ToM N212 N212 VEREENIGING TOT HET UITGEVEN VAN BEKNOPTE HANDLEIDINGEN BIJ HET ONDERWIJS AAN DE TECHNISCHE HOOGESCHOOL ToM TOEGEPASTE MECHANICA ~ ... " KNIK. BEWERKT DOOR PROF. — J. KLOPPER, C. I. HZ PRIJS VOOR LEDEN: ING. ƒ 0,35. GEB. ƒ 0,55. MET WIT PAPIER DOORSCHOTEN ING. ƒ0,40. GEB. ƒ 0,60. VOOR NIETLEDEN WORDEN DEZE PRIJZEN ƒ0,50, ƒ0,80, ƒ0,60, ƒ0,90. DRUK EN UITGAVE VAN J. WALTMAN Jr. DELFT 1907 I >4S N'= 12 VEREENIGING TOT HET UITGEVEN VAN BEKNOPTE HANDLEIDINGEN BIJ HET ONDERWIJS AAN DE TECHNISCHE HOOG E SCHOOL. To M T O E O E P A S T E M E C H A N I C A __ K N | K — - BEWERKT DOOR PROF. = J. KLOPPER, c. I. ZZ I DRUK EN UITGAVE VAN J. WALTMAN |r DELFT 1007 m 12 VEREENIGING TOT HET UITGEVEN VAN BEKNOPTE HANDLEIDINGEN BIJ HET ONDERWIJS AAN DE TECHNISCHE HOOGESCHOOL. ToM TOEGEPASTE MECHANICA KNIK. BEWERKT DOOR PROF. ZZ J. KLOPPER, C. I. — DRUK EN UITGAVE VAN J. WALTMAN Jr. DELFT 1907 Als een rechte, homogene staaf wordt samengedrukt door twee krachten, die aan de uiteinden aangrijpen en volgens de as van de staaf werken, en de lengte is groot in verhouding tot de dwarsafmetingen, dan bestaat gevaar, dat die staaf zijdelings uitbuigt, dat die staaf knikt. Die uitbuiging is teoretics niet onvermijdelik: ook de spanningen in de rechtblijvende staaf zouden in staat zijn, het evenwicht met de uitwendige krachten te handhaven 1). Treedt de uitbuiging op, dan geschiedt dat in de richting van de kleinste dwarsafmeting (de as van de normale doorsnee, ten opzichte waarvan die doorsnee het kleinste traagheidsmoment heeft, wordt buigingsas). Om de kracht te leren kennen, die een gegeven prismatiese staaf doet knikken {de knikkracht F), dient de bekende knikformule van Euler: Fig. ia. De staaf (Fig. i) wordt gedacht aan de uiteinden scharnieren te hebben. Als werkelik knik optreedt, zal de doorsnee, waarvan het zwaartepunt een uitwijking y heeft gekregen van de vroegere as AB uit, behalve aan de samendrukking (en in verband met het niet meer normaal staan der doorsnee op de lijn AB eigenlik ook nog aan een afschuiving) tevens aan een buiging weerstand moeten bieden; i) Zie: Dr. C. J. Kriemler, Von der Erhaltung der Energie und dem Gleichgewicht des nachgiebigen Körpers; Dr. H. Zimmermann, Ueber den Sicherheidsgrad der Bauconstructionen, insbesondere der auf Knicken beanspruchten Korper (Centralblatt der Bauverwaltung, 1886). het buigend moment is Py. De samendrukking buiten rekening latende, en de gewone formule uit de buigingsleer yl/x _ — ~ËT ~ dx2 toepassende, wordt dus efly Py dx2 ~ EI' waarin / is het kleinste traagheidsmoment, dat de doorsnee heeft ten opzichte van enige as door het zwaartepunt. Noemt men P Ui ~ a2' dan is „ ^2 = -a2^ en dus y — C\ cos ax -(- Cjj sin ax. De integraalkonstante Cj kan men bepalen, door in te voeren, dat in A, waar x = o, ook y = o, dus Cj = o. En C2 vindt men door in te voeren, dat in B, waar x = /, ook y — o. Dus o = C2 sin al. Dus is ook C2 = o, tenzij sin al = o mocht zijn, want dan behoeft C2 niet meer o te zijn, maar krijgt een onbepaalde waarde. Is sin al ^ o, dan is dus C2 = o, en de vergelijking van de elastiese lijn wordt y = o, d.w.z. de staaf blijft recht. Maar als sin al = o, en C2 niet meer o behoeft te zijn, krijgt de elastiese lijn de vorm y = C2 sin ax. Dan is het mogelik, dat de staaf uitknikt, en de grootte der uitbuiging is onbepaald. Als sin