P™"""IPlIISffi! HET REKENEN ■ • ÈN HET METRIEK STELSEL EEN METHODISCHE STUDIE, Vooral ten dienste van aanstaarjde onderwijzers en hoofdonderwijzers, DOOR W. A. W. MOLL, te Amsterdatn. DON NOORDHOFF. — 1001; — GRONINGEN. /I.00. 3161 HET REKENEN ÉN * I HET METRIEK STELSEL. II . EEN METHODISCHE STUDIE, Vooral ten dienste van aanstaande onderwijzers en hoofdonderwijzers, DOOB W. A. W. MOLL, te Amsterdam. < » » ^ * 4 (don r NOORDHOFF. — 1901. — GRONINGEN. S /1,00. HET REKENEN EN HET METRIEK STELSEL. HET REKENEN EN HET METRIEK STELSEL EEN METHODISCHE STUDIE vooral ten dienste van aanstaande onderwijzers en hoofdonderwijzers, DOOR W. A. W. MOLL, te Amsterdam. P. NOORDHOFF. — 1901. — GRONINGEN. VOORBERICHT. In den 2'" jaargang van het Vaktijdschrift voor Onderwijzers (bl. 98 v.v.) schreef de heer G. C. van 't Hoog over „Handleidingen" o.a. het volgende: „Ik zie in schoolmeesters, bouwmeesters. Waar zijn de bestekken en teekeningen? .... Ze staan in de boekenkasten en vormen plankenvol dikke boeken in plaats van een portefeuille met teekeningen en wat dunne boekskens ter aanvulling en toelichting. Ze staan in de kasten dik-pedant en pedant-dik en vormen eenige planken lektuur van de minst aantrekkelijke soort. De veronderstelling is zeker niet gewaagd, dat er met my velen zullen zijn, die, hoeveel lust en liefde zjj ook voelen voor het onderwijs, ja misschien juist, omdat zij die voelen, er altijd tegen opzagen, om zich tot het bestudeeren van bovenbedoelde literatuur te zetten. Niet, dat er niet véél, zeer veel interessants in die boeken is, . - maar — omdat zij zoo langdradig zijn . . . Omdat zjj iemand doemen willen tot niets doen, want zij willen alles doen. Die boeken zijn als onderwijzers, die maar steeds doorpraten of zeuren of rammelen — en die altijd schijnen uit te gaan van de onderstelling, dat zij redeneeren tot een publiek, dat van toeten noch blazen weet. In de meeste handleidingen vindt men theoretische inleidingen vol zielkunde en paedagogiek . . . uiteenzettingen van allerlei aard over des schrijvers paedagogische inzichten — proeflessen, tot in vragen en antwoorden uitgewerkt, met gefingeerde leerlingen, die altijd precies zeggen, wat de lesgever ml, dat zij zeggen .... Dit alles en nog veel meer zit om de kern der methode als een bittere bolster. Of liever — dit alles wordt om de zaak, waar het om te doen is, heengehangen en gewonden, tot het geheel er uit ziet als zwaar corpulent, 't geheel, dat niet meer dan schema, dan geraamte had moeten zijn, dat ieder deskundige dadelijk kon doorzien." Deze studie nu is in den geest van de door den heer Van tHoog bepleite eischen geschreven; met weglating van tal van „omwindselen", zonder bij de behandeling der leerstof te zeer in bijzonderheden af te dalen, en daardoor van bestudeering af te houden, is er naar gestreefd, inzicht in het geheele leerplan te geven. Daaraan toch heeft elk onderwijzer, onverschillig welk deel van het rekenonderwijs hij heeft te geven, behoefte, wijl hij alleen hierdoor instaat gesteld wordt, de beteekenis van zijn aandeel voor het geheele rekenonderwijs te bepalen. Slechts te vaak blijft een handleiding echter onbestudeerd, al zou men er gaarne kennis mede maken, omdat het „zoo'n kluif" is; een gewone handleiding dient alzoo niet voor dit doel. Intusschen, deze studie wil niet alleen dien „kijk op het geheel geven aan hen, wien bestudeering eener handleiding te vervelend werk is, ze beoogt vooral, de voorbereiding tot het examen voor onderwijzer en hoofdonderwijzer te vergemakkelijken. Voor het eerste toch wordt geCischt: „bekendheid met de voornaamste leerwijzen voor de vakken, genoemd onder a, b en c der Wet (op het L. O.)" en deze bekendheid omvat voor het rekenen zooveel, dat van a.s. onderwijzers geëischt kan worden een leergang voor de deeling' van geheele getallen, voor de vermenigvuldiging van gewone (tiendeelige) breuken, voor het zoeken van den G. G. D., voor de oppervlakte-berekening met gebroken getallen, voor de inhoudsberekening, enz 1), en zulke opgaven kunnen niet be- ') V.g.l. hot „Leerboek der Paedagogiek" van J. Konino.s (1)1. 186), waarin zulke opgaven „voor een groot deel opgegeven op onderwijzers-examens", voorkomen. hoorlijk beantwoord worden, zonder kennis van het geheele leerplan. Voor 17- of 18-jarigen is studie van een uitvoerige handleiding, (voor vele volwassenen te zware arbeid), zeer zeker te moeilijk, terwijl een methodische schets, als de heer Zijlstra schreef, hoe verdienstelijk ook op zich zelve, niet den blik op het geheel geeft, wijl ze zich uit den aard der zaak te veel tot grepen bepaalt. Nu zal de onderwijzer in de paedagogiek bij zijn mondeling onderwijs uitvoerige handleidingen wel beperken, of een schets aanvullen, maar toch, een werk, dat den candidaten in handen gegeven kan worden, zal niet onwelkom zijn, waardeverschillende examen-commissies elk jaar eenstemmig de klacht herhalen, dat de bekendheid met de voornaamste leerwijzen voor lezen, schrijven en rekenen te wenschen overliet, te oppervlakkig was, enz. Vooral aanstaande hoofdonderwijzers zullen deze studie met vrucht kunnen raadplegen, niet slechts, om „kennis van de meest gebruikte leerwijzen voor elk vak" op te doen, maar vooral, om „duidelijke begrippen te bekomen van de wijze, waarop het schoolonderwijs (in rekenen) dienstbaar kan gemaakt worden aan de verstandelijke en zedelijke vorming der leerlingen"; het III'hoofdstuk (waarde van het rekenen) is met het oog hierop geschreven, al bevat het ook voor den practischen onderwijzer menigen wenk. Dat deze studie deze doeleinden werkelijk moge dienen en alzoo het rekenonderwijs ten goede komen, is de wensch van Amsterdam, Januari 1901. DEN SCHRIJVER. I. LEERPLAN VOOR HET REKENONDERWIJS. HET EERSTE LEERJAAR. § 1. Bij liet vcrdeelen der leerstof over de verschillende leerjaren moet er naar gestreefd worden, voor elk leerjaar een groep leerstof uit te trekken , welke in zekeren zin een eenheid, een geheel uitmaakt; daardoor toch kan aan het overwinnen van eenzelfde soort van moeilijkheden voldoende tijd besteed worden. Zulk een geheel behoort echter, wijl alle leerstof bij het kind aanknoopingspunten moet vinden, aan te sluiten bij het voorgaande en tevens voor te bereiden tot het volgende; een eisch, die de verdeeling der leerstof in niet geringe mate verzwaart. Vooral voor het eerste leerjaar wordt de keuze der leerstof er een moeilijke quaestie door, wijl dan onbekend is, wat reeds is aangebracht. Bij het rekenonderwijs wordt deze moeilijkheid echter dubbel gevoeld, omdat dit de begrippen heeft aan te brengen, waarop het geheele latere rekenonderwijs steunt, terwijl daarenboven het getal-begrip behoort tot de z.g. primitieve begrippen, d. w. z. niet gedefinieerd kan worden. De dingen uit de buitenwereld toch vormen op zich zelf geen aantal (getal), wel een hoeveelheid en „het aantal is slechts één der zaken, die wij aan een gegeven hoeveelheid opmerken" ((travelaar). Om ondanks dit alles bij de keuze van rekenkundige leerstof toch zoo nauwkeu- w. a. w. moll, Het Rekenen. 1 rig mogelijk bij het bekende aan te sluiten, is het noodig, na te gaan, hoe het kind zonder onderwijs het aantal (getal) leert opmerken. Dit nu schijnt reeds vroeg te geschieden; een kind van een jaar kiest, zoo het de keuze heeft tusschen drie en zeven bonbons, steeds de groep van zeven , maar bij deze keuze laat het zich leiden door de (/rootte der groep, niet door het aantal bonbons; dit spreekt eerst later mede. Preyer verzekert echter (in „Die Seele des Kindes"), dat men bij een kind van l'/z jaar van 9 kegels er geen kan wegnemen, zonder dat het bemerkt wordt, terwijl het zelfs van 10 houten schaapjes merkt, of er 1 ontbreekt. De rangschikking sprak hier niet mede, want het bleek hem, dat niet deze, maar het aantal begeerd werd. Daaruit volgt, dat het kind de hoeveelheden leert onderscheiden, door ze te tellen , zoodat het eerste rekenonderwijs heeft te bestaan in het tellen van hoeveelheden. Bij het tellen, d. w. z. bij het opmerken van het aantal, doorloopt allereerst het oog de rij van eenheden, die de gegeven hoeveelheid samenstellen, om de lichtstralen de z.g. gele vlek te doen treffen en elk voorwerp dus scherp op te nemen. (De „gele vlek" is het gevoeligst voor lichtstralen.) Op elke beweging volgt eene pauze (ter opneming van het voorwerp), zoodat van de beweging der oogspieren een rij van bewegingsgewaarwordingen wordt verkregen, die uit zooveel leden bestaat, als er eenheden in de hoeveelheid zijn. Deze bewegingsgewaarwordingen worden, als latente herinneringsbeelden, in de hersenschors gedeponeerd en vormen de eerste bijdrage tot de voorstellingen (begrippen) omtrent het aantal. De tweede bijdrage wordt geleverd door den tastzin, d^e, gelijk steeds, ook bij het tellen contróleerend optreedt: de vingers bewegen zich langs de rij van eenheden, die de gegeven hoeveelheid samenstellen, en pauseeren bij elke eenheid (om deze op te vatten), zoodat er door den tastzin een tweede rij van bewegingsgewaarwordingen ontstaat, welke weer uit zooveel leden bestaat, als er eenheden in de hoeveelheid zijn. Deze hand-motorische gewaarwordingen verbinden zich met de oog-motorische gewaarwordingen (of de latente herinneringsbeelden hiervan) en van deze associatie hangt bij den normalen mensch het herkennen van het aantal af '). Wordt n.1. later (na het opdoen eener associatie van zeker aantal leden) een hoeveelheid onder de aandacht van het kind gebracht, dan worden öf oogbewegingen öf handbewegingen öf beide verricht, en deze wekken de bestaande associatie, waarbij het zich voor kan doen, dat de rij gewaarwordingen kleiner is dan de rij latente herinneringsbeelden, daaraan gelijk of grooter. In het eerste geval wekken de verkregen gewaarwordingen een deel der latente herinneringsbeelden, zoodat de rij der gewaarwordingen samenvalt met een deel van de rij herinneringsbeelden. In het tweede geval worden alle latente herinneringsbeelden gewekt, en valt dus de rij gewaarwordingen met de rij herinneringsbeelden geheel samen. In het dorde geval wordt de rij herinneringsbeelden vergroot, zoodat een latere rij gewaarwordingen met haar kan samenvallen. Het aantal nu wordt herkend, als een rij beweginqsgeicaarwordmgen (van oog of hand) samenvalt met een rij herinneringsbeelden en dit tot het bewustzijn doordringt. ') Bij blind-geborenen zijn het alleen de hand-motorische gewaarwordingen , die tot het getalbegrip medewerken. (Dat deze echter ook bjj den normalen mensch een voorname rol spelen, blijkt wel uit het feit, dat kinderen zeer veel moeite hebben voorwerpen als werkelijk bestaande te erkennen, die zij niet kunnen betasten: sterren b.v.) 1* Om dit samenvallen te uiten, worden woorden gekozen, en, al is het waar, dat het kind zelve wel woorden bedenkt voor elk samenvallen, het is natuurlijk van het hoogste gewicht, dat het kind zoo spoedig mogelijk de conventioneele namen voor elk samenvallen leert kennen en gebruiken. Daarom omvat de eerste rubriek rekenkundige leerstof het tellen der hoeveelheden en het benoemen der aantallen (getallen)i '). Met het oog op de practijk moeten deze algemeene eischen echter nader uitgewerkt worden. Wat nu het tellen betreft, dit geschiedt bij kleinere hoeveelheden, door het oog of de hand over de samenstellende eenheden te laten gaan, bij grootere hoeveelheden echter, door een vast aantal eenheden te vereenigen tot een nieuwe eenheid (verzameleenheid); zal derhalve het rekenonderwijs in het eerste leerjaar werkelijk voorbereiden tot dat in de volgende leerjaren, dan moet het de eerste verzamel-eenheid in haar eerste gebruik leeren kennen, zoodat het zich om het tellen heeft uit te strekken tot 20 2). Wat het benoemen der opgemerkte aantallen betreft, de ') Door namen te geven aan het samenvallen van oog-(hand )motorische gewaarwordingen en herinneringsbeelden verbinden zich met de hand- en oog-motorische gewaarwordingen gehoorsgewaarwordingen en later (bjj het uitspreken van die namen) nog spraak-motorische gewaarwordingen. 2) Dat deze verzamel-eenheden absoluut noodig zijn. blijkt wel hieruit, dat het onmogelijk is, het aantal figuren op het behang (het aantal steenen op den vloer, enz.) zonder groepeering te tellen. Waar groepeering practisch onmogeljjk is (vliegende vogels, zwemmende visschen. enz.) is het dan ook niet doenljjk het aantal met zekerheid te bepalen, zelfs niet, als dit 8 of 10 bedraagt. De noodzakelijkheid van verzamel-eenheden is in overeenstemming hiermede vroeg gevoeld: de Romeinen bezigden het teeken V voor vijf, de Chineezen daarentegen een dwarse streep. zoodat b.v. rrr achI voorstelde. aantallen beneden 10 dragen afzonderlijke namen, terwijl die boven 10 met tien verband houden, in die mate zelfs, dat reeds in de getallen-groep van 10 tot 20 de namen voor een deel gevormd worden als bij de getallen boven 20. Ook om het benoemen der getallen behooren dus in het eerste leerjaar de getallen tot 20 behandeld te worden. § 2. Bij deze behandeling zijn echter enkele rustpunten noodig, van waar uit het behandelde de revue passeert, en waar, zoo noodig, aan het reeds behandelde enkele zaken, die bij eerste behandeling te moeilijk geoordeeld werden, toegevoegd worden. Zoo ligt een rustpunt na de behandeling van 10; daarna toch treedt het tiental bij het tellen als eenheid op. Bij de behandeling der getallen tot 10 is verder 5 het station; slechts hoogstens 5 achtereenvolgende bewegingen van het oog kunnen op hetzelfde oogenblik bewegingsgewaarwordingen doen ontstaan '). Om een aantal, grooter dan 5, te eonstateeren is alzoo nieuwe beweging van het oog (de hand) noodig; daarom is 5 het eerste station, vanwaar uit de afgelegde weg echter nog eens bewandeld wordt, om op andere „schoonheden" het oog te richten. Een volledige behandeling der getallen toch houdt in, het tellen der hoeveelheden, het benoemen van het aantal, het teeken voor dat aantal {cijfer), benevens het verrichten der hoofdbewerkingen met de behandelde aantallen, ook met gebruikmaken van de teekens van bewerking (+, —, x , :). Al deze moeilijkheden bij een eerste behandeling te geven, eischt van de leerlingen te veel inspanning, zoodat het rationeel is te splitsen en een deel te bewaren voor den tweeden tocht. ') Ook voor de bewegingsgewaarwordingen van den tastzin geldt dezelfde grens. De inleidende behandeling dan kan omvatten: het tellen en benoemen der hoeveelheden, benevens het verrichten van een deel der hoofdbewerkingen (optellen en aftrekken) zonder de teekens van bewerking. Bij de latere volledige behandeling worden de cijfers geleerd, benevens de teekens van bewerking voor de behandelde hoofdbewerkingen , terwijl de vragen, waarop de overige hoofdbewerkingen (vermenigvuldigen en deelen) antwoord geven, wel gedaan en beantwoord worden, maar zonder de teekens van bewerking. Deze laatste teekens (x , : ,) kunnen dan geleerd worden als na de behandeling van 10 een schriftelijke herhaling plaats heeft. (Door het leeren kennen der cijfers worden aan de bestaande associatie van oog(en hand-) motorische, gehoors- en spraak-motorische gewaarwordingen gezichtsgewaarwordingen toegevoegd en bij het maken van het cijfer nog hand-motorische gewaarwordingen, zoodat het begrip aantal uit een associatie van verschillende soorten van gewaarwordingen bestaat.) Na volledige behandeling der getallen tot 10 zijn dus de leerlingen bekend geworden met alle gebruikelijke teekens van bewerking; er is alzoo geen enkele reden meer, om in de behandeling der getallen, grooter dan 10, nog rustpunten aan te nemen, maar wel wordt bij elk getal het reeds geleerde toegepast. Uit een en ander volgt, dat de geheele leerstof zich splitst in de volgende groepen: le Halfjaar: getallen tot 10. 1. Inleidende behandeling der getallen tot 5 (zonder cijfers , dus ook zonder de teekens van bewerking). 2. \ olledige behandeling der getallen tot 5 (met cijfers en met twee teekens van bewerking n.1. -f en —). 