ï m-- te • m •: ••;&*
W& t1 -k wm. 1• fel u#-
• *i> %«*;',»• 'V^t '.-■ J-JVtef'VT* >'*»>" ^ ,*rs'A'' -i'"*
m'"■■: c,---vv^ -2#'..,.T;-'? m u'-r.
V : • • • .' • V •• :<:>i /..VfJ : r-,'»= v;£
4U '• «3 ij' i * ''4 i#f v^..s.! ^
? . .• . '■ ■ :- . ■• ^j.r !: • ?.«, 5. . U ■ ■ ï
: • -■ •; : '3 ?:®
V-VA?'.' Vii •• , :
ié 0 +0ki:3,% £ '!c£-f :i.
\-t- V « •}^ : -v£.
sifeMÉfflttwfs















ONDERZOEKINGEN OMTRENT DRIJVENDE HOMOGENE PARALLELOPIPEDA







ONDERZOEKINGEN OMTRENT DRIJVENDE HOMOGENE PARALLELOPIPEDA
ACADEMISCH PROEFSCHRIFT
ter verkrijging van den graad van
DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE
aan de universiteit van awsterda/n, of gezag van den rector-magnificus DR. F\. STRAUB, hoogleeraarinde faculteit der geneeskunde. in het openbaar te verdedigen op woensdag 3 november 1909 des na/middags te 4 ure in de aula der universiteit door
PETRUS BRAND5EN, geb. te Amersfoort. □ □ □ □ □ □







Bij het indienen van dit proefschrift betuig ik gaarne mijn erkentelijkheid aan de hoogleeraren tn de faculteit der wis- en natuurkunde voor het onderricht, dat ik van hen mocht ontvangen.
U, hooggeachte Promotor, hooggeleerde Korteweg, blijf ik vooral dankbaar voor de belangstelling en steun, die ik bij de samenstelling van dit proefschrift van U heb ondervonden.







INHOUD
Blz.
INLEIDING i
Kort overzicht. Vraagstuk van HUYGENS.
EERSTE HOOFDSTUK 13
Algemeenc beschouwingen. Volledige oplossing van het eerste geval.
TWEEDE HOOFDSTUK 28
Algemeene beschouwingen omtrent de moeilijkere gevallen. Tweede geval. Drijven met verlengde wanden.
DERDE HOOFDSTUK , .... 55
Volledige oplossing van het derde geval, als u = o. Oplossing van het derde geval voor een parallelopipedum met vierkante doorsnede als u -/- o.
VIERDE HOOFDSTUK 7S
Het vierde geval voor een parallelopipedum met vierkante doorsnede. Het vijfde geval voor den kubus. Resumé.



VERBETERINGEN
Blz. 30 in vergel. 5
ri X li 7. ïx <5 x
«v. 11 ^ 1 11 t u t 1
a u (5 v J u o v
Jy 3 y £ y Sy
staat: v j" u u 5 v ' ' 'ees: V Ju V Jv
5 F 5 F J F J F
o 5— o
Jw S v Ju J v
Blz. 30 in vergel. 5, 2Jc determinant, 2de kolom, 3de rij
J z . 5 z
staat: w' , lees: w
o 11 ') V
Blz. 70, I9C regel v. o.
staat: gebied AEQ, lees: gebied met AEQ.
L



INLEIDING.
KORT HISTORISCH OVERZICHT.
I. Een drijvend lichaam verkeert in evenwicht, als het een vloeistofvolume verplaatst, waarvan het gewicht gelijk is aan zijn eigen gewicht en als zijn zwaartepunt en 't zwaartepunt van de door het ondergedompelde gedeelte verdrongen vloeistof op een zelfde verticaal liggen. Daarmee is dan evenwel de vraag niet opgelost, of dit evenwicht stabiel is.
Reeds ARCHIMEDES onderzocht de stabiliteit van een drijvend homogeen bolvormig segment en van een segment eener omwentelingsparaboloide.
Ook HUYGENS heeft zich in zijne verhandeling: „De iis quae liquido supernatant" (onlangs uitgegeven in de „CEuvres complètes de ClIRISTlAAN Hl'YGEXS", t. XI 1908) met de vraag naar stabiliteit beziggehouden, uitgaande van hetzelfde beginsel voor het eerst weder toegepast door GUVOU, die in 1879 in de „Revue maritime" een volledige theorie gaf. (Zie Prof. Dr. D. J. KORTEW'EG, Nieuw Archief voor Wiskunde, Tweede Reeks, Achtste deel, 1907, pag. 1—25).
BoUGl'ER, (Traité du navire, 1746) behandelde het geval, dat het lichaam een symmetrievlak had, waarbij hij bovendien nog veronderstelde, dat 't symmetrievlak gedurende de kleine schommelingen om den evenwichtsstand van 't lichaam verticaal bleef. Hij nam aan, dat bij die beweging aan de wet van ARCHIMEDES voortdurend voldaan werd en voerde 't metacentrum in, van welks ligging de stabiliteit afhing.
El'l.KR kreeg langs een anderen weg ongeveer gelijke uitkomsten (zie Scientia navalis van 1749).
1



De uitkomsten, door Bot'Gl'er verkregen, zijn door bovengenoemde en nog andere beperkingen onvoldoende. Verder moet vooral DUPIX genoemd worden. In 1814 verscheen van hem ,,De la stabilité des corps flottants", welke verhandeling met een rapport, door carxot erover uitgebracht, voorkomt in „Applications de Géométrie et de Mécanique" par Chari.ES Dl l'lN (Paris, 1822). Hij beschouwde alle standen overeenkomende met de wet van Archimedes en bestudeerde het oppervlak, dat de meetkundige plaats der zwaartepunten van de door de ondergedompelde gedeelten verdrongen vloeistofvolumina was. Verder gaf hij de principen der methoden, die wij nu nog gebruiken. Overigens volgde hij de methode van BOUGI'er en maakte ook diens fout, van n.1. bij het onderzoek naar de stabiliteit alleen op die bewegingen te letten, waarbij 't ondergedompelde gedeelte een constant volume behoudt.
DUHAMEL(Journal de 1'Ecolepolytechnique, 1835)trachtte het werk van BöUGUER te verbeteren, maar, al verkrijgt hij juiste uitkomsten, zijn redeneering was niet zuiver, want bij de kleine schommelingen meende hij de drukking door de hydrostatische drukking te mogen vervangen.
CLEBSCH (Journal de Crelle 1S60, pag. 149—169) toonde DllIAMEL'S fout aan en gaf een andere dynamische behankeling, die ook niet geheel in orde is.
GUYOU (Revue maritime, mars 1879, pag. 682) heeft een anderen weg ingeslagen. DUIIEM heeft in ,.Journal de math." 1895, pag. 97—103 aanmerkingen op Gl'VOU's methode gemaakt. I11 het algemeen zijn zijne aanmerkingen juist, maar hij heeft zelf ingezien (Journal de math., 1896, pag. 24), dat voor dit geval Guvou's methode volkomen streng is. Ik zal 1111 in 't kort aangeven, hoe men thans, min of meer afwij kende van Guvou's betoog, de quaestie der stabiliteit oplossen kan. Zie o.a. Appell, Traité de méc. rat., tome III, 1903, pag. 188—226.



ALGEMEENE THEOREMA'S. HET OPPERVLAK (Z).
2. Men gaat uit van een vat, waarin zich een bepaalde hoeveelheid vloeistof bevindt en een lichaam van willekeurige gedaante met een soortelijk gewicht kleiner dan dat der vloeistof.
Steunende op het beginsel van LEJEUNE-DlRICHLET: „De stand, waarbij de potentieele energie van een systeem minimaal is, is een stabiele evenwichtsstand", zal men standen moeten zoeken, waarbij het gemeenschappelijk zwaartepunt van 't drijvend lichaam en de vloeistof zoo laag mogelijk ligt. Er wordt dan afgeleid uit dit beginsel:
ie dat de vloeistofspiegel horizontaal moet zijn;
2e dat alleen zulke standen in aanmerking komen, die overeenkomen met de wet van ARCHIMEDES.
Bepaalt men de meetkundige plaats in het lichaam dei zwaartepunten van de door de ondergedompelde gedeelten, overeenkomende met de wet van ARCHIMEDES, vei plaatste vloeistofvolumina (die voor een homogeen lichaam samenvallen met de zwaartepunten der ondergedompelde gedeelten zelf), dan krijgt men een oppervlak, waarvan bewezen woidt.
ie dat het raakvlak in een zeker punt evenwijdig is met 't overeenkomstige niveauvlak;
2C dat dit oppervlak in al zijn punten convex is. Vervolgens wordt bewezen:
Het hoogteverschil tusschen het zwaartepunt van 't geheele lichaam en dat van de verplaatste vloeistof moet een werkelijk minimum zijn, vergeleken met de naburige met de wet van ARCHIMEDES overeenkomende standen, zal het evenwicht stabiel zijn. Bij een homogeen lichaam kan in plaats van op het zwaartepunt van het ondergedompelde gedeelte, ook gelet worden op dat van 't bovendrijvende. Deze theorema's leiden er toe de volgende constructie uit te voeren : Breng door elk der zwaartepunten van de segmenten, die denzelfden, met de wet van ARCHIMEDES overeenstemmenden inhoud hebben een vlak aan, evenwijdig aan het vlak, hetwelk het segment uitsnijdt en laat daarop uit het zwaartepunt van het geheele lichaam loodlijnen neer. De



voetpunten dier loodlijnen geven een nieuw oppervlak, dat de eigenschap bezit, dat de normalen uit het zwaartepunt van het geheele lichaam op dit oppervlak geconstrueerd, wanneer zij verticaal gesteld worden en het snijvlak in het niveauvlak der vloeistof wordt gebracht, mogelijke standen van het drijvende lichaam aangeven. Deze standen zullen stabiel zijn, als de normalen werkelijke kortste afstanden zijn onder de lijnen, die 't zwaartepunt met punten in de omgeving der voetpunten verbinden.
In verband met de bovengenoemde eigenschap, dat 't raakvlak aan t oppervlak (Z) [zoo zullen we voortaan het oppervlak noemen, dat de meetkundige plaats der zwaartepunten van segmenten van gelijken inhoud is] evenwijdig aan t niveauvlak is, volgt dan onmiddellijk, dat het zoo even nieuw geconstrueerde oppervlak niets anders is dan het voetpuntsoppervlak van het oppervlak (Z), maar dan behoeft men niet de normalen uit 't zwaartepunt van 't lichaam aan 't voetpuntsoppervlak te construeeren. Men kan dan de normalen aan 't oppervlak (Z) nemen, die dezelfde zijn. Evenzoo gaat 't ongeveer met de stabiliteitscondities.
Derhalve: Om mogelijke evenwichtsstanden van zeker lichaam te vinden, heeft men slechts het oppervlak (Z) van 't ondergedompelde of ook (mits bij honiogeene lichamen) van 't bovendrijvende volume te constueeren en vervolgens uit het zwaartepunt van het geheele lichaam de normalen aan dit opp. (Z) te bepalen.
Bij homogene lichamen is dan de eenige eisch voor stabiliteit, dat de gekozen normaal overeenkomt met een minimalen afstand van het zwaartepunt tot het oppervl. (Z) d. w. z. dat die afstand kleiner is dan de kleinste der beide principale kromtestralen in het voetpunt der normaal.
Bij niet homogene lichamen moet bovendien het zwaartepunt aan de holle zijde van het oppervlak (Z) gelegen zijn, welke voorwaarde bij homogeene van zelf vervuld is.
Eenvoudige bewijzen der bovengenoemde eigenschappen vindt men in het reeds genoemd werk van Al'I'ELL.



3- Ik wil nog de eigenschap noemen, waarvan hier en daar in dit proefschrift een nuttig gebruik wordt gemaakt. Voor 't bewijs, zie genoemd werk van Al'PELL, blz. 198, art. 655.
Zij de stand van het drijvend lichaam gegeven. Bepaal nu het maximum en minimum van de traagheidsmomenten van 't vlak, volgens welke het vloeistofoppervlak 't lichaam snijdt, ten opzichte van lijnen door 't zwaartepunt van 't vlak. Noem die momenten r, en r.,. Laat -j het volume zijn van het ondergedompelde gedeelte, dan bestaan de betrekkingen, als en p, de principale kromtestralen zijn van het oppervlak (Z) in het overeenkomstig punt,
_ Tl _ T3
" ~ * Pi ~ 7'
Deze eigenschap toch geeft voor eenvoudige lichamen soms onmiddellijk de gezochte voorwaarde.
DF. BEZWAREN VAX DUHEM TEGEN DE METHODE VAN GUYOU.
4. Zooals gemakkelijk is in te zien, komt een wijziging van 't systeem, gevormd door vloeistof en drijvend lichaam, neer op de volgende drie wijzigingen :
K Een vervorming van het vloeistofoppervlak,
2e Een verticale translatie van het lichaam,
3c Een standsverandering van het lichaam, die de hoegrootheid van het ondergedompelde volume niet wijzigt.
Nu zoekt Gl"YOU de voorwaarde, dat het zwaartepunt rijst bij elk der wijzigingen afzonderlijk of m. a. w. wanneer de tweede variatie van de potentiaal in elk der drie gevallen positief is. Heeft hij aan elk der voorwaarden voldaan, dan besluit hij, dat ook de tweede variatie van de potentiaal voor de resulteerende wijziging positief is.
Tegen dit besluit nu meent DUHEM zich, en in 't algemeen terecht, te moeten verzetten.
Laat £ de coordinaat van 't zwaartepunt zijn, x, /?, enz. de coordinaten, die 't systeem bepalen. Veronderstellen we,



dat de 3 variatie's van de eerste orde en van den volgenden vorm zijn
(2 V), = A (,? a)t + H (* /?). + > O
(5 \ (S ?.), + li (5 /?)2 + > O
(5 g, = V (* *)3 + » P /?), + > O
Voor de samenstelling vindt men dan direct:
^ V)l + ?)o + (s K)s ^ vvant
A ? = V {(* «), + (J a)"3 + (5 a)3} + B { ) + 
waaruit dus volgt, dat, als variatie's van x, /? eene
oneindig kleine verandering van de eerste orde in £ veroorzaken, de resulteerende variatie positief is, als de partiëele dit zijn.
Dit nu wordt evenwel anders, als de partiëele variaties oneindig klein van hoogere orde (stel van de tweede orde) zijn.
We kunnen dan opschrijven:
(3 ?), = au (S x\ * + ai2 (3 /?), 3 + - • • 2a,, (J x), (S /?),+... > O
('^ S)•> = an x)-2 ~ aj2 $ "
(s 'Os = an {Sx)a 3 + > °
Verder wordt A £ =
an *)i + x)s + • • j2 + 2ai2 x)i + {^x)i + • • • ) X
@)i + + • • • } + 
°f ^ S = S)l + ?)o + K)s + 2all xl ^ x-2 + • • ■} + • • • zoodat uit (3-|- (3 -f- «5)3 ^ no& n'e^ direct behoeft te volgen A £ _ü> O.
Nu vallen bij een evenwichtsstand altijd de eerste variaties weg en dus zou de aanmerking van DuiIF.M op Guvou's methode zeer gegrond zijn, als niet een andere bijzonderheid Guvou's methode volkomen streng maakte. Het steeds rijzen van 't zwaartepunt bij de bovengenoemde ie en 2e partiëele variaties geschiedt namelijk onafhankelijk van de evenwichtsvoorwaarde omtrent de normaal. Wij vergelijken nu een evenwichtsstand A, voldoende aan de voorwaarden van Guvou, met een anderen naburigen stand B, waarbij ie het lichaam verschoven en gedraaid is, 2e het vloeistofniveau verstoord is en gaan daarbij van stand B uit. Maken we het vloeistofoppervlak horizontaal, dan zal het gemeenschappelijk zwaartepunt van vloeistof en lichaam dalen (volgens APPELL, art. 660, pag. 211.) Dompelen we vervolgens het lichaam zoover in of heffen



we 't zoover op, tot aan de wet van ArchimEDES voldaan is, dan zal eveneens het gemeenschappelijk zwaartepunt dalen (volgens API'ELL, art. 660, pag. 213). Het bewijs eischt volstrekt niet dat 't lichaam in evenwicht is. Brengen we nu het lichaam in den stand A terug, de voorwaarde van Arciiimedes voortdurend vervullende, dan zal volgens de bovengenoemde eigenschap van de evenwichtsvoonvaarde omtrent de normaal het gemeenschappelijk zwaartepunt wederom dalen. Derhalve zal in stand \ het zwaartepunt altijd lager zijn dan in een willekeurigen naburigen stand B, en is dus volgens het beginsel van lejeune-diriciilet het evenwicht verzekerd.
ALGEMEENE BESCHOUWINGEN OVER DE STABILITEIT VAN RECHTE HOMOGENE CYLINDERS, DIE MET HUNNE BESCHRIJVENDE LIJNEN EVENWIJDIG AAN HET VLOEISTOFOPPERVLAK DRIJVEN. VERBETERING DER DOOR HUIJGENS GEGEVEN VERHOUDING TUSSCHEN DE LENGTE EN GROOTSTE KOORDE DER LOODRECHTE DOORSNEDE, WELKE DE STABILITEIT VERZEKERT.
5. Onder de prijsopgaven van 1908 van 't Wiskundig Genootschap komt de volgende voor:
„HüYGENS zegt in zijn verhandeling „De iis qua; supernatant liquido'" een bewijs te bezitten, dat iedere homogeene rechte cilinder met overal convex grondvlak op elke zwaardere vloeistof stabiel zal kunnen drijven op zoodanige wijze, dat zijn beschrijvende lijnen een horizontale richting aannemen, mits de verhouding tusschen zijne lengte en de grootste afmeting van zijn grondvlak niet kleiner zij dan vijf tot drie.
Hij deelt het bewijs niet mee o.a. omdat hij de overtuiging mist, dat de bedoelde verhouding niet nog kleiner zou kunnen genomen worden zonder de stabiliteit in gevaar te brengen.
Men vraagt een onderzoek naar de door HüYGENS gezochte minimaalverhouding en naar de gedaante der cylinders, voor welke de stabiliteit bij deze minimaalverhouding nog juist verzekerd of juist verbroken kan zijn."



6. Ik wil mij nu met het eerste gedeelte dier prijsvraag bezighouden.
Laat in fig. i de kromme I'LQ het overal convexe grondvlak van den rechten cylinder zijn. Voor een bepaald
soortelijk gewicht ten opzichte van
de vloeistof (dat we c < ' stellen)
hebben we dus vlakken aan te brengen, die zoowel grondvlak als bovenvlak snijden en zoo het oppervlak (Z) te bepalen. In dit geval evenwel, waarbij dus de beschrijvende lijnen evenwijdig aan het vloeistof-oppervlak verondersteld worden, kunnen we de ligging der overeenkomstige hoofdkrommincs-
middelpunten van 't oppervlak (Z) bepalen, zonder het opp. (Z) te kennen. We passen dan slechts toe de eigenschap genoemd op pag. 4 onder § 3 in dit proefschrift. Liggen de gevonden middelpunten zoo, dat het zwaartepunt van den cylinder ligt tusschen het zwaartepunt van 't ondergedompelde gedeelte en het krommingsmiddelpunt, dat 't uiteinde van de kleinste kromtestraal is, dan zal een mogelijke evenwichtsstand ook een stabiele zijn.
Op 't opp. (Z) liggen vooreerst de punten, die ik verkrijg door de zwaartepunten te bepalen van de segmenten van de loodrechte doorsnede, als elk segment gelijk is aan c X de oppervlakte van t grondvlak en de loodrechte doorsnede genomen is op de helft van de hoogte van den cylinder.
Laat P L Q zoo n segment zijn en R zijn zwaartepunt. De meetkundige plaats dezer zwaartepunten zal een gesloten kromme zijn, convex in alle punten, omdat het oppervlak (Z) dit is. Verder zal het zwaartepunt Z van den cylinder binnen deze kromme liggen. Nu zal er onder de vectoren van Z naar de punten der meetkundige plaats minstens één minimaal zijn: immers van een bepaalde vector uitgaande keeren we, omdat de kromme gesloten is, tot de zelfde waarde terug. Laat in fig. 1 ZR die minimale vector ziin.



