worden door andere, die, van een plaats van lagere temperatuur komende, een kleinere snelheid hebben. Dat nu, na eenigen tjjd, niet dezelfde stof' in elke helft van de ruimte is als aanvankelijk, kunnen wij niet bemerken; het eenige wat wij waarnemen is, dat de temperatuur beneden hooger en boven lager is geworden. Sehjjnbaar is het verschijnsel van denzelfden aard als de warmtegeleiding in een koperen staaf en men bezigt er ook denzelfden naam voor, maar in werkelijkheid zou men kunnen spreken van de diffusie van twee gasmassa's van ongelijke temperatuur. Ook deze diffusie gaat langzaam; m. a. w. ih' i/tixscH zijn xhchte tritrnitri/eli'iilrrHun geleidingsvermogen zou veel grooter zijn, als een molekuul niet telkens door een ander werd tegengehouden. lier verdient opmerking dat ook de botsingen der deeltjes van de eene tegen die der andere laag den overgang van een zekere hoeveelheid arbeidsvermogen van beweging, d. w. z. van een zekere hoeveelheid „warmte", ten gevolge hebben. Hij gassen van niet te groote dichtheid treedt dit intiisschen op den achtergrond en kan men de warmtegeleiding als een vermenging der lagen van verschillende temperatuur opvatten. § ±26. Inwendige wrijving. Hiervan (§ 2lil) kan lnjj gasvormige lichamen een dergelijke verklaring gegeven worden als van de warmtegeleiding. Heeft een gas een stroomende beweging, dan hebben alle inolekulen, behalve de onregelmatige warmtebevveging, nog een gemeenschappelijke snelheid („stroomsnelheid") in een bepaalde richting. Is nu deze (Fig. 202, blz. 340) naar rechts gericht, en boven het vlak I' grooter dan daar beneden, dan zal dit verschil kleiner worden door do uitwisseling van deeltjes tusschen de beide lagen. Inderdaad, daarbij worden beneden I' inolekulen, die behalve de warmtebeweging een kleine snelheid naar rechts hebben, vervangen door andere met een grootere snelheid. Bij de botsingen die deze ondergaan met de inolekulen die reeds beneden V waren, zal zich die grootere snelheid over al de deeltjes beneden }' verdoelen, maar natuurlijk wordt dan de snelheid, die de geheele laag naar rechts vertoont, grooter dan zij eerst was. lioven I' heeft het omgekeerde («laats, en voor den waarnemer komt alles op hetzelfde neer, alsof geen stof' door liet vlak was heengegaan, maar wat daarboven ligt jftel het andere deel door een tangentiale kracht had meegesleept. W jj zagen in ij 213 dat wegens de inwendige wrijving een zeker drukverschil vereischt wordt 0111 een vloeistof of een gas door een enge buis te drijven. Mjj een gas kan men zich van hetgeen er in do buis plaats heeft, op de volgende wijze een voorstelling maken. De buiswand is ook zelf uit molekulen samengesteld en niet een verdichte gaslaag bedekt. In die laag komen onophoudelijk nieuwe deeltjes uit het binnenste van de buis, terwijl andere molekulen dc grenslaag verlaten. Al hebben nu de eerstgenoemde molekulen, behalve de warmtebeweging, een snelheid volgens de lengte der buis, zij zullen deze, in de wandlaag aangekomen, spoedig verliezen, en hun plaatsvervangers verlaten den wand zonder zulk een snelheid. Stroomde 1111 hot gas in het binnenste der buis voort, maar werd die strooming niet onderhouden, dan zou zij 11a eenigen tijd door deze uitwisseling van molekulen geheel zijn verdwenen. Zal een standvastige stroomsnelheid blijven bestaan, dan moet telkens aan nieuwe molekulen — die nl., welke uit de wandlaag afkomstig zijn, — een snelheid worden gegeven, en hiertoe is een voortdurend drukverschil noodig. Daar do molekultiire snelheden bij temperatuur verhouding toenemen is liet begrijpelijk dat de uitwisseling van deeltjes door het vlak I' 111 l'ig. 202, of tusschen de wandlaag en het binnenste in een capillaire buis daardoor bevorderd wordt. Werkelijk loeren proeven over de doorstrooming dat de inwendige wrijving bij verwarming grooter wordt. Bij vloeistoffen is het tegendeel het geval. De inwendige wrijving van de gassen doet zich, behalve bij de strooming door nauwe buizen, bij menig ander verschijnsel gevoelen (verg. § 214). Alle beirci/ini/eu in een t/atunusm worden erdoor gedempt. Zjj draagt er toe bij, den wind uit te putten en de geluidstrillingen te doen ophouden. Het zal na het bovenstaande duidelijk zjj 11 dat do bestudeering van eenvoudige gevallen waarbij de inwendige wrijving in het spel is, tot een besluit kan leiden aangaande de lengte van den weg dien een molekuul gemiddeld tusschen twee op elkaar volgende botsingen doorloopt. Ook do warmtegeleiding kan voor de bepaling van dien weg dienen. De op deze wijze verkregen uitkomsten zijn zoowel met elkaar als met hetgeen men uit de 2t klh. diffusieverschijnselen heeft afgeleid, in bevredigende overeenstemming. De bedoelde lengte staat in verband met de grootte van de molekulen en met hun aantal; immers, naarmate de deeltjes kleiner zijn en hun aantal minder is, zal er meer kans zijn dat een ervan een aanmerkelijken afstand doorloopt, zonder een ander te raken. De wiskundige theorie van (le inwendige wrijving heeft tot de merkwaardige uitkomst geleid dat zij, tot zeer hoogo verdunningen toe, onafhankelijk is van do dichtheid van het gas (ofschoon zij, als de dichtheid nog verder afneemt, eindigt met kleiner te worden). Wel is waar wordt nl. het aantal deeltjes dat per tijdseenheid door het vlak V (Fig. 202) gaat, hjj verdunning kleiner, maar, aangezien de kans op een botsing vermindert, zullen de deeltjes uit de eene laag dieper in de andere doordringen, wat aan de vermenging bevorderlijk is. Werkelijk leert de waarneming dat b.v. het in S 214 besproken nieesleepen van de eene schijf door de andere bij de hoogste verdunning die men met een gewone luchtpomp bereiken kan, nog in dezelfde mate gebeurt als bij den dampkringsdruk. Dit is een van de merkwaardigste bevestigingen van de kinetische theorie der gassen. § 227. Druk van de eene gaslaag tegen de andere. In hot vierde hoofdstuk hebben wij herhaaldelijk gesproken van den druk dien het eene deel van een gas tegen het andere uitoefent; wij stelden ons daarbij voor dat elk deel voortdurend uit dezelfde stof bleof bestaan. Men zou deze opvatting moeten laten varen wanneer er in de ruimtedeelen die men beschouwt slechts weinig molekulen voorkwamen. Bevatte b.v. een cm3 van een gas 100 deeltjes, dan zouden de deeltjes die zich op zeker oogenblik in een laag ter dikte van 1 cm bevinden, spoedig ten gevolge van hun beweging naar alle zijden verstrooid zijn; ook zou men dan bezwaarlijk kunnen spreken van een druk door de aangrenzende deelen van het gas uitgeoefend, daar de laag de meeste molekulen die van uit die deelen komen aanvliegen, vrij zou doorlaten. In werkelijkheid is bij gassen van de gewoonlijk voorkomende dichtheid de zaak anders. Daar de gemiddelde lengte van den weg tusschen twee botsingen nog geen tienduizendste cm bedraagt, zal b.v. bij een laag van 1 mm dikte de uitwisseling van molekulen met de omgeving tot de nabijheid der zijvlakken beperkt blijven en kan zulk een laag gedurende geruimen tijd geacht worden uit dezelfde deeltjes te bestaan. Deeltjes die uit de omgeving komen, stooten op kleinen afstand van het oppervlak tegen molekulen die tot de laag behooren, en brengen dus een druk tegen deze te weeg op een wijze die niet veel verschilt van wat er zou gebeuren als zij tegen een.vasten wand botsten. § 228. Temperatuurveranderingen bij adiabatische nitzelting en saineiirirukking. Wanneer een zuiger die een gasmassa in een cilindervormig vat afsluit wordt vastgehouden, 7)11 een molekuul niet dezelfde snelheid teruggekaatst worden, waarmee het er tegen stoot. Dit is niet meer liet geval als de zuiger zich beweegt. Wijkt hij terug, dan keert een deeltje met kleinere snelheid terug dan waarmee het den zuiger bereikte; wordt de zuiger naar binnen gedreven, dan is het omgekeerde het geval. Daar deze snelheidsveranderingen bij alle deeltjes voorkomen, die den zuiger treffen, zal de gemiddelde snelheid van de molekulaire beweging en dus de temperatuur van het gas gewijzigd worden. Dit is eveneens het geval, als liet gas door een kwikkoloni die terugwijkt ol' naar binnen wordt geschoven, ol zelfs door een andere gasmassa wordt begrensd (verg. § 227). In het algemeen, zoodra een gas zich uitzet, daalt de temperatuur, en zoodra het wordt samengedrukt, stijgt die, tenzij door warmtetoevoer van buiten ol door nieedeeling van warmte aan de omgeving de temperatuur standvastig wordt gehouden. Volumeveranderingen die bij standvastige temperatuur gebeuren zullen wij isothermische noemen; daarentegen worden veranderingen waarbij elke warmtewisseling inet de omgeving is uitgesloten, adiabatische genoemd. Om die geheel te verwezenlijken zou men het gas in een vat moeten brengen, waarvan de wanden geen warmte doorlaten. Zulke wanden Ix'staan in werkelijkheid niet; men kan evenwel zeer snelle veranderingen als adiabatische beschouwen, daar bij deze geen tijd is voor een merkbare warmtewisseling met het vat. Men neemt dan ook bij plotseling neerdrukken van een zuiger in een stevigen glazen cilinder (vuurpomp) een warmteontwikkeling waar, die voldoende is om eenigen zwavelkoolstofdamp dien men in de lucht in den cilinder gebracht heeft, te doen ontbranden. Omgekeerd daalt bij snelle luchtverdunning de temperatuur onder de klok van een luchtpomp zoo ver, dat, wanneer de lucht vochtig is, een nevel wordt gevormd. De waarnemingen over de adiahatische vohimcveranderingen u O van een luchtmassa hebben geleerd, dat wanneer b.v. lucht van 15 C. plotseling tot één vijfde van het oorspronkelijk volume wordt samengedrukt, de temperatuur tot 280° stjjgt; liij uitzetting tot het vijfvoud van de eerst ingenomen ruimte koelt liet gas tot — 120° af. § 229. Overeenstemming met de wet van het behoud van arbeidsvermogen. Dat de besproken verschijnselen met de wet van het behoud van arbeidsvermogen in overeenstemming zijn, is gemakkelijk in te zien. Een gasmassa die zich in een cilinder onder een zuiger bevindt, oefent tegen dezen laatsten een druk uit en verricht dus bij de uitzetting een arbeid, wat alleen mogelijk is als het inwendige arbeidsvermogen afneemt. Wat de molekulen aan kinetische energie verliezen, wordt teruggevonden als arbeidsvermogen van beweging van den zuiger zelf, als deze een merkbare snelheid krijgt, of als potentieele energie, wanneer door de beweging van den zuiger een gewicht wordt opgelicht; het kan ook gediend hebben om een werktuig dat met den zuiger verbonden is, in beweging te brengen. Omgekeerd zal, als de zuiger daalt, de vermeerdering van bet arbeidsvermogen der molekulen beantwoorden aan den arbeid van de uitwendige kracht die den zuiger naar binnen drijft, en dus aan een vermindering der energie in het lichaam van den proefnemer als deze zelf die kracht uitoefent. Natuurlijk verricht een gas geen arbeid als het zich uitzet zonder een ander lichaam voor zich uit te drijven, d. w.z. als het zich in een ledige ruimte stort. Dan blijft dus het inwendige arbeidsvermogen onveranderd, en de h kinetische gastheorie, volgens welke dit arbeidsvermogen kinetische energie is, vereisclit dat de moleknlairesnelheid en de temperatuur standvastig Mijven. Een proef van Joi le heeft deze verwachting bevestigd. Hij verbond twee gelijke cilinders door een buis met een kraan en plaatste beide in het water van een calorimeter. Vooraf was de eene cilinder ledig, de andere met samengeperste lucht gevuld, en liet bleek dan dat bij het openen van de kraan de temperatuur van den calorimeter geen wijziging onderging, zoodat ook liet gas, zonder warmte op te nemen of af te staan, zijn oorspronkelijke temperatuur had behouden. Ten einde de beteckenis van deze belangrijke proef goed te doen uitkomen, zullen wij voor een oogenblik van de kinetische theorie der gassen afzien en bij de redeneering alleen de wet van liet arbeidsvermogen gebruiken. Het water in den calorimeter heeft dezelfde temperatuur behouden, en liet gas heeft dus geen warmte ontvangen. Bovendien heeft het geen arbeid verricht; derhalve is de inwendige energie niet veranderd, hoewel het volume vergroot is. De proef leert ons dus dat het inwendige arbeidsvermogen van een gasmassa die op constante temperatuur wordt gehouden, onafhankelijk is run het volume. De kinetische theorie geeft nu van deze onafhankelijkheid rekenschap door aan te nemen dat de deeltjes van het gas elkaar niet merkbaar aantrekken, zoodat er van een potentieele energie, die bij uitzetting zou toenemen, geen sprake is, en dat de niolekulen bij een bepaalde temperatuur altijd dezelfde snelheid hebben, onverschillig of het volume groot of klein is. Hot boven gezegde is intusaohen, evenals de wetten van Boyle 011 GayIjUssac, slechts bij benadering waar. In werkelijkheid ondergaat de temperatuur bjj adiabatisohe uitzetting, ook als er geen uitwendige arbeid verrieht wordt, een daling die, wanneer do oorspronkelijke dichtheid niet te groot is, zeer weinig bedraagt, maar wanneer men met een sterk samengeperst gas begint, aanmerkelijk kan worden. § 230. Soortelijke warmte bij constant volume en bij constanten druk. Verbeelden wij óns in een cilinder beneden flio. ƒ110 een zuiger een gram van oen of ander gas; zij de temperatuur daarvan 0 . Verhitten wij nu dit gas tot 1 , en wel terwijl wij den zuiger vastzetten en dus een uitzetting verhinderen. De hoeveelheid warmte die wij daartoe aan het gas moeten toevoeren, heet de soortelijke warmte bij constant volume en zal door c, worden voorgesteld. Zij dient om aan het nas bet inwendige arbeidsvermogen te geven, dat bet bij I meer heeft dan bij 0 . Herhalen wij nu de proef, met dit onderscheid dat wij den zuiger vrij bewegelijk laten, en zorg dragen dat liet gas voortdurend denzelfden druk uitoefent. Om de inwendige energie te vergrooten is weer dezelfde hoeveelheid warmte noodig als straks; die energie heeft hij 1 een bepaalde waarde, onverschillig of het gas een kleine of een groote ruimte inneemt. Maar liet gas verricht nu, terwijl liet den zuiger voortdrijft, een arbeid, en om deze reden moet meer warmte worden toegevoerd dan bij de eerste proef. Het aantal calorieën dat nu noodig is, heet de soortelijke warmte bij constanten druk en zal door c,, worden aangeduid. Men kan de proeven ook omkeeren. Koelt het gas bij standvastig volume van 1° tot O" af, dan staat het een hoeveelheid warmte cr af; maar het geeft meer warmte af, nl. een hoeveelheid c,,, wanneer de druk constant blijft, en het zich dus samentrekt. De meerdere warmte is in dit laatste geval ontstaan door den arbeid dien de uitwendige krachten verrichten. Om de soortelijke warmte van een gas te meten, laat men liet eerst door een verwarmde spiraalvormig gewonden buis stroomen, en vervolgens door een dergelijke buis die zich in een calorimeter bevindt. De temperatuurverhooging van dezen laatsten, de temperaturen waarmee het gas den calorimeter bereikt en verlaat, de hoeveelheid gas en de waterwaarde van den calorimeter zijn de gegevens waaruit men de soortelijke warmte kan afleiden. De uitkomst is de specifieke warmte bij constanten druk. Men zou dat onmiddellijk inzien als liet gas op zijn weg door den calori- rimeter overal denzolfden druk uitoefende, maar inon kan bewijzen dat hot eveneens waar is, al is een merkbaar drukverschil noodig om liet gas voort te drijven. Te dien einde kan men beschouwingen als die van §211 (blz. 336 en 337) en een figuur nis Fig. 1!»8 gebruiken; alleen is liet nu niet noodig dat do doorsneden a en b verschillende grootte hebben. Stel dat liet deel van de buis tusschen a en b in den calorimeter geplaatst is, dat dus a en «'liggen in het wanne, b en b in bet afgekoelde gas. Laat tl de temperatuur in do ruimte aa' en tï die in bb' zijn, j>l de druk in a, p2 die in b, het volume tusschen a en en r2 dat tusschen b en b'. Daar hét de bedoeling is, dat dezelfde gasmassa die eerst tusschen a eu b ligt, zich naderhand tusschen u en b' bevindt, heeft men bij een stationaire beweging l'i ' i _ J'2 ' a 1 -f■atl 1 -|- « t./ De arbeid van dc uitwendige krachten op de massa tusschen a en b is J>i "i Pt t-2 (11) Daar men van de kinetische energie kan afzien, die het gas bij zijn geringe stroomsnelheid heeft, komt een aan dien arbeid aequivalente hoeveelheid warmte te voorschijn, behalve nog de warmte die aan do door het gas verloren inwendige energie beantwoordt. A\ as echter een hoeveelheid gas, gelijk aan (lio, welko tusschen n en u' bevat is, in een vat gebracht en daarin bij den constanten druk van tl tot t2 afgekoeld, dan zou het volume zijn geworden II-at., t' „ = t', — £ 2 1 1 +«<,' cn dc arbeid van den uitwendigen druk zou zijn Pi (''i — «>',), wat juist gelijk is aan de waarde (11). Voor lucht vond Regnault c„ = 0,2B77, waarbij nog valt op te merken dat, behoudens kleine afwijkingen, dit getal altijd de soortelijke warmte bij standvastigen druk bepaalt, onverschillig hoe hoog de druk is. Om een voor de hand liggende reden zijn aan de bepaling van de soortelijke warmte bij standvastig volume door een rechtstreeksche proef bezwaren verbonden. Daar echter het verschil van cp en c,; in nauw verband staat met de in de vorige § § besproken verschijnselen, kan men aan de j'2)o, r P waarneming van deze laatste een middel ontleenen om, als eenmaal c,, bekend is, ook c, te vinden. Op deze wijze heeft men gevonden cv — 0,1692. § 231. Kepaling van liet mechanisch narmte-aequivaleid. Het verschil cr — c, — 0,0085 calorieën is nu de hoeveelheid warmte die verbruikt wordt om den zuiger, of welk begrenzend lichaam dan ook, voort te drijven, als 1 gram lucht bij standvastigen druk van 0' tot 1° verhit wordt, /ij de druk /> dynes per cm2 en het volume v cm3, dus de uitzetting bij de verwarming « v. De arbeid dien 't gas verricht is dan (§207, ft) «/> r ergen, en daar nu voor dezen arbeid cv — cv calorieën gediend hebben, vindt men voor het mechanisch aecjuivalent der warmte-eenheid t t re /) V h = rL c 12 Haar, wanneer wij met 7'de absolute temperatuur bij 0 voorstellen, |) een gram betrekking hebbende) is. \ oor het mechanisch warmte-aequivalent heeft men dus ook, in plaats van (12), Tl li E c, .• m Substitueert men hierin voor ct, en cr de in de vorige § opgegeven waarden, en 7? = 2,87X10" (§219), dan vindt men E = 419 X 10'. Dit is de bepaling waarop reeds in $ 14?J gedoeld werd. Daar /ij berust op de kennis van <\, die door proeven over de temperatuurverandering hij adiabatische samendrukking f uitzetting is verkregen, kan men ook zeggen dat de waarde van K uit tUc proeven is afgeleid. Dat dit mogelijk is, ziet men gemakkelijk in. Wordt een gas adiabatisch samengedrukt, dan kan men uit de voliiinovormindoring en ilcn uitwendigen druk den arbeid vim dezen laats ton afleiden: iian den anderen kant doet de temperatnurverhooging in verband niet de soortelijke warmte van liet gas ons de hoeveelheid ontwikkelde warmte kennen, zoodat men alle gegevens heeft 0111 tot het mechanisch aequivalent der warnite-oonheid te geraken. Hetzelfde is liet geval wanneer men de afkoeling lijj een uitzetting heeft genieten; men weet dan hoeveel warmte verdwenen is en hoeveel arbeid daardoor verricht is. § 232. Beschouwing van een oneindig kleine adiabatische vollimevenillderillg. Ziehier een van de wijzen waarop de temperatuurverandering liij een adiabatische samendrukking kan worden gemeten. I it een grooten glazen ballon 6' (Fig. 210) die door een kraan A met wijde doorboring kan worden gesloten, wordt eerst eenige lucht weggezogen; na het sluiten van A wordt vervolgens de toestel aan zich zelf overgelaten tot lijj de temperatuur van de Fig. 210. omgeving heelt aangenomen. .Met behulp van oen manometer kan de druk van het gas worden gemeten; zoodra die niet meer verandert, is men zeker dat do temperatuur van do omgeving bereikt is. Xu wordt de kraan A geopend, en zoodra de druk van de lucht gelijk aan dien van de atmosphoer is geworden, wat zeer snel gebeurt, weer gosloton. Op dat oogenblik is door het toestroomen van do buitenlucht de temperatuur gestegen ; na het sluiten van de kraan daalt zjj weer tot de oorspronkelijke hoogte, en daarbij neemt do druk af. Zjj 11 do druk van de atmosplieer, j)l de druk die eerst in den ballon bestond, p2 de einddruk, alles in dynes per om". Dan is //, en terwijl ook moet zijn, daar ten slotte bij de¬ zelfde temperatuur moer lucht in den ballon is dan aanvankelijk. Zjj verder de absolute temperatuur van do omgeving T. llij de laatste toestandsverandering is de druk gedaald van p tot pJt terwijl hot volume even groot is gebleven. Op het oogenblik waarop de kraan gesloten werd, was derhalve de temperatuur 7" = ' T. Het resultaat van de proef is dus i/iit wanneer een lucht massa run de temperatuur en den druk p, adiabatiseh wordt samengedrukt tot den druk />, de temperatuur stiji/t tot T = '' '/' 1' 2 Ditzelfde zou ook gebeuren als dezelfde drukverandering adiabatiseh plaats had, terwijl de lucht zich in een cilinder onder een zuiger bevond. Men kan uu gemakkelijk uitdrukkingen vinden voor den arbeid die dan door den uitwendigen druk wordt verricht, en voor do vermeerdering van de inwendige fi n jl IK worpen, bij , van don verzadigden damp hij de temperatuur Tx, bij do daling aan de spanning />„ bij de temperatuur 7',. Zoodra nl. de cilinder met Q in gemeenschap is gestold, zal do stoom zich daarheen hogovon en zich ton dooie verdichten, zoodat de druk = p2 wordt. Stellen wij ons nog voor dat het water dat in don condensator uit den stoom ontstaat, wordt gebezigd om den stoomketel te voeden, dan kan do machine aanhoudend met dezelfde hoeveelheid water werken, die een kringloop van veranderingen ondergaat. § 242. (ïrapliische voorstelling der veranderingen van een gasmassa. Daar de verschijnselen in de heete-luchtmachine van § 240 vrij ingewikkeld zijn, zullen wij onze verdere beschouwingen vastknoopon aan oen denkbeeldig werktuig, waarin een gas een bijzonder eenvoudigen kringloop van veranderingen ondergaat. Stollen wij ons voor dat een gasmassa in een evenwichtstoestand verkeert, terwijl zij do temperatuur T heeft, en aan geen andere uitwendige krachten dan een druk /> is blootgesteld. Zij v het volume en nemen wij gemakshalve aan dat het gas zich in een cilinder onder een verplaatsbaren zuiger bevindt. Werd nu deze zuiger snel naar buiten bewogen, hetzij door den druk van het gas, hetzij door een uitwendige kracht, dan zouden zoor ingewikkelde toestanden kunnen ontstaan. Niet alleen zou liet gas oen aanmerkelijke stroomsnelheid krijgen, waarvan het niet zeker is dat zij in alle dooien van do massa dezelfde is, maaier konden ook verschillen in dichtheid en temperatuur ontstaan. Lieten de wanden geen warmte door, dan zou liet gas afkoelen, maar misschien het eene deel meer dan het andere, en wilde men door een warmtereservoir, waarmoe de wanden van den cilinder in aanraking zijn, de temperatuur standvastig houden, dan zou bij snelle veranderingen een afkoeling op eenigen afstand van den wand allicht niet voorkomen worden. Kortom, men mag niet zoggen (Int gedurende een snelle verplaatsing van don zuiger het gas zich op elk oogenblik in een toestand van even- \\ icht, d. w. z. in een toestand die blijvend zou kunnen zijn, bevindt. Ten einde nu do hieruit voortvloeiende complicaties te vermijden, zullen wij aannemen dat do verplaatsing van den zuiger, hetzij, zooals boven ondersteld werd, naar buiten, hetzij naar binnen, uiterst langzaam plaats heeft. Het is wel duidelijk dat, ofschoon strikt genomen het gas altijd nog wel iets van evenwichtstoestanden zal afwijken, daarvan bij zulke zeer langzame bewegingen mag worden afgezien; de veranderingen die wij beschouwen, bestaan dus in een opeenvolging van geleidelijk in elkaar overgaande evenwichtstoestanden. Men onderscheidt ze gewoonlijk als omkeerbare veranderingen, daar een reeks van op elkaar volgende evenwichtstoestanden zoowel in de eene als in de andere richting kan worden doorloopen. J)it is een punt waarop wij nog terugkomen. Daar tusschen den druk p van liet gas, de absolute temperatuur T en het volume v steeds het in § 21!) besproken verband bestaat, is de toestand op elk oogenblik bepaald , wanneer men twee van deze drie grootheden aangeeft. Wij zullen daarvoor het volume en den druk kiezen, en dan verder de veranderingen van liet gas op een voor de hand liggende wijze graphisch voorstellen. Wij zullen nl., nadat wij twee onderling loodrechte coördinaatassen 0 Ir en OP (Fig. 213) hebben aangenomen, het volume van het gas door de abscis, en den druk door de ordinaat van een punt voorstellen, zoodat b.v., wanneer (2111 Oa liet volume en aA den druk aangeeft, liet punt .1 wordt gevonden. Dit bepaalt dan door zijn ligging den toestand van liet gas. Wanneer deze verandert beeft men voor elk oogenblik weer een ander punt; het is b.v. mogelijk dat na eenigen tijd het volume o //, en de druk g G is geworden, zoodat dan het punt G den toestand van het gas voorstelt. Klaarblijkelijk zal nu aan elke verandering van het gas een lijn van deze of gene gedaante, zooals b.v. de lijn A B, beantwoorden Kortheidshalve kunnen wij van den „toestand A" en van de „verandering AB" spreken. \ an bijzonder belang zijn 1111 de lijnen die isothermischc en adiabatische veranderingen voorstellen, of zooals men ook zegt, de isothermische en adiabatische lijnen. Tot de eerste behooren b.v. A li, E F en I) C. Dat deze lijnen naar de rechterzijde moeten dalen is duidelijk. Elke isothermische lijn beantwoordt aan een bepaalde temperatuur, en een warmtereservoir van die temperatuur is noodig als het gas zoodanige verandering zal ondergaan, als door de lijn wordt voorgesteld. Het is gemakkelijk in te zien dat men een isothermische lijn zoowel in de eene als in do andere richting kan doorloopen. \ oorbeelden van adiabatische lijnen heeft men in A I), Gil en li C. Ook deze kunnen naar beide zijden doorloopen worden. Gebeurt dit in de richting van een uitzetting, d. w. z. in onze figuren naar rechts, dan daalt de temperatuur; de druk neemt dan meer al' dan bij constante temperatuur het geval zou zijn. Derhalve dalen de adiabatische lijnen naar de rechterzijde sneller dan de isothermische. Dat door elk punt van het deel van het platte vlak dat ter sprake komt, zoowel een adiabatische als een isothermische lijn kan worden getrokken, behoeft wel geen betoog. § 243. Graphische voorstelling van e grootte van dit product wordt door het oppervlak van den op C1) staanden rechthoek voorgesteld, en dus de geheele verrichte arbeid door de limiet der som van al de in de figuur aangewezen rechthoeken, d. w. z. door het oppervlak• van de figuur P (J li .1, die aan de bovenzijde door de kromme lijn PQ begrensd is Gemakkelijk zal men inzien dat de arbeid van het gas bij de door QP voorgestelde samendrukking gelijk is aan het oppervlak van de genoemde figuur, met liet negatieve teeken genomen. § 2J4. Kringloop, bestaande uit twee isotliermisclie en twee adiabatische veranderingen. Keert het gas tot den oorspronkelijken toestand terug, dan moet het punt waarvan de coördinaten liet volume en den druk aangeven, zijn aanvankelijke plaats hernemen. Aan een kringloop van veranderingen beantwoordt dus een gesloten lijn; omgekeerd is altijd een kringloop denkbaar, die aan een willekeurig gekozen lijn van dien aard beantwoordt. T-V !• 1 • 1 I)e eenvoudige kringloop waarop in § 2-42 gedoeld werd, wordt nu voorgesteld door een kromlijnigen vierhoek (Fig. 215), waarvan twee tegenover elkaar staande zijden .1 li en CD isothermische lijnen en de twee andere zijden Ji C en .1 I) adiabatische lijnen zijn. Wij nemen aan dat de kringloop in de richting A li C D plaats heeft, en duiden met 1\ en T2 de absolute Tomperaruren aan, die Dij de lijnen A Ji en UI) beliooren De warmtereservoirs die daarbij te pas komen, noemen wij J{1 en 7?,. Na al het voorgaande zal het duidelijk zijn dat met de gasmassa nu de volgende veranderingen moeten plaats hebben: 1°. uitzetting van het volume O a tot het volume O b, terwijl het gas door middel van het reservoir Iil op de hooge temperatuur 7', wordt gehouden, 2°. na scheiding van dit reservoir een adiabatische uitzetting tot het volume Uc, waardoor de temperatuur daalt tot die van liet tweede warmtereservoir R„, 3°. terwijl het gas in aanraking met dit laatste blijft, een samendrukking tot het volume Od en 4°. een adiabatische saniendrukking d a, waardoor het oorspronkelijke volume en ook de hooge temperatuur weer bereikt worden. Men kan zich voorstellen dat deze veranderingen in een werkelijke lieeteluchtmachine plaats hebben, die met het reservoir als „vuurhaard' en het reservoir als afkoeler, in beweging blijft. De zuiger waaronder het gas zich bevindt, kan nl. op de gewone wijze met een vliegwiel zijn verbonden en op een ot andere wijze kan door de wenteling van de vliegwielas op geschikte oogenblikken do aanraking van het gas met het eene of hot andere reservoir worden tot stand gebracht of opgeheven. Blijkens het in de vorige § gezegde wordt nu de bij den (ms beschouwden kringloop door het «as verrichte arbeid voorgesteld door: üppervl. ,4 li l) (i -)- Oppervl. li Cc b — Oppervl. Cl) d cOppervl. DAad, d. w. z. door het oppervlak van de fiyuur A li C1). Daar echter liet gas ten slotte in den oorspronkelijken toestand is teruggekomen, kan deze arbeid alleen ten koste van een aequivalente hoeveelheid warmte verricht zijn. Nu heeft bij de uitzetting AH het reservoir een zekere hoeveelheid warmte, dit» wij zullen noemen, afgestaan, terwijl bij de samendrukking Cl) een hoeveelheid warmte Q2 aan het reservoir It2 is gegeven. Het blijkt dus dat Qi>Q2 moet zijn; de hoeveelheid warmte — Q., is verdwenen en heeft gediend om den zooeven berekenden mechanischen arbeid te verrichten. § 245. Isothermisclie kringloopeu. Bij den kringloop dien wij in de laatste S beschouwden, bleek het verrichten van een mechanischen arbeid ten nauwste samen te hangen 'net de omstandigheid dat het werkende lichaam in den loop van zijn veranderingen op twee verschillende temperaturen gebracht werd. Het onderzoek van de verschijnselen heeft 1111 tot het inzicht geleid dat dit werkelijk een noodzakelijke voorwaarde voor het verrichten van een arbeid bij den kringloop is, en dat dus, alles samengenomen, geen positieve arbeid door het werkende lichaam kan verricht worden, als het gedurende zijn geheelen kringloop op standvastige temperatuur wordt gehouden. Zulk een isothermische kringloop is bij een gas eigenlijk niet mogelijk. Immers, zal de temperatuur daarvan in liet geheel niet veranderen, dan kan men niet anders doen dan, nadat men een eind langs een isothermische lijn is voortgegaan, langs diezelfde lijn weer terugkeeren. Een „kringloop kan men dit nauwelijks noemen, en dat nu de totale arbeid 0 is, spreekt wel van zelf. Andere lichamen echter, die voor een grootere verscheidenheid van toestanden vatbaar zijn, kunnen wel degelijk isothermische kringen van veranderingen doorloopen. Als voorbeeld hiervan kan oen vaste staaf dienen, die kan worden uitgerekt en gewrongen. Wanneer wij zulk een lichaam eerst uitrekken, en dan, terwijl de lengte onveranderd wordt gelaten, over een zekeren hoek wringen , het zich daarna, terwijl de torsie blijft bestaan, tot de oorspronkelijke lengte laten samentrekken, en dan eindelijk de torsie opheffen, hebben wij werkelijk een kringloop. IFet is nu gebleken dat, wanneer men het niet verhindert, de genoemde vormveranderingen van kleine temperatuurwisselingen vergezeld gaan, maar wij kunnen de omstandigheden zoo kiezen dat de kringloop bij standvastige temperatuur wordt uitgevoerd. Natuurlijk zal daarbij een warmtereservoir noodig zijn; dikwijls echter kunnen wij ons voorstellen dat de omringende lucht als zoodanig dienst doet. Zulke isothermische kringloopen, die ook bij vele andere lichamen denkbaar zijn, bepalen wij nu nog nader door de onderstelling dat zij in een opeenvolging van evenwichtstoestanden bestaan, dat dus op elk oogenblik de toestand van het lichaam dezelfde is, waarin het zou verkeeren als de uitwendige krachten die er dan op werken, blijvend bestonden. Daartoe is (verg. $ 242) slechts noodig dat de veranderingen zeer langzaam gebeuren, zoodat aan de zichtbare bewegingen geen noemenswaardige kinetische energie beantwoordt. \\ ij kunnen b.v. de vier bovengenoemde veranderingen van een staaf teweegbrengen door de uitrekkende kracht en het koppel dat de wringing veroorzaakt op geschikte wijze zeer langzaam te veranderen. Gedurende een zeker deel van zijn kringloop kan het werkende lichaam zeer goed een positieven of negatieven arbeid verrichten. Bij de staaf is b.v. deze arbeid positief als li ij zich samentrekt of ontwringt, negatief daarentegen als hij wordt uitgerekt of als de hoek van torsie toeneemt. De bovengenoemde stelling wil 1111 zeggen dat de totale arbeid van liet lichaam nooit positief kan zijn. Gemakkelijk ziet men verder in dat bij een kringloop die ook in omgekeerde richting kan worden doorloopen, dus in al die gevallen waarin men met een opeenvolging fiUS van evenwichtstoestanden te doen lieeft, de arbeid ook geen negatieve waarde kan hebben. Immers, wanneer het lichaam bij de eene richting van den kringloop een negatieven arbeid verrichtte, zou de arbeid bij de tegengestelde richting positief zijn, wat tegen onze stelling strijdt. Wij komen derhalve tot het besluit: Bij eiken omkeerbaren isothermischen kringloop is (le totale arbeid O. Om in te zien dat in deze stelling iets wordt uitgedrukt, dat niet reeds uit de wet van het behoud van arbeidsvermogen volgt, moet men bedenken dat er bij een isothermischen kringloop altijd een warm te reservoir is, en dat ten koste van daaraan ontleende warmte wellicht arbeid had kunnen worden verricht. Uit de wet van liet behoud van arbeidsvermogen kan men alleen afleiden dat de arbeid O is bij een adiabalisch uitgevoerd en kringloop. - § 24G. Vrije energie. l)e aan het slot van § 238 gemaakte opmerking omtrent de ongelijke mate waarin verschillende vormen van arbeidsvermogen voor ons toegankelijk zijn, brengt ons ertoe, liet arbeidsvermogen dat in een stelsel van lichamen aanwezig is, en liet arbeidsvermogen waarover wij onder deze of gene omstandigheden beschikken kannen, van elkaar te onderscheiden. Hoe liet met liet bedrag van dit laatste gesteld is, zullen wij vooreerst in een eenvoudig geval nagaan. Verbeelden wij ons een gasmassa die door een warmterescrvoir op standvastige temperatuur wordt gehouden, zoodat alle veranderingen die zij ondergaan kan, isothermisch zijn; stellen wij ons bovendien voor dat die veranderingen bestaan in uiterst langzame en dus omkeerbare uitzettingen en saniendrukkingen. Daar bij uitzetting arbeid kan worden verricht, besluiten wij dat in liet stelsel, bestaande uit liet gas en het warmtereservoir, een zekere hoeveelheid arbeidsvermogen beschikbaar is. Ten einde een bepaald getal daarvoor te kunnen aangeven, stellen wij vast tot hoever wij de uit■ zetting willen laten gaan (verg. § 126). Wij kiezen dus een of ander groot volume V uit en letten op den arbeid dien hot «jas bij uitzetting tot dat volume kan verrichten. Terwijl wij nu de uitdrukking „beschikbare energie" vervangen door den onder de vastgestelde omstandigheden gebruikelijken term vrije energie, kunnen wij zoggen: De vrije energie wordt genieten door den arbeid dien het gas kan verrichten als het zich isotherniisch en op omkeerbare wijze van het volume dat het in werkelijkheid inneemt, tot het vastgestelde groote volume V uitzet. Uit deze definitie volgt aanstonds: a. De vrije energie is des te grooter naarmate het gas in een kleiner volume is samengeperst. b. Zet het gas zich werkelijk uit, maar niet tot het volume V, dan neemt de vrije energie af met een bedrag gelijk aan den verrichten arbeid. c. Omgekeerd kost samendrukking van het gas een arbeid, gelijk aan de toename van de vrije energie. Dat de vrije energie iets anders is dan het in het gas aanwezige arbeidsvermogen, valt aanstonds in het oog als men bedenkt dat dit laatste , zoo lang de temperatuur even hoog hlijft, bij elk volume even groot is ($ 229), en dat dan ook de arbeid bij een isothermisehe uitzetting ten koste van liet warintereservoir verricht wordt. Toch spreekt men van de vrije energie van het gas, waarmee men intusschen alleen wil te kennen geven dat de mogelijkheid dat bij een gegeven reservoir een arbeid verricht wordt, te danken is aan de aanwezigheid van het gas, dat zich meer of minder ver kan uitzetten. Van andere lichamen of stelsels van lichamen geldt hetzelfde» als van de hier beschouwde gasmassa. Wij onderstellen weer dat de temperatuur door een warintereservoir constant wordt gehouden en beperken ons tot omkeerbare veranderingen, waarbij een reeks van evenwichtstoestanden wordt doorloopen. Kan nu liet stelsel bij den overgang uit den toestand S waarin wij het beschouwen, naar een zekeren „nultoestand" N een arbeid verrichten, dan zeggen wij dat het in den toestand S een vrije energie >/> heeft. Verricht het werkelijk, bij den overgang van den toestand S naar een anderen toestand S', een zekeren jlli Nadat de toestel met de te onderzoeken vloeistof gevuld is, kan men de samendrukbaarheid van deze bepalen door het geheele vat onderdeklok van een luchtpomp te plaatsen en den stand van den top der vloeistofkolom af te lezen, wanneer de lucht is weggenomen en nadat die weer is toegelaten. Natuurlijk moet men daarbij zorg dragen dat de temperatuur niet verandert. De waarnemingen leeren dat de verplaatsingen van den top der vloeistofkolom evenredig zijn met de drukveranderingen. Laat de vloeistof kolom tot de deelstreep a reiken liij den kleinsten druk, en tot de deelstreep t> nadut de druk met 1 atmospheer verhoogd is, zij /i de coëfficiënt van samendrukbaarheid van do vloeistof, v die van het glas waaruit het vat bestaat, beide coëfficiënten genomen in den zin van § 250 en voor 1 atmospheer als eenheid van druk. Verstaat men, in het geval dat de druk de kleinste waarde heeft, die bij de proeven voorkwam, onder r het volume tusschcn twee deelstrepen en onder X r het volume van liet vat tot aan de deelstreep O, dan was hij den kleinsten druk het volume der vloeistof' (X-j- u) r. Naderhand was het (A -j-1>) r (1 —j,); het vat is id. aan de binnen- en buitenzijde aan denzelfden druk onderworpen (§ 2~>0j. Men vindt nu .,_('v+") — ('V-M)0 — *)_ | «—*,« v F+ï — ii —1> Daar ^ even als v een zeer kleine grootheid is, mag men hiervoor schrijven . (i — li fl = V+ X+a Ilad men oj> de volumeverandering van het vat niet gelet, dan zou men gevonden hebben /, —Men kan dit den sc/iiin- J\ -\-a •' haren coëfficiënt ran saincnilrukbaarheiil noemen; men moet (lezen dun met v vermeerderen, om den uitren coëfficiënt te krijqen. I)e grootheid v kan uit proeven over de vormveranderingen van een glazen staaf' worden afgeleid, trouwens niet met groote nauwkeurigheid, daar, al bestaat die staaf uit dezelfde glassoort als het gebezigde vat, de eigenschappen van beide voorwerpen, wegens de verschillende bewerkingen die zij ondergaan hebben, merkbaar verschillend kunnen zijn. Is evenwel /i vrij wat grootcr dan p, dan is een groote nauwkeurigheid in de bepaling van deze laatste grootheid ook niet noodig. § 2G8. Uitzetting van vloeistoffen door de warmte. Wat wij in § 264 over de verandering van het volume van vaste lichamen gezegd hebben, geldt met een enkele uitzondering ook van vloeistoffen, zoodat ook voor deze lichamen do vergelijking (8) van de genoemde § van toepassing is. Wordt van den uitzettingscoëfficient van een vloeistof gesproken, dan wordt altijd de kubieke uitzettingscoëfficient bedoeld. De uitzondering waarop zooeven gedoeld werd, doet zich hij het water voor. Na het in § § 1 en -1 gezegde is het niet noodig daarover in bijzonderheden te treden; wij nierken alleen op dat van een uitzettingscoëfficient zonder nadere opgave omtrent hetgeen men bedoelt bij het water geen sprake kan zijn. Om de uitzetting van een vloeistof hij verwarming te onderzoeken, kan men den in de vorige § beschreven toestel bezigen. Neemt men den stand van de vloeistof in de buis waar bij twee temperaturen, dan zou men, wanneer van de uitzetting van liet glas mocht worden afgezien, door een zeer eenvoudige berekening den uitzettingscoëfficient van de vloeistof vinden. De zoo gevonden waarde heet de schijnbare uitzettingscoëfficient; daar het volume van liet glazen vat in werkelijkheid veranderd is, is de ware uitzettingscoëfficient grooter. Deze wordt gevonden door bij den schijnbaren uitzettingscoëfficient den kubieken uitzettingscoëfficient van het glas op te tellen, een regel, waarvan wij het bewijs aan den lezer kunnen overlaten. Men moet derhalve, om de uitzetting van de vloeistof te leeren kennen, die van het glazen vat vooraf bepaald hebben. Men zou daartoe den lineairen uitzettingscoëfficient van een staaf die uit dezelfde glassoort bestaat, kunnen bepalen, maar heeft dan het bezwaar dat het glas van die staaf eenigszins andere eigenschappen kan hebben dan dat van liet gebezigde vat Het verdient daarom de voorkeur, hetzelfde glazen vat ook te gebruiken voor een proef met fik. en hieruit kan de uitzettingscoëfficient van liet glas worden gevonden. Worden dezelfde proeven herhaald niet een ander vat, waarin zich behalve het kwik een vast lichaam bevindt, dan kan men uit de uitkomsten den uitzettingscoëfficient van dit laatste afleiden. Gemakkelijk ziet men ook in dat men uit de boeveelheid kw ik die bet vat bij een of andere temperatuur kan bevatten, deze laatste kan berekenen. A an daar de naam „gewichtsthcrmometcr." § 270. Gevolgen van de verandering in dichtheid, a. Men moet op deze verandering letten in alle gevallen waarin men een druk wil meten door de hoogte van een vloeistofkolom. Daar de dichtheid van warm kwik kleiner is dan die van koud kwik, zal b.v. de hoogte van de kwikzuil in twee barometers, in welke de vloeistof verschillende temperatuur heeft, ongelijk zijn. Uit liet vroeger gezegde volgt dat, wanneer de bedoelde temperaturen 0° en t° zijn, en de hoogten h0 en In, de betrekkking / _ hi °~l + at bestaat. Met behulp van deze formule, waarin a de uitzettingscoëfficient van het kwik is, kan men eiken by t° waargenomen barometerstand „herleiden tot 0"'. d. w. z. berekenen hoe hoog het kwik bij denzelfden luchtdruk zou staan, wanneer het de laatstgenoemde temperatuur had. b. Ook bij elke nauwkeurige bepaling van het soortelijk gewicht of de dichtheid van een stof moet men met den invloed van de temperatuur rekening houden. Stel b.v. dat een stuk koper in de lucht p gram en onder water q gram weegt, en dat de temperatuur bij de laatste weging t° is. Dan heeft bij die temperatuur het koper hetzelfde volume als een hoeveelheid water van p q gram (van het gewichtsverlies in de lucht zullen wij hier afzien), een volume, waarvan men het bedrag in cnr' met behulp van een achter in dit boek voorkomende tabel kan leeren kennen. Wij kunnen dus ook vinden hoeveel gram 1 cm3 koper bij t° weegt; willen wij daaruit hetzelfde voor 0° afleiden, dan moeten wij den uitzettingscoëfficient van koper kennen en de vergelijking (9) van § 264 toepassen. jlfc § 271. Nadere beschouwing der uitzetting van vaste lichamen en vloeistoffen. Vergelijking van verschillende thermometers. Wanneer men (§ 219) de temperaturen met een luchtthermometer meet, en dan de uitzetting van vaste lichamen en vloeistoffen aan een nauwkeurig onderzoek onderwerpt, lil ijkt het dat voor geen dezer lichamen het in 5; 2(54 en 2ti8 gezegde volkomen juist is; de uitzettingen voor achtereenvolgende gelijke tcmpcratuurverhoogingen zijn een weinig van elkaar verschillend. In de meeste gevallen kan men van deze kleine afwijkingen afzien, maar wanneer liet om groote nauwkeurigheid te doen is, mag men een formule van den vorm = ''o (1 a 0 (1) niet meer bezigen. Men kan echter (verg. § 4) de volumevermeerdering van elk vast of vloeibaar lichaam voorstellen door een empirische formule van den vorm (1 +«>-f/?>2+}'/3) (2) Tertrijl dus de gassen hij hun uitzetting ulle op urini/j nu ticzelfde tref volgen, in (lien zin nl., dat hij dezelfde temperatuurrerhoogiug het rolume hij alle in dezelfde rerhoudinr/ rerandert houdt de uitzetting run een rlocistof of een raat lichaam (jeen (je!ijken treil nu t die run In t gas. Hiervan is een merkwaardig verschijnsel liet gevolg, dat men opmerkt als men een gewonen kwikthermometer met een luchttherniometer, b.v. den in 5; 218 vermelden vergelijkt. Daar van beide de vaste punten op de bekende wijze bepaald zijn, zullen y.jj natuurlijk zoowel in smeltend ijs als in damp van kokend water hetzelfde aantal graden aanwijzen. Hij tussch en gelegen temperaturen is dit echter niet het geval. Om dit in te zien zullen wij voor een oogenblik de uilzetting van het glas buiten beschouwing laten. Stel nu, dat bij een of andere temperatuur de luchtthermometer 50° aanwijst, d. w. z. dat de lucht dan, van 0° af gerekend, juist de helft van de geheele uitzetting die lijj tot 100° toe ondergaat, volbracht heeft. Dan zal liet kwik nog niet de helft van zijn geheele volunievermeerdering ondergaan hebben. en dus nog niet op 50D staan. In een kwikthermometer heeft men eigenlijk met de schijnbare uitzetting van het kwik in glas te doen. Daardoor wordt de be- h antwoording van do vraag hoe hoog zulk een thermometer /.al staan, wanneer de luchtthermoraeter 50 aanwijst, nog iets ingewikkelder. A'//. zelf» zullen twee kwikthermometers die uit rersehillende glassoorten bestaan, niet denzelfilen ganq rertoo)ien, daar die glassoorten hij de uitzetting niet dezelfde wet roli/en. liet verschil in de aanwijzing van een luchtthermoineter en een kwikthermometer kan tusschen 0° en 100° één of twee tienden van een graad bedragen; hoven 100' worden de afwijkingen nog grooter. In vele gevallen kan men van de ongelijke aanwjjzing van verschillende thermometers afzien. I>jj nauwkeurige onderzoekingen worden, zooals reeds gezegd werd ($ 219), de temperaturen in graden van den luchtthermometer uitgedrukt. Dan hehhen voor elk vast of vloeibaar lichaam de coëfficiënten ft en 5' in de formule (2) bepaalde waarden. Deze waarden zouden geheel anders worden, als men / in graden van een kwikthermometer wilde uitdrukken. § 272. Verdamping van vloeistoffen. Maximum van spanning van een damp. Wij zagen reeds in § 235 hoe een 3Zi vloeistof in een ruimte die zij niet geheel kan vullen, geheel of gedeeltelijk in damp overgaat, en hoe hij gegeven temperatuur de damp een bepaalde spanning en ook een bepaalde dichtheid moet hebben om met de vloeistof in evenwicht te 'zijn; wij maakten ons verder een voorstelling van de wijze waarop dit evenwicht tot stand komt. Den „evenwichtsdruk" p noemden wij den druk van den verzadigden damp. Men noemt hem ook dikwijls het maximum van spanning van den damp bij de gegeven temperatuur, een benaming, waartoe men op de volgende wijze gekomen is. Wanneer men een hoeveelheid damp, die eerst een kleinen druk uitoefent, bij de gekozen standvastige temperatuur samendrukt, verdicht zich de damp van zelf tot een vloeistof, zoodra de druk tot zeker bedrag p' is gestegen. Hoe groot dit is, hangt van omstandigheden af, waarop wij later nog terugkomen; in elk geval verschilt p' echter weinig van den evenwichtsdruk p, zoodat men bij benadering kan zeggen dat deze druk de grootste is. dien de damp hij de gekozen temperatuur kan uitoefenen. In denzelfden zin waarin men van het maximum van jifi spanning spreekt, kan men ook zeggen dat de verzadigde damp een maximum van dichtheid heeft. Om de verdamping waar te nemen en de spanning van den verzadigden damp bij niet te hooge temperaturen te meten, kan men de vloeistof boven het kwik van een barometer laten opstijgen; de damp is verzadigd zoodra er nog eenige onverdampte vloeistof overblijft. De spanning van den damp leidt men uit de neerdrukking van het kwik af. Door nu de geheele barometerbuis met een verwarmingsmantel te omringen, toont men aan dat de spanning van den verzadigden damp snel met de temperatuur toeneemt, en wanneer men let op de hoeveelheid vloeistof die men in de buis moet brengen om een bepaalde ruimte „met damp te verzadigen", blijkt liet dat dit ook het gevat is niet de dichtheid van den verzadigden damp. Kei) bepaalde ruimte kan des te meer damp bevatten, naarmate de temperatuur hooger is. Natuurlijk kan men met de barometerbuis niet verder gaan dan tot de temperatuur waarbij het maximum van spanning gelijk is aan de dampkringsdrukking. Om bij hoogere temperaturen te werken moet men zich van andere hulpmiddelen bedienen \ an den invloed der temperatuur kan men zich gemakkelijk rekenschap geven. Is er eerst evenwicht tusschen vloeistof en damp, en verhoogt men dan de temperatuur, dan zullen meer molekulen een zoo groote snelheid krijgen, dat zij uit de vloeistof kunnen wegvliegen. Eerst nadat de damp een grootere dichtheid heeft gekregen, zal er op nieuw evenwicht zijn. Men heeft ook de verdamping onderzocht in een ruimte die reeds lucht of een ander gas bevat, en gevonden dat daarin de damp ten slotte dezelfde dichtheid krijgt als in een eerst ledige ruimte. Daar nu een mengsel van twee gassen een druk uitoefent, gelijk aan de som van de drukkingen, die elk der bestanddeelen in hetzelfde volume en bij dezelfde temperatuur zou vertoonen, ondervinden in den evenwichtstoestand de wanden, behalve den druk dien het gas oorspronkelijk uitoefende, de spanning van den verzadigden damp. De eenige invloed van het gas op de verdamping bestaat hierin, dat het deze langzamer doet plaats hebben. De uit de vloeistof komende molekulen kunnen niet meer ongestoord tot op groote afstanden voortvliegen, maar geraken weldra in botsing met gasdeeltjes; wel wordt de laag onmiddellijk boven de vloeistof spoedig met den damp verzadigd, maar de verdere verspreiding van dezen laatsten moet door een langzame diffusie plaats hebben. Uit de meegedeelde beschouwingen kan men afleiden dat het maximum van spanning boren een waterige zoutoplossing kleiner is dan boven zuiver water. De deeltjes van het zout trekken nl. de water molekulen aan en gaan dus de dampvorming tegen, terwijl zij liet terughouden van molekulen die weer in de vloeistof komen bevorderen. Wij zullen op dit onderwerp nog terugkomen. Ook sommige vaste lichamen kunnen in hun geheel verdampen, of, terwijl zij gedissocieerd worden, een gasvormig bestanddeel afgeven. Boven ijs of boven een kristalwaterhoudend zout heeft de waterdamp een bepaald maximum van spanning en hetzelfde is het geval met het koolzuur dat hij hooge temperatuur uit calciumcarbonaat ontwijkt. § 273. Koken. Hij dit verschijnsel ontwikkelen zich, zooals men weet, dampbéllen in liet binnenste van de vloeistof of aan de wanden van het vat; deze bellen stijgen, terwijl zij aangroeien, naar het oppervlak op. Het ontstaan van een klein dampbelletje zal van een samenloop van gunstige omstandigheden afhangen, maar het is duidelijk dat zulk een belletje alleen kan blijven bestaan en grooter worden, wanneer de damp een druk kan uitoefenen, gelijk aan dien, welke in de omringende vloeistof bestaat. Was dit niet het geval, dan zou het belletje, samengedrukt door de vloeistof, weer verdwenen zijn, nog eer het zichtbaar was geworden. Wanneer van den druk dien de vloeistof door haar gewicht uitoefent, mag worden afgezien, dus in een niet te diepe massa, zullen eenmaal gevormde dampbellen kunnen f'f § 280. Kritische temperatuur. Bij 21°,5 zijn de dichtheden van het vloeibare koolzuur en van den verzadigden koolzuurdamp nog meer tot elkaar genaderd dan bij 13 ,1 en de vraag ligt voor de hand, of wellicht bij nog hoogere temperaturen liet verschil geheel zal wegvallen. Inderdaad is dit het geval. Als de temperatuur tot 30°,9 is gestegen, bestaat er geen onderscheid meer tusschen den verzadigden damp en de vloeistof; uit de verschijnselen bij de samendrukking valt dan liet door de rechte lijn B C voorgestelde gedeelte weg; er is geen sprake meer van een splitsing der stof in een dampvormig en een vloeibaar gedeelte, maar op de door A li voorgestelde samendrukking volgt onmiddelyk de door C I) voorgestelde. De isotherinische lijn voor 30 ,9 loopt nog slechts in een enkel punt E horizontaal. Ook bij elke temperatuur boven 30°,9 blijft bij het samendrukken liet koolzuur homogeen; op zulk een temperatuur heeft de lijn L L betrekking. I)e temperatuur boven welke een stof bij samendrukking steeds homogeen blijft, wordt de „kritische temperatuur" genoemd. Terwijl daar beneden het lichaam zich kan splitsen in twee pliasen van verschillende dichtheid, die naast elkaar kunnen bestaan en waarvan de eene „vloeistof" en de andere „damp" genoemd wordt, bestaat dit onderscheid boven de kritische temperatuur niet meer; men kan de stof dan den eenen of den anderen naam geven, naar gelang van de gedachte waardoor men zich laat leiden. Wordt b.v. koolzuurgas bij 35° sterk samengedrukt, dan is men geneigd het steeds een gas te blijven noemen, daar men geen afscheiding van een vloeibaar laagje of van druppels waarneemt. Maar ten slotte is toch een dichtheid en dientengevolge een lichtbrekend vermogen ontstaan, zooals die bij vloeistoffen voorkomen; een waarnemer die het glazen vat beschouwt, waarin het sterk verdichte koolzuur aanwezig is, zal dus oordeelen dat hij met een vloeistof te doen heeft. Trouwens, het koolzuur had in denzelfden toestand gebracht kunnen worden langs een anderen weg. Men had nl. met vloeibaar koolzuur kunnen beginnen van ko b.v. 21 ,5 on dit bij standvastig volume tot 35° verwarmen. Men zou dan niets bijzonders zien gebeuren, en zou geneigd zijn, nog altijd van een vloeistof te spreken. Het boven aangewezen verschil tusschen liet gedrag van water en dat van koolzuur liangt hiermee samen, dat bij water de kritische temperatuur veel hooger ligt. Men heeft die op 365° geschat. § 281. Verdichting van gassen tot vloeistoffen. Wil men een gas in den vloeibaren toestand brengen, d.w.z. wil men een vloeibaar laagje, druppels, of zelfs maar een nevel zien ontstaan, dan is hot blijkens liet voorgaande noodig, liet tot beneden de kritische temperatuur af te koelen. Bij zuurstof is deze laatste — 118°, bij waterstof — 243°. Van daar, dat deze lichamen langen tijd aan alle pogingen om ze tot vloeistof te condenseeren weerstand hebben geboden. In de laatste jaren beeft men in liet voortbrengen van lage temperaturen groote vorderingen gemaakt ; alle gassen, het laatst de waterstof en het helium, zijn dientengevolge als lagen vloeistof, duidelijk afgescheiden van den damp, verkregen. Om de temperatuur zoover te doen dalen, als bij deze onderzoekingen noodig was, kan men verschillende middelen bezigen. Vooreerst kan men een vloeistof laten verdampen. Haaide verdampingswarmte (§ 274) dan aan de vloeistof moet worden onttrokken, daalt haar temperatuur, 011 dit gaat zoover tot het maximum van spanning van den damp gelijk geworden is aan den druk waaraan de stof is onderworpen. /oo zou men b.v. door water te laten verdampen en den damp snel weg te zuigen, zoodat de druk niet boven 6 mm kwik steeg, kunnen bewerken dat het water tot 4° afkoelde. Beschikt men nu over een temperatuur T waarbij een zeker gas door drukverhooging vloeibaar kan worden gemaakt, dan kan men van de verdamping der daardoor verkregen vloeistof gebruik maken om een lager tempera1 uur / te bereiken, en wel kan men het zoo inrichten dat men altijd door met dezelfde hoeveelheid gas werkt. Men \ erdicht nl. met een perspomp het gas in een op de tom- jm peratuur 7' gehouden vat A, laat de gevormde vloeistof door een buis met regelkraan naar een tweede vat B vloeien, en pompt uit dit laatste den damp van de vloeistof weg, die dan weer in A wordt gecomprimeerd. Stroomt nu door de verbindingsbuis evenveel van A naar B als er in B verdampt, dan heeft men een kringloop verkregen en daarbij bestaat in Ji een temperatuur gelijk aan het kookpunt onder den druk die in dit vat bereikt wordt. De vloeistof in dit vat kan nu als koelraiddel voor een tweede gas dat men verdichten wil, en dat op zijn beurt een kringloop kan doorloopen, gebruikt worden. Het verdient opmerking dat, wanneer de aangegeven werking in geregelden gang is, de hoeveelheid warmte die de vloeistof in B aan liet daardoor af te koelen lichaam onttrekt, juist die is, welke voor de verdamping dor vloeistof vcreischt wordt. De zuig-perspomp dio bij den zoo oven beschreven kringloop gebruikt wordt, kan nis de omkeering van een calorische maohino boschouwd worden. Keerde men b.v. do in Fig. 212 241) voorgestelde stoommachine om ($ 2-18), dan zou do temperatuur in het vat waar reeds do laagste temperatuur bestond, nog verder dalon. Men kan verder, om een lage temperatuur te verkrijgen, van de uitzetting van een samengedrukt gas gebruik maken. Daarbij moet men onderscheiden of er in het gas merkbare molekulaire krachten bestaan, of niet..In het laatste geval, als dus het gas de wet van Bovle volkomen volgde, zou wel, zooals wij reeds weten (§ 229), een afkoeling plaats hebben, wanneer men een in een afgesloten volume samengeperst gas zich liet ontspannen, maar niet wanneer men met een perspomp het gas door een opening in een ruimte waar een lage druk bestaat, dreef. Het gas zou een arbeid doen op de er voor liggende lagen die het voor zich uitdrijft, maar een even groote arbeid zou door de pomp op het gas gedaan worden. Anders is het wanneer er een merkbare molekulaire aantrekking is. Dan neemt de potentieele energie die de molekulen ten opzichte van elkaar hebben bij de uitzetting toe; dit heeft een vermindering der kinetische energie, fin d. w. z. een temperatuurverlaging ten gevolge, en juist van deze afkoeling wordt veelvuldig partij getrokken. Intusschen is het niet goed uitvoerbaar gebleken door een enkele uitzetting een zeer lage temperatuur te bereiken. Dit gelukt eerst als men van een eerste, betrekkelijk geringe afkoeling gebruik maakt om de begintemperatuur bij de ontspanning van een volgende hoeveelheid gas te verlagen. Men laat daarvoor het ontwijkende gas strijken langs do aanvoerbuis van het samengeperste gas. Het is mogelijk op deze wijze door de uitstrooming uit een „regeneratorspiraal" lucht zoo ver af te koelen, dat zij vloeibaar wordt. Hij de toestellen van Linde wordt dit beginsel toegepast. Uiterst lage temperaturen worden nu trapsgew ijze of „easeade"gewijze verkregen. In liet 1 a boru tor hun van Kamermnuii Onnes te Leiden heeft men vooreerst een kringloop van chloormethyl. Deze stof wordt bij de gewone temperatuur vloeibaar gemaakt, en liet verdampende chloormethyl, waarvan de temperatuur—70° bedraagt, dient als koelmiddel voor een buis waarin acthyleen tot 8 atmosplieren wordt samengeperst. Dit gas, waarvan de kritische temperatuur 10° is, doorloopt een tweeden kringloop waardoor een temperatuur van 130° bereikt wordt. Deze is buig genoeg om zuurstof door samendrukking tot vloeistof te verdichten. Door vloeibare zuurstof onder lagen druk te laten verdampen komt men tot — 205°, en waterstof die eerst met behulp daarvan, of van vloeibare lucht is afgekoeld en tevens gecomprimeerd, neemt op haar beurt lijj uitstrooming uit een regeneratorspiraal den vloeibaren toestand aan. Eindelijk is het Onnes gelukt, van verdampende waterstof als koelmiddel gebruik makende, het laatste gas dat nog niet verdicht was, het helium vloeibaar te maken. Daartoe werd dit gas op 100 atmosplieren samengeperst, terwijl het tot 258° was afgekoeld door waterstof die onder lagen druk verdampte; door de uitstrooming van het samengedrukte helium uit een regeneratorspiraal werd dan het gewcnschte gevolg verkregen. De kritische temperatuur van het helium wordt door Onnes op — 2(58° geschat en het kookpunt van vloeibaar helium onder een druk van 1 atmospheer op — 2G8J,5, d. w. z. 4°,5 boven het absolute nulpunt. liet is fm ook gelukt, liet helium onder een druk van ongeveer 1 cm kwik te laten verdampen; daarmee is de laagste ooit bereikte temperatuur, nabij 3° absoluut, verkregen. I)e mogelijkheid deze uiterst lage temperaturen voort te brengen is vooral daarom van gewicht omdat men, door allerlei nutuuren scheikundige verschijnselen bjj zoo ver gedreven afkoeling te onderzoeken, zeer belangrijke uitkomsten kan verkrijgen. "\\ ij kunnen bjj de bijzonderheden der hier in het kort geschetste proeven niet stilstaan. Met een enkel woord moeten wij echter melding maken van de racuumglazen van De war die het mogelijk maken vloeistoffen op zeer doeltreffende wijze tegen warmtetoevoer van buiten te beschutten. Deze jreheel uit srlas Ö bestuande toestellen hebben een dubbelen wand, en de tusschen- ruimte is zoo goed als luchtledig, zoodat de warmtegeleiding door de lucht is opgeheven. De warmte moet dus een langen weg door het glas afleggen om tot de vloeistof in het vat door te drin<*en ö * Ook moet er op worden gewezen dat het in het algemeen gesproken niet evenveel moeite kost om de temperatuur telkens met eenzelfde aantal graden, niuar wel om de ubsolute temperatuur telkens in dezelfde verhouding te doen dalen. Gaat men b.v. van het vriespunt van wuter, 273° absoluut, uit en gelukt het door achtereenvolgende stappen te komen tot 136°, 6m°, 34°, 17 enz., dun zijn die stappen als gelijkwaardig te beschouwen. Hierdoor wordt de otibereikbctitrheiil run het absolute nulpunt in het licht gesteld. Een lichaam tot dat nulpunt af te koelen zou trouwens willen zeggen er alle molekulaire beweging aan te ontnemen, en dit is onmogelijk. \ ermelden wij eindelijk nog dat men menigmaal door de verdamping van een vloeistof onder lagen druk de temperatuur tot het vriespunt kan doen dalen, zoodat een vaste phase te voorschijn komt. Dit gelukt zelfs bij de waterstof, waarvan het vriespunt — is. ]5jj koolzuur wordt het vriespunt bereikt nog voor de druk tot 1 atmospheer is verlaagd. § 282. Theorie van van der Waals. Wij hebben bij de bespreking van de kinetische theorie der gassen (§ 220) aangenomen dat de molekulen elkaar niet merkbaar aantrekken en dat zij zeer klein zijn in vergelijking met de tusschenruimten. ITet is echter duidelijk dat bij samen- jk drukking van een gas do aantrekkende krachten hoe langer hoe meer op den voorgrond zullen treden en dat ook, als de deeltjes eenige uitgebreidheid hebben, hun gezamenlijk volume eindelijk niet meer te verwaarloozen zal zijn tegenover de geheele door het gas ingenomen ruimte. Door deze beide omstandigheden in de theorie op te nemen is van der Waals er in geslaagd, van verschillende in de laatste § § vermelde feiten een verklaring te geven en bovendien tot vele andere belangrijke gevolgtrekkingen te geraken. \\ ij kunnen die theorie hier niet volledig behandelen, en alleen op eenige hoofdzaken wijzen. Zooals reeds werd opgemerkt (§ 278) worden de bij waterdamp en koolzuur waargenomen afwijkingen van de wet van Boyle verklaard uit de molekulaire attractie; deze heeft ten gevolge dat de samendrukbaarheid grooter is dan die wet verlangt. Ook de verdichting tot een vloeistof moet aan de aantrekking worden toegeschreven. Daarentegen is het aan de uitgebreidheid van de molekulen te wijten, dat liet volume van water, als de druk met 1 atmo- spheer verhoogd wordt, met niet meer dan 0*. van het zUUUO oorspronkelijke bedrag afneemt, en dat deze coëfficiënt bij verhooging van den druk voortdurend kleiner wordt, zoodat, zooals Amagat heeft aangetoond, een vermeerdering met 1 atm., als de druk reeds 8000 atm. bedraagt, nog maar een volumevermindering van ten gevolge heeft. 4UUUU (flet volume is dan het ' van wat het bij een druk van 1 atm. is). Het is duidelijk dat, als de molekulen zelf een merkbaar volume innemen en niet of weinig samendrukbaar zijn, ook de hoogste bereikbare druk het totale volume niet beneden een zekere grens kan brengen. Deze verminderde samendrukbaarheid bij hooge drukkingen valt ook op te merken als men boven de kritische temperatuur blijft en dus, zoo men wil, steeds met een gas te doen heeft. I>ij waterstof, waar de molekulaire attractie zeer zwak is, heeft zells bij gewone drukkingen de uitgebreid- fm fjtf niets tc verandoren valt, en evenmin dus aan de daaraan beantwoordende vrije energie. Anders is het met liet vrije oppervlak van de vloeistof gesteld. Dit bestaat nl. uit den meniscus en het oppervlak van hot daarboven liggende waterlaagje; daar nu het laatste bij het omhoog gaan van den meniscus verklei tul wordt, zullen de molekulaire krachten van 'de vloeistof haar voortdurend verder trachten te doen stijgen. De zwaartekracht is oorzaak dat een bepaalde hoogte niet overschreden wordt. Verbeelden wij ons dat voor een oogenblik het middelste punt van den meniscus even hoog ligt als de uitwendige vloeistofspiegel S en duiden wij in dat geval de totale vrjje energie aan door A. Is dan de vloeistof tot een hoogte li opgestegen, dan is liet oppervlak van de vloeistof afgenomen met 2 n r h, als wij nl. door r den inwendigen straal van de buis voorstellen, en den uitwendigen vloeistofspiegel zoo uitgestrekt onderstellen dat de hoogte daarvan niet merkbaar verandert. Afgezien van de zwaartekracht is dus de vrije energie van de vloeistof verminderd met 2 7i r h H. Aan den anderen kant is de potentieele energie tegenover de zwaartekracht toegenomen met een bedrag, waarvoor men zal vinden \nr2h*s (verg. § 206), als men door s het soortelijk gewicht van de vloeistof voorstelten, wat bjj nauwe buizen geen noemenswaardige fout meebrengt, liet gewicht van de kolom in de buis en de ligging van het zwaartepunt berekent alsof zjj aan de bovenzijde door het platte vlak m n begrensd was. Daar nu de totale vrije energie is A — 2 n r h H -j- i ji r2 h2 s, is het maar de vraag, voor welke waarde van li deze uitdrukking een minimum is. Die waarde, de werkelijke stijg hoogte, is (§§11 en 41) 2 H ~ "TT <10> Dat werkelijk de stijghoogte omgekeerd evenredig met den straal van d<' huis is, heeft de waarneming bevestigd. Tevens ziet men uit de formule, hoe men, als r en s bekend zjjn, uit do stijghoogte de eapillariteitsconstante kan afleiden. Zal men op deze wijze goede uitkomsten krijgen, dan is liet noodig do vloeistof eerst tot een grootere hoogte in de buis op te zuigen, ten einde den binnenwand goed te bevochtigen. fiH Uit dc waarneming van de stjjghoogte bljjkt dat de constante II voor water grooter is dan voor alcohol. Hieruit kan men liet volgende verschijnsel verklaren. Laat men o]> het midden van een dun laagje water in een schoteltje een druppel alcohol vallen, dan beweegt zich de vloeistof aanstonds van het midden af naar buiten. Daarbij wordt het oppervlak van de alcoholhoudende vloeistof in het midden grooter, maar de daaraan beantwoordende vergrooting van de vrije energie wordt overtroffen door de vermindering die het gevolg is van de samentrekking van het ringvormige wateroppervlak. Onder geschikte omstandigheden wordt de bodem van het schoteltje in bet midden geheel drooggelegd. Men kan de redeneering die tot de formule (10) geleid beeft, nog iets anders inkleeden. Is nl. de vrije energie een minimum geworden, dan zal zij bjj een verdere oneindig kleine verplaatsing niet veranderen (§§ 41 en 150). Stel dat die verplaatsing in een omboogschuiving van den meniscus over een afstand <5 bestaat. Dan neemt daarbij de eigen vrije energie van de vloeistof af met 2 n r ö H. Het arbeidsvermogen van plaats tegenover de zwaartekracht neemt daarentegen toe met n r'h'ös, als men met h' de gemiddelde hoogte der punten van den meniscus aanduidt. Men kan zich nl. voorstellen dat het kleine gewicht ji dat boven den oorspronkeljjken stand van den meniscus gekomen is, is opgeheven van af den vloeistofspiegel S. I)e beide gevonden uitdrukkingen aan elkaar gelijk j,. r stplloildn vinHf mmi wnnr iln fVirmiiln (1 ole men, wat bij zeer enge buizen geoorloofd is, h' door de hoogte van het laagste punt van den meniscus vervangt. De laatste afleiding van de formule gaat ook door wanneer de buis alleen op de plaats waaide meniscus zich bevindt, den kleinen straal r heeft (Fig. 231), maar daar beneden een willekeurige grootere wijdte. Zoodra de vloeistof (door opzuiging b.v.) eenmaal het entje gedeelte b c bereikt heeft, stijgt zij even hoog op als in een huis die overal de middellijn van b c heeft. Wij zullen niet uitvoerig spreken over vloeistoffen die zich niet over den buiswand uitspreiden. Bij deze is in enge buizen de meniscus een bolsegment, waarvan de vorm bepaald wordt door den randhoek. De theorie leert verder dat, als de meniscus de holle zijde naar horen keert, de vloeistof in de capillaire /mis hooger staat dan daarbuiten. Het tegendeel is het geval als de holle zijde van den meniscus naar boren gekeerd is. Zoo neemt men bij kink in een capillaire buis een neerdrukking waar. Het hoogteverschil tusschen den meniscus en den uitwendigen vloeistof spiegel is in beide gevallen omgekeerd evenredig met den straal van de buis, zoo lang men met dezelfde vaste stof en dezelfde vloeistof te doen heeft en zich tot zeer enge buizen bejxialt. De verklaring van den lagen stand van het kwik in een capillaire buis ligt voor de band. Bjj deze vloeistof overwegen de eigen aantrekkende krachten tegenover die welke van een glaswand uitgaan; zij trachten het oppervlak van de vloeistof zoo klein mogelijk te maken, en dus den dunnen kwikdraad in een capillaire buis daaruit terug te trekken. \ ermelden wij ten slotte nog dat dergelijke hoogteverschillen als tusschen de vloeistof in de buis van Fig. 2i50 en den spiegel iS', ook bestaan bjj een U-vormige buis waarvan do beenen verschillende middellijnen hebben. Kwik staat in het enge been het laagst en water in het wijde. Ook wanneer reeds andere oorzaken een hoogteverschil teweeg brengen, blijven de molekulaire krachten een invloed uitoefenen. Daardoor staat het kwik in de buis van een bakbarometer iets lsiger dan anders bet geval zou zjjn, en "wel des te meer naarmate de buis nauwer is. Om hiermee rekening te houden, moet men bjj het atlezen de hoogte bepalen van den top van den meniscus en bij nauwkeurige metingen eeu correctie aanbrengen. Om eenig denkbeeld van liet mechanisme der besproken verschijnselen te geven, beschouwen wij nog eens het geval waarop Fig. 280 betrekking heeft, in de onderstelling evenwel dat de vloeistof zich niet over den buiswand uitspreidt. Stel dat de buis aan het benedeneinde door een horizontaal vlak U is afgesneden. Wij verlengen den in de buis aanwezigen vloeistofcilinder tot aan het horizontale vlak V en vergelijken de vloeistofmassa a bed met de even breede kolom a'b'c'd', die tot dezelfde diepte reikt, liet is duidelijk dat de laatste kolom van de omringende vloeistof tunschen de vlakken S en V geen kracht in verticale richting ondervindt; hij wordt dus geheel gedragen door de vloeistof beneden V. Aan het vlak cd zijn de omstandigheden dezelfde als aan c'd'. Op de kolom a b c d wordt dus door de vloeistof beneden V een kracht naar boven P uitgeoefend, gelijk aan liet gewicht van a'b'c'd'. Met het meerdere gewicht van ah cd moeten de krachten evenwicht maken, die de kolom van den buiswand en van de omringende vloeistof tusschen V en V ondervindt. Zijn deze krachten, positief gerekend als zij naar boven gericht zijn, A', en A*„ , is verder h de gemiddelde stijglioogte, a liet oppervlak van de doorsnede der buis, on s het soortelijk gewicht, dan is de evenwichtsvoorwaarde // o s = A', -f A'j (11) De kracht A, is samengesteld uit de verticale componenten van allo krachten die de in a b c d liggende vloeistofdeeltjes van den buiswand ondervinden. Daar evenwel molekulen als f en g door den wand in horizontale richting worden aangetrokken, behoeft men alleen op deeltjes zooals h te letten, die in de onmiddellijke nabijheid van den binnenomtrek van hot benedeneinde liggen. Het is niet moeilijk in te zien dat de kracht A', inderdaad naar boven gericht is, en dat haar waarde evenredig is met do lengte L van den zoooven genoemden omtrek, zoodat men kan stellen h\ = a L. Wat A'2 betreft, morken wij op dat het doel kecd van de beschouwde kolom door de even hoog liggende vloeistof tusschen V en V noch naar boven noch naar beneden getrokken kan worden; wij hebben dus alleen te doen met de krachten die de laagsto deeltjes van a b k e ondervinden van de vloeistof, rondom den cilinder en beneden U. Do kracht K2 is dus naar benedon gericht, en kan worden voorgestold door A'2 = Ij , zoodat uit (11) volgt 1)L O s Is do doorsnedo een cirkel met don straal /•, dan wordt dit /(==2(a-fl r 8 § 287. Krachten, op vaste lichamen werkende, a. Worden twee goed gereinigde glasplaten in verticalen stand op kleinen afstand van elkaar in water geplaatst, zoo dat zij er een eind boven uitsteken en de vloeistof in de tusschenruimte evenals in een capillaire buis opstijgt, dan wordt de eene plaat naar de andere toe getrokken. Dit hangt hiermee samen, dat bij oen nadering hot totale oppervlak van de vloeistof kleiner kan worden, zoodat de vrjje energie van het stelsel afneemt. b. Een dun metaal plaatje kan, als het oppervlak vettig is en dus niet door water wordt bevochtigd, op deze vloeistof drijven. hj. Men kan daarbjj opmerken dat liet iets inzinkt, maar de vloeistof sluit zich niet over het plaatje; het oppervlak loopt, van den benedenrand van het plaatje af, schuin buitenwaarts en naar boven. Het oppervlak van de vloeistof is nu grooter dan wanneer het een doorluopend horizontaal vlak was gebleven en zou kleiner worden als het plaatje zich iets naar boven verplaatste. Uit de molekulaire werkingen moet dus een kracht voortvloeien, die het plaatje omhoog drijft en die, gevoegd bij den gewonen hvdrostatischen druk tegen het grondvlak, het lichaam draagt. Wij construeeren een (denkbeeldigen) rechten cilinder, waarvan liet bovenvlak oven hoog ligt als do vloeistofspiegel buiten do inzinking, terwijl het grondvlak geheel in do vloeistof ligt en do mantel het drijvende lichaam op vrij grooten afstand omringt. Past men de stelling toe, dat liet totale gewicht van allos wat in deze ruimte ligt, in evenwicht moet gehouden worden dooide krachten welke die stofmassa van do omringende vloeistof ondervindt, dan kan men aantoonen dat de ruimte die wegens de aanwezigheid van het vaste plaatje niet mot vloeistof gevuld is, een hoeveelheid van deze zou kunnen bevatten, even veel wegende als het drijvende lichaam. Door een dergelijke redeneering kan men de schijnbare gewichtsvermindering vinden van een gedeeltelijk ondergedompeld lichaam, inet inachtneming van do opheffing of neerdrukking van de vloeistof, dio langs het oppervlak daarvan wordt waargenomen. § 288. Twee elkaar aanrakende vloeistoffen. Ook demolekulen van twee verschillende vloeistoffen oefenen een aantrekking op elkaar uit, en wanneer deze groot genoeg is zullen zij, met elkaar in aanraking gebracht, een homogeen mengsel vormen. In vele andere gevallen is de attractie hiertoe te klein en ook niet groot genoeg om, zooals bij water en aether, de eene vloeistof een weinig in de andere te doen oplossen, maar toch voldoende om te maken dat de eene vloeistof zich over de andere tot een dun laagje uitspreidt (olie op water) evenals water zich over een schoon glasoppervlak uitspreidt. § 289. Invloed der kromming van een vloeistofoppervlak O]» de danipspanning. Uit het in § 286 besprokene kan, door toepassing van het beginsel dat een aan zich zelf overgelaten stelsel een evenwichtstoestand aanneemt (§ 235), een interessante gevolgtrekking worden afgeleid. Onderstellen wij dat in een bakje met water A (Fig. 232) een enge glazen buis B fj&a 477 is geplaatst, dat het bedekt is met een klok, die overigens alleen waterdamp bevat, en dat het geheele stelsel op standvastige temperatuur wordt gehouden. In Fig. 232. de buis heeft dan de vloeistof een gebogen, naar boven hol, oppervlak C, en een hoogeren stand dan in het bakje. In de punten E en C, stel het middelste punt van den meniscus, zal de damp nu spanningen aannemen die ongelijk zijn; immers, wanneer de spanning p in E de spanning p' in C niet overtrof met een bedrag, beantwoordende aan het gewicht van de dampkolom /) E, zon de damp in zijn geheel niet in evenwicht verkeeren (!; 204), zooals toch het geval moet zijn. Er moet echter ook, zoowel in E als in C, evenwicht zjjn tussehen den damp en de vloeistof. Daar nu de wand te ver van het middelste punt van den meniscus verwijderd is om daar rechtstreeks invloed te hebben op de uitwisseling van molekulen, ligt het voor de hand, ons voor te stellen dat de kleinere waarde van de evenwichtsspanning in C te wijten is aan den vorm van het oppervlak. Zoo komen wij tot het besluit: De evenwichtsspanning, of het maximum run spanning, is hij een hol oppervlak kleiner dan hij een plat oppervlak. Door een buis te beschouwen, die niet door de vloeistof bevochtigd wordt, vindt men op dezelfde wijze dat de evenwichtsspanning hij een hol opperclak grooter is dan hij een /dat. Het is gemakkelijk, de waarde van p—p' te berekenen. Is de straal van de buis r cm, dan is de stijghoogte van water ongeveer cm. Worden nu p en p' in cm kwik uitgedrukt, en zijn S en ,s de soortelijke gewichten van kwik en waterdamp, dan heeft men , 0,145 ,, (.P —P): = * : S' Stelt men de dichtheid van waterdamp tegenover lucht op 0,62, dan vindt men fa) s, _ 0,00129 X 0,62 p 76(1+«0 ' dus, daar S = 13,6 is, p'=p(l —1LX 10-8 JA 1 \ 1 +at ' r)- Voor 100° is p — 76, dus p' = 76 - 6 X 10~6 r I)< formule geldt nu voor elk hol bolvormig oppervlak, mits men voor r den straal daarvan neemt, die in het geval van 'ig. met den straal van do buis overeenstemt. De overeenkomstige formule voor een bol oppervlak krijgt men door het toeken van den laatsten term om te keeren. § 290. Oververzadigde dampen. Toen wij in § 235 een definitie van de spanning van den verzadigden damp, of het maximum van spanning (§ 272) gaven, onderstelden wij stilzwijgen! dat het oppervlak van de vloeistof plat of weinig gekromd Tn dit geval bedraagt bij 100° C. het maximum van spanning van waterdamp 76 cm kwik. Verbeelden wij ons nu dat men waterdamp van 100° nog iets verder dan tot die spanning iieeft samengedrukt, dat b.v. de druk 76,1 cm bedraagt, en nemen v ij aan dat door een of andere oorzaak in dien damp een waterbolletje van b.v. 0,00001 cm straal gevormd was. Blijkens het bovenstaande zou de evenwichtsspanning aan het oppervlak van bollctJe be(1™g™ 76,6 cm, en daar dit meer is dan de spanning die de damp werkelijk heeft, zal het bolletje verdampen. og kleinere bolletjes zouden dit eveneens doen. Het is echter duidelijk dat, als zulke kleine druppeltjes aanstonds weer zouden verdampen, zij niet zullen ontstaan. Derhalve zal de vorming van druppeltjes, d. w. g. van een nevel, niet plaats hebben, al 'is de druk van den waterdamp boven het gewone maximum van spanning. Wel wordt de damp onder deze omstandigheden gecondenseerd als hij mot een plat of weinig gebogen watervlak, dus >.y. mot een natte glasplaat, in aanraking is. Eveneens kan hij zich op een droge plaat verdichten, daarin geholpen door de aantrekkende krachten die van het glas uitgaan. Ook kleine in den damp zwevende stofjes, en andere deeltjes, waarover wij naderhand zullen spreken, kunnen de kernen van een condensatie worden. Men heeft aangetoond dat de damp zich niet tot een nevel verdicht als de lucht vrij is van zulke kernen. W ij vermelden hierbij dat, als men de lucht door een prop watten laat stroomen, het stof daardoor wordt teruggehouden. Ken damp die een grootere spanning heeft dan het gewone maximum, wordt wel eens oververzadigd genoemd, zoodat men dan van onverzadigden, verzadigden en oververzadigden damp spreekt. Men meene evenwel niet dat er in het wezen van den ovenerzadigden damp iets bijzonders is, waardoor hij zich van den verzadigden of nog meer verdunden onderscheidt. Een verschil tusschen deze gevallen wordt eerst waargenomen als de damp met vloeistof in aanraking komt. § 291. Vertraging van liet koken. Uit dun invloed ran de kromming op de dampspanning kan men verder afleiden dat, evenals druppels in een dampmassa, ook dumpbellen in een vloeistof moeilijk gevormd zullen worden. Stel b.v. dat wij water dat aan een druk van 7(5 cm is blootgesteld, tot 101° hebben verhit. De evenwichtsspanning in het geval van een plat oppervlak zou dan 78,8 cm zjjn. Maar in het binnenste van een dampbelletje waarvan de straal minder dan 2 X 10 "6 cm bedraagt, zou de even wichtsspanning minder dan 76 cm zijn. Da.