TM1
N2 4
i



! iom»
i
VEREEN IG1NO TOT HET UITGEVEN VAN BEKNOPTE HANDLEIDINGEN BIJ HET ONDERXT - WIJS AAN DE TECHNI- «-w-» * * ■* N= 4 SCHE HOOGESCHOOL. 1 iVi I
| THEORETISCHE MECHANICA E!RDSETEELTE
BEWERKT DOOR PROF. DR G. SCHOUTEN.
PRIJS VOOR LEDEN:
ING. ƒ 0,55. GEB. ƒ 0,75.
MET WIT PAPIER DOORSCHOTEN ING. ƒ 0,65.
GEB. ƒ 0,85. VOOR NIETLEDEN WORDEN DEZE l i PRIJZEN ƒ 0,80, ƒ 1,10,
" ƒ 0,95, ƒ 1,25.
"S- 'V/jj ' *£
DRUK EN UITGAVE VAN J.WALTMAN Jr. DELFT 1906
K
U























VEREENIGING TOT HET UITGEVEN VAN BEKNOPTE HANDLEIDINGEN BIJ HET ONDERWIJS AAN DE TECHNISCHE HOOGESCHOOL.
THEORETISCHE
MECHANICA GEDEELTE
BEWERKT DOOR PROF. DR. G. SCHOUTEN.
DRUK EN UITGAVE VAN J.WALTMAN Jr. DELFT 1906







INHOUD.
Bladz.
Inleiding 
HOOFDSTUK I.
Geometrie der beweging. 2
De beweging van een lichaam evenwijdig aan een plat vlak of ook de beweging eener vlakke figuur in haar eigen vlak. 3
Coordinaten van het dubbelpunt 4
Constructie van de pool der beweging eener figuur in haar vlak. 5
Beweging van een lichaam om een vast punt 5
Vergelijking van de as van wenteling; uitdrukking voor den
hoek van wenteling 
Willekeurige beweging van een lichaam 
Vergelijking van de schroefas en uitdrukking voor de amp 1- ^
tudo der wenteling 
Beweging evenwijdig aan een plat vlak 
HOOFDSTUK II.
De kiiieiiiiitiea van «le beweging van een i»nnt.
De kinematica van de beweging van een punt 9
Snelheidsvector 
Snelheidsvectoren van de drie bewegingen van de projecties van 't punt op de coordinaatassen 11
parallelepipedum, parallelogram van snelheidsvectoren . . . 12
Verandering van den bewegingstoestand van 't punt gedurende
... 12
de beweging 
Analytische uitdrukkingen voor de versnelling en hare ont-
bondenen • r3
Uitdrukkingen voor de ontbondenen van de versnelling volgens
raaklijn, hoofdnormaal en binormaal van de baan 14
Versnellingen van hoogere orde '5



HOOFDSTUK III.
Blad;.
Kiiieuiativa van <!e beweging eens lieliaaius om een vast |»unt. 16
Wenteling om een vaste as 16
Hoeksnelheidsvector 17
Toepassing op de bepaling van de snelheid en de versnelling
van een punt, dat zich willekeurig in een plat vlak beweegt. 17 Snelheid van een punt eens lichaams, dat om een vast punt
beweegt 18
Versnelling van een punt eens lichaams, dat om een vast
punt wentelt 22
Meetkundige voorstelling van de versnelling van een punt eens
lichaams, dat om een vast punt wentelt 23
Hoekversnellingsas en hoekversnellingsvector bij de beweging
van een lichaam om een vast punt 25
Parallelepipedum van hoekversnellingsvectoren 25
Hoek tusschen de hoeksnelheidsas il en de hoekversnellingsas ilj. 26 Analytische uitdrukking voor de versnelling van een punt eens
lichaams, dat om een vast punt wentelt 26
Hoekversnellingsassen en hoekversnellingen van hoogere orde. 26
HOOFDSTUK IV.
Kineniatica van de willekeurige beweging eens lichaams en ais bijzonder geval die van de beweging evenwijdig
aan een plat vlak. 27
Vergelijking van de schroefas 28
Versnelling van een punt eens lichaams, dat een willekeurige
beweging heeft 30
Snelheid en versnelling van een punt eens lichaams, dat een beweging evenwijdig aan een plat vlak heeft, of van een punt eener vlakke figuur, die in haar vlak beweegt ... 30
HOOFDSTUK V.
Kiiiemnlica van de beweging van vloeistoffen en gassen. 32 HOOFDSTUK VI.
Kineinatiea van de betrekkelijke beweging van een punt. 35
Hoe bepaalt men de betrekkelijke beweging uit de volstrekte of omgekeerd 36
A



HOOFDSTUK VII.
Bladz.
Kracht, massa, arbeid, hoeveelheid van beweging, krachtfunctte. 39
Kracht is de oorzaak van de versnelling 39
Eenheid van kracht, van massa, van versnelling 4l
^ogenblikkelijke krachten (stooten, impulsies) 42
Hoeveelheid van beweging 43
Impulsievector 
Arbeid van een kracht van standvastige grootte en richting. 44 Arbeid van een kracht die voortdurend verandert van grootte
en richting 
Eenheid van arbeid 45
Krachtfunctie 4^
HOOFDSTUK VIII.
Statica. 47
Herleiding van een stelsel krachten, dat op een vast lichaam
werkt 47
Moment van een kracht ten opzichte van een rechte lijn . . 49 Standvastige grootheden bij de herleiding van een stelsel krachten,
dat op een vast lichaam werkt 49
Herleiding van een stelsel evenwijdige krachten 5'
Het gewicht en het zwaartepunt van een lichaam .... 54 Evenwicht van een stelsel krachten, dat op een vast en 111
zijn beweging geheel vrij lichaam werkt 55
Het beginsel van virtueele verplaatsingen voor een stelsel
krachten, dat op een vrij lichaam werkt 58
De coordinaten en het aantal graden van vrijheid van een
lichaam 
De vorm van de evenwichtsvergelijkingen van een stelsel krachten op een vrij of niet vrij lichaam of stelsel lichamen werkende, zooals die bepaald worden door de toepassing van het be-
beginsel van virtueele verplaatsingen 6°
Methode van vrijmaking '
Standvastig (stabiel), wankelbaar (labiel), onverschillig (indifferent) evenwicht van een lichaam 



Bladz.
Evenwicht van vaste lichamen, die verschillende vormen kunnen
aannemen, van vloeistoffen en van gassen 63
Evenwicht van een onrekbaar, volkomen buigzaam koord . . 63 Hydrostatica (evenwicht van vloeistoffen en gassen) .... 64 Enkele toepassingen ^6



INLEIDING.
De theoretische (algemeene, zuivere, rationeele) mechanica is de leer der beweging.
In de geometrie der beweging wordt afgezien zoowel van de oorzaak als van den duur der beweging, deze alzoo opgevat uitsluitend als plaatsverandering. Zij wordt teruggebracht tot de eenvoudige (grond-)bewegingen : de verschuiving (translatie) en de wenteling (rotatie).
In de kinematica wordt gelet op den duur der beweging, niet op de oorzaak. Hierbij ontstaan de begrippen van snelheid en van de versnellingen.
In de dynamica wordt de kracht ingevoerd als oorzaak van de beweging. Daarbij ontstaat het begrip van massa.
Het doel, dat men in de dynamica wil bereiken, is het opstellen van de bewegingsvergelijkingen, betrekkingen tusschen de beweegkrachten en de coordinaten, die den stand van een lichaam of een stelsel van lichamen bepalen, welke opgelost (geintegreerd) deze coordinaten als functies van den tijd geven, waardoor de stand van het lichaam ieder oogenblik bekend is.
In de statica wordt het bijzondere geval beschouwd, dat een stelsel krachten geen verandering brengt in den bewegingstoestand van een lichaam, waar het op werkt, en worden de voorwaarden nagegaan, waaronder dit plaats grijpt.
Wordt hierbij het lichaam niet als vast beschouwd, zoodat het in rust zijnde, onder de werking van het stelsel krachten gaat vervormen en in een nieuwen evenwichtsstand komt, dan zijn er inwendige krachten (drukking, spanning, wringing) in het lichaam opgetreden, die in de toegepaste mechanica worden opgespoord.
i



HOOFDSTUK I.
Geometrie der beweging.
De grondbewegingen bij onveranderlijke figuren of lichamen zijn:
1°. de verschuiving (translatie), waarbij elke lijn of elk vlak van het lichaam gedurende de beweging evenwijdig aan zich zelf blijft;
20. de wenteling (rotatie), waarbij de punten op een rechte lijn in rust blijven Die lijn heet de as van wenteling (rotatie-as). Elk punt van 't lichaam buiten die as gelegen beschrijft een cirkelomtrek in een vlak loodrecht op de as en met het middelpunt in de as.
Tot deze grondbewegingen wordt elke beweging van een
lichaam teruggebracht.
Om dit aan te toonen, gaan we achtereenvolgens de volgende
gevallen beschouwen:
De beweging evenwijdig aan een plat vlak, waarbij elk punt van 't lichaam gedurende de beweging op denzelfden afstand tot een gegeven vlak blijft. Elke doorsnede van het lichaam evenwijdig aan het gegeven vlak beweegt zich dus in haar eigen vlak.
De beweging om een vast punt, waarbij dus alleen dat vaste punt op zijn plaats moet blijven.
De willekeurige beweging, waarbij de punten van 't lichaam geen andere voorwaarde behoeven te vervullen dan een onveranderlijke figuur te vormen.



De beweging van een lichaam evenwijdig aan een plat vlak of ook de beweging eener vlakke figuur in haar eigen vlak.
Worden twee punten eener vlakke figuur vastgehouden, dan is een verplaatsing der figuur in haar vlak niet mogelijk. de stand eener vlakke figuur in haar vlak is dus bepaald door de plaats (coordinaten) van twee harer punten
Wordt één punt vastgehouden, dan kan de figuur in haar vlak om dat punt als middelpunt wentelen Het lichaam, waarvan de figuur als vlakke doorsnede gedacht wordt, wentelt dan om een as loodrecht op de doorsnede.
Bepalingen. Heeft de figuur een willekeurige verplaatsing in haar vlak ondergaan, dan /uilen we twee punten A en B der figuur in den beginstand door Ax en Bn in den eindstand door At en Bt aanduiden. At en A, zullen we homologe punten noemen, evenzoo Bx en Blt en A, A, evenals B, B2 homologe lijnen.
Vallen twee homologe punten, b. v. A, en A-i samen, dan noemen we A een dubbelpunt van de figuur in den begin- en den eindstand. Een wenteling om A als middelpunt, die B\ op B2 brengt, zal de figuur van den begin- in den eindstand overbrengen.
Stelling. Zijn een paar homologe lijnen A, A2 en BXBX onderling gelijk en evenwijdig in denzelfden zin, dan kan de figuur door een verschuiving A, Aj van den begin- in den eindstand gebracht worden.
Immers de vierhoek A, A, B, B, is een parallelogram.
Stelling. Zijn een paar homologe lijnen niet onderling gelijk en evenwijdig in denzelfden zin, dan bestaat er een dubbelpunt en zal een wenteling om dat dubbelpunt als middelpunt de figuur van den begin- in den eindstand kunnen brengen (I)
Zijn toch de homologe lijnen A,A, en B, B., onderling gelijk en evenwijdig in tegengestelden zin of onderling evenwijdig en ongelijk in lengte, dan zal het snijpunt van AKB, met A2 B., een dubbelpunt zijn Zijn ze niet onderling evenwijdig, dan zal het snijpunt der lijnen, die Aj^en/fapB., rechthoekig middendoor deelen, een dubbelpunt zijn



Coordinaten van het dubbelpunt.
Wordt A, tot oorsprong van een rechthoekig assenstelsel aangenomen met A, B, tot as 0 X, dan zal in den eindstand A% de oorsprong van het met de figuur meegevoerde assenstelsel zijn en At de 0 X-as in den nieuwen stand.
Is 1 de hoek tusschen de beide 0 X-assen en zijn x0, y0 de coordinaten van At ten opzichte van het assenstelsel in den beginstand, dan zal de figuur van uit den beginstand in den eindstand gebracht worden, door haar een hoek « te wentelen om het dubbelpunt, waarvan de coordinaten x eny bepaald worden door
x = '/j x0 — 'l,y0 cot '/,<), y= '/a y« + '/a x° cot '/s3 • (0 Gevolg. De figuur kan ook van den begin- in den eindstand gebracht worden door een verschuiving A, At, waardoor BK in een tusschenstand B' gebracht wordt, gevolgd door een wenteling om At als middelpunt, die B' in Bt brengt Dit geeft aanleiding tot een onbepaald aantal manieren, om de figuur van een begin- tot een eindstand te brengen, omdat men van een willekeurig punt A der figuur kan uitgaan. Doch volgens de voorgaande stelling zullen deze verschillende manieren alleen in de grootte en richting van de verschuiving, niet in de amplitudo van de wenteling kunnen verschillen.
Stelling. Elke beweging eener figuur in haar vlak kan voortgebracht worden door, dus opgevat worden als, een zuiver rollen (rollen zonder glijden) van een met de figuur verbonden kromme over een in het vlak der figuur vaste kromme. (2)
Beschouw als benaderde beweging die, waarbij de figuur behalve den begin- en den eindstand ook eenige tusschenstanden van de eigenlijke beweging inneemt. Laten C„ C„ ■ . . • de punten der figuur zijn, om welke zij achtereenvolgens moet wentelen om van uit een stand tot den volgenden stand der benaderde beweging gebracht te
worden, en e„eveK dezelfde punten in het vlak der figuur als
de wenteling er om plaats vindt.
De benaderde beweging geschiedt dan als volgt:
De figuur draait om C, (of om f,, die met C, samenvalt) tot C3 komt op c; daarna om dit laatste punt tot C;, metf3 samenvalt, enz Trekt men de gebroken rechte C, C, C,. . . . in de figuur, c, c, c3 ■■. in het vlak der figuur, dan zal de benaderde beweging bestaan in een rollen van C, C.2 C3 • • • ■ over clcic3-.--
Door het aantal tusschenstanden onbepaald te vermeerderen, zal



de benaderde beweging meer en meer naderen tot de eigenlijke en de gebroken lijnen tot kromme lijnen, waarvan de eene met de figuur meebewegende over de andere, die een vasten stand heeft in t vlak der figuur, zuiver rolt.
Bepaling. De met de figuur verbonden kromme heet de beweeglijke, de kromme in het vlak der figuur de vastepoolkromme. Hun gemeenschappelijk raakpunt heet de pool van de beweging.
De overeenkomstige stelling omtrent de bevyeging van een lichaam evenwijdig aan een plat vlak is dus :
Stelling Elke beweging van een lichaam evenwijdig aan een plat vlak kan voortgebracht worden door, dus opgevat worden als, het zuiver rollen van een met het lichaam verbonden cyhndervlak over een in de ruimte vast cylindervlak; de beschrijvende lijnen staan loodrecht op het gegeven vlak. (V
Bepaling De gemeenschappelijke beschrijvende lijn der beide cylindervlakken heet de oogenblikkelijke as van de beweging.
Constructie van de pool der beweging eener figuur in haar vlak
De richting waarin een punt der figuur beweegt staat loodrecht op de verbindingslijn van punt en pool. Weet men dus de richting, waarin elk van twee punten der figuur zich beweegt, dan wordt de pool gevonden in het snijpunt der lijnen, uit die punten loodrecht op de richtingen, waarin ze bewegen, opgericht
Beweging van een lichaam om een vast punt.
Hierbij is verschuiving uitgesloten.
Stelling van Euler. Kr is altijd een rechte lijn door het vaste punt, die gemeen is aan elke twee standen van het lichaam. Een wenteling om deze lijn als as zal het lichaam van den ecu en stand in den anderen overbrengen.
De beweging is terug te brengen tot die eener bolvormige figuur over het boloppervlak, waarop ze is gelegen. Worden weer twee punten A en B der figuur aangewezen door A^enB, in den beginstand en door A.2 en in den eindstand, dan zal het snijpunt der bogen,



