VRAGEN EN OPGAVEN
BIJ DE MEETKUNDE
VOOR AANSTAANDE ONDERWIJZERS
DOOR
D. BOSWIJK EN W. WALSTRA.
TF. GRONINGEN BIJ J. B. WOLTF.RS, 1903.







VRAGEN EN OPGAVEN
BIJ DE MEETKUNDE
VOOR AANSTAANDE ONDERWIJZERS
DOOR
D. BOSWIJK EN W. WALSTRA.
TE GRONINGEN BIJ J. B. VVOLTERS, 1903.



T
STOOMDRUKKERIJ VAN J. B. WOLTERS.



EERSTE AFDEELING.
I. INLEIDING.
1. Noem lichamen, die door één vlak begrensd worden.
2. Ook een lichaam, dat door twee vlakken wordt begrensd.
3. Hoeveel platte vlakken zijn er minstens noodig, om een lichaam te begrenzen?
4. Noem lichamen, begrensd door platte vlakken.
5. Ook lichamen, begrensd door gebogen vlakken.
6. Hoeveel rechte lijnen kan men door één punt trekken?
7. Hoeveel door twee punten? door 3 punten?
8. Hoeveel kromme lijnen kan men door één punt trekken? Q. Hoeveel door twee punten?
10. Hoeveel rechte lijnen kan men trekken tusschen 3, 4, 5, n punten, waarvan geen drie in een rechte lijn liggen?
II. HOEKEN.
1. Herleid 20° 30' 12" tot seconden.
2. Herleid 20° 30' 12" tot graden.
3. Bereken het complement van een hoek van 60°.
4. Als het complement van een hoek 42° is, hoe groot is dan zijn supplement?
5. Van welken hoek is het supplement 4 maal zoo groot als zijn complement?
6. Hoe groot is een hoek, die 8 maal zoo klein is als de bijbehoorende inspringende hoek?
1*



7. Als men uit een punt 5 lijnen trekt in verschillende richtingen, hoeveel hoeken ontstaan er dan?
8. En hoe groot zijn die hoeken samen?
9. Hoe groot is een hoek, die 2 maal zoo groot is als zijn complement?
10. Hoe groot is een hoek, die 2 maal zoo groot is als zijn supplement?
11. Hoe groot is de hoek, gevormd door de lijnen, die een hoek en zijn nevenhoek halveeren?
12. Van de hoeken, ontstaan door snijding van twee lijnen, is één = 621/2° Hoe groot zijn de andere hoeken?
13. Hoe groot is het complement van een hoek van 125°?
14. Een hoek is 223 49' kleiner dan zijn complement. Hoe groot is die hoek?
15. Een hoek is 12° 15' 10" grooter dan zijn supplement. Hoe groot is die hoek?
16. Hoe groot is het supplement van een hoek van 250°?
17. Een hoek is 10 maal zoo groot als zijn negatief supplement. Hoe groot is die hoek?
18. Men verdeelt een hoek en zijn complement elk in 5 gelijke deelen. Hoe groot is de grootste hoek, gevormd door een der deellijnen van den hoek met een der deellijnen van zijn complement?
19. Men verdeelt een hoek en zijn supplement ieder in 9 gelijke deelen. Hoe groot is de kleinste hoek, gevormd door een der deellijnen van den hoek met een der deellijnen van zijn supplement?
20. Men verdeelt een hoek en zijn supplement ieder in 3 gelijke deelen. Hoe groot is de grootste (inspringende) hoek, gevormd door een der deellijnen van den hoek met een der deellijnen van zijn supplement?



III. EVENWIJDIGE LIJNEN.
1. Twee evenwijdige lijnen worden door een derde gesneden. Als een der hoeken 35° is, hoe groot zijn dan de andere?
2. Twee niet-evenwijdige lijnen worden door een derde gesneden. Als een der hoeken 35° is, welke van de andere kan men dan berekenen?
3. In hoeveel punten worden 5 evenwijdige lijnen door een andere gesneden?
4. Hoeveel hoeken ontstaan daarbij?
5. Hoeveel snijpunten vormen 10 lijnen op het meest?
6. Hoeveel snijpunten kunnen 20 lijnen, waarvan er 18 evenwijdig loopen, op het meest vormen?
7. Hoeveel snijpunten kunnen 20 lijnen op het meest vormen, als 10 van die lijnen evenwijdig loopen?
8. Als het grootste aantal snijpunten 10 bedraagt, hoeveel snijdende lijnen zijn er dan?
9. Twee evenwijdige lijnen worden door een derde gesneden. Twee binnenhoeken aan denzelfden kant der snijlijn verschillen 273 45'. Bepaal de grootte van al de hoeken.
10. Twee evenwijdige lijnen worden door een derde gesneden. Van twee buitenhoeken aan denzelfden kant der snijlijn is de een 3 niaal zoo groot als de andere. Bepaal de grootte van al de hoeken.
IV. DE DRIEHOEK.
1. Van een driehoek ABC is [_ A = 50° en het supplement van L B = 120°. Bereken L C op 2 manieren.
2. Van een driehoek ABC is het complement van L A = 50° en dat van L B 30°. Bereken dat van C op 2 manieren.
3. Van een driehoek is het supplement van L A = 130° en dat van L B = 120°. Bereken dat van C op 2 manieren.



4. Van een driehoek ABC is L A -f- L B — 120° en l_ B-|- /_ C = 130°. Bereken de hoeken.
5. Van een driehoek ABC is gegeven Z.A— B = 15° en L b _ [_ C = 30°. Bereken de hoeken.
6. Van een reehthoekigen driehoek is een der scherpe hoeken 40°. Bereken de hoeken, waarin de rechte hoek verdeeld wordt door de loodlijn, uit het hoekpunt van den rechten hoek op de hypotenusa neergelaten.
7. In welken driehoek is de som van twee der hoeken gelijk aan den derden hoek?
8. Van een reehthoekigen driehoek halveert men de scherpe hoeken. Hoe groot is de hoek, waaronder de deellijnen elkander snijden?
9. Van A ABC is Z. A = 50° en Z. B = 70°. Als deze hoeken gehalveerd worden, onder welken hoek snijden dan de deellijnen elkaar?
10. Als men van een driehoek twee hoeken halveert, kunnen de deellijnen nooit rechthoekig op elkander staan. Bewijs dat.
11. A en B worden door C gesneden. Twee verwisselende binnenhoeken verschillen 40°; hoe groot is de hoek, waaronder A en B elkander snijden?
12. Tusschen de beenen van een scherpen hoek ABC ligt een punt P, waardoor op de beenen van L ABC loodlijnen worden getrokken, die elkander snijden onder hoeken, die tot elkaar staan als 5 : 13. Hoe groot is hoek ABC?
13. Van een driehoek verhouden zich de hoeken als 3, 4 en 5. Hoe groot is elke hoek?
14. Van een gelijkbeenigen driehoek is de tophoek 15° kleiner dan een basishoek; hoe groot zijn de hoeken aan de basis?
15. Van driehoek ABC is hoek A 55' 13, hoek B 75° 25. Hoe groot is de hoek, waaronder de lijn, die het supplement van L C middendoor deelt, de overstaande zijde ontmoet ?