3. "Volledige behandeling der getallen tot 10 (met cijfers en met de teekens van bewerking + en )• 4 Schriftelijke herhaling der getallen tot 10 (hierbij worden de teekens van bewerking X en : geleerd). IIe Halfjaar: getallen tot 20. § 3. Vóór de wijze van behandeling meer in bijzonderheden vastgesteld kan worden, is het noodig, iets o"\er de hulpmiddelen te zeggen. Deze moeten natuurlijk in nauw verband staan met de wijze, waarop getal-begrippen tot stand komen, zoodat hieromtrent gevonden wordt: 1°. Het tellen moet geleerd worden met werkelijke voorwerpen , wijl anders de gewaarwordingen, uit welker associaties het getal-begrip gevormd wordt, niet ontstaan. Niets strijdt dan ook meer met het begrip rekenonderwijs dan het zinledige noemen der getallen in hun natuurlijke volgorde, het „tellen" der oude school. 2°. Het tellen moet met oog en hand geschieden, omdat er anders voor den onderwijzer geen zekerheid is, dat de noodige associaties van oog- en hand-motorische gewaarwordingen werkelijk gevormd wrorden. Door slechts met het oog te laten tellen, wordt het geheel aan het kind overgelaten, oog-motorische gewaarwordingen te controleeren met behulp van den tastzin, en, al is het waar, dat de natuur aan het kind wel den weg ter controle en aanvulling wijst, waar de hand-motorische gewaarwordingen een gewichtige bijdrage leveren tot de vorming van getalbegrippen, daar moet het eerste rekenonderwijs, dat die begrippen heeft aan te brengen, zorg dragen, dat het kind die gewaarwordingen bekomt. 3°. De voorwerpen, die geteld moeten worden, behooren met hun omgeving, wat hun kleur betreft, een conti ast te vormen. O21 dezen eisch te begrijpen, zij gewezen op het bekende verschijnsel, dat bij verschillende dieren (leeuwerik, boomvorsch, tijger, enz.) de huidkleur gelijk is aan die der omgeving, waardoor ze niet in het oog vallen. De te tellen voorwerpen moeten echter juist de aandacht trekken, zoodat een andere kleur dan de voorwerpen der omgeving noodig is. De beste kleur nu zou zijn zwart, op een wit veld, maar het is niet in het belang van het oog, langen tijd op een wit veld te zien, waaruit volgt, dat witte voorwerpen op een zwarten achtergrond de voorkeur verdienen. 4°. De hulpmiddelen moeten zoo min mogelijk aanleiding geven tot gewaarwordingen, die met het getal-begrip geen verband houden. Het bewustzyn toch is beperkt; slechts enkele afzonderlijke gewaarwordingen kunnen op hetzelfde oogenblik bewust zijn, zoodat het zaak is, de hulpmiddelen zóó te kiezen, dat andere gewaarwordingen dan motorische zooveel mogelijk vermeden worden. Om het ontstaan der oog-motorische gewaarwordingen te begunstigen, is het daarom wenschelijk, dat de hulpmiddelen als voorwerpen bekend zijn (den prikkel van het nieuwe missen), dat ze dezelfde kleur, nagenoeg denzelfden vorm en ongeveer dezelfde grootte hebben '). Om het ontstaan der handmotorische gewaarwordingen te steunen, is het gewenscht, dat bij alle hulpmiddelen de gesteldheid der oppervlakte dezelfde is (alle even glad, ruw, vlak, enz.), en dat de oppervlakte op alle punten van elk hulpmiddel dezelfde is ') Wjjl de eenheden samengevat moeten worden tot een „verzameleenheid", volgt reeds hieruit de eisch, dat de voorwerpen, als hulpmiddel gebezigd, niet te veel uiteen mogen loopen. (geen verhevenheden, kanten of hoeken dus). Uit een combinatie dezer eischen volgt, dat witte ballen van ongeveer dezelfde grootte op een zicart veld de meeste aanbeveling verdienen. Het is echter onnoodig, dat de hulpmiddelen geheel identisch zijn; door toch van zulke identische voorwerpen uit te gaan, om eerst later ongelijke voorwerpen te tellen, wordt gehandeld, of bij het eerste rekenonderwijs de moeilijkheid schuilde in het abstractie-proces, wat (vergelijk § 1) niet het geval is. Het abstraheeren verricht het kind, als een soort natuurproces (als het ademen b.v.) en reeds het kind van 3 jaar zegt: „ik heb 2 beenen, de hond heeft 4 pooten," enz., zoodat het steeds uitgaan van absoluut gelijke voorwerpen niet slechts berust op een minder juist inzicht in de wijze, waarop getal-begrippen ontstaan , maar ook niet by de kinderlijke wijze van doen aansluit. In de practijk zou het bezigen van ballen door de leerlingen echter vrij wat last veroorzaken; daarom zullen ballen in den regel slechts gebezigd kunnen worden, om oog-motorische gewaarwordingen te doen ontstaan (het rekenrek van v. Pelt, het telraam), terwijl dan voor de handmotorische reken-kuben moeten volstaan (later het leitelraam), wijl halve ballen, die na de ballen het eerst in aanmerking komen, niet in den handel zijn. 5°. De hulpmiddelen moeten zóu gerangschik t zijn, dat de opvatting van elke eenheid er door in de hand gewerkt icordt. Daartoe is slechts noodig, dat tusschen elke twee op elkaar volgende eenheden eenige ruimte is (ongeveer zoo groot als de eenheden); deze schikking toch dwingt tot de noodige pauseering. Deze eischen hebben (het is mogelijk niet overbodig, dit op te merken) betrekking op de hulpmiddelen, die noodig zijn, om het tellen te leeretr, de toepassing moet zich natuurlijk uitstrekken over andere eenheden, en hieraan is geen behoefte: het kind heeft zooveel telbare dingen in zijn omgeving, zooveel herinneringsbeelden van levende en levenlooze voorwerpen , dat opzettelijke hulpmiddelen op dezen trap niet noodig zijn. Bij het toepassen van het tellen is ook de tijd aangebroken, om verband te leggen tusschen rekenonderwijs en zaakonderwijs, en wel in dien zin, dat het eerste zich bedient van voorwerpen , die de leerling bij het laatste heeft leeren kennen. In verband met een en ander zij nog opgemerkt, dat het zoo vaak bestreden tellen op de vingers voor het tellen het aangewezen hulpmiddel is , omdat het een natuurlijke groepeering bevordert en omdat de vingers vrij wel voldoen aan de eischen, straks aan de hulpmiddelen gesteld '). § 4 Wat de wijze van behandeling betreft, deze is voor alle getallen tot 20 principieel dezelfde; zij vangt aan met een hoeveelheid onder de aandacht te brengen, waarbij het aantal opgemerkt kan worden; voor elk getal worden natuurlijk hoeveelheden gebezigd uit verschillende eenheden ') Het behoeft dan ook niet te verwonderen, dat bjj verschillende volkeren voor de namen van de getallen namen van lichaamsdeelen gebezigd zijn. ..Bij de Muytka's heet tien voet (quihieha of quiha), omdat men aan den voet begint te tellen, wanneer de vingers geteld zjjn. Elf, twaalf, dertien heeten van de telwoorden ata, bvsa, mica, d. i. één, twee, drie, quihieha ata, quihieha hom, quihieha mica, enz. zooveel als voet een, voet ttree, enz. In vele talen heeten 5 en 10 één hand, twee handen. Bij de Paruro's heet 40 noeni puu-e van noeni = twee en puu-e = mensch, omdat men den geheelen mensch noemde, zoodra men alle vingers en teenen had geteld. In 't Perzisch heet vijf pendj van pen/scha = vuist, dat weer verwant is aan 't Sanskriet pantscha, enz." (Vorsterman v. Oyen, Alg. Kekenk. I. blz. 11). Velen zien dan ook in de I een afbeelding van den vinger, in de V die der hand, in de X die der dubbele hand; het tellen op de vingers is alzoo een natuurljjk hulpmiddel, en dwaasheid ware het, dit te willen weren. samengesteld. Is daarna het cijfer bekend gemaakt, dan wordt het nieuwe getal in verband met reeds behandelde getallen gebracht d. w. z. de hoofdbewerkingen of hoofdregels worden toegepast, waartoe het pas behandelde getal de aanleiding geeft. Eerst worden deze bewerkingen verricht met werkelijk aanwezige dingen; dan met dingen, die afwezig zijn, en eindelijk met abstracte getallen, zoodat een volledige behandeling achtereenvolgens omvat: 1. Voorstellen der hoeveelheid op allerlei manieren en opmerken van het aantal. 2. Ontbinding en samenstelling van aanwezige hoeveelheden. 3. Aftrekking van aanwezige hoeveelheden. 4. Vermenigvuldiging met aanwezige hoeveelheden. 5. Deeling „ „ 6. Rekenen met afwezige dingen. 7. „ „ abstracte getallen. Het spreekt echter van zelf, dat zulk een behandeling slechts mogelijk is bij de getallen, grooter dan 10: daar is de behandeling pas volledig; een eerste behandeling der getallen tot 5 (inleidende behandeling) omvat daarentegen slechts: 1. Voorstelling der hoeveelheid en opmerken van het aantal. 2. Ontbinding en samenstelling (met aanwezige hoeveelheden). 3. Aftrekking (met aanwezige hoeveelheden). 4. Rekenen (optellen en aftrekken) met afwezige hoeveelheden. Bij latere behandeling dezer getallen wordt hieraan toegevoegd : 1. Rekenen (vermenigvuldigen en deelen) met afwezige hoeveelheden. 2. De cijfers. 3. Optellen en aftrekken met abstracte getallen (+ en —). De behandeling der getallen van 6 tot 10 omvat echter: 1. Voorstelling der hoeveelheid en opmerken van het aantal. 2. Ontbinding en samenstelling van aanwezige hoeveelheden. 3. Aftrekking, vermenigvuldiging en deeling van aanwezige hoeveelheden. 4. Rekenen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, deelen) met afwezige hoeveelheden. 5. Optellen en aftrekken met abstracte getallen. Bij de herhaling der getallen van 1—10 wordt het vermenigvuldigen en deelen met abstracte getallen aan het reeds behandelde toegevoegd. Om de volgorde: rekenen met aanwezige dingen, met afwezige dingen en met abstracte getallen te motiveeren, zij opgemerkt, dat eerst dingen geteld worden, die werkelijk aanwezig zijn (het eenvoudigst geval), dan dingen, die de leerlingen zich voorstellen (iets minder gemakkelijk, omdat de leerlingen hierbij het rekenmateriaal, dat in het eerste geval door den onderwijzer voor hen gebracht wordt, uit hun geheugen nemen), en eindelijk zonder eenig materiaal. Bij het laatste moet de leerling ten slotte de uitkomst van eenige rekenkundige vraag (b.v. 5 + 3) in zijn geheugen hebben; maar vaak zal hij, als hij moet zeggen, hoeveel 5 + 3 bedraagt, uitrekenen 5 ct. + 3 ct. = 8 ct. om eerst dan te antwoorden 5 + 3 — 8. Dit bewijst intusschen slechts, dat de uitkomsten nog niet aan het mechanisch geheugen toevertrouwd zijn, dat de leerling nog steun be- hoeft; zonder dus zijn handelwijze bepaald af te keuren, moet er toch naar gestreefd worden, dat de leerling op de vraag: „Hoeveel is 12 — 9?" eindelijk direct antwoordt: „12 — 9 = 3." Dit is beslist noodig met het oog op het latere rekenonderwijs, en, wijl dit resultaat (15 — 9 = 6 direct te zeggen) voor de getallen tot 20 niet bereikt kan worden zonder afzonderlijke behandeling dier getallen, behooren deze getallen ook hierom afzonderlijk behandeld te worden. Zulk een antwoord kan slechts het resultaat van veel oefening zijn; liet is dus verkeerd, dit reeds te eischcn bij eerste behandeling der getallen; het kan slechts verlangd worden, nadat de leerlingen de getallen hebben leeren kennen, d. w. z. bij de tweede behandeling. Welke opgaven alzoo door de leerlingen gemaakt worden, toone het volgende overzicht van de oefeningen, aan de volledige behandeling van een getal te verbinden; daaruit is wel af te leiden, welke oefeningen bij minder volledige of herhaalde behandeling gegeven worden. Yoor het getal 12 b. v. worden dan eindelijk deze oefeningen gegeven: I. Ontbindingen en samenstellingen: 12 = 10 + .. 11 + 1 = 12 — 2 + 3 + .. 2 + 3 + 7 — 12=11 + .. 10 + 2= 12 = 2 + 4 + .. 3 + 4 + 5 = 12=9+.. 9+3= 12 = 2 + 5 + .. 2 + 6 + 4 = 12= 8+.. 8 + 4= 12 = 3 + 4 + .. 3 + 5 + 4 = 12= 7+.. 7 + 5= 12 = 4 + 5 + .. 4 + 3 + 5 = enz. enz. enz. 12 = 1 + 2 + 3 + .. 1 + 5 + 4 + 2 = 12 = 2 + 3 + 4 + .. 2 + 3 + 1 + 6 = 12 = 3 + 4 + 1 + .. 7 + 1+3 + 1 = 12 = 2 + 3 + 2 + .. 4 + 2 + 3 + 3 = enz. II. Aftrekken: 12 — 1= 12 — 2 — 3= 12 — 2 — 3 — 4 = 12 — 2= 12 — 2 — 4= 12 — 3 — 1 — 4 = 12 — 5= 12 — 2 — 5= 12 — 1—4 — 5 = 12-9= 12-3-5= 12-2-3-5 = 12 6= 12 — 3 — 4= enz. enz. enz. III. Vermenigvuldigen: 2x6= 2x5 + ... = 12 12 — 2x4 = 3x4= 3x2+...= 12 12 — 3x3 = 4x3= 4x2 + ... = 12 12 — 4x2 = 6x2= 3x3 + ... = 12 enz. IV. Deelen: 12 : 2 = 12:5= 12 = .. x 5 + 2 12:3= 12:7= 12 = . . X 3 + 3 12:4= 12:8= 12 = .. x 4 + 4 12:6= 12:9= enz. Wat den vorm dezer opgaven betreft, als zoodanig komen ze pan voor, als tot het rekenen met abstracte getallen is overgegaan. Wel zijn reeds dezelfde vragen door de leerlingen beantwoord, maar öf met werkelijk aanwezige óf met afwezige voorwerpen. In het laatste geval worden ze echter in den vorm van vraagstukjes aan de leerlingen gegeven, om de rekenkundige vraag voor hen smakelijk te maken. Bij dit z. g. „aankleeden" der rekenkundige vraag bedenke men echter, dat het „aankleeden" geschiedt om de vraag, zoodat deze niet in een interessant verhaaltje mag verdrinken. De eerste der ontbindingen b.v. (12 = 10 + ..) wordt bij het rekenen met werkelijk aanwezige hoeveelheden op de volgende wijze behandeld: „Neem 10 blokjes (1 rij ballen); 12 moeten er zijn; dus moeten er bij 2 blokjes, 12 blokjes zijn dus 10 blokjes en 2 blokjes." Bij het rekenen met afwezige hoeveelheden wordt de vraag b.v. aldus ingekleed: „Jan wilde een cadeautje voor moe koopen, dat 12 ct. kostte, hij had 1 dubbeltje, hoeveel ct. moest hij nog besparen?" Bij het rekenen met abstracte getallen wordt de leerling eenvoudig voor de vraag gesteld: „ 12 = 10 + ..." of „Hoeveel moet er bij 10, om 12 te krijgen?" Wat het aftrekken aangaat, hierbij doet zich nog de vraag voor of 13 — 9 uitgerekend moet worden als 10 + 3 — 9 = 10 — 9 + 3 = 1 + 3 = 4 of als 13 — 9=13 — 3 — 6 = 10 — 6 = 4. Waar het resultaat moet zijn, dat de leerling in eens zegt, 13 — 9 = 4, daar is het de vraag, welke handelwijze de leerling, mocht hij haperen, het gemakkelijkst terug kan vinden, en dit is ongetwijfeld de eerste. I)e splitsing toch van 13 in 10 + 3 is den leerling opzettelijk bekend gemaakt bij de behandeling van het getal 13; deze splitsing is dus meer bekend dan de vrij gezochte splitsing van 9 in 3 + 6. Daarenboven, wie van 1 dubbeltje en 3 centen 9 centen moet afnemen, zal beginnen met het dubbeltje te nemen, om dan een cent terug te geven; de eerste handelwijze is alzoo het natuurlijkst, d. w. z. zal eerder toegepast worden, ook zonder dat de leerling rekenonderwijs ontving. Bij het vermenigvuldigen worden, na eenvoudige opgaven (de tafels), combinaties van vermenigvuldigen met optellen (aftrekken) gegeven, waardoor bij de eene bewerking andere herhaald worden. Wat het deelen betreft, hierbij doet zich het eigenaardige geval voor, dat eenzelfde teeken (:) twee verschil- lende vragen aanduidt; 14:2 beteekent namelijk zoowel: „hoeveel is de helft van 14?" als vhoe vaak kan 2 van 14 genomen worden?" Beide vragen moeten natuurlijk dooide leerlingen beantwoord worden, maar — en hierop komt het aan — moeten beide op dezelfde wijze of elk op een eigen manier beantwoord worden? Om deze vraag te beantwoorden, zij opgemerkt, dat het rekenonderwijs in de lagere school allereerst gegeven wordt om zijn practische waarde; het heeft dus (natuurlijk zonder de eischen, aan goed onderwijs te stellen, te verwaarloozen) vaardigheid aan te kweeken. Vaardigheid in het deelen (d. w. z. in het beantwoorden van de beide vragen der deeling) zal nu eerder verkregen worden, door de beide vragen, die zich in denzelfden vorm aandienen, op dezelfde wijze te beantwoorden, dan door voor elke vraag een afzonderlijke wijze te bepalen. In het laatste geval toch moet de leerling, wordt hij voor de deeling 12 : 2 geplaatst, eerst bepalen, welken weg hij heeft in te slaan, terwijl in het eerste geval hem dit onderzoek bespaard blijft. In het belang van de vaardigheid in het deelen (door het leven geëischt) is het alzoo, beide vragen der deeling op dezelfde wijze te beantwoorden. Welke wijze daartoe in aanmerking kan komen, wordt wel duidelijk door het volgende. De verhoudingsdeeling geeft als uitkomst een onbenoemd getal, de verdeelingsdeeling een benoemd getal; om alzoo uit een verrichte verhoudingsdeeling de uitkomst der overeenkomstige verdeelingsdeeling te bepalen, moet een onbenoemd getal tot een benoemd getal herleid worden, wat geschiedt door een benoemd getal met een onbenoemd getal te vermenigvuldigen. Om echter uit het antwoord eener verrichte verdeelingsdeeling dat der overeenkomstige verhoudingsdeeling te be- palen, moet een benoemd getal tot een onbenoemd getal herleid worden, d. w. z. het moet gedeeld worden door een benoemd getal, wat neerkomt op een toepassing der verhoudingsdeeling. Daaruit volgt, dat de verdeelingsdeeling zich wel laat inlijven bij de verhoudingsdeeling, maar de verhoudingsdeeling niet bij de verdeelingsdeeling, zoodat het voor de lagere school icenschelijk is alle deelingen van meet af op te, laten lossen als verhoudingsdeelingen. Yan het eerste leerjaar af worden dus alle deelingen op dezelfde wijze (als verhoudingsdeelingen) uitgewerkt; het kan n.1. niet in het belang der vaardigheid zijn, verhoudings- en verdeelingsdeeling eerst enkele jaren geseheiden te houden, om later (bij grootere getallen), als de practijk dit onverbiddelijk eiselit, de verdeelingsdeeling bij de verhoudingsdeeling in te lijven, zooals Zernike o. a. doet in rOns Rekenonderwijs". Daarenboven, reeds in het eerste leerjaar wordt practisch de verdeelingsdeeling bij de verhoudingsdeeling ingelijfd, ook al scheidt het leerplan ze. Zoo n.1. een leerling op een gegeven oogenblik (als hij het derde deel van 18 ct. moet berekenen) zich niet herinnert, dat 3 x 6 ct. = 18 ct., zal hij beginnen met 3 hoopjes, elk van 1 ct., te vormen. Dan legt hij bij elk hoopje weer 1 ct., en daarmede gaat hij voort, tot de 18 ct., die verdeeld moeten worden, verbruikt zijn, zoodat hij 6x3 ct. gebruikt heeft; op elk hoopje ligt dus 6 x 1 ct. of 6 ct. Zoo doet in werkelijkheid elk leerling, die met een gegeven verdeelingsdeeling moeite heeft, hij brengt ze terug tot een verhoudingsdeeling, en bij deze handelwijze behoort het rekenonderwijs zich aan te sluiten. § 5. Uit de vorige § bleek, dat het gebruik van de z.g. getal-figuren niet aanbevolen werd. Deze toch berusten op w. a. w. moi.i., Het Rekenen. 