1289 ilZJ 11289 H M 15 BEGINSELEN DER natuurkündp: LEIDDRAAD BIJ DE LESSEN AAN DE UNIVERSITEIT TE LEIDEN DOOR H. A. LORENTZ. VIERDE DRUK. BEWKKKT DOOLl H. A. LORENTZ EN L. H. SIERTSEMA. EERSTE DEEL. BOEKHANDEL EN DRUKKERIJ VOOIIIKKN E. J. BRILL. LEIDEN. — 1904. liOEKDRUKKERIJ VOOrheeu E. .T. KRILL. — LEIDEN. VOORBERICHT VOOR DEN TWEEDEN DRUK. Bij de bewerking van den tweeden druk van dit leerboek heb ik in inhoud en vorm vrij wat veranderd. In het laatste hoofdstuk van het eerste deel is het voornaamste uit de theorie van het molekulaire evenwicht opgenomen. Ook andere hoofdstukken zijn ten deele omgewerkt; onjuistheden en minder duidelijke uitdrukkingen werden zooveel mogelijk verbeterd. De welwillende opmerkingen van den Heer Dr. C. Mensinga te Zwolle zijn mij daarbij van veel nut geweest. Wat den vorm aangaat vindt men, evenals in den eersten druk, in kleine letters datgene wat, althans bij eene eerste lezing, en door velen voor goed, zal kunnen worden overgeslagen. Voor hetgeen er dan nog overblijft zijn thans echter twee lettersoorten gebezigd; wat met de grootste gedrukt is bevat de hoofdzaken en vormt ,vrij wel een afgerond geheel. H. A. LORENTZ. Leiden, Juli 1893. VOORBERICHT VOOR DEN VIERDEN DRUK. Deze nieuwe druk, bij welks bewerking Dr. Siertsema zoo vriendelijk -was, mij zijne hulp te verleenen, onderscheidt zich, wat het eerste deel betreft, slechts weinig van den vorigen. Eenige veranderingen, voornamelijk iu het tweede en zesde hoofdstuk, hebben, naar wij hopen, tot vereenvoudiging en verduidelijking geleid. In het tweede deel zullen wij de behandeling der electrische verschijnselen eenigszins wijzigen door tot op zekere hoogte van de electronentheorie gebruik te maken. De drie lettersoorten zijn gebleven. De ondervinding heeft geleerd dat de aanstaande studenten in de geneeskunde in den regel het best doen, de met kleine letters gedrukte gedeelten geheel over te slaan. Gaat dus dit werk voor sommigen hier en daar wat te ver, het vereischt aan den anderen kant een aanvulling, daar het, overeenkomstig de bestemming om als leiddraad bij mijne colleges te dienen, slechts weinig beschrijvingen en afbeeldingen van instrumenten bevat, en vele belangrijke bijzonderheden, o.a van historischen aard, zijn weggelaten. Ik meen daarom de lezers uitdrukkelijk te moeten aanraden, zich niet tot dit leerboek te bepalen, maar zich bovendien een uitgebreider handboek aan te schaffen, dat niet bestemd is om geheel te worden doorgewerkt, maar om nu en dan te worden geraadpleegd. H. A. LORENTZ. Leiden, October 1904. INHOUD. Bladz. Wiskundige inleiding 1 Hoofdstuk I. Beweging en krachten 64 „ II. Arbeid en arbeidsvermogen 166 „ III. Vaste lichamen van onveranderlijken vorm . 229 „ IV. Evenwicht en beweging van vloeistoffen en gassen 311 „ V. Eigenschappen van gassen 344 „ VI. Thermodynamische beschouwingen .... 374 „ VII. Eigenschappen van vaste lichamen. . . . 407 „ VIII. Eigenschappen van vloeistoffen en dampen . 429 WISKUNDIGE INLEIDING. § 1. Samenvatting der uitkomsten van metingen in eene tabel. Alvorens met liet onderwerp van dit leerboek te beginnen, zullen wij eenige dikwijls te pas komende wiskundige beschouwingen en methoden bespreken. Wij gaan daarbij van een eenvoudig voorbeeld uit. Wanueer de warmtegraad of temperatuur van een lichaam verhoogd of verlaagd wordt, ondergaat ook de ruimte die het inneemt eene verandering. Wil men dit verschijnsel onderzoeken, dan moet men in de eerste plaats nagaan, of bij twee proeven bij welke de temperatuur dezelfde ia, ook voor het volume even groote waarden worden gevonden. Dit is werkelijk het geval en de uitkomsten der bij verschillende warmtegraden verrichte metingen kunnen nu in eene uit twee kolommen bestaande tabel worden vereenigd; in de eerste kolom worden de temperaturen opgeteekend, bij welke men heeft waargenomen; achter elke temperatuur staat het daarbij behoorende volume. Op deze wijze heeft men voor het water de volgende tabel gekregen: Temperatuur. Volume. Temperatuur. Volume. 0 1 11,2 1,000251 0,9 0,999978 12,7 1,000352 2.1 0,999923 15,0 1,000706 5.2 0,999885 17,4 1,001057 7,2 0,999953 19,2 1,001419 9,1 1,000081 De temperaturen zijn hier in graden naar de schaal van Celsius opgegeven en als eenheid van volume is de ruimte gekozen, die de onderzochte hoeveelheid water bij 0° inneemt. § 2. Standvastige en veranderlijke grootheden. Functiën. Grootheden die, zooals hier de temperatuur en het volume, voor verschillende waarden vatbaar zijn, worden veranderlijke grootheden genoemd. Daartegenover staan standvastige of constante grootheden, zooals de verhouding van een cirkelomtrek tot de middellijn, of het gewicht dat een voorwerp op eene bepaalde plaats der aarde heeft. Om uit te drukken dat aan elke temperatuur een bepaald volume beantwoordt, en dat dit met de temperatuur verandert, zegt men dat het volume van de temperatuur afhangt, of wel, dat het eene functie daarvan is. De temperatuur wordt de onafhankelijk veranderlijke, het volume de afhankelijk veranderlijke genoemd. Dezelfde termen worden in alle soortgelijke gevallen gebezigd. Zoo is de tijd in welken een slinger eene schommeling volbrengt eene functie van de lengte van den slinger. Het gewicht van een liter waterhoudenden alcohol is eene functie van de verhouding der daarin aanwezige hoeveelheden alcohol en water. Eveneens kan men den logarithmus van een getal eene functie van dit getal zelf en den sinus van een hoek eene functie van den hoek noemen. Eene functie is bekend, wanneer men weet welke waarde zij voor elke waarde der onafhankelijk veranderlijke aanneemt. Iedere bekende functie kan in eene tabel worden voorgesteld. De tabel van de vorige §, de logarithmen- en sinustafels kunnen als voorbeelden dienen. § 3. Algebraïsche voorstelling eener functie. Als x eene veranderlijke grootheid is, zal elke algebraïsche of goniometrische uitdrukking waarin x voorkomt, b.v. 3 x -f 5, x2 — 4 x -f , |K xs, ex, sin x, tg(ax-\-b)t eene functie van x zijn. Heeft men de waarden eener functie door metingen leeren kennen en in eene tabel vereenigd, dan ligt het voor de hand te beproeven, die functie door eene uitdrukking zooals de zoo even bedoelde voor te stellen. Trachten wij dit te doen voor de in § 1 opgegeven waarden van het volume eener hoeveelheid water. Wij zullen ons daarbij beperken tot het temperatuurinterval van 7°,2 tot 19°,2. Het eenvoudigst zou de gezochte uitdrukking worden wanneer de uitzetting van het water voor achtereenvolgende gelijke temperatuurverhoogingen telkens even groot was. Daar de geheele volumevermeerdering bij verwarming van 7°,2 tot 19°,2 0,001460 bedraagt, zou dan voor eiken graad de uitzetting 0,001466 _ Q) 0001222 1 i-V moeten zijn. Stelt men nu eene willekeurige temperatuur tusschen 7°,2 en 19°,2 door t en het daarbij behoorende volume door v voor, dan zou v = 0,999953 )- 0,0001222 (t — 7,2) zijn; de eerste term hierin stelt nl. het volume bij 7°,2 en de laatste de uitzetting bij verwarming van 7°,2 tot 1° voor. Bij ontwikkeling wordt v 0,9990732 -|— 0,00012221 . . . . (1) Daar deze formule uit eene onderstelling is afgeleid, moet men nog onderzoeken, of zij werkelijk de uitkomsten der waarneming voorstelt. Te dien einde substitueert men in de vergelijking achtereenvolgens < = 9,1; 11,2; 12,7; 15,0; 17,4 en vergelijkt de waarden die men voor v krijgt met de experimenteel bepaalde. De uitkomsten zijn op eene wijze die geene toelichting behoeft in de volgende tabel vereenigd. Temperatuur. Volume. Verschil. waargenomen. berekend. waarn. — ber. 7,2 0,999953 0,999953 0 9,1 1,000081 1,000185 — 104 11,2 1,000251 1,000442 — 191 12,7 1,000352 1,000625 —273 15.0 1,000706 1,000906 —200 17,4 1,001057 1,001199 — 142 19,2 1,001419 1,001419 0 De eenvoudige formule (1) blijkt dus de waarnemingen zeer gebrekkig voor te stellen; trouwens, men had ook op andere wijze kunnen zien dat de onderstelling waarop zij berust niet juist is. Van die onderstelling uitgaande, kan men nl. uit elke twee op elkander volgende waarnemingen de volumevermeerdering per graad temperatuurverhooging afleiden; de op die wijze gevonden getallen zouden aan elkander gelijk zijn als de onderstelling juist was. In werkelijkheid vindt men echter dat die getallen steeds grooter worden; terwijl voor het temperatuurinterval van 7°,2 tot 9°,1 het getal 0,00009 wordt gevonden, krijgt men voor het temperatuurinterval van 17°,4 tot 19°,2 de uitkomst 0,00020. Hiermede staat in verband, dat de met de formule (1) berekende waarden alle te groot zijn. Past men b.v. de vergelijking toe voor de temperatuur 13°,2, het gemiddelde van de twee uiterste temperaturen 7°,2 en 19°,2, dan wordt voor het volume eene waarde gevonden, die eveneens het gemiddelde is van de waarden die het bij 7°,2 en 19°,2 heeft. In werkelijkheid echter zal het volume van 7°,2 tot 13°,2 minder toenemen dan van 13°,2 tot 19°,2; het zal dus bij 13°,2 nog beneden het gemiddelde tusschen 0,999953 en 1,001419 liggen. § 4. Wij zullen nu beproeven of wij met eene vergelijking van meer ingewikkelden vorm beter kunnen slagen dan met de formule (1). Stelt men v — a -f- b t -f- c t!, dan kan men de coëfficiënten a, b en c zoo bepalen, dat voor drie temperaturen het volume de waarde aanneemt, die door de metingen is gevonden. Zal dit b.v. het geval zijn voor 7°,2; 12°,7 en 19°,2, dan moet voldaan worden aan de vergelijkingen a-f- 7,2i + ( 7,2f c = 0,999953, a -(- 12,7 b 4- (12,7)3 c = 1,000352, a + 19,2 b + (19,2)' e = 1,001419, waaruit volgt a = 1,0001286; b = — 0,00007935; c = 0,000007633. Vergelijken wij nu weer de met de formule, d. w. z. met de vergelijking v = 1,0001286 — 0,00007935 t -f 0,000007633 ts . . (2) berekende waarden met de waargenomene, dan vinden wij het volgende: Temperatuur. Volume. Verschil. waargenomen, berekend. waarn. — ber. 7,2 0,99S>953 0,909953 O 9,1 1,000081 1,000039 +42 11,2 1,000251 1,000197 +54 12,7 1,000352 1,000352 O 15,0 1,000706 1,000656 + 50 17,4 1,001057 1,001059 — 2 19,2 1,001419 1,001419 O De aansluiting aan de waarnemingen is, zooals men ziet, bij de formule (2) vrij wat beter dan bij (1) en nog beter zou zij zijn, wanneer men eene vergelijking van den vorm v = a -)■-bt + c t2 + d l3, (3) dus met 4 standvastige grootheden, had gebezigd. Dit ligt trouwens in den aard der zaak. Want met de formule (1) konden wij van twee, met de formule (2) van drie waarnemingen de uitkomst volkomen weergeven en steeds zal dit het geval zijn met evenveel waarnemingen als er in de formule constanten voorkomen, zoodat men, door het aantal dezer laatste groot genoeg te maken, van zoo vele metingen als men wil de uitkomst nauwkeurig kan voorstellen. Geen wonder, dat dan ook voor daartusschen gelegen metingen bij vermeerdering van het aantal constanten de uitkomsten die de formule ons geeft minder en minder afwijken van de uitkomsten der waarneming. Wij hebben boven voor de bepaling der constanten in de formule (2) drie waarnemingen willekeurig uitgekozen, nl. die bij de temperaturen 7°,2; 12°,7 en 19°,2, en gezorgd dat de formule geheel met de uitkomsten van deze waarnemingen overeenstemt. Er bestaan intusschen wiskundige hulpmiddelen waardoor men de coëfficiënten zoo kan bepalen, dat, al stemt misschien voor geene enkele waarde der onafhankelijk veranderlijke de stelkundige uitdrukking geheel met de uitkomst der meting overeen, toch voor het geheele stel waarnemingen de aansluiting zoo goed mogelijk wordt. Door die hulpmiddelen, welke wij hier niet nader kunnen bespreken, heeft men eene formule van den vorm (3) opgesteld, die het volume eener hoeveelheid water voor alle temperaturen die in de tabel van § 1 voorkomen met voldoende nauwkeurigheid voorstelt. Daar het volume bij 0° als eenheid gekozen werd, heeft men a = 1 genomen; verder heeft men b, c en il zoo bepaald, dat voor de andere temperaturen de verschillen tusschen de waargenomen en berekende waarden zoo klein mogelijk worden. De bedoelde formule is v = 1 — 0,00006105 t -f 0,000007718 t* — — 0,0000000373 t3 (4) In hoeverre zij de waarnemingen voorstelt blijkt uit de volgende tabel. Temperatuur. Volume. Verschil. waargenomen, berekend. waarn. — berek. 0,9 0,999978 0,999951 ; 21 2.1 0,999923 0,999905 + 18 5.2 0,999885 0,999886 _ 1 7,2 0,999953 0,999947 j 6 9,1 1,000081 1,000055 -f26 11,2 1,000251 1,000232 — 17 12,7 1,000352 1,000393 —41 15,0 1,000706 1,000695 +1] 17,4 1,001057 1,001078 _21 19,2 1,001419 1,001409 j- 10 § 5. Empirische en theoretische formules. Formules, zooals de vergelijkingen (2) en (4), waarmede men geen andere bedoeling heeft dan de uitkomsten der waarnemingen zoo goed mogelijk weer te geven, worden empirische formules genoemd. Zij zijn voor allerlei verschijnselen in zeer uiteenloopende vormen opgesteld. Formules daarentegen, die berusten op een inzicht in het wezen der verschijnselen en in de wetten die deze beheerschen, dus op eene theorie, worden theoretische formules genoemd. De vergelijking (4) zou zoodanige formule zijn, wanneer men wist, wat er in het water bij eene temperatuurverhooging verandert, en wanneer men daaruit kon atleiden, dat er in de uitdrukking voor het volume, naast een standvastig gedeelte, termen met de eerste, tweede en derde macht van t moeten voorkomen. Het kan gebeuren, dat eene formule die men eerst als eene empirische heeft opgesteld naderhand uit eene theorie wordt afgeleid. Daarop zal het meest kans bestaan, als zij een eenvoudigen vorm heeft en de waarnemingen zeer goed weergeeft. Van vergelijkingen echter, die hare overeenstemming met de waarnemingen alleen te danken hebben aan bet groote aantal der standvastige grootheden die zij bevatten, is het niet waarschijnlijk, dat zij ooit in theoretische formules zullen overgaan. Zij zullen misschien, zoodra wij het verschijnsel beter begrijpen, vervangen kunnen worden door eene veel eenvoudiger theoretische formule van eene geheel andere gedaante. Zeer ingewikkelde vergelijkingen zijn echter ook als empirische formules van weinig of geen waarde, want men kan de grootte der afhankelijk veranderlijke even goed aan eene tabel als aan zulk eene vergelijking ontleenen. Zoowel eene empirische als eene theoretische betrekking kan overigens haar nut hebben, al stemt zij niet geheel met de waarnemingen overeen. Voor sommige doeleinden kan reeds eene ruwe voorstelling van de uitkomsten der metingen voldoende zijn. En, vertoont eene theoretische formule kleine afwijkingen van de werkelijkheid, dan volgt daaruit nog niet, dat de theorie waaruit zij is afgeleid geheel verworpen moet worden. Het kan zijn, dat die theorie in hoofdzaak juist is en dat men alleen bijzonderheden van ondergeschikt belang buiten beschouwing heeft gelaten. § 6. Interpoleeren. Menigmaal wenscht men eene veranderlijke grootheid te kennen voor eene waarde der onafhankelijk veranderlijke die bij de metingen niet is voorgekomen, maar tusschen de waarden in ligt, waarvoor de waarnemingen zijn gedaan. Dit is gemakkelijk zoodra eene geschikte empirische formule is opgesteld; men heeft dan slechts hierin te substitueeren. Zoo geeft b.v. de formule (4) de volgende getallen: Temperatuur. Volume. Verschillen. 0 1 — 53 1 0,909947 _ 39 2 0,999908 _ „3 3 0,999885 _ 4 0,999877 Temperatuur. Volume. Verschillen. 4 0,999877 5 0,999883 ' Jj 6 0,999903 .. 7 0,999938 r 8 0,999986 r 9 1,000040 10 1,000124 n Het is van belang op te merken dat, wanneer eene empirische formule is gevonden, die de waarnemingen goed weergeeft voor de waarden van de onafhankelijk veranderlijke, die binnen een zeker interval liggen, deze formule nog niet voor waarden buiten dat interval de functie goed behoeft voor te stellen. Wij hebben ons b.v. bij de afleiding der vergelijking (2) bepaald tot temperaturen tusschen 7°,2 en 19°,2 en het is nu volstrekt niet zeker, dat die vergelijking ook voor t = 0° of t= 30° het juiste volume zal opleveren. Inderdaad geeft de formule voor t = 0 : v = 1,000129, terwijl dan v = 1 moet zijn. Men kan ook interpoleeren zonder van eene empirische formule gebruik te maken, door nl. rechtstreeks van eene tabel uit te gaan. Bij het werken met eene logarithmentafel b.v. volgt men hierbij een bekenden regel, die op de omstandigheid berust, dat bij kleine veranderingen van de met elkander samenhangende grootheden de aangroeiing der eene evenredig met die der andere gesteld mag worden. Wil men op dergelijke wijze uit de tabel van § 1 het volume van het water bij 10 afleiden, dan kan men als volgt redeneeren. Stijgt de temperatuur van 9°,1 tot 11°,2, dus met 2°,1, dan neemt het volume toe met 0,000170; derhalve zal, als de temperatuur de kleinere Verandering van 9°,1 tot 10°, dus eene aangroeiing van 0°,9, ondergaat, het volume toenemen met 0,000170XM=uoooo;8 afi Het gezochte volume is derhalve 1,000081 + 0,000073 = 1,000154. Deze uitkomst verschilt van die welke wij boven uit de t formule (4) hebben afgeleid en van de beide waarden is de laatstgenoemde, d. i. 1,000124 te verkiezen. De berekening die wij nu hebben uitgevoerd berust nl. op de onderstelling dat bij gelijke temperatuurverhoogingen het water zich telkens evenveel uitzet, eene onderstelling die wij reeds als onjuist leerden kennen. De lezer zal overigens inzien dat het interpoleeren, zooals wij 't zoo even deden, hierop neerkomt, dat men de uitkomsten der beide waarnemingen, waartusschen geïnterpoleerd moet worden, door eene formule van den vorm (1) voorstelt en dan daarin de waarde der onafhankelijk veranderlijke voor welke men de functie wenscht te kennen substitueert. Men kan ook zeggen dat men in § 3 op dezelfde wijze tusschen t = 7°,2 en t = 19°,2 geïnterpoleerd heeft als zoo even tusschen ^=9°,1 en t = 11°,2. Dat wij ook nu eene te groote uitkomst kregen kan ons na het in § 3 gezegde niet verwonderen. Verder ziet men aan de gevonden getallen dat de aangegeven wijze van interpoleeren des te beter tot het doel voert, naarmate de waarden der onafhankelijk veranderlijke, waarmede men te doen heeft, dichter bij elkaar liggen. Om het interpoleeren gemakkelijker te maken en om een beter overzicht te geven van de veranderingen eener functie worden menigmaal in tabellen, waarin de onafhankelijk veranderlijke met gelijke verschillen opklimt, de verschillen van de achtereenvolgende waarden der functie opgenomen. Men vindt die verschillen gewoonlijk in logarithmentafels en ook in de tabel van deze §. § 7. Wil men nauwkeuriger interpoleeren dan volgens den hier besproken eenvoudigen regel, dan kan men, in plaats van twee, drie in de tabel op elkander volgende waarden der functie gebruiken en deze door eene formule van de gedaante (2) voorstellen. Om b.v. het volume van het water bij 10° te vinden kan men in de vergelijking v = a -j- b t -)- c t* de coëfficiënten zoo bepalen, dat voor rf = 9,l; 11,2 en 12,7 het volume de waarden aanneemt, die in § 1 werden opgegeven. Vervolgens moet men t — 10 substitueeren. Met eenvoudigst wordt deze bewerking, als de waarden der onafhankelijk veranderlijke in de tabel met gelijke verschillen opklimmen. Laat drie achtereenvolgende waarden dier veranderlijke zijn a-, x + p en x + i p, en laat de daarbij behoorende waarden der functie zijn y,, y., en y3. Stel, dat men de waarde der functie wenscht te kennen voor de waarde x + 1/ der onafhankelijk veranderlijke, waarbij q <ïp is. Men kan vooreerst de verschillen y2—y, en y3—y.2 opmaken, die wij (Ay), en (A y)2 zullen noemen. Verder neme men het verschil (Ay)2— (Ay)i, dat wij door A2y zullen aanduiden en dat men het ticeede verschil noemt. Natuurlijk kan men eene geheele kolom van zulke verschillen achter de kolom der eerste verschillen opstellen. De gezochte waarde der functie is nu !ti ~h~ (A !/)\ + 2 ~ — 1 ^ (5) Wil men b.v. aan de tabel der vorige § de waarde van het volume voor 8°,5 ontleenen, dan is | = 0,5, y, = 0,999986, (Ay), = 0,000054, A*y = 0,000030 en de uitdrukking (5) geeft voor het volume 1,000017. Natuurlijk kunnen ia (5) de grootheden y,, (Ay), en A2y soms negatief zijn. § 8. Bij berekeningen, zooals die iu deze en de voorgaande § § ter sprake kwamen, moet men niet uit het oog verliezen, dat de uitkomsten van waarnemingen nooit volkomen nauwkeurig zijn. In de getallen van § 1 schuilen fouten van de eene of andere richting, d. w. z. die getallen zijn iets te groot of te klein. Door de omstandigheden waaronder de waarnemingen gedaan zijn in aanmerking te nemen en door verschillende metingen met elkander te vergelijken, kan men zich in zoo verre een oordeel over deze fouten vormen, dat men kan zeggen welk bedrag zij hoogstens kunnen hebben. De overeenstemming van eene formule met de waarnemingen is nu als voldoende te beschouwen, wanneer de verschillen tusschen de waargenomen en de met de formule berekende waarden niet grooter zijn dan het bedrog dat de fouten kunnen hebben. Van dit bedrag hangt het af, hoeveel decimalen men in het getal dat de uitkomst eener meting voorstelt zal neerschrijven; men moet vermijden, vele decimalen aan te geven, waarvan men toch niet zeker is. Kent men b.v. de lengte eener lijn nauwkeurig tot in centimeters, dan zou het neerschrijven van een cijfer dat hondersten van millimeters voorstelt niet alleen noodeloos omslachtig zijn, maar bovendien een valschen schijn van nauwkeurigheid geven. Het verdient aanbeveling, hoogstens één decimaal meer aan te geven dan die waarvan men geheel zeker meent te zijn. Worden uit getallen die zelf niet nauwkeurig bekend zijn door berekening andere afgeleid, dan is ook daarin geene volkomen juistheid te verwachten. Zoo zal b.v. ui\ de waarden die in § 1 voor het volume werden opgegeven nooit door interpoleeren de waarde bij eene tusschengelegen temperatuur tot in 7 decimalen nauwkeurig kunnen worden gevonden. Van daar, dat wij in § 6 de deeling van 0,000170X0,9 door 2,1 niet verder dan tot in de zesde decimaal hebben voortgezet. Worden in een getal decimalen weggelaten, dan moet men het laatste cijfer dat men behoudt met de eenheid verhoogen, als het volgende cijfer boven 5 ligt. Zoo is b.v. 0,19 eene meer nauwkeurige verkorting van 0,186 dan 0,18 zijn zou. $ 9. Grapliische voorstelling van den loop eener functie. Coördinaten. Behalve in eene tabel of eene formule kan men den loop eener functie, d. w. z. de wijze waarop zij verandert, ook in eene ftguiir uitdrukken. Deze veelvuldig gebezigde graphische voorstelling berust hierop, dat men de waarden van allerlei grootheden door de lengte van rechte lijnen kan aangeven. Is eene grootheid zelf eene lijn, dan kan zij in de natuurlijke grootte of op verkleinde of vergroote schaal in eene figuur worden gebracht. Wil men eene grootheid van anderen aard voorstellen, dan kan men, nadat zij in eene bepaalde eenheid is uitgedrukt, eene lijn a van willekeurige lengte kiezen om die eenheid aan te geven; bevat de grootheid p eenheden, dan is de gezochte voorstelling eene lijn die p malen de lijn a bevat. üm nu een meetkundig beeld van den loop eener functie te krijgen, stelt men verschillende waarden van de onafhankelijk veranderlijke en de daarbij behoorende waarden van de functie door lijnen voor en neemt al die lijnen zoo in eene figuur op, dat men goed kan onderscheiden, welke lijnen op de eene en welke op de andere veranderlijke betrekking hebben en boven- dien duidelijk ziet, welke twee lijnen telkens bij elkander behooren. Gewoonlijk gaat men als volgt te werk. Op eene rechte lijn Fig j O X (Fig 1) wordt een vast punt O aan¬ genomen en de lijn U A, die eene waarde der onafhankelijk veranderlijke voorstelt, wordt van O af op O X uitgezet; daarna wordt de lijn A P, die de waarde der functie aangeeft, in A loodrecht op O X geplaatst. Het punt P geeft dan door zijne ligging twee bij elkander behoorende waarden der veranderlijke grootheden aan; elk nieuw stel waarden zal een nieuw, maar telkens geheel bepaald punt opleveren. Men krijgt natuurlijk het punt P ook als men nog eene tweede vaste rechte lijn 0\, loodrecht op O X, aanneemt, daarop een stuk O B uitzet, dat de waarde der functie voorstelt, en uit B, evenwijdig aan O X, eene lijn trekt tot zij A P snijdt. Men noemt de twee lijnen door welke de ligging van P wordt gevonden, nl. O A en A P, of O A en O B, de coördinaten van dat punt, de vaste lijnen O X en O ^ de coördinaatassen en het punt O den oorsprong der coördinaten. Overeenkomstig het denkbeeld, dat men eerst van O X een stuk afsnijdt, dat de waarde der eene veranderlijke grootheid aangeeft, noemt men O A de abscis, en dan A P, de daarbij behoorende loodlijn, de ordinaat. Men kan de lijnen O X en O Y als as der abscissen en as der ordinaten onderscheiden, of ook aan elke as een naam geven, die eraan herinnert, welke beteekenis de langs die as uitgezette stukken hebben. De verschillende punten die elk door de abscis en de ordinaat een paar bij elkander behoorende waarden der veranderlijken aangeven, zullen op eene zekere lijn liggen, die door haar loop het verband uitdrukt, dat er tusschen de veranderlijke grootheden bestaat. Voor wij het gezegde door een voorbeeld ophelderen, merken wij nog op dat het punt P alleen dan geheel bepaald is, wanneer men weet, naar welke zijde van O af men de stukken 0 A en O B moet uitzetten. Was dit niet vastgesteld, dan zou men bij gegeven lengte der stukken niet één punt, maar vier punten P, , P,, P,, P4 (Fig. 2) kunnen krijgen. Deze omstandigheid levert geen ■ 1 • • J 3 1 1 i. uezwaar op; ei i» uneg-eiiueei iiei voordeel aan verbonden, dat men niet alleen de waarde, maar ook het algebraïsche teeken der veranderlijken in de figuur kan aangeven. Hoe grootheden van allerlei aard, naar gelang van de richting of den zin waarin zij worden genomen, als positief of negatief beschouwd kunnen worden, is bekend. Wordt de afstand van een punt tot een horizontaal vlak positief genoemd, wanneer het punt boven het vlak ligt, dan is hij negatief, als het daar beneden ligt. Onder eene negatieve volumevermeerdering is eene inkrimping te verstaan. Temperaturen boven en beneden het nulpunt, winst en verlies van warmte, draaiende bewegingen in tegengestelde richtingen kunnen door de teekens -f- en — van elkander onderscheiden worden. Bij de graphische voorstelling kan men nu langs elke as eene richting als de positieve kiezen, en dan het stuk dat de waarde eener veranderlijke voorstelt van O uit in die richting of in de tegengestelde uitzetten, naarmate die veranderlijke het eene of het andere teeken heeft. Wij zullen in de volgende figuren de richtingen naar rechts en naar boven voor de positieve nemen. § 10. Voorbeelden. Tot opheldering diene vooreerst de graphische voorstelling van de functie y — 2 -p x — xs (6) Substitueert men voor de onafhankelijk veranderlijke x de waarden -1; 0; 0,5; 1; 1,5; 2; 3, dan wordt y = 0; 2; 2,25; 2; 1,25; 0; - 4. Wij maken nu (Fig. 3) OF = 1 Og ■= 2 OA = 0,5; A a = 2,25 O B = 1; B 6 = 2 00 = 1,5; C e = 1,25 OD = 2 O E = 3; Ec = 4; de door de punten F, g, a, b, c, D, e getrokken kromme lijn is dan de verlangde meetkundige voorstelling. Omgekeerd kan de betrekking (6) dienen om door algebraïsche beschouwingen de eigenschappen der kromme lijn te leeren kennen. Zij wordt de vergelijking van die lijn genoemd. Wanneer wij de in § 1 voor de volumeverandering van het water medegedeelde uitkomsten graphisch willen voorstellen, moeten wij vooreerst eene zekere lijn kiezen, waardoor wij een temperatuurverschil van 1° zullen aangeven, en dan de temperaturen door de abscissen voorstellen. Aan de ordinaten zou men vervolgens lengten kunnen geven, evenredig met de in § 1 voor het volume opgegeven waarden. Daar het echter wenschelijk is, dat de verschillen tusschen de ordinaten duidelijk uitkomen, zouden de waarden van het volume op zoo groote schaal moeten worden voorgesteld, dat de figuur ondoelmatige afmetingen zou krijgen. Men ontgaat dit bezwaar als men niet het volume zelf, maar de overmaat daarvan boven 1 door de ordinaten voorstelt, zoodat deze beantwoorden aan de getallen — 22, — 77, — 115, — 47, + 81, -f-251, enz. Door de verkregen punten kan (Fig. 4) de kromme lijn O B worden getrokken. De uitvoering dezer constructie is het gemakkelijkst wanneer men zich van papier bedient, dat in kleine vierkantjes verdeeld is; zulk papier is in den handel verkrijgbaar. Is eenmaal door de punten die de afzonderlijke waarnemingen voorstellen de kromme lijn getrokken, dan kan men aan de figuur de waarde ontleenen, die de functie heeft voor waarden van de onafhankelijk veranderlijke, die niet bij de waarnemingen Fig. 4. voorkwamen; daartoe meet men in de figuur de lengte vau de ordinaat die bij eene gegeven abscis behoort. Men kan dus met behulp der figuur graphisck interpoleeren. Even gemakkelijk is de graphische oplossing van het vraagstuk : de temperatuur te vinden, waarbij het volume een gegeven grootte heeft. Beantwoordt aan deze laatste liet punt A in de figuur, dan geeft A B de temperatuur aan. Blijkens de figuur zijn er voor sommige waarden van het volume twee antwoorden op de vraag. De fouten die bij de metingen begaan zijn, zullen zich in de figuur verraden door kleine afwijkingen van een geleidelijken loop, welke de kromme lijn vertoont als zij door al de punten getrokken wordt, die de waarnemingen voorstellen, afwijkingen die men meent, dat niet aan de werkelijkheid kunnen beantwoorden. Men trekt in dit geval de kromme lijn zoo, dat zij, zoo geleidelijk mogelijk loopende, zich tevens zoo nauw als liet kan aan al de gevonden punten aansluit, zonder door alle te gaan. Natuurlijk zullen daarbij de punten deels aan de eene, deels aan de andere zijde der lijn moeten liggen. Men kan op deze wijze door eene graphische voorstelling op fouten in de metingen opmerkzaam worden gemaakt, maar natuurlijk heeft men zorg te dragen, dat de kromme lijn zich van geen der punten verder verwijdert, dan overeenkomt met den graad van nauwkeurigheid dien men aan elke meting meent te moeten toeschrijven. De gedaante der lijn van Fig. 4 maakt het waarschijnlijk, dat het bij 12°,7 gemeten volume iets te klein is (verg. de tabel van p. 6). § 11. Stijgende en dalende lijnen. Maxima en minima. Wanneer met het toenemen der onafhankelijk veranderlijke ook de functie aangroeit, krijgt men bij de graphische voorstelling eene naar de rechterzijde stijgende lijn. Daarentegen zal de lijn dalen, als de functie afneemt, terwijl de onafhankelijk veranderlijke aangroeit. Van het eerste ziet men voorbeelden in Fig. 5, 6 en 7, van het laatste in Fig. 8, 9 en 10. Zooals gewoonlijk, is in deze figuren de onafhankelijk veranderlijke voorgesteld door stukken op de as O X. Neemt men op die as een aantal punten A, B, C, D, die op gelijke afstanden van elkander liggen, trekt men de ordinaten Aa, Bi, Cc, D d, en vervolgeus de lijnen a e, bf, cg t^Fig. 5 en 6) of b e, cf, dg (Fig. 8), evenwijdig aan de «--as, dan zullen de stukken b e, cf, dg (Fig. 5 en 6) of a e, bf, cg (Fig. 8) de veranderingen voorstellen, die de functie ondergaat door de gelijke aangroeiingen A B, B C, CD van de onafhankelijk veranderlijke. Zijn die stukken aan elkander gelijk, dan is de lijn recht (Fig. 5 en 8). Zulk eene lijn is de voorstelling van eene functie welker veranderingen steeds evenredig zijn met die van de onafhankelijk veranderlijke, of, zooals men ook kan zeggen, die voortdurend even snel verandert. Eene dergelijke functie wordt eene lineaire genoemd. Het zal nu duidelijk zijn dat de onderstelling die wij in § 3 maakten hierop neerkomt, dat een gedeelte der lijn van Fig. 4 als recht beschouwd wordt. Ook blijkt uit de figuur onmiddellijk dat de in die § berekende waarden van het volume tusschen de temperaturen 7°,2 en 19°,2 te groot moesten uitvallen. 2 Bij de stijgende kromme lijn van Fig. 6, die haar holle zijde naar de as der abscissen keert, nemen de stukken b e, c f, dg naar den rechterkant toe: hier gaat, kan men zeggen, het stijgen hoe langer hoe sneller. Het omgekeerde is het geval bij de lijn van Fig. 7, die hare holle zijde naar O X keert, en een dergelijk verschil valt ook tusschen de lijnen van Fig. 9 en 10 op te merken. Eene kromme lijn kan ook nu eens stijgen en dan eens dalen. In Fig. 3 (p. 14) gaat, bij het toenemen der onafhankelijk veranderlijke, in het punt a het stijgen in dalen over. Een punt waar dit gebeurt noemt men een top der lijn. Voor de waarde van x die door de abscis O A wordt voorgesteld, heeft de functie eene waarde die grooter is dan de onmiddellijk daaraan voorafgaande en de onmiddellijk erop volgende waarden. Men drukt dit uit door te zeggen dat de functie een maximum wordt. Daarentegen spreekt men van een minimum, wanneer de functie eene waarde heeft, die kleiner is dan de onmiddellijk voorafgaande en volgende waarden. Zoo wordt b.v. het volume van water bij ongeveer 4° C. een minimum (verg. Fig. 4). In Fig. 11 komt zoowel een minimum als een maximum voor. Tevens blijkt uit die figuur J_i. J\ i' . _ _ aai eene iuncue, na een maximum bereikt te hebben, later zeer goed door eene nieuwe stijging waarden kan krijgen, die daarboven liggen; een maximum is dus niet noodzakelijk de grootste van alle waarden der functie. Daarom was het noodig, zoo even van de onmiddellijk voorafgaande en volgende waarden te spreken. Soms kan men door eene eenvoudige berekening de waarde der onafhankelijk veranderlijke vinden, waarvoor de functie een maximum of minimum wordt. Voor de uitdrukking a x* -\^ b x -\- c, in welke wij a positief zullen onderstellen, kan b.v. geschreven worden ("*+,-pïW-£) en het is dan aanstonds duidelijk dat zij een minimum wordt als de veranderlijke grootheid x de waarde b 2 a heeft. Immers, dan is de eerste term 0, terwijl hij voor alle andere waarden van x positief is en de tweede term steeds dezelfde waarde heeft. Met eene kleine wijziging is dezelfde redeneering ook van toepassing als de coëfficiënt van negatief is. Er bestaat dan een maximum (verg. het voorbeeld van § 10). Wij kunnen het aan den lezer overlaten, in een paar gevallen waarin de coefficienten a, b en c bepaalde waarden hebben, de berekening uit te voeren. § 12. Raaklijn. Normaal. De richting eener kromme lijn in een bepaald punt wordt aan- F; 12 gegeven door de raaklijn in v| UI1UU1 V 1 J- i V Daaruit volgt dat de hoek tusschen den voerstraal en eene lijn P D, uit het raakpunt evenwijdig aan de as getrokken, door de normaal P N middendoor wordt gedeeld. De ellips, de hyperbool en de parabool dragen, daar zij alle kunnen ontstaan door de snijding van een kegel met een plat vlak, den gemeenschappelijken naam van kegelsneden. % 19. Periodieke functiën. Golflijnen. Wij zullen nu de graphische voorstelling der functie y = sin x bespreken. Vooraf merken wij op dat men een hoek niet altijd in graden en onderdeelen daarvan, maar dikwijls in zoogenaamde „boogmaat" uitdrukt. Men stelt dan den hoek voor door het getal dat de lengte van den cirkelboog aangeeft, die in den hoek, met het middelpunt in het hoekpunt en met de lengteeenheid tot straal beschreven wordt. In boogmaat wordt een hoek van 360° door 2 tt, een rechte hoek door .! jt en een hoek Q0O* van —— = 57° 17' door het getal 1 voorgesteld. 2 7T De veranderingen die de sinus ondergaat, wanneer de hoek van 0° tot 31)0°, of van ü tot 2 v klimt, zijn welbekend. Men kan ook hoeken grooter dan 360° beschouwen en eveneens negatieve hoeken, zooals dit in de goniometrie geleerd wordt. Als de hoek met 360° of 2 v toeneemt, keert de sinus tot hetzelfde bedrag terug. Eene functie die telkens weer dezelfde waarde aanneemt, als de onafhankelijk veranderlijke met een bepaald bedrag toeneemt, heet periodiek. Het bedoelde bedrag wordt de periode genoemd. De periode van sin x is dus 2 ir. § 20. Is de hoek in graden uitgedrukt, dan moet men, om de veranderingen van den sinus graphisch voor te stellen, eerst eene rechte lijn kiezen, die een hoek van 1° aangeeft. Wordt, zooals wij nu onderstellen, de boogmaat gebezigd, dan wordt een rechte hoek voorgesteld door eene lijn die J r maal zoo groot is als de gekozen lengte-eenheid. Fig. 24, die de gezochte graphische voorstelling bevat, zal weinig toelichting behoeven. Daar voor x = 0 ook de sinus 0 Fig. 24. wordt, gaat de kromme lijn door den oorsprong. Zij snijdt verder de as der abscissen in de punten C, D. E, enz., B, A, enz., die zoo liggen, dat AB = BO = OC = CD = DE = enz. ...=*- is. Tusschen de genoemde punten ligt de lijn afwisselend boven en beneden de as der abscissen, daar de sinus telkens, wanneer hij 0 is geworden, van teeken verandert. De grootste positieve en negatieve waarden heeft de ordinaat in de punten, die in het midden tusschen O en C, C en D, enz. liggen; die punten beantwoorden nl. aan x = {ic (90°), ? v (270°), enz. Bij de constructie is het noodig, nog een aantal andere punten behalve O, ƒ, C, g, D,. .. te bepalen. Men kan b.v. een punt nemen, waarvan de abscis |OF is; de ordinaat is daar sin 30° = = j. Bij de abscis 5 OF behoort eene ordinaat = sin 45° = = {V2 = 0,707. Uit de eigenschappen van den sinus volgt dat F ƒ eene as van symmetrie van het stuk O /'C der lijn is, verder dat het stuk Gn D gelijk en gelijkvormig is met O ƒ0. Is het stuk OfGgD geconstrueerd, dan is de geheele lijn bekend, want dit stuk herhaalt zich telkens weer naar rechts en links, zooals men in de figuur gedeeltelijk ziet. Het stuk van A tot O stemt volkomen overeen met dat van O tot D. Juist omdat de sinus eene periodieke functie is, moet de lijn die de veranderingen ervan voorstelt uit eene voortdurende opeenvolging van aan elkander gelijke deelen bestaan. § 21. De graphische voorstelling van de functie y = a sin x, in welke wij onderstellen dat a positief is, krijgt men door in Fig. 24 alle ordinaten a maal grooter te maken. De figuur wordt daardoor in de richting van OY eenzijdig uitgerekt of samengedrukt. Wil men de functie y = sin 2 x (7) voorstellen, dan moet men in het oog houden dat deze verdwijnt voor de volgende waarden van x\ 0, •! TT, TT, l 7r, enz.; immers daarvoor heeft de dubbele hoek juist de waarden waarvoor de sinus 0 is. De lijn die (7) tot vergelijking heeft, snijdt dus de £-as in een aantal punten, waarvan de onderlinge afstanden half zoo groot zijn als de afstanden O C, enz. in Fig. 24. De lijn ontstaat uit die van Fig. 24 door eenzijdige samendrukking in de richting van O X. Hetzelfde geldt van de lijn die de functie y = sin k x voorstelt, als de constante k grooter dan 1 is. Is deze kleiner dan 1, dan moet eene eenzijdige uitrekking op Fig. 24 worden toegepast. De functie sin j x b.v. verdwijnt voor x = 0, 3 6 TT, enz. Gemakkelijk zal men nu inzien hoe de functie y — a sin /• x wordt voorgesteld. Heeft men eindelijk te doen met de functie y = as,m(kx+p), (g) waarbij p eene standvastige grootheid is, dan moet men in het oog houden dat y verdwijnt voor k x p — 0, it, 2 ir, 3 t, enz., dus voor P P , P , P ,f\\ X—~V ~~ k+V ~ k +2P ~ k +3J' enz' '(9) De snijpunten met de #-as liggen dus op afstanden = j van elkander en een der punten in welke y, als x klimt, van negatieve tot positieve waarden overgaat, heeft de abscis — ^. De grootste afwijkingen van de avas zijn + a en — a. Om de graphische voorstelling van (8) te krijgen moet men dus de lijn van Fig. 24 eerst in de richting van O Y eenzijdig uitrekken of samendrukken, om aan F/, Qrg, enz. de waarde a te geven, en vervolgens door een dergelijke bewerking in de richting der x-as de snijpunten met die as op den afstand ^ van elkander brengen. Eindelijk moet door eene verschuiving langs de .r-as een der snijpunten in welke de lijn naar de rechterzijde stijgt, op den afstand —van den oorsprong gebracht worden. De cosinus wordt door eene dergelijke lijn voorgesteld als de sinus. Immers, men heeft cos

= 1 — 3 : S2 — 33 + enz. 13 1 -J— = 1 -f 3 + 32 + 3n -! enz. I O VI -f- 3 = 1 + \ 3 — | 32 -j- fV 3^ — enz. I^(1 _ ?)2 = 1 + T S + » 32 -f 8-f 33 f enz. Deze reeksen, die alle convergeeren als 3 < 1 is, kan men verkrijgen door voor de uitdrukkingen die men wil ontwikkelen achtereenvolgens te schrijven (1 + 3)—', (1 — 3)_1, (1 + 3)i, (1 — 3) 5 en dan den regel van het binomium van Newton toe te passen. De twee eerste formules vindt men ook door deeling. Is 3 zeer klein, dan kan voor de vier uitdrukkingen geschreven worden 1—3, 1+3, 1 5 3, 1 -)- | 3 en heeft men, in het algemeen, (1 ± 3)" = 1 ± n 3. ( ^ Soms komen in eene uitdrukking twee of meer grootheden voor, die zoo klein zijn dat men de tweede en hoogere machten van elk daarvan en ook de onderlinge producten mag verwaarloozen. Zijn 3 en 3' zulke grootheden, dan vindt men b.v. (1 + 3) (1 4- 3') = 1 + 3 + 3' en 14- 3 § 32. Voor den sinus van een zeer kleinen hoek kan, zooals eene figuur onmiddellijk doet zien, bij benadering het getal genomen worden, dat de lengte aangeeft van den in dien hoek met het middelpunt in het hoekpunt en den straal 1 beschreven cirkelboog, dus het getal dat den hoek zelf in boogmaat (§ 19) voorstelt. De tangens van een zeer kleinen hoek kan aan den sinus, de cosinus aan de eenheid worden gelijk gesteld. Ook hier kan de nauwkeurigheid verder worden gedreven door het gebruik van oneindig voortloopende reeksen. Men heeft aangetoond dat voor elke waarde van den hoek 3, als deze in boogmaat is uitgedrukt, ... S3 3» 3' Sln J _ , _ __ + ____ _ ___ + enz. en * , *2 00 1. 2 + 1. 2. 3 4 1.2... 6 + UnZ' is. § 33. Volstrekte en betrekkelijke fout. De fouten die bij metingen begaan worden, zijn in den regel zoo klein dat hunne tweede machten en evenzoo de onderlinge producten mogen worden verwaarloosd; daardoor worden berekeningen die op deze fouten betrekking hebben vereenvoudigd. Wij zullen de waarde eener grootheid, die men uit rechtstreeksche meting heeft afgeleid, of uit eene berekening waarvoor de gegevens door metingen werden geleverd, de gevonden waarde noemen. Het verschil van deze en de werkelijke waarde der grootheid is de volstrekte fout. Onder de betrekkelijke of relatieve fout verstaan wij het quotiënt dat men krijgt als men de volstrekte fout door de gevonden waarde deelt; men kan die relatieve fout ook aangeven door te zeggen, hoeveel procent van de gevonden waarde de volstrekte fout bedraagt. De volstrekte fout wordt ook wel kortweg de fout genoemd. Wij zullen onderstellen dat de grootheden zelf, waarvan er sprake is, positief zijn. Daarentegen kunnen de fouten positief of negatief zijn. Wij zullen de fout positief noemen wanneer de gevonden waarde grooter is dan de werkelijke waarde; men krijgt dus de volstrekte fout als men de werkelijke waarde van de gevonden waarde aftrekt. De betrekkelijke fout heeft hetzelfde teeken als de absolute fout. § 34. Fout eener grootheid die van eene andere afhangt. Worden op eene uit metingen afgeleide grootheid a rekenkundige bewerkingen toegepast, dan is de uitkomst daarvan onnauwkeurig tot een bedrag dat van de fout in a zelf afhangt en, wanneer deze klein is, in den regel evenredig daaraan mag worden gesteld. De fout in de uitkomst wisselt dan tegelijk met die in a van teeken. De rekenkundige bewerkingen kunnen van dien aard zijn dat, wanneer a te groot is, hetzelfde van de uitkómst geldt, en dan zal deze te klein worden, als a te klein is. Het kan echter ook voorkomen, dat de uitkomst in tegengestelde richting van de werkelijke waarde afwijkt als de grootheid a. Wij zullen nu eenige regels mededeelen, die in eenvoudige gevallen tot bepaling der fouten kunnen dienen. Daarbij zullen wij met a eene uit metingen afgeleide grootheid en met p een nauwkeurig bekend getal aanduiden. De regels zijn het eenvoudigst, als men b'j sommen en verschillen naar de volstrekte, en bij producten en quotienten naar de betrekkelijke fout vraagt. De absolute fout in a -J- p of in a—p is even groot als die in a, terwijl de fout in p—a eveneens dezelfde waarde heeft, maar het tegengestelde teeken. In het product p a is de betrekkelijke fout even groot als die in a, terwijl de volstrekte fout p maal zoo groot is als in a. Ook in J' is de relatieve fout even groot als die in a, maar a de fouten in deze breuk en in a zelf hebben tegengestelde teekens. Is nl. 5 de betrekkelijke fout in a, dan is de werkelijke waarde a (1 — 3). Terwijl de voor het quotiënt gevonden waarde — is, is de werkelijke waarde — = - (13). a a (1 — 3) o De absolute fout in het quotiënt is dus — 5 en de relatieve a fout, die uien krijgt als men deze grootheid door 1 deelt, is — 3. In de macht av is de relatieve fout p maal zoo groot als die in a. Immers, de gevonden waarde van de macht is ap, de werkelijke waarde af (1 — 3y = af (1 — p 3), en dus de betrekkelijke fout p 3. Men ziet hieruit dat, als p eene groote waarde heeft, de betrekkelijke fout in de macht aanmerkelijk grooter wordt dan die in het getal a zelf. Door eene dergelijke redeneering kan men aantoonen dat de betrekkelijke fout in V a het pie gedeelte is van die in a zelf. Is in een hoek a, die in boogmaat is afgedrukt, eene fout cc begaan, dan kan ook de fout in de goniometrische funetien vrij gemakkelijk worden aangegeven. De gevonden waarde van den sinus b.v. is sin tl, de werkelijke waarde sin (a — x) = cos cc sin a — sin z cos a, waarvoor men schrijven mag sin « — xcosa. De fout in den sinus is dus «cosa. Bij een bepaalde fout in den hoek is dit klein, wanneer de hoek in de nabijheid van ir, en grooter wanneer hij in de nabijheid van 0 ligt. Natuurlijk kan men bij elke functie de fout leeren kennen, als men die functie zoowel voor de gevonden als voor de werkelijke waarde der onafhankelijk veranderlijke, gesteld dat men die laatste waarde kent, berekent. Is de functie voor waarden van de onafhankelijk veranderlijke die met kleine, aan elkander gelijke verschillen opklimmen, in eene tabel gegeven, dan kan men de kolom der verschillen (§ 6) raadplegen. Zoo ziet men in eene logarithmentafel gemakkelijk welke fout in den logarithmus aan eene bepaalde fout in het getal beantwoordt. § 35. Fout eener grootheid die van twee andere, niet nauwkeurig bekende afhangt. Worden twee uit metingen afgeleide grootheden bij elkaar opgeteld, dan is de volstrekte fout in de uitkomst de algebraïsche som van de fouten in de beide grootheden. Eveneens is de volstrekte fout in het verschil van twee getallen het verschil der twee fouten. Bij een produkt geldt een even eenvoudige regel voor de relatieve fout. Zijn nl. a en b de gevonden waarden van twee grootheden, 5 en f de betrekkelijke fouten, dan zijn de werkelijke waarden a (1 — 3) en b (1 — f). Het werkelijke produkt is a b (1 — S) (1 — f) = cl b (1 — 5 — f), i en daar de gevonden waarde ab- is, heeft men voor de relatieve fout 3 j- f; deze is dus gelijk aan de som van de relatieve fouten der factoren. Daarentegen is de relatieve fout in het quotiënt van a en b gelijk aan liet verschil van de relatieve fouten der grootheden zelf. Deze stellingen zijn bijzondere gevallen van eene meer algemeene. Men verbeelde zich eene grootheid o, die, op welke wijze dan ook, van a en b afhangt, dus door berekening uit a en b wordt verkregen. Was dan b nauwkeurig, maar had men in a eene zekere fout * gemaakt, dan zou ook in c eene fout van een bepaald bedrag, met x evenredig, bestaan. Eveneens zou, als a zonder fout was, eene fout (3 in b zich in c doen gevoelen. De fouten die in de twee onderstelde gevallen in c zouden bestaan, kan men de gedeeltelijke of partiëele fouten noemen. De bedoelde stelling, die de lezer gemakkelijk in het geval dat c = ab of c = " is, op de proef kan stellen, komt nu hierop neer, dat wanneer gelijktijdig in a en b de fouten x en (3 voorkomen, de fout in c de algebraïsche som is van de gedeeltelijke fouten die aan de fouten x en (3 beantwoorden. Deze stelling geldt zoowel wanneer men onder de geheele en gedeeltelijke fouten in c de betrekkelijke, als wanneer men daaronder de volstrekte fouten verstaat. § 3 b is, en laat vooreerst het getal b juist zijn, maar in a de fout x begaan zijn, die wij als in grootte en richting bekend onderstellen. Dan is de fout in den noemer eveneens x; de relatieve fouten van teller en noemer zijn * en dus de relatieve fout in de breuk: a a — o xx b 1 = ~ K • • • • (11-> a a — b a (a—b) Is daarentegen de grootheid a nauwkeurig bekend, en is (3 de in richting en grootte gegeven fout van b, dan is de fout in n den noemer — (3, de relatieve fout van den noemer — a — b en de relatieve fout van de breuk + -—è (12) a — u Zijn gelijktijdig in a en b de fouten x en (3 gemaakt, dan is de relatieve fout van c de algebraïsche som van (11) en (12), dus J * | g a (a — 6) a — b Daarentegen, als a en (3 de positief genomen mogelijke fouten van o en 2 zijn, dan is de mogelijke relatieve fout van c b 0 X —; 77 ~\ I' a (a — 6) a — o 38. Grenswaarden of limieten. Terwijl in 31 en 32 van berekeningen bij benadering sprake was, wordt nog op eene andere wijze met zeer kleine grootheden gewerkt, en wel zoo, dat de uitkomsten volkomen nauwkeurig zijn. Om een denkbeeld van die methode te geven, herinneren wij vooreerst aan hetgeen men eene grenswaarde of limiet noemt. Men stelle zich eene grootheid voor, die door deze of gene oorzaak verandert. Nadert zij daarbij hoe langer hoe meer tot eene standvastige grootheid, zoodat men haar daarvan zoo weinig kan doen verschillen als men verkiest, dan wordt de standvastige grootheid de limiet der veranderlijke genoemd. De som eener convergeerende oneindig voortloopende reeks (§ 31) is de grenswaarde waartoe de som van een zeke~ aantal termen nadert, als dat aantal voortdurend toeneemt. Een ander voorbeeld levert eene breuk waarvan, voor eene zekere waarde eener veranderlijke grootheid, teller en noemer gelijktijdig 0 worden. Dit is b.v. het geval met de breuk xs — x — 2 V = x* + x — 6 voor x = 2. Ofschoon nu de uitdrukking elk getal kan voorstellen, is er toch eene bepaalde limiet voor y, wanneer x steeds tot 2 nadert. Voor x = 2,5 ; 2,4; 2,3; 2,2; 2,1 wordt y = 0,036; 0,630; 0,623; 0,615: 0,(308. De grenswaarde van y is 0,6; men vindt dit door op te merken dat teller en noemer der breuk door x — 2 gedeeld kunnen worden, eene deeling, die Geoorloofd is, hoe klein x — 2 ook v/ordt. Derhalve heeft de O 7 breuk, hoe weinig x ook van 2 verschilt, dezelfde waarde als x ^ en moet dus naderen tot de waarde die deze laatste * + 3 breuk voor x = 2 aanneemt. Het verdient ook vermelding dat de verhouding sin x wanneer men x in boogmaat uitdrukt, bij voortdurend afnemen van x tot 1 nadert. Voor elke positieve waarde van x < J x heeft men nl., zooals uit eene figuur blijkt, sin x < x < tg x, dus, na deeling op sin x sin ar 1 > > cos x. x sin x Daar nu voor x = 0, cos x — 1 wordt, moet de eenheid x tot limiet hebben. § 39. Verhouding vau twee oneindig kleine grootheden. De laatste voorbeelden doen ons zien dat van twee grootheden die beide tot 0 naderen, de verhouding eene bepaalde limiet kan hebben. Dit kan nog op de volgende wijze worden opgehelderd. Wanneer men in Fig. 12 (§ 12) van het punt P der kromme lijn naar het punt Q overgaat, ondergaan de coördinaten aangroeiingen die, als men P X' evenwijdig aan O X trekt, door PB en B Q worden voorgesteld en die wij A x en A y zullen noemen *). Daarbij is i! = *g Q P B. Nadert Q tot P, dan nemen A x en A y af, waarbij echter op elk oogenblik eene bepaalde verhouding tusschen beide bestaat; is b.v. A x = P B' geworden, dan is A y = B' Q' en — tg Q' P B . ]) De letter A stelt hier geen factor voor, maar is een teekcn voor de woorden: „aangroeiing van". Gaat de beweging van Q naar P steeds voort, waarbij de snijlijn tot de raaklijn P R en dus de boek Q P B tot den hoek E l X nadert, dan moet de verhouding van A| en A x, terwijl beide grootheden kleiner en kleiner worden, naderen tot den tangens van den laatstgenoemden hoek. Met eene gebruikelijke afkorting van het woord „limiet" kan men dus schrijven: Lim. Ay = tgRPX'. A.r 6 Deze uitkomst is van belang, omdat het daardoor mogelijk wordt, de richting der raaklijn te leeren kennen, zoodra voor elk punt der kromme lijn y als eene functie van x is gegeven. Men kan dan nl., na het punt P gekozen te hebben, voor elke waarde van A x aangeven hoe groot A y en hoe groot de verhouding is, en het is eene zaak van wiskundige berekening, ook de limiet waartoe die verhouding nadert te vinden. Grootheden die, zooals in dit voorbeeld Ai en Ay, tot 0 naderen, worden oneindig klein genoemd en onder de verhouding van twee oneindig kleine grootheden wordt altijd de limiet verstaan, waartoe de verhouding nadert. Oneindig kleine aangroeiingen van veranderlijke grootheden heeten ook de differentialen van die grootheden en aan hunne verhouding wordt de naam differentiaalquotient gegeven. Men heeft voor deze veelvuldig voorkomende differentialen en hunne verhoudingen eene korte schrijfwijze ingevoerd. Men vervangt nl., om eene aangroeiing voor te stellen, die gedacht wordt tot 0 te naderen, het teeken A door d, en laat voor de verhouding het woord „limiet" weg, daar reeds in de omstandigheid dat men met oneindig kleinen te doen heeft, ligt opgesloten, dat er van eene grenswaarde sprake is. In plaats van de omslachtige uitdrukking Lim. —— voor Lim. A x = O A x komt dan de meer eenvoudige d y dx § 40. Bepaling van het difï'erentiaalqnotieiit. Wij zullen in eenige eenvoudige gevallen de waarde van het differentiaalquotient eener functie berekenen of, zooals men zegt, de functie differentieeren. a. Vooreerst beschouwen wij de functie y = x*. Heeft de onafhankelijk veranderlijke eerst eene bepaalde waarde ,i', en ondergaat zij dan eene aangroeiing S, dan is y eerst en later (#j -f- 3)*. De aangroeiing van y is dus & y — (xl -\- 3)2 — x* = 2 xx 3 -f- 32, en daar Ai' = 5 is, wordt ^ = 2 *, + 3. Aï 1 1 Laat men nu 5 al kleiner en kleiner worden, dan nadert deze uitdrukking tot de limiet 2 x1, wat wij uitdrukken door de formule dJL o x dx~**v of, wanneer wij x in plaats van xk schrijven, a x d. w z. ^- = 2». d x b. Ook het difl'erentiaalquotient van y = x'" kan men, als m een willekeurig geheel positief getal is, op dezelfde wijze vinden. Bij deze functie is A y = (tfj + 5)'" — mf, dus, wanneer men den eersten term ontwikkelt, A v , m(m—1) ,. —?-= m ar,"1-1 i r—jr— x-,"1 ~~ S i enz. ax 1 . X Daar alle termen behalve den eersten de grootheid 5 of eene macht daarvan als factor bevatten, naderen al die termen tot 0, zoodat men vindt d ij , cl X of d (xm) —= m xm~l. d x Om eene macht van x te ditferentieeren moet men dus den exponent met 1 verminderen en tevens met den oorspronkelijken exponent vermenigvuldigen. Men kan bewijzen dat men dezen regel ook mag toepassen, wanneer /«'een negatief of gebroken getal is. Het differentiaalquotient der functie 1 -2 is dus — 2 x-~ • xJ c. Als laatste voorbeeld kiezen wij y — a cos (n x p)1 waarbij wij onderstellen dat a, n en p standvastige grootheden zijn en dat de hoek n x -\-p in boogmaat is uitgedrukt. Hebben A-j en 5 weer dezelfde beteekenis als boven, dan is A y = a cos [n («j -t 3) -| p] — a cos (n xl -f- p), of, volgens eene bekende goniometrische formule, A y = — 2 a sin \n (xl -1 - .{ 3) + J»] sin i n 3. Hieruit volgt A y 2 a sin [« (a?1 -f- 5 3) -j- ja] sin J u 5 Ax ~ ~ 3 ■ r , . * sin 2 » 3 ,. n = — a n sm \n («j -|- J 3) -f-pj. .... (lo) t 11 O Laat men nu 3 voortdurend afnemen, dan nadert ook de hoek 1 tot 0, zoodat (§ 38; T . sin I n S , Lam. —;—Ï— = i l n 5 is. Daar verder bij de limiet de grootheid 3 in den eersten factor van de uitdrukking (13) verdwijnt, heeft men ten slotte dy -/ix = — a n sin {n x-, \ p), d x d. w. z. d \a cos (n x-\-p)] . , . — ; = — ci u sin {u x 4- p). d x Op dezelfde wijze vindt men d [a sin (n x ] pj\ — — = a n cos (n x -f p). d x d. De lezer zal gemakkelijk inzien dat, wanneer de gegeven functie een standvastigen factor bevat, men eerst de functie met weglating daarvan kan differentieeren, mits men de uitkomst ten slotte met dien factor vermenigvuldigt, en dat het differentiaalquotient van eene veeltermige uitdrukking wordt gevonden door eiken term afzonderlijk te differentieeren en dan de uitkomsten met dezelfde teekens die de termen hadden achter elkander te plaatsen. Is een der termen standvastig, dan verdwijnt hij uit het differentiaalquotient, daar hij niets tot de veranderingen der functie bijdraagt. Het differentiaalquotient van 3 x2 is 3 X 2 x = 6 x, en dat van 1 -}— 2 — 6 x2 5 x3 2 — 6x2a;-l-5x3#2 = 2 — 12 a; -j- 15 x%. §41. Maximum of miuimum eener functie. De beschouwing der veranderingen eener functie bij toe- of afname der onafhankelijk veranderlijke maakt het ook mogelijk de waarden van deze laatste, voor welke de functie een maximum of een minimum wordt, te bepalen. Om dit op te helderen beschouwen wij de functie y = 2 + x — x*, die wij in § 10 door de kromme lijn van Fig. 3 hebben voorgesteld. Geven wij weer aan de onafhankelijk veranderlijke eerst eene bepaalde waarde xl en dan de kleine aangroeiing 3, dan is y eerst 2-f«i — en later 2 4- («i + 3) — (z, -\- 3)». Door aftrekking volgt hieruit Aj = (1 — 2*,) 3 — 33, (14) en dus M = 1 — 2 — 3. Ax 1 Laat men 5 kleiner en kleiner worden, dan nadert deze uitdrukking tot 1 — 2 ; derhalve ^— = 1 — 2 a-j (15) ax Door deze uitkomst, die wij ook uit de regels der vorige § hadden kunnen afleiden, wordt in elk punt der kromme lijn van Fig. 3 de richting van de raaklijn bepaald, want, zooals wij in § 39 zagen, geeft de waarde van ^ den tangens van den hoek dien de raaklijn met de .r-as maakt. In het punt g b.v., waar x = 0 is, wordt die tangens 1, dus de hoek zelf 45°. In het hoogste punt a loopt de raaklijn evenwijdig aan de tf-as. Zij maakt daarmede een hoek 0, en dus moet, als men voor x. de abscis van a neemt, ook ,= 0 worden. Werkelijk Cl X is O A = 0,5, en wordt voor deze waarde van x1 de uitdrukking (15) 0. Geeft men, van het punt a uitgaande, aan de abscis de aangroeiing 3, dan wordt blijkens (14) de aangroeiing van y A y = — 3», en had men, bij de afleiding van (14), de tweede macht van 3 verwaarloosd, dan zou nu Ay = 0 worden. Trouwens, men ziet ook in de figuur dat een boogje van b.v. 0,01 m.M., in het punt a op de kromme lijn genomen, zich niet noemenswaard van een recht lijntje, evenwijdig aan O X, onderscheidt. In het punt a is de functie y een maximum. Maar ook als de ordinaat een minimum wordt, loopt de raaklijn evenwijdig aan de #-as (Fig. 11, § 11) en gelden dergelijke beschouwingen. Men kan in het algemeen zeggen: Als voor eene zekere waarde der onafhankelijk veranderlijke, eene functie een maximum of een minimum wordt, dan wordt het differentiaalquotient dier functie 0, of ook: Berekent men, met verwaarloozing van de tweede en hoogere machten van 5, de verandering eener functie, die 't gevolg is van eene aangroeiing 5 der onafhankelijk veranderlijke, dan krijgt men 0, als de waarde waarvan men uitging een maximum of minimum was. Men drukt dit ook wel aldus uit: Als eene functie een maximum of een minimum is, zal zij niet veranderen bij eene oneindig kleine verandering der onafhankelijk veranderlijke. Door nl. deze laatste verandering oneindig klein te noemen, wil men te kennen geven dat zij zoo klein moet worden gedacht, dat de tweede en hoogere machten ervan kunnen worden weggelaten in vergelijking met de eerste macht. De bedoeling is intusschen dat de eerste macht wordt behouden. De algemeene functie a -f- b x -f~ c, die wij in § 11 beschouwden, heeft tot differentiaalquotient 2 a x -\- b. Dit wordt 0 voor b X~ ~~ 2a en wij vonden dan ook dat voor deze waarde der onafhankelijk veranderlijke de functie een minimum is. § 42. Som van een oneindig groot aantal oneindig kleine grootheden. Naderen in eene som alle termen tot 0, maar neemt tegelijkertijd het aantal termen voortdurend toe, dan kan het gebeuren dat de som eeue bepaalde grenswaarde heeft. Men zal zich een voorbeeld uit de meetkunde herinneren. Verdeelt men eeue piramide door vlakken, evenwijdig aan het grondvlak eu op onderling gelijke afstanden van elkaar, in dunne laagjes en beschrijft men in elk daarvan een prisma, dat er het bovenvlak en de hoogte mede gemeen heeft, dan is de som van al deze prisma's kleiner dan de inhoud der piramide, maar heeft dezen inhoud tot limiet, als men het aantal deelvlakken onbepaald laat toenemen. Kortheidshalve kan men, met weglating van liet woord „limiet", zeggen dat de inhoud der piramide gelijk is aan de som van een oneindig groot aantal prisma's, elk van oneindig kleine hoogte. Dezelfde methode wordt in vele andere gevallen toegepast. Men verdeelt menigmaal eene te berekenen grootheid in een groot aantal, stel in >i kleine deelen, en stelt voor elk daarvan iets in de plaats, dat er een weinig van verschilt. Wanneer nu de som der fouten die men aldus maakt, bij aangroeiing van het getal n, tot 0 nadert, zal de limiet van de som der n grootheden door welke men de 11 deelen heeft vervangen, de gezochte waarde opleveren. Wil men b.v. de lengte van eene kromme lijn bepalen, dan verdeelt men deze in een groot aantal kleine bogen, en vervangt elk boogje door zijne koorde. De limiet der som van al deze koorden bij voortdurende toeneming van 37 het aantal deelen is de irezochte lenirte. « — — — ~ 0 Op deze wijze wordt in de lagere meetkunde de omtrek van een cirkel bepaald. Ziehier nog een paar voorbeelden. Om den inhoud te berekenen der figuur die (Fig. 37) door eene gegeven 1/rnmmü liir» 1^ ^ I /Ir» >• o rlnu oKcoicoan jiiummc 11 11 x yj , uc ao uci auouiosou : ~—* 0 A C D ~B \ O X en twee ordinaten A P en B Q begrensd is, verdeelt men het stuk van O X, dat tusschen A en B begrepen is, in een groot aantal deelen A0, CD, enz. en richt in de deelpunten de ordinaten op. De gezochte inhoud wordt dan verdeeld in de strooken A P Tl C, CRSD, enz. Voor deze stelt men de rechthoeken die in de figuur zijn aangewezen, in de plaats; men ziet onmiddellijk dat de gevraagde inhoud de limiet is van de som dezer rechthoeken bij aanhoudende vermeerdering van het aantal deelen. De sector O A B (Fig. 38), die begrensd is door de twee „voerstralen" O A en O B en eene gegeven kromme lijn, kan door een aantal voerstralen tussclien O A en O B in kleinere „ sectoren, zooals O C D, verdeeld worden "S- dB- ,, , , , .1 en elK daarvan Kan aoor een ciriieiseciur, zooals O C E, worden vervangen. De limiet van de som dezer cirkelsectoren is de inhoud van A O B. Men kan dit alles weer korter uitdrukken door te zeggen dat de lengte eener kromme lijn de som is van een oneindig groot aantal oneindig kleine koorden, dat de inhoud van APQB in Fig. 37 gevonden wordt door oneindig vele oneindig kleine rechthoekjes bij elkander op te tellen, en dat men in Fig. 38 evenzoo met oneindig kleine cirkelsectoren moet handelen. De oneindig kleine deelen waarin eene grootheid verdeeld wordt, noemt men de elementen van die grootheid. Het voordeel dat de aangegeven berekeningswijze oplevert, is gelegen in de vervanging van deze elementen door andere oneindig kleine grootheden, waarvan de waarde gemakkelijker kan worden gevonden. Het vraagstuk wordt daardoor tot een ander dat eenvoudiger is teruggebracht, de bepaling van den inhoud eener piramide b.v. tot die van de som van een aantal prisma's, de berekening van het oppervlak eener figuur die (Fig. 37) door eene kromme lijn begrensd is, tot het vraagstuk om de som van een aantal rechthoeken te bepalen. Ook in natuurkundige vraagstukken past men dezelfde methode dikwijls tco, daar de splitsing van een of ander ingewikkeld verschijnsel tot vereenvoudiging kan leiden. Wanneer b.v. de concentratie eener oplossing van punt tot punt verandert, kan men de ruimte waarin zich die oplossing bevindt in kleine deelen, b.v. kleine rechthoekige parallelepipeda verdeelen, en redeneeren alsof de concentratie binnen elk dier deeleu overal hetzelfde was en alleen bij den overgang van de eene kleine ruimte tot de andere met een kleinen sprong veranderde. Lvenzoo kan men, wanneer men de warmteontwikkeling wil bespreken, die gedurende zekeren tijd door een electrischen stroom van veranderlijke sterkte in een geleiddraad wordt teweeg gebracht, het geheele tijdsverloop in kleine deelen splitsen, en de warmteontwikkeling gedurende elk zoodanig deel berekenen alsof de stroom de sterkte hield, die hij aan het begin van dat deel had. De uitkomst waartoe men geraakt zal steeds des te nauwkeuriger zijn naarmate men de verdeeling verder heeft gedreven, en de limiet dier uitkomst voor het geval dat het aantal deelen voortdurend toeneemt, zal aan de werkelijkheid beantwoorden. Met de hulpmiddelen die de hoogere wiskunde aanbiedt, om de grenswaarden van sommen als de boven besprokene, zoogenaamde integralen, te bepalen, zullen wij ons hier niet bezig houden; het is ons voldoende de mogelijkheid van zulke berekeningen in te zien, terwijl wij de uitvoering aan de wiskundigen kunnen overlaten. EERSTE HOOFDSTUK. BEWEGING EN KRACHTEN. § 43. Beweging van punten en lichamen. De plaatsverandering van lichamen of van deelen daarvan is het eenvoudigste verschijnsel dat in de natuurkunde ter sprake komt en de wetten waardoor dit beheerscht wordt, zijn van te meer gewicht omdat vele verschijnselen die op het eerste gezicht van geheel anderen aard schijnen, tot bewegingen kunnen worden teruggebracht. Wij zullen ons daarom in de eerste plaats met de leer der beweging, de mechanica, bezig houden. Wanneer een punt zich verplaatst, beschrijft het eene rechte of kromme lijn, die de baan van het punt genoemd wordt. Bij de beweging van een lichaam moet men de banen onderscheiden, die door de verschillende punten worden doorloopen en die zeer van elkander kunnen verschillen. Bij de golfbeweging b.v. in eene watermassa dient men achtereenvolgens te letten op de plaatsverandering der verschillende waterdeeltjes, waarvan op een zelfde oogenblik sommige een hoogen en andere een lagen stand hebben, en als eene vloeistof door eene opening uit een vat stroomt, moet men nagaan, langs welke kromme lijnen de deeltjes daarvan de opening bereiken en het vat verlaten. Bij vaste lichamen is niet zooveel verscheidenheid van bewegingen mogelijk als bij eene vloeistof of een gas, maar de verschillende punten van een draaienden tol of een naar boven geslingerden stok doorloopen toch ook zeer van elkander afwijkende banen. § 44. Stoffelijke punten. In vele gevallen heeft men intusschen een voldoend denkbeeld van de beweging van een lichaam, zoodra men van één punt daarvan de plaatsverandering kent. Het kan zijn, dat alle punten van het voorwerp op dezelfde wijze voortgaan (voortgeschoven slede) of ook, dat men zich tevreden kan stellen met de kennis der baan van één punt, en van de bijzonderheden in de beweging der andere kan afzien. Om b.v. de beweging van een geweerkogel te onderzoeken, kan men beginnen met slechts op één punt daarvan zijne aandacht te vestigen. Wordt een lichaam op deze wijze door een enkel punt vervangen, dan woidt het een stoffelijk punt genoemd. § 45. Tijd. Nadat men de baan van een punt heeft leeren kennen, kan men letten op de plaats waar het zich op bepaalde oogenblikken bevindt, en op den tijd dien het aan de beweging van de eene plaats naar de andeie besteedt. Len bepaald tijdstip geeft men aan door het aantal tijdseenheden dat sedert een of ander vast oogenblik, het beginpunt der tijdtelling, verloopen is, of wel, wanneer het beschouwde tijdstip aan dat beginpunt mocht voorafgaan, door het aantal tijdseenheden dat tot aan dit laatste verloopen zal. liet bedoelde aantal tijdseenheden wordt door t voorgesteld, het wordt als eene positieve grootheid beschouwd, wanneer men met een tijdstip na het beginpunt der tijdtelling, en als eene negatieve grootheid, wanneer men met een oogenblik daarvoor te doen heeft. Als eenheid van tijd zullen wij, wanneer niets andeis gezegd wordt, de seconde bezigen. Voor het oogenblik van waar men den tijd telt, kan men dikwijls het tijdstip kiezen, waarop de beweging begint. De bepaling van de plaats waar een punt zich achtei eenvolgens op bepaalde oogenblikken bevindt, wordt bij langzame bewegingen, zooals die der meeste hemellichamen, gemakkelijk gemaakt door de omstandigheid dat in den tijd, noodig om de plaats waar te nemen, de stand niet merkbaar verandert. Bij snellere bewegingen moet men dezen of genen kunstgreep bezigen. 5 § 46. Gelijkmatige beweging. Snelheid. De uitkomsten van dergelijke waarnemingen kunnen op verschillende wijzen worden opgeteekend. Men kan b.v. de baan in eene figuur afbeelden, zoo noodig op verkleinde of vergroote schaal, en bij verschillende punten daarvan getallen plaatsen, die de tijden voorstellen, waarop het lichaam deze punten bereikt heeft. De beiceging heet gelijkmatig als in willekeurig gekozen gelijke tijdsdeelen even groote^ ivegen worden afgelegd. Fig. 3(J stelt zulk eene beweging voor; de punten O, 1, 2, 3, 4 liggen op gelijke afstanden van elkander. De snelheid bij eene gelijkmatige beweging wordt gemeten j,. door den gedurende de tijdseenheid afgelegden weg. ~~o 1 2 t v Met. eene spreekwijze die wij in soortgelijke gevallen dikwijls zullen bezigen, zeggen wij ook: de snelheid is de weg die in de tijdseenheid wordt doorloopen. De snelheid eener gelijkmatige beweging is voortdurend even groot. In de definitie der gelijkmatige beweging is uitdrukkelijk sprake van willekeurig gekozen gelijke tijdsdeelen. Het lichaam moet niet alleen in iedere seconde even ver gaan, maar ook in elke halve seconde, of elk tiende deel eener seconde, enz. Zal dus de in Fig. 39 voorgestelde beweging werkelijk gelijkmatig zijn, dan moeten de punten waarbij '/». 31/a 7 2'/s enz. moet geschreven worden, juist in het midden liggen tusschen die, waarbij 0, 1, 2, 3 staat opgeteekend. De in Fig. 40 voorgestelde beweging is niet gelijkmatig, al zou men kunnen meenen dat zij dat Fig. to. . „ J is, zoolang men alleen op de wegen o '/, '■ bz ~ lette, die in volle tijdseenheden worden doorloopen. § 47. Yrije val. Versnelde en vertraagde beweging. Voor de ontwikkeling der natuurkundige begrippen is van bijzonder belang het vallen der lichamen, wanneer zij zooveel mogelijk aan storende invloeden onttrokken zijn (vrije val). Zulk een invloed wordt in meerdere of mindere mate door de lucht uitgeoefend; wij zullen echter in het vervolg onderstellen dat deze, zoo noodig, is weggenomen. Be waarneming heeft in de eerste plaats geleerd dat dan alle lichamen even snel vallen, en in de tweede plaats dat de wegen in achtereenvolgende gelijke tijdsdeelen doorloopen, te rekenen van af het oogenblik waarop de val begint, tot elkander staan als de getallen 1, 3, 5, 7, enz. Overeenkomstig deze wet wordt de beweging van een vallend lichaam door Fig. 41, wanneer men zich de daarin getrokken lijn verticaal geplaatst denkt, voorgesteld. Daar in achtereenvolgende gelijke tijden hoe langer hoe grootere wegen worden 41 V' afgelegd, noemen wij de _ beweging versneld. Wor- «' • * 3 " den de in gelijke tijden doorloopen afstanden voortdurend kleiner, dan is de beweging vertraagd. § 48. Heen- en weergaande beweging. De bewegingsrichting van een punt wordt soms omgekeerd, zoodat het langs de baan teruggaat. Als voorbeeld hiervan kan een naar boven geworpen lichaam dienen. F. 42 De beweging daarvan wordt g voorgesteld door Fig. 42, -j ~1 2 J i wanneer men zich deze zoo geplaatst denkt, dat de rechte lijn verticaal staat, met het punt 0 beneden. In de figuur is nog de bijzondere omstandigheid uitgedrukt, dat, na het om- 43 keeren der bewegingsrich- ~ g 5 ting, dat op het tijdstip 4 ■ ? r i V-; plaats heeft, het punt aan elk der stukken van den weg, die het bij het opstijgen in eéne tijdseenheid heeft doorloopen, op nieuw ee'n^ tijdseenheid besteedt. Bij de in Fig. 43 voorgestelde beweging bestaat deze eigenaardigheid niet. § 49. Rondgaande beweging langs eeue gesloten lijn. Wanneer een punt langs eene gesloten kromme lijn steeds in dezelfde richting voortgaat, voert het een aantal omloopen uit. De tijd dien het noodig heeft om van een of ander punt der baan weer tot hetzelfde punt terug te keeren, heet de omloopstijd. In Fig. 44 is het geval voorgesteld, dat het punt, na in KiK. 44. 