T N-39 39 I •ifvli I VEREENIGING TOT HET UITGEVEN VAN BEKNOPTE HANDLEIDINGEN BIJ HETONDER- v to on W1JS MN DE TECHN1- T sche hoogeschool. 1 39 TANDRADEREN i ■ 'feyï ' BEWERKT NAAR HET COLLEGE VAN PROF. C. P. HOLST GZN. DOOR J. C. HORCH, W.I. PRIJS VOOR LEDEN: ING. ƒ 1,35. GEB. ƒ 1,60. MET WIT PAPIER DOORSCHOTEN ING. ƒ 1,45. GEB. ƒ 1,70. VOOR NIETLEDEN WORDEN DEZE PRIJZEN ƒ 1,75, ƒ 2,10, ƒ 1,90, ƒ 2,25. - £ 9 DRUK EN UITGAVE VAN J. WALTMAN Jr. DELFT 1909 1 ■ S vv I 1248 VEREENIGING TOT HET UITGEVEN VAN BEKNOPTE HANDLEIDINGEN BIJ HET ONDERWIJS AAN DE TECHNISCHE HOOGESCHOOL. TANDRADEREN BEWERKT NAAR HET COLLEGE VAN PROF. C. P. HOLST GZN. DOOR J. C. HORCH, W. I. DRUK EN UITGAVE VAN J.WALTMANJr. DELFT 1909 INHOUD. T Blad/. Inleiding 2 Wrijvingsrollen ^ Tandraderen 10 A. Algemeene beschouwingen 16 B. Rollijnen 21 0. randraderen voor evenwijdige assen 35 Voorwaarden, waaraan de ingrijping moet voldoen o- Tandconstructie voor een wiel, dat moet werken met een gegeven tandrad 40 Vorm der ingrijpingslijn en tandHauk ... 41 Gycloïdale vertandiug 44 Evolvente vertanding 57 Begrenzing der kuilen 00 Voordeelen van cvcloïdale en van evolvente tanden G2 Overbrengingsverhouding en aantal tanden. . 03 Bijzondere tandvormen 04 D. Tandraderen voor snijdende assen 08 Conische tandraderen 08 E. Tandraderen voor kruisende assen .... 72 Hyperbolische raderen 72 Schroefraderen 79 Worm en wormwiel 73 Globoïd en globoïdrad 70 F. Sterkteberekening en constructie 81 Tandsterkte Bevestiging van houten tanden 84 Naaf ! 85 Spaken 07 VelS 90 BRONNEN. C. Bach. Die Maschinen-Elemente. A. Ekxst. LingrifFverhaltnisse der Schnecken-getriebe. George B. Grant. A Treatise 011 Gearwheels. Hütte. Jones. Machine Design, Part. I, Kineraatics of Machenery. H. v. Reiche. Die Mascliinenfabrikation. F. Reuleaux. Der Konstrukteur. 1'riedrich Stolzenberg & Co. Zahnrader. Weisbach. Lehrbuch der Mechanik. Theil III. 1. Willis. . Principles of machanism. /eitschrift des \ ereines Deutscher Ingenieure. Artikels van SïuiREOE~en Lasche. VERBETERBLAD. Blz. 3, regel 20 van boven, staat: sleutel van van Ilookc, moet zijn: sleutel van Hooke. Blz. 1], regel 1 van onder, staat: vertikaal onder as I, moet zijn: vertikaal boven as I. Blz. 13, fig. G. De lijn ter bepaling van ht' en h2', moet niet loodrecht staan op L,t maar op Lh'. Blz. 34, regels 5 en 6 van onder, staat: dan is deze manier tot op 3/10l|0 R nauwkeurig, moet zijn: dan is de fout kleiner dan '/40(K) R. INLEIDING. Bij de overbrenging van ronddraaiende beweging kan men twee grondgevallen onderscheiden: I. Be assen zijn evenwijdig. II. De assen zijn niet evenwijdig. In beide gevallen kan de overbrenging zijn: A. Direkt, bij niet te grooton afstand der assen. B. lndirekt. Verdei onderscheidt men overbrenging door: 1°. Wrijving en door 2 . Druk, zoodat de volgende gevallen mogelijk zijn : Iflt. 1 wee assen in eikaars verlengde. Wanneer draaiingsrichting en hoeksnelheid dezelfde zijn, heeft de overbrenging plaats door askoppelingen. I>eze zullen hier niet worden behandeld. Zijn draaiingsrichting en hoeksnelheid niet gelijk, dan moet een huipas worden toegepast en vervalt men dus in de gevallen 16. Ik A> ]°- Twec evenwijdige assen met direkte overbrenging door torijving. Hier maakt men gebruik van wrijvingsrollen 1 of frictieschijven 1). De bewegingsrichting is tegengesteld of gelijk gericht, al naar de schijven elkaar uit- of inwendig raken. In't laatste geval kan nooit de as van de kleine schijf, dikwijls ook niet die van de groote, doorloopen. Ib. A. 2°. Twee evenwijdige assen met clirekte overbrenging door druk 2). Men maakt gebruik van tandraderen. De ingrijping kan hier zijn in- en uitwendig, al naar de draaiingsrichting gelijk of tegengesteld gericht moet zijn. Krijgt een der tandraderen een oneindig grooten straal, dan heeft men het bijzondere geval van heugel en rondsel. I/'. B. 1 °. Twee evenicijdige assen met indirekte overbrenging door wrijving. Men maakt in dit geval gebruik van riem-, touic- of snaar schijven. Bij riemen kan men de open- of de gekruiste aanbrenging toepassen, al naar de assen in denzelfden of in tegengestelden zin moeten loopen. Gekruiste riemen zijn zeer aan slijting onderhevig, daalde riemen elkaar in een vertikaal vlak moeten voorbijgaan en daar dus over elkaar heen schuiven. Ib. B. 2°. Twee evenwijdige assen met indirekte overbrenging door druk. Hier vinden de kettingwielen hun toepassing. !) Over 't algemeen worden wrijvingsrollen alleen gebruikt voor kleine, niet te veranderlijke krachten. Ze vinden daarom hun meeste toepassing in instrumenten, d. z. werktuigen, waarbij de krachten op den achtergrond treden en alleen op de beweging gelet wordt (telegraaftoestel, schrijfmachine). Ook voor groote krachten, waar slippen voor de veiligheid een vereischte is, past men wrijvingsrollen toe (baggerwerktuigen). -) Assen, die slechts over een zeer kleinen afstand uit eikaars verlengde liggen, kunnen (draaiingsrichting en hoeksnelheid gelijk) direkt gekoppeld worden met een koppeling van Oldham. Deze valt hier als de .andere askoppelingen buiten bespreking. Men heeft hier geen juiste overbrenging, maar kleine schommelingen om de gemiddelde snelheid. Gekruiste kettingen komen niet voor. Ha. 1°. Twee elkaar snijdende assen met overbrenging door wrijving. De overbrenging is uit den aard der zaak steeds direkt en heeft plaats door kegelvormige wrijvingsrollen. De uitvoering kan zoo gemaakt worden, dat de assen dezelfde of tegengestelde draaiingsrichting verkrijgen. Ila. 2°. Twee elkaar snijdende assen met overbrenging door druk. De overbrenging (ook hier direkt) heeft plaats door kegelvormige tandraderen. De draaiingsrichting der assen kan gelijk of tegengesteld gericht zijn. Tevens kan hier toegepast worden (wanneer de hoek tusschen beide assen niet te groot is en zoowel draaiingsrichting als aantal omwentelingen van beide assen gelijk zijn) de zoogenaamde sleutel van van Hooke, die onder de askoppelingen thuis behoort en hier dus niet zal worden behandeld. IIb. A. 1°. Twee elkaar kruisende assen met direkte overbrenging door wrijving. Ofschoon weinig toepassing vindende, moeten toch de hiervoor te gebruiken hyperbolische wrijvingsrollen behandeld worden als grondslag voor: 116. A. 2°. Twee elkaar kruisende assen met direkte overbrenging door druk. Hier gebruikt men hyperbolische tandraderen. Bovendien worden hier toegepast, gewoonlijk bij loodrechte stand der twee assen: Worm niet wormwiel,glóboïd met globoïdrad en schroefraderen. 116. B. Twee elkaar kruisende assen met indirekte overbrenging. Alleen de overbrenging door wrijving komt hier voor n.1. met riemen of snaren. De draaiingsrichting is niet onverschillig 1). WRIJVINÜSROLLEN. Ofschoon de wrijvingsrollen niet veelvuldig in het machinevak zullen voorkomen, moet toch hun theorie, als zijnde onmiddellijk toepasselijk op de tandraderen, hier behandeld worden. Voorop te stellen is: Draait de eene as eenparig rond, dan moet de andere dit ook doen, d. w. z. heeft de eene as een eenpar ige hoeksnelheid, dan heeft de andere deze ook, of is het aantal omwentelingen per minuut voor de eene as standvastig, dan is dit ook voor de andere as het geva'i. Hoeksnelheid wordt over 't algemeen genoemd de omtreksnelheid op de straal 1. Beter is het en meer in overeenstemming met de bepaling van goniometrische eenheden om de hoeksnelheid de meiheid te noemen uitgedrukt in stralen, zooals men dan het aantal omwentelingen per tijdseenheid, de snelheid uitgedrukt in omtrekken kan heeten. Omdat men de hoeksnelheid (») per seconde rekent, daarentegen het aantal omwentelingen (n) per minuut, is dus: 2 TT w==6ÖW- (1) De beide schijven hebben dezelfde omtreksnelhoid, welke voor de eene is rlux en voor de andere r.2x2, als ri en r2 de stralen en «j en u2 de hoeksnelheden zijn der overeenkomstige schijven. Men heeft dan: 1) Ook kan men een tusschenas gebruiken en wel die, welke beide assen (liefst loodrecht) snijdt. De overbrenging is dan teruggebracht tot twee kegelraderen en valt onder II». 2Ü. Ook kan de huipas evenwijdig looien niet de eene as en de andere snijden en krijgt men dan de gevallen 14. A. 20. en II«. 2». ri®l r2u2 t^) of in verband met (1): r, w1 — r9n2 (3) Men zegt dan wel: De stralen zijn omgekeerd evenredig met liet aantal omwentelingen per tijdseenheid. Beter echter en gemakkelijker in formule te brengen bij groot aantal ingrijpende raderen, is de zegswijze: Het product van straal en aantal omwentelingen per tijdseenheid is voor ieder der samenwerkende raderen dezelfde grootheid. Wordt een schijf gedreven met behulp van tusschenliggende schijven, dan hebben deze alleen in zooverre zin, dat bij grootere afstanden der assen de overbrenging zonder riemen blijft bestaan; het aantal omwentelingen van de laatste blijft het zelfde, als wanneer deze onmiddellijk met de eerste in aanraking was geweest (zie formule 3). Alleen heeft één tusschenrad nog zin om dezelfde draaiingsrichting te behouden, die bij twee raderen inet uitwendige aanraking steeds tegengesteld is. Bij twee evenwijdige assen kan men zich nu het volgende vraagstuk stellen: Gegeven twee assen I en II op bepaalden afstand met overeenk. nx en 7i2 omwentelingen per minuut. Gevraagd de stralen der wrijvingsrollen. Als vlak van teekening wordt een vlak loodrecht op de beide assen genomen (fig. 1). Op de loodlijnen op I II in de punten I en II wordt in een zekere maat overeenk. «2 en n4 afgezet (n.2 zoowel naar boven als naar beneden). Men verbindt vervolgens de uiteinden van deze loodlijnen met elkaar en verlengt zoo noodig tot de lijn I II wordt gesneden. Men vindt dan de twee punten R, en R.2. Beschrijft men uit I met IR1 tot straal en uit II met IIR1 tot straal cirkels, dan zullen deze de doorsneden der wrijvingsrollen aangeven, waarbij de as II n2 omwentelingen zal maken, wanneer I er nl maakt in tegengestelde draaiingsrichting, daar: IR, : IIR, = n2 : «, waardoor aan formule (3) is voldaan. Beschrijft men de cirkels uit II en I met de stralen IIR2 en IR2, dan vindt men eveneens twee wrijvingsrollen, die aan het gegeven voldoen. Nu echter is de aanraking inwendig en de draaiingsrichting dus dezelfde. Men kan het vraagstuk ook op de volgende wijze oplossen (fig. 2). We beschrijven met I en II als middelpunten cirkels met stralen r1 en r2 zoodanig, dat rx :r2 = ni\ni Fig. 1. (Men zorge er voor dat r, + r, —L > (5) n1 geeft de oplossing in den stompen hoek der beide assen, voor de as I een kegel met een tophoek grooter dan 180°. De uitvoering heeft plaats in den vorm van een hollen kegel. In 't geval ïi n COS X < —L > (6) n 2 ontstaat de gewone oplossing van fig. 3. Om den vorm na te gaan der wrijvingsrollen voor twee elkaar kruisende assen, zal een anderen weg worden ingeslagen. Men denkt zich een lijn van willekeurigen stand verbonden met as I. Denkt men zich verder een lijn, die samenvalt met de eerste, verbonden met as II, dan zullen de beide lijnen, bij wenteling der assen, elkaar wegdrukken, d. w. z. beide lijnen hebben dezelfde snelheid in de richting loodrecht op die lijnen. In 't vervolg zullen we van deze lijnen als van één lijn, de aanrakingslijn, spreken. Men projecteert de assen