn de optelling en de vermenigvuldiging nu werkelijk goed ? Absoluut zeker is geen enkele proef 1), want we kunnen bij elke proefneming fouten begaan, en die door een andere fout weer ongedaan maken. Laat ons dit zeggen : deze proef is even betrouwbaar als de vroeger genoemde. Men kan deze proef natuurlijk ook toepassen bij het aftrekken en bij het deelen. Kr zijn veel meer kenmerken van deelbaarheid dan de hiergenoemde. Voor de ontbinding in factoren zijn ze echter ten ) Daar mag men zich wel eens goed van overtuigen : zulke beweringen glii<*i er in als koek, zegt men wel eens, omdat de zaak zoo eenvoudig lijkt. Maar 't is niet zoo eenvoudig. Daarom dit ter verklaring. a) Vermenigvuldig 2 negenvouden met elkaar ; het product is een 9-voud, neen zelts een 8i-voud, maar dat doet er niet toe. b) Vermenigvuldig een 9-voud + 2 met een 9-voud ; het product is een o-voud ? of een 9-voud -j- 2 ? Een 9-voud natuurlijk. Cl Vermenigvuldig een 9-voud + 2 met een 9-voud + 2. We hebben dan het antwoord van b (een 9-voud), en dan nog 2-maal een 9-voud = 2, dus een 9-voud en 2 = 2. deele niet noodig, of ze zijn zoo samengesteld, dat ze nooit toegepast worden. We zullen er nog enkele noemen. e) 't (ietal 100 is deelbaar door 4, 5» IO> 2°> 25> 5°> e"< aantal honderdtallen dus ook. Zijn nu de laatste 2 cijfers van een getal als een getal op zichzelf beschouwd, deelbaar door 4, 5, 10, 20, enz. dan is het geheele getal door 4, enz. deelbaar. Een kenmerk dus dat overeenkomt met dat van 2 en 5. Van 't getal 8764 is 8700 deelbaar door 4, omdat 100 het is; 64 is eveneens deelbaar door 4 ; 8764 dus ook. ƒ) 't Getal 1000 is deelbaar door 8, door 125, door 40, en door veel andere getallen nog. Redeneerende als voren hebben we dit kenmerk : een getal is deelbaar door 8, enz. als de laatste 3 cijfers, als een getal op zich zelf beschouwd, deelbaar zijn door 8. B.v. 17512 is deelbaar door 8, 17000 is het en 512 eveneens; daarom de som ook. g) Samengestelde kenmerken van deelbaarheid. Bevat een getal een factor 2 en een factor 3> dan is het deelbaar door 6. W illen we dus bepalen of zeker getal, b.v. 756 deelbaar is door 6, dan merken we ophet is deelbaar door 2, want 't is even ; het is deelbaar door 3, want 7 ~f" 5 & = '8 is een veelvoud van 3. Daarom is 756 door 2X3=6 deelbaar. Zoo is een getal deelbaar door 18, als het deelbaar is door 2 en door 9, door 40, als het deelbaar is door 5 en door 8. Op een punt maken we hier opmerkzaam. Wanneer een gedurig product b.v. niet meer dan drie factoren 2 bevat, dan is het deelbaar door 2 X 2 X 2 8> en °°k door 2 X 2 ()f 4Maar wanneer men eerst de drie factoren 2 heeft afgezonderd, dan blijven geen factoren 2 over, zoodat de overblijvende factoren niet meer deelbaar zijn door 4. Men vergelijke deze voorbeelden: 2X3X8X7X5=8X7X5X(2X3) = 8X7X5X6 en 3X3X2X2X2X5 = 3X3X5X(2X2X2) = 3X3X5X». De eerste vorm is deelbaar door 2, door 3, en door 2 X 3 = 6, de laatste door 2 X 2 X 2> dus door 8, en ook door 4, maar niet door 8 X 4, want het gedurig product is gelijk aan 3 X 3 X 5 X ^ We letten er dus op dat we moeten hebben twee factoren zonder gemeenschappelijken deeler. Een getal is dus door 45 deelbaar, als het deelbaar is door 9 en door 5, b.v. 527S5, want dit getal eindigt op een 5, en de som der cijfers is 27. d. i. een 9-voud, — maar een getal is niet door 45 deelbaar, als het deelbaar is door 3 en door 15. Dit is het geval met 22785 , t getal is deelbaar door 3 en door 15, maar niet door 45. h) Kr zijn ook kenmerken van deelbaarheid voor 7, 11, 99, 101, enz., maar we geven die hier niet op, want voor't practisch rekenen maken we er geen gebruik van. Wanneer we nu een getal in factoren willen ontbinden, dan vragen we allereerst: is het deelbaar door 2 ? En zoo ja, is het quotiënt weer deelbaar door 2.* Is het deelbaar door 3, door 7 enz. Ziehier een voorbeeld. Hebben we 't getal 1008, dan schrijven we eerst: 1008 = 2 X 504, en omdat 504 = 2 X 252> i-s 1008 = 2 X 2 X 252, = 2 X 2 X 2 X 126, = 2 X 2 X 2 X 2 X 63, = 2 X 2 X 2 X 2 X 3 X 21, = 2 X 2 x 2 X 2 X 3 X 3 X /. Het quotiënt wordt dus telkens in 2 factoren ontbonden, en deze tactoren worden gevoegd bij de reeds verkregene. Hiermee gaat men voort, tot men een quotiënt verkrijgt, dat geen enkelen deeler meer heeft. In t algemeen is de aangegeven wijze van ontbinden het gemakkelijkst. Heeft men echter een getal, waarvan men direct 2 of meer factoren weet, dan kan men ook hiervan gebruik maken. Zoo is 1296 = 36 X 36, en 36 is 2 X 2 X 3 X 3, dus 1296 = 2 X 2 X 2 X 2 X 3 X 3 X 3 X 3- Kan men niet direct zien waardoor een getal deelbaar is, dan probeert men door gewoon te deelen of het door zeker getal gedeeld kan worden. Daarbij verrichte men echter geen nut- teloos werk. Bevat het getal geen factor 2, dan kan het niet door 4, 6 of 8 deelbaar zijn ; is er geen factor 3, dan kan er geen sprake van zijn dat het getal een veelvoud van 6 is, of van 9 of 12, enz. De achtereenvolgende deelers moeten dus ondeelbare getallen zijn, d. w. z. getallen zonder deelers, 2, 3. 7, ii, 13. 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 enz. Deze getallen noemt men, herhalen we, ondeelbare getallen, omdat ze geen deelers hebben (behalve dan 1 en 't getal zelf, doch deze rekenen niet mee). Neem nu een willekeurig getal, b.v. 237. Deelbaar door 2 is het niet, door 3 wel (2 —|— 3 —(— 7 = 12 = een drievoud), dus 237 = 3 X 79- Nu 79. Dit getal is niet deelbaar door 2, niet door 3, niet door 5, 7 of 11, 't is een ondeelbaar getal. Daarom kan 237 niet verder in factoren ontbonden worden. Het bleek, dat 5,7, 11 niet gedeeld konden worden op 79. Moet men. om te beslissen of 79 ondeelbaar is, nu alle ondeelbare getallen tot 79 op dit getal deelen ? Neen, men behoeft niet verder te gaan dan tot 11. Want 11 X 11 — 121, en wanneer 11 maal een »zeker getal« gelijk was aan 79, dan was dit »zeker getal« dus minder dan 11, d.w.z. dan hadden we dien factor reeds ontmoet bij onze deelingen van 2 tot 11. Zoodra dus het vierkant van een zeker ondeelbaar getal (het product van twee gelijke getallen noemt men het vierkant van dit getal) grooter is dan het in factoren te ontbinden getal, is dit laatste getal ondeelbaar. Zoo is dus 127 ondeelbaar, als het niet deelbaar is door 2, 3, 5, 7, 11 en 13, want 13 X >3 = 169, d.i. meer dan 127. ' Soms bevat een getal een zeker aantal gelijke factoren. Zoo b.v. 1008, dat, zooals bleek, gelijk is aan 2 X 2X2X2X3X3X7Om het overzicht over een lange rij factoren gemakkelijker te maken, telt men ze gewoonlijk, en schrijft het aantal gelijke factoren met een klein cijfer achter den eersten van die factoren, in dit geval dus : 1008 =2< X 32 X 7. wat dus beteekent: er zijn 4 factoren 2 en 2 factoren 3. Zulk een vorm : 24 noemt men een macht van 2. de vierde macht in dit geval ; het kleine cijfer boven de 2 noemt men den exponent. Deze verkorte schrijfwijze blijkt zeer gemakkelijk te zijn in al de gevallen, waar zeer veel gelijke factoren zijn : 2X2X2X2X2X2X2X2X3X3X3X 3 X 3 X 5.X ! = 2» X 35 X 52 ; de 2e macht of het vierkant van 5 wordt vermenigvuldigd met 16128 de 5e macht van 3 en dit product met de 8e macht 2) 8064 van 2. 2) 4°42 We geven hiernaast nog een voorbeeld, hoe men 2) 2016 machinaal de ontbinding in factoren kan opschrijven, 2) 10°8 zonder zich zelf door veel gecijfer in de war te bren- 2) 5°4 gen. We deelen telkens door 2, ten slotte door 3, 2) 252 en laten al de deelingen staan in den vorm zooals 2) 126 hiernaast is aangegeven. We deelen tot het quotiënt 2) 63 1 is, en schrijven dan : 3) 21 16128 = 2X2X2X2X2X2X2X2 3) 7 X 3 X 3 X 7 of 16128 = 2* X 32 X 7. wat 7) 1 hetzelfde is. § H5. De grootste gemeene deeler en het vereenvoudigen va?i breuken. Wil men den grootsten gemeenen deeler van twee of meer getallen vinden, dan is het allereerst noodig de deelers van elk getal te bepalen, wat geschieden kan door de getallen in factoren te ontbinden. Gevraagd wordt b.v. den grootsten gemeenen deeler (G.Gd).) te bepalen van 54 en 64. Beide getallen worden in factoren ontbonden, en daarna blijkt het, dat 54 = 2 X 33> en 64 = 26. Beide getallen zijn dus deelbaar door 2, en dat is meteen de G. G. D. Want een hoogere macht van 2 is wel op 64 deelbaar (n.1. 2-, 23, 24, 2r' en 2"), maar niet op 54. Een factor 3 komt wel voor in 54, maar niet in 64. Het getal 2 is de G. G. D., en van de breuk ^ kunnen teller en noemer slechts door 2 gedeeld worden. We krijven dan Deze breuk is niet te vereenvoudigen. Een ander voorbeeld. Gevraagd wordt naar den G. G. D. van 108 en 252. Na ontbinding in factoren weten we, dat 108 = 2* X 38. en 252 = 2» X 32 X 7waaruit blijkt, dat beide getallen deelbaar zijn door 2- en door 3-, en dus door 2- X 32- Grootere gemeene deelers zijn er niet, want het eerste bevat nog wel een factor 3, maar het tweede niet ; het tweede nog wel een factor 7, maar niet het eerste. De G. G. D. is dus 2- X 3" = 36 en van de breuk kunnen teller en noemer dus gedeeld worden door 36. We krijgen dan i|. ()p deze wijze kan de G. G. 1). bepaald worden van elke willekeurige rij van getallen, ofschoon wij bij het vereenvoudigen van breuken nooit van meer dan twee getallen den G. G. D. behoeven te zoeken. Ziehier een voorbeeld : 84 = 2* X 3 X 7 126 = 2 X 32 X 7 672 = 25 X 3 X 7 Al de getallen zijn deelbaar door 2, niet alle door 2-. Alle zijn ook deelbaar door 3, niet door 32. Alle zijn ook deelbaar door 7. De G. G. D. is nu 2 X 3 X 7 = 42- De breuk ^ is dus gelijk aan —-—— = en de breuk = 1. Deze 672 : 42 1 b 71 1b laatste breuk is niet vereenvoudigbaar, de eerste, -j^, wel. Dit komt daar vandaan, dat 42 wel de G. G. D. is van 84, 126 en 672, maar niet van 84 en 672. Zooals uit de bovenstaande ontbinding in factoren blijkt, is 84 zoowel als 672 deelbaar door 22, en de G. G. D. van deze beide getallen is dus 2- X 3 X 7 = 84. Deelt men teller en noemer daardoor, dan krijgt men : -gfe = J. Uit deze voorbeelden blijkt, dat men den G. G. D. vindt, door de getallen in factoren te ontbinden, en dan het product te nemen van de gemeenschappelijke factoren. Daarbij moet men letten op den exponent (zie § 84). Men neemt steeds den kleinsten exponent, waarmee elk der factoren voorkomt. Komen in een der getallen 3 factoren 2 voor (23) en in een der andere getallen 7 factoren 2 (2"), clan hebben de getallen niet meer dan 3 factoren 2 gemeenschappelijk, en in den (ï. (ï. I). schrijft men dus slechts 2:t. En ditzelfde gekit ook voor de andere factoren. Heeft men beide (of alle) getallen door den G. G. 1). gedeeld, dan zijn er geen gemeenschappelijke factoren meer. Dat volgt rechtstreeks uit het vorige: als al de gemeenschappelijke factoren uit de getallen verwijderd zijn, dan zijn er geen andere. Daarom is een breuk, waarvan teller en noemer door den G. G. I). gedeeld zijn, niet verder te vereenvoudigen. We zagen dit aan de voorbeelden : en .] J.j J = li: beide, 3/, en l' zijn onvereenvoudigbaar. Slechts eene opmerking moet nog bij het vorige gemaakt worden nl., dat het niet steeds gemakkelijk te vinden is, waardoor 2 getallen deelbaar zijn. Welke zijn b.v. de factoren van 16384 ? Al ontbindende, blijkt dit soms gemakkelijk, want b.v. 16384 is gelijk aan 214, maar nu 15385? Om den G. G. I). te bepalen van 2 getallen, waarvan men de factoren niet weet, volgt men een anderen weg, die nog gemakkelijker tot het doel voert, tot het vinden van den G. G. D. nl., maar die moeilijker te begrijpen is. 17235 ) 65385 ( 3 Wat is de G. G. D. van 17235 en 65385? 517°5 Ziehier de bewerking: Men deelt het ■3680) i7235 ( 1 kleinste op het grootste, en zooals uit 1 het gegeven voorbeeld blijkt, laatste dee- 3555 ) 13680(3 > . , , . . J-1"' ' 0 de rest daarna op het klein- ler, 45, is dan 10665 f 1 1 , 2 ' . , ste, de dan verkregen rest de G. G. D. van 3015) 3555 ( 1 * ,m( weer op de vorige rest, de getallen 17235 30'5 1 . " „ rmlimt/r tot er eindelijk en 65385. 540) 3015 ( 5 J o , 2700 niets over- rassen we dit ook toe . , T, , 1 1 , , 315)540(1 blijft. De op de voorbeelden van straks, ' ; j. dan krijgen we hetzelfde. Zoo ^25)^15(1 108 ) 252 ( 1 blijkt ook nu de G. Cï. 225 216 D. van 108 en 252 weer "90)225(2 36)108(3 36 te zijn. We deelen • 180 io^ 108 op 252, en de rest op 108, 45)90(2. 0 waarmee de bewerking reeds is afgeloopen. Een kort woord ter verklaring van deze wijze van doen voegen we hier aan toe. Die verklaring komt hierop neer, dat 17—35 en 65385 dezelfde deelers hebben als 13680 en 17235, 13680 en 17235 dezelfde deelers als 3555 en 13680enz. en in 't algemeen: 2 getallen de/.elfde deelers als de rest der deeling en het kleinste dier getallen, — en dus 45 en 90 dezelfde deelers als 90 en 225, als . . „als . . ., enz., en ook als 17235 en 65385. Om dat aan te toonen, om dus te bewijzen, dat 13680 en 17235 geen andere gemeenschappelijke deelers kunnen hebben dan 17235 en 65385, volgen we een redeneering, waarvan de grondtoon is: als 't eens niet waar was, tot welke resultaten zouden wc dan komen • Zulk een wijze van redeneeren wordt wel eens meer gevolgd, en omdat dan steeds blijkt dat we verkeerd uitkomen moet de onderstelling, dat de rest en het kleinste getal dezelfde deelers hebben als de beide getallen zelf., wel waar zijn. En ziehier eindelijk waarom. Als 17235 en 13680 eens een anderen gemeenschappelijken deeler hadden dan 17235 en 65385, b.v. 7, dan was 17235 een 7-voud en 13680 een 7-voud en dan was ook 3 X '7235 + 13680 een 7-voud, d.i. 65385. Reide getallen, 65385 en 17235, waren dan dus deelbaar door 7, hadden dus .... denzelfden gemeenschappelijken deeler als die we onderstelden bij 17235 en 13680. Alle gemeenschappelijke deelers van 17235 e11 13680 zijn dus ook gemeenschappelijke deelers van 17235 en 65385. En deze zelfde redeneering kunnen we houden tot aan het einde toe. 45 en 90 hebben dezelfde gemeenschappelijke deelers als 90 en 225, 90 en 225 als 225 en 315, 225 en 315 als 315 en 540, enz., en dus 45 en 90 dezelfde als 17235 en 65385. De grootste daarvan is 45. Men ziet het: de bewerking is gemakkelijk, maar 't begrijpen eischt eenige inspanning. Op welke wijze men den G. G. 1). wil bepalen, doet echter tot het resultaat niets af; men vindt steeds hetzelfde antwoord. „Practisch Rekenonderwijs". ,, § 86, Het kleinste gemeeue veelvoud en het gelijknamig maken van breuken. Ook voor het K. G. V. is het noodig de getallen in factoren te ontbinden. Ziehier een voorbeeld : 84 = 22 X 3 X 7- IOO = 22 X 52- 126 = 2 X 32 X 7- 15° = 2 X 3 X 52- 176 = 24 X 1 '• 224 = 25 X 7- Het K. G. V. is een veelvoud van al de getallen, van 84 dus en van 100, 126, 150, 176, 224. Derhalve moet in het K. G. V. voorkomen een factor 2, een factor 3 en een factor 7, want een getal, dat o. a. geen factor 3 bevat, kan geen veelvoud zijn van 84. Eén factor 2 is echter niet voldoende ; er moeten 2 factoren 2 zijn, indien het getal deelbaar zal zijn door 84, en zelfs 4 factoren 2, als het deelbaar zal zijn door 176, en 5 factoren 2, als het deelbaar zal zijn door 224. Het K. G. V. moet ook factoren 3 bevatten, en wel 2 factoren 3, omdat het anders niet deelbaar is door 126. Eveneens 2 factoren 5, een factor 7 en een factor 11. Zonder een factor 11 zou het niet deelbaar zijn door 176, zonder de 7 niet door 84, 126 en 224. Het K. G. Y. is dus: 25 X 32 X 52 X 7 X 11 X 554400. We /.eggen : 554400 is het kleinste gemeene veelvoud, want w.e hebben het aantal factoren 2, 3, 5, 7 en 11 niet grooter genomen dan volstrekt noodig was. Hadden we in plaats van 25 genomen 2", dan hadden we ook een gemeen veelvoud gekregen, maar nu niet het kleinste. Dit eene voorbeeld moge volstaan om te begrijpen dat we nu juist andersom handelen dan bij het zoeken van den G. G. D. Toen moesten het zijn de gemeenschappelijke factoren, zoodat, wanneer in slechts een der getallen een factor 7 voorkwam, er in den G. G. D. geen factor 7 kon voorkomen, maar het K, G. V. moet juist een getal zijn, dat èn door het céne èn door het andere getal deelbaar is en moet dus, ook wanneer slechts een der getallen een factor 7 bevat, ook een factor 7 hebben. En terwijl we bij den G. G. IJ. het kleinste aantal gelijke factoren nainen. den kleinsten exponent zochten, moeten we thans den grootsten exponent hebben, zoodat, wanneer van een rij getallen een dier getallen 2 factoren 5 bevat, en een ander 7 factoren 5, we in het K. G. V, 7 factoren 5 krijgen. Anders is het geen veelvoud van het getal, dat 7 factoren 5 bevat. Maakt men nu breuken gelijknamig, dan zoekt men het K. G. V. der noemers. B.v. fa ^, .,4>-. We hebben : 4 = 22 8 = 2» 1 12 = 22 X 3 't K. G. V. = 28 X 3 X 5" = 6°°20 = 2* x 5 \ ' 25 = 52 Volgens § 81 is nu 3 ^ >50 X 3 = 4So 4 150 X 4 600' 7 = 75 X 7 = 525 8 75 X ^ 600' 5 = 5° X= 250 12 50 x 12 600 7 = 30 X 7 = 210 20 30 X 20 600' 4 _ 24 X 4 = 96 25 24 X 25 600 ' De moeilijkheid, om een getal in factoren te ontbinden, doet zich ook hier gevoelen. Maar evenals in § 85 hebben we ook hier een radicaal middel. Het K.G.Y. van 2 getallen n.1. is steeds gelijk aan het product der getallen gedeeld door den G. G. D. Beide, 't product en den G. G. D., kunnen gevonden worden, en dus ook 't K. G. V. Ziehier een voorbeeld, het K. G. V. van 768 en 2421, We zoeken den G. G. 1). niet door middel van het ontbinden in factoren, want deden we dit, dan konden we ook op deze wijze het K.(j.\. bepalen. Eerst den G.G.D. door deeling: de G.G.I). blijkt te zijn 3. Het K.G.V. is dan 768 X 2421 gedeeld 7O8 J 2421 | 3 door 3, of 619776. 't ls op deze wijze dus 2304 steeds mogelijk het K.G.V. te vinden. 117 J 768 | 6 En waarom, ten slotte, mag men 7.00 702 handelen r Bevat een der getallen 66 j 116 | 1 5 factoren 2, en het andere 3 66 factoren 2, dan bevat het pro- 51 j 66 I 1 duet 8 factoren ?. Daarliet Si K.G.V. slechts 5 factoren '5 J 51 ( 3 2 behoeft te bevatten, 45 kan men het product (3 | 15 I 2 deelen door een ge12 tal dat 3 factoren 2 3 ) 6 |' 2 bevat, en deze 6 komen juist O voor in den (1.(1.1). Wat voor de factoren 2 geldt, is evenzeer waar voor den andere factoren. § H7. Optelling en aftrekking van breuken. Gewone breuken kunnen dus bij elkaar worden opgeteld, indien ze gelijknamig zijn. De tellers worden dan samengevoegd. Zoo is dus 7 = V°> en ^it begrijpt men onmiddellijk als men bedenkt dat zevende deelen evenzeer als een afzonderlijk geheel gedacht kunnen worden als tientallen of duizendtallen: 5 zevende deelen en 3 zevende deelen zijn evenzeer 8 zevende deelen als 5 honderdtallen en 3 honderdtallen 8 honderdtallen zijn. De volgende voorbeelden behoeven dus geen toelichting: i85 + 15 = \b want 8 + 5 = 13; + Ji = }f, want 11 -(- 7 = 18, enz, Ook het aftrekken levert geen moeilijkheden op : V — 2 = l> want 12 — 5 = 7; löóo ï ooo i <»~oo> want 23 — 16 = 7, enz. Zijn de breuken ongelijknamig, dan moeten ze eerst tot gelijknamige herleid worden. Moet men dus optellen il -4- _|_ ,7 4 1 1: 1 !)' dan worden deze allereerst gelijknamig gemaakt, 't K.G.V. van 4, 16 en 9 is 144 ; we hebben dus : 3 _ li) 8 . -> — 4 ."> • 7 112 4 14 4 > IK 144" > 9 — 14 4' en derhalve is :i 1 1 7 _ 108 + 45 + 112 _ I + TT + 1 ,44 — 144 — 1 134- Zooals bij deze optellingen reeds blijkt, ontstaan er dikwijls oneigenlijke breuken. Deze moeten dan herleid worden tot gemengde getallen (zie § 80.) Moet men ongelijknamige breuken van elkaar aftrekken, dan worden deze ook eerst gelijknamig gemaakt. Heeft men twee gemengde getallen van elkaar af te trekken, of een breuk van een gemengd getal, dan kan het gebeuren.dat de breuk in het aftrektal kleiner is dan die in den aftrekker. Bij -het aftrekken van geheele getallen heeft men iets dergelijks: in het aftrektal komen soms minder eenheden voor dan in den aftrekker. Dan moet men leenen« (zie § 8). Nu ook. Trekt men af: 5^ — 2, dan maakt men de breuken eerst gelijknamig, en schrijft 5= 5en 2= 2|§. Nu kan Ij* niet worden afgetrokken van j-1, en daarom wordt van de 5 geheelen 1 geheel geleend en herleid tot 36e deelen. We krijgen daarvoor !}-[! en hebben dus -f :;|j = !>•*. Er blijft dus over en 4—2 = 2 geheelen natuurlijk. Ziehier de geheele bewerking : = ;2 7 _ .