5 tijdseenheden tot het uitgangspunt Het eenvoudigste voorbeeld van eene beweging langs eene gesloten lijn met standvastigen omloopstijd is de gelijkmatige beweging. Bewegingen die, zooals de zooeven beschouwde, zich telkens na een bepaald tijdsverloop op dezelfde wijze herhalen, heeten periodiek-, het bedoelde tijdsverloop wordt de periode genoemd. Bij eene rondgaande beweging met standvastigen omloopstijd hebben de woorden „omloopstijd" en „periode" dezelfde beteekenis. § 50. Schommelingen of trillingen. Ook eene beweging langs eene niet gesloten lijn kan periodiek zijn; dit is b.v. het geval als een punt aanhoudend heen- en weergaat tusschen twee uiterste standen, zoodat elke heen- en weergang opjiezelfde wijze plaats heeft. Zulke bewegingen heeten slingeringen, schommelingen of trillingen. In den regel zullen wij onder eene schommeling of trilling een vollen heen- en weergang verstaan; de daarvoor noodige tijd, d. w. z. de periode, heet schommeltijd of trillingstijd. In het bijzonder beschouwen wij trillingen langs eene rechte lijn. Tusschen dezelfde omkeerpunten en met denzelfden trillingstijd kan de beweging nog op zeer verschillende wijzen plaats hebben; er zijn, zooals wij zeggen zullen, verschillende trillingsvornien mogelijk. De Fig. 45, a, b, c, d kunnen dit ophelderen. In de eerste daarvan zijn de heengang en de teruggekeerd te zijn, de volgende amloopen op dezelfde wijze volbrengt ils den eersten. Men kan dan spreken van den omloopstijd, d.w.z. den tijd, noodig voor eiken omioop, onverschillig welken. Die tijd is dezelfde, in welk punt A of B men den omloop ook laat beginnen. terugkeer gelijkmatige bewegingen met dezelfde snelheid. In Fig. b zijn zij ook nog gelijkmatig, maar de beweging is naar rechts langzamer dan naar links. De in Fig. c voorgestelde beweging onderscheidt zich van de in Fig. a afgebeelde hierdoor, dat het punt aan de uiteinden der baan telkens eene tijdseenheid lang in rust blijft. Eindelijk zijn in Fig. d beide bewegingen TTArcnül^ In al deze gevallen is de trillingsduur niet alleen de tijd waarin het punt, van het eene uiteinde der baan af, heenen weergaat, maar ook de tijd dien Fig 46 het noodig heeft om, van een wille- _ | keurig punt C (Fig. 46) uit, eerst A «r cru naar het eene uiteinde A te gaan, vervolgens tot in het andere uiteinde B terug te keeren, en daarna weer het uitgangspunt te bereiken, § 51. Enkelvoudige trilling. Wij zullen nu een trillingsvorm bespreken, die van bijzonder belang is. Wanneer (Fig. 47) een punt P in een cirkel rondloopt, zal de projectie Q van dit punt op eene vaste Fig 47 middellijn AB tusschen de uiteinden A en B dezer laatste heen- en weergaan; die projectie voert regelmatige trillingen uit, als P de op elkaar volgende omloopen op gelijke wijze volbrengt. Klaar-' blijkelijk is de trillingstijd van Q hetzelfde als de omloopstijd van P. De trillingen van Q in het bijzondere geval dat P eene gelijkmatige beweging heeft, v/ordenYnkelvoudige genoemd. Men merke op dat de beweging van Q zulk eene enkelvoudige trilling kan zijn, ook al zijn de cirkel en het punt P er niet; het punt Q kan zich ook dan zoo bewegen, dat het beschouwd kan icorden als de projectie van een ander punt dat eene gelijkmatige beweging langs een cirkelomtrek neeft. Men ziet gemakkelijk in dat de projectie van P op eene willekeurige lijn in 't vlak van den cirkel zich op dergelijke wijze beweegt als het punt Q. In korte termen kunnen wij dus zeggen: Eene enkelvoudige trilling is de projectie van eene gelijkmatige beweging in een cirkel op eene rechte lijn die in 't vlak daarvan ligt. Fig. 48 doet de eigenaardigheden der enkelvoudige trilling nader uitkomen. De punten 0, 1, 2, 3, enz. op den cirkel liggen op gelijke afstanden van elkander. Natuurlijk kan men de beweging meer in bijzonderheden nagaan, en op dezelfde wijze de plaats van het punt aangeven voor oogenblikken die b.v. een zestiende van den trillingstijd uiteenleggen. In het bijzonder vestigen wij de aandacht op de volgende eigenschappen der enkelvoudige trilling. a. Om, hetzij in de eene, hetzij in de andere richting, eene der helften A O en B O (Fig. 47) van de baan te doorloopen, heeft het punt het vierde deefvan den trillingstijd noodig. b. Een willekeurig stuk der baan wordt, bij den heengang en den teruggang, in denzelfden tijd afgelegd. c. Op twee oogenblikken die een halven trillingstijd van elkander verwijderd zijn, bevindt zich het trillende punt op gelijke afstanden, maar aan verschillende zijden van O, en beweegt het zich in tegengestelde richtingen. d. De beweging is versneld terwijl het punt tot O nadert, vertraagd, als het zich van O verwijdert. De afstand O A, de halve lengte der baan, wordt de am-' plitudo der trilling genoemd. § 52. Ander voorbeeld van het verband tusschen de beweging van twee punten. In het geval van de vorige § werd de beweging van Q door die van het punt P bepaald. Op overeenkomstige wijze dwingt men in vele werktuigen een punt om zich op de voor een of ander doel noodige wijze te verplaatsen, door het te verbinden met een ander punt, dat zelf eene bepaalde beweging heeft. Ziehier een eenvoudig voorbeeld daarvan. In Fig. 49 heeft P eene gelijkmatige beweging langs den cirkel en moet Q zich langs het verlengde der middellijn B A zoo verplaatsen, dat de af¬ stand P Q eene stand- c vastige lengte l heeft. Of, kan men ook zeggen, eene rechte lijn PQ van onveranderlijke lengte beweegt zich met haar eene uiteinde gelijkmatig over den cirkel, terwijl het andere uiteinde langs de rechte lijn B D glijdt. Het punt Q gaat heen en weer tusschen de punten D en E, die men krijgt als men AD = BE = / maakt. Dat de beweging nu echter geene enkelvoudige trilling is, blijkt, zoodra men voor eenige oogenblikken de plaats van Q bepaalt. Het is al voldoende, dit te doen voor een oogenblik, midden tusschen die, waarop het punt P in A en B is. Daartoe deelt men den halven cirkelomtrek B A in C midden door en bepaalt F zoo, dat 0 p _ i js> jjet punt F ligt niet in het midden van E D, zooals het geval zou zijn, als de beweging van Q eene enkelvoudige trilling was. § 53. Voorstelling der beweging van een punt door eene formule. Wij nemen op de baan een vast punt O aan, en bepalen de plaats van het bewegelijke punt door den langs de baan gemeten afstand s, waarop het zich van O bevindt. Dezen afstand rekenen wij positief of negatief, naarmate hij van O uit de eene of de andere richting heeft. In den loop der beweging is klaarblijkelijk s eene functie van den tijd t, die verloopen is sedert het oogenblik van waar af men den tijd telt, en de beweging zal bekend zijn, zoodra men weet xoelke functie s van t is, m.a. w., volgens welke wet de eene veranderlijke van de andere afhangt. Immers, dan kan op elk oogenblik de plaats van het punt worden aangegeven. De betrekking tusschen de veranderlijken kan in eene tabel worden weergegeven (verg. § 1). Men kan nl. de tijden waarop men den stand van het punt heeft waargenomen, in de eerste kolom en de voor s gevonden waarden in de tweede kolom opteekenen. Het verband tusschen s en / kan echter ook in eene formule worden uitgedrukt, hetzij in eene empirische formule, die zich zoo goed mogelijk aan de waarnemingen aansluit, hetzij in eene vergelijking die uit de definitie eener beweging van bijzonderen aard wordt afgeleid. Zulke vergelijkingen zijn voor de bewegingen waarvan in de vorige § § sprake was gemakkelijk op te stellen. § 54. a. Gelijkmatige beweging. Wij kiezen voor O het punt waar het lichaam zich bevond op het oogenblik waarop men den tijd t begon te tellen, en onderstellen dat de beweging naar die zijde gericht is, naar welke s positief wordt gerekend. Zij v de snelheid. Uit de definitie der beweging volgt onmiddellijk dat s = v t is. Deze formule geldt ook voor eene beweging naar de negatieve zijde, als men in dit geval de snelheid v van het negatieve teeken voorziet. Het is soms wenschelijk, het punt O anders te kiezen dan boven gezegd werd; op den tijd t = 0 is dan het lichaam op een zekeren afstand a van O. Op den tijd t wordt dientengevolge s = a -j- v t. In deze formule kan zoowel v als a positief of negatief zijn. b. Vrije val. Wij rekenen den tijd t van af het oogenblik waarop de beweging begint, en s naar beneden van af het punt waar het lichaam wordt losgelaten. Wij stellen den weg die in de eerste tijdseenheid wordt afgelegd door a voor. Dan zijn (§ 47) de wegen, in de tweede, dertig tijdseenheid, enz. doorloopen, achtereenvolgens Sa, 5 a. 7 a, enz. Daaruit volgt voor de wegen, gedurende de twee eerste, de drie eerste, de vier eerste tijdseenheden afgelegd, 4 a, 9 a, 16 a. In het algemeen is dus, als t een geheel getal is s = at2 (1) De waarneming heeft geleerd dat ook wanneer t niet door een geheel getal wordt voorgesteld, dezelfde betrekking geldt. De in 2,5 seconde doorloopen weg is b.v. 6,25 a. c. Enkelvoudige trilling. In Fig. 47 verstaan wij onder s den afstand O Q van het bewegelijke punt Q tot het midden der baan en noemen s positief, wanneer Q boven O ligt. Den tijd t tellen wij van af het oogenblik waarop P in A was, den omloopstijd of trillingstijd stellen wij door T voor, welke grootheid dus in tegenstelling met den veranderlijken tijd t eene constante is, en de amplitudo door a. Eindelijk drukken wij hoeken in boogmaat uit. Heeft, in den tijd t, het punt 1' den boog A P doorloopen, dan is Z A O P = 2 *r zooals men vindt door te bedenken dat P eene gelijkmatige beweging heeft en dat de verbindingslijn van P met O in d^n trillingstijd T over een hoek 2 it draait. Verder is O Q = O P cos AOP en dus s == a cos 2 w ,j,. . . . (2) Ofschoon bij de afleiding hiervan werd aangenomen dat t < ' T is, geldt de formule voor alle waarden van t. Ligt b.v. t tusschen { T en ! T, dan hebben P en Q standen, zooals die in Fig. 50 zijn aangegeven. De lengte van OQ is nu a cos BOP; men heeft dus, daar s negatief is, 8 — — a cos BOP = « cos A O P, en voor AOP kan weer 2 % ^ worden geschreven. Andere bijzondere gevallen kunnen evenzoo worden behandeld. "Wij merken alleen nog op dat de formule (2) ook doorgaat, als ty T is, zelfs wanneer t vele malen den trillingstijd bevat. Inderdaad drukt de formule uit dat, telkens na verloop van dezen laatsten tijd, s weer dezelfde waarde aanneemt, want als t met T toeneemt, groeit de hoek 2 ir met 2 ir aan en keert de cosinus tot hetzelfde bedrag terug. Juist omdat de cosinus eene periodieke functie is, kan de formule eene periodieke beweging voorstellen. d. De formule (2) moet door eene andere worden vervangen wanneer op den tijd t — 0 het trillende punt niet in A (Fig. 47) is. Stel b.v. dat het zich op dien tijd in O bevindt en zich naar de positieve zijde beweegt; het punt P is dan (Fig. 51) in P0. Worden vervolgens in den tijd t de wegen P0 P en O Q doorloopen, dan is O Q = O P sin P0 O P en dus • o 1 s = a sin 2 t: , welke vergelijking weer voor alle waarden van t doorgaat. Is (t ig. 52) het punt dat zich langs den cirkel beweegt, op het oogenblik t = 0 in P0, wordt de boog A Pu, in den straal als eenheid uitgedrukt, door p voorgesteld, en hebben P en Q op den tijd t betrekking, dan is t J ' tl AOP = 25rT-fio, - ZAOP = 25r A. dus « t s = a cos (2 TT ,p -|— p). § 55. Graphische voorstelling eeiier beweging. Het verbard tusschen s en ( kan op de in § 9 besproken wijze in Fig. 53. eene figuur worden aangegeven, wanneer men t door de abscissen en s door de ordinaten voorstelt. Aan elk paar bij elkander behoorende waarden van t en s beantwoordt een punt in de figuur en de rechte of kromme lijn die door de aldus verkregen punten gaat, bepaalt den aard der beweging. Wij kunnen de as der abscissen en die der ordinaten nu de as der tijden en die der wegen noemen en ze in de figuur door de letters T en S onderscheiden. a. Gelijkmatige beweging. Daar bij deze beweging in achtereenvolgende gelijke tijden de afstand s telkens met hetzelfde bedrag toeneemt, moeten in de graphische voorstelling de veranderingen dor ordinaat evenredig zijn met die van de abscis; eene gelijkmatige beweging wordt dus door eene rechte lijn voorgesteld. Fig. 53 stelt eene beweging voor, bij welke s op den tijd t = ü reeds de waarde O A heeft. De verplaat¬ sing is naar de positieve zijde gericht, zoodat s aangroeit. Stelt p q de tijdseenheid voor, dan is het verschil s u der ordinaten p r en q s de aangroeiing van s per tyuseenneia, aus ae maat der snelheid. Naarmate deze grooter is zal de lijn een grooteren hoek met de as der tijden maken. Is voor t = 0 ook s = 0, dan gaat de lijn door den oorsprong der coördinaten. Fig. 54: heeft betrekking op het geval dat de afstand s, die op den tijd t = 0 de waarde O A heeft, afneemt. Op den door O B voorgestelden tijd wordt s = 0; het bewegelijke punt bereikt dan het punt der baan, van waar af s wordt gerekend. Men kan de graphische methode toepassen om een beeld te geven van de beweging1 van een aantal lichamen die zich langs Fig. 54. Fig. 55. dezelfde baan verplaatsen. Beschouwen wij b.v. een spoorweg met een viertal stations en rekenen wij den afstand s van het eene eindstation af in de richting naar het andere. Op de as der wegen (Fig. 55) zullen de afstanden van het tweede, derde en vierde station tot het eerste b.v. door O A, O B en O C worden voorgesteld; kortheidshalve duiden wij ook de stations zelf door de letters O, A, B, C aan. De loop van eiken trein wordt nu door eene lijn aangegeven. De lijn Op q r sn b.v. heeft betrekking op een trein die op den tijd 1 = 0 van O vertrekt, met eene gelijkmatige beweging naar A gaat, dit station op den door ü v voorgestelden tijd bereikt, er zoolang stilstaat als door de lengte van p q wordt aangegeven, vervolgens zijne beweging met eene kleinere snelheid hervat (q r maakt nl. een kleineren hoek met ü T dan O p\ in B iets langer stilstaat dan in A en eindelijk van B naar C gaat met dezelfde snelheid waarmede de afstand O A is doorloopen O u loopt evenwijdig aan () p). De lijn die bij a begint, geldt voor een trein die zich op dezelfde wijze beweegt als de eerst beschouwde, maar alleen zooveel later vertrekt, als door O a is aangegeven. De bij b beginnende lijn doet ons zien dat een trein met grootere snelheid dan een der voorgaande, zonder aan de tusschenstations te stoppen, van O naar C gaat, terwijl eindelijk nog de loop van een trein is voorgesteld, die van O uitgaande alleen in B stilhoudt. De lijn e f heeft betrekking op eene beweging van C naar O. Is eenmaal de figuur geconstrueerd, dan kan men daaraan verschillende bijzonderheden ontleenen. Wil men weten op welke tijden de treinen een bepaald punt van den weg passeeren, dan moet men uit het punt van de as der wegen, dat daaraan beantwoordt, eene lijn evenwijdig aan Ü T trekken. Daarentegen zien wij aan de snijpunten der lijnen met eene loodlijn op 0 T, waar de verschillende treinen op een zelfde oogenblik zijn. De snijding van twee lijnen die men in d opmerkt, wil zeggen dat een trein een anderen inhaalt, en wel op een tijd die door de abscis O g van d, en op eene plaats die door de projectie h van het snijpunt op O C wordt bepaald. Ook ontmoetingen van treinen zijn in de figuur aangewezen. b. Vrije val. De kromme lijn van Fig. 56 stelt graphisch voor wat in § 54 door de formule (1) werd uitgedrukt. Wanneer O A, A B, B C, CD tijdseenheden aangeven, is A a = a, Bb = 4 a, Cc = 9 o, Dd=16a. Daar de ordinaten evenredig zijn met de tweede machten der abscissen is de lijn een parabool (§ 18). In het algemeen stelt elke kromme lijn eene niet gelijkmatige beiceging voor. c. Trillingen. Bij eene trillende be¬ weging wordt telkens na verloop van den trillingstijd weer hetzelfde punt der baan bereikt. Deze eigenaardigheid spiegelt zich in de graphische voorstelling hierdoor af, dat dezelfde ordinaat terugkeert als de abscis met het bedrag toeneemt, dat den trillingstijd voorstelt. Be graphische voorstelling eener trillende beiceging is derhalve eene golflijn. Aan verschillende trillingsvormen beantwoorden evemoel golflijnen van verschillende gedaante. Fig. 57 kan dit ophelderen. De lijnen I, II, III en IV hebben betrekking op de bewegingen die ook in Fig. 45, a,b,c,d zijn voorgesteld; daarbij valt op te merken dat de horizontale afstanden van Fig. 45 op verkleinde schaal door de verticale ordinaten van Fig. 57 worden weergegeven, zoo dat rechts in Fig. 45 beantwoordt aan boven in Fig. 57. Bij elke lijn van de laatste figuur is eene horizontale rechte lijn als as der tijden getrokken, en wel op zoodanige hoogte, dat de golflijn naar boven en naar beneden evenveel van die rechte lijn afwijkt; de ordinaten stellen dus de afstanden van het trillende punt tot het raidden der baan voor. De figuur zai verder geene toelichting behoeven. De graphische voorstelling eener enkelvoudige trilling wordt gemakkelijk uit de in § 51 gegeven definitie afgeleid. Men kan b.v. voor oogenblikken die TV trillingstijd van elkander verwijderd zijn, den afstand bepalen , waarop het trillende punt aan de eene of de andere zijde van O (Fig. 47) verwijderd is, en moet dan die afstanden als even ver van elkander staande positieve of negatieve ordinaten in de figuur aanbrengen. Wij laten het aan den lezer over, deze constructie uit te voeren. De lijnen die enkelvoudige trillingen voorstellen, zijn enkelvoudige golflijnen of sinusoïdes (Fig. 25). Vervangr, men nl., in de formules van § 54, c en d, t door x en # door tf, dan worden zij van dezelfde gedaante als de vergelijkingen die in § 21 voorkomen. Wij merken eindelijk nog op dat, evenals elke trillende beweging door eene golflijn wordt voorgesteld, ook omgekeerd elke golflijn als het beeld van een zekeren trillingsvorm kan beschouwd worden. Men kan b.v. bij de kromme lijn L3 van Fig. 26 een aantal ordinaten, op gelijke afstanden van elkander, trekken. Een punt kan zich nu zoo langs eene rechte lijn bewegen, dat de afstand tot een vast punt daarvan op eene reeks van even ver uiteenliggende oogenblikken zoo groot is als door die ordinaten wordt aangewezen. Fig. 57. § 56. Opteekenen van bewegingen. Een lichaam dat zich volkomen of ten naaste bij langs eene rechte lijn verplaatst en waaraan een schrijfstift bevestigd is, die kan teekenen op een daar tegenover geplaatst oppervlak, kan zelf de kromme lijn beschrijven, die zijne beweging graphisch voorstelt. Is nl. (Fig. 58) L L de lijn in de ruimte, langs welke de stift zich beweegt, en is een plat vlak, b.v. een blad papier, tegenover deze laatste geplaatst, dan zou op dit vlak, wanneer het zelf stilstond, eene rechte lijn worden geteekend, die met L L samenvalt. Wordt nu echter het platte vlak in de richting X a, loodrecht op L L, van rechts naar links verschoven, en wel met eene gelijkmatige beweging, dan krijgt men eene kromme lijn p q' r' s' t', die juist de verlangde graphische voorstelling is. Om dit in te zien verbeelden wij ons op bet papier eenige even ver van elkander verwijderde lijnen a b, a, b,, «s bt, a3 enz., loodrecht op a X. Valt aanvankelijk a b met de vaste lijn L L samen, dan zal, na een zeker tijdsverloop, a1 dat doen; na een tweeden, even langen tijd zal «s b2 die plaats innemen, enz.; daarbij komen av ait enz. achtereenvolgens in bet punt van L L, waar zich eerst a bevond. Snijden nu de lijnen a b, al bv ai bt, enz. de verkregen kromme lijn in p, q', r', s', t', dan vindt men door q q, r' r, s' s, enz. evenwijdig aan X a te trekken, de punten van L L, waar de stift zich op de beschouwde oogenblikken bevond. De afstanden ap, a q, a r, enz. waarop hij toen van het vaste punt a der lijn L L verwijderd was, zijn dus werkelijk gelijk aan de ordinaten der kromme lijn, die men in de figuur ziet. Eene kleine wijziging maakt de methode bruikbaarder. Men kan nl. het blad papier op een omwentelingscilinder wikkelen (men slaat een rechthoekig stuk daarom heen en bevestigt de randen aan elkaar) en aan dezen laatsten een gelijkmatige wenteling om zijne as geven, terwijl het lichaam met de schrijfstift zich in de richting eener beschrijvende lijn verplaatst. Op het oppervlak wordt dan eene lijn geteekend, die, nadat het papier volgens eene beschrijvende lijn is doorgesneden en weer tot een plat vlak is uitgespreid, met de lijn p q r' van Fig. 58 overeenstemt, althans wanneer de snelheid van een punt van 't cilindervlak even groot is als die, waarmede in het geval van Fig. 58 het platte vlak werd verschoven. Wat men als schrijfstift bezigt, hangt van de omstandigheden af. Menigmaal neemt men een borstelhaar, een fijne metaalpunt of iets dergelijks; het papier, dat eene gladde witte oppervlakte moet hebben, wordt dan met behulp van eene vlam met lampzwart bedekt. Daar dit gemakkelijk door de stift wordt weggenomen, krijgt men eene fijne witte lijn, die men kan bewaren door het lampzwart ten slotte met een fixeermiddel op het papier te bevestigen. Men kan zich ook van de photographie bedienen. Bezigt men nl. een lichtgevoelig papierblad, dan kan een lichtbundel die op een punt daarvan gericht is, als „schrijfstift" dienen. § 57. Toepassingen der graphisclie methode. Men heeft op de aangegeven wijze o.a. de wetten van den vrijen val onderzocht. De wentelende cilinder stond daarbij verticaal, en een lichaam van een teekenstift voorzien viel daarlangs. Door geschikte hulpmiddelen werd ervoor gezorgd, dat de stift zich alleen in verticale richting kon bewegen en steeds zacht tegen den cilinder werd gedrukt. Door eerst óf alleen den cilinder te doen draaien, óf alleen het lichaam te laten vallen, kon men eene horizontale en eene verticale lijn krijgen, van welker snijpunt dan de kromme lijn uitging, die bij de eigenlijke proef werd beschreven. Men kon eindelijk, na het blad papier weer uitgestrekt te hebben, de horizontale lijn als as der abscissen en de verticale als as der ordinaten nemen, en de lengte der ordinaten, bij verschillende abscissen behoorende, met elkander vergelijken. Het bleek dat de ordinaten evenredig met de tweede machten der abscissen waren, dat de lijn dus een parabool was, zooals volgens 55, b het geval moest zijn. Bij het onderzoek van trillende bewegingen bedient men zich dikwijls van de graphische methode. Een fijne stift, aan een trillend, b.v. een geluidgevend lichaam bevestigd, zal op een wentelenden cilinder een golflijn teekenen, die niet alleen doet zien, over welken afstand het punt heen- en weergaat en hoe dikwijls het dit gedurende een wenteling van den cilinder doet, maar ons ook door hare gedaante den trillingsvorm van het lichaam aangeeft. liet blijkt b.v. dat een trillende stemvork lijnen opteekent, zooals de in § § 20 en 21 besprokene; daaruit volgt: de trillingen van een stemvork zijn enkelvoudig. In de besproken gevallen worden met behulp der graphische methode bewegingen onderzocht, die zoo snel zijn, dat de onmiddellijke waarneming moeilijk wordt. Even goede diensten kan de methode ook bij langzame plaatsveranderingen bewijzen; zelfs zeer trage bewegingen, die het geduld van den waarnemer op een zware proef zouden stellen, vallen binnen haar bereik. De rijzingen en dalingen van het zeeoppervlak, de standveranderingen van den barometer kunnen worden opgeteekend door toestellen die, eenmaal in beweging gebracht, geruimen tijd aan zich zelf kunnen worden overgelaten, en aan welke, daar zij voortdurend opteekenen, geen enkele beweging ontsnapt. In verschillende gevallen is deze of gene kunstgreep noodig om het lichaam waarvan men de beweging wil onderzoeken, een schrijfstift in beweging te laten brengen. Natuurlijk behoeft de stift niet altijd rechtstreeks aan het lichaam bevestigd te worden; men kan hem ook op een afstand daarvan plaatsen, mits hij er zoo mede verbonden is, dat de beweging van het lichaam op de stift wordt overgebracht. Deze handelwijze wordt veelvuldig door de physiologen gebezigd, die aldus van de bewegingen in het dierlijk lichaam graphische voorstellingen maken. Wij vermelden nog een eenvoudig middel, waardoor men het opschrijven van bewegingen die over een kleinen afstand 6 plaats hebben, verder kan voortzetten dan aan den omtrek van den cilinder beantwoordt, zonder het bezwaar te hebben, dat een eenmaal geteekend deel eener golflijn door een later beschreven deel wordt gesneden. Men kan aan den cilinder, behalve zijne rondgaande beweging, een verschuiving in de richting der as, eveneens met standvastige snelheid, geven. Stond dan de schrijfstift stil, dau zou een schroeflijn ontstaan; gaat hij echter heen en weer, dan krijgt men een golflijn, waarvan de punten afwisselend aan weerszijden van die schroeflijn liggen. Bij uitspreiding van het papier tot een plat vlak zou de schroeflijn een rechte lijn geven, die scheef staat met betrekking tot de beschrijvende lijnen; de golflijn die op den vooruitschuivenden cilinder wordt geteekend, zal een dergelijken stand hebben. § 58. Toepassing der graphische methode op het nieten van den tijd. Worden de trillingen eener stemvork opgeschreven op een cilinder, waaraan een uurwerk een gelijkmatige beweging van bekende snelheid geeft, dan kan men uit het aantal golven dat de verkregen lijn op den omtrek van den cilinder vertoont, het aantal trillingen per seconde en dus den trillingstijd afleiden. Eveneens zal bij iedere lijn die door een bewegelijke stift op den cilinder wordt geteekend, de tijd waarin een zeker deel beschreven werd, gevonden kunnen worden uit den afstand der beschrijvende lijnen die door de uiteinden van dat deel worden getrokken. Men heeft verschillende inrichtingen bedacht, die het mogelijk maken, altijd met behulp van een gelijkmatig draaiendeu cilinder, den duur van een verschijnsel of den tijd tusschen twee verschijnselen te meten. Men kan b.v. tegenover den cilinder een stift plaatsen, die zich, als hij aan zich zelf wordt overgelaten, op kleinen afstand van het zwart gemaakte oppervlak bevindt, maar die in loodrechte richting voor een oogenblik tegen dit laatste kan worden gedrukt. Doet men dit op de twee oogenblikken tusschen welke men het tijdsverloop wenscht te kennen, dan krijgt men twee stippen, waarvan men dan den afstand kan meten. In plaats van de stift tegen den cilinder te drukken, kan men hem ook een vasten stand geven, en een electrische vonk van zijn uiteinde op den cilinder laten overspringen, waardoor een weinig van het lampzwart wordt weggeslagen. Eindelijk kan men de stift -voortdurend in aanraking met den cilinder laten, maar liet zoo inrichten, dat hij over een kleinen afstand in de richting der beschrijvende lijnen kan worden verschoven en daarna aanstonds weer terugkeert. Dan krijgt men een lijn, zoo- 59 als de in Fig. 59 afge- cd f heelde; de afstand der f V _ƒ \— — . , a b e punten o en e is de maat voor den tijd tusschen de twee oogenblikken op welke de stift verschoven werd, terwijl uit de lengte van cd blijkt hoe lang hij in den nieuwen stand is gebleven. De schuine stand van 6 c en ef is een gevolg hiervan, dat gedurende de verplaat- co sing van de stift de ci- ^ f linder over een kleinen ( L J 1 , af) e afstand verder is gedraaid. Is de verschuiving der stift zeer snel, dan staan (Fig. CO) 6 c en e f nagenoeg loodrecht op a 6. § 59. Chronograplicn. Als de cilinder niet met standvastige snelheid wentelt, kan men toch den duur van verschijnselen waarvan de loop op zijn oppervlak wordt opgeteekend of geregistreerd, leeren kennen, als men tegelijk een tweede verschijnsel opteekent, dat zich met bekende tussclientijden herhaalt. Wij onderstellen in de volgende voorbeelden dat de cilinder verticaal staat. a. Men kan met behulp van een uurwerk een stift, die voortdurend met den cilinder in aanraking is, elke seconde Fig. 61. gedurende een korten tijd naar boven verplaatsen, waardoor men een lijn krijgt, zooals L, in Fig. 61. Wordt nu door een tweede stift, die de lijn L2 teekent, en die verticaal beneden de eerste staat, bij p en g bet begin en bet einde van een tijdsverloop geregistreerd, dan kan men, door naderhand verticale lijnen door p en q te trekken, den duur van dat tijdsverloop op L, aflezen. Daarbij kunnen ook onderdeelen van een seconde worden bepaald, wanneer men onderstelt dat gedurende een seconde de beweging van den cilinder gelijkmatig is geweest. In de figuur is het tijdsverloop 8,3 seconden. b. Men kan het aantal trillingen per seconde van een stemvork bepalen, als men beneden de stift die de trillingen daarvan opschrijft een tweede plaatst, die met bekende tusschenpoozen merken, zooals die bij p en q in Fig. 61, of andere teekens op den cilinder maakt. c. Korte tijden kunnen worden gemeten, wanneer men over een stemvork beschikt, die een bekend aantal trillingen per seconde uitvoert. In Fig. 62 wordt door a b de duur van een te onderzoeken verschijnsel voorgesteld, terwijl de bovenste lijn bij de stemvork behoort, die als tijdmeter dient. De twee schrijfstiften moeten liefst weer op dezelfde verticale lijn staan. De door a h aangewezen tijd bedraagt dan 4,8 trillingstijden. Was de onderste schrijfstift ook met een trillend lichaam verbonden, dan zou men den trillingstijd daarvan kunnen vinden door na te gaan hoeveel golven door de twee stiften in denzelfden tijd worden beschreven. d. Een wijziging dezer methode bestaat hierin, dat men op de oogenblikken tusschen welke men het tijdsverloop wil beFie 63 palen, uit de stift zelf, die springen. Men krijgt dan een teekening, zooals in Fig. 63 is aangegeven. Fig. 62. met een bekende periode trilt, een electrische vonk op den cilinder laat over- Toestellen die dienen om op een wentelenden cilinder, of op een voortgeschoven papierblad of strook, merken aan te brengen, die aan bepaalde tijden beantwoorden, worden chro- nographen genoemd. § 60. Andere methode 0111 een graphische voorstelling van den val van een lichaam te krijgen. Een schrijfstift die aan liet uiteinde van een trillende veer is bevestigd, bevindt zich, zoo lang deze aan zich zelf wordt overgelaten, in het punt O (Fig. 64), den „evenwichtsstand", en gaat, als hij na een verplaatsing tot in A wordt los- i> 61. gelaten, langs de horizontale lijn A 15 heen en weer. Hij is voortdurend in aanrakingmet een verticale plaat, die in de richting P O kan vallen; op die plaat zou de lijn O P worden geteekend, wanneer de stift gedurende het vallen in rust was. Worden echter de stift en de plaat beide bewogen en wel zoo, dat de val begint op het oogenblik waarop de stift in A wordt losgelaten, dan krijgt men de lijn A C D E. De afstanden tusschen de punten a, b, c, d, waar deze O P snijdt, zijn de wegen die de plaat heeft afgelegd tusschen de achtereenvolgende oogen blikken waarop de schrijfstift, door zijn evenwichtsstand gaat. Daar deze oogenblikken even ver van elkaar liggen, moeten, zooals uit de wet van den vrijen val (Sf 54, b) kan worden afgeleid, ab, b c, cd een rekenkundige reeks vormen. Aan de gedaante der lijn kan men nog zien dat de trillende veer zich hoe langer hoe minder van zijn evenwichtsstand verwijdert. § lil. Snelheid bij een niet gelijkmatige beweging» Bij een dergelijke beweging spreekt men vooreerst van de gemiddelde snelheid gedurende een zeker tijdsverloop en in de tweede plaats van de snelheid op een bepaald oogenblik■ Onder de gemiddelde snelheid verstaat men de snelheid die liet lichaam bij een gelijkmatige beweging had moeten hebben, om in het beschouwde tijdsverloop denzelfden weg af te leggen, dien het in werkelijkheid heeft doorloopen. De gemiddelde snelheid wordt dus gevonden als men den weg door den tijd deelt. Met de snelheid op een bepaald oogenblik bedoelt men de limiet waartoe de gemiddelde snelheid voor een zeker op dat oogenblik volgend tijdsverloop nadert, als men de lengte van dit laatste tot 0 laat naderen. Men kan deze bepaling ook aldus inkleeden: Be snelheid op een bepaald oogenblik wordt gevonden, als men den in een oneindig kleinen tijd afgelegden weg door dien tijd deelt. Is een tijdsverloop zeer klein, dan zal de daarvoor geldende gemiddelde snelheid maar weinig verschillen van de boven, genoemde grenswaarde, en bij benadering in plaats daarvan mogen worden genomen. Als b.v. een spoortrein in een minuut een weg van 1200 M. aflegt, zal allicht de snelheid aan het begin dier minuut niet noemenswaard verschillen van 20 M. per sec., maar had men alleen waargenomen dat in 30 min. een weg van 32400 M. wordt doorloopen, dan zou men misschien een aanmerkelijke fout begaan door de beginsnel32400 heid op 5- „ of 18 M. per sec. te stellen. oO X bO De graphische voorstelling der bewegingen kan dienen om liet gezegde op te helderen. Vooreerst ziet men gemakkelijk in dat bij een gelijkmatige beweging, zooals die door de reuhte lijn van Fig. 53 wordt voorgesteld, de snelheid gegeven wordt door den tangens van den hoek dien A B met O T maakt. Op dergelijke wijze zal bij een beweging die door de kromme lijn van Fig. 12 wordt voorgesteld, als men O X als as der tijden en 0 Y als as der wegen kiest, de gemiddelde snelheid gedurende 't tijdsverloop dat aan A C beantwoordt, worden bepaald door tg Q P X'. Immers, B Q is de afgelegde weg, dus de gemiddelde snelheid. De gemiddelde snelheid gedurende den tijd A 0' wordt door tg Q' P X' gegeven en de snelheid op het door A aangeduide oogenblik door den tangens van den hoek dien de raaklijn P R met P X' maak',. § 62. Berekening der snelheid, wanneer de wet der beweging gegeven is. Wij drukken s in den tijd t uit en vragen naar de snelheid v op een bepaalden tijd t. Om die te vinden beschouwen wij, na dit oogenblik, een klein tijdsverloop A t. Aan het einde daarvan is de tijd t -f A t, en stelt men dit in de formule die s als functie van t voorstelt, voor t in de plaats, dan vindt men hoe groot s op het nieuwe oogenblik is. Men heeft dan twee waarden van s uit de formule berekend, de eene geldende voor den tijd t, de andere voor den tijd t + A t. Het verschil van beide kan men de aangroeiing van s noemen en door A s voorstellen j het is de afstand die in den tijd A t wordt doorloopen. De gemiddelde snelheid gedurende den tijd A t is nu As Al' en de ware snelheid op den tijd t is de limiet waai toe deze verhouding nadert, als A t kleiner en kleiner wordt. Men kan dus schrijven (§ 39) _, As ds v = Lim , , = , .• A t at Bij het afnemen van A t moet t zelf onveranderd worden gelaten; bij de geheele redeneering geeft nl. deze grootheid het vooraf vastgestelde oogenblik aan, waarvoor men de snelheid zoekt. Het blijkt dus dat men, zoodra s als functie van den tijd t is gegeven, de snelheid door differentieeren (§ 40) vindt. Daarbij verdient het opmerking dat, wanneer wij voor d t een positieve aangroeiing van den tijd kiezen, iln positie! of negatie! kan uitvallen, al naarmate de plaats van het bewegelijke punt aan het einde van het tijdselement d t ten opzichte van de plaats aan het begin daarvan aan dïe zijde ligt, naar welke men s positief rekent, of aan de tegengestelde zijde. De met bovenstaande formule berekende snelheid v is dus positief als de bewegingsrichting overeenstemt inet de richting waarin men s positief noemt, en negatief in het tegengestelde geval. § 63. Toepassing op den vrijen val. Eenparig versnelde beweging. Versnelling. Bij een vallend lichaam, waarvoor de formule (1) (§ 54, b) geldt, wordt de in den tijd t -f- A t afgelegde weg a (t -j- A t)'. Daaruit volgt A s = a (< + A i!)2 — at* = 2at{\t + a(& tf, As 7—= 2 a t r a A t A t en v = 2at (3) Derhalve: bij den vrijen val is de snelheid evenredig met den tijd gedurende welken de beweging heeft plaats gehad; of ook: in achtereenvolgende gelijke tijdsdeelen neemt de snelheid telkens met hetzelfde bedrag toe. Een beweging waarbij dit laatste het geval is, wordt eenparig versneld genoemd. Onder de versnelling verstaat men daarbij de snelheidsvermeerdering in de tijdseenheid. De vrije val is natuurlijk niet de eenige eenparig versnelde beweging. In iedere richting en met elke waarde van a kan men zich een beweging voorstellen, die aan de vergelijking (1) beantwoordt. In p].°°ts van den in de eerste seconde afgelegden weg a kan men de versnelling invoeren, om de eenparig versnelde beweging nader te beschrijven. Volgens de vergelijking (3) is de versnelling 2 a. Voor den vrijen val wordt zij gewoonlijk door g voorgesteld. De formules (3) en (1) worden dan v = g t (4) en s = l g t- (5) Met behulp van deze formules kan men de snelheid berekenen, die een lichaam krijgt, wanneer het van een gegeven hoogte s valt. Uit (5) volgt voor den duur van den val t = \/~: (6) ' 9 en dan uit (4) voor de eindsnellieid V = V2g~s, (7) Wat het meten der versnelling bij den vrijen val betreft, merken wij op dat de nauwkeurigste uitkomsten zijn verkregen, niet door rechtstreeksche waarneming van een vallend lichaam, maar op een wijze die wij later zullen leeren kennen. Daar alle lichamen even snel vallen, is g voor alle even groot. Men heeft evenwel bevonden dat de versnelling aan verschillende punten van het oppervlak der aarde ongelijke waarden heeft. Naarmate men de polen nadert vallen de lichamen sneller, en wordt dus g grooter. Ziehier eenige der voor g verkregen uitkomsten; als eenheden van lengte en tijd zijn daarbij de centimeter en de seconde gebezigd. - Het derde der opgegeven getallen is de gemiddelde waarde van g in Nederland; de uiterste waarden wijken daarvan niet meer dan 0,1 af. § 64. Verticaal opgeworpen lichaam. De waarneming heeft geleerd, zooals reeds in § 48 vermeld wérd, dat de eerst stijgende en dan dalende beweging van zulk een lichaam de eigenaardigheid vertoont, die wij in Fig. 42 (p. 67) uitdrukten. Men kan daaruit het volgende afleiden. a. De snelheid van het lichaam is even groot op twee oogenblikken die even veel voor en na het tijdstip liggen, waarop de beweging wordt omgekeerd. De weg b.v., die in Fig. 42 tusschen de tijden 1 en 1,U001 wordt afgelegd, is dezelfde als die, welke tusschen de tijden 6,9999 en 7 wordt doorloopen. b. Daar bij het dalen de snelheid in elke seconde met g toeneemt, moet zij gedurende het opstijgen in elke seconde met g afnemen. Zoo is b.v. in Fig. 42 het verschil tusschen de snelheden op de oogenblikken 1 en 2 hetzelfde als dat tusschen de snelheden op de oogenblikken 7 en 6. Omdat bij een verticaal opstijgend lichaam gedurende Breedte Versnelling bij den val 0° 978,1 45° 980,6 V52° 981,2 ^ 90° 983,1. achtereenvolgende gelijke tijdsdeelen de snelheid telkens met hetzelfde bedrag afneemt, wordt de beweging van zulk een lichaam eenparig vertraagd genoemd. c. Wordt een lichaam met de snelheid v() verticaal opgeworpen, dan zal, daar gedurende elke seconde de snelheid met g vermindert, na ,8> seconden de snelheid 0 zijn geworden. Dit is de tijd die aan het opstijgen, en eveneens de tijd die aan het neerdalen besteed wordt. De hoogte h, tot welke het lichaam opstijgt, is tevens de weg dien het bij het dalen in den tijd (8) aflegt. Uit de formule (5) volgt dus V ^ h = 2g <9> § 65. Samenstelling van twee snelheden. Onderstellen wij dat een plat vlak, b.v. het dek van een schip, met standvastige snelheid in een richting die in het vlak zelf ligt, wordt voortgeschoven en dat een lichaam zich over het vlak verplaatst; dat b.v. een bal over het dek van het vaartuig voortrolt. Men kan dan letten op de punten van het vlak, waarin zich het voorwerp, telkens na gelijke tijden, bevindt. De ligging dezer punten bepaalt de beweging die het voorwerp schijnt te hebben voor een waarnemer die, zelf op het vlak geplaatst, in de beweging daarvan deelt, misschien zonder er iets van te bemerken. Deze schijnbare beweging wordt ook de betrekkelijke of relatieve beweging van het voorwerp ten opzichte van het platte vlak genoemd; zij moet onderscheiden worden van de ware, volstrekte of absolute beweging, waarvan men zich een denkbeeld vormt door na te gaan in welke punten der ruimte het lichaam achtereenvolgens komt. Wij onderstellen nu dat de betrekkelijke beweging met standvastige snelheid langs een rechte lijn van het platte vlak plaats heeft. Die lijn is in Fig. 65 door AM voorgesteld; A, B, C, D zijn de op gelijke afstanden van elkaar liggende punten der lijn, waar zich het voorwei]) bevindt op oogen- blikken die met tusschentijden = 1 op elkaar volgen, oogenblikken dus, die wij met 0, 1, 2, 3 kunnen aanduiden. Wij neer men A' A" = A" A'" = A A maakt. De lijn zelf, die evenwijdig aan zich zelf voortgaat, heeft achtereenvolgens de standen A M', AM, AM. Terwijl het voorwerp op den tijd 0 in het punt A der ruimte is, bevindt het zich op den tijd 1 in het punt van A M', waar B gekomen is, dus in het punt B' dat men krijgt, door uit B eene lijn evenwijdig aan AL te trekken; immers alle punten van A M verplaatsen zich in dezelfde richting. De figuur doet zien hoe op dezelfde wijze de ware plaatsen C" en D " van het punt op de oogenblikken 2 en 3 worden gevonden. Men ziet nu gemakkelijk dat A, B', C", D' op een rechte lijn liggen; dat deze werkelijk de ware baan van het voorwerp is, wordt bevestigd door de beschouwing van zijn stand op tijden die tusschen de oogenblikken 0 en 1, 1 en 2, enz. liggen. Verder is A B'= B'C" = C" B " en daar dit ook het geval zou zijn, wanneer A B, B C, enz., A A, A' A", enz. niet de wegen in tijdseenheden, maar in willekeurige gelijke tijdsdeelen voorstelden, is de volstrekte beweging van het voorwerp gelijkmatig. De snelheid van die beweging is AB'; het blijkt dat men deze snelheid kan vinden door de snelheid A A van het platte vlak en de snelheid AB, die het lichaam ten opzichte van dit laatste heeft, met elkaar samen te stellen volgens den regel dien wij in § 27 voor de samenstelling van vectoren gegeven hebben. moeten nu op de verplaatsing der lijn zelf bij de verschuiving van het platte vlak letten; wij ondersteilen dat deze verschuiving in de richting A L met de snelheid A A' gebeurt. Heeft de lijn den stand A M op den tijd O, dan worden de standen van A op de oogenblikken 1, 2, 3 voorgesteld door A', A", A'", wan- Fig. 6f>. de nieuwe plaats van het voorwerp in de ruimte. De lijnen A a, A E en A e stellen dus de bij eenzelfden zeer kleinen tijd belioorende wegen voor, resp. bij de beweging van het platte vlak, bij de relatieve en bij de absolute beweging van het voorwerp. De bij deze bewegingen voorkomende snelheden moeten de richting van die drie lijnen hebben en met de lengte daarvan evenredig zijn; daaruit volgt 28) dat de derde snelheid wordt voorgesteld door de diagonaal A B' van het parallelogram waarvan de zijden A A' en A B de twee andere snelheden aangeven. Men is gewoon te zeggen dat een voorwerp zooals het hier beschouwde twee snelheden tegelijk heeft, nl. de relatieve snelheid ten opzichte van het vlak en de snelheid van dit laatste. Overeenkomstig deze spreekwijze zullen wij met de uitdrukking: „een lichaam heeft twee snelheden" altijd bedoelen dat het de snelheid heeft, die men krijgt door deze twee met elkander samen te stellen volgens den regel van § 27. De benamingen: „parallelogram van snelheden", „resulteerende snelheid", „ontbinden eener snelheid", „snelheids-componenten", behoeven na het in § 27 besprokene geen toelichtLi:, meer. Wij merken alleen nog het volgende op. a. Hebben de twee snelheden die men met elkaar moet Tot hetzelfde besluit komt men ook, wanneer de beweging van het lichaam over het platte vlak en de voortschuiving van dit laatste in de richting A L met veranderlijke snelheid plaats hebben. Gedurende zeer korte (eigenlijk oneindig kleine) tijden kan men dan toch beide bewegingen als gelijkmatig beschouwen. Zij nu (Fig. <56) A de plaats in de ruimte, waar het bewegelijke voorwerp zien op zeker oogenuuK bevindt, E de stand dien liet na een zeer korten tijd zou bereikt hebben als het vlak in rust was. Laat gedurende dien tijd het punt A zich tot in a, en de lijn A E tot in a e verplaatst hebben, dan is het hoekpunt e van het parallelogram AaeE samenstellen, dezelfde of juist tegengestelde richtingen, da» is de resulteerende snelheid gelijk aan hun som of hun verschil. Men kan zich hiervan gemakkelijk rekenschap geven door een voorwerp te beschouwen, dat zich in zekere richting over een plat vlak beweegt, terwijl dit vlak in dezelfde of in tegengestelde richting wordt voortgeschoven. Twee tegengestelde en gelijke snelheden hebben de resultante ü. Een voorbeeld heeft men in een persoon die een vaartuig voortboomt. Nu wij eenmaal hebben vastgesteld wat wij verstaan zullen onder de samenstelling of bijeenvoeging van twee snelheden van tegengestelde richting kunnen wij de snelheidsverandering van een verticaal opgeworpen lichaam (§ 64) ook beschrijven door te zeggen: Een lichaam dat in verticale richting opstijgt, krijgt — even goed als een vallend lichaam — in elke seconde, bij de snelheid die het reeds had, een snelheid g, verticaal naar beneden. b. Een lichaam kan ook meer dan twee snelheden tegelijk hebben; de ware snelheid wordt dan altijd volgens de voor vectoren gegeven regels gevonden. Een vallende steen b.v. heeft ten opzichte van de aarde de beweging die wij hebben leeren kennen, maar hij deelt bovendien in de wenteling der aarde om hare as, in de voortgaande beweging van onze planeet om de zon, eindelijk in de beweging van het geheele zonnestelsel door de hemelruimte. De absolute beweging van een voorwerp wordt nooit door ons waargenomen; intusschen kan bij de verschijnselen op de aarde, voor zoover wij ze beschouwen zullen, meestal van de beweging der aarde worden afgezien en de relatieve beweging die wij waarnemen voor de werkelijke standverandering worden gehouden. § 66. Versnelling bij een willekeurige rechtlijnige beweging. In het algemeen beschouwt men als maat voor de versnelling bij zulk een beweging de verandering der snelheid per tijdseenheid, afgeleid uit de verandering die de snelheid in een oneindig kleinen tijd ondergaat; men berekent dus de versnelling door de verandering der snelheid gedurende zulk een oneindig kleinen tijd door de lengte van dien tijd te deelen. Duidt men (verg. § 62) een oneindig kleinen tijd door d t aan en de verandering der snelheid v gedurende dien tijd door d v, dan is de versnelling dv t-dt (10) Men kan de berekening uitvoeren zoodra v als functie van den tijd t gegeven is. Wij merken bij deze formule nog het volgende op. Heeft men langs de baan van het punt een bepaalde richting als de positieve gekozen, dan wijst (§ 62) het teeken der snelheid v de richting der beweging aan. Ook de waarde die men voor q vindt, kan nu zoowel negatief als positief zijn. Hieraan beantwoorden de verschillende richtingen die de versnelling kan hebben. Is q positief, dan wil dat zeggen dat men, om de snelheid aan het einde van den tijd dt te krijgen, de snelheid aan het begin daarvan moet samenstellen met een oneindig kleine snelheid in de positieve richting; een negatief teeken van q geeft aan dat de oneindig kleine snelheid die het punt in den tijd d t krijgt bij de snelheid die het reeds had, de negatieve richting heeft. Hebben q en v hetzelfde teeken, dus de versnelling en de snelheid dezelfde richting, dan is de beweging in den werkelijken zin van het woord versneld, terwijl zij vertraagd is, wanneer q en v tegengestelde teekens hebben. § 67. Yerfoand tusschen de snelheid van een punt en die van zijne projectie op een vaste rechte lijn. Zijn twee lichamen zoo met elkander verbonden, dat de beweging van het eene een gevolg is van die van het andere, dan hangen ook de gelijktijdige snelheden met elkander samen. De snelheid van het punt Q in Fig. 4!) hangt af van die van P en op dergelijke wijze wordt de snelheid van alle deelen van een stoomwerktuig door die van den zuiger bepaald. Wordt de tijd waarin deze heen- en weergaat, vergroot of verkleind, dan veranderen alle snelheden in het werktuig in dezelfde verhouding. Verbeelden wij ons nu dat een punt P (Fig. 67) langs de kromme lijn L voortgaat, en projecteeren wij het op elk oogenblik op de rechte lijn A B. Terwijl dan P den oneindig kleinen weg P P' doorloopt, gaat de projectie Q over den afstand Q Q' voort; de snelheden van P en Q staan dus tot elkaar als PP' en QQ'. Men kan voor elk punt de snelheid voorstellen door een rechte lijn, getrokken in de richting der beweging, en waarvan de lengte de grootte der snelheid aangeeft. Deze vector (§ 27) moet voor I' langs de lijn vallen, die de baan in P aanraakt, en voor Q langs A B. Zij P p de snelheid van P, dan wordt die van Q, nl. Q q gevonden door een vierde evenredige te zoeken tot P1', Q Q' en P p. Daar nu de oneindig kleine boog P P met de raaklijn samenvalt, krijgt men die vierde evenredige, als men p op A B projecteert. Derhalve komen wij tot dezen regel: De snelheid der projectie van een pu>it is de projectie van de snelheid daarvan. Bevindt P zich in een punt der baan, waar de raaklijn evenwijdig aan A B loopt, dan is de snelheid van de projectie even groot als die van P; in elk ander geval is zij kleiner. Staat de raaklijn aan de baan loodrecht op A B, dan is de snelheid der projectie 0. liet gezegde geldt ook wanneer de baan en de rechte lijn niet in één plat vlak liggen. § 68. Kromlijnige bewep'wg in een plat vlak teruggebracht tot twee rechtlijnige bewegingen. Wij kunnen het punt P dat zich langs de vlakke kromme lijn L beweegt, op twee lijnen in het vlak der baan, b.v. op de onderling loodrechte coördinaatassen O X en O Y (Fig. 68) projecteeren. De projectiën en Pa gaan langs O X en O Y voort, en zoodra men weet hoe zij dat doen, kan men voor elk oogenblik ook den stand van P bepalen. Men is gewoon te zeggen dat het punt P de bewegingen der twee projectiën, in de figuur dus een beweging naar rechts en een beweging naar boven, tegelijk heeft. Baarbij is de snelheid van het punt de resultante van de snelheden die de projectiën op hetzelfde oogenblik hebben. Wordt nl. de snelheid P A ontbonden in 1' B en P C, evenwijdig aan O X en O Y, dan zijn deze componenten gelijk aan de projectiën van PA op de assen, dus volgens de vorige § aan de snelheden van Pj en P8. Elke beweging van een punt in de ruimte kan worden beschreven door aan te geven hoe zich zijne projectiën op drie onderling loodrechte assen verplaatsen. De snelheid van het punt. wordt ook hier op elk oogenblik gevonden door de snelheden der projectiën met elkander samen te stellen. § ii9. Snelheid en versnelling bij een enkelvoudige trilling. Wij kunnen nu de snelheid bij een enkelvoudige trilling bepalen door te bedenken dat deze volgens definitie de projectie van een gelijkmatige beweging in een cirkel is. Het punt P, dat in Fig. 47 (p. 69) den cirkelomtrek doorloopt, heeft de •) ^ ^ standvastige snelheid -■ , (p. 73); deze snelheid heeft ook het punt Q op het oogenblik waarop het door den middenstand ü gaat. Daarentegen is in A of B de snelheid van het punt een oogenblik O. Wil men de snelheid in een willekeurig punt P vinden, dan 2 TT Cl moet men ~rj, vermenigvuldigen met den cosinus van den hoek dien de bewegingsrichting met O A maakt. Deze hoek is .! ir grooter dan de hoek tusschen O A en OP; de gezochte snelheid is dus, wanneer wij de beweging door de formule (2) voorstellen 2 7r o / t \ 2 Tra t v = —cos f 2 ?r T , \irj = sin 2 TT T. (11) Men zal zich er gemakkelijk van overtuigen dat deze formule de wisselingen in de richting der snelheid behoorlijk weergeeft. Uit (11) kan nu verder de versnelling q worden afgeleid. Wij zullen de berekening niet mededeelen en ons tot de uitkomst 4 TT2 a t q= ip-- cos 2 jt (12) bepalen. Vergelijkt men deze met de vergelijking (2) (p. 73), dan ziet men dat de versnelling gevonden wordt door den afstand waarop het punt van O verwijderd is, met een standvastigen factor te vermenigvuldigen; men heeft nl. 4 irs 1== ijg * (13) Het negatieve teeken wil zeggen dat de versnelling altijd naar O gericht is, wat ook duidelijk is; men ziet dadelijk uit het straks over de snelheid gezegde dat de beweging van A of C naar O toe versneld en de beweging- van O af vertraagd is. De in (13) uitgedrukte evenredigheid van de versnelling met den afstand * is een belangrijk kenmerk der enkelvoudige trilling. Men kan (11) krijgen door de functie s = a cos 2^^ op de in § 40, c aangegeven wijze te differentieeren; evenzoo vindt men de versnelling (12) door de waarde (11) van de snelheid te differentieeren. § 70. Beweging van een in willekeurige richting opgeworpen lichaam. Als men met standvastige snelheid in horizontale richting voortgaat, kan men een bal naar boven werpen in een richting die men, niet lettende op zijn eigen beweging, voor verticaal houdt; men ziet dan den bal verticaal boven zich opstijgen en weer dalen, zoodat men hem na eenigen tijd in de hand kan opvangen. Op dezelfde wijze kan men in een vaartuig dat met gelijkmatige beweging voortgaat, den bal laten vallen of verticaal omhoog werpen, zonder dat men aan de beweging van het voorwerp bemerkt dat het vaartuig niet stil ligt. Wij kunnen derhalve zeggen: Langs een verticale lijn die met standvastige snelheid in horizontale richting verschoven wordt, kan een lichaam op dezelfde wijze stijgen en dalen als langs een stilstaande lijn. In Fig. 69 zijn de standen der verticale lijn aangegeven voor eenige oogenblikken die met gelijke tusschenpoozen op elkaar volgen; O A is de stand op den tijd waarop het 7 Fig. 09. lichaam de grootste hoogte heeft bereikt. Wij onderstellen dat het dan in O is. De projectie van het lichaam op OA heeft dezelfde beweging als een verticaal opgeworpen en dan weer dalend • lichaam; a, b, c zijn de plaatsen waar zij zich bevindt op de oogenblikken waarop de verticale lijn de verschillende in de figuur aangegeven standen heeft (verg. Fig. 42, p. 67). Op een wijze die geen toelichting behoeft, zijn nu in de figuur de plaatsen in de ruimte bepaald, die het lichaam achtereenvolgens inneemt; de kromme lijn die door al die plaatsen gaat, de werkelijke baan van het lichaam, is een parabool. Een bal die door den proefnemer in het vaartuig schijnbaar verticaal omhoog wordt geworpen, verlaat in werkelijkheid de hand met een snelheid, die men krijgt door de snelheid die de proefnemer er in verticale richting aan gaf, samen te stellen met de horizontale snelheid van het vaartuig. Na de hand verlaten te hebben, is de bal geheel vrij; dezelfde beweging die hij nu krijgt, moet hij dus ook hebben, wanneer hij op andere wijze een snelheid in schuine richting heeft gekregen, wanneer b.v. een stilstaande proefnemer hem in die richting heeft opgeworpen. Elk in willekeurige richting voortgeicorpen lichaam beschrijft dus een parabool. Be beiceging der horizontale projectie is gelijkmatig en die der verticale projectie komt overeen met de beweging van een lichaam dat in verticale richting wordt opgeworpen. Laat (Fig. 70) van uit het punt O een lichaam met de beginsnelheid O a = v0 worden opgeworpen, in een richting die met een horizontaal vlak een hoek x vormt. Ontbindt men vn in een horizontale com- uien vn ponent Oj> = v0 cos x en een verticale O q — v0 sia x, dan is de eerste de snelheid van de gelijkmatige beweging die het lichaam in horizontale richting heeft, terwijl de beweging in verticale richting dezelfde is als die van een voorwerp dat met de beginsnelheid O q verticaal opstijgt. Hieruit kunnen alle bijzonderheden van de beweging langs de parabool O A B worden afgeleid. Een met de snelheid v0 sin x opstijgend lichaam bereikt (§ 64) een hoogte i»0s sin2 x 29 '' zoo lang is dus de loodlijn A C, uit het hoogste punt der parabool op de horizontale lijn O B neergelaten. De duur van het opstijgen is (§ 64) v0 sin x ff en de in dien tijd in horizontale richting afgelegde weg „ ~ t>n sin x t'n® sin x cos x O C = . vn cos x = — ff ff Het dalen langs A B duurt even lang als het stijgen langs O A; daaruit volgt O B = 2 O C = "o8sm2l ff Gevolgen van deze formule. Wordt een lichaam telkens mei dezelfde snelheid opgeworpen, eerst in een richting die een hoek x met 015 vormt, en vervolgens in een richting die een hoek (J0° — x met die lijn maakt, dan wordt in beide gevallen een zelfde afstand O 15 bereikt. Die afstand is het grootst wanneer x = 45° is. § 71. Verandering der snelheid bij de parabolische beweging. De snelheid van het lichaam dat de parabool doorloopt kan op elk oogenblik ontbonden worden in een horizontale en een verticale component. Terwijl de eerste onveranderd blijft, wordt bij de laatste gedurende elke seconde een snelheid g, verticaal naar beneden, gevoegd. Om de veranderingen der snelheid goed te overzien kan men in een hulpfiguur (Fig. 71), altijd uit hetzelfde punt, de vectoren trekken, die de snelheid van het lichaam op verschillende oogenblikken voorstellen. Is dan op zeker oogenblik P Q de snelheid, met de componenten PR en PS, dan zullen, als wij RU = j maken, PU en P S de snelheidscomponenten na veri lOOD eener KAmnriA vnr»rcfollnr>. Awp ocuci öo^uiiuc vuuistüijtjii; ae werkelijke snelheid is dan P V en men kan die ook uit P Q krijgen door deze laatste snelheid rechtstreeks met P W = g, verticaal naar beneden, samen te stellen. Men kan een dergelijke figuur construeeren voor het geval dat eerst de v V snelheid schuin naar boven gericht is. Men ziet aldus dat, zoowel gedurende het opstijgen als gedurende het dalen in de parabool, het lichaam in elke seconde een naar beneden gerichte snelheid g krijgt, die met de reeds bestaande snelheid wordt samengesteld. In t seconden krijgt het lichaam een snelheid g t bij die, welke het reeds had, zoodat men, als men de snelheid op één oogenblik kent, door een parallelogram te construeeren, onmiddellijk de snelheid kan vinden, die een willekeurigen tijd later bestaat. Daarbij kan t ook een breuk zijn; gedurende elk tijdsdeel, hoe klein ook, krijgt het lichaam een aan dit tijdsdeel evenredige snelheid naar beneden. § 72. Versnelling bij een kromlijnige beweging. Beschouwen wij nu een lichaam dat zich op deze of gene wijze langs een kromme lijn L L (Fig. 72) beweegt. Op zeker oogenblik is het in P en heeft het de snelheid P A in de richting der raaklijn; na een tijdselement t is het in Q gekomen, en^ heeft het de snelheid QB, die in het algemeen in grootte van PA verschilt. Was grootte noch richting veranderd, dan zou de snelheid aan het einde van het tijdselement door Q C, evenwijdig en gelijk aan P A, kunnen worden voorgesteld. Construeert men nu een parallelogram waarvan QB de diagonaal en Q C de eene zijde is, dan geeft de andere zijde Q D de snelheid aan, die het lichaam in den tijd r bij de reeds bestaande gekregen heeft* Wij deelen deze snelheid door de lengte t van het tijdselement; daardoor vinden wij de snelheid die het lichaam per tijdseenheid heeft gekregen, en die wij de gemiddelde versnelling gedurende den tijd r kunnen noemen. Wij kennen daaraan de richting van QD toe. Fig. 72. Onder de versnelling in het punt P verstaat men de limiet waartoe die gemiddelde versnelling nadert, wanneer men het tijdsverloop r tot 0 laat naderen. De richting der versnelling is die tot welke de richting van Q D nadert, en de grootte q QD der versnelling is de limiet der verhouding -—. Men kan de T versnelling door een vector P H van de geschikte richting en waarvan de lengte de waarde q aangeeft, voorstellen. Wanneer men zegt dat een versnelling q in de richting P H bestaat, wil dat zeggen dat het lichaam in een oneindig kleinen tijd r bij de snelheid die het reeds had, een snelheid q t in de richting P H krijgt. Het in de vorige § gezegde kan men nu uitdrukken door te zeggen dat het lichaam bij de parabolische beweging een versnelling g verticaal naar beneden heeft. Het verdient opmerking dat het bij de bovenstaande beschouwing niet noodig is, dat de baan in een plat vlak ligt. Ook voor een willekeurige beweging in de ruimte kan men de versnelling definieeren zooals wij het hier deden. Dat overigens deze bepaling ten gevolge heeft, dat bij een kromlijnige beweging het woord „versnelling" in een oneigenlijken zin gebruikt wordt, zal duidelijk zijn. Bij dat woord moet men nu niet meer altijd aan een toenemen van de grootte der snelheid denken. § 73. Componenten der versnelling. Onderstellen wij dat de lijn L L waarvan in de vorige § sprake was, in een plat vlak ligt. ^ ij kunnen dan twee onderling loodrechte coördinaatassen O X en O \ aannemen, en zoowel het beschouwde stoffelijke punt als de vectoren die de verschillende snelheden voorstellen, daarop projecteeren. Wij weten reeds dat op elk oogenblik de projectie der snelheid op O X overeenstemt met de snelheid waarmede zich de projectie van het punt op die as beweegt. Deze laatste snelheid is dus op de beschouwde oogenblikken pa en qb\ daar men voor pa ook qc mag stellen, wordt de aangroeiing der snelheid door c h, en dus ook door q d, de projectie van Q D, voorgesteld. Daaruit vindt men gemakkelijk dat de gemiddelde versnelling der projectie in den tijd t, die de richting van q d en de grootte — heeft, de projectie der gemiddelde versnelling van het langs de kromme lijn gaande punt is. Dezelfde betrekking moet dus ook tusschen de limieten dezer gemiddelde versnellingen, d. w. z. tusschen de versnellingen op een bepaald oogenblik, bestaan. Wordt deze versnelling voor het eene punt door P H aangegeven, dan wordt zij voor het andere door p h voorgesteld. Hieruit volgt nu eindelijk dat wanneer men den vector T H in de componenten P K en P N, evenwijdig aan de coördinaatassen ontbindt, deze de versnellingen der projectiën van het beschouwde punt voorstellen. In overeenstemming met de spreekwijze dat het lichaam de bewegingen in de richtingen van O X en O Y teg'elijk uitvoert, zeggen wij ook dat het de versnellingen P K en P N tegelijk heeft. In het algemeen, wanneer men zegt dat een lichaam twee of meer versnellingen tegelijk heeft, bedoelt men daarmede dat men door deze versnellingen naar den voor vectoren geldenden regel met elkaar samen te stellen, de werkelijke versnelling krijgt. liet zal gern moeite kosten, het bovenstaande uit te breiden tot de beweging langs een willekeurige lijn in de ruimte; men kan dan op drie onderling loodrechte coürdinaatassen projecteeren. & 74. Beweging van een lichaam dat aan uitwendige invloeden onttrokken is. Tot nog toe werd alleen over de waarneming en beschrijving van bewegingen gesproken. De natuurkundigen wenschen echter ook de oorzaken van de plaatsverandering der lichamen op te sporen, of althans na te gaan hoe deze van verschillende omstandigheden afhangt. Wie een papiersnippertje ziet opstijgen naar een daarboven geplaatste, met een zijden lap gewreven en daardoor geëlectriseerde glazen staaf, zal in de aanwezigheid dezer laatste de oorzaak zien van de beweging van het voorwerpje; hij zal zeggen dat dit door de staaf wordt aangetrokken. Wel is dit niet meer dan een spreekwijze, maar zij heeft 't voordeel, de aandacht te vestigen op het feit dat het papier niet opstijgt als de staaf er niet boven wordt gehouden. Eveneens, zoodra ons gebleken is, dat overal de lichamen vallen in de richting naar het middelpunt der aarde, kunnen wij niet nalaten, de aanwezigheid der aarde als de oorzaak van die beweging aan te merken. In alle gevallen waarin een voorwerp uit den toestand van rust in dien van beweging overgaat, gelukt het, een ander lichaam te vinden, waarvan de tegenwoordigheid of de toestand als de oorzaak der beweging kan worden beschouwd. Is een voorwerp aan alle uitwendige invloeden onttrokken, dan zal het, als liet eenmaal in rust is, voortdurend in dien toestand blijven. Om in te zien wat er gebeurt wanneer zulk een aan zich zelf overgelaten lichaam eenmaal een snelheid heeft, beschouwen wij een bal die op een horizontalen vloer ligt. Klaarblijkelijk werken daarop geen invloeden die een beweging kunnen te voorschijn roepen. Wij drijven nu den bal door een slag met een hamer voort, en letten op hetgeen er gebeurt na dien slag, dus nadat de oorspronkelijke bewegings- oorzaak heeft opgehouden te werken. De bal beschrijft een rechte lijn en komt tot rust na een afstand doorloopen te hebben, die van de geaardheid van het oppervlak van den vloer en den bal afhangt^ naarmate wij beide gladder maken duurt de beweging langer. Zoo komt men tot de voorstelling dat de oneffenheden der oppervlakken de oorzaak zijn van de vertraging der beweging en dat, als wij die oneffenheden geheel konden verwijderen, de bal altijd door met dezelfde snelheid zou voortgaan. Uit deze en dergelijke verschijnselen heeft men de volgende stelling afgeleid: Heeft een lichaam waarop geen invloeden van buiten werken, eenmaal een snelheid, dan houdt het die voortdurend met dezelfde richting en grootte; het heeft een gelijkmatige rechtlijnige beweging. Van de waarheid dezer wet is men overtuigd, niet omdat men feitelijk een lichaam dat in beweging verkeert, vrij kan maken van eiken uitwendigen invloed, maar omdat men, naarmate men daarin beter slaagt, de beweging meer en meer tot een gelijkmatige ziet naderen, en omdat nog nooit een afwijking van de gelijkmatige beweging is waargenomen, of er was ook een oorzaak daarvoor aan te wijzen. De wet zegt uitdrukkelijk dat het lichaam in een rechte lijn zal voortgaan. Ook voor elke richtingsverandering kan men een oorzaak vinden. Niemand zal er aan twijfelen dat het een van de aarde uitgaande invloed is, waardoor de maan in een cirkel om de aarde loopt. § 75. Krachten. Zwaartekracht. Om natuurkundige verschijnselen beknopt en duidelijk te beschrijven is het noodig dat men een naam heeft ter aanduiding van de in de vorige § besproken uitwendige invloeden. Men is daarom overeengekomen, om, zoodra men ziet dat een lichaam zich in beweging stelt, of dat een reeds bestaande beweging in snelheid of richting wordt gewijzigd, te zeggen dat op het lichaam een kracht werkt, die dan als de oorzaak der beweging of der bewegingsverandering beschouwd wordt. Aan elke kracht kent men een bepaalde richting en een bepaalde grootte toe. Om dit nader toe te lichten, denken wij nog eens weer aan een lichaam dat langs een verticale lijn valt of stijgt, of wel de in § 70 beschouwde parabool beschrijft. Wij weten reeds dat in al deze gevallen een versnelling g, verticaal naar beneden bestaat, en kunnen daar nu nog bijvoegen dat, zoolang wij ons tot een niet al te groote ruimte, een vertrek b.v., beperken, de bewegingen in alle deelen van die ruimte op dezelfde wijze kunnen plaats hebben. Dit alles brengt ons tot de voorstelling dat het lichaam, waar het zich ook bevindt, en onverschillig of het in rust is of reeds een snelheid in deze of gene richting heeft, aan een onveranderlijke verticaal naar beneden gerichte kracht onderworpen is, en dat de uiticerking daarvan juist in de versnelling bestaat. Die kracht noemt men de zwaartekracht en wij kunnen dus zeggen: Be voortdurend in dezelfde richting en met dezelfde grootte werkende zwaartekracht geeft, terwijl een lichaam zich beweegt, daaraan, bij de reeds bestaande snelheid, in achtereenvolgende gelijke tijdsdeelen gelijke snelheden, verticaal naar beneden, en icel is die snelheid per seconde g. Van een dergelijke spreekwijze bedient men zich ook in andere gevallen. Telkens wanneer een lichaam een beweging heeft, die niet zoowel gelijkmatig als rechtlijnig is, spreekt men van een kracht die in de richting van de versnelling werkt, m. a. w. in de richting van de snelheid die het lichaam in een klein tijdsdeel bij de reeds bestaande krijgt, of, omgekeerd, de uiticerking eener kracht bestaat altijd hierin dat aan het lichaam gedurende elk klein tijdsdeel een snelheid wordt medegedeeld, in de richting der kracht, welke snelheid met de reeds bestaande volgens den regel van § 65 moet worden samengesteld. Werkt de kracht juist in de richting der beweging, dan is deze versneld; vertraagd is zij daarentegen, zoodra de kracht tegengesteld aan de beweging gericht is. Wijkt de richting der kracht van de reeds bestaande snelheid af, dan is de baan gekromd. In het geval van Fig. 72 (§ 72) b.v. moet een kracht in de richting van P H werken als de onderstelde beweging werkelijk bestaan zal. liet nu besprokene zal nog in verschillende opzichten worden aangevuld, zoodra wij met eenige soorten van krachten kennis hebben gemaakt. Voor 'toogenblik merken wij nog 't volgende op: a. Evenals menige andere term wordt het woord „kracht" niet altijd in dezelfde beteekenis gebruikt. Ook een natuurkundige spreekt somtijds van „natuurkrachten" in een vrij vagen zin. Intusschen, zoodra eenige begripsverwarring zou kunnen ontstaan, geve men aan het woord „kracht'' geen andere beteekenis dan icij er boven aan hebben toegekend. In dit leerboek zal het woord slechts een enkele maal in een zin gebruikt worden, die met het nu vastgestelde niet overeenkomtJ). Ib. Er kan met niet te veel nadruk op gewezen worden, dat op een lichaam dat zich met standvastige snelheid langs een rechte lijn beweegt, alles samengenomen, geen kracht werkt. Iets anders is het dat er, toen het de snelheid kreeg, een kracht op gewerkt heeft. Wij zeiden zooeven: „alles samengenomen" omdat, zooals ons weldra zal blijken, twee of meer krachten op het lichaam kunnen werken, die elkaar opheffen. c. In het voorgaande kwamen alleen gevallen ter sprake, waarin een snelheid langzamerhand ontstaat, of geleidelijk verandert. Alleen in dergelijke gevallen wordt van een kracht in den aangegeven zin gesproken. M. a. w., een kracht heeft, om een snelheid, hoe klein ook, aan een lichaam te geven, altijd een zekeren tijd noodig. In vele gevallen waarin men op 'teerste gezicht zou zeggen dat een snelheid plotseling ontstaat, blijkt het bij nadere beschouwing dat zij niet oogenblikkelijk maar in een