zoodanig, dat hun vertikale projecties evenwijdig zijn met de as van projectie (fig. 5). De aanrakingslijn denkt men zich eveneens gelegen in een horizontaal vlak en dus ook in vertikale projectie evenwijdig met beide assen. Een willekeurig punt P op de lijn heeft een vertikale !) Het is duideljjk, dat hier «2 > nx is verondersteld. Is n, > »2, dan worden de formules (4), (5) en ("6) achtereenvolgens: cos x — , cos x > en "i >'i cos x < — en geldt 't gezegde den kegel van as II. snelheid door de draaiing van I met de hoeksnelheid groot rlul, wanneer r, is de loodlijn uit op I/, neergelaten, terwijl de horizontale snelheid een waarde heeft van wanneer ht is de loodlijn uit P„ op I„ neergelaten, d. i. ook de kortste afstand van de lijn tot as I. Het boven¬ staande blijkt onmiddellijk uit de projectie op een vlak loodrecht op as I. De vertikaal- en horizon taal-ontbondene van Rj<», staan tot R,«, in dezelfde verhouding als r, en /<, staan tot R, (zie de gearceerde gelijkvormige driehoeken). AVordt r, = o, dan zal voor dat punt de vertikale snel heid o worden. Dit is het geval voor het punt M. dat vertikaal onder as I is gelegen. Daar ook as II een dergelijk punt geeft, en geen twee punten van de lijn een vertikale snelheid gelijk o kunnen hebben (of de geheele lijn zou zich in een horizontaal vlak moeten bewegen) moeten deze beide dus samenvallen en de aanrakingslijn in horizontale projectie gaan door het snijpunt der horizontale projecties van beide assen. Noemen we de ontbondene langs de lijn van de snelheid, die P werkelijk heeft S, dan is, wanneer de hoek is tusschen de lijn en as I: S = hsin - schen beide schijven is. Om deze wrijving op te wekken, heeft men een zekeren normaaldruk noodig, welke druk bij de overbrenging van groote wrijvingsmomenten zeer groot moet zijn, waardoor de assen te veel aan buiging bloot staan en te veel wrijving in de steunpunten optreedt. Men kan door het wigvormig indringen van de eene schijf in de andere den normaaldruk R kleiner houden. Is n.1. T de omtrekskracht, dan zou bij platte schijven: /=!=.« (13) Hebben de schijven evenwel de gedaante als in fig. 7 dan is: R = 2 N sin x en T = 2 N ^ dus T = —:—— R waaruit: sin x r T « t D — (1 4) rt sin x v ' Dit is echter te mooi, daar hier geen rekening is gehouden met de wrijving, die de druk R tegenwerkt. Deze wrijving werkt langs de aanrakingsvlakken niet een waarde tiN, zoodat: R = 2N sin -f- 2/^N cos x en F = 2N,« dus R. F = /» p--j-— waaruit: sin x -j— (/, sin x r- T f/, 1 R sin x -\-(i cos x ^ ^ Voor x = 22^/2" worden de waarden der formules achtereenvolgens : (j* 1 2,6 en l,/5 De juiste waarde voor den coëfficiënt van gootwrijving (ƒ,) zal tusschen beide waarden der formules (14) en (15) in liggen, evenwel toch dichter bij de laatste dan bij de eerste, waarom in de praktijk steeds de laatste zal worden toegepast. TANDRADEREN. A. Algemeene beschouwingen. Om den giooten normaaldruk te ontgaan, die bij wrijvingsrollen noodig is om een eenigzins belangrijk wringmoment over te brengen, voorziet men de oorspronkelijke wrijvingsrollen de eene van voorsprongen, de andere van kuilen, zoo uitgevoerd, dat ze bij wenteling der beide raderen zonder klommen in elkaar loopen. Daar er echter geen reden is om de eene schijf alleen van kuilen de andere alleen van voorsprongen te voorzien, maakt men ze meestal op beide tegelijk en noemt de geheele uitsteking van den bodem der kuilen af: tand. De cirkels der oorspronkelijke wrijvingsrollen dragen dan hier den naam van steel cirkels. Het gedeelte van den tand boven den steekcirkel lieet kop, het gedeelte daaronder voet. Ofschoon men wel zegt: de tanden van het eene rad, duwen die van het andere rad voort is het volgende juister: De voet van den tand van het eene rad duict tegen den kop van den tand van het andere en daarna de kop van den tand van het eene rad tegen den voet van den tand van het andere rad. De cirkel, die de koppen begrenst, noemt men kopcirkel, terwijl de bodem der kuilen begrensd wordt door den voetcirkel. Is het rad een koprad, dan is de voetcirkel tevens steekcirkel en is het een voetrad, dan is de kopcirkel dezelfde als de steekcirkel. De hoogte van den tand is de afstand (op den straal) van voet- en kopcirkel. De dikte wordt gemeten op den steekcirkel. De andere afmeting noemt men de breedte van den tand. De twee gebogen vlakken, die aan de zijden den tand begrenzen noemt men tandflanken. Alle tanden van een rad moeten denzelfden vorm hebben, anders zou de constructie van een bijbehoorend ingrijpend rad niet mogelijk zijn, tenzij beide raderen dezelfde grootte hadden (zie blz. 40). Om dezelfde reden maakt men den afstand van alle tanden gelijk. Men noemt dezen afstand, gemeten op den steekcirkel, de steek (s). Deze bestaat uit de dikte van den tand d en de wijdte van den kuil t. Bij niet afgewerkt materiaal moet men eenige speling laten en (geeft men ter onderscheiding de beide assen met 1 en 2 aan) is dus: dt < t2 en t{ >d.2 waarbij dan t.2 — d{ — tt —d., de speelruimte 4) aangeeft. ') Vroeger nam men voor de gietijzeren tanden de dikte d := l9/40 s, zoodat de opening daartneschen /=:2i/40.v werd; de speelruimte C/20*) werd dus dikwijls onnoodig groot. 2 De afgewerkte tanden worden tegenwoordig zonder speelruimte gemaakt; dan is dus, wanneer beide raderen uit hetzelfde materiaal zijn vervaardigd, zoodat de tanden even dik kunnen worden: 7 J s ~2~' Hetzelfde wat in omtreksrichting geldt, geldt ook in de straalrichting. Bij niet afgewerkte wielen moet men dus ook tusschen den kop van liet eene rad en den voet van het andere een weinig speling laten. Noemt men de kophoogte k en de voethoogte v, dan moet met de noodige teekens: kt < v2 en k2 < vt waarbij dan v2 — k1=vl — k2 de speelruimte 1) is. Over 't algemeen maakt men ki = k2 en dan dus ook vt =v2. 13ij afgewerkte tanden is hier ook een speelruimte noodig, omdat bij gelijke grootte van kop en voet, de bovenkant van den eerste zou schuren tegen den onderkant van den kuil, wat wrijvingsverlies tengevolge zou hebben. Men moet er bovendien op rekenen, dat de afstand der assen niet altijd juist even groot blijft (uitslijten der metalen, doorbuiging van de as enz.). Is aan alles echter de uiterste zorg besteed, dan kan men wel volstaan met een speling van 1/2 m/m. Noemt men het aantal tanden van het eene rad A,, dat van het andere A2 en gaan voorbij het raakpunt van de steekcirkels van elk rad T tanden in de minuut, dan is, wanneei het aantal omwentelingen overeenk. w, en w., per minuut bedraagt: T T A7 = w' en^ = w* dUS: A,K,:r=A2M2 (16) Uit vergelijking (3) volgt: Voor gietjjzeren tanden nam men vroeger k nr 3/10 x en v — 4/10 t, een speelruimte dus van een zevende der tandhoogte ot' '/10.v. Dat is het dubbel van die in de vorige noot, hetgeen in 't geheel geen zin heeft. 2T R,w, = 2?r R2W2 wanneer Rt en R2 de overeenk. stralen der steekcirkels zijn, of, wanneer men voor 2x R = O zet, 0,w, =Otn1 (17) Uit (16) en (17) vindt men: De omtrekken van twee samenwerkende tandraderen moeten zich dus verhouden, als het aantal tanden, willen ze goed op elkaar kunnen werken. De tijd, die verloopt tusschen het begin der aanraking van den kop van een tand van het eene rad met den voet van een tand van het andere, tot het oogenblik, waarop de aanraking van den kop van dezen tand met den voet van genen ophoudt, noemt men de ingrijpingsduur. De ingrijping sduur moet minstens zoo groot zijn, als de tijd noodig voor het doorloopen van den steek of: steek Ingrijping sduur > —-—(19) 1 J — omtreksnelheid Is D de diameter van het rad, A het aantal tanden, s de steek, dan is: %D = As of D = A.— (20) 7T Daar A een geheel getal is en men eveneens voor D een geheel getal aanneemt, moet dus de steek een veelvoud g zijn van a\ Is de steek in m/m, dan noemt men — de T modulus m: D = A .m (21) Ter vergemakkelijking van afleidingen cn constructies (zooals later blijken zal), voert men het begrip: relatieve beweging in. Wanneer men n.1. het eene rad stil laat staan, dan kan men toch dezelfde standen van beide raderen ten opzichte van elkaar krijgen, wanneer men slechts het andere rad met de relatieve hoeksnelheid cc =«, over het stilstaande laat heenrollen. In dat geval kan men niet meer spreken van gelijke omtreksnelheden der beide raderen en gaat formule (3) niet door. L>e tandflanken zouden op 3 manieren elkaar kunnen aanraken (zie fig. 8). Beschouwt men in geval I de relatieve beweging van den punttand, dan zou het aanrakingspunt worden voortgesleept over den tand van 't stilstaande rad en dezen dus als 't ware afslijpen. In geval II zal even vóór den geteekenden stand het punt a aanrakingspunt zijn en even daarna het punt b. Behalve, dat men dan feitelijk geval I krijgt, wordt tevens het geheele rechte stuk overgesprongen en had dus de tand daar even goed een uitholling kunnen hebben (zie de stippellijnen). Een gedeelte der hoogte van den tand wordt zoodoende moedwillig niet gebruikt, zoodat de tand onnoodig hoog wordt, d. w. z. zwakker. Alen kan dus alleen een aanraking volgens geval III gebruiken, d. w. z. de beide tandflanken moeten in hun aanrakingspunt eenzelfde raaklijn, dun ook eenzelfde normaal bezitten. B. Rullijnen. Len Troclioïde of Rollijn is de baan van een punt, dat bevestigd is aan een cirkel, die over een tweeden cirkel heen rolt (de rechte lijn is als grensgeval van den cirkel te beschouwen). Gelet op hetgeen gezegd is over de relatieve beweging en omdat, zooals later zal blijken de tandflanken meestal Fig. o. den vorm van rollijnen krijgen, zullen deze kromme lijnen en hun constructie dus hier moeten worden behandeld. Het zal blijken, dat elk punt van een rollijn kan worden gevonden, als het vierde hoekpunt van een gelijkbeenig trapezium, waarvan drie hoekpunten gegeven zijn. In de meeste gevallen zal men de baan hebben te bepalen van een punt gelegen op den rolcirkel. Ligt het punt niet op den cirkelomtrek, dan ontstaat öf een gedrukte rollijn, wanneer de kromme een lus vertoond, öf een gerekte rollijn, wanneer dit niet zoo is. De volgende gevallen zijn mogelijk: 1°. Een cirkel rolt over een rechte lijn (fig. 9). Het punt o van den cirkel beschrijft een boogvormige lijn, die zich steeds als zoodanig herhaalt over een afstand op de rechte lijn gelijk aan den omtrek van den cirkel. De kromme lijn wordt cycloïde genoemd. Het punt p buiten den cirkel beschrijft een gedrukte cycloïde, terwijl het punt n een gerekte cycloïde beschrijft. De baan van het punt m is een rechte lijn en een bijzonder geval van een gerekte cycloïde. De constructie van een bepaald punt der cycloïde blijkt uit fig. 10. De vraag is, waar het punt o van den cirkel gekomen is, wanneer deze in den stand A„ is gerold. Waar bg oa — oa en, (wanneer oa het gezochte punt is) ook bg o„a = oa, liggen dus «en oa symetrüch ten opzichte van de lijn, die oa loodrecht middendoor deelt (zie de punt streep- lijn in de figuur). Uit deze symetrische ligging volgt, dat oaaao een gelijkbeenig trapezium is; oa is dus het vierde hoekpunt van dit trapezium, waarvan o, a en a bekend zijn. 2°. Een rechte lijn rolt over een cirkel (fig. 11). De baan van het punt o, op de rollende lijn gelegen, is een