-.r de damp door den uitwendigen druk echter tot de spanning van 76 cm wordt samengeperst, zou hij zich tegen den wand van het belletje verdichten. Ook kleinere belletjes zouden, zoodra zij er waren, weer verdwijnen, en zullen dus klaarblijkelijk niet ontstaan. Wel kunnen danipbellen gevormd worden aan de wanden van het vat, aan een in het water gelegden metaaldraad, of aan stofdeeltjes die in het water zweven; ook in luchtbellen, die dooide ontwijking van opgeloste lucht ontstaan, kan het water verdampen. Zijn echter dergelijke gunstige omstandigheden niet aanwezig, dan kan men de vloeistof, zonder dat zij kookt, vrij wat boven het gewone kookpunt verhitten tot dat eindelijk onder hevig stooten de danipbellen gevormd worden. § 292. Eerste verschijning van een nieuwe phase. Eenige andere gevallen vertoonen met de zoo even besprokene veel overeenkomst. Water kan b.v. zeer goed eenige graden beneden 0° fr worden afgekoeld zonder dat het bevriest, of, zooals men zegt, in een toestand van oversmelting verkeeren. Het kan ecliter bij die lage temperaturen niet bestaan in tegenwoordigheid van ijs; hot kleinste stukje ijs dat men er in werpt, doet een deel van' de vloeistof bevriezen, waarbij door de vrij wordende warmte de temperatuur juist tot 0° stijgt, den eenigen warmtegraad bij welken (onder den gewonen dampkringsdruk) ijs en water naast elkaar kunnen bestaan. Uit dit voorbeeld blijkt, evenals uit do voorgaande, hoe het eerste verschijnen van een nieuwe phase geheel andere omstandigheden vereischt dan het aangroeien van een reeds aanwezige hoeveelheid daarvan. In water van — 5° zal een stukje ijs stellig aangroeien, maar daarom zal er nog niet een ijskristalletje in ontstaan. Welke voorwaarden voor dit laatste noodig zijn is ons niet geheel bekend; wel is het gebleken dat men het water het best, zonder «lat het bevriest, beneden 0° kan afkoelen als men het voor plotselinge beweging vrijwaart. Trouwens, bij een beweging kan de vloeistof licht met een ijskristalletje dat zich boven den waterspiegel aan den wand van het vat gevormd heeft, in aanraking komen. Met het water heneden 0° kan men vergelijken een zoogenaamde oververzadigde oplossing van een vaste stof, d. w. z. een oplossing die sterker is dan die, welke met de vaste stof in evenwicht kan zijn. Pusschen deze beide oplossingen en een nog meer verdunde, een onverzadigde, bestaat, wat de oplossing op zich zelf betreft, geen wezenlijk onderscheid; zij gedragen zich alleeu verschillend als zij met de vaste stof in aanraking komen. De kleinste hoeveelheid daarvan heeft een afscheiding van het vaste lichaam uit een oververzadigde oplossing ten gevolge. § 293. Imbibitie en osmose. Wij zullen nu ten slotte eenige eigenschappen van oplossingen en vooral van verdunde oplossingen bepreken. Om de daaromtrent verkregen, in vele opzichten belangrijke uitkomsten te begrijpen, is het noodig, met een merkwaardige eigenschap van sommige vaste lichamen bekend te zijn. Yele daarvan zijn poreus, d. w. z. van fijne kanaaltjes voorzien, waarin zij een vloeistof kunnen opzuigen, een gevolg van de uitspreiding der vloeistof over de wanden van de poriën en vergelijkbaar met de opstijging in capillaire buizen. Maar ook lichamen, zooals lijm, die in 't geheel geen poriën vertoonen, kunnen water opnemen, waarhij zij menigmaal aanmerkelijk opzwellen; de watermoleknlen vin Jen hier een plaats tusschen die van het vaste lichaam en vormen daarmee een nieuw homogeen lichaam. lïjj deze imbihitir kunnen in het water opgeloste stoffen mee worden opgenomen. Zoodra nu een vaste wand die het vermogen tot imbibitie heeft, twee vloeistoffen van elkaar scheidt, kunnen deze zich, door den wand heen, met elkaar vermengen [osmose). Daarbij worden dikwijls de verschillende bestanddeelen in zeer ongeljjke mate doorgelaten. Een stuk perkamentpapier b.v., dat aan de eene zijde met zuiver water en aan de andere niet een oplossing in aanraking is, laat sommige opgeloste stoffen (krist/i! loïden), b.v. zouten, door, maar verspert den toegang min of' meer aan andere (colloïden), b.v. aan eiwit. Men kan daarvan gebruik maken om de eerstgenoemde zelfstandigheden van de laatste te scheiden. een bewerking, waaraan men den naam van di/ili/se geeft. Ook tusschen de snelheden waarmee een opgeloste stof en het oplossingsmiddel zelf door een wand gaan, bestaat dikwijls een groot verschil. § 294. Osmotische druk. Als dit onderscheid zoo ver gaat dat de opgeloste stof in 't geheel niet doorgelaten wordt, zullen wjj van een lialfdoordringbaren wand spreken. Men heeft dien o. a. verwezenlijkt door een potje van poreus aardewerk, dat vooraf, door verwijdering van de lucht uit de poriën, goed met water gedrenkt was, te plaatsen in een oplossing van geel bloedloogzout, terwijl het gevuld was met een oplossing van kopersulfaat. Kik kanaaltje wordt dan afgesloten door een klein tusschenschot van ferrocvaankoper en dit is het dat de bovengenoemde eigenschap heeft. In de opening van het aldus toebereide potje wordt nu een verticale en aan het boveneinde open glazen buis waterdicht bevestigd, zoodat een hoog vat ontstaat, waarvan het potje het benedenste gedeelte uitmaakt. Omringt men vervolgens het potje met zuiver water en vult men het met een oplossing van deze of' gene stof', b.v. van rietsuiker, dan bljjkt het dat, terwijl de suiker niet naar buiten kan gaan, het water naar binnen wordt gedreven. De vloeistof stijgt nl. in de buis omhoog, maar daar- .31 ffy1/ f¥ do,,r ontstaat een drnkverhooging in liet vat, die na eenigen t!)d evenwicht .naakt met de krachten die het water naar binnen drijven. Het drukverschil dat ten slotte tusschen de vloeistoffen mn ueerszjden ren den halfdoordringbaren wand bestaat, noemt men <<''n „osmotischen druk" van de oplossing. Hoeveel water nu door den wand' is heengedrongen, hangt van de omstandigheden af. Was het potje, nadat men het met 8Ulkeroplossing gevuld had, aan de bovenzijde gesloten dan zou reeds ,1e doorgang van zeer weinig water den' druk eènoeverhoogd hebben om het verdere indringen te beletten. Dat ook aan weerszijden van halfdoordringbare wanden van anderen aard, onder dezelfde omstandigheden, een drukverschil ontstaan zal, mag men verwachten en heeft men ook werkelijk waargenomen. Uit het in het begin run §235 gezegde kan men nu afleiden dat de osmotische druk onafhankelijk is run de bijzondere eigenschappen run den lialfdoordringbaren wand dien men bezigt Verbeelden wij ons nl. (Fig. 233) een buis /ƒ, waarvan 'de wand geheel ondoordringbaar is, en die door halfdoordringbare platen 1' ' '*>• en van verschillenden aard is afgesloten , met een oplossing gevuld en in horizontalen stand in zuiver water ondergedompeld. Men ziet o-e- moM..l"l. * 1, , niakkeliik i n r?ii f VV'tl 11 n onn .],> i..' 1 • • • " ' Uü Uö»i<»nscne druk voor de nlaafc /> niet even groot was als voor de nlnüf n . kunnen ontstaan. Werd b.v. bij I' eon groo'tefZukTeZhÏ vZv het evenwicht vereischt dan bij Q, dan zou de vloeistof aanfruitend0'! P na'lr ,,inneV" d°01' 9 naai' buiten sh'00""'"' en buiten de buis weer naar V terugkeeren. Daar er toch altijd eenige wrijving is, is dit onmogelijk. J § 295. Wet van van 't Hoff. Bij zeer verdunde oplossingen wordt de grootte van den osmotische,, druk bepaald door een iege d,en men aan van 't Hoff te danken heeft. Om dien te verspan moet men terugdenken aan de wet van Ayooadbo § 223) volgens welke b,j een bepaalde temperatuur door een «17 ,i?! rr,vkuU,n'in e""gegeven ruimte aanwez>g' ,lezeIf<,° dluk Wordt uitgeoefend, onverschillig „iet welk Daar nu voor elke oplossing de osmotische druk ]' niet behulp \an de wet van van t Hoff berekend kan worden, kun men ook de damj/span ningsverini ndering ji theoretisch bepalen. De op deze wijze gevonden uitkomsten zijn in vele gevallen in bevredigende overeenstemming met de waarnemingen. De formule (1 ft) kan nog in een anderen eenvoudigen vorm worden geschreven. Zij nl. v het aantal molekulen in de volumeeenheid verzadigden damp, A het aantal van deze molekulen die in de volume-eenheid water zijn opeengehoopt, en eindelijk h het aantal molekulen van de opgeloste stof in de volume-eenheid der oplossing. Dan is o V 7 — A' terwijl, als men van de afwijkingen van den waterdamp van de wet van Boyle afziet, en de wet van van 't Hoff toepast, de dampspanning p voldoet aan de evenredigheid 1': ]> = n : j'. De vergelijking (13) gaat nu over in * = -'v i> (14> Hoeveel de dainjispanniiu/ door de iianicezii/lieid run de opgeloste, stof afneemt, haiu/t dus alleen van het aantal molekulen af. Tsotonisehe. oplossingen hebben ook gelijke duinpspanning. Het verdient opmerking dat de gevonden uitkomst ook dan geldt, wanneer bij de verdichting van waterdamp molokulen zieli tot grootere groepen vereenigen, en dus in do vloeistof grootero molekulen voorkomen dan in den damp. Onder liet getal N wordt nl. in de afleiding niet liet aantal vloeistofmolekulen verstaan, maar het aantal dampmolekulon die, hoe dan ook met elkaar verbonden, een volume-eenheid water opleveren. § 299. \ nespiiiif van verdunde oplossingen. Het is gebleken dat een oplossing een lager vriespunt heeft dan het zuivere oplossingsmiddel en ook voor dit verschjjnsel kan men uit de theorie van den osmotischen druk een wet afleiden, als men aanneemt dat, zooals dikwijls het geval is, de vaste stof die uit de oplossing ontstaat, geheel vrij van de opgeloste stof is. Stel dat de oplossing per cm3 c gram-molekuul (§ 223) van hl do opgeloste stof bevat. Dan beeft men voor de verlaging vun het vriespunt gevonden T2 r #=1,97 c (15) r waarin T liet vriespunt van liet zuivere oplossingsmiddel is (absolute temperatuur), r liet volume in cm3 van 1 gram van liet oplossingsmiddel, en de smeltingswarmte in calorieën voor 1 gram. Voor water is e = 1, r = 79. Heeft men verder met een verdunde oplossing te doen, die op 100 gram water, dus in 100 cm3 c' grani-molekuul van de opgeloste stof bevat, dan is e = 0,01c', en dus volgens (15) #=18,5 <■'. I)en coëfficiënt 18,5 noemt inen do iiatlelulairr rrirspiintsrer/agimi. Het verdient vooral opmerking dat blijkens de meegedeelde formule de priexpuntsverlaging alleen van het aantal molekulen ran de opgeloste "tof af hangt, en dat das isotoninche oplossingen hetzelfde r nes punt hebben. Hoe men, door de vriespuntsverlaging te nieten, niet behulp van (15) e kan leeren kennen en dus, als men de concentratie kent, het niolektilairge.wirht ran de opgeloste stof hm bepalen, zal duidelijk zjjn. Ook voor andere oplossingsmiddelen dan water geldt de formule (15). Door een opgeloste stof wordt altijd het smeltpunt verlaagd, onverschillig of het oplossingsmiddel zich bij het vastw'ordon samentrekt of uitzet. Zij (Fig. 2."{6) li een ringvormige buis van overal gelijko doorsnede, die met zjjn vlak verticaal staat, en waarin zich hij A een halfdoordringbaar tussohenschot en van B tot C een stuk ijs bevindt. De ruimte tusschen A en B zij met een oplossing, die tussohen A en C met zuiver water gevuld. Terwijl wij aannemen dat het tusschenschot aan den wand van do buis is bevestigd, onderstellen wij dat hot stuk ijs zich bewegen kan. Dit wordt niet belet door do aanwezigheid van de vloeistof in het overige deel van do buis; immers het tusschenschot A kan het water doorlaten. Wij houden nu dit stelsel op do standvastige temperatuur T (natuurlijk in de nabijheid van het gewone Fig. 236. vriespunt) en toonen vooreerst aan dat er, bij een zekeren stand van liet stuk ijs, mechanisch evenwicht mogelijk is. Te dien einde verstaan wij onder s liet soortelijk gewicht van het water, onder s' het gemiddelde soorteljjk gewicht van de oplossing tussehen A en B, onder a het soortelijk gewicht van liet jjs, eindelijk onder ha, hl, en hr do verticale hoogten van do middelpunten der zeer kleine vlakken A, B en C boven liet laagste punt van de buis. Is nu nog p de druk in de oplossing bjj li, I' de osmotische druk, dan is als er evenwicht bestaat — de druk aan de bovenzijde van A p (hb - hu) s , die .urn do benedonzijde van A p + (hl, — hu) s — I', en die in het punt C p -j- (hu — hè) s -f (hl, — ha) s' — 2'. L)c druk in C overtreft dien in B dus met liet bedrag {ha - hr) s -L (H — h,t) s' — 1', en wij moeten onderzoeken, wannoer dit drukverschil evenwicht zal maken met het gewicht van het ijs. Het eenvoudigst is het, te bedenken dat het stuk ijs in eiken stand in evenwicht zou zijn, als liet tusschenschot A er niet was en de geheele ruimte beneden het ijs gevuld was met een vloeistof, even zwaar als dit laatste, dus van het soortelijk gewicht n. Dan zou het drukvorsohil tussehen C en B zijn (hl, — hc) Kr 8—ij Ziedaar hoeveel, bij een zelfden druk p, het vriespunt van een oplossing lager is dan dat van water. Is de oplossing zeer verdund, dan is & veel kleiner dan 7' en mag men in het tweede lid onder 7' het vriespunt van zuiver water verstaan (dut eigenlijk 7' -(- i'> is). Verder is s: ff = c,:»,; men mag dus voor de vergelijking schrijven 0- = Tp- 1'. K r Wordt iiu de sterkte van de oplossing op de in liet begin van deze $ aangegeven wijze door het getal c bepaald, dan is P gelijk aan den drnk, uitgeoefend door c gram-molekulen van een gas in een cm3, en wordt dus in dynes per cin2 door 82,7Xl06c'7' (§ 22H) gegeven, waardoor men tot de fonuule (15) komt. £ 300. Afwijkingen van do wet van van 't Hoff. Evenals wjj in het bovenstaande eerst do dainpspanningsveriuindering en 1014 D 1 : 30 ] 1014 Jij ;jijj«g;jj ; j g: .juaföi D I r '11 30 : fojy 3>.30. ^ f) */ —5 V" HEG INSELEN DER N A T U U H K U N D E. BEGINSELEN DKR NATUURKUNDE DOOK H. A. LORENTZ. V IJ F I) K D R U K. bewerkt «oor II. A. LORENTZ en L. II. SIERTSEAIA. eerste deel. BOEKHANDEL EN DRUKKERIJ VOORHEEN E. J. BRILL. leiden. — 1908. VOORBERICHT VOOR DEN TWEEDEN DRl'K. Hij de bewerking van den tweeden druk van dit leerboek beb .k in inhoud en vorm vrij wat veranderd. In bet hoofdstuk van het eerste deel is het voornaamste uit de theorie van het molekulaire evenwicht opgenomen. Ook andere hoofdstukken zijn ten deele omgewerkt; onjuistheden en minder duidelijke uitdrukkingen werden zooveel mogelijk verbeterd. Do welwillende opmerkingen van den Heer Dr. C. Mensinga te Zwolle zijn mij daarbij van veel nut geweest. AVat den vorm aangaat vindt men, evenals in den eersten druk, in kleine letters datgene wat, althans bij een eerste lezing, en door velen voor goed, zal kunnen worden overgeslagen. Voor hetgeen er dan nog overblijft zijn thans echter twee lettersoorten gebezigd; wat met de grootste gedrukt is bevat de hoofdzaken en vormt vrij wel een afgerond geheel. II. A. LORENTZ. Leiden, Juli 1893. VOORBERICHT VOOR DEN VIERDEN DRUK. Deze nieuwe druk, bjj welks bewerking Dr. Siertsema zoo vriendelijk was, mjj zjjne hulp te verleenen, onderscheidt zich, wat het eerste deel betreft, slechts weinig van den vorigen. Eenige veranderingen, voornamelijk in het tweede en zesde hoofdstuk, hebben, naar wij hopen, tot vereenvoudiging en verduidelijking geleid. In het tweede deel zullen wij de behandeling der electrische verschjjnselen eenigszins wijzigen door tot op zekere hoogte van de electronentheoric gebruik te maken. De drie lettersoorten zijn gebleven. De ondervinding heeft geleerd (lat de aanstaande studenten in de geneeskunde in den regel liet best doen, de met kleine letters gedrukte gedeelten geheel over te slaan. Gaat dus dit werk voor sommigen hier en daar wat te ver, het vereischt aan den anderen kant een aanvulling, daar het, overeenkomstig de bestemming om als leiddraad bjj mijne colleges te dienen, slechts weinig beschrijvingen en afbeeldingen van instrumenten bevat, en vele belangrijke bjjzonderheden, o. a. van historischen aard, z|jn weggelaten. Ik meen daarom de lezers uitdrukkelijk te moeten aanraden, zich niet tot dit leerboek te bepalen, maar zich bovendien een uitgebreider handboek aan te schaffen, dat niet bestemd is 0111 geheel te worden doorgewerkt, maar 0111 nu en dan te worden geraadpleegd. H. A. LORENTZ. Leiden, October 1904. IN H O VI). ,_r Bladz. \\ ISKTNDKiE INLEIDING j Hoofdstuk I. Beweging en krachten „ II. Arbeid en arbeidsvermogen j(57 „ III. "\ aste lichamen van onveranderlijken vorm . 231 » • Evenwicht en beweging van vloeistoffen en gassen n ^ • Eigenschappen van gassen 348 „ AI. 1 hermodvnamische beschouwingen .... 380 „ VII. Eigenschappen van vaste lichamen . . . . 414 „ A IN. Eigenschappen van vloeistoffen en dampen . 435 /< WISKUNDIGE INLEIDING. § 1. Samenvatting der uitkomsten van metingen in een tabel. Alvorens met liet onderwerp van dit leerboek te beginnen, .uilen wij eenige dikwijls te pas komende wiskundige beschouwingen en methoden bespreken. Wij gaan daarbij va» een eenvoudig voorbeeld uit. \\ anneer de warmtegraad of temperatuur van een lichaam verhoogd of verlaagd wordt, ondergaat ook de ruimte die het inneemt een verandering. Wil men dit verschijnsel onderzoeken dan moet men in de eerste plaats nagaan of bij twee proeven bij welke de temperatuur dezelfde is, ook voor het volume even groote waarden worden gevonden. Dit is werkelijk het geval en de uitkomsten der bjj verschillende warmtegraden verrichte metingen kunnen nu in een uit twee kolommen bestaande tabel worden vereenigd; in de eerste kolom worden de temperaturen opgeteekend, bij welke men heeft waargenomen; achter elke temperatuur staat het daarbij behoorende volume Op deze wijze beeft men voor het water de volgende tabel gekregen: -temperatuur. \olume. Temperatuur. Volume. '' 1 1,000251 '' 0,999978 12,7 1,000352 2-1 0,999923 15,0 !,„00706 5,2 0,999885 17j4 ^001057 ' 0,99995.1 19,2 1,001419 9,1 1,000081 De temperaturen zijn hier in graden naar de schaal van Celsius opgegeven, en als eenheid van volume is de ruimte gekozen die de onderzochte hoeveelheid water bjj 0° inneemt. 1 8 2. Standvastige en veranderlijke grootheden. Fmietiëii. Grootheden die, zooals hier de temperatuur en het volume, voor verschillende waarden vatbaar zijn, worden veranderlijke grootheden genoemd. Daartegenover staan standvastige of constantc grootheden, zooals de verhouding van ecu cirkelomtrek tot de middellijn, of het gewicht dat een voorwerp op een bepaalde plaats der aarde heeft. Om uit te drukken dat aan elke temperatuur een bepaald volume beantwoordt, en dat dit niet de temperatuur verandert, zegt men dat het volume van de temperatuur afhangt, of wel, dat het een functie daarvan is. Do temperatuur wordt de onafhankelijk veranderlijke, liet volume de afhankelijk veranderlijke, genoemd. Dezelfde termen worden in alle soortgelijke gevallen gebezigd. Zoo is de tjjd in welken een slinger een schommeling volbrengt een functie van de lengte van den slinger. Het gewicht van een liter waterhoudenden alcohol is een functie van do verhouding der daarin aanwezige hoeveelheden alcohol en water. Kveneens kan men den logarithmus van een getal een functie \,in dit getal zelt, en don sinus van een hoek een functie van den hoek noemen. Een functie is bekend, wanneer men weet welke waarde zij voor elke waarde der onafhankelijk veranderlijke aanneemt. Iedere bekende functie kan in een tabel worden voorgesteld. De tabel van de vorige §, do logarithmen- en sinustafels kunnen als voorbeelden dienen. S 5. Algebraïsche voorstelling van een functie. Als ./• een veranderlijke grootheid is, zal elke algebraïsche ofgoniometrische uitdrukking waarin x voorkomt, b. v. .'i x _|_ 5, yi i r \ Q l' e', sin x, t g («./■_)_/,), cen functie van x zijn. Heeft men do waarden van een functie door metingen leeron kennen en in een tabel vereenigd, dan ligt het voor de hand te beproeven, die functie door een uitdrukking zooals de zoo even bedoelde voor te stellen. trachten wij dit te doen voor de in § 1 opgegeven waarden van het volume van een hoeveelheid water. Wij zullen ons daarbij beperken tot bet temperatuurinterval van 7Q,2 tot 19°,2. Het eenvoudigst zou de gezochte uitdrukking worden wan- N neer de uitzetting van het water voor achtereenvolgende "-olijke temperatuurverhoogingen telkens even groot was. Daar de geheele volumevermeerdering bij verwarming van 7°,2 tot 19°, 2 0,001466 bedraagt, zou dan voor eiken graad de uitzetting 0,001466 = 0,0001222 moeten zijn. Stelt men nu een willekeurige temperatuur tusschen < ,2 en 19 ,2 door t, en het daarbij behoorende volume door v voor, dan zou v = 0,999953 -f- 0,0001222 (t — 7,2) zijn; de eerste term hierin stelt nl. het volume bij 7C,2 en do laatste de uitzetting bjj verwarming van 7 ,2 tot t° voor. Bjj ontwikkeling wordt v = 0,9990732 -f- 0,0001222 t (i) Daar deze formule uit een onderstelling is. afgeleid, moet men nog onderzoeken of zij werkeljjk de uitkomsten der waarneming voorstelt. Te dien einde substitueert men in de vergel jjkin" achtereenvolgens < = 9,1; 11,2; 12,7; 15,0; 17,4 en vergelijkt te waarden die men voor v krijgt, met de experimenteel bepaalde. De uitkomsten zjjn op een wijze die geen toelichting behoeft in do volgende tabel vereénigd. Temperatuur. Volume. Verschil. waargenomen. berekend. waarn. — ber ",2 0,999953 0,999953 0 9,1 1,000081 1,000185 — 104 H>2 1,000251 1,000442 — 191 12,7 1,000352 1,000625 — 273 15,0 1,000706 1,000906 — 200 17,4 1,001057 1,001199 — 142 19,2 1,001419 1.001419 0 De eenvoudige formule (1) blijkt dus de waarnemingen zeer gebrekkig voor te stellen; trouwens, men had ook op andere wjjze kunnen zien dat de onderstelling waarop zjj berust niet juist is. Van die onderstelling uitgaande, kan men nl. uit elke (' twee op elkaar volgende waarnemingen de volumevermeerdering per graad temperatuurverliooging afleiden; de op die wijze gevonden getallen zouden aan elkaar geljjk zjjn als de onderstelling juist was. In werkeljjkheid vindt nien eehter dat die getallen steeds grooter worden* terwijl voor het temjioratuurinterval van 7 2 tot 9 ,1 het getal 0,00009 wordt gevonden, krjjgt men voor het temperatuurinterval van 17°,4 tot 19 ,2 de uitkomst 0,00020. Hiermee staat in verhand, dat de met de formule (1) berekende waarden alle te groot zjjn. Past men b.v. de vergelijking toe voor de temperatuur 13,2, het gemiddelde van de twee uiterste temperaturen 7°,2 en 19°,2, dan wordt voor het volume een waarde gevonden, die eveneens het gemiddelde is van de waarden die het bjj 7°,2 en 19 ,2 heeft. In werkeljjkheid echter zal het volume van 7 ,2 tot 13 ,2 minder toenemen dan van 13 ,2 tot 1!) ,2; het zal dus bjj 13°,2 nog beneden het gemiddelde tusschen 0,999953 en 1,001419 liggen. J; 4. A\ ij zullen nu beproeven of vvij met een vergeljjking van meer ingewikkelden vorm beter kunnen slagen dan met de formule (1). Stelt men r =_- a -)- 11 -f- c /2, dan kan men de coëfficiënten — «■-{-b t-\- c t* d t'\ dus met 4 standvastige grootheden, had gebezigd. Dit ligt trouwens in den aard der zaak. Want met de formule (1) konden wjj van twee, met de formule (2) van drie waarnemingen do uitkomst volkomen weergeven, en steeds zal dit liet geval zijn met evenveel waarnemingen als er in de formule constanten voorkomen, zoodat men, door het aantal dezer laatste groot genoeg te maken, van zoo vele metingen als men wil de uitkomst nauwkeurig kan voorstellen. Geen wonder, dat dan ook voor daartusschen gelegen metingen bij vermeerdering van het aantal constanten do uitkomsten die do formule ons geeft minder en minder van de uitkomsten der waarneming afwijken. Wij hebben boven voor de bepaling der constanten in de formule (2) drie waarnemingen willekeurig uitgekozen, nl die bij de temperaturen 7 ,2; 12 ,7 en 19°,2, en gezorgd dat de formu < geheel met de uitkomsten van deze waarnemingen overeensteint. Er bestaan intusschen wiskundige hulpmiddelen waardoor men de coëfficiënten zoo kan bepalen, dat, al stemt misschien voor geen enkele waarde der onafhankelijk veranderlijke de stelkundige uitdrukking geheel met de uitkomst der meting overeen, toch voor het geheele stel waarnemingen de aansluiting zoo goed mogelijk wordt. Door die hulpmiddelen, welke wij hier met nader kunnen bespreken, heeft men een formule van den \01111 (.ï) opgesteld, die het volume van een hoeveelheid water voor alle temperaturen die in de tabel van § 1 voorkomen met voldoende nauwkeurigheid voorstelt. Daar liet volume bij 0° als eenheid gekozen werd, heeft men a = 1 genomen; verder heeft men />, c en (I zoo bepaald, dat voor do andere temperaturen de verschillen tusschen de waargenomen en de berekende waarden zoo klein mogelijk worden. I)e bedoelde formule is e = 1 — 0,00000105 t -f- 0,000007718 t2 — — 0,000000037313 (4) In hoeverre zij de waarnemingen voorstelt blijkt uit de volgende tabel. 5 Temperatuur. Volume. Verschil. waargenomen. berekend. waarn. — berek 0,9 0,999978 0,999951 -j- 27 2.1 0,999923 0,999905 _j_ 18 5.2 0,999885 0,999886 - ] 7,2 0,999953 0,999947 + li 9,1 1,000081 1,000055 -f 20 11,2 1,000251 1,000232 + 19 12,7 1,000352 1,000393 41 15,0 1,000706 1,000695 -f 11 17,4 1,001057 1,001078 — 21 19,2 1,001419 1,001409 + 10 § 5. Empirische en theoretische formules. Formules, zooals de vergelijkingen (2) en (4), waarmee men geen andere bedoeling heeft dan do uitkomsten der waarnemingen zoo goed mogelijk weer te geven, worden empirische formules genoemd. Zij zjjn voor allerlei verschijnselen in zeer uiteenloopende vormen opgesteld. Formules daarentegen, die berusten op een inzicht 111 het wezen der verschijnselen en in de wetten die deze beheerschen, dus op een theorie, worden theoretische formules genoemd. De vergelijking (4) zou zoodanige formule zijn, wanneer men zich kon voorstellen wat er in het water bij' een temperatuurverhooging verandert, en wanneer men daaruit kon afleiden dat er 111 de uitdrukking voor het volume, naast een standvastig gedeelte, termen met de eerste, tweede en derde macht van t moeten voorkomen. Het kan gebeuren, dat een formule die men eerst als een f5 fb ««'Pirische heeft opgesteld, naderhand uit „en theorie wordt afgeleid. Daarop zal het meest kans zijn, als zij een eenvoudigen vorm heeft en de waarnemingen zeer goed weergeeft. an vergelijkingen echter, die hare overeenstemming met de waarnemingen alleen te danken hebben aan het groote aantal standvastige grootheden die zij bevatten, is het niet waarschijnlijk, dat zij ooit in theoretische formules zullen overgaan. Zij zullen misschien, zoodra wij het verschijnsel beter begrijpen vervangen kunnen worden door een veel eenvoudiger theoretische formule van een geheel andere gedaante. Zeer ingewikkelde vergelijkingen zijn echter ook als empirische formules van weinig of geen waarde, want men kan de grootte der afhankelijk veranderlijke even goed aan een tabel als aan zulk een vergelijking ontleenen. ° Zoowel een empirische als een theoretische betrekking kan o\erigens haar nut hebben, al stemt zij niet geheel met de waarnemingen overeen. Voor sommige doeleinden kan reeds een ruwe voorstelling van de uitkomsten der metingen voldoende zijn. En, vertoont een theoretische formule kleine afwijkingen van de werkelijkheid, dan volgt daaruit nog niet, dat de theorie waaruit zij is afgeleid geheel verworpen moet worden. Het kan zijn, dat die theorie in hoofdzaak juist is en dat men alleen bijzonderheden van ondergeschikt belang buiten beschouwing heeft gelaten. § 6. Inteipoleeren. Menigmaal wenscht men een veranderlijke grootheid te kennen voor een waarde der onafhankelijk veranderlijke die bij de metingen niet is voorgekomen, maar tusschen de waarden in ligt, waarvoor de waarnemingen zijn gedaan. Dit is gemakkelijk zoodra een geschikte empirische formule is opgesteld; men heeft dan slechts hierin te substitueeren. Zoo geeft b.v. de formule (4) de volgende n • \ / Cl Temperatuur. Volume. Verschillen 1 1 0,999947 ~~i>:{ 2 0,999908 :i9 •'* 0,999885 ~~ 4 0,999877 ~ 8 Temperatuur. Volume. Verschillen 4 0,999877 5 0,999883 + 6 6 0,999903 + 7 0,999938 +35 8 0,999986 + 48 9 1,000040 +54 10 1,000124 + 84 Het is van belang op te merken dat, wanneer een empirische formule is gevonden, die de waarnemingen goed weergeeft voor de waarden van de onafhankelijk veranderlijke die binnen een zeker interval liggen, deze formule nog niet voor waarden buiten dat interval de functie goed behoeft voor te stollen. Wij hebben ons b.v. bjj de afleiding der vergelijking (2) bepaald tot temperaturen tusschen 7°,2 en 19u,2 en het is nu volstrekt niet zeker dat die vergelijking ook voor t, = 0° of t = 30° het juiste volume zal opleveren. Inderdaad geeft de formule voor < = 0, v= 1,000129, terwijl dan v = 1 moet zijn. Men kan ook interpoleeren zonder van een empirische formule gebruik te maken, door nl. rechtstreeks van een tabel uit te gaan. Bjj het werken met een logarithmentafel b.v. volgt men hierbij een bekenden regel, die op de omstandigheid berust, dat bij kleine veranderingen van de met elkaar samenhangende' grootheden de aangroeiing van de eene evenredig met die van de andere gesteld mag worden. «" Wil men op dergelijke wijze uit de tabel van § 1 het volume van het water bij 10 afleiden, dan kan men als volgt redeneeren. ®tjjgt de temperatuur van 9°,1 tot 11°,2, dus met 25,1, dan neemt het volume toe met 0,000170; derhalve zal, als dc'temperatuur de kleinere verandering van 9°,1 tot 10°, dus een aangroeiing van 0 ,9 ondergaat, het volume toenemen met 0,000170X0,9 = 0,000073. liet gezochte volume is derhalve 1,000081 4- 0,000073 = 1,000154. Deze uitkomst verschilt van die welke wij boven uit do ft formule (4) hebben afgeleid, en van de beide waarden is de laatstgenoemde, d. i. 1,000124 te verkiezen. Do berekening die wij nu hebben uitgevoerd, berust nl. op de onderstelling dat bij gelijke temperatuurverhoogingen het water zich telkens evenNee] uitzet, een onderstelling die wij reeds als onjuist leerden kennen. De lezer zal overigens inzien dat het interpoleeren, zooals wij 't zoo even deden, hierop neerkomt, dat men do uitkomsten van de beide waarnemingen, waartusschengeïnterpoleerd moet worden, door een formule van den vorm (1) voorstelt, en dan daarin de waarde der onafhankelijk veranderlijke vooi' welke men de functie wenscht te kennen substitueert Men kan ook zoggen dat men in § 3 op dezelfde wijze tusschen t= 7*,2 in / 19 ,2 geïnterpoleerd heeft als zoo even tusschen t =. 0° I en t = 11°,2. ' ' Dat wij ook nu een te groote uitkomst kregen, kan ons na het in § 3 gezegde niet verwonderen. Verder ziet men aan de gevonden getallen dat de aangegeven wijze van interpoleeren dos te beter tot het doel voert, naarmate de waarden der onafhankelijk veranderlijke waarmee men te doen heeft dichter bij elkaar liggen. Om het interpoleeren gemakkelijker te maken, en om een beter overzicht te geven van de veranderingen van een functie worden menigmaal in tabellen, waarin de onafhankelijk veranderlijke met gehjke verschillen opklimt, de verschillen van de achtereenvolgende waarden der functie opgenomen. Men vindt die verschillen gewoonlijk in logarithmentafels en ook in de tabel van deze §. § 7. Wil men nauwkeuriger interpoleeren dan volgens den hier besproken eenvoudigen regel, dan kan men, in plaats van Inee, drie in do tabel op elkaar volgende waarden der functie ge (ruiken, en deze door een formule van de gedaante (2) voorstellen. Om b. v. het volume van het water bij 10° te vinden kan nieu in de vergelijking v = a -f b t -f- c t2 de coëfficiënten zoo bepalen, dat voor < = 9,1; 11,2 en 12,7 het volume de waarden aanneemt, die in ijl werden 'opgegeven Vervolgens moet men <=10 substitueeren. r., f7 > «et eenvoudigst wordt deze bewerking, als in de tabel de waarden .Ier onafhankelijk veranderlijke met gelijke verschillen opklimmen. Laat drie achtereenvolgende waarden van die veranderlijke zijn x, x 4- » en ' j" 'aat de danrl>" behooi'ende waarden van de functie zijn », » en !/a. Stel, dat men de waarde van de functie wenscht te kennen voorde waarde x-Yq van do onaf hankeljjk veranderlijke, waarbij q <2 p is Men kan vooreerst de verschillen - y, en ys - , Ui = 0,999980, (J y)i — 0,000054, J2 // = 0,0000:i0 en de uitdrukking (5) geeft voor hot volume 1,000009. Natuurlijk kunnen in (5) de grootheden y„ (Ay)l en J*,, soius noirutief zijn. § 8. Bij berekeningen, zooals die in deze en de voorgaande SS ter sprake kwamen, moet men niet uit liet oog verliezen, dat de uitkomsten van waarnemingen nooit volkomen nauwkeurig zijn. fn de getallen van £ 1 schuilen fouten van de eene of andere richting, d. w. z. die getallen zijn iets te groot of te klein. Door de omstandigheden waaronder de waarnemingen gedaan zijn in aanmerking te nemen, en door verschillende metingen met elkaar te vergelijken, kan men zich in zoo verre een oordeel over deze fouten vormen, dat men kan zeggen welk bedrag zij hoogstens kunnen hebben. De overeenstemming van een formule met de waarnemingen is nu als voldoende te beschouwen, wanneer de verschillen tusschen de waargenomen en de met de formule berekende waarden niet grooter zijn dan het bedrag dat de fouten kunnen hebben. \ an dit bedrag hangt het af, hoeveel decimalen men in het getal dat de uitkomst van een meting voorstelt zal neerschrijven; men moet vermijden, vele decimalen aan te geven, waarvan men toch niet zeker is. Kent men b. v. de lengte van een lijn fl nauwkeurig tot in centimeters, dan zou het neerschrijven van een cijfer dat honderdsten van millimeters voorstelt, niet alleen noodeloos omslachtig zjjn, maar bovendien een valschen schijn ^an nauwkeurigheid geven. Het verdient aanbeveling, hoogstens één decimaal meer aan te geven dan die waarvan men geheel zeker meent te zijn. orden uit getallen die zelf niet nauwkeurig bekend zijn door berekening andere afgeleid, dan is ook daarin geen volkomen juistheid te verwachten. Zoo zal b.v. uit de waarden die in ij 1 voor het volume werden opgegeven, nooit door interpoleeren de waarde bij een tusschengelegen temperatuur tot in ' declmalen nauwkeurig kunnen worden gevonden. Van daar, dat wij in § ', evenwijdig aan O X, een lijn trekt tot zij A 1' snijdt. Men noemt de twee lijnen door welke do ligging van I' wordt gevonden, nl. O A en A /', of O A en O B, de coördinaten van dat punt, de vaste lijnen O X en O )' de coördinaa tassen en het punt O den oorsprong der coördinaten. Overeenkomstig het denkbeeld, dat men eerst van O X een stuk afsnijdt, dat de waarde van de eene veranderlijke grootheid aangeeft, noemt men O A de ubscis, en dan A /', de daarbij behoorende loodlijn, de ordinaat. Men kan de lijnen O X en O Y als as der abscissen en as der ordinaten onderscheiden, of ook aan elke as een naam geven, die eraan herinnert, welke beteekenis do langs die as uitgezette stukken hebben. De verschillende punten die elk door de abscis en de ordinaat een paar bij elkaar behoorende waarden van de veranderlijken aangeven, zullen op een zekere lijn liggen, die door haar loop het verband uitdrukt, dat er tusschen de veranderlijke grootheden bestaat. Voor wij het gezegde door een voorbeeld ophelderen, merken wij nog op dat het punt l' alleen dan geheel bepaald is, wanneer men weet, naar welke zijde van O af men de stukken OA en O li moet uitzetten. Was dit niet vastgesteld, dan zou Si h. *'"g. 2. men bj| gegeven lengte der .tukten niet één punt, m«„ ,jer rt 2' '** f^'g' 2) kunnen krijgen. Deze omstandigheid levert .'ppi, bezwaar op; er is integendeel het voordeel aan verbonden, dat men met alleen de waarde, maar ook liet algebraïsche teeken van de veranderlijken in de figuur kan aangeven. Hoe grootheden van allerlei aard, naar gelang van de richting of den zin waarin zjj worden genomen, als positief of negatief beschouwd kunnen worden, is bekend. Wordt de afstand van een punt tot een lioriznnhml vlak positief genoemd, wanneer liet pnnt boven bet vlak ligt, dan is hij negatief, als bet daar 'ciioden ligt. Onder een negatieve volumevermeerdering is een ui rimping te verstaan. Temperaturen boven en beneden liet nulpunt, winst en verlies van warmte, draaiende bewegingen in tegengestelde richtingen kunnen door de teekens 4- en"— \an elkaar onderscheiden worden. Hij de graphische voorstelling kan men nu langs elke as een richting als de positieve kiezen, en dan het stuk «lat de waarde yin een veranderlijke voorstelt, van O uit in die richting of in < o egengestelde uitzetten, naarmate die veranderlijke liet eene of bet andere teeken heeft. Wij zullen in de volgende figuren lichtingen naar rechts en naar boven voor de positieve nemen. 1 8 10. Voorbeelden. Tot opheldering diene vooreerst de graphische voorstelling van de functie ~ 2 + — J'2 («) Substitueert men voor de onafhankelijk veranderlijke ./■ de waarden •' !; 0; 0,5; 1; 1,5; 2; 3, dan wordt >/ = 0; 2; 2,25; 2; 1,25; 0; — 4. O F = 1 O g = 2 O A = 0,5; A a =2,25 O B = 1; li b = 2 O f = 1,5; CV = 1,25 01) = 2 Oh'=3; Ee= 4; de door de punten /•', , p getrokken kromme lijn is dan de verlangde meetkundige voorstelling ® * Omgekeerd kan de betrekking (6) dienen om door algebraïsche beschouwingen de eigenschappen van de kromme lijn te leeren kennen, /ij wordt de vergelijking van die lijn genoemd. voor de volumeveranderins' van liet water meegedeelde uitkomsten graphisch willen voorstellen moeten wn vooreerst een zekere lijn kiezen, waardoor wij een' temperatuurverschil van V zullen aangeven, en dan de temperaturen door de abscissen voorstellen. Aan de ordinaten zou men vervolgens lengten kunnen geven, evenredig met de in * 1 ™°r het vo,ume "Pgegeven waarden. Daar het echter wenscheljjk is dat de verschillen tussehen de ordinaten duidelijk uitkomen, zouden de waarden van bet volume op zoo grooto schaal moeten worden voorgesteld, dat de figuur ondoelmatige afmetingen zou krijgen. Men ontgaat dit bezwaar als men niet het volume zelf, maar de overmaat daarvan boven 1 door de ordinaten voorstelt, zoodat deze beantwoorden aan de getallen —47, -(-81, -|-251, enz. Door de verkregen punten kan (Fig. 4) de kromme lijn O li worden getrokken. Do uitvoering dezer constructie is het gemakkelijkst wanneer men zich van papier bedient, dat in kleine vierkantjes verdeeld is; zulk papier is in den handel verkrijgbaar. Is eenmaal door de punten die de afzonderlijke waarnemingen voorstellen de kromme lijn getrokken, dan kan men aan "de Wanneer wij de in 1 Wjj maken nu (Fig. 3) jf10 figuur de waarde ontleenen, die de functie heeft voor waarden van de onafhankelijk veranderlijke, die niet bij de waarnemingen voorkwamen; daartoe meet men in de figuur de lengte van de ordmaat die bij een gegeven abscis behoort. Men kan dus met behulp der figuur yraphisch interpoleeren. E\en gemakkeljjk is do graphisehe oplossing van het vraag"tuk: de temperatuur te vinden, waarbij het volume een ge-even Fig. 4. \w grootte heeft. Beantwoordt aan deze laatste het punt A in de figuur, dan geeft A B de temperatuur aan. Blijkens de figuur zjjn er voor sommige waarden van het volume twee antwoorden op de vraag. I)e fouten die bij de metingen begaan zijn, zullen zich in de figuur verraden door kleine afwijkingen van een geleidelijken loop, welke de kromme lijn vertoont als zij door al de punten getrokken wordt, die de waarnemingen voorstellen, afwijkingen die men meent, dat niet aan de werkelijkheid kunnen beantwoorden. Men trekt in dit geval de kromme lijn zoo, dat zij, zoo geleidelijk mogelijk loopende, zich tevens zoo nauw als het kan aan al de gevonden punten aansluit, zonder door alle te gaan. .Natuurlijk zullen daarbij de punten deels aan de eene, deels aan de andere zijde der lijn moeten liggen. Men kan op deze wijze door een graphische voorstelling op fouten in do metingen opmerkzaam worden gemaakt, maar natuurlijk heeft men zorg te dragen dat de kromme lijn zich van geen der punten verder verwijdert, dan overeenkomt met den graad van nauwkeurigheid dien men aan elke meting meent te moeten toeschrijven. I)e gedaante der lijn van Fig. 4 maakt het waarschijnlijk, dat liet bij 12°,7 gemeten volume iets te klein is (ver#. de tabel van blz. (i). 11. Stijgende en dalende lijnen. Maxima en minima. Wanneer met het toenemen van de onaf hankelijk veranderlijke ook de functie aangroeit, krijgt men bij de graphische voorstelling een naar de rechterzijde stijgende lijn. Daarentegen zal de lijn daten, als de functie afneemt, terwijl do onafhankelijk veranderlijke aangroeit. Van het eerste ziet men voorbeelden in Fig. 5, 6 en 7, van het laatste in Fig. 8, 9 en 10. Zooals gewoonlijk,' is in deze figuren do onafhankelijk veranderlijke voorgesteld door stukken op de as O X. Neemt men op die as een aantal punten A, /ƒ, f, die op gelijke afstanden van elkaar liggen, trekt men de ordinaten A <(, li b, ('c, Dd, en vervolgens de lijnen a e, b ƒ, cg (Fig. 5 en 6) of be, c f, dg (Fig. 8), evenwijdig aan de ./--as, dan zullen de stukken b e, c f, dg (Fig. 5 en 6) of a e, b /', er/ (Hg. 8) de veranderingen voorstellen, die de functie ondergaat door de gelijke aangroeiingen A H, /{(,( /) van de onafhankelijk voranderljjko. Zjjn_ die stukken aan elkaar gelijk, dan is de lijn recht { ig. 5 en 8). Zulk een lijn is de voorstelling van een functie waarvan de veranderingen steeds evenredig zijn met die van de onafhankelijk veranderlijke, of, zooals men ook kan zeggen, die voortdurend even snel verandert. Een dergelijke functie wordt een lineaire genoemd. Het zal nu duidelijk zjjn dat do onderstelling die wij in $ 3 maakten, hierop neerkomt, dat een gedeelte der lijn van Fig. 4 als recht beschouwd wordt. Ook blijkt uit do figuur onmiddellijk dat de in die S berekende waarden van het volume tussehen do temperaturen 7 ,2 en 1!) ,2 te groot moesten uitvallen. 2 fli Bij de stijgende kromme lijn van Fig. (>, die haar bolle zijde naar de as der abseissen keert, nemen de stukken be, c dj naar den rechterkant toe; hier gaat, kan men zeggen, liet stjjgen hoe langer hoe sneller. Het omgekeerde is het geval bij de lijn van l ig. 7, die haar holle zijde naar OX keert, en een dergelijk verschil valt ook tusschen de lijnen van Fig. 9 en 10 op te merken. Een kromme lijn kan ook nu eens stijgen en dan eens dalen. In lig. 3 (blz. 14) gaat, bij het toenemen van de onafhankelijk veranderlijke, in hot punt a het stijgen in dalen over. Een punt waar dit gebeurt noemt men een top van de lijn. Voor de waarde van j- die door de abscis O .1 wordt voorgesteld, heeft de functie een waarde die grooter is dan dc onmiddellijk daaraan voorafgaande en de oumiddclljjk erop volgende waarden. Men drukt dit uit door te zeggen dat do functie een maximum wordt. Daarentegen spreekt men van een minimum, wanneer de functie een waarde heeft, die kleiner is dan de onmiddellijk voorafgaande en volgende waarden. Zoo wordt b. v. hot volume van water bij ongeveer 4 C. een minimum (verg. Fig. 4). I» I'ig 11 komt zoowel een minimum als een maximum voor. loven8 blijkt uit die figuur dat een functie, na een maximum bereikt te hebben, later zeer goed door een nieuwe stijging waarden kan krijgen, die daarboven liggen ; een maximum is dus niet noodzakeljjk de grootste van alle, waarden der functie. Daarom was het noodig, zoo even van dconmiddi'Hijl- voorafgaande en volgende waarden te spreken. Soms kan men door een eenvoudige berekening de waarde van de onafhankelijk veranderlijke vinden, waarvoor de functie een maximum of minimum wordt. Voor de uitdrukking a j-2 -f- b ./• -f- c b. v., in welke wij a positief zullen onderstellen, kan geschreven worden Fig. ii. fa en het is dan aanstonds duidelijk dat zij een minimum wordt als de veranderlijke grootheid x de waarde Fii;. 12. b 2a hoeft. Immers, dan is de eerste term 0, terwijl hij voor alle andere waarden van * positief is, en de tweede term steeds do/elfde waarde heeft. Met een kleine wijziging is dezelfde redeneering ook van oepassing als de coëfficiënt van *2 negatief is. Er bestaat dan een maximum (verg. het voorbeeld van § 10). Wjj kunnen het aan den lezer overlaten, in een paar -cvallen waarin de coefficienten 1, en r bepaalde waarden hebben, de oerekening uit te voeren. & 12. Kaaklijn. Normaal. De richt iwj van een kromme lijn in 0011 heiuiiiM nnnf •' een bepaald punt wordt aangegeven door de raaklijn in dat punt. Zij (Fig. 12) /' het beschouwde punt, een tweede punt van de lijn, l>(J de verbindingslijn. Houdt men !> . dan I' vast, maar vervangt men Q door een ander punt Q' dat dichter bjj /'ligt, dan krijgt ook de snijlijn oen andere richting I' ()'. Terwiil ï' zich langs de kr»mmel[jn „aar r bolïeost> llrailil de , / , maar daarbij nadert zij meer en meer tot een lijn /," /,' ven bepaalde richting. Deze wordl dc maklijn genoemd. Zij kan ook op dezelfde wijze verkregen «orden, al, men ccn pnnt sterker gekromd is dan in Q. I„ Fig. 3 b.v. is de kromming in a grooter dan in />. Men kan de vraag stellen, hoe groot de straal van een cirkel moet zijn, als een daarop genomen boogje, ter lengte van 1 mm dezelfde kromming van 2° zal hebben als het zooeven onderstelde hoog,je van dezelfde lengte in het punt 1'. Door een eenvoudige berekening vindt men tot antwoord *h0 mm. Een cirkel met — 71 dezen straal die, met zijn middelpunt aan de holle zijde van de lijn, zoo geplaatst is, dat hij deze in het punt /' aanraakt, sluit zich nauwer aan do kromme lijn aan dan eenige andere 'cirkel "er in net punt r kan doen. Alen noemt zulk een cirkel den Iroiutecirlul en den straal ervan den kromtestraal van de beschouwde lijn in liet punt I'. S 14. Bijzondere kromme lijnen. Een ellips (Fig. 15) is een lijn die de eigenschap heeft, dat voor elk van haar punten de som dei- afstanden tot twee -vaste punten F en *—|- A' (1 zijn. Men kan de ellips construeeren door een koord met de uiteinden in /•' en (1 te bevestigen, en een potlood zoo te bewegen, "lat het steeds het koord gespannen houdt, zoodat, wanneer de' punt van het potlood in /' is, het koord langs de gebroken lijn F/'(1 loopr. Is het koord aan twee in /-'en <1 geplaatste stiften vastgemaakt, dan kan men echter op deze wjjze°de ellips met m één enkelen trek beschrijven. Heeft men nl. het potlood Fig 15. H van /' nuar A bewogen, dan stuit liet deel van het koord dat naar /•' loopt, tegen de stift in G. Men vermijdt dit bezwaar door aan het koord een lengte te geven, geljjk aan den omtrek van den driehoek F P G, de uiteinden aan elkaar te knoopen, en het los 0111 de stiften heen te leggen. Met het potlood spant men dan het koord, zoodat dit langs den omtrek van den genoemden driehoek loopt. Do punten t en G heeten de brandpunten; de lijnen die van daar naar een willekeurig punt van de ellips getrokken worden, roerstraten. De rechte lijn .1 .1', die door de brandpunten getrokken wordt, verdeelt de ellips in twee gelijke en gelijkvormige deelen. waarvan het eene het andere zal bedekken, wanneer men het 0111 die ljjn omslaat Aan elk punt P der ellips beantwoordt een ander punt dat op het verlengde van de uit /'op .1 A' neergelaten loodlijn, even ver als P van A A', ligt. Men drukt dit uit door te zeggen dat de ellips symmetrisch, ten opzichte van .1,1' is. Eveneens is hij symmetrisch met betrekking tot de lijn li li', die /•' G rechthoekig middendoor deelt. AA en H li' worden de assen genoemd; tor onderscheiding heet .1 A de groote, H li' de kleine as. liet verschil tusschen beide is des te grooter naarmate de brandpunten F en <1 dichter bij A' en A liggen. liet punt O, waarin de assen elkaar snijden, is het middelpunt; het verdeelt elke koorde die erdoor getrokken wordt in twee gelijke deelen. A, A , li en li zijn do toppen. lat de vergelijking P F-f I' G - A F + A G volgt, daar A G = A' F is, F F+ PG = A F+ A'F = AA'; de som der voerstralen is dus voor elk punt gelijk aan de groote as. erbindt men een der uiteinden van de kleine as, b.v. li, met F en G, dan is li F = H G. flN Daar nu weer moet zjjn, heeft men li /•'+ li <1 = A A' li F— H (; — o a. Men kan hiervan gebrnik maken de ligging van Je brandpunten te bepalen, wanneer de assen, en du» de punten ,1, I' /> en li gegeven zjjn. ' ' i \^bant.tu8SC,ien ,Ie e'Hps en den cirkel. Raaklijn aan de ellips. Kiest men, zooals in Fig. 15 is aangegeven, de j en OA en OB tot coördinaatassen, dan kan men uit de definitie van de ellips afleiden hoe groot de ordinaat Cl' is, die Ce" gegevCn abscis 0(' behoort. Dezelfde berekening kan men uitvoeren voor een cirkel die (Fig. 16) op de groote as van de Fi«- 16- ellips als middellijn is beschreven. Het blijkt dan dat, waar men ook het punt C op A A' neemt de verhouding van de ordinaten ('Q en C 1' steeds dezelfde is. Een dergelijk verband bestaat ook tussclien de ellips en den cirkel die 1» de kleine as als middellijn is beschreven; wordt nl. in een willekeurig punt van deze as oen loodlijn opgericht, dan is de ver- houding tusschen de afstanden van «lat punt tot het snijpunt met de ellips en tot dat met den cirkel standvastig. Men krijgt dus een ellips als men in een cirkel een middellijn lekt en alle afstanden tot die middellijn in dezelfde verhouding verkleint of vergroot. Uit de in de vorige g gegeven definitie van de ellips, of uit het nu besproken verband met den cirkel kunnen alle eigenschappen van de kromme lijn worden afgeleid. Een van de belangrijkste uaaivan is de volgende.' Fen raaklijn PC (Fig. 17) maakt gelijke hoeken met de fa - ftb voerstralen /•'/' en die naar het raakpunt getrokken \s 01 den. De normaal /> li deelt den hoek tusschen de voerstralen middendoor. Fig. 17. De ellips is het meest gekromd aan de uiteinden van de groote, liet minst aan die van de kleine as. S Ui. Eenzijdige uitrekking en saniendriikking van figuren. Men kan elke vlakke figuur een dergelijke vorm¬ verandering doen ondergaan als die, waardoor wjj uit een cirkel een ellips kregen. Te dien einde trekken wij in het vlak der figuur een rechte lijn O A (Fig. 18), laten uit de verschillende punten /', (,), enz. deifiguur loodljjnen PA, (J H. enz. op O X neer, en nemen op deze loodljjnen nieuwe punten p, q, zoodat Fis. 18. _ Bq _ AP BQ ding te verkleinen. De lengte van ljjnen evenwijdig aan O X blijft onveranderd. Zulk een vormverandering kan een eenzijdige samendrukking genoemd worden. Omgekeerd krjjgt men P Q... uit pi/... door een eenzijdige uitreiking Een voorbeeld van deze gedaanteveranderingen doet zich bjj de graphische voorstelling van een functie voor. Men kan daarbij, zooals wjj zagen, de lijnen die de eenheden voor de veranderlijke grootheden zullen voorstellen, willekeurig kiezen. Heeft is. De punten p, q, enz. bepalen de nieuwe figuur. Men kan zeggen dat men deze uit de oorspronkelijke gekregen heeft door alle afmetingen lood¬ recht op O ,\ in dezelfde verhoulengte van lijnen evenwijdig aan O X k men nu met een bepaalde keus voor deze Ijjncn de figuur geteekend, en geeft men bij een herhaling van de constructie aan de lijn die een der eenheden voorstelt, een andere lenarte, dan ontstaat een nieuwe lijn, die men uit de eerst geconstrueerde door eenzijdige uitrekking of samendrukking kan krijgen. Trekt men in een figuur twee onderling loodrechte lijnen O A en O ), dan kan men de figuur eerst in de richting van "*\| en daarna in die van O )' eenzijdig uitrekken. Doet men dit telkens in dezelfde mate, d. w. z. worden eerst de afmetingen in de eene en daarna die iu do andere richting in dezelfde verhouding veranderd, dan is ten slotte een figuur ontstaan, gelijkvormig niet de oorspronkelijke. Wanneer een figuur die in een plat vlak ligt, geprojecteerd wordt op een vlak dat met het eerste een zekeren hoek maakt, dan houden alle lijnen in de figuur, die evenwijdig aan de snijlijn der vlakken loopen, in de projectie dezelfde grootte, alle lijnen die loodrecht o|> de snijlijn staan, worden in dezelfde vei houding verkleind. Derhalve is de projectie een figuur die uit de oorspronkelijke door eenzijdige samendrukking ontstaan kan. Een cirkel b.v. heeft tot projectie een ellips. Door een dergelijke redeneering kan men aantoonen dat de doorsnede van een oniwentelinars•i* j Fiir 19 cilinder met een willekeurig plat vlak een ellips is. § 17. Hyperbool. Een hyperbool (Eig. 19) heeft de eigenschap dat voor elk punt I' ervan het verschil der afstanden tot twee vaste punten /•' en <1 even groot is. Die punten heeten de brandpunten, de ljjnen /' /' en <1 1' voer stralen. Deze kromme lijn bestaat uit twee geheel van elkaar gescheiden deelen, die zich, elk naar weerszijden, tot in het oneindige uitstrekken. De lijn /•' .V, die de brandpunten verbindt, is een as van symmetrie; eveneens de Ijjn O )', die F G rechthoekig middendoor deelt. Men kan bewijzen dat de afstand van de punten . I en /ƒ, waar jfe tt, aG wordt een asymptoot genoemd. Er is nog een tweede asymptoot O F. ... Uok 'MI sommige andere kromme lijnen komen asymptoten voor. De lezer zal nu be- bedoelt ^ ^ uitdrukking as!/»Vtotisch naderen g 18 Parabool. Do parabool (Fig. 21) is de meetkundige plaats van alle punten die even ver verwijderd zijn van een rechte ijn l{ J{ en van een punt F. HU heet de richtlijn, /•' het « and punt, h I' een roerstraat. Do lijn bestaat uit één tak, die zich naar weerszijden tut in net uutfjuujge uiüsrreKt. ue lijn A X, door /■'loodrecht op de richlijn getrokken is een as van symmetrie; bet punt O, waar die as de parabool snijdt, heet de top. De raak ljjn O Y in dit punt staat loodrecht op O X. Neemt men O X en O Y tot coördinaatassen, dan kan men uit de gegeven definitie een eenvoudig verband tusschen de coördinaten O li cn li I' van een willekeurig punt der kromme ljjn afleiden. Het blijkt nl. dat de ordinaat fivonrpilitr i« tm»f «« "iVl ucu vierkantswortel uit het getal dat de abscis voorstelt. Wordt dus de afstand van li tot O verviervoudigd, dan zal de loodlijn H I' verdubbeld worden. Men kan hieruit afleiden dat ook een kromme ljjn waarbij de ordinaten evenredig zjjn met de tweede machten van de abscissen, een parabool is. Fig. 22 kan dit ophelderen. Daarin is OX als as der abscissen genomen, de stukken 0.1, A li, R(\ CD, enz. zijn gelijk aan elkaar gemaakt, de eerste ordinaat A n is willekeurig genomen, en de volgende zijn als volgt bepaald: Fijr. 22. H b =z 4 A a, ('c = 9Aa, I)d=\Q Aa enz. Hoe de ljjn dcbaO aan de andere zijde van O is voortgezet, ziet men voldoende in de figuur. Een raaklijn I' C aan de parabool (Fig. 23) maakt gelijke ïoeken met de as <' /•' en den voerstraal P F van het raakpunt. Fig 21. f) ,20 Daaruit volgt dat de hoek tusschen den voerstraal en een Fiir. 23. ljjn I' I>, uit het raakpunt evenwijdig aan de as getrokken, door de normaal I' A middendoor wordt gedeeld. De ellips, de hyperbool en de parabool dragen, daar zij alle kunnen ontstaan door de snijding van een kegel met een plat vlak, den gemeensühappelijken naam van ker/el- sneden. 8 19. Periodieke fuiictiën. Golflijnen. Wij zullen nu de graplusche voorstelling der functie // = sin ./• bespreken. Vooraf merte,, wij o,, dat men een hoek niet altijd ... gntden en „nderdeelen daarvan, „,aa, dik»8b in „ „boogmaat „„drukt. Men stelt da, de,, boek voor door het getal dat do lengte van don eirkclboog aangeeft, die hoek met het middelpunt in het hoekpunt en met de lengteeenheid tot straal, beschreven wordt. J„ boogmaat wordt een hoekman 360 door 2n, een rechte hoek door | e„ een hoek Viln ~2~n=öt 17 d°or llct Sotal 1 voorgesteld. vanVTïdZ7eü /ie ** ihu" ™noof de hoek a" ° . t( t f° ' of van 0 ** 2, klimt, zijn welbekend. Men kan ook hoeken grooter dan 360J beschouwen, en eveneens negatieve hoeken, zooals dit in de goniometrie geleerd wordt Als de hoek met 360° of 2. toeneemt, keert de sinus tot hetzelfde bedrag terug. Een functie die telkens weer dezelfde waarde aanneemt, als de onafhankehjk veranderhjke met een bepaald bedrag toeneemt, heet penodteL Het bedoelde bedrag wordt de periode genoemd JJe periode van sin .r is dus 2 n. § 20. Is de hoek in graden uitgedrukt, dan moet men, om de veranderingen van den sinus graphisch voor te stellen, eerst een rechte lijn kiezen, die een hoek van 1 aangeeft. Wordt, zooals wjj nu onderstellen, de boogniaat gebezigd, dan wordt een rechte hoek voorgesteld door een lijn die i ,-r maal zoo groot is nis de gekozen lengte-eenheid. Fig 24, die de gezochte graphische voorstelling bevat, zal weinig toelichting behoeven. Daar voor ,r = () ook de sinus 0 wordt, gaat do kromme lijn door den oorsprong. Zij snijdt verder de as der abseissen in de punten (', />, enz., ƒ>, J, enz., die zoo liggen, dat I li — li <)= O ('— ( I)— D /.;_ onz _ n is. Tusschen de genoemde punten ligt de lijn afwisselend boven en beneden de as der abseissen, daar de sinus telkens, wanneer hjj O is geworden, van teeken verandert. I)e grootste positieve oii negatieve waarden heett de ordinaat in de punten die in het midden tusschen O en f, C en />, enz. liggen; die punten beantwoorden nl. aan x = ±n (90 ), f „ (270'), enz. Bij de constructie is het noodig, nog een aantal andere punten behalve O, /, ( , gt te bepalen. Men kan b. v. een punt nemen , waarvan de abscis a O /•' is; de ordinaat is daar sin 30' = — 2. Hjj de abscis J- O /• behoort een ordinaat = sin 453 = = $ 1 2 = 0,707. I it de eigenschappen van den sinus volgt dat Ff een as van symmetrie van het stuk OfC der Ijjn is, verder dat het stuk gelijk en gelijkvormig is mot OfC. Is het stuk OJt'fj D geconstrueerd, dan is de geheele lijn bekend, want lfc stuk herhaalt zich telkens weer naar rechts en links, zooals men in de figuur gedeeltelijk ziet. Het stuk van .1 tot O stemt volkomen overeen met dat van O tot 1> Fig. 24. f20 Juist omdat de sinus een periodieke functie is, moet de lijn die de veranderingen ervan voorstelt, uit een voortdurende opeenvolging van aan elkaar gelijke deelen bestaan. § 21. I)e graphischc voorstelling van de functie y — a sin x, in welke wij onderstellen dat a positief is, krijgt men door in Hg. 24 alle ordinaten met u te vermeniguldigen. De figuur wordt daardoor in de richting van O Y eenzijdig uitgerekt of samengedrukt. Wil men de functie y — sin 2 x (7) voorstellen, dan moet men in het oog houden dat deze verdwijnt voor de volgende waarden van r: 0, n, 7i, | 7t, enz.; immers daarvoor heeft de dubbele hoek juist de waarden waarvoor de sinus 0 is. De lijn die (7) tot vergeljjking heeft, snijdt dus de r-as in een aantal punten, waarvan de onderlinge afstanden half zoo groot zjjn als de afstanden Of, enz. in Fig. 24. De lijn ontstaat uit die van Fig. 24 door eenzijdige samendrukking in de richting van O X. Hetzelfde geldt van de lijn die de functie // =r sin lc x voorstelt, als de constante /.• grooter dan 1 is. Is deze kleiner dan 1 , dan moet een eenzijdige uitrekking op Fig. 24 worden toegepast. De functie sin t .r b.v. verdwijnt voor * = 0, ü.7, 6 71, enz. Gemakkelijk zal men nu inzien hoe de functie y — a sin /,• x wordt voorgesteld. Heeft men eindeljjk te doen met de functie y = a sin (lc x -)- p), (8) fj-1 waarbij p een standvastige grootheid is, dan moet men in het oog houden dat y verdwijnt voor k x -\-p ■= 0, 71, 2 ,-t, 3 7i, enz., dus voor ^ — '' 4- 71 — P _L 9 71 V i o n /■■' /.• i" /•' /,- + 2 /.• onz- • (9) I)e snijpunten met de ./-as liggen dus op afstanden = 71 van elkaar, on een der punten in welke //, als x klimt, van negatieve tot positieve waarden overgaat, heeft de abscis — De grootste afwijkingen van de ./-as zijn -f a en — a. Om de graphische voorstelling van (8) te krijgen moet men dus de lijn van Fig. 24 eerst in de richting van O )' eenzijdig uitrekken of samendrukken, om aan Ff, Het is gemakkelijk in te zien dat de bepaling der plaats van een punt door zijn coördinaten in den grond der zaak op hetzelfde neerkomt als de methode der projectiën. De twee coördinaten 01, en O E bepalen „I. op de gewone wijze de ligging van r in hot vlak X O d. w. z., zij bepalen de projectie van P op dit vlak. De derde coördinaat geeft dan verder den afstand van P tot het vlak aan. 2.'i. Functiën van twee onafhankelijk veranderlijken. lirapniKche voorstelling door een oppervlak. In een vast plat vlak, dat wij ons horizontaal geplaatst denken, nemen wij de coordmaatassen O X en O Y (Fig. 28); boven dat vlak ver¬ beelden wjj ons een willekeurig gebogen oppervlak. De lengte van de loodlijn die men in een of ander pnnt P van het platte vlak kan oprichten, gerekend tot aan het snijpunt met het oppervlak, is dan een grootheid die van twee onafhankelijk veranderlijken afhangt. De lengte van de loodlijn is nl. bepaald, zoodra men de twee coördinaten van P in liet vlak XO )' kent, maar deze coorainaton kunnen, onafhankelijk van elkaar, verschillende waarden aannemen. Heeft men b.v. de abscis gekozen, dan zijn nog verschillende waarden voor de ordinaat en dus verschillende Fig. 28. punten, zooals /', J'\ p \ mogelijk, on in elk daarvan heeft de bovengenoemde loodlijn weer een andere waarde. Eveneens verandert de lengte der loodlijn bij den overgang van I' tot l\ en /'-' d w z- blJ verandering van de abscis, terwijl de ordinaat hetzelfde bljjft. Elke algebraïsche of gonioinetrische uitdrukking waarin twee veranderlijken voorkomen, b. v. 2 r2 -f 3 r y -}- 4 y», sin (r 4- y) hangt zoowol van de waarde der eene als van 'die dor andere veranderlijke af. Ook in natuurkundige vraagstukken komen dergelijke gevallen voor. Hot volume van een gasmassa hangt af van do temperatuur on van den druk waaraan hot gas onderworpen is. Heeft men het volume bjj oen aantal temperaturen en drukkingen gemeten, dan kan men de uitkomsten in een tabel met op, waarvan de abscis en de ordinaat evenredig zijn met de temperatuur en don druk die bjj oen meting bestonden, en richt vervolgons m l> oen loodlijn op het vlak op; door de lengte van die lijn stelt men het waargenomen volume voor. Het uiteinde dor loodlijn is dan het gezochte punt. Evenals wij nu m !) door de punten die de uitkomsten dor afzonderlijke waarnemingen voorstelden oen kromme lijn beten gaan, kunnen wij thans door al de gevonden punten een .oppervlak brengen. Dit oppervlak, dat in den regel gebogen zal zjjn, doet ons aanstonds zien welke waarde de eene veranderlijke grootheid hoeft, als de waarden van do beide andere gegeven zijn. jh Daar men echtereen oppervlak moeilijk in werkelijkheid kan r;r;n,r ze ,,andeiw,>c ,>^,^1, „ut. Jikw.jls volgt men een andere methode, hierin bespande dat men de functie niet door een oppervlak, n,aar door een reek^ van Unen voorstelt. In het bovengenoemde voorbeeld kan men een bepaalde temperatuur kiezen, en door een kromme lijn aangeven aard k dn,k vera»^t; lijnen van dezen aard kunnen vervolgens voor een aantal andere temperaturen worden geteekend. § 24. Bijzondere oppervlakke,,. Het is wenscheljjk, ho* met zt; :eü:pporv,akk,"n dan ^ Ken cilinder*!,,k wordt beschreven door ,1e beweging van een «echte ljjn d.e voortdurend dezelfde richting houdt en lam-s een gegeven kromme ljjn glijdt. Deze laatste heet de rkhtHj» wordThet T Ï '"Tt'tricht'"n ^oteu, dan woidt hot cilindervlak buisvormig enHteweeChT,d'lt heg™* ^ dwt Z»lk « cilindervlak en twee onderling evenwijdige platte vlakken is een cilinder I)e omwentelingscilinder is daarvan een bijzonder geval van I T r"! T T Cili,,d0r WOrdt geVOndeU platte vlakaf 7 *"* d,h'derv,»k uit een ^er genoemde platte vlakken gesneden wordt (yrondvbd-) te vermenigvuldigen met den afstand der twee platte vlakken (hno'/te). Ken ke,/Khlal- wordt beschreven door een reehte lijn die steeds door een vast punt {top) gaande, langs een gegeven' :rr >m. i.*».M*.gdoto,l:km het kegelvlak met oen plat vlak een lichaam begrenzen, .lat oote of om de kleine as te laten wentelen, krijgt men onnnntelhu,,elhpsoKies van verschillende gedaante. Fiir. 2U. Wanneer de kromme lijnen van Fig. 29, die dezelfde is als , g' °® 0 } ^ntelen, ontstaan een bol en een omwentelingsellipsoide, die hot dooi- O 1 ï ■ 1 . , net y worden daarom elli/mïdes genoemd. Het middelpunt van den o heeft, als liet bij de verandering der figuur op zijn plaats is ge leven, ook ten opzichte van het nieuwe oppervlak deeigensciap, dat het alle koorden die men er door kan trekken middendoor deelt, ilet heet daarom het middelpunt van de ellipsoïde. Onder al de door dit punt gaande lijnen (middellijnen) spelen ('c' ^ in de richtingen loopen waarin de uitrekkingen of samendrukkingen plaats hadden, een bijzondere rol. Zij worden de nssen der ellipsoïde genoemd. Elk vlak dat door twee van die assen gebracht wordt, is een vlak van symmetrie, d. w. z., het doelen^ le(,('F(! koorde tng, het oppervlak wordt dan een oinwentelingsellipsoïde In tegenstelling daarmee kan men een ellipsoïde bij welke de assen alle van elkaar verschillend zjjn , een drieassü/e noemen. § 25. Lij„e,i op gebogen oppervlakken! Schroeflijn. Van «le kromme lijnen die ontstaan door de snijding van een gebosen oppervlak „iet een plat vlak, werd reeds een paar malen geFig. 30. sproken. Deze doorsneden worden dik- wijls gebruikt om een voorstelling van de gedaante van het oppervlak te geven; vooral een reeks van doorsneden met een aantal onderling evenwijdige platte vlakken is voor dat doel geschikt. Op een gepogen oppervlak kunnen ook lijnen getrokken worden, die niet in een plat vlak liggen. Een voorbeeld daarvan is de schroeflijn, die op het gebogen oppervlak van een omwentelingscilinder kan worden geconstrueerd. Laat een beschrijvende ljjn zich langs het cilinderoppervlak bewegen, zoodat zij (Fig. 30) achtereenvolgens de standen A ƒ', B (J, < ]{ inneemt (de figuur stelt een projectie voor op een vlak dat door de as van den cilinder gaat) en elk punt der jfir lijn een cirkel beschrijft. Laat een bewegelijk punt zich te geljjker tjjd zoo langs do beschrijvende lijn verplaatsen, dat zijn beweging gelijken tred houdt met die van do beschrijvende ljjn, d. w. z. dat het in tjjdep gedurende welke de lijn gelijke wegen doorloopt, telkens over gelijke afstanden voortgaat. Het punt beschrijft dan een schroeflijn. Zijn in Fig. 30 A B Q, CU drie beschrijvende lijnen, op onderling gelijke afstanden van elkaar, is ABC een vlak loodrecht op de as, en 1' Q11 de schroeflijn, dan moet B (J — A I' — C I.' — B () zijn. Daar de beweging van de beschrijvende lijn en die van het punt daarlangs onbepaald kunnen worden voortgezet, bestaat de schroeflijn uit een opeenvolging van aan elkaar geljjke «indinyen om den cilinder. Twee op elkaar volgende windingen snijden van verschillende beschrijvende lijnen gelijke stukken I' T, Q U enz. af. De lengte daarvan heet de spoed van de schroeflijn. Kromme lijnen die, zooals de schroeflijn, niet in een plat vlak liggen, worden lijnen van dubbele krom min*/ genoemd. 8 'J(>. Raakvlak. Normaal. Kromming van gebogen oppervlakken. Men verbeelde zich dat door een punt l' van een gebogen oppervlak een aantal kromme lijnen zijn getrokken, die allo op liet oppervlak liggen; bij elke lijn stellen wij ons de raaklijn in /' voor. Deze raakljjnen liggen, met uitzondering van enkele bijzondere gevallen (top van een kegel), alle in een zeker plat vlak, dat het raakvlak aan het oppervlak in 1' genoemd wordt. De ljjn, in /' loodrecht op het raakvlak getrokken, heet de normaal. Een cilinder- en een kegelvlak worden door een plat vlak niet in een enkel punt, maar in alle punten van een beschrijvende ljjn aangeraakt. In al die punten heeft de normaal dezelfde richting. Hij een oinwentelingsoppervlak staat liet raakvlak in een punt I' loodrecht op het vlak dat door dit punt en de as gaat (meridiaanclak). De normaal in I' ligt dus in het laatstgenoemde vlak en snijdt in liet algemeen de as. Het punt waar zij dit doet, blijft hetzelfde uls men /' langs een parallelcirkel verplaatst, d. w. z. langs den cirkel die ontstaat door de snijding van het oppervlak niet een vlak dat loodrecht op de as staat. (ié , ' Vlin ec» gebogen oppervlak in een bepaald punt I te beoordeelen, trekken wij door dit punt de normaal en brengen door die lijn een aantal platte vlakken. Vervolgens gaan wij na hoe sterk de lijnen volgens welke die vlakken het oppervlak snijden, de zoogenaamde normale doorsneden, in I' gekromd zijn. Alleen bij een bol is de kromming van alle door een willekeurig punt gebrachte normale doorsneden even groot, bij andere oppervlakken is in den regel de eene doorsnede meer gekromd dan de andere. Men kan bewijzen dat de vlakken der twee doorsneden die het sterkst en het zwakst gekromd zijn, loodrecht op elkaar staan. I)e kromtestralen van deze doorsneden worden de hoofdkromtestralen van het oppervlak in het beschouwde punt genoemd. 1 Bij een cilinder- en een kegelvlak is de kleinste kromming 0; een der normale doorsneden valt nl. met een beschrijvende lijn samen. Het verdient nog opmerking dat men bij vele oppervlakken als men zich op een normaal, op zekeren afstand van het' oppervlak plaatst, van alle normale doorsneden in het voetpnnt der normaal de bolle zijde, of van alle de holle zijde naar zich toegekeerd ziet. Dit is echter niet altijd het geval. Als men >. v. een zadel van boven beschouwt, ziet men tegen de bolle zijde van sommige normale doorsneden en tegen de holle zijde van andere. Iets dergelijks komt voor bjj het oppervlak dat ontstaat door de wenteling der hyperbool van Fig. 19 om de lijn O V § 27 Samenstelling van vectoren. Terwijl sommige grootheden die in de natuurkunde ter sprake komen, geheel bepaald zijn, zoodra men hunne ,,rootte kent, moet bjj andere niet alleen en li C gelijk worden genoemd. Met het samenstellen van twee vectoren bedoelt men dat de tweede li (' met zijn beginpunt geplaatst wordt in liet eindpunt van l's' 3I" den eersten A li, en dat vervolgens het beginpunt A van den eersten met het eindpunt (' van den tweeden door een rechte lijn A C wordt verbondon. Deze laatste is de vector dien men „door het samenstellen dei- twee gegeven vectoren" krijgt; hij wordt de resultante van Ali en B (' genoemd. Daarentegen heeten A li en li C de componenten van A ('. Trekt men uit A de lijn A 1), evenwijdig en geljjk aan li C, dan ontstaat door de vereeniging van /> met (' een parallelogram. Men kan daarom ook zeggen: Om twee vectoren met elkaar samen te stellen, laat men hunne beginpunten samenvallen, beschrijft op de vectoren als zijden een parallelogram en trekt daarin de diagonaal van uit liet beginpunt der vectoren. De figuur die men zoo krijgt, heet liet parallclo(/min van vertonn. Wanneer de grootte van de twee vectoren en de hoek dien zjj met elkaar maken, gegeven zjjn, kan men de lengte van den resulteerenden vector en den hoek dien hij met een der componenten maakt, door een eenvoudige trigonometrische berekening vinden. I it den voor liet samenstellen gegeven regel volgt nog dat de resultante van twee vectoren van dezelfde richting eveneens die richting heeft en gelijk is aan de som der twee componenten. Daarentegen is de resultante van twee vectoren die juist f».<) tegengestelde richting hebben, gelijk aan hun verschil; de richting van de resultante stemt in dit geval met die van do grootste der twee componenten overeen. Zjjn de tegengestelde vectoren gelijk, dan is de resultante = 0. Wanneer men bjj vectoren die- evenwijdig aan een zelfde rechte lijn zijn, door de teekens -f en — onderscheidt, of zij naar de eenc of de andere zijde zijn gericht, kan men zeggen dat de resultante van twee dergelijke vectoren gelijk is aan hun algebraïsche som. Het ontbinden van een vector is het tegengestelde van het samenstellen; daaronder verstaat men nl. het zoeken van twee vectoren die, met elkaar samengesteld, den gegeven vector opleveren. (leinakkelijk ziet men in dat een vector op tallooze wijzen in twee andere kan worden ontbonden. Men kan de richtingen van de twee componenten willekeurig kiezen, of ook voor de eene component zoowel de richting als de grootte opgeven. Door de constructie van het parallelogram wordt in het eerste geval de grootte van elke component, in liet tweede geval de richting en de grootte van de tweede component bepaald. § 28. Neemt men op de zijden van het parallelogram A li C I) (Fig 32) de stukken A h en A d zoo, dat Ah _ , A li ~ ^ A 3. bedoeld dut men als volgt te werk gaat. De tweede vector wordt met zijn beginpunt geplaatst in liet eindpunt van den eersten, de derde vervolgens met zijn beginpunt in liet eindpunt van den tweeden, onz. Eindelijk wordt het beginpunt van den eersten vector met het eindpunt van den laatsten vereenigd. In Fig. 33 is .1 E do resultante van de vectoren A B, BC, Cl>, 1> E. Deze figuur behoeft niet in een plat vlak te liggen. Men kan don regel voor het samenstellen ook zoo uitdrukken: Nadat de tweede vector met den eersten is samengesteld, wordt de resultante AC (in de figuur niet getrokken) samengesteld met den derden vector CI)] de resultante .1 />, die men dan krijgt, wordt samen¬ gesteld met den vierden vector en zoo vervolgens. \Y aren al de vectoren die men moet samenstellen met hunne beginpunten in hetzelfde punt geplaatst, dan zou voor eiken stap in deze constructie een nieuw parallelogram van vectoren kunnen dienen. Zijn een willekeurig aantal vectoren evenwijdig aan een zelfde rechte lijn, dan is de resultante gelijk aan de algebraïsche som der componenten. 15ij het samenstellen van eenige vectoren is de uitkomst altijd onafhankelijk van de volgorde, waarin zij niet elkaar worden vereenigd. In Fig. 34 b. v., die weer niet in een plat vlak behoeft te liggen, krijgt men .1 D, als men eerst .1 B met den tweeden vector B E, en dan de resultante met den derden vector E l> samenstelt. Beschrijft men nu op B E en EI) als zijden een parallelogram, dan is B C gelijk aan den derden vector ED, en CD aan den tweeden B E. Hieruit blijkt dat men A 1> ook krjjgt als men A B eerst met den derden veetor samenstelt, en de resultante AC met den tweeden. Fig. ii4. Hebben drie vectoren 01), O E en OF (Fig. 27), die niet in een plat vlak liggen, hetzelfde beginpunt, dan is hun resultante de diagonaal 0 1' van het parallelepipedum dat op 01), O E en OF als ribben kan worden beschreven. Omgekeerd moet men, om een gegeven vector te ontbinden in drie andere Min gegeven richtingen, een parallelepipedum construeeren, waarvan hij de diagonaal is en waarvan de ribben die richtingen hebben. Op deze wijze brengt men dikwijls de beschouwing van vectoren in de ruimte terug tot die van hun componenten in drie bepaalde richtingen, die men dan meestal loodrecht op elkaar kiest. § 30. Verband tnssclieii de projectiSn van vectoren en die van Iiiiii resultante. De projectie van een vector op een rechte lijn kan ook zelf als een vector opgevat worden, en wel als een vector, waarvan liet beginpunt de projectie van het beginpunt van den gegeven vector is. In Fig. 35 is b.v. Ad de projectie van Al) op A X, maar de projectie van I) A zou d A zijn. In I'ig. 35 en 36 is .1 C de resultante van de vectoren A I! en AD, en A X een rechte lijn, waarop de punten li, C en /> geprojecteerd worden. Deze rechte lijn behoeft niet in het vlak -!/>'<"ƒ> te liggen en de loodlijnen lil,, Cc en Dd behoeven met evenwijdig aan elkaar te loopen. Men ziet aanstonds in dat A c de resultante, dus de algebraïsche som is van .1 I, en l,c\ verder kan bc door .1 d worden \ ervangen, omdat de projectiën van twee evenwijdige en o-elijke lijnen op een derde lijn, ook al liggen zjj daarmede niet in één plat vlak, steeds aan elkaar gelijk zijn. Dus is Ac de algebraïsche Fi«- :iö- Fig. 30. som van Ah en .(»/; 111. a. w., do projectie der diagonaal A <' van lust parallelogram is de algebraïsche som van de projectiën der zijden .1 W en .1 I). 