«3 -^4 33 K — 4:t 1; ol —; <; 't Verschil is 2jj|. § 88. Het vermenigvuldigen van breuken. In een vermenigvuldiging kunnen vermenigvuldigtal en vermenigvuldiger beide, of een van beide, breuken of gemengde getallen zijn. Ziehier: 8 X 4 : alleen het vermenigvuldigtal is een breuk ; { X 9: » de vermenigvuldiger » > » ; 1 X '1 '■ beide zijn gebroken getallen. We dienen eerst de beteekenis dezer vormen vast te stellen. De eerste levert geen moeilijkheden op: 8 X 4 w>' zeggen: neem de som van 8 getallen, alle gelijk aan (zie § 15). Maar die beteekenis kunnen we niet hechten aan de tweede vermenigvuldiging, aan | X 9- We kunnen wel eenige malen 9 nemen, maar dat aantal kan nooit gelijk zijn aan Wanneer 1 M. 9 ct. kost, kost 2 M. 2 X 9 ct-> en geheel daaraan gelijk kunnen we zeggen: dan kost J M. { X 9 ct. Dat beteekent dus: het -je deel van p ct. Precies hetzelfde als 9 ct. : 7. Zoo beteekent nu ook : 10 X ^5 : bet ioe deel van 85 M., of 85 M. : 10; 100 X 77 L. : het 100e deel van 77 L., of 77 L. : 100, enz. Bij de tiendeelige breuken wezen we ook reeds even op de beteekenis van vermenigvuldigingen als deze. De derde vermenigvuldiging, f X behoeft nu weinig toelichting. Als 2 X 4 het 5e deel van f beteekent, dan is | X | gelijk aan 2 maal het vijfde deel van Geheel overeenkomstig daarmee is | X | = S maal het 6e deel van J , i*5 X = 2 maal het 15e deel van 13, enz. Bij het vermenigvuldigen van twee getallen, waarvan de vermenigvuldiger een geheel getal is, neemt men den teller der breuk zoovaak als door den vermenigvuldiger wordt aangewezen. Zoo is dus 5 X h — 8 7 = V'- Krijgt men op deze wijze een oneigenlijke breuk, dan wordt deze zoo noodig herleidt tot een gemengd getal. Is het vermenigvuldigtal een geheel getal, dan redeneert men zooals in de volgende voorbeelden wordt aangewezen. We moeten berekenen : i X 9- ^et 5e deel van 1 is van 9 dus f En 1 X 9 is dus 2 X | = V- |X» = 7XS = V. V X 3 X 10 X ? X V- e»7- Zijn vermenigvuldiger en vermenigvuldigtal beide gebroken getallen, dan maakt men gebruik van deze allerbelangrijkste eigenschap : Het product van twee breuken is gelijk aan het product der tellers gedeeld door het product der noemers. I)e waarheid van deze eigenschap zullen we aantoonen door eenige voorbeelden. а) Hoeveel is | X Dit beteekende : wat is het 7e deel van i. Neem eens een vel papier en verdeel het in 5 gelijke deelen. Elk deel heet J. Verdeel elk deel in 7 deelen ; één van die kleinere deelen heet dan het 7e deel van 4, is j X •• Hoe heet dat nu ten opzichte van het geheel ? Als we een vel papier in vijven deelen, en elk deel in 7 gelijke deelen, dan ontstaan er ten slotte 5X7 deelen of 35 deelen; elk deel heet nu 3V. Zoo is ook J X £ = ?'•> : verdeelt men een vel papier eerst in achten, en elk deel in negenen, dan krijgt men 72 deelen ; elk deel heet 7't,. Vermenigvuldigt men met elkaar dus 2 breuken, waarvan de teller 1 is, dan is de teller van het product I, en de noemer gelijk aan het product der noemers. б) 5 X i = 4 0- dan is |XI = 47o- Dat behoeft geen nadere verklaring. c) sX?- Als 8 X f = 3% (zie 6), is £ X 4 = 7 X \\j , ^ ^ ^ 2 4' We nemen daartoe een willekeurige rechthoek, verdeelen dien in vieren, en nemen daarvan 3 deelen. Is ABCD de rechthoek, dan is AFED -J van dien rechthoek. AFED is door stippellijnen in 6 D E 11 I K A F B gelijke deelen verdeeld: EHGD is een deel, dus }. X 4! DEKI bevat 5 van die deelen, is dus £ X 4 v'an den rechthoek ABCD. Hoe groot is dat deel ten slotte ten opzichte van ABCD? DKKI bestaat uit 15 kleine rechthoeken: 5 keer 3 rechthoeken naast elkaar. Dat elk dier rechthoeken gelijk is aan ^ blijkt, als de stippellijnen worden doorgetrokken; een 4e deel is in 6 deelen verdeeld, het geheel dus in 4 X 6 deelen. L it het vorige volgt dus, dat de noemer van het product gelijk is aai het product der noemers, en de teller gelijk aan het product der tellers, 't Gelijknamig maken, zooals bij het optellen en aftrekken, is dus niet noodig. 't Kan gebeuren, dat vermenigvuldiger en vermenigvuldigtal beide gemengde getallen zijn. Is dit het geval, dan herleidt men ze tot oneigenlijke breuken : 2 3 V [ï == LI V ■"> 7 __ 11 X 57 — 7 i p 2 7 * 4 A io ^ |0 — 4o — '5 Ju1 De redeneering, die we hielden onder a, b en c kan ook nu gehouden worden: .1. V _1 — _1 • -1 V .5" — 5 7- 11 \/ & 7 627 4 A 10 — 4 (T ' 4 A K) — 40 j 4 A 10 — 4 0 * Wil men eenige breuken of gemengde getallen met elkaar vermenigvuldigen, dan handelt men op dezelfde wijze : het product der tellers wordt gedeeld door het product der noemers. B.v. i X 1 X & X Si X 61 x = 5XIX X V X V X V = 3 X 5 X 7 X 16 X 32 X 8i 4 X 6 X '2 X 3 X 5 X 8' Heide producten worden berekend, en daarna het eerste gedeeld door het laatste, 't Quotiënt wordt zoo noodig en mogelijk herleid tot een gemengd getal. We hebben ten opzichte van het laatste product 3 X 5 X 7 X '6 X 32 X_8i 4 X 6 X 12 X 3 X 5 X 8 nog iets anders te zeggen. Teller en noemer mogen door hetzelfde getal gedeeld worden. Heide zijn deelbaar door 3, door 4 (immers 16 = 4 X 4), door 5, door 8 (immers 32 = 4 X 8), zoodat bovenstaande vorm, na dccling door 3, 4, 5 cn 8, er zoo uitziet: 7X4X4 X 81 6 X 12 I)e noemer bevat thans nog 2 factoren 3 (6 — 2 3, 12 ■---- 4 ■ 3); ook de teller (Si — 9 X 3 X 3)- Hehalve den factor 3 bevat 12 nog een factor 4, en 6 nog een factor 2; deelt men nu teller en noemer door 3 X 3 X -4 X 2. dan krijgt men : 7 X 2 X 9 = 126. De noemer is geheel verdwenen. Het vereenvoudigen van een dergelijke breuk bespaart dus zeer veel werk. I11 den regel kan men gemakkelijk deze vereenvoudigingen uitvoeren, door de factoren successievelijk door 2, 3, enz. te deelen, door te halen en het quotiënt er boven te schrijven. Blijkt het quotiënt dan nog deelbaar door 2, 3, enz., dan doe men hetzelfde nog eens. 3 X 3 X 7 X 104 X 32* X SI2' 4 X Ö X 12 X 3 X 3 X I -I X I X • 1» 2 3 We strepen in teller en noemer eerst een 3 door, en een 5, dan in den noemer 4, en vervangen 16 in den teller door 16: 4 = 4' dan in den noemer de 8, en vervangen in den teller 32 door 4; dan in den noemer de 6 door een 2, waardoor de noemer door 3 gedeeld wordt, en in den teller 81 door 27, waardoor ook deze door 3 wordt gedeeld, enz. Er blijft in den teller slechts 7 X 2 X 9 = 126. Men denkc om deze vereenvoudigingen steeds. Voorbeelden : 1 X 2 1 X 5' = 3 x 7 X 36 = 3 X 7 X 36 = 36 ■ I 5 ,f 3 7 5 3 7 5 X 3 X 7 S 7S Men schrapt in den teller dus 3 X 7 en ook in den noemer 4 X s 1 X»4 = 4 x 21 X 60 = 4 X 21 X 60 _ » * 7 9 * 4 * 7 9 X4X 7 leller en noemer kunnen gedeeld worden door 4, door 7 (21 wordt dan 3), door 9 (de 3 van 21 en 60 bevatten beide een factor 3-) ^ den factor 60 blijft dan niets over dan 20. § HJ(. Deeling van gewone breuken. Wat het beteekent, het 3e deel nemen van |, of het 8e deel \an 12, behoeft, na wat we daaromtrent reeds opmerkten bij de deeling van decimale getallen door een geheel getal, geen toelichting meer. Ook de bewerking zelve levert geen moeilijkheden op, want het 5e deel van { is (zie § 78) het 5e deel van -13$ is i'i. Blijkt het, tijdens de bewerking, dat de teller deelbaar is door den deeler, dan vermenigvuldigt men dus den noemer niet met den deeler, inaar deelt er den teller door : 12 . . _ 3 " 7 ' 4 — T at'. . . «_4 9 * • — 9 » maar dit zijn bijzondere gevallen. Steeds kan men den noemer vermenigvuldigen met den deeler, en het zoo verkregen quotiënt herleiden tot een gemengd getal, óf herleiden tot een breuk met kleineren teller en noemer, en slechts in bijzondere gevallen khn men, doch behoeft men niet, gebruik maken van de omstandigheid, dat de teller een veelvoud is van den deeler. In de tweede plaats moet een getal gedeeld worden door een breuk: 12 door f, 15 door ', 171 door |, of dooreen gemengd getal: ioo{ door 15J. Wat dit beteekent is reeds in 't kort medegedeeld bij de deeling van decimale breuken. Ken gegeven getal verdeelen in een zeker aantal gelijke deelen, als dit aantal door een gebroken getal of door een gemengd getal wordt aangeduid, heeft geen beteekenis. Wanneer de deeler een gebroken getal is, dan kan men daaraan de beteekenis hechten, die in § ^2 is gegeven van een verhoudingsdeeling. Dan beteekent 12 : f dit: hoeveel maal kan * worden afgenomen van 12, en ioo{ deelen door 151 wil zegffen • bereken hoe vaak 35^ kan worden afgenomen van 100J. Maar evenzeer kan zulk een deeling de beteekenis hebben van verdcelingsdceling. We plaatsen daartoe 2 vormen naast elkaar : f 12 : 5, en f 12 : L)e eerste deeling kan een vorm zijn voor deze gedachte: Als iemand in 5 dagen f 12 verdient, dan verdient hij in 1 dag f 12 : j, en de tweede, geheel daaraan gelijk, dit: a/s iemand in i dag / 12 verdient, dan in dag f 12 : Zoo hebben ook de volgende vormen wel terdege beteekenis : '6.] M. : | ; 100 M. : ; 15 M. : 12.' ; en van die beteekenis kan men zich rekenschap geven door er telkens een vorm naast te plaatsen, waarvan de deeler een geheel getal is. Immers 16J M. 5 beteekent dit: Voor het maken van 5 kleedingstukken heett men 16}, M. noodig; voor 1 er van dus 16.I M. : 5; en de andere: Men koopt niet 5 maal, maar 5 maal het Se deel, d. i. i6£ M. ; in t geheel heeft men nouditj r6J M • ■ Welke beteekenis moet men in al die gevallen hechten aan het quotiënt? Ten eerste: van een deeling als 14 M. : 3 M. wijst het quotiënt aan hoevaak de deeler van liet deeltal kan worden afgetrokken (g 32). Neemt men den deeler zooveel maal als het quotiënt aanwijst, dan krijgt men het deeltal. Ten tweede: van een deeling als 14 M. : f wijst het quotiënt aan van welke hoeveelheid % genomen moet worden om 14 M. te krijgen. I11 beide gevallen is dus het quotiënt het getal, waarmee de deeler vermenigvuldigd moet worden om het deeltal tot product te krijgen. Dat kan van alle deeling en gezegd worden, van verdeeiingsdeelingen zoowel als van verhoudingsdeelingen. van deelingen, waarvan de deeler een gebroken getal is zoowel als van die, waarvan de deeler een geheel getal is. Deelen is een bewerking, die ons een getal leert vinden, waarmee de deeler vermenigvuldigd moet worden, om het deeltal op te leveren. Een deeling kan men aanduiden door 2 punten, maar ook door een streep. In § 79 werd er reeds op gewezen, dat lf een deeling kan aanduiden, het 7e deel van 12 n.1., precies hetzelfde dus als 12 : 7. Wanneer gewone breuken door elkaar gedeeld moeten worden, en men duidt dit aan door een streep, dan krijgt men in dien vorm 2 of 3 strepen, waarvan de streep, die de deeling aangeeft, iets langer moet zijn dan de andere. Dit is wenschelijk voor de duidelijkheid. In dezen vorm dus : j. moet de middelste streep de langste zijn. Ter onder(> scheiding kan men de andere strepen ook schuin schrijven. En thans : hoe deelt men door een breuk r Eenige voorbeelden zullen het aanwijzen. Hoeveel is ? Letten we er op, dat T,'4, met het quotiënt ver¬ menigvuldigd, :4' moet opleveren, dan is het quotiënt 24 X 4 i immers (24 X !) X ii = & X 24 X f = !• Zoo is het quotiënt van | ook --4 = |, want r_' + v V — .7 V 2 * V 5 = •r' \ 1 A s / A 2 4 — 24 A 7 Ah «• Het quotiënt van £ en is dus 24 X 4. en van £ e» -h dus X s* it deze heide voorbeelden blijkt, dat het quotiënt gevonden wordt door het deeltal te vermenigvuldigen met een breuk, waarvan de teller gelijk is aan den noemer van den deeler, en de noemer gelijk aan den teller van den deeler. Is dus de deeler f, dan vermenigvuldigt men het deeltal met | ; is de deeler -j|, dan vermenigvuldigt men met Daar men 3 het omgekeerde noemt van | en 5 het omgekeerde van kunnen we dus ook zoo zeggen : moet men deelen door een breuk, dan vindt men het quotiënt door het deeltal te vermenigvuldigen met het omgekeerde van den deeler. Daarom is : ■8 : ï = SI X * = f8 = v. want y> X f = 36 = *; ft : II - i X ft = n = want fè X I = 'ü = ft ; 12J : 3i = V : 1 = f X = h want \ X 3* = ï X i = iaj. Wie bij het deelen het quotiënt gevonden heeft, en niet volkomen overtuigd is, b.v. doordien men 't niet zeker weet of men het omgekeerde van den deeler moet nemen of van het deeltal, gaat het gevonden quotiënt vermenigvuldigen met den deeler; het product moet dan het deeltal geven. Dat deden we in de hier juist genoemde voorbeelden : de 3 deelers werden vermenigvuldigd met de 3 gevonden quotiënten, met 'J», en en telkens was het product gelijk aan 't vermenigvuldigtal f., ft en 12^. Hierop werd reeds gewezen bij de behandeling der geheele getallen : 1008 : 4 = 252, omdat 252 X 4 = Ioo8> en evenzoo: 124 : 2| = 4i, omdat 4i X H - I2jj. Blijkt het, dat het product van deeler en quotiënt niet gelijk is aan het deeltal, dan is er een fout begaan. Natuurlijk kan men ook door redeneering het antwoord vinden. \ ermenigvuldig | X f> d.w.z. een getal met het omgekeerde van het getal, 't Product is 1. Als men dus zeker getal, laat het zijn 12-j, deelen moet door 3, zoodat | vermenigvuldigd met het quotiënt, i2-{ moet opleveren, heeft men dus : het quotiënt X f = l2\< clan kan 't quotiënt niet anders zijn dan X 12]> want het product dat men clan krijgt, P X '2] X Ü- bevat 2 factoren, waarvan het product i is : | X i! = i, en waarvan de waarde dus gelijk is aan 12*. Een paar voorbeelden ter toepassing. Als 12 brooden f 4.80 kosten, clan vindt men den prijs van 1 brood door een deeling: 1 brood kost f 4.80 : 12 = f 0.40. Zoo kan men eveneens den prijs berekenen van 1 K.G. als die van j| K.G., of van K.G. bekend zijn. Zoo is b.v., als ^ K.G. f i| kost, de prijs van 1 K.G. ; f •! : f = i X f 't = f 2,2-. Iemand verkoopt * van een partij waren voor f 124 ; de geheele partij clan voor f l2t '■ I = I X f I2| = f 16. Als van iemands geld 75 ct. is, dan heeft hij '52 X 75 ct= f 1.80. Men kan deze vraagstukjes ook anders oplossen. Wanner van iemands geld 75 ct. bedraagt, dan is 15 cent, zoodat hij heeft 12 X '5 cent. Maar dit is inderdaad niets anders dan wat we hierboven deden. Immers: 75 deelen door 5 en 't quotiënt vermenigvuldigen met 12, dus (75 : 5) X 12, is hetzelfde als 12 x 75 : 5. 't Is hier de plaats om er nog even op te wijzen, dat men het vermenigvuldigen en het deelen scherp uit elkaar houdt. Wat kost ^ M. linnen, als 1 M. 72 ct. kost? En wat kost 1 M., als 4 M. 72 ct. kost ? Om in elk geval te weten wat men moet, plaatst men er een gelijksoortig voorbeeld naast, zonder breuken. Naast het eerste dus: wat kost 3 M., als 1 M. 72 ct. kost? Dan ziet men, dat men vermenigvuldigen moet: | X 72 ct. is dus 't antwoord op de eerste vraag. Naast de tweede schrijft men : wat kost 1 Al. als 4 M. 72 ct. kost .* Dat is een deeling, zooals hierboven reeds werd opgemerkt. Als | M. 72 ct. kost, kost 1 M. dus 72 ct. : |. § 00. Samengestelde breuken. Wanneer teller en noemer beide, of een van beide, gebroken getallen zijn, dan heelt men een samengestelde breuk (g 80) 2 46 7t .. . 3!,' 6' 10Z1^n s samcnSeste'de breuken. Wanneer we ons even herinneren, dat een breuk ook de uitdrukking kan zijn voor het quotiënt van twee getallen, dan hebben we hier dus niets bijzonders. Samengestelde breuken kunnen we met elkander vermenigvuldigen en deelen, bij elkaar optellen en van elkaar aftrekken, evenals eenvoudige breuken, en op precies dezelfde wijze. Daarom is JL V 4} _ 2 X 4\ _ 8? 3a 6 3J X 6 ~ 21' CnZ' doch dit is meer van theoretisch belang dan van waarde voor de practijk. Immers, in al die gevallen, waarin bewerkingen met samengestelde breuken moeten uitgevoerd worden, is het veel gemakkelijker vooraf die samengestelde breuken te herleiden tot breuken, waarvan teller en noemer geheele getallen zijn. En dit nu is het eenigste, dat we omtrent deze zaak zullen bespreken. Dat herleiden is niets anders dan het quotiënt bepalen van teller en noemer op de wijze, zooals dit te vinden is in § 89. Ziehier eenige voorbeelden : 2 2 , 7ï = -r=~X2=A 3 2 2 7 7. li=V = 1 v2I=ü_ 7 6 6 6^5 30 10. = 11 = 4 v ü — 30 ioÏ V 43 2 43. 8| _ V _ I y 4? _ 2 21 21 21 s ~ 5. De teller wordt dus vermenigvuldigd met het omgekeerde van den noemer; ziedaar alles. Soms is 't eenvoudiger teller en noemer met hetzelfde getal te vermenigvuldigen, voornamelijk als slechts een van beide een gebroken getal is. Het eerste, tweede en vierde voorbeeld kunnen zoo herleid worden : van 't eerste vermenigvuldigt men teller en noemer met "Ti 4I van 't tweede met 5 : ? = | i = ; S •* van 't vierde met ? : ' = A2- = ? 3 21 10° en in 't derde voorbeeld, waar het K.G.V. van 2 en 4 : 4 is, kan men teller en noemer met 4 vermenigvuldigen : ;j = 4 x 7| _ 30 iof 4 X lof 4;i' maar in 't algemeen is deze wijze van herleiden niet mogelijk, en vermenigvuldigt men den teller met het omgekeerde van den noemer : 82. 4 ü —3. _ _a_ _ 4« — 37 8 13 9 nl u# 118 Ar — 59 0 — 2 95 • 1 J 9 9 § 91. Herleiding van tiendeelige breuken tot gewone en omgekeerd. Tiendeelige breuken kunnen tot gewone herleid worden. Men begrijpt zonder verdere toelichting deze voorbeelden : °-8 = h) ! °-27 = i'Vö > 0-625 = iVo°0' enz- 't Is dezelfde zaak, op twee geheel verschillende wijzen in cijfers voorgesteld. Moet men gewone breuken herleiden tot tiendeelige, dan doen we 't gemakkelijkst door de breuk te beschouwen als het quotiënt van twee getallen (zie § 79). Moeten f en ^ herleid worden tot tiendeelige breuken, dan deelen we dus 8 op 5 en 125 op 64, op de wijze zooals dit is aangegeven op blz. 175, bij e behandeling der tiendeelige breuken. „Practiscu Rekenonderwijs". j5 8j 5.OOO 10.625 125 J 64.OOO | O.5 12 48 ^25 20 150 l6 125 40 250 40 250 O O De eerste deeling leert : jj- = 0.625; de tweede ^4 = 0.5 12. Soms gaat de deeling nooit op ; voorbeelden daarvan vindt men op blz. 175. Wanneer men een tiendeelige breuk herleidt tot een gewone, dan is de noemer een term van de schaal (0.8 = j8^). Omgekeerd, indien men een gewone breuk niet kan herleiden tot een breuk waarvan de noemer een term van de schaal is, dan is 't niet mogelijk de breuk te schrijven in den vorm van een tiendeelige breuk. Daarom kan | herleid worden tot een tiendeelige breuk, | , maar 2 njet( omdat men deze breuk niet herleiden kan tot een andere, waarvan de noemer een term van de schaal is. Alle termen vrn de schaal bevatten enkel factoren 2 en 5 : 10 — 2 X 5 10000 = 24 X 54 100 = 22 X 52 | 100000 = 25 X S5 1000 = 23 X 53 1000000 = 2® X 5fi» enzen daarom kunnen ook alleen die breuken herleid worden tot tiendeelige breuken, waarvan de noemer geen andere factoren bevat dan 2 of 5. Met één opmerking evenwel. De breuk ^ kan herleid worden tot een breuk, waarvan de noemer een term van de schaal is, omdat 40 = 23 X 5> maar wanneer men teller en noemer van deze breuk met een willekeurig getal vermenigvuldigt, met 3 b.v., dan bekomt men ,yo, en deze breuk is ook te herleiden tot een tiendeelige breuk, evengoed als 47^ : 40 J 7.000 | 0.175 120 | 21.000 | O.175. 40 120 300 900 280 840 200 600 200 600 O 0 We moeten 't dus 7.00 zeggen : een gewone breuk kan alleen dan herleid worden tot een tiendeelige breuk, wanneer de noemer geen andere factoren dan 2 en 5 bevat, mits de gewone breuk tot hare eenvoudigste gedaante herleid was. We moeten hier nog 't een en ander aan toevoegen over de breuken, die niet tot een tiendeelige breuk herleid kunnen worden. De breuken f, e.d. zijn er zulke. Gaat men op de gewone wijze den teller door den noemer deelen, en bedenkt men dan, dat de rest van een deeling telkens kleiner is dan de deeler. dan krijgt men bij het herleiden van | op zijn laatst bij de 3e deeling een reeds gevonden rest, van | op zijn laatst bij de 7e deeling een reeds gevonden rest, van t83 op zijn laatst bij de 13e deeling een reeds gevonden rest, en omdat achter de rest telkens een o komt, wordt dan het deeltal en het cijfer in het quotiënt ook weer even groot, daarom ook de volgende rest, èn het volgende cijfer in het quotiënt, enz. Telkens komt er hetzelfde (als het tweede cijfer reeds gelijk is aan het eerste) of dezelfde rij van cijfers, zooals de volgende voorbeelden leeren. Herleidt men | en |, dan krijgt men : 3 ) 1.000 (0.3333333 7 ] 3.000 ( 0,428571428571 ... 9 28 10 20 9 14 10 60 9 56 10 40 35 5o _49_ 10 _7_ 30 Men ziet het: in het eerste geval is de rest telkens 1, het deeltal telkens 10, het cijfer in 't quotiënt telkens 3 ; een eind komt er niet aan. In het tweede voorbeeld is het deeltal telkens verschillend, tot het 7e echter ; dan heeft men weer 30, en nu keeren ook dezelfde cijfers in 't quotiënt terug, telkens 428571. Zulke breuken neemt men repeteerende breuken', repeteeren beduidt herhalen, de naam is dus duidelijk. Op een bijzondere wijze duidt men aan of dezelfde groep van cijfers telkens terugkeert, Men haalt een streep door het cijfer, of door het eerste en laatste van de groep : \ = 0.3, \ = 0.428751. I)e groep van cijfers, die telkens terugkeert, noemt men een periode; in 't eerste voorbeeld hebben we een periode van I, in 't laatste een van 6 cijfers. In sommige repeteerende breuken keeren niet alle cijfers terug, maar slechts een deel. Ziehier voorbeelden : 12 | 5.0 f 0.4166 .... 15 . 