2 het beginsel, dat de getal-voorstelling bestaat uit een complex van gezichtsgewaarwordingen, zoodat de moeilijkheid bij het eerste rekenonderwijs ligt in het zich voorstellen van de hoeveelheid, wat echter niet het geval is '). Zij ligt in het tellen (vgl. § 1), en de rangschikking in figuren is minder bevorderlijk, om het tellen te leeren, dan die in eene rij. Een leerling zal het aantal vijf b.v. gemakkelijker opmerken, als de eenheden gerangschikt zijn als □ □ □ □ □, dan als ze de figuur vormen. In het eerste geval □ □ zijn n.1. slechts successieve bewegingen van het oog of de hand noodig, en steunt de rangschikking dus het tellen, in het tweede geval zijn ook andere dan successieve bewegingen noodig en wordt dus het tellen gehinderd. Intusschen, dit beteekent niet, dat slechts de rangschikking in één doorloopende rij (hij aantallen, grooter dan 5, in groepen van 5 door zekere ruimte afgedeeld) onder de aandacht gebracht wordt, volstrekt niet. Is eenmaal het aantal opgemerkt (bij een in één doorloopende rij gerangschikte hoeveelheid), dan moet het kind zich oefenen in het opmerken van dat aantal bij anders gerangschikte hoeveelheden: de getalfiguren dienen ter toepassing, niet als „uitgangspunt". Hierdoor kan echter niet zoo spoedig ') Wordt dé getal-voorstelling nog opgevat als een complex van gezichtsgewaarwordingen, dan werken de leerlingen zelve met de hulpmiddelen om den lust in het leeren te verhoogen, terwijl ze met de hulpmiddelen behooren te werken, omdat de hierbij verkregen hand-motorische gewaarwordingen een noodzakelijk bestanddeel van de getal-voorstelling uitmaken. (Hieruit bljjkt — het zjj even opgemerkt — weer duidelijk, dat de practijk in den regel de theorie ver vooruit is: vóór het aandeel der hand mötorische gewaarwordingen vaststond, was het werken door de leerlingen reeds in 10 is. 9. Tienen en eenen by tienen en eenen, b.v. 56 + 29 (later 56 + 9 + 24, enz.). De eenen zijn zoo gekozen, dat de som der eenen >10 is. Deze gevallen worden alle mondeling behandeld en daarna schriftelijk bewerkt en wel eerst in den vorm, zooals ze hier gegeven zijn (verbonden door het plusteeken), later in den vorm, bij cijferen gebruikelijk (onder elkander plaatsen, zoodat de gelijknamige eenheden onder elkaar komen te staan). Tot aan dezen overgang tot den „cijfervorm" toe, wordt, om het hoofdrekenen tot zijn recht te doen komen, elk geval zoo veelzijdig mogelijk beschouwd; 46 + 23 b.v. èn als 46 + 20 + 3 èn als 40 + 20 + 6 + 3; 46 + 9 èn als 46 + 10 — 1 èn als 46 + 4 + 5 èn als 40 + 6 + 9; 56 + 8 + 7 èn als 56 + 10 — 2 + 10 — 3 (= 76 — 5 = 71) èn als 56 + 4 + 4 + 7 (= 60 + 4 + 6 + 1 = 60 + 10 + 1 = 70 + 1) èn als 50 + 6 + 8 + 7 (= 50 + 21 = 71); 56 + 29 èn als 56 + 20 + 9 (= 76 + 9 = 85) èn als 56 + 30 — 1 (= 86 — 1 = 85) èn als 60 + 29 — 4 (= 60 + 25 = 85) enz. Zoo wordt steeds naar verschillende manieren gezocht, waardoor de verkortingen (als een of meer der getallen dicht bij een veelvoud van 10 zijn gelegen) van zelf ter sprake komen, niet afzonderlijk behandeld worden, en dus hun karakter van „loopjes" of „kunstjes" geheel afleggen. Eerst na behandeling van alle gevallen (op de hier aangegeven wijze) wordt de gewone vorm van bewerking gekozen en worden optellingen op deze wijze verricht. Zijn zóó deze gevallen behandeld, dan kan de leerling willekeurige getallen, kleiner dan 100 (waarvan ook de som < 100 is), samentellen, zoodat overgegaan kan worden tot III. Aftrekking. De gevallen, hierbij te onderscheiden, loopen parallel met die der optelling, zoodat zonder nadere toelichting deze volgorde wel duidelijk zal zijn. 1. Tienen van tienen. 2. Eenen van tienen en eenen, b.v. (56 — 6). Het aantal eenen van den aftrekker = dat van het aftrektal. 3. Eenen van tienen en eenen, b.v. 56 — 4. Het aantal eenen van den aftrekker is < dat van het aftrektal. 4. Tienen van tienen en eenen, b.v. 46 — 20. 5. Tienen en eenen van tienen en eenen, b.v. 69 — 25. Het aantal eenen van den aftrekker is <. dat van het aftrektal. 6. Eenen van tienen, b.v. 50 — 8. 7. Tienen en eenen van tienen, b.v. 50 — 24. 8. Eenen van tienen en eenen, b.v. 62 — 9. Het aantal eenen van den aftrekker is > dat van het aftrektal. 9. Tienen en eenen van tienen en eenen, b.v. 63 — 25. Het aantal eenen van den aftrekker is > dat van het aftrektal. Weer wordt elk geval na mondelinge behandeling schriftelijk toegepast en wel eerst in den vorm, zooals die hier gegeven werd (de getallen door het minusteeken verbonden); na behandeling van het laatste geval echter in den „cijfervorm". Bij de mondelinge behandeling wordt elk geval op verschillende manieren uitgewerkt; 69 — 25 èn als 69 — 20 — 5 èn als 60 — 20 + 9 — 5; 50 — 24 èn als 50—20 — 4 èn als 40—20 + 10 — 4; 62 — 9 èn als 62 — 2 — 7 èn als 62 — 10+1 enz. Op deze wijze komen de gebruikelijke verkortingen van zelf ter sprake, zoodat het niet noodig is, opgaven te kiezen alleen voor die verkortingen. Voor het gemak van den onderwijzer zij hier echter opgemerkt, dat die verkortingen ontstaan: le. door aftrektal (aftrekker) zoo te splitsen, dat het verschil op het oog bepaald kan worden: 58 — 27 = 57 — 27 + 1 56 — 27 = 56 — 26 — 1. 2e. door aftrektal en aftrekker met eenzelfde getal te vermeerderen (verminderen): 56 — 27 = 59 — 30 53 — 14 = 50 — 11. 3e. door den aftrekker met een getal te vermeerderen (verminderen) en het vermeerderde (verminderde) bij het verschil te voegen (of er af te nemen): 61 — 18 = 61 — 20 -f 2 61 — 18 = 61 — 11 — 6. 4e. door het aftrektal met een getal te vermeerderen (verminderen) en het vermeerderde (verminderde) van het verschil te nemen (of er bij te voegen): 64 — 48 = 68 — 48 — 4 32 = 52 — 32 + 2, d. w. z. door de eigenschappen der aftrekking toe te passen. IV. Vermenigvuldiging. Vóór alles is noodig, dat de kinderen de tafels kennen. Het is toch onmogelijk 6 x 12 te berekenen, als 6 x 2 onbekend is, enz Om ze te leeren, is het echter wen- schelijk, alle tafels op dezelfde manier met de leerlingen af te leiden uit bekende producten, en wel de tafel \an 1 uit het geleerde bij de behandeling der getallen tot 20, evenals J1 y) rt 3 tot 6x3, verder 7x3 uit 5x3 + 2x3 8x3 „ 5x3+3x3 9x3 „ 5x3 + 4x3 en zoo worden alle tafels eerst tot 5 x n berekend, terwijl dan 5 x n bij de gevonden producten bijgeteld wordt. Om de voordeelen dezer handelwijze te doen uitkomen, behoeft slechts nagegaan te worden, welke nadeelen aan andere manieren verbonden zijn. De oude school liet de tafels opschrijven en daarna bloot memoriseeren; ze leidde de producten niet af, maar liet deze slechts van buiten leeren, zoodat de leerling wel eindelijk als een automaat op de vraag: „6 x 7"? antwoordde: „42", maar tijdens het leeren niet wist, hoe hij aan het antwoord kwam. Het leeren der tafels was zoo voor het kind een ware marteling, waarbij een vreeselijke inspanning geëischt werd. In het gunstigste geval (als niet alle ns e memonseenn0 gegeven werden) eiken dag (elke week) 9 onbegrepen producten er inwerken; het was om wanhopig te worden. Vooral bij het vermenigvuldigen! Elke vermenigvuldiging eischte n.1. enkele malen herhaling der tafels. Om b.v. 6 x 9 te weten, moest de geheele tafel tot 6x9 even opgezegd worden, en dit bij een vermenigvuldiging van b.v. 847 x 7568! Ja, later leerde de ervaring wel (als de geheele tafel „haperde"), dat 6x9 gevonden werd, door 9 + 9 4-9 + 9 + 9 + 9 te nemen, later begreep men de tafels, maar .... welk een omweg om dit resultaat te bereiken! Reactie kon dan ook niet uitblijven, en al spoedig liet men door eenvoudige bijtelling elke tafel uit reeds verkregen producten samenstellen, aldus: 1x2=2, 2x2 = 2 + 2= 4, 3x2=4+2=6, 4x2=6+2=8, 5x2 = 8 + 2= 10, 6 x 2 = 10 + 2 = 12, 7 x 2 = 12 + 2 = 14, 8 x 2 = 14 + 2 = 16, 9 x 2 = 16 + 2 = 18. Deae manier stond ongetwijfeld hooger dan de eerste, men waagde althans een poging tot verklaring van wat 6x2 beteekende, maar .... het bloote memoriseeren bleef gehandhaafd. En dan — welk een weg, om een verloren gegaan product terug te vinden! Had een kind op deze manier de tafels geleerd en wist het op een gegeven oogenblik niet, dat 7 x 8 = 56, dan moest het bij 8 beginnen en, door er telkens 8 bij te tellen, 7x8 berekenen. Het betere van deze manier bestond dan ook slechts hierin, dat de leerlingen thans door het onderwijs een middel tot het opdiepen van een verloren product leerden kennen, terwijl bij de eerste manier de ervaring dit middel aan de hand moest doen; bovendien wisten bij deze manier de leerlingen reeds bij het memoriseeren, dat 6x8 beteekende 8 + 84-8 + 8 + 8 + 8, wat ze bij de eerste manier zelf moesten vinden '). Yersluys trad in zijne handleiding op met een nieuwe manier; hij liet elk product aanschouwen door de een¬ heden in figuurtjes te rangschikken. ('Vergelijk bijgaande figuur voor 7 x 6.) Deze handelwijze deed wel elk product aanschouwen, maar ze gaf den leerling geen enkel middel, om een verloren product zoo snel mogelijk terug te vinden; die rangschikking onthouden toch was te kras, waar elk product een eigen rang¬ schikking had, d. w. z. een afzonderlijke figuur eisehte. De leerling moest dan ook, werden de tafels zoo onderwezen, als hij op zeker oogenblik 7x8 niet wist, öf 7 keer 8 streepjes zetten en die tellen, öf, bij 8 te beginnen, er zoo vaak 8 bijtellen, tot hij vond 7 x 8 = 56, d. w. z. hetzelfde doen als bij de vorige manieren. Al laat Versluys dus alle producten aanschouwen, hij leert niet den weg kennen, om, weet de leerling zeker product niét, dit product snel te bepalen; daarom X x x x x x x x x x x x — | x x x x x x X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X ') Onwillekeurig herinnert dit aan den tegenwoordig zoo luid uitgesproken eisch der zelfwerkzaamheid en vraagt men zich af: „Wanneer moesten de leerlingen meer zelf doen, toen of nu?" Toen moesten zjj zelf voor de geheele verklaring zorgen, thans wordt die verklaring niet hen gevonden. kan de methode-Yersluys niet de universeele methode zijn l). v. Pelt laat de productenrij uit bekende producten afleiden , en wel aldus: Jx3, 2x3, 4x3 = 2x3 + 2x3, 3x3 = 1x3 + 2x3, 6x3 = 3x3 + 3x3, 5x3 = 2x3 + 3x3, 20x3 = 5x3 + 5x3, 9x3 = 10x3 — 1x3, «9x3 = 10 x3 — 2x3, 7 x 3 = 10 x 3 — 3x3. Deze handelwijze waarborgt grondig inzicht en geeft den leerling vrij eenvoudige middelen , om een verloren gegaan product weer te vinden. Toch zijn deze middelen niet geschikt, om zulk een product snel te bepalen; de leerling moet n.1. in voorkomende gevallen nog overwegen, welke optelling of aftrekking hij heeft te maken en in het belang van het opzoeken van zeker product moet deze overweging wegblijven, moet de leerling steeds en dadelijk weten, wat hij heeft te doen, d. tv. z. moeten alle producten op dezelfde icijze afgeleid worden. Ook de handelwijze-ZERNiKE voldoet niet aan dezen eisch. Deze leidt de tafel van 5 af uit die van 10, die van 2 uit de behandeling der getallen tot 20; die van 3 tot 6x3 uit de getallen tot 20, verder door bijtellen; die van 4 door vergelijken met die van 5; die van 7 tot 2x7 uit de getallen tot 20; 3x7, 4x7, 5x7, 6x7 door omkeering uit de tafel van 3,4,5 en 6, de overige door bijtellen; die van 8 tot 4 x 8 uit die van 4, 5x8 uit die van 5, 6 x 8 uit die van 6, 7 x 8 uit die van 7, 8 x 8 en 9 x 8 uit 10 x 8 — 2 x 8 en 10 x 8 — ') In verband met het karakter van de aanschouwelijke behandeling der getallen in dit leerjaar, zjj nog opgemerkt, dat deze rangschikking in figuurtjes nu niet de hooge waarde heeft, die Versluys er aan toekende. Zeker, het vergemakkelijkt bij een bepaalde tafel het tellen, maar door een afwijking van het geleerde bij de telling; die figuurtjes zijn dus „rekenkunstige aardigheden", die wel illustratie zijn. maar geen „uitgangspunt" mogen wezen. w. a. w. moi.l, Het Rekenen. 3 1x8; die van 9 tot 8 x 9 door omkeering of door vergelijken met die van 10. Welk een methodes bij het aanleeren der tafels! Ze kunnen door hun veelheid den leerling niet helpen, als hij op zeker oogenhlik b.v. 7x8 niet weet en dit dan moet bepalen. Daartoe moet hij eerst uitmaken, of hij moet omkeeren, vergelijken met 10 (5) of bijtellen, en dit nadenken reeds belemmert het vaardig opzoeken van een verloren product; vaardigheid toch bereikt haar hoogtepunt, als men niet meer denkt. Daarom moeten alle tafels aangeleerd worden op dezelfde manier. Weet een leerling b.v. niet, hoeveel 7 x 8 is, dan moet hij dadelijk zeggen: „7x8 = 5x8 + 2x8 = 40+ 16 = 56"; weet hij 8x9 niet, hij zegge direct: „8 x9 = 5x9 + 3x9 = 45 + 27 = 72", enz., en dit is alleen mogelijk, als de leerlingen gewoon zijn, de producten boven 5 op deze manier te bepalen d. w. z. als de producten boven 5 bij alle tafels op deze manier bepaald zijn. In de practijk brengt deze handelwijze nog het voordeel, dat het slechts noodig is, elke tafel tot 5 x n door directe telling te laten vinden en memoriseeren; er wordt alzoo tijd gewonnen, wat, bij rekenen vooral, geen onbelangrijk voordeel is. Men begrijpe echter wel, deze handelwijze is het meest gewenscht bij het aanleeren der tafels, bij het samenstellen der producten, wat alzoo volstrekt niet uitsluit, dat de behandelde producten ter toepassing ook anders uitgerekend worden (7x8 b.v. als 10 x 8 — 3 x 8, als 8x7, of wel, als 7 x 10 — 7x2, enz.), maar ter eerste bepaling van het product dient de genoemde handelwijze het best. Die toch gaat (het zij nog eens met nadruk \ermeld) niet uit van de onderstelling, dat eenmaal behandelde producten „er in" blijven (dat aan te nemen, ware oen dwaasheid), ze beoogt integendeel onophoudelijke herhaling, zonder dat de leerling die als herhaling voelt. Wat de overige gevallen der vermenigvuldiging betreft, ze zijn feitelijk slechts toepassingen der tafels; waar toch het product < 100 moet zijn (om den getallenkring van dit leerjaar) r is, zelfs bij een vermenigvuldiger 2, het vermenigvuldigtal < 50 d. w. z. geen willekeurig getal. Yan eigenlijke vermenigvuldiging van een getal < 100 met een getal van 1 cijfer, kan dus geen sprake zijn, zoodat het vermenigvuldigen slechts ingeleid wordt, meer niet. Toch is het noodig, hierbij een methodische volgorde in acht te nemen, waardoor de volgende gevallen onderscheiden kunnen worden. 1. Eenen met tienen, b.v. 2 x 30 (als 2x3 tienen te behandelen; zoodat het een directe toepassing der tafels is). 2. Eenen met tienen, + eenen b.v. 3 x 23 (het product der eenen < 10). 3. Eenen met tienen, + eenen b.v. 2 x 35 (het product der eenen = 10). 4. Eenen met tienen, + eenen b.v. 4 x 23 (het product der eenen > 10). 5. Tienen met eenen, b.v. 20 x 4. 6. Tienen + eenen met eenen, b.v. 24 x 2 (het product der eenen < 10). 7. Tienen -f eenen met eenen, b.v. 25 x 2 (het product der eenen = 10). 