al = o, is al = o, z, 2 z, . . . . in 't algemeen m z. De kleinste waarde voor a, de kleinste waarde voor P dus ook, die hieraan voldoet (uitgezonderd de waarde a — o, die ook P = o stelt, en dus buiten beschouwing kan blijven), is die. waarvoor al = z, O * = ;• 7> _ zl EI ~ ?2' P - *2EI l2 ' Deze waarde zou P dus moeten hebben, om knik te veroorzaken; zolang P kleiner was, is geen gevaar te duchten. Maar evenmin, als P groter werd; pas als P zo groot werd, dat al = 2 z, zou opnieuw knik kunnen voorkomen, enz. Fig. 2. Wanneer de staaf (Fig. 2) aan het ene eind is ingeklemd en aan het vrije uiteinde wordt belast met een samendrukkende kracht, die aan dat uiteinde een uitwijking S geeft, wordt de vergelijking van de elastiese lijn: ^ _ _L ^->0 _ , 2 ,, . dx2 EI ~ + EI _ of: ... . dx2 - ~ a2V-y)> 0 —y = Ci cos ax -)- Cjj s*" ax- Ter bepaling van C\, C,, en a : voor x = o, is y = o, dus = S. dy voor x = o, is -j- = o: dx 'ly = — Ci a sin ax -f C2 a cos ax\ dus C-2 = o. De vergelijking van de elastiese lijn wordt dus S —y = S cos ax, of y = ^ (i — cos ax), waarbij bovendien nog voldaan moet worden aan de voorwaarde, dat voor x — I, ó —y — o wordt. Dan moet S cos al = o. Dus is 3 = o, tenzij cos al — o. Als cos al 7^ o, zal, daar è — o, ook y = o worden, en blijft de staaf dus recht. Alleen als cos al = o, is uitbuiging mogelik. Dan wordt i = —-— cos al o de grootte der uitwijking is dan dus onbepaald. Opdat cos al = o, moet 2 m — i al - z. 2 De kleinste waarde van a, de kleinste waarde van P dus ook, die hieraan voldoet, is die, welke al — — •t maakt. Dan is dus ■ Zolang P kleiner dan dit bedrag is, is geen uitbuiging mogelik, en evenmin, als P groter is; pas als P zo groot werd, dat al = —, 2 zou opnieuw knik te vrezen zijn, enz. Fi». 3. Wanneer de staaf aan beide einden is ingeklemd, maar de inklemmingen ten opzichte van elkaar kunnen verschuiven, zodat de vorm van Fig. 3 kan worden aangenomen, dan wordt, als het inklemmingsmoment M0 genoemd wordt, Mx = -f Py, dus dh Py + M0 M0 17* = ~ ~Ël ~ y EI ' waaruit volgt: M0 y = Ci cos ax + Q sln ax — Elcfi ' en daaruit: = — Ci a sin ax 4- C> a cos ax. dx C\, C2 en J/0 worden weer gevonden uit de bevestigingsvoorwaarden : dy Mo r _ voor x — o, moet y = o en — o, dus — Elrfl en 2 — 0 > dy , voor x = /, moet = o, dus Mo ■ . ° = - ~ËW sm aL Dan is J/0 = o, tenzij sin al = o. Als sin al ^ o, zal, daar M0 = o en dus Cj = o, ook y = o worden, en blijft de staaf dus recht. Maar als sin al — o, is uitbuiging mogelik. Dan wordt J/,) _ o o EI(fi sin al ~~ o ' de grootte van M,q, dus van C-y , dus van de uitwijking is dan onbepaald. Opdat sin al = o, moet al = nz. De kleinste waarde voor a, de kleinste waarde voor P dus, die hieraan voldoet (uitgezonderd de waarde a = o, die ook P = o stelt, en dus buiten beschouwing kan blijven), is die, welke al = z maakt. Dan is dus rt2=^, ft ' P - *KI ft Zolang P kleiner dan dit bedrag is, is geen uitwijking mogelik, en evenmin, als P groter is; pas als P zo groot werd, dat al = 2z, zou opnieuw knik te vrezen zijn, enz. Fig. 4- Wanneer de staaf aan beide einden is ingeklemd en de.inklemmingen ten opzichte van elkaar niet kunnen verschuiven, zodat de vorm van fig. 4 moet worden aangenomen, dan wordt, als het inklemmingsmoment M() genoemd wordt, Mx = M0 -f Py, dus <3l _ _ py + M „o dx2- ~ EI ~ y EI' waaruit volgt: n 1 r M0 y — C-y cos ax -)- C% sin ax EIcfi ' en dus = — Cy a sin ax \ C^a cos ax. C\, C<2 en A'Iq worden gevonden uit de bevestigings voor waarden: M0 voor x = o, is y = o, dus C\ — £/a 1. De staaf neemt dan de vorm aan van fig. 1 a. Nu wordt telkens slechts een deel van de staaf beschouwd 1): voor 't geval van fig. 2 het deel AB', voor 1) Zie Dr. F. Grashof, Theorie der Elasticitat und Festigkeit. dat van fig. 3 het deel B'C', en voor dat van fig. 4 het deel B'D'. EI Om b.v. het deel AB' te doen buigen, moet P — «2 T2__. Nu is de lengte van AB'\ l' -- , of / = 2 ml'. 2 m Dus is (2 ml')2 4 l2 Fig- 5- Wanneer de staaf aan één uiteinde is ingeklemd, en aan het andere eind scharnierend is bevestigd, waardoor dat uiteinde verhinderd wordt zich te bewegen in een richting loodrecht op de as van de staaf, zodat de vorm van fig. 5 wordt aangenomen, zal, als het inklemmingsmoment en de druk van het scharnier in dwarsrichting V wordt genoemd (Mq = VI), Mx = Py + M0 — Vx = Py + VI — Vx; dus (Py Py + VI— Vx „ , Vx VI dx3-— EI — n-y + ei EJ> waaruit volgt: Vx VI y — Cj cos (ix "|~ C9 siti ci& ~|~ F? Td% Ela2' ' en dus dy F 2^ — — Cj a sin ax -f C% a cos ax H—]?jaï ' Ch C2 en V worden bepaald uit de bevestigingsvoorwaarden: VI voor x = o, is y = o, dus C\ — uTa% > Fig. 5- Wanneer de staaf aan één uiteinde is ingeklemd, en aan het andere eind scharnierend is bevestigd, waardoor dat uiteinde verhinderd wordt zich te bewegen in een richting loodrecht op de as van de staaf, zodat de vorm van fig. 5 wordt aangenomen, zal, als het inklemmingsmoment J/q en de druk van het scharnier in dwarsrichting V wordt genoemd (Mq = VI), dy . r _ _Z_. voor x = o, is ^ = o, dus - — £/aS > voor .* = /> is y — °> dus Dan is V = o, tenzij al cos al — sin al = o. Als al cos al —sin al^éo, zal, daar V- o en dus ook. Q = o en Co = o, ook y = o worden, en de staaf blijft recht. Alleen als al cos al —sin al - o, is uitbuiging mogelik. Dan wordt V 0 _ Ela'i ~~ al cos al — sin al ° ' de grootte van V, dus van Ct en van C2> dus van de uitwijking is dan onbepaald. Wanneer al cos al-sin al = o, is al = tg al. De kleinste waarde van ,7, de kleinste waarde van P dus, die hieraan voldoet (uitgezonderd de waarde o = o, die ook P = o stelt, en dus binten beschouwing kan blijven), is die welke al - 4.49 • • • • maa Dan is dus aï /2 20 ~ 2 ifl; 2 *2 EI P P Zolang P kleiner dan dit bedrag is, is geen uitwijking mogelik, en evenmin, als P groter is; pas als P zo groot werd, dat ~ 7,75, zou opnieuw knik te vrezen zijn, enz. De voor de verschillende wijzen van bevestiging gevonden formules zijn alle afgeleid uit de benaderende vergelijking van de elastiese lijn (Py i _ M*_ ~ p EI ' waarbij in de uitdrukking i • + mr> p dx~ voor de kromtestraal, de term verwaarloosd is. Bovendien is de samendrukking van de staaf niet in rekening gebracht. Deze laatste, die de lengte vermindert, zal het gevaar voor knik daardoor ook verminderen; wordt de verkorting niet in rekening gebracht, dan zal men iets te ongunstig rekenen: wil men de invloed van de samendrukking in rekening brengen, dan zal de lengte / vervangen moeten worden door de verminderde lengte / P \ PI l I 1 — \, waarin -yp de samendrukking geeft!). / dy \ 2 De verwaarlozing van I in de uitdrukking voor de kromte¬ straal voert tot de uitkomst, dat knik slechts voor zeer bepaalde waarden der samendrukkende kracht mogelik is, terwijl andere — ook grotere — waarden geen knik zouden kunnen geven. Bij uitwerking van de nauwkeurige differentiaalvergelijking vindt men echter 2); j J . (±\213/2 EI l + \dx) ) p ~ MT ' cfly dx2 Voor de eerstbeschouwde staaf wordt nu ifty 9 _ 'ix2 a y ~ ( , (dy\* )3/2" I 1 + fe) ) (Klaarblijkelik voldoet aan deze vergelijking de elastiese lijny = o, rn.a.w. evenwicht is mogelijk bij rechte as, en knik is dus teoreties niet volstrekt noodzakelik, zie noot op blz. 3). 