7.0 / 0.466 .... ' 48 ' I 60 I 20 100 12 yo 80 IOO 72 80 Deze laatste schrijft men zoo : = 0.416, en = 0.46. Men onderscheidt ze van de eerste repeteerende breuken door een anderen naam. Repeteeren alle cijfers, dan spreekt men van een zuiver repeteerende breuk, repeteert een deel der cijfers, dan heeft men een gemengd repeteerende breuk. Of een breuk bij herleiding een zuiver of een gemengd repeteerende breuk oplevert, is steeds van te voren te bepalen. Bevat de noemer geen factor 2 of 5, dan krijgt men een zuiver repeteerende breuk ; komen er in den noemer, naast andere, ook factoren 2 of 5 voor, dan krijgt men een gemengd repeteerende breuk. Maar ook nu : mits de breuken herleid zijn tot hare eenvoudigste gedaante. De repeteerende breuken moeten we thans herleiden tot gewone, m. a. w. bepalen, welke gewone breuk bij herleiding 0.8, welke 0.03, welke 0.50 opleverde, We beginnen met de zuiver repeteerende breuken, en nemen daartoe een voorbeeld. Een decimale breuk wordt vermenigvuldigd met 10, door het decimaalteeken een plaats naar rechts te verschuiven, enz., en dit toepassende hebben we dus : 10 X 0.8 = 8.888888 100 X 0.63 = 63.636364 Trekken we nu van de producten 8.88888... en 63.6363 . .. zulk een getal af, dat de cijfers achter het decimaalteeken wegvallen, dan houden we alleen maar geheele getallen over; 10 X 0.8 = 8.88888 .... 1 X 0-8 = 0.88888 .... 9 X 0.8 = 8 0.8 = Zoo ook : 100 X 0.03 = 63.6363 .... 1 X 0.63 = 0.6363 .... 99 X 0.63 = 63 0.63 = w:! = A g 9 — j j . Voor het herleiden kunnen we dus dezen regel vaststellen : vermenigvuldig de breuk met een term van de schaal, met een 1 gevolgd door zooveel nullen als er cijfers in de periode voorkomen. Trek daarvan de breuk af, en deel. Wat de uitkomst betreft, hebben we dit: Na het aftrekken krijgen we zooveel geheelen als de periode aanwijst; dit getal moet gedeeld worden door bedoelden term van de schaal min 1, d. w. z. aoor een getal bestaande uit zooveel negens als de periode cijfers telt. Daarom is 0.12 = = A • 0.51 = 44 = 17 • J vr *. 9 9 3 J 9 9 3 I 0 , )i(i — hi> i ■ l ^ ^ pny v"^iU — 999 — sa 3» en/. En thans een gemengd repeteerende breuk: 0.516. 1000 X 0.516 = 516.666 100 X 0.516 = 51.666 900 X 0.516 = 465 O s 1l) = ' »• ' — ^ t * •> V' 900 (5 0* De gedachtengang is dezelfde, maar 't verschil is, dat we nu niet eenmaal, maar honderdmaal de breuk aftrekken. Daardoor krijgen we in beide getallen, 516.666 en 51.666, dezelfde cijfers achter het decimaalteeken, en na het aftrekken dus een geheel getal. Daarvoor moeten wc steeds zorgen. De noemer van de breuk bestond straks uit negens, omdat de deeler gelijk was aan 10 — 1, 100 — 1, 1000 — 1, of 9, 99, 999, enz.; thans is de noemer 900, d. i. 1000 — 100. In 't algemeen hebben we dit : We vermenigvuldigen de breuk eerst met een term van de schaal, met een 1 gevolgd door zooveel nullen als er cijfers achter het decimaalteeken voorkomen, toten met één periode; vermenigvuldigen daarna de breuk met een term van de schaal, met een 1, gevolgd door zooveel nullen als er cijfers niet repeteeren, en krijgen dan steeds, door af te trekken en te deelen, een breuk, waarvan de teller gelijk is aan een getal, gelijk aan het niet-repeteérende deel met één periode verminderd met het niet-repeteerende deel, en waarvan de noemer bestaat uit zooveel negens als er cijfers repeteeren gevolgd door zooveel nullen als er cijfers niet repeteeren. Dus is °'4li = 4 go 4 = SS ~ A< °'8;! - ^r— = W = i' ° ^ - m - A, 0.0068 = = rA». cn'~ 't Is echter niet noodig dien regel te onthouden. Wanneer men weet hoe men in elk geval de waarde der repeteerende breuk berekent, dan is het voldoende. Het derde voorbeeld van hierboven, 0.58.3 vindt men door de breuk eerst 1000 maal te nemen (583.333 . . .), en daarna 100 maal (58,333 . . ,); achter het decimaalteeken komen dan deselfde cijfers, waardoor er na aftrekking een geheel getal overblijft. Daar is 't om te doen, en al 't andere volgt vanzelf. Het 4e voorbeeld, O.OO03 neemt men 10000 maal (63.6363 . . .), en daarna 100 maal (0.6363); achter de punt heeft men dan weer dezelfde cijfers. Soms kan men de bewerking iets bekorten. Weet men, door veel sommen te maken, direct dat o.3 = jf = 'p dan is 0.083 = *1 „ '7S _ 7 ; IOO 300 12 0.83 = 8'( = 25 = l, 10 30 6 terwijl b.v. O.OO03 gelijk is aan o 03 : 100 = : 100 = «, 900» enz. Maar 't is niet noodig zich hiermee veel te bemoeien, want de weinige malen, dat er in de vraagstukken uit een rekenboek repeteerende breuken voorkomen, kan men den gewonen weg volgen. Voor de controle echter is 't goed van die bekortingen voor en na gebruik te maken. § 92. Sommen. 241. Herleid tot gemengde getallen: L2 1» 23 2JU) 15 52 9 8 ' 6 ' 4 ' 11' T > 1« • 242. Eveneens: 5 0Ö 4i)_0 156 8 23 4_4 3 4 8_9 7 ' 28' 9' 17' 45' 46' 243. Herleid de volgende gemengde getallen tot oneigenlijke breuken : i2j, i7i> 45«. 17i i6|, 4Si- 244. Eveneens: 846^;.;, 258;"!, 486], 282.I, 4167, 838.856. 245. Herleid de volgende breuken tot andere, waarvan de noemer iooo is : ;i 5 7 3 12 116 3 5» 4' 8' 40' of)' 12»' 200' 40' 246. Herleid de volgende breuken tot andere, waarvan de noemer 252 is: iL i' 19 13 lï-5 4 1 11) 12» 3' 36' 18' 126' 4 2' 84" 247. Herleid |] tot een breuk, waarvan de noemer 28 is. Ook tot een waarvan de noemer 12 is. 248. Herleid tot een breuk, waarvan de nuemer 252, 6, 12, 18, 36, 63, 126 is. Ook tot een breuk, waarvan de noemer iooi is. 249. Ontbind in facforen : 12, 24, 64, 100, 200, 450, 504, 1000, 1260, 4096, 25200, 1000000, 2387, 3294, 884, 999, 9999, 726, 3528, 2756, 1275, 2304, 2401, 15618304. Bepaal den G. G. D. van 10 en 15 34, 68 en 102 20 en 72 45, 55 en 65 34 en 170 66, 72 en 150 48 en 60 54, 81 en 90 48 en 160 324, 440 en 540 50 en 75 252, 168 en 512 Bepaal den G. G. D. van 1512 en 1872 80847 en 64329 1620 en 3510 30847 en 31486 3417 en 8568 61489 en 38279 1634 en 4712 46286 en 38448 3366 en 4845 61784 en 62347 2233 en 5887 10084 en 30827 Bepaal het K. G. V. van 65 en 75 32, 48 en 56 24 en 62 64, 80 en 99 25 en 35 112, 140 en 168 84 en 100 30, 40 en 48 44 en 110 60, 72 en 84 66 en 99 72, 90 en 150 253' Bepaal het K. G. \ . van de getallen genoemd in 110. 250. 254. Zoek den grootsten gemeenen deeler van 38440 en 53520; 16800, 11150 en 11700; 18486 en 36508; 324. 468, 852, 948, 960 en 1260; 48672 en 24641 ; 588, 924, 1260, 2100, 2184 en 3024. 255- Bepaal het K. G. V. van : 3» 4 en 5; 24, 25 en 30; 4. 5 en 6; 54, 80 en 96; 5, 6 en 7; 108, 216 en 250; 7, 8 en 9; 324, 360 en 375; 9, 10 en 11; 288, 512 en 720; 11, 12, en 18; 400, 420 en 480. 256. Maak de volgende breuken gelijknamig : 4 en I > Ir en "k < i! ®n 8 ' 6' 3 en ~i3ö' t en 4 : 1 t en l ; 5 pn 7 • _1J) «*»-» 5 • 6 8 » 9 > 11 cn 12 » "I'S en 2*6 > m > Y2 en :s':j ! 11; ei1 üfo » 'in' 12 »• 257. Doe hetzelfde met: 1 J JL 4. 1 1 en -L 2' 3' 4' o' fi' 7 cn 8* 5 7 3 4 ( s pp 9 12» 1J> 20» 15» 10» 2 5 40" 3» 7» 42' 1ÏÏ> 21» 18 cn 4' 258. Maak de volgende breuken gelijknamig: i>' « en 8t 4io> Wi) en Va » fi f en ^ ; 8» in en ^0 > 4' 40 en THO > ib 5 en '100' 7' 1*4 en 2*1 ' Ü> lV en i3-) > T h>' ^0 en f) A» 8 en A> f> 2*7 en 1*5 ' Ï00' löVo en 5" 259. Evenzoo: -5— ^ L jJ . ■! .1.7. pn 4 • 6 3» 4 2» 6» 8 4» 21 CH 7 » '1 3 7 _ _1 _ jj. pn 5 • 4 0» 25» 10 0» oft 0» 4 Cil 8» jL •» _l_ 7 _ 5 pn - «i 6 4» 8» 1*2» 19 2' il cu 16* 260. Vereenvoudig de volgende breuken : 8 15 3 4 8 2 _9S _5 4 6 2 12' 100' rÖO' ol2> 147' 153» 310' 24 1 5 8 5 64 5« 1 1 7 2 5 '2 bo' «o» 22i' rnr» i2«» 234' 42«• 261. Evenzoo : _83JL. • 21)2g ■ _ 18ü • «Sflfi . £8840 980 1 133 6 » 292 5» 2 9 7 4 3 » 10 7 7 4' Ml 5 7 6 9999* 262. Tel op : 3| + 5b = 5!Ti + 3r! = 6rJ -f 3^ -f- 2\ 4{ + 17A = 2\ + 3| = 21 + sl + 3 ni = l6"i + 'Ss = To + i = Sf + 5Ü + 3 4 = '4? + 15 to = 6Ü + 7(00 = + s| + 21-, = ui ~t~ H = ^5+^1! = 4s + 6,1, -)- 9-Jt == l + TV = 4! + 5 ii = I2i + 3* + 5] = 263. Tel bij y\ op tot 37 J. Tel bij y'0 op tot 9. » » 2$ » » 46. » , , > 6. » » 5 ^ » » 170. » » ^ » » 15. 264. Hoeveel is : 6l — Sf = I3f — SÜ = 14] — 3? — 2j> = '3A - 5! = 9ïo - 8- = 28^ - 3-ü - i5f = 6'4 — Sj = 6-4 — 5» - 14] _ s| _ 67 = 2f - iJ = '2jS - 3,4 = 3f - /„ - A = 265. Bereken : 3f + Sj + 61 + y.* + s_42 + 3 :,« + + 8.|j, = "f" "I" ?Th ~t~ 'Vo + '4|'o + 7-i4(1 + 15g% + 34(Voo — 266. Vermenigvuldie: 12 x 1 = 24 x \i = '5X1= 37 X A = !9 x 1 = 42 x u = 12 x i = 51 X & = 267. Vermenigvuldig: 16 X I3f = 84 X 7fy = 12 X 1 Se = >05 X 4Ü = 24 X 3Yk = 85 X 6= 52 X 5ff = 184 X I2Ü = 268. Vermenigvuldig: f xt = ü X M X -5 = * x i = ,% X ü X B = n x = w xtix m = M x i? = ü x H x ft - 269. Vermenigvuldig: 3f X 15 7 = 8{ X 3 u 26^ X 121 _ 6J X 125 h x e,s7 = 47 x n 41 X 12 ft = il X 8f, 270. Deel: 186} : 5 = 13J : 16 = ft : 6 = 15^ : 27 = 2\ : ? = i8| : 19 = 8f% : 9 = iöft : 11 = 271. Deel: 14) : 19 — 44^ : 17 = i83 : 5 = 82JL : 12 = 26\ : 21 = 851 : 95 = 33i : 8 = 16J : 99 = 272. Deel: 12$ : J = : 3$ = i6| : | = 5t = Si = 15» ; « = 6j : 7| = 3| : I = 7tV : 8A = 8i •• -h = 'Si = 9» = 273. Deel : 12^ S. door i-j L. 5? A. door 3 m.M.2 8|"K.G. » | M.G. 6ij K.G. » f G. 6\ H.A. » 25 c.M.2 44 H.A. » 7 d.M.a 9& M.» » S-fac.M.» 8-| M.- . Sim.M.* 274. Herleid: 9 _ - 7\ '°é 341 5& 275. Tel op: 3* Si 6j ji ^ e* r ;:t' 4 "f 5 a J 4 zonder deze breuken tot eenvoudige breuken te herleiden. 276. Herleid de volgende breuken tot gewone : 0.8, 0.625, 0.325, 0.1375, 0.5625, 0.84, 0.2825, o-54°> 0.8125 0.000375. 277. Herleid tot tiendeelige breuken : U ül liL i5 7 9 5 4» K 25» 4 0» G4» Tol»' _JJ> 17 1*1 -£ lü _"> 7 7 ' 1 2 h o> 1 2 •"» 0' s o » :ii 2;>' 7 r> 8 • 5 :t 2 3 ti 5 (P 7» «J5 3^' 1 I» 2 1* 278. Herleid de volgende repeteerende breuken tot gewone : 0.8, o..12, 0.851, 0.627, 0.28, 0.416, 0.4138, 0.4277, 0.42857.L, 0.884615, 0.1)41176470588235-2. 279. Vermenigvuldig 0.I6 met 0.16 en deel het product door o.3 X °-3- 280. Bereken: 0.583 — 0.583 == o.87 — 0.87 = 0.5 iC — 0.016 = o.83 — o.8o3 = 281. 45 X [Ma tAT» \2\ + 5i — 3^ j ] aïï _i_ ct \ ^ x 12^I + 3 \ 4-ft X 7\ j 282. Ji_ + | 1x 9^ (3-84 35) jï| + 0.225) : (5. K) — 42%) 2 S 5. ^ + 7— (4| 1.6875] X 'f 3$ : -h — 25A : W~ 284. I 2Ó' -4- 4 _ ao°45 I 6'i 1 2 00 7 0.0495 J X (li : 1 f + 0.025 — ,4,) = 285. 3L± 2-i_X 5-6 + i6.,i, X 3 ni (54Ü X 89,7,; -f 369^ : X 0.006 286. Iemand moet ;! deelen door maar vermenigvuldigt « met Hoeveel wordt het antwoord te klein ? 287. Van een breuk is de noemer 12 grooter dan de teller. Vermenigvuldigt men den noemer met i^j, en vermeerdert men den teller met 21, dan verandert de waarde der breuk niet. Welke breuk het is? 288. Bereken fXiXf gedeeld door fXfXf- 289. Iemand deelt een getal door -.1\ en het quotiënt door 5. Als het eene quotiënt nu 40 grooter is dan het andere, hoe groot is het deeltal dan ? 290. Welke getallen zijn deelbaar op 34 X 3" X 5 291. Het K. G. V. van twee getallen wordt vermenigvuldigd met den G. G. D. Als men dan 588 krijgt, welke zijn dan de getallen, als het eene 3 maal groot is als het andere ? 292. Voeg achter de volgende getallen een cijfer, zoodat het komende getal deelbaar is door 3 : 26 . 294 . 48 . 386 . 65 . 562 . 293. Schrijf op de plaats van de punt een cijfer, zoodat het komende getal deelbaar is door 9 : 8.67 366 . 43 . 2 4 • 80 6.84 . 562 294. Schrijf op de plaats van de punt een cijfer, zoodat het komende getal deelbaar is door 15 en niet door 45 : 8.625 28.645 36.80 30.400 295. Welk deel van een dag is 12 uur 20 minuten? 6 » 17 » 20 sec. ? 14 » 8 » 15 » ? 17 » 17 > 30 » ? 296. Hoeveelmaal is 5 : j j — ,J X 1./», begrepen op: 2 Ü X I-OÖ25 . 13.6 : 6.4. 297. Welk getal wordt 12^ grooter, als men het door 'i deelt ? 298. 5 dagen 12 uur 30 min. = week. I uur 17 min. 30 sec. = maand. 16 A. 360 c.M.2 = H.A. 22 d.S. 36 d.M.3 = K.L. Schrijf het antwoord in den vorm van een gewone breuk. 299. Van een stuk katoen wordt ^ verkocht, en later van de rest. Als er nu samen f 14.85 betaald is, hoeveel kost dan het stuk, dat er nu nog over is ? 300. Iemand vermenigvuldigt een getal met o.9, in plaats van met 0.9. Als het eerste antwoord t/-, te groot is, hoe groot is het getal dan ? HOOFDSTUK V. Verschillende onderwerpen. § 9't. 'Verhoudingen cn evenredigheden. Meet malen is reeds gesproken over de verhouding van twee getallen ; thans echter zal daarover iets meer gezegd worden, en in 't bijzonder een en ander over de gelijkheid van twee verhoudingen. Wanneer men vraagt, hoe 2 getallen zich tot elkaar verhouden, naar de verhouding dus tusschen 12 en 7, tusschen 3 en 4, 18 en t,, dan bedoelt men niets anders dan het quotiënt dier getallen. Een verhouding duidt men op dezelfde wijze aan als een quotiënt, dus 12 : 7, 3 : 4, 18 : waarvoor men nu niet leest: 12 gedeeld door 7, maar 12 staat tot 7, 3 staat tot 4, 18 staat tot},. Het deeltal noemt men den eersten, den deeler den tweeden term der verhouding. Al wat van breuken gezegd is, geldt ook voor verhoudingen. Men krijgt dus het omgekeerde van een verhouding door de termen te verwisselen. Ook verandert een verhouding niet van waarde, als de termen met hetzelfde getal vermenigvuldigd worden. Tusschen 12 en 7 bestaat dus dezelfde verhouding als tusschen 24 en 14, want V = ff. Men kan ook de verhouding bepalen tusschen 3 en meer getallen. Twee getallen verhouden zich bijv. als 5 : 7, d.w.z. het eene getal bevat zoovaak 5 eenheden als het andere 7. Heeft men nu een derde getal, dat bijv. zoovaak 10 eenheden bevat als het tweede 7, dan verhouden deze beide getallen, het 2e en het 3e zich als 7 : 10, en de verhouding tusschen de 3 getallen wordt dan zoo uitgedrukt: 5 ■ 7 • 10, waardoor we meteen weten, dat de verhouding van het ie tot het 3e is als 5 : 10. Iwee gelijke verhoudingen, door het teeken = verbonden, noemt men een evenredigheid. Dus is 12 : 7 = 24 : 14 een evenredigheid, want de verhoudingen zijn gelijk. Men leest dien vorm: 12 staat tot 7 gelijk 24 staat tot 14. \ an die evenredigheden zullen we een aantal eigenschappen nagaan. Doch vooraf een aantal namen. Een evenredigheid bestaat uit 4 termen, den in, 2n, 31, 411. Den 1n en 4" term noemt men de uiterste termen (12 en 14), den 2n en 3n de middelste termen (7 en 24), den in en 311 de voorbaande termen (12 en 24), den 2n en 411 de volgende termen (7 en 14)5 den in en 2n de termen der eerste reden (12 en 7), den 3n en 4" de termen der tweede reden (24 en 14). Strikt genomen hebben we die namen niet noodig, omdat men steeds kan spreken van den in, 2n, 3n en 4n term, maar sommige eigenschappen vallen iets scherper in het oog als men de termen zóó tot groepen vereenigt, en bovendien worden die namen algemeen gebruikt, zoodat ook wij het zullen doen. Hier volgen thans eenige eigenschappen der evenredigheden. a) Het product der uiterste termen is gelijk aan het product der middelste. In deze verhouding : 12| : 5 = 10 : 4 moet dus, zegt de eigenschap: 12* X 4 gelijk zijn aan 10 X 5Dat komt precies uit, zal men zeggen, doch dat is geen bewijs in t algemeen. Daarvoor schrijven we de beide verhoudingen in den vorm van een breuk : i2* = uo 5 4 en maken de breuken gelijknamig door teller en noemer van de eerste met 4, en van de tweede met 5 te vermenigvuldigen : 4 X i2| _ 5_X 'o 4X5 ~ 5X4 257 Deze breuken zijn gelijk, omdat de gegeven verhoudingen gelijk waren, 't Zijn bovendien gelijknamige breuken, want de noemers hebben dezelfde waarde. Twee breuken dus, evengroot en met gelijke noemers, zoodat de tellers ook gelijk zijn, d. w. z. 4 X >4 = 5 X IO. I)e factoren van het eerste product zijn de uiterste, die van het laatste product de middelste termen. Deze gedachtengang kan men volgen ten opzichte van elke evenredigheid : men schrijft de verhoudingen in den vorm van een breuk ; beide breuken, die dezelfde waarde hebben, maakt men gelijknamig (de noemer wordt gelijk aan het product der volgende termen), en van deze gelijke breuken met gelijke noemers zijn ook de tellers gelijk, tl. w. z. het product der uiterste termen is gelijk aan dat der middelste. Deze eigenschap is de voornaamste, alle andere worden hiervan afgeleid. b) Als van de 4 getallen '9. 4. 33 {• 7 het product van 19 en 7 gelijk is aan dat van 4 en 33J, dan kan men aantoonen dat 19 : 4 = 33} : 7- Immers is 19 X 7 = 4 X 33 + » ('an 's °°k '9 X 7 = 4 X 334 4X7 4 X 7 want beide producten worden door hetzelfde getal gedeeld, en daarom is eveneens l9 = 3 3 4_ 4 7 omdat deze beide breuken gelijk zijn aan de vorige, — of, in in anderen vorm : 19 = 4 = 33i : 7- c) Omdat 4 X 334 = 334 X 4> mogen we in bovenstaande getallen : 19, 4, 33], 7 het 2e met het 3e getal verwisselen ; het product van deze blijft dan gelijk aan dat van het „Practiscii Rekenonderwijs". 17 ie en liet 4e getal, en daarom is 19 : 33j4 =4:7. m. a. w. ah men de middelste termen eeuer evenredigheid verwisselt, ontstaat een nieuwe evenredigheid. Is dus 18 : 12 = 10 : 6^, een evenredigheid, dan evenzoo ; 18 : 10 = 12 ; 63. Ook de uiterste termen kan men verwisselen : 18 : 12 = 10 : 62 wordt dan : 6$ : 12 = 10 : 18. En de middelste termen kan men met de uiterste verwisselen: 18 : 12 = 10 : 6| wordt dan 12 : 18 = 6| : 10. Dat alles berust op de waarheid, dat het product der uiterste termen door die verwisseling steeds gelijk blijft aan het product der middelste termen. Van elke evenredigheid kan men dus andere afleiden, van 18 : 12 = 10 : 6|, deze : 18 : 10 = 12 : 6|, 6| : 10 = 12 : 18, 6| : 12 = 10 : 18, 12 : 18 = 6} : 10, 12 : 6?, = 18 : 10, 10 : 63 = 18 : 12, 10 : 18 = 6 steeds gelijk aan het product der middelste. d) Thans volgt een andere groep van eigenschappen, alle betrekking hebbende op de som of het verschil van twee termen. We beginnen met deze; de som der termen van de eerste reden staat tot de som der termen van de tweede reden als de tweede term tot den vierden, of als de eerste term tot den derden. Ziehier; 18 : 10 = 12 : 63, r 18 12. ° 10 6| Telt men bij deze breuken 1 op, dan heeft men : 18 1 12 1 IS + 1 = 6| + waarvan de eerste vorm gelijk is aan ' '° M en de tweede 10 ' 12 —(— ö aan , dus 6S 18 -|- 1 o 12 + 6$ i° 6| of in anderen vorm en na de middelste termen verwisseld te hebben: (18 4" 10) : (12 -f- 6|) = 10 : 6g. Vergelijkt men deze evenredigheid met de oorspronkelijke, dan kan men de uitkomst der vergelijking in woorden uitdrukken zooals hierboven geschiedde, want de eerste term der nieuwe evenredigheid, 18 4" 10, is gelijk aan de som der termen van de eerste reden van de oorspronkelijke evenredigheid 18 : 10 = 12 : 65. Hierboven telden we bij }* 1 op, maar we kunnen ook 1 aftrekken van elke verhouding, en krijgen dan 18 12 10 ~~ 6j 1 of 18 - '° _ »-<* ,, 1° 63 1 of (18 — 10) : 10 = (12 — 63) : 63, waarin de middelste termen verwisseld kunnen worden: (18 — to) : (12 — 6|) = 10 : 6|, ') Als een som gedeeld moet worden door een getal, dan kan men eiken term . . , , . . - . . '8 X 10 18 . 10 18 . loor dat getal deelen; daarom is — ~r — = — 1. 10 10 10 10 Pat g ldt ook, als men een verschil moet deelen door een getal, of in woorden : het verschil der termen van de eerste reden staat tot het verschil der termen van de tweede reden a/s de tweede term tot den vierden, of als de eerste term tot den derden. e) Verwisselt men van de evenredigheid 18 : 10 = 12 : 6jj de middelste termen, dan krijgt men .• 18 : 12 = 10 : 6?t, en daarvan, cloor hier de in d genoemde eigenschappen toe te passen: (18 -f- 12) : (io + 63) — 18 : 10, en (18 — 12) : (io — 6|) = 18 : io, of in woorden, na vergelijking met de oorspronkelijke evenredigheid : de som (of het verschil) der voorgaande termen staat tot de som (of het verschil) der volgende termen als de eerste tot den tweeden. f) Uit de vorige eigenschappen kunnen we een andere afleiden. Heeft men weer deze evenredigheid : 18 : io = 12 : 6?v en dus volgens d: (18 -f- io) : (12 -f- 6|) = 18 : 12. en (18 — 10) : (12 — 6j-) == 18 : 12. dan heeft men twee evenredigheden, waarvan de 3e en 4e term gelijk zijn. In den eersten daarvan mag men dus b.v. 18 : 12 ook vervangen door (18 — 10) : (12 — 6f), omdat deze beide verhoudingen gelijk zijn en dus is (18 + 10) : (12 + 6|) = (18 — 10) : (12 — 6|) of in woorden : de som der termen van de eerste reden staat tot de som der termen van de tweede reden gelijk het verschil der termen van de eerste reden tot het verschil der termen van de tweede reden. g) Door verwisseling der termen hebben we 1111, als 18 : 10 = 12 : 6g, en dus 18 : 12 = 10 : 6J waarop de eigenschap onder f kan worden toegepast: (18 -f 12) : (10 -)- 6|) = (18 — 12) : (10 — 6|). Vergelijkt men deze evenredigheid met de eerste, dan heeft men : de som der voorgaande termen staat tot de som der volgende termen gelijk het verschil der voorgaande tot het verschil der volgende. Ziedaar de belangrijkste eigenschappen der evenredigheden. Op examens geeft men hierover verschillende vraagstukken op. In den regel zijn dan 3 termen van de evenredigheid gegeven, en naar den anderen wordt gevraagd. Die onbekende term duidt men dan aan door een x, en schrijft dan b.v. : 35 : x = : sf Dat is een evenredigheid, maar welke waarde heeft x ? We weten dat 35 X 5» = 7'\ x en dus is x = _35 \_ 5245 X 5a 2, /* 52 -S:,,r Een ander voorbeeld : 33.25 : 19.95 = 27 Ji : x Nu is 33.25 x = 19.95 X 2;}.',, en dus x - '9-95 ^ 2.7Ü- = 16? 