16. Twee der hoeken van een driehoek zijn 473 en 52®. Bereken den hoek, waaronder de hoogtelijnen op de overstaande zijden elkander ontmoeten.
V. CONGRUENTIE VAN DRIEHOEKEN.
1. Van een gelijkbeenigen driehoek is de tophoek tweemaal zoo groot als elke hoek aan de basis. Bereken de hoeken.
2. Van een gelijkbeenigen driehoek is elke hoek aan de basis tweemaal zoo groot als de tophoek. Bereken de hoeken.
3. Van een gelijkbeenigen driehoek is elke hoek aan de basis 30° kleiner dan de tophoek. Bereken de hoeken.
4. Bewijs dat twee gelijkbeenige driehoeken congruent zijn, als ze gelijk hebben:
a. de basis en een hoek aan de basis,
b. de basis en den tophoek,
c. een der beenen en den tophoek, of
d. de basis en een been.
5. Bewijs dat twee rechthoekige driehoeken congruent zijn, als ze gelijk hebben:
a. de hypotenusa en een der scherpe hoeken,
b. een rechthoekszijde en een der scherpe hoeken,
c. de twee rechthoekszijden, of
d. een rechthoekszijde en de hypotenusa.
6. Bewijs dat twee gelijkzijdige driehoeken congruent zijn, als de zijde van den eenen gelijk is aan die van den anderen.
7. Bewijs dat twee congruente gelijkzijdige driehoeken gelijke hoogte hebben.
8. Bewijs dat twee gelijkzijdige driehoeken congruent zijn, als ze gelijke hoogte hebben.
9. Als men, langs den omtrek van een gelijkzijdigen driehoek



gaande, de zijden met gelijke stukken verlengt en daarna de drie uiteinden dier stukken vereenigt, ontstaat er weer een gelijkzijdige driehoek. Bewijs dat.
10. Een hoek van een driehoek is recht, als de lijn, die zijn hoekpunt met het midden der overstaande zijde verbindt, gelijk is aan de helft van die zijde.
Is die lijn kleiner, dan is de hoek stomp, en is ze grooter, dan is de hoek scherp.
Bewijs dat.
11. De loodlijnen, uit de uiteinden der basis van een gelijkbeenigen driehoek op de overstaande zijden neergelaten, zijn gelijk. Bewijs dat.
12. Bewijs dat van een driehoek elke zijde grooter is dan het verschil der twee andere zijden.
VI. DE CIRKEL.
1. Wat is er aan te merken op de volgende bepaling:
„Een gesloten kromme lijn, waarvan alle punten even ver zijn verwijderd van één punt, heet cirkel of cirkelomtrek."
2. Bewijs dat de middellijn de grootste koorde is in den cirkel.
3. Bepaal de grootste en ook de kleinste lijn, die men uit een gegeven punt naar eenig punt van een cirkel kan trekken. (Onderscheid hierbij 2 gevallen: nl. het gegeven punt zij buiten den cirkel gelegen, en daarna binnen den omtrek.)
4. Er is gegeven een punt binnen den omtrek eens cirkels. Trek door dat punt de kleinste koorde.
5. Hoeveel raaklijnen kan men uit een punt buiten den cirkel aan dien cirkel trekken? Hoeveel snijlijnen?



6. In hoeveel punten kunnen 2, 3, 4 .... ff cirkels elkaar op 't meest snijden?
7. Construeer 3 concentrische cirkels, waarvan de stralen 7, 10 en 15 cM. zijn.
8. Trek eene lijn AB van 18 cM. Beschrijf cirkels uit een punt op 3 cM afstand van A met een straal van 3 cM en uit een punt op 6 cM afstand van B met een straal van 6 cM. Beschrijf ook nog een cirkel, waarvan AB de middellijn is.
VII. WERKSTUKKEN.
1. Construeer een driehoek, waarvan gegeven zijn:
a. twee zijden en den ingesloten hoek;
b. een zijde met de aanliggende hoeken;
c. twee zijden en een hoek tegenover één dier zijden;
d. een zijde, een aanliggende en de tegenoverstaande hoek.
2. Construeer een rechthoekigen driehoek, waarvan gegeven zijn:
a. de rechthoekszijden;
b. een rechthoekszijde en de hypotenusa;
c. een rechthoekszijde en een der scherpe hoeken;
d. de hypotenusa en een der scherpe hoeken.
3. Construeer een gelijkbeenigen driehoek, waarvan gegeven zijn:
a. de basis en de tophoek;
b. de basis en de hoogte;
c. de tophoek en een been;
d. een been en een hoek aan de basis.
4. Construeer een hoek van 60°, van 30°, van 120°, van 45'.
5. Construeer een gelijkzijdigen driehoek, waarvan de hoogte gegeven is.
6. Construeer een driehoek, waarvan gegeven zijn: de hoogte en de hoeken aan de basis.



7. Richt een loodlijn op uit het uiteinde eener lijn, zonder
deze te verlengen.
8. Verdeel een rechten hoek in drie gelijke deelen.
VIII. VEELHOEKEN.
1. Hoeveel diagonalen kan men trekken in een lu-hoek uit één hoekpunt? uit twee hoekpunten? uit alle hoekpunten samen ?
2. Hoeveel diagonalen kan men trekken in een «-hoek.J
3. Hoeveel zijden bevat een veelhoek, waarin uit één punt 10 diagonalen kunnen worden getrokken.-'
4. Hoe groot is de som der hoeken van een 10-hoek.J
5. Van welken veelhoek is de som der hoeken 14 rechte hoeken ?
6. Hoeveel inspringende hoeken kunnen er op t meest voorkomen in een 4-hoek? in een 5-hoek.J in een «-hoek.
7. Hoeveel diagonalen kan men trekken in een veelhoek, waarvan de som der hoeken 3240° is?
8. Hoeveel snijpunten vormen de verlengden van de zijden van een tienhoek, waarvan geen twee zijden evenwijdig zijn?
9. Hoe groot is elke hoek van den regelmatigen veelhoek, die zesmaal zooveel diagonalen als zijden heeft?
10. Hoe groot is de som van de buitenhoeken van een driehoek? En van een «-hoek?
11. De buitenhoeken van een zeshoek verhouden zich als de getallen 3, 4, 5, 6, 8 en 10. Hoe groot zijn de hoeken
van dien zeshoek?
12. Verleng van drie op elkaar volgende zijden van een regelmatigen «-hoek de eerste en de derde zijde. Onder welken hoek snijden zij elkaar?



