m \ I V f // •? -0 U//V/ y / (C// j

]> een muziekinstrument eeue noot aangegeven, zoo is het geluid den eenen keer sterk, den anderen zwak, al naarmate men meer ot' minder kracht aanwendt: het geluid heeft eeue zekere sterkte of intensiteit. Men kan ook achtereenvolgens twee verschillende noten aangeven op liet instrument; wij noemen de eene noot hooger, de andere lager: het geluid heeft een zekere toonthoogte. Ten slotte kan men een noot den eenen keer op het eene instrument, den anderen keer op een ander instrument aangeven, b.v. eerst op een piano en dan op een horen: in het eene geval is het geluid heel anders dan in het andere: het geluid heeft een zekeren klankaard. De sterkte van het geluid hangt at van de trillingswijdte van de lucht in de omgeving van liet oor, die hare trillende beweging o n van liet instrument krijgt. Hoe sneller de heen en weer gaande beweging van een trillende snaar is, des te hooger is de toon dien wij waarnemen. De toonshoogtc neemt toe met het aantal trillingen per secunde. \\ aar hangt nu evenwel de klankaard van af? II. Wanneer de beweging van de trillende luchtdeeltjes altijd op een en dezelfde eenvoudigste wijze plaats vond, dan zouden alleen di- grootte der heen en weergaande beweging en het aantal dezer 1 bewegingen per secunde kunnen variëeren. Daarmede zouden dus de sterkte van den toon en zijne hoogte verklaard kunnen worden. Er zou echter geene variëerende hoedanigheid zijn, die den verschillenden klankaard begrijpelijk kon maker- Zoo gaan b.v. de slingers van verschillende klokken op vrijwel dezelfde eentonige manier heen en weer. Wel beweegt de eene zich slechts weinig ver uit zijn evenwichtsstand, de andere verder, wel gaat de eene in een zeker tijdsdeel vaker heen en weer dan de andere, maar de wijze der beweging levert niet veel verschil op: Waar de slinger door den evenwichtsstand vliegt, is duidelijk de snelheid het grootst; hoe verder hij uit dezen stand komt, des te trager wordt de beweging, totdat hij op het uiterste punt zijne beweging geheel verliest en direct in omgekeerde richting eerst o o o ~ langzaam en dan tot aan de evenwichtsliju steeds sneller zich beweegt. Is deze lijn bereikt, dan vindt naar de andere zijde precies hetzelfde bewegingsproces plaats. Zoo gaat het bij alle slingers. Wij zouden ons evenwel kunnen voorstellen dat onder invloed van een aantal krachten een zekere slinger eene andere wijze van beweging vertoonde. Hij zou b.v. in plaats van in de beide uiterste standen ook in de buurt van zijn evenwichtsstand telkens eene ietwat verlangzaamde beweging kunnen hebben, zoodat er in elke heen en in elke terugbeweging twee plaatsen waren, waar de snelheid het grootst was, plaatsen, gelegen tusschen den evenwichtsstand en den uitersten stand aan weerszijden. Ieder, die dezen slinger zag, zou direct opmerken, dat hij anders bewoog dan alle andere slinger. Zonder misschien dadelijk te besetfen wat het bijzondere bij de beweging van dezen slinger was, zou hij toch (mits de geheele beweging zich niet te snel voor zijn oog vertrok) niet aarzelen uit te roepen: Wat een vreemde beweging maakt die slinger! UI. Zoo ook, wanneer ik een tennisbal met het racket rhythmisch omhoog sla in eene verticale lijn, dan kan ik nu eens een tijdlang zacht slaan en dan eene wijle harder, waarbij de weg der op en neer gaande beweging langer en tegelijk de rhythmus langzamer wordt, maar de aard der beweging blijft vrijwel dezelfde: vlak na den slag niet het racket onder tegen den bal is de snelheid het grootst, zjj wordt steeds ïuinder, hoe verder de bal van het racket is, totdat ergens in de lucht de snelheid nul wordt en de bal in omgekeerde richting met eerst geringe en dan regelmatig vermeerderende snelheid naar het racket terug vliegt. Heel anders echter, wanneer ik met het racket den bal tegen het plafond van eene kamer sla en telkens weer terug. Als men dit voor 't eerst doel, komt men telkens niet het racket te laat en verwondert men zich als 't ware, dat de bal telkens zoo snel terugkomt. Men merkt dadelijk, dat de beweging heel anders is. Het geeft den indruk, alsof de bewegingssnelheid op de geheele baan vrijwel dezelfde is, maar zoowel tegen het plafond als op het racket telkens plotseling van richting verandert, .la, men kan zelfs niet ontkennen, dat het psychisch effect van de laatste beweging een ander is dan dat der eerstgenoemde. In het laatste geval is de beweging eene heftige en eene energieke, en men wordt er licht opgewonden van ; slaat men echter den bal in de lucht, dan is de beweging, men mag den rhythmus sneller of langzamer nemen, in vergelijking tot de eerste steeds eene kalme. Dit komt wel door het langzaam regelmatige afnemen en toenemen van de snelheid aan weerszijden van haar nulpunt in de lucht. Het is of de bal boven telkens even stil staat, en uitrust. Wanneer wij nu deze twee bewegingsprocessen van den tennisbal vergelijken, dan kunnen zij niet alleen met betrekking tot de baan die bij de op en neer gaande beweging wordt afgelegd en tot den bewegingorhythmus verschillen, maar ook wanneer deze twee hoedanigheden in beide gevallen dezelfde zijn, is toch de eene beweging naar haar aard zeer verschillend van de andere, en wel ligt dat in dit geval aan de verdeeling der bewegingssnelheid over de verschillende deelen der baan. IV. Ik kan mij nu ook nog voorstellen, dat de bal ergens in zijne baan een kleine extra op en neerbeweging maakt. Zoo kan ik hem bij het naar omlaag gaan, voordat hij op het racket komt, een tikje met de linker hand geven, waardoor hij weer een klein eindje omhoog gaat, om daarna pas weer naar beneden vallend op het racket terecht te kouien. Hierdoor zou een nog duidelijker van de 1* eerste afwijkende bewegingsvorm van ^en ^al ontstaan. Toch kunnen wij ook hierbij zeggen dat er slechts eene verandering van de verdeeling der snelheid over de baangedeelten heeft plaats gevonden, wanneer wij maar de snelheid in de eene richting als positief, en die in de tegengestelde richting als negatief beschouwen. W ij beseffen als van zelf, dat de bal onder invloed van den eenen racketslag nooit deze meer samengestelde beweging zal krijgen, maar dat er altijd eene aparte kracht (het tikje met de linkerhand) noodig zal zijn, om de bedoelde eigenaardigheid aan de beweging te geven. De beweging van den bal wordt (behalve door de voortdurend gelijksoortig werkende zwaartekracht) niet meer door een, maar door twee verschillende rhythmisch optredende krachten veroorzaakt. Denkt men zich een oogenblik dengene, wien de rechterhand met het racket en de linkerhand die het tikje geeft toebehooren, door een geheimzinnige nevelkap onzichtbaar, zoodat een buitenstaander alleen den bal zag op en neer bewegen, dan zouden hem evenzeer als de zwaartekracht de andere twee in 't spel komende oorzaken der beweging verborgen zijn. Toch zou hij onmiddelijk zeggen: de bal heeft eene samengestelde beweging, die niet door ééne kracht (behalve de zwaartekracht) veroorzaakt wordt. Ik kan de beweging van den bal beschouwen als te bestaan uit eene hoofdbeweging, die door ée'ne rhythmisch werkende kracht ontstaat, en een bijkomende beweging, die door een aparte rhythmisch optredende kracht wordt veroorzaakt. I)e beweging van den bal is het resultaat van de dooreen vlechting van twee bewegingen die elk door een aparte kracht in het leven worden geroepen. Zoo zou een beschouwer de rhythmisch op en neer gaande beweging van den bal ontleden, analyseeren. V. Om nu nog van het begrip pfiase ee'i dee te geven wil ik me voorstellen, dat twee personen elk een bal rhythmisch omhoog slaan. Zij kunnen dat zóó doen, dat zij tegelijk beginnen en telkens tegelijk den bal op het racket krijgen en weer omhoog slaan. Zij slaan in denzelfden rhythmus en de twee ballen zijn altijd op één zelfde tijdstip boven, en op één zelfde tijdstip beneden. Men drukt dit uit door te zeggen, dat de twee ballen op elk tijdstip in de /.elfde p/t/i + i/2 = 43/t 4 heele keeren en s/t keer de op en neergaande beweging volbracht en verkeert dus na den bepaalden tijd van 17 sekunden in de phase :i/4. Het phasenverschil der twee bewegingen bedraagt nu V» — V4 = Va net als bij het begin. Men ziet gemakkelijk in, dat, als de rythnius der beide bewegingen dezelfde blijft ook het phaseverschil niet verandert. Heel anders wanneer de rhythmus van de eene beweging een andere is dan die van de andere. Men kan zich voorstellen, dat de eene persoon den bal steeds wat liooger slaat dan de andere, en hem dus ook wat later weer op zijn racket terugkrijgt; dan is dus de tijd, waarin de eerste bal ééne op-enneer beweging maakt, iets grooter dan van den tweeden bal. Beginnen zij nu op een zeker tijdstip in dezelfde phase, dan zal de eene bal al na ééne op-en-neer beweging iets bij den anderen ten achteren zijn en dus op een