1) Zie: Dr. F. Grashof, Theorie der Elasticitat und Festigkeit. 2) Zie: Lagrange, Sur la figure des colonnes (Verzamelde werken, 2e deel); A. Schneider, Zur Theorie der Knickfestigkeit (Zeitschrift des Oesterr. Ing. und Archit. Vereines, 1901); Dr. F. Grashof, Theorie der Elasticitat und Festigkeit. /iy — r, en dan wordt I /" p waarin a = y Deze vergelijking geeft nu voor een bepaalde staaf aan, welke kracht P (welke waarde a) nodig is, 0111 een gevraagde uitbuiging § te veroorzaken, en omgekeerd, welke uitbuiging 0 het gevolg zal zijn van een gegeven kracht P. Allereerst kan opgemerkt worden, dat voor werkelike waarden van S de vorm tusschen J J van het 2(lc lid groter is dan 1. Dus moet, wil 0 een bestaanbare waarde hebben, '>f -2> % Zolang P < —, is uitbuiging onmogelik. Deze grenswaarde zij P0, dan is dus P. ~ *2EI 0 p Dit is dezelfde waarde als die, door de formule van Euler gegeven. Op de wijze, genoemd op blz. 9, kan men de nauwkeurige vergelijking geschikt maken voor de gevallen van fig. 2, 3 en 4, door invoering van een koefficient voor de lengte. Hieruit blijkt, dat de formules van Euler inderdaad die waarden voor P geven, die bereikt moeten zijn, eer knik kan optreden. En als b.v. door een toevallige oorzaak van buiten, een kleine uitbuiging optreedt, zal die uitbuiging niet blijven bestaan, maar zal de staaf weer recht worden, zolang de samendrukkende kracht kleiner is dan de knikkracht. Wordt P groter dan de grenswaarde P0, dan kan a een werkelike waarde krijgen. Zolang S klein is, en dus aS klein, kan men de vergelijking van blz. 14 schrijven: Dan is 22^ 16 7T a' Als men J// = a0 noemt, is <70 l = z; dus is 22 ^ 16/(a a0) ^ ~a~ Zolang S klein is, verschillen P en /"0 weinig, zodat men kan schrijven 22 ^ 16/ (rt — a0) ^ j6/_ a — a^ ^6/2 ^ P — P0 ~ao «0 ~2 2 A ' 32^, i* /-fo En daaruit volgt: Doordat £ zeer snel toeneemt bij een kleine toename van P, en daardoor de staaf sterk aan buiging wordt onderworpen, neemt de grootste spanning dientengevolge zeer snel toe. Kleine toenamen van P boven P0 hebben een zeer grote spanningstoename tengevolge, waardoor de toe te laten grens spoedig zou zijn overschreden. Zelfs bij een teoreties-zuivere staaf (recht, in dwarsrichting homogeen, en centries belast,) zou men dus de samendrukkende kracht de waarde P0 niet laten overschrijden. Bij staven, zoals ze werkelik toegepast worden, treedt door onzuiverheden in de uitvoering reeds lang vóórdat de knikkracht is bereikt, uitbuiging op. Hetzelfde geldt voor staven, die behalve aan een samendrukkende kracht, aan buigende krachten in dwarsrichting weerstand moeten bieden. Echter wordt de uitbuiging zeer groot (nadert tot co), wanneer de samendrukkende kracht tot de waarde P0 nadert'). De spanningsverdeling in een staaf, die door onzuiverheden in de uitvoering niet volkomen volgens de as wordt samengedrukt, hangt af van