die boog A,AQ en boog B, B, middendoor deelen, een dubbelpunt van de bolfiguur in begin- en eindstand, dus de verbindingslijn van dit dubbelpunt met het vaste punt een dubbtllijn van het lichaam in begin- en eindstand zijn.
Vergelijking van de as van wenteling; uitdrukking voor den hoek van wenteling.
Denkt men in het vaste punt den oorsprong van een rechthoekig met het lichaam verbonden assenstelsel, dat in den eersten stand van 't lichaam aangeduid wordt door O X YZ, en in den eindstand van 't lichaam door O Xt J7, Z,.
Is dan 0 de hoek van wenteling, en |XA',) de hoek tusschen de assen O X en 0 X„ (X YJ die tusschen de assen O X en O (A X) de hoek tusschen de as van wenteling en de as O X, enz., dan vindt men:
2 »/. * = '/. (* *.) + S'n" V» <Ty<) + '/» (Z Z')
sin (A X) sin '/, « = sin '/. (X X,) (,)
sin (A Y) sin '/, 3 = sin '/» (Y }r,)
sin (A Z) sin '/» ^ — s'n '/» ^i)-
Uit deze stelling wordt de volgende afgeleid :
Stelling. Elke beweging van een lichaam om een vast punt kan voortgebracht worden door, dus opgevat worden als, het rollen van een met het lichaam verbonden kegelmantel over een in de ruimte vasten kegelmantel, die beiden den top in het vaste punt hebben.
Bepaling. De gemeenschappelijke beschrijvende lijn der beide kegeloppervlakken heet ook hier de oogenblikkelijke as vctn wenteling.
Willekeurige beweging van een lichaam.
Worden van een lichaam drie niet op een rechte lijn gelegen punten vastgehouden, dan is er geen beweging van 't lichaam mogelijk.
De stand van een lichaam wordt dus bepaald door de plaats (coordinaten) van drie zijner niet op een rechte lijn gelegen punten.
Worden twee punten van 't lichaam vastgehouden, dan kan



het lichaam om de verbindingslijn als as wentelen. Deze verbindingslijn is dan gemeen aan alle standen van t lichaam.
Wordt slechts één punt van 't lichaam vastgehouden, dan heeft de beweging plaats zooals in de vorige stelling is aangewezen.
Stelling. Is A een punt van V lichaam, A, de plaats er van in den beginstand, A% dte in den eindstand, dan kan het lichaam van den begin- in den eindstand overgevoerd worden door een verschuiving Al A, gevolgd door een wenteling om een lijn door At.
Daar Ax willekeurig gekozen kan worden, is de verplaatsing op onnoemlijk veel manieren uit te voeren, die zich echtei alleen in de verschuiving van elkaar onderscheiden, niet in de amplitudo van de wenteling of in de richting van de as van wenteling. (1)
Door de translatie A, A.2 wordt het lichaam in een tusschenstand gebracht, die met den eindstand een punt A, gemeen heeft Volgens de stelling van Euler zal een wenteling om een as door A, het lichaam van uit dezen tusschenstand naar den eindstand kunnen brengen.
Aangezien de hoeken, die de met het lichaam meegevoerde assen in den begin- en den eindstand twee aan twee met elkaar maken, door de translatie niet gewijzigd worden, volgt uit (1,6), dat de amplitudo en de richting van de as van wenteling dezelfde is, van welk punt A de verschuiving ook begonnen wordt.
Hieruit volgt de
Stelling. Elke willekeurige beweging van een lichaam kan voortgebracht worden door het rollen van een met het lichaam vast verbonden kegeloppervlak, met den top in een willekeurig punt A des lichaams, over een ander kegeloppervlak, eveneens met den top in A, en dat etn verschuiving heeft, die door de baan van het punt A bepaald is.
Stelling van Chasles. Een lichaam kan van een beginstand tot een willekeurigen eindstand gebracht worden door een verschuiving langs en een wenteling om een rechte lijn, en wel op éene wijze.
Bepaling. Deze rechte lijn heet de schroefas en de beweging
zelve een schroef beweging.
Deze stelling volgt uit (i). Wordt in het daargenoemde punt A, een doorsnede gebracht loodrecht op de as van wenteling, dan bevat deze doorsnede alle punten van 't lichaam in den eindstand, die zich in den beginstand bevonden in een vlak door At even wij ïg aan die doorsnede.



Door dus het lichaam van uit den beginstand een verschuiving te geven in de richting van en gelijk aan de loodlijn, uit A, op de doorsnede in A.2 neergelaten, komt het in een tusschenstand, die met den eindstand een doorsnede gemeen heeft.
Volgens de stelling (i,3) zal een wenteling om een as loodrecht op deze gemeenschappelijke doorsnede het lichaam van uit den tusschenstand in den eindstand voeren.
Vergelijking van de schroefas en uitdrukking voor de amplitudo der wenteling.
Denkt men een willekeurig rechthoekig assenstelsel met het lichaam verbonden, in den beginstand van 't lichaam aangewezen door O X Y Z, in den eindstand door O, A', Z,; zijn de coordinaten van O, ten opzichte van O X YZ x„,y„,z0 en worden weer de hoeken tusschen de assen twee aan twee genomen aangeduid door (X X,) (X Y,), (A X) enz., dan vindt men voor de vergelijking van de schroefas :
x — « y — f3 z — y
cos(AX) cos IA Y) cos(AZ)
gaande door het punt («, (3, y) bepaald door
y0cos (YX,)z„cos(ZX,)
" " VTÏ
z„ cos (Z y. ) + x0 cos (X Y:)
x0cos (X Z,) + y„cos (YZ,) y — /« 2o " i/ j
^-cazj 4
en waarin ó, de amplitudo van de wenteling, door de eerste van de vergelijkingen (i,6) gegeven wordt.
Beweging evenwijdig aan een plat vlak.
Wordt in bovenstaande formules de as 0 Z loodrecht genomen op het gegeven plat vlak, waaraan de beweging evenwijdig geschiedt, dan vindt men voor het punt («, (3, y,) het punt (xu yt) in (i,4) terug.
Uit de stelling van Chasles laat zich de volgende voorstelling afleiden van de wijze, waarop een willekeurige beweging geschiedt :
i i
i



Stelling Elke willekeurige beweging van een lichaam kan voortgebracht worden door een met het lichaam verbonden regelvlak te wentelen om en te verschuiven langs de beschrijvende lijn, die het met een vast regelvlak tn de ruimte gemeen heeft.
Bepaling. I)e gemeenschappelijke as van wenteling en verschuiving heet de oogeitblikkelijke schroefas van de beweging.
HOOFDSTUK II.
De kinematica van de beweging van een punt.
In de kinematica zullen we achtereenvolgens de volgende gevallen behandelen :
de kinematica van de beweging van een punt,
van een lichaam om een vast punt,
van een vrij lichaam,
van een vloeistof of gas,
van de betrekkelijke beweging van een punt.
De kinematica van de beweging van een punt.
De plaats van een punt wordt aangewezen door drie (rechtof scheefhoekige) coordinaten.
Blijven deze dezelfde, dan is het punt ten opzichte van het
coördinatenstelsel in rust.
Veranderen zij met den tijd, dan zijn ze functies van den tijd, en de beweging van 't punt is bekend, zoodra die functies het zijn.
De baan van het punt is de kromme, welke het punt bij zijn beweging beschrijft. De vergelijking van de baan wordt gevonden, door uit de bekend onderstelde vergelijkingen
x =f, (/), y = fi (f), * = /» O <!>
tusschen de coordinaten van t punt en den tijd dezen te elimineeren
Meetkundig beschouwd komt dit hierop neer, dat de beweging van 't punt vervangen wordt door (ontbonden wordt in) de drie rechtlijnige bewegingen van de projecties van t punt op de coordinaatassen. (-2'



De richting van de beweging op zeker oogenblik is die van de raaklijn aan de baan in het punt waar het bewegend punt zich op dat oogenblik bevindt.
Worden de functies in de vergelijkingen (1,9) bekend ondersteld, dan zijn de richtingscosinussen van de richting, waarin het punt zich ten tijde t beweegt bepaald door
COS a COS (3 COS y I
dx ~ de }/ (Jx\* , ^
~Tt UT ~ir V U) +(??) +\JÏ)
in de onderstelling, dat het assenstelsel rechthoekig is.
Het begrip snelheid ontstaat door den afgelegden weg te vergelijken met den daartoe besteden tijd. Die weg s (spatium) is een functie van den tijd.
Bepaling. De snelheid op zeker oogenblik van de beweging van V punt is de aangroeiing van den op dat oogenblik afgelegden weg, berekend voor de eenheid van tijd.
De analytische uitdrukking voor die aangroeiing is de afgeleide van den afgelegden weg s naar den tijd.
In 't vervolg zullen we een afgeleide naar den tijd door een accent aanduiden, dus hier door s'.
Bijgevolg:
Is s de afgelegde weg ten tijde t, dan is de snelheid v (velocitas) op dat oogenblik bepaald door
V = S . (2)
Is s' standvastig, dan is de snelheid onafhankelijk van den tijd en wordt ze gemeten door den weg, dien het punt werkelijk in de eenheid van tijd aflegt. De beweging heet dan eenparig.
Is s' een functie van den tijd, dan is de snelheid veranderlijk en de beweging zelve heet dan ook veranderlijk.
Snelheidsvector.
De richting en de snelheid op zeker oogenblik van de beweging van 't punt bepalen den bewegingstoestand van 't punt op dat oogenblik.
Meetkundig wordt die voorgesteld door den snelheidsvector . een rechte lijn, die door hare richting de richting, door hare



lengte de snelheid van de beweging aangeeft. Een pijltje geeft den zin van de beweging aan.
Het punt, waaruit de vector getrokken wordt, is willekeurig te kiezen en heet de oorsprong van den vector. Het uiteinde van den vector zullen we het vrije uiteinde noemen.
Snelheidsvectoren van de drie bewegingen van de projecties van 't punt op de coordinaatassen.
Wordt (2,9) de beweging van 't punt ontbonden in de bewegingen van de projecties van 't punt op de coordinaatassen, en zijn x,y, z de coordinaten van 't punt ten tijde/, dan zijn x',y', z' de snelheden van die projectiebewegingen resp. langs de 0 X-, O Y-, 0 Z-as ten tijde /.
De snelheidsvector van de projectiebeweging langs de as O X valt langs die as, heeft een lengte x' en de zin wordt aangegeven door het teeken van x'. Is x' positief, dan is de zin van den vector in dien van de positieve richting van de as 0 X\ is x' negatief, dan valt de zin samen met dien van de negatieve richting der O X-as. Hetzelfde geldt ten aanzien van de projectiebeweging volgens een der beide andere assen.
Aangezien de beweging van 't punt de drie projectiebewegingen volkomen bepaalt, moet ook de snelheidsvector van de beweging van 't punt de drie vectoren van de projectiebewegingen bepalen.
Hieromtrent geldt de volgende
Stelling. De snelheidsvector van elk der projectiebewegingen langs de coordinaatassen is gelijk aan de projectie op de overeenkomstige coordinaatas van den snelheidsvector van 't punt.
D dx dx ds
Bewijs. Uit —- =
dt ds d t
volgt x' — s' ^ .
ds
d x
Nu is de richtingscoefficient (en bij rechthoekige coordinaatassen de richtingscosinus) van de raaklijn aan de baan met de as O X, zoodat hiermede de stelling voor de as Onbewezen



is. Op dezelfde wijze wordt de stelling bewezen van de beide overige assen.
Parallelepipedum, parallelogram van snelheidsvectoren.
Meetkundig vindt deze stelling hare uitdrukking in de stelling van het parallelepipedum van snelheden.
Is de baan van t punt vlak, dan kan men zich tot twee rechtlijnige projectiebewegingen bepalen en spreken van het parallelogram van snelheden
Verandering van den bewegingstoestand van 't punt gedurende de beweging.
I)e bewegingstoestand van 't punt (de richting en de snelheid van de beweging) zal in 't algemeen veranderen gedurende de beweging.
Alleen bij de eenparige rechtlijnige beweging verandert die niet. Het vrije uiteinde van den uit een vast punt als oorsprong getrokken snelheidsvector zal in rust blijven.
Is de beweging kromlijnig eenparig, dan verandert alleen de richting van den snelheidsvector. Het uiteinde van den uit een vast punt als oorsprong getrokken snelheidsvector zal een kromme beschrijven op een boloppervlak gelegen.
Is de beweging van t punt rechtlijnig veranderlijk, dan zal de snelheidsvector alleen in lengte veranderen gedurende de beweging van 't punt. Het vrije uiteinde van den uit een vast punt als oorsprong getrokken snelheidsvector zal een rechtlijnige beweging hebben.
Bij een willekeurige beweging (kromlijnig veranderlijk) zal de snelhcidsvector voortdurend zoowel in richting als in grootte veranderen. Het vrije uiteinde van den uit een vast punt als oorsprong getrokken snelhcidsvector zal een ruimtekromme beschrijven.
Bepaling De baan van het vrije uiteinde van den uit een vast punt als oorsprong getrokken snelheidsvector van een bewegend punt heet de hodograaf, de beweging van het uiteinde zelf heet de hodografische beweging van 't punt



Het begrip versnelling van een punt ontstaat door de verandering van den bewegingstoestand te vergelijken met den tijd, waarin die verandering plaats grijpt.
De verandering, die de bewegingstoestand van 't punt ondergaat op zeker oogenblik, is volkomen bepaald door de richting en de snelheid, of ook, door den snelheidsvector van de hodografische beweging.
Bepaling. De richting van de hodografische beweging ten tijde t heet de richting, de snelheid van die beweging de grootte van de versnelling, en de snelheidsvector van de hodografische beweging heet de versnellingsvector van V bewegende punt op dat tijdstip.
De ontbondenen van den snelheidsvector der hodografische beweging volgens de coordinaatassen heeten de ontbondenen van den versnellingsvector van 't punt volgens de coordinaatassen
Hieruit volgt, dat men ook mag spreken van het parallelepidum en het parallelogram voor versneltingsvectoren.
Analytische uitdrukkingen voor de versnelling en hare ontbondenen.
Zijn ten tijde t van de beweging van een punt x,j/, z zijn coordinaten op drie rechthoekige assen, en trekt men uit den coordinatenoorsprong als oorsprong den snelheidsvector van het punt, dan zijn de coordinaten van het vrije uiteinde xz', en dus de ontbondenen van de versnelling van 't punt de afgeleiden van deze coordinaten naar den tijd of z".
Het punt heelt dus ten tijde t een snelheidsvector waarvan de lengte s' gegeven wordt door
j' = V x ' -+->» ~h e''
terwijl zijn richtingsconnussen bepaald worden door
cos « cos (3 cos y I
x' y' z' s'
Verder is de versnellingsvector a (acceleratio) lang
« = V x * +y» + z",



terwijl zijn rirhtingscoefficienten bepaald worden door
cos x _ cos p cos y _ 1
x" — y" ~ g" a
Uitdrukkingen voor de ontbondenen van de versnelling volgens raaklijn, hoofdnormaal en binormaal van de baan.
De projectie van den versnellingsvector op een rechte lijn is volgens het parallelepipedum van versnellingsvectoren gelijk aan de som der projecties op die lijn van zijn ontbondenen.
Noemen we pt, yt de richtingshoeken van de raaklijn aan de baan met de rechthoekige coordinaatassen O X, O Y, 0 Z\ aP, Pp, 7P die van de hoofdnormaal; «4, Pb, yb die van de binormaal, dan is de ontbondene at van den versnellingsvector volgens de raaklijn
at = x" cos ut -f- j>" cos pt -\- z cos yt (1)
welke de tangentiale versnelling genoemd wordt.
Evenzoo is de ontbondene a( van den versnellingsvector volgens de hoofdnormaal
at — x" cos kp -4- y" cos pf -f- z" cos yf (2)
en heet de normale versnelling.
Eindelijk is de ontbondene a/, van den versnellingsvector volgens de binormaal
at = x" cos ut -4- y" cos pi + z cos yb (3) en heet de binormale versnelling.
Hierin is
d x dv d z
COS u-t = - - cos pt = . cos yt = —
ds ds ds
d' x d' y d- z
COS*f=t—, cos Pp = P^, COSyp=f-T,
waar de factor p gelijk is aan den hoofdkromtestraal van de baan.