8 31. Berekeningen met kleine grootheden. In natuurkundige vraagstukken komen menigmaal grootheden voor, die zoo klein zjjn, dat men de machten daarvan, zoodra de exponent hoog genoeg is, mag verwaarloozen. Welke machten hiervoor klein genoeg zijn, hangt natuurlijk af van den graad van nauwkeurigheid dien men wcnscht te bereiken; het kan voorkomen dat men reeds de tweede macht van een kleine grootheid kan verwaarloozen, maar ook, dat men die nog bjj de berekeningen moet behouden en eerst termen met de derde macht kan weglaten. Allerhande uitdrukkingen waarin een kleine grootheid ö voorkomt, kunnen ontwikkeld worden in reeksen die naar de opklimmende machten van A voortgaan. Vormen als (14- f5)(l-f-ó)1 geven daarbjj reeksen met een eindig aantal termen; in andere gevallen krjjgt men oneindig voortloopende reeksen van den vorm " —)— —j— ó8 —|— <■/ «5a —j— ensc., . . . . (10) waarhjj de waarde van de coëfficiënten 1 —f- 2 —|— 3 —f— 4 —f- enz. is een voorbeeld van een divergente reeks; daarentegen convergeert de reeks fn 1 + i + i + 1- + enz. en heeft liet getal 2 tot som. Een reeks kan alleen dan convergeeren, wanneer de termen, lietzjj van den eersten af, hetzij te beginnen met een lateren tei m, altijd door kleiner worden. Iutusschen is nog niet elke reeks, waarvan de termen afnemen, convergent; daartoe moet liet afnemen snel (1 óf = 1 + f ^ + 5 + ht + enz. Deze reeksen, die alle convergeeren als < 1 is, kan men verkrijgen door voor de uitdrukkingen die men wil ontwikkelen achtereenvolgens te schrijven (1 -f d)-1, (1 — 0)-i, (l4-^)ij (1 6) en dan den regel van het binomium van Newtox toe te passen. De eerste twee formules vindt men ook door deeling. Is (5 zeer klein, dan kan voor do vier uitdrukkingen geschre\en worden 1 *5, 1 -J- ó, 1 —f— J- <5, 1 -j- § ó en heeft men, in het algemeen, (1 + 6)" = 1 + n ó. Mortis komen in oen uitdrukking twee of meer grootheden voor, die zoo klein zijn dat men de tweede en hoogere machten van elk daarvan en ook de onderlinge producten mag venvaarloozen. Zijn (5 en ó' zulke grootheden, dan vindt men b. v. (1 -f,5) (1 -f ó') = 1 4- <5 + 6' f-tt en = + 6—Ö. $5 'S2. Voor den sinus van een zeer kleinen hoek kan, zooals een figuur onmiddellijk doet zien, bij benadering het getal genomen worden, dat de lengte aangeeft van den in dien hoek met het middelpunt in het hoekpunt en den straal 1 beschreven cirkelboog, dus het getal dat den hoek zelf in boogmant (§ 19) voorstelt. De tangens van een zeer kleinen hoek kan aan den sinus, de cosinus aan de eenheid worden gelijk gesteld. Ook hier kan de nauwkeurigheid verder worden gedreven door het gebruik van oneindig voortloopende reeksen. Men heeft aangetoond dat voor olko waarde van den hoek rS, als deze in boogmaat is uitgedrukt, s , *'"'■ is. $ Volstrekte en betrekkelijke fout. De fouten die bij metingen begaan worden, zijn in den regel zoo klein dat hun tweede machten en evenzoo de onderlinge producten mogen worden verwaarloosd; daardoor worden berekeningen die op deze fouten betrekking hebben vereenvoudigd. Wjj zullen de waarde van een grootheid, die men uit rechtstreeksche meting heeft afgeleid, of uit een berekening waarvoor de gegevens door metingen zijn geleverd, do ycronden waarde noemen. JIet verschil van deze en de werkelijke waarde der grootheid is de rol strekte fout. Onder de betrekkelijke of re/utiej-e fout verstaan wij het quotiënt dat men krjjgt als men de volstrekte fout door de gevonden waarde deelt; men kan die relatieve fout ook aangeven door te zeggen, hoeveel procent van do gevonden waarde de volstrekte fout bedraagt. De volstrekte fout wordt ook wel kortweg de fout genoemd O O N\ ij zullen onderstellen dat de grootheden zelf, waarvan er sprake is, positief zijn. Daarentegen kunnen de fouten positief of negatief zijn. \\ ij zullen de fout positief noemen wanneer de gevonden waarde grooter is dan de werkelijke waarde; men krijgt dus de volstrekte fout als men de werkelijke waarde van de gevonden waarde aftrekt. De betrekkelijke fout heeft hetzelfde teeken als de volstrekte fout. «? U. Fout van een grootIieitl die van een andere afhangt. Worden op een uit metingen afgeleide grootheid n rekenkundige bewerkingen toegepast, dan is de uitkomst daarvan onnauwkeurig tot een bedrag dat van de fout in « zelf afhangt en, wanneer deze klein is, in den regel evenredig daaraan mag worden gestfld. I)e fout in de uitkomst wisselt dan tegelijk met die in a van teeken. Do rekenkundige bewerkingen kunnen van dien aard zijn dat, wanneer een nauwkeurig bekend getal aanduiden. De regels zijn het eenvoudigst, als men bij sommen en verschillen naar de volstrekte, en bij producten en quotiënten naar de betrekkelijke fout vraagt. De \olstrekte fout in u -)- /> of in — u eveneens dezelfde waarde heeft, maar liet tegengestelde teeken. In het product /> u is de betrekkelijke fout even groot als die in u, terwijl de volstrekte fout p maal zoo groot is als in u. Ook in ' is de relatieve fout even groot als die in u, maar de fouten in deze breuk en in u zelf hebben tegengestelde tcckens. Is nl. (5 de betrekkelijke fout in u, dan is de werkelijke waarde u (1 <5). Terwijl de voor het quotiënt «evonden 1) waarde is, is de werkelijke waarde ^ (1 4- (5). " h (1 — ó) a De volstrekte fout in het quotiënt is dus — ^ *5 en de betrekkelijke fout, die men krijgt als men deze grootheid door '' deelt, is —(5. j»1 In de macht ai' is de relatieve fout /> maal zoo groot als die in ii. Immers, de gevonden waarde van de macht is ui', de werkelijke waarde ui' (1—fi)1' — ai' (1—p 6), en dus de betrekkelijke fout /i f5. Men ziet hieruit dat, als p een groote waarde heeft, de betrekkelijke fout in de macht aanmerkelijk grooter wordt dan die in het getal u zelf. Door een dergelijke; redeneering kan men aantoonen dat de betrekkelijke fout in y- u het y/lu gedeelte is van die in u zelf. Is in oen hoek . Kan b.v. in u een fout voorkomen van 1"'« en in b een fout van 2%, dan kan " onjuist n zijn tot een bedrag van 3%. In liet algemeen vindt men do mogelijke fout in een grootheid ,• die van n en b afhangt, door de gedeeltelijke fouten in r te berekenen, die aan de mogelijke fouten van n en b beantwoorden en dan die gedeeltelijke fouten, met hetzelfde teeken genomen, bjj elkaar op te tellen. Immers, in het ongunstigste geval is het mogelijk dat de in b is, en laat vooreerst het getal h juist zijn, maar in „ de fout « begaan zijn, die wij in grootte en richting bekend onderstellen. Dan is de fout voor = 2. Ofschoon nu de uitdrukking " elk getal kan voorstellen, is er toch een bepaalde limiet voor //, wanneer r steeds tot 2 nadert. Voor ./• = 2,5; 2,4 ; 2,3; 2,2; 2,1 wordt // = Ü,(J36; 0,(530; 0,623; 0,615; 0,608. De grenswaarde van // is 0,6; men vindt dit door op te merken dat teller en noemer van de breuk door ./■—2 gedeeld kunnen worden, een deeling, die geoorloofd is, hoe klein ./■ 2 ook wordt. Derhalve heeft de breuk, hoe weinig x ook van 2 verschilt, dezelfde waarde als + 1 r | g, en moet dus naderen tot de waarde die deze laatste breuk voor ./• = 2 aanneemt. Het verdient ook vermelding dat de verhouding sin ./• wanneer „ion .*• j„ I,oogmaat uitdrukt, bij voortdurend afnemen van -r tot „adert. Voor elke positieve waarde van heeft men nl., zooals uit een figuur blijkt, sin .'•<./•< tg dus, na deeling op sin ./• sin r 1 *> COS ./•. X J>",,r "" ™'' ' =°. ~' = I wordt, moet "y de oenhoid tot limiet hebben. S 38. Verkonding van twee oneindig kleine grootheden. tol. voortelde,, doe,, zie,, dat van twee grootho d,e ' '' tot 0 „aderen, de verhouding een bepaalde limiet kan hebben. I),t ka,, oog „p do TO, do wjjae ^ heldcrd. Wanneer men in Kig. ,2 « 12, het /L kromme l,„, „aar bet pnnt V overgaat, ondergaan de ooiirdinaton aangroenng,,, dio, al, men J'.y- evenwijdig aan O V «kt, door / /, en «y worden voorgesteld en die « ij j„„ J // zullen noemen •). Daarbij is J'/ = % V /' ft Xodert v tot /•, dun nemen 1, en J ,, af, waarb.j oohtor op eik «ogenblik een bepaalde vorhonding t«Mehen beide be„ta»t IS b. & x — l' B geworden, dan is J//— /{'(/en J i/ i r = tg v i' v. raat de beweging van Q „aar I' steeds voort, waarbij de snijlijn ot de raaklijn /' ft, Cn dus de hoek (J /' />< tot den hoek U /' V' nadert dan moet de verhouding van A ,, en j, , terwijl beide giootheden kleiner en kleiner worden, naderen tot den tangens van den laatstgenoemden hoek. Met een gebruikelijke afkorting het woord Juniet" kan men dus schrijven woorden: ^angrooiÏ^!'^ ge/ is dus J .'/ = (-' i + 6'f ~ ' i2 — 2 •/', 6 -f 6-, en daar J ./■ = i is, wordt 9 ' I t TT =2'.+«- Laat men nu r5 al kleiner en kleiner worden, dan nadert deze uitdrukking tot de limiet 2 x, , wat wjj uitdrukken door de formule d'J =2 r d ./• 1 ' of, wanneer wjj ,/• in plaats van xt schrijven, d ii ' = 2 r d.r ' d. w. ■/.. d (.,■*) d ./• !>. Ook het differentiaalquotient van y = kan men, als m een willekeurig geheel positief getal is, op dezelfde wijze vinden. Jiij deze functie is J !/ — (xl -(- Óf" — x, >", dus, wanneer men den eersten term ontwikkelt, •4// . m(m—1) A ./• — '1 1 j~~2— '1' & ~T 011/- Daar alle termen behalve de eerste de grootheid ,5 of een macht daarvan als factor bevatten, naderen al die termen tot 0, zoodat men vindt d y = in xi1 d x ka of li (.!■'") - — ))l x'" 1. d x Om een macht van ./• te differentieeren moet men dus den exponent met 1 verminderen en tevens de uitdrukking met den oorsproiikeljjken exponent vermenigvuldigen. Men kan bewijzen dat men dezen regel ook mag toepassen, wanneer m een negatief of gebroken getal is. Het differentiaalquotient van de functie 1 is dus o ~ ~~ x3 ' r. Als laatste voorbeeld kiezen wjj tf = a cos (« ./• -j- />), waarbij wjj onderstellen dat u, n en /> standvastige grootheden /ijn on dat de hoek n xji in boogniaat is uitgedrukt. Hebben ..i■, en 6 weer dezelfde beteekenis als boven, dan is J .'/ = ii cos |» (x ( -)- S) -}- p | — ii cos (tlx, -{-}>), ot, volgens een bekende goniometrisehe formule, .'/ = — 2 ii sin [» (>, -f- i 6) -f- /<| sin .1 u 6. Hieruit volgt iy _ _ 2 a sin (./•, -j- } ft) -j_ t,\ sin } n è Ax — — ii n sin \n (./• J ,\) 4- >i\. , (1 3) ' .1 n 6 Laat men nu 6 voortdurend afnemen, dan nadert ook de hoek J n ó tot O, zoodat 38) .. sin i w (5 Lnn - - — 1 -i " O is. Daar verder bij de limiet de grootheid (5 in den eersten factor van de uitdrukking (13) verdwijnt, heeft men ten slotte d 'J • , , , , - = — ii n sin {ii x, 4- iii, d x 1 <1- W. Z. (/ \" cos (// x-\- !>)] d~.~ ~ —~ " " sin ('i -f- j>). Op dezelfde wijze vindt men d[a sin (n ./• -f- /,) | d.r ="» C08(«af-fy,). '/. De lezer zal gemakkelijk inzien dat, wanneer de gegeven ^n standvastige,, factor bevat, men eerst de functie k!,m8fW'f |g daarViln ka" 'üfft-rentieeren, n.its men de uitten slotte „,et dien factor vermenigvuldigt, en dat bet ^en^aa,quotiënt van een veeltermige „drukking wo ! uitk ; °n, t('n" afZünderl«k tC ^ronüeeJ, en da.nle u.tkomsten met dezelfde teekens die de termen hadden achter tlkaai te plaatsen. Is een der termen standvastig, dan ver«lw.j„t h,, ,„t het ditferentiaalquotient, daar hij „iets tot de i'xindevim/eii der functie bijdraagt. Met diffcrentiaalquotient van ;{x- is X X (> x ? en dat van 1 -j- 2 ./• 6 » _j_ 5 x» - 6 X 2 x -f- 5 X 3 .r2 = 2 — 12 x -J- 15x2. § 41. Maximum of minimum van een functie. De beschouwing der verander,ng van een functie hij toe- of afname van de onaf' anke „k veranderlijke maakt het ook mogelijk de waarden van deze laatste, voor welke de functie een maximum of een mini- 71Z1* ^ ni" * ^uwe„ .'/ = 2 -f- ./• x-, •'es te ld'' S 10 ,l0°r <,<' kr°n,U,e Va" Fip' :! hebbeu V001- Geven wjj weer aan de onafhankelijk veranderlijke eerst een bepaalde waarde .r, en dan de kleine aangroeiing <5, dan is y eerst en later - + (J'i -j- d) — (a-, -f- óf. Door aftrekking volgt hieruit J/, = (l_2.r1)<5-(52, (14) k en dus k J » i o ■J7= 1 — 2 ', -«5. Laat men ó kleiner en kleiner worden. dan nadert deze uitdrukking tot 12 .rt; derhalve d!t , i} dx = (l°) J)oor deze uitkomst, die wjj ook uit de regels van de vorige !; hadden kunnen afleiden, wordt iu elk punt van de kromme lijn van Fig. :i de richting van de raaklijn bepaald, want, zooals wjj in 5j :19 zagen, geeft de waarde van den tangen» van den Cl J' hoek dien de raaklijn met de .'-as maakt. Jn het punt ezeltde methode wordt in vele andere gevallen toegepast. Men verdeelt menigmaal een te berekenen grootheid in een groot aantal, stel in u kleine deelen, en stelt voor elk daarvan iets in de plaats, dat er een weinig van verschilt. Wanneer nu de som van de fouten die men aldus maakt, bij aangroeiing van het getal m, tot 0 nadert, zal de limiet van de som der u grootheden door welke men de n deelen heeft vervangen, de gezochte waarde opleveren. 'W il men b.v. de lengte van een kromme lijn bepalen, dan verdeelt men deze in een groot aantal kleine liogen, en vervangt elk boogje door zijn koorde. J)e limiet der som van koorden bij voortdurende toeneming van het aantal deelen is de gezochte lcnjjte. O O Op deze wijze wordt in de lagere meetkunde de omtrek van een cirkel bepaald. Ziehier nog een paar voorbeelden. Om den inhoud te berekenen van de figuur die (Fig. 7) door een gegeven kromme lijn I' (J, de as der ahscissen A en twee ordinaten .1 /' (>n li O C begrensd is, verdeelt men het stuk van O X, dat tusschen A en li begrepen is, in een groot aantal deelen A (', ('I), enz. en richt in de doelpunten de ordinaten op. I)e gezochte inhoud wordt dan verdeeld in de strooken A PIK', C li S D, enz. Voor deze stelt men de rechthoeken die in de figuur zijn aangewezen, in de plaats; men ziet onmiddelljjk dat de gevraagde inhoud de limiet is van de som dezer rechthoeken bjj aanhoudende vermeerdering van het aantal deelen. De sector O A li (Fig. 38), die begrensd is door de twee „voerstralen O .1 en O li en een gegeven kromme lijn, kan door een aantal voerstralen tusschen O A en O li in kleinere sectoren, zooals O Cl), verdeeld worden en elk daarvan kan door een cirkelsector, zooals O (' K, worden vervangen. De limiet van de som dezer cirkelsectoren is de inhoud van A O li. Men kan dit alles weer korter uitdrukken door te zeggen dat flJL Fiir. :is. de lengte van een kromme Ijjn ,1, „n, „ ,m „„„ ^ .t.tiirai oneindig1 kleine koorden, dat de inhoud van A /'<,)/{ i„ Fig. 37 gevonden wordt door oneindig vele oneindig kleine rechthoekjes bij elkaar op te tellen^ en dat men in Fig. 38 evenzoo met oneindig kleine cirkelsectoren moet handelen. De oneindig kleine deelen waarin een grootheid verdeeld wordt, noemt men de elementen van die irrootheid v°ordeel dat de aangegeven berekeningswijze oplevert, is gelegen in de vervanging van deze elementen kaLT r °°"a* klCint' S"""h8de°. ™'™ 'Ie waarde gemak- een ander^fl , "»rit «»» een a, dei dat „nmu.hj,,- „ eernggehraelit, de benalin» van den r W.V"dT f "'V' " ~ * van een nanta" pnsm.. de berekening van het oppervlak van een tignnr die óm de I heeremd '"■> vWs.uk "d 801,1 van «•" aantal reehthoeken te Ijcpalen tl„„" *""*»• vraagstukken past ,„en dezelfde me- wikkoid I •• 'i * va" ander inge¬ wikkeld verschijnsel tot vereenvoudiging kan leiden. Wanneer kan men d ! ^ °p]o8tiin® va» P«"t tot punt verandert, deelen I " Li ° Wa"rm z,ch e", wanneer men de warmteontwikkeling wil be- rt; Tïï Tte Zek°ren tljd dü0r eeu ^W-chen stroom a i veranderlijke sterkte in een geleiddraad wordt teweeggebracht, wkki; ,J rli7in kleine dee,en "w™*- ontwikkeling gedurende elk zoodanig deel berekenen alsof de De ukk (' V' 't0 hl°ld' dlC h" a"n hot bogi" van <]at doeI ,iad- zün 1, Wailrtoe men geraakt zal steeds des te nauwkeuriger limiet 1,,eU, Verdeeling verder gedreven, en de vonvH i d'e " 01,181 V0°r het g°Vttl dat liet aantal deelen voortdurend toeneemt, zal aan de werkelijkheid beantwoorden Met de hulpmiddelen die de hoogere wiskunde aanbiedt, om de grenswaarden van sommen als de boven besprokene, zoogenaamde integralen, te bepalen, zullen wjj ons bier niet bezig houden; het is ons voldoende de mogelijkheid van zulke berekeningen in te zien, terwjjl wjj de uitvoering aan de wiskundigen kunnen overlaten. \kl j EERSTE HOOFDSTUK. B KW KG ING K\ KRACHTKN. § 43. Beweging van punten en lichamen. De plaatsverandering van lichamen of van deelen daarvan is het eenvoudigste verschijnsel dat in de natuurkunde ter sprake komt en de wetten waardoor dit beheerseht wordt, zijn van te meer gewicht omdat vele verschijnselen die op het eerste gezicht van geheel anderen aard schijnen, tot bewegingen kunnen worden teruggebracht. Wij zullen ons daarom in de eerste plaats met de leer der beweging, de mechanica, bezig houden. W anneer een punt zich verplaatst, beschrijft het een rechte 1 kromme lijn, die de baan van het punt genoemd wordt. Bij de beweging van een lichaam moet men de banen onderscheiden, die door de verschillende punten worden doorloopen en die zeer van elkaar kunnen verschillen. Bij de golfbeweging b.v. in een watermassa dient men achtereenvolgens te letten op de plaatsverandering van de \ crschillende waterdeeltjes, waarvan op een zelfde oogenblik sommige een hoogen en andere een lagen stand hebben, en als een vloeistof door een opening uit een vat stroomt, moet men nagaan', langs welke kromme lijnen de deeltjes daarvan de opening bereiken en het vat verlaten. Bij \ aste lichamen is niet zooveel verscheidenheid van bewegingen mogelijk als bij een vloeistof of een gas, maar de velschillende punten van een draaiende tol of een naar boven geslingerden stok doorloopen toch ook zeer van elkaar afwijkende banen. k § 44. Stoffelijke punten. In vele gevallen heeft men intussehen een voldoend denkbeeld van de beweging van een lichaam, zoodra men van één punt daarvan de plaatsverandering kent. Het kan zijn, dat alle punten van het voorwerp op dezelfde wijze voortgaan (voortgesehoven slede) of ook, dat men zich tevreden kan stellen met de kennis der baan van één punt, en van de bijzonderheden in de beweging der andere kan afzien. Om b.v. de beweging van een geweerkogel te onderzoeken, kan men beginnen met slechts op één punt daarvan zijn aandacht te vestigen. Wordteen lichaam op deze wijze door een enkel punt vervangen, dan wordt liet een stoffelijk punt genoemd. S 45. Tijd. Nadat men de baan van een punt heeft leeren kennen, kan men letten op de plaats waar het zich op bepaalde oogenblikken bevindt, en op den tijd dien het aan de beweging van de eene plaats naar de andere besteedt. Ken bepaald tijdstip geeft men aan door het aantal tijdseenheden dat sedert een of ander vast oogenblik, het beginpunt der tijdtelling, verloopen is, of wel, wanneer liet beschouwde tijdstip aan dat beginpunt mocht voorafgaan, door het aantal tijdseenheden dat tot aan dit laatste verloopen zal. Het bedoelde aantal tijdseenheden wordt door t voorgesteld; het wordt als een positieve grootheid beschouwd, wanneer men met een tijdstip na het beginpunt der tijdtelling, en als een negatieve grootheid, wanneer men niet een oogenblik daarvoor te doen heeft. Als eenheid van tijd zullen wij, wanneer niets anders gezegd wordt, de seconde bezigen. Voor het oogenblik van waar men den tijd telt, kan men dikwijls het tijdstip kiezen, waarop de beweging begint. De bepaling van de plaats waar een punt zich achtereenvolgens oj) bepaalde oogenblikken bevindt, wordt bij langzame bewegingen, zooals die der meeste hemellichamen, gemakkelijk gemaakt door de omstandigheid dat in den tijd. noodig om de plaats waar te nemen, de stand niet merkbaar verandert. Hij snellere bewegingen moet men dezen ol genen kunstgreep bezigen. § 40. Gelijkmatige beweging. Snelheid. Do uitkomsten van dergelijke waarnemingen kunnen op verschillende wijzen worden opgeteekend. Men kan b.v. de haan in een figuur afbeelden, zoo noodig op verkleinde of vergroote schaal, en bij verschillende punten daarvan getallen plaatsen, die de tijden voorstellen, waarop het lichaam deze punten bereikt heeft. l)e beweging heet gelijkmatig a/s in willekeurig gekozen gelijke tijdsdeelen eren groote wegen worden afgelegd. Fig. 89 stelt zulk een beweging voor; de punten 0, 1, 2, 3, 4 liggen op gelijke afstanden van elkaar. De snelheid bij een gelijkmatige beweging wordt gemeten i'iff- door den gedurende de tijdseenheid af'gelegden weg. Met een spreekwijze die wij in soortgelijke gevallen dikwijls zullen bezigen, zeggen wij ook: de snelheid is de weg die in de tijdseenheid wordt doorloopen. De snelheid van een gelijkmatige beweging is voortdurend eren groot. In cl 11 WUIUI voorgesteld door Fig. 4*2, * 1 1 wanneer men zich deze zoo geplaatst denkt,dat do rechte lijn verticaal staat, met hot punt 0 boneden. In de figuur is nog do bijzondere omstandigheid uitgedrukt, dat, na het omkoeren van do bewegings¬ richting, dat op het tijdstip 4 plaats hoeft, liet mint a All elk der stukkon van den weg, die het bij hot opstijgen in oen tijdseenheid hooft doorloopen, op nieuw een tijdseenheid besteedt. Hij de in Fig. 48 voorgestelde beweging bestaat deze eigenaardigheid niet. 4? 49. Rondgaande beweging langs een gesloten lijn. Wannooi een punt langs een gesloten kromme lijn steeds in dezelfde richting voortgaat , voert het een aantal onthopen fttj ƒ» uit. De tijd dien liet noodig heeft om van een of ander punt van de baan weer tot hetzelfde punt terug te keeren, heet de omloopstijd. In Fig. 44 is het geval voorgesteld, dat het punt, na in Fis- **■ 5 tijdseenheden tot het uitgangspunt loop ook laat beginnen. Het eenvoudigste voorbeeld van een beweging langs een gesloten lijn niet standvastigen omloopstijd is de gelijkmatige beweging. " ' Bewegingen die, zooals de zooeven beschouwde, zich telkens na een bepaald tijdsverloop op dezelfde wijze herhalen, heeten periodiek; het bedoelde tijdsverloop wordt de periode genoemd. Hij een rondgaande beweging niet standvastigen omloopstijd hebben de woorden „omloopstijd" en „periode" dezelfde beteekenis. § 50. Schommelingen «f trillingen. Ook een beweginangs een met gesloten lijn kan periodiek zijn; dit is b * het geval als een punt aanhoudend heen- en weergaaf tusschen twee uiterste standen, zoodat elke heen- en weergang op dezelfde wijze plaats heeft. Zulke bewegingen heeten slingeringen, schommelingen of trillingen. In den regel zullen wij onder een schommeling of trilling een vollen heen- en weergang verstaan; de daarvoor noodde tyd d.w.z. de periode, heet schommeltijd of trillingstijd In het bijzonder beschouwen wij trillingen langs een rechte lijn. Tusschen dezelfde omkeerpunten en met denzelfden trillingstijd kan de beweging nog op zeer verschillende wijzen plaats hebben; er zjjn, zooals wij zullen zeggen, verschillende tnllingsvormen mogelijk. De Fig. 45, a, b, c, d kunnen dit ophelderen. In de eerste daarvan zijn de heengang en de teruggekeerd te zijn, de volgende omloopen op dezelfde wijze volbrengt als den eersten. Men kan dan spreken van den omloopstijd, d.w.z. den tijd, noodig voor eiken omloop, onverschillig welken. Die tijd is dezelfde, in welk punt .4 of H men den 0111- terugkeer gelijkmatige bewegingen met dezelfde snelheid. In Fig. I) zijn zij ook nog gelijkmatig, maar de beweging is naar rechts langzamer dan naar links. De in I< ig. c voorgestelde beweging onderscheidt zich van de in F ig. (i afgebeelde hierdoor, dat het punt aan de uiteinden van de baan telkens een tijdseenheid lang in rust blijft. Eindelijk zijn in Fig. d beide bewegingen versneld. In al deze gevallen is de trillingsduur niet alleen de tijd waarin het punt, van het eene uiteinde der baan af, l. neen- en weergaat, maar ook de tijd dien het noodig heeft om, van een willekeurig punt C (Fig. 46) uit, - 1. ..i. • . Kijf. 4K. o-i.-M Iiüiii ner eene uiteinde .4 te gaan, vervolgens tot in het andere uiteinde li terug te keeren, en daarna weer het uitgangspunt te bereiken. S 51. hnkclvoiiriige trilling. Wij zullen nu een tril li ngsvorm bespreken, die van bijzonder belang is. Wanneer (Hg. 47) een punt P in een cirkel rondloopt, zal de projectie (J van dit mint od een VIII JJUIU IIJJ UUI1 vaste middellijn .,4 li tusschen de uiteinden -1 en H van deze laatste heen- en weergaan; <1 ic» projectie voert regelmatige trillingen uit, als P de op elkaar volgende omloopen op gelijke wijze volbrengt. Klaarblijkelijk is de trillingstijd van hetzelfde als de omloopstijd van P. De trillingen van (J in het bijzondere 1 r> i • • i Kijf. 47. ii,u / een gelijkmatige beweging heelt, worden ctikclroudif/e genoemd. \ren nicrke op dat de beweging van Q zulk een enkelvoudige trilling kan zijn, ook al zijn de cirkel en het punt P er niet: het punt Q kan zich ook dan zoo bewegen, dat het beschouwd ban worden als de projectie van een ander punt dat een fa gelijkmatige beweging langs een cirkelomtrek heeft. . ei ziet gemakkelijk in dat de projectie van P op een willekeurige lijn in 't vlak van den cirkel ziel, op dergelijke wijze beweegt als het punt Q. In korte termen kunnen wij dus zeggen: Een enkelvoudige trilling is de projectie van een gelijkmatige beweging in een cirkel op een rechte lijn die in I vlok daarvan ligt. Fig. 48 doet de eigenaardigheden van de enkelvoudige Fiff. trilling nader uitkomen. De punten 0, 1, 2, 3, enz. op den cirkel liggen op gelijke afstanden van elkaar. Natuurlijk kan men de beweging meer in bijzonderheden nagaan, en op dezelfde wijze de plaats van liet punt aangeven voor oogenblikken die b.v. een zestiende van den trillingstijd uiteenliggen. In liet bijzonder vestiuen vvii do ^in¬ dacht op de volgende eigenschappen van de enkelvoudige trilling. "■ Om, hetzij in de eene, hetzij in de andere richting een der helften A O en RO (Fig. 47) van de baan te «oorloopen, beeft liet punt liet vierde deel van den trillingstijd noodig. l>. Een willekeurig stuk van de baan wordt, bij den heenging en den teruggang, in denzelfden tijd afgelegd. r. Op twee oogenblikken die een halven trillingstijd van elkaar verwijderd zijn, bevindt zich het trillende punt op ge ïjke afstanden, maar aan verschillende zijden van (J, en )cu eegt liet zich in tegen stelde richtingen. d. De beweging is versneld terwijl liet punt tot O nadert, vertraagd, als het zich van O verwijdert. De afstand O A, de halve lengte van de baan, wordt de amplitudo van de trilling genoemd. S o2. Ander voorbeeld van liet verband tnssclieii de beweging van twee punten. In het geval van ,1e vorige § werd ,1e beweging van Q door die van liot punt I' bepaald. Op jfe. Kitf. 4!». overeenkomstige wijze dwingt 111011 in vele werktuigen een mint oin zich op de voor een of ander doel noodige wijze te verplaatsen, door het te verbinden niet een ander punt, dat zelf een bepaalde beweging heeft. Ziehier een eenvoudig voorbeeld daarvan. In Fig. 4!) heeft P een gelijkmatige beweging langs den cirkel nn moet () zich langs het verlengde van de middellijn H . I zoo verplaatsen, dat de afstand I' (,> een standvastige lengte I heeft. Of, kan men ook zeggen, een rechte Ijjn /' (t) van onveranderlijke lengte beweegt zich met haar eene uiteinde gelijkmatig over den cirkel, terwijl het andere uiteinde langs de rechte lijn II /> glijdt. liet punt (J gaat heen en weer tusschen de punten /> en die men krijgt als men .1 /)— li Kr / maakt. Dat de beweging nu echter geen enkelvoudige trilling is, blijkt, zoodra men voor eenige oogenblikken de plaats van bepaalt. Het is al voldoende, dit te doen voor een oogenblik, midden tusschen die waarop liet puilt /' in .1 en li is. Daartoe deelt men den halven cirkelomtrek li .1 in ( midden door, en bepaalt /•' zoo, dat <' l-'—l is. Het punt /•' ligt niet in het midden van /•,'/>, zooals het geval zou zijn, als de beweging van (,) een enkelvoudige trilling was. S 53. Voorstelling der beweging van een punt door een formule. Wij nemen op de baan een vast punt O aan, en bepalen de plaats van het bewegelijke punt door den langs do baan gemeten afstand .v, waarop het zich van O bevindt. Dezen afstand rekenen wij positief of negatief, naarmate hij van O uit de eene ol de andere richting- heeft. In den loop der beweging is klaarblijkelijk s een functie van den tijd I, die verloopen is sedert het oogenblik van waar al men den tijd telt, en de beweging zal bekend zijn, zoodra men weet welke functie .v van t is, m. a. w., volgens welke wet de eene veranderlijke van de andere afhangt. jfj'3 Immers, dan kan op elk oogenblik do plaats van liet punt worden aangegeven. De betrekking tusschen de veranderlijken kan in een tabel worden weergegeven (verg. § 1). Men kan nl. de tijden waarop men den stand van liet punt heeft waargenomen, in de eerste kolom, en de voor .v gevonden waarden in de tweede kolom opteekenen. lfet verband tusschen .v en / kan echter ook in een formule worden uitgedrukt, hetzij in een empirische formule die zich zoo goed mogelijk aan de waarnemingen aansluit' hetzij in een vergelijking die uit de definitie van een beweging van bijzonderen aard wordt afgeleid. Zulke vergelijkingen zijn voor de bewegingen waarvan in de^ vorige £§ sprake was gemakkelijk op te stellen. S ;>4. (i. Gelijkmatige beweging. Wij kiezen voor O liet punt waar liet lichaam zich bevond op het oogenblik waarop men den tijd t begon te tellen, en onderstellen dat de beweging naar die zijde gericht is, naar welke s positief wordt gerekend. Zij v de snelheid. Uit de definitie van de beweging volgt onmiddellijk dat •v = v I is. Deze formule geldt ook voor een beweging naar de negatieve zijde, als men in dit geval de snelheid v van het negatieve tecken voorziet. Het is soms wenschelijk, het punt O anders te kiezen dan boven gezegd werd; op den tijd t, = 0 is dan het lichaam op een zekeren afstand a van O. Op den tijd I wordt dientengevolge •v = a-\- v t. In deze formule kan zoowel v als a positief of negatief zyn. I>. 1 rije val. Wij rekenen den tijd t van af het oogenblik waarop de beweging begint, en .v naar beneden van afliet pnnt waar het lichaam wordt losgelaten. Wij stellen den we»die in (Ie eerste tijdseenheid wordt afgelegd door a voor. Dan zijn (£ 47) de wegen, in de tweede, derde tijdseenheid, enz. doórloopen, achtereenvolgens '.ia, 5a, 7a, enz. Daaruit volgt voor de wegen, gedurende de eerste twee, de eerste drie, ft de eerste vier tijdseenheden afgelegd, -Ir/, '.)a. In het algemeen is dus, als / een geheel getal is s~at- il) De waarneming heeft geleerd dat ook wanneer I niet door een geheel getal wordt voorgesteld, dezelfde betrekking geldt. De in 2,5 seconde doorloopen weg is l> v. G,25«. r. tril!int/. In Fig. 47 verstaan wij onder ,s' den afstand (KJ van het bewegelijke punt <) tor liet midden van de liaan en noemen s positief, wanneer cos . | (> I' en dus t .v =u (i cos 2 .7 ,j, . . . (2) Ofschoon bij de afleiding hiervan werd aangenomen dat I () zijn aangegeven. De lengte van (><,) is nu ii cos li O /'; men heeft dus, daar s negatief is, s = — '/' is, zelfs wanneer t vele malen den trillingstijd bevat.' Inderdaad drukt de formule uit dat, telkens na verloop van dezen laarsten tijd, >• weer dezelfde waarde aanneemt, want als ' met 7' toeneemt, groeit de hoek 2 .i ' „,,-t 2aan en keert de cosinus tot hetzelfde bedrag term;. •luist omdat de cosinus een periodieke functie is, kan de formule een periodieke beweging voorstellen. n / dus 8 - § 55. («rapliische \ band tusschen s en numcii vrryHijgeii wanneer op den tjjd t = 0 het trillende punt niet in .1 (Fig. 47) is. Stel b. v. dat het zich op dien tjjd in O bevindt en zich naar de positieve zijde beweegt het punt /' is dan (Fig. 51; in Worden vervolgens in den tijd t de wegen /'„ /' en ()(J doorloopen, dan is I' sin /'„ O /' en dus x = n sin 2 ;i [ , welke vergelijking weer voor allo waarden van t doorgaat. Is (Fig. 52) het punt dat zich langs den cirkel beweegt, op liet oogenblik t = 0 in /'„, wordt de boog .1 in den straal als eenheid uitgedrukt, door /> voorgesteld, en hebben /' en =2n 'r + p, = " COS (2 Jl l -)- /)) . oorstelling van een beweging. Het ver( kan op de in $ 9 besproken wijze in fis h'ig. 58. een figuur worden aangegeven, wanneer men / door de abscissen en s door de ordinaten voorstelt. Aan elk paar hy elkaar behoorende waarden van / en s beantwoordt een punt in de figuur en de rechte of kromme lijn die door de aldus verkregen punten gaat, bepaalt den aard der beweging. NV ij kunnen de as der abscissen en die der ordinaten nu de as van de tijden en die van de wegen noemen en ze in de figuur door de letters 7' en S onderscheiden. (i. Gelijkmatige beweging. Daar bij deze beweging in achtereenvolgende gelijke tijden de afstand s telkens met netzeltde bedrag toeneemt, moeten in de graphische voorstelling de veranderingen van de ordinaat evenredig zijn met die van de abscis; een gelijk matige beweging wordt dus door een rechte lijn voorgesteld. Fig. 53 stelt een beweging voor, bij welke s op den tijd / = () reeds de waarde O A heeft. De verplaat¬ sing is naar de positieve zijde gericht, zoodat .v aangroeit. Stelt /) q de tijdseenheid voor, dan is het verschil s u van i i • * afstanden van het tweede, derde ' ■S- «n vierde station tot het "aar / .raat, dit station op den door O v vocrgestelden "tijd bereikt, er zoolang stilstaat als door de lengte van p,, wordt ««ingegeven, vervolgens zijn beweging met een kleinere snelheid ïcnat ,■ maakt nl. een kleineren hoek met T dan O p) in /> >cts langer stilstaat dan in en eindelijk van II „aar r gaat met dezelfde snelheid waarmee de afstand O .1 is doorIoopen (s u loopt evenwijdig aan O/,). De Ijjn die bjj a begint, geldt voor een trein die zich op dezelfde wijze beweegt als de eerst beschouwde, maar alleen zoo\e( a ter vertrekt, als door O „ is aangegeven. De bij I, leginnende lijn doet ons zien dat een trein met grooterc snelheid dan een van de voorgaande, zonder aan de tusschenstations t" stoppen, van () „aar r gaat, terwijl eindelijk nog de looi, van een trein is voorgesteld, die. van O uitgaande alleen in li stilhoudt. I)e lijn , f heeft betrekking op een beweging van (' naar O, ° Is eenmaal de figuur geconstrueerd, dan kan men daaraan \erschillende bijzonderheden ontleenen. Wil men weten welke tijden de treinen ecu bepaal,! punt van den weg passeeren dan moet uien uit het punt van de as der wegen, dat daaraan beantwoordt, een lijn evenwijdig aan O T trekken. Daarentegen eerste b.v. door 0.1, () ]{ <■11 O < worden voorgesteld; kortheidshalve duiden wij ook de stations zelf door de letters O, .1, r aan< De loop van eiken trein wordt nu door een lijn aangegeven. De lijn Op 4 door do formule (1) word uitgedrukt. Wanneer O .4, .1 H, /j c, Cl) tijdseenheden aangeven, is Aa — a, li b = 4 «, C c — d. /) (I = l(j a. Daar do ordinaten evenredig zyn mot do tweede machten van do abseissen is do lijn een pordbool 18). Zn het algemeen stelt elke kromme lijn een niet gelijkmatige beweging voor. e. / rillingen. Mij oom trillende beweging wordt telkens na verloop van don trillingstijd weer hetzelfde punt van do haan bereikt. Deze eigenaardigheid spiegelt zich in de graphisoho voorstelling hierdoor af, dat dezelfde ordinaat terugkeert als do abscis mot het bedrag toeneemt, dat don trillingstijd voorstelt. De graphische voorstelling van een trillende beweging is derhalve een golflijn. Aon verschillende trillinysvormen bedilt ivoorden evenwel golflijnen van verschillende gedaante. I'ig. ;>7 kan dit ophelderen. De lijnen I, II, III en IV hebben betrekking op de bewegingen die ook in Fig. 45, (t,b,c,d zijn voorgesteld; daarbij valt op te nierkon dat do horizontale afstanden van Fig. 45 op verkleinde schaal dooide verticale ordinaten van Fig. 57 worden weergegeven, zoo e graphische voorstelling van een enkelvoudige trilling wordt gemakkelijk uit de in S 51 gegeven definitie afgeleid. Men kan b.v. voor oogenblikken die ,V trillingstijd van elkaar verwijderd zijn, den afstand bepalen, waarop het trillende punt aan de eene of' de andere zijde van O (Fig. 47) verwijderd is, en moet dan die afstanden als even ver van elkaar staande positieve of negatieve v» ij lartn nor aan den lezer over, deze constructie uit te voeren. De lijnen die enkelvoudige trillingen voorstellen, zij,, enkelvoudige golflijnen of sinusoïdes (Fig. 25). \ ervangt men nl„ in de formules van ij 54, c en ., van Fig. 26 een aantal ordinaten, op gelijke afstanden van elkaar, trekken. Een punt kan zich nu zoo langs een rechte lijn bewegen, dat de afstand tot een vast punt daarvan op een reeks van even ver uiteenliggende oogenblikken zoo groot is als door die ordinaten wordt aangewezen. Fig. .">7. ordinaten in de figuur aanbrengen. nr:: ï x . . /I IfTb' § 56. Opteekenen van bewegingen. Ken lichaam dat zich volkomen of ton naaste hij langs een rechte lijn verplaatst en waaraan een schrijfstift bevestigd is, die kan teekenen op een daar tegenover geplaatst oppervlak, kan zelf de kromme lijn beschrijven, die zijn beweging graphisch voorstelt. Is nl. (Fig. 58) LL de lijn in de ruimte, langs welke de stift zich beweegt, en is een plat vlak, I). v. een blad papier. tegenover deze laatste geplaatst, dan zou op dit vlak, wanneer het zelf stilstond, een rechte lijn worden geteekend, die met Ij L samenvalt. W ordt nu echter het platte vlak in de richting A' q r' s t\ die juist de verlangde graphische voorstelling is. Om dit iii to zien verbeelden wij <)m dit in te zien verbeelden wij ons op liet papier eenige even ver van elkaar verwjjderde lijnen n b, n, b,, •, « , t, dan vindt men door y'y, >•' /■ s'i enz evenwijdig aan A'u te trekken, de punten van L Lr waar de stift zicli op de beschouwde oogenblikken bevond. De afstanden «/>, a ij, ii r, enz. waarop hjj toen van liet vaste punt u der ljjn /. L verwijderd was, zijn dus werkelijk gelijk aan de ordinaten van de kromme ljjn, die men in de figuur ziet. Een kleine wijziging maakt de methode bruikbaarder. Men kan nl. het blad papier op een omwentelingscilinder wikkelen (men slaat een rechthoekig stuk daarom heen en bevestig fsb de randen aan elkaar) en aan dezen laatsten een gelijkmatige wenteling om zijn as geven, terwijl het lichaam met de schrijfstift zich in de richting van een beschrijvende lijn verplaatst. Op het oppervlak wordt dan een lijn geteekend, die, nadat het papier volgens een hesch rij veilde lijn is doorgesneden en weer tot een plat vlak is uitgespreid, met de lijn p nnfof.mn • W wv** ? "V" v^^ii ^IIIUUIIIJII "iifOKKUl , gaat hij echter heen en weer, dun krijgt men een golflijn, w aai van de punten afwisselend aan weerszijden van die schroeflijn liggen. Hij uitspreiding van het papier tot een plat vlak zou de schrocHjjn een rechte lijn geven, die scheef staat niet betrekking tot de beschrjjvende lijnen; de golflijn die op den vooruitschuivenden cilinder wordt geteekend, zal een dergeljjken stand hebben. $ ;>8. I oepassing van de graphische methode op liet meten van den tijd. Worden de trillingen van een stemvork opgeschreven op een cilinder, waaraan een uurwerk een gelijkmatige beweging van bekende snelheid geeft, dan kan men uit het aantal golven dat de verkregen hjn op den omtrek van den cilinder vertoont, het aantal trillingen per seconde en dus den trillingstijd afleiden. Kveneens zal bij iedere lijn die door een bewegelijke stift ]> den cilinder wordt geteekend, de tijd waarin een zeker deel beschreven werd, gevonden kunnen worden uit den afstand van de beschrijvende lijnen die door de uiteinden van dat deel worden getrokken. Men heeft verschillende inrichtingen bedacht, die liet jnogeljjk maken, altijd niet behulp van een gelijkmatig draaienden cilinder, den duur van een verschijnsel of den tijd tusschen twee \ erschjjnselen te meten. Men kan b.v. tegenover den cilinder een stift plaatsen, die zich, als hij aan zich zelf wordt overgelaten, op kleinen afstand van het zwart gemaakte oppervlak bevindt, maar die in loodrechte richting voor een oogenblik tegen dit laatste kan worden gedrukt. Doet men dit op de twee oogenblikken tusschen welke men het tijdsverloop wenseht te kennen, dan krijgt men twee stippen, waarvan men dan den afstand kan meten. In plaats van de stift tegen den cilinder te drukken, kan men hem ook een vasten stand geven, en een electrisehe vonk van zijn uiteinde op den cilinder laten overspringen, waardoor een weinig van het lainpzwart wordt weggeslagen. Eindelijk kan men de stift voortdurend in aanraking f,. h m:{ mot don cilinder laten, maar het zoo inrichten, dat hij over con kleinen afstand in de richting van de beschrijvende lijnen kan worden verschoven en daarna aanstonds weer terugkeert. Dan krijgt men een lijn, zoo- |.-iir ..io .1.. i.i -.O „i- ais ik in rig. oh argebeelde; de afstand van de punten b en e is de maat voor don tiid tussnlmn Ho ï \oor (ion nju russciien de twee oogen blik ken op welke do stift verschoven werd, terwijl uit de lengte van ril blijkt hoe lang hij in den nieuwen stand is gebleven. I)e schuine stand van l> <• en c f is een gevolg hiervan. dat gedurende de verplaat- Ii(l sing van de stitr de cilinder over oen kleinen afstand vorder is gedraaid. Is de verschuiving van de stift zeer snel, dan staan (Fig. <»<)) li r on i' / nagenoeg loodrecht op u h. ?; 59. <'lironogra|>hen. Als de cilinder niet mot standvastige snelheid wentelt, kan men toch den duur van verschijnselen waarvan de loop op zijn oppervlak wordt opgeteekend ol' geregistreerd, loeren kennen, als men tegelijk een tweede verschijnsel opteekent, dat zich met bek^jide tnsschentijden herhaalt. \\ ij onderstellen in de volgende voorbeelden dat do cilinder verticaal staat. ii. Men kan met behulp van een uurwerk oen stift, die voortdurend met don cilinder in aanraking is, elke seconde Fig. 61. geduiende een korten tijd n«mr hoven verpl«i en i/ te trekken, don duur van dat tijdsverloop op aflezen. Daarbij kunnen ook onderdeelen van een seconde worden bepaald, wanneer men onderstelt dnt gedurende een seconde de beweging van den cilinder gelijkmatig is geweest. In de figuur is het tijdsverloop S,.fJ seconden. h. Men kan het aantal trillingen per seconde van een stemvork bepalen, als men beneden de stift die do trillingen daarvan opschrijft een tweede plaatst, die mot bekende tusschenpoozen merken, zooals die bij /> on y in Fig (!1, of andere teokens op don cilinder maakt. r. Korte tijdon kunnen worden genieten, wanneer men over oen stomvork beschikt, die oen bekend aantal trillingen per seconde uitvoert. In Fig. 4), den „e ven wichtsstand", en gaat, als hij na een verplaatsing tot in .1 wordt losgelaten, langs de horizontale lijn .1 li heen en weer. ITij is voortdurend in aanraking niet een verticale plaat, die in de richting I' O kan vallen; op die plaat zou de liju 01' worden geteekend, wanneer de stift gedurende het vallen in rust was. Worden echter de stift en de plaat beide bewogen en wel zoo, dat de val begint op het oogenblik waarop de stift in A wordt losgelaten, dan krijgt men de lijn A Cf) K. De afstanden tussehen de punten r, c (/ een rekenkundige reeks vormen. Aan de gedaante van de lijn kan men nog zien dat de trillende veer zich hoe langer hoe minder van zjjn evenwichtsstand verwijdert. § 61. Snelheid bij een niet gelijkmatige beweging. Hij een dergelijke beweging spreekt men vooreerst van de gemiddelde snelheid gedurende een zeker tijdsverloop en in de tweede plaats van de snelheid op een bepaald oogenblik. Onder de gemiddelde snelheid verstaat men de snelheid die het lichaam bij een gelijkmatige beweging had moeten féo{d nebben, om in het beschouwde tijdsverloop denzell'den weg af te leggen, dien het in werkelijkheid heeft doorloopen. De gemiddelde snelheid wordt dus gevonden als men den weg door den tijd deelt. Met de snelheid op een bepaald oogenblik bedoelt men de limiet waartoe do gemiddelde snelheid voor een zeker op dat oogenblik volgend tijdsverloop nadert, als men de lengte van dit laatste tot 0 laat naderen. Men kan deze bepaling ook zoo inkleeden : I)e .snelheid op een bepaald oogenblik wordt gevonden, als men den in een oneindig kleinen lijd afgelegden wei/ door dien lijd deelt. ' Is een tijdsverloop zeer klein, dan zal de daarvoor geldende gemiddelde snelheid maar weinig verschillen van de bovengenoemde grenswaarde, en bij benadering in plaats daarvan mogen worden genomen. Als b. v. een spoortrein in een minuut een weg van 1200 m aflegt, zal allicht de snelheid aan het begin van die minuut niet noemenswaard verschillen van 20 in per sec, maar had men alleen waargenomen dat in 30 minuten een weg van 32400 m wordt doorloopen, dan zou men misschien een aanmerkelijke fout begaan door de beginsnelheid op of 18 i» per sec te stellen. l>e graphische voorstelling der bewegingen kan dienen om liet gezegde; op te helderen. Vooreerst ziet men gemakkelijk in dut bij een gelijkmatige beweging, zooals die door de rechte lijn van Fig. 53 wordt voorgesteld, de snelheid gegeven wordt door den tangens van den hoek dien A li met () T maakt. Op dergelijke wijze zal bij een beweging die door de kromme hjn van Fig. 12 wordt voorgesteld, als men 0 X als as der tijden en O )' als as der wegen kiest, de gemiddelde snelheid gedurende 't tijdsverloop dat aan AC beantwoordt, worden bepaald door tg <} I' X. Immers, B (t) is de afgelegde we» dus li (t) a °' lf, de gemiddelde snelheid. I)e gemiddelde snelheid gedurende den tijd Ar' wordt door tg (/ /'X' gegeven, en de snelheid het door A aangeduide oogenblik door don tangens van den hoek dien de raaklijn l' U met /'X maakt. ftl ¥ J § 62. Berekening van «Ie snelheid, wanneer de wet van «Ie beweging gegeven is. Wij drukken s in don tijd t uit en vragen naar de snelheid v op een bepaalden tijd I. Om die te vinden beschouwen wij, na dit oogenblik, een klein tijdsverloop J /. Aan liet einde daarvan is de tijd / -j- .1 /, en stelt men dit in de formule die s als functie van t voorstelt, voor / in de plaats, dan vindt men hoe groot s op bet nieuwe oogenblik is. Men heeft dan twee waarden van s uit de formule berekend, de eene geldende voor den tijd /, de andere voor den tijd / J t. Het versehil van beide kan men de aangroeiing van .v noemen en door J .v voorstellen; liet is de afstand die in den tijd J / wordt doorloopen. I)e gemiddelde snelheid gedurende den tijd .1 / is nu J A' J /' en de ware snelheid op den tijd / is de limiet waartoe deze verhouding nadert, als .1/ kleiner en kleiner wordt. Men kan dus schrijven (§ 39) -1 .V (I S " = L,mj ( = ,((■ Hij het afnemen van J / moet / zelf onveranderd worden gelaten: bij de geheele redeneering geeft nl. deze grootheid het vooraf vastgestelde oogenblik aan, waarvoor men de snelheid zoekt. Het blijkt dus dat uien, zoodra s als functie van den tijd t is gegeven, de snelheid dooi" dittereuticeren (5; 40) vindt. Daarlijj verdient liet opmerking dat, wanneer wij voor rit een positieve aangroeiing van den tijd kie/en, ris positief f negatief' kan uitvallen, al naarmate de plaats van liet bewegelijke punt aan liet einde van liet tjjdselernent ' lilt fllili IMMl/Jli l«/l/ til <ƒ/, «...„II • 7 »• Derhalve: /;// wrym r«/ i.v de snelheid evenredig mei den tijd gedurende welken de beweging heeft plaats gehad; of ook: in achtereenvolgende gelijke tijdsdeelen neemt de snelheid telkens met hetzelfde bedrag toe. Een beweging waarbij dit laatste het geval is, wordt eenparig versneld genoemd. Onder de versnelling verstaat men daarbij de snelheidsvermeerdering in de tijdseenheid. De vrije val is natuurlijk niet de eenige eenparig versnelde beweging. In iedere richting en met elke waarde van a kan men zich een bewoging vooratellen, die aan de vergelijking (1) beantwoordt. In plaats van den in de eerste seconde afgelegden weg a kan men de versnelling invoeren, om de eenparig versnelde beweging nader te beschrijven. Volgens de vergelijking (3) is de versnelling 2 a. Voorden vrijen val wordt zy gewoonlijk «looi- g voorgesteld. De formules (3) en (lj worden dan '• = at (4) en CU •s' = l ff t2 (5) Met behulp van deze formules kan men de snelheid berekenen, die een lichaam krijgt, wanneer het van een gegeven hoogte s valt. LTit (5) volgt voorden duur van den val ' Vy <6> en dan uit (4) voor de eindsnelheid v ' 2 g s ' (?) W at het nieten van de versnelling bij den vrijen val betreft, nierken wij op dat de nauwkeurigste uitkomsten zijn verkregen, niet door rechtstreeksche waarneming van een vallend lichaam, maar op een wijze die wij later zullen loeren kennen. Daar alle lichamen even snel vallen, is g voor alle even groot. Men heeft evenwel bevonden dat de versnelling aan verschillende punten van het oppervlak der aarde ongelijke waarden heeft. Naarmate men de polen nadert vallen de lichamen sneller, en wordt dus g grooter. Ziehier eenige der voor g verkregen uitkomsten; als eenheden van lengte en tijd zijn daarbij de centimeter en de seconde gebezigd. Het derde der opgegeven getallen is de gemiddelde waarde van g in Nederland; de uiterste waarden wijken daarvan niet meer dan 0,1 af. Jj 04. Verticaal opgeworpen lichaam. De waarneming heeft geleerd, zooals reeds in ij 48 vermeld werd, dat de eerst stijgende en dan dalende beweging van zulk een lichaam de eigenaardigheid vertoont, die wij in Fig. 42 (blz. 07) uitdrukten. Men kan daaruit het volgende afleiden. V(,1M «es (hen liet hij liet dalen in don lijd (8) allojjt. ('it ,1e fornnile <») volgt dus li 1" 2// (9) § Samenstelling va.. twee snell.ed..... Onderstellen wii da een „lat vlak. I,.v. hot dok van een «.ld,,. „„„ *.t*tge snelheid in een richting die i„ hot vlak zelf li-»-, uordt voortgesehoven, en dat een lichaam ziel, over l1(.t vlak' plaatst, dat h.v. een hal over liet dek van het vaart.,.V voortrolt. Men kan dan letten op d, punten van M be huh'neT i' vo°' NV0,P' telkens na gelijke tijden, indt. De ligging dezer punten bepaalt de bewegin" die ij. v,,,;7r'; te hebben voor een waarnemer die 'I1! h(>t vl®k geplaatst, in «Ie beweging daarvan deelt misschien zonder er iets van te bemerken; wij leeren er door kennen wat men de betrekkelijke of relatieve bewcnnvo,)1'xv'erp ten opzichte van lief platte vlak noemt " , zich echter <)<)k een ruimte voorstellen, die vast met de oevers van het vaarwater verbonden is, en nagaan » welke punten van die min,te het lichaam achtereenvolgens komt; daardoor krijgt men een denkbeeld van de relatieve beweging ten opzichte van de oevers. Eindeliik zon • . . 1 -"iiviviijk /ahi inon zich een ruimte kunnen verbeelden, die b. v. vast mei de zon verbonden is, en waarin de aarde zich verplaatst, en jfÉ5 zijn aandacht kunnen vestigen p de beweging van den hal in die ruimte. Het zal hierdoor duidelijk zijn, dat men, wanneer ervan de beweging van een lichaam gesproken wordt, steeds de plaatsverandering ten opzichte van een of nieer andere voorwerpen op het oog heeft. Het ligt echter menigmaal voor de hand, bepaalde lichamen als stilstaand te beschouwen; de beweging ten opzichte daarvan wordt dan wel de volstrekte of absolute beweging genoemd. Zoo zullen wij in dit boek stilzwijgend de ons omringende vast met de aarde verbonden voorwerpen als stilstaand beschouwen, en wij zullen in het boven gekozen voorbeeld den naam van „volstrekte beweging" duidelijkheidshalve aan de beweging ten opzichte van de oevers geven. Wanneer wij van de beweging van het vaartuig spreken, bedoelen wij de plaatsverandering ten opzichte van de oevers, terwijl wij de beweging van den bal over het vaartuig door het woord „betrekkelijk" onderscheiden. \\ ij onderstellen nu dat deze laatste beweging met standvastige snelheid langs een rechte lijn van het platte vlak plaats heeft. Die lijn is in Fig. 65 door J M voorgesteld : .1, //, C, 1) zijn de op gelijke afstanden van elkaar liggende punten der lijn, waar'zich het voorwerp bevindt op oogen1)1 ik ken die met tusschentijden = 1 op elkaar volgen, oogenblikken dus, die wij met 0, 1, 2, 3 kunnen aanduiden. Wij moeten nu op de verplaatsing der lijn zeil hij de verschuiving van het platte vlak letten; wij onderstellen dat deze verschuiving in de richting .IL met de snelheid .1.1 gebeurt. Heeft de lijn den stand .4 .1/ op den tijd 0, dan worden de standen van .1 op de oogenblikken 1, 2, 8 voorgesteld door A\ .4", A"\ wanneer men A' A" = A" A"' — A A' maakt. De lijn zelf, die evenwijdig aan zich zelf voortgaat heeft achtereenvolgens de standen A' M', A" M'\ M"M"\ Fig os jU Terwijl hot voorwerp op den tijd 0 in het punt A der ruimte is, bevindt liet zich op den tijd 1 i„ het punt van . )vaar li 18 gekomen, dus in het punt li dat men krijgt, door uit li een lijn evenwijdig aan A L te trekken; immers, alle punten van .4 M verplaatsen zich in dezelfde richting. De figuur doet zien hoe op dezelfde wijze de p aatse 11 ( en 1) van het punt op de oogenblikken 2 en 3 worden gevonden. Men ziet nu gemakkelijk dat .1, li\ , I) op een rechte lijn liggen; dat deze werkelijk de baan van het voorwerp is, wordt bevestigd door de beschouwing van zijn stand op tijden die tusschen de oogen- ;™ 1 *• '«*«'• vmkT is J n ^ li L - C 1) , en daar dit ook het geval zou zijn wanneer AH HC, enz., AA', A A , enz. „iet de wegen in tijdseenheden, maar in willekeurige gelijke tydsdeelen Noorstelden, is de volstrekte beweging van liet voorwerp gelijkmatig. De snelheid van die beweging is AH'; het blijkt dat men deze snelheid kun vinden door de .snelheid AA' van het platte vlak en de .snelheid A li die het lichaam ten opzichte van dit laatste heeft, met elkaar samen testellen volgens den renet dien wij in # 27 voor de samenstelling van veetoren hebben gegeven. Tot hetzelfde besluit komt men ook, wanneer de beweging \.iu Ik t lichaam o\ei het platte vlak en de voortsehuiving van dit laatste in de richting AL met veranderlijke snelheid plaats henbeu. Gedurende zeer korte (eigenlijk oneindig kleine) tijden kan men dan toch beide bewegingen als gelijkmatig beschouwen. J!' 11,1 '' •• onnl Itnwl ■> n n I V 1 der snelheid aangeett. Deze vector (§ 27) moet voor P langs de lijn vallen, die de baan in P aanraakt, en voor Q langs .4 li. Zij Pp de snelheid van /J, dan wordt die \ an Q, nl. Qq gevonden door een vierde evenredige te zoeken tot PP , (J Q' en Pp. Daar nu de oneindig kleine boog / / met de raaklijn samenvalt, krijgt men die vierde evenredige, als men p op .4 li projecteert. Derhalve komen wij tot dezen regel: De .snelheid van de projectie van een punt is de projectie van de snelheid daarvan. I>evindt P zich in een punt van de baan, waar dc raaklijn evenwijdig aan .4 li loopt, dan is de snelheid van dc Kig. (17. jk,ij Fiff. 08. projectie even groot als die van P; in elk ander geval is zij kleiner. Staat de raaklijn aan de baan loodrecht op A B, dan is de snelheid van de projectie 0. Het gezegde geldt ook wanneer do baan en do rechte lijn niet in één plat vlak liggen. s 08. Kromlijnige beweging in een plat vlak teruggebracht tot twee rechtlijnige bewegingen. Wij kunnen het punt P dat zich langs de vlakke kromme lijn L beweegt, o]) twee lijnen in het vlak van de baan, b.v. op do onderling loodrechte coördinaatassen O X en O Y (Fig. 68) projectooren. De projeetiën P, enP, gaan langs O X en O Y voort, on X zoodra men weet hoe zij dat doen, kan men voor olk oogenblik ook don stand van Pbepalen. Men is gewoon te zeggen dat het punt P de bewegingen ven de twee projeetiën, in de figuur dus een beweging naar rechts en een beweging naar boven, tegelijk heeft. Daarbij is de snelheid van het punt de resultante van de snelheden die de projeetiën op hetzelfde oogenblik hebben. Wordt nl. de snelheid PA ontbonden in PB en PC, evenwijdig aan O X en O Y, dan zijn deze componenten gelijk aan do projeetiën van PA op de assen, dus volgens do vorige $ aan de snelheden van Pt en Pn. Elke beweging van een pnnt in de ruimte kun worden beschreven door ann te Seven lloe zicl' zjjne projeotiën op drie onderling loodrechto assen verplaatsen. De snelheid van het punt wordt ook hier op elk oogenblik gevonden door do snelheden van de projeetiën met elkaar sainen te stellen. § 69. Snelheid en versnelling hij een enkelvoudige trilling. W ij kunnen nu de snelheid bij een enkelvoudige trilling bepalen door te bedenken dat doze volgens definitie do projectie van een gelijkmatige beweging in een cirkel is. Het punt P, dat in Fig. 47 fblz. 69) den cirkelomtrek doorloopt, heeft een standvastige snelheid, die wanneer wij do op blz. 78 ingevoerde letters gebruiken, door 2y' wordt voorgesteld; deze snelheid hooft ook het punt Q op het oogenblik waarop het door den middenstand O gaat. Daarentegen is in .4 of H de snelheid van dit punt een oogenblik 0. Wil men de snelheid in een willekeurig punt <) vinden, dan 2 ji et moet men y, vermenigvuldigen met den cosinus van den hoek dien de bewegingsrichting van P met O A maakt. Deze hoek is ± n grooter dan de lioek tusschen O A en 01'- de gezochte snelheid is dus, wanneer wij de beweging door de formule (2) (lilz. 73) voorstellen 2 nu / t \ 2 na . . t v— T cos ( 2 rj, -\- = — T sin 2 n -. (11) Men zal zich er gemakkelijk van overtuigen dat deze formule de wisselingen in de richting van de snelheid behoorlijk weergeeft. l it (11) kan nu verder de versnelling .■<»+ n fkmi „i. i. riff. 70. punt O oen lichaam met do beginsnelheid Oa — vn worden opgeworpen, in een richting die met een horizontaal vlak een hoek (e vormt. Ontbindt men r in een horizontale component .... " P = vo cos « en een verticale O 4) i'0 sin a en de in dien tijd in horizontale richting afgelegde we»' z\ , < 'O s'11 a i'tt' sin cc cos cc ' — • . cos cc 'J ' aannemen, en zoowel liet beschouwde stoffelle punt als de vectoren die de verschillende snelheden voorstellen, daarop projecteeren. Wij weten reeds dat op elk oogenblik V voorgesteld. Daaruit vindt men gemakkelijk dat de gemiddelde versnelling van de projectie in den tjjd r, die de richting van ij d en de grootte heeft, de projectie der gemiddelde versnelling van liet langs de kromme lijn gaande punt is. Dezelfde betrekking moet dus ook tusschen de limieten van deze gemiddelde versnellingen, <1. w. z. tusschen do versnellingen op een bepaald oogenblik, bestaan. Wordt deze versnelling voor liet eene punt door P 11 aangegeven, dan wordt zij voor bet andere door p h voorgesteld. Hieruit volgt nu eindelijk dat wanneer men den vector P ][ in de componenten l'K en P X, evenwijdig aan de coördinaatassen ontbindt, deze de versnellingen der projectiën van liet beschouwde punt voorstellen. In overeenstemming met de spreekwijze dat bet lichaam de bewegingen in do richtingen van O A en O )' tegelijk uitvoert, zeggen wij ook dat bet de versnellingen P K en P X tegelijk heeft. In liet algemeen, wanneer men zegt dat een lichaam twee of meer versnellingen tegelijk heeft, bedoelt men daarmee dat men door deze versnellingen naar den voor vectoren geldenden regel niet elkaar samen te stellen, tle werkelijke versnelling krijgt. liet zal yoen moeite kosten, het bovenstaande uit te breiden tot de beweging langs con willekeurige lijn in de ruimte; men kan dan op drie onderling loodrechte eoördinaatassen projeeteeren. S 74. Beweging van een lichaam dat aan uitwendige in vloeden onttrokken is. Tot nog toe word alleen over de waarneming en beschrijving van bewegingen gesproken. De natuurkundigen wenschen echter ook de oorzaken van de plaatsverandering der lichamen op te sporen, of' althans na te gaan hoe deze van verschillende omstandigheden afhangt. Wie een papiersnippertje ziet opstijgen naar een daarboven geplaatste, met een zijden lap gewreven en daardoor f/eëlee friseerde glazen staaf, zal in de aanwezigheid van deze laatste de oorzaak zien van de beweging van het voorwerpje; hij zal zeggen dat dit door de staaf wordt (KDif/etrokken. Wel is dit niet meer dan een spreekwijze, maar zij heeft 't voordeel, de aandacht te vestigen op het 1 Ümvllat ]T rP'er "i0t ,,PSt'kr alS fl Staaf er nk,t '),)V(>n wordt gehouden. vaSm* Z°°|?- °"S gcbIeken is' (,at oyeral (le lichamen vallen m de richting naar het middelpunt van de aarde do^nr1 7 niet,na!aten' de aanwezigheid der aarde als de oorzaak van die beweging aan te merken. van" rn!i° ^ voorwerP uit den toestand rust in dien van beweging overgaat, gelukt het, een of do r rm| f V,intlen' Wam'Van i,e tegenwoordigheid 1 de toestand als de oorzaak van de beweging kan worden beschouwd. K J" 2',' V°°™e.rp alle uitwendige invloeden onttrok- in dien tn^t l',!! eenmaal rust is, voortdurend ui aten toestand blijven. Om in te zien wat er gebeurt wanneer zulk een aan .( ï zelf overgelaten lichaam eenmaal een snelheid heeft belhouwen w,j een bal die op een horizontalen vloer ligt.' laai bhjkelijk werken daarop geen invloeden die een beweging kunnen ten gevolge hebben. Wij drijven nu den bal door een slag met een hamer voort, en letten op hetgeen er gebeurt na dien slag, dus nadat de oorspronkelijke bewegingsoorzaak heeft opgehouden te werken. De bal be- S,f in:) oon rechte hJn' en komt tot rust na een afstand doorloopen te hebben, die van de geaardheid van het oppervlak van den vloer en den hal afhangt- naarmate wij beide gladder maken duurt de beweging langer Zoo komt men tot f]o voorstelling dat de oneffenheden van de oppervlakken de oorzaak zijn van de vertraging der beweging en dat, als wij die oneffenheden geheel konden voortgaan"' ',al ^ d°°r ^ (,ezolfd(? snelheid zou Dit deze en dergelijke verschijnselen heeft men de volgende stelling afgeleid: Heeft een lichaam waarop geen ivloedenvan buiten werken, eenmaal een snelheid 'dan het hp fi vo1°^durend met delfde richting en grootte; het heeft een gelijkmatige rechtlijnige beweging. ' menfe?tPiraoheidi drer W? i8.me" overtui^ niet omdat J t(n lichaam dat in beweging verkeert, vrij kaii maken van eiken uitwendigen invloed, maar omdat men, naarmate men daarin beter slaagt, de beweging meer en meer tot een gelijkmatige ziet naderen, en omdat nog nooit een afwijking van de gelijkmatige beweging is waargenomen, of er was ook een oorzaak daarvoor aan te wijzen. De wet zegt uitdrukkelijk dat het lichaam in een rechte lijn zal voortgaan. Ook voor elke richtingsverandering kan men een oorzaak vinden. Niemand zal er aan twijfelen dat het een >an de aarde uitgaande invloed is, waardoor de maan in een cirkel om de aarde loopt. § 75. Krachten. Zwaartekracht. Om natuurkundige verschijnselen beknopt en duidelijk te kunnen beschrijven is het noodig dat men een naam heeft ter aanduiding van de in de vorige § besproken uitwendige invloeden. Men is daarom overeengekomen , om , zoodra men ziet dat een lichaam zich in beweging stelt, of dat een reeds bestaande beweging in snelheid of richting wordt gewijzigd, te zeggen dat op het lichaam een kracht werkt, die dan als de oorzaak van de beweging of van de bewegingsverandering beschouwd wordt. Aan elke kracht kent men een bepaalde richting en een bepaalde grootte toe. Om dit nader toe te lichten, denken wij nog eens weer aan een lichaam dat langs een verticale lijn valt of stijgt, of wel de in § 70 beschouwde parabool beschrijft. Wij weten reeds dat in al deze gevallen een versnelling ij nadere beschouwing dat zij niet oogenblikkelijk, maar in een zeer horten tijd aan liet lichaam wordt meegedeeld. ij 7(>. Verdere voorbeelden van krachten. .v. een kracht op een lichaam uitoefenen door er het eono einde van een spiraal veer aan te bevestigen en aan het andere einde daarvan met de hand te trekken. De mate van uitrekking van de veer bepaalt dan klaarblijkelijk de kracht waarmee hij op liet lichaam werkt. Hebben wij r.;; twee gelijke veeren, en trekken wij eerst met de eene en dan met de andere aan hetzelfde lichaam, dan wordt dezelfde uitwerking op dit laatste verkregen als bij de twee proeven de uitrekking der veeren even groot is. Men ziet hieruit hoe twee krachten die volgens het tweede kenmerk gelijk moeten heeten, het ook zijn volgens het eerste kenmerk. Bevestigen wij de twee veeren aan hetzelfde punt van een lichaam, maar zoo dat zij dit naar tegengestelde zijden trekken, dan blijft het lichaam in rust, als de veeren evenveel worden uitgerekt. Daaruit blijkt dat twee krachten die volgens het tweede kenmerk even groot zijn, het ook zijn volgens het derde kenmerk. Het is duidelijk dat het eerste en het derde kenmerk alleen van toepassing zijn op krachten die op eenzelfde lichaam (of op gelijke lichamen) werken, terwijl het tweede ook kan dienen voor krachten waaraan verschillende, ongelijke lichamen worden onderworpen De bovengenoemde proeven niet spiraalveeren geven nog aanleiding tot een paar opmerkingen. In de eerste plaats kan men de veer in omgekeerden stand gebruiken, zoodat het uiteinde waaraan men eerst met de hand trok, aan het lichaam wordt bevestigd. Als dan aan de veer zoo sterk wordt getrokken, dat hij evenveel wordt uitgerekt als de eerste maal, is ook de uitwerking op het lichaam waaraan hij is vastgemaakt weer dezelfde. De veer trekt dus aan dit lichaam even sterk als bij de eerste proef, zoodat wij mogen besluiten dat een uitgerekte veer (en hetzelfde geldt van een uitgerekten draad) zich naar weerszijden met dezelfde bracht tracht samen te trekken. Verder bedenken wij dat, wanneer wij een kracht F (Fig. 73) laten werken op het uiteinde 1i van de veer A B, die aan een onbewegelijk lichaam A is vastgemaakt, het gedeelte B van de veer aan twee tegengestelde krachten ft onderworpen is. Xaar de linkerzijde ondervindt het nl. de spanning van de veer zelf. Is er evenwicht gekomen, d. w. z. is de veer zoo ver uitgerekt als de kracht F het kan doen, dan moeten de twee krachten aan elkaar gelijk zijn. Derhalve: de spanning van een veer die door een zekere kracht wordt uitgerekt, is ge/ijk aan die kracht. Met deze aan de kracht F gelijke spanning werkt nu echter de spiraalveer ook op liet lichaam .4, m. a. w.: de kracht b wordt in onveranderde grootte overgebracht op het lichaam waaraan de veer is vastgemaakt. \\ ij kunnen ons van dit laatste nog overtuigen door een proef, waarhij twee veeren A B en B C worden gebezigd, 74. zooals men in Fig. 74 ziet. Wij onderstellen dat daarbij de veer B C gelijk is aan .4 li in is aan A li in ig. 7d. Oefent men mi in de beide gevallen van Fig. 73 en Fig. 74 gelijke krachten F uit, wat men daaraan^kan zien dat de veer A Ji in liet eerste geval even ver is uitgerekt als de veer Ji C in liet tweede, dan is ook «Ie .u wei -in« op bet lichaam .4 in beide gevallen dezelfde Do m hg. 74 ingelaschte veer .4 li brengt dus de spanning \an li (j op het lichaam ^4 over. Uit al het gezegde blijkt dat men in een geval als dat \an Fig 74 van vele krachten, alle aan elkaar gelijk, kan spreken. I rekt men het punt C met de hand naar rechts dan wordt de hand door de veer „aar links getrokken' Daarentegen oefent H C op .4 li een kracht naar rechts uit en ondervindt zelf in B een kracht naar de linkerzijde hm zelfs moeten wij ons voorstellen dat niet alleen de eene veer aan de andere trekt, maar dat dezelfde werking ook lostaat tusschen de twee deelen, waarin men een zelfde veer in gedachten kan verdeelen door een vlak, loodrecht op zijn lengte. I it dit alles ziet men nu ook hoe noodig het is, altijd duidelijk aan te wijzen op welk lichaam een kracht werkt en door welk lichaam zij wordt uitgeoefend. Natuurlijk kunnen alleen krachten die op hetzelfde lichaam of deel van een lichaam werken elkaar opheffen. Opmerkingen als de bovenstaande kunnen ook in andere gevallen gemaakt worden. Is een lichaam op een verticale kolom geplaatst, die op een horizontaal vlak staat, dan wordt de kolom samengedrukt, en oefent door zijn veerkracht naar weerszijden een kracht uit; naar boven een kracht, die op het lichaam werkende met het gewicht daarvan evenwicht maakt, naar beneden een kracht, die het ondersteuningsvlak neerdrukt. De kolom brengt weelde kr acht die op zijn boveneinde werkt op het steunvlak over. $ 80. Gelijkheid van werking en terugwerking. Het in de vorige $ besproken lichaam oefent een benedenwaartschen druk uit op de kolom waarop het geplaatst is, en wordt zelf door die kolom met een even groote kracht naar boven gedrukt. Twee dergelijke gelijke en tegengestelde krachten bestaan tusschen de kolom en het steunvlak daar beneden. In het algemeen oefent een lichaam nooit een kracht op een ander uit, of het ondervindt daarvan een kracht in tegengestelde richting. Men onderscheidt deze krachten als de werking Ui cl ie) en terugwerking (reactie i i>n heeft bevonden dat zij steeds even groot zijn. De aantrekkingen en afstootingen b.v., welke geëlectriseerde lichamen of magneten op elkaar uitoefenen, voffloen aan deze wet; wanneer een geëlectriseerd lichaam .4, aan een spiraalveer opgehangen, van een ander li, dat er beneden geplaatst is, een aantrekking ondervindt, /.al de uitrekking van de veereen even groote kracht aanwijzen, wanneer men .1 en li met elkaar verwisselt, mits hun betrekkelijke stand dezelfde is gebleven. De gelijkheid der werking en terugwerking is in zoo veel gevallen gebleken, dat men die ook onderstelt in gevallen waarin misschien een van de krachten nog in het geheM niet is aangetoond. Om een voorbeeld te nemen, men heeft waargenomen dat- een geëlectriseerde schijf, als hij snel rondgedraaid wordt, op de polen van een magneet werkt; men mag nu aannemen dat hij daarvan ook krach- 8 (Se ten ondervindt, ofschoon dit nog niet proefondervindelijk is gebleken. § 81. Gevolgen van de gelykheid van werking en terugwerking. Op het eerste gezicht schijnt het dat levende wezens een uitzondering maken op den regel dat een lichaam niet in beweging kan komen zonder dat er een uitwendige oorzaak op werkt; het schijnt dat wij zelf ons lichaam in voortgaande of stijgende beweging kunnen brengen zonder zulk een oorzaak. Bij nadere overweging blijkt echter liet tegendeel. Als wij stil op de trede van een trap staan, drukken \u.) die zoo ver in, dat door de terugwerking evenwicht wordt gemaakt met ons gewicht. Om echter de trap te beklimmen drukken wij de treden sterker naar beneden, l)ij snel trapklimmen door er met de voeten tegen te slaan; de grootere terugwerking die daarvan liet gevolg is, geeft aan ons lichaam de snelheid naar boven. Bij liet voortgaan over een horizontalen vloer maken wij van de ruwheid daarvan gebruik. Ieder kan hij zich zelf opmerken dat men den vloer met de voeten naar achteren drukt; de reactie van den vloer is liet, die het lichaam vooruit doet gaan. Bij een volkomen gladden vloer zouden deze horizontale krachten niet kunnen bestaan en zou het voortgaan onmogelijk zijn. Is de vloer ruw genoeg, en zelf bewegelijk, dan zal hij achterwaarts gaan. Men heeft daarvan verschillende toepassingen gemaakt; wij wijzen er alleen op «lat een persoon die een schuit voortboomt, deze met zijn voeten naar achteren duwt. Hij zelf wordt door het dek van liet vaartuig naar voren gedrukt, maar behoudt dezelfde plaats, daar hij van den boom dien hij tegen den vasten bodem' duwt, een tegengestelde kracht ondervindt. Het voortbewegen van een vaartuig door roeiriemen raderen of een schroef komt hierop neer, dat men op het water een kracht uitoefent naar achteren; daardoor wordt weer een reactie veroorzaakt, die op het vaartuig werkt. Het zwemmen van de visschen en de vlucht der vogels hebben met deze bewegingsmiddelen eenige overeenkomst. Do voor het opstijgen noodige terugwerking wordt door een vogel opgewekt, terwijl hij de vleugels neerklept. Wel is waar ondervindt hij hij het opslaan van do vleugels' een kracht naar heneden, maar de snelheid der bewegingen en de stand der vleugels zijn zoo, dat de lucht hij liet neerslaan een grooteren tegenstand hiedt dan hij het opkleppen. Als laatste voorbeeld van de terugwerking die elke werking vergezelt, vermelden wij het geval van een lichaam dat wordt voortgetrokken over een vlak, b.v. het blad van een tafel, waarvan het een wrijving ondervindt. liet lichaam tracht dan het vlak met een aan deze wrijving gelijke kracht mee te sleepen. ij H'2. Meten van knielden. Om de grootte van krachten door getallen te kunnen voorstellen, moeten wij vooreerst vaststellen naar welken regel wij de verhouding van twee krachten zullen bepalen, en ten tweede een bepaalde kracht als eenheid kiezen. Nu zagen wij reeds in t; 75 dat de uitwerking van een kracht bestaat in do snelheidsverandering, de versnelling, die zij aan een lichaam geeft; het zou dus voor do hand liggen, de kracht evenredig aan die versnelling te stellen. Misschien is liet echter iets duidelijker, wanneer wij nu beginnen mot de grootte van krachten te beoordeelon naar do uitrokking die zij aan een spiraalveer geven; daarna zal dan blijken dat wij, aldus te werk gaande, niet in strijd komen mot de eerstgenoemde opvatting. De grootte van de zwaartekracht die op een lichaam werkt, wordt hot gewicht van het lichaam genoemd, üm de gewichten van verschillende lichamen met elkaar te vergelijken kunnen wij ons bedienen van een spiraalveer die met het boveneinde aan een vasten haak is opgehangen, en aan hot andere einde van een bakje is voorzien, waarin men do te onderzoekon voorwerpen kan plaatsen. Twee voorworpen hebben nu klaarblijkelijk hetzelfde gewicht als zij dezelfde uitrekking aan de veer geven, en aan die voorworpen, welke do veer liet meest uitrokken, mogen wij hot grootste gewicht toekennen. ffe J atol nu «lat wij een aantal lichamen, h.v. stukken koper liehben, van hetzelfde volume en waartusschen wij in geen enkel opzicht een verschil kunnen waarnemen. Wanneer wij (eze beurtelings in het bakje brengen, krijgen wij telkens dezelfde uitrekking, zoodat de verschillende stukken ook vïjke gewichten hebben. Wanneer wij verder achtereenvolgens Vii ■enZ' koperstlll<1t bakje plaatsen, wordt de uitrekking hoe langer hoe grooter. Wij stellen ons voor - en Ml kunnen dit doen zonder tot eenige tegenstrijdigheid te ()>iu 11 <|,it de krachten waardoor in deze gevallen de veer is uitgerekt, tot elkaar staan als 1, 2, 3, enz. Daar het \ oi (ti (ijkt dat een stuk koper, waarvan het volume 2 of d maal zoo groot is als dat van een der bovengenoemde stukken, dezelfde uitwerking heeft als 2 of 3 van deze laatste, stellen wij het f/ewicht van lichamen die uit dezelfde stof bestaan evenredig niet hint volume. Het zal nu duidelijk zijn hoe men met behulp van de spiraalveer de verhouding van verschillende gewichten en ook van andere krachten kan bepalen, en ook alle in een bepaalde eenheid kan uitdrukken. Als eenheid van kracht nemen wij voorloopig het gewicht van een kubieken centimeter water bij 4 C., d. w. z. bij < e temperatuur waarbij een hoeveelheid water het kleinste volume heeft (§ ). Wij noemen die eenheid het gewicht \an een gram, of kortweg een gram. Met behulp van de tabel van § 0 kunnen wij gemakkelijk iet gewicht van een cm3 water van een andere temperatuur berekenen. Bij verwarming van 4J tot 10° wordt voor een bepaalde hoeveelheid water het volume maal grooter. Daar het nu gebleken is dat het gewicht van een lichaam J; 00f)l ';?nderf als men het verwarmt> 1110et het gewicht van 0,099877 Cln' wat01' van 10 noS altlJd een gram zijn; hieruit volgt dat 1 cm3 dan ' — 0 99975 o-mm weno-f J,000124 — o giam weegt. Om nu b.v. het gewicht van een stuk lood in de gekozen eenheid uit te drukken hebben wij slechts na te gaan hoeveel cm8 water men in het bakje moet brengen oin dezelfde uitrekking te krijgen, als door het lood wordt teweeggebracht. Op dezelfde wijze kan ook een kracht die wij met de hand o]) het ondereinde van de veer uitoefenen, of een electrische of magnetische aantrekking die op een aan de veer gehangen lichaam werkt, in grammen en onderdeden daarvan worden gemeten. Wij behoeven wel niet te zeggen dat men het gewicht van een lichaam met een balans nauwkeuriger kan bepalen dan met een spiraal veer. Wij onderstellen echter bij deze beschouwingen dat men een veer gebruikt omdat men daarmee ook allerlei andere krachten gemakkelijk kan meten. In werkelijkheid wordt het gewicht van een lichaam niet rechtstreeks vergeleken met dat van een zeker volume water, maar met dat van „gewichten", d.w. z. van metaalstukken die rechtstreeks of indirect met een hoeveelheid water zijn vergeleken. Er is 1111 maar eenmaal een onderzoek noodig geweest, waarbij de ruimte die een hoeveelheid water inneemt, moest worden gemeten, en hierin is een groot voordeel gelegen, daar het moeilijk is deze meting nauwkeurig uit te voeren. Dit is zoo zeer het geval, dat men zooveel mogelijk een volumebepaling door een weging vervangt; men meet I). v. dikwijls het inwendige volume van een vat door de hoeveelheid water of kwik die het bevatten kan te wegen. Een vergelijking van een gewichtstuk met een hoeveelheid water waarvan het volume bepaald werd, is verricht bij do invoering van hot metrieke stelsel; men heeft toen een stuk platina vervaardigd, dat zoo goed mogelijk hetzelfde gewicht heeft als een kubieke decimeter water van 4° C. Dit stuk is het standaardkilogram, dat nog altijd bewaard wordt, waar nauwkeurige kopieën naar zijn vervaardigd 011 waarmee onmiddellijk of indirect allo gewichtstukken waarvan wij gebruik maken, vergeleken zijn. Toen meer nauwkeurige onderzoekingen geleerd hadden dat hot standaardkilogram iets afwijkt van hot gewicht dei- hoeveelheid water, waarmee het heette overeen te stemmen, werd het kilogram niet veranderd, maar hot is nu niet meer geheel juist, te zeggen dat 1 dm3 water van 4° (J. I kg weegt. Het is hiermee gesteld als met den meter. Men heeft op het einde der lö 1' eouw oen mnntstat vervaardigd, dio zoo goed mogeljjk gelijk was aan het veertig-millioenste gedeelte van den omtrek der aarde. Deze standaard- moter is gebleven ook nadat moer nauwkeurige metingen van don omtrok dor aarde een uitkomst hadden opgeleverd die iets van de vroeger verkregene verschilt. Overigens is het verschil tussehen het gewicht van eon kilogram en dat van 1 dm3 water van 4° zoo gering, dat wij er in alle gevallen die in dit boek ter sprake komen, van kunnen afzien. £ 83. Homogene en niet-liomogene lichamen. Soortelijk ijt \\ i< lit. hen lichaam of oen stof heet homogeen, wanneer de eigenschappen ervan in alle punten dezelfde zijn, of, juister gezegd, wanneer kleine doelen van gelijk volume en gelijken vorm en stand, op verschillende plaatsen uit liet lichaam genomen, geheel in eigenschappen overeenstemmen. Vloeistoffen en gassen kunnen in den regel als homogeen beschouwd worden, eveneens gekristalliseerde vaste lichamen. Hij hout verraadt zich het gemis aan homogeniteit al hij oen ruwe waarneming; glas en metalen zijn veel meer homogeen, maar volkomen zijn ook deze stoffen het nooit, daar hij do bewerkingen die zij ondergaan hebben, do oppervlakkige lagen andere eigenschappon hebben aangenomen dan do dieper gelogen doelen. Hij stoffen die homogeen zijn, of die men als zoodanig beschouwt, verstaat men onder het soortelijk of specifiek gewicht het getal dat aangeeft hoeveel maal een zeker volume van de stof meer weegt dan een gelijk volume van een bepaalde stof, waarmee alle andere vergeleken worden. \ oor deze laatste stof wordt meestal water van 4 ('. gekozen en men kan dus zeggen: het soortelijk gewicht van een stof geeft, in grammen uitgedrukt, het gewicht aan van 1 cm3 van die stof. S 84. Verband tussehen de grootte van krachten en de snelheid die /ij aan een lichaam geven. Men kan op verschillende wijzen do grootte van een kracht beoordeolen terwijl zij een lichaam in beweging brengt. Wij kunnen b.v. oen lichaam over eon horizontaal vlak voorttrekken door tusschenkomst van eon spiraalveer; de uitrekking daarvan is dan op elk oogenblik een maat voor de kracht die op t lichaam werkt. Of wij kunnen bij geëlectriseerde voorwerpen eerst, terwijl zij in rust worden gehouden, do krachten meten, die zij op verschillende afstanden op fhH elkaar uitoefenen en dan, terwijl zij zich bewegen, uit hun afstand tot do grootte van de kracht besluiten. Meu heelt nl. allen grond om zich voor te stellen dat, bij allo snelheden die het ons mogelijk is hun te geven, do werking tussehen twee bepaalde geëlectriseerdo lichamen alleen van hun betrekkelijke!) stand afhangt. Door nu op eon zelfde lichaam nu eens deze dan eens die kracht te laten werken, en telkens zoowel de grootte van de kracht als de snelheidsverandering van liet lichaam te bepalen, heeft men do volgende wet loeren kennen. I. Werken achtereenvolgens verschillende krachten op een lichaam , maar elke kracht gedurende eenigen tijd in dezelfde richting en met dezelfde grootte, dan zijn de snelheden die zij in de tijdseenheid aan het lichaam geven, d.w.z. de versnellingen, evenredig me! de krachten. Overeenkomstig deze wet moeten de verschillende waarden die do versnelling g van eon vallend lichaam op hot «tardopporvlak hoeft (4; (»3), hieraan worden toegeschreven, dat een lichaam op de oene plaats sterker, op de andere zwakker door de aarde wordt aangetrokken. Het gewicht van hetzelfde lichaam zou dan ook ongetwijfeld aan dezelfde spiraalveor nabij de polen eon iets grootore uitrekking geven dan nabij den ;^equator. Xu wij do bovenstaande wet hebben leeren kennen is het duidelijk dat de beide in £ 82 genoemde opvattingen niet met elkaar in strijd zijn. § 85. Invloed van de hoeveelheid stof die in beweging gebracht moet worden. Ken tweede niet minder belangrijke wet is de volgende. II. II anneer een zelfde kracht, steeds zonder in richting of grootte te veranderen, achtereenvolgens op verschillende lichamen werkt, is de snelheid die deze in de tijdseenheid krijgen omgekeerd evenredig met de hoeveelheid stof die zij bevatten. Bestaan de lichamen die men niet elkaar vergelijkt, uit dezelfde zelfstandigheid, b.v. beide uit koper, dan is de hoeveelheid stof die zij bevatten klaarblijkelijk evenredig met het volume, en, daar elke cm' even veel weegt, ook jfj5 (fjj j et het gewicht. \ oor zulke lichamen kan de tweede wet • de eerste worden afgeleid, als men nog de omstandiglied in aanmerking neemt, dat alle lichamen even snel vallen. Nemen wij b.v. aan dat het eene stuk koper tweemaal zoo groot is als het andere; laat K en 2 K de gewichten voorstellen. Door deze krachten krggen dan beide stukken. als w.j ze laten vallen, in de seconde do snel<'( g. Laat thans echter op hot groote stuk een kracht ken, die iT dus slechts gelijk aan de helft van het vhk ?\ T1 !'V' dat Stuk °V(?r 0011 H'la(1 J'orizontaal 1. k met de kracht K worden voortgetrokken. Dan zal volgens de eerste wet in de tijdseenheid een snelheid ' a worden verkregen. Een kracht K derhalve, die aan liet domo stuk de snelheid g meedeelt, geeft aan het groote slechts do snelheid .!