VEREENIGING TOT HET UITGEVEN VAN BEKNOPTE HANDLEIDINGEN BIJ HET ONDER-
XTO OA W,JS AAN DE TECHN1'
JÖ SCHE HOOGESCHOOL, U
i,
GEODESIE
BEWERKT NAAR HET COLLEGE VAN PROF. H. J. HÉUVELINK, DOOR A. GROOT HOF F, C. I.
PRIJS VOOR LEDEN:
. ING. ƒ1,40. GEB. f\j65^
MET WIT PAPIER DOORSCHOTEN ING. / 1,50.
GEB, ƒ 1,75. VOOR NIETLEDEN WORDEN DEZE PRIJZEN / 1,80, ƒ2,10, ƒ1,90, /2,20.
.f
DRUK EN UITGAVE VAN J.WALTMANJr. DELFT 1909
\
* - .. ' "























VEREENIGING TOT HET UITGEVEN VAN BEKNOPTE HANDLEIDINGEN BIJ HET ONDERWIJS AAN DE TECHNISCHE HOOGESCHOOL.
GEODESIE
BEWERKT NAAR HET COLLEGE VAN PROF. H. J. HEUVELINK, DOOR A. G R O O T H O F F, C. I.
DRUK EN UITGAVE VANj. WALTMAN Jr. DELFT 1909







V O C) R W O O R D.
Deze Handleiding is geheel bewerkt naar het College van Prof. H. J. Heuvelink. Bovendien is aan het slot opgenomen een verzameling examen-opgaven van de P. S. en 1. H., vanaf het jaar 1883 tot Sept. 1908.
De volgorde, waarin de verschillende onderwerpen op het College behandeld worden, is onveranderd behouden.
Ter wille van een meer beknopte en zooveel mogelijke overzichtelijke behandeling is het wiskundige gedeelte van verschillende formule afleidingen en -ontwikkelingen zeer verkort bewerkt.
A. GROOTHOFF.
's-Gravenhage, Juni 1909.







INHOUD.
HOOFDSTUK I.
Inleiding.
Bladz.
§ i. Doel der Geodesie 1
§ 2. Aardellipsoïde; benamingen van verschillende grootheden i § 3. Bepaling van eenige grootheden betreffende een bepaald punt op de geoïd als functies van lengte en breedte van dat punt 3
HOOFDSTUK II.
Metingen op de aardellipsoïde .... 6
HOOFDSTUK III.
Berekeningen op het bolvormig aardoppervlak.
§ r. Algemeen vraagstuk 8
^ 2. Voorwaardenvergelijkingen voor een driehoeksnet op
het bolvormig aardoppervlak 9
§ 3. Methoden ter berekening van bolvormige driehoeken . 13
HOOFDSTUK IV.
Berekeningen op de aardellipsoïde.
Overbrenging van geographische coördinaten op de aardellipsoïde 15
HOOFDSTUK V.
Kaartprojecties in het algemeen.
§ 1. Doel der kaartprojecties 19
§ 2. Algemeene eigenschappen van kaartprojecties .... 19



HOOFDSTUK VT.
Bijzondere kaartprojecties van het aardoppervlak.
Bladz.
§ i. Orthogonale projectie 23
§ 2. Stereographische projectie 25
§ 3. Conforme afbeelding van de aardellipsoïde op een bol. 52
§ 4. Projectie van Bonne . . . 37
§ 5. Projectie van Mercator 43
HOOFDSTUK VII.
Hoekmetingen.
§ 1. Algemeene uitvoering 44
§ 2. Stationswaarnemingen volgens Bessel 45
§ 3. Hoekmetingen volgens Schreiber 51
§ 4. Vergelijking der methoden van Bessel en van Schreiber. 56
§ 5. Excentrische punten 57
HOOFDSTUK VIII.
Basismetingen.
§ 1. Uitvoering en correctie der metingen 58
§ 2. Basismeettoestellen 60
HOOFDSTUK IX.
Vraagstukken.
§ 1. Vraagstukken betreffende Hoofdstuk III 62
§ 2. „ „ „ IV 64
§ 3- » » » V 66
§ 4- „ » » VI 68
§ 5- .. » » VH 7i
§ 6. „ „ „ VIII 72



BEGINSELEN DER GEODESIE.
HOOFDSTUK I.
INLEIDING.
§ i. Doel der Geodesie.
De Geodesie houdt zich bezig met metingen en berekeningen van een deel van het aardoppervlak. Zij onderscheidt zich daarbij van het gewone landmeten, doordat zij rekening houdt met de bolvormigheid der aarde.
In de Geodesie wordt de aarde beschouwd als een mathematisch oppervlak ter hoogte van den gemiddelden zeestand. Dit mathematisch aardoppervlak wordt geoïd genoemd; het oppervlak is bepaald, doordat in elk punt daarvan de vertikaal, d.i. de richting van de zwaartekracht, als de normaal van het vlak aangenomen wordt.
De taak van de Geodesie is in hoofdzaak tweeledig:
i°. Bepaling van de grootte en den vorm van de geoïd;
2°. Bepaling van de onderlinge ligging van punten op de geoïd.
§ 2. Aardellipsoïde; benamingen van verschillende grootheden.
Op grond van verschillende waarnemingen en metingen wordt de geoïd beschouwd als een omwentelings-ellipsoïde met de kleine as als draaiingsas. Reeds in de i8« eeuw werd door Huygens en Newton verklaard, dat de aarde geen bol was, maar een omwentelings-ellipsoïde, ontstaan door draaiing om de kleine as. De meening, dat de kleine as (lijn van Noord- naar Zuidpool) de draaiingsas zou zijn, werd in den aanvang bestreden, maar is eindelijk door metingen in Lapland en in Peru bevestigd.
Bij berekeningen worden veelal aangenomen de afmetingen van de aard-ellipsoïde volgens Bessel.
i



De grootheden, welke de aaid-ellipsoïde bepalen, worden gewoonlijk als volgt uitgedrukt:
halve groote as = a, halve kleine as = b,
• a —^
afplatting = ƒ = —-— ,
. . . „ «2 —£2
excentriciteit = e; e- = —-g— • J)
Het raakvlak in een bepaald punt P van de aard-ellipsoïde staat loodrecht op de normaal (d. i. tevens de vertikaal in P) en is dus het horizontaalvlak voor dat punt.
Willekeurige platte vlakken door de kleine as van de geoïd gebracht, geven als doorsneden met dit oppervlak congruente ellipsen, welke ,.meridianen" genoemd worden. Platte vlakken loodrecht op de kleine as geven als doorsnijdingslijnen met de geoïd de z.g. ,(JparallelcirkelsDe grootste parallelcirkel ligt in een vlak, dat door het middelpunt der aarde gaat en tevens de groote as bevat; deze parallelcirkel draagt den naam „equator".
De plaats van een punt op de geoïd wordt bepaald door twee grootheden:
i°. De geographische lengte d. i. de standhoek tusschen het meridiaanvlak van dat punt en een ander meridiaanvlak, dat als nulvlak is aangenomen. De geographische lengte wordt van uit het nulvlak in twee richtingen bepaald: n.1. als Ooster- of Westerlengte, elk van o° tot iSo° gerekend.
2f'. De geographische breedte d. i. de hoek, dien de normaal (tevens vertikaal) in dat punt maakt met het vlak van de equator. De geographische breedte wordt van uit het equatorvlak in twee richtingen bepaald: n.1. als Noorder- of Zuiderbreedte, elk van o° tot 90° gerekend.
De geocentrische breedte van een punt d. i. de hoek tusschen de verbindingslijn van dat punt naar het middelpunt der aarde en het vlak van de equator, wordt in de geodesie niet gebruikt.
Onder het azimuth van een lijn in een bepaald punt op de geoïd verstaat men den horizontalen hoek tusschen de meridiaan-
!) Voor de waarden van deze grootheden raadplege men 't blaadje: „Aardellipsoïde volgens Besshl", hetwelk op het college Geodesie uitgereikt wordt.



richting in dat punt en de bewuste lijn, gemeten vanaf het Noorden.
§ 3. Bepaling van eenige grootheden betreffende een bepaald punt op de geoïd als functies van lengte en breedte van dat punt.
Beschouw een meridiaandoorsnede en neem daarin aan als coördinaatassen: de groote as = A-as en de kleine as = J^as. De plaats van een punt P op deze meridiaan wordt alleen door zijn breedte bepaald; immers zijn de lengten van alle punten op een zelfde meridiaan gelegen gelijk.
iO. Bepaling van de coördinaten x en y van punt P ten opzichte van de assen X- O- Y.
Na berekening met behulp van de vergelijking voor de meridtaan-
O ..9
ellips -5 4- =4 = 1, vindt men ten slotte de volgende uitdrukkingen : ^ a2 fr-
ci cos qp A — (1 — e% sin2 )V«'
a (1 — £2) sin qp y — (! — e'1 sin2 <jp)''='
Fig. 1.



Beide uitdrukkingen hebben den zelfden noemer (i —e2 sitfl qp)1'; welke veel in geodetische formules voorkomt en daarom dikwijls door de letter W voorgesteld wordt, bijv.
a cos <f
x = —jv~ 
a (i — t'2) sin s y=——w (2)
2O. De straal r van den parallelcirkel door pwit P.
Deze grootheid is identiek met de abscis x van punt P, dus:
a cos ff . .
r = * = —pr (3)
3O. De normaal N in punt B.
De lengte van de normaal P N (N is het snijpunt van de normaal in P met de kleine as) wordt als volgt uitgedrukt:
«
De aarde is nagenoeg een bol; daarom zal het snijpunt JV van de normaal in P met de kleine as (zie boven) dicht bij het middelpunt der aarde gelegen zijn. De afwijking O N bedraagt:
O N = x tg 1]P —y.
Na substitutie van de waarden voor x en y en na herleiding volgt hieruit:
(5)
4O. De kromtestraal R van de meridiaanellips in t>unt P.
De kromtestraal is verschillend voor elk punt op dezelfde meridiaan. Men bepaalt R met behulp van de algemeene formules voor de kromtestraal en voor de meridiaanellips n.1.:
, /dy\
f + \dx) ) xl , j2
R ~ dVy_ " a2 + 1>Ï ~
d x2
Hieruit volgt na herleiding:
^ = (6)



5°. Verhouding van de normaal N tot de kromtestraal R in punt P.
N I — <?2 «'«2 qp ^2
-R= i-,2 = 1 + 7=172m2qp • • • • (7)
iV . . , . ,
-g- = i + positieve grootheid.
Dus R < N.
6°. Lengte S van de meridiaanboog tusschen twee punten en met gegeven breedten «jf j en <f -2-
Uitgaande van een elementaire boog ds = R d <f vindt men door integratie:
<p2
S = Jpdy fi
* = ƒ< <8>
Deze elliptische integraal kan met behulp van bepaalde tabellen opgelost worden.
70. Bepaling van de kromtestraal Ra voor een normale doorsnede met een asimuth A in punt P.
Brengt men in punt P van de aard-ellipsoïde verschillende vlakken door de normaal P N, dan behoort bij elke normaaldoorsnede in punt P een bepaalde kromtestraal. Onder deze oneindig veel normaaldoorsneden zijn er twee z.g. hoofddoorsneden, waarbij de kromtestraal of maximum of minimum wordt. In dit geval is voor punt P de maximum kromtestraal = N en de minimum kromtestraal = R.
Nu geeft het theorema van Euler aan het verband tusschen de kromtestraal R1 van een willekeurige normaaldoorsnede met azimuth A en de min. en max. kromtestralen A' en N n.1.:
1 cos'ï A si/ft A R~t = ~R~+ N
RN
RA ~ Ncos* A \ R sin* A (9'



of na eliminatie van R:
l £2 i
Ra = N | i -f ^<fi cos2 A j .... (9a)
80. Gemiddelde kromtestraal p in punt P.
De lengten van de verschillende kromtestralen en van de normaal in een bepaald punt P verschillen heel weinig. Daarom kan bij sommige vraagstukken zonder bezwaar een gedeelte van de aardellipsoïde vervangen worden door een deel van een boloppervlak. Voor de schaal p van de bol wordt dan genomen de gemiddelde kromtestraal in punt P van de ellipsoïde.
2 ir
Gemiddelde tfnal p = ± ƒ NcoflA\Rsii*A iA waaruil
o
na herleiding volgt:
p = VRN (10)
p is dus de straal van het boloppervlak, hetwelk in sommige gevallen voor zeker punt P in de plaats treedt van de aardellipsoïde.
HOOFDSTUK II.
METINGEN OP DE AARD-ELLIPSOÏDE,
In de practijk van de metingen herhaalt zich telkens de volgende hoekmeting:
Gevraagd in zeker punt P^ op de geoïd den hoek te bepalen tusschen de richtingen naar de punten P~2 en P-A.
In de practijk wordt dit vraagstuk als volgt opgelost:
Men stelt in het hoekpunt Pl een theodoliet op met de ie as in de richting van de normaal (= vertikaal in hoekpunt) en de 2e as horizontaal.



Daarna wordt de kijker achtereenvolgens op de punten P2 en jP3 gericht en de horizontale hoek tusschen deze twee richtingen afgelezen. I)e twee richtingslijnen, welke dien horizontalen hoek vormen, liggen, behalve in het horizontaal vlak van l\, bovendien ook elk in een normaal vlak, want de kijker beschrijft immers eveneens een vertikaal vlak gaande door de ie as d.i. een normaalvlak.
De gemeten hoek tusschen beide richtingen P\ Po en Pj Ps wordt dus feitelijk gevormd door de raaklijnen aan de normaaldoorsneden van de ellipsoïde in het punt van waarneming 1\ en gaande resp. door de punten P2 en Ps.
Aldus geschiedt de practische meting; thans volgt daaromtrent deze theoretische beschouwing:
Bovengenoemde twee normaalvlakken in P± zullen in het algemeen de normalen in Po en P3 niet bevatten. Liggen n.1. twee punten niet op denzelfden parallelcirkel, dan zullen hare normalen ook niet in één vlak liggen, maar elkaar kruisen. Indien men dus in punt P<£ een hoekmeting voor de richtingen naar /\ en PA verricht, dan zullen de twee normaalvlakken in P% gaande resp. door Pi en P3 ook de normalen dier twee laatstgenoemde punten niet bevatten. Het gevolg is, dat de richtingslijn Pl Po van uit P^ gericht niet in hetzelfde normaalvlak ligt met de lijn P2 Pt van uit Po gericht. De twee normaalvlakken, waarin gericht wordt, vallen dus niet samen, zoodat men twee verschillende normaaldoorsneden door de punten P\ en Po gaande verkrijgt, welke niet samenvallen en derhalve ook twee verschillende richtingslijnen Pi P% en Po 1\ opleveren al naarmate men de richting tusschen beide punten in Py of in Po bepaalt.
De aldus optredende afwijking bij de azimuthbepaling van de richtingslijn kan berekend worden en is bepaald op: i & S* . , „
(*! — Xo) = — I_ei JV2 stn 2 XI cosl ? ■
De afwijking — ot2 bereikt een maximum waarde voor sin 2 oi\ — 1 n.1.:
I ^2 5*2
(x\ — <*2)"»'«•» = x e2 yv"2 C0S' t P "
Ter bepaling van die grootste afwijking voor Nederland moet men dan voor S de grootste zijde van het primaire driehoeksnet substitueeren en voor de kleinste breedte, omdat deze dan de grootste waarde van (oc\ — <*2)"»»<«* opleveren.