zeer korten tijd aan het lichaam wordt medegedeeld. § 76. Verdere voorbeelden van krachten, a. Door de spierkracht van menschen en dieren kan een lichaam in beweging worden gebracht, of een reeds bestaande snelheid vergroot of verkleind worden. Als men een slede in beweging brengt, geeft 1) NI. wanneer in de electriciteitsleer de algemeen aangenomen uitdrukking „electromotorische kracht" wordt gebezigd. men daaraan gedurende eenigen tijd een versnelde beweging. b. Reeds in § 74 werd een electrische aantrekking vernield. Heeft men twee op dezelfde wijze geëlectriseerde stukken glas, waarvan het eene bewegelijk is, dan neemt dit, zoodra het losgelaten wordt, een snelheid aan, die van het andere stuk af is gericht. Er bestaat dan een electrische afstooting. c. Andere voorbeelden van aantrekkingen en afstootingen leveren ons magneten. Men kan een staaf- of naald vormigen magneet (kompasnaald) zoo aan een draad ophangen, of met een hoedje op een stift plaatsen, dat hij om een punt in het midden zijner lengte in een horizontaal vlak kan draaien. Aan zich zelf overgelaten, neemt hij dan een bepaalden stand aan, waarbij het eene uiteinde nagenoeg naar het Noorden wijst. Men noemt dit uiteinde de Noord-, het andere de Zuidpool. De richting van den magneet valt niet samen met den astronomischen of geographischen meridiaan; in Europa wijkt de noordpool westelijk van dezen laatsten af. Men noemt het verticale vlak waarin de naald zich plaatst, den magnetischen meridiaan en den hoek dien dit vlak met den astronomischen meridiaan maakt, de declinatie. In Nederland is de declinatie thans ongeveer 13°,5; zij neemt elk jaar nagenoeg 0°,1 af. Heeft nu een magneet den straks vermelden stand aangenomen, dan stelt hij zich in beweging, zoodra men op eenigen afstand naast een der uiteinden een pool van een anderen magneet plaatst. Men moet dus zeggen dat de eene magneetpool een kracht op de andere uitoefent; de richting daarvan wordt bepaald door den volgenden regel: Twee ongelijknamige polen (een noord- en een zuidpool) trekken elkaar aan, twee gelijknamige (twee noord- of twee zuidpolen) stooten elkaar af. Ook een stuk ijzer dat men nabij een der polen van de kompasnaald houdt, oefent daarop een kracht uit. Het ijzer trekt elke magneetpool aan en icordt ook omgekeerd daardoor aangetrokken. Eindelijk moeten nog de krachten vermeld worden, die — De bovengenoemde proeven met spiraalveeren geven nog aanleiding tot een paar opmerkingen. In de eerste plaats kan men de veer in omgekeerden stand gebruiken, zoodat het uiteinde waaraan men eerst met de hand trok, aan het lichaam wordt bevestigd. Als dan aan de veer zoo sterk wordt getrokken, dat hij evenveel wordt uitgerekt als de eerste maal, is ook de uitwerking op het lichaam waaraan hij is vastgemaakt weer dezelfde. De veer trekt dus aan dit lichaam even sterk als bij de eerste proef, zoodat wij mogen besluiten dat een uitgerekte veer (en hetzelfde geldt van een uitgerekten draad) zich naar weerszijden met dezelfde kracht tracht samen te trekken. Verder bedenken wij dat, wanneer wij een kracht F (Fig. 73) laten werken op het uiteinde B der veer A B, die aan een onbewegelijk lichaam A is vastgemaakt, het gedeelte B der veer aan twee tegengestelde krachten onderworpen is. Naar de linkerzijde ondervindt het nl. de spanning der veer zelf. Is er evenwicht gekomen, d. w. z. is de veer zoo ver uitgerekt als de kracht F het kan doen, dan moeten de twee krachten aan elkander gelijk zijn. Derhalve: de spanning van een veer die door een zekere kracht wordt uitgerekt, is gelijk aan die kracht. Met deze aan de kracht F gelijke spanning werkt nu echter de spiraalveer ook op het lichaam A, m. a. w.: de kracht F wordt in onveranderde grootte overgebracht op het lichaam waaraan de veer is vastgemaakt. Wij kunnen ons van dit laatste nog overtuigen door een proef, waarbij twee veeren AB en BC worden gebezigd, zooals men in Fig. 74 ziet. Wij onderstellen dat daarbij de veer B C gelijk is aan A B in Fig. 73. Oefent men nu in de beide gevallen van Fig. 73 en Fig. 74 gelijke krachten F uit, wat men daaraan kan zien dat de veer A B in het eerste geval even ver is uitgerekt als de veer B C in het tweede, dan is ook de uitwerking op het lichaam A in beide gevallen dezelfde. De in Fig. 74 in- gelaschte veer A B brengt dus de spanning van B C op het lichaam A over. Uit al het gezegde blijkt dat men in een geval als dat van Fig. 74 van vele krachten, alle aan elkaar gelijk, kan spreken. Trekt men het punt C met de hand naar rechts, dan wordt de hand door de veer naar links getrokken. Daarentegen oefent B C op A B een kracht naar rechts uit en ondervindt zelf in B een kracht naar de linkerzijde. En zelfs moeten wij ons voorstellen dat niet alleen de eene veer aan de andere trekt, maar dat dezelfde werking ook bestaat tusschen de twee deelen, waarin men een zelfde veer in gedachten kan verdeelen door een vlak, loodrecht op zijne lengte. Uit dit alles ziet men nu ook hoe noodig het is, altijd duidelijk aan te wijzen op welk lichaam een kracht werkt en door welk lichaam zij wordt uitgeoefend. Natuurlijk kunnen alleen krachten die op hetzelfde lichaam of deel van een lichaam werken elkander opheffen. Opmerkingen als de bovenstaande kunnen ook in andere gevallen gemaakt worden. Is een lichaam op een verticale kolom geplaatst, die op een horizontaal vlak staat, dan wordt de kolom samengedrukt, en oefent door zijn veerkracht naar weerszijden een kracht uit; naar boven een kracht, die op het lichaam werkende met het gewicht daarvan evenwicht maakt, naar beneden een kracht, die het ondersteuningsvlak op dezelfde wijze neerdrukt alsof het lichaam rechtstreeks daarop geplaatst was. De kolom brengt weer de kracht die op zijn boveneinde werkt op het steunvlak over. § 80. Gelijkheid van werking en terugwerking. Het in de vorige § besproken lichaam oefent een benedenwaartschen druk uit op de kolom waarop het geplaatst is, en wordt zelf door die kolom met een even groote kracht naar boven gedrukt. Twee dergelijke gelijke en tegengestelde krachten bestaan tusschen de kolom en het steunvlak daar beneden. In het algemeen oefent een lichaam nooit een kracht op een ander uit, of het ondervindt daarvan een kracht in tegengestelde richting. Men onderscheidt deze krachten als de de stof meer weegt dan een gelijk volume van een bepaalde stof, waarmede alle andere vergeleken worden. Voor deze laatste stof wordt meestal water van 4°C. gekozen en men kan dus zeggen: het soortelijk gewicht eener stof geeft, in grammen uitgedrukt, het gewicht aan van 1 c.M3 van die stof. § 84. Verband tusschen (le grootte van krachten en de snelheid die zij aan een lichaam geven. Men kan op verschillende wijzen de grootte eener kracht beoordeelen terioijl zij een lichaam in beweging brengt. Wij kunnen b.v. een lichaam over een horizontaal vlak voorttrekken doortusschenkomst van een spiraal veer; de uitrekking daarvan is dan op elk oogenblik een maat voor de kracht die op 't lichaam werkt, of wij kunnen bij geëlectriseerde voorwerpen eerst, terwijl zij in rust worden gehouden, de krachten meten, dié zij op verschillende afstanden op elkaar uitoefenen en dan, terwijl zij zich bewegen, uit hun afstand tot de grootte der kracht besluiten. Men heeft nl. allen grond om zich voor te stellen dat, onafhankelijk van de beweging die wij hun kunnen geven, de werking tusschen twee gegeven geëlectriseerde lichamen alleen van hun betrekkelijken stand afhangt. T>oor nu op een zelfde lichaam nu eens deze dan eens die kracht te laten werken, en telkens zoowel de grootte der kracht als de snelheidsverandering van het lichaam te bepalen, heeft men de volgende wet leeren kennen. I. Werken achtereenvolgens verschillende krachten op een ' lichaam, maar elke kracht gedurende eenigen tijd in dezelfde richting en met dezelfde grootte, dan zijn de snelheden die zij in de tijdseenheid aan het lichaam geven, d. w. z. de versnellingen, evenredig met de krachten. Overeenkomstig deze wet moeten de verschillende waarden die de versnelling g van een vallend lichaam op het aardoppervlak heeft (§ 63), hieraan worden toegeschreven, dat een lichaam op de eene plaats sterker, op de andere zwakker dooide aarde wordt aangetrokken. Het gewicht van hetzelfde lichaam zou dan ook ongetwijfeld aan dezelfde spiraalveer nabij de polen eenT iets grootere uitrekking geven dan nabij den aequator. Nu wij de bovenstaande wet hebben leeren kennen is het duidelijk dat de beide in § 82 genoemde opvattingen niet met elkaar in strijd zijn. § 85. Invloed van de hoeveelheid stof die in beweging gebracht moet worden. Een tweede niet minder belangrijke wet is de volgende: II. Wanneer een zelfde kracht, steeds zonder in richting of grootte te veranderen, achtereenvolgens op verschillende lichamen werkt, is de snelheid die deze in de tijdseenheid krijgen omgekeerd evenredig met de hoeveelheid stof die zij bevatten. Bestaan de lichamen die men met elkaar vergelijkt, uit dezelfde zelfstandigheid, b.v. beide uit koper, dan is de hoeveelheid stof die zij bevatten klaarblijkelijk evenredig met het volume, en, daar elke c.M3 even veel weegt, ook met het gewicht. Voor zulke lichamen kan de tweede wet uit de eerste worden afgeleid, als men nog de omstandigheid in aanmerking neemt, dat alle lichamen even snel vallen. Nemen wij b.v. aan dat het eene stuk koper tweemaal zoo groot is als het andere: laat K en 2 K de gewichten voorstellen. Door deze krachten krijgen dan beide stukken, als wij ze laten vallen, in de seconde de snelheid g. Laat thans echter op het groote stuk een kracht werken, die = K, dus slechts gelijk aan de helft van het gewicht is, laat b.v. dat stuk over een glad horizontaal vlak met de kracht K worden voortgetrokken. Dan zal volgens de eerste wet in de tijdseenheid een snelheid ! g worden verkregen. Een kracht K derhalve, die aan het kleine stuk de snelheid g meedeelt, geeft aan het groote slechts de snelheid ! g. Werken op beide stukken krachten = F, dan is de snelheid die het kleine in de seconde verkrijgt volgens de eerste wet F K 9' en die, welke het groote stuk ontvangt, F „ 2 K waarden, die weer aan de tweede wet voldoen. Heeft men met lichamen te doen, die uit verschillende zelfstandigheden bestaan, dan moet, zal de wet eenigen zin hebben, eerst worden vastgesteld, naar welken maatstaf men de hoeveelheden stof die zij bevatten met elkaar wil vergelijken. Wij zullen nu overeenkomen te zeggen dat b.v. een stuk koper en een stuk ijzer dezelfde hoeveelheid stof bevatten, als zij op dezelfde plaats der aarde evenveel xcegen. Een stuk koper met het gewicht K en een stuk ijzer met het gewicht 2 K bevatten volgens deze opvatting hoeveelheden stof die tot elkander staan als 1 tot 2, en op deze lichamen kannen nu weer de bovenstaande redeneeringen worden toegepast, zoodat ook in dit geval de wet doorgaat. De hoeveelheid stof van een lichaam wordt de massa genoemd. Zooals wij zagen, zijn de massa's van verschillende voorwerpen evenredig met hunne gewichten op dezelfde plaats der aarde; de balans is dan ook het werktuig dat ons dient om massa's met elkaar te vergelijken. Toch moet men de begrippen gewicht en massa scherp van elkander onderscheiden. Het gewicht van een lichaam is de kracht waarmede het door de aarde wordt aangetrokken; het is grooter of kleiner, naarmate wij onze waarnemingen dichter bij de polen der aarde of dichter bij den aequator doen. De massa daarentegen verandert niet als men het lichaam over het aardoppervlak verplaatst en men kan de massa's van twee lichamen vergelijken door proeven waarbij de zwaartekracht in het geheel niet in het spel is, b.v. door die lichamen met een spiraalveer over een horizontaal vlak voort te trekken en de, telkens bij een bepaalde uitrekking der veer bestaande versnelling te meten. § 86. A oorbeelden van den invloed der massa op de bewegingsverschijnselen. Naarmate de massa van een lichaam grooter is, zal een zelfde kracht langeren tijd noodig hebben om een bepaalde snelheid teweeg te brengen. En evenzoo zal de tijd gedurende welken een kracht moet werken om een reeds bestaande snelheid te vernietigen, bij een lichaam van groote massa langer zijn dan bij een klein lichaam. De aan de beweging tegengestelde snelheden die de lichamen in dit geval in achtereenvolgende tijdsdeelen ontvangen, ra. a. w. de snelheidsverminderingen, zijn weer omgekeerd evenredig met de massa. Wanneer de magneet van § 76 door een draaiende beweging in een horizontaal vlak uit zijn evenwichtsstand wordt verplaatst, en dan wordt los gelaten, neemt hij een versnelde beweging naar den evenwichtsstand aan. Hij overschrijdt dezen stand, en heeft, zoodra dit gebeurd is, daar hij steeds aan krachten onderworpen is, die hem in den magnetischen meridiaan trachten te plaatsen, een vertraagde beweging. Na eenigen tijd is de snelheid uitgeput; de magneet keert naar den evenwichtsstand terug, en gaat daar op nieuw door heen; kortom, hij schommelt over een zekeren hoek heen en weer. Daarbij wordt aan den overgang uit een der uiterste standen naar den evenwichtsstand even veel tijd besteed als aan de beweging van den evenwichtsstand tot een der uiterste standen. Verder blijkt het dat, zoolang de hoeken van afwijking niet te groot zijn, groote en kleine schommelingen in denzelfden tijd worden volbracht. Wij komen hierop later terug, maar wijzen er nu in het bijzonder op dat de schommelingen langzamer worden, wanneer men den magneet met een paar gelijke stukken koper, even ver aan weerszijden van het midden, belast. Daar een draaibare staaf koper zich niet in den magnetischen meridiaan stelt, moet men aannemen dat bij deze proef geen krachten die van invloed op de beweging zijn, op de stukken koper werken. De vergrooting van den schommeltijd kan alleen door de vermeerdering van de massa der staaf teweeggebracht zijn. Dat werkelijk deze vermeerdering zulk een uitwerking moet hebben, ziet men gemakkelijk in als men zich voorstelt dat twee gelijke magneten, waarvan de eerste niet, en de tweede wel met stukken koper bezwaard is, zoo gedraaid worden, dat zij even groote hoeken met den evenwichtsstand maken, en dat zij dan tegelijk worden losgelaten. Daar de werkende krachten bij beide dezelfde zijn, moet dan de tweede magneet, wegens de grootere massa, in denzelfden tijd de kleinste snelheid verkrijgen; hij zal dus later dan de eerste magneet den evenwichtsstand bereiken. Dergelijke verschijnselen als in dit geval kunnen bij geluidgevende lichamen, b.v. bij een trillende stemvork, worden waargenomen. De beenen zijn hier nu eens meer naar binnen gebogen dan in den evenwichtsstand, dan weer verder van elkaar verwijderd. De „veerkracht" van het staal drijft steeds de deeltjes naar den evenwichtsstand, en heeft bij elke nadering tot dien stand een versnelling en bij elke verwijdering daarvan een vertraging tengevolge. Door de beenen deistemvork te belasten met stukken koper, caoutchoucringen of iets dergelijks, dat, zonder aan de veerkracht iets te veranderen, de massa vergroot, maakt men de trillingen langzamer, zooals b.v. blijkt wanneer men deze op een wentelenden cilinder opteekent (§ 57). § 87. Eenheden van kracht en massa. In de meetkunde is men gewoon de eenheden van lengte en van volume niet beide willekeurig te kiezen, maar, nadat men de eerste heeft vastgesteld, voor de tweede den inhoud van een cubus met de lengte-eenheid tot ribbe te nemen. Daardoor worden de regels voor de inhoudsberekening eenvoudiger dan anders het geval zou zijn. Had men als lengte-eenheid den meter, en als volume-eenheid den kubieken voet genomen, dan zou men het getal dat den inhoud van een rechthoekig parallelepipedum voorstelt, niet krijgen door de getallen die de lengte, breedte en hoogte aangeven, met elkaar te vermenigvuldigen. Op dergelijke wijze kan men de berekening van de uitwerking die een gegeven kracht op een gegeven massa heeft, vereenvoudigen, wanneer men zorgt dat tusschen de eenheid van kracht en die van massa een bepaald verband bestaat. Men kiest deze eenheden zoo dat de eenheid van kracht aan de eenheid van massa een versnelling 1 geeft, d. w. z. dat zij, als zij een tijdseenheid lang op de eenheid van massa werkt, een snelheid = 1 veroorzaakt. Werkt dan een kracht K op de massa 1, dan is de ver- snelling volgens de eerste wet (§ 84) K. En volgens de tweede wet (§ 85) wordt de versnelling K /I A \ q= —, (14) m als de kracht op de massa m werkt. In woorden uitgedrukt : het getal dat de versnelling voorstelt, is gelijk aan het quotiënt van de getallen die de kracht en de massa aangeven. Of, met een bekorting die wij in dergelijke gevallen dikwijls zullen bezigen: om de versnelling te krijgen, moet men de kracht door de massa deelen. De formule (14) kan ook geschreven worden in den vorm K = qm. Past men nu deze betrekking toe op een vallend lichaam, dan wordt K het gewicht van het lichaam, dat wij P zullen noemen, terwijl q de vroeger besproken versnelling g wordt. Tusschen de getalwaarden van het gewicht en de massa hebben wij dus de betrekking P = gm (15) Wanneer tusschen de eenheden van kracht en massa het boven aangegeven verband bestaat, zullen wij zeggen dat die eenheden „bij elkaar passen". Dit is nog op verschillende wijzen mogelijk, b.v. aldus: a. Tijdseenheid de seconde, lengte-eenheid de meter, eenheid van kracht het gewicht van een kilogram. De eenheid van massa is nu niet de hoeveelheid stof in een kilogram, want als men dit laat vallen, ziet men dat de eenheid van kracht er niet een versnelling 1, maar een versnelling g (9,81) aan geeft. Als een kracht, gelijk aan het gewicht van een kilogram, werkte op een massa, g maal zoo groot als die van een kilogram , zou een versnelling == 1 ontstaan; de laatstgenoemde hoeveelheid stof moet dus als massa-eenheid worden gebezigd. Dit blijkt ook uit de formule (15), daar P — g moet zijn, als m = 1 zal worden. b. Eenheden van tijd en lengte als boven, massa eenheid | de massa van een kilogram. Door een eenvoudige redeneering Immers, zij houdt geen rekening met de bijzonderheden van den in de middenstof opgewekten bewegingstoestand. Het is niet waar, dat alleen de stof die in het volume S r aanwezig is, in beweging wordt gebracht; ook niet dat de in beweging gebrachte vloeistof- of gasdeelen juist de snelheid v krijgen. Intusschcn is het gebleken dat de uitkomsten der waarnemingen vrij wel kunnen worden weergegeven door de empirische formule ir - k S p ?>2, (17) waarin k een factor is, die experimenteel bepaald moet worden. Deze factor is van de grootte en gedaante van het platte vlak afhankelijk. Wegens de gelijkheid van werking en terugwerking is de kracht ic ook de weerstand dien het platte vlak van de middenstof ondervindt. iïij platte vlakken, kleiner dan 1 d.M2, is k ongeveer 0,6. Ook voor een lichaam van willekeurige gedaante kan de formule worden toegepast; men moet dan onder S de grootte verstaan der projectie van het lichaam op een vlak loodrecht op de bewegingsrichting, en onder k een coëfficiënt die van de gedaante van het lichaam afhangt Er is b.v. minder kracht noodig om een bol met zekere snelheid door een gas of een vloeistof heen te drijven dan om ditzelfde met een cirkelvormige schijf te doen, die denzelfden straal heeft als de bol en loodrecht op de bewegingsrichting wordt gehouden. Voor een lichaam dat aan de voorzijde van een spitse kant of een scherpe punt is voorzien, wordt de coëfficiënt k veel kleiner dan voor een plat vlak. Daarentegen wordt hij grooter dan voor een plat vlak bij een lichaam dat den vorm van een bolvormig segment of schotel heeft en met de holle zijde vooruitgaat. Proeven hebben b.v. geleerd dat voor een valscherm dat de gedaante van een parapluie heeft, de coëfficiënt bijna i maal zoo groot is als voor een plat vlak; wordt het valscherm omgekeerd, dan wordt de coëfficiënt ongeveer het J van wat hij voor een plat vlak is. Jiij een kanonskogel die zich met een snelheid van honderden meters in de seconde beweegt, bleek k ongeveer 0,4 te zijn. Daar de krachten tussehen een lichaam en dc omringende middenstof alleen van de relatieve snelheid kunnen afhangen, stelt de formule (17) ook de kracht voor, die een stilstaand lichaam ondervindt van een lucht- of vloeistofstroom met de snelheid v. Met behulp van zulk een formule kan men b.v. de uitwerking van den wind op de wieken van een molen of die van een waterstroom op de schoepen van een waterrad berekenen. § 97. Andere voorbeelden van een beweging die door een weerstand gelijkmatig wordt. Bij een wagen die over een horizontalen weg wordt voortgetrokken en bij een vaartuig dat met een lijn wordt bewogen, kunnen wij dergelijke opmerkingen maken als bij den val in de lucht. De weg, het water en de lucht oefenen een weerstand uit, die met de snelheid toeneemt en, zoodra hij gelijk is geworden aan de voorttrekkende kracht, de beweging gelijkmatig doet worden. Terwijl gedurende den eersten tijd na het begin der beweging de voorttrekkende kracht moet dienen om de beweging te versnellen, dient zij, als eenmaal de eindsnelheid bereikt is, alleen om den weerstand te overwinnen. Wij kunnen de beweging vertragen door de beweegkracht te verkleinen of te doen ophouden, of wel door den weerstand te vergrooten. Dat er bij een zwaar beladen wagen een grootere kracht noodig is om hem met een bepaalde snelheid over een horizontaal vlak voort te bewegen dan bij een lichteren wagen, is een gevolg hiervan, dat de weerstand welken de weg biedt des te grooter is, naarmate de wagen door de zwaartekracht sterker op den grond wordt gedrukt. § 98. Voortslaaii ot' voortoverden van een lichaam. Welke snelheid, een kracht teweeg brengt, hangt ook af van den tijd gedurende welken zij werkt. Men kan dan ook niet zeggen dat, om aan een lichaam een zekere snelheid te geven, een kracht van bepaalde grootte noodig is. Hoe groot de kracht moet zijn, hangt af van den tijd waarin men wil dat zij de verlangde snelheid teweeg brengt. Stel b.v. dat wij aan een bal met een massa van 500 gram een snelheid van 200 c.M. per seconde willen geven. Wij kunnen hem daartoe gedurende = 0,204 seconde laten ïlol vallen; daarbij werkt er een kracht van 500 X 981 dynes op. Maar wij kunnen er ook een tweemaal zoo groote kracht gedurende 0,102 sec. of een tweehonderd maal zoo groote gedurende 0,00102 sec. op laten werken. Als wij den bal de snelheid van 200 c.M. geven door hem met een hamer voort te slaan, kunnen wij uit de snelheid noch de grootte van de kracht afleiden, noch den tijd gedurende welken deze gewerkt heeft. Het eenige wat wij kunnen zeggen, is dat het product van beide een bepaalde waarde heeft. Immers, uit de formule (14) volgt dat, als de kracht K, gedurende den tijd r werkende, aan de massa m de snelheid v geeft, KT = wï (18) is. Bij krachten die gedurende zeer korten tijd werken en dus, zooals men wel zegt, plotseling een snelheid aan een lichaam geven, wordt het produkt Kr de grootte van den stoot genoemd. § 99. Hoeveelheid van beweging. Men kan, als een stoffelijk punt een snelheid v heeft, in de richting daarvan een vector uitzetten, waarvan de grootte het product van v met de massa m voorstelt. Deze vector wordt als de voorstelling der „hoeveelheid van beweging" van het punt beschouwd, en ook zelf de hoeveelheid van beiceging genoemd. Heeft een stoffelijk punt twee snelheden tegelijk, dan kunnen wij ook zeggen dat het de twee hoeveelheden van beweging die daaraan beantwoorden te gelijk heeft, en uit den regel voor het samenstellen van twee snelheden, in verband met de stelling van § 28, volgt dan dat de werkelijke hoeveelheid van beweging gevonden wordt door de twee zooeven genoemde hoeveelheden van beweging naar het voorschrift van § 27 met elkander samen te stellen. In plaats van te zeggen dat een stoffelijk punt door de werking eener kracht in elk tijdsdeel een zekere snelheid krijgt bij die, welke het reeds had, kunnen wij ook zeggen dat het een nieuwe hoeveelheid van beweging krijgt, die met de reeds bestaande moet worden samengesteld. Het nut van de invoering dezer nieuwe grootheid is gelegen in de volgende stelling, die onmiddellijk uit de formule '18) volgt: Een bepaalde kracht, gedurende een bepaalden tijd in standvastige richting teer kende, brengt een bepaalde hoeveelheid van beweging voort, onverschillig hoe groot de massa van het stoffelijke punt is. Stelt men in (18) t = 1, dan wordt K = mv, d. w. z. De hoeveelheid van beiceging die een kracht in de tijdseenheid teweegbrengt, wordt door hetzelfde getal voorgesteld als de kracht. Neemt men daarentegen aan dat r zeer klein is en noemt men het produkt K r den stoot, dan leert ons de formule: Een stoot icordt door hetzelfde getal voorgesteld als de hoeveelheid van beweging die hij voortbrengt. §100. Botsing van twee lichamen. Worden twee lichamen die krachten op elkaar uitoefenen aan hun wederkeerige werking overgelaten, dan volgt uit de wet der gelijkheid van werking en terugwerking, in verband met de stelling van § 85, dat de snelheden die zij gedurende een zeker tijdsverloop bij de reeds bestaande krijgen, tegengesteld gericht zijn, en omgekeerd evenredig met de massa's, of, wat op hetzelfde neerkomt, dat de lichamen gelijke en tegengestelde hoeveelheden van beweging ontvangen. Laat b.v. (Fig. 7(J) twee bollen A en B, die de massa's rriy en mi hebben, met de middelpunten langs dezelfde lijn en in dezelfde richting voortgaan. Zij v1 de snelheid van A, v3 die van B en > vt, zoodat A den bol B inhaalt. Op het oogenblik der eerste aanraking hebben de middelpunten nog deze snelheden en zij zullen dus nog eenigen, zij 't dan ook korten tijd, tot elkaar naderen, wat alleen mogelijk is, als de lichamen nabij de aanrakingsplaats worden ingedrukt. Daardoor ontstaat echter een wederkeerige afstooting, die de snelheid van A verkleint, en die van B vergroot. Na eenigen tijd zullen dientengevolge de licliamen een even groote snelheid x hebben gekregen. Deze willen wij berekenen. De snelheid van A is verminderd met — x en die van B toegenomen met x — v%. Deze veranderingen moeten omgekeerd evenredig zijn met de massa's. Men heeft dus (vy — x): (x — v3) = m2: mx, waaruit volgt mx v, -] rw, v3 mx m3 Men komt tot dezelfde uitkomst, als men bedenkt dat bij de botsing A en B gelijke, maar tegengestelde hoeveelheden van beweging krijgen, en dat dus de som der hoeveelheden van beweging van de beide lichamen niet verandert. Daaruit volgt nl. ml x -f- x = ml Vy -f- mt vv Voor het geval dat de bollen voor de botsing tegengestelde snelheden hebben, gelden dezelfde formules. Alleen moet nu door de teekens -f- en — onderscheiden worden, naar welke zijde de beweging gericht is. Het teeken dat x krijgt, wijst dan tevens de richting van de gemeenschappelijke snelheid aan. Deze is O, wanneer de lichamen voor de botsing tegengestelde snelheden hebben, die omgekeerd evenredig met de massa's zijn. Ook bij sommige andere gedaanten van de botsende lichamen is dit alles waar, b.v. wanneer men te doen heeft met cilinders die zich met de assen langs dezelfde rechte lijn bewegen. Of de snelheden der lichamen, nadat zij gelijk aan elkaar zijn geworden, nog verder veranderen of niet, zullen wij voorloopig in het midden laten. § 101. Kraclit iioodij? voor een enkelvoudige trilling. Wanneer een lichaam tusschen de punten A en B (Fig. 80) een enkelvoudige trilling uitvoert, is de beweging bij elke nadering tot het middelste punt O der baan versneld, bij elke verwijdering van dat punt vertraagd (§ 69). Daaruit volgt dat Fig. 80. op het lichaam steeds een kracht moet A o jj werken, die naar O gericht is, een kracht die men op de in § 89 aangegeven wijze berekenen kan. Zij is, terwijl het punt een der wegen A O of B O doorloopt, niet standvastig, daar wij hier niet met eenparig versnelde of vertraagde bewegingen te doen hebben. Uit de uitkomst die wij in § 69 voor de versnelling vonden, volgt dat op het oogenblik waarop het lichaam zich op den afstand s van O bevindt, de kracht de volgende waarde moet hebben „ 4 ff2 m ., n. K = —2-s ...... (19) Daarin stelt m de massa voor. Gemakkelijk ziet men in waarom de kracht des te grooter moet zijn, naarmate T kleiner is. Wanneer wij eerst het lichaam met den schommeltijd T tusschen A en B willen laten heen- en weergaan, en een ander maal met den schom- meltijd J T, moeten wij er bij de tweede proef gedurende de beweging van A naar O een tweemaal zoo groote snelheid aan geven als bij de eerste proef en daar wij dit in een half zoo langen tijd moeten doen is het geen wonder, dat wij een 4 maal grootere kracht moeten doen werken. Eveneens is het duidelijk dat de uitputting der snelheid, gedurende de beweging van O naar B, bij de tweede proef een 4 maal zoo groote kracht vereischt als bij de eerste. Van bijzonder belang is de volgende in de formule opgesloten stelling: Zal een stoffelijk punt een enkelvoudige trilling uitvoeren, dan moet er een kracht op werken, die evenredig is met den afstand tot het middelste punt der baan. De kracht moet het grootst zijn aan de uiteinden der baan en, terwijl het lichaam tot O nadert, afnemen om bij den doorgang door O een oogenblik 0 te zijn. § 102. Enkelvoudige trilling onder den invloed eener gegeven kracht. Men kan de stelling van zoo even omkeeren en zeggen: Als een lichaam dat zich langs een rechte lijn L L (Fig. 81) kan bewegen, onderworpen is aan een kracht die altijd gericht is naar een vast punt O dezer lijn, 1' lg. o 1 . en evenredig is met den afstand L tot O, zal het lichaam, in een of ~X o b b ander punt van L L losgelaten, of van O met zekere snelheid vertrekkende, een enkelvoudige trilling aan weerszijden van O uitvoeren. Daar geen kracht op het lichaam werkt, wanneer dit zich in O bevindt, is dit punt de evenwichtsstand. Juist omdat, zooals later zal blijken, dikwijls de krachten waaraan een lichaam moet gehoorzamen, een resultante hebben, die naar een vast punt gericht is en evenredig is met den afstand tot dit punt, komen enkelvoudige trillingen zoo veel voor. Een belangrijke bijzonderheid bij de beweging van een aau zoodanige krachten onderworpen stoffelijk punt is deze, dat de trillingstijd dezelfde is, onverschillig of het punt over Fig. 83. gesteld aan C P. Maak dus, verticaal naar boven, C P' = C P en ontbind C P' in C Q en CR langs de koorden; dan stellen deze lijnen de spanningen voor. Men kan dit ook anders inkleeden. Men kan nl. de kracht C P ontbinden in twee andere die volgens het verlengde der koorden werken. Deze componenten zijn het, die de spanningen van AC en BC opwekken. Twee dergelijke inkleedingen zijn bij vele vraagstukken mogelijk, b. Evenwicht op een hellend vlak. Een vlak dat een hoek * met een horizontaal vlak maakt, worde door een verticaal vlak dat er loodrecht op staat, volgens de lijn A B gesneden (Fig. 83). M zij een lichaam, dat op het hellende vlak geplaatst is, en de vector MQ stelle het gewicht P daarvan voor. Men kan dan M Q ontbinden in de kracht M S, evenwijdig aan A B, en de kracht M R, loodrecht daarop. De laatste kracht kan geen beweging doen ontstaan; zij drukt het lichaam alleen tegen het hellende vlak aan en wordt door den tegenstand daarvan opgeheven. De component M S = P sin x is het, die het lichaam langs A B naar beneden drijft. Door een kracht F van dezelfde ^rootte, die in de richting van B A naar boven werkt, kunnen wij het lichaam in evenwicht houden. Is het vlak volkomen glad, dan zal het lichaam onder de werking der kracht F, zoodra deze iets grooter is dan I' sin x, naar boven gaan, en dit zal zelfs gebeuren als F = P sin x is, zoodra het lichaam een beginsnelheid naar boven heeft. In dezen zin kan men zeggen dat een kracht P sin x voldoende is om het lichaam langs het hellende vlak op te trekken. Van de omstandigheid dat deze kracht bij een kleinen hellingshoek veel kleiner wordt dan het gewicht P, wordt menigmaal partij getrokken (scheepstimmerwerf, weg op de helling van een berg). Een lichaam kan op het hellende vlak ook in evenwicht 10 ting der koorde P Q die der raaklijn in P tot limiet heeft, nadert de richting van Q D tot die van den straal P M. Wij kunnen dus zeggen dat bij de beschouwde beweging de snelheid die het lichaam in een tijdselement krijgt bij die, welke het reeds had, naar het middelpunt van den cirkel gericht is. Daardoor is de richting der versnelling bepaald. Om nu de grootte daarvan te berekenen, merken wij op dat, tengevolge van de gelijkvormigheid der bovengenoemde driehoeken, MP:PQ = QC:QD en dus QD-^fXPQ is. Dit is de snelheid die het lichaam in den oneindig kleinen tijd t krijgt. Daaruit volgt voor de grootte der versnelling QC PQ MP A r * Men mag echter voor de oneindig kleine koorde P Q den boog in de plaats stellen en dan is de laatste factor niet anders dan de snelheid v. De versnelling wordt dientengevolge v8 r ' Uit de gevonden uitkomsten besluiten wij dat voor de onderstelde beweging een kracht noodig is, die voortdurend naar het middelpunt van den cirkel gericht is. Deze middelpuntzoekende of centripetale kracht moet de grootte __ «' (22) r hebben. Laat in Fig. 88 een lichaam Q, met de massa m een enkelvoudige trilling langs de lijn A 15 met den trillingstijd T uitvoeren. Als een tweede lichaam 1' met dezelfde massa zich zoo langs den cirkel die A B tot middellijn heeft, zal bewegen dat Q steeds in de projectie van P is, moet 1' de standvastige snelheid 2 t r «- T hebben (O A = r). Op P moet dan een kracht naar het middelpunt PF=lT'Bf .jij T werken. De kracht die vereischt wordt om aan Q de gewenschte beweging Fig. 88. te 8c'ven is de projectie tl G van P F. Daaruit volgt, wanneer u Li = s is, voor die kracht weer de in § 101 opgegeven waarde. § 106. Verschijnselen bij draaiende bewegingen. Heeft het boven beschouwde lichaam een snelheid in de richting van den cirkelomtrek, maar werkt er geen kracht op, dan zal het langs de raaklijn verder gaan. Dit blijkt bij verschillende proeven. a. Een staaf a b (Fig. 89), waarover een doorboorde kogel c kan glijden, kan in een horizontaal vlak om het punt M worden rondgedraaid. Zoodra deze beweging begint, krijgt c een snelheid in de richting van cd, en gaat dan verder, althans nagenoeg, langs die lijn voort. De bol verschuift zich daarbij over de staaf van M af; heeft b.v. deze laatste den stand a b' aangenomen, dan is de kogel in e gekomen. Ook wanneer het lichaam c met een draad aan het punt M der staaf bevestigd is, verwijdert het zich, onmiddellijk na het begin der beweging, iets van M, maar de daardoor uitgerekte draad oefent een spanning op den kogel uit, die hem van de lijn cd doet afwijken. De uitrekking gaat zoo ver tot de spanning van het koord juist gelijk aan de kracht is, die noodig is om den bol in een cirkel te doen rondgaan. Wordt in plaats van het koord een spiraalveer gebezigd, dan kan men door de uitrekking die deze ondergaat de formule (22) op de proef stellen. b. Laat op de staaf a b twee doorboorde lichamen aan weerszijden van M geplaatst worden, die door een draad verbonden zijn. Draait men dan de staaf rond, dan kunnen zich, naar gelang van de massa's der lichamen en van de afstanden tot het middelpunt, verschillende verschijnselen voordoen. Het kan gebeuren dat het koord, wegens zijn uitrekking, op zeker oogenblik een spanning heeft gekregen, voldoende om het eerste lichaam in een cirkel te doen loopen, maar nog niet toereikend om dezelfde uitwerking bij het tweede lichaam te hebben. Dan zal dit laatste zich nog van het middelpunt verwijderen, en daarbij het eerste meesleepen over het middelpunt heen, zoodat ten slotte beide lichamen naar die zijde gaan, waar het tweede geplaatst was. Het kan evenwel ook voorkomen dat als het koord, meer en meer gerekt wordende, een spanning heeft gekregen, die voldoende is om het eene lichaam in een cirkel te doen loopen, die spanning ook juist het andere lichaam op standvastigen afstand van het middelpunt kan houden. Dan zullen beide lichamen op de staaf in rust blijven. c. Men kan een lichaam ook dwingen in een cirkel rond te gaan, wanneer men het aan de binnenzijde van een op een horizontaal vlak aangebrachten cirkelvormigen opstaanden rand plaatst en het dan een tangentiale snelheid geeft. Hoe hierbij de tegenstand van den rand de centripetale kracht is, en hoe die tegenstand wordt opgewekt, zal men gemakkelijk inzien. Wanneer iemand over een horizontaal vlak in een cirkel rondloopt drukt hij met zijne voeten dit vlak naar buiten; Fig. 90. dientengevolge ondervindt hij van het vlak de noodige naar het middelpunt gerichte kracht. d. Aan een verticale kolom A B (Fig. 90), die om zijn eigen as kan wentelen, is de stang A M, die aan het benedeneinde den bol M draagt, draaibaar in A bevestigd, zoodat hij zich in het vlak C AM kan bewegen. Staat de as A Ë stil, dan ligt M tegen AB aan; begint vervolgens de wenteling van A B, dan krijgt het middel¬ punt van den bol een snelheid loodrecht op het vlak MAC. De bol tracht zooveel mogelijk in de richting van die snelheid voort te gaan, wat hij echter niet kan doen zonder zich verder van A B te verwijderen, zonder dus tevens te stijgen. Wanneer de snelheid om de verticale as standvastig is, neemt A M een vasten stand met betrekking tot die as aan, zoodat M een cirkel beschrijft met C tot middelpunt. Ontbindt men nu het gewicht MP in ME volgens het verlengde van A M, en M D langs M C, dan is het de laatste kracht, die den bol dwingt in een cirkel te loopen. Deze kracht moet de door de formule (22) bepaalde grootte hebben en hieruit kan men den hoek MAC berekenen, als het aantal wentelingen van A B in de tijdseenheid bekend is. De bij stoommachines voorkomende centrifugaalregulateur bestaat uit twee gelijke, elk van een bol voorziene stangen, zooals er hier één is besproken; zij zijn aan tegengestelde zijden van A B bevestigd. Neemt door een of andere oorzaak de snelheid van A B toe, dan verheffen zich de bollen en hiervan wordt partij getrokken om door een mechanisme dat wij achterwege kunnen laten, den toevoer van stoom te verminderen. Om het bovenbedoelde verband tusschen de snelheid der wenteling' en den afwijkingshoek te vinden, stellen wij in Fig. 90 A M = l, /- M A B = U, uitvalt. Dit is ook begrijpelijk als men bedenkt dat de vloeistofmolekulen elkaar aantrekken, zooals wij uit vele verschijnselen weten, en dat zij dus bij de verdamping, waarbij de onderlinge afstanden vergroot worden, een grooter arbeidsvermogen van plaats krijgen. Wat de kinetische energie betreft, kan men niet met dezelfde zekerheid spreken. De damp heeft, zooals gezegd werd, dezelfde temperatuur als de vloeistof, en veel pleit er voor dat onder deze omstandigheden de molekulaire snelheden in beide even groot zullen zijn. Inderdaad is het niet onaannemelijk dat de mededeeling van warmte van 't eene lichaam aan 't andere geheel bepaald wordt door de snelheden der molekulen, en dat dus de damp en de vloeistof, als die snelheden even groot zijn, een thermometer tot denzelfden graad zullen kunnen verhitten. Onderstelt men volkomen gelijkheid der snelheden in damp en vloeistof, dan komt men tot de slotsom dat de kinetische energie bij de verdamping niet is veranderd, en dat dus de toegevoerde warmte heeft gediend om den uitwendigen arbeid te verrichten en om de aantrekkende krachten te overwinnen. b. Door samendrukking en afkoeling kunnen wij een damp tot een vloeistof verdichten. Wat straks met den cilinder gebeurde kan b.v. ook omgekeerd plaats hebben; de zuiger wordt naar beueden gedreven en een hoeveelheid warmte, gelijk aan de straks toegevoerde, wordt aan den cilinder onttrokken. Deze warmte is nu te danken, deels aan den arbeid der kracht die van buiten op den zuiger werkte, deels aan de vermindering der inwendige energie. Men kan zeggen dat de bedoelde warmte bij de verdichting van den damp tot vloeistof ontstaan is. Zij werd nu aan het stelsel onttrokken, maar wij kunnen haar ook daarin laten. Verbeelden wij ons, om tevens een voorbeeld te hebben, waarin de term A in de vergelijking verdwijnt, dat een dampmassa die in een ruimte van onveranderlijk volume besloten is, zich zonder eenigen invloed van buiten ten deele tot vloeistof verdicht. Ook dan wordt warmte ontwikkeld, die nu echter een temperatuurverhooging ten gevolge heeft. De energie van het stelsel molekulen blijft onder deze omstandigheden onveranderd, maar er is een andere vorm van arbeidsvermogen ontstaan. Bij de toenadering der elkander aantrekkende deeltjes zijn de snelheden vergroot; voor het verloren arbeidsvermogen van plaats is kinetische energie, de warmte, in de plaats gekomen. c. De warmteontwikkeling bij het ontstaan eener scheikundige verbinding moet aan een soortgelijke oorzaak worden toegeschreven. De deeltjes die de verbinding aangaan, naderen elkaar met een versnelde beweging; de ontwikkelde warmte of kinetische energie is het aequivalent van het arbeidsvermogen van plaats dat de deeltjes eerst, toen zij nog niet aan hunne aantrekking gevolg hadden gegeven, hadden. Wij kunnen dit laatste „scheikundig arbeidsvermogen van plaats" noemen. Bij de ontleding neemt het ten koste der warmte toe. liet verdient intusschen opmerking dat bij proeven over de warmteontwikkeling bij scheikundige werkingen (thermochemische bepalingen) gewoonlijk warmte aan 't stelsel wordt onttrokken (of toegevoerd) en ook uitwendige krachten een arbeid kunnen verrichten; een der vergelijkingen (13) en (14) moet dan weer worden toegepast. Men verbeelde zich b.v. in een calorimeter, door dunne platinawanden van het water gescheiden, een stelsel lichamen die door een scheikundige werking uit den toestand P in den toestand Q overgaan. Uit de temperatuurverandering kan worden afgeleid hoeveel warmte door het water aan het stelsel is meegedeeld of onttrokken, en dus ook, als zoo noodig op den arbeid van uitwendige krachten wordt gelet, hoeveel het inwendige arbeidsvermogen na de chemische werking grooter of kleiner is dan daarvoor. Men moet bij het bovenstaande in het oog houden dat men bij twee lichamen die elkaar aantrekken, zeer goed van een arbeidsvermogen van plaats kan spreken, al zijn zij zoo ver van elkaar verwijderd, dat de aantrekking onmerkbaar is. Rekent men b.v. dat een steen ten opzichte van de aarde een potentieele energie O heeft, wanneer hij op den grond ligt, dan heeft de potentieele energie een positieve waarde, zoodra hij tot zekere hoogte is opgeheven. Stelt men zich nu voor dat de aantrekking onmerkbaar wordt, als de afstand tot de aarde boven een zekere lengte l komt, dan zal bij verwijdering tot op dien afstand het arbeidsvermogen van plaats van den steen voortdurend toenemen, en het zal bij nog verdere verplaatsing van de aarde af de waarde A behouden, die het op den afstand l had. Door, voor een willekeurigen grooteren afstand, nog altijd deze waarde aan het arbeidsvermogen toe te schrijven, geeft men alleen te kennen dat, wanneer de steen tot het oppervlak der aarde daalt, er (al is het nog niet dadelijk) een kracht op zal werken, die een arbeid A verricht. Evenzoo kan men zeer goed zeggen dat een atoom waterstof en een atoom chloor, reeds terwijl zij nog buiten elkanders aantrekking zijn, een zekere potentieele energie hebben. Hoe groot het scheikundig arbeidsvermogen van plaats is, blijkt uit een eenvoudige berekening. Een gram chloor ontwikkelt bij de verbinding met waterstof fiOO calorieën. Daaruit volgt dat het tegenover de waterstof, waarmede het zich verbinden kan, een even groot arbeidsvermogen heeft als een gewicht van 1000 gram ten opzichte van de aarde zou hebben, als het op een hoogte van 250 M. geplaatst was. d. Dergelijke opmerkingen als wij over de verdamping maakten, gelden ook voor de smelting. De hoeveelheid warmte die gedurende de verandering van aggregatietoestand moet worden toegevoerd, de smeltingswarmte (§ 136), dient, daar bij de smelting geen noemenswaarde uitwendige arbeid verricht wordt, tot verhooging der inwendige energie. Neemt men aan dat wegens de gelijkheid der temperatuur de kinetische energie niet is veranderd, dan komt men tot 't besluit dat de vloeistof 15 § 151. Beweging van een lichaam om een vast punt. Een lichaam waarvan één punt O wordt vastgehouden, maar dat verder geheel vrij in zijne beweging is, kan wentelen om elke lijn die door dat punt wordt getrokken. Het kan ook achtereenvolgens om verschillende door O gaande assen draaien, en wanneer de richting der as aanhoudend verandert, zoodat het voorwerp slechts gedurende een oneindig kleinen tijd kan geacht worden om dezelfde lijn te wentelen, heeft de beweging veel overeenkomst met het rollen over elkander van de in de vorige § besproken lijnen. Men verbeelde zich nl. een kegel vlak K, (Fig. 105) met O tot top, dat met het bewegelijke lichaam verbonden is, en een tweede kegelvlak K2, met denzelfden top, dat een onverander- lijken stand in de ruimte heeft. Nadat, zooals de figuur aangeeft, K, met een der beschrijvende lijnen op K, is geplaatst, kan men den eersten kegel over den tweeden doen rollen, zoodat de beide oppervlakken elkaar telkens volgens een nieuwe beschrijvende lijn aanraken. Het met K, verbonden lichaam deelt in deze beweging, die op elk oogenblik bestaat o in een wenteling om de lijn, volgens welke dan juist de aanraking plaats heeft. De bekende beweging van een snel draaienden tol, waarvan de scheef geplaatste as een kegelvlak beschrijft, kan op deze wijze worden opgevat als het rollen van een met den tol verbonden kegel met kleinen tophoek over een vasten kegel. Men kan trouwens aantoonen dat elke beweging van een lichaam om een vast punt van den boven beschouwden aard is; alleen moet men in aanmerking nemen dat in plaats van de kegels veelvlakkenhoeken kunnen voorkomen, die over elkaar kantelen, dat een der kegels door een plat vlak kan worden vervangen en dat de eene kegel aan de binnenzijde van den anderen kan zijn geplaatst. Evenmin als bij een (iguur in een plat vlak, is bij een lichaam met een vast punt een beweging bepaald door den begin- en den eindstand; de over- gang uit den eenen stand naar den anderen kan nl. op verschillende wijzen plaats hebben. Laat, om dit op te helderen, van uit het vaste punt O drie onderling loodrechte lijnen worden getrokken, die vast met het lichaam zijn verbonden, en die wij de eerste, tweede en derde as zullen noemen. De overgang van de standen OX,, O Y,, O Z, (Fig. 106) naar de standen OXa, ÜY2, O Z2 kan dan o. a. op de volgende wijzen plaats hebben. a. Men draait het lichaam om de eerste as tot de tweede uit den stand O Y, in het vlak O X2 Y2 is gekomen; vervolgens wordt door een wenteling om de tweede as ook de eerste in dit vlak gebracht. De derde as heeft hierdoor reeds den op 't vlak OXj\g loodrechten stand O Z .> aangenomen; een wenteling om deze lijn doet de eerste en tweede as met O X2 en O Y2 samenvallen. Men kan ook wentelingen om de drie assen in andere orde op elkaar doen volgen; men kan b.v. eerst draaien om de derde, dan om de eerste, eindelijk om de tweede as. De hoek waarover het lichaam om een der assen moet draaien is dan niet dezelfde als bij de eerstgenoemde volgorde. Men kan derhalve niet zeggen dat de gewenschte standverandering alleen door wentelingen van geheel bepaalde grootte 0111 de drie assen kan verkregen worden. b. Door een enkele wenteling, die trouwens nog om verschillende assen kan plaats hebben, wordt aan de derde as de stand O Z2 gegeven; een draaiing 0111 O Z2 brengt vervolgens de andere assen in de gewenschte richting. c. De geheele standverandering kan ook door een enkele wenteling verkregen worden; alleen moet deze om een bepaalde lijn plaats hebben. Daar nl. bij het draaien om een as de hoek dien een willekeurige lijn van het lichaam daarmede maakt niet verandert, moet de bedoelde lijn gelijke hoeken vormen met OX, en 0X2, en eveneens met O Y, en O Y2. Zij is dus de doorsnede van twee door U gaande vlakken, waarvan het eene loodrecht staat op het vlak X, O X2 en met O X, en O X2 gelijke hoeken vormt, terwijl het andere een dergelijken stand heeft ten opzichte van den hoek \ 1 OYj. Uit een beschouwing van de gevormde drievlakshoeken is gemakkelijk af te leiden dat het doel werkelijk door een wenteling om de op deze wijze bepaalde as bereikt kan worden. § 152. Samenstelling van wentelingen en hoeksnelhedeu. Laat üa en OB twee vaste lijuen in de ruimte zijn (Fig. 107) en stellen wij dat een lichaam eerst om O A wentelt over een hoek x, vervolgens 0111 (J Ü over een hoek (3. De richting dezer wentelingen zullen wij op een menigmaal gebruikte wijze aangeven. Wij zullen nl. elke as van O uit slechts naar één zijde trekken, en wel naar die zijde, waar een toeschouwer zich moet plaatsen, om de richting der draaiing te zien overeenstemmen met die waarin de wijzers van een uurwerk zich bewegen. Wij brengen nu door OA twee vlakken A O D en A O C, die aan de voor- en achterzijde van het vlak A O B daarmede elk een hoek .1 a vormen; eveneens twee vlakken door O B, die elk een hoek .1 (3 met A O B maken! De twee vlakken die naar de voorzijde van A O B afwijken snijden elkander volgens O D, de twee andere vlakken volgens O C. Aan weerszijden van AOB ontstaat nu een drievlakshoek, en deze beide figuren zijn gelijk en gelijkvormig, zoodat /AOD = /AOC en ZBUD = / BOC is. Daaruit volgt dat de lijn van het lichaam, die eerst met O C samenvalt, na de eerste draaiing den stand O D aanneemt, maar door de tweede wenteling weer tot OC teruggekeert. Daar dus deze lijn na alloop van de twee draaiingen weer haar oorspronkelijken stand heeft, moet de geheele standverandering van het lichaam ook door een enkele draaiing om O C kunnen verkregen worden. Op dezelfde wijze ziet men in dat, wanneer eerst de draaiing om OB en daarna die om O A plaats had, de lijn O D op hare plaats zou zijn teruggekomen. De volgorde waarin de twee wentelingen gebeuren, is dus niet onverschillig. Wij verbeelden ons nu dat de hoeken x en (3 kleiner en kleiner worden gekozen; de lijnen OC en O D naderen dan tot een zelfde lijn O E (Fig. 108), die in het vlak AOB ligt. Bij oneindig kleine wentelingen om de assen O A en O B doet derhalve de volgorde waarin zij plaats hebben niet ter zake; zij kunnen in elk geval vervangen worden door een wenteling om de lijn O E. Om den stand dier lijn te bepalen merken wij op dat in Eig. 107 sin A O C : sin BO C = sin f3: sin « is, en dus ook in Fig. 108 sin A O E : sin B O E = sin 1 (3: sin ! « moet ziju. Wanneer echter x en (3 oneindig klein zijn, mag men hiervoor schrijven sin A O E: sin B O E = (3: x. De lijn O E, die aan deze voorwaarde voldoet, wordt gevonden door de stukken O A en O B zoo lang te maken, dat zij de wentelingen x en /3 kunnen voorstellen, en vervolgens op die stukken als zijden een parallelogram te beschrijven. De diagonaal O E daarvan is de as, oin welke de met de draaiingen x en (3 uei het lichaam geeft, heet het zwaartepunt. Daar nu de resultante van een stelsel krachten niet anders c. In Fig. 124 stelt A B een staaf voor, die in horizontale richting met het eene uiteinde is vastgeklemd, terwijl het andere met een gewicht P is bezwaard. Y is een doorsnede, loodrecht op de lengte, en wij zoeken de evenwichtsvoorwaarde voor het deel der staaf, rechts van die doorsnede. Daar de krachten die dit deel in verticale richting ondervindt, elkaar moeten opheffen, moet Fig. 124. de stof links van V op de stof aan de rechterzijde een kracht Q, verticaal naar boven, uitoefenen, die, als wij van het gewicht der staaf zelf afzien, gelijk aan P is. Natuurlijk oefent V B op Y A een gelijke en tegengesteld gerichte kracht uit; zoo wordt, kan men zeggen, de last P op het deel V A overgebracht. Deze krachten, die men, daar zij langs het vlak Y werken, tangentiale spanningen noemt, zijn evenwel niet de eenige die tusschen de deelen der staaf bestaan. Want de kracht Q vormt met P een koppel, en voor het evenwicht is het noodig, dat dit door een ander koppel van gelijk moment wordt opgeheven. Dit kan alleen voortvloeien uit krachten die, behalve de door Q voorgestelde, door V A op V B worden uitgeoefend, krachten, zooals zij b.v. door R en S worden aangegeven. Wil men inzien hoe dergelijke spanningen ontstaan., dan moet men bedenken dat uitwendige krachten altijd eenige vormverandering, al is die nog zoo klein, aan een vast lichaam geven; de inwendige krachten, die men met den naam veerkracht bestempelen kan, worden eerst door die vormverandering opgewekt. In het geval van Fig. 123 ontstaan de inwendige krachten ten gevolge van een samendrukking. Bij Fig. 124 echter moet men zich voorstellen dat het gewicht P niet alleen het deel V B der staaf iets langs V A naar beneden trekt, waardoor de kracht Q wordt opgewekt, maar bovendien dat deel een weinig om het punt O doet draaien. Daarbij tracht het V B aan de bovenzijde van V A te verwijderen, maar drukt aan de benedenzijde de twee deelen tegen elkaar. Fig. 125. d. Verbeelden wij ons de staaf van Fig. 123 niet met een gewicht belast, maar, nadat het benedeneinde is vastgeklemd, aan het boveneinde onderworpen aan twee in een horizontaal vlak werkende krachten, die een koppel vormen. Het deel A V der staaf moet dan van B V een gelijk en tegengesteld koppel ondervinden, dat natuurlijk alleen kan ontstaan uit tangentiale spanningen in het vlak V. Met een koppel dat gelijk en tegengesteld is aan het laatstgenoemde, en dus dezelfde richting heeft als het aan het uiteinde A gegevene, werkt nu weer AY op BV. e. Zij (Fig. 125) M het deel dat van een lichaam door een plat vlak V wordt afgesneden, en laat op dat deel een willekeurig stelsel van krachten werken. Brengt men deze alle naar een punt Q van V over, dan krijgt men een resulteerende kracht F en een in de figuur niet aangegeven koppel. Zal er evenwicht zijn, dan moeten de verschillende krachten, die de stof links van V op M uitoefent, herleid kunnen worden tot een kracht in Q, gelijk en tegengesteld aan F, en een koppel dat met het bovengenoemde evenwicht maakt. ƒ. Fig. 126 stelt een driehoekige verbinding van stangen voor, die in verticalen stand met de punten A en C op twee even hooge en volkomen gladde horizontale vlakken rust en aan den top B met een last P is bezwaard. Wij zullen onderstellen dat het gewicht der stangen in vergelijking met dien last mag worden verwaarloosd. Verder zullen wij ons voorstellen dat de verbinding der stangen bij B een kleine draaiing van de eene ten opzichte van de andere toelaat, zoodat, als AC er niet was, een daling van het punt B, verbonden met Fig. 126. een buitenwaartsche beweging van A en C, mogelijk zou zijn. Beschouwt men den driehoek in zijn geheel, dan vindt men onmiddellijk de verlicale drukkingen op de steunvlakken, door P, naar den regel van § 160, te ontbinden in twee evenwijdige krachten in A en C. De inwendige krachten echter vindt men als volgt. Men ontbindt P in B Q en B R volgens B A en B 0, brengt de componenten naar A en C over en ontbindt ze daar in de horizontale en verticale componenten AS en AT, CU en C V. Natuurlijk wordt daarbij A S = C U. Door deze krachten wordt A C uitgerekt, terwijl de stangen A B en B C door de krachten B Q en BB worden samengedrukt. Hoe, bij het aanbrengen van den last, de spanning in A C ontstaat door een kleine uitrekking van deze staaf, zal na het gezegde duidelijk zijn. § 169. Uitbreiding van eeiiige der voorgaande stellingen tot lichamen van veranderlijken vorm. Als een lichaam waarvan de gedaante kan worden gewijzigd, onder de werking van een stelsel krachten in evenwicht is, kan men bij een willekeurig deel ervan de bestanddeelen vast aan elkander verbinden, zonder het evenwicht te verstoren. Be krachten die op dit deel werken, moeten dus steeds voldoen aan de voorwaarden die wij voor vaste lichamen van onveranderlijken vorm hebben leeren kennen. Een koord b.v., dat met zijne uiteinden in A en B is bevestigd, neemt onder den invloed der zwaartekracht een ge¬ daante aan als de in Fig. 127 aangegevene. Een deel C D kan nu door een onbuigzame staaf van dezelfde gedaante en hetzelfde gewicht vervangen worden, zonder dat het evenwicht verbroken wordt. Op dit deel werken vooreerst de zwaartekracht, die geacht kan worden in het zwaar¬ tepunt Z aan te grijpen, en ten tweede de spanningen van de koorden A C en B D. Voor het evenwicht is het noodig, dat de raaklijnen in C en D elkaar 17 Fig. 127. snijden op de verticale lijn die door Z gaat; tusschen de grootte der drie krachten moet verder het bekende verband bestaan. Als tweede voorbeeld beschouwen wij een vloeistofmassa die in evenwicht is. Men kan zich voorstellen dat een deel daarvan, binnen een gesloten oppervlak gelegen, zonder van volume te veranderen, vast wordt; de op dat deel werkende krachten moeten dus voldoen aan de evenwichtsvoorwaarden die voor vaste lichamen gelden. Alleen zijn er bij de vloeistof nog andere evenwichtsvoorwaarden, want gemakkelijk kan men gevallen bedenken, waarin krachten die, op een vast lichaam werkende, evenwicht met elkaar zouden maken, dit niet meer doen, als een vloeistof eraan onderworpen is. Bij de toepassing der bovenstaande stelling behoeft alleen op de krachten gelet te icorden, die het beschouxode deel van buiten ondervindt. Worden deze b. v. in verticale en horizontale componenten ontbonden, dan moeten de naar boven gerichte componenten te zamen evenveel bedragen als de naar beneden werkende. Van de inwendige krachten kan men hierbij geheel afzien; het is trouwens duidelijk, dat door de onderlinge werking zijner molekulen een lichaam of een deel van een lichaam zich nooit in zijn geheel naar boven of beneden verplaatsen zal. Dit is een gevolg hiervan, dat de inwendige krachten twee aan twee gelijk en tegengesteld zijn. Ofschoon bij een buigzaam koord of een vloeibare massa de krachten die de molekulen van de aarde ondervinden, niet meer dezelfde uitwerking hebben als een enkele kracht in het zwaartepunt, blijft toch één eigenschap die dit punt bij vaste lichamen heeft bestaan. Bij elk lichaam wordt nl. de arbeid der zwaartekracht bij een verplaatsing, en dus ook de verandering der potentieele energie, op dezelfde wijze uit de rijzing of daling van het zwaartepunt gevonden als bij een vast lichaam. Fig. 128 onderscheidt zich van Fig. 115 doordat een horizontaal vlak V is aangebracht, waarop de loodlijnen AA2a2, A3 a3,.. . B 4, Cc, Z.' zijn neergelaten. Uit de evenredigheden van § 162 volgt (lh + li) X B 4 = f| x A, «i -f ft x A2 «j, Cfl + Pi + P3) X C c = (pi pi) X B i + p3 X A3 a3 = = I'\ X Aj «| + X A2 a.2 + ƒ3 X A3 as. Men kan deze reeks van vergelijkingen voortzetten, zoodat ten slotte, als P het gewicht van het geheele stelsel is, P X / z = ƒ)) x A] ff) -}- ^>1 X Aj ff2 "f" ]'z ^ A3 -J- enz. wordt. Deze vergelijking drukt uit dat de potentieele energie dezelfde waarde heeft, ataof de geheele massa in het zwaartepunt was vereenigd. Men kan deze stelling b.v. toe- Fig. 12s. energie tegenover de zwaartekracht een minimum is, d. w. z. als 't zwaartepunt zoo laag mogelijk ligt. § 170. Eigenschappen van liet zwaartepunt bij i dxt d x-2 -(- enz. bestaat. Deelt men nu deze vergelijking door d t, dan krijgt men M u = »(, «| -|- m.2 u-i enz., als, voor de verschillende stoffelijke punten en voor het zwaartepunt, «,, .... en u de snelheden in de richting der *-as voorstellen. Derhalve is de algebraïsche som der hoeveelheden van beweging in de richting van de z-as even groot als de hoeveelheid van beweging in die- zelfde richting, die het zwaartepunt zou hebben, als er de geheele massa M in was opeengehoopt. Daar dit op elk oogenblik waar is, is ook de reranderinff dier algebraïsche som gedurende een tijdselement r even groot als de verandering die de hoeveelheid van beweging der massa M, in 't zwaartepunt gedacht, ondergaan zou. Maar, wanneer X,t X2, enz. de op de punten van 't stelsel in de richting der *-as werkende krachten zijn, bedraagt de bedoelde verandering (X, + Xj + ....) r. De snelheid u van het zwaartepunt moet dus zoo veranderen, dat als de massa M erin was opeengehoopt, de hoeveelheid van beweging daarvan deze aangroeiing onderging en dit zou het geval zijn, als op die inassa de kracht X, -)- Xa + .. .. werkte. Daar een dergelijke uitkomst geldt voor de verandering der snelheden in de richting der y- en .