33] 4 Die vormen kunnen ook moeilijker zijn, want hier behoefden we slechts de eerste eigenschap, die onder a, toe te passen. Ziehier een ander voorbeeld : (21 — x) : (29 — x) = 2 : 3, Wat is x nu ? We kunnen de termen der ie reden van elkaar aftrekken, enz. en krijgen dan : 8 : 1 = (29 — x ) : 3, en derhalve is 29 — x = 24, of x = 5. In het practische leven kunnen we ook van de evenredigheden gebruik maken. Een voorbeeld lichte dit toe. Als 1 H. L. rogge f7.50 kost, kost een brood b.v. 42 cent. Wat moet 1 brood kosten, zoodra de rogge f9 kost? De roggeprijzen zijn evenredig met de broodprijzen1), dus f 7.50 : f 9 = 42 : x, e 42 V f 9 .2 of x = ^ N J = 50 _ cent. 7-50 " 5 ') Wanneer arbeidaloonen, brandstoffen enz. buiten tekening gekten worden, anders, niet. En zoo zijn er veel meer voorbeelden van, dat twee grootheden, twee hoeveelheden, van elkaar afhangen, dat de een grooter wordt naarmate ook de ander in waarde toeneemt. Iemand verdient per week f 12, en heeft een woning gehuurd van f 1.60. Later verdient hij f 15 per week ; hoe duur mag de woning nu zijn, als er voor de huur hetzelfde deel van het weekgeld betaald mag worden ? Ziehier: 12 : 15 = f 1.60 : x, of x = '5.X f >-6o = f2 12 Wie wel eens gehoord heeft van den regel van drieën, heeft dien hier thans : 3 getallen zijn gegeven, naar het 4e wordt gevraagd. \\ ie rekenen wil, vindt hier nu weer een onbegrensd veld : Voor het dorschen van 5.\ II. L. koren wordt f4.80 betaald; hoeveel 1111 voor het dorschen van j\ H. L. ? (5 ' : 7 j = f 4.80 : x; — x = f 6.33.) Een werkman verdient in 12 uur f 1.—, hoe. veel dus in een dag van yi uur? (12 : 9A = 100 : x; — x = ruim 70 cent). Een troep van 124 man kost dagelijks aan onderhoud f65, hoeveel nu een troep van 175 man? (124 : 175 65 : x ; x is f 91.73.) Enz. § 94. Talstelsels. I11 § 2 werden eenige opmerkingen gemaakt over talstelsels. Het 10-tallig stelsel rust op het getal 10, omdat 10 eenheden, van welke orde ook, telkens weer een eenheid van hoogere orde vormen. Dat geldt voor alle talstelsels: in het 9-tallig stelsel vormen 9 eenheden een eenheid van hoogere orde, in het 12-tallig stelsel 12 eenheden, enz. Elk talstelsel heeft cijfers noodig om het aantal eenheden aan te duiden. Het aantal cijfers is in elk talstelsel verschillend. In het 8-tallig stelsel vormen 8 eenheden een nieuwe eenheid ; men telt dus 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, en kan dus slechts gebruiken 7 cijfers met een o. Kekent men de o ook tot de cijfers, dan heeft men in het 8-tallig stelsel 8, in het io-tallig 10, in het 12-tallig stelsel 12 cijfers noodig. In het ii-, 12-tallig stelsel heeft men dus meer cijfers noodig dan we hebben. Nieuwe cijfers dus, of nieuwe teekens. Vaste teekens daarvoor bestaan er niet, zoodat telkens aangegeven moet worden wat met elk teeken bedoeld wordt. Men kan letters gebruiken, een t voor 10, een e voor 11, of wat ook; een figuur, b.v. een (), een [J. Geheele getallen zoowel als gewone en decimale breuken, alles kan in de verschillende talstelsels geschreven worden. Maar tiendeelige breuken zijn 't dan niet; want schrijft men in het 6tallig stelsel 0.532, dan bedoelt men daarmede niet j50 en , •*0 en 1^00, maar {! en en Wel is waar, in het 6-tallig stelsel vormen zes eenheden een nieuwe eenheid, zoodat men zes aanduidt door 10, en 6 X 6 door 100, zoodat 0.532 in het 6-tallig stelsel toch gelijk is aan (r,0 en , $0 en 10-0(), mits men 10, 100, 1000 beschouwt als geschreven in het 6-tallig stelsel. We hebben in de vorige bladzijden, met betrekking tot de geheele getallen, de tiendeelige en de gewone breuken verschillende eigenschappen besproken en de vraag is: gelden die ook in andere talstelsels r In 't algemeen zouden we daarvan kunnen zeggen, dat alle eigenschappen, die berusten op bijzonderheden van het 10-tallig stelsel, in andere talstelsels niet waar kunnen zijn, doch de overige wel. In alle talstelsels geldt b.v. dat het verschil en den aftrekker gelijk zijn aan het aftrektal, dat men de factoren van een product verwisselen mag, enz., doch dat een getal deelbaar is door 3 als de som der cijfers door 3 deelbaar is, kan in een ander dan het 10-taliig stelsel niet gelden. Immers, we maakten daarbij gebruik van de omstandigheid, van tien gelijk is aan 3 X 3 4" wat 'n andere talstelsels niet opgaat, d.w.z.: wèl is 3 X 3 1 steeds tien, maar tien eenheden schrijft men dan niet als 10. In het 6-tallig stelsel is 3 X 3 -f 1 ook tien eenheden, maar men schrijft nu 14, d. i. 1 zestal en 4 eenheden, enz. Ook zijn getallen, waarvan het laatste cijfer even is, niet steeds door 2 deelbaar, b.v. niet in het 9-tallig stelsel, want 58 is clan gelijk aan 5 X 9 4" d. i. een oneven getal. Wel geldt dit in alle talstelsels, waarvan het grondtal even is, in het 8-, 4- en 12-tallig stelsel. Zoo kan men voor elk talstelsel onderzoeken, of het vroeger gegeven kenmerk van deelbaarheid voor 3 nog geldt, en ditzelfde kan men nagaan voor alle andere kenmerken van deelbaarheid, en voor alle eigenschappen der rekenkunde, welke vroeger genoemd zijn. Voor de practijk van het leven is dat van geen belang, doch om een goed inzicht te krijgen in de getallen en in hun onderlinge verhoudingen hebben zulke studies veel waarde, en dat telt in het leven ook mee. We zullen de hoofdbewerkingen hier allereerst behandelen. a) Optellen. 8627 3846'' 3456 45627 1403 '*W3 2658 68^4/ •> 21_ 2 ïl! 17356 (Qt.) 217967 (12/.) I)e eerste 4 getallen zijn geschreven in het 9-tallig stelsel. We tellen op de gewone wijze op: 8 —)— 3 —|— 6 7 = vier en twintig. Op de plaats der eenheden komt nu geen 4 te staan, want vier en twintig is gelijk aan 2 negentallen en 6 eenheden ; daarom schrijven we een 6. Daarna gaan we verder, en tellen op, niet de tientallen, maar de 9-tallen ; 2 5 -|- o + j -f 2 = veertien, dat is 1 X 9 negentallen -f- 5 negentallen ; we schrijven dus een 5. Daarna 1 —(— 6 —(— 4 -4. —(— 6 = een en twintig 9X9 tallen = 2 X 93 + 3 X 9'"- We schrijven dus een 3, en hebben ten slotte nog 2 —)— 2 —|— 1 —(— 3 —)— 8 = zestien 9s-tallen =1 X 94 + 7 X 93 '> we schrijven daarom 17. De 2e optelling behandelen we evenzoo, maar deelen eerst mee dat t = tien, en e = elf is. Daarom is / -f- 3 -f~ 7 e — een en dertig = 2 X 12 -f- 7; we schrijven dus een 7. Daarna 2 -f- 4 —f- 4 H- 2 ~f" ö = achttien = 1 X 12 + 6 ; we schrijven 6. Dan : 1 -|- e e + 6 -f- 4 = drie en dertig = 2 X 12 -|- 9; we schrijven thans een 9. Vervolgens: 2 —j— 8 —f- 8 + 5 + 8 = een en dertig = 2 X 12 -f- 7 ; we schrijven een 7. Ten slotte: 2 + 6 + / + 4 + 3 = vijf en twintig = 2 X 12 —f- 1 ; vve schrijven 21. We handelen dus precies als in het tientallig stelsel. Alleen verzuimen we geen oogenblik er aan te denken, dat telkens 9 of 12 eenheden een nieuwe eenheid vormen. b) Aftrekken. W e trekken af in het 7-tallig stelsel: 6543 400062 1256 100065 5254 (;t.) 266664 (7/.) 't Is nu niet: 6 van dertien = 7 ; neen : we leenen geen tiental, maar een zevental, hebben dus 7 —j— 3 = tien, en zeggen : 6 van tien = 4. Zoo verder achtereenvolgens : 5 van 7 —(— 3 (er is 1 geleend) = 5 2 van 4 (» » 1 » ) = 2 1 van 6 = 5. I11 de tweede aftrekking : 5 van 7 + 2 = 4; 6 van 7 + 5 (er is 1 geleend) = 6 o van 6 ( » » 1 * ) = 6 o van 6 ( » » 1 » )= 6 0 van 6 ( » » 1 » ) == 6 1 van 3 ( » » 1 > ) = 2. c) Vermenigvuldigen. 4236 (8-tallig) 56 (8-tallig) 31664 254260 306144 (8-tallig) Ook nu is 6 X 6 = zes en dertig, maar dit is 4X8 + 4; we schrijven dus 4. En dan achtereenvolgens: 6 X 3 4" 4 = 2 X 8 + 6 ; we schrijven een 6 ; 6 X 2 + 2 = 1 X 8 + 6: » » » 6; 6X4+i=3X8+i;» » nu 31. 't Andere volgt 1111 vanzelf. d) Dcc/lil. 56 ) 306144 (8 t.) ( 4236 270 161 134 254 212 424 424 O Na het voorgaande behoeft het declen geen toelichting meer, omdat we niets behoeven te doen dan vermenigvuldigen en aftrekken. Wie zich oefenen wil in 't rekenen uit het hoofd, schrijve de tafels van vermenigvuldiging in de verschillende talstelsels. Ziehier: iX9=9 1X6=6 2 X 9 = 16 2 X 6 = 14 3X9 = 23 3X6 = 22 ■1X9= 30 4X6 = 30 5 X 9 = 39 5 X 6 = 36 6X9 = 46 6X6 = 44 7X9 = 53 7X6 = 52 8 X 9 = 60 8 X 6 = 60 9 X 9 = 69 9 X 6 = 66 10 X 9 = 76') 10 X 6 = 74 I11 welk talstelsel zijn deze tafels geschreven? § 1)5. Herleidingen. Men kan een getal uit het eene talstelsel herleiden in het andere, uit het 8-tallig in het 10-tallig, en omgekeerd, en ook uit het 5-tallig in het 7-tallig, enz. We zullen van elk een voorbeeld geven. Staat 5326 is het 1 i-tallig stelsel, dan is 't getal dus 5 X 11 ' + 3 X 11'" + 2 X 11 + 6 = 7046 (1 o-t.). ') Alleen de producten staan in een ander talstelsel. Stond 5326 in liet 8-tallig stelsel, dan had men 5 X 8* + 3 X 8» + 2 X 8 + 6 = 2774 (10-t.). In 't 7-tallig stelsel is 5326 gelijk aan : 5 X 7' + 3 X 7! + 2X7 + 6= 1882 (io-t). 't Geeft dus eenig gecijfer. Dat cijferen bekort men eenigszins op deze manier : 5326 (Il-t.) 5326 (8-t.) 5326 (7-t.) 11 8 7 55 40 35 3_ 3_ 3 58 43 38 11 8 7 58 344 266' 58 2 2 638 346 268 2 8 7 640 2768 ,876 " 6 6 640 2774 (10-t.) 1882 (10-t.) 640 7040 6 7046 (10-t.) in t ie geval hebben we 5 X 11 + 3 X 11 r 2 X n + 6. We vermenigvuldigen 5 met 11 en hebben nu 55 X n'" i daarbij 3 X 112, wordt 58 X II2- Dit is 58 X II XMX 638 X > ■ "> daarbij 2X11= 640 X I '• Dit is 7040; daarbij nog 6, wordt 7046. De andere voorbeelden worden verklaard op dezelfde wijze. Wil men 1882 uit het 10-tallig stelsel herleiden in het 7-tallig b.v., dan volgt men den omgekeerden weg, en vraagt: hoeveel 7-tallen zijn er: En hoeveel 72-tallen kunnen gevormd worden van die 7-tallen. Dat geeft telkens een deeling. 1882 7) 268 7-tallen en 6 eenheden. 7) 38 7s-tallen en 2 7-tallen. 7) 5 73-tallen en j 7'^-tallen. Het aantal eenheden van elke orde staat cursief; liet getal schrijven we 5326 (8t.). -774 uit het 10-t. in het 8-tallig: 8) 346 8-taIlen en 6 eenheden. 8) 43 8--tallen en 2 8-tallen. 8) 5 8 '-tallen en ? 8--tallen. We schrijven dus: 5326(8-1.) Dan 74°6 uit het 10-tallig in het 11-tallig: 11| 640 1 i-tallen en 6 eenheden. "I _5^ ii--tallen en 2 1 i-tallen. 11) Jii '-tallenen ? 112-tallen.Weschrijvendit:5326(1 i-t). Vergelijkt men de quotiënten uit deze herleiding met de producten uit de herleidingen van straks, dan zien we, dat we dezelfde getallen in omgekeerde volgende weer kregen : eerst 5, 38, 268, nu 268, 38, 5. Heeft men een getal te herleiden uit het 8-tallig stelsel in het 12-tallig, dan kan men 't eerst herleiden tot het 10-tallig stelsel, en dan dit getal in het 12-tallig stelsel overbrengen. Men kan t ook regelrecht doen. Men vergelijke de volgende voorbeelden, waar 6327 uit het 8-tallig stelsel wordt overgebracht in het 12-tallig. cp27 (8 3287 (10-tallig) _ 12) 273 12-tallen + u eenh. 4 ""g 12) 22 i22-tallen -)- p 12-t. 1o8 + 2=4.o l2) 1 I23-tallen + /o 12^-t. 8 3280 + 7 = 3287 (IO t.) We zien 't : 6327 (8 t.) = 3287 (10 t.) = 1 / 9 c (12 t.), waarbij t = tien en e = elf is. Rechtstreeks hebben we dit; 6327 (8 t.) 8 4° + 3 = 43 (12 t.) 8 2^0 + 2 = 2/2 (12 t.) 8 1/94+ 7 =1/^(121). 't Is nu niet: 8 X 6 = 48 en 3 = 51, maar 8 X 6 = 40 (dat is 4 X 12) en 3 is 43. Enz. Op deze wijze kunnen we ook wel een getal uit het 10-tallig stelsel herleiden in een ander stelsel, niet door deden dus, maar door te vermenigvuldigen. 3287 (10-t.) 10 26 "4~ 2 = 28 (12-t.) 10 228 -)- 8 == 234 (12-t.) IO 1/94 + 7 = 1 '91'- We zeggen dan niet: 10 X 3 = 3° en 2 = 32 honderdtallen, maar 10 X 3 = 26 -|- 2 = 28 (dat is 2 X 12 + 8, dus toch 32 honderdtallen), 't Is hier echter zaak : op te letten. § JM» Romeinsche cijfers. Men ziet meermalen getallen geschreven met behulp van hoofdletters ; vooral op uurwerken en op grafsteenen komen ze voor. Men spreekt dan van Romeinsche cijfers, I)e volgende zijn tegenwoordig nog algemeen in gebruik : I=i, C = 100 V = 5, D = 500 X = 10, M = iooo. L = 50, Met behulp van deze cijfers kan men ook getallen schrijven; en daarbij heeft men als regels aangenomen : ie. Men schrijft niet meer dan 3 gelijke cijfers achter elkaar. 2e. Is het noodig 4 te schrijven, of 4 X IO> °f 4 X IOO> of 9, 90 of 900, — dan schrijft men daarvoor steeds 5, 50, 500, of 10, 100, 1000, waarvan 1, 10 en 100 wordt afgetrokken. Daarom is 4 = IV (dat is 5—1 ), 9 = IX ( » » 10—1 ), 40 =XL ( » » 40—10 ), 90 = XC ( » » 100—10 ), 400 = CD (dat is 500—100), 900 = CM ( » » rooo—100), want dat I, X en C moeten afgetrokken worden van het daarachter geplaatste getal, duidt men aan door het kleinste getal te schrijven vóór het grootste. 3e. Men schrijft de duizendtallen, honderdtallen, tientallen en eenheden afzonderlijk. Ofschoon dus 99 = 100 — 1, schrijft men in Romeinsche cijfers 99 toch niet IC, maar eerst, in Romeinsche cijfers 90 en dan 9, dus 99 = XCIX. en bv. 999 = 1000 — i, niet IM, maar eerst 900, dan 90, dan 9, dus 999 = CMXCIX. Met inachtneming van deze 3 regels schrijft men dus 44 = XLIV (eerst 40, dan 4), 87 = LXXXVII (50 + 3 X 'O + S + 2 X '). 836 = DCCCXXXVI (500+ 3 X 100+ 3 XIO + S+ i)enz. Er zijn nog wel meer Romeinsche cijfers in gebruik geweest, doch tegenwoordig bepaalt men zich tot de hier genoemde. Zoo b.v. was 15 = 300, met een streepje er boven 3000, G = 460 enz. § 97. Het oplossen van vraagstukken. Het is noodig nog eenige opmerkingen te maken over het oplossen van sommige vraagstukken, 't Is evenwel ondoenlijk alle typen te bespreken, want het aantal soorten van vraagstukken is zoo groot, dat we ruimte te kort zouden komen. Intusschen, alles te bespreken is ook niet noodig. Het vaardig en vlug leeren oplossen leert men niet door voordoen; dat is véél meer een zaak van oefening en van studie. Men moet de hoofdregels der rekenkunde kennen, en die op de juiste wijze toepassen; men moet zuiver redeneeren, dat is : geen verkeerde conclusies trekken, en wanneer men zoo gekomen is tot het antwoord waarnaar gevraagd wordt, dan kan men aan een volgend vraagstuk beginnen, ofschoon het toch beter is eerst nog iets anders te doen. Als men zijn antwoord vergelijkt met het antwoord, dat achter in een rekenboek gevonden wordt, dan is dat nog geen bewijs, dat het vraagstuk goed, onberispelijk, is opgelost. 't Is mogelijk, dat er in de oplossing onnoodige dingen zijn aangeroerd, en die moeten dan geschrapt worden, 't Is mogelijk, dat de redeneering hier en daar onduidelijk is voor den oplosser /.elf. Daar hebben velen dan vrede mee; »'t antwoord is immers goed«, maar . . . men leert door /.ulk rekenen niets. Ook is 't mogelijk, dat er een andere, een mooiere oplossing van het vraagstuk is te vinden, en zulks moet dan nagespoord worden, en zelfs, al vindt men dan niets, men krijgt daardoor toch een betere kijk op de zaak. Op deze wijze maakt men per avond studeerens niet veel vraagstukken af. Dat is echter niets; het weinige is in dezen veel, het vele waardeloos, indien het juiste inzicht ontbreekt. Vraagstuk. A is aan R schuldig f 1250, tc betalen over 6 maanden. Indien R over j maanden f 2S ontvangt, wanneer kan A dan de rest betalen, zonder dat iemand schade lijdt .J A betaalt over 4 maanden reeds een deel van de som, 2 maanden te vroeg dus. Dat is voordeelig voor B; hij kan die f 750 nu 2 maanden gebruiken, of beleggen in een spaarbank. Hoeveel intrest ontvangt hij dan? Dat is niet te zeggen, omdat niet bekend is hoeveel rente de spaarbank betaalt. Omdat B straks •nog f 500 moet betalen, herleiden we de intrest van f750 echter tot die van een kapitaal van f 100; met de f 500 doen we evenzoo : het vergelijken is dan gemakkelijker. De intrest van f 750 over 2 maanden staat gelijk met den intrest van f 100 over 74 X 2 maanden = 15 maanden. Het voordeel voor B bestaat dus daarin, dat hij zooveel intrest ontvangt als van f 100 gedurende 15 maand. Zal hij echter geen voordeel genieten, dan moet daar een evengroote schade tegenover staan, en dit is ook het geval, indien hij de f 500 te laat ontvangt, en daarvan den intrest gedurende eenigen tijd derft. Nu is de intrest van f 500 gedurende 3 maanden evenhoog als die van f 100 gedurende 15 maanden. Wanneer de f 500 dus 3 maanden te laat worden betaald, dan is het nadeel voor B gelijk aan het voordeel dat deze geniet door de f 750 te vroeg te ontvangen. A kan de f 500 dus betalen 9 maanden na den dag van heden, of 5 maanden nadat de f 750 betaald zijn. Zoo berekenen we het antwoord. Wie op een examen het gegeven vraagstuk moet oplossen, schrijft eenvoudig dit: /> geniet door de eerste betaling een voordeel, gelijk aan den intrest van f 750 gedurende 2 maanden, of van f 100 gedurende 15 maanden. Daarmee komt overeen het nadeel door de rentederving van f joo gedurende eenige maanden. Omdat f foo in J maanden evenveel intrest geeft als f 100 in / ■>" maand, mag A ? maanden te laat de f 500 betalen, dus f maand nadat de J 7-70 worden betaald. Wanneer men het vraagstuk zoo aankijkt, dan is het oplossen niet moeilijk. Maar dat is juist de kwestie : goed weten, wat er verteld wordt. Velen struikelen dan ook juist over zulk een vraagstuk, omdat ze zich den gang van zaken niet zuiver genoeg kunnen voorstellen, en niet nagaan wat het beteekent: geld te vroeg of te laat ontvangen. We kunnen het vraagstuk ook oplossen door in hoofdzaak A, en niet B, in 't oog te houden. Gesteld, dat A het geld nu reeds heeft, de geheele f 1250, dan trekt hij hiervan intrest gedurende 6 maanden, en dit komt overeen met den intrest van f 100 gedurende 12.] X 6 maanden = 75 maanden. Hij gebruikt de f 1250 gedurende 4 maanden; de intrest komt overeen met die van f 100 gedurende 50 maanden. Hij heeft nu nog recht op den intrest van f 100 gedurende 75 maanden — 50 maanden = 25 maanden. De intrest staat gelijk met dien van f 500 in 25 maanden 15 = 5 maanden. Zoo komen we er ook. Een goed inzicht, zeiden we. Ziehier met dezelfde bedoeling nog eenige Vraagstukken. Twee jongens hebben samen 81 knikkers. Als de een 1 ' maal zooveel heeft als de ander, hoeveel heeft elk dan r Teller en noemer van een breuk zijn te samen 150. Als men den teller met j, en den noemer met 7 vermeerdert, wordt de waarde gelijk aan Welke breuk is het? Hoe groot is een weide, waarvan de omtrek iooo M. is, als de lengte 4 maal zoo groot is als de breedte Een paard en een koe worden verkocht, het paard levert evenveel kwartjes op als de koe dubbeltjes. Als het verschil in prijs f 144. bedraagt, hoe duur is het paard dan ? We schrijven deze vraagstukken niet zoozeer op omdat het oplossen bijzondere moeilijkheden oplevert, als wel omdat er tusschen deze vraagstukken een overeenkomst bestaat, die misschien niet direct wordt opgemerkt. In het eerste vraagstuk wordt de som van twee getallen gegeven ; die som is 81. Van die getallen is overigens niets bekend dan de verhouding. Om het vraagstuk op te lossen, drukken we de verhouding liefst uit in geheele getallen, waartusschen natuurlijk dezelfde verhouding moet bestaan als tusschen 1 en 1^ en vermenigvuldigen (zie § 93) ze dus met 4, omdat daardoor de breuk achter verdwijnt. De verhouding tusschen 't aantal knikkers wordt nu als 4 tot 5 ; als de een 4 knikkers bezit, heeft de ander 5, dus samen 9. Omdat er 9 X 9 knikkers zijn, heeft de een 9X4 kn. = 36 kn., en de ander 9X5 kn. = 45 kn. Wie een goed inzicht heeft in dit vraagstuk, kan den gedachtengang een weinig bekorten. Van elke 9 knikkers kreeg de een 4 en de ander 5; de een krijgt dus van het totaal de andere Ook die getallen | en ,} verhouden zich ook als 4 : 5 of als 1 : 1 ] ; en als de een ^ krijgt, en de andere f, dan is alles verdeeld, want 3 = 1. In het tweede vraagstuk is een breuk, die een waarde heeft van Beschouwen we die breuk als het quotiënt van 2 getallen, dan geeft de breuk de verhouding tusschen de 2 getallen, d. w. z. tusschen teller en noemer aan. Die verhouding is dus als 7 : 9, 7 en evenals in het vorige vraagstuk is de teller nu het K B 7 + 9 = de noemer -f\. van de som van teller en noemer- Teller en noemer van de breuk, die een waarde heeft van ?, zijn niet samen 150, maar 150 —f- 3 —(— 7 = 160 ; de teller is dus X 160 = 70, de noemer ^ X J6o = 90. De breuk, waarvan tel- 70 — 3 Ier en noemer samen 150 zijn, is nu = Ü4. 