Stel S = 51.002 M. dus ~ = —en <f = 50° 50' dan is voor Nederland:
/ \» 1
(<Zl Xo) max = ± Sec.
-1 IOO
Nu bedraagt bij de meest nauwkeurige metingen de middelbare fout in de richting toch nog i/g", dus kan men de afwijking van l/ioo" 'n de praktijk gewoonlijk gerust verwaarloozen.
Bij verbindingslijnen van verschillende driehoeksmetingen evenwel en bij theoretische beschouwingen moet men wel degelijk rekening houden met die afwijking in de richtingsbepaling. Men voert dan een nieuwe grootheid in als 3= richtingslijn, de geodetische lijn genaamd, en reduceert hierop de metingen.
De geodetische lijn tusschen twee punten verdeelt den afwijkingshoek tusschen de twee normale doorsneden in reden van 1:2 en is ook de kortste verbindingslijn tusschen die punten, op de aardellipsoïde gemeten. Daar de hoek tusschen die normale doorsneden zeer klein is kunnen de gemeten richtingen beschouwd worden als te zijn geschied in de richting van de geodetische lijn.
HOOFDSTUK III.
BEREKENINGEN OP HET BOLVORMIG AARDOPPERVLAK.
§ 1. Algemeen vraagstuk.
Bij de vereffening en berekening van een driehoeksnet op het aardoppervlak doet zich telkens het volgende vraagstuk voor:
Gegeven een driehoeksnet op het aardoppervlak.
Gevraagd de voorwaardenvergelijkingen op te maken, waaraan de hoeken en zijden moeten voldoen.
Dit vraagstuk is op te lossen voor drie gevallen, n.1.:
i°. Voor het aardoppervlak als een plat vlak beschouwd;
2°. Voor de aarde als boloppervlak;
3°. Voor de aard-ellipsoïde of geoid.
De oplossing voor het eerste geval n.1. van het driehoeksnet in het platte vlak wordt bij het gewone landmeten behandeld. De twee andere gevallen behooren tot de Geodesie.



Hieronder volgt de oplossing van het bovengenoemde vraagstuk in het tweede geval d. i. dus de aarde, ter plaatse van het driehoeksnet, beschouwd als een boloppervlak.
§ 2. Voorwaardenvergelijkingen voor een driehoeksnet op het bolvormig aardoppervlak.
Voor de straal van het bolvormig aardoppervlak wordt aangenomen de gemiddelde straal in een punt van de aard-ellipsoïde, waarvoor het boloppervlak in de plaats treedt. Dat punt wordt gekozen op de gemiddelde breedte van den driehoek.
Volgens formule (10) van hoofdstuk I (§ 3) wordt die straal van de bol dus uitgedrukt door:
r = p - V R N.
Hierin moeten R en N bepaald worden voor de gemiddelde breedte van den beschouwden driehoek.
I)e voorwaardenvergelijkingen voor de hoeken en zijden van dien driehoek op het boloppervlak zijn de volgende:
I. Som der hoeken in boldriehoek:
Som hoeken = 180° -f spherisch exces
Inhoud boldriehoek „ = 1800 + ^ P ■
Voor den inhoud van den boldriehoek wordt bij benadering aangenomen de inhoud van den vlakken driehoek dus bijv.:
ƒ = — a b sin C; bovendien r2 = R N.
2
Derhalve :
P"
Som hoeken = 180° -j- a b sin C ^ ^ .... (I)
Elke driehoek van het net geeft dus bovenstaande voorwaardenvergelijking (I).
Voor den grootsten driehoek in het hoofddriehoeksnet van ons land bedraagt het spherisch exces:
e" = 4",262.
Legt men dezen grootsten driehoek zóó, dat diens gemiddelde breedte komt op de uiterste grenzen van de breedte van ons land n.1. resp. ifi — 50° 50' en </2 = 53° 35' (de gemiddelde breedte is



<f = 52° io) dan kan dit o",ooi2 verschil opleveren. Dit verschil is te verwaarloozen.
P"
Voor een dergelijk driehoeksnet kan dus de factor —-=-= in de
2 ^ V K
voorwaarden vergelijking (I) als constant aangenomen worden. De waarden van N en R dienen dan bepaald te worden voor de gemiddelde breedte van het driehoeksnet.
II. Driehoeken om centraal punt.
De tweede soort voorwaardenvergelijkingen geldt uitsluitend voor driehoeken om een centraal punt gelegen, n.1.:
2 log sin rechtsche basishoeken = 2 log sin linksche basishoeken.
Stel gemeten rechtsche basishoeken = R, en genieten linksche basishoeken = L en de vereffende hoeken resp. R x en L -f x, dan voldoen dus laatstgenoemde hoeken aan bovenstaande vergelijking, n.1.:
2 log sin (R -f x) = 2 log sin (L x).
Nu is nep log sin (R -|- x) te ontbinden volgens den regel:
f{R + x) = /(R) + xf (R) + enz.
Herleid tot gewone logarithmen wordt dit:
x
log sin (R -f- x) — log sin R -) ,r M co tg R,
r
waarin M = log e (modulus van het logarithmenstelsel).
Door substitutie in de voorwaardenvergelijking verkrijgt men :
M Mx
2 log sin R S —ir~ x c°tg R — 2 log sin L -)- 2 „ cotg L
of:
p" (2 log sin R — 2 log sin I)
^ = 2 « cotg L — Zx cotg R
JV1
uitgedrukt in gewone eenheden.
Indien men den teller van het eerste lid uitdrukt in eenheden van de 7° decimaal, wordt de voorwaardenvergelijking: p" (2 log sin R — 2 log sin L)
— =■ — =2 xcotgL — 2 x cotg R ... (II)
MX io7 6 6 v '
III. Sinusregel met additamenten.
In een boldriehoek met zijden a, b, c en hoeken A, B, C geldt de volgende sinusregel:
sin a : sin b : sin c = sin A : sin B : sin C.



Fig. 3.
In deze vergelijking zijn a, b en c natuurlijk in hoekmaat van de boog (zijde van den boldriehoek) uitgedrukt, terwijl in werkelijkheid de boog in lengtemaat S% en S3 gemeten wordt, dus:
•Si .
a = ——, b = —— en c — — r r r
of na substitutie en herleiding in de sinusvergelijking:
r sin —: r sin — : r sin —- = sin A : sin £ : sin C. r r r
Stelt men nu:
. -Si , . ^ ,
r sin —- = a ,r sin —- = b en r sin = c ,
r r r
dan is overeenkomstig de sinusregel van den vlakken driehoek: a': b' \ c' = sin A : sin E : sin C. ... . (III) De beteekenis van a', b' en c' is evenwel een geheel andere dan bij den vlakken driehoek, waar zij de zijden zouden voorstellen.
a', b' en c' worden genoemd de gereduceerde zijden van den boldriehoek. De gereduceerde zijde a' bijv. wordt dus voorgesteld door de volgende uitdrukking:
, • ^1 a = r sin —.
r
De waarde van a' ten opzichte van de gemeten grootheid Si
£
kan verder berekend worden door r sin -y- in een reeks te ontwikkelen.
Het resultaat van deze reeksontwikkeling is na herleiding ten slotte: ■ • 4
log a' = log Si \ M ~h, M~j\ •• • enz-



In deze uitdrukking voor log a' mogen de termen van de 4c en hoogere orde verwaarloosd worden, derhalve :
log a' = log Si — ~ M
log a' = log Si — additament (.9]).
Rij berekeningen wordt het additament gewoonlijk in eenheden van de 7e decimaal gegeven, dus is het additament in bovenstaande vergelijking:
1 s 2
addit. = -j- M 1 o? V.
6
Op dezelfde wijze als hierboven voor a' vindt men de andere additamenten, n.1.:
log b' = log S2 — additament (S2) log c' = log S3 — additament (SA)
Door een andere reeksontwikkeling toe te passen op de uitS
drukking van a' = r sin — vindt men na herleiding ook eenigszins andere uitdrukkingen voor de additamenten, nl.:
I ^'2
log Si = loga' -f 6 M. io7 —2"
of log Si = log a' -f addit. (a') log S2 — log b' -+- addit. (b') log Ss = log c' -+■ addit. (c')
Vergelijkt men dit drietal uitdrukkingen met de hierboven vermelde, dan volgt daaruit onmiddellijk de gelijkheid van de overeenkomstige additamenten. Voor de factor in de uitdrukking van het additament substitueert men r2 = RN, welke laatste grootheden genomen worden voor de gemiddelde breedte van het driehoeksnet.
Met behulp van de Sinusregel met additamenten kan men heel gemakkelijk de voorwaardenvergelijkingen opstellen voor het verband van twee zijden in een driehoeksmeting.
Dit geval doet zich o. a. voor bij de aansluiting van twee driehoeksnetten. Stel bijv. dat en 52 van de twee in de figuur afgebeelde aansluitende driehoeken gemeten zijn evenals ook alle hoeken 1, 2 . . . . enz.



Fig. 4.
Uit Si en S2 bepaalt men de gereduceerde zijden a' en b': log a' = log Sl — addit.i log b' — log S% — addit.2
Voor a' en b' en de vereffende hoeken 1 + x±, 2 -f x2. ... enz. geldt de volgende betrekking, welke uit de sinusregel is af te leiden:
b' _ dn (4 + ^4)sin (' + ^l) a,
~ sin (s x5) sin (2 + x2)
Deze voorwaarden-vergelijking kan nog in een eenigszins andere gedaante uitgedrukt worden, nl.:
log b' — log a' = log sin (4 -f *4) + log sin (1 + *1) — — log sin (5 + #5) — log sin (2 -f *2) waaruit na verdere herleiding volgt (uitgedrukt in eenheden van de 7e decimaal):
M £ ip7 | log b' — log a' — log sin 4 — log sin 1 + log sin 5 -|4- log sin 2 | = x4 co tg 4 + a-j co tg 1 — x5 co tg 5 — x2 cotg 2.
§ 3. Methoden ter berekening van bolvormige driehoeken.
I. Additamentenmethode.
Met behulp van de additamenten kan de berekening van een gemeten driehoeksnet op eenvoudige wijze plaats hebben. Men voert in de gereduceerde zijden a', b', c' . . . enz. en past hierop de sinusregel toe. Aldus doet men de doorgaande berekeningen in het net steeds met de gereduceerde zijden en brengt later bij het eindresultaat het additament uit om de werkelijke zijde te vinden.
J



Fig- 5*
II. Methode van Légetidre.
Volgens deze methode wordt de boldriehoek ABC vervangen door een vlakken driehoek A' B' C' die dezelfde lengten van zijden heeft en de hoeken gelijk aan de overeenkomstige van den boldriehoek, verminderd met l/3 van het spherisch exces, nl.: C = C —1/3 £
B' = B —1/3 £
A' = A —1/3 s.
Dit geldt natuurlijk alleen voor de vereffende hoeken: A = 1 -f B ■= 2 -)- x2 en C = 3 xs.
De vereffening der hoeken 1, 2 en 3 van den boldriehoek geschiedt volgens de voorwaardenvergelijking:
Som der hoeken = 180° -f spherisch exces.
De methode van Légendre kan zijn nut hebben bij voorloopige berekeningen.
III. Methode van Delambres.
Deze methode heeft nog slechts historische beteekenis; zij is in ons land toegepast door Krayenhof.
Bij deze methode wordt de boldriehoek vervangen door den bijbehoorenden koordendriehoek.
De hoek tusschen de koorden is niet gelijk aan den hoek tusschen de bogen.
Daarvoor is een correctie noodig:



In deze uitdrukking is A' = hoek tusschen de koorden, A = hoek tusschen de bogen en en h% resp. de afwijkingshoeken tusschen de koorden en bogen zijnde de beenen van de hoeken A' en A. Voor de koorde geldt de uitdrukking:
5
k — 2 r sin ,
2 f
of na herleiding:
1 m S
log k = log S — M i o' ~2.
HOOFDSTUK IV.
BEREKENINGEN OP DE AARDELLIPSOIDE.
Overbrenging van geographische coördinaten op de ellipsoïde.
Indien men van een punt Pi, bijv. een hoekpunt van een driehoeksnet, kent de lengte en breedte, dan is dit punt op de ellipsoïde bepaald en kan men daaraan een ander punt P2, bijv. een 2e hoekpunt, vastleggen door het azimuth van de verbindingslijn der twee punten (zijde van het driehoeksnet) in het eerstgenoemde punt en de lengte van die lijn te bepalen.
De vastlegging van het tweede hoekpunt aan het bekende eerste hoekpunt kan als vraagstuk aldus gesteld worden:
Gegeven:
Breedte van Pj = qij;
Azimuth van Pi P<i in P\ = xi;
Zijde Pi P2 in meters = s.