spiiaal, met aequidistante windingen: de zoogenaamde cirkelevolvente (cirkelontwindende) ook wel kortweg evolvente genoemd. Het punt p buiten de lijn aan de zijde van den cirkel beschrijft een gedrukte evolvente, terwijl het punt n aan de andere zijde van de lijn gelegen een gerekte evolvente doorloopt. De bepaling van een willekeurig punt volgt uit fig. 12. Ook hier is weer een lijn van symetrie aan te wijzen (punt streeplijn), terwijl daardoor ook oaaa o een gelijkbeenig trapezium is. 3°. Een cirkel rolt buiten over een anderen cirkel (fig. 13). Er ontstaat een boogvormige lijn, wat betreft het punt o op den cirkel gelegen, welke lijn zich herhaalt en een netwerk van lijnen oplevert, wanneer de stralen der beide cirkels onderling onmeetbaar zijn. De kromme lijn wordt epicycloïde genoemd. De punten p en n beschrijven overeenk. een gedrukte en een gerekte epicycloïde, terwijl het punt m als bijzonder geval van de laatste een cirkel doorloopt. Zijn beide cirkels gelijk, dan herhaalt de kromme lijn zich na één omwenteling en heet dan cardioïde (fig. 14). Uit fig. 15 blijkt de bepaling voor een punt van de epicycloïde met behulp van de symelrielijn of met het uelijkbee- nig trapezium duidelijk genoeg. In fig. 16 is de puntsbepaling uitgevoerd voor een gedrukte epicycloïde. Zijn hier A0 en A„ twee standen van den rolcirkel, dan zal, wanneer bg o a — bg aoa en Aapa (getrokken door oa) = A0p0, pa de stand van het punt p0 zijn, wanneer de cirkel van A0 naar A„ is gerold. Is nu bg oa eveneens = bg oa en A0pa' (getrokken door a) = A 0p0, dan zullen blijkbaar de punten pa' en pa symetrisch liggen ten opzichte van de lijn van symetrie der beide cirkels A0 en A0. Daar de punten o en a eveneens symetrisch ten opzichte van die lijn liggen, is dus oapa'pa een gdijkbeenig trapezium. 4°. Een cirkel rolt binnen een anderen cirkel (fig. 17). De baan van een punt o op de rolcirkel is weer een boogvormige lijn, die zich herhalende een netwerk van lijnen oplevert, wanneer de stralen der beide cirkels onderling onmeetbaar zijn. De kromme wordt In/pocycloide genoemd. L>e punten p en n beschrijven overeenk. een gedrukte en gerekte hypocycloïde, terwijl het pnnt m, als bijzonder geval van deze laatste, een cirkelboog doorloopt Wanneer de straal van den rolcirkel een kwart is van dien van den vaststaanden cirkel, ontstaat een astroïde (fig. 18). Is de straal van den rolcirkel de helft van dien van den vaststaanden, dan beschrijft een punt op dien rolcirkel een rechte lijn. Teekent men twee standen van den rolcirkel (fig. 19) en verbindt M (waardoor de rolcirkel steeds heengaat) met oa en o, dan zal, /_Ma = /_oaMa. Noemt men /_ o Ma n.1. x, dan is /_ oa ~kaa — 2x, daar de bgn. o a en oaa gelijk zijn en de stralen der cirkels, waartoe ze behooren, zich verhouden als 2 en 1; daar / ou Ma een omtrekshoek is op bg oaa, is deze hoek de helft van Fig. 15. Z oaAaa en dus ook gelijk x. De twee lijnen Mo en Moa vallen dus samen, in. a. w. het punt o van den rolcirkel beweegt zich over de rechten lijn oM. In fig. 20 is de constructie van een punt uitgevoerd voor een gerekte hypocycloïde. Hier kan volstaan worden met te verwijzen naar de beschrijving van fig. 16. 5°. Een cirkel rolt met de binnenzijde over een kleineren cirkel (fig. 21). De baan van een punt o op den cirkel levert weer een netwerk van bogen, wanneer de stralen der beide cirkels onderling onmeetbaar zijn. De kromme lijn heet pericychïde en is voor de punten V en n overeenk. gedrukt 3n gerekt. Als bijzonder ïeval van de eerste eeeft iet punt m een cirkel. In fig. 22 is de constructie geteekend van een villekeurig punt der peicycloïde. Om een willekeurig punt an een rollijn te bepa;n behoeft men niet telens den rolcirkel in den daarbij behoorenden stand , , te teekenen, maar kan men met het te^k ^ teekenen van een ]iJn van symetrie of teekenen van een geljjkbeenig trapezium. In dit laatste geval ontstaat het volgende vraag¬ stuk : .hen gelijkbeenig trapezium te bepalen, zoodanig dat een gegeven driehoek twee zijden en een diagonaal daarvan vormt. Uit fig. 23 blijkt, dat op 3 verschillende wijzen hier- o c .. aan kan voldaan worden. 8 Snijpunten van de cirkels uit de hoekpunten van den gegeven driehoek beschreven met stralen telkens gelijk aan de overstaande zijde, leveren de punten Plt P2 en P3 op, die ieder voor zich met de hoekpunten van den driehoek oaa een gelijkbeenig trapezium vormen. (De andere drie snijpunten van de cirkels Q,, y., en (^3 geven even zoovele parallelogrammen). Welk purit P,, men moet gebruiken, blijkt uit de beweging der cirkels. Fig. 21. Elke beweging is te ontleden in een verschuiving en een draaiing. Bij een verschuiving doorloopen alle punten gelijke en evenwijdige wegen. Bij een draaiing is er steeds één punt in rust: het draaipunt. Heeft een lichaam een willekeurige beweging, dus neemt liet op een gegeven oogenblik aan een verschuiving en aan een draaing deel, dan zal liet draaipunt nog een snelheid hebben in de richting van de verschuiving; toch is er een punt aan e wijzen, dat in rust verkeert n.1. dat punt, waarvan de snelheid door de verschuiving en die door de draaiing gelijk en tegengesteld gericht zijn. Men noemt dit punt de pool van de beweging op dat oogenblik. De opeenvolgende polen vormen de poolbaan. Daai de pool dus oogenblikkelijk draaipunt is, heeft elk punt van het lichaam op dat oogenblik een snelheid loodrecht gericht op de verbindingslijn van pool en punt. M a w de verbindingslijn van pool en punt is de normaal in dat punt van de kromme, die het bij de beweging doorloopt. Bij de rolling van twee cirkels over elkaar is het aanrakingspunt steeds pool der beweging. De beweging is hier te ontleden in een verschuiven in de richting van de raaklijn aan beide cirkels en een draaiing om het midden van den rolcirkel. Voor het aanrakingspunt moeten deze beide elkaar juist opheffen, daar de cirkels in werkelijkheid over elkaar rollen en dus geen verschuiven van het aanrakingspunt over den vasten cirkel mag plaats vinden. De verbindingslijn van aanrakingspunt met het in stand daarmee overeenkomende punt, waarvan men de baan bepaalt, is dus normaal aan die baan en de cirkel uit de pool als midden met deze normaal beschreven, zal dus raakcirkel aan de baan in dat punt zijn. Zie fig. 10 aoa, fig. 12 ao„, fig. 15 ao„, fig. 16 apa, fig. 19 aoa, fig. 20 apa en fig. 22 aoa. Fig. 2:5. Houdt men dit laatste in 't oog, dan kan men voor de constructie van een rollijn desnoods volstaan met deze cirkels te teekenen, de omhullende dier cirkels is dan de gezochte kromme. Deze methode is in fig. 21 gevolgd. De stralen der cirkels kan men onmiddellijk op den rolcirkel, in zijn oorspronkelijken stand, aflezen. Zoo is: in fig. 10 aoa — oa in fig. 12 aoa = oa in fig. 15 ao„ = oa in fig. 16 apa = p0a in fig. 20 apa = p0 a in fig. 22 a oa = o a. Het is nu oolv niet lastig in een willekenriar nnnf do Fig. 24. raaklijn aan een roliijn te teekenen, daar deze loodrecht staat op de normaal. Elke roliijn kan op twee wijzen ontstaan. Beschouwt men bijvoorbeeld de roliijn ontstaan dooreen punt B buiten een cirkel, die over een anderen heenrolt en teekent men een willekeurigen stand dier twee cirkels (fig. 24), trekt men verder BD// AG en CD// AB, dan zal het zoo ontstane vierde hoekpunt, D van het parallelogram CABD steeds in eiken stand der beide cirkels evenver van C verwijderd blijven, daar CD = AB = standvastig is. De baan van Dis dus een cirkel. De pool voor den geteekenden stand der beide cirkels is P. De normaal op de baan van B is dus PB, de normaal op de baan van D is CD, zoodat de pool der beweging van de lijn BD in het snijpunt der twee normalen liggende, Q is. Daar de driehoeken PAB en QCP gelijkvormig zijn, volgt hieruit dat, daar AP, AB en PC standvastig blijven, ook QC standvastig is en dus Q een cirkel beschrijft om C. Daar verder CD constant is, is ook D^ steeds even groot en blijft Q ook op den grooten cirkel uit D met DQ tot straal beschreven. Wanneer B dus vast was aan dien grooten cirkel en deze rolde over den cirkel met den straal CQ, dan zou de baan dezelfde zijn als in 't geval, waarvan is uitgegaan. Ligt B op den rolcirkel, dan zal ook de groote cirkel door B gaan, dus is: de cpicycloldc van r om R gelijk aan de pericyclo'kle van R -|- r om R. Ook is: de hypocycloide van r in R f/elijk aan de hypocydoïde van R — r in R. Hoe eenvoudig dn constructie, 't zij punt voor punt, 't zij als omhullende, ook is, ze hangt ten nauwste samen met een andere: n.1. op ongelijke cirkelomtrekken bogen van gelijke lengte uit te zetten. Deze constructie is theoretisch onmogelijk, praktisch echter voldoende op verschillende manieren uit te voeren. 1". Men kan bij de beweging van een cirkel over een rechte lijn of omgekeerd, den omtrek van den cirkel berekenen en op de rechte lijn afzetten en dan den cirkelomtrek (als boog) zoowel als het afgezette stuk op de rechte lijn in zooveel deelen verdeelen als gemakkelijk voor een cirkel is uit te voeren. 3 Deze wijze van handelen is ook nog door te voeren, wanneer de stralen der cirkels in eenvoudige verhouding tot elkaar staan. Men werkt nauwkeurig, daar men geen enkele maal de koorde in plaats van den boog gebruikt. 2°. Men kan bij voldoende kleinheid de koorde in plaats van den boog afzetten; dit is o. a. gedaan in fig. 21. Deze methode is niet nauwkeurig. 3°. Men kan ook als volgt te werk gaan: Zet op de gemeenschappelijke raaklijn der cirkels, waarop men bogen van een bepaalde lengte wil afzetten, vanaf het raakpunt achtereenvolgens stukken uit, die zich verhou¬ den als 1 : 3 (fig. 25), waarvan de som gelijk is aan de af te zetten lengte. Cirkelt men met het eerste afgezette punt tot middelpunt dit stuk op de cirkels om, dan zijn alle zoo afgesneden bogen vrij nauwkeurig gelijk aan het stuk (3 -)- 1) Is de hoek % kleiner dan 30°, dan is deze manier tot op 3/1000 R nauwkeurig. Deze wijze van construeeren is niet omkeerbaar; wel is dat de volgende: 4°. Zet op de middellijn buiten den cirkel den straal af. Uit het zoo verkregen punt B trekke men een snijlijn door den cirkel (fig. 26). Deze lijn zal van den cirkel en van de raaklijn aan den cirkel in 't einde van bovengenoemde middellijn vrij nauwkeurig gelijke stukken afsnijden (bg AC = AC'). Is x niet grooter dan 30°, dan is de fout kleiner dan Wïïö Trekt men de snijlijn niet uit B maar uit B' (I^B — 8/iooo X ^ R)? dan is de fout (x < 30°) niet grooter dan Vioo ooo R- C. Tandraderen voor evenwijdige assen. Voorwaarden, waaraan de ingrijping moet voldoen. Veronderstel: men heeft twee assen I en II (fig. 27) en op ieder van deze twee assen een uitstekenden arm, welke beide armen tegen elkaar liggen op de manier, als aangegeven in fig. 8 III. Draait nu as I volgens de pijlrichting, dan drukt de arm op deze as tegen dien op as II, waardoor de laatste eveneens gaat draaien. De verbindingslijn I-II noemen we de centraal. De druk, die beide armen op elkaar uitoefenen, is gericht volgens de gemeenschappelijke normaal van beide elkaar aanrakende krommen (tandflanken). Stel: deze druk heeft oen grootte van K KG. Hij veroorzaakt vooreerst een uit elkaar di ukken der assen en daardoor bij