8. Tienen + eenen met eenen, b.v. 36 x 2 (het product der eenen > 10). Onwillekeurig rijst de vraag, waarom de groepen 5—8 na de groepen 1—4 geplaatst zijn. Daarop zij geantwoord, dat bij 2 x 38 b.v. de eigenschap: „een som wordt ver- 3* menigvuldigd met een getal, door de som te splitsen, elk deel der som met dat getal te vermenigvuldigen en die gedeeltelijke producten te vereenigen" slechts ééns, bij 28 x 3 (= 20 x 3 + 8 x 3 = 2 x 10 x 3 + 8 x 3 = (10 x 3 + 10 x 3) -f 8 x 3) daarentegen tweemaal wordt toegepast. Daarom moeten de groepen 1—4 voor de groepen 5—8 gaan. Evenals bij het optellen en aftrekken wordt elk geval eerst mondeling op verschillende wijzen behandeld; 5 x 12 b.v. én als 5 x 10 + 5 x 2 én als 5 x 2 x 6 (= 10 x 6); 3 x 24 én als 3 x 20 + 3 x 4 (of omgekeerd 3 x 4 + 3 x 20) én als 3 x 25 — 3; 4 x 19 én als 4 x 10 + 4 x 9 én als 4 x 20 — 4; 26 x 4 én als 20 x 4 + 6 x 4 én als 25 x 4 + 4 (of 4 x 25 + 4), enz. Zoolang elk product nog op verschillende manieren bepaald wordt (dooide eigenschappen der vermenigvuldiging te laten toepassen) worden de opgaven in den vorm gegeven, als in het overzicht gekozen werd (de getallen door het maalteeken verbonden). ?sa behandeling der verschillende gevallen wordt de „cijfervorm bekend gemaakt, zoodat de berekening van 3 x 28 b.v. eindelijk geschreven wordt als 28 3 24 60 84 en die van 28 x 3 als 3 28 24 60 84. Nog zij opgemerkt, dat 2 x 46 gelezen wordt als 2 keer (maal) 46, zoodat het eerste getal de vermenigvuldiger is. In overeenstemming met wat a 4 b (a moet vermeerderd worden met b), a — b (a moet verminderd worden met b), n : b (a moet gedeeld worden door b) beteekenen, willen sommigen echter onder a X b verstaan: „a moet vermenigvuldigd worden met b" en dus b als den vermenigvuldiger beschouwen. Wijl echter de practijk der lagere school voor het teeken x keer leest (in overeenstemming met het gewone spraakgebruik) is het verkieslijk, deze gewoonte te sanctioneeren. V. Deeling. Op grond van wat bij het leerplan voor het eerste leerjaar over de deeling aangevoerd werd, zij hier slechts herinnerd, dat de leerlingen elke deeling terug moeten brengen tot een verhoudingsdeeling, al wordt ook telkens op de tweede vraag der deeling gewezen. Is b.v. gevonden, dat 32 ct.: 4 ct. = 8 x, dan moet op de vraag „wat na ook berekend is" geantwoord worden: „het 4e deel van 32 ct. = 8 ct.," terwijl, is 32 ct. : 4 te berekenen, en heeft de beantwoording dezer vraag eenige moeite, ze op de aangegeven wijze teruggebracht wordt tot de verhoudingsdeeling. Evenmin als bij de vermenigvuldiging is er echter in dit leerjaar van eigenlijke deeling sprake; ook het deelen is slechts een inleiding, waarbij echter de volgende gevallen te onderscheiden zijn. 1. üeeler en quotiënt < 10, b.v. 54 : 6. (Dit is niets dan het omgekeerde der tafel). 2. Peeier > 10 en quotiënt < 10, b.v. 72 : 12. 3. Deeler 10, b.v. 72 : 6. Elk geval wordt natuurlijk op verschillende manieren behandeld; 78 : 2 èn als 60 : 2 + 18 : 2 èn als 70 : 2 + 8 : 2 èn als 80 : 2 — 2:2; 90 : 5 èn als 50 : 5 + 40 : 5 èn als 9 x 10 : 5 = 9 x (10 : 5) = 9 x 2 = 18; 84 : 6 èn als (84 : 2) : 3 = 42 : 3 èn als 60 : 6 + 24 : 6, enz Eerst als zoo alle gevallen behandeld zijn, door verschillende eigenschappen der deeling te laten toepassen, wordt de bewerking in den „cijfervorm" geschreven b. v. als 6 ct. / 72 ct. / 10 x 60 ct. 2 x 12 ct. 12 x 12 ct. Bij het aanleeren dezer wijze van bewerking moet reeds op het verschil in schrijfwijze tusschen vraag (42 : 3, d. w. z. de deeler het laatst) en beantwoording (3 / 42 / d. w. z. de deeler het eerst) gewezen worden. Wordt het nagelaten, hierop in het begin te wijzen, dan wordt bij het verdere rekenonderwijs voortdurend tegen de schrijfwijze der vraag gezondigd, doordat de leerling overeenstemming brengt tusschen vraag en antwoord, d. w. z. 3 : 42 schrijft in plaats van 42 : 3. Evenals bij de telling zij hier, na behandeling der „hoofdbewerkingen", gewezen op opgaven, die betrekking hebben op eenheden, welker verhouding den leerlingen door ervaring bekend is. Opgaven als: 26 dubb. = . . . . stv., 17 kwartjes = . . . . stv., 18 halve guld. = . . . . dubb., 2 rijksd. = . . . . dubb., enz. (met combinaties als: 2 kwartjes + 4 dubb. = stv. 2 „ + 3 dubb. + 4 stv. = ... ct., 2 „ — 3 stv. = . . . . ct., enz.) aan den eenen kant, en invullingen als: 90 stv. = . . . . dubb., 72 kwartjes = . . . . guld., 65 halve gld. = . . . . dubb., enz., mogen in dit leerjaar niet ontbreken, evenmin als opgaven omtrent de tijdrekening. Deze laatste dienen echter alleen, om de leerlingen vertrouwd te maken met de gebruikelijke tijdsindeeling: het behandelen dier tijdsindeeling is de taak van het aanschouwings- of zaakonder wijs. Gelijk van zelf spreekt hebben ze echter verband te houden met de aangeleerde rekenbewerkingen. Daarom worden na de optelling en de aftrekking vragen beantwoord als: Welke datum is het, n dagen (weken) na (voor) zekeren datum? Welke dag der week is het, n dagen (weken) na (voor) zekeren dag? Op welken dag der week valt een gegeven datum, als een andere gegeven vroegeren (lateren) datum op een gegeven dag valt? ') Na de vermenigvuldiging en deeling worden tijden, in zekere eenheden uitgedrukt, tot andere eenheden herleid (weken tot dagen, jaren tot maanden, maanden tot dagen o. a.), een en ander natuurlijk in verband met de grootte van den getallen-kring in dit leerjaar. Aan het einde van dit leerjaar worden de hoofdbewerkingen met tijdseenheden verricht, door b.v. de som te bepalen van n weken, m dagen en p weken, q dagen, enz. Deze opgaven kunnen pas aan het einde van dit leerjaar als herhalingsoefeningen gegeven worden èn omdat de eenheden hier in andere dan tiendeelige verhouding staan, èn !) Deze vragen zyn zeer interessant te maken, door uit te gaan van de verjaardagen der leerlingen. omdat zij herleidingen eischen, die pas mogelijk zijn na behandeling der deeling »). Behalve deze opgaven voor de tijdrekening behoort het rekenonderwijs in dit leerjaar ook de Romeinsche getallen tot honderd te leeren kennen; tot twaalf toch zijn ze reeds bekend (uit de behandeling der klok bij het aanschouwingsof zaakonderwijs in het eerste leerjaar) en dan kost het weinig moeite, deze kennis aan te vullen. Zij worden echter pas na de optelling en aftrekking aan de orde gesteld, èn omdat het middelen zijn, om de getallen anders voor te stellen (daarom na de telling), èn omdat dit voorstellen vermeerdering en vermindering der getallen eischt. Verder zij het volkomeD waar, dat kennis der Romeinsche getallen van ondergeschikt belang is (ze komen slechts voor op uurwerken, in opschriften van monumenten, enz.), maar het is toch wel gewenscht, dat de leerling die bezit. Wanneer toch later (in het derde leerjaar) de omgeving uit aardrijkskundig oogpunt beschouwd wordt, ontmoeten de leerlingen ze; dan moeten ze die dus leeren ontcijferen , en beter dan ze op dat oogenblik ter loops te bespreken, is het, ze geleidelijk onder hun aandacht te brengen. Na het leeren kennen der teekens voor den getallenkring tot honderd, n.1. I, V, X, L en C is het nog noodig, hen er op te wijzen: 1' dat oen cijfer van kleinere waarde, links (rechts) naast een van grooter waarde geplaatst, daarvan moet afgetrokken worden (daarbij moet worden geteld) b.v. IV (4) en VI (6), IX (9) en XI C1!), IL (49) en LI (51), IC (99) en Cl (101), enz.' ') Het spreekt van zelf, dat ook in de volgende leerjaren opgaven omtrent de tijdrekening gegeven worden, echter geheel in den trant als deze, zoodat verdere aanwjjzing achterwege kan bljjven. 2e dat door de cijfers te vereenigen en te herhalen alle getallen worden voorgesteld '). HET DERDE LEERJAAR. § 9. Leidde het tweede leerjaar het cijferen in, het derde mag het cijferleerjaar heeten; daarin toch leeren de leerlingen de hoofdbewerkingen verrichten met zoo groote getallen, dat alle moeilijkheden overwonnen zijn, en het latere cijferen, al blijft het noodzakelijk, slechts herhaling is van bekende bewerkingen. Daartoe is echter noodig behandeling der getallen tot 10 000, wijl er anders van de vermenigvuldiging en deeling niet genoeg voorbeelden gegeven kunnen worden. Als toch de getallen tot 1000 behandeld worden, kan zich die behandeling zonder bezwaar uitstrekken tot 10 000, omdat de getallen, tusschen 1000 en 10000 op dezelfde wijze behandeld worden als die tusschen 100 en 1000. (Dat ook die tot 100 000 of tot 1 000000 op dezelfde wijze behandeld worden, behoeft nog geen reden te zijn 10 000 als stadium te bestrijden; tot 10000 zijn ze noodig, tot 100000 of 1000000 niet, terwijl bij behandeling tot 100000 of 1 000 000 dit leerjaar met leerstof overladen wordt). •) Na behandeling der getallen tot 1000 (10 000) in het derde leerjaar worden de leerlingen natuurlijk met de teekens M (of CIO; voor 1000, CCIOO voor 10 000, D (of 10) voor 500, CI00 voor 5000 bekendgemaakt, terwijl ook CCCI000 voor 100000, CCI300 voor 50 000 enz. later ter sprake komen; verdere aanwjjzing ter behandeling is echter onnoodig. In dit leerjaar dan maakt de aanschouwing langzamerhand plaats voor symbolische voorstellingen; de leerlingen doen door tellen geen voorstelling op van 1000 M, 1000 strepen, ot wat ook, wat dan ook niet noodig is; ze behoeven slechtste weten, hoe de hoeveelheden gerangschikt zijn {worden). Toch is de afstand tusschen 100 en 10 000 te groot om in eens, zonder halte, afgelegd te worden; daarom zij 1000 een voorloopig rustpunt en, omdat de getallen, grooter dan 1000, slechts noodig zijn voor de vermenigvuldiging en deeling, wordt de telling dezer getallen behandeld, als de optelling en aftrekking van getallen < 1000 behandeld is. Op grond hiervan splitst zich de leerstof voor dit leerjaar in de volgende groepen: I. Telling der getallen tot 1000. II. Optelling van „ < 1000. III. Aftrekking „ „ < 1000. IY. Telling der „ tot 10 000. V Optelling en aftrekking van getallen < 10 000. VI. Vermenigvuldiging van getallen < 10 000. ATI. Deeling van getallen < 10 000. Wijl n.1. de vermenigvuldiging en de deeling bekendheid met grootere getallen eischen, ligt het voor de hand, die grootere getallen te leeren kennen, vóór die bewerkingen behandeld worden. Deze bewerkingen echter berusten op de optelling en aftrekking van getallen > 1000, en daarom moeten na de telling van de getallen tot 10000 optelling en aftrekking herhaald worden met getallen > 1000. I. Telling tot 1000. In overeenstemming met de telling der getallen tot 100, leeren de leerlingen hier eerst de honderden kennen en daarna de tusschenliggende aantallen, echter niet in dien zin, dat alle tusschenliggende aantallen afzonderlijk beschouwd worden. Kunnen de leerlingen tellen bij honderden, zoo worden deze in cijfers voorgesteld, waarbij al dadelijk afgeleid wordt, dat de honderden op de derde plaats staan, van de rechterhand af yerekend. Daarna worden de getallen tusschen 200 en 300, 300 en 400, 400 en 500, enz. behandeld, d.w.z. bewegen zich de oefeningen in de aangegeven getallen-ruimte. Weten de leerlingen zoo, dat b.v. twee honderd zes en dertig bestaat uit twee honderden, drie tienen en zes eenen, dan is het tijd, de schrijfwijze te behandelen. Eerst noemt de onderwijzer het getal, dan ontbindt de leerling het in honderden, tienen en eenen, en stelt het in cijfers voor, terwijl deze ontbinding zoolang herhaald wordt, tot de leerlingen na het noemen de getallen dadelijk schrijven. Getallen uit honderden, tienen en eenen bestaande, worden eerst behandeld, dan getallen, uit honderden en tienen bestaande, eindelijk getallen, uit honderden en eenen samengesteld. De beide laatste gevallen toch zijn moeilijker dan het eerste geval, doordat zij feitelijk uitzonderingen zijn op den gevonden regel. Wordt dan ook bij het schrijven de natuurlijke volgorde der getallen in acht genomen, dan zullen er steeds leerlingen zijn, die 260 schrijven als 2060, of 236 als 2036. Als oefening in het schrijven der getallen (en tevens als voorbereiding tot de optelling) is het wel wenschelijk, de leerlingen bij tweeën (drieën, enz.) te laten tellen op de lei (op papier), terwijl, evenals bij de telling in de vorige leerjaren, het benoemen van aantallen centen (dubbeltjes, halve centen, halve stuivers, enz.) flink beoefend wordt. Ook de kennis van het metriek stelsel, in dit leerjaar aan te brengen, geeft stof tot zulke oefeningen, welker samenstelling echter aan de vindingrijkheid des onderwijzers blijve overgelaten. (Ygl. Hoofdstuk III). II. Optelling van getallen < 1000. Om een logischen gang te bepalen, zij nagegaan, waarin bij de optelling de moeilijkheden schuilen; de eerste nu is, dat de uitkomst >100, de tweede, dat de getallen >100, de derde, dat óf de som der eenen, óf die der tienen óf beide >10 is, alzoo herleid moet worden. Daaruit volgt deze gang: 1. Optelling van getallen van \2 cijfers, waarvan de som > 100. 2. Optelling van getallen van 3 cijfers, waarvan èn de som der eenen, èn die der tienen, èn die der honderden <10. 3. Optelling van getallen van 3 cijfers, waarvan alleen de som der eenen > 10. (Het geval, dat de som der eenen = 10 of een veelvoud daarvan, achten we hier niet noodig, omdat de splitsing in eenen en tienen reeds bekend is, dus geen nieuwe moeilijkheden bevat). 4. Optelling van getallen van 3 cijfers, waarbij de som der eenen < 10 en de som der tienen > 10. (Hier is deze splitsing evenmin noodig, omdat de splitsing der tienen in tienen en honderden reeds bij het eerste geval behandeld is). 5. Optelling van getallen van 3 cijfers, waarbij èn de som der eenen, èn die der tienen > 10. Hoewel dit leerjaar het „cjjferjaar" heeten mag, beteekent dit niet, dat elk geval der optelling alleen in deu „cijfervorm" behandeld wordt, integendeel,, hetzelfde beginsel als in het tweede leerjaar (aansluiting van het cijferen bij het hoofdrekenen) wordt toegepast; alleen is, met het oog op het karakter van het rekenonderwijs in dit leerjaar, die aansluiting iets losser. Bij de optelling worden dan ook (als inleiding) enkele optellingen op allerlei manieren behandeld ; 96 + 67 én als 100 — 4 — 67 (= 167 — 4= 163) èn als 90 + 60 + 6 + 7; 123 + 298 èn als 123 + 300 — 2 (= 423 — 2 = 421) èn als 123 + 200 + 90 + 8 èn als 100 + 200 + 20 + 90 + 3 + 8, enz. . . ., terwijl al vrij spoedig de leerlingen er op gewezen worden (ze hebben het ruimschoots ervaren), dat dit zoeken toch maar ^lastig is. Daarom wordt herinnerd aan de vroeger gemaakte afspraak bij het optellen (onder elkander plaatsen der getallen, optellen eerst der eenen, dan der tienen), waarna de genoemde gevallen geheel met het oog op het cijferen behandeld worden. Deze wijziging in de aansluiting is noodig, omdat het practische leven nu eenmaal vaardigheid in het verrichten der hoofdbewerkingen eischt, terwijl die vaardigheid nooit verkregen wordt, als bij elk voorkomend geval van optelling de leerlingen uit de aantallen den weg hebben te bepalen, als bij hoofdrekenen het geval is '). III. Aftrekking van getallen < 1000. De moeilijkheden zijn hier, als bij de optelling, allereerst gelegen in het feit, dat er gerekend wordt met ge- i) Op deze wjjze worden de geleerde bekortingen dus weer onder de aandacht gebracht en herhaald. tallen van 3 cijfers, en verder in het „wisselen" en wel, of dat der tienen in eenen, öf dat der honderden in tienen , óf dat der tienen in eenen en dat der honderden in tienen öf dat der honderden in tienen en eenen. Daarom zijn de volgende gevallen te onderscheiden: 1. Getallen van 3 cijfers zonder wisselen, b.v. 654— 123. 2. „ „3 „ , waarbij de tienen herleid worden tot eenen, b.v. 634 — 117. 3. Getallen van 3 cijfers, icaarbij de honderden herleid worden tot tienen, b.v. 624 — 562. 4. Getallen van 3 cijfers, waarbij de tienen herleid worden tot eenen en de honderden tot tienen b.v. 634 — 156. 