90—7 rPKACTISCH Rekknonpekwijs" 18 In het derde vraagstuk is de lengte van een weide 4 maal zoo groot als de breedte. De verhouding is dus gegeven, nl. als 4 : 1 ; de lengte is dus ft, de breedte £ van de som van lengte en breedte samen. Omdat de omtrek 1000 M. is, zijn lengte en breedte (d. w. z. de halve omtrek) 500 M., de lengte is dus # X 5°° = 400 M., de breedte ! X 5°° M. = roo M. l)e grootte is nu 100 X 4°° M.2 = 4 H.A. In het vierde vraagstuk wordt de verhouding der prijzen gegeven ; die verhouding is als 25 : 10, of als 5 : 2. Indien nu gegeven was het bedrag, dat het paard en de koe samen ople- 2 verden, dan kostte de koe — = f en het paard i van 't 5 + 2 7 v 1 geld, — maar niet de som, doch het verschil is gegeven. De redeneering is echter dezelfde. Als 't paard f 5 kostte, kostte de koe f 2, en 't verschil was dan f 3. 't Verschil is f 144 = 48 X f 3 I het paard kostte 48 X f 5 = f 240 ; de koe 48 X f 2 = f 96. We konden ook zeggen : het paard kostte |, de koe | X f '44 = 240 en f 96. In al die vraagstukken was de verhouding van 2 getallen gegeven; het verschil tusschen de vraagstukken was in dit opzicht alleen, dat die verhouding in andere woorden werd uitgedrukt. Bovendien was telkens de som of het verschil der getallen bekend. Wanneer men tracht de vraagstukken op deze wijze geheel te doorzien, dan blijkt het, dat in tal van andere vraagstukken dezelfde gegevens te vinden zijn, en dat er tusschen andere vraagstukken weer een ander verband verstaat. Zoo b.v. dat in alle gegeven is de som en het verschil van de twee getallen, of iets anders. Wanneer men een zoo'n vraagstuk oplost, kan men alle vinden, mits men inziet, dat de gegevens inderdaad dezelfde zijn. Als men op deze wijze de vraagstukken bestudeert, en niet enkel tevreden is met een antwoord, dan is 't niet noodig veel vraagstukken te maken ; geheel tegen de regels der rekenkunde in, is thans het weinige meer dan het vele. Daarvan volge hier nog een voorbeeld. Vraagstuk. Iemand verkoopt van een partij waren J a ()ó et. van de rest a 99 ct. van dn rest voor 9 f\ ct. en dc rest voor f 1.08 den M. Als zijn winst 10 n|„ bedraagt, hoeveel won hij dan op elk gedeelte van de partij - Het vraagstuk zelf is gemakkelijk te begrijpen. Bepalen we eerst welk deel telkens verkocht worek. Eerst De rest is Het derde deel van deze rest, van £, is |. De rest is nu | ; het derde deel daarvan . De rest is dan Er wordt dus verkocht: ^ a 96 cent, | A 99 cent, a 94^ cent, a 108 cent. Hij wint IO 0 : op elk gedeelte niet evenveel per M., maar gemiddeld 10 '■ n. We kunnen den inkoopsprijs per M. uitrekenen, als we in staat zijn den gemiddelden verkoopsprijs te berekenen. Nemen we een eenvoudig voorbeeld. Iemand verkoopt waren tegen 18 cent, en dubbel zooveel tegen 30 ct. per M. Wat is de gemiddelde verkoopsprijs ? We kunnen dat berekenen door van eiken verkoop te berekenen hoeveel de ontvangst bedraagt verdeeld over eiken M. die er te verkoopen is. Verkoopt men het derde deel tegen 18 cent, dan staan de ontvangsten gelijk met 6 cent voor eiken M. van het geheele stuk. Wordt S van het stuk verkocht tegen 30 cent, dan staat deze verkoop gelijk met 4] X 3° cent = 20 cent voor eiken M. van het geheel. Te zamen ontvangt men dan gemiddeld 26 cent. Zoo gaat het ook in het opgegeven vraagstuk. Het verkoopen tegen 96 eent brengt evenveel geld in kas als de geheele partij verkoopen tegen 32 cent. We berekenen den gemiddelden verkoopsprijs dus zoo : a 96 ct. wordt voor eiken M. van de geh. partij .'s = 96 ct. = 32 ct. ^ a 99 « » » > » » » * » |=99»=22»; T,47a94|■» > » » ■ » » » * =94.V» = 14 »; ,yy a I08 » » » » T » » » » -A- = I08 » = 32 ». Voor 1 M. van de geheele partij ontvangt hij gemiddeld 100 ct. Daarmede is het belangrijkste deel van het vraagstuk helder. We hebben nu dit: de verkoop bedraagt gemiddeld 100 ct., de winst is 10 °|0, de inkoop bedraagt... ? 90 ct. per M. in geen geval. Want als de winst 10 0 0 bedraagt, is de verkoop I ^ maal zoo groot als de inkoop ; de inkoop bedraagt dus 100 ct. : i .1() = 90ct. Wat wint hij nu r Op het eerste deel 96 ct. — 9°f^ ct- = 5-^ ct. per M., en zoo achtereenvolgens 8^ ct., 3^,| ct. en 1 7tS ct- Al wat in het bovenstaande voorkomt, moet in de gedachten omgaan van ieder die berekenen wil wat in het vraagstuk gevraagd wordt, — doch niet alles behoeft te worden opgeschreven door hem, die het vraagstuk «schriftelijk beredeneerd» wil oploslen, zooals men zegt. Dan komt er alleen dit: Het ie gedeelte. J van het stuk, ivordt verkocht tegen 96 ct.: dit levert evenveel op. alsof het gcheele stuk verkocht werd tegen ' X 96 ct- — 32 ct- Het 2e gedeelte, j-, levert op $ X 99 ct- = 22 ct. op eiken M. van het geheele stuk, enz. enz. Te zanten 100 ct. De winst is io° 0 ; dc inkoopsprijs per M. is dus 100 ct. : z,1,, = 9°{ (\ ct. Op het eerste gedeelte ivordt dus gewonnen 96 ct. — po ct. — j-j1, ct., enz. enz. Kan het vraagstuk ook op andere wijze worden opgelost ? Laat ons zien. Er wordt gevraagd naar de winst; deze kan niet anders berekend worden, dan door in- en verkoopsprijs van elkaar af te trekken. In- en verkoop worden dus berekend; de verkoop het eerst, want daaromtrent hebben we gegevens. De inkoop kan dan niet anders berekend worden dan door den verkoopsprijs te deelen door 1J. Ten opzichte van deze onderdeelen van het vraagstuk is er dus maar één weg. Maar de gemiddelde verkoopsprijs kan toch anders berekend worden. Men verkoopt n.1. resp. J, en gedeelten verhouden zich als 9:6:4: 8, d. w. z. en dit komt ons hier nu letterlijk te pas, dat van elke 9 -f- 6 -f 4 + 8 of 27 M. telkens 9 M. verkocht wordt tegen 96 ct., 6 M. tegen 99 ct., 4 M. tegen 94^ ct. en 8 M. tegen 108 ct., 27 M. dus tegen 9 X 96 ct. -)- 6 X 99 ct. + 4 X 94i ct- + 8 X 108 ct- = 27°° ct-. en 1 M. levert gemiddeld 100 ct. op. Nu kan de partij heel veel malen 27 M. groot zijn, of ook weinige keeren ; telkens echter, als er 27 M. verkocht worden in een verhouding, zooals het vraagstuk aangeeft, wordt er f 27 ontvangen, of f 1 per M, Er is nog wel een andere wijze om den gemiddelden verkoopsprijs te berekenen, maar dit is dikwijls moeilijker uit elkaar te houden dan het vorige. Als verkocht wordt tegen 18 cent, en I] tegen 30 ct. (zie boven) dan ligt de middenprijs ergens tusschen 18 en 30 ct. Maar waar? Midden er tusschen? Verkocht men dan tegen dien middenprijs, dan zou men op het eene gedeelte per M. evenveel centen winnen als op het tweede gedeelte verliezen, en dan zou er evenveel geld ontvangen worden, wanneer elk gedeelte even groot was. Maar dit is het geval niet! Het laatste gedeelte is twee keer zoo groot. Verkocht men tegen den gemiddelden prijs, dan zou men op het laatste gedeelte telkens twee maal eenige centen verliezen tegen een keer iets winnen, winnen nl. op het eerste gedeelte, — en die winst moet per M. dus tweemaal zoo groot zijn als het verlies per M. op de tweede partij. Het verschil, 30 ct. — 18 ct. = 12 ct., moet dus in drieën gedeeld worden, § van 12 moet opgeteld worden bij de 18 ct., en 4 afgetrokken worden van de 30 ct. De middenprijs is dus 18 ct. -f| X 12 ct. = 30 ct. — J X 12 ct- = 26 ct- Zoo kunnen we ook in ons vraagstuk, maar 't wordt eenigszins samengestelder. Het eerste en tweede deel verhouden zich als ^ tot als 3 tot 2. Het verschil is 99 ct. — 96 ct. = 3 ct., de gemiddelde prijs ligt tusschen 96 ct. en 99 ct., en is 96 ct. -f f X 3 ct. = 97| ct. Het derde en vierde gedeelte verhouden zich als 1 tot 2; de gemiddelde prijs hiervan is 94-J ct. -f- \ X (108 ct. — 94i ct.) = 103^ ct. De verhouding van het eerste en tweede te zamen tot het derde en vierde te zamen is als J -f- | tot ■>\ + of als 5 tot 4 ; het verschil is 9 ct., en de gemiddelde prijs is dus 97! + 9 X (l"3i ct. — 97I ct.) = 100 ct. Zoo komen we er dus ook. Maar dit oplossen vergt een buitengewone oplettendheid. Dit zal men ondervinden als menzich rekenschap geeft van het feit, waarom we schreven jj X(I03-> ct. — 97^ ct.) en waarom niet enz. We herhalen wat we straks zeiden : zoo bestudeere men een vraagstuk, en stelle zich dus niet tevreden als men op de een of andere wijze een antwoord gevonden heeft. Vraagstuk. Een breuk heeft de waarde van Waren teller en noemer beide p grooter, dan was de waarde ij. Welke breuk is het f In zulke vraagstukken kunnen we ons voorstellingsvermogen te hulp komen, door de onbekende breuk voor te stellen door ■ ; t is de teller, n de noemer. In 't vraagstuk staat nu dit: t t —j— Q - i; en , = u 9 « + 9 Twee breuken kunnen we gemakkelijk vergelijken, indien we ze gelijknaming maken; daarom trachten we ' te herleiden tot een breuk, waarvan de noemer n -f- 9 is. We moeten den noemer dan met zeker getal vermenigvuldigen, en ook den teller met datzelfde getal, omdat de waarde van de breuk dan niet verandert. De noemer wordt daardoor 9 grooter, maar de teller niet, want de teller is kleiner. Omdat de teller ij keer zoo groot is als de noemer1), wordt de teller ij X 9 = 5 grooter2), en we hebben dan L = L±1 __ 5 n n -)- 9 9 Bovendien : * i.9 = 2. _ .is n -f- 9 'J ir I)e noemers zijn gelijk, de breuken verhouden zich als 5 :6, en daarom verhouden zich de tellers ook als 5 : 6, d. w. z. de tellers t 5 en t -(- 9. 't Verschil is dus 4. Men begrijpt nu dat de eene teller, t -f- 5 gelijk is aan 5 X 4 = 20 en 1 4~ 9 gelijk aan 6 X 4 = 24- teller van de oorspronkelijke breuk is dus 30 — 5 = 24 — 9 = '5- Omdat dit is van den noemer, is de noemer f X r5 = 27> en de breuk was dus Ziedaar het antwoord. De oplossing is deze : We weten dat = ij, en , ^ = f!. Herleiden wc 1 tot 11 '' 11 -)- p s 11 1) Schrijf breuken op, waarvan de waarde */«, is. den noemer. 2) Licht dat door voorbeelden toe. De teller is steeds 5/9 var. een breuk, waarvan de noemer n -j- p is. dan wordt de teller t -f- ï! X 9 = ' + .■>"• Dus is / = / it ^ = y eu 1 9 = rj = !'. n n + 9 » + 9 Daar de noemers gelijk zijn, verhouden de tellers zich als j : 6. Omdat 't verschil 4 is, is de teller t -f- 5 =5 X 4 = 2o, enz. Is 't antwoord goed? Dat kunnen we zelf onderzoeken, en vragen daartoe : ie.: Is ^ = |? Dat is inderdaad zoo. 2e. Als men teller j c -]— Q 24. 2 en noemer met 9 vermeerdert, krijgt men --——- = = 27 + 9 36 3. Ook dat klopt, zoodat we het goede antwoord gevonden hebben. Kunnen we 't vraagstuk op een andere wijze oplossen ? . , t herleid tot een breuk, waarvan de 110eWe hebben straks n mer n -L- 9 was, dat is : gelijk aan den t 9 We kunnen ook de tellers gelijk maken noemer van . . b J n -f- 9 en vermenigvuldigen dus t met een getal, dat we / -(-9 krijgen. Dan wordt de noemer n -j- | X 9 = 11 -f- i6i. We hebben dus : t t 9 s / -)- 9 2 6 « «-)- i6| 9 n -f- 9 3 9' t 9 t ""l" 9 De breuken -—:—, en , hebben dezelfde tel- 11 -f- 16J « + 9 Iers ; de waarde verhoudt zich als 5 : 6, de noemers verhouden zich derhalve als 6 : 5 '). Omdat het verschil tusschen de noemers is, is de eerste 6 X 7 5 = 43 5 en de tweede 5 X 7\ = 36. Derhalve is 11 = 36 — 9 = 27, enz. We konden ook anders redeneeren. De waarde verhoudt zich als ;j : |j. Nu is | = ; we hebben dus: 9. _1 5 t -f 9 __ 5 « + l6l 9 e" « + 9 ~ 7i' de noemers verhouden zich dus als 9 : 7-^ of als 6 : 5, enz. Verschillende oplossingen zijn dus mogelijk. De eenvoudigste oplossing is intusschen de beste. Dat is oplossing 110. 1, want ') De waarde der breuken verhoudt zich als 5 : 6, de noemers dus als 6 : 5, omgekeerd als de tellers. Want: hoe kleiner de breuk, hoe grooter de noemer, als de tellers gelijk zijn. (laar maakten we eenvoudig gebruik van de eigenschap, dat twee breuken, waarvan de noemers gelijk zijn, zich verhouden als de tellers. We herhalen weer: bezie zoo'n vraagstuk van alle kanten, en eindig niet eer, voor alles volkomen helder is. Van anderen aard weer is het volgende. Vraagstukken. Welke getallen boven 300 zijn deelbaar op elk der getallen 84.00, 9800 en 19250 r Om een aantal schutters te plaatsen in rijen van J, 4 of 5, komt men telkens 2 te kort. Hoeveel zijn er, als er meer dan 100 zijn en minder dan ijo ? (Bartels, vraagstukken en vormen, no. 98). Wat is het grootste getal beneden jooo, dat bij deeling door 12, IJ en 14 telkens 4 tot rest geeft r (ld. no. 281.) We zouden deze vraagstukken wel kunnen samenvatten onder het motto : «Herkent gij ze ?« Indien men ziet, wat er uitgevoerd moet worden, dan is 't oplossen niet moeilijk, maar dat is't juist. «Deelbaar zijn op,« staat er in no i. We moeten dus een getal hebben, dat deelbaar is op 1400, maar ook op 9800 en op 19250, — en dat is een gemeene deeler van die getallen, 't Is dus zaak de gemeene deelers te vinden van 8400, 9800 en 19250. 8400 = 24 X 3 X 5* X 7 j 9800 = 23 X 52 X 7* deG. G. D. = 2 X 52 X 7 = 35°19250 =2 X S3 X 7 X " J We zien hieruit, dat de grootste der gemeenschappelijke deelers 350 is. De andere zijn deelers van 350, dus 175, 70, 50, 35, 25, 14, 10, 7, 5, 2. Geen enkele van deze laatste is grooter dan 300 ; de eenigste gemeenschappelijke deeler boven 300 is dus 350. Iets dergelijks hebben we in no. 2 en ook in 110 3. Eerst komen er 2 tekort, dan blijven er 4 over. Daaraan denken we maar niet. Dan hebben we dus: het aantal schutters is een veelvoud van 3, ook van 4, ook van 5, en we zoeken dus een gemeen veelvoud, het kleinste allereerst. In no. 3 doen we hetzelfde : het bewuste getal is een 12-voud, als de deeling opging, ook een 13voud en een 14-voud, een gemeen veelvoud dus van 12, I3eni4, Het K. G. V. van 3, 4 en 5 is 60, de daarop volgende ge- meene veelvouden 120 en 180. Van de/.e 3 moeten we 110 2 hebben, 120, want dit ligt tusschen 100 en 150. Daarom waren er 120 schutters als er in geen enkele rij iemand te kort kwam. Xu is 't aantal 120 — 2 = 118. Het K.G.Y. van 12, 13 en 14 is 1092, de volgende gemeene veelvouden 2 X> 3 X> 4 X> 5 X '092, of 2184, 3276, 4368, 5460, enz. Van deze is 4368 nog beneden 5000. 't Getal was dus 4368 als er niets overbleef. Nu is 't 4368 -(- 4 =4372. In zooverre verschillen deze vraagstukken dus van de vorige, dat het berekenen van 't gevraagde geen moeite kost, zoodra we inzien : o! het K.G.V. moet bepaald worden. We zouden op deze wijze door kunnen gaan met de bespreking van verschillende vraagstukken, maar we stelden ons ten doel aan te geven hoe men het oplossen van vraagstukken heeft te beschouwen. Wanneer men daarvan het juiste idee heeft, dan kan alleen oefening vaardigheid geven, en dit oefenen, herhalen we nog eens, bestaat niet in het jacht maken op antwoorden. Vraagstukken oplossen is studeeren ; zich er met een Jantje van Leiden afmaken, heeft geen waarde. Ondanks alle scherpzinnigheid echter lost men sommige vraagstukken niet op zonder de noodige kennis van de verschillende zaken, die aan de orde zijn. Een rij van vraagstukken willen we hiervan bespreken, en wel de zoogenaamde klokkensommen. In heel veel rekenboeken n.1. komen vraagstukken voor over den hoek, dien uur- en minuutwijzer met elkander maken, en zonder iets van hoeken te weten, en van de wijze, waarop hoeken worden vergeleken, is het niet best mogelijk vraagstukken over die aangelegenheden op te lossen. Een hoek is de ruimte, die door twee lijnen gevormd wordt. Die hoeken worden gemeten, — en om de vraagstukken over de klok te kunnen maken, moeten we bekend zijn met de maten, waarmee men hoeken meet. We herinneren er aan wat meten is en begrijpen dan dat we hier nu hebben : vergelijken met een' anderen hoek die een bepaalde grootte heeft. De grootte van dien hoek is het 90e deel van een rechten hoek, d. i. van den hoek gevormd door een loodlijn en een waterpaslijn. Zulk een hoek, het 90° deel van een rechten hoek, noemt men een graad, en evenzeer als men onderdeelen heeft van een meter, een liter, een gram, heeft men ook onderdeelen van een graad, n.1. een minuut, d. i. het 6oc deel van een graad, en een seconde, het 60e deel van een minuut. Dat is tot zoover te begrijpen. Maar op de klok heeft men óók minuten en óók seconden, en deze minuten en seconden zijn niet dezelfde als die wij boven bedoelden. De minuten, door de wijzers aangegeven, hebben betrekking op den tijd, en die we boven bedoelden zien op den hoek tusschen de wijzers. De omtrek van een wijzerplaat is door kleine streepjes verdeeld in 60 minuten. \ an uit die deelpunten zou men lijnen kunnen trekken naar het middelpunt van de wijzerplaat, waardoor rondom het middelpunt 60 evengroote hoeken zouden komen. Om 9 uur, als de uurwijzer op 9> de minuutwijzer op 12 staat, vormen beide wijzers een rechten hoek. Verdeelt men de boog van 9 tot 12 in 90 gelijke deelen, en trekt men van uit die deelpunten lijnen naar het middelpunt, dan wordt de rechte hoek in 90 gelijke deelen verdeeld, en elk van die deelen heet nu een graad. Het kleine boogje aan den rand van den wijzerplaat nu bedoeld, heet ook een graad. Alet eiken booggraad correspondeert een hoekgraad, en men heeft dus bogen van 10 graden zoowel als hoeken van 10 graden. \ an 9 uur tot 1 minuut over 9 legt de minuutwijzer een klein eindje af; de punt doorloopt een kleine cirkelboog. Hoeveel graden dat is, valt gemakkelijk te berekenen. Immers in 1 <; minuten doorloopt de lange wijzer een boog van 90 graden, zoodat 1 minuut op de klok gelijk is aan 6 graden. Tusschen 2 cijfers van de wijzerplaat, van I naar II, of van VII naar VIII, ligt dus een boog van 30 graden, en de hoek die gevormd wordt als men van t middelpunt uit een lijn trekt naar 12 en naar 5, is dus, evenals de boog, 5 X 3° graden of 150 graden. De geheele cirkelomtrek wordt verdeeld in 12 X 3° graden of 360 graden. We noemden straks een minuut, of het 6oe deel van een graad. Dat deze minuut niet hetzelfde is als de minuut, die door den minuutwijzer van de klok wordt aangewezen, is thans duidelijk. l)e wijzer van de klok legt elke minuut een boog van 6 graden af, of van 360 minuten of van 21600 seconden, want 1 minuut is 60 seconden, zooals reeds opgemerkt werd. De woorden graad, minuut, en seconde worden voorgesteld door drie verschillende teekens : door een kleine nul nl. en door 1 of door 2 kleine streepjes rechts boven het getal: 6 graden wordt dan 6°, 6 minuten » » 6', en 6 seconden » » 6". Wanneer men zich de beweging der wijzers goed voorstelt, is men in staat de vraagstukken over dit onderwerp te maken. De minuutwijzer legt, zooals opgemerkt werd, elk uur een boog af van 360 graden ; de uurwijzer vordert echter per uur slechts 30 graden, dus elke minuut | graad. We kunnen de vraagstukken in verschillende soorten verdeelen. a) De wijzers staan stil. Welken hoek vormen ze om 9 uur, om 11 uur, om 12 uur, om 5 uur? De afstand tusschen twee cijfers is 30°, de hoek is dus om 9 uur 900, om 11 uur 300, om 12 uur o°, om 5 uur 1500. Welken hoek echter vormen ze 10 minuten over 6 ? Kijkt men naar de klok, dan ziet men, dat er 4 bogen zijn van 300 (van 2 naar 3, van 3 naar 4, van 4 naar 5, van 5 naar 6). Dat is I20n. De uurwijzer staat echter iets verder dan 6, want 't is er 10 minuten over. Hoe groot is nu de boog van 't cijfer VI tot den uurwijzer ? Elke minuut legt deze wijzer ), graad af, in 10 minuten dus 50. De hoek tusschen de wijzers is 10 minuten over 6 dus 1250. Een ander voorbeeld : 5 minuten voor 9. Eerst 2 bogen van 30° (van 9 naar 10, van 10 naar 11), dat is 6o°. Van den uurwijzer naar 't cijfer IX is nog 5 X i0 = 2^Vn. De hoek is dus 62^°. Beide wijzers kunnen staan tusschen twee klokkecijfers, b.v. 12 minuten voor 3. Er zijn dan 4 bogen van 30° (van 10 naar 11, van 11 naar 12, van 12 naar 1, van 1 naar 2). Dat is 120°. Dan nog 2 kleinere afstanden : van den minuutwijzer tot 10, en van 2 tot den uurwijzer. De eerste afstand is 2 X 6° = 12° ; de laatste 48 X •>" = 24° ('t is 48 minuten over 2). De hoek is dus 1200 -f- 12" -|- 24° = 156°. b) De wijzers bewegen zich. Ze kunnen dan allerlei hoeken vormen, van on tot 360", en de vraag is dan : hoe laat is het, wanneer ze een hoek vormen van een gegeven aantal graden ? Een hoek van o° is geen hoek ; bedoeld werd dan dat de wijzers elkaar bedekken. Wanneer is dit het geval f We gaan de beweging der wijzers na, en merken eerst op, dat ze om 12 uur elkaar bedekken. Dan, na 12 uur, gaat de minuutwijzer vooruit, en staat om 1 uur weer op 12, terwijl de uurwijzer op 1 staat. Tusschen 12 en 1 uur zijn ze elkaar niet voorbijgegaan, maar 5 minuten over 1 staat de minuutwijzer op 1 en de uurwijzer nog maar even verder, — en een oogenblik later staan ze boven elkaar. Hoe laat is het dan ? Precies om 1 uur maken ze samen een hoek van 30 graden; de uurwijzer legt per minuut 4°, de minuutwijzer 6° af, — zoodat de afstand elke minuut 5-|° kleiner wordt, en na 30 : 5.] - 5yy minuut is de afstand dus 0°. 