Gevraagd:
Breedte van P2 = qp2;
Lengteverschil tusschen Pi en P2 = X;
Azimuth van P2 P1 in P2 = = i8o° -f (3.
(Zie fig. 6).
Oplossing: In plaats van 'f 2> ^ en «2 = i8o° -f /3 als onbekenden te stellen, kan men daarvoor ook aannemen: <f2 — qPj, a en (3 —
Deze grootheden kunnen ieder voor zich uitgedrukt worden in functies van s:
q>2 — (jpj = fx (s)
'K=h U)
P — «1 =fz(s)
Deze functies kunnen volgens de reeks van Maclaurin ontwikkeld worden, n.1. aldus:
f{A = j/(') \ +■{* +T^s2+ enz-
s=o s=o s=o
Nu is voor f = o:
/i (s) = h (s) =fs (s) = °>
derhalve vervalt in de reeksontwikkeling de term ƒ (s), — 0 voor alle drie gevallen.
Verder is:
dfx (s) = d<f df2 (s) = d'A
dh (s) — = <lx.
Na substitutie van deze waarden in de reeks zijn:
»2-»1=/iW = '(-Sr)0 + Tj2 (T?)0 + • •
\=h(s) = S (£)§ + \ fi )o + . . . .
^=*0 = '(£)# + i'(£)# + • •
Thans dienen de waarden van de afgeleiden bepaald te worden. Daartoe beschouwt men de zijde s als de geodetische lijn tusschen Pl en P2 (meetkundige plaats van normaaldoorsneden), dan geldt voor een element van deze lijn:



rfqp i
R dy = ds cos x of —jj- = cos x . . . . (i)
r d\ = ds sin x, r = straal parallelcirkel,
— N cos qp,
, ï .
of: -j— = -jf «r qi sm x (2)
dsN w
en iV 1 dx = ds sin x of:
dx 1 , . — = —sln*tg<V (3)
Ter vereenvoudiging van de verdere berekeningen is het noodig de volgende uitdrukkingen in te voeren:
HL _ yi. £ ,
R ~ ' (i—e*yis
a (1 —e2) c
R = (i—ei siffi qp)"/» = ~W
N= = — .
(i—^2 qp)'/a F
Derhalve is:
rfqp 1 T3
—3— r=. — COS X = COS X
ds Ji c
d\ 1 F .
-3— = -vy sm x sec cf> = «« x sec qp
ds N c
dx 1 f
-jj- — -ff sm xtg qf= — sin x tg <f.
Voert men verder nog in: f2
0 = S en S cos2 qp = vft, dan is:
1 —ez
pl
F2=I + 0 COS* qp = I + 3 <w2 qp = 1 -f Jj2
i —et
d tg qp 1 d sec ff
—— = 1 4- /V2 qp = —0— > —j = sec V qp
dqp <w2 q; ' dq> " *
K F rfiT F3
-~r— = — v)2 «w « qp; = — n-y 1" cos x tg qp.
2



Met behulp van bovenstaande uitdrukkingen vindt men door verdere differentiatie en herleiding bijv. van de tweede afge¬
leide :
'JJ'f — — s'"~ x 1 JV'2 cos2 x *£ y v>~'
Na substitutie van —3— en , 0 in de reeks voor <f2 — <jpj: as as*
( d(f \ 1 1 2 ( \
^♦x=,W0 + ^l7j) + . • • •
wordt deze functie <f2 — 'ï 1 in hoekmaat uitgedrukt:
y.i t
('f 2 — 'll)sec = p $2 P 2 ^2 ■f!2 1
- • • • ■ enz-
Hierin is: Jj = s sin x
en J2 = s cos oc.
Op dezelfde wijze vindt men:
(A)/„s<v = P" ^ *1 sec qpx + p" -^2 Jl J2 ^ 'Pl sec <Pl + + P" s# (' + 3 tg2Vi) sec qPi .... enz.
(/3 - «i),««r = /5" ^ fi + -yjvjï si f2 (* + 2 'A'2 ¥ï) +
+ T^2 J1 s2W ... . enz.
Bij de toepassing van deze reeksen worden zooveel termen in rekening gebracht als noodig zijn tot het verkrijgen van den verlangden graad van nauwkeurigheid in de resultaten der berekening.
Voor een boloppervlak wordt het vraagstuk van de overbrenging van geographische coördinaten veel eenvoudiger, want dan is: R = N = r (straal van de bol).
Voor de straal van de bol moet genomen worden de normaal van het punt waarvan men uitgaat.



HOOFDSTUK V.
KAARTPROJECTIES IN HET ALGEMEEN.
§ I. Doel der kaartprojecties.
Een kaartprojectie dient om een meting op het aardoppervlak in kaart te brengen, waarmede in de geodesie meer in het bijzonder bedoeld wordt de voorstelling (z.g. „projectie") van het gebogen aardoppervlak op een plat vlak. Eigenlijk is van een werkelijke projectie daarbij niet altijd sprake en heeft men in het algemeen slechts met een afbeelding te doen. Er zijn oneindig vele wijzen van projectie.
Een bruikbare kaartprojectie moet niet alleen een duidelijke voorstelling van het opgemeten terrein geven, maar zij moet bovendien ook geschikt zijn voor eenvoudige berekeningen. Het is namelijk regel, dat men eerst in projectie, dus op het platte vlak, berekent en daarna de resultaten van de berekening op het aardoppervlak overbrengt. Een eenvoudig verband tussc'nen de elementen en hun projecties is bij kaartprojecties dus zeer gevvenscht.
§ 2. Algemeene eigenschappen van kaartprojecties.
Deze algemeene eigenschappen gelden niet alleen voorde projectie van een gebogen oppervlak op een plat vlak doch ook voor het meer algemeene geval eener projectie van een gebogen oppervlak op een ander gebogen oppervlak.
Eenvoudigheidshalve worden in de volgende beschouwingen de oppervlakken op „ware grootte" aangenomen, dus niet op „schaal" gereduceerd.
Het oorspronkelijke, te projecteeren, oppervlak kan men zich door stelsels van elkaar snijdende willekeurige lijnen in een zeker aantal aaneengesloten oppervlakte-elementen verdeeld denken. Al deze elementen te zaraen, geprojecteerd op een willekeurig ander oppervlak, geven samen de projectie van het oorspronkelijk oppervlak.
In het algemeen zullen de inhouden, lijnen en hoeken van het element in projectie verschillen van die van het overeenkomstig element der oorspronkelijke figuur en zullen daartusschen bepaalde betrekkingen bestaan.
De aard eener projectie wordt bepaald door de betrekkingen tusschen de geprojecteerde en de oorspronkelijke elementen. De



verandering in hoeken en inhouden bij projectie kan in functies van lijnen uitgedrukt worden. Daarbij verstaat men onder vergrooting de verhouding van een elementair lijntje in de projectie tot zijn oorspronkelijke lengte.
Stel d s' zij een projectie van een element ds, dan wordt de vergrooting voorgesteld door:
ds' t" — •
d s
1. De vergrooting is niet alleen afhankelijk van de plaats maar ook van den stand (= de richting) van het elementair lijntje.
2. Van de oneindig veel richtingen in een punt zijn altijd twee onderling loodrechte richtingen aan te wijzen, die ook in de projectie loodrecht op elkaar blijven. Deze twee bijzondere richtingen noemt men de hoofdassen van projectie.
3. Zijn voor een punt de richtingen der hoofdassen en hun vergrootingen gegeven, dan kan men de vergrooting in elke andere richting door meetkundige constructie vinden.
4. De projectie van een elementaire cirkel is een ellips met de assen volgens de hoofdassen van projectie a en b.
5. Verandering van hoeken.
Stel x = oorspronkelijke hoek en x' zijn projectie, verder a en b resp. de vergrootingen volgens de hoofdassen (a > b), dan bestaat deze betrekking:
b
tg ot! = tg <*.
Voor b = a, dus:
x' = x.
Bij een projectie, waarvan de vergrootingen volgens beide hoofdassen gelijk zijn, gaan de hoeken onveranderd over. Zulk een projectie wordt een conforme (ook wel orthovorme) projectie genoemd. Bij een dergelijke projectie zijn ook de vergrootingen volgens alle assen gelijk (projectie van elementairen cirkel blijft een cirkel, r = b = a).
6. Grootste hoekverandering.
De grootste verandering van een willekeurigen hoek treedt op, wanneer het eene been van dien hoek ten opzichte van een hoofdas in projectie een maximum en het andere been ten opzichte van dezelfde hoofdas een minimum hoekverandering geeft.



Algemeene uitdrukking voor de hoekverandering ten opzichte van één der hoofdassen:
sin (x — x') = sin (x -f «') X #
Maximum hoekverandering ten opzichte van een hoofdas:
ci b
sin («-+-«') = i; (x — x)m„x. — bg sin a , y
Minimum hoekverandering ten opzichte van een hoofdas:
sin (x -f x') = — i; (x — x')min. = — bg sin ~rj-
Grootste verandering van een willekeurigen hoek is dus:
. a—b
2 her si 11 
a Jf-b'
waarin a en b de vergrootingen volgens de hoofdassen voorstellen. 7. De vergrooting in een willekeurige richting. (Zie de figuur).
oorsp-ftQ, projectie
F'g- 7-
/ d s' \ ^
tii- = ( y J — a2 cos2 x -\- b- cos2 x.
a en b stellen voor de vergrootingen volgens de hoofdassen O A en O B.
Bovenstaande uitdrukking voor m is door kwadrateering en optelling der volgende vergelijkingen verkregen:
m cos cc' = a cos x (x)
m sin x' — b sin x (2)
8. De vergrootingen langs de twee beenen van een hoek. Gevraagd:
ll S\ ll S') ,
Js, = '"1 en dsï = m* (Zle hS- 8).



oorspr■ fiQ ƒoroyecCie
Fig. 8.
Door middel van dezelfde twee hulpvergelijkingen (i) en (2) onder No. 7 leidt men af de algemeene betrekking: m<i sin <f' = a b sin <f>.
Voor het bijzondere geval, dat q>' = <f blijft, is dus:
m± 7/1.2 = a b.
Als een hoek bij projectie onveranderd overgaat is het product der vergrootingen in de richtingen van de beenen constant, n.1. gelijk aan het product der vergrootingen langs de hoofdassen.
9. De vergrooting in de richting, waarvoor de maximum hoekverandering optreedt.
Volgens No. 6 geldt voor (x' — x) = maximum de voorwaarde
x' + x = 90°, in verband waarmede de betrekking tg x — | ^
afgeleid kan worden. (Zie ook No. 5).
Volgens No. 7 is:
in cos x' — a cos x. x \ x' = 90° dus: m sin x — a cos x.
vi tg x = a.
tg x = | dus: »i | J ~
I b I r~~l
m — a - | a b.
Cl



10. Verandering der inhouden.
Zie fig. bij No. 7.
dI' O' A' P' B' _ 0'A' X O' B' Verhouding jj = qAPB ~ oA X OB
dr
dï = ab-
De verhouding der inhouden is dus gelijk aan het product der
vergrootingen langs de hoofdassen.
Bijzonder geval, wanneer de inhouden onveranderd overgaan 111
dl' . . _ .
projectie, dus -tj — 1 n-b voor a " —
Een dergelijke projectie noemt men een equivalente projectie. Uit de voorwaarden voor conforme {a = b) en voor equivalente projectie (a b = 1) volgt, dat deze projecties in het algemeen bij een gebogen oppervlak niet gelijktijdig kunnen optreden.
HOOFDSTUK VI.
BIJZONDERE KAARTPROJECTIES VAN HET AARDOPPERVLAK.
Een punt op aarde wordt bepaald door zijn breedte <jp en lengte A. In projectie op een plat vlak dus op de kaart bepaalt men het geprojecteerde punt door rechthoekige coördinaten x en y. Wanneer men nu kent:
x =fi (<f, A) en y ~ fi (<f , A), dan behoeft men slechts voor de verschillende punten de waarden van hun f en A te substitueeren om dan de x's en y's van de overeenkomstige punten in projectie te bepalen.
Bovengenoemde functies voor * en y zijn afhankelijk van de
wijze van projecteeren.
Hieronder zullen achtereenvolgens verschillende kaartprojecties
van het aardoppervlak behandeld worden.
§ 1. Orthogonale projectie.
Bij de orthogonale kaartprojectie wordt de aarde beschouwd als een bol en het in kaart te brengen terrein geprojecteerd op een raakvlak aan dat boloppervlak in het middelpunt M van het terrein.



De groote cirkels door het punt M gaande projecteeren zich dan als rechte lijnen en de cirkels evenwijdig aan het raakvlak als concentrische cirkels om M als middelpunt.
Fig. 9.
In een bepaald punt O van het te projecteeren aardoppervlak worden dus de hoofdassen van projectie aangegeven door de richtingen van bovengenoemde cirkels, die door dat punt gaan.
Vergrootingen.
Voor de cirkels evenwijdig aan het raakvlak is de vergrooting:
— 1.
Voor de groote cirkels door M is: m<y = cos S, waarin 5 voorstelt de hoek tusschen de raaklijn in zeker punt van den cirkel en het projectievlak (raakvlak in Af).
;//1 en wz2 zijn de vergrootingen voor de hoofdassen; ni\ > /«2 dus a = 1 en b = cos S, waaruit tevens volgt: m„,ax. = 1 en mmi„. = cos 3.
Grootste hoekverandering.
De maximum hoekverandering ten opzichte van een hoofdas wordt als volgt bepaald:
sin (a.' —jc)= " bb = tg1 % ^ ~ lU 'j2<
x' — x = 1/4 ^2-
De maximum verandering voor een willekeurigen hoek is dus tweemaal zoo groot of */2 a-.