draaiing, wrijvingsverliezen in de tappen. Noemt men de drijvende kracht op de steekcirkels in. de richting der raaklijn T en de druk der assen op elkaar A, dan is: den cirkel (fig. 26). Deze lijn zal van den cirkel en van de raaklijn aan den cirkel in 't einde van bovengenoemde middellijn vrij nauwkeurig gelijke stukken afsnijden (bg AC = AC'). Is jü niet grooter dan 30°, dan is de fout kleiner dan Wij* ft- Trekt men de snijlijn niet uit B maar uit B' (BB' = 8/1000 X 3 R), dan is de fout (x < 30°) niet grooter dan V100 000 R. C. Tandraderen voor evenwijdige assen. Voorwaarden, waaraan de ingrijping moet voldoen. Veronderstel: men heeft twee assen I en II (fig. 27) en op ieder van deze twee assen een uitstekenden arm, welke beide armen tegen elkaar liggen op de manier, als aangegeven in fig. 8 III. Draait nu as I volgens de pijlrichting, dan diukt de arm op deze as tegen dien op as II, waardoor de laatste eveneens gaat draaien. De verbindingslijn I-1I noemen we de centraal. De druk, die beide armen op elkaar uitoefenen, is gericht volgens de gemeenschappelijke normaal van beide elkaar aanrakende krommen (tandflanken). Stel: deze druk heeft een grootte van K KG. Hij veroorzaakt vooreerst een uit elkaar drukken der assen en daardoor bij draaiing, wrijvingsveriiezen in de tappen. Noemt men de drijvende kracht op de steekcirkels in. de richting der raaklijn T en de druk der assen op elkaar A, dan is: K = T: cos t (22) A = T tg 6 (23) wanneer 0 de hoek is tusschen de richtingen van K en T. Daar K ook wrijvingsverliezen geeft, doordat de tanden over elkaar glijden, heeft men, volgens (22), zoo weinig mogelijk verlies, wanneer ( tot 0 nadert, want dan is K = T en anders K > T. Bovendien is dan volgens (23) ook A = 0 en dus ook de wrijving in de tappen gering. M. a. w. de druklijn moet zooveel mogelijk tot een loodlijn op decentraal naderen. Men kan zich de inrichting met de twee armen in elk oogenblik vervangen denken door twee wrijvingsschijven met de stralen en l>2 en een staaf, die tegen beide schijven aangedrukt wordt gedacht en langs de druklijn valt (/<, en h.2 zijn de loodlijnen achtereenvolgens uit I en II op de druklijn). Draait nu I, dan duwt de wrüvingsschijf ht de staaf in haar l ichting verder, die op haar beurt frictieschijf h., doet draaien. De omtrekssnelheid van h., is dan dezelfde als die van /4lt zoodat de betrekking geldt: hyH i === h.,X2 (24) wanneer u, en cc2 de overeenk. hoeksnelheden zijn der beide assen I en II. Daar echter voor een goede overbrenging door de tanden aan formule (2) moet worden voldaan: R,«i=R2.v2 (25) moet dus de evenredigheid bestaan: h | . R. ] — li<£ : R*2 (26) in woorden: De druklijn snijdt steeds de centraal in het raakpunt der beide steekcirkels. Overeenkomstig de beschouwingen bij de rollijnen noemt men dit punt de pool P. Beschouwt men twee opeenvolgende standen (fig. 28), dan verandert de lengte der druklijn tusschen 1' en aanrakingspunt van p -)- dp tot p; de beide steekcirkels hebben dan een weg ds afgelegd. Het blijkt uit de figuur dat: ds cos 0 = dp (27) Men had deze formule ook op de volgende wijze kunnen vinden: De arbeid der kracht K is bij de kleine verplaatsing Kdp, die van T, Tds. Deze beide moe- Fig. 28. ten 8eUïk ^ijn dus: Kdp = T(/s (28) Deze formule met (22) geeft ook (27). Na elke draaiing verandert het aanrakingspunt van plaats. De kromme lijn, die deze punten verbindt heet ingrijping s~ lijn. Het is duidelijk, dat verg. (27) de diff. vergelijking i> van deze lijn voor poolcoördinaten met P tot pool en d< raaklijn van beide steekcirkels tot richtlijn. Het bleek reeds, dat 0 zoo klein mogelijk moest zijn, hel zal blijken, dat ook p geen groote waarde mag aannemen Beschouwt men fig. 2ü. i De beide raderen I en II hebben aanraking in A, terwijl de druk plaats vindt volgens AP. De snelheid van A, als behoorende tot I, staat loodrecht op IA en is groot liai. De snelheid van A, als behoorende tot II, staat loodrecht op IIA en is groot l.2x2. De ontbondenen van beide snelheden langs AP zijn overeenk.: cos/3, en l2u2 cos/3v Daar nu het punt in de richting van AP beweegt, moeten deze snelheden gelijk zijn, daar beide raderen zich niet van elkaar verwijderen noch in elkaar treden, dus: 11 a | cos (3, = I2 &2 cos (32 V (29) of daar /, cos/3, =ht en /2 cos/3.2 = «,ft!, = hïa)2 dezelfde formule als (24), die met behulp van de beschouwing op blz. 36 werd gevonden en die dus tot dezelfde uitkomst leidt, n.1. dat de druklijn door 't punt P moet gaan. Door de ongelijkheid van de beide andere samenstellenden van (,:c, en 12ft>2 wrijven de tanden over elkaar. De wrijvingsarbeid per sec. is: W — K,c4 (^jft).2 sin p 2 — l j ,v, sin /3,) (30) De nuttige arbeid is per sec.: N = Khlui = KA2», (31) en dus de verhouding van beide: W | Z2 sin p, /1 sin /31 i N — ,tA i A; ^7 1 w of -jj- = At(tg/32 -tg/3,) (32) Deze uitdrukking moet zoo klein mogelijk zijn, dus: tg /3, —- tg (3, = minimum /3, — j3, = minimum Daar /3, — /3, = *, -j- «2 (33) zal dus de wrijving zoo klein mogelijk zijn, wanneer x | -)- x., een minimum is, dus de ingrijping zoo dicht mogelijk bij de centraal plaats vindt (p zoo klein mogelijk). Men kan ook van de relatieve beweging uitgaan en dus wiel I over II laten rollen met een hoeksnelheid ft,-, -f-«2 om P. De afstand AP is p, dus de wrijvingsarbeid per sec.: W = Ky.p (ft; , —p ft;.,) (34) De nuttige arbeid is: X = KV (zie ook 29) waarin V = /*2ft>2 = a2R2 cos i of = li , =r s; x R ( COS 6 zoodat N — KRjft;, cos ê = KR2«2 cos ó (35) Hot nuttig effect i.s: ,= l_ N ='"""5M»(K,+ft,) l3°» Het nuttig effect is het grootst, wanneer de breuk p li. 4- R, ^cosl li,li. " 1400 111 mo&W ls- Dit zal het geval zijn, wanneer behalve ,u ook p en O zoo klein mogelijk zijn. Tandconstructie voor een wiel dat moet werken met een gegeven tandrad. Van wiel I (fig. 30) zij de tandflank abcde gegeven. Wan¬ neer een willekeurig punt bijv. d van dezen tand aanraking moet maken mot een punt van de te bepalen tandflank van rad II, dan moet de normaal in d op de tandflank door P gaan. Deze normaal snijdt den steekcirkel in d'\ om dus de plaats te vinden, waar d aanraking maakt, beschrijft men uit P met d'd tot straal een cirkelboog en vindt in het snijpunt van dezen cirkel met de baan, waarop d zich beweegt (een cirkelboog uit I met ld tot straal), het punt d, van de ingrijpingslijn. Dit punt is op het oogenblik van aanraking ook een punt van rad II en om zijn plaats te vinden voor den stand, waarin beide raderen zijn geteekend, maakt men bg rt'P = bg d'P en beschrijft uit d' met Prf, tot straal een cirkelboog; het snijpunt van dezencirkelboog met de baan, die d, doorloopt, als punt van rad II (een cirkelboog uit II met lid, tot straal), is het gezochte punt d van den tandflank van II. Op dezelfde wijze gaat men met de andere punten ook te werk. Zooals men ziet, ontstaat hier tevens van zelf de ingrijpingslijn, zoodat men heeft af te wachten, welke de waarden van 0 en p worden. Wanneer men dus beide raderen nieuw maakt heeft het geen zin voor het eene een willekeurigen tandvorm te kiezen en daarbij dan de tanden van het tweede rad te bepalen, maar moet men veeleer van de ingrijpingslijn uitgaan en dus zooveel mogelijk gunstige waarden nemen voor 6 en p. Vorm der ingrijpingslijn en tandflank. Bij de ingrijping der tanden laat men nooit voeten met voeten en koppen met koppen samenwerken, of m. a. w. men zorgt steeds, dat de ingrijplijn blijft binnen het vlak der beide steekcirkels (bij uitwendige aanraking der beide wielen). Zorgt men hier niet voor, dan krijgt men tandvormen, die onbruikbaar zijn, doordat ze bij draaiing der radereu in elkaar vastloopen. (zie blz. 51, laatste alinea). Verder moet de ingrijpingslijn zoo zijn, dat een cirkel, concentrisch met een der steekcirkels, er geen twee punten mee gemeen heeft, daar anders een punt van den tandflank twee verschillende normalen zou moeten hebben, wat natuurlijk bij een in gietijzer uitgevoerden tand niet mogelijk is. In de praktijk kent men twee vormen van ingrijpingslijn, dio aan bovengenoemde vooi waarden voldoen en waarbij tevens ö en f zoo klein mogelijk worden gehouden. a. De rechte lijn die een hoek 5 maakt met de raaklijn aan beide steekcirkels. In dit geval is ó = 5 en wordt de vergelijking (27) geïntegreerd : s cos i = p (37) .De integraalconstante is O, wanneer men aanneemt, dat oor 8 = 0 ook p = 0 is. Beschrijft men uit de middelpunten der steekcirkels raakcirkels aan de ingrijpingslijn, dan krijgen deze cirkels overeenkomstig de stralen R, cos 2 en R.^cosS (fig. 31) en blijkt dan dus uit formule (37), dat het aanrakingspunt met dezelfde snelheid over de hellende lijn voortloopt als een punt van den raakcirkel zich voortbeweegt. Men noemt deze makcirkels gronclcirkels. Met het oog hierop en op de relatieve beweging komen we dus tot de conclusie, dat de tandflank van ieder rad een evolvente is op den bijbehoorenden grondcirkel. Men kan dit als volgt ook plastisch voorsteilen: Men veronderstelle t fig. 31), dat de beide raakcirkels twee riem schijven zijn, waarover een gekruiste riem is geslagen. Een punt van den riem a kan als oogenblikkelijk aanrakingspunt van de tanden op beide raderen beschouwd worden. Bij draaiing verwijdert zich dit punt meer en meer van het eene rad en nadert het andere. De baan, die het beschrijft ten opzichte van ieder rad is dezelfde, als die men krijgt, wanneer men den riemband, hetzij van het eene, hetzij van het andere rad afwikkelt, d. w. z. de banen zijn evolventen. Beschouwt men de evolvente clctbi als begrenzing van vast materiaal aan schijf I en de evolvente c.,ab2, als begrenzing van vast materiaal aan schijf II, dan zullen deze bij draaiing van de schijven door den gekruisten riem elkaar niet hinderen, maar ook niet van elkaar afgaan, zoodat men den gekruisten riem kan weglaten en het eene materiaal het andere kan laten wegduwen, zonder dat de beweging een andere is. b. De cirkel, die raakt aan beide steekcirkels en waarvan de straal niet grooter is dan van deze. Noemt men den straal van dezen cirkel r, dan is (fig. 32): P = 2r sin d, dus dp = 2 r cos êclö met formule (27) geeft dit: ds = 2r dó = rd 20 geïntegreerd: s = 2rQ = bg Pü (3ö) De integraalconstante is 0, wanneer men aanneemt, dat s = 0 is voor 0 = 0. Daar vóór de centraal de voeten der tanden van rad I samenwerken met de koppen der tanden van rad II en na de centraal het omgekeerde plaats vindt, geldt van den cirkel met den straal r alleen een gedeelte vóór de centraal als ingrijpingslijn, na de centraal moet men daarvoor een gedeelte van een cirkel nemen, die aan de andere zijde van de gemeenschappelijke raaklijn der beide steekcirkels ligt. Het aanrakingspunt beweegt zich over deze zoogenaamde rolcirkels, eerst over den eene, daarna door 't raakpunt der beide steekcirkels over den andere, en wel volgens (38) met dezelfde snelheid, als een punt van een der steekcirkels zich beweegt, (ielet hierop en op de relatieve beweging blijkt, dat de tandflank van ieder rad bestaat uit twee cycloïden: de kop uit een epi-, de voet uit een hypocycloïde, beschreven met de ttcee rolcirkels, waaruit de ingrijpingslijn bestaat. Ook dit kan men met een riemoverbrenging