13. Hoeveel lijnen kan men trekken tusschen 15 punten, waarvan er 5 in eene rechte lijn liggen ?
14. Hoeveel snijpunten vormen 20 rechte lijnen, waarvan er 8 evenwijdig zijn en 7 door één punt gaan?
15. Hoeveel diagonalen kan men trekken in een twintighoek uit 10 hoekpunten (telkens een hoekpunt overslaande); uit 10 op elkander volgende hoekpunten?
IX. VIERHOEKEN.
1. Construeer een parallelogram, waarvan een zijde en de diagonalen gegeven zijn.
2. Eveneens een parallelogram, waarvan twee aanliggende zijden en een diagonaal gegeven zijn.
3. Construeer een ruit, waarvan de diagonalen gegeven zijn.
4. Ook een ruit, waarvan de zijde en een diagonaal gegeven zijn.
5. Een vierkant te construeeren, waarvan de diagonaal gegeven is.
6. In een ruit is een der diagonalen even lang als de zijde. Hoe groot zijn de hoeken van die ruit?
7. Waarin komen een vierkant en een ruit met elkaar overeen; waarin verschillen ze?
8. Vergelijk ook met elkaar een rechthoek en een parallelogram.
9. Bewijs dat elke lijn, tusschen twee evenwijdige zijden van een parallelogram door 't snijpunt der diagonalen getrokken, door dat snijpunt wordt gehalveerd.
10. Bewijs, dat het verschil tusschen de evenwijdige zijden van een trapezium grooter is dan het verschil tusschen de beenen.
11. Construeer drie onregelmatige vierhoeken:



a. een onregelm. vierhoek met geen rechten hoek;
b. een onregelm. vierhoek met een rechten hoek;
c. een onregelm. vierhoek met twee rechte hoeken.
12. Construeer een vierhoek, waarvan geen zijden evenwijdig loopen, maar waarvan de zijden twee aan twee even lang zijn (symmetrische vierhoek).
X en XI. EVENREDIGE LIJNEN EN WERKSTUKKEN.
1. Bereken de verhouding van twee lijnen, waarvan de betrekkingswijzer J3, 2, 1, 4(is.
2. Verdeel een lijn in 2 deelen, waarvan het eene 11/2 maal het andere is.
3. Van een trapezium zijn de evenwijdige zijden 3 en 6 cM en de beenen 5 en 7 cM. Met welke stukken moeten deze verlengd worden, om elkaar te ontmoeten?
4. Van een driehoek ABC zijn de opstaande zijden 13 en 15 cM en is de basis AB 14 cM. Bereken de stukken waarin de opstaande zijden verdeeld worden door een lijn, welke tusschen die zijden en evenwijdig aan de basis wordt getrokken en 10 cM lang is.
5. Als men de middelpunten der zijden van een willekeurigen vierhoek verbindt, ontstaat er een parallelogram. Bewijs dat.
6. Van een trapezium zijn de evenwijdige zijden 6 en 7 cM. Bereken de lijn, die de middelpunten der beenen vereenigt.
7. Construeer twee lijnen, waarvan de som en de verhouding gegeven zijn.
8. Construeer twee lijnen, waarvan het verschil en de verhouding gegeven zijn.
9. Van een trapezium zijn de evenwijdige zijden 18 en 6 dM



en de beenen 6 en 12 dM. Hoe ver moeten de beenen verlengd worden om elkaar te ontmoeten?
10. Bereken de vierde evenredige tot a = 2, b = 3 en c = 4 dM; construeer ook die vierde evenredige.
Bereken de derde evenredige tot a — 5 en b = 6 dM; construeer ook die derde evenredige.
XII. GELIJKVORMIGHEID VAN DRIEHOEKEN.
1. Bewijs, dat in twee gelijkvormige driehoeken de loodlijnen evenredig zijn.
2. Van een driehoek ABC zijn de opstaande zijden 4 en
5 cM. Uit de uiteinden der basis zijn loodlijnen neergelaten op de opstaande zijden. Hoe verhouden zich die loodlijnen ?
3. Van een driehoek zijn de zijden 3, 4 en 5 cM, terwijl de omtrek van een daarmee gelijkvormigen driehoek 48 cM is. Bereken de zijden van dezen driehoek.
4. Van een driehoek zijn de zijden 3, 4 en 5 cM, terwijl van een daarmee gelijkvormigen driehoek eene der zijden
6 cM is. Hoe groot kunnen de andere zijden zijn?
5. Van een trapezium zijn de evenwijdige zijden 4 en 6 cM en de diagonalen 5 en 7*/> cM. Bereken de stukken, waarin deze elkaar verdeelen.
6. Van een rechthoekigen driehoek zijn de rechthoekszijden 6 en 8 cM. Bereken de deelen, waarin de hypotenusa wordt verdeeld door de loodlijn, uit het hoekpunt van den rechten hoek op haar neergelaten.
7. Van een gelijkbeenigen driehoek is de basis 8 cM en elke opstaande zijde 5 cM. Bereken de hoogte.
8. Van een gelijkzijdigen driehoek is de zijde 4 cM. Bereken de hoogte tot op een tiende nauwkeurig.



9. Van een rechthoekigen driehoek zijn de stukken, waarin de hypotenusa door de loodlijn wordt verdeeld, 4 en 9 cM. Bereken die loodlijn en de reehthoekszijden.
10. Van een ruit zijn de diagonalen 6 en 8 cM. Hoe lang is de zijde?
11. Van een rechthoekig trapezium zijn de evenwijdige zijden 6 en 9 cM en is de hoogte 4 cM. Bereken de schuine opstaande zijde en de diagonalen.
12. Van een rechthoekigen driehoek is een der scherpe hoeken 30° en de schuine zijde 8 cM. Bereken de rechthoekszijden.
13. Van een rechthoekigen driehoek is een der scherpe hoeken 60' en de zijde tegenover dien hoek 4 cM. Bereken de andere zijden.
14. Van een rechthoek is een der zijden 5 cM en de diagonaal 13 cM. Bereken de andere zijde.
15. Van een driehoek zijn twee zijden 15 en 20 dM; de hoogtelijn op de zijde van 15 dM is 20 dM. Bereken de beide andere hoogtelijnen.
16. Van een gelijkbeenigen driehoek is een been 25 dM en de basis 16 dM. Bereken de hoogte tot in mM nauwkeurig.
17. Van een ruit zijn de diagonalen 16 en 12 dM. Bereken de zijde. Bereken de hoogte nauwkeurig tot in mM.
18. Van driehoek ABC is AC 10 en BC 13 dM. De hoogtelijn op AB is 5 dM. Hoe lang is AB?
19. Van driehoek ABC, die in B stomp is, is de projectie van AB op BC 12, AB 13 en BC 20 dM. Bereken AC tot in mM. nauwkeurig.
20. In een parallelogram is de som van de kwadraten der diagonalen gelijk aan de som van de kwadraten der zijden. Bewijs dat.