bepaald tijdstip in eene andere phase der beweging zijn dan de andere; er zal tusschen de twee bewegingen een p/icue-verschil zijn ontstaan, dat zich bij t voortschrijden van den tijd nog gaandeweg vergroot. VII. De tijdsduur, waarin ééne op-en-neer beweging volbracht wordt heet de periode der rhythmische beweging (trillingsperiode). Ik kan dus zeggen: hebben twee bewegingen verschillende,perioden, dan is hun onderling phase-verschil wisselend van grootte. Is nu de periode der eene beweging 4, die der andere 5 secunden, dan heeft na 20 secunden de eerste 5, de andere 4 geheele op-en-neer bewegingen volbracht. Het is duidelijk, dat beide nu weer in dezelfde phase verkeeren als op het begintijdstip, en zij ook geen phase-verschil zullen hebben, als zij dat in liet begin-tijdstip niet reeds hadden; als zij er wel een hadden, hebben zij nu weer hetzelfde phasenverschil. Deze gebeurtenis nu, dat het phase-verschil weer hetzelfde is als op het begin-tijdstip, vindt telkens plaats, wanneer de eene bal weer een heele op en neer beweging op den anderen vooruit geloopen is. Ten slotte wil ik me nu nog voorstellen, dat nog meer dan twee personen ballen rhythmisch omhoogslaan en dat ieder zijn vasten rhythmus bewaart, zoodat elk der ballen eene op-en-neerbeweging van bepaalde periode vertoont. Er zal dan op elk tijdstip eene bepaalde betrekking tusschen de pluuien der verschillende bewegingen onderling bestaan. Deze p/tiwnbetref kiiiii kan men ondubbelzinnig vaststellen door het phasenverschil van elk tweetal der bewegingen aan te_ geven. Kent men van elke beweging de aanvangsphase en de periode, dan kan men voor elk willekeurig tijdstip de phasenbetrekking van het heele stel bewegingen ondubbelzinnig bepalen. VIII. Een goed inzicht in den aard eener periodische beweging krijgt men door eene grafische voorstelling, waaruit men de verschillende phasen, waarin de beweging op achtereenvolgende tijdstippen treedt, direct kan aflezen. Wil ik bijvoorbeeld de beweging van den rhythmisch omhoog geslagen tennisbal in hare betrekking tot den tijd duidelijk maken, dan teeken ik eene horizontale lijn .17? (zie fig. 1), die, van links naar rechts gemeten, de maat voor den voortschrijdenden tijd zal vormen. Bovendien zal ik van deze lijn af in verticale richting den afstand meten waarop zich op elk willekeurig oogenblik de bal boven het racket bevindt, zoodat AB ook de meetkundige plaats is van de punten, waarop in de teekening de bal zich bevindt op alle tijdstippen, dat hij juist door het racket geraakt wordt. (Wij nemen aan, dat het racket steeds op deuzelfden afstand van den grond den bal opvangt en hem steeds met gelijke kracht omhoogslaat). Stelt nu O het tijdstip voor, waarop de beweging of althans onze beschouwing der beweging begint, en naar rechts van O elk gelijk deeltje van de lijn Alt een gelijk tijdsdeeltje bettekenen de gelijke deeltjes (>a, al>, he, <•(/, de, ff enz. elk den tijd van — sekunde, en duurt de geheele op-en-neergaande beweging \an den bal 8 sekunden, dan zal na - sekunde, dus in het punt <: van AB de bal zijn hoogste punt bereikt hebben, in de teekening door h aangegeven. Teekent men zoo den stand van den bal voor elk klein tijdsdeeltje aan, dan ontstaat er blijkbaar eene lijn Oliflvg etc., welke de geheele beweging van den bal voorstelt, l it deze lijn in verband niet AJ} is nu gemakkelijk te zien, in welke phase der beweging de bal in elk tijdstip verkeert. Niet minder duidelijk is echter ook het verloop van de snelheid te volgen, die de bal op elk oogenblik bezit. Blijkbaar is de snelheid het grootst in die tijdstippen, voor welke de bewegingslijn het steilst is, dus tusschen en a, waar de bal juist omhoog geslagen is, en tusschen e en f, waar hij het onderste deel van zijn vrijen val bereikt. In het tijdstip c is de snelheid het geringst; immers bij h schijnt gedurende eenige oogenblikken de afstand tot AH niet te, veranderen: de bewegingslijn schijnt eventjes evenwijdig niet de lijn des tijds. Wil ik nu eenige gelijktijdige bewegingen met elkander vergelijken, dan maak ik voor elk ervan eene teekening als Kg. 1 en zet ze zóó onder elkaar, dat de beginpunten O der verschillende figuren allemaal in een zelfde vertikale lijn komen te liggen. Ik kan dan uit de teekening direct aflezen, welke betrekking er tusschen de phasm der verschillende bewegingen bestaat op elk willekeurig tijdstip. Men moet er voor zorgen, dat bij de verschillende bewegingen in de teekening steeds gelijke deelen van de verschillende onder elkaar geplaatste horizontale lijnen, ook gelijke tijdsdeelen voorstellen. Men ziet dan direct uit de teekening de betrekking, die er tusschen de perioden der verschillende bewegingen bestaat. Hoe korter deel van de tijdslijn ééne op-en-neerbeweging in beslag neemt, des te korter is de periode, des te sneller de rhythnius der beweging. Nemen vier op-en-neergangen van de eene beweging een even groot deel der horizontale lijn in beslag als drie van eene andere beweging, dan verhouden zich de perioden dezer twee bewegingen tot elkaar als : —3:4 en de rhvthmi als 4 : Li. ° D 4 3 IX. Daar nu de verdeeling der snelheid van het bewegende deel over zijn bcwtgingsbaiin in de grafische voorstelling tot uitdrukking komt, zoo is het duidelijk, dat aan die bewegingen, die zooals ik boven gezegd heb, in haar aard verschillen door de verschillende verdeeling der snelheid over de baan, beioegingslijnen beantwoorden, die onder elkaar verschillen in vorm, en door haar bepaalden vorm direct een inzicht in den aard der beweging geven. Willen wij b.v. van de beweging van den bal, die rhythmisch omhoog geslagen wordt, maar door het plafond van de kamer teruggekaatst wordt, eene grafische voorstelling geven, dan krijgen wij een vorm ongeveer als fig. 2. Uit deze leest uien gemakkelijk, dat bij O, h, ƒ, /<•, enz. de beweging plotseling van richting verandert, terwijl tusschen het laagste en hoogste punt O en h, en het hoogste en laagste h en/, de snelheid der beweging telkens ongeveer dezelfde blijft. Terwijl de punten (>, j\ enz. van de lijn AJJ de tijdstippen aangeven, waarop de bal omhoog geslagen wordt, beduiden e, c\ enz. de tijdstippen, waarop de bal door het plafond teruggekaatst wordt. X. Minder omslachtig, veelal doelmatiger en bij de leer der toongewaarwordingen van bijzondere beteekenis is de voorstelling der periodieke bewegingen door middel van mathematische formules. De Franschnian Fourier heeft ontdekt en bewezen, dat men elke regelmatig periodieke beweging, van welken vorm deze overigens ook zij, kan ontleden in een aantal eenvoudig harmonische bewegingen, welker perioden een, twee, drie, enz. malen in die der oorspronkelijke beweging begrepen zijn. Hierbij wordt onder eenvoudig harmonische beweging die van een slinger verstaan, waarvan de slingerwijdte klein ten opzichte van de lengte van den slinger is. De bedoelde beweging beet daarom ook wel nliit/jerbnceginp. Zijn de periode en de baan der beweging veel kleiner dan dat wij haar niet het oog zouden kunnen volgen, dan noemen wij de periodieke beweging eene trilling. De trilling die in haar aard met de slinger- O O ~ O O beweging overeenkomt, heet sinmtrilluig. Stelt 11.1. y de uitwijking voor van het trillende deeltje uit den evenwichtsstand, Tde periode der trilling, en t de veranderlijke grootte van den sedert het beginpunt der beschouwing verloopen tijd, dan is t H — A sin 2 jt - de formule voor de sinustrilling. Daar 1 de grootste en — 1de kleinste waarde van «in 2 rr is. zoo beteekent blijkbaar A de grootste uitwijking, die het trillende deeltje naar den eenen en naar den anderen kant van den evenwichtsstand kan hebben. Men noemt A de amplitude der trilling. Stelt men de harmonische trilling grafisch voor, dan krijgt men deze bewegingscurve : O O Fig. 3. Welker constructie door afleiding uit eelie eenparige cirkelbeweging in elk boek der natuurkunde te vinden is, Verlegt men het beginpunt der beweging periode, zoo wordt dezelfde curve voorgesteld door de formule t, >j — .1 cos 2 Jt ■—. Noemt men Ar het aantal trillingen per secunde zoo is N- — en wordt de eerste formule y — A sin 2 n A'. Hiervoor kan men schrijven y — A sin rit, wanneer men onder n het aantal trillingen verstaat, in 2.t secunden volbracht. is nu /(.r) eene functie van .v, die na elke 2 jt secunden weer hetzelfde stel waarden aanneemt, zoodat zij dus eene periode van 2 jt heeft, zoo kan volgens F o u r i e r deze functie altijd voorgesteld worden door de formule f (.