Nu is
, td x ds \ ,dx s' d —
u d\r,- Ti)_ d'T* _ *±_ "_i, i± -
r — " dt dt dt ds dt
. dx . . d ds ds „dx s'* d*x = 5 d7+S ds Ti 'ds + p • rfi' '
1 J's
bijgevolg x — s cos xt -j- — cos .
Evenzoo is
/»
Ji" = s" COS (3 < /3p
, *'*
z" = 5 foi -r — cos yp •
p
Worden deze uitdrukkingen voor x",y", s in (1, 2, 3,14) ingezet, dan komt er
fl4=0- (4)
Voor de rechtlijnige beweging is af = 0 en valt de versnelling (= 5") samen met de baan; voor de eenparige kromlijnige
is'1 »2\
beweging is a, = 0 en valt de versnelling J== — = —) volgens de hoofdnormaal-
Versnellingen van hoogere orde.
Door de verandering van den versnellingsvector met den tijd te vergelijken ontstaat het begrip van versnelling 2« orde. Ze wordt gemeten door den snelheidsvector van de hodografische beweging van het vrije uiteinde des versnellingvectors, uit een vast punt als oorsprong getrokken ^ ^ _
Hare ontbondenen volgens de coordinaatassen zijn x ,y ,z .
Zoo voortgaande komt men tot het begrip van de versnelling n' orde, waarin « een positief geheel getal is, en waarvan de ontbondenen volgens de coördinaat-assen gemeten worden door de «e afgeleiden van x, y, z naar den tijd.



HOOFDSTUK III.
Kinematica van de beweging eens lichaams om een vast punt.
Volgens de stelling van Enler bestaat deze beweging ieder oogenblik in een wenteling om de oogenblikkelijke as door het vaste punt. Beschouwen wij daarom nader de
Wenteling om een vaste as.
J? ^rhengHefn d°°r dc as ccn vlak' dat in de ruimte een vasten stand behoudt, en een vlak, dat met het lichaam vast verbonden is. De hoek 3 tusschen de beide vlakken verandert met den tijd >s dus een functie van den tijd. Hij wordt in radialen uitgedrukt! Het begrip hoeksHdktid ontstaat door de verandering van den
schLt ^ VergeIijke" mCt den tjjd' waarin die verandering ge-
Bepaling. De hoeksnel/ieid op zeker oogenblik van de wenteling tsde aar.groeung van den op dat oogenblik beschreven hoek berekend voor de eenheid van tijd.
De analytische uitdrukking van die aangroeiing is de af-eleide van den beschreven hoek i naar den tijd.
Bijgevolg :
Is t de hoek, ten tijde / doorloopen, dan is de hoeksnelheid « op dat oogenblik bepaald door
" = *'• (I)
Is 0 standvastig, dan is de hoeksnelheid onafhankelijk van den
tijd en wordt ze gemeten door den hoek, dien het lichaam wer-
m de eenhe,d van tÜd wentelt. De wenteling heet dan eenpang. ®
Is 4' een functie van den tijd, dan is de hoeksnelheid veranderlijk en de wenteling zelve heet dan ook veranderlijk.
Een punt van 't lichaam op den afstand r van de as heeft een snelhe.d r S' en de snelheidsvector van dat punt staat loodrecht op het vlak bepaald door as en punt
De hoeksnelheid »' is positief, als de hoek 4 toeneemt, negatief, als 0 afneemt. ë



Hoeksnelheidsvector.
Meetkundig wordt de aswenteling op zeker oogenblik voorgesteld door den hoeksnelheidsvector : een stuk uitgezet op de as van wenteling, dat door zijn lengte de hoeksnelheid, door een pijltje den zin van de wenteling aangeeft.
Het begrip hoekversnelling bij de wenteling om een vaste as ontstaat door de verandering van de hoeksnelheid te vergelijken met den tijd, waarin die verandering geschiedt
Bepaling. De hoekver snelling eener wenteling om een vaste as op zeker oogenblik is de aangroeiing van de hoeksnelheid op dat oogenblik, berekend voor de eenheid van tijd.
De analytische uitdrukking voor die aangroeiing is de afgeleide van fl naar t of t ■
Is fl" standvastig, dan is de hoekversnelling onafhankelijk van den tijd en wordt ze gemeten door de aangroeiing, die de hoeksnelheid werkelijk in de eenheid van tijd ondergaat. De wenteling heet dan eenparig veranderlijk.
Is 0" een functie van den tijd, dan is dc hoekversnelling veranderlijk en de wenteling zelve ook veranderlijk.
De hoekversnelling 0" is positief, als 3 toeneemt, negatief als
0' afneemt.
Een punt op den afstand r van de as heeft een tangentiale versnelling (gericht volgens de raaklijn aan den cirkel, dien het punt beschrijft) gelijk aan r 4".
Toepassing op de bepaling van de snelheid en de versnelling van een punt, dat zich willekeurig in een plat vlak beweegt.
Zijn de coordinaten van het bewegende punt ten tijde / ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel x en y, en zijn poolcoordinaten r en 0, zoodat
x = r cos S, J = r sin i
dan is de snelheid van dat punt in de richting van den voerstraal:
x' cos 0 y sin 0 = r' = radiale snelheid, VI)
2



volgens de richting (« + y) loodrecht op den voerstraal:
x' sin 0 -f y' cos ö == r t' (x)
en heet tangentiale snelheid bij de beweging in een cirkelomtrek
Verder is de versnelling van het punt ten tijde / in de richting van den voerstraal :
•*" cos i +y sin 6 = r" — r«'« = radiale versnelling, (2) volgens de richting { + ~) loodrecht op den voerstraal:
— x" sin 0 ƒ cos i = 2 r' 0' + r i" = —
r dt 3;
en heet tangentiale versnelling bij de beweging in een cirkel.
Snelheid van een punt eens lichaams, dat om een vast punt beweegt.
We kiezen het vaste punt tot oorsprong O van twee rechthoekige assenstelsels, het eene OXYZ vast in de ruimte, het andere OXYZ vast met het lichaam verbonden. De stand van het beweeglijke assenstelsel OXYZ, op zeker tijdstip t van de beweging, ten opzichte van het vaste OX~~Y~Z zullen we bepalen door de richtingscosinussen der assen twee aan twee genomen, aangewezen door het volgende tabelletje :
X Y Z
X i a a. a,
Y b b, b3 (4)
Z c c, ct
Tusschen deze negen richtingscosinussen bestaan twaalf betrekkingen, waarvan we er zes opschrijven :
a*-h a,' = i , i' + V + V= i, c' + ct'-hc1*=i
b c ~l~ c, -f- bt ci = o c a -f- c, a, -f- ct a2 = o (e)
a b -)- a, b, -)- a% bt = o.



De transformatieformules tusschen de coordinaten x, y, z van een punt op het vaste, en X, y, M van hetzelfde punt op het beweeglijke assenstelsel, zijn dan . . „ ,
x = a x + by + c z
y == a, x + b\y ci 2 ^
7 == a, x + K? + c* z%
Worden deze naar t gedifferentieerd, dan geeft dat
x' — a x + b y c z y' — a\ x -+- b\ y+ c ï z ~z == a\ x -f- b\y-\- c j z
voor de ontbondenen van de snelheid van 't punt vol¬
gens de vaste assen.
Wordt de snelheidsvector V van 't punt geprojecteerd op de vaste assen, waarmede beweeglijke assen ten tijde t samenvallen, en noemen we vx de projectie op 0 X, vy die op U Y, , Vz die op O Z, dan is
vx = a x' + a,y' -4- «■> z vy = b x' -f- b, y + btz^
vz = c x -+- C\ y c2z ■
Worden hierin x',y\z door hunne waarden in (2) vervangen, dan gaan ze over in
r, = (a al+a, a^+a, at ) *+(« ^+«1 *.'+«2 bt')y+(* *'+«i '.'+«« c«') 2
„ = (a. x +(b b' +b{ bt'+bt b2)y+(c b+ct'bt+cj ct) z (3)
Vt = («' c+at ct +at' ct) x +(*' c +*,' ex +*,' et)y+^c+e,' ct+c2' ct) z.
Worden de vergelijkingen (5,18) "aar / gedifferentieerd, dan geeft dat
b'c+bi'ci+bt'ci = - (*<:'+*■ '1' + **'*> sïll — P
c'a+c.'^+ct'a, = - (**+*, «,' + *,«»') *
(a*'+«, */+«»**') * — r"



We kunnen nu de vergelijkingen (3) op de volgende wijze schrijven:
q r I
vx= — ry + q z =
y z |
I r P
Vy= VT - pz = \ zrx ( I
I P Q
Vz = — q x + py =
I x y
Uit deze vergelijkingen trekken we de volgende besluiten:
Iu. De coordinaten van de punten des lichaams, welke voldoen aan de vergelijkingen
x — v — z / > p q r (2
zijn ten tijde t in rust. (2) is dus de vergelijking van de oogenblikkelijke as n van wenteling. De hoeken (n X), (n F), (n Z), die ze met de beweeglijke assen majctfj^ zijn bepaald door
cos (si X) _ cos (n Y) _ cos (n Z) 1 ,
P 9 r ~ 1/p-1 q"+~' ~ 1T ' (3)
2°. Uit
p q r
pvx + qvy + rv,= p q r = 0 x y z
volgt: -P- + X + r = cos (n V) = o (4) ^ bi V u v u v
als (n V) de hoek is tusschen de oogenblikkelijke as en den snelheidsvector V van het punt (x, y, z).
3°- Uit
I x y z I
x vx + yvj, + zvz = p q r =0 \x y z j
volgt, als V x2 +y2 + «' = c de lengte is van den voerstraal R naar het punt (j»r, y, z):



X Vx V Vr Z Vz , r> rrs
— -f — + — = cos (R V) = o (I) s
r v r v r v
waarin (R V) de hoek voorstelt tusschen den voerstraal R naar en den snelheidsvector V van het punt (x, y, z).
4°.
v* — v*x 4 v%y 4- vx, = j, 'z j — "2 rS s*n~ (n
waarin (n R) de hoel< voorstelt tusschen de oogenblikkelijke as n en den voerstraal R naar het punt (x, y, z).
Daar r sin (n R) gelijk is aan den afstand l van het punt (x, y, z) tot de oogenblikkelijke as, is
»==«/') (2)
De vergelijkingen (4,20) en (1) zeggen, dat de snelheidsvector V van het punt loodrecht staat op het vlak bepaald door de oogenblikkelijke as en het print, terwijl (2) aanduidt, dat u de hoeksnelheid is van de wenteling om de oogenblikkelijke as.
5". Uit (3,20) volgt:
p = ai cos (n X), q = u cos (n F), r — u cos (n Z),
men kan dus ƒ, q, r beschouwen als de projecties op de coordinaatassen van den hoeksnelheidsvector u, op de oogenblikkelijke as si uitgezet.
6°. Uit (1,20) volgt, dat een wenteling om O X met de hoeksnelheid p aan het punt P (x,y, z) een snelheid geeft, die tot ontbondenen volgens de coordinaatassen O X, O Y, O Z heeft respect.
0, - pz, py-
Een wenteling om O Y met de hoeksnelheid q geeft aanleiding tot de ontbondenen
q z, 0, — q x,
') In de vectoranalyse heet ai r sin (-1R) het vectorprodukt van u en r, en stelt een vector voor loodrecht op het vlak door u en r bepaald, in den zin van de wenteling om de as fl en gelijk aan het produkt oir sin (nf). Het wordt aangeduid door het symbool [«.lij. Bijgevolg wordt v door dit symbool in grootte, richting en zin voorgesteld Wij schrijven daarom v — \u, r]



en de wenteling om O Z met de hoeksnelheid r tot
— rj>, rx, o
Hieruit volgt de
Stelling. Zijn p, q, r de projecties op rechthoekige assen van den hoeksnelheidsvector u op de as n uitgezet, dan is de snelheid, die een punt krijgt ten gevolge van de wenteling om n met de hoeksnelheid kj de resultante van de snelheden, die het punt krijgt ten gevolge van de wentelingen om de coordinaatassen met de overeenkomstige projecties p, q, r van ai tot hoeksnelheden. (i)
Meetkundig vindt deze stelling hare uitdrukking in die van het parallelepipedum van hoeksnelheidsvectoren. voorloopig slechts geldende voor een rechthoekig parallelepipedum, maar die gemakkelijk is uit te breiden voor een willekeurig parallelepipedum.
Zijn «, (p„ q„ >•„), «>., (Po, »y), «„ (p-,,7*,>'»,) drie hoeksnelheidsvectoren uit den oorsprong van een rechthoekig assenstelsel getrokken, dan vindt men voor de som der ontbondenen volgens de coordinaatassen
Pi+Pü + Ps, <l,+q« + <)v r, + rt + r,
en deze sommen kunnen beschouwd worden als de ontbondenen volgens de coordinaatassen van de gebroken lijn met tot zijden, waarmede de uitbreiding is aangetoond.
Versnelling van een punt eens lichaams, dat om een vast punt wentelt.
Om de versnelling van het punt (x.j, z) te vinden moeten we de vergelijkingen (1,20), die de ontbondenen van de snelheid van dit punt bepalen volgens de drie assen in de ruimte, waarmede de beweeglijke assen ten tijde t samenvallen, naar den tijd t differentieeren.
Hierbij moet in 't oog gehouden worden, dat het punt, hoewel in rust ten opzichte van de beweeglijke assen, een snelheid 0vx, vy, vz) heeft ten opzichte van de met deze samenvallende vaste assen in de ruimte, en dat bijgevolg de afgeleiden van x naar t door vx, die van y naar t door vy en die van z naar t door v- moeten aangeduid worden.



De ontbondenen ax, az van de versnelling a van 't punt volgens de met de beweeglijke assen samenvallende vaste assen zijn derhalve
„ _ 1 r , 4' r'
' vyvz y z a, _ ' f + *' | (I)
| V, Vx I Z X
„ _ Pi , P' 9'
2 vx vy x y
Meetkundige voorstelling van de versnelling van een punt eens lichaams, dat om een vast punt wentelt.
Uit de vergelijkingen ei) blijkt, dat de versnelling uit twee componenten bestaat: de eene heeft tot ontbondenen volgens de met de beweeglijke assen samenvallende vaste assen in de ruimte
1 r r p p q . .
V-X — . = 1 «Z = (2)
Vy Vz Vz Vx ! VV
de andere
®
üe grootte, richting en zin zoowel van de component a als van de component (3 laten zich op de volgende wijze bepalen.
Wat se betreft omdat zoowel
I p q r I vx vy vz
p q r als \p q r
VX Vy VZ I Vx Vy vz
nul is, blijkt dat de versnellingsvector x loodrecht gericht is zoowel op de hoeksnelheidsas a als op den snelheldsvector V van 't punt, alzoo gericht is volgens de loodlijn /, uit het punt op de as n neergelaten, of naar het middelpunt van den cirkel, waarin het punt zich ten tijde t beweegt. Men zou « daarom de middelpuntzoekende versnelling kunnen noemen.



Verder is
«'=«*' + «>* +«»' = Pi' = ** v* sin*(si, V), (i)
VX Vy Vz ' ' V '
zoodat de lengte van den versnellingsvector « gelijk is aan üj v, of omdat v — l u is,
« = w2 /. (2)
Wat de component (3 betreft, omdat zoowel
x y z j p' q r
P l' r' j als | p' q r' x y z \ lx y z
gelijk nul is, zal de vector (3 loodrecht gericht wezen zoowel op den voerstraal R, uit 0 naar het punt getrokken, als op de rechte lijn met de vergelijkingen
x y z
y ~ Y' ~ ^^
die we door n, zullen aanduiden. (3 is dus loodrecht gericht op het vlak bepaald door deze rechte n, en het punt.
Verder is
@*=0*3- + P'i/-f-(32r = ^ ^ ® j _ u * r* sin* R), (4) waarin r de lengte van den voerstraal R en
V = P'% + 9'2 + r'1 (5)
is. Omdat r sin (.n, R) gelijk is aan de loodlijn /, , uit het punt op de lijn n, neergelaten, is
(3 = (6)
Uit het bovenstaande volgt, dat de vector a door het symbool [«, »] en (3 door het symbool [«,, r] kan voorgesteld worden, zoodat de resultante a van « en (! in de vectoranalyse wordt aangegeven
door a = [«, v] -(- [«,, r] .
I
1



Hoekversnellingsas en hoekversnellingsvector bij de beweging van een lichaam om een vast punt.
Omdat volgens (6) », de waarde is van /2 voor een punt op de eenheid van afstand van de rechte n,, heet deze de hoekversnellingsas, om welke het lichaam draait met de hoekversnelling
Het stuk afgezet op n, , dat door zijn lengte de hoekversnelling en door een pijltje den zin van de wenteling voorstelt. heet de hoekversnellingsvector.
De hoeken, die deze vector met de beweeglijke assen maakt, worden bepaald door
cos (n, X) cos (n, Y) cos (n, Z) i
P' ~ q ~ r' ~ «, '
zoodat q\ r' de projecties zijn van den hoekversnellingsvector al op die assen.
Parallelepipedum van hoekversnellingsvectoren.
Op volmaakt dezelfde wijze als waarop de stelling (i 22) is bewezen, bewijst men de
Stelling. Zijn p', q, r' de projecties op rechthoekige assen van den hoekversnellingsvector op de as n, uitgezet, dan is de versnelling van een punt ten gevolge van de wenteling om n, met de hoekversnelling w, de resultante van de versnellingen, die het punt zal hebben ten gevolge van de wentelingen om de coordinaatassen met de overeenkomstige projecties p, q\ r' als hoekversnellingen.
Meetkundig vindt deze stelling hare uitdrukking in die van het rechthoekig parallelepipedum van hoekversnellingsvectoren, welke stelling gemakkelijk uitgebreid wordt voor een willekeurig parallelepipedum.