--as, is de stelling bewezen. Vermelding verdient ook nog de volgende stelling: Een vast lichaam dat eerst in rust is, krijgt door een kracht die in het zicaartepunt aangrijpt, een verschuiving zonder wenteling. Werkt een icillekeurig stelsel van krachten, dan kan men deze naar het zicaartepunt overbrengen; de resulteerende kracht brengt een verschuiving, het resulteerende koppel een wenteling teweeg. Wil men aan een vast lichaam een voorgeschreven beweging geven, dan kan men op elk punt de kracht laten werken, die juist voor de beweging daarvan vereischt wordt; men kan evenwel ook in plaats van dit stelsel van krachten elk ander dat er gelijkwaardig mede is, nemen. Voor een verschuiving, waarbij alle deeltjes dezelfde versnelling in dezelfde richting moeten krijgen, zouden krachten kunnen dienen, die op elk deeltje afzonderlijk werken, en evenredig met hunne massa's zijn; zulke krachten zijn echter gelijkwaardig met een enkele die in het zwaartepunt aangrijpt. § 171. Beperking der beweging van een vast lichaam. In vele gevallen wordt een lichaam gedwongen zich op een voorgeschreven wijze te verplaatsen. a. Moet het zich alleen recht- Fig. 129. lijing verschuiven, dan geeft men aan een deel van het lichaam de gedaante van een prisma, dat past in een prismatische holte van een vaststaand stuk B. Men ziet in Fig. 129 hoe zich dan het prisma met de daaraan verbonden kolom A slechts in de richting der (in de figuur horizontale) opstaande ribben van het prisma kan bewegen. De doorsnede van het prisma kan zeer verschillende vormen hebben. In Fig. 130 wordt het lichaam A geleid door twee ci- Fig. 130. linders B, B. Men kan ook van een enkelen cilinder gebruik maken, als men maar op een of andere wijze een draaiing belet. Ij. Wordt daarentegen bij een cilinder die in een holte past, een verschuiving verhinderd, dan is alleen een wenteling mogelijk. Zulk een draaibare cilinder wordt een as genoemd. Men ziet in Fig. 131 hoe een verschuiving van A onmogelijk wordt gemaakt. Wij vermelden hierbij dat men het omsloten gedeelte van de as de tap en het omsluitende lichaam B de j>an of het kussen noemt. Dit lichaam heeft niet altijd een cilindrische uitholling; er komen ook andere vormen voor. Fig. 131. Bij horizontale assen heeft men gewoonlijk twee tappen aan de uiteinden; lange assen (drijfassen in fabrieken) worden ook nog op andere plaatsen op dezelfde wijze ondersteund. De tappen kunnen rusten tusschen twee stukken, het eene beneden, het andere boven de a3, die op geschikte wijze tegen elkander worden gedrukt. Soms komt alleen de onderste pan voor. Verticale assen kunnen aau het benedeneinde uitloopen in een kegel, waarmede zij in een uitholling van een vaststaand lichaam rusten. c. Ten einde een lichaam met geringe wrijving om een horizontale as te doen draaien, verbindt men het aan een mes, d. i. een scherpkantig driehoekig prisma, dat met zijne ribbe op een horizontale plaat ligt. Beide deelen moeten van een harde stof gemaakt zijn. Bij het balansjuk, dat in Fig. 132 is afgebeeld, rust een stalen mes A op een blok B, dat veelal van agaat wordt genomen. Hoe scherper de kant van het mes is, des te meer nadert de beweging tot een draaiing om een as. In werkelijkheid zal zij echter steeds bestaan in het rollen van een cilinder over een plat vlak. d. Men kan een rechthoek of een driehoek zoo langs een cilinder bewegen, dat zijn vlak voortdurend door de as gaat, een der zijden in het cilinder-oppervlak ligt en elk punt een schroeflijn doorloopt; er wordt dan een schroefdraad beschreven. Is een cilinder met zulk een naar buiten staan den draad voorzien, dan heeft men een schroef (Fig. 133, A). Deze kan passen in een holte, in welker wand een langs een schroeflijn loopende groef is aangebracht. Deze holte, waarvan Fig. 133, B de achterzijde te zien geeft, bevindt zich in een stuk dat de schroef moer genoemd wordt. Houdt men deze vast, dan kan de schroef alleen een gelijktijdige wenteling en verschuiving hebben, zoo nl. dat bij elke omwenteling een verschuiving over een afstand gelijk aan den spoed (§ 25) plaats heeft. Zooals reeds gezegd werd, kan het profiel van de schroef, d. w. z. de doorsnede van den schroefdraad met een vlak door de as, verschillende vormen hebben. Het kan rechthoekig (Fig. 133) of driehoekig zijn (Fig. 134). Het komt dikwijls voor dat men een zelfde moer voor verschillende schroeven van een zelfde dikte wil gebruiken, of omgekeerd. Daarvoor is noodig dat niet alleen de spoed, maar ook het profiel overeenkomt. Men heeft daarom stelsels van schroefdraden vastgesteld, waarin bij elke dikte een bepaalde spoed en profiel behooren. In al de boven besproken gevallen werd ondersteld dat het met B aangeduide lichaam in rust bleef. Dit behoeft niet het geval te zijn; in het algemeen wordt door de beschreven verbindingen alleen de relatieve beweging van het eene lichaam ten opzichte van het andere bepaald. De wielen van een rijtuig voeren met betrekking tot dit laatste een wenteling uit en de koppel¬ stangen waardoor de wielen eener locomotief verbonden zijn, draaien ten opzichte van die wielen, ofschoon hunne werkelijke beweging een verschuiving is. e. Behalve de boven besprokene komen er nog vele andere middelen voor, en daaronder soms zeer samengestelde, waardoor men de beweging van een vast lichaam beperkt. Men kan deze beperking b.v. zoo maken dat steeds een enkel punt op zijn plaats blijft. Zoo kan een aan het lichaam bevestigde bol draaien in een hol bolsegment, dat hem voor een gedeelte omsluit (kogelgewricht). Of men kan het lichaam op de wijze van den ring AA in Fig. 135 laten draaien om een as B B, die zijn steunpunten heeft aan een ring, die weer om een as C C loodrecht op de eerste kan draaien (Cardani'sche ophanging). Werktuigen zijn lichamen of stelsels van lichamen die zich alleen op de voor een bepaald doel noodige wijze kunnen bewegen. De beweging, aan een deel ervan medegedeeld, wordt overgebracht op de andere deelen en daarbij menigmaal geheel van aard veranderd. De verbinding tusschen de deelen van een werktuig bestaat veelal hierin, dat het oppervlak van het eene deel aanhoudend in aanraking moet blijven met dat van het andere. De boven besproken gevallen kunnen als voorbeelden dienen; een ander voorbeeld heeft men in twee in elkaar grijpende tandraderen. Twee werktuigdeelen kunnen evenwel ook door middel van kettingen, touwen of riemen met elkander verbonden zijn. § 172. Evenwicht van werktuigen. Als de oppervlakken met welke verschillende deelen van een werktuig elkander aanraken, over elkaar rollen, zullen (althans wanneer wij afzien van de rollende wrijving (§ 182, d), die door een vormverandering der oppervlakken ontstaat) de wederkeerige krachten tusschen die deelen bij de beweging geen arbeid verrichten. Immers, de werking is gelijk en tegengesteld aan de terugwerking, en de punten der oppervlakken die elkaar aanraken hebben dezelfde snelheid. De arbeid der wederkeerige krachten is eveneens O bij de glijding van twee oppervlakken over elkaar, als die oppervlakken maar volkomen glad zijn, en iets dergelijks valt ook op te merken, wanneer een beweging wordt overgebracht door koorden of riemen, hetzij dat die met de uiteinden aan de werktuigdeelen zijn bevestigd, hetzij dat zij het oppervlak daarvan over zekeren afstand volgen en het door wrijving medevoeren. De laatste kracht verricht geen arbeid, zoolang het koord maar niet over het oppervlak glijdt, want terwijl de punten van het koord en die van het oppervlak dezelfde snelheid hebben, werkt de wrijving er met gelijke kracht in tegengestelde richting op. Zijn de koorden onrekbaar, dan is ook de arbeid hunner spanning 0, want de twee punten, waarop deze werkt, verplaatsen zich dan in de richting van het koord evenveel in tegengestelden zin. Eindelijk mag ook van de verandering van het inwendige arbeidsvermogen der koorden worden afgezien; alleen in som- mige gevallen waar deze vrij stijf zijn en hunne kromming verandert, zou men dat niet mogen doen. Er zijn derhalve vele gevallen, waarin men alleen op de uitwendige krachten die op de deelen van een werktuig werken, behoeft te letten. Dan geldt voor het geheele werktuig de beschouwing die in § 156 voor een enkel lichaam werd medegedeeld. Er zal dus evenwicht zijn, als bij elke oneindig kleine verplaatsing de arbeid der krachten O is, een voorwaarde die bijzonder eenvoudig wordt, wanneer er maar twee krachten zijn, nl. een beweegkracht F en een te overwinnen weerstand P. Zijn nl. f en p de projectiën van de oneindig kleine verplaatsingen der aangrijpingspunten op de lijnen langs welke F en P werken, en noemen wij de eerste dier projectiën positief, als zij in richting met de kracht overeenstemt, en de tweede, als hare richting tegengesteld aan P gericht is, dan moet FXf=FXp (3) zijn. Beweegt zich het werktuig, dan moet de totale arbeid F f— Yp gelijk zijn aan de vermeerdering der kinetische energie. Bij langzame bewegingen mag men van deze laatste afzien; men komt dan tot de vergelijking (3) terug en mag de daardoor bepaalde waarde van F niet alleen als de kracht beschouwen, die met den weerstand P evenwicht maakt, maar ook als die, welke gedurende de beweging den weerstand overwint. De weerstand P kan het gewicht zijn van een last die moet worden opgeheven. Hij kan ook voortvloeien uit den samenhang der deeltjes van een lichaam waardoor een mes of een zaag wordt voortgedreven. Eindelijk kan hij bestaan in den tegenstand van een beletsel waartegen een deel van het werktuig wordt gedrukt ten gevolge van een kracht F, die men op een ander deel uitoefent. Is F gegeven, dan wordt het beletsel zoo ver ingedrukt, dat de tegenstand ervan het F f bedrag — heeft; deze uitdrukking bepaalt dus den door middel van de kracht uitgeoefenden druk. Uit het bovenstaande besluit men gemakkelijk dat voor het opheffen van een zwaren last door middel van een kleine kracht alleen vereischt wordt, dat het aangrijpingspunt dezer laatste een veel grooteren weg aflegt dan de last. Eveneens, dat voor het overwinnen van een weerstand P over een weg p altijd dezelfde arbeid noodig is, onverschillig van welk werktuig men zich bedient. Behalve door de beschouwing van den arbeid kan men de evemoichtsvoorwaarde ook door samenstelling en ontbinding van krachten of koppels leeren kennen. De eerste handelwijze voert dikwijls gemakkelijker tot het doel, maar er is, althans wanneer zij op een werktuig in zijn geheel wordt toegepast, dit bezwaar aan verbonden, dat de drukkingen tusschen de elkander aanrakende oppervlakken, of do spanningen der koorden onbekend blijven. Deze krachten kunnen alleen uit de afzonderlijke beschouwing der deelen van het werktuig worden afgeleid (.verg. § 168). In de volgende §§ vindt men eenige voorbeelden tot opheldering van het voorgaande. § 173. Hefboom. Balans. Een lichaam dat om een vaste as kan draaien, wordt, vooral wanneer het de gedaante van een rechte of gebogen staaf heeft, een hefboom genoemd. De voorwaarde voor het evenwicht is, blijkens het in § § 157 en 172 gezegde, dat de algebraïsche som der momenten van de krachten ten opzichte van de as 0 moet zijn. Het juk eener balans is een gelijkarmige hefboom met een horizontale as. In den evenwichtsstand moet het zwaartepunt vertikaal beneden die as liggen, wil het evenwicht stabiel zijn. Worden de beide armen met gewichten belast, die een weinig van elkaar verschillen, dan neemt de balans een schuinen stand aan, waarhij het overwicht evenwicht maakt met het gewicht van het juk. Met dit gewicht wordt derhalve het overwicht vergeleken. Zij in Fig. 136 O de draaiingsas, C het zwaartepunt van het juk, terwijl de schalen in A en B zijn opgehangen. Zij verder P het gewicht van elk der schalen met de zich daarop bevindende gelijke gewichten, en Q het gewicht van het juk. Stel eindelijk Fig. 136. dat A, O en B in een rechte lijn liggen, en wel zoo dat A O = = O B = /, zoodat de balans gelijkarmig is, terwijl O C = h den afstand van het zwaartepunt tot de draaiingsas voorstelt. Als er op een der schalen een klein overwicht p wordt gebracht, zal er weer evenwicht zijn bij een uitwijking cp, die bepaald wordt door P l of bij beuadering (§ 32) V JQ De gevoeligheid die door de verhouding van en p wordt gemeten, is dan onafhankelijk van de belasting P. Zij neemt toe als h kleiner wordt. Dikwijls kan men met een regelschroefje li en daarmede de gevoeligheid veranderen. Ook vergrooting van l Fls- 137- zou de gevoeligheid doen toenemen, indien niet bij verlenging van het juk ook het gewicht Q grooter werd. Zelfs neemt Q sterker toe dan l, omdat men ter wille van de stevigheid bij vergrooting van l ook de dikte grooter moet nemen. In 't geheel zal dus de gevoeligheid afnemen en is het juist voordeelig korte, lichte jukken te gebruiken. Wanneer bij een balans de punten A, O en B niet in een rechte lijn liggen, zal de gevoeligheid van de belasting afhangen. In het geval van Fig. 137 is de verticale lijn door A verder van O verwijderd p + p door A verder van U verwijderd dan die welke door B gaat, en wij zien gemakkelijk in dat vergrooting der gelijke belastingen P de uitwijking zal doen toe- nemen; daarbij wordt dus de gevoeligheid vergroot. In het geval van Fig. 138 hebben wij het omgekeerde en zal de gevoeligheid afnemen bij toenemende belasting. Een nauwkeurig onderzoek van de gevoeligheid bij verschillende belastingen kan soms doen zieu dat een balansjuk ten gevolge van doorbuiging achtereenvolgens de vormen van Fig. 137, 136 en 138 aanneemt. § 174. Stelsels van met elkander verbonden stangen. In Fig. 139 zijn AC en CB stangen die, in een verticaal vlak liggend, in C met elkaar verbonden en in A en B ondersteund zijn. Het punt M is met }jg, 139 een gewicht Q belast, terwijl van het gewicht der stangen wordt afgezien. Onderstellen wij dat de verbindingen bij A, C en B althans een weinig draaibaar zijn. Dan kan de staaf O B alleen in evenwicht zijn, wanneer de druk in C de richting van zijne lengte heeft; men verkrijgt dus dezen druk en dien in A door de in de figuur aangegeven constructie. Natuurlijk kan men den druk in C ook bepalen door de voorwaarde dat zijn moment ten opzichte van de lijn, door A loodrecht op het vlak der figuur getrokken, gelijk moet zijn aan dat van het gewicht Q. In Fig. 140 en 141 vindt men dergelijke verbindingen van stangen, bij welke M op het verlengde van A C ligt. Eindelijk Fig. 140. Fig. 141. is in Fig. 142 een stelsel van drie stangen afgebeeld, die om A, B, C en D kunnen draaien en waarvan de middelste den last Q draagt. Ziet men weer van het gewicht der staven af,. dan is voor het evenwicht noodig, dat A B en D C, verlengd zijnde, elkander op de verticale lijn Q M ontmoeten. § 175. Katrollen en takels. Een katrolschijf is een cirkelvormige schijf die om een door het middelpunt gaande en loodrecht op zijn vlak staande as kan draaien. Aao den omtrek is hij van een groef voorzien, die een koord kan opnemen. De wrijving belet dit laatste, langs de schijf te glijden. Bij een vaste katrolschijf (Fig. 143) kan zich de as niet verplaatsen; zal er evenwicht zijn, dan moeten aan de uiteinden van het koord gelijke krachten werken. Den druk op de as vindt men op de in de figuur aangegeven wijze. Fig. H3. Fig. Een losse katrolschijf (Fig. 144) hangt in een koord waarvan het eene einde a is vastgemaakt, terwijl op het andere einde de beweegkracht werkt. De beugel waarin de as loopt is van een haak voorzien, waaraan de last wordt gehangen, dien men wil ophijschen. De evenwichtsvoorwaarde wordt door de constructie van een parallelogram van krachten gevonden. Fig. 145 doet de inrichting zien van een ge- Fig- 14». j. 7. .7 Tv_ • _ 1 •• •• ï • . i wonen takel. Drie schijven zijn hier in het vaste bovenblok, en even vele in het verplaatsbare benedenblok vereenigd. Neemt men aan dat het koord dat over al de schijven loopt, tusschen de blokken overal dezelfde richting heeft, dan is voor het evenwicht een kracht ^ P, waarmede men aan het uiteinde 6 trekt, noodig. Men vindt dit door op te merken dat de last aan 6 touwen hangt en dus de spanning, die overal even groot moet zijn, de zoo even genoemde waarde moet hebben, of ook door na te gaan, hoe ver b naar beneden moet worden getrokken om P tot zekere hoogte te doen stijgen. § 176. Windas. Dit werktuig bestaat uit een horizontalen om zijne as draaibaren cilinder, waarom eenige malen een touw is geslagen, dal bij het omdraaien wordt op- of afgewikkeld en aan het einde den last draagt. De wenteling wordt aan den cilinder gegeven door een kruk, loodrecht op de as aan den cilinder bevestigd. De evenwichtsvoorwaarde volgt uit de beschouwing der momenten of uit de stelling van § 172. § 177. Middelen om een Fig. H6. wenteling van de eene as op de andere over te brengen, a. Koord zonder eind. Laat (Fig. 146) A en B twee cirkelvormige schijven zijn, in hetzelfde vlak liggende en draaibaar om assen die door de middelpunten loodrecht op dat vlak gaan. Een koord of riem, waarvan de uiteinden aan elkaar zijn bevestigd, is ooi de schijven geslagen en genoegzaam gespannen om een glijding daarlangs onmogelijk te maken. Wordt A in de richting der pijl rondgedraaid, dan wordt B in dezelfde richting bewogen; de hoeksnelheden zijn daarbij omgekeerd evenredig met de stralen. Het deel rs van het koord is meer gespannen dan het deel p q; daaruit vloeit de kracht voort, die B in beweging brengt. Moeten de schijven in tegengestelde Fig jjf richting draaien, dan bezigt men een geK.ruisi.eii j (Fig. 147). b. Bij evenwijdige assen kunnen ook cilindervormige en bij assen die elkaar snijden (Fig. 148), kegelvormige wrijvingsraderen worden gebezigd. De elkander aanrakende opper¬ vlakken daarvan moeten ruw genoeg zijn om de eene schijt door de andere te doen medevoeren. . i l_ i,3 c. Moet een aanmerK.eiija.e wccioiauu. worden overwonnen, of wil men zich geheel verzekeren van een bepaalde verhouding der hoeksnelheden, dan bezigt men tandraderen. Fig. 149 stelt een paar dergelijke raderen voor, die op assen loodrecht op het vlak der teekening zijn bevestigd. Daar l 1 /» 1 J •• J in aenzenuen uju vau beide raderen even veel tanden door de verbindingslijn der middelpunten gaan, zijn de hoeksnelheden omgekeerd evenredig met het aantal tanden. Raderen met weinige tanden heeten rondsels. De tanden kunnen ook bij het eene rad aan de binnenzijde zijn aangebracht, zooais in Fig. 150. Fig. 150. In dat geval hebben de assen dezelfde draaiingsrichting, terwijl zij in het geval van Fig. 149 in tegengestelde richting draaien. Bij assen die elkander snijden, worden kegelraderen aangebracht. Een denkbeeld daarvan krijgt men, wanneer men zich de afgeknotte kegels van Fig. 148 voorzien denkt van uitstekende ribben, langs de beschrijvende lijnen loopende. Voor een behoorlijke werking der raderen is de gedaante der tanden niet onverschillig; de meetkundige beschouwingen waardoor die bepaald kan worden, moeten hier evenwel achterwege blijven. Alleen zij nog opgemerkt dat men steeds zorg draagt, dat op eenzelfde oogenblik meer dan één paar tanden met elkander in aan¬ raking zijn. Daar zoowel aan zeer groote als aan zeer kleine raderen bezwaren verbonden zijn, brengt men, wanneer een groot verschil in hoeksnelheid verlangd wordt, de beweging niet rechtstreeks van de eene as op de andere over. Men neemt dan zijne toevlucht tot stelsels van raderen, die ten deele op de assen zelf, ten deele op hulpassen zijn bevestigd. Men kan de beweging nl. overbrengen van een as A op een as B, van deze laatste, met behulp van een tweede rad waarvan zij voorzien is, op de as C, enz. Als voorbeeld vermelden wij nog den kunstgreep waardoor men de wijzers van een uurwerk, met hoeksnelheden die tot elkaar staan als 1 en 12, om hetzelfde middelpunt laat draaien. De miuuutwijzer is bevestigd op de as A (Fig. 151), die zijne wenteling door tusschenkomst van een stel raderen van de beweegkracht ontvangt. Door de raderen B en C wordt de beweging van A op de as D overgebracht. Deze as draagt een 18 Fig. 151. In fig. 155 vindt men een inrichting voorgesteld om de beweging van de as A over te brengen op de as B door middel van tusschenraderen. In den vol geteekenden stand van deze laatste zullen er twee tusschenraderen werken en krijgen beide assen tegengestelde draaiingsrichting. In den gestippelden stand zal er slechts één tusschenrad werken en wordt de draaiingsrichting van B dezelfde als die van A. In een tusschengelegen stand is de verbinding der assen opgeheven. De overgang van den eenen stand naar den anderen kan worden verkregen door draaiing van het stel tusschenraderen om een as C. Men kan ook twee assen, die in elkanders verlengde liggen, met elkaar in verbinding stellen. Men brengt daartoe op de naar elkaar toegekeerde uiteinden schijven aan, waarvan de eindvlakken loodrecht op de assen staan. Deze schijven zijn van tanden voorzien, die, als zij in elkaar grijpen, de eene as met de andere doen méégaan. De eene schijf is vast op de as geplaatst, de andere kan over de as verschoven worden, of¬ schoon hij deze bij een wenteling medeneemt. b. Bij het gebruik van een riem zonder eind kan men op de as die in beweging gebracht moet worden, naast de schijf die vast met die as verbonden is, een tweede plaatsen, die onafhankelijk daarvan draaien kan. Door een vork die den riem omvat, en verschoven kan worden, kan de riem van de eene schijf op de andere worden overgebracht. c. In Fig. 156 is een palrad a met de pal h voorgesteld. De laatste is een staafje dat om het punt c gemakkelijk draaien kan en met het uiteinde tusschen de tanden van het rad kan vallen, of, zoo noodig, door een veer daartusschen wordt gedrukt. De vorm der tanden heeft tengevolge dat, wanneer de Fig. 155. as c wordt vastgehouden, het rad a zich wel in de richting der pijl, maar niet in tegengestelde richting kan bewegen. Zulk een inrichting wordt gebezigd om voor de as A van Fig. 91 (p. 177; slechts een beweging in één richting mogelijk te maken. Is de as c bevestigd aan een tweede rad dat om dezelfde meetkundige as als het rad a kan draaien, dan zal dat rad bij de eene bewegingsrichting door a worden medegenomen, bij de andere bewegingsrichting niet. § 182. Nadere beschouwing der wrijving. Als een lichaam over een volkomen glad horizontaal vlak door een kracht F wordt voortgetrokken, zal de arbeid dezer kracht gelijk zijn aan de vermeerdering van de kinetische energie van het lichaam. Anders is het, zoodra er een wrijving bestaat; de aangroeiing van het arbeidsvermogen van beweging is dan kleiner dan de arbeid van F en wel zooveel kleiner als aan de ontwikkelde warmte beantwoordt. Dit is één wijze om het verschijnsel te beschouwen. Een andere opvatting bestaat daarin dat men niet alleen op den arbeid der kracht F, maar ook op den, natuurlijk negatieven, arbeid der wrijving let. Daar de beweging van het lichaam in zijn geheel op de gewone wijze door die beide krachten bepaald wordt, zal de kinetische energie van het lichaam een toeneming ondergaan, gelijk aan den gezamenlijken arbeid van de kracht F en de wrijving. Bij deze tweede beschouwingswijze behoeft van de warmteontwikkeling niet gesproken te worden. (Verg. § 144, c). Dergelijke opmerkingen gelden voor elk stelsel van lichamen waarbij de wrijving in het spel is. De aangroeiing van de kinetische energie der zichtbare bewegingen bedraagt minder dan de arbeid der werkende krachten, als men daarbij de wrijving niet meetelt; het verschil beantwoordt aan de warmteontwikkeling. Volgens de tweede opvatting kan men zeggen: Fig. 156. De vermeerdering van de kinetische energie der zichtbare bewegingen is gelijk aan den arbeid van alle krachten, de wrijving daaronder begrepen. Blijkens de laatste stelling kan de evenwichtsvoorwaarde die wij in dit hoofdstuk leerden kennen, altijd worden toegepast, als men maar de wrijving als een afzonderlijke kracht in rekening brengt. Wij zullen nu den invloed dier kracht nader beschouwen. In Fig. 157 stellen A en B twee Fig. 157. lichamen voor, die over elkaar kunnen glijden; het eene, B, wordt vastgehouden, terwijl het andere door een zekere kracht N loodrecht daartegen wordt gedrukt. Oefent men nu bovendien op A een tweede kracht F, evenwijdig aan het grensvlak uit, dan ontstaat, zoolang die kracht klein is, nog geen beweging; er wordt een wrijving opgewekt, die de kracht opheft. Bij het toenemen van F groeit ook de wrijving aan, maar het blijkt dat deze niet boven een zeker bedrag kan stijgen, dat evenredig met den normalen druk N is, en dus door c N kan worden voorgesteld. Het getal c wordt de wrijvingscoëfficient genoemd; het is bij de wrijving van metaal op metaal wel nooit grooter dan 0,3 maar kan door het gebruik van smeermiddelen tot 0,01 dalen. De waarde is van den aard der oppervlakten, van dien van het smeermiddel en van de temperatuur afhankelijk. Zoodra de kracht F de waarde c N te boven gaat, kan zij niet meer door de wrijving worden opgeheven, en zal het lichaam zich in beweging stellen. Men kan hieruit afleiden, wanneer een enkele kracht P het lichaam A over B zal kunnen voortschuiven. Wij onderstellen dat die kracht een scherpen hoek x maakt met de naar de zijde van B getrokken normaal; zij kan dan ontbonden worden in een component, P cos x volgens die lijn, en een tweede, P sin x langs het oppervlak. De wrijving kan nu geen grootere waarde krijgen dan c P cos x. Is dus P sin x < c P cos x, dan ontstaat geen beweging; wel daarentegen, zoodra P sin x > c P cos * is. Men kan deze ongelijkheden schrijven in den vorm tg x < c en tg x > c. Bepaalt men dus een hoek (3 zoo, dat tg/3 = c is, dan brengt de kracht het lichaam in beweging of laat het in rust, naarmate x > of < (3 is. De hoek (3 wordt de wrijvingshoek genoemd; het is de hoek dien de kracht met de normaal moet maken, als zij op het punt zal zijn, het lichaam in beweging te brengen. Men kan ook zeggen dat de reactie die het lichaam B op A kan uitoefenen, en ivaardoor een op A werkende kracht kan worden opgeheven, nooit een grooteren hoek met de normaal maakt dan de wrijvingshoek. Uit het gezegde volgt aanstonds, wanneer een lichaam op een hellend vlak in evenwicht kan zijn. Is (Fig. 158) C N de normaal en maken de lijnen CD en CE daarmede hoeken, Fig. 158. gelijk aan den wrijvingshoek, dan zal het lichaam in rust blijven zoolang de resultante van alle krachten waaraan het onderworpen is, binnen den hoek DCE valt; is b.v. die kracht volgens C P gericht, dan is de component daarvan langs het hellende vlak niet voldoende om de wrijving te overwinnen, waarvan de maximale grootte door de component volgens de normaal bepaald wordt. Elke kracht die, zooals C Q, buiten den genoemden hoek valt, zal het lichaam in beweging brengen. Werkt alleen de zwaartekracht op het voorwerp en verandert men den hellingshoek van het vlak, dan is het lichaam op het punt naar beneden te glijden, zoodra die hoek == (3 wordt. Evenals bij het hellend vlak kan men nu ook in alle andere gevallen waarin de wrijving in het spel is, nagaan, wanneer de krachten op het punt zijn, een beweging naar de eene of naar de andere zijde teweeg te brengen. Tusschen die beide gevallen liggen dan steeds vele andere, waarin geen beweging ontstaat. Tot verdere opheldering- kunnen de volgende voorbeelden dienen. a. Een lichaam A B (Fig. 159) is ondersteund door een horizontaal vlak A C en een verticaal vlak B C (ladder tegen muur); P zij de verticaal onderstelde resultante der krachten die er op werken. Trekt men in A en B de normalen AD en B D en maakt men de hoeken D A E en DBF gelijk aan de wrijvingshoeken, dan moeten de richtingen der in A en B door de.steunvlakken uitgeoefende krachten binnen die hoeken vallen. Aan de voorwaarde dat de lijnen langs welke deze krachten werken, elkaar op het verlengde van P G ontmoeten, kan alleen voldaan worden, wanneer deze lijn den vierhoek H E F D doorsnijdt. Valt P G links van E, dan glijdt het lichaam uit. Bij deze beschouwing is in aanmerking genomen, dat wegens de nei¬ ging tot uitglijden de reactie in A naar links en die in B naar boven gericht is. Zoodra het boven bedoelde ontmoetingspunt M bekend is, kan men de drukkingen in A en B bepalen door P naar dat ontmoetingspunt over te brengen en volgens M A en M B te ontbinden. Daar nu echter M nog elk punt op het verlengde van P G kan zijn, dat binnen HEFD ligt, blijven die drukkingen tot op zekere hoogte onbepaald. Dit is een gevolg hiervan, dat, zoolang de wrijvingen in A en B niet de grootste waarden behoeven te hebben, die zij kunnen aannemen, het öf vooral de eerste öf vooral de tweede kan zijn, die het lichaam in evenwicht houdt. Dit hangt af van kleine bijzonderheden in de wijze waarop het lichaam tegen de vlakken geplaatst werd. 6. Een l'.chaam M (Fig. 160) is voorzien van een as a, die Fig. 160. Fig. 161. nauw sluit iu de pan l. Wij zullen onderstellen dat alle op M werkende krachten tot een enkele verticale kracht F kunnen worden samengesteld. Deze zal nu op het punt zijn, het lichaam in beweging te brengen, wanneer zij zooveel rechts of links van O valt, dat de hoek Oqp gelijk is aan den wrijvingshoek (3. Daartoe moet, als O q = r is, O p = r sin (3 zijn, zoodat de dikte van de as niet zonder invloed is. c. JEjen grooten invloed heett de wrijving bij schroeven. In het geval van een rechthoekig profiel (§ 171, d) zal een kracht in de lengterichting der schroef geen draaiing kunnen te weeg brengen als de normaal op het schroefvlak. met deze richting een hoek maakt, kleiner dan de wrijvingshoek. Men ziet gemakkelijk in dat als de hoek die de windingen maken met een vlak loodrecht op de as (zie Fig. 158) kleiner is dan de wrijvingshoek, er aan deze voorwaarde voldaan is. Bij een schroef met driehoekig profiel is de invloed der wrijving nog grooter. Men gebruikt deze laatste overal daar waar liet om stevige bevestiging te doen is, terwijl schroeven met rechthoekig profiel meer tot het overbrengen van bewegingen gebruikt worden. Een schroef met kleinen spoed kan reeds door kleine krachten die in een vlak loodrecht op de as werken, worden bewogen. Om nu bij een schroef die tot bevestiging moet dienen, te verhinderen dat dit gebeurt door toevallige schokken of trillingen, is het noodig, de windingen van den schroefdraad krachtig tegen die van de moer te drukken. Dit kan b.v. op de volgende wijze gedaan worden. Men verbeelde zich de moer van Fig. 133, B uit twee boven elkaar geplaatste deelen samengesteld (moer en contramoer) en deze door een draaiing in tegengestelde richting tegen elkander gedrukt. De eene moer drukt dan de andere tegen de windingen der schroef aan. cl. Als in het middelpunt van een cilinder die op een horizontaal vlak ligt, een horizontale kracht loodrecht op de as werkt, zou hij bij afwezigheid van alle wrijving voortschuiven of glijden. Zijn evenwel de oppervlakken ruw genoeg en worden zij genoegzaam tegen elkaar gedrukt, dan verhindert de wrijving de verplaatsing van het raakpunt over het vlak. De cilinder kan dan alleen voortrollen en deze beweging zou reeds bij een zeer kleine horizontale kracht ontstaan, wanneer zich niet een weerstand van anderen aard dan de tot nu toe besprokene, de zoogenaamde rollende wrijving, daartegen verzette. Deze is hieraan toe te schrijven, dat de cilinder en het steunvlak iets worden ingedrukt, zoodat er een klein aanrakingsoppervlak bestaat. De voortdrijvende kracht F (Fig. 162) moet nu den cilinder om de lijn a opkantelen, en daartoe moet zij een zekere grootte hebben. In tegenstelling met deze rol- *'ig- 162. lende wrijving wordt de weerstand waarvan in het begin dezer § sprake was, sleepende wrijving genoemd. Dat de wielen van een rijtuig ten doel hebben, de sleepende wrijving door de kleinere rollende wrijving te vervangen, en dat men door remblokken tegen de wielen te drukken een sleepende wrijving opwekt, die het voertuig doet stil staan, behoeft slechts met een enkel woord vermeld te worden. Ten slotte merken wij nog op dat zoowel de rollende als de sleepende wrijving gebleken is, gedurende de beweging kleiner te zijn dan op het oogenblik waarop die nog moet beginnen. Om een lichaam met standvastige snelheid voort te schuiven is een kleinere kracht noodig dan om het in beweging te brengen. § lfc>3. Arbeid eii arbeidsvermogen bij werktuigeu die iii beweging zijn. Men verbeelde zich, om een bepaald geval voor oogen te hebben, een stoomwerktuig dat een aantal zaagmachines in beweging brengt. Wij kunnen deze alle met het stoomwerktuig als één stelsel van lichamen opvatten, waarbij wij echter zoowel den stoom als het door te zagen hout zullen uitsluiten. De druk van den stoom tegen den zuiger en de kracht waarmede het hout zich tegen de beweging der zagen verzet, zijn dan uitwendige krachten, de eerste een beweegkracht, de laatste een weerstand die, daar het overwinnen ervan het doel der werktuigen is, wel eens „nuttige" weerstand genoemd wordt. Bovendien bestaan er „schadelijke" weerstanden, zooals de wrijving en de weerstand der lucht. Bij de beweging verricht de beweegkracht een positieven arbeid, dien men uit den druk tegen den zuiger en de verplaatsing die deze ondergaat kan afleiden. Elke weerstand daarentegen verricht een negatieven arbeid; men zou dezen b.v. bij een zaag uit den weg dien hij aflegt en de kracht die hij van het hout ondervindt kunnen berekenen. Zij, gedurende eenig tijdsverloop, A de arbeid der beweegkracht, — B die der nuttige en — C die der schadelijke weerstanden! Is dan A > B + C, of < B -f C, dan is de kinetische energie van het stelsel toe- of afgenomen, terwijl zij onveranderd is gebleven, wanneer juist A = B 4- C is. Heeft het stelsel eenmaal een regelmatigen gang, dan kan wel de snelheid zijner deelen periodiek veranderen, maar keert na een zekere periode weer dezelfde kinetische energie terug. Voor zulk een periode moet dus A = B -f C zijn. Het nuttig effect is des te grooter naarmate — grooter is. Voor korte tijden behoeft volstrekt niet A = B -f- C te zijn. De te overwinnen weerstanden kunnen aanmerkelijk in grootte wisselen, en wanneer men in het oog houdt dat de zuiger een zeer veranderlijke snelheid heeft, is het duidelijk dat de beweegkracht in gelijke tijdsdeelen niet denzelfden arbeid verricht. Gedurende korte tijden zal derhalve de kinetische energie niet standvastig zijn. Om nu de daaruit voort- vloeiende snelheidsveranderingen zoo klein mogelijk te maken, verbindt men aan de werktuigen een groote massa, die mede in beweging gebracht moet worden. Het is nl. duidelijk dat aan een zelfde vergrooting of verkleining van het arbeidsvermogen van beweging bij een groote massa een kleinere snelheidsverandering zal beantwoorden dan bij een kleine. Aan de bedoelde massa wordt de vorm gegeven van een wiel met zwaren rand, dat op een der wentelende assen is aangebracht. Dit vliegwiel kan, eenmaal in beweging zijnde, bij een tijdelijk vermeerdering van B of vermindering van A uit zijn voorraad arbeidsvermogen energie afstaan aan de overige deelen der werktuigen. Wij merken hier nog op dat men de werking van een werktuig dat bestemd is om arbeid te verrichten, beoordeelt naar den arbeid dien het per tijdseenheid doet. Men spreekt van een werktuig van 1 Watt wanneer de arbeid 10' ergen per seconde, en van 1 paardekracht, wanneer hij 75 kilogrammeter per seconde bedraagt. Daaruit kan men afleiden dat een paardekracht met 736 Watt overeenstemt. § 184. Arbeidsvermogen van een wentelend lichaam. Physische of samengestelde slinger. Als bij een draaiend lichaam de verdeeling der massa ten opzichte van de as van wenteling gegeven is, kan men door wiskundige berekening voor iedere hoeksnelheid de kinetische energie bepalen. Zelfs behoeft deze berekening maar voor één hoeksnelheid uitgevoerd te worden, (laar de uitkomst evenredig met de tweede macht der hoeksnelheid moet zijn. Immers, als men de hoeksnelheid verdubbelt, verdubbelt men ook alle lineaire snelheden (§ 149) en wordt voor elk deeltje van het lichaam het arbeidsvermogen van beweging 4 maal grooter. Men heeft aan het ticeevoud der waarde die de kinetische energie bij een hoeksnelheid = 1 heeft, den naam traagheidsmoment ten opzichte van de as van wenteling gegeven. Stellen wij deze grootheid door Q voor, dan is bij een hoeksnelheid u het arbeidsvermogen van beweging J Q u2. Het traagheidsmoment kan proefondervindelijk bepaald en bij lichamen van eenvoudigen vorm berekend worden. Zoo zal b.v. voor een ring met den straal R en de massa M het traagheidsmoment ten opzichte van een as door het middelpunt loodrecht op het vlak van den ring, worden voorgesteld door Q = M Rs, wat men gemakkelijk inziet als men bedenkt dat bij een hoeksnelheid « de lineaire snelheid van elk punt R u is. Wij kunnen opmerken dat het traagheidsmoment verschillende icaarden heeft, naarmate het ten opzichte van de eene of de andere as wordt genomen, dat iedere toevoeging aan een lichaam van een nieuwe massa ook het traagheidsmoment vergroot, en eindelijk dat deze grootheid niet alleen van de massa der deelen van het lichaam afhangt, maar ook van den afstand waarop zij van de as zijn verwijderd. Een zelfde massa zal nl. bij een bepaalde hoeksnelheid een des te grootere kinetische energie hebben, naarmate zij verder van de as geplaatst is. De invoering van het traagheidsmoment maakt het mogelijk, verschillende vraagstukken omtrent wentelende lichamen op te lossen. Een van de belangrijkste daarvan is de bepaling der beweging van een zoogenaamden phijsischen slinger. Men geeft dezen naam aan elk vast lichaam dat onder den invloed der zwaartekracht om een vaste horizontale as kan draaien. Zulk een lichaam zal in standvastig evenwicht verkeeren, wanneer het zwaartepunt Z (Fig. 163) verticaal be- Fig. 163. neden de as O ligt. Wordt de slinger uit dezen stand over een zekeren hoek verplaatst, zoodat het zwaartepunt in Z' komt, en vervolgens losgelaten, dan zal hij om den evenwichtsstand heen- en weerschommelen en daarbij telkens aan weerszijden evenveel uitwijken, zooals men uit de wet van het behoud van arbeidsvermogen kan afleiden. Met behulp van diezelfde wet kan men bepalen welke hoeksnelheid « de slinger in een willekeurigen stand, als b.v. het zwaartepunt in Z" is, heeft. Want, sedert liet verlaten van den uitersten stand, is het arbeidsvermogen van plaats verminderd met een bedrag dat men vindt door het gewicht P met de verticale projectie van Z Z' te vermenig- vuldigen. Aan dat bedrag moet nu de kinetische energie in den stand O Z gelijk zijn, d. w. z. het product \ Q «2, als Q het traagheidsinoment ten opzichte van de as is. Is deze laatste grootheid bekend, dan kan dus ook « worden bepaald, wat voldoende is om de beweging stap voor stap te volgen. Hen heeft op deze wijze aangetoond dat bij kleine waarden van de amplitudo, elk punt, evenals liet stoffelijke punt van een mathematischen slinger, een enkelvoudige trilling uitvoert. De tijd, noodig voor de beweging van den eenen uitersten stand naar den anderen wordt bepaald door de formule (4) als l den afstand van het zwaartepunt tot de as voorstelt. «Substitueert men in deze formule P = M<7, waai in M de massa van den slinger is, dat gaat zij over in & = TC ]/" Q v M gl' Hieruit blijkt hoe men de versnelling der zwaartekracht uit waarnemingen omtrent den schommeltijd kan afleiden, wanneer men Q kan bepalen. Men ontgaat deze laatste bepaling door gebruik te maken van de eigenschap van het slingerend lichaam, dat er verschillende evenwijdige assen zijn aan te wijzen welke, als draaiingsas genomen, denzelfden schommeltijd zouden opleveren. Men kan steeds twee zulke assen vinden, die aan weerszijden van het zwaartepunt, en op ongelijke afstanden daarvan gelegen zijn. Kent men deze ten naastenbij, dan kan men door een verschuifbaar gewicht den schommeltijd zoo regelen, dat hij voor beide assen even groot is (rerersieslinger); de theorie leert dat dan de afstand der assen gelijk is aan de lengte van een mathematischen slinger die denzelfden schommeltijd heeft. Uit dezen tijd, in verband met den genoemden afstand, vindt men q met de formule van § 104. Ook zonder de berekening1 van den schommeltijd volgens de vergelijking (4) uit te voeren, kan men menigmaal een oordeel vellen over den duur der schommelingen. Gemakkelijk zal men b.v. inzien dat het aanbrengen eener massa boven de as den schommeltijd vergroot, en dat het juk eener balans langzaam moet schommelen, daar l hier klein is, en toch de massa der armen in beweging gebracht moet worden. Bij verkorting van het juk zal allicht, wegens de afneming van Q, de schommeltijd kleiner worden, wat als een voordeel is te beschouwen. Overigens is ook de massa der schalen en die der belastingen van invloed op den schommeltijd. § 185. Nadere beschouwing van liet traagheidsnioment. a Laat mx, m.it m3, enz. de massa's zijn van de stoffelijke punten waaruit een lichaam is opgebouwd, r,, r2, r3, enz. hunne afstanden tot de as. Bij een hoeksnelheid «, hebben de bedoelde punten de snelheden r, «, r2 ®, r-,u, enz. De kinetische energie is dus i (», r,2 + mt r22 + m3 r-,1 + enz. . .) *2, °f i Q i»2, als men ... Q = f)1 + Wj »"j2 + m3 r3J + enz. . . = Zmr* . ... (5) stelt. Deze vergelijking doet zien hoe men het traagheidsmoment kan berekenen. Is M de massa van het lichaam, dan stelt ■ V'» <°> den afstand voor, waarop die geheele massa van de as zou moeten verwijderd zijn, om bij een zelfde hoeksnelheid dezelfde kinetische energie te hebben, als in werkelijkheid bestaat. . Men noemt e den traagheidsstraal. Door toepassing van de vergelijkingen (5) en (6) heeft men de volgende waarden daarvoor gevonden. Voor een bol met den straal R, ten opzichte van een middellijn P = R VI i voor een cilinder met den straal 11 en de hoogte H, met betrekking tot de meetkundige as p = R V\; voor hetzelfde lichaam met betrekking tot een lijn, door het zwaartepunt loodrecht op de meetkundige as getrokken, P = \/ \ R2 + VfBT; voor een rechthoekig parallelepipedum met de ribben a, b en c, ten opzichte van een lijn, door het middelpunt evenwijdig aan de ribbe a getrokken, p = t/,l,(42 + "2)- By deze opgaven is ondersteld dat de lichamen homogeen zijn. b. Zij (Fig. 164) Z het zwaartepunt van een lichaam, Q het traagheidsmoment ten opzichte van een door Z loodrecht op het j.jlr vlak der teekening gebrachte as. Men kan, als dit Bekend is, net traagueidsmoment U berekenen ten opzichte van een as, door een willekeurig punt A van bovengenoemd vlak evenwijdig aan de eerste getrokken. Breng te dien einde door A een vlak loodrecht op A Z en noem, voor een der deeltjes van het lichaam, m de massa, x den afstand tot dat vlak, r en r' de afstanden tot de assen die door Z en A gaan. Zij eindelijk A'/j = d. Dan is r2 = r'1 d 2 — 2 d x, dus £ m r1 = E m r'2 -|- d2 S m — '2 d S m x, of, daar (§ 170) S m x — M d is, Q' = Q, + M . Beweging van een lichaam 0111 een vaste as. a. Een lichaam dat om een vaste as kan draaien en onderworpen is aan een standvastig koppel K in een vlak loodrecht op die as, neemt een eenparig versnelde wenteling aan. De aangroeiing der hoeksnelheid per tijdseenheid wordt de hoekversnelling genoemd. Zij deze q en zij u de hoeksnelheid aan het begin van een tijdsverloop t. Aan het eTnde daarvan is zij dan u + q r en de kinetische energie is toegenomen met >, Q (« + q r)» — 1 Q «2 = > Q (3 „ + q T) q r, . . . . (7) waarbij het traagheidsmoment ten opzichte van de draaiingsas weer door Q, is voorgesteld. De hoek waarover het lichaam in den tijd x draait, wordt gevonden door de gemiddelde hoeksnelheid in rekening te brengen (verg. § 92). Hij is dus (')V. Wij hebben dus P v8 2 <7 of v — V 2 g h, (1) zoodat de uitstroomingssnelheid gelijk is aan de snelheid die een vooricerp krijgt, als het van de hoogte li valt (Wet van Torricelli). Deze regel geldt ook wanneer de vloeistof door een opening in een zijwand uitstroomt, en zelfs, wanneer zij door een opening in een horizontalen wand, b.v. in den wand AB in Fig. 185 (p. 818) naar boven spuit. Door zijn snelheid zou elk vloeistofdeeltje dan tot een hoogte gelijk aan die van den vloeistofspiegel S kunnen opstijgen, als dit niet door de ontmoeting met de weer terugvallende deeltjes belet werd. Bovendien wordt in alle gevallen de uitstroomingssnelheid verkleind door de wrijving. Bestond er in het geheel geen wrijving, dan zou ook bij de uitstrooming door een hevel de afgeleide formule gelden. b. Zeer eenvoudig is ook de berekening der uitstroomingssnelheid als op het oppervlak der vloeistof nog een druk, b.v. die vau een samengeperst gas, werkt. Men kan nl. den arbeid van dezen druk in de berekening opnemen, of wel zich boven S nog een vloeistofmassa aangebracht denken, die door haar gewicht een druk op S teweegbrengt, even groot als de overmaat van den werkelijk bestaanden druk boven dien van de atmospheer. Men moet dan in de formule onder h de totale hoogte verstaan, die de vloeistof daardoor heeft gekregen. Mag men van den invloed der zwaartekracht afzien, en overtreft de druk in het vat den druk daarbuiten met een bedrag p, terwijl de dichtheid d is, dan heeft men voor den arbeid van den druk bij het uitstroomen van een kleine massa m, Door dit gelijk te stellen aan de verkregen kinetische energie, vindt men voor de uitstroomingsnelheid v -vw Bij gelijken druk is zij dus omgekeerd evenredig met den vierkantswortel uit de dichtheid. v. De omgekeerde beweging, waarbij de vloeistof door een opening in het vat naar binnen stroomt, is eveneens mogelijk, zoodra men aan het water maar een naar binnen gerichte snelheid van voldoende grootte geeft. Heeft b.v. de in het begin dezer § beschouwde beweging in omgekeerde richting plaats, dan wordt bij het naar binnen stroomen van een hoeveelheid vloeistof van het gewicht P een hoeveelheid arbeidsvermogen van plaats P h ge- Pp2 wonnen, terwijl er een hoeveelheid arbeidsvermogen van beweging —— ver- *9 loren gaat, waaruit weer volgt v = Vig h. De vloeistof heeft dus voor het naar binnen stroomen een even groote snelheid noodig als zij bij het uitstroomen zou krijgen. § 210. Hoeveelheid vloeistof die per tijdseenheid uitstroomt. Wanneer een vloeistof (of een gas) zich loodrecht op een begrensd plat vlak S daardoor heen beweegt, en wel overal met dezelfde snelheid v, zal gedurende een tijdsverloop r een vloeistofcilinder met de hoogte v r door het vlak zijn voortgeschoven. Het volume daarvan is »St; per tijdseenheid is dus het volume dat door het vlak stroomt v S. j Men kan dit echter niet op de opening ab van Fig. 197 toepassen, daar, zooals de figuur doet zien, de deeltjes aan den omtrek zich niet in verticale richting bewegen. Be vloeistofstraal trekt zich dientengevolge samen en eerst op eenigen afstand beneden ab, b.v. bij cd, wordt hij ten naaste bij cilindervormig. Daar de snelheden dan alle verticaal zijn geworden en nog slechts weinig grooter dan de in § 209 berekende snelheid v, krijgt men de uitstroomende hoeveelheid door v met de doorsnede van den straal bij cd te vermenigvuldigen. De waarneming heeft geleerd dat, wanneer O het oppervlak der opening ab zelf voorstelt, de bedoelde hoeveelheid nagenoeg 0,6 vO is. § 211. Drukverschillen bij de beweging eener vloeistof door een buis niet verwijdingen of vernauwingen. De wetten volgens welke de beweging eener vloeistof in buizen plaats heeft, zijn niet dezelfde bij verschillende middellijnen dezer laatste; van de doorsnede hangt namelijk de invloed af, dien de wrijving op de verschijnselen heeft. Wij zullen voorloopig onderstellen dat men de buizen wijd genoeg neemt om van de wrijving geheel te kunnen afzien. Dan behoeft men niet te letten op den vertragenden invloed van den wand beelden wij ons twee vloeistoflagen A en B (Fig. 202), die zich evenwijdig aan het grensvlak V, beide naar rechts, bewegen, maar met ongelijke snelheden. De laag A, die het snelst stroomt, wordt dan door de andere tegengehouden, maar tracht omgekeerd deze mede te sleepen. Be gelijke en tegengestelde krachten die zij op elkander, evenwijdig aan V, uit¬ oefenen, hebben bij elke vloeistof bij een gegeven snelheidsver schil een bepaalde waarde per eenheid van oppervlak, zoodat voor elke vloeistof een coëfficiënt (wrijvings■ coëfficiënt) kan xcorden ingevoerd, met behulp waarvan de krachten in ieder geval kunnen worden aangegeven. Stelt men deze krachten samen met den normalen druk tusschen A en B, dan blijkt het dat de totale werking tusschen de lagen scheef met betrekking tot V gericht is, iets, waarop reeds in § 201 gedoeld werd. Uit de waarnemingen heeft men afgeleid dat bij de beweging eener vloeistof door een buis meestal de uiterste vloeistoflaag geheel door den wand wordt vastgehouden. Deze laag oefent dan een vertragende werking uit op een volgende laag; deze weer op een derde meer naar binnen liggende, enz. Ten slotte bewegen zich die lagen het snelst, die het verst van den wand verwijderd zijn. Verdeelt men de vloeistofkolom in een buis van cirkelvormige doorsnede, door een groot aantal cilinders die met den buiswand de as gemeen hebben, in een vol cilindertje in het midden, en een aantal in elkaar passende holle kokers daarom heen, dan zal men zich gemakkelijk kunnen voorstellen hoe deze deelen der vloeistof, elk met zijn eigen snelheid, worden voortgeschoven. Iedere vloeistofkoker ondervindt daarbij zoowel aan de binnen- als aan de buitenzijde een wrijving, maar nadere beschouwing leert dat de wrijving aan de buitenzijde, die tegengesteld aan de beweging gericht is, do wrijving aan de binnenzijde overtreft, en dat dus voor eiken vloeistof koker de wrijving aan de beide zijden tezamengenomen zich tegen de beweging verzet. Er moet nu, ook al is de buis overal even wijd, en dus de Fig. 203. beweging van ieder deeltje gelijkmatig, een drukverschil bestaan, om de beweging te onderhouden. Laat (Fig. 203) A en B twee vaten zijn, door de buis a b verbonden, en waarin op een of andere wijze de vloeistof op de standvastige hoogten S, en S2 wordt gehouden, zoodat een stationaire beweging ontstaat. Men kan dan onderscheiden: den druk pj in het vat A, nabij de opening der buis, den druk p\ in de buis nabij a en wel op die plaats, waar de vloeistofdeeltjes zich met de snelheden die zij verder behouden zullen, evenwijdig aan de as van a b bewegen, verder den druk p'3 binnen de buis nabij b, even voordat de deeltjes bij het uittreden van snelheid veranderen, eindelijk den druk ps in B, nabij de uitmonding der buis. Dan wordt door het verschil pi —p\ de snelheid der vloeistof teweeggebracht, door het verschil p\—p'3 onderhouden, eindelijk door het verschil p3 — p3 weer vernietigd. Bij zeer enge (capillaire) en niet te korte buizen is nu de snelheid zoo klein en de wrijving van zooveel beteekenis, dat wij de verschillen p1 — p\ en p2 — p'3 tegenover p\ — p\ kunnen verwaarloozen, en dus kunnen rekenen dat het geheele drukverschil dient voor het overwinnen der wrijving in de buis. Uit de waarneming is gebleken dat bij buizen die aan deze voorwaarde voldoen, het volume vloeistof dat per tijdseenheid door een doorsnede gaat, dus wat wij de „sterkte" of „intensiteit'" van den stroom kunnen noemen, evenredig is met het drukverschil tusschen de uiteinden. Stelt men door r het drukverschil voor, dat noodig is om een stroom van de sterkte 1 door de buis te doen gaan, dan bestaat dus in elk ander geval tusschen de sterkte i en het drukverschil de betrekking Pi —Pi = ir, deelen der buis tusschen een reeks punten alle denzelfden weerstand hebben. Behalve van de lengte hangt de iceerstand van een buis nog af van de doorsnede en van den aard der vloeistof; natuurlijk wordt hij bij verwijding der buis kleiner. Door theoretische beschouwingen heeft men voor de sterkte van den vloeistofstroom, d. w. z. voor het volume dat per tijdseenheid door een doorsnede stroomt, de volgende uitdrukking gevonden: (3) O [tl (Wet van Poiseuille). Daarin is l de lengte der buis, a de straal der doorsnede en n de wrijvingscoefficient der vloeistof, van welke grootheid de beteekenis op de volgende wijze nader kan worden aangegeven. Wanneer in het geval van Fig. 202 in de nabijheid van het vlak V de naar rechts gekeerde snelheid geleidelijk van beneden naar boven toeneemt (in werkelijkheid is de verandering der snelheid van het eene punt tot het andere altijd geleidelijk), en wel zoo dat het verschil der snelheden in twee vlakken waarvan het eene 1 c.M. boven het andere ligt, 1 c.M. per sec. bedraagt, dan stelt n de kracht in dynes en per c.M2 voor, die de vloeistof aan de eene zijde van liet vlak V op de vloeistof aan de andere zijde uitoefent. Experimenteele onderzoekingen hebben de in de formule (3) opgesloten wetten bevestigd. De formule (2) stelt ons in staat, verschillende vraagstukken )ver de Beweging aoor nauwe juizen op te lossen. a. Laat de buis A (Fig. 204) sich splitsen in de takken B en 3, die zich bij Q weer vereeni*en. Zij il de stroomsterkte in B, die in C, rx de weerstand /an den eersten, rs die van den Fig. 204. tweeden tak, eindelijk p de druk in P, p' die in Q. Men heeft dan • _P—P' ,■ P-P — ~ , h- ^ , dus h ■ h = r3: rv Wil men tusschen P en Q een enkele buis inlasschen, die, bij een bepaalde waarde van p—p', alleen evenveel vloeistof de druk in P, p' rs die van den die in Q. Men doorlaat als B en C te zamen, dan wordt de weerstand x daarvan bepaald door p — p _ p—li , P — P x ~ rx r3 ' of rx ra x— —V-5-. r^ + ri b. Wij kunnen in een buis met den weerstand r een vloeistroom i teweeg brengen, wanneer wij de buis tusschen twee cilindrische vaten brengen, en op daarin passende zuigers de uitwendige drukkingen p, en p.2 uitoefenen. Wij moeten dan (§ 207, c) per tijdseenheid een arbeid (px — pt) ? verrichten, waarvoor wij mogen schrijven is r. Met dit bedrag moet de energie van het stelsel toenemen, en daarbij is nu alleen sprake van de warmteontwikkeling in de langs elkander wrijvende vloeistoflagen. De hoeveelheid warmte die in de seconde ontstaat is dus i2r (E mechanisch warmte-aequivalent). Tot dezelfde uitkomst geraakt men door in het geval van Fig. 203 op de verandering der potentieele energie te letten. Ten slotte vermelden wij nog dat ook het in deze § gezegde grootendeels bij gassen doorgaat; alleen worden hier door de veranderingen in dichtheid de verschijnselen iets ingewikkelder. § 214. Invloed der inwendige wrijving op andere bewegingsverschijnselen. Niet alleen bij de strooming door buizen, maar in het algemeen bij elke beweging eener vloeistof bemerkt men den invloed, zoowel van de inwendige wrijving tusschen de verschillende vloeistoflagen als van de krachten waarmede de vloeistof en vaste lichamen die zij aanraakt, op elkaar werkeji. Men mag wel aannemen, althans in de meeste gevallen, dat tengevolge dezer laatste krachten het vloeistoflaagje dat in onmiddellijke aanraking met een va^t lichaam is, in rust blijft als dit stilstaat en anders in de beweging ervan deelt. Wij beschouwen b.v. een bolvormig vast lichaam dat in een vloeistofmassa geplaatst is; deze massa verdeelen wij door bollen die concentrisch met het vaste oppervlak zijn, in oneindig dunne lagen. Wordt nu het vaste lichaam om een middellijn, stel om de verticale middellijn, gedraaid, dan sleept het de binnenste vloeistoflaag mede; deze heeft een dergelijke werking op de volgende vloeistoflaag en zoo vervolgens, zoodat ten slotte al de lagen om de verticale as wentelen, maar met hoeksnelheden die naar buiten toe voortdurend afnemen. Terwijl nu de bol op deze wijze de vloeistof meesleept, wordt hij zelf in zijne beweging belemmerd. Het gevolg is dat men, om den bol in beweging te houden, er voortdurend een koppel op moet laten werken en dat, als men dit niet doet, de beweging langzamerhand wordt uitgeput. Draaiende schommelingen, die men kan hebben wanneer de vaste bol met een punt van zijn oppervlak aan een draad is opgehangen, worden op deze wijze gedempt. Iets dergelijks als hier van een bol gezegd werd, geldt ook van lichamen van anderen vorm, b.v. van een cirkelvormige schijf, die in horizontalen stand met zijn middelpunt aan een draad is opgehangen en door een vloeistof omringd is. Het verdient verder opmerking dat de beweging die door een vast lichaam aan een vloeistof is medegedeeld, door deze op een tweede vast lichaam kan worden overgedragen. Zijn b.v. in een vloeistofmassa twee horizontale cirkelvormige schijven geplaatst, met de middelpunten op dezelfde verticale lijn, dan zal het ronddraaien der eene schijf om die lijn tengevolge hebben dat de andere zich eveneens op dezelfde wijze in beweging stelt. De wrijving geeft ook tot een weerstand aanleiding als een vast lichaam zich door een vloeistof heen verschuift. Over de wijze waarop zich in dit geval de vloeistof beweegt, kunnen wij hier niet in bijzonderheden treden. Wij vermelden alleen dat het onderzoek van alle in deze § genoemde verschijnselen en eveneens van de strooming door buizen heeft doen zien dat de grootte der voorkomende snelheden, dus b.v. de grootte der suelheid van een vast lichaam, of de grootte der gemiddelde snelheid van een vloeistofstroom van veel invloed is. Bij genoegzaam kleine snelheden zijn de verschijnselen betrekkelijk eenvoudig; voor de beweging in buizen gelden de boven besproken wetten en de weerstand dien een vast lichaam ondervindt, is evenredig aan de snelheid waarmede het wentelt of voortgaat. Bij grootere snelheden wordt alles ingewikkelder. In de vloeistof ontstaan onregelmatige draaiende bewegingen en de weerstand waarmede zich een buiswand tegen een vloeistofstroom of een vloeistof tegen de beweging van een vast lichaam verzet, neemt sneller toe dan de snelheden zelf. VIJFDE HOOFDSTUK. EIGENSCHAPPEN' VAN GASSEN. § 215. Wet van Boyle. liet proefondervindelijk onderzoek naar de eigenschappen van gasvormige lichamen heeft in de eerste plaats ten doel, het verband te leeren kennen, dat er tusschen den druk, de temperatuur en het volume bestaat. Daarbij kan men een dezer grootheden onveranderd laten. Men kan dus nagaan, hoe bij standvastige temperatuur het volume verandert met den druk (onderzoek naar de samendrukbaarheid), hoe bij constanten druk een gas zich bij verwarming uitzet, en eindelijk hoe in een gas dat in een onveranderlijk volume is opgesloten de druk stijgt, wanneer de temperatuur verhoogd wordt. Bij dit alles is het onverschillig of men spreekt van den druk dien het gas van buiten ondervindt, of van dien, welken het zelf uitoefent (spanning). De talrijke proeven die men ter bepaling van de samendrukbaarheid heeft genomen, hebben dit met elkaar gemeen, dat het gas in een glazen vat door een kwikmassa was afgesloten, die in het vat kon worden vooruitgedroven, hetzij door den druk eener kwikkolom, hetzij door een perspomp. Wil men het eerste middel bezigen, dan kan de toestel b.v. bestaan uit een verticaal geplaatste U-vorrnige buis met ongelijke beenen, waarvan het kortste gesloten en het andere open is. Het gas bevindt zich in het eerste been boven een in de buis gebrachte hoeveelheid kwik; door in het andere been kwik bij te gieten kan het gas worden gecomprimeerd. Fis. 205. Volgens de wet van Boyle (1661) is nu, zoolang de tempe- • ratuur onveranderd blijft, het volume van een gas omgekeerd evenredig met den druk dien het ondervindt, of, wat op hetzelfde neerkomt, de spanning evenredig met de dichtheid. Geen gas volgt de wet volkomen; er bestaan afwijkingen, die des te aanmerkelijker zijn, naarmate men bij lioogere drukkingen experimenteert. Bij gassen als lucht en waterstof mag men bij drukkingen, die niet vele malen grooter zijn dan die van de dampkringslucht, van de afwijkingen afzien; wij zullen dat in dit hoofdstuk steeds doen. § 216. Luchtpomp. Als toepassing van de wet van Boyle kan men de drukvermindering berekenen, die door de gewone, in Fig. 205 schematisch voorgestelde luchtpomp wordt verkregen. Het reservoir R, waaruit de lucht moet worden ver¬ wijderd, staat door de buis B in gemeenschap met den cilinder C, waarin de luchtdicht sluitende zuiger Z wordt op- en neerbewogen; bij a en J vindt men kleppen, die zich naar boven openen. Gaat de zuiger omhoog, dan is de klep b gesloten, zoowel door zijn gewicht en door een veer, als door den druk der buitenlucht; daarentegen wordt door een geschikt mechanisme a geopend. Een zekere hoe veelheid lucht stroomt dan uit R naar C. Zoodra de zuiger naar beneden gaat, wordt a gesloten, en nu heeft weldra de lucht beneden den zuiger voldoende spanning om b te openen en naar buiten te ontsnappen. Het benedenvlak van den zuiger moet zich zoo goed mogelijk aansluiten aan den bodem van den cilinder, in de kleine „schadelijke ruimte", die beneden den zuiger in zijn laagsten stand 'overblijft, bevindt zich nl. lucht van 1 atmospheer spanning en men ziet gemakkelijk dat hierdoor een grens gesteld wordt aan de verdunning in R. Een dergelijke schadelijke ruimte komt niet voor bij de kwikluchtpomp, waarmede men dan ook veel hoogere verdun- Fig. 206. ningen kan bereiken dan met de gewone luchtpompen. Men stelle zich, om een denkbeeld van de werking te krijgen, een glazen ballon voor, aan den top van een verticale buis, door welke men kwik in den ballon kan laten opstijgen of daaruit kan laten wegvloeien. Deze ballon moet in gemeenschap gebracht kunnen worden met het reservoir waaruit men de lucht wil verwijderen, en bovendien moet er een uitweg zijn aangebracht, waardoor lucht uit den ballon kan worden weggedreven. De beide wegen worden op een of andere wijze op geschikte oogenbliKKen geopena en gesloten, en wrel zoo, dat bij het wegvloeien van het kwik uit den ballon lucht uit het reservoir toestroomt en dat deze lucht, als het kwik stijgt, langs den zooeven genoemden uitweg wordt verwijderd. De ballon kan dus met den cilinder eener gewone luchtpomp vergeleken worden en het kwik met den zuiger, terwijl de schadelijke ruimte vermeden is, daar het kwik werkelijk in aanraking met den geheelen wand van den ballon kan komen en dezen dus geheel kan vullen. Wordt het openen en sluiten der ■verbindingswegen met behulp van kranen verkregen, wat bij de oudste kwikluchtpompen geschiedde, dan zal steeds door het vet, waarmede noodzakelijk de kranen moeten worden ingesmeerd, het kwik een weinig verontreinigd worden, wat de goede werking belemmert. De kwikluchtpomp van Bkssel-Hagen , die in Fier. 200 in zijn eenvoudigsteu vorm is voorgesteld, en waarbij alle kranen kunnen worden vermeden, is vrij van dit bezwaar. Men kan hier het kwik in den bol A doen rijzen of dalen door den bol B die met een caoutchoukslang aan de buis C is verbonden, naar boven of beneden te bewegen. Is het kwik uit A gedaald tot beneden D, dan staat A door de buis G in verbinding met de ledig te pompen ruimte. Laat men het kwik rijzen, dan is deze verbindingsweg weldra afgesloten, en de lucht uit A wordt door de buis F, die met zijne opening in het kwikbakje E uitkomt, naar buiten gedreven. Men kan gemakkelijk nagaan dat de buizen C, F en G langer moeten zijn dan 76 c.M. Een glazen vat dat met behulp van de kwikluchtpomp luchtledig is gemaakt, kan vervolgens worden afgesmolten. Men kan nl. de verbindingsbuis, op een plek waar hij reeds vooraf verengd was, met een spitse vlam verhitten. Zoodra het glas week is geworden, drukt de buitenlucht de buis dicht. § 217. Druk in den dampkring op verschillende hoogten. Met behulp van de wet van Boyle kan men aangeven hoe de druk in den dampkring afneemt, wanneer men tot hooger gelegen punten overgaat. Wij onderstellen daarbij dat de lucht in evenwicht is en overal de temperatuur van smeltend ijs heeft. Laat (Fig. 207) A,, Aa, A3, A4, enz. een reeks punteu Fig. 2U7. zijn, die op een verticale lijn, op afstanden van 1 M. van elkaar, liggen. Laat de drukkingen in de genoemde punten (in dynes per c.M2) zijn />,, p.2, p3, pt, enz., en de dichtheden (in grammen per c.M3) d,, r/a, d3, d4, enz. Volgens de wet van Boyle bestaat tusschen de dichtheid en den druk een standvastige verhouding C, zoodat dx = C p!, d^ = Cp-i, enz. is. Uit het feit dat bij een druk van 76 c.M. en een temperatuur van 0° een liter lucht een massa van 1,293 gram heeft, vindt men C = 1,275 X 10"'. Het verschil tusschen />, en p-i is nu gelijk aan het gewicht eener luchtkolom, die van Ai tot Aa reikt. Nu is de dichtheid der lucht tusschen A, en A2 niet overal dezelfde, maar verandert van dt tot d.,. Was zij overal = d,, dan zou Pi — p.t = lOO^r rf| = 100# Cp,, dus p2 — 0,9998749p, . (1) worden; was daarentegen de dichtheid overal d>. dan zou men vinden Pt ~ Pi = 100 ff C pit dus pt = Voert men de laatste deeling uit, dan blijkt de uitkomst tot in 7 decimalen met (1) overeen te stemmen; derhalve kunnen wij ons verder van deze laatste betrekking bedienen. Deaelfde beschouwingen als op de kolom A, Aa zijn ook op de kolommen AjA3, enz. van toepassing; men mag het gewicht van elke kolom berekenen alsof de lucht over zijne geheele hoogte dezelfde dichtheid had als aan den voet. Men vindt aldus /), = 0,9998749 pt, pt = 0,9998749 p3, enz., m. a. w. de drukkingen vormen een meetkundige reeks. Op een hoogte van h M. wordt de druk p = 0,9998749* pu waaruit voor de hoogte in Meters volgt h = 18400 log Op deze wijze zou men uit den barometerstand op den top van een berg, wanneer men dien aan het oppervlak der zee op 76 c.M. stelt, de hoogte van den berg kunnen afleiden. In werkelijkheid wordt de zaak iets minder eenvoudig, daar de temperatuur niet 0° is. § 218. Wet van Gay-Lussac. Ten einde, bij standvastiger) druk, de uitzetting van een gas door de warmte te onderzoeken, kunnen wij gebruik maken van een glazen bol die van een verdeelde buis voorzien is en in welken het te onderzoeken gas zich bevindt, afgesloten door een kleine kwikzuil in de horizontaal gelichte buis. Dit kwik verplaatst zich zoo gemakkelijk, dat de druk van het gas steeds gelijk aan dien van den dampkring is. Ter vereenvoudiging zullen wij onderstellen dat de barometerstand in den loop der proeven niet verandert en dat het vat zelf zich niet uitzet; in werkelijkheid moet met het oog op de volumeverandering van dit laatste een correctie worden aangebracht. Wanneer men nu een aantal van de beschreven toestellen, met verschillende gassen gevuld, met elkaar vergelijkt, blijkt door deselfde temperatuurverhooging bij alle gassen het volume in dezelfde verhouding toe te nemen. Dit is de wet van GayLussao (1816). Zij geldt ook voor het geval dat men een gas onder een anderen druk dan dien van den dampkring neemt. Onderzoekt men nl. tweemaal de uitzetting, eens terwijl de druk steeds 1 atmospheer bedraagt en een ander maal terwijl hij op 2 atmospheren wordt gehouden, dan neemt weer bij een bepaalde temperatuurverhooging in beide gevallen het volume in dezelfde verhouding toe. Wordt de toestel eerst in smeltend ijs gebracht en vervolgens in damp van water dat bij een barometerstand van 76 c.M. kookt, dan is de volumevermeerdering gelijk aan het oorspronkelijke volume, vermenigvuldigd met 0,366. Wij kunnen een der bedoelde toestellen als thermometer bezigen (luchtthermometer). Wij plaatsen daartoe bij die punten van de buis, tot welke de gasmassa bij de zooeven genoemde proeven reikt, de getallen 0 en 100, verdeelen den afstand daartusschen in honderd gelijke deelen en zeggen dat de temperatuur t° is, wanneer het gas zich uitstrekt tot de deelstreep waarbij het getal t staat. Klaarblijkelijk brengt deze bepaling der temperatuur mede dat het gas zich voor eiken graad temperatuurverhooging evenveel uitzet. Onder den uitzettingscoëfficient verstaat men de breuk die aangeeft welk gedeelte de volumevermeerdering bij 1° temperatuurverhooging is van het volume bij 0°. Is x deze coëfficiënt, v0 het volume bij 0°, en vt dat bij <°, dan is vt = v0 (1 + * t) (2) De waarde van den uitzettingscoëfficient is blijkens het bovenstaande 1 \ « = 0,00366 = Meet men nu verder de temperaturen met den zooeven genoemden thermometer en onderzoekt men de uitzetting van andere gassen, dan blijkt, wegens de wet van Gay-Lussac, ook bij deze het volume voor eiken graad toe te nemen met -^0 u 1 O van de waarde, die het bij 0° heeft. Derhalve geldt voor alle'} gassen de formule (2) en heeft voor alle de uitzettingscoëfficient dezelfde waarde. In werkelijkheid vertoonen de gassen dergelijke afwijkingen van de wet van Gay-Lussac als van die van Boyle; wij zullen evenwel ook daarvan afzien. § 219. Algemeen verband tusschen druk, temperatuur en volume. Hoe, bij onveranderlijk volume, de druk van een gasmassa bij verhitting verandert — het derde punt, dat in § 215 werd opgenoemd — behoeft niet meer afzonderlijk onderzocht te worden, maar kan uit hetgeen wij nu deeltjes dat per tijdseenheid door het vlak V (Fig. 202) gaat, bij verdunning kleiner, maar, aangezien de kans op een botsing vermindert, zullen de deeltjes uit de eene laag dieper in de andere doordringen, wat aan de vermenging bevorderlijk is. Werkelijk leert de waarneming dat b.v. het in §214 besproken medesleepen van de eene schijf door de andere bij de hoogste verdunning die men met een gewone luchtpomp bereiken kan, nog in dezelfde mate gebeurt als bij den dampkringsdruk. Dit is een van de merkwaardigste bevestigingen van de kinetische theorie der gassen. § 227. Druk van (le eene gaslaag tegen (le andere. In het vierde hoofdstuk hebben wij herhaaldelijk gesproken van den druk dien het eene deel van een gas tegen het andere uitoefent; wij stelden ons daarbij voor dat elk deel voortdurend uit dezelfde stof bleef bestaan. Men zou deze opvatting moeten laten varen wanneer er in de ruimtedeelen die men beschouwt, slechts weinig molekulen voorkwamen. Bevatte b.v. een c.M* van een gas 100 deeltjes, dan zouden de deeltjes die zich op zeker oogenblik in een laag ter dikte van 1 c.M. bevinden, spoedig ten gevolge hunner beweging naar alle zijden verstrooid zijn; ook zou men dan bezwaarlijk kunnen spreken van een druk door de aangrenzende deelen van het gas uitgeoefend, daar de laag de meeste molekulen die van uit die deelen komen aanvliegen, vrij zou doorlaten. In werkelijkheid is bij gassen van de gewoonlijk voorkomende dichtheid de zaak anders. Daar de gemiddelde lengte van den weg tusschen twee botsingen nog geen tienduizendste c.M. bedraagt, zal bv. by een laag van 1 m.M. dikte de uitwisseling van molekulen met de omgeving tot de nabijheid der zijvlakken beperkt blijven en kan zulk een laag gedurende geruimen tijd geacht worden uit dezelfde deeltjes te bestaan. Deeltjes die uit de omgeving komen, stooten op kleinen afstand van het oppervlak tegen molekulen die tot de laag behooren, en brengen dus een druk tegen deze te weeg op een wijze die niet veel verschilt van wat er zou gebeuren als zij tegen een vasten wand botsten. § 228. Temperatuurveranderingen bij adiabatische uitzetting en samendrukking. Wanneer een zuiger die een gasmassa in een cilindervormig vat afsluit wordt vastgehouden, zal een molekuul met dezelfde snelheid teruggekaatst worden, EC, = «pr.