Nu stemt met een minimalen vector een minimale normaal overeen, waaruit weder volgt dat het uiteinde van de kromtestraal van de normaal in R verder ligt op de normaal dan Z, tenzij het, als grensgeval, met Z samenvalt. Dit toch is gemakkelijk aan te toonen. Willen we kortste afstanden zoeken van een punt tot de punten van een kromme, dan is 't a priori duidelijk dat we die te zoeken hebben onder de normalen van dat punt aan de kromme. Laat in de figuur RZ een normaal zijn, denken we de IJ-as langs RZ en een X-as langs de raaklijn in R. Als RZ = a, dan is de afstand van Z tot een punt van de kromme : x2 -|- (y—a)2 — a2 -(+ x2—2ay -|- y~. Is y = f (x) de vergelijking van de meetkundige plaats der zwaartepunten en zijn x en y oneindig kleine grootheden, dan vinden we voor dien afstand (onder verwaarloozing van oneindig kleinen van hoogere orde dan de 2'lc) a2 -f" x3 — ax2 f* (o). Is p de kromtestraal van y
= f (x) in het punt R, dan kunnen we schrijven: p = | j-
dus a2 x2 — ax2 f" (o) = a- -(- x2 (i — a).
Is a < p, dan is a werkelijk een minimum, a ]> p nimmer. Keeren we tot de figuur terug. Laat PO = p nu de koorde zijn, liggende in 't niveauvlak. Dit is een rechthoek met de zijden p en 1 (= lengte van den cylinder). De hoofdtraagheidsmomenten van dezen rechthoek zijn dus:
pl3 en ' p3l.
12 12 r
De inhoud van het ondergedompelde gedeelte is il, als i de oppervlakte van 't afgesneden segment is. De beide hoofdkromtestralen, in het punt R van 't opp. (Z) zijn dus:
1 n i P12 1 -> -i P3
,c, = — pl' : il = .en p, = p''l : il = ..
12 121 " 12 121
Nu is p3 de kromtestraal van de in de figuur geteekende meetkundige plaats. In de onderstelling, dat RZ de minimale vector is, hebben we derhalve
> RZ.
Is nu pl > p., of 1 > p,dan zijn we verzekerd van stabiliteit.



De verhouding 5 : 3 van HuiJGENS is dus te groot genomen, zij mag vervangen worden door de eenheid. Immers het ongunstigste geval is dat, waarin I'Q, de bij de minimale waarde van RZ behoorende niveaudoorsnede, juist samenvalt met de grootste afmeting der loodrechte doorsnede. Zoo we dan 1 > die grootste afmeting nemen, zal 1 stellig grooter zijn dan alle overige te trekken koorden, en zullen we dus stabiliteit hebben voor alle soortelijke
gewichten tusschen : en , dus ooktusschen ' en 1. Immers
2 2
mogen we in dit laatste geval in plaats van op het ondergedompelde gedeelte op het bovendrijvende gaan fetten. We weten derhalve, dat de gezochte verhouding niet grooter dan 1 zijn kan.
Is nu in fig. 1 ^ — R S, dan kunnen we 1 nog kleiner kiezen zonder de stabiliteit in gevaar te brengen, mits slechts 't uiteinde van px ligt tusschen Z en S. Zulk eene verkleining zou dan echter mogelijk moeten zijn voor alle soortelijke gewichten bij alle convexe loodrechte doorsneden. Nemen we echter voor het convexe grondvlak van den cylindereen cirkel. De meetkundige plaats der zwaartepunten van de afgesneden segmenten zijn dan cirkels concentrisch met den gegeven cirkel m. a. w., om de notatie van de vorige figuur te behouden,
* = RZ.
Is nu 1 = p = 2 X de straal van de loodrechte doorsnede, dan zal voor £ = —
2
'ci = = R 2 zijn; derhalve kan 1 : p hier niet verkleind worden zonder te voeren tot < pt = R Z.
We leeren hier derhalve den rechten cirkelcylinder bij
£ = als een grensgeval kennen, zoodat het bewijs geleverd is, dat de gezochte minimaalverhouding 1 is.
7. Onderzocht moet 1111 worden, of er nog andere grensgevallen zijn bij die minimale verhouding. Laat in fig. 2 OA = p de grootste koorde zijn, dan is gemakkelijk aan te



toonen, dat elke kromme door O en A gaande en geheel binnen den cirkel met p als middellijn blijvende een stabielen stand, dus geen grensgeval, aangeeft voor 1 = p, zoo ze een
mogelijken evenwichtsstand aangeeft. Laat namelijk O I'AQ zoo'n kromme zijn, M en N de zwaartepunten van de door de grootste koorde afgesneden gedeelten. Vooraf dient opgemerkt, dat als M N niet loodrecht op O A staat, de stabiliteit stellig verzekerd zal zijn bij de verhouding i voor alle
waarden van s, want p kan dan nooit in het vloeistofniveau komen te liggen en een koorde < p behoort dus bij de minimale vector. We moeten dus veronderstellen dat M N loodrecht staat op O A.
In fig. 2 is dan: /»
I P
yi" dx
2J0
M R = .
-
p3 fp
De lengte van de kromtestraal is ., als I y, dx = & 121 Jo
i = inh. OPA.
M R is dus respectievelijk grooter, gelijk aan of kleiner
I fp
dan de kromstraal naarmate ^ I y^dx resp., gr., gelijk aan
of kl. dan 1 p3 is. Nu weten we, dat voor den cirkel 12
fP i fP
Jo y,2 dx = ^ p3 en daar de integraalJq y,2 dx voor de
kromme OPA stellig kleiner is dan die voor den cirkel,



daar de elementen van de integraal alle positief zijn en ze voor den cirkel alle grooter zijn dan voor de kromme, geldt voor de kromme OPA:
J'o y>': d* < 6 p"-
Hetzelfde geldt voor de kromme OQA, zoodat de beide kromtestralen resp. in M en N samen grooter zijn dan M N. Op M N nu ligt het zwaartepunt van 't vlak van O P A Q. Dit zwaartepunt verdeelt nu echter M N op zoodanige wijze, dat de beide stukken zich invers verhouden als de inhouden OPA en OQA; maar juist in diezelfde reden staan de kromtestralen tot elkander, terwijl de som grooter is dan M N. Daaruit volgt het gestelde onmiddellijk. Binnen den cirkel komt dus geen grensgeval voor. Evenmin geheel buiten den cirkel, want dan zou p ophouden grootste koorde te zijn. Voor het geval echter de kromme O P A Q ten deele binnen, ten deele buiten den cirkel ligt, zonder dat de grootste afmeting O A overtreft, is het mij niet gelukt de stabiliteit aan te toonen. De vraag omtrent de grensgevallen blijft dus gedeeltelijk onopgelost.



EERSTE HOOFDSTUK.
Evenwicht en stabiliteit van drijvende homogeene rechthoekige parallelopipeda. Algemeene beschouwingen en eerste geval.
literatuur.
8. Iti dc volgende bladzijden zal een onderzoek worden ingesteld naar de standen, waarin een homogeen rechthoekig parallelopipedum stabiel drijven kan.
Een volledig onderzoek voor het geval, dat 't parallelopipedum lang genoeg is, om met zijn lengteas evenwijdig aan de vloeistofoppervlakte te drijven, is ingesteldj door Prof. Dr. D. J. KORTEWKG (Nieuw Archief voor Wiskunde, Tweede reeks, Achtste deel, 1907, p. 1—25).
Minder volledige oplossingen voor dit bijzonder geval waren reeds gegeven door:
Hl'VGENS (De iis quae liquido supernatant) en Badon Ghyben (Tijdschrift voor de wis- en natuurkundige wetenschappen, 3c deel, 1850).
Verder gaf lobatto eenige op- en aanmerkingen ten beste naar aanleiding van dc oplossing van B. Ghyben. Ook had Euler in de reeds genoemde „Scientia navalis" iets over dezelfde kwestie gegeven.
Overigens treft men geen pogingen voor een volledige oplossing aan. Zelfs was mij bij de samenstelling van dit geschrift voor den kubus geen volledig onderzoek naar de stabiliteit der verschillende mogelijke standen bekend, zie o.a. Walton (Problems in Hydrostatica), Cambridge Deightons, 1847, p. 49—59. 88—94.



JUI.IEN (Problcmes dc mécanique), Paris, Gauthier-Villars, 1S67, T. 2, p. 396—438.
Zeer onlangs echter vond ik de uitkomsten van zoodanig onderzoek medegedeeld in de „Mathematical gazette", vol. 4, Dec. 1908, p. 388, Mathematical note, No 285. Deze uitkomsten zijn evenwel niet volledig. (Zie § 60 van dit proefschrift).
DE GRAFISCHE VOORSTELLING.
g. Het was aanvankelijk mijne bedoeling in dit proefschrift een volledige oplossing te geven; de berekeningen worden evenwel bij de moeilijkere gevallen zoo ingewikkeld, dat ik daar wel tot vereenvoudigende onderstellingen gedwongen werd. Op 't voetspoor van Prof. Korteweg's verhandeling zal ik mij ook van een grafische voorstelling bedienen. Stellen wc toch de lengten der ribben van 't parallelopipedum voor door 1, a en b en wel zoó, dat 1 > a > b, dan zullen de
ci b
even wichtsstanden bepaald worden door = §> = >3 cn
1 ' a
£ (= het soortelijk gewicht van het lichaam ten opzichte van de vloeistof, waarop het drijft).
Kiezen we nu een rechthoekig coordinaten stelsel, waarin t-, r, en c tot coordinaten gekozen zijn, dan zal elk punt in dit stelsel een parallelopipedum van bepaalden vorm aangeven en tevens i bepalen. Daar nu door de veronderstellingen £, r, en ; alleen tusschen o en 1 gelegen zijn, zullen we dus de volledige oplossing in een kubus kunnen afbeelden. Deze kubus zal door oppervlakken in hokjes verdeeld worden en met elk dier hokjes komen één of meer nog nader te bepalen stabiele evenwichtsstandcn overeen. Evenwel wordt ook nog een andere grafische voorstelling gebruikt, waarop nader de aandacht zal gevestigd worden.
DE VERSCHILLENDE MOGELIJKE STANDEN VAN EEN DRIJVEND PARALLELOPIPEDUM.
10. Uit de algemeene beschouwingen is gebleken, dat de stabiliteitscondities konden worden nagegaan aan 't oppervlak (Z), en dat we, als het lichaam homogeen was, de keus



hadden dit opp. voor 't ondergedompelde of voor 't bovendrijvende gedeelte te onderzoeken. Dit wil dus zeggen dat
we de keus hebben voor een behandeling, waarbij £ > —-
of waarbij ï < ■ is verondersteld. We kiezen het eerste,
onulat daarbij sommige standen zich gemakkellijker laten voorstellen, al is 't overigens onverschillig.
Na deze afspraak is dan de eerste mogelijke stand die, waarbij slechts één hoekpunt boven de vloeistof uitsteekt. Dc niveaudoorsnede is dan een driehoek.
Als tweede komt nu die, waarbij twee hoekpunten boven de vloeistof uitsteken. Deze twee punten zullen nooit punten
van een hoofddiagonaal zijn, omdat s. > ' , noch van een
diagonaal van een der zijvlakken, omdat alsdan ook een derde hoekpunt van dit zijvlak zich boven dc vloeistof zou bevinden. De hoekpunten zijn dus aangelegen en de niveaudoorsnede is een trapezium, soms een rechthoek.
Als derde komt die, waarbij 3 hoekpunten boven de vloeistof verschijnen. Van 't vorige geval uitgaande, waarbij dus reeds 2 hoekpunten zichtbaar waren, zien we direct in dat, de drie punten in één zijvlak zijn gelegen, want de overstaande hoekpunten zijn uitgesloten. De niveaudoorsnede blijkt nu een vijfhoek te zijn.
Als vierde mogelijke stand komt dan die, waarbij 4 hoekpunten zichtbaar zijn. Van 't geval, dat 3 hoekpunten zichtbaar zijn uitgaande, kunnen we dan op twee manieren de vierde stand bereiken: ic door als 4de punt te nemen het punt, dat met de drie overige in eenzelfde zijvlak ligt; de niveaudoorsnede is dan een parallelogram, soms een rechthoek; 2c door 't 4de punt 7.00 te nemen, dat we een hoekpunt met zijn 3 aanliggende hoekpunten krijgen; de niveaudoorsnede is dan een zeshoek.
Verdere standen hebben we niet te onderzoeken. Vijf hoekpunten kunnen toch niet boven de vloeistof uitsteken
als £ > —.
2



11. Bij de behandeling van den eersten stand zullen we, om gemakkelijker eenige algemeene beschouwingen aan 't behandelde vast te knoopen, 't ondergedompelde en 't
bovendrijvende gedeelte verwisselen. Hierbij wordt dus c <~
verondersteld. De niveaudoorsnede is een driehoek, en cr steken 5 hoekpunten boven de vloeistof uit.
12. Hoewel de bovenaangegeven volgorde blijkbaar de meest stelselmatige bij de behandeling zou zijn, zullen we evenwel een andere volgorde kiezen naar gelang van opklimmende moeilijkheden. De volgende gevallen zullen dan worden nagegaan:
ie geval: Vier punten steken boven de vloeistof uit, terwijl de niveaudoorsnede een parallelogr. of rechthoek is. 2c geval: Eén hoekpunt steekt boven de vloeistof uit (zie
evenwel de vorige paragraaf).
3c geval: Twee hoekpunten steken boven de vloeistof uit.
De niveaudoorsnede is een trapezium, soms rechth. 4c geval: Drie hoekpunten steken boven de vloeistof uit.
De niveaudoorsnede is een vijfhoek.
5c geval: Vier hoekpunten steken boven de vloeistof uit. Dc niveaudoorsnede is een zeshoek. De verschillende gevallen zijn in onderstaand schetsje afgebeeld.



VOLLEDIGE OPLOSSING VAN HET EERSTE GEVAL. 13. Het (/.) oppervlak.
I11 fig. 3 is de balk geteekend. K L M N zal 't niveauvlak zijn; KLMN— O AC B t ondergedompelde gedeelte (s > ).
De coordinatenassen leggen we langs de ribben niet O als oorsprong, 't Oppervlak (Z) moet nu bepaald worden.
We stellen: O T = r,, O A = r„, O B = r3, O K = u,
A L = v en E P = w. De eigenschappen van het afgeknot parallelopipedum leeren, dat bij een gegeven soortelijk gewicht 1, het niveauvlak moet gaan door een punt 1', zoodat 1' E = w = c r,. De ligging van 1' is in de figuur voldoende aangewezen.
Er zijn verschillende wegen om 't zwaartepunt van het ondergedompelde gedeelte te vinden, uitgedrukt in u, v en w. Door verdecling in prisma's en pyramiden vinden we gemakkelijk :
r, (6 w —11 -(- v)
12 vv
rs (8 w — u — v)
^ ~ 12 w
8 w2 -I- u3 + v2 — 2 u w — 2 v w
z — 
I 2 w
Brengen we de oorsprong van 't coördinatenstelsel naar over, dan vinden we:
_ (v — ») ra
12 w
(2 w — u — v) r,
y = -! —
12 w



8w + U- + V" 2 U W 2 V W
z = 
12 W
Elimineeren we uit deze betrekkingen u en v, en brengen we de oorsprong over naar 't midden van E1', dan wordt de vergelijking van 't oppervlak (Z):
z 6 x2 6 y2 w ~~ r„2 r32
Hierin moet w door ; r, vervangen worden. Het opp. {'/.)
is dus een elliptische paraboloïde. De hoofdkromtestralen in
r o r 2
den top zijn —— en .
12 w 12 w
DE OXMOGELIJKHEID DER VOLKOMEN' SCHEEVE STANDEN, (GEEN DER RIBBEN EVENWIJDIG HET NIVEAU) BEHALVE VOOR 'T GEVAL VAN TWEE GELIJKE RIBBEN.
14. Om nu de mogelijke standen te leeren kennen, moeten we uit 't zwaartepunt van de balk, j waarvan de
coordinaten zijn o, o, ' (rt — w) J normalen neerlaten op 't oppervlak (Z).
De vergelijkingen van een normaal zijn:
12 VV X
(X - x) + " , (Z - z) = o 2
12 W V
(Y - y) + . y (Z - Z) = o
3
Zal deze normaal door 't zwaartepunt van de balk gaan,
<
dan moet:
12 w x ( I )
— x + —o— [ 2 (' — ') ri — z f = o
, 12 w y l 1 , ^ \
~ y H | (1 — «) rj — z j = o
Derhalve vinden we voor de voetpuntcn der normalen :
(1) x = o y = o
1 , v r.,2
(2) x = o z — (1 — c) r, '
2 12 W
k



• o
/ * 1 / \ r°" (3) y = ° z = — (1 — ê) r. 
2 12 W
In 't algemeen zullen we dus 5 normalen krijgen, eén in den top en de overige in de hoofdvlakken der parabaloide. Hieruit volgt onmiddellijk, dat scheeve standen, waarbij het niveauvlak van alle vier de ribben ongelijke stukken afsnijdt, niet kunnen voorkomen. Een uitzonderingsgeval is evenwel dat, waarbij r2 = r8. Het opp. (Z) is dan een omwentelingsparaboloide. Buiten de normaal in den top, liggen dan de voetpunten der normalen, zoo ze er zijn, op een cirkel en het bijbehoorende evenwicht wordt onverschillig voor eene wenteling 0111 de as der paraboloide, d. i. om de lijn PE.
KARAKTER DER NORMALEN.
15. In de vorige paragraaf bleek, dat in den top de normaal altijd een mogelijke stand aangeeft. De hoofdkromte-
r.3 r„2
stralen der paraboloide in den top zijn ;f en —-—, de
12 w 12 w
afstand van 't zwaartepunt van de balk tot den top der parabaloide is ~ (r, — w). Zal de normaal in den top dus
een stabiele stand aanwijzen, dan moet ^ (ri — w) kleiner
zijn dan de kleinste der hoofdkromtestralen.
We willen nu de ligging der principale krommingsmiddelpunten op de overige normalen nagaan. Laten in
ng. 4 L t en L [J normalen zijn, respectievelijk in elk der hoofdvlakken der paraboloide gelegen. De doorsneden A I' B en C D Q zijn ellipsen waarvan AP en C D respectievelijk de halve groote assen mogen zijn. Een der kromtestralen in het punt P is kromtestraal van de parabool O P. De ontwondene der normalen eener parabool is bekend en uit hare gedaante



zien we reeds onmiddellijk, dat deze kromtestraal altijd grooter is dan Z I\ Als nu P R de raaklijn is aan de doorsnede H P in het punt P, dan zal de kromtestraal van de doorsnede van 't vlak R P Z met de paraboloide ons de tweede hoofdkromtestraal doen kennen. Nu is A P de halve groote as der ellips B A P, dus de kromtestraal der ellips in het punt P is kleiner dan A P, zoodat de stelling van MEUNIER doet zien, dat de gezochte hoofdkromtestraal in P kleiner is dan Z P m. a. w. Z P stelt geen ware kortste afstand voor.
Gaan we dezelfde redeneering toepassen op de normaal Z O, (C Q is de kleine as van de ellips QCD), dan blijkt direct, dat Z Q altijd een ware kortste afstand is.
Denken we ons nu in fig. 4 in de hoofdvlakken de ontwondenen der parabolen geteekend, dan blijkt gemakkelijk, dat wanneer we het punt Z van O uit langs de z-as bewegen, we achtereenvolgens vinden :
1 normaal, zoolang O Z kleiner is dan de kleinste kromtestraal in O, terwijl ze een ware kortste afstand aanwijst;
3 normalen, zoolang Z ligt tusschen de uiteinden der hoofdkromtestralen in O. De normaal in den top verliest daarbij 't karakter van kortsten afstand, dat door de beide andere, liggende in 't vlak Z O Q wordt overgenomen ;
5 normalen, wanneer Z O grooter is dan de grootste hoofdkromtestraal in O. De beide nieuw toegetreden normalen zijn evenwel geen ware kortste afstanden.
Is de paraboloide een omwentelings-paraboloïde, dan hebben wc of 1 normaal (in den top), die een kortste afstand is of 1 normaal in den top en andere, wier voetpunten een cirkel vormen en dan alle een waren kortsten afstand aangeven.
16. Hei geval = /.
We keeren nu tot het parallelopipedum terug, waarvan we de ribben 1, a en b noemden, waarbij 1 > a > b en stellen vooreerst in de verkregen uitkomsten r, = 1, r3 = a en rs = b. De grootste ribben worden dus door het niveauvlak gesneden.