<;) — <ï -j- /), cos x -|- l>t cos 2 x -J- />, cos 3 .7? —(— enz. -f- f, sin x -(- c, sin 2 ■>: -)- c, sin 3 x -)- enz. waarin de waarden van den constanten term a en van de coëfficiënten \>n en <•« door middel van integraalrekening kunnen worden vastgesteld. Een aantal der termen kan natuurlijk wegvallen doordat hun coëfficiënten de waarde nul hebben. Zoo wordt de beweging van Hg. 2 als ch=Of= 2 jt is, voorgesteld door Terwijl deze bewegingscurve voor het oog een zeer regelmatigen, eenvoudigen vorm heeft, is de wiskunstige uitdrukking een, hoewel zeer regelmatige, toch vrij samengestelde en bestaat zij uit eene reeks niet een oneindig aantal termen. Het is dus volstrekt niet a priori rationeel deze mathematische analyse van F o u r i e r ten grondslao- te leggen aan onze beschouwing van de verschillende O O OO O bewegingsvormen. Wel zou dit rationeel zijn, wanneer de oplossing juist in sinustrillingen van bijzonder belang was. Dit is nu inderdaad bij de leer van de toongewaarwordingen het geval. Want 1 '/ —- jt cos der aanvangsphase »/ = „1 sin 2 .t Beschouw ik eene beweging, uit meer sinustrillingen opgebouwd, dan zou daarvoor in 't algemeen de formule luiden y = A .sin 2 ,t -f J + li sin 2 .1 f rj- + -f + C sin 2 jrf~ + + enz. De aanvanijspftttsu)) zouden dan zijn ƒ>,, /'o, y<:1. enz. en de nnnmnkelijke phuxevertvhillen: />■)—i>j, p$—j/t. enz,1 XVIII. Daar nu bij gelijktijdige sinustrillingen van verschillende periode liet verschil der phasen waarin de verschillende trillende deeltjes verkeeren, in de opeenvolgende tijdstippen voortdurend wisselt, zoo kan men onder de phaseverschillen van de samenstellende deelt rillingen eener bepaalde samengestelde periodische beweging, slechts verstaan de verschillen der respectievelijke aanmngsphase. Wilt men dan voor een bepaald tijdstip de pliasen der verschillende trillende deeltjes en de verschillen dezer phasen kennen, dan kan men die door middel van de formule, waarin de aaneangspluusen zijn aangegeven. uit de waarde van t voor dat tijdstip afleiden. In de boven beschreven proeven van Helmholtz werd door middel van de verschillende stemvorken eene samengestelde beweging van den vorm A tin 2.T(Ar< + />!>+ H*'n -•t(2 + />,) 4*('2*(8A«+ƒ»,) +enz. voortgebracht. Veranderde hij nu op een zeker tijdstip van een der trillingen de pliase, zoo was dat hetzelfde vooi de onderling* phasebetrekking der deeltrillingen alsof b.v. in de formule inplaats van p, de aanvangsphase q* was geworden. De phaseverschillen zouden '/j — pt, p:\ — 'li enz. geworden zijn en voor elk willekeurig tijdstip zou eveneens de phasebetrekking in denzelfden zin verandaad zijn. In de grafische voorstelling zou het den indruk maken, alsof de trilling waarvan de phase plotseling eene verandering had ondergaan, langs de horizontale lijn van het tijdsverloop een weinig naar links of rechts verschoven ware. Men spreekt daarom ook van den invloed der phaxevensc/arivinij op den klankaard. XIX. Ik kan thans overgaan tot de bespreking van K o e n i g s proeven met de ijolcenain-ite. 11 u d o 1 p li Koenig (Docteur en philosophie, Constructeur d'instruments d'acoustique, thans overleden) heeft getracht den invloed van de phasebetrekking op den klankaard na te gaan, zonder de klanken op te bouwen uit de aparte deeltonen, die er +*^-h... IV. y— sin 2^2A'H-^+^sin 2.t^3 AV-f-^+..,. V. y — sin lx Xt + sin 2jt 3Xi! + -- sin 2.t óXt + . . . " 25 VI. y= sin 27r^V<-f-^-f-.t!« 2«^3i\7<+j^-f-^s/?« 2jr^5iV<-f-* J-f-.. Hierin zijn A, 2AT, 3AT, enz. de trillingsgetallen der opeenvolgende deeltonen. Koenig noemt curve I die met het phaseverschilnul, II die met liet phaseverechil III die met het phaseverschil^, enz. Curven V en VI bestaan niet uit alle deeltonen naar de rij af, maar alleen uit de onevene: N, 3A, 5A, enz. De amplituden (I, enz.) nemen in de aangegeven curven af in evenredigheid met het quadraat van de toename van het ranggetal (1, 2, 3, enz.) van den deeltoon. Koenig trekt uit zijne proeven het volgende besluit'): »Le son complexe obtenu par la composition d'une série desons harmoniques, de rang pair aussi bien que de rang inipair, a toujours, toute abstraction faite de 1'intensité relative des harmoniques, le maximum de force et le timbre le plus plein quand la coïncidence des phases a Hou au | des ondulations, le minimum de force et 3 le timbre le plus doux quand la coïncidence a lieu aux — des ondulations ; les sous correspondant aux dittérences de phase 0 et * sont compris entre ces deux extrêmes, sous le doublé rapport de 1'intensité et. du timbre. La composition d'une série de sons harmoniques pris dans la série des nonibres impairs doune le menie son pour les ditterences 1 3 ,. I de phase et. et aussi le même son pour les diö'erences 0 et }; 4 4 mais dans le premier cas, le sou est plus fort et plus éclatant que dans le second. Si donc le timbre dépend en ett'et. principalement du nombre et de 1' intensité relative des harmoniques dans lesquels on peut, le décomposer, 1' influence de la ditt'érence de phase de ces harmoniques n' est pas tellement faible qu' 011 puisse la négliger complétenient. II sera permis de dire que, si des changements dans le nombre et 1' intensité relative des harmoniques donnent lieu a des ditterences de timbre, telles (ju' 011 les reniarque dans les instruinents appartenant a des families ditt'érentes, 011 telles 411e les Quelquts ExjK'rinuTs d'Acoustiqw bl/. 242, montre la voix bumaine dans les différentes voyelles, les changement* de la différence de phase entre les meines liarnioniques sont encore capables de produire des différences de timbre au moins aussi sensibles que celles qu' on peut constater dans des instrunients de la mêine espèce ou dans le.s mênies voyelles cbantées par des voix différentes." XXI. Prof'. L. H e r ni a n 11 te Koningsbergen heeft deze reeks proeven van K o e n i g niet de z.g. kleine golvensirene nagadaau en gecontroleerd. Hjj kwam tot hetzelfde resultaat als Koenig, inzoover als curve II een zeer scherpen en luiden klank gaf, curve IV daarentegen een klank van tegenovergestelde!! aard. Hij legt nadruk op het merkwaardig feit, dat curve V nauwelijks anders klinkt dan I en III, en dat deze omstandigheid ons met wantrouwen tegen de sirene moet vervullen. Hoe zeer gerechtvaardigd dit wantrouwen is, heb ik in mijne verhandeling1) over dit onderwerp trachten aan te toonen. Ik heb er daar op gewezen, dat er eigenlijk niet de minste grond is 0111 aan te nemen, dat de in de lucht ontstaande beweging anders dan o o alleen wat de periode van den grondtoon betreft met de beweging, die de in de blikschijf uitgesneden curve voorstelt, zou overeenstemmen. Ook heb ik daar aangegeven, hoe men zich ongeveer de periodische luchtdrukwisseling door het blazen tegen een bepaalden curvevorm, moet voorstellen en hoe daaruit op eenvoudige en overtuigende wijze verklaard kan worden, dat bij de eene groep d«r curven een scherpe klank van groote intensiteit en met veel boventonen moet ontstaan, de andere soort curven juist bet tegenovergestelde acustische resultaat moet geven. XXII. Op de merkwaardigste eigenaardigheid van K o e 11 i g's proeven echter, die deze juist in het gewichtigste principe hemelsbreed van H e 1 ni h o 11. z' stemvorkproeven doet verschillen, wil ik hier nog met nadruk wijzen. i) Pflügur's Arcliiv fiir n i g, waarin «lus dc plinschetrckking der tonen constant is, verschillen inderdaad heel weinig van elkaar, terwijl juist de curven, waarin ook muur één loon zijn phasecersc/itl int't de underen wisselt, onder elkaar zeer sterk verschillen. 2) Pflüg. Arch. Bd. 5C blz. 470. 1. ij ~xin 2.t St -\— sin A7t -]- -f'w 2jr.iJ Aft-f- nin 2jt.4 A<-(-.... 4 J II. y = *ht 2 .t A( - »in 2 jr ^2 A< — —^ -f+ J «'» 2 -T (3 M - 2) + 1(52 * (4 Nt ~ ï) + * " ' e"Z' 1 Waar nu H e r m a n n II de curve niet het phaseverschil - noemt, daar blijkt uit zijne schrijfwijze, dat hij onder phaseverschil 1 — verstaat, dat 4 1 i\ — )\ = 4 = p* -r, = p<- r» = enz-' wanneer p\, y>2, ;>s, />i enz. de aanvangsphasen van de aparte sinustrillingen der samengestelde bewegingen zijn. 1 K o e n i g verstond blijkbaar onder phase verschil dat 1 px = 4 = - /'s = /\ = el»z- XXIV. Dat toch lier 111 a 1111 's formules dezelfde curven voorstellen als die van K o e n i g, blijkt voor curve II, als men deze-van de periode van den grondtoon in negatieve richting langs de abscis verschuift, en dus voor 2 n Nt in de plaats zet 2 n TNt -)- ^De octaaf ver- ... 1 . . .3 schuift daarbij immers— voor haar eigen periode, de duodecime 2 4 van haar periode, enz., zoodat curve II wordt: II V = *i" 2 rr ^ Nt -j- -J -f - sin 2 .t ^2 A'<-f ^ + + - tin 2 jr ^3 Nt + — J -f . . . . in overeenstemming met K o e n i g's benoeming »sinusoides har» muniques, coincidant au quart de leur lougueur". Deze mijne schrijfwijze voor K o e n i g's curven drukt direct de bedoeling van zijne woorden uit en is dus te verkiezen. Dat H e r 111 a n n's schrijfwijze slechts toevallig oji hetzelfde neerkomt als de mijne, blijkt, als er termen aan de reeks ontbreken. Zoo zou (bij het ontbreken van den derden term) y — zin 2 3t Xt -(- — sin 2 rr ^2 Xt —^ -1 sin 2 Jt (4 Xt ^ 4 s in 2 Jt (o Xt ^ 4- . . . . ^10 V 2/ 25 ^ 4 niet meer in overeenstemming met K o e 11 i g's bedoeling zijn, want men zou er voor kunnen schrijven (het begintijdstij) van de 4 grondtoonperiode verplaatsend): y — Kin 2 .t TaV -f- 2 .T ^2 Xt -f- —^ -j- + ~ sin 2 * ^4 Xt + 1 j + A «in 2 .t ^5 Xt + j j + .... Hiervoor kan men schrijven 1 .1 1 u — cos2.t A/4- — cos 4 .t At — sin 8.tAt sin 10 jx At — .... •' 1 4 10 25 terwijl lv o e 11 i g's curve niet phaseverschil kan worden uit- 4 gedrukt door de formule: 1 . 