XIII. OPPERVLAKKEN.
1. Een rechthoek, waarvan de zijden 4 en 9 cM zijn, en een vierkant hebben gelijke oppervlakken. Bereken de zijde van dat vierkant.
2. Een rechthoek, waarvan de zijden 4 en 9 cM zijn, en een vierkant hebben gelijke omtrekken. Hoeveel cM- verschillen hun oppervlakken?
3. Van twee vierkanten verhouden zich de diagonalen als 3 : 4. Hoe verhouden zich hun oppervlakken?
4. Bereken de zijde van een vierkant, welks oppervlak 19/16 cM2 is.
5. Hoe groot is een vierkant, welks diagonaal 5 cM is?
6. Een rechthoek is U/2 maal zoo lang als breed, 't Oppervlak is 131/2 cM2. Bereken de zijden.
7. Van een rechthoek, groot 192 cM^, verhouden de zijden zich als 3 : 4. Bereken de zijden.
8. Een rechthoekige tuin is 6 Are groot. De breedte is 24 M. Bereken de lengte.
9. Van een tafelblad, lang U/2 M en breed U/5 M, is de rand 8 cM breed. Bereken het oppervlak van den rand, op twee manieren.
10. Van een vierkant tafelblad is de rand 81 dM- groot en U/2 dM breed. Hoe groot is de zijde van dat blad?
11. Van een dergelijk blad is de rand 0,36 van 't heele blad, en 11/2 dM breed. Bereken de grootte van het blad.
12. Om een gang te bevloeren neemt men vierkante steenen van 36 dM'4 Nam men er van 16 dM-, dan zou men er 40 steenen meer noodig hebben. Bereken het oppervlak van die gang.
13. Een rechthoekige tuin is 72 Are groot. Was de lengte 1/4 minder en de breedte i/2 meer, dan zou die tuin juist een vierkant zijn. Bereken de lengte en de breedte.
14. Neemt men voor het beplakken van een wand behangsel



van 5 dM breedte, dan heeft men 24 M meer noodig, dan wanneer men papier gebruikt van 8 dM breedte. Bereken de grootte van dien wand (op 2 manieren).
15. Van een parallelogram is de lengte 5 dM en de hoogte 3 cM. Bereken het oppervlak.
16. Van een ruit zijn de diagonalen 3 en 4 cM. Bereken het oppervlak.
17. Van een rechthoekigen driehoek zijn de rechthoekszijden 6 en 8 cM. Hoe groot is die driehoek?
18. Van een rechthoekigen driehoek is het oppervlak 30 cM* en de hypotenusa 13 cM. Bereken de loodlijn uit het hoekpunt van den rechten hoek op de hypotenusa neergelaten, en de rechthoekszijden.
19. Van een rechthoekig trapezium zijn de evenwijdige zijden
6 en 9 cM en is de schuine opstaande zijde 5 cM. Bereken het oppervlak.
20. Van een gelijkbeenig trapezium zijn de evenwijdige zijden
7 en 11 cM, en elk been 5 cM. Bereken het oppervlak.
21. Hoe groot is een gelijkbeenige driehoek, waarvan de basis 10 cM en ieder been 13 cM is?
22. Bereken het oppervlak van een driehoek, welks zijden 14, 13 en 15 cM zijn.
23. Hoe groot is een gelijkzijdige driehoek, waarvan de zijde
8 cM is?
24. Van een gelijkzijdigen driehoek is de hoogte 8 cM. Bereken het oppervlak.
25. Van een vierhoek snijden de diagonalen, lang 12 en 14 cM, elkander rechthoekig. Bereken het oppervlak.
26. Van een trapezium zijn de evenwijdige zijden 3 en 6 cM en de beenen 5 en 7 cM. Bereken het oppervlak van den driehoek, die ontstaat, als men de beenen verlengt tot ze elkaar snijden.
27. Van een parallelogram zijn de diagonalen 13 en 14 cM lang en de basis is 7' >•> cM. Bereken het oppervlak.



28. Van een driehoek zijn de zijden 28, 26 en 30 cM. Bereken de loodlijnen, uit de hoekpunten op de overstaande zijden neergelaten.
29. Van een driehoek zijn de zijden 39, 12 en 45 cM. Bereken de loodlijnen, uit de hoekpunten neergelaten op de zijden of haar verlengden.
30. Twee zijden van een driehoek, die een hoek van 60° vormen, zijn 12 en 13 cM. Bereken het oppervlak.
XIV. HET METEN VAN HOEKEN.
1. Hoe groot is een middelpuntshoek van een cirkel, als de boog, waarop die hoek staat, s/16 is van den omtrek des cirkels?
2. Hoe groot is de hoek aan den omtrek, op dienzelfden boog staande?
3. In een cirkel snijden twee koorden AB en CD elkaar rechthoekig. Als boog AC = 30° en boog CB = 50° is, hoeveel graden bevatten dan boog AD en boog BD ?
4. Verdeel een cirkelboog in 4 gelijke deelen.
5- Bewijs dat de koorde, die een boog van 60° onderspant, gelijk is aan den straal van den cirkel.
6. In een cirkel is een vierhoek beschreven, m. a. w. de hoekpunten van dien vierhoek liggen in den cirkelomtrek. Bewijs, dat de overstaande hoeken van dien vierhoek eikaars supplement zijn.
7. In een cirkel is een vierhoek ABCD beschreven. Gegeven is boog AB = 80', boog BC = 50° en boog AD = 100c. Bereken de hoeken van den vierhoek, alsmede den hoek, waaronder de diagonalen elkander snijden.
8. Als twee koorden in een cirkel elkaar rechthoekig snijden, dan is de som der vierkanten op de deelen dier koorden
gelijk aan het vierkant op de middellijn. Bewijs dat
boswijk en walstra, Vragen en Opgaven. 2



9. De hoek, gevormd door twee raaklijnen, die men uit een punt buiten een cirkel aan dien cirkel heeft getrokken, is 60°. Hoeveel graden bevat elk der deelen, waarin de cirkel door de raakpunten wordt verdeeld?
10. Uit een punt van den omtrek eens cirkels heeft men twee koorden naar de uiteinden eener middellijn getrokken. Als die koorden 5 en 12 cM lang zijn, hoe groot is dan de straal van dien cirkel?
XV. EVENREDIGE LIJNEN IN DEN CIRKEL.
1. Uit een punt in den omtrek eens cirkels wordt op een middellijn een loodlijn neergelaten, waardóór die middellijn verdeeld wordt in stukken van 4 en 9 ciM. Bereken die loodlijn.
2. Bereken ook de koorden, uit de uiteinden der middellijn naar genoemd punt in den omtrek getrokken.
3. In een cirkel snijden twee koorden elkaar. De stukken der eene koorde zijn 12 en 15 cM. Van de tweede koorde is het eene stuk 10 cM; bereken het andere deel.
4. Uit een punt A buiten een cirkel worden twee snijlijnen getrokken; de eene snijdt den omtrek in B en C, de andere in D en E.
Bewijs dat AB X AC = AD X AE is.
(Trek in den cirkel de koorden BE en DC, dan ontstaan er twee gelijkvormige driehoeken ABE en ADC.)
5. Uit een punt A worden een snijlijn, die den omtrek in B en C snijdt, en een raaklijn AD getrokken. Bewijs dat AD- = AB X AC is.
6. In een cirkel, welks straal 5 cM is, heeft men een koorde getrokken, welker middelpunt 3 cM van het middelpunt des cirkels is verwijderd. Hoe lang is die koorde?