Inhoudsverandering.
dI' , »
, „ = a b — i X cos o — al
= i — 2 siifi i/2 ö = i — l/2 32.
Voor een cirkelvormig terrein met een straal van 26 K.M. —
= —1— r (r — straal van den bol) wordt: 240 v '
^ ~~ 240
Min. vergrooting: = 1 - l/2 X (^-) = 1 ~ "jT^oö"
Max. hoekverandering = l/2 X ) X f" = 1 ",S.
Inhoudsverandering = i .
0 115200
Alle deze grootheden kunnen bij het in kaart brengen van weinig uitgestrekte metingen geheel verwaarloosd worden.
§ 2. Stereographische projectie. -
De stereographische kaartprojectie is reeds van oudsher bekend (Plinius) en komt overeen met de centrale projectie in de leer van de perspectief.
De projectie of afbeelding van een deel der aarde op het platte vlak kan in twee tempo's geschieden:
iO. projectie van de aardellipsoide op de bol en 20. projectie van de bol op het platte vlak.
Voorloopig wordt het af te beelden terrein nog beschouwd als te liggen op een boloppervlak en wordt het geprojecteerd op een raakvlak in het midden M van het terrein.
Hierna volgt dan onder § 3: de conforme afbeelding van de aardellipsoide op een bol.
Het centraalpunt O van de projectie wordt diametraal tegenover M aangenomen.
De stereographische kaartprojectie heeft de volgende eigenschappen :



Fig. 10.
1. De projectie van een cirkel is weer een cirkel, maar het middelpunt C van de projectie is niet de projectie van het oorspronkelijk middelpunt van den cirkel.
Oorspronkelijke cirkel en projectiecirkel zijn n.1. antiparallele doorsneden van den projecteerenden kegel uit O.
2. Alle hoeken gaan onveranderd in de projectie over.
Deze eigenschap van conforme projectie kan zoowel uit de meetkundige projectiefiguur als uit de algemeene projectiestellingen bewezen worden. Voor het laatste bewijs wordt uitgegaan van de projectie van een elementairen cirkel in een bepaald punt. Deze projectie is weer een elementaire cirkel, waarvan het middelpunt beschouwd mag worden als de projectie van het oorspronkelijk middelpunt.
dA
Aldus is -jp = constant aan te nemen d.w.z. de vergrooting
voor alle richtingen in het beschouwde punt is even groot, waaruit volgt, dat de stereographische projectie een conforme projectie is (vergelijk blz. 20, punt 5).
3. De vergrooting in een willekeurig punt P.
Deze grootheid wordt uitgedrukt als functie van den afstand p van P tot M (n.1. de voerstraal) en van de straal van de bol:
p2
= 1 + JWr
De maximum vergrooting voor een bepaald terrein is dus:
. P max.
M ma x. = I ~j~ ^ •



Het blijkt mogelijk de maximum afwijking bij projectie tot de helft terug te brengen door de kaart op een bepaalde schaal te teekenen.
Van de bol op de kaart ware grootte is de vergrooting in een P2 ( P2 \
willekeurig punt i + dus lengte a wordt a ^ i + J.
Teekent men nu de kaart op schaal i : ^ i — ) l'an wordt
( P2 \ ( p^max. \ || ci in de teekening op schaal : a ^ i -)- ^ ^ ^ i g~^2~J' welke
waarde te benaderen is tot:
( i P2 P^max. j e
a I 1 + 4^?2_ 8i?2 i
n2 n2
. f {"max.
vergrooting m = i + 
m wordt minimum voor p = p min. — O*
P Max.
Wintin. = I g 9
d.i. dus de vergrooting in het middelpunt M. m wordt maximum voor p — P max,
P^/ntix.
huix. — i ~f~ g 2 •
De maximum afwijking in de projectie is aldus tot op de helft terug gebracht.
Bij de stereographische kaartprojectie komen verschillende vraagstukken voor, waarvan hieronder een paar voorbeelden behandeld zullen worden.
ie vraagstuk.
Een boldriehoek op het aardoppervlak zal zich stereographisch op de kaart projecteeren als een driekhoek van cirkelbogen, waarvan de driehoek gevormd door de koorden dezer cirkelbogen een eerste benadering is.
Gevraagd: het verband tusschen een zijde van den boldriehoek en de koorde van de daarbij behoorende projectie-cirkelboog.



Oplossing:
Stel zijde A B van A A B C op de bol = s.
» koorde AB „ „ „ „ „ = k.
„ „ A' B' op de kaart = k'.
Tusschen s en k bestaat de volgende betrekking (zie blz. 15):
1
log k = log s — — M X io7 x ^2 ' • ' • W
Het verband tusschen k en k' vindt men als volgt: K_ _ A'B' _ OA' _ OB' k ~ AB ~ OB ~ ~OA~
( k' \2 OA' OB'
{ k ) ~ OB X ÖA~ ~ 'n t X of: k' = k\Zm,\ X "in (II)
De vergelijkingen I en II geven samen het gevraagde verband tusschen s en k'.
2" vraasstuk.
Gevraagd: de betrekkingen tusschen de hoeken van den boldriehoek en de hoeken van den koordendriehoek op de kaart (Vergelijk het i= vraagstuk).
Oplossing:
Beschouw weer den boldriehoek A B C en diens projectie A' B' C'. siereociripr-o/, Hoek A'B'C' (koordendriehoek)
= Hoek A' B' C' (cirkelboogdriehoek)
— <=i t f2 = tioeKAif o^ooiarienoeK)
— -7l + s-2-
De laatste gelijkheid vloeit voort uit de eigenschap van conforme projecties, waartoe de stereographische kaartprojectie behoort (zie blz. 26). Voor de gevraagde betrekkingen
Fis- "• tusschen de hoeken op de bol en
die op de kaart is het dus noodig de waarden van de hoeken s
te kennen tusschen de cirkelbogen op de kaart en de overeenkomstige koorden.



Na een ingewikkelde afleiding vindt men ten slotte: s" —Pa k' sin -f Q i k' cos \p
waarin:
r' » n _ X-< .. Pa ~ \&ma p e" ~ \K1ma r •
Hierin stellen Xa en Ya voor de coördinaten van A ten opzichte van een assenstelsel in M en \p de richtingshoek van de raaklijn in A aan boog A B ten opzichte van de positieve F-as. Stelt men benaderend \p -f- £ = \p dan is:
/' = Pa (Xti - Xa) + Qa ( Yb — Ya).
3= vraagstuk.
Gegeven: A eti B zijn twee punten van een driehoeksnet met bekende coördinaten Xa, Ya en Xr, Y/s. (Stereographische projectie)
Fig. 12.
Gevraagd: De coördinaten Xc, Yc van punt C, dat bepaald is door in A en B de richtingshoeken B A C = x en A B C — (3 te meten.
Oplossing:
Xc = XA + k'ac sin AC (i)
Yc = Ya + k'Ac cos A C (2)
Hierin stellen voor:
k'ac = koorde A C (in projectie).
/_ A C = richtingshoek van A C ten opzichte van Y-sls.



Beide grootheden: koorde A C en de richtingshoek A C zijn de eenige onbekenden in de uitdrukkingen (i) en (2).
Bij eerste benadering kunnen zij als volgt berekend worden:
1. k'Ac door toepasssing van den sinusregel in den koordendriehoek ABC met x, (3 en k'ab als bekende grootheden n.1. x en (3 = de gemeten hoeken BAC en ABC (bij benadering gelijk te stellen aan de hoeken tusschen de koorden) en k'ah te vinden uit de betrekkingen:
XR — XA
bah = 
sin A B
. Tü X»~X '
igAB= Y/i — yA *
2. Richtingshoek AC = richtingshoek AB -f x. Door substitutie van deze benaderde waarden van k'ac en £ A C in de formules (1) en (2) vindt men de eerste benadering van Xc en Yc.
Met behulp van de gevonden benaderde waarden voor Xc en Yc bepaalt men de afwijkingshoek £2 in hoekpunt A (zie blz. 29).
?2 = Pa (Xc — XA) + Qa ( Yc — Ya) terwijl reeds bekend is, n.1.:
Sl = PA (Xb — XA) + Qa (Y„ — Ya).
Nu is de richtingshoek A C aldus uit te drukken:
/_ A C = /_ A B -f ai -f- £2 — fj*
Met de berekende waarden voor s2 en vindt men dan een tweede benadering voor /_ A C tn door middel hiervan weer een nieuwe benaderde waarde voor:
Xc—Xa
k ac = .
sin A C
Deze meer benaderde waarden voor /_ A C en k'ac geven dan gesubstitueerd in de formules (1) en (2) weer nauwkeuriger waarden voor Xc en Yc als 2e benadering.
Op deze wijze kan men doorrekenen tot de vereischte nauwkeurigheid in de uitkomst bereikt is.
Volgens de hierboven behandelde methode kan men van een geheel driehoeksnet de coördinaten der verschillende hoekpunten bepalen, waarbij dan telkens vanuit de reeds bekende punten richting en afstand naar de volgende punten bepaald moeten worden.



4e vraagstuk.
Stereographische projectie van Bol met straal R.
Berekening van de rechthoekige coördinaten uit breedte en lengte.
Gegeven: Straal van de bol — R.
In het centrale punt: breedte = qp0; lengte = o.
In het punt P: » = 9 > » = A.
I)e Fas = projectie van meridiaan in het centrale punt.
De X-as J_ F-as in het centrale punt.
Gevraagd:
De coördinaten X en F van punt P ten opzichte van het gegeven assenstelsel in het centrale punt.
Oplossing:
Men voert in de volgende hulpgrootheden:
1. Straal van de projectie van de parallel van P:
R cos qp
= sin 1/2 (f + fo)) cos V2 (f — n)
2. Straal van de projectie van den meridiaan van P:
2 R
r<l ~~ sin X cos <jf'o
3. Hulphoek x d. i. de hoek, dien de straal van de projectie van den parallelcirkel van P naar punt P getrokken maakt met de F-as.
Uitgedrukt in deze hulpgrootheden is:
X — /"1 sin (0
F= 2 R tg 1/2(^ — ^0) + ri(i—fosx) ... (2) Hierin ontbreekt nog de waarde van x.
Deze vindt men door herleiding uit de twee vergelijkingen:
1 — cos A
rl * + r2 (' ~cos ~ 2 R sin x cos ^ '
. , n «'«V2 (<P + f 'o)
r2 s,n x-ri(i-coscc) = 2 R cos{q>_Vo) •
waaruit volgt:
. sin i/2 (<P + %) ,, ,
l'*" = cos%{v-<to) g k



Voor de substitutie van de waarde van x is het geschikter de formules (i) en (2) als volgt te vervormen:
X = ;■] sin x = 2 r^ sin 1/2 oc. cos l/2 x
= 2 /"i tg 1/2 X cost ï/2 X . . . . (ia)
Y = 2/?/£i/2 (qp — qp0) + ri (1— tos et)
DJ II / \ I 1 ^ «
= 2 Rte I2 (t — fi) + ristn x ——
= — + x *l2X .... (2»)
§ 3. Conforme afbeelding van de aardellipsoïde op een bol.
Ter nadere bepaling van deze wijze van „afbeelden" of „projecteeren" worden daarvoor de volgende algemeene voorwaarden gesteld:
iO. Er zij een zoo groot mogelijke overeenkomst tusschen de figuur op de ellipsoïde en haar projectie op de bol. Parallelcirkels en meridianen op de ellipsoïde zullen zich dus ook als parallelcirkels en meridianen op de bol moeten projecteeren.
2O. Punten op eenzelfde meridiaan of parallelcirkel van de ellipsoïde zullen zich weer op eenzelfde meridiaan of parallelcirkel op de bol moeten projecteeren.
3tJ. De vergrooting in een bepaald punt moet zoo min mogelijk van de eenheid afwijken.
Aan de hand van deze drie voorwaarden dient thans de conforme afbeelding van de ellipsoïde op een bol nader vastgesteld te worden. Men kan het vraagstuk aldus stellen:
Gegeven: Van een punt P op de ellipsoïde de breedte <f en de lengte
Gevraagd: Van de projectie van P op de bol de breedte \p en de lengte l, alsmede de straal r van de bol, waarop geprojecteerd wordt.
Oplossing: Er wordt een conforme afbeelding gewenscht d.w.z. dat de hoeken onveranderd in de projectie overgaan, dus moet ook de vergrooting in alle richtingen dezelfde zijn.
Ingevolge de hierboven gestelde voorwaarde 2 zullen de meridianen en parallelcirkels de hoofdassen van projectie zijn, derhalve in dit geval bij conforme afbeelding:
Vergrooting m1 volgens meridiaan = vergrooting m2 volgens parallelcirkel.



element bol rd\p ~~ element ell. — Rdy
element .bol r cos \p dl w'2 — element ell. — N ces <\>d\
Wegens conforme projectie: tn\ = = m >
rdip r cos tp dl R d<f ~ N cos y d \
r dip R dep dl °^' cos ip ~~ Ncosty d\
Door integratie van deze uitdrukking wordt dus de \p een functie van <f>, >. en l. Maar volgens de voorwaarde 2 moet \p onafhankelijk zijn van X en l, derhalve: dl
— = constante x d A
l — x A -f const. voor A = o is l — o te stellen,
dus / = x \ (I)
d. i. de betrekking tusschen de lengten A en l. Voor de breedte qp vindt men nu deze vergelijking:
d ï _ Rd<\> cos \p ~~ 01 N cos <p
(1 — e2) dqi ~ x (1 — «2 sin1 f) cos tp
Na integratie en verdere herleiding is het resultaat de volgende betrekking tusschen de breedten <? en \p:
< i — esiny )ll?e* #(45° + VslM = * 1^(45°+ V2») 151 iT+ïJbTv) ' - ( )
k is bepaald door de betrekking, dat voor V = Vo °°k ^ = *Po 's (d.i. voor centraal punt):
<f(45° + V2 to) \ 1 + esin qp0 j »*'•
! ifr (45° + V2 <f o) I * ' » — ' Sln *0 )
Er blijven nu nog te berekenen over de ingevoerde grootheden x en k benevens de straal r van de bol.
3



Als uitgangspunt voor de verdere berekening wordt genomen de uitdrukking voor de vergrooting, welke alleen van de breedte afhankelijk is:
r cos dl r cos \p = A' cos <f dx ~~ Ncosy '
r cos (i — f2 sin- <y)'k m = X ^Tcöiy •
De vergrooting kan uitgedrukt worden in een functie van de
breedte tp, n.1.:
m = /(+).
Stel voor het centrale punt de breedte en lengte op de ellipsoïde 'j-Q, Aq en op de bol i/zq en Iq, dan is:
m = f (\pQ -f i>) als b = \p — t/'o is.
In plaats van m kan ook log m als functie van gesteld worden, dan volgt na de bekende reeksontwikkeling van 1 a\ lor :
log», =f(M + b d^0 + I . 2 iW + 
f (W = l°S >"o d f Mo) = il log «o d'i o) = dï log /«o
* > ,dl°ê "'o , ^ w0 I
dus m = *»0 + ^ + !. 2 dxpo2 + ' • • •
Volgens de 3= voorwaarde (zie blz. 32) moet de vergrooting m de eenheid zoo dicht mogelijk naderen dus log m zoo min mogelijk van o afwijken. I11 verband met deze voorwaarde stelt men dus in de uitdrukking voor log m zooveel termen = o als mogelijk blijkt.
Er zijn drie onbekenden n.1. k, x en r, dus kan men drie termen = o stellen en daaruit de onbekenden bepalen:
(1) log m0 = o of ttiQ= 1, hetgeen beteekent dat de vergrooting in het centrale punt = 1 is.
d log Mq _ sin (f 0 — & sin _ ( d t/.0 — « cos \po
(2) of x sin \p0 = sin <|0
= o, waaruit na herleiding volgt:
d yo