't Is dus minuut over 1. Dat kan nu van uur tot uur worden uitgerekend. Om 2 uur is de boog tusschen uur- en minuutwijzer 6o°. Na 60 : 5J = 10}^ minuut is de afstand o°, en tusschen 3 en 4 is dit het geval na go : 5^, = 16,^ minuut over 3, tusschen 4 en 5 bedekken ze elkaar 120 : 5», = 21 ^ minuut over 4, enz. Andere vragen weer zijn deze: Wanneer maken de wijzers tusschen 12 en 1 een hoek van 300, van 6o°, enz. Om 12 uur is de hoek o° ; de minuutwijzer komt elke minuut 5-i0 voor, en de hoek is dus 30 : 5^ = 5-^ minuut over 12 gelijk aan 30°, om 60 : 5| = iojü minuut over 12 gelijk aan 6on, enz. Even voor 1 worden diezelfde hoeken nog eens wéér gevormd, of liever: precies om 1 uur is de hoek 30°, en 5^- minuut voor eenen 60". Een vraagstuk heel in 't algemeen is b.v. dit: Wanneer vormen de wijzers j en 6 een gestrekten hoek (d. i. een hoek van i8o° ; ze staan dan in eikaars verlengde)? Om 5 uur vormen ze een hoek van 1500 (5 X 3°°)! de hoek moet 1800 worden, dus 300 meer. 't Is dus het geval 30 : 5^ = 5$ minuut over 5. Wie echter op de klok kijkt, ontdekt, dat dit niet het geval is : de wijzers staan niet in eikaars verlengde. De fout, die er begaan is, is deze: de hoek is om 5 uur precies 150°, maar wordt daarna steeds kleiner, wordt dus niet 1800. Dat gebeurt wel, maar veel later. Te ongeveer half zes is de hoek o°, en tegen 6 uur is de hoek 1800. Wanneer precies? De minuutwijzer is 1500 achter, en moet 180° vóór den uurwijzer komen, moet dus 3300 meer afleggen dan de uurwijzer. Dit is 't geval na 330 : 5^ = 60 minuten over 5, precies te 6 uur dus. Wat ook in 't voren te zeggen was. En nu kan men, in rekenboeken, allerlei andere sommen phantaseeren, ook wel van klokken, waarvan een der wijzers verkeert omloopt, maar al die sommen kan men uitrekenen, als men de wijzers maar goed volgt, en de verhouding der snelheden in acht neemt. Dergelijke vraagstukken zijn echter voor de practijk van het leven waardeloos! Op examens geeft men ze op, helaas. We besluiten deze paragraaf met een vorm uit te werken, voornamelijk om de volgorde der bewerkingen nog eens onder de oogen te zien. Hoeveel is: 3.008 x M — '3-3 X u 25.083 + 33.5. H + $1 - ff X 5 °-5 x a6 5"a (Bartels, Vraagstukken en Vormen, 397.) Hoe berekent men dit? a) Allereerst 3.O03 X 7-4- dan 13.3 X Daar o.0o3 = öa» = ïïiï» 's 3-0o3 - 3¥^3 = 1£$>, en 't eerste product is dus VaY — (want de G.G.D. van 7400 en 333 = 37) = 200 __ 22$. Het tweede product is 13^ X 'i = %° X V = W = 14?,?. Het verschil is 222 — 143? = 7J4. De beide producten worden dus eerst berekend, en de uitkomsten van elkaar afgetrokken (zie § 31). b) Nu wordt berekend wat onder de lange streep staat, en wéér eerst het product: 75 y 16 ^ V y 16 = 3' X' 3 X 16 3 5i 31 v 31 4 X 16 x 31 4 Boven de streep staat dus 7^, er onder, 8| 3^ — | = il-jj', = 7ïj°0r> en de waarde van dezen vorm is 7]y> W 200 X 60 V1»' ~~ W ~ 27 X 705' We kunnen dit product herleiden tot een gemengd getal, maar doen dit niet, omdat we straks vermenigvuldigen moeten. c) 25.083 = 25^ - 25 ,^. De teller is dus 25 + 33^> = c «7 — 7 0 5 5öi 2 — 12 • d) o.5 — f, o.0 =| = f, en 't product | X 1 = '>?• Deelen we dit op dan hebben we W = 705X27 II 1° X '2. Vermenigvuldigen we nu b met d, dan hebben we 200 X 6° X 705 x 27 27 X 7°5 X 10 X 12 — '°°' § 98. Vraagstukken. 301. Iemand verkoopt zijne waren met 8 ft 0 winst op eiken K.G., en denkt nu f 934.20 te ontvangen. Er wordt hem echter 10 0 o niet betaald, hoeveel 0 0 verliest hij nu ? 302. Iemand heeft 2 soorten van rijst door elkaar gemengd, 50 K.G. van 22 ct., 150 K.G. van 16 ct. De eerste soort wordt met 10 ° 0 vermeerderd, de tweede met 30 °[0. Hoeveel 0 0 wordt het mengsel nu duurder? 3'ö3. Iemand wint 20 °|0. Indien de in- en de verkoop beide 25 gulden grooter waren geweest, zou zijn winst 6| °n minder bedragen hebben. Hoeveel bedroeg de inkoop? 304. 'emand verkoopt van een partij waren a 96 ct., \ van de rest a 99 ct., van deze rest voor 94 J, ct., en de rest voor f 1.08 den M. Als zijn winst 25 0 0 bedraagt, hoeveel °|0 won hij dan op elk gedeelte van de partij ? 305. De teller van een breuk wordt met 2, de noemer met 10 vermenigvuldigd; de waarde wordt nu gelijk aan t1.. Als de som van teller en noemer 187 bedraagt, welke breuk had men dan ? 306. In 1856 kon een stoomschip den, overtocht van Engeland naar Amerika maken in 9 dagen, 1 uur en 45 minuten, in 1866 in 8 dagen, 2 uur en 48 minuten ; in 1869 in 7 dagen, 22 uur en 3 minuten; in 1882 in 6 dagen 18 uur en 37 minuten, in 1889 in 5 dagen 19 uur en 18 minuten, in 1907 in 4 dagen en 22 uur, d. i. 23.61 knoop als gemiddelde snelheid per uur. Met hoeveel °|0 werd de tijd telkens verminderd? 307. Hoeveel K.M. is de weg over den Atlantischen Oceaan ? (Zie blz. 301). 308. Wanneer de zon 's morgens te 5.20 opkomt, wanneer is dan het 5e deel van den dag voorbij ? 309. Wat is het grootste getal beneden 1000, dat bij deeling door 9, 10 en 12 telkens 8 tot rest geeft? 310. Iemand moet een som geld betalen. Eerst betaalt hij ], daarna i van de rest, en eindelijk nog ] van de laatste rest. Als hij nu nog f 14.40 schuldig blijft, hoeveel was hij dan schuldig? 311. Tel te zamen : 16 M.3 -(- 0.0006 S. -|- 2.87 D.M.3 -f8^ H.E. -)- 4.4 d.M.3 -}- 3| M.3 en deel de som door 17 D.S. 312. In een aftrekking is het verschil 2; maal op den aftrekker begrepen. Hoeveelmaal is de aftrekker begrepen op het aftrektal ? 313. Het | van A's geld staat tot ? van B's geld als 20 : 27, en £ van B's geld staat tot J van Cs geld als 9 : 10. Als ze samen f 17-50 bezitten, hoeveel heeft elk dan? 314. A, B en C handelen samen. A legt f 3000, B f4500 en C zooveel in dat hij J van de winst ontvangt. Hoeveel 0 (l zal A van de winst genieten, indien C z'n aandeel verdubbelt? 315. A en B vertrekken tegelijk van een plaats naar een andere die 48 K.M. verder ligt. A legt per uur 6, B 8 K.M. af. Als B het van den. weg heeft afgelegd, rust hij 1 uur. Welk deel van den weg moet nog afgelegd worden, als B A heeft ingehaald ? 316. Aan den bodem van een vat, dat een inhoud heeft van 720 L. is een kraan en op de halve hoogte nog een. Beide kranen laten per minuut evenveel water wegloopen. Als het vat in 1 uur leeg is, hoeveel water loopt er dan per minuut door elke kraan ? 317. Een schipper vervoert draineerbuizen en tegels, voor resp. 1 en 4 cent per stuk. Bij beschadiging moet hij resp. 5 en 10 cent betalen. Als hij in 't geheel f 36.75 ontvangt, van elke soort 50 breekt en te zamen 5400 stuks heel overbrengt, hoeveel heeft hij dan van elke soort ingeladen ? 318. Twee getallen zijn samen 8, en ook het quotiënt is 8. Deel het verschil dier getallen door hun product. 319. Van A naar B vertrekken twee booten, de eene elke 3, de tweede elke 10 dagen. Als beide booten op zekeren Dinsdag gelijk vertrekken, na hoeveel dagen zullen ze dan op een Zaterdag weer gelijk vertrekken ? 320. Het quotiënt van twee getallen is maal begrepen op de som en 4^ maal op het verschil. Welke zijn die getallen ? 321. Een vader is 40 jaar ouder dan zijn zoon. Over eenige jaren is de vader 5 maal zoo oud als de zoon. Hoe lang duurt het, als de vader in dien tijd maal zoo oud is geworden ? 322. Twee kapitalen, samen groot f 1000, staan op rente uit; het kleinste tegen 4 0 0» het andere tegen 5 °|0. Het kleinste brengt per jaar f 1 meer op dan de helft van 't grootste. Hoe groot is elk kapitaal ? 323. Van 100 trekt men een getal af, van 174 dubbelzoo- veel. De laatste rest is maal zoo groot als de eerste. Welk getal trekt men van 100 af? 324. Herleidt de volgende getallen uit het 8-tallig stelsel in het 10-tallig: 7264. 3065, 12345, 67432. 325. Herleidt de volgende getallen uit het 10-tallig stelsel in het 12-tallig: 4325, 8967, 4862, 60084. 326. Een wijnhandelaar heeft 5 H.L. wijn a f 37.50 en 1 H.L. a f 50. Hij mengt er 25 L. water door, en verkoopt nu het mengsel zoo, dat hij 5^ n 0 wint. Hoe duur wordt 1 H. L. verkocht ? 327. A en B hebben samen 195 knikkers. Als A 5 knikkers aan B verliest, en dan in een winkel 25 knikkers koopt, heeft A | van het aantal knikkers van B. Hoeveel knikkers had elk ? 328. A moet over 8 maanden f 4500 aan B. betalen. Hij betaalt echter over 3 maanden reeds f 3000. Wanneer kan hij nu het andere betalen ? 329. Het voorwiel van een rijtuig heeft een omtrek van 25 d.M., het achterwiel een omtrek van 32 d.M. Op zekeren weg draait het voorwiel 5600 maal vaker rond dan het voorwiel. Hoe lang is de weg ? 330. Iemand moest een getal deelen door |, maar vermenigvuldigde met jj-. Als hij nu i| te weinig kreeg, hoe groot was het deeltal dan ? 331. Los x op uit: 7 : x = 3 : 5|. 8A : x = 5 : (x — 1). (x — 3) : 7 = (x -f- 3) : 17. (x — 3) : (x -f 3) = (x - 4) : x. 332. Herleid 86279 uit het 12-tallig in het 5-tallig stelsel. pPractisch Rekenonderwijs" xq 333- A, B en C kunnen samen een werk afmaken in 8^ dag. A alleen had 3'ih dag langer werk gehad. Als B li maal zoo snel werkt als C, hoe lang had B dan noodig om 't geheele werk üll-teen te verrichten ? En C f 334- Een ploeg werkvolk kan een spoordijk leggen in 120 dagen. Na 5 dagen komt een andere ploeg helpen ; alleen kan deze 't in 100 dagen. Na nog 5,5-1 dag komt een derde ploeg, die't alleen zou kunnen afmaken in 150 dagen. Na hoeveel dagen is 't werk nu gereed ? 335. Hoe laat is het, als tusschen 4 en 5 de uurwijzers een hoek maken van 150 graden ? 336. Wanneer staan tusschen 3 en 4 de wijzers in eikaars verlengde ? 337. Welk getal wordt met 8o^ verminderd, als men het door 53r,9 deelt? 338. Een automobiel gaat van A naar B met een snelheid van 45 K.M. en een ander met een snelheid van 55 K.M. van B naar A. De eerste rust onderweg 1 uur, de tweede rust 1 uur in A, en gaat dan terug naar B. Als de weg 137^ K.M. lang is, hoeveel komt de tweede dan later in B dan de eerste ? 339- Van een aftrekking is de som van aftrektal, aftrekker en verschil 130+. Als het quotiënt van aftrektal en aftrekker is, welke aftrekking heeft men dan ? 340. Trek van 66530 telkens 6653 af, tot er O overblijft. Beide getallen zijn geschreven in het 7-tallig stelsel. 341. 15 arbeiders kunnen een werk verrichten in 12 dagen; 20 andere arbeiders kunnen het doen in 8 dagen. Als 6 arbeiders van de eerste groep geholpen worden door 5 arbeiders van de tweede groep, hoe lang duurt het werk dan ? 342. De Franschen betalen per jaar en per hoofd 37.80 yen belasting, de Oostenrijkers 34.41, de Engelschen 32.18, de Italianen 28.46, de Duitschers 19.68, de Amerikanen 14.09, de Japanners 12.61 yen. Druk de belasting in Frankrijk uit in francs, in Duitschland in marken, enz. 343. De gemiddelde inkomsten bedragen in Frankrijk, Engeland, Amerika, Duitschland, Oostenrijk, Italië en Japan resp. 312, 360, 440, 247, 167, 140 en 60 yen. Hoeveel °|0 belasting betaalt men in elk land ? 344. Het gemiddelde uurloon in Japan bedraagt 6 sen. Hoeveel centime is dit, als 1 sen = 0.01 yen? 345. Van een partij waren waarvan het brutogewicht 1200 K.G. bedraagt, is 5-J 0 0 tarra. Als 5 °!0 van de waren onderweg bederven, hoeveel 0 0 van het brutogewicht bedraagt de tarra dan ? *) 346. A, B en C drijven handel. A legt f 2000 in en na 4 maanden nog f400. B legt f 1500 in, C f 1200 en na 2 maanden nog eens f 1000. Als er na 6 maanden f 495 verdiend is, hoeveel ontvangt elk dan ? 347. Hoeveel °!0 rente heeft men per jaar gemaakt? 348. A's geld verhoudt zich tot het geld van B als 5 : 7. C en D hebben samen evenveel als A en B. Hoeveel heeft ieder, als A i| maal zooveel bezit als C, en deze op 66 ct. na half zooveel heeft als 1) ? 349. A en B, die samen spelen, hebben met elkander 25 knikkers. A wint 33J °[0, en bezit nu 47^ °H van het aantal knikkers van B. Hoeveel 0 0 verloor B? 350. Een getal bestaande uit 3 gelijke cijfers, is geschreven in het 6-tallig stelsel. Als men hetzelfde getal geschreven denkt in het 5-tallig stelsel, en er aftrekt, blijft er acht en veertig over. Welk getal was het ? 351. Iemand betaalt 3 rekeningen. Op de eerste kort hij l) Brutogewicht : gewicht der waren met de verpakking ; tarra : 't gewicht der verpakkiig ; nettogewicht : dat der waren zonder meer. 2°j0, op de tweede, die f 10 grooter is, 3 °|0, en op de derde, die nog f 10 grooter is, 3^ °|0. Als de korting in 't geheel f 4.60 bedraagt, hoe groot is dan de eerste rekening ? 352. Zekere geldsom wordt verdeeld onder A, B en C. A ontvangt j1,. en f 40, B 3 maal zooveel en C f 80 meer dan de helft. Hoeveel ontvangt elk ? 353. Iemand moest een getal vermenigvuldigen met 6.08, doch zag de punt en de nul over 't hoofd en vergat «in te springen». Welk deel van het gevonden product had hij moeten krijgen ? 354. Bereken den intrest van f 1650, gedurende 135 dagen1), als het kapitaal uitstaat tegen 4^ °|0. 355. Iemand vereenvoudigde een breuk, maar nam den noemer 12 te groot, waardoor hij ? in plaats van 4 bekwam. Welke breuk was het? 356. Iemand heeft de 4 termen eener evenredigheid alle met hetzelfde getal vermeerderd en kreeg toen de valsche evenredigheid : 20 : 24 = 23 : 28. Welke was die evenredigheid ? 2) 357. Als de zon 'savonds te 6.15 ondergaat, welk deel is de nacht dan van den dag ? 358. Een getal bestaat uit 4 cijfers, die telkens met 1 opklimmen. Men neemt een ander getal, uit dezelfde cijfers bestaande maar in omgekeerde volgorde. Hoeveel verschillen die getallen ? 359. Hoeveel maanden, dagen, enz. is 0.333 jaar? l) 360. Iemand moet een getal vermenigvuldigen met 0.685, maar springt in plaats van 1 telkens 2 cijfers in. Hoereel maal wordt het product nu te groot ? ') In zulke vraagstukken rekent men i jaar op 12 maanden van 30 dagen. *) Maak hier gebruik van de eigenschappen der evenredigheden. 361. Iemand moet 2 getallen van elkaar aftrekken, doch plaatst den aftrekker 2 plaatsen te ver naar links. Als zijn antwoord op 32175 na goed is, wat was dan de aftrekker? 362. Van een vermenigvuldiging, waarvan de vermenigvuldiger uit 3 cijfers bestaat, is de waarde van het 3e gedeeltelijke product 50 maal zoo groot als die van het eerste en 20 maal zoo groot als die van het tweede. Als het product 2140 is, hoe groot is dan het vermenigvuldigtal, als van den vermenigvuldiger het cijfer der eenheden een 8 is? 363. A en B hebben samen f 2100. Geeft A ,lt van zijn geld uit en B |, dan houdt A 1-^ maal zooveel over als B. Hoeveel had elk ? 364. Een fort bezit levensmiddelen voor 55 dagen. Er vertrekken echter 480 man, waardoor de voorraad 22 dagen langer duurt. Hoeveel man bleef er over? 365. Op een feest zijn 3 maal zooveel mannen als vrouwen. Vertrekken er 6 mannen met hunne vrouwen, dan zijn er nog 9 maal zooveel mannen als vrouwen. Hoeveel mannen en hoeveel vrouwen waren er ? 366. De uurwijzer staat even ver over 8 als de minuutwijzer voor 7. Hoe laat is het? 367. Iemand geniet van zijn kapitaal jaarlijks f 40 rente. Ontving hij van -j van zijn geld | 0 n rente meer en van de rest 1 0 0, dan kreeg hij f 8^ meer. Hoeveel °j0 maakt hij van zijn geld ? 368. Een koopman verkoopt 0.7 zijner waren tegen f 6.90 en de rest tegen f 7.90 den H.L., waardoor hij I2| ° 0 wint. Indien hij de geheele partij op 30 H.L. na verkocht had tegen f 6.80 en de rest tegen inkoopsprijs, zou hij jl °j0 minder gewonnen hebben. Hoeveel won hij ? 369. A en B handelen samen. De inleg van A verhoudt zich tot dien van B als 2 : 3, en hun winst als 23 : 27. Als ze 4 °0 rente van hun kapitaal trekken, terwijl de rest van de winst gelijk verdeeld wordt, hoeveel °i0 won men dan? 370. Zeker werk werd door 60 arbeiders begonnen. Zij zouden het in 45 dagen ten einde kunnen brengen. Na verloop van zeker aantal dagen werden 18 arbeiders ontslagen en werd het loon der overige arbeiders met 15° 0 verhoogd. Als het geheele werk 57 dagen vereischte en f 5313.60 aan werkloon kostte, hoeveel ontving dan ieder der overgebleven arbeiders ? 371. Wanneer men bij den teller eener breuk 1 voegt, wordt de waarde der breuk = 1. Voegt men 3 bij den noemer dan wordt de waarde = ■§-. Welke breuk wordt bedoeld ? 372. Als men een getal vermeerdert met de som der cijfers, krijgt men 72. Welk getal is dat ? 373. Een vader is 28 jaar en zijn 4 kinderen 1, 5, 6 en 8 jaar. Over hoeveel jaar zullen de kinderen samen tweemaal zoo oud kunnen zijn als de vader ? 374. Wat is de G. G. D. van 123442 en 212443, als beide getallen geschreven zijn in het 5-tallig stelsel ? 375. Van een evenredigheid worden de 4 termen alle met hetzelfde getal vermeerderd, en nu krijgt men : 70 : 100 = 58 : 82. Welke evenredigheid had men? 376. Iemand verkoopt een partij koffie, waarop hij 10.4 °|0 wint. Als hij 4 °|0 heeft ingewogen. hoeveel zou hij dan gewonnen hebben, indien hij niet ingewogen had ? 377. A, 15 en C handelen samen ; hun aandeel in het bedrijfskapitaal is resp. 5000, 8000 en 13000 gulden. De winst is f4560, waarvan C f 1780 ontvangt. Als ze van hun kapitaal eerst eenige percenten rente ontvangen, en dan de rest gelijk verdeelen, hoeveel ontvangen A en B dan van de winst ? 378. Iemand koopt linnen en verkoopt het met 33^ °|0 winst. De verkoop bedraagt 4 maal zooveel boven f 4 als de inkoop er beneden is. Wat is de inkoopsprijs ? 379. In een kamer, lang 5.90 M. en breed 4.80 :VI., legt men een vloerkleed. Als de stof 75 c.M. breed is, hoe wordt het kleed dan 't voordeeligst gelegd, en hoeveel M. moet men bestellen ? 380. Hoeveel is £ 6.11.9 + £ 4.10.5 + £ 8.17.10? Hoeveel is J van £ 7.9.6 ? 381. Van 3 uurwerken loopt het eene elke 12 uur 2 minuten voor, het andere 3 minuten ; het derde loopt gelijk. Wanneer ze om 12 uur gelijk gezet worden, na hoeveel dagen zijn ze dan weer gelijk ? 382. Voegt men bij den teller eener breuk 14 en neemt men den noemer 4 maal, dan wordt haar waarde verdubbeld. Ook wordt de waarde verdubbeld door teller en noemer beide te vermeerderen met 45. Welke is de breuk ? 383. A's geld staat tot B's geld als 5 : 4. A wint f 400 en B verliest f 700, waarna de verhouding is als 18 : 11. Hoeveel had elk ? 384. Iemand koopt laken. Bij 't verkoopen meet hij y1,. in, en wint nu slechts 5 °|0. Hoeveel °|0 had hij gewonnen, indien hij niet ingemeten had? 385. Het | van den inkoop is 2| maal het J- van den verkoop. Hoeveel °l0 is er gewonnen ? 386. Tel te zamen : 0.8 A. -f ^ M.- -)- 7825 c.M.2 -f 3 d.M.2 -f 0.0000875 H.A. -f | M2. 387. Twee getallen zijn samen 50. Voegt men bij het grootste $ van het kleinste, dan is dit * van het grootste. Welke zijn de getallen? 388. A kan zeker werk verrichten in l dag, B in J dag, C in j dag. Als ze samen ^ van het werk afhebben, eindigt A; is er nog £ af, dan eindigt ook B, waarna C de rest afmaakt. Hoe lang duurt het werk nu? 389. Verdeel f 679.50 zoo onder A. B, C en D, dat A zoo dikwijls 5 als B f 6 ontvangt, B zoovaak 9 als C 10, en deze zoovaak 8 als D f 9. Hoeveel ontvangt ieder ? 39°- Ken koopman verkoopt van een partij suiker ^ op 20 K.G. na voor f 126 en tegen denzelfden prijs nog 1 en 8 K.G. voor f 72. Wat kostte 1 K.G. ? 391. Iemand koopt een baal rijst. Verkoopt hij de rijst, en rekent hij 2 K.G. voor den zak, dan wint hij 7.8 °j0 ; rekent hij den zak op 2\ K.G., dan wint hij 7} °0. Hoe zwaar was de baal ? 392. A, B en C spelen. Bij 't eerste spel wonnen 15 en C elk 25 °j0, bij het tweede verloren A en B elk 20 °|0. Elk had nu 1 100 ; hoeveel had elk in 't begin ? 393. De bevolking van een stad neemt elk jaar met 10 °0 toe; er zijn nu 10285 inwoners. Hoe groot was de bevolking voor 2 jaar ? 394. Ken partij koopwaren, die voor f 780 is ingekocht, wordt zóó verzekerd, dat bij het verloren gaan der partij de maatschappij 12 °j0 meer uitkeert dan de inkoop geweest is. De premie bedraagt 2^ °0. Hoe hoog is de partij verzekerd? 395. Iemand geeft van zijn geld uit en nog f 6.40; hij houdt nu half zooveel over als hij uitgaf. Hoeveel had hij ? 396. Iemand kocht gerst a f 4.75. Hij betaalde f 100, doch kreeg zooveel kwartjes terug als hij H.L. kocht. Hoeveel kocht hij ? 397. Elke 6 dagen vaart een boot naar A, elke 8 dagen naar B, elke 9 dagen naar C. Als ze op zekeren Zaterdag tegelijk vertrekken, na hoeweel weken zal dit dan weer op een Zaterdag geschieden ? 398. Aten heeft 2 vaten A en B. In A is 50 L. wijn van 60 ct., in B 20 L. van 50 ct. Men tapt uit A 10 L. en voegt het bij den wijn in B, en neemt daarna 6 L. uit B en voegt het bij A. Wanneer men dit laatste mengsel nu aanvult met 4 L. water, hoeveel kost dan 1 L. van het mengsel ? 399. Iemand verkoopt zijn waren met 7^ °0 winst. Hij zou meer gewonnen hebben, indien hij geen 4 0 0 overwicht gegeven had. Hoeveel °0 zou hij gewonnen hebben, indien hij 3 maal zooveel overwicht had gegeven ? 400. Twee arbeiders, wier arbeidskracht niet gelijk is, kunnen een aarden wal langs een sloot wegkruien in 6 uur. Als de kleinste echter niet meewerkt, maar daarentegen nog aarde uit de sloot werpt, is de wal weggekruid in 12 uur. In hoeveel tijd kan elk afzonderlijk den oorspronkelijken wal wegkruien? 