5. Getallen van 3 cijfers, waarbij de honderden tot tienen en eenen herleid worden, b.v. 902 — 562. Evenals bij de optelling bestaat de aansluiting met het hoofdrekenen hierin, dat na behandeling van enkele aftrekkingen op verschillende manieren, door aan het vroeger geleerde te herinneren, het aftrekken als cijferen methodisch beoefend wordt. Zoo wordt b.v. 700 — 43 èn als 690 — 40 + 10 — 3 èn als 600 + 100 — 43; 676 - 289 èn als 687 — 300 èn als 600 — 213 (= 600 — 200 — 13) èn als 676 — 300 +11 (= 376 + 11 = 387) èn als 676 — 276 — 13 (= 400 — 13) èn als 700 — 289 — 24 (= 700 — 300 - 13) èn als 689 — 289 — 13, waarna de genoemde gevallen als cijferbewerkingen aangeleerd worden. Zooals in het eerste leerjaar aanschouwen hoofdzaak was, en in het tweede leerjaar inleiding, zoo is in het tweede leerjaar hoofdrekenen hoofdzaak en in het derde leerjaar inleiding. Dit is noodig, omdat, zullen de leerlingen de hoofdbewerkingen met de getallen tot 1000 (als het leven in hoofdzaak eischt) vaardig verrichten, die hoofdbewerkingen stelselmatig aangeleerd moeten worden met de getallen tot 1000. IV. Telling van de getallen tot 10 OOO. Was bij de telling van de getallen tot 100 aanschouwelijke behandeling inleiding, bij die der getallen tot 1000 werd de aanschouwing slechts te baat genomen, als de leerlingen zich de zaak nog niet voorstellen (o. a. met behulp der rekenplaten, of de rekenkast van Keuning) , terwijl hier de leerlingen zich den opbouw der hoeveelheden geheel moeten kunnen voorstellen. Allereerst dan wordt er bij duizenden geteld en worden de duizendvouden uit deze getal-ruimte geschreven, waarbij de leerlingen al dadelijk besluiten, dat de duizenden op de vierde plaats, van de rechterhand af, geschreven worden. Dan worden oefeningen gehouden met getallen, tusschen 1000 en 2000, 2000 en 3000, enz. gelegen, zoodat de leerlingen, voor elk getal uit deze kringen, wreten, hoeveel duizenden, honderden, tienen en eenen het bevat. Daarna is het tijd, deze getallen te laten schrijven, eerst met behulp dezer ontbinding, dan zonder haar; bij elke hapering wordt echter tot deze ontbinding teruggekeerd. Weer zij er op gewezen, dat eerst getallen als 2345 (elke soort der eenheden aanwezig), dan getallen als 4023 (de honderden afwezig), 4507 (de tienen afwezig), 4620 (eenen afwezig), 4009 (honderden en tienen afwezig), 5900 (tienen en eenen afwezig), 5070 (honderden en eenen afwezig), aan de orde komen; eerst de regel en dan de uitzonderingen , een en ander, om fouten te voorkomen. Natuurlijk worden de aantallen uit verschillende soorten van eenheden opgebouwd, waartoe het metriek stelsel rijke stof geeft. (Vgl. Hoofdstuk III). V. Optelling en aftrekking met getallen < 10 000. Hiervoor is geen gang, als bij II, bepaald noodig; er behoeven n.1. geen nieuwe moeilijkheden overwonnen te worden: de moeilijkheid ligt bij deze gevallen bloot in het werken met grootere getallen. Alleen zij voor het aftrekken opgemerkt, dat, als het verschil van 2004 en 718 b.v. bepaald moet Worden, het raadzaam is, de duizenden tot tienen te herleiden en een dier tienen in eenen te wisselen , en niet de duizenden eerst tot honderden te herleiden, een dier honderden weer tot tienen, en een der tienen tot eenen. In het genoemde geval ontstaat dus de volgende redeneering en bewerking. 199 14 200 4 71 8 128 6. 8 eenen moeten van vier eenen genomen worden, zoodat er een tien gewisseld wordt; er zijn geen tienen (honderden), wel twee duizenden of 200 tienen; na wisseling dus nog 199 tienen en 14 eenen; deze worden thans er boven geplaatst en de aftrekking volgt haar gewone verloop. VI. Vermenigvuldiging van getallen < 10000. Allereerst komt natuurlijk het geval aan de orde, waarin de uitkomst >100, b.v. 4 x 76, en, n. a. v. zulke gevallen wordt de vorm bepaald, waarin de vermenigvuldiging voort- aan opgeschreven zal worden. Tot dusver berekenden n.1. de leerlingen 4 x 76 aldus: 76 4 24 280 304. Deze optelling der gedeeltelijke producten moet vervallen, en de gewone vorm is het gemakkelijkst te bepalen, door de vermenigvuldiging met de optelling te vergelijken. Er wordt dus aan herinnerd, dat 4 x 76 eigenlijk beteekent 76 + 76 + 76 + 76, waartoe de getallen onder elkaar dienen geschreven te worden: 76 76 76 76 30 4 2 en de optelling gewoon wordt verricht. Yoor de som der eenen wordt gevonden 4 x 6 of 24, waarvan op de manier der optelling slechts de eenen opgeschreven worden, terwijl de tienen dadelijk bij de overige tienen (4 x 7 of 28) .worden gevoegd worden, zoodat de som der tienen bedraagt 28 + 2 = 30. Op dezelfde manier wordt gehandeld (zoo deelt de onderwijzer mede), wanneer 4 x 76 als vermenigvuldiging uitgewerkt wordt; ook dan worden de eenen dadelijk gesplitst en de aanwezige tienen bij de overige tienen gevoegd, zoodat de bewerking wordt: 76 4 30 4 2, een bewerking, die den leerlingen thans volkomen duidelijk is. w. a. w. moll, Het Rekenen. 4 Nu komen opgaven aan de orde, waarin met honderden (duizenden) gewerkt wordt, en, wijl deze (tengevolge der telling) slechts weinig tijd behoeven, kan al vrij spoedig overgegaan worden tot het geval, waarin een willekeurig getal van 3(4) cijfers met een getal van 1 cijfer vermenigvuldigd wordt (2 x 367, 4 x 628, 2 x 1467, enz.). Hebben de leerlingen hierin de noodige vaardigheid verkregen, dan wordt het geval behandeld, waarin een getal van 3(4) cijfers met 10 vermenigvuldigd wordt. Thans kan de vermenigvuldiger 11 tot 19 zijn, d.w.z. worden gevallen behandeld, waarin ook de vermenigvuldiger gesplitst moet worden; dit geval gaat vóór dat, waarin de vermenigvuldiger = een veelvoud van 10, omdat in het laatste geval feitelijk gebruik gemaakt wordt van een andere eigenschap dan die, welke betrekking heeft op de splitsing van den vermenigvuldiger, en wel van die, welke op de ontbinding van den vermenigvuldiger betrekking heeft. Eindelijk volgt het algemeen geval, waarin èn de vermenigvuldiger èn het vermenigvuldigtal gesplitst worden, zoodat het volgende overzicht wel duidelijk is. 1. Vermenigvuldiger = een getal van 1 cijfer; het vermenigvuldigtal is achtereenvolgens een (jetal van 2, 3 of 4 cijfers. 2. Vermenigvuldiger = 10; het vermenigvuldigtal als boven. 3. Vermenigvuldiger < 20; het vermenigvuldigtal als boven. 4. Vermenigvuldiger = veelvoud van 10; het vermenigvuldigtal als boven. 5. Vermenigvuldiger = getal van 2 cijfers; het vermenigvuldigtal als boven. 6. Vermenigvuldiger >100; het vermenigvuldigtal een getal van 1, 2, 3, 4 cijfers. Hoewel dit laatste geval niet bepaald noodig is, wijl de leerlingen thans wel weten, dat in een product de factoren verwisseld kunnen worden — de eigenschap is al meer dan eens toegepast bij het hoofdrekenen — verdient het toch wel behandeling, omdat het de leerlingen dwingt, de bewerkingen te verrichten, afgezien van de grootte der getallen , d. w. z. rekenschap eischt van elke bewerking. Vóór deze oefening in liet vermenigvuldigen als cijferen aanvangt, zijn echter tal van producten op allerlei manieren berekend; 2 x 489 b.v. èn als 2 x 500 — 2 x 11 èn als 2 x 400 + 2 x 90 — 2 èn als 2 x 400 + 2 x 80 + 2 x 9; 9 x 76 èn als 10 x 76 — 76 èn als 9 x 70 + 9 x 6 èn als 8 x 76 + 76 (= 8 x 75 + 8 + 76 = 200 x 3 + 84 = 684); 50 x 76 èn als 5 x 10 x 76 (= 5 x 760 = 3500 + 300 = 3800) èn als 100 x 76 : 2 (= 7600 : 2 = 3800)'), enz. Na deze berekeningen, waarbij de leerlingen d& gedeeltelijke uitkomsten, zoo noodig, op de lei of op het papier schrijven , wordt n.a.v. een lastig geval (37 x 64 b.v.) herinnerd aan de manier, waarop vroeger producten berekend werden, waaruit dan de cijferbewerking ontwikkeld wordt en de genoemde gevallen aan de orde komen. Weer sluit alzoo het cijferen bij het hoofdrekenen aan, maar toch is er een belangrijk verschil tusschen het hoofdrekenen hier en dat bij de optelling en de aftrekking in dit leerjaar. Omvatte het hoofdrekenen bij de optelling en de aftrekking tevens de meest gebruikelijke verkortingen (ze bestonden in hoofdzaak slechts uit herha- i) Al is 7800 : 2 nog niet behandeld, uit 78 : 2 leiden de leerlingen direct af, dat 78 X honderd : 2 = 39 X honderd. 4* lingen van de in het tweede leerjaar behandelde), dit is hier slecht doenlijk. Het aantal bekortingen is hier n.1. zóó groot, dat, omvatte de inleiding alle bekortingen, het vermenigvuldigen als cijferbewerking zoo niet geheel uitgesteld , dan toch aanzienlijk beperkt zou moeten worden , en dit weer is, met het oog op het vaardig verrichten der hoofdbewerkingen (uitstel beperkt de oefening in niet geringe mate) minder gewenscht. Daarenboven, de bekortingen hebben vaak betrekking op de cijferbewerking en houden dan ook dikwijls hiermede zoodanig verband, dat ze slechts na kennis der cijferbewerking opgevat kunnen worden. Zoo eischt de vraag, 12 x 513 in eens te vermenigvuldigen (12 x 3 = 36, 6 ik houd er 3, 12x1 = 12 en 3 is 15, 5 ik houd er 1, 12 x 5 = 60 en 1 is 61, dus 12 x 513 = 6156), of die, 84 x 72 te berekenen als 4 x 72 + 2 x 4 x 72 x 10 288 576 6048 , enz. kennis van het cijferen. Om deze redenen is het verkieslijk, deze bekortingen in het volgende leerjaar te leeren kennen als „middelen, om de vermenigvuldiging soms gemakkelijker te verrichten." "VTI. Deeling van getallen < 10000. Deze bewerking eischt weinig toelichtende bespreking, èn omdat veel van wat in vorige leerjaren over de deeling opgemerkt werd ook hier geldt èn omdat de verschillende gevallen slechts het omgekeerde zjjn van die bij de vermenigvuldiging. Achtereenvolgens komen dan^aau de orde de volgende gevallen. [ a. het quotiënt is een getal van 2 cijfers. 1. De deeler <10 . . . . j b. ,, ,, •• 3 „ . v C» )) n n n n 'i ^ »> )* < a. het quotiënt is een getal van 2 cijfers. 2. ,, ,, =10 . | b. „ » .. " i) 3 „ . ( C. ïï >i n »> » 4 ,,'). a. het quotiënt is een getal van 2 cijfers. 3. „ „ >10 maar <20 . j 3 ' D. 9f t; )j »» if u »» /• ( a. het quotiënt is een getal van 2 cijfers. 4. „ — veelv. van 10 . . „ b. „ „ „ i< » o „ ). : a. het quotiënt is een getal van 1 cijfer. 5. „ „ < 100 ... . b. „ „ „ „ 2 cijfers. ï c. n u 1. ii ii 3 ). / a. hetquotiëntiseengetal van 1 cijfer. 6. „ „ > 100 en < 1000 1 6 _ ... .. tb. „ „ „ „ 2 cijfers'). 7. ., ,. > 1000 en < 10 000 en het quotiënt een getal van 1 cijfer1). Bij dezen gang enkele opmerkingen. 1°. Gelijk de vermenigvuldiging 28 x 128 in dit leer jaar uitgewerkt wordt als 128 28 1024 2560 3584 zoo behoudt de deeling den vorm: 17 / 8964 / 500 8500 20 464 1 340 527 124 _!19 5 D.w.z. de nullen blijven voor- ') Deze gevallen kunnen niet volledig behandeld worden, om de grens 10 000, aan dit leerjaar gesteld; voor het verkrjjgen van de noodige vaardigheid zjjn er echter voldoende voorbeelden te geven. loopig behouden. Het gevaar voor vergissingen toch is in dit leerjaar nog zeer groot; het is alzoo raadzaam, de nullen te laten staan, tot de leerlingen zelve het overbodige er van inzien. Zoodra enkelen beginnen, ze weg te laten, is het tijd, een paar lessen er aan te besteden, om de vermenigvuldiging en deeling geheel in den gebruikelijken vorm te doen verrichten. 2°. Nogmaals zij herhaald, dat alle vragen, die zich bij de deeling voordoen, op dezelfde wijze beantwoord worden; óf de leerlingen moeten bepalen , hoe vaak 6 op 384 begrepen is, dan wel hoeveel het zesde deel van 384 is, op beide vragen wordt antwoord gegeven door dezelfde bewerking, n.1. 6 / 384 / 60 ^60 4 24 64. 24 Waar het toch niet te moeilijk is, de verdeelingsdeeling dadelijk tot de verhoudingsdeeling terug te brengen, daar is het slechts onnoodige ballast, de verdeelingsdeeling eerst zelfstandig te behandelen en ze later toch als een verhoudingsdeeling te leeren verrichten. 3°. Evenals bij de optelling, aftrekking en vermenigvuldiging is het raadzaam, ook bij de deeling de namen voor de getallen, die op elkaar gedeeld worden te leeren kennen (deeler, deeltal) benevens dat voor de uitkomst (ik houd er 4, 12 x 5 = 60, en 4 is 64). b) 48 x 54 = 6 x 8 x 54 = 6 x 432 = 2592. (Vermenigvuldiger of vermenigvuldigtal worden hierbij in factoren van 1 cijfer ontbonden.) 4°. Vermenigvuldiger en vermenigvuldigtal bevatten samen alle factoren van een der termen van de schaal: .76 x 25 = 19 x 4 x 25 = 1900 of 25 x 76 = 25 x 4 x 19 = 100 x 19= 1900 48 x 125 = 6 x 8 x 125 = 6000. (De uitbreiding, als de getallen ook honderden bevatten, wijst zich van zelf.) 68 x 75 = 204 x 25 = 51 x 100. ') 56 x 375 = 168 x 125 = 21000. 128 x 875 = 896 x 125 = 112000. Als uitbreiding wordt het geval behandeld , dat een van beide getallen (vermenigvuldigtal of vermenigvuldiger) uitsluitend factoren 5 bevat, terwijl dan het andere tot een veelvoud van evenveel factoren 2 herleid wordt. 47 x 125 = 11 x 4 x 25 + 75 = 1175 (of = 12 x 4 x 25 — 25 = 1200 — 25). 17 x 375 = 51 x 125 = 6 x 8 x 125 + 3 x 125 = 6375. Hierbij sluit zich het geval aan, waarin vermenigvuldigtal of vermenigvuldiger dicht bij een macht van 5 (of een veelvoud er van) liggen: 8 x 124 = 1000 — 8. 17 x 376 = 17 x 375 +17 = 51 x 125+17 = 6375+17 = 6392. 5". Vermenigvuldiger en vermenigvuldigtal hebben evenveel tienen, terwijl de eenen samen 10 bedragen. 65 x 65 = 60 x 65 + 5 x 65. = 60 x 60 + 60 x 5 + 5 x 60 + 5 x 5. = 60 x 60 + 10 x 60 + 5 x 5. = 70 x 60 + 5 x 5. 73 x 77= 70 x 77 + 3 x 77. = 70 x 70 + 70 x 7 + 3 x 70 + 3 x 7. = 70 x 70 + 10 x 70 + 3 x 7. = 80x70 + 3x7. ') Hoewel reeds in 76 X 25 de eigenschap : »In een product mag de eene factor met een getal vermenigvuldigd worden , mits de andere door dit getal gedeeld wordt" toegepast wordt, zjj hier met nadruk op die eigenschap gewezen, omdat het regel moet worden den factor 75 b.v. uit zeker product op deze wjjze tot den factor 25 terug te brengen. 6°. Vermenigvuldiger en vermenigvuldigtal bevatten evenveel eenen, terwijl de som der tienen = 10 74 x 34 = 70 x 34 + 4 x 34. = 70 x 30 + 70 x 4 + 30 x 4 + 4 x 4. = 70 x 30 + 100 x 4 + 4 x 4. 7°. De vermenigvuldiger ligt zooveel boven een term van de schaal (of een veelvoud er van), als het vermenigvuldigtal er beneden is, of omgekeerd. 95 x 85 = 90 x 85 + 5 x 85. = 90 x 90 — 5 x 90 + 5 x 90 — 5 x 5. = 90 x 90 — 5 x 5. 8°. De vermenigvuldiger kan zoodanig in deelen gesplitst worden, dat het eene een veelvoud van het andere is, b. v. 123 x 78 = 3 x 78 + 4 x 10 x 3 x 78. Al is er nu weinig tegen , al deze bekortingen te bespreken, wijl ze de leerlingen dwingen , zich rekenschap te geven van de bewerkingen, practische waarde hebben vooral de vier eerste. Bij de vier laatste worden de voorwaarden, waaraan de getallen moeten voldoen, niet zoo op het eerste gezicht opgemerkt, terwijl het onthouden dier voorwaarden ook niet zoo eenvoudig is, zoodat de cijferbewerking in den regel sneller tot het antwoord zal voeren zonder dan met bekorting. Daarom worden do vier eerste met zorg behandelt!, en heeft het latere rekenonderwijs gelegenheid te geven tot herhaalde toepassingen dezer bekortingen, terwijl de vier laatste hoogstens besproken worden, en dan nog pas in het vijfde of zesde leerjaar. Voor de deeling bestaan o. a. deze bekortingen: 1°. ITet deeltal ligt dicht bij een gemakkelijk te bepalen veelvoud van den deeler b.v. 33 98 : 7 = 3500:7 — 102:7 = 500 — 16 = 484. 2°. De deeler bevat uitsluitend factoren 5. 1782 : 25 = 7128 : 100 = 71, (door deeler en deeltal met eenzelfde getal te vermenigvuldigen, wordt de deeler tot een term der schaal herleid) of 1782 : 25 = 17 x 100 : 25 + 82 : 25 = 17 x 4 + 3 = 71, (door het deeltal te splitsen in een veelvoud van dien term der schaal, waarvan de deeler een factor is). Is de deeler een veelvoud van een getal, uitsluitend uit factoren 5 bestaande, dan wordt door vermenigvuldiging (d.w.z. door toepassing der eerste methode) de deeling teruggebracht tot een met kleinere getallen b.v. 17482:75 = 69928 : 300 = G99 : 3 = 233. Op dezelfde wijze kan , als de deeler uitsluitend factoren 2 bevat, door vermenigvuldiging de deeling teruggebracht worden tot die door een term der schaal, maar, al is het (met het oog op toetsing van het inzicht) niet kwaad, op deze handelwijze de aandacht te vestigen, een bekorting is het niet. 3°. De deeler ligt bij een eenvoudig veelvoud van een term ter schaal (21, 61,..19, 69,.'..); in dit geval kan vergelijking met dit veelvoud de benadering bij elke gedeeltelijke cijferbewerking bekorten. 4°. De deeler kan in factoren ontbonden worden. 3720 : 48 = 3720 : (6 x 8) = 620 : 8. 5°. De deeler ligt dicht bij een term der schaal (deelen met behulp van het arithmetisch complement). 