7. Alen trekt door een punt P binnen een cirkel twee snijlijnen AB en CD, die rechthoekig op elkaar staan. Nu is
+ PB2 -f- PD2 = het kwadraat van de middellijn. Bewijs dat.
8. Uit een punt P trekt men eene raaklijn PA en eene lijn, die P met het middelpunt M verbindt. De laatste lijn snijdt den cirkel in B. De raaklijn is 12, PB is 8 diVl. Hoe groot is de straal?
9. In een cirkel is een vierhoek beschreven, waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan. Een paar overstaande zijden van dien vierhoek zijn 8 en 15 diW. Hoe groot is de middellijn?
10. Aan de cirkels M en N is eene uitwendige gemeenschappelijke raaklijn getrokken. Hoe lang is die raaklijn, als MN 13, de straal van M 6 en die van N 1 dM is?
XVI. VORMVERANDERING VAN FIGUREN.
1. Verander een scherphoekigen driehoek in een rechthoekigen en in een stomphoekigen driehoek.
2. Verander een rechthoekigen driehoek in een scherphoekigen en in een stomphoekigen.
?. Verander een stomphoekigen driehoek in een rechthoekigen en in een scherphoekigen.
4. Verander een willekeurigen driehoek in een gelijkbeenigen.
5. Verander een driehoek in een rechthoek en dien rechthoek in een vierkant.
6. Verander een driehoek in een anderen, die een gegeven hoek heeft.
7. Verander een driehoek in een parallelogram, en omgekeerd een parallelogram in een driehoek.
8. Verander een trapezium in een rechthoek, en omgekeerd een rechthoek in een trapezium.



9. Verander een trapezium in een parallelogram, en omgekeerd een parallelogram in een trapezium.
10. Verander een vierkant in een rechthoek, waarvan een zijde gegeven is.
11. Verander een rechthoek in een anderen, waarvan een zijde gegeven is.
12. Construeer een vierkant, dat zoo groot is als de som van twee andere vierkanten.
13. Construeer een vierkant, dat zoo groot is als het verschil van twee andere vierkanten.
14. Construeer een vierkant, dat driemaal zoo groot is als een gegeven vierkant.
15. Construeer een vierkant, dat zoo groot is als het derde deel van een gegeven vierkant.
16. Construeer een vierkant, dat tweemaal zoo groot is als een gegeven vierkant.
17. Construeer een vierkant, dat half zoo groot is als een gegeven vierkant.
18. Verander een driehoek in een anderen, waarvan een der hoeken 60" is.
19. Verander een vijfhoek in een vierhoek, en omgekeerd een vierhoek in een vijfhoek.
20. Verander een vierkant in een gelijkzijdigen driehoek. (Zie § 105.)
21. Verander een driehoek in een vierhoek met een inspringenden hoek.
22. Verander een driehoek in een gelijkbeenig trapezium.
23. Verander een zeshoek in een vierkant.
24. Verander een parallelogram in een ruit.



XVII. VERDEELING VAN FIGUREN.
1. Verdeel een driehoek in 3 gelijke deelen.
2. Verdeel een driehoek in 3 deelen, die zich verhouden als 1:2:3.
3. Verdeel een driehoek in 3 gelijke deelen, door uit een punt in een der zijden lijnen te trekken.
4. Als men in een gelijkzijdigen driehoek de drie loodlijnen trekt, ontstaan er zes driehoeken. Welke deel is elke kleine driehoek van den geheelen driehoek?
En hoe verhouden zich de stukken, waarin elke loodlijn verdeeld wordt?
5. Verdeel een parallelogram in twee gelijke deelen, op verschillende manieren.
6. Verdeel een trapezium in twee gelijke deelen:
a. door eene lijn te trekken van een der evenwijdige zijden naar de andere;
b. door eene lijn te trekken uit een der hoekpunten.
7. Van een trapezium zijn de evenwijdige zijden 6 en 8 cM. Hoe verhouden zich de deelen, waarin dat trapezium verdeeld wordt door een lijn, die de middelpunten der beenen vereenigt?
8. Als men in dat trapezium uit het middelpunt van het eene been lijnen trekt naar de uiteinden van het andere been, ontstaan er drie driehoeken. Hoe verhouden zich hun oppervlakken?
9. Verdeel een willekeurigen vierhoek in twee gelijke deelen.
10. Van een parallelogram ABCD wordt de basis AB door de punten E en F in drie gelijke deelen verdeeld. Daarna worden de lijnen DF en CE getrokken, die elkaar in G snijden. Hoe verhouden zich de vier deelen, waarin het parallelogram is verdeeld?
11. In een driehoek trekt men uit de uiteinden der basis lijnen naar het midden der opstaande zijden, waardoor



de driehoek in vier deelen wordt verdeeld. Hoe verhouden zich die deelen ?
12. Verdeel een vierkant in vier gelijke deelen, door uit een der hoekpunten lijnen te trekken.
13. Verdeel een trapezium in twee gelijke deelen, door een lijn evenwijdig aan een der beenen te trekken.
14. Verdeel een parallelogram in drie gelijke deelen, door lijnen uit een der hoekpunten te trekken.
15. Verdeel een cirkel in drie gelijke deelen.
XVIII. VEELHOEKEN IN EN OM DEN CIRKEL
1. In en om een cirkel, welks middellijn 4 cM is, heeft men een vierkant beschreven. Bereken de oppervlakken van die vierkanten.
2. In en om een vierkant, welks zijde 4 cM is, heeft men een cirkel beschreven. Bereken de stralen van die cirkels.
3. In een cirkel, welks middellijn 4 cM is, heeft men een regelmatigen zeshoek beschreven. Hoe groot is die zeshoek ?
4. Bereken de zijde van een gelijkzijdigen driehoek, beschreven in een cirkel, welks straal 3 cM is.
5. In en om een cirkel heeft men een gelijkzijdigen driehoek beschreven. Hoe verhouden zich de zijden van die driehoeken ?
6. In en om een gelijkzijdigen driehoek heeft men cirkels beschreven. Hoe verhouden zich de stralen van die cirkels ?
7. Van een regelmatigen zeshoek is de zijde 2 cM. Bereken het oppervlak.
8. Een gelijkzijdige driehoek en een vierkant hebben gelijke oppervlakken. Hoe verhouden zich hun zijden?
9. In een zeshoek, welks zijde 3 cM is, trekt men uit een der hoekpunten de diagonalen, waardoor de zeshoek in 4



deelen wordt verdeeld. Bereken het oppervlak van die deelen.
10. Bereken het oppervlak van een regelmatigen achthoek, welks zijde 2 cM is.
11. Van een vierhoek, in een cirkel beschreven, zijn elk paar overstaande hoeken eikaars supplementen. Bewijs dat.
12. Van een vierhoek, om een cirkel beschreven, is de som van een paar overstaande zijden gelijk aan de som van het andere paar. Bewijs dat.
13. Een regelmatige zeshoek en een regelmatige achthoek hebben beide een omtrek van 1,2 dM. Bereken het verschil hunner oppervlakken.
14. Van een driehoek zijn de zijden 14, 15 en 13 cM. Bereken den straal van den ingeschreven cirkel.
15. Om een rechthoek, lang 8 cM, heeft men een cirkel beschreven. Als de straal van dien cirkel 5 cM. is, hoe groot is dan die rechthoek?
XIX. OPPERVLAK EN OMTREK VAN DEN CIRKEL.
1. Van een cirkel is de straal 1,4 cM. Bereken het oppervlak.
2. Van een cirkel is het oppervlak 308 cM-'. Bereken den straal.
3. Als de straal van een cirkel 3,5 cM is, hoe lang is dan een boog van 45°.
4. Hoeveel graden bevat een boog, die even lang is als de straal van den cirkel.
5. Van twee cirkels zijn de stralen a en b cM. Hoe verhouden zich hun oppervlakken?
6. Van twee cirkels verhouden zich de oppervlakken als 3,6 : 4,9. Hoe verhouden zich hun stralen?
7. Van twee concentrische cirkels zijn de stralen 7 en 14 cM.



