CHRISTIAAN HUYGENS TRAITÉ: DE IIS QUAE LIQUIDO SUPERNATANT RÉDIGÉ PAR D. J. KORTEWEG. EXTRAIT DES (EUVRES COMPLÈTES DE CHRISTIAAN HUYGENS TOME XI v A s 2* aV V > vr - » KV «i • •- . > - > • om m I •• ■» "» vC > — 99 <■ - DE IIS QUAE LIQUIDO SUPERNATANT. LIBRI 3. 1650. Avertifiement. Même après tant de fiècles, le mathématicien, en pleine poffelfion des méthodes modernes, ne prendra connaissance de Touvrage d'Archimède fur les corps flottants fans éprouver un fentiment d'admiration profonde, mèlé d'étonnement a caufe des réfultats obtenus, lesquels au premier abord lui ont du sembler dépasser les moyens de recherche et même tomber en dehors de la préoccupation des anciens. On comprend donc aisément que la lecture de eet ouvrage ait tait une vive impreffion fur le jeune Huygens et 1'ait excité a 1'émulation. Et cela d'autant plus paree que, par des études dans cette direélion, il fe pla^ait tout de fuite fur un terrain particulièrement approprié a fon génie, oü il remporterait dans la fuite tant de fuccès et qui doit avoir excercé auflitöt fur lui une grande attraction, favoir la phyfique mathématique. Ce font les réfultats de ces etudes qui ont été réunis par Huygens dans le Traité qu'il intitula: „De iis quae liquido fupernatant Libri 3." Les fujets a examiner n etaient pas difficiles a trouver. En premier lieu AVERTISSEMENT. Archimède s'était borné a la confidération des fegments fphériques et des conoïdes paraboliques; Huygens pouvait donc excercer fes forces fur d'autres figures géométriques fimples. De plus il avait reconnu, en traitant 1'équilibre de la chaine, qu'un feul principe, celui d'après lequel le centre de gravité fe place toujours aufli bas que pofllble, pouvait fuffire a résoudre toutes les queftions fur 1 équilibre des corps fousl'influence de la gravité comme force motrice 1). II était donc tout indique de rattacher les réfultats obtenus par Archimède a ce principe général. C'est la en effet le but principal du livrepremier. Dans les quatre premiers theoremes Iluygens déduit lucceflivement du principe en queftion la fituation horizontale du niveau des liquides, 1'équilibre des corps flottants dont la denfité ell egale a celle du liquide, et enfin la loi célèbre d'Archimède appliquée au cas 011 la denfité du corps efl moindre que celle du liquide. De cette dernière déduction, plus compliquée que les autres, nous poffedons même trois variantes reproduites dans le texte (p. 96—99), dans la note 14 du „liber 1" (p. 99—101), et dans 1'Appendice I de ce traité. Viennent ensuite (p. 102—104) trois nouveaux théorèmes généraux qui fe démontrent par des raifonnements auffi fimples qu'ingénieux et dont les deux dciniers, les „Theoremata 6 et 7," vont fervir de bafe aux recherches qui fuivent, celles fur la llabilité de divers]corps flottants homogènes dont 1'axe de révolution eil dans la fituation verticale. D apies ces theoremes la llabilité exige que la différence de niveau du centre de giavite du co/ps flottant d avec le centre de gravité de fa partie immergée (Theor. 6), 011, ce qui pour les corps homogènes revient au même, d'avec celui de la partie qui furnage (Theor. 7), foit un minimum. Pour éprouvcr cette llabilité il fuffit donc de couper le corps flottant par un plan variable « (qui repréfente les pofitions diverfes du niveau du liquide) de manière que le volume des fegments découpés foit égal a celui de la partie immergée (ou furnageante); de déterminer les centres de gravité de ces fegments; de mener par ces centres de gravité un plan /3 parallèle au plan variable et correfpondant, et de vérifier fi pour toutes les pofitions voifmes la diftance du ') Consultez les trois derniers alinéa's de Ia note 2 et la note 4 de la pièce N°. VI, appartenant aux „Travaux divers de Jeunesse", pp. 38, 39 et 40 du Tome présent. AVERTISSEMENT. cencre de gravité du corps encier au plan /3 soit plus grande que pour la pofition initiale. 2) C'est la la méthode fuivie par Huygens pour retrouver (p. 105—113) les théorèmes d'Archimède fur la ftabilité de Féquilibre d'un fegment sphérique ou parabolique flottant avee 1 axe de revolution dans une fituation verticale et pour -) II nous semble utile d'indiquer la connection entre cette méthode de Huygens et une des méthodes modernes les plus fertiles, celle due a Du pin, qui consiste a déterminerle lieu géométrique <7 des een tres de gravité des portions d'égal volume découpées par un plan variable, et a abaisser ensnite, du centre de gravité F du corps flottant, des normales FS sur ce lieu géométrique. Alors chacune de ces normales représentera une position d'équilibre du corps flottant pour laquelle cette normale prendra la direction verticale. Et eet équilibre, dans le cas oü la snrface cr, au point S, se trouve être concave par rapport au point F, sera stable ou instable, selon que la normale en question est ou n'est pas un vrai minimum parmi les droites voisines tirées^du point F aux points de la surface c et ll2 > c; mais alors FS est un vrai minimum pour la surface a aussi bien que pour la surface n. Et on voit de même qu^une valeur négative de IIj ou de R3 entraïne nécessairement 1'instabilité; ce qui veut dire qu'il y a"ra instabilité non seulemcnt toutes les fois que FS n'est pas un vrai minimum mais aussi lorsque la surface (/, dont la courbure est toujours positive, toumera, au point S, sa convexité vers le point F. AVERTISSEMENT. détermincr (p. 113 — 117) les conditions de flabilité d'un cóne droit, flottant dans la même fituation, foit avec le fommet en bas (Theor. 14), foit avec le fommet en haut (Theor. 15). En abordant 1 z fecond livre, qui traite 1'équilibre des parallélipipèdes re&angles flottants, on éprouvera, nous le croyons, une certaine déception. Huygens, au lieu de pourfuivre 1'application de la méthode générale qu'il vient de développer dans le livre premier, retourne, par le „Theoremai" (p. 122) du„Liber 11" a celle d'Archimède, qui confifte dans la conlidération du couple formé par l'a&ion de la gravité fur le corps flottant, représentée par une force appliquée au centre de gravité de ce corps, et par 1'attion de la preflion vers le haut du liquide, repréfentée par une force appliquée au centre de gravité de la partie fubmergée. II femble poflible que cette incongruité a été introduite par la révifion,fur laquelle nous reviendrons, fubie par le „Liber 1." Alors cette révifion ne s'efl: pas étendue aux autres livres, peut-être paree que la méthode que Huygens venait d'introduire dans le „Liber 1", fe montrait, dans les problèmes compliqués dont il s'occupe dans les „Libri 11 et m," moins maniable, qu'il nel'avait prévu, et c'eft probablementpour une raifon femblable qu'il a laifTé de cöté dans le „Liber 1 "les beaux théorèmes d'Archimède fur 1'équilibre des conoïdes paraboliques flottants avec 1'axe dans une fituation inclinée. Toutefois, même alors il y a lieu de s'étonner que Huygens n'a pas au moins ratraché ce „Theorema 1" du „Libern" aux „Theoremata 6 et?" (p. 103—104) du „Liber 1" et cela d'autant plus que la démonftration qu'il en donne et qui ne repofe pas fur les „Hypothefes" formulées en tête du livre premier, n'a pas pu lui fatisfaire entièrement.3) Quoiqu'il en foit, le „Liber 11" nous apporte des recherches trés profondes. Huygens évidemment a taché d'obtenir une folution, aufli compléte, qu'il lui était poflible, du problème du parallélipipcde reftangle flottant, limité feulement dans fa généralité par la fuppofition que la longueur du parallélipipcde foit fuffiTante pour afïurer 1'horizontalité des arêtes dans le lens de cette longueur.4) 3) Comparez la note 6 du „Liber 11," p. 122 du Tome présent. 4") Voir les premières pages du „Liber 11." Dowiées principales. BH =GC = 1/3=0,= BH = NC = 0,55; B1> = QC=A =0,58155 BT = CU = , _ ,/| = 0,057.9..; BR = CS = , _ yj _ 0,,835.. Equations des courbes du Tableau. HKL : /'S[C" + #-(i-,)J],-^QA:Ci-oJ=il^'i[(.+7)3-(I-,)ï],-K Iaislf.au representant la solution compléte du problêmf. du parallélipipède rectangle flottant avf.c les arêtf.s longitudinalf.s dans la situation horizontale. 6 raPP°rt de la densité du parallélipipède a celle du liquide. 1 rapport du cöté le plus petlt de la sectio,, verticale rect.ngal.lre au plus grand cöté de cette sectio,,. Dowiées principalen. BiE = GC = i-i l/f=o,5,BH = NC = 0,555 B1> = QC=J> =0,58155 BT = CU = , _ ,/| = 0,057,9.BR = CS = , _ yj _ 0,i835. Equations des courbes du Tableau. HKL: 2r<3— 4e)= 1; LMN: 2 f (1 — e) (>— i) = i; EFG : 6?a^i — «) = r E° et GA : 0 = HO : 2e (3 — 4*>) = y2; NA : 2 (1 —e) (4e— 1) == y2; PO: = + ï)t-0 - v)*]7-t;QA:Cl-.^=*l^§[(l + , AVER.TISSEMENT. Pour faire juger plus facilement jusqu'a quel point ce but a été atteint par le jeune Huygens; nous avons conllruit le tableau placé en regard de cette page, lequel contienc, fous la forme d'une repréfentation graphique, la folution du problème en quertion. 5) Pöur expliquer ce tableau nous remarquerons en premier lieu que les fignes ©i ©■> ® et ©'■> @ et © représentent dans leur fuite naturelle les diverl'es manières de flotter qui font poffibles, en omettant toutefois les cas intermédiaires oü 1'un des fommets de la leétion verticale du parallélipipède fe trouve dans la lurface du liquide. i v-uiiiuiu ie moutrent ïes ngures que nous donnons ici, cette luite elt un peu différente, tnais feulement pour le troisième cas, felon que 1'on a g>>i,oiu < (Chanteur,r/diamètre du cylindre) accompagne la note 37, p. 176, du même „Liber". '0 AinsiIepointLdu tableau de cetavertissement etPde celui de la note 37, p. 176,du „Liber 111" 12 AVERTISSEMENT. Notons enfin que vers la conclufion du „Liber m,"p. 189, fe trouve difcutée la manière dont les réfultats obtenus dans les recherches lur les corps fiottants, pourraient être vérifiés expérimentalement. Le manufcrit du traité „de iis quae liquido fupernatant," tel que nous lepossédons, ell écrit lur des feuilles de grand tormat, de quatre, ou quelquefois, de deux pages. Ces pages font numérotées régulièrement de 1—16 pour le „Liber 1"; de 23—48 pour le „Liber 11"; de 49—75 pour le „Liber m". Ellescontiennent un grand nombre de figures; mais ces figures ont été tracées une feconde fois, lur de petits carrés de papier,13) avec plus de foin, mais lans modifications importantes; évidemment pour préparer la publication du traité. Dans 1'automne de 1650 le traité avec les figures fut envoyéa van Schooten afin de le soumettre a fon jugement. II comptait alors quatre livres. I4) Dans fes lettres du 27 septembre 1650 (N°. 85, p. 130 du T, I) et du 21 novembre 1650 (N°. 89, p. 135 du T. I) van Schooten le loua beaucoup et le renvoya avec la dernière lettrc dans laquelle il préienta quelques remarques de peu d'importance et auxquelles Huygens n'a pas donné luite. Enfuite les deux premiers livres furent revifés et condenfés dans un feul livre, le „Liber 1" de notre texte 1J). Enfin tout était prêt pour la publication, qui correspondent entre eux dans un certain sens puisqu'ils indiquent 1'un et 1'autre le cas ou les points BetD des ligures, p. 87, qui représentent les positions diverses du corps flottant, cylindre ou parallélipipède, se trouvent tous les deux a la fois dans la surface du liquide; mais tandis que le point L se trouve sur la limite supérieure du tableau de Pavertiflement, il en est autrement pour le point P. üemême Panalogie étroite qui existe dans le cas du parallélipipède entres les cas (2) et (4), manque complètement dans le cas du cylindre. E11 conséquence le „Theorema 12", p. 185, du„Liber 111", lequel se rapporte a la partie de la représentation graphique de la note 37, p. 17Ó, qui se trouve au dessus de la ligne GPH, et le „Theorema 8",p. 152 du „Liber 11", qui s'occupe surtout des positions (4) et (5) ne correspondent pas entre eux. I3) Sous cette forme elles ont pu servir a copier au graveur pour la présente publication. On trouve sur le revers de chacun de ces petits carrés de papier des indications de Huygens sur 1'endroit du texte oü la figure doit être placée. '4) On peut s'en convaincre en combinant la phrase „Perlegeram jam duos primos libros" de la lettre de van Schooten du 27 septembre 1650, avec cette autre: „neque dubia me spes tenet posteriores duos libros multo etiam magis placituros" de la répotise de Huygens (notre N°. 85", p. 561 du T I). I5) En effet,sur les revers des seize premières figures du „Liber 11" présent le numéro indiquant le „Liber"auquel elles appartiennent, dtait primitivement un 3 qui aété parfois transf'ormé par quelques traits de plumedans un 2 et d'autres fois biffé et remplacé par ce même chiffre 2. Ce qui prouve que le „Liber 11" présent était primitivement le troisième livre et que les deux AVERTISSEMENT. toutefois n'eut pas lieu. Probablement elle fut remife d'abord pour faire précéder 1'„E%êTCttJts" Iö) qui avait plus d'aélualité; puis les travaux fur la dioptrique ont beaucoup occupé Huygens. 1?) En attendant Huygens ne perdait point de vue entièrement le traité qu'il avait composé. II en donne un résumé a Gregorius a St. Vincentio dans une lettre du 25 octobre 1651 (notre N°. 100, p. 151 et 152 du Tome I) ,8) mentionnant avec une certaine prédileétion le „Theorema 7", p. 167 du „Liber 111", c'eft-a-dire, le premier des deux théorèmes fur la llabilité d'un cylindre flottant avec Faxe dans la fituation verticale. De même il en écrit le 29 décembre 1652 a G. A. Kinner de Löwenthurm (voir le N° 146 a la page 212 du T. I), le 27 juillet 1657 a de Sluze (Voir le N°. 397 a la page 41 du T. II} et enfin le i9novembre 1667 (voir le N°. 161 o a la page 162 du T. VI) a Léopold de Medicis. Le 25 janvier 1652 il fe remit a 1'oeuvre et commen^a a s'occuper de nouveau des conditions d'équilibre d'un cöne droit flottant traitées déja d'une autre fa$on dans le „Theorema 14", p. 115, du „Liber 1." Nous avons reproduit ces travaux inachevés dans 1'Appendice II du préfent traité. premiers livres ont été remaniés pour constituer le „Liber 1" que nous possédons. Et ainsi la lacune dans la numération des pages, que Ton remarque entre le „Liber 1" et le „Liber 11" s'expliquerait facilement par une sorte de condensation subie pendant cette opération. De plus sur le revers de 1'onziéme figure du „Liber 1" (p. 106), I'inscription „2 Lemma 1" fut changée en „1 Lemma 1", d'oü il suit que primitivement le premier livre 11e s'étendait pas plus loin que jusqu'è la fin du présent „Theorema 9". Malheureusement il est impossible de savoir quelle était la nature des changements apportés. Seulement le fait, qu'au moins les figures 12—20 du présent „Liber 1", et peut-étre toutes les figures de ce livre a 1'exception de la onzième, ont été dessinées de nouveau donne a présumer que 1'altération était assez profonde. Si elle s'est étendue jusqu'aux théorèmes fondamentaux, elle expliquerait facilement l'incongruité dont nous venons de constater 1'existence. Ajoutons que la note 2 de la Lettre N°. 85 (p. 130 du T. I.) est erronée, la oü il est dit que „les mots mentionnés ni d'autres particularités" marquées dans la Lettre N°. 89 de van Schooten (celle du 21 novembre 1650) ne se retrouvent pas dans le manuscrit que nous possédons. Tout au contraire les mots „cum defectu" que van Schooten voulait retnplacer par „detracto" se retrouvent a tout moment dans les „Libri 11 et m" a commencer par la démon- stration du „Lemma 3" du „Liber 11", p. 127 du Tome présent. Et, de même, ce qui est dit des figures qui accompagnent les premiers théorèmes du „Liber 1" correspond parfaitement a leur étatactuel. "0 L'ouvrage cité dans la note 1 de la Lettre N°. 95 ("p. 145 du T. I). ,7) Voir la lettre a van Schooten du 29 octobre 1652, N°. 130 (p. 186 du T. I.). „Seis me hoe argumentum" [de solido corpore in humidum immerso] „antehac pertractasse. Nunc autem in dioptricis totus sum". '8) Voir encore la réponse de Gregorius (N°. 101 a la page 153 du T. I.) et la réplique de Huygens (N°. 102, aux pages 154 et 155 du même Tome.) 9- AVERT1SSEMENT. Le 23 Mars de cette même année Huygens annota fur la page du titre: „Omnia nutanda"et de même en 1679. „Pleraque rej'icienda finon omnia. quiafpeculatio 3arum utilitatis habet, quamquam et Archimedes ipfe inhisoperam pofuit." Et *ncore, a la même ou a une autre occafion, fur la première page du „Liber t": „Haec de corporibus folidis in liquido fupernatantibus in prima adolefcentia fcripfi, cum nullum adhuc majoris momenti argumentum fefe obtulifTet,In his mtem utilitas nulla, vel perquam exigua, Etfi Archimedes fecundoTrfp; libro non abfimilia traftaverit. E primis Theoreinatis quaedam retineri poflentI9) item de Cylindris.20) Reliqua vulcano tradenda." Mais nous croyons que 1'on nous faura gré de n'avoir pas donné fuite a cette dernière recommandation et qu'on ne foufcrira pas au jugement fi sévère, porté par Huygens fur fon propre travail. A ce propos nousremarquerons feulement qu'au nom illuftre d'Archimède,mentionné par Huygens,on pourrait joindre aujourd'hui les noms de plufieurs autres favants qui, depuis, fe font occupés du même fujet et qui ont été devancés par Huygens fur des points importants dans le traité que nous publions; a commencer par Daniël Bernoulli2I), Bouguer22) et Euler 23) et a finir par M. Guyou qui a donné en 1879 24) une théorie nouvelle, appelée par M. Appell 25) „la première théorie rigoureule de la ftabilité des corps flottants"; théorie qui repofe fur le même principe que celle de Huygens.2n«« - - 17* 1.1 1 inclinatum efle, atque idea ('patium DGBC adhu? l^Sn ÏLrZrioDGBC ™ *;eliqU° liqUid°" Erg° ^ li1uidum <5«od continetur fpatio DGBC aequiponderat corpori AC" 1 «fe*» ^ q„am fuit dum c0r- XLGDCBHTFK VM " ql'Un! Utr?qUe 'itU Centrum ëravitatis reliqui liquidi ciimiMrt r maneat e0dem |0C0' e1ll'cllr centrum ejus gravitatis quae cum illo univerlain gravitatem conftituit, pofteriori fitu cum eft in S, inferius efle debere quam priori corporis fitu cum eft in R. quod erat demonftrandum. // theor. 3. h. lib." [HuygensJ. Theorema 6. Si Corpus foüdum liquida fupernatam ultrb inclinetur et alium jitum acquirat■ altitudo een tri gravitatis totius corporis fupra centrum gravitatis partis merfae, minor erit pofitione corporis pofieriori quam priori. Sint C et F centra gravitatis, illud totius alicujus corporis, hoe vero partis Fig. 7. merfae corporis ejuf- dem. Idem vero corpus ponatur ultro inclinatum, talemque fitum acquifijffe, ut jam totius centrum gravitatis fit A, partis vero merlae centrum gravitatis E. [dico altitudinem C fupra F majorem quam ell altitudo A fupra Ej. l5) aganturque per pun&a E et F lineae EB et FD parallelae fuperficiei liquidi OP. dico . . . perpendicularem AB, quae ex centro gravitatis A cadit in BE, minorem e(Te perpendiculari CD quae cadit ex centro grav. C in FD. ' 1 abfolvuntur enira reftangula DG et BH, fi opuseft. (p[otes]tenim fieri ut P ™ P"nftl,m F et ABPPd- 'nciderit in punAum E). junean- cfq"r af') f ' • eVGE't T"16 d"ae 'efe interfecant in N Pi'i'fto, divifisque CE et AF bifariam in K et I ducantur IL et KM fuperficiei liquidi paralielae quibus mamfettum efl etiam HF et GE bifariam dividi. denique juneatur ML. Quum jgitur fupra. demonrtratum fit '7), punftum I quod bifariam lecat AF 111euus effe punfto K. quod fecat CE bifariam, lequituret punctum L inferius efle punao M: cumque GF et HE funt parallelae, erit linea ML, quae utramque GE et FM bifariam dividit, iisdem GF et HE parallela. caditque eadem ML necelTano ab ea parte interleftionis N, quae e(t verfus politionem corporis prio- 16 17 } '* phlase entre TCh"! ?" lrve dans le texte un s'8ne de «nvot correspondant 1 annotation pn marerp* a .. J . ' " «"luuiiicui vxc. uc in i neor. sequ. ; mais nous avons ) Voir lePhraSe d'aPréS nndication conte,,ue da»s «tte annotation. J q ' m AB • quod erat demonftranduni. Theorema 7. altiilrp'"[oHdum 'T^ofupernatam ultró inclinetur et aliumfitum acauirat f;zz S? minor et itpofitione corporis posteriori quam priori. enatat! Wem "T™'h°< -rö partis qtiae us ponatui ultro mclinatum talemque fitum aquifiifle ut jam totius centrum grav. fit C, partis veró quae enatat centrum grav. D. dico altitudinem B fupra A majorem, quam elt altitudo D fupra C. id eft, ductis BH et DE parallelis fuperficiei liquidi OP, in easque perpendicularibus AH, CE, majorem efie HA quam CE. Produélis enim BA et DC, fiat AK ad a n ^ LIJ, ut partes enatames ad panes merfas; et manifeftum eil KèrC f gravitatis partium merfarum. fimiliter produffi, HA er Fr Vfï Taï?"* non CF ad CE ut KA »A ar r ^ , L(-hant AI ad AH nee jungantur KI et GF et manifeftum'efWUC ^ u*' Cac*em enim Pr°portio. Igitur propter triangula fimilia Ka/BAH "eft IA ad f°"e fllPe^ei li£luidiKA eft ad AB ficut GC id CV) n ' AH' ficut KA ad AB; fed tantem habet eandem plrS merfa ad ena" eft ad CD ut Fr ,j t ' F . A eft ad AH' ut Gc ad CD; GC autem ficut FC ad CE eft amen,0[Ar tria»g"^GCF, DCE; igitur IA ad AH, CE. quod erat demonrtrandurn ^ ^ CF" erS° et AH major quam ) »a theor. 6." [Huygens], videlicet portionem ad liquidum in gravitate ede, ut pars ECD eil ad totam portionem, axis autem PC fit ad perpendiculum fuperficieiED. dico portionem itapofitamquiefcere. Si enim fieri poteft moveatur, ita ut jam fuperficies liquidi fit LM, et pars merfa LCDM et portio fecari intelligatur plano ACB per axem, reétoad fuperficiem liquidi: Sitque G centrum (phaerae; F centrum gravitatis portionis ACB; H verö partis prius merfae ECD. Item l partis LCDM. Sit porrö per I duéla NO parallela LM: et junéta GI, quam manifeftum elt DcrDendicnlnrpm pfTp NO. i« eandem NO perpendicularis cadat K. jungantur reéta linea centra gravitatis H et I, quam manifeftum ell alicuhi fecare debere FK, ut in R, quia centrum grav. F Temper cadit inter G et H. ^ Quum igitur PC fit perpendicularis ad fuperficiem liquidi ED, fequitur FH efTe piius altitudinem centri gravitatis portionis ACB fupra centrum grav. partis merfae LCD. Similiter FK eft altitudo centri grav. portionis ACB fupra centium giav. paitis merfae LCDM, nempe quum portio mota eft. quia autem partes LCD, LCDMfunt aequales, fequitur centrum fphaerae ab earum centris gravit. H et I aequalitcr diftare; quam ob rem GI aequalis efl GH; unde et FR aequalis FH; Theorema 8.19) Sphaerae portio liquido jupernatans denierfo vertice, quamcunque ad liquidum in gravitate proportionem habuerit, confiftet axe ad liquidi fuperficiem perpendiculari. 20) Sit portio (phaerae ACB, liquido fupernatans, cujus fuperficies ED. ponendo Avec le théorème qui suit, la série des théorêmes généraux, auxquels le tliéorème i du livre II se joindra plus tard, est interrompue. Et Huygens procédé k appliquer les résultats obtenus, d'abord aux théorémes plus spéciaux, découverts par Archiméde. qui se rapportent aux segments sphériques et aux conoïdes paraboliques flottants, et dont il va donnerdes démonstrations nouvelles; ensuite a la détermination de la stabilité des positions d'équilibre d autres corps ilottants; c'est-a-dire des cónes de révolution llottant avec 1'axe dans la situation verticale. -°) 1 heorème correspondant a la Prop. VIII p. 6 recto de Pédition de Conunandin : „Si aliqua magnitudo solida leuior humido, quae figuram portionis sphaerae habeat, in humidum demittatur, ita ut basis portionis non tangat humidum: figura insidebit recta, ita ut axis portionis sit secundam perpendicularem. Et si ab aliquo inclinetur figura, ut basis portionis humidum contingat; non manebit inclinata si demittatur, sed recta restituetur". (Heiberg T. II, p. 371). 