^A 1 P—H Uit deze vergelijking en (10) kunnen nu cv en E bepaald worden. Elimineert men de laatste grootheid, dan komt er: C1 = P —Pi (13) Cl pi — Pt liet is dus de verhouding der beide soortelijke warmten, die door de nu beschouwde proef bepaald wordt. § 233. Uitstrooming Tan gassen. Onderstellen wij dat een gas zicli bevindt in een vat, aan de eene zijde afgesloten door een bewegelijken zuiger, waarop een standvastige uitwendige druk wordt uitgeoefend, en dat het dientengevolge, door een opening tegenover den zuiger, uitstroomt in een ruimte waarin een onveranderlijke lagere druk heerscht. De vraag, met welke snelheid het gas dan door de opening gaat, kan, evenals de overeenkomstige vraag voor een vloeistof (§ 209), beantwoord worden met behulp der wet van het arbeidsvermogen; men moet daarbij echter niet alleen letten op den positieven arbeid van den druk op den zuiger en den negatieven arbeid van den druk die zich tegen de uitstrooming verzet, maar ook op de inwendige energie en, zoo noodig, op de hoeveelheid warmte die van buiten aan het gas wordt toegevoerd. Is de wand waarin zich de opening bevindt, zeer dun en is dus het gas slechts over een klein oppervlak met een vast lichaam in aanraking, dan kan men van die warmte afzien, maar, daar het gas zich dan adiabatisch uitzet, daalt de temperatuur en neemt de inwendige energie af. De uitstroomingssnelheid is dus anders dan men zou vinden als men de kinetische energie die er aan beantwoordt uit den arbeid der drukkingen alleen berekende. Wij kunnen hier het verschijnsel niet nader beschouwen. Alleen moge met verwijzing naar het in § 209 gezegde opgemerkt worden dat bij een zelfde drukverschil de snelheid des te grooter is, naarmate men met een lichter gas te doen heeft en dat zij aanmerkelijk grooter is dan de snelheid waarmede een vloeistof zou uitstroomea wanneer bij deze aan weerskanten der opening dezelfde drukkingen bestonden als in het gas. ZESDE HOOFDSTUK. THERMODYNAMISCHE BESCHOUWINGEN. § 234-. Teinperatuurevenwicht. Terwijl men met behulp van de molekulaire theorie menig verschijnsel bij gassen, en, zooals ons later zal blijken, ook bij vloeistoffen, kan verklaren, is het toch in vele gevallen nog onmogelijk, zich tot in bijzonderheden rekenschap te geven van de beweging der molekulen en de werking die zij op elkander uitoefenen. Reeds vroeger (§ 112) werd erop gewezen, van hoeveel belang onder deze omstandigheden de wet van het behoud van arbeidsvermogen is. Wij zullen ons nu bezighouden met algemeene stellingen van anderen aard, die eveneens de verschijnselen tot op zekere hoogte begrijpelijk maken, ook al blijft ons het mechanisme waardoor zij worden teweeggebracht verborgen. Daar bij de volgende beschouwingen het begrip van temperatuur een voorname rol speelt, beginnen wij met nog eens te herinneren aan de beteekenis van dit woord. Wanneer wij een aantal lichamen onderzoeken, elk in een bepaalden toestand genomen, kunnen wij voor ieder daarvan een zeker getal aangeven, op zoodanige wijze dat het van de grootte dezer getallen afhangt, of bij de aanraking van twee lichamen warmte van het eene naar het andere overgaat, en, zoo ja, in welke richting dat gebeurt. Zijn de bedoelde getallen voor twee lichamen even groot, dan zullen deze bij de aanraking onveranderd blijven; in ieder ander geval zal warmte overgaan van het lichaam met het grootste naar het lichaam met het kleinste getal. De aldus gekozen getallen, waarvoor b.v. genomen kunnen worden die welke het volume van een bepaalde gasmassa voorstellen, die, steeds onder denzelfden druk, achtereenvolgens met de verschillende lichamen in aanraking wordt gebracht, noemen wij de temperaturen der lichamen. Vooreerst verdient het nu opmerking dat het volstrekt niet van zelf spreekt, maar als een uitkomst onzer waarnemingen moet beschouwd worden, dat getallen van den bovengenoemden aard werkelijk kunnen icorden aangegeven, en dat er dus van een temperatuur kan worden gesproken. Om dit in te zien, stelle men zich drie lichamen A, B en C voor, in zulke toestanden, dat er geen warmteovergang plaats heeft, als men A met B, en evenmin als men A met C in aanraking brengt. Beproeft men nu getallen te kiezen, die de straks vermelde eigenschap hebben, dan moet klaarblijkelijk aan B en ook aan C hetzelfde getal worden toegekend als aan A, en wanneer deze getallen in alle gevallen over het al of niet overgaan van warmte zullen beslissen, is het noodig dat dan ook B en C bij aanraking geen warmte aan elkander geven. De waarneming leert dat dit inderdaad zoo is, maar het is wel denkbaar dat B warmte aan C zou afstaan, al vertoonden zij geen van beide een warmtewisseling met A. In de tweede plaats moet erop gewezen worden dat de gelijkheid van temperatuur of, zooals men zegt, het „temperatuurevenwicht" van zelf ontstaat, wanneer wij troee of meer lichamen aan zich zelf overlaten, onder zoodanige omstandigheden dat op een der in §146 genoemde icijzen warmte van het eene naar het andere kan overgaan. In korter of langer tijd worden dan alle temperatuurverschillen vereffend. § 235. Evenwichtstoestanden. In de vorige § werd stilzwijgend ondersteld dat er in het beschouwde stelsel geen andere verandering kan plaats hebben dan een overgang van warmte van het eene lichaam naar het andere. In werkelijkheid kunnen dikwijls tal van andere verschijnselen gebeuren, maar de ervaring leert dat ook daarbij steeds een bepaalde eindtoestand ontstaat, die verder niet meer verandert. van een waterstroom, waarin zich alle deeltjes in dezelfde richting bewegen; wij kunnen het water op de schoepen van een rad laten werken. Moeilijker zou het reeds zijn, het water arbeid te laten verrichten wanneer er tal van kleine wervelstroomen in bestonden. En volkomen onmogelijk is het, de kinetische energie der in alle richtingen voortvliegende molekulen van een gas geheel voor mechanischen arbeid te gebruiken, daar wij de molekulen niet afzonderlijk kunnen hanteeren, en niet elk molekuul tegen een klein vlakje kunnen laten drukken, dat loodrecht op de bewegingsrichting gehouden wordt. De inwendige energie der molekulaire bewegingen is ons veel minder toegankelijk dan het arbeidsvermogen dat zichtbare deélen der lichamen in hun geheel hebben. Met dat al kan men er wel tot op zekere hoogte partij van trekken, en met name is dit het geval, zooals ons aanstonds zal blijken, wanneer men over lichamen van verschillende temperatuur kan beschikken. § 289. Omzetting van warmte in mechanisch arbeidsvermogen. Zonder in technische bijzonderheden te treden, zullen wij nu nagaan, op welke wijze bij de stoomwerktuigen en de heete-luchtmachines warmte in mechanisch arbeidsvermogen wordt omgezet. Vooreerst verdient het opmerking dat deze „calorische machines" bestemd zijn om, zoo lang men wil, onophoudelijk arbeid te verrichten, en dat te dien einde het lichaam waarvan men zich bedient (het „werkende lichaam"), drukt tegen een in een cilinder heen- en weergaanden zuiger '), waarvan de beweging op een vliegwiel wordt overgebracht. Wij zullen aannemen dat de verschijnselen volkomen periodiek zijn en dat men voortdurend van dezelfde massa van het werkende lichaam gebruik maakt; dit moet zich dan, telkens als de zuiger een heen- en weergang volbracht heeft, weer in den- 1) Wij laten werktuigen zooals de stoomturbines van De La val , bij welke een stoomstraal met groote snelheid de schoepen van een rad treft, buiten beschouwing. zelfden toestand bevinden; het moet dus een kringloop van veranderingen ondergaan hebben. Gemakshalve nemen wij aan dat het daarbij slechts met de eene zijde van den zuiger in aanraking komt en dat zich aan de andere zijde de dampkringslucht bevindt. De druk van deze laatste verricht bij een heen- en weergang, alles samengenomen, geen arbeid. Het werkende lichaam doet een positieven arbeid als het den zuiger naar buiten drijft, en een negatieven als deze terugkeert- M. a. w., terwijl door den druk dien 't uitoefent in 't eerste geval de wenteling van 't vliegwiel versneld wordt, moet dit arbeidsvermogen afstaan om den zuiger weer naar binnen te drijven. Zal de geheele arbeid van het werkende lichaam gedurende een periode positief zijn, dan moet het, terwijl de zuiger naar buiten gaat, een grooteren druk uitoefenen dan terwijl hij terugkeert. Bit is mogelijk als het lichaam gedurende de twee helften van den kringloop verschillende temperaturen heeft. § 240. Heete-luclitmachines. Ziehier, als voorbeeld, hoe een der meest eenvoudige werktuigen, waarin beurtelings verhitte en afgekoelde lucht gebezigd wordt, is ingericht. Een luchtketel A (Fig. 211) wordt aan de benedenzijde bij B verhit en aan het boveneinde C op een lage temperatuur gehouden door koud water, dat in een ringvormigen bak rondom C is aangebracht. In den ketel bevindt zich een lichaam D, dat wij den „verdringer" zullen noemen; het kan zich, met eenige speling aan den omtrek, op en neer bewegen en laat dan aan de boven- of beneden- Fig. 211. zijde een zekere ruimte over, die met lucht gevuld is. De d verdringer heeft ten doel, terwijl hij op en neergaat, deze hoeveelheid lucht beurtelings in het verhitte of het afgekoelde deel van A te brengen en dus een hooge of lage temperatuur te doen aannemen. De daaruit voortvloeiende drukveranderingen worden gebezigd om den zuiger Z in een cilinder E, die met den luchtketel verbonden is, te doen heen- en weergaan. Men laat den zuiger naar buiten gaan, wanneer de verdringer hoog en naar binnen, wanneer hij laag geplaatst is. De zuiger is op de gewone wijze verbonden met een as die van een vliegwiel is voorzien, en de verdringer ontvangt op de geschikte oogenblikken zijne beweging van deze as, waarmede hij door een mechanisme dat wij hier niet behoeven te beschrijven, verbonden is. § 241. Stoomwerktuig. Als tweede voorbeeld diene de in Fig. 212 schematisch voorgestelde stoommachine. C is de cilinder met den zuiger Z, P de stoomketel, Q de condensator, d.w.z. een ruimte die door omringend koud water op een lage temperatuur T, wordt gehouden. In Flg' 212- den stoomketel bestaat een hooge temperatuur Tj. ü is met r en door de buizen p en'q verbonden; deze kunnen naar willekeur worden geopend en gesloten. Daar de spanning van den verzadigden waterdamp (§ 235) bij verhooging der temperatuur toeneemt, zal in P een hooge en in Q een lage dampspanning bestaan. Derhalve hebben wij, om den stoom arbeid te laten verrichten, slechts de buis p te openen, als de zuiger stijgt en de buis als hij daalt; inderdaad is dan het benedenvlak van Z in die gevallen aan verschillende drukkingen onderworpen, bij de rijzing aan de spanning p, van den verzadigden damp bij de temperatuur 'I bij de daling aan de spanning pt bij de temperatuur Ts. Zoodra nl. de cilinder met Q in gemeenschap is gesteld, zal de stoom zich daarheen begeven en zich ten deele verdichten, zoodat de druk —pt wordt. Stellen wij ons nog voor, dat het water dat in den condensator uit den stoom ontstaat, wordt gebezigd om den stoomketel te voeden, dan kan de machine aanhoudend met dezelfde hoeveelheid water werken, die een kringloop van veranderingen ondergaat. § 242. Grapliische voorstelling der veranderingen van een gasmassa. Daar de verschijnselen in de heete-luchtmachine van § 240 vrij ingewikkeld zijn, zullen wij onze verdere beschouwingen vastknoopen aan een denkbeeldig werktuig, waarin een gas een bijzonder eenvoudigen kringloop van veranderingen ondergaat. Stellen wij ons voor dat een gasmassa in een evenwichtstoestand verkeert, terwijl zij de temperatuur T heeft, en aan geen andere uitwendige krachten dan een druk p is blootgesteld. Zij v het volume en nemen wij gemakshalve aan dat het gas zich in een cilinder onder een verplaatsbaren zuiger bevindt. Werd nu deze zuiger snel naar buiten bewogen, hetzij door den druk van het gas, hetzij door een uitwendige kracht, dan zouden zeer ingewikkelde toestanden kunnen ontstaan. Niet alleen zou het gas een aanmerkelijke stroomsnelheid krijgen, waarvan het niet zeker is dat zij in alle deelen der massa dezelfde is, maar er konden ook verschillen in dichtheid en temperatuur ontstaan. Lieten de wanden geen warmte door, dan zou het gas afkoelen, maar misschien het eene deel meer dan het andere, en wilde men door een warm tereservoir, waarmede de wanden van den cilinder in aanraking zijn, de temperatuur standvastig houden, dan zou bij snelle veranderingen een afkoeling op eenigen afstand van den wand allicht niet voorkomen worden. Kortom, men mag niet zeggen dat gedurende een snelle verplaatsing van den zuiger het gas zich op elk oogenblik in een toestand van evenwicht, d. w. z. in een toestand die blijvend zou kunnen zijn, bevindt. Ten einde nu de hieruit voortvloeiende complicaties te vermijden, zullen wij aannemen dat de verplaatsing van den zuiger, hetzij, zooals boven ondersteld werd, naar buiten, hetzij naar binnen, uiterst langzaam plaats heeft. Het is wel duidelijk dat, ofschoon strikt genomen, het gas altijd nog wel iets van evenwichtstoestanden zal afwijken, daarvan bij zulke zeer langzame bewegingen mag worden afgezien; de veranderingen die wij beschouwen, bestaan dus in een opeenvólging van geleidelijk in elkaar overgaande evenwichtstoestanden. Daar tusschen den druk p van het gas, de absolute temperatuur T en het volume v steeds het in § '2IS) besproken verband bestaat, is de toestand op elk oogenblik bepaald, wanneer men twee dezer drie grootheden aangeeft. Wij zullen daarvoor het volume en den druk kiezen, en dan verder de veranderingen van het gas op een voor de hand liggende wijze graphisch voorstellen. Wij zullen nl., nadat wij twee onderling loodrechte coördinaatassen O V en OP (Fig. 213) hebben aangenomen, het b.v. mogelijk dat na eenigen tijd het volume o g, en de druk g G is geworden, zoodat dan het punt G den toestand van het gas voorstelt. Klaarblijkelijk zal nu aan elke verandering van het gas een lijn van deze of gene gedaante, zooals b.v. de lijn AB, beantwoorden. Fig. 213. volume van het gas door de abscis, en den druk door de ordinaat van een punt voorstellen, zoodat b.v., wanneer Ga het volume en a A den druk aangeeft, het punt A wordt gevonden. Dit bepaalt dan door zijne ligging den toestand van het gas. Wanneer deze verandert heeft men voor elk oogenblik weer een ander punt; het is Kortheidshalve kunnen wij van den „toestand A" en van „de verandering A B" spreken. Van bijzonder belang zijn nu de lijnen die isothermische en adiabatische veranderingen voorstellen, of zooals men ook zegt, de isothermische en adiabatische lijnen. Tot de eerste behooren b.v. A B, E F en D C. Dat deze lijnen naar de rechterzijde moeten dalen is duidelijk. Elke isothermische lijn beantwoordt aan een bepaalde temperatuur, en een warmtereservoir van die temperatuur is noodig als het gas zoodanige verandering zal ondergaan, als door de lijn wordt voorgesteld. Het is gemakkelijk in te zien dat men een isothermische lijn zoowel in de eene als in de andere richting kan doorloopen. Voorbeelden van adiabatische lijnen heeft men in A D, G H en B C. Ook deze kunnen naar beide zijden doorloopen worden. Gebeurt dit in de richting eener uitzetting, d. w. z. in onze figuren naar rechts, dan daalt de temperatuur; de druk neemt dan meer af dan bij constante temperatuur het geval zou zijn. Derhalve dalen de adiabatische lijnen naar de rechterzijde sneller dan de isothermische. Dat door elk punt van het deel van 't platte vlak dat ter sprake komt, zoowel een adiabatische als een isothermische lijn kan worden getrokken, behoeft wel geen betoog. § 243. Graphisclie voorstelling van den arbeid. Blijft gedurende de uitzetting van een gas de druk onveranderd, dan vindt men den arbeid dien het verricht, door (§ 207, b) den druk per vlakte-eenheid met de volumevermeerdering te vermenigvuldigen. Is de druk veranderlijk, dan moet men (verg. § 113, d) de geheele uitzetting in oneindig kleine deelen verdeelen; gedurende een dezer oneindig kleine volumevermeerderingen kan de druk als constant worden aangemerkt, zoodat de zooeven vermelde regel kan worden toegepast. De uitkomst waartoe men aldus geraakt, kan op zeer eenvoudige wijze worden uitgedrukt met behulp der graphische voorstelling. Wordt nl. de verandering der gasmassa door de lijn P Q (Fig. 214) voorgesteld, en groeit dus het volume 25 een cyclus van veranderingen belangrijke gevolgtrekkingen heeft afgeleid. Wij kunnen ons b.v. voorstellen dat een verticaal opgehangen metaaldraad, onderworpen aan een spannende kracht die men kan regelen, eerst isothermisch wordt uitgerekt, dat vervolgens die uitrekking adiabatisch wordt voortgezet (waarbij de temperatuur verandert), dat dan een isothermische samentrekking volgt, en dat eindelijk door een adiabatische samentrekking de oorspronkelijke toestand weer bereikt wordt. Hierbij kan ten slotte een zekere arbeid verricht zijn, en men zou daarvan werkelijk partij kunnen trekken door de beweging van het benedeneinde op een .vliegwiel over te brengen en op een of andere wijze op geschikte oogenblikken den draad automatisch in gemeenschap te laten komen met de warmtereservoirs, of daarvan te doen scheiden. Men zou dan een inrichting hebben, die even goed als een stoomwerktuig een calorische machine kon heeten, en dergelijke machines, met kringloopen van Carnot, kunnen ook voor allerlei andere werkende lichamen worden verzonnen. Wij zullen de twee warmtereservoirs lij en R„ en de absolute temperaturen daarvan T, en Ts noemen. Wij onderstellen dat Tj > Tg is. Verder nemen wij aan dat de veranderingen zeer langzaam gebeuren, en dat het werkende lichaam eerst dan met een warmtereservoir in aanraking wordt gebracht, wanneer het door de voorafgegane adiabatische verandering de temperatuur van dat reservoir heeft aangenomen. De kringloop kan dan zoowel in de eene als in de andere richting doorloopen worden. Bij een dezer richtingen — wij zullen deze de eerste noemen — levert de kringloop een zekeren positieven mechanischen arbeid A; het is gebleken dat daarbij het lichaam altijd een hoeveelheid warmte Qj aan het reservoir Rj van de hoogste temperatuur ontleent, en een hoeveelheid Qs aan Rs afstaat. Natuurlijk is Qj > Qs; het verschil Qj — Qs beantwoordt nl. aan den arbeid. Wij kunnen gevoegelijk zeggen dat, terwijl de hoeveelheid warmte Q, — Q2 verbruikt is om arbeid te verrichten, de hoeveelheid Q2 van het reservoir Rj naar het reservoir Rs is overgebracht. Derhalve: Het is onmogelijk, door een kringloop van Carn'OT een hoeveelheid warmte, die aan een reservoir van hooge temperatuur ontleend wordt, geheel in mechanisch arbeidsvermogen om te zetten; een gedeelte dezer warmtehoeveelheid wordt als warmte teruggevonden, en wel m een lichaam (nl, /i'j) van lagere temperatuur. De breuk _ Qi — Qa ~ Qi ' die aangeeft welk gedeelte der aan Rj onttrokken warmte tot het verrichten van arbeid gebruikt wordt, noemen wij het nuttig effect van den kringloop. Het jjetal Q, _ 1 i n Q, — Qg geeft aan hoeveel calorieën van Rj naar Rs worden overgebracht tegen één calorie die voor mechanischen arbeid dient. Wordt de kringloop in omgekeerde richting, dus in de tweede richting, doorloopen, dan is de arbeid van het werkende lichaam negatief, nl. — A, m.a.w. de uitwendige krachten verrichten een arbeid + A. Aan Rs wordt een hoeveelheid warmte Qs onttrokken, en aan R, een hoeveelheid Q, gegeven, die > Q, is. Dus: het is mogelijk met een kringloop van CarnoT m de „tweede richting een hoeveelheid warmte van het koude reservoir naar het warme over te brengen; daartoe moeten echter uitwendige krachten een positieven arbeid verrichten. Voor het arbeidsvermogen dal daarbij buiten het werkende lichaam verdwijnt, komt warmte (nl. Q( — Q,) in de plaats, en wel wordt deze warmte, met de overgebrachte, in het reservoir van hooge temperatuur gevonden. Evenals wij ons een calorische machine kunnen voorstellen, waarin het werkende lichaam een kringloop van Carnot in de eerste richting uitvoert, kunnen wij ons een dergelijk werktuig verbeelden, waarin een kringloop in de tweede richting plaats heeft. Terwijl echter in de eerste machine de wenteling van het vliegwiel door den arbeid van het werkende lichaam versneld wordt, zal in het tweede werktuig het vliegwiel arbeidsvermogen verliezen, en moet het dus door uitwendige krachten in beweging worden gehouden. Wij merken nog op dat men, na het aanbrengen van eenige wijzigingen, elke werkelijk uitgevoerde calorische machine in tegengestelde richting als gewoonlijk zon kunnen laten loopen. Men kan het b.v. zoo inrichten dat bij de stoommachine van Fig. 212 (p. 382) de zuiger naar boven gaat als de cilinder met den condensator Q, en naar beneden als hij met den stoomketel P is verbonden. Het werktuig is dan een pomp geworden, waarmede men waterdamp uit den condensator zuigt en in den ketel verdicht. Intusschen wordt hierbij de werking niet volkomen omgekeerd, want, zooals men gemakkelijk zal inzien, komen uiet geheel dezelfde toestanden meer voor. De stof bevindt zich dan ook bij de in Fig. 212 bedoelde stoommachine niet voortdurend in een evenwichtstoestand. Als b.v. de met stoom van hooge spanning gevulde cilinder C met den condensator, die damp van kleinere spanning bevat, in gemeenscha}) komt, is er geen evenwicht. De kringloopen van Carnot daarentegen zijn volkomen omkeerbaar. § 249. Grootte vail het nuttig effect. Twee kringloopen van Carnot met verschillende werkende lichamen, maar met dezelfde hooge en lage temperatuur, hebben hetzelfde nuttig effect. Men kan dit afleiden uit het volgende beginsel, dat door Clausius (1850) tot uitgangspunt zijner beschouwingen over de mechanische warmtetheorie (thermodynamica) werd genomen. liet is onmogelijk dat een hoeveelheid warmte van een lichaam van lagere naar een lichaam van hoogere temperatuur overgaat, zonder dat gelijktijdig nog andere veranderingen plaats hebben. Ziehier, hoe men uit dit beginsel de bovengenoemde stelling afleidt. Stel dat bij twee kringloopen van Carnot met de temperaturen Tj en Ts het nuttig effect verschillende waarden mx en heeft. Dan zal ook het getal n (§ 248) verschillende waarden «j en nt hebben. Stel > nv Laat dan in een calorische machine de eerste kringloop in de eerste richting en in een tweede werktuig de tweede kringloop in de tweede richting plaats hebben; laat de beide werktuigen een gemeenschappelijk vliegwiel hebben en van dezelfde warmtereservoirs U, en lig voorzien zijn. Het arbeidsvermogen van het vliegwiel wordt dan door het eerste werktuig vergroot, en door het andere verkleind. Wij kunnen de hoeveelheden der werkende lichamen zoo kiezen dat de eene machine evenveel arbeid verricht als voor de beweging van de andere vereischt is; dan kan het eene werktuig juist het andere drijven, en alles te zamen genomen wordt noch warmte in mechanisch arbeidsvermogen omgezet, noch omgekeerd. Stel dat in de eerste machine a calorieën, aan R, ontleend, worden verbruikt; dan brengt de tweede evenveel warmte in dit reservoir terug. Maar bij den eersten kringloop gaan bovendien a calorieën van Rj naar Rs, en bij den tweeden nt a calorieën van R, naar Rj over. Daar nt > nx is, zou ten slotte een zekere hoeveelheid warmte, nl. (ni — #,) a calorieën, van het koude naar het warme reservoir zijn overgegaan, wat tegen het grondbeginsel van Clausius strijdt. Door een dergelijke redeneering, waarbij men echter den eersten kringloop in de tweede en den anderen in de eerste richting moet doen plaats hebben, bewijst men dat niet kleiner dan nl kan zijn. Derhalve moet nl = ni, en dus ook mi — zijn' Men kan nu uit de eigenschappen der gassen afleiden dat bij een kringloop van Carnot met een gas dat de in het vijfde hoofdstuk behandelde eigenschappen heeft, het nuttig effect de waarde T T - = iL1ri-ï CD heeft, als Tx en Ts de absolute temperaturen zijn. Derhalve heeft ook voor eiken anderen kringloop van Carnot, welk lichaam ook gebruikt wordt, het nuttig effect deze waarde. Daaruit volgt Qi — Q» 1*1 ^8 Qi ~~ Ti ' Q,:Q,=«T1:T1> (2) een vergelijking die tot vele belangrijke gevolgtrekkingen aanleiding heeft gegeven. Om de formule (1) voor een gas af te leiden zullen wij de evenredigheid (2) bewijzen. Daartoe merken wij op dat bij een isothermische uitzetting het oneindig kleine verschillen afdalen, en past men telkens op twee op elkaar volgende lijnen de zooeven verkregen uitkomst toe, dan komt men gemakkelijk tot de evenredigheid (3). § 250. Nuttig effect bij een niet omkeerbaren kringloop. Wij beschouwen nu een kringloop met de warmtereservoirs Rj en lïs, die niet omkeerbaar is, bv. den kringloop die in de stoommachine van Fig. 212 plaats heeft. Wij nemen aan dat daarbij warmte voor mechanischen arbeid gebruikt wordt en stellen het nuttig effect door mx voor; hierbij behoort het getal = -- 1. Wij kunnen nu dezen kringloop op de in het begin der vorige § aangegeven wijze koppelen met een omkeerbaren kringloop, waarvan wij het nuttig effect m% zullen noemen, terwijl wij n3 = — 1 stellen. Door de in de vorige § gebezigde redeneering kunnen wij dan bewijzen dat nl niet kleiner dan n3, en dus mï niet grooter dan m., kan zijn. Een waarde van m1, kleiner dan tni, T T kleiner dus dan 1 —is echter niet uitgesloten, en iuderM daad blijkt het nuttig effect eener werkelijke (en dus niet geheel omkeerbare) calorische machine min of meer beneden deze breuk te liggen. Deze laatste is te beschouwen als een grens, die men nooit geheel kan bereiken. Wellicht is het goed, er op te wijzen dat men, als men voor T T een stoommachine de breuk _—* wil berekenen, die het •M hoogste bereikbare nuttig effect voorstelt, onder Tj verstaan moet, niet de temperatuur van den vuurhaard, maar die van het water in den stoomketel. Deze temperatuur bepaalt de dampspanning en men zou den vuurhaard kunnen vervangen door een warmtereservoir van die temperatuur, als dit maar voldoende warmtecapaciteit had en het vermogen om snel genoeg warmte aan het water te geven. Wat men te doen heeft om het nuttig effect zoo hoog mogelijk op te voeren, is na het voorgaande duidelijk. Vooreerst moet men het werktuig zooveel mogelijk tot de omkeerbaarheid doen naderen en in de ticeede plaats moet men trachten, Tl zoo hoog mogelijk en Ti zoo laag mogelijk te maken (voor het nuttig effect T kan nl. geschreven worden: 1— Welk werkend lichaam men wil bezigen hangt van verschillende overwegingen van praktischen aard af, o. a. van deze, welk lichaam het best verhitting tot een hooge temperatuur toelaat. Maar, daarvan afgezien, zijn er geen theoretische gronden waarom men aan het eene lichaam de voorkeur boven het andere zou moeten geven. § 251. Willekeurige kl'illgloop. Er bestaat een belangrijke stelling die voor iedercn kringloop geldt, wanneer hij maar aan deze voorwaarde voldoet, dat het werkende lichaam, dat wij M zullen noemen, op elk oogenblik in al zijne deelen dezelfde temperatuur T heeft. Deze temperatuur kan op deze of gene wijze, misschien aanhoudend, veranderen, en allerlei toestanden, die volstrekt geen evenwichtstoestanden behoeven te zijn, kunnen elkaar opvolgen. In het algemeen zullen gedurende de veranderingen zekere warmtehoeveelheden worden opgenomen of afgestaan; wij zullen opgenomen warmte met het positieve teeken en afgegeven warmte met het negatieve teeken aanduiden. Wij verdeelen den kringloop in oneindig kleine stappen en noemen voor een daarvan Q, de, natuurlijk oneindig kleine, opgenomen hoeveelheid warmte. De bedoelde stelling zegt dan dat de algebraïsche som (7) over den geheeten kringloop uitgestrekt, niet positief kan zijn. Om dit te bewijzen zullen wij elke hoeveelheid warmte die M moet ontvangen, aan een zelfde reservoir K ontleenen, dat een zekere temperatuur a heeft., en elke hoeveelheid warmte die M moet afstaan, aan dat reservoir geven. Wij kunnen dit langs omkeerbaren weg doen, wanneer wij telkens van een hulplichaam, b.v. een gasmassa, gebruik maken, dat een kringloop van Caunot ondergaat, waarbij het lichaam M en het reservoir K de rol spelen die wij vroeger (§ 218) aan R| en lt.2 hebben toegekend. Om dan aan M, terwijl dit lichaam de temperatuur T heeft, de hoeveelheid warmte Q, positief of negatief, te geven, moet uit K een hoeveelheid »? worden geput. Is dus de geheele kringloop volbracht, dan bedraagt de uit K verdwenen warmte - ^ ^ rjl • Nu is er ten slotte noch aan het lichaam M, noch aan de gasmassa waarmede men telkens heeft gewerkt, iets veranderd; was dus (7) positief, dan zou de geheele bewerking geen ander gevolg hebben dan dat uit K een hoeveelheid warmte was verdwenen en geheel in mechanisch arbeidsvermogen was omgezet. Men heeft nu allen grond om dit voor onmogelijk te houden. In het bijzondere geval dat de kringloop van het lichaam M omkeerbaar is, kan de uitdrukking (7) ook geen negatieve waarde hebben. Keert men nl. alle veranderingen om, dan verandert elke warmtehoeveelheid van teeken Q en zou dus de som S wanneer zij eerst negatief was, een positieve waarde krijgen, waarvan de onmogelijkheid werd aangetoond. Er blijft dus alleen over dat voor omkeerbare kringloopen is. Noemen wij kortheidshalve een hoeveelheid warmte, nadat zij gedeeld is door de absolute temperatuur van het lichaam, waardoor zij wordt opgenomen of afgestaan, een gereduceerde warmtehoeveelheid, dan luidt onze uitkomst: Bij eiken omkeerbaren kringloop is de algebraïsche som der gereduceerde toegevoerde warmtehoeveelheden 0. Bij een niet omkeerbaren kringloop daarentegen kan deze som zeer goed een negatieve waarde hebben, en heeft die Kerkelijk ook zoo goed als altijd, zooals men door beschouwingen die wij hier moeten laten rusten, nader kan aantoonen. § 252. Elltropie. Men kan, wanneer men de toestandsveranderingen van een of ander lichaam bestudeert, onder al de toestanden, waarvoor het vatbaar is, er cén uitkiezen, om daarmede alle andere te vergelijken. Laten wij nu uit dien eenen toestand N langs omkeerbaren weg het lichaam overgaan in den toestand A, dan kan men be/rijzen dat de som der gereduceerde warmtehoeveelheden, die men daarvoor moet toevoeren, een geheel bepaalde waarde heeft, onverschillig langs welken weg de bedoelde overgang plaats heeft, d. w. z. welke tusschentoestanden daarbij voorkomen. Men kan b.v. een gram water van 0° doen overgaan in verzadigden waterdamp van 100°, door eerst van 0° tot 100® te verhitten en dan de verdamping te doen plaats hebben, of wel door eerst tot 50° te verwarmen, dan het water te doen verdampen en eindelijk den damp op 1003 te brengen, waarbij dan het volume zoo geregeld moet worden dat de damp ten slotte verzadigd is. Voor elk van deze wegen moet nu dezelfde waarde hebben. Het bewijs voor deze stelling kan aldus worden gegeven. Zij v, de som der toegevoerde gereduceerde warmtehoeveelheden voor den eenen weg tusschen de toestanden N en A, en de overeenkomstige som voor een anderen weg. Door dan het lichaam langs den eersten weg uit den toestand N in A te doen overgaan, en het vervolgens langs den anderen weg in den begintoestand terug te brengen, verkrijgt men een kringloop van omkeer- bare veranderingen, waarvoor S ^, = 0 moet zijn. Maar voor het eerste deel van dezen kringloop heeft 2 rj, de waarde v\, voor liet tweede de waarde — vi. Derhalve moet i — >»' = 0, of »» = »»' zijn. Om de beteekenis dezer uitkomst duidelijk in te zien, plaatsen wij ons voor een oogenblik op het standpunt van de vroegere theorie, volgens welke de warmte een stof zou zijn. Toen men van deze opvatting uitging, moest men natuurlijk aannemen dat een lichaam in den toestand A een bepaalde hoeveelheid warmte meer bevat dan in den toestand N, dat dus ook, hoe men den overgang ook doet plaats hebben, toevoer van een bepaalde hoeveelheid warmte vereiseht wordt. Dit is nu, omdat warmte verbruikt kan worden of ontstaan kan, niet waar, maar wel kan men, wanneer men zich tot omkeerbare overgangen bepaalt, van de som der gereduceerde warmtehoeveelheden zeggen, wat vroeger van de som der warmtehoeveelheden zelf gezegd werd. De som der gereduceerde warmtehoeveelheden die men aan het lichaam moet geven, om het in den toestand A te brengen, wordt de entropie in dien toestand genoemd. Dit deze definitie kan het volgende worden afgeleid: a. Bij een willekeurige omkeerbare verandering (geen //kringloop") is de aangroeiing der entropie gelijk aan de som der gereduceerde toegevoerde warmtehoeveelheden. b. De entropie verandert dus niet bij een omkeerbare adiabatische uitzetting of samendrukking. c. Daar een isothermische uitzetting van een gas toevoer van warmte vereiseht, is bij een bepaalde temperatuur de entropie van het gas des te grooter, naarmate het volume grooter is. § 253. Regels voor niet omkeerbare veranderingen. Laat een stelsel door een of andere reeks van veranderingen, die niet omkeerbaar is, en die wij door P zullen aanduiden, uit den toestand A in den toestand 13 overgaan, en zij ? T de som der gereduceerde toegevoerde warmtehoeveelheden. Wij kunnen ons verbeelden dat het stelsel door een nieuwe, en wel een omkeerbare, reeks van veranderingen, die wij door P' zullen voorstellen, uit den toestand B in den toestand A wordt teruggebracht; wij verkrijgen aldus een niet omkeerbaren kringloop. Voor de veranderingen P' is nu de som der gereduceerde toegevoerde warmtehoeveelheden (§ 252, a) in — y,b, als ifa de entropie in den toestand A en « de entropie in den toestand B is. Voor den kringloop is dus de meermalen genoemde som U rp + 1" fi, Dit moet nu een negatieve waarde hebben, d. w. z. rjT ~t" fa — 1t> < 0 , (8) een stelling, waarin nu alleen nog grootheden voorkomen, die op de niet omkeerbare veranderingen P, en op den begin- en eindtoestand betrekking hebben. Wij passen deze stelling op een paar bijzondere gevallen toe. a. Als de veranderingen P adiabatiseh gebeuren, verdwijnt de eerste term in (8), en is dus la < 1b. Bij alle niet omkeerbare veranderingen die zonder toe- of afvoer van warmte •plaats hebben, neemt dus de entropie toe. Men kan deze stelling op de geheele stoffelijke wereld, als een stelsel beschouwd, toepassen en komt daardoor tot een beknopte uitdrukking voor het gronddenkbeeld van dit hoofdstuk, dat in de natuurverschijnselen een bepaalde richting valt op te merken. b. Als de veranderingen P isothermisch plaats hebben, mag men voor den eersten term in (8) schrijven Zij nu W de arbeid dien het lichaam verricht, ia het arbeidsvermogen in den toestond A, en sb dat in den toestand B. Dan is volgens de wet van 't behoud van arbeidsvermogen, als wij de hoeveelheden warmte in arbeidseenheden uitdrukken, £ Q, = Sb — Sa ~(~ W, zoodat, als men met het standvastige getal T vermenigvuldigt, de ongelijkheid (8) overgaat in (*6 — T xs) — (e„ — T la) + W < 0 (9) In het geval dat de veranderingen niet alleen isothermisch, maar ook zonder uitwendigen arbeid plaats hebben, is dus Sb — T 1b < Sa — T la (10) Men kan in eiken toestand van het lichaam de energie s, de entropie i, en dus ook de functie i-ÏK (11) beschouwen. Het blijkt nu dat deze functie bij een isothermische niet omkeerbare verandering zonder uitwendigen arbeid afneemt, dus de eigenschap heeft, die wij in § 217, d voor de vrije energie leerden kennen. Inderdaad blijft men in overeenstemming met de vroeger gegeven bepaling, wanneer men (11) als de vrije energie definieert. Dit volgt hieruit dat men voor een omkeerbare verandering het teeken van ongelijkheid in (9) door het gelijkheidsteeken moet vervangen eu dat dus de door het lichaam verrichte arbeid W gelijk is aan de vermindering der grootheid s — T >j. ZEVENDE HOOFDSTUK. EIGENSCHAPPEN VAN VASTE LICHAMEN. § 254. Uitrekking en sanieuclrukkiug van vaste lichamen. Terwijl in het derde hoofdstak werd afgezien van de wijzigingen die de grootte en de gedaante der vaste lichamen kunnen ondergaan, zullen wij die nu opzettelijk bespreken. Daarbij zullen wij van de denkbeelden der molekulaire theorie in mindere mate gebruik maken dan bij de behandeling der gasvormige lichamen. Men kan zich voorstellen dat een vast lichaam uit kleine deeltjes is samengesteld, die onder den invloed der krachten die zij op elkaar uitoefenen, om bepaalde evenwichtsstanden heen- en weergaan, met snelheden die des te grooter zijn naarmate de temperatuur hooger is. Maar veel verder dan tot zulk een algemeen beeld van de verschijnselen heeft men het nog niet gebracht. De eenvoudigste vormverandering (deformatie) die wij te beschouwen hebben, is de lengtevermeerdering (dilatatie) van een staaf door twee gelijke krachten die op de uiteinden in de richting der lengte werken, of, wat op hetzelfde neerkomt, door een kracht op het eene uiteinde, wanneer het andere is vastgeklemd. Wij weten reeds dat dan aan elke doorsnede een spanning bestaat, gelijk aan ieder van die krachten (§ 168, b). Wat verder de uitrekking betreft, deze is gebleken bij niet al te groote krachten evenredig met deze te zijn; bovendien hangt zij van de lengte en de doorsnede en van den aard der stof af. Zij is met de lengte rechtstreeks en met de doorsnede omgekeerd evenredig, zooals men door een eenvoudige redeneering kan aantoonen. Verdeelt men nl. door een denkbeeldig plat vlak, loodrecht op de lengte, een staaf in twee gelijke deelen, dan is, wegens de spanning aan die doorsnede, elke helft aan even groote uitrekkende krachten onderworpen als de geheele staaf, maar van elke helft is de lengtevermeerdering half zoo groot als die van de geheele staaf. Beschouwt men daarentegen de staaf als uit twee andere samengesteld, die elk een half zoo groote doorsnede hebben, dan kan men zeggen dat elk deel aan de helft der uitrekkende kracht is blootgesteld; de dilatatie zal dus half zoo groot zijn als wanneer een dier helften, op zich zelf genomen, door de volle kracht werd uitgerekt. Wanneer P de uitrekkende kracht, l de oorspronkelijke lengte, s de doorsnede en u de lengtevermeerdering voorstelt, kunnen de medegedeelde wetten worden samengevat in de formule u — C — (1) s waarin C voor elke zelfstandigheid een bepaalde waarde heeft. Is deze constante eenmaal bekend, dan kan men voor elke staaf, uit de beschouwde stof vervaardigd, de uitrekking door een gegeven kracht berekenen. De omgekeerde waarde van C wordt de coëfficiënt van veerkracht of elasticiteitscoëfficient (ook wel elasticiteitsmodulus) genoemd. Duidt men dezen coëfficiënt door E aan, dan wordt ® waaruit volgt dat voor s = 1 en u — l, P = E zou moeten zijn. Van daar de definitie: de elasticiteitscoëfficient is het getal dat de kracht voorstelt, die een staaf van de eenheid van doorsnede tot de dubbele lengte zou uitrekken, als nl. ook bij zeer groote krachten tusschen deze en de uitrekking dezelfde verhouding bestond als bij kleine krachten. Van deze bepaling uitgaande, kan men gemakkelijk weer tot de vergelijking (2) komen, en het is duidelijk dat men, zoodra u, P, l en s gemeten zijn, daaruit E kan afleiden. In Tabel II aan het einde van dit boek vindt men voor eenige stoffen de waarde van E in het C-G-S-stelsel van eenheden. Dezelfde tabel geeft ook in dynes de kracht aan, die noodig is om een staaf van 1 c.M8 doorsnede te verscheuren. De opgegeven getallen zijn alleen bestemd om tennaastebij het gedrag der verschillende stoffen aan te geven. Vaste lichamen kunnen nl. door geschikte bewerkingen in zeer verschillende toestanden- gebracht worden. Een stuk staal b.v. wordt, wanneer men het eerst gloeit, en dan plotseling afkoelt, breekbaar en hard, d.w.z. moeilijk te krassen en te vijlen, door langzame afkoeling daarentegen buigzaam en week. Dergelijke verschillen bestaan bij andere lichamen en als algemeenen regel kan men stellen dat de plujsische constanten eener vaste stof in meerdere of mindere mate afhangen van den toestand waarin zij door voorafgaande bewerkingen gebracht is. Omtrent de in deze § besproken vormverandering moeten wij overigens nog opmerken dat alleen dan de staaf in al zijne deelen gelijkelijk wordt gedeformeerd, wanneer de uitrekkende krachten gelijkmatig over de eindvlakken verdeeld zijn. Bij een staaf die dun is in vergelijking met de lengte, doet trouwens de wijze, waarop de krachten worden aangebracht, weinig ter zake, maar bij een dikken en korten cilinder zullen krachten die in de middelpunten der eindvlakken aangrijpen, een geheel andere uitwerking hebben dan krachten die over die vlakken verdeeld zijn. In de onderstelling dat de bedoelde gelijkmatige verdeeling p bestaat, kan men - de spanning in de staaf per eenheid van s u doorsnede noemen. Verder is ^ de dilatatie per lengte-eenheid. Blijkens de formule (2) is de elasticiteitscocfficient de verhouding tusschen deze beide grootheden. De formule kan ook dienen om de samendrukking te berekenen, die een staaf door twee krachten aan zijne uiteinden ondergaat. De waarneming heeft nl. geleerd dat krachten die een staaf een zekere uitrekking geven, een even groote ver- 3(l — 2/it) E geeft nl. aan, met hoeveel de eenheid van volume vermindert door een druk van 1 dyne per c,Ms. Om dit tc bewijzen, beschouwen wij een rechthoekig parallelepipedum met de ribben a, b, c. Wij brengen op de beide zijvlakken die loodrecht op de ribbe a staan, een uitwendigen normalen druk pt aan, eveneens op de zijvlakken, loodrecht op 4, een druk p2 en op het derde paar zijvlakken een druk /);(. Om de gedaante te bepalen, die het lichaam daardoor aanneemt, kan men van het volgende algemeene beginsel gebruik maken. Wanneer op een lichaam verschillende krachten tegelijk verken, die elk op zich zelf maar een kleine deformatie teweegbrengen, is de verplaatsing van een punt de resultante (in den zin van § 27) van de verplaatsingen die het door elk der krachten afzonderlijk krijgen zou. De verlenging ran een lijn in het lichaam is de algebraïsche som van de uitrekkingen dier lijn door de verschillende krachten, elk afzonderlijk. Blijkens § § 251 en 255 zouden nu door den druk px per vlakte-eenheid de ribben a, b en c toenemen met -1" +"!*' +*EC' door den druk p2 met + -|4, en door den druk p3 met +v»b, -q. Bestaan al de drukkingen te gelijk, dan zijn dus de drie ribben geworden « «, b - Pj~l*\p±Pll b, enz. E & Daaruit volgt, wanneer men p.1—p3—px stelt, voor de nieuwe waarde van het volume , n a (1 — 2 , a b c [1 Pil* waaruit de boven voor den coëfficiënt van samendrukbaarheid opgegeven waarde volgt. Ook een vloeistofmassa kan onder den invloed van een op zijn oppervlak werkenden normalen druk in evenwicht zijn en wij weten reeds dat dan ook in het binnenste overal een even groote druk bestaat. Hetzelfde is nu het geval bij een vast lichaam dat in alle richtingen gelijkelijk wordt samengeperst. De deelen daarvan die aan weerszijden van een willekeurig vlak liggen, oefenen een druk loodrecht op dat vlak op elkaar uit, waarvan het bedrag per vlakte-eenheid gelijk is aan dat van den uitwendigen druk. Men kan dit toepassen om de deformatie te bepalen van een hollen bol die aan de binnen- en de buitenzijde aan een even grooten druk, b.v. met behulp van een gasmassa, wordt blootgesteld. Het is duidelijk dat door een druk die alleen aan de buitenzijde werkt, het inwendige volume verkleind, en omgekeerd door een druk alleen aan de binnenzijde het volume vergroot zal worden, volumeveranderingen, die bij dunwandige glasbollen zeer aanzienlijk kunnen worden. Men zou nu kunnen meenen dat, wanneer aan de binnen- en buitenzijde de gelijke drukkingen p (per vlakte-eenheid) bestaan, het volume niet zou veranderen. Dat dit echter onjuist is, blijkt als volgt. Het is natuurlijk onverschillig, op welke wijze wij op den binnenwand den druk uitoefenen. Een denkbeeldig middel nu om dat te doen bestaat hierin, dat wij in de holte een kern van dezelfde stof aanbrengen, die zoo nauw sluit, dat hij met den wand één geheel uitmaakt. Wordt dan aan de buitenzijde de druk p aangebracht, dan ontstaat die ook overal in het binnenste, en tegen den wand wordt werkelijk aan weerszijden even sterk gedrukt. Alle afmetingen nemen nu echter af in een verhouding die uit den coëfficiënt van samendrukbaarheid kan berekend worden, en men komt tot het besluit: Als een holle bol (of een vat van willekeurige gedaante) aan » de buiten- en de binnenzijde aan een druk p is blootgesteld, wordt het inwendige volume evenveel kleiner als het geval zou zijn met een daarin passende kern van dezelfde stof.j wanneer men daarop denzelfden druk liet werken. § 257. Buiging van een staaf. De staaf die in § 168, c besproken en in Fig. 124 voorgesteld werd, ondergaat een vormverandering waarvan wij nu de eigenaardigheden gemakkelijk kunnen begrijpen. Verdeelen wij het lichaam in gedachten in een groot aantal vezels in de richting der lengte, dan volgt aanstonds uit het vroeger gezegde dat de bovenste vezels uitgerekt en de benedenste samengedrukt worden. Dientengevolge neemt de staaf een gedaante aan, zooals in Fig. 216 is / ondergaat de temperatuur een kleine verandering, die in de beide getallen in tegengestelde richting is. Hoe het daarmede gesteld is, of b.v. de uitrekking van een verhooging of een daling der temperatuur vergezeld gaat, kan men door een thermodynamische beschouwing voorspellen. Men kan nl. met den draad een kringloop van Carkot uitvoeren, waarbij een isothermische uitrekking bij de temperatuur T en een isothermische samentrekking bij de temperatuur T' voorkomt, terwijl adiabatische veranderingen worden tusschengevoegd om van de temperatuur T tot T, en naderhand weer van T' tot T over te gaan. Stel nu dat de draad zich, wanneer de spannende kraeht constant wordt gehouden, bij verwarming uitzet, Dan zal, bij een bepaalde lengte, de spanning des te kleiner zijn, naarmate de temperatuur hooger is. Zal nu de draad bij den kringloop een positieven arbeid verrichten, dan moet hij zich samentrekken als de spanning groot, dus de temperatuur laag, en uitgerekt worden als die hoog is, d w. z. T moet hooger dan T' zijn. Daar echter bij eiken kringloop van Carnot, wanneer daarbij een positieve arbeid verricht wordt, liet werkende lichaam bij de hoogste van de twee temperaturen warmte opneemt, moet de isothermische uitrekking, want dit is de verandering die bij de hoogste temperatuur plaats heeft, onder opneming van warmte gebeuren. Blijft die warmtetoevoer achterwege, dan moet dus de uitrekking de temperatuur doen dalen. Op dezelfde wijze kan men aantoonen dat bij een lichaam dat zich bij verwarming samentrekt, de temperatuur door een adiabatische uitrekking stijgt. De waarneming leert dat werkelijk een metaaldraad bij plotselinge uitrekking een weinig afkoelt, terwijl een gespannen reep caoutchouc (§ 201-,y) daarbij in temperatuur stijgt. Wij hebben hier alleen de richting der verandering besproken. Uit den regel voor het nuttig effect bij een kringloop van Carnot kan men een formule atleiden, waardoor het bedrag der temperatuurverandering bij een bepaalde verandering der spanning kan worden afgeleid. Deze formule, waarin de uitzettingscoëfïïcient, de soortelijke warmte en het mechanisch warmteaequivalent voorkomen, is door meting van het verschijnsel bevestigd. § 266. Blijvende toestandsveranderingen. Nawerking deiveerkracht. Zoodra de uitwendige krachten die den vorin van een vast lichaam wijzigen, een zekere grens overschrijden (grens der veerkracht) keert het lichaam na het opheffen dier krachten niet meer geheel tot de oorspronkelijke gedaante terug; de deeltjes hebben zich dan naar nieuwe evenwichtsstanden verschoven. Op de mogelijkheid van zulk een verschuiving berusten het smeden, pletten en draadtrekken. Ook door temperatuurveranderingen kan de toestand van een lichaam blijvend worden gewijzigd en daarbij is de snelheid der temperatuurverandering menigmaal van invloed (§ 254). Een ander verschijnsel, dat soms op het eerste gezicht met het zooeven genoemde kan verward worden, is de nawerking der veerkracht. Deze bestaat hierin, dat een lichaam, nadat het eenigen tijd aan uitwendige krachten, die nu zelfs zeer klein kunnen zijn, onderworpen is geweest, na het opheffen daarvan wel is waar tot den evenwichtstoestand terugkeert, maar dit niet oogenblikkelijk doet. Ofschoon het grootste gedeelte der vormverandering in korten tijd verdwijnt, heeft een volledige terugkeer tot den evenwichtstoestand eerst na een langer tijdsverloop, soms na vele uren, plaats. Bij instrumenten, in welke een lichaam aan een dunnen draad is opgehangen, bemerkt men menigmaal de nawerking der wringing. Men kan zich van het verschijnsel eenigszins rekenschap geven door aan te nemen dat zich tegen de bewegingen die de molekulen bij den terugkeer tot den evenwichtsstand moeten uitvoeren een of andere inwendige weerstand verzet. Met deze opvatting is ook in overeenstemming dat een uitwendige kracht niet aanstonds, nadat zij op het lichaam begint te werken, daaraan de volle vormverandering geeft. Na een eerste oogenblikkelijke deformatie ontstaat nog een verdere vormverandering die een langeren tijd vereisclit. Bij thermometers neemt men een verschijnsel waar, dat met de nawerking der veerkracht in nauw verband staat. Bepaalt men nl. onmiddellijk na de vervaardiging van den thermometer de beide vaste punten en herhaalt men dit na geruimen tijd, dan blijkt het dat die punten iets hooger, — b.v. eenige tienden van een graad of zelfs meer dan een graad — op de schaal zijn gekomen. Dit is een gevolg hiervan, dat de thermometerbol, die bij het blazen een hooge temperatuur heeft gehad, na de eerste samentrekking bij het afkoelen, nog een langzaam voortgaande contractie ondergaat. Zelfs kan men opmerken dat, onmiddellijk nadat de thermometer zich in damp van kokend water heeft bevonden, het vriespunt niet geheel denzelfden stand heeft als voor de verwarming. Dit is een van de redenen die het moeilijk maken, een temperatuur tot op 0°,1 nauwkeurig te meten. Natuurlijk kan men kleine temyer atuur verschillen, b.v. die, welke bij calorimetrische proeven voorkomen, veel gemakkelijker, zelfs mei grootere nauwkeurigheid, bepalen. De „thermische" nawerking, zooals men het laatst besproken verschijnsel kan noemen, is niet bij alle glassoorten dezelfde. Bijzonder klein is zij bij het zoogenaamde Jena-normaalglas, dat in den laatsten tijd veel voor de vervaardiging van thermometers gebruikt wordt. ACHTSTE HOOFDSTUK. EIGENSCHAPPEN VAN VLOEISTOFFEN EN DAMPEN. § 267. Samendrukbaarheid van vloeistoffen. Om de kleine volumeverandering te meten, die men aan een vloeistof door een uitwendigen druk kan geven, maakt men gebruik van een glazen vat, dat uit een b.v. bolvormig reservoir met een daaraan gesmolten enge buis bestaat. Deze laatste is van een verdeeling voorzien en, voordat de bol werd aangebracht, „gecalibreerdd.w. z. men heeft onderzocht of het inwendige volume tusschen twee op elkaar volgende deelstrepen overal even groot is. Men heeft te dien einde een kwikkolom in de buis gebracht en nagegaan hoeveel schaaldeelen de lengte daarvan beslaat, wanneer hij zich achtereenvolgens op verschillende plaatsen in de buis bevindt. Is het bedoelde aantal steeds hetzelfde, dan beantwoorden aan de verschillende schaaldeelen gelijke ruimtedeelen; in het tegengestelde geval kan men uit de waarneming van de lengte van den kwikdraad op verschillende plaatsen de noodige gegevens afleiden, om naderhand bij de definitieve proeven de vereischte correctie aan te brengen. Wij zullen intusschen onderstellen dat het volume tusschen twee deelstrepen overal dezelfde waarde heeft. Men kan deze bepalen door in de buis een kwikmassa te brengen, die een vrij groot aantal schaaldeelen inneemt, en dat kwik te wegen. Op een dergelijke wijze wordt ook, nadat de bol is aangebracht, het inwendige volume van dezen laatsten met inbegrip van het deel der buis tot aan de laagste deelstreep gemeten. Nadat de toestel met de te onderzoeken vloeistof gevuld is, kan men de samendrukbaarheid van deze bepalen door liet geheele vat onder de klok van een luchtpomp te plaatsen en den stand van den top der vloeistof kolom af te lezen, wanneer de lucht is weggenomen en nadat die weer is toegelaten. Natuurlijk moet men daarbij zorg dragen dat de temperatuur niet verandert. De waarnemingen leeren dat de verplaatsingen van den top der vloeistof kolom evenredig zijn met de drukverandering. Laat de vloeistofkolom tot de deelstreep a reiken bij den kleinsten druk en tot de deelstreep b, nadat de druk met 1 atmosplieer verhoogd is, zij & de coëfficiënt van samendrukbaarheid van de vloeistof, v die van het glas, waaruit het vat bestaat, beide coëfficiënten genomen in den zin van § 256 en voor 1 atmospheer als eenheid van druk. Verstaat men, in het geval dat de druk de kleinste waarde heeft, die bij de proeven voorkwam, ouder v het volume tusschen twee deelstrepen en onder N v het volume van het vat tot aan de deelstreep 0, dan was bij den kleinsten druk het volume der vloeistof (N + a) v. Naderhand was het (N + 6) v (1 — v); het vat is nl. aan de binnen- en buitenzijde aan denzelfden druk onderworpen (§ 256). Men vindt nu (M-t-•)—(* + *)(!—►>_. , • — _v » = — W+~a " + NT«( - Daai. a ^ even als v een zeer kleine grootheid is, mag N-f a men hiervoor schrijven a — b W + NTa- Had men op de volumeverandering van het vat niet gelet, dan zou men gevonden hebben ^ . Men kan dit den i.N i- Cl schijnbaren coëfficiënt van samendrukbaarheid noemen; men moet dezen dus met v vermeerderen, om den waren coëfficiënt te krijgen. De grootheid v kan uit proeven over de vormveranderingen van een glazen staaf worden afgeleid, trouwens niet met groote nauwkeurigheid, daar, al bestaat die staaf uit dezelfde glassoort als het gebezigde vat, de eigenschappen van beide voorwerpen, wegens de verschillende bewerkingen die zij ondergaan hebben, merkbaar verschillend kunnen zijn. Is evenwel £4 vrij wat grooter dan v, dan is een groote nauwkeurigheid in de bepaling dezer laatste grootheid ook niet noodig. § 268. Uitzetting van vloeistoften (loor de warmte. Wat wij in § 264 over de verandering van het volume der vaste lichamen gezegd hebben, geldt met een enkele uitzondering ook van vloeistoffen, zoodat ook voor deze lichamen de vergelijking (8) van de genoemde § van toepassing is. Wordt van den uitzettingscoëfficient van een vloeistof gesproken, dan wordt altijd de kubieke uitzettingscoëfficient bedoeld. De uitzondering waarop zooeven gedoeld werd, doet zich bij het water voor. Na liet in § § 1 en 4 gezegde is het niet noodig daarover in bijzonderheden te treden; wij merken alleen op dat van een uitzettingscoëfficient zonder nadere opgave omtrent hetgeen men bedoelt bij het water geen sprake kan zijn. Om de uitzetting van een vloeistof bij verwarming te onderzoeken, kan men den in de vorige § beschreven toestel bezigen. Neemt men den stand der vloeistof in de buis waar bij twee temperaturen, dan zou men, wanneer van de uitzetting van het glas mocht worden afgezien, door een zeer eenvoudige berekening den uitzettingscoëfficient der vloeistof vinden. De aldus gevonden waarde heet de schijnbare uitzettingscoëfficient; daar het volume van het glazen vat in werkelijkheid veranderd is, is de ware uitzettingscoëfficient grooter. Deze wordt gevonden door bij den schijnbaren uitzettingscoëfficient den kubieken uitzettingscoëfficient van het glas op te tellen, een regel, waarvan wij het bewijs aan den lezer kunnen overlaten. Men moet derhalve, om de uitzetting der vloeistof te leeren kennen, die van het glazen vat vooraf bepaald hebben. Men zou daartoe den lineairen uitzettingscoëfficient van een staaf die uit dezelfde glassoort bestaat, kunnen bepalen, maar heeft dan het bezwaar dat het glas van die staaf eenigszins andere eigenschappen kan hebben dan dat van het gebezigde vat. kwik nog niet de helft van zijne geheele volumevermeerdering ondergaan hebben, en dus nog niet op 50° staan. In een kwikthermometer heeft men eigenlijk met de schijnbare uitzetting van het kwik in glas te doen. Daardoor wordt de beantwoording der vraag, hoe hoog zulk een thermometer zal staan, wanneer de luchtthermometer 50° aanwijst, nog iets ingewikkelder. En zelfs zullen twee kwikthermometers die uit verschillende glassoorten bestaan, niet denzelfden gang vertoonen, daar die glassoorten bij de uitzetting niet dezelfde wet zullen volgen. Het verschil in de aanwijzing van een luchtthermometer en een kwikthermometer kan tusschen 0° en 100° één of twee tienden van een graad bedragen; boven 100° worden de afwijkingen nog grooter. In vele gevallen kan men van de ongelijke aanwijzing van verschillende thermometers afzien. Bij nauwkeurige onderzoekingen worden, zooals reeds gezegd werd (§ 219), de temperaturen in graden van den luchtthermometer uitgedrukt. Dan hebben voor elk vast of vloeibaar lichaam de coëfficiënten (3 en y in de formule (2) bepaalde waarden. Deze waarden zouden geheel anders worden, als men t in graden van een kwikthermometer wilde uitdrukken. § 272. Verdamping van vloeistoffen. Maximum van span• ning van een damp. Wij zagen reeds in § 235 hoe een vloeistof in een ruimte die zij niet geheel kan vullen, geheel of gedeeltelijk in damp overgaat, en hoe bij gegeven temperatuur de damp een bepaalde spanning en ook een bepaalde dichtheid moet hebben om met de vloeistof in evenwicht te zijn; wij maakten ons verder een voorstelling van de wijze waarop dit evenwicht tot stand komt. Den „evenwichtsdruk" p noemden wij den druk van den verzadigden damp. Men noemt hem ook dikwijls het maximum van spanning van den damp bij de gegeven temperatuur, een benaming, waartoe men op de volgende wijze gekomen is. Wanneer men een hoeveelheid damp, die eerst een kleinen druk uitoefent, bij de gekozen standvastige temperatuur samendrukt, verdicht zich de damp van zelf tot een vloeistof, zoodra de druk tot zeker bedrag p' is gestegen. Hoe groot dit is, hangt van omstandigheden af, waarop wij later nog terugkomen; in elk geval verschilt p echter weinig van den evenwichtsdruk p, zoodat men bij benadering kan zeggen dat deze druk de grootste is, dien de damp bij de gekozen temperatuur kan uitoefenen. In denzelfden zin waarin men van het maximum van spanning spreekt, kan men ook zeggen dat de verzadigde damp een maximum van dichtheid heeft. Om de verdamping waar te nemen en de spanning van den verzadigden damp bij niet te hooge temperaturen te meten, kan men de vloeistof boven het kwik van een barometer laten opstijgen; de damp is verzadigd zoodra er nog eenige onverdampte vloeistof overblijft. De spanning van den damp leidt men uit de neerdrukking van het kwik af. Door nu de geheele barometerbuis met een verwarmingsmantel te omringen, toont men aan dat de spanning van den verzadigden damp snel met de temperatuur toeneemt, en wanneer men let op de hoeveelheid vloeistof die men in de buis moet brengen 0111 een bepaalde ruimte „met damp te verzadigen", blijkt het dat dit ook liet geval is met de dichtheid van den verzadigden damp. Een bepaalde ruimte kan des te meer damp bevatten, naarmate de temperatuur hooger is. Natuurlijk kan men met de barometerbuis niet verder gaan dan tot de temperatuur waarbij het maximum van spanning gelijk is aan de dampkringsdrukking. Om bij hoogere temperaturen te werken moet men zich van andere hulpmiddelen bedienen. Yan den invloed der temperatuur kan men zich gemakkelijk rekenschap geven. Is er eerst evenwicht tusschen vloeistof en damp, en verhoogt men dan de temperatuur, dan zullen meer molekulen een zoo groote snelheid krijgen, dat zij uit de vloeistof kunnen wegvliegen. Eerst nadat de damp een grootere dichtheid heeft gekregen, zal er op nieuw evenwicht zijn. Men heeft ook de verdamping onderzocht in een ruimte die reeds lucht of een ander gas bevat, en gevonden dat daarin de damp ten slotte dezelfde dichtheid krijgt als in een eerst ledige ruimte. Daar nu een mengsel van twee gassen Wanneer van den druk dien de vloeistof door haar gewicht uitoefent, mag worden afgezien, dus in een niet te diepe massa, zullen eenmaal gevormde dampbellen kunnen blijven bestaan bij die temperatuur, icaarbij het maximum van spanning van den damp gelijk is aan den uitwendigen druk die hetzij door een gas, hetzij door reeds aanwezigen damp op de vloeistof wordt uitgeoefend. Deze temperatuur wordt het kookpunt der vloeistof genoemd. In werkelijkheid moet menigmaal wegens een later te bespreken oorzaak iets verder verhit worden eer het koken begint. Een thermometer, die in den ontwijkenden damp geplaatst is, wijst echter een temperatuur aan, gelijk aan het ware kookpunt. Het reservoir van zulk een thermometer wordt nl. met een laagje vloeistof bedekt en krijgt de temperatuur waarbij deze vloeistof in evenwicht is met damp van den druk die in de omringende ruimte bestaat. Uit het in de vorige § gezegde kan men besluiten dat het kookpunt van een zoutoplossing hooger is dan dat van zuiver water. § 274. Verdamping» warmte. Bij elke verdamping van een vloeistof verdwijnt een zekere hoeveelheid warmte; meer in het bijzonder zullen wij onder „verdampingsivarmte" de hoeveelheid warmte verstaan, die wij aan een gram vloeistof van zekere temperatuur moeten toevoeren om die in verzadigden damp van dezelfde temperatuur te doen overgaan. Men bepaalt deze grootheid door de warmte te meten, die omgekeerd ontwikkeld wordt, als de verzadigde damp tot vloeistof wordt verdicht. De verdampingsicarmte dient ten deele om de inwendige energie der stof te verhoogen; inderdaad is in den damp het arbeidsvermogen van plaats dat de molekulen tegenover elkaar hebben, grooter dan in de vloeistof, en heeft misschien ook de kinetische energie niet dezelfde waarde. Maar bovendien heeft bij den overgang in damp een aan- > merkelijke volumevermeerdering plaats; de verdamping is dus alleen mogelijk, wanneer een zuiger waaronder zich de vloeistof bevindt, of een gas- of dampmassa die daarop drukt, verplaatst wordt. Bij die verplaatsing verricht de damp een zekeren uitwendigen arbeid, en ook daarvoor moet een hoeveelheid icarmte worden verbruikt, die in de totale verdampings- warmte begrepen is. Om den bedoelden uitwendigen arbeid te berekenen moet men den druk van den damp in dynes per c.M2 vermenigvuldigen met de volumevermeerdering in c.M3; het volume per gram is voor een aantal dampen bekend, daar men een bepaald volume van den verzadigden damp rechtstreeks heeft gewogen. Beschouwen wij als voorbeeld een gram watei van 1ÜO . Het volume van den verzadigden damp is bij deze temperatuur 1640 c.M3, dat van de vloeistof iets meer dan 1 c.M3, en de druk van den damp 1 atrn. of 1,014 X 10" dynes per c.M2. De uitwendige arbeid bedraagt derhalve 1660 X 10,; ergen, beantwoordende aan 40 calorieën. De geheele verdampingswarmte bedraagt 537 calorieën; derhalve hebben 497 warmteeenheden gediend om de inwendige energie te vergrooten. Bij 121° is de spanning van den verzadigden damp 154 c.M. kwik, of 2,05X10° dynes per c.M2, iets meer dan twee atmospheren. Het volume van 1 gram water is dan nog steeds weinig meer dan 1 c.M3, dat van een gram verzadigden damp bedraagt 830 c.M3, de verdampingswarmte 522 cal. Men zal voor het verschil tusschen het inwendige arbeidsvermogen van een gram water en een gram verzadigden damp bij deze temperatuur vinden 481 calorieën; het is iets kleiner dan het bij 100° was. De analogie, wat den uitwendigen arbeid betreft, tusschen de nu en de in § § 230 en 231 besproken verschijnselen behoeft wel niet nader aangewezen te worden. Ook over het mechanisme waardoor bij de verdamping warmte verdwijnt, kunnen wij kort zijn. Men moet zich voorstellen dat het de molekulen met de grootste snelheden zijn, die een vloeistof bij de verdamping verliest; wordt geen warmte toegevoerd, dan moet zij daardoor noodzakelijk afkoelen. Wat den gevormden damp betreft, daarin zullen de deeltjes niet meer het groote arbeidsvermogen van beweging hebben, dat zij eerst in de vloeistof hadden; zij hebben nl. bij 't verlaten daarvan, Men kan een dergelijke isothermisclie lijn ook voor andere temperaturen construeeren. De lijn A' B' C' D' b.v. heeft betrekking op een temperatuur van 121°. De abscis van het punt B' geeft het volume van een gram verzadigden waterdamp bij dezen warmtegraad aan, en is dus kleiner dan de abscis van B, terwijl de ordinaat van B' ruim tweemaal zoo groot is als die van B. Het stuk C' D' ligt iets ter rechterzijde van C D, zoo weinig intusschen, dat de afstand dezer beide lijnen niet te zien zou zijn geweest, wanneer wij de figuur nauwkeurig geteekend hadden. Om op nieuw de afwijking van de wet van Boyle te beoordeelen, merken wij op dat het volume van een gram waterdamp onder een druk van 1 m.M. kwik nu bedraagt 760(1 + 121 X0,00366) _ 9 X 0,0000896 _ ' X 1U C,M • Gold de wet van Boyle, dan moest de verzadigde damp met zijne spanning van 1539 m.M. een ruimte innemen van ^T^r^ = 884 i ooy Het werkelijke volume is echter 833 c.M3, d. i. ongeveer 6°/0 kleiner. De dichtheid van den verzadigden damp, vergeleken met waterstof van dezelfde temperatuur en spanning, is nu 9,6. Uit deze getallen blijkt dat de afwijking van de wet van Boyle bij 121° grooter is dan bij 100°, wat trouwens te verwachten was, daar bij de eerste temperatuur de dichtheid van den verzadigden damp het grootst is. Omgekeerd worden bij temperaturen beneden 100° de afwijkingen kleiner en kan men er b.v. tusschen 0° en 20° van afzien. Dientengevolge kan men gemakkelijk berekenen hoeveel waterdamp in een zeker volume lucht, b.v. bij 15° kan aanwezig zijn. Men zoekt in een tabel het maximum van spanning bij die temperatuur op, berekent hoeveel gram waterstof de gegeven ruimte zou bevatten als dit gas bij 15° onder een druk, gelijk aan dat maximum was gebracht, en vermenigvuldigt de uitkomst met 9, de relatieve dichtheid van waterdamp met betrekking tot waterstof. § 279. Isothermische saniendrukking van koolzuur. Wanneer men koolzuurgas in een dikwandige glazen buis opsluit en door het inpersen van kwik samendrukt, neemt men bij niet te hooge temperaturen verschijnselen waar, overeenkomende met die, welke voor waterdamp werden beschreven. A B C D (Fig. 226) is de isothermische lijn van het koolzuur voor 13°,1; A'B'C'D' voor 21°,5. Het maximum van spanning van den koolzuurdamp is bij deze temperaturen ongeveer 47 en 65 atmospheren. Een blik op Fig. 225 doet zien, dat bij 121° het verschil in eigenschappen van 2.,6 van 13°,l de eigenschappen van de vloeistof en den verzadigden damp nog minder van elkaar verschillen dan bij water, zelfs van 121°. Het volume van het vloeibare koolzuur is nl. ongeveer van dat van den damp. Inderdaad gelijkt het vloeibare koolzuur meer op een gas dan het water; het is in veel hoogere mate samendrukbaar. En aan den anderen kant naderen de eigenschappen van den verzadigden damp meer dan bij den waterdamp tot die eener vloeistof, zooals uit de groote afwijking van de wet van Boyle blijkt. Het product van druk en volume daalt gedurende de samendrukking die door de lijn A B wordt voorgesteld tot bijna 3/5 van het oorspronkelijke bedrag. § 2S0. Kritische temperatuur. Bij 21°,5 zijn de dichtheden water en verzadigden waterdamp kleiner is dan bij 100°, iets dat wij, wat de inwendige energie betreft, reeds in § 274 hebben opgemerkt. Bij nog hoogere temperaturen zou het verschil nog kleiner worden. Fig. 226 leert ons dat bij het koolzuur 2U van het vloeibare koolzuur en van den verzadigden koolzuurdarap nog meer tot elkaar genaderd dan bij 13°,1 en de vraag ligt voor de hand, of wellicht bij nog hoogere temperaturen het verschil geheel zal wegvallen. Inderdaad is dit het geval. Als de temperatuur tot 30°,9 is gestegen, bestaat er geen onderscheid meer tusschen den verzadigden damp en de vloeistof; uit de verschijnselen bij de samendrukking valt dan het door de rechte lijn BC voorgestelde gedeelte weg; er is geen sprake meer van een splitsing der stof in een dampvormig en een vloeibaar gedeelte, maar op de door A B voorgestelde samendrukking volgt onmiddellijk de door C D voorgestelde. De isothermische lijn voor 30°,9 loopt nog slechts in een enkel punt E horizontaal. Ook bij elke temperatuur boven 30°,9 blijft bij het samendrukken het koolzuur homogeen; op zulk een temperatuur heeft de lijn L L betrekking. De temperatuur boven toclke een stof bij samendrukking steeds homogeen blijft, wordt de „kritische temperatuur" genoemd. Terwijl daar beneden het lichaam zich kan splitsen in twee phasen van verschillende dichtheid, die naast elkaar kunnen bestaan en waarvan de eene „vloeistof" en de andere „damp" genoemd wordt, bestaat dit onderscheid boven de kritische temperatuur niet meer; men kan de stof dan den eenen of den anderen naam geven, naar gelang van de gedachte waardoor men zich laat leiden. Wordt b.v. koolzuurgas bij 35° sterk samengedrukt, dan is men geneigd het steeds een gas te blijven noemen, daar men geen afscheiding van een vloeibaar laagje of van druppels waarneemt. Maar ten slotte is toch een dichtheid en dientengevolge een lichtbrekend vermogen ontstaan, zooals die bij vloeistoffen voorkomen; een waarnemer die het glazen vat beschouwt, waarin het sterk verdichte koolzuur aanwezig is, zal dus oordeelen dat hij met een vloeistof te doen heeft. Trouwens, het koolzuur had in denzelfden toestand gebracht kunnen worden langs een anderen weg. Men had nl. met vloeibaar koolzuur kunnen beginnen van b.v. 21°,5 en dit bij standvastig volume tot 35° verwarmen. Men zou dan niets bijzonders zien gebeuren, en zou geneigd zijn, nog altijd van een vloeistof te spreken. Het boven aangewezen verschil tusschen het gedrag van water en dat van koolzuur hangt hiermede samen, dat bij water de kritisghe temperatuur veel hooger ligt. Men heeft die op 400° geschat. § 281. Verdichting van gassen tot vloeistoffen. Wil men een gas in den vloeibaren toestand brengen, d. w. z. wil men een vloeibaar laagje, druppels, of zelfs maar een nevel zien ontstaan, dan is het blijkens het voorgaande noodig, het tot beneden de kritische temperatuur af te koelen. Bij zuurstof is deze laatste — 118°, bij waterstof — 244°. Van daar, dat deze lichamen langen tijd aan alle pogingen om ze tot vloeistof te condenseeren weerstand hebben geboden. In de laatste jaren heeft men in het voortbrengen van lage temperaturen groote vorderingen gemaakt; alle gassen, het laatst de waterstof en het helium, zijn dientengevolge als lagen vloeistof, duidelijk afgescheiden van den damp, verkregen. Om de temperatuur zoover te doen dalen, als bij deze onderzoekingen noodig was, heeft men twee middelen gebezigd. Vooreerst kan men een sterk samengedrukt gas zich plotseling laten uitzetten. Wij zagen reeds in § 229 dat hierbij de temperatuur daalt, omdat een uitwendige arbeid moet worden verricht, en kunnen daar nu bijvoegen dat dit, wanneer men met een groote dichtheid begint, eveneens het geval is omdat de aantrekkende krachten tusschen de molekulen moeten worden overwonnen. Wij merken hierbij op dat het niet goed uitvoerbaar gebleken is, door een enkele uitzetting een zeer lage temperatuur te bereiken. Dit gelukt eerst als men van een eerste, betrekkelijk geringe afkoeling gebruik maakt om de begintemperatuur bij de ontspanning van een volgende hoeveelheid gas te verlagen. Men laat daarvoor het ontwijkende gas strijken langs de aanvoerbuis van het samengeperste gas. Het is mogelijk op deze wijze lucht zoo ver af te koelen, dat zij vloeibaar wordt. Bij de toestellen van Linde wordt dit beginsel toegepast. Het tweede middel bestaat hierin, dat men een vloeistof die eerst zelf door de verdichting van een gas ontstaan was, snel laat verdampen. Daar de verdampingswarmte (§ 274) dan aan de vloeistof moet worden onttrokken, zal haar temperatuur dalen, en dit zal zoover gaan tot het maximum van spanning van den damp gelijk geworden is aan den druk waaraan de stof is onderworpen. Zoo zou men b.v. door water te laten verdampen en den damp snel weg te zuigen, zoodat de druk niet boven 6 m.M. kwik steeg, kunnen bewerken dat het water tot 4° afkoelde. Vloeibare lucht, aan dampkringsdrukking blootgesteld, gaat koken tot de temperatuur — 192° is geworden. Door het gas snel weg te zuigen kan men de temperatuur tot beneden de kritische temperatuur van waterstof doen dalen. Wij merken hierbij op dat vloeibaar koolzuur, onder dampkringsdrukking gebracht, vast wordt vóór de bedoelde evenwichtstemperatuur bereikt is. Op het tweede der genoemde hulpmiddelen berust de cascademethode tot het verkrijgen van lage temperaturen, die o. a. in het natuurkundig laboratorium te Leiden wordt toegepast. Men maakt daar gebruik van chloormetyl, aethyleen en zuurstof, met welke stoffen trapsgewijze de lage temperaturen worden voortgebracht. Chloormethyl kan bij de gewone temperatuur door samendrukking vloeibaar gemaakt worden. Men laat de verkregen vloeistof verdampen onder lagen druk, door middel van een zuig-perspomp die het gas weer tot vloeistof verdicht. In de verdampende vloeistof, die tot — 70° afkoelt, ligt een buis waarin zich aethyleen onder een druk van 8 atmospheren bevindt. Dit gas, waarvan de kritische temperatuur 10° is, wordt dan vloeibaar, en kan door onder lagen druk te verdampen weer een veel lagere temperatuur (— 130°) opleveren. Een pomp zorgt weer voor het wegzuigen en samenpersen van dit gas. In het vat waarin het aethyleen verdampt, ligt een buis met zuurstof (krit. temp. — 118°) onder hoogen druk, die daarin vloeibaar zal worden. Door verdampen van zuurstof onder een druk van 3 m.M. kan een temperatuur van ongeveer — 240° bereikt worden. Met vloeibare waterstof, verdampende onder lagen druk, heeft men een temperatuur van — 258° bereikt. De zuig-perspompen die bij de boven beschreven methode gebruikt worden kunnen beschouwd worden als de omkeering van calorische machines. Keerde men b.v. de in Fig. '21'2 (§ 241) voorgestelde stoommachine om (§ 248), dan zou de temperatuur in het vat waar reeds de laagste temperatuur bestond, nog verder dalen. § 282. Theorie van van der Waals. Wij hebben bij de bespreking van de kinetische theorie der gassen (§ 220) aangenomen dat de molekulen elkaar niet merkbaar aantrekken en dat zij zeer klein zijn in vergelijking met de tusschenruimten. Het is echter duidelijk dat bij samendrukking van een gas de aantrekkende krachten hoe langer hoe meer op den voorgrond zullen treden en dat ook, als de deeltjes eenige uitgebreidheid hebben, hun gezamenlijk volume eindelijk niet meer te verwaarloozen zal zijn tegenover de geheele dooi het gas ingenomen ruimte. Door deze beide omstandigheden in de theorie op te nemen is Prof. van der Waals er in geslaagd, van verschillende in de laatste §§ vermelde feiten een veiklaring te geven en bovendien tot vele andere belangrijke gevolgtrekkingen te geraken. Wij kunnen die theorie hier niet volledig behandelen, en alleen op eenige hoofdzaken wijzen. Zooals reeds werd opgemerkt (§ 278) worden de bij waterdamp en koolzuur waargenomen afwijkingen van de wet van Boyle verklaard uit de molekulaire attractie; deze heoft ten gevolge dat de samendrukbaarheid grooter is dan die wet verlangt. Ook de verdichting tot een vloeistof moet aan de aantrekking worden toegeschreven. Daarentegen is het aan de uitgebreidheid der molekulen te wijten, dat het volume van water, als de druk met 1 atmospheer verhoogd wordt, met niet meer dan ^ van het oorspronkelijke bedrag afneemt, en dat deze coëfficiënt bij verhooging van den druk voortdurend kleiner wordt, zoodat, zooals Amagat heeft aangetoond, een vermeerdering met 1 atm., als de druk reeds 3000 atm. bedraagt, nog maar een volumevermindering van l ten gevolge heeft. (Het volume is dan het .. .. van wat 40000 6 .... het bij een druk van 1 atm. is). Het is duidelijk dat, als de raolekulen zelf een merkbaar volume innemen en niet of weinig samendrukbaar zijn, ook de hoogste bereikbare druk het totale volume niet beneden een zekere grens kan brengen. Deze verminderde samendrukbaarheid bij hooge drukkingen valt ook op te merken als men boven de kritische temperatuur blijft en dus, zoo men wil, steeds met een gas te doen heeft. Bij waterstof, waar de molekulaire attractie zeer zwak is, heeft zelfs bij gewone drukkingen de uitgebreidheid der deeltjes een overwegenden invloed; dit gas wijkt nl. in tegengestelde richting als het koolzuur van de wet van Boyle af. Van den invloed der molekulaire aantrekking kan nog de volgende beschouwing een goed denkbeeld geven. Het is gebleken dat de aantrekkende krachten die de molekulen op elhaar uitoefenen, alleen op zeer kleine afstanden, ver beneden 0,001 m.M., merkbaar zijn. Alle deeltjes die op een bepaald molekuul P kunnen werken, liggen dus binnen een zekeren uiterst kleinen bol, om P als middelpunt beschreven. Ligt nu het deeltje P in het binnenste van een vloeistofmassa (Fig. 227), dan valt deze bol, de werkingsspheer, geheel in de vloeistof. Daar hij gelijkmatig met stof gevuld is, zooals wij zullen aannemen, zullen al de op P werkende aantrekkingen elkaar opheffen. met vloeistof gevuld, dan zouden alle op Q werkende krachten elkaar opheffen, maar, nu abc ledig is, ondervindt Q een resulteerende kracht die, volgens de normaal op het oppervlak, naar binnen, d. w. z. naar de zijde der vloeistof gericht is. Dit geldt van alle deeltjes in een laag met de dikte p (de zoogenaamde grenslaag) tusschen SS en het oppervlak S'S'. Derhalve: terwijl op deeltjes in het binnenste der vloeistof Fig. 227. Anders is het met een molekuul Q, dat op een afstand, kleiner dan de straal p der werkingsspheer, van het oppervlak SS ligt. Van de om zulk een deeltje beschreven werkingsspheer ligt nl. een gedeelte abc buiten SS. Was ook diteedeelte geen resulteerende kracht werkt, worden alle molekulen in de grenslaag in een richting, loodrecht op het oppervlak, naar binnen getrokken. Tot hetzelfde besluit komt men ook wanneer men, in plaats van een vloeistof, een gas met merkbare molekulaire aantrekking beschouwt. De toepassing op het onderwerp dat ons bezig hield, ligt voor de hand. Zal een stelsel in beweging verkeerende molekulen binnen een begrensde ruimte besloten blijven, dan moeten de deeltjes, zoodra zij aan 't oppervlak daarvan gekomen zijn, weer naar binnen worden gedreven. De daartoe noodige kracht is bij een denkbeeldig gas zonder molekulaire attractie de door een wand uitgeoefende druk. Trekken echter de molekulen elkaar aan, dan wordt ook hierdoor de grenslaag naar binnen gedreven, en is er dus een kleinere uitwendige druk noodig om de stof binnen het haar aangewezen volume te houden. Naarmate nu de dichtheid grooter wordt, neemt ook de kracht toe, waarmede de grenslaag naar binnen getrokken wordt, en de theorie leert dat er gevallen moeten zijn, waarin die kracht zelfs meer dan voldoende is, om een uitzetting der stof te beletten. Dan moet er nog door uitwendige krachten aan het oppervlak der stof getrokken worden, er moet dus een negatieve druk bestaan, als niet dooi de attractie het volume kleiner zal worden. Dit geval van een negatieven druk leerden wij reeds in § 205, f kennen. Zoo geeft de theorie van van der Waals van vele eigenschappen, niet alleen van gassen en dampen, maar ook van vloeistoffen rekenschap. Zij werpt ook licht op de voorwaarden, onder welke de stof uit den eenen aggregatietoestand in den anderen overgaat. Zij leert dat beneden een zekere temperatuur twee toestanden van verschillende dichtheid onder denzelfden druk mogelijk zijn, waarvan men den eenen gasvormig en den anderen vloeibaar kan noemen, en dat boven die temperatuur de stof bij samendrukking homogeen blijft; kortom, zij verklaart het bestaan van een kritische temperatuur. Hoe hoog deze is, hangt zoowel van de molekulaire uitgebreidheid als van de grootte der molekulaire aantrekking ai, en in het algemeen bepalen deze twee factoren vele bijzonderheden in het gedrag van een lichaam. Omgekeerd kan men dus ook uit experimenteele gegevens een besluit trekken omtrent het volume der deeltjes en het bedrag der aantrekking. Zoo heeft men gevonden dat de kracht waarmede de grenslaag van water naar binnen wordt getrokken, gelijk staat met een druk op het oppervlak van ongeveer 10000 atm. en dus voor een c.M2 van het oppervlak ten naaste bij met een gewicht van 10000 KG. Men moet zich voorstellen dat in een vloeistof als aether van 0° ongeveer het derde gedeelte van de geheele ruimte werkelijk door de molekulen wordt ingenomen ; in lucht bij 0° en 760 m.M. druk is dit met niet meer dan gjwj va,n ^ geheele volume het geval. Van de grootte der gasdeeltjes hangt, zooals reeds vroeger werd opgemerkt, ook de lengte van den weg af, dien een molekuul, zonder tegen een ander te botsen, kan doorloopen. Uit metingen over diffusie, warmtegeleiding en inwendige wi ij ving kan dus ook iets over de uitgebreidheid der molekulen worden gevonden. Nader onderzoek leert dat het 't gezamenlijk oppervlak der molekulen van een gas is, dat men op deze wijze kan leeren kennen. Is echter van een aantal even groote bollen het gezamenlijke volume en het totale oppervlak bekend, dan kan men door een eenvoudige berekening het aantal dier lichamen en de grootte van elk bepalen. Deze berekening op de gasmolekulen toepassende, komt men tot de volgende schattingen. Voor het aantal molekulen in 1 c.M3 lucht bij 0° en 76 c.M. een getal van 20 cijfers; voor den gemiddelden afstand van twee op elkaar volgende molekulen 25X10~8c.M., voor de dikte der molekulen ongeveer van deze lengte en eindelijk voor de massa van een atoom waterstof 10~2i gram. § 283. Vrije energie van een vloeistofoppervlak. De aantrekkende krachten tusschen de molekulen, die in de theorie van van der Waals zulk een voorname rol spelen, hebben ook in vele gevallen een invloed op den vorm van een vloeistofmassa. Hoe liet daarmede gesteld is kan men uit de theorie der vrije energie (§ 247) afleiden. Wanneer een deeltje dat zich eerst aan het oppervlak van een vloeistof bevindt, langs een of andere lijn L (Fig. 227) naar binnen verplaatst wordt, zal het, zoo lang het nog in de grenslaag S S' is, een kracht naar binnen ondervinden, die een positieven arbeid verricht, maar bij de verdere beweging heffen de aantrekkingen die erop werken, elkaar op, en is er dus geen arbeid meer. Hieruit volgt dat het molekuul, zoodra het beneden S' is gekomen, steeds hetzelfde arbeidsvermogen van plaats ten opzichte van de andere deeltjes heeft, onverschillig waar het geplaatst is, maar dat het in de grenslaag een grootere potentieele energie heeft, en wel de grootste, wanneer bet in het oppervlak S ligt. Daar hetzelfde van elk molekuul geldt, moet het totale arbeidsvermogen van plaats dat de deeltjes wegens hunne onderlinge aantrekking hebben, des te grooter zijn, naarmate er meer in de grenslaag liggen, dus naarmate het oppervlak der vloeistofmassa grooter is. Dit oppervlak kan bij een gegeven hoeveelheid zeer verschillende grootte hebben, naar gelang van den vorm der vloeistof; het is b.v. wanneer deze tot een vlies is uitgespreid, grooter dan bij een bolvormige gedaante. De medegedeelde beschouwing kan nu de volgende onderstelling aannemelijk maken, die men ter verklaring der verschijnselen die wij nu zullen bespreken, heeft aangenomen: Bij een bepaalde temperatuur is de vrije energie van een vloeistof massa des te grooter, naarmate het oppervlak grooter is, en wel neemt, bij aangroeiing hiervan, de vrije energie toe met een hedrag dat evenredig is met de vermeerdering van het oppervlak. Wij zullen de vermeerdering der vrije energie in het geval dat het oppervlak met de vlakte-eenheid toeneemt, of, zooals wij ook kunnen zeggen, de vrije energie die aan de eenheid van oppervlak eigen is, door H voorstellen. Wij kunnen dan H A O schrijven voor de vermeerdering die aan een aangroeiing A O beantwoordt, of voor den arbeid dien het stelsel verricht (§ 246) als het oppervlak bij standvastige temperatuur met A O afneemt. Omgekeerd kost het ons een arbeid H A O om het oppervlak isothermisch met A O te vergrooten. Be grootheid H is voor elke vloeistof hij bepaalde temperatuur een constante; daar zij, zooals weldra zal blijken, ook de opstijging in capillaire huizen bepaalt, wordt zij de „capillariteitsconstante" genoemd. § 284. Druppels en vliezen, a. Uit het bovenstaande in verband met het in § 247 gezegde, volgt dat een vloeistofmassa die aan de zwaartekracht en aan alle andere uitwendige invloeden onttrokken is, den vorm aanneemt, waarbij het oppervlak een minimum is, en dat is die van een bol. Van daar de neiging om druppels te vormen. Dat men die in den regel alleen bij kleine massa's opmerkt, is hieraan te wijten, dat bij grootere de zwaartekracht te storend werkt. Intusschen blijkt dezelfde eigenschap voor groote massa's uit de proef van Plateau, waarbij een hoeveelheid olie gebracht wordt in een mengsel van alcohol en water van hetzelfde soortelijk gewicht. h. Bij dunne vloeistofvliezen, zooals die van een zeepoplossing kunnen worden gemaakt, treedt, wegens de geringe massa, de zwaartekracht tegenover de molekulaire krachten op den achtergrond. Werken er ook geen andere uitwendige krachten, dan zal de boven beschouwde vrije energie afnemen; het vlies trekt zich samen, zoodat het oppervlak zoo klein mogelijk wordt. Bij platte vliezen, die men in een raampje van ijzerdraad kan doen ontstaan, kan men dit aantoonen door een dunnen draad, waarvan de uiteinden aan elkaar zijn geknoopt, op het vlies te leggen en dit vervolgens binnen den draad door te steken. Het vlies daarbuiten trekt zich dan zooveel samen als de draad het toelaat, en spant dezen tot een cirkel. De hierbij werkzame kracht noemt men de spanning van het vlies; de grootte daarvan hanc-t op eenFig. 