Hoek tusschen de hoeksnelheidsas XI en de hoekversnellingsas n,.
De cosinus van dezen hoek wordt bepaald door
cos (n, n,) = tt + 99'+rr' = = «■
WW, WWj ftlj '
waaruit blijkt, dat de projectie van den hoekversnellingsvector a, op de hoeksnelheidsas gelijk is aan
Analytische uitdrukking voor de versnelling van een punt eens lichaams, dat om een vast punt wentelt.
Worden in de vergelijkingen (1,33) v.v, vy, vz vervangen door hunne waarden in (1,20), dan gaan ze over in
a% = (p* — ft»1) x + (/ q — r')y -+- (p r + q) z
an = (pq + r')x + {q% — u") y (q r — p ) z (I)
az — (pr — q') x 4- (qr +p') y -+- (r" - «>) s.
De determinant van dit stel is a' («" — Is deze ongelijk aan nul, dan is er slechts één punt van 't lichaam, dat geen versnelling heeft, n. 1. het vaste punt (0, 0, 0).
Is u = o, begint dus het lichaam van uit den rusttoestand te bewegen, dan gaan de vergelijkingen over in
"x = — r' y + q' z, ay = r' x — p' z , a: = — q' x -f- p' y,
zoodat alleen de punten van de hoekversnellings-as geen versnelling hebben.
Is a,=ft>', dan vallen de hoeksnelheidsas en de hoekversnellingsas samen, en hebben de punten van deze gemeenschappelijke as geen versnelling.
Hoekversnellingsassen en hoekversnellingen van hoogere orde.
Differentieert men de vergelijkingen (1,23) naar den tijd t, daarbij weer de afgeleiden van x, y en z door vx< vr< vz vervangende, dan geven de eerste leden de ontbondenen van de versnelling 2' orde volgens de beweeglijke assen en blijkt die versnellingsvector 2' orde te bestaan uit drie componenten, de eerste



geleverd door de wenteling («) om de hoeksnelheids-as n, de tweede door de wenteling («,) om de hoekversnellings-as n,, de derde door de wenteling (a?) om de as n2 van hoekversnelling
x y z 2' orde met de vergelijkingen -pr = — -p •
Is r weer de voerstraal naar het punt P, v de snelheidsvector, a de versnellingsvector van het punt P, dan is de versnellingsvector van de 2e orde in de notatie van de vectoranalyse
a-i = [«.«] + 2 [»r ®] + [«» r].
In 't algemeen ; de versnellingsvector an van de n' orde is gelijk aan :
» . i . * (**—0. , , , n , . . . ,
a„ = [«, a»-i] +- — [«„ a„-2] 4- I«2, an-3] + ... + y l« »-i, v\ + [u„, r\
HOOFDSTUK IV.
Kinematica van de willekeurige beweging eens lichaams en als bijzonder geval die van de beweging evenwijdig aan een plat vlak.
Denkt men weer een met het lichaam verbonden assenstelsel OXY'/j en een in de ruimte vast assenstelsel O X Y Z; wordt de onderlinge stand van beide assenstelsels ten tijde t weer bepaald door het tabelletje (4,18), en zijn op dat oogenblik x0,y0, z0 de coordinaten van O ten opzichte van 0 X YZ, dan zijn de transformatieformules tusschen de coordinaten x. y, z van een " punt P ten opzichte van het vaste, en de coordinaten x, y, z van datzelfde punt P ten opzichte van het beweeglijke assenstelsel
x — x0 -{-ax "1- by -\- c z y = yo -f «,jr + 6,y-\- cxz (I;
z = Zo + a-i x -J- y -f- c2 z.
Zij verschillen van (1,19) alleen hierin, dat x — x0,y—y„, z~z0 in de plaats van x, y, z gekomen zijn. Denzelfdfen weg volgende



als daar, vinden we voor de ontbondenen van de snelheid v van het punt P volgens de beweeglijke assen :
9 r
v* — vx° = !
y 2 r P
Vy — Vy° = (I)
' * z x: v '
P <]
vz - vz° = r *
x y
waarin v° de snelheid van den beweeglijken oorsprong voorstelt.
Op dezelfde wijze als in 't vorige hoofdstuk is uit (I) af te leiden, dat de snelheid v van het punt de resultante is van v° en a /, dus in de notatie van de vectoranalyse :
v = v° -f- \u, r].
De beweging van 't lichaam is dus aequivalent met een trans latie met de snelheid v° en een rotatie met de hoeksnelheid u om de as n, waarvan de vergelijkingen zijn:
x y z p ~~ q ~ r'
Verder volgt uit (I), omdat
p q r
p q r = o x y z
is, dat pvx -h q Vj, -+- rvz = ƒ vx° + q vy" -f- r v,° dus ook,
pqt-
z>x H H vz — v° cos (n v")
u 01 M
voor alle punten van 't lichaam dezelfde waarde heeft; d. w. z. de projectie r van den snelheidsvector van ieder punt op de as a is even groot. De ontbondene u loodrecht op n is u — v sin (n v) en zullen we de orthogonale ontbondene noemen.
Vergelijking van de schroefas.
Zijn er punten van 't lichaam, wier snelheid gelijk t, wier orthogonale snelheid bijgevolg nul is?



De coordinaten van zulke punten moeten voldoen aan
I q r \ + »x° = ( — »x° + — V + — ®«° ) — ! J/ 2 j \<w « u / u
en nog twee andere, die hieruit ontstaan door cyclische verwisseling van ƒ, q, r onderling en van x, y, z onderling.
Deze drie vergelijkingen zijn in den volgenden vorm te brengen:
* _ 9 T : y - I r * i : z-\P q
Vy° vz° I Vz° Vx° 1 | Vx° Vy°
m — £— . (I)
P 1 r ^
Deze stellen een rechte lijn voor, gaande door het punt (*1,^1. z.):
I q r r p I I p q
= '»,• V," '■ " • J'> = Vx°\ ' *' = |px° V : (2)
en die evenwijdig is met n. De punten van deze lijn hebben allen de snelheid r. Bijgevolg is (I) de vergelijking van de schroefas.
De afstand r0 van dit punt tot den beweeglijken oorsprong O is
p q r 2 ro = „ „ „ : «4 = <a* voS sin2 (n z>°): u4 vx° vy° vz v 7
of r„ = u0: o>.
Uit de waarde «0 = r0u voor de orthogonale snelheid u0 van den beweeglijken oorsprong ten gevolge van de wenteling om de schroefas blijkt, dat r0 de afstand is van dien oorsprong tot de schroefas.
Hieruit volgt dan verder, dat de wenteling om de schroefas met een hoeksnelheid u aequivalent is met de wenteling om de as n door den oorsprong, ook met de hoeksnelheid u, met nog een verschuiving u0 loodrecht op het vlak van de beide assen, waaruit dan ten slotte weer volgt, dat de verschuiving u0 aequivalent is met een koppel van hoeksnelheidsassen, gelegen in een



vlak loodrecht op u0 en waarvan het moment (hoeksnelheid u maal hefboomsarm ra) gelijk is aan u0.
Deze stelling is op eenvoudige wijze meetkundig af te leiden.
Versnelling van een punt eens lichaams, dat een willekeurige beweging heeft.
Worden de vergelijkingen (1,28) naar t gedifferentieerd, daarbij vx' door ax, vx°' door ax° enz. vervangende, dan komen de vergelijkingen (1,23) terug, alleen met verandering van ax in ax — ax°, ay in ay — aj°, az in as — az°, zoodat nu de versnelling bestaat uit drie componenten, n.1 behalve de in (2,0,24) genoemden nog de versnelling a° van den beweeglijken oorsprong, of, in notatie van de vectoranalyse,
<* = *" + -f [*,, r\. (1)
Snelheid en versnelling van een punt eens lichaams, dat een beweging evenwijdig aan een plat vlak heeft, of van een punt eener vlakke figuur, die in haar vlak beweegt.
Worden de vlakken X O Y en X O Y van bovengenoemd assenstelsel gekozen in het vlak der figuur, dan moet in de gevonden formules p=o, q — o, r = u,p' = o, q' = o, r' = ai gesteld worden. Bijgevolg:
de oogenblikkelijke as van wenteling gaat volgens (2,29) door het punt (xv, yv, zv):
xv — — vy° ; u , yv = vx° : « , zv = 0, (2) zoodat (1,28) nu als volgt kunnen geschreven worden : vx = — u (y -jv)
vy = u (x — xv) (3)
v, = 0.



Het punt (*„, yv) in het vlak der figuur is de snelheidspool Cv, de formules (3,30) geven te kennen, dat de figuur om de snelheidspool wentelt met de hoeksnelheid «
De uitdrukkingen voor de ontbondenen ax, aJ} a, van de versnelling van 't punt volgens de beweeglijke assen worden nu
ax — &x° "4"ui 0,1 % u y
ay = ay° -f ai*JV + »' x — mty (2)-
■= O.
Hier bestaat een hoekversnellings-as, gaande door het punt waarvan de coordinaten voldoen aan (2) mits daarin de eerste leden gelijk nul gesteld worden. Omdat z onbepaald is, staat de as loodrecht op het richtvlak. Haar snijpunt met het vlak der figuur is de versnellingspool Ca waarvan de coordinaten xa enya voldoen aan
0 = ax° -+- wa Xv — ot1 Xa — " Ja (3)
O — dy" -+- Xa •
De vergelijkingen (2) kunnen nu als volgt geschreven worden:
ax = — (x — xa) — «' (y —ya)
ay = — «' (•* — Xa) — (y —ya) ■
De versnelling van het punt P in de richting van den voerstraal Ca P — r is :
X — Xa . y —ya »
ax — 1- a, = - - r
en in de richting loodrecht daarop :
V — Va * — *a ,
— ax ——+ dy—y-^-'r.
Hieruit blijkt dat ze dezelfde zijn, alsof de figuur om de versnellingspool wentelde met een hoeksnelheid * en een hoekversnelling u' (zie 2,3,18).



hoofdstuk v.
Kinematica van de beweging van vloeistoffen en gassen
Bij veranderlijke lichamen onderstellen we dat elk * i punten die op zeker oogenbl.k van de bewe^ ^ nabijheid zijn, d,t gedurende de geheele beweging blién zoodl
van0^; T" 'V™ ^ gedurc"dc ^ Ï
r jnln c» L™, Hf "lijf'' C" »P»«r»Ukeom
geslagen cn dat met de vlodstof meebeweegt, hoewel ver vormende, dezelfde deeltjes zal blijven bevatten.
een beweging heet continu.
Men kan twee wegen inslaan om tot de kennis van de be weging eener vloeistof te geraken.
vl»l<ofp„„l7aa" d° bC",Cgi"S ""
P«T. Z\,:nJZTk' de be""!ging in "" Willek=»ri8
,.'LWCe We kic2cn f» P""> f, waarvan de eoordinaten ten Ti r\ .OP <*» gegeven tijdstip ziin t h- J ' ZU"en die c°ordinaten geworden
J ,y, z. Hier zijn die coordinaten functies van a b c t en wel ten gevolge van de onderstelde continuïteit der 'bew'egin,
P Te/U'JannCCr WC toch uitgegaan waren van een punt
in H .ff"1 V3n dan moete" we dit punt ten tijde/
van « TiTzn fi 7" ? terUgvinden' zoodat kleine variaties ta an «, van <, I,m, variaties J* van*, t, van , )2 van
' ,a" ™ tengevolge leten hébben
U" *
"°'g' da„ V> + U " +
en evenzoo van y en van z.
De snelheid van P ten tijde t heeft tr>t ^
de as<;pn w ^ ontbondenen volgens
assen x , y, z, en de versnelling y, 2".
ruimteen ^ }X'y; Z- Cen wiIIekeuri& gekozen punt van de d°°r de vloeistof ingenomen, dan zal in dat punt ten



tijde t een vloeistofpunt gaan met zekere snelheid, die een functie is zoowel van X, y, z als van t. Noemen we nu de ontbondenen van die snelheid *, p, w, dan zijn u, v, w continue
functies van x, y, z, t.
Voor een bepaalde waarde van t geven ze voor dat oogenblik
den bewegingstoestand in dit punt, dus in ieder punt van de vloeistof; voor een bepaald punt, dus voor bepaalde waarden van x,y, z, geven zij in dit punt den bewegingstoestand van de deeltjes, die achtereenvolgens door 't punt bewegen.
Is nu (», v, w) de snelheid van het vloeistofpunt in (*, y, z) ten tijde en (« + Ü, v + v, w+w) de snelheid van het vloeistofdeeltje in (x + x,y+y, ook ten tijde /, dan is, met verwaarloozing van hoogere machten van x, y, z:
3u — 3 u — 3u — » + M = u+Tïx+dy-y+ 3zz
_ 3v 3» - , 3v-
v+ v = V+JÏ * + y+ 3ZZ ]
_ dw— 3 w — 3w-
w + w — w+Yx*'*' 3y y2 '
De negen partieele afgeleiden, die hier als coefficienten van de drie lineaire vergelijkingen in x,y, z optreden, kunnen we door negen andere functies vervangen door dat stelsel vergelijkingen op de volgende wijze te schrijven :
u+J=*u-t-aJ+hy+gz 4-»s — v v — v -\-hx-\rby-\-fz-\-Kx — %z (2) w -)- w = w + g x + / y + c z + $ y — * x
zoodat
a» h-UL c = —
a = 3~x 9y dz
/ 3 w 3®\ |. / 3 u 3 w\ , — , i I3v 3
/=Va(3T + ^). S = *-''Ux+3 y) (3)
(3 w 3 »\ ,, / y — 'i I 3 v — - — \
t=''*{Ty- 8ij' *=/aU^ 9*)' * V9* 3 y)
3
L