2 O 14 port irf cro'mota X'mur'mt'q"°d * abfl'rdl"n' Non movehitur igmir, quod erat ostendendum. Theorema 9. Sphaerae portio liquida jupernatam demerfa bafe quamcunque ad liauidum Proponionem habueri,, confifte, Uad liquiTfupeZet perpendiailavi. aa) Repecatui eadem figura fed invertatur, habeatque jam portio ad liquidum in piir t jtn viff) ro nt*/-via/-vm-.' tv . ... ö piwpuiLHHicm, quam pars l)ABE ad cotam. unde fi axis CP ponatur ad perpendiculum fuperficiei DE, erit pars merfa DA BE, enatabic ver5 pars DCE quae theoi emate praecedenti merfa erat, dico autem fic pofitam quiefcere. Si enim non quielcit itaque moveatur ut jam fuperficies liquidi fit ML et reliqua conttrutfa fint ut fupra. Igitur iterum altitudoKF major erit altitudine FH, quod eil abfurdum 1 *3), quum portio ultro mota dicatur* fl 1 1 1 o iv» t» /"* «• rn /-« 1 1 .■ nuiviwucigu; cjuoa erat demonttr. Lemma i. ^Bosf^aasusjss^ at co ijk major em ejje quam DB. 24^) Dueatur enim ordinatim applicata EF. Q«ia igitur reftangulum fub BF e( l"'T *' latere reélo aequale vel minus eil aua- iy.y.w itcquaie vei minus elt qundrato FE, DB vero non major dimidio latere redo, fequitur duplum reftanguli DBF non majus eflequadratoFE: ergo addito utrinque quadrato DF, erit duplum reétanguli DBF una cum quadrato DF non majus quadrato DE. led duplum reftanguli DBF una cum quadrato ) theor. 6." [Huygens]. figura" [portionis^Tphae'rae]' 'leuiorh/liuniid "T ^ ' éditio" lle toininandin: „Qitód si P aej „leuior m hunndum dcm.ttatur, ita ut basis tota sit in huraido; c ^ Ae ( f ) A V J DF. IIS QUAE LIQUIDO SUPERNATANT. LIBER I. 1650. DF excedit quadratum DB, quadrato 1' B. Igitur quum duplum reétanguli DBF una cum quadrato DF non majus efle demonrtratum fucrit quadrato DE, erit quadratum DB minus quadrato DE; quare et DB minor quam DE; quod'erat oftendendum. Theorema io. Recta portio Conoidis parabolici, ft axem habuerit minor em quam fubfcfquitertium =*) lateris re&ia 26), et proportionem ad liquidum in gr avitate quamcunque; liquido fupernatans demerfo vertice, confifiet axe ad liquidi fuperficiem perpendiculari. 27) Sit reéta portio Conoidis parabolici ACB, cujus axis DC minor fit % lateris redi et liquido fupernatans polita lït refta, ita ut axis DC fit perpendicularis ad liquidi luperficiem quae fit 1" G (ponendo videlicet portionem ad liquidum in gravitate habere eam proportionem quam pars FCG ad totam portionem,) dico eam ita pofitam necelïario confirtere. Si enim fieri potell inclinet ad partem aliquam ita ut jam liquidi fuperficies fit VT. Et intelligatur portio fecari per axem plano ACB, refto ad liquidi fuperficiem. dividatur autem axis DC in E ita ut pars EC reliquae fit dupla, eritque E centr. gravitatis conoidis ACB, hoe enim a Comman- „insidebit recta, ita ut axis ipsius secundum perpendicularem constituatur". (Heiberg, T. II, P- 370- 20 >Jc. theor. 7." [Huygens]. 4) Inutile de faire remarquer que Bü est inférieur ou égal au rayon de courbure du sommet lï de Ia parabole ou hyperbole EBC. "5) C'est-a-dire „les trois quarts". ) Huygens annota en marge: „a. latus rectum conoidis appello id quod est latus rectum paraboles quae fit si conoides secetur plano per axem vel axi parallelo,omnes enim sectiones liae exhibent eandem parabolen." [Comparez la pièce N°. IX, a la page 52 du Tome présent]. „Ea autem quae Archimedi appellatur adjecta axi, dimidium est lateris recti". Ajoutons qu'on doit lire ici „quae usque ad axem", au lieu de „adjecta axi", puisque Archimède réserve cette dernière expression: „naieovan rw «|o v" au cas de la conoïde hyperbolique, oü elle indique le demi-diamètre de Thyperbole méridien. (Comparez T.I,p. 278 et 279 de Fédition de Heiberg). La ligne que Huygens a en vue et qui se rencontre dans le cas de Ia conoïde parabolique est appelée par Archimède „r« pé/Qt, tov ci$ovog" (Comp. Heiberg, T. I, p. 304) ce qui se traduit chez Commandin par „quae usque ad axem", expression dino demonftratum eflï8). porro lecetur VT bifariam in M, et ducatur MS parallela DC, eritque ea axispartis merfaeVST,aequalis axi RCpartisFCG*2J>), quia panes ipfae funt aequalesc 3°). Item dividantur MS, RC in I et L, ficut axis DC divifus tuit in E, eruntque I et L centra gravitatis partium VST, FCG. Per l ducatur NI parallela VT, in eamque ex E cadat perpendicularis EK 3I). eidem V 1 ducatur parallela SQ, quae ideo continget fectionem ACBin pundto Sd 3*). Sit item KX parallela axi DC, et XO parallela KE: et jungantur IL et SC, quae iimiliter inter fe parallelae erunt, eo quod LC, IS funt aequales, utpote lublefquialterae 33) axium aequalium RC, MS. Eftigitur triangulus OXQ triangulo EKN fimilis et aequalis, ideoque latus OX aequale lateri EK, et latus OQ qu 011 retrouve dans lefhéoréme de la note 27 et dans quelques antres théorèmes cités dans les notes suivantes. Voir d'ailleurs le „Commentarius" de Commandin a la page 11 verso de 1'ouvragecitédans la note 4, oü 011 lit: „Linea, quae usque ad axem apud Archimedem, est dimidia eius, juxta quam possunt, quae a sectione ducuntur; ut ex quarta propositione libri de conoidibus, & spheroidibus apparet. cur uero ita appellata sit, nos in commentariis in eam editis tradidirnus". Consultez ponr ces derniers coinmentaires la page 30 recto des „Commentarii" qu'011 trouve dans I'ouvrage:„Archimedis Opera non nullaaFedericoCommandinoUrbinate nuper in Latinnm conversa, et commentariis illustrata. Quorum nomina in sequenti pagina leguntur. Cum privilegio in annos X. Venetiis, apud Paulum Manutium, Aldi F. MDLVIII." 40. * )Théorème correspondant a la Prop. II Libr. II, p. 10 recto, de 1'édition de Commandin, citée dans la note 4: „Ilecta portio conoidis rectanguli, quando axem babuerit minorem, quam sesquialterum" [1] „eius, quae usque ad axem" [voir la note 26] „quamcunque proportionem habens ad liumidum in gravitate; demissa in humidum, ita ut basisipsiushumidum non contingat; & posita inclinata, non manebit inclinata; sed recta restituetur. llectam dico consistere talem portionem, quando planum quod ipsam secuit, superticiei humidi fuerit aequidistans". (Heiberg, T. II, p. 376). On remarquera que la démonstration qui va snivre di ftère de celle suppléée par Commandin. -") Aux pages 41 verso—45 recto de Pouvrage suivant: Federici Commandini Urbinatis Liber de Centro Gravitatis Solidorum. Cum privilegio in annos X. Bononiae,Ex Oflicina Alexandri Uenacii. 1V1DLXV". 40. P1** -5' Archim. de Conoid." [Huygens]. II s'agit de la Prop. XXV, p. 41 recto de 1'édition de Commandin, citée vers la fin de la note 26: „Si rectanguli conoidis duae portiones abscindantur; altera quidem plano super axem erecto, altera antem non erecto: et sint portionum axes aequales: ipsae quoque portiones aequales erunt" (c'est la Prop. XXIII de 1'édition de Heiberg, p. 405 du T. I.). ,0) „C Theor. 4, lib. I." [Huygens]. Voir le „Theorema 4"p. 100 du Tome présent; theorème qui équivaut a la loi d'Arcliimède. SI") Dés lors il ne s'agira plus que de prouver qu'011 a EK > EL, ,s) „d per conv. prop. 5 lib. 2 Con." [Huygens]. Voici cette proposition, telle qu'011 la trouve a la page 45 verso de 1'édition des „Coniques" d'Apollonius, citée dans la pièce N°. 5, note 4 (p. 6 du T. I): „Si parabolae, uel liyperbolaediameter lineam quandam bifariam secet; quae ad terminum diametri contingit sectionem aequidistans est lineae bifariam sectae". 33) C'est-a-dire: deux troisiémes. lateri EN;led et lineae CQ, LNaequales funt, propter triangulaCSQ, LIN limilia et aequalia; ergo auferendo aequalia ab aequalibus, remanet OC aequalis EL. Quia autem DC minor eil J lateris redtis, et EC est § DC, erit EC minor quam A five i lateris reéti; ergo EL live OC multo minor dimidio lateris reéti: quare OX(etiamli in circumferentia fedtionis te'rminari dicatur)major erit quam OO34). Igitur et EK major quam EL. Quia autem NI traniit per I centr. gr. partis VST et parallela ell luperficiei liquidi VT, lequitur lineam EK quae in eam perpendicularis ell, efle altitudinem centri grav. portionis totius, fupra centrum gravitatis partis merfae VST. EL autem limiliter eil altitudo centri gr. totius portionis lupra centrum gr. partis merlae FCG: Igitur quia EK major EL, altitudo centri grav. totius portionis lupra centr. grav. partis merfae major efïet litu portionis lecundo, mota videlicet portione, quam fuerat litu primo, cum llaret recta, quod eft contra Theor. 6 h. lib. Quum itaque abfurdum iit portionem ad ullam partem inclinatam dicere, necelTario recta conliftet; quod erat demonstr. Theorema i i , R ecta portio Conoides parabolici, jt axem habuerit minorem quam fubfefquUertiiim lateris recïi, et ad liquidum in gravitate portionem quamcunque: liquido fupernatans demerfa ba fe, confiflet axe ad liquidi fuperficiem perpendiculari. 35) Repetatur figura praecedens led inverfa, jamque pars merfa iit BGFA , litque portio polita litu refro, adeo ut axis CD perpendicularis iit ad liquidi fuperficiem GF.dico portionemBCA ita politam neceffario conliftere. Si eniin lieri potelt inclinetur,ita ut jam fuperficies fit TV. Igitur conllruétis reliquis ut ïupia, ctemonltiabitur eisdem verbis EK majorem elTe quam EL. unde repugnat •14) Lemm. praec." [Huygens]. ) Théorèmc corrcspondant a la Prop. IIÏ, Libr. II, p. 12 verso, de l'édition de Comniandin : „Recta portio conoidis rectanguli quando axem habuerit minorem, quam sesquialterum" [|] »eius quae usque ad axem, quamcunque proportionem habens ad humidum in grauitate; demissa in humidum, ita ut basis ipsius tota sit in humido; & posita inclinata, non manebir' inclinata, sed ita restituetur, ut axis ipsius secundum perpendicularem fiat". CHeiberi> T II P-3 7«)- I heoremati 7. h. lib. ut portionem motain dicamus, quum prius LE fueritaltitudo centri grav. partis enatantis iupracentr.gr. totius portionis, pollea vero ea altitudo iït KE. Confidet igitur portio: quod erat dem. Theorema 12. Keela portio Conoidis parabolici axem habeiis majurem tribus qiuirtis lateris rccii^/i in gravitatc ad liquidum majorem habcat rationem cd quant habct quadratum quod fit ah excejju axis fupra tres quartas lateris recti, ad quadratinii axis,* fupernatans liquido demerjo verticc confiftet axe ad liquidi (uperficiem p erp en die lil ar i. 3); dimidiumque minoris diametri ejufdemellipfeos (quod diverfum non eft ab ordinatim applicata in seétione circulari MN) poterit reétan- 4 ) P1 • Archim. de Conoid". [Huygens]. Comparez la note 40. 47) „C Theor. 7. h. lib." [Huygens]. 4S) Huygens, ayant achevé de retrouver a Taide du principe formulé dans les théorèmes 6 et ~ les conditions, donnéespar Archimède, de la stabilité de Péquilibre d un segment de conoïde parabolique, ilottant avec son axe dans la direction verticale, laisse de cöté les beaux théorèmes d'Archimède qui se rapportent a la flottation des mêmessegmentsdansune position inclinée. II procédé a appliquer le même principe a d'autres corps llottants et commence a eet ettet par préparer, au moyen du lemme qui va suivre, la solution du cas du cöne de révolution. 4y) prop. 3. lib. 2. Conic." Voir, a la page 44 verso des „Coniques", ouvrage cité p. 6 du gulum MKN; hoe vero reétangulum aequale ell quartae parti figurae* s°), five quadrato EG^1), igitur tota minor diameter ellipfeos aequalis ell lineae EF, elliplis itaque IL ell ad cireulum EF, (icut diameter IL ad diametrum EFrf : et quum ablciflor coni IBL ad conum EBF habeat proponionem compolitam ex proportione bafium ellipticae ad circularem, et ex proportione altitudinum, componetur ideo dicta proportio abicifToris IBL ad conum EBF, ex proportione lineae IL ad EI' et ex proportione altitudinis BH ad altitudinem BG. Verum et triangul. IBL ad triangulum EBF habet proportionem compolitam ex diélis proportionibus, nimirum ex proportione bafium IL ad EF, et altitudinum BH ad BG; ergo abfeiflor IBL est ad conum EBF, ficut triangulus IBL ad triangulum EBF. Ei autem trianguli sunt aequales (quoniam id quod continetur lateribus IB, BL, aequale ell ei quod continetur lateribus EB, BF,*s3)) ergo et abfeiflor IBL aequalis ell cono abfeiflo EBF, quod erat ostendendum. T.I: „Sihyperbolen contingat recta linea, cum utraque asymptoton conveniet, & ad tactum bifariamsecabitur: quadratum uero utriusque eius portionis aequale erit quartae parti figurae, quae ad diametrum per tactum ductam constituitur". 5°) Prop. 10. lib. 1. Conic." Voir a la page 46 verso des „Coniques"(éd.Comm.): „Si recta linea sectionem secans cum utraque asymptoton conveniat; rectangulum contentnm rectis lineis, quae inter asymptotos & sectionem interiiciuntur, aequale est quartae parti figurae factae ad diametrum, quae aequidistantes ipsi ductae lineae bifariam dividit." ) prop. I. lib. 2. Conic. Voir a la page 43 verso: „Si hyperbolen recta linea ad verticem contingat: & ab ipso ex utraque parte diametri sumatur aequalis ei, quae potest qnartam ligurae partem: lineae, quae a sectionis centro ad sumptos terminos contingentis ducuntur, cum sectione non convenient". 52J) d prop. 7. Archim. de Conoid." II s'agit de la prop. VII, p. 31 verso del'édition de Commandin, citée vers la fin de la note 26 c „Spatia acutianguli coni sectione contenta eam inter se se proportionem habent, quam quae fiunt ex coni acutianguli sectionum diametris rectangula." (C'est la prop. VI de Tédition de Heiberg, p. 315 du T.I)U 53) „e prop. 43. lib. 3. Conic." Voir a la page 94 verso des „Coniques" (ed. Comm.) „Si hyperbolen recta linea contingat, abscindet ex asymptotis ad sectionis centrum lineas continentes rectangulum aequale ei, quod continetur lineis ab altera contingente abscissis ad uerticem sectionis, qui est ad axem". Theorema 14. Conus ifofceles fi in gravitate ad liquidum non minorem hab eat r ationem quam duplicatam cubi axis ad cubum lateris; liquidojupernatans demerfo ver tic e confiftit axe ad liquidi fuperficiem perpendiculari.54) Ello conus ABC, axem habens BD, et duéla DE perpendiculari ad unum è late¬ ribus BC, fiat planum EF bafi AC parallelum , eritque conus FEB ad conum ACB in duplicata proportione cubi axis BD ad cubum lateri BC; nam quia trianguli DEB, EKB funt reólanguli, habentque cominunem angulum ad B, erunt fimiles, ideoque latera KB, BE, BD proportionalia; itaque KB ad BD efl in duplicata proportione KB ad BE five DB ad BC, et cubus lineae KB ad cubum BD, five conus FBE ad conum ABC in duplicata proportione cubi axis DB ad cubum lateris BC. Cono ABCigiturinliquidumdemifTo, nofironnp hyp nR demergatur conus XBV; et quoniam pars merfa efl ad totum ficut conus ad liquidum in giavitate, coni autem ad liquidum in gravitate non minor ponitur proportio quam duplicata cubi axis ad cubum lateris, id ell non minor ea quam habet conus FBE ad conum ABC, manifeflum ell conum demerfum XBV non minorem fore cono FBE. dico autem conum ABC ita pofitum confiflere. Nam fi potefl inclinet ad aliquam partem, ita ut liquidi fuperficies jam fit Hl: et intelligatur conus fecaii per axem plano ABC reclo ad liquidi fuperficiem; fitque G centrum grav. coni ABC; M centr. gr. coni XBV, et R abfcifToris HBI, cujus axis fit BRL. porro fiat planum NMO bafi AC parallelum, et planum PRQ parallelum plano Hl; et cadat in diametrum PQ perpendicularis GS. 5S) Quiim igitur punéla M et R quae funt centra grav. portionum XBV, HBI, axes 1B, et LB fimiliter dividant, erit conus XBV ad conum NBO, ficut absciffor 54) La condition de lastabilité de 1'équilibre d'un cóne de révolution flottant, 1'axe étant dans la situation verticale avec le sommet en bas, fut publiée pour la première fois, par Daniël Bernoulli, dans les Comment. Acad. Petrop. de 1'année 1738, p. 163. Elle est identique avec celle de Huygens, d après laqnelle la stabilité de 1'équilibre exige que la densité relative du cöne, par rapport a celle du fluide, excède 011 égale la valeur BDÖ: BC6. ss) D'après le „Theorema 6" il suffira donc dès lors de prouver qu'on a GS > GM. Ajoutons qu'en janvier 1652 Huygens a essayé de substituer a la démonstration qui va suivre, une autre que 1 on trouvera dans 1'Appendice II du traité présent. HBI ad abfcifforem PBQ, et commutando; quare ficut conus XBV feftori HBI aequalis, ita et conus NBO aequalis abscifïbri PBQ. Si igitur defcribatur hijperbole MRY.vertice M, et ad afymptotos BA, BC, eam continget linea PQ" et quia PQ ad contaélum bifariam dividi debetb *7), ficut dividitur a punfto R, manifeftum eft punftum R fore punétum contaftus. Porro quum BM fit ad BT ut BG ad BD (centra enim gravitatis M et G, axes BT et BD fimiliter dividunt) eft quoque commutando ficut BT ad BD ita BM ad BG: BT autem ad BD non minorem habet rationem quam BK ad eandem BD, five quam quadratum BK ad quadratum BE, ergo et BM ad BG non minorem habet rationem quam quadratum BK ad quadratum BE, five quam quadratum BM ad quadratum BO: quare et dividendo4I) BM ad MG non minorem quam quadratum BM ad quadratum MO. Eft autem quadr.MO aequale quartae parti figuraec s8), efl. reftangulo fub BM et fub dimidio lateris reéti hijperboles MRY; fed ad hoe rectangulum quadratum BM propter communem altitudinem eam habet rationem quam linea BM ad dimidium lateris reéli, ergo quadratum BM eft ad quadratum MO ficut linea BM ad dimidium lateris refti. Oftenfum eft autem lineam BM ad MG non minorem habere rationem quam quadratum BM ad quadr. MO; ergo linea BM ad MG non minorem habet rationem quam eadem BM ad dimidium lateris refti: Itaque MG non major dimidio latere redo. Unde linea GS quae ad tangenten! I Q perpendicularis eft (etiamfi ad hijperboles circumferentiam terminal i dicatur) major eft quam GM^quod eft abfurdum; nam quoniam linea GS pofterioii coni pofitione eft altitudo centri gravitatis totius coni fupra centrum gravitatis partis merfae HBI, eaque altitudo priori pofitione eft GM, deberet GS minor efTe quam GMefio). Non poteft itaque conus inclinare ad ullam partem, quare reétus confiftet, quod erat demonftrandum. Theorema 15. Conus ifofceles fi in graviteit6 ad liquiduin non majorem pvopovtioncm habuerit ea quam liabet excejfus cubi lateris fupra cubum lineae, quae fit ad axem ut axis ad coni latus, ad cubum lateris; ïiquido fupernatans demerfd bafe,, confiftit axe ad fuperficiem liquidi perpendiculari.6l) Repetatur figura praecedens, et invertatur; et habeat conus ad liquidum in •sr') „a lenim. praeced." [HuygensJ. ? prop. 3. lib. 2. Conic." [Huygens]. Comparez la note 49. *8) On retrouve en marge le signe de renvoi „c"; mais la citation manque. Elle pouvait étre identique avec celle de la note précédente; et c'est peut-étre la raison qu'elle a étésupprimée. 59) „d lemm. 1 h. lib." [Huygens]. Voir la page 106. Theor. 6. h. lib." [Huygens]. ") La condition de stabilité exige donc que la densité relative S du cóne soit plus petite que, ou gravitate proportionem quam habet portio CVXA, non major CEFA, ad conum integrum ABC; quae proportio propterea non major erit ea de qua diétum, nempe quam habet differentia cuborum AB, FB ad cubum AB: portio enim CVXA eft ad conum ABC ut differentia cuborum AB, XB, ad cubum AB, quae minor eft proportio quam differentiae cuborum AB, FB ad cubum AB. demi (Tb itaque cono ABC in liquidum, axe ad liquidi fuperficiem reéto, portio demerfa erit CVXA, quia haec eft ad conum ABC ficut idem ad liquidum in gravitate. Oftendendum eft autem conum ita pofitum confiftere. Si notpft inrlinpf nr mm liquidi fit IH. Conftat igitur ex demonftratione Theorematis praec. lineam GS majorem ette quam GM. verum id hic quoque abfurdum eft; nam quia GS pofteriori coni pofitione eft altitudo centri eravitatis nartis enatanris TRH f.mr* rPn. trum gravitatis totius coni, eaque altitudo priori pofitione eft GM,deberetGS major eïïe quamGM"62). Abfurdum itaque eft dicere conum inclinaiïe; ergo reftus confiftet, quod erat demonftr. Propos, i 6. Problema i. Data proportione cujufvis materiae ftilidae quam ad liquidum habet in gravitate., conum excdfacere,qui in liquidum demijjus ver tic e demerso re&us confiflat. Data fit proportio materiae ad liquidum in gravitate, quae eft lineae AadB. Inveniantur inter A et B duae mediae proportionales, quae fint CD, CE; et égale a, i — g^-ö.Commeonle voitfacilement, il y adescas^-^6>i; i —j5 oü 1'éqiiilibre du cóne flottant ne peut être stable dans aucune des deux situations qui sont compatibles avec Ia direction verticale de 1'axe; mais Huygens se contente d'avoir donné les conditions de la stabilité pour la position verticale et ne s'occupe pas de la flottation dans des positions inclinées. 62) „a Theor. 7. h. lib." [Huygens]. fiat ciiculus diametro CE, duéMque FDG quae diótam diametrum CE fecet in D ad angulos reftos, jungantur CF, CG, dico conum FCG efle qui qiiaerebatur Jungatur enim FE. Sunc igitur CD, CF, CE, continué proportionales, qu'are CD ad CE in duplicata proportione CD ad CF; elt autem ut CD ad CEfic A ad CO, igitur A ad CD quoque in duplicata proportione CD ad CF; unde et cubus A ad cubum CD in duplicata proportione cubi CD ad cubum CF. cubus autem A ad cubum CD elt m tnplicata proportione lineae A ad CD; quod idem elt ac fi dicamus cubum A e(Te ad cubum CD, ficut eft linea A ad B, (nam A ell ad B in tnplicata ratione A adCD,quumBlitquarta proportionalium in ratione eédem-) gitur A ad B, id ell conus FCG ad liquidum in gravitate, ell in duplicata pro portione cubi axis CD ad cubum lateris CF. Quare 11 conus FCG demittatur in M ^.emerfo vert"le'conliftet reft"s " S3)> qualem invenire oportebat. Mamfellum autem ell, omnes ex data materia conos, quorum angulus ad verneem aequalis vel major erit angulo FCG llmiliter reftos confillere debere Propositio 17. Problema 2. Data proportione cujufvU materiae folidae quam ad liquidum habet in gravitate conum ex eafacere qui in liquidum demijjm demerfd bafe, rectus confiftat. Sit data proportio quae eft lineae AB ad AC. Inveniantur inter earum differentiam quae eft CB et ipfam AC duae mediae proportionales DE et DF. faétoque circulo ad diametrum DF, ducatur HEG quae diametrum DF fecet ad angulos reftosin E, et jungantur DH, DG. dico conum HDG efle quem invenire oportebat. Jungantur enim FG, et fit EK ad lat lis DG perpendicularis. Sunt igitur FG, EK parallelae, ideoque ut DE ad DF, iive ut CB ad DE ita DK ad DG : cubus autem DK ad cubum DG eft in triplicata ratione lineae DK ad DG, ergo etiam in triplicata ratione lineaeCBadDE.ratioautem triplicata CB ad DE, eft ea quam CB habet ad CA, (quia CA eft quarta proportionalis in ratione CB ad DE;) igitur cubus DK ad cubum DG eft ut linea CBad CA: et dividendo, differentia cuborum DK, DG ad cubum DG ficut AB ad AC, id eft 3) Theor. 14. h. lib." [Huygens]. ficut conus HDG ad liquidum in gravitate. Conus itaque HDG ad liquidum in gravitate non majorem habec proportionem fed eandem quam excefluscubi lateris fupra cubum lineae quae eflad axem ut axis ad coni latus,habet ad cubum lateris; ideoque in liquidum demiffus demerfa bafe, confiftet axe ad liquidi fuperficiem recto " ó4), ut oportebat. Similiter vero reéli confiftent omnes coni ex illa materia, quorum angulus ad verticem aequalis vel major erit angulo HDG. 64) Theor. 