1 o 1 11 rrr cos 2 .t A t -I- cos 4 .t A t 4- cos 8.7 A / 4- cos 1U .t A14-.... •' 1 4 lü 25 XXV. Door middel vnu E d i s 0 n's phonograaf heeft Her 111 a 11 11 getracht, de vraag omtrent den invloed der phasen op den klankaard vast te stellen. Hij keert het bewegingsproces om ten opzichte van het tjjdsverloop, door den cylinder in verkeerde richting te laten draaien. Hierbij ondergaan de phasen der aparte sinusbewegingen van elkaar onafhankelijke veranderingen. Hieruit trekt bij de conclusie ') »dass die zeitlich umgekehrte Abspielung einer Klangschwingung eine vollstiindige Veriinderung der Phasenverhiiltnisse mit sich bringt, und da diese Uiunkelirung die Klangfarbe absolut unverandert liisst, so ist in aller Strenge und noch weit unmittelbarer als durch die H e 1111 li o 11 z'schen Stimmgabelversuche, bewiesen, dass die Klangfarbe von den Phasen verhalt nissen unabhangig ist." Ik ben het hierin niet met Herman n eens en vind H e 1 rail o 11 z' proeven met de stemvorken veel juister en tijner dan de phonograafproef. H. e 1 m h o 11 z had het immers in de hand, de phase van elke stemvork apart te veranderen tot een bedrag, dat tot zekere hoogte voor schatting vatbaar was. Bovendien geldt, wat ik reeds vroeger tegen H e r m a 11 n's proeven aangevoerd heb -): »Bij de proef, door welke de volledige onverschilligheid der phasen voor den klankaard bewezen zou worden, werden alle phasen zonder regel door elkaar gegooid ; het is naar mijne meening niet eens waarschijnlijk, dat de hierdoor ontstaande klanken duidelijk van de oorspronkelijke zouden verschillen. Een duidelijk verschil kan men slechts verwachten, wanneer een zekere factor van den phasentoestand den eenen keer in maximo, den anderen keer in minimo voorhanden is." Vermelding verdient, dat F. L i n d i g in een ongeveer gelijktijdig niet mijne zooeven geciteerde verhandeling verschenen artikels) tegen H e r m a n n's phonograafproef eene dergelijke bedenking te berde brengt: »Nur ware zu sagen, dass diese Versuche die F rage nicht an einem einfachen Falie entscheiden, wo alle Bedingungen klar auf der Hand liegen. Sie benutzen nicht bestimmte Phasenverschiebungen, die zu regeln in unserer Macht liige, sondern wie einniai durch die Abscissen- oder Ordinatenumkehr die Phasen »»durclieinander geworfen"" werden (nach Hm. Prof. H er ra a n n's eigenen Worten), so miissen wir sie hinnehmen, ohne etwa in systematischer YVeise den allmahlichen Uebergang studieren zu kunnen." 1) Pfl. Arch. Bd. 56 bldz. 478. ") Pflüger's Arcli. Bd. 89 blz. 351. 19U2. ') F. Lindig. L'eb. deu Eiufluss der Phasen nuf die Klangfarbe. Annalen der Phvsik Bd. 10. blz. 245. 1903. XXVI. Volgens Hermann bleef' bii de proef der abscissenomkeering zoowel de klankaard van de vocalen als van de acustische instrumenten absoluut onveranderd. Dat de vocalen niet veranderen van aard heeft geene beteekenis daar hun karakter volgens Herman n zelfberust op zekere verhoudingen in de afstanden der curvetoppen, welke door de abscissenomkeering niet gewijzigd worden. En dat de klankaard van de acustische instrumenten onder invloed van de phasentoestanden niet zoodanige veranderingen ondergaat, dat men een hobo-timbre door de phasen te wijzigen tot een horentimbre zou kunnen maken, dat staat ook voor mij volkomen vast. Het timbre wordt in dien zin ook naar mijne meening bepaaJd door de aanwezigheid en sterkte van eene bepaalde reeks boventonen. Ik kan dat ter voorkoming van misverstand niet genoeg herhalen. En wanneer het in den loop dezer verhandeling zal blijken, dat ik een invloed van de phasen op den klankaard met zekerheid kan aantoonen, dan zal die invloed, het zjj vooruit gezegd, run eene heel andere orde zijn dan de groote, voor het timbre der muziekinstrumenten alléénheerschende invloed van de sterkte der boventonen. Zal ik den phasen eene invloedssfeer kunnen aanwijzen, dan zal die buiten het gebied van het theoretische zich bezwaarlijk kunnen uitbreiden. TWEEDE DEEL. XXVII. .Stel ik mij voor, dat op eene zeer grooten donkeren wand zich een klein lichtpunt bevindt, dan kan men de plaats van dat punt zeer goed een weinig veranderen, zonder dat ik, als ik er nu opnieuw naar kijk, kan waarnemen, dat deze kleine verandering heeft plaats gehad. Laat men evenwel het lichtpunt eene geringe cirkelbeweging maken, maar zóó, dat de doorsnede van den cirkel niet grooter is ') vgl. 1'fl. Arch. lid. 50 blz. 47'J. dan di- zooeven bedoelde plaatsverandering, dan zal ik gemakkelijk kunnen zien, dat het punt aldoor van standplaats wisselt, en periodiek naar de uitgangsplek terugkeert. In het eerste geval moest ik twee indrukken, die in den tijd niet onmiddellijk aan elkaar grenzen, als op zich zelfstaande dingen beoordeelen, terwjjl de groote donkere wand mij geene gelegenheid bood, daartoe voldoende aanknoopingspunten te vinden. In het tweede geval daarentegen verschafte elke voorgaande plaatstoestand van het punt mij een gretig benuttigd aanknoopingspunt ter beoordeeling van zijne plaats in een volgend tijdstip. Zoo zou het ook kunnen zijn, dat kleine verschillen in den aard van een klank, wanneer deze als ding op zich zelf twee keer met een kleine tijdstusschenruimte werd aangegeven, voor het oordeel verloren gingen, terwijl zij wel opgemerkt konden worden, wanneer de klankaard cyclisch veranderde en dus telkens tot haar begintoestand terugkeerde. Hij de gemakkelijker beoordeeling van de"e cyclische verandering voegt zich de meermalige herhaling dezer wisseling als een bijzonder moment ter verlichting en ter preciseering van ons oordeel. Hieruit nu besluit ik, dat ik de meeste kans zal hebben, een invloed van de phasebetrekking op den klankaard te vinden, wanneer ik er in slaag, de phasebetrekking cyclische veranderingen te doen ondergaan, die door hare periodieke herhaling cumulatief op mijn bewustzijn trachten in te werken, üe rhythmus dezer periodische verandering moet van die orde zijn, dat het bewustzijn haar gemakkelijk waarneemt; dus van zoo ongeveer één per secunde. XXVIII. Welnu, de gewenschte cyclische beweging van de phasebetrekking breng ik tot stand door afwijkingen in de wiskundig juiste stemming van "de deeltonen van den klank te bewerkstelligen. Daardoor ontstaan dikwijls zoogenaamde zwevingen. Zwevingen zijn periodieke veranderingen van de sterkte of den aard of van sterkte en aard van een klank, die een apperceptibelen rhythmus hebben en hun ontstaan danken aan een bijzondere betrekking, die tusschen de trillingsgetallen der zelf met constante sterkte klinkende deeltonen bestaat. Als bijzaak kunnen bij de zwevingen geringe wisselingen van de tooiishoogte der deeltonen optreden. Het eerst opgemerkt en het gemakkelijkst waar te nemen zijn de zwevingen van tonen van dezelfde toonshoogte, die niet wiskundig nauwkeurig aan dezen eisch van gelijke hoogte voldoen. Zij zijn een ieder hekend van do piano, als die ontstemd is. Men hoort ze als men h.v. een toon op het midden van het instrument aanslaat. Zoo'n toon wordt n.1. door twee ot' drie snaren voortgebracht, die zwevingen geven, zoodra zij niet meer precies het zelfde aantal trillingen per secunde volbrengen. Ik wil nu nagaan, welke veranderingen in de phasebetrekking van de deeltonen van tweeklanken en drieklanken ontstaan, wanneer een der tonen ontstemd is. XXIX. B ij den E e n k 1 a n k. In de eerste plaats beschouwen we den tweeklank, die in zekeren zin een eenklank is, die nl. is opgebouwd uit twee deeltonen van gelijke hoogte, maar waarvan er één, een weinig van de juiste hoogte afwijkt. Zij liet trillingsgetal van den eenen toon Ar en van den anderen -V + A, waarbij 4 het aantal trillingen aangeeft, dat de eene toon ontstemd is. Men kan dan den resulteerenden klank voorstellen door de formule A sin (2 .t t N) 4- H »in {2 .t (JV -f L) + j>\\ ■ • (1) als bij den aanvang het phaseverschil p is. YYrij kunnen daarvoor schrijven: A sin (2 .t t N) -f R .sin }2 .t [At< -f (p -\- L f)]j . . (2) en beschouwen de beweging als de resultante van twee trillingen van de frequentie .V, waarvan echter de laatste eene veranderlijke phase /> + A / heeft, die van den tijd t afhangt en bij den aanvang (t = o) gelijk p is. I)e uitdrukking «veranderlijke phase" kan hier slechts ideëel bedoeld zijn, daar phase in dit geval toch annrangsphatte beteekent en