Uit (3) kan men aflezen, dat de beweging van een klein vloeistofdeeltje om het punt (x, y, z) beschouwd kan worden uit drie deelen te bestaan :
1°. één deel, waarvan de ontbondenen u, v, w zijn, en dus aanwijst een verschuiving van het vloeistofdeeltje in zijn geheel. 2°. een deel, waarvan de ontbondenen zijn
* x r ? ? -
ij z j ' z x j ' x y '
aanwijzende een wenteling van 't vloeistofdeeltje om een as door (x, y, z) gaande met een hoeksnelheid (?, n, ?)
3°. een deel, waarvan de ontbondenen zijn
ax-\-hy-\-gz, h x + by + ƒ 2 , gx\-fy-\-cz.
Aangezien deze uitdrukkingen de helften zijn van de partieele afgeleiden naar x, y, z van den vorm
«x® + 2hxy + by* + 2 g x z + 2 fy z + c z® ,
kunnen ze beschouwd worden als de ontbondenen van een snelheid in de richting volgens de normaal van het oppervlak
alt* + 2h~xy -|- by1 -f 2gxz + 2fyz -f c z1 — Constant,
dat P (x, y, z) tot middelpunt heeft en door het punt
(x+~x, y+y, z + z)
gaat.
Wordt dit oppervlak op zijn assen genomen, zoodat zijn vergelijking overgaat in den vorm
"7? 4- T»2 + 7r« = Const.
en ~a -\-~b + 7 = a + b + c is, dan zijn de ontbondenen van genoemde snelheid volgens de assen a%, b >i, c K, zoodat een lijntje in dat vloeistofdeeltje gedacht, evenwijdig aan de nieuwe ^f-as verlengd wordt in reden van a: I, evenwijdig aan de nieuwe F-as in reden van b : / en evenwijdig aan de nieuwe Z-as in reden van 'c: I. Een rechthoekig parallelepipedum in het vloei-



stofdeeltje, welks ribben evenwijdig zijn met de assen van het oppervlak blijft rechthoekig bij zijn vervorming.
De versnelling in het punt (x, y, z).
Het punt, dat ten tijde t door (x, y, z) gaat met de snelheid (», v, w), zal ten tijde t + 3t gekomen zijn in het punt (x + u 3 t, y + v 31, z -\-w3t).
In dit punt is de snelheid ten tijde t (# + 8 », v + 3 v, w + 3 w).
Wordt u = f(x,y,z,t) gesteld, dan is
u + i u = f{x + uit, y + vSt, z ywSt, t + 3f)
= f(x,y, z, t) + utt + ljvSt + j{ wdt+^it
met verwaarloozing van hoogere machten van 3 t.
Bijgevolg is in deze onderstelling :
(du du 3» 3_»\ »{ t*-\ï7"+Tyv + !Tzw+zt)s'-
De versnelling in het punt (x, y, z) heeft ten tijde t dus tot ontbondenen :
3 u 3 u du ,3"
Volgens OX: + YiU + dy~V+dzW
n v- 3 p -l. -- u + — v + P- w (O
0 Y' dT + 3 * 3> 3 e 3 w 3 w . 3 w , 3 w
oz--Tf+ Si " + ¥J'+ï7w-
HOOFDSTUK VI.
Kinematica van de betrekkelijke beweging van een punt.
Stel dat de beweging van een punt bekend is ; dat dus de coordi'naten van dit punt ten opzichte van een assenstelsel als



functies van den tijd bepaald zijn en daarmede ook de snelheid en de versnelling.
Wanneer nu datzelfde punt betrokken wordt op een ander assenstelsel, dan ten opzichte van 't eerste een bepaalde beweging heeft, dan zullen de coordinaten van het bewegende punt ten opzichte van dit tweede stelsel andere functies van den tijd zijn en dus de snelheid en de versnelling ook anders uitvallen.
Noemen we de beweging ten opzichte van het eerste assenstelsel de volstrekte (absolute) beweging van het punt; die ten opzichte van het tweede de betrekkelijke (relatieve) beweging; evenzoo de coordinaten, de snelheid en de versnelling van het punt bij de eerste beweging volstrekt, bij de tweede betrekkelijk, dan kunnen we ons de vraag stellen:
Hoe bepaalt men de betrekkelijke beweging uit de volstrekte of omgekeerd.
De weg voor de oplossing van dit vraagstuk is aangewezen.
Men bepaalt de transformatieformules, d. w. z. de betrekkingen, die er bestaan tusschen de volstrekte en de betrekkelijke coordinaten van het punt.
Door deze vergelijkingen naar t te differentieeren, geven ze lineaire betrekkingen tusschen de volstrekte en de betrekkelijke snelheden en coordinaten.
Door deze nieuwe betrekkingen nog eens naar t te differentieeren verkrijgt men betrekkingen tusschen de volstrekte en betrekkelijke versnellingen, snelheden en coordinaten.
Voorbeeld.
Stel, dat het beweeglijke assenstelsel O X Y Z om de as O Z als vaste as wentelt met een standvastige hoeksnelheid ai en ten tijde t = o samenvalt met een vast assenstelsel O X Y Z; dan zijn de coordinaten x, y, s van het punt ten opzichte van het vaste assenstelsel met zijn coordinaten x, y, z ten opzichte van het beweeglijke assenstelsel ten tijde t verbonden door de betrekkingen
x — x cos ut — y sin o> t
y = x sin ui t -f- y cos ut (i)
z = z



Door deze naar t te differentieeren, vindt men de volgende betrekkingen tusschen de volstrekte snelheid (x' y' z') en de betrekkelijke snelheid (x' y' z'):
x' = x' cos ai t — y' sin ut — u (x sin u t + y cos u t) y' = x' sin u t + y' cos ut + « (* cos ut — y sin u t)
Door deze naar t te differentieeren vindt men de betrekking tusschen de volstrekte en betrekkelijke versnelling.
Coriolis heeft, door de vraag algemeen op te vatten, gevonden welke snelheid bij de volstrekte snelheid, evenzoo welke versnelling bij de volstrekte versnelling moet gevoegd worden, om de betrekkelijke snelheid en de betrekkelijke versnelling te verkrijgen. Door die snelheid en die versnelling werkelijk in te voeren, is de bepaling van de betrekkelijke beweging teruggevoerd tot een volstrekte ; de beweeglijke assen worden dan vast.
De uitkomst door Coriolis gevonden, kan op de volgende wijze worden verkregen.
Laten de transformatieformules zijn (1.27)
x = x0 + ax + by + ce y = y„ + ^ * + b,y + c, z (1)
z = s0 + «j x + bï y + c2 z.
Worden deze naar t gedifferentieerd, dan geeft de eerste
X1 = (x'o + a' X -\- b'y + c' z) + a x' 4- by' + c z . (2)
Hierin stelt x' de volstrekte snelheid voor volgens de as O X, terwijl x',y', z' de ontbondenen van de betrekkelijke snelheid volgens de beweeglijke assen zijn.
De eerste vorm in het tweede lid zou x' voorstellen, als x', y', z' ieder gelijk nul waren, als dus het bewegende punt met betrekking tot het beweeglijk assenstelsel in rust was, wat dus wil zeggen, dat die vorm voorstelt de volstrekte snelheid in de richting O X van het met de beweeglijke assen verbonden punt, waarmede het bewegende punt op het beschouwde oogenblik samenvalt; die snelheid kan gevoegelijk genoemd worden de sleepsnelheid in de richting O X, zoodat
*'0+ «'.* + b'y c' z = sleepsnelheid in de richting O X. (3)



De tweede vorm in het tweede lid stelt blijkbaar voor de ontbondene in de richting Ö X van de betrekkelijke snelheid van 't punt.
Voert men de differentiatie van de beide andere vergelijkingen (1,37) uit, dan vindt men dczelfde uitkomst ten opzichte van de vaste O F- en ÖZ-as. Saamgevat geven ze de volgende
Stelling. De volstrekte snelheid is de resultante van de betrekkelijke snelheid en de sleepsnelheid, dus ook :
De betrekkelijke snelheid is de resultante van de volstrekte snelheid en de in tegengestelden zin genomen sleepsnelheid.
Wordt (2,37) naar { gedifferentieerd, dan komt er
~ï" = (*"„ + a X + b"y (- c z) + {a x" -f by" + et") +
+ 2 (a1 x' + b'y' + c' z') . (J)
Het eerste lid x" stelt de volstrekte versnelling voor in de richting O X.
De eerste vorm in het tweede lid zou x voorstellen, als x,y, z onafhankelijk van den tijd waren, als dus het bewegende punt in betrekkelijke rust was, wat dus wil zeggen, dat die vorm voorstelt de volstrekte versnelling in de richting O X van het met de beweeglijke assen verbonden punt, waarmede het bewegende punt op het beschouwde oogenblik samenvalt; deze versnelling kan gevoeglijk de sleepversnelling in de richting O X genoemd worden ; dus
+ a" x b" y + c" z = sleepver snelling in de richting O X.
De tweede vorm in het tweede lid stelt blijkbaar voor de ontbondene in de richting ÖX van de betrekkelijke versnelling van 't punt.
De beteekenis van den derden vorm a' x' + b'y' + e' z' in het tweede lid van(i) volgt onmiddellijk uit (3,37). Volgens deze formule is a' x + b'y -j-c' z de sleepsnelheid van het punt {x,y, z) in de richting O X alleen ten gevolge van de wenteling van het beweeglijke assenstelsel om een as door den beweeglijken oorsprong.
Onze uitdrukking a' x' -f b'y' -f c z' zal dus die sleepsnelheid



voorstellen van het punt d. i. het vr$e uiteinde van
den uit den beweeglijken oorprong getrokken betrekkelijken snelheids-
vector, alleen ten gez<olge van de wenteling om de as door den
oorsprong gaande. .
We zullen die sleepsnelheid noemen de versnelling van Cortolts
in de richting O X. . , ,n
Aangezien de beide andere vergelijkingen van (i,37)jlezelfde
uitkomsten zullen geven ten opzichte van de assen 0 Y en O Z, mogen wc de volgende stelling uitspreken.
Stelling. De volstrekte versnelling is de resultante van de betrekkelijke versnelling, de sleepver snelling en tweemaal de versnelling van Coriolis; dus ook ,
de betrekkelijke versnelling is de resultante van de volstrekte versnelling, de sleepver snelling in tegengestelden zin genomen en tweemaal de versnelling van Coriolis, ook in tegengestelden zin genomen.
HOOFDSTUK VII.
Kracht, massa, arbeid, hoeveelheid van beweging, krachtfunctie.
Hebben we tot hiertoe de beweging opgevat als zuivere plaatsverandering, nu zullen we aan de hand van de ervaring
nagaan, hoe de beweging tot stand komt.
De ervaring weet in de meeste gevallen, waar versnelling optreedt, een oorzaak voor dat optreden aan te wijzen, en duidt die naar omstandigheden aan met de namen : spierkracht, dmkkracht, veerkracht, spankracht, wrijfkracht, trekkracht, enz. in 't algemeen door kracht.
Kracht is de oorzaak van de versnelling.
Gaat een trein bewegen, dan weten we, dat door de spankracht van den stoom de zuiger wordt voortbewogen, welke beweging door stangen wordt overgebracht op de wielen. Door de wrijving van wiel en rail ontstaat de wrijvingskracht, in tegengestelde richting werkende van die, waarin de onderste punten van den wielband bewegen, en die de oorzaak is, dat de trein in de richting van die wrijvingskracht gaat bewegen, bij 't vertrek langzaam, daarna steeds



sneller tot een eenparige beweging is ingetreden ten gevolge van den weerstand van de lucht, die, met de snelheid van den tiein toenemende, op zeker oogenblik de voortstuwende kracht van den wrijvingsweerstand opheft.
Komt de trein in een bocht van de spoorbaan, dan drukt de buitenrail tegen de flenzen van de buitenraderen naar den kant van het middelpunt van de bocht.
Sluit de machinist den stoom af, dan gaat de trein langzamer bewegen, omdat de voortstuwende wrijvingsweerstand ophoudt te werken en de Iuchtweerstand blijft. Door het in werking stellen van den rem wordt de beweging der raderen belemmerd ten gevolge van de wrijving tusschen rad en remblok, waardoor de tegenstand van de lucht in de hand wordt gewerkt, en de trein eindigt met stil te staan.
De overtuiging, dat bij elke verandering van den bewegingstoestand een kracht moet optreden, is zoo sterk, dat men een kracht denkt, daar, waar men geen onmiddellijke oorzaak kan aanwijzen, getuige de zwaartekracht als oorzaak van den vrijen val en van 't gewicht der lichamen, de onderlinge aantrekkingskracht van de lichamen van ons zonnestelsel, de magneetkracht voor de werking der magneten, de electrische kracht voor die van geelectriseerde lichamen.
Proefnemingen (o. a. met de valmachine van Atwood) hebben geleerd, dat de verhouding van de kracht ('t gewicht van 't overwicht, uitgedrukt b. v. in K. G.) en de versnelling (b. v. uitgedrukt in M.) evenredig is met het gewicht van 't lichaam, dat in beweging gezet wordt, en dus standvastig is voor alle lichamen van hetzelfde gewicht.
Die standvastige verhouding kan b. v. bij den vrijen val gevonden worden, waarbij de kracht het gewicht van t lichaam en de versnelling die van de zwaartekracht is en die voorgesteld wordt door de letter g (gravitas).
De verhouding van 'tgewicht eens lichaams en de versnelling van de zwaartekracht is dus over de geheele aarde dezelfde.
Nu leert de ervaring verder, dat g over 't aardoppervlak veranderlijk is, bijgevolg ook het gewicht van een lichaam, omdat de verhouding standvastig is.
Bij elk lichaam behoort dus een grootheid, die standvastig is, waar het lichaam ook gebracht wordt.



Bepaling. Die standvastige grootheid heet de massa van V lichaam.
In tegenstelling met kracht en versnelling, die gerichte grootheden zijn en daarom meetkundig door een vector kunnen voorgesteld worden, is de massa een niet gerichte grootheid, of, zooals in de vectoranalyse wordt gezegd, een scalaire grootheid.
In overeenstemming met deze feiten, aan de ervaring ontleend, nemen we den volgenden grondregel aan :
In de theoretische mechanica kennen we aan elk punt eener figuur een massa toe, waardoor hut de eigenschap erlangt onder de werking eener bepaalde kracht een bepaalde versnelling te verkrijgen.
In plaats van punten (mathematische punten) spreken we dan van stoffelijke punten.
Eenheid van kracht, van massa, van versnelling.
Laat een kracht K aan een massa 71/ de versnelling A en » » Ky » » » Mx » » Ax
geven, dan is
K _ M A Kx ~ 71/, ' A,
Nemen we nu aan bij de vaststelling van de eenheden, dat de eenheid van kracht aan de eenheid van massa de eenheid van versnelling geeft, en kiezen we Ku 71/,, At tot eenheden, dan is
k = m a (')
of in woorden : het aantal krachtseenheden eener kracht is gelijk aan het prodnkt van 't aantal massa-eenheden van de massa en het aantal versnellingseenheden der versnelling, die de kracht aan die massa geeft\
of korter, doch onnauwkeurig :
kracht is gelijk aan mussa maal versnelling.
Twee van de drie vast te stellen eenheden zijn willekeurig te kiezen. Wij nemen aan voor
eenheid van versnelling : I 71/.
» » massa : die van I L. water van £ C.



dan is de eenheid van kracht: — K. G.;
waar g in Meters de versnelling van de zwaartekracht is op de plaats van waarneming (gemiddeld 9,81).
Deze eenheden zijn over de geheele aarde dezelfde.
In het C. G. S.-stelsel wordt genomen ■
eenheid van versnelling = i cM;
» k massa = die van i cMs water van 4° C.
» » kracht = gram = ■— gram
100 g s 981
= ongeveer een milligram.
Deze krachtseenheid wordt dyne genoemd.
Ook dit stel eenheden is over de geheele aarde dezelfde.
Bepalingen:
Het punt, dat de versnelling ontvangt, heet het aangrijpingspunt van de kracht; de richting van de versnelling heet de richting van de kracht. De rechte, uit het aangrijpingspunt getrokken, die in richting en in lengte de richting en de grootte van de kracht voorstelt, heet krachtvector; door een pijltje wordt de zin aangegeven, waarin de kracht werkt.
Uit deze bepalingen volgt de stelling van het parallelepipedium (parallelogram, veelhoek) van krachten
Oogenblikkelijke krachten (stooten, impulsies^.
Wanneer een kracht k aan een punt met de massa m de versnelling a geeft, dan zal dat punt nadat de kracht er één seconde op gewerkt heeft, een snelheid a hebben, als het bij 't begin van de werking in rust was. Diezelfde snelheid zou het ook verkrijgen, als een kracht
2 k gedurende een halve sec.
3 k » » derde »
in 't algemeen, als een kracht
n k gedurende een «'■ sec.
op 't punt gewerkt had.
Door n zeer groot te nemen verkrijgen we een kracht met zeer groote intensiteit, die gedurende zeer korten tijd werkt en het punt een eindige snelheid in hare richting geeft.