15. h. lib.'' [Huygens]. DE IIS QUAE SUPERNATANT LIQUIDO LIBER 2. ') De Parallelepipedis. Certum quidem eft fuperficiebus nullam tribui poffe gravitatem, cumque nihilominus videamus Geometras 2) earum gravitatis centra investigare, hoe illos eö facere intelligimus, quöd determinatis hifce centris inquocunque plano, non referat in quantam altitudinem idem ducatur, 3) Similis autem confideratio locum habet in hujufce libri Theorematis, et fciendum, reétangula quae propo- nuntur, bafes elTe parallelepipedorum, quorum longitudo ad arbitrium fingi poflit. Ita quod demonftratum elt de quadrato ABCD, fubduplam habente pro- ') Dans le livre qui suit, Huygens, après une courte introduction de portée plus générale s'applique a donner une solution aussi complete que possible desproblèmes qui se rattachent a 1'équilibre d'un parallélipipède rectangle flottant dont les arêtes longitudinales restent parallèles au niveau du liquide. 11 débute par discuter les conditions pour lesquelles cette supposition sera remplie. 0 Le manuscrit fait précéder au mot „Geometras" les mots biflfés: „Archimedem et aliosque." 3) Le manuscrit ajoute encore les mots suivants, biffes depuis: quum semper hoe modo corpus efficiatur, cujus centrum gravitatis futurum sit in recta, quaejungit centra gravitatis oppositarum basium." portionem ad liquidum in gravitate, illud liquido impofitum ad perpendiculum, ita fponte fua componi, ut media pars ADC demergatur; idem affirmari credatur de parallelepipedo cujuflibet longitudinis ut AE, quod quadratum bafin habeat et in gravitate^ ad liquidum fubduplam proportionem. Ubi notandum, quód etiamfi exigua tantum, refpeéhi bafis, fuerit altitudo feu longitudo parallelepipedi, ut PA, vel minor etiam, tarnen illud confiftet lateribus FA et reliquis fuperficiei liquidi parallelis, modö ita impofitum fit; neque enim erit cur magis in hanc quam in illam partem procumbat. Et hoe quidem Geometricè loquendo: Caeterum experienti aliud eveniet; namque hoe parallelepipedum altitudinis AF, proculdubio ad alterutram partem inclinabit, donec planum basis ABCD fuperficiei liquidi fiat parallelam: quamobrem qui fimili parallelepipedo experimentum capeie volet fequentium Theorematum, ita illud continere debebit ut planum bafis ABCD femper perpendiculare maneat ad liquidi fuperficiem;4) verum qui molestiam hanc effugere volet,is longitudinem parallelepipedi duplam faciat maximae in base diametri, vel tantum ut ad hanc ratione habeat quamquinque ad tria: Et certus fit hujufmodi parallelepipedi latera, fi fecundum longitudinem liquido impofitum fuerit, femper ejusdem fuperficie parallela fore. Nam non tantum de paiallelepipedo verüm in univerfum de omni corpore cylindroïdeo, quod bafium oppofitarum ambitum habet in eafdem partes cavum, quo praeter parallelepipe- 4) Au Iieu du passage qui va suivre, jusqu'aux mots: „Nam non tantum'on trouvait primitivement ce qui snit: „quod commode fieri poterit duobis planis perpendicularibus, quae distent inter se spatio FA. Verum nihil hisce opus erit si in multam longitudinem extendatur parallelepipedum ut AE, tum enim ultro jacebit, imo et erectum recidet. Sed bene hic interrogabor, quanta igitur longitudo futura sit paiallelepipedi, si illud jacere velimus. et puto quidem non majori opus esse, quam cujus longitudinis quadratum ad quadratum maximi in base lateris 1 ationem habeat quam tria ad duo; idque propter Theorema 4tum Qisez: adumj ex quo manifestum est tum saltem non majorem requiri, quum ex figura basis et conveniente gravitate, parallelepipedum ita liquido supernatat, ut alterum laterum basis ad superficiem liquidi faciat angulos rectos. Verüm si quis metuet ut eadem longitudo sufficiat parallelepipedo, quod contra sic liquido supernatet ut neutrum laterum basis ad superficiem liquidi perpendiculare sit, velut hoe quod modö propofitum fuit, is producat eandem longitudinem donec rationem habeat ad maximum in base diametrum quam quinque ad tria et certus fit hujufmodi paralellepipedi longitudinem feu latus, quomodocumque liquido impofitum fuerit, femper ejusdem superficiei parallelam manfura." A propos de ces phrases biffées Huygens avait annoté au crayon: „malim haec omnino explorata habere, quam hic dubiè aliquid afTen-c." 16 dum cylindrus quoque et prisma continentur, idem affirmare 1 icet • ejusque ccrtiflima e(l demonitratio, quam tarnen hic afferre vifum non fuit, turn quöd caeterorum Theorematum veritas ex ea non pendeat, tuin maximè quöd afferere nolim, non minorem longititudinem omnibus praedictis corporibus fufficere. 5). Theorema i. Corpus jolidum liquido jupernatans, non quiefcet, nifi cum linea, quae jungit centrum grav. totiuscorporis cum centro grav.partts merfae, vel enatantis, fuerit perpendicularis ad fuperficiem liquidi, et (i non fuerit perpendicularis, corpus ad eam partem ultro inclinabit ad quam inclinat diiïa linea. Sit corpus ABCD fupernatans liquido, cujus fuperficies Hl. centrum grav. totius corporis fit E, partis veró merfae F, et enatantis G. linea autem EF vel EG (Tunt enim in eadem recfta) non fit perpendicularis ad fuperficiem Hl, led inclinet ad partem C; dico corpus ABCD non quiescere fed inclinare ad eandem partem. Si enim fieri potell quiefcat, et deinde ita firmari intelligatur ut tantum circumagi poffit ad axem exhibitum punéto L, ubi linea GF intersecatur a liquidi fuperficie ita ut circa centrum L converti poflit. ) Nous ïegrettons toutcl'ois de nc pas posséder cette démonstration et de 11e pas avoir réussi a y suppléer. ) F>a démonstration qui va suivre, et qui avait déja subi plusieurs altérations, comme 1'état du manuscrit le prouve, a fini par ne plus satisfaire & Huygens, puisqu'il Pa biflfée aprês coup. II est vrai que nous possédons du méme „Theorema" une autre démonstration, écritesur une feuille détachée et que nous avons reproduite dans 1'Appendice III. Mais cette démonstration nous semble plutót antérieure a celle du texte; et méme, s'il en était autrement, on en devrait conclure qu'elle a semblé a Huygens encore moins satisfaisantepuisque en trawant la iigure 2, que nous donnons telle qu'elle était destinée a la publication définitive du traité, (voir la page 90 de rAvertissement), il est évidemment revenu a la rédaction du texte. En elïet, il y a tout lieu de s etonner que Huygens, pour autant que nous connaissons ses manuscrits, n'ait pas réussi, ce qu'il a tdché certainement, de rattacher le „theorema" en question aux „theoremata 6 et 7" du „liber 1" et par ce inoyen aux hypotheses fondamentales, formulées au commencement du traité. Avec nos méthodes de raisonnement modernes cela n'aurait pas été difficile. Pour y réussir on n'a qu'^i se représenter le corps Hottant dans une situation voisine choisie tellement Si quidem igitur corpus ABCDantea quiefcebat, etiam nunc quiefcere debebit, (certum enim eil in corpore quiefcente quotlibet punfta firmari pofle, ut tarnen illucl non commoveatur;) atqui finnato punéto L quia pars merfa HD1 levior eft liquido fuae molis, punftumque L circa quod vertitur non eil ad perpendiculum fupra centrum fuae gravitatis F ideo inquam pars HDI afcendet a parte H nifi impediatur a parte HABCI quae liquido exftat. Verum pars I IABCI quum fuftineatur in L, quod non eft ad perpendiculum centro fuae grav. fuppofitum, defcendere conabitur a parte C, non obrtabit igitur motui partis merfae HDI fed eandem juvabit, totumque corpus ABCD afcendet a parte A et delcendet a parte C; Itaque firmato corpore circa axem L, opus ell duobus ponderibus M et N, (quae manifeftö erunt ad eandem partem axis L) ut ne inclinet ad partem C: unde liquet quod eodem inclinabit fublatis hifce ponderibus. Ergo etiam antequam firmaretur circa axem L, non quiefcebat, fed inclinabat verfus partem C. quod erat demonftrandum. que lepoint I' de la nouvelle ligne de niveau se trouve plus prés de Cque le point I, et H'plus prés de D que H. Alors, en prenant les moments par rapport au plan Hl, on voit facilement que le nouveau centre de gravité F' de Ia partie immergée DHT ne se sera rapproché ni eloigné du plan III que d'une quantitéinfiniment petite du second ordre. Donc, dans la situation de la figure, la uifférence de niveau de F' et G sera quasi la même que celle de F et G; ma is pour amener le corps llottant dans sa situation nouvelle on devra le faire tourner d'un angle égal a celui de H'I' avec H 1, et dans le même sens. Or, puisqu'il ne s'agit que de la position relative de F' par rapport a G, on peut tourner autour de G et il est évident qu'alors la différence de niveau entre F' et G s'amoindrira. Elle sera donc, dans la situation nouvelle plus petite que celle entre F et G; et, d'après le „Theorema 6" du „liber 1", le corps sera' donc libre de se mouvoir dans le sens indiqué. Et ce même raisonnenient nous apprend encore que le plan tangent de la surface, qui est le lieu dans le corps du centre de gravité F de la partie immergée, sera toujours paralléle a la surface de niveau III. Pour le voir il suffit de remarquer queladroite FF'(oii F'est pris dans sa situation primitive,c'est-a-dire, avant la rotation autour de G) sera toujours paralléle a la ligne III, puisque les distances de F et de F' a III ne différent que d'une quantité infiniment petite du second ordre. Ajoutons que cette dernière propriété dont la découverte fut attribuée a Dupin par M. Paul Appell dans son „Traité de mécanique rationelle" (voir les pp. 192 195, T. ^,de 1 édition de 1903, Paris, Gauthier-Villars), fut déja formulée et démontrée en 1746 par Bouguer aux pages 259 et 270 de son „Traité du navire, de sa construction et deses mouveniens. a Paris, quay des Augustins, chez Jombert." Lemma i. 7) 1 ^ Sit re£fansulum QV, cujusaxis EB, centrum T; et duSid per E,RC, quac jungat latus QJ\1 cum produ&o latere VZ), fit trapezii KCFMcentrumgrav. H; unde ducatur HZparall. RClateri obliquo trapezii, et Hl perpendicularis in axem EB. dico, ut tripla axis EB efi ad DC, ita ejje CE ad HZ, et ita quoque DC ad IZ. Item IZ, dividi bifariam a centro rectangi. T. Divifis enim CV et RM bifariam in O et N,ducanturROet VN,quaeerunt diametri triangulorum CRV, RVM. hae rurfus dividantur in A et S, ita ut Dartes ad verricem relirmnnim fint rln_ p]ae, et ducantur AS et NO, quarum haec tranfibit per Y et H, centra gravitatis reftanguli QV et trapezii RCVM -8). Item ducantur AX, SG parall. EB: eidemque parallela TK, quae tranfeat per H. Quia itaque RO et VN funt diametri triangulorum CRV, RVM, et RA dupla AO, ut et VS dupla SN. fequitur, A et S diótorum triangulorum efle centra grav. ei go SA tranfit per H, centr. grav. trapezii RCVM; atque ita in H dividitur, ut pars SH ad HA fit ut triang. CRV ad RVM, id ell, ut bafis CV ad balïn RM' ergo etiam GH ad HX, ut CV ad RM; quare etiam ut CV et RM fimul ad fuam differentiam, id ell, ut duplaEB ad duplam DC, five ut EB ad DC, ita GH et HX fimul ad fuam differentiam quae ell dupla HY, five, funipto utrinque dimidio, ita XY ad YH. Sed OY ell tripla XY, ergo eft tripla EB ad DC, ut OY ad HY,' five ut EC ad TE vel HZ; quod erat primum. Et quia triangula ECD, HZI funt fimilia, eft quoque ut EC ad HZ, five ut tripla EB ad DC, ita CD ad IZ • quod erat alterum. ' ) A vee les trois, „lemmata" qui suivent, Huygens va construire, pour ainsi dire, réchafaudage géométrique dont il aura besoin dans ses recherches sur 1'équilibre des parallélioipèdes flottants. r ' 8) Huygens annota en marge: „a pr. 15. lib. 2. Arch. de aequipond"; mais il s'agit du „lib. 1" de 1'ouvrage cité. Comparez la page 183 du Tome 2 de Péditionde Heiberg oü laproposition en question est formulée corarne il suit: „Cuiusuis trapezii duo latera inter se parallela habentis centrum grauitatis in ea linea positum est, quae media puncta parallelarum iungit, ita diuisa, ut pars eius terminum habens punctum medium minoris parallelarum ad reliquam partem eam habeat rationem, quam habet linea duplici maiori aequalis simul cum minore ad duplicem minorem simul cum majore parallelarum." Porró quum Y fit centr. grav. reftanguli QV, eft BY dimidia BE; fed et KH dimidia eft TK; ergo difFerentia duarum BY et HK, quae eft YI, eft dimidia differentiae TL duarum EB et TK. TL autem manifeftö eft aequalis IZ, ergo IY dimidia quoque ipfius IZ; quod erat tertium. Lemma ï. 9). Sit Re&angulum KM, a quo abfcijjum fit reftangulum DM, et trapezium ejufdem magnitudinis RCVM: agatur autem per H lë' 4' centrum grav. diBi trapezii linea ZHP paral-v a k ejusdem latcri obliquo RC: etdemittatur perpendicularisFG ex F centro re&anguli KM in lineam ZR. dico in linea ZR, p ar tem Z G, interceptam ab hdc perpendiculari et AB axe reftanguli KM, majorem, aequalem autminorem fore aparte ZH, intercepta ab eodem axe ABetHcentr0 grav. diBi trapezii;proutfefquialterum re&anguli AEB, detraiïo dimidio quadrato D C, majus, aequale, vel minus erit quartd parte quadrati ba fis M V vel NK id ell quadrato AK. IO) Sit primö fefquialterum reétang.i AEB detraéto dimidio quadr. DC majus quadrato AK; dico GZ majorem fore ZH. Sit enim Y centrum re&ang. DM, et ex H u -B v cadat in axemperpendicularis Hl. N . Quum igitur tripla EB fit ad CD, ut CD ad IZ « "); ent reftang. lub tripla EB et IZ aequale quadrato DC; et reélans;. fub tripla EB et dimidia IZ, quae eft YZb I2), aequale dimidio quadrato DC. porró ) Pnmitivement le lemme avait été compté coinme un théorème; mais les mots „Theorema 2" furent biffés et remplacés par „Lemma 2." C'est le lemme principal auquel Huygens aura recours constamment dans la suite. Aussi on voit aisément que le point F représente le centre de gravité du parallélipipéde flottant, H celui de la partie submergée dans une situation ou kl est la Iigne de niveau du liquide et que le sens dans lequel alors le parallélipipéde tendra a se mouvoir dépend de la situation relative des points Z, II et G. 10) En notation moderne : ZG = ZH selon qu'011 ait^-AEXEB i DC2 = AK2 ") Huygens annota en marge „a lemm. praec." I:) 99b lemm. praec." [Huygens]. quum AB fit dupla FB, et EB dupla YB; erit AE quoque dupla FY; ergo reetang. AEB duplum reftang. fub EB et FY; quare fesquialterum reftang.i AEB erit triplum reftang.i fub EB et FY, ideoque aequale reftang. fub tripla EB et 1 Y; fed et £ quadr. CD oftenlum fuit aequale efTe reftang. fub tripla EB et YZ; ergo reftang. fub tripld EB et tota FZ aequale eft fefquialtero reftang. AEB una cum dimidio quadr. DC. quum autem ponatur fefquialterum reftang. AEB cum defeftu dimidii quadr. DC majus quadr. AK vel ED, erit, addito utrinque quadr.o DC, fefquialterum reftang. AEB una cum dimidio quadr.o DC majus quadr.o EC; Ergo et reftang. fub tripla EB et FZ, majus erit quadr.o EC. Igitur tripla EB ad EC majorem habet rationem, quam EC ad FZ; atqui ut tripla EB ad EC ita necefiario eft reftang. fub tripla EB et DC at reftang. fub EC et DC; igitur et reftang. fub tripla EB et DC ad reftang. fub EC, DC, majorem habet rationem quam EC ad FZ. Atqui reftang. fub. EC et CD (quia tripla EB eft ad CD, ut EC ad IIZ 1 aequale eft reftang. lub tripla EB et HZ: igitur quoque reetang. fub tripla EB et CD ad reftang. fub tripla EB et HZ, five bafis CD ad HZ bafin majorem habet rationem, quam EC ad FZ; et permutando CD majorem ad EC quam I IZ ad FZ. fed propter fimilia triangula ECD, FZG, ficut CD eft ad EC, ita ell GZ ad ZF; igitur GZ ad ZF majorem quoque rationem habet quam IIZ ad V Z; quare GZ major HZ; quod erat oftendendum. Jam fi fefquialterum reftang. AEB, detrafto dimidio quadr. DC, aequale fit quadr.o AK; dico tuin quoque ZG aequalem fore HZ. Cujus demonftratio dependet a praecedenti. nam fi fefquialterum reftang. AEB detrafto \ quadr. DC aequale fit quadr. ED, omnia quae modo majora erant hic erunt aequalia quare et tandem GZ aequalis HZ. Similiter fi | reftang. AEB detrafto \ quadr. DC minus fherit quadr.o AK, omnia quae in praecedentibus erant majora, minora erunt, et tandem GZ minor HZ ut oportebat. Quare conftat propofitum. Manifeftum autem eft etiam tum conftare, quum punftum R incidit in angulum M, ita ut loeo trapezii abfeiffum fit triangulum, quamvis de hoe cafu fpeciatum fit Theorema fequens. 13) „c lemm. praee." [Huygens]. Lemma 3. Sit reStangulum KR, d quo abfcijjiwi triangulum RCFeductdlined RCex Fig. 5. angulorum. agatur autem per Hcentrum gravitatis dicti trianguli linea ZHP parallela RC. et cadat ex Fcentro rectangjKR, FG perpendicularis in ZP. porrö fit FD dimidia VC, et VN tres quartae VK. dico in lined ZP, partemZ G interceptam ab axe reftanguli, AB, et perpendiculari FG, majorem aequalem vel minorem fore parte ZH, intercepta ab eodem axe et centro grav. trianguli RCN; prout re&ang. VDN majus aequale vel minus erit octavd parte quadrati bafis R V, vel TK. B Sit primb re&ang. VDN majus octava parte quadrati RV; dico ZG majorem fore ZH. ducatur enim refta DL aequidiftans bafi RV, quam manifeftum eft in eodem punéto E fecare axem AB ubi idem fedus eft alinea RC et abfcindere reftnncr DR ClAniinlo f- r* 1 n 11 rr nr,\T,.s w. wwuwmw RCN 5) praeterea CD bifariam dividatur in O. Q- reftang. VDN majus eft | quadrati RV, erit duplum reétanguli VDN ld eft rectang.um fub VC et DN majus * quadr. RV, feu quadrato BV. reftang. verb fub VC et DN aequale eft exceïïui reélanguli fub VC et VN fupra reétang. fub VC et VD, id eft exceflui J reftang.i CVK fupra ± quadr. VC ergo et hic exceffiis major eft quadrato BV. sed J re&ang. CVK aequale eft redtangulo fub KV et VO; id eft reftangulis duobus, nempe rect.o fub KD et VO et rect.o lub DV et VO; id eft reétang.o fub KD et VO una cum § quadr. VC. Ergo et haec duo cum defeétu \ five f quadr. VC majora quadrato BV. Id eft re&ang.um 4) 1 rimitivement il y avait „Theorema 3." Le „Lemma" contient une simplification du lemine précédent pour le cas oü le point R coïncide avec le point M de la figure 4. En effet, les relations! AE X EB — i DC2 ~ AK2,peuvents'écrirealors(voir lafig. 5, oü VN = 3 KV): fKDXDV-iDV1^ RV2, ou bien : (J KD— ± DV) DV ^ £ RV2, c'est-a-dire: (f KV — DV) DV ^ | 11V2;(NV - DV) DV ^ £ RV2 et finalement: NDXDv|fRVs. I5) Lisez RCV. fub KD et VO live fefquialterum reétanguli KDV cum defeélu * quadr. VC five cum defeéhi \ quadrati DC majus quadrato BV; quare et ZG major erit ZH a l6), quod erat oftendendum. Jam fi reétang. VDN aequale fit octavac parti quadrati RV; dico ZG quoque aequalem fore ZII. Omnia enim quae modb majora fuere hic erunt aequalia, quare et tandem fefquialterum reétang. KDV cum defeéhi £ quadr. DC aequale quadrato BV: ideoque ZG aequalis ZHh 17), ut oportebat. Eadem ratione fi reftang. VDN minus fit octava parte quadrati RV, erit quoque ZG minor ZH. quare conftat propofitum. Theorema 2. l8) Ree tan gultim cujus quadratum ba fis quadrati lateris non efi minus quam ft'esquialterum [|], quamcunque proportionem ad liquidum habeat in gravitate; liquido fupernatans demersd baje et pojitum inclinatum, ita ut neutra bafium contingat liquidi fuperficiem, non manebit inclinatum, jed reiïum restituitur, id ejl ut axis fit ad perpendiculum. I9) Sit Reétangulum KM, cujus'quadratum bafis MV non minus fit quam fefquialterum quadrati lateris VK, habeat autem quamcunque ad liquidum in gravitate proportionem, eique fupernatet demerfa base et pofitum fit inclinatum, adeo ut fuperficies liquidi fit RC; dico Rectangulum non ita confillere fed ref- 16 ) „a lemm. 2." [Huygens]. 17) „b lemm. 2." [Huygens]. 18) Primitivement „Theorema 4" (comparez les notes 9 et 14). Ce theorème et le „theorema 3" qui suit, contiennent ensemble la solution compléte du problème de la stabilité de Péquilibre d'nn parallélipipede flottant dans la situation verticale. Cette solution est conforme a celle, publiée pour la première fois en 1746 par Bouguer dans Pouvrage cité vers la fin de la note 6. Voir la page 265 du Chapitre IV, Livre II, Section II. Euler, de même, a donné une solution identiqne, p. 107 du Tome I de Pouvrage: „Scientia navalis seu tractatus de construendis ac dirigendis navibus. Auctore Leonhardo Enlero. Prof. Ilonorario academiae imper. scient. et directore acad. reg. scient. Borussicae. Petropoli. Typis Academiae ScientiarumCID IDCCXLIX. 19) Le théorème indiqueque la position (T), voir PAvertissement è la p. 87 du Tome présent, sera stable toutes les fois qu'on aura 7 c'est-Jl-dire, toutes les fois que lepointrepré- sentatif (e, ?/) tombera au Tableau de PAvertissement dans rintérieur du rectangleORSA, ou sur la droite RS. titui, ut axis AB fit ad perpendiculum. Sic enim, divisa AB bifariam, in F centrum grav. reftanguli KM. ct H centrum gravit. trapezii RCVM, per quod ducalur ZlIP parallela RC, et in eam ex F cadat perpendicularis FG. dcnique per E ubi fuperficies liquidi fecat axem AB ducatur LED parallela MV. Quia igitur quadratum VM non ell minus quam fefquialterum quadrati KV live AB, erit quoque quadratum AKnon minus quam fesquialterum quadrati AF. quum autem quadratum AF non fit minus reélangulo AEB a 20) : erit quoque fefquialterum quadrati AFnon minus fesquialtero reétanguli AEB: quare et quadratum AK non minus quam fefquialterum reétang. AEB. Ergo fefquialterum rectanguli AEB cum defeftu dimidii quadrati 1)C minus erit quadrato AK. quare in linea ZP, pars ZG minor erit quam ZH b 2I). Ergo quum FG perpendicularis lit in ZP et in fuperficiem liquidi RC, fequitur FH ad eandem non elïe perpendicularem: ergo totum reétangulum ad eam partem inclinabit ad quam inclinat linea FHc 22), afcendetque a parte K et ab altera defcendet, donec axis AB ad fuperficiem liquidi perpendicularis fit; quod erat demonftr. Theorema 3. Re&anguli cujus quadratum bafls quadrati lateris fit minus quam fefquialterum [§], latere ita fecto, ut reStangulum fub fegmentis aequale fit fextae parti quadrati bafis-, ft re&angulum ad liquidum in gravitate non minorem proportionem habeat quam fegmentum majus habet ad latus, vel non majorem quam fegmentum minus habet ad idem latus; fupernatet autem liquido demerfd bafe et ponatur inclinatum ut tarnen neutra bafium liquidi fuperficiem contingat, reftum refiituetur. 23). Sit re&angulum KM, cujus quadratum bafis MV quadrati lateris VK minus fit 2°) „a pr. 5 lib. 2. Eucl," [Huygens], "0 lemm. 2." [Huygens]. C'est-a-dire le „Lemma 2"" du „Liber" présent. Primitivement 011 lisait „Theor. 2 h. lib." Consultez la note 9. Et il en est de même plusieurs fois dans la suite; mais nous ne mentionnerons plus les altérations qui ont eu pour cause le changement des „Theoremata 1 et 3" en „Lemmata" et qui prouvent que ce changement n'a été apporté qu'après 1'achèvement du „liber II." -2)„c Theor. 1. h. lib." [Huygens]. -3) Le théorême nous apprend que le parallélipipède tlottant pourra conserver la position (T), indiquée p. 87 de 1'Avertissement, pourvu que le point représentatif (e, 7) tombe dans 1'espace 15EFGCSFR du Tableau, et de mêmequ'il pourra conserver Ia position (5) toutes les fois que le point représentatif se trouvera dans 1'nne des divisions BEO ou GAC. Pour le montrer supposons en premier lieu MV = a, KV = b b. Soit alors be Pun des segments du coté KV. Dans ce cas le théorême nous apprend que la stabilité exige que pour 1111 rapport // donné de b a a la densité relative soit inférieure 011 égale a la moindre, ou l7 quam felquialterum. seétum autem iit latus KV in Q, ita nc reélang. KQV aequaetur £ quadr. baiis MV vel YK. habeat verö reftang. KM ad liquidum in gravitate primó rationem non minorem ea, quam QV habet ad KV: et 1 iquido lupernatans politum litinclinatum, ita ut liquidi fuperficies fit RC : dico reétum reftitutum iri. Sit enim rectang.i KM axis AB, et per E ubi is fecat liquidi fuperficiem RC ducatur LEDparallela MV. porro lit F centr. grav. reétanguli KM, et I I trapezii inerll RCVM nermind nj- e (i—e) = i. Or, c'est la précisement réquation de la courbe EFG du Tableau. Supposons maintenant MV= b, KV — a, a toujours > b. Alors le parallélipipêde se trouve dans la position (5), mais si alors ae représente le segmenten question, le tliéoréme exige que la densité relative soit inférieure ou égale a la moindre, ou bien supérieure ou égale a la plus grande racine de 1'équation quadratique — as~) = £ b2, qui s'écrit maintenant 6e(i —e) = 72; ce qui coi'ncide avec 1'équation de Tellipse a laquelle appartiennent les ligues OE et GA du tableau. Ajoutons que les conditions de stabilité formulées dans les „Theoremata 2 et 3" peuvent ètre exprimées par la seule relation: MV3>6g(i — e) KV2. O i9a Fheor. 