228. ' b. , voudige wijze samen met de capillariteits- constante H. Stel dat a b c d (Fig. 228) een tweemaal in een plat vlak omgebogen ijzerdraad is en e f een verschuifbare draad, die met den eersten een rechthoek vormt, in welken men een vlies kan maken. Laat men nu dezen draad, dien men b.v. met de hand vasthoudt, zeer langzaam van e f naar e f gaan, zoodat het oppervlak (de twee zijden samengerekend) van de vloeistof afneemt met 2 e e' X ef, en blijft bierbij de temperatuur constant, dan verricht (§246) het vlies een arbeid 2ee X«/XH, Aan den anderen kant is die arbeid, als K de kracht voorstelt, waarmede het vlies den draad e f naar binnen trekt, e e' X &• Dus vindt men K = 2 e f X H en voor de kracht waarmede het vlies op de lengte-eenheid van den draad werkt, de spanning per lengte-eenheid : S = 2H • . (7) c. De ijzerdraad of de draden tussclien welke een vlies gevormd wordt, kunnen zulk een vorm hebben dat het vlies niet plat kan zijn; steeds neemt het echter, wanneer aan weerszijden het omringende gas denzelfden druk uitoefent, de gedaante aan, waarbij het oppervlak zoo klein mogelijk is. Bij een verplaatsing verrichten nl. de bedoelde drukkingen geen arbeid; de vrije energie die in de vorige § beschouwd werd, moet dus weer een minimum worden. Is .het vlies b.v. gevormd tusschen twee even groote horizontale cirkelvormige ringen, met de middelpunten boven elkaar, dan neemt het niet de gedaante van een cilinder aan, omdat door een insnoering in het midden het oppervlak nog kleiner kan worden. Het verdient opmerking dat de grootheid S niet alleen de kracht bepaalt, met welke het vlica aan den ijzerdraad ef (Fig. 228) trekt, maar ook de kracht die het op elk lichaam uitoefent, waarmede het in aanraking is, en eveneens die, niet welke het eene deel van het vlies op het andere werkt. Men kan nl. in gedachten het vlies langs een willekeurige lijn doorsnijden ; wat aan de eene zijde der scheidingslijn ligt trekt aan het andere deel, in de richting loodrecht op die lijn, en deze werking bedraagt per lengte-eenheid S. Daar deze kracht voortvloeit uit werkingen op zeer kleine afstanden en men een klein gedeelte van een gebogen vlies als plat kan beschouwen, bestaat in een gebogen vlies dezelfde spanning als in een plat. d. Bij een bolvormig vlies, zooals een aan een buis geblazen zeepbel, vertoont zich de spanning hierdoor dat de bel, wanneer de buis aan het uiteinde open blijft, langzamerhand kleiner wordt. Sluit men de buis, dan gaat de samentrekking voort totdat de lucht binnen de bel tot op zekeren graad is samengedrukt. In de theorie van dit verschijnsel moet men letten op het drukverschil aan de binnen- en buitenzijde. Men kan daar evenwel nog van afzien, wanneer men vormveranderingen (overgang b.v. van een ellipsoïde tot een bol) beschouwt, bij welke het volume niet verandert. Immers, de arbeid van de uitwendige drukkingen is dan 0 (§ 207). Onder alle vormen ran denzelfden inhoud zal de zeepbel dus dien aannemen, bij /reiken het oppervlak een minimum is, d. tc. 2. den bolvorm. Zij nu R de straal van den bol en laat de druk binnen het vlies p meer bedragen dan aan de buitenzijde. Neemt dan, bij een oneindig kleine omkeerbare en isothermische samentrekking, de straal met 2 af, dan is de vermindering van het oppervlak 16x115 en die van het volume 4tR2J. Voor de vermindering der vrije energie kan men dus schrijven JGtRIIJ en voor den door het vlies verrichten arbeid t t R2 p S. Deze uitdrukkingen aan elkaar gelijkstellende, vindt men 411 P= R' (8) een betrekking, die men ook op de volgende wijze uit de beschouwing der spanning kan afleiden. Wij stellen ons voor dat er evenwicht is; de druk der lucht moet dan aan de binnenzijde p meer bedragen dan aan de buitenzijde. Snijdt men de bel door met een denkbeeldig vlak door het middelpunt, dan bestaat langs den omtrek tusschen de beide deelen een spanning 2 t 11S. Deze kracht moet gelijk zijn aan die, welke de eene helft van de andere tracht te scheiden en die, volgens 5 203, iR!f bedraagt. Neemt men de formule (7) in aanmerking, dan komt men tot f8) terug. Men kan den druk p met een manometer bepalen en heeft daarbij gevonden dat hij omgekeerd evenredig met R en onafhankelijk van de dikte van het vlies is. Daaruit volgt dat, zooals ook de boven medegedeelde ' theorie vereischt, de spanning onafhankelijk is van de dikte. Deze uitkomst schijnt op het eerste gezicht vreemd, daar bij een dik vlies aan weerszijden van een doorsnede meer molekulen liggen, die elkaar aantrekken, dan bij een dun vlies. Men moet echter bedenken dat de spanning de totale kracht is tusschen de deelen van het vlies aan weerskanten der doorsnede. Die deelen, even als in het algemeen de massa's aan weerszijden van een door een vloeistof gebracht vlak, trekken elkaar niet alleen aan, maar oefenen bovendien een druk op elkaar uit, op een wijze waarvan het in { 227 gezegde eenig denkbeeld kan geven. Dat nu de boven bedoelde totale kracht onafhankelijk van de dikte van het vlies kan worden, kan men door de volgende beschouwing ophelderen. Het bleek ons in § 282 dat ieder deeltje in de grenslaag naar binnen getrokken wordt; daaruit vloeit voor elk element der laag, zooals p q in Fig. '227, een zekere kraclit N voort, en in den evenwichtstoestand moet de druk in het binnenste der vloeistof den uitwendigen druk met een zeker bedrag overtreffen. Zij nu (Tig. 229) ABCD een loodrechte doorsnede van een vloeistofvlies en laat de dikte meer dan 2 p bedragen, zoodat de geheele massa in twee grenslagen A B a h en CD cd en een gedeelte daartusschen kan verdeeld worden. Laat P Q, een vlak j,. voorstellen, loodrecht op het vlak der teekening en op AB, en vestigen wij de aandacht zoowel op den druk als op de aantrekking, die de deelen van het vlies aan weerszijden van dat vlak op elkaar uitoefenen. Men kan aantoonen, dat voor alle elementen van het scheidingsvlak, die tussehen p en q liggen, de druk die, zooals wij zagen, binnen in het vlies ontstaat, juist de attractie tussehen de vloeistof aan weerszijden van die elementen opheft; maar met een element, van Pp of (i q is het anders gesteld. Zoowel de druk als de attractie zijn daar kleiner dan tussehen p en q, maar van p naar P of van q naar li neemt de druk ineer af dan de aantrekking; voor een element van P p onmiddellijk bij P is de druk gelijk aan dien van de buitenlucht, waarvan wij bij deze beschouwing afzien, maar tussehen de stof rechts en links van dit element bestaat nog een zeer merkbare aantrekking. Door dit alles komt men tot het besluit dal alleen de elementen tussehen P en p en tussehen (i en q iets voor de bovengenoemde resulteerende kracht opleveren. Men moet de spanning in de tiree grenslagen zoeken en mag besluiten dat de grootte dezer kracht onafhankelijk is ran de dikte ran de tussehen die lagen liggende rloeistof. Eerst wanneer de dikte van een vlies beneden 2 p daalde, zou de spanning kleiner worden. De zeepbellen bij welke men gevonden heeft dat p omgekeerd evenredig is met lt, hadden dus alle een dikte, grooter dan 2 p. Het zal nu ook duidelijk zijn dat bij elke vloeistofmassa een spanning in de grenslaag (ioppervlaktespanning) bestaat en dat die half zoo groot is als de spanning van een vlies. Voor de in deze § besproken proeven bezigt men bij voorkeur een vloeistof (b.v. een mengsel van een zeepoplossing en glycerine), die vliezen van groote bestendigheid geeft. Ook allerlei andere vloeistoffen kunnen echter vliezen vormen. Bekend zijn b.v. de bellen die door de medegevoerde lucht ontstaan, wanneer regendruppels in water vallen. Bij schuimende vloeistoffen heeft men gelegenheid, stelsels van een groot aantal vliezen waar te nemen, zooals men die ook met behulp van een zeepoplossing en geschikte ijzerdraadfiguren in meer eenvoudigen vorm kan krijgen. In ieder stelsel van dezen aard ontmoeten telkens drie vliezen elkaar aan dezelfde ribbe en wel onder hoeken van 120'. Dit laatste is een gevolg hiervan, dat elk vlies dezelfde spanning heeft. Op de kleine vloeistofmassa nl., die in de onmiddellijke nabijheid van een element der ribbe ligt, werken drie spanningen in de richting der lijnen, volgens welke de vliezen door het staudvlak gesneden worden. Drie gelijke krachten, op een zelfde punt werkende, kunnen echter alleen dan evenwicht met elkaar maken, wanneer zij hoeken van 120° met elkaar vormen. § 285. Vrije euergie van het grensvlak vau een vloeistof eu een vast lichaam. In het bovenstaande was alleen sprake vau een „vrij" vloeistofoppervlak, of eigenlijk vau een oppervlak waarlangs de vloeistof met een gas of met haar damp in aanraking is. Haakt zij over een zekere uitgestrektheid een vast lichaam aan, dan worden de deeltjes die op een zeer kleinen afstand van dat lichaam liggen, daardoor naar buiten getrokken, terwijl zooals wij reeds zagen, de vloeistof zelf ze naar binnen trekt. Overwegen deze laatste krachten, dan is nog altijd het arbeidsvermogen van plaats (berekend met betrekking tot de tweeërlei aantrekkende krachten) voor de deeltjes in een dunne grenslaag grooter dan voor de molekuleu in 't binnenste der vloeistof. Het tegendeel is het geval, wanneer de aantrekking van het vaste lichaam de onderlinge attractie der vloeistofmolekulen overtreft. Door deze overwegingen is men gekomeu tot de volgende onderstelling: Zij O het vrije oppervlak van een vloeistofmassa en O' het oppervlak, waarlangs zij een vast lichaam aauraakt. Dan kan (als men zich tot een bepaalde temperatuur beperkt) de vrije energie worden voorgesteld door ^ = C + HO + KO', (9) waarin C een standvastige waarde heeft, en de coëfficiënt K in sommige gevallen positief en in andere negatief is. Laat men het stelsel aan zich zelf over, dan wordt de som der beide laatste termen een minimum. Het is duidelijk dat wanneer K negatief is [en de derde term overweegt, \p kan afnemen als O' grooter oppervlak a b uitstrekt. Dit laatste, de zoogenaamde meniscus, gaat geleidelijk in het vrije oppervlak van het laagje over; het is nl. gebogen met de holle zijde naar boven en staat aan den rand verticaal. Bij zeer enge buizen heeft het de gedaante van een halven bol. De vloeistof zal nu zoover in de buis reiken, dat de totale vrije energie een minimum is, en daarbij verdient het opmerking dat, als reeds vooraf de geheele binnenwand is bevochtigd, aan het aanrakingaoppervlak van het water en den buiswand niets te veranderen valt, en evenmin dus aan de daaraan beantwoordende vrije energie. Anders is het met het vrije oppervlak der vloeistof gesteld. Dit bestaat nl. uit den meniscus en het oppervlak van het daarboven liggende waterlaagje, daar nu het laatste bij het omhoog gaan van den meniscus verkleind wordt, zullen de. moleculaire krachten der vloeistof haar voortdurend verder trachten te doen stijgen. De zwaartekracht is oorzaak dat een bepaalde hoogte niet overschreden wordt. Verbeelden wij ons dat voor een oogenblik het middelste punt van den meniscus even hoog ligt als de uitwendige vloeistofspiegel en duiden wij in dat geval de totale vrije energie aan door A. Is dan de vloeistof tot een hoogte h opgestegen, dan is het oppervlak der vloeistof afgenomen met 2 tt r h, als wij nl. door r den inwendigen straal der buis voorstellen, en den uitwendigen vloeistofspiegel zoo uitgestrekt onderstellen dat de hoogte daarvan niet merkbaar verandert. Afgezien van de zwaartekracht is dus de vrije energie der vloeistof verminderd met 2 tv r h H. Aan den anderen kant is de potentieele energie tegenover de zwaartekracht toegenomen met een bedrag, waarvoor men zal vinden 1 tt r' h2 s (verg. § 206), als men door s het soortelijk gewicht der vloeistof voorstelt en, wat bij nauwe buizen geen noemenswaardige fout medebrengt, het gewicht der kolom in de buis en de ligging van het zwaartepunt berekent Fi?. 230. alsof zij aan de bovenzijde door 't platte vlak m n begrensd was. Daar nu de totale vrije energie is A — 2 % r h H -f- ' "" r2 k* s, s het maar de vraag, voor welke waarde van h deze uitdrukking een minimum is. Die waarde, de werkelijke stijghoogte, is (§§ 11 en 41) , 2H h = (10) r s Dat werkelijk de stijghoogte omgekeerd evenredig met den straal der buis is, heeft de waarneming bevestigd. Tevens ziet men uit de formule, hoe men, als /• en s bekend zijn, uit de stijghoogte de capillariteitsconstante kan afleiden. Zal men op deze wijze goede uitkomsten krijgen, dan is het noodig de vloeistof eerst tot een grootere hoogte in de buis op te zuigen, ten einde den binnenwand goed te bevochtigen. Uit de waarneming der stijghoogte blijkt dat de constante II voor water grooter is dan voor alcohol. Hieruit kan men het volgende verschijnsel verklaren. Laat men op het midden van een dun laagje water in een schoteltje een druppel alcohol vallen, dan beweegt zich de vloeistof aanstonds van het midden af naar buiten. Daarbij wordt het oppervlak der alcoholhoudende vloeistof in het midden grooter, maar de daaraan beantwoordende vergrooting der vrije energie wordt overtroffen door de vermindering die het gevolg is van de samentrekking van het ringvormige wateroppervlak. Onder geschikte omstandigheden wordt de bodem van het schoteltje in het midden geheel drooggelegd. Men kan de redeneering die tot de formule (10) geleid heeft, nog iets anders inkleeden. Is nl. de vrije energie een minimum geworden, dan zal zij bij een verdere oneindig kleine verplaatsing niet veranderen (§§41 eu 156). Stel dat die verplaatsing in een omhoogsehuiving van den meniscus over den afstand 5 bestaat. Dan neemt daarbij de eigen vrije energie der vloeistof af met 2 t r 3 II. Het arbeidsvermogen van plaats tegenover de zwaartekracht neemt daarentegen toe met ir r* h' 2 s, als men met h' de gemiddelde hoogte der punten van den meniscus aan- 30 duidt. Men kan zicli nl. voorstellen dat het kleine gewicht 7r r2 3 s, dat boven den oorspronkelijken stand van den meniscus gekomen is, is opgeheven van af den vloeistofspiegel S. De beide gevonden uitdrukkingen aan elkaar gelijk stellende vindt men weer de formule (10), als men, wat bij zeer enge buizen geoorloofd is, h' door de hoogte van het laagste punt van den meniscus vervangt. De laatste afleiding der formule gaat ook door wanneer de buis alleen op de plaats waar de meniscus zich bevindt, den kleinen straal r heeft (Fig. 231), maar daar beneden een willekeurige grootere wijdte. Zoodra de vloeistof (door opzuiging b.v) eenmaal liet enge gedeelte b c bereikt heeft, stijgt zij even hoog op als in een buis die overal de middellijn van b c heeft. Wij zullen niet uitvoerig spreken over vloeistoffen die zich niet over den buiswand uitspreiden. Bij deze is in enge buizen de meniscus een bolsegmeut, waarvan de vorm bepaald wordt door den randhoek. De theorie leert verder dat, als de meniscus de holle zijde naar boven keert, de vloeistof in de capillaire buis hooger staat dan daarbuiten. Het tegendeel is het geval als de bolle zijde van den meniscus naar bojen gekeerd is. Zoo neemt men bij kwik in een capillaire buis een neerdrukking waar. Het hoogteverschil tusschen den meniscus en den uitwendigen vloeistofspiegel is in beide gevallen omgekeerd evenredig met den straal der buis, zoo lang men met dezelfde vaste stof en dezelfde vloeistof te doen heeft, en zich tot zeer enge buizen bepaalt. De verklaring van den lagen stand van het kwik in een capillaire buis ligt voor de hand. Bij deze vloeistof overwegen de eigen aantrekkende krachten tegenover die welke van een glaswand uitgaan; zij trachten het oppervlak der vloeistof zoo klein mogelijk te maken, en dus den dunnen kwikdraad in een capillaire buis daaruit terug te trekken. Vermelden wij ten slotte nog dat dergelijke hoogteverschillen, als tusschen de vloeistof in de buis van Fig. 230 en den spiegel S, ook bestaan bij een U-vormige buis waarvan de beeneu verschillende middellijnen hebben. Kwik staat in het enge been het laagst en water in het wijde. Ook wanneer reeds andere oorzaken een hoogteverschil teweeg brengen, blijven de molekulaire krachten een invloed uitoefenen. Daardoor staat het kwik in de buis van een bakbarometer iets lager dan anders het geval zou zijn, en wel des te meer naarmate de buis nauwer is. Om hiermede rekening te houden, moet men bij het aflezen de hoogte bepaleu van den top van den meniscus en bij nauwkeurige metingen een correctie aanbrengen. Om eenig denkbeeld van het mechanisme der besproken verschijnselen te geven, beschouwen wij nog eens het geval waarop Fig. 2.'50 betrekking heeft, in de onderstelling evenwel dat de vloeistof zich niet over den buiswand uitspreidt. Stel dat de buis aan het benedeneinde door een horizontaal vlak U is afgesneden. Wij verlengen den in de buis aanwezigen vloeistofcilinder tot aan het horizontale vlak V en vergelijken de vloeistofmassa ab c d met de even breede kolom a' b' c tl', die tot dezelfde diepte reikt. Het is duidelijk dat de laatste kolom van de omringende vloeistof tusschen de vlakken S en V geen kracht in verticale richting ondervindt; hij wordt dus geheel gedragen door de vloeistof beneden V. Aan het vlak cd zijn de omstandigheden dezelfde als aan cd'. Op de kolom ab cd wordt dus door de vloeistof beneden V een kracht naar boven uitgeoefend, gelijk aan het gewicht van a' b' c d'. Met het meerdere gewicht van ab c d moeten de krachten evenwicht maken, die de kolom van den buiswand en van de omringende vloeistof tusschen U en V ondervindt. Zijn deze krachten, positief gerekend als zij naar boven gericht zijn, K, en K.2, is verder h de gemiddelde stijghoogte, <7 het oppervlak van de doorsnede der buis, en .« het soortelijk gewicht, dan is de evenwichtsvoorwaarde A is $ = 1 Oo + vi) ^ d. w. z.: Bij een eenparig versnelde of eenparig vertraagde beweging vindt men den afgelegden reeg als men het beschouwde tijdsverloop vermenigvuldigt met de halve som (het gemiddelde) van de begin- en de eindsnelheid. Heeft een vallend lichaam op het oogenblik waarop wij de beweging beginnen te beschouwen, reeds een snelheid v0, dan zal door de werking der zwaartekracht na t seconden de snelheid zijn geworden v, = v0 + gt; de in dien tijd afgelegde weg is dus s =t(v0 + vt)t = v0t + {g ts. Wordt een lichaam met de beginsnelheid v0 verticaal naar boven geworpen, dan duurt het 9 seconden voor de snelheid is uitgeput (§ 64). Daar de halve som van de begin- en de eindsnelheid voqr dit tijdsverloop \va is, wordt de hoogte waartoe het lichaam opstijgt i s/ vo v,.2 In deze uitkomst, die reeds vroeger (§ 64) gevonden werd, komt de tweede macht van de beginsnelheid voor omdat, wanneer deze b.v. verdubbeld wordt, het lichaam gedurende een tweemaal langeren tijd opstijgt, en zich bovendien in dien tijd met een tweemaal grootere gemiddelde snelheid beweegt. § 93. Druk van een lichaam op een horizontaal vlak dat naar boven of beneden bewogen wordt. Onderstellen wij dat het vlak een versnelde beweging naar boven heeft en dat de versnelling op zeker oogenblik a is. Dan heeft ook het lichaam dat op 't vlak rust een even groote versnelling en, als de masèa m bedraagt, moet er, alles samengenomen, een kracht naar boven op werken, die door a m wordt voorgesteld. Op het lichaam werkt nu vooreerst het gewicht P en ten tweede de naar boven gerichte tegenstand van het platte vlak, dien wij x zullen noemen. Dus: x — P — am, en, daar P — g m is, *-(i + °)r. Wegens de gelijkheid van actie en reactie heeft de druk van het lichaam op het vlak dezelfde waarde. De gevallen waarin het vlak een vertraagde of gelijkmatige beweging naar boven heeft, of naar beneden gaat, zullen wij aan den lezer overlaten. Wij vestigen alleen nog de aandacht op de eigenaardige wijze waarop de druk bepaald wordt. Hij is niet bekend omdat men op een of andere wijze weet hoe ver het vlak wordt ingedrukt, maar omdat men de beweging van het lichaam kent. Het is hier met den druk gesteld evenals in vele gevallen met de spanning van een koord; hij is niet van te voren gegeven, maar schikt zich naar de omstandigheden. Het vlak wordt zoover ingedrukt, dat de kracht die het op het lichaam uitoefent de boven berekende waarde heeft; is die bereikt, dan heeft het lichaam dezelfde beweging als het vlak en zal dit niet nog verder indrukken. § 94. Werktuig van Atwood. Over een katrolschijf die draaibaar is om een horizontale as is een koord geslagen, dat aan de uiteinden twee ongelijke gewichten draagt, nl. rechts een gewicht P en links een gewicht P'. Wij onderstellen dat het koord niet over de schijf kan glijden en dat P' > P is; de spanningen van het koord rechts en links van de katrolschijf noemen wij É* en S'. Er ontstaat nu bij het loslaten der gewichten een versnelde beweging en daarbij kan men het volgende opmerken. Daar het gewicht rechts stijgt, moet S>P zijn, want de eenige krachten die op het gewicht werken, zijn de zwaartekracht en de spanning S. Daarentegen moet links S' < P' zijn. Eindelijk moet S' > 8 zijn, want het verschil dezer spanningen is het, dat aan de katrolschijf zelf een versnelde wenteling geeft. Men heeft dus P < S < 8' < P'. De spanningen S en 8' regelen zich nu van zelf zoo, dat de verschillen 8 — P, S' —- S, P' — S' juist de waarden aannemen, die zij moeten hebben, opdat bij de beweging van de gewichten en de schijf de lengte van het koord niet verandert. Om in te zien, hoe dit „regelen" gaat, onderstellen wij dat op het oogenblik waarop de gewichten worden losgelaten, eerst nog S = P was. Dan zou het gewicht rechts een oogenblik in rust blijven, terwijl de schijf reeds begonnen was te wentelen; daardoor zou een kleine uitrekking van het koord rechts ontstaan en S > P worden. Of, als S veel grooter was dan S, zou de draaiing der katrolschijf aanstonds zoo versneld worden, dat een kleine uitrekking van het koord rechts en een samentrekking van het koord links het gevolg is. Daardoor zou het verschil S' — S kleiner worden. Gemakshalve zullen wij aannemen dat de katrolschijf een veel kleinere massa heeft dan de gewichten; dan zullen de spanningen zich zoo regelen, dat S' — S veel kleiner is dan de verschillen S — P en P' — 8', welke de krachten voorstellen, die op de gewichten werken. Bij benadering zulleu wij dan van het verschil S' — S kunnen afzien, en voor de laatstgenoemde krachten kunnen stellen S — P en P — S. Daar nu deze krachten aan de massa's gelijke versnellingen naar boven en naar beneden geven, moeten zij met die masea s, en dus ook met de gewichten, evenredig zijn. Men heeft dus (S — P): (P — S) = P : P', waaruit volgt 2 PP' S — p p' Hieruit vindt men voor de kracht die de massa P naar boven drijft s P _ p(p -p) P'-l-P en voor de versnelling die de gewichten krijgen P _J> ^P' + P' § 95. Invloed van den weerstand der lucht op den val der lichamen. Een lichaam dat zich in de lucht voortbeweegt ondervindt een weerstand (§ 76), die gebleken is des te ijrooter te zijn, naarmate de beweging sneller is. Laten wij een voorwerp vallen, dan zal het gedurende de eerste tijdsdeelen nog een zoo geringe snelheid hebben, dat van den luchtweerstand kan worden afgezien; eerst heeft het dus ten naaste bij dezelfde eenparig versnelde beweging die het in het luchtledige zou aannemen. Bij het aangroeien der snelheid treedt evenwel ook de weerstand in steeds meerdere mate op; de totale op het lichaam werkende kracht, de resultante van het gewicht en den weerstand, neemt af. De beweging is nog wel versneld, maar de snelheidsvermeerderingen gedurende achtereenvolgende gelijke tijdselementen worden kleiner en kleiner. Dit gaat voort tot dat een snelheid bereikt is, waarbij de weerstand gelijk is aan het gewicht van het lichaam. Daar dan de beide krachten elkaar opheffen, verandert de snelheid niet meer, en deze gelijkmatige beweging behoudt het lichaam, juist omdat voortdurend de weerstand evenwicht maakt met het gewicht. De regendruppels hebben nabij het oppervlak der aarde zulk een gelijkmatige beweging. Hoe groot de eindsnellieid is en hoe lang het duurt voor die bereikt wordt, hangt eensdeels af van het gewicht en aan den anderen kant van de grootte van den weerstand. De zwaartekracht werkt op alle stofdeeltjes van het lichaam, de weerstand alleen op die, welke aan het oppervlak liggen. Daaruit volgt dat van twee lichamen die bij gelijk gewicht verschillende oppervlakken hebben, dat met het grootste oppervlak de kleinste eindsnellieid verkrijgt. Is nl. v de waarde der snelheid bij welke voor dit lichaam de luchtweerstand de zwaartekracht opheft, dan zal voor het andere lichaam, als het diezelfde snelheid bereikt heeft, de weerstand nog kleiner zijn dan het gewicht. Bij dit laatste lichaam is derhalve, als het de snelheid v heeft, de versnelling nog niet opgehouden. Eveneens kan men aantoonen dat van twee lichamen die dezelfde grootte en gedaante, maar verschillend gewicht hebben, het zwaarste de grootste eindsnelheid krijgt. Men zal nu inzien waarom voorwerpen als een blad papier, een veer, een sneeuwvlok, een valscherm zoo langzaam dalen, terwijl een zware metalen kogel in de lucht zich op weinig na volgens de wetten van den vrijen val beweegt. Een middel om het oppervlak van een lichaam te vergrooten is de verdeeling in van elkander gescheiden stukken; daardoor komen nl. nieuwe oppervlakken bij het oorspronkelijke. Verdeelen wij dus van twee gelijke lichamen het eene in kleine deelen en laten wij deze op eenigen afstand van elkaar gelijktijdig vallen, dan zal de beweging veel langzamer gaan dan de val van het lichaam dat onverdeeld is gebleven. Een klein lichaam krijgt derhalve een kleinere eindsnelheid dan een groot lichaam van dezelfde stof. Wij kunnen dit ook begrijpen door op te merken dat, wanneer van een lichaam alle afmetingen 2 maal kleiner gemaakt worden, het gewicht 8 maal, maar het oppervlak slechts 4 maal kleiner wordt. Zeer kleine lichaampjes krijgen maar een geringe eindsnelheid. Toch zouden zij in rustige lucht altijd vallen. Er zijn evenwel altijd stroomende bewegingen in de lucht, b.v. ten gevolge van temperatuurverschillen, en zoodra nu de eindsnelheid die een lichaampje in stilstaande lucht krijgen zou, kleiner is dan de snelheid der luchtstroomingen, zal het lichaampje een speelbal van deze laatste zijn; het zal, nu her- dan derwaarts gaande, blijven zweven. Dit is het geval met de tallooze stofjes die op den weg van een zonnestraal in de lucht zichtbaar worden. Wat hier van den weerstand in de lucht gezegd werd, geldt ook van den weerstand in vloeistoffen. Deze is, onder overigens gelijke omstandigheden, grooter dan die van de lucht; een klein lichaampje zal dus gemakkelijker in water dan in lucht zweven. Fijn verdeelde neerslagen bezinken soms in het geheel niet. § 96. Grootte vail sec. m K tot v' dalen; de in dien tijd afgelegden weg is (§ 92) , m(v — v') m (v2 — v's) K. + .)—j jj— en dus de arbeid A = ] m (?;s — v'2) (3) Verandert de kracht K van oogenblik tot oogenblik, dan mogen wij toch, na den tijd in oneindig kleine deelen verdeeld te hebben, op elk daarvan de formule (3) toepassen. Door optelling vindt men dan weer dat de totale arbeid in zeker tijdsverloop gelijk is aan de geheele vermindering der kinetische energie. Ook de stelling van § 115 wordt nu bevestigd. Oefenen wij nl. op een lichaam dat reeds een snelheid v heeft, in de richting der beweging gedurende t seconden een standvastige kracht K uit, dan wordt, daar de versnelling ? is, de eind- m snelheid K , v = v 1 (4) m De afgelegde weg is s = \\(v' + V) t en de arbeid dien wij verrichten A - K s - •! (v -)- v) K t, of, wanneer wij hier voor K< de uit (4) volgende waarde m (v' — v) substitueeren, A — lm (v + v) iv' — v) = \mv'i- \m v2, welke uitkomst weer gemakkelijk uit te breiden is tot het geval dat de kracht K in den loop van den tijd t verandert. Het verdient verder opmerking dat het, wat de waarde van het arbeidsvermogen van beweging op zeker oogenblik betreft, er niet toe doet, of er op dat oogenblik een kracht op het lichaam werkt. Men ziet dit het gemakkelijkst in wanneer men zich voorstelt dat het lichaam den arbeid waartoe het in staat is, in zoo korten tijd verricht, dat in dien tijd de bedoelde kracht geen noemenswaarde snelheidsverandering kan teweegbrengen. Wij kunnen b.v. het arbeidsvermogen van een lichaam beoordeelen naar de dikte eener plaat die het kan verbrijzelen. Legt men die plaat horizontaal en laat men er een kogel op vallen, dan zal het al of niet verbrijzelen van de plaat alleen van de snelheid afhangen, waarmee hij door den kogel getroffen wordt, maar niet van de werking der zwaartekracht gedurende den korten tijd waarin de werking afloopt. Iets anders is het natuurlijk dat het arbeidsvermogen van beweging op zeker oogenblik afhankelijk is van krachten die vóór dat oogenblik op het lichaam gewerkt hebben, en dus invloed op de snelheid hebben gehad. Wij wijzen er eindelijk op dat de kinetische energie onafhankelijk is van de richting der beweging. Een kogel die een bepaalde snelheid heeft, zal b.v. dezelfde uitwerking op een plaat hebben, onverschillig of hij zich in de eene of de andere richting beweegt, als wij altijd de plaat zoo houden dat hij loodrecht getroffen wordt. Wij kunnen nu de formule (2; ook uitbreiden tot het geval van een stelsel lichamen of stoffelijke punten die zich, elk met zijn eigen snelheid bewegen. Zijn de massa's ml, »»2, enz., en de snelheden, die allerlei verschillende richtingen kunnen hebben, vx, v3, enz., dan kan het eerste stoffelijke punt, voor zijne beweging is uitgeput, een arbeid .! m, Vis verrichten, het tweede een arbeid \ wi2 v33, enz. De som A = l m1 r,* + i ms vs2 4- enz., waarvoor wij ook schrijven A = I ! jh s!, (5) stelt dus het arbeidsvermogen van beweging van het geheele stelsel voor. § 117. Arbeidsvermogen van veerkrachtige vaste lichamen. Er werd reeds herhaaldelijk van den arbeid gesproken, dien een uitgerekte draad of een uitgerekte spiraalveer kan verrichten. In het algemeen zullen de deeltjes van een vast lichaam, nadat zij ten opzichte van elkaar verplaatst zijn, waarbij het lichaam in den regel van vorm verandert of „gedeformeerd" wordt, krachten op elkaar uitoefenen, waardoor zij naar de oorspronkelijke standen worden teruggedreven. Dientengevolge kan het lichaam andere voorwerpen die er mee verbonden zijn, verplaatsen en dus een arbeid op die voorwerpen doen. Wij zullen aannemen dat liet lichaam het vermogen om dit te doen eerst dan heeft verloren, wanneer het weer geheel tot den oorspronkelijken toestand is teruggekeerd, iets dat men uitdrukt door het lichaam volkomen veerkrachtig te noemen. De arbeid dien het daarbij in het geheel verricht, is de maat voor het arbeidsvermogen dat het in den gedeformeerden toestand had, en zoo lang de deformatie nog niet geheel is verdwenen, en het lichaam dus nog eenige energie heeft behouden, is de vermindering van het arbeidsvermogen die reeds heeft plaats gehad, gelijk aan den arbeid dien het lichaam tot aan het beschouwde oogenblik toe verlicht heeft. Omgekeerd is, wanneer wij de vormverandering door krachten die wij uitoefenen teweegbrengen, de arbeid dien wij daarbij op het lichaam doen gelijk aan de toename van het arbeidsvermogen daarvan. Bij vele uurwerken maakt men van het arbeidsvermogen van een veerkrachtig lichaam gebruik om het raderwerk te drijven. Een horlogeveer is een platte, dunne stalen reep van vrij groote lengte, die zoo is behandeld, dat hij in zijn natuurlijken stand den vorm van een vlakke spiraal (Fig. 91) heeft. Hij is opgesloten in een doos B, de zoogenaamde trom- ° m v1 is. Deze vergelijking, waarin nu beide leden negatief zijn, drukt de te bewijzen stelling uit, die trouwens in nauw verband staat met de stelling van p. 174, dat de vermindering der kinetische energie gelijk is aan den arbeid dien het lichaam zelf verricht. Ook in het geval eener beweging die van de richting dor kracht afwijkt, beginnen wij met het geval eener kracht van standvastige richting en grootte. De baan is dan, zooals wij weten, een parabool (Fig. 97); de projectie van het stoffelijk Fig.97. punt op een lijn L L', die evenwijdig aan de kracht K loopt, heeft een eenparig ver¬ snelde of vertraagde beweging, terwijl de component der snelheid, loodrecht op L L', een standvastige waarde w heeft. Legt nu, gedurende den tijd t, het punt het deel A B der baan af, en duidt men met v en v' de snelheden in A en B aan, en met u, u de snelheden die de projectie in de punten a en b heeft, dan is a b = \ (u -f- u) t, en daar u — u de snelheid is, die het punt in den tijd t bij de reeds bestaande gekregen heeft, TJ, m (u' — u) K=—ï—• De arbeid der kracht is nu (§ 120, d) A = K X a b, waarvoor men mag schrijven A = l m^u'1 — ws), of, daar v8 = m2 ■ j ws en v'2 = u 2 -f- xo2 is, A — \mv'3 — lm, vs. Men kan zich er gemakkelijk van overtuigen dat dit ook zoo is als het punt gedurende het beschouwde tijdsverloop, tegen de werking der kracht in, in de parabool „opstijgt"; alleen zijn dan beide leden der vergelijking negatief. Wij kunnen nu eindelijk de stelling uitbreiden tot de beweging onder den invloed eener kracht die op willekeurige wijze van richting en grootte verandert. Men kan nl. het beschouwde tijdsverloop in oneindig kleine deelen splitsen; gedurende elk daarvan mag de kracht beschouwd worden als niet in richting en grootte te veranderen. Te gelijk met de snelheid v verandert ook het arbeidsvermogen van beweging i m v2 van oogenblik tot oogenblik en men kan, blijkens de gevonden formule, zeggen: (positieve of negatieve) arbeid der kracht gedurende het eerste tijdselement = (positieve of negatieve) aangroeiing van J m vz. Zulk een vergelijking kan voor elk tijdsdeel worden opgesteld. Telt men al die vergelijkingen bij elkander op, dan komt er: Totale arbeid der kracht = totale aangroeiing van J m v*. § 123. Beweging van een stoffelijk punt onder den invloed van meer dan één kracht. Men kan op elk oogenblik al de werkende krachten tot een enkele samenstellen en de arbeid van deze zal dan gelijk zijn aan de aangroeiing van het arbeidsvermogen van beweging. Houdt men echter het in § 121 gezegde in het oog, dan kan men ook zeggen: Be aangroeiing van het arbeidsvermogen van beweging is gelijk aan de algebraïsche som van de arbeiden der verschillende krachten waaraan het stoffelijk punt onderworpen is, of, zooals men ook wel zegt, aan den gezamenlijken arbeid van al die krachten. Men behoeft derhalve bij de toepassing der stelling de krachten niet eerst met elkander samen te stellen. In vele gevallen wordt de zaak nog vereenvoudigd doordien een der krachten steeds loodrecht op de bewegingsrichting staat, en dus geen arbeid verricht. § 124. Toepassingen, a. Laat A en B twee horizontale vlakken zijn, waarvan het eerste op een afstand h boven het tweede is gelegen. Als dan een stoffelijk punt, waarop de zwaartekracht werkt, in willekeurige richting met de snelheid v van een punt in A vertrekt, kan men gemakkelijk de snelheid v berekenen, waarmede het 't vlak B bereikt. Is nl. m de massa van het punt, dus m g het gewicht, dan is de arbeid der zwaartekracht m g h, waaruit volgt: \mv'3 — \mv3 = m g h, dus: v' = V vl -f- 2 g h. Als daarentegen het punt met een snelheid v van het laagste vlak B uitgaat, zal het, als 't ooit het vlak A bereikt, dat doen met een snelheid v' — V v% — 2 g h. Bij deze vergelijkingen is het onverschillig, in welke richting de beweging begint en welk punt van het tweede vlak wordt getroffen. Men kan b.v. het punt verticaal, met de beginsnelheid v, van het vlak B naar A laten opstijgen of wel in zoodanige schuine richting dat juist de top der beschreven parabool in A ligt. In beide gevallen wordt dit vlak met dezelfde snelheid v' bereikt, maar in het eene geval is die snelheid verticaal en in het andere horizontaal gericht. Bij de parabolische beweging zal het lichaam in twee punten die aan weerszijden van den top der baan even hoog liggen, dezelfde snelheid hebben. b. Men verlangt de eindsnelheid te kennen van een lichaam dat, zonder beginsnelheid, langs een volkomen glad hellend vlak over een afstand s valt. Men kan daartoe vooreerst den duur t der beweging bepalen. Is nl. de hellingshoek *, dan is de versnelling g sin « en men heeft s = J g sin x . t1, dus t = \/ . v g sin x' Daaruit volgt voor de eindsnelheid v = g sin x . t = v/ 2 g s sin x (8) Deze uitkomst vindt men gemakkelijker met behulp van de stelling der vorige §. Het lichaam is nl. onderworpen aan de zwaartekracht en aan den tegenstand van het vlak, maar deze laatste kracht verricht geen arbeid, daar zij loodrecht op de bewegingsrichting staat. Is m de massa, dan is het gewicht m g, en de arbeid der zwaartekracht m g h, als h de daling in verticale richting is. Derhalve: \ m v' = m g h, en v = V 2 g h, (9) wat in de formule (8) overgaat, als men h = s sin « stelt. c. De methode die wij het laatst volgden, heeft het voordeel dat zij kan worden toegepast op een lichaam dat langs een willekeurig gebogen, volkomen glad oppervlak over een verticale hoogte h valt. Immers, ook in dit geval verricht de tegenstand van 't oppervlak geen arbeid. Men komt weer tot de formule (9), en ziet dus dat de eindsnelheid onafhankelijk is van de gedaante van het oppervlak, hoewel hare richting en de voor de beweging noodige tijd zeer verschillend kunnen zijn. Steeds is v even groot als bij den vrijen val van een hoogte h. Dit is eveneens het geval als het lichaam deze verticale daling ondergaat terwijl het aan een onuitrekbaar koord is bevestigd (mathematische slinger). De spanning van het koord verricht nl. geen arbeid, omdat zij loodrecht staat op den cirkelboog dien het lichaam beschrijft. d. Heeft een dergelijk aan een draad opgehangen lichaam, of een lichaam dat op een glad gebogen oppervlak moet blijven, in een van zijn standen een snelheid v, dan zal het in een willekeurigen lageren stand, als het hoogteverschil h bedraagt, de snelheid v' = V v* -f- 2 g h hebben. In een punt daarentegen, waar de verticale hoogte h grooter is dan in het punt van uitgang, zal de snelheid V v% — 2 gh bedragen. Is h = 0, dan wordt v' = v. Een mathematische slinger heeft dus dezelfde snelheid in twee standen die even ver aan weerszijden van den evenwichtsstand liggen. Bij den overgang van den eenen stand naar den anderen heeft nl. de zwaartekracht eerst een positieven en daarna een even grooten negatieven arbeid verricht. Men zal nu aanstonds inzien dat, als zich tegen de beweging geen weerstand verzet, een mathematische slinger telkens rechts en links van den evenwichtsstand dezelfde uitslagen moet bereiken. e. Wordt aan het lichaam van zulk een slinger, terwijl het zich in den evenwichtsstand bevindt, dooi'een plotselingen stoot een kleine horizontale snelheid medegedeeld, dan stijgt het tot dezelfde verticale hoogte op als een lichaam dat met dezelfde beginsnelheid verticaal omhoog wordt geworpen. § 125. Stelsel van stoffelijke punten. Als men de stelling van § 122 op elk punt afzonderlijk toepast en vervolgens optelt, komt men tot het besluit dat bij een willekeurige beweging van het stelsel de aangroeiing van het totale arbeidsvermogen van beweging (§ 116) gelijk is aan de algebraïsche som der arbeiden van alle krachten die op de punten werken. Bij de berekening kan men de krachten op willekeurige wijze in groepen verdeelen en eerst voor elke groep den arbeid opmaken. Men kan b.v. beginnen met de uitwendige krachten, die nl. welke het stelsel van buiten ondervindt, en daarna de inwendige krachten beschouwen, die de stoffelijke punten op elkander uitoefenen. Men moet daarbij bedenken dat, als K de kracht is, die het punt P van het punt P' ondervindt, en K' de kracht die het daarop uitoefent, de arbeid van beide in rekening moet worden gebracht. Die van K hangt af van de verplaatsing van P, de arbeid van K' daarentegen van de verplaatsing van P'. § 126. Arbeidsvermogen van plaats in liet geval der zwaartekracht. Stel dat men bij een of ander verschijnsel te doen heeft met een lichaam van het gewicht P, dat bij zijn beweging altijd boven een zeker horizontaal vlak V, b.v. het blad eener tafel blijft. Bevindt het zich in een bepaalden stand, dien wij door de letter A zullen aanduiden, op een hoogte h boven dat vlak, dan kan het medium, waaraan wij de op 't lichaam werkende kracht toeschrijven, een arbeid P h op het lichaam doen als dit zich naar het vlak V beweegt. Wij drukken dit uit door te zeggen dat het medium, bij den stand A van het lichaam, een arbeidsvermogen U = P h (10) heeft. Daar deze grootheid van de plaats van het lichaam afhangt, heeft men er den naam arbeidsvermogen van plaats aan gegeven. Dikwijls zegt men ook dat het lichaam zelf dit arbeidsvermogen heeft. Tot deze niet geheel juiste spreekwijze is men gekomen, omdat men de middenstof buiten beschouwing wilde laten. Er wordt nu weer voldaan aan den regel van § 114; daalt het lichaam een eind, maar niet geheel tot in het vlak V, dan is de arbeid dien het medium doet, gelijk aan de vermindering van zijn arbeidsvermogen. Is nl. de hoogte eerst h, en later h', dan is de daling in verticale richting h — h', en dus (§ 120, d), onverschillig langs welke lijn het lichaam uit den eenen naar den anderen stand is gegaan, de arbeid I' O1 h )• Daar het arbeidsvermogen van plaats eerst door P h en later door P h wordt voorgesteld, is werkelijk de arbeid der zwaartekracht gelijk aan de vermindering van het arbeidsvermogen van plaats. Dat deze regel ook doorgaat wanneer h' > h is, in welk geval zoowel de arbeid als de vermindering van het arbeidsvermogen van plaats negatief wordt, behoeven wij nauwelijks te vermelden. Er vallen nu een paar opmerkingen te maken, waartoe vroeger minder aanleiding bestond. Wij hebben in het begin van dit hoofdstuk de stelling uitgesproken, dat de arbeid dien een lichaam bij den overgang uit een zekeren begintoestand naar een zekeren eindtoestand verricht, gelijk is aan de vermindering van zijn arbeidsvermogen; daarbij stelden wij ons voor dat het arbeidsvermogen in eiken toestand een bepaalde waarde heeft. Nu kan het voorkomen dat de overgang uit den eenen toestand in den anderen op verschillende wijzen kan plaats hebben, nl. met nu eens deze en dan eens die tusschentoestanden, wat wij zullen uitdrukken door te zeggen dat de overgang langs verschillende wegen kan gebeuren. De zooeven genoemde stelling sluit klaarblijkelijk in zich, dat de arbeid van het lichaam bij elke reeks veranderingen waarin begin- en eindtoestand dezelfde zijn, dezelfde waarde heeft, ^as dat niet het geval, en had de arbeid bij den eenen weg de waarde A en bij den anderen weg de daarvan verschillende waarde A', dan zou men niet weten of men het verschil van het arbeidsvermogen in den begin- en den eindtoestand = A of = A' moest stellen. Van een bepaald arbeidsvermogen kon dan geen sprake zijn en dus evenmin van een wet van het behoud van arbeidsvermogen. Deze wet spreekt dan ook niet van zelf,\ maar berust op de stelling, die men uit de icaarnemingen heeft afgeleid, dat de arbeid dien een lichaam verricht bij den overgang uit den eenen toestand in den anderen altijd onafhankelijk is van de doorloopen tusschentoestanden. Van verschillende wegen waarlangs de overgang zou kunnen plaats hebben, was nu bij een spiraalveer die zich samentrok of een gas dat zich uitzette geen sprake, wel daarentegen bij de verplaatsing van een lichaam waarop de zwaartekracht werkt. Daarom werd er straks uitdrukkelijk op gewezen, dat het er bij de bepaling van den arbeid niet toe doet, welke tusschenstanden het lichaam inneemt, en welke toestanden het medium doorloopt. Wat dit laatste betreft, merken wij op dat men zich de zaak zoo moet voorstellen, dat bij eiken stand van het lichaam een bepaalde toestand van de middenstof behoort. Een ander punt dat aandacht verdient, is de keus van het vlak V tot waartoe wij het lichaam lieten dalen. Daar die keus onbepaald is, en men b.v. in plaats van het blad der tafel waarboven een proef genomen wordt, den vloer van het vertrek of een nog lager liggend vlak kan nemen, bestaat ook een onbepaaldheid in de waarde van het arbeidsvermogen U. Dit is ook natuurlijk, daar deze grootheid den arbeid voorstelt dien het medium kan verrichten bij de beweging tot de vastgestelde grens, evenals men ook bij een spiraalveer telkens den arbeid in het oog kan vatten, die bij de samentrekking, niet tot den toestand van geheele ontspanning, maar tot een zekere vastgestelde lengte verricht wordt. Men zou het vlak V zelfs zoo kunnen kiezen, dat het lichaam er beneden kan komen. In dat geval zou men den afstand van het lichaam tot dat vlak als een negatieve grootheid moeten beschouwen en onder het arbeidsvermogen van plaats het product van het gewicht met dien negatieven afstand moeten verstaan. Dat nu het bedrag van het „arbeidsvermogen" negatief is, moge wat vreemd klinken, er is in zooverre niets tegen, dat werkelijk wanneer het lichaam beneden het vlak V is, de zwaartekracht bij verplaatsing tot in dat vlak een negatieven arbeid kan doen. Ook blijft bij de laatstgenoemde keus van het vlak de stelling doorgaan, dat bij elke verplaatsing, naar boven of beneden, de arbeid der zwaartekracht gelijk is aan de (naar de regels der algebra berekende) vermindering van het arbeidsvermogen van plaats. In de volgende § § zal het begrip van het arbeidsvermogen van plaats, of, zooals men het ook noemt, van de potentieele energie, nog tot eenige andere gevallen worden uitgebreid; dat daarbij veel van het bovenstaande met geringe wijziging herhaald zou kunnen worden, zal men gemakkelijk inzien. Nu wijzen wij er nog op, hoe men, in aansluiting aan het straks gezegde, in het algemeen het arbeidsvermogen van een stelsel van lichamen kan definieeren. Men moet daartoe beginnen met onder alle toestanden die het stelsel kan aannemen, een bepaalden toestand te kiezen, waarmede alle andere vergeleken zullen worden, en dien men den „nultoestand" kan noemen en door de letter N kan voorstellen. Het arbeidsvermogen van het stelsel in een willekeurigen toestand A wordt dan bepaald door den arbeid dien het verricht, wanneer het uit dezen toestand in den nultoestand overgaat. Is verder U dit arbeidsvermogen en is U' het arbeidsvermogen in een anderen toestand A', dan is U — U' de arbeid bij den overgang van A naar A'. Immers, U is de arbeid van het stelsel bij eiken overgang van A naar N, dus ook wanneer het eerst van A naar A', en dan van A' naar N overgaat. De arbeid bij den overgang van A naar A' wordt dus gevonden wanneer men de grootheid U vermindert met den arbeid dien het stelsel nog bij den overgang van A' naar N verricht, d. w. z. met U'. § 127. Arbeidsvermogen van plaats bij een lichaam dat door een vast punt wordt aangetrokken. Zij O (Fig. 98) het vaste punt en laat de grootte der aantrekking afhangen van 13 den afstand tot 0. Men kan bewijzen dat de arbeid bij een verplaatsing b.v. van A naar B geheel bepaald is, zoodra de ligging dier punten gegeven is; die arbeid is nl. hetzelfde langs A B, dan zal in beide gevallen de arbeid der aantrekking dezelfde zijn, als O A = O A' en O B = O B' is. Wij kiezen nu een willekeurige plaats C, liefst zoo dicht b'j O gelegen, dat de afstand tot O bij de beschouwde bewegingen nooit kleiner dan O C wordt, en waaraan, als zij eens gekozen is, in den loop van een vraagstuk niets wordt veranderd. Onder het arbeidsvermogen van plaats dat het lichaam in een of anderen stand P heeft, verstaan wij dan den arbeid dien de aantrekking kun verrichten bij een verplaatsing van P naar G. Daar de aantrekking een positieven arbeid verricht bij nadering tot O, is het arbeidsvermogen van plaats des te grooter naarmate het lichaam verder van O is verwijderd; het is even groot voor alle standen die op gelijken afstand van O liggen. Zij IJ,, de waarde der potentieele energie van het lichaam in P, U, de waarde daarvan in Q, dan is Up — U, de arbeid der aantrekking bij een verplaatsing van P naar Q. Men kan nl. het lichaam eerst van P naar Q en vervolgens naar C laten gaan. De arbeid voor den geheelen weg P Q C is dan Up, die voor den weg Q C heeft de waarde U? en de arbeid voor den weg P Q wordt hieruit door aftrekking gevonden. Bij afstootende krachten geldt met geringe wijziging al het hier gezegde. Alleen kiest men nu liefst het punt C zoo, dat het lichaam bij zijne beweging nooit verder van O komt. Fig. 98. voor al de wegen tusschen A en B, waarvan er een paar in de figuur zijn voorgesteld. Zelfs kan men aantoonen dat de arbeid alleen afhangt van de afstanden tot O, aan het begin en het einde der verplaatsing. Gaat het lichaam den eenen keer langs een der wegen A B en een ander maal Bewijs der bovenvermelde stelling. Laat het lichaam van A naar B gaan (Fig. 99) en laat een tweede lichaam, dat door O volgens dezelfde wet wordt aangetrokken, zich zoo langs de rechte lijn A O j,,- g9 bewegen, dat het op elk oogenblik even ver als het eerste ^an \> verwijderd is. aij b u een element van A B en zij O c = O C, O d — O D, ü b = ü B. Gemakkelijk toont men aan dat de arbeid voor den weg C D dezelfde is ais voor den weg c d, en besluit daaruit dat ook voor den geheelen weg A B dc arbeid even groot is als voor A b. Dc arbeid voor dezen laatsten weg kan alleen van de afstanden O A en O b — O 13 afhangen. Bij deze beschouwing behoeft de lijn A B niet in een plat vlak te liggen. O § 128. Aantrekking of afstooting door een willekeurig Tast stelsel. Krachtveld. Krachtlijnen en evenwichtsopperylakkeu. Wij stellen ons nu voor dat een stoffelijk punt niet, zooals in Fig. 98, door een enkel punt O, maar door een willekeurig aantal andere punten wordt aangetrokken, die te zamen een stelsel M (Fig. 100) vormen. Bij een verplaatsing van het punt vindt men dan den arbeid der geheele daarop werkende kracht (§ 121) dooiden arbeid van elke aantrekking afzonderlijk op te maken en de algebraïsche som te nemen. Dientengevolge kan men, nadat men een zekeren bepaalden stand (overeenkomende met C in Fig. 98) heeft aangenomen, tot welken men zich voorstelt dat het punt zich kan bewegen, zeggen dat het punt in eiken stand dien 't werkelijk inneemt een arbeidsvermogen van plaats heeft, dat men vindt door de potentieele energie te nemen, die het tegenover elk der aantrekkende punten bezit, en vervolgens op te tellen. Bij elke verplaatsing is de arbeid der kracht weer gelijk aan de vermindering van het arbeidsvermogen van plaats. Is voor eiken stand dien een stoffelijk punt in een zekere ruimte kan hebben, de kracht die het ondervindt gegeven, dan kan men een lijn trekken, die overal de richting dezer laatste heeft. Men kan nl., op een willekeurige plaats begin- nende, het bewegelijke punt een oneindig kleinen weg laten afleggen in de richting van de kracht die er in het uitgangspunt op werkte. Het bereikt dan een stand, in welken het een eenigzins andere kracht ondervindt dan aanvankelijk; men kan het nu een tweede oneindig kleine verplaatsing geven in de richting van deze kracht. Een derde verplaatsing kan volgen in de richting der op nieuw veranderde kracht; gaat men zoo voort, dan krijgt men de bedoelde lijn, die een krachtlijn genoemd wordt. De ruimte zelf waarin dergelijke lijnen kunnen worden getrokken heet een krachtveld. In Fig. 100 stellen de verschillende naar M getrokken lijnen krachtlijnen voor. Laat men het bewegelijke punt van A uit een oneindig kleinen weg doorloopen, loodrecht op de krachtlijn, dan verricht de kracht geen arbeid; het arbeidsvermogen van plaats is dus niet veranderd. Daar men zulk een verplaatsing loodrecht op de krachtlijn nog verschillende richtingen kan geven, bestaat er een oneindig klein plat vlak, waarin overal de potent ieele energie dezelfde waarde heeft als in A. Na dit element doorloopen te hebben, kan het bewegelijke punt, altijd in een richting loodrecht op de krachtlijn, waarop het zich juist bevindt, verder gaan. Op deze wijze ziet men dat een oppervlak kan worden aangegeven, dat de krachtlijnen overal rechthoekig snijdt, en de eigenschap heeft, dat in elk punt ervan het arbeidsvermogen van plaats dezelfde waarde heeft. In Fig. 100 zijn een paar dergelijke oppervlakken, die de aantrekkende massa omringen, geteekend; aan het buitenste is natuurlijk de potentieele energie het grootst. Was een dezer oppervlakken van een vaste stof vervaardigd en was het bewegelijke punt erop geplaatst, dan zou het door de kracht die erop werkt niet verplaatst worden. Van daar de naam evemcichtsoppervlakken. In de ruimte rondom een enkel aantrekkend punt O zijn deze oppervlakken bollen met O tot middelpunt; de krachtlijnen zijn recht en naar O gericht. Hetzelfde geldt, wanneer men van kleine afwijkingen afziet, van het krachtveld der zwaartekracht, dat de aarde omringt. Over een kleine uitgestrektheid, zooals die van de vertrekken waarin wij onze proeven nemen, mag men evenwel de krachtlijnen als evenwijdige rechte lijnen, de evenwichtsoppervlakken als platte vlakken loodrecht daarop, en de kracht als overal even groot beschouwen. Een krachtveld met deze eigenschappen heet homogeen. Met geringe wijziging geldt al het hier gezegde ook dan, wanneer afstootende krachten werken. § 12'J. Arbeidsvermogen van plaats bij een stelsel stoffelijke punten die elkander wederkeerig aantrekken of afstooteu. Wanneer wij van den stand van zulk een stelsel spreken, zullen wij daarbij denken aan de ligging van alle punten, zoodat men de plaats van elk punt moet aangeven om den stand van het stelsel te bepalen. Men kan nu weer aantoonen dat de arbeid der krachten bij een beweging alleen van den begin- en den eindstand afhangt. Onder al de mogelijke standen kunnen wij er een uitkiezen, dien wij door de letter N zullen voorstellen en met welken wij alle andere zullen vergelijken. Be arbeid dien de krachten kunnen verrichten, als het stelsel uit een willekeurigen stand A in den stand N overgaat, wordt het arbeidsvermogen van plaats in den stand A genoemd. Is nu A' een tweede willekeurige stand, dan heeft het stelsel ook in dezen een bepaalde potentieele energie, en de arbeid dien de krachten verrichten bij den overgang van A naar A' is gelijk aan de vermindering van het arbeidsvermogen van plaats. Trekken de stoffelijke punten elkander aan, dan zal het arbeidsvermogen van plaats des te grooter zijn, naarmate zij verder van elkaar verwijderd zijn; zijn de krachten afstootend, dan neemt de potentieele energie bij verwijdering af. In het algemeen wordt elk punt van het stelsel door alle andere of althans door eenige andere aangetrokken of afgestooten; men behoeft echter (§ 121) bij de bepaling van den arbeid de verschillende krachten die op een zelfde punt werken, niet eerst met elkander samen te stellen. Men kan verder gebruik maken van de omstandigheid dat twee punten gelijke en tegengestelde krachten op elkander uitoefenen; men kan bij de bepaling van den arbeid aanstonds elk paar dergelijke krachten samenvatten. Laa (lig. 101) gedurende een oneindig kleinen tijd twee punten de verplaatsingen A A' en B B' ondergaan, en laat de aantrekking, die gedurende dien tijd als onveranderlijk beschouwd mag worden, de waarde F hebben. Trekt men A' C en B' D loodrecht op A B, dan is de arbeid der kracht welke A van B ondervindt 1 X AC, en die van de op B werkende kracht F X B D. De som dezer uitdruk¬ kingen is F X (A C + BD) = F X (A B — CD). Nu is echter op een grootheid na, die veel kleiner is dan A C en B D en (ie daarom mag worden weggelaten, als inen oneindig kleine verplaatsingen beschouwt, C D = A' B'; de arbeid wordt dientengevolge F x (A B — A' B'). De arbeid gedurende een tijdselement hangt derhalve alleen af van de kracht en van de oneindig kleine verandering die de afstand der punten ondergaat; hij zou even groot zijn, wanneer het eene punt A stil stond en het andere langs een rechte lijn daartoe naderde op zoodanige wijze, dat vóór en na het tijdselement de afstand dezelfde was als bij de werkelijke beweging. \an oneindig kleine tot eindige tijden opklimmende, kan men nu verder zeggen dat. hoe zich ook de punten A en B verplaatsen, de arbeid hunner wederkeerige krachten dezelfde zal zijn als bij een rechtlijnige nadering van B tot A, of een rechtlijnige verwijdering, als daarbij A werd vastgehouden en de atstand dezelfde verandering onderging als bij de werkelijke beweging. Ook bij deze laatste kan dus de arbeid der tusschen A en B bestaande krachten alleen van de begin- en de eindwaarde van den afstand A B afhangen. Onmiddellijk volgt hieruit dat in het geheele stelsel de arbeid van °alle krachten alleen afhangt van den begin- en den eindstaud van het stelsel. Hierdoor wordt de definitie die van het arbeidsvermogen van plaats gegeven werd, mogelijk gemaakt. De arbeid A bij den overgang van den stand P naar den stand Q,, in welke standen de potentieele energie de waarden P en U} heeft, wordt dan verder gevonden door de opmerking dat bij een beweging eerst van P naar H, en vervolgens van Q, naar den stand waarmede alle andere vergeleken worden, de arbeid zoowel door A + U. als door kan worden voorgesteld. Daaruit volgt: A = üp — U?. § 130. Verdere voorbeelden van het behoud van arbeidsvet mogen. Tot nadere toelichting zal het goed zijn, nu nog eenige bijzondere gevallen nader te beschouwen. a. Stel dat wij op een lichaam met de massa rn en het gewicht P, dat reeds een snelheid v verticaal naar boven heeft, een kracht K, die grooter dan het gewicht is, in die richting uitoefenen. Het lichaam krijgt dan een eenparig versnelde beweging, en wanneer na het stijgen tot een hoogte h de snelheid v' is geworden, heeft men, daar de resulteerende kracht K — P is, (K — P) h = { m v'* — itnv1 of K h = P h -f- (l m v''3—\mvr). . . . (11) In deze vergelijking stelt K h den arbeid voor, die door den proefnemer verricht wordt, en waaraan een vermindering van zijn arbeidsvermogen beantwoordt. Het blijkt dat die arbeid gelijk is aan de toename P h van het arbeidsvermogen van plaats (m. a. w. van de energie van het medium) vermeerderd met de aangroeiing van het arbeidsvermogen van beweging. Blijft gedurende het stijgen de snelheid onveranderd, of is zij steeds zoo klein dat van den laatsten term in (11) mag worden afgezien, dan kan men zeggen dat de voor het opheffen noodige arbeid gelijk is aan het product P h. Trouwens, in dit geval mag op elk oogenblik K = P gesteld worden. Dergelijke opmerkingen gelden ook in andere gevallen. Wanneer wij b.v. zeggen dat de kracht die noodig is om een spiraalveer uit te rekken (§ 115), op elk oogenblik gelijk is aan de spanning, is daarbij stilzwijgend ondersteld dat de uitrekking zeer langzaam gebeurt. Is de veer eerst in rust, dan moet men, strikt genomen, een kracht uitoefenen, die iets grooter dan de spanning is. De arbeid dien men verricht overtreft dan het arbeidsvermogen dat de veer wegens zijne lengte-vermeerdering krijgt, met een bedrag, gelijk aan het arbeidsvermogen van beweging dat men aan de deeltjes van het metaal geeft. b. Bij de proef met het werktuig van Atwood is, zooals wij in § 94 zagen, de versnelling P—P P'-f P 9' Duurt nu de beweging t sec., dan is, als er geen beginsnelheid is, de eindsnelheid P-P F+T en dus het arbeidsvermogen van beweging der twee gewichten /p_p\2 j(w» + W')(F+ p) 9't' (12) De afgelegde weg is P' — P '"'f + p1"' en men mag dus voor (12) schrijven (P' — P) h. Deze uitdrukking stelt werkelijk voor, zooals het geval moet zijn, hoeveel de potentieele energie van het eene gewicht meer afneemt dan die van het andere toeneemt. c. Bij een lichaam dat zich vrij onder de werking deizwaartekracht beweegt, of dat langs een onbewegelijk glad vlak daalt of stijgt, is de som van de kinetische en de potentieele energie standvastig. Hetzelfde geldt van een lichaam dat door een draad van onveranderlijke lengte met een vast punt is verbonden; het arbeidsvermogen van den draad verandert nl. niet. Bij een slinger heeft men met een voortdurenden overgang van arbeidsvermogen van plaats in arbeidsvermogen van beweging en omgekeerd te doen. Hetzelfde geldt van een planeet die in een ellips om de zon loopt. Telkens wanneer het punt der baan bereikt is, dat het dichtst bij de zon ligt, heeft de potentieele energie de kleinste en de kinetische energie de grootste waarde. d. Wij laten een enkelvoudigen slinger op zekere hoogte los, en plaatsen een staaf, die loodrecht op het vlak der schommeling staat, zoo dat de draad op het oogenblik waarop hij den evenwichtsstand bereikt, daartegen komt. Is de staaf onbewegelijk, dan stijgt de bol van den slinger, in een cirkelboog die het punt waar de draad tegen de staaf komt tot middelpunt heeft, tot de oorspronkelijke hoogte op. Dit moet het geval zijn, daar de slinger geen arbeid op de staaf doet en dus hetzelfde arbeidsvermogen behoudt. Wijkt echter de staaf, als de draad ertegen komt terug, dan ziet men den bol minder hoog opstijgen. Omgekeerd stijgt hij hooger dan zoo even, wanneer men de staaf tegen de beweging van den draad in verplaatst. Dan doet men arbeid op den slinger en vergroot dus het arbeidsvermogen daarvan. e. Worden de deeltjes van een veerkrachtig lichaam uit hunne evenwichtsstanden verplaatst en vervolgens losgelaten, dan keeren zij met een versnelde beweging terug; zij overschrijden dientengevolge de oorspronkelijke standen, totdat door de nu in tegengestelde richting werkende krachten de bewegingsrichting wordt omgekeerd. Het lichaam voert dus schommelingen of trillingen uit. Daarbij blijft het bedrag van het arbeidsvermogen onveranderd, maar terici/jl het lichaam, als het door den evenwichtsstand gaat, kinetische energie heeft, heeft het in de uiterste standen het arbeidsvermogen dat aan de deformatie beanticoordt. Naderhand zullen wij sommige van deze trillende bewegingen uitvoeriger behandelen; nu vermelden wij alleen de wijze waarop in een uurwerk de zoogenaamde onrust door een spiraalveer een heen- en weergaande beweging krijgt. Een klein wieltje a (Fig. 102) kan Fig 102 om ue as b draaien; aan dat wieltje is het binneneinde der veer bevestigd, terwijl het buiteneinde in c is vastgemaakt. Wordt het wieltje door draaiing over zekeren hoek uit zijn evenwichtsstand gebracht, dan voert het onder den invloed van de elasticiteit der veer draaiende schommelingen uit. f. Als twee gelijke volkomen veerkrachtige bollen met gelijke en tegengesteld gerichte snelheden tegen elkaar botsen, blijft gedurende de aanraking het raakpunt op dezelfde plaats. De eene bol doet geen arbeid op den anderen, en elke bol behoudt dus de energie die hij had. Alleen wordt tijdelijk, zoolang er een deformatie is, het oorspronkelijke arbeidsvermogen van beweging door een ander arbeidsvermogen vervangen. § 131. Warmte als een vorm van arbeidsvermogen. De uitzetting van een gas, waarbij een zekere arbeid verricht wordt, kan worden teweeggebracht wanneer wij dat gas met een verhit voorwerp in aanraking brengen; wij mogen dan in den toestand van dit laatste den grond van de arbeidsverrichting zien. Aan den anderen kant bestaat menigmaal de toestandsverandering die een lichaam ondergaat, wanneer er arbeid op gedaan wordt, in een verwarming. Er werd reeds vermeld dat dit het geval is wanneer wij een gas samendrukken; een ander voorbeeld heeft men in het welbekende warm worden van twee voorwerpen die men langs elkaar wrijft. Eindelijk komt het dikwijls voor, dat een lichaam dat eerst een der tot nog toe besproken soorten van energie heeft, deze bij een of ander verschijnsel verliest, maar dan tevens warm wordt. Men merkt dit op, telkens wanneer twee lichamen tegen elkander botsen en, niet „volkomen veerkrachtig ' (§ 117) zijnde, na de ontmoeting kleinere snelheden hebben dan de vroeger (§ 118) berekende, b.v. wanneer men een hamer herhaaldelijk op een stuk metaal laat vallen, of wanneer een kogel met groote snelheid tegen een metaalplaat wordt geschoten. Zoo zijn er een aantal verschijnselen waarvan reeds een oppervlakkige beschouwing ons op het denkbeeld brengt, dat een lichaam een des te grooter arbeidsvermogen heeft, naarmate het warmer is, en die het waarschijnlijk maken, dat deze opvatting ertoe zal kunnen leiden, de wet van het behoud van arbeidsvermogen als algemeen geldig te erkennen. Ook het feit dat een genoegzaam verhit lichaam licht uitstraalt, versterkt ons in deze meening. Het onderzoek der lichtverschijnselen heeft nl. geleerd dat hierbij een trillende beweging van het lichaam uitgaat, en het ligt voor de hand, ons voor te stellen dat deze door trillingen van onzichtbare deeltjes in het voorwerp zelf wordt opgewekt, dat dus in het voorwerp de kinetische energie van die trillingen aanwezig is. De theorie dat de warmte een vorm van arbeidsvermogen is, gewoonlijk de „mechanische" theorie der warmte genoemd, werd reeds voor langen tijd door sommige natuurkundigen verkondigd. Intusschen heeft zij de zienswijze dat de warmte een stof zou zijn, eerst in de 19de eeuw voor goed verdrongen en wel nadat men had bewezen dat het verdwijnen of het ontstaan van mechanisch arbeidersvermogen, zooals wij het tot nog toe besproken arbeidsvermogen kunnen noemen, vergezeld gaat van de ontwikkeling of de vernietiging van een daaraan evenredige hoeveelheid warmte. Wij zullen de proeven waardoor dit werd aangetoond weldra leeren kennen. § 132. Temperatuur. Thermometer. De waarneming leert dat in den regel een lichaam een des te grooter volume inneemt, naarmate het xoarmer is. Een thermometer is een lichaam waarbij de door de warmte teweeggebrachte kleine volumeveranderingen zijn waar te nemen. Wij zullen hier den gewonen kwikthermometer bekend onderstellen, en aannemen dat een schaalverdeling volgens Celsius is aangebracht, dat dus de getallen ü en 1U0 zijn geplaatst bij de punten tot welke het kwik reikt, wanneer de thermometer in smeltend ijs of in den damp van water geplaatst is, dat onder den normalen luchtdruk (760 m.M. kwik) kookt. Zoo noodig kan men, als men den stand van den thermometer wil aangeven, door de letter C achter het aantal graden eraan herinneren, dat de schaal van Celsius wordt gebezigd. De stand van het