1 r N
(3) <*cos '/'o =cos n I
•"0
Uit de vergelijkingen (2) en (3) vindt men:
*2
*2 = 1 + r cosi 'f ü
en tg <Ao = 4° 'ht 1
Deze waarden in de formule voor k gesubstitueerd, geeft de waarde van k, zoodat nog alleen r = de straal van de bol als onbekende overblijft.
Ter bepaling van r gaat men opnieuw uit van de vergrooting «2 volgens de parallel:
r cos \p /«2 — cc jy (os qp-
In centraal punt is:
r cos
m0 = 1 = «
In verband met vergelijking (3) derhalve:
r v I ^0
I = -r= X COS 'Iq ) -/
Nq cos <f>o Ji()
r =VJVÖXo-
In woorden : Voor de straal van de bol dient de gemiddelde kromtestraal in het cetitrale punt genomen te worden.
Thans is het gestelde vraagstuk van de conforme afbeelding van de ellipsoïde op de bol opgelost.
Voor de vergrooting geldt de volgende uitdrukking: 1 „ (d$logm\ , 1 (d* log m\
log m )+ 74 * ("7*r-)n+ enz-
Deze methode van oplossing geeft in de praktijk te ingewikkelde vormen.
Daarom wordt nog een andere methode gevolgd, waarbij de uitkomsten eenvoudiger te berekenen zijn. Daartoe is het gemakkelijkst het vraagstuk om te keeren d.w.z. dus de grootheden van de ellipsoïde in hare projecties op de bol uit te drukken.
Stel \p = + 1 °P de bol,
= <f0 -)- p op de ellipsoïde.



p moet dus uit q berekend worden.
P =/(</)■
Volgens de reeksontwikkeling van Maclaurin:
p=f(i) = i/(?)io+? |4fl.+ 
Voor ^ = o is ook p = o dus
1/(?)lo = 0 en óf (.9) =■ <ip = dl dq =
zoodat:
/ *f \ , ?2_ f ^2(P\ ,
P ~ q \ dxp jo"*" 1.2 WV'2 '0
Nu is: <)P — \p = <ï'o — 'Ao+Z — 1 waarin % — = constante waarde omdat
tgio = 'g<ro \/\
, . \ ( \ ( 1 É- (^2<iP \ _L
<f—\ï = %—ipo + V i\dxlj)0 ) + i-2 W</<'-'J„ '
Deze uitdrukking is gemakkelijk in tabellen op te stellen. De afgeleiden vindt men als volgt:
d(f 1 N cos (f dxp ~~ x R(os\p
d<y
Hierbij valt op te merken dat de afgeleide gemakkelijker te
bepalen is dan ; daarom is ook p in functie van q uitgedrukt
en niet omgekeerd.
Bij de conforme afbeelding van de aardellipsoïde op een bol is een groote cirkel tusschen twee punten op de bol niet de projectie van de geodetische lijn tusschen die punten op de ellipsoïde. Er is een afwijking, die voor het centrale punt zeer gering is, maar die toeneemt bij verwijdering daarvan. Voor ons land komen die afwijkingen niet in rekening; wel voor een grooter gebied als bijv. Pruisen, waar die verschillen werkelijk van belang worden.



§ 4- Projectie van Bonne.
De projectie van Bonne is zeer algemeen verspreid. Zij wordt
Fig. 13.



o.a. gebruikt voor militaire en kadastrale kaarten wegens het groote voordeel, dat de projectie equivalent is en dus de inhouden onveranderd blijven.
De constructie van de projectie heeft als volgt plaats:
1. Het centrale punt M wordt aangenomen op de middelste meridiaan van het te projecteeren terrein, ongeveer op de gemiddelde breedte (<jp0)-
2. De meridiaan door M wordt voorgesteld door een rechte lijn.
3. Alle parallelcirkels worden afgebeeld als concentrische cirkels.
4. Als middelpunt van de concentrische parallelcirkels in projectie wordt aangenomen het punt T' zoodanig gelegen op de projectie van de meridiaan door M dat de afstand M' T' = M T is d. i. de raaklijn aan de meridiaan in M op het aardoppervlak gerekend van AT tot snijpunt T met de aardas (zie de figuui).
De straal van een anderen parallelcirkel, gaande b.v. door punt A op dezelfde meridiaan als M gelegen, vindt men door rectificatie van boog M A volgens de meridiaan en verder door dezen afstand van uit M' op de lijn M' T' (projectie van de meridiaan door M) uit te zetten.
5. De meridianen worden punt voor punt met behulp van de opeenvolgende parallelcirkels geconstrueerd, de afstanden volgens de meridianen en parallellen worden daarbij in de projectie gerectificeerd.
Aldus vindt men ook de projectie N' van de noordpool JV\ioor rectificatie van boog MN en door M N = AIN uit zetten.
Equivalente projectie.
Zooals hiervoren reeds gezegd, is de projectie van Bonne equivalent. Deze eigenschap van equivalentie kan bewezen worden door een trapeziumvormig elementje, dat door twee meridianen en door twee parallellen begrensd wordt, te beschouwen. In de projectie blijven de evenwijdige zijden en de hoogte van het trapeziumelementje dezelfde lengte behouden (n.1. gelijk aan de gerectificeerde afstanden langs de parallellen en langs de meridianen) dus is /= /'.
Berekening van rechthoekige coördinaten uit de geografische coördinaten.
Als oorsprong van het assenstelsel op de kaart wordt aangenomen het centrale punt M'. De F-as = projectie M' N' van de meridiaan door M.



Gegeven: Punt P met bijbehoorende qp en A als geographische coördinaten.
Gevraagd: De X en Y van de projectie P' ten opzichte van het hiervoren aangenomen assenstelsel op de kaart.
Oplossing: Ter bepaling van X en Y worden eerst de volgende grootheden ingevoerd:
1. Straal van de projectie van den parallelcirkel door M:
T= M' T = MT.
2. Ontwikkelde meridiaanboog qpo tot y, n.1. S = M' A' — MA.
3. Straal r van den parallelcirkel op breedte qp.
4. Straal p van de projectie van den hiervoren genoemden parallelcirkel p = P' T'.
e. Uitwiikingshoek van P' in T' ten opzichte van M' T':
/_ 0 = Z. A' T'p'-
Deze grootheden kan men als volgt uitdrukken, hetgeen gemakkelijk uit de projectiefiguur (zie fig. 13) is af te leiden, n.1.:
T = Nq eotg <f 0 (1)
(jq — breedte van centrale punt M.
a
iV0 = normaal van centrale punt M - ^
rv
lengte meridiaanboog: S = I R d cp (2)
90
... , a( 1—e2) R = kromtestraal van de meridiaanboog = ^ e2sitfiqfl*'
lengte parallelboog: r A = p d (3)
lengte van M wordt = o aangenomen.
p= T-S (4)
Q = — X A, afgeleid uit (3)
P
a cos a
of wegens r = (i
a cos a> . , . 0 ~ (1 _ ,2 si„2 y)". p x A (5)
Nu kan men de X en Y van punt P in p en 0 uitdrukken: X = p sin 0,
of X = 2 p sin 1/2 9 cos i/2 9 (J)



Y — S + p — p cos O,
of F= £+ X tg i/2 6 (II)
Daar p, 9 en S uit bovenstaande vergelijkingen (1) tot en met (5) bekend zijn, is dus het vraagstuk hiermede opgelost.
Afwijking in den rechten hoek tusschen meridiaan en parallel. Aangezien de projectie van Bonne wegens haar equivalentie natuurlijk niet conform is, levert dit bezwaren op bij het projecteeren van hoekmetingen.
De projectie van de meridiaan door P is niet meer loodrecht op de projectie van de parallel door P.
Stel de afwijkingshoek van de meridiaan in P in projectie = ^ d.i. dus de hoek tusschen P' T' en de raaklijn aan de projectiemeridiaan in P', dan is:
, p dd a.i 9
of bij benadering ook ^ ^ . dd
-j- vindt men uit formule (3) welke uitdrukt, dat de lengten van
de ontwikkelde parallelboog op aarde en op de kaart gelijk zijn,
p 6 = r A.
Naar dp gedifferentieerd:
dd dr 0 + p ~~j — ~~j A 1 r dp dp
dr dty
= ~dj'
dr d<\p 1
— = — A sin en —j— = 5-
dty * dp R
dO
P -jt = — 6 + A sin «f
^ = A ^ sin q yj
xjj is dus voor elk punt met gegeven lengte en breedte te berekenen. Bijzondere gevallen voor \p.
i°. ip = o voor A = o d.i. voor alle punten op de meridiaan door het centrale punt.



r .
2°. \b eveneens = o voor sin qp —— = o d. 1. voor q> — <Jq,
P
want dan is werkelijk
W0 cos f o
sin (i — —jTjr— = o
Np co tg %
sin (f 0
of in woorden: xp = o voor alle punten op de parallel door het centrale punt.
Verandering van een willekeurigen hoek.
Zie de figuur:
Fig. 14.
Beschouw element op aarde = D E CP en op kaart D' E' C'P', begrensd door meridianen en parallellen.
E F
sin (A' — A) = p g sin A'
(ds sin A) tg 4*
— — 3 stn A
ds
sin (A' — A) = tg \p sin A sin A'
Bij benadering sin A = sin A', dus
A' — A = \p sitfl A.
De maximum hoekverandering treedt op voor de richting, waarbij sufi A ■=. 1, dus :
(A' A)mtix — \p'
Voor Nederland kan \p opklimmen tot 3' in den uitersten hoek bij Winschoten.
Het centrale punt van de projectie van Bonne voor Nederland (nl. Noord- en Zuid-Nederland gezamenlijk) ligt nabij Breda te Chaam.



Uitdrukking voor de vergrootingen.
Volgens de parallel is m = i-
In willekeurige richting is:
m = = V ! i — 2 'ïgïp s'" dcos A + tg2\p sin- A | ds
Voor tg \p mag de waarde van \p genomen worden.
Controle: voor parallelrichting m = i, want dan \p = o.
De hoofdassen van projectie vindt men door bepaling van de richtingen volgens welke de maximum of minimumvergrooting optreedt. Beschouw daartoe in de uitdrukking voor m hoek A als de veranderlijke, waarvan de waarde gezocht wordt waarvoor m max. of min. wordt.
Men stelt daartoe de voorwaarde:
dm
TA ~
waaruit na herleiding volgt:
cotg 2 A = i/% tg \p.
Deze formule bepaalt dus voor een zeker punt de hoofdassen van projectie ten opzichte van de parallel.
Voor = o is cotg 2 ^ = o of A = 450.
Voor de punten gelegen op de meridiaan of op de parallel door het centrale punt maken dus de hoofdassen van projectie hoeken van 450 met de meridiaan- en met de parallelrichtingen in die punten.
Toepassing van de projectie van Bonne.
De projectie van Bonne heeft in ons land toepassing gevonden bij de primaire driehoeksmeting van Generaal Krayenhof in het begin van de 19® eeuw en bij de secundaire driehoeksmetingen j de topographische kaart op schaal 1 a 50.000 is met behulp daarvan vervaardigd.
De meridiaan over de Westertoren van Amsterdam ('f = 52 22' 30", 13) is aangenomen als meridiaan (A = o) door het centrale punt, gelegen nabij het dorp Chaam in Noord-Brabant (<f0 = 51° 30'). Het centrale punt is aldaar gekozen omdat ook België in de projectie moest worden opgenomen.
De ligging van de hoekpunten van het primaire driehoeksnet alsmede van de secundaire punten van den i*1 rang is met behulp



van de formules voor de coördinaten berekend. De overige punten zijn door interpolatie bepaald. Daarbij is gebruik gemaakt van verschillende hulptafels ter bepaling van de grootheden p, 0 en S van 5' tot 5' en van de coördinaten X en F berekend met eveneens 5' opklimming. Eveneens bestaan er tabellen voor \p d. i. de afwijking in den rechten hoek tusschen meridiaan en parallel in projectie.
§ 5. Projectie van Mercator.
De projectie van Mercator wordt uitsluitend gebruikt voor zeekaarten. De meridianen en parallellen worden afgebeeld door twee stelsels van elkander rechthoekig snijdende evenwijdige lijnen. Daarbij wordt de equator door de ontwikkelde lengte daarvan voorgesteld. Punten met gelijk lengte-verschil hebben dus gelijke afstanden op de equator. De loodlijnen op de equator stellen dus voor de projecties van de meridianen.
Fig. is-
Thans rijst de vraag op welke afstanden de parallellen dienen getrokken te worden. Ter bepaling van deze afstanden gaat men uit van de voorwaarde voor deze projectie, dat de koerslijn tusschen 2 punten A en B de meridianen volgens denzelfden hoek moet snijden. Die voorwaarde eischt een conforme projectie.
Stel de equator = X-as en als F-as een zekere meridiaan A0.



Van een punt P zijn <p en \ gegeven. De x van punt P is gelijk aan een ontwikkeld stuk van de equator nl. x = a X X ■ . . (I) a — halve groote as der aarde.
Nu moet nog de y van punt P bepaald worden. Daartoe berekent men eerst de vergrootingen ;//j en ;;/2 in P en stelt deze aan elkaar gelijk (voorwaarde van conforme projectie).
In de richting van de parallel
elem. kaart adA ~ elem. aarde — rd\ r = straal van parallelcirkel = N cos y.
a
~ cos ip
In de richting van de meridiaan
dy
m
a dy
mi = m<, of -jrp = tïj—
1 N cos y Pdqj
aR
dy — -rr-T d <f.
N cos q
Hieruit volgt na integratie:
y = a ^NeJ> Ig tg(450 + 1/2 <t) + V2 * NcP lS , + I"" lJ + ° •
Voor qj = o is ook y — o dus O' = o.
Voor Cf = 90° is y = x, dus de polen zijn niet af te beelden. De afstanden tusschen de parallellen op de kaart nemen sterk toe naar de polen.
HOOFDSTUK VII.
HOEKMETINGEN.
§ 1. Algemeene uitvoering.
De hoekmetingen van een primaire driehoeksmeting dienen met zoo groot mogelijke nauwkeurigheid uitgevoerd te worden. Men gebruikt daarom de theodoliet en meet uitsluitend horizontale hoeken, welke bij aflezing tot in 1 secunden geschat worden.