4. lib. i." [Huygens]. lemm. 2." [Huygens]. KM ad eam partem inclinabit ad quam inclinat linea FI Ic lö), afcendetque a parte K ct ab altera defcendet, donec axis AB, ad fuperficiem liquidi fiat perpendicularis; quod erat primo demonstr. Habeat nunc reétang. KM ad liquid. in gravitate proportionem non majorem ea, quam KQ habet ad KV, et liquido fupernatans pofitum fit inclinatum ita ut liquidi fuperficies fit CR: dico fimiliter reétum reftitutum iri. Sit enim II centrum grav. trapezii enatantis RMVC, per quod agatur ZP parallela RC, caeteraeque conltruantur ut in casu praecedenti. Quum itaque reftang. MK ad liquidum in gravitate non majorem habeat rationem, quam KQ ad KV, habebit quoque trapezium demerfum RCKY five quod ei aequale ell rectang. DY ad reétang. MK non majorem rationem quam KQ ad KV. a quare KD non major erit KQ et DV non minor QV. Unde ficut in cafu nraecpdpmi H pm r*n _ ftari poteft FI 1 non efTe perpendicularem ad ZP, ideoque nee ad fuperficiem liquidi RC. FH autem hic jungit centrum gravitatis totius reftanguli cum centro grav. partis enatantis; ergo totum rectangulum inclinabit eo quö inclinat linea F11b - defcendetque a parte V et ascendet a parte M, donec axis BA ad liquidi fuperficiem fiat perpendicularis; quod erat demonftrandum. I linc manifellum efi: parallelepipedum quodcunque, tam magnam vel tam parvam proportionem pofie habere ad liquidum in gravitate, ut fupernatans liquido demerfa bafium minima, et pofitum inclinatum, ita tarnen ut neutra minimarum bafium liquidi fuperficiem contingat, reftum reftituatur, et planum bafium fuperficiei liquidi fiat parallelum. ) „c I heor. i h. lib. 1 [Huygens]. "')»)b I heor. i h. Hb1'" [Huygens]. Theorema 4. Keclangulum, cujus quadv'atum baf is ad quadr atutn late ris minovevn quideui habeat rationem quam tria ad duo, majorem veró quam novem ad octo, quamcunque ad liquidum in gravitate proportionem habuerit, fupernatans denier ja bajenunquam ita conjijtet, ut units angulorum fit in ipsd liquidi fuperficie. =8) Flg* Sït re&angulum KR cujus quadratum ^ 4 K bafis RV ad quadratum lateris K V mi- 1101 em quidem rationem habeat quam 3 ad 2, majorem vero^quam 9 ad 8; I labebit autem ad liquidum in gravitate rationem, quae vel minor erit fubdupla vel non minor: quare habeat primo minorem fubdupla, et liquido lupernatans dermerfd bafe, ponatur ita, ut angulus R fit in liquidi fuperficie, quae fit RC, dico angulum R infra sandem demerfum iri. Sit enim AB axis re&anguli, et F 11 11 f TT n v wjuauciii ccucr. grav. neut et m centr. grav. demerfi trianguli RCV per quod agatur ZIIP parallela CR; atque ineam cadat perpendicularis FG, et jungatur FH. Porrö fit CV bifariam feda in D; et KV in N,1 ita ut NV fint \ KV. 2,s) Le théoréme démontre que,si dans le Tableau vis a vis de la p.87de 1'Avertissementlepoint représentatif tombe a 1'intérieur du rectangle TUSR, alors Ie parallélipipède ne pourra jamais dotter de telle manière que 1'un des sommets de la section verticale soit dans le niveau du liquide et quen mcme temps ce soit fun des cótés les plus courts de cette section qui se trouve en part ie au dessus et en partie au dessous du niveau du liquide. Dn observera qne le théoréme aussi bien que sa démonstration,qui 1'un etl'autresupposent > KV' n'exc,uent nullement le cas 011 c'est le plus long cóté qui est coupé par la ligne qui désigne Ie niveau du liquide. En effet, cette dernière situation pourra se réaliser, comme 1'indique le Tableau, dans les limites données, toutes les fois que le point représentatif appartiendra a 1'une des lignes HO ou NA et oü par conséquent le parallélipipède pourra prendre la situation intermédiaire entre les cas (3)' et (4), ou (3) et (4). Ajoutons que le théoréme doit surtout servir a préparer le „Theorema 5" qui suit; a exemple d ailleurs d'Archiméde qui, dans les recherches sur la Hottation du coiioïde parabol 1 que don t 1'axe] se trouve dans une situation inclinée, prépare de la méme manière les rop. VIII et IX du„Liber secundus" (pp. 22 verso et 26 recto de 1'ouvrage cité dans la note 4 du „Liber 1 p. 94 du traité présent) par les Prop. VI et VII (pp. 16 verso et " 1 verso du méme ouvrage). n \7T^e<^a"^' 11011 Pote^ maj»s efTe quam % quadrati VN"2?); quia verö VN est | VK erit quadratum VN T% quadrati KV, idcoquc i quadrati VN crit ^ quadrati VK; ergo redang. VDN non eft majus quam fa quadrati VK. porrö quia quadr. RV ad quadr. VK majorem habet rationem quam 9 ad 8, erit oétuplum quadrati RV majus noncuplo quadrati VK; et fa feu £ quadrati RV major quam fa quadrati^ VK. Ergo § quadrati RV major quoque reaangulo VDN. quare pars ZH major erit parte ZGb5°). et quum FG perpendicularis fit in ZP ac proinde in liquidi fuperficiem RC, in eandem linea FH perpendicularis non erit.quapropter totum reétangulum in eam partem inclinabit in quam inclinat linea ril'31); afcendetque a parte K et ab altera parte defcendet, ideoque angulus lv mergetur infra liquidi fuperficiem; quod erat demonfir. Jam habeat reftang. ad liquidum in gravitatem non minorem fubdupla rationem, et liquido fupernatansdemerfa bafe ponatur ita ut angulus R fit in liquidi fuperficie, quae fit RC; dico angulum R fupra liquidi luperficiem fublatum iri. Sit enim H centr. grav. trianguli enatantis CVR, et reliqua conftruantur ut in casu praecedenti, adeo ut CV rurfus bifariam fecetur in D; et VK in N, ita ut VN fit | VK. Demonftrari itaque poteft, ficuti in casu praecedenti, FH non ede perpendicularem in ZP, neque in fuperficiem liquidi CR: FH autem hic jungit centrum oravitatis totius refl^noMili mm PPfitrn grav. partis enatantis CVll; Ergo totum reétangulum inclinabit in quam partem inclinat linea FHrf3»); et deprimetur verfüs V, extolletur verö verfüs R ideoque angulus R fupra liquidi fuperficiem exfurget; quod erat demonftrandum. 9) pr. lib. 2. Eucl." [Huygens]. 3°)„£ lemm. 3. h. lib." [Huygens]. 31)„c Theor. 1. h. lib." [Huygens]. 32) „d Theor. 1. h. lib." [Huygens]. Theorema 5. Rectangulum cujus quadratum bafis quadrati lateris minus efi quam fefquialterum [f], majus verö quam fefquioctavum [§],• ƒ/, divifo latere ficutin Theor. 30, ad liquidum in gravitate minorem habeat rationem, quam fegmentorum majus, majorem verö quam fegmentorum minus habet ad idem latus: liquido (upernatans demersd base et pofitum inclinatum ut tarnen neutra basium liquidi fuperficiem contingat, neque re&um rejiituetur neque inclinatum manebit ,nifi quando axis cum Cuperficie liquidi fee erit angulum aequalem certo angulo, de quo infra dicetur.33) JV. ^ x «u 1 *\ N K 11- Ello reétang. KM, cujus quadratum bafis MV ad quadratum lateris KV minorem rationem habeat quam 3 ad 2, majorem vero quam 9 ad 8, et divifo latere KV in Q ita ut reétangulum KQV aequetur £ quadrati bafis MV, habeat rectangulum ad liquidum in gravitate rationem quam DV ad KV, ita ut DV minor quidem fit QV, major vero QK. et ducta DL parallela VM, veniat ex E, ubi DL ab axe AB fecatur, linea EC, ita ut partis compraehenfae CD quadratum fit duplum exceffus lelqui- n 1 M **•» -«li A 1/ D J # v aiicii icLLdiiiiuji uipia uuaaraiuin AK. 34) dico rectang. KM liquido lupernatans et pofitum inclinatum, ita tarnen ut neutra bafium liquidi fuperficiem contingat, neque reétum reftitui, neque confiftere 11 ili cüm axis AB cum liquidi fuperficie faciet angulum aequalem angulo ECD. five AEC. ;'3) Le théorème nous apprend que le parallélipipède llottant pourra prendre la situation indiquée dans r„Avertissement"par le numéro (2), toutes les fois que le point représentatif tombera dans 1'espace VFWV du Tableau; c'est-a-dire toutes les fois qu'entre les limites Kt <' < V b 011 a"ra 1' > fy (,'_)• La forme sous laquelle le théorème a été rédigé, surtout 1'introduction de r„angulus, de quo infra dicetur," a été empruntée aux Prop. Vill et IX d'Archiméde, dont il est question dans la note 28. De même les démonstrations se ressemblent par le principe. 34) C'est ici la définition de P„angulus, de quo... dicetur." On en déduit facilement pour sa valeur : cotg1 AEC = 12e (1—if—2, oü 7 = KV: MV et oü ereprésente, conune toujours, la densité du parallélipipède relative a celle du fluide. 1 Pnmó emm ita difponatur reftangulum ut liquidi fuperficies fit RX, quacum axis AB faciat angulum minorem angulo AEC. Sit autem F cencr. grav. reaang.i KM et H trapezii RXVM, per quod ducacur ZP parall. RX; atque in hanc cadat perpendic. FG, denique jungatur FH. . Qllm ,Sltur reftang. KM e(l ad liquidum in gravitate, ficut linea DV ad KV, live ut reftang. DM ad KM; erit neceflarió trapezium merfum RXVM aequale' reélang.o DM"3s); quamobrem fuperficies liquidi RX et linea LD in eodem punftö L (ecant axem AB. erit itaque ex hijpothefi angulus AEX minor angulo ALC: quare XD maior CD. quum autem quadr. CD per conftr. fitduplum exceflus lefquialteri re&anguli AEB fupra quadratum AK, erit f rettang. AEB cum defeétu dimidii quadrati CD aequale quadrato AK: et, quum XD fit major CD, T reélanguh AEB cum defeétu dimidii quadrati XD minus erit quadrato 1 ,? Cl!§? minor 2H^35J),et quum FG fit perpendicularis ad ZP atque ideo ad 'iquidi fuperficiem RX, ad eandein fuperficiem non erit perpendicularis FH; ^ïgo totum reétang. inclinabit, in quam partem inclinat linea FH,c 37) idqlie fiet quam diu fuperficies liquidi non convenit cum linea EC. Jam ita difponatur reftangulum ut liquidi fuperficies RX cum axe AB faciat angulum majorem angulo AEC. fit autem II centr. grav. trapezii merfi RXVM, per quod ducatur ut fupra ZP parall. RX, atque in eam cadat perpendicularis FG. et denique jungatur FH. Sicuti lupra ita hic quoque lineae LD et RX in eodem punfto E fecant axem AB : Ergo hic ex hijpothefi angulus AEX major angulo AEC; quare XD minor CD.quum autem quadratum CD aequali fit duplo excefiui § reftanguli AEB fupra quadratum AK^38), erit 1 rectanguli AEB cum defectu ± . . quadrati CD aequale quadrato AK; et, quum XD fit minor CD, erit § reftang. AEB cum defeftu \ quadrati XD, majus quadrato AK; ergo ZG major ZH'3»), et quum FG fit perpendicularis ad ZP p I heor. 4. lib. 1." [Huygens]. 36) „b lernm. 2. h. lib." [Huygens]. ' ^ 5vSVa"dire t1e tClIe manière //1, quatrede ces positions, correspondantaux„quatuorcasibus"dont cótTleTnfcmirtT »The0reira.6"' Mais alors 0,1 doi< s"PPOser expressément que c'est le cote le plus conrt de la section verticalequi est coupé par le niveau du liquide Si 1'on adinet que cela arnve aussi pour Ie c«té le plus long, on tronve deux nouvellèfposkions pour les note 8é. repréSe"tatifse trouvera sl,r ''une des «»"« HO ou NA du tableau. Com- Ajoutons la remarque que la stabilité des positions en question n'est pas démontrée com Ptement dans ce qui snit, pnisque a eet effet on devrait connaitre \ arallélipipède se comportera quand il est poussé vers la position (3) ou (3)'. 18 in medio lineae KS, quia reétangula KDS, KTS funt aequalia; itaque fingula acqualia erunt £ quadrati KS: led quia quadratum KV ad qu. MV majorem habet rationem quam 8 ad 9, erit noncuplum quadrati KV majus oétuplo quadrati MV, et Tö^ quadrati KV, id eft, quadr. KS majus quam T8^ five i quadrati MV, et k quadrati KS majus quam £ qu. MV : ergo etiam fingula reftangula KDS, KTS majora quam § qu. MV; quod eft abfurdum, nam fingula ex conftr. aequalia funt £ quadr. MV. Punéta igitur D et T non coincidunt. Habeat itaque primö reétang. ad liquidem in gravitate proportionem quam DV ad KV, et liquido fupernatans ponatur inclinatum, ita ut liquidi fuperficies fit RC: dico eousque inclinatum iri ultro, donec angulus K fit in liquido fuperficie. Sit enim DL parallela KY, et fiat triangulum KYX aequale re&angulo KL; 1 0110 lit in axe AB, h centr. reétanguli KM. item II centr. grav. trapezii merfi RCVM, et y trianguli XYK, per quae ducantur ZHG parall. RC et y^parall. XK. 111 easque cadant perpendiculares FG et in aiteram Fy. lungatur denique FH. ' Quia igitur reétang. ad liquidum in gravitate eft ficut DV ad KV, five ut reetang. DM ad KM; fequitur trapezium merfum RCVM reétangulo DM aequale eiïe b 44), quare üneae DL, RC et KX in eodem punéto E fecant axem AB. Quia autem reétangulum fub YL et exceflu £ YM fupra YL id eft reétang. KDS aequale eVv™nftr' * qUadr* MV.; feclllicur in Iine^ (quae per centr. grav. triany>11 1 " paiallela ducta eft ipsi XK), fpatium interceptum a perpendiculari y et AB, aequale eiïe fpatio intercepto a centro gr. trianguli XYK et eodem axe ABc^~). et qu0niam haec fpatia funt aequalia, fequitur § trianguli AEB cum delectu ± quadr. LX aequari quadrato AK^«). Igitur 3 reétanguli AEB cum de eftu i qu. DC (quia DC minor eft DK) majus erit quadrato AK: quamobrem in lmea ZG, quae per H centr. gr. trapezii RCVM duéta eft parallela RC, majus erit fpatium ZG fpatio Ergo quum FG fit perpendicularis ad lineam . ec. conlequenter ad liquidi fuperficiem RC, in eandem non erit perpendicularis lmea FH. quare totum reétang. inclinabit in quam partem inclinat eadem )»b Iheor. 4. lib. 1." [Huygens]. Primitivement illy avait ici dans le texte et le signe d'annotation s'y trouvait dans unephrase bifFée. Depuis l'„tf"du texte fut changée en„£"et 1'annotation bifFée en marge. Elle était d'ailleurs identique * 1'annotation que nous donnons. 45)„^ lemm. 3 h. lib." [Huygens]. En efFet les points K, D, S de la figure 13 correspondent anx points V,D,N de Ia figure 5 (p. 127 du Tome présent) dom il fa ut tourner le bas enhaut. 13 donc d après le lenime cité dans cette dernière figure, au cas présent, ZH = ZG; donc HF' c'est-a-dire le Fy de la présente figure, perpendiculaire a ZP, c'est-a-dire a y£; oü y represente le centre de gravité du triangle XYK. 4Ö) per conv. lemm. 2 h. lib." [Huygens]. 4:) „é? lemm. 2. h. lib." [Huygens]. PH/48), et deprimetur verfüs K, extolletur verö versus Y, donec fuperficies liquidï fit XK; cc quia tune linea Fy, quae jungit centr. gr. re&anguli KM cuin centro grav. trianguli enatantis XYK perpendicularis erit in y£et confequenter in fuperficicm liquidi, ficuti modo ollenfum ell, manifeihim eil reétang. ad neutram partem magis inclinatum iri; quod erat demonftr. Jam habeat reétang. adliquidum in gravitate proportionem quam TV [Fig. 14] ad KV; et liquido fupernatans Fig' I4' ponatur inclinatum, ita ut fu- y -a t/ — 1: :j: r.~ j;__ pcincics uquiui 11c 1Y^; C11CU eousque ultro inclinatum iri donec angulus K fit in liquidi fuperficie, eaque fit XK. ducatur enim TL linea loco DL, et reliqua conftruantur ut in cafu praecedenti, Eritque eadem demonftratio; nimirum quia hic reétang. KTS aequale ell § quadr. MV«49), incidet perpendiculum Fy in ipfum centrum grav. trianguli XYKh 5°), quare cum reétangulum erit ita inclinatum ut fuperficies liquidi fit XK,'ad neutram narrpm mncric inr»li_ l'X i> \r ö nabit. Item li reétang. ad liquidum in gravitate fit ut DK vel TK ad KV, invertantur praecedentia fchemata, (adeö ut Fy tum fiat ea quae jungit centr. gr. reftanguli KM cum centro grav. partis mersae) et eaedem quae in duobus prioribus cafibus erunt demonrtrationes. Si igitur reélangulum fit ad liquidum in gravitate ut DV vel TV vel DK vel TK ad KV, etc. quod erat demonllrandum. 3- Latere KV [Fig. 15] d i v i s o ut f u p r a bi fa r i a m in P, e t PV b i f a r i a m in S; ut et punctis Det T, ita ut fingula rectangula KDS, KTS, aequentur ^ quadrati baiis MV vel Y I(; praeter eaque in Q, ita ut rectang. KQV aequetur £ quadrati MV, sicut factumfuit 48) »>/Theor. 1. h. lib." [Huygens]. 49) „g P- COnstr." [Huygens]. s°) ,,/zlemm. 3. h. lib." [Huygens]. C Theor. 3°:fumptöque puncto ubivis inter Q et D ut «, et alio infra T, non tarnen ultra P, ut /3: Si rectang. ad liquidum in gravitate proportionem FlS* x5* ha beat quam «V vel /3V vel c&K vel /3K ad latus KV; et liquido fupernatans ponatur inclinatum, ita ut neutra bafium conti ngat liquidi fuperficiem, neque rectum restituetur, neque inclinatum manebit, nifi axis cum liquidi fuperficie fecerit angulum aequa1 em angu 1 o i 11 vento ut s upra Theor. 50. s1) Habeat primo rettang. ad liquidum in gravitate rationem quam «V ad KV, duétaque ciL parallela YK, veniat ex E. ubi eadem al. fpmr n ypiii l '«-vm, Uivviu ^ „ AB, linea EC, ita ut partis imerceptae C« quadratum fit duplum exceflus fefquialteri [|] reöanguli K«V fupra quadratuin AK. L2J h dico fii reftang KM liquido imponatur inclinatum ita ut neutra bafium contingat liquidi fuperficiem, ita ultro difpofitum iri ut axis AB cum liquidi fuperficie taciat angulum aequalem angulo AEC vel ECct. ducatur enim ex angulo K; linea KX, quae 'tranfeat per E ubi axis fecatur a si ) La „Conclusio 3" nous apprend que la position © pourra se présenter toutes les fois que le nninf rpnrpspnfnfif ca frnniro J* •_ ?_ \ r 1 r r 1 ~ ^ :r "w ««uvc 1c.s aivisions JiVRH, i\ 1VJ wG ou KLM du Tableau Hp loinrno^Tcp!"^)^1' qUC ''aXe d" '«"""P'P"* «te» avcc le plan horizontal, Ajoutons que Ia „Conclusio" peut étre formulée encorc d'une autre fafon de telle manié, e qu elle soit valable pour toutes les valeurs de r. En effet, la position © pourra se présenter toutes les fois qu on a: , et simultatiémenr; r" ^ _ 1 6 • O — <0 ' "s (l — «) "(4»-l)' comme aussi rf b 'f > > Jy v 2 C1 — 0 (4 e— 0 58)„tfper Theor. 4. lib. 1." [Huygens]. 1!/') En effet, le point milieu de la ligne KS se trouve a égale distance de D et de T. 6o)„£ lemm. 3. h. lib." [Huygens]. cularis ad GZ, et confequenter ad liquidi fuperficiem XK, in eandem fuperliciem non erit perpendicularis FH, quaejungit centrum grav. totius reétanguli cum centro grav. partis enatantis XYK; quare totum reétangulum inclinabit in quain partem inclinat linea tHc61), delcendetque angulus K infra liquidi 1 uperficiem. Ergo quidem angulus K non emerget. Jam li dicatur emerfurus angulus M, oportebit fimiliter ut fit priüs in ipfé liquidi fuperficie, eaque fit M£. Sit itaque

non erit perpendicularis ad ideoque nee ad liquidi fuperficiem M£; quare totum reótangulum inclinabit eb quö inclinat linea F) $7) La „Conclusio 5" se rapporte & la position (3)' mentionnée dans l^Avertissement". Elle apprendquecettepositionpourra se présenter toutes les fois que le point représentatif tombe a Pintérieur de la divisionHKL du Tableau, c'est-a-direlorsqu'on as — ö8. r . "(3-40 ) Le manuscrit a „1 heorema 6", mais nous avons remplafé le 6 par le 7 pour éviter un doublé emploi. r'9) Le théorème nous montre que, si le point représentatif tombe sur la ligne BC du Tableau de 1'Avertissement, comrne cela a lieu nécessairement quand la section verticale est un carré , alors les positions (T), (5); (2), (4); (^3) et (3)', dont les quatre premières sont devenues identiques deux a deux, peuvent toutes se présenter selon que le point est situé dans Tune ou Pautre des divisions dans lequelles cette ligne est partagée par les points B, E, H, L, N, G, C. Voir, pour plus de détails, les „Conclusiones" et en particulier, pour une division essentielle qui n'a pas été aperfue par Huygens,la note 79. !9 Conclufio 1. Elto quadratum KM, c ujus axis AB : et latere KV divilo in Q, ita ut rectang u 111 m KQV a e q u e t u r fe xcae parti quadrati KY vel MV; habeat ad liquidum in gravitate proportionem quam ctV ad KV, quae major fit ea quam QV habet ad KV, vel habeat eam quam #K ad KV, quae minor fit equam QK habet ad KV: dico neceffariö rectum con fis te re. 7°) Hoe enimTheoremate 3°h. Iib. /1 cx tn n. _ c • 1 demonftratum fuit de omnibus * • v uenionitratum quae mchnare poilunt reétangulis, quare et quadrato convenit. rig. 20. v • Latere KV, praeterquam in Q, divifo in quatuor aequalia punctis O, P et S; si habeat quadratum ad liquidum i n gra vit at e proportionem majorem fublefquitertia[3],id eft, majorem quam OV ad KV, minorem ver5 quam QV ad KV; vel minorem subquadrupla[£], id eft, minorem quam OK ad KV, majorem vero quam QK ad KV, majorem v e ro quam QR ad KV; et liquido fupernatans pona111 r inc 1 i- 0) hln^°nClUSi0 "J'"°"S. aP^re"d '|Ue p0sitkm' ns laquelle les cötö du carré se trouvent espectivement dans les situations honzontales et verticales, sera stable toutes les fois que le pomtreprése.tatif tombe sur te des ,ig.es BE ou GC du Tableau, cv!t-Sire toutés } + iorelatiVeest P'"S pctite que J ^3 = o,2u.. OU plus grande que natum, ita ut neutrum oppofitorum la te rum con tingat liquidi fuper ficiem; neque rectum restituetur neque in cl in at um manebit, nifi cuin axis AB cüm liquidi fuperficie faciet angulum aequalem angulo invento ut in Theor. 50. Primo quia OV eft J lateris KV ct OK ejusdem erit reétang. KOV T\ quadrati KV vel MV, ideoque majus quam £ ejusdem quadrati, id eft, reétangulo KQV; unde patet punétum O propius eiïe medio lateris KV quam punétum Q, ideoque quadratuin KM ad liquidum in gravitate pofte habere rationem, quae major fit ea quam OV, minor autem ea quam QV habet ad KV, vel quae minor fit ea quam OK, major autem ea quam QK habet ad KV. Sumpto itaque punéto a ubivis inter Q et O, habeat quadratum ad liquidum in gravitate primüm rationem quam «V ad KV; et duéta «L parallela YK, veniat ex interfeétione E linea EC, ita ut fpatii comprehenfi Ca quadratum fit duplum exceftus fefqualteri reétanguli AEB fupra quadratum AK.72) dico quadratum KM,liquido fupernatans et pofitum inclinatum, ita ut neutrum oppofitorum laterum YK vel MV contingat liquidi fuperficiem, neque reétum reftitutum iri, neque manfurum inclinatum, nifi cüm axis AB cum liquidi fuperficie faciet angulum aequalem angulo AEC vel ECa. Primo enim quia quadratum ad liquidum in gravitate proportionem habet quam aV ad KV, quae minor eft ea quam QV, major verb ea quam QK habet ad KV, non poterit quidem reétum reftitui."73) deinde quia reétangulum KOS eft £ quadrati KV five MV, erit reétang. KaS minus quam * quadrati MV; unde ficuti in conclufione 3" Theorematis praecedentis demonftrari poterit quadratum KM non eousque inclinari pofte ut bafis YK ullo modo contingat liquidi fuperficiem. Ergo quadratum neque reétum reftituetur, neque ita confiftet ut alterutra bafium contingat liquidi fuperficiem; quód autem angulus, quem, confifiente quadrato, axis AB faciet cum liquidi fuperficiem aequalis futurus fit angulo AEC vel ECa, demonstrari poteft ficuti in Theorem. 