De kromtestralen in den top van het opp. (Z) worden , tl ~ b
1 12 w e" 12 w' a^s':an<^ van ^et zwaartepunt van
het parallelopipedum tot den top — (1 — w).
Het lichaam zal dus met zijn langste ribbe loodrecht op het vloeistofoppervlak drijven zoolang
L (i w) < _^L
2 12 W
Vervangen we hierin w door £ 1 en b door § r, 1, dan wordt de voorwaarde 6 £ (i — z) < r,-.
Op plaat I, Fig. i is nu de kubus geteekend niet ribbe = i, waarlangs de §, r, en £, respectievelijk langs Ot A, , O, 15, en Oj O , worden afgezet. Construeeren we nu het oppervlak 6 £ (i —s) ~ '1', voor zoover dit binnen den kubus valt
en voorzoover £ > 1 is. We vinden zoo het blad O A D C.
2 '
waarbij B D = 1 — 1 |/ 3 = 0,211 
26
De voorwaarde wijst dan aan, dat de gezochte stand alleen kan voorkomen als het beeldpunt &, £ ligt in het gebied van den kubus tusschen het vlak O ABC en het gebogen oppervlak OADC.
Door verder het gebogen oppervlak Oj At Dt Q symmetrisch met OADC ten opzichte van het vlak £ = — te
2
teekenen, vinden we ook de standen, waarbij £ < 1 . Beide
gebieden worden in den kubus aangewezen door het teeken (77)
17. Is de voorwaarde ' (1 — w) < - niet meer 2 12 w
vervuld, dan vervalt de topnormaal als korste afstand. In 'i 15 is reeds gebleken, dat als mogelijke stabiele stand kan optreden, die, welke aangewezen wordt door een normaal in t zijvlak en waarvan 't voetpunt gegeven was door
7 _ 6 y '2 w b-
- 1 , * 1 bi
z - - < 1 — — 
2 I 2 W



Zal nu deze stand mogelijk worden, dan moet een viaK,
jaande door het punt o, O, ^ \v, evenwijdig aan 't raakvlak
lan de paraboloïde in 't voetpunt der normaal, van t paralelopipedum een afgeknot par. afsnijden.
Een raakvlak aan de paraboloïde heeft tot vergelijking
12 W X , 12 W V .rj v
(X - X) J + (Y - y) b2 ( z) = o
Voor ons geval zal dus de vergelijking van het niveauvlak zijn: i .v ^ Y — Z + D = o.
b" i Dit vlak moet gaan door 't punt o, o — w, dus D =
i . 12 vv y
w. De vergelijking van het niveauvlak is dus X
Y — Z + ' w = o.
' 2
Teekenen we nu in fig. 5 de Z Y doorsnede met de balk, dan moet, zooals uit de figuur blijkt, wil 't niveauvlak (voorgesteld in de fig. door AR) bruikbaar zijn /BAD < /CAD
Z w
2 1 W
of — < 
y 1 b
2
Dit wordt in verband met de 5". vergelijking met 't niveauvlak ' 36 w- y2 < b3 (1 — wY-. Om y te bepalen hadden we
z _ 6 yw ~ b3
z = t (l - £) 1 ~
Dit invullende vinden we
2 (1 — e) (4 c — 1) l3 < b3 of 2 (1 — s) (4 e — 1) < r'~
1
In den kubus van Plaat I, Fig. 1 is weer voor £ > ^



geteekend het oppervlak 2 (i—s) (4;— 1) = r,2. Het wordt voorgesteld door het oppervlak O A E C. B E = 1
De stand, waarbij de grootste ribbe door 't vloeistofoppervlak gesneden wordt en waarbij van de geheel ondergedompelde ribben de grootste evenwijdig aan de vloeistofspiegel loopen, komt dus voor, als het beeldpunt ligt tusschen de gebogen vlakken O A C D en O A C E.
Vervangen we in de gevonden voorwaarde £ door 1 — £,
J
dan krijgen we de voorwaarde voor £ < .
Ze wordt 6 c — 8 £2 < §- ri~- Het beeldpunt moet vallen tusschen de bladen Oj A, Cj Dj en O, At C, E,. De stand
in den kubus is aangewezen door (2 1)
18. Zooals wij zagen, is het opp. (Z), als a = b is, een omwentelingsparaboloïde. De topnormaal geeft niets nieuws. Voor de andere normalen hebben we de bijzonderheid, dat 't eene principale kromniingsmiddelpunt in de as der paraboloïde ligt. We hebben dan hier een grensgeval tusschen stabiliteit en labiliteit. Evenwel zal er toch stabiliteit zijn, wat direct volgt uit de ligging van het andere hoofdkrommingsmiddelpunt. Het parallelopipeduni zal zooals wij reeds opgemerkt hebben, alsdan in onverschillig evenwicht verkeeren ten opzichte van een wenteling om zijn as. Het is dus het eenige geval, waarbij standen voorkomen van zoodanigen aard dat geen der ribben met den vloeistofspiegel evenwijdig is en vier punten boven dien spiegel uitsteken. Het beeldpunt moet liggen op 't vlak r, = 1 van den kubus in het gedeelte C D E D.
ig. Het geval i\ — a.
De ribbe a, de middelste in grootte, wordt dus door 't vloeistofoppervlak gesneden. Verder stellen we r2 = 1 en r3 = b. De voorwaarde voor 't optreden van den stand, waarbij a loodrecht op 't vloeistofniveau staat, wordt dan:



i , b2
(a — sa) < 
2 ' 12 a c
of 6 c (i — c) < rr.
In den kubus is geteekend het cylinderoppervlak 6 s (i — s) = r". De kromme O G in 't r,; vlak van den kubus is richtkromme, de beschrijvende rechte is evenwijdig aan de £-as. C G = RD. Het blijkt, dat de stand gezocht moet worden in 't cylindervormige gebied, waarvan OGC grondvlak is.
Hadden we s < — genomen, dan hadden we een gebied
gevonden, dat in den kubus aangewezen wordt door dezelfde
letters, maar met indices. In de teekening wijst (ia) de
stand aan.
20. Als voorwaarde voor het optreden van den stand, waarbij a helt ten opzichte van het vloeistofniveau, vinden we nu :
2 (i — c) (4 2—1) < 'i~, als c > i
en dus: 6 c — 8c! < r,-, als i < -
2
In het c y;-vlak van den kubus zijn geteekend de krommen 2 (i — s) (4 c — i) = t,- n.1. O H en 6 c — 8 c3 = r,- n.1. O, Hj. De stand waarbij a helt en de langste ribbe 1 evenwijdig is aan het vloeistofoppervlak, komt dus voor
(vooi c>^j als het beeldpunt ligt in het cylindervormige
gebied, waarvan O G II grondvlak is. Het gebied voor ; < 1
2
is evenals onder g 16 aangewezen. In de teekening wijst verder (2a) den stand aan.
21. Het geval rx — b.
W'e nemen r2 = l en r3 = a. De voorwaarde, waaronder dus b loodrecht op de vloeistofoppervlakte kan staan, wordt. 6 « (x-c) r,» < i.
In 't c /;-vlak is 6 ; (i —c) r? — i de vergelijking van



de kromme GUG,. SU=i— j ^ = 0,1835. Voorzoover
; > komt dus de stand voor in 't cylindervormige gebied, waarvan 't grondvlak is O C G U X O. Is ; dan is het
O <y
grondvlak O, C, G, U X O,. De stand is aangewezen door (ib). Zij is dus overal mogelijk behalve in de cylindervormige ruimte met G U G[ S G tot grondvlak.
22. Is aan bovengenoemde voorwaarde niet voldaan, dan zal de stand, waarbij b helt ten opzichte van de vloeistofspiegel cn 1 evenwijdig is aan het vloeistofniveau, kunnen optreden, mits voldaan is aan
2 (I — c) (4c— I) r* < I , als £ > ^
en dus aan
(6 c — 8 i-) r? < I , als £ > '.
I11 het c/;-vlak van den kubus zijn daartoe weer geteekend de krommen 2 (1 —s) (45-- 1) »r = 1 n.1. H L S, voorzoover
; > 1 en (6 s — 8 i-) vy — 1 n.1. H, Lj S voorzoover 1 < -.
1 8 5
De coordinaten van het punt L zijn 17 = J■ en c =
De stand, voor ï > 1 cn;< 1 samengenomen, komt dus 2 2
in het cylindervormige gebied voor, waarvan G U G[ H, L, SLMG het grondvlak is. De stand is aangewezen door (2b).
23. Resumé. Verklaring der grafische voorstelling.
In de eerste plaats dient opgemerkt te worden, dat de uitkomsten, verkregen in de voorafgaande § § 19, 20, 21 en 22 overeenkomen met die van Prof. KüRTEW'EG. (Zie Nieuw Archief voor Wiskunde, 2de Reeks, 8ste deel. 1907. blz. 13-16). Dit spreekt van zelf. We hebben hier alleen de onderstelling, dat een der ribben lang genoeg is om hiermee evenwijdig aan den vloeistofspiegel te drijven, laten vallen en hebben dus in het voorafgaande slechts toegevoegd de volledige



stabiliteits-condities voor de wijzen van drijven, aangeduid als het eerste geval op blz. 16 van dit proefschrift.
In de volledige grafische voorstelling stellen nu de
teekens (il) (2I), (ia) (2a), (1 b) (2b) de verschillende manieren
van drijven voor. Op de plaat zijn de laatste 4 teekens aangegeven in het vlak A B B, A,, omdat de verschillende gebieden, die ze voorstellen, alle gedeelten van cylinders zijn. Hieronder volgen nu de vergelijkingen der gebogen oppervlakken, die de verschillende gebieden begrenzen. O C D A en C»! C, Dj A, : 6c (1 — c) = $2 >f\
O C E A : 2 (1 — s) (4 c — 1) = §2 ri2.
Oj E, Ai : 6 ï — 8 s2 = $2 r,2.
O G en O, G, : 6 s (1 — s) = r,s.
OH : 2 (1 — i) (4c — 1) = >r.
O, H, :6c — 8 ;2 = r,2.
GUG, : 6« (1 — e) >»" = 1.
HLS : 2 (1 — c) (4 c — 1) >73 = 1.
Hj Lj S : (6 c — 8 c"8) ij2 = 1.
De kubus is dus door de verschillende gebogen oppervlakken in hokjes verdeeld; in elk der hokjes komen een of meer standen voor, voldoende door de verschillende teekens aangewezen. Daarbij valt direct op, dat 't beeldpunt niet liggen kan in het cylindervormige gebied, waarvan HLS Lj H, het grondvlak is.
Verder blijkt dat de standen (1 1) en (ia) alleen kunnen
voorkomen, of voor betrekkelijk kleine soortelijke gewichten
of voor s. g., niet zeer veel van één verschillend. Stand (ib)
kan bij alle s. g. voorkomen; echter mogen voor waarden van c tusschen 0,211 .. en 0,788.. de waarden van b en a niet te dicht tot elkander naderen, m. a. w. de doorsnede loodrecht op / mag niet te veel op een vierkant gelijken. Voor bepaalde waarden van § , en s blijkt, dat de 3 standen (1 1), (ia), (ib) te gelijk kunnen voorkomen.
Ten slotte merken we nog op, dat de standen voor den



kubus afgebeeld worden op de lijn BB,. Van B tot D d. i. voor een s. g. van tot I —0,211 . . kan een ribbe loodrecht op 't vloeistofniveau staan. Na 't passeeren van D gaat de kubus kantelen en krijgen we den anderen stand voor s. g.
van 1—0,211.. tot ^, waarbij trouwens de opmerking van 4-
par. 18 geldt.
Bij 't passeeren van E zullen andere, nog te onderzoeken evenwichtsstanden moeten optreden.



TWEEDE HOOFDSTUK.
Algemeens beschouwingen omtrent de moeilijkere gevallen. Tweede Geval. Drijven met verlengde wanden.
24. Een algemecne methode ter bepaling van de evenïvichtsstanden met beoordeeling der stabiliteit.
Alvorens tot behandeling der moeilijkere gevallen over te gaan, zullen we eerst eene algemeene methode voor 't onderzoek geven, die we zooveel mogelijk volgen zullen.
We plaatsen als in fig. 3 het parallelopipedum 700, dat 3 ribben samenvallen met de coordinatenassen en noemen de ribben 2 1, 2 a en 2 b. Verder noemen we stukken, die 't niveauvlak of 't verlengde ervan van de x-, y- en z-as afsnijden resp. u, v, en w, welke stukken dus in 't volgende steeds positief te nemen zijn. Eindelijk noemen we de coördinaten van het partieele zwaartepunt (d. i. van 't ondergedompelde of van 't bovendrijvende gedeelte) x, y en z, welke grootheden dus bekende functies van u, v en w zijn.
Daar 't soortelijk gewicht s gegeven wordt verondersteld, is de inhoud van't ondergedompelde of bovendrijvende gedeelte bekend, zoodat tusschen 11, \ en w een betrekking bestaat: (1) . . . . F (u, v, w) = o
Nu is x, y, z een punt van 't ten opzichte van den oorsprong steeds convexe opp. (Z)*); de vergelijking van 't
*) Zie pagina 3.



cpp. (Z) is dus te bepalen door eliminatie van u, v en \v tusschen (i) en de 3 vergelijkingen, die x, y, z in u, v, w uitdrukken.
Verder moet de normaal in een punt (x. y, z) loodrecht staan op 't niveauvlak (g 2). Hare vergelijking wordt dus: u (X — x) = v (Y — y) = w (Z — z).
Deze normaal moet door 't zwaartepunt a. b. 1 van de balk gaan, waaruit als evenwichtsvoorwaarde volgt:
(2) ... . u (a — x) = v (b — y) = w (1 — z) = 5-,
waarin dus t bekend is, als de evenwichtsstand berekend is. Om nu de stabiliteit te kunnen beoordeelen, is de kennis van de ligging der hoofdkrommingsmiddelpunten noodzakelijk.
Op elke normaal liggen twee dier punten. Samen vormen ze een oppervlak, dat we voortaan opp. (M) zullen noemen. Om van dit opp. (M) de vergelijking te bepalen, merken we op, dat in een punt van (M) twee naburige normalen van het opp. (Z) elkaar snijden. Laten nu §, r, en £ de coördinaten zijn van het met een willekeurig punt x, y, z van (Z) overeenstemmende punt van (M). Vooreerst hebben we dan :
(3) • ■ • • u (ö — x) = v (r,—y) = w (£— z) = S,
waarbij S ter vergemakkelijking wordt ingevoerd.
N11 moet ook de normaal in een der punten x-f-dx,
y + dy, z -(- d z van opp. (Z) door 't punt §> r„ £ gaan.
Voeren we dit in (3) in, hierbij in het oog houdende, dat
x, y en z functies van u, v en w zijn, dan krijgen we:
/-. ^ x\ j ^x <5 x _
[~ — x — u ) d u — u dv — u dw — dS=o
« u S v S w
-v'5ydu+(ij-y-v)'|ydv -v'!ydw-dS=o
« U r) V rï W
^ 7- , % Z ri Z
— w — d u — w d v -|- (c — z — w „ ) d w — dS=o
3 u Sv 1 rJ\V
Nu lag x + dx, y -f dy, z + d z, behoorende dus
bij de parameters u -f- d u, v -f- d v, w -f- d w, op 't opp.
(Z), zoodat we nog de betrekking hebben:
'1F ^ 1 ^ F , , J F ,
»„ du-(- dv + — d w = o. ') u o u S w
Elimineeren we uit de laatste vier vergelijkingen d u,



d v, dw en d S, als we eerst nog ingevoerd hebben § — x —
,ïj — y = - en I; — z — , dan vinden we: u v w
c S x „ S X „ S x
S — UI- s — U" V - u" 5.„ 11
S 11 S V <5 VV
, ^ y c* ^ y o ^ y
"^Su Tv -V"5w V
(4) , ïz , Sz „Sz ~°
w'Ju -WT» s_w iw w
S F S F S F
s u s v s w
Schrijven we de eerste rij der determinant aldus:
„ S x , x , Jx
S—u- o — u~ o — u- u,
S U JV 3 W
en eveneens de overige rijen, dan kunnen we daarna de determinant vervangen door de som van 8 andere, die onmiddellijk de determinant in den volgenden vorm brengt:
S X S Z
b' U — Uj— I
3 U 3 V
co / ^F , SF , SF\ , c 3 Sy Sy
s" u s hv; \- W - + S £ u V V U i
\ S II Jv S W/ 1 S U ri v
SF SF
J x 5x Jx Jw J v
u V— u V u V 1
i U 5 V S W
S v S y J y vvv I
Su J v ïw waarbij ü wijst op
— u vw v *. *. =o, i-u
J z J z S z een cyclische ver-
w „ w _ w v— I ,.
f> u ri u dw wisseling van u, v
SF SF SF en w en tegelijk van
S u S v Sw x, y en z.
Het blijkt dus, dat we een vierkantsvergelijking krijgen, die we kunnen schrijven in den vorm
(6) S3 — | S + x = o
Uit de eigenschappen van de opp. (M) en (Z) weten we, dat (6) stellig twee positieve wortels zal hebben, overeenkomende met de beide punten van het opp. (M). Nu is de



stabiliteitsvoorwaarde, dat 't zwaartepunt van dc balk ligt tusschcn x, y en z van 't opp. (Z) en het dichtstbijgelegen punt §, r, en £ op de normaal in x, y, z. Uit de vergelijking u (a — x) = v (b — y) = w (1 — z) = t u (§ — x) = v (r, — y) = w (s — z) = S waarin x, y en z 't voetpunt van een normaal, die een mogelijke evenwichtsstand aanwijst en §, rt, £ een krommingsmiddelpunt op die normaal voorstelt, volgt dan, omdat a < £■» enz., dat rr kleiner moet zijn dan de kleinste wortel der vierkantsvergelijking in S, welke voorwaarde we ook zoo kunnen uitdrukken, dat <r kleiner moet zijn dan de halve som der wortels van vergel. (6) en dat r het eerste lid van (6) positief moet maken.
Als stabiliteitsvoorwaarden vinden we dus:
(7) o- < \ 1>
(8) t~ — 'Jj t -f- o
25. Bepaling van 't opp. (AI).
Uit de vergelijkingen & = x + , rj = y -}- -—, =
— z -(- —— moeten met behulp van (1), (6) en de bekende
betrekkingen van x, y en z met u, v, w, de grootheden x, y, z, u, v, w en S geëlimineerd worden.
Wil men een parametervoorstelling houden, zoo kan men of x, y en z of u, v en w elimineeren.
26. Meetkundige beschouwingen.
Bij de behandeling der volgende gevallen zal het blijken, dat de berekening der evenwichtsstanden zeer lastig wordt. De coordinaten van 't partiëele zwaartepunt leeren we kennen als functies van u, v en w, die, behoudens een uitzondering geen eliminatie met behulp van (1) toelaten, waardoor de behandeling der upp. (Z) en (M) gemakkelijker wordt. Evenwel zal het blijken, dat de gedaante van 't opp. (M) ons veroorlooft heel wat van de evenwichtsstanden te zeggen, al zullen we nergens, zooals bij de behandeling van 't eerste



geval, 't aantal en de voetpuntcn der normalen uit 't zwaartepunt van de balk aan't opp. (Z) geconstrueerd, zoo eenvoudig leeren kennen.
Zooals reeds gezegd is, is opp. (M) de meetkundige plaats der hoofdkrommingsmiddelpunten van 't opp. (Z). Denken we ons door eenig punt P van het opp. (Z) de twee kromtelijnen getrokken, dan vormen de normalen van (Z) in de punten dier kromtelijnen afwikkelbare regelvlakken, waarvan de keerkrommen dus op 't opp. (M) liggen. liet opp. (M) bestaat uit twee bladen en uit het vorige volgt reeds, dat elke normaal van (Z) de beide bladen van (M) raakt. Verder kunnen we nog zeggen, dat het opp. (M) de meetkundige plaats is der punten, waarvoor 2 naburige normalen van het opp. (Z) samenvallen. I'asseeren we dus het opp. (M) dan zullen wc 2 bestaanbare normalen meer of minder moeten krijgen, terwijl anders het aantal normalen, dat we uit twee punten aan het opp. (Z) kunnen col strueeren, hetzelfde is, als we van het eene punt uitgaande het andere kunnen bereiken zonder het opp. (M) te passeeren.
Hieruit volgt dus, dat we moeten trachten het aantal en de gedaante der hokjes te bepalen, waarin het opp. (M) de ruimte verdeelt. In elk hokje is dan 't aantal normalen standvastig. Dc gedaante der hokjes zal ons doen kennen hoe het punt, van waaruit de normalen zijn geconstrueerd, ligt ten opzichte der raakpunten van een normaal aan de beide bladen van (M). Het spreekt dan eveneens van zelf, dat deze ligging weer voor alle punten in een bepaald hokje hetzelfde is, zoodat we, als eenmaal het aantal hokjes bepaald is, voor de bepaling van het aantal en het karakter der normalen een willekeurig punt in een zeker hokje kunnen kiezen.
Nu kunnen we in sommige gevallen na bepaling van het oppervlak (M) nog ten deelc over de afmetingen van de balk en dus over de ligging van het zwaartepunt geheel of gedeeltelijk beschikken, dewijl in dc vergelijkingen die ter bepaling van dit oppervlak gediend hebben, die afmetingen a,b,l alleen optreden in verg. (ï), welke van dien aard kan



zijn, dat zij bij bepaalde veranderingen van a, b en / onveranderd blijft. We denken ons dan het zwaartepunt in elk der hokjes, waarin opp. (M) de ruimte verdeeld heeft, of in een bepaald aantal er van, zoodat we direct kunnen aangeven hoeveel normalen in elk hokje aan de stabiliteitsvoorwaarde voldoen. Daarna moet dan nog steeds worden onderzocht, of de normalen, die een stabielen stand aanwijzen, een bruikbaar niveauvlak geven d. w. z. een ondergedompeld gedeelte aanwijzen van den vorm, waarvoor het opp. (Z) bepaald is.
Om dus tot een grafische oplossing te komen, moeten we in den kubus, waarvan in § 9 gesproken wordt, de hokjes bepalen, overeenkomende met die, waarin (M) de ruimte verdeelt. Elk hokje in den kubus wijst daar weer op een bepaald aantal mogelijke stabiele standen, waaraan een onderzoek omtrent de bruikbaarheid der niveauvlakken moet worden toegevoegd.
In sommige gevallen zal van deze methode worden afgeweken. Het zal, namelijk, hier en daar mogelijk zijn de afmetingen van de balk zoo te kiezen, dat een onderzoek naar stabiliteit en bruikbaarheid van 't niveauvlak voorwaarden als functies van u, v en w opleveren, die ons grafisch direct doen inzien, of de beschouwde standen als stabiele standen kunnen optreden.
Tweede geval.
27. Afleiding der vergelijkingen.
Langs de x-, y- en z-as leggen we respectievelijk de ribben 2a, 2b, en 2I. Verder
zij £ < ', en bestudeeren wij
het opp. (Z) voor 't ondergedompelde gedeelte. Uit fig. 6 volgt, dat we voor de coördinaten van het partiëele zwaartepunt hebben:
1 1 1
x — u, y — v, z = — w. 4 4 4
3