plastisch aantoorien. Hiertoe denke men zich een riem als volgt om de verschillende cirkels (steek- en rolcirkels) geslagen (fig. 32). Van schijf I loopt de riem op schijf Ir, van deze op IIr, om vervolgens over schijf II weer op I over te gaan. Een dergelijke beschouwing, als bij de evolvente vertanding voert ons tot bovenstaande gevolgtrekking. Cycloïdale verlanding. Bij het teekenen van cycloïdale tanden neemt men de beide rolcirkels over 't algemeen even groot. Men krijgt dan zoo¬ genaamde harmonische- of stelsel raderen. Met deze wielen is men bij dezelfde modulus steeds in staat de verschillende raderen op elkaar te laten inwerken, d. w. z. kan rad I op III en rad II op III werken, dan geeft ook rad I met rad II een goede ingrijping. Dat dan evenwel de gelijkheid der verschillende rolcirkels een vereischte is, blijkt uit de volgende beschouwing (fig. 33). Was I geconstrueerd met ongelijke rolcirkels, dan moest ook rad III, wil het goed met I samenwerken, geconstrueerd zijn met diezelfde rolcirkels, evenwel zal de rolcirkel, die bij rad I binnen is, bij rad III buiten gelegen zijn en omgekeerd. Deze cirkels a en b moeten nu ook weer rolcirkels zijn voor rad II, waarbij echter b weer buiten en a weer binnen den steekcirkel moet liggen. Het is nu duidelijk, dat men I en II niet kan laten samenwerken, daar nu voor beiden rolcirkel b buiten en rolcirkel a binnen den steekcirkel valt, terwijl het voor een goede ingrijping noodzakelijk is, dat wat voor het eene rad binnenrolcirkel, voor het andere buitenrolciikel zij; alleen door a = b te nemen kan hieraan voldaan worden. Den straal van den rolcirkel neemt men niet grooter dan de helft van dien van den steekcirkel: r V2R, dan ontstaan zeer zwakke tanden (zie fig. 34). Hoe kleiner men dus de rolcirkels neemt, des te kleiner kan het kleinste wiel worden bij stelselraderen. De volgende overwegingen stellen hier echter een grens. Volgens formule (19) moet er een bepaalde ingrijpingsduur zijn. Een punt der ingrijplijn beweegt zich met dezelfde snelheid als de punten der steekcirkels. Men kan dus formule (19) aldus wijzigen: Theoretisch moet de lengte der ingrijpingslijn gelijk zijn aan clen steek; praktisch (met het oog op de slijtingen) neemt men hem 1,1 X ^en steek. De lengte der ingrijpingslijn wordt begrensd door de kopcirkels der beide raderen (fig. 35). Met het oog op de wenschelqkheid het aanrakingspunt zoo dicht mogelijk bij de centraal te houden, zijn dus wielen met niet te hooge tanden te verkiezen. * Neemt men aan AUr voor de kophoogte 1). In dit geval kan dus de straal r Fig. 35. van den rolcirkel een bepaalde waarde niet te onder gaan, zonder dat de lengte der ingrijpingslijn te klein wordt. Voor het ongunstigste geval (n.l. wanneer de eene steekcirkel een zoo klein mogelijken straal heeft, dus gelijk is aan twee maal dien van den rolcirkel), kan men r als volgt berekenen (zie fig. 36): * Van *—* ingelascht door den samensteller. ') Hierbjj wordt J in het ongunstigste geval (hengel) niet grooter dan '24U. (%r - PB) >• + Pb) = AB2 = PB (2r — PB) 13 o -g r2 — "PB2 — 4 PB/- = 2PBr — PB2 PB=ër- Rekent men PA = % steek = i/2xm, dan is verder: PA2=r2rXPB = ^|r2 pa=ïv^t=? 3^ -| X" 3 r = 2 V yg • m = 2,20 m. * Dit is een minimum, men neemt: r = 23/4 ii 3 rn (39) -v waarbij dan de wijze worden gevormd, wordt de grootst mogelijke tandhoogte bereikt, wanneer beide flanken in één punt samenkomen. Zulk een punt loopt veel gevaar af te breken, waarom men den top liever een afplatting geeft. Bij een bepaalde hoogte van tandkop (A- = m), mag de rolcirkel dus niet te klein worden, opdat de tand niet te spits toeloopt. Gaat men dit na voor 't ongunstigst geval, dat de eene steek- kophoogte: k = m (40) wordt, terwijl men de voethoogte v= 1,2 m (41) maakt. * Er is echter nog een tweede reden, waarom de rolcirkels niet te klein mogen zijn. Daar n.1. de beide tand- flanken op dezelfde cirkel overgaat in een rechte lijn (heugel), waarbij men veronderstelt, dat beide tandflanken elkaar ontmoeten op een hoogte van 1,5 w, waardoor bij een kophoogte van m een voldoende afplatting is gewaarborgd. Men heeft dan (zie fig. 37): AB = V2 steek = % zm, dus AD = % zin CD = 1,5 rn, /_ CME =

e constructie der tandflanken is uitgevoerd voor: 1°. Uitwendige aanraking der steekcirkels in fig. 38. ') 1" gunstige gevallen kan dit aantal tanden nog verminderd worden tot 8 of 9. 2°. Inwendige aanraking der steekcirkels in fig. 39. I)e vorm der tanden van liet buitenste rad is het contraprofiel van den vorm der tanden voor hetzelfde wiel bij uitwendige aanraking der steekcirkels. 3°. Heugel met tandrad in fig. 40. Dit is de overgang tusschen 1°. en 2°., waarbij dus de steekcirkel van het eene rad een rechte lijn is. Tot nu toe was de straal van den rolcirkel kleiner dan of hoogstens gelijk aan den halven straal van den steekcirkel. Grootere rolcirkels zijn wel mogelijk, maar leveren een zwakken tandvorm op. Verder dan de grootte van den steekcirkel kan men echter met den rolcirkel niet gaan en wel om de volgende reden. Het aanrakingspunt der beide steekcirkels is op een gegeven oogenblik steeds punt van een tandflank van rad I en rad II (zie fig. 41). Is de kop van den tand van rad II gevormd door een rolcirkel, die grooter is dan de steekcirkel van I, dan zal bij de relatieve beweging, dus bij de rolling van I over II, het punt P van rad I niet vrij kunnen komen van dezen tandkop, d. w. z. de constructie is niet in vast materiaal uit te voeren. In het geharceerde vlak tusschen de beide steekcirkels kan dus nooit een gedeelte van de ingrijpingslijn liggen. Om bij inwendige aanraking der beide steekcirkels dit voor de ingrijpingslijn verboden terrein te vinden, merke men op, dat de pericycloïde van R om r (d. i. de baan, die het punt P van rad I beschrijft, wanneer I over II rolt), gelijk is aan de epicycloïde van R — r om r, zoodat de buitenste rolcirkel niet grooter kan zijn dan R — r, omdat anders om dezelfde reden als bij uitwendige aanra- kirig het punt P van rad I niet lost van den tandkop van iad II (zie fig. 42). In het geharceerde veld mag de ingrijpingslijn niet loopen. *) Men kan dus hoogstens den rolcirkel gelijk maken aan den steekcirkel. In dit geval wordt de hypocycloïde (voet der tand) tot een punt teruggebracht en spreekt men daarom dan ook van puntvertanding. Men gebruikt ze alleen, wanneer het kleinste rad minder dan 11 tanden moet hebben. Het beginsel der harmonische- of stelselraderen wordt hier losgelaten, daar nu beide steekcirkels rolcirkels zijn en dus over 't algemeen ongelijk worden. Overigens bliift t zelfde van kracht, wat omtrent de gewone vertandingen is gezegd. De voeten krijgen alleen een zoodanigen vorm, dat de kop van 't andere rad hier geheel vrij van blijft loopen (zie onder: Begrenzing der kuilen). 1) Behalve deze limiet bestaat er nog een andere. Daar de drukrichting moet gaan door de pool, is het dus een vereischte voor een tandflank, dat de normalen den steekcirkel snijden. De cirkelevolvente van den steekcirkel is dus een uiterste grens voor de tandflank, daar hier de normalen den steekcirkel nog juist raken. Daar echter in dit geval de ingrjjpingsljjn wordt gevormd door de gemeenschappeiyke raaklijn der beide steekcirkels, blijft deze toch van zelf buiten aanmerking, als liggende reeds in het verboden vlak. De constructie is uitgevoerd voor: ] °. Uitwendige aanraking der steekcirkels in fig. 43. 2°. Heugel en tandrad in fig. 44. De kop van den tand van het rad wordt begrensd door een evolvente. Men kan de puntvertanding in beginsel ook aan één kant houden. De tanden van het eene rad zouden dan punten worden. Daar om later te noemen reden (zie bl. 64), de ingrijping na de centraal beter is dan er voor, laat men het rad met de punttanden liefst drijven door het andere. De V ingrijpingslijn is een gedeelte van den steekcirkel van het gedreven rad. De tandflank van het drijvende rad krijgt den vorm eener epicycloïde; alleen de kop is werkzaam. Daar de tand als punt niet kan worden uitgevoerd, geeft men het punt dikte en wordt het profiel der tanden dus een cirkel (diameter = V2 steek) voor het gedreven rad en een aequidistante eener epicycloïde voor het drijvende rad. Dergelijke raderen heeten lantaarnraderen of beukelaars. De constructie is uitgevoerd voor: 1°. Uitwendige aanraking der steekdrkels ju fig. 45. Een aequidistante is altijd gemakkelijk aan de bolle zijde eener kromme te construeeren, maar aan de holle zijde alleen dan in vast materiaal uit te voeren zoolang de kromtestraal grooter is dan de afstand, waarop de aequidistante moet worden getrokken. Daarom kan het begin der epicycloïde voor de constructie der aequidistante niet gebruikt worden, daar hier de kromtestraal van O af aan- ■ groeit. Bij nauwkeurige constructie zal blijken, dat het werkzame deel van den cirkelvormigen tand kan beginnen iets onder den steekcirkel '), dit is evenwel bij de gewone verhoudingen van pendiameter en straal van den steekcirkel zoo weinig, dat men gevoegelijk kan aannemen, dat de aanraking pas begint in de centraal en het begin der aequidistante, dus overeenkomt met het punt m der epicycloïde. Door het veranderen van het punt in een cirkel, wijzigt zich ook de ingrijpingslijn en dat des te meer, hoe grooter de cirkel van den tandvorm wordt. Ook zal bij benutting van het stukje tand, dat onder den steekcirkel van het drijvende rad mogelijk is, de ingrijpingslijn iets vóór de centraal komen te liggen. 2°. Heugel met tandrad in fig. 46. De heugel wordt hier uitgevoerd met penvormige tanden en gedreven door een rad met een aequidistante eener evolvente tot tandflank. Daar deze aequidistante dezelfde evolvente is, alleen over de halve dikte der pennen verplaatst, zal elke dikte van De constructie, als die in fig. HO met een abnormaal grooten pendiameter, zal dit ten duidelijkste aantoonen. pen een goede ingrijping geven, wanneer ze slechts kleiner blijft dan de halve steek. De i 11 grijpingslijn wijzigt zich niet met de dikte der pennen maar blijft steeds een gedeelte van de steeklijn van den heugel. De ingrijping is alleen aan één zijde van clc centraal mogelijk. De ingrijpingslijn is, zooals bleek, een rechte lijn, die een hoek § maakt met de gemeenschappelijke raaklijn dei'beide steekcirkels. De drukrichting is hier steeds dezelfde en langs de ingrijpingslijn gericht. Men kan de rechte lijn, als ingrijpingslijn, niet verder gebruiken dan tot de raakpunten a en b der beide grondcirkels (zie flg. 47). De afstand a b mag dus niet te klein zijn, waarom de hoek § niet beneden een bepaalde minimumwaarde inag gekozen worden. Deze minimumwaarde is ongeveer 15°. Hoe grooter echter de hoek 5 des te ongunstiger is de wrijving, waarom men S nooit boven de 22V2° neemt, zoodat: 15" ^3 >22V20. Zooveel mogelijk houdt men steeds 15° aan. Wat de kophoogte betreft, merke men het volgende op. De ingrijpingslijn kan zich niet verder uitstrekken dan de punten a en b (fig. 47). De grootst mogelijke kophoogten worden dus begrensd door de cirkels door b met II tot middenpunt en door a met I tot middelpunt. Het is duidelijk, dat de kophoogte van het groote rad niet zoo groot kan worden als die van het kleine. Zoolang nu Pb grooter is dan de halve steek, kan men de koppen van beide raderen gelijk maken en kan men over 't algemeen de waarden van de formules (40) en (41) ook hier gebruiken. Is evenwel P6< V« steek, dan is de kophoogte van het groote rad bepaald door de cirkel k.2max., terwijl men dan den kopcirkel van liet kleine rad zooveel naar buiten legt als noodig is, om de ingrijpingslijn voldoende lengte te geven. De kophoogte van beide raderen wordt dan ongelijk en het is alsof de tanden van het kleine rad radiaal naar buiten zijn verplaatst. Kan men ook dan nog niet voldoende lengte van ingrijpingslijn krijgen, zoo maakt men S grooter tot 22V2° toe. Bereikt men het doel dan nog niet, zoo past men cycloïdale puntvertanding toe. De constructie is uitgevoerd voor: 1". htwendige aanraking der steekcirkels in fig. 48. De voet wordt, voor zoover deze niet ingrijpt, zoodanig gevormd, dat de tandkop van 't andere rad hiervan vrijloopt zonder wrijving (zie blz. 61). 