178745 : 98= 1787 x 100 + 45. = 1787 x 98 + 1787 x 2 + 45. = 1787 x 98 + 3574 + 45. = 1787 x 98 + 35 x 98 + 70 + 74 + 45. = 1787 x 98 + 35 x 98+ 189. = 1787 x 98 + 35 x 98 + 1 x 98 + 91. = 1823 x 98 + 91. Gewoonlijk wordt de bewerking in dezen vorm geschreven: 1787 45-98 (^e honderden worden afgestreept, en 35 74 ^ct aan*al honderden met 2 vermenig- 70 vuldigd, omdat er, bij deeling door 98, ^ van elke honderd 2 overblijft; hiervan ^ worden weer de honderden afgestreept, dit aantal met twee vermeniffvuldigd en 1 QOO O 1 onder de eenen geplaatst. Het totaal (quotiënt) (rest). der eenen bedraagt nu 189, waar weer de honderden afgestreept en met 2 vermenigvuldigd worden, en bij de overschietende eenen gevoegd worden. De som der afgestreepte honderden is dan het quotiënt, de som der eenen de rest.) Al is er nu (evenmin als bij het vermenigvuldigen), weinig tegen , al deze bekortingen te bespreken (ze dwingen tot toetsing van het inzicht), met het oog op latere toepassing, verdienen vooral de beide eerste bekortingen behandeling , omdat de gevallen, waarin ze toegepast worden, zeer vlug herkend worden. Het derde geval vindt bij het cijferen voortdurend toepassing (en staat dus eigenlijk buiten de verkortingen), het vierde geval slechts bij zeer doorzichtige getallen en het vijfde geval, hoe fraai ook, geeft slechts voor enkele deelers bekorting, zoodat slechts de beide eerste behandeld en de overige occasioneel besproken worden, en wel in het vijfde of zesde leerjaar. § {). Kaast de hoofdbewerkingen met grootere getallen en de genoemde bekortingen wordt in dit leerjaar een inleidende breukencursus gehouden, loopende ten minste tot twintigste deelen; daarin worden echter ook breuken met grootere, doorzichtige getallen als noemers opgenomen. Zulk een inleidende cursus is noodzakelijk om de vele moeilijkheden, die het werken met breuken inhoudt en eerst in dit leerjaar is het tijd, met die voorbereiding te beginnen. AVel laten sommigen reeds in het eerste (tweede) leerjaar werken met halven (kwarten, enz.), en heeten dus de bewerkingen met breuken voorbereid te worden in die leerjaren , maar.... zulk een voorbereiding is slechts schijn. Het wordt n.1. in die leerjaren werken met een bijzondere soort van eenheden; de breuken worden pas onderwezen, als de leerlingen gebracht worden tot het inzicht in de verhouding van teller en noemer en tot dat in de veranderingen , die deze kunnen of mogen ondergaan. Om dit echter met vrucht te kunnen doen, is noodig, dat de leerlingen de hoofdbewerkingen met geheele getallen kunnen verrichten, wat in de laagste klasse niet het geval is. Al houdt het werken met halven (kwarten, enz.) voor de laagste klassen dan ook weinig moeilijkheden in, het heeft voor een latere behandeling der breuken geen enkel voordeel en is alzoo vrij wel doelloos. Bij de behandeling der breuken rijst de vraag, welke den voorrang moeten hebben, gewone of tiendeelige. Als tiendeelige breuken moeten de laatste natuurlijk na de gewone breuken behandeld worden, maar met een voorafgaande behandeling der tiendeelige breuken wordt eigenlijk bedoeld, de tiendeelige getallen als iets op-zich zelf-staands te beschouwen, zonder verband met de breukenlcer, d.w.z. als een voortzetting der schaal beneden de eenheid. Zoo wordt het inzicht in de schrijfwijze der geheele getallen verruimd, en het werken met het metriek stelsel vergemakkelijkt, maar deze voordeelen volstaan niet, om de verstoring van een logischen gang te rechtvaardigen. Wat toch is het geval? Op deze wijze kan slechts een deel van de bewerkingen met tiendeelige getallen behandeld worden (de vermenigvuldiging en de deeling niet volledig), en dan nog slechts met die eenheden, welker onderdeelen en veelvouden afzonderlyke namen dragen. De geleerde schrijfwijze verkrijgt dan ook eerst algemeene geldigheid, wanneer de tiendeelige getallen als breuken opgevat worden; zoolang dit niet geschied is, geldt de schrijfwijze 0,6 slechts voor die eenheden, welker tiendedeelen een afzonderlijken naam dragen, niet voor alle eenheden en krijgt ze dus eenigszins het karakter eener „aardigheid". Nu moge het waar zijn, dat zoodanige behandeling der tiendeelige getallen zich direct aansluit bij de telling der geheele getallen, zooals zij in dit leerjaar behandeld is, daar tegenover staat, dat deze aansluiting slechts tot een gedeeltelijke kennismaking met de tiendeelige getallen kan voeren, een kennismaking, die pas volledig wordt, als ook de gewone breuken behandeld zijn, terwijl die kennismaking in eens volledig kan zijn, bij voorafgaande behandeling der gewone breuken. Logisch is het daarom, te beginnen met de gewone breuken, waardoor trouwens de straks genoemde voordeelen even goed verkregen worden (alleen iets later, bij de behandeling der tiendeelige breuken), terwijl door dezen voorrang verkregen wordt, dat de bewerkingen, geleerd bij de gewone breuken, bij de tiendeelige breuken herhaald worden, zonder dat de leerlingen dit als herhaling voelen. Door den voorrang der gewone breuken eindelijk sluit het onderwijs nauwer aan bij de ervaring der leerlingen dan in het tegengestelde geval; ieder weet, ook zonder onderwijs in de breukenleer, wat J vel papier of £ K.G., maar niet, wat 0,16666 . . . vel papier of 0,25 K.G. beteekent, geheel in overeenstemming niet het feit, dat de gewone breuken eerder bekend waren dan de tiendeelige; de logische yang komt hier alzoo overeen met den ontwikkelingsgang der wetenschap. § 10. Bij het ontwerpen van een gang voor het aanbrengen van het begrip breuk is de omschrijving uit de wetenschap leidend. In de leerboeken worden nu o. a. de volgende omseh rij vingen gegeven: 1. „Een breuk is de voorstelling in cijfers van een of meer evenmatige deelen van een geheel." 2. „Een breuk is het quotiënt eener deeling, die niet kan worden voortgezet, omdat het deeltal kleiner is dan de deeler." 3. „Een breuk is een getal, waarbij èn uitgedrukt is, hoeveel maal de maat in de eenheid begrepen is, èn hoeveel maal die maat op de hoeveelheid gaat." 4. „Een breuk is de voorstelling van een verdeelingsdeeling en een vermenigvuldiging." Welke hiervan heeft de leiding? Is dit de tweede (vierde) omschrijving, dan sluit zich de ontwikkeling van het begrip breuk geheel bij de behandeling der geheele getallen aan (n.1. bij de deeling en de vermenigvuldiging) en bestaat de moeilijkheid slechts in de schrijfwijze. Dan is de ontwikkeling van het begrip breuk geheel in overeenstemming met den ontwikkelingsgang der wetenschap, maar deze beschouwing is te abstract (vooral bij het verrichten der hoofdbewerkingen met breuken), om met vrucht door de leerlingen gevolgd te kunnen worden, terwijl daarenboven de breukenleer zich zoo gespecialiseerd heeft, dat bij de meeste bewerkingen de samenhang met haar ontstaan nauwelijks meer gevoeld wordt. Daarom is het ongewenscht, dit in de practijk zoo goed als verloren gegaan verband nog eens opzettelijk te behandelen, en behooren de breuken als iets nieuws geleerd te worden, als een tellen en rekenen met andere eenheden, zoodat de eerste (derde) omschrijvingleidend optreedt. Achtereenvolgens komen dan aan de orde: 1. Het begrip breuk. A. Het leeren kennen der deelen. B. Het tellen dier deelen. Het tellen geschiedt echter direct, nadat de leerlingen die deelen hebben leeren kennen; op de kennismaking met hal ven (vierden, enz.) volgt alzoo dadelijk het tellen van halven (vierden, enz.). De aanschouwelijke behandeling der deelen mag zich echter niet bepalen tot breuken met een noemer 5= 10, maar minstens tot die met een noemer rg 20, ja, het is gewenscht, dat deze aanschouwelijke behandeling ook breuken met doorzichtige en zeer deelbare noemers als 24, 25, 30 omvat: de grondslag, waarop de breukenleer runt, moet hecht zijn, zal het latere onderwijs werkelijk van een inleidenden cursus profiteeren. W at de volgorde der deelen betreft, ^ steunt bij opvatting niet op het is dus niet noodig, de breuken te behandelen in volgorde van de grootte der noemers ja, het is beter, een volgorde te kiezen, waarbij de nieuwe deelen met reeds behandelde zooveel mogelijk verband houden, d. w. z. de reeks \, J, -J-; ^^J» ttf 5 f > tV > iV' TV • TV ; ÏV ' TV ; tV ; A » TV > TV Om deze volgorde te motiveeren, zij het volgende opgemerkt. 1°. Die met een noemer 10 worden eerst behandeld, om niet met te groote deelen te werken. w. a. w. moll , Het Rekenen. 5 2°- £> i, i behooren bij elkander, evenals £ en De volgorde dezer groepen wordt bepaald door de grootte van den noemer der eerste breuk uit elke groep, terwijl | met zijn ondeelbaren noemer geheel achteraan komt. 3°. De volgorde der groepen met noemers van 10 tot 20 loopt parallel met die van noemers tot 10; de breuken met ondeelbare noemers komen, naar de grootte gerangschikt, weer achteraan. Gelijk bekend is, behandelt Versluys de breukeenheden in de volgorde: -i, ^ en wel om de volgende redenen: 1°. Door op ^ dadelijk j te laten volgen, wordt er herleid, wat niet het geval is, als op £ dadelijk £ volgt. 2". Bij de behandeling van i staat op den voorgrond, dat twee halven = een geheel, ook bij de behandeling van ^; bij de behandeling van } na | echter niet. Daartegen kan echter aangevoerd worden: lu. Yoor het goed inzien der waarheid, dat twee (drie, enz.) halven (derden, enz.) een geheel vormen, is het noodig, dat op ^ volgt ^, dan |, enz.; na eene behandeling van twee gevallen mag toch zeker geen algemeene regel volgen. Yoor dit doel, „eene hoofdzaak bij alle breuken", kunnen twee gevallen niet volstaan, zoodat dit argument niet voldoende is, terwijl trouwens bedoelde waarheid ook wel bij de boven gegeven volgorde ingezien wordt. 2°. Hoe waar ook, dat er herleid wordt, dit heeft tevens het voordeel, dat pas opgedane kennis herhaald wordt, zonder dat de leerlingen dit als herhaling voelen. 3°. De volgorde is, ook voor de leerlingen, natuurlijk. De hulpmiddelen, bij deze aanschouwelijke behandeling te bezigen, zijn rechthoek, lijn en cirkel; het is echter hier beter, den rechthoek door een lijn te verdeelen, dan die verdeeling werkelijk te verrichten door scheuren of knippen, omdat in het laatste geval de deelen niet zoo gemakkelijk als deelen worden opgevat. Behandeling van elke breuk-eenheid dan houdt in, behalve kennismaking met en tellen van de deelen, combineeren van de gegeven deelen tot andere, tot geheelen, enz., terwijl, moge het al niet wenschelijk zijn, van de deeling van geheele getallen uit te gaan, aan het slot der behandeling het verband tusschen de deeling van geheele getallen en de breuken ter sprake komt, door de helft (het derde deel, enz.) van zeker getal als breuk te laten schrij ven en tot een geheel of gemengd getal te laten herleiden. Is deze aanschouwelijke behandeling afgeloopen, dan moeten de leerlingen weten, dat een breuk ontstaat, als enkele gelijke en gelijknamige deelen worden samengevoegd , dat het getal, hetwelk aanwijst, welke deelen het zijn, noemer, dat, hetwelk aanwijst, hoeveel dier deelen er zijn, teller heet, en eindelijk, op welke wijze de waarde der breuk afhangt van de grootte van teller en noemer. II. Herleiden van onechte breuken tot gemengde getallen en III. Herleiden van geheele of gemengde getallen tot onechte breuken. Reeds bij de aanschouwelijke behandeling der breukeenheden werden deze herleidingen verricht, maar ze worden nog eens opzettelyk aan de orde gesteld, omdat bij het latere rekenen met breuken dit herleiden zoo vaak moet 5* geschieden, dat reeds in dit leerjaar zekere vaardigheid verkregen moet worden. IV. Vereenvoudiging van breuk en. Dit geschiedt, door na te gaan, hoeveel der gegeven deelen tot een nieuw deel vereenigd kunnen worden en hoeveel van die groepen in den teller aanwezig zijn. Zoo wordt b-v- vereenvoudigd, door na te gaan, in welke deelen 12 kan (in tweeën, drieën, vieren en zessen) terwijl 9 alleen in drieën kan. Alzoo kunnen 2, 3, 4 en 6 twaalfden tot een nieuw deel vereenigd worden, maar de teller laat slechts een combinatie van 3 twaalfden tot 1 vierde toe en bevat 3 van die combinaties, zoodat ^ V. Optelling en aftrekking van gelijknamige breuken. A. 1. Breuken, waarvan de som < 1. 2 > 1 • v 9 r> n y) ^ 3. Gemengd getal -f- breuk, waarbij de som der afzonderlijke breuken < 1. 4. Gemengd getal + breuk, waarbij de som der afzonderlijke breuken > 1. 5. Gemengd getal + gemengd getal , waarbij de som der afzonderlijke breuken < 1. 6. Gemengd getal + gemengd getal, waarbij de som der afzonderlijke breuken > 1. (Natuurlijk wordt ook de som van meer dan twee breuken of gemengde getallen bepaald.) B. 1. Breuken van breuken. 2. „ „ gemengde getallen (zonder wisselen). 3. Gemengde getallen van gemengde getallen (zonder wisselen). 4. Breuken van geheele getallen. 5. Gemengde getallen van geheele getallen. 6. Breuken van gemengde getallen (met wisselen). 7. Gemengde getallen van gemengde getallen (mot wisselen). Al deze gevallen kwamen wel reeds ter sprake bij de aanschouwelijke behandeling der breukeenheden, maar niet als samentelling of aftrekking, zoodat het wel gewenscht is, zal de breukencursus werkelijk de breukenleer inleiden, de behandelde gevallen nog eens als optelling (aftrekking) de revue te laten passeeren. Omdat verder de bewerkingen met breuken ten slotte neerkomen op bewerkingen met geheele getallen, kunnen bij bewerkingen met breuken de vroeger geleerde bekortingen toegepast worden. YI. Vermenigvuldiging van breuken. Evenals de optelling en de aftrekking van breuken, bestaat de vermenigvuldiging in een opzettelijke herhaling van ï'eeds behandelde gevallen, zoodat slechts aan de orde komen die gevallen, waarin het maalteeken (x) zyn gewone beteekenis heeft, d. w. z. die gevallen, waarin een breukeenheid (breuk, gemengd getal) met een geheel getal vermenigvuldigd wordt. Vóór echter deze gevallen als vermenigvuldiging beoefend worden, is het gewenscht, enkele „bijzondere" gevallen te behandelen, die ook wel directe toepassingen zijn van het bij de aanschouwelijke behandeling geleerde, maar die eerst thans aan de orde komen, omdat ze de meer opzettelijke vermenigvuldiging uitstekend inleiden. Deze „bijzondere" gevallen nu zijn aanwezig, als: 1". Het vermenigvuldigtal dicht bij een geheel getal ligt, b.v. 8 x 5| = 8 x 6 — 8 x j = 48 — lf — 46?. 2°. Het vermenigvuldigtal een gemakkelijk te bepalen deel van een term der schaal is, b.v. 16 x 12| = 2 x 8 x 12^ = 200. 17 x 62£ = 16 x 62£ + 62£ = 1062£. 7 x 33^ = 2 x 3 x 33^ + 33£ = 233£. 3 . De vermenigvuldiger een gemakkelijk te herkennen veelvoud van den noemer van het vermenigvuldigtal is, b.v. 13 x = 5. 