De vergelijkingen van \ 24 worden :
(1) . . uvw = 48 a b 11 (stel = ks).
(2) . . u (a — u) = v (b — 1 v) = w (1 — 1 w) = t.
4 4 4
(3) • • u (§ — 7 u) = v (>! — ' v) = w (£ — ' w) = S.
4 4 4
(5) • • 3 S2—2 (u2 + v" + w2) S + v3w3 + w2u3) =
= o, welke laatste vergelijking geschreven kan worden als:
(S — ' "2) (S - ' v2) + (s — ' v-) (S — ' w-) + 4 4 4 4
+ (S — ' w2) (S — ' u2) = o 4 4
r 1 1 1 1 1
of + 4- — o
1 1 „ ' 1 ,
S— u- b— v- S— w4 4 4
28. Onverwesenlijkbaarhcid van dit geval.
Zal het niveauvlak bruikbaar zijn, dan moet tegelijk 2 a >u , 2 b > v en 2 1 > w, dewijl het niveauvlak ABC anders ten deele buiten het parallelopipedum treedt.
1 1 »
1 -f- u-
Nu volgt uit (2) in g 27 : a = ——
derhalve moet:
t 4- u2 4 , 1
u
u 2
of rr > - u3 4
en tegelijk t > 1 v2
t > 1 w2 4
dus ook t -L- (u2 v2 -f- w2).



Nu worden de stabiliteitsvoorwaarden (7) en (S) uit §24:
(7) ... o- < ~ (u3 + v- + w3)
(8) ... (t — ' u2)(<r — ' V") + (t — I v5) (o- — 1 w-) +
4 4 4 4
+ (<t — ' u'-) > o.
4 4
Aan de voorwaarde (8) blijkt dus bij een bruikbaar niveauvlak altijd voldaan te zijn, aan (7) evenwel nooit, waarmee dus de onmogelijkheid van het tweede geval reeds is aangetoond.
We moeten evenwel de opmerking maken, dat voor a ' u, b = ' v, en 1 = 1 w juist het grensgeval bereikt wordt.
Vergelijking (2) geeft dan a3 = b3 = l3 = rr, m. a. w. het grensgeval treffen bij den kubus aan, als £ = - (of als
O A B C het bovendrijvende gedeelte voorstelt, ï = Voor
dit bijzondere geval zal dus verder moeten onderzocht worden, of het evenwicht stabiel of labiel is. Zie hiervoor g 60.
29. Drijven met verlengde wanden.
In de vorige g zagen we, dat de onbruikbaarheid van het niveauvlak de oorzaak was van het niet voorkomen van het tweede geval. Denken we ons nu drie zijvlakken van de balk, die in een hoekpunt samenkomen, door massalooze wanden verlengd, dan kunnen we ons afvragen, hoe zoo'n lichaam met het punt, waarin de verlengde vlakken samenkomen, ondergedompeld drijven kan. We hebben dan een voorbeeld van 't drijven van een niet homogeen lichaam.
De voorwaarden 2 a > u, 2 b > v, 2 c w doen nu niet meer als criterium mee en de mogelijkheid van den stand zal volkomen bepaald worden door de normalen, die aan de stabiliteitsvoorwaarde voldoen. Het opp. (M) zal dus nu bepaald moeten worden voor het ondergedompelde gedeelte.



30. De vergelijkingen van het opp. (M) voor dit geval.
Om het opp. (M) te bestudeeren, kiezen we voor de vergelijkingen een parametervoorstelling met als parameters de coordinaten x, y, z van 't punt van (Z).
In de vergelijkingen uit § 27 hebben we te stellen: u = 4 x, v = 4 y, w = 4 z. Nemen we dan bovendien S = 4 s, dan hebben we:
3
(1) . . . xyz— ablt = k3, zijnde het opp. (Z).
4
(5) • • • 3 s2 — 2 (x3 + y3 4- z2) s + x3 y3 + y2 z3 4- z3 x3 = o
r 1 . 1 , 1
of — -f. — — --- - O
s — x- s — y- s — z-
en uit ^25:
s 4- x3 s 4- y3 s + z3
i = , <7 = — en <; = .
x y z
Uit (1) blijkt, dat alle opp. (Z) en (M) gelijkvormig zijn.
Wij stellen daarom verder k:! = I.
HET OPPERVLAK (M).
31. Doorsnede met een symmetrievlak.
Het opp. (Z) heeft 3 symmetrievlakken n.1. x = y,y — z
en z = x, dus ook 't opp. (M), die, volgens dc aangenomen
notatie, dan zijn § = 'C, '1 = s en s §•
We beginnen met de doorsnede van 't vlak £ = r, met
't opp. (M).
n S + x3 s y~ . ,
Daar i; — - en r, — —-——, eischt 4 = yj:
x y
s 4- x3 s 4- y3
= — of lx—y) (xy — s) = o, zoodat er twee x y
gevallen zijn:
Geval (x): x = y en geval (ƒ?): xy = s.
Geval (x).
De vierkantsvergelijking in s uit § 30 wordt:
3 s3 — 2 (2 X3 z3) s -|- 2z3xJ-fx' = (s X3) (3 S — X3 —
— 2 z3) = o, zoodat we weer twee verschillende gevallen krijgen :



Geval (xj): x = y, s = x2. Geval (x3): x = y, s =
I 2
= x2 + Z-.
3 3
Geval (*,).
r X" I 7 "*
Nu is i = i; = 2 x en f = , en daar x2z = i, worden
Z
de vergelijkingen : § = 1 = 2 x en £ = x4 -)-
Voeren we in de coordinaat §' = § l-"'2 = r, |/2, waardoor we de vergelijking van de kromme in haar eigen vlak krijgen, zoo vinden we na eliminatie van x voor hare vergelijking:
K = ! V + 8
s 64 ' ^ §'2
1 • • d£ 1 , 16 waarbn: = & 3 
d£ 16 ^ §'3'
In fig. 7 is de kromme geteekend, n.1. ARPB. Voor 3 '3
t' — 2 K2, dat is in 't punt R (£' = 2 1/2 = 2,52 ... en i;' =
12 — 1 '87 • • •) 's ^ = O, dus is RS /,' £'-as een raaklijn. Verder blijkt de kromme geheel boven de rechte OP (vergelijking: £= ^ ^') te liggen, welke rechte ze raakt in P
fe' = 2 l '2 = 2,S2 ...5 = 2). De oneindige tak R A loopt asymptotisch aan de £-as.
Om de beteekenis der kromme na te gaan, brengen we ook in teekeningde doorsnede met het (Z) opp. Deze is £ §2 = 2.
Als nu in fig. 7 een punt dezer door snede is en we in A, :en normaal aan 't jpp. Z oprichten (die n 't symmetrievlak ligt)



dan zal A een der krommingsmiddelpunten zijn. Uit het gedrag der kromme in verband met het opp. (Z) of wel door het opmaken van de vergelijking van de ontwondene van 'c = 2, blijkt, dat A behoort bij de kromtelijn loodrecht in Aj op het vlak van teekening en dat werkelijk A moet gekozen worden en niet het andere snijpunt van de normaal met de kromme ARP B. Nu raken alle normalen van opp. (Z) het opp. (M), dat de meetk. plaats der punten is, waar 2 normalen van het opp. (Z) in onbestaanbaarheid overgaan. Immers indien wij een bepaalde normaal voorbij het punt, waar zij het oppervlak bereikt en aldaar door een oneindig dichtbij gelegen normaal ontmoet wordt, vervolgen, dan blijft zij bestaanbaar, zoodat we aan dezelfde zijde van het opp. (M) zijn gebleven. De kromme ARPB zal dan ook keerkromme zijn. We willen nu de gedaante van het opp. (M) in de buurt der keerkromme nagaan, om uit te maken, naar welke zijde het opp. (M) zijn scherpen kant keert. Daartoe gaan we de ligging der krommingsmiddelpunten in de onmiddellijke nabijheid der keerkromme na en bepalen we, of de projecties dier punten op het vlak x = y binnen of buiten de keerkromme vallen.
Nu was het opp. (M) bepaald door:
(.. = s + x2 . _s + y; _ s + z2
'~~ x ' y s z
3s_2 (X2_|_ys + Z2) s + x3 y2 + y2z- + z* x= = o x y z = i
We voeren nu nieuwe coordinaten in (fig. 8). F , dat een punt van het (Z) opp. is dicht bij de doorsnede met het symmetrievlak gelegen, moge tot coordinaten hebben Xj , z en -j/ (loodrecht op het vlak x = y), welke grootheden voldoende in de figuur aangewezen



worden. De betrekkingen tusschen de nieuwe en de oude coordinaten blijken te zijn:
x = \ ex, — <io 1/2 y = 2 + y/2'
waardoor de vergelijking van het (Z) oppervlak overgaat in: (x,3—ip2) z = 2: waaruit volgt met verwaarloozing van kleine grootheden:
z = 2 xr2 (I + r x,-2); z-! = l2 (l-r X,-2)-
De vierkantsvergelijking is s wordt nu:
3 s2 — 2 s (z2 + x,2 + f3) + z3 (x,3 + f2) + ^ (Xj3 — f2)2 = o.
Uit 't vroeger behandelde weten we, dat voor •]/ = o
s = 1 x,3 een wortel is, die de keerkromme gaf. Daarom 2
substitueeren we s = 7 x,2 + "" = s0 + r, waarin ? dus
een kleine grootheid is, waardoor de vergelijking onder verwaarloozing van termen van hoogere orde wordt:
3 s„3 — 2s0(x,! + z!)+ J X^ + Xj2 z3 + 6s0t- 2(x,3 + z3)X x <r + (z2 — l2 x,3 — 2 Su) f- = o.
Nu is 3 s„3 — 2 s0 (Xj2 + z2) + x,+ + X!3 z3 = o, zoodat
overblijft een eerstegraadsvergelijking in <r, dus:
_ 2z3—3x1*
2 (2 Z3 Xj2)
Verder zijn de projecties van het hierbij behoorend hoofdkrommingsmiddelpunt op het symmetrievlak:
g' = 1 (S + yi) V2 en v 2
Deze worden nu:
1 , ,3 (s + xy)(x + y) , 2s0 + 2<r + x13-f2
r—jy—K2-*! Xl2-f2~ -
T -I 
/ *■ f \ ( . 2 \



Cv 2 -I- 2 72")
S + Z2 2 ' ' ' " ' T I „ t I 2 ■5-
i = _"t -+J.J*,•«"+«+ ,""
Nu is de vergelijking van de kromme AR PB:?— ^ S 4 — g
— a = o, zoodat het teeken van het eerste lid moet worden
nagegaan, als we £ en §' door de zooeven gevonden waarden vervangen. We vinden zoo voor het eerste lid:
- i? (' - 2 V-)
Of +(2X,-4 jXi3)<j/2 — 1 fxr+2t
Z 4 Xj _ Aj
of(z2 — l2 x,*)o-+^ z3 — ¥ + \ (z2— x,2) f
of ' (2 Z2 X,2)(T+ 1 (2 Z2 Xj2) ij/2 + - (z2 Xj2) .f/2 of,
2 4
invoerende de vroeger gevonden waarde van t:
l (z3 - V) F
Zoolang dus z2 > Xj2 of z2 > 2 x2 valt de projectie van het bij P behoorende krommingsmiddelpunt binnen de
6 i
kromme. Daar x2 z 3= 1 gaat z2 > 2 x2 over in x < V~ •
De vergelijkingen van de keerkromme waren in parametervoorstelling: £ = "/? = 2 x en £ = x4 + .waaruitblijkt I ^
dat x = --1/32 juist het punt R in fig. 7 oplevert. De projectie van een hoofdkrommingsmiddelpunt in de buurt van de keerkromme valt dus binnen die kromme voor den linkertak van 't oneindige tot in R. Voor den rechtertak van R tot in 't oneindige valt ze er buiten.
In fig. 7 is de gedaante van het opp. (M) in de buurt van de keerkromme aangegeven door eene neergeslagen loodrechte doorsnede.



Geval (jtg): x = y; s — 1 (x~ -f 2 s2) = (-*"2 + 2x~x).
3 3
Voert men dezelfde coordinaat §' in, dan wordt de parametervoorstelling der kromme:
,, , x s + x2 . 4 x" + 2 .
£ = è V2 = |/ 2 = 1/2
x 3 x"
s + z2 X6 + 5
S ~ z ~ 3 x2
,, , . d ö' 2 (/ 2 d £ 2
Verder is = r 2 x'—5) en — = :(2xG—O
d x 3 x1' dx 3x'|V y
Voor x°=2,5 worden §' en s tegelijk minimaal, wat dus op
een keerpunt wijst. De coordinaten hiervan blijken:
8 6 1 3
è" = —V20 - 2,62 -- 1/50 = 1,84 ....
5 ^
Voor x = 1 vinden we het punt §' = 2 |/2, £ = 2 d
en is . = lx2 zoodat de kromme daar raakt aan de lijn
ds 1
s = '•
In fig. 9 is CQI'D de kromme; Q is het keerpunt, P het punt, waar ze de rechte O P en dus ook de kromme A R P B
3 I
raakt. Nog dient vermelding, dat voor x = [/2 : £' = 1— X
2
3 j 3
X 1/3 X k 2 en s — 1 V zoodat de kromme gaat door S, het snijpunt van de raaklijn RE aan de kromme A R P B
en de rechte c = 1
|/2 "
De beteekenis van de kromme C O P D is duidelijk genoeg, ze is de ontwondene van de doorsnede van 't (Z) opp. met het symmetrievlak, daar deze doorsnede zelf kromtelijn op het (Z) opp. is.
Geval ft: xy — s.
Zal s = x y aan de vierkantsvergelijking in s voldoen, dan moet 3 x!y! — 2 (x2 -f y2 + z2) x y + x2 y- -f- y2 z2 z2 x2 = = o, waarvoor met het oog op x y z = 1 geschreven kan worden:



4 _ 2 _(x*+_y*) _ 2 z + zJ (x3 + y3) = ^ _ z,j (2 _ (x2 + yS)j = o
2
Van deze beide factoren komt alleen in aanmerking ~ = zof z = V/2, want de andere factor voert terug naar het geval



2
x = y; dewijl wegens x y z = I , ~ — x3 — y2 = 2 xy—
3 I
— x- — y-. Substitueeren we nu z = |/2 of s = xy = ,
j/2
s -4- x2 s —}— z~ i3
in § = , L.' = , dan wordt het laatste i," = I |/2,
x " z "2
m. a. w. we vinden een rechte lijn in het symmetrievlak, die
dezelfde blijkt te zijn als de in fig. 9 geteekende rechte R E.
Om te onderzoeken, of de rechte lijn R E over hare geheele
lengte bruikbaar is, zoeken we de x bij een gegeven £' en
, 1 3/
l2-1/2.
3 + **
• -• S-fx3 \/ 2 .
Nu IS i- = |/2 = V 2
X X
\/ 2
of x- \/l2 — §' X + 3 = O.
1/ 2
Deze vergelijking in x heeft bestaanbare wortels als
3 3 3 1 3
> 4 \/ 4. §'3 = 4 |/ 4 of §' = 2J./ 2 met f = 1 2 1/2 bepalen weer het punt R in fig. 9, zoodat in R werkelijk de
3
bruikbaarheid van de lijn begint. Is nu de voorwaarde £ 3 > 4^4
vervuld, dan krijgen we twee bestaanbare wortels xt en x3 van x.
3 I
Nu was evenwel z = \/2, dus x y = 3 , zoodat de
V 2
beteekenis van de rechte R E is, dat ze krommingsmiddelpunten bevat, die behooren bij zijdelingsche normalen, opgericht
in de punten van de doorsnede van het (Z) opp. met het vlak
3
z = |/2, welke doorsnede een hyperbool is. De beide wortels Xj en x2 wijzen dus twee punten aan op deze doorsnede, en
daar xt x2 = -3—, geven de wortels symmetrisch geplaatste
V 2
normalen aan.
Bedenkt men verder, dat de beide normalen het opp. (M) moeten raken, dan blijkt gemakkelijk, dat de rechte R E een dubbelrechte op het opp. (M) is.



32. Om nu een voorstelling van het geheele opp. (M) te krijgen, nierken we op, dat het uit twee bladen bestaat, waarvan het cene blad de verder afgelegene, het andere de
o ö 7
dichtstbij gelegen krommingsmiddelpunten bevat, welke bladen we verder resp. als boven- en benedenblad zullen onderscheiden.
De wortels van de vierkantsvergelijking in s uit $ 3° zijn: S1 = 2 (x3 + y3 + z3) + 1 Vx4 + y' + z+ — x-y- — y3z3 — x3z3
sa = ^ (x~ + y3 + *3)— ^ ^x4 + y4 +?l — x3y3 — y3z* ~ x~z~
Het bovenblad is nu:
s, + x2 s, + y3 _ s, + z2
— » n — > s —
x y z
en het benedenblad:
s2 + x2 s., + y2 s., + z2
| = — , v) = — — en { = .
x y z
Nu kan men den vorm onder het wortelteeken aldus schrijven: 1 |(x2— y2)2 + (x2 — z2)2 + (y3 — z2)3|, waaruit
2 { J
blijkt, dat in 'tpunt, waarvoor x = y = z, de beide bladen samenhangen. Het levert het punt P in fig. 9, dat dus een dubbelpunt is van het (M) opp. en overeenkomt met het eenige cirkelpunt op het opp. (Z) [yoorzoover als x, y en z pos. worden verondersteld.]
Overigens blijken de bladen overal gescheiden te zijn. Door eene nadere beschouwing in fig. 9 blijkt, als wij beginnen met een normaal op te richten ergens in Ap die als eerste krommingsmiddelpunt heeft het punt A en als tweede het raakpunt met de ontwondene DQC en deze geleidelijk laten voortbewegen, dat de takken R P en PD tot het bovenblad, en de takken ARP en P Q C tot het benedenblad behooren. *)
*) Analytisch kan men dit als volgt bewijzen: Voor x s= y> = = 1 is S! = ^ (2 xs -J- z2) -j- ^ Y/(*■" — z2)'. In de veronderstelling



Eveneens ligt de rechte R E geheel op 't benedenblad,+) omdat het punt R er op ligt en de beide bladen buiten 1' geen gemeenschappelijk punt hebben.
We moeten ons nu de drie symmetrievlakken aangebracht denken en in elk van deze de krommen geteekend. De krommen raken elkaar alle in het punt P, waarvoor
z i, dus x ]> i is derhalve S[ = -i (2 xa -)- z') -f- ^ (x2— z2) = x2,
zoodat dit betrekking heeft op het geval Zpdus op de kromme A R B. Nu is evenwel § = 2 x >2, derhalve betreft het den tak PB.
Onderstel nu z 1, dus x i,daniss! — 1 x2-f- ~ z', zoodat we
3 3
a I ^ / I r
zijn op de kromme CQD, waarvoor £' = —f—l/'->en<L' = - •
"® 3 xs K • 3 x2
6
Nu zijn in Q t-' en £ beide minimaal en wel voor x = 1/2,5; verder is men voor x = 1 in het punt P, voor x < I moeten dus §' en £ geregeld toenemen d. i. men gaat langs den tak P D.
f) Analytisch gaat dit bewijs als volgt:
Daar xy = 1 , wordt x4 -(- y4 -(- z4—x2y5— y'z5— x'-'z2 = (x2 -(- y2)2 —
- z2 (*» + y2) + z4 - ^ = (x2 + y' - l- z2)2 + 3 z* - 3 Voor z* 24^
3
z — — \/2 wordt dit: (x2 -|- y2 — - z05)'; dan is echter x2 -(- y2 =
= (* — y)'+ " = (x — >)5 + V\\ > ' '0', derhalve s, = '(x2-f y2 + zo 2 3
+ zo') + ' (x3 + y3 —' z°— ü <x2 + y" + ! 7»'); S2 = t z«~> om
3 2 3 4 2
dus tot de rechte lijn te komen moet men s3 gebruiken en men vindt
j ,3 x2 + ^ z02 z„—I+O zo® y2
inderdaad: £ s i — i, = — K2ï ë = =
2 2 x y
y2 + '2 v _
y
2 I I Si -I- X3
De combinatie Sj = (x1 -}- ys z02); xy = ;
3 4 zo " x enz. levert de ruimtekromme, die meetkundige plaats is der afgelegen
krommingsmiddelpunten, behoorende bij de normalen in de punten 3
van de hyperbool z = l 2, xyz = 1 opgericht.