//. " Werken op heide stukken krachten = (|an is do sne,_ eerste wet 6 *VCon<]° Vt'rkrÜgt volgens de F 1<" en die, welke het groote stuk ontvangt, F 2 K11' waarden, die weer aan de tweede wet voldoen. z,>l/st»nHnhnimet, lidlamrn t(> laatstgenoemde hoeveelheid stof moet (lus als massa-eenheid worden gebezigd. Dit blijkt ook uit <«e formule (lo), daar P // moet zijn, als 1 zal worden. (>. Eenheden van tijd en lengte als boven, massa-eenheid de massa van een kilogram. Dooreen eenvoudige redeneeri,.f, men wil, door «Ie formule (15), vindt men dat als eenheid van kracht nu genomen moet worden een kracht V'l "T, l>mer 18 t -('wicht van een kilogram .Natuurlijk kan men ook als eenheden onderdeden of veelvouden van de hier genoemde bezigen zonder iets aan <1(11 aard \an het stelsel eenheden te veranderen. Kr is <'.,'"ii omstandigheid waarom het de voorkeur verdient de eenheden op de onder b aangegeven wijze te kiezen De massa van een dm» water is nl. dezelfde op , e. Pl«^sen van de aarde. Worden dus de eenheden op de tweede wijze gekozen, dan werken alle natuurkundigen f'ï jT« met dezelfde eenheid van massa, en dus ook met dezelfde eenheid van kracht, daar deze van de massa-eenheid afhangt. Daarentegen is het gewicht van een dm3 water niet overal hetzelfde; liet onder a genoemde stelsel is daarom niet geschikt om hij nauwkeurige metingen algemeen gebruikt te worden. Een stelsel van hij elkaar passende eenheden, waarhij de massa-eenheid een kilogram of een eenvoudig onderdeel daarvan is, werd het eerst hij het onderzoek van de electrische en magnetische verschijnselen ingevoerd. Tegenwoordig zijn de natuurkundigen gewoon ;ils eenheid van lengte den centimeter, en als eenheid van massa het gram te nemen, terwijl tijden in seconden worden uitgedrukt. In dit een(imeter-yram-secoude-stelsel, dat wij voortaan als liet „C-G-S-stelsel" zullen aanduiden, wordt de versnelling der zwaartekracht voorgesteld door J)81 en is de eenheid van kracht, waaraan men den naam d/jne heeft gegeven, het deel van het gewicht van een gram, dus iets meer dan het gewicht van een milligram. Dit laatste ziet men in door een redeneering, zooals wij die hoven bezigden. Wij zullen bij numerieke berekeningen, wanneer het tegendeel niet vermeld wordt, van het C-G-S-stelsel gebruik maken. Overigens zouden verschillende formules die op liet gebruik van bij elkaar passende eenheden berusten, even goed gelden, wanneer men b.v. de eenheden koos, die boven onder a en b werden opgenoemd. Een enkelen keer zullen wij het gewicht van een gram of een kilogram als eenheid van kracht nemen, en ook wel een andere lengte-eenheid dan de centimeter. Wij merken nog op dat men dikwijls het woord „gram" bezigt, nu eejjs 0111 de „massa" en dan eens om het „gewicht van een gram" aan te duiden. Verwarring zal daaruit bij eenig nadenken niet ontstaan. S 88. Dichtheid. Onder de dichtheid van een stof verstaat men de massa van de volume-eenheid. In liet C-G-S-stelsel wordt dus de dichtheid voorgesteld door het getal dat aangeeft hoeveel gram in een cm3 aanwezig is, dus door hetzelfde getal als hot soortelijk gewicht met betrekking tot -water van 4°. Soms \\onlt (|,. dichtheid van een stof aangegeven door hot getal dat uitdrukt hoeveel maal grooter zij is dan de (icitheid van een zelfstandigheid, waarmee men alle stoffen vergelijkt. Dit getal stelt tevens het soortelijk gewicht V8« ™ S*°f met trekking t<,t deze zelfstandigheid voor. S ■ draagstukken over de beweging van een stoffelijk punt. De beweging van een als een stoffelijk punt beschouwd hel,aam geeft tot tweeërlei vraagstukken aanleim,_, i oms moet men, nadat men de bijzonderheden der beweging door waarneming heeft leeren kennen, daaruit een besluit trekken omtrent de werkende kracht, of wel . kracht aangoven, die voor een bepaalde onderstelde beweging noodig is. Om «lit te doen bepaalt men eerst de versnelling ($§ (jfi en 72); de kracht moet de richting daarvan hebben, en een grootte die men vindt door de grootte van de versnelling met die van de massa te vermenigvuldigen. In andere gevallen kent .„en voor elk ..ogenblik de kracht die op het lichaam werkt, en is het de vraag, met behulp daarvan de beweging te bepalen. Dit is mogelijk, wanneer voor het oogenblik waarop men de beweging be^'.nt btschouwen, de stand en de snelheid gegeven zijn. ij d< oplossing \an liet vraagstuk moet men in het algemeen, nl. wanneer de kracht van richting of grootte verandert, zijn toevlucht tot een verdeeling van den tijd ui oneindig kleine deelen nemen. "■ Rechtlijnige beweging. De baan is een rechte lijn wanneer de kracht voortdurend dezelfde richting heeft en Int lichaam aanvankelijk in rust is of een beginsnelheid ui de richting van de kracht heeft. Wij \ ei deelen den tijd in zeer kleine deelen en redeneeren vooreerst alsof gedurende elk van die deelen de kracht dezelfde grootte hield, die zij aan het begin daarvan had, a (>rst op ,let lichaam werkende kracht. Wij verdoelen den Flg- t'j(' weer in oneindig kleine dee- Ion, die wij door r voorstellen. I)o in het eerste element doorloopen weg PQ wordt uit de snelheid PA berekend. Had er nu geen kracht op het lichaam gewerkt, dan zou de snelheid in Q dooiden vector QB = PA worden voorgesteld. In werkelijkheid echter heeft het lichaam bij die snel¬ heid nog een andere Qb gekregen, die evenwijdig aan P F is, daar wij gedurende den tijd t de richting van de kracht als standvastig beschouwen; do grootte van Qb wordt door de uitdrukking (10, gegeven, als K de kracht PF is. De snelheid die het lichaam in Q heeft, is de resultante QL van QB en Qb. Uit die resultante vindt mende plaats li van het lichaam na een tweede tijdselement terwijl de snelheid RE (lie het dan heeft,'bepaald wordt (.00r. ^ samen te stellen met de snelheid lid die het gevolg is van de kracht Q (i, die het lichaam ondervindt als het in Q is. ()p deze wijze voortrodenoerende, kan men een reeks plaatsen 1\ Q, li, enz., die op oneindig kleine afstanden van elkaar H jIjo liggen, bepalen en dus ook de geheele baan leeren kennen. Dat in die gevallen waarin de kracht noch in richting noch in grootte verandert, het lichaam een eenparig versnelde ol' vertraagde rechtlijnige beweging heeft, of wel een parabool beschrijft, behoeven wij niet nader uiteen te zetten. § 90. Samenstelling van krachten. Menigmaal werken twee of meer bewegingsoorzaken tegelijk op een stoffelijk punt. De ervaring heeft geleerd dat de snelheid die het punt dan gedurende een tijdselement krijgt, de resultante is van de snelheden die het door de krachten elk afzonderlijk krijgen zou, iets dat men (verg. §65) ook kan uitdrukken door te zeggen dat liet punt deze laatste snelheden gelijktijdig aanneemt. Laat slechts twee krachten op het stoffelijk punt P werken (Fig. 76), die door de vectoren PA en PB worden voorgesteld. De snelheden die deze krach- (,. _(. ten, elk afzonderlijk werkende, in een oneindig kleinen tijd t aan het punt zouden geven, worden, als m de massa is, voorgesteld door »„ PA PB 1 a ~ r en Pb — r. m m In werkelijkheid krijgt nu het punt de snelheid die door de diagonaal Pc van het op Pa en Pb beschreven parallelogram wordt voorgesteld. Deze zelfde snelheid echter zou in den tijd t ontstaan, als op het punt een enkele kracht werkte in de richting van Pc en met de grootte P (J — ^ / x >n T Uit bovenstaande betrekkingen volgt PA : PB: P C= Pa: Pb : Pc, waaruit blijkt (§ 28) dat P C de diagonaal is van een parallelogram, dat op P A en PB als zijden beschreven wordt. Derhalve : Twee krachten die op een zelfde punt werken, kunnen door een enkele vervangen worden, en men krijgt den vector die fr deze voorstelt, door de vectoren die de twee gegeven krachten voorstellen volgens den regel van § 27 met elkaar samen te stellen. De uitdrukkingen: „parallelogram van krachten", „samenstellen van twee krachten", „ontbinden van een kracht", en de woorden „componenten" en „resultante" vereischen nu geen toelichting meer. Evenmin behoeven wij uit te weiden over de samenstelling van een willekeurig aantal op een stoffelijk punt werkende krachten tot een enkele resultante, of te wijzen op de eenvoudige regels voor het samenstellen van krachten die langs een zelfde rechte lijn werken. Twee krachten hebben de resultante 0, maken dus evenwil ht met elkaar, wanneer zij gelijk en tegengesteld aan elkaar zijn, iets dat wij reeds wisten. Hij drie krachten is evenwicht mogelijk, als de derde PC (Fig. 77) gelijk en tegengesteld is aan de resultante van de beide andere PA en P li. I)an is ook PA gelijk Fis- "• on tegengesteld aan de resultante I) IJ Tl /ï van Pli en PC. Overeenkomstig het in het begin van deze 4} gezegde kan men het evenwicht van twee of drie krachten zoo opvatten, flat de snelheden die de krachten gedurende een tijdselement aan het stoffelijk punt geven, elkaar vernietigen, pon nn- imam veixnetigen, een opvatting trouwens die in vele gevallen wel wat gekunsteld is. Het \oidient nog opmerking dat de redeneering waardoor wij tot de stelling van het parallelogram van krachten zijn gekomen, onafhankelijk is van de snelheid die liet stoffelijk punt reeds aan het begin van den tijd t kan hebben. Welke richting en grootte deze snelheid ook heeft, het punt zou altijd daarbij nog de snelheid P a of de snelheid P b (Fig. 76) krijgen, wanneer óf alleen de eene óf alleen de andere kracht werkte, en het krijgt bij de reeds bestaande snelheid de door Pc voorgestelde als het aan de twee krachten tegelijk moet gehoorzamen. De stelling dat twee krachten die tegelijk op een stoffe- k lijk punt werken daaraan dezelfde snelheden geven, die zij, alleen werkende, ten gevolge zouden hebben, is, zooals gezegd werd, uit de ervaring afgeleid. De juistheid daar van kan intusschen niet door één enkele proef worden aangetoond. Ts de stelling b.v. bewezen voor de spanningen van koorden, dan volgt daaruit nog volstrekt niet dat zij ook voor de aantrekkingen en afstootingen tusschen magneetpolen geldt. De wet moet dus voor verschillende klassen van krachten afzonderlijk worden bewezen. Dit is niet altijd rechtstreeks gedaan; dat wij toch van de juistheid der wet overtuigd zijn, is te danken aan de overeenstemming van alle daaruit afgeleide gevolgtrekkingen met de werkelijkheid. Met andere stellingen die in dit hoofdstuk werden besproken is het evenzoo gesteld. Bij de meeste krachten zou het niet gemakkelijk zijn door een eenvoudige, rechtstreeksche proef te bewijzen dat de versnelling die zij aan een zelfde lichaam geven, evenredig niet de grootte van de kracht is. lot de uiteengezette grondbeginselen is men dan ook niet gekomen door een reeks van gemakkelijk uit te voeren proeven, maar door een lange studie der natuurverschijnselen. § 91. Ontbinding van i iff 78 «1e beweging en de kracht volgens twee onderling loodrechte richtingen. In Fig. 78 stelt L L do baan voor van een stoffelijk punl dat zich in het platte vlak X O Y beweegt, P H de versnelling op zeker oogenblik, en P F, met dezelfde richting als PH, de dan werkende kracht. Wanneer de massa door m wordt voorgesteld, heeft men P F Ontbindt men nu de », x PH. 3 versnelling in de componenten P /i en k PX, evenwijdig aan de coördinaatassen, en evenzoo de kracht in de componenten P (J en P S, dan zal P (J — m x P K en P S = in x P X zijn. Wij weten echter reeds (§ 73) dat P K de versnelling is bij de beweging van het lichaam in de richting O X, d. w. z. bjj de beweging van de projectie op deze as. Had het lichaam alleen deze beweging, bewoog het zich dus zooals nu de projectie het doet, dan zou er juist de kracht PQ op moeten werken. Iets dergelijks geldt van de beweging in de richting van O )', en wij kunnen besluiten: De kracht die bjj de kromlijnige beweging moet werken, wordt gevonden door de krachten die zouden moeten bestaan als het lichaam of alleen de beweging in de richting O X, of alleen die in de richting O Y luid, met elkaar samen te stellen. lot een hiermede overeenkomende stelling komt men wanneer men (le boweging van een lichaam in de ruimte met betrekking tot drie onderling loodrechte coördinaatassen beschouwt. \\ ij zullen in de volgende § § van dit hoofdstuk de grondbeginselen die wij hebben leeren kennen op eenige bewegingsverschijnselen toepassen. § 92. Nadere beschouwing van vallende, en verticaal opstijgende lichamen. In ij 89 werd aangegeven hoe men voor oen lichaam waarvan op elk oogenblik de snelheid bekend is, den in een bepaalden tijd afgelegden weg kan berekenen. Bijzonder eenvoudig wordt deze berekening als de beweging eenparig versneld of vertraagd is. Verdeelt men nl. het beschouwde tijdsverloop %)■ in oneindig vele gelijke deelen, en berekent men voor elk tijdsdeel den afgelegden weg met de snelheid die aan liet begin van dat tijdsdeel bestaat, dan vormen de uitkomsten een rekenkundige reeks. Is n 't aantal der deelen, v0 de snelheid aan 't begin van den tijd en vl de snelheid aan 'teinde daarvan, dan & yo * n i i. tb is de eerste term van de reeks v„ . en de laatste term n vi — ^. De som is dus n n i»|»o= + Do limiet hiervan voor n—^ is s — 2 (f'o "4" vi) & i d. w. z.: Bij een eenparig versnelde of eenparig vertraagde beweging vindt men den af gelegden weg als men het beschouwde tijdsverloop vermenigvuldigt met de halve som (het gemiddelde) van de begin- en de eindsnetheid. Heeft een vallend lichaam op het oogenblik waarop wij de beweging beginnen te beschouwen, reeds een snelheid v0, dan zal door de werking van de zwaartekracht na t seconden de snolheid zijn geworden v' — vo ~f" Q t ? de in dien tijd afgelegde weg is dus * = *(»„+»<) < = »„< + }gt'. \\ ordt oen lichaam met de beginsnolheid v0 verticaal naar boven geworpen, dan duurt het IJ seconden voor de snelheid is uitgeput (§04). Daar de halve som van de begin- en de eindsnelheid voor dit tijdsverloop ï ' o w ordt de hoogte» waartoe het lichaam opstijgt > v0 x Vn=±y. (/ 2 g r„ .i . 'ii i i» ... In deze uitkomst, die reeds vroeger 64) gevonden werd, koint de tweede macht van de beginsnelheid voor omdat, wanneer deze b.v. verdubbeld wordt, het lichaam gedurende een tweemaal langoren tijd opstijgt, en zich bovendien in dien tijd met een tweemaal grootere gemiddelde snelheid beweegt. ^ § 93. Druk van een lichaam op een horizontaal vlak dat naar horen of beneden bewogen wordt. Onderstellen wij dat het vlak een versnelde beweging naar boven heeft en dat de versnelling op zeker oogenblik a is. Dan heeft ook liet lichaam dat op 't vlak rust een even groote versnelling en, als do massa m bedraagt, moet er, alles samengenomen, oen kracht naar boven op werken, die door a m Jiji wordt voorgesteld. Op liet lichaam werkt nu vooreerst het gewicht P en ten tweede de naar boven gerichte tegenstand van het platte vlak, dien wij x zullen noemen. Dus: x— P—a m, / - 4- en, daar P — ,<7 wis (§ 87), * = (l +«)p. Wegens de gelijkheid van actie en reactie heeft de druk van het lichaam op het vlak dezelfde waarde. De gevallen waarin liet vlak een vertraagde of gelijkmatige beweging naar boven heeft, of naar beneden gaat, zullen wij aan den lezer overlaten. Wij vestigen alleen nog de aandacht op de eigenaardige wijze waarop de druk bepaald wordt. Hij is niet bekend omdat men op een of andere wijze weet hoe ver het vlak wordt ingedrukt, maar omdat men de beweging van het lichaam kent. Het is hier met den druk gesteld evenals in vele gevallen met de spanning van een koord; hij is niet van te voren gegeven, maar schikt zich naar de omstandigheden. Het vlak wordt zoover ingedrukt, dat de kracht die het op het lichaam uitoefent de boven berekende waarde heeft; is die bereikt, dan heeft het lichaam dezelfde beweging als het vlak en zal dit niet nog verder indrukken. § 94. Werktuig van Atwood. Over een katrolschijf die draaibaar is om een horizontale as is een koord geslagen, dat aan de uiteinden twee ongelijke gewichten draagt, nl. rechts een gewicht 1' en links een gewicht P'. "Wjj onderstellen dat liet koord niet over de schijf kan glijden en dat I" > F is; de spanningen van liet koord rechts en links van de katrolschijf noemen wij N en >S". Er ontstaat nu bij het loslaten van de gewichten een versnelde beweging en daarbij kan men hot volgende opmerken. Daar het gewicht rechts stijgt, moet S> /' zijn, want de eenige krachten die op het gewicht werken, zijn de zwaartekracht en de spanning S. Daarentegen moet links »S" < P' zijn. Eindelijk moet zijn, want het verschil dezer spanningen is liet, dat aan de katrolschijf zelf een versnelde wenteling geeft. f)4 Men heeft dus 1J < S < S' < P'. De spanningen S en S' regelen zich nu van zelf zoo, dat do \erschillen .S P, S, P —,s" juist de waarden aannemen, die zij moeten hebben, opdat bij de bewoging van de gewichten on de schijf de lengte van het koord niet verandert. Om in te zien, hoe dit „regelen" gaat, onderstellen wij dat op het oogenbük waarop de gewichten worden losgelaten, eerst nog S= 1' was. Dan zou het gewicht rechts een oogenblik in rust blijven, terwijl de schijf reeds begonnen was te wentelen; daardoor zou een kleine uitrekking van het koord rechts ontstaan en.S'>p worden. Of, als S veel grooter was dan , (17) waarin /.• een factor is, die experimenteel bepaald moet worden. Deze factor is van de grootte en gedaante van het platte vlak afhankeljjk. Wegens de gelijkheid van werking en terugwerking is de kracht w ook de weerstand dien het platte vlak van de middenstof ondervindt. Bjj platte vlakken, kleiner dan 1 dm3, is k ongeveer 0,6. Ook voor een lichaam van willekeurige gedaante kan do formule worden toegepast; inen moet dan onder S de grootte verstaan der projectie van het lichaam op een vlak loodrecht op de bewegingsrichting, en onder k een coëfficiënt die van de gedaante van liet lichaam afhangt. Er is b.v. minder kracht noodig om een bol met zekere snelheid door een gas of een vloeistof heen te drijven dan om ditzelfde met een cirkelvormige schijf te doen, die denzeliden straal heeft nis de bol en loodrecht op de bewegingsrichting wordt gehouden. \oor een lichaam dat aan de voorzijde van een spitse kant of een scherpe punt is voorzien, wordt de coëfficiënt /.■ veel kleiner dan voor oen plat vlak. Daarentegen wordt hij gruoter dan voor een plat vlak bij een lichaam dat den vorm van een bolvormig segment of schotel heeft en met de holle zijdo vooruitgaat. Proeven hebben b.v. geleerd dat voor een valscherm dat de gedaante van een parapluie heett, de coëfficiënt bijna 2 maul zoo groot is als voor een plat vlak; wordt het valscherm omgokeerd, dan wordt de coëfficiënt ongeveer het J van wat hij voor een plat vlak is. Bij een kanonskogel die zich met een snelheid van honderden nieters in de seconde beweegt, bleek k ongeveer (1,4 te zijn. Daar de krachten tusschen een lichaam en de omringende middenstof alleen van de relatieve snelheid kunnen afhangen, stelt do formule (17) ook do kracht voor, die een stilstaand lichaam ondervindt van eon lucht- of vloeistofstroom met de snelheid v. Met behulp van zulk een formule kan men b.v. de uitwerking van den wind op de wieken van een molen of die van eon waterstroom op de schoepen van eon waterrad berekenen. § !'7. Andere voorbeelden van een beweging die door een weerstand gelijkmatig wordt. Bij een wagen die over een horizontalen weg wordt voortgetrokken en bij een vaartuig dat niet een lijn wordt bewogen, kunnen wij dergelijke opmerkingen maken als bij den val in de lucht. De weg, het water en de lucht oefenen een weerstand uit, die met de snelheid toeneemt en, zoodra iiij gelijk is gewoiden aan de voorttrekkende kracht, de beweging gelijkmatig doet worden. Terwijl gedurende den eersten tijd na het begin van de beweging de voorttrekkende kracht moet dienen om de beweging te versnellen, dient zij, als eenmaal de eindsnelheid bereikt is, alleen om den weerstand te overwinnen. ^ ij kunnen de beweging vertragen door de beweegkracht te \ erkleinen ol te doen ophouden, of wel door den weerstand te vergrooten. Dat er bij een zwaar beladen wagen een grootere kracht noodig is om hem met een bepaalde snelheid over een horizontaal vlak voort te bewegen dan bij een lichteren wagen, is een gevolg hiervan, dat de weerstand welken de weg biedt des te grooter is, naar- k mate de wagen door de zwaartekracht sterker op den grond wordt gedrukt. § 98. Voortslaan of voort werpen van een lichaam. Welke snelheid een kracht teweegbrengt, hangt ook af van den tijd gedurende welken zij werkt. Men kan dan ook niet zeggen dat, om aan een lichaam een zekere snelheid te geven, een kracht van bepaalde grootte noodig is. Hoe groot de kracht moet zijn, hangt af van den tijd waarin men wil dat zij de verlangde snelheid teweegbrengt. Stel b.v. dat wij aan een bal met een massa van 500 gram een snelheid van 200 cm per seconde willen geven. 9(X) Wij kunnen hem daartoe gedurende = 0,204 seconde «Jol laten vallen; daarbij werkt er een kracht van 500 x 981 dynes op. Maar wij kunnen er ook een tweemaal zoo groote kracht gedurende 0,102 sec, of een tweehonderd maal zoo groote gedurende 0,00102 sec op laten werken. Als wij den bal de snelheid van 200 cm geven door hem met een hamer voort te slaan, kunnen wij uit de snelheid noch de grootte van de kracht afleiden, noch den tijd gedurende welken deze gewerkt heeft. Het eenige wat wij kunnen zeggen, is dat het product van beide een bepaalde waarde heeft. Immers, uit de formule (14) volgt dat, als de kracht K, gedurende den tijd r werkende, aan de massa in de snelheid v geeft, Kt = m v (18) is. Bij krachten die gedurende zeer korten tijd werken en dus, zooals men wel zegt, plotseling een snelheid aan een lichaam geven, wordt het product Kt de grootte van den stoot genoemd. § 99. Hoeveelheid van beweging. Men kan, als een stoffelijk punt een snelheid v heeft, in de richting daarvan een vector uitzetten, waarvan de grootte het product van v met de massa m voorstelt. Deze vector wordt als de voorstelling der „hoeveelheid van beweging" van het punt beschouwd, en ook zelf de hoeveelheid van beweging genoemd. Hoeft oen stoffelijk punt twee snelheden tegelijk, dan kunnen wij ook zeggen dat het de twee hoeveelheden van beweging die daaraan beantwoorden te gelijk heeft, en uit den regel voor het samenstellen van twee snelheden in verband met de stelling van § 28, volgt dan dat dJ werkelijke hoeveelheid van beweging gevonden wordt dooide twee zooeven genoemde hoeveelheden van beweging naar het voorschrift van § 27 .net elkaar samen testellen. In Plaats van te zeggen dat een stoffelijk punt door de werking van een kracht in elk tijdsdeel een zekere snelheid krijgt bij die, welke liet reeds had, kunnen wij ook zeggen dat het een. nieuwe hoeveelheid van beweging krijgt, die met de reeds bestaande moet worden samengesteld. Het nut van de invoering dezer nieuwe grootheid is gelegen in de volgende stelling, die onmiddellijk uit de formule (18) volgt: hen bepaalde kracht, gedurende een bepaalden tijd in standvastige richting werkende, brengt een bepaalde hoeveelheid van beweging voort, onverschillig hoe groot de massa van het stoffelijke punt is. Stelt men in (18) t = 1, dan wordt K=mv, d. w. z.: I)e hoeveelheid van beweging die een kracht in de tijdseenheid teweegbrengt, wordt door hetzelfde getal voorgesteld als de kracht. Neemt men daarentegen aan dat t zeer klein is, en noemt men het product Kt den stoot, dan leert ons de formule: Len stoot wordt door hetzelfde getal voorgesteld als de hoeveelheid van beweging die hij voortbrengt. § 10(). Botsing van twee lichamen. Worden twee lichamen die krachten op elkaar uitoefenen aan hun wederkeerige werking overgelaten, dan volgt uit de wet der gelijkheid van werking en terugwerking, in verband met de stelling \an § 85, dat de snelheden die zij gedurende een zeker tijdsverloop bij de reeds bestaande krijgen, tegengesteld gericht zijn, en omgekeerd evenredig met de massa's, of, wat op hetzelfde neerkomt, dat de lichamen gelijke en tegengestelde hoeveelheden van beweging ontvangen. fiOQ. Laat b.v. (Fig. 79) twee bollen .4 en li, die de massa's /», en m 2 hebben, met de middelpunten langs dezelfde fjOo lijn en in dezelfde richting voortgaan. Zij r, de snelheid van .4, r2 die van H en i\ > v2, zoodat ,4 den bol H inhaalt. Op het oogenblik van de eerste aanraking hebben de middelpunten nog deze snelheden en zij zullen dus nog eenigen, zij 't dan ook korten tijd, tot elkaar naderen, wat alleen mogelijk is, als de bollen nabij de aanrakingsplaats worden ingedrukt. Daardoor ontstaat echter een wederkeerige afstooting, die de snelheid van ,4 verkleint , en die van li vergroot. Na eenigen tijd zullen dientengevolge de lichamen een even groote snelheid x hebben gekregen. Deze willen wij berekenen. De snelheid van A is verminderd met vt x en die van li toegenomen met ./■ v2. Deze veranderingen moeten omgekeerd evenredig zijn met de massa's. Men heeft dus (r, — x) : (x v2) — vu : in,, waaruit volgt in. r. -f- llln v, x = 1 - - . in, -f- m2 Men komt tot dezelfde uitkomst, als men bedenkt dat bij de botsing A en li gelijke, maar tegengestelde hoeveelheden van beweging krijgen, en dat dus de som der hoeveelheden van beweging van de beide lichamen niet verandert. Daaruit volgt nl. int x-{- m2 ƒ==»/, fj, + »'2 v.- Voor het geval dat de bollen vóór de botsing tegengestelde snelheden hebben, gelden dezelfde formules. Alleen moet nu door de teekens -|- en onderscheiden worden, naar welke zijde de beweging gericht is. Het teeken dat x krijgt, wijst dan tevens de richting van de gemeenschappelijke snelheid aan. Deze is 0, wanneer de lichamen voor de botsing tegengestelde snelheden hebben, die omgekeerd evenredig met de massa's zijn. I'ig. Til. fiDI. Uok hij sommige andere gedaanten van de botsende lichamen is dit alles waar, b.v. wanneer men te doen heeft met cilinders die zich niet de assen langs dezelfde rechte lijn bewegen. 01 de snelheden van de lichamen, nadat zij gelijk aan elkaar zijn geworden, nog verder veranderen of niet, zullen wij voorloopig in het midden laten. § 101. Kracht noodig voor een enkelvoudige trilling. Wanneer een lichaam tusschen de punten .4 en B (Fig. 80) een enkelvoudige trilling uitvoert, is de beweging bij elke nadering tot liet middelste punt O van de baan versneld, bij elke verwijdering van dat punt vertraagd 09). Daaruit volgt dat op het lichaam steeds so een kracht moet werken, die naar O A °n v gericht is, een kracht die men op de ' * * in § 89 aangegeven wijze kan berekenen. Zij is, terwijl liet punt een der wegen .4 O of B O doorloopt, niètstand\astig, daar wij hier niet met eenpariy versnelde of vertraagde bewegingen te doen hebben. Uit de uitkomst die wij in § 09 voor de versnelling vonden, volgt dat op liet oogenblik waarop liet lichaam zich op den afstand s van O 'bevindt, de kracht de volgende waarde moet hebben _ 4 ji ' ui A — T, s (19) Daarin stelt m de massa voor. Gemakkelijk ziet men in waarom de kracht des te grooter moet zijn, naarmate 7' kleiner is. Wanneer wij eerst het lichaam met den schommeltijd T tusschen .4 en B willen laten heen- en weergaan, en een ander maal met den schonimeltyd h 7', moeten wij er bij de tweede proef gedurende de beweging van .4 naar O een tweemaal zoo groote snelheid aan geven als bij de eerste proef, en daar wij dit in een half zoo langen tijd moeten doen is het geen wonder, dat wij een 4 maal grootere kracht moeten doen werken. Eveneens is het duidelijk dat de uitputting van de snelheid, gedurende de beweging van O naar B, bij de tweede proef een 4 maal zoo groote kracht vereischt als liij de eerste. Van bijzonder belang is de volgende in de formule opgesloten stelling: Zal een stoffelijk pinil een enkelvoudige trilling uitvoeren, dan moet er een kracht op werken, die evenredig is met den afstand tot het middelste punt van de baan. De krachtmoet het grootst zijn aan de uiteinden van de baan en, terwijl het lichaam tot O nadert, afnemen, 0111 bij den doorgang door O een oogenblik 0 te zijn. § 102. Enkelvoudige trilling onder den invloed van een gegeven kracht. Men kan de stelling van zoo even omkeeren en zeggen: Als een lichaam dat zich langs een rechte lijn L L (Fig. SI) kan bewegen, onderworpen is aan een kracht die altijd gericht is naar een vast punt O van (leze lijn, en evenredig is met den afstand tot O, zal het lichaam, in een of ander punt van u t/\yi y wiv KJf f/lllll Ull/l Ij L losgelaten, of van O met zekere snelheid vertrekkende, een enkelvoudige trilling aan weerszijden van O uitvoeren. Daar geen kracht op het lichaam werkt, wanneer dit zich in O bevindt, is dit punt de even wichtsstand. .luist omdat, zooals later zal blijken, dikwijls de krachten waaraan een lichaam moet gehoorzamen, een resultante hebben, die naar een vast punt gericht is en evenredig is met den afstand tot dit punt, komen enkelvoudige trillingen zoo veel voor. Een belangrijke bijzonderheid bij de beweging van een aa.ii zoodanige krachten onderworpen stoffelijk punt is deze, dat de trillingstijd dezelfde is, onverschillig of het punt over grooten of kleinen afstand uit zijn evenwichtsstand verplaatst is. Wanneer wij het b.v. eerst in .4 en bij een tweede proef in A' loslaten, besteedt het telkens even veel tijd om in O te komen; daar de kracht evenredig met den afstand tot O is, wordt liet nl. bij de eerste proef door een grootere kracht naar O gedreven dan bij de tweede; het krijgt dus ook bij de eerste proef grootere snelheden, en wel juist in die mate, dat het bij beide proeven O in denzelfden tijd bereikt. jflOU Men drukt dit uit door te zeggen dat groote en kleine trillingen van het punt isochroon zijn. Kent men de massa van liet lichaam en de standvastige verhouding tusschen de kracht die het ondervindt en den afstand tot O, dan is de duur van de trillingen bepaald. Aanstonds ziet men in dat, na een vergrooting van de naar O werkende kracht, bij gelijk blijvende massa, de trillingen elkaar sneller zullen opvolgen, terwijl vergrooting van de massa een tegengestelde uitwerking heeft. Zij a de bedoelde standvastige verhouding, zoodut de kracht door as kan worden voorgesteld, dan zal de trillingstijd T zoo worden dat ($ 101) 4 712 Hl —2» 2— a = ct s is. Daaruit volgt r-t.y/f <*» Uit de omstandigheid dut in deze formule de amplitudo niet voorkomt volgt de wet van het isochronisme. S 1();v wvill- kracht uit zijn evenwichtsstand ver¬ kracht uit zijn evenwichtsstand verplaatst wordt. § 104. Enkelvoudige of' mathematische slinger. Wanneer men een lichaam ophangt aan een onrekbaar koord, zoo dun, dat de massa ervan mag worden verwaarloosd, krijgt 111011 een slinger, die ter onderscheiding van een later tr> liimnrnl/im nnui te uesprcKon toestel enkelvoudige of' mathematische slinger genoemd wordt. Heeft men den slinger uit zijn evenwichtsstand O A (Fig. 85) gebracht in den stand OB, dan kan men het gewicht B P van liet lichaam ontbinden in een kracht BRxohjens !-.«+ .-.—1 1.. 1 . , Jlet verlengde van het koord en een kracht B Q loodrecht daarop. Deze laatste is het, die het lichaam langs den cirkelboog BA naar beneden drijft en men kan op dezelfde wijze ook in eiken anderen stand B' van ]u,t lichaam de overeenkomstige kracht B' Q' vinden. Nadat het is losgelaten, gaat het lichaam met een versnelde beweging van B naar .4 en stijgt aan de andere zijde van A op tot een punt C, dat even ver als B van A is verwijderd. Het keert dan terug tot in B\ kortom, liet schommelt tusschen B en C heen en weer Uit Fig. 85 volgt: B Q : B' Q' = sin BOA: sin B' O A. Wanneer nu de amplitudo van de schommelingen, dus de hoek BOA, zeer klein is, mag men hiervoor schrijven B Q: B' Q' = Boog B A : Boog B' A. Daar dus de kracht die het lichaam langs den cirkelboog naar den evenwichtsstand A drijft, evenredig is met den afstand tot ^4, zullen kleine schommelingen langs den boog op dezelfde wijze plaats hebben als enkelvoudige trillingen langs een rechte lijn. Als nl. een stoffelijk punt gedwongen is, zooals hier, op een bepaalde kromme lijn te blijven, kan het zich zoo bewegen dat de langs die lijn gemeten afstand s tot een vast punt van de lijn op elk oogenblik door de vergelijking (2) van blz. 73 bepaald is. Daarvoor is noodig dat op het punt langs de kromme lijn en wel naar het vaste punt toe, een kracht werkt van de in § 101 aangegeven grootte. Het bewijs van deze stelling moet hier achterwege blijven. Onder schommeltijd of slingertijd verstaan wij den tijd dien de slinger noodig heeft voor de beweging van den eenen uitersten stand naar den anderen. Hij wordt voor genoegzaam kleine schommelingen bepaald door de formule » = (21) waarin / de lengte van den slinger voorstelt. Is de hoek .4 OB — 5 , 10°, 15°, 20°, dan is deze waarde van 0- resp. 0,0;); 0,19; 0,43; 0,70% te klein. Zij in Fig. 85 d (le afstand van D' tot O A. Heeft liet aan den draad hangende lichaam de massa m, en dus het gewicht m;/, dun is B Q< = mg 'j, waarvoor men mag schrijven ui/n Itoog li' A B Q = m ij — b i I>o in § 102 ingovoerdo verhouding tusschen de kracht en den afstand tut den evenwichtsstand is dus hier m " = T 9 flóH en door substitutie in (20) vindt men waaruit de formule (21) volgt. Tn de vergelijking (21) liggen de volgende wetten opgesloten. ff. Grootc en kleine schommelingen, mits altijd klein genoeg om de formule te mogen toepassen, worden in denzelfden tijd volbracht. Dit isoclironisme leerden wij reeds meer in het algemeen in 102 kennen. b. De schommeltyd is onafhankelijk van de grootte en den aard van het aan den draad opgehangen lichaam. Dit is een gevolg hiervan, dat voor verschillende lichamen de gewichten evenredig zijn met de massa's. (. De schommelingen hebben des te sneller plaats, naarmate de slinger korter is. Inderdaad, wanneer een lange en een korte slinger met gelijke gewichten zoo ver uit hun evenF'g. 86. wichtsstanden verplaatst wor¬ den , dat de bogen B A en b a (P^ig. 86) even lang zijn, dan is, zooals men aanstonds ziet, de kracht b r/, waardoor het lichaam b naar den evenwichtsstand wordt gedreven, grooter dan de overeenkomstige kracht B Q. Het is dus begrijpelijk dat men, na de slingers te gelijk losgelaten te hebben, den korten het eerst den evenwichtsstand ziet bereiken. d. Naarmate de zwaartekracht sterker wordt, hebben do schom¬ melingen sneller plaats, iets dat men gemakkelijk had kunnen voorspellen. De lengte van een secondeslinger, d. w. z. van een slinger, die in één seconde een schommeling volbrengt, is bij de polen grooter dan bij den aequator. De proefondervindelijke bevestiging van de wetten o, b en c is van groot belang. Er is b.v. geen beter middel om te bewijzen dat de versnelling van de zwaartekracht voor alle stoffen dezelfde is, dan de waarneming van slingers die uit verschillende zelfstandigheden bestaan. Wanneer men de lengte I van den slinger en den tijd & meet, kan men uit de formule (21) g afleiden. Het is naar dit beginsel, dat nauwkeurige bepalingen van de versnelling der zwaartekracht gedaan worden. Alleen maakt men niet van een mathematischen slinger gebruik, maar van een anderen slinger, dien wij naderhand zullen loeren kennen. Men kan nl. een mathematischen slinger niet verwezenlijkon, daar oen onuitrekbare draad zonder massa evenmin bestaat als een lichaam dat werkelijk als een enkel punt mag beschouwd worden. Zoodra het opgehangen lichaam een merkbare uitgebreidheid hoeft, ontstaat onzekerheid over de vraag, wat 111011 onder de lengte / te verstaan heeft. § 105. Kracht noodig voor een gelijkmatige beweging in een cirkel. Stel dat een lichaam met de massa m zich met de standvastige snelheid v in oen cirkel waarvan de straal r is (Fig. 87) moot bewegen. Wij kunnen de kracht die daartoe op liet lichaam moet werken bomden door eerst op de 111 g 72 aangegeven wijze de versnelling te zoeken. Daar in Fig. 87 dezelfde letters zijn gebezigd als in Fig. 72 behoeven wij het in die § gezegde niet te herhalen. Trekt men de stralen M P en M Q en de koorde P Q, dan ontstaat een driehoek, die gelijkvormig is met Q li C, daar / C Q B = — Z PM Q en Q li = Q C is Uit die gelijkvormigheid kan 111011 afleiden dat C li 011 dus ook Q1) loodrecht op P Q staat, en daar nu bij voortdurende nadering van Q tot P, de richting van de koorde P Q die van de raaklijn in P tot limiet heeft, nadert de richting van Q1) tot die van den straal P M. \\ ij kunnen dus zeggen dat bij de beschouwde beweging de snelheid die het lichaam in een tydselement krijgt bij die, welke het reeds had, naar het middelpunt flos j)M van den cirkel gericht is. Daardoor is de richting van de versnelling bepaald. Om nu de grootte daarvan te berekenen, merken wij op < at, tengevolge van de gelijk vormigheid der bovengenoemde driehoeken, MP:PQ=QC:QD en dus Q1>=MpXPQ is. ,1S.dc snclll°»' die het lichaam inden oneindig kleinen tijd t krijgt. Daaruit volgt voor de grootte van de versnelling QC v PQ MP x T * Men mag echter voor de oneindig kleine koorde PO den hoog in de plaats stellen, en dan is de laatste factor niet anders dan de snelheid v. De versnelling wordt dientengevolge v2 r Uit de gevonden uitkomsten besluiten wij dat voorde onderstelde beweging een kracht noodig is, die voortdurend naar het middelpunt van den cirkel gericht is. Deze middelpuntzoekende of centripetale kracht moet de grootte m v2 K=~r ....... (22) hebben. Laat in Fig. 88 een lichaam Q met do ma88a een enkelvoudige trilling pTet d ëlfl mCt d°n t:i"ingat"d 7' Uitï0eren" Al3 Zweedt heeft 7nl h "TT Z°° d°n Cirk,'l di° AB tüt «"iddeliyn »" '»> '• "« 2 7t r ~T~ hebben (O A =r). Op P moet dan een kracht naar het middelpunt P F= 4*'*" r 2'2 ' fiob- werken. De kracht die vereischt wordt om aan Q de gewensehte beweging to geven is (§ !»1) de projectie Q G van P /•'. Daaruit volgt, Fig. 88. wanneer OQ — s is, voor die kracht weer do in \ S 101 opgegeven waarde. § 106. Verschijnselen bij draaiende bewegingen. Ileeft hot boven beschouwde lichaam een snelheid in de richting van den cirkelomtrek, maar werkt er geen kracht op, dan zal het langs de raaklijn verder gaan. Dit blijkt bij verschillende proeven. d. Een staaf ab (Fig. 80), waarover een doorboorde kogel c kan glijden, kan in een horizontaal vlak om liet punt .1/ worden rondgedraaid. Zoodra deze beweging begint, krijgt c een snelheid in de richting van cd, en gaat dan verder, althans nagenoeg, langs die lijn voort. De hol verschuift zich daarbij over de staaf van M af; heeft b.v. deze laatste den stand a'b' aangenomen, dan is de kogel in e gekomen. Ook wanneer het lichaam c met een draad aan het punt M van de staaf bevestigd is, verwijdert liet zich, onmiddellijk na het begin van de beweging, iets van M, maar de daardoor uitgerekte draad oefent dan een spanning op den kogel uit, die hem van de lijn cd doet afwijken. I)e uitrekking gaat zoo ver tot de spanning van het koord juist gelijk aan de kracht is, die noodig is om den bol in een cirkel to doen rondgaan. Wordt in plaats van hot koord een spi raai veer gebezigd, dan kan men door de uitrokking die deze ondergaat do formule (22) op de proef stellen. b. Laat op de staaf u b twee doorboorde lichamen aan weerszijden van M geplaatst worden, die door een draad verbonden zijn. Draait men dan de staaf rond, dan kunnen zich, naar gelang van de massa's der lichamen en van de afstanden tot het middelpunt, verschillende verschijnselen voordoen. Het kan gebeuren dat het koord, wegens zijn uitrekking, op zeker oogenblik een spanning heeft gekregen, voldoende om het eerste lichaam in een cirkel te doen loopen, maar Fig. 8!». jlcb nog niet toereikend om dezelfde uitwerking bij het tweede lichaam te hebben. Dan zal dit laatste zich nog van het middelpunt verwijderen, en daarbij het eerste meesleepen over het middelpunt heen, zoodat ten slotte beide lichamen naar die zijde gaan, waar liet tweede geplaatst was. Het kan evenwel ook voorkomen dat als het koord, meer en meer gerekt wordende, een spanning heeft gekregen, die voldoende is om het eene lichaam in een cirkel te doen loopen, die spanning ook juist het andere lichaam op standvastigen afstand van het middelpunt kan houden. Dan zullen beide lichamen op de staaf in rust blijven. c. Men kan een lichaam ook dwingen in een cirkel rond te gaan , wanneer men liet aan de binnenzijde van een op een horizontaal vlak aangebrachten cirkelvormigen opstaanden rand plaatst en het dan een tangentiale snelheid geeft. Hoe hierbij de tegenstand van den rand de centripetale kracht is, en hoe die tegenstand wordt opgewekt, zalmen gemakkelijk inzien. Wanneer iemand over een horizontaal vlak in een cirkel rondloopt drukt hij met zijn voeten dit vlak naar buiten; Fig. uo. dientengevolge ondervindt hij van het vlak cle noodige naar het middelpunt gerichte kracht. d. Aan een verticale kolom A B (Fig. 90), die om zijn eigen as kan wentelen, is de stang A M, die aan liet benedeneinde den bol jlƒ draagt, draaibaar in A bevestigd, zoodat hij zich in het vlak CA M kan bewegen. Staat de as A li stil, dan li«rt * , M tegen A li aan; begint vervolgens de wenteling van A li, dan krijgt het middel- r\ 1 nnn on/il IwawI .... 1. 1 _.1 1 i r < x punr \an den bol een snelheid loodrecht op het vlak MA C. De bol tracht zooveel mogelijk in de richting van die snelheid voort te gaan, wat hij echter niet kan doen zonder zich verder van A li te verwijderen, zonder dus tevens te stijgen. Wanneer de snelheid om de verticale as standvastig is, neemt AM een vasten stand met betrekking tot :lie as aan, zoodat M een cirkel beschrijft met Ctotmid- delpunt. Ontbindt men nu hot gewicht MPin M E volgens het verlengde van .4 M, en MD langs M C\ dan is het de laatste kracht, die den bol dwingt in een cirkel teloopen. Deze kracht moet de door de formule (22) bepaalde grootte hebben en hieruit kan men den hoek MAC berekenen, als het aantal wentelingen van A B in de tijdseenheid bekend is. De bij stoommachines voorkomende centrifugaalregulateur bestaat uit twee gelijke, elk van een bol voorziene stangen, zooals er hier één is besproken; zij zijn aan tegengestelde zijden van .1 B bevestigd. Neemt door een of andere oorzaak de snelheid van A B toe, dan verheffen zich de bollen en hiervan wordt partij getrokken om door een mechanisme dat wij achterwege kunnen laten, den toevoer van stoom te verminderen. Om liet bovenbedoelde verband tusschen de snelheid van de wenteling on den afwijkingshock te vinden, stellen wij in Fig. 90 A M — /, /_ M .1 li = (p, M C=r. Is de massa van den bol 2 ji r m en de omloopstijd '/', dan moet, daar de snelheid -- is, volgons de formule (22) ... 4 7i~ ui r in2 in I sin rp - T2— — fi zijn. Aan don anderen kant volgt uit den driehoek I).)/ 1\ daar M I' — m ij is, M D = iii g tg (p. I)e twee waarden van .1/ l> aan elkaar geljjkstellende vindt men <1 T- C()S V — 1—s~r ■In/ Deze formule is ook van toepassing, wanneer een aan een draad van de lengte / opgehangen bol een cirkel van deze of gene grootte beschrijft, wat men gemakkelijk kan teweegbrengen. De omloopstijd wordt T = 2 ji \/ ,C0S

eweging van liet vallende lichaam ten opzichte van de maatstaf, dus ook de relatieve snelheid dio het lichaam in den tijd i krijgt. Deze is het verschil van do twee bovengenoemde snelheden; wjj meenen dus dat het lichaam in den tjjd t een snelheid (G - 3,4) r naar boneden krijgt; m. a. w., de waargenomen waarde van de versnelling der zwaartekracht ia g — G 3,4. Daar nu (§ 63) voor g de waarde !• 78,1 werd gevonden, is do ware versnelling der zwaartekracht G — g -f- 3,4 = 981,5 ein per sec. § 109. De aswenteling van do aarde, die aan den aequator do versnelling van een vallend voorwerp kleiner doot schijnen dan zjj is, heeft ook den- fiOü zelfden invloed op de kracht, waarmee een licliaam op een horizontaal steunvlak drukt. Verbeelden wjj ons, om dit in te zien, dat de aarde stilstond en dat op een horizontaal vlak aun den aequator een lichaam geplaatst was, dat met een kracht P door de aarde wordt aangetrokken. Stelde zich vervolgens de aarde in beweging, dan zou het voorwerp zich iets van het middelpunt verwijderen, zooilat het steunvlak iets minder werd ingedrukt. De kracht P , waarmee dit vlak het lichaam naar boven drukt, zou dus kleiner worden, en dit zou voortgaan tot het verschil P — P' van de beide krachten juist voldoende was om bet lichaam in een cirkel te doen rondgaan. Daar dan dit verschil do versnelling " moest geven, terwijl door de kracht P do r versnelling G wordt veroorzaakt, moet P:(P P') = G: r waaruit men mot do boven voor u, r en G gegeven waarden kan afleiden P P' = 1 /', P'= 288 P. 28!) 28!) Do kracht P' waarmee het lichaam op bet ondersteuningsvlak drukt, kan inen bet schijnbare gewicht van het lichaam noemen, terwijl P het ware gewicht is. Daar alle punten van liet oppervlak der aarde, behalve de polen, cirkels beschrijven, bestaat ook overal, met uitzondering van de polen, een invloed van do aswenteling zooals de bier beschrevene, maar bjj verwijdering van den aequator wordt die invloed voortdurend kleiner § 110. Beweging der lichamen van het zonnestelsel. Algeineene aantrekkingskracht. Een lichaam ^4 kan om een vaststaand lichaam li als middelpunt een cirkel beschrijven, als het daardoor wordt aangetrokken met een kracht van de in § 105 besproken grootte. Onder den invloed van een aantrekking naar een vast centrum kunnen evenwel ook banen van andere gedaante worden beschreven. De waarneming heeft geleerd dat de planeten zich in ellipsen bewegen, in een van welker brandpunten de zon is geplaatst; daarbij is de snelheid des te grooter naarmate de afstand tot de zon kleiner wordt, zoodat, wanneer de ellips van Fig. 15 (blz. 21) de baan van een planeet voorstelt en F de plaats van de zon is, de snelheid een maximum zal zijn in A' en een minimum in A. (In werkelijkheid wijken de banen van de planeten veel minder van cirkels af dan de ellips van Fig. 15). (Ito. j fit O Men heeft de veranderingen van de snelheid uit de waarnemingen afgeleid en kan dus de kracht bepalen, waaraan de planeet onderworpen is. Newton f 1 643—1727) vond dat die kracht naar de zon gericht is, en dus een aantrekking door deze laatste kan genoemd worden, en dat zij omgekeerd evenredig met de tweede macht van den afstand tot de zon verandert. W ij moeten hier de wiskundige beschouwingen waardoor deze uitkomst verkregen werd laten rusten, en zullen ons tot de opmerking bepalen dat inderdaad, als de planeet P (Hg. 15) door de zon F wordt aangetrokken, de beweging ■v an A over ]i naar A' versneld en de beweging van A' over li naar A vertraagd zal zijn. In een tijdselement b.v., volgende op het oogenblik waarop de planeet in Pis, krijgt deze bij de snelheid die hij reeds in de richting van de raaklijn heeft, nog een andere in de richting van den voerstraal. Daar nu, zooals men in de figuur ziet, de beide snelheden een scherpen hoek met elkaar maken, zal de resultante grooter zijn dan de eerst in de richting van de raaklijn bestaande snelheid. Newton kon aan de zooeven genoemde wet over de aantrekking die een planeet van de zon ondervindt, nog een andere toevoegen door de bewegingen van verschillende planeten met elkaar te vergelijken. 11ij toonde nl. aan dat twee stofdeeltjes van dezelfde massa, waarvan het eerste in de eene planeet en het tweede in de andere is gelegen, door de zon aangetrokken worden met krachten, omgekeerd evenredig met de tweede machten van de afstanden tot de zon. I)it volgt uit liet door Keppler aan het licht gebrachte feit dat de tweede machten der omloopstijden van twee planeten tot elkaar staan als de derde machten van de halve, groote assen van hun banen. ^emen wjj gemakshalve aan dat de planeten in cirkels mot de stralen ri 011 r2 om (1° Zün loopen; laat Tx en T2 de omloopstijden zijn. Dan ondervindt volgens § 105 de massa-eenheid van de eene planeet een kracht K =, 4 'T" en de massa-eenheid van de andere een kracht T,» jlio- Uit de evenredigheid volgt Overigens is hot niet alleen de zon, die andere lichamen aantrekt. Op dergelijke wijze als de planeten om de zon loopen, bewegen zich om eenige daarvan wachters of satellieten, en deze worden bij liet lichaam dat zij vergezellen gehouden door een aantrekking die van dit laatste uitgaat. Alle verschijnselen samenvattende, kwam Newton tot het besluit dat elk paar stofdeeltjes elkaar aantrekken met een kracht die op de boven aangegeven wijze van den afstand afhangt, en evenredig is zoowel met de massa van het eene als met die van het andere stofdeeltje, die echter onafhankelijk is van den aard der deeltjes en van de stof in de tusschenruimte. Volgens deze door Newton ontwikkelde theorie der algemecne aantrekkingskracht is de versnelling die een lichaam A door de van een lichaam li uitgaande aantrekking krijgt, evenredig met de massa van li, maar onafhankelijk van die van A. Immers, de totale kracht die op A werkt is evenredig met de massa van A, en dus moet de versnelling dezelfde zijn, onverschillig of die massa groot of klein is. De zwaartekracht die op oen stofdeeltje nabij het oppervlak der aarde werkt, is nu te beschouwen als de resultante van tallooze krachten, door al de deeltjes der aarde uitgeoefend en die alle van denzelfden aard zijn als de aantrekking tusschen de deeltjes van verschillende hemellichamen. Dit wordt bevestigd door de volgende overwegingen. a. Wordt werkelijk een voorwerp aan het oppervlak van de aarde door alle deelen van do aarde aangetrokken , zoowel door hot deel onmiddellijk er beneden, als door de stof nabij het middelpunt of aan do tegenovergestelde zijde van onze planeet, dan kan men de tallooze krachten die hot ondervindt tot een enkele vereenigen. Onderstelt men nu 11 T t . 'P 3 3. 3 1 1 • 1 1 ' 1 • ' 2 7 1 1 2 Jw dat de aarde een bol is en dat zijn dichtheid niet op onregelmatige wijze van punt tot punt verandert, maar op alle plaatsen die even ver van het middelpunt liggen, even groot is, dan leert een wiskundige beschouwing dat die resultante naar het middelpunt gericht is, en dezelfde grootte heeft alsof de geheele aantrekkende massa in dat punt was vereenigd. De resultante is, evenals alle krachten, waaruit zij is samengesteld, evenredig met de massa \an het aangetrokken voorwerp; daarom vallen alle lichamen even snel. b. Verder moeten — als werkelijk de zwaartekracht een uiting van de algemeene aantrekkingskracht is —de kracht die op een deeltje nabij het aardoppervlak werkt, en de aantrekking die een even groot deeltje der maan van de aarde ondervindt, omgekeerd evenredig zijn met de vierkanten van de afstanden waarop zij van het middelpunt der aarde verwijderd zijn; daar de afstand van de maan tot dit punt 60 maal zoo groot is als de straal van de aarde, moet dus de eerste kracht 3600 maal zoo groot zijn als de laatste. Nu kunnen wij de versnelling van een vallend lichaam op 980 cm per sec stellen, en men kan ook (§ 105) de versnelling van de maan berekenen. In aanmerking nemende dat de omloopstijd van de maan 27 dagen en 8 uren is, en den omtrek van de aarde op 4 x 10" cm stellende, vindt men voor die laatste versnelling 0,27 cm en dit is inderdaad 3000 maal kleiner dan Ü80 cm. Wij kunnen nu ook inzien hoe het komt dat (§ 108) de waargenomen versnelling van een vallend lichaam, ook nadat zij van den invloed der aswenteling ontdaan is, op verschillende plaatsen niet dezelfde waarde heeft. Zooals men weet, is de aarde niet zuiver bolvormig, maar aan de polen afgeplat, zoodat het oppervlak nagenoeg een omwentelingsellipsoïde is, zooals die door de wenteling van een ellips om de kleine as ontstaat. De afstand van de polen is ongeveer 1;300 korter dan de middellijn van den aequator. Berekent men nu voor zulk een lichaam de resultante van de aantrekkingen op een voorwerp nabij liet oppervlak, dan vindt men dat die grooter is als het voorwerp aan de polen dan wanneer het aan den aequator is geplaatst. \ an daar, dat zelfs hij een stilstaande aarde niet overal dezelfde waarde van g zou worden gevonden. De wet van Newton kan niet alleen in hoofdtrekken rekenschap geven van de beweging der lichamen van het zonnestelsel; zij kan ook dienen om vele bijzonderheden te verklaren, die men bij deze beweging heeft waargenomen. W erd elke planeet alleen door de zon aangetrokken, dan zou hij in een stilstaande ellips rondloopen en zou zijn snelheid volgens een eenvoudige wet veranderen. Tn werkelijkheid bestaan tal van kleine afwijkingen van deze bewegingswijze en zijn de verschijnselen zeer ingewikkeld. T och is men, door in aanmerking te nemen dat elke planeet niet alleen door de zon, maar ook door de andere planeten wordt aangetrokken, er in geslaagd, dit alles te ontwarren. Daartoe waren ingewikkelde wiskundige theorieën noodig, maar de grondbeginselen waarvan men moest uitgaan, zijn eenvoudig genoeg. Zijn op eenig oogenblik de standen der verschillende lichamen van liet zonnestelsel bekend, dan kan men voor elk daarvan de krachten aangeven, dio het van al de overige ondervindt. Men kan vervolgens al de op een lichaam werkende krachten tot een enkele vereenigen, en de uitwerking van deze moet dan op de in § 89, b aangegeven wijze bepaald worden. Ook wanneer men zich alleen met de natuurkunde in den enge ren zin \an het woord wil bezig houden, is het van belang een denkbeeld van dit alles te hebben, daar bij de pogingen om natuurkundige verschijnselen te verklaren de methoden der sterrenkunde in menig opzicht als voorbeeld hebben gediend. Het verdient ten slotte vermelding dat men er in geslaagd is, door gevoelige werktuigen rechtstreeks de aantrekking te doen zien, die volgens de theorie van Newton een voorwerp, zooals een stuk lood, op een ander lichaam uitoefent, ofschoon deze aantrekking al licht millioenen malen kleiner is dan het gewicht van dat lichaam. fm fm S 111. moieKiiieii en atomen. Keeds voor vele eeuwen werd door sommige wijsgeer en ondersteld dat de lichamen der natuur, al schijnen zij ons volkomen homogeen, uit een groot aantal geheel van elkaar gescheiden zeer kleine deeltjes zijn samengesteld. Dit denkbeeld is van groote waarde, daar wij ons nu kunnen voorstellen dat bij de veelvuldige veranderingen der stof die kleine deeltjes zelf niet veranderen, en alleen hun onderlinge ligging wordt gewijzigd. \ an de volumevermindering van een lichaam door samendrukking of afkoeling, de verdichting van een gas tot een vloeistof, de vermenging van gassen en vloeistoffen, de oplossing van een vast lichaam in water kunnen wij ons een bevredigend denkbeeld vormen, zoodra wij ons voorstelllen dat, wegens de tusschenruimten tusschen de kleine deeltjes, een toenadering daarvan en een wederkeerig doordringen van twee lichamen mogelijk is. Eveneens verliest de verbinding van waterstof en zuurstof tot water veel van liet wonderbaarlijke dat zij eerst voor ons heeft, wanneer wij in onze verbeelding in het water kleine deeltjes waterstof en zuurstof naast elkaar zien liggen. Dat liet beeld dat wij ons zoo van de verschijnselen vormen, in hooge mate met de werkelijkheid overeenstemt, blijkt uit de vele tot in bijzonderheden afdalende verklaringen waartoe het geleid heeft, en uit de bevestiging van sommige voorspellingen der molekulaire theorieën. Vele natuurkundigen hebben dan ook aan de verdere ontwikkeling daarvan gewerkt; zij zijn daarbij zelfs tot een schatting over aantal en grootte van de kleinste deeltjes der lichamen gekomen. Daar volgens deze schatting in elk lichaam, in een ruimte veel kleiner dan een kubieke millimeter, billioenen deeltjes aanwezig zijn, is het niet te \ erwonderen dat wij deze niet elk afzonderlijk kunnen waarnemen. De scheikundigen geven den naam van elementen of grondstoffen aan zelfstandigheden die zij niet in staat zijn in andere te ontleden. Men kan zich voorstellen dat elke zoodanige stof uit een zeer groot aantal aan elkaar gelijke deeltjes bestaat; men geeft daaraan den naam van atomen, en neemt evenveel verschillende soorten van atomen aan, als er grondstoffen zijn. De groepen tot welke de atomen zich bij de vorming van verbindingen vereenigen, en die als de kleinste deeltjes van deze verbindingen te beschouwen zijn, worden molekulen genoemd. Het is denkbaar dat deze molekulen zich tot grootere groepen aaneensluiten, die bij sommige verschijnselen als individuen optreden; trouwens, de fijnere molekulaire bouw van verreweg de meeste lichamen is ons onbekend. Wij zullen onder molekulen of deeltjes der lichamen die kleine stofmassa's verstaan, welke bij de verschijnselen waarover wij spreken, elk een zelfstandige rol spelen. § 112. Molekulaire krachten. Bewegingen van de kleine deeltjes. De samenhang (cohaesie) tusschen de verschillende deelen van eenzelfde lichaam wijst ons op aantrekkende krachten die door gelijksoortige molekulen op elkaar worden uitgeoefend, terwijl uit het verschijnsel der aankleving (adhaesie), dat men b.v. opmerkt als een glazen staaf met water bevochtigd is, blijkt dat ook tusschen ongelijksoortige deeltjes zulke krachten werkzaam zijn. Het ontstaan van een scheikundige verbinding doet ons besluiten tot aantrekkingen tusschen de atomen, en het zal ons later blijken dat soms ook afstootende krachten tusschen de deeltjes van een lichaam in het spel zijn. Bij verschillende verschijnselen, zooals b.v. de vermenging van twee stoffen, is het onmiddellijk duidelijk dat er een plaatsverandering van de molekulen is, en naderhand zullen wij gronden leeren kennen om ook aan de deeltjes van een lichaam dat in zijn geheel in rust is, bewegingen, zelfs met groote snelheid, toe te schrijven. Zoo stellen wij ons elk lichaam voor als een stelsel van tallooze stoffelijke punten die zich, evenals de lichamen van het zonnestelsel , onder den invloed van hun wederkeerige krachten bewegen. Van een grondige kennis dezer bewegingen is men intussehen in verreweg de meeste gevallen nog ver verwijderd en bij de ingewikkeldheid van de verschijnselen kan dat ook niet anders. Gelukkig kan men veelal de verschijnselen jHl beschrijven en tot op zekere hoogte begrijpen zonder van de molekulaire theorie gebruik te maken, en is het, ook wanneer men zich daarvan bedienen wil, niet altijd noodzakelijk, diep in de bijzonderheden van het „mechanisme" der verschijnselen door te dringen. Over veel wordt reeds een helder licht verspreid door zekere algemeene stellingen die, onafhankelijk van de bijzondere eigenschappen, voor elk stelsel van elkaar aantrekkende of afstootende deeltjes gelden. Deze stellingen zullen wij in het volgende hoofdstuk leeren kennen. ff H fm. TWEEDE HOOFDSTUK. ARBEID EN ARBEIDSVERMOGEN. § 113. Bepaling van den arbeid bij een verplaatsing in de richting van de kracht. Door een kracht op oen lichaam of een stolsel van lichamen uit te oefenen, kunnen wijden stand daarvan, de betrekkelijke ligging van do doelen waaruit het is samengesteld, of ook don toestand van het stolsel op velerlei wijze veranderen. Wij kunnen een gewicht opheffen, oen spiraalveer die mot liet eene eind bevestigd is, uitrekken, aan een slede een snelheid geven, oen gas dat in oen cilinder besloten is, verwarmen door oen zuiger in dien cilinder naar binnen te drijven. Al deze gevallen hebben dit mot elkaar gemeen dat, terwijl wij een kracht uitoefenen, het aangrijpingspunt daarvan zich over een zekeren afstand verplaatst. Daarentegen wordt er, als dit punt in rust blijft, geen verandering teweeg gebracht; zoo b.v., wanneer wij een gewicht stil in de hand houden, of aan oen koord trekken, waarvan het uiteinde aan een vasten haak is bevestigd. Zoodra zulk een koord do uitrekking hooft gekregen, die aan do grootte van de kracht beantwoordt (en die ontstaat terwijl het punt dat wij vasthouden zich verplaatst), kan do kracht zoo lang wij willen, blijven werken, zonder dat dit — als zij voortdurend even groot blijft — oonigo verdere verandering ten gevolge hooft. Zulke overwegingen hebben er toe geleid, 0111 behalve op de grootte van do kracht, ook in het bijzonder op do te verplaatsing van haar aangrijpingspunt te letten; het een met het ander in verband brengende, is men ertoe gekomen, een grootheid in te voeren, waaraan men den naam van arbeid geeft en die voor de hedendaagsche natuurkunde van veel belang is. Wy zullen zeggen dat wij een arbeid verrichten, of een arbeid doen, en wel „op het lichaam" waarop wij werken zoodra het aangrijpingspunt der kracht zich in de richtinq ran de kracht verplaatst, Voorloopig stellen wij ons voor dat, zooals in de bovengenoemde voorbeelden, waarineen arbeid gedaan wordt op het gewicht dat wij opheffen on de spiraal veer de slede of de gasmassa, de kracht voortdurend dezelfde richting heeft en de beweging rechtlijnig, in de richting van de kracht, is. Ook zullen wij vooreerst aannemen dat de kracht een standvastige grootte heeft. Be grootte van den arbeid stellen wij nu evenredig zoowel met de grootte van de verplaatsing, als met de grootte van de kracht; na dit aangenomen te hebben kunnen wy ,n elk geval den arbeid door een bepaald getal voorstellen, wanneer wij eerst nog de eenheid van arbeid hebben gekozen. Wij kiezen daarvoor den arbeid dien wij verrichten wanneer wij een kracht 1 uitoefenen en het aangrijpingspunt over een afstand 1 voortgaat. Daaruit volgt onmiddellijk dat, wanneer de kracht K eenheden en de verplaatsing .v lengte-eenheden bedraagt de arbeid door het product Ks wordt voorgesteld I)e' arbeid zou nl de waarde 1 hebben, wanneer de kracht juist de krachtseenheid en de weg van het aangrijpingspunt de lengte-eenheid was. Bijgevolg moet, wegens de vooropgestelde evenredigheid van den arbeid met kracht en weï de arbeid K eenheden zijn, wanneer do kracht K is en de verplaatsing = 1 blijft, en Ks eenheden, wanneer/ter- lldet n ,r K iS' de doorIo°P™ weg , eenheden bedraagt. De aldus gevonden formule voor den arbeid , ... A = Ks brengen wy ,n korte woorden over door te zeggen- de arbeid is het product van kracht en af gelegden weg. Dc eenheid van arbeid in het C-G-S-stelsel is de arbeid dien wij doen, wanneer de kracht 1 dyne en de verplaatsing 1 cm bedraagt; men heeft aan die eenheid den naam van erg gegeven. P^en andere veel gebezigde eenheid is de kilogrammeter; de/e behoort bij het gewicht van een kilogram als krachtseenheid en den meter als lengte-eenheid. Men zal gemakkelijk vinden dat een kilogrammeter met 981 x 10:' ergen gelijk staat. In aansluiting aan de definitie van arbeid en den regel voor de bepaling van de grootte daarvan valt nog het volgende op te merken. o. In het dagelijksch leven wordt het woord „arbeid" gebruikt om allerlei lichamelijk of geestelijk werk aan te duiden, meestal zonder dat liet mogelijk is, een bepaald getal voor de grootte daarvan aan te geven. Men kan dit alleen doen bij sommige werkzaamheden van eenvoudigen aard. Als b.v. een werkman een last tot op zekere hoogte moet opvoeren, ligt het voor de hand zijn werk evenredig met het gewicht van den last te stellen, en kan men het ook evenredig met de hoogte rekenen wanneer de omstandigheden van dien aard zijn, dat het telkens evenveel inspanning vereischt om den last weer een meter verder op te heffen. In dergelijke gevallen is dus do arbeid in den physischen zin van het woord de maat voor het werk dat er gedaan wordt. b. Volgens de definitie wordt de arbeid bepaald door de grootte van de kracht en de lengte van den afgelegden weg. In hoe langen tijd de weg wordt doorloopen, komt er niet op aan; de arbeid is dezelfde, onverschillig of een bepaalde afstand met groote of kleine snelheid wordt afgelegd. c. Verder is er uitdrukkelijk sprake van de grootte der kracht die men uitoefent. Wanneer men b.v. een lichaam van het gewicht P naar boven drijft met een kracht Kdie grooter dan P is (zoodat de beweging versneld wordt), dan is de verrichte arbeid bij een hoogte s niet Ps, maar Ks. d. Eindelijk volgt uit de definitie dat, wanneer men den ƒ/ft (hh weg in eonige deelen verdeelt, de gelieele arbeid gelijk is aan de som der arbeiden die bij deze deelen, elk afzonder"Jk, behooren. Na deze laatste opmerking ligt het voor de hand wat wij onder den arbeid zullen verstaan, als de kracht die wij uitoefenen wel is waar voortdurend de richting van nnk ^ HafS'n^ heeft, maar deze richting en misschien < (e grootte van de kracht voortdurend verandert. Men den weg van het aangrijpingspunt in oneindig kleine deelen, en handelt alsof bij het doorloopen van elk deeltje de kracht onveranderd bleef. Men vermenigvuldigt ( lis verrichtte. Ken dergelijke redeneering is van toepassing op een ^'ils dat wij in één geval samendrukken en dat in een ander geval zelf, terwijl het zich uitzet, een arbeid doet. Op do zoo even onderstelde gelijkheid van do door ons uitgeoefende kracht en de spanning van de veer komen wjj nog terug. Tot een belangrijke uitkomst komen wij door de stellingen van de vorige en van deze § met elkaar in verband te brengen. Stel dat een lichaam P een zekeren arbeid A doet op een lichaam Q. Dan neemt liet arbeidsvermogen van P met een bedrag A af, en dat van Q met hetzelfde bedrag toe; de som van liet arbeidsvermogen van het eene en van (lat van H andere lichaam, of, zooals men zegt, het arbeidsvermogen dat de twee lichamen te zamen hebben, blijft onveranderd. Met een voor de hand liggende beeldspraak kunnen wij zeggen dat een hoeveelheid arbeidsvermogen van de grootte A van het lichaam P op Q is overgegaan. Het komt op hetzelfde neer of wij zeggen dat een lichaam een arbeid A op een ander doet, dan wel dat het een hoeveelheid arbeidsvermogen ten bedrage van A aan dat andere lichaam afstaat. Tot opheldering kan een spiraalveer dienen, die, terwijl liij zich samentrekt, een andere veer uitrekt, of ook een geheel gesloten cilinder, waarvan de inwendige ruimte door een bewegelijken zuiger in tweeën verdeeld is, en die eerst in de twee afdeelingen gasmassa's bevat, die in verschillende mate zijn sanien- (lil) gedrukt. De zuiger wordt dan door het verschil der krachten die er aan weerskanten op werken voortgedreven, en hierbij neemt het arbeidsvermogen aan den eenen kant toe en aan den anderen kant af. Ken ander voorbeeld heeft men in twee lichamen die tegen elkaar botsen. Onderstellen wij dat een ivoren bol A met zekere snelheid naar rechts gaat en dan stoot tegen een even grooten bol B van de zelfde stof, die eerst in rust is, en waarvan liet middelpunt zicli op de lijn bevindt, langs welke het middelpunt van den eersten bol voortgaat.' Het blijkt dan dat .4 na den stoot bijna in rust blijft, terwijl li een snelheid aanneemt, die maar weinig kleiner is dan de oorspronkelijke snelheid van A. Dat de bol A hierbij een arbeid op B doet is duidelijk hij oefent gedurende den korten tijd van de aanraking een' kracht naar rechts op dat lichaam uit, en terwijl dit gebeurt, gaat het aanrakingspunt een weinig naar dien zelfden kant. Het vermogen om op deze wijze arbeid te \errichten heeft A klaarblijkelijk aan zijn beweging te danken, en tegelijk met zijn snelheid verliest hij oolTdie energie, terwijl li na de botsing in staat is 0111 arbeid op een of ander lichaam te doen. Van zulke eenvoudige gevallen is men langzamerhand opgeklommen tot de stelling dat bij alle natuurverschijnselen, van welken aard en hoe ingewikkeld zij ook zijn, de som van het arbeidsvermogen der op elkaar werkende lichamen onveranderd blijft. Het zal ons in den loop van onze beschouwingen duidelijker worden, op welke gronden men deze wet van het behoud van arbeidsvermogen, die het eerst door Robert Mayer (1842) en kort daarna in strengeren vorm door Helmholtz werd uitgesproken, mag aannemen; ook zullen wij ons van verschillende beperkingen waaraan wij ons tot nog toe hielden vrij maken. In de eerste plaats moet nu echter het arbeidsvermogen in bepaalde gevallen nader beschouwd worden. § 116. Arbeidsvermogen van beweging. Er werd reeds een paai maal gesproken van het arbeidsvermogen van een lichaam dat zich beweegt; dit arbeidsvermogen zullen wij ter onderscheiding arbeidsvermogen van beweging of kinetische energie noemen. Om liet bedrag ervan te bepalen, verbeelden wij ons een lichaam P met de massa m, dat, zonder voortdurend aan een beweegkracht onderworpen te zijn, met een snelheid v over een horizontaal vlak voortgaat. Wij kunnen daarvan gebruik maken om een tweede lichaam Q, dat wij er door een koord aan verhinden, mee te sleepen, en dit is zelfs mogelijk als zich tegen' de beweging van Q deze of gene weerstand verzet. Om nu den arbeid te berekenen, dien P kan verrichten stellen wij dat de op Q uitgeoefende kracht voortdurend dezelfde grootte K heeft. Dan werkt op P een even groote kracht in tegengestelde richting; dientengevolge zal de snelheid van dit lichaam in elke seconde met ^ afnemen en in in K in v v : — 7r sec in A geheel zijn uitgeput. Daaruit volgt, daar de beweging eenparig vertraagd is, voor den afstand die werd afgelegd terwijl de kracht K bestaat (§ ï)2), t in v lil v2 'J " ' K ~2 K en voorden gezochten arbeid het product hiervan niet K, d. i. A — ^mv2 (2) De grootte van het arbeidsvermogen van beweging wordt dus door de uitdrukking \ m v2 bepaald. Men kan er zich gemakkelijk van overtuigen dat de arbeid' dien het lichaam doet wanneer de beweging niet geheel wordt uitgeput, maar alleen de snelheid tot v' wordt verminderd, door liet verschil a m v2 — 1 m v'2 bepaald' wordt, m. a. w. dat die arbeid gelijk is aan de vermindering van het arbeidsvermogen van beweging, in overeenstemming met de stelling van § 114. Ook kan men de redeneering vrij maken van de onderstelling dat de kracht K standvastig is. flik fut Wanneer het lichaam een standvastige kracht K uitoefent, zal de snelheid in , K tn (v — v') (v — r'): — = —V —/'sec m K tot v dalen; de in dien tijd afgelegden weg is (§ 92) i O -4- V') ~ O'2 ~ v's) _ _ 2]< , en dus de arbeid A = i m (v2 — v'2) (3) Verandert de kracht K van oogenblik tot oogenblik, dun mogen wij toch, na den tijd in oneindig kleine deelen verdeeld te hebben, op elk daarvan de formule (3) toepassen. Door optelling vindt men dan weer dat de totale arbeid in zeker tijdsverloop gelijk is aan do geheele vermindering der kinetische energie. Ook de stelling van § 115 wordt nu bevestigd. Oefenen wij nl. op een lichaam dat reeds een snelheid v heeft, in de richting van de beweging gedurende I seconden een standvastige kracht 1< uit, dan wordt, daar de versnelling K is, de eindsnelheid in V = v + A / (4) m I)e afgelegde weg is .5 = i (V' V) f en de arbeid dien wij verrichten A = K s = | (v' + v) K t, of, wanneer wij hier voor Kt de uit (4) volgende waarde m (v' — v) substitueeren, A = | in (v' -f v) (v' —17) = i m v'2 — | m v2, welke uitkomst weer gemakkelijk uit te breiden is tot het geval dat de kracht K in den loop van den tijd t verandert. Het verdient verder opmerking dat liet, wat de waarde van het arbeidsvermogen van beweging op zeker oogenblik betreft, er niet toe doet, of er op dat oogenblik een kracht op het lichaam werkt. Men ziet dit het gemakkelijkst in wanneer men zich voorstelt dat het lichaam den arbeid waartoe het in staat is, in zoo korten tijd verricht, dat in dien tijd de bedoelde kracht geen noemenswaarde snelheidsverandering kan teweegbrengen. Wij kunnen b.v. lipt arbeidsvermogen van een lichaam beoordeelen naar de dikte van een plaat die liet kan verbrijzelen. Legt men die plaat horizontaal en laat men er een kogel op vallen, dan hangt liet al of niet verbrijzelen van de plaat alleen van de snelheid af, waarmee hij door den kogel wordt getroffen, maar niet van den invloed van de zwaartekracht gedurende den korten tijd waarin de werking afloopt. Iets anders is het natuurlijk dat het arbeidsvermogen van beweging op zeker oogenblik afhankelijk is van krachten die vóór dat oogenblik op liet lichaam gewerkt hebben, en dus invloed op de snelheid hebben gehad. \\ ij wijzen er eindelijk op dat de kinetische energie onafhankelijk is van de richting der beweging. Een kogel b.v., die een bepaalde snelheid heeft, zal dezelfde uitwerking op een plaat hebben, onverschillig of hij zieli in de eene of de andere richting beweegt, als wij altijd de plaat zoo houden dat hij loodrecht getroffen wordt. W ij kunnen nu de formule (2) ook uitbreiden tot het geval van een stelsel lichamen of stoffelijke punten die zich, elk met zijn eigen snelheid, bewegen. Zijn de massa's i, 21 enz., en de snelheden, die allerlei verschillende richtingen kunnen hebben, vt, v2, enz., dan kan het eerste stoffelijke punt, voor zijn beweging is uitgeput, een arbeid hini vi' verrichten, het tweede een arbeid ^tn2v22, enz. De som A = a ml + ^ ni2 v22 enz., waarvoor wij ook schrijven A — 2 i m v'1 (5) stelt dus het arbeidsvermogen van beweging van het gelicele stelsel voor. s 117. Arbeidsvermogen van veerkrachtige vaste lichamen. Kr werd reeds herhaaldelijk van den arbeid gesproken, dien een uitgerekte draad of een uitgerekte spiraalveer kan ver- 12 k richten. In het algemeen zullen de deeltjes van een vast lichaam, nadat zij ten opzichte van elkaar verplaatst zijn, waarbij het lichaam in den regel van vorm verandert of „gedeformeerd" wordt, krachten op elkaar uitoefenen, waardoor zij naar de oorspronkelijke standen worden teruggedreven. Dientengevolge kan het lichaam andere voorwerpen die er mee verbonden zijn, verplaatsen en dus een arbeid op die voorwerpen doen. Wij zullen aannemen dat liet lichaam het vermogen 0111 dit te doen eerst dan heeft verloren, wanneer het weer geheel tot den oorspronkelijken toestand is teruggekeerd, iets dat men uitdrukt door het lichaam volkomen veerkrachtig te noemen. De arbeid dien het daarbij in het geheel, verricht, is de maat voor het arbeidsvermogen dat het in den gedeformeerd en toestand had, en zoo lang de deformatie nog niet geheel is verdwenen, en het lichaam dus nog eenige energie heeft behouden, is de vermindering van het arbeidsvermogen die reeds heeft plaats gehad, gelijk aan den arbeid dien het lichaam tot aan het beschouwde oogenblik toe heeft verlicht. Omgekeerd is, wanneer wij de vormverandering door krachten op liet lichaam uit te oefenen teweegbrengen, de arbeid dien wij daarbij op het lichaam doen, gelijk aan de toename van het arbeidsvermogen daarvan. liij vele uurwerken maakt men van liet arbeidsvermogen van een veerkrachtig lichaam gebruik 0111 liet raderwerk te drijven. Een horlogeveer is een platte, dunne stalen reep van vrij groote lengte, die zoo is behandeld, dat hij in zijn natuurlijken stand den vorm van een vlakke spiraal (Fig. 91) heeft. Hij is opge¬ sloten in een doos li, de zoogenaamde trommel, die den vorm van een cilinder van irr2ï rJy(p tfioo^. zal na do botsing weer even groot zijn als daarvoor. Laat mt, m2, vl en v„ dezelfde beteekenis hebben als in § 100, maar laat nu o1, en x2 de eindsnelheden van liet eerste en het tweede lichaam zijn. Deze snelheden zullen, e\enals r, en v2, positief of negatief worden genoemd naar gelang van de richting die zij hebben. De eerste bol heeft door de botsing een snelheid xt—vt, de tweede een snelheid x, — v2 ontvangen bij die, welke reeds bestond. Deze snelheidsveranderingen hebben tegengestelde teekens en het bedrag ervan moet omgekeerd evenredig zijn met de massa's. Men heeft dus mt (xt — vt) = m2 (v2 — x2) . . . . (6) Bovendien moet volgens liet bovengezegde 1 mt vi2 + ï'22 = i >'i, -r,2 4-\ m2 x2 -, of — = *-x2*) ... (7) zijn. Om nu ï, en te berekenen, deelen wij eerst (6) op (7). Dit geeft, als wij tevens met 2 vermenigvuldigen, Xl Vl = X2 + V2 > en men vindt dan verder gemakkelijk uit deze vergelijking en (6) x _ (mi W|) Vi -f- 2 m, vt _ (ui2—m,) vt -f-2m, v, mt 4" mt " mt-\- in 2 Bijzondere gevallen, n. Zij r2 — 0, rt positief. Dan is - m i i' i ut . —m„ — »», + «!, °n-r> — ^7+^ "»• HlerUlt bllJkt dat' wanneer de massa's gelijk zijn, de eerste bol in rust blijft. Daarentegen gaat die bol in de richting waarin bij zich eerst bewoog voort, als de tweede bol een kleinere, maar keert hij terug, als die een grootere massa heeft. Is m2 zeer groot ten opzichte van ut,, dan is nagenoeg — — »> h. /ij in, = m2 Dan wordt ./■, = r2, .r2 = p,, zoodat de bollen van snelheid verwisselen. § 119. Botsing van een veerkrachtigen bol tegen een plat vlak. Zeer eenvoudig is het geval dat een bol in loodrechte richting tegen een plaat stoot. Wij onderstellen dat beide lichamen volkomen veerkrachtig zijn en dat de randen van de plaat onbewegelijk worden vastgehouden. Terwijl wij dat doen, verrichten wij geen arbeid (§ 113); het gezamenlijke arbeidsvermogen van de plaat en den bol blijft dientengevolge onveranderd. Wij besluiten hieruit dat, wanneer beide lichamen ten slotte weer hun oorspronkelyken vorm hebben, en wanneer wij mogen aannemen dat do plaat in 't geheel geen beweging heeft gekregen, de bol weer evenveel arbeidsvermogen van beweging heeft als in het begin. Hij springt met een snelheid, gelijk aan de oorspronkelijke, natuurlijk volgens de loodlijn, van de plaat terug. Het is nu verder gemakkelijk te begrijpen wat er gebeurt, als de bol in schuine richting, b.v. langs de lijn P Q (Fig. 93) een onbewegelijke veerkrachtige plaat K treft. \\ ij onderstellen dat deze begrensd wordt door liet vlak dat, door A li gaande, loodrecht op het vlak van de teekening staat. De beginsnelheid van den bol Qa kunnen wij ontbinden in Q b langs A B, en Q c loodrecht daarop. Door dezelfde redeneering als boven kan men aantoonen dat de snelheid van den bol na de botsing gelijk zal zijn aan de beginsnelheid. Daarbij komt nu nog dat de snelheid Q b langs .4 li onveranderd blijft, en wel omdat de plaat, die wij volkomen glad onderstellen, alleen in de richting van de normaal, maar niet in een richting langs zijn oppervlak een kracht op den bol kan uitoefenen. Brengt men het een met het ander in verband, dan blijkt het dat de snelheid loodrecht op de plaat overgaat in Q d, gelijk en tegengesteld aan Q c, en dat de nieuwe bewegingsrichting Q R een even grooten hoek met de normaal op .4 li maakt als I' Q. § 120. Algemeene definitie van den arbeid van een kracht. Dc wijze waarop een lichaam in beweging wordt gebracht, is menigmaal veel minder duidelijk dan in de gevallen die tot nog toe in dit hoofdstuk werden besproken. Wij hebben b.v. goede redenen om ons voor te stellen dat geëlectriseerde lichamen die elkaar „aantrekken", naar elkaar toe worden bewogen door een in de tusschenruimte aanwezige, voor ons onzichtbare stof, die, in een bijzonderen toestand verkeerende, krachten op de lichamen uitoefent, en tot op zekere hoogte met een gespannen veer kan worden vergeleken. Het ligt evenzoo voor de hand, de algemeene aantrekkingskracht, bij vallende voorwerpen zoowel als bij hemellichamen, als de werking van een „middenstof" of een „medium op te vatten, en te zeggen dat deze stof arbeid doet op een vallenden steen en daardoor overeenkomstig de stelling van § 115 het arbeidsvermogen daarvan vergroot. Intusschen zijn de veranderingen in zulke onzichtbare middenstoffen veel minder voor ons toegankelijk dan de toestand van waarneembare veerkrachtige lichamen, en men geeft er dan ook dikwijls de voorkeur aan, de verschijnselen te beschrijven zonder van die middenstoffen te spreken. Men let dan alleen op de krachten die in het spel zijn, maar laat zich niet uit over het mechanisme waarvan die krachten het gevolg zijn. In verband daarmee zegt men dan ook dat op het lichaam dat zich beweegt een arbeid gedaan wordt, niet door het medium waarvan het een kracht ondervindt, maar door de kracht zelf, een spreekwijze die men trouwens ook bij de meer eenvoudige verschijnselen waarmee wij ons tot nog toe bezig hielden kan bezigen. Na dit vooropgesteld te hebben, kunnen wij er toe overgaan, de definitie van arbeid, die in § 113 alleen vooreen verplaatsing in de richting van de kracht werd gegeven, zoo uit te breiden, dat zij algemeen toepasselijk is. Daartoe is het noodig, aan den arbeid, naar gelang van omstandigheden, het positieve of het negatieve teeken toe te kennen. Positief wordt de arbeid genoemd, wanneer de verplaatsing de richting van de kracht heeft. a. Beweegt zich echter het aangrijpingspunt in een rich- fllo jw tuig, tegengesteld aan de kracht, dan spreekt men van een negatieven arbeid. De grootte daarvan wordt weer door het product van de kracht met den afgetegden weg gegeven. Is dus de kracht K en de verplaatsing s, dan is in dit geval de arbeid — IC s. Nu wij op deze wijze tot hot begrip van een negatieven arbeid zijn gekomen, kunnen wij ook in die gevallen waarin wij vroeger spraken van een arbeid die een lichaam doel, even goed spreken (alleen is het wat gekunsteld) van een even grooten negatieven arbeid, die er op gedaan wordt. Oefent nl. het lichaam op een ander voorwerp waar het tegen drukt, een kracht K uit, en verplaatst zich liet aangrijpingspunt in de richting van die kracht over een afstand s, dan zal, terwijl het lichaam een arbeid -f- Ks verricht, de kracht die op het lichaam werkt, en die gelijk en tegengesteld aan K is, een arbeid — A's verrichten. b. A/s een punt, waarop de in richting en grootte stand¬ vastige kracht K werkt, een willekeurige verplaatsing A li (Fig. 94 en 95) ondergaat, verstaat men onder den arbeid het product van de kracht met de projectie A C van de verplaatsing op haar richting, en wel wordt de arbeid positief genoemd, wanneer een verplaatsing van A naar C met de richting van de kracht overeenstemt, en negatief, wanneer zij tegengesteld daaraan is. In het geval van Fig. 94 is dus do arbeid + KXAC, en in het geval van Fig. 95 KX AC. Beide uitdrukkingen kunnen worden samengevat in den vorm K X, A Ji cos &, waarin 0- de hoek HAK is, dien de verplaatsing met de richting van de kracht maakt. Fi<'. !)5. Fig. 