de grootte der bedoelde onzuiverheden. Doordat die echter niet bekend zijn, kan op die wijze een toe te laten bedrag voor de samendrukkende kracht niet worden gevonden, en wordt daarvoor een deel der waarde P$ aangenomen 2). Welk deel van P(j wordt toegelaten, hangt af van de aard van het konstruktiedeel, van de afwerking en van het materiaal. De verhouding n tusschen P0 en de toe te laten drukkracht is de veiligheidskoefficient. Deze kan bedragen: voor smeedijzer 4 — 6, voor gegoten ijzer 6 — 10, voor hout 4 — 10, en voor steen r5 — 3° 3)- De verschillende formules voor P0, die veranderen al naardat de bevestiging van de gedrukte staaf een andere is, kunnen alle gebracht worden in de vorm: P f EI 0 — Z2 ' waarin L de knik/engte wordt genoemd. I is achtereenvolgens: als de staaf aan weerskanten scharnieren heeft, L = /; als de staaf aan één uiteinde is ingeklemd, en aan het andere vrij, L = 2 1} als de staaf aan beide einden is ingeklemd, en de inklemmingen kunnen ten opzichte van elkaar schuiven, L = l; als de staaf aan beide einden is ingeklemd, en de inklemmingen kunnen niet ten opzichte van elkaar schuiven, Z = 1 /2/. 1) Zie Dr. A. Föppl, Festigkeitslehre. 2) Zie 't op blz. 3 genoemde artikel van Dr. H. Zimmermann. 3) Zie Hütte, Des Ingenieurs ïaschenbuch ; Tetmaybr, Die Angewandte Elastizitats- und Festigkeitslehre. Door in de formules op blz. 14 inplaats van / in te vullen de waarde L, worden deze formules geldig voor alle hier genoemde gevallen. Wanneer men een geval van bevestiging heeft, dat tusschen twee der genoemde inligt, kan men L een waarde geven, gelegen tusschen de waarden, die betrekking hebben op de bedoelde grensgevallen. De samendrukkende kracht mag, afgescheiden van het gevaar voor knik, niet zo groot worden, dat de staaf door zuivere samendrukking zou dreigen te bezwijken, zoals bij korte staven kan voorkomen. Wanneer t de toe te laten drukspanning is, en F de normale doorsnede, moet dus steeds P < Ft. Voor lange staven is de berekening tegen knik, voor korte die tegen samendrukking maatgevend. De grens ligt daar, waar _L o EI « ~~W ~ ' of, als men I = Fi2 stelt, Waar dus L > i?[ JL., zal op knik moeten worden gerekend, en waar L < / % JL, op samendrukking. Om het gebruik van twee formules onnodig te maken, stelt Grashof i) voor, de volgende formule te gebruiken: 1 EI P *** & XFt — *2^- + Ft tl Z2 1 Ken andere knikformule is die van Rankine, Schwarz, Navier. Hierbij wordt de eis gesteld, dat de grootste spanning in de gebogen staaf de toe te laten waarde niet overschrijdt. Die grootste 1) Zie 't op blz. 9 genoemde werk. spanning is de som van twee: die, welke een gevolg is van de samendrukking, en die, veroorzaakt door de buiging. De laatste is evenredig met de grootste uitwijking — die weer met de lengte en de dwarsafmetingen samenhangt, en met de afstand van de uiterste vezel tot de buigingsas — en omgekeerd evenredig met het traagheidsmoment. Een en ander wordt samengevat !) in de formule voor de grootste buigspanning „ li a = P ot. J, waarin x als een materiaalkonstante wordt ingevoerd, ofschoon proeven hebben aangetoond, dat hij dit niet is. Dan zou dus P Pj^_ = p r j of ^ P ( ' = ~F ( 1 + * Ta)' P < F . = 12 • 1 + 01 Ti 1) Zie Dr. A. Föppl, Festigkeitslehre ; Tetmayer, Die Angewandte Elastizitats- und Festigkeitslehre ; Rankine, A Manual of Applied Mechanics.