& = »< = £ = 2. Verder komen en 3 dubbelrechten, die
j 3
elkaar snijden in S, waarvoor § = r, = £ = 1 k 2.
Om nu een duidelijk beeld van het opp. (M) te krijgen, zullen we doorsneden aanbrengen loodrecht op de lijn § = — r, — Daarbij zal de kennis van de gedaante van het opp. bij de keerkromme ARB (fig. 9) van groot nut zijn. Verder zal blijken, dat er in het symmetrievlak x = y (dus ook in de andere) steeds punten zijn aan te wijzen, die tot de holten behooren, waarin het opp. (M) de ruimte verdeelt. Daarom zijn in fig. 9 de vakjes ontstaande door snijding der verschillende krommen genummerd en zullen in de doorsneden van het (M) opp. dezelfde nummers gebruikt worden.
De doorsneden zullen alle binnen de gelijkzijdige driehoeken vallen, die de doorsneden met de coordinatenvlakken vormen en daar we alleen de doorsneden qualitatief aangeven, zal op de grootte dier driehoeken niet gelet worden.



We beginnen met een doorsnede (*) (fig. 10) en vinden hiervoor gemakkelijk in schematische» vorm:
Nemen we nu de doorsnede dichter bij P, dan wordt de binnenste ruimte kleiner om in P te verdwijnen. Voorbij P treedt ze als ruimte III weer op, terwijl het karakter der doorsnede voor eerst hetzelfde blijft als (x). Verschuiven we verder dan komen de ruimten IV te voorschijn, doordat de keerpunten van de kromme, die ruimte III omsluit, door de andere krommen heendringen en we krijgen een doorsnede (y):
Verder gaande, treden de ruimten V op, zoodat bij (») de doorsnede wordt:



Juist bij S verdwijnt ruimte III geiieei en bij nog verdere verschuiving zal in het binnenste der figuur ruimte VII optreden. We teekenen hierbij de doorsnede S en doorsnede (c).
De vergelijking van het vlak van den gelijkzijdigen driehoek is 4' + ^ + s — constant. Om dus te weten, welke van de beide punten Q en R we bij het verschuiven het eerst bereiken, hebben we slechts de coordinaten van Q:
\ 8 6 i 3 1 ( 6 i s »
p=)7= 5 ^2,5 s = 2 l/5°| enR: = < = |/32 ? = ^ ^2j
in § + r,-\- £ = constant te substitueeren.



IÓ° I3 6 I3
Nu blijkt — 1/2,5+ l'50 >2 ^32+1 ^2: 52 2
Het snijvlak zal dus eerst in Q, daarna in R komen.
Juist bij Q is de doorsnede:
Daarna zal de doorsnede worden tusschen Q en R:
en ten slotte zal de lus, waardoor IV en V ontstaan zijn, zich geheel samentrekken, zoodat bij R de doorsnede zal zijn:
4



en voorbij R:
tot ze ten slotte geheel verdwijnt.
We merken nog op, dat alleen in de doorsnede (*) ook de kromme, die op het (Z) opp. ligt, is bijgevoegd. Overigens zullen we nu de gedaante van het opp. (M) voldoende bekend achten.
33. Onderzoek voor de stabiele standen voor de verschillende hokjes van het (AI) opp
In de vorige $ hebben we gezien, dat er steeds punten in het symmetrievlak £ = r; aan té wijzen zijn, die in een der holten liggen, waarin de ruimte door het opp. (M) verdeeld is. Uit hetgeen in § 26 opgemerkt is, volgt dan onmiddellijk, dat we volstaan kunnen met het nagaan van het aantal der normalen en de stabiliteit der overeenkomstige standen in de vakjes van het symmetrievlak.
We beginnen dus in fig. 9 met het vak tusschen de coordinaten-assen en de doorsnede met het (Z) opp. Hier blijkt één normaal mogelijk, maar daar het zwaartepunt dan aan de bolle zijde van het (Z) opp. zou vallen, wijst dit dus op een instabielen stand (zie $ 2).
In VII aan de holle zijde van het (Z) opp. is één normaal in het symmetrievlak gelegen mogelijk, die voor een punt dichtbij het (Z) opp., en dus overal, doet inzien, dat ze een stabielen stand aangeeft.
Treden we nu van uit VII vakje VI binnen, dan zal op de grens de alsdan drievoudige normaal zich oplossen in twee andere zijdelingsche, beide behoorende bij de kromtelijn loodrecht op het vlak van tcekening en in de oorspronkelijke,



die echter haar karakter van kortsten afstand verliest. De zijdelingsche normalen geven thans twee stabiele, de normaal in het symmetrievlak één instabielen stand aan.
Verder gaande, komen we van VI in vakje II, waardoor er 2 in het vlak van teekening gelegen normalen bijkomen. De oorspronkelijke in het vlak van teekening gelegen normaal raakt den tak P D en blijft op een instabielen stand wijzen. De beide andere nieuw opgetreden normalen raken aan den tak CQ; de raakpunten op deze kromme wijzen dus krommingsmiddelpunten op 't benedenblad aan, terwijl we de andere hooger en wel op PB moeten zoeken. Hieruit blijkt dan, dat van de nieuwe normalen één een stabielen stand aangeeft. In dit vakje II hebben we dus 3 stabiele en 2 instabiele standen.
We betreden nu I. Op het (M) opp. is P B een keerlijn, het (M) opp. keert, zooals wij gezien hebben, (zie fig. 7) zijn scherpen kant naar links, zoodat er nu 2 nieuwe normalen optreden, die echter instabiele standen aanwijzen, omdat blijkbaar, daar P B tot het bovenblad behoort, het punt, dat de grens tusschen II en I overschreed, boven het benedenblad ligt. In I hebben wij dus 7 normalen, waarvan 3 stabiele standen aanwijzen.
Van I gaan we nu weer II binnen aan de andere zijde van DP; twee normalen gaan verloren, die omdat PD tot het bovenblad behoort, boven het benedenblad gelegen zijn en dus instabiele standen aanwijzen. We hebben dus hier weer 5 normalen, waarvan 3 stabiele standen geven ; wat als controle dienen kin op het zoo even omtrent II gevondene.
Van II uit betreden we nu van de rechterzijde III. Twee in het symmetrievlak gelegen normalen treden toe; POC ligt geheel op het benedenblad, waaruit blijkt, dat één der toegetreden normalen een stabielen stand aangeeft en de andere niet. In III hebben we dus 7 normalen, waarvan 4 stabiel.
Van III kan men weer naar boven II bereiken, waarbij dan twee zijdelingsche blijkbaar instabiele standen aanwijzende normalen verloren gaan. De in het vlak van teekening gelegen normaal, die aan den tak P D raakte, gaat evenwel in plaats van



een stabiele» een instabielen stand vertegenwoordigen, omdat het bewegende punt zich tusschen de krommingsmiddelpunten plaatst. Wij vinden dus weer als vroeger 5 normalen, waaronder 3 stabiele.
Betreden we van uit III vakje IV, dan gaan twee in het vlak gelegen normalen verloren, waarvan er één een stabielen stand aanwees. In IV hebben we dus 5 normalen, waaronder 3 stabiele.
Van IV uit kan men VI weer bereiken, waarbij, evenals bij den overgang van III in II, twee zijdelingsche instabiele normalen verloren gaan, die stabiele standen vertegenwoordigden, terwijl de normaal, die in het vlak van teekening P D raakte, nu een stabielen stand gaat aanwijzen.
In VI vinden we dus weer twee stabiele en een instabielen stand.
Ten slotte kunnen we uit VII vakje V bereiken, waarbij 2 nieuwe normalen optreden, maar waarvan slechts één een stabielen stand geeft.
We kunnen dus het volgende lijstje opmaken:
Normalen.
Totaal aantal Stabiele standen Instabiele standen
I 7 3 4
II 5 3 2
III 7 4 3
IV 5 3 2
V ' 3 2 1
VI 3 2 1
VII 1 1 o
Bij het opmaken van dit lijstje hebben we opzettelijk de dubbellijn R E niet overschreden. Het blijkt thans, dat dit overschrijden van IV op VII, III op V, II op VII steeds overeenkomt met een verlies van 4 normalen, waarvan 2 stabiele en de andere instabiele standen aangeven. Dit is trouwens gemakkelijk in te zien. Op de dubbellijn treden twee buiten het vlak van teekening liggende en dubbeltellende zijdelingsche normalen op, voor welke het eene



krommingsmiddelpunt in de dubbelrechte ligt en dus op het benedenblad.
Laat M 1' zoo'n normaal zijn, M dus een punt der dubbelrechte en P het voetpunt op het (Z) opp. Denk nu de kromtelijn op het (Z) opp. geteekend, waarvoor M P kromtestraal in P is en verder 't ontwikkelbaar oppervlak der normalen. Pij het overschrijden van de dubbelrechte door het punt M naar boven, zal zich elk dezer normalen in tweeën splitsen. Beide nieuwe normalen zullen het ontw. opp. weer raken, maar het eene raakpunt zal boven, het andere beneden het punt liggen, waaruit de normalen zijn getrokken, zoodat de eerste een stabielen, de tweede een labielen stand aanwijst.
34. Nadere beschouwing van den kubus.
Wij willen ten slotte het geval van den kubus wat nader beschouwen. Noem de ribbe 2 a, dan worden de voetpunten der normalen uit 't punt a, a, a, aan het (Z) opp. bepaald door:
x y z = a:ic = k,! ^ derhalve e — ^ ^ ^ l
y 4 { 3 W J
x (a—x) = y (a—y) - z (a—z)
De laatste twee vergelijkingen laten zich aldus schrijven (x—z) (x + z—a) = o en (y—z) (y + z—a) = o, waaruit blijkt, dat alle combinaties tot een der symmetrievlakken voeren en we kunnen dus volstaan met het nagaan van de normalen in een der symmetrievlakken.
Het zwaartepunt van den kubus ligt op de lijn x = y = — z en kan dus (zie fig 9) liggen in de vakjes I, III en VII op de rechte O P.
Het zwaartepunt van den kubus zal in I liggen, zoolang a> 2 k, (immers waren de coordinaten van P: 2 k, 2 k, 2 k)
wat neerkomt op ; > - . Voor £ =— ligt het zwaartepunt
juist in P, het is meteen het merkwaardige grensgeval, als de kubus zonder verlengd gedachte wanden drijft.
Verder hebben we dus voor £ < één stabielen stand u.l. voor de normaal rakende aan den tak QC. Deze vormt



dan met de overeenkomstige normalen in de twee andere symmetrievlakken, die als zijdelingsche normalen te beschouwen zijn, de 3 stabiele oplossingen van het geval I.
Komt het zwaartepunt binnen het vakje III, dan wijst de normaal, rakende aan P, een stabielen stand aan, terwijl ook de normaal, rakende aan C Q, dit karakter behoudt.
Dit laatste komt in elk der symmetrievlakken voor. In III komen dus 4 stabiele standen voor. Opmerkende, dat de
I 3
coordinaten van S zijn: § = /) = £ = I k 1/2, blijkt dus, dat 't zwaartepunt van den kubus in III zal vallen, zoolang
1 , V
2 k ) a ■ 1 k |/2
2
16 1
of > £ > .
81 6
Voor c — valt het zwaartepunt juist in S, voor 81
grootere waarden van £ komt het in VII, waar O P de eenige normaal is en een stabielen stand aanwijst.
Aan de bolle zijde van het (Z) opp. kan 't zwaartepunt niet komen, alvorens het 't snijpunt van O P met 't (Z) opp. overschreden heeft. Op het oogenblik van overschrijden is
daar a = k, dus £ = ^. Voor grootere waarden van £ is dan
3
geen evenwichtsstand mogelijk, waarbij de drie verlengde ribben door het niveauvlak gesneden worden.
Zie voor 't geval £ = ^ alsnog g 60.



DERDE HOOFDSTUK.
Het derde geval.
35. Het (/.)- en liet (AT) oppervlak.
We stellen bij de behandeling van het derde geval
£ > 1, zoodat in fig. 11 de afgeknotte pyramide A C D, F B F
het bovendrijvende gedeelte voorstelt. Het (Z)- en het (M) opp. zal dan ook voor dit gedeelte worden afgeleid.
We hebben nu in de eerste plaats de vergelijkingen van § 24 uit te schrijven. Vooraf evenwel verplaatsen we den oorsprong van het in § 24 aangenomen coördinatenstelsel, zoodat niet B. maar O, het midden der ribbe A B, oorsprong zal zijn, terwijl de x-en y-as respectievelijk evenwijdig loopen met B E en B F en de z-as blijft samenvallen metOA.
Verder behouden we de notatie:
O G = u, O H = v, O J = w en noemen de ribben van de balk langs de x-, y- en z-as voorloopig 2 sp 2s, en 2s3, terwijl we bovendien nog de parameter ,u invoeren, waarbij
w = O A = 1 s.,, zoodat dus 1 > u > o.
u u J



Uit fig. 11 volgt dan AC = (i — ,a) u AD = (i — /j.) v
B E = (i + ,a) u BF=(i+/a)v
.. 1 — M T, . I+M
A J = W — s3 = ——— s3. B J = w + s, = ——- s3
Beschouwen we nu de afgeknotte pyramide A C D, F B E als het verschil van de pyramiden J A C D en J BEF, dan vinden we voor het partieele zwaartepunt:
I +/x3 x = , u
3
i + p»
y = 3+^V — 2
z = T I o S3.
3+M"
De vergelijkingen uit § 24 worden nu:
(1) (3+,"2) uv = 24s,s2 (I — ê) = k2.
(2) u (sj — x) = v (s2—y) = —wz = <r, waarin w = s3: p.
(3) u (p — x) = v (q — y) = w (r — z) = S.
Hierin zijn, om verwarring te voorkomen, de coordinaten §, '0 en £ uit l 24 door p, q en r vervangen.
(3) is dus door de aanname van een ander coördinatenstelsel niet van gedaante veranderd, zoodat we direct (4) uit § 24 kunnen uitschrijven, waarin we dan tegelijk ,a invoeren. We vinden:
c o 1 + ,"2 4,"3 u3
S u- 5 O 7 5^3 U
3 + P- (3 + p-y s3
c 2 1 + <"2 4'"3 v3
(4) ° 3 + (3 + H-y s3 = Q
V '/ _ / _ E)t O _
V2 2(3—,"-) S8- S3
O O / 1 o\ o
(3 + ï-y v-
— 2 u3 11 v
(3 + ^v (3 +1"2)u c o
3
Om derhalve de vergelijking van het (Z) opp. te vinden,
moeten we uit (1) en de uitdrukkingen voor de gevonden coordinaten van het partieele zwaartepunt de parameters u,
v en u elimineeren. Voor ons doel is dit niet noodig. Alleen



merken we op, dat bij u = o de doorsnede van het (Z) opp. met het xy-vlak gevonden wordt. De vergelijking dezer doorsnede is-
8
xy = 9 si s* (1—5).
Het (M) opp. is nu verder gegeven door (4) in verband
met: p=x|J- , q _ y en r _ z , ^
u u vv
A. Geval u — o, waarbij de eene ribbe, die zich boven de vloeistof bevindt, evenwijdig loopt met 't vloeistofniveau.
36. We gaan nu over tot de behandeling van den stand, waarbij het bovendrijvende gedeelte een recht driezijdig prisma is. De z-coordinaat van het partieele zwaartepunt is dan nul, wat eischt ,a = o. De meetk. plaats der partieele zwaartepunten is dan de reeds genoemde hyperbool xy =
= y si s2 (l — £) 'n het xy-vlak.
De betrekkingen (1) en (4) uit de vorige § worden dan: (1) . . u v = 8 s, s2 (1 — c) = (stel hier) 111-.
(4) . . S3 s| ^-sa2-f- ^ (u2 -|-v2) J-(- ^ s32(u2 + v2) = o.
Deze vierkantsvergelijking heeft tot wortels:
I 2
= q (u~+ v") e» S2 = s.,2, zoodat de vergelijkingen van
de doorsneden van het xy-vlak met de beide bladen van het (M) opp. worden:
_ 3U" + V2 U2+2S..2
6" T P = "TF' „
„ »»+3v' ' «" v>+"/ "•
" «V-J
Geval I:
Elimineeren wij u en v, zoo vinden we de vergelijking
2 2 -7 1
dezer doorsnede. Ze is (p + q)3 — (p — q)3 = ~ (6 m2)3 en
blijkt de ontwondene te zijn van de hyperbool
8 1
x y = s, s., (1—s) — m2.
9 9



Geval II:
Eliminatie van u en v geeft een kromme, waarvan de vergelijking is 9 m2 (2 s.,'P— miq) (2 s;r <5— m2P) - - (m4 — 4 .ss4)2. Ze is een hyperbool, waarvan de assen de hoeken tusschen de coordinaten-assen middendoor deelen. Voor m2 = 2 s.,2 blijkt ze over te gaan in de rechte p = q.
We willen nu den ouderlingen stand der krommen I en II nagaan.
Hij I vinden we als snijpunt met de lijn, die den hoek
2
tusschen de coordinaten-assen middendoor deelt: p = q = m,
3
I 2 So"
en bii II: p = q = m 4- :> .
3 3 111
Zoolang dus ~ S® ' m of 2 s32 < m2, zal de stand der 3i» 3
krommen die zijn, welke op PI. I, fig- 2 onder {%) is aangegeven. Uit het bedrag der krommen volgt direct, dat de krommingsmiddelpunten op den tak P R van kromme I correspondeeren met de krommingsmiddelpunten op Q S van kromme II.
Is 2 s32 = m2, dan gaat de kromme II in een rechte lijn over; die stand is aangegeven op PI. I, fig. 2 onder /3.
Is eindelijk 2 s.,2 > m2, 7.00 wordt de stand die van PI. I, fig. 2 onder y, en uit het gedrag der krommen volgt direct, dat de krommingsmiddelpunten op Q R en P R nu met elkander correspondeeren. Dat de krommen elkaar in R raken, bewijst men gemakkelijk als volgt.
De punten van kromme I worden bepaald door : 3 u4 -|- m4 P = 6 u3
u4 + 3 m4
q = r .. —
6 m- u
d p m2
terwijl een raaklijn bepaald wordt door: ^



Voor kromme II vinden we:
p = U' + 2S»8
3 u
= 2 S32u8+ m'
3 m- u
.... , ... , , , , , dp m5 (u2—2 s.,2) terwiil de raaklijn bepaald wordt door: , = - , ' .
d q 2 s3- u- — m4
Voor waarden van den parameter u, voldoende aan u1 — 4 s32 u- -|- ni* = o blijken de krommen een gemeenschappelijk punt te hebben, terwijl ze ook in dat punt dezelfde raaklijn hebben. Ten overvloede blijkt nog, dat voor de bestaanbaarheid van dit punt voldaan moet zijn aan de voorwaarde
_ O O
2 -V > ln_-
37- A' 'arakter der normalen in fig. 2, PI. I.
Beginnen we met het geval (*). De ontwondene van de g
hyperbool x y = ^ Sj s., (i—i) scheidt de gebieden, waar resp.
I of 3 normalen (voor zoo ver de voetpunten dier normalen binnen den hoek XO Y liggen) mogelijk zijn. In verband met hetgeen in de vorige paragraaf is opgemerkt, volgt dan, als wij ons bepalen tot de halve figuur aan de rechterzijde van O 1', met welke de linker helft symmetrisch is:
In I zijn 3 normalen mogelijk, die echter alle drie op instabiele standen wijzen.
In II wijst van de 3 normalen er één een stabiele stand aan, en wel die normaal, welke eenige raaklijn is aan den tak P S der ontwondene.
In III wijst de eenige normaal een instabielen, in IVeen stabielen toestand aan.
In het geval (/3) zijn alleen de vakjes IV en II uit geval (x) over, waarvoor dus dezelfde opmerkingen gelden. Eindelijk vinden we in het geval y:
In I en III wijzen van de 3 normalen er 2 op stabiele standen (de middelste niet).
In II geeft één van de 3 normalen een stabielen stand aan (zie opm. II x), terwijl de eenige normaal in IV dit eveneens doet.