deze niet inderdaad veranderlijk zijn kan. De werkelijkheid is dus, dat wjj de beweging wiskundig zóó bebeschouwen mogen, alsof het trillingsgetal gelijk A' en de aan vangsi'hase veranderlijk ware, en 2 ,t (/> + ^ t) beduidt dus niet anders dan den hoek dien wij voor een bepaalde waarde van t nog bij den hoek 2.tA7 moeten voegen, opdat B X de sinus van dezen hoek de uitwijking voor de tweede deelbeweging voor dat bepaalde tijdstip uitdrukke. Daar nu het verschil van de phasen waarin de twee bewegingen np een bepaald tijdstip verkeeren, eveneens veranderlijk is en alleen door /»+ & t bepaald wordt, kan men altijd het aanvangstijdstip zóó kiezen, dat de aanvangsphase van de eerste deeltrilling nul is. Dit is in onze formule dan ook het geval en „ ^ f geeft tevens voor elk tijdstip het bedoelde verschil der tijdstips-phasen van de twee deeltrillingen aan. Men gelieve nu even stil te staan bij de onderscheiding, die ik maak tusschen de begrippen tijdsti/>s-jJidsencerschil en aartvawjts-/>hatcmrrschil. Het laatste is eene constante grootte en geeft eenvoudig het verschil aan tusschen de twee phasen, waarin de deel-trillingen bjj het beginpunt der beschouwing verkeeren. Hebben de twee trillingen precies dezelfde periode, dan blijft dit aanvankelijk pliaseverschil voor alle volgende tijdstippen hetzelfde, en is dus gelijk aan het in dit geval eveneens constante tijdstips-phasenversehil. Verschillen echter de perioden, zooals in het geval, dat wij bespreken, zoo blijven de twee bewegingen niet steeds evenwijdig aan elkaar, maar zal op een willekeurig gekozen tijdstip de eene beweging een eind op de andere vooruitgeloopen zijn, liet verschil van de phasen, waarin de twee bewegingen oogenblikkelijk verkeeren zal een ander zijn dan bij het beginpunt der beschouwing. XXX. Wij kunnen de twee bewegingen A sin (2 rr t\) -f- H sin { 2 .T [t)-\- Jicos2n At sin 2.t(c-)-t-t)— = (A -f li cos 2.t(/- + Lt)\sin 2 .r At -f li vos 2 st At sin 2 .-r (/> -\- Lt) Hiervoor kan men, als men stelt A + li cos 2 .t (j> -(- t L) — C cos f I ^ li sin 2 JT (]> -(- t L) — C sin f > schrijven : C cos f sin 2 .t Xt. -f C sin t ros 2 .t A7 r= r sin (2 .t A*/ -f f) . (4) waarbij Bsin 2 3t (p-\-t L) tg t — — r ' . /r \ -1 + 7? co* 2 .t (/< + t L) Wij hebben dus eene beweging C .sin (2 .t Xt -f f) gekregen, waarvan de frequentie geljjk .V is, en de amplitude en de phase langzaam met den tjjd veranderende parameters zjjn. Door quadraatverheffing en optelling van de vormen voor C cos e en C sin s krijgt men voor de intensiteit der beweging C' = A* -f 2 A li cos 2 n (p -j- t L) + B1 . . (6) In deze samenstelling van twee sinusbewegiugen hebbeii wij aangenomen, dat de amplitudes verschillend zjjn. Stellen wij bovendien \ast, dat .1 B, dan blijft e altijd binnen de grenzen rt .t + 2 e" ~~ .)" Wauileer echter deze voorwaarde niet vervuld was, dan zou b.v. voor t — ——1' en L = 1, zoodat o iL /isinf'-.y) *. = _ A + BcosQ:t) n -y/2 — -jj zou worden, ' A--V2 t>f e = oo zijn, indien .1 — __ j/ ■> ware. Nu echter blijft f binnen de genoemde grenzen en gaat in het verloop van elke secunde van eene positieve waarde door nul heen naar eene negatieve en weer terug. Volgens de formule ('sin (2 .1 Xt -f f) is het trillingsgetal der resulteerende beweging X. 'f Is echter duidelijk, dat zoolang de waarde van f toeneemt, dit het effect 3 maakt, alsof de curve in negatieve richting (naar links) verschuift langs de abscis, dus of de periode iets te kort is en dus het trillingsgetal iets te groot. Wanneer a afneemt is het omgekeerde het geval. Dit beteekent dus dut de toonshoogte van den gehoorden toon voortdurend een weinig op en neer schommelt. De periodieke wisseling der intensiteit wordt bepaald door de waarde van co« 2 .T (p + tL) en heeft dus tot periode , daar telkens na LA — secunde deze vorm dezelfde waarde terug krijgt. Wij moeten dus een toon hooreu, die L sterkteschommelingen per secunde heeft en welks intensiteitswisseling met een geringe wisseling in toonshoogte gepaard gaat. Dit wordt ook inderdaad gehoord wanneer de twee tonen niet dezelfde intensiteit hebben. XXXI. Zijn ilr amftlitHtlM ijelijlc, zoo hebben wij. als weer de tri 11 insgetallen der twee tonen zijn A'en A'+a A tin 2 Jt t N -(- .1 sin 2 .t 11 (A* -f- L) -)- f>\ . • (7). = 2 A tin 2.t \t(a +~)+f)2 * (y+f) • (8)- Volgens deze formule hooren wij een toon met het onveranderlijke trillingsgetal A' -|- f en met eene langzaam periodiek wisselende amplitude 2 .1,o,2.T^+|^ (9) L waarvan dus de frequentie der wisseling - is. Men zou dus tot L het besluit komen, dat wij thans ■ zwevingen per secunde moeten hooren van een toon van de hoogte N -j- L. Dit is een merk- waardig resultaat, dat met de ervaring in flagranten strijd is. Immers met de sirene kunnen wij gemakkelijk bewijzen; dat het L aantal zwevingen niet -, maar Z_ bedraagt, en dit is juist des te duidelijker waar te nemen, naarmate de intensiteiten der twee tonen meer aan elkaar gelijk zijn. Merkwaardiger evenwel is, dat Bosanquet1) zegt, dat deze . L zwevingen van de frequentie - per secunde inderdaad door ons oor worden gehoord Men kan tocli bijna niet aannemen, dat Ho sa 11q u e t, alleen uit de wiskundige formule en liet hooreu van zwevingen zou afgeleid hebben dat de rbythmus dezer zwevingen . ' L inderdaad ■ was, zonder de waarheid dezer aanname op andere en ondubbelzinnige wijze experimenteel te controleeren. Beweer ik 1111, dat B o s a n quet de zwevingen niet in den L rbythmus — kan gehoord hebben, maar dat de rhythmus, zooals steeds door iedereen aangenomen wordt, L, d. i. gelijk aan liet verschil van de trillingsgetallen der twee tonen is, dan rust op mij de verplichting, de fout in de wiskundige berekening van den 1 , L rhythmus - aan te toonen. XXXII. Wjj kunnen tegen de formule (8): 2 ,1 dn 2 * t (n + ~ j -f L co,• 2 jr + jQ niets inbrengen en haar afleiding zoowel als haar innerlijke beteekenis zijn veel eenvoudiger dan die van de formule (4): C sin (2 -T Xt -f- t), gevonden voor het geval, dat de amplitudes der oorspronkelijke tonen ongelijk zijn. *) 1'hil. Maj^. XI blz. 420. Welnu, het wezen der zaak ligt daarin, dat de amplitude 2 A co» 2 .t + 0 een langzaam veranderende parameter is en niet niet hetzelfde oog mag beschouwd worden als een toon, die door deze cosinusforniiile kan worden voorgesteld. Ziehier voor eenige waarden van t de waarde der amplitude, wanneer A — 1: I |» A cm 2 .1 + -y)| -£i +*r L1 J__p| 2 A A| J -2A A A[ I O 2 A Al 1 JL _ L +2A A A men ziet hieruit, dat de amplitude telkens pas na 2 secunden weer dezelfde waarde verkrijgt, maar dat de absolute waarde reeds na 1 secunde telkens terugkeert. Noemen wij de absolute waarde U«»2*(^ + {r)j dan drukt voor elke twee secunden gedurende de eerste secunde de formule 2 a tin 2 .t t ^ -f——"| • • • (1") de samengestelde beweging uit, gedurende de tweede secunde evenwel de formule — 2asi„2.-T ,(.Y+f)+:] ' • • (ll) Het is duidelijk dat. de door deze twee formules uitgedrukte bewegingen geen verschillenden indruk op ons oor maken, en dat wij dus toch niet om de tiree secunden maar om de secunde denzelfden indruk ontvangen. I)e rhythmus der zweving is dus ook niet L —, maar wel Lx per secunde, 't geen overeenstemt met de heer- schende meeniug. Dat het teeken van de formule 2 a sin 2 rr | / ^.Y + 0 1 elke secunde wisselt beteekent niet anders, dan dat er telkens, als de amplitude nul is, eene plotselinge phaseverschuiving van plaats vindt, 't geen echter, om de secunde gebeurende, volstrekt niet tot eenig bijzonder verschijnsel aanleiding geeft. XXXÏÏI. Gemakkelijker nog kunnen wij op de volgende wijze tot dit resultaat komen : Noemen wij de intensiteit der door formule (S) uitgedrukte beweging niet de frequentie ^ C', zoo krijgen wij door quadrateering van formule (!