2°. Inwendige aanraking der steekcirkels in fig. 49. Het profiel der tanden van 't groote wiel is ook hier weer het contiapiofiel van de tanden in 't geval van uitwendige aanraking. Het raakpunt van den grondcirkel van het kleinste rad is het onderste grenspunt der ingrijpingslijn. Aan de andere zijde is men geheel vrij. 3°. Heugel met tandrad in fig. 50. Daar hier de straal van den eenen steekcirkel is geworden, gaat ook de evolvente in een rechte lijn over. De vorm der tanden van den heugel is dus die van een gelijkbeenig trapezium. Begrenzing der huilen. Bij den voet der tanden heeft men slechts een gedeelte, dat tot ingrijping komt; de geheele voet wordt nooit gebruikt. Dit geldt zoowel voor cycloïdale als voor evolvente tanden. Beschouwt men n.1. in fig. 51 een willekeurige ingrijpingslijn ab, dan blijkt, dat binnen den cirkel Ia geen ingrijping plaats heeft voor rad I. Men noemt dezen cirkel de limietcirkel. Daar de bodemcirkel echter vrij moet loopen van den kopcirkel van rad II, ligt deze dieper dan de limietcirkel en heeft dus voor het gedeelte voet tusschen dezen cirkel en den bodemcirkel geen aanraking plaats. Men noemt dit gedeelte van den voet de kuil. De eenige vereischte voor het kuilprofiel is, dat het vrij moet loopen van den kop van den tand van het andere rad. Men gaat dus den weg na, die het hoekpunt van den kop van rad II beschrijft bij rolling van rad II overl; het kuilprofiel wordt dan iets meer naar binnen geconstrueerd. De gezochte weg is een gedrukte epicycloïde en kan 't gemakkelijkst geconstrueerd worden volgens de methode van fig. 21. De constructie is uitgevoerd in do figuren 43 en 44. Men laat den kuil nooit tot ingrijping komen, daar dit te veel wrijving zou kosten (S wordt langzamerhand 90n) en de duur der ingrijping er niet grooter door wordt. 1 'uordeelen van cycloïdale en van evolveute tanden. Bij cycloïdale tanden is de wrijving iets minder dan bij X. Fig. 50. evolvente tanden. De as-afstand kan bij de laatste echter binnen zekere grenzen veranderlijk zijn zonder een verkeerde ingrijping te krijgen, daar door een grooter worden van den as-afstand alleen de hoek 5 iets grooter wordt. Voor cycloïdale tanden moet men echter zeer oppassen, dat de as-afstand steeds dezelfde blijft, daar dan b.v. bij uitwendige aanraking der steekcirkels bij verwijdering der assen, een hypocycloïde op een hypocycloïde zou moeten werken en een epicycloïde op een epicycloïde, 't geen niet mogelijk is. Ook wat sterkte betreft staan de evolvente tanden boven aan, daar ze meer naderen tot den vorm van een ligger van gelijken weerstand. Overbrengingsverhoudinj en aantal tanden. Voor windwerken neemt men de verhouding van het ïl aantal omwentelingen der beide raderen - -- ongaarne grooter dan 1 :10. Fig. 51. Voor drijfwerkraderen gaat men veelal niet hooger dan 1:6 (soms 1:7) bij langzamen gang; het minimum aantal tanden ligt dan in de buurt van 30. Voor snelleren gang Tl is de grens van 1 liefst 1 : 4, terwijl het minimum aantal "2 tanden + 50 bedraagt. Gewone raderen worden met niet minder dan 11 tanden gemaakt, alleen in zeer bijzondere gevallen kan men daar beneden gaan; bij een minder aantal maakt men gebruik van puntvertanding. Daar in dit geval door de gedaante der kuilen de tanden een zwakken vorm krijgen, maakt men ze meestal van smeedijzer en voorziet ze van wangen. Bijzondere tandvormen. Reeds den ouden molenmakers was het bekend, dat de wrijving vóór de centraal nadeeliger werkt, dan die na de centraal. Dit is de reden, waarom men bij lantaarnraderen het gedreven rad met de penvormige tanden construeert (zie blz. 55). Bij gewone raderen maakt men de koppen der tanden voor dit doel wel ongelijk van grootte, en wel den kop van het gedreven rad = 0,5 m, den voet vt — 1,7 m en voor het drijvende rad den kop k2 = 1,5 m en den voet v2 — 0,7 m. Bij lantaarnraderen kan men de tanden als stiften uitvoeren bevestigd tusschen twee platen. Men kan echter ook om een dunnere stift de eigenlijke cylindrische tand laten draaien en zoodoende rollende wrijving krijgen tusschen de tandflanken van beide raderen of van heugel en rondsel. Lantaarnraderen zijn uitstekend voor uitvoeringen, die aan de buitenlucht zijn blootgesteld, omdat sneeuw, stof, vuil enz. door de sporten heen kunnen vallen. Moeten de wielen voornamelijk één kant opwerken dan kan men de zijde van den tand, die niet werkt, als evolvente uitvoeren met een grondcirkel, waarvan de straal r tot b.v. 0,8 R kan genomen worden (zie fig. 52). Men krijgt dan een sterken vorm van tand en behoudt tevens de mogelijkheid van terugdraaien der raderen. In den laatsten tijd heeft men uitvoering gegeven aan t maken van tandraderen met uitsluitend rollende wrijving. Beschouwt men de twee wielen (fig. 53), dan zal, wanneer men deze over de breedte in strooken verdeelt, 1 op I, 2 op 11 enz., onafhankelijk kunnen werken. Wanneer men nu die deelon ten opzichte van elkaar wat verdraait, do Fig. 5'2. volgende verder dan de voorgaande en men denkt de verschillende deelon weer aan elkaar vast, dan blijft een goede ingrijping dei ïaderen bestaan. Bij steeds verder doorgezette verdeeling blijkt, dat de tanden bijv. schroefvormig over het rad kunnen verloopen. De ingrijping wordt op deze wijze zeer verlengd. Daar echter de tanden elkaar nu ook in de richting van de as wegdrukken, maakt men, om dit te voorkomen de zoogenaamde hoektanden. Den hoek tusschen beide schroeflijnen maakt men 2 X &5° & 60°. De draaiingsrichting neemt men, met het oog op de meerdere sterkte, liefst zoo, dat de punten zich naar elkaar toe bewegen. Maakt men s minstens gelijk aan den steek, dan kan men, wat het tandprofiel betreft, de lengte der ingrijpingslijn =r 0 maken, zonder dat de beweging onmogelijk wordt. Men heeft in dit geval uitsluitend met rollende wrijving te doen, daar slechts één punt elk oogenblik raakt. De tandhoogten worden dan ook kleiner uitgevoerd. Voor zeer zware krachten voorziet men deze wielen ook van wangen en worden ze meestal van gietstaal vervaardigd. Om zeer groote overbrengingsverhoudingen te verkrijgen is het Gnssonrad «) geconstrueerd, men kan hiermede tot 1 :50 gaan. Men heeft eigenlijk te doen met 4 wielen, twee aan twee naast elkaar gelegen op de twee assen. De beide eerste hebben ieder één tand, de beide andere zijn lantaarnraderen met 5-50 tanden met V2 steek verschil in stand. Geeft men het grootste rad (fig. 54) punten binnen den steekcirkel tot tanden, dan zullen deze punten bij rolling van het groote over het kleine wiel, gerekte epicycloïden beschrijven, welke dus in dit geval den tandflank van het eerste rad vormen. Daar, waar beide takken voor links- en rechtsrolling elkaar ontmoeten, is het eindpunt van den tand. \ ooi de constructieve uitvoering kan liet punt echter niet dienen, zoodat de tand dan ook wordt uitgevoerd in den vorm van een holle bus, draaibaar om een vaste spil. ') Zie Hfitte I. Willis, Principes of' Mecbatiiem. De tandvorm van beide kleine raderen wordt nu een aequidistante van bovengenoemde gerekte epicycloïde. De twee wielen naast elkaar zijn noodzakelijk om een voortdurende ingrijping te waarborgen. I). Tandraderen voor snijdende assen. Conische tandraderen. Zijn de beide wrijvingsschijven pqrs en rstu (fig. 55) gegeven, dan construeert men het profiel der tanden voor den grootsten straal van ieder rad, d. w. z. voor de steekcirkels S, en S2, omdat dan bij het bepalen van het tandprofiel ook voor den kleinsten straal (steekcirkels Sj en s.2) mogelijk gemaakte fouten niet vergroot maar verkleind worden. Wat de sterkte betreft moet men steeds met het kleinste profiel rekenen. Beschouwt men de beide steekcirkels St en S2, dan blijkt dat ingrijping zal plaats vinden op het boloppervlak, waarop deze beide cirkels liggen, d. i. op den bol met S tot middenpunt en gaande door de punten p, s en t. Daar evenwel slechts twee smalle strooken van den bol, begrensd door de cirkels en Kj voor rad I, en door V2 en K2 voor rad II, werkzaam zijn, maakt men een kleine fout door aan te nemen, dat de ingrijping verloopt over de twee complementaire kegelvlakken Isp en IIs<, waarvan de gemeenschappelijke beschrijvende lijn I II loodrecht staat op de raaklijn der beide wrijvingsrollen. Op deze wijze krijgt men een benaderde loodrechte doorsnede der tanden, terwijl elke opvolgende kan gevonden worden door verkleinen der eerste naar S toe. De cirkels Kj en Vj resp. K2 en V2, zijn zoodanig op de kegelmantels getrokken, dat op de beschrijvende lijnen der kegels de vereischte kophoogte en voethoogte tusschen deze cirkels en de steekcirkels S, resp. S2 worden afgesneden. Om nu het profiel te construeeren, denke men zich de 69 kegelvlakken in een plat vak uitgeslagen en de tanden met de zoo verkregen steekcirkels (stralen R, en R,2) op de gewone wijze geconstrueerd (meestal maakt men hier gebruik van evolvente tanden). I)e kopcirkels K, en K.2 en de voetcirkels V1 en V2, zijn in de figuur op de afstanden m resp. 1,2 m van de steekcirkels en J32 getrokken. De steek en dus ook de dikte van den tand op den steekcirkel regelt zich niet naar de cirkels S, maar naar de cirkels S (in horizontale projectie S'). Is op deze wijze het tandprofiel a, b, c, d, e, f bepaald, dan brengt men het eerst in horizontale projectie over. Hier vertoonen alle tanden denzelfden vorm. De tandbreedten kunnen (steeds wordt over den grootsten straal van het rad gesproken) op de verschillende cirkels Kt', S,' en V,' onverkort worden afgezet, zooals ze voorkomen op de cirkels Kn S, en V,. (Men teekent hiervoor eerst de hartlijnen der tanden, waardoor de horizontale projectie van het tandprofiel: b', c', cl', e', f', onmiddelijk door afzetting aan weerszijden dier hartlijn is te vinden). Het is duidelijk, dat bij nauwkeurige teekening meerdere cirkels gebruikt kunnen worden, dan alleen de kop-, steeken voetcirkels. De overeenkomstige cirkels in de constructie en in de horizontale projectie zijn gemakkelijk door overbrenging in de vertikale projectie te vinden. De horizontale projectie van den tand is nu gemakkelijk te voltooien, daar alle beschrijvende lijnen naar het puritl' toeloopen, en dus de overeenkomstige punten van a', b', c\ cl', e' en f' voor den kleinsten straal van het rad, als do snijpunten der verbindingslijnen van bovengenoemde punten met 1' en de cirkels vx', s,' en kt' worden gevonden. De vertikale projectie van het wiel is symetrisch ten opzichte der lijn IS, voor 't overige projecteeren alle tanden zich anders, ofschoon toch op dezelfde wijze. Men haalt daartoe de punten a', b', c', cl', e', f' Joodrecht naar boven op de vertikale projecties der bijbehoorende cirkels, d. z. de lijnen K,, S, en V,; deze zoo opgehaalde punten zijn aan- geteekend als a, b, c, d, e en f. Ter voltooiing der tandprojectie zij hier weer opgemerkt, dat alle beschrijvende lijnen naar het punt S loopen, waardoor ook de punten voor den kleinsten straal van het rad op de cirkels t?,, s, en A, gemakkelijk zijn te vinden. De tandprojectie in fig. 55 voor één tand van rad I geheel doorgevoerd, geschiedt voor rad II op geheel dezelfde wijze, alleen moet hier de horizontale projectie vervangen worden door de projectie op een hulpvlak loodrecht op as II. Het is niet noodzakelijk, dat de beschrijvende lijnen der tanden, of kortweg de tanden, naar het snijpunt der beide assen verloopen. Men kan analoog met het geval bij evenwijdige assen, de tanden een hoek laten maken met de genoemde richting en zoodoende de ingrijping vergrooten. Ook hier kan men de wrijving verminderen door de zoogenaamde hoektanden met korte ingrijping. E. Tandraderen voor kruisende assen. Hyperbolische tandraderen. Zijn de frictieschijven (fig. 56) gegeven, dan kan men hierop door eenzelfde benaderingsmethode als bij de kegelraderen het tandprofiel construeeren. Men gebruikt hiervoor de twee complementaire kegels, waarvan de gemeenschappelijke beschrijvende lijn weer loodrecht staat op de aanrakingslijn der beide wrijvingsschijven. Het eenige onderscheid met de constructie bij kegelraderen (de gedeelten der hyperboloïdes, die men gebruikt, kan men door kegelvormige schijven benaderen), is alleen, dat men de beschrijvende lijnen nu niet naar één punt, het snijpunt der beide assen trekt, maar onder denzelfden hoek met de assen laat loopen, dien de beschrijvende lijn der hyperboloïdes daarmee maakt. Tot het bepalen van den tophoek der beide constructiekegels laat men de beschrijvende lijn zoover draaien tot ze door het uiterste punt van de projectie der hyperboloïde I resp. II gaat. Door de glijding der tanden ook in breedterichting over elkaar (zie formules 7, 7a en 76), is de wrijving dezer wielen zeer veel grooter, dan die van cylindrische en conische tandraderen. Hyperbolische raderen kunnen niet met hoektanden worden uitgevoerd, met het oog op bovengenoemde glijding. Schroef raderen. *In plaats van de beide middenstukken der hyperboloïden, kan men ook schroefraderen toepassen. Het onderscheid is gelegen in de aanraking. Terwijl deze bij hyperbolische raderen over een lijn plaats grijpt, is het contact bij schroefraderen slechts in één punt. De grondvorm is de omwentelingscylinder. Op dezen cylinder wordt een schroef van een bepaald profiel gesneden. De spoed der schroeven voor de beide raderen hangt af van den hoek tusschen de twee assen en van de overweging, dut in het aanrakingspunt do beide schroeflijnen dezelfde raaklijn moeten hebben. Bovendien kan men eischen, dat even vóór en even na de aanraking, de raaklijn zoo min mogelijk van stand is veranderd. Aan dit laatste wordt voldaan, wanneer de diameters even groot worden genomen als de keeldiameters der hyperboloïden, die voor de gevraagde overbrenging noodig zouden zijn. Wijkt men veel van do overbrenging 1 op 1 af, dan zal (.* = 90") het eene rad groot worden ten opzichte van het andere. In dat geval laat men bovenstaanden eisch vallen, maar kan dan ook slechts één rad als zuivere schroef uitvoeren (worm), terwijl liet andere dan zoodanig geconstrueerde tanden verkrijgt, dat een goede ingrijping gewaarborgd is (wormwiel).* Worm en wormiciel. Deze overbrenging is bet meest in gebruik voor elkaar rechthoekig kruisende assen, waarom dit geval hier alleen zal behandeld worden. De omwentelingslichamen, die den grondslag vormen, zijn twee cylinders; voorwaarde is, dat de omtreksnelheid van den eenen cylinder, gelijk is aan de axiale snelheid van de schroef op den anderen cylinder. Als profiel van de schroef neemt men het gelijkbeenig trapezium met een basisboek van bijv. 75° en een hoogte van 21/4 m, zoodat de kopcirkel op een afstand m en de voetcirkel op een afstand 1 i/tl m van den steekcirkel loopt. Wat den kop- en den voetcirkel van 't wiel betreft, geldt hetzelfde. De tanden van het wiel laat men voor langere ingrijping den worm omvatten, zoodat in dwarsdoorsnede van het wiel de tanden begrensd worden door cirkels uit het midden van den worm getrokken. De steek op het wiel is gelijk aan den spoed van den worm gedeeld door het aantal gangen per spoed (n). Heeft het wiel dus n tanden, dan is de overbrenging n . Vroeger construeerde men den tand vorm op het wiel als behoorende bij een evolvente-lieugel, waarbij de beschrijvende lijnen schuin op het wiel stonden onder een hoek overeenkomende met den spoed van den worm. Daarna vijlde men net zoolang aan de tanden tot ze tusschen den worm pasten. Het is duidelijk, dat op deze wijze wel het te veel werd weggenomen, maar het te weinig er niet bij kwam. Tegenwoordig fraist men de tanden op het wiel met behulp van het wormprofiel. Wil men het wiel gieten, dan is het noodzakelijk het goede tandprofiel te construeeren 1). De midden doorsnede (van een vlak gaande door de as van den worm, loodrecht op die van het wormwiel) der tanden, is de gewone evolventevorm van fig. 48, daar de normaal doorsneden van den worm hier passeeren juist alsof een heugel het wiel voortduwde 2). De andere doorsneden, evenwijdig met de eerstgenoemde, krijgen echter een anderen vorm, daar men hier voor de doorsnede door den worm een ander profiel krijgt; de vergelijking met den heugel blijft evenwel bestaan, zoodat men den tandvorm daar ter plaatse toch als behoorende bij de heugeltanden, die het doorsneevlak aangeeft, kan bepalen. Het komt er dus vooreerst op aan een willekeurige doorsnede over den heugel te construeeren. Beschouwt men het doorsneevlak EF 3) (zie blad I), dan kan men de rechter begrenzingslijn van het contra-profiel der heugeltanden construeeren door middel van vlakken, die gaan door de as van den worm en dus het schroefvlak volgens rechte lijnen snijden (zie de lijnen 0 — 0, 5 — 5, 12 — 12 rechts). Op deze lijnen, met behulp van de buitenste schroeflijn gemakkelijk te vinden, zijn de overeenkomstige punten van het door- 1) Zie Unwin. Z. d. V. D. 1900, II. Artikel van Ad. Ernst. 2) Zie de collegebladen van worm en wormwiel I en II. 8) In de rechter projectie moeten de benamingen der verschillende doorsneden in omgekeerde volgorde, als op de bladen staat aangegeven, worden genomen. sneevlak EF door projecteering te bepalen. De linker zijde van het bovengenoemde profiel vindt men onmiddelijk door afzetting van de openinghoogte op de plaats van elk geconstrueerd punt, derhalve uit het normale contra-profiel van de schroef (zie 5—5'). Men kan den tandvorm van het wiel op de plaats deiverschillende doorsnedevlakken vinden öf volgens de methode van fig. 30, öf door het in verschillende standen plaatsen van het gevonden contra-profiel, waarbij echter niet moet worden vergeten beide zijden zoover naar elkaar toe te plaatsen als de speelruimte bedraagt. Het laatste is op de bladen I en II in toepassing gebracht. Men gaat als volgt te werk. Teeken op een vel gewoon papier de door constructie gevonden kuilprofielen (over de speelruimte vernauwd) naast elkaar, trek de lijn 7'—6 als steeklijn van den heugel (blad I rechts) en pas hier op gelijke deelen af; teeken op calqueerpapier den steekcirkel van het wormwiel en zet hierop als bogen dezelfde deelen af als op de lijn T— 6; zet op het gewone papier de baan van het middenpunt af met overeenkomstige verdeeling; laat het middenpunt en het raakpunt van steekcirkel en steeklijn op het calqueerpapier achtereenvolgens samenvallen met de overeenk. punten 7'— 6 op liet papier en trek op het calqueerpapier de daarbij behoorende standen van het heugel-contra-profiel door. De tandvorm van het wiel daar ter plaatse is de omhullende van deze zoo verkregen lijnen. Op de bladen I en II is het aldus op het calqueerpapier te verkrijgen resultaat ook geteekend. Construeert men volgens de wijze van fig. 30 de tandprofielen van het wiel uit de verschillende punten van het heugeltandprofiel, dan is een vereischte de normaal te kennen in een willekeurig punt van het laatste. Hiertoe gaat men als volgt te werk (zie fig. 57). De normaal staat loodrecht op het osculatievlak; van dit vlak kent men twee lijnen, n.1. een beschrijvende lijn van liet schroefvlak bijv. AM, wanneer voor liet punt A de normaal wordt gezocht, en de raaklijn R aan de schroeflijn, waar het punt op ligt. Deze raaklijn heeft dezelfde helling als de schroeflijn, namelijk —spoed ^ spoed; straa^ omtrekcyl. 2tt Daar voor eiken worm sPoec' één bepaalde waarde heeft, u 7T kan men dus de helling van de raaklijn in elk punt gemakkelijk vinden. Brengt men door M een hulp vlak M'D', evenwijdig met het projectievlak van de langsdoorsneden van den worm, dan zal de raaklijn dit vlak snijden in het punt D', gelegen op een afstand a van een door A aangenomen normaal- of dwarsdoorsnede, zoodanig, dat \r = a: A'D'; u7T deze afstand a toont zich in langsprojectie onverkort, zoodat het punt D" gemakkelijk kan worden gevonden. Door D" en A" is nu de raaklijn in langsprojectie bepaald. D"M" is de doorgangslijn van het osculatievlak met het genoemde hulpvlak, waarmede nu de projectie van de normaal als loodlijn op D"M" wordt gevonden. Globoïcl en globoïdracl. Een in de laatste jaren meer op den voorgrond tredende vorm van overbrenging bij kruisende assen, is de globoïcl met globoïdrad 1). Een globoïd noemt men elk omwentelingslichaam, dat ontstaat bij wenteling van eenen cirkel om een as. Wanneer men op dit omwentelingslichaam schroefdraad aanbrengt, dan kan men dit o. a. een rad, waarvan de steekcirkel dezelfde is als de beschrijvende cirkel van de globoïd, laten drijven, door dit rad van tanden te voorzien van hetzelfde profiel als dat van den schroefdraad. De eenvoudigste vormen van globoïden ontstaan, wanneer de cirkel in hetzelfde vlak ligt met de wentelingsas. Een dergelijke globoïde, waarbij de as den cirkel snijdt, is ge- 1) Zie: Willis, Principles of' mechatiisui. Eetileaux, Der Konstrukteur. bruikt bij het mechanisme in fig. 58, dienende tot nauwkeurige stelling eener schaarbeweging of smoorklep, waarbij ook snelle verplaatsing mogelijk is: het handel (het tandrad hier) is voorzien van één tand, die ten dien einde kan worden uitgelicht. In het geval do cirkel buiten de as ligt (maar toch in hetzelfde vlak), krijgt men den globoïdevorm afgebeeld in fig. 59. Deze met het bijbehoorende rad kan den worm met wormwiel vervangen. Voor een aoede overbrenging moeten ffeliike wentelingen —o * — - van de globoïd, gelijke wentelingen van het globoïdrad geven. De schroeflijn op de globoïd, die dit moet veroorzaken, moet dus constanten spoed