38. We zullen nu de algemeene beschouwingen van het geval u = o staken en achtereenvolgens nagaan, zooals uiteengezet is in § 26, of een balk, waarvan de ribben weer in volgorde van grootte 2 1, 2 a en 2 b zijn, met een der ribben evenwijdig aan 't vloeistofniveau drijven kan.
We zullen dus moeten nagaan, hoe een kubus, waarin op de ribben weer worden afgezet de grootheden § = a : 1, Y) = b : a en £, in hokjes moet verdeeld worden, overeenkomstig de vakjes uit fig. 2, PI. I en welke punten in dien kubus op bruikbare niveauvlakken wijzen.
Wij zullen hierbij zoo veel mogelijk gebruik maken van de uitkomsten door Prof. Koktewkg (het 3'le geval in de verhandeling) verkregen, die we slechts evenals in het eerste geval (g 23) hebben aan te vullen.
Het geval s3 = 1.
39. De verdeeling van den kubus.
De grootheden §» n en c bepalen volkomen in welk deiin fig. 2, PI. 1 geteekende gevallen we zijn. Ken beeldpunt
wijst op een der gevallen y, p of y, naar gelang 2lJ , m- ot
1 4 s-i (i-c).
Wij teekenen 1111 den kubus op PI. I, fig. 3 alleen voor £ > '. Het opp. 1=4^ r, (1 — ;) wordt daarin voorgesteld door E V U, waarbij SU = ' ^2, TV = en
2 ^
T E = \ Gemakkelijk blijkt dat beeldpunten beneden dit
opp. wijzen op geval x en beeldpunten er boven op geval y.
Verder dienen we 11a te gaan, welke hokjes in den kubus correspondeeren met de vakjes, waarin het xy-vlak in fig. 2, PI. I verdeeld is.
De vergelijkingen der krommen uit fig. 2, PI. I zijn in ons geval:
p (p + q)3 — (p —q)3 — 3 |613 é'2 ^ (1 —{3 = 0



Q 18§2>3(I — ê)|p — 4§2>j(i— e)q| |q— 4§2l(I — Op | ~
1- J i6§*us(i — i)3— i | = o
De ligging van 't zwaartepunt van de balk, waarvan de coordinaten zijn a = l§ en b = 1 § rh ten opzichte dier krommen kunnen we dus nader bepalen door ons af te vragen, wat het teeken is van de vormen P en Q als we hierin p en q vervangen door 1§ en 1 t-r,. We gaan daartoe in den kubus (PI. I, fig. 3) de beide oppervlakken teekenen, waarvan de vergelijkingen verkregen worden door in P= o en Q = o de substitutie te verrichten.
De vergelijkingen worden dan :
A = (I -f- r) 3 — (I — rj) 3 — ^ / 6 yj (I — c) j3 = o
3 l )
B=i8$V(I—0 11 — 4§2>7 (i — «)J f1 — 44'3(1 -oj-
— j1 — 16^r- (I — ê)-|- = o.
Het oppervlak A = o wordt op plaat l fig- 3 voorgesteld door een cylinder-oppervlak, waarvan in het vlak § = 1 de kromme A F richtkromme is. De beteekenis en loop dezer kromme is door l'rof. KORTEWEG (pag. 22 der verhandeling) nagegaan, waarbij gebleken is, dat B F = ^ , dat
3
A F is F raakt aan de rechte B F en dat voor een beeldpunt in den kubus boven het cylinderoppervlak 3, voor een beeldpunt er beneden 1 normaal mogelijk is uit het punt a, b
aan de kromme x y = ^ a b (1 — s).
9
Om den loop van het opp. B = o 11a te gaan. zullen we
de vergelijking door een meer handelbare vervangen. De
kromme Q = o was gegeven door:
u3 + 2 1- v- + 2 1- fik/ ^
p = , q = en u v = o a b (1 — c).
3 u 3 v
Verrichten we hierin de substitutie p = a =1 i-, q = b =



1 § T, stellen we bovendien nog u = /. a en v = -j b, dan worden de vergelijkingen van het opp. B = o:
2
r. 0 
~ 3 >■ — A* 2 = 3 >- — ^ ■ 3 » — "9 A* =8(1 —t)
In de eerste plaats vinden we in het vlak § = i van den kubus (fig. 3, PI. i) de kromme r3 [6 (i — — S (I — c)-j = i, voorgesteld door T N E, reeds bekend uit de behandeling van het eerste geval en de kromme *j- |i 2 (i — £) — 32(1 — s)2} = 1,
voorgesteld door ELI' ( B P = 1 j.
Verder vinden we in het vlak r, = 1 de kromme §3 (31/2(1 — 5) — 4(1 — c)} = 1 en 4^([ — i) = 1 respect, voorgesteld door PRT en EU [welke laatste kromme reeds bekend was bij het opp. 1 = 4 §3 >7 (1 —c)J. Reide krommen
snijden elkaar in het punt R ij3 = en 1 —c = ^ ^ waarde
\ ^ 9 r-\
eerste kromme de rechte §= I/^ raakt.
r 9
Om de gedaante van het opp. verder te bepalen, brengen we doorsneden aan evenwijdig aan het vlak A B T. Voor elke
2
waarde van § heeft de vergelijking /.2 — 3 A + = o twee
g
bestaanbare wortels zoolang §3 > - ■ Met eiken wortel correspondeert een kromme in het snijvlak. Voor een bepaalde waarde van § snijden de krommen, door de wortels van de vierkantsverg. aangewezen, elkaar op de kromme E R, wat gemakkelijk te verifieeren is*). Nu blijkt, dat in de gedeelten P LER en E N T R van den kubus O > o.
*) Xoem /.j cn de wortels van A3 — 3 A -f- = o dan zijn



Houden we in het oog, dat op de lijn T B zich de verschillende gevallen van een drijvenden kubus f) afbeelden, dan vinden voor de verschillende holten van den kubus in fig. 2, PI. I:
de beide krommen r, - 2 : (3 v, — ^v) en r,2 - - : (3 va —
tT- ' ~
Deze krommen snijden elkaar als 3 'J\ — '■'i' — 3 v3 — >2" of als
'Jl = 'Ji 'Ji + v--> = 3- Alleen 't laatste geval wijst op =/=
S (I — c) 8(1—2) .
v\ 1" v2 — 3 geeft . + , —3 of4^J(i —c) = 1,
/■I A3
waarbij blijkt te behooren r? — 1.
t) De vergelijkingen van de krommen uit fig. 12 worden
3 u2 4- v2
voor den kubus, waarvan de ribbe = 2 s: p = ^ ^ ; q =
u2 + 3 vs u! + 2 s: v" 4- 2 s5 .
= ' —en p = -L— ; q — terwijl u v = 8 s-(i—e)=
6 v r 3 u ' 4 3 v ;
2
= m2. De coordinaten van't punt P z'jn: P = q = ~ m en van Q: I 2 S2
p = q = m + . Van uit 't zwaartepunt zijn 3 normalen mogelijk, 3 3 ni
2 2 ^
als 't verder dan P op de lijn I' O ligt, dus als s <[ ~ m of als £ >
I 2 S2 7
Verder ligt het zwaartepunt vóór Q als s m -f- ^ of als i - .
17 . .
Voor £ = en s = ' valt 't zwaartepunt juist met O samen. 2 8
23 I
We kunnen hieruit onmiddellijk besluiten, dat voor '.■£'• de
32 2
eenige normaal geen stabielen stand aanwijst, omdat 't zwaartepunt dan tusschen P en Q ligt. (Zie PI. I, fig. 2. (x), 111).
3 O "3
Voor > £ > ^ ligt 't zwaartepunt zoo, dat 3 normalen mogelijk zijn. De beide toegetreden normalen wijzen echter op labiele standen, omdat blijkbaar m' ]> 2 s5, zoodat we met het oog op de bovengenoemde ligging van P en Q kunnen besluiten, dat we verkeeren in 't geval van fig. 2, PI. I, vakje lx en 't zwaartepunt zich tusschen de krommingsmiddelpuntcn bevindt. Verder blijven standen
waarbij £ > ^ , buiten beschouwing, omdat bij stabiele normalen geen
bruikbare niveauvlakken mogelijk zijn.
Het 3e geval komt dus bij den kubus niet voor. Voor het grensgeval £ =; , waarbij het zwaartepunt van den kubus met 't onderste krommingsmiddelpunt samenvalt, zie § 60 van dit proefschrift.



I. Holte TF correspondeert met vakje IIIx uit fig. 2 PI. i
.. FE „ „ „ \x „ „ 2 „ i
3. „ MEQR „ IIjc „ „ 2 „ i
4- „ VMQFRUT „ „ „ IV* „ „ 2 „ i
v ii P F jf ff I*y ff ff 2 ff I
5. Overige gedeelte
boven het cylinderopp. A F „ ,, ,, Illy ,, „ 2 „ i
7. Overige gedeelte
beneden het cylinderopp. A F ,, ,, ,, IV?' ,, ,, 2 ,, i
Uit § 37 weten we reeds, dat in de ie en 2c dezer holten de beeldpunten slechts op instabiele standen wijzen.
40. Onderzoek naar de bruikbaarheid der niveauvlakken.
Het is onnoodig hierbij lang stil te staan, daar deze quaestie door Prof. KORTEWEG is opgelost (zie pag. 23 enz. der verhandeling).
We nemen daarom de uitkomsten over.
Zullen we bruikbare niveauvlakken krijgen, dan moet
2 a > u > 4 a (1 — c).
De vergelijking, die de u's bepaalt, vinden we uit de
1 1
x — u y — v
3 3
conditie, dat de lijn = loodrecht moet staan
1 1 1
a — 11 b — v
3 3
xy.
op + = 1, in verband met de betrekking u v = v u v ö
= S ab (1 —c). De vergelijking in u wordt dan:
f (u) = u' — 3 a u3 + -4 a:! (' — £) 11 — 64 a1 r,- (1 —c)2 = o.
Verder is:
f {4 a (1 — «)} = - {6 (1 - t) - 8 (1 — t)* — r*} 64 (i - c)- a4 f (2 a) = 16 a4 [{6(1 — £) — S (f — c)-} r,1].
Derhalve zijn f (2 a) = o en f [4 a (1 — s)j = 0 twee krommen in het>;c-vlak van den kubus, die we ook reeds vroeger leerden kennen. Op PI. I, fig 3 zijn ze in het vlak § — 1 voorgesteld door AF en T N F. De kromme A F en PLE hebben buiten punt E geen enkel punt gemeen. Het onderzoek



leert dan, dat het beeldpunt, zullen we bruikbare niveauvlakken krijgen, moet vallen binnen het cylinderi'ormige gebied, waarvan achtervolgens het grondvlak kan zijn :
ie AEQA, want dan is:
f (o) < o, f (4 a (1 — c)} <0 , f (2 a) < o en f ( 00 ) >0, en blijkt f (u) = o twee wortels tusschen de behoorlijke grenzen te bezitten.
2e QFTN, want dan is
f (o) < o, f { 4 a (1 — e)} < o, f (2 a) > o, f ( 00 ) > o, waarbij dc eenige positieve wortel van f (11) = o bruikbaar is.
3e O E F, want dan is f (o) < o , f [4 a (1 — e)} <0 f (2 a) > o , f ( 00 ) > o.
De drie pos. wortels van f (u) = o vallen te gelijk binnen de behoorlijke grenzen.
Behalve de ie en 2e holte valt nu ook nog de 3e holte af, voorzoover ze samenvalt met den cylinder, waarvan AFGA 't grondvlak is. Deze holte toch correspondeerde met IIx uit fig. 2, PI. I, waar van de 3 normalen er éen een stabielen stand aanwees. Uit de beschouwing dezer figuur blijkt dan tevens, dat voor rt < 1 de stabiele normaal behoort bij den grootsten positieven wortel van f (u) = o, die evenwel in het bedoelde gebied geen bruikbaar niveauvlak aangeeft.
41. De uitkomsten uit § § 39 en 40 samenvoegende is dus de stand met slechts één der vier langste ribben boven de vloeistof en evenwijdig aan het niveau dier vloeistof voor een drijvend parallelopipedum mogelijk, zoolang het beeldpunt valt in: (Zie PI. I, fig. 3)
ie het cylindervormige gebied met E N T tot grondvlak, behalve het gedeelte hiervan afgesneden door E R T N E.
2e het cylindervormige gebied met AEO tot grondvlak, behalve het gedeelte hiervan door MOER afgesneden.
Het geval s3 = a.
42. Verdeeling van den kubus.
De vergelijkingen der krommen P = o en Q = o uit fig. 2, PI. I worden:
5



3 u2 4- v2| u2 + 2 a2
P= 6 u P = Ju
„ . „r en o ■ of
u- 4- 3 v- v- -f 2 a-
q=: 6 v ll= 3 v
waarbij u v = S b 1 (I — c).
Het opp. A = o is bepaald door §2 r;3 = ^ =
A2
= 6, ~^rjv*
Het opp. B — o door:
i2 _ 3 >- -
7 O
2
>T = " - o
3»-»',
terwijl in beide gevallen /. v = S (i —s).
Opmerkende, dat in het vorige geval het opp. A = o
6 / ^ ~ / ~
bepaald was door r~— ' ' '= ■, valt 't niet
v 6 v — 3 v-
moeilijk in te zien, dat in fig. 4, PI. I het opp. A = o wordt
voorgesteld door O A F C, waarbij de doorsneden met vlakken
evenwijdig aan O AHC hyperbolen opleveren.
Het opp. 1? = o. geeft in het vlak § = 1 de kromme -/)- [ 12 (1 — c) — 32(1 — c)2] = 1, voorgesteld door P E, reeds uit fig. 3, PI. I bekend en {6(1 — c) — 8(1 — s)2] = I, voorgesteld door E N T, eveneens reeds bekend.
Verder vinden we in het vlak § = o de kromme 9 = 4 >T (9 (1 — £) —8 (1 — c)2],
voorgesteld door KZ, waarin CK = en SZ — 1 — 0.9.
O
Eindelijk liggen in het vlak >7 — 1 :
£2 = 6 (1 —c) — 8 (I —c)2 en §2 = 1 - (1 —— 32(1 —s)2 resp. voorgesteld door de gebogen lijn CE en Cl'EK.
Het opp. is niet moeielijk te construeeren in fig. 4, PI I een weinig nader aangeduid.



De gevallen uit fig. 2, I'l. I worden gescheiden door 4 r, (i —ï) = §, voorgesteld door CEVXO, waarvan de doorsnede met elk vlak evenwijdig aan ABCO of aan AOX, dus ook CE, een rechte lijn is, en elke doorsnede met een vlak evenwijdig aan ABT een hyperbool met OX en OC tot asymptotenrichtingen, die in XOCS degenereert.
43. Bruikbaarheid der niveauvlakken.
Evenals in ? 40 vinden we:
f (11) = u* — 3 1 u-1 + 2 4 b21 u (1 —i) — 6 4 b- l-(i — c)2 = o. f (2l) = 81'|{6(i-c)-8(r -c)2) £2 1]. f {4 1 (1 — e)} = - (6(1 — e) -8(1 -£)2-SV}. f (2 1) = O en f [4 1 (l —=0 geven in den kubus (l'l. I. fig. 5) de oppervlakken ENTG en OAEC, waarbij de doorsneden met vlakken evenwijdig niet OABC hyperbolen zijn.
üe overeenkomst met j! 40 zegt ons verder direct, dat beeldpunten moeten gezocht worden in:
1) het gebied O ACE—OCHEOAO, alwaar van de 3 wortels 2,
2) ,, ,, EQFII, waar alle 3 de wortels binnen de
grenzen vallen,
3) ,, ,, QFHGTN, waar de eenige wortel bruikbaar is.
44. Op de lijn TE vinden we weer de gevallen van den drijvenden kubus afgebeeld. Hieruit volgt onmiddellijk, dat de gebieden 2) en 3) uit {; 43 buiten beschouwing blijven; dewijl wij reeds weten, dat voor den kubus de bedoelde standen instabiel zijn. Het ic gebied wordt door het opp. 4tj (1 — c) = £ in twee deelen verdeeld, waarvan het deel MOE—W (fig. 4, PI. 1) correspondeert met II x uit fig. 2, I'l. I en dus geen stabiele standen aanwijst.
Het overblijvende gedeelte tusschen de beide bladen O A C E en O A C F correspondeert met III?'. In dit gedeelte kan dus de onderzochte stand voorkomen.



Het geval s3 = b.
45- I 'erdecling van den kubus.
Het opp. A — O wordt nu bepaald door:
6 A — 3 A2 /.-
S = " = 6 3 y2' waa, ,n A v = 8 (1 — e).
Het geeft in den kubus een cylinderoppervlak, waarvan in fig. 6, PI. 1 de kromme CF in 't vlak jj = 1 richtkromme is. Uit de voorgaande gevallen is de beteekenis duidelijk genoeg.
Het opp. B = o wordt gegeven door:
2 r,~ = 3* — v- )
...,9 , > waarin eveneens A j = 8 (1 — e).
2 <~l rf = 3 /. — /? I v '
Achtereenvolgens vinden we:
In 't vlak van den kubus c = 1 de krommen r,- = = 4 (1—c) en ri2 = 3 |/2 (1 — c) — 4(1 — cj resp. in fig. 6, PI. 1, voorgesteld door AE en AP. Verder in 't vlak £ = o de kromme 9 >j2 -(- 32 (1 — j)2 — 36 (1 —s) — o, waarvan alleen de tak OK in aanmerking komt.
Ten slotte vinden we in het vlak r, = 1 (zie fig. 7a, PI. 1) de kromme = 6 (1 — c)— 8 ([ - c)2, voorgesteld door EC en de kromme $2 = 12 (1—s) — 32 (1—c)2, voorgesteld
door CPEK. (CK = g )•
Om nu het opp. B=o verder te lecren kennen, brengen we vlakken aan evenwijdig aan vlak TSC. Voor de doorsneden vinden we steeds 2 ellipsen. In fig 7b, PI. 1 is zoo'n doorsnede geteekend. De figuren 6, 7* en yb geven de gedaante van 't opp. B = 0 voldoende aan.
De scheiding der gevallen uit fig. 2, PI. I, wordt aangewezen door §»J2 = 4(i — 0- Dit opp. geeft in 't vlak van den kubus § = I de kromme A E en is verder gemakkelijk te construeeren door de punten van de kromme A E met punten van O C door rechte lijnen evenwijdig met het vlak T S C te verbinden. In de fig. en jb zijn de rechten E C en E,C, twee dier lijnen.