50 h. lib. Quod fi quadratum fit ad liquidum in gravitate ut #K ad KV, inverfa intelligatur figura praecedens, et fimilis omnino erit demonftratio, nifi quod tum pars ea demerfa erit quae in cafu praecedenti enatabat. •') La „Conclnsio" exprime que le carré prendra la position (2), identique ici avec Ia position (4), toutes les fois que le point représentatif tombera sur Tune des lignes EH 011 NG du Tableau de PAvertissement, c'est-a-dire, toutes les fois que Ia densité sera comprise entre les limites 1. — £ 1/3 = 0,211.. et ou bieu entre leslimites i-h ^v"3 = 0,788.. et ■2) C'est Ia définition de 1'angle AEC sous lequel le carré flottera. Elle nous donne: cotg2 AEC = 12e (1 — g) — 2. Comparez la note 34. r3)„^ per conv. theor. 3. h. lib." [Huygens]. 3' Latere KV divilo, ut fupra, in quatuor aequalia punccis O, FlV o, P et S' Si habeat quadra- O* - 1 • j 1 : -1 lu 111 au iiquiaum in gravitate proportionem quam OV ad KV, id eft, subfefquitertiam [f]; Vel quam OK ad KV, id eft, fubquadruplam [$.], et liquido fupernatans ponatur inclinatum ita ut neutra bafium oppofitarum contingat liquidi luperficiem; eousque ultro inclinabitur, donec unus angulorum fit in liquidi fuperficie.74) Primüm habeat quadratum KM ad liquidum in gravitate propor:ionem fubfesquitertiam, id eft, juam OV ad KV. dico fi liquido in ut HniiJri; c g - r r»lupernatet et ponatur inclinatum in 1 • 'A- r "p?rficies ultro eousque inclinaturum, donec aneulus K fit in liquidi fuperficie, eaque fit KX. iv ut Conftruétio enim eadem fit quae in conclufione 2a. Theor. praecedentis et itZTyZcfr v,m0"ftr(r'\Nimin,m 1nl» hic «aanguL fub YL el KV five+MV incidet F g' ^OS> ae^ua,e el1 °aavae P"« quadrati „Tav irf XYÏC n qUae Perl,e,.uliclllaris eil «d 7Z, in ipfum centrum k av. tnanguh XYIv, quare quurn fuperficies liquidi erit KX, quadratum KM ad neutram pa.ce™ magis inclinabit, ideoque tl confiflet.'Juod c^derncn Si verö quadratum ad iiquidum in gravitate fit ut OK ad KV, turn praecedens figura inverfa mtell.gatur, et eadem rurfus erit demonftratio, quae fuh!S fionis 2*. I heorematis praecedentis, nifi quod triangulum XYK quod modo enatabat, nunc demersum futurum fit. 1 74) La „Conclusio" nous fait connattre sous quelles conditions le carré nrpnHn ,,«* u intermidiaires entre les posities (3) ou et les positionY^e, !. identiques entre elle< r' ^ o Ai ♦ i. ,7 P ,tlons ^ et (l)» dontlesdernièressont 4. Si quadratum ad liquidum in gravitate habeat proportionem fubduplam, et liquido supernatans, ponatur inclinatum, ita ut neutrum oppofitorum laterum contingat liquidi fuperficiem, eousque ultro inclinabitur donec duo anguli oppofiti fint in liquidi fuperficie .7S) Fig. 22. Habeat quadratum KM ad t • • 1 • • • nquiaum in gravitate proportionem fubduplam, id eft,quam PV ad KV; et liquido fupernatans ponatur inclinatum, ut liquidi fuperficies fit RC: dico eousque ultro inclinatum iri, donec anguli oppofiti K et M fint in liquidi fuperficie, atque ea fit KM. ducatur enim PL parallela YK, et per H, centrum grav. trapezii RCVM, linea ZHG parallela RC, in eamque ex F centro quadrati cadat perpendicularis FG : denique jungatur FH. Quia igitur trapezium RCVM aequale eft dimidio quadrati KM a 7Ö) id eft reétangulo PM, fequitur fuperficiem liquidi RC tranfire per F centrum quadrati. Reétangulum autem AFB aequale eft quadrato AF; ergo erit fesquialterum reélanguli AFB cum defeélu \ quadrati AF feu KP aequale quadrato AF five AK. quare fesquialterum reélanguli AFB cum defetftu \ quadrati CP, majus erit quadrato AK: ideoque in linea ZG erit fpatium ZG majus fpatium ZH b 77) Ergo quum FG fit perpendicularis in ZG et confequenter in liquidi fuperficiem RC, in eandem 7S) La „Conclusio" se rapporte au cas spécial ou la densité relative du parallélipipède est égal a Elle démontre qu'alors la position dans laquelle deux sommets opposés du carré se trouvent au niveau du liquide, est une position stable. Imitile de dire que le point représentatif du Tableau de FAvertissement se trouve alors en L. 'rt) Theor. 4. lib. 1." [Huygens]. 77) lemm. 2 h. lib." [Huygens]. non erit perpendicularis FH, quae jungit centr. grav. totius quadrati cum centro giav. partis merfae RCVM. Quamobrem totum quadratum inclinabit in quam partem inclinat linea FHf78), defcendetque verfüs K, et afcendet verfüs M idque donec anguli K et M fint in liquidi fuperficie, atque ea fit KM. Et tum quidem manifeftum eft quadratum ampliüs inclinari non pofte, nam fi dicatur angulum K demerfum iri, M vert) emerfum, fimili omnino demonftratione evincetur, quadratum inclinatum iri retrorfum, donec ijdem anguli K et M fint denuo in liquidi fuperficie. Si igitur quadratum fubduplam proportionem habeat ad liquidum in gravitate &c. quod erat demonftr. 5* Divifo latere KV in quatuor aequalia punctis O, P et S, fumpFijr. 2o. toque puncto % ubivis 1 nter u et 1 , habeat quadratum ad liquidum in gravitate proportionem quam ^V ad KV, id eft, majorem fubdupla, minorem autem fubfefquitertia[|-]; et liquidi fupernatans ponatur tribus angulis merfis K, Vet M,ita ut fuperficies liquidi fit XC : d i c o n u 11 u m t r i u m angulorum emergere poffe fupra liquidi fuperficiem. Hoe demonftrari poterit ficut conclufio 4a Theorematis prae- /? • • 1IV f -„ja 1 T/rnn , ^UCIILI^. UUU1 11CUC1 1111C lingula gut KOS e^KPS aeqU er"nt °aaVae part' quadrati MV'ita hic rea;"1- ) „c Theor. 1. h. lib." [Huygens], La „Conclusio" indique que le carré prendra la position (3) toutes les fois aue le ooinf représentatif est situé snr ,a ligne BC d„ Tablean de PaX^entre« le^imTteTi étrit0UteS f°'S q"e de"Sitó relative du parallélipipède flottant tombe entre 2 panies Lo'roCN ï? Te,"i0" ,St'COrrCCte'" y avait 'ieu ici de distin6u« encore «"«e les Q QN de la ligne LN. En effet, tant que le point représentatif tombe dans la 6. Si quadratum ad liquidum in gravitate proportionem habeat majorem fubquadrupla, minorem veró fubdupld, et liquido Fig. 24. fupernatans ponatur ita \ « ut unus tantum angulus demerfus fit, reliqui verö enatent fupra liquidi fuperficiem, nullus eoruin demergi poterit. 8o) Invertatur figura praecedens, habeatque quadratum ad liquidum in gravitate proportionem quam ad KV; et liquido fupernatans demerfo tantum angulo Y, enatantibus veró K, V et M: dico nullum eorum demergi pofle. Hoe autem demonftratur ficuti conclufio 5a Theorematis praecedentis. partie LQ, Ie carré se placer^ de telle manière que ses diagonales sont respectivement dans Ia situation horizontale et verticale. Dans le cas contraire, oü le point tombe entre Q et N, les diagonales prendront une situation inclinée. Et cette distinction n aurait pu écliapper a Huygens, si 1'idée lui était venue comme plus tard a Euler (voir les pages 110—113 du Tome I de 1'ouvrage cité dans la note 18, p. 126), de rechercher entre quelles limites de la densité e, la position avec les diagonales dans la situation horizontale et verticale était une position stable. II aurait trouvéalors pour ces limites les valeurs et || correspondant aux points P et Q du Tableau. Ajoutons encore qu'une solution compléte du cas du carré avec discussion de la stabilité pour toutes les positions d équilibre a etédonnée en i849parj. Badon Ghijben aux pages 17—24 de 1'article: „Over de Stabiliteit des evenwigts, bij drijvende ligchamen", Tijdschrift voor de wis- en natuurkundige wetenschappen, uitgegeven door de eerste klasse van het Koninklijk-Nederlandsche Instituut. T. 3, 1850, Amsterdam. °) La „Conclusio" se rapporte a la position (3)' qui pourra se présenter toutes les fois que le point représentatif tombe sur la division HL de la ligne BC du Tableau. Ici il y a lieu de distinguer entre la partie PL, oü le point représentatif indiquera une position du carré aux diagonales verticale et horizontale, et la partie PH a laquelle correspondent des positions dans lesquelles les diagonales sont inclinées. Theorema [8].8l) Re&angulum cujus bafs minor eji latere,, liquido fupernatans demerfd bafe et pojitum mcltnatum, tta ut neutra bafium contingat liquidifuperficiem; aliquando ™ :estttuetur;ahquando inclinatum manebit, ita ut neutra bafium continvat Itqutajuperfictem. Interdum eousque inclinabitur donec angulorum unus fit in liquidi Juperpcte; ut plurimüm denique ulteriüs adhuc inclinabitur: Pro diverfdproportione quam ad liquidum habebit in gravitate. 82} Conclufio i. Efto rectang. KM cujus latus KV majus sit base MV; Et latere KV divifo in Q, ita ut rectang. KQV aequetur fextae parti quadrati MV vel YK, habeat rectang. ad liquidum in gravitate proportionem majorem quam QV habet ad KV, vel minor era quam QK habet ad KV. die o, fi liquido fupernatans, ponatur inclinatum, ita ut neutra bafium contingat liquidi fuperficiem, rectum restituturn iri. Hoe enim Theor.e 3° h. lib. demonftratum fuit de omnibus reftangulis quae inclinare poflunt. 8l) ^t"^SCrita''Theorema7" Le changement aétérendu nécessaire par celui indiqué dans la 8ï) Le théorème se rapporte a toutes les formes possibles de la section verticale rectangulairedu parallélipipéde flottant, al exception seulement de la forme carrée. II y est question surtout es positions (4)et®, indiquées dans 1'Avertissement,lesquellesn'ontpasencoreététraite. express ment. Voir, pour les détails, les „Conclusiones" qui suivent. A propos de la S- T,h?' T i. "T !ndltluerons le lieu Précis oü lignes de démarcation OP et OA du ableau, desquelles 1 existence est ignorée dans les recherches de Huygens, se présentent ^ t glq"eme"t'.sl,J 011 poursuit la raarche de ses recherches; voir les notes 92 et 93. r,f " 0ncl"sl° ' "ous aPPrend que la position © sera une position stable, tant que le point rcprésentatif tombera dans 1'une des divisions «EO ou CGA du Tableau de 1'Avertissement Comparez le dernier alinéa de la note 23. avertissement. O # Latere KV, diviso ficut Jfupra in Q, et praeterea in S r\ • rr « . — et U, ita ut q 11 idem iit J kV, rectang. veró KDS (fumpto puncto D mag is versus K quam verfüs S) aequale octavae parti quadrati b afis MV; fi habeat rectangulum ad liquidum in gravitate proportionem majorem quam DV ad KV, minorem ver6 quam QV ad KV; vel majorem quidem quam QK ad KV, minorem veró quam DK ad KV, et liquido fupernatans ponatur inclinatum, ita ut neutra bafium contingat liquidi fuperficiem, neque rectum reftituetur, neque inclinatum manebit, nifi cüm axis AB cum liquidi fuperficie faciet angulnm aequalem angulo invento ut in Theor. 50 h. lib.84) Quöd autem hi cafus quandoque locumhabere pofiint, lic oftenditur. Quum rectang. VQK fit ad SQK, ut VQ ad SQ, et VQ ad SQ majorem habeat rationem quam VK ad SK, id eft majorem quam 4 ad 3, etiam reftang. VQK ad SQK majorem habebit rationem quam 4 ad 3 live quam £ ad £; ergo quum reétang. VQK fit £ quadrati MV, erit reétang. SQK minus quam £ ejusdem quadrati MV : Ergo minus quoque reftangulo SDK; unde fequitur punétum D propiüs efle medio lineae KS quam punctum Q. Quamobrem poterit quidem reétang. ad liquidum in gravitate habere proportionem quae major fit ea, quam DV, minor veró ea, quam QV habet ad KV; vel quae major quidem fit ea quam QK, minor autem ea quam DK habet ad KV. 84) La „Conclusio" démontre que la position (4) pourra se présenter toutes les fois que le point représentatif («, 7) se trouve a lMntérieur de 1'une des divisions NGA ou EHO du Tableau de 1'Avertissement. En elFet, les équations rj1 = 2 (1 — «) (4e — 1) et rj' — zs (3 — 4e) des courbes NA et HO se déduisent de la même manière des données de la „Conclusio", lesquellesse rapportent au point D, que les équations des courbes LMN et HKL des données de la „Conclusio 2" du „Theorema 6"; voir la note 43, p. 138. On doit seulement observer que les lettres a et b'ont changé de róle, puisqu'on a maintenant a — KV, b — M V, de manière que, dans les^équations de la note 43,011 doit remplacer n par 7-1. 20 JÖTJX PUnft° " uWvis inter Q et D' habeat reftang. ad liquidum in giavicate primum rationem quam «V habet ad KV: et duétó «L narallelÉ KY p un exceITus fefquialteri reétanguli AEll fupra quadratum AK. »0 o rfftang- KM Iiquido fupernatans et pofitum inclinatum, ita ut bafis YK manfunm5nifiql Uperfi,d®m' ne?ue reffitutum iri, neque inclinatum angl,7Ec"e,ECnL.aX'S ^ CUm ,,ql'idi fUperfide -qualen, reair0ndrHn,r-r,tem h°C eodem'"?do qu0 Conelufi° 3». Theorem. 6i. Quod fi turn "«verft ,"3n 'n,gnmt!lte »«be.t proportionem quam «K habet ad KV, inverfa intelligatur figura praecedens et rurfus fimilis erit demonrtratio 3- Latere KV divifo ficut Concl. praecedenci in S et D, nempe ut KS fit £ lateris KV, rectang. veró KDS aequale £ quadrati MV; habeat rectang. ad liquidumingravitate proportionem quam DV habet ad KV, vel quam DKad KV; et Iiquido fupernatans ponatur inclinatum, ita ut neutra bafium contingat liquidi fuperficiem. dico eousque inclinatum iri donec unus a n g ulorum fit in liquidi fuperficie. 8<ï) Hoe autém eodem modo demonftratur quo Conclufio aa Theorem. 6i. cotg2. AEC = 12e (, —-«) ^-2 — 2 oü' -/.T- MV tv r ? p0ur savaleur Q et @ (^rPNPA£)I ou®"'et®^"" note43^ 6 ^ "°UVe da"S ^ d" encte 4- Diviso rurfus latere KV in S et D; ita ut KS fint | KV, rec¬ tang. verö KDS aequale £ quadrati MV; Si habeat rectang. ad liquidu m in gravitate proportionem minorem quidem ea, quam DV, majorem verö ea, quam DK habet ad KV, et Iiquido fupernatans ponatur inclinatum, ita ut neutra bafium con tingat liquidi fuperficiem, ulteriüs adhuc inclinabitur, quam ut unus angulorum fit in liquidi fu p e r fi c i e. 8?) Dividatur latus KV bifariam in P, et quum manifeftum fit reétangulum ad liquidum in gravitate habiturum proportionem majorem vel non majorem fubdupla, habeat primo maiorem fubduula. neirme eam. auam ft1 V 1 J i. ' L 7 1 uV habet ad KV, (Tumpto pun&o u intra P et D,) et Iiquido fupernatans, pofitum fit inclinatum, ita ut liquidi fuperficies fit RC. dico ulteriüs inclinatum iri, quam ut angulus K fit in liquidi fuperficie. Sic enim ctL parall. KY, et per interfectionem E ducatur ex angulo K linea KEX. Porrö fit H centr. gravitatis trapezii RCVM, per quod agatur reéta ZHG parall. RC, in eamque ex F, centro reétanguli KM, cadat perpendicularis FG, et jungatur FH. Item fit q> centr. grav. trianguli XYK, et per ipfum agatur ^cpy parallela KX, in eamque cadat perpend. Fy; et denique jungatur FrfoA; . nr . . 1 '"WWX ivvuv; umiiitLiUiUIU IV " U1',n AB 111 E'cc cylindrus DR cuneo RCV aequalis, quia V Dell dimidia ïplms VC. Primö autem ponatur reéhngulum fub KN et DV majus efle oftavü parte quactrati KV; dico partem ZG majorem fore paree ZH. Quum enim reftang. fub KN et VI) majus fit quam * quadr. IIV, idem autem reftaugulum aequale (it exceflui,quo reélang. fub KV, VD, fuperat reftaug. fub V ' wJ; . * 'llmilrati VD; fe<)uitllr reftang- r"b KV, VD cum defeétu f quadiati \ D majus e(Te quam J qu'. RV. Sed reétang. fub KV, VD, aequale elt reétangulo KDV una cum quadrato VD; ergo rcétang. fub KV, VD cum defeétu 1 I1'31"-' " aequale elt reétangulo'KDV cum defectu i quadrati VD Friro quoque reélangulum KDV cum defeétu Jqu. VD majus elt quam i quadr. RV• et dupheando, ent duplum reétang. KDV five AEB cum defeétu i quadr VI) bve DC, majus quam * quadr. RV vel VK, id elt, majus quam quadr. AK. v a|c P!lrs /J< major crit parte ZH" ,ö); quod crat demonftrandum. ») Con^parez Ie „Lemma 3" de la page , a7. Ici la eondition s'exprime, en notatie moderne ZG ZII selon qu'on a (KV — 5. DV) DV — \ AK2. ) „a 1 heor. 5. h. lib." [Iluygens]. Quód fi re&ang. fub KN , DV, aequale fit oétavae parti quadrati RV, dico turn quoque ZG aequalem fore ZH. Omnia enim quae modo majora fuerunt hic erunt aequalia, quare et tandem duplum reftang. AEB cum defe&u i quadr. DV, aequale quadrato AK. ideoque ZG aequalis ZW I7), ut oportebat. Eadem ratione fi reétang. fub KN, DV niinus fit oftava parte quadrati RV, erit quoque ZG minor quam ZH. Quare conftat propofitum. Theorema 7 l8). Cylindrus, cujus quadr atum diametri ba fis non minus efi quam duplum quadrati lateris, quamcunque proportionem ad liquidum habeat in gravitate, liquido fupernatans demersd bafi re&us confiftet; et fi fuerit inclinatus, ita ut neutra tarnen bafium contingat liquidi fuperficiem, re&us reflituetur. Sit Cylindrus KM, cujus quadratum diametri bafis MV, non minus fit quam duplum quadrati lateris KV. Habeat verö ad liquidum in gravitate rationem quamcunque, eique fupernatet demerfa bafe M V, et politus fit inclinatus ita ut liquidi fuperficies fit RC; (ponendo nempe eam eiïe proportionem Cylindri ad liquidum in gravitate quae eft portionis RCVM ad totum,) dico Cylindrum non manere inclinatum fed rectum reftitui, id efi: ut bafes ejus fiant liquidi fuperficiei parallelae. Intelligatur enim Cylindrus fecari plano YKVM, per axem AB et per RC maximam diametrum plani RC tran- feunte: ut et plano LD parallelo bafi MV, et abfcindente cylindrum DM aequalemportioni RCVM, unde interfeétio diametrorum LD, RC erit in axe AB in E. Sit porróF centrumgrav. cylindri KM, et H portionis RCVM, per quod agatur ZHP parallela RC, et in eam cadat perpendicularis FG; denique jungatur FII. Quia igitur quadr. MV vel YK non ell minus quam duplum quadrati KV, erit I7)„£ Theor. 5. h. lib." [Iluygens]. ,8) Ce théorème, avec celui qui suit, constituent la solution compléte du problème de la stabilité de 1'équilibre d'un cylindre droit qui Hotte avec 1'axe dans la situation verticale. Une telle solution, identique au fond avec celle de Huygens (voir la note 2a), fut publiée dans les Comment. Acad. Petrop. de 1'année 1738 (T. X, p. 162) par Daniël Bernoulli. quadr. AK non minus quam duplum quadrati AF; quum autem quadratum AF non fit minus reftangulo AEB" , crit duplum quadrati AF non minus quam duplum reétang'. AEB; quare et quadr. AK non minus duplo reétangulo AEB. Ergo duplum ïectangulum AEB cum detectu i quadr. DC minus erit quadrato AK; ideoque ZG minor ZWb 20}. Ergo quum FG fit perpendicularis in ZP et conlequenter in liquidi fuperficiem RC, in eandem superficiem non erit perpendicularis FH. FH autem jungit centra gravitatis totius cylindri et partis meriae RCV M, ergo totus Cylindrus inclinabit in quam partem inclinat linea FHC 2I), afcendetque verfüs K, deprimetur veró verfüs Y, donec bafes MV et YK erunt liquidi (uperficiei parallelae; quod erat demon ftr. Theorema 8. Cujuscunque Cylindri, (cujus quadratum a diametro ba fis minus efl quam duplum quadrati lateris,) latere ita sefto, ut reftangulum jub partibus aequale fit otlavae parti quadrati a diametro ba fis; fi cylindrus ad liquidum in gravitate non minorem proportionem habeat quam ma jusfegmentorum ad ipfum latus cylindri, vel non majorem quam fegmentorum minus habet ad idem latus; fupernatet autem liquido demersd bafe et ponatur inclinatus, ita ut neutra bajium contingat liquidi fuperficiem, re&us reflituetur 22). Sit Cylindrus KM, cujus quadratum a bale MV vel YK minus fit quam Sit Cylindrus KM, cujus quadratum a bale MV vel YK minus fit quam 9) ,9a pr. 5. lib. 2. Eucl." [Huygens]. ) „b 1 heor. 5. h. lib." [Huygens]. ') „c 1 heor. 1. lib. 2." [Huygens]. ) Soit h lahauteur du cylindre, d\z dianiètre de sa base, f e la densité spécifique du cy- lindre relative acelle du liquide; alors le théoréme nous apprend que, pour assurer lastabilité du cylindre, la valeur de e doit être inférieure ou égale a la plus petite ou bien supérieure ou égale a la plus grande racine de 1'équation 8e (1 — e) £2 = 1. Mais on peut exprimer les conditions de stabilité formulées dans ce théoréme et dans celui qui le précéde par la seule relation: £25^g8/qui est, sous d'autres notations, celle trouvée par Daniël Bernoulli. duplum quadrati lateris KV. Seéhim autem fit latus KV in Q,ita ut reétangulum KQV aequetur oétavae parti quadrati MV. Et habeat primö Cylindrus ad liquidum in gravitate proportionem non minorem ea, quam QV habet ad KV; et liquido fupernatans pofitus fit inclinatus, ita ut liquidi fuperficies fit RC: dico reétum reftitutum iri. Abfcindatur enim plano DL bafi MV parallelo cijlindrus DM acqualis portioni merfae RCVM, et manifeftum eft diametrorum DL et RC interfeétionem fore in cylindri axe AB, in E. Porró lit F centrum gr. cylindri KM, et H portionis RCVM, per quod agatur ZHP parallela RC, et in eam cadat perpendiculairs FG. denique jungatur FH. Quia igitur cylindrus ad liquidum in gravitate habet rationem majorem quam QV ad KV, habebit quoque portio demerfa RCVM five qui eidem aequalis eit cylindrus DM ad cylindrum KM non minorem rationem quam QV ad KV* *3); quare latus DV non minus ell quam QV. Ergo reétangulum KDV five AEB non majus reétangulo KQV. Ergo reétang. AEB non majus quoque oétava parte quadrati MV, et duplum reétang. AEB non majus quarta parte quadrati MV id eit, quadrato AK. Quamobrem duplum reétang. AEB cum defeétu | quadr. DC minus erit quadrato AK, atque ideo ZG minor ZI~P 24}. Ergo quum FG fit perpendiculairs ad ZP, atque ideo ad liquidi fuperficiem RC, ad eandem non erit perpendicularis FH; quare cylindrus inclinabit in quam partem inclinat FH, afcendetque verfus K, deprimetur verö verfüs Y, donec bafes ejus fint liquidi fuperficiei parallelae; quod erat demonftr. Habeat nunc [Fig. 10] Cylindrus ad liquidum in gravitate proportionem non majorem ea, quam KQ habet ad KV, et liquido fupernatans demerfé bafe pofitus, fit inclinatus, ita ut liquidi fuperficies fit CR; dico fimiliter reétum reftitutum iri. Sit enim H centr. gravitatisportionis enatantis MVCR, per quod agatur ZHP parallela RC, caeteraque con- itruantur ut in calu praecedenti. Quum itaque Cylindrus MK ad liquidum in gravitate non majorem habeat rationem quam KQ ad KV, habebit quoque portio demerfa RCKY, five qui ei acqualis eft 2J) d Theor. 4. lib. 1." [Huygens]. 4) b Theor. 5. h. lib " [Huygens]. cylindrus DY, ad cylindrum KM non majorem rationem quam KQ ad KV" ? quaie latus DK non majns erit quam KQ, ideoque DV non minor quam QV. Unde eodem modo quam in cafu praecedenti hic quoque demonftrari potelt FI I non eiïe perpendicularem in ZP, ideoque nee in fuperfieiem liquidi RC. FH autem hic jungit centra gravitatis, totius cylindri et portionis enatantis MVCR, ergo totus cylindrus inclinabit ad quam partem inclinac FH* 2s), defcendetque verfüs V afcendec verö verfüs M, donec bafes ejus fint liquidi (uperficiei parallelae, quod erat demonftr. Lx hoe 1 heoreinate manifeftum ell Cylindrum cujufvis longitudinis tam mag- nam vel tam parvam proportionem pofte habere ad liquidum ingravitate, ut ei fupernatans detnerfa ba(e et pofitus inclinatus, ita tarnen ut neutra bafium con- tingat liquidi fuperfieiem, reftus rellituatur, et bafes fiant liquidi fuperficiei parallelae. Theorema 9. Cylindt us cujits quadratum a dictmetvo bajis ad quadratum lateris minoretn quidem rationem habet quam duplam, majorem verö quam o&o ad quinque; quamcunquc ad liquidum in gravitate habeat proportionem, eidem fupernatans demerja bafe, nunquam ita confiftet ut alterutra bafium liquidi fuperfieiem in uno punfto contingat2<ï). Sit Cylindrus KR, cujus quadratum a diametro bafis RV vel YK ad quadraFig j l tum lateris KV rationem habeat mino- rem quam duplam, maiorem verö quam ' J x 8 ad 5. Habebit autem ad liquidum in gravitate proportionem, quae vel minor vel major erit fubdupla: Quare habeat primó minorem fubdupla, et liquido fupernatans demerfa bafe inclinetur, ita ut angulus R fit in liquidi fuperficie quae fit RC; dico angulum R infra eandem fuperfieiem demerfum iri. Sit enim AB axis Cylindri et F ejufdem centrum gravitatis. Sicut et H -0 v centrum gravitatis cunei demerfi RCV, per quod agatur ZHP parallela RC; atque in eam cadat perpendicularis FG, 5) 99b Theor. 