Bereken het oppervlak van den ring tusschen de omtrekken van die cirkels.
8. Hoe groot is de straal van een cirkel, die even groot is als de som van twee andere cirkels, welker stralen 6 en 8 cM zijn?
9. Hoe groot is de straal van een cirkel, die even groot is als het verschil van twee andere cirkels, welker stralen 12 en 13 cM zijn?
10. In een cirkel is een vierkant beschreven. Hoe verhouden zich hun oppervlakken ?
11. In een cirkel is een gelijkzijdige driehoek beschreven. Hoe verhouden zich hun oppervlakken?
12. De middellijn van een cirkel is even groot als de zijde van een vierkant. Hoe verhouden zich hun oppervlakken ?
13. Een vierkant en een cirkel hebben elk een omtrek van 4,4 cM. Hoe verhouden zich hun oppervlakken?
14. Van een cirkel is de straal 3,5 cM. Bereken het oppervlak van een sector, welks boog 45° is.
15. Van een cirkel is de straal 3,5 cM. Bereken het oppervlak van een segment, waarvan de boog 60° is.



TWEEDE AFDEEL ING.
SNIJDING VAN VLAKKEN.
1. Hoeveel platte vlakken kan men brengen door drie punten, welke in één rechte lijn liggen?
2. Hoeveel vlakken kan men brengen door drie punten, welke niet in één rechte lijn liggen?
3. Hoeveel vlakken kan men brengen door vier punten, waarvan drie in één rechte lijn liggen?
LICHAMEN.
HET PRISMA.
1. Wanneer noemt men een prisma regelmatig?
2. Welk prisma wordt begrensd door 10 vlakken?
3. Hoeveel hoekpunten heeft een vijfzijdig prisma?
4. Hoeveel tweevlakkcnhoeken en vlakke hoeken zijn er aan een achtzijdig prisma?
5. Hereken het aantal vlakte-diagonalen van een tienzijdig prisma.
6. Hoe groot is het aantal lichaamsdiagonalen van een achtzijdig prisma?
7. Hoeveel ribben, tweevlakkenhoeken en vlakke hoeken zijn er aan een afgeknot achtzijdig prisma?
8. Teeken het netwerk van een regelmatig zeszijdig prisma.
9. Het grondvlak van een regelmatig driezijdig prisma heeft



ribben, die 6 cM lang zijn; de hoogte van het prisma is
2.4 dM. Bereken het oppervlak en den inhoud van dat lichaam.
10. Van een kubus is de zijde 12 cM. Bereken het oppervlak en den inhoud.
11. Hoe groot is de lichaamsdiagonaal van een kubus, welks ribbe 1 dM is?
12. Van een regelmatig vierzijdig prisma is de zijde van het grondvlak S cM en de hoogte 1,2 dM. Bereken het oppervlak en den inhoud.
1 5. Bereken de lengte van een lichaamsdiagonaal van het prisma in het vorig vraagstuk.
14. Teeken het netwerk van een kubus.
15. Een vierkante balk is 4 M lang, 3 dM breed en 2 dM dik. Bereken het oppervlak en den inhoud.
10. Van een vierkanten balk is de oppervlakte 724 dM-, De lengte bedraagt 5 M, en de breedte 4 dM. Hoe dik is die balk?
17. Van een regelmatig zeszijdig prisma is de hoogte 3 dM en de zijde van 't grondvlak 8 cM. Bereken de oppervlakte en den inhoud.
18. Van welk prisma is het aantal vlakkenhoeken 20 meer dan het aantal lichaamshoeken ?
19. Hoeveel Liter water kan een bak bevatten, die 2 M lang,
1.5 M breed en 8 dM diep is?
20. Een kubus, welks ribbe 1 dM is, wordt aan alle kanten bekleed met een laag lood, ter dikte van 1 cM. Hoeveel KG lood is daarvoor noodig? (s. g. van lood = 11.)
21. Een houten bak is, van buiten gemeten, 2 M lang, 1,5 M breed en 8 dM hoog. De dikte van 't hout bedraagt 3 cM. Hoeveel dM- hout is er aan dien bak?
22. Van een vierzijdig prisma, welks inhoud 384 cM's is, verhouden zich lengte, breedte en dikte als 3:2:1. Bereken de afmetingen.



23. Een bak is tweemaal zoo lang als diep en anderhalf maal zoo lang als breed. Hij kan 90 HL water bevatten. Bereken de afmetingen.
DE PIRAMIDE.
1. Wanneer noemt men een piramide regelmatig?
2. Welke piramide wordt begrensd door 10 vlakken?
3. Hoeveel hoekpunten heeft een vijfzijdige piramide?
4. Hoeveel ribben, tweevlakkenhoeken en vlakke hoeken zijn er aan een achtzijdige piramide?
5. Bereken het aantal vlakte-diagonalen van een tienzijdige piramide.
6. Hoeveel ribben, tweevlakkenhoeken en vlakke hoeken zijn er aan een afgeknotte vierzijdige piramide?
7. Teeken het netwerk van een driezijdige piramide.
8. Bereken het oppervlak van een driezijdige piramide, waarvan de schuine hoogte 2 dM en de zijde van het grondvlak 8 cM is.
9. Bereken ook den inhoud van de piramide in 't vorig vraagstuk.
10. Bereken het oppervlak en den inhoud van een vierzijdige piramide, waarvan de schuine hoogte 2 dM en de zijde van het grondvlak 8 cM is.
11. Van een afgeknotte vierzijdige piramide is de zijde van het grondvlak 8 cM, die van het bovenvlak 6 cM en de hoogte 7 cM. Bereken het oppervlak en den inhoud van die piramide.
12. Hoeveel lichaamsdiagonalen kan men trekken in een afgeknotte vijfzijdige piramide?
13. Hoe groot is de som der vlakke hoeken van een achtzijdige piramide?
14. Van welke piramide is het aantal vlakke hoeken 29 meer dan het aantal lichaamshoeken ?