46. Bruikbaarheid der niveauvlakken.
We vinden hier:
f(2l) = 8 1' [{6(1 — s) — 8(1 — c)2} 4-3 — 1]
f {4 1(1—*)) = — 32 H (1 — e)« {6(1 — «)_ 8(1 — «)• — §=}
f(2l) = o en f {4 I (1—ê)} = o geven dus in het vlak van den kubus r, = 1 de krommen CE en ET.
Uit het voorafgaande is de beteekenis dier krommen duidelijk genoeg.
47. Uit de fig. 7<i en yb, PI. I, volgt, dat het cylindervormige gebied uit fig. 6, PI. I, waarvan H E F (zie vooral
7") grondvlak is, reeds buitengesloten is.
De holten van het cylindervormige gebied met CEH tot grondvlak blijken overeen te komen met de vakjes lx, II* en Hy> zoodat dus ook hierin geen stabiele standen voorkomen.
Een stabiel drijven met een der vier kortste ribben boven de vloeistof en evenwijdig aan het niveau van deze is dus nimmer mogelijk.
48. De volledige grafische voorstelling.
De uitkomsten uit de vorige §£ hebben we nu ver-
eenigd in fig. 8, PI. 1, waar ook de standen voor e < —
2
zijn aangegeven. Daartoe zijn uit de fig. 3, 4, en 5 op PI. I de verschillende gebieden waar we de behandelde standen aantreffen, overgenomen, zoodat we voor de beteekenis der letters in fig. 8 naar de zooeven genoemde figuren verwijzen. Overigens is uit de figuur alles, wat niet noodzakelijk ter aanduiding der gebieden is, weggelaten. We beginnen met de vergelijkingen der oppervlakken en krommen, die in die
figuur voorkomen, voor ; )> te resumeeren.
2



Kromme AE : r° = 6 (i — c) — 8 (i — s)2
AF : (I +»,)» — (I - nfi— 4 (6 n (i — e)}^ = 0
„ EQNT : rt~ [6 (i — c) — 8 (i — c)2] = i Opp. OAEC : £2 k3 = 6 (i — c) — 8 (i — c)2
„ O A F C : §2 = —~ / J. »s = ^ ï v = 8 (l — e)
MEC : § = 4 >j (i — £)
„ MER : i = 4 §2 r, (i — c)
„ EQNTRE : S2 = . 2 >;2 = 3 ?.* = 8 (i — i)
3 A - 3 y — >-
De stand, waarbij de langste ribbe 2l evenwijdig aan
den vloeistofspiegel drijft, komt voor in:
ie het cylinderv. gebied, waarvan ENT grondvlak is,
waarvan evenwel het gebied EQNTRE moet uitgezonderd
worden.
2e het cyl. gebied AEQ als grondvak, waarvan uitgezonderd moet worden 't gedeelte, door 't opp. MER hiervan
afgesneden. Deze stand is aangewezen door (3 1)
Verder treffen we den stand, waarbij de middelste ribbe evenwijdig aan den vloeistofspiegel is, aan in het gebied tusschen de opp. O A E CO en O A F C O, waarvan we moeten uitzonderen het gedeelte hiervan afgesneden door
opp. MEW. Deze stand is aangewezen door (3 a)
De standen van een drijvenden kubus worden afgebeeld op de lijn BBj. Uit de tweede noot op blz. 63 weten we reeds, dat het 3^e geval hierbij niet voorkomt. Het grensgeval voor e = wordt in 'i 60 nader onderzocht. ö 2
De standen voor een balk met vierkante doorsnede, waarbij de ongelijke ribbe evenwijdig aan de vloeistofopp. is, zijn te vinden op het vlak r, = 1 van de kubus op PI. 1,
fig. 8 onder (31), als de ongelijke ribbe de langste is.
Is de ongelijke ribbe de kortste, dan weten we, dat ze niet met deze ribbe alleen evenwijdig aan de vloeistofspiegel stabiel drijven kan.



B. Geval n -/- 0.
Hel parallelopipedtim met vierkante doorsnede.
49. Wij hebben nu te onderzoeken, of ook, als ,u niet gelijk nul is, stabiele standen voorkomen. De vergelijkingen waren: (3+r)uv = 24S,S2(I—e) = k2 (1)
u (Sj — x) = v (s2 — y) = — w z = <r (2)
u (p — x) = v (q — y) - w (r — z) = S (3)
De vierkantsvergelijking (4) uit \ 35 wordt uitgeschreven :
g g.j g (u3 v-) (— ,a* 6 fJ? -f- 3) -j- 4(3 f**) S83 _|_
3 +<"* r
2 {,a2 u- v2 + s32 (u2 + v2)} (I + ^2) (3 — fi2) _
(3 + «2)- 
We merken al vast op, dat deze vierkantsvergelijking,
als u — v is, de volgende wortels heeft:
U2(l-|-ya2) C (3 p~) (."2 U" + 2 S3")
S, = --- en S., -——„7 •
1 3 +1" " 3(3 + -"")
Verder spreekt het vanzelf, dat we bij de behandeling u positief mogen veronderstellen, zoodat dus ,u moet voldoen aan de voorwaarde: 1 > u > o, hetgeen direct uit de beteekenis van den parameter ,u volgt.
Ten slotte volgt nog uit (2) en (3), dat de stabiliteitscondities uit g 24 door de verandering van het coordinaten stelsel niet van vorm veranderd zijn, zoodat ze blijven:
(7) * < l +
(8) C-2 — T + /„ > O,
alwaar -b en / de coefficienten zijn der vierkantverg. in S, nadat ze gebracht is onder den vorm : S2 — } S + = o.
We hebben dus uit de vergelijkingen (1) en (2) de u, v en ,a op te lossen en de uitkomsten aan de stabiliteits voorwaarden te toetsen. Daarna moet weer een onderzoek naar de bruikbaarheid der niveauvlakken volgen. I11 fig. 11 was BE = (i+,«)u en BF = (1 +,a) v, zoodat dus de waarde van u, v en ^ voldoen moeten aan:
(1 -(- u) u <C 2 Sj en (1 -f- ,u) v < 2 s.,.



50. De kubus.
We beginnen met de behandeling van den kubus. In §49 moeten wij dus stellen s, = s., = s3 = s. Lettende op de coordinaten van liet partieele zwaartepunt wordt (2):
u2 (1 + + s 11 (3 + P~) — v2 (I —)— ,u'2) -)- S V (3 u-) =
= -)- 2 s2, terwijl blijkens (1):
u v (3 + <"2) = 24 s-' (1 — ê). Deze vergelijking (2) splitst zich in :
.*) u = v = s, waarbij 3 + ,a- = 24 (1 — g).
/?\ 2 s 2 s
/j) u = s en v = . „ v = s en 11 =
1 + 1 + fj.-
2 S
y) u = v = —7I + iu
We gaan achtereenvolgens elk der gevallen na.
x) De stabiliteitsconditiën (7) en (8) vervingen de voorwaarde, dat cr kleiner moet zijn dan elk der beide wortels van de vergelijking in S. Nu is voor u = v = s:
2 s2 ... „ s3 (1 4- a~)
— —-j_—2 terwijl b, — ———-—-—t zoodat steeds tr > Sp 3 r ft 3 r ft
voor 1 > fj. > o. Er zal dus geen stabiele stand mogelijk zijn.
0) De beide hierin vervatte gevallen zijn in werkelijkheid niet verschillend, daar de x-en y-assen verwisselbaar zijn. Wij behandelen het eerste.
Onder de voorwaarden, waaraan u, v en p moeten voldoen, is deze: (1 -f f) v ^ 2 s. In ons geval wordt dit I -)- u
„x 2 s <;_ 2 s
1 + fi-
Of fJL > I
,u > i kan geen oplossing geven, terwijl ,« = 1 ons naar het tweede geval (g 34) zou terugvoeren. Ook hier vinden we dus geen stabielen stand.
\ 2 s y) u = v = —; „
1 + /"
Uit het onder (/?) behandelde blijkt direct, dat geen stabiele stand te verwachten is.



51. Een parallelopipedum met vierkante doorsnede (s, = s2 = a), waarbij = / en l < a.
De vergelijkingen (i) en (2) uit § 49 worden hier: u v (3 + fl3) = k- |
a u (3 + u2) — u-(i -f u3) = av(3 + ,u3) — v3 (1 -f u-) = 2 l3j welke weer tot de volgende gevallen aanleiding geven:
x) u = v
U V (3 + fi~) = k3
f (u) = u3 (1 -f fj.-) — a u (3 + /j.~) + 2 1- = o.
P) u + v = a (3 + ^
1 + fi-
u v (3 + ,"2) = k3 f (u) = o.
x) Denken we ons u en v geëlimineerd, zoodat we een vergelijking in (j. krijgen. Van deze vergelijking moeten we die wortels hebben, waarvoor geldt o < (u < 1. Nu blijkt, afgezien van de waarde van /u:
f (O) >0
f (1) = (l - a) (3 1 + ^ 1) <0 f (a) = — 2 a2 -f 2 l2 <0
'(rVy =-*•'+»■ <0 f (00) >0
Rij een misschien bruikbare waarde van fx vinden we dus twee wortels u, waarvan de een kleiner is dan 1, terwijl
2 2i
de andere grooter is dan ,. Deze laatste wortel <jeeft
1 + fJL' "
geen bruikbaar niveauvlak, zooals we bij de behandeling van
den kubus zagen. Er blijft dus alleen over u . 1.
2 l2
Nu is evenwel er = - Vooru < 1 en voor o < u < 1, 3 +
zal dus ? > Sj = derhalve kan ook deze wortel
geen stabielen stand aanwijzen.



/?). f (u) = o geeft weer bij elke waarde van n 2 wortels, waarvan volgens x) de grootste buiten beschouwing blijft. Voor de kleinste, u < 1, geldt het volgende:
I -J— cc
a (3 -|- 2)
dus: v = , —u.
I u-
Nu is u < 1 < a
, a(3-(-Ja2) 2 a
dus: v > — a = ——5.
I —j— fX" I —j—
Rij deze waarde van v kan evenwel geen bruikbaar niveauvlak behooren.
52- Een pa ral li 'lopipedu vi met vierkante doorsnede, waarbij l > a.
We onderscheiden hierbij dezelfde gevallen ais in g 51. We behandelen eerst het geval (/?). De vergelijkingen zijn: u v (3 + fi*) = k-
u + v = a-ii±4).
I -f- ,u-
f (u) = o
De derde vergelijking laat zich schrijven :
( a(3+,a-)| 2l3 2 l2
U U —J\ = — ——- of U v = —:—j.
1 + J 1 + C-" 1 + H-"
In verband niet de eerste vergelijking volgt dan:
3 + _ k3 , _L 2 2 k' , , 2 4 l2
T+P ~ 2 ï* ' 3 + - k2 - 2 1- ' ' + ~ k2 - 2 l2 e" 2 l2
uv = = 12 a2(i — e) — l2
2
12 a3 (1 — c)
u + v = jo
dus U = 1{6|8(I c) ± 1/36 £s ( I ê)2 12 §" (I ') + 1 }•
Bestaanbaarheid van u eischt dus reeds 36 t-6 (1 —c)2— — 12 §2 (I — e)+ 1 > o.
36 §6 (1 — c)2 — 12 §3 (l — s) + 1=0 zou geven u = v en zou dus op het eerste geval terugvoeren.



We willen eerst nagaan, of deze wortel een stabielen stand aanwijst. De stabiliteitsvoorwaarde t- — -li t / < o wordt:
24 1' - 2 13 {(u2 + v2) (- ^ + 6 ,u2 + 3) + 4 (3 - fS) l3} + + 2(1+ ,u2) (3 — ,a-) X (V u2 v2 + l3 (u2 + v2)} > o.
Vult men hierin in de waarden van u, v en ,u, zoo gaat de vorm over in de voorwaarde:
— [36 §6 (1 — :)2 — 12 S2 (1 — s) + I} > o, en is dus in strijd met de zooeven gevondene.
De vergelijkingen voor liet geval (x) zijn:
i'2 (3 +,"a) = k3 |
u2 (1 + ,a2) — au (3 + u'2) + 2 l2 = o|
De stabiliteitscondities zijn hier v < S] en ? < S0 (voor
1 2 1"
S, en S., zie g 49), welke 11a herleiding worden: u2 >
I + ft*
o 2l2
en u- > x.
3 —
We hebben dus nog te onderzoeken, of de bovenstaande
vergelijkingen de u en zoo bepalen, dat oO< 1,
212 2I2
u (1 + ,u) < 2 a en u2 > , ., daar dan tegelijk aan u2 v- - , 1 + ,"' ö 3 ~
voldaan is.
Daar een behandeling als bij de vorige gevallen nog al op bezwaren stuit, slaan we een geheel anderen weg in. Stel dat u, ft en 1 gegeven zijn. De vergelijking van het
niveauvlak is +^,+ \ = 1 en loodlijn uit 't partieele
zwaartepunt wordt voorgesteld door de vergelijkingen:
/ 1 +^3 \ 1 / , 2fll \
u x — u = -- z 4 5 en x = y.
\ 3 + V ) P\ 3+^7 y
Deze loodlijn snijdt het x y-vlak in een punt, waarvoor
2 l2 1 + p*
z = o en x = - , 0— + - , u.
(3 + P")11 3 + f*~
Zullen we nu dit snijpunt als middelpunt van een



parallellopipedum kunnen aannemen, dan moet, zal het niveauvlak bruikbaar zijn:
BE (fig. ii) = (i -f^) u < 2 x,
derhalve: 2~-~ + u \ 1 (t i u
(3 + f* ) u ^ 3 + ^ U 2 \ i u-
We hebben dus u, ,u en 1 zoo te kiezen, dat aan ge-
2 1-
noemde voorwaarde en aan de stabiliteitsvoorwaarde u2 > ,
I -|- Cl ~
voldaan wordt.
Stellen we nu 1 : u = £ en teekenen we in fig. 12
de krommen: 1 = 2 en 2 s = 1 (1 + a)
1+,"- 3 + ,"2 3 +
Ze worden respectievelijk voorgesteld door A B en C B. (A : £ = = l/o.s, C: £ = 0.5, B : £ = 1; ," = 1). De bovengenoemde voorwaarden blijken nu tegelijk met o < /x < 1 in het gebied ABC vervuld te zijn. Bij een bepaalde waarde van /x, u en 1 zijn de
rijr. 13. grootheden a en £ gegeven door:
a = (3 + ^)u + \ Xl°- U Cn 24aMi-^)= u3 (3+^). Achteraf blijkt nu ook, dat werkelijk 1 > a, want in 't gebied
2 1" T O
A B C is 1 > - - - ■——- -)- - ftg u, wat direct volgt uit de
3 -+- ,U~
teekening van de kromme t' = 2 ^ L 1 w"
S 3 + 3 +
We zouden ook het gebied ABC uit fig. 12 gemakkelijk in de grafische voorstelling op PI. I kunnen overbrengen. Op het vlak r, = 1 vinden we het volgende:
Met B uit fig. 12 stemt overeen: £ = 1, 1 —e =--,
2
met A: &= I( 1 _£= ' met C: S2 = 8, 1 — c =met
2 9' 33'
het punt, midden op A B, dus voor u. = — = - • 'c —
2 s 8 * "



4 ✓ 2IQ7 _ , .
= I ' io, i — £ = - = o,22 enz. hvenwel zien we
13 9600
van de grafische voorstelling' af, omdat hierin dc vergelijkingen
der krommen niet aangegeven kunnen worden en we dus
steeds op de bovenstaande moeten terugkomen.
Resumeerende blijkt dus voor een vierkante balk A K — AL (fig- 11) een drijven op de in de aangehaalde figuur aangegeven wijze mogelijk voor zekere tusschen nauwe grenzen gelegen waarden van het soortelijk gewicht; maar alleen voor het geval A H > A L.
Ook voor niet vierkante balken moet dus somtijds zulk een wijze van drijven mogelijk zijn.
Het nader onderzoek daarvan zou echter tot zéér ingewikkelde, bijna onuitvoerbare rekeningen voeren.



VIERDE HOOFDSTUK.
Het vierde en vijfde geval van een parallelopipedum met vierkante doorsnede.
53. Het (Z) en (.]/) oppervlak voor 7 vierde geval.
We veronderstellen in de volgende £§, dat het parallelopipedum een vierkante doorsnede heeft, waarvan de zijde a is en noemen verder de derde ribbe 1. We behandelen alleen het geval, dat 3 hoekpunten van 't niveauvlak op ribben I liggen, zooals in fig. 13 is aangeduid. Weveronder-
I
stellen 1 > —, en be-
palen 't (M) en (Z) opp. weer voor 't bovendrijvende gedeelte, Het is immers duidelijk, dat het in de fig. geteekende gedeelte tusschen 't niveauvlak A HG I' D en de coordinatenvlakken kleiner is dan de helft van 't parallelopipedum,daar een vlak, gaande door Q en P juist de helft afsnijdt
en wij den inhoud steeds vermeerderende het vlak eerst door Q en F C en daarna door evenwijdige verschuiving van F C door Q en P kunnen laten gaan.
Fig. ij.



Als parameters voeren we in:
O A — w, B L = m en D K = n.
De betrekkingen tusschen deze parameters en de in g 24
. .. w (u — a) w (v — a)
ingevoerde zijn: m = en n = —
s J u v
We beschouwen het gedeelte O-A H G F D als het
verschil van de pyramide O A C E en de som van de pyra-
miden LBCG en KDEF.
Voor de coordinaten der zwaartepunten dier pyramiden
vinden we respectievelijk:
w a w a 1
4 (w — m) 4 (w — n) 4
ma ma 1
— 111
4 (w — m) 4 (vv — n) 4
na na 1
4 (w — 111) 4 (w — 11) 4
Nu verhouden de inhouden der pyramiden zich als
w3:m3:n3, zoodat we voor de coordinaten van het partieele
zwaartepunt vinden:
w'— m'— n4— 4 m3 (w— m)
4 (w — m) (w* — m* — 11')
w'— m4 — n4— 4 n3 (w — n)
' — 4 (w — n) (w3 — ms — n3)
w4 — 1111 — 11'
4 (w3 — m3 — n3)
en de betrekking (1) uit § 24 wordt:
„ , . . w3— m3— n3 .
P u, v, w) = — — 61 i-£ = o, als we
(w — m) (w — n)
m en 11 hierin door de bovengenoemde waarden vervangen.
Het (M) opp. is weer gegeven door
u (p — x) = v (q — y) = w (r — z) = S;
waarin p, q en r de loopende coordinaten van dit oppervlak
voorstellen.
We willen eerst bepalen de wortels van de vierkantsvergelijking in S, als m = n of als u = v. We stellen m = n = = s. Gemakkelijk blijkt, als wij in de uitdrukkingen voor



x, y en z voor m en n hunne waarden in u en v uitge drukt schrijven, dat in de determinant (4) van g 24:
J x J y ^ y ^ x )x )y J z z ï K ^ F"
J U J v' Ju ~dv' J w ~ !i XV ~ °' S u ~ S V Cn S u — J v zoodat ze wordt van den volgenden vorm:
S — nij — m2 o a
— m3 S — m, o a
— m3 — m3 S — w z w — s — o
1
ni4 m4 o
w
waarin na rekening gevonden wordt:
( 12 (s:i — s- w) 3 s3 1 )
m, = w a x —;4. —2_ j_ {
| W — |WS3 + 2S' W*— 2 S* w — sj
( — 4 s3 3 S2 1
m„ = wax j—j— \
|w4— 4WS''+2S4 w3—2 s!|
m. = f ~4S3 , 3 s3 1 (w —»)» W z
|\vl — 2 S4 Ws — 2 s'J a
+ —*—)(w~5)2
4 \w* — 2s" w — s / w a
1 rekt men de tweede rij van de eerste af, dan blijkt de determinant de factor S — m, m, te bevatten, terwijl de overblijvende determinant van den eersten graad in S is. De wortels van de vierkantsvergelijking zijn dan: S, = m, — m2, g __ (w — s) (m, m5) 4- 2 a m4 w- z — 2 a m3 2 a m4 w + w — s
Na substitutie vinden we, dat de p-coordinaat van het punt van 't (M) opp. resp. wordt:
_ (w — s) (8 s3 — 6 w s2) -f (w+ — 4 w ss + 2 s') 1 2 (w — s) (w3 — 2 s;i) a
_ A (w — s)~ + B a3
1,3 6 a (w — s) (w3 — 2 s3) (w3 — 2 s3)
waarin
A = w' — 6 w' sJ + 8 w3 s;i — 6 w3 s4 + 4 sf' B = 2 w6 — 6 w4 s3 — 2 vv3 s3 -)- 12 w s5— 4 s6.