kwik in de thermometer buis is een aanduiding van den warmtegraad of de temperatuur van den thermometer zelf, en op dezelfde wijze zou men bij elk ander lichaam de temperatuur naar het volume kunnen beoordeelen. Men kan evenwel ook de temperaturen van verschillende voorwerpen met elkander vergelijken. Wanneer nl. twee lichamen A en B met elkander in aanraking worden gebracht, kunnen er drie dingen gebeuren. Soms zal A zich samentrekken en B zich uitzetten op een wijze, die het buiten twijfel stelt dat A warmte aan B heeft medegedeeld; wij zeggen dan dat A een hoogere temperatuur had dan B. Ook het omgekeerde is mogelijk. En in de derde plaats kan het voorkomen dat de lichamen na de aanraking in denzelfden toestand blijven, waarin zij zich bevonden; dan zegt men dat zij dezelfde temperatuur hadden. Zijn een willekeurig aantal lichamen gegeven, dan kan men deze twee aan twee op de aangegeven wijze onderzoeken. Men komt er aldus toe, ze alle naar hunne temperaturen in een rij te rangschikken, zoo nl. dat elk lichaam, in aanraking gebracht met een ander dat lager in de rij staat, daaraan warmte afstaat. Het kan gebeuren dat een zekere groep van voorwerpen de bijzonderheid vertoont, dat twee daarvan, met elkaar in aanraking gebracht, geen warmte uitwisselen; dan moeten al de lichamen van die groep dezelfde plaats in de rij innemen. Om nu de temperatuur van alle lichamen volgens een vaste schaal aan te geven is het voldoende, elk daarvan met den kwikthermometer in aanraking te brengen. Zoodra deze een vasten stand heeft aangenomen, is zijne temperatuur dezelfde als die van het lichaam. Strikt genomen moet men, wanneer het lichaam niet zeer groot is, in het oog houden, dat zijne temperatuur juist door de aanraking met den thermometer iets kan zijn veranderd. De ongelijke aanwijzing die verschillende thermometers onder dezelfde omstandigheden kunnen geven, is van ondergeschikt belang en zal in dit hoofdstuk in den regel buiten beschouwing worden gelaten. § 133. Hoeveelheden warmte. Eenheid daarvan. Uit het voorgaande volgt dat de temperatuur van een lichaam een grootheid is, die bepaalt of het, met een ander samengebracht, daaraan warmte zal afgeven, of er omgekeerd warmte van zal ontvangen. Een andere vraag is, hoeveel warmte het verliest of opneemt. Het ligt nl. voor de hand, ook zonder dat men nog iets over het wezen der warmte onderstelt, van groote en kleine hoeveelheden warmte te spreken. Het is aanstonds duidelijk dat men aan een zelfde lichaam des te meer warmte moet toevoeren, naarmate wen de temperatuur hooger teil doen stijgen, en dat de hoeveelheden warmte die verschillende hoeveelheden eener zelfde stof vereischen voor een zelfde temperatuurverhooging, evenredig zijn met de massa's. Als icarmte-eenheid kiezen wij de hoeveelheid icarmte die noodig is om een gram water van 15° tot 16° te verhitten. Wij noemen die hoeveelheid een calorie. Somtijds wordt een een- heid gebezigd, die het duizendvoud daarvan is (groote calorie). § 134. Hoeveelheden warmte, noodig voor verschillende teiniieratuurverhoogiuffen eener watermassa. Beginnen wij nu met ons voor te stellen dat een lichaam, waaraan een bepaalde hoeveelheid warmte moet worden toegevoerd om het een zekere temperatuurverhooging te doen ondergaan, een even groote hoeveelheid warmte moet afgeven, als het tot de oorspronkelijke temperatuur zal terugkeeren, en dat bij de aanraking van twee lichamen van verschillende temperatuur de totale hoeveelheid warmte onveranderd blijft, d. w. z. dat het eene lichaam evenveel warmte ontvangt als het andere verliest. Verbeelden wij ons verder dat m, gram water van de temperatuur t,0 en mt gram van de temperatuur t3r> met elkander vermengd worden; zij de eindtemperatuur van het mengsel t, en laat t1 > t3 zijn. Wij kunnen door wtJ, de hoeveelheid warmte voorstellen, die noodig is om 1 gram water van t° tot txQ te verhitten, dus ook de hoeveelheid warmte die 1 gram moet afgeven, als de temperatuur van £j° tot tn zal dalen. Eveneens kunnen wij de warmtehoeveelheid, die 1 gram vereischt bij verwarming van ts" tot t°, aanduiden door wt„t. Door uit te drukken dat het warme water evenveel warmte heeft verloren als het koude heeft gewonnen, verkrijgt men dan m\ w',h — Of w'„': w',t> = w»! : mj. Men kan derhalve uit de proef de verhouding afleiden van de hoeveelheden warmte die een gram water voor verschillende temperatuurverhoogingen vereischt. Proeven, naar dit beginsel genomen, en ook andere onderzoekingen hebben geleerd dat op weinig na aan een gram water voor achtereenvolgende gelijke temperatuurverhoogingen even groote hoeveelheden warmte moeten worden toegevoerd. Hetzelfde geldt van andere stoffen en zal in het vervolg worden aangenomen. Was deze wet volkomen juist, dan zou in het bovengenoemde geval het warme water ?nx (t1 — t) calorieën hebben afgestaan, en het koude w?3 (t — ergen. § 140. Andere proeven van Joule. Dergelijke proeven als de boven beschrevene werden genomen met een ijzeren vat, met kwik gevuld, en waarin een ijzeren vlengelrad werd rondbewogen. Een eerste reeks van deze proeven geeft in plaats van het bovenstaande getal 415,9 X 10'; een tweede reeks 417,3 X 10r>. Eindelijk werd nog gebruik gemaakt van de wrijving van ijzer op ijzer in een met kwik gevulden calorimeter. Daardoor werden achtereenvolgens uitkomsten verkregen, die in onze eenhedeu 417,6 X 105 en 416,5 X 105 bedragen. Uit de overeenstemming tusschen de langs verschillenden weg verkregen uitkomsten mag men het besluit trekken dat, hoe men de proeven ook inricht, voor elke eenheid mechanisch arbeidsvermogen die verdwijnt, steeds evenveel warmte te voorschijn komt. Men kan dus inderdaad gevoegelijk zeggen dat het mechanische arbeidsvermogen in warmte wordt omgezet. Deze gevolgtrekking wordt nog bevestigd door de uitkomsten van andere metingen van Joule, die, al lieten zij een mindere nauwkeurigheid toe, toch vermelding verdienen, omdat zij naar geheel andere methoden werden verricht. Uit de proeven over de temperatuurverhooging bij het samendrukken van lucht vindt men 435,4 X 105 en uit die over de warm te-ontwikkeling bij het stroomen van water door nauwe buizen 414,4 X § 141. Toestel van Puluj. Deze eenvoudige toestel ter bepaling van het mechanisch warmte-aequivalent bestaat uit twee ijzeren bekertjes in den vorm van afgeknotte kegels, waarvan het eene in het andere past. De buitenste kegel A is in verticalen stand op den top van een verticale as bevestigd en kan aldus snel om zijne meetkundige as worden rondgedraaid. Hij zou daarbij door de wrijving den binnensten kegel B meesleepen, maar deze wordt door een kracht, die men meten kan, stil gehouden. Aan zijn boveneinde, dat een weinig boven A uitsteekt, is nl. een horizontale houten arm, in 't verlengde van een straal, bevestigd; aan 't uiteinde daarvan is een draad vastgemaakt, die in horizontale richting en wel loodrecht op den arm naar een katrolschijf loopt, waar hij over heen geslagen is, zoodat het vrije einde naar beueden hangt. Dit einde draagt een gewicht P, dat zoo geregeld wordt dat B bij 't draaien van A zoo goed mogelijk stilstaat. De binnenste kegel bevat een hoeveelheid kwik en daarin staat het reservoir van een thermometer. Daar de draaiing snel kan plaats hebben en zoo lang kan worden voortgezet als men wil, kan men gemakkelijk een temperatuurverhooging van eenige graden krijgen. (Bij de proeven van Joule bedroeg de temperatuurverhooging niet veel meer dan een halven graad F). De buitenste kegel is van de as waarop hij rust, gescheiden door een zelfstandigheid die de warmte langzaam wegvoert, maar toch is het noodig, door opzettelijke waarnemingen te bepalen hoeveel warmte aan de omgeving wordt afgestaan. Uit de met het oog hierop gecorrigeerde temperatuurverhooging, in verband met de waterwaarde van de ijzeren kegels en het kwik, vindt men de hoeveelheid ontwikkelde warmte. Wat den verrichten arbeid betreft, valt op te merken dat men niet den arbeid bepaalt, die werkelijk in 't geheel verricht is. Dat zou ook niet doelmatig zijn, daar deze arbeid dient om de wrijving te overwinnen, niet alleen tusschen de kegels, maar ook op de plaatsen waar de verticale as ondersteund is. Hoeveel warmte daar wordt ontwikkeld, kan niet worden gemeten. Wat men in werkelijkheid uit de gegevens der proef kan afleiden, is de arbeid die noodig zou zijn om den buitensten kegel te bewegen, wanneer alleen de wrijving tusschen de kegels zich daartegen verzette; dit is juist de arbeid die aan de gemeten hoeveelheid warmte beantwoordt. Als op een lichaam dat om een as draait, een kracht werkt, die loodrecht staat op het vlak, door haar aangrijpingspunt en de as gebracht, zullen wij den afstand van het aangrijpingspunt tot de as den hefhoomxarm noemen, waaraan de kracht werkt. Verder zullen wij dergelijke krachten, op een der beide kegels werkende, positief of negatief noemen, al naarmate zij een wenteling trachten teweeg te brengen in de richting waarin de buitenste kegel wordt gedraaid, of in de tegengestelde richting. Op den binnensten kegel werken nu, wegens de wrijving, tal van krachten in de positieve richting, maar deze worden in evenwicht gehouden door de spanning P van het koord, in negatieve richting werkende aan een hefboomsarm, dien men gemakkelijk kan meten en dien wij a zullen noemen. Daaruit volgt dat al de uit de wrijving voortvloeiende krachten gelijk staan met een kracht L' in positieve richting aan een hefboomsarm a. Maar, wegens de wet der werking en terugwerking, moeten dan de krachten die de binnenste kegel op den buitensten uitoefent, op hetzelfde neerkomen als een negatieve kracht P, al weer aan dienzelfden hefboomsarm. Als dus de binnenste kegel was weggenomen, maar de houten arm aan den buitensten was bevestigd en gedurende het ronddraaien op het uiteinde steeds in loodrechte — en wel in negatieve — richting een weerstand P werkte, zou de buitenste kegel even sterk worden tegengehouden als nu door den binnensten kegel. Om dien weerstand te overwinnen zou een positieve kracht P aan datzelfde uiteinde voldoende zijn ; m. a. w.: wanneer alleen de wrijving tusschen de kegels in 't spel was, zou de buitenste kunnen worden bewogen door een positieve kracht P aan een hefboomsarm a. Bij één wenteling zou 't aangrijpingspunt van die kracht een weg 2 n a doorloopen, en dus de arbeid 2 t a P bedragen. Meet men nu nog 't aantal wentelingen n, dan is de gezochte arbeid 2 ir n u P. § 142. Proeven van Rowland. Naar betzelfde beginsel als Puluj heeft de Amerikaansche natuurkundige Rowlaxd een onderzoek op groote schaal over het mechanisch warmte-aequivalent verricht. Hij bezigde daarbij een calorimeter die een 8-tal kilogrammen water bevatte en ongeveer was ingericht als die van Jour,®. De as met de schoepen werd echter door een stoommachine in beweging gebracht en de calorimeter zelf, die aan een draad was opgehangen, werd op dergelijke wijze als de binnenste kegel van Puluj verhinderd aan deze beweging deel te nemen. Deze met groote zorg volbrachte metingen leiden tot de uitkomst dat de hoeveelheid warmte, noodig om een gram water van 15° tot 16° te verhitten, gelijk staat met 419 X 105 ergen. Dit getal is grooter dan het door Joui.e gevondene, maar het gelukte Eowland, de oorzaken van het verschil aan te wijzen. Terwijl hij zelf de temperaturen opgeeft in graden van een thermometer die op de uitzetting der lucht berust, iets dat om later te vermelden redenen bij nauwkeurige onderzoekingen de voorkeur verdient, maakte Joule van de aanwijzingen van een kwikthermometer gebruik. Een uitvoerig onderzoek van thermometers leerde dat het verschil, althans voor een aanmerkelijk deel aan deze omstandigheid moet worden toegeschreven, terwijl het schijnt dat het overblijvende verschil aan mindere nauwkeurigheid van Joui,k's waarnemingen mag worden geweten. Het mechanisch aequivcdent der warmte-eenheid kan derhalve op 419 X 103 ergen worden gesteld. § 143. Omzetting van warmte in mechanisch arbeidsvermogen. Bij al de voorgaande proeven liet men warmte ontstaan uit ander arbeidsvermogen. Het omgekeerde gebeurt in de stoommachines. Hirn heeft uitvoerige onderzoekingen verricht over de verschijnselen die daarin plaats hebben; hij heeft den arbeid gemeten, die door den stoom, als hij den zuiger voortdrijft, verricht wordt, en de noodige gegevens verzameld om zoowel de hoeveelheid warmte die in den stoomketel door het water wordt opgenomen, als die, welke bij de verdichting van den stoom tot water ontstaat, te bepalen. Het bleek hem dat werkelijk de laatste hoeveelheid kleiner is dan de eerste; door het verschil van beide met den arbeid te vergelijken, zou men het mechanisch warmteaequivalent kunnen berekenen, als men de ingewikkelde verschijnselen in een groot stoomwerktuig met dezelfde nauwkeurigheid kon bestudeeren als die, welke wij onder opzettelijk vereenvoudigde omstandigheden in een laboratorium laten plaats hebben. De getallen die IIirx uit zijne proeven afleidt, wijken dan ook aanmerkelijk van de boven medegedeelde uitkomst af'. Wij zullen later aan de eigenschappen van gasvormige lichamen een bepaling van het mechanisch warmte-aequivalent ontleenen, die minder rechtstreeksch is dan de door Joule en Rowland verrichte. Zij zal een nieuw bewijs er voor leveren, dat dezelfde waarde gevonden wordt uit verschijnselen waarbij warmte verdwijnt, als uit die, waarbij zij ontstaat. § 144. Algemeene geldigheid der wet van liet behoud van arbeidsvermogen. Verschillende opvattingen. Het onder zoek van andere natuurkundige verschijnselen heeft evenals dat van de warmte verschijnselen steeds de wet van het behoud van arbeidsvermogen bevestigd. Wij moeten ons voorstellen, zooals reeds in §114 werd gezegd, dat elk lichaam een bepaald arbeidsvermogen heeft, waarvan het bedrag van het volume, de temperatuur en in het algemeen van alle grootheden die den toestand van het lichaam bepalen, afhangt. Bij een stelsel van lichamen hebben wij met het arbeidsvermogen te doen, dat aan elk daarvan eigen is, waarbij dan nog de potentieele energie komt, die beantwoordt aan de krachten welke de lichamen van een middenstof ondervinden, en die strikt genomen als arbeidsvermogen van die middenstof moet worden opgevat. Is een stelsel aan uitwendige invloeden onttrokken, dan blijft het gezamenlijke arbeidsvermogen onveranderd. Daarentegen neemt dit toe of af, zoodra er arbeid op of door het stelsel gedaan wordt, of energie daaraan wordt meegedeeld of onttrokken, waarbij dan de toe- of afname met den verrichten arbeid of met het bedrag der toe- of afgevoerde energie overeenstemt. Terwijl wij in den loop onzer beschouwingen nog verschil- lende „vormen" van arbeidsvermogen zullen leeren kennen, merken wij nu het volgende op. a. Wanneer men de balans voor het arbeidsvermogen van een stelsel wil opmaken, moet men altijd een bepaald tijdsverloop of een bepaalde verandering in het oog vatten. Ook moet men bedenken dat in de vergelijking die de reet der energie uitdrukt, elke term een arbeid of een arbeidsvermogen moet voorstellen. Een spanning, een weerstand, een hoeveelheid electriciteit (zooals later zal blijken) kunnen niet als termen in de vergelijking voorkomen, wel de arbeid van een spanning of weerstand, een hoeveelheid warmte, of de energie van een geëlectriseerd lichaam. b. In tegenstelling met de kinetische energie die een lichaam heeft als het zich in zijn geheel beweegt, en met de poten tieele energie die aan uitwendige krachten zoo als de zwaartekracht beantwoordt, noemt men het arbeidsvermogen dat een lichaam verder bezit, dikwijls de inwendige energie daarvan. Men kan zich nu menigmaal tevreden stellen met het inzicht dat elk lichaam een bepaalde inwendige energie heeft, en met hetgeen de waarnemingen ons over het bedrag daarvan leeren. Wil men echter in het mechanisme der verschijnselen doordringen en deze uit de bewegingen en onderlinge werkingen van de kleinste deeltjes (molekulen, atomen) verklaren, dan moet men zich voorstellen dat het inwendige arbeidsvermogen samengesteld is uit de potentieele energie der elkander aantrekkende of afstootende deeltjes (welke energie eigenlijk in het medium tusschen die deeltjes moet worden gezocht) en de kinetische energie der molekulaire bewegingen. Met welk bedrag nu bij een of ander verschijnsel elk deel van het inwendige arbeidsvermogen op zich zelf verandert, kan men uit de wet der energie niet afleiden; daartoe zijn andere beschouwingen noodig, die ons echter dikwijls min of meer in het onzekere laten. Het ligt b.v. voor de hand, aan te nemen dat, wanneer een veerkrachtig lichaam wordt uitgerekt of gebogen, vooral het arbeidsvermogen van plaats der op elkander werkende molekulen is veranderd, maar allicht is hierbij toch ook de kinetische energie der deeltjes niet geheel hetzelfde gebleven. Evenzoo mogen wij, daar alles voor de meening pleit dat de warmte in een molekulaire beweging bestaat, ons wel voorstellen dat bij verhooging van temperatuur vooral de kinetische energie der deeltjes toeneemt, maar moeten wij toch niet vergeten dat wegens de uitzetting van het lichaam de elkaar aantrekkende molekulen ook een grooter arbeidsvermogen van plaats hebben gekregen. c. Met het oog op de verschillende opvattingen waarvan men zich kan bedienen, vestigen wij nog eens de aandacht op een lichaam A dat over een ruw horizontaal vlak B voortschuift en door de wrijving tot rust komt. Let men alleen op de beweging van het lichaam in zijn geheel, zonder aan de ontwikkelde warmte te denken, dan kan men zeggen dat de kinetische energie van het lichaam verandert met een bedrag, gelijk aan den negatieven arbeid der wrijving die het van het vlak ondervindt. Daarentegen krijgt het vlak B, wanneer wij het vast houden, geen kinetische energie en de kracht die het lichaam A erop uitoefent, doet dan ook geen arbeid, daar de punten waar die kracht aangrijpt (nl. de punten van B) zich niet verplaatsen. Bij deze opvatting zou men dus moeten zeggen dat het gezamenlijke arbeidsvermogen kleiner wordt, en dit hangt hiermee samen, dat wel is waar de lichamen gelijke en tegengestelde krachten op elkaar uitoefenen, maar dat deze hier geen gelijke en tegengestelde arbeiden verrichten, en wel omdat de aangrijpingspunten der eene kracht zich wel en die van de andere zich niet verplaatsen. Dat in werkelijkheid geen arbeidsvermogen verloren gaat ziet men eerst in, wanneer men op de ontwikkelde warmte let. Wil men zich deze nu als een molekulaire beweging voorstellen en inzien op welke wijze die beweging in intensiteit toeneemt, dan moet men niet aan één kracht, de wrijving, denken, die het eene lichaam op het andere uitoefent, maar deze opvatten als de resultante van tallooze krachten, waarmede de molekulen van het eene lichaam op die van het andere werken. § 145. Nadere beschouwing der warmtebeweging. Neemt men aan dat het alleen de kinetische energie is, die bij een temperatuurverhooging toeneemt, dan kan men tot een schatting geraken van de snelheden die bij de molekulaire bewegingen voorkomen. Om b.v. een gram kwik van 0° tot 100° te verwarmen, zijn, daar de soortelijke warmte 0,031 is, 3,1 calorieën noodig, gelijk staande met bijna 13 X 107erg. Noemen wij de gemiddelde snelheid der molekulen, in centimeters per seconde uitgedrukt, bij 0°*;0 en bij 100°ï;ioo, dan is bij de eerste temperatuur het arbeidsvermogen ven beweging ^ v0s, bij de laatste .] f,002. Daar nl. de kinetische energie niet van de richting der beweging afhangt, is zij, als de molekulen met een zekere gemiddelde snelheid op onregelmatige wijze heen- en weergaan, even groot als wanneer zij zich alle met die snelheid naar dezelfde zijde bewogen. Men moet nu hebben I f,008 - i V = 13 X 10', waaruit volgt i>100s > 26 X 10' of vl00 > 16000 c. M. per sec. Wel berust deze uitkomst op een onderstelling die niet volkomen juist is, maar een geheel verkeerd denkbeeld van de molekulaire snelheden geeft zij toch zeker niet. Wij knoopen aan deze beschouwing nog het volgende vast. Daar iedereen zal zeggen dat een verhit voorwerp meer „warmte" bevat dan een koud lichaam, ligt het voor de hand, den naam „warmte" toe te passen op de inwendige energie die door temperatuurverhooging toeneemt. Zullen wij nu echter dien naam ook gebruiken voor het arbeidsvermogen dat water van 0° meer bevat dan ijs van 0° — welk meerder arbeidsvermogen de stof door toevoer van warmte heeft gekregen (§ 136) — ofschoon hier de temperatuur in beide gevallen dezelfde is? Of voor het arbeidsvermogen van een gelijktijdig verhitte en gespannen veer, al kunnen wij hier niet geheel uitmaken welk deel daarvan aan de vormverandering en wolk deel aan de temperatuurverhooging beantwoordt? Als men zich nauwkeurig wil uitdrukken is dit gebruik van het woord „warmte" niet aan te bevelen en doet men beter van het „inwendige arbeidsvermogen" te spreken. Dit neemt niet weg dat men, wanneer er geen misverstand is te vreezen, den naam „warmte" wel eens kan bezigen hetzij voor het geheele inwendige arbeidsvermogen, hetzij voor de kinetische energie, of ook, iets vager, voor de molekulaire beweging zelf. De benaming „warmte" is zeer geschikt om het arbeidsvermogen aan te duiden, dat een lichaam A ten gevolge zijner lioogere temperatuur aan een lichaam B bij aanraking meedeelt; inderdaad kan dit arbeidsvermogen scherp gescheiden worden van de energie die door gewone mechanische werking (§ 115) kan overgaan. Toch komen in den grond der zaak, volgens de molekulaire theorie, deze twee wijzen van overgang op hetzelfde neer. Het arbeidsvermogen dat A aan B door mechanische werkingen geeft, komt overeen met den arbeid dien de door A op B uitgeoefende krachten verrichten. Evenzoo is het arbeidsvermogen dat bij een aanraking als warmte overgaat, gelijk aan den arbeid der tallooze molekulaire krachten die de deeltjes van het eene lichaam op die van het andere uitoefenen. Wij kunnen echter de werking van elk dezer krachten in het bijzonder niet nagaan; alleen hun gezamenlijke arbeid is voor de waarneming toegankelijk. § 146. Mededeeling en voortplanting der warmte. De overgang van warmte kan op verschillende wijzen plaats hebben. Bij de onmiddellijke aanraking van twee voorwerpen van verschillende temperatuur deelen de deeltjes van het eene hunne snelheid mede aan die van het andere, welke in hunne onmiddellijke nabijheid liggen. Op dezelfde wijze zal een overgang van warmte tusschen de molekulen van eenzelfde lichaam kunnen plaats hebben; is op ééne plaats de temperatuur hooger dan op andere plaatsen, dan zal het warme deel warmte afstaan aan de onmiddellijk daarnaast liggende deelen, deze op hunne beurt aan meer verwijderde, en zoo verder, tot ten slotte de warmtebeweging zich over het geheele lichaam heeft uitgebreid. Dit verschijnsel, dat men warmtegeleiding een grootere potentieele energie heeft dan 't vaste lichaam. Dit is, daar de deeltjes elkaar aantrekken, zeer goed begrijpelijk in die gevallen, waar bij 't smelten het volume grooter wordt. Minder eenvoudig is de zaak bij een stof als ijs, die zich bij het smelten samentrekt. Misschien bevat het ijs groepen van deeltjes die, al wordt het totale volume kleiner, elk op zich zelf zich uitzetten en dus een grootere potentieele energie krijgen. e. Ten slotte wijzen wij er op dat een opgaaf over de ' inwendige energie van een stelsel vóór en na een phjsische of chemische omzetting alleen dan beteekenis heeft, als er bij wordt gevoegd, in welken toestand zich de lichamen vóór en na de omzetting bevinden en welke temperatuur zij telkens hebben. Men heeft b.v. bepaald hoeveel het inwendige arbeidsvermogen van een gram waterdamp van 15° C. minder bedraagt dan de energie van de daarin aanwezige zuurstof en waterstof, wanneer die gassen bij dezelfde temperatuur met elkaar vermengd zijn. Wil men nu vloeibaar water van 15° vergelijken met het gasmengsel, dan vindt men een iets grooter energie-verschil, daar het arbeidsvermogen van het water kleiner is dan dat van den waterdamp. Heeft men een onderzoek gedaan over de energie van het water in verschillende toestanden en over die van de zuurstof en de waterstof bij verschillende temperaturen, dan kan men ook zeggen, hoeveel de energie van b.v. een gram ijs kleiner is dan die van een gram knalgas van 0°. Een scheikundige omzettingswarmte kan dikwijls bepaald worden door de toestanden der lichamen vóór en na de omzetting beide te vergelijken met een derden toestand. Uit de verbrandingswarmte van phosphorus b.v. kan men afleiden hoeveel de inwendige energie van het stelsel: 1 gram phosphorus + de vrije zuurstof, waarmede hij zich verbinden kan, grooter is dan het arbeidsvermogen van het door de verbinding gevormde phosphorzuur bij dezelfde temperatuur. De uitkomst is voor gelen phosphorus 600 calorieën grooter dan voor rooden; met dit bedrag overtreft dus de inwendige energie van een gram phosphorus in den eersten toestand die in den tweeden, en deze hoeveelheid warmte moet ontwikkeld worden wanneer de gele phosphorus in rooden overgaat. § 148. Arbeidsvermogen in de natuur. In de natuur treffen wij vele voorbeelden van omzettingen van arbeidsvermogen op groote schaal aan. De planten hebben hun groei te danken aan de energie der zonnestralen, waardoor zij in staat worden gesteld, uit stoffen als koolzuur en water de zelfstandigheden te vormen, waaruit hun lichaam is opgebouwd. De sterke band die in het koolzuur en het water de elementen vereenigt, wordt door het zonlicht verbroken, en maakt onder uittreding van zuurstof plaats voor een minder innige aaneenschakeling der atomen. Dienen later de plantaardige stoffen tot voedsel voor de dierenwereld, dan verschaffen zij daaraan ook warmte en mechanisch arbeidsvermogen. De ingewikkelde scheikundige omzettingen in het lichaam van het dier komen in hoofdzaak neer op een verbinding der in het voedsel aanwezige stoffen met de zuurstof die bij de ademhaling wordt opgenomen : het is de potentieele energie dier stoffen tegenover de zuurstof, die het dier ten goede komt. Zoo heeft ook de mensch zijn arbeidsvermogen, rechtstreeks of langs een omweg, van de plantenwereld gekregen. Behalve over dit arbeidsvermogen beschikken wij ook over de energie die ons door de natuur wordt aangeboden, over het arbeidsvermogen van beweging van den wind en het stroomende water, de potentieele energie van het water voor het zich van een hoogte stort, het scheikundig arbeidsvermogen dat de steenkolen tegenover de zuurstof hebben. Geeft men zich rekenschap van de gedaanteverwisselingen die dit arbeidsvermogen ondergaan heeft, voor wij er onze werktuigen mede drijven, dan komt men tot de slotsom dat het steeds van de zon afkomstig is. Deze heeft het water doen verdampen en het naar de toppen der bergen gevoerd; hij heeft, daar hij het oppervlak der aarde ongelijk verwarmt, de winden doen ontstaan; hij heeft eindelijk de planten beschenen, waarvan de overblijfselen in de steenkool voor ons bewaard zijn gebleven. De warmte en het licht van een steenkolenvuur kunnen beschouwd worden als een deel van het zonlicht dat in lang vervlogen tijden de aarde heeft bestraald en waarvan de energie in de steenkolenbeddingen werd vastgelegd. DERDE HOOFDSTUK. VASTE LICHAMEN VAN ONVERAN ÜERLIJKEN VORM. § 149. Verschuiving en wenteling. De samenhang tussohen de deeltjes van een vast lichaam is in vele gevallen, in vergelijking met de uitwendige krachten waaraan het onderworpen is, groot genoeg, om elke merkbare vormverandering door die krachten te beletten. In de onderstelling dat dit het geval is, zullen wij in dit hoofdstuk de beweging en het evenwicht van vaste lichamen bespreken. Onder een verschuiving van een lichaam verstaat men een verplaatsing waarbij alle punten gelijke wegen in dezelfde richting doorloopen. Een wenteling is een beweging, waarbij elk punt een cirkelboog beschrijft in een vlak, loodrecht op een vaste rechte lijn, de as, en met het middelpunt in deze laatste; daarbij hebben alle in denzelfden tijd doorloopen cirkelbogen gelijke middelpuntshoeken. De as kan zoowel buiten als binnen het lichaam liggen. Bij een verschuiving hebben alle punten van het lichaam \ dezelfde snelheid. Bij een wenteling is de •snelheid evenredig met den afstand waarop het beschouwde punt van de as gelegen is. Evenals men bij de beweging van een stoffelijk punt van de snelheid spreekt, spreekt men bij de wenteling van een lichaam van de hoeksnelheid. De wenteling heet gelijkmatig als het lichaam in willekeurig gekozen gelijke tijdsdeelen over even groote hoeken draait. De hoeksnelheid wordt in dit geval gemeten door den in de tijdseenheid doorloopen hoek, en dus voorgesteld door het getal dat men krijgt, als men den in een willekeurigen tijd afgelegden hoek door dien tijd deelt. Bij een niet gelijkmatige wenteling wordt de hoeksnelheid gevonden, wanneer men den hoek waarover het lichaam in een oneindig kleinen tijd draait, door dezen tijd deelt (verg. § 61). Bij het aangeven der hoeksnelheid zullen wij den hoek in boogmaat (§ 19) uitdrukken. Dientengevolge is er een eenvoudig verband tusschen de hoeksnelheid en de snelheden in den gewonen zin van het woord (lineaire snelheden) der punten van het lichaam. Is nl. « de hoeksnelheid, dan wil dit zeggen, dat een punt op den afstand 1 van de as per tijdseenheid een cirkelboog u doorloopt; u is dus ook de lineaire snelheid van dit punt, en voor een punt op een afstand r van de as wordt de snelheid bepaald door de vergelijking v = u r. § 150. Beweging van figuren in een plat vlak. Bij een figuur van onveranderlijke gedaante en grootte, die zich in een plat vlak verplaatsen kan, zijn een verschuiving en een wenteling om een vast punt de meest eenvoudige bewegingen. Meer ingewikkelde bewegingen kunnen daartoe worden teruggebracht. De figuur kan b.v. achtereenvolgens om verschillende punten draaien; men kan dit opmerken bij een veelhoek die over een vaste rechte lijn wordt voortgekanteld. Zelfs is het mogelijk dat telkens slechts gedurende een tijdselement de draaiing om een zelfde punt plaats heeft, dat dan aanstonds door een nieuw middelpunt van wenteling wordt vervangen. Dit is het geval, wanneer een kromme lijn L, (Fig. 103) over een andere rechte of kromme lijn La voortrolt. Het raakpunt A is daarbij het middelpunt van wenteling, maar zoodra een oneindig kleine hoek is doorloopen, is een ander punt b van L, op L2, stel in het punt B, gekomen; de draaiing heeft dan gedurende een tweede tijdselement om dit laatste punt plaats. Een punt P van de lijn L, zal een baan beschrijven, die kan worden opgevat als een aaneenschakeling van oneindig kleine cirkelbogen P Q, QK, enz., die de punten A, B, C, enz. van Ls tot middelpunten hebben. Met de rollende lijn L, kan hierbij een willekeurige figuur vast verbonden zijn; een punt daarvan, dat b.v. Jen stand M heeft op het oogenblik waarop A het raakpunt is, zal eveneens oneindig kleine cirkelbogen beschrijven met de middelpunten A, B, C, enz. >len zal zich gemakkelijk een voorstelling kunnen vormen van de banen die beschreven worden, wanneer een cirkel over een rechte lijn of over een anderen cirkel, hetzij aan de buitenof de binnenzijde van dezen laatsten, voortrolt. Als twee standen eener figuur in een plat vlak zijn gegeven, zijn tallooze bewegingen denkbaar, waardoor zij uit den eenen stand in den anderen kan overgaan. Stel (Fig. 101) dat F] en Fa de twee standen zijn en dat de punten, die in den eersten stand in Aj en B, liggen, in den tweeden in Fier. 104. A2 en x>2 zijn gekomen, stel, dat A2 Dj niet evenwijdig loopt aan A( B,. Men zou, om den overgang van F, naar F2 te doen plaats hebben, de figuur eerst kunnen verschuiven, zoodat Ai in A2 komt en haar vervolgens om Aa kunnen draaien; of men kon, door een verschuiving, Bj met Ba doen samenvallen en dan een draaiing om dit laatste punt doen volgen. Ook door meer dan twee verschuivingen of wentelingen kan men het doel bereiken ; eveneens echter door een enkele wenteling- Richt men nl. in het midden van A, Aa en B, B2 loodlijnen op en is U het snijpunt daarvan, dan kan men aantoonen dat de hoeken A,OA2 en B, O B2 gelijk zijn; daaruit volgt, dat een wenteling om O over den hoek A, O Aa gelijktijdig A, in A2, en Bi ia B2, en dus de geheele figuur in den stand F2 brengt. Natuurlijk zal, zoodra op een of andere wijze een punt gevonden is, dal in do standen F, en F2 dezelfde plaats inneemt, dit het punt zijn, waarom de gezochte wenteling had moeten plaats hebben. § 153. Meest algemeene beweging van een rast lichaam. Een lichaam kan tegelijk een verschuiving en een icenteling hebben, waarbij dan nog de richting en de snelheid der verschuiving,, de richting van de as der wenteling en de hoeksnellieid van oogenblik tot oogenblik kunnen veranderen. Elke willekeurige beweging van een vast lichaam kan op deze wijze worden opgevat. Draait een lichaam voortdurend om dezelfde as en heeft het bovendien een verschuiving langs die as, dan zal, wanneer beide bewegingen gelijkmatig zijn, elk punt een schroeflijn beschrijven. De spoed van al deze schroeflijnen is dezelfde, nl. de weg die bij de verschuiving wordt doorloopen gedurende één omwenteling. § 154. Verband tusschen den arbeid der uitwendige krachten en de kinetische energie van het lichaam. Wij hebben aangenomen dat aan den inwendigen toestand der beschouwde lichamen niets verandert en dat er dus ook geen sprake is van een verandering van het inwendige arbeidsvermogen. Ook stellen wij ons voor dat er geen mededeeling of onttrekking van warmte plaats heeft. Uit het in 't vorige hoofdstuk besprokene volgt dan dat de arbeid der uitwendige krachten gelijk is aan de vermeerdering van de kinetische energie der ivaarneembare bewegingen. Worden de uitwendige krachten uitgeoefend door een medium, zoodat hun arbeid gelijk is aan de vermindering der potentieele energie, dan kan men zeggen dat de som van dat arbeidsvermogen en de zooeven genoemde kinetische energie constant blijft. § 155. Algemeene voorwaarde voor het evenwicht. Uit deze stelling kan men afleiden of een lichaam dat aanvankelijk in rust is, door een gegeven stelsel van krachten in beweging gebracht zal worden en, zoo ja, in welke richting. Immers, als er beweging ontstaan zal, moet er ook kinetische energie ontstaan, en moet dus de potentieele energie afnemen. Derhalve: Een lichaam dat eerst in rust is, kan zich slechts in zoodanige richting in beweging stellen, dat het arbeidsvermogen van plaats kleiner icordt. Stel, dat er onder alle standen die het lichaam kan innemen één is — dien wij P zullen noemen — in welken de potentieele energie kleiner is dan in eiken anderen stand. Heeft dan het lichaam dien stand, dan kan het zich niet in beweging stellen, daar het arbeidsvermogen van plaats niet nog verder kan afnemen. P is dus een evenioichtsstand. Maar wij kunnen daar nog iets bijvoegen. Heeft men het lichaam in een stand gebracht, die een weinig van P verschilt, en laat men 't dan los, dan zal het naar den stand P terugkeeren, omdat het altijd een stand opzoekt, waarin het arbeidsvermogen van plaats kleiner is dan het aanvankelijk bestaande. De evenwichtsstand P herstelt zich dus na kleine storingen, hetgeen men uitdrukt door te zeggen dat het evenwicht standvastig of stabiel is. Derhalve: Een lichaam is in standvastig evenwicht als het arbeids- 1 vermogen van plaats een minimum is. Als voorbeeld kan een kogel in het laagste punt van een bolvormigen schotel dienen. Met een tweede soort van evenwicht heeft men te doen als de kogel op het hoogste punt van een bol geplaatst is. Dan kan hij wel dalen, maar daar hij dit op dezelfde wijze zou doen bij een beweging naar rechts en naar links, is er geen reden waarom hij naar de eene en niet naar de andere zijde zal gaan. Na de minste toevallige verplaatsing zal hij zich evenwel hoe langer hoe verder van den oorspronkelijken stand verwijderen. Men zegt daarom dat hij in dien stand in wankelbaar of labiel evenwicht verkeerde. Zulk een evenwicht bestaat altijd wanneer het arbeidsver- ' mogen van plaats een maximum is. Dit woord moet hier zoo worden opgevat dat, zoowel bij een verplaatsing naar de eene als naar de andere zijde, de potentieele energie afneemt. Hoewel het lichaam steeds standen van kleinere potentieele energie tracht te bereiken, is er dan geen reden aan te geven, waarom het zich naar de eene en niet naar de andere zijde in beweging zal stellen. De minste toevallige stoot geeft echter den doorslag en doet het lichaam zich hoe langer hoe verder van den evenwichtsstand verwijderen. Baar dergelijke storende invloeden niet geheel zijn te vermijden, kan men een wankelbaar evenwicht niet verwezenlijken. Het verdient verder vermelding dat bij een kogel die op een zadelvormig oppervlak rust, het arbeidsvermogen van plaats ten opzichte van sommige verplaatsingen een minimum en ten opzichte van andere een maximum is. Ook hier is het evenwicht labiel. Een lichaam kan eindelijk in onverschillig of indifferent evenwicht zijn; men bedoelt daarmede dat het na een verplaatsing nog in evenwicht is. Dit geval doet zich voor bij een kogel op een horizontaal vlak, en in het algemeen als bij een verplaatsing de potentieele energie noch toe- noch afneemt. Heeft men, wat het arbeidsvermogen van plaats betreft, met geen der besproken gevallen te doen, dan is er geen evenwicht. De potentieele energie kan dan bij een verplaatsing in een bepaalde richting afnemen, terwijl zij bij een tegengestelde verplaatsing zou toenemen, en het lichaam zal zich in de bedoelde richting in beweging stellen. § 156. Amlere vorm 4 is afgebeeld. De twee assen staan Vii» ° .. . loodrecht op elkaar en de scnroetIraad past in de tusscheuruimten tusschen de tanden. Draait men de schroef eens rond, dan gaat juist een volle winding langs een tand van het rad, waaruit men gemakkelijk afleidt dat een tand in de plaats van een volgenden moet komen; heeft derhalve het rad n tanden, dan krijgt het een hoeksnelheid, n maal kleiner dan die van de schroef. Men kan dus op deze wijze een snelle beweging in een veel langzamere omzetten of omgekeerd. Het eerste wordt o. a. toegepast ten einde het aantal omwentelingen van een snel draaiende as te meten. § 181. Middelen om een verbinding tusschen twee deelen van een werktuig tot stand te brengen of op te heifen. Als voorbeelden daarvan kannen de volgende inrichtingen dienen. a. Men kan bij een stel tandraderen de as van het eene op zoodanige wijze verplaatsbaar maken, dat men naar willekeur de tanden der raderen in elkaar kan doen grijpen, of buiten eikaars bereik brengen. Op dezelfde wijze kan bij een tandrad en een schroef worden gehandeld. zou men wel kunnen zorgen dat de eindsnelheid niet te groot wordt, maar zij zou bij elke vergrooting of verkleining der weerstanden veranderen. Men vermijdt dit door een keen- en weergaand stuk aan te brengen, dat bij elke schommeling bet raderwerk voor een oogenblik doet stilstaan, en het dan weer den voortgang over een kleinen afstand toelaat. Het grijpt te dien einde in een tandrad, het schakelrad, waarmede het het echappement vormt; daar bij elke schommeling dit rad één tand vooruitgaat, is zijne gemiddelde beweging, en eveneens die van het geheele raderwerk waarvan het een deel uitmaakt, gelijkmatig, zoodra het heen- en weergaande stuk zijne schommelingen steeds in denzelfden tijd volbrengt. Fig. lOtj stelt het anker-echappement voor. liet anker C D E wordt om O heen en weer bewogen door een slinger die op eenigen afstand boven C is opgehangen, en waarvan de stang door een aan het anker verbonden vork omvat wordt. B is het schakelrad, waaraan de beweegkracht steeds een wenteling in de richting der pijl tracht te geven, wat echter telkens belet wordt doordien beurtelings de uiteinden D en E van het anker tusschen de tanden grijpen. Zoodra het anker zich uit den afgebeelden stand naar links beweegt, kan de tand a voortgaan en daarbij zal hij, tegen het schuine eindvlak van D drukkende, de beweging van het anker bevorderen. Nadat echter a dit eindvlak verlaten heeft, komt de punt van den tand b in aanraking met het inmiddels naar links verplaatste vlak p q. Het raderwerk staat dan stil, terwijl CDE zijne schommeling naar links volbrengt en zoo ver terugkeert tot q de punt b weer heeft bereikt. Zet het anker dan zijne beweging naar Fig. 166. rechts voort, dan kan b verder gaan, waarbij tegen het schuine eindvlak van E een kracht naar rechts wordt uitgeoefend. Weldra komt het schakelrad op nieuw tot rust door de ontmoeting van D met den tand c; B blijft dan stilstaan tot dat het anker naar rechts is doorgeschommeld en naar links zoover is teruggekeerd dat de afgebeelde stand weer bereikt is. Daar dan de tand c juist voor a in de plaats is gekomen, ziet men dat bij een vollen heen- en weergang van het anker het rad één tand voortgaat. De versnellende werking die het schakelrad op het anker en dus indirect de beweegkracht op den slinger uitoefent, houdt dezen, ondanks de weerstanden, in voortdurende schommeling; zij maakt echter tevens de amplitudo van de beweegkracht en de weerstanden in het raderwerk afhankelijk. Dank zij de eigenschappen van den slinger heeft deze omstandigheid geen of weinig invloed op den schommeltijd. Fig. 167. Vermelden wij nog uat de sJinger is opgehangen aan een korte reep staal, waarvan het boveneinde is vastgeklemd en die door zijne buigzaamheid de schommelingen mogelijk maakt. Fig. 107 kan een denkbeeld geven van het cilinder-echappe¬ ment, aldus genaamd, omdat de tanden van het schakelrad B in den hollen cilinder ^ grijpen, die door een onrust (§ 130) om zijne meetkundige as over een vrij grooten hoek wordt heen en weer gedraaid. Op de hoogte der tanden is de mantel van den cilinder voor een deel weggenomen. Fig. 168 doet de werking van het echappement nader zien. Het schakelrad staat stil in den bij 1 aangegeven stand, terwijl de cilinder, na een uitersten stand bereikt te hebben, zich in de aangegeven richting beweegt. Weldra wordt de tand e losgelaten; hij verplaatst zich (stand 2) tot dat hij tegen de binnenzijde van den mantel stuit (stand 3). De cilinder bereikt weer een uitersten stand (4) Fls- 168- en laat daarna (stand 5) den tand glippen. Spoedig daarop zal nu een tweede tand f, op dezelfde wijze als zooeven de tand e, door den cilinder worden tegengehouden. Ook hier worden door het schakelrad de schommelingen onderhouden ; dit geschiedt door den druk dien de tanden in de standen 2 en 5 op den cilinder uitoefenen. § 189. Schommelingen onder den invloed der wringingsveerkracht. Aan een draad pq (Fig. 169), Fis- 169- waarvan het boveneinde is vastgeklemd, is een staaf a b opgehangen, zoodat hij in een horizontaal vlak om q kan draaien. Aan zich zelf overgelaten neemt hij een bepaalden stand aan, maar zoodra hij daaruit wordt gebracht, wordt de ophangdraad gewrongen of getordeerd (§ 168, d) en oefent door zijne elasticiteit een koppel op de staaf uit, waardoor deze naar den evenwichtsstand wordt teruggedreven. Dit koppel is gebleken, evenredig met den hoek van afwijking {toringingshoek) te zijn. Men kan van deze wet partij trekken om kleine krachten te meten. Werkt nl. op de staaf a b een koppel K in een horizontaal vlak, dan wordt de staaf zoo ver gedraaid tot het terugwerkende koppel gelijk aan K is. De afwijkingshoek is derhalve evenredig met K; is de ophangdraad dun, dan krijgt die hoek reeds bij een klein koppel een merkbare grootte. Bij de wringbalans, met behulp waarvan Coulomb de wetten der electrische aantrekkingen en afstootingen ontdekte, was aan het eene uiteinde van de staaf een geëlectriseerde bol bevestigd, die door een tweeden even hoog geplaatsten vaststaanden bol werd aangetrokken of afgestooten. Men krijgt in dit geval het koppel K door de kracht die uit de electrische werkingen voortvloeit, naar q over te brengen; tevens ziet men dan dat door de kracht in q, die naast het koppel bestaat, de staaf a b iets op zij wordt gedrukt, maar het gewicht van ab is, vergeleken met de bedoelde kracht, zoo groot, dat hiervan mag worden afgezien. Wil men uit de aanwijzing van het icerktuig de absolute grootte van de kracht afleiden, dan moet men het koppel kennen, dat de ophangdraad bij een afwijkingshoek 1 op de staaf uitoefent. Dit kan worden afgeleid uit den duur der schommelingen die de staaf volbrengt, wanneer hij, na uit den evenwichtsstand gebracht te zijn, aan de veerkracht van den draad alleen wordt overgelaten. Juist omdat het koppel dat uit de veerkracht voortvloeit, evenredig is met den afwijkingshoek, hebben deze schommelingen veel overeenkomst met de vroeger beschouwde enkelvoudige trillingen en wordt de schommeltijd & door een even eenvoudige formule bepaald als die van de oneindig kleine schommelingen van een physischen slinger (§ 184). Men heeft nl. thans, niet alleen voor zeer kleine, maar ook voor grootere schommelingen, & = 7rl^" (12) als Q het traagheidsmoment van ab ten opzichte van de draaiingsas, dus ten opzichte van pq, voorstelt, en K het koppel dat de draad uitoefent bij een wringingshoek die in boogmaat de waarde 1 heeft. Uit 5 en Q kan door deze formule K worden berekend. Een moeilijkheid is gelegen in de bepaling van het traagheidsmoment dat in den regel niet met voldoende nauwkeurigheid uit den vorm en de massaverdeeling van het aan den draad opgehangen lichaam kan worden bepaald. Men kan het echter leeren kennen door de meting van den schommeltijd te herhalen, nadat men de massa vergroot heeft, zonder dat men de kracht die de beweging beheerscht, heeft veranderd. Voegt men nl. aan de staaf nog een zekere massa toe, waarvan het traagheidsmoment ten opzichte van de draaiingsas Q' is (natuurlijk moet de staaf horizontaal blijven), dan wordt de schommeltijd = (13) Uit deze vergelijking, in verband met (12), volgt S2 Tr K2 Q Q = en yiCTsi- Het is nu slechts noodig, dat de toegevoegde massa een zoo ecnvoudigen vorm heeft, dat het traagheidsmoment daarvan door berekening kan worden gevonden. Die massa kan b.v. uit twee gelijke gewichten, even ver van q verwijderd, bestaan, of uit een horizontalen ring, waarvan het middelpunt met q samenvalt. § 190. Lichaam, aan twee draden opgehangen. In vele instrumenten is een lichaam dat gemakkelijk in horizontale richting moet kunnen draaien, opgehangen aan twee even Fig. 170. lange draden ai en cd (Fig. 170) waarvan wij onderstellen zullen, dat de benedeneinden even ver van elkaar verwijderd zijn als de boveneinden (biftlaire ophanging). In den evenwichtsstand loopen de draden dan verticaal- Zij kunnen die richting echter niet behouden, wanneer het lichaam om de verticale lijn p q gedraaid wordt. Na zulk een wenteling kunnen dientengevolge de draden niet meer tot hetzelfde horizontale vlak bd reiken als aanvankelijk; het lichaam is iets gestegen en de zwaartekracht tracht het terug te draaien., Het is de zwaartekracht, waarmede elke andere die een af- wijking veroorzaakt, evemcicht moet maken, en het is ook de zwaartekracht, onder welker invloed het lichaam draaiende schommelingen kan volbrengen. Strikt genomen is ook de elasticiteit der draden, die bij de beweging gewrongen worden, in het spel. Tot opheldering diene nog Fig. 171, die een horizontale projectie voorstelt. Zijn de ondereinden der draden door een draaiing van b en cl naar b' en d' verplaatst, dan loopen de draden zelf van b' en d schuin naar boven, naar de ophangpunten nl., die boven b en d liggen. De op b' en d' werkende spanningen kunnen dus ontbonden worden in verticaal naar boven werkende compo¬ nenten en de krachten b' P en d' Q. De eerste moeten evenwicht maken met de zwaartekracht en uit de laatste ontstaat het koppel dat het lichaam terugdrijft. Daar bij een gegeven uitwijking, dus bij een gegeven richting der koorden, de spanning door het gewicht bepaald wordt, hangt ook het terugdrijvende koppel van dit laatste af. Kleine schommelingen van een bifilair opgehangen lichaam volgen dezelfde wetten als de beweging van een slinger en gaan evenals deze met een voortdurende omzetting van potentieele in kinetische energie en omgekeerd gepaard. Zijn de draden onrekbaar en ziet men van hunne wringing af, dan kunnen de veranderingen van het arbeidsvermogen van plaats uit de verticale rijzingen en dalingen van het zwaartepunt berekend worden. De duur der schommelingen kan uit de formule (11) van § 187 worden afgeleid. § 191. Onderlinge werking van magneten. Sterkte van magneetpolen. Wij besluiten dit hoofdstuk met de bespreking van het evenwicht en de beweging van magneten. Yoorloopig onderstellen wij dat die de gedaante hebben van dunne staven, waarvan alleen de uiteinden of polen (§ 76) magnetische werkingen uitoefenen of ondervinden. Deze werkingen zijn gebleken aan de volgende wetten te gehoorzamen. (Wetten van Coulohb). a. De aantrekking of afstooting tusschen twee polen is omgekeerd evenredig met de ticeede macht van hun afstand. b. Tusschen de icerkingen die tioee magneetpolen A en B op een derde pool C, telkens op denzelfden afstand, uitoefenen, bestaat altijd dezelfde verhouding, welke pool men ook voor G neemt. Oefenen de polen A en B op een derde pool C, bij denzelfden afstand, gelijke krachten (aantrekkingen of afstootingen) uit, dat zegt men dat A en B even sterk zijn. c. De noord- en zuidpool van denzelfden magneet hebben altijd dezelfde sterkte. Werkt, op denzelfden afstand, de pool A op C met een p maal zoo groote kracht als de pool B, dan zegt men dat hij p maal zoo sterk is als B. M. a. w.: De werking die een magneetpool uitoefent, is evenredig met de sterkte daarvan. Uit de wet der gelijkheid van werking en terugwerking kan men dan verder afleiden: Ook de werking die een magneetpool van een andere ondervindt, is evenredig met de sterkte der eerste pool. Deze beide wetten kunnen worden samengevat in dezen regel: De onderlinge werking van twee magneetpolen is samengesteld evenredig met de sterkte van beide. De eenheid van sterkte wordt aan een magneetpool toegeschreven, wanneer hij een ticeede even sterke op den afstand 1 met de eenheid van kracht afstoot. Deze eenheidspool is geheel bepaald, zoodra de eenheid van lengte en die van kracht gekozen zijn, eenheden, die wij aan het C-G-S-stelsel zullen ontleenen. Bevinden zich twee polen met de sterkte m en m' op een afstand r van elkaar, dan is de onderlinge werking m m' -pr- (14) § 192. Krachtveld rondom een magneet. Zij N Z(Fig. 172) de magneet en zij een bewegelijke noordpool n in een willekeurig punt in zijne nabijheid geplaatst. Laat n a en nb de krachten voorstellen, die n van N en Z ondervindt; daar de verhouding dezer krachten door de evenredigheid n a : n b = n Z4: n N2 bepaald is, zal de richting van de resultante n c onafhankelijk zijn van de sterkte van n. voortgedreven, en onder de magnetische kracht in een punt van het veld, of de „sterkte" van het veld, verstaat men de kracht die op een daar geplaatste eenheidspool zou werken. In werkelijkheid hebben magneten een meer ingewikkelden bouw dan tot nog toe ondersteld werd. Men kan zich verbeelden dat een groot aantal dunne staven van gelijke lengte tot een dikkere staaf worden vereenigd, die dan de magnetische eigenschappen over de beide eindvlakken vertoont. Ook kunnen magnetische staven in eikaars verlengde geplaatst worden, en in het algemeen kan een magnetisch stelsel worden opgebouwd door op een of andere wijze magneten, zooals die van de vorige §, van willekeurige richting en sterkte, te vereenigen. Met den bouw van het magnetische lichaam verandert natuurlijk ook de loop der krachtlijnen in zijne omgeving. Het verdient intusschen opmerking dat de lijnen, hoe zij ook mogen loopen, over een zeer kleine uitgestrektheid als recht en evenwijdig aan elkaar mogen beschouwd worden, en dat de magnetische kracht in een zeer kleine ruimte kan geacht Fig. 172. Daar de aangegeven constructie voor elk punt kan worden uitgevoerd, kan men (§ 128) den loop der krachtlijnen in het magnetische krachtveld (korter: magnetisch veld) aangeven. Eenige dier lijnen zijn in de figuur voorgesteld. Met de richting eener krachtlijn wordt die bedoeld, icaarin een noordpool wordt worden, overal even groot te zijn. Een klein deel van een magnetisch veld is dus op weinig na homogeen. Plaatst men nu in een dergelijk ruimtedeél een zeer klein magneetstaafje, dat om zijn middelpunt in alle richtingen kan draaien, dan neemt dit de richting der krachtlijnen aan; immers, bij dezen stand ondervinden de polen gelijke en tegengestelde krachten in de richting der lengte. § 193. Magnetisch veld rondom de aarde. Richting der aardmagneetkracht. In § 76 werd reeds van de krachten gesproken, die de aarde op de polen van een magneet uitoefent. De verschijnselen leeren dat de aarde, evenals een magneet, door een krachtveld omringd is. Bit kan, over de uitgestrektheid van het vertrek waarin wij onze proeven nemen, als homogeen beschouiod worden. Om de richting der krachtlijnen te bepalen kan men zich, overeenkomstig het aan 't slot der vorige § gezegde, van een magneetstaaf bedienen, die om zijn zwaartepunt in alle richtingen kan draaien. Zulk een magneet plaatst zich in het verticale vlak dat wij in §76 den magnetischen meridiaan noemden; bovendien keert hij de noordpool naar beneden. De hoek dien hij aldus met een horizontaal vlak vormt, en die thans in Nederland iets minder dan 67° bedraagt, wordt de inclinatie of helling genoemd. De richting van den bedoelden magneet (inclinatienaald) geeft nu die van de krachtlijnen aan. Dat werkelijk het magnetisch veld homogeen is, blijkt hieruit, dat vooreerst de inclinatienaald in alle punten van het vertrek dezelfde richting aanneemt, en dat in de tweede plaats de aardmagneetkracht overal even sterk werkt. Hoe men dit kan aantoonen zal in de volgende § blijken. Het volgt ook hieruit, dat een magneet die zich in zijn geheel kan verschuiven, dit onder den invloed van het aardmagnetisme niet doet. Was nl. op de plaatsen waar zich de twee polen bevinden, de aardmagneetkracht niet even sterk, dan zouden de in tegengestelde richting op de polen werkende krachten niet gelijk zijn. Oin de inclinatie te meten is het niet noodzakelijk, een magneetnaald in alle richtingen draaibaar om het zwaartepunt te maken; het is voldoende, dat hij oin een loodrecht op de lengte door het zwaartepunt gaande as draaien kan, wanneer men maar aan deze laatste verschillende richtingen in een horizontaal vlak kan geven. Wordt de as loodrecht op den magnetischen meridiaan geplaatst, dan kan de naald de richting aannemen van de krachten die op de polen werken. Wij lateu het aan den lezer over te onderzoeken, welken stand de magneet aanneemt wanneer de draaiingsas in het horizontale vlak op willekeurige wijze gericht is. Ligt de as in den magnetischen meridiaan, dan plaatst de naald zich verticaal. Van veel belang bij de waarnemingen met een inclinatienaald is het, de wrijving aan de as zoo klein mogelijk te maken, daar deze allicht tegenover de zwakke magnetische krachten een belangrijken invloed heeft. Bovendien moet men in het oog houden dat de draaiingsas nooit volkomen door het zwaartepunt van de naald kan gebracht worden. De hieruit voortvloeiende fout wordt geeliinineerd door de proeven te herhalen, nadat de naald in tegengestelde richting gemagnetiseerd is. Heeft dan eerst het zwaartepunt aan de zijde der noordpool gelegen, en is daardoor de inclinatie te groot uitgevallen, dan ligt het naderhand aan de zijde der zuidpool, zoodat de helling te klein wordt gevonden. De veranderingen der inclinatie over het oppervlak der aarde komen in hoofdzaak overeen met hetgeen men waarneemt, wanneer een kleine om zijn zwaartepunt draaibare magneetnaald boven een groote horizontale magneetstaaf geplaatst wordt. De naald keert dan de eeue of de andere pool naar beneden, naarmate hij zich boveu de eene of de andere helft van de staaf bevindt en wel des te meer, naarmate hij dichter bij een der polen gebracht wordt. Op dergelijke wijze keert op de noordelijke helft van het aardoppervlak de inclinatienaald zijne noorden op de zuidelijke helft zijne zuidpool naar beneden en neemt de helling bij verwijdering van den aequator toe. De twee zoo even bedoelde helften van het aardoppervlak worden van elkaar gescheiden door een lijn waarlangs de inclinatie 0 is; deze lijn valt echter niet met den aequator samen en heeft een vrij onregelmatigen loop. § 194. Grootte der aard magneetkracht. In Fig. 173, in welke het vlak der teekening met den magnetischen meri¬ diaan samenvalt, stelt N a (of Z a ) de kracht voor, waarmede het aardmagnetisme werkt op een der polen van een magneet N Z. Deze kracht is ontbonden in de verticale component N b (of Z b') en de horizontale N c (of Z c). Is i de inclinatie, dan is klaarblijkelijk Nc=Na cos i, zoodat men, om de geheele kracht N a te leeren kennen, alleen de inclinatie en de horizontale kracht behoeft te meten. Hoe groot de horizontale krachten zijn, die op de polen van een magneet werken, kan men afleiden uit den duur der schommelingen, die hij kan uitvoeren als hij zoo aan een draad is opgehangen, dut hij alleen in een horizontaal vlak kan draaien. Is nl. (Fig. 174) NZ de evenwichtsstand van den magneet in den magnetischen meridiaan m m, dan werken steeds, welken anderen stand hij ook inneemt, op de polen de krachten N' A en Z' B evenwijdig aan N Z. Van de krachten die in verticale richting, loodrecht op het vlak NON' werken, kunnen wij afzien. Wanneer wij de grootte van N' A of Z' B door F, de lengte van den magneet door l, en den afwijkingshoek NON' door

2 r.2 S2 r, en de druk dien de wand uitoefent, verricht geen arbeid, daar hij loodrecht op de bewegingsrichting staat. Het arbeidsvermogen van beweging moet dus met (pt —Si T zijn toegenomen. Nu heeft voor en na den tijd t de vloeistof tusschen a en 4 dezelfde kinetische energie, maar tot de massa die wij beschouwden behoorde eerst het volume ?*i S, r met de snelheid , en lat .1 het volume t>.2 S.2 r met de snelheid r.2. liet arbeidsvermogen van beweging is dus toegenomen met ' », S, t (pa' — t>,*) d, als d de dichtheid is, en men verkrijgt: Pt — Pi = 1 »i2)- Het drukverschil wordt hierdoor in dynes per c.M2 gegeven, wanneer men alles in C. G. S.-eenheden uitdrukt. Het in deze § gezegde geldt in hoofdzaak ook van gassen; bovendien bestaan de drukverschillen niet alleen bij de beweging in buizen, maar in het algemeen, zoodra de weg dien de vloeistof- of gasmassa volgt, zich ergens verengt, zal daar de kleinste druk gevonden worden. Ziehier een paar verschijnselen die hierin een verklaring vinden. a. Een schijf a b (Fig. 199) is in het midden van een opening voorzien, waarin de buis c is gestoken; op kleinen afstand van ah wordt een tweede plaat de gehouden. Een krachtige luchtstroom door de buis in de richting van de pijl doet nu, als de omstandigheden geschikt gekozen zijn, de tot ab naderen. De lucht die uit de buis komt, verspreidt zich nl. over den geheelen omtrek der ruimte tusschen de schijven; bij deze verbreeding van den weg moet de druk toenemen, en daar nu aan den omtrek de dampkringsdrukking bestaat, vindt men overal tusschen de schijven, en vooral in het midden, een kleineren druk. De druk van de buitenlucht tegen de onderzijde van d e brengt het verschijnsel teweeg. Fig. 199. Fig. 200. b. Wordt een luchtstroom uit de kegelvormig toegespitste buis a b (Fig. 200) gedreven, dan zal hij zich na de uitstrooming terstond over een grootere ruimte uiteenspreiden. Nabij b, waar de stroom den smalsten weg volgt, is de druk kleiner dan in de omringende lucht; daardoor kan in de buis c, die in een bakje met vloeistof staat, deze laatste worden opgezogen, zoo ver zelfs, dat zij het boveneinde bereikt en in druppels door den luchtstroom wordt inedegesleept. c. Van dergelijke zuigwerkingen wordt voor verschillende doeleinden partij getrokken; de belangrijkste toepassing is wel de door Giffard uitgevonden voedingspomp (injecteur) voor stoomketels. Ontdaan van alle bijzonderheden is deze toestel in Fig. 201 voorgesteld. A B is de zijwand van deu stoomketel, waarin het water tot in S staat. Wordt de kraan K geopend, dan ontsnapt de stoom uit de buis a, die kegelvormig uitloopt. In de ruimte b ontstaat dientengevolge een luchtverdunning, waardoor het voedingswater door de buis c uit een reservoir wordt opgezogen; dit water eindelijk wordt door den uit a komenden stoom, dieu het bij de ontmoeting tot vloeistof verdicht, in de buis d medegesleept en met zoo groote snelheid tegen de klep e gedreven, dat bet deze opent en in den stoomketel komt. Sluit men K, dan wordt door den druk in den ketel ook e gesloten. Bij deze werking bestaat dit eigenaardige, dat een lichaam zich beweegt van de dampruimte naar een plaats waar de druk even hoog, of eigenlijk nog iets hooger is. Dit is alleen mogelijk omdat eerst een plaats van lageren druk bereikt wordt (nl. b) en omdat de stof in een anderen aggregatietoestand in den stoomketel terugkeert, dan zij bij het verlaten daarvan had. In aanraking met het koudere water zal de stoom tot water verdichten. Uit de in § 170 vermelde stelling van het zwaartepunt volgt dat dit water de- Fig 201. zelfde snelheid zal hebben als dc stoom, en wij krijgen dus een waterstraal van groote snelheid. Daar nu het water een veel grootere dichtheid heeft dan de stoom, zal deze snelheid ruim voldoende zijn om den druk van het water in den ketel te overwinnen (§ 208, A en c) en er zal zelfs een deel van het arbeidsvermogen van beweging kunnen worden gebruikt oni ook aan het opgezogen water de benoodigde snelheid te geven. § 212. Drukverschillen bij (le beweging in een verticale buis. Uit een vat dat van een verticaal naar beneden gaande buis voorzien is, stroomt menigmaal een vloeistof als een samenhangende kolom, die de geheele buis vult. Is deze laatste, zooals wij onderstellen zullen, overal even wijd, dan moet de vloeistof de snelheid waarmede zij in de buis komt behouden, en dit is alleen mogelijk, als de totale kracht die op een element werkt, nul is. De druk regelt zich dus zoo, dat voor elk deel der kolom uit den druk aan de boven- en benedenzijde een kracht voortvloeit, die het gewicht opheft; daartoe moet de druk naar boven afnemen. De drukverschillen moeten even groot zijn als in het geval dat de vloeistof in een van onderen gesloten buis stilstaat, want ook dan wordt elk element door het drukverschil tusschen de boven- en benedenzijde gedragen. Tusschen de twee gevallen bestaat echter dit onderscheid, dat, in de gesloten buis aan het benedeneinde een druk bestaat, die den dampkringsdruk overtreft, terwijl bij het uitstroomen van het vocht de druk beneden gelijk aan dien van de lucht is en aan den top der buis een kleinere waarde heeft. Men kan zich het ontstaan van dit drukverschil als volgt voorstellen. Wanneer een oogenblik overal in de buis dezelfde druk bestond, zou de beweging der vloeistofdeeltjes door de werking der zwaartekracht versneld zijn. Na een korten tijd zouden de deeltjes die zicli lager in de buis bevinden, en dus een langeren weg hebben doorloopen, een grootere snelheid hebben gekregen dan die welke hooger zijn gelegen. Het vloeistofvolume dat daartusschen ligt zal dus iets vergroot zijn, en de druk die daarin heerscht iets verkleind. De drukverschillen die op deze wijze ontstaan, zullen zoolang toenemen, totdat de snelheid overal in de buis even groot geworden is, wat alleen mogelijk is als de werking der zwaartekracht door de ontstane drukverschillen wordt opgeheven. De verlaging van den druk aan den top der buis is des te grooter, naarmate de buis langer is; daar de druk niet altijd kleiner en kleiner kan worden, moet bij voortdurende verlenging van de buis eindelijk de samenhang van de kolom verbroken worden, zoodat hij zich in druppels oplost. Bepalen wij ons echter tot het geval van een samenhangende vloeistofzuil. Wordt de top der buis in gemeenschap gebracht met een vat dat met lucht gevuld is, dan zal deze zoolang daaruit weggezogen worden en door de vloeistof worden medegenomen tot de druk in het vat gelijk is aan dien, boven in de buis. Op dit beginsel berusten sommige wateren kwikluchtpompen. Het is duidelijk dat bij deze toestellen, wil men er een vrij goed luchtledig mede verkrijgen, de buis in het geval van water ruim 10 M., en in het geval van kwik ongeveer 76 c.M. lang moet zijn. Gemakkelijk zal men nu inzien dat door het aanbrengen van een verticale buis beneden de opening ah van Fig. 197 (p. 328) de uitstroomingssnelheid toeneemt; daardoor wordt nl. de druk in a b kleiner dan hij eerst was. Men kan trouwens ook het benedeneinde der buis als de uitvloeiingsopening opvatten, zoodat toen in de formule (1) voor h een grootere hoogte moet nemen dan in § 209. Eindelijk merken wij nog op dat ook een vloeistof die in afzonderlijke druppels door een verticale buis valt, aan den top daarvan een zuigwerking uitoefent, wanneer althans de druppels de buis geheel afsluiten. Elke druppel werkt als een zuiger en nadat hij, terwijl hij naar beneden gaat, eenige lucht uit een met de buis verbonden vat heeft doen toestroomen, kan een tweede druppel die lucht afsluiten en voor zich uitdrijven. § 213. Beweging van vloeistoffen door nauwe buizen. Een vloeistof kan zich nooit langs een vast lichaam bewegen zonder daarvan een zekere wrijving te ondervinden; bovendien bestaat zulk een kracht tusschen de deelen der vloeistof, die zich langs elkaar verplaatsen. (Jm van deze laatste kracht, de zoogenaamde inwendige wrijving (viscositeit) een denkbeeld te krijgen, ver- of (2) r De grootheid r is des te grooter, naarmate de buis de vloeistof moeilijker doorlaat, en kan derhalve als maat dienen voor den weerstand dien de vloeistof in de buis ondervindt, of zelf de weerstand, genoemd worden. Wil men de weerstanden van twee buizen met elkaar vergelijken, dan kan men ze zoo verbinden, dat een vloeistofstroom achtereenvolgens door beide moet gaan, en vervolgens den druk meten aan het begin der eerste buis, de verbindingsplaats en het einde der tweede, iets, dat men kan doen door in deze punten verticaal naar boven reikende buizen te plaatsen, en waar te nemen, hoe hoog de vloeistof daarin opstijgt. Zijn, nadat de stroom stationair is geworden, de drie drukkingen px, pt en p3, dan zijn Pi—Pa en pt—p3 de drukverschillen die in de twee buizen voor een zelfden stroom vereischt worden; met die grootheden zijn dus de weerstanden evenredig. Is de buis van Fig. 203 overal van dezelfde doorsnede, dan zal de druk in het midden juist het gemiddelde van dien aan de uiteinden zijn," zoodat in een buis cd de vloeistof een punt bereikt, dat halverwege tusschen de vlakken S, en S, ligt. Daar nl. de twee helften der buis gelijke weerstanden hebben, moet de druk evenveel dalen van a tot c als van c tot b. Tevens blijkt nu echter dat de weerstand der geheele buis a b het dubbel is van dien der halve buis a c, want dezelfde vloeistofstroom vereischt bij deze laatste een half zoo groot drukverschil als bij de eerste. In het algemeen is de weer- ' stand eener buis evenredig met de lengte; omgekeerd evenredig daarmede is dus de hoeveelheid vloeistof die bij een zelfde drukverschil door een buis stroomt. Het zal na het bovenstaande duidelijk zijn, dat in Fig. 203 de druk geleidelijk van a naar b daalt, zoodat hij, wanneer men over gelijke afstanden voortgaat, telkens evenveel afneemt, en dat in het algemeen dit laatste het geval is, wanneer de Fig. 208. weten worden afgeleid. Stel, dat het gas bij 0° den druk p0 uitoefent. Om dan den druk p, te vinden voor het geval dat bij standvastig volume de temperatuur op t° gebracht wordt, verbeelden wij ons eerst dat bij de verwarming de druk constant wordt gehouden. Het volume wordt dan \+xt maal grooter. Wij laten vervolgens de temperatuur constant en brengen door verhooging van den druk het volume tot de oorspronkelijke waarde' terug. Volgens de wet van Boyle moet daartoe de druk 1 + «t maal grooter gemaakt worden, en hadden wij aanstonds bij de verwarming den druk in deze mate doen stijgen, dan zou het volume niet veranderd zijn. Derhalve: Pt = Po (! + * 0 Uit deze uitkomst blijkt dat men den uitzettingscoëfficient kan bepalen door proeven waarbij in het geheel geen uitzetting plaats heeft, door nl. den druk te meten, dien een opgesloten gasmassa bij verschillende temperaturen uitoefent. Daarbij kan b.v. van den in Fig. 208 voorgestelden toestel gebruik worden gemaakt. Het gas bevindt zich in den glazen bol B, die gesmolten is aan de buis a b; deze staat door een caoutchoucbuis C in gemeenschap met een verticale buis D, die op en neer kan worden geschoven. In m b, C en D bevindt zich kwik, waardoor het gas is afgesloten, en men kan, door D op of neer te schuiven, bewerken dat telkens, zoowel bij een lage als bij een hoogere temperatuur, het kwik reikt tot aan een vast merk m, dat op a b is aangebracht. Het hoogteverschil tusschen het kwik in ai en dat in D doet, in verband met den barometerstand, den druk van het gas kennen. Natuurlijk moet men bij de berekening der proeven de uitzetting van bet glas niet over het hoofd zien. Hoe men, eenmaal x kennende, met dezen toestel ook temperaturen kan meten, hoe hij dus een luchtthermometer mag lieeten, behoeft geen betoog. Het meest algemeene vraagstuk over de veranderingen van druk, volume en temperatuur is het volgende: Wanneer onder een druk p en bij een temperatuur t een gas het volume v inneemt, hoe groot eal dan het volume v' zijn, wanneer de druk p' en de temperatuur t' wordt? Laat men eerst den druk constant, en doet alleen de temperatuur in t' overgaan, dan wordt het volume v pqï~y* Vervolgens kan men, bij de standvastige temperatuur t', den druk tot p' doen toenemen, en hierbij de wet van Boyle toepassen. Het antxooord op de vraag is derhalve p 1 -)- x t' V = V-,rr-j- T (4) p 1 + <* t Deze formule vindt een toepassing in al die gevallen waarin men de hoeveelheid van een gas bepaalt door het volume te meten. Men moet dan ook den druk en de temperatuur waarnemen en kan, om verschillende uitkomsten vergelijkbaar te maken, elke meting herleiden tot een druk van 76 c.M. en een temperatuur van 0°. Daar x = is, kan men voor (4) schrijven p 273 +t' V V p' 273 -f t' Verbeeldt men zich nu een punt op de thermometerschaal, 273° beneden het nulpunt, dan stellen 273 -|- t en 273 -f- t' de temperaturen voor, die het gas achtereenvolgens gehad heeft, wanneer men het aantal graden van het bedoelde punt af telt. Wij zullen deze temperaturen de absolute noemen en door T en T' voorstellen. De vergelijking kan dan aldus geschreven worden: (5) d. w. z. het product van druk en volume, dat volgens de wet