Bepaling. Zulk een kraeht heet oogeitblikkelijke kracht.
't Is gemakkelijk aan te toonen. dat ten gevolge van den korten duur der werking eener impulsie, zoowel de verplaatsing van 't punt als de snelheid, die een gewone (eindige) kracht, welke nog op 't punt mocht werken, zal geven, zeer klein is.
We nemen den duur der werking eener impulsie zóó kort aan, dat we genoemde verplaatsing en snelheid mogen verwaarloozen.
Bovengenoemde kracht k zal aan een punt met een andere massa een andere versnelling a, geven, zoodanig, dat m a = m, at is. De kracht n k zal gedurende een n" deel eener sec. werkende aan dat punt nog dezelfde snelheid at geven.
Het produkt van de massa van 't punt en de snelheid, die het ten gevolge eener impulsie krijgt, is onafhankelijk van de waarde, die aan n gegeven wordt. Blijven we dus binnen den grens, boven aan den duur gesteld, dan kunnen we dat produkt als maat voor de impulsie nemen.
Beschouwen we nu het geval, dat het punt onmiddellijk vóór de werking der impulsie een snelheid heeft voorgesteld door den vector v0. Stel, dat onmiddellijk na de impulsie de snelheidsvector v geworden is. Ontbinden we v„ in een vector v0 volgens, en een vector v, loodrecht op de richting van de impulsie , en laten v en v2 de overeenkomstige ontbondenen zijn van den vector v, dan zullen v, en v2 onderling gelijk zijn, en zal het produkt m (v — v0) de maat voor de impulsie zijn.
We nemen daarom de volgende bepaling aan voor de maat eener impulsie:
Een impulsie wordt gemeten door het produkt van de massa van 't punt, dat de werking ondergaat, met het verschil van de ontbondenen volgens de impulsierichting van de snelheid van 't punt onmiddelijk na en onmiddelijk vóór de werking. (i)
Hoeveelheid van beweging.
Bepaling. Het produkt van de massa en de snelheid van een punt heet de hoeveelheid van beweging van dat punt, en kan door een vector worden voorgesteld, dien we den vector van de hoeveelheid van beweging kunnen noemen. Deze heeft dezelfde richting en zin als de snelheidsvector van 't punt.



Het produkt van de massa en de ontbondene van de snelheid van een punt in zekere richting heet de ontbondene van de hoeveelheid van beweging tn die richting. De vector er van is de in die richting vallende ontbondene van den vector van de hoeveelheid van beweging.
De bepaling (1,43) voor de maat eener impulsie kan nu als volgt worden uitgedrukt:
Een impulsie wordt gemeten door de hoeveelheid van beweging, die het punt waarop de impulsie werkt, in de richting van de impulsie ontvangt.
Impulsievector.
Een lijn in de richting van de oogenblikkelijke kracht, die door hare lengte de intensiteit der kracht voorstelt heet impulsievector.
De samenstelling en ontbinding van impulsievectoren geschiedt als bij gewone krachtvectoren.
Arbeid van een kracht van standvastige grootte en richting.
Hieronder verstaat men het produkt van de kracht met de projectie op de kracht van den weg door het aangrijpingspunt afgelegd.
De arbeid heet positief, als genoemde projectie in den zin, negatief als ze in tegengestelden zin van de kracht valt.
Arbeid van een kracht die voortdurend verandert van grootte en richting.
Denk de baan van het aangrijpingspunt verdeeld in een aantal deelen en bereken den arbeid verricht bij 't doorloopen van elk deel in de onderstelling, dat de kracht de richting en grootte behoudt die ze bij 't begin van dat deeltje heeft. De som van dl die berekende hoeveelheden arbeid heeft een bepaalde limietwaarde als bovengenoemd aantal deelen tot oneindig groot nadert.
Die limietwaarde is de arbeid door de kracht verricht bij de beweging van het aangrijpingspunt over genoemde baan.



Voorbeeld. Een punt wordt met een kracht in de richting loodrecht op een plat vlak naar dat vlak gedreven, die evenredig is met den afstand van 'tpunt tot dat vlak.
Is m de massa van 't punt en r zijn afstand op zeker oogenblik van de beweging, dus m p? r de kracht op dat oogenblik, dan wordt bewezen, dat de arbeid verricht als het punt van den afstand r„ bij 't begin gekomen is op den afstand r, gelijk is aan r\
J"— m p? r d r = '/2 m P* (r„- — r,2).
r.
Eenheid van arbeid.
Hiervoor kiezen wij den kilogrammeter (K. G. M.): den arbeid verricht door een kilogram, als haar aangrijpingspunt een meter in haar richting en zin verplaatst wordt.
In het C. G. S.-stelsel neemt men voor arbeids-eenheid de erg: de arbeid verricht door een dyne bij een verplaatsing van 't aangrijpings punt in den zin van de kracht over een afstand van / cM. Dus
i K.G. M. — 981000 X 100 erg = 9,81 X 101 erg.
In de physica gebruikt men menigmaal als arbeidseenheid
1 Joule = /o' erg = K G. M.
Voor de beoordeeling van het effect eener machine is 't niet voldoende te weten de hoeveelheid arbeid, die verricht is; de tijd waarin die arbeid verricht is moet daarbij in rekening gebracht worden.
In de nijverheid gebruikt men :
de faardekracht = 75 K. G. M. per sec.
In de physica en de electrische nijverheid neemt men :
de Watt = / Joule per sec.
de Kilowatt = 1000 Walt.
dus 1 paardekracht = ^ ^ ^ Kilowatt = r 1000
— 0,736 Kilowatt.
Stelling. De arbeid van een kracht is gelijk aan den arbeid door de ontbondenen van de kracht te zamen verricht.



Gevolg Is dus m de massa van een punt met de coordinaten x, y, z ten tijde t, en werkt er op dat punt een kracht, die op dat oogenblik de waarde K heeft met de ontbondenen volgens de coordinaatassen X, Y, Z, en verplaatst zich het aangrijpingspunt over een weg ds (dx, dj>, dz), dan is de arbeid van de kracht gelijk K ds cos (X, ds) en die van de ontbondenen X dx, Y dy, Z dz, dus volgens de stelling is
K d s cos (X, d s) = X d x -+- Y dy -\- Z d z.
Elk der uitdrukkingen stelt den elementairen arbeid van de kracht voor, verricht in het elementaire tijddeel (differentiaal tijd) dt, volgende op het beschouwde oogenblik.
De arbeid verricht van den tijd t0 (*0 ya z0) tot / (x, y, z) is zoowel door
t
J(X dx+ Y dy -f Z dz) (i)
4»
t
als door J Xds cos (X, ds) voor te stellen.
tu
Voorbeeld. Een punt met de massa m wordt voortdurend aangetrokken door een vast punt met een kracht evenredig met de massa van 't punt en met een functie van den afstand tot dat vaste punt.
Is op zeker oogenblik de afstand van 't punt r en de kracht m f {r), dan is de elementaire arbeid in den volgenden differentiaaltijd dt verricht gelijk — m /i' f (r) dr.
Is r0 de afstand ten tijde U en r die ten tijde t, dan is de verrichte arbeid gedurende het tijdsverloop t0 tot t:
r
J — m/t' f (r) dr-
ru
Krachtfunctie.
De integraal U= J — m^f{r)dr heeft de eigenschap, dat
de partieele afgeleide naar een der coordinaten van het punt, b. v. x, gelijk is aan de kracht, die op het punt werkt in de overeenkomstige asrichting. Want, daar r = 1/ x2 + y2 is :



>0_>a f-
dxdrdxorr r
= de ontbondene van de kracht in de richting van de as O X. U is een functie van r, dus van de coordinaten van 't punt.
Een functie van de coordinaten van een punt, die de eigenschap heeft, dat de partieele afgeleide naar een der coordinaten de kracht geeft, die op het punt in de overeenkomstige asrichting werkt, heet krachtfunctie. (!)
HOOFDSTUK VIII.
Statica.
Twee krachten, die op 't zelfde punt werken, zijn alleen dan met elkaar in evenwicht, als ze even groot zijn en in tegengestelden zin werken.
Wij nemen aan, dat evenzoo twee krachten op een vast lichaam werkende, alleen dan met elkaar in evenwicht zijn, als zij volgens dezelfde lijn in tegengestelden zin werken en even groot zijn.
Daaruit volgt, dat de werking van een kracht op een vast lichaam niet verandert als het aangrijpingspunt in de richting van de kracht wordt verplaatst, of, meetkundig uitgedrukt, een krachtveclor mag in zijn eigen richting verplaatst worden.
Herleiding van een stelsel krachten, dat op een vast lichaam werkt.
Door het kiezen van een willekeurig punt van t lichaam (reductiepunt) en daarin aan te brengen twee krachten, die elkaar opheffen en van dezelfde grootte en richting zijn als één van de krachten van het stelsel, wordt verkregen:
i°. een kracht aangrijpende in het gekozen punt, gelijk en evenwijdig aan en in denzelfden zin van die eene kracht van 't stelsel;
2°. een krachtenkoppel, of eenvoudig een koppel.
Wordt evenzoo gehandeld met elk der overige krachten van
het stelsel, dan is de uitkomst:
i». alle krachten van 't stelsel evenwijdig aan zich zeiven naar 't reductiepunt overgebracht;



2". evenveel koppels als er krachten in 't stelsel zijn Volgens den veelhoek van krachten hebben de krachten onder I . een kracht R tot resultante, en volgens de navolgende stellingen omtrent de koppels hebben de koppels onder 2» een koppel K tot resultante, zoodat elk stelsel krachten te herleiden ts tot een kracht en één koppel, en wel op een onbepaald aantal manieren, omdat men vrij is in de keuze van het reductiepunt. Eigenschappen van een koppel.
De werking van een koppel op een vast lichaam verandert niet: 1 als net willekeurig in zijn vlak
2; a,f hf [n ee" vlak evenwijdig aan het zijne verplaatst wordt, 3 . als de krachten en de hefboomsarm (onderlinge afstand der krachtvectoren) veranderd worden, doch zóó, dal het nament van 7 koppel (kracht maal hefboomsarm) niet gewijzigd wordt.
Deze drie eigenschappen laten zich in één stelling samenvatten door invoering van
de as van V koppel : een lijn loodrecht op 't vlak van 't koppel, die voorstelt'vi I "" ~ ^ PW den zin van t koppel
Stelling. Een koppel is door zijn as volkomen bepaald.
Terwijl dus een krachtvector slechts in zijn eigen richting mag
2 ^^ ' " h ^ Werking Van de kraCht °P 'tvaste dezelfde blijven mag de as van een koppel evenwijdig aan zich zelve
verpatst worden, zonder dat de werking van 't koppel daardoor gewijzigd zal worden.
Hieruit volgt nog de
.. : De resultante van een koppel en een kracht evenwijdig aan
sniidt de"k "1 "" kraCht evenwVdt8 en S'Hjk aan de kracht;
snijdt de krachtvector het vlak van 't koppel dan is de resultante een stelsel van twee kruisende krachten.
Omtrent de resultante van twee koppels geldt de volgende stelling bekend onder den naam van het lcu,,,ë.
Parallelogram van koppels.
nLT' T, f "»,PUnt de aSSen Van k°P^ * de diago-
hetzelfde i!u t t » *7"' °P ** °h **** 6<"*™n, en uit
hetzelfde punt getrokken, de as van het resulteerend koppel.
krKChtJ aan^ende in het punt ^ en zijn
, ontbondenen van t' volgens de coordinaatassen, die
onderling rechthoekig ondersteld worden, dan verkrijgt men als tot den oorsprong als reductiepunt herleid wordt:



Volgens 0 X: de krachtvector X, de koppelas Zy — Y z OY: » Y, » Xz-Zx
» OZ: » Z, » Y x — Xy.
Moment van een kracht ten opzichte van een rechte lijn.
Bepaling. Het moment Zy— Yz van het koppel, welks as volgens 0 X valt, heet het moment van de kracht P ten opzichte van de as 0 X. Evenzoo heet Xz — Zx het moment van P ten opzichte van de as 0 F, en Yx — Xy dat ten opzichte van 0 Z.
Hieruit kan afgeleid worden, dat het moment van een kracht ten opzichte van een lijn gelijk is aan het produkt van twee factoren : 1°. de afstand, waarop de krachtvector de lijn kruist;
2°. de projectie van den krachtvector op een vlak loodrecht op de lijn.
Hieruit volgt: i". dat het moment eener kracht ten opzichte van een rechte lijn niet verandert, als de krachtvector in zijn richting verplaatst wordt; 2°. dat het alleen dan gelijk nul is, als de krachtvector met de lijn in één vlak ligt
Wordt elk der krachten van 't stelsel evenals P tot den oorsprong als reductiepunt herleid, dan kan de uitkomst onder den volgenden vorm worden voorgesteld :
Volgens 0 X: de krachtvector s X, de koppelas z(Z y — Yz), stel = L, OY: » si', » t.\Xz- Zx),»
0Z-. » xZ, » z(Yx—Xy),> = N.
Het krachtenstelsel is dus herleid tot de kracht R (s X, s Y, £ Z)
in den oorsprong, en het koppel
K (L, M, N).
Standvastige grootheden bij de herleiding van een stelsel krachten, dat op een vast lichaam werkt.
Wordt het punt (.ro, y„ z0) tot reductiepunt gekozen, dan is de uitkomst: een kracht R (£ X, £ F, £ Z) in dat punt en een koppel Ka (4,, Mu, Nu), waarin
4



La = Z (Z(y - yu) — Y (2 _ z0)ï — L _ {yt z z — zu Z Y) A'u (i)
=iv-(liïr->lix)
Bijgevolg : De resulteerende kracht R is standvastig voor elk reductiepunt; en is R = o, dan is het stelsel krachten aequivalent met een koppel met stanavastige as, waar ook het reductiepunt wordt gekozen.
Het geval R = o nu verder uitsluitende, vindt men uit (i)
LaZX + M„Z Y -f A'„S Z = Lz X MzY -)- Nz Z —
= standvastig; (2)
dus ook :
(is A' -f Hz Y -f A'S 2): R — standvastig — Km, (3)
d. w. z.: De projectie van de koppelas K op den resulteerenden krachtvector R is voor elk reductiepunt even groot.
Dus ook : de voorwaarde, dat het stelsel krachten aequivalent is met één kracht, is Lz X -f Mz Y + Nz Z = o.
Dit bijzonder geval nu verder uitsluitende, merken wij op, dat het reductiepunt zóó is te kiezen, dat de krachtvector R en de koppelas K samenvallen. Daartoe is noodig, dat
Lu __ Mn _
zX ZY ZZ
dus ook
_ L,ZX+ Muz Y+N.ZZ _ LzX+Mz Y+Nz Z R* " R * -
of voor L„, Nu de waarden in (i) zettende:
yuZ Z - zuZ Y = L - KmzX: R +z„Z X = M- KmZ Y: R xa Z Y — y„Z X = N - KmZZ. R.
Deze drie vergelijkingen zijn onderling afhankelijk, omdat de som van Z X maal de eerste, Z Y maal de tweede, Z Z maal de derde voert tot de identiteit <7 = 0. Ze zijn te herleiden tot het volgende tweetal :
I 2 Y z z IZZ zx \z XzY \
\M N R y°-\lV L ■ R «•" L M ■ R'
zY _ zz ' <4>
De reductiepunten, voor welke de resulteererde krachtvector R en de koppelas K samenvallen, liggen op de rechte lijn, voorgestelt



door (4). Zij loopt (natuurlijk) evenwijdig met R en gaat door het punt met de coordinaten
XX xy X Z
L M N
Bepating. Deze rechte, voorgesteld door (4,50), heet de centraal-as van het krachtenstelsel.
Uit (2,50) volgt:
KR cos {KR) = standvastig, (1)
wat meetkundig beteekent: het paral Iele pipedum, welks grondvlak een oppervlak heeft gelijk aan 't moment van 't resulteerend koppel K en ■welks opstaande ribbe gelijk is aan den resulteerenden krachtvector R. heeft voor elk reductiepunt denzelfden inhoud. (2)
Wordt R met een der krachten van 't koppel K saamgesteld tot één kracht, die dus de andere kracht van 't koppel zal kruisen, dan is het stelsel krachten herleid tot twee kruisende krachten.
Uit (2) volgt nu, dat het viervlak met de krachtvectoren der beide kruisende krachten tot overstaande ribben voor elk reductiepunt denzelfden inhoud heeft.
Herleiding van een stelsel evenwijdige krachten.
Wij nemen het meest algemeene geval, dat het stelsel bestaat uit twee groepen van tegengestelden zin; elke kracht van de eene groep maakt de hoeken «, (3, y, terwijl elke kracht van de andere groep de hoeken *■-)-«. * -)- (3, x + y met de coordinaatassen maakt, of, zooals we het liever zullen opvatten, elke kracht P maakt met de coordinaatassen de hoeken « (3, y. terwijl we de krachten van de eene groep het positieve, die van de andere groep het negatieve teeken geven.
Wordt zulk een stelsel herleid tot den oorsprong als reductiepunt, dan vindt men :
x X — cos x x P L = cos y x Pij — cos p x Pz x Y — cos p x P M — cos a. x P z — cos y x Px X Z = cos y X P N — cos |3 x Px — cos « X Py.
Hieruit volgt:
L cos u. M cos (3 -\- N cos y = 0 (3)
m. a. w. de as van 't resulteerend koppel staat loodrecht op de richting der krachten, hoe ook het stelsel gedraaid wordt; hierbij