54 Dc schccve standen (waarbij m en n ongelijk zijn) treden niet op.
Om dit aan te toonen, verwisselen we de ondergedompelde en bovendrijvende gedeelten. Zooals uit fig. 14 blijkt, kunnen we dus het ondergedompelde gedeelte beschouwen, als het verschil van een afgeknot parallelopipedum en een pyramide. Veronderstellen we nu, dat fig. 14, waarbij dus DG en HF of wel BC en BA ongelijk zijn, een mogelijken stand aanwijst. De verbindingslijn van 't partieele zwaartepunt en 't zwaartepunt van de balk moet dan loodrecht op het niveauvlak CDEF staan.
Fig. 14.
Noemen we nu O T = 11, G D = v en HF = t, dan
. ..... , . , . u —v 11 — t z
is de vergelijking van t niveauvlak x 4- y 4- =1.
au a u u
De coordinaten x, y, z, van het zwaartepunt van het afgekn.
parall. zijn in § 13 gegeven, waar we 2 w = v + t hebben
te zetten. De vergelijking van de loodlijn uit 't zwaartepunt
Xj y, z, is nu
(x — x,) — a (y — y.) = z — z, u -— v 11 11 t 1
6



Vervangen we hierin x, en yj door de waarden gevonden in g 13, dan blijkt het, dat deze loodlijn, altijd de
lijn x — y = a snijdt. Nu liggen de zwaartepunten van
de pyramide TAB C, van 't afgeknotte parall. en van het ondergedompelde gedeelte op een rechte lijn; zal dus in fig. 14 een mogelijke stand aangewezen worden, dan zal ook de loodlijn uit 't zwaartepunt van de pyramide T A R C
op 't vlak ACDEF neergelaten de lijn x = y = ' a
noodwendig moeten snijden. Gaan we daarom de voorwaarde opsporen voor deze laatste snijding.
We plaatsen een rechthoekig coördinatenstelsel in R met de assen langs R C, R A en R T en stellen RC = i-, RA = n en RT =
De coordinaten van 't zwaartepunt van de pyramide
TARC zijn — £, ' r, en ' £. De vergelijking van de 4 ' 4 4
loodlijn is 4- [l § - x) = ^ V - yj = s(^'-z) Zal deze lijn de lijn x = y = ' a snijden, dan moet
s {' s - ' «)
\ 4 2 / \4 2 j
of (§ — r) (£ + ''/ — 2 a) = O
i' { ■< = 2 a wijst er op, dat R C of R A grooter moet zijn dan a, wat in ons geval buitengesloten is. Scheeve standen kunnen dus niet voorkomen, er blijft alleen ter bestudeering over het geval § = >7 of in = n.
55. Onderzoek naar de stabiliteit voor 't geval m = n. We keeren 1111 tot fig. 13 terug en gaan het onderzoek beginnen op dezelfde manier als in § 52. We nemen een parallelopipedum, waarvan we de lengte van de ribbe 1 voorloopig onbepaald laten, en kiezen zekere waarde van w en m = n = s. Om zeker te zijn, dat 't niveauvlak een



vijfhoek zal zijn, hebben we slechts te zorgen, dat w > 2 s, wat direct uit de figuur volgt. We bepalen nu het partieele zwaartepunt en het snijpunt van de loodlijn uit dit punt op
't niveauvlak en de lijn x == y = a en nemen den afstand
2
van dit snijpunt tot 't x y-vlak als halve lengte van 't parall. aan, welke afstand grooter moet zijn dan 1 w, daar anders geen parallelopipedum met vijfhoekig niveauvlak gevormd wordt. Gaan nu deze voorwaarden samen met p, > ' a en
p2 > a (zie 'i 53), dan is het duidelijk, dat we een sta-
bielen stand hebben gekregen. Nu zijn de vergelijkingen der loodlijn:
„ w4 — 4 w s3 -f 2 s4 X a w4 — 2 s4
a" 77 »« , * r~Tv — = - , , » — '' en X = V.
4 (w—s)- (w:i — 2 s() w — s 4 (w' — 2 s )
1 # ^ \y^ 2 S*
Voor X = a, vinden we: Z = '4-
2 4 (w — 2 s ) T
a2 w4 — 4 w s3 -)- 2 s3 „
2 (w — s) 4 (w — s)3 (w8 — 2 s3) 3 *
Beschouwen we voor het gemak w, s en 1 als verhoudingsgetallen van de hierboven voorgestelde lijnen tot a (wat dus neerkomt op 't stellen van a = 1), dan hebben we dus de twee voorwaarden
(1) w > 2 s en W4 2 S4 I w4 — 4ws'-)-2s4 N I
4 (w*— 2 s:!) 2 (w — s) 4 (w — s)3 (w3—2 s8) 2 W °
(2) (w — s)3 (vv4 — 4 w s3 -)- 2 s4) < w4 — 2 w3 s f 2 s4.
I11 dezelfde veronderstelling gaan de voorwaarden p, > ^ a en p2 > ^ a over in
(w — s) (— 6 w s3 -|- S s3) -f- w4 — 4 w s3 -j- 2 s4 >
> (w3 — 2 s:1) (w — s) of
(3) (w — 2 s)3 > o en A (w — s)2 -f B > 3 (w3 — 2 s3) (w — s) (w3 — 2 s3) of



(4) (w — s)2 (w° — 6 w' s- -}- 8 w3 s:i — 6 w2 s ' -f 4 s°) > > (w6 — 3 w3 s -f- 2 w3 s:i -(- 6w;s' — S s").
Het blijkt, dat aan (3) tegelijk met (1) voldaan is.
We teekenen nu in fier. 15, waar op een rechthoekig coördinatenstelsel \v en s worden uitgezet, de krommen:
w = 2 s, voorgesteld door O P,
(w — s)2 (w4 — 4 w s3 -(- 2 s4) = w4 — 2 w3 s -j- 2 s4, voorgesteld door I'Q, waarbij OO = 1 en de coordinaten van 1' zijn: >7o.2 en 2 \y0.1 en
A (w — s)- -)- B = 3 (w — s) (w2 — 2 s2) (w3 — 2 s3), voorgesteld door de kromme O O.
De beide laatste krommen laten zich gemakkelijk door de
substitutie w = t s,
iwaarin t > 2 te ne-
/men is, behandelen.
^ /In het gebied
/O Q I' blijkt nu aan
\ jfea"e voorwaarden
■ /voldaan te zijn, zoo-
I fadat we daar stabiele
J/standen aantreffen.
[L.De grootheden
r ^ 4^» a*. 
^ = £ en c zijn ver-
der gegeven door ' 'J' de betrekkingen:
1 w' — 2 s4 1 w4 — 4 w s3 4- 2 s4
f> 2 (w3 — 2 s3) w — s 2 (w — s)2 (w* — 2 s3)
w3 — 2 s3 6 (i — z)
(w — s)2 ~ &
We zouden 1111 ook een grafische voorstelling met £ 11 £ kunnen maken. De vergelijkingen der krommen zijn evenel in de §c-voorstelling niet aan te geven, zoodat men toch at de bovenstaande vergelijkingen moet terugkeeren. Daarom ; dit onderzoek weggelaten. We merken evenwel op dat iet het punt O overeenstemt: § = o, 1 — £ — 1 ; met



T> • I . / I ^ - I
P : £• = P 5, 1 — c = ; met Q : % = 1, I — z = , enz. 2 ? 6
56. Verwezenlijking van 't J'k geval van den kubus. In de vorige § zijn de ~ en i gevonden als functies van vv en s. Zal nu voor den kubus een oplossing gevonden worden, dan moeten er waarden van w en s zijn, liggende in het gebied OPQ uit fig. 15 en tevens voldoende aan
W4 — 2 S4 I w4 — 4 w s3 + 2 s4
1 = H ~ — of
2 (W" 2 S') W S 2 (W s)- (w-i 2 S-')
(w s)" (2 W3 — - 4 S3 vv ' 4- 2 S4) = W4 2 W3 + 2 S4.
Krengt men deze laatste vergelijking in fig. 15 in teekening. zoo krijgt men, voor zoover we alleen het gebied
^ J 2
OPQ beschouwen, een kromme OR (R : s = ,
7
w = 2 s). Alle punten op deze kromme wijzen op de moge-
■2 y/2
lijkheid, voor soortgelijke gewichten van I — : = - -
7
— 0,22 . . . tot T — c = \ , wat in verband met de kromme
6
w 3 2
O R. volgt uit de vergelijking ^ ^ = 6 (1 — c).
57. Het (Z) en (Af) opp. voor het vijfde geval.
In fig. 16 is het parallelopipedum geteekend met ribben a< a, 1, waarbij de zas met de ribbe 1 samenvalt.
\\'e voeren de volgende parameters in:
a r r aA _ = A, dus Ub= en L(i = 
O G I — A i — A
H K AU 3 U L' a P
uir\ = P' " OH= en Hk =
H (J I — u i — u.
NM TVT r\ 1 1»
v . =■■', „ NO = en NM =
in O i — -j i — y
Beschouwen het gedeelte M DC, ELF, AKB O als het verschil van pyramide O, N G H met de som der drie pyramiden L, E F G, K, A B H en M, C D N, dan vinden we voor de coordinaten der zwaartepunten dier pyramiden:



Fig. ib.
a a I
4(i — ') 4(i—,«) 4(1—v)
a ?. a /. 1
4 0 — *) a 4C — '■) 4 (I —
a fjL au 1 ft
4(i—/.) 4(1 — p) a 4(i— y)
a v a v 1 y
4(1 — >-) 4(1 —«) 4(i — y)
De verhouding van de inhouden der pyramiden is: 1 : ?.s : ,u:i : y:\ zoodat we voor de coordinaten van het partieele zwaartepunt vinden:
1 — /.* — fj.* — y* — 4(1— m — 4(1— A)A*
X" 4 (l —- A) (i — A* — — (std) 4(1 —"A)n 3
m — 4 (1 — u) u3
4(1 — a) n m — 4 (1 — v) >s 4(1 —>)n •
Verder wordt de betrekking (1) uit §24:



F <u' v' w) = (I-A)(I-A) (!--.->) " 6 (i -e) = o, waarbij
a a 1
u = , v — en w
[ — /. i — a I — y
58. Mogelijke standen voor den kubus.
De evenwichtsvoorwaarde (2) uit §24 wordt hier: 1 fm — 4(1—/.) '/? 1 | 1 (m — 4(1—fi) fi* 1 | 1 — /. ( 4 (I — A) n 2 ' | ~ 1 — u { 4 (1 — ,u) n ~ 2 aj _
_ 1 | m — 4 (1 — y]y*_ ^ 1 | 1 — " l 4 (1 — •') n 2 aJ
Gaan we deze vergelijkingen herleiden, dan blijkt, dat de gezochte normalen in een der vlakken x = y, y = 2 of z = x moeten liggen, zoodat we ons tot het vlak x = y kunnen beperken. De normalen worden daarin bepaald door:
I .. . =L u = 'J
P. = .«
II ... m (2 — > — — 4 (I — y) (I — /.) [/.2 + y"- + /.y — ( — >•'■> (A + *)} = 2 n (1 — v) (1 — /.)
59. Stabiliteit voor geval I.
We beginnen met 't uitschrijven van de determinant
uit § 24 voor 't geval /. = ,u = y — s. We vinden:
S — k — 1 —1 1
— 1 S — k — 1 1
— 1 — 1 S — k 1 = 0 1 1 10
. (12 S3 12 S- , I 3 s2 \
waarin k = x (r_4,,+ ,; + r— + jérjji]
1 = x I - V' 4- 3 \
\ 1 — 4 S-' -f s+ ■ 1 — 3 s3/
De determinant blijkt twee gelijke wortels te bezitten n.1. S = k — 1, zoodat de eenige stabiliteitsvoorwaarde (g 24) wordt:
<r = u [l2 a - xj < S.



Substitueeren we hierin de gevonden waarden, dan gaan ze over in
(i — 2 s) (i — 4 s + 5 s2) > o Nu heeft i — 4 s -|- 5 s': = o twee imagimaire wortels, derhalve wordt de voorwaarde s
2
Voorts blijkt uit fig. 16, dat het niveauvlak een zeshoek zal zijn als L G < O L, of als s < — , zoodat deze voorwaarde samengaat met de stabiliteitsvoorwaarde.
I — 2 S8
De betrekking -—— = 6 (1 — :) geeft dan aan, " (1 — s)1 v ' ö
dat we stabiele standen zullen aantreffen voor | > 1 — 1 > —,
O O
zoodat 't soortelijk gewicht liggen kan tusschen ^ en ^ . Voor ï — of ^ hebben we weer het grensgeval, waar
Ö 6 Sa'
het niveauvlak een gelijkzijdige driehoek is.
Verder kan geval II nog een stand opleveren, evenwel voor geen andere soortelijke gewichten dan in geval I, dewijl alleen binnen die grenzen een zeshoekige doorsnede mogelijk is. Van een behandeling van dit geval zoowel als van de rest van het vijfde geval zien we verder af.



60. Resumé.
In dit proefschrift zijn het eerste en het tweede geval, welk laatste evenwel geen stabiele standen bleek op te leveren, volledig behandeld en verder het derde, voor zoover standen beschouwd werden, waarbij een ribbe evenwijdig was aan den vloeistofspiegel. Voor de overige gevallen werd alleen het parallelopipedum met vierkante doorsnede in beschouwing genomen. De standen van den kubus zijn bijna volledig voor den dag gekomen (zie slot § 59). Daaronder zijn er, die we zeker niet verwachten zouden, waarom we ze hieronder resumeeren, voor zoover c > 1 . Daartoe zetten we
op een rechte lijn (fig. 17) de soortelijke gewichten af en plaatsen naast elk der stukken, waarin de rechte verdeeld is, de verschillende gevallen; (1^ wijst den loodrechten, (i)s den scheeven stand uit het eerste geval aan.
1 > £ > 0,788 . . . eerste geval, in loodrechten stand
0,788 ....>£> 0,75 . . . eerste geval in
scheeven stand o.333 ■ •••>«> 0,77 . .. vierde geval,
niveauvlak een vijfhoek (g 56) 0,833 • • • • > £ > 0,5 .... vijfde geval niveauvlak een zeshoek (§ 59).
In de „Mathem. gazette" (zie ? 8 van dit proefschrift) vinden we dezelfde uitkomsten voor 't eerste gedeelte van 't eerste geval en voor 't vijfde geval. Het tweede gedeelte van het eerste geval en het vierde geval worden niet behandeld.



Beschouwen we nu het geval van den kubus uit § 28 als ' = 6 ' het bePa'en vau llet (Z) opp. hebben we dan
in het oog te houden, dat van de 3 hoekpunten, die juist in den vloeistofspiegel liggen er 1 of 2 boven den spiegel kunnen komen, wat dus standen geeft overeenkomstig het derde en vierde geval. Heschouwen we nu den stand eerst als grensstand van het derde.
De formules zijn:
1 -f- ,"2 I — 2 u
3 + .«,U' y" 3 + .«'V' 3 + ^<3 + "1»» = 4.
als we a = 1 stellen. We hebben nu te onderzoeken of de verbindingslijn van 't zwaartepunt van den kubus (1,1,0)
met t punt ^ ^ ^ ^ j minimaal is, dus of <
11 1 1 / 1 \2 4 B3
( 1 X u- u ' — 1 .. v + / öcs. waarin
\ 3 + / \ 3 + / (3 + ,"2)2
H- < 1, u en v oneindig weinig van 1 verschillen en voldoen aan de betrekking (3 -f u2) u v - 4. De ongelijkheid gaat na eliminatie van ,u over in: o < 5 — 4 (2 —u v) X X (u + v) + (2 — u v)2 (u2 -f- v2) + u v (4 — 3 u v).
Substitueeren we u = 1 + J„ v = 1 + rT2, waarin Sl en rï3 oneindig kleinen zijn, voldoende aan (i_|_
1 + da > O, dan vinden voor de ongelijkheid met
verwaarloozing van oneindig kleinen v. d. 4e orde enz.:
0 — 2 <^1 ïï2, (<T, 4- fT2), waaraan dus niet voldaan is, als rTj en ti3 hetzelfde teeken hebben. We besluiten hieruit tot instabiliteit.
Een ander grensgeval treffen we nog aan bij het derde
geval van een drijvenden kubus, als £ = 1 , wanneer dus
2
juist een diagonaalvlak in den vloeistofspiegel ligt. Het zwaartepunt van den kubus valt dan samen met het onderste der twee hoofdkrommingsmiddelpunten (zie fig. 2 (*), PI. I, punt Q). In verband met de beteekenis der punten P en Q volgt dus, dat een onderzoek naar de afstanden van het zwaartepunt van de kubus tot de punten van het (Z) opp. nood-



zakelijk is, maar alleen voor zoover het schommelingen betreft om een as door het zwaartepunt evenwijdig aan de diagonaal der halverwege ingedompelde zijvlakken; immers bij de schommelingen om een daarop loodrechte as in het niveauvlak gedraagt zich de kubus op dezelfde wijze alsof zijne ribben evenwijdig aan het niveau oneindig lang waren en in dit geval weten we uit de behandeling van het derde geval voor ,u — o, dat de stabiliteit verzekerd is.
liet niveauvlak wordt bij bedoelde standsveranderingen een zeshoek, zoodat wij gebruik moeten maken van de formules van § 57, waarin /. = v = 1 — A = ,a en ^1 en ^ weer oneindig klein en positief zijn.
De coordinaten van 't zwaartepunt van den kubus zijn 111
2 ' 2 ' 2 ' V3n * Par*,ee'e zwaartepunt in den te onderzoeken stand , , , zoodat onderzocht moet worden of 3 3 2
de volgende ongelijkheid bestaat:
1 „ ( ' _ m~ 4(1 — *,)Vl3 . ( 1 18 \z 4 (1-3,) n } + {2 __ m — 4 ?3 (t — £>)3|a 4 ^ n J waarbij en voldoen aan
1 — 2 5^ — (I — l2)* =3(1— [zie F (u, v, w) = o, g 57)
wat met voldoende benadering overgaat in = 28,.
Na uitwerking en 11a verwaarloozing van oneindig kleinen van de 4c orde enz., wordt onder gebruikmaking van = 2 de ongelijkheid:
o < zoodat we den stand als een stabielen stand moeten aanmerken.























STELLINGEN
I
De naam „neutraal evenwicht voor den stand van den kubus in het derde geval voor £ = (Proefschrift, § 60) is onjuist. (Zie Math. gazette, math. note 285, Dec. 1908)
II
Een dynamische behandeling (met kleine schommelingen) van vraagstukken, als in dit proefschrift voorkomen, kan tot geen afdoend resultaat leiden.
III
Het gelukt niet na aanneming van het axioma: ,,Lorsque les deux forces P et O agissent dans la même
direction et dans le même sens, il est visible 
. . . . que ces forces donnent une résultante égale a leur somme P + Q" de verdere theorema's der statica alleen geometrisch af te leiden. (Poinsot, Elements de statique, pag. 13)



IV
De „Erlauterung": „Die Zeit ist die Zeit unserer inneren Anschauung ' laat aan duidelijkheid te wenschen over. (Hertz, Prinz. der Mech., pag. 53)
V
De atoomtheorie gegeven door Richards, (Proc. of the Amer. Acad., 1902, pag. 407 enz.) waarbij o. a. de atomen geheel aan elkaar sluiten, verdient geen aanbeveling.
VI
De overeenstemming van de gevolgen eener hypothese met de waargenomen verschijnselen bewijst de juistheid dier hypothese niet. (Vgl. Maxwell, Matter and Motion, pag. 124)
VII
Ten onrechte meent Ostwald van een experimenteel bewijs der atomische structuur te mogen spreken. (Zieo.a. Voorbericht: Grundriss derallgemeinen Chemie)
VIII
De behandeling der maxima en minima is bij Gilhert onvolledig. (Gilbert, Cours d'Analyse, 126 enz. en £ 169 enz.)



IX
De groote waarde der inductie voor de wiskunde mag niet uit het oog verloren worden waar M. Pasch zegt: Nirgends aber herrscht die reine Deduktion mit solcher Ausschlieszlichkeit, wie in der Mathematik, die ihr besonderes Geprage eben dadurch erhalten hat. (Zie o. a. Grundlagen der Analysis, pag. 124)
X
Het beeld door Poincaré in art. 23 gebruikt om de elasticiteit van de „fluide inducteur" te doen begrijpen, is niet gelukkig gekozen.
(Zie Poincaré, Electricité et Optique)
XI
Ten onrechte beweert Kokselt (Jahresbericht deutsch. Math. Verein. 1908. pag. 119): Wasbisherin der Geometrie ,,Axiom" genannt worden ist. lasst sich immer als Bestandteil einer, wenn auch umfangreichen, Defenition ansehen.
XII
De redenen, die G. Hamel opgeeft, waarom voor hem in de aanschouwing slechts de Euclidische meetkunde bestaat, zijn zeer onvoldoende. (Jahresber. der deut. Math. Ver. 1909, pag. 360)



XIII
Het aantoonen van verschil in vlakte-dichtheid met het proef bolletje eischt een meer volledige behandeling dan die, welke in vele leerboeken voorkomt. (Bosscha, Magneetkr. en Electr., § 97, Daniëls, Electr. en Magn., enz.)