15. Van een zeszijdige piramide is de schuine hoogte 12 cM en de zijde van 't grondvlak 6 cM. Bereken den inhoud en de oppervlakte.
DE REGELMATIGE LICHAMEN.
1. Door welke vlakken kunnen regelmatige lichamen begrensd worden ?
2. Welke regelmatige lichamen worden door gelijkzijdige driehoeken begrensd? Welk door vierkanten? Welk door vijfhoeken ?
3. Waarom kan een regelmatig lichaam niet door zeshoeken begrensd worden?
4. Teeken het netwerk van een regelmatig viervlak.
5. Van een regelmatig viervlak is de ribbe 12 cM. Bereken het oppervlak en den inhoud.
6. Van een kubus is de inhoud 1728 cM3. Bereken het oppervlak.
7. Teeken het netwerk van een regelmatig achtvlak.
8. Hoeveel lichaamsdiagonalen kan men trekken in een regelmatig achtvlak?
9. Van een regelmatig achtvlak is de ribbe 2 dM. Bereken de oppervlakte en den inhoud.
10. Van een regelmatig achtvlak is de lichaamsdiagonaal (de as) 8 cM. Hoe groot is de ribbe?
11. Van een kubus is de lichaamsdiagonaal 8 cM. Bereken het oppervlak en den inhoud.
12. Teeken het netwerk van een regelmatig twaalfvlak.
13. Bereken van het regelmatig twaalfvlak: het aantal ribben en hoekpunten.
14. Bereken ook het aantal lichaanlsdiagonalen van het regelmatig twaalfvlak.
15. Teeken het netwerk van een regelmatig twintigvlak.



16. Hoeveel ribben en hoekpunten zijn er aan het regelmatig twintigvlak?
17. Hoeveel lichaamsdiagonalen kan men trekken in het regelmatig twintigvlak?
18. Bereken het oppervlak van een regelmatig twintigvlak, waarvan de ribbe 6 cM is.
LICHAMEN MET GEBOGEN VLAKKEN.
DE CILINDER.
1. Waarom noemt men den cilinder een omwentelingslichaam?
2. Teeken het netwerk van een cilinder.
3. Welke vlakken kunnen er ontstaan bij doorsnijding van een cilinder?
4. Bereken het oppervlak en den inhoud van een cilinder, als de hoogte 3 dM en de straal van 't grondvlak 31/2 cM is.
5. Een holle ijzeren cilinder met ijzeren bodem is van binnen 14 cM wijd en 12 dM hoog. 't Ijzer is overal 3 mM dik. Hoe zwaar is die cilinder? (s. g. van ijzer 7,79.)
6. Een rechthoek, lang 12 cM en breed 8 cM, laat men eerst om de eene en daarna om de andere zijde wentelen. Bereken het verschil der inhouden van de ontstane omwentelingslichamen.
DE KEGEL.
1. Teeken het netwerk van een kegel.
2. Welke vlakken kunnen er ontstaan bij doorsnijding van een kegel?
3. Van een kegel is de straal van 't grondvlak 31/2 cM en



de loodrechte hoogte 15 cM. Bereken den inhoud en de oppervlakte.
4. Van een kegel is de schuine hoogte 1,3 dM en de straal van 't grondvlak 5 cM. Bereken den inhoud en de oppervlakte.
5. Van een kegel is de schuine hoogte 13 cM en de loodrechte hoogte 12 cM. Bereken den inhoud en de oppervlakte.
6. Waarom is de kegelmantel grooter dan het grondvlak des kegels ?
7. Een rechthoekigen driehoek, waarvan de rechthoekszijden
6 en 8 cM zijn, laat men wentelen om de hypotenusa. Bereken den inhoud en de oppervlakte van het ontstane omwentelingslichaam.
8. Een ruit, waarvan de diagonalen 12 en 16 cM zijn, laat men om beide diagonalen wentelen. Hoe verhouden zich de inhouden van de ontstane omwentelingslichamen?
9. Een parallelogram, waarvan de zijden 12 en 8 cM zijn en de hoogte 6 cM is, laat men wentelen om de langste zijde. Bereken den inhoud en de oppervlakte van het ontstane omwentelingslichaam.
10. Teeken het netwerk van een afgeknotten kegel.
11. Van een afgeknotten kegel is de schuine hoogte 12 cM, de straal van 't grondvlak 7 cM en die van 't bovenvlak 31,, cM. Bereken den inhoud en de oppervlakte.
12. Van een afgeknotten kegel is de hoogte 12 cM, de straal van 't grondvlak 8 cM en die van 't bovenvlak 3 cM. Bereken den inhoud en de oppervlakte.
13. Hoeveel Liter water kan een emmer bevatten, die boven
7 en onder 3i/2 dM wijd is, terwijl de diepte 5 dM bedraagt?
DE BOL.
1. Waarom noemt men den bol een omwentelingslichaam?



2. Van een bol is de middellijn 1,4 dM. Bereken de oppervlakte en den inhoud.
3. In een kubus is een bol beschreven. Hoe verhouden zich hun inhouden?
4. In een bol is een kubus beschreven. Hoe verhouden zich hun inhouden?
5. Van een bol is het oppervlak 1,54 dM'-. Bereken den inhoud.
6. Van een bol is de inhoud 38,808 cM3. Bereken de oppervlakte.
7. Van een kegel is de hoogte = de middellijn van 't grondvlak = a cM. Van een bol is de middellijn ook a cM. Hoe verhouden zich de inhouden van beide lichamen ?
8. Van een cilinder is de hoogte = de middellijn van 't grondvlak = a cM. Hoe verhoudt zich zijn inhoud tot dien van een bol, welks middellijn ook a cM is?



EXAMENOPGAVEN.
1. Een gesloten glazen vat heeft den vorm van een rechthoekig parallelopipedum met een vierkant tot grondvlak en is gedeeltelijk met vloeistof gevuld. Plaatst men het op zijn grondvlak, dan is de afstand van den vloeistofspiegel tot het bovenvlak 8 cM; plaatst men het op het zijvlak, dan wordt die afstand 3 cM. Het gezamenlijk oppervlak der binnenwanden bedraagt 1026 cM-. Hoeveel cM3 vloeistof is er in het vat?
2. Uit een houten cilinder, waarvan de middellijn van 't grondvlak 10i/L> cM en de hoogte 24 cM is, snijdt men een kegel en een regelmatige vierzijdige piramide, die beide hun toppunt hebben in het zwaartepunt van den cilinder. Als het vierkant, beschreven in het grondvlak van den cilinder, het grondvlak der piramide is en het bovenvlak van den cilinder het grondvlak des kegels, hoeveel cM3 hout moet dan worden weggesneden ?
3. Een recht prisma heeft 102 dS inhoud. Het grondvlak is een gelijkbeenig trapezium, dat een omtrek heeft van 6 M, terwijl de evenwijdige zijden 12 dM en 22 dM lang zijn. Bereken de oppervlakte van het lichaam.
4. Als een rechthoekig stuk land 3 DM langer en 6 DM breeder was, zou het juist een kwadraat zijn, waarvan de oppervlakte 2,34 HA grooter was dan het stuk land. Hoe groot is die rechthoek?
5. Een van boven open bakje, gemaakt van hout van 3 cM dikte, heeft binnenwerks gelijke afmetingen en kan 1 L water bevatten. Er wordt een ijzeren kogel in gelegd, die