1. lib. 2." [Huygens], a') Conime dans le „Lib. 2" le „Theorema 4" servit a préparer le „Theorema 5" celui-ci prepare le „Theorema 10". Comparez le dernier alinéa de la note 28 du „Liber 2" (p. 132). et jungatur FH. Porrö ut CV feéta in D et N, ita ut VD quidem fit dimidia CV, VN verö f CV live £ DV. Reélangulum KNV non poteft majus eiïe quam \ quadrati KV" =7); reétangulum autem fub KN et DV facit J reétanguli KNV, (quia NV eft | DV,) ergo reétangulum fub KN et DV non eft majus quam ^ five £ quadrati KV. Porrö quia quadr. RV ad quadr. KV majorem habet rationem quam B ad 5 erit £ quadrati RV major quam £ quadrati KV: Ergo etiam £ quadrati RV major re&angulo fub KN et DV, quare in linea ZP erit pars ZH major parte ZG*28) : Et quum FG fit perpendicularis ad ZP et ad liquidi fuperfieiem RC, ad eandem fuperfieiem non erit perpendicularis FH, quae jungit centra grav. totius cylindri et partis mersae RCV; quamobrem Cylindrus inclinabit in quam partem inclinat linea FH, et deprimetur verfüs Y, ideoque mergetur angulus R; quod erat demonftrandum. Habeat jam Cylindrus ad liquidum in gravitate proportionem majorem fub¬ dupla , et liquido fupernatans demerfa bafe inclinetur donec angulus R [Fig. R. 12 I fit in liquidi fuoerficie. quae fit CR: —1 x x 7 i dico angulum R fupra liquidi luperfi-ciem fublatum iri. Sit enim H centrum gravit. cunei enatantis CVR, et reliqua conftruantur ut fupra. Demonftrari igitur poteft ficut in cafu praecedenti, FH non eiïe perpendicularem ad PZ neque ad liquidi fuperfieiem CR. FH autem hic jungit centra • . • i* 1 • • _K y gravitatis totius cynnari et partis ena¬ tantis CVR; ergo Cylindrus inclinabit quö inclinat linea FH, et deprimetur quidem verfüs V, extolletur verö verlüs R, ideoque angulus R fupra liquidi fuperfieiem exfurget; quod erat demonftr. 2/) ,,a pr. 5. lib. 2. Eucl." [Huygens], 28) „b Theorem. 6. h. lib." [Huygens]. »; Theorema io. Cylindrus, cujus^ quadratum a diametro bafis ad quadratum lateris minorem rationem habet quam duplam, majorem verö quam o&o ad 5,- fi, divifo latere ut in Theor. 8°, ad liquidum in gravitateproportionem habeat minorem quam fegmentorum majus, major em verö quam fegmentorum minus habet ad idem latus: Itquido fupernatans denier fa bafe et pofitus inclinatus, ita ut neutra bafium l'tquidi fuperficiem contingat, neque re&us reflituetur, neque inclinatus confijiet, nip quando axis cum fuperficie liquidi faciet angulum aequalem angulo de quo dicetur.29) ^ Sit Cylindrus KM, cujus quadratum a diametro bafis MV ad quadratum lateris KV minorem rationem habeat quam duplam, five quam 8 ad 4, majorem verö F. ,, quam 8 ad 5; et divifo latere KV in Q, ë' «V ï«.« .... ..„n 1 T7TV17 V na ui icLiaiiguium ivyv aequetur octavae parti quadrati MV, habeat cylindrus ad liquidum in gravitate rationem quam DV ad KV, ita ut DV minor quidem fit legmento QV, major verö QK. duéla autem DL parallela MV, veniat ex E ubi DL ab axe AB fecatur, linea EC, ita ut quadratum partis comprehenfae CD duplum lit exeffus quo duplum reftanguli AEB fuperat quadratum AK. 3°) Dico cylindrum KM, fi liauido , ,, fupernatans ponatur inclinatus, ita ut neutra bafium contingat liquidi .fuperficiem, neque reftum rellitutum iri neque manfurum inclinatum nifi cum axis cum liquidi fuperficie faciet angulum aequalem angulo ECD vel AEC. Primo enim inclinetur Cylindrus ut liquidi fuperficies fit RX, quacum axis AB faciat angulum minorem angulo AEC. Sit autem F centr. gr. Cylindri, et Hpor- Le théorême démontrc que, entre les limitesi/f< f < |/|(f = h: d, h hauteur, d diamêtre du cylindre) le cylindre flottant pourra prendre la position © de la page 87 de PAvertissement, 011 1 axe du cylindre est supposé parallèle aux cötés AB, CD, toutes les fois qu'on }•- \ 1 ' 3Ura > Bé- (i— ' c'est~a-dire, que la position ® est une position instable. n C'est la définition de P.ngle AEC que r,xe du cylindre flottant fera avec le niveau du liquide dans la position d'équilibre. On en déduit facilement: cotir AEC = = Ioe QI — s) J- — 2. tionis RXVM, per quod ducatur ZHP parallela RX, atque in eam cadat perpen dicularis FG, et denique jungatur FH. Quia igitur Cylindrus eft ad liquidum in gravitate ut DV ad KV, five ut cylin drus DL adcylindrum KM, atque etiam ut pars merfa ad eundem cylindrur KM" 3I), erit portio merfa IIXVM aequalis cylindro DM; quare diametri R) et LD in eodem punéto E fecabunt axem AB. Erit itaque ex hypothefi angulu AEX minor angulo AEC, et XD major CD. Quum autem quadratum DC pe conftr. fit duplum excefius quo duplum reétanguli AEB fuperat quadratum AK erit duplum reétanguli AEB cum defeétu \ quadr. CD aequale quadrato AK; e quum XD fit major CD, erit duplum reétanguli AEB cum defeétu \ quadr. XD minus quadrato AK; ergo ZG minor quani 7A\h 32), et quum FG fit perpendicu laris in ZP, et in liquidi fuperficiem RX, ineandem fuperficiem non erit perpen dicularis FH, quae jungit centra grav. cylindri totius et portionismerfaeRXVM quare Cylindrus inclinabit quo inclinat FFF 33), idque fiet quam diu fuperficie: liquidi non convenit cum linea EC. Jam ita difponatur Cylindrus ut liquidi fuperficies RX [Fig. 14] cum axe AI faciat angulum majorem angulo ECD vel AEC. Sit autem conftruétio reliqu£ ut in cafu praecedenti. Sicut fupra ita hic quoque diametri planorum, LD et RX in eodem punéto E fecant axem AB; ergo hic ex hij pothefi angulus AEX major angulc AEC, et XD minor CD. Quum autem quadratum CD aequale fit duplc exceflui quo duplum re&ang. AEB fuperat quadratum AKrf34), erit duplum reétanguli AEB cum defeétu | quadr. DC aequale quadrato AK; et quum XD fit minor quam CD, erit duplum reétang. AEB cum defeétu § quadr. XD majus quadrato AK: Ergo ZG major quam ZHe35); et quum FG fit perpendicularis ad ZP et ad liquidi fuperficiem RX, ad 3I) »a Theor. 4. lib. 1[Iluygens]. 3') „b I heor. 5. h. lib." LHuygens"|. 33) „c Theor. 1. lib. 2" [Huygens"|. 34) per constr." [Huygens]. 35) Theor. 5» h. lib." [Huygens]. eandem fuperficiem non erit perpendicularis FH, quae jungit centra grav. totius Cyhndri et portionis merfae RXVM: quare Cylindrus inclinabit quö inclinat , ' Tct deprimetur a parte K, idquc donec superficies liquidi conveniat cum linea EC. Non confillet igïtur Cylindrus niii cüm axis AB cum liquidi fuperficie faciet angulum aequalem angulo ALC vel LCD; quod erat demonllr. Theorema i i. Cylindrus, cujus quadratum a diametro ba fis ad quadratum later is rationem habet minorem quam octo ad quinque, majorem verö quam fesquialteram liquido jupernatans demerfd bafe, Aliquando re&us confijlet; Saepe inclinatus\ ita ut neutra baftum liquidi fuperficiem contingat; aliquando inclinabitur donec alterutra bajium hquidi fuperficiem in unopun&o contingat, idque quatuor cafibus; aliquando c tmque ulterius adhuc inclinabitur; Secundum diverfam proportionem quam ad liquidum habebit in gravitate. diametro MV ad quadratum la te ris K C o n c 1 u f i o 1. Quöd propofitus Cylindrus aliquando reétus conlillat, et quae turn debeat ejus efTe proportio ad liquidum in gravitate, manifellum eft ex Theoremate 8°. h. lib. Ulud enim ad omnes Cylindros pertinet, qui inclinare poffiint. 2. Sit itaque Cylindrus KM cujus quadratum a bafis V rationem h a b e a t m i n o- 36) Le théorème nous fait connaltre que, quand ona VI <£ < V\, alors les positions (T) et (2) de la page 87 de PA vertisseme.it (AB parallèle a Paxedu cylindre) peuvent se préseiner, rem quam 8 ad 5, majorem vero quam 3 ad 2. Et latere KV divifo primüm bifariam in P, fecundo in Q, ita ut rectangulum KQV aequale fit £ quadrati MV, deinde in N, ita ut rectangulum KNV aequale fit ^ quadrati MV, factifque KI) f KN, et KT iNV; fumatur punctum ubivis in ter Q et D ut «, et aliud infra T, non au tem ultra P, ut /3. Habeat autem Cylindrus ad liquidum in gravitate proportionem quam «V, vel /3V, vel «K, vel /3K, ad latus KV; et liquido fupernatans ponatur in cl in at u s, ita ut neutra bafium liquidi fuperficiem contingat: dico neque rectum reftitutum iri; neque inclinatum manfurum; nifi cum axis cum superficie liquidi angulum facie t aequalem angulo in ven i en do ut fupra Theor. io°. 37). Ut autem appareat omncs hos cafus locum habere pofTe, eteffe differentes, duo funt oftendenda; primum, quödpunftum T cadat intra K et P: alterum,quod punóta D et T non coincidant, quorum illud fic oftenditur. Quia reétangulum KNV eft £ quadrati MV, quadratum vero MV majus quam § quadrati KV ex conftr. et hijpothesi: erit rectang. KNV majus quam quadrati KV. Unde fequitur latus KV ita feétum eiïe in N, ut fegmentorum minus, KN, majus fit quam f KV, fegmentorum vero majus, NV, minus fit quam mais qu' il se peut aussi que ni Pune ni 1'autre de ses positions 11e soit une position d'équilibre stable. Tout cela selon les differentes valeurs de la densité relative e. Voir, pour les détails, les „Conclusiones." 3 ) La „Conclusio" nous apprend que, entre les limites pour la valeur de f indiquées dans la note précédente, la position (2) pourra se présenter toutes les fois que les trois conditions suivantes soient remplies: i° que la valeur de e se trouve comprise entre les racinesde 1'équation quadratique: 8e (1 — e) £2 = 1, 20 qu'elle soit inférieure a la plus petiteou supérieure a la plus grande des racines de 1'équation 2 (1 — 0(5®—0 t2 = 1 et de même 3° inférieure a la plus petite ou supérieure & la plus grande racine de 1'équation: 25 (4 — 50 £2 = 1. La première de ces équations se rapporte au point Q de la figure du texte. Pour montrer comment la seconde et la troisième dépendent des points D ou T de cette figure, posons VD = , alors KD = (i—s)A, KN = § (1 — i)/i, NV == £ (5a— i)A; KN X NV = T7Ï C1 —0 (5e— O^2 = ^52 > donc 2 (1 —e) (5e — 1) f2 = i, oü, pour obtenir le point D, on doit prendre la plus grande des racines. II s'ensuit donc que pour e = ~ la K. V valeur de e sera plus grande encore que cette plus grande racine. Posons ensuite KD — sk, alors on arrivera üt 1'équation 2e (4 — 5e) f2 = 1, dont la aK moindre racine servira pour la valeur de KD. Ainsi si Pon a s = , la densité relative s sera inférieure a cette plus petite racine. Le point T amènera les mémes équations. En posant en premier lieu TV = eh, et ensuite | KV 3») :Ergo KT, quae eft t NV, minor eftquam f live J. KV. Apparet itaque punétum 1 cadere intra Ket P. Alterum fic rttenditur, nimirum quM punftaDet T non coincidant. quia enim reftangu um KNV eft £ quadrati MV, qnadratum verö MV minus quarn ft quadrati KV (utramque ex conftr.): eri: reftangulum KNV minus quarn A feu f quadrati KV unde fequitur latus KV non bifariam dividiin N: fegmentorum ver6 majus eft NV, minus autemNK, ergo KD, quae eft f KN, minor eft ipfil y 5ufe c * non ^tur coincidunt pun&a D et T. Pi-imum itaqiie habeat Cylindrus ad liquidum in gravitate proportionem quam *V ad kV; et fado plano uL parallelo bafi YK, veniat ex centro ejus E lineaEC, TK = ah, on trouvera TV égal a KV multiplié par la pluspetite des racines de 1'équation 2 (1 — e) (5e _ ï) £» = , et TK éga, ii KV multiplié par la plus grande racine de 1'équation 2e (4 — ^s) f2 = j. ^ Ajoutons que la „Conclusio" pourrait s'exprimer encore comme il suitr'que dans les limites indiquées de £ Ia position (2) pourra être réalisée toutes les fois qu'on aura f- > et simultanément s ^ a(1 — •) (5e ._j) ct de néme £- <- 1 _ ~s(4 50° Enfin, pour expliquer la raison d'être des limites 1/! et l/-|, nous donnons une représentation graphique du plan (e, f) 0ü les trois courbes, dont les équations ont été mentionnées, se trouvent tracées. Dans cette représentation 011 aura OE = = V\\ OG = |/f; et la „Conclusio", ensemble avec le „Theoremaw," exprime que la position (2) est possible toutes les fois que le point (e, f) tombe dans 1'espace KN^NV^^KV2 'fi •5'rl'1-M 2' Euc1"' puisqu' on aurajt dans le cas contraire fréquent, te^u'on la* trouve^ns^it^ ff^1%^ T * secetur ,n aequalia, & „on aequalia: Recungulus sub inaequalibus seL-menris tori,.?T ° hensum, vna cura quadrato, quod ab intermedia seetionnm alnafeeTe Ónöd\TT'' descnbitur, quadrato." On en déduit aisément aue le rerMnoii q CJim a plus petit que les sections seront plus inégales c'est-a-dire cmele en.q"estlon.sera d auta"t se tronve plus éloigné du point milieu, et r&i^uement ' ""V" division. proposition va être appliquée plusieurs fois par Iluygins. ' ° 'e qUe comprehendens partem Ca, cujus quadratum duplum fit exceiïus, quo duplum reótang. AEB fuperat quadr. AK. 3°) Ponatur autem cylindrus inclinatus, ita ut neutra bafium contingat liquidi fuperficiem. Oftendendum eft neque reéhim reftitui, neque inclinatum manere, nifi cum axis AB faciet cum liquidi fuperficie angulum aequalem angulo ECx vel AEC. Abfcindatur a Cylindro Cuneus KXY plano cujus maxima diameter KX tranfeat per E interfeftionem duarum aL et AB. Porrö fit H centrum gravitatis cunei KXY, per quod agatur Zbbr parallela KX, in eamque cadat ex F centro grav. cylindri, perpendicularisjFG, et jungatur FH: denique fit YR £ YL. Quoniam igitur reaangulum KQV per conftr. aequale eft £ quadrati MV, Cylindrus autem KM ad liquidum in gravitate proportionem habet quam «V ad KV, quae minor eftea quam QV, major verö e& quam QK habet ad KV, fequitur Cylindrum non reftum reftitutum iri "3?). Sed neque eoufque inclinabitur ut bafis YK contingat liquidi fuperficiem; nam fi eoufque jam inclinatus ponatur et angulus K fit in liquidi fuperficie KX, continuö idem angulus fupra liquidi fuperficiem extolletur. quod fic oftenditur. Quia enim cylindrus eft ad liquidum in gravitate, ut uV ad KV, five ut cylindrus «M ad KM; erit etiain portio demerfa XKVM aequalis cylindro otM z"»°), quare liquidi fuperficies KX, (id eft, diameter plani quod eft fecundum liquidi fuperficiem) in eodem pundo E fecabit axem AB, ubi seftus fuit a plano ceL, eritque YLdimidiaipfïus YX. YL autem five Ka minor eft quam KD, (quia punctum a fumptum eft inter Q et D,): ergo quoque YR , quae eft f YL, minor erit quam KN, quae eft f KD. Ergo reétangulum YRM minus eft rcélangulo KNV; hoe autem aequale eft quadrati MV, ergo redangulum YRM minus eft quam /0 quadrati MV; reétangulum autem fub YL et RM eft i reftanguli YRM, (quia YL eft f YR,) ergo reaangulum fub YL et RM minus eft quam five j quadrati MV. Quare in linea Ztt erit pars ZG minor parte ZH c41). Ergo quum FG fit perpendicularis in liquidi fuperficiem XK, in eandem non erit perpendicularis FH, quae jungit centra grav. cylindri et cunei enatantis XYK. Quamobrem cylindrus inclinabit quoinclinat linea FH^^2), afcendetque verfüs K, isque angulus fupra liquidi fuperficiem extolletur. Demonftratum igitur eft Cylindrum neque reéhim reftitutum iri, neque tarnen eousque inclinari pofte*ut] alterutra bafium contingat liquidi fuperficiem. Quod autem'angulus, quem, confiftente Cylindro,axis AB faciet cum liquidi fuperficie, 39) „a per conv. Theor. 8. h. lib." [Huygens]. 4°) ,,b Theor. 4. lib. 1." [Huygens], 41)„c Theor. 6. h. lib." [Huygens]. 42) „cl Theor. I. lib. 2." [Huygens]. acqualis tuturus fit angulo ECa vel AEC, demonftrari poterit ficut in Theoremate io° h. lib. Habeat nunc [Fig. 16] Cylindrus ad liquidum in gravitate rationem quam /3V habet ad KV,et, fafto plano /3EL parallelo M V, inveniatur angulus EC/0 ut in cafu Fig. 16. Y\ 1 71* yz "N L * 'S X praecedenti. Dico, fi Cijlindrus liquido fupernatans ponatur inclinatus, ita ut neutra bafium contingat liquidi fuperficiem, quöd neque reótus reftituetur neque inclinatus manebit,nifi cüm axis AB faciet cum liquidi fuperficie angulum aequalem angulo AEC vel EC/3. Conftruantur enim reliqua ut in cafu praecedenti; et praeterea fit KS aequale ipfï VN et YR i YL. Quia igitur Cylindrus ad 1 in II irl 11 m i n rrt*n xrihnfo jij £ y ü^uiuwiu uigiaviiaLwiiaucuuiiu- nem quam /3V ad KV, quae minor eft ea quam QV, major autem ea quam QK habet ad KV, non poterit quidem reétus reftitui *43). Sed neque eousque poterit inclinari, ut bafium alterutra contingat liquidi fuperficiem; nam fi jam eousque ponatur inclinatus, ut angulus K fit in liquidi lupeificie KX, ftatim idem angulus fupra fuperficiem liquidi extolletur. Primt) enim facile ficüt in cafu praecedenti oftenditur YL efTe dimidiam ipfius YX; fed YL live K/3 major eft quam KT, (quia punétum /3 fumptum fuit inter T et P): cigo \ R quae eft YL major erit quam KS, vel NV quae fingulae funt KT; quare reftangulum YRM minus erit reftangulo KSV vel KNV; hoe autem aequale elï £ quadrati MV, ergo redang. YRM minus eft quam ^quadrati MV; Reétangulum autem fub YL et RM eft f redanguli YRM, (quia YL eft erg° re<^ang. fub YL et RM minus eft quam five £ quadrati MV. Ergo in linea Zt , erit pars ZG minor parte ZH h 44), et quum FG fit perpendicularis in Ztt et in liquidi fuperficiem XK, in eandem non erit perpendicularis bH, quae jungit centra grav. cylindri et cunei enatantis XYK. quamobrem Cylindrus inclinabit quö inclinat linea FHf4s), et angulus K afcendet fupra ) „a per conv. 1 heor. 8 . h. lib." [Huygens]. 4"0 Thcor. 6. h. lib." [Huygens], 4S) 9ic Theor. i. lib. 2." [Huygens]. liquidi fuperficiem. Quod autem rirfus angulus quem manente cylindro axis AB faciet cum liquidi fuperficie, aequalis futurus fit angulo EC/3 vel AEC, demonltrari poterit ut in Theor. 70 4<ï) hujus lib. Quod fi Cylindrus fit ad liquidum in gravitate ut txK vel /3K ad KV, inverfa tum intelligantur duo praecedentia schemata, et eaedem quae in praecedentibus cafibus erunt demonftrationes, nifi quod tune eae partes merfae erunt quae prius enatabant. Si igitur Cylindrus fit ad liquidum in gravitate ut ctV vel /3V vel a.K vel /3K ad latus KV, etc.; quod erat dem. 3- divifo latere KV, ut fupra, punctis P, N, D, T, nempe in P bifariam, et in N ita ut reetangulum KNV fit £ quadrati MV, et KD fit | KN, KT vero f VN; Si Cylindrus ad liquidum in gravitate proportionem habeat quam DV vel TV vel DK vel TK ad latus KV, et liquido fupernatans ponatur inclinatus ita ut neutra bafium liquidi fuperficiem contingat, eoufque inclinabitur donec alter u tra bafium eandem fuperficiem contingat in uno puncto.47) Habeat enim primo ad liquidum in gravitate rationem quam DV ad KV, et 4±), ou bien 2e (4 —•5^)^=1 (pour e << |). Inutile de dire qu'alors le point (s, ?) se trouvera sur 1'une des lignes PZJ ou PNM de la représentation graphique de la note 37, p. 176. On remarquera d'ailleurs que la stabilité de la position en question n'est pas prouvée puisque, & eet efFet, on doit savoir encore comment le cylindre se comportera, s'il est poussé de manière a atteindre une position (3) ou (3)'. ponatur inclinatus, ita ut liquidi fuperficies fit OC. dico eoufque inclinatum iri donec bafis YK liquidi fuperfïciem contingat inpunélo K Sit enim planum DL parallelum bafi KY, et planum KX abfcindat cuneum aequalem cylindro KL: Porro fit F centrum gravitatis cijlindri: item H centr gravitatis portionis OCVM, et y cunei XYK, per quae ducantur ZHG parallela OC et Qy parallela XK, in easque cadant perpendiculares FG et Fv• Jungatur etiam FM, et denique fit YR aequalis KN. ' Quia igitur reétangulum KNV five YRM funt & quadrati MV, reétangulum autem lub YL et RM eil f reftanguli YRM (quia RY efl § LY,); fequitur rectangulum fub YL et RM acquale efle five £ quadrati MV; quare erit in linea OS P^rs (y, quae ell inter axem AB et perpendicularem Fy aequalis parti quae elt inter eandem axem AB et centrum gravitatis cunei XYK "48); et quia hae partes hint aequales, erit duplum reftanguli AEB cum defeftu l'quadr. XL aequale quadrato AYA«) vel AK nimirum quartae parti quadrati YK. Er^o dupkim reftanguli'AEB cum defeftu \ quadrati CD (quia CD minor eft quam 71 i n majUS erit Quadrato AK. Qüare in linea ZG erit pars ZG major parte /Ai' s°), et quum FG fit perpendicularis in ZG; ideoque in liquidi fuperiiciem OC, in eandem fuperfïciem non erit perpendicularis FH, quae juneit centra gravitatis cylindri et partis merfae OCVM; quamobrem Cylindrus inclinabit quo ïnclinat linea FH^'), defcendetque verfüs K, idque donec angulus v lit in ipla liquidi fuperficie: Cum autem eö pcrvenerit tum manifeftum elt enatare debere cuneum KYX ; nam quum in hujlis centrum gravitatis incidat Fy quae fimul etiam perpendicularis efl in liquidi fuperfïciem XK, (quod in principio hujus demonflrationis oltenfum fuit,) cylindrus tune ad neutram partem magis inclinabit; quod erat demonftr. HabeatjamfFig. 18] Cylindrus ad liquidum in gravitate rationem quam TV ad KV,et liquidofupernatans ponatur inclinatus ita ut fuperficies liquidi fit OC; dico eousque inclinatum iri donec bafis YK contingat liquidi fuperficiem in punéto K. Sit enim planum 1 L parallelum bafi MV, et reliqua ad eum modum conftruantur quo in ca(u praecedenti conltru&a fuere, fiant verö KS, YR aequales ipfi NV Eritque pene eadem demonflratio, quae fuit modó. Nam quum reétangulum KNV five KSV five YRM fit & quadrati MV, retfangulum autem fub YL et RM fit i reftanguli YRM, (nam ficut KT eft 4 NV five Jlta-YL YR0erit reaangulum fub YL et RM aequale* ^fi wel quadrati MV; unde fequitur perpendiculum Fy incidere in ipfum centrum gravi- ) Theor. 6. h. lib." [Huygens], 4p „£ per conv. Theor. 5. h. lib." [Huygens]. ;s°)„c Theor. 5. h. lib." [Huygens]. 5I),/Theor. I. lib 2." [Huygens]. tatis cunei KYX*5"), Hinc autem primo demonftrari poteft: ut in cafupraece- denti, Cylindrum qnidem non lg' l8' confiftere cüm liquidi luperficies ell OC, fed defcendere verfüs K, doncc angulus K fit in ipfa liquidi fuperficie, atque ea iït KX; fecundö etiam hoe inde fequitur, quod cylindrus confiftat cüm liquidi fuperficies ell KX; quod erat demonltrandum. Denique fi Cylindrus fit ad liquidum in gravitate ut DK vel TK ad KV inverfa intelligantur duo praecedentia schemata(adeo ut Fy tum fiat ea quae jungit centra gravitatis cylindri et par- tis demerfae) et eadem quae in praecedentibus cafibus erunt quoque demonllrationes. Si igitur Cylindrus ad liquidum in gravitate habeat rationem quam DV vel TV vel DK vel TK ad KV, &c. quod erat demonftr. 4- Secto rurfus latere KV [Fig. 19], ut fupra, in punctis P, N, D,T? nempe in P bifariam, et in N ita ut rectangulum KNV aequetur £ quadrati MV, et KD fitf KN, KT autem f NV, fumptóque puncto öj ubivis inter D et T; Si Cylindrus ad liquidum in gravitate proportionem habeat quam ctV vel aK habet ad KV, et liquido fupernatans, demerfa bafe, ponatur inclinatus, ita ut neutra bafium contingat liquidi fuperficiem; ulteriüs inclinabitur, quam ut alterutra bafium contingat eandem fuperficiem in uno puncto.53) *2) „a Theor. 6. h. lib." [Huygens]. 