draait iedere kracht zóó om haar aangrijpingspunt, dat het stelsel een evenwijdig stelsel blijft.
Deze uitkomst is ook meetkundig gemakkelijk in te zien. Wordt het punt (*0, j>0, z„) tot reductiepunt gekozen, dan is de uitkomst:
£ X = cos «■ £ P /,„ = L — (>„ cos y — zu cos P) £ P £ Y — cos (3 £ P Mu = M — («„ «v a — xu cos y) £ P (i) T. Z =■ cos y t P Nu = N — (xn cos P — y„ cos «) £ P.
Is £ P— o, dan is L0 = L, M0— M, N0 = N of in woorden :
Is de resulterende kracht gelijk nul, dan is het stelsel aequivalent met een koppel van standvastig moment voor elk reductiepunt
Dit moment is gelijk
]/T' +M> +N> =
J/ (£ Pj-)' -(- (£ Py)* -)- (£ Pt)' — (cos « £ Px -)- cos (3 £ Py -|- cos y £ l'z)1. Voor
£ƒ>* = zPy = *Pz = o (2)
is dit moment voor alle standen van het stelsel gelijk nul.
(2) is dus met £ P — o de voorwaarde, dat het stelsel in iederen stand in evenwicht is.
Dit geval uitsluitende, zal voor
cos « £ Px cos P £ Py -J- cos y £ Pi — o (3)
het moment van 't resulteerende koppel de maxitmim-waarde
Km = V (£ Px)' + (Z Py)' + (s PzY
hebben. (3) duidt aan, dat de richting van 't stelsel krachten dan loodrecht staat op de as van dit koppel met maximum-moment.
2 Px S Pu E Pi Voor = = is het moment gelijk nul. Alsdan
cos « cos p cos y
loopt het stelsel evenwijdig met de as van het koppel met maximum moment
Is 2 P 0, dan kan het reductiepunt (jr0, j/t, z0) zóó gekozen worden, dat het moment van 't resulteerend koppel gelijk nul is, dus L0 = o, M0 — 0, Na = 0. In dit geval geeft (l)



y„ cos y — za cos (2 = L \ Z P za cos « — föj y = M\ Z P x0 cos p — ya cos o. ■= N: Z P
Volgens (351) zijn deze vergelijkingen onderling afhankelijk. Zij kunnen vervangen worden door het volgende tweetal :
X.-ZPX* P y,-ZPy:Z P = z0 - -Z P: : ZP (|) cos « cos (3 cos y
Voor elk punt van de rechte lijn door (I) voorgesteld, als reductiepunt, geeft de herleiding van 't stelsel één kracht z P.
De lijn loopt (natuurlijk) evenwijdig aan het stelsel; ze gaat door het punt met de coordinaten
_ ZPx _ ZPy _ZPz
Xo " 2 p * >0 p » zo EP'
De coordinaten van dit punt zijn onafhankelijk van de hoeken «, /3. y Daaruit volgt de
Stelling. Is £ P 0, dan is het stelsel evenwijdige krachten aequivalent met één kracht z P, en deze kracht gaat door het punt (2), hoe ook het stelsel om de aangrijpingspunten gedraaid wordt.
Bepalingen.
1. Het punt (2) heet het middelplint van het stelsel evenwijdige krachten.
2. Het produkt Px van een kracht met den afstand van haar aangrijpingspunt tot een vlak heet het momeut van de kracht ten opzichte van dat vlak.
De. vergelijkingen (2) kunnen dus als volgt gelezen worden :
De som der momenten van de krachten van een evenwijdig krachtenstelsel ten opzichte van een willekeurig vlak is gelijk aan het moment van de resultante van 't stelsel ten opzichte van dat vlak ; waarbij ondersteld wordt, dat het middelpunt van 't stelsel als aangrijpingspunt van de resultante gedacht wordt.
Sommen we de gevonden uitkomsten op:
1°. Is zP=o, z Px = 0, zFy = o, z Pz = 0,
dan is het stelsel in alle standen in evenwicht



2°. Is ïf = « maar niet elk der momenten z Px, z Py, z Pz, dan is het stelsel aequivalent met een koppel. Dit koppel heeft J/ (z Px)*-\-(z Py)2-\-(z Pzi2 tot maximum moment, de krachten moeten daartoe evenwijdig aan 't vlak van dit koppel gedraaid worden. Wordt het stelsel gedraaid zóó, dat het evenwijdig wordt aan de as van dit koppel met maximum moment, dan is het moment van 't resulteerend koppel gelijk nul, en is er evenwicht, doch voor dien stand alleen.
3°. Is P jé o, dan is het stelsel aequivalent met een kracht gelijk z P; die, hoe het stelsel ook gedraaid wordt, door het punt (2,53) gericht is.
Omgekeerd volgt hieruit:
i°. Is het stelsel in alle standen in evenwicht, dan moet z P = z Px = z Py — x Pz = 0.
2°. Herleid zich het stelsel tot een koppel, dan moet z P — 0 en minstens een der momenten z Px, z Py, s Pz ongelijk aan nul wezen.
3°. Is het stelsel aequivalent met een kracht, dan moet 0 wezen, z P is dan de kracht.
Het gewicht en het zwaartepunt van een lichaam.
Ieder massadeeltje m van een lichaam wordt met een kracht mg in de richting van de verticaal van dat deeltje getrokken. Wordt de verandering zoowel van de richting der verticaal als van de waarde van g bij den overgang van 't eene massadeeltje tot een ander buiten beschouwing gelaten met het oog op geringe afmetingen van het lichaam in vergelijking met die der aarde, dan hebben we in het stelsel krachten, dat de zwaartekracht op de verschillende massadeeltjes van een lichaam uitoefent, een stelsel evenwijdige krachten van denzelfden zin Het heeft altijd een resultante, die door eenzelfde punt gericht is, hoe ook het lichaam beweegt.
Bepalingen.
1. De resultante van de krachten, die de zwaartekracht op een lichaam uitoefent, heet het gewicht van V lichaam.



2. Het middelpunt van dit stelsel heet het zwaartepunt van t lichaam. De coordidaten er van zijn
Zm x S m y S . .
*o — ~jf- , -Vo — M - 3o — M
als M = s;«. = de geheele massa van 't lichaam.
Deze vergelijkingen (I) kunnen als volgt in woorden gebracht worden:
Het moment van de geheele massa van 't lichaam ten opzichte van een plat vlak is gelijk aan de som der momenten van de verschillende massadeeltjes van V lichaam. (2)
Evenwicht van een stelsel krachten, dat op een vast en in zijn beweging geheel vrij lichaam werkt.
Aangezien de resultante van een koppel en een kracht, die 't vlak van 't koppel snijdt, bestaat uit twee kruisende krachten, terwijl, als de kracht evenwijdig met het vlak van 't koppel is, die resultante één kracht is, zoo kan een stelsel krachten op een vrij lichaam werkende alleen dan in evenwicht zijn, als bij herleiding van 't stelsel ten opzichte van een willekeurig reductiepunt zoowel de resulteerende kracht als het resulteerend koppel ieder voor zich nul is.
Dit geeft de zes evenwichtsvergelijkingen :
e X = o \ s (Zjy — Yz) o \
s Y = o (/l). £ (Xz— Zx)= o ' (B). sZ = o \ s (Yx — o)
Het drietal (A) drukt uit dat de krachten geen verschuiving, het drietal (B), dat ze geen wenteling aan 't lichaam geven
Daarom wordt het drietal (A) gezegd de voorwaarde van het evenwicht voor verschuiving, het drietal (B) de voorwaarde van het evenwicht voor wenteling uit te drukken.
Opmerking. Een stelsel krachten, dat op een vast lichaam in evenwicht is, zal dus in geen enkel opzicht in den bewegingstoestand van 't lichaam eenige wijziging kunnen brengen Is 't lichaam in rust, dan blijft het in rust; is het in beweging dan zal op 't oogenblik dat het stelsel gaat werken, de beweging ongestoord voortgaan.



Hier wordt van de werking op een lichaam in beweging op zeker oogenblik gesproken, omdat in 't algemeen het stelsel op 't volgende oogenblik niet meer op dat lichaam in evenwicht zal wezen, onderstellende, dat elk der krachten van t stelsel in grootte en richting dezelfde blijft Immers in (B) zullen de coordinaten van 't aangrijpingspunt van elke kracht veranderen, zoodat in 't algemeen aan dat drietal 't volgend oogenblik niet voldaan zal zijn.
Wèl zal dit 't geval zijn als het lichaam een verschuiving heeft, wat gemakkelijk is in te zien met 't oog op 't drietal iA).
Het kan 't geval wezen bij een wenteling. Is di (d p, dq, dr) de hoek van wenteling om een as, die we altijd door den oorsprong van het coordinaatstelsel gebracht kunnen denken, dan zijn de coordinaten x, y, z van een aangrijpingpunt geworden :
. do dr I , dr dp\ . dp da
x + > y + ) >
y 2 I 2 * I ; x y j
zoodat het eerste lid van de eerste vergelijking van (B) b. v. overgaat in
— dp Z (Yy + Zz) -)- dq Z Kr + dr Z Zx
welke de uitdrukking is voor het moment der beweegkrachten ten opzichte van de as O X na de wenteling. Zal er dan eve.iwicht zijn, dan moet dit moment gelijk nul wezen. Berekent men de waarde der eerste leden van de beide andere vergelijkingen (B), dan wordt de voorwaarde voor het evenwicht na de wenteling uitgedrukt door :
— d p £ (Yy -f- Zz) -f d q Z Yx -f - d r 2 Zx = o
— d q E {Zz -)- Xx) -\-drT.Zy-\-dp'ZXy=o (i)
— dr S Yy) +dp Z Xz -f dq S Yz =o.
Zal er werkelijk zoo'n as van wenteling bestaan, dan moet aan (i) voldaan kunnen worden door waarden van dp, dq, dr, die niet allen nul zijn. De voorwaarde daartoe is
I — (B + C) F E
F - (C + A) D = o (2)
E D (A + B)
waarin A = S Xx, B—Z Yy, C —Z Zz.
D — zYz = zZy, E = Z Zx = Z Xz , F=ZXy = ZYx.
Bepaling. Zulk een as van wenteling heet evenwichtsas.
De vergelijkingen er van wordt gegeven door twee der vergelijkingen (i), wanneer daarin dp, dq, dr als Ioopende coordinaten worden beschouwd, en dus (i) drie vlakken voorstellen.



Zijn alle eerste minoren van (2) gelijk nul, dan vallen alle drie vlakken samen en zijn alle assen in en evenwijdig aan dat gemeenschappelijk vlak evenwichtsassen.
Zijn alle tweede minoren, dus alle elementen van (2) gelijk nul, dan is elke as evenwichtsas, en het stelsel krachten bij elke beweging van 't lichaam in evenwicht. Dit is het geval bij een stelsel evenwijdige krachten, dat in evenwicht is
Krijgt het lichaam een wenteling om een as, die niet evenwichtsas is, dan herleid zich het stelsel krachten tot een koppel, omdat aan het drietal vergelijkingen (/4) ook na de wenteling voldaan wordt
Het evenwicht van een stelsel krachten is derhalve een eigenschap van dat stelsel en geheel onafhankelijk van den bewegingstoestand van het lichaam waarop het werkt.
Het beginsel van virtueele verplaatsingen drukt het evenwicht van een stelsel krachten uit op een wijze, waaruit die onathankelijkheid blijkt.
Bepaling. Onder een virtueele verplaatsing van een lichaam van uit een stand wordt verstaan elke mogelijke verplaatsing, waardoor het lichaam dien stand kan verlaten, en tevens wordt ondersteld, dat de krachten, die op het lichaam werken, bij die verplaatsing niet in richting en in grootte veranderen.
Denken we ons nu aan een vrij lichaam in een bepaalden stand, onverschillig of het in dien stand in rust dan wel in beweging is, de verschuiving Ss (J x, $j>, 5 z) en de wenteling S S (3 p, S q, Sr) gegeven, de laatste om een as, die we altijd door den oorsprong van het assenstelsel kunnen gebracht denken (we schrijven S in plaats van d om daarmede aan te duiden, dat we met de verplaatsingen niet bedoelen die, welke de punten van 't lichaam, als dit in beweging is, werkelijk in het volgende tijddeel uitvoeren, hoewel deze niet uitgesloten zijn).
Dan zullen de coordinaten x, jr, z van het aangrijpingspunt eener kracht P (x, j>, z) van het stelsel geworden zijn
!ï 1 i °9 *r . . 1Sr 5 p j s , $ p $q\
# + «#+; , y + *y-\- , z + Sz-\- r * 1,
\ y z ' z x | ' x y \'
De arbeid, door P bij deze verplaatsing verricht en die de virtueele arbeid genoemd wordt, is bijgevolg
V, J+y + ipx J + Z\èz +\P ?j];



en de virtueele arbeid, door alle beweegkrachten samen verricht :
Sx Z X-\-3y z Y+Sz Z Z + 3 p Z(Zy — Y z) + S q Z (Xz - Z x) + + Sr Z (Yx - Xy). (i)
Uit deze uitdrukking volgt
Het beginsel van virtueele verplaatsingen voor een stelsel krachten, dat op een vrij lichaam werkt
Is het stelsel krachten, dat op een vrij lichaam werkt, in evenwicht, dan is de virtueele arbeid bij een willekeurige virtueele verplaatsing gelijk nul; en omgekeerd: is de virtueele arbeid bij elke virtueele verplaatsing verricht gelijk nul, dan is het stelsel krachten in evenwicht.
De analytische uitdrukking van het beginsel is
Z (X 3 x -t- I* Sy -(- Z 3 z) = o, (2)
waarin (3 x, S y, 3 z) een virtueele verplaatsing van het aangrijpingspunt (x, j>, z) van de kracht (X\ Y, Z) voorstelt.
De coordinaten en het aantal graden van vrijheid van een lichaam.
Bij de bepaling van de evenwichtsvergelijkingen voor een stelsel krachten op een vrij lichaam door toepassing van het beginsel van virtueele snelheden is het, zooals uit «ie afleiding van 't beginsel blijkt, voldoende als men zich daarbij bepaalt tot zes onderling onafhankelijke virtueele verplaatsingen.
Dit aantal stemt overeen met het aantal gegevens noodig ter bepaling van den stand van 't lichaam in de ruimte. Daartoe is het voldoende de plaats van drie niet op een rechte lijn gelegen punten te kennen. Hiervoor zijn de negen coordinaten van die punten noodig, tusschen welke echter drie betrekkingen bestaan, welke de afstanden tusschen de punten twee aan twee aangeven, en die bekend zijn.
Gewoonlijk bepaalt men den stand van een vrij lichaam op de volgende wij/e :
Men trekt uit een willekeurig punt O van 't lichaam als oorsprong een rechthoekig assenstelsel 0 X Y Z, en bepaalt den



stand van dit assenstelsel ten opzichte van een in de ruimte vast assenstelsel O X YZ.
Dit kan geschieden: door de coordinaten (x„y0 z0) van het punt O ten opzichte van 0 X YZ, en de drie Eulersche hoeken ; nl. de hoek 5 tusschen O Z en 0 Z, de hoek <J< tusschen de lijn Ó D, uit O evenwijdig getrokken aan de doorsnede van O X Y met O X Y, met O X en de hoek $ tusschen diezelfde lijn 0 D en O X.
Deze zes coordinaten zijn onderling onafhankelijk, omdat het mogelijk is één er van een verandering te geven zonder dat ook de overige veranderen. Die veranderingen bestaan in een translatie van 't lichaam, wat xa.y0, z0, in een rotatie, wat 0, <p, ^ betreft.
Deze zes coordinaten heeten de coordinaten van 't vrije lichaam-, daarmede gaan gepaard zes onderling onafhankelijke bewegingen van 't lichaam, die de zes graden van vrijheid van beweging van 't lichaam aangeven.
Zoodra het lichaam beperkt is in zijn beweging, zal het aantal coordinaten en evenzoo het aantal graden van vrijheid van beweging van dat lichaam minder dan zes bedragen.
Voorbeelden. Heeft het lichaam een vaste as, om welke het kan wentelen, dan heeft het slechts één coordinaat, n. 1 de hoek tusschen een vlak door de as, vast in de ruimte, en een vlak door de as, dat met het lichaam verbonden is. Het heeft dan ook slechts één graad van vrijheid van beweging.
Kan het lichaam daarenboven nog glijden langs die as, dan heeft het twee coordinaten. n. 1. behalve bovengenoemden hoek nog den afstand van een willekeurig punt van de as tot een vlak loodrecht op die as en dat met het lichaam meebeweegt. Het heeft nu twee graden van vrijheid.
Heeft het lichaam een vast punt, dan zijn de drie hoeken van Euler de drie coordinaten, en heeft het lichaam drie graden van vrijheid.
Heeft men te doen met een stelsel lichamen, d. w. z. met twee of meer lichamen, die op eenigerlei wijze met elkaar verbonden zijn, en kan men den stand van dat stelsel bepalen door onderling onafhankelijke grootheden, dan ook worden die grootheden de coordinaten van het stelsel genoemd, en hun aantal geeft dan tevens het aantal graden van vrijheid van 't stelsel aan.