alle wanden aanraakt, en de overige ruimte wordt gevuld met eene vloeistof, waarvan het s. g. 1,05 is. Hoeveel gewicht zal de bak nu hebben?
Omtrek cirkel = 22/- maal middellijn, s. g. van ijzer 7,98 en van hout 0,8.
6. Iemand heeft een stuk land, dat 4 HM lang en 29 DM breed is. Hij laat er in de lengte 2 gelijke slooten door graven, waardoor de 3 stukken, welke daardoor ontstaan, samen 1580 M meer omtrek hebben dan eerst het geheele stuk. Bereken de oppervlakte van het grootste der 3 stukken, als ze zich tot elkaar verhouden als 4 : 2 : 1.
7. ABCD is een rechthoek, waarvan A en C overstaande hoekpunten zijn. Op CD ligt een punt E en op BC een punt F. EC : ED = 3 : 2 en CF : BF = 2 : 1. Driehoek AEF = 1 M2. Hoe groot is de rechthoek?
8. In een hollen cilinder plaatst men een even hoog regelmatig vierzijdig prisma, dat er juist in past. In de overblijvende ruimte kan 256 Liter water gegoten worden. Hoe groot is de inhoud van het prisma? .t = 22/-.
9. Van een rechthoekigen tuin is de lengte 21/4 maal de breedte. Rondom dien tuin loopt een gracht ter breedte van 5 M, waarvan de buitenomtrek 0,3 KM is. Hoe groot is de oppervlakte der gracht en die van den tuin?
10. Een rechthoekige bak, 1,2 M lang, 7 dM breed en 8 dM hoog, is vol water. Men tilt hem bij eene der kortste zijden van het bovenvlak omhoog, zoodat hij om de overstaande zijde van dat vlak wentelt, totdat er 210 Liter water uitgevloeid zijn. Hoe hoog is dan de kortste zijde van den bodem boven den grond opgetild?
(Opni. zijwanden en bodem zijn verondersteld geen dikte te hebben.)
11. Hoeveel cA is de kleinste rechthoek groot, dien men precies verdeelen kan, zoowel in rechthoeken van 51 bij 39cM als in rechthoeken van 91 cM lang en 85 cM breed?



12. Iemand heeft een rechthoekig stuk land, 104 M lang en 77 M breed, dat hij een l/2 M wil ophoogen. Daartoe laat hij er een cilindervormigen kuil met een middellijn van 28 M in graven en de aarde over het land gelijkelijk uitspreiden. Hoe diep zal dan de kuil zijn ? (jt =
13. Het bovenstuk van een monument bestaat uit een afgeknotte piramide, ter hoogte van 1,2 M, waarop een piramide, die een hoogte heeft van 3 dM en waarvan het grondvlak het bovenvlak van de afgeknotte piramide geheel bedekt. Grond en bovenvlak van de afgeknotte piramide zijn kwadraten, waarvan de zijden respectievelijk 18 en 8 dM lang zijn. Hoeveel zal het schoonmaken van dit bovenstuk kosten, als hiervoor een stuiver per dAfgerekend wordt?
14. Op elke zijde van een vierkant, groot 25 cM2, wordt buitenwaarts een gelijkbeenige driehoek geteekend, waarvan de oppervlakte de helft is van het vierkant. Bereken de oppervlakte van het vierkant, dat ontstaat, als men de toppunten van die driehoeken twee aan twee vereenigt.
15. Een kubus en een balk, beide van hout, waarvan het soortelijk gewicht 0,8 is, verschillen 87,5 KG in gewicht. De balk is 18 maal zoo lang als de kubus, doch de beide andere afmetingen zijn maar - van die van den kubus. Bereken het oppervlak van den kubus.
16. Van 3 rechthoekige akkers ligt de eerste 6 dM hooger dan de tweede, en deze 2 dM hooger dan de derde. De le is 360 A groot, de 2e 480 A en de 3e li/2 maal zoo lang en U/2 maal zoo breed als de 2e. Hoeveel S grond moet van de beide hoogste akkers afgenomen en op den 3en gebracht worden, om ze alle even hoog te maken?
17. Een rechthoekig tapijt heeft een omtrek van 64 M. Een tweede tapijt, dat even groot is als het eerste, is echter 11.-) maal zoo lang en heeft een omtrek van 68 M. Bereken de oppervlakte van elk tapijt.



18. In een leegen bak, lang 1,2 M, breed 6 dM en diep 5 dM, wordt een houten kubus gelegd, die een oppervlakte heeft van 24 dM-. Hoeveel L water kan men nog in dien bak gieten, als het s. g. van hout 3/g en van water 1 is?
19. Een rechthoekig tafelblad wordt aan alle 4 zijden 1,5 dM ingekort. Als het blad daardoor 81 dM2 kleiner wordt, wat was dan eerst de omtrek van dat blad?
20. Een rechthoekig stuk land, groot 33 HA en breed 75 M, zal onder drie broeders gelijkelijk verdeeld worden, met dien verstande, dat aan de lengtezijde langs de beide eerste stukken eene laan van 5 M breed voor gemeenschappelijk gebruik wordt afgenomen. Hoeveel land krijgt ieder ?
21. Van een houten cilinder is de middellijn van het grondvlak 28 cM, de hoogte 75 cM. In het bovengedeelte is een uitholling in den vorm van een kegel, waarvan de bovenwijdte (middellijn) 14 cM, de diepte (loodrecht) 24 cM is. Bereken den inhoud en de oppervlakte van dit lichaam, (rr = ~/7.)
22. Van twee rechthoekige bakken is de eerste 1,5 M lang en 10,6 dM breed; de andere is 0,84 M lang en 65 cM breed. De laatste bak is 6 dM dieper en kan 6,12 HL minder water bevatten dan de eerste. Hoe diep zijn beide bakken?
23. In een cilindervormigen emmer staat een houten cilinder, waarvan het s. g. 0,75 is. Hoeveel L. water bevat de emmer, als hij na indompeling van den cilinder tot den rand gevuld is?
De middellijn van den emmer is 3,5 dM en de diepte 3 dM. De omtrek van het grondvlak van den cilinder is 4,4 dM en de hoogte 2 dM.
24. Een kubus en een regelmatige 4-zijdige piramide hebben gelijke grondvlakken, terwijl de geheele oppervlakte der



piramide 8/5 van die van den kubus is. Als ge nog weet, dat de ribbe van den kubus 10 dM is, hoe groot is dan de hoogte der piramide?
25. De buitenomtrek van den bodem eener houten kist (met deksel) bedraagt 3,72 M en de binnenomtrek 35 dM. De lengte van buiten staat tot de breedte als 20 : 11. De kist is 4,5 dM diep. Evenwijdig aan de breedte deelt een schot van gelijke dikte als het hout van de kist den inhoud in 2 gelijke deelen. Het geheel weegt 41,11965 KG. Men vraagt het s. g. van het hout.
26. Van een kegel is de mantel 23/s maal zoo groot als het grondvlak. Wat is de inhoud van dien kegel, als de straal van het grondvlak 5 dM is? (n = 3,14.)