>) = 4 A' cos' 2 rt ^ + 1' ) • • • • (12) Hiervoor kunnen wij schrijven : 2 A' [1 + fos 2 A 4- />)| .... (13) Deze formule geett onmiddeljjk A als de frequentie der intensiteitswisseling aan en door de periodieke schommeling der waarde \an co* 2 .i (t L+ -fy) neemt (13) voor de volgende waarde van t de daarachter aangegeven waarden aan : ZÏ I 4-4' 1 1 p — ' 2 A' 4 L L 2 p ; ~ T~ *- O 4 L L _ 1 9 ,1» 4A A 1 [ — — I 4 A* L L Inderdaad krijgt dus de intensiteit telkens na eene secnnde(voor Z- — 1) dezelfde waarden terug en wordt zij eenmaal per seciindc L gelijk nul. Dit stemt dus weer overeen, niet met > , maar wel met L zwevingen ]>er secunde XXXIV. Afgezien van het aantal der zwevingen, moet ik nadruk leggen oji het volgende, dat uit het bovenstaande blijkt: Is een klank uit twee tonen opgebouwd, die slechts weinig in hoogte verschillen, zoo nemen wij niet de twee aan de enkelvoudige sinustrillingen beantwoordende tonen waar, waaruit naar K o u r i e r 's analyse de klank bestaat, d.w.z. Ohm'» regel gaat in dit geval niet door; hij stuit op eene grens, wanneer men twee tonen met steeds kleiner hoogteverschil tegelijk laat klinken. , en p2, het aanvangs-phasenverschil />., —/>, • Daar nu in elke ^ secunde de hoogste toon —ti — « trillingen meer volbrengt dan de laagste, verandert reeds dadelijk in de eerste secunde het tijdstipsphaseverschil d zoodanig alsof' de hoogste toon ., -f- - — y, ; is hij een heele trilling vooruitgeloopen dan is het reeds -(-1 — )>v d.w.z. weer 1 /1s — pl geworden. Hieruit volgt, dat reeds in de eerste secunde « maal alle mogelijke phaseverschillen zijn opgetreden, en dat dus rail een bepaald phaseversehil der tiree tonen zou de beweging worden voorgesteld door : A sin 2 n • 5 d 4—y J 4~ R 2 rr ^ • G d 4- \ liet aanvangsphaseverschil zou dus - — — zijn, als l> als 4 2 4 begintijdstij) gekozen werd. Hij <• zou het ^ bedragen, bij d ' — 4 en bij ax weer nul. De afstand a ax stelt de periode der superpositiecurve ^ JL secunde^ voor, terwijl l> op — , r oj) , tl op deel van deze superpo4 2 4 sitiecurve ligt. Men ziet dns ook uit de teekening duidelijk, dat door een bepaald aanvangs-phaseverschil geene karaktereigenschap der curve gegeven is: Men hmt niet spreken roti een tireell'ank titel een bepaald phasererHchil der tonen. Hieruit volgt 1111 weer, dat het geen invloed op den klankaard van den tweeklank kan hebben, als onder invloed van ontstemming van een der tonen eene verandering of' wisseling van de waarde van het aanvangs-phaseverschil zou ontstaan. XXXVIII. Richt men nu zijn blik nog eens op Fig. 4, dan merkt men op, dat toch de phasebetrekking, de phasetoestand, die in het punt a bestaat, op geen ander punt van de heele superpositiecurve te vinden is, dat op geene andere plek van die curve de twee en- . 1 . kelvoudige tonen beide in de phase verkeeren. üok is er geen 4 plek te vinden, waar beide tegelijk de phase nul hebben. Men kan dus wel degelijk de enkelvoudige curven anders ten opzichte van elkaar plaatsen, zoodat eene andere superpositie-curve ontstaat. Ook kan dat op oneindig veel verschillende wijzen plaats hebben, want men kan evengoed den beiden enkelvoudigen tonen de aauvangs- nhasen nul, als b.v. geven. I 17 Hieruit volgt dus, dat de curve wel degelijk iets karakteristieks heeft, maar ilat dit niet dooi het aanraiitis-p/iaseiirerscliil, mnar wél iloor de waarden tier hccetle aanroiit/xp/iasen tiet/eren is. Dit gezegd zijnde, kunnen wij opnieuw vragen, welken invloed wellicht ontstemming van een der tonen op hunne phasenbetrekking hebben kan ? XXXIX. Is de laagste toon tot een bedrag -j- L trillingen ontstemd, zoo wordt de resulteerende beweging : A sin 2 .1 11 (« i1 der superpositie-curve gebeuren, wijl slechts op deze punten de niet ontstemde toon ,1d zijne oorspronkelijke phase heeft. De bovengenoemde reeks der phasenresten 1 2 0, —, — enz. ? ï kan dê ontstemde toon inhalen in 0 (of ' \ enz. tot ' - secunde, ^ LjpL\lL JL daar hij in eene secunde L trillingen, en dus — trilling in P P" secunde te veel maakt. De oorspronkelijke phasetoestand, waarbij beide tonen weer 1 dezelfde phase als bij aanvang (t o) hebben, treedt dus in secunde (d. i. de tijd, waarin de ontstemde toon eene lieele trilling te veel maakt). £ maal, en dus per secunde L maal in. Op dezelfde manier kan men bewijzen, dat bij ontstemming van den hoogsten toon ,i <1 tot een bedrag van Z_ trillingen, (t L„ maal de aanvankelijke phasentoestand geboren wordt. XL. Uit het bovenstaande volgt dus deze regel: IVanncer i'cui (k twee tonen van een tweeklank de eene een weinig ontstemd i#, zoo tieedt dezelfde p/iasentoestand en du* ook dezelfde superpositie-curoe zóóveel malen /ter secunde op, al* het product aangeeft van het eenvoudigste verhoud ingsgatal eau den zuiveren toon en het aantal trillingen, dat de ontstemming van den onzuivereu toon bedraagt. Hierbij moet onder phasentoestand niet phaseverschil, maai wel een bepaald stel waarden van de phasen der twee tonen verstaan worden. Nu wij dus wiskundig de/.e wisseling van den phasentoestand bij den tweeklank hebben gevonden, moeten wij vragen: kunnen wij ook proefondervindelijk eene wisseling van den aard van den tweeklank vaststellen, die aan die wisseling van den phasentoestand toegeschreven kan woiden? Zou dat zoo zijn, dan zou die wisseling van den klankaard in de eerste plaats dezelfde frequentie moeten hebben als de bedoelde wisseling van den phasentoestand. Welnu, reeds lang bekend zijn de zwevingen, die ontstemde tweeklanken geven. Deze zwevingen hebben inderdaad de verlangde frequentie. XLI. Reeds in 1 B.iO gaf Oliiu1) een regel voor de frequentie dezer zwevingen: Zwei Töne m und «, die sich in ihrem Verhiiltnisse sehr m»: u1 nahem, wiihrend die Zahlen ,/t' und «' sehr klein sind im Vergleich zu jenen, auf die man stösst, wenn man das Verhaltniss m: u 111 seinen kleinsten Zahlen ausdriickt, bringeu m ii1 — m1 ii Stösse in der Zeiteinheit hervor. Hier zijn dus in en n de twee tonen, die beide als een weinig ontstemd worden beschouwd, terwijl »(' : «' de eenvoudigste verhouding der tonen van den zuiveren tweeklank zijn. Beschouwen wij, zooals altijd mooglijk is, m als zuiver, zoo bedraagt de ontstemming van // n[ m L r - >' m en het aantal zwevingen volgens onzen regel voor de wisseling van den phasentoestand: / nm \ — m li' — in'ii. 't geen met O h m's regel overeenstemt. Zetten wij voor m en n in tl — L. en nd — L! ') rug^euduiff b Auualen lid. 47. S. 4G.">. waarbij weer m' '■ n de eenvoudigste verhouding van den tweeklankis, zoo krijgen wij voor het aantal zwevingen volgens Olim's regel n' (nul — Z.) — in' (u'd — L.) — — ut' L! — u Z. d.w.z. liet verhoudingsgetal van den eeneu toon maal de ontstemming van den anderen minus het verhoudingsgetal van den anderen maal de ontstemming van den eersten. In dezen vorm beantwoordt de uitdrukking aan den regel van Lord Kelcin voor het aantal zwevingen van een tweeklank, voor het geval, dat beide tonen een weinig ontstemd zijn1). Men ziet dus, dat inderdaad de verschillende onderzoekers het over den rhythiuus der tweeklankzwevingen eens zijn en dat deze rliythmus, zooals wij geëischt hebben, nauwkeurig overeenstemt met den door ons gevonden rhythmus van de wisseling van den phasentoestand. XLII. Waar de onderzoekers liet evenwel volstrekt niet over eens zijn. dat is de oorsprong dezer zwevingen. Men moet steeds in liet oog houden, dat onze wisseling in den phasentoestand reeds geldt voor een tweeklank, uit twee enkelvoudige tonen, opgebouwd en dat wij het nergens noodig hebben gehad, eventueel voorhanden boventonen in den kring van onze beschouwing te nemen. Van de geleerden, die over de tweeklankzwevingen geschreven hebben, zijn altijd eenige geneigd geweest, die zwevingen alleen aan de voorhanden boventonen toe te schrijven, terwijl andere dachten dat zij zonder behulp van boventonen verklaard moesten worden. De laagste boventonen van de grondtonen tt <1 en d -f- Li, die zwevingen kunnen veroorzaken, zijn, wjjl « en ji de eenvoudigste verhoudingsgetallen zijn, de fi-xle boventoon van tt d en de tt-ste boventoon van lid -|- L. Deze boventonen hebben tot trillingsgetallen tt d en tt d -f- tt L. en geven u Z. zwevingen van den toon tt tl. Men ziet dus, dat ') Sir William Thomson »(>n Beats of Imperfect Harmonies''': Froe. Boy. Soc. of Edinb. Vol. IX 1877/78. de frequentie dezer zwevingen volkomen overeenstemt met die van de boven beschreven wisseling van den phasentoestand en van de zwevingen die de tweeklank inderdaad laat liooren bi] de proel- n neming. Doet men nu de proef niet een toonmeter van Appunn of niet een harmonium, zoo hoort men inderdaad den boventoon a ti il in de meeste gevallen zeer duidelijk zweven. Aan de genoemde instrumenten zijn echter de tonen volstrekt niet enkelvoudig, maar juist van eene reeks zeer duidelijke boventonen begeleid. Wij behoeven ons dus volstrekt niet te verwonderen, dat deze boventonen, waar ze samenvallen met een klein verschil in trillingsgetal door de ontstemming, de reeds beschreven zwevingen van den ontstemden éénklank laten hooren. Deze boventoonzwevingen hebben echter niets uit te staan met de wisseling van den phasentoestand, die wij voor tweeklanken, uit enkelcoudige tonen bestaande, hebben afgeleid. XLII1. Ik moet nu de vraag stellen : Bestaan de tweeklankzwevingen dan wel, wanneer ik met enkelvoudige tonen experimenteer V En hebben de tweeklankzwevingen, als ik ze niet aan de boventonen wil toeschrijven, kenmerken, waardoor ik ze van de boventoonzwevingen kan onderscheiden V Den eisch, met enkelvoudige tonen te experimenteeren, kan men slechts bij benadering vervullen. Het best voldoen aan dezen eisch stemvorken, op resonantie-doozen geplaatst. Maar 't blijft toch altijd 11:ooglijk, dat vooral de eerste boventoon, de octaat van den grondtoon in de klankniassa aanwezig is. Men kan