26 x 1^ = 26 + 10 = 36. Eerst hierna volgt de beoefening van de bovengenoemde gevallen zoodat ook hier het „cijferen" zich bij het „hoofdrekenen" aansluit. "VII. Deeling van breuken. ^Nog minder dan bij de vermenigvuldiging valt hier aan volledige behandeling te denken; slechts die gevallen komen aan de orde, waarin de uitkomst een geheel getal is, d. w. z. het omgekeerde van de gevallen, bij de vermenigvuldiging behandeld, zoodat de „aansluitingen" hier niet aangewezen behoeven te worden. Bij deze gevallen nu moet de uitkomsteen geheel getal zijn, terwijl de deeler een breukeenheid, breuk of gemengd getal en dus het deeltal een breuk, geheel getal, of gemengd getal kan wezen; het volgende overzicht is dus wel duidelijk. : a. breuk: breukeenheid, b.v. If : J. 1. De deeler is een breukeenheid, b. geh. get.: „ , b.v. 6 : ' c. gem. get.: „ , b.v. 2} : |. / a. breuk: breuk. , b.v. f : ï. 2. De deeler is een breuk J b. geh. getal: „ . , b.v. 4' : 4. [ c. gem. getal: „ . , b.v. 2§ : £. • De deeler is een gemengd getal. [ a' geh'Setal: gem.get. , b.v. 4 : IJ. ( b. gein. getal: „ , b.v. 2i : lg. Deze deelingen worden echter alleen als verhoudingsdeelingen behandeld, om den breukencursus het inleidend karakter niet te ontnemen. VIII. Tiendeelige breuken. Als de leerlingen eenigszins met breuken hebben leeren werken, is het pas tijd, breuken te leeren kennen, welker noemer 10, 100, 1000, enz. is, waarna dadelijk de schrijfwijze dier breuken behandeld wordt. Omdat zonder de tiendeelige breuken in verband met de geheele getallen te brengen, de behandeling dier schrijfwijze weinig waarde heeft, wordt zoo spoedig mogelijk dit verband aan de orde gesteld. Eerst wordt daartoe het beginsel, bij het schrijven der geheele getallen gevonden, herhaald, zoodat bij den aanvang der les de leerlingen goed weten, dat een cijfer, door het een plaats meer naar links te geven, 10 x zoo groote waarde, door het een plaats meer naar rechts te geven, daarentegen 10 x zoo kleine waarde krijgt. Dan worden de leerlingen voor de vraag gesteld, hoeveel 32 geheelen en 1 tiende bedraagt. Het antwoord luidt natuurlijk: „32 geh. + 1 tiende." Hoe echter deze uitkomst als één getal te schrijven? Als 321 gaat niet, wijl er dan 321 geheelen zijn, er moet dus een scheiding gemaakt worden tusschen de geheelen en de tienden, b.v. aldus 32 1 16 2. Op het lastige dier streep wordt gewezen en thans medegedeeld , dat in plaats dier streep een teeken (decimaalteeken n.1.,) gekozen is, zoodat 32 geh. -f 1 tiende geschreven wordt als 32,1. Onmiddellijk wordt dit toegepast, door 6,7 b.v. uit te spreken, als de eenheden Meters, guldens, Liters, Kilogrammen, enz. voorstellen. Op volgende lessen wordt op dezelfde wijze bepaald, hoe bij 32,5 b.v. 4 honderdsten gevoegd-moeten worden (door het beginsel van de schrijfwijze der geheele getallen nogmaals toe te passen); hoe, wanneer daarbij 6 duizendsten gevoegd moeten worden, enz., waarna door tal van oefeningen vaardigheid in het uitspreken en schrijven van decimale getallen verkregen wordt, terwijl de leerlingen zich tevens rekenschap geven van hetgeen een verplaatsing Aan het decimaalteeken bij decimale breuken bewerkt'). Hierna worden de hoofdbewerkingen met tiendeelige breuken behandeld en wel allereerst de optelling in haar geheel; het gelijknamig maken toch vervalt, door de getallen zoo te plaatsen, dat de eenheden recht onder de eenheden staan, of, als de leerlingen spoedig zullen opmerken, oJe decimaalteekens onder elkaar. De aftrekking kan slechts gedeeltelijk behandeld worden, n.1. slechts voor zooverre in aftrektal en aftrekker evenveel cjjfers achter het decimaalteeken staan of wel het aftrektal meer cijfers achter het decimaalteeken heeft dan de aftrekker. Van de vermenigvuldiging en deeling komen dezelfde gevallen als bij de gewone breuken aan de orde, zoodat nadere aanwijzing overbodig is. ') De overgang van gewone op tiendeelige breuken werd uitvoerig geschetst. omdat moest uitkomen, dat dezelfde voordeelen. die men door een vervroegde behandeling tracht te bereiken, ook verkregen worden, door zich te schikken naar de eischen der logica. HET VIJFDE LEERJAAR. § 11. Dit leerjaar is het eigenlijke breukenjaar, omdat hierin de hoofdbewerkingen met gewone en tiendeelige breuken aangeleerd worden; die vormen thans den hoofdschotel van het rekenonderwijs, terwijl bewerkingen met grootere getallen een smakelijk bijgerecht blijven uitmaken. I. Optelling. De optelling der gewone breuken vangt aan met een herhaling van de optelling van gelijknamige breuken (d. w. z. breuken, die ter optelling geen herleiding behoeven), wat aanleiding geven kan, om het zoeken van den grootsten gemeenen deeler te behandelen. Of dit ook werkelijk behandeld wordt, hangt geheel van de omstandigheden af. Ontvangt de klasse voortgezet onderwijs, dan behoort het zoeken van den grootsten gemeenen deeler behandeld te worden, met het oog op latere toepassingen, die te gemakkelijker gaan, naarmate de oefening langer geduurd heeft. Om in dit geval te zorgen, dat het rekenonderwijs op school gelegenheid geeft tot voldoende oefening, is het zaak, het zoeken van den G.G.D. dan zoodanige plaats in het leerplan te geven, dat het aangeleerd wordt vóór de eigenlijke bewerkingen met breuken, d. w. z. bij hel begin van het 5 Gemengd getal: breukeenheid . . b.v. 2J M : J M. I Breukeenheid: breuk b.v. \ M : f M. B . . . Breuk: breuk b.v. f M: | M. [ Gemengd getal: breuk b.v. M : f M. | Breukeenheid: gemengd getal. . . b.v. ^ M : M. € . . . , ftreuk: gemengd getal b.v. f M : 2£ M. ' Gemengd getal: gemengd getal . . b.v. lf M : 2£ M. Onwillekeurig zal gevraagd worden, waarom deze splitsing naar den toestand van deeltal en deeler noodig is, waar de leerlingen breuken kunnen gelijknamig maken. Daarop zij geantwoord, dat de leerlingen moeten inzien, dat het noodig is, deeler en deeltal gelijknamig te maken, een inzicht, dat slechts ontstaat, als de leerlingen eerst voor het eenvoudigste geval geplaatst worden, dat oplossen, en het daarbij geleerde achtereenvolgens op de andere gevallen toepassen. Dan alleen raken ze gewoon, een deeling als £ M : ^ M b.v. dadelijk uit te werken als M : fg M = en eerst dan is het tijd, hen te doen inzien, dat dezelfde bewerking ook volstaat voor de tweede vraag der deeling. (,, Welke hoeveelheid moet $ keer genomen worden, om f M te krijgen?"). Natuurlijk wordt die vraag niet in dien algemeenen vorm, maar n. a. v. concrete vraagstukken gedaan, b.v. als: „f van een stuk laken is £ M lang, hoe lang is het geheele stuk?" Er wordt begonnen met de onderstelling, dat het stuk 1 M lang was; in dat geval was j deel ook ^ M; dit is echter £ M lang, d. i. £ M : f M = ff M : §£ M = §# = 1 = lg x zoo groot, zoodat het stuk lang is 1 § M. Zóó worden enkele vraagstukken besproken, terwijl ten slotte de vraag: „f KG kosten ƒ 1£, wat kost 1 KG?" direct beantwoord wordt met: „1 KG kost li : f = J : £ = U ■ H = H = 3rW%" Intusschen, deze wijze van beantwoording moet het resul- taat zijn van verschillende besprekingen, waarbij de leerling, desgevorderd, de geheele redeneering, welke er aan ten grondslag ligt, moet kunnen herhalen. Deeling door vermenigvuldiging. Met leerlingen, die voortgezet onderwijs ontvangen, is het wel wenschelijk, de deeling door vermenigvuldiging te behandelen. Daartoe is natuurlijk noodig een logische, naar de moeilijkheden gerangschikte gang, terwijl die moeilijkheden liggen in den toestand van den deeler, of juister, in dien van het omgekeerde. Het omgekeerde van een geheel getal is, wijl het het meest voor de hand ligt, het gemakkelijkst te bepalen, terwijl, om het omgekeerde van een breuk (gemengd getal) te bepalen, dat van een breukeenheid bekend moet zijn. Dat b.v. 1 :f = $, kan slechts begrepen worden, als bekend is, dat 1 : j = 7. Daarom zijn vier groepen van gevallen te onderscheiden, waarbij de deeler een geheel getal, een breukeenheid, een breuk of een gemengd getal en het deeltal achtereenvolgens de eenheid, een geheel getal, een breukeenheid en een gemengd getal is. Het geval, dat het deeltal de eenheid °is, gaat telkens vooraf, om de leerlingen met het omgekeerde bekend te maken. Op grond hiervan zal de volgende gang wel duidelijk zijn. i Eenheid : geheel getal b.v. 1 M : | Geheel getal: geheel getal . . . b.v. 3 M : 4 M = 3 X i. A. / Breukeenheid: geheel getal. . . b.v. | M : 4 M := | x \ i Breuk: geheel getal b.v. \ M : 4M = | X f [ Gemengd getal: geheel getal. . b.v. 2} M : 4M==2f X I Eenheid: breukeenheid .... b.v. 1 M : \ M = 7. I Geheel getal: breukeenheid. . b.v. 6 M : \ M = 6x7. B- / Breukeenheid: breukeenheid, b.v. : 4" M = J X 7. I Breuk: breukeenheid b.v. § M : ^ M = § X 7. 1 Gemengd getal: breukeenheid, b.v. lf M : -J- M = 1 J X 7. j Eenheid: breuk b.v. 1 M : $ M = |. | Geheel getal: breuk b.v. 4M: jj M = 4x7. C. ( Breukeenheid: breuk b.v. |M : | M = J X f. j Breuk: breuk b.v. £ M : § M = f X f. ( Gemengd getal: breuk .... b.v. 1 f M : $ M = lf X f. ! Eenheid: gemengd getal . . . b.v. 1 M : 2J M ~ Geheel getal: gemengd. . . . b.v. 4M : M -= 4 X T\. Breukeenheid: gemengd getal b.v. ^ M : 2J M = ^ X tV Breuk: gemengd getal .... b.v. 1| M : 2| M = J X Gemengd getal: gemengd getal b.v. M : 2^ M = 1| X T6r. Zijn deze gevallen alle in deze volgorde behandeld, dan wordt door de leerlingen de vraag: „Hoe dikwijls is f M °P T^r M begrepen?" direct beantwoord met „T6T M : £ M = T®r x & — II keer," en nu is het tijd, ook de andere vraag der deeling met hen onder de oogen te zien. Daartoe worden ze geplaatst voor een vraag als: van een stuk laken = -j!'tM; hoe lang is het stuk?" Door een overeenkomstige redeneering als bij de deeling door gelijknamig maken, wordt ze beantwoord. „Was het stuk 1 M lang, dan was het deel ook \ M lang; het is echter ^ M lang, of M : f M = -jSj- x l — ff maal zooveel, zoodat de lengte is II M." Zijn enkele van deze vragen zoo beantwoord, dan geschiedt dit eindelijk als „het stuk laken = T der bevolking in zekere stad, zoowel voor afnemende als voor toenemende bevolking. 4. Renteberekening (zonder tijd) uit kapitaal en percent, en omgekeerd percent (kapitaal) uit rente en kapitaal (percent). Dat de berekening van het percent uit rente en kapitaal o-aat voor die van kapitaal uit rente en percent is een- • voudig, omdat de eerste gemakkelijker is; de eerste vloeit rechtstreeks uit het begrip voort en komt neer op een eenvoudige deeling van de rente en aantallen honderden guldens van het kapitaal, terwijl de tweede door een redeneering bij het begrip ingelijfd moet worden, zoodat de leerling, om het aantal honderden te bepalen, tot een deeling van rente en percent moet besluiten. 5. Renteberekening uit kapitaal, percent en tijd. Om de moeilijkheden geleidelijk onder de aandacht der leerlingen te brengen, bleef de tijd eerst buiten beschouwing. Nu de leerlingen echter eenigszins met de percentrekening bekend zijn, wordt de tijd er aan toegevoegd; hÜ behoort echter in verschillende eenheden uitgedrukt te worden (jaren, maanden, dagen) , vooral met het oog op de postspaarbank. 6. Berekening van het percent uit kapitaal, rente en tijd. In verband met het bij 4. opgemerkte zal het wel niet verwonderen, dat de berekening van het percent uit kapitaal, rente en tijd gaat vóór die van het kapitaal uit rente, percent en tijd, en dat de berekening van den tijd uit kapitaal, rente en percent aan het slot komt. 7. Berekening van het kapitaal uit percent, rente en tijd. 8. Berekening van den tijd uit kapitaal, rente en percent. W at de samengestelde interest-rekening betreft, het is wel gewenscht, het begrip aan te brengen (in aansluiting met het vijfde geval), maar de leerlingen der lagere school behoeven zich niet in alle berekeningen te oefenen. Deze toch eischen, bij toepassing der hoofdbewerkingen alleen, het gebruik van z.g. rekentafels (althans voor de berekening van tijd en percent) en, wijl dit in het latere leven slechts soms van enkelen geëischt wordt, heeft het geen zin , allen daarin te oefenen. Trouwens hij, die weet, wat door samengestelde interest verstaan en hoe die bepaald wordt, zal, moet hij later rekentafels bezigen, den weg wel vinden. In aansluiting met het vijfde geval wordt dus het begrip samengestelde interest ontwikkeld, waarna de leerlingen besluiten, dat zeker kapitaal, tegen p °/0 per jaar uit- staande, elk jaar 1,0/9 x zoo groot wordt, dus na n jaren = (ifip)" x het oorspronkelijk kapitaal. De berekening van het oorspronkelijke kapitaal yc = ^ - --) sluit zich aan bij het zevende geval, terwijl de berekening van tijd en percent buiten beschouAving blijft, wijl ze, bij toepassing der hoofdbewerkingen alleen, het gebruik der rekentafels eischt, en deze zijn in de gewone lagere school minder op haar plaats. II. Verhoudingen. Bij de verhoudingen is het de eerste vraag, welk begrip aangebracht moet worden. Dit nu mag niet het wetenschappelijk begrip zijn, n.1. „het getal, dat zegt, hoe vaak zekere hoeveelheid in een andei*e is begrepen". Daarbij toch kan de verhouding tusschen meer dan twee getallen zich niet geleidelijk aansluiten en wordt A : B : C = 3 : 4 : 5 voor de leerlingen een geheel nieuwe zaak, op te vatten als A. = 3 x D, B — 4 x D, C = 5 x D, die ook verhouding heet, en dit moet storend werken. Daarom behoort de lagere school aan te brengen het begrip: „de verhouding tusschen twee hoeveelheden heeten de getallen, die zeggen, hoe vaak eenzelfde hoeveelheid op beide begrepen is", zoodat n.a.v. vraagstukken ontwikkeld wordt, dat A : B = 3 : 4 beteekent A = 3 x I), B = 4 x D. Daarna wordt de verhouding tusschen twee geffeven ~ o hoeveelheden bepaald, waarbij enkele eigenschappen ter sprake komen (vermenigvuldigen en deelen der verhoudingsgetallen door eenzelfde getal), terwjjl eindelijk, tot verruiming van het inzicht, bepaald wordt, dat, als de verhouding van A en B = 3 : 4, ook bekend is, dat A = J x B, en dat A en B respectievelijk n x 3 en n x 4 eenheden bevatten, waarna enkele toepassingen van het begrip volgen. w. a. w. mom. , Het Hekenen. 7 1. Uit de verhouding tusschen twee getallen en het eene getal het andere getal te berekenen. (De hiervoor gevonden oplossing wordt ook toegepast op vraagstukken, tot dusver volgens de eenheidsmethode opgelost, zoodat de leerlingen de vraag: „42 KG suiker kosten ƒ15,75, wat kosten 12 KG?" thans ook beantwoorden als: „12 KG verhoudt zich tot 42 KG als 12 : 42 =: 2 : 7, zoodat 12 KG f x zooveel kosten als 42 KG = £ x ƒ 15,75 = ƒ4,50".) 2. Uit de verhouding tusschen twee getallen die tusschen de som dier getallen en een der getallen te berekenen. (Aandacht verdient vooral de vraag: „de winst is p u'o; welk deel van den verkoop is verloren?") 3. Uit de verhouding tusschen twee getallen die tusschen het verschil en een dier getallen te bepalen. (Vooral weer de , . , n vraag: „de inkoop = — van den verkoop; hoeveel u,0 is er gewonnen?") 4. Uit de verhouding tusschen twee getallen en hun som de getallen te bepalen. 5. Uit de verhouding tusschen 2 getallen en hun verschil de getallen te bepalen. Thans wordt de verhouding tusschen meer dan twee getallen behandeld, waarbij uit A : B = 3 : 4 de beteekenis van A: B: C = 3: 4 :5 direct wordt vastgesteld, waarna ter toepassing de volgende gevallen aan de orde gesteld worden. 1. Uit de verhouding tusschen 3 {meer) getallen die tusschen hun som en elk dier getallen te bepalen. 2. Uit de verhouding tusschen 3 (meer) getallen en één dier getallen de andere getallen te bepalen. 3. Uit de verhouding tusschen 3 (meer) getallen en de som de getallen te bepalen. Na de verhouding tusschen meer dan twee getallen kunnen de samengestelde verhoudingen aan de orde komen. i r11 / J i C A- ® i n -A- B 1. -ne£ qeval, dat — = — X , terwijl C, — -ry ' c « è J ' a £ gegeven en c te berekenen is. Voorbeeld. Een rechthoek is 28 M2 groot, een andere is 2 x zoo lang en x zoo breed; hoe groot is die? Oplossing. Door de lengte alleen zou de tweede rechthoek een grootte hebben van 2 x 28 Ma = 56 M2. Door de breedte wordt deze grootte x zooveel, d. i. 1^ x 56 M2 = 84 M2. Natuurlijk worden vraagstukken gekozen, waarin van verschillende afhankelijke grootheden sprake is, maar, al is het niet te moeilijk, de leerlingen te brengen tot de rechtstreeksche oplossing: „De grootte van den tweeden rechthoek = 2x 1£ x 28 M*= 84 M2", dit is, met het oog op later, minder gewenscht. Zijn de leerlingen n.1. gebracht tot de rechtstreeksche oplossing, dan kunnen ze later, is toevallig de regel vergeten, slechts met moeite tot de redeneering besluiten, wat daarentegen geen moeilijkheden geeft, als ze gewend zijn, de redeneering telkens beknopt te herhalen. In verband hiermede is in de gegeven oplossing de gedeeltelijke uitkomst berekend, maar niet opgeschreven: de schijn van het aanbrengen van een regel is zelfs vermeden. 2. Het geval, dat ~- = — x x —, terwijl D, d (i 0 c ABC —, -y en — gegeven zijn. 7* Voorbeeld. Een zuil heeft een inhoud van 8 M3; een andere is 1^ x zoo lang, 1} X zoo breed en 2 x zoo hoog; hoe groot is de inhoud der tweede zuil? Oplossing. Door de lengte alleen wordt de inhoud 1Jx8M3=12 M3. „ n breedte „ die „ 1] x 12 M3 = 15 M3. „ „ hoogte „ „ „ 2x15 M3 = 30 M3. Nog minder dan in het eerste geval verdient hier de rechtstreeksche oplossing aanbeveling, terwijl het wel duidelijk zal zijn, dat in de gegeven vraagstukken van verschillende afhankelijke grootheden sprake moet zijn. , j , • C A B C 3. Het geval, dat in = — x , — = 1 (omgekeerde verhoudingen). Voorbeelden. 1. Een kapitaal brengt tegen 4 °/0 zekere rente op; tegen welk u/0 moet een kapitaal, dat 1-J x zoo groot is, uitstaan, om evenveel rente op te brengen ? Oplossing. Tegen 4 "l0 brengt het tweede kapitaal 1 J x de rente van het eerste kapitaal op; die rente wordt dus opgebracht tegen 4 : 1* = § : # = § = 2f X. 2. Als 12 arbeiders een werk doen in dag, in hoeveel dagen doen het 15 arbeiders? Oplossing. 15 arbeiders doen in 7J dag X zooveel als 12 arbeiders , d.w.z. !| = | x het werk; het werk alzoo in 1\ : | = 34° : J = 6 dagen. 