8 »» Nog cenige verklaringen en opmerkingen. Blz. 5, opmerking 1. Het 2-, 3-en 4-tallig stelsel zijn onbruikbaar. Neem eens 50 erwten, en leg ze in groepen van 2. Er komen 25 groepen. Vereenig ze tot groepen van 2 X 2 ; er komen 12 groepen van 2 X 2 : de rest is 2. We hebben nu : 0 eenheden, 1 tweetal, 12 2 X 2-tallen, of o eenheden van de ie, I van de 2e en 12 van de 3e orde. Die laatste zijn gelijk aan 6 keer 2 X 2 X 2, of 6 eenheden van de 4e orde = 3 eenheden van de 5e orde = 1 eenheid van de 6e orde -f- 1 eenheid van de 5e orde, zoodat we hebben : 50 (10-tallig st.) = 110010 (2-tallig st.) Er zijn dus reeds 6 cijfers noodig om een klein aantal eenheden voor te stellen. Dat belet het onmiddellijk goed opvatten van het aantal; en daarom is het 2-tallig stelsel onbruikbaar. Een bezwaar tegen het 25-tallig stelsel is o. a., dat we dan te veel verschillende cijfers noodig hebben. In het 2-tallig slechts één, nl. 't cijfer 1, in het 25-tallig bijna zooveel als de letters van 't a b c. Ook wijzen we hierop : In het 10-tallig stelsel hebben we bij 't aftrekken steeds 18 — 9, 12 — 5, enz., maar dan : 43 — 18, 49 — 24, 36 — 19, enz. Moeilijker dus. Blz. 5, opmerking 3. Het 3e cijfer bevat eenige 100-tallen, het ie evenveel eenheden ; het verschil is eenige malen 100 — 1 = 99. Dat nu is 693 of 7 X 99- ' Cijfer der eenheden is dus 7, en 't getal was dit b.v. 797, of 8757, of 3717. Blz. 7. Behalve van miljoen en biljoen spreekt men ook dikwijls van een miljard of 1000 miljoen. Blz. 9. Absolute zekerheid : er is in 't geheel geen twijfel mogelijk. Blz. 9. Adspirant-kommies. Met kommies bedoelen we hier : ambtenaar bij de belastingen ; een cidspirant-kottimics: iemand die het examen voor kommies wil afleggen. Blz. 32. Neem eenige malen 8. Splits elke groep van 8 in tweeën ; dan heeft men groepen van 4. Elk veelvoud van 8 is dus ook een veelvoud van 4. De producten uit de tafel van 8 zijn 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80; die producten moeten dus 4-vouden zijn (in de tafel van 4 staan alleen de eerste helft). Neem eenige malen 4. Vereenig telkens 4 aan 4, dan krijgt men 8-vouden. Dat kan echter alleen, wanneer het aantal 4-vouden even is, dus bij 2 X 4. 4 X 4, 6 X 4. 8 X 4. 10 X 4; bij 7X4 blijft er 4 over. Elk 4-voud is dus geen 8-voud. Blz. 45. Een baal meel weegt 50 K.G., een zak lijnmeel b.v. Een baal rijst steeds 100 K.G., een baal vleeschmeel 50 K.G., een zak gerst 60 K.G., een zak rogge 70 K.G., een zak tarwe 80 K.G., enz. Zulke dingen moet men nagaan ook voor andere artikelen. Blz. 82, som 72. Zulke opgaven komen telkens in de dagbladen voor. Men teekene dergelijke zaken eens aan, als men ze vindt; ze zijn zeer leerzaam. De prijzen van 1 H.L. bier, enz. zijn uit den duim gezogen. Tracht de werkelijke prijzen gewaar te worden. Blz. 83, som 73. N. V. beduidt: naamlooze vennootschap, dat is: een handelsvereeniging zonder naam. No. 4, de Gebr. Van Heek, zullen te zamen een handelsvereeniging vormen, waarvan de naam der leden aangegeven is; dit is met no. 5 en 6, de leden der Enschedesche Katoenspinnerij,en van »De Bamshoeve*, niet het geval, die leden vormen een naamlooze vennootschap. In de dagbladen ontmoet men de namen van heel veel naamlooze vennootschappen. Katoenweverijen. Mij. is een verkorting van maatschappijn text. van textiel. Alle fabrieken, die zich bezighouden met het vervaardigen en bewerken van linnen en katoenen stoffen, behooren tot de textiel-industrie: de spinnerijen, bleekerijen en ververijen dus, maar ijzerfabrieken en aardappelmeelfabrieken niet. Blz. 84, som 74. Deze opgaven komen elke maand in de dagbladen voor. Ziehier een paar woorden verklaard : No. 1—4 zijn bekend, no. 5 : van de opbrengst der mijnen (steenkolenmijnen in Limburg) kwam f 910.23 in de schatkist; po. 6: invoerrechten : belasting, die aan de grens betaald wordt van sommige buitenlandsche producten ; no. 7 : bedoeld wordt: de opbrengst van het gezegeld papier, noodig voor verzoekschriften aan gemeentebesturen b.v.; no. 8—14 zijn belastingen op genoemde artikelen; no. 15: essaailoon : men onderzoekt van rijkswege hoeveel deelen zuiver goud aanwezig zijn in een of ander mengsel ; die proef, die keuring, heet ook essaai, en de onkosten: essaailoon, het werk essayeeren, de ambtenaar: essayeur; no. 16: zegelrechten : onkosten voor het zegelen van verschillende stukken; no. 17 en 18 : koopacten worden geregistreerd, d. i. in een der daarvoor bestemde openbare registers ingeschreven : na deze registratie worden ze overgeschreven ten hypotheekkantore ; no. 19: successierechten: belasting op erfenissen; no. 20: domeinen: grond, die aan het rijk toebehoort; no. 21—23 zijn bekend; no. 24: jachtacten kosten geld; no. 25, loodsgelden: een loods brengt zeeschepen de havens in, waarvoor gelden betaald worden aan het rijk, want loodsen zijn rijksambtenaren. Blz. 85, som 75 g. Neen, 't is niet zoo. De berekeningen leeren het trouwens ook. 't Komt daarvandaan, dat de 3 tijdperken, genoemd in d, e en ƒ niet alle evengroot zijn, nl. resp. 10, 10 en 9 jaar. In b vinden we van de totaalsom ; in d, e en ƒ resp. en J van de totalen voor de 3 tijdperken, en het 3e deel is niet gelijk aan het antwoord op vraag b. Blz. 89. In 1903: 1 H.I.. gerst = 12 pond eieren (12 X 32 ct. = f 3.84); in 1904 moesten de eieren kosten ^ X f 4-6o = 38.1 cent; in 1905 X f 4-65 = 384 cent. De eieren-prijzen gingen dus niet zoo sterk vooruit als de prijzen van de gerst; de kippenhouder had dus schade. Bladz. 95. Een woordenboek bevat een meer of minder volledige lijst van woorden, die in onze taal in gebruik zijn, met de beteekenis er naast. Wie veel leest (in een courant b.v.) heeft een woordenboek noodig, want talloos zijn de onbekende woorden en uitdrukkingen, die een ieder dagelijks onder de oogen komen. Elk boekhandelaar geeft inlichtingen omtrent de grootte en den prijs der woordenboeken. Bladz. 98. Pondcmaten : in Friesland in gebruik ; de grootte is 0.36.74 H.A. Een schepel is eigenlijk 1 D.L., maar in sommige streken is een schepel 25 L. Een mud heeft eveneens niet altijd de waarde van een H.L.; een oud mud aardappelen is b.v. in sommige streken 80 K.G.. een H.L. echter weegt 70 a 75 K.G. Bladz. 101. A. N. VV. B. : Algemeen Nederlandsche Wielrijdersbond. Bladz. 104. Een secondeslinger, de slinger, waarvan elke schommeling juist één seconde duurt. De lengte van den slinger hangt af van de aantrekkingskracht der aarde, en aangezien de aarde niet precies bolrond is, maar aan de polen is afgeplat, is de aantrekkingskracht niet overal gelijk en bijgevolg ook de lengte van den slinger niet. Een meridiaan. De aarde draait om een (denkbeeldige) as, de uiteinden daarvan noemt men de polen. Van het poolonderzock, van den noordpool en den zuidpool (X.P. en Z.P.), van pooltochten per schip, per luchtballon, leest men dikwijls. Over die polen trekt men cirkels, waarvan het middelpunt samenvalt met het middelpunt der aarde ; dat zijn groote cirkels, hier, over de aarde nl., meridianen genoemd. Men kan op een bol ook cirkels trekken, waarvan het middelpunt niet samenvalt met het middelpunt van den bol; deze cirkels zijn kleiner. De meridianen ziet men op vele kaarten ; ze loopen van 't zuiden naar 't noorden, en dienen om de ligging der plaatsen enz. aan te geven. Een copie, d.w.z. een meter precies gelijk aan die, welke in Parijs bewaard wordt. Blz. 106. Een bascule is zoo algemeen, dat ieder die wil, er een zien kan. Een veebascule is, meenen we, van andere constructie; ze zijn hier en daar, waar veel vee gewogen wordt, in gebruik. Blz. 113. Men heeft op elke gemeentesecretarie kaarten van de gemeente, waarop elk stuk grond is uitgeteekend. De geheele gemeente is verdeeld in secties, in afdeelingen ; elk stukje grond heeft een nummer, en zoo spreekt men van sectie B no. 534, sectie A no. 1213, enz. Op elke koopacte staan sectie en nummer vermeld. Blz. 135. a) 2758 M.:t -)- 632000 c.M.3 — b) 728000 d.L. f) 482 D.L. — d) 78 d.S. -f- 40 d.M.3 — e) 285000000 c.M.3 /) 84000 D.L. — g) 7840000000 c.M.3 Blz. 136, 40 C.: lees 4 graden Celsius. Wie dit niet begrijpt, neme een thermometer ter hand, en ga deze bestudeeren. Blz. 140. Een knoop 15 M. ? We vonden dit ergens, maar 't zal een vergissing zijn. Een stoomschip, dat per uur 25 knoopen aflegt, zou dan niet veel vorderen, hoewel een geregelde vaart van 25 knoopen nog bijna door geen schip bereikt werd. Een knoop is ^ uur = 20 min. = 1855 M. = 1 Engelsche zeemijl. Blz. 152. Op een bascule zijn de waren op de brug 10 maal zoo zwaar als de gewichten op de schaal. Staat er op de schaal 1 K.G. dan wegen de waren 10 K.G. Blz. 187. Coöperatieve winkelvereenigingen. Een vereeniging met een of meer winkels, waar de leden der vereeniging hunne inkoopen doen en de winsten en verliezen samen deelen. Contant betalen : onmiddellijk. Gedebiteerd: de afnemers zijn debiteuren, d. i. geld schuldig aan een handelaar. Blz. 188. De hulpmeststoffen hier genoemd, worden genoemd in een prijscourant van den handelaar in die artikelen. Over die zaken, en ook over al 't andere daargenoemd, raadplege men een boekje over landbouwkunde. Blz. 190. Transporten : vervoerkosten. Improductief: wat niets oplevert. Blz. 192. We kunnen hier wel zeggen waar al'die landen liggen (Brazilië, enz.), maar men zoeke ze op een atlas, dat is beter. Een ton heeft hier de beteekenis van 1000 K.G. Blz. 198. Inklaringen : dit heeft op binnenkomende schepen betrekking. Netto tonnen : de 'juiste inhoud der binnenkomende schepen, uitgedrukt in tonnen. Ken ton is nu een inhoudsmaat. De plaatsen enz. moeten op een atlas opgezocht worden. Blz. 281. Zich met een Jantje van Leiden van iets afmaken, met een Franschen slag, vluchtig. Blz. 287. Stoomschepen naar Amerika : zulke opgaven komen telkens in de dagbladen voor. Blz. 288. Draineerbuizen : steenen buizen een meter ongeveer beneden de oppervlakte van den bodem door gras- en bouwland gelegd voor de afwatering. Blz. 286—297. Opmerkingen over de vraagstukken 301—4.00. 301. Bereken eerst den inkoop. Ga dan nauwkeurig na van welk bedrag, (van in- of verkoop n.1.) 10 °0 niet binnenkomt. Het vraagstuk kan ook opgelost worden zonder gebruik te maken van de f 934.20. 303. De inkoop wordt f 25 grooter. Indien de winst 20 " 0 zou blijven bedragen, moest de verkoop ii X f 25 = f 3° grooter worden, want de verkoop is i-J- maal zoo groot als de inkoop. De verhouding van den verkoop —)— f 25 tot den verkoop —(— f 30 kan nu bepaald worden door de gegevens omtrent de winst. 305. Welke waarde had de oorspronkelijke breuk ? De eene bewerking maakt de breuk 2 maal zoo groot, de andere 10 maal zoo klein ; — wat is het resultaat daarvan ? Als de waarde der breuk bekend is, voeg teller en noemer dan samen. 308. In dergelijke vraagstukken rekent men dat 's middags te 12 uur de dag half om is. 309. Zoek het K.G.V. 312. Bedenk, dat het aftrektal gelijk is aan de som van aftrekker en verschil. Bepaal eerst hoeveelmaal het verschil begrepen is op het aftrektal. 313. Druk de verhouding van 't geld van A en B in geheele getallen uit, en maak daarbij gebruik van de eigenschappen der evenredigheden. Van B en C id. 314. Als C | van de winst ontvangt, dan ontvangen A en B samen hebben dus ook | van het bedrijfskapitaal ingelegd. Als C zijn inleg verdubbelt, wordt het kapitaal grooter. 316. De bovenste helft van het vat is 2 maal zoo spoedig leeg als de onderste, omdat dan 2 kranen werken. Bepaal daaruit, in hoeveel tijd de onderste helft leegloopt. 317. Bereken hoeveel de schipper ontvangen had, indiener niets beschadigd was. En dan : als 't alle buizen waren geweest, had hij f 55 ontvangen, (waarom f55.— r) maar nu ontvangt hij zooveel halve centen minder als er tegels zijn. 318. Het grootste getal is 8 maal het kleinste; de som dus 9 maal het kleinste. Het kleinste is dus 8:9 = $. 320. Maak vooral gebruik van de eigenschappen der evenredigheden. 321. De vader blijft steeds 40 jaar ouder. Er kan berekend worden, hoe oud de vader dus over eenige jaren is. 322. f 25 van het kleinste kapitaal brengt f 1 rente op: als het kleinste dus f 25 kleiner was, dan bracht het zooveel op als de helft van 't grootste. Daaruit is de verhouding der kapitalen te bepalen, in de onderstelling, dat het kleinste f 25 kleiner was. Hoe groot zijn ze dan samen ? 323. Maak vooral gebruik van de eigenschappen der evenredigheden. 328. Zie blz. 271. 330. Ga na hoeveelmaal het deeltal te weinig genomen werd, ■ 333. Ga in cleze, en in dergelijke vraagstukken, steeds na welk deel van het werk per dag verricht wordt. Konden A, B en C het werk samen af in 7 dagen b.v., dan doen ze per dag }; nu per dag ' == Ook kan nagegaan worden welk 1» gedeelte A alleen per dag verricht, en dus ook wat B en C samen doen. 337. Men deelt het getal door 5^, d. w. z. neemt er van 339- Uit het quotiënt van aftrektal en aftrekker kan men de verhouding bepalen tusschen het aftrektal en verschil. Van de 3 getallen is dan de verhouding hekend zoowel als de som. 346. A handelt met f 2000 6 maanden ; de intrest daarvan moet gelijk geacht worden aan dien van een kapitaal van 120X f 100 gedurende 1 maand. Bovendien handelt A nog 2 maanden met een kapitaal van f 400; de intrest daarvan komt overeen met dien van 8 X f 100 gedurende 1 maand, zoodat de geheele intrest van A's kapitalen overeenkomt met dien van 128 X f 100 gedurende 1 maand. Gaan we op dezelfde wijze ook B's en C's geld na, dan krijgen we 3 kapitalen, waarmee, onderstellenderwijs, 1 maand gehandeld wordt; de winst moet dan verdeeld worden in verhouding van de grootte der kapitalen. 347. Als iemand f 100 uitgeeft en na een half jaar f 110 terugkrijgt, is de winst per half jaar 10 °j0 ; per heel jaar dus 20 0 (). Hieraan moet gedacht worden. 348. Omdat A 1^ maal zooveel bezit als C, kan de verhouding van A en C worden uitgedrukt als 5:3, en die van A, B en C dus als: 5 : 7 : 3. 349. Uit de gegevens is de verhouding van het aantal knikkers van A en B na het spel te berekenen. Ook de som der knikkers is bekend. 350. Bereken eerst het verschil, indien er stond 111 (6-t.) — in (5 t.) = enz. 351- Als de rekeningen evengroot geweest waren, had hij op de 2e 10 X 3 ct- = 3° ct. minder mogen korten. En op de 3e ook eenige centen minder. Hoeveel was dan het totaal der kortingen geweest? Deze korting kan dan verdeeld worden in verhouding der percenten. 352. Schrijf zulke vraagstukken zoo op : A ontvangt j1,. en f 40, B > > >120, C » \ » > 80, dus te zamen ] jj en f 240. Daar dit het geheele bedrag vertegenwoordigt, is dit nu gemakkelijk te berekenen. 353. Wat is nu eigenlijk de vermenigvuldiger? Het gevonden product en het juiste product verhouden zich als de vermenigvuldigers. 356. De 4 getallen vormen samen geen evenredigheid. De termen zijn alle met hetzelfde getal vermeerderd ; daardoor blijft alleen het verschil der termen 'gelijk. Maak dus gebruik van de eigenschappen der evenredigheden, waarin gesproken wordt van het verschil der termen. 358. Het cijfer der duizendtallen is in het aftrektal 3 grooter dan in den aftrekker. Het verschil is daartusschen dus 3000. Ga dit voor elk cijfer na. 360. Zie no. 353. 361. Ga de verhouding na tusschen het getal dat hij moest aftrekken en dat hij inderdaad van het aftrektal aftrok. 364. Hoe kleiner het aantal manschappen, hoe langer de voorraad duurt. De tijd is omgekeerd evenredig met het aantal manschappen. De tijden verhouden zich als 55 -.77 of als 5 : 7, het aantal manschappen dus als 7 : 5. 365. Druk de verhouding beide malen uit door middel van een evenredigheid, en maak dan gebruik van de eigenschappen der evenredigheden. Bestudeer ook blz. 278 en vraagstuk no. 303. „ Pk Attisch Rekenonderwijs" 2o 367. Van hetzelfde type als waarover gesproken wordt op blad/. 274. 368' Als voren. Bereken dan den inkoopsprijs, en ook den gemiddelden verkoopsprijs, indien aan de tweede voorwaarde voldaan wordt. 369. A krijgt van de totale winst ?•>, B Van die getallen wordt hetzelfde getal afgetrokken (de rest van de winst n.1.) en nu verhouden zich de resten als 2 : 3 (de intresten van het aandeelenkapitaal). Zie ook no. 323. 372. Ga eerst eens na hoeveel 10-tallen er moeten zijn. Dan is 't getal -f- 't cijfer der eenheden = 72 — . . . ? 373. Druk de gegevens van het vraagstuk uit in den vorm van een evenredigheid. Neem het aantal jaren = x, dan heeft men, omdat de kinderen nu samen 20 zijn, (28 -f- x) : (20 -|4x) =1:2, enz. 376. Welk gedeelte wordt weer verkocht ? Dat gedeelte levert .... maal den inkoopsprijs op. Bereken den verkoopsprijs, als alles verkocht was. 377. Merk op, dat A en B samen zooveel ingelegd hebben als C, en dat de intrest van hun kapitalen dus gelijk is aan den intrest van Cs geld. A en B ontvangen echter f van de rest der winst, en C J. 378. De verhouding van in- en verkoop kan uit de gegevens afgeleid worden. Als de inkoop a gld. beneden f 4 is, dan kan die verhouding ook zoo worden aangegeven. Een evenredigheid dus. 379. Ga na wanneer 't minst weggeknipt wordt. Men bestelt geen gedeelten van een M. 380. Met £ 6.11.9 wordt bedoeld: 6 £. 11 s. 9 d. 382. De waarde wordt verdubbeld, als men den noemer met 4 vermenigvuldigt. Vermenigvuldigt men dus den noemer met 8, dan blijft de waarde der breuk gelijk. Daarom is ook de teller met 8 vermenigvuldigd, d.i. met 14 vermeerderd. Daaruit is af te leiden hoe groot de teller was. 383. Zie no. 365. 387. Nadat het grootste getal vermeerderd is met $ van het kleinste, is de som nog 50. Ook de verhouding is bekend. 388. Zie no. 333. 't Is nu echter niet: welk deel wordt er in I dag afgemaakt, maar hoevaak zou het werk verricht kunnen worden, als den geheelen dag gewerkt werd? A kan het 3 maal doen, B 4 maal, C 3{ maal, samen 10J maal. Het werk geschiedt dus door A, B en C te zamen in - , = -A dag. io2 " 391. Tracht de gegevens uit te drukken in den vorm van een evenredigheid. 394. De partij is verzekerd voor f 780 -f- 12 °0 -f- 2| °|0 van de verzekerde som. Daarvan is dus f7804- 12 °|0 = 97^ °!o* 400. Ondersteld wordt, dat het wegkruien evenveel arbeid kost als het omhoogwerpen uit de sloot. Als de sterkste arbeider 6 uur gewerkt heeft, zou de wal weggekruid zijn, indien de kleinste had meegeholpen. Nog 6 uur werken kost het nu, en dan verricht de grootste zooveel werk als de kleinste in .... uur. Antwoorden. 1. 68 m. 307 d. 902 143 in. 265 d. 867 324 m. 616 d. 284 200 m. 800 d. 609 3 ra. 50 d. 678 28 m. 463 d 841 32 ra. 6 e. 1500 m. 6 e. 2000 m. 3085 m. 679 d. 841. 2684 m. 673 d. 410. 123 m. 456 d. 789. 2. Het verkeer tusschen de landen onderling maakt het noodig, dat aan zeker getal overal dezelfde beteekenis wordt gehecht. 3. In 't 5-tallig stelsel is het grootste cijfer 4; 5 eenheden vormen een eenheid van hoogere orde. 4. I eeken aan welke groote getallen ge b.v. bij 't lezen der courant ontmoet. 5- Begon men bij het optellen met de honderdtallen b.v., dan zou het cijfer der honderdtallen gewijzigd moeten worden, zoodra het bleek, dat het aantal tientallen meer bedroeg dan 10. Dat wijzigen, doorhalen, voorkomt men door rechts te beginnen. Irok men de honderdtallen eerst van elkaar af dan zou men niet meer kunnen »leenen«, als dit noodig mocht zijn bij het aftrekken der tientallen. 6. Om vlug iets te kunnen verdeelen, verdeelt men tegelijk zooveel eenheden als mogelijk is. Daarom begint men bij de eenheden der hoogste orde. 7. a) Neen. Wil men 7 X 68 vermenigvuldigen, dan moet men rechts beginnen, indien men 't antwoord in eenen wil opschrijven. Zie ook no. 5. fi) Ja. Vermenigvuldigt men 52 X 631, dan neemt men, alles onder elkaar schrijvende, eerst 2 X 638, dan 50 X 638; 't kan ook andersom. 8. Men schrijft de 7 ; de 18 tientallen worden bij de tientallen opgeteld. 9. Neem een aantal voorwerpen, verdeel ze in groepen, en schrijf 't aantal eenheden van elke groep op. Vorm dan nog telkens andere groepen ; 't aantal voorwerpen blijft gelijk. 10. Een veelvoud van 100, van 1000, e.d. 11. Men houdt nooit 15, hoogstens 9 over. 12. Neem een voorbeeld : 7 X 11. Dit is 7 X 10 en 7 X '• Nu is 7 X 10 = 7 X 5 X 2 ; de eenheden kunnen gelegd worden in groepen van 2: 't product 7 X 10 is dus even. Daar moet bij opgeteld worden 7 X i, d. w. z. een getal, waarvan de eenheden niet in groepen van 2 kunnen gelegd worden. Daarom is 7 X 11 oneven. In 't algemeen : 't product van 2 oneven getallen kan gesplitst worden in twee andere producten, waarvan t eene even en t andere oneven is. De som is dan steeds oneven. 13. Beide zijn deelbaar door 2 ; 't product steeds door 2X2 = 4, B.v.: 12 X 18 = 2X6X2X9 = 6 X 9 X 4 (zie § 28). 14. Beide zijn deelbaar door 2 ; een der beide door 4 ; 't product door 2 X 2 X 2 = 8. 15. Ken der factoren is steeds even ; een er van steeds deelbaar door 3, 't product door 2X3=6. 16. Met 2 -f- 1 = 3. 17- Met 7 -f 6 + 8 = 21. 