'JJ. Men kan liet bovenstaande ook anders inkleeden. De arbeid wordt nl. ook gevonden als men de verplaatsing vermenigvuldigt met de projectie van de kracht op de richting van de verplaatsing, en het product van het positieve of negatieve teeken voorziet, al naarmate die projectie dezelfde of de tegengestelde richting heeft als de verplaatsing. c. Uit het onder b gezegde volgt: De arbeid van een kracht is 0, wanneer het aangrijpingspunt zich loodrecht op haar richting beweegt. d. Onderstellen wij eindelijk dat de kracht voortdurend in richting en grootte, of althans in een van deze opzichten verandert, en dat het aangrijpingspunt een willekeurige rechte of kromme baan beschrijft. Wij kunnen dan deze laatste in oneindig kleine deelen verdeelen, gedurende het doorloopen van elk daarvan de kracht als onveranderlijk in richting en grootte beschouwen, en haar arbeid naaiden straks gegeven regel bepalen; daarbij moeten voor elk element van de baan de richting en de grootte der kracht genomen worden, zooals zij aan het begin van dat element zijn. Onder den arbeid van de kracht verstaat men de algebraïsche som van de uitkomsten die men op deze wijze voor de verschillende elementen van de baan krijgt. Wanneer b.v. (Fig. 38, blz. G2) het lichaam van B naar .1 gaat, terwijl het door een onbewegelijk voorwerp in O wordt aangetrokken met een kracht die van den afstand tot O afhangt, moet men voor het element 1) C van de baan de aantrekking, zooals zij op den afstand O D is, vermenigvuldigen met de projectie 1) E van 1) C op D O, en evenzoo met de in de figuur aangewezen projectiën der andere baanelementen handelen. elementen handelen. De uitkomst wordt eenvoudig als de kracht voortdurend dezelfde richtingen grootte behoudt. Stel b.v. (Fig. 96) dat Ab de richting van de kracht K, en A B CD de baan van het aangrijpingspunt is. Men vindt dan voor den arbeid Fig. DU. ffio /fff bij den weg .4 B: -f- K X A b, „ „ „ BC : — K Xl> c, „ „ „ C D : -f- A X c d, dus 11 ï) n B C: -f- K X -4. 6* en „ „ „ BCD: — KXbd. Bij een willekeurige beweging van een .stoffelijl: punt is b.v. de arbeid van de zwaartekracht gelijk aan het gewicht vermenigvuldigd met de daling in verticale richting. Een stijging inoet hierbij ;ils een negatieve daling in rekening worden gebracht. Het bovenstaande geeft nog aanleiding tot eenige opmerkingen. Vooreerst is het nu duidelijk dat „arbeid" niet synoniem is met „uitwerking van een kracht". De centripetale kracht die op een lichaam moet werken, opdat het met standvastige snelheid een cirkel doorloopt, verricht geen arbeid, omdat elk element van de baan loodrecht op de richting van de kracht staat. Maar de centripetale kracht heeft wel een „uitwerking"; zij geeft nl. in elk klein tijdsdeel aan het lichaam een snelheid bij die, welke het reeds had. Tn de tweede plaats geldt in het algemeen de stelling (verg. § 113, dj dat, wanneer de weg van een stoffelijk punt in verschillende deelen wordt gesplitst, de arbeid gevonden wordt door voor elk deel afzonderlijk den arbeid te berekenen en de uitkomsten bij elkaar op te tellen. Eindelijk merken wij op dat in de definitiën alleen sprake is van de kracht en van de beweging van haar aangrijpingspunt, maar er wordt niet gezegd dat deze beweging dooide kracht zelf wordt teweeggebracht. Het punt kan een beginsnelhoid hebben, onafhankelijk van de beschouwde kracht, en behalve deze kunnen nog andere krachten werken, die mede van invloed zijn op de beweging. In een dergelijk geval kan van elke kracht afzonderlijk de arbeid naar de gegeven regels worden opgemaakt. § 121. Arbeid der resultante van eenige krachten. Zij in Fig. 35 of 3G (blz. -14) .4 C de resultante van twee krachten A li en A 1), die op hot punt A werken, en laat dit een oneindig kleine verplaatsing 6 in de richting van A X ondergaan. In § 30 werd aangetoond dat de projectie van A C op deze richting de algebraïsche som is der projectiën van A B en A D. Vermenigvuldigt men de vergelijking die dit uitdrukt met *5, dan komt men tot de stelling: De ai beid van de resultante is de algebraïsche som van den arbeid van de eene en dien van de andere kracht. Men kan deze stelling uitbreiden tot meer dan twee krachten en zy geldt voor elke beweging, daar men steeds de baan m oneindig kleine stukken kan verdoelen, en op elk stuk kan toepassen wat wij zoo even hebben gevonden. Onderstellen wij b.v. dat een stoffelijk punt onder den invloed der aantrekking van twee vaste centra een kromme lijn beschrijft. De aantrekking K\ van 't eerste centrum zal daarbij onophoudelijk van richting en grootte veranderen, en de aantrekking K, van het tweede centrum eveneens.' Weet men echter hoe 'thiermee gesteld is, dan kan men in elk punt van de baan de resultante R van en K„ bepalen. Berekent men nu op de in $ 120, d aangegeven wijze, voor een willekeurig gedeelte van de baan, 1 . den arbeid AKl van Kl, ' 11 11 -*1^2 11 ^ 2 1 ^ • n ii A/t „ R, dan zal Ar = Ak1 -f- Ak-, zijn. § 122. Verband tusschen den arbeid en liet arbeidsvermogen van beweging. Wanneer een stoffelijk punt zich onder den invloed van een enkele kracht beweegt, is gedurende een willekeurig gekozen tijdsverloop de arbeid van de kracht gelijk aan de toename van het arbeidsvermogen van beweging van het punt. Deze stelling hebben wij reeds in § 116 bewezen voor liet geval dat de richting van de beweging met die van de kracht samenvalt; wij kunnen nu inzien dat zij in het algemeen geldt. De zaak is eenvoudig wanneer een standvastige kracht K, die tegengesteld aan de beweging gericht is, de snelheid verkleint. Wij kunnen dan redeneeren evenals op blz. 176, maar moeten de formule (4) vervangen door K v —v 1, m terwijl de arbeid van de kracht gegeven wordt door A — — Ks = — | (v' v) K t. Het blijkt dat weer A = \ m v - — i m v2 is. Deze vergelijking, waarin nu beide leden negatief zijn, drukt de te bewijzen stelling uit, die trouwens in nauw verband staat met de stelling van blz. 175, dat de vermindering van de kinetische energie gelijk is aan den arbeid dien het lichaam zelf verricht. Ook in het geval van een beweging die van de richting der kracht afwijkt, beginnen wij met het geval van een kracht van standvastige richting en grootte. De baan is dan, zooals wij weten, een parabool (Fig. 97); de projectie van het stoffelijk punt op een lijn L L', die evenwijdig aan de kracht K loopt, heeft een eenparig versnelde of vertraagde beweging, terwijl de component van de snelheid, loodrecht op L L', een standvastige grootte iv heeft. Legt nu, gedurende den tijd t, het punt het deel ..4 B van de baan af, en duidt men met v en v' de snelheden in .4 en B aan, en met u, u' de snelheden die de projectie in de punten a en b heeft, dan is a b = | (u -j- u) t, en daar u—u de snelheid is, die het punt in den tijd t bij de reeds bestaande gekregen heeft, Fig. 97. K_ m ju' — u) De arbeid van de kracht is nu (§ 120, d) A — Ky(ab, ftfl waarvoor men mag schrijven A = \m (iï2 — u2), of, daar v2 = u2 -f- w2 en v 2 = u 2 -j- w2 is, A = ±m v'2 — \m v2. Men kan zich er gemakkelijk van overtuigen dat dit ook zoo is als het punt gedurende het beschouwde tijdsverloop, tegen de werking der kracht in, in de parabool „opstijgt"; alleen zijn dan heide leden van de vergelijking negatief. Wij kunnen nu eindelijk de stelling uitbreiden tot de beweging ouder den invloed van een kracht die op willekeurige wijze van richting en grootte verandert. Men kan nl. het beschouwde tijdsverloop in oneindig kleine deelen splitsen; geduiende elk daarvan mag de kracht beschouwd worden als niet in richting en grootte te veranderen. Tegelijk met de snelheid v verandert ook het arbeidsvermogen van beweging i tn v- van oogenblik tot oogenblik, en men kan, blijkens de gevonden formule, zeggen: (positieve of negatieve) arbeid van de kracht gedurende liet eerste tijdselement — (positieve of negatieve) aangroeiing van .1 nt v2. Zulk een vergelijking kan voor elk tijdsdeel worden opgesteld. Telt men al die vergelijkingen bij elkaar op, dan komt er: 1 otale arbeid van de kracht=totale aangroeiing van \ mv2. § 12.5. Beweging van een stoffelijk punt onder den invloed van meer dan één kracht. Men kan op elk oogenblik al de werkende krachten tot een enkele samenstellen, en de arbeid van deze zal dan gelijk zijn aan de aangroeiing van het arbeidsvermogen van beweging. Houdt men echter het in § 121 gezegde in het oog, dan kan men ook zeggen: De (tangroeiiiif] van het arbeidsvermogen van beweging is gelijk aan de algebraïsche som van de arbeiden der verschillende /nachten waaraan het stoffelijk punt onderwoipen is, of, zooals men ook wel zegt, aan den gezantenlijken arbeid van al die krachten. Men behoeft derhalve bij de toepassing van de stelling de krachten niet eerst met elkaar samen te stellen. In vele gevallen wordt de zaak nog vereenvoudigd doordien een van de krachten steeds loodrecht op de bewegingsrichting staat, en dus geen arbeid verricht. § 124. Toepassingen, a. Laat .4 en li twee horizontale vlakken zijn, waarvan het eerste op een afstand li boven het tweede is gelegen. Als dan een stoffelijk punt, waarop de zwaartekracht werkt, in willekeurige richting met de snelheid v van een punt in ,4 vertrekt, kan men gemakkelijk de snelheid v' berekenen, waarmee het 't vlak li bereikt. Ts nl. m de massa van het punt, dus mq liet gewicht, dan is de arbeid van de zwaartekracht nifjh, waaruit volgt | m v 2 — \ m v2 = m g h, dus v' — L v2 2 g h. Als daarentegen liet punt met een snelheid v van liet laagste vlak B uitgaat, zal het, als 'tooit liet vlak .4 bereikt, dat doen met een snelheid v' = l v2—2 g h. Bij deze vergelijkingen is het onverschillig, in welke richting de beweging begint en welk punt van het tweede vlak wordt getroffen. Men kan b.v. liet punt verticaal, met de beginsnelheid v, van het vlak II naar .4 laten opstijgen, of wel in zoodanige schuine richting dat juist de top van de beschreven parabool in ^4 ligt. In beide gevallen wordt dit vlak met dezelfde snelheid v' bereikt, maar in het eene geval is die snelheid verticaal, en in het andere horizontaal gericht. Hij de parabolische beweging heeft het lichaam in twee punten die aan weerszijden van den top der baan even hoog liggen, dezelfde snelheid. b. Men verlangt de eindsnelheid te kennen van een lichaam dat, zonder beginsnelheid, langs een volkomen glad hellend M vlak over een afstand s valt. Men kan daartoe vooreerst den duur i van de beweging bepalen. Is nl. de hellingshoek «, dan is de versnelling ^sina, en men heeft s — A^sin a . t2, dus t = V-~. V h is, in welk geval zoowel de arbeid als de vermindering van liet arbeidsvermogen van plaats negatief wordt, behoeven wij nauwelijks te vermelden. Er vallen nu een paar opmerkingen te maken, waartoe vroeger minder aanleiding bestond. Wij hebben in het begin van dit hoofdstuk de stelling uitgesproken, dat de arbeid dien een lichaam bij den overgang uit een zekeren begintoestand naar een zekeren eindtoestand verricht, gelijk is aan de vermindering van zijn arbeidsvermogen; daarbij stelden wij ons voor «lat het arbeidsvermogen in eiken toestand een bepaalde w aarde heeft. Nu kan het voorkomen dat de overgang uit den eenen toestand in den anderen op verschillende wijzen kan plaats hebben, nl. met nu eens deze en dan eens die tusschentoestanden, wat wij zullen uitdrukken door te zeggen dat de overgang langs verschillende wegen kan gebeuren. De zooeven genoemde stelling sluit klaarblijkelijk in zich, dat de arbeid van het lichaam bij elke reeks veranderingen waarin begin- en eindtoestand dezelfde zijn, dezelfde waarde heeft. Was dat niet het geval, en had de arbeid bij den eenen weg de waarde .1 en bij den anderen weg de daarvan verschillende waarde .4', dan zou men niet weten of men het verschil van het arbeidsvermogen in den begin- en den eindtoestand = A of = A' moest stellen. Van een bepaald arbeidsvermogen kon dan geen sprake zijn, en dus evenmin van een wet van het behoud van arbeidsvermogen. Deze wet spreekt dan ook niet van zelf, maar berust op de stelling, die men uit de waarnemingen heeft afgeleid, dat de arbeid dien een lichaam verricht bij den overgang uit den eenen toestand in den anderen altijd onafhankelijk is van de doorloopen tusschentoestanden. Van verschillende wegen waarlangs de overgang zou kunnen plaats hebben, was nu bij een spiraalveer die zich samentrok of een gas dat zich uitzette geen sprake, wel daarentegen bij de verplaatsing van een lichaam waarop de zwaartekracht werkt Daarom werd er straks uitdrukkelijk op gewezen, dat het er bij de bepaling van den arbeid 13 fl2É niet toe doet, welke tusschenstanden het lichaam inneemt, en welke toestanden het medium doorloopt. Wat dit laatste betreft, merken wij op dat men zich de zaak zoo moet voorstellen, dat bij eiken stand van het lichaam een bepaalde toestand van de middenstof behoort. ken ander punt dat aandacht verdient, is de keus van het vlak 1 tot waartoe wij liet lichaam lieten dalen. Daar die keus onbepaald is, en men b.v. in plaats van het blad van de tafel waarboven een proef genomen wordt, den vloer van het vertrek of een nog lager liggend vlak kan nemen, bestaat ook een onbepaaldheid in de waarde van het arbeidsvermogen U. Dit is ook natuurlijk, daar deze grootheid den arbeid voorstelt dien het medium kan verrichten bij de beweging tot de vastgestelde grens, evenals men ook bij een spiraalveer telkens den arbeid in betoog kan vatten, die bij de samentrekking, niet tot den toestand van geheele ontspanning, maar tot een zekere vastgestelde lengte verricht wordt. Men zou liet vlak V zelfs zoo kunnen kiezen, dat liet lichaam er lieneden kan komen. In dat geval zou men den afstand van liet lichaam tot dat vlak als een negatieve grootheid moeten beschouwen en onder het arbeidsvermogen van plaats het product van het gewicht met dien negatieven afstand moeten verstaan. Dat nu het bedrag van het „arbeidsvermogen" negatief is, moge wat vreemd klinken, er is in zooverre niets tegen, dat werkelijk wanneer het lichaam beneden het vlak I' is, de zwaartekracht bij verplaatsing tot in dat vlak een negatieven arbeid kan doen. Ook blijft bij de laatstgenoemde keus van het vlak de stelling doorgaan, dat bij elke verplaatsing, naar boven of beneden, de arbeid der zwaartekracht gelijk is aan de (naar de regels der algebra berekende) vermindering van het arbeidsvermogen van plaats. In de volgende § § zal het begrip van het arbeidsvermogen van plaats, of, zooals uien het ook noemt, van de potentieele energie, nog tot eenige andere gevallen worden uitgebreid ; dat daarbij veel van het bovenstaande met geringe wijziging herhaald zou kunnen worden, zal men gemakkelijk inzien. Nu wijzen wij er nog op, hoe men, in aansluiting k aan het straks gezegde, in het algemeen liet arbeidsvermogen van een stelsel van lichamen kan definieeren. Men moet daartoe beginnen met onder alle toestanden die het stelsel kan aannemen, een bepaalden toestand te kiezen, waarmee alle andere vergeleken zullen worden, en dien men den „nultoestand" kan noemen en door de letter N kan voorstellen. Het arbeidsvermogen van het stelsel in een willekeurigen toestand A wordt dan bepaald door den arbeid dien het verricht, wanneer het uit dezen toestand in den nultoestand overgaat. Ts verder U dit arbeidsvermogen en is U' het arbeidsvermogen in een anderen toestand A', dan is U— U' de arbeid bij den overgang van A naar A'. Immers, U is de arbeid van het stelsel bij eiken overgang van A naar iV, dus ook wanneer het eerst van A naar .4', en dan van .1' naar N overgaat. De arbeid bij den overgang van A naar .4' wordt dus gevonden wanneer men de grootheid U vermindert met den arbeid dien het stelsel nog bij den overgang van .4' naar N verricht, d. w. z. met U'. § 127. Arbeidsvermogen van plaats bij een lichaam dat door een vast punt wordt aangetrokken. Zij O (Fig. 98) liet vaste punt en laat de grootte der aantrekking afhangen van den afstand tot O. Men kan bewijzen dat de arbeid bij een verplaatsing b v. van A naar li geheel bepaald is, zoodra de ligging van die punten gegeven is; die arbeid is nl. hetzelfde voor al de wegen tusschen A en B, waarvan er een paar in de figuur zijn voorgesteld. Zelfs kan men aantoonen dat de arbeid alleen afhangt van de afstanden tot O, aan het begin en het einde der verplaatsing. Gaat het lichaam den eenen keer langs een der wegen .4 B, en een ander maal langs A' B\ dan zal de arbeid van de aantrekking in beide gevallen dezelfde zijn, als O A — O A' en O B = O li' is. Wij kiezen nu een w illekeurige plaats C, liefst zoo dicht bij O gelegen, dat de afstand tot O bij de beschouwde bewegingen nooit kleiner dan O C wordt, en waaraan, als zij eens gekozen is, in den loop van een vraagstuk niets wordt \ eranderd. Onder het arbeidsvermogen van plaats dat het lichaam in een of anderen stand P heeft, verstaan wij dan den ai beid dien de aantrekking kan verrichten bij een verplaatsing van P naar C. Daar de aantrekking een positieven arbeid verrieht bij nadering tot O, is liet arbeidsvermogen van plaats des te giootei naarmate liet lichaam verder van O is verwijderd; liet is even groot voor alle standen die op gelijken afstand van O liggen. Zij l ,, de waarde der potentieele energie van het lichaam in 7J, U,j de waarde daarvan in Q, dan is U,,— Ut de arbeid \ an de aantrekking liij een verplaatsing van .Pnaar Q. Alen kan nl. het lichaam eerst van Pnaar Q, en vervolgens naai ( laten gaan. De arbeid voor den geheelen weg PQC is dan U,,, die voor den weg QC heeft de waarde l ,,, en de arbeid voor den weg I' Q wordt hieruit door aftrekking gevonden. I 'ij alstootende krachten geldt niet geringe wijziging al het hier gezegde. Alleen kiest men nu liefst liet punt C zoo, dat het lichaam hij zijn beweging nooit verder van O komt. Bewjjs van heeft aangenomen, tot welken men zich voorstelt dat liet punt zich kan bewegen, zeggen dat het punt in eiken stand dien 't werkelijk inneemt een arbeidsvermogen van plaats heeft, dat men vindt door de potentieele energie te nemen, die het tegenover elk der aantrekkende punten bezit, en vervolgens op te tellen. Bij elke verplaatsing is de arbeid van de kracht weer gelijk aan de vermindering van het arbeidsvermogen' van plaats. Is voor eiken stand dien een stoffelijk punt in een zekere ruimte kan hebben, de kracht die het ondervindt gegeven, dan kan men een lijn trekken, die overal de richting van deze laatste heeft. Men kan nl., op een willekeurige plaats beginnende, het bewegelijke pnnt een oneindig kleinen weg laten afleggen in de richting van de kracht die er in het uitgangspunt op werkte. Het bereikt dan een stand, in welken het een eenigszins andere kracht ondervindt dan aanvankelijk; uien kan het nu een tweede oneindig kleine verplaatsing geven in de richting van deze kracht. Een derde verplaatsing kan volgen in de richting van de op nieuw veranderde kracht; gaat men zoo voort, dan krijgt men de bedoelde lijn, die een krachtlijn genoemd wordt. De ruimte zelf waarin dergelijke lijnen kunnen worden getrokken heet een krachtveld. In Fig. 100 stellen do verschillende naar M getrokken lijnen krachtlijnen voor. fa. Het verdient opmerking, dat zulke lijnen altijd kunnen worden getrokken, wanneer de kracht in elk punt der ruimte gegeven is, ook dan, wanneer de krachten niet van dien aard zijn, dat de arbeid bij een zekere verplaatsing alleen van den begin- en den eindstand afhangt (verg. g 127)] Ts dat wel zoo, en is er dus van een arbeidsvermogen \an plaats sprake, een geval, dat zich voordoet wanneer de op het stoffelijke punt werkende kracht aan de aantrekking door een vast stelsel M (Fig. 100) te wijten is, dan kunnen wij aan het gezegde nog iets toevoegen. Laat men nl. het bewegelijke punt van A uit een oneindig kleinen weg doorloopen, loodrecht op de krachtlijn, dan verricht de kracht geen arbeid; het arbeidsvermogen van plaats is dus niet veranderd. Daar men zulk een verplaatsing loodrecht op de krachtlijn nog verschillende richtingen kan geven, bestaat er een oneindig klein plat vlak, waarin overal de potentieele energie dezelfde waarde heeft als in A. Na dit element doorloopen te hebben, kan het bewegelijke punt, altijd in een richting loodrecht op de krachtlijn, waarop liet zich juist bevindt, verder gaan. Op deze wijze ziet men dat een oppervlak kan worden aangegeven, dat de krachtlijnen overal rechthoekig snijdt, en de eigenschap heeft, dat in elk punt ervan het arbeidsvermogen van plaats dezelfde waarde heeft. In Fig. 100 zijn een paar dergelijke oppervlakken, die de aantrekkende massa omringen, geteekend; aan het buitenste is natuurlijk do potentieele energie het grootst. Was een dezer oppervlakken van een vaste stof vervaardigd, en was het bewegelijke punt erop geplaatst, dan zou het door de kracht die erop werkt niet verplaatst worden. \ andaar do naam evenwichtsoppervlakken. Tn de ruimte rondom een enkel aantrekkend punt O zijn deze oppervlakken bollen met O tot middelpunt; de krachtlijnen zijn recht en naar O gericht. Hetzelfde geldt, wanneer men van kleine afwijkingen afziet, van het krachtveld der zwaartekracht, dat de aarde omringt. Over een kleine uitgestrektheid, zooals die van de \citrekken waarin wij onze proeven nemen, mag men fut evenwel de krachtlijnen als evenwijdige rechte lijnen, de evenwichtsoppervlakken als platte vlakken loodrecht daarop, en de kracht als overal even groot beschouwen. Een krachtveld met deze eigenschappen heet homogeen. Met geringe wijziging geldt al het hier gezegde ook dan, wanneer afstootende krachten werken. § 129. Arbeidsvermogen van plaats Itij een stelsel stoffelijke punten die elkaar wederkeerig aantrekken ofafstooten. Wanneer wij van den stand van zulk een stelsel spreken, zullen wij daarbij denken aan de ligging van alle punten, zoodat men de plaats van elk punt moet aangeven om den stand van het stelsel te bepalen. Men kan nu weer aantoonen dat de arbeid van de krachten bij een beweging alleen van den begin- en den eindstand afhangt. Onder al de mogelijke standen kunnen wij er een uitkiezen, dien wij door de letter N zullen voorstellen en met welken wij alle andere zullen vergelijken. I)e arbeid dien de krachten hunnen verrichten, als het stelsel uit een willekeurigen stand A in den stand N overgaat, wordt het arbeidsvermogen van plaats in den stand A genoemd. Ts nu .1' een tweede willekeurige stand, dan heeft liet stelsel ook in dezen een bepaalde potentieele energie, en de arbeid dien de krachten verrichten bij den overgang van A naar A' is gelijk aan de vermindering van het arbeidsvermogen van plaats. Trekken de stoffelijke punten elkaar aan, dan zal het arbeidsvermogen van plaats des te grooter zijn, naarmate zij verder van elkaar verwijderd zijn; zijn de krachten afstootend, dan neemt de potentieele energie bij verwijdering af. Ook in de nu besproken gevallen moet, wanneer men de aantrekkingen of afstootingen aan de werking van een middenstof toeschrijft, de potentieele energie als het arbeidsvermogen van deze middenstof worden opgevat (verg. § 126). In hot algemeen wordt olk punt van het stelsel door allo andere of al. thans door eenige andere aangetrokken of afgestooten; men behoeft echter (§ 1-1) bij de bepaling van den arbeid de verschillende krachten die op een zelfde punt werken, niet eerst met elkaar samen to stellen. Men kan verder h p gebruik maken van de omstandigheid dat twee punten gelijke en tegenge.stel.le krachten op elkaar uitoefenen; men kan bij de bepaling van den arbeid aanstonds elk paar dergelijke krachten samenvatten. Laten (Fig. 101) gedurig. 101. le"«le een oneindig kleinen tijd twee punten een oneindig kleinen tijd twee punten de verplaatsingen AA en BB ondergaan, en laat de aantrekking, die gedurende dien tjjd nis onveranderlijk beschouwd mag worden, de waarde F hebben. Trekt men AC en li I) loodrecht op A 11, dan is de arbeid van «o kracht welke A van li ondervindt 1 XA en dio van do op 11 werkende kracht F\B D. De som van deze uitdrukkingen is FX(A C+BD) = FX(AB-CD), Nu is echter op een grootheid na, dio veel kleiner is dan A C en III), en die daarom mag worden weggelaten als men oneindig kleine verplaatsingen beschouwt, CI) = A' ü'; de arbeid wordt dientengevolge FX(J B — A'B'). l)o arbeid gedurende een tijdselement hangt derhalve alleen at' van de kracht en van do oneindig kleine verandering die do afstand der punten ondergaat; bij zou even groot zijn, wanneer het eene punt A stilstond en bet andere' langs een rechte lijn daartoe naderde op zoodanige wjjze, dat vóór en na het tijdselement de afstand dezelfde was als bjj de werkeljjke beweging. Van oneindig kleine tot eindige tjjden opklimmende, kan men nu verder zeggen dat, hoo zich ook do punten A en II verplaatsen, do arbeid van hun wederkeerigo krachten dezelfde zal zijn als bjj een rechtlijnige nadering vnu !t tot A, of een rechtlijnige verwijdering, als daarbij A werd vastgehouden en do afstand dezelfde verandering onderging als bij de werkelijke beweging. Ook bjj deze laatste kan dus de arbeid van de tusschen A en 11 bestaande kiaehten alleen van do begin- en de eindwaarde van den afstand A li af hangen Onmiddellijk volgt hieruit dat in het geheele stelsel do arbeid van alle krachten «Heen afhangt van den be-in- en den eindtoestand van het stelsel Hierdoor wordt do definitie die van het arbeidsvermogen van plaats gegeven werd, moyelijl- gemaakt. De arbeid A bij den overgang van den stand F naar den stand Q, in welke standen de potentieele energie do waardon U,, en Uu Iieeft, wordt dan verder gevonden door do opmerking dat bij een beweging eerst van P „aar y, en vervolgens van () naar den stand waarmee alle andere vergeleken worden, de arbeid zoowel door A 4- U, als dooien kan worden voorgesteld. Daaruit volgt: A= Uv U, § 130. Venlere voorbeelden van liet behoud van arbeidsvermogen. Tot nadere toelichting zal liet goed zijn, nu nooeenige bijzondere gevallen nader te beschouwen. (i. Stel dat wij op een lichaam met de massa m en liet gewicht P, dat reeds een snelheid v verticaal naar boven ƒ/ 30 hoeft, oen kracht A', die grooter dan het gewicht is, in die richting uitoefenen. Het lichaam krijgt dan een eenparig versnelde beweging, en wanneer na het stijgen tot een hoogte /( de snelheid v' is geworden, heeft men, daar de resulteerende kracht K- P is, (K— P) h = \ m v'2 — i m v2 of K h = Ph + (| m v'2 — \ in v2). . . . (11) In deze vergelijking stelt Kli den arbeid voor, die door den proefnemer verricht wordt, en waaraan een vermindering van zijn arbeidsvermogen beantwoordt, liet blijkt dat die arbeid gelijk is aan de toename PU van het arbeidsvermogen van plaats (m. a. w. van de energie van liet medium) vermeerderd met de aangroeiing van het arbeidsvermogen van beweging. Blijft gedurende het stijgen do snelheid onveranderd, of is zij steeds zoo klein dat van den laatsten term in (11) mag worden afgezien, dan kan men zeggen dat de voor het opheffen noodige arbeid gelijk is aan het product Ph. Trouwens, in dit geval mag op elk oogenblik K — P gesteld worden. Dergelijke opmerkingen geldon ook in andere gevallen. Wanneer wjj b.v. zeggen dat de kracht die noodig is om een spiraalveer uit te rekken (t; 115), op elk oogenblik gelijk is aan de spanning, is daarbij stilzwijgend ondersteld dat do uitrekking zeer langzaam gebeurt. Is de veer eerst in rust, dan moet men, strikt genomen, een kracht uitoefenen, die iets grooter dan do spanning is. De arbeid dien men verricht overtreft dan het arbeidsvermogen dat de veer wegens zijne lengte-vermeerdering krijgt, met een bedrag, gelijk aan het arbeidsvermogen van bewoging dat men aan do deeltjes van liet metaal geeft. />. Bij de proef met liet werktuig van Atwood is, zooals wij in § 04 zagen, de versnelling P—P P'+Pg- Duurt nu de beweging t sec, dan is, als er geen beginsnelheid is, de eindsnelheid jfco P'—P x P'+J>9t, en dus het arbeidsvermogen van beweging der twee gewichten x(m + m')(^P)y (12) De afgelegde weg is p> p h — 2 p'~\~p 0 ^ en men mag dus voor (12) schrijven (P' — P)h. Deze uitdrukking stelt werkelijk voor, zooals het geval moet zijn, hoeveel de potentieele energie van het eene gewicht meer afneemt dan die van het andere toeneemt. c. Bij een lichaam dat zich vrij onder de werking van de zwaartekracht beweegt, of dat langs een onbewegelijk glad vlak daalt of stijgt, is de som van de kinetische en de potentieele energie standvastig. Hetzelfde geldt van een lichaam dat door een draad van onveranderlijke lengte met een vast punt is verbonden; liet arbeidsvermogen van den draad verandert nl. niet. Hij een slinger heeft men met een voortdurenden overgang van arbeidsvermogen van plaats in arbeidsvermogen van beweging en omgekeerd te doen. Hetzelfde geldt van een planeet die in een ellips om de zon loopt. Telkens wanneer liet punt van de baan bereikt is, dat liet dichtst bij de zon ligt, heeft de potentieele energie de kleinste, en de kinetische energie de grootste waarde. d. Wij laten een enkelvoudigen slinger op zekere hoogte los, cn plaatsen een staaf, die loodrecht op liet vlak van de schommeling staat, zoo dat de draad op het oogenhlik waarop hij den evenwichtsstand bereikt, daartegen komt. Is de staaf onbewegelijk, dan stijgt de bol van den slinger, in een cirkelboog die het punt waar de draad tegen de staaf komt tot middelpunt heeft, tot de oorspronkelijke hoogte op. Dit moet het geval zyn, daar de slinger geen arbeid op de staaf doet en dus hetzelfde arbeidsvermogen behoudt. Wijkt echter de staaf, als de draad ertegen komt, terug, dan ziet men den bol minder hoog opstijgen. Omgekeerd stijgt hij hooger dan zoo even, wanneer men de staaf tegen de beweging van den draad in verplaatst. Dan doet men arbeid op den slinger en vergroot dus het arbeidsvermogen daarvan. e. Worden de deeltjes van een veerkrachtig lichaam uit hun evenwichtsstanden verplaatst en vervolgens losgelaten, dan keeren zij met een versnelde beweging terug; zij overschrijden dientengevolge de oorspronkelijke standen, totdat door de nu in tegengestelde richting werkende krachten de bewegingsrichting wordt omgekeerd. Het lichaam voert dus schommelingen of trillingen uit. Daarbij blijft het bedrag van het arbeidsvermogen onveranderd, maar terwijl het lichaam, als het door den evenwichtsstand gaat, kinetische energie heeft, heeft het in de uiterste standen het arbeidsvermogen dat aan de deformatie beantwoordt. Naderhand zullen wij sommige van deze trillende bewegingen uitvoeriger behandelen; nu vermelden wij alleen de wijze waarop in een uurwerk de zoogenaamde onrust door een spiraalveer een lieen- en weergaande beweging krjjgt. Een klein wieltje a (Fig. 102) kan Fi 10„ om de as h draaien; aan dat wieltje is het binneneinde der veer bevestigd, terwijl het buiteneinde in <• is vastgemaakt. Wordt het wieltje door draaiing over zekeren hoek uit zijn evenwichtsstand gebracht, dan voert liet onder den invloed van de elasticiteit der veer draaiende schommelingen uit. f. Als twee gelijke volkomen veerkrachtige bollen met gelijke en tegengesteld gerichte snelheden tegen elkaar botsen, blijft gedurende de aanraking het raakpunt op dezelfde plaats. De eene bol doet geen arbeid op don anderen, en elke bol behoudt dus de energie die hij had. Alleen wordt tijdelijk, zoolang er een deformatie is, het oorspronkelijke arbeidsvermogen van beweging door een ander arbeidsvermogen vervangen. § 131. Warmte als een vorm van arbeidsvermogen. De uitzetting van een gas, waarbij een zekere arbeid verricht wordt, kan worden teweeggebracht wanneer wij dat gas met een verhit voorwerp in aanraking brengen; wij mogen dan in den toestand van dit laatste den grond van de arbeidsverrichting zien. Aan den anderen kant bestaat menigmaal de toestandsverandering die een lichaam ondergaat, wanneer er arbeid op gedaan wordt, in een verwarming. Lr werd reeds vermeld dat dit liet geval is wanneer wij een gas samendrukken; een ander voorbeeld heeft men in het welbekende warm worden van twee voorwerpen die men langs elkaar wrijft. Eindelijk komt liet dikwijls voor, dat een lichaam dat eerst een der tot nog toe besproken soorten van energie heeft, deze bij een of ander verschijnsel verliest, maar dan tevens warm wordt. Men merkt dit op, telkens wanneer twee lichamen tegen elkaar botsen en, niet „volkomen veerkrachtig" (§ 117) zijnde, na de ontmoeting kleinere snelheden hebben dan de vroeger (§ 118) berekende, b.v. wanneer men een hamer herhaaldelijk op een stuk metaal laat vallen, of wanneer een kogel tegen een metaalplaat wordt geschoten. Zoo zijn er een aantal verschijnselen waarvan reeds een oppervlakkige beschouwing ons op het denkbeeld brengt, dat een lichaam een des te qrooter arbeidsvermogen heeft, naarmate het warmer is, en die het waarschijnlijk maken, dat deze opvatting ertoe zal kunnen leiden, de wet van het behoud van arbeidsvermogen als algemeen geldig te erkennen. Ook het feit dat een genoegzaam verhit lichaam licht uitstraalt, versterkt ons in deze meening. Het onderzoek der lichtverschijnselen heeft nl. geleerd dat hierbij een trillende beweging van het lichaam uitgaat, en het ligt voor de hand, ons voor te stellen dat deze door trillingen van onzichtbare deeltjes in het voorwerp zelf wordt opgewekt, dat dus in liet voorwerp de kinetische energie van die trillingen aanwezig is. De theorie dat de warmte een vorm van arbeidsvermogen is, gewoonlijk de „mechanische" theorie der warmte genoemd, werd reeds voor langen tijd door sommige natuurkundigen verkondigd. Intusschen heeft zij de zienswijze dat de warmte een stof zou zijn, eerst in de 19'le eeuw voor goed verdrongen, en wel nadat men had bewezen dat het verdwijnen of het ontstaan van mechanisch arbeidsvermogen, zooals wij het tot nog toe besproken arbeidsvermogen kunnen noemen, vergezeld gaat van de ontwikkeling of de vernietiging van een daaraan evenredige hoeveelheid warmte. Wij zullen de proeven waardoor dit werd aangetoond weldra leeren kennen. S 132. Temperatuur. Thermometer. De waarneming leert dut in den regel een lichaam een des le groot er volume inneemt, naarmate het warmer is. Ken thermometer is een lichaam waarbij de door de warmte teweeggebrachte kleine volumeveranderingen zijn waar te nemen. Wij zullen hier den gewonen kwikthermometer bekend onderstellen, en aannemen dat een schaalverdeeling volgens Celsits is aangebracht, dat dus de getallen 0 en 100 zijn geplaatst bij de punten tot welke liet kwik reikt, wanneer de thermometer in smeltend ijs of in den damp van water geplaatst is, dat onder een luchtdruk van 700 mm kwik kookt. Zoo noodig kan men, als men den stand van den thermometer wil aangeven, door de letter (' achter het aantal graden eraan herinneren, dat de schaal van Celsu s wordt gebezigd. De stand van het kwik in de thermometerbuis is een aanduiding van den warmtegraad of de temperatuur van den thermometer zelf, en op dezelfde wijze zou men bij elk ander lichaam de temperatuur naar het volume kunnen beoordeelen. Men kan evenwel ook de temperaturen van verschillende voorwerpen met elkaar vergelijken. Wanneer id. twee lichamen A en B met elkaar in aanraking worden gebracht, kunnen er drie dingen gebeuren. Soms zal A zich samentrekken en B zich uitzetten op een wijze, die het buiten twijfel stelt dat A warmte aan B heeft meegedeeld; wij zeggen dan dat .1 een hoogere temperatuur had dan B. Ook het omgekeerde is mogelijk. En in de derde plaats /l31 fui kan hot voorkomen dat de lichamen na de aanraking in denzelfden toestand blijven, waarin zij zich bevonden; dan zegt men dat zij dezelfde temperatuur hadden. /ijn oen willekeurig aantal lichamen gegeven, dan kan men deze twee aan twee op de aangegeven wijze onderzookon. Men komt er aldus toe, ze allo naar hun temperaturen in een rij te rangschikken, zoo nl. dat elk lichaam, in aanraking gebracht met een ander dat lager in de rij staat, daaraan warmte afstaat. Het kan gebeuren dat een zekere groep van voorwerpen de bijzonderheid vertoont, dat twee daarvan, met elkaar in aanraking gebracht, geen warmte uitwisselen; dan moeten al de lichamen van die groep dezelfde plaats in de rij innemen. Om nu de temperatuur van alle lichamen volgens een vaste schaal aan te geven is het voldoende elk daarvan met den kwikthermometer in aanraking te brengen. Zoodra deze een vasten stand heeft aangenomen, is zijn temperatuur dezelfde «ils die van het lichaam. Strikt genomen moet men, wanneer liet lichaam niet zeer groot is. in het oog houden, dat zijn temperatuur juist door de aanraking met den thermometer iets kan zijn veranderd. De ongelijke aanwijzing die verschillende thermometers onder dezelfde omstandigheden kunnen geven, is van ondergeschikt belang en zal in dit hoofdstuk in den regel buiten beschouwing worden gelaten. § 183. Hoeveelheden warmte. Eenheid daarvan. Uit het voorgaande volgt dat de temperatuur van een lichaam een groot/if id is, die bepaalt of het, met een ander samengebracht, daaraan warmte zal afgeven, ofwel er omgekeerd warmte van zal ontvangen. Ij en andere vraag is, hoeveel warmte het verv liest of opneemt. Het ligt nl. voor de hand, ook zonder dat men nog iets over het wezen van de warmte onderstelt, van groote en kleine hoeveelheden warmte te spreken. Het is aanstonds duidelijk dat men aan een zelfde lichaam des te meer warmte moet toevoeren, naarmate men de temperatuur hooger wil doen stijgen, en dal de hoeveelheden warmte die verschillende hoeveelheden van een zelfde stof vereischen voor een zelfde tempera tuur verhooging, evenredig zijn met de massa's. Als wurmte-eenheid kiezen wij de hoeveelheid warmte die noodig is om een gram water van 15° tot 16J te verhitten. Wij noemen die hoeveelheid een calorie. Somtijds wordt een eenheid gebezigd, die het duizendvoud daarvan is (groote calorie). § 134. Hoeveelheden warmte, noodig voor verschillende temperatnurverhoogingen van een watermassa. Beginnen wij nu met ons voor te stellen dat een lichaam, waaraan een bepaalde hoeveelheid warmte moet worden toegevoerd om het een zekere temperatuurverhooging te doen ondergaan, een even groote hoeveelheid warmte moet afgeven, als het tot de oorspronkelijke temperatuur zal terugkeeren, en dat bij do aanraking van twee lichamen van verschillende temperatuur de totale hoeveelheid warmte onveranderd blijft, d. w. z. dat bet eene lichaam evenveel warmte ontvangt als liet andere verliest. Verbeelden wij ons verder dat ml gram water van de temperatuur /,° en m2 gram van de temperatuur l2° niet elkaar vermengd worden; zij de eindtemperatuur van het mengsel t, en laat lt > t2 zyn. Wij kunnen door wt,tl de hoeveelheid warmte voorstellen, die noodig is om 1 gram water van t° tot tt 0 te verhitten, dus ook de hoeveelheid warmte die 1 gram moet afgeven, als de temperatuur van /,° tot t° zal dalen. Eveneens kunnen wij de warmtehoeveelheid die 1 gram vereisclit bij verwarming van t2° tot /°, aanduiden door wt2,t. Door uit te drukken dat het warme water evenveel warmte heeft verloren als liet koude heeft gewonnen, verkrijgt men dan ?»! wt,tl — m2 of wt.,,t: wt,tl =m, : m3. Men kan derhalve uit de proef de verhouding afleiden van de hoeveelheden warmte die een gram water voor verschillende temperatuurverhoogingen vereisclit. Proeven , naar dit beginsel genomen, en ook andere onderzoekingen hebben geleerd dat op weinig na aan een gram water voor achtereenvolgende gelijke temperatuurverhoogingen even groote hoeveelheden warmte moeten ilW worden toegevoerd. Hetzelfde geldt van andere stoffen en zal in het vervolg worden aangenomen. Was deze wee volkomen juist, dan zou in liet bovengenoemde geval het warme water /«, (tl—t) calorieën hebben afgestaan, en het koude m2 (t — t2) calorieën hebben opgenomen. Uit de gelijkstelling van beide uitdrukkingen zou men voor de eindtemperatuur vinden t—m 1 *1 + m2 f2 til I -j— 1)1 2 ' en dus, wanneer nit =ma was, I)e hoeveelheid warmte «lie vereischt wordt «in de temperatuur van een gram water 1 te doen stjjgen, is in werkelijkheid van do begintemperatuur afhankelijk. Zij is een minimum hij 20 a .10 . \ olgens de laatste onderzoekingen is, wanneer de calorie gedefinieerd wordt als hoven, voor de verwarming van 0° tot 1° ongeveer 1,01 cal. en voor de verwarming van 99° tot 100 ongeveer 1,04 cal. noodig. S 135. Calorimeter. Zoo noemt men een bakje met een afgewogen hoeveelheid water, waarin een gevoelige thermometer (in tienden of vijftigsten van graden verdeeld) geplaatst is, en dat dient om hoeveelheden warmte te meten. Men moet daartoe die warmte aan liet water meedeelen, en de temperatuurverlaging bepalen. Op deze wijze kan b.v. de warmte worden gemeten, die door een electrischen stroom ontwikkeld wordt in een metaaldraad, die in liet water van den calorimeter geplaatst is, de warmte die door meclmnischen arbeid wordt voortgebracht, of, wanneer in liet water een spiraalvormig gewonden buis geplaatst is, door welke een damp wordt geleid, de warmte die ontstaat bij de verdichting van dezen damp tot vloeistof. Men kan ook proeven nemen, waarbij aan den calorimeter warmte wordt onttrokken; het bedrag daarvan wordt gevonden uit de hoeveelheid water en de daling die de temperatuur ondergaat. Als voorbeeld van zulk een proef kan de bepaling dienen Mf hoeveelheid warmte die noodig is om de massaeenheid ijs te smelten. § 136. Smeltingswarmte va» ijs. Men verbeelde zich in een vat een zekere hoeveelheid ijs, waarvan de temperatuur beneden 0 ligt. Wordt warmte aan dit vat toegevoerd, en gelijkelijk over de geheele massa verdeeld, dan zal er geen ijs smelten vóór de temperatuur tot 0J is gestegen. Zoodra dit gebeurd is, begint bij voortdurenden warmtetoevoer de smelting, maar de temperatuur blijft 0° tot dat al het ijsis gesmolten. Dergelijke verschijnselen doen zich bij alle smeltende lichamen voor. De hoeveelheid warmte die men aan een (/ram van een vast lichaam moet toevoeren, om, nadat het ïeeds tot het smeltpunt verhit is, het lichaam in een vloeistof van dezelfde temperatuur te veranderen, wordt de smeltingswarmte van het lichaam genoemd. Jen einde deze warmtehoeveelheid voor ijs te bepalen, brengt men in den bovengenoemden calorimeter een stukdroog ijs van 0 klein genoeg om geheel in waterover te gaan. Uit de eindtemperatuur van den calorimeter, het gew iclit van het water en dat van het ijs kan men de smeltingswarmte afleiden. Men heeft gevonden dat zij 79,2 calorieën bedraagt. Xu eenmaal dit getal bekend is, kan men hoeveelheden warmte ook meten, door ze aan een ijsmassa van 0° mee te deelen en te bepalen hoeveel ijs erdoor gesmolten wordt (ijscalorimeter). Wij zullen intusschen aannemen dat men van den in de vorige § genoemden calorimeter gebruik maakt. § 137. Soortelijke warmte. Wij brengen een afgewogen hoeveelheid van een vaste of vloeibare stof, die tot een temperatuur tt verwarmd is, welke boven de begintemperatuur t,„ van den calorimeter ligt, in dezen laatsten, en lezen den stand t van den thermometer af op het oogenblik waarop de warmtewisseling tusschen het water en de te onderzoeken stof is opgehouden. Weegt het water in den calorimeter m„ gram, dan heeft dit, daar de temperatuur ervan van t2 tot t gestegen is, m„ (t —■ t2) calorieën ontvangen. Evenveel warmte is derhalve door liet onderzochte 14 faj lichaam, waarvan het gewicht ni, gram zij, afgestaan, terwijl de temperatuur van tot t is gedaald; evenveel warmte zou men aan dat lichaam moeten toevoeren om het omgekeerd van ta tot te verhitten. Men besluit daaruit dat, om 1 gram van de onderzochte stof 1 graad in temperatuur te doen stijgen, „_m2(t — t2) ... noodig zijn. Dit getal c wordt de soortelijke warmte van het onderzochte lichaam genoemd. Men kan ook zeggen (lat de soortelijke warmte van een stof de verhouding is tusschen de hoeveelheid warmte die men noodig heeft om een zeker gewicht van die stof te verwarmen, en die, welke vereischt wordt om een gelijk gewicht water evenveel in temperatuur te doen stijgen. De soortelijke warmte is voor alle onderzochte vaste en vloeibare lichamen kleiner dan de eenheid. Een hoeveelheid kwik b.v. vereischt voor een zekere temperatuur verhooging ongeveer 30 maal minder warmte dan een gelijk gewicht water. In plaats van do uitdrukking „soortelijke warmte" bezigt men soms hot woord wannte-cajiaciteit. Dit wordt ook gebruikt om de hoeveelheid warmte aan te duiden, die een voorwerp, al weegt liet niet juist 1 gram, al bestaat liet zelfs niet uit een homogene stof', moet opnemen om 1° in temperatuur te stijgen. Is het lichaam homogeen, weegt het m gram, en is de soortelijke warmte van de stof waaruit liet bestaat <■, dan is de warmtecapaciteit m r. liestaat het voorwerp uit ///j gram van een stof die de soortelijke warmte rt heeft, iii2 gram van een stof met de soortelijke warmte r2, enz., dan is de warmte-eapaciteit IH1 ~f~ 1,12 r2 CnZ' Deze uitdrukking stelt ook de hoeveelheid water voor, die voor een zelfde temperatuurverhooging evenveel warmte vereischt als het voorwerp, de hoeveelheid water dus, waarmee dit laatste in dit opzicht gelijk staat. Men noemt daarom de uitdrukking ook de waterwaarde van het voorwerp. Bij elke proef met een calorimeter verandert niet alleen de temperatuur van liet water, maar in gelijke mate die van liet vat waarin liet zich bevindt, en dat in den regel uit dun messing- of platinablik bestaat; eveneens die van den thermometer en van don roerder, dien men noodig heeft om zich van een overal even hooge temperatuur in de geheele watermassa te verzekeren. Men kan deze omstandigheid in rekening brengen, wanneer men de waterwaarde van den geheelen calorimeter kent; men stelt nl. bij de berekening van de proeven die waarde voor liet gewicht van liet water in de plaats. De waterwaarde kan worden berekend, wanneer men liet »-e- • li ® wicht en do soortelijke warmte kent van de verschillende lichamen die in het spel komen; zjj kan ook experimenteel worden bepaald. De lezer zal daartoe gemakkelijk oen middel kunnen bedenken. Eveneens zul men inzien dat men, wanneer do omstandigheden hot wenschelijk maken, in den calorimeter in plaats van water een andere vloeistof kan bezigen, mits de soortelijke warmte daarvan bekend is. Wij zullen naderhand een paar gevallen aantroffen, waarin men van een gas als calorimetrisch lichaam gein-nik maakt. § 138. Warmtewisseling tusschen den calorimeter en de omgeving. Wet van de afkoeling. Een voorname bron van fouten t>ij < (ilorinielri.se/ie bepalingen is gelegen in de omstandigheid dat, zoodra de temperatuur van een lichaam van die der omringende voorwerpen verschilt, het ivarmte daaraan afstaat of daarvan ontvangt. De wijzen waarop de warmte van warme naar koude lichamen overgaat, zullen weldra besproken worden; nu vermelden wij alleen dat de hoeveelheid warmte die onder gelijke omstandigheden in de tijdseenheid overgaat, gebleken is, evenredig met het temperatuurverschil te zijn, zoolang dit laatste klein genoeg is (wet van Newton). Hoe groot de hoeveelheid warmte is, die een lichaam gedurende zekeren tijd aan de omgeving afstaat, of daarvan ontvangt, kan experimenteel bepaald worden, wanneer in het lichaam geen werkingen plaats hebben, waardoor warmte wordt opgewekt of verdwijnt; het is voor dit doel voldoende, de temperatuur van het lichaam van tijd tot tijd af te lezen. fliS Door dit bij oen calorimeter te doen, vóór dat de. proef waarvoor hij bestemd is, genomen wordt, of na afloop van die proef, kan men bepalen hoeveel calorieën hij, gedurende een minuut b.v., aan de omgeving afstaat, wanneer zijn temperatuur nu eens deze, dan weer die hoogte boven die van de omringende voorwerpen heeft. Van deze uitkomsten kan men gebruik maken om een oordeel te krijgen over de hoeveelheid warmte die de toestel gedurende do proef zolf heeft verloren of opgenomen; natuurlijk is het daarbij noodig, den tijd in aanmerking te nemen, die voor hot nemen daarvan noodig is geweest. Ofschoon de invloed van de omgeving op deze wjjze in rekening kan worden gebracht, is hot voor de nauwkeurigheid der uitkomsten van belang dat de correctie, waarin een vrij groote relatieve fout kan blijven bestaan, een klein bedrag heeft; men moet dus de warmtewisseling met de omgeving zooveel mogeljjk verhinderen, bovendien moet worden opgemerkt dat het verschijnsel alleen bjj kleine temperatuurverschillen een eenvoudijren "■an" 1 , ~ Ö Ï3 heeft; men werkt daarom nooit met verschillen van oen groot aantal graden. Een kunstgreep 0111 de correctie klein te maken bestaat hierin, dat men de temperatuur van den calorimeter gedurende de oene helft van de proef lager en gedurende de andere helft hooger dan die van de omgeving laat zijn. Is het temperatuurverschil gedurende de twee helften even groot, dan kan de correctie achterwege blijven. § 139. Mechanisch aequivaleiit van 26 X 107 of ":oo > 10000 cm per sec. Wel berust deze uitkomst op een onderstelling die niet volkomen juist is, maar een geheel verkeerd denkbeeld van de molekulaire snelheden geeft zij toch zeker niet. Wij knoopen aan deze beschouwing nog het volgende vast. Daar iedereen zal zeggen dat een verhit voorwerp meer „warmte" bevat dan een koud lichaam, ligt het voor de hand, den naam „warmte" toe te passen op de inwendige energie die door temperatuurverhooging toeneemt. Zullen wij nu echter dien naam ook gebruiken voor het arbeidsvermogen dat water van 0 meer bevat dan ijs van 0° - welk meerder arbeidsvermogen de stof door toevoer van warmte heeft gekregen (§ 136) — ofschoon hier de temperatuur 111 beide gevallen dezelfde is? Of voor het arbeids\ ei mogen \an een gelijktijdig verhitte en gespannen veer, al kunnen wij hier niet geheel uitmaken welk deel daarvan aan de vormverandering en welk deel aan de temperatuurverhooging beantwoordt ? Als men zich nauwkeurig wil uitdrukken is dit gebruik van het woord „warmte" niet aan te bevelen en doet men heter van het „inwendige arbeidsvermogen" te spreken. I >it neemt niet weg dat men, wanneer er geen misverstand is te vreezen, den naam „warmte" wel eens kan bezigen hetzij voor het geheele inwendige arbeidsvermogen, hetzij voor de kinetische energie, of ook, iets vager, voorde molekulaire beweging zelf. De benaming „warmte" is zeer geschikt om het arbeidsvermogen aan te duiden, dat een lichaam A ten gevolge van zijn hoogere temperatuur aan een lichaam li hij aanï.iking meedeelt; inderdaad kan dit arbeidsvermogen scherp gescheiden worden van de energie die door gewone mechanische werking (§ 115) kan overgaan. Toch komen in den grond der zaak, volgens de molekulaire theorie, deze twee wijzen van overgang op hetzelfde neer. Het arbcids\ < rnïogeli (Kit A aan li door mechanische werkingen geeft, komt overeen met den arbeid dien de door .1 op li uitgeoefende krachten verrichten. Evenzoo is het arbeidsvermogen dat bij een aanraking als warmte overgaat, gelijk aan den arbeid van de tallooze molekulaire krachten die de deeltjes van het eene lichaam op die van het andere uitoefenen. Wij kunnen echter de werking van elk dezer klachten in liet bijzonder niet nagaan; alleen hun gezamenlijke arbeid is voor de waarneming toegankelijk. § 14(5. Mededeeliug en voortplanting van de warmte. De overgang van warmte kan op verschillende wijzen plaats hebben. Hij de onmiddellijke aanraking van twee voorwerpen van verschillende temperatuur deelen de deeltjes van het eene hun snelheid mee aan die van het andere, die in hun onmiddellijke nabijheid liggen. Op dezelfde wijze kan een \W overgang van warmte tusschen de molekulen van eenzelfde lichaam plaats hebben; is op één plaats de temperatuur hooger dan op andere plaatsen, dan staat het warme deel warmte af aan de onmiddellijk daarnaast liggende deelen, deze op hun beurt aan meer verwijderde, en zoo verder, tot ten slotte de warmtebeweging zich over het geheele lichaam heeft uitgebreid. Dit verschijnsel, dat men warmtegeleiding noemt, heeft in verschillende stoffen in zeer ongelijke mate plaats; bij een zelfde temperatuurverschil tusschen twee deelen van liet lichaam zal, naar gelang van zijn Ur uitvalt. Dit is ook begrijpelijk als men bedenkt dat de vloeistofmolekulen elkaar aantrekken, zooals wij uit vele verschijnselen weten, en dat zij dus bij de verdamping, waarbij de onderlinge afstanden vergroot worden, een grooter arbeidsvermogen van plaats krijgen. Wat de kinetische energie betreft, kan men niet met dezelfde zekerheid spreken. De damp heeft, zooals gezegd werd, dezelfde temperatuur als de vloeistof, en veel pleit er voor dat onder deze omstandigheden de molekulaire snelheden in beide even groot zullen zijn. Inderdaad is het niet onaannemelijk dat de mededeeling van warmte van 't eene lichaam aan 't andere geheel bepaald wordt door de snelheden van de molekulen, en dat dus de damp en de vloeistof als die snelheden even groot zijn, een thermometer tot denzelfden graad zullen kunnen verhitten. Onderstelt men volkomen gelijkheid van de snelheden in damp en vloeistof, dan komt men tot de slotsom dat de kinetische energie bij de verdamping niet is veranderd, en dat dus de toegevoerde warmte heeft gediend om den uitwendigen arbeid te verrichten en om de aantrekkende krachten te overwinnen. b. Door samendrukking en afkoeling kunnen wij een damp tot een vloeistof verdichten. Wat straks met den cilinder gebeurde kan b.v. ook omgekeerd plaats hebben; 15 h/ tic zuiger wordt naar beneden gedreven en een hoeveelheid warmte, gelijk aan de straks toegevoerde, wordt aan den cilinder onttrokken. Deze warmte is nu te donken, deels aan den arbeid van de kracht die van buiten op den zuiver werkte, deels aan de vermindering van de inwendiqe energie. Men kan zeggen dat de bedoelde warmte bij de verdichting van den damp tot vloeistof ontstaan is. Zij werd nu aan het stelsel onttrokken, maar het kan ook voorkomen, dat zij geheel of gedeeltelijk daarin blijft. De temperatuurverk toging die dan plaats heeft, kunnen wij weer deels aan den op liet stolsel verrichten uitwendigen arbeid, deels aan de krachten tusschen de molekulen toeschrijven. Bij de nadering tot elkaar van de elkaar aantrekkende deeltjes worden de snelheden vergroot; voor het verloren arbeidsvermogen van plaats komt kinetische energie, de warmte in de plaats. c. De warmte-ontwikkeling bij het ontstaan van een scheikundige verbinding moet aan een soortgelijke oorzaak worden toegeschreven. De deeltjes die de verbinding aangaan, naderen elkaar met een versnelde beweging; de ontwikkelde warmte of kinetische energie is het aeguivalenl van het arbeidsvermogen van plaats dat de deeltjes eerst, toen zij nog niet aan hun aantrekking gevolg hadden gegeveti, hadden. Wij kunnen dit laatste „scheikundig arbeidsvermogen van plaats" noemen. Bij de ontleding neemt het ten koste van de warmte toe. Het verdient intusschen opmerking dat bij proeven over de warmteontwikkeling bij scheikundige werkingen (thermochemische bepalingen) gewoonlijk warmte aan 't stelsel wordt onttrokken (of toegevoerd) en ook uitwendige krachten een arbeid kunnen verrichten; een van de vergelijkingen (13) en (14) moet dan weer worden toegepast. Men 'verbeelde zich b.v. in een calorimeter, door dunne platinawanden van het water gescheiden, een stelsel lichamen die door een scheikundige werking uit den toestand P in den toestand Q overgaan. Uit de temperatuurverandering kan worden afgeleid hoeveel warmte door het water aan het ff stelsel is meegedeeld of onttrokken, en dus ook, als zoo noodig op den arbeid van uitwendige krachten wordt gelet, hoeveel het inwendige arbeidsvermogen na de chemische werking grooter of kleiner is dan daarvoor. Men moet bij het bovenstaande in liet oog houden dat men bij twee lichamen die elkaar aantrekken, zeer goed van een arbeidsvermogen van plaats kan spreken, al zijn zij zoo ver van elkaar verwijderd, dat de aantrekking onmerkbaar is. Rekent men b.v. dat een steen ten opzichte van de aarde een potentieele energie 0 heeft, wanneer hij op den grond ligt, dan heeft de potentieele energie een positieve waarde, zoodra hij tot zekere hoogte is opgeheven. Stelt men zich nu voor dat de aantrekking onmerkbaar wordt, als de afstand tot de aarde boven een zekere lengte I komt, dan zal bij verwijdering tot op dien afstand liet arbeidsvermogen van plaats van den steen voortdurend toenemen, en het zal bij nog verdere verplaatsing van de aarde af de waarde A behouden, die het op den afstand I had. Door, voor een willekeurigen grooteren afstand, nog altijd deze waarde aan het arbeidsvermogen toe te schrijven, geeft men alleen te kennen dat, wanneer de steen tot het oppervlak van de aarde daalt, er (al is liet nog niet dadelijk) een kracht op zal werken, die een arbeid .4 verricht. Evenzoo kan men zeer goed zeggen dat een atoom waterstof en een atoom chloor, reeds terwijl zij nog buiten eikaars aantrekking zijn, een zekere potentieele energie hebben. Hoe groot het scheikundig arbeidsvermogen van plaats is, blijkt uit een eenvoudige berekening. Een gram chloor ontwikkelt bij de verbinding met waterstof G(K) calorieën. Daaruit volgt dat het tegenover de waterstof waarmee liet zich verbinden kan, een even groot arbeidsvermogen heeft als een gewicht van 1(XX) gram ten opzichte van de aarde zou hebben, als het op een hoogte van 250 m geplaatst was. d. Dergelijke opmerkingen als wij over de verdamping maakten, gelden ook voor de smelting. De hoeveelheid warmte die gedurende deze verandering van aggregatietoe- h stand moet worden toegevoerd, de smeltingswarmte (§ 136), dient, daar bij de smelting geen noemenswaarde uitwendige arbeid verricht wordt, tot verhooging van de inwendige energie. Neemt men aan dat wegens het onveranderd blijven van de temperatuur de kinetische energie niet is veranderd, dan komt men tot het besluit dat de vloeistof een grootere potentieele energie heeft dan 7 vaste lichaam. Dit is, daalde deeltjes elkaar aantrekken, zeer goed begrijpelijk in die ge\ allen, w aai hij het smelten het volume grooter wordt. Minder eenvoudig is de zaak bij een stof als ijs, die zich bij het smelten samentrekt. Misschien bevat het ijs groepen van deeltjes die, al wordt het totale volume kleiner, elk op zich zelf zich uitzetten en dus een grootere potentieele energie krijgen. e. Ten slotte wijzen wij er op dat een opgaaf over de inwendige energie van een stelsel vóór en na een phgsische of chemische omzetting alleen dan beteekenis heeft , als er bij wordt gevoegd, in welken toestand zich de lichamen vóór en na de omzetting bevinden , en welke temperatuur zij telkens hebben. Men heeft b.v. bepaald hoeveel het inwendige arbeidsvermogen van een gram waterdamp van 15° C. minder bedraagt dan de energie van de daarin aanwezige zuurstof en waterstof, wanneer die gassen bij dezelfde temporatuur met elkaar vermengd zijn. Wil men nu vloeibaar water van 15° vergelijken met het gasmengsel, dan vindt men een iets grooter energieverschil, daar het arbeidsvermogen van het water kleiner is dan dat van den waterdamp. Heeft men een onderzoek gedaan over de energie van het water in verschillende toestanden, en over die van de zuurstof en de waterstof bij verschillende temperaturen, dan kan men ook zeggen, hoeveel de energie van b.v.' een gram ijs kleiner is dan die van een gram knalgas van 0°. Een scheikundige omzettingswarmte kan dikwijls bepaald worden door de toestanden der lichamen vóór en na de omzetting beide te vergelijken met een derden toestand. Uit de verbrand ings warm te van phosphorus b.v. kan men afleiden hoeveel de inwendige energie van het stelsel: 1 gram phosphorus -f- de vrije zuurstof, waarmee hij zich verbinden kan, grooter is dan het arbeidsvermogen van de gevormde phosphorverbinding bij dezelfde temperatuur. De uitkomst is voor gelen phosphorus 600 calorieën grooter dan voor rooden; met dit bedrag overtreft dus de inwendige energie van een gram phosphorus in den eersten toestand die in den tweeden, en deze hoeveelheid warmte moet ontwikkeld worden wanneer de gele phosphorus in rooden overgaat. § 148. Arbeidsvermogen in de natuur. In de natuur treffen wij vele voorbeelden van omzettingen van arbeidsvermogen op groote schaal aan. Do planten hebben hun groei te danken aan de energie van de zonnestralen, waardoor zij in staat worden gesteld, uit stoffen als koolzuur en water de zelfstandigheden te vormen, waaruit hun lichaam is opgebouwd. De sterke band die in het koolzuur en het water de elementen vereenigt, wordt door het zonlicht verbroken, en maakt onder uittreding van zuurstof plaats voor een minder innige aaneenschakeling der atomen. Dienen later de plantaardige stoffen tot voedsel voor do dierenwereld, dan verschaffen zij daaraan ook warmte en mechanisch arbeidsvermogen. De ingewikkelde scheikundige omzettingen in het lichaam van liet dier komen in hoofdzaak neer op een verbinding van de in het voedsel aanwezige stoffen met de zuurstof die bij de ademhaling wordt opgenomen; het is de potentieele energie dier stoffen tegenover de zuurstof, die het dier ten goede komt. Zoo heeft ook de mensch zijn arbeidsvermogen, rechtstreeks ol' langs een omweg, van de plantenwereld gekregen. Behalve over dit arbeidsvermogen beschikken wij ook over do energie die ons door de natuur wordt aangeboden, over het arbeidsvermogen van beweging van den wind en hot stroomondo water, de potentieele energie van het water voor het zich van een hoogte stort, het scheikundig arbeidsvermogen dat do steenkolen tegenover do zuurstof hebben. Geeft men zich rekenschap van de gedaanteverwisselingen die dit arbeidsvermogen ondergaan heeft, voor flll ij er onze werktuigen mee drijven, dan komt men tot de slotsom dat het steeds van de zon afkomstig is. Deze heeft het water doen verdampen en het naar de toppen der tergen gevoerd; hij heeft, daar hij het oppervlak der aarde (uigelijk verwarmt, de winden doen ontstaan; hij heeft eindelijk de planten beschenen, waarvan de overblijfselen in de steenkool voor ons bewaard zijn gebleven. De warmte en het licht van een steenkolenvuur kunnen beschouwd worden als een deel van het zonlicht dat in lang vervlogen tijden de aarde heeft bestraald en waarvan de energie in , (Fig. 103) over een andere rechte 01 kroinme 'o voortrolt. Het raakpunt ' ,ls daa,-bi) het middelpunt van wenteling, maar zoodra een oneindig kleine hoek is doorloopen, is een ander punt b van op /,,, stel in het punt li, gekomen; de draaiing heeft dan ge- (fo fai Fig. 104. durende een tweede tijdselement om dit laatste punt plaats. Een punt P van de lijn beschrijft een liaan, die kan worden opgevat als een aaneenschakeling van oneindig kleine cirkelbogen J'Q, (J R, enz., die de punten A, li, C, enz. van L2 tot middelpunten hebben. .Met de rollende lijn Lt kan hierbij een willekeurige figuur vast verbonden zijn; een punt daarvan, dat b.v. den stand M heeft op het oogenblik waarop .1 het raakpunt is, beschrijft eveneens achtereenvolgens oneindig kleine cirkelbogen mot de middelpunten A, I), C, enz. Men zal zich gemakkelijk een voorstelling kunnen vormen van de banen die beschreven worden, wanneer een cirkel over een rechte lijn of over een anderen cirkel, hetzij aan de buiten- ut de binnenzijde van dezen laatsten, voortrolt. Als twee standen van een figuur in een plat vlak zijn gegeven, zijn talloozo bewegingen denkbaar, waardoor zjj uit den eenen stand in den anderen kan overgaan. Stel (Fig. 104) dat 1\ en h\ de twee standen zijn, en dat de punten die in den eersten stand in Aj en Bl liggen, in den tweeden in A.j en li} zijn gekomen. Stel, dat A.t B2 niet evenwijdig loopt aan At Bt. Men zou, om den overgang van Ft naar F, to doen plaats hebben, de figuur eerst kunnen vorsoliuiven, zoodat vl, in A„ komt, en baar vervolgens om A2 kunnen draaien; of men kon, door een verschuiving, B, met B.t doen samenvallen, en dan een draaiing om dit laatste punt doen volgen, üok door meer dan twee verschuivingen of' wentelingen kan men het dool bereiken; eveneens echter I> tG llel('t'reni van uit liet vaste punt O drie onderling en die ' wii T" WOrd°n »etrokk"en. dio vast met het lichaam zijn verbonden Ip i l o v * ^ °' weede en (lor'l° as zullen noemen. De overgang van' de standen OA„ OF,, 0/, (Fi„ 10(j) „aar d(J 0 ( ™ kan dan o. a. op de volgende wijzen plaats hebben. " 2 fl5j ƒ152 o. Mon draait liet lichaam om de ccrsto as tot de tweede uit den stand O 1', in liet vlak OA', >'2 is gekomen; vervolgens wordt door een wenteling om ito tweede as ook ae eerste 111 uit viaK gebracht. De derde as heeft hierdoor reeds den op 't vlak O X2 1', loodrechten stand ü/, aangenomen; een wenteling om deze lijn doet de eerste en de tweede as met O X2 en O 1'2 samenvallen Men kan ook wentelingen 0111 de drie assen in andere orde op elkaar doen volgen; men kan b.v. eerst draaien 0111 do derde, dan om de eerste, eindelijk om de tweede as. I)o hoek waarover het lichaam om een der assen moet draaien is dan niet dezelfde als bjj de eerstgenoemde volgorde. Men kan derhalve niet zeggen dat de gewensohte standverandering alleen door wentelingen van geheel bepaalde grootte om de drie assen kan verkregen worden. b. Door een enkele wenteling, die trouwens nog om verschillende assoii kan plaats hebben, wordt aan de derde as de stand O Zt gegeven; een draaiing om O/, brengt vervolgens de andere assen in de gewensohte richting. e. Do geheele standverandering kan ook door een enkele wenteling verkregen worden; alleen moet «leze om een bepaalde lijn plaats hebben. Daar nl. bjj hot draaien om een as de hoek dien een willekeurige lij 11 van het lichaam daarmee maakt niet verandert, moet de bedoelde lijn gelijke hoeken maken met O Xt en O A'a, en eveneens niet O 1', en O )'2. Zij is dus do doorsnede van twee door O gaande vlakken, waarvan het eene loodrecht staat op het vlak Xl O X„ en mot O Xt en O X„ gelijke hoeken maakt, terwijl hot andero een dorgoljjken stand heeft ten opzichte van don hoek Yl O )'2. Uit een beschouwing van de gevormde! drievlakslioeken is gemakkelijk af to leiden dat het doel werkelijk door een wenteling 0111 de op deze wjjzo bepaalde as bereikt kan worden. § 152. Samenstelling van wentelingen en hoeksnelheden. Laat OA en OU twee vaste lijnen in do ruimte zijn (Fig. 1Ü7) 011 stellen wij dat een lichaam eerst om OA wentelt over een hoek a, vervolgens 0111 O B over een hoek /}. De richting dezer wentelingen zullen wij op een menigmaal gebruikte wjjzo aangeven. Wij zullen nl elke as van O uit slechts naar één zijde trekken, en wel naar dio zijdo, waar een toeschouwer zich moet plaatsen, om do richting van de draaiing tegengesteld te zien aan die waarin do wijzers van een uurwerk zich bewegen. Wij brengen nu door OA twee vlakken A OI) en A O C, die aan do voor- en achterzijde van het vlak A O li daarmee elk een hoek J a vormen; eveneens twee vlakken door OU, fl51 .1» .Ik Ii„.k if AOU p, v|(lkkei, j,„ „„„ d„ z£*,:,™ toe. """k" "**•M"' ■" —• Aan weerszijden va„ AOB ontstaat „u een drievlakshoek, en deze /BOD-a/Tnrjkua °e,ÖkV0,'mig' ZOüd,lt /_AOD — j/_AOC en £n n ~ Z ? IS' U,t V°'St samenvalt, na de eerste draaiing den stand O C aanneemt, maar door de tweede wenteling weer tot OD terugkeert. Daar dus deze lijn na floop van de twee draaiingen weer haar oorspronkeljjken stand heeft, moet de geheele standverandering van het lichaam ook door een enkele draaiing om OD kunnen worden verkregen. Op dezelfde wijze ziet men in dat, wanneer eerst de draaiing om O B "a ai° 01,1 ° A I>l»its luid, de lijn O C op haar plaats zou zjjn teruggekomen. De volgorde waarin de twee wentelingen gebeuren, is dus niet onverschillig. Wij verbeelden ons nu dat do hoekon a en p kleiner on kleiner worden gekozen; do ljjnen O C en OD naderen dan tot een zelfde ljjn O È (Fig. 108), die in het vlak AOB ligt. Bjj oneindig kleine wentelingen om de assen OA on OB doet derhalve do volgorde waarin zij plaat» hebben niet ter zake; zjj kunnen in elk geval vervangen worden door een wnntnlimr ljjn OE. ° Om den stand van die lijn te bepalen merken wij op dat in Fig. 107 sin A O C: sin B O C = sin J /ï: sin J « is, en dus ook in Fig. 108 sin A OE: sin B OE= sin J fl: sin ^ « schrijven" eÜ,,tei' " kIüi" ZÜ"' ««voor sin A O E. sin B O E = p: a. n . r li j.s. Men kan het zwaartepunt van een veelhoek vinden door hem in driehoeken te verdoelen. h. Prisma en cilinder. De oneindig dunne plaatjes in welke men het lichaam door vlakken evenwijdig aan het grondvlak kan verdoelen, hebben hun zwaartepunten "alle op de lijn die de zwaartepunten van grond- en bovenvlak verbindt. (Juk het zwaartepunt van het lichaam moet dus op die lijn liggen, en wel in het midden, daar het vlak dat op de halve hoogte evenwijdig aan het grondvlak gebracht wordt, de in $ 163, b genoemde eigenschap heeft. c. Driezijdige pi/ramide. Door verdeeling in dunne plaatjes toont men aan dat het zwaartepunt ligt op de lijn A E, die het hoekpunt A met het zwaartepunt van het zijvlak H CI) (Fig. 118) verbindt. Eveneens moet het liggen op de lijn li l\ uit B naar het zwaartepunt van den driehoek A C1) getrokken. " jfeim telingsoppervlak of een omwentelingslichaam ligt op de as. f. Het zwaartepunt van een cirkelboog ligt op een afstand , van het middelpunt, als b de lengto van den boog, k do koordo en r den straal voorstelt. Door een cirkelsector mot don straal r te verdeden in oneindig kleine driehoeken, die hun top in het middelpunt hebben, kan men aantoonen dat zijn zwaartepunt samenvalt met dat van den cirkelboog dio in den sector met den straal ij r, concentrisch met den boog van dun sector, wordt beschreven. Het zwaartepunt van liet gebogen oppervlak van een bolsegment of oen bolschijf ligt op liet midden van de hoogte. Dat van een kegelvortnigen bolsector (het lichaam) met den straal r valt samen met liet zwaartepunt van het binnen den sector liggende deel van een boloppervlak, dat met den straal | r, concentrisch met het boloppervlak van den sector, beschreven wordt. Evenals men het zwaartepunt kan aangeven bij een figuur dio uit twee andere is samengesteld, kan men dit ook doen bij een figuur die het verschil van twee andere is, waarvan de zwaartepunten bekend zjjn. Op dezo wijze bepaalt men het zwaartepunt van een afgeknotte pyramide, een afgeknotten kegel, het oppervlak van een cirkelaeginent, een bolsegment (het lichaam) en een bolschijf. § 165. Koppels. Onder een koppel verstaat men oen stelsel van twee evenwijdige, maar tegengesteld gerichte, gelijke krachten. Deze k.innen niet door een enkele kracht worden vervangen; immers, zulk een kracht kan een arbeid jflbï verrichten bij een verschuiving van het lichaam en een koppel kan dat niet. Een blik op Fig. 119 doet zien dat een koppel een wenteling tracht te weeg te brengen; de richting daarvan kan bij twee koppels die in een zelfde vlak of in evenwijdige vlakken werken, gelijk of tegengesteld zijn. Fiir lig u ..." 