3. Iemand koopt een partij koffie voor ƒ 1,35 de KG; bij verkoop weegt hij 10 °/0 in. Hoe duur moet hij 1 KG verkoopen, om den inkoop terug te ontvangen? Oplossing. Hij verkoopt T9^ x zooveel; verkocht hij dus 1 KG voor ƒ1,35, dan ontving hij -fo x den inkoop. Om den inkoop te ontvangen, moet hij dus 1 KG verkoopen voor ƒ1,35: A = ƒ 1,50. 4. Het fier al, dat in —= x x —, -, =1. y a bed Voorbeeld. Twee kapitalen, waarvan het eerste 3J x zoo groot is als het tweede, staan 2 en 4 jaar uit tegen zeker u/0, zoodat de opbrengsten gelijk zijn. Hoe verhouden zich de percenten? Oplossing. Door de grootte der kapitalen is de tweede opbrengst = 3.V x de eerste opbrengst; omdat het tweede kapitaal half zoo lang uitstaat als het eerste, wordt die derde opbrengst = £ x 3J = JX de eerste opbrengst. Waren de percenten gelijk, dan zou dus het tweede kapitaal J X zooveel opbrengen als het eerste; om evenveel op te brengen, moet dus het eerste percent 1 : i — * X zoo groot zijn als het tweede, zoodat de percenten zich verhouden als 4 : 7. Aan de leer der verhoudingen sluit zich aan de gezelschaps-rekening; deze houdt in „een gegeven hoeveelheid in gegeven verhouding te verdeelen". Het eerste geval (verdeeling in direct gegeven verhouding) is feitelijk reeds behandeld, zoodat nog slechts rest de verdeeling van een hoeveelheid in een verhouding, die 2 aan 2 gegeven is. Daartoe moet eerst de verhouding tusschen de hoeveelheden bepaald worden. Is dan b.v. gegeven, dat A : B = 2 : 3 en B : C = 4 : 5, dan moet A : B : C berekend worden, door op te merken, dat B = | x A en C = | x B = | x | x A = 'j» x A, zoodat A : B : C = 1 : \ : y5 — 8 : 12 : 15. De rekenkundige leerstof, hier uitgetrokken, zal op menige lagere school niet verwerkt kunnen worden, ook al bepaalt dit „werken met verhoudingen" zich welbeschouwd slechts tot het oplossen van vraagstukken, waarin van verhoudingen sprake is, zoodat alle theorie wegblijft. Toch bleek een beperking 111 keuze en bespreking tot wat in de meest ongunstige omstandigheden nog verwerkt kan worden minder wenschelijk, omdat deze aan het rekenonderwijs op' de lagere school te zeer het karakter van „armelui's rekenonderwijs" zou geven. Daarom doe elk onderwijzer uit het hier aangebodene een keuze voor zijn klasse (school), in verband met de omstandigheden, waaronder hij werkt.' III. Menging-rekening. Ook bij de menging-rekening zijn verschillende gevallen te onderscheiden. 1. Gegeven de hoeveelheden (A, en hj en de eenheidsprijzen (Pl en p2), gevraagd de middelprijs (p3). Dit geval staat als het eenvoudigste voorop; het verdient daarom vooral uitvoerige behandeling, omdat elke berekening van gemiddelden (in het dagelijksch leven vaak voorkomende) er op berust. Natuurlijk wordt niet uitgegaan van de waarheid , dat „bij vermenging van twee zaken van verschillende waarde, de gemiddelde waarde verschillen geeft met de gegeven waarden, die zich verhouden in omgekeerde reden met de hoeveelheden", maar wordt de totale waarde der beide vermengde zaken berekend, om uit die en de totale hoeveelheid den gemiddelden eenheidsprijs te bepalen. Als directe toepassingen van het hierbij geleerde zijn de gevallen te beschouwen, waarbij uit den gemiddelden prijs, dien van een der hoeveelheden en de hoeveelheden een der oorspronkelyke prijzen berekend moet worden, d.w.z. 2. Gegeven ht, pt, h,2 en p3; gevraagd p2. 3. „ A,, Aa, p2 en p3~ „ pr Thans kan uit de beide prijzen , de gemiddelde prijs en een der hoeveelheden de andere hoeveelheid bepaald worden, d.w.z. 4. Gegeven A,, pt, pl en p3; gevraagd h2. 5. „ h2, p,, Pl en 6. „ p3, px en p2, „ en h2. Eerst nu komt de algemeene vraag aan de orde, waarbij uit de eenheidsprijzen en den gemiddelden prijs de verhouding der hoeveelheden te berekenen valt. 7. Gegeven Pl, p2 en gevraagd : h2. Dat het 4e, 5e en 6e geval tot het 7e voorbereiden, ligt hieraan, dat hier steeds bepaald wordt, hoeveel de waarde der gegeven hoeveelheid verschilt met haar waarde na vermenging, welk verschil door de andere hoeveelheid goed gemaakt moet worden. Wat bij de theorie van het rekenen „aanvangspunt" is, is alzoo bij het rekenen in de lagere school „eindpunt", bewijs genoeg, dat op de lagere school niet getheoretiseerd kan of moet worden. Of op alle scholen dit „eindpunt" echter bereikt zal kunnen worden, is nog de groote vraag; intusschen, elk onderwijzer bepale, wat in zijn klasse (school) na het aanbrengen van het begrip gemiddelde nog behandeld kan worden. II. HET METRIEK STELSEL § 13. Dat op de lagere school het metriek stelsel onderwezen moet worden, zal wel geen tegenspraak vinden; het is maar de vraag, wat die behandeling behoort te omvatten, eene vraag, die beantwoord wordt, door na te gaan, waartoe de kennis van het metriek stelsel dient. Deze nu is in de eerste plaats noodig voor het onderwijs in de natuurkunde; zal n.1. het begrip gewicht ontwikkeld kunnen worden (noodig voor de behandeling van het soortelijk gewicht, de weegwerktuigen, de hefboomen, de wet van Archimedes, enz.), dan moet de leerling te voren zekere vaardigheid in het werken met de begrippen lengte, oppervlak en inhoud verwerven. Aóór het onderwijs in de natuurkunde aanvangt (vóór het vierde leerjaar alzoo) is stelselmatige behandeling van dit deel van het metriek stelsel zeker noodzakelijk. Of deze behandeling 111 het vierde, vijfde en zesde leerjaar voortgezet wordt, hangt ei natuurlijk vanaf, ot dit waarde heeft voor de leervakken , zooals ze in die leerjaren onderwezen worden, of wel, voor de latere levenspraetijk. Nu vindt deze kennis (mits uitgebreid) haar toepassing bij de wiskundige aardrijkskunde, maar vooral in het latere leven. Zonder deze kennis toch is het den leerlingen later onmogelijk, hun leveranciers te contröleeren, of ook maar hun metingen te volgen; het meten blijft dan voor hen een vrij geheimzinnige kunstbewerking, al eischt hun onmiddellijk belang, dat ze er mee bekend zijn. Nu leert de practijk van het leven hun eindelijk wel iets van het allernoodigste, maar, al is „het leven alleen de school van het leven", die „school" eischt te veel leergeld, dar dat het daarop alleen zou mogen aankomen. Daarenboven, missen de leerlingen deze kennis van het metriek stelsel, ze kunnen vermoedelijke ontvangsten niet benaderen, wat ten platten lande nog al eens noodig is (verkoop van ingekuilde aardappelen, van mesthoopen, enz.), noch aanstaande uitgaven begrooten (bevloeren van vertrekken, behangen van kamers, leggen van vloerkleeden, uitbetaling van arbeidsloon, enz.), ze zijn dan in al deze zaken geheel afhankelijk van anderen, van hen dikwijls, die er belang bjj hebben, op hun onwetendheid te speculeeren, ja, otficiëele opgaven (o. a. grootte van landerijen, in HA, A of cA uitgedrukt,) zijn zonder deze kennis niet te volgen. Daarom is het van het hoogste belang, het werken met de begrippen lengte, oppervlakte en inhoud voort te zetten, ook nadat ze met het oog op het natuurkundig onderwijs ontwikkeld zijn. Deze voortzetting mag echter niet bestaan in een bloote beantwoording van vragen, bij benadering gelijk aan die, welke in het practische leven voorkomen, maar moet ten doel hebben, inzicht te verschaffen in de wijze, waarop zulke vragen beantwoord worden: de verkregen begrippen wijzen, mits helder genoeg, den weg ter oplossing wel. Daarom mogen niet slechts in de hoogere leerjaren dezelfde vragen beantwoord worden, als bij het voorbereidend natuurkundig onderwijs, zij het ook met grootere en gebroken getallen, maar ook moet, zoomogelijk, de stof uitgebreid worden met het voornaamste uit de vroegere vormleer, zoodat een deel van den tijd, voor rekenonderwijs uit- getrokken, besteed moet worden aan het z. g. meetkundig rekenen '). Wat hiertoe verwerkt moet worden, laat zich niet voor elke school vaststellen; daarom volgt hier slechts een overzicht van wat in normale omstandigheden verwerkt zou kunnen worden. Elk onderwijzer hebbe voor zijn klasse (school) een keus te doen, daarbij echter bedenkende, dat het ,n de eerste plaats te doen is, om heldere begrippen aan te brengen, dat volledigheid (voor zooverre er op de lagere school van volledigheid sprake kan zijn) e ec lts in de tweede plaats in aanmerking komt. Wie toch e oofdbegrippen bezit, doet latere uitbreiding gemakkelijk op; hij zal zich eerder weten te helpen dan hij, die wel een geheel opnam, maar zoo haastig, dat hij zich later slechts weet te herinneren „dat hij het geweten heeft"; ook hier is de schijnbaar langste weg het kortst. • overzicht (slechts gemotiveerd, waar misverstand dreigde) is de leerstof zoo gerangschikt, dat in elk leerjaar wel nieuwe stof wordt behandeld, maar ook telkens die uit vorige leerjaren weer herhaald; alleen zóó wordt het behandelde het eigendom der leerlingen. nat t ! , 0ntwikke,en di" begrippen ook tot het voorbereidend natuurkundig onderis, het werken met die begrippen (en ook de latere oTd b gir' r in de Uren' V00r het rekenor-der-«« uitgetrokken, , ' werken tevens rekenkundige vragen beantwoord worden, die het geheele rekenonderwijs ten goede komen. Het is echter wel duidelijk, dat deze leerstof ,n een leerp.an voor het minder op haar plaats is, vandaar haar afzonderlijke vermelding. HET EERSTE LEERJAAR. § 14. Bij het zaakonderwijs (aanschouwingsonderwijs) worden de begrippen lengte, oppervlakte en inhoud, die de leerling reeds als ervaringsbegrippen heeft, eenigszins verhelderd , het begrip lengte wordt echter stelselmatig ontwikkeld, o. a. door voorwerpen op te zoeken, die even lang, langer of korter zijn dan andere. De behoefte aan een maat wordt hierdoor gewekt, en de leerlingen leeren centimeter en decimeter kennen, waarna ze gebezigd worden in de opgaven bij het rekenonderwijs. Dat niet uitgegaan wordt van de werkelijke eenheid (meter), geschiedt op grond der volgende overwegingen: 1°. De leerlingen behooren zooveel mogelijk actief op te treden, wat bij het uitgaan van den meter afstuit op verschillende bezwaren; het is n.1. gemakkelijker te zorgen, dat elke leerling een verdeelden decimeter heeft, dan een verdeelden meter, terwijl het werken met den meter de discipline geducht verstoort. 2°. Het veld van toepassing moet zoo ruim mogelijk zijn, en met den meter is men spoedig uitgemeten. HET TWEEDE LEERJAAR. § 15. Van de lengtematen leeren de leerlingen thans den meter kennen. Ook de dekanieter kan bekend gemaakt worden, mits de DM. niet tot cM. herleid wordt; dit toch laat de getallenkring, waarin de leerlingen zich thans bewegen, niet toe. Yertikale en horizontale lijnen uit het schoollokaal worden na meting geteekend, eerst op ware grootte (hierbij kunnen natuurlijk slechts enkele dienst doen), later op verkleinde schaal, een en ander als voorbereiding of inleiding tot het maken van plattegronden, dat in het volgende leerjaar bij het aardrijkskundig onderwijs aan de orde komt. (Om den getallenkring van dit leerjaar wordt de schaal 1: 100 hierbij niet gebruikt.) Het begrip oppervlakte wordt verder stelselmatig ontwikkeld , vierkanten en rechthoeken worden bekend gemaakt (het verschil tusschen beide opgemerkt), de omtrek van beide bepaald uit lengte en breedte (herhaling der lengtematen). Verder leeren de leerlingen nog vierkante cM (dM) kennen, worden vierkanten en rechthoeken van bepaalde afmetingen geteekend en in cM2 (dM2) verdeeld. (Al wordt in aansluiting hiermee ook opgemerkt, uit hoeveel cM2 (dM2) het vierkant of de rechthoek bestaat, eenige regel hieromtrent is onnoodig; het blijven voorbereidende oefeningen, meer niet.) Dat weer de cM2 (dM2) vóór de werkelijke eenheid (M2) gaat, geschiedt: •1°. Omdat de M^ moeilijker is te overzien, dan de dM2 (cM2). 2°. Omdat vierkanten en rechthoeken door de leerlingen wel verdeeld kunnen worden in cM2 (dM2), niet in M2, tenzij voor den M de dM genomen wordt, d. w. z. toch met dM2 gewerkt wordt. Het begrip inhoud wordt, als in het eerste leerjaar, door het aantal ervaringen te vermeerderen, wel verhelderd, maar niet stelselmatig ontwikkeld. HET DERDE LEERJAAR. § ld. Van de lengtematen worden in dit leerjaar behandeld dekameter, hektometer en kilometer; de herleiding van KM tot cM moet echter om den getallenkring van dit leerjaar achterwege blijven. Zeer wenschelijk is het, deze afstanden werkelijk af te meten, in verband natuurlijk met het maken van den plattegrond van school en omgeving, en wijl dat slechts na werkelijke meting geschiedt, behoeft behandeling der lengtematen geen afzonderlijke metingen. Van de oppervlakte-berekening wordt thans het berekenen van de oppervlakte van rechthoeken (vierkanten), welker afmetingen in cM, dM of M gegeven zijn, aan de orde gesteld; natuurlijk wordt daarnaast de M2 behandeld, door hem op het bord, op den vloer of tegen den wand te teekenen. Bij deze berekening is het zaak, den rechthoek of het vierkant eerst te laten teekenen en te verdeelen, zoo noodig op verkleinde schaal, terwijl ook de omtrek af en toe bepaald wordt. Wat den inhoud betreft, dit begrip wordt thans stelselmatig ontwikkeld, eerst n.a.v. holle voorwerpen (vloeistoffen) dan n.a.v. massieve lichamen, zoodat de inhoudsmaten komen vóór de eigenlijke inhoudsberekening. Dit geschiedt: 1°. omdat de eerste concreter zijn dan de tweede; 2°. „ „ bij den leerling meer bekend zijn; 3°. „ het natuurkundig onderwijs in de eerste plaats behoefte heeft aan inhoudsbepaling door middel van het maatglas. Verder is er geen enkele reden, om niet met de werkelijke eenheid te beginnen; de aanschouwelijke behandeling blijft dezelfde, onverschillig of L dan wel dL behandeld worden, zoodat achtereenvolgens L, dL, cL, DL en HL aan de orde komen. Eerst komen echter de onderdeelen, omdat de aanschouwelijke ontwikkeling van de waarheid, dat 1 L = 10 dL, eenvoudiger is dan die van 1 DL = 10 L. Na behandeling dezer ruimtematen wordt behoefte gewekt aan een nog kleinere maat, de holle cMs wordt getoond, het verband tusschen cM3 en cL (dL, L) opgespoord en het maatglas behandeld, om met behulp hiervan den inhoud van willekeurige voorwerpen te bepalen, eerst van zinkende, later van drijvende lichamen. De holle cMJ voert tot kennismaking met den massieven cM (beschouwing van den kubus), terwijl het leggen van cM3 tot balkjes, het bedekken van rechthoeken en vierkanten met cM\ enz. de inhouds-berekening voorbereiden. HET VIERDE LEERJAAR. § lï. 'San de lengtematen worden allereerst de ontbrekende (mM, MM), nog bekend gemaakt; voor het overige bestaat het werken met de lengtematen, voor zooverre dit niet bij de oppervlakte- en inhouds-berekening geschiedt, in het verrichten van herleidingen, die tevens het rekenonderwijs ten goede komen. Daarnaast worden echter de oude namen voor de lengtematen bekend gemaakt, n.1. Nederlandsc/ie mijl voor K.M, Aederl. roede voor DM, Nederl. el voor M, palm voor dM, Nederl. duim voor cM, streep voor mM (voor MM en HM zijn geen oude namen). Met het oog op de eischen van het dagelijksch leven, is bekendheid met deze namen n.1. gewenscht, maar het is niet aan te raden, van deze oude namen uit te gaan. Wat toch is het geval ? De wet van 1869 geeft vrijheid, naast de wetenschappelijke de oude namen te gebruiken, maar de bedoeling was, na tien jaren de laatste te verbieden. Een daartoe strekkend wetsvoorstel is echter in 1880 verworpen en, wijl sedert geen ander voorstel is ingediend, is de wet van 1869 nog altijd van kracht, d. w. z., worden de oude namen nog altijd geduld. Daarom moeten de wetenschappelijke namen, die trouwens ook meer en meer in het gewone leven doordringen , de prioriteit hebben en komen de oude namen niet vóór de wetenschappelijke namen aan de orde, maar, om verwarringen te voorkomen, evenmin er naast, dus er na, als alle wetenschappelijke namen bekend zijn. '). Wat de oppervlakte-berekening betreft, allereerst wordt die van rechthoek en vierkant voortgezet, en wel voor het geval, dat de afmetingen in andere lengte-eenheden dan cM of dM zijn uitgedrukt, waarbij de leerlingen de namen centiare, are en hektare voor M2, DM2 en HM2 leeren kennen. Al kan verder een enkele maal van mM2, KM2 en ') Dat slechta de meters en rueetkettingen van hoogstens 2 DM als werkelijke lengtematen worden gebezigd, wordt den leerlingen wel medegedeeld, terwijl de overige in gebruik zjjnde lengtematen occasioneel bekend gemaakt worden. Zoo o.a.