evenwel de tweeklanken zóó kiezen, dat boventonen voor de verklaring heelemaal niet in aanmerking kunnen komen. Ook is de tweede eisch, dat de zwevingen heel andere zijn dan de beschreven boventoonzwevingen, vervuld. De laatste zijn zeer duidelijk en gemakkelijk te hooren en gelocaliseerd op den boventoon, die voor de zweving in aanmerking komt, dus altijd op een toon, die boven de primairtonen gelegen is en des te verder van deze verwijderd, naarmate de eenvoudigste verhoudingsgetallen van den tweeklank grooter zijn. Zoo zou men bij den tweeklank 200: (300— ) den toon 600 hooren zweven, bij den tweeklank 400 : (500—Zi) den toon 2000. XLIV. Neemt men echter, zooals ik gedaan heb. „-tyywMn'sche resonantiestemvorken voor de proef, dan is er geen sprake van deze boventoonzwevingen. Toch hoort men zwevingen in den verlangden rhythmus, maar deze kleven juist den zoogenaaraden combinatietonen en ook dikwijls den primairtonen zelf aan, d.w,z. dat deze het zijn, wier intensiteit in den rhythmus der zweving wisselt. Zij zijn evenwel bij de minder eenvoudige tweeklanken (dus alle behalve octaaf en quint) zeer moeilijk «aar te neuten in vergelijking met de boventoonzwevingen bij toonmeter of harmonium. Zelfs bij de quint zijn zij voor een onpeoe/mil oor in vergelijking met deze nog niet zoo gemakkelijk te ontdekken. Toch zijn zij altijd met de grootste zekerheid waar te nemen, als men niet zijn best doet, boventonen te hooren, maar juist zijn aandacht naar den combinatie-toon richt. Laat men Appunns stemvorken 600 m 700 — L (dus den hoogsten toon een beetje ontstemd) samen klinken, zoo hoort men ten duidelijkste den toon 300 in den rhythmus 2 A zweven. Men zou nog geneigd kunnen zijn, deze zwevingen zóó te verklaren: 600 en 000—a geven den combinatie-toon 300—a; de eerste boventoon van 600 i* 1200 en geeft niet 000—A den combinatietoon 300+ A. Deze laatste geeft met 300—A zwevingen in den rhythmus 2A. Inderdaad hebben eenige auteurs de quintenzwevingen bij stemvorken op deze wijze verklaard. Kr komt dus bij deze verklaring nog een boventoon in 't spel, hoewel de zwevingen niet zijn boventoonzwevingen. Neemt men nu echter de ^4/)/)«/i«'sche stemvorken 600 (= 4 ,1) ru 750 — L (= 5 d—L) dus een ontstemde groote terts, dan hoort men als het stil is in de kamer en men goed luistert, met de resonantiedoozen bijna evenver van liet ééne oor, den conibinatietoon 150 (= i 700 — L (= 7 d — L) geven tiA zwevingen, die gelokaliseerd zijn vooral op den combinatie-toon 300; minder duidelijk ook op den combinatie-toon (100 = r/). Deze zwevingen zijn zeer moeilijk te liooreu en nog moeilijker is het dikwijls te zeggen, welke tonen het sterkst aan de intensiteitswisseling onderhevig zijn. Dat hier <300 de duidelijkst zwevende toon is, kan men het zekerst vaststellen door de tonen (iOO en 900 ter vergelijking aan te slaan. Deze geven zeer duidelijk en voor den geoefende zeker en gemakkelijk waar te nemen den combinatie-toon «300. Men herkent dan dezen toon met zekerheid als den zwevenden toon bij den tweeklank (300: (700 A). Van boventoonzwevingen in denzelfden zin als op het harmonium, dus b.v. bij den tweeklank ü :«»: 7 en *i: 7 : 11, waarbij de tweeklank-zwevingen van .r> : ti en ti : 7, na ontstemming van een der stemvorken door wat opgekleefde was, werden benuttigd 0111 het aantal trillingen der ontstemming vast te stellen. Ik werkte dan ook onder bijzonder gunstige omstandigheden, daar de acustische zaal van het Psychologisch Instituut te Herlijn, waar ik deze proeven heb gedaan, op eene zeer verheven verdieping ligt en nergens op eene straat uitkomt. Het is onmogelijk deze tweeklankzwevingen te bestudeeren in laboratoria, waar nu en dan een rijtuig voorbij gaat of zelfs een jongen, die een deuntje zingt of fluit. XL VIII. Ik heb boven gezegd, dat eene tweeklankcurve niet door een bepaald aanvangsphasenrejwM gekarakteriseerd is. Waar nu Lord K e 1 v i n vier verschillende stadiën van een ontstemden octaaftweeklank als volgt benoemt 1 I // cox -(- C08 2 4 II ,J — cox ,v -f 1 cox (2 ./• -f- !»U°) ij Toiminpf. Aus^. S. 329. Proc. Hoy Soo. 01 Ecliiib. Vul IX pag 610. III y = cos .<• -|- ^ |)e vier curven zijn inderdaad gekarakteriseerd door een bepaald stel aanvangsphasen van de twee tonen. Dit zij nog eens gezegd, opdat het verschil tusscheii den oorsprong der tweeklank en dien der drieklankzwevingen volkomen duidelijk worde. XLIX. 't is hier de geschikte plaats om de proeven van 1' r a n z L i n d i g ') met de zoogenaamde tele/ooiiHvene. te vermelden, wijl ook deze onderzoeker met tweeklanken geëxperimenteerd heeft. De telefoonsirene bestaat uit eene met kleine magneetjes radiaal belegde papieren schijf, die snel ronddraait, terwijl een van haar membraan ontdane telefoon dicht bij den rand is opgesteld. Men hoort dan in een tweede telefoontoestel, dat met het eerste verbonden is, een toon. De hoogte van dezen toon is gelijk aan het getal schijfomdraaiingen maal het aantal magneetjes, indien alle magneetjes met dezelfde pool naar den rand der schijl wijzen (gelijk pool plaatsing), maal de helft van bet aantal der magneetjes, wanneer steeds een noordpool met een zuidpool afwisselt (wisselpoolplaatsing). De tonen zijn niet enkelvoudig maar van boventonen begeleid, die zelfs tot den zesden en zevenden gehoord werden. Uit het onderzoek naar de aanwezigheid der boventonen trekt Lindig het besluit: »Die Telephonsirene erzeugt bei gleichliegenden Polen der Scheibenmagnete die ganze Reihe der harmonischen Obertöne, bei Wechselpolen nur die ungeraden Teiltöne." Hierbij moet ik direct opmerken, dat dus het door Lindig gebruikte instrument met betrekking tot de boventonen verre achterstaat bij de door Lord Keivin en mij gebruikte stemvorken. Deze laatste kunnen werkelijk beschouwd worden relatief enkelvoudige tonen te geven. Men hoort bij die stemvorken op resonantiedoozen met het ongewapende oor volstrekt geene boventonen. Om den invloed der phasen te onderzoeken, gebruikte Lindig twee schijven met magneetjes en liet deze op twee membraanlooze telefonen influeuceeren. Door een van deze telefonen langs de bij haar behoorende schijf heen en weer te schuiven, kan de phasebetrekking tusschen de twee tonen veranderd worden. Het besluit dat bij uit zijne proeven omtrent den phaseninvloed trekt, luidt als volgt; »Verschiebt man zwei einfache Töne oder zwei Kliinge, die ein beliebiges Intervall bilden, in der l'hase gegeneinander, so bat dies l) Ueb. cl. Eiuiiuss der 1'hoseu auf die Klangfarbe. Aim. derPhysik Jkl. 1U S. 24*2,19G3. auf die Klangl'arbe des In tervalles keinen Einfluss. Ein Eiufluss der Phaaenverschiebung tritt uur dann auf', wenn in den Kliingen gleichhohe Obertöne vorhanden sind. die miteinander interferieren können. Der einzige Kali, wo Phaaenverschiebung direct hörbar wird, ist deuinach der Einklang." L. Beschouwen wij één van L i 11 d i g's proeven wat van naderbij. ()j> blz. 205 vermeldt hjj de proef' met liet quint-interval. Neemt hij op beide schijven, waarvan de eene den laagsten toon, de andere de quint van dezen voortbrengt, gelijkpoolplaatsing, dan heeft de phasewisseling een duidelijken invloed op den klankaard. Deze ondergaat nl. eene verandering, en wel blijkt deze te bestaan in optreden en uitgedoofd worden van den eersten gemeenschappelijken boventoon. Dit is de octaaf van den hoogsten toon van het interval. — Mij de tweede proef produceert hij dezen hoogsten toon niet wisselpoolplaatsing der magneetjes. Daardoor verdwijnt de octaaf. De intensiteitswisseling van den eersten gemeenschappelijken boventoon is dan verdwenen en daarmee ook de wisseling van den klankaard. Daar hij 1111 zegt, dat andere veranderingen van den klank niet waargenomen werden, zoo kunnen wij direct besluiten, dat L i 11 d i g 's proeven bij de zwevingsproeven met resonantie-stemvorken in beteeken is ten achter staan. Want hoe duidelijk hoort een eenifszins " o geoefend oor bij deze laatste de timbre-wisseling van de quint en hoe volkomen zeker is als wezen daarvan de intensiteitswisseling van den verschiltoon vast te stellen! Bij L i 11 d i g eene reeks boventonen en de van ouds bekende boventoonzwevingen, bij de zireriin/nproereii met stemvorken geene boventonen herkenbaar en toch duidelijke wisseling van den gehoorden klank, die bij L i 11 d i g 's proeven een opmerkzaam oor tevergeefs zocht. Zegt niet ook Lord K e 1 v i n, hoewel ook bij zijne proeven niets van boventonen of boventoonzwevingen te bespeuren viel, van de tweeklankzwevingen: »In favourable circunistances, and with careful attention, a rariatton / the ijuulUi) oj the sound recurring periodicallv in these successive cycles is distinctly heard, even In/ nu unjiriictixeil ine, unless tiie du ratio 11 of the cycle be too Itnifjf or too short to snit lts sensibility. It is tliis variation wliich is called the »beat" 011 the imperfect harruony". LI. B ij den Drieklank. Laten van drie tonen de eenvoudigste verhoudingsgetallen zijn tt. ,? en y, zoodat hunne trillingsgetallen kunnen voorgesteld worden door «p p* en ps, zoo zullen dit ook de phasen van de drie tonen zijn bij het begin van elke 1 secunde, of, zooals ik mij /.al uitdrukken: bij n d den aanvang van de superpositie-curve. 