5Ï) La „Conclusio" nous apprend que dans le cas V/ï —7 , 2 (5®—OC1—e) ou £2 > 2s (4— 5e))' alors le cylindre ne Pourra prendre ni la position(T), ni la posi- tion (2). Elle laisse indécis dans lesquelles des positions (3), (4) ou (5) (voir la figure p. 87 de 1'Avertissement, oü le cóté AB est supposé parallèle a 1'axe du cylindre)! équilibre se fera. DE IIS QUAE LIQUIDO SUPERNATANT. LIBER III. I 650. Habeat primo cylindrus ad liquidum in gravitate rationem quam ctV ad KV, et ponatur inclinatus ita ut liquidi fuperficies fit OC; dico ulteriüs inclinatum iri quam ut bafis YK liquidi fuper- ficiem contingat in punélo K. Fiat enim planum aEL paralleluni bafi KY vel MV, et planum KEX abfcindat a cylindro cuneum KYX aequalem cylindro KL. Porro fit H centrum grav. portionis OCVM, et Q centrum grav. cunei KYX, per quae agantur ZHG parallela OC, et %; et denique fiat KS aequalis NV, etYRfYL. Quia igitur Cylindrus ert ad liquidum in gravitate ut aV ad KV, five ut cylindrus *M ad cylindrum KM, atque ita etiam portio merfa OCVM ad cylindrum KM"54), fequitur portionem OCVM aequalem e(ïe cylindro «M,ac proinde diametros «L, OC et KX in eodem puntto E fecare axem AB. Porrè) quum Ka, cui aequalis e(l YL,major fumpta fit quam KD, minor verö quam KT, erit YR five l' \ L major quam KN five | KD, minor autem quam KS, quae (fïcuti VN) eft | KT; Ergo quum pundta N et S aequaliter diftent a P, five medio lateris KV, punctum R minus dillabit a medio lateris YM, quam N vel S diftant a P: quamobrem reaangulum YRM majus erit reélangulo KNV five quadrati MV et reftangulum fub YL et RM five f reftanguli YRM, majus quam £ five £ quadrati MV: Ergo in linea erit intercapedo ty major f<|>*55); unde conllat duplum reótanguli BEA cum defeétu \ quadrati XL majus efTe quadrato AYC5<Ï): ergo quum OL vel Ca minor fit quam XL vel Ka, erit duplum reétanguli AEB cum defeftu § quadrati Ca mul tb majus quadrato AY vel AK, quare in linea ZG erit intercapedo ZG major ZWd>7). Ergo quum FGfit perpendicularis ad ZG et ad liquidi fuperficiem OC, ad eandem fuperficiem non erit perpendicularis FH, ,4) „a Theor. 4. lib. 1." [Huygens]. ss)»^ Theor. 6. h. lib." [Huygens], ) c per conv. Theor. 5. h. lib." [Huygens]. Theor. 5. h. lib." [Huygens]. quae jungit centra gravitatis totius cylindri et portionis merfae OCVM; Ideoque Cylindrus inclinabit quo inclinat linea FH's8), defcendetque a parte K donec angulus K fit in liquidi fuperficie atque ea fit KX. Sed neque tum confiftet; nam quum jam fuerit oftenfum in linea intercapedinem majorem effequam £(p, et Fy fit perpendicularis in ty et in liquidi fuperficiem, quae tum erit KX, in eandem fuperficiem non erit perpendicularis Fep, quae jungit centra gravitatis totius cylindri et cunei enatantis KYX, ideoque Cylindrus inclinabit quo inclinat linea Fep f59*), mergeturque angulus K; quod erat demonflrandum. Quod fi Cylindrus ad liquidumin gravitate rationem habeat quam otK ad KV, tum inverfa intelligatur praecedens figura. et demonftratibur angulum K emerfurum effe fupra liquidi fuperficiem, neque diflferet demonstratio a praecedenti, nifi quod partes eae hie merfae erunt quae prius enatabant. COROLLARIUM. I. Fuit hoe Theorema de Cylindro cujusquadratuma diametro bafis ad quadratum lateris minorem habet rationem quam oéto ad quinque, majorem verö quam fef- Fi 2Q< quialteram [$]; verüm fi ejuf- 1 1 • /» ^ 1 * 1 « modi ut Cylindrus ut quadratum a diametro bafis ad quadratum lateris fit ut otto ad quinque; tum divifo latere KV ut fupra in P, Q et N, incidet quidem punéhim N in P, id ell, in medium lateris KV,6o) et ideo punfra D et T diverfa non erunt, latufque KV ita divident ut pars verfüs Vfit fefquialtera reliquae verfüs K. Unde fiet ut Cylindrus femper inclinatus confillat, ita ut neutra bafium contingat liquidi luperficiem, praeterquam li ad liquidum in gravitate rationem habeat quam DV vel DK ad KV, id ert, quam tria vel duo ad quinque tum enim alterutra s8)),£ T heor. I. lib. 2." [Huygens]. 59) „ƒ Theor. i. lib. 2." [Huygens]. 5o)OnaalorsKNXNV = /ïMV2 = /ïXfKV2=|:KV2;maisdemêmeKPXPV=|;KV2; donc, d après „pr. 5. lib. 2. Eucl.1', les points P et N doivent coi'ncider. Voir la note38,p. 176. bafium continget liquidi fuperficiem in uno punéto: Vel fi habeat rationem majorem quam QV vel minorem quam QK ad KV, tum enim reftus confiftet. ÖI) Quod fi Cylindrus talis fit [Fig.a i]ut quadratum diametro bafis,quadrati lateris fit fequialterum02); tum divifo latere KV ut fupra in P, Q er N, erit KQ £KVÖ3); NK § K\ 4);et ideo DK y3ö KV03), punétum verö T incidet inP, id ell, medium p.r ni lateris KV55)- Unde fiet ut lg'21, __ Cylindrus primö, reétusqui- 1 r* r* 1 1 1 • 1 dem confiftat, fi ad liquidum in gravitate rationem habuerit majorem quam QV, vel minorem quam QK ad KV id ert majorem quam fubfequitertiam, vel minorem quam fubquadr.[£]Secundo,inclinatus ita ut neutra bafium contingat liquidi fuperficiem, fi rationem habuerit ad liquidum in gravitate minorem quam QV, majorem vero quam DV ad KV; vel fi minorem quam DK, majorem vero quam QK ad KV. Tertio, inclinatus ita ut altera bafium liquidi fuperficiem contingat uno in puntfo, fi fuerit ad liquidum in gravitate ut DV vel DK ad KV, id eft, ut 7 vel 3 ad 10. Quarto autem fi ad liquidum in gravitate rationem habeat minorem quam DV, majorem verö quam DK ad KV, tum ulteriüs inclinabitur quam ut altera bafium liquidi fuperficiem in uno punéto contingat; Praeterquam, fi eam habeat rationem quam PV ad KV, id efl fubduplam, tum enim ita confiftet ut utraque bafis liquidi fuperficiem contingat in uno pun&o. 67) ÖI) Cette première partie du „Corollarium" s'explique facilement Taide de la représentation graphique de Ia note 37, p. 176. 11 s agit du cas oü le point (e, £) se trouve sur la droite EF. 6 2 ) Le point (e, £) se trouve alors sur la droite GH du tableau de la note 37, ce qui expliquera aisément tout ce qui va suivre. On a (voir la „Conclusio 2") KQ XQV = ïï MVS = T35 KV2, relation qui est réalisée par KQ = \ KV, QV == J KV. ö4) On a ici KN X NV=/5MV2 = KV2; relation satisfaite par KN = § KV;NV = f KV. 6s) Puisqu'on a par définition KD= f KN. („Conclusio 2"). 6Ö) Puisqu'on a KT = f NV, donc = 5 KV. 67) C'est le cas oü le point représentatif ( \/ \ les positions © et @ p. 8 7 de 1'Avertissement ( AB parallèle a Taxe du cylindre) penvent se réaliser entre certaines limites de la valeur de la densité s. Pour d'autres valeurs de e il arrivé que ni 1'une ni 1'autre de ses positions ne soit une position d'équilibre stable. Sous ces respects le cas f > y/i ne diffère pas du cas j/I < C < |/|; mais il n'en est pas de méme pour certains détails qu'on trouvera dans les „Conclusiones." Voir les notes 70, 71 et72. 24 2. Latere KV di vi fo ut fupra in Q, et praeterea punctis N et D, ita ut ïectangulum quidem KNV aequetur quadrati MV, KD aucem fit 4 fegmenti minoris NK; fi habeat Cy1 indrus ad liquidum in gravitate proportionem majorem quam DV, minorem ver6 quam QV habet ad KV; vel majorem quidem quam QK, minorem veró quamDK habet'ad KV, et liquido fupernatans ponatur inclinatus, ita ut neutra bafium contingat liquidi fuperficiem; dico neque rectum reftitutum iri, neque manfurum inclinatum, nifi cüm axis AB faciet cum liquidi fuperficie angu- at?n • • ™ m aequalem angulo feu AEC, invento ut in Theoremate 10° hujus Iibri.?°). demonltrari hoe poteft eodem modo quo Conciufio 2= Theorem. ui h lib punftunT D»i la* h°-S fmiwiue locum habere pofle, oftendendum eft] p ftiim D magis diftare a K quam punéhim Q. Quoniam itaque reftangu- } p™£TréXr7nS TH " ^ @ de 'a page 87 de "Tert-me* inférieure * u piufg^/e rae^n'e lè ' Z?"» te ^ grande raeine de Péquation, (5. - ,) V, T-4 " P1™ plus petite raeine de 1'équation 8e (1 —«1 f — 1 • « • fi f est supérieure i la tion 2«(4—5t)fs. * inférieure a la plus petite de l'ét| na¬ ren ce ™si»! essentieUe ^ó'ui'' ^ 'a."Collclusio 2" du «Theorema 1 i";mais la difFéde la Sr rn™ P» «Primer les eonditions de la réalisation position & pour toutes les valei,rs possibles de », corame il suit: qu'on doit avoir " > 8* (, _"») et simultanément J" ^ et < app^endClaU^LTS^^^fr"^"",116 '* T ^\ nous ou SRMT* d'ou il snit- e polnt 0 « trouve dansles divisions UJKV portentl eette nös inn^ ' i°«S ''The«rem«^" et „Conelusiones" qui se rap- a Tintérieur de la divisim SRLK VUJZp'nmt.""1'" ^ q"eP°'ntqUeSti°"t0mbe lum KNV continet ^ quadrati MV, et KD eft £ KN, continebit reétangulum fub KD et NV feu £ quadrati MV; reétangulo autem fub KD et NV, majus eft rettangulum KDV, ergo idem hoe majus quoque quam £ quadrati MV, five reétangulo KQV; quare neceflariö KD major quam KQ. Poteft itaque Cylindrus ad liquidum in gravitate habere rationem majorem quam DV, minorem veró quam QV habet ad KV: poteft et confequenter habere majorem quam KQ, minorem veró quam KD habet ad KV; quae erant oftendenda. M Latere KV diviso ut in Conclusione praecedenti punctis N et D, nempe ut rectangulum KNV contineat 3% quadrati a diametro ba fis MV, KD, autem fit | KN fegmenti minoris; Si habeat Cylindrus ad liquidum in gravitate rationem quam DV habet ad KV, vel quam DK ad KV, et liquido supernatans ponatur inclinatus ita ut neutra bafium contingat liquidi fuperficiem; dico eousque inclinatum iri ultrö, ut alterutra bafium liquidi fuperficiem contingat in uno puncto.71) Hoe autem demonflrari nnftpfl- pnHpm " w ^ V* fcv *». «rVV»Vlll modo, quo Concl. 3a Theorematis praecedentis 1 ii. 7') La „Conclusio nous indique que, dans le casf>i/f, Ie cylindre sera en équilibre dans une position intermédiaire entre les positions @ et (3) ou (3)' toutes les fois que la densité « égale la plus grande racine de l'équation 2 (5e— 1) (1 — «) £2 = 1, 0u la plus petite de 1 équation 2s (4 5e) f2 = o; c'est-a-dire quand le point (s, ?) se trouve sur Pune des courbes JU ou MT de la représentation graphique de la note 37, p. 176. Elle ne diffère donc de la „Corclusio 3" du „1 heorema 11" p. 179, qui se rapporte au cas V/|-^ ou^ , 1 2(55—I)(I—e) "25(4—56)' c'est-a-dire, que le point (e, Qtombera a 1'intérieur de la division TMNPZJUde la représentation graphique de la note 37, p. 176. a) ^ oujours h cause de„pr. 5. Iib. 2. Eucl." Comparez la note 38, p. 176. rem fubdupla, ea vel fubdupla erit vel minor fubdupla; et fiquidem fubdupla, turn eadem adhue quae in cafu praecedenti erit demonftratio, nam ipfum punftum P cadit inter D et T. Si vero minor fubdupla, invertenda est praecedens figura et eadem rurfus erit demonftratio, nifi quód jam pars ea demerfa erit, quae priüs enatabat, et contra. Experimenta. Quoniam Parallelepipeda five trabes, et Cylindracea corpora ubique obvia funt, vel faltem facilia paratu, non dubito quin futuri fint qui faéto periculo de veritate horum Theorematum cognofcere cupient; eos autem monitos velim ne temere credant fuis experimentis, ut priüs perfpeétum habcant lolida, quibus ad ea utuntur, efle e materia quae per omnia gravitatis fit aequalis. Et lignum quidem, quod tantae perfeftionis fit, reperiri poffe, vix crcdiderim; metalla autem non nifi argento vivo fupernatant, alioquin exiftimo, haec magis accommoda fore. Sed vitandis hifce difficultatibus, fabriceni;ur corpora intus cava, et tenui tantum conftantia fuperficie. deinde difponantur introrfus pondera, hac lege, ut omnium fimul centrum grav. idem fit, quod centrum corporis vacui, fi foret folidum; atque ita pro lubitu gravia et levia habebuntur, additis vel demptis ejufmodi ponderibus. Exemplo fit Cylindrus AB, tenui conllans iuperficie, in quo difponantur ad oppositas bafes pondera paria, velut cylindri aequales è plumbo vel alia ponderofa materia, AC, BD, ct plures fi res exiget; dummodo obfervetur ut pares fint, qui ab oppofitis bafibus aeque diftant; et erit eadem hujus liquido fupernatantis pofitio, quae cijlindri fimilis figurae etponderis, qui totus folidus effet et è materia fibi ipfi in gravitate per omnia fimili. F I N I S. APPENDICE I1) a l'ouvrage: De iis quae liquido supernatant. [1650]. Si corpus unum vel plura moveri incipiant, ea deorfum moveri, id efl: ut centrum gravitatis propius fiat plano horizonti parallelo. Si quotcunque coipora fponte feu gravitate fua moveri incipiant, centrum gr. ex ijs omnibus compofita propius fieri plano horizonti parallelo. Igitur quantum liquidi prius continebatur fpatiis EAF, KDH quae funt infra planum AD, tantum nunc fupra idem planum continetur fpatio FGH; tune vero cum adhuc componebatur fpatiis EAF, KDH, centrum gravitatis habebat infra planum AD, at nunc dum occupat fpatium FGH habet c. gr. fupra planum AD, itaque nunc altius habet, at reliqui liquidi, quo plenum ell fpatium EFHKCB, centr. gr. eodem manet loco, Ergo omnis liquidi centr. er. altius eft mmm continetur fpatio EFGHKCB quam cum terminatur fuperficie plana AD; Sed quia liquidum fponte motum ponitur, debet centr. fuae grav. eo motudefcendifle igitur fimul defcendit et afcendit quod eft abfurdum. ') L'Appendice contient une autre rédaction du début du „Liber 1," jusqu' a la fin de la démonstratiou du „Theorema 4". Corpus Jolidum levius liquido ita ei fupernatat, ut pars merja ad totum eam habeat rationem quam corpus habet ad liquidum in gravitate. Elto vas ABCD continens liquidum, cui impofitum fit corpus EF formam habens cylindri vel parallelipipedi, (nam quod de his oftendetur, etiam reliquis corporibus convenit) ea ratione, ut pars demerfa GHFM fit ad totum ficut corpus EF ad liquidum, in gravitate, id eft ficut gravitas corporis EF, ad gravitatem liquidi fuae magnitudinis. Dico corpus EF neque ulterius demerfum iri neque altius emersurum. Nam fi fieri potest demergatur primó ulterius, ita ut jam occupet spatium NL, et pars liquidi quae continebatur fpatio HL afcendet in fpatia AG, MD. Quia igitur corpus EF ultro mouetur, oportet centrum gravitatis univerfae (quae componitur ex omni liquido et ex corpori ipfi impofito) hdc pofteriori corporis pofitione inferius effe quam priori a 2). Verum utraque corporis pofitione contingit lpatium PGKLMQCB effe plenum liquido cujus proinde centrum gr. manet eodem loco. Ergo debet centrum ffravitatis reliquae altius effe corporis pofitione priori quandó ea gravitas conftat ex corpore EF et parte liquidi HL, quam posterion pofitionequum conftat ex corpore NL et parte liquidi quae afcendit in fpm. AQ. Sit R c. gr. corporis EF, T vero c. gr. ejufdem corporis quum occupat fpatium NL; fit item S c. gr. liquidi HL, et Y liquidi ejusdem quum afcendit in spatium AQ. et divifa intelligatur RS in punfto X ut fit reciproce SX ad XR, ficut gravitas corporis EF ad gravitatem liquidi HL, eandemque rationem habeat YV ad VT: Erit hac ratione X c. gr. compofitae ex corpore EF et liquidi parte HL; V vero c. gr. compofitae ex corpore NL et parte liquidi AQ. Itaque fecundum ea quae diximus deberet centrum X centro V altius effe, quod e(t abfurdum namque contra oftenditur altius effe V ipfo X. 2) Huygens annota en marge „a Hyp. I". 3) A propos de ce qui suit Huygens annota en marge: „1654 Vide an non melius aqua tantum ad latera corporis intelligatur, non undique circumfusa. Saltem si parti OM circumfunditur, etiarn ipsi GF circmnfundi necesse est?" Proportionem liq [uid] i ad corpus fupernatans in gr[avitat]e, id eftgr[avit]atis liquidi m[a]gn[itudin]is EF ad gr.em corporis EF fimilis pofita eft ei quam habet EH ad Gil, quam autem habet EH ad GH eam quoque habct gr[avit]as liq [uid] i m[a]gn[itudini]is EF ad gr. l[i]q[ui]di m[a]gn[itudin]is GF, ergo gravitas liq.i magn.is EF ad gr.em corporis EF eandem habet rationem quam ad gr. liq.» mgn.is GF; quare conftat gr. liq.i mgn.is GF aequalem efle gr.i corporis EF. Sicut autem gravitas liquidi magn.is GF ad grav. liquidi HL ita eft latus GH ad HK, igitur ut GH ad HK ita grav. corporis EF ad gravitatem liquidi HL, atque ita proinde SXad XR, et YV ad VT. quum verb diftantia centrorum R, T, fit aequalis corporis defcenfui 01 4), SY vero major quam HG dimidid HK et dimidia OG, major quoque erit ratio SY ad TR quam GH ad HK, vel quam YV ad VT, has enim easdem efle modo oftenfum fuit. quare eft componendo major ratio SV ad VR quam GH] ad HK, ut autem GH ad HK ita diximus eïïe SX ad XR, ergo major eft ratio SV ad VR quam SX ad XR,undepatet pun&um V punéloXaltius eiïe quod erat oftendum. Non poteft itaque corpus EF ulteriusde- mergi: At jam fi fieri poteft altiüs emer- gat ut occupet fpatium NL [Fig. 3], et liquidum ex fpatio AQ defcendat ad replendum fpatium KF. Rurfus igitur debet centr. gr. univerfae moto corpore defcendifTe. Verum fpatium POHFMQCB utraque corporis pofitione plenum eft liquido, cujus propterea centrum gr. manet eodem loco,Igitur centrum gravitatis reliquae, priori P corporis pofitione cum conftat ipfa ex C corpore EF et parte liquidi AQ, debet altior effe quam pofteriori cum conftat ex corpore NL et parte liquidi KF. 1 • • 1 r • 1 • /i C aiviaatur ïpatium kö , quo autat centr. gr. corporis EF a centr. gr. liquidi AQ, in punélo X, ut fit SX ad XR ficut gravitas corporis EF ad gr. liquidi AQ, eademque ratione pun&um V dividat fpatium TY quo diftant centra gr. corporis NL et liquidi KF. Centrum igitur compofitae gravitatis de quÉ quaeritur priori corporis pofitione eft X pofteriori V; deberetque rurfus X quam V altius eiïe, Quod eft abfurdum; 4) Lisez HK ou FL, les lettres O et I étant biffées dans la figure. 25 nam contrarium ita oftendemus. Gravitas liqu. magn.is GF (ficut fuprahoceodem Theor. demonftratum fuit) aequat grav.m corporis EF, ut autem gras. ljq. magn.is GF ad gr.m liq.i KF ita eft latus GH ad KH, ergo ut GH ad KH ita quoque eft gr.as corpJs EF ad gr.m ]qdi KF, atque ita proinde SX ad XR,et YV adVT; Quum autem diftantia centrorum RT neceflario aequalis fit corporis afcenfui HK, at SY minor quam GH, (dimidid nimirum KH et dimidia GO) minor quoque erit ratio SY ad RT quam GH ad KH vel quam SX ad XRj; quare et componendo minor ratio YX ad XT quam GH ad KH, fed ut GH ad KH ita etiam eft YV ad VT. Ergo minor eft ratio YX ad XT quam YV ad VT, unde apparet punétum V punéto X altius effe, contra quam oportebat. Nee [poterit igitur corpus EF altius emergere, fed nee alterius demergi pofle oftenfum fuit, Supereft itaque ut liquido fupernatet demerfa parte GF quod erat demonftrandum. APPENDICE II') a l'ouvrage: De iis quaejliquido supernatant. 25 JANVIER 1652. ïz lan. 1652. Angulum BDL in aequalia fecat DA, ABD angulus re&us. triangulum KDL aequale triangulo BDE.3) AP perpend. in KL. Ostendendum efi AP majorem ejje quam AC. 0 Sit DG perpend, in KT. pf rlnnVmc CD, HD fit tertia proportionalis HQ. s) ') Dans les deux premières parties de eet Appendice, que nous avons divisé en trois parties, Huygens s'occupe des conditions de stabilité de Téquilibre du cóne de révolution homogéne flottant dans une position verticale; le sommet en bas. Pour s'en convaincre onn'aqu'a comparer les figures et le texte avec ceux du „Theorema 14" (p. 115) du „Lib. 1". En effet, le point A des deux figures de la pièce présente représente le centre de gravité du cóne. II est donc identique avec le point G de la figure^ (p. 115); deméme les lignes BE et KL, DB et DE, AC et AP correspondent aux lignes NO et PQ, BN et BO, GM et GS de la méme figure 17. En conséquence le triangle KDL doit toujours égaler le triangle isoscèle BDE. La troisiéme partie de eet Appendice traite 1'équibre du cöne de révolution dans une situation inclinée. 2) Dans cette première partie Huygens' s'efforce a démontrer Ia stabilité de Péquilibre sous les Quoniam veio aequalia funt AuCnll ifosceles BDE, KDL A%<*ngulusque utrique communis ad D.cx co confequuntur haec; nimirum quod □ contentum duabus KD, DL acquale contento a BD, DE feu quo. BD. et quod KD, DL utraque fimul major utraque BD, DE. triangula verö HDL, UDK fimul aequantur trianguüs CDE; CDB. comprehenditurque uniuscujusque lateribus angulus idem nempe dimidius anguli BDL. quarc conftat contentum fub HD et tota KDL 6) aequari contento fub CD et tota BDE. ficut igitur tota KDL ad BDE ita CD ad HD, ergo CD quoque major HD. Ei it autem et CDq. ad q. HD ut q. ex KDL tanquam una ad q. totius BDE, five ut quarta pars qu.i ex KDL ad q. BD hoe eft □ KDL.7) Sicut autem AC. Or, il est clair que dans la figure 17 (p. 115) la ligne GN, qui correspond a la ligne AB des figures de 1'Appendice présent, serait parallèle a la ligne DX, d'oü il snit facilement que i'angïe GNB,(l'angle ABDdes figures présentes) sera, sous les conditionsdu „Theorema 14" plus petit que 1'angle DFB = DEB; c'est-a-dire plus petit qu' un angle droit; supposition qu'on retrouvera plusieurs fois dans cette piéce. Toutefois Huygens adébuté, en composant cette première partie, par supposer dans la Fig. 1 de eet Appendice ABD = 90°; soit paree que ce cas limite de la stabilité 1'intéressait particulièrement; soit paree qu'il croyait pouvoir arriver facilement a la démonstration du cas général, celle du cas particulier une fois trouvée. Ainsi, après avoir achevé cette dernière démonstration, ilacommencé par y apporter leschangeinents nécessaires potir l'nccommoder au cas plus général; mais alors, comme nous 1'indiquerons dans la nole ió, il a fait fausse route. Dans ces circonstances il nous semblait préférable de donner la pièce telle qu'elle avait été con9ue primitivement, mettant entre crochets les mots biffés après coup et indiqujint dans les notes les changements apportés par Huygens pour la rendre applicable ala supposition plus générale ABD ^ 9o°. F 3) Voir la démonstration du „Lemma 2", p. 113—114, vers la fin. 4) En tète de la pièce on lit encore: „ro Er at autem in hac deme. non omittendum " 5) Lisez DQ. rt) C'est-a-dire KD -}- DL. ■) Huygens ajouta plus tard: „invertenda est ea ratio. [□ KDL] ad ^ q. KDL potius. et sic deinceps." 8) C'est-a-dire le rectangle qui a KD et DL pour cótés. 9) Lisez D. I0) Lisez BE. Aequale efl: autem □ KIIL ei quo I I KDL, cui aequale q. BD, excedit qu. DH. Ergo efl: qu. HD ad q. DG, ficut id quo q. BD excedit qu. DH ad q. BC. Est autem quo. BD [aeq.] ") □ CDA quia ang. ABD [redtus] 12); qu°- autem HD aeq. □ CDQ, quia ut CD ad MD ita fecimus eïïe HD ad QD; at □ CDA excedit □ CDQ [Z2° fub CD, QA, ergo erit quoque exceiïus q. BD fupra qu. DH [aeq.] I3) fub CD, QA. itaque qu. HD adq. DG [ut] I4) □□ CD, QA ad q. BC hoe eft □ DCA. 1S) Sicut autem □ CD, QA ad □ DCA ita eflQAad CA,ergo q. HD adq. DG, five q. HA ad q. AP [ut] Ió) QA ad CA. Efl: verö CD major quam HD; funtque in continua prop.e CD, HD, QD; ergo erit CH exceiïus major quam IIQ. CA vero minor efl: quam HA; minor igitur ratio QH ad HA quam CH ad CA. et componendo minor ratio QA ad HA quam HA ad CA; ratio igitur QA ad CA minor quam duplic. ejus quam habet HA ad CA; hoe efl: minor rationem qui. HA ad CA. I7) fed ratio QA ad CA [eadem] l8) oftenfa efl: quam qui. HA ad q. AP. minor igitur ratio q. HA ad q. AP quam ejufdem q. HA ad q. AC. Quare q. AP majus efl qu. AC, et AP major AC: q. er. d. I9) ") Huygens rempla9a„aeq."par „non majus". Voirla note 2. Mais lisez:„non minus." 12) Huygens rempla?a le mot „rectus" par la phrase „non major recto, nam si rectus est aeq. est qu. BD | 1° CDA." 13) Rem placé dans la seconde rédaction par „non minor", ce qui est vrai dans la supposition ABD <^90°, 14) Rem placé par „non majorem habebit rationem quam". 15) Huygens intercala ici: „oportuit ostendere □ DCA non maj. q. BC;" maisnous verrons que ce changement ne suffit pas pour sauver la démonstratlon appliquée a la supposition ABD HP, puisqu' alors le couple en question tendra a ramener 1'axe DA du cone vers la situation verticale. 21) Voir la première partie; mais il s'agit ici de la supposition la plus générale, c'est-a-dire, ABD v 90°. Comparez la note 2. 2-) Par cette construction le point N coïncide avec le point R de la Fig. 17 (p. 115\ c'est-a- -dire, avec le centre de gravité de Ia partie immergée du cóne. 23) La numération est de Huygens et nous avons arrangé la pièce qui suit en accord avec elle. 4) Puisque HD CD comme il a été démontré dans la première partie de eet Appendice. as) Lisez „majus",puisqu'il s'agit de démontrer„[=DKIILmajusLlIl0DHA."EnefFet, Ie „majus" qui précède dans le texte remplace un „major", qui s'y trouvait primitivement; mais c'e même changement a été oublié ici. [Seconde partie.] 