De cirkelrand moet draaibaar zijn teneinde de metingen regelmatig over de omtrek van den cirkel te kunnen verdeelen.
In een vlak land als het onze worden de hoekpunten van het driehoeksnet veelal op kerktorens genomen.
Als eisch voor zoo'n hoekpunt geldt voornamelijk een verzekerde vaste stand van het gebouw en zichtbaarheid van de naaste stations.
De belichting van de torens is van invloed op de richtingsmeting; van daar dat men als hulpmiddel daarbij een spiegel de zg. heliotroop gebruikt om het zonlicht van uit een hoekpunt in een bepaalde richting te projecteeren. De theodoliet en heliotroop kunnen niet altijd in een hoekpunt op dezelfde plaats opgesteld worden. De afwijkingen die zich daarbij kunnen voordoen, worden in § s bij het vraagstuk der excentrische punten nader behandeld.
De plaats van opstelling is een hoekpunt wordt door middel van verzekeringsbouten en verkenmerken zoo nauwkeurig mogelijk aan het gebouw vastgelegd, teneinde het punt later weer terug te kunnen vinden.
Op de hoekmetingen is verder nog van invloed:
iO. de algemeene weergesteldheid; 2O. het verschijnsel der ondulatie, tengevolge van ongelijke verwarming der luchtlagen, waardoor onrustige beelden ontstaan.
De metingen op een station dienen zoodanig ingericht te worden, dat de vereffening en berekening op zoo eenvoudig mogelijke wijze kan plaats hebben.
In de i8e eeuw werd de zg. repetitiemethode algemeen toegepast, waarvoor speciale instrumenten „repetitiecirkels" gebruikt werden. Daarmede werden niet de enkele hoeken doch veelvouden er van gemeten.
In de i9e eeuw kwamen de reïteratiemetingen in toepassing, waarvan hieronder behandeld zullen worden de Stationswaar nemingen volgens Bessel en de Hoekmetingen volgens Schreiber.
§ 2. Stationswaar nemingen volgens Bessel.
Deze methode van waarnemingen volgens richtingen is aangewezen, wanneer alle te nieten richtingen tegelijk zichtbaar zijn.
De waarnemingen worden met het te voren geregelde instrument zoodanig verricht, dat de invloed der verschillende fouten zooveel mogelijk geëlimineerd wordt. Daarom past men toe:



i°. het doorslaan van den kijker;
2O. een regelmatige verdeeling van de aflezingen over de omtrek van den cirkelrand;
3°. een herhaling der metingen in omgekeerde richting.
Dit laatste dient 0111 den invloed van de pijlerdraaiing, welke ongeveer evenredig is met den tijd, op te heften.
Vereffening der waarnemingen en berekening van de middelbare fouten.
Opgave: In het hoekpunt 7 zijn te bepalen drie (algemeen: v) richtingen naar de punten A, B en C. De onderlinge stand van deze lijnen is bepaald door de hoeken, welke gevormd worden tusschen de richting naar A en ieder van de richtingen naar de andere punten, dus door de hoeken A TB — B0 en A TC = C0.
Fig. 16.
Gevraagd: Voor deze hoeken de meest waarschijnlijke waarden uit de waargenomen richtingen te berekenen.
Vereffening der waarnemingen.
Er worden n reeksen van waarnemingen gedaan. Wanneer de reeksen niet volledig zijn, kunnen de formules ontwikkeld worden alsof men met volle reeksen te doen had, door aan de waarne-



mingen ongelijke gewichten toe te kennen. Voor een waargenomen richting voert men dan later in het gewicht / en voor een ontbrekende richting het gewicht o.
Er zijn richtingen gemeten en er worden hoeken gevraagd dus is het een vraagstuk van indirecte waarnemingen en wel met ongelijk gewicht.
Teneinde de waarnemingen van de verschillende reeksen te kunnen vergelijken moeten de aflezingen p', p en p alle tot een gemeenschappelijke nulrichting (waarvoor de richting 1 A genomen wordt) herleid worden door het aanbrengen van een correctie 2.
Stel de meest waarschijnlijke waarden van de gevraagde hoeken = B0 en C0, dan kunnen de fouten en gewichten van de i« reeks waarnemingen als volgt uitgedrukt worden:
fout = waarneming — meest waarschijnlijke waarde.
x{ = Pi — S] — O gewicht g{\
x{ — Pi Zl — £0 " Si >
x{" = pi" — Zi — C0 „ g{" •
Daar het hier betreft een vraagstuk van indirecte waarnemingen met ongelijk gewicht gelden de volgende algemeene normaalvergelijkingen :
(1) [gaa\ A + [gab] B + [gac] C— [gap] = o.
(2) [gab] A + [gbb] B + [gbc] C—[gbp] = o.
(3) [a" ac] A + [g bc] B -(- [gec] C [g cp] = o.
Toegepast op de waarnemingen van de ie reeks vindt men de volgende drie overeenkomstige normaalvergelijkingen:
(1*) [gi + g{ + Ari'"] 2i + Sl + êl" C0 ~
— SiPx — Si Pi' — Si Pi" = °-
(2*) ^1" »i + ^i" ^0 — Si' Pi' = °(3*) Si" zi + gi" C0 - gi" Pi" = o.
Er zijn in het geheel n reeksen waarnemingen, derhalve ook 11 reeksen van het drietal normaalvergelijkingen (1*), (2*) en (3*).
Door combinatie kan men deze normaalvergelijkingen reduceeren tot:



n vergelijkingen van type (i*):
O = -ƒ>!+ <h 1 + gi C0 . . . (I)
n verg. (2*) te zamen geeft 1 verg.:
o = ~[g" P'] + [g" *] + [gl *0 • • • (")
11 verg. (3*) te zamen geeft 1 verg.:
° = - irp"l + DT *] + LT] c0 . . . (iii)
In het algemeen zullen er zijn:
n vergelijkingen type (I) en v — 1 vergelijkingen type (II) en (III) samen, waarin v het aantal gemeten richtingen (in het behandelde geval v = 3) voorstelt.
In bovenstaande vergelijkingen stellen J\ en Gv de volgende uitdrukkingen voor:
p\ = gl'Pl + gl" Pi" + g\"P\",
= g\ + g\ + g\ •
De onbekenden B0 en C0 worden nu verder bepaald door eleminatie van de grootheden 2 (wier kennis niets ter zake doet) uit de vergelijkingen (I), (II) en (III).
Door namelijk ieder van de vergelijkingen (I) te vermenigvul-
<r"
digen met de bijbehoorende ^ en dan samen te tellen en evenzoo • •
door vermenigvuldiging met en samentelling wordt gevonden:
•=-[<• 4]+.tf" •)+[r*-] +\ff] c°
Door substitutie van deze vergelijkingen in de vergelijkingen (II) en (III) vindt men de gereduceerde normaalvergelijkingen:
! [*•*) - [ré-] I - \rf-\ c°=1™ -[<■*•£] • ■<"•>
+ q,= uv-)-[r4]-
...(IIP)
Uit deze twee vergelijkingen worden dan de onbekenden B§ en C0 berekend.



Bijzonder geval. Alle reeksen zijn volledig. (Rondmeting).
Voor dit geval is:
[£•'] — [j;"] = [«•'"] — n — aantal reeksen.
Gl = G.2 = G„ = v — aantal richtingen.
[g" g"] = [g"g"'] = [g'"g"'] = "■
[P] = [t/»l] *
Deze waarden gesubstitueerd in de vergelijkingen (II*) en (III*) geven de volgende gereduceerde normaalvergelijkingen:
-7* + !— waaruit na eenige herleiding volgt:
nB0 = [/"]-[/] (H-)
nC0 = ("I")
Nu kunnen de waarnemingen — vóór de vereffening — zoodanig herleid worden, dat in alle reeksen de getallenwaarde van p' gelijk wordt aan o.
De vergelijkingen (II**) en (III**) worden dan:
»B*=[p') (II*")
en n <70 = [/'"] (UI***)
Voor de vereffende richtingen verkrijgt men dan de volgende waarden:
A = o.
B = A + B0 = ^ [/'].
C = A + C0 = ~ [ƒ"].
De waarden voor B en C stellen dus voor de gemiddelde van de aflezingen.
Bepaling van de middelbare fouten.
Daar het een vraagstuk betreft met ongelijke gewichten moet men dus eerst bepalen de middelbare fout in de gewichtseenheid, welke in dit geval identiek is met de middelbare fout in de waargenomen richting.
4



De middelbare fout in de gewichtseenheid wordt gevonden uit de formule:
„ =1/— ~
aantal waarn. — aantal onbek.
Nu is het aantal waarnemingen = [O]] = [£]• Verder is het aantal onbekenden in het algemeen = n grootheden z (voor oriënteering) -j- (aantal richtingen v — i) d.i. dus (« -(■ v — 0 onbekenden.
De uitdrukking voor m wordt derhalve :
« I !>**]] 
[ö] — (" + » — l)
De middelbare fouten in de vereffende grootheden Bq en C0 worden gevonden uit de formules :
Mn, = m VQ2.2
Mc, = m VQ^s-
De gewichtsgetallen Q<j-2 en Qs ■ .3 worden opgelost uit de gewichtsvergelijkingen, welke uit de normaalvergelijkingen afgeleid worden, n.1.:
l = '•
ie stel gew. verg. \
I 11 ^ ( 11 I ^
( — 7Ö2-2 + — -j Ö2-3 = O-
I ( n ) _ ^
\ 7, Ö5-2 — — Ö3-3 = °-
2e stel gew. verg. <
j — ^Qs-2 + j« — -Jj Ö3-3 = ï-
Feitelijk zijn deze de gereduceerde gewichtsvergelijkingen.
Bijzonder geval van volledige reeksen.
In dit geval is de middelbare fout in de enkele waarneming eener richting
m = 1/ __[M] = ]/ [Ml 
* nv — (« -f v — i) ' (tl — i) {v -— i) want [£?] = 11 v = totaal aantal waarnemingen.



Nu volgt uit formule (II**)
*o = [/"] = \ te" + 7i t* + • • • • n P"" ~
Dus is de middelbare fout in den berekenden hoek B$\
M*? = (Jr) mhi2 + (£■) mf-2 + ••••(«) m*«2 + )2 >"h2 + (^)2 »h* + ■ • • • (1) «A*
of
Mb? = 2 n (jf vfi = ~ ///2.
Evenzoo J/(|12 = ^ w/2 afgeleid uit (III**).
Nu is in het algemeen het vierkant van de middelbare fout in den hoek tusschen twee richtingen gelijk aan de som der vierkanten van de m. f. in de richtingen.
Uitgedrukt in letters
M'i = /«j2 -f "'r'.
Voor het geval niy = /«2 = »/ ,
dus m'ï = i; 2 M'K
of (m. f. in richting)2 = l/2 (m. f. in hoek)2.
De middelbare fout van de vereffende richtingen bedraagt dus:
1 "1 / nft Ma - Mn = Mc= Mb, y~j = J/ — .
§ 3. Hoekmetingen volgens Schreiber.
De methode van Schreiuer dagteekent van het jaar 1875 ongeveer en is 0. a. bij de driehoeksmetingen in Duitschland toegepast.
Volgens deze methode worden in een hoekpunt alle mogelijke combinaties van de hoeken genieten.
Stel dat op het station v richtingen zijn, dan kunnen daar 1/2 v (v— 1) hoeken gemeten worden. Evenals bij de methode van Bessel past men bij de metingen toe:



iO. het doorslaan van den kijker;
2°. een regelmatige verdeeling van de standen van den cirkelrand ;
3°. een dubbele hoekmeting in iederen stand van den cirkelrand d. w. z. meting in heengang en in teruggang.
Vereffening der waarnemingen.
Stel het aantal richtingen in een hoekpunt T: v = 3 nl. TA, TB en TC genummerd resp. 1, 2 en 3.
Fig. 17.
Stel verder het aantal dubbele hoekmetingen (nl. in heen- en teruggang) voor iederen hoek = g. Met het oog op een eenvoudige wijze van vereffening wordt het product van het aantal richtingen met het aantal dubbele hoekmetingen als een constante aangenomen; in den regel gv = 24, in Frankrijk gv = 20.
Het aantal waarnemingen voor iederen hoek bedraagt 2g. Indien dus [1 . 2] voorstelt de som van alle gemeten hoeken tus-
fi. 2I
schen de richtingen 1 en 2, dan is de gemiddelde hoek =
Neemt men nu de richtingen als onbekenden aan, dus bijv. A en B als de meest waarschijnlijke waarden voor de richtingen 1 en 2, dan is de fout in de richting 1
of xx = + A — B.
1 2 g



Evenzoo: .r2 = - + d—C
^3=^+^-C.
Deze uitdrukkingen stellen dus feitelijk voor de fouten in de gemiddelden van al de metingen van den zelfden hoek.
Er zijn hoeken gemeten en er worden lichtingen als onbekenden gesteld, dus is het een vraagstuk van indirecte waarnemingen. Feitelijk zijn de waarnemingen van gelijk gewicht maar voor de oplossing wordt het vraagstuk als met ongelijk gewicht beschouwd.
Voor de gewichtseenheid wordt aangenomen het gewicht van de gemiddelde van één meting in heen- en teruggang.
[ï . 2]
Voor de gemiddelde van g dubbele hoekmetingen nl. voor —
enz. bedraagt dus het gewicht = g (een constante waarde, zie hiervoren).
Men kan nu toepassen de algemeene formules voor indirecte waarnemingen met ongelijk gewicht. De normaalvergelijkingen worden dus:
g(v—i)A-g£-gC=% I —[1.2] — [1.3]! (O
— gA+g(v—i)£—gC=i/2 | + [1 .2]—[2.3]! ....(2)
— gA —gB -f g (?.•— 1) C — 1j'2 | + [1 . 3] + [2 • 3] I (3)
In dit geval is v = 3.
Bij optelling van de eerste en tweede leden der vergelijkingen (1), (2) en (3) zou men verkrijgen: 0 = 0, dus een onbepaalde oplossing. Ten einde de oplossing bepaald te maken voert men een voorwaarde in en wel een zoodanige, die een eenvoudige wijze van oplossing geeft, bijv. de voorwaarde
A + B + C = o.
Vermenigvuldig deze vergelijking met g en voeg haar daarna bij elk der vergelijkingen (1), (2) en (3), zoo verkrijgt men gereduceerde normaalvergelijkingen:
gv A — 1/2 P\ (1*)
gvB = 1/2 A (2*)
gvC=V2P-A (3*)



Hieruit kan men onmiddellijk de meest waarschijnlijke waarden A, B en C oplossen:
A = — Px
2 gV
B = — Po
2 gV "
C = — Pó.
2 gV ó
Immers is gv = constante = 24 (zie blz. 52). Verder stellen 1\, jP2 en !'■> resp. de tweede leden van de normaalvergelijkingen (1), (2) en (3) voor.
Bepaling van de middelbare fouten, a. De gewichtsvergelijkingen zijn : gvQu = 1 gv Ö22 = 1 <2as = i-
Hieruit volgt:
Gil = (?22 = Öj3 = — = — •
Stel de middelbare fout in de gewichtseenheid = m, dan zijn de middelbare fouten in A, B en C allen gelijk:
Ma = m \/Qu ; Mn - m V Qtl) Mc = >" V <9S, •
1 1
of Ma = Mn — Mc = m t/ — m . y=.
V gi> V 24
Het gewicht van het eindresultaat n.1. van de vereffende richtingen is dus „ = gv. v:ii
In het algemeen is de middelbare fout in de gewichtseenheid:
m = 1 / EI
r aantal waarn. — aantal onbek.
Nu is het aantal waarnemingen l/2 v (v— 1) en het aantal onbekenden v — 1 (aantal richtingen = v en 1 voorwaarde 0111 richtingen vast te leggen). De noemer van ;// wordt dus V2 v (v — 1) — (v — 1) = y2(v — 1) (v — 2).