1 J 1-1 V erbeelden wij ons dat het lichaam waarop het koppel van Fig. 119 werkt, een oneindig kleine wenteling e ondergaat om een lijn, door het punt O loodrecht op het vlak van het koppel getrokken; laat de richting van die wenteling met die overeenstemmen, in welke liet koppel het lichaam tracht te bewegen. Trekt men C 0 D loodrecht op de richting der krachten, dan is blijkens § 157 de arbeid van het koppel « X# QX OD + eXA PX O C = eXA PX CD. Waar men ook het punt O neemt, ook wanneer het buiten de lijnen A P en B Q of op een van die lijnen ligt, steeds komt men tot deze zelfde uitkomst. De afstand Cl) van de lijnen langs welke de krachten werken, wordt de arm van het koppel genoemd. Het produet daarvan met de grootte van de kracht heet het moment van het koppel. Blijkens bovenstaande berekening wordt, als de draaiingsas loodrecht op het vlak van het koppel staat, de arbeid gevonden, als men het moment met den hoek van wenteling vermenigvuldigt. Dit komt overeen met het in $ 157 gezegde, maar er is dit onderscheid, dat bij een kracht slechts van het moment ten opzichte van een bepaalde as sprake is. terwijl dat van een koppel ook zonder dat een as is aangegeven, een bepaalde waarde heeft. Dat de arbeid van het koppel negatief is, wanneer de richting van de wenteling tegengesteld is aan die, in welke het koppel het lichaam tracht te draaien, behoeft nauwelijks vermeld te worden. Zoolang hel moment hetzelfde blijft, is de arbeid van lig. 120. een koppel in een gegeven vlak onafhankelijk van de grootte der krachten, de richting waarin zij werken en de aangrijpingspunten; zelfs zullen twee koppels die in evenwijdige vlakken werken en in draaiingsrichting en moment overeenstemmen, bij een wenteling oni een as loodrecht op die vlakken denzelfden arbeid verrichten. Dit in het oog houdende zal men de juistheid inzien van de volgende stellingen. a. Twee koppels in hetzelfde vlak of in evenwijdige vlakken, die hetzelfde moment en dezelfde draaiingsrichting hebben, zijn gelijkwaardig. b. Twee koppels in hetzelfde vlak of in evenwijdige vlak¬ ken. die hetzelfde moment maar tegengestelde draaiingsrichting hebben, maken evenwicht met elkaar. c. Een aantal koppels in hetzelfde vlak of in evenwijdige vlakken zijn gelijkwaardig met een enkel koppel in een vlak evenwijdig aan de zoo even bedoelde, en met een moment, dat gelijk is aan de algebraïsche som van de momenten der gegeven koppels, als men nl. de momenten positief of negatief noemt, naarmate de koppels de eene of de andere draaiingsrichting hebben. Deze stellingen kunnen ook mot behulp van liet in S 1">8 eezegde worden afgeleid. Liggen b.v. de twee koppels waarvan onder b sprake is, in hetzelfde vlak (Fig. 120), dan kan men de krachten A 1' en li Q naar het punt C overbrengen en tot de resultante C H vereenigen, en eveneens do krachten A' I'' en B' Q' tot C' H' samenstellen. De krachten CR en CR' zijn gelijk en tegengesteld, en zullen, als de momenten AA'y^AP en K B' X J* Q go'ijk zlJ"i langs de lijn CC' werken, en elkaar dus opheffen. § 106. Samenstelling van koppels in niet evenwijdige vlakken. Laat (Fig. 121) in de vlakken V en V', die elkaar volgens PQ snijden, twee willekeurige koppels gegeven zijn met de momenten M en M'. Neemt men twee punten A en B willekeurig .op J' Q en brengt men in die punten jü gesteld gericht en beide = die in het vlak V' lood- i /"I 4 /-»' de tegengesteld gerichte krachten A C en B D aan, die in het vlak V loodrecht op .4 B w erken en elk = — zijn, Kis- ,2>- dan kan het koppel dat uit deze beide krachten bestaat, blijkens het in de vorige § gezegde, het in V gegeven koppel vervangen, als het in draaiingsrichting daarmee overeenstemt, iets dat men altijd kan bereiken door de richting van .4 C en BD geschikt te kiezen. Op dezelfde wijze kan het koppel in het tw eede vlak worden vervangen door twee krachten A C' en BIX, tegen- M' Air recht op A B staan. Men kan eindelijk .4 C en .4 C samenstellen tot A F, en eveneens BI) en BIX tot B F. Daardoor krijgt men een nieuw koppel (.4 K, B F), dat gelijkwaardig is met de twee oorspronkelijke. Het werkt klaarblijkelijk in een vlak dat zoowel met V als met V een zekeren hoek maakt. Dooi herhaalde toepassing van deze bewerking kan men een willekeurig aantal koppels in verschillende vlakken altijd tot één enkel samenstellen. § 107. Overbrengen van een kracht naar een punt liuiten de lijn langs welke zij werkt. Behandeling van een willekeurig stelsel krachten. Zij (Fig. 122) A P een kracht, op een vast lichaam werkende, O een willekeurig punt van het lichaam. Wij brengen in O twee krachten O Q en O li in tegengestelde richting aan, die beide gelijk en evenwijdig aan A P ziin. TW sfpl«ol rW drie krachten, dat klaarblijkelijk gelijkwaardig is met de kracht .4 P, kan worden opgevat als te bestaan uit de kiacht O li, die, in O aangrijpende, in richting en grootte met .4 P overeenstemt, en het koppel (.4 P, O Q). jTléj Men mag derhalve een kracht vervangen door een andere die, met dezelfde richting en grootte, in een willekeurig punt aangrijpt, mits men daaraan nog een geschikt koppel toevoegt. Men kan hiervan partij trekken oni een willekeurig stelsel van krachten die op een vast lichaam werken, zooveel mogelijk samen te stellen. Men kiest daartoe een punt O uit en brengt alle krachten daarheen over; men kan dan al de krachten in O tot één enkele vereenigen, en eveneens al de koppels die men bij het overbrengen krijgt, tot één koppel samenstellen. Kik krachtenstelsel kan dus dooreen kracht en een koppel vervangen worden. Daar een kracht en een koppel elkaar nooit kunnen opheffen, ziet men aanstonds dat het lichaam onder de werking van het gegeven stelsel krachten alleen dan in evenwicht kan zijn, wanneer zoowel de resulteerende kracht als het resulteerende koppel verdwijnt. Op de resulteerende kracht kan men de stelling van § 30 toepassen; haar projectie op deze of gene richting is dus de algebraïsche som van de projectiën op diezelfde richting van de gegeven krachten. Het evenwicht eischt dat die som 0 is. Ontbindt men b.v. de op een lichaam werkende krachten elk in een verticale en een horizontale component, dan moet de som van de naar boven gerichte componenten gelijk zijn aan de som van de naar beneden werkende. Onderzoekt men op de aangegeven wijze wanneer drie krachten evenwicht met elkaar maken, dan blijkt het vooreerst dat zij in één vlak moeten werken. Verder zijn er twee gevallen mogelijk. a l)e krachten werken langs evenwijdige lijnen; dan moet de resultante van twee der krachten (§ 160) gelijk en tegengesteld aan de derde zijn en langs dezelfde lijn als deze werken. I). l)e lijtien langs welke de krachten werken gaan door één punt. Men kan de krachten daarheen overbrengen en twee ervan met behulp van een parallelogram met elkaar samenstellen. l)e derde kracht moet nu weer gelijk en tegengesteld aan de resultante zijn. jk Waar mon overigens bij de herleiding van een krachtenstelsel het bovengenoemde punt O zal kiezen, hangt van de omstandigheden af. Wordt een punt van het lichaam vastgehouden, dan brengt men de krachten liefst daarheen over; bij een geheel vrij lichaam daarentegen naar het zwaartepunt. § 168. Bepaling van (lp inwendige krachten in een vast lichaam. Is een lichaam in rust, dan moeten de krachten die op een willekeurig deel ervan werken, evenwicht met elkaar maken. Uit deze overweging kan men iets afleiden omtrent de krachten die zulk een deel van de aangrenzende deelen ondervindt. a. Zij AH een verticale kolom (Fig. 123), staande opeen horizontaal vlak en belast met een gewicht P. In gedachten verdeelen wij deze zuil door een horizontaal vlak V in twee deelen. Voor het evenwicht van het bovenste gedeelte is noodig dat er een kracht naar boven op werkt, gelijk aan het gewicht P, vermeerderd met dat van A V zelf. Die kracht kan alleen worden uitgeoefend door het onderste gedeelte van de zuil. Houdt men verder in het oog dat aan elke werking een gelijke en tegengestelde terugwerking beantwoordt, dan komt men tot de slotsom dat de deelen van de kolom, die aan weerszijden van V liggen, tegen elkaar drukken in een richting loodrecht op dit vlak. b. Op dezelfde wijze ziet men in dat in een staaf die met het boveneinde is opgehangen en aan het benedeneinde liet gewicht P draagt, de deelen aan weerszijden van een horizontale doorsnede krachten loodrecht op die doorsnede op elkaar uitoefenen, die tegengesteld gericht zijn als in het geval a. Zulke krachten noemt men normale spanningen. In het algemeen wordt het woord spanning gebezigd om de krachten aan te duiden, die de deelen van eeii lichaam aan weerszijden van een of ander vlak op elkaar uitoefenen. De spanning van een koord, die wij reeds vroeger leerden kennen, is niet alleen de kracht waarmee het koord werkt op de lichamen waaraan het bevestigd is, maar ook die, welke aan elkaar grenzende deelen van den draad van elkaar ondervinden. c. In Fig. 124 stelt AB een staaf voor, die in horizontale richting met het eene uiteinde is vastgeklemd, terwijl het andere met een gewicht P is bezwaard. V is een doorsnede, loodrecht op de lengte, en wij zoeken de evenwichts voorwaarde voor het deel van de staaf, rechts van die doorsnede. Daar de krachten die dit deel in verticale richting ondervindt, elkaar moeten opheffen, moet de stof links van I' nn 1 >1 > 1 VI1 .11(111.1 J 11V , l uc A en C op twee even hooge en volkomen gladde horizontale vlakken rust en aan den top B met een last F is bezwaard. Wij zullen onderstellen dat liet gewicht van de stangen in vergelijking met dien last mag worden verwaarloosd. Verder zullen wij ons voor¬ stellen dat de verbinding der stangen bij B een kleine draaiing van de eene ten opzichte van de andere /léf. toelaat, zoodat, als A C er niet was, oen daling van liet punt li, verbonden met een buitenwaartsche beweging van .1 en C, mogelijk zou zijn. Beschouwt men den driehoek in zijn geheel, dan vindt men onmiddellijk de verticale drukkingen op de steuiivlakken, door naar den regel van § 160, te ontbinden in twee evenwijdige krachten in A en C. De inwendige krachten echter vindt men als volgt. Men ontbindt 1' in li Q en B H volgens B A en li brengt de componenten naar A en (' over, en ontbindt ze daar in de horizontale en verticale componenten AS en A T. Cl' en (' Jr. -Natuurlijk wordt daarbij A S = C Door deze krachten wordt A C uitgerekt, terwijl de stangen A li en li (' door de krachten li Q en li ]{ worden samengedrukt. Hoe, l>jj het aanbrengen van den last, de spanning i» A Contstaat door een kleine uitrekking van deze staaf, zal nfl het gezegde duidelijk zijn. i; 169. Uitbreiding van eeltige der voorgaande stellingen tot lichamen van veranderlijken vorm. Als een lichaam waarvan de gedaante kan worden gewijzigd, onder de werking van een stelsel krachten in evenwicht is, kan men hij een willekeurig deel ervan de bestanddeeten vast aan elkaar verbinden, zonder het evenwicht te verstoren. l)e krachten die op dit deel werken, moeten dus steeds voldoen aan devoorwaarden die wij voor vaste lichamen van onveranderlijken vorm hebben leeren komen. Een koord b.v., dat met zijn uiteinden in .4 en li is bevestigd, neemt onder den invloed van de zwaartekracht een gedaante aan als de in Fig. 127 Fiif. 12". aangegevene. Een deel Cl) kan nu door een onbuigzame staaf van dezelfde gedaante en hetzelfde gewicht vervangen worden, zonder dat het evenwicht wordt verbroken. Op dit deel werken vooreerst de zwaartekracht, die geacht kan worden in het zwaartepunt Z aan te grijpen, en ten tweede de span¬ ningen van de koorden ^4 C en B IJ. Voor het evenwicht is het noodig, dat de raaklijnen in C en D elkaar snijden op de verticale lijn die door Z gaat; tusschen de grootte van de drie krachten moet verder liet bekende verband bestaan. Als tweede voorbeeld beschouwen wij een vloeistofmassa die in evenwicht is. Men kan zich voorstellen dat een deel daarvan, binnen een gesloten oppervlak gelegen, zonder van volume te veranderen, vast wordt; de op dat deel werkende krachten moeten dus voldoen aan de evenwichtsvoorwaarden die voor vaste lichamen gelden. Alleen zijn er bij de vloeistof nog andere evenwichtsvoorwaarden, want gemakkelijk kan men gevallen bedenken, waarin krachten die, op een vast lichaam werkende, evenwicht met elkaar zouden maken, dit niet meer doen, als een vloeistof eraan onderworpen is. Bij de toepassing van bovenstaande stelling behoeft alleen op de krachten gelet te worden, die hel beschouwde deel van buiten ondervindt. Worden deze 1). v. in verticale en horizontale componenten ontbonden, dan moeten de naar boven gerichte componenten te zamen evenveel bedragen als de naar beneden werkende. Van de inwendige krachten kan men hierbij geheel afzien; het is trouwens duidelijk dat door de onderlinge werking van zijn molekulen een lichaam of een deel van een lichaam zich nooit in zijn geheel naar boven of beneden zal verplaatsen. Dit is een gevolg hiervan, dat de inwendige krachten twee aan twee gelijk en tegengesteld zijn. Ofschoon bij een buigzaam koord of een vloeibare massa de krachten die de molekulen van de aarde ondervinden, niet meer dezelfde uitwerking hebben als een enkele kracht in het zwaartepunt, blijft toch één eigenschap die dit punt bij vaste lichamen heeft, bestaan. Bij elk lichaam wordt nl. de arbeid van de zwaartekracht bij een verplaatsing, en dus ook de verandering van de potentieele energie, op dezelfde wijze uit de rijzing of daling van het zwaartepunt gevonden als bij een vast lichaam. Fig. 128 onderscheidt zich van Fij». 115 doordat een horizontaal vlak lr fip. is aangebracht, waarop de loodlijnen Atalt A2ii2, A3 li b, Cf, Zz zijn neergelaten. Uit de evenredigheden van § 162 volgt (Pl +Ps)X11 b=Pl XAl "l +i>J XA2 «2, (Pl + P2 + Pa) XCc= (P, +p2)X"b+p3Xa3", = ~P 1 X Al "l X A3 a3' Men kan dezo reeks van vergelijkingen voortzetten, zoodat ten slotte, als 1' het gewicht van het geheele stelsel is, P~X Zz=p1 X-4, "i + ?.„> Xvl2 a» XA3 "3 +enz. wordt. Deze vergelijking drnkt uit dat do potentieelo energie dezelfde waarde heeft, alsof de geheele massa in het zwaartepunt was vereenigd. xr 1 1 IK Men kan deze stelling b.v. toepassen op een koord (Fig. 127) dat aan twee vaste punten is opgehangen. Is liet onuitrekbaar en volkomen buigzaam, dan is het inwendige arbeidsvermogen steeds hetzelfde; het koord zal dus(§ 155) in evenwicht zijn als de potentieele energie tegenover de zwaartekracht een minimum is, d. w. z. als het zwaartepunt zoo laag mogelijk ligt. § 170. Eigensehappeii van het zwaartepunt bij de beweging der lichamen. Men kan bij een bewegelijk stelsel op elk oogenblik de ligging van het zwaartepunt naar de regels van § 1G2 bepalen. Dit punt beweegt zich nu juist zoo, alsof de geheele massa erin was opeengehoopt, en alle krachten erop werkten, waaraan de punten van het stelsel onderworpen zijn. Derhalve doet zich elke kracht, welk punt er ook door wordt aangedaan, gevoelen door een aan haar grootte evenredige snelheidsverandering van het massa-middelpunt. l it deze stelling kan men het volgende afleiden: a. De beweging van het zwaartepunt is onafhankelijk van de inwendige krachten, want deze zijn twee aan twee gelijk en tegengesteld, en zullen dus, wanneer zij in het zwaartepunt worden aangebracht, elkaar opheffen. Bestaan er geen uitwendige krachten, dan zal het zwaarte- punt of in rust blijven, öf niet standvastige snelheid in een rechte lijn voortgaan. I )it geldt b.v. van het massa-middelpunt van het geheele zonnestelsel, ten minste als men mag aannemen dat het stelsel van buiten geen merkbare krachten ondervindt. b. Wordt een stok schuin naar boven geworpen, dan beschrijft het zwaartepunt een parabool, terwijl het lichaam bovendien om dat punt kan draaien. De parabolische beweging van het zwaartepunt blijft bij een granaat bestaan, wanneer hij in de lucht uiteenspat, althans zoolang geen van de brokstukken den grond bereikt. c. Wij kunnen wel de deelen van ons lichaam door inwendige krachten ten opzichte van elkaar bewegen, maar ons zwaartepunt kunnen wij alleen verplaatsen met behulp van uitwendige krachten (§ 81). Als iemand op een volkomen glad horizontaal vlak uitgleed, zou zich zijn zwaartepunt langs een verticale lijn verplaatsen. d. hen koppel dat op een vast lichaam werkt, heeft geen invloed op de beweging van het zwaartepunt. Is het, lichaam eerst in rust, dan kan liet door een koppel alleen een wenteling om een as door het zwaartepunt krijgen. Bewijs van do boven vermelde stolling. Nemen wij drie rechthoekige coördimultassen aan en noemen wjj de coördinaten van hot eerste puntxl} die van liet tweede x2, ij2i c2) enz., do coördinaten eindelijk van liet zwaartepunt x, y, ■/.. Dan is (verg. § 16!») P x =i>l a-, -fy<2 x2 + enz., waarvoor men wegens do evenredigheid van do gewichten met de massa's ook mag schrijven hx = mi, -j- «i2 x2 + enz., als door ///j, ///2, enz. do massa's van do stoffelijke punten worden voorgesteld en door M die van het geheelo stelsel. Deze vergelijking dient mot de andere, dio oji de //- en de c-as betrekking hebben, ter bepaling van do ligging van het zwaartepunt. De vergelijking geldt voor elk oogenblik. Daaruit volgt dat tusschcn do aangroeiingen en rfx van de verschillende coördinaten ineen oneindig kleinen tijd <11 do betrekking M (lx — m 1tlxl -f m, d xt -f- enz. fr['t bestaat. Deelt men nu deze vergelijking dom- dl, dun krijgt men M ii = ui, u1 -f- w 2 f 2 —)— enz., als, voor do verschillende stoffelijke punten en voor liet zwaartepunt, n2, .... en ii do snelheden in de richting van de x-as voorstellen. Derhalve is de algebraïsche aom der hoeveelheden van beweging in do richting van de a>as even groot als do hoeveelheid van beweging in diezelfde richting, die hot zwaartepunt zou hebben, als er de geheele massa M in was opeengehoopt. Daar dit op elk oogenblik waar is, is ook de verandering van die algebraïsche som gedurendo een tijdselement d t even groot als do verandering die de hoeveelheid van beweging der massa M, in 't zwaartepunt gedacht, ondergaan zou. Maar, wanneer „Y,, A'2, enz. do op do punten van 't stelsel in de richting van do x-as werkende krachten zijn, bedraagt de bedoelde verandering {Xt+Xt+. ..)dt. Do snelheid u van het zwaartepunt moet dus zoo veranderen, dat als do massa M erin was opeengehoopt, de hoeveelheid van beweging daarvan dezo aangroeiing onderging, en dit zou hot geval zijn als op die massa de kracht + A, -)- werkte. Daar een dergelijke uitkomst geldt voor de verandering der snelheden in de richting van de i/- en do c-as, is de stelling bewezen. Vermelding verdient ook nog de volgende stelling: Een vast lichaam dat eerst in rust is, krijgt door een kracht die in het zwaartepunt aangrijpt, een verschuiving zonder wenteling. Werkt een willekeurig stelsel van krachten, dan kan men deze naar het zwaartepunt overbrengen; de resulteerende kracht brengt een verschuiving, liet resulteerende koppel een wenteling teweeg. Wil men aan een vast lichaam een voorgeschreven beweging geven, dan kan men op elk punt do kracht laten werken, die juist voor do beweging daarvan veroischt wordt; men kan evenwel ook in plaats van dit stelsel van krachten elk ander dat er gelijkwaardig mee is, nemen. Voor oen verschuiving, waarbij alle deeltjes dezelfde versnelling in dezelfde richting moeten krijgen, zouden evenwijdige krachten kunnen dienen, die op elk deeltje afzonderlijk werken, en evenredig met hun massa's zijn; zulko krachten zijn echter gelijkwaardig met een enkele dio in het zwaartepunt aangrijpt. § 171. Beperking der beweging van een vast lichaam. In vele gevallen wordt een lichaam gedwongen zich op een voorgeschreven wijze te verplaatsen. a. Moet liet zich alleen rechtlijnig verschuiven, dan geeft men aan een deel van het lichaam de gedaante van een prisma, dat past in een prismatische holte van een vaststaand stuk li. Men ƒ///- f't1 ziet in Fig. 129 lioe zich dan het prisma met de daaraan verbonden kolom .1 slechts in de richting van de (in de figuur horizontale) opstaande ribl>en van het prisma kan bewegen. I)e doorsnede van het prisma kan zeer verschillende vormen hebben. In Fig. 180 wordt het lichaam .1 geleid door twee cilinders 7>, li. Men kan ook van een enkelen cilinder gebruik maken, als men maar op een of' andere wijze een draaiing belet. /'■ Wordt daarentegen bij een cilinder die in een holte past, een verschuiving verhinderd, dan is alleen een wenteling mogelijk. Zulk een draaibare cilinder wordt een as genoemd. Men ziet in Fig. 131 hoe een verschuiving van .1 onmogelijk wordt gemaakt. \\ ij vermelden hierbij dat men het omsloten gedeelte van de as de tap en het omsluitende lichaam li de jxm of het kussen noemt. Dit lichaam heeft niet altjjd een cilindrische uitholling; er komen ook andere vormen voor. Fig. 131. Bij horizontale assen heeft men gewoonlijk twee tappen aan de uiteinden; lange assen (drijfassen in fabrieken) worden ook nog op andere plaatsen op dezelfde wjjze ondersteund. De tappen kunnen rusten tusschen twee stukken, het eene fty beneden , het andere hoven de as, die op geschikte wijze tegen elkaar worden gedrukt. Soms komt alleen de onderste pan voor. \ ertieale assen kunnen aan het bene• 132- nrienooKig prisma, dat niet zijn ribbe op een horizontale . i . .j. i* J. i> • ugu IM-IUU — deelen moeten van een harde stof' gemaakt zijn. 15jj liet balansjuk, dat in Fig. 132 is afgebeeld, rust een stalen mes J op een blok li, dat veelal van agaat wordt genomen. Iloe scherper de kant van het mes is, des te meer nadert de beweging tot een draaiing 0111 een as. In werkelijkheid zal zij echter steeds bestaan in het rollen van een cilinder over een plat vlak. (I. Men kan een rechthoek of een driehoek zoo lansrs een cilinder bewegen, dat zijn vlak voortdurend door de as gaat, een van de zijden in hot cilinder-oppervlak ligt, en elk punt een schroeflijn doorloopt; er wordt dan een xrh roe ftl rand beschreven. Is een cilinder niet zulk een naar buiten staanden draad voorzien, dan heeft men een sr/troi f (Fig. 133, A). Deze kan passen in een holte, in welker wand een langs een schroeflijn loopende groef is aangebracht. Deze holte, waarvan Fig. 133, 15 de achterzijde te zien geeft, bevindt zich in een stuk dat d v xcl) roef moer genoemd wordt. Houdt men deze vast, dan kan de schroef alleen een gelijktijdige wenteling en verschuiving hebben . zoo nl. dat bij elke omwenteling een verschuiving over een afstand gelijk aan den spoed (§ 25) plaats heeft. Zooals reeds gezegd werd, kan het profiel van de schroef, d. w. z. de doorsnede van den schroefdraad niet een vlak door de' as, verschillende vormen hebben. Het kan rechthoekig (Fig. 133) of driehoekig zijn (Fig. 134). liet komt dikwijls voor dat men een zelfde moer voor verschillende schroeven van een zelfde dikte wil gebruiken, of omgekeerd. Daarvoor is noodig dat niet alleen de spoed, maar ook het profiel overeenkomt. Men heeft daarom stelsels van schroefdraden vastgesteld, waarin bij elke dikte een bepaalde spoed en profiel belmoren. In al de boven besnroken ffPV'i 11 nn urnixl 4 nwu ondersteld dat liet met H aangeduide lichaam m rust bleef. Dit behoeft niet het geval te zijn; in het algemeen Hg*'" alleen de relatieve be¬ weging van het eene lichaam ten opzichte van liet andere bepaald. De wielen van een rijtuig voeren met betrekking tot dit laatste een wenteling uit, en de koppelstangen waardoor de wielen van een locomotief zijn verhouden, draaien ten opzichte van die wielen, ofschoon hun werkelijke beweging een verschuiving is. c. Behalve de boven besprokene komen er nog vele andere middelen voor, en daaronder soms zeer samengestelde, waardoor men de beweging van een vast lichaam beperkt. Men kan deze beperking b.v. zoo maken dat steeds een enkel punt op zijn plaats blijft. Zoo kan een aan het lichaam bevestigde bol draaien in een hol bolsegment, dat hem voor een gedeelte omsluit (kogelgewricht). Of' men kan het lichaam op de wijze van den ring AA in Fig. 135 laten draaien om een as li li, die zijn steunpunten heeft aan een ring, die weer om een as CV loodrecht op de eerste kan draaien (CaKDANi'sche ophanging). Werktuigen zijn lichamen of stolsels van lichamen die zich alleen op de voor een bepaald doel noodige wijze kunnen bewegen. Do beweging, aan een doel ervan meegedeeld , wordt overgebracht op do andore doelen en daarbij menigmaal geheel van aard veranderd. De verbinding tusschon de doelen van een werktuig bestaat veelal hierin, dat het oppervlak van het eono doel aanhoudend in aanraking moet blijven met dat van het andere. De boven besproken gevallen kunnen als voorbeelden dienon; een ander voorbeeld heeft men in twee in elkaar grijpende tandraderen. Twee werktuigdeelen kunnen evenwol ook door middel van kettingen, touwen of riemen mot elkaar verbondon zijn. § 172. Evenwicht van werktuigen. Als de oppervlakken met welke verschillende doelen van oen werktuig elkaar aanraken, over elkaar rol/en, zullen (althans wanneer wij afzien van de rollende wrijving (§ 182, d), die door een vormverandering van de oppervlakken ontstaat) de wederkeerige krachten tusschen die doelen bij do beweging geen arbeid verrichten. Immers, de werking is gelijk en tegengesteld aan de terugwerking, en de punten der oppervlakken die elkaar aanraken hebben dezelfde snelheid. De arbeid van de wederkeerige krachten is eveneens 0 bij de //lijding van twee oppervlakken over elkaar, als die oppervlakken maar volkomen glad zijn, en iets dergelijks valt ook op te merken, wanneer een beweging wordt overgebracht door koorden of riemen, hetzij dat die met de uiteinden aan de werktuigdeelen zijn bevestigd, hetzij dat /.ij het oppervlak daarvan over zekeren afstand volgen en het door wrijving meevoeren. De laatste kracht verricht geen arbeid, zoolang het koord maar niet over het oppervlak glijdt, want terwijl de punten van het koord en die van liet oppervlak dezelfde snelheid hebben, werkt de wrijving er met gelijke kracht in tegengestelde richting op. j,j, Zijn wordt gebracht, evenwicht zjjn bij een uitwijking ' 'p = hQ De gevoeligheid die J 1. T 15HÜIW uir uuur ut* Mjriiouaing: van w 011 o won t gemeten, is dan onafhankelijk van de belasting I'. Zij neemt toe als h kleiner wordt. Dikwijls kan men mot een rogelschroefje h 011 daarmee de gevoeligheid veranderen. Ook vergrooting van / zou do gevoeligheid doen toenemen, indien niet bij verlenging van liet juk ook het gewicht Q grooter werd. Zelfs neemt (J sterker toe dan l, omdat men ter wille van de stevigheid bij vergrooting van l ook de dikte grooter moet nemen. In 't geheel zal dus de gevoeligheid afnemen en is het juist voordeelig korte, lichte jukken te gebruiken. Wanneer bij een balans de punten A, O en li niet in een Kis. 137. rechte lijn liggen, zal de gevoeligheid van de belasting afhangen In het geval van Fig. 137 is de verticale ljjn door A verder van O verwijderd dan die welke door li gaat, en wjj zien gemakkelijk in dat vergrooting der geljjke belastingen I' de uitwijking zal doen toenemen; daarbij wordt dus de gevoeligheid vergroot. In het geval van Fig. 138 hebben wjj het omgekeerde en zal de gevoeligheid afnemen bjj toenemende belasting. Een nauwkeurig onderzoek van de gevoeligheid bjj verschillende belastingen kan soms doen zien dat een balansjuk ten gevolge van doorbuiging achtereenvolgens de vormen van Fig. 137, 130 on 138 aanneemt. § 174. Stelsels van met elkaar Fig. 139 zijn A (' en (' B stangen die, in een verticaal vlak liggend, in (' met elkaar verbonden, en in A en B ondersteund zijn. Het punt M is met een gewicht Q belast, terwijl van liet gewicht der stangen wordt afgezien, en verder wordt ondersteld dat de verbindingen bii c» ,1 A, (' en B althans een weinig draaibaar zijn. Op do staaf C li voidt nu in het punt ( door de staat A (' een zekere kracht uitgeoefend, en ('li zou in evenwicht blijven wanneer men, na verbonden stangen. In Fig. 189. fa A C weggenomen te hebben , op andere wijze een kracht van de/elfde richting en grootte al* de"genocmde uitoefende. Derhalve vereischt hot evenwicht van do staaf Cb dat do bodoolde kracht in (' de richting van zjjn lengte hooft; nieit verkrijgt dus deze Kik'. 1+0. Fier. 141 kracht en den druk in A door de in do figuur aangegeven constructie. Natuurlijk kan men den druk in (' ook bepalen dooide voorwaarde dat zjjn moment ton opzichte van de lijn, door A loodrecht op liet vlak der figuur getrokken, gelijk moet zijn aan dat van het gewicht Q. In Fig. 140 en 141 vindt men dorgeljjke verbindingen van stiingen. bjj welke .1/ op het verlengde van AC ligt. Eindelijk is in Fig. 142 een stolsel van drie stangen afgebeeld, die om A, H, (' on /> kunnen draaien en waarvan do middelste den last Q draagt. Ziet men weer van het gewicht der staven af, dan is voor liet evenwicht noodig, dat A H en l>(', verlengd zjjnde, elkaar op de verticale ljjn Q M ontmoeten. § 175. Katrollen en takels. Een katrolschijf ia een cirkelvormige schijf die om oen door het middel¬ punt gaande en loodrecht op zjjn vlak staande as kan draaien. Aan den omtrek is hij van een groef voorzien, die oen koord kan opnemen. De wrjjving belet dit laatste, langs do sehjjf te gljjden. Fig. 142. ff lïjj een vaste katrolschijf (Fig. 143) kan zich de as niet ver- Fii;. 143. Fig. 144. plaatsen; zal er evenwicht zijn, dan moeten aan trekt, noodig. nierken dat de lust aan !\ waarmee men aan het Men vindt dit door op te 6 touwen hangt, en dus ff de spanning, die overal even groot moet zijn, de zoo even »pnoemde waarde moet hebben, of ook door na te gaan, hoe ver l> naar beneden moet worden getrokken om P tot zekere hoogte te doen stijgen. § 176. Windas. Dit werktuig bestaat uit een horizontalen om zjjn as draaibaren cilinder, waarom eenige malen een touw is geslagen, dat bij het omdraaien wordt op- of afgewikkeld en aan liet einde den last draagt. De wenteling wordt aan den cilinder gegeven door een kruk, loodrecht op de as aan den cilinder bevestigd. Do evenwiehts voor waarde volgt uit de beschouwing1 van ° O de momenten of uit de stelling van ij 172. t? 177. NitMeleii 0111 een wenteling van de eene as op de andere over te brengen, a. Koord zonder eind. Laat (Fig. 14(1) A en li twee cirkelvormige sclijjven zjjn, in hetzelfde vlak liggende en draaibaar om assen die door de middelpunten loodrecht op dat vlak gaan. Een koord of riem, waarvan de uiteinden aan elkaar zijn bevestigd, is om de schijven geslagen en genoegzaam gespannen om een glijding daari i ..i langs onmogelijk te maken. Wordt A in de richting van do pijl rondgedraaid , dan wordt li in dezelfde richting bewogen; de hoeksnelheden zjjn daarbij omgekeerd Fig. 147. Fig. 14!S. evenredig met de stralen. Het deel rs van hot koord is meer gespannen dan het deel j>ij; daaruit vloeit de kracht voort, die li in beweging brengt. Moeten de schijven in tegengestelde ƒ'// richting draaien, dan bezigt men een gekruisten riem (Fig. 147). b. Hij evenwijdige assen kunnen ook cilindervormige, en hij assen die elkaar snijden (Fig. 148), kegelvormige urijcini/sraderen worden gebezigd. De elkaar aanrakende oppervlakken daarvan moeten ruw genoeg zijn om de eene schijf door de andere te doen meevoeren. r. Moet een aanmerkelijke weerstand worden overwonnen of Wil IllOTl yioli irolinnl ir/n» wil men zich geheel verzekeren van een bepaalde verhouding der hoeksnolheden, dan bezigt men tandraderen. Fig. 14!) stelt (>011 paar dergelijke raderen voor, die op assen loodrecht op het vlak der teekening zjjn bevestigd. Daar in denzelfden tijd van heide raderen even veel tanden door de verbindingslijn der middelpunten gaan, zijn de hoeksnelheden omgekeerd evenredig niet het aantal tanden. Raderen niet weinig tanden heeten rondsels. 7 i. 1 1 1 1 •• i i J)e tanden kunnen ook hij liet eene rad aan de binnenzjjde zijn aangebracht, zooals in Fig. 150. In dat geval hebben de assen dezelfde draaiingsrichting, terwijl zij in het geval . van Fig. 149 in tegengestelde richting draaien. Dij assen die elkaar snijden, worden let/el raderen aangebracht. Een denkbeeld daarvan krijgt men, w anneer men zich de afgeknotte kegels van Fig. 148 voorzien denkt van uitstekende ribben, langs beschrijvende lijnen loopende. \ oor een behoorlijke werking van de raderen is de gedaante der tanden niet onverschillig; de 11WW'fl\ 11II(11 o'O llPsM'liniiw iiKrnii <)in o n bepaald kan worden , moeten hier evenwel achterwege blijven. Alleen zjj nog opgemerkt dat men steeds zorg draagt, dat op eenzelfde oogenblik meer dan één paar tanden met elkaar in aanraking zijn. (V Daar zoowel aan zeer groote als aan zeer kleine raderen bezwaren verbonden zijn, brengt men, wanneer een groot verschil 111 hoeksnelheid verlangd wordt, de beweging niet rechtstreeks \an de eene as oj) de andere over. Men neemt dan zijn toevlucht tot stelsels van raderen, die ten deele op de assen zelf, ten deele op hulpassen zijn bevestigd. Men kan de beweging nl. overbrengen van een as A op een as /i, van deze laatste, met behulp van een tweede rad waarvan zij voorzien is, op de as (\ enz. Als voorbeeld vermelden w ij nog den kunstgreep waardoor men de wijzers van een uurwerk, met lioeksnelheden die tot elkaar staan als 1 en 12, (ini hetzelfde middelpunt laat draaien. De minuutwijzer is bevestigd op de as .1 (Fig. 151), die zijn w enteling door tusschen- L'oinwf »-.»»» ««« 1 - I 1 Komsr van een stol raderen van de beweegkracht ontvangt. I)oor de raderen li en f' w ordt de beweging van A op de as l> overgebracht. Deze as draagt een tweede tanden grjjpen in het rad F, dat bevestigd Fig. 151. rad /s', waarvan de is op de holle as (f, die A omringt, en waaraan de uurwijzer verbonden is. § 178. Middelen tot het omzetten van een rechtlijnige beweging in een wenteling of omgekeerd, a. Kruk m stang. /Ü (^'o* ^;>2) -I Q een stang die alleen volgens zjjn lengte kan heen- en weergaan, O 1' een kruk, draaibaar om een door O loodrecht op het vlak van de tigiiur gaande as, P Q eindelijk een stang (krukstang), die draaibaar aan de uiteinden van O 1' en A (J is verbonden. Door de kruk rond te bewegen doet men de stang heen- en weermtan en omgekeerd. Op deze wijze wordt de heen- en weergaande beweging van den zuiger eener stoommachine in een wenteling van standvastige richting omgezet. I>. Excentriek. In Fig. 153 is S een cirkelvormige schijf, in zjjn vlak draaibaar om een niet door het middelpunt gaande as O. Hij wordt omvat door een ring //, die op de in de figuur h'ig. 153. aangeduide wjjze in () draaibaar verbonden is met de stang .1 die volgens zjjn lengte heen en weer kan gaan, en daartoe ge¬ dwongen wordt dooreen wenteling van S. Dit zou eveneens het geval zjjn, wanneer de ring was weggelaten, de staaf A Q tot aan S door- 1 • L . •• O 1 liep ou mor zijn aigoronu of van een wieltje voorzien uiteinde voortdurend tegen den omtrek van S werd gedrukt. Door aan de schijf S hierbij een andere gedaante te geven, heeft men den „trillingsvorm" (§ 50) van A Q in zjjn macht. c Ook door een tandrad en een getande staaf (heugel) kan men een draaiende beweging omzetten in een rechtlijnige. § 179. Schroeven. De relatieve beweging van een schroef ten opzichte van de moer waarin hij past, of omgekeerd van de moer teil opzichte van de schroef, is altijd een wenteling, verbonden met een verschuiving. Wordt het eene lichaam vastgehouden, dan voert het andere deze beide bewegingen uit. liet is echter ook mogelijk dat het eene lichaam zich verschuift en het andere draait. Daar men bij het gebruik van natuurkundige instrumenten gelegenheid heeft kennis te maken met verschillende toepassingen van de schroef, kunnen wij daarover kort zjjn. <(. Men verbeelde zich dat een schroef door een daaraan verbonden kruk wordt rondgedraaid, terwijl de moer waarin lijj draait, wordt vastgehouden. Is de as verticaal, dan zal de schroef bij een geschikte draaiingsrichting stijgen; lijj kan daarbij een gewicht opheffen. Hoe groot dit kan zijn, vindt men door op te nierken dat, wanneer de schroef eens wordt rondgedraaid, de stijging van het gewicht gelijk is aan den spoed. I>. Daar men gemakkelijk aan een schroef een bepaald gedeelte van een volle wenteling kan geven, levert hij een middel op om zeer kleine verschuivingen van bekende grootte te krijgen. Is b.v. de spoed J 111111 en is de schroef van een cilindervormigen kop voorzien , waarvan de omtrek in 100 gelijke doelen verdeeld is en die langs een vaste inerkstreep draait, dan kan men door fa«• een wenteling1 over 1 schaaldeel een verschuiving van (l mm teweeg brengen. Schroeven die voor het aangewezen doel dienen, heeten inil-rometertrhroerm. Dikwijls is daarbij de schroef zelf verhinderd zich te verschuiven. Dit is b. v. het geval bij de lange schroef van de ven heimachine; de moer bevindt zich hier in een slede, die zich alleen evenwijdig aan de as van de schroef kan verplaatsen. De slede draagt een stift, b.v. een diamantpunt, waardoor men op een voorwerp dat naast de schroef vastgelegd is, deelstrepen kan trekken, loodrecht op de as van de schroef. Door zulk een deelstreep te beschrjjven, telkens nadat de schroef over een bepaalden hoek is voortgedraaid, krjjgt men een schaalverdeeling. liet is duidelijk dat de verschuivingen alleen dan evenredig zullen zjjii aan do draaiingen, als de schroef volkomen zuiver is bewerkt. In werkelijkheid zijn er steeds afwijkingen. Deze fouten kunnen vooreerst ontstaan doordat de schroef en de moer elkaar niet volkomen omsluiten, maar er eenige speelruimte tusschen beide is. Men zal dan een kleine verschuiving kunnen geven zonder te draaien; deze fout wordt onschadelijk als de laatste draaiing vóór elke aflezing steeds in dezelfde richting is geweest. Andere fouten kunnen ontstaan doordat de spoed geleidelijk verandert, of doordat de schroeflijn van den idealen vorm afwijkt, en zoodoende niet met elke verdeeling van den schroefkop dezelfde verschuiving overeenkomt. De afwijkingen van de laatste soort herhalen zich in den regel bij elke wenteling, en heeten daarom periodieke fouten. Men kent nauwkeurige methoden om deze verschillende fouten proefondervindelijk te bepalen en in rekening te brengen. § 180. Schroef zonder einde. Zoo noemt men een vereenitiinir O O van een schroef en een tandrad, zooals die in Fis1. 154 is afare- ' ~ o beeld. De twee assen staan loodrecht op elkaar en de schroefdraad past in de tusschenruimten tusschen de tanden. Draait men de schroef eens rond, dan gaat juist een volle winding langs een jlifo tand van het rad, waaruit men gemakkelijk afleidt dat een tand in de plaats van een volgenden moet komen; heeft derhalve het rad n tanden, dan krijgt het een hoeksnelheid, n maal kleiner dan die van de schroef. Men kan dus op deze wijze een snelle beweging in een veel langzamere omzetten. Dit wordt o. a. toegepast ten einde het aantal omwentelingen van een snel draaiende as te nieten. § 181. Middelen om een verbinding tussclien twee deelen van een werktuig tot stand te brengen of' op te heffen. Als voorbeelden daarvan kunnen de volgende inrichtingen dienen. (i. Men kan l>jj een stel tandraderen de as van het eene op zoodanige wijze verplaatsbaar maken, dat men naar willekeur de tanden van de raderen in elkaar kan doen grjjpen, of buiten eikaars bereik brengen Op dezelfde wijze kan bij een tandrad en een schroef worden gehandeld. In Fig. 155 vindt men een inrichting voorgesteld 0111 do bewoging van de as A over te brengen op do as li door middel van tuasehonraderen. In don vol geteekenden stand van deze laatste werken er twee tusschonraderen en krijgen beido assen tegengestelde draaiingsrichting. In den gestippelden stand werkt or slechts één tusschenrad en wordt do draaiingsrichting van B dezelfde als die van A. In een tusschoiigelegen stand is do verbinding van de assen opgeheven. De overgang van den eenen stand naar den anderen kan worden verkrogen door draaiing van het stel tusschenraderen om een as C. Men kan ook twee assen die in eikaars verlengde liggen met elkaar in verbinding stellen. Men brengt daartoe op de naar elkai ir toegekeerde uiteinden schijven aan , waarvan de eindvlakken loodrecht oj» de assen staan. Deze schijven zijn van tanden voorzien , die, als zjj in elkaar grijpen, de eene as met de andere flH (fel J (loon meegaan. De eene schijf is vast op de as geplaatst, «ie andere kan over de as verschoven worden, ofschoon hij deze bjj een wenteling meeneemt. h. Bjj liet gebruik van een riem zonder eind kan men op de as die in beweging gebracht moet worden, naast de schijf die vast met die as verbonden is, een tweede plaatsen, die Onafhankelijk daarvan draaien kan. Door een vork die den riem omvat, en verschoven kan worden, kan de riem van de eene schijf op de andere worden overgebracht. Zulk een inrichting wordt gebezigd om voor de as A van tig. 91 (blz. 178) slechts een beweging in één richting mogelijk te maken. Is de as c bevestigd aan een tweede rad dat om dezelfde meetkundige as als het rad a kan draaien, dan zal dat rad bij de eene bewegingsrichting door a worden medegenomen, bjj de andere bewegingsrichting niet. § 182. Nadere beschouwing van de wrijving. Als een lichaam over een volkomen glad horizontaal vlak door een kracht F wordt voortgetrokken, is de arbeid van deze kracht gelijk aan de vermeerdering van de kinetische energie van het lichaam. Anders is het, zoodra er een wrijving bestaat; de aangroeiing van het arbeidsvermogen van beweging is dan kleiner dan de arbeid van F, en wel zooveel kleiner als aan de ontwikkelde warmte beantwoordt. Dit is één wijze om het verschijnsel te beschouwen. Een andere opvatting bestaat daarin dat men niet alleen op In I1 ig. 156 is een palrad a met de pal li voorgesteld. De laatste is een staafje dut om het punt c gemakkelijk kan draaien en met het uiteinde tusschen de tanden van het rad kan vallen, of, zoo noodi»;, door een veer daartusschen wordt gedrukt. De vorm van de tanden heeft tengevolge dat, wanneer de as c wordt vastgehouden, het rad a zich wel in de richting van de pijl, maar niet in de tegengestelde richting kan bewegen. den arbeid van de kracht F, maar ook op den, natuurlijk negatieven, arbeid van de wrijving let. Daar de beweging van het lichaam in zijn geheel op de gewone wijze door de beide krachten bepaald wordt, zal de kinetische energie van het lichaam een toeneming ondergaan, gelijk aan den gezamenlijken arbeid van de kracht F en de wrijving. Bij deze tweede beschouwingswijze behoeft van de warmteontwikkeling niet gesproken te worden. (Verg. § 14-1, c). Dergelijke opmerkingen gelden voor elk stelsel van lichamen waarbij de wrijving in het spel is. De aanf/roeiiiif/ van de kinetische energie der zichtbare bewegingen bedraagt minder dan de arbeid van de werkende krachten, als men daarbij de wrijving niet meetelt; het verschil beantwoordt aan de warmteontwikkeling. Volgens de tweede opvatting kan men zeggen: De vermeerdering van de kinetische energie der zichtbare bewegingen is gelijk aan den arbeid van alle krachten, de wrijving daaronder begrepen. Blijkens de laatste stelling kan de evenwichtsvoorwaarde die wij in dit hoofdstuk leerden kennen, altijd worden toegepast, als men maar de wrijving als een afzonderlijke kracht in rekening brengt. Wij zullen nu den invloed van die kracht nader beschouwen. In Fig. 157 stellen ^4 en li twee lichamen voor, die over van F groeit ook de wrijving aan, maar het blijkt dat deze niet boven een zeker bedrag kan stijgen, dat evenredig met den normalen druk N is, en in rig. i;x stenen ^-ï en n twee u elkaar kunnen glijden; het eene, li, wordt vastgehouden, terwijl het andere door een zekere kracht N loodrecht daartegen wordt gedrukt. Oefent men nu bovendien op A een tweede kracht F, evenwijdig aan het grensvlak uit, dan ontstaat, zoolang die kracht klein is, nog geen beweging; er wordt een wrijving opgewekt, die de kracht opheft. Bij het toenemen jfist fjfc dus door c iV kan worden voorgesteld. Het getal c wordt de wrijvingscoè'fficient genoemd; het is bij de wrijving van metaal op metaal wel nooit grooter dan 0,3 maar kan door het gebruik van smeermiddelen tot 0,01 dalen. De waarde is van den aard der oppervlakten, van dien van het smeermiddel en van de temperatuur afhankelijk. Zoodra de kracht F de waarde cN te boven gaat, kan zij niet meer door de wrijving worden opgeheven, en stelt het lichaam zich in beweging. Men kan hieruit afleiden, wanneer een enkele kracht P het lichaam .1 over li zal kunnen voortschuiven. Wij onderstellen dat die kracht een schernen honk- « mnuL-f met de naar de zijde van Ji getrokken normaal; zij kan .1 i 1 ï . ' J ifin ontDonaen worden in een component, P cos a volgens lie lijn, en een tweede. P sin « lanrvl:.L-"n,> wrijving kan nu geen grootere waarde krijgen dan c Pcos a. is ï sin a<^c± cos u, dan ontstaat geen beweging; wel daarentegen, zoodra Psin a c Pcos a is. Men kan deze ongelijkheden schrijven in den vorm tg « < c en tg re > c. Bepaalt men dus een hoek /? zoo, dat tg P = c is, dan brengt de kracht het lichaam in beweging of laat het in rust, naarmate «> of S. is b.v. die kracht volgens C P gericht, dan is de component daarvan langs het hellende vlak niet voldoende om de wrijving te overwinnen, waarvan de maximale grootte door de component volgens de normaal bepaald wordt. Elke kracht die, zooals C Q, buiten den genoemden hoek valt, zal het lichaam in beweging brengen. Werkt alleen de zwaartekracht op het voorwerp en verandert men den hellingshoek van het vlak, dan is het lichaam op het punt naar beneden te glijden, zoodra die hoek = /? wordt. Evenals bij het hellend vlak kan men nu ook in alle andere gevallen waarin de wrijving in liet spel is, nagaan, wanneer de krachten op het punt zijn, een beweging naar de eene of naar de andere zijde teweeg te brengen. Tusschen die beide gevallen liggen dan steeds vele andere, waarin geen beweging ontstaat. Tot verdere opheldering kunnen de volgende voorbeelden dienen. A F en DUF gelijk aan de wrjjvingshoeken, dan moeten de richtingen van de in A en II door de steunvlakken uitgeoefende krachten binnen die hoeken valloti. Aan de voorwaarde dat de lijnen langs welke deze krachten werken, elkaar op het verlengde van !'(•' ontmoeten, kan alleen voldaan worden, wanneer deze liin den vierhoek // /•' I) duurs deze lijn den vierhoek UK FI) doorsnijdt. Valt PG links van F, dan glijdt het lichaam uit. Bij deze beschouwing is in aan- Fig. 15!». merking genomen dat wegens de neiging tot uitglijden de reactie in „■I naar links, en die in B naar boven gericht is. Zoodra liet boven bedoelde ontmoetingspunt M bekend is, kan men de drukkingen in A en B bepalen door P naar dat ontmoetingspunt over te brengen en volgens M .1 en M B te ontbinden. Daar nu echter .1/ nog elk punt op het verlengde van PC kan zijn, dat binnen H E FI) ligt, blijven die drukkingen tot op zekere hoogte onbepaald. Dit is een gevolg hiervan, dat, zoolang de wrijvingen in A en B niet de grootste waarden behoeven te hebben, die zij kunnen aannemen, het öf vooral de eerste of vooral do tweede kan zijn, die het lichaam in evenwicht houdt. Dit hangt af van kleine bijzonderheden in de wijze waarop het lichaam tegen de vlakken geplaatst werd. Fig. ïiio. ^ Een 'ichaam .1/ (Fig. 160) is voorzien van een as «, die nauw sluit iu de pan />. VVjj zullen onderstellen dat alle oj) .1/ werkende krachten tot een enkele verticale kracht /• kunnen worden samengesteld. Deze zal nu op het punt zijn, het lichaam in beweging te brengen , wanneer zjj zooveel rechts f links van O valt. dat do hoek O (J r gelijk is aan den wrjjvingshoek /?. Daartoe moet, als 0 '1 ~ r is' °P — '' sil1/? zijn, zoodat de dikte van de as niet zonder invloed is. c. Een grooten invloed heeft de wrijving bjj schroeven. In het geval van een rechthoekig profiel (ij 171, emakkoliik in dat als de hoek dien de windingen maken met een vlak loodrecht op de as (zie Fig. 158) kleiner is dan de wrjjvingshoek, aan deze voorwaarde voldaan is. Hij een schroef met driehoekig jfe profiel is do invloed van de wrijving nog grooter. Men gebruikt deze laatste overal daar waar het om stevige bevestiging te doen is, terwijl schroeven met rechthoekig profiel meer tot het overbrengen van bewegingen gebruikt worden. Een schroef met kleinen spoed kan reeds door kleine krachten die in een vlak loodrecht op de as werken, worden bewogen. Om nn lijj een schroef die tot bevestiging moet dienen, te verhinderen dat dit gebeurt door toevallige schokken of trillingen, is het noodig, de windingen van den schroefdraad krachtig tegen die van de moer te drukken. Dit kan b.v. op de volgende wijze gedaan worden. Men verbeelde zich de moer van Fig. 133, li uit twee boven elkaar geplaatste deelen samengesteld (moer en contramoer) en deze door een draaiing in tegengestelde richting tegen elkaar gedrukt. De eene moer drnkt dan de andere tegen de windingen van de schroef aan. (/. Als in het middelpunt van een cilinder die op een horizontaal vlak ligt, een horizontale kracht loodrecht op de as werkt, zou hij bij afwezigheid van alle wrijving voortschuiven of glijden. Zijn evenwel de oppervlakken ruw genoeg en worden zij genoegzaam tegen elkaar gedrukt, dan verhindert de wrijving de verplaatsing van het raakpunt over het vlak. Do cilinder kan dan alleen roortrollen, en deze beweging zou reeds bij een zeer kleine horizontale kracht ontstaan, wanneer zich niet een weerstand van anderen aard dan de tot nu toe besprokene, do zoogenaamde rullende irrijrhig, daartegen verzette. Deze is hier¬ aan toe te schrijven , dat de cilinder en het steunvlak iets worden ingedrukt , zoodat er een klein aanrakingsoppervlak bestaat. De voortdrijvende kracht /'(Fig. 162) moet nu den cilinder om de ljjn a opkantelen , en daartoe moet zij een zekere grootte hebben. In tegenstelling met deze rollende wrijving wordt de weerstand waarvan in het begin van deze sprake was, slee pende irrijvnuj genoemd. Dat de wielen van een rijtuig ten doel hebben, de sleepende Fig. 1(>2. jfc wrijving door do kleinere rollende wrijving te vervangen, en dat men door remblokken tegen de wielen te drukken een sleepende wrijving opwekt, die het voertuig doet stil staan, behoeft slechts met een enkel woord vermeld te worden. Ten slotte merken wij nog op dat zoowel de rollende als de sleepende wrjjving gebleken is, gedurende de beweging kleiner te zijn dan op het oogenblik waarop die nog moet beginnen. Om een lichaam mot standvastige snelheid voort te schuiven is een kleinere kracht noodig dun 0111 het in beweging te brengen. $ 183. Arbeid en arbeidsvermogen bij werktuigen die in beweging zijn. Men verbeelde zich, om een bepaald geval voor oogen te hebben, oen stoomwerktuig dat een aantal zaagmachines in beweging brengt. Wij kunnen deze alle met het stoomwerktuig als ('.én stelsel van lichamen op\ atten, waarbij wij echter zoowel den stoom als het door te zagen hout zullen uitsluiten. De druk van den stoom tegen den zuiger, en de kracht waarmee het hout zich tegen de beweging der zagen verzet, zijn dan uitwendige krachten, de eerste een beweegkracht, de laatste een weerstand die, daar het overwinnen ervan het doel van de werktuigen is, wel eens „nuttige" weerstand genoemd wordt, Bovendien bestaan er „schadelijke" weerstanden, zooals de wrijving en de weerstand van de lucht. Bij de beweging verricht de beweegkracht een positieven arbeid, dien men uit den druk tegen den zuiger en de verplaatsing die deze ondergaat kan afleiden. Elke weerstand daarentegen verricht een negatieven arbeid; men zou dezen b.v. bij een zaag uit den weg dien hij aflegt en de kracht die hij van het hout ondervindt kunnen berekenen. Zij, gedurende eenig tijdsverloop, .4 de arbeid van de beweegkracht, — B die van de nuttige en — C die van de schadelijke weerstanden. Is dan A > #-f-C, oï is. Wij kunnen opmerken dat het traagheidsmoment verschillende waarden heeft, naarmate het ten opzichte van de eene of de andere as wordt genomen, dat iedere toevoeging aan een lichaam van een nieuwe massa ook het traagheidsmoment vergroot, en eindelijk dat deze grootheid niet alleen van de massa der deelen van het lichaam afhangt, maar ook van den afstand waarop zij van de as zijn verwijderd. Een zelfde massa zal nl. bij een bepaalde hoeksnelheid een des te grootore kinetische energie hebben, naarmate zij verder van de as geplaatst is. De invoering van het traagheidsmoment maakt het mogelijk, verschillende vraagstukken omtrent wentelende lichamen op te lossen. Een van de belangrijkste daarvan is de bepaling der beweging van een zoogenaainden physischen slinger. Men geeft dezen naam aan elk vast lichaam dat onder den invloed van de zwaartekracht om een vaste horizontale as kan draaien. Zulk een lichaam verkeert in stand- jfa jfo/. vastig evenwicht, wanneer het zwaartepunt Z (Fig. 163) verticaal beneden de as O ligt. Wordt de slinger uit dezen stand nvor non ^pkorrm ImoW vprnlnafsf znni-lni ~ — ' I 1 "WWV.WV het zwaartepunt in Z' komt, en vervolgens losgelaten, dan zal hij 0111 don evenwichtsstand heen- en weerschommelen en daarbij telkens aan weerszijden evenveel uitwijken , zooals men uit de wet van het behoud van arbeidsvermogen kan afleiden. Met behulp van diezelfde wet kan men bepalen welke hoeksnelheid « de slinger in een willekeurigen stand, als b.v. het zwaartepunt in Z" is, heeft. Want, sedert het verlaten van den uitersten stand, is het arbeidsvermogen van plaats verminderd met een bedrag dat men vindt door het gewicht P met de verticale projectie van Z' Z' te vermenigvuldigen. Aan dat bedrag moet nu de kinetische energie in den stand O Z" gelijk zijn, d. w. z. het product £ Q co2, als Q het traagheidsmoment ten opzichte van de as is. Is deze laatste grootheid bekend, dan kan dus ook « worden bepaald, wat voldoende is om de beweging stap voor stap te volgen. Men heeft op deze wijze aangetoond dat bij kleine waarden van de amplitudo, elk punt, evenals het stoffelijke punt van een mathematischen slinger, een enkelvoudige trilling uitvoert. De tijd, noodig voor de beweging van den eenen uitersten stand naar den anderen wordt bepaald door de formule f>=»Vp/ <4) als / den afstand van het zwaartepunt tot de as voorstelt. Substitueert men in deze formule P=Mg, waarin M de massa van den slinger is, dat gaat zij over in •=-V^r 19 Fig 1 (>3. ffe J Hieruit blijkt hoe men de versnelling van de zwaartekracht uit waarnemingen omtrent den schommeltijd kan afleiden, wanneer men Q kan bepalen. Men ontgaat deze laatste bepaling door gebruik te maken van de eigenschap van het slingerend lichaam, dat er verschillende evenwijdige assen zijn nnn te wjjzen welke, als draaiingsas genomen, denzelfden schommeltijd opleveren. Men kan steeds twee zulke assen vinden, die aan weerszijden van het zwaartepunt, en op ongelijke afstanden daarvan gelegen zijn. Kent men deze ten naastenbij, dan kan men door een verschuif baar gewicht den schommeltijd zoo regelen, dat hij voor beide assen even groot is (reversieslinger); de theorie leert dat dan de afstand van de assen gelijk is aan de lengte van een mathematischen slinger die denzelfden schommeltjjd heeft. Uit dezen tijd, in verband met den genoemden afstand, vindt men hebben de bedoelde punton de snelheden rto>, r3io, enz. De kinetische energie is dus JK + r,!-4-»»a ras+ enz. . .) u2, of IQ"*, als men Q — mi >"1* *>tt »•,' -J- ma »*3* —f— enz. . . = 2m r* . . . (5) stelt. Dezo vergelijking doet zien hoe men hot traagheidsmoment kan berekenen. Is M de massa van het lichaam, dan stelt e = VS ) en (6) heeft men de volgende waarden daarvoor gevonden. Voor een bol met den straal R, ten opzichte van oen middellijn voor oen cilinder met don straal R en do hoogte //, met betrekking tot de meetkundige as voor hetzelfde lichaam met betrekking tot een lijn. door het zwaartepunt loodrecht op de meetkundige as getrokken, e = I ' T77P; voor oen rechthoekig parallelepipedum met do ribben o fób.f jiS7 Verder vindt men gemakkelijk voor de vertioalo stijyiny van het zwaartepunt, als O Z = l is, / (1 — cos ) (9) 011 (§ 40, f) '2 ji a . / t \ at ('O) ►substitueert men deze waarden in (8), dan komt in den eenen term cos2 ( 2 71 'T +p ) en in den anderen sin 2 (2 71 T 1>S)' D° soin wordt onafhankeljjk van» den tjjd, wanneer deze tweede machten gelijke coëftieienten hebben. Dit geeft do voorwaarde Fig. 165. T—yJ-ï, of l'Jndoljjk vindt men de vergelijking (4) door to bodenkon dat & = J T is. I). Duiden wij met Z, Al en A, de assen aan, die (Fig. 165) door het zwaartepunt Z en door do daarmee op een rechte lijn liggende punten Ai eu A2, loodrecht op hot vlak van do teekoning gebracht worden, en zij ZA.=d,, ZA,—d„, M de massa en l it deze vergelijking, in verband met (12), volgt q = Q' en A' = /■!-* (13) Fig. 170. Het is nu slcehts noodig dat de toegevoegde massa een zoo eenvoudi"-en vorm heelt, dat het traagheidsmoment daarvan door berekening kan worden gevonden Die massa kan b.v. uit twee gelijke gewichten, even ver van „ verwijderd, bestaan, of uit een horizontalen ring, waarvan het middelpunt met n gaan evenals deze met een voortdurende omzetting van potentieele in kinetische energie en omgekeerd gepaard. Zijn de draden onrekbaar en ziet men van hun wringing af, dan kunnen de veranderingen van het arbeidsvermogen van plaats uit de verticale rijzingen en dalingen van het zwaartepunt berekend worden. De duur vtin vnrf>fli brengt in een willekeurig punt o een zekere magnetische kracht (§ 192) o p te weeg, de aarde een magnetische kracht o q. De resultante o r bepaalt de richting van de krachtlijn in oen in deze richting zal zich een zoor kleine magneetnaald plaatsen (§ 192). Daarbij valt nu nog het volgende op te merken. a. Bevindt zich het punt o op de lijn die N Z loodrecht Fig. 171). Fig. 177. midden door deelt (Fig. 177), dan is do magnetische kracht op, die N en Z te zamen uitoefenen, evenwijdig aan N Z. b. Staat de kracht op (Fig. 176) loodrecht op den magnetischen meridiaan, dus ook op o q, dan wordt de afwijkingshock re, die een in o geplaatste kleine magneetnaald door NZ verkrijgt, bepaald door , op tg re = -. 0 q De tangens van den afwykingshoek is dus in dit geval evenredig met de werking van NZ. c. In sommige galvanometers wenscht men de kracht waarmee een magneetnaald in een bepaalden stand wordt vastgehouden, klein te maken, opdat een zwakke electrische stroom een merkbare afwijking aan de naald zal geven. Men kan dit doel bereiken door een vasten magneet (compenseerende magneet) aan te brengen, die op de polen van de naald krachten uitoefent, die de van de aarde afkomstige geheel of grootendeels opheffen. Daarbij heeft men ook de richting waarin de naald zich plaatst in zijn macht. Ts nl. de aard magneetkracht oq (Fig. 178) gegeven, dan kan men een resultante or van 11 ('«) die het van het koppel ontvangt (§ 186, a). Q is het traagheidsmoment ten opzichte van de as van wenteling. liet lichaam voert nu enkelvoudige schommelingen uit en wel zoo dat do hoeksnelheid bij het gaan door den evenwichtsstand telkens door de uitdrukking (16) bepaald wordt. Stelt men deze schommelingen door de formules (9) en (10) van § 187, a voor, dan ziet men dat do waarde (16) en dus de eerste uitslag a de waarde _ Mt Ml 9 2 7i Ó n Q heeft. lil deze laatste tormulc is T. Bedenkt men nu dat y 9-"Va- A' ■&'' is, als A' de in § 187, e aangegeven beteekenis heeft, en dus Q= ' ,ilan ti2 kan men schrijven 71 Mz a=' kW' (,7) oen vergelijking die men ook vindt door in aanmerking te nemen dat het lichaam den evonwiuhtsstand verlaat met de kinetische eneririe l M ' Q en dat do potentieele energie (S| 187, e) J K «2 op het oogenblik van de grootste uitwjjking daaraan gelijk moet zijn. Zoeken wij nu het koppel X, dat, roortdurend werkend, een even grooten /dijeenden uitslag kan teweegbrengen. Daar dit met het terugdrjjvende koppel evenwicht zou moeten maken, is N = ak (18) Men heeft derhalve tusschen de koppels M en N, die dezelfde uitwijking geven, het eene als eersten uitslag, het andere bljjvend, do betrekking 71 M T N== » <19> Hij dit alles is ondersteld dat er geen demping bestaat. Is er een weerstand die van de snelheid afhangt, dan heeft (t niet meer de door (17) bepaalde waarde. De formule (18) blijft gelden, maar (!!!) moet duor een betrekking van meer ingewikkelden vorm worden vervangen. iïloo- J VIERDE HOOFDSTUK. EVENWICHT EN BEWEGING VAN VLOEISTOFFEN EN GASSEN. § 200 i)nik van een vloeistof of' een gas. Zoowol de toestandsveranderingen die door uitwendige oorzaken worden teweeggebracht, als de daardoor opgewekte inwendige krachten zijn, in vergelijking met de vaste lichamen, bij vloeistoffen en gassen van bijzonder eenvoudigen aard. Bij een eerste beschouwing van deze lichamen komen alleen veranderingen van liet volume ter sprake, waarbij steeds de onderlinge rangschikking van de deeltjes in alle richtingen dezelfde is, en bestaan de inwendige krachten in een „druk", waarvoor eenvoudige wetten gelden. Bevindt een vloeistof zich in een cilinder die door een bewegelijken zuiger is afgesloten, of in een ruimte waarvan zulk een cilinder deel uitmaakt, dan kan men, door den zuiger naar binnen te drukken, het volume verkleinen. De vloeistof tracht zich dan aanstonds weer uit te zetten (veerkracht) en oefent daardoor tegen de wanden van het vat een druk uit; eveneens zullen naast elkaar liggende deelen van de stof tegen elkaar drukken. Hetzelfde is bij een gas het geval, maar er bestaat tusschen de beide aggregatietoestanden een groot verschil wat den graad van toenadering betreft, die door bepaalde uitwendige krachten aan de deeltjes gegeven wordt. Bij de vloeistoffen waarmee men gewoonlijk te doen heeft, is de volumevermindering zoo gering, dat zij zelfs langen tijd aan de waarneming is ontsnapt; omgekeerd zetten zij zich, als een eerst aanwezige uitwendige druk wordt verminderd of opgeheven, zeer weinig uit. Uit een praktisch oogpunt mogen meestal deze stoffen als onsaniendrukbaar beschouwd worden. Een gasmassa daarentegen vertoont zeer groote volumeveranderingen; voor de uitzetting bij drukvermindering bestaat hier zelfs geen grens, zoodat een gas nooit zonder uitwendigen druk in een begrensd volume kan worden gehouden. Overigens kan de druk niet alleen door het naar binnen dry ven van een zijwand, maar ook door andere uitwendige krachten worden veroorzaakt. De zwaartekracht drukt steeds de bovenste lagen tegen de onderste en vermindert de ruimte die deze laatste innemen § 201. Richting van <1t*n druk. De druk staat bij vloeistoffen en gassen loodrecht op het vlak waarop hij werkt. Dit geldt vooreerst van de krachten die tegen begrenzende wanden of ingedompelde vreemde lichamen worden uitgeoefend , maar ook van de wederkeerige krachten tusschen de deelen van de stof die door een willekeurig denkbeeldig oppervlak van elkaar gescheiden zijn. Tangentiale spanningen, zooals bij vaste lichamen (§ 1G8, c), bestaan, althans in stilstaande vloeistoffen, niet. Nemen wij voor het zoo even bedoelde oppervlak een plat vlak V (Fig. 181); het deel I van het Fi 18l lichaam oefent dan op het deel 11 een groot aantal evenwijdige krachten uit, zooals die in de figuur voor een deel a b van het vlak zijn voorgesteld. Natuurlijk ondervindt 1 van II gelijke en tegengestelde krachten. Door de in de figuur aangewezen krachten met elkaar samen te stellen, dus bij elkaar op te tellen, vindt men den „druk over het vlak a bDeze is evenredig met de uitgestrektheid van a b, zoolang overal langs V de stof in gelijke mate is samengedrukt; deelt men hem dan door de grootte van a b, dan vindt men den druk per vlakte-eenheid.. Verandert de toestand van punt tot punt, dan zullen op naast elkaar liggende gelijke deelen van het vlak V ongelijke jioj. jlöl krachten werken en zal de druk op een deel van het vlak niet meer evenredig met de uitgestrektheid daarvan zijn. Men kan zich evenwel rondom een punt P een zoo klein deel of element van het vlak voorstellen, dat de toestand in alle punten daarvan als gelijk mag beschouwd worden. Deelt men den druk op dit element door het oppervlak ervan, dan krijgt men den druk in P per vlakte-eenheid Wordt de vlakte-eenheid klein genoeg gekozen, dan kan men het element daaraan gelijk nemen. Menigmaal mag \oor den druk per mm2 de kracht worden genomen, die iverkelijk op een mm- wordt uitgeoefend. Is er sprake van (le (/rootte van den druk zonder aanwijzing van een bepaalde vlakteuitgebreidheid, dan wordt de druk per vlakte-eenheid bedoeld. Nu en dan zullen wij echter ook van den druk op een vlakte-element of van den totalen druk op een wand van een vat spreken, en ook wel eens, wanneer de druk per vlakte-eenheid bedoeld wordt, dat uitdrukkelijk er bij zeggen. Hij de bewegingsverschijnselen van vloeistoffen en gassen doen zich gevallen voor, waarin de wederkeerige werking tusschen twee deelen van de stof niet loodrecht op het scheidingsvlak staat; zulke gevallen blijven echter voorloopig buiten beschouwing. § 202. In een bepaald punt is de druk in alle richtingen even groot. Iirengt men door een willekeurig punt P in het binnenste van een vloeibaar of gasvormig lichaam een vlakte-element achtereenvolgens in verschillende richtingen, dan is de druk daarop steeds even groot, zoodat men van „den druk in P" kan spreken zonder de richting van het vlak nader aan te geven. Deze belangrijke wet is een gevolg van de groote bewegelijkheid der molekulen. Een vast lichaam kunnen wij eenzijdig samendrukken, en wanneer de staaf van § 168,«, nadat hij is samengedrukt en daarbij, zooals later zal blijken, in horizontale richting is uitgezet, door een nauw- siuitenden koker omringd werd, zou hij tegen de zijwanden daarvan in het geheel niet drukken, maar alleen tegen het steun vlak bij 13. Wordt echter een vloeistof die zich in een cilinder onder een zuiger bevindt, ineengeperst, dan trachten de deeltjes altijd ook zijdelings te ontwijken. Zijn zij daarin verhinderd, dan zijn zij in richtingen loodrecht op de as van den cilinder in dezelfde mate dichter hij elkaar gekomen als in de richting van die as. üp dezelfde wijze zal in een vloeistof- of gasmassa, hoe zij zich ook beweegt, en welke krachten er ook op werken, ieder klein ruimtedeel in alle richtingen even sterk samengedrukt zijn, waarvan het boven omtrent den inwendigen druk gezegde een onmiddellijk gevolg is. § 203. Geval waarin de druk in alle punten even groot is. De vraag in hoeverre in een stilstaande massa de druk van het eene punt tot het andere verandert, kan men beantwoorden door in liet oog te houden ($ 108) dat een lichaam alleen dan in evenwicht kan zijn, wanneer de krachten die een willekeurig deel ervan ondervindt, elkaar opheffen. Voor het gedeelte van een vloeibare of gasvormige massa, dat binnen een denkbeeldig gesloten oppervlak ligt, komen daarbij, behalve krachten zooals de zwaartekracht, al de drukkingen in het spel, die door de omringende stof worden uitgeoefend. Bij liet opmaken van de evenwichtsvoorwaarde behoeft op de „vloeibaarheid" van het beschouwde deel niet gelet te worden (§ 1 Gï)). Meestal zullen wij zeer smalle prismatische of cilindrische vloeistofzuiltjes beschouwen met eindvlakken, loodrecht op de lengte, en de evenwichtsvoorwaarde opzoeken voor de krachten in de richting rail de lengte. Daar de druk op het zijdelingseh oppervlak overal loodrecht op de lengte staat, kan deze druk daarbij buiten beschouwing blijven. Aanstonds ziet men nu dat een vloeistof of een gas, als op het binnenste geen uitwendige krachten werken, alleen in evenwicht kan zijn, wanneer de druk overal even groot is. Want een willekeurig zuiltje moet aan de eindvlakken gelijke krachten ondervinden, en daar de eindvlakken even groot zijn, moet ook de druk per eenheid van oppervlak aan weerszijden dezelfde waarde hebben. Zoodra aan deze voorwaarde niet voldaan was, zou de vloeistof in beweging geraken. pol Alleen dan mag natuurlijk deze stelling worden toegepast wanneer van de werking der zwaartekracht mag worden afgezien, dus in die gevallen, waarin de druk dien de zwaartekracht in de onderste lagen veroorzaakt, klein is in vergelijking met den druk die op andere wijze ontstaat. Als voorbeeld kan een gasmassa van matige afmetingen dienen, of een vloeistof waarop door een zuiger een groote kracht wordt uitgeoefend (het water in een hydraulische pers). Is eenmaal een vloeistofmassa op het binnenste waarvan geen uitwendige krachten werken, in evenwicht, en vervangt men dan het binnen een gesloten oppervlak liggende deel door een willekeurig vast lichaam van gelijken vorm, zonder aan den druk van de omringende vloeistof iets te veranderen, dan moeten de krachten die deze op dat lichaam uitoefent, elkaar nog altijd opheffen. Van daar de stelling, die men trouwens ook meer rechtstreeks bewijzen kan: werkt op een willekeurig lichaam van alle zijden een even groote normale druk, dan heffen al deze krachten elkaar op, wat de beweging van het lichaam in zijn geheel betreft. Men kan zich van deze uitkomst somtijds bedienen, om de resultante te vinden van een overal even grooten nor¬ malen druk, die op een niet gesloten gebogen oppervlak werkt. Wil men dit b.v. doen voor de in Fig. 182 aangewezen drukkingen op het halve boloppervlak a b c, dan kan men opmerken dat, wanneer ook op het platte vlak a Mc een per vlakte-eenheid even groote druk werkte. het half bolvormige lichaam abcM in evenwicht zou zijn. De gezochte resultante li werkt dus langs de lijn b M en wordt gevonden door tien druk per vlakte-eenheid met de grootte van het platte vlak aMc te vermenigvuldigen. § 204. Invloed van de zwaartekracht op den inweiidigeii druk. De samenpersing van de onderste lagen van een vloeistof- of gasmassa door het gewicht van de bovenste gaat zoo ver voort, tot elk zuiltje dat men zich in de H vloeistof kan denken (§203) in evenwicht is. Hoe dan de druk van punt tot punt verandert, blijkt uit het volgende. a. Daar een horizontaal zuiltje door de zwaartekracht niet in de richting van zijn lengte wordt voortgedreven, moet de druk in alle punten van een horizontaal vlak even groot zijn, ten minste zoo lang men in dit vlak van het eene punt naar het andere kan gaan zonder de vloeistof te verlaten. b. Een verticaal zuiltje a b (Fig. 183) kan alleen in evenwicht zijn, wanneer de druk tegen het grondvlak dien tegen het bovenvlak overtreft met een bedrag dat gelijk is aan het gewicht van het zuiltje. Ten einde aanstonds het verschil te leeren kennen tusschen dentlg"183" druk in a en dien in b, beide per vlakte-eenheid genomen, kennen wij aan het zuiltje een doorsnede gelijk aan die eenheid toe. De druk in b overtreft derhalve dien in a met het gewicht van de verticale vloeistof- of gaskolom die, met de doorsnede /, tusschen a en b wordt aangebracht. Bij gassen kan de toepassing van deze stelling in zoo verre zwarigheid opleveren, dat men, wegens de verandering der dichtheid met de hoogte, het gewicht van de kolom moeilijk berekenen kan. Dit neemt intusschen de juistheid van de stelling niet weg. Wij kunnen die b.v. toepassen op een verticale kolom, stel van 1 cin2 doorsnede, die zich in de open lucht tot aan de grens van den dampkring verheft; de kracht waarmee de aarde de in die kolom aanwezige lucht aantrekt, bepaalt den druk op het grondvlak. Even groot is dan ook (§202) de druk op een op dezelfde hoogte als dit vlak verticaal of scheef geplaatsten cm2, en even groot is ook de druk in hetzelfde horizontale vlak binnen een vertrek dat door een, al is het nog zoo enge, opening met de buitenlucht in gemeenschap staat. Wegens het geringe gewicht van een 1 lichtkolom die tot aan den zolder van het vertrek reikt, mag men dikwijls van do drukverschillen in dit laatste afzien. De druk dien de lucht in het vertrek tegen de wanden en andere voorwerpen uitoefent, is niet het gevolg van het gewicht van deze lucht zelf, maar van het gewicht der buitenlucht, waardoor de lucht in de kamer wordt samenged rongen. c. Een vloeistofmassa die langs een deel van haar oppervlak met de dampkringslucht in aanraking is, ondervindt van deze laatste een overal even grooten druk, zoodat ook de druk in de vloeistof, even beneden het oppervlak , overal dezelfde waarde moet hebben. Is dit oppervlak een plat vlak, dan kan men zich een zuiltje denken, onmiddellijk langs liet oppervlak liggende. Zulk een zuiltje wordt dan in de richting van de lengte noch naardeeene noch naar de andere zijde gedrukt. Werken er uitwendige krachten, zooals de zwaartekracht, dan kan liet kolommetje alleen in evenwicht zijn, wanneer het loodrecht op de richting van de kracht staat. Van daar dat in gewone f/evallen een vrij vloeistofoppervlak een horizontaal plat vlak is. Is het oppervlak gebogen, dan kan men toch steeds een zoo klein gedeelte ervan beschouwen, dat dit aan een plat vlak gelijkgesteld kan worden, en daarlangs een klein zuiltje aanbrengen, waarop dan dezelfde redeneering weer kan worden toegepast. Het vrije oppervlak zal in den evenwichtstoestand overal loodrecht staan op de kracht die er op werkt. Wordt een vloeistofmassa om een verticale as rondgewenteld, dan neemt men dezelfde verschijnselen waar, die zich zouden voordoen (§ lt'7), als de wenteling niet bestond, maar op de vloeistofdeeltjes de middelpuntvliedende kracht werkte. Het holle vloeistofoppervlak staat overal loodrecht op de resultante van de genoemde kracht en de zwaartekracht. Gemakkelijk zal men 1111 ook inzien dat een vloeistofmassa die het lichaam M van Fig. 1(X) (blz. 197) omringde en waarvan de deeltjes aan de in § 128 besproken krachten onderworpen waren, aan de buitenzijde begrensd zou moeten zijn door een der in die § besproken evenwichtsoppervlakken. d. Keeren wij terug tot een vloeistof die in het homogene veld van de zwaartekracht geplaatst is. Zoodra zij {lof Fig. 184. ergens met de dampkringslucht in aanraking is, kent men den druk op die plaats; men kan dan niet behulp van het onder a en b gezegde den druk leeren kennen in elk punt b, dat men, van het vrije oppervlak S uitgaande, bereiken kan zonder de vloeistof te verlaten. Men kan nl. altijd, welke gedaante het omsluitende vat V (Fig. 184) ook heeft, binnen de vloeistof een lijn van a naar b trekken, die uit horizontale en verticale wegen is samengesteld. Langs die lijn gaande moet men soms horizontaal voortgaan, waarbij men punten doorloopt, waar de druk even groot is, en soms dalen of stijgen. Duiden wij iedere daling door h en iedere stijging door h aan, en stellen wij liet gewicht van een vloeistof kolom die de vlakte-eenheid tot doorsnede heeft voor door haar lengte tusschen haakjes te schrijven, dan neemt bij elke daling de druk toe met |/j|, maar vermindert li ij bij elke stijging met |/j'|. Derhalve wordt, als P de dampkringsdruk is, de druk in b p = P+2[h\ — 2\h'], waarbij de somteekens geen toelichting zullen behoeven. Is nu bc de lijn die in verticale richting van ft naar den vloeistofspiegel S of het verlengde daarvan wordt getrokken, dan is klaarblijkelijk p — P-\- [c 6], wanneer (Fig. 184) b beneden, en P = P- Ml, wanneer (Fig. 185) b boven den vloeistofspiegel ligt. Opmerking verdient hierbij vooral, dat liet teeken |r &| het gewicht voorstelt, dat een vloeistofzuil zou hebben, wanneer zij de lengte cb had. Het is voor de geldigheid van de mee- Fi^'. 185. 21 fa gedeelde formules niet noodig dat werkelijk de lijn c b binnen de vloeistof valt. Overigens zal het nu duidelijk zijn dat in twee willekeurige, even hoog gelegen punten, waartusschen een in de vloeistof liggende lijn kan worden getrokken, de druk altijd even groot is, dat overal in het verlengde van den spiegel de druk = P moet zijn en dat, als het vrije oppervlak van de vloeistof uit twee van elkaar gescheiden deelen bestaat, die aan een even grooten uitwendigen druk zijn blootgesteld, die deelen in eikaars verlengde moeten liggen (wet der communiceerende vaten). § 205. Toepassingen, a. Wanneer wij van de dampkringsdrukking afzien, is de totale druk op den horizontalen bodem van een open val altijd gelijk aan het gewicht van een vloeistofzuil die van den bodem verticaal tot aan het vlak van den vloeistof spiegel zou oprijzen. Men zal gemakkelijk vormen van het vat kunnen bedenken, waarbij dit gewicht kleiner of grooter is dan dat van de geheele vloeistofmassa. Neemt men echter ook den druk tegen de zijwanden in aanmerking, die, loodrecht daartegen werkende, in den regel overal in een verticale en een horizontale component kan ontbonden worden, dan zal men inzien dat toch de resultante van alle krachten die het vat van de vloeistof ondervindt, gelijk kan worden aan het gewicht van de vloeistof, zooals het geval moet zijn. b. l)e horizontale wand A li van het in Fig. 185 voorgestelde vat ondergaat een druk naar boven, gelijk aan het gewicht dat een vloeistof volume A B C1) zou hebben. c Druk tegen een niet horizontalen vlakken wand A li {Fig- 186). Zij (evenals in de volgende figuren) S de vloeistofspiegel, ab een oneindig klein deel van den wand, p q een op dezelfde hoogte gelegen even groot horizontaal vlakte-element, p q p q' de daarboven staande, tot «S' reikende vloeistof kolom. Het gewicht daarvan geeft den druk op ab aan; deze is (lus klaarblijkelijk grooter clan het gewicht van de kolom a b a b', die werkelijk boven a b staat. De druk tegen den geheelen wand wordt gevonden door met elk element op de aangegeven wijze te handelen en de verkregen krachten met elkaar te stellen. Wjj denken ons den wand A B horizontaal gelegd en hoven elk punt a de vloeistof tot een hoogte geplaatst, die gelijk is aan a a' in Fig. 180. Dan Btaat werkelijk boven elk element ab een vloeistof kolom, waarvan liet gewicht gelijk is aan den druk, die in Fig. 186 op ab werkt; derhalve is in die figuur de totale druk op A li gelijk aan het gewicht van de geheele vloeistofmassa die men op de aangegeven wijze krijgt, een massa, die de gedaante heeft van een kolom, staande op den horizontaal geplaatsten wand en aan de bovenzijde door een plat vlak scheef afgesneden. De loodlijn, uit het zwaartepunt van deze kolom op haar horizontale grondvlak neergelaten, bepaalt door haar voetpunt het aangrijpingspunt van den resulteerenden druk in Fig. 186. Deze beschouwing is ook op een verticalen wand van toepassing. d. Wet van Archimedes. Daar op een vaat lichaam dat in een vloeistof is ondergedompeld, aan de benedetizijde een groot-ere druk werkt dan aan de bovenzijde, is de resultante van al de drukkingen op het oppervlak een verticaal naar boven gerichte kracht. Deze is altijd gelijk aan het gewicht van de vloeistofmassa die de door het vaste lichaam ingenomen ruimte zou kunnen vullen, m.a.w. aan het gewicht van de verplaatste vloeistof. Het laatste ziet men onmiddellijk in voor een recht prisma met horizontaal grond- en bovenvlak. Hierbij toch worden de drukkingen op grond- en bovenvlak gegeven door het gewicht van vloeistof kolommen die, op deze vlakken staande, tot aan den vloeistofspiegel zouden reiken. Hij een lichaam van willekenrigen vorm kan men den druk op elk element beschouwen en dit stelsel van krachten met elkaar samenstellen of, wat eenvoudiger is, een redeneering toepassen, die met de in § 203 gebezigde overeenkomt. Vervangt men nl. het vaste lichaam door de vloeistofmassa die dezelfde ruimte inneemt, dan is deze te midden van de omringende vloeistof in evenwicht; de resultante van al de krachten die zy daarvan ondervindt, en die dezelfde zijn, die eerst op het vaste lichaam jf$0b jfjöï werkten, moet dus gelijk en tegengesteld aan haar gewicht zijn. Bovendien moet zij met dit gewicht langs dezelfde lijn werken; daaruit volgt dat de opwaartsche druk ook bij het vaste lichaam door het zwaartepunt van de verplaatste vloeistof gericht is. Het bovenstaande is ook van toepassing op een drijvend lichaam dat slechts ten deele is ondergedompeld; onder de verplaatste vloeistof heeft men hierbij die te verstaan, ivelke de door het lichaam ingenomen ruimte zou vullen, voor zoover deze beneden den vloeistof spiegel ligt. Een geheel ondergedompeld lichaam kan in de vloeistef in evenwicht zijn wanneer het gewicht ervan gelijk is aan dat van de verplaatste vloeistof; het plaatst zich dan echter in den regel in een bepaalde richting, waarheen liet na elke draaiing terugkeert. Bij een willekeurigen stand (Fig. 187) werkt nl. op het lichaam de zwaartekracht, die geacht kan worden in het zwaartepunt Z aan te grijpen, en de even groote opwaartsche druk, de laatste langs een liin die door liet zwaartepunt Z van de verplaatste vloeistof gaat. Deze beide krachten vormen een koppel. In standvastig evenwicht is het voorw erp eerst dan, wanneer Z verticaal beneden Z ligt. Het evenwicht bestaat in eiken stand. wanneer liet lichaam homogeen is: dan vallen nameliik w , - d Z en Z samen. De vraag, wanneer een drijvend voorwerp in stabiel evenwicht is, wordt door een dergelijke beschou— wing beantwoord. Fig. 188 stelt b.v. een verticale doorsnede voor van een homogeen rechthoekig parallelepipedum; het vlak van de figuur gaat door het middelpunt en loopt evenwijdig aan een der zijvlakken. Het zwaartepunt van de verplaatste vloeistof valt samen met dat van het trapezium A B E F\ (lat van het lichaam met het zwaartepunt van den rechthoek AliCl). Men ziot hoe het gewicht en de opwaartsche druk een koppel opleveren, dat het parallelepipedum terugdrijft naar een stand waarhij .4 li horizontaal is. Gemakkelijk zal men inzien dat een homogene cilinder, waarvan de lengte veel grooter is dan de dwarsafmetingen, veelal in wankelbaar evenwicht zou zijn als hij, met de lengte verticaal, dreef. Om zulk een lichaam in dezen stand te houden is dan een belasting aan het benedeneinde noodig. Wij moeten niet verzuimen, ten slotte 1'ig. 189. op te merken dat de wet run Archimedes ook geldt, wanneer de omringende stof gasvormig is; ook kan het ondergedompelde lichaam vloeibaar of gasvormig zijn. Dat een licht gas in een zwaarder gas opstijgt is als een gevolg van de wet te beschouwen. e. Hevel. De omgebogen buis van Fig. 189 is met zijn eene einde in de vloeistof van het vat .4 gestoken en, nadat hij geheel met de vloeistof gevuld is, bij !...!.. ....