20) [Fig. 2.] i 1 DHA. Sicut autem qu. DH ad i 1 DHA ita erit hoe ipfum ad qu. HA. Lrgo minor ratio eft qu.i DH ad i | KHL quam hujus ad qu. HA. Sicut autem I I KHL ad q. AH ita erat exccss. q.i Cl) fiipra q. HD ad q. HP 2Ó); ergo minor quoque ratio qu.i DH ad □ KHL quam excefTus q.i CD fuper q. HD ad q. HP. Erat autem ut q. HD ad □ KHL ita excefTus q.i CD lupra q. HD ad q. HN.27) Itaque minor ratio excefT. q. CD fupra q. HD ad qu. HN quam ejufdem excefTus ad q. HP; Quare qu. HN erit majus qo. HP, et HN major HP. quod erat demonftrandum. 2. Oftenfum veró eft in fuperiori demne28) qUod q. HD ad q. DG ut □ KHL ad q. BC; ideoque et per convers, rationis erit qu. HD ad qu. HG five qu. AH ad qu. HP, ut I 1 KUL ad excefTum | | KHL fupra q. BC, hoe eft ad excefTum qu.i CD fupra q. HD, nam j i KHL una cum q. HD aequatur | | KDL, eidem huic five quo BD aequantur duo q.a BC et CD, ideoque quanto | | KHL majus qu.o BC, tanto minus eft q. HD q.o CD. Erit autem et permutando et conver.o □ KHLad qu. AH ut excefTus qu.i CD fupra q. HD ad q. HP. 3. Oftenfum eft fupra, quod qu. HD ad qu. CD ut O KHL ad £ q. KL hoe eft ad q. ex KN.29) Invertendo igitur et per convers, rationis erit qu. CD ad excefTum ejufdem qu. CD fupra q. HD ut qu. KN ad qu. HN, hoe enim aequatur excefTus quadrati KN fupra □□ KHL. et permutando, qu. CD ad qu. KN ut excefTus q.i CD fupra q. HD ad q. HN. diximus autem efle q. HD ad q. CD ut □ KHL ad q. KN, ideoque erit permutando q. CD ad q. KN ut q. HD ad d] KHL. Verum ut q. CD ad q. KN ita erat excefTus qu.i CD fupra qu. HD ad q. HN; Ergo quoque ut q. HD ad I I KHL ita erit excess. qu.i CD fupra q. HD ad q. HN. 3°) ~6) Voir, pour la démonstration, 1'alinéa qui a été numéroté 2 par Huygens. Sur la feuille du manuscrit elle précédait celui numéroté 1. ~7) Voir. pour la démonstration, 1'alinéa numéroté 3. ~8) Voir encore, dans la première partie de eet Appendice, & la page 196, la derniére ligne du texte. 29) Voir, dans la première partie, p. 196, la phrase qui suit le signe 9). 3°) Sur la feuille, mentionnée dans la note 19,011 trouve encore, sous 1'inscription „ad modum Archini." 1'analyse incomplète qui suit. Partant de la proportion □ (KD -f DL) : CDKDL = Q KL : rz] KHL, Huygens, employant les notations de la note 19 a 1'exception de 1'y qui représente maintenanrla ligneHN,écrit, coimneilavaittrouvéauparavant,i~pour □ (KD -J- DL),^ pour 1—1 KDL: ensuite ^ 4 bb pour QKL(formule correcte qu'on déduit aisément de la proportion par laquelle Talinéa numéroté 3 débute, puisque CZi KHL de iis quae liquido supernatant. appendice ii. 1652. [Troisième partie.] 3i) [Fig. 3-1 AD co a\ AL co b; CD co n 32) AD (a) ad CD (») ut CD (») ad FD ("--s) I" \ a / , s. ex AD (#) ) ««ATT. a AF a — ab — cc) et enfin pour CZ! KHL — bb — yy; ce qui est exact, puisqu'on a: KHXHL = (KN — HN) X (LN -)- HN) = | KL2 — HN2. Ainsi il obtient la proportion 4^3 ^abi \ sabi N 3 j : 1 ———yy 1 qU1 amene successivement: bb: cc = cc \ cc / \ cc y — bb^: bb —yy^; (bb — cc):bb =yy:— bb^— bb^-.bb — yy : : (bb — cc) et enfin (ab — cc) : cc — yy: bb — cc-, ou bien CZD KHL : Q HD = Q HN : Q CD — Q HD ce qui constitue Ia relation par laquelle le texte finit. 3I)Dans cette troisième partie, trés peu achevée quant a la forme, Huygens détermine la condition sous laquelle un cóne de révolution pourra flotter, le sommet en bas, dans une position inclinée, de maniére que le cercle de base touche justement a la surface du liquide. En effet, si 1'on se reporte ala figure 17, p. 115, du „Liber 1", on voit que dans cette figure pour une telle position la surface Hl du liquide passera par le point C; mais, puisque PQ passé par le centre de gravité Rdu cóne HIB, on a toujours— = £ = — . On aura donc BQ BG BC BD pour la position que nousconsidérons:— a'oü il suil que GQsera parallèle è DC.i BQ BG Or, la ligne PQ de la tigure 17 est représentée dans les figures de 1'Appendice présent par AD (a) ad AL (b) ut DF (™) ad FK (^) D FK j a4 f 1 , a- a4 — 1 aann -+- n4 . ~ 111— □ AF aa ] □ AL per a4. bba4 oo bbn4 -|- aan4 — 2 a4nn -+- a6 q. AK per a4 ia4nn + bba4 — a? oo bbn4 H- aan4 ia4nn -(- bba4 — a6 j-, oo n4 bb -b aa st 4 Sit34) AVperp. in DL ergo □ DV oo TT sit hoe oo cc ergo: aa h- bb ö iccnn + bbcc — aacc oo n4 nn oo cc — \/c4 -f- bbcc — aacc sed q. AV oo aa — cc oo dd nn oo cc — ]/",bbcc — ddcc sed bb— dd oo q. VL oo ee nn oo cc — ec.35) KL et le point G par A. Dans la figure présente AL devra donc, pour la position considérée, être perpendiculaire sur AD. En même temps 1'équilibre exige, d'après le „Theoreme i"du „Liber II" (p. 122) que la ligne AN (oü N représente le centre de gravité de la partie immergée) soit perpendiculaire au niveau du liquide, donc aussUKL. D'autre part on a KN = NL, d'oü il suit AK = AL et c'est cette relation qui va servir & déterminer la condition cherchée. 32) Comme partout dans les figures de eet Appendice, le point C représente le centre de gravité de la partie immergée dans la situation verticale de Paxe du cóne; A celui du cóne entier. La densité du cóne sera donc a celle du liquide comme «3 a rf3. De plus on aura DK Y DL = = Bü X ED. 33) On a, d'après la note précédente, LD : ED = BD : KD; mais LD : ED = AD: CD et BD : : KD = CD : FD; donc aussi AD : CD = CD : FD. 34) Ayant trouvé la relation cherchée, Huygens se propose de la simplifier et d'en déduire la construction. Ajoutons que la résolution directe de 1'équation quadratique en «2 amène les racines ir —a2 et/r = —La première de ces racines conduit k la supposition que la densité du cóne est égale a celle du liquide, auquel cas en effet, LK se superposant avec AL, la condition AK = AL est satisfaite. Le cóne, il est vrai, pourra ilotter alors avec le cercle de base tout entier au niveau du liquide; mais ce n'est pas \k la solution désirée. Celle-1& est obtenue au moyen de la seconde racine. 35) En effet, on vérifie aisément qu'on a : cc — ec = — f ~ ^ De plus, on voit que 1'autre l? H— u solution cc-j-ec — DV X DL = AD2, mène k n = a. Ajoutons que la construction n'est pas achevée dans la figure. Le demi-cercle, qu'on voit tracé sur DV comme diamétre, y pourra servir, mais elle ne passera pas par le point C. 26 APPENDICE IIIO a l'ouvrage: De iis quae liquido supernatant. [1650]. Cadant enim in liquidi fuperficiem perpendiculares è centris G et F quae erunt GL,et FM.2) et manifeftum eft diverfa fore pundta L et M quoniam linea FG non fecat liq. fup.m ad angulos reétos. Consideratis autem feparatim corporis partibus, apparet3) quidem HABCK partem incumbere parti merfae HDK, atque ita eam premere ac fi tota ejus gravitas fuperftaret punéto L; quoniam perpend. GL descendit e centro ') Cet appendice contient une antre démonstration du „Theorema 1", p. 122. du „Liber II." ) Le manuscrit fait suivre encore la phrase biffée: „Quoniam igitur et has quidem non posse in eandem lineam rectam incidere manifestum est." 3) Le manuscrit faisait suivre primitivement les phrases suivantes, biffées depuis: „quidem HDKpartem quae infra liq.sup.mdemersa est, esse leviorem liquido suaemolis ideoque eam conaturam emergere nisi centrum suae grav. Fascensu prohibeatur,id est, nisi pars ipsa prematur in puncto quod sit in perpend.m FM. atquia pondere partis HABCK premitur ea ratione, ac si totam hujus gravitas incumberet super puncto L;itaque constat ab hoe presso nihil non impediri centrum F quo minus ascendat at contra constat hoe ipso adjutum iri." De même on lisait en marge,, primo pars ABCD. fimiliter HDK." gr. Rurfus pars merfa HDK qnoniam levior eft liquido fuae molis conatur afcendere, atque ea ratione premie partem HABCK quafi tota levitatis vis colleéta foret in punóto M, quoniam hoe ad perpend. fuperftat centro gr. F. Itaque (ie fe res habet, ac fi corpus ABCD deorfum premeretur in pun&o L, et furfum in punctum M, quo fieri neceffe eft ut circumvertatur in eam partem ad quam inclinat linea FG; quod erat dem. APPENDICE IV') a l'ouvrage : De iis quae liquido supernatant. [165°]. Pars Cylindri quae inter duo plana parallela, cylindrum oblique fecantia continetur, fruftum cylindri vocatur. Pr[opositio]. 1. Fruftum cylindri aequale eft cylindro ejufdem cylindri partij qui latera habeat lateribus frufti aequalia. A cylindro AB abfciffa fint fruftum DE et cylindrus FH, quorum latera DC, FA fint aequalia ideoque et HG, EB. dico fruftum DE aequale [Fig. 1.] efie cylindro FH. addita enim utrinque CF aequalibus AF et CD erit AC aequ. FD; eademque ratione HE aequ. GB. Habet itaque cylindri portio ACEH latera lateribus portionis FDBG aequalia, verum et bafes AH, EC bafibus FG, DB aequales et fimiliter pofitas, itaque inanifeftum eft ipfas portiones ACEH, FDBG inter fe fimiles et aequales efie, quare ablata portione communi FCEG, remanet fruftum DE aequale cylindro FH, q. er. dem. Pr. 2. Sifuper cunei Cylindrici bafe circulari conus fcalenus conftituatur cujus vertex fit in produfto cunei latere, cadet cunei convexa fuperficies extra conicam, eritque coni pars folida quae intra cunea comprehenditur, ipfo cuneo minor. Efto Cuneus cylindricus ABC [Fig. 2] et fuper ejusbafe circulari AFC conftitu- ') L'appendice contient une déduction, d'aprés les méthodes des anciens, du „Theorema 3," p. 160, du „Liber III" de l'ouvrage: „De iis quae liquido supernatant." Comparez la note 2 du „Liber" cité, p. 158 duTome présent. tus conus ADC cujus vertex D fit in produélo cunei latere AB faciens in plano BEC seftionem ellipfin BMC. dico cunei convexam fuperficiem cadere extra fuperficiem coni ADC. Sumatur enim in cunei fuperficie convexa quodcunque punétum G, conftrudoque fuper bafeo AFC cylindro AK, fecentur fimul hic et conus plano HGK, per punétum G tranfeunte, quodque aequidiftans bafi AC; fiet igitur cylindri feftio circulus HEK, coni vero, circulus minor HMLqui priorem intus contingit in punéle H lateris BA. Itaque major minorem undique comprehendit,et punctum G quod eft in majori circumferentia HEK erit extra minorem HML, circulus autem HML eft plani per HGK sola pars quae intra conum ADC continetur. Igitur punctum G erit extra conum ADC. Eadem erit demonftratio fi al ia punéta in cunei convexa fuperficie fumantur; tota igitur eft extra conum. Atqui hinc quoque manifeftum eft ellipfin BMC ab ellipfi BEC quae in eodem plano et circa eandem diam. eft contineri, quum fit BEC circumf. in fuperficie convexa cunei at BMC in fuperficie conica: Et patet cuneum cylindricum coni parte quam comprehendit majorem efie, duabus figuris folidis, qualis eft ea quae continetur fuperficiebus curvis BECFA, BMCFA et plana BMCE. Pr. 3. Dato Cuneo Cylindrico, po te ft fuper ipjius bafe circulari Conus fcalenus conftitui verticem habens in pro dueto cunei latere cujus pars intra cuneum comprehenfa deficiat a cuneo magnitudine figura folidd, quae minor fit quacunque data.2) Detur cuneus cylindricus ABC [Fig. 3] cujus bafis circularis fit circa diametrum AC, elliptica vero circa diametrum BC. divifo AB latere bifariam in F, exftruatur fuper bafe AC cylindrus AFGC; quem conftat cuneo aequalem fore; diameter vero fuperioris bafis FG fecabit quoque BC per medium in E. denuo intra cylindrum AG extruatur cylindrus AK qui ab ipfo AG 2) Huygens aura recours a cette proposition dans la démonstration de la „Pr. 6.' deficiat folido minore auam fir mao-nimdn 1 o data. diametri vero bafiuni AlI, FK conveniant cum diametris AC, FG, duftaque CKD quae conveniat cum produéto latere AB,-'intelligatur conus fcalenus ADC;dico partem hujus quae intra cuneum ABC continetur ab eodem cuneo deficere folido minore quam fit data magnitudo. Sit enim interFEet EK media proportion. LM aptata intra lineas BC, DC ut parallela fit diametro AC, eaque producatur usque in latus; AB in N, et fecundum MN ducatur planum bafi AC aequidiftans quod conum circulo fecabit, conftat autem hoe magis a bafi AC diftare debere quam planum FG, quoniam LM major eft neceflario quam EK. Cum autem quadr. LM aequale'fit reét. FEK et F"K, LM parallelae fint, fequitur fi per E punétum defcribatur in plano ADC hijperbole ad afymptotos DA, DC, eam contactum iri a refta ML in punéto L,3) fed eadem quoque^tangetur a reda BC in punfto E quoniam ibi bifariam dividitur 4), itaque fecundum ea quae in primo libro s) oftenfa funt, ^ ^ erit abfciffbr coni BDC aequalis cono NDM quare et partes coni ABC, ANMC erunt aequales, pars autem ANMC manifellö major eft cylindro AK; itaque minor eft exceflus cylindri AG fupra partem coni ABC quam fupra cylindrum AK. at Cylindro AG aequalis eft cuneuscylindri ABC, ergo minor quoque eft exceflus cunei ABC fupra coni partem ABC quam cylindri AG fupra cylindrum AK, ideoque et minor data folida magnitudine. quod erat oliënd. 3) II y quelque confusion dans cette partie de la démonstration. En effet, pour que Thyperbole enquestion touche Ia 1 igne NM au point L,on doit construire cette ligneNM parallèlealabase AC de telle manière quon ait NL2 = LM2 = FE X EK; mais alors le point L se trouvera a gauche de la ligne BC. D'ailleurs la démonstration reste valide, puisqu'elle exige seulement que la ligne NM se trouve au-dessus de la ligne FK, ce qui a lieu aussi 'oien avec la ligne NM dont nous venons d'indiquer la construction qu'avec la ligne NM du texte. 4) On lit encore en marge: „9. 2 con." Voir a la page 46 verso des „Coniques" d'Apollonius (éd.Comm., citée p. 6 du Tome I, note 4): „Si recta linea asymptotis occurrens ab hyperbola bifariam secetur; in lino tantum puncto sectionem contingit." \) Voir le „Lemma 2" a la page 113 du Tome présent. Pr. 4. Cunei Cylindrici centrum gravitatis efl in linea refta quae a conta&u ba/ium ad medium latus ducitur.6) Efto Cuneus Cylindricus plano ABC in aequales partes et fimiles feétus cujus cunei bafis circularis circa diametrum AC. elliptica vero circa diametrum / 1 AB; ab harum contaétu A ducatur AD ad medium latus BC. dico in linea AD reperiri centrum grav. cunei ABC. Si enim non eft in linea AD, fit alibi in plano ABC nimirum inE; (nam quod fit in plano ABC manifeftum eft quum ab hoe cuneus in partes duas oppofitas aequales et fimiles di vidatur) et ducatur EF lineae AD aequidiftans. Porro fecetur cuneus plano fecundum AD ereéto fuperplanum ABC, (quae feétio ellip- fis erit) et lineae DB, DC eousque continué bifariam fecentur, donec habeatur tandem linea minor quam DF, DH, et a fe&ionis punétis plana exeant HR,VL &c. plano fecundum AD aequidiftantia inde autem ubi haec ellipfi AB occurrunt et circulo AC, ducantur alia plana MQ, LP &c. aequidiftantia plano quod cuneum fecundum latus BC contingeret, quae quidemomnia reétangula efficere conltat. Et erit hac ratione cuneo inferiptaquaedam figura ex fruftorum cylindri fegmentis conftans, et quodque ipfa refiduum rclinquit erit aequale fruftro cylindricoDX.quod ut apertum fiat compleantur fruftorum fegmenta quaecunque inter planaVL, YT medias bafes AB et AC fecantia continentur, ut fiant fruftra integra DK, DX, fegmenta ver5 fruftorum SH , OY aequalia fegmentis RD, cpG. Certum eft itaque partem folidam AKR nihil prorlus differre a parte BTM neque partem RSL a parte LQM, quum iisdem fuperlïciebus fimiliter etiam fed fubcontrarie pofitiscontineantur. ideoque omnes partes triangulares AcpR, RPL, LQM, MTB aequari partibus K<^> et SP; eadem quoque ratione triangulares AcpO, ON'?', ?rZ, ZAC, aequantur partibus X<|), flN; atqui hafce ipfas X(p et ON manifeftum eft aequari dimidio fruftri XD ficut et K(p, SP; igitur totum refiduum ex partibus triangularibus conftans. aequale eft frufto XD. Porro autem in Figura cuneo inferipta binae quaeque partes fibi invicem refpondent, ut qualis frufti cylindrici pars eft MV talis et TA eadem magnitudine et figura et qualis LH talis quoque NY atque ita de caeteris, et omnes a ö) Comparez le „Theorema 1" du „Liber III", p. 159 du Tome présent. plano ABC dividuntur in duas partes oppofitas, inter fe fimiles et aequales, unde manifeftum eil omnium quoque centra gravitatis in eodem plano ABC repeririïtaque unius partis centr. gr. erit in parallelog. M V, et partis oppofitae in parallelogr. TA, verum et fimiliter pofita erunt centra haec in didtis parallelogrammis eoque aequaliter diilabunt a linea AD, igitur quae utrumque centrum conjunget a linea AD bifariam dividetur fed ubi illa bifariam dividetur ibi erit compofitae magnitudinis ex duabus aequalibus centrum gravitatis, ergo compos. magn.is ex partibus folidis MV et TA centr. gr. erit in linea AD; eadem ratione mag.is comp.ae ex partibus LH, NY erit centr. gr. in linea AD, ut et compofitae ex partibus RD, (pG itaque totius figurae cuneo infcriptae centr. grav. efl: in linea AD; Su hoc A et jungatur AE, et producatur et ducatur C© ipfi lineae DA aequid! quae proinde cadet extra cuneum. Quia igitur cuneus ABC aequalis elt cylindro habenti bafin circ. AC et altitu- dinera CD"); fruftum verö DX aequ. cylindro eandem bafin AC habenti et altit m DG, fequitnr cuneum ABC e(Te ad frufium DX ut CD ad DG. DF autem major e quam DG; igitur CD ad DF vel © A ad AE minorem habet rationem quam cuneus ad fruftum DX five refiduum ex partibus triangularibus conftans, quare et dividendo minor erit ratio ©EadEA quam figurae cuneo infcriptae ad diétum refiduum; fit itaque HE ad E A ficut infcripta figura eft ad idem refiduum. Ergo quum Epofitum fuerit c. gr. totius cunei, A autem fit c. gr. figurae infcriptae, erit refidui c. gr. punétum S, quod efle nequit nam plano quod per E agetur ellipfi circa AD aequidiftans in eandem partem erunt omnes partes triane.es e quibus refiduum componitur. Pr. 5. Portionis Cylindri centr. gr. eft in linea recta quae a medio majoris lateris ducitur ad medium minoris. Fjg. 5- Efto portio cylindr. cujus latera AD maius et BC minus, fecundum quae fe<5ta intelligatur plano ABCD, ipfa vero latera bifariam fecentur et fe&ionum punéta jungantur linea EF,dico in hac reperiri c. gr. Portionis propofitae. Sit enim fi potell extra lineam EF in M (erit autem centrum M in plano ABCD quum ab hoc portio dividatur in duas partes oppofitas, fimiles et aequales) et dividatur portio plano fecundum GB quod bafi r\ r< • 1 • n • *■ atquiautet in cuneum AGB et cylindrum GC; Porro ducatur linea BH ad mediam AG, fitque cylindri GC axis LK, in •) Comparez le dernier des „Manifesta" du „Liber III," p. i5V du Tomé présent. ) Comparez le „Theorema 2" du „Liber III," p. 160 du Tome présent. cujus medio ejuldem centr. gr. N. Jungatur NM et producatur ufque dum occurrat lineae BH in O, eódem que producatur axis KL qui ei occurat in P, lineam autem EF fecet NO in R, et KP in Q. Quia igitur M eft c. gr. totius portionis, N vero cylindri GC, erit partis reliquae nimirum cunei AGB c. gr. in produéta NM, fed idem quoque in linea BH reperiri oftenfum eft 9), itaque neceftario cunei ABC c. gr. eft punótum O, eritque reciprocè MN ad MO, ficut cuneus AGB ad cylindr. GC. Porro quum AE lit aequalis dimidiae AD, id eft aequalis dimidiae AG cum dimidia GD, erit ablata AH reliqua HE aequalis dimidiae GD id eft BE; igitur parallelae funt HB,EF quare erit NRad RO, ficut NQ ad QP id eft PL ad LN; ut autem PLad LN ita eft HG ad GD,(quoniam utraque utriufque eft dupla), et ut HG ad GD ita eft cuneus AGC ad cylindrum GC; ergo ficut cuneus AGB ad cylind. GC ita eft NR ad RO; fed lic etiam elfe NM ad MO oftenlum fuit; itaque idem erit punctum R et M,quod efle non poteft,quoniam M ponebatur extra lineam EF in qua eft punétum R. Apparet igitur centr. gr. portionis ABCD non pofte ftatui extra Fig 6 lineam EF, quamobrem id in ipfa reperiri neceffe eft. q. er. dem. Pr. 6. Cunei Cylindr ia centr. gr. lineam neet- 11e en. q. er. uem. Pr. 6. Cunei Cylindrici centr. gr. lineam recfam quae a conta&u bajium ad medium latus oppojitum ducitur ita dividit ut pars ver Jus contacfum fit ad reliquam ut quinque ad tria IO). Efto cuneus Cylindricus ABC cujus bafes circulus circa diametrum AC et ellipfis circa diam. BC, ab harum contaéhi C du&a fit CD ad medium latus AB, eaquc dividatur in punéto E ut lit CE ad ED ficut quinque ad tria. dico punétum E ede cunei gravitatis centrum. Si enim fieri poteft lit alibi in linea DC et primo magis verlus contadtum bafium in F. et quam rationem habet CE ad EF eam habeat cuneus ABC ad magnitudinem quandam solidam G. Tum fuper bale AC conftituatur conus lcalenus AHC, cujus vertex H lit in produéto latere AB, ita ut pars coni intra cuneum ABC comprehenfa ab eodem cuneo deficiat folido mi- y) Voir la „Pr. 411 qui préeède, '°) Compare/. Ie „Theorema III" du „Liher III," p. 160 du '1'oiue présent. nore quam fit G. ") Et dividantur AC et BC bifariam in puntis K et L, quae jungantur, et ducantur KH, quae erit axis coni AHC, et LH axis abfcifToris coni BHC, hi rurfus dividantur in punftis M et N, ita ut HM fit tripla MK, et HN tripla NL; eritque hac ratione M c. gr. coni AHC, et N abfcifToris BHC. Jungatur NM, et producatur; eaque tranfibit per punéhim E, nam quum KL utraque AC et BC bifariam dividat, fequitur eam aequidiftare lateri AB, ipfi autem LK aquidiilat NM quoniam duas HK, HL, in eandem rationem dividit, itaque et NM lateri AB aequidiftat ac proinde produóta fecabit AK in O punéto in eandem rationem ac HK; eft igitur AO tripla OK,et confequenter CO ad OA vel etiam CE ad ED ut quinque ad tria in hanc autem proportionem linea DC a pun6to E divila tuerat, itaque conllat NM produftam tranfire per E punéhim. Porro quum M fit totius coni centr. gr., N autem abscifloris BHC, neceffe etiam elt partis coni reliquae ABC centr. gr. reperiri in producta NM: fit hoe P, et jungatur PF, eaque producatur et occurrat ei CQ parallela lateri AB. Quoniam igitur cuneus cylindricus ad excefïum quo ipfe (uperat coni partem ABC, majorem habet rationem quam ad magnitudinem G, ad quam eam habet quam CE ad EP, etiam dividendo coni pars ABC majorem habebit rationem ad diéhim exceflum quam CF ad FE vel quam QF ad FP; habeat itaque RF ad FP eam rationem quam pars coni ABC ad excefïum quo fuperatur ipfa a cuneo cylindrico, ergo quum F pofitum fuerit centr. gr. totius cunei, P, autem c. gr. partis coni quae cuneo comprehenfaett, erit c.gr. magnitudinis reliquae punétum R quod efle non potelt, nam fi planum per R ducatur faciens angulos reétos cum plano per ABC, tota magnitudo reliqua. qua coni pars a cuneo ipfam comprehendente fuperatur ciit ab una eius plani parte. Non elt igitur Cunei ABC c. gr. magis verfus contactum. Verum neque efle ab altera parte putiéli E limili ratione ollendi potent, itaque elt ipfum punftum E. q. er. dem. I3) ") Voirla „Pr. 3." '-) I/Appendice finit ici sans traiter le cas du tronc de cylindre droit; mais 011 doit remarquer que la démonstration du „ Theorema 4" qui se rapporte au centre de gravité d'un tel tronc et qu'on trouve p. 161 du Tome présent, est indépendante de la méthode de Cavalieri. Ainsi le but que Huygens s'était évidennnent proposé,c'est-a-dire: de remplacer les démonstrations du „Liber III qu. dépendent de cette méthode, par d'autres, qui lui seniblaient plus rigoureuses, a été atteint dans TAppendice présent. En outre du texte que nous avons reproduit ici, Ia nièine feuille contient encore le théoréme que voici: „Si conus secetur plano basi parallelo, idemque secetur alio plano transverso quod circulum ex priori sectione factuni et basin coni contingat; fiet absciffor coni medius proportione inter conum propositum et eum qui abscissus est." Après quoi suivent quelques phrases, bifFées depuis, qui constituent le commencement de la démonstration de ce théorème, Iequel d'ailleurs se déduit facilement du „l,emma 2'" de la page i 13, / /