langs de meridiaan gemeten hebben en maakt dus niet steeds denzelfden hoek met de as. De schroeflijn zal dus in fig. 58 voortdurend schuiner, in fig. 59 voortdurend vlakker verloopen naar de einden toe. Om de schroeflijn in teekening te brengen, gaat men als volgt te werk. Men verdeelt de (grootste en kleinste) cirkel in de projectie loodrecht op de as in een aantal gelijke deelen (in fig. 59 : 12) en trekt de overeenk. stralen. Evonzoo verdeelt men den afstand op de meridiaan-doorsnede van den kleinsten tot den grootsten cirkel in 12 gelijke deelen en trekt uit de verdeelpunten lijnen loodrecht op de as. De verschillende doorsneden evenwijdig aan het tweede projectievlak, die overeenkomen met de deellijnen, projecteeren zich in de eerste projectie als deze lijnen, in de tweede zijn het cirkels, die met de overeenkomstige stralen in het snijpunt, onmiddellijk de punten der tweede projectie van de schroeflijn opleveren. Deze punten overgehaald op de overeenk. lijnen loodrecht op de as in de eerste projectie, leveren hier de punten der gezochte projectie op. Daar er geen relatieve verplaatsing is volgens de meridiaandoorsnede, is elk profiel van tand, wanneer zoowel worm als wormwiel hetzelfde krijgen, mogelijk. Verder is een ingrijping anders dan in de meridiaan-doorsnede niet bestaanbaar, daar een dwarsdoorsnede AB over den worm, evenwijdig aan de as, den eigenaardigen vorm aanneemt als in fig. 59 is geteekend. Alleen over de lijnen in hoogterichting der tanden is aanraking. De ingrijping kan zich uitstrekken over 8 of meer tanden. Daar de hoogte der tanden geen invloed op den duur der ingrijping uitoefent, maakt men de tanden laag. De trapeziumvormige doorsnede is dan het sterkst en eenvoudigst. Een wijziging heeft men door de tand van het rad in den vorm van een rolletje uit te voeren, waardoor dan het profiel van den schroefgang rechthoekig wordt. De glijdende wrijving wordt dan in rollende omgezet. Een voordeel van deze constructie is ook nog, dat men niet tusschen alle openingen van den worm rolletjes behoeft te plaatsen, maar bijv. om de 4 of 6. Voorziet men het rad dan wel van de pennen, waarop deze rolletjes zouden moeten zitten, dan kan men na slijting de volgende pennen van rolletjes voorzien (de oude laat men zitten) en zoodoende snel weer een goede overbrenging verkrijgen. Een zeer bijzondere en eigenaardige constructie is die van Hawkins (fig. 60), waarbij hij overbrengingen verkreeg van 1 op 44. De rollen zijn zeer groot uitgevoerd en 4 in getal, terwijl het profiel op den worm is uitgevoerd als een gelijkbeenigen rechthoekigen driehoek. *De uitvoering van rollen voor de tanden van het globoïdrad, zal geen zuivere overbrenging geven. In radiale richting gezien moet n.1. de cirkelvormige doorsnede der rol, raken aan een lijn, die een hoek maakt met het vlak der meridiaan-doorsnede van den worm; hierdoor valt het aanrakingspunt iets buiten dat vlak en dat des te meer, naarmate de schroeflijn meer gaat hellen. Wanneer dus do worm een eenparige wenteling heeft zal het rad eenige, hoewel kleine snelheidsschommelingen vertoonen. Tevens moet de rol eenige speling hebben in de groef van den worm.? Bij worm, zoowel als bij globoïd moet men bij de uitvoering er op letten, dat het geheel moet kunnen gemonteerd worden zonder het rad te verwijderen. De gemakkelijkste constructie is, de as los van de worm, en öf vierkant te maken (alleen geschikt bij kleine afmetingen) üf van een spie te voorzien, waardoor men in staat is de as uit don worm te trekken en daarna deze te verwijderen en omgekeerd. F. Sterkteberekening en constructie. Tanclstcrkte. Voor de berekening van de afmetingen van een tand: hoogte = //, dikte aan den voet =cl, KrPoHtp h neemt men aan, dat de omtrekskracht P werkt aan het uiteinde van den tand, als zijnde het ongunstigste geval (zie fig. 61); in dit geval is: P h = ~-bd2 (41) wanneer s■ is de toe te laten spanning in het tand materiaal. Wanneer de volle kracht juist op een hoek terechtkwam en het breukvlak zou een breedte krijgen van b\ dan is: 6 P l=°-b'd2 (42) b wanneer l is de loodlijn uit den hoek van den tand op het breukvlak neergelaten. Uit beide vergelijkingen (41) en (42) volgt voor gelijke 7 T = T (43) Noemt men den hoek, die 't breukvlak maakt met het zijvlak van den tand x, dan is: , b' sin x . b' cos x . ,, sin 2x l — rr = b sin x cos x — b —5—, b & l is dus een max. voor x = 45° en kan niet grooter worden dan l — Va b\ waardoor men voor de max. breedte van den tand vindt uit verg. 43: b = 2 h. Gaat men hier boven, dan zou men den tand bij in 't middenaangrijpende kracht wel sterker maken, maar bij mogelijk aangrijpen van deze in een hoekpunt, zou de tand toch schuin kunnen afbreken. Veelal neemt men als grens: b = 2s (44) als s de steek is en blijft dus onder l = i/2 b\ daar over 't algemeen h = 0,7s. De doorbuiging van eenen tand is zeer gering. Heeft men een tand van parabolischen vorm (de slapst te construeeren tand bij een gegeven materiaalspanning o-) dan is (fig. 62) de doorbuiging: , 2P h3 en P* = -Pdus 2 h2 180 mM, dan maakt men ze uit twee deelen, zooals fig. 66 aangeeft. Xaaf. Ieder wiel is op de as bevestigd door middel van een naaf, wier afmetingen volgens de as moeten worden vastgesteld. Men neemt do dikte der naaf: t = 10 mM + (d0 -f ^: 4 a 5, waarin d de dikte der as en do de dikte is, die de as zou moeten hebben, wanneer ze alleen het wringmoment had over te brengen. Waar de spie zich bevindt verdikt men de naaf of men maakt de geheele naaf over dit bedrag hooger. De lengte der naaf: 1= 1% a 1 %d. Wanneer de naaf dient tot afstandstuk en dan langer wordt dan noodig is, kan men de naaf van binnen van een uitholling voorzien (fig. 68), die den naam van kamer draagt. Men maakt dan: Z/2 = 0,4 a 0,5 d. Waar de spie loopt, laat men gaarne het materiaal van den naaf tegen de as aanblijven. De spie is tapsch in radiale richting, met een helling bijv. van 1 op 60 a 1 op 100. Als afmetingen van de spie kan men nemen: breedte: b = *1^1-^-6 a 8 mM naarmate d klein of groot is, hoogte: y2b -f-1 a 2 mM. Is de naaf uit twee deelen, dan kan men beide bevestigen öf door krimpbanden öf door bouten. Wielen tot een diameter van 1,8 M worden veelal uit een stuk gegoten, daar boven laat men de velling dikwijls nog uit een stuk bestaan, maar maakt de naaf in tweeën. Boven 3,5 M maakt men het geheele rad uit 2 of meer deelen. Krimpringen zijn moeilijk te berekenen. Men doet het best ze vierkant van doorsnede te maken. Noemt men de afmeting z, dan is: s^b (spiebreedte). Bouten berekent men op de centrifugaalkracht, die de beide helften uit elkaar tracht te trekken, waarbij men dan aanneemt dat de velg niets daarvan houdt. Is de velg uit twee stukken, dan berekent men de bevestigingsbouten daarvoor op dezelfde wijze en neemt dan aan, dat de naaf niets opneemt. Spaken. Voor het aantal spaken neemt men bijv.: ns — ^201) wanneer D is de middellijn van het wiel in Meters Heeft men een tandrad met ingezette houten tanden te vervaardigen, dan zorgt men er voor, dat het aantal spaken deelbaar is op het aantal tanden of omgekeerd. De berekening van de doorsnede der spaken geschiedt naar de volgende beschouwing. Wanneer de spaak loodrecht naar beneden staat (ongunstigste geval) krijgt elke spaak voor zijn rekening, het gewicht plus de centrifugaalkracht van 1/» deel der velg (aantal spaken n). Men neemt hier dus aan dat de velg niet meehelpt. Komt de spaak in de buurt van het andere rad, dan moet ze een zeker buigmoment opnemen, zoodat, ligt dit laatste onder, bij de daardoor ontstane spanning nog die door het gewicht en centrifugaalkracht veroorzaakt moet worden opgeteld; ligt het andere rad onder, dan moet bij de buigspanning worden opgeteld de spanning ontstaan door het verschil van centrifugaalkracht en gewicht. Veronderstelt men de velling stijf dan kan men rekenen, dat de tangentiaalkracht P, die de beide raderen op elkaar uitoefenen, door de velg op hoogstens 3 spaken wordt over- gebracht en wel in het geval, dat één spaak juist op de verbindingslijn der radmiddelpunten staat. De toestand wordt hier dus het ongunstigst, wanneer aan weerszijden dier verbindingslijn zich een spaak bevindt; in dit geval moet de tangentiaalkracht door twee spaken worden opgenomen. Fig. 09. Is de velling slap, dan zal het ongunstigste geval intreden, wanneer een spaak op de centrale valt, daar in dit geval de tangentiaalkracht door één spaak moet worden opgenomen, aangezien de velg te slap is om het op de volgende en voorgaande over te brengen. Velling slap, spaak stijf. (Eén spaak werkt). Men veronderstelle bij den overgang van spaak en velg een scharnierend punt; men heeft dan te doen met een ligger aan één zijde ingeklemd en aan het uiteinde belast met een kracht P; de lengte van den ligger is Z = R - r (fig. 70). Men heeft: P l — ,-W. Daar de doorsnede van de spaak meestal wordt als fig. 69 aangeeft, is dus: w = Wr'b of w = w, waarbij men bij de kruisvormige doorsnede alleen met den rechthoek rekent. Voor de verhoudingen der maten dier doorsnede heeft men aan de naaf: t ^ b h ^ 5b en hi Êï 31. Aan de velg worden deze afmetingen 4/5 van die aan de naaf. Spaken slap, velling stijf. (Twee spaken werken). Was de velling er niet dan zou door de kracht P/2 een doorbuiging worden veroorzaakt, waardoor het uiteinde een afstand f\ zakte en de raaklijn daar een hoek met den oorspronkelijken stand zou maken. Door de stijve velling Fig. 71. ontstaat een tegenwerkend koppel K, dat het einde over een afstand f2 terug beweegt, zoodat de totale doorbuiging wordt: f—fi —f» terwijl de hoek van de raaklijn wordt: X = Men heeft nu: f __ P/s i3 rn _ P/, l2 3 EI *x ~ 2 EI , _ KI2 KI '2 — 2EI en •*2 — EI" Bovendien is: R (^i ^2) —- f\ — f2 R == ^ "t- waaruit: *=¥><(£-£)• Daar r klein is ten opzichte van l, kan men bij benadering zetten: Het moment, dat op de gevaarlijke doorsnede (bij de naaf) werkt is dus: P/s z - P/f *, zoodat: Pl w = 7 W, O Velg. In den vorm der velg is niet veel onderscheid. De spaken kunnen aangrijpen in het hart (fig. 72) of aan den kant der velg (fig. 74). Dit laatste alleen bij noodzakelijkheid, daar het door de onsymetrische constructie niet zoo goed is. wanneer ln te gro( De dikte der velg neemt men meestal de helft van de steek (s/.2), terwijl men voor het gieten, deze naar het midden ^ wat op laat loopen. De ribverstijving is goed, ofschoon men daar voorzichtig mee moet wezen. Noemt men het traagheidsmoment van de rechthoekige doorsnede (fig. 74) I0 en dat van dezelfde doorsnede met een ribverstijving I„, dan zal wel: Io In, maar daar l0 < ln, kan toch best W„ = !" kleiner worden dan W0 = y- ln it wordt. De velg kan men langs de tanden geheel of gedeeltelijk laten doorloopen voor versterking der tanden (zie blz. 64). Bij kegelraderen worden de velgen als in fig. 73, alleen staan zij met de tanden dan schuin op de spaken. Bij kleinen diameter der raderen wordt het geheel uitge¬ voerd als de figuren 75 en 76 doen zien. Wordt de afstand van velg en naaf grooter dan in 76, maar toch nog niet groot genoeg om bepaalde spaken te maken, dan voorziet men de schijf tusschen velg en naaf van 4 of meer ronde gaten.