18. Die van de eerste rij op resp. minstens 2, 3 en 3 ; die van de tweede rij op 5, 5 en 7 nullen. 19. 1 dozijn = 12 handdoeken. I11 een pak zitten 2; doziin. Ineen kist 16 pakken. Er zijn 82 kisten verzonden. 20. a) Eerst 16 vermenigvuldigen met 25; dit product met 28 en 33. b) Eerst 50 vermenigvuldigen met 4 of met 72 ; 't laatst met 37. c) Eerst 8 X 125- d) Eerst 24 X 25- c•) Eerst 5X8; dan is 't om even. 21. 12 x 50 = 6 x 2 X 50 = 6 X 100 (zie § 28). 22. Men kan de factoren van een gedurig product in twee groepen met elkaar vermenigvuldigen; de eene groep bestaat uit de factoren van den deeler, de andere bestaat uit de overige. Zie nu blz. 71, onderaan. 24- Ja. 25. 12006157 ; 324672000 ; |50050;200220; 1000002000300025 26. 3862798 h. en 40; 165620 I1- en 73 ; 3865790 h. en 80; 200000 h.; 380062 h. en 70; 268040 h. en81. 27■ ") 5555 biljoen 555555 miljoen en 555555 ; b) 666666 miljoen en 666666 ; c) 99 triljoen 999999 biljoen 999999 miljoen en 999999; mi biljoen 111166 miljoen en 666666. 28. 13212; 166650; 144000; 636363630. 29. Om vergissingen te voorkomen. 30. (24 + 12) — (29—24). 31. Wanneer het aantal eenheden van de verschillende orden in het aftrektal telkens grooter is dan in den aftrekker. I11 een optelling : wanneer de som der eenheden van de verschillende orden telkens hoogstens 9 is. 32. (26-10) X O2 + 15)- 33. Wanneer men een getal met 25 vermenigvuldigt, kan het antwoord nooit eindigen op een 6 (steeds op een o of een 5). — 2450. 34. 999999 miljoen en 999999. 35- Schrijf achter den deeler resp. i en 2 nullen, en vergelijk 220480 5375&08 dit getal dan met het deeltal. ( 522240 17512200 36. Wanneer de rest o is. 592360 51840000 37. Indien de rest grooter 52- 64800 148500 was, zou het quotiënt 1 of meer 1 83232 2520000 grooter~moeten zijn ; als 't quo- '93°39 272000 tiënt goed is, moet de rest kleiner 823176 41600 zijn dan de deeler. j 24742371216. 38. (192 : 12) : (96 : 12). 1 3377544768. ■39. Uit 5 of 6. 16137471052. 40. Uit 5 of 6. ; 2446171380 41. «) 463778 é) 1137776 54- 900000 12000000 b) 455447 ƒ) 482375 206976000 600000000 c) 151525 g) 1084947 999000000 4200000000 d) 594587 h) 7125804 93600000 129600000 42. 65534. ( 55. 25277856 16681600 43. 88572. 17490354 12423600 j 54662400 1530096000 44. 488280. I 192780000 1200520056 45. 8160. 56 52525440 minuten. 46. 19530. 57. 3678400 seconden. 47. 29816—8811—199966. sg. 99613696. 98693 — 6569 —176153. 166702 _ 3023 - 17126. 59- 600960314. 48. 18626 9023 6o' 46379 kwartjes. 29062 16602 61. 38524 stuivers. I2ot' 292497 62. 406920 dubbeltjes. 79883 227302 ' 9785 69154 63. 125 centen. 60249 397386 64. 10 kwartjes. 49. 118080. 65. f 1.35. — f2.60. — f180.25. 2683A. 2,5o6 66. 181392, 120928, 90696, 80197 72556 (rest 4), 60464, 51826 (rest 37i46* 2)> 45348, 40309 (rest 3), 39894 278752. (rest 8)' 2Ó596 (rest 8), 19947 ' (rest 8), 15957 (rest 26). 7598 (rest 50. Men cijfere tot er niets 62), 11398 (rest 20), 1114 (rest overblijft. j 112), 598 (rest 280), 525 (rest 334), 51. 53312 9781440 1409 (rest 52). 67. 51. 21. f 250.915.59* 22. » 118.494.00 * 25. » I27.679.23i 69. 17560. f 4 joo.663.28 70. 425. Vermindering: 71. 134400,37800,32256,41236 5. f 910.23 (rest 192), 57600, 48600, 113400, I5. > 7.I9 64800, 100800, 4'472. 19. » 899.502.33,1, 72. Ruim f 40.14. 23. » 476.24 ^ ,11 ' 24. » 717.00 7;. a. De antwoorden kloppen. I r „ . b. Vermeerdering der spil f901.612.99i len resp. 1148, 2604, o, o, o, o, f 4.100.663.28 1000, 9000. Vermeerdering der » 901.612.99i weefgetouwen resp. 306, 54, 195,6, f 3.199.050.28^ 6, o, o, 40,0,60, 70, 28, 69,0, 138. c. f142079340. I f 71-817.975.21 { » 3.199.050.28^ 74. a. De antwoorden kloppen. f7; 017 02 < aq\ b. f4.385.366.09^ van 1906 ' en f4.225.005.82i van "1905. 7S" Het totaal klopt- c. f70.631.659.40van 1906, 1 1 5-213.298.13i. en f 67.592.969.38^ van 1905. c. 't Verschil tusschen d. De som van b en c is 1849e!! i85obedr. f 3.751.394.32}, gelijk aan a. \ ^50 » 1851 » » 617.301.84} e. Vermeerdering: ^51 » 1852 » » 1.882.698.15ï 1. f 123.667.72 1852 » 1153 » » 69.399.34" 2. » 164.163.62-i 1853 » 1854 » » 5.874.741.63 3. » 380.315.58.1 1854 » 1855 >. » 3.903.745.65 4. 156.400.95J 1855 » 1856 > » 4.983.849.61-i 6. » 431.138.05l 1856 » 1857 » » 11.526.720.96Ï 7. » 713.25" |I857 * '858 » » 11.802.783.9Ü 8. » 1.174.096.75,* i 1858 > 1859 » * 15.455.637.28| 9. » 60.133.36 1859 » 1860 » » 18 759.171.43 10. » 380.891.98^ j 1860 » 1861 » » 635.549.52 11. » 17.952.50 : I 86 I > 1862 » » 13.127.250.93^ 12. * 25.Oi2.48i 1862 » 1863 » >20.581.696.35 13. » 231.620.55 I 1863 » 1864 » » 7.956.688.41}, 14. t 14.619.76 1864 » 1865 » «II.356.280.68i 16. » 189.735.96 1865 » 1866 » > '..347.793.87 17. » 209.072.33 1866 » 1867 » 17.834 621.13} 18. » 23.496.49 I 1867 » 1868 > » 4.084.984.24 20. » 20.543.08i | 1868 » 1869 » » 2.703.640.61 't Verschil tusschen i8Ó9en i87obedr. f 467.251.00 1870 » 1871 » > 2.336.053.344 1871 » 1872 » » 9723.900.34i 1872 » 1873 » » 9.967.891.00 1873 > 1874 » » 116.884.00 1874 » 1875 » » 12.567.106.00 1875 » 1876 > » 20.411.685.00 1876 » 1877 » » 400.000.00 d. Van 1849—1858 : f 12.924.124.21 e. Van 1859—1868 : f 20.531.042.41 ƒ. Van 1869—1877 : f 11.848.219.96 g. Neen. Waarom niet ? h. Van 1849—1853 : f 6.840.698.36 1854—1858 : f 19.007.550.06 1859—1863 : f 18.054.105.75 1864—1868 : f23.007.979.07 1869—1873 : f 13-595-543-13 1874—1877 : f 9.664.066. Neen. Zie g. 76. 1 man f 6, 1 vrouw f 7. 77. Het verven f 42^, het smidswerk f 67^. 78. 24 brooden. 79. 21 koeien, 33 schapen, 69 lammeren. 80. De eerste heeft 76 cent voordeel, de laatste 76 cent schade. 81. f 2.40. 82. f 2. 83. Na 105 dagen. 84. A f 6, B f 12, C f30. 85. 180 postzegels. 86. f 3. 87. f 1600, f 1400 en f" 900. 88. A f8.50, B fio, C f13.50. 89. 140 geldstukken. 90. 7 tarwebrooden. 91. f 12.50. 92. f 12.96. 93. 5 biljetten van f10,9 van f 25. 94. f 65 en f 15. 95. f 27.04. 96. f 20.47J. 97. f 51. 98. 66660. 99. 96 en 154 eieren. 100. A f 81, B f 54, C f 36, D f 24. 101. f 90 en f 50. 101. A f 60, B f 48. 103.' 16579. 104. 12 en 88. 105. 10175. 106. f 9 en f 15. 107. 744689498. 108. 25120. 109. 800. 110. 256. 111. 7280 M., 324000 M., 2700 M., 35 M., 628 M., 732 M. 112. 285700 c.M., 381000 c.M., 2600000 c.M., 2620000 c.M., 853 c.M., 720 c.M. 113. 780 H.M., 382 H.M., 280 H.M., 22000 H.M., 320 H.M., 720 H.M. 114. 860, 8600, 86000, 860000, 8600000, 86000000. 72800 en dan telkens 1 nul meer. 755 en dan telkens 1 nul meer. 820 en dan telkens 1 nul meer. 727 en dan telkens 1 nul meer. 53 en dan telkens 1 nul meer. 115. 3283i942d.M.74Ó52od.M. 297748 M.87360000 m.M.224620 M. 25026025025 c.M. 116. 728 K.G., 2300 K.G., 78 K.G., 4380 K.G., 432000 K.G., 3800 K.G. 117. 378000 D.G., 28000 D.G., 6780000 D.G., 78 D.G., 72000 D.G., 248 D.G. 118. 1000000 c.G., 10000 c.G., 100000 c.G., 1000 c.G., 100 c.G., 100000 c.G. 119. 627 en dan telkens 1 nul meer. 728 en dan telkens .1 nul meer. 32800 en dan telkens 1 nul meer. 600 en dan telkens 1 nul meer. 7280 en dan telkens 1 nul meer. 7000 en dan telkens 1 nul meer. 120. 306200 G., 12o8o62od.G., 2000007800000 G., 2222200 G., 314040130 m.G. 328705 G. 121. 782000 L., 3860 L..726L., 580 L., 384400 L., 52680000 L. 122. 280000 d.L. 3840 d.L., 4867 d.L., 200000 d.L., 4800 d.L., 68200000 d.L. 123. 2800 H.L., 38460 H.L., 8400 H.L., 280 H.L., 348 H.L., 28467 H.L. 124. 8650 H.L. en dan telkens een nul meer. 24 H.L. en dan telkens een nul meer. 2300 H.L. en dan telkens een nul meer. 286 H.L. en dan telkens een nul meer. 782 H.L. en dan telkens een nul meer. 125. 84848484 L. — 73823718 c.L. — 286702844683 m.L. — 86248624 m.L. — 282800308 m.L. — 858780780 m.L. 126. 1.56.40 H.A. — 0.05.12 H.A. — 10.44.48 H.A. 127. 1488 c.M.2 — 1064 c.M.2 — 522 c.M2. 128. 48 d.M.2 — 1984 c.M.2 — 32640 m.M.2 129. 1440 M.2 —360000 M.2 — 19500 M.2 130. 1032000 steenen. — 1680000 steenen. — 8000000 steenen. 131. 78000000 M.- — 28 M.2 — 382000 M.2 — 28000 M.2 132. 2 8000000000000 c.M.2 — 7800 c.M.2 — 78400000 c.M.2 — 38200 c.M.2 133. 880 A. — 78 A. — 28000 A. — 78000 A. 134. 840000000 c.M. ' en dan telkens 2 nullen minder. — 270000000000c.M.2 en dan telkens kens 2 nullen minder. 78200000000 c.M.2 en dan telkens 2 nullen minder. — 7040000000 c.M.2 en dan telkens 2 nullen minder. — 20000000 c.M.2 en dan telkens 2 nullen minder. —800000000c.M.2 en dan telkens 2 nullen minder. 135- 684003872 d.M.2 —} zou men noodig hebben 11 gew. 846700106660 d.M.2—845800023 van 25 K.G., 10 K.G., 5 K.G., 2 M.2 _ 616720080168 d.M.2 — K.G. 168016968c.M.2 — 22000002c.M.2 I ,r „ ,r _ IT„ 147. 5 K.G., 1 K.G., 2 H.G.— 136. 720M.:,,900M.8,i440M.:t 2? K.G., 10 K.G., 2 K.G., 1 K.G., 137. 280 d.M.3, 36 d.M.3. 2 H.G., 1 H.G., 1 H.G. — 5 H.G., 320 d M 3 1 H.G., 2 Ü.G., 5 G. — 2 H.G., ' ' o M, , I HG., 2 D.G., 1 D.G., 1 D.G. — 138. 1800 c.M. , 9216 c.M.' , 5 K Q 2 K G > 5 H G 5 ÜG| 24576 c.M. 2 D.G., 1 D.G., 5 G. — 2 D.G., 139. 540 L. 144 I- 195 I- , D.G., 1 D.G. 140. 672 c.L. 728 c.L. 1200 c.L. „ 0 T_ .t „ , „ ^ ' ' | 148. 38 K.G., 25 H.G., 678 141. 12000000 c.M.3 35000 h.g., 430 K.G., 15 K.G., 825 D.G. cM.:i 8000 c.M.3 2000000000c.M.3, „ o „ 149. 10 L. 5 d.L. 142. 780 M.3 28000000000000 m.M.8 3860 M.3 86000000000M.3 150. 25 c.L. 143. 2000 m.M.3, 2000000000 !-!. 5 d.M. m.M.3, 72000000 m.M.3, 310000000000000 m.M.3 152- f 135.62J. 144. 280000000 c.M.3, 280000 153. f 36 H.L. d.M.3, 280 M.3 — 32000000000 G c.M.3, 32000000 d.M.3, 32000 M.3—8600000000c.M.3, 8600000 155- 5775° G. d.M.3, 8600M.3 — 22000000c.M.3, [ 56. 1 M.2 22000 d.M.3, 22 M.3.— 80000000 | " , „ c.M.3, 80000 d.M.3, 80 M.3 - 'S7- 20000 d.S. 7800000000 c.M.3, 7800000 d.M.3, 158. 5 M. 7800 M.3 159. 1 1.80. 145• 882222 c.M.3, 86541600 l6o_ 2o duivers en 60 halve c.M.3, ioiooiod.M.3,72000072072 ; stujvers M.3, 4422 M.3 ' 146. 25 KG., 5 K.G. 1 K.G., | '6l- 400 M- 2 H.G., 5 D.G.—25 K.G., 10K.G., 162. f 330. 2 K.G., 1 K.G., 5 H.G., 1 H.G., g, ... 5 D.G. — 2 H.G., 5 D.G. — 1 K.G., 2 H.G., 1 H.G., 1 H.G., 5 D.G., i64- 189. 2 D.G., 1 D.G.,.i D.G.— 10 K.G., 165. 4320 c.M.2 5 K.G., 2 H.G., 1 H.G., 1 H.G. — 0 . ,r r ^ n . 166. 1.05.40 H.A. 292 K.G. weegt men alleen met 3 ^ de bascule; zonder een bascule 167. 38894 cijfers. 168. 7 d.M. 169. f 1280. 170. 3 d.M. 171. 4 uur 20 min. 172. 1 H.A. — 2250 M.2 173. 8 cent. 174. 10. 175. 1 d.M. 176. 494.8763, 82.40627, 652.5537- 4-26472. 177. 13.28,2.141,1.196,60.861 3I5-I. 178. 102.01721, 0.817938, 0.11927, 4859-69151373- 19-7812, 479°:1524- 179. 14.8578, 15-32, 2.92837, 7.8249, 5-70I47- 180. I391.535, 643.75625, 1.0496, 0.05516. 181. 42.16, 451.074, 28970.24, 453.0834, 19441.16, 0.196, 4.732, 274.512, 0.15036, 2347.4588. 182. 258.4, 3926.2, 2230.88, 4148.091, 1462.4356, 156.8. 448.9, 238.56, 26.448, 1.6395. 183- 9-345, 233.856, 532.224, 148.6848, 1550.1486, 326,592, 0.32256, 0.198942, 13.09608, 0.1676493. 184. 216.87, 2.357, 0.36281 (rest 0.00009), 3.1786, 0.8067, 6.3, 564.6, 9.8, 5000.5, 75000. 185. 0.6846, 4862000, 0.4, 0.2684, 4862, 40.4, 207, 41, 40.1, 0.046. 186. 5.07,30.9,6.8, 5.07, 200.8, 2.5, 4460, 25, 0.025, 468. 187. 312,0.936,0.10816,608.4. 188. 491.3 d.M.:i 189. 6.0896 M.- 4.6916646328 H.A., 52996.30684 c.A., 00568176762 H. A. 190. 2000. 191. 4.95 M.2 192. 3067.93358627 d.M.;t 193. 44.2 M.- 194. 0.075. 195. 8800 c.M.:!, 7.83284 A., 11646 L., 48291.67 c.A., 3998.68674 G. 196. Ruim 53 c.M. 197. 150 K.G. 198. 0.000001,0.1,000000001, 0.00000001, o. 1. 199. f 5.95. 200. f 2450. 201. 28 °|0. 202. Bijna 20.9 0 „. 203. Ruim 61.2 °(0. 204. Ruim 120.5 0 o- Ruim *4-i V 205. Voor Amsterdam 41 °J0, 16.4 °0, 8.3 °0, 24 °;0, (alle ruim). Voor Rotterdam 26.1 ö0, 37.6 °!0, 44.4 °0, 28.8 ü„ (alle ruim). 206. 42.8 °0, 47.8 «i(), 40.5 °0, 30.4 29.3 «>(). 207. Met 598 °1(). 208. Ruim 47 0 () mannen en 53 0,, vrouwen. 209. 54 o|0, 64 <»j0. 210. 220 " 131 °u. 211. 109 o|0, 43 " 0. 212. Met 0.7 °;0, met 20.3 °j0. 213. Met 27 °|0. 214. Noord-Brabant, Gelder- land, enz. met resp. 36 0 0, 48" 0, 92 V 95 °i0' 32°|«, 6i„, 37 O J.8 0 ^ ^ 7° 0 XA 0 o' 4° o' ->-> o> f ~ o' o*t o* 215. f 4Si. 216. 7°i0. 217. f 1153-94- 218. f 30263.02.I. 219. f 153.38. 2CO. f 84.15. 22 1. f 179. 222. f 2764.50. 223. f 43.15. 224. 630. 225. f 450. 226. f 7IO.— f 298.20. 227. f 55- 228. Met ruim 0.033 0 (r 229. 10 jaar. 230. Ruim 5.206 °i0.' 231. Ruim 6.97 °0, ioo°0. 232. f 2500. 233- '4 °o- 234- 4 °o • 235. f 1000 en f 500. 236. Ruim 9.7 237. 12 jaar na het eerste. 1 28 I ^ /V - J ° • 1 - •> 0' 239. f 1431-75- 240. f 10. 241. \\, 2\, 5|, 18,-',, 3f, 3 3 l\; ■ 242. 7if. 14?. I7i> 48^7,94§> loTïï ,,, 5' '37 ^75 'J_8 -43 • > y r > y 48 69 1J2 IJÓ 9 ' 3 2i 166 1553 1945 ""44* _ - > ~ > J f 25 6 4 565 2914 104857 2 ' 7 ' 125" " 245. De teller wordt 750,625, 175, 60, 96, 580, 975. 246. De teller wordt 105, 168, 133, 182, 250, 246, 30. 017 __7 _3 *"+/• 2 8' 12* \« bjJÜ J « 8 4 & •"+ ' f»0 4 2 '* 2 — (» — 12 12 2 4 4 2 8 4 is :t t; «:* 12 ♦> 671 loo:>' 249. 12 = 2-' X 3- —24 = 2a X 3- — 64 = 2b. — IOO = 22 X 52- — 200 = 2» X 52- — 450 = 2 X 3* X 52- — 504 = 2:1 X 32 X 7- — IOOO = 23 X 5a- — '26o = 22 X 32 X 5 X 7- — 4096 — 212. — 25200 = 24 X 32 X 52 X 7- — 1000000 = 2" X 5(i- — 2387 = 7X11 X 31. — 3294 = 2 X 3' X 61. — 884 = 2! X 13 X 17- — 999 = 3:i X 37- — 9999 = 32 X IIII. — 726 = 2 X 3 x 112.-3528 = 2» X 32 X 72- — 2756 = 22 X 13 X 53- -1275 = 3 X 52 X 17-— 2304 = 2S X 32- — 2401 = 74. — 15618304 = 2« X 132 X I92- 250. 5, 4, 17, 12, 16, 25 — 34. 5. 6, 9> 4, 4- 251. 72, 270, 51, 38, 51, 203. onderling ondeelbaar, '), id. id., 2, onderling ondeelbaar; id. 252. 975. 744, 175. 2100, 220, 198, 672, 31380, 240,2520, 1800. ') Hebben geen gemeene deelers. 253. 3°. 360. i/o, 240, 480, 150, 204,0435, 19800, 810, 35640, 32256. 254. 40, 2, onderling ondeelbaar, 50, 12, 84. 255. 60, 60, 210, 504, 990, 396, 600, 4320, 27000, 81000, 23040, 16800. 256. ■[, en A; en ; § en « ; 3.0 en |i . ^ 0 en ; |{; en 1s 2.0 en 21- 2 5 21» ~n v*" H 0 ' L'4> '.'4 ' 2 4 ' 30» 30 C" » • 3» O 22 a en 5 .Si) • 3 52 15 C, 0 311 ' 3(i0' 3li(I 360 ' 3 <» fi' 3!» li en ) B:i • J £ 1 •' pn 14- 2 7 75 396 ' lili' liti c" (ili ' 180» ISO en ' ^" en 180. otn .42" 23fl 2J 0 168 lio -?/■ S40' 8 4 0' S40' 8 4 0' S40' 120 pn 105 . 7 50 7 00 2 7 0 5 4 0 8 4 0 ' IttOD» 1 8 0 0' 18 0 0 4 80 1.2110 _51 li 40.") . 1 8 00' 1 800' 1 800 c" | S00 • _ Ij 7. 2 7 2 0 _ 5 4 5 7 li . 2 4 0 3 9 2 1 008' 1 008' 10 08' 1 008' 1008»ï008 en -lai 1 00 8' -»;S 72 WO en 1Ü5 ■ 20 12 0' 120 cu 120' 2 0' .1 8 p.. 3 • Ü0 2 7 p.i 2 • 7 5 20 C" 20' 42' 42 c" 42' 400' 3 5.0 en 4 8 _2 7 o 4:, 3 2 ■ 400 cu 400' 1200' 1 2 O 0 1 200 ' .3 0 0 3 0 en - :i ' 3 7 5 1 7 5 400' 400 c" 400' 450' 4o0 e" JU • .75 20 en iU> • 24 tiü 4 50 ' 13 5' 135 cn 135 ' 8 4' 8 4 en :'i> ■ -1125 li;oo ptl is . 84 ' 1800' isoo c" isOö ' _21 IS 2 50 . IJl 2 0 Ii4 3 0 0' 300 300 ' 6 4 000' li"4 000 . 3 ' 5 6 4 000* 2 cq 20 _il_ 12 6 JL5- 204 jy' 2 5 2' 2 5 2 ' •' "» •> ♦ •> •>» *» K •> 14 4 • -J25 120 "7 0" " 2 " 2 5 2 ' 1 000' .1000' 1 000' 1 000' i O 0 pn () 2 i) • 3 4_0 •'» 10 0 0 cn 10 00' 192' Ï92» TÖ2' — 7_ A(L pn 4--Ö-81 9!?> 19 2 cu 1 9 2* 2ÓO A- 4-1 JL 2 1 1 zkjv. 3, 20' 5 0' 1(P 3' 17' 5' r ■- 4 4 1 3 5' 1 (»' 1 3' 7» 9' 2» 5 • ->6i & -$r 3 ili 8 3 5 en 99 * 8» 1 3» 4 9' 538 7» 9 9 cn 1 0 1* 262. 9j\, 212, 32 i's» 29?!, *90' 4I» ^4 8' 6^, i-^, 13§gó' ^ 7 4 5' I°814' I3T\' 10 12 0' 14~J (I! 10«i:t'A' 20,'Yo. 20g|. 263. 3|. 7i' nj, enz. Er komen resp. 10, 18, 32, 30, 40 en 36 getallen. -^4- 4 0» ^9 0» 8' 1 ' Is • 81J4, '90' 'I' 8;!:], 81,1, 9jj, 2,14, 2ijf«. 265. 50, 98-^. 266. 9, 13I, I 1-7, 9, 22;1, 19'1 A2«i ->1 -i.> 3 3' J4" 267. 214, 190, 76J, 308,620, 45 2|, 540, 2296/,. 268 ^ 17 2 S 3 _2 I -*2' 14' 39' 7' 45' 32' l 1 fat- 269. 561 317I5. 534ï> 51 'is' 26H' 75». 3h 2IV- 2 70. 3 7-1 „L 9 101 5 5 4' 34' 28' 108' 7i 4' •IJ J ( I N 5 4' 17 1» MT' ''71 :5 12 3 .1 ,3 /^lil 'i \ 4' 4' K4' 10' li • 272. 51, 43, 18I 8,^, I9-H» I I il M t 9 A» 1 44' ü' ¥?' 1 14* 273. 10000, 3}, 27000000, 300000000, 180000000, 9000, 600000, 1500000. 2 7J. lAiJ [» clD 9 10' 19 4» D 1 4 2* 275- 3,7S35 (de G.G.D. der noemers is 135). 276 4 -r' 4-3 l-l 9 2 1 14/ 27 °13 8' 3 40' 8°' -5' 400' 50' 16' S7)07»* 277- °-75. 0.625, 0.64, 0.925, 0,140625, 0.01953125, 0.04, 0.01328125,0.0272,0.325, 0.60008 0.07425. o.83, o.'128571,0.2,0.13, 0.3529411764705882, 0.238090. ^78 ^ 4. 23 '209 2K 5 ,1 33-' 2 7' 333' 9 9' 12> 3 1 1 1 .i .) li, 7 u' 180' 7' 13' 1 7' 27Q -12 8 -/> 4 9 5" 280. ^ ,1 --2 9 5 0 1 ¥000' 3300' 333000' 30* 281. I. 282. J. 28^. 4 9 J 4 6 8' 284. I70.3. 285. I. 286. 287. 18. 288. Ilf 289. 12. 290. 1, 2, 4, 8, 16, 3, 6, 12. 24, 48, 9, 18, 36, 72, 144, 5, 10, 20, 40, 80, 15, 30, 60, 120, 240, 45, 90, 180, 360, 720. 291. 14 en 42. 292. Ue getallen worden 261,1 264, 267; 483, 486, 489; 651, 654. 657; 2940, 2943. 2946, 2949; 386i, 3864, 3867; 5622, 5625, 5628. 293. De getallen worden 8667; 4302 of 4392; 6084 of 6984; 3663; 4680; 5562. 294. De getallen worden 8062 5 of 83625 ; 36480 of 36780; 285645 of 288645 ; 305400 of 308400. 295- fos3o! «4' ' *!«• 296. 297. 18^. 298. ||-jj week ; , ^ 0 maand; 40000» HA. - 2AI K.L. 2 500000 t -2 5 0 299. f 16.83. 300. f. 301. 2.8 °:0. 302. 18V °|0 Per K.G. goedkooper. 303- f 50. 304. Op de 4 partijen resp. 20, 23f, 18J en 35 °"|0. 305- Mi- 306. 11.4, 1.4. H-4» '4-3 en 15.2%. 307. Bijna 5168 K.M. 308. Te 8 uur. 309. 908. 310. f 128. 311. 17. 312. 1-^ maal. 313. Resp. f 5, f 4-5° en f8- 3H- 4Od|0- 315. De halve weg. 316. 9 L. 317. 3350 buizen en 2150 tegels. 318. ff 319. Na 60 dagen. 320. 24 en 6. 321. 5 jaar. 322. f 400 en f 600. 323- 48- 324. 3764,1589,5349,28442. 325. 2605, 5233, 2922, 2/930. 326. Voor f 40. 327. 80 en 115 knikkers. 328. 15 maanden na de eerste betaling. 329. 16 K.M. 330. 4{|- 331. I2ÏV 2f 7\. 6. 332. 21123022. 333- B 17tï daS- C 27? dag. 334. Xa 34^ dag. 335- IO|? minuut voor 5. 336. minuut voor 4. 337. 100. j 338. 1 uur 5ó| minuut. 339. 62| — 5i/?r = I3?V 340. 56544, 46561, 36605, i 26622, 16636, 6653, o. 341. 15^f dag. 342. 97.6 francs (van 47 ct.) 35.55 florijn (van 120 ct.), 3 £ 6 s. 8 d., 75.08 lire, 41.36 mark, S 6.99, 12.61 yen. 343. In Frankrijk 12.2 °|0, in Engeland 8.9 (l|0, in Amerika 3.2 0 0, in Duitschland 7.9 in Oostenrijk 20.6 0 (), in Italië 20.3 0 0, in Japan 21 0 0. 344. Bijna 18 centime. 345- 5-77 °|0- 346. A f 192, B f 135, C. f 168. ] 347- 18 °o- 348. A f 2.20, B f3.08, C f 1.32, D f 3.96. 349. ioht »• 350. 444- 351. f 40. 362. 5. 352. A f too, B f 300, C f 560. 353- i77V 354. f 29.39. 355- U- 356. 12 : 16 = 15 : 20. 357. 0.92. 358. 3087. 359. 3 m., 29 d., 21 uur, 7 min., 12 sec. 360. 88{-0 5. 361. 325. 363. A f 900, B f 1200. 364. 1200 man. 365. 24 mannen en 8 vrouwen. 366. 32j4j minuut over 8. 367- 4 %- 368. f 120. 369. io|ö. 370. f 113.40. 371- f 372- 63. 373. Over 18 jaar. 374- 44 (5-t.) 375. 60 : 90 = 48 : 72. 376. 15 °0- 371. A f 1000, B f 1480. 378- f 3-75- 379. In de breedte. 39 M. 380. £ 20. £ 1.4.11. 381. Na 30 dagen. 382. f 383. A f 5000, B f 4000. 384. 12° 0. 385. 8°0. 386. 157 M.2 387. 24 en 26. 388. ^ dag. 389. A f 135, B f 162, C 180, D f 202|. 390. 90 cent. 391. 100 K.G. 392. A f 160, B f 100, C f40. 393. 8500. 394. Voor f 896. 395. f 31.20. 396. 20 H.L. 397. Na 72 weken. 398. 54.4 cent. 399. Niets. 400. A in 8 uur, B in 24 uur. Bij den uitgever 1). WESTERA te X ij ven !:il zijn mede verschenen: Vraagstukken en Vormen, een 400-tal voorstellen ten dienste van hen, die sludeeren voor Kommies. 1 clephoniste, Apothekersbediende. Klerk der l'osterijen eiu. DOOR tl J BARTELS, Prijs / 0.40. Antwoorden ƒ 0.10. Practisch Taalonderwijs, Prijs ƒ 1.25. DOOR Een Hoofdonderwijzer, De NIJVERDALSCHE BOEKHANDEL te Kijveiclal Iioiidt /,i< Ji beleefd aanbevolen voor de levering der volgende WOORDENBOEKEN: M. J. KOENEN, Verklarend Zakwoordenboekje der Nederlandsche Taal, in linnen bandje, bevatten.Ie + 12500 woorden ƒ 0.35. Franco tegen ontvangst van postwissel 3/0.42'. J. MANIIAVE, Beknopt Woordenboek der Nederlandsche Taal, 650 blz., in linnen band, / 1.60. Franco tegen ontvangst van postwissel a / f.70. R. K. KUIPERS, Volledig Woordenboek der Nederlandsche Teal, circa 1200 bladzijden, 2400 kolommen, in linnen band, ƒ 1.75. Franco tegen ontvangst van postwissel a f 1.85. J. H. VAN DALE, Groot Woordenboek der Nederlandsche Taal, in hall leeren band f 12.—. Franco tegen ontvangst van postwissel a f 11.40. (5 "I, korting voor contant). KRAMERS' Woordentolk (Verkort) / 1.25. FYanco tegen ontvangst van postwissel a / 1.35. KRAMERS-BONTE, Algemeene Kunstvvoordentolk. Zoo volledig mogelijk voor vreemde woorden en allerlei uitdrukkingen, die men in zijn lectuur tegenkomt, 1306 blz., 2612 kolommen. In half leer ƒ 10.75. Franco tegen ontvangst van postwissel af 10.20. Gedrukt ter Nljverdalsche Snelpersdrukkerij en Boekhandel. te Nijverpal. i (