— i... l pi ui>> is, naarmate , en daarboven in het eene been later tot c. Daar in een punt van b en een ' vvvv* "» VV11 V llll 1/ CI1 ÜÜIl weede punt dat in het andere been in hetzelfde horizonale vlak ligt, dezelfde druk moet bestaan, is de even- flos f205 stof daarin gelijk was aan de verticale hoogte van het kwik m de barometerbuis boven dat in den bak. Bij een hevelbarometer (Fig. 192) wordt op dezelfde wijze de druk van den dampkring aangegeven door den verticalen afstand van de kwikoppervlakken c en b. Gemakkelijk kan men uit den barometerstand den druk van de lucht in dynes per cm2 afleiden. Men vindt daarvoor bij den gemiddelden barometerstand van 7G cm (kwik van 0' C.) 1,014 X 10" dynes. Doet men de buis van een barometer hollen, dan blijft de verticale hoogte van het kwik boven den vloeistofspiegel in den bak onveranderd. Hij een genoegzame helling vult het kwik de buis geheel en drukt zelfs tegen den bovenwand daarvan; de bedoelde druk is gelijk aan het gewicht van een kwikkolom waarvan men de lengte vindt :loor de verticale hoogte van den top der buis boven floS. den kwikspiegel af te trekken van de barometerhoogte. Hetzelfde geldt bij een verticale buis die korter is dan de barometerhoogte, en geheel met kwik is gevuld. Past men dezelfde berekening toe op een buis die langer is dan de barometerhoogte, in de onderstelling dat de vloeistof tot aan den top reikt, dan vindt men een negatieve waarde voor den druk. D. w. z., de buis kan alleen gevuld zijn, wanneer het kwik aan het glas hangt, en wanneer eveneens het bovenste deel van de kwikkolom de lager gelegen vloeistof door een aantrekkende kracht draagt. Bij een goed uitgekookten barometer kan men werkelijk somtijds waarnemen dat, na het omkeeren van de buis in den kwikbak en het wegnemen van den vinger, de kwikkolom zich eerst na een licht kloppen van den top der buis scheidt. Uitdrukkelijk wijzen wij er nog op dat in al de besproken gevallen de druk alleen daarom overal kan bepaald worden, omdat er een plaats is, waar hij bekend is. Jiij een vloeistofmassa die aan alle zijden door vaste wanden is ingesloten moet men den druk uit andere gegevens, til. uit de hoeveelheid stof, de temperatuur en het volume afleiden. g. In elke vloeistof en in elk gas bleek ons Fig. 193. de druk beneden grooter te zijn dan boven; hoeveel dit verschil bedraagt hangt echter van de dichtheid der stof af. Laat b.v. A een punt beneden en A' een punt boven in een gasleiding zijn, en laat li en li' twee punten in de lucht zijn, die resp. even hoog 'iggen als .1 en .1'. Daar hot lichtgas lichter is dan de lucht, zal, als er in de leiding evenwicht bestaat, het drukverschil tusschen .1 en A' kleiner zijn dan dat tusschen li en li', waaruit volgt dat de overmaat van druk in de gasleiding boven do buitenlucht boven in een trebouw grooter is dan uu IIUIll lI V. 111 beneden. Aangezien de lucht bij de gewone dichtheid ongeveer rw>mnn do vloeistofmassa a b weg te nemen en daarmee de ruimte dc te vullen; klaarblijkelijk toch komt het er, wat de gezamenlijke potentieele energie betreft, niet op aan, of het eene vloei- „i... r,ï.. li* o i i *1 stofdeeltje of het andere op een zekere hoogte ligt. Is mi .e het zwaartepunt van de massa ab en z dat van de massa d c, dan wordt de vermeerdering van het arbeidsvermogen van plaats gevonden door het hoogteverschil van ^ en met het gewicht van de bedoelde massa te vermenigvuldigen. § 207. Arbeid van een uitwendigen druk. u. Een overal even groote uitwendige druk verricht een arbeid bij elke verandering van het volume. Stel, dat de beschouwde stof zich bevindt in een cilinder onder een bewegelijken zuiger, en laat op dezen laatsten een normale druk van p dynes per cm2 worden uitgeoefend. FlV 1 !I4. Is het oppervlak van den zuiger S cm2, dan is de totale kracht p S dynes en bij een verplaatsing naar binnen over een afstand van d cm wordt de gezochte arbeid p S d ergen. Het product Sd stelt echter de volumevermindering voor. Derhalve wordt de arbeid van den uitwendigen druk (in ergen) gevonden, wanneer men den druk (in dynes per cm*) vermenigvuldigt met de volumevermindering (in cm* uitgedrukt). Bij een beweging van den zuiger naar buiten verricht de uitwendige druk een negatieven arbeid; daarop is dezelfde stelling van toepassing, daar in dit geval ook de volumevermindering negatief is. De stelling geldt overigens altijd, wanneer op alle punten van het oppervlak van een lichaam een even groote normale druk werkt; het is niet noodig dat de beschouwde stof zich in een cilinder onder een zuiger bevindt. Zij eerst abc... (Fig. 195) liet oppervlak van het lichaam en laat ile punten a, £>, e,... door oneindig kleine verplaatsingen in a', A', c',... komen. Verdeelt mon het oppervlak in oneindig kleine deelen, in de figuur door ab,bc... voorgesteld, Fig. l!lö. dan zjjn de verplaatsingen der verschillende punten van een zelfde element op oneindig weinig na onderling evenwijdig en gelijk. Den inhoud van de ruimte aba'b' kan men dus berekenen alsof hij een cilinder was. Is fS do loodlijn uit a' op het vlakje a 1> neergelaten, n dit vlakje zelf, dar. is do bedoelde ruimte r = i o. Aan den anderen kant is de druk op wanneer hij voor de vlakte-eenheid p bedraagt, p a de arbeid daarvan paS=p r, en dus do totale arbeid dien men zoekt p2 r. Klaarblijkeljjk is 2 r do vermindering van het volume. Hot geval dat do punten van het oppervlak zioh buitenwaarts bewegen, of dat sommige naar binnen en andero naar buiten gaan, kunnen wij aan den lezer overlaten. Uit de stelling volgt dat een overal even groote druk geen arbeid verricht zoolang het volume niet verandert. h jfw. Bij een vloeistof die besloten is tusschen twee zuigers, waarvan de een naar binnen gaat en de andere terugwijkt, kan men zich gemakkelijk daarvan overtuigen; men moet daarbij in aanmerking nemen dat de totale krachten op de zuigers evenredig met bun oppervlakken zijn. b. De druk dien een vloeistof of een gas tegen de begrenzende wanden uitoefent, is gelijk en tegengesteld aan dien, welken de stof zelf ondergaat; de arbeid ervan wordt derhalve gevonden door den druk per vlakte-eenheid met de volumevermeerdering te vermenigvuldigen. c. Hij een onsaniendrukbare vloeistof verrichten de uitwendige drukkingen wel een arbeid, wanneer zij van een plaats waar de druk hoog is, stroomt naar een andere, waar hij lager is. Bevindt zich " 1 b.v. de vloeistof tusschen twee zuigers a en b (Fig. 196), tegen welke per vlakte-eenheid de drukkingen p en p' werken en die zich tot in a' en b' verplaatsen, dan vindt men, door toepassing van de boven onder a gebezigde redeneering, dat de gezamenlijke arbeid van de drukkingen is (P-P') V. Daarbij is V het volume dat tusschen a en er', of tusschen b en b' begrepen is, dus ook het vloeistofvolume dat door een willekeurige doorsnede tusschen a en b ge stroomd is. § 208. Toepassing van liet beginsel van den arbeid op liet evenwicht van vloeistoffen. Uit alle verschijnselen blijkt dat, behoudens een omstandigheid die later besproken zal worden, het inwendige arbeidsvermogen van een vloeistof bepaald is door het volume en de temperatuur. Blijven deze onveranderd, en kan men van het opnemen of afstaat} van warmte afzien, dan moet dus aan eiken arbeid van de uitwendige krachten een vermeerdering van de kinetische energie der zichtbare bewegingen beantwoorden. Wij zullen in de volgende § een toepassing hiervan maken op een bewegingsverschijnsel; vooraf echter merken wij op dat de redeneeringen van § § 155 en 156 en de daaruit afgeleide evenwichtsvoorwaarden ook voor vloeistoffen doorgaan. Wij kunnen die b.v. toepassen op het geval waarop Fig. 190 (blz. 325) betrekking heeft. Wij verbeelden ons te dien einde dat, uit den evenwichtsstand, het oppervlak a zich over een oneindig kleinen afstand <5 naar beneden verplaatst; is de buis overal even wijd, dan gaan daardoor de oppervlakken b en c evenveel naar boven. Zij nu S de doorsnede van de buis, h het hoogteverschil tusschen a en b, h' dat tusschen b en c, s het soortelijk gewicht van de benedenste vloeistof, s' dat van de bovenste, dan is het arbeidsvermogen van plaats van de eerste afgenomen (§ 206) met h s S <5 en dat van de laatste toegenomen met h' s' S 6. De geheele vermindering van de potentieele energie, d.w.z de arbeid van de zwaartekracht, bedraagt dus (h s — li' s') S <5. Zal er in den oorspronkelijken stand evenwicht bestaan, dan moet dit verdwijnen en daardoor vindt men de reeds bekende voorwaarde terug. § 209. Uitstrooming door een opening in een wand. a. Wij beschouwen het geval dat zich in den bodem van een vat (Fig. 197) een ope- l!,'■ ning (i b bevindt; wij zullen onderstellen dat, terwijl de vloeistof daaruit stroomt, haar oppervlak S op een standvastige hoogte li boven a b wordt gehouden. I)e bewegingstoestand wordt dan onveranderlijk (stationair); niet alleen in de opening, maar ook in een willekeurig punt van de met vloeistof gevulde ruimte wordt ten allen tijde dezelfde snelheid aangetroffen, ofschoon in een dergelijk punt telkens weer nieuwe vloeistof is gekomen. J h Wij letten nu op de hoeveelheid vloeistof die op zeker oogenblik tusselien S en liet platte vlak a b is begrepen. Xa een oneindig kleinen tijd is deze massa beneden tot aan het gestippelde oppervlak gedaald, en strekt zij zich aan de benedenzijde b.v. tot in a' b' uit. De potentieele energie is evenveel afgenomen, als wanneer een dun laagje van het oppervlak weggenomen en in aba'b geplaatst was; de bedoelde vermindering bedraagt dus P/i, als P het gewicht van de uitgetreden hoeveelheid voorstelt. Men kan verder in den dunnen vloeistofstraal den druk overal gelijk stellen aan dien van de dampkringslucht; de beschouwde hoeveelheid vloeistof ondervindt dus op haar grensvlakken S en a b drukkingen die per eenheid van oppervlak even groot zijn, zoodat er geen sprake is van een arbeid van den uitwendigen druk. Daaruit volgt dat het arbeidsvermogen van beweging met Ph moet zijn toegenomen. Nu is deze energie in de ruimte tusselien liet gestippelde oppervlak en (tb voortdurend dezelfde, maar terwijl eerst de vloeistof tusselien dat gestippelde oppervlak en »S geen merkbare beweging had (wat men mag aannemen als bet oppervlak S veel grooter is dan a />), heeft de uitgetreden hoeveelheid a b a' b' een zekere snelheid v, en dus, als m de massa is, een kinetische energie , P v' i rn v* = . 2 g Wij hebben dus Pv2 2 q of d=1^2 gh, (1) zoodat de uitstroomingssiielheid gelijk is aan de snelheid die een voorwerp krijgt als het eau de hoogte h valt (Wet van Torkicelli). Deze regel geldt ook wanneer de vloeistof door een opening in een zijwand uitstroomt, en zelfs, wanneer zij door een opening in een horizontalen wand, b.v. in den wand A li in Fig. 185 (Jilz. 321) naar boven spuit. Door zijn snelheid zou elk vloeistofdeeltje dan tot een hoogte gelijk aan die van den vloeistofspiegel S kunnen opstijgen, als dit niet door de ontmoeting met de weer terugvallende deeltjes belet werd. Bovendien wordt in alle gevallen de uitstroomingssnelheid verkleind door de wrijving. Bestond er in het geheel geen wrijving, dan zou ook bij do uitstrooming door een hevel de afgeleide formule gelden. I). Zeer eenvoudig ia ook de berekening van de uitstroomingssnelheid als op liet oppervlak S van de vloeistof nog een druk, b.v. die van een samengeperst gas, werkt. Men kan nl. den arbeid van dezen druk in de berekening opnemen, of wel zich boven S nog een vloeistofmassa aangebracht donken, die door haar gewicht een druk op .S' teweegbrengt, even groot als de overmaat van den werkelijk bestaanden druk boven dien van de atmospheer. Men moet dan in de formule onder // de totale hoogte verstaan, die de vloeistof' daardoor heeft gekregen. Mag men van den invloed der zwaartekracht afzien, en overtreft de druk in liet vat den druk daarbuiten met een bedrag />, terwijl de dichtheid <1 is, dan heeft men voor den arbeid van den druk bij het uitstroomen van een kleine massa m, ' ^ . Door dit gelijk to stellen aan de verkregen kinetische energie, vindt men voor de uitstroomingsnellieid v = \ /" V d Bij gelijken druk is zij dus omgekeord evenredig met den vierkantswortel uit do dichtheid. c. De omgekeerde beweging, waarbij do vloeistof door een opening in den wand naar binnen stroomt, is oveneens mogelijk, zoodra men aan het water maar een naar binnen gerichte snelheid van voldoende grootte geeft. Heeft b.v. de in het begin van deze § beschouwde beweging in omgekeerde richting plaats, dan wordt bij het naar binnen stroomen van een hoeveelheid vloeistof van het gewicht 1' een hoeveelheid arbeidsvermogen van plaats P h P v2 gewonnen, terwijl er een hoeveelheid arbeidsvermogen van beweging %> verloren gaat, waaruit weer volgt v = V -, St t, die van don druk rechts—P2t'2S2 r, en de druk dien de wand uitoefent, verricht geen arbeid, daar hij loodrecht op de bewegingsrichting staat. Het arbeidsvermogen van beweging moet dus met (pt—pt) vt t zijn toegenomen. N'u heeft voor en na den tjjd t de vloeistof tusschen u en h dezelfde kinetische energie, maar tot de massa die wjj beschouwden behoorde eerst liet volume r «« J lm Kier. 1«»!». t>, Sl t met de snelheid r,, en later het volume r2 S2 r met de snelheid Het arbeidsvermogen van beweging is dus toegenomen met 1 ''i si '(V - r,*) als d de dichtheid is, en men verkrjjgt Pi P 2 = —ri#)- Het drukverschil wordt hierdoor in dynes per cm2 gegeven, wanneer men alles in C. G. S.-eenheden uitdrukt. Het in deze $ gezegde geldt in hoofdzaak ook van gassen; bovendien bestaan de drukverschillen niet alleen bij de beweging in buizen, maar in het algemeen, zoodra de weg dien de vloeistof- of gasmassa volgt, zich ergens verengt, zal daar de kleinste druk gevonden worden. Ziehier een paar verschijnselen die men met behulp van het bovenstaande eenigszins begrijpelijk kan maken, ofschoon een geheel bevredigende verklaring buiten ons bestek valt. (i. Een schjjf alt (Fig. 199) is in liet midden van een opening voorzien, waanu de buis c is gestoken; op kleinen afstand van a l> wordt een tweede plaat d e gehouden. Een krachtige luchtstroom door de buis in de richting van de pjjl doet nu, als de omstandigheden geschikt gekozen zijn, de tot al> naderen. De lucht die uit de buis komt. vm'snrftirlf. /i<'li nl over den geheelen omtrek van de ruim'e tusschen de schijven; bij deze verbreeding van den weg moet de druk toenemen, en daar nu aan den omtrek de dampkringsdrukking bestaat, vindt men overal tusschen de schijven, en vooral in het midden, een kleineren druk. De druk van de buitenlucht tegen de onderzjjde van de, brengt het verschijnsel teweejr. b. A\ ordt een luchtstroom uit de kegelvormig toegespitste buis a h (Eig. 200) gedreven, dan zal hij zich na de uitstrooming terstond over een grootere ruimte uiteenspreiden. Nabij l>, waar de stroom den smalsten weg volgt, is de druk kleiner dan in de omringende lucht; daardoor kan in de buis <• die in een bakje met vloeistof staat, deze laatste worden opgezogen, zoo ver zelfs, dut zjj het 22 Fit. 200. jfeil A boveneinde bereikt en in druppels door den luchtstroom wordt meegesleept. c. \ an dergelijke zuigwerkingen wordt voor verschillende doeleinden partjj getrokken; de belangrijkste toepassing is wel de door vili i- aki) uitgevonden voeuingsponip (inferieur) voor stoomketels. Ontdaan van alle bijzonderheden is deze toestel in Fig. 201 voorgesteld. A H is de zjjwand van den stoomketel, waarin het water tot in S staat. Wordt de kraan K geopend, dan ontsnapt de stoom uit de buis a, die kegelvormig uitloopt. In de ruimte l> ontstaat dientengevolge een luchtverdunning, waardoor het voedingswater door de buis <■ uit een reservoir wordt opgezogen; dit water eindelijk wordt door den uit ', in de huis nabij , even voordat de deeltjes bij het uittreden van snelheid veranderen, eindelijk den druk p2 in /^, nabij de uitmonding van de buis. I )an wordt door het verschil n, n', de snelheid van de vloeistof teweeggebracht, door het verschil;;', //., onderhouden, eindelijk door liet verschil ps—p'a weer vernietigd. Bij zeer enge (capillaire) en niet te korte buizen is nu de snelheid zoo klein en de wrijving van zooveel beteekenis, dat wij de verschillen p1 p', enp., —p'., tegenoverp\ p'2 kunnen verwaarloozen, en dus kunnen rekenen dat het deheele drukverschil dien/ voor het overwinnen van de wrijving in de buis. Uit de waarneming is gebleken dat bij buizen die aan deze voorwaarde voldoen het volume vloeistof dat per tijdseenheid door een doorsnede gaat, dus wat wij de ..sterkte" of „intensiteit" van den stroom kunnen noemen, evenredig is met het drukverschil tusschen de uiteinden. Stelt men door r het drukverschil voor, dat noodig is om een stroom van de sterkte 1 door de buis te doen gaan, dan bestaat dus in elk ander geval tusschen de sterkte i en het drukverschil do betrekking p, p , ~ i /', of '• "'/= (2) De grootheid r is des te grooter, naarmate de buis de vloeistof moeilijker doorlaat, en kan derhalve als maat dienen voor den weerstand dien de vloeistof in de buis ondervindt, of zelf de weerstand genoemd worden. Wil men de weerstanden van twee buizen met elkaar vergelijken, dan kan men ze zoo verbinden, dat een vloeistofstroom achtereenvolgens door beide moet gaan, en vervolgens den druk meten aan liet begin van de eerste buis, de verbindingsplaats, en liet einde van de tweede, iets, dat men kan doen door in deze punten verticaal naar boven reikende buizen te plaatsen, en waar te nemen, hoe hoog de vloeistof daarin opstijgt. Zijn, nadat de stroom stationair is geworden, de drie drukkingen pt, p2 en p„ dan zgn p, p.2 en pt p.. lr»«sr>n ^ LU JWSBUII. (i. Laat do buis A (Fig. 204) zich splitsen in de takken li en (die zich bij Q weer vereenigon. Zij i1 do stroomstorkte in /i, i2 die in C, r, de weerstand van don eersten, r. rli vanrlon >«.1 vu u wim™, r2 tiie van non twoodon tak, eindelijk p de druk in P, p' die in O Men heeft dan i — P_Z1 P' : _ P P l~ rt ' r2 ' dus /. :i2 — r., :rt. \Vd men tusschen P en Q een enkele buis inlasschen, die. I>ij oen bepaalde waarde van p—p', alleen evenveel vloeistof doorlaat als li en C te zamen, dan wordt do weerstand x daarvan bepaald door P ~ P' _ P — P' \P ~ P' * rt ^ r2 ' of *= 'V2' 1+ b. NV ij kunnen in een buis met den weerstand r een vloeistroom i teweeg brengen, wanneer wij do buis tusschen twee cilindrische vaten brengen, en op daarin passende zuigers por vlakte-eenheid do uitwendige drukkingen p1 en />., uitoefenen. \\ ij moeten dan (§ 207, c) per tijdseonhoid oen arbeid (p,—p2) i verrichten, waarvoor wij mogen schrijven i- r. Met dit bedrag moot do energie van hot stolsel toenemen, on daarbij is nu alleen sprake van do warmteontwikkeling in do langs elkaar wrijvende vlooistoflagon. De hoeveelheid warmte die in de seconde ontstaat is dus i-r ~ E (K mechanisch warmte-aequivalent). lot dezelfde uitkomst geraakt men door in hot geval van Hg. 203 op de verandering van de potentieele energie te letton. Ton slotte vermelden wij nog dat ook het in deze $ gezegde grootondeels bij gassen doorgaat; alleen worden hier door de veranderingen in dichtheid de verschijnselen iets ingewikkelder. § 214. Invloed van |j de oudste kwikluclitpompen geschiedde, dan wordt steeds door het vet, waarmee noodzakelijk de kranen moeten worden ingesmeerd, het kwik een weinig verontreinigd, wat de goede werking belemmert. I)e kwikluchtpomp van Uessei.-IIagen , die in Fig. 206 in zijn eenvoudigsten vorm is voorgesteld, en waarbij alle kranen kunnen worden vermeden, is vrij van dit bezwaar. Men kan hier het kwik in den bol ^1 doen rijzen of dalen door den bol H die met een caoutrhoukslang éih aan de buis C is verbonden, naar boven of beneden te bewegen. Is het kwik uit A gedaald tot beneden />, dan staat A door de buis G in verbinding met de ledig te pompen ruimte. Laat men het kwik rijzen, dan is deze verbindingsweg weldra afgesloten, en de lucht uit A wordt door de buis ƒ•', die met zijn opening in het kwikbakje K uitkomt, naar buiten gedreven. Men kun gemakkelijk nagaan dat de buizen (', /•' en G langer moeten zjjn dan 7(> cm. Een glazen vat dat met behulp van de kwikluchtpomp luchtledig is gemaakt, kan vervolgens worden afgesmolten. Men kan nl. de verbindingsbuis, op een plek waar lijj reeds vooraf verengd was, met een spitse vlam verhitten. Zoodra het glas week is geworden, drukt de buitenlucht de buis dicht. § 217. Druk in den dampkring op verschillende hoogten. Met behulp van de wet vuil Boyi.e kan men aangeven hoe de druk in den dampkring afneemt, wanneer men tut hooger gelogen punten overgaat. Wij onderstellen daarbij dat de lucht in evenwicht is en overal de temperatuur van smeltend ijs heeft. Laat (Kig. 207) A,, AA.„ A4, enz. een reeks punten zijn, die op een vertioule lijn, op afstanden van 1 m van elkaar, liggen. Laat de drukkingen in de genoemde punten (in dynes per cm -) zijn yi,, p„, Fig. 207. J'at J'4i cn ('° «lichtheden (in grammen per cm'1) d,, d„, d., « = 100 i/ Cdus . ii '2 ./ Ï .. /-.• 10001251 Voert men de laatste deeling uit, dan blijkt do uitkomst tot in 7 decimalen mot (I) overeen te stemmen; derhalve kunnen wij ons vorder van deze laatste betrekkin"- bedienen. jw * jh. Dezelfde beschouwingen nis op de kolom A, A, zijn ook op de kolommen A 2 A:n enz. van toepassing; men mag liet gewicht van elke kolom berekenen alsof de lucht over zijn geheele hoogte dezelfde dichtheid had als aan den voet. Men vindt aldus p3 -- 0,9998749 p21 p4 = 0,999874!) pt, enz., m. a. w. do drukkingen vormen een meetkundige reeks. Op een hoogte van h m wordt de druk p = 0,9998749'' p„ waaruit voor de hoogte in meters volgt /< = 18400 log7'1. P Op deze wijze zou men uit den barometerstand op den top van een berg, wanneer inen dien aan het oppervlak dor zee op 71! em stelt, de hoogte van den berg kunnen afleiden. In werkelijkheid wordt de zaak iets minder eenvoudig, daar de temperatuur niet overal 0" is. § 218. Wet van («ay-Lussac. Ten einde, bij standvastigen druk, de uitzetting van een gas door de warmte te onderzoeken, kunnen wij gebruik maken van een glazen bol die van een verdeelde buis voorzien is, en in welken bet te onderzoeken gas zich bevindt, afgesloten door een kleine kwikzuil in de horizontaal gerichte buis. Dit kwik verplaatst zich zoo gemakkelijk, dat de druk van het gas steeds gelijk aan dien van den dampkring is. Ter vereenvoudiging zullen wij onderstellen dat de barometerstand in den loop van de proeven niet verandert en dat liet vat zelf zich niet uitzet; in werkelijkheid moet met het oog op de volumeverandering van dit laatste een correctie worden aangebracht. Wanneer men nu een aantal van de beschreven toestellen, met verschillende gassen gevuld, met elkaar vergelijkt, blijkt door dezelfde temperatuurverhooging hij alle gassen het volume in dezelfde, verhouding toe te nemen. Dit is de wet van (tAy-Lussac (1816). Zij geldt ook voor het geval dat men een gas onder een anderen druk dan dien van den dampkring neemt. Onderzoekt men nl. tweemaal de uitzetting, eens terwijl de druk steeds 1 atmospheer bedraagt en een ander maal terwijl hij op 2 atmospheren wordt gehouden, dan neemt weer bij een bepaalde tempe- ratuurverhooging in beide gevallen het volume in dezelfde verhouding toe. Wordt de toestel eerst in smeltend ijs gebracht en vervolgens in damp van water dat bij een barometerstand van 76 cm kookt, dan is de volunievermeerdering gelijk aan het oorspronkelijke volume, vermenigvuldigd mei 0,366. Wij kunnen een van de bedoelde toestellen als thermometer bezigen (luchtthermometer). Wij plaatsen daartoe bij dit' punten van de buis, tot welke de gasmassa bij de zooeven genoemde proeven reikt, de getallen 0 en 100, verdeelen den afstand daartusschen in honderd gelijke doelen en zeggen dat de temperatuur t" is, wanneer het gas zieli uitstrekt tot de deelstreep waarbij het getal / staat. Klaarblijkelijk brengt deze bepaling van de temperatuur mede dat hel gas zich voor eiken graad temperatuurverhooging evenveel uitzet. Onder den uilzettingscocfficient verstaat men de breuk die aangeeft welk gedeelte de volunievermeerdering bij 1" temperatuurverhooging is van het volume bij 0°. Is « deze coëfficiënt, v0 het volume bij 0", en Vi dat bij /", dan is De waarde van den uitzettingscoëflieient is blijkens liet bovenstaande Meet men nu verder de temperaturen met den zooeven genoemden thermometer en onderzoekt men de uitzetting van andere gassen, dan blijkt, wegens de wet van CiAyLi ssac, ook bij deze het volume voor eiken graad toe te nemen met van de waarde die het bij 0" heeft. Der27o halve geldt voor alle gassen de formule (2) en heeft voor alle de uitzetlingscoêfficient dezelfde waarde. In werkelijkheid vertoonen de gassen dergelijke afwijkingen van de wet van Gay-Li ssac als van die van Boyle; wij zullen evenwel ook daarvan afzien. 23 v, = i\ (1 + « t) ■ (2) « 0,00366 = 27o (m. § 219. Algemeen verband tusschen druk, temperatuur en volume. Hoe, hij onveranderlijk volume, de druk van een gasmassa bij verhitting verandert — liet derde punt, dat in § 215 werd opgenoemd — behoeft niet meer afzonderlijk onderzocht te worden, maar kan uit hetgeen wij nu weten worden afgeleid. Stel, dat liet gas bij 0° den druk p0 uitoefent. Om dan den druk pt te vinden voor het geval dat bij standvastig volume de temperatuur op t° gebracht wordt, verbeelden wij ons eerst dat bij de verwarming de druk constant wordt gehouden. Ifet volume wordt dan 1 -f- a t maal grooter. Wij laten vervolgens de temperatuur constant en brengen door verhooging van den druk het volume tot de oorspronkelijke waarde terug. Volgens de wet van Boyle moet daartoe de druk \-\-at maal grooter Ij 1 lil • • gemaaKt worden, en hadden wij aanstonds bij de verwarming den druk in deze mate doen stijgen, dan zou het volume niet veranderd zijn. Derhalve: Kijf. 'JON. Pt =P0 (1 +"t) . . (3) worden gesehoven. In het gas is afgesloten ven, bewerken dat Uit deze uitkomst blijkt dat men den uitzettingscoëfficient kon bepalen door proeven waarbij in het geheel geen uitzetting plaats heeft, door nl. den druk te meten, dien een opgesloten gasmassa bij verschillende temperaturen uitoefent. Daarbij kan b.v. van den in Fig. 20S voorgesteldon toestel gebruik worden gemaakt. Het gas bevindt zich in den glazen bol B, die gesmolten is aan de buis ai; deze staat door een caoutchoucbuis C in gemeenschap met een verticale buis I), die op en neer kan mb, C en 1) bevindt zich kwik, waardoor , en men kan, door 1) op of' neer te schuitelkens, zoowel bij een lage als bij een fnj hoogere temperatuur, het kwik reikt tot aan een vast merk m, dat op ah is aangebracht. Het hoogteverschil tusschen het kwik in al> en dat in I) doet, in verband met den barometerstand, den druk van het gas kennen. Natuurlijk moet men bij de berekening der proeven de uitzetting van het glas niet over het hoofd zien. Iloe men, eenmaal a kennende, met dezen toestel ook temperaturen kan nieten, hoe hij dus een luchtthermonieter mag heeten, behoeft geen betoog. Hot moest algemeene vraagstuk ovor do veranderingen van druk, volume en temperatuur is liet volgende: Wanneer onder een druk p en bij een temperatuur t een gas het volume v inneemt, hoe groot zal dan het volume v' zijn, wanneer de druk p' en de temperatuur t' wordt? Laat men eerst den druk constant, en doet alleen de temperatuur in t' overgaan, dan wordt liet volume v 1 + 1 -\- ct t \ ervolgens kan men, bij de standvastige temperatuur den druk tot p' doen toenemen, en hierbij de wet van Boyle toepassen. Het antwoord op de vraag is derhalve p 1 -f- « t' V=V p'l+ai W Deze formule vindt een toepassing in al die gevallen waarin men de hoeveelheid van een gas bepaalt door het volume te meten. Men moet dan ook den druk en de temperatuur waarnemen en kan, om verschillende uitkomsten vergelijkbaar te maken, elke meting herleiden tot een druk van 70 cm en een temperatuur van 0". Daar a = ^ is, kan men voor (4) schrijven v' = v p 273+1' p' 273 +1 • \ ei beeldt men zich nu een punt op de thernionieterschaal, 273° beneden het nulpunt, dan stellen 273 -f t en 273 -f t' de temperaturen voor, die het gas achtereenvolgens gehad heeft, wanneer men het aantal graden van het bedoelde punt al telt. \\ ij zullen deze temperaturen de ab- solute noemen en door T en 7* voorstellen. De vergelijking kan dan aldus geschreven worden: l) V -1'' v' (5Ï 7' 7" ' 1 d. w.z. het product van druk en volume, dat volgens de wet van BoyIjE bij een bepaalde temperatuur standvastig is, veranderI even red if/ met de absolute temperatuur. Dat in (5) de betrekkingen (2) en (3) begrepen zijn, is duidelijk. Het verdient nog opmerking dat in vele gevallen het volume van een gas dat onder constanten druk wordt gehouden, ook dan nog bij eiken graad temperatuurverlaging even veel afneemt, als de temperatuur beneden 0° C komt. Dan geldt dus de formule (2) ook voor negatieve waarden van t en, zoo lang ook de wet van Boyle mag worden aangenomen, gaat de vergelijking (o) nog door voorwaarden van 7' of 7", kleiner dan 278. Uit de wetten van BoYLE en Gay-Lissao kan men eindelijk nog een belangrijke stelling afleiden. Twee gassen beschouwende, die onder denzelfden druk verkeeren en dezelfde temperatuur hebben, kan men de verhouding van hun dichtheden opmaken. Voor die verhouding wordt nu hetzelfde getal gevonden, wanneer men de twee lichamen onder een anderen druk en bij een andere temperatuur met elkaar vergelijkt, als men er maar voor zorgt dat druk en temperatuur bij het eene gas even hoog zijn als bij het andere. Dit laatste is altijd de bedoeling als de relatieve dichtheid van het eene gas ten opzichte van het andere wordt opgegeven- Ten slotte merken wij nog op dat de formules van deze en de vorige § alleen dan gelden, wanneer de temperaturen met een luchtthermometer, zooals de in §218 beschrevene, gemeten worden. Een gewone kwikthermometer wijst, zooals ons naderhand zal blijken, niet altijd hetzelfde aantal graden als een luchtthermometer aan, al is liet verschil gewoonlijk tamelijk gering. Men is overeengekomen, bij nauwkeurige onderzoekingen pij p:c. de temperaturen steeds in (/raden van den luchtthermometer op Ie geven en wij zullen in het vervolg onderstellen dat dit gebeurt. Dit neemt niet weg dat men bij de proeven een kwikthermometer kan gebruiken, als deze maar vooraf met een luchtthermometer vergeleken is. Wij zullen ten slotte het verband tussehen p, v en 7' nog op eenigszins andere wijze uitdrukken. Daartoe kiezen wij een bepaalde hoeveelheid van het gas als eenheid. Hebben wij juist daarmee te doen, dan heeft de grootheid een bepaalde waarde, die men de gasconstante noemt, en die wij door R zullen voorstellen; dan is dus pv = RT. (6) Hieruit kan men verder afleiden dat. als men niet één eenheid, maar n eenheden heeft, pv—nRT (7) is. Neemt men een rain als eenheid, dan is voor lucht ! R = 2,87 X 10° en voor waterstof li = 41,4 X 10", zooals men vindt door in aanmerking te nemen dat bij 0° (' (T = 273) en onder een druk van 70 cm kwik (p — 1,014X 10", i; 205,/") een cm3 lucht 0,001293 gram en een cm3 waterstof 0,0000898 gram weegt. § 220. Kinetische theorie der gassen. De onderstellingen omtrent molekulen en molekulairc bewegingen, waarvan in het voorgaande zoo dikwijls sprake is geweest, hebben tot een uitgewerkte theorie aangaande het wezen der gasvormige lichamen geleid; de eenvoudige eigenschappen van deze stoffen worden gemakkelijk uit de warmtebewegiivj verklaard, als men hun een zoodanige ijlheid toekent, dat de afmetingen van de molekulen en de afstand waarop twee deeltjes merkbaar op elkaar werken zeer klein zijn in vergelijking met den gemiddelden afstand van op elkaar volgende deeltjes. ftjj 4/k nl» iÜ li 1 ru -3 S Ir/W . 'W} fm. J Uit deze hypothese volgt dat elk gasmolekuul zijn beweging voor het grootste gedeelte uitvoert terwijl het geheel aan zich zelf is overgelaten. Het vliegt dus in een rechte lijn voort, totdat het op zeer kleinen afstand komt van een ander deeltje of van een vasten wand. Met veranderde richting zet het clan zijn beweging weer gedurende eenigen tijd langs een rechte lijn voort, zoodat degeheele baan zigzagvormig is. Wat de onderlinge werking van twee molekulen betreft, deze bestaat zonder twijfel ten deele in een aantrekking, iets, dat men wel moet aannemen omdat een gas tot een vloeistof verdicht kan worden. Verschillende verschijnselen maken het echter waarschijnlijk dat twee molekulen, wanneer zij elkaar aanraken, of op zeer kleinen afstand van elkaar komen, ook afstootende krachten op elkaar uitoefenen. Bestonden er alleen zulke krachten, dan zou men zich de deeltjes kunnen voorstellen onder het beeld van veerkrachtige bollen, die in een ruimte heen-en weervlicgen en daarbij herhaaldelijk tegen elkaar botsen. Ter wille van de duidelijkheid zullen wij in het vervolg van dit beeld veelal gebruik maken, ofschoon het ongetwijfeld vrij wat van de werkelijkheid afwijkt. Ook omtrent de werking tusschen een gasmolekuul en een vasten wand maken wij een onderstelling, die, ofschoon zij voor de afleiding van de uitkomsten niet noodzakelijk is, tot vereenvoudiging van de voorstelling leidt; wij zullen nl. aannemen dat de wanden volkomen gladde veerkrachtige oppervlakken zijn, waardoor de molekulen op de in § llf) besproken wijze teruggekaatst worden. De door het (jas tegen de omringende wanden uitgeoefende druk is nu hij deze opvatting niet anders dan het gevolg van de stooten die de wanden onophoudelijk van de molekulen ondervinden. Hij moet dus van drie grootheden afhangen, ïd. van het aantal molekulen, de snelheid waarmee zij voortvliegen, en de massa van elk deeltje. Het is begrijpelijk dat, zooals de wet van Boyle verlangt, de druk toeneemt wanneer meer deeltjes in een bepaalde ruimte gebracht worden, en evenzoo dat de spanning van een gas dat in een onveranderlijk volume is opgesloten, bij verwarming toeneemt, on dat het gas zich daarbij uitzet, wanneer een der insluitende wanden kan terugwijken. Een gas „verwarmen" is nl. niet anders dan een grootere snelheid aan de molekulen meedeelen. Beschouwen wij gemakshalve een vat met de eenheid van volume. Dat de druk evenredig met het aantal daarin aanwezige molekulen, en met de massa van elk deeltje is, is gemakkelijk in te zien. Wat de snelheid betreft, blijkt het bij nadere beschouwing dat de druk 4, 9, enz. maal grooter wordt, wanneer de snelheden van alle molekulen worden verdubbeld, verdrievoudigd, enz Dit is begrijpelijk, als men bedenkt dat Dij vergrooting van de snelheden de wanden meer stooten van de heen- en weergaande molekulen ondervinden, en dat bovendien iedere stoot heviger wordt. Men kon de uitkomst waartoe de theoretische berekening leidt, het kortst uitdrukken door te zeggen dat de getalwaarde van den druk per vlakte-eenheid het twee derde is van de getalwaarde der kinetische energie die, wegens de voortgaande beweging van de molekulen, in de ruimteeenheid aanwezig is. Heeft men dus den druk (in dynes per cm2) gemeten, dan kent men ook deze kinetische energie (in ergen per cnr1). Daar men ook de massa van een cm' kan bepalen, is men in staat, de snelheid van de molekulen of liever, daar niet alle zich even snel behoeven te bewegen, een zekere gemiddelde snelheid te berekenen. Voor waterstof van 0 bedraagt deze 184000 cm per seconde en ook bij andere gassen honderden meters, wat in goede overeenstemming is met de uitkomst van § 145. § 221. Afleiding van liet verband tusschen den druk en de lliolekulaire beweging. Onderstellen wij (lat liet gas zich in een cilindervormig vat V (Fig. 20!l) van de hoogte h bevindt, dat het bovenvlak daarvan een bewegelijke zuiger X is, en dat do deeltjes zoo klein zjjn, dat zij zoo goed als nooit tegen elkaar botsen. Een deoltje P, dat de in de figuur voorgestelde zigzaglijn doorloopt, zal steeds dezelfde snelheid hebben in een richting loodrecht op Z. Duiden wij deze snelheidscomponent door ut fw. kn mm, dun ia liet aantal botsingen in de tijdseenheid van dit ééne molekunl tegen X: Kijf. -.Ml!». Om '/. op zijn plaats te honden moeten wij voortdurend van buiten een kracht A' uitoefenen; deze is het, die wij willen berekenen. Geheel in rust blijft do zuiger eigenljjk niet. Door eiken stoot ontvangt lijj nl. een kleine snelheid naar buiten, maar tusschen twee achtereenvolgende botsingen drijft de kracht A' hem weer naar binnen, 011 hij zal schijnbaar stilstaan, wanneer de hoeveelheid van beweging die hij van de Kracht K in de tijdseenheid ontvangt, gelijk is aan de som van do hoeveelheden van beweging dio hem in dien tijd door do mcdekulen worden meegedeeld. De massa van den zuiger is zoo groot in vergelijking met die van een molekuul, dat do terugkaatsing van dit laatste op do in Jj HU beschouw do wjjzo plaats heeft. Wij zullen dc massa van den zuiger ft en die van oen molekuul m noemen. Het deeltje 1' ontvangt telkens wanneer het '/. treft een snelheid 2 », 2 m it bjj ilio welke het had; liet geeft dus aan den zuiger een snelheid 1 en een hoeveelheid van beweging 2 wik,. Do som van allo hoeveelheden van beweging dio dit eene molekuul in de tijdseenheid aan '/. meedeelt, is . Do hoeveelheid van beweging dio '/. van do kracht A' moet ontvangen, - . 1/U HUUVUVIIIUIU » <1II U1U /i VtllI UU MHUIIl /I IMUUIi UIII f Ullgi;il, is derhalve waarbij de som over allo gasmolekulen moet worden uitgestrekt. De kracht A' wordt nu door hetzelfde getal voorgesteld, dus Is eindelijk .S' hot onnervlak van den zuiiror. dan vindt men voor den druk Is eindelijk & hot oppervlak van den zuiger, dan vindt men voor den druk per vlakte-eenheid Do hierin voorkomende som kan door oen eenvoudigon kunstgreep worden gevonden. Wanneer men nl. in de gasmassa drie onderling loodrechte coördinaatassen aanbrengt, waarvan de eerste loodrecht op X staat, dan bestaat voor elk molekuul tusschen de snelheid u en de drie componenten daarvan uii u3 d° betrekking "l2 +V +":|2 = dus ook voor het gehcele gas de vergelijking fin. |)anr het gas in allo richtingen dozell'de eigenschappen heeft, moot men aannemen dat v 11 2 y x - v II ' — "l -i is. Daaruit volgt 2 H- 011 «Ins lil p — w u -, 1 3 h S „f, wanneer c = h S het volume is, p = 2' «'-• (*> 1 a r liet arbeidsvermogen van beweging is .1 lm2n- en men verkrijgt dus .1 ,i (») ' ;i v waarmee het boven gezegde bewezen is. Noemen wij verder het aantal niolckulen in hot vat ii en bepalen wij een snclhoid U door de vergelijking C' ' 2 n dan kunnon wjj voor (8) schrijven 1/ U- * ,r (10) waarbij wjj nog voor de geheele massa M geschreven hebbon. Wij zullen de grootheid U de gemiddelde snelheid der deeltjes noemen, ofschoon zij eigenlijk die snelheid is, waarvan het quadraat gelijk is aan liet gemiddelde van al do snelheidsquadraten. Door de formules (») en (10) kan men A en U uit do grootheden afleiden, die rechtstreeks gemeten kunnen worden. Beschouwen wij als voorbeeld | gram waterstof van 0°, onder een druk van Tli cm, dan is M I. , =11140, p = 1,014 X 10' (§205> f)'i men vin,lt V= 184000 cm per seconde. Had men de berekeningen uitgevoerd voor dezelfde temporatuur maar een anderen druk, dan zou men, daar v omgekeerd evenredig met /< verandert, dezelfde uitkomst gekregen hebben. Bij een bepaalde temperatuur is dus de inolekitlaire snelheid run het gas onafhankelijk■ van ile dichtheid. Had men dit, als op zich zelf aannemelijk, op den voorgrond gesteld, dan zou uit do vergelijking (10) de wet van BOYLE volgen. Daar het product pr bij verwarming evenredig mot de absolute temperatuur toeneemt, is blijkens (!l) hetzelfde met A het geval, terwijl volgens (10) de gemiddelde snelheid evenredig met den vierkantswortel uit de absoluto temperatuur zal zijn. Vergelijkt men eindelijk tweo verschillende gassen bij dezelfde temperatuur en onder denzelfden druk, dan komt in eenzelfde volume in beide dezelfde kinetische energie voor; de gemiddelde snelheid U ia dus omgekeerd evenredig met den vierkantswortel uit de dichtheid. Zij is bjj waterstof grooter dan bij eenig ander gas. Merken wjj ten Motte nog op, dat de gemakshalve gemaakte onderstelling dat de molekulen niet tegen elkaar botsen, gebleken is, niet noodzakelijk te Z!l'i l,m .v. in deneenen hoek van een vertrek een gas ontwikkeld, dat aan zijn reuk kenbaar is, dan kan het vrij lang duren voor het aan de tegenovergestelde zijde wordt waargenomen. Dit ia een gevolg van de botsingen niet andere deeltjes, die een molekuul naar de zijde van waar het komt kunnen terugwerpen; het beschrijft in een seconde een zigzaglijn, die wel vele honderden meters lang is, maar waarlangs het toch nog niet ver van het punt van uitgang behoeft gekomen zijn. Een langzame vermenging of diffusie van twee gassen M heeft intusschen altijd plaats; zij is des te trager, naarmate een molekuul meerdere malen tegen een ander stoot, naarmate dus de afstand dien het tusschen twee op elkaar volgende botsingen doorloopt, kleiner is. I)e afstand is natuurlijk niet voor alle molekulen dezelfde, zoodat er slechts van een bepaling van zijn gemiddelde waarde sprake kan zijn. Voor een dergelijke bepaling kunnen juist de proeven over de diffusie, alsmede andere verschijnselen, die wij in de beide volgende § § bespreken zullen, worden gebezigd. Om een denkbeeld te geven van de veelvuldigheid deibotsingen vermelden wij, dat in waterstof van 0° onder een druk van 70 cm de bedoelde afstand gemiddeld slechts (),(XMX)17 cm bedraagt. Neemt men de vroeger voor de snelheid opgegeven waarde in aanmerking, dan vindt men dat een molekuul per seconde ongeveer lü10 botsingen ondergaat. Als voorbeeld van een proef over de diffusie niogo een der waarnemingen van Loschmidt dienen. Twee glazen buizen, elk 48,7 cm lang en 2, cm in middellijn, en aan de eene zjjde gesloten, werden, nadat de eene met koolzuur en de andere met waterstof gevuld was, in verticalen stand met de openingen tegen elkaar geplaatst, de liuis met het koolzuur beneden. Dit laatste was noodig opdat werkelijk alleen door de molekulaire bewegingen en niet veel sneller door den invloed van de zwaartekracht een vermenging zou plaats hebben. Toen na een half uur de inhoud van de buizen onderzocht werd, bleek het dat slechts 37% van het koolzuur in de bovenste buis was gekomen. § 225. Wariiitegeleiding. Ook in een ruimte die geheel met hetzelfde gas gevuld is, heeft een aanhoudende vermenging van de verschillende lagen plaats. \Vjj_ kunnen dat bemerken, als eerst tusschen die la»en een of ander verschil bestaat, als b.v. de bovenste een hoogere temperatuur hebben dan de onderste. De molekulen die er, ondanks de botsingen, in slagen van do bovenste helft vin het vat naar de benedenste te gaan, brengen hun snelheid mee en doen de gemiddelde snelheid beneden in het vat toenemen; boven in het vat daarentegen wordt die snelheid kleiner, daar de zooeven genoemde deeltjes hier vervangen hv m. 4 energie; door dozo uitdrukkingen aan elkaar gelijk te stellen krijgt men een vergelijking, die met (13) vuor de bepaling van <•(■ en E dient. Onderstelt men nl. dat de hoeveelheid gas die adiabatiseh wordt samengedrukt 1 gram bedraagt, dan is het volume vóór do adiabatische samendrukking (druk = pl, temperatuur = T) h'T 1' i (§ -19) en daarna ^druk /<, temperatuur = T ~ U T KT I1 Pi De volume verminden ng is dus ge woest ,') '»» De druk die van buiten op den zuiger licel't moeten werken, is niet voortdurend dezelfde geweest, maar wanneer do verschillen p—pt en /i />2, en dus ook do volumeveranderiogen, zeer klein zjjn, mag men hiervan afzien, en den arbeid berekenen alsof de druk steeds pl bad bedragen. De arbeid is dus het produet van (14) met pn d. w. z. ^0-g) CS) Wat de inwendige energie betreft, moet men bedenken dut de vermeerdering daarvan door de teinperatuurverhooging bepaald wordt, en als deze I en de hoeveelheid van het gas 1 gram bedraagt, geljjkstaat mot c„ calorieën, dus met E<■„ arbeidseenheden. Bij de proef dio wij beschouwen, is do temperatuurverhooging T T = — l), dus de vermeerdering van do inwendige energie Ec„ ï'( ƒ 1). Door dit aan (15) gelijk to stellen vindt men E ct=RP^Z^. I' -Pi Uit deze vergeljjking en (13) kunnen nu en E bepaald worden. Elimineert men de laatste grootheid, dan komt ei* * (10) cc /i.2 [> j Het is (lus de verhouding eau de beide soortelijke irarmtcn, die dour de mi beschouwde proef bepaald wordt. § 233. Uitstrooniing van gasse». Onderstellen wij dat een gas zich bevindt in een vat, aan dc eene zijde afgesloten door een bewegelijken zuiger, waarop een standvastige uitwendige I druk wordt uitgeoefend, en d;it hot dientengevolge door een opening tegenover den zuiger uitstroomt in een ruimte waarin een onveranderlijke lagere druk heerscht. De vraag, niet welke snelheid het gas dan door de opening gaat, kan, evenals de overeenkomstige vraag voor een vloeistof' (§ 209), beantwoord worden niet behulp der wet van het arbeidsvermogen: men moet daarbij echter niet alleen letten op den positieven arbeid van den druk op den zuiger en den negatieven arbeid van den druk die zich tegen de uitstrooming verzet, maar ook op de inwendige energie en, zoo noodig, op de hoeveelheid warmte die van buiten aan het gas wordt toegevoerd. Is de wand waarin zich de opening bevindt, zeer dun, en is dus het gas slechts over een klein oppervlak niet een vast lichaam in aanraking, dan kan men van die warmte afzien, maar, daar het gas zich dan adiabatisch uitzet, daalt de temperatuur en neemt de inwendige energie af. I)e uitstroomingssnelheid is dus anders dan men zou vinden als men de kinetische energie die er aan beantwoordt uit den arbeid van de drukkingen alleen berekende. Wij kunnen hier het verschijnsel niet nader beschouwen. Alleen moge met verwijzing naar liet in i? 20!) gezegde opgemerkt worden dat bij een zelfde drukverschil de snelheid des te grooter is, naarmate men met een lichter gas te doen heeft, en dat zij aanmerkelijk grooter is dan de snelheid waarmee een vloeistof zou uitstroonien wanneer bij deze aan weerskanten van de opening dezelfde drukkingen bestonden als in het gas. fl 33 êf J ZESDE HOOFDSTUK. THKRM< IDVNAMISCHK liKSCHOI WIXCKX. § 234. Ttiiiperatiiiirevciiwicht. Terwijl men mot behulp van de molekulairo theorie menig verschijnsel bij gassen, en, zooals ons later zal blijken, ook bij vloeistoffen, kan verklaren, is het toch in vele gevallen nog onmogelijk, zich tot in bijzonderheden rekenschap te geven van de beweging der molekulen en de werking die zij op elkaar uitoefenen. Reeds vroeger (§ 112) werd erop gewezen, van hoeveel belang onder deze omstandigheden de wet van liet behoud van arbeidsvermogen is. Wij zullen ons nu bezighouden met algemeene stellingen van anderen aard. die eveneens de verschijnselen tot op zekere hoogte bog' Ü pel ijk maken, ook al blijft ons liet mechanisme waardoor zij worden teweeggebracht verborgen. Daar bij de volgende beschouwingen liet begrip van temperatuur een voorname rol speelt , beginnen" wij met nog eens te herinneren aan de beteekenis van dit woord. Wanneer wij een aantal lichamen onderzoeken, elk in een bepaalden toestand genomen, kunnen wij voor ieder daarvan een zeker getal aangeven, op zoodanige wijze dat het van de grootte van deze getallen afhangt, of 'bij de aanraking van twee lichamen warmte van het eene naar het andere overgaat, en, zoo ja, in welke richting dat gebeurt Zijn de bedoelde getallen voor twee lichamen even groot, dan zullen deze bij de aanraking onveranderd blijven; in' ieder ander geval zal warmte overgaan van het lichaam met het grootste naar het lichaam met het kleinste getal. Do aldus gekozen getallen, waarvoor b.v. genomen kunnen worden die welke het volume van een bepaalde gasmassa voorstellen, die, steeds onder denzelfden druk, achtereenvolgens met de verschillende lichamen in aanraking wordt gebracht, noemen wij de temperaturen der lichamen. Vooreerst verdient het 1111 opmerking dut het volstrekt niet van zelf spreekt, maar als een uitkomst van onze waarnemingen moet beschouwd worden, dat getallen van den bovengenoemden aard werkelijk kunnen worden aangegeven, en dat er dus van een temperatuur kan worden gesproken. Om dit in te zien, stelle men zich drie lichamen A, li en C voor, in zulke toestanden, dat er geen warmteovergang plaats heeft, als men .1 met li, en evenmin als men .4 met C in aanraking brengt. Beproeft men nu getallen te kiezen, die de straks vermelde eigenschap hebben, dan moet klaarblijkelijk aan li en ook aan Ü hetzelfde getal worden toegekend als aan .4, en wanneer deze getallen in alle gevallen over liet al of niet overgaan van warmte zullen beslissen, is het noodig dat dan ook li en C bij aanraking geen warmte aan elkaar geven. De waarneming leert dat dit inderdaad zoo is, maar het is wel denkbaar dat li warmte aan C zou afstaan, al vertoonden zij geen van beide een wanntewisseling met A. In de tweede plaats moet erop gewezen worden dat de gelijkheid van temperatuur of, zooals men zegt, het „temperatuurevenwicht"' van zelf ontstaat, wanneer wij twee of meer lichamen aan zich zelf overlaten, onder zoodanige omstandigheden dat op een der in § I4(i genoemde wijzen warmte van het eene naar het andere kan overgaan. In korter of langer tijd worden dan alle temperatuurverschillen veieffend. § 235. Evenwichtstoestanden. In de vorige § werd stilzwijgend ondersteld dat er in het beschouwde stelsel geen andere verandering kan plaats hebben dan een overgang van warmte van het eene lichaam naar het andere. In werkelijkheid kunnen dikwijls tal van andere verschijnselen gebeuren, maar de ervaring leert dat ook daarbij steeds een bepaalde eindtoestand ontslaat, die verder niet meer j5w verandert. Als b.v. in een gesloten vat een gasmassa gebracht wordt, die eerst maar een deel van de ruimte inneemt, zal zij zich na eenigen tijd over het geheele volume verspreid hebben; de dichtheid zal, wanneer van den invloed der zwaartekracht mag worden afgezien, overal even groot zijn geworden, en wanneer die invloed merkbaar is, volgens een bepaalde wet van beneden naar boven afnemen. Ifeeft men in het vat eerst een vloeistof en daar boven een ledige ruimte, dan zal de vloeistof, als de hoeveelheid ervan klein is, geheel in den gasvormigen toestand overgaan, en zich als damp over de ruimte verspreiden. In een gegeven volume blijkt echter, bij bepaalde temperatuur, maar een bepaalde hoeveelheid vloeistof te kunnen verdampen; brengt men nog meer in het vat, dan ontstaat een toestand, waarin een gedeelte van de vloeistof als zoodanig is overgebleven, en de ruimte daarboven damp van een bepaalde dichtheid d en een bepaalde spanning bevat. Men noemt dezen damp, die ten slotte in aanraking met de vloeistof bestaat, verzadigden damp. Dezelfde toestand, waartoe wij zooeven gekomen zijn, ontstaat (bij dezelfde temperatuur) ook, wanneer eerst boven de vloeistof een damp aanwezig is met een grootere dichtheid dan de zooeven genoemde. Er heeft dan een omzetting van damp in vloeistof plaats, een verdichting ot condensatie; deze gaat zoo ver tot weer de dichtheid <1 bereikt is. Wanneer in gevallen, zooals de hier besprokene, de eindtoestand bereikt is, zegt men dat liet stelsel in evenwicht is gekomen. Als verdere voorbeelden van zulke evenwichtstoestanden kunnen nog dienen: een lichaam dat gedeeltelijk gesmolten is, een vaste stof, in aanraking met een „verzadigde" oplossing daarvan, en eindelijk het geval dat op water een laag aether gegoten is, waarbij het blijkt dat in het water een zekere hoeveelheid aether en in den aether eenig water oplost. Als een stelsel bestaat uit verschillende, ieder op zich zeil homogene deelen, die geheel of ten deele uit dezelfde stoffen zijn samengesteld, onderscheidt men die van elkaar als verschillende phasen. De evenwichtstoestanden die wij nu hebben leeren kennen, zijn volgens de molekulaire theorie van anderen aard dan de gewone evenwichten die in de mechanica behandeld worden. Ofschoon nl. de voor ons waarneembare deelen van de lichamen dezelfde samenstelling en eigenschappen behouden, zou een waarnemer die de afzonderlijke molekulen kon zien, getuige zijn van zeer ingewikkelde bewegingsverschijnselen. Dat, ondanks deze veranderingen, het geheele stelsel in een blij venden toestand verkeert, is te danken aan het groote aantal molekulen waaruit de lichamen zijn opgebouwd. Verbeelden wij ons b.v. twee stukken koper A en B, die nadat zij eenigen tijd in smeltend ijs hebben gelogen, met elkaar in aanraking worden gebracht. Evenals in een gas bij een bepaalde temperatuur de verschillende deeltjes ongelijke snelheden hebben (§ 222), zal dat ook in het 5 2koper het geval zijn. liet is dus zeer goed mogelijk dat op 't eene punt van het aanrakingsoppervlak een molekuul van A een veel grootere snelheid heeft dan een deeltje van B waarmee het in aanraking komt, terwijl in een ander punt het omgekeerde het geval is. üp de eerste plaats 7A1 dan eenige warmte overgaan van A naar Ji, en op de laatstgenoemde plaats van Ji naar A. Dat er, alles samengenomen, noch in de eene noch in de andere richting warmte overgaat, is hieraan te wijten dat langs liet grensvlak allerlei toestanden worden gevonden, maar zoo dat gemiddeld de snelheden in het eene lichaam even groot zijn als in het andere. Ook de gelijkmatige verdeeling van een gas over de beschikbare ruimte is alleen door het groote aantal deeltjes mogelijk- N logen er in een vat niet meer dan 100 molekulen heen en weer, dan zouden er wel niet juist 50 in elke helft zijn. De verdamping van een vloeistof kan men zich zoo voorstellen dat sommige molekulen, en wel die, welke de grootste snelheden hebben, uit de vloeistof ontsnappen en /fes ziel) als gasmolekulen in de ruimte daarboven bewegen. Onophoudelijk zullen eenige deeltjes dit doen, en de hoeveelheid damp zou voortdurend toenemen, als er niet ook iets anders plaats had. Molekulen van den damp kunnen nl. door hun beweging weer in de vloeistof geraken en door de aantrekking daarvan worden vastgehouden. Dit zal des te meer gebeuren, naarmate er reeds meer damp is. Ten slotte is er evenwicht, wanneer evenveel deeltjes als de vloeistof verlaten er ook weer in terug keeren , (verg. § 222). Andere evenwichten tusschen twee phasen kan men op een dergelijke wijze opvatten. § 236. Kenmerken van een evenwichtstoestand. Hoe ook de dichtheid der stof van punt tot punt verandert, en hoeveel ook de naast elkaar bestaande phasen van elkaar verschillen, steeds zal in alle deelen van het stelsel de temperatuur even hoog zijn. Het is verder gebleken dat alle zichtbare relatieve bewegingen van het eene deel der stof ten opzichte van het andere door de wrijving worden uitgeput. Wanneer het beschouwde stelsel door stilstaande wanden omsloten is, hebben er in den evenwichtstoestand in het geheel geen zichtbare bewegingen meer plaats. $ 237. Adiabatische en isothermische veranderingen. N at men de uitdrukking dat een stelsel aan zich zelf zal worden overgelaten, letterlijk op, dan is daarmee natuurlijk ook gezegd dat er noch warmte aan het stelsel moet worden meegedeeld, noch daaraan moet worden onttrokken, dat het dus b.v. binnen een omhulsel moet zijn opgesloten, dat in het geheel geen warmte doorlaat. De veranderingen die dan nog kunnen plaats hebben, gebeuren adiabatisch (§ 228). Niet alleen in dit geval neemt het stelsel een evenwichtstoestand aan, maar eveneens, wanneer, zooals wij ons dikwijls zullen voorstellen, de temperatuur constant wordt gehouden, en dus de veranderingen isothermisch zijn. Wil men zich hiervan verzekeren, dan moet het stelsel in aanraking worden gebracht met een lichaam van zoo pk J groote warmtecapaciteit dat de temperatuur daarvan niet merkbaar verandert als liet eenige warmte aan liet stelsel afstaat of daarvan ontvangt. Wij zullen zulk een lichaam een ivarmlereservoir noemen. § 238. Richting waarin de veranderingen plaats hebben. Een stelsel van lichamen waarin eerst geen evenwicht bestond, en dat ten slotte in een stationairen toestand is gekomen, zal niet weer van zelf tot den oorspronkelijken toestand terugkeeren. M. a. w., de veranderingen die het ondergaan heeft, kunnen niet in omgekeerde richtingplaats hebben. Zoo zal b.v. door warmtegeleiding of straling een temperatuurverschil nooit grooter worden. Wel leert ons de waarneming dat ook lichamen van lage temperatuur, zooals een stuk ijs, eenige warmte uitstralen, en daarvan kan een lichaam van hoogere temperatuur iets opnemen, maar de warmte die dit zoo van het koude voorwerp ontvangt, bedraagt altijd minder dan de warmte die het daaraan door straling meedeelt. Een gas verdeelt zich gelijkmatig over de beschikbare ruimte, maar nooit zal het zich van zelf in een deel van de ruimte meer opcenhoopen dan in een ander, en evenmin zullen de bestanddeelen van een mengsel van twee gassen zich van zelf van elkaar scheiden. Een verandering die menigmaal voorkomt als een stelsel tot een evenwichtstoestand nadert, is de omzetting van „mechanisch" arbeidsvermogen in warmte, b.v. ten gevolge van wrijving. Onder mechanisch arbeidsvermogen verstaan wij hierbij zoowel de kinetische energie van zichtbare bewegingen als de potentieele energie die beantwoordt aan de op zichtbare massa's werkende krachten. De omgekeerde verandering zou nu zijn de omzetting van warmte in zulk mechanisch arbeidsvermogen, of, m. a. w., het verrichten van mechanischen arbeid met behulp van warmte. Deze omzetting is wel mogelijk, maar zij is veel meer dan de eerstgenoemde aan bepaalde voorwaarden gebonden en van geschikte kunstgrepen afhankelijk. Dit ligt trouwens in den aard van de onregelmatige 25 fas. molekulaire bewegingen. Wanneer een lichaam zich in zijn geheel voortbeweegt, kunnen wij het, door er b.v. een koord aan vast te maken, een gewicht tot zekere hoogte laten optillen (§ 116). Evenzoo kunnen wij partij trekken van de kinetische energie van een waterstroom, waarin zich alle deeltjes in dezelfde richting bewegen; wy kunnen het water op de schoepen van een rad laten werken. Moeilijker zou het reeds zijn, het water arbeid te laten verrichten wanneer er tal van kleine wervelstroomen in bestonden. En volkomen onmogelijk is het, de kinetische energie van de in alle richtingen voortvliegende molekulen van een gas geheel voor mochanischen arbeid te gebruiken, daar wij de molekulen niet afzonderlijk kunnen hanteeren, en niet elk molekuul tegen een klein vlakje kunnen laten drukken, dat loodrecht op de bewegingsrichting gehouden wordt. I)e energie van de molekulaire bewegingen is veel minder voor ons toegankelijk dan het arbeidsvermogen dat zichtbare deelen der lichamen in hun geheel hebben. Met dat al kan men er wel tot op zekere hoogte partij van trekken, en met name is dit het geval, zooals ons aanstonds zal blijken, wanneer men over lichamen van verschillende temperatuur kun beschikken. § 239. Omzetting van warmte in mechanisch arbeidsvermogen. Zonder in technische bijzonderheden te treden, zullen wij nu nagaan, op welke wijze bij de stoomwerktuigen en de heete-luchtmachines warmte in mechanisch arbeidsvermogen wordt omgezet. Vooreerst verdient het opmerking dat deze „calorische machines" bestemd zijn om, zoo lang men wil, onophoudelijk arbeid te verrichten, en dat te dien einde het lichaam waarvan men zich bedient (het „werkende lichaam"), drukt tegen een in een cilinder heen- en weergaanden zuiger1), waarvan de beweging op een vliegwiel wordt overgebracht. ') Wij laten werktuigen zooals de stoomturbines van De La val , l>jj wclko een stoonistrnal met groote snolheid aan den omtrek van eon rad geplaatste schoepjes treft, buiten beschouwing. jllo Wij zullen aannemen dat de verschijnselen volkomen periodiek zijn en dat men voortdurend van dezelfde massa van liet werkende lichaam gebruik maakt; dit moet zicli dan, telkens als de zuiger een heen- en weergang volbracht heeft, weer in denzelfden toestand bevinden; het moet dus een kringloop van veranderingen ondergaan hebben. Gemakshalve nemen wij aan dat het daarbij slechts met de eene zijde van den zuiger in aanraking komt en dat zich aan de andere zijde de dampkringslucht bevindt. De druk van deze laatste verricht bij een heen- en weergang, alles samengenomen, geen arbeid. Het werkende lichaam doet een positieven arbeid als het den zuiger naar buiten drijft, en een negatieven als deze terugkeert. M. a. w., terwijl door den druk dien het uitoefent in het eerste geval de wenteling van 't vliegwiel versneld wordt, moet dit arbeidsvermogen afstaan om den zuiger weer naar binnen te drijven. Zal de geheele arbeid van het werkende lichaam gedurende een periode positief zijn, dan moet het, terwijl de zuiger naar buiten gaat, een grooteren druk uitoefenen dan terwijl hij terugkeert. Dit is mogelijk als het lichaam gedurende de twee helften van den kringloop verschillende temperaturen heeft. § 240. Heete-Iuchtmachines. Ziehier, als voorbeeld, hoe een van de meest eenvoudige werktuigen waarin beurtelings verhitte en afgekoelde lucht gebezigd wordt, is ingericht. Een luchtketel A (Fig. 211) wordt aan de benedenzijde bij B verhit en aan het boveneinde C op een lage temperatuur gehouden door koud water, dat in een ringvormigen bak rondom C is aangebracht. In den ^ uio > uvj Fig 211. |fow f/'S' - 't- ketol bevindt zich een lichaam J), dat wij den „verdringer" zullen noemen; liet kan zich, niet eenige speling aan den omtrek, op en neer bewegen en laat dan aan de hovenof benedenzode een zekere ruimte over, die met lucht gevuld is. De verdringer heeft ten doel, terwijl hij op en neergaat, deze hoeveelheid lucht beurtelings in het verhitte of' het afgekoelde deel van ^4 te brengen en dus een hooge of lage temperatuur te doen aannemen. De daaruit voortvloeiende drukveranderingen worden gebezigd om den zuiger Z in een cilinder /i', die met den luchtketel verbonden is, te doen heen- en weergann. Men laat den zuiger naar buiten gaan, wanneer de verdringer hoog en naar binnen, wanneer hij laag geplaatst is. De zuiger is op de gewone wijze verbonden met een as die van een vliegwiel is voorzien, en de verdringer ontvangt op de geschikte oogenblikken zijn beweging van deze as, waarmee bij door een mechanisme dat wij hier niet behoeven te beschrijven, verbonden is. 4; 241. Stoomwerktuig. Als tweede voorbeeld diene de in Fig. 212 schematisch voorgesteld^ stoommachine. C is de cilinder met den zuiger Z, P de stoomketel, Q de condensator, d. w. z. een ruimte die door omringend koud water op een lage temperatuur 7', wordt gehouden. In den stoomketel bestaat een hooge temperatuur 1\. ' C is met P en Q door de buizen p en (j verbonden; deze kunnen naar willekeur worden geopend en gesloten. Daar de spanning van den verzadigden waterdamp (§ 235) bij verhooging van temperatuur toeneemt, zal in P een hooge en in Q een lage dampspanning bestaan. Derhalve hebben wij, om den stoom arbeid te laten verrichten, slechts de buis p te openen, als de zuiger stijgt, en de buis q. als hij daalt; inderdaad is dan het benedenvlak van Z in die gevallen aan verschillende drukkingen onder- Kitf. 212. jwfc arbeid, dan is de vrije energie met een daaraan gelijk bedrag afgenomen. Daarentegen beantwoordt aan eiken arbeid dien wij op het stelsel doen, een aan dien arbeid gelijke toename van de vrije energie. Op de volgende wijze kunnen wij , bij den overgang van N naar S' een arbeid — tp\ derhalve is bij eiken overgang van S naar S' de arbeid A = ip— ip'. Deze uitkomst gaat ook door wanneer ip'

toekennen. Ter onderscheiding kunnen wij deze de vrije energie van de deformatie noemen. b. Heffen wij de kracht die de doorbuiging heeft teweeg gebracht, plotseling op, dan schommelt het lichaam om den natuurlijken stand heen en weer. Bij afwezigheid van eiken weerstand houdt die beweging nooit op en blijft de totale vrije energie in den loop daarvan onveranderd, üp het oogenblik waarop de natuurlijke toestand bereikt is, is wel is waar de vrije energie van de deformatie verdwenen, maar de staaf heeft dan wegens zijn (zichtbare) beweging een kinetische energie, dus een anderen vorm van vrije energie, gekregen, waarvan het bedrag, zooals men kan aantoonen, gelijk is aan de verloren vrije energie van de deformatie. jw Om dit te bewijzen, stellen wjj ons den volgenden kringloop voor. Nadut de staaf op de gezegde wijze in den natuurlijken toestand gekomen is, en de kinetische energie E heeft gekregen, ontnemen wij hem die plotseling door hem een arbeid E to laten verrichten. Vervolgen» brengen wij het lichaam langzaam, door een geleidelijk aangroeiende kracht, in den gedeformeerden toestand terug, waarbij wjj een arbeid tfi verrichten, en 'lus do staaf een arbeid — t/> doet. Daar nu een isothermisohe kringloop volbracht is en alles ook in omgekeerde richting had kunnen plaats hebben, moet de totale arbeid 0 zijn. Daaruit volgt: E — tp = 0, E = tb. c. Tot verdere toelichting merken wij nog het volgende oj). Wanneer men van alle warmteverschijnselen mocht afzien (zoodat er ook van geen warnitereservoir sprake kon zijn) en zich mocht voorstellen dat de deeltjes van de staaf, wanneer deze in zijn geheel in rust is, vaste standen hebben, bij welke de aantrekkende en afstootende krachten die zij, door tusschenkomst van een medium op elkaar uitoefenen, evenwicht maken met de uitwendige krachten, zou men mogen zeggen dat de gebogen staaf een zekere potentieele energie heeft en dat hij de schommelingen een afwisselende overgang van deze in kinetische energie en jr omgekeerd plaats heeft. Zooals reeds in § 144 werd opgemerkt, is deze opvatting, al wijkt zij misschien bij menig vast lichaam niet ver van de waarheid af, niet geheel juist. Veiliger is het daarom, ons niet in het mechanisme van de verschijnselen te verdiepen en eenvoudig van het arbeidsvermogen van een gedeformeerd lichaam te spreken. Dit hebben wij in het begin van Hoofdst. II gedaan. Daar wij toen nog niet van den overgang van warmte van het eene lichaam naar het andere gesproken hadden, werd stilzwijgend ondersteld dat de veranderingen adiabatisch plaats hebben. Is dit het geval, dan kan men inderdaad zeggen (§ 117) dat de arbeid dien wij aan het deformeeren besteden, gelijk is aan een vermeerdering van het arbeidsvermogen van het lichaam en dat bij trillende bewegingen de som van het inwendige arbeidsvermogen en de kinetische energie constant blijft. De stellingen over de vrije energie gelden in een ander geval, nl., waaraan wij nog eens uitdrukkelijk herinneren, voor isothermische veranderingen. Wanneer wij een staaf bij standvastige tomporatuur buigen, mogen wij niet zeggen dat de energie die in liet lichaam aanwezig is, toeneemt met een bedrag, gelijk aan den door ons verrichten arbeid; er kan nl. eenige warmte aan het reservoir zijn afgestaan of onttrokken (in welk geval de temperatuur zou zijn veranderd, zoo de verandering adiabatisch had plaats gehad). Evenmin mogen wij zeggen dat bij de trillende beweging liet totale arbeidsvermogen van de staaf zelf onveranderd blijft; ook nu kan er warmte overgaan van de staaf naar het reservoir en omgekeerd. Daarentegen kunnen wij wel verzekerd zijn, vooreerst van de onveranderlijkheid van het arbeidsvermogen dat in dit laatste geval de staaf en liet reservoir te zinnen hebben, en ten tweede van de juistheid der regels die op de vrije energie betrekking hebben. Daarbij verdient het vooral de aandacht dat deze regels in vorm overeenstemmen met andere die men in de mechanica aantreft, en waarin van potentieele energie sprake is. Evenals deze laatste in den evenwichtsstand van een slinger een minimum is, wordt onder al de toestanden waarin de beschouwde staaf door een vormverandering kan gebracht worden, de natuurlijke toestand hierdoor gekenmerkt (lat voor dezen de vrije enen/ie kleiner is dan voor eiken anderen. Dat de onveranderlijkheid van het totale arbeidsvermogen van een heen- en weergaanden slinger analoog is aan de onveranderlijkheid van de totale vrije energie bij de trillende staaf, valt aanstonds in het oog; men zou trouwens ook bij den slinger (§ 24G) van „vrije energie1' kunnen spreken. d. Intusschen gelden stellingen, zooals wij die in Hoofdst. 11 voor het arbeidsvermogen in zijn geheel hebben leeren kennen, in het algemeen niet voor de vrije energie. Deze neemt niet alleen af, wanneer het stelsel een arbeid verricht, maar ook in menig geval, waarin het dit niet doet. Zulk een, men zou kunnen zeggen „nuttelooze" vermindering van de vrije energie („verspilling of dissipatie van energie") valt bij vele niet omkeerbare verschijnselen op te merken. Als eerste voorbeeld kan weer de veerkrachtige staaf 2(i >7. dienon. Tn werkelijkheid worden de trillingen daarvan door weerstanden van verschillenden aard uitgeput en gaat dus de aanvankelijk bestaande vrije energie van de deformatie verloren. Evenzoo neemt, telkens wanneer zichtbare bewegingen door een wrijving worden vernietigd, do vrije energie af, omdat de oorspronkelijke kinetische energie, die wij daartoe rekenen moeten, verdwijnt. Ook met de in § 246 beschouwde gasmassa kan een proef worden genomen, waarbij, zonder dat er een arbeid verricht wordt, de vrije energie kleiner wordt. Dit is het geval als hot gas zich in een ledige ruimte stort, waarbij do temperatuur, zooals wij weten (§ 229), onveranderd blijft, zoodat wij de vrije energie vóór en na de uitzetting met elkaar vergelijken kunnen. Na do proef is hot gas minder in staat om door een isothermische en omkeerbare uitzetting tot het volume V (§ 246) oen arbeid te verrichten dan oorspronkelijk. Dat hierin geen tegenspraak mot do wet van liet behoud van arbeidsvermogen gelegen is, zal men gemakkelijk inzien; terwijl do gezamenlijke energie van oen stolsel lichamen onveranderd blijft, kan zij zeer goed minder toegankelijk voor ons worden. De neiging van do vrije energie om af te nemen vertoont zich hij vele verschijnselen waarover wij hier niet kunnen uitweiden, ook hierdoor b.v. dat, wanneer oen lichaam een arbeid verricht, de vrije energie dikwijls meer afneemt dan aan dien arbeid beantwoordt. Wordt er noch door, noch op het stelsel een arbeid gedaan, dan is de regel dal bij niet omkeerbare veranderingen, b.v. bij die waardoor een evenwichtstoestand bereikt wordt (§ 235). als zij bij standvastige temperatuur plaats hebben, de vrije energie afneemt. In den evenwichtstoestand zelf is zij een minimum, een stelling die bij beschouwingen over physische en chemische evenwichten veelvuldig wordt toegepast. Een enkel woord ton slotte over de definitie die wij van de vrije energie gegeven bobben. Daarin was bepaaldelijk sprake van don arbeid dien het stelsel kan verrichten als hot langs omkeerbaren weg uit don werkelijk bostaanden toestand in den nultoestand overgaat. Do in hot woord „omkeerbaar" gelegen beperking was noodig omdat, als de overgang op andere wijze plaats beeft, volstrekt niet dezelfde arbeid verricht wordt. Alen kon het gas zich tot het volume F laten uitzetten door het zich over een oorspronkelijk ledige ruimte te laten verspreiden; dan zou het in het geheel geen arbeid verrichten. De omstandigheid dat ook van isothermische veranderingen gesproken werd, heeft ten gevolge dat wjj op grond van de gegeven definitie alleen voor toestanden in welke het lichaam dezelfde temperatuur heeft, de waarden van de vrije energie kunnen vergelijken (zie intusschen § 258, b). § 248. Kringloopen van ('arnot. Wij koeren nu terug tot kringloopen waarbij het werkende lichaam twee verschillende temperaturen aanneemt. A iet alleen bij een gas, maar ook hij andere lichamen kan zulk een kringloop uit twee isothermische en twee adiahatisehe reranderingen worden samengesteld; als dat liet geval is, spreekt men van een kringloop van Carxot, daar deze natuurkundige liet eerst (1824) uit de beschouwing van zulk een cyclus van veranderingen belangrijke gevolgtrekkingen heeft afgeleid. Wij kunnen ons b.v. voorstellen dat een verticaal opgehangen metaaldraad, onderworpen aan een spannende kracht die men kan regelen, eerst isothermisch wordt uitgerekt, dat vervolgens die uitrekking adiabatisch wordt voortgezet (waarbij de temperatuur verandert), dat dan een isothermische samentrekking volgt, en dat eindelijk door een adiahatisehe samentrekking de oorspronkelijke toestand weer bereikt wordt. Hierbij kan ten slotte een zekere arbeid verricht zijn, en men zou daarvan werkelijk partij kunnen trekken door de beweging van het benedeneinde op een vliegwiel over te brengen en op een of andere wijze op geschikte oogenblikken den draad automatisch in gemeenschap te laten komen met de warmtereservoirs, of daarvan te doen scheiden. Men zou dan een inrichting hebben, die even goed als een stoomwerktuig een calorische machine kon heeten, en dergelijke machines, met kringloopen van Carnot, kunnen ook voor allerbei andere werkende lichamen worden verzonnen. Wjj zullen de twee warmtereservoirs h\ en li2, en de absolute Ihi 8. temperaturen daarvan 7\ en 7', noemen. Wij onderstellen dat Ti > 7'2 is. 1 er der nemen wij aan dat de veranderingen zeer langzaam '2 afstaat. Natuurlijk is > (j,; liet verschil —(J2 beantwoordt nl aan den arbeid. Wij kunnen gevoegelijk zeggen dat, terwijl de hoeveelheid warmte (,), verbruikt is om arbeid te verrichten, de hoeveelheid (J2 van het reservoir L'l naar liet reservoir //„ is overgebracht. Derhalve: Het is onmogelijk, dooreen kringloop van ('aknot een hoeveelheid warmte, die aan een reservoir van hooge temperatuur ontleend wordt, geheel in mechanisch arbeidsvermogen om te. zetten; een qcdeeAte van deze warmtehoeveelheid wordt a/s warmte teruggevonden, en nel in een lichaam (nl. I{„) van lagere temperatuur. Do breuk V, ' /lïr* 11. 