Algemeene uitdrukking voor den teller [£xx]
[gxx] = [gpp] — [gap] A — [gbp] B — [,!;cp\ C; hierin is
g\ = Ar2 = Ar3 = Ar>
. _ t1-2]. . _ [1:3]. L2-3]
A 2 g ' P-i 2 g > Ai 2 g
Na herleiding:
[gxx]= _-!_[/>/>],
waarin X voorstellen [1.2], [1.3], [2.3] en P de waarden l\,
P<l, Pi-
b. Bij de hiervoren gevolgde afleiding van de middelbare fout m in de gewichtseenheid wordt deze berekend uit de fouten x, welke voorkomen in de gemiddelden van de metingen van denzelfden hoek. Er is nog een andere wijze van afleiding van m, n.1. uit de verschillen 0 tusschen heen- en teruggang in een dubbele hoekmeting.
Men kan de middelbare fouten als volgt uitdrukken:
1. in dubbele hoekmeting: (m. f.)2 = m- = :
2. „ enkele „ (m. f.)2 = 2 (&;
3. „ verschil van twee enkele hoekmetingen (m. f.)2 = 4 ^2. Nu is verder
r
(middelbare waarde van o)2 = aantaf •
Het aantal verschillen of fouten S is l/2 v (v— 1) X g, dus is:
_ R3]
"" V2 SV (® 1) "
Voor mt mag 4 u'ï gesteld worden, derhalve
lU [33]
' V 2gi'{v—\y
In een vergelijking der gevonden waarden voor m en ft heeft men een middel ter controle van de berekening.
c. Middelbare fouten in de enkele instelling.
Stel (J- = m. f. van de waarneming en r = „ van de randverdeeling.



De fouten in de vier instellingen bij een dubbele hoekmeting zijn dan:
( i fout = /*! + Tl heengang , a _ = ^ + ^
l 3 fout = f*s + r2 .teruggang _ '5
! 4 » — T '1
Van de fouten in de twee hoeken vindt men uit bovenstaande uitdrukkingen :
f*2 — 'J-\ + *"2 ~ Ti en — H-i ~f~ ~2 ~X
De fout in het resultaat van de dubbele hoekmeting is dus de halve som hiervan of:
— 1I 2 1*1 + *, 2 I*2 + V2 f*3 — 1/2 — Tl + ~2 waaruit volgt:
(m f)2 = 1/4 + Vi 'jJ1 + 1 1 ^ + V4 /*2 + r2 4- r2
of: w2 = /^2 + 2 r2.
De middelbare fout r is hieruit te berekenen nl. ~2 = 1 /2 (;«2 — /y.2^ maar zij kan bovendien door afzonderlijk onderzoek bepaald worden.
Er is dus ook een vergelijking mogelijk tusschen de afzonderlijk bepaalde waarde van r en de uit de stationswaarnemingen berekende T.
§ 4. Vergelijking der methoden van Bessel en van Schreiber.
Beide methoden zullen hieronder vergeleken worden voor wat betreft de hoeveelheid werk op een station en de grootte der nauwkeurigheid van het resultaat.
I. Volgens Schreiber.
Gewicht van het resultaat = gv.
Daarvoor is noodig een aantal instellingen van, bij v richtingen: 1l2 v iv~ •) x 3 X 4 = 2gv (v— 1).
Onder één instelling verstaat men één maal richten en aflezen, dus voor één dubbele hoekmeting zijn 4 instellingen noodig.
Voor gewicht 1 is dus benoodigd:
Aantal instellingen = - X 2gv(v— 1)
= 2 (v — 1).



II. Volgens Bessel.
Bij 7'-richtingen en «-reeksen (volledige). Gewicht van het resultaat (voor vereffende richting) = n.
Aantal instellingen = n v.
Dus voor gewicht i:
1
Aantal instellingen = — X 11 v — v.
Voor hetzelfde gewicht is dus volgens de methode van Schreiber ongeveer het dubbele werk te verrichten.
Daarom komt bij volledige reeksen de methode-BESSEL het eerst in aanmerking, terwijl bij niet volledige reeksen van waai nemingen de methode-ScHREiuER tot haar recht komt.
§ 5. Excentrische punten.
Het komt somtijds voor, dat men de richting tusschen twee hoekpunten van een driehoeksnet wegens de terreinsgesteldheid niet rechtstreeks tusschen die punten kan bepalen, maar zijn toevlucht moet nemen tot excentrisch gelegen waarnemingspunten.
Opgave: A en B zijn twee hoekpunten.
In P (station A) bevindt zich de theodoliet, in H (station B) is de heliotroop opgesteld. Er is dus gemeten de richting P H terwijl gevraagd wordt de meting op de hoekpunten A en B te reduceeren.
Bekend: e, s en ip.
Onbekend: d en S alsmede a en y.
Oplossing:
Trek in P de richting P C / A B dan is:
Fig. l8. richting P C = richting r li — ó + a. Nu is d = — sin V . p" (1)
Cl



. v KH s sin —d) en 12 ö — — .
EP a cos d -j- e cos V — e cos (\p — d)
In deze uitdrukking kan gesteld worden: tg o ~ è, sin d ~ d en cos d ~ i, derhalve:
, e sin — s cos . d
a -f t■ cos if — s cos \p — £ sim . d
Na verdere herleidingen:
2" - a p" sin — ^2 f sin (* + '•P) — ^2 P" Sl" ï cos "A • (2)
In de uitdrukkingen (i) en (2) wordt voor a een voorloopig benaderde waarde aangenomen, evenzoo voor den hoek <f>. Ter bepaling van de benaderde waarde <jf> wordt deze = (PB) — {PA) gesteld en (PB) = (PH) — S, waarin <•) benaderd wordt uit de vergelijking (2) met weglating van de middelste term van het tweede lid.
Met behulp van de gevonden waarden voor d en <5 kan men uit de gemeten richting P H de gewenschte richting P C of eigen lijk AB afleiden (zie hierboven).
HOOFDSTUK VIII.
BASISMETINGEN.
§ 1. Uitvoering en correctie der metingen.
Onder basismeting verstaat men meer in 't algemeen de meting van de lengte van een horizontale lijn op zeer nauwkeurige wijze. Voor een dergelijke meting gebruikt men speciale toestellen, welke een op ieder oogenblik bekende lengte moeten bevatten.
1. Horizontale correctie.
Bij de uitvoering der meting moet men nauwkeurig zorg dragen, dat dc meetstaven in de rechte lijn blijven.
Voor de horizontale uitwijking van de meetstaaf buiten de rechte meetlijn kan men een correctie in rekening brengen, indien men met een zuiver in de richting gestelde theodoliet de grootte der horizontale uitwijking van de beide uiteinden van de meetstaaf



bepaalt. Deze bepaling der uitwijking geschiedt door schatting ten opzichte van de vizierlijn van de theodoliet, welke vizierlijn dan zuiver in de richting van de te meten basis gesteld moet zijn.
2. Vertikale correctie.
De meetstaven kunnen niet alleen in horizontale projectie \an de richting der te meten basis afwijken maar ook in vertikale projectie. Door het meten van de hellingen der meetstaven in de verschillende standen bij de meting op het terrein kan men de lengte tot de horizontale lijn herleiden. Het meten der hellingen geschiedt met een niveau, dat verstelbaar is door een micrometerschroef, waarmede men de bel telkens kan doen inspelen. Daar ook de aflezing in horizontalen stand bekend is, kan men den hellingshoek x van de meetstaaf in zekeren stand bepalen. Stel de werkelijke lengte van de meetstaaf = Z' dan is de gecorrigeerde lengte op de horizontale lijn:
L - L Cos y. - L' {i — 2 Sin* l/2 a.)
Z = Z' — (Z' X 2 Sin2 1 2 «)•
De 2C term tusschen haakjes is dus de correctieterm.
3. Correctie tot de gemiddelde zeehoogte.
Men wenscht de lengte Z van de basis op de gemiddelde zeehoogte te kennen. In den regel bevindt de gemeten basis zich op een hoogte h boven den gemiddelde zeespiegel. De gemeten lengte Z' moet dus herleid worden tot Z.
r _ r, r _ Z'
,+i
z = r(,
= Z' — Z'
r
De term Z' — is de correctieterm. r
De hoogte h wordt door waterpassing gevonden. De straal r wordt als volgt bepaald:
NR
r = R*= y Cos-> ^ + 'r Sin2 * '



Voor N en R worden de waarden op het midden van de basis aangenomen.
De Bonner basis is ongeveer 2512 M. lang.
h = 57 M. + N. N.
Correctie L' — = 23,18 m.m.
Nauwkeurigheid der meting + , dat is ongeveer 1 m.m.
1,000,000 °
op de K.M.
De basis is viermaal gemeten:
/ — 0,20 m.m.
2512,95085 M. + IAS "
I 1 >29 »
' + °>°3 »
§ 2. Basismeettoestellen.
1. Meettoestel van Bessel. Dit toestel behoort tot de soort meetstaven. Het geheel bestaat uit 4 staven, elk globaal 4 Meter lang. De meetstaven zijn bimetallisch; ze bestaan nl. uit ijzer en zink, twee metalen waarvan de uitzettingscoëfficiënten veel verschillen. De staven worden met kleine intervallen achter elkaar opgesteld. De intervallen tusschen de staven onderling worden met wiggen van glas, waarop verdeelingen zijn aangebracht, gemeten. Verder wordt met dezelfde wiggen gemeten de interval tusschen de zinken en de ijzeren staaf van een zelfde meetstaaf. Met behulp van empirische tabellen kan men dan zoowel de lengte van elke meetstaaf afzonderlijk alsook de gemeten afstand op de basis bepalen.
Voor de correcties zie § 1 hiervoren.
2. Meettoestel van Brunner. Dit toestel behoort ook tot de soort meetstaven doch bestaat uit slechts één meetstaaf van 4 Meter lengte. Voor de tijdelijke vastlegging van het eindpunt der meetstaaf gebruikt men een microscoop, dat in de basislijn wordt opgesteld. Op de ijzeren of nikkelstalen meetstaaf is een streepmaatverdeeling aangebracht ter plaatse van de neutrale doorsnede der |—|-vormige staaf. In de staaf bevindt zich nog een thermometer teneinde den invloed van de temperatuur op de staaflengte in rekening te kunnen brengen. Dit toestel is in Frankrijk en Spanje gebruikt.



3. Meettoestel op Java gebruikt. Dit toestel is eveneens als streêpmaat ingericht en bestaat uit vier meetstokken, twee van 4 M. en twee van 1 Meter lengte welke in zg. dtaagstaven opgesteld zijn. De meetstukken beslaan uit ijzeren en zinken staven. De aflezing geschiedt met micrometer microscoop.
Bij de meting worden de viermeterstaven in de basislijn gesteld. De kleine staven dienen om de intervallen van + 1 Meter tusschen de groote staven te meten.
4. Draadmeettoestellen. Deze behooren tot de nieuwere meettoestellen, waarbij een snelle en gemakkelijke uitvoering der meting meer op den voorgrond treedt. De nauwkeurigheid, die hiermede bereikt wordt, is niet zoo groot als bij de andere basismeettoestellen, nl. ongeveer iqo'ooo maar men kan meerdere bases meten en daardoor de nauwkeurigheid der berekening van het driehoeksnet vergrooten.
Bij de draadmeettoestellen gebruikt men als metaal een alliage van nikkel en ijzer het zg. invar (invariable) met een uitzettingscoëfficient van ongeveer o. Behalve de temperatuur heeft ook de trekkracht op de draad uitgeoefend invloed op de lengte. Daarom moet men ook de spanning in de draad weten. In de practijk gebruikt men de draad met constante spanning.



HOOFDSTUK IX.
VRAAGSTUKKEN.
§ i. Vraagstukken betreffende Hoofdstuk III.
1884.
1. Verklaar de oplossing van bolvormige driehoeken met kleine zijden door middel van de additamenten-methode.
Oplossing: Zie blz. 10—13.
1888.
2. Hoe worden met behulp van de additamenten-methode de lengten der zijden van een driehoeksnet berekend en welke waarde wordt daarbij aangenomen voor den straal van de bol?
Oplossing: Zie blz. 10—13.
1889.
1. Verklaar de rekenwijze van Legendre ter benaderde berekening van bolvormige driehoeken met kleine zijden.
Oplossing: Zie blz. 14.
i8g2.
2. Hoe kan men uit de bekende lengte van een zijde en uit de bekende hoeken van een driehoeksnet van de eerste orde de lengten van al de andere zijden berekenen?
Oplossing: Zie blz. 13—14.
1898.
2. Hoe worden de zijden van een hoofddriehoeksnet berekend volgens de additamenten-methode en op welke gronden berust die methode ?
Oplossing: Zie blz. 10—13.
1899.
2. Voor een terrein, dat zich in geen richting meer dan 10 uur gaans uitstrekt, worden doorgaans de gemeten horizontale hoeken en afstanden beschouwd, alsof zij in een plat vlak waren gelegen.
Af te leiden welke fouten daardoor hoogstens kunnen ontstaan in de hoeken en afstanden op de kaart.
Oplossing: Zie blz. 9—13.



igot.
2. Verklaar de wijze van berekening voor de zijden van een primair driehoeksnet volgens de additamen ten-methode.
Oplossing: Zie blz. 10—13.
1903-
r. Van het in de figuur afgebeelde driehoeksnet met zijden
van gemiddeld 60 K.M. zijn de lengten van de zijden AB en DE uit de vroegere metingen bekend.
Men vraagt, onder toepassing van de additamenten-methode, de voorwaarde op te stellen, waaraan de hoeken van de
driehoeken moeten voldoen, opdat, bij de berekening van DE uit AB en de hoeken van dit net, de reeds bekende waarde van DE wordt teruggevonden.
Oplossing: Zie blz. 12—13.
1904.
1. Door nevenstaande figuur wordt een gedeelte van een primair driehoeksnet voorgesteld. Al de hoeken, zooals die door cijfers
zijn aangewezen, zijn door waarneming bepaald en een van de zijden
wordt bekend verondersteld, zoowel naar afmeting als naar ligging op de ellipsoïde.
Aan welke voorwaarden moeten de hoeken na vereffening voldoen; en hoe zullen de in de voorwaardenvergelij kingen als bekend voorkomende grootheden berekend
worden ?
Oplossing: Zie blz. 9—13.
1905-
2. Verklaar de wijze van berekening der zijden van een uitgebreid primair driehoeksnet volgens de additamenten-methode. Oplossing: Zie blz. 10—13.