van Boyle bij een bepaalde temperatuur standvastig is, verandert evenredig met de absolute temperatuur. Dat in (5) de betrekkingen (2) en (8) begrepen zijn, is duidelijk. Het verdient nog opmerking dat in vele gevallen het volume van een gas dat onder constanten druk wordt gehouden, ook dan nog bij eiken graad temperatuurverlaging even veel afneemt, als de temperatuur beneden 0° C komt. Dan geldt dus de formule (2) ook voor negatieve waarden van t en, zoo lang ook de wet van Boyle mag worden aangenomen, gaat de vergelijking (5) nog door voor waarden van T of T', kleiner dan 273. Uit de wetten van Boyle en Gay-Lussac kan men eindelijk nog een belangrijke stelling afleiden. Twee gassen beschouwende, die onder denzelfden druk verkeeren en dezelfde temperatuur hebben, kan men de verhouding hunner dichtheden opmaken. Voor die verhouding wordt nu hetzelfde getal gevonden, wanneer men de tieee lichamen onder een anderen druk en bij een andere temperatuur met elkaar vergelijkt, als men er maar voor zorgt dat druk en temperatuur bij het eene gas even hoog zijn als bij het andere. Dit laatste is altijd de bedoeling als de relatieve dichtheid van het eene gas ten opzichte van het andere wordt opgegeven. Ten slotte merken wij nog op dat de formules van deze on de vorige § alleen dan gelden, wanneer de temperaturen met een luchtthermometer, zooals de in § 218 beschrevene, gemeten worden. Een gewone kwikthermometer zal, zooals ons naderhand zal blijken, niet altijd hetzelfde aantal graden als een luchtthermometer aanwijzen, al is het verschil gewoonlijk tamelijk gering. Men is overeengekomen, bij nauwkeurige onderzoekingen de temperaturen steeds in graden van den luchtthermometer op te geven en wij zxdlen in het vervolg onderstellen dat dit gebeurt. Dit neemt niet weg dat men bij de proeven een kwikthermometer kan gebruiken, als deze maar vooraf met een luchtthermometer vergeleken is. § 220. Kinetische theorie der gasseu. De onderstellingen omtrent molekulen en molekulaire bewegingen, waarvan in het voorgaande zoo dikwijls sprake is geweest, hebben tot een uitgewerkte theorie aangaande het wezen der gasvormige lichamen geleid; de eenvoudige eigenschappen dezer stoffen worden gemakkelijk uit de icarmtebeweging verklaard, als men hun een zoodanige ijlheid toekent, dat de afmetingen der molekulen en de afstand waarop twee deeltjes merkbaar op elkaar werken zeer klein zijn in vergelijking met den gemiddelden afstand van op elkaar volgende deeltjes. Uit deze hypothese volgt dat elk gasmolekuul zijne beweging voor het grootste gedeelte uitvoert, terwijl het geheel aan zich zelf is overgelaten. Het vliegt dus in een rechte lijn voort, totdat het op zeer kleinen afstand komt van een ander deeltje of van een vasten wand. Met veranderde richting zet het dan zijne beweging weer gedurende eenigen tijd langs een rechte lijn voort, zoodat de geheele baan zigzagvormig is. Wat de onderlinge werking van twee molekulen betreft, deze bestaat zonder twijfel ten deele in een aantrekking, iets, dat men wel moet aannemen omdat een gas tot een vloeistof verdicht kan worden. Verschillende verschijnselen maken het echter waarschijnlijk dat twee molekulen, wanneer zij elkaar aanraken, of op zeer kleinen afstand van elkaar komen, ook afstootende krachten op elkaar uitoefenen. Bestonden er alleen zulke krachten, dan zou men zich de deeltjes kunnen voorstellen onder het beeld van veerkrachtige bollen, die in een ruimte heen- en weervliegen en daarbij herhaaldelijk tegen elkaar botsen. Ter wille van de duidelijkheid zullen wij in het vervolg van dit beeld veelal gebruik maken, ofschoon het ongetwijfeld vrij wat van de werkelijkheid afwijkt. Ook omtrent de werking tusschen een gasmolekuul en een vasten wand maken wij een onderstelling, die, ofschoon zij voor de afleiding der uitkomsten niet noodzakelijk is, tot vereenvoudiging van de voorstelling leidt; wij zullen nl. aannemen dat de wanden volkomen gladde veerkrachtige oppervlakken zijn, waardoor de molekulen op de in § 11 ij besproken wijze teruggekaatst worden. De door het gas tegen de omringende wanden uitgeoefende 23 druk is nu bij deze opvatting niet anders dan het gevolg van de stooten die de xoanden onophoudelijk van de molekulen on dervinden. Hij moet dus van drie grootheden afhangen, nl. van het aantal molekulen, de snelheid waarmede zij voortvliegen en do massa van elk deeltje. Het is begiijpelijk dat, zooals de wet van Boyle verlangt, de druk toeneemt wanneer meer deeltjes in een bepaalde ruimte gebracht worden, en evenzoo dat de spanning van een gas dat in een onveranderlijk volume is opgesloten, bij verwarming toeneemt, en dat het gas zich daarbij uitzet, wanneer een der insluitende wanden kan terugwijken. Een gas „verwarmen" is nl. niet anders dan een grootere snelheid aan de molekulen mededeelen. Beschouwen wij gemakshalve een vat met de eenheid van volume. Dat de druk evenredig met het aantal daarin aanwezige molekulen, en met de massa van elk deeltje is, is gemakkelijk in te zien. Wat de snelheid betreft, blijkt het bij nadere beschouwing dat de druk 4, 9, enz. maal grootei wordt, wanneer de snelheden van alle molekulen worden verdubbeld, verdrievoudigd, enz. Dit is begrijpelijk, als men bedenkt dat bij vergrooting der snelheden de wanden meer stooten van de heen- en weergaande molekulen ondervinden en dat bovendien iedere stoot heviger wordt. Men kan de uitkomst waartoe de theoretische berekening leidt, het kortst uitdrukken door te zeggen dat de getalwaarde van den druk per vlakte-eenheid het twee derde is van de getalwaarde der kinetische energie die, icegens de voortgaande beweging der molekulen, in de ruimte-eenheid aanwezig is. Heeft men dus den druk (in dynes per c.M2) gemeten, Jan kent men ook deze kinetische energie (in ergen per c.M3). Daar men ook de massa van een c.M' kan bepalen, is men in staat, de snelheid der molekulen of liever, daar niet alle zich even snel behoeven te bewegen, een zekere gemiddelde snelheid te berekenen. Voor waterstof van 0° bedraagt deze 184000 c.M. per seconde ön ook bij andere gassen honderden meters, wat in goede overeenstemming is met de uitkomst van § 145. \ § 221. Afleiding van het verband tussclien den druk en de lliolekulaire beweging. Onderstellen wij dat bet gas zieh in een cilindervormig vat Y (Pig. 209) van de hoogte li bevindt, dat het bovenvlak daarvan een bewegelijke zuiger Z is en dat de deeltjes zoo klein zijn, dat zij zoo goed als nooit tegen elkaar botsen. Een deeltje P, dat de in de figuur voorgestelde zigzaglijn doorloopt, zal steeds dezelfde snelheid hebben in een richting loodrecht op Z. Duiden wij deze snelheidscomponent door //, aan, dan is het aantal botsingen in de tijdseenheid van dit eene molekuul tegen Z: . Z li Om Z op zijn plaats te houden moeten wij voortdurend van buiten een kracht K uitoefenen; deze is het, die wij willen berekenen. Ueheel in rust blijft de zuiger eigenlijk niet. Door eiken stoot ontvangt hij nl. een kleine snelheid naar buiten, maar tussclien twee achtereenvolgende botsingen drijft de kracht K hem weer naar binnen en hij zal schijnbaar stilstaan, wanneer de hoeveelheid van beweging die hij van de 1'ig. 20U. kracht K in de tijdseenheid ontvangt, gelijk is aan de som van de hoeveelheden van beweging die hem in dien tijd door de molekulen worden medegedeeld. De massa van den zuiger is zoo groot in vergelijking met die van een molekuul, dat de terugkaatsing van dit laatste op de in § 119 beschouwde wijze plaats heeft. Wij zullen de massa van den zuiger /* en die van een molekuul m noemen. Het deeltje P ontvangt telkeus, wanneer het Z treft, een snelheid 2 ut bij die, welke het had; het geeft dus aan den zuiger een snelheid en O O ^ dus een hoeveelheid van beweging 2jnu,. De som van alle hoeveelheden van beweging die dit eene molekuul in de tijdseenheid aan Z mededeelt, is mI'' . De hoeveelheid van beweging die Z van de kracht 11 moet ontvangen, is derhalve ^ s u,2, waarbij de som over alle gasmolekulen moet worden uitgestrekt. De kracht K wordt nu door hetzelfde getal voorgesteld, dus ir m o F Is eindelijk S het oppervlak van den zuiger, dan vindt men voor den druk per vlakte-eenheid m . * = AsSa" De hierin voorkomende som kan door een eenvoudigen kunstgreep worden gevonden. Wanneer men nl. in de gasmassa drie onderling loodrechte coör- dinaatassen aanbrengt, waarvan de eerste loodrecht op Z staat, dan bestaat voor elk molekuul tusschen de snelheid u en de drie componenten daarvan «i, «2> "3 de betrekking u\2 + ui2 + w32 = 1,2 > dus ook voor het geheele gas de vergelijking £ V + S ui2 + 2 ui2 = s "2- Daar het gas in alle richtingen dezelfde eigenschappen heeft, moet men aannemen dat S K,2 = £ ff.,2 = £ i/32 is. Daaruit volgt £ »t2 = £ ifl en dus m P ~ 3~ASS of, wanneer » = A S het volume is, p=^-Zu* (G) 1 ó V Het arbeidsvermogen van beweging is A = m S u2 en men verkrijgt dus 2 A ^ = 37 (?) waarmede het boven gezegde bewezen is. Noemen wij verder het aantal molekulen in het vat u en bepalen wij een snelheid U door de vergelijking U2 = - E u\ 11 dan kunnen wij voor (6) schrijven M ü2 ,fi, p ~ sTp-1 (8) waarbij wij nog voor de geheele massa M geschreven hebben. Wij zullen de grootheid U de gemiddelde snelheid der deeltjes noemen, ofschoon zij eigenlijk die snelheid is, waarvan het quadraat gelijk is aan het gemiddelde van al de snelheidsquadraten. Door de formules (7) en (8) kan men A en U uit de grootheden afleiden, die rechtstreeks gemeten kunnen worden. Beschouwen wij als voorbeeld 1 gram waterstof van 0°, onder een druk van 70 c.M., dan is M = 1, v = 11160, p = 1,013 x 10« (§ 205, f) j men vindt daaruit U = 184000 c.M. per seconde. Had men de berekeningen uitgevoerd voor dezelfde temperatuur maar een anderen druk, dan zou men, daar v omgekeerd evenredig met p verandert, dezelfde uitkomst gekregen hebben. Bij een bepaalde temperatuur is dus de mclekulaire snelheid ran liet gas onafhankelijk ran de dichtheid. Had men dit, als op zich zelf aannemelijk, op den voorgrond gesteld, dan zou uit de vergelijking (8) de wet van Boyle volgen. Daar het product p v bij verwarming evenredig met de absolute temperatuur toeneemt, is blijkens (7) hetzelfde met A het geval, terwijl volgens (8) de gemiddelde snelheid evenredig met den vierkantswortel uit de absolute temperatuur zal zijn. Vergelijkt men eindelijk twee verschillende gassen bij dezelfde temperatuur en onder denzelfden druk, dan komt in eenzelfde volume in beide dezelfde kinetische energie voor; de gemiddelde snelheid U is dus omgekeerd evenredig met den vierkantswortel uit de dichtheid. Zij is bij waterstof grooter dan bij eenig ander gas. Merken wij ten slotte nog op, dat de gemakshalve gemaakte onderstelling dat de molekulen niet tegen elkaar botsen, gebleken is, niet noodzakelijk te zijn om de medegedeelde uitkomsten te verkrijgen. Wel zal door de botsingen somtijds een molekuul dat anders tegen een wand zou botsen, daarin verhinderd worden, maar evengoed zullen deeltjes door een ontmoeting met andere tegen een wand worden geworpen. Zoo lang maar de molekulen zeer klein zijn in vergelijking met de tusschenruiinten, gelden de afgeleide formules, al hebben er ook een zeer groot aantal ontmoetingen plaats. Ook in een vat van willekeurigen vorm wordt de druk door de vergelijking (7) bepaald. § 222. Beweging van -2 1 ot tt 1 -)- a t.2' De arbeid van de uitwendige krachten op de massa tusschen a en b is Pt »t — Pi »i (9; 24 Daar men van de kinetische energie kan afzien, die het gas bij zijne geringe stroomsnelheid heeft, komt een aan dien arbeid aequivalente hoeveelheid warmte te voorschijn, behalve nog de warmte die aan de door het gas verloren inwendige energie beantwoordt. Was echter een hoeveelheid gas, gelijk aan die, welke tusschen a en a' bevat is, in een vat gebracht en daarin bij den constanten druk px van tx tot 1-2 afgekoeld, dan zou het volume zijn geworden 1 + xt.2 en de arbeid van den uitwendigen druk zou zijn Pi Oi — ''2). wat juist gelijk is aan de waarde (0). Voor lucht vond Regnault cp = 0,2377, waarbij nog valt op te merken dat, behoudens kleine afwijkingen, dit getal altijd de soortelijke warmte bij standvastigen druk bepaalt, onverschillig hoe hoog de druk is. Om een voor de hand liggende reden is het niet mogelijk, de soortelijke warmte bij standvastig volume door een rechtstreeksche proef te bepalen. Daar echter het verschil van cv en c„ in nauw verband staat met de in de vorige §§ besproken verschijnselen, kan men aan de waarneming van deze laatste een middel ontleenen om, als eenmaal cp bekend is, ook c„ te vinden. Op deze wijze heeft men gevonden c, = 0,1692. § 231. Bepaling van het mechanisch warmte-aequivalent. Het verschil cp — c„ = 0,0685 calorieën is nu de hoeveelheid warmte die verbruikt wordt om den zuiger, of welk begrenzend lichaam dan ook, voort te drijven, als 1 gram lucht bij standvastigen druk van 0° tot 1° verhit wordt. Zij de druk p dynes per c.M^ en het volume v c.M'(, dus de uitzetting bij de verwarming x v. De arbeid dien t gas verricht is dan (§ 207, b) xpv ergen, en daar nu voor dezen arbeid cp — c„ calorieën gediend hebben, vindt men voor het mechanisch aequivalent der warmte-eenheid E = ^- (10) Cp cv Is de druk 76 c.M. kwik, dan is p = 1,013 X 10°, en V = pM293- Men Vindt dus E = WSX1V = 419 v 105 273X0,001293 X0,0685 *iyXIU- Dit is de bepaling, waarop reeds in § 143 gedoeld werd. Daar zij berust op de kennis van c„, die door proeven over de temperatuurverandering bij adiabatische samendrukking of uitzetting is verkregen, kan men ook zeggen dat de waarde van E uit die proeven is afgeleid. Dat dit mogelijk is, ziet men gemakkelijk in. Wordt een gas adiabatisch samengedrukt, dan kan men uit de volumevermindering en den uitwendigen druk den arbeid van dezen laatsten afleiden; aan den anderen kant doet de temperatuurverhooging in verband met de soortelijke warmte van liet gas ons de hoeveelheid ontwikkelde warmte kennen, zoodat men alle gegevens heeft om tot het mechanisch aequivalent der warmte-eenheid te geraken. Hetzelfde is het geval, wanneer men de afkoeling bij een uitzetting heeft gemeten; men weet dan hoeveel warmte verdwenen is en hoeveel arbeid daardoor verricht is. § 232. Beschouwing eener oneindig kleine adiabatische Volllineverandering. Ziehier een der wijzen waarop de temperatuurverandering bij een adiabatische samendrukking kan worden gemeten. Uit een grooten glazen ballon C (1'ig. 210) die door een kraan A met wijde doorboring kan worden gesloten, wordt eerst eenige lucht weggezogen; na het sluiten van A wordt vervolgens de toestel aan zich zelf overgelaten tot hij de temperatuur van de FiS- 21°- omgeving üeett aangenomen. Met behulp van een manometer kan de druk van het gas worden gemeten; zoodra die niet meer verandert, is men zeker dat de temperatuur der omgeving bereikt is. Nu wordt de kraan A geopend, en zoodra de druk der lucht gelijk aan dien van de atmospheer is geworden, wat zeer snel gebeurt, weer gesloten. Op dat oogenblik is door het toestroomen der buitenlucht de temperatuur gestegen; na het sluiten van de kraan daalt zij weer tot de oorspronkelijke waarde, en daarbij neemt de druk af. Zij p de druk van de atmospheer, p, de druk die eerst in den ballon bestond, p.2 de einddruk, alles in dynes per c.M2. Dan is /j| < p en p2 , had bedragen. De arbeid is dus het product van (11) met pt, d. w. z. «TPfl-«0». (12) V Pi Wat de inwendige energie betreft, moet men bedenken dat de vermeerdering daarvan door de temperatuurverhooging bepaald wordt, en als deze 1° en de hoeveelheid vau het gas 1 gram bedraagt, gelijkstaat met calorieën, dus met E Cv arbeidseenheden. Bij de proef die wij beschouwen, is de temperatuurverhooging T-T - T (£ - 1 ). dus de vermeerdering der inwendige energie Ec„T(£-l). Door dit aan (12) gelijk te stellen vindt men Als b.v. in een gesloten vat een gasmassa gebracht wordt, die eerst maar een deel der ruimte inneemt, zal zij zich na eenigen tijd over het geheele volume verspreid hebben; de dichtheid zal, wanneer van den invloed der zwaartekracht mag worden afgezien, overal even groot zijn geworden, en wanneer die invloed merkbaar is, volgens een bepaalde wet van beneden naar boven afnemen. Heeft men in het vat eerst een vloeistof en daar boven een ledige ruimte, dan zal de vloeistof, als de hoeveelheid ervan klein is, geheel in den gasvorm igen toestand overgaan, en zich als damp over de ruimte verspreiden. In een gegeven volume blijkt echter, bij bepaalde temperatuur, maar een bepaalde hoeveelheid vloeistof te kunnen verdampen; brengt men nog meer in het vat, dan ontstaat een toestand, waarin een gedeelte der vloeistof als zoodanig is overgebleven, en de ruimte daarboven damp van een bepaalde dichtheid d en een bepaalde spanning bevat. Men noemt dezen damp, die ten slotte in aanraking met de vloeistof bestaat, verzadigden damp. Dezelfde toestand, waartoe wij zooeven gekomen zijn, ontstaat (bij dezelfde temperatuur) ook, wanneer eerst boven de vloeistof een damp aanwezig is met een grootere dichtheid dan de zooeven genoemde. Er zal dan een omzetting van damp in vloeistof plaats hebben, een verdichting of condensatie-, deze zal zoo ver gaan tot weer de dichtheid d bereikt is. Wanneer in gevallen, zooals de hier besprokene, de eindtoestand bereikt is, zegt men dat het stelsel in evenwicht is gekomen. Als verdere voorbeelden van zulke evenwichtstoestanden kunnen nog dienen: een lichaam dat gedeeltelijk gesmolten is, een vaste stof, in aanraking met een „verzadigde" oplossing daarvan, en eindelijk het geval dat op water een laag aether gegoten is, waarbij het blijkt dat in het water een zekere hoeveelheid aether en in den aether eenig water oplost. Als een stelsel bestaat uit verschillende, ieder op zich zelf homogene deelen, die geheel of ten deele uit dezelfde stoffen zijn samengesteld, onderscheidt men die van elkaar als verschillende phasen. De evenwichtstoestanden die wij nu hebben leeren kennen, zijn volgens de molekulaire theorie van anderen aard dan de gewone evenwichten die in de mechanica behandeld worden. Ofschoon nl. de voor ons waarneembare deelen der lichamen dezelfde samenstelling en eigenschappen behouden, zou een waarnemer die de afzonderlijke molekulen kon zien, getuige zijn van zeer ingewikkelde bewegingsverschijtiselen. Dat, ondanks deze veranderingen, het geheele stelsel in een blijvenden toestand verkeert, is te danken aan het groote aantal molekulen waaruit de lichamen zijn opgebouwd. Verbeelden wij ons b.v. twee stukken koper A en B, die, nadat zij eenigen tijd in smeltend ijs hebben gelegen, met elkaar in aanraking worden gebracht. Evenals in een gas bij een bepaalde temperatuur de verschillende deeltjes ongelijke snelheden hebben (§ 222), zal dat ook in het koper het geval zijn. Het is dus zeer goed mogelijk dat op 't eene punt van het aanrakingsoppervlak een molekuul van A een veel grootere snelheid heeft dan een deeltje van B, waarmede het in aanraking komt, terwijl in een ander punt het omgekeerde het geval is. Op de eerste plaats zal dan eenige warmte overgaan van A naar B, en op de laatstgenoemde plaats van B naar A. Dat er, alles samengenomen, noch in de eene noch in de andere richting warmte overgaat, is hieraan te wijten dat langs het grensvlak allerlei toestanden worden gevonden, maar zoo dat gemiddeld de snelheden in het eene lichaam even groot zijn als in het andere. Ook de gelijkmatige verdeeling van een gas over de beschikbare ruimte is alleen door het groote aantal deeltjes mogelijk. Vlogen er in een vat niet meer dan 100 molekulen heen en weer, dan zouden er wel niet juist 50 in elke helft zijn. De verdamping eener vloeistof kan men zich zoo voorstellen dat sommige molekulen, en wel die, welke de grootste snelheden hebben, uit de vloeistof ontsnappen en zich als gasmolekulen in de ruimte daarboven bewegen. Onophoudelijk zullen eenige deeltjes dit doen, en de hoeveelheid damp zou voortdurend toenemen, als er niet ook iets anders plaats had. Molekulen van den damp kunnen nl. door hunne beweging weer in de vloeistof geraken en door de aantrekking daarvan vastgehouden worden. Dit zal des te meer gebeuren, naarmate er reeds meer damp is. Ten slotte is er evenwicht, wanneer evenveel deeltjes als cle vloeistof verlaten er ook weer in terug keeren (verg. § 222). Andere evenwichten tusschen twee phasen kan men op een dergelijke wijze opvatten. ^ 236. Kenmerken van een evenwichtstoestand. Hoe ook de dichtheid der stof van punt tot punt verandert, en hoeveel ook de naast elkaar bestaande phasen van elkaar verschillen, steeds zal in alle deelen van het stelsel de temperatuur even hoog zijn. Het is verder gebleken dat alle zichtbare relatieve bewegingen van het eene deel der stof ten opzichte van het andere door de wrijving worden uitgeput. Wanneer het beschouwde stelsel door stilstaande wanden omsloten is, hebben er in den evenwichtstoestand in 't geheel geen zichtbare bewegingen meer plaats. § 237. Adiabatische en isothermisehe veranderingen. Vat men de uitdrukking dat een stelsel aan zich zelf zal woiden overgelaten, letterlijk op, dan is daarmede natuurlijk ook gezegd dat er noch warmte aan het stelsel moet worden medegedeeld, noch daaraan moet worden onttrokken, dat het dus b.v. binnen een omhulsel moet zijn opgesloten, dat in het geheel geen warmte doorlaat. De veranderingen die dan nog kunnen plaats hebben, gebeuren adtabatisch (§ 228). Niet alleen in dit geval neemt het stelsel een evenwichtstoestand aan, maar eveneens, wanneer, zooals wij ons dikwijls zullen voorstellen, de temperatuur constant wordt gehouden, en dus de veranderingen isothermisch zijn. Wil men zich hiervan verzekeren, dan moet het stelsel in aanraking worden gebracht met een lichaam van zoo groote warmtecapaciteit dat de temperatuur daarvan niet merkbaar verandert als het eenige warmte aan het stelsel afstaat of daarvan ontvangt. Wij zullen zulk een lichaam een warmtereservoir noemen. § 238. Richting waarin de veranderingen plaats hebben. Een stelsel van lichamen waarin eerst geen evenwicht bestond, en dat ten slotte in een stationairen toestand is gekomen, zal niet weer van zelf tot den oorspronkelijken toestand terugkeeren. M. a. w., de veranderingen die het ondergaan heeft, kunnen niet in omgekeerde richting plaats hebben. Zoo zal b.v. door warmtegeleiding of straling een temperatuurverschil nooit grooter worden. Wel leert ons de waarneming dat ook lichamen van lage temperatuur, zooals een stuk ijs, eenige warmte uitstralen, en daarvan kan een lichaam van hoogere temperatuur iets opnemen, maar de warmte die dit zoo van het koude voorwerp ontvangt, bedraagt altijd minder dan de warmte die het daaraan door straling mededeelt. Een gas verdeelt zich gelijkmatig over de beschikbare ruimte, maar nooit zal het zich van zelf in een deel der ruimte meer opeenhoopen dan in een ander, en evenmin zullen de bestanddeelen van een mengsel van twee gassen zich van zelf van elkaar scheiden. Een verandering die menigmaal voorkomt als een stelsel tot een evenwichtstoestand nadert, isde omzetting van „mechanisch" arbeidsvermogen in warmte, b.v. ten gevolge van wrijving. Onder mechanisch arbeidsvermogen verstaan wij hierbij zoowel de kinetische energie van zichtbare bewegingen als de potentieele energie die beantwoordt aan de op zichtbare massa's werkende krachten. De omgekeerde verandering zou nu zijn de omzetting van warmte in zulk mechanisch arbeidsvermogen, of, m. a. w., het verrichten van mechanischen arbeid met behulp van warmte. Deze omzetting is wel mogelijk, maar zij is veel meer dan de eerstgenoemde aan bepaalde voorwaarden gebonden en van geschikte kunstgrepen afhankelijk. Dit ligt trouwens in den aard der onregelmatige molekulaire bewegingen. Wanneer een lichaam zich in zijn geheel voortbeweegt, kunnen wij het, door er b.v. een koord aan vast te maken, een gewicht tot zekere hoogte laten optillen (§ 116). Evenzoo kunnen wij partij trekken van de kinetische energie van OA tot OB aan l'ig. 214. dan beantwoordt aan de boven bedoelde splitsing der geheele uitzetting een verdeeling van A B in oneindig kleine deelen, zooals C D. Stellen nu verder de ordinaten de waarden van den druk per vlakte-eenheid voor, en beschouwt men den druk gedurende de volumevermeerdering C D als constant = C R, dan is een der deelen van den gezochten arbeid: CD X CR. De grootte van dit product wordt door het oppervlak van den op CD staanden rechthoek voorgesteld, en dus de geheele verrichte arbeid door de limiet der som van al de in de figuur aangewezen rechthoeken, d.w. z. door het oppervlak der figuur PQBA, die aan de bovenzijde door de kromme lijn P Q begrensd is. Gemakkelijk zal men inzien dat de arbeid van 'tgas bij de door QP voorgestelde samendrukking gelijk is aan het oppervlak der genoemde figuur, met het negatieve teeken genomen. § 244. Kringloop, bestaande uit twee isotliermisclie en twee adiabatische veranderingen. Keert het gas tot den oorspronkelijken toestand terug, dan moet het punt waarvan de coördinaten het volume en den druk aangeven, zijne aanvankelijke plaats hernemen. Aan een kringloop van veranderingen beantwoordt dus een gesloten lijn; omgekeerd is altijd een kringloop denkbaar, die aan een willekeurig gekozen lijn van dien aard beantwoordt. De eenvoudige kringloop waarop in § 242 gedoeld werd, wordt nu voorgesteld door een kromlijnigen vierhoek (Fig. 215), waarvan twee tegenover elkander staande zijden AB en CD isothermische lijnen Fig. 215. en de twee andere zijden BC en AD adiabatische lijnen zijn. Wij nemen aan dat de kringloop in de richting A B C D plaats heeft, en duiden met Tj en T2 de absolute temperaturen aan, die bij de lijnen A B en CD behooren. De warmtereservoirs die daarbij te pas komen, noemen wij Rj en Rg. Na al het voorgaande zal het duidelijk zijn dat met de gasmassa nu do volgende veranderingen moeten plaats hebben: 1°. uitzetting van het volume O a tot het volume O b, terwijl het gas door middel van 't reservoir Rj op de hooge temperatuur T, wordt gehouden, 2°. na scheiding van dit reservoir een adiabatische uitzetting tot het volume Oc, waardoor de temperatuur daalt tot die van het tweede warmtereservoir Rs, 3°. terwijl het gas in aanraking met dit laatste blijft, een samendrukking tot het volume Od en 4°. een adiabatische samendrukking da, waardoor het oorspronkelijke volume en ook de hooge temperatuur weer bereikt worden. Men kan zich voorstellen dat deze veranderingen in een werkelijke lieete-luchtmachine plaats hebben, die met het reservoir R, als „vuurhaard" en 't reservoir R, als afkoeler, in beweging blijft. De zuiger waaronder het gas zich bevindt, kan nl. op de gewone wijze met een vliegwiel zijn verbonden en op een of andere wijze kan door de wenteling van de vliegwielas op geschikte oogenblikken de aanraking van het gas met het eene of het andere reservoir worden tot stand gebracht of opgeheven. Blijkens het in de vorige § gezegde wordt nu de bij den beschouwden kringloop door het gas verrichte arbeid voorgesteld door: Opper vl. A B b a -f Opper vl. B C c b — Opper vl. CD dc — — Oppervl. D A a d, d. w. z. door het oppervlak der figuur AB C D. Daar echter het gas ten slotte in den oorspronkelijken toestand is teruggekomen, kan deze arbeid alleen ten koste van een aequivalente hoeveelheid warmte verricht zijn. Nu heeft bij de uitzetting A B het reservoir Rj een zekere hoeveelheid warmte, die wij Q! zullen noemen, afgestaan, terwijl bij de samendrukking C D een hoeveelheid warmte Q8 aan het reservoir Rs is gegeven. Het blijkt dus dat Qx >QS moet zijn ; de hoeveelheid warmte Qt — Qa is verdwenen en heeft gediend om den zooeven berekenden mechanischen arbeid te verrichten. § 245. Isothermische kringloopen. Bij den kringloop dien wij in de laatste § beschouwden, bleek het verrichten van een mechanischen arbeid ten nauwste samen te hangen met de omstandigheid dat het werkende lichaam in den loop zijner veranderingen op twee verschillende temperaturen gebracht werd. Het onderzoek der verschijnselen heeft nu tot het inzicht geleid dat dit werkelijk een noodzakelijke voorwaarde voor het verrichten van een arbeid bij den kringloop is, en dat dus, alles samengenomen, geen positieve arbeid door het werkende lichaam kan verricht worden, als het gedurende zijn geheelen kringloop op standvastige temperatuur wordt gehouden. Zulk een isothermische kringloop is bij een gas eigenlijk niet mogelijk. Immers, zal de temperatuur daarvan in t geheel niet veranderen, dan kan men niet anders doen dan, nadat men een eind langs een isothermische lijn is voortgegaan, langs diezelfde lijn weer terugkeeren. Een „kiingloop" kan men dit nauwelijks noemen, en dat nu de totale arbeid 0 is, spreekt wel van zelf. Andere lichamen echter, die voor een grootere verscheidenheid van toestanden vatbaar zijn, kunnen wel degelijk isothermische kringen van veranderingen doorloopen. Als voorbeeld hiervan kan een vaste staaf dienen, die kan worden uitgerekt en gewrongen. Wanneer wij zulk een lichaam eerst uitrekken, en dan, terwijl de lengte onveranderd wordt gelaten, over een zekeren hoek wringen, het zich daarna, terwijl de torsie blijft bestaan, tot de oorspronkelijke lengte laten samentrekken, en dan eindelijk de torsie opheifen, hebben wij werkelijk een kringloop, die zeer goed bij standvastige temperatuur kan worden uitgevoerd. Natuurlijk zal daarbij een warmtereservoir noodig zijn; dikwijls echter kunnen wij ons voorstellen dat de omringende lucht als zoodanig dienst doet. Zulke isothermische kringloopen, die ook bij vele andere lichamen denkbaar zijn, bepalen wij nu nog nader door de onderstelling dat zij in een opeenvolging van evemcichtstoestanden bestaan, dat dus op elk oogenblik de toestand van het lichaam dezelfde is, waarin het zou verkeeren als de uitwendige krachten die er dan op werken, blijvend bestonden. Daartoe is slechts noodig dat de veranderingen zeer langzaam gebeuren, zoodat aan de zichtbare bewegingen geen noemenswaardige kinetische energie beantwoordt. Wij kunnen b.v. de vier bovengenoemde veranderingen van een staaf teweegbrengen door de uitrekkende kracht en het koppel dat de wringing veroorzaakt op geschikte wijze zeer langzaam te veranderen. Gedurende een zeker deel van zijn kringloop kan het werkende lichaam zeer goed een positieven of negatieven arbeid verrichten. Bij de staaf is b.v. deze arbeid positief als hij zich samentrekt of ontwringt, negatief daarentegen als hij wordt uitgerekt of als de hoek van torsie toeneemt. De bovengenoemde stelling wil nu zeggen dat de totale arbeid van het lichaam nooit positief kan zijn. Gemakkelijk ziet men verder in dat bij een kringloop die ook in omgekeerde richting kan worden doorloopen, dus in al die gevallen waarin men met een opeenvolging van evenwichtstoestanden te doen heeft, de arbeid ook geen negatieve waarde kan hebben. Immers, wanneer het lichaam bij de eene richting van den kringloop een negatieven arbeid verrichtte, zou de arbeid bij de tegengestelde richting positief zijn, wat tegen onze stelling strijdt. Wij komen derhalve tot het besluit: Bij eiken omkeerbaren iaothermisclien kringloop is de totale arbeid 0. Om in te zien dat in deze stelling iets wordt uitgedrukt, dat niet reeds uit de wet van 't behoud van arbeidsvermogen volgt, moet men bedenken dat er bij een isothermischen kringloop altijd een warmtereservoir is, en dat ten koste van daaraan ontleende warmte wellicht arbeid had kunnen worden verricht. Uit de wet van 't behoud van arbeidsvermogen kan men alleen afleiden dat de arbeid 0 is bij een adiabatisch uitgevoerden kringloop. § 246. Arrije energie. De aan het slot van § 238 gemaakte opmerking omtrent de ongelijke mate waarin verschillende vormen van arbeidsvermogen voor ons toegankelijk zijn, brengt ons ertoe, het arbeidsvermogen dat in een stelsel van lichamen aanwezig is, en het arbeidsvermogen waarover wij onder deze of gene omstandigheden beschikken kunnen, van elkaar te onderscheiden. Hoe het met het bedrag van dit laatste gesteld is, zullen wij vooreerst in een eenvoudig geval nagaan. Verbeelden wij ons een gasmassa, die door een warmtereservoir op standvastige temperatuur wordt gehouden, zoodat alle veranderingen die zij ondergaan kan, isothermisch zijn; stellen wij ons bovendien voor dat die veranderingen bestaan in uiterst langzame en dus omkeerbare uitzettingen en samendrukkingen. Daar bij uitzetting arbeid kan worden verricht, besluiten wij dat in het stelsel, bestaande uit het gas en het warmtereservoir, een zekere hoeveelheid arbeidsvermogen beschikbaar is. Ten einde een bepaald getal daarvoor te kunnen aangeven, • stellen wij vast tot hoever wij de uitzetting willen laten gaan (verg. § 126). Wij kiezen dus een of ander groot volume V uit en letten op den arbeid dien het gas bij uitzetting tot dat volume kan verrichten. Terwijl wij nu de uitdrukking „beschikbare energie" vervangen door den onder de vastgestelde omstandigheden gebruikelijken term vrije energie kunnen wij zeggen: Be vrije energie icordt gemeten door den arbeid dien het gas kan verrichten als het zich isothermisch en op omkeerbare wijze van het volume dat het in werkelijkheid inneemt, tot het vastgestelde groote volume V uitzet. Uit deze definitie volgt aanstonds: a. De vrije energie is des te grooter naarmate het gas in een kleiner volume is samengeperst. b. Zet het gas zich werkelijk uit, maar niet tot het volume V, dan neemt de vrije energie af met een bedrag gelijk aan den verrichten arbeid. , (v c. Omgekeerd kost samendrukking van het gas eenj arbeid, gelijk aan de toename der vrije energie. Dat de vrije energie iets anders is dan het in het gas aanwezige arbeidsvermogen, valt aanstonds in het oog als men bedenkt dat dit laatste, zoo lang de tempeiatuur even hoog blijft, bij elk volume even groot is (§ 22U), en dat dan ook de arbeid bij een isothermische uitzetting ten koste van het warmtereservoir verricht wordt. Toch spreekt men van de vrije energie van het gas, waarmee men intusschen alleen wil te kennen geven dat de mogelijkheid dat bij een gegeven reservoir een arbeid verricht wordt, te danken is aan de aanwezigheid van het gas, dat zich meer of mindei vei kan uitzetten. Van andere lichamen of stelsels van lichamen geldt hetzelfde als van de hier beschouwde gasmassa. Wij onderstellen weer dat de temperatuur door een warmtereservoir constant wordt gehouden en beperken ons tot omkeerbare veranderingen, waarbij een reeks van evenwichtstoestanden wordt doorloopen. Kan nu het stelsel bij den overgang uit den toestand S waarin wij het beschouwen, naar een zekeren „nultoestand" N een arbeid 4> verrichten, dan zeggen wij dat het in den toestand S een vrije energie \p heeft. Verricht het werkelijk, bij den overgang van den toestand S naar een anderen toestand S', een zekeren arbeid, dan is de vrije energie met een daaraan gelijk bedrag algenomen. Daarentegen beantwoordt aan eiken arbeid dien wij op het stelsel doen een aan dien arbeid gelijke toename der vrije energie. üp de volgende wijze kunnen wij de gegeven definitie toelichten en de beide laatste stellingen bewijzen. Stel dat een stelsel langs twee verschillende wegen (isothermisch en omkeerbaar) uit den toestand S in den toestand S' kan overgaan en dat het op den cenen weg een arbeid A, en op den anderen weg een arbeid A2 verricht. Men kan het stelsel langs den eersten weg uit den toestand S in den toestand S' doen overgaan en het langs den tweeden weg in den toestand S terugbrengen. De arbeid zal dan zijn A, A2. Wij weten echter (§ 245) dat de arbeid bij een isothermischen omkeerbaren kringloop 0 is; dus: A, = A2, d. w. z.: de arbeid is alleen afhankelijk van den begin- en den eindtoestand. Omdat dit zoo is, kan men de vrije energie in een toestand S meten door den arbeid dien het stelsel bij den overgang naar den nultoestand N kan verrichten, zonder dat men behoeft aan te geven langs welken weg de overgang zal plaats hebben. Beschouwen wij verder twee toestanden S en S', waaraan de waarden \p en <1>' der vrije energie beantwoorden. Willen wij weten welken arbeid het stelsel bij den overgang van S naar S' verricht, dan kunnen wij dien overgang langs een willekeurigen weg doen plaats hebben. Wij stellen ons voor dat het stelsel eerst in den nultoestand N en dan in den eindtoestand S' wordt gebracht. Bij den overgang van S naar N verricht het een arbeid ip, bij den overgang van N naar S' een arbeid — ; derhalve is bij eiken overgang van S naar S' de arbeid A = + — v(/'. Deze uitkomst gaat ook door wanneer >

1', met u te vermenigvuldigen. Men heeft derhalve . E s u* ^ = j p u = 1 —j—. Gemakkelijk ziet men in dat dezelfde uitdrukking geldt, wanneer de lengte met het bedrag u verminderd is, en dat ook bij andere vormveranderingen de vrije energie op overeenkomstige wijze kan worden berekend. Voor de staaf van Fig. 216 (p. 413) moet men het halve product nemen van de doorbuiging en de belasting, voor een gewrongen draad het halve product van het wringende koppel en den hoek van torsie (§ 165). § 263. Isotrope en anisotrope lichamen. Tot nog toe werd ondersteld dat de stof waaruit de lichamen bestaan, in alle richtingen dezelfde eigenschappen heeft. Deze bijzonderheid, die bij alle vloeistoffen en gassen, en in meerdere of mindere mate ook bij vele vaste lichamen voorkomt, heet isotropie. Anisotroop daarentegen wordt een lichaam genoemd, zoodra de eigenschappen in de eene richting verschillen van die in de andere. Dit is in de eerste plaats bij de kristallen het geval. In een kristal van kwarts (bergkristal) b.v., dat de welbekende gedaante van een zeszijdige zuil, toegespitst met zeszijdige piramides, heeft, zullen de molekulen langs een lijn, evenwijdig aan de opstaande ribben van het prisma, op andere wijze ten opzichte van elkaar gerangschikt zijn dan langs een lijn die loodrecht daarop staat. En dit verschil openbaart zich bij allerlei physische verschijnselen. Wanneer b.v. uit een stuk kwarts een plaat wordt gesneden, waarvan de zijvlakken evenwijdig loopen aan de zooeven genoemde opstaande ribben, vertoont deze plaat in verschillende richtingen een ongelijke warmtegeleiding. Wordt een van de zijvlakken met een laag was bedekt en vervolgens in één punt met een verhitte stift verwarmd, dan smelt het was over een uitgestrektheid die door een ellips, met het bedoelde punt tot middelpunt, begrensd wordt. Bij een isotrope plaat zou een cirkelvormige plek worden waargenomen. Wat de verschijnselen der elasticiteit betreft, blijkt de anisotropie van een kwartskristal hieruit, dat staafjes van dezelfde afmetingen, maar die in verschillende richting uit het kristal worden gesneden, aan dezelfde uitrekkende, buigende of wringende krachten blootgesteld, in den regel verschillende vormveranderingen ondergaan. Anisotroop zijn ook stoften die, zooals hout, uit min of meer evenwijdige vezels zijn opge bouwd. Eindelijk zal ook dan een lichaam in verschillende richtingen ongelijke eigenschappen vertoonen, wanneer het, al is het oorspronkelijk isotroop, in een enkele richting wordt uitgerekt of samengedrukt. Merken wij ten slotte nog op dat „isotroop" wel onderscheiden moet worden van „homogeen" (§ 83). De kristallen, die nooit isotroop zijn, zijn juist de meest homogene vaste lichamen. § 264. Uitzetting door de warmte. Wilde men den invloed van een temperatuurverandering op den vorm en de grootte van vaste lichamen uitvoerig onderzoeken, dan zou men, om maar iets te noemen, moeten nagaan hoe de torsie van een draad verandert, wanneer hij, terwijl een standvastig koppel werkt, wordt verwarmd. Wij zullen ons echter hoofdzakelyk bezig houden met isotrope lichamen die aan geen uitwendige krachten zijn onderworpen. Bij een verwarming nemen alle afmetingen van zulk een • voorwerp in dezelfde 'verhouding toe, en de aangroeiing van een willekeurige lijn in het lichaam, of van het volume, mag evenredig aan de temperatuurverhooging gesteld worden. Bij afkoeling tot de oorspronkelijke temperatuur keert de begintoestand terug. Be breuk die aangeeft, met welk gedeelte van de lengte die zij bij 0° heeft, een lijn in het lichaam toeneemt bij eiken graad temperatuurverhooging, wordt de „lineaire uitzettingscoëfficient genoemd. Eveneens wordt door den „kubieken uitzettingscoëfficient" bepaald, met tcelk gedeelte van de waarde die het bij 0° heeft, het volume voor eiken graad aangroeit. Noemen wij deze coëfficiënten resp. en (3, de lengte \ an een lijn in het lichaam bij 0°: l0 en bij t": llt het volume bij die temperaturen v0 en v,, dan is, zooals men gemakkelijk kan bewijzen _ U = l0 (1 + * t) (71 Vi—v0{l@ t) (8) Tusschen de beide coëfficiënten bestaat een eenvoudig verband; de kubieke uitzettingscoëfficient is til. het drievoud van den lineairen. Daar nl. bij verwarming van 0° tot t° alle afmetingen 1 -\- x t maal grooter worden, wordt het volume (1 + * x maal grooter. Omdat x t zeer klein is, mag men hiervoor schrijven l-f3*i, zoodat /3 = 3 « moet zijn. liet is dus voldoende, een der coëfficiënten te meten. Wat den lineairen uitzettingscoëfficient betreft, kan men dit doen door op een staaf of een gespannen draad twee fijne merken aan te brengen, den afstand daarvan te meten, wanneer het lichaam door smeltend ijs omringd is, en vervolgens de kleine verplaatsingen die de merken ondergaan, als het ijs door damp van kokend water wordt vervangen. De laatste bepaling kan met behulp van een paar aflezingsmicroscopen verricht worden. In het volgende hoofdstuk vindt men een methode die den kubieken uitzettingscoëfficient oplevert. Over de uitzetting door de warmte valt nog het volgende op te merken. a. Wanneer het volume Vt van een lichaam bij t" gegeven is, vindt men voor het volume bij t'° l + (31' Vl'=v'T+j3T- Wegens de kleine waarde van (3 mag men hiervoor schrijven Vf = Vt\\ (3 (t — <)]» d. w. z. men mag voor de uitzetting voor eiken graad nemen /3 vt in plaats van (3 v0. b. Bij elk lichaam verandert de dichtheid omgekeerd evenredig met het volume. Tusschen de dichtheden d0 en d, bij 0" en t° bestaat derhalve de betrekking d' = T+Tt c. Baar een lichaam bij verwarming niet van vorm verandert, neemt het volume van een inwendige holte in dezelfde verhouding toe als de met stof gevulde ruimte. Men kan dus de veranderingen van het inwendige volume van een glazen vat door de formule (8) met den kubieken uitzettingcoëfficient van het glas berekenen. d. Verscheidene verschijnselen berusten op de ongelijke uitzetting van verschillende lichamen. Wordt b.v. een reep die uit twee naast elkaar liggende en aaneengeklonken strooken van verschillende metalen bestaat, verwarmd, dan kromt hij zich, en wel zoo, dat het metaal dat zich het meest uitzet aan de bolle zijde ligt. Dit is, na het in § 257 beschouwde geval, een nieuw voorbeeld van de kromming waartoe een ongelijkheid in lengte van de verschillende vezels aanleiding geeft. Een derde voorbeeld heeft men in het trekken van hout dat aan de eene zijde meer wordt uitgedroogd dan aan de andere; bij het uitdrogen trekt het zich nl. samen. e. De mogelijkheid om een platinadraad in glas te smelten, zonder dat bij het afkoelen een opening ontstaat of het glas springt, berust op liet geringe verschil tussclien de uitzettingscoëfficienten der twee stoffen. ƒ. Verzet zich gedurende een temperatuurverandering een of ander beletsel tegen de uitzetting of inkrimping van een lichaam, dan ondervindt het van dit laatste een kracht, die soms zeer groot is. Beschouwen wij b.v. een staaf, die bij 0° de lengte l en een doorsnede s heeft, en zoeken wij de krachten waarmede wij tegen de uiteinden moeten drukken, om bij een verwarming tot t° de uitzetting te beletten. Wij kunnen ons daartoe voorstellen (verg. § 219) dat wij vooreerst de uitzetting vrij laten plaats hebben en vervolgens, bij de standvastige temperatuur t, de staaf weer tot de aanvankelijke lengte samendrukken. Door de formule (2) vindt men voor de daartoe vereischte kracht K — x t (\ -\r x t) s^i\ het is er namelijk om te doen, aan een staaf van de lengte l (1 + x t) en de doorsnede s (1 + «■ l)2 Je samendrukking xl t te geven. Daar x t klein is mag men voor de gevonden uitdrukking schrij ven K = x t s E; voor E moet hierin eigenlijk de elasticiteitscoëfEcient bij tu genomen worden. Had men de krachten K dadelijk bij de verwarming aangebracht, dan zou het lichaam zich in het geheel niet uitgezet hebben, en was de staaf tusschen een paar onwrikbare beletselen besloten, dan zou hij daartegen een druk = K uitoefenen. g. Er bestaan enkele uitzonderingen op den regel dat een vast lichaam zich bij verwarming uitzet; een caoutcboucbuis b.v., die door een voldoende belasting gespannen is, trekt zich bij verwarming aanmerkelijk samen. § 265. Verandering «Ier temperatuur bij adiabatische uitrekking of samentrekking van een draad. Wanneer een draad dien men eerst met zekere kracht gespannen heeft, door een aangroeiing dezer kracht verder wordt uitgerekt ot zich tengevolge van een afneming daarvan samentrekt, en wel «onder dat warmte wordt toe- of afgevoerd, Het verdient daarom de voorkeur, hetzelfde glazen vat ook te gebruiken voor een proef met kwik. Van deze vloeistof is namelijk de ware uitzettingscoëfficient bekend en zoodra men ook den schijnbaren coëfficiënt heeft gemeten, leert een aftrekking den kubieken uitzettingscoëfficient van het glas kennen. De handelwijze die het eerst door Dulong en Petit gevolgd werd om den waren uitzettingscoëfficient van kwik te bepalen, berust op de verandering die de dichtheid eenrr vloeistof bij verwarming ondergaat, een verandering, die door de formule (9) van § 204 bepaald wordt. De dichtheid van koud en warm kwik kan men namelijk vergelijken door twee verticale buizen die van boven geopend zijn en aan het benedeneinde door een enge horizontale buis zijn verbonden, met kwik te vullen, de eene buis te omringen met smeltend ijs en de andere tot een bekende hoogere temperatuur te verhitten. Men meet dan de hoogte der vloeistofkolommen in de beide buizen (verg. § 205, f). § 269. Gewichtsthermometer. Bij de boven vermelde proeven wordt de schijnbare uitzetting der vloeistof afgeleid uit de verschuiving die de vloeistofdraad ondergaat, voorbij het punt tot waar hij bij de laagste temperatuur reikt. Het volume van deze vooruitgeschoven vloeistof is bekend, omdat men vooraf het gewicht bepaald heeft van een kwikkolom die een zeker aantal schaaldeelen inneemt. Men had nu echter even goed de vloeistof die voorbij een vast punt is voortgeschoven, rechtstreeks kunnen wegen. Zoo komt men op het denkbeeld van den gewichtsthermometer. Deze bestaat uit een glazen vat, voorzien van een buis die tot een fijne punt is uitgetrokken. Om vooreerst den uitzettingscoëfficient van het glas te vinden, bepaalt men het gewicht pn van het kwik, dat het vat bij 0° vult, en het gewicht pt van dezelfde vloeistof, dat er bij een temperatuur t (b.v. 100°) in bevat is. (De laatste bepaling kan gedaan worden door het kwik te wegen, dat bij verwarming van 0° tot t° uit het vat vloeit). Is d„ het soortelijk gewicht van kwik bij 0° en x de uitzettingscoëfficient van kwik, dan is het volume van het vat bij de beide temperaturen en ^j- (1 + *t), d0 d0 en hieruit kan de uitzettingscoëfficient van liet glas worden gevonden. Worden dezelfde proeven herhaald met een ander vat, waarin zich behalve het kwik een vast lichaam bevindt, dan kan men uit de uitkomsten den uitzettingscoi'fficient van dit laatste afleiden. Gemakkelijk ziet men ook in dat men uit de hoeveelheid kwik die het vat bij een of andere temperatuur kan bevatten, deze laatste kan berekenen. Van daar de naam „gewichtsthermometer". § 270. (Jerolgen der verandering in dichtheid, a. Men moet op deze verandering letten in alle gevallen, waarin men een druk wil meten door de hoogte van een vloeistofl;olom. Daar de dichtheid van warm kwik kleiner is dan die van koud kwik, zal b.v. de hoogte van de kwikzuil in twee barometers, in welke de vloeistof verschillende temperatuur heeft, ongelijk zijn. Uit het vroeger gezegde volgt dat, wanneer de bedoelde temperaturen 0" en t° zijn, en de hoogten h0 en hh de betrekking , hi 0 ~~ l-l-« t bestaat. Met behulp van deze formule, waarin de uitzettingscoëfficient van het kwik is, kan men eiken bij tn waargenomen barometerstand „herleiden tot 0°", d. w. z. berekenen, hoe hoog het kwik bij denzelfden luchtdruk zou staan, wanneer het de laatstgenoemde temperatuur had. b. Ook bij elke nauwkeurige bepaling van het soortelijk gewicht of de dichtheid eener stof moet men met den invloed der temperatuur rekening houden. Stel b.v. dat een stuk koper in de lucht p gram en onder water q gram weegt, en dat de temperatuur bij de laatste weging t° is. Dan heeft bij die temperatuur het koper hetzelfde volume als een hoeveelheid water van p — q gram (van het gewichtsverlies in de lucht zullen wij hier afzien), een volume, dat men met behulp van een achter dit boek voorkomende tabel in c.M3 kan leeren kennen. Wij kunnen dus ook vinden hoeveel gram 28 1 c.M3 koper bij t° weegt; willen wij daaruit hetzelfde voor 0° afleiden, dan moeten wij den uitzettingscoëfficient van koper kennen en de vergelijking (9) van § 2G4 toepassen. § 271. Nadere beschouwing der uitzetting van vaste lichamen en vloeistoffen. Vergelijking van verschillende thermometers. Wanneer men (§ 219) de temperaturen met een luchtthermometer meet, en dan de uitzetting van vaste lickamen en vloeistoffen aan een nauwkeurig onderzoek onderwerpt, blijkt liet dat voor geen dezer lichamen liet in § § 264 en 268 gezegde volkomen juist is; de uitzettingen voor achtereenvolgende gelijke temperatuurverhoogingen zijn een weinig van elkaar verschillend. In de meeste gevallen kan men van deze kleine afwijkingen afzien, maar wanneer het om groote nauwkeurigheid te doen is, mag men een formule van den vorm S| = »0(l + « i) (1) niet meer bezigen. Men kan echter (verg. §4) de volumevermeerdering van elk vast of vloeibaar lichaam voorstellen door een empirische formule van den vorm vt = »0 (1 + x t + /3 l1 -f y t*) .... (2) Terwijl dus de gassen bij hunne uitzetting alle op weinig na dezelfde wet volgen, in dien zin nl., dat hij dezelfde temperatuurverhooging het volume bij alle in dezelfde verhouding verandert, houdt de uitzetting van een vloeistof of een vast lichaam geen gelijken tred met die van een gas. Hiervan is een merkwaardig verschijnsel het gevolg, dat men opmerkt als men een gewonen kwikthermometer met een luchtthermometer, b.v. den in § 218 vermelden vergelijkt. Daar van beide de vaste punten op de bekende wijze bepaald zijn, zullen zij natuurlijk zoowel in smeltend ijs als in damp van kokend water hetzelfde aantal graden aanwijzen. Bij tusschengelegen temperaturen is dit echter niet het geval. Om dit in te zien zullen wij voor een oogenblik de uitzetting van liet glas buiten beschouwing laten. Stel nu, dat bij een of andere temperatuur de luchtthermometer 50° aanwijst, d. w. z. dat de lucht dan, van 0° af gerekend, juist de helft van de geheele uitzetting, die hij tot 10U° toe ondergaat, volbracht heeft. Dan zal het een druk uitoefent, gelijk aan de som van de drukkingen, die elk der bestanddeelen in hetzelfde volume en bij dezelfde temperatuur zou vertoonen, ondervinden in den evenwichtstoestand de wanden, behalve den druk dien het gas oorspronkelijk uitoefende, de spanning van den verzadigden damp. De eenige invloed van het gas op de verdamping bestaat hierin, dat het deze langzamer doet plaats hebben. De uit de vloeistof komende molekulen kunnen niet meer ongestoord tot groote afstanden voortvliegen, maar geraken weldra in botsing met gasdeeltjes; wel wordt de laag onmiddellijk boven de vloeistof spoedig met den damp verzadigd, maar de verdere verspreiding van dezen laatsten moet door een langzame diffusie plaats hebben. Uit de medegedeelde beschouwingen kan men afleiden dat het maximum van spanning boven een waterige zoutoplossing kleiner is dan boven zuiver water. De deeltjes van het zout trekken nl. de watermolekulen aan en gaan dus de dampvorming tegen, terwijl zij het terughouden van molekulen die weer in de vloeistof komen bevorderen. Wij zullen op dit onderwerp nog terugkomen. Ook sommige vaste lichamen kunnen in hun geheel verdampen, of, terwijl zij gedissocieerd worden, een gasvormig bestanddeel afgeven. Boven ijs of boven een kristalwaterhoudend zout heeft de waterdamp een bepaald maximum van spanning en hetzelfde is het geval met het koolzuur dat bij hooge temperatuur uit calciumcarbonaat ontwijkt. § 273. Koken. Bij dit verschijnsel ontwikkelen zich, zooals men weet, clampbellen in het binnenste der vloeistof of aan de wanden van het vat; deze bellen stijgen, terwijl zij aangroeien, naar het oppervlak op. Het ontstaan van een klein dampbelletje zal van een samenloop van gunstige omstandigheden afhangen, maar het is duidelijk dat zulk een belletje • alleen zal kunnen bestaan en grooter worden, wanneer de damp een druk kan uitoefenen, gelijk aan dien, welke in de omringende vloeistof bestaat. Was dit niet het geval, dan zou het belletje, samengedrukt door de vloeistof, weer verdwenen zijn, nog eer het zichtbaar was geworden. zooals ons nog nader zal blijken, aantrekkende krachten ondervonden, die de snelheid verkleind hebben. Bovendien zullen, als de damp een zuiger voortdrijft, de daartegen botsende deeltjes met kleinere snelheden terugkeeren, en in dit verlies aan kinetische energie zal ook de vloeistof deelen, daar deze in voortdurende wisselwerking met den damp staat. Zooals men weet, wordt de afkoeling bij de verdamping van een vloeistof zonder toevoer van warmte menigmaal toegepast. Bij de verdichting van damp tot vloeistof wordt evenveel warmte ontwikkeld als verbruikt wordt bij den omgekeerden overgang. Het verdient de aandacht dat, aangezien een gram water, wanneer het bij de standvastige temperatuur van 100° in damp overgaat en daarbij een zuiger langzaam voortdrijft, een arbeid van 1660 X 10° eigen (40 cal.) verricht, de „vrije energie" met dit bedrag moet afnemen (verg. § 246). Terwijl dus de „inwendige energie" in den damp grooter is dan in de vloeistof, is het omgekeerde waar van de vrije energie. § 275. Nuttig effect van een stoommachine. Wanneer men bij het in Fig. 212 (§ 241) voorgestelde stoomwerktuig de spanningen (in dynes per c.M8; in den ketel en den condensator door en voorstelt, en het volume dat door den zuiger doorloopen wordt v c.M3 bedraagt, is de arbeid bij een zuigerslag (p1 —j>s) v ergen. De hoeveelheid warmte die aan den stoomketel moet worden medegedeeld, is echter veel grooter dan hieraan beantwoordt. Zelfs is die hoeveelheid ffrooter dan —— ° E (E mechanisch aequivalent der warmte-eenheid), want, behalve dit aantal calorieën, moeten wij nog warmte toevoeren om het inwendige arbeidsvermogen te leveren, dat de damp meer heeft dan de vloeistof. Bij de verdichting van den stoom in den condensator komt nu de laatstgenoemde hoeveelheid warmte weer geheel te voorschijn en bovendien nog de hoeveelheid die beantwoordt aan de snelheidsvermeerdering der molekulen bij hunne botsingen tegen den naar beneden gaanden zuiger. Zijn de absolute temperaturen Tx = 273 -f- 144 = 417°, Ta = = 273 + 20 = 293°, dan is = 4,05 X 10° (4 atm.), P,= = 2,4 X 104. Om 1 gram water uit den condensator te verhitten tot de temperatuur van den stoomketel, en het vervolgens in damp te doen overgaan, zijn, daar de verdampingswarmte onder de aangenomen omstandigheden 505 cal. bedraagt, G29 cal. noodig. Het volume van 1 gram verzadigden waterdamp, in den stoomketel gevormd, is 440 c.M3. Daaruit volgt dat de verrichte arbeid per gram stoom (405 — 2) X 104 X 440 = 18 X 10s ergen bedraagt, waaruit men kan afleiden dat slechts 7°/0 van de toegevoerde warmte in arbeid wordt omgezet. Het nuttig effect van een volkomen omkeerbare calorische machine die tussclien de boven onderstelde temperaturen werkte, T, — Ta 417 — 293 124 zou -Lp—1 = = 4T7' dus ongeveer 30 /0 bedragen. Men ziet hierdoor de stelling bevestigd dat het nuttig effect altijd kleiner is dan het bij een volkomen omkeerbare machine zou zijn. Intusschen verdient het opmerking dat de machine waarop Fig. 212 betrekking heeft, een zeer slechte zou zijn. In werkelijkheid kan men wel een grooter nuttig effect bereiken. § 276. Verband tusschen (le danipspanning en de temperatuur. Wanneer zich in een cilinder onder een zuiger een vloeistof bevindt, die ten deele in damp is overgaan, zoodat er een evenwichtstoestand bestaat, kan men dit stelsel een kringloop van Cahnot (§ 248) doen ondergaan, en de formule (1) van § 249 toepassen. Door nu te onderstellen dat de temperaturen Tj en T8 oneindig weinig van elkaar verschillen, is men tot een belangrijke formule geraakt. Is nl. T de absolute temperatuur, p de dampspanning, welke grootheid, zooals wij reeds weten, een functie van T is, ^ de verhouding tusschen gelijktijdige oneindig kleine aangroeiingen der beide grootheden, v, het volume der massaeenheid vloeistof, v3 dat der massaeenheid damp, r de verdampingswarmte, eindelijk E het mechanisch warmteaequivalent, dan is: d p E r dT = T(t>, — »,) () Deze betrekking is door tal van metingen bevestigd. Beschouwen wij b.v. water van 100°. Dan is vi = 1642 c.M3, v1 = 1 c.M3 en T = 373. Om ~ uit de waarnemingen te vinden merken wij op dat bij 100° p = 1,0139 X 10° en bij 101° p = 1,0507 X 10" is. Mocht men aannemen dat over een interval van een paar graden de aangroeiingen van den druk evenredig met de temperatuurverhoogingen zijn, dan zou = = (1,0507 — 1,0139) X 10° = 3(5800 zijn. Trekt men echter den druk bij 99° af van dien bij 100°, dan verkrijgt men 35800, zoodat de bedoelde onderstelling niet geheel juist is. De werkelijke waarde van bij 100° is 36300. Substitueert men dit, met de andere opgegeven getallen, in de formule, en stelt men r = 537, dan vindt men E -- 415 X 103. Deze uitkomst is een merkwaardige bevestiging van de vergelijking (1) van § 249. Dat zij iets afwijkt van de vroeger voor E opgegeven waarde mag aan waarnemingsfouten worden toegeschreven. Een kringloop, bestaande uit twee oneindig kleine isothermische en twee eveneens oneindig kleine adiabatische veranderingen, en waarbij wij aan- nemen dat steeds zoowel vloeistof als damp aanwezig blijft, kan op dezelfde wijze als de kringloop van een gas graphisch worden voorgesteld. Men krijgt dan ïig. 224, die, wat de plaatsing der letters aangaat, met Fig. 215 (p. 3S6) overeenstemt. De lijnen A B en C D zijn hier reelit en horizontaal, daar bij een uitzetting of samendrukking bij standvastige temperatuur de druk niet verandert. De adiabatische lijn B C loopt ook nu naar beneden, want als het volume wordt vergroot, zonder dat van buiten warmte wordt aangevoerd, zal de temperatuur dalen en dus de druk afnemen. Ofschoon de lijn krom is, kunnen wij het oneindig kleine deel ervan dat wij noodig hebben als recht beschouwen. Hetzelfde geldt van de lijn A D. De uitwendige arbeid wordt door den inhoud van den vierhoek A B C D voorgesteld, die als een parallelogram kan worden opgevat, dus door het product van A B en B E, wanneer wij 13 E loodrecht op O V trekken. Nu is AB de volumevermeerdering bij de isothermische uitzetting, die wij, daar zij oneindig klein is, d r zullen noemen, en B E is het verschil van de waarden die de druk p heeft bij de temperaturen 1?! en Ij. Deze zijn oneindig weinig van elkaar verschillend; wij zullen hun verschil door cl T voorstellen en onder dp de daaraan beantwoordende verandering van den druk verstaan. De arbeid wordt dan W = dp dv. Is E het mechanisch warmteaequivalent, dan is dus de in mechanisch arbeidsvermogen omgezette hoeveelheid warmte ^ W Aan den anderen kant kunnen wij een uitdrukking voor Q, opstellen. Daartoe berekenen wij, hoeveel water er verdampt bij de door A B voorgestelde uitzetting. Stel, dat 1 gram verzadigde waterdamp bij de dan bestaande temperatuur het volume r.2 en 1 gram water het volume i\ inneemt, dan zou, wanneer 1 gram verdampt, het volume met vt — r, toenemen. Het is echter met d v toegenomen en er is dus d v gram r, ° water verdampt. Noemen wij nu r de verdampingswarmte, dan wordt Q, = -^ (5) De verhouding van (4) en (5) is het nuttig efl'ect. Aan den anderen kant kan men dit, als men T, — T2 door d T en T, door T vervangt, voorstellen door cTT T' Men komt aldus tot de boven medegedeelde betrekking (3). § 277. Verband tusschen het smeltpunt en den druk. liet evenwicht tusschen een vast lichaam en de vloeistof die daaruit door smelting ontstaat, heeft veel overeenkomst met dat tusschen een vloeistof en een damp. Is het stelsel aan een gegeven druk p blootgesteld, dan kunnen de twee phasen alleen bij een bepaalde temperatuur T, die men het vriespunt of smeltpunt noemt, naast elkaar bestaan. Voor water en ijs onder den druk van één atmospheer is deze „evenwichtstemperatuur" 0°; dit is dus de temperatuur van smeltend of vochtig ijs. Wanneer men het stelsel aan een hoogeren druk blootstelt, wordt het smeltpunt verhoogd of verlaagd; hoe het hiermede gesteld is, is gebleken met de verandering van het volume bij de smelting in verband te staan. Vele stoffen zetten zich bij de smelting uit, en deze smelten onder vergrooten druk eerst bij een hoogere temperatuur. Water daarentegen zet zich uit als het bevriest; het volume neemt dan met ongeveer 9°/0 toe (waarbij, zooals bij vele verschijnselen blijkt, tegen uitwendige lichamen een groote kracht kan worden uitgeoefend). In verband daarmede staat nu dat het vriespunt van water bij verhooging van den druk verlaagd wordt. De veranderingen in het smeltpunt die door de voor ons bereikbare drukkingen worden teweeggebracht, zijn altijd zeer klein. Blijkens het bovengezegde is het smeltpunt T een functie van den druk nien kan even goed zeggen dat omgekeerd de druk een functie van de temperatuur is. Houdt men eeu mengsel van ijs en water juist op 0°, dan kan het alleen in evenwicht zijn, als de druk 1 atmospheer bedraagt. Is dit niet het geval, dan zal de druk van zelf 1 atmospheer worden, als men het stelsel aan zich zelf overlaat, tenzij de omstandigheden zoo mochten zijn, dat al het water stolt of al het ijs smelt. Verbeelden wij ons b.v. het mengsel in een vat van onveranderlijk volume besloten, dat het wel geheel vult, maar waarin het een druk kleiner dan 1 atmospheer uitoefent. Dan zou de temperatuur, die wij op 0° stellen, iets lager zijn dan het vriespunt dat aan den werkelijk bestaanden druk beantwoordt; immers, het vriespunt is des te hooger, naarmate de druk lager is. Er zou dus eenig water bevriezen en, daar de stof zich hierbij uitzet, zal de vloeistof worden samengeperst en de druk verhoogd worden. Op dezelfde wijze zal, als de temperatuur een weinig van 0° verschilt, zoodanige druk ontstaan, dat weer de temperatuur juist het smeltpunt onder dien druk is. De overeenkomst tusschen het evenwicht dat wij nu beschouwen en dat tusschen water en damp gaat zoo ver, dat voor de betrekking tusschen den druk p en het smeltpunt T (absolute temperatuur) een formule geldt, die dezelfde gedaante heeft als de vergelijking (3). Die formule kunnen wij schrijven in den vorm d T = T (\~ dp (0) Üi r Hierin is het volume der massaeenheid vaste stof. es dat der massaeenheid vloei"tof, en r de smeltingswarmte (§ 13(5). Blijkens deze vergelijking beantwoordt aan een aangroeiing van den druk (dp positief) een verhooging of verlaging van het smeltpunt (d T positief of negatief), naar gelang p3 > of < v, is, zooals boven reeds werd gezegd. Voor water en ijs is: T = 273, v, = 1,09, vg — 1,00, r — 79; men vindt dus: d T= —7X ÏO"9 dp. Neemt men nu aan dat de evenredigheid van de vriespuntsverandering met de drukvermeerdering ook nog doorgaat wanneer deze laatste 1 atmospheer, d. w. z. een millioen dynes per c.M2 bedraagt, dan vindt men voor de vriespuntsverlaging bij een drukverhooging van l atmospheer 7 X 10 9 X 10° = 0,007 graad. Deze uitkomst is door de waarnemingen op bevredigende wijze bevestigd. Uit de bijzondere eigenschap van het ijs die wij hier leerden kennen, kunnen verschillende verschijnselen verklaard worden. Wanneer men b.v. een dunnen koperdraad over een stuk ijs van 0° slaat, op dezelfde wijze als een koerd over een katrolschijf, en aan de uiteinden gewichten hangt, snijdt de draad door het ijs heen, maar wordt boven den draad nieuw ijs gevormd, zoodat bet blok ten slotte één geheel is gebleven. De draad oefent nl. op het ijs dat er onder ligt een druk uit, en brengt het smeltpunt daarvan iets beneden 0°; daar echter de temperatuur 0° is, zal het ijs smelten. Het gevormde water ontsnapt langs de zijden van den draad en komt daarboven, waar het geen druk van den draad ondervindt. Het vriespunt is daar weer 0°, maar aangezien bij het smelten eenige warmte is verdwenen, is het Boven den draad komende water iets kouder dan 0°; het zal' dientengevolge weer bevriezen. § 278. Samendrukking van waterdamp bij standvastige temperatuur. Wij keeren nu tot de dampen terug en zullen de verdichting daarvan tot vloeistof nader beschouwen. Stellen wij ons een gram waterdamp voor onder een zuiger in een cilinder, die voortdurend op een temperatuur van 100° wordt gehouden. Wij hebben den zuiger eerst zoo hoog opgeheven dat de damp een zeer kleinen druk uitoefent en drukken hem dan naar binnen. Aanvankelijk heeft de damp al de eigenschappen van een gas en gehoorzaamt op weinig na aan de wet van Boyle; bij verdere samendrukking neemt men evenwel steeds grootere afwijkingen van die wet waar. Men kan het verband tusschen het volume en den druk eindigt in het punt B, dat door zijne ligging het volume en den druk voorstelt, wanneer de damp verzadigd is geworden. Daar de dichtheid van den verzadigden damp proefondervindelijk bepaald is, kunnen wij aangeven hoeveel liet lichaam van de wet van Boyle afwijkt. Te dien einde merken wij op dat bij kleine dichtheden de regel van Avogadro van toepassing is, zoodat de relatieve dichtheid van den damp met betrekking tot waterstof door het halve molekulairgewicht wordt gegeven, dus = 9 is. In aanmerking nemende dat de massa van een c.M3 waterstof bij 0° en 760 m.M. druk Fig. 225. door een kromme lijn A B (Fig. 225) voorstellen, wanneer men de waarden van het volume door de abscissen en die van den druk door de ordinaten aangeeft (verg. § 242). De verkregen lijn (iso■ thermische lijn), die aan de rechterzijde asymptotisch tot O V nadert, 0,0000896 gram bedraagt, vindt men daaruit dat b.v. bij een druk van 1 m.M. kwik het volume van het beschouwde gram waterdamp 760 X 1,366 = ! 287 X 10° c.M3 9 X 0,0000896 ' is. Ging nu de wet van Boyle door, dan moest het volume van den verzadigden waterdamp 760 maal kleiner zijn, d. w. z. 1690 c.M\ Het is echter slechts 1640 c.M3, d. w. z. 3% kleiner. Vergeleken met waterstof van dezelfde temperatuur en spanning, is dan ook de dichtheid van den verzadigden damp niet meer 9 maar 9,3. In de figuur verraadt zich de afwijking van de wet van Boyle door de gedaante der lijn A B. Bij hetzelfde punt A beginnende zal deze bij B iets lager komen dan bij volkomen geldigheid van de wet het geval zou zijn. De beschreven afwijking kan hieruit verklaard worden, dat naarmate de molekulen op kleinere afstanden van elkaar gebracht worden, de aantrekkende krachten, die naderhand de verdichting tot vloeistof zullen bercerken, meer en meer in het spel komen. Het kan ons niet verwonderen, dat deze krachten het volume kleiner doen worden dan het bij denzelfden druk zijn zou, wanneer zij niet bestonden. Drukt men, nadat de damp eenmaal verzadigd is geworden, den zuiger nog verder naar beneden, dan heeft een verdichting tot vloeistof plaats, die geleidelijk voortgaat, tot dat bij een bepaald volume alle damp verdwenen is. Gedurende dit gedeelte der samendrukking heeft de nog aanwezige damp aanhoudend dezelfde dichtheid; daar ook de spanning constant blijft, volgt op A B een rechte lijn B C, evenwijdig aan de as der abscissen. Het uiteinde C van dit stuk ligt op een afstand van OP, 1600 maal kleiner dan BC; alleen door dien afstand sterk vergroot voor te stellen konden wij in de figuur den verderen loop der lijn volgens C D doen zien. Dit laatste gedeelte stelt de volumeverandering voor, die het vloeibare water nog ondergaan kan; wegens de geringe samendrukbaarheid loopt C D zeer steil naar boven. wordt, zelfs al ging dit met eenige vergrooting van O gepaard. Dan zal de vloeistof zich over het vaste lichaam uitspreiden, m. a. w. het „bevochtigen". Dat b.v. water over een goed gereinigde glazen plaat uitvloeit, is te wijten aan de sterke aantrekking die glas uitoefent; is de plaat vettig, dan wordt hij niet bevochtigd, omdat het vet het water daartoe niet genoeg aantrekt. Door kwik wordt, zooals men weet, een glasplaat niet bevochtigd; deze vloeistof neemt zelfs op een goed schoongemaakte plaat den vorm van een druppel aan. De min of meer bolvormige gedaante is dan het gevolg van de onderlinge aantrekking der kwikmolekulen, terwijl de zwaartekracht een afplatting van den druppel en een vergrooting van het aanrakingsoppervlak met het glas teweeg brengt. Trouwens, al bestond de zwaartekracht niet, dan zou de aanraking toch over zekere uitgestrektheid blijven bestaan, en het kwik zich niet geheel van het glas terugtrekken. De redeneering waardoor men dit uit de formule (9) kan afleiden, moeten wij hier laten rusten en wij vermelden alleen nog dat in alle gevallen waarin een vast lichaam en een vloeistof elkaar aanraken, en waarin niet een volledige uitspreiding plaat3 heeft, het evenwicht hierdoor gekenmerkt wordt, dat de vrije oppervlakken elkaar volgens een bepaalden, van den aard der lichamen afhankelijken hoek brandhoek) ontmoeten. Wil men de evenwichtsstanden in die gevallen onderzoeken, waarin ook de zwaartekracht een merkbaren invloed heeft, dan moet men bedenken dat, behalve de van de grootte der oppervlakken afhankelijke deelen, ook nog de potentieele energie tegenover de zwaartekracht tot de totale vrije energie — die een minimum moet worden — behoort. § 286. Opstijging en neerdrukking in capillaire buizen. Wanneer een enge glazen buis (haarhuis of capillaire buis) in verticalen stand met het benedeneinde in water wordt geplaatst, stijgt dit tot zekere hoogte daarin op, zooals dat in Fig. 230 is voorgesteld, waar S en a b de vloeistofspiegels zijn. Wij zullen aannemen dat het water den binnenwand goed bevochtigt, zoodat deze met een dun laagje vloeistof bedekt is, dat zich ver boven het zouten, door, maar verspert den toegang min of meer aan andere (icolloïden), b.v. aan eiwit. Men kan daarvan gebruik maken om de eerstgenoemde zelfstandigheden van de