1 li. .1 f, « < die aangeeft welk gedeelte van de aan onttrokken warmte tot het verrichten van arbeid gebruikt wordt, noemen wij het nuttig effect van den kringloop. ï tet getal -=7T%r = I-l Qx — Qz geeft aan hoeveel calorieën van I'l naar A', worden overgebracht tegen één calorie die voor mechanischen arbeid dient. Wordt de kringloop in omgekeerde richting, dus in de tweede richting, doorloopen, dan is de arbeid van het werkende lichaam negatief, nl. — A, m.a.w. de uitwendige krachten verrichten een arbeid -j- A. Aan 1(2 wordteen hoeveelheid warmte onttrokken, fjYS on aan Bl een hoeveelheid Qt gegeven, die > (j2 is. Dus: het is mogelijk met een kringloop van Carnot in de „tweede" richting een hoeveelheid warmte 2 van het koude reservoir naar het warme over te brengen; daartoe moeten echter uitwendige krachten een positieven arbeid verrichten. Voor het arbeidsvermogen dat daarbij buiten het werkende lichaam verdwijnt, komt warmte (nl. Qt —Q2) in de plaats, en wel wordt deze warmte, „,et de overgebrachte, in het reservoir van hooge temperatuur gevonden. Evenals wij ons een calorische machine kunnen voorstellen, waarin liet werkende lichaam een kringloop van Carxot in de eerste richting uitvoert, kunnen wij ons een dergelijk werktuiy verbeelden, waarin een kringloop in de tweede richting plaats heeft. Terwijl echter in de eerste machine de wenteling van het vliegwiel door den arbeid van het werkende lichaam versneld wordt, zal in het tweede werktuig het vliegwiel arbeidsvermogen verliezen, en moet het dus door uitwendige krachten in beweging worden gehouden. Wij merken n«>g op dat men, 11a het aanbrengen van eenige wijzingen, elke werkelijk uitgevoerde calorische machine in tegengestelde richting als gewoonlijk zou kunnen laten loopen. Men kan het b.v. zoo inrichten dat bij do stoommachine van Fig. 212 (blz. 388) do zuiger naar boven gaat als de cilinder met den condensator Q, 011 naar beneden als hij met den stoomketel I' is verbonden. Hot werktuig is dan een pomp geworden, waarmee men waterdamp uit den condensator zuigt en in den ketel verdicht. Intusschon wordt hierbij de werking niet volkomen omgekeerd want, zooals men gemakkelijk zal inzien, komen niet geheel dezelfde toestanden meer voor. I)e stof bevindt zich dan ook bij de in Fig. 212 bedoelde stoommachine niet voortdurend in een evenwichtstoestand. Als b.v. de met stoom van hooge spanning gevulde cilinder <' met den condensator, die damp van kleinere spanning bevat, in gemeenschap komt, is er geen evenwicht. De kringloopen van ('ahxot daarentegen zijn volkomen omkeerbaar. § 249. («rootte van liet nuttig effect. Twee kringloopen van Carnot met verschillende werkende lichamen, maar met dezelfde hooge en lage temperatuur, hebben hetzelfde nuttig effect. Men kan dit afleiden uit het volgende beginsel, dut door Cr.Arsu s (1850) tot uitgangspunt van zijn beschouwingen over de mechanische warmtetheorie (thermodynamica) werd genomen. Het is onmogelijk dot een hoeveelheid warmte run een lichaam van lagere naar een lichaam van hooi/ere, temperatuur overgaat, zonder dat gelijktijdig nog andere veranderingen plaats hebben. Ziehier, hoe men uit dit beginsel de bovengenoemde stelling afleidt. Stel dat bij twee kringloopen van Carnot met de temperaturen 7', en T2 het nuttig effect verschillende waarden »», en m2 heeft. Dan zal ook het getal n (§ 248) verschillende waarden nl en n2 hebben. Stel »2 > nt. Laat dan in een calorische machine de eerste kringloop in de eerste richting en in een tweede werktuig de tweede kringloop in de tweede richting plaats hebben; laat de beide werktuigen een gemeenschappelijk vliegwiel hebben en van dezelfde warmtereservoirs h\ en li2 voorzien zijn. Het arbeidsvermogen van het vliegwiel wordt dan door het eerste werktuig vergroot, en door het andere verkleind. AVij kunnen de hoeveelheden van de werkende lichamen zoo kiezen dat de eene machine evenveel arbeid verricht als voor de beweging van de andere vereischt is; dan kan het eene werktuig juist het andere drijven, en alles te zamen genomen wordt noch warmte in mechanisch arbeidsvermogen omgezet, noch omgekeerd. Stel dat in de eerste machine a calorieën, aan Ux ontleend, worden verbruikt; dan brengt de tweede evenveel warmte in dit reservoir terug. Maar bjj den eersten kringloop gaan bovendien n j a calorieën van A', naar 112, en bij den tweeden n2a calorieën van R2 naar /i, over. Daar i\2 > w, is, zou ten slotte een zekere hoeveelheid warmte, nl. («, — n.) a calorieën, van het koude naar het warme reservoir zijn overgegaan, wat tegen hot grondbeginsel van Ci.ausius strijdt. Door een dergelijke redeneering, waarbij men echter den eersten kringloop in de tweede en den anderen in dc eerste richting moet doen plaats hebben, bewijst men dat n2 niet kleiner dan nt kan zijn. Derhalve moet n1 = n2 , en dus ook mx = m2 zijn. Men kan nu uit de eigenschappen van de gassen afleiden dat bij een kritujloop van Carnot met een gas dat de in het vijfde hoofdstuk behandelde eigenschappen heeft, het nuttig effect de waarde Tx - J\ m= T (1) 1 t heeft, als T1 en 'l\ de absolute temperaturen zijn. Derhalve, heeft ook voor eiken anderen kringloop van Carxot . welk lichaam ook gebruikt wordt, liet nuttig effect deze waarde. Daaruit volgt (h - Q* _ 'i\ — ?'2 Qi Tt ' of ' Vi '• Qz — Tt : Ta (2) een vergelijking die tot vele belangrijke gevolgtrekkingen aanleiding liecft gegeven. Om ' U= UT' (5) Vorder merken wij op dat do arbeid van het gas bij de adiabatischc uitzetting G II gelijk is aan do vermindering van de inwendige energie. Daar nu do inwendige energie langs do geheele lijn A II dezelfde waarde heeft, en eveneens langs de lijn A' F, moet de bedoelde arbeid voor elke adiabatische lijn tussohen AU en FF dezelfde waarde hebben. Stel dezo waarde door e voor. Dan is dus, daar voor den inhoud van do strook n2 kan zijn. Een waarde van m1, kleiner dan m/2, kleiner dus dan 1 2, is echter niet uitgesloten, en inder' 1 daad blijkt het nuttig effect run een werkelijke (en dus niet geheel omkeerbare) calorische machine win of meer beneden deze breuk te H'jgt»• Deze /mitste is te beschouwen als een grens, die men nooit geheel kun bereiken. Wellicht is het goed, er op te wijzen dat men, als men voor ffco 40!) een stoommachine de breuk — ~^-2 wil berekenen, die het ' 1 hoogste bereikbare nuttig effect voorstelt, under 7', verstaan moet, niet de temperatuur van den vuurhaard, maar die van het water in den stoomketel. Deze temperatuur bepaalt de dainpspanning en men zou den vuurhaard kunnen vervangen door een warmtercservoir van die temperatuur, als dit maar voldoende warmtecapaeitoit had en hot vermogen om snel genoog warmte aan het water te geven. Mat men te doen heeft om het nuttig effect zoo hoog mogelijk op te voeren, is na het voorgaande duidelijk. Vooreerst moet men Int werktuig zooree' mogelijk tot over den geheelen kriny/oojt uitgestrekt, niet positief hoi zijn. '•in dit to bewijzen zullen wij elke hoeveelheid wnrmte dio het werkende lichaam M moet ontvangen, aan een zelfde reservoir A' ontleenen. dat een fa VA zekere temperatuur # heeft, en elke hoeveelheid warmte die 3/ moet afstaan, aan dat reservoir geven. Wij kunnen dit langs omkeerbaren weg doen, wanneer wij telkens van een hulplichaam, liv, een gasmassa, gebruik maken, dat een kringloop van Carkot ondergaat, waarbij het liehaam M en het reservoir K de rol spelen, dio wij vroeger (§ 248) aan ƒ?, en hebben toegekend. Om dan aan M, terwijl dit liehaam de temperatuur 7' heeft, de hoeveelheid warmte Q, positief of negatief, te geven, moet uit K een hoeveelheid worden geput. Is dus de gcheclo kringloop volbracht, dan bedraagt de uit K verdwenen warmte ■av Q 7" Xu is er ten slotte noeli aan het lichaam M, noch aan de gasmassa waarmee men telkens hoeft gewerkt iets veranderd; was dus (7) positief, dan zou do geheele bewerking geen ander gevolg hebben dan dat uit A' een hoeveelheid warmte was verdwenen en geheel in mechanisch arbeidsvermogen was omgezet. Men heeft nu allen grond om dit voor onmogeljjk te houden. In het bjjzondero geval dat de kringloop van het lichaam M omkeerbaar is, kan de uitdrukking (7) ook geen nogatievo waarde hebben. Koert men nl. alle veranderingen om, dan verandert elko warmtehooveelhoid van toeken en zou dus do som -J1 —, wanneer zjj eerst negatief was, een positieve waarde krijgen, waarvan do onmogelijkheid werd aangetoond. Kr blijft dus alleen over dat voor omkeerbare kringloopeii is. Noemen wij kortheidshalve een hoeveelheid warmte, nadat zjj gedeeld is door de absolute temperatuur van het lichaam waardoor zjj wordt opgenomen of afgestaan, eeu gereduceerde warmtehooveelhoid, dan luidt onzo uitkomst: Hij eiken omkeerbaren kringloop is de idgebraïschc som van de gereduceerde toegevoerde warmtehoeveelheden 0. Hij een niet omkeerbaren kringloop daarentegen kan deze som zeer goed een negatieve waarde hebben, en heeft die werkelijk ook zoo goed als altijd, zooals men door beschouwingen die wij hier moeten laten ruston, nader kan aantoonen. § 252. Entropie. Men kan, wanneer men de toestandsveranderingen van een of ander lichaam bestudeert, onder al de toestanden waarvoor het vatbaar is, er één uitkiezen, om daarmee alle andere to vergelijken. Laten wij nu uit dien «enen toestand N langs omkeerbaren weg het lichaam overgaan in den toestand A, dan kan men bewijzen dat de som van de gcredu- jfüSJ. ccerde warmtehoeveelheden die men daarvoor moet toevoeren , een geheel bepaalde icaarde heeft, onverschillig langs welken weg de bedoelde overgang plaats heeft, d. w. z. welke tussehentoestanden daarbij voorkomen. Men kan b. v. een gram water van 0° doen overgaan in verzadigden waterdamp van 100°, door eerst van 0° tot 100° te verhitten en dan de verdamping te doen plaats hebben, of wol door eerst tot 500 te verwarmen, dan het water te doen verdampen on eindelijk den damp op 100° te brengen, waarbij dan het volume zoo geregeld moet worden dat de damp ten slotte verzadigd is. Voor elk van deze wegen moet nu 2 ^ dezelfde waarde hebben. Het bewjjs voor deze stelling kan aldus worden gegeven. Zij >j do som van do toegevoerde gerodueeerdo warmtehoeveelheden voor den eenen weg tusselien de toestanden Ar en A, en tj' de overeenkomstige som voor oen andoren weg. Door het lichaam langs den eersten weg uit den toestand N in A te doen overgaan, en het vervolgens langs den anderen weg in den begintoestand terug te brengen, krijgt men een kringloop van omkeerbare veranderingen, waarvoor 2! = (l moet zijn. Maar voor het eerste deel van dezen kringloop heeft 2 de waarde voor het tweede de waarde — tj'. Derhalve moet fj — i]' = 0, of tj = tj' zijn. Om do beteekenis van deze uitkomst duidelijk in te zien, plaatsen wij ons voor oen oogonblik op liet standpunt van do vroegere theorie, volgens welke do warmte een stof zou zijn. Toen men van deze opvatting uitging, moest men natuurlijk aannemen dat een lichaam in den toestand A een bopaaldo hoeveelheid warmte meer bevat dan in den toestand N, dat dus ook, lioo men den overgang ook doet plaats bobben, toevoer van een bepaalde hoeveelheid warmte vereisoht wordt. Dit is nu, omdat wurmto verbruikt kan worden of ontstaan kan, niet waar, maar wel kan men, wanneer men zich tot omkeerbare overgangen bepaalt, van do som der gereduceerdo warmtehoeveelheden zeggen, wat vroeger van de som der warmtehoeveelheden zelf gezegd word. Do som der gereduceerdo warmtehoeveelheden dio men aan hot lichaam moet geven om hot langs omkeerbaren weg uit den „nultoestand" N in don toestand A te brongen, wordt de entropie in dezen laatsten toestand genoomd. Uit dezo definitie kan bet volgende worden afgeleid: a. Hij een willekeurige omkeerbare verandering (geen „kringloop") is do aangroeiing van de entropie gelijk aan do som van do gereduceerde toogovoerde warmtehoeveelheden. b. De entropie verandert dus niet bij een omkeerbare adiabatische uitzetting of samendrukking. c. Daar een isothcrinische uitzetting van een gas toevoer van warmte vereisoht, is bij een bepaalde temperatuur do entropie van het gas des to grootor, naarmate liet volume grooter is § 253. Kegels voor niet omkeerbare veranderingen. Laat oen stelsel door een of andere reeks van veranderingen, die niet omkeerbaar is, cn ilie wij door 1' zullen aanduiden, uit den toestand A in den toestand li overgaan, en zij v Q. rjy do som van do gereduceerde toegevoerde warmtehoeveelheden. Wij kunnen ons verbeelden dat hot stelsel door een nieuwe, en wel een omkeerbare, reeks van veranderingen, die wij door P' zullen voorstellen uit den toestand li in den toestand A wordt teruggebracht; wij verkrijgen aldus een niet omkeerbaren kringloop A oor do veranderingen P' is nu de som van de gereduceerde toegevoerdo warmtehoeveelheden (§ 252, a) ija — als >jit do ontropie in den toestand A en rji, do entropie in den toestand b is. Voor den kringloop is dus de meermalen genoemde som y Q , "yT ~T l'l ~ >i'i■ Dit moot nu een negatieve waarde liobben, d w. z. O rj,—la — tjb < 0, (8) een stelling, waarin nu alleen nog grootheden voorkomen, die op do niet omkeerbare veranderingen 1\ en op den begin- en eindtoestand betrekking hebben. Wjj passen deze stelling op con paar bijzondere gevallen too. a. Als de veranderingen I' adiubatisch gebeuren verdwijnt de eerste term in (8) en is dus v< dat in den toestand li. Dan is volgens de wet van het behoud van arbeidsvermogen, als wij de hoeveelheden warmte in arbeidseenheden uitdrukken, 2 elkaar uitoefenen, om bepaalde evenwichtsstanden heen- en weergaan, met snelheden die des te grooter zijn naarmate de temperatuur hooger is. Maar veel verder dan tot zulk een algemeen beeld van de verschijnselen heeft men het nog niet gebracht. De eenvoudigste vormverandering (deformatie) die wij te beschouwen hebben, is de lengte vermeerdering (dilatatie) van een staaf door twee gelijke krachten die op de uiteinden in de richting van de lengte werken, of, wat op hetzelfde neerkomt, door een kracht op het eene uiteinde, wanneer het andere is vastgeklemd. Wij weten reeds dat dan aan elke doorsnede een spanning bestaat, gelijk aan ieder van die krachten (§ 1G8, b). Wat verder de uitrekking betreft, deze is gebleken bij niet al te groote krachten evenredig met deze te zijn; bovendien hangt zij van de lengte en de doorsnede en van den aard der stof af. Zij is met de lengte rechtstreeks en met de doorsnede omgekeerd evenredig, zooals men door een eenvoudige redeneering kan aantoonen. Verdeelt men nl. door een denkbeeldig plat vlak, loodrecht op de lengte, een staaf in twee gelijke deelen, dan is, wegens de spanning aan die doorsnede, elke helft aan even groote uitrekkende krachten onderworpen als de geheele staaf, maar van elke helft is de lengtevermeerdering half zoo groot als die van de geheele staaf. Beschouwt men daarentegen de staaf als uit twee andere samengesteld, die elk een half zoo groote doorsnede hebben, dan kan men zeggen dat elk deel aan de helft van do uitrekkende kracht is blootgesteld; de dilatatie zal dus half zoo groot zijn als wanneer een van die helften, op zi"h zelf genomen, door de volle kracht werd uitgerekt. Wanneer P de uitrekkende kracht, / de oorspronkelijke lengte, s de doorsnede en u de lengtevermeerdering voorstelt, kunnen de meegedeelde wetten worden samengevat in de formule PI u = C (1) waarin C voor elke zelfstandigheid een bepaalde waarde heeft. Is deze constante, die men den coëfficiënt van veerkracht (elasticiteitscoëfficient) noemt, eenmaal bekend, dan kan men voor elke staaf, uit de beschouwde stof vervaardigd, de uitrekking door een gegeven kracht berekenen. De omgekeerde waarde van C wordt de modulus van veerkracht (elasticiteitsmodulus) genoemd. Duidt men dezen door E aan, dan wordt - 1 Pl u E' waaruit volgt dat voor s — 1 en u = /, P = E zou moeten zijn. Van daar de definitie: de elasticiteitsmodulus is het getal dat de kracht voorstelt, die een staaf van de eenheid van doorsnede tot de dubbele lengte zou uitrekken, als nl ook bij zeer groote krachten tusschen deze en de uitrekking dezelfde verhouding bestond als bij kleine krachten. h Van deze bepaling uitgaande, kan men gemakkelijk weer tot de vergelijking (2) komen, en het is duidelijk dat men, zoodra u, P, l en s gemeten zijn, daaruit E kan afleiden. In 1 abel 1T aan het einde van dit boek vindt men voor eenige stoffen de waarde van E in het C-G-S-stelsel van eenheden. Dezelfde tabel geeft ook in dynes de kracht aan, die noodig is om een staaf van 1 cm2 doorsnede te verscheuren. J)e opgegeven getallen zjjn alleen bestemd om tennaastebjj liet gedrag der verschillende stoffen aan te geven. Vaste lichamen kunnen nl. door geschikte bewerkingen in zeer verschillende toestanden gebracht worden. Een stuk staal b.v. wordt, wanneer men het eerst gloeit, en dan plotseling afkoelt, breekbaar en hard, d.w.z. moeilijk te krassen en te vijlen, door langzame afkoeling daarentegen buigzaam en week. Dergelijke verschillen bestaan bij andere lichamen en als algeniemm regel kan men stillen dat de phi/sische constanten ran een raste stuf in meerdere of mindere mate afhangen ran den toestand waarin zij door roorafyaande bewerkingen f/ebraeli t is. Omtrent de in deze § besproken vormverandering moeten wij overigens nog opmerken dat alleen dan de staaf in al zijn doelen gelijkelijk wordt gedeformeerd, wanneer de uitrekkende krachten gelijkmatig over de eindvlakken verdeeld zijn. Hij een staaf die dun is in vergelijking met de lengte, doet trouwens de wijze waarop de krachten worden aangebracht weinig ter zake, maar bij een dikken en korten cilinder zullen krachten die in de middelpunten van de eindvlakken aangrijpen, een geheel andere uitwerking hebben dan krachten die over die vlakken verdeeld zijn." In de onderstelling dat de bedoelde gelijkmatige verdeeling bestaat, kan men ^ de spanning in de staaf per eenheid van doorsnede noemen. Verder is " de dilatatie, per lengte-eenheid. Blijkens de formule (2) is de •elasticiteitsmodulus de verhouding tusschen deze beide grootheden. De formule kan ook dienen om de samendrukkhig te berekenen, die een staaf door twee krachten aan zijn |k., met | P 3 i P 3 j P 3 + P £ at + f' y k ~J, C. |;estaan al de drukkingen te gelijk, dan zijn dus de drie ribben geworden „ _ *»-Pij*+jü> h _ b cnz E E Daaruit volgt, wanneer men j>1 =ji3=j>1 stolt, voor de nieuwe waarde van liet volume waaruit de boven voor den coëfficiënt van samendrukbaarheid opgegeven waarde volg4- Ook een vloeistofmassa kan onder den invloed van ecu op zijn oppervlak werkenden normalen druk in evenwicht zijn en wij weten reeds dat dan ook in het binnenste overal een even groote druk bestaat. Hetzelfde is nu het geval bij een vast lichaam dat in alle richtingen gelijkelijk wordt samengeperst. De deelen daarvan die aan weerszijden van een willekeurig vlak liggen, oefenen een druk loodrecht op dat vlak op elkaar uit, die per vlakte-eenheid evenveel bedraagt als de uitwendige druk. Men kan dit toepassen om de deformatie te bepalen van een bollen bol die aan de binnen- en de buitenzijde aan een even grooten druk, b v. met behulp van een gasmassa, wordt blootgesteld. liet is duidelijk dat door een druk die alleen aan de buitenzijde werkt, liet inwendige volume verkleind, en omgekeerd door een druk alleen aan de binnenzijde het volume vergroot zal worden, volumeveranderingen, die hij dunwandige glasbollen zeer aanmerkelijk kunnen worden. Men zou nu kunnen meenen dat, wanneer aan de binnen- en de buitenzijde de gelijke drukkingen p (per vlakte-eenheid) bestaan, het volume niet zou veranderen. Dat dit echter onjuist is, blijkt als volgt. Het is natuurlijk onverschillig, op welke wijze wij op den binnenwand den druk uitoefenen. Een denkbeeldig middel nu om dat te doen bestaat hierin, dat wij in de holte een kern van dezelfde stof aanbrengen, die zoo nauw sluit, dat bij met den wand één geheel uitmaakt. Wordt dan aan de buitenzijde de druk p aangebracht, dan ontstaat die ook overal in het binnenste, en tegen den wand wordt werkelijk aan weerszijden even sterk gedrukt. Alle afmetingen nemen nu echter al' in een verhouding die uit den coëfficiënt van samendrukbaarheid kan berekend worden, en men komt tot het besluit: Als een holle bol (of een vat van willekeurige gedaante) aan de buiten- en de binnenzijde aan een druk p is blootgesteld, wordt het inwendige volume evenveel kleiner als het geval zou zijn meteen daarin passende kern van dezelfde stof, wanneer men daarop denzelfden druk liet werken. § 257. Kuiging van een staaf. De staaf die in § 108, c besproken en in Pig. 124 voorgesteld werd, ondergaat een vormverandering waarvan wjj nu de eigenaardigheden gemakkelijk kunnen begrijpen. Verdoelen wjj het lichaam in gedachten in een groot aantal vezels in de richting van de lengte, dan volgt H Fitf. 216. aan de eone zijde uitgerekt, aan de andere samengedrukt, dan moet dus ei-gons in liet midden van de staaf een laag vezels gevonden worden, die aanvankelijk in een horizontaal vink limron aanstonds uit het vroeger gezegde dat de bovenste vezels uitgerekt en de benedenste samengedrukt worden. Dientengevolge neemt de staaf een gedaante aan, zooals in Fig. 216 is afgebeeld. Onder de doorbuii/ini/ kunnen wij daarbij verstaan de verticale daling van het middelpunt (zwaartepunt) van het vrjje eindvlak; trouwens, wanneer de afmetingen van de doorsnede klein zijn in vergelijking met de lengte, is voor alle punten van het eindvlak de daling nagenoeg hetzelfde. Natuurlijk zal de toestand in de staaf van het eene punt tot het andere geleidelijk veranderen. Worden do vezels •' on *• on wel worden gebogen, maar niet van lengte veranderen; bovendien zullen de uitrekkingen aan de eene en de samendrukkingen aan de andere zijde des te grooter zijn, naarmate men vezels beschouwt, die verder van die laag zijn verwijderd. In elke vezel wordt nu een spanning of een druk, loodrecht op de normale doorsnede opgewekt, en ook deze krachten zijn des te grooter, naarmate de afstand tot de zoo even genoemde laag grooter wordt. In de figuur stellen de pijlen de krachten voor, die door het deel A I van de staaf op het deel I' li worden uitgeoefend. Stelt men al de krachten naar links en eveneens al de krachten naar rechts met elkaar samen, dan krijgt men de resultanten die in Fig. 124 door S en H zijn voorgesteld. De afstand der aangrijpingspunten van deze krachten is klaarblijkelijk iets kleiner dan de grootste afmeting <1 van de staaf in verticale richting en kan dus door e <1 worden voorgesteld, waarbij e een breuk is, waarvan men de waarde door hoogere wiskundige beschouwingen kan aangeven. A\ as e bekend, dan kende men ook de krachten S en ƒ?. Het moment van het koppel, uit die krachten bestaande, zou nl. zijn e <1 li, en daar dit evenwicht moet maken met het koppel {]',Q) in Fig. 124, vindt men, als men den afstand van de doorsnede V tot het uiteinde II door r voorstelt, fis; " = -T e (t l it deze uitkomst volgt dat de spanningen van do vezels des te grooter worden, naarmate men verder van liet vrije uiteinde der staaf komt. Van A naar li neemt de uitrekking aan de bovenzijde en de samendrukking aan de benedenzjjde voortdurend af en hetzelfde geldt van de kromming der vezels. Deze worden dus niet volgens een cirkelboog gekromd. De gedaante van de staaf en het bedrag van de doorbuiging kunnen door theoretische beschouwingen, die wjj hier achterwege moeten laten, bepaald worden. Is I de lengte, dan wordt bij een staaf van cirkelvormige doorsnede met den straal r de doorbuiging gegeven door de formule 4 PI" * ~ 3 E 71 r* Is de doorsnede een rechthoek met de verticale zijde d en de horizontale zijde l>, dan wordt P l* E bd3 (4.' Het veelvuldig voorkomende geval van een staaf die (Fig. 217) in twee punten a en b ondersteund, en halverwege daartusschen niet een urewicht /•* bo/wnnnl w h iiii.i/ v" ii guwicut i uezwaani is, kan tot het geval van Fig. 124 en 216 teruggebracht worden. Vooreerst zullen de voorbij u en b uitstekende deelen van de staat, tenzij zij zeer lang zijn, door hun gewicht geen merkbaren invloed op do gedaante van het stuk en <1 genieten zjjn, kan men uit de formule E aHeiden. Deze handelwijze heeft boven de bepaling van den elasticiteitsmodulus uit de uitrekking van een draad het voordeel, dat betrekkelijk kleine gewichten al een zeer merkbare doorbuiging teweeg brengen, een gevolg van de groote waarden die (Fig. 124) K en S aannemen en van de aanmerkelijke doorbuiging die reeds bjj geringe uitrekkingen en samentrekkingen van de vezels bestaat. § 258. Invloed van den vorm der doorsnede. Het is gebleken dat een zeer iltumr staaf zich wel met een aan zjjn doorsnede evenredige kracht togen een uitrekking verzet, maar in veel mindere mate weerstand biedt aan een kromming. Wij kunnen daarom zeggen dat de vezels die bjj de buiging niet van lengte veranderen, daar zij zich niet trachten samen te trekken of uit te zetten, in het geheel niet tot den weerstand bijdragen, dien de staaf aan een doorbuiging biedt; de vezels die in de nabijheid van de zooeven genoemde liggen, zullen dit maar weinig doen. Van daar, dat men de staaf kan uithollen, zonder dat zjjn weerstands vermogen in dezelfde verhouding afneemt als zijn gewicht. \ an daar ook, dat bij gelijk gewicht en gelijke lengte een holle cilinder sterker zal zijn tegen een doorbuiging dan een massieve cilinder. Want, ofschoon in beide evenveel vezels voorkomen, liggen die gemiddeld bij het eerste lichaam verder boven of beneden het midden dan bjj het laatste, en moeten dus bij een zelfden graad van doorbuiging meer in lengte veranderen. - 1 P /3 /-■* 12 E Ti 7* ^ of 1 l' /3 (&\ 4 E' bd» ^ Door een dergelijke redeneering kan men inzien dat bij een rechthoekige doorsnede de staaf minder doorbuigt, wanneer de grootste zijde van den rechthoek verticaal dan wanneer die horizontaal geplaatst is; dit volgt trouwens ook uit do F.^ 1))8 formules (4) en (6). Eveneens is het te begrijpen, welk voordeel er in gelegen is, aan de doorsnede een vorm zooals de in Fig. 218 afgebeelde te are ven. Overigens kan men ook voor andere vormen o van de doorsnede dan de in de vorige >< behan¬ delde de doorbuiging theoretisch bepalen. Aooara het verder bekend is, tegen welke spanning een draad van de stof waaruit de staaf bestaat, bestand is, kan men ook berekenen, welke belasting de staaf kan dragen zonder te breken; daartoe moet men nagaan, wanneer de spanning in de gerekte vezels tot de grootste waarde klimt, die kan worden toegelaten. De breuk ontstaat, zooals reeds gezegd werd, in de gerekte vezels en wel daar, waar de dilatatie het grootst is, dus in de staaf van Fig. 216 aan liet linker eind en in de staaf van Fig. 217 in liet midden. § 259. Doorhiiiging van lichamen van anderen vorm. Il< t- Fiir. 21 Fig. 'J'20. zelfde iraf bij een, lUtnrittikelijk rechte staaf de hui7 buiten beschouwing hebben gelaten, omdat zij van ondergeschikt belang is. In het volgende eenvoudige geval heeft men uitsluitend met een deformatie van dezen aard, een zoogenaamde afschuiving, te doen. Een oorspronkelijk rechthoekig prisma A B 1)C(Fig. 222) ~ v - -rj" — ——/ is met het grondvlak AJi onwrikbaar bevestigd; men kan het dan de gedaante A Ji I)' C' doen aannemen door aan alle punten verplaatsingen naar rechts te geven, die evenredig zijn met hun hoogte boven A Ji, of, wat op hetzelfde neerkomt, door de oneindig dunne plaatjes, in welke het lichaam door <71 111 i. vlakken evenwijdig aan AJi verdeeld wordt, over elkaar voort te schuiven. Om den nieuwen toestand tot stand te brengen en te onderhouden is klaarblijkelijk een stelsel van krachten F noodig, die op de punten van het bovenvlak in de richting van de pijlen werken en natuurlijk zal dan het voorwerp waaraan het parallelepipedum bevestigd is op de punten van A li krachten, zooals de door F voorgestelde, uitoefenen. Intusschen is het duidelijk dat de genoemde krachten F op zich zelf nog niet de gewenschtc vormverandering zullen teweeg brengen; onder hun invloed zou het prisma (waarvan, naar wij onderstelden, het grondvlak AJi wordt vastgehouden) gebogen worden, en zouden dus dc zijvlakken rechts en links niet plat, en het hovenvlak niet evenwijdig aan liet grondvlak blijven. Wil men een zuivere afschuiving te weeg brengen, dan moeten ook op .4 C' en li 1)' tangentiale spanningen worden aangebracht, die echter voor onze volgende beschouwingen van geen belang zijn. I)at de deelen van het lichaam die aan weerszijden van een horizontale doorsnede tiggen, tangentiale spanningen naar rechts en links op elkaar uitoefenen, is gemakkelijk in ie zien. Het bedrag van deze spanningen, of van de krachten F, is bij een gegeven parallelepipedum evenredig met de verplaatsing C C' en kan met behulp van een constante berekend worden, die als de maat te beschouwen is van den weerstand waarmee de stof zich tegen een afschuiving verzet. Deze constante (afschuivingsmodulus) kan trouwens in de grootheden E en /< van § § 254 en 255 worden uitgedrukt. Op liet eerste gezicht kun het vreerad schijnen Jat deze grootheden, die op dilataties cn contracties betrek' .ng hebben, nu te pas komen. Men moet echter bedenken dat ook bij de afschuiving een lichaam in sommige richtingen wordt uitgerekt, en zich in andere samentrekt. In h'ig. 222 wordt do lijn .1 1) bij den overgang in AD1 langer, en de lijn B C bij den overgang in li C" kortor. § 261. Wriiiging. Deze verandering (torsie), die reeds in § 189 ter sprake kwam, is nauv/ verwant met de afschuiving. Men verbeelde zich nl. een cilinder door een groot aantal doorsneden loodrecht op de as in oneindig dunne schijfjes verdeeld, en deze om de as gedraaid, onder dien verstande dat de draaiingshoek geleidelijk toeneemt wanneer men van het eene uiteinde naar het andere gaat, zoodat het verschil tussehen de draaiingshoeken van twee doorsneden evenredig is met den afstand waarop deze van elkaar liggen. Dat verschil, genomen voor de twee eindvlakken, wordt de hoek van wringing voor den geheelen cilinder genoemd; deelt men dezen hoek door de lengte, dan krijgt men den wringingshoek per lengte-eenheid. Daar de punten van het eene schijfje langs die van het andere schuiven, behoeft de overeenkomst met de in de vorige jik § besproken afschuiving wel geen toelichting, en kan men gemakkelijk aangeven welke spanningstoestand in den cilinder ontstaat. W ij onderstellen dat de as loodrecht staat op het vlak van de teekening en dat het lichaam door dit vlak volgens den cirkel C (Fig. 223) wordt gesneden, en stellen ons voor (lat net uiteinde van den cilinder boven het vlak der figuur met betrekking tot het andere uiteinde in de richting van de pijlen wordt rondgedraaid. A\ at boven een element van de doorsnede hij a ligt, wordt dan o\ ei de stof die daar heneden ligt, verschoven in een richting loodrecht op O a, en zal flll« mi fin . _ uuo up uu lacuM^eiiueiiKie stot een tangentiale spanning a b uitoefenen. Dergelijke spanningen, ten deele in de figuur voorgesteld, bestaan ook in andere punten van de doorsnede. Twee krachten, zooals die bij a en c, vormen een koppel en de geheele wederkeerige werking van de deden der staaf, aan weerszijden van de doorsnede, komt dientengevolge op een enkel koppel neer. Dit moet nu in den evenwichtstoestand voor alle doorsneden loodrecht op de as even gioot zijn; dan is nl. het deel dat tusschen twee doorsneden ligt, in evenwicht, daar de koppels die er*aan zijn grensvlakken op werken, tegengesteld gericht zijn. Verder moet ook, als de toestand van wringing zal blijven bestaan, op elk uiteinde van den cilinder een koppel werken, gelijk aan het zooeven genoemde; trouwens, als het eone uiteinde be\ estigd is, is het voldoende, een koppel op het andere, het vrije uiteinde te laten werken. Het moment van het koppel hangt af van den hoek van torsie, de afmetingen van den cilinder en den aard van de stof. Met den hoek is het rechtstreeks, mei de lengte omgekeerd evenredig. Dit laatste ziet men in, wanneer men den cilinder in gedachten door een vlak loodrecht op de as midden door deelt; elk deel ondervindt dan aan de uiteinden even groote koppels als de geheele cilinder, maar voor elk deel is de wringingshoek de helft van dien van [ufo fik het geheele lichaam. Wanneer /, r, K cn /t hetzelfde beteekenen als in § § 255 en 257, wordt het moment van het beschouwde koppel gegeven door de formule 71 K r4 & M = 4 (1 + ,,) ï Daarbij is 0- de in boogmaat uitgedrukte hoek van torsie. Zooals men ziet, hangt .1/ in liooge mate van r af. De tangentiale spanningen nemen nl. in Fig. 223 van het midden naar den omtrek toe; wordt de doorsnede vergroot, dan komen niet alleen nieuwe spanningen bij d<' reeds bestaande, maar deze spanningen zijn ook grooter; bovendien hebben de koppels die men krijgt, als men ze twee aan twee samenvat, grootere armen dan de koppels die reeds bestonden. Het zal nu duidelijk zijn , welk voordeel erin gelegen is, een lichaam dat gemakkelijk in een horizontaal vlak moet kunnen draaien, en dat te zwaar is om door één dunnen draad gedragen te worden, aan een bundel dunne draden op te hangen, in plaats van aan één dikkeren draad. Elke draad wordt dan op zicli zelf gewrongen en nu is het koppel dat noodig is om 4 draden over een zelfden hoek te tordeeren, kleiner dan het koppel dat bij één draad van de viervoudige doorsnede zou vereischt worden. Uit de meting van M, die b.v. op de in § 1(S!) aangegeven wijze kan gedaan worden, kan men afleiden. Wordt door proeven over de uitrekking of de buiging van een staaf ook K bepaald, dan kent men dus ook /i en daarmee tevens (§ 25G) den coëfficiënt van samendrukbaarheid. Evenals door een uitrekking kan door een te ver gaande afschuiving of wringing de samenhang van de deeltjes verbroken worden. Zal dit niet gebeuren, dan moet b.v. een drjjfas in een fabriek een bepaalde dikte hebben; zulk een as wordt nl. op de eene plaats door een stoomwerktuig rondbewogen, en stelt op cenigen afstand daarvan een of ander werktuig in beweging, dat zich daarbij tegen de wenteling van de as verzet; dientengevolge wordt deze tusschen de genoemde punten gewrongen. § 262. Vrije energie van et*n gedeformeerd lichaam. I)e vrije energie die een veerkrachtig lichaam na een vormver- andering heeft, is gelijk aan den arbeid dien wij verrichten moeten om de deformatie bij constante temperatuur tot stand te brengen, op zoodanige wijze dat het lichaam zonder in zijn geheel een merkbare kinetische energie te krijgen, een reeks van evenwichtstoestanden doorloopt (§ 246;. Willen wij b v. aan een staaf die met liet eene uiteinde bevestigd is, de uitrekking u geven, die door de vergelijking (2) van § 254 wordt voorgesteld, dan moeten wij niet aanstonds de kracht P uitoefenen, die voor die dilatatie vereischt wordt, maar als volgt te werk gaan. Wy trekken eerst aan liet vrije einde van de staaf met een zeer kleine kracht, en laten deze langzaam tot het bedragPklimmen. De gezochte vrije energie »/> is gelijk aan den arbeid dien de van 0 tol P toenemende kracht verricht, terwijl haar aangrijpingspunt den weg u doorloopt; door dezen weg in oneindig kleine stukken te verdeelen en een berekening toe te passen, die veel met de in § 92 meegedeelde overeenkomt, bewijst men dat die arbeid gevonden wordt door de gemiddelde waarde van de kracht, d. w. z. \ P, met u te vermenigvuldigen. Men heeft derhalve V = ±Pu = hEjU*. Gemakkelijk ziet men in dat dezelfde uitdrukking geldt, wanneer de lengte met het bedrag u verminderd is, en' dat ook bij andere vormveranderingen de vrije energie op overeenkomstige wijze kan worden berekend. Voor de staaf van Fig. 216 (blz. 420) moet men het halve product nemen van de doorbuiging en de belasting, voor een gewrongen draad het halve product van het wringende koppel en den hoek van torsie (§ 165). 8 263. Isotrope en anisotrope lichamen. Tot nog toe werd ondersteld dat de stof waaruit de lichamen bestaan, in 11 l_e richtingen dezelfde eigenschappen heeft. Deze bijzonderheid, die bij vloeistoffen en gassen, en in meerdere of nindere mate ook bij vele vaste lichamen voorkomt, heet sotropie. Anisotroop daarentegen wordt een lichaam geïoemd, wanneer de eigenschappen in de eene richting verschillen van die in de andere. Dit is in de eerste plaats bij de kristallen liet geval. In een kristal van kwarts (bergkristal) b. w, dat de welbekende gedaante van een zeszijdige zuil, toegespitst met zeszijdige piramides, heeft, zullen de molekulen langs een lijn, evenwijdig aan de opstaande ribben van het prisma, op andere wijze ten opziehte van elkaar gerangschikt zijn dan langs een lijn die loodrecht daarop staat. En dit verschil openbaart zich bij allerlei physische verschijnselen. Wanneer b. v. uit een stuk kwarts een plaat wordt gesneden, waarvan de zijvlakken evenwijdig loopen aan de zooeven genoemde opstaande ribben, vertoont deze plaat in verschillende richtingen een ongelijke warmtegeleiding. Wordt een van de zijvlakken met een laag was bedekt en vervolgens in één punt met een verhitte stift verwarmd, dan smelt het was over een uitgestrektheid die door een ellips, met het bedoelde punt tot middelpunt, begrensd wordt. Hij een isotrope plaat zou een cirkelvormige plek worden waargenomen. Wat de verschijnselen van de elasticiteit betreft, blijkt de anisotropie van een kwartskristal hieruit, dat staafjes van dezelfde afmetingen, maar die in verschillende richting uit het kristal worden gesneden, aan dezelfde uitrekkende, buigende of wringende krachten blootgesteld, in den regel verschillende vormveranderingen ondergaan. Anisotroop zijn ook stoffen die, zooals hout, uit min of meer evenwijdige vezels zijn opgebouwd. Eindelijk zal ook dan een lichaam in verschillende richtingen ongelijke eigenschappen vertoonen, wanneer het, al is het oorspronkelijk isotroop, in een enkele richting wordt uitgerekt of samengedrukt. Merken wij ten slotte nog op dat „isotroop" wel onderscheiden moet worden van „homogeen" (§ 83). De kristallen, die nooit isotroop zijn, zijn juist de meest homogene vaste lichamen. t; 2G4. Uitzetting door de warmte. Wilde men den invloed van een temperatuurverandering op den vorm en de grootte van vaste lichamen uitvoerig onderzoeken, dan zou men, om maar iets te noem. n, moeten nagaan hoe de torsie van een draad verandert, wanneer hij, terwijl een standvastig koppel werkt, wordt verwarmd. Wij zullen ons echter ƒ% hoofdzakelijk bezig houden niet isotrope lichamen die aan geen uitwendige krachten zijn onderworpen. Bij een verwarming nemen alle afmetingen van zulk een voorwerp in dezelfde verhouding toe, en de aangroeiing van een willekeurige lijn in het lichaam, of van het volume, mag evenredig aan de temperatuurverhooging gesteld worden. Bij afkoeling tot de oorspronkelijke temperatuur keert de begintoestand terug. De breuk die aangeeft met welk gedeelte van de lengte die zij bij 0° heeft, een lijn in het lichaam toeneemt bij eiken graad temperatuurverhooging, wordt de „lineaire uitzettingscoefficienf' genoemd. Eveneens wordt door den -kub ie ken uitzettingseoèfficient" bepaald, met welk gedeelte van de waarde die het bij ()J heeft, hel volume voor et ken graad aangroeit. Noemen wij deze coëfficiënten resp. « en /?, en stellen wij de lengte van een lijn in het lichaam bij 0° voor door t0 en bij t° door b, liet volume bij die temperaturen door "o 11,1 V'i dan is, zooals men gemakkelijk kan bewijzen, lt = l0 (1 + a t) (7) Vt = vü {l + pt) (8) Tusschen de beide coëfficiënten bestaat een eenvoudig verband; de kubieke uitzettingseoèfficient is nl. het drievoud van den lineair en. Daar nl. bij verwarming van 0° tot t° alle afmetingen \-\-at maal grooter worden, wordt het volume (1 -)-«tf maal grooter. Omdat (et zeer klein is, mag men hiervoor schrijven l-j-Ba t, zoodat = 3 a moet zijn. Het is dus voldoende, een van de coëfficiënten te meten. Wat den lineairen uitzettingscoëfficient betreft, kan men dit doen door op een staaf of een gespannen draad twee fijne merken aan te brengen, den afstand daarvan te meten, wanneer het lichaam door smeltend ijs omringd is, en vervolgens de kleine verplaatsingen die de merken ondergaan, als het ijs door damp van kokend water wordt vervangen. De laatste bepaling kan met behulp van een paar aflezingsmicroscopen verricht worden. jfety jiH Tn hot volgende hoofdstuk vindt men een methode die den kuhieken uitzettingscoëfficient oplevert. Over de uitzetting door de warmte valt nog het volgende op te merken. a. Wanneer het volume Vt van een lichaam hij t° gegeven is, vindt men voor het volume bij t'° 1 -f- t V'-Vlï+Tt Wegens de kleine waarde van /? mag men hiervoor schrijven Vr =v, [1 + fi {t' — <)], d. w. z. men mag voor de uitzetting voor eiken graad nemen /? Vt in plaats van /? v0. I). Bij elk lichaam verandert de dichtheid omgekeerd evenredig met het volume. Tusschen de dichtheden d0 en d/ bij ()J en t° bestaat derhalve de betrekking d, — —-° (D) 1 i + p t 1' c. l)aar een lichaam bij verwarming niet van vorm verandert, neemt het volume van een inwendige holte in dezelfde verhouding toe als de met .stof gevulde ruimte. Men kan dus de veranderingen van liet inwendige volume van een glazen vat door de formule (8) met den kuhieken uitzettingscoëflicient van het glas berekenen. ij do temperatuur T en een isothermische samentrekking bjj de temperatuur T voorkomt, terwijl adiabatische veranderingen worden tusschengevoegd om van de temperatuur T tot T\ en naderhand weer van T' tot T over te gaan. Stel nu dat de draad zich, wanneer do spannende kracht constant wordt gehouden, bij verwarming uitzet. Dan zal, bij een bepaalde lengte, de spanning des te kleiner zjjn, naarmate de temperatuur hooger is. Zal nu de draad bij den kringloop een positieven arbeid verrichten, dan moet hij zich samentrekken als de spanning groot, dus de temperatuur laag, en uitgerekt worden als die hoog is, d. w. z. T moet hooger dan T' zijn. Daar echter bij eiken kringloop van Carnot, wanneer daarbij een positieve arbeid verricht wordt, het werkende lichaam bjj de hoogste van de twee temperaturen warmte opneemt, moet de isothermische uitrekking, want dit is de verandering die bij de hoogste temperatuur plaats heeft, onder opnoming van warmte gebeuren. Blijft die warmtetoevoer achterwege, dan moet dus de uitrekking de temperatuur doen dalen. Op dezelfde wijze kan men aantoonen dat bij een lichaam dat zich bij verwarming samentrekt, de temperatuur door een adiahatische uitrekking stijgt. De waarneming leert dat werkelijk een metaaldraad bjj plotselinge uitrekking een weinig afkoelt, terwijl een gespannen reep caoutchouc (§ 2G4, y) daarbij in temperatuur stijgt. AN jj hebben hier alleen de richting van de verandering besproken. Uit den regel voor liet nuttig effect bij een kringloop van Carnot kan men een formulo afleiden, waardoor hot bedrag van de temperatuurverandering bjj een bepaalde verandering van de spanning kan worden afgeleid. Deze formule, waarin do uitzettingscoëfticient, de soortelijke warmte en het mechanisch warmte-aequivalent voorkomen, is door meting van het verschijnsel bevestigd. § 2G(j. Blijvende toestandsveranderingen. Nawerking van de veerkracht. Zoodra de uitwendige krachten die den vorm van een vast lichaam wijzigen, een zekere grens overschrijden (grens der veerkracht) keert het lichaam na het opheffen van die krachten niet meer geheel tot de oorspronkelijke gedaante terug; de deeltjes hebben zich dan naar nieuwe evenwiehtsstanden verschoven. Op de mogelijkheid van zulk een verschuiving berusten het smeden , pletten en draadtrekken. Ook door temperatuurveranderingen kan de toestand van een lichaam blijvend worden gewijzigd en daarbij is de snelheid van de temperatuurverandering menigmaal van invloed (§ 254). Een ander verschijnsel, dat soms op het eerste gezicht met het zooeven genoemde kan verward worden, is de uitwerking run ■ rccrkritrlif. Deze bestaat hierin, dat een lichaam, nadat het eenigen tijd aan uitwendige krachten, die nu zelfs zeer klein 28 hbk 4 kunnen zijn, onderworpen is geweest, na het opheffen danrvan wel is waar tot den evenwichtstoestand terugkeert, uiaar dit niet oogenblikkeljjk doet. Ofschoon het grootste gedeelte van do vormverandering in korten tijd verdwjjnt, heeft een volledige terugkeer tot den evenwichtstoestand eerst na een langer tijdsverloop, soms na vele uren, plaats. Bjj instrumenten in welke een lichaam aan een dunnen draad is opgehangen, bemerkt men menigmaal do nawerking van de wringing. Men kan zich van het verschijnsel eenigszins rekenschap geven door aan te nemen dat zich tegen de bewegingen die de molekulen bjj den terugkeer tot den evenwichtsstand moeten uitvoeren een of andere inwendige weerstand verzet. Met deze opvatting is ook in overeenstemming dat een uitwendige kracht niet aanstonds nadat /.ij op het lichaam begint te werken, daaraan de volle vormverandering geeft. Na een eerste oogenblikkeljjke deformatie ontstaat nog een verdere vormverandering die een langoren tijd vereiseht. Hij thermometers neemt men een verschijnsel waar, dat met de nawerking van do veerkracht in nauw verband staat. Bepaalt men nl. onmiddellijk na do vervaardiging van den thermometer de beide vaste punten en herhaalt men dit na geruimen tjjd, dan blijkt het dat die punten iets hoogor, — b.v. eenige tienden van een graad of zelfs meer dan een graad —• op do schaal zjjn gekomen. Dit is een gevolg hiervan, dat de therinometerbol, die bjj het blazen een hooge temperatuur heeft gehad, na de eerste samentrekking bjj het afkoelen, nog een langzaam voortgaande contractie ondergaat. Zelfs kan men opmerken dat, onmiddellijk nadat de thermometer zich in damp van kokend water heeft bevonden, het vriespunt niet geheel denzelfden stand heeft als voor de verwarming. Dit is een van de redenen die het moeilijk maken, een temperatuur tot op 0 ,1 nauwkeurig te meten. Natuurlijk kan men kleine frinpertittinrrerxcliillen, b.v. die, welke bjj ealorimetrische proeven voorkomen, veel gemakkeijjker, zelfs met grootere nauwkeurigheid, bepalen. I)e „thermische" nawerking, zooals men het laatst besproken verschijnsel kan noemen, is niet bjj alle glassoorten dezelfde. Bjjzonder klein is zjj bjj het zoogenaamde .lena-normaalglas, dat in den laatsten tjjd veel voor de vervaardiging van thermometers gebruikt wordt. p6 ACHTSTE HOOFDSTUK. EIGENSCHAPPEN VAN VLOEISTOFFEN EN DAMPEN. § 2G7, Samendrukbaarheid van vloeistoffen. Om de kleine volume verandering te meten, die men aan een vloeistof door een uitwendigen druk kan geven, maakt men gebruik van een glazen vat, dat uit een b.v. bolvormig reservoir met een daaraan gesmolten enge buis bestaat. Deze laatste is van een verdeeling voorzien en, voordat de bol werd aangebracht, „gecalibreerdd.w.z. men heeft onderzocht of het inwendige volume tusschen twee op elkaar volgende deelstrepen overal even groot is. Men heeft te dien einde een kwikkolom in de buis gebracht en nagegaan hoeveel schaaldeelen de lengte daarvan beslaat, wanneer hij zich achtereenvolgens op verschillende plaatsen in de buis bevindt. Is het bedoelde aantal steeds hetzelfde, dan beantwoorden aan de verschillende schaaldeelen gelijke ruimtedeelen ; in liet tegengestelde geval kan men uit de waarneming van de lengte van den kwikdraad op verschillende plaatsen de noodige gegevens afleiden, om naderhand bij de definitieve proeven de vereischte correctie aan te brengen. W ij zullen intusschen onderstellen dat liet volume tusschen twee deelstrepen overal dezelfde waarde heeft. Men kan deze bepalen door in de buis een kwikmassa te brengen, die een vrij groot aantal schaaldeelen inneemt , en dat kwik te wegen. Op een dergelijke wijze wordt ook, nadat de bol is aangebracht, liet inwendige volume van dezen laatsten met inbegrip van het deel der buis tot aan de laagste deelstreep gemeten. ƒ% kwik. Van deze vloeistof is namelijk de ware uitzettingscoëffieient bekend en zoodra men ook den schijnbaren coëfficiënt heeft gemeten, leert een aftrekking den kubieken uitzettingscoëfficient van het glas kennen. De handelwijze die het eerst door Dulong en Petit gevolgd werd om den waren nitzettingseoëfficient van kwik te bepalen, berust op de verandering die de dichtheid van een vloeistof bij verwarming ondergaat, een verandering, die door de formule (9) van § 264 bepaald wordt. De dichtheid van koud en warm kwik kan men namelijk vergelijken door twee verticale buizen die van boven geopend zijn en aan het benedeneinde door een enge horizontale buis zi'n verbonden, met kwik te vullen, de eene buis te omringen met smeltend ijs en de andere tot een bekende lioogere temperatuur te verhitten. Men meet dan de hoogte van de vloeistofkolommen in de beide buizen (verg. § 205, f). t; 269. Gewichtsthernionieter. Hij de boven vernielde proeven wordt de schijnbare uitzetting; van de vloeistof afgeleid uit de verschuiving die de vloeistofdraad ondergaat, voorbij het punt tot waar lijj bij de laagste temperatuur reikt, liet volume van doze vooruitgeschoven vloeistof is bekend, omdat men vooraf bot gewicht bepaald heeft van een kwikkolom die een zeker aantal schaaldeelen inneemt. Men had nu echter even goed de vloeistof die voorbij een vast punt is voortgeschoven, rechtstreeks kunnen wegen. Zoo komt men op bet denkbeeld van don i/ririrhtstliermoiHi-trr. Deze bestaat uit een glazen vat, voorzien van een buis die tot een fijne punt is uitgetrokken. Om vooreerst den uitzettingscoëfficient van het glas te vinden, bepaalt men het gewicht /)0 van het kwik dat liet vat bij 0° vult, en het gewicht jn van dezelfde vloeistof', dat er bij een temperatuur t (b.v. ]()<)") in bevat is. (Do laatste bepaling kan gedaan worden door bet kwik te wegen, dat bij verwarming van 0° tot t° uit het vat vloeit). Is il0 het soortelijk gewicht van kwik bij 0° en « de uitzettingscoëfficient van kwik, dan is het volume van liet vat bij de beide temperaturen Po I'1 /i i /\ ,i en ;r(1+«0i o "o h blijven bestaan bij die temperatuur, waarbij het maximum van spanning van den damp gelijk is aan den uitwendigen druk die hetzij door een gas, hetzij door reeds aanwezigen dam/) op de vloeistof wordt uitgeoefend. Deze temperatuur wordt het kookpunt van de vloeistof genoemd. In werkelijkheid moet menigmaal wegens een later te bespreken oorzaak iets verder verhit worden eer liet koken begint. Een thermometer, die in den ontwijkenden damp geplaatst is, wijst echter een temperatuur aan, gelijk aan het ware kookpunt. Het reservoir van zulk een thermometer wordt nl. met een laagje vloeistof bedekt en krijgt de temperatuur waarbij deze vloeistof in evenwicht is met damp van den druk die in de omringende ruimte bestaat. Uit het in de vorige § gezegde kan men besluiten dat het kookpunt van een zoutoplossing hooger is dan dat van zuiver water. § 274. Verdainpiiigswarnite. Bij elke verdamping vaneen vloeistof verdwijnt een zekere hoeveelheid warmte; meer in het bijzonder zullen wij onder „verdampingswarmte" de hoeveelheid warmte verstaan, die. wij aan een gram vloeistof van zekere temperatuur moeten toevoeren om die in verzadigden damp van dezelfde temperatuur te doen overgaan. Men bepaalt deze grootheid door de warmte te meten, die omgekeerd ontwikkeld wordt, als de verzadigde damp tot vloeistof wordt verdicht. De verdampingswarmte dient ten deele om de inwendige energie van de stof te verhoogen; inderdaad is in den damp het arbeidsvermogen van plaats dat de molekulen tegenover elkaar hebben, grooter dan in de vloeistof, en heeft misschien ook de kinetische energie niet dezelfde waarde. Maar bovendien heeft bij den overgang in damp een aanmerkelijke volumevermeerdering plaats; de verdamping is dus alleen mogelijk, wanneer een zuiger waaronder zich de vloeistof bevindt, of een gas- of' dampmassa die daarop drukt, verplaatst wordt. Hij die verplaatsing verricht de damp een zekeren uitwendigen arbeid en ook daarvoor moet een hoeveelheid warmte worden verbruikt, die in de totale verdampingswarmte begrepen is. ff Om don bedoelden uitwendigen arbeid te berekenen moet met den druk van den damp in dynes per cm2 vermenigvuldigen met de volumevermeerdering in cm3; het volume per gram is voor een aantal dampen bekend, daar men een bepaald volume van den verzadigden damp rechtstreeks heeft gewogen. Beschouwen wij als voorbeeld een gram water van 100 . Het volume van den verzadigden damp is hij deze temperatuur 1650 cm3, dat van de vloeistof iets meer dan 1 cm3, en de druk van den damp 1 atm. of 1,014 X 10" d.vnes per cm2. De uitwendige arbeid bedraagt derhalve 1670X10° ergon, beantwoordende aan 40 calorieën. De goheele verdampingswarmte bedraagt 537 calorieën; derhalve hebben 4!)7 warmte-eenheden gediend om de inwendige energie te vergrooten. Bij 121 is de spanning van den verzadigden damp 154 cm kwik, of 2,05 X 10" dynes per cm2, iets meer dan twee atmospheren. Het volume van 1 gram water is dan nog steeds weinig meer dan 1 cm3, dat van een gram verzadigden damp bedraagt 850 cm3, de verdampingswarmte 522 cal. Men zal voor het verschil tusschen het inwendige arbeidsvermogen van een gram water en een gram verzadigden damp bij deze temperatuur vinden 480 calorieën; het is iets kleiner dan het bij 1 (K) was. De analogie, wat den uitwendigen arbeid betreft, tusschen de nu en de in §§ 230 en 231 besproken verschijnselen behoeft wel niet nader aangewezen te worden. Ook over het mechanisme waardoor bij de verdamping warmte verdwijnt, kunnen wij kort zijn. Men moet zich voorstellen dat het de molekulen met de grootste snelheden zijn, die een vloeistof bij de verdamping verliest; wordt geen warmte toegevoerd, dan moet zij daardoor noodzakelijk afkoelen. Wat den gevormden damp betreft, daarin zullen de deeltjes niet meer het groote arbeidsvermogen van beweging hebben, dat zij eerst in -de vloeistof hadden; zij hebben nl. bij het verlaten daarvan, zooals ons nog nader zal blijken, aantrekkende krachten ondervonden, die de snelheid verkleind hebben. Bovendien zullen, als de damp een zuiger voort- jfyi/ drijft, de daartegen botsende deeltjes met kleinere snelheden terugkeeren, en in dit verlies aan kinetische energie zal ook de vloeistof deelen, daar deze in voortdurende wisselwerking met den damp staat. Zooals mon weet. wordt de afkoeling bij de verdamping van een vloeistof zonder toevoer van warmte menigmaal toegepast. Bij de verdichting van (lamp tot vloeistof wordt evenveel warmte ontwikkeld als verbruikt wordt bij den omgekeerden overgang. Het verdient de aandacht dat, aangezien een gram water, wanneer liet hij de standvastige temperatuur van 100° in damp overgaat en daarbij een zuiger langzaam voortdrijft, een arbeid van 1670 X ergen (40 cal.) verricht, de „vrije energie" met dit bedrag moet afnemen (verg. § 240). Terwijl dus de „inwendige energie" in den damp grooter is dan in de vloeistof, is liet omgekeerde waar van de vrjjc energie. § 275. Nuttig effect van een stoommachine. Wanneer men bij het in Fig. 212 (§241) voorgestelde stoomwerktuig do spanningen (in dynes per cm2) in den ketel en den condensator door Pi V2 voorstelt, en liet volume dat door den zuiger doorloopen wordt v cm' bedraagt, is de arbeid bij een zuigerslag (l'i I'2) ergen. I)e hoeveelheid warmte die aan den stoomketel moet worden meegedeeld, is echter veel grooter dan hieraan beantwoordt. Zelfs is die hoeveelheid grooter dan I>1 ' (/<; mechanisch aequivalent van de warmte-eenheid), want, behalve dit aantal calorieën, moeten wij nog warmte toevoeren 0111 het inwendige arbeidsvermogen te leveren, dat de damp meer heeft dan de vloeistof. Bij de verdichting van den stoom in den condensator komt nu de laatstgenoemde hoeveelheid warmte weer geheel te voorschijn en bovendien nog de hoeveelheid ^'3 ' , die beantwoordt aan de snelheidsvermeerdering van de molekulen bij hun botsingen tegen den naar beneden gaanden zuiger. Zjjn de absolute temperaturen 7\ = 273 -j- 144 = 417°, 7', = = 273 4-20 = 293°, dan is y,, = 4,00 X 10" (4 atm.), 1>2 = = 2,3 XI O4. Om 1 gram water uit den condensator te verhitten fa i¥ tot de temperatuur van den stoomketel, en liet vervolgens in damp te doen overgaan, zijn, daar de verdampingswannte onder de aangenomen omstandigheden 505 cal. bedraagt, Ü2J) cal. 1100dig. liet volume van 1 gram verzadigden waterdamp, in den stoomketel gevormd, is 448 cm3. Daaruit volgt dat de verrichte arbeid per gram stoom (406 — 2) X 1 4 X 448 = 18 X 1,)8 ergen bedraagt, waaruit men kan afleiden dat slechts 7% van de toegevoerde warmte in arbeid wordt omgezet liet nuttig effect van een volkomen omkeerbare calorische machine die tusschen de boven onderstelde temperaturen werkte, 7', — 7' 417 2fl!ï 124 , zou — = dus ongeveer ^0°,« be- /! 417 41 i dragen Men ziet hierdoor de stelling bevestigd dat het nuttig effect altjjd kleiner is dan het bij een volkomen omkeerbare machine zou zijn. Intusschen verdient het opmerking dat de machine waarop Fig. 212 betrekking heeft, een zeer slechte zou zijn. In werkelijkheid kan men wel een grooter nuttig effect bereiken. § 27(i. Verband tusschen de dainpspnnning en de temperatuur. Wanneer zich in een cilinder onder een zuiger een vloeistof bevindt, die ten deele in damp is overgaan, zoodat er een evenwichtstoestand bestaat, kan men dit stelsel een kringloop van ('akxot (ij 248) doen ondergaan, en de formule (1) van § 240 toepassen Door nu te onderstellen dat de temperaturen 7'j en T2 oneindig weinig van elkaar verschillen, is men tot een belangrijke formule geraakt. Is nl. 7' de absolute temperatuur, /i de danipspanning, welke grootheid, zooals wij reeds weten, een functie van 7' is, ^ de verhouding tusschen geljjk- tjjdige oneindig kleine aangroeiingen der beide grootheden, r 1 het volume van de massaeenheid vloeistof, r„ dat van de massaeenheid damp, /• de verdampingswannte, eindelijk K het mechanisch warmteaequivalent, dan is il /> K r 'rr = 7<(7;-i,) (3) Deze betrekking is door tal van metingen bevestigd. Iloschnu- won wij b. v. water van 100°. Dan is r, = 1G50 cm8. ''i — 1 cl,i3 ®n T = 373. Om / uit do waarnemingen te vin- (li don merken wij op dat bij 100° p — 1,0140 X 108 en bij 101° j) — 1,0508 X 10" is. Mocht men aannemen dat over een interval van oen paar graden do aangroeiingon van den druk evenredig met do temperatuurverhoogingen zijn, dan zou = = (1,0508— 1,0140) X 10® = 36800 zijn. Trekt men echter den druk bij 9!) af van dien bij 100°, dan verkrijgt men 35800, zoodat de bedoelde onderstelling niet geheel juist is. Do worko- lijke waarde van (\\} bij 100° is 36300. dl Substitueert men dit, mot de andere opgegeven getallen, in de formule, en stolt men /• = 537, dan vindt men K = 416 X 10*. Deze uitkomst is een merkwaardige bevestiging van de vergelijking (1) vim § 24!». Dat zij iots afwjjkt van de vroeger voor K opgegeven waarde mag aan waarnemingsfouten worden toegeschreven. Een kringloop, bestaande uit twee oneindig kleine isothermisehe en tweo eveneens oneindig kleine adiabutischc veranderingen, en waarbij wij aanFig 2''4 nemen dat steeds zoowel vloeistof als damp aan¬ wezig blijft, kan op dezelfde wjjzo als de klingloop van een gas graphisch worden voorgesteld. Men krijgt dan Fig. 224, die, wat de plaatsing van de letters aangaat, met Fig. 215 (blz. 3UH) overeenstemt. De ljjnen A li en CI) zjjn bier recht en horizontaal, daar bjj een uitzetting of samendrukking bij standvastige temperatuur de druk niet verandert. De adiabatische lijn BC loopt ook nu naar beneden, want als het volume wordt vergroot, zonder dat van buiten warmte wordt aangevoerd, daalt de temperatuur en neemt dus de druk af. Ofschoon de Ijjn krom is, kunnen wij hot oneindig kleine deel ervan dat wij noodig hebben als recht beschouwen. Hetzelfde geldt van de lijn A D. De uitwendige arbeid wordt door den inhoud van den vierhoek A li CI) voorgesteld, die als een parallelogram kan worden opgevat, dus door het product van A li en BE, wanneer wij I) E loodrecht op O V trekken. Nu is A li de volumevermeerdering bjj de isothermisehe uitzetting, dio wjj, daar zij oneindig klein is, tl r zullen noemen, en BE is liet verschil van do waarden die de druk p heeft bij de temperaturen ï', en '1\. Deze k k zijn oneindig weinig van elkaar verschillend; wij zullen hun verschil door (1T voorstellen en onder <1 p do daaraan beantwoordende verandering van den druk verstaan. Do arbeid wordt dan W = d ji d v. Is E het mechanisch warmteaequivalent, dan is dus de in mechanisch arbeidsvermogen omgezotto hoeveelheid warmte dpd>- (4) Aan den andoren kant kunnen wij een uitdrukking voor opstellen. Daartoe berekenen wij hoeveel water er verdampt bjj de door A li voorgestelde uitzetting. Stel dat 1 gram verzadigde waterdamp bij do dan bestaande temperatuur het volume r2, en 1 gram water het volume inneemt, dan zou, wanneer 1 gram verdampt, het volume met r2 — toenemen. Het is echter met d r toegenomen en er ia dus dv gram V2 — f'j water verdampt. Noemen wij nu r de verdamping»*wft,,nite, dun wordt ^ r dv ... (?x = . 0>) 2 1 I)e verhouding van (4) en (5) is het nuttig effect. Aan den anderon kant kan men dit, als men J\ 1\ door drT en rJ\ door T vervangt, voorstellen door d T T' Men I coint aldus tot do boven meegedeelde betrekking (3). § 277. Verband tusschen liet smeltpunt <'» den druk. Hot evenwicht tusschen een vast lichaam en de vloeistof die daaruit door smelting ontstaat, heeft veel overeenkomst met dat tusschen een vloeistof en een damp. Is het stelsel aan een gegeven druk p blootgesteld, dan kunnen de twee phasen alleen bij een bepaalde temperatuur 7', die men het vriespunt of .smeltpunt noemt, naast elkaar bestaan. Voor water en ijs onder den druk van één atmospheer is deze „evenwichtstemperatuur" 0°; dit is dus de temperatuur van smeltend of vochtig ijs. Wanneer men het stelsel aan een hoogeren druk blootstelt, wordt het smeltpunt verhoogd of verlaagd; hoe het hiermee gesteld is, is gebleken met de verandering van het volume bij de smelting in verband te staan. Vele stoffen zetten zich bij de smelting uit, en deze smelten onder vergrooten druk eerst bij een hoogere temperatuur. 29 Water daarentegen zet zich uit als het bevriest; het volume neemt dan met ongeveer 9% toe (waarbij, zooals bij vele verschijnselen blijkt, tegen uitwendige lichamen eengroote kracht kan worden uitgeoefend). In verband daarmee staat nu dat het vriespunt van water bij verhooging van den druk verlaagd wordt. De veranderingen in het smeltpunt die door de voor ons bereikbare drukkingen worden teweeggebracht, zijn altijd zeer klein. Blijkens het bovengezegde is het smeltpunt 7' een functie van den druk }>•, men kan even goed zeggen dat omgekeerd de druk een functie van de temperatuur is. Houdt men een mengsel van ijs en water juist op 0°, dan kan liet alleen in evenwicht zijn, als de druk 1 atmospheer bedraagt. Is dit niet het geval, dan zal de druk van zelf 1 atmospheer worden, als men liet stelsel aan zich zelf overlaat, tenzij de omstandigheden zoo mochten zijn, dat al het water bevriest of al het ijs smelt. Verheelden wij ons b.v. het mengsel in een vat van onveranderlijk volume besloten, dat het wel geheel vult, maar waarin het een druk kleiner dan 1 atmospheer uitoefent. Dan zou de temperatuur, die wij op 0° stellen, iets lager zijn dan liet vriespunt dat aan den werkelijk bestaanden druk beantwoordt; immers, het vriespunt is des te hooger, naarmate de druk lager is. Er zou dus eenig water bevriezen en, daar de stof zich hierbij uitzet, zal de vloeistof worden samengeperst en de druk verhoogd worden. Op dezelfde wijze zal, als de temperatuur een weinig van 0° verschilt, zoodanige druk ontstaan, dat weer de temperatuur juist het smeltpunt onder dien druk is. De overeenkomst tusschen het evenwicht dat wij nu beschouwen en dat tussschen water en damp gaat zoo ver, dat voor do betrekking tusschen den druk p en het smeltpunt 7' (absolute temperatuur) een formule geldt, die dezelfde gedaante heeft als de vergelijking (3). Die formule kunnen wij schrijven in den vorm dT='^~r':) dp (6) Ilierin is v, het volume van de massaeenheid vaste stof, ,-2 dat k k van do massaeenhcid vloeistof, en r de smeltingswarinte (§ 136). Blijkens deze vergelijking beantwoordt aan een aangroeiing van den druk ( of <«', is, zooals boven reeds werd gezegd. Voor water en ijs is: T — 27H, rt — 1,09, r2 — 1,00, /■ = 79 ; men vindt dus ,1 T— — 7 X 10-9 dP- Neemt men nu aan dat do evenredigheid van de vriespuntsverandering met de drukvermeerdering ook nog doorgaat wanneer deze laatste 1 atmospheer, d. w. z. een millioen dynes per cm'- bedraagt, dan vindt men voor de vriespuntsverlaging bij een druk verhooging van 1 atmospheer 7 X 10—9 X 10" = 0,007 graad. Deze uitkomst is door de waarnemingen op bevredigende wijze bevestigd. lTit de bijzondere eigenschap van het ijs die wjj hier leerden kennen, kunnen verschillende verschijnselen verklaard worden. Wanneer men b.v. een dunnen koperdraad over een stuk jjs van 03 «laat, op dezelfde wijze als een koord over een katrolschijf, en aan de uiteinden gewichten hangt, snijdt de draad door het ijs heen, maar wordt boven den draad nieuw ijs gevormd, zoodat hot blok ten slotte één geheel is gebleven. Men kan zich hiervan op de volgende wijze rekenschap geven. Wij stellen ons voor dat de draad omringd is door een uiterst dun laagje water, waardoor hij van het jjs is gescheiden. In elk punt van het buitenoppervlak van dit laagje hebben wij ijs en water met elkaar in aanraking en ontstaat de temperatuur die aan het evenwicht tusschen deze beide phasen bij den bostaanden druk beantwoordt; daar nu deze laatste aan de onderzjjde van den draad grooter is dan aan de bovenzijde, is de temperatuur onder lager dan boven. Kr heeft dus een warmtegeleiding door den draad van boven naar onderen plaats, en dit heeft tengevolge dat aan de onderzijde ijs smelt en aan de bovenzijde water bevriest. Het is duidelijk dat hierdoor de draad kan dalen en dat juist tengevolge van dat smelten en bevriezen, ondanks do warmtegoleiding, hot genoemde tomporatuurverschil kan blijven bestaan. § 278. Siiineiidrukking van waterdamp bij standvastige temperatuur. Wij keeren nu tot do dampen terug en zullen de verdichting daarvan tot vloeistof nader beschouwen. Stellen wij ons een gram waterdamp voor onder oen zuiger in een cilinder, die voortdurend op een temperatuur van 100' wordt gehouden. Wij hebben den zuiger eerst zoo hoog opgeheven dat de damp een zeer kleinen druk uitoefent en drukken hem dan naar binnen. Aanvankelijk heeft de damp de eigenschappen van een gas en gehoorzaamt op weinig na aan de wet van Boyle; hij verdere samendrukking neemt men evenwel steeds grootere afwijkingen van die wet waar. Men kan liet verhand tusschen liet volume en den druk Fi(r 225 door een kromme lijn .4 Ji (Fig. 225) voorstollen, wanneer men de waarden van het volume door de abscissen en die van den druk door de ordinaten aangeeft (verg. § 242). De verkregen lijn (isoIkerm ischelijn), d ie aan de rechterzijde asymp- totisch tot O F nadert, eindigt in het punt Ji, dat door zijn ligging het volume en den druk voorstelt, wanneer de damp verzadigd is geworden. Daar de dichtheid van den verzadigden damp proefondervindelijk bepaald is, kunnen wij aangeven hoeveel liet lichaam van de wet van Boyle afwijkt. Te dien einde merken wij op dat hij kleine dichtheden de regel van A\ ooadro van toepassing is, zoodat de relatieve dichtheid van den damp met betrekking tot waterstof door het halve molekulairgewicht wordt gegeven, dus = 9 is. In aanmerking nemende dat de massa van een cm3 waterstof hij 0 en 760 mm druk 0,(XX)0898 gram bedraagt, vindt men V jn daaruit dat b.v. bij oen druk van 1 mm kwik hot volume van het beschouwde gram waterdamp 760 X lj366 w |Qii 3 9 X 0,0000898 ~ ' A is. Ging nu de wet van Boyle door, dan moest liet volume van den verzadigden waterdamp 760 maal kleiner zijn, d. w. z. 1690 cm3. Het is echter slechts 1650 cm3, d. w. z. bijna 2,5% kleiner. Vergeleken met waterstof van dezelfde temperatuur en spanning, is dan ook de dichtheid van den verzadigden damp niet meer 9 maar 9,2. In de figuur verraadt zicli de afwijking van de wet van Boyle door de gedaante van de lijn ,1 li. Bij hetzelfde punt ^4 beginnende zal dozo iets lager komen dan bij volkomen geldigheid van de wet het geval zou zijn. De beschreven afwijking kan hieruit verklaard worden, dat naarmate de molekulen op kleinere afstanden van elkaar gebracht worden, de aantrekkende krachten, die naderhand de verdichting tot vloeistof zullen bewerken, meer en meer in het spel komen. Het kan ons niet verwonderen, dat deze krachten het volume kleiner doen werden dan het bij denzelfden druk zijn zou, wanneer zij niet bestonden. Drukt men, nadat do damp eenmaal verzadigd is geworden, den zuiger nog verder naar beneden, dan heeft een verdichting tot vloeistof plaats, die geleidelijk voortgaat, tot dat bij een bepaald volume alle damp verdwenen is. Gedurende dit gedeelte van de samendrukking heeft do nog aanwezige damp aanhoudend dezelfde dichtheid; daar ook de spanning constant blijft, volgt op A li een rechte lijn Ji C, evenwijdig aan de as der abscissen. Het uiteinde C van dit stuk ligt op een afstand van OP, 1600 maal kleiner dan li C; alleen door dien afstand sterk vergroot voor te stellen konden wij in de figuur den verderen loop van de lijn volgens CD doen zien. Dit laatste gedeelte stelt de volumeverandering voor, die het vloeibare water nog ondergaan kan; wegens de geringe samendrukbaarheid loopt CD zeer steil naar boven. jlf jifj Men kan een dergelijke isothermisehe lijn ook voor andere temperaturen teekenen. De lijn A' li' C' D' b.v. heeft betrekking op een temperatuur van 121°. Do abscis van het punt li' geeft het volume van een gram verzadigden waterdamp bij dezen warmtegraad aan, en is dus kleiner dan de abscis van B, terwijl de ordinaat van li' ruim tweemaal zoo groot is als die van li. Het stuk C'D' ligt iets ter rechterzijde van Cl), zoo weinig intusschen, dat de afstand van deze beide lijnen niet te zien zou zijn geweest, wanneer wij de figuur nauwkeurig geteekend hadden. Om op nieuw de afwijking van de wet van Boyle te beoordeelen, merken wij op dat het volume van een gram waterdamp onder een druk van 1 mm kwik nu bedraagt 760 (1 + 121 X 0,00300) _ 9 X 0,0000898 ' A Gold do wet van Boyle, dan moest de verzadigde damp met zijn spanning van 1542 mm een ruimte innemen van -'35^ 1Q' = 880 cm8. Het werkelijke volume is echter 850 cm3, d. i. ruim 3% kleiner De dichtheid van den verzadigden damp, vergeleken met waterstof van dezelfde temperatuur en spanning, is nu 9,3. De afwijking van de wet van Boyle, die blijkens deze getallen bij 121° iets grooter is dan bij 100', is bij 144° ruim 4%. Deze toename is begrijpelijk, daar, naarmate de temperatuur stijgt, de dichtheid van den verzadigden damp grooter wordt. Omgekeerd worden bij temperaturen beneden 100° de afwijkingen kleiner en kan men er b.v. tussehen 0° en 20° van afzien. Dientengevolge kan men gemakkelijk berekenen hoeveel waterdamp in een zeker volume lucht, b.v. bij 15c kan aanwezig zijn. Men zoekt in een tabel het maximum van spanning bij die temperatuur op, berekent hoeveel gram waterstof de gegeven ruimte zou bevatten als dit gas bij 15° onder een druk, gelijk aan dat maximum was ge- 455 bracht, en vermenigvuldigt de uitkomst met 9, de relatieve dichtheid van waterdamp met betrekking tot waterstof. § 279. Isotherinische sauien aavikw z*n 0P „ vifegs *2^7^*7"dcndrd doortestoken-IIct , , " ('an zooveel samen als de draad het toelaat, en spant dezen tot een cirkel. Dt hierbjj werkzame kracht noemt men de spanning van het Fiff. 228. N Hes; de grootte daarvan hangt op eenvoudige ijze samen met de caniIIaritoffan^nufnn Stel dat ah cd (Fig. 228) een tweemaal in een plat vlak omgebogen ijzerdraad is en ef een verschuifbare draad, die met den eersten een rechthoek vormt, in welken men een vlies kan maken. Laat men nu dezen draad, dien Dien h.v mof unj i.i. ii '«et ae hand vasthoudt, zeer Jan •aam van e f' naar e f gaan, zoodat het oppervlak (de twee zijden samengerekend) van de vloeistof afneemt met 2 ee'Xef en ierb'J de temperatuur constant, dan verricht (ij 240)' het vlies een arbeid 2 eïX'fX». Aan den anderen kant is die rbeid, as A de kracht voorstelt, waarmee het vlies den draad ' ^ na,u Jlnnen trekt, ee'\K. Dus vindt men K—2efY ]f en voor de kracht waarmee het vlies op de lengte-eenheid van den draad werkt, de spanning per lengte-eenheid S=2» (7) diff c. De ijzcrdraad of de draden tusschen welke een vlies gevormd wordt, kunnen zulk een vorm hebben dat het vlies niet plat kan zijn; steeds neemt het echter, wanneer aan weerszijden het omringende (jas denzelfden druk uitoefent, de gedaante aan, waarbij het oppervlak zoo klein mogelijk is. Bij een verplaatsing verrichten nl. de bedoelde drukkingen geen arbeid; de vrije energie die in de vorige § beschouwd werd, moet dus weer een minimum worden. Is het vlies b.v. gevormd tusschen twee even groote horizontale cirkelvormige ringen, met de middelpunten boven elkaar, dan neemt het niet de gedaante van een cilinder aan, omdat door een insnoering in het midden het oppervlak nog kleiner kan worden. Het verdient opmerking dat de grootheid S niet alleen do kracht bepaalt, met welke het vlies aan den ijzerdraad e f (Fig. 228) trekt, maar ook de kracht die het op elk lichaam uitoefent, waarmee het in aanraking is, en eveneens die, met welke het eene deel van het vlies op het andere werkt. Men kan n.1. iti gedachten het vlies langs een willekeurige lijn doorsnijden; wat aan de eene zijde van de scheidingslijn ligt trekt aan het andere deel, in de richting loodrecht op die lijn, en deze werking bedraagt per lengte-eenheid ='"■■■ • <8> oen betrekking, die men ook op de volgende wjjze uit do beschouwing van do spanning kan afleiden. Wij stellen ons voor dat er evenwicht is; de druk van do lucht moet dan aan de binnenzijde p meer bedragen dan aan do buitenzijde. Snijdt men de bel door met een denkbeeldig vlak door het middelpunt, dun bestaat langs den omtrek tussohen de beide deelen een spanning 2 n B S. Deze kracht moet gelijk zijn aan die, welke de eene helft van de andere tracht te scheiden en dio, volgens § 208, n B'1 p bedraagt. Xeeint men de formulo (7) in aanmerking, dan komt uien tot (8) terug. Alen kan den druk p niet een manometer bepalen en heeft daarbij gevonden dat hjj omgekeerd evenredig met B en onafhankelijk van de dikte van hot vlies is. Daaruit volgt dat, zooals ook de boven meegedeelde theorie vereischt, de spanning onafhankelijk is ran tie dikte. Deze uitkomst schijnt op het eerste gezicht vreemd, daar bij een dik vlies aan weerszjjden van een doorsnede meer molekulen liggen die elkaar aantrekken, dan bij oen dun vlies. Men moet echter bedenken dat de spanning do totale kracht is tueschen de deelen van het vlies aan weerskanten dor doorknede. Die deelen, even als in liet algemeen de massa's aan weerszjjden van een door een vloeistof gebracht vlak, trekken elkaar niet alleen aan, maar oofenen bovendien een druk op elkaar uit, op een wijze waarvan het •0 in § 227 gezegde eenig denkbeeld kan geven. Dat nu de boven bedoeldo totale kracht onafhankelijk van de dikte van het vlies kan worden, kan men door de volgende beschouwing ophelderen. Het bleek ons in $ 282 dat ieder deeltje in de grenslaag naar binnen getrokken wordt; daaruit vloeit voor elk element van de laag, zooals p q in Fig. 227, een zekere kraolit X voort, en in Fig. 229. i den evenwichtstoestand moet de druk in het binnenste van de vloeistof den uitwendigen druk met een zeker bedrag overtreffen. Zij nu (Fig. 229) ABC Deen loodrechte doorsnede van een vloeistofvlies en laat de dikto meer dan 2 p bedragen, zoodat de gelieele massa in twee grenslagen A B ab en C Ü e d en een gedeelte daartusschen kan verdeeld worden. Laat PQ een vlak voorstellen, loodrecht op het vlak van de teokoning en op A B, en vestigen wij de aandacht zoowel op den druk als op do aantrekking, die de deelen van het vlies aan weerszijden van dat vlak op elkaar uitoefenen. jtes Men kan aantooncn, dat voor allo elementen van liet seheidinggvlak die tnssohen p en q liggen, de drnk die, zooals wij zagen, binnen in het vlies ontstaat, juist de attractie tussohen de vloeistof aan weerszijden van die elementen opheft; maar met een element van Pp of Qq is het anders gesteld. Zoowel de druk als de attractie zijn daar kleiner dan tusschen p en q, maar van p naar P of van q naar Q neemt de druk meer af dan de aantrekking; voor een element van Pp onmiddellijk bij P is de druk gelijk aan dien van de buitenlucht, waarvan wij bij deze besohouwing afzien, maar tusschen de stof rechts en links van dit element bestaat nog oen zeer merkbare aantrekking. Door dit alles komt men tot het besluit dat alleen de elementen tusschen P en p en tusschen Q en q iets voor de bovengenoemde resultecrendc kracht opleveren. Men moet de spanning in de twee grenslagen zoeken en mag besluiten dat de grootte ran deze kracht onafhankelijk is van de dikte rail de tusschen die lagen liggende vloeistof. Eerst wanneer de dikte van oen vlies beneden 2 p daalde, zou de spanning kleiner worden. De zeepbellen bij welke men gevonden heeft dat p omgekeerd evenredig is met ij, hadden dus alle een dikte, grooter dan 2 q. Het zal nu ook duidelijk zijn dat bij elke vloeistofmassa een spanning in do grenslaag (oppervlaktespanning) bestaat en dat die half zoo groot is als do spanning van een vlies. Voor dc in deze § besproken proeven bezigt men bij voorkeur een vloeistof (b.v. een mengsel van een zeepoplossing en glycerine), die vliezen van groote bestendigheid geeft. Ook allerlei andere vloeistoffen kunnen echter vliezen vormen. Bekend zijn b.v. de bellen die door de meegevoerde lucht ontstaan, wanneer regendruppels in water vallen. Bij schuimende vloeistoffen heeft men gelegenheid, stelsels van een groot aantal vliezen waar te nemen, zooals men die ook met behulp van een zeepoplossing en geschikte ijzerdraadfiguren in meer eenvoudigen vorm kan krijgen. I11 ieder stelsel van dezen aard ontmoeten telkens drie vliezen elkaar aan dezelfde ribbe en wel onder hoeken van 120°. Dit laatste is een gevolg biervan, dat elk vlies dezelfde spanning heeft. Op de kleine vloeistofmassa nl., die in de onmiddellijke nabijheid van een element der ribbe ligt, werken drie spanningen in de richting van de lijnen volgens welke do vliezen door het standvlak gesneden worden. Drie geljjke krachten, op oen zolfde punt werkende, kunnen echter alleen dan evenwicht met elkaar maken, wanneer zjj hoeken van 120° met elkaar vormen. § 285. Vrije energie van liet grensvlak van een vloeistof en een vast lichaam. In het bovenstaande was alleen sprake van een „vrij" vloeistofoppervlak, of eigenlijk van een oppervlak waarlangs de vloeistof niet haar damp of met een gas in aanraking is. Raakt zij over een zekere uitgestrektheid een vast lichaam aan, dan worden de deeltjes die op zeer kleinen afstand van dat lichaam liggen, daardoor naar buiten getrokken, terwijl zooals wjj reeds zagen, de vloeistof zelf ze naar binnen trekt. Overwegen deze laatste krachten, dan is nog altijd het arbeidsvermogen van plaats (berekend met betrekking tot de tweeërlei aantrekkende krachten) voor de deeltjes in een dunne grenslaag grooter dan voor de molekulen in het binnenste van de vloeistof. Het tegendeel is het geval, wanneer de aantrekking van het vaste lichaam de onderlinge attractie van de vloeistofmolekulen overtreft. Door deze overwegingen is men gekomen tot de volgende onderstelling: Zij O het vrije oppervlak van een vloeistofmassa en O' het oppervlak waarlangs zjj een vast lichaam aanraakt. Dan kan (als men zich tot een bepaalde temperatuur beperkt) de vrije energie worden voorgesteld door V = C + H O+KO', (9) waarin C een standvastige waarde heeft, en de coëfficiënt K in sommige gevallen positief en in andere negatief is. Laat men het stelsel aan zich zelf over, dan wordt de som van de beide laatste termen een minimum. liet is duidelijk dat wanneer K negatief is en do derde term overweegt, ip kan afnemen als O' grooter wordt, zelfs al ging dit met eenige vergrooting van O gepaard. Dan zal do vloeistof zich over het vaste lichaam uitspreiden, m. a. w. het „bevochtigen". Dat b.v. water over een goed gereinigde glazen plaat uitvloeit, is te wijten aan de sterke aantrekking die glas uitoefent; is de plaat vettig, dan wordt hij niet bevochtigd, omdat het vet het water daartoe niet genoeg aantrekt. Door kwik wordt, zooals men weet, een glasplaat niet bevochtigd; zelfs neemt deze vloeistof op een goed schoongemaakte plaat den vorm van een druppel aan. De min of meer bolvormige gedaante is dan het gevolg van de onderlinge aantrekking van de kwikmolekulen, terwijl de zwaartekracht een afplatting van den druppel en een vergrooting van het aanrakingsopper- (fe oisL vlak mot het glas teweeg brengt. Trouwens, al bestond do zwaartekracht niet, dan zou de aanraking toch over zekere uitgestrektheid blijven bestaan, en het kwik zich niet geheel van het glas terugtrekken. De redeneering waardoor men dit uit de formule (9) kan afleiden, moeten wij hier laten rusten en wij vermelden alleen nog dat in alle gevallen waarin een vast lichaam en een vloeistof elkaar aanraken, en waarin niet een volledige uitspreiding plaats heeft, het evenwicht hierdoor gekenmerkt wordt, «lat de vrije oppervlakken elkaar volgens een bepaalden , van den aard der lichamen afhankeljjkeo hoek (ramlhoefc) ontmoeten. Wil men de evenwichtsstanden in die gevallen onderzoeken, waarin ook de zwaartekracht een merkbaren invloed heeft, dan moet men bedenken dat, behalve de van de grootte der oppervlakken afhankelijke deelen, ook nog de poteritieele energie tegenover de zwaartekracht tot do totale vrije energie — die een minimum moet worden — behoort. § 286. Opstijging en neerdrukking in capillaire buizen. Wanneer een enge glazen huis (haarhuis of capillaire huis) in vertiralen stand met liet benedeneinde in water wordt geplaatst, stijgt i/it tof zekere hoogte daarin op, zooals het in Fig. 230 is voorgesteld, waar & en a h de vloeistofspiegels zijn. Wij zullen aannemen dat het water den binnenwand goed bevochtigt, zoodat deze met een dun laagje vloeistof bedekt is, dat zich ver boven het oppervlak ah uitstrekt. Dit laatste, de zoogenaamde meniscus, gaat geleidelijk in bet vrije oppervlak van het laagje over; het is nl. gebogen met de holle zijde naar boven en staat aan den rand verticaal. Bij zeer enge buizen heeft bet de gedaante van een halven bol. De vloeistof zal nu zoover in de buis reiken, dat de totale vrije energie een minimum is, en daarbij verdient het opmerking dat, als reeds vooraf de geheele binnenwand is bevochtigd, aan bet aanrakingsoppervlak van het water Fig. 2H0. * en den buiswain gas men te doen heeft. De osmotische druk van een verdunde o/tl os* hu/ is nu gelijk a J- ' • mig /.mi ui y.i;11 , ;ii* ui' oplossing van ƒ> estnat. Dergelijke oplossingen nu zijn isotonisrli. Om dit in te zien verbeelden wij ons een vat (Fig. 2.'54) dat door de halfdoordringbare tusschenschotten /', (J en H in drie afdeelingen verdeeld is. In C bevindt zich fv water, in A een oplossing van de stof A en in B een oplossing van li. Ten slotte is alles in evenwicht (§ 235). Noemen wij nu de drukkingen in do drie afdeelingen p„, j,b, en ^ <]au z,jn d(, verschillen jia Pi. en pb -- ttc de osmotische drukkingen. Deze zijn even groot wanneer />„ = pb i8, waarmee de stelling is bewezen. l)i. a riks heeft naar dit beginsel isotonische oplossingen ge zocht, door gebruik te maken van de omstandigheid °dat de protoplasmalaag die in planteneellen binnen den cellulosewand gevonden wordt, halfdoordringbaar is. Wordt zulk een cel in een sterke oplossing van oen of andere zelfstandigheid A geplaatst, dan gaat water uit den celinhoud naar buiten; de protoplasmalaag trekt zich samen en scheidt zich van den cellulosewand. Is daarentegen de uitwendige oplossing zeer verdund, dan heeft het omgekeerde plaats; het protoplasma wordt tegen den cel wand gedrukt. Door nu te werken met oplossingen van steeds kleinere sterkte, en die op te zoeken, bij welke voor het eerst het protoplasma zich niet meer van den wand scheidt, vornl men een oplossing van A, die isotonisch is niet den celinhoud. Werd vervolgens op dezelfde wijze een oplossing van een tweede stof li gezocht, die deze eigenschap heeft, dan moest deze isotonisch zijn met «le zooeven genoemde oplossing van A. Werkeljjk bleken nu twee dergelijke oplossingen van A en li in de volume-eenheid evenveel molekulcn opgeloste stof te bevatten. S 298. Dainpspaiiniiig van verdunde oplossingen. Het beginsel dat een aan zich zelf overgelaten stelsel een evenwichtstoestand aanneemt, maakt liet mogelijk, verschillende eigenschappen van verdunde oplossingen niet den osniotischen druk in verband te brengen. \ ooi eerst gelukt dit wat dedampspann i ng betreft. Zij nl. li (Fig. 235) een (niet capillaire) verticale glazen buis, aan het benedeneinde afgesloten door een halfdoordringbare plaat W en geplaatst in een bakje A. dat tot de hoogte E niet water eevuld is. St«.l <),.! »i«i, in de buis een oplossing bevindt en dat alles bedekt is met een Fiff. 235. jfyi klok, die verder alleen waterdamp bevat. Wij zullen nl.aannemen tint de opgeloste stof niet mee, verdampt. Zal er nu evenwicht zijn, dan moet de vloeistofspiegel C in de buis hooier liggen dan de spiegel h in den bak, en de spanning van den damp moet, wegens do werking van de zwaartekracht, in È'grooter zijn dan in ( , waar zij dezelfde waarde heeft als op de gelijke hoogte l> buiten de buis. Verder moet, zoowel in E als in 6', de damp in evenwicht zijn met de vloeistof. Men ziet dus dat, zooals wij reeds in 272 uit een andere beschouwing hebben afgeleid, de' ere»wielttsspunnintj (het maximum van spanning) roor de oplossing kleiner is dan roor het irttfer. Hoeveel het verschil bedraagt leert een eenvoudige berekening. Zij nl. h de hoogte D E, h' de diepte van de plaat II' beneden /i, s het soortelijk gewicht van het water, s' het gemiddelde soortelijk gewicht van de boven H' staande kolom oplossing en eindelijk a het gemiddelde soortelijk gewicht van de dampkolom 1> E. Dan is het drukverschil tusschen do twee zijvlakken van H', d. w. z. de osmotische druk, P = (// -|- h') s' — //' ,v — ha en het verschil tusschen de dampspanningen in E en (' n — h o. Men kan nu h' zoo klein maken als men wil. (raat men tot de grens over, waarbij h' = 0 is, dan wordt I>=h(s'~o), en dus 7i: !' = o : (s' a) (12) Heeft men met zeer rerdtni.de oplossingen te doen, dan mag men de dichtheid s van de oplossing door die van het zuivere water vervangen en onder o verstaan de dichtheid die de waterdamp in E heeft, dus de dichtheid van den verzadigden damp van zuiver water. Bovendien mag men in den Kaatsten term o tegenover de veel grootere dichtheid s' weglaten. Men vindt dus a 71 =s. 1 (13) toen de vriespuntsverlaging met den osmotischen dr"k 'n verband hebben gebracht, kan men ook rechtstreeks uit thei'I110(b'namisc'ie beschouwingen een verband tusschen de dampsp?nning en het vriespunt van een oplossing afleiden. De waarném,n9en hebben nooit een geval doen kennen, waarin deze qevolgtre^;,"Qm n'ef bevestigd uurdcn. Wel is liet gebleken dat vele opoe'üste stoffen een dampspanningsvermindering teweegbrengen, groter dan aan de formule (14) (§ 298) beantwoordt, maar deze 8toffen geven dan ook tot een vriespuntsverlaging aanleiding, ('ie grooter is dan de door (15) bepaalde, en er bestaat wel gccn twijfel dat zij ook een osijiotischen druk veroorzaken, grootei' ('an die volgens de wet van van 't TToff moet zijn. Het zijn <(e zouten, en lichamen die daarmee chemische eigenschappen min of meer overeenkomen, hij welke deze «f" ijkingen bestaan, en wel des te meer, naarmate de o/)!o sin'Pra^e is, het geheele aantal deettjis verstaat, waaruit de (»j)g<''<,st° st"f samengesteld en die zich onafhankelijk van elkadr' te midden van liet water bewegen. Als dit zoo is, moet splits!13" der molekulen van een zout tot verhooging van den osmP^8C^e,i druk leiden; daarmee gaat dan, wegens het verband tussen de verschillende verschijnselen, een vergrooting van de l)8Pan,|ing8vermindering en de vriespuntsverlaging gepaard. liij de bespreking van de ontleding door een cleeti''sc'"'n strooin zullen wij op deze dissociatie terugkomen. * c ujl