Juni 1907.
2. Van den driehoek ABC, voorkomende in een primair driehoeksnet zijn de drie hoeken genieten.
Hoe worden de correcties berekend, welke aan de gemeten hoeken moeten worden aangebracht 0111 den driehoek sluitend te maken ?
Oplossing: Zie blz. 9.
Sept. 1908.
Verklaar de berekening volgens de additamenten-methode van de lengten der zijden van een primair driehoeksnet.
Oplossing: Zie blz. 10—13.
§ 2. Vraagstukken betreffende Hoofdstuk IV.
1883.
1. Een punt op het bolvormig aardoppervlak is door lengte en breedte gegeven; een tweede punt is ten opzichte van het eerste door afstand en azimuth bepaald. Men vraagt de formules te ontwikkelen voor de berekening van de lengte en de breedte van dit tweede punt.
Oplossing: Zie blz. 15—18.
1885.
1. Hoe kan men bij de berekening van het breedteverschil van twee hoekpunten eener driehoeksmeting de spheroidische gedaante der aarde bij eerste benadering in rekening brengen?
Oplossing: Zie blz. 15—18.
1887.
1. Hetzelfde vraagstuk als hierboven 1883 No. 1.
1891.
Hetzelfde vraagstuk als hierboven 1883 No. 1.
1893.
1. Welke correctie moet aan het op den bol berekend breedteverschil van twee punten worden aangebracht om rekening te houden met de afplatting der aarde. Men vraagt de formule voor die correctie bij eerste benadering op te maken.
Oplossing: Zie blz. 15—18.



1894.
1. Hoe kan men aantoonen dat bij de berekeningen, waarbij alleen de betrekkelijke ligging der punten te pas komt, men in plaats van de ellipsoïde een bol kan nemen en welke lengte moet men aan den straal van dien bol geven ?
Oplossing: Zie blz. 15—18.
1897.
3. Men vraagt de formules te ontwikkelen voor het breedteen het lengteverschil van twee punten P en Q op het bolvormig aardoppervlak, als gegeven zijn de geographische lengte en breedte van P, de afstand P Q en het azimuth van P Q.
Oplossing: Zie blz. 15—18.
1900.
2. Een punt op het ellipsoïdisch aardoppervlak heeft een breedte Q±. Gevraagd de ontwikkeling van een uitdrukking voor de breedte Qo van een ander punt, dat in denzelfden meridiaan als het eerste gelegen is op een afstand van S meters, gemeten langs den meridiaan.
S wordt verondersteld kleiner te zijn dan 1/100 van c'e halve groote as van de meridiaanellips.
Oplossing: Zie blz. 15—18.
1906.
1. De zijde P Q van een primair driehoeksnet is lang S Meters en heeft in P het azimuth gelijk aan 90°.
De breedte van P is geüjk aan
Gevraagd de afleiding van een formule voor het breedteverschil van P en Q.
Oplossing : Zie blz. 15 — t8.
Sept. 1907.
2. In een primair driehoeksnet zijn gegeven: de hoeken (vereffend), de zijden, de geographische coördinaten van één hoekpunt en het azimuth van eene zijde in hetzelfde punt.
Hoe kunnen de geographische coördinaten der overige hoekpunten worden berekend?
Oplossing: Zie blz. 15—18.
S



Mei 1908.
2. Verklaar een van de wijzen voor het berekenen van de geographische coördinaten van de hoekpunten van een primair driehoeksnet.
Oplossing: Zie blz. 15—18.
§ 3. Vraagstukken betreffende Hoofdstuk V.
1886.
2. Voor een bepaald punt van een kaart zijn gegeven de vergrootingen en van de tvvee richtingen in dat punt, die zoowel op het aardoppervlak als op de kaart rechthoekig op elkander staan. Men vraagt te berekenen de grootste verandering, die een hoek in dat punt van de kaart ondergaat.
Oplossing: Zie blz. 20 (punt 5).
1889.
2. Voor een bepaald punt van een kaart zijn gegeven de vergrootingen en van de twee hoofdrichtingen in dat punt Men vraagt:
i0. de verandering te bepalen van den hoek, dien een willekeurige lijn met een der hoofdrichtingen maakt;
2O. de vergrooting dier lijn;
3O. de richting, waarvoor die hoekverandering een maximum wordt;
4O. de grootte van dit maximum;
5O. de vergrooting voor die lijn, waarvoor die maximum hoekverandering plaats heeft.
Oplossing: Zie blz. 20—23.
1898.
3. In een kaartprojectie, waarbij de meridianen en parallellen zich als onderling rechthoekige lijnen projecteeren, zijn voor een bepaald punt P gegeven de vergrootingen in de richting van den meridiaan en >n2 in de richting van den parallel.
Welk is het grootste verschil tusschen een hoek in P en zijn projectie?
Oplossing: Zie blz. 20 (punt 6).



igoi.
1. Voor een kaartprojectie is gegeven, dat de meridianen en parallellen zich als onderling rechthoekige lijnen projecteeren.
Voor een bepaald punt van de kaart is verder gegeven dat daar de vergrooting in de richting van den meridiaan is gelijk aan 2 en die in de richting van de parallel gelijk aan ]/3.
Men vraagt voor datzelfde punt te berekenen:
a. de vergrooting in de richting van de lijn, die op aarde een azimuth heeft van 30 graden;
b. den hoek, welke de projectie van die lijn daar maakt met de projectie van den meridiaan.
Oplossing: Zie blz. 20—21.
1903.
2. Van een kaartprojectie is bekend, dat de meridianen en parallellen zich als onderling rechthoekige lijnen projecteeren en dat de projectie equivalent is.
Voor een willekeurig punt P is verder gegeven de vergrooting m, in de richting van den meridiaan.
Een driehoekszijde P Q op het aardoppervlak heeft in P een azimuth oc-
Welken hoek maakt de projectie van P Q met de projectie van den meridiaan door P?
Oplossing: Zie blz. 20.
rgo6.
2. Voor een punt van eene kaart in equivalente kaartprojectie is bekend, dat de maximumvergrooting daar gelijk is aan 1,1.
Welk is voor het gegeven punt het grootste bedrag, dat een hoek in de kaartprojectie afwijkt van zijne oorspronkelijke grootte ?
Oplossing: Zie blz. 20—21.
Mei 1908.
1. Van eene kaartprojectie is bekend, dat de meridianen en parallelcirkels elkander in de kaart rechthoekig snijden, en dat de projectie equivalent is.
Voor een zeker punt P van de kaart is de vergrooting in de richting van den meridiaan gelijk aan 0,8.
De driehoekszijde P Q heeft op aarde een azimuth van 300.



Welken hoek maakt de projectie van P Q met de projectie van den meridiaan door P?
Oplossing: Zie blz. 20.
§ 4. Vraagstukken betreffende Hoofdstuk VI.
1884.
2. Twee punten op het bolvormig aardoppervlak zijn volgens de stereographische projectie op een plat vlak geprojecteerd. Men vraagt den straal te berekenen van den cirkel, die de projectie voorstelt van den boog van den grooten cirkel, die op het aardoppervlak beide punten vereenigt. Deze straal moet behalve in den straal van den bol alleen worden uitgedrukt in grootheden, die op de kaart kunnen gemeten worden.
Oplossing: Zie blz. 25—32.
1887.
2. De boog van den grooten cirkel, die op het bolvormig aardoppervlak twee punten verbindt, wordt, op een kaart geteekend volgens de stereographische projectie, voorgesteld door een cirkelboog. Men vraagt den straal van dien cirkel te berekenen indien de beide punten op de kaart zijn aangegeven. De lengte van dien straal moet behalve in den straal van den bol uitsluitend worden uitgedrukt in gegevens, die op de kaart kunnen worden genieten.
Oplossing: Zie blz. 25—32.
1891.
2. Wat verstaat men onder de stereographische kaartprojectie en welke veranderingen ondergaan daarbij de hoeken, de lengte der lijnen en de inhouden voor een willekeurig punt van de kaart?
Oplossing: Zie blz. 25—27.
I893-
2. Wat verstaat men onder de stereographische projectie en hoe kan men bewijzen dat dit een conforme projectie is?
Oplossing: Zie blz. 25—26.
I899-
3. Een gedeelte van een boloppervlak (straal = R) is stereographisch geprojecteerd. Het centrale punt heeft een breedte Q0 en een lengte o (nul). Een punt P heeft de breedte Q en de lengte



A. Te berekenen de stralen van de projecties van den meridiaan en van den parallel door het punt P.
Oplossing: Zie blz. 31.
1900.
1. Wat verstaat men onder stereographische projectie voor een bolvormig aardoppervlak ? Voor deze projectie het verband aan te toonen, dat er bestaat tusschen de lengte van den boog van een grooten cirkel, welke 2 punten op aarde verbindt en de lengte van de rechte lijn tusschen de projecties dier punten; en wel, onder invoering van de vergrootingen in die punten, in de navolgende grootheden, welke alle in metermaat als bekend worden aangenomen :
Straal bol = r; lengte boog op aarde = s; rechthoekige coördinaten der projecties:
xi en }\; x2 en y2.
Oplossing: Zie blz. 27—31.
1904.
2. In de stereographische projectie van een bolvormig oppervlak zijn gegeven de rechthoekige coördinaren van twee punten x±, en x2, 1'2 terwijl de straal van den bol gelijk is aan r.
Te berekenen: de lengte van den boog van den grooten cirkel, die op den bol de punten verbindt, waarvan de voornoemde punten de projecties zijn.
Oplossing: Zie blz. 25—32.
Sept. 1907.
1. Van het bolvormig beschouwde aardoppervlak is een gedeelte stereografisch geprojecteerd.
Gegeven: de rechthoekige coördinaten van 2 punten in de kaart.
Te berekenen: de lengte van den boog van den grooten cirkel, die op den bol de punten verbindt, waarvan de voornoemde punten de projecties zijn.
Oplossing: Zie blz. 25—32.
Sept. 1908.
1. Verklaar de steographische kaartprojectie en hare toepassing bij de berekening van secundaire driehoeksmetingen.
Oplossing: Zie blz. 27—32.



i885.
2. Men vraagt de verandering te bepalen, die de lengte van een korte lijn ondergaat bij de overbrenging op de kaart volgens de projectie van Bonne. De lijn is gegeven door haar azimuth en door de lengte en breedte van een harer punten.
Oplossing: Zie blz. 37—42.
1890.
2. Men vraagt de formule te ontwikkelen voor de berekening van den hoek tusschen meridiaan en parallel in de kaartprojectie van Bonne.
Oplossing: Zie blz. 40—41.
1894.
2. Hoe kan men bij de kaartprojectie van Bonne het net van meridianen en parallellen construeeren, en hoe kan men aantoonen, dat die projectie een equivalente projectie is ?
Oplossing: Zie blz. 37—38.
1896.
3. Men vraagt te bewijzen, dat bij de kaartprojectie van Bonne de hoofdassen voor de vervorming in een willekeurig punt der kaart met den parallel in dat punt hoeken van ongeveer 450 maken.
Oplossing: Zie blz. 42.
1902.
1. Hoe kan men bij de kaartprojectie van Bonne het net van meridianen en parallellen construeeren en hoe kan men aantoonen, dat die projectie equivalent is?
Oplossing: Zie blz. 37—38.
Juni 1907.
1. Hoe worden in een kaart volgens projectie van Bonne de rechthoekige coördinaten der punten gevonden uit hun geographische breedten en lengten?
Oplossing: Zie blz. 38—40.



I9°5-
x. Van de bolvormig aangenomen aarde (straal = 6.370.000 Meter) wordt een kaart geteekend volgens Mercatorsprojectie op de schaal van 1 a 10.000.000.
Als coördinaat-assen worden aangenomen de projectie van den evenaar en de projectie van den aanvangsmeridiaan.
Voor het punt op 30° oosterlengte en 520 noorderbreedte vraagt men :
1. coördinaten in de geteekende kaart.
2. de vergrooting.
Oplossing: Zie blz. 43—44.
1883.
2. Men vraagt de veranderingen te onderzoeken, die de hoeken en de lengten der lijnen ondergaan, bij de overbrenging van het bolvormig aardoppervlak op eene kaart volgens de zenithale equivalente projectie.
1895-
2. Welke betrekking bestaat er bij de equivalente kaartprojectiën tusschen de vergrootingen volgens de twee hoofdrichtingen en hoe kan men met behulp hiervan de afstand van een punt tot het centrale punt op de kaart volgens de zenithale equivalente projectie uitdrukken door middel van dien afstand gemeten op het bolvormig aardoppervlak ?
§ 5. Vraagstukken betreffende Hoofdstuk VII.
1886.
1. Geef een korte beschrijving van de methode van Schreiber voor het meten van de hoeken van een driehoeksnet. Welke voordeelen zijn aan deze methode verbonden.
Oplossing: Zie blz. 51—56.
1890.
r. Beschrijf de wijze, hoe volgens de methode van Schreiber de hoekmetingen bij een primaire driehoeksmeting worden uitgevoerd.
Oplossing: Zie blz. 51—56.



I895-
i. Hoe worden volgens de methode van Schreiber de hoekmetingen bij de primaire driehoeksmeting uitgevoerd ?
Oplossing: Zie blz. 51—56.
1899.
1. Hoe worden volgens de methode van Schreiber de hoekmetingen voor een primair driehoeksnet uitgevoerd en welke zijn de voordeelen, welke door deze methode worden bereikt?
Oplossing: Zie blz. 51—57.
1902.
2. Hoe worden bij een primaire driehoeksmeting de hoekmetingen uitgevoerd volgens de methode van Schreiber, en hoe worden deze metingen op het station vereffend?
Oplossing: Zie blz. 51-—56.
§ 6. Vraagstukken betreffende Hoofdstuk VIII.
1888.
1. Geef een beknopte beschrijving van de hoofddeelen van een basismeettoestel en een overzicht van de verschillende werkzaamheden en berekeningen, die bij het meten van een basis voorkomen.
Oplossing: Zie blz. 60—61.
1892.
1. Dezelfde opgave als hierboven 1888 n°. 1.
1898.
1. Beschrijf in korte trekken de hoofddeelen van een basistoestel.
Geef een overzicht van de wijze, waarop daarmede een basis genieten wordt en van de berekeningen, welke noodig zijn om de lengte van de basis te vinden.
Oplossing: Zie blz. 58—61.