's de toon yd ontstemd, zoo zullen wel voor ad en (ld aan het begin van de superpositiecurven steeds weer de phasen p\ en />„ zjjn, maar y., en bestaat dus dezelfde phasentoestand als voor t=o, in dien zin, dat d<' phasen dei■ drie tonen elk weer dezelfde u-aarde, hebben idx bij het beflintijdstip der bexehoinrintj. De phasen zijn weer ƒ>,, /h en />3. Ik stel nu de vraag: Hoeveel keer treedt per secunde de oorspronkelijke phasentoestamt (in den zin van het bepaalde stel phasen pi, p-2,/>-,< voor de drie tonen) opt LIL Het antwoord op deze vraag kan op de volgende wijze gevonden worden. Laat de drie tonen zijn a d, ft d en y d -f- «, ,i, y de eenvoudigste verhoudingsgetallen en y d ontstemd tot een ' bedrag van A trillingen. Dat «. ,i. y ',1' eenvoudigste verhoudingsgetallen zijn, verhindert niet dat « en ,i, die bij de twee zuivere tonen behooren, nog een gemeenschappelijken tactor kunnen hebben. Laat i/ de grootste gemeene deeler van « en J zÖn> zo°dat a = q «' en ^ — q |J', waarin «' en tï geheele positieve getallen zijn, a' en zijn dan de eenvoudigste verhoudingsgetallen van de twee zuivere tonen, als tweeklank beschouwd. Waren de tonen alle drie zuiver, dan zouden zij steeds iu elke 1 secuude respectievelijk «, ,i en y geheele trillingen volbrengen d en zou de phasentoestand steeds dezelfde blijven. Daar echter y d L trillingen per secuude te veel maakt, loopt deze toon steeds dóór een weinig in de phase vooruit. Zal hierdoor in liet verloop van den tijd «eer eens dezelfde phasentoestand als bij liet begin kunnen or.tstaan, zoodat de ]tliasen op een zeker tijdstip weer />, />, en ?»s zijn, dan kan dat alleen op zoodanige tijdstippen gebeuren, als waarop in de eerste plaats de zuivere tonen a d en <1 weer dezelfde phaser als bij het begin hebben, n.1. />, en y>2. Dit nu is het geval: ten eerste steeds aan het begin van de superpositie-curve, d.w.z. aan het begin van elke - secunde. Maar 12 bovendien nog op - gedeelte, enz. van de superpositie-curve, want 'I '/ op — gedeelte heeft de toon u il 'I '1 , en p*—p2. Is een der tonen, b.v. de hoogste, bij welken de aanvangsphast />3 behoort, ontstemd, zoo blijft het phaseverschil Pi—Pl steeds hetzelfde aan liet begin van de superpositie-curve, terwijl de waarde />3— /'j onder den "invloed der ontstemming in het, verloop van den tijd eene langzame cyclysche verandering ondergaat. Hieruit volgt, dat wij bjj «Ie drieklanken nog deze tweede vraag kunnen stellen: Iloeceel keer treedt ,,er gerunde de oorspronkelijke pita*encerschiltoestaud (in den /.in van een bepaald stel phaseverschilwaarden l>2—Pu I's—en P»—Pi) °!J' LV. (let antwoord op deze vraag vind ik op de volgende wijze: Laten weer a, ,i en y de eenvoudigste verhoudingsgetallen der tonen »t d, d en y d en | i _ a = «; y — t' = ^; y — « = c zijn, waarin ook u, t en c positieve gelieele getallen voorstellen. Laat verder q de grootste gemeene deeler van «, b en c zijn en a — '; — 'lx i zoodat a': b': c' de eenvoudigste verhouding van «, /> en <• aangeeft. Waren de tonen alle drie zuiver, dan zouden steeds in elke 1 secunde de tonen respectievelijk «, (i en y geheele trillingen vold brengen, en altijd aan het begin van elke - secunde de phasen evenals bij den aanvang Pl, Pi en /* en de phasenverschillen Vi-Px Pa—Pi en Ps—Pi' z«n- .. , , / ■ Laat nu echter de hoogste toon ontstemd ziiu en y< + 111 plaats van y d trillingen per secunde maken. Dan zal deze toon steeds door een weinig in de phase vooruitloopen. Zal hierdoor in het verloop van den tijd weer eens de oorspronkelijke phasenverschiltoestand herboren kunnen worden, dan kan dat alleen op zoodanige tijdstippen gebeuren, als waarop in de eerste plaats de zuivere tonen ud en [i d het oorspronkelijk phaseverschil /h—P\ hebben. Dit is alleen en steeds het geval daar, waar [i d een geheel aantal trillingen méér volbracht heeft dan a d, dus behalve bij het begin van elke 1 secunde, ook op de punten , enz. der superpositiell ^ curve. Immers, in deze punten heeft 2 y 2[t - '> I ' — — - - = —i enz. tl tl u 'p de punten 1 2 a'—1 0, -, -, enz. tot (l u a beeft, de toon yd respectievelijk V 2 b' . , ^ <«' — 1) V u 1, K ,, K r enz. tot K ) a a 11 trilling minder dan het eerstvolgende geheele getal trillingen, méér volbracht dan de toon (i d. Hierin stelt K telkens vóór het kleinste geheele getal zoodanig gekozen, dat het verschil positief blgtt. Annuleert de toon y d (eigenlijk yd + L) door zijne ontstemming een dezer bedragen, dan is de oorspronkelijke phase-verschiltoestand hersteld. De bedragen !>' „ 2 b' K («' — l)fr' 1. K ,, K — , enz. tot A kan men ook schrijven in den vorm t%' fl' 4- 1 . . . . .ii •„» ., .... a» „„„tpn —. —-— enz.dermiperpositie-ciirve. l) Deze waarden herhalen zich voor de punten a > n 1 ' Ka'—b' Ka'—2b' , K'a'— («'— 1)6' 1, , enz. tot ; a a' a Daar «' en b' geen geineenschappelijken factor hebben, nemen deze grootheden alle waarden 1 2 a' — 1 1. , en/, tot r— a a ii aan, alleen niet altijd in deze volgorde. De toon yd annuleert door zijne ontstemming deze bedragen respectievelijk in 1 1 2 '('—1 , enZ. tot —— L a'L a'L a'L secunde. Hieruit volgt, dat in secunde a' maal en dus in elke secunde a'L maal de oorspronkelijke phaseverschiltoestand hersteld wordt. Op dezelfde manier kan men bewijzen, dat bij ontstemming van den toon (id—« . L' a Zwev. d— Ionen qA ^ <*— j lonen i 7A | i'A rhyth- j c'A rliytli- a'A mus | »'A | ,liu#i 1onen I ^ J ïA iZ«lv. c'i\ t li v tli- ' c'fa rhyth- «rA mus ii'fa 111 ns 5 d—a I j \J—^ I ~r/ J 7,/ I ad I M ! ~ 7rf±A ; zal ook van 7 uit bij "t in 't leven roepen van de optische voorstelling een prikkel zich naar alle met 7 verbonden «chorseleinenteu voortplanten, ™oals in de teekening aangegeven. Voor de oplossingen nu van von Kries' probleem, waarvan de kern is het ie,,in der baning, de allereerste bevoorrechting der verbinding p 7, te verklaren, is nog slechts deze onderstelling noodig : In elke baan. tcaarlang* -~ieh ran het eene xehorselement naar het andere een prikkel voortplant, treedt daardoor eene zekere verandering op, die, alUngtskenx eer.zwakkend, een tijdlang blijft bestaan, en die onafhankelijk is van de richting, waarin de prikkel de baan heeft doorloopen. De bedoelde verandering zou b.v. kunnen bestaan in vermindering van den geleidingsweerstand, of in vergrooting van de geleidingssnelheid of in beide. Laat ons 111 deze bespreking gemakshalve zeggen, dat zij i» vergrooting der geleidingssnelheid bestaat. . . Hebben wij nu deze rationeele onderstelling gemaakt, dan is inderdaad het probleem opgelost. Immers, wekt men achtereenvolgens de voorstellingen p en 7 op, zoo geschiedt het volgende. Wordt eerst de groep r geprikkeld, zoo gaan er van p uit verdere prikkels langs alle van p uit geteekeiide pijlen. Daardoor is op al deze banen voo" een korten tijd de geleidingssnelheid vergroot, bv. van 30 op 50 M. per secunde. Na een pnar secunden wordt nu de voorstelling, die bij de schorselementen 7 behoort, in 't leven geroepen. Daarbij straalt van 7 uit langs alle van 7 af geteekende pijlen een prikkel uit. Yau al deze banen is er nu ééne, waar de geleidingssnelheid op dit oogenblik juist vergroot is en dat is de baan en <1 telkens op elkaar volgen, des te zekerder en sneller wordt de baning bewerkstelligd, daar de voorsprong in geleidingssnelheid dan telkens nog het minst is afgenomen en het grootste nuttig effect bereikt wordt. Zoo schijnt mij niet alleen de ban'uuj, maar juist ook het eerste beyin der httnvuj eene eenvoudige en rationeele verklaring te kunnen vinden. XIII. Het is voorloopig niet bevorderlijk voor de uitbreiding der theorie van het zenuwstelsel, de door Ewald Hering geëischte qualitatiet' verschillende prikkelbaarheid der nerveuze geleidingsbauen aan te nemen, behalve daar, waar anatomische verschillen dier banen ons daartoe nopen. XIV. Geen goeden grond heeft Ewald Herin g's vraag : »\Yie kann die Erregung des einen Nerven uns Licht und Farbe, die des anderen aber Sfiss und Sauer, die des dritten Kalt und Warm zur Empfindung bringen, wenn alle diese Nerver dem Gehirne Erregungen ganz gleicher C^ualitiit zuführen 'i" XV. Er bestaat eene meningo-encephalitis serosa. die optreedt in 't verloop van otitis media purulenta en waarbij dikwijls eene vrij groote hoeveelheid vocht in den zijventrikel is opgehoopt (meningitis serosa ventricularis). XVI. Het is niet onmogelijk, dat de somtijds bij kleine-hersenabsces zoogenaamd i