Voorbeeld Het stelsel bestaat uit een lichaam, opgehangen aan een vaste as; een tweede lichaam aan een as, die vast is ten opzichte van 't eerste lichaam, een derde lichaam aan een as, die vast is ten opzichte van 't tweede lichaam enz.
Het aantal coordinaten en bijgevolg het aantal graden van vrijheid van dit stelsel is gelijk aan 't aantal lichamen, dat het stelsel vormt. Die coordinaten zijn : de hoek tusschen een vlak van 't eerste lichaam en een vast vlak in de ruimte, beiden door de eerste as; de hoek tusschen vlakken door de tweede as, 't eene vast met betrekking tot het eerste, het tweede vast met betrekking tot het tweede lichaam, enz.
Ten slotte zij nog opgemerkt, dat de coordinaten van een punt eens lichaams of van een stelsel lichamen, op een vast assenstelsel, uit te drukken zijn in functies van de coordinaten
J', 4,..; van het lichaam of het stelsel lichamen, en men dus in 't algemeen heeft:
* =/. y = /, (», <p, *,... ), «=ƒ„ (f)
De vorm van de evenwichtsvergelijkingen van een stelsel krachten op een vrij of niet vrij lichaam of een stelsel lichamen werkende, zooals die bepaald worden door de toepassing van het beginsel van virtueele verplaatsingen.
Is het aangrijpingspunt (x, y, z) van cën kracht (,Y, Y, Z) van 't stelsel bepaald door de vergelijkingen (I), dan moeten
x, iy, $ z) in de vergelijking (2,58) vervangen worden door:
Si+U + '♦+••■ = H + U '++&»♦+■••
zoodat (2,58) ten gevolge van de geheel willekeurige waarden 5 9, S tp: S ... uiteenvalt in de volgende :
/.,9a? , „3 v „ 3 z \
s V X 3J + Y -Jj- + Z jj) = 0 (2)
en andere, die uit deze verkregen worden door S te vervangen door 4*, door <f>. . .., wat in 't geheel evenveel vergelijkingen geeft als er graden van vrijheid zijn.



De beteekenis van (2) is de arbeid, door de beweegkrachten verricht, als alleen verandert, berekend voor de eenheid van verandering; (I) hieruit volgt:
Is 5 een afstand (lijn-coordinaat), dan stelt (2,60) de som der ontbondenen voor van de krachten in de richting van !;
is i een hoek (hoek-coordinaat), dan stelt (2,60) voor de som der momenten van de beweegkrachten ten opzichte van de as, om welke de hoek 1 beschreven wordt; (2)
zoodat men tot vergelijkingen van den vorm (A, B, 55) gekomen is.
Deze vergelijkingen zijn alleen dan van practisch belang, wanneer er bij de virtueele verplaatsingen geen krachten ontstaan, die arbeid verrichten, zooals wrijving, uitrekking van draden of koorden, waarmede punten van 't stelsel onderling of met vaste punten verbonden zijn, enz. Want om den arbeid van die krachten in rekening te kunnen brengen, zou men de grootte dier krachten moeten kennen.
Methode van vrijmaking.
Wil men voor 't geval er zoodanig krachten optreden de evenwichtsvoorwaarden opmaken voor een stelsel krachten, en zijn de belemmeringen voor een vrije beweging van 't lichaam of het stelsel lichamen van dien aard, dat ze door krachten kunnen vervangen worden, dan voere men die krachten in, waardoor het lichaam of elk lichaam van 't stelsel vrij gemaakt wordt.
De vergelijkingen (A, B, 55) kunnen dan op het lichaam of op elk lichaam van het stelsel toegepast worden. Zij bevatten nu behalve de ontbondenen van de gegeven krachten ook die van de ingevoerde krachten.
We kunnen ze herleiden tot twee groepen vergelijkingen, waarvan de eene alleen de gegeven krachten, terwijl de andere alleen de ingevoerde krachten bevatten.
De eerste groep levert de evenwichtsvoorwaarden op.
Kunnen de onbekende krachten uit de tweede groep opgelost dus bepaald worden, dan is het vraagstuk statisch bepaald; is dat niet het geval, dan heet het vraagstuk statisch onbepaald.
Voorbeelden.
1. Het lichaat" heeft een vast punt.



De virtueele arbeid wordt gegeven door (1,58) met weglating van de eerste drie termen, zoodat de vergelijkingen (B, J&£) de voorwaarden van evenwicht zijn. ^
De methode van vrijmaking geeft dezelfde voorwaarden, en stelt in staat den weerstand van 't vaste punt te bepalen Het vraagstuk is dus statisch bepaald.
2. Het lichaam heeft twee vaste punten, m. a. w. kan vrij om een vaste as 'wentelen.
De virtueele arbeid wordt gegeven door (i,58) met weglating van alle termen behalve den laatsten, ingeval de as tot Z-as wordt gekozen. De laatste van (B, 48') is dus de eenige voorwaarde van evenwicht.
De methode van vrijmaking geeft dezelfde evenwichtsvoorwaarde, doch het blijkt dat de weerstanden der twee punten niet volledig te bepalen zijn en dus het vraagstuk statisch onbepaald is.
Standvastig (stabiel), wankelbaar (labiel), onverschillig (indifferent) evenwicht van een lichaam.
We hebben gezien, dat het stelsel krachten, hetwelk op een vast lichaam in evenwicht is, een koppel vormt, als het lichaam om een as gewenteld wordt, die geen evenwichtsas is.
Is de zin van dat koppel van dien aard, dat het 't lichaam naar zijn evenwichtsstand tracht terug te voeren, dan heet het evenwicht standvastig, wanneer dat voor alle assen, dus alleen maar voor drie niet in één vlak gelegen assen, 't geval is.
Tracht evenwel dat koppel het lichaam van den evenwichtsstand, dien het verlaten heeft, te verwijderen, al is het slechts van een enkele wenteling, dan heet het evenwicht wankelbaar.
Is het lichaam in den nieuwen stand in evenwicht, welke wenteling men ook geve, m. a. w. zijn alle assen evenwichtsassen, dan is het evenwicht onverschillig.
Uit de vergelijking (2.58) blijkt, dat voor 't evenwicht in het algemeen noodig is, dat de uitdrukking
S (X .r + Yy + Zz),
en die den naam draagt van de viriaal van 't stelsel krachten, een maximum- of minimumwaarde moet hebben, als daarin de krachten (X, Y, Z) als standvastig beschouwd worden.
Men kan bewijzen, dat het evenwicht standvastig is bij een



maximumwaarde, wankelbaar hij een minimumwaarde, onverschillig bij een standvastige waarde van de vériaal.
Evenwicht van vaste lichamen, die verschillende vormen kunnen aannemen, van vloeistoffen en van gassen.
De evenwichtsvergelijkingen moeten hier uitdrukken, dat een willekeurig gekozen element of massadeeltje in evenwicht is onder de werking van alle krachten, aan welker werking het onderworpen is, als het vrijgemaakt is.
Evenwicht van een onrekbaar, volkomen buigzaam koord
De evenwichtsvergelijkingen zijn hier
d (rTi) + f Yds = 0 <0
* {?*£)+> Z** = :
Hierin stelt d s (dx, dj/, ds) een element van het koord voor, p de dichtheid van dat element, (X, V, Z) de versnelling van de kracht, die van buiten op dat element werkt, en T de versnelling van de spanning in dit element.
Door de differentiaties uit te voeren verkrijgt men
d T — — f (X d x -f- Y dy -f- Z dz). (2)
Is X d xY dj>Z d z — o, m a. w. staat de uitwendige kracht in elk punt loodrecht op de raaklijn in dit punt, dan is de spanning T in het geheele koord dezelfde.
Dit is b. v. het geval bij een koord, dat over een glad oppervlak gespannen is. Is de spanning zoo groot, dat het gewicht van het koord mag verwaarloosd worden, dan zal de spanning overal dezelfde wezen. De kromme door den draad gevormd is een geodetische van het oppervlak, nl. eene, waarvan het osculatievlak in ieder punt de normaal van het oppervlak in dit punt bevat.
Voorbeeld. Is de uitwendige kracht de zwaartekracht en het koord homogeen, (de massa van de lengte-eenheid gelijk p) en met de uiteinden in vaste punten bevestigd, dan neemt het koord den vorm



van een kettinglijn aan, die op behoorlijk gekozen coordinaatassen tot vergelijking heeft
/ x x \
y = V, a ( e» + e ' ^
waarin a = T0: p g, T0 = de spanning in het laagste punt; de spanning T in het punt (x,y) wordt gegeven door
T = T0 of — = Zk .
a y a
Hydrostatica (evenwicht van vloeistoffen en gassen).
Een massadeeltje staat onder de drukking van de omringende vloeistof. Ter bepaling van dien druk in een bepaald punt, denken we ons door dat punt een plat vlak gebracht en in dat plat vlak om dat punt een kring getrokken, die een zeer klein oppervlak o insluit. Is P de druk op dat oppervlak, dan zal de verhouding iJ: A n (gemiddelde druk in dat punt per eenheid van oppervlak berekend) tot een bepaalde limiet naderen als A o onbepaald tot nul nadert. Die limiet heet de druk in het gekozen punt en behoorende tot het aangebrachte vlak.
Omtrent dien druk wordt aangenomen:
i°. dat hij loodrecht op het vlak is gericht;
2°. dat hij dezelfde is hoe ook het vlak door het punt gericht is.
Daaruit volgt, dat de druk in een punt alleen van de plaats van dat punt afhangt, m. a. w.
P = ƒ (*> y, z) (D
de druk p in een punt is een functie van de coordinaten van dat punt.
Bijgevolg is
3 P j d P 3 P dp - dX + T~y dy + 97 dZ (2)
Voor de evenwichtsvergelijkingen van een massadeeltje in het punt (x, y, z) met de dichtheid />, en dat door de beweegkracht van buiten aangrijpend de versnelling (X\ Y, Z) ontvangt, vindt men



3- = '*
9 x
= - r m
o z
of ook, de volgende, welke alle drie omvat:
dp = p (A' dx + Y d y 4- Z dz). <2)
Niveauvlak. De meetkundige plaats van de punten, waarin dezelfde drukking heerscht, heet niveauvlak. De differentiaalvergelijking van een niveauvlak is dp — o, of volgens (2)
X dx + Y dy + Z d z = 0. (3)
Zij drukt uit, dat in ieder punt van een niveauvlak de uitwendige kracht loodrecht staat op het raakvlak in dit punt van het niveauvlak.
Is dus de zwaartekracht de eenige uitwendige kracht, dan zijn de niveauvlakken van een vloeistof in evenwicht horizontale vlakken, bijgevolg is ook het vrije oppervlak horizontaal.
Bestaat er voor het stelsel uitwendige krachten een krachtfunctie (1,4^) nl. een functie U van de coordinaten der verschillende punten, die de eigenschap heeft, dat de partieele afgeleide dier functie naar één dier coordinaten de kracht geeft, welke op dat punt werkt in de richting van de overeenkomstige coordinaatas, zooals b. v. s mgz is voor de zwaartekracht, als de Z-as volgens de verticaal naar beneden is genomen, dan gaat (3) over in
d U — 0
waarvan de integraal is
U = standvastig (4)
welke alle niveauvlakken voorstelt. Wordt de standvastige zóó bepaald, dat de coordinaten van een bepaald punt aan (4) voldoet, dan stelt ze het niveauvlak voor, dat door dat punt gaat.
Verder gaat (2) over in
dp = p dU



welke geïntegreerd geeft
"= ƒ v'
waarin p als functie van de drukking wordt beschouwd. Zij geeft de drukking in ieder punt op een integratieconstante na. Is de drukking in één punt gegeven, dan kan de integratieconstante bepaald worden, waardoor dan de drukking in ieder punt van de vloeistof bekend is.
Enkele toepassingen.
i. Werkt op een vloeistof alleen de zwaartekracht, en is de vloeistof in evenwicht, dan zijn i". de niveauvlakken horizontaal; 2° is de dichtheid in zoo'n niveauvlak dezelfde; 3". het verschil in druk bij twee niveauvlakken is gelijk aan het gewicht van de kolom vloeistof in de laag tusschen die vlakken, welke de eenheid tot doorsnede heeft.
De totale druk op een vlak deel van den wand van 't vat is gelijk aan het gewicht van de kolom vloeistof, die dat deel tot grondvlak en den afstand van zijn zwaartepunt tot het vrije niveauvlak tot hoogte heeft. Het perspunt (het middelpunt der evenwijdige drukkingen op de verschillende punten van dat wanddeel), wordt gegeven door
_ Zzxd* Zzydr £ z* d <r
Ax„ ' y' ~ Ay~'
(*i> y>' zi) het perspunt, d ? een differentiaaloppervlak om het punt (•"• y> z^t (J'o> Ja* zo> het zwaartepunt, A het oppervlak van het deel van den wand. Het X i-vlak is in 't vrije niveauvlak genomen en de as O Z verticaal naar beneden gericht De wet van Archimedes volgt uit de formules 0,65)
2. Is een vloeistof in een cylinder met verticale as, die eenparig om die as wentelt, in betrekkelijke rust, dan kan men dezen cylinder denken stil te staan, mits men de sleepversnelling met tegengesteld teeken in ieder punt invoert De uitdrukking (2,65) van dp wordt dan
^-dp — wt(xd* + y dy) — g d z
als de as O Z met de cylinderas samenvalt en naar boven is gericht, en de oorsprong in het middelpunt van den bodem ligt.
Na integratie vindt men :
i". de niveauvlakken zijn omwentelingsparaboloiden ; het vrije niveauvlak is bepaald door de omstandigheid, dat de top er van evenver



beneden het vrije niveau van den niet wentelenden cylinder ligt als de rand van aanraking met den cylinderwand er boven.
2°. Het verschil in druk bij twee niveauvlakken volgt denzelfden regel als in 3" van de voorgaande toepassing.
ü. De luchtdruk ter hoogte z boven het oppervlak der aarde.
Neemt men met het oog op de slechte warmtegeleiding der lucht aan, dat de toestandsverandering adiabatisch geschiedt, dan bestaat de volgende betrekking tusschen p (druk) en p (dichtheid) :
J_ = _A pk Pok
waarin k = verhouding van de specif. warmte bij standvastigen druk en die bij standvastig volumen.
De hydrostatische vergelijkingen ((,65) bepalen zich hier tot de laatste, nl
1 d p ( a V
7 rf* met* = (ï+V *
waarin
a = straal der aarde, pu en de dichtheid en drukking op de aarde, p en p dezelfde grootheden op een hoogte z boven de aarde.
De integraal van onze vergelijking, die in den vorm
Cr) * rfCf)= 1° a*s rf(«+»r1
X Po ' V Po 7 po
te schrijven is geeft
*-1
[ _ ( p yV = Ar— 1 fj, g a z ' ^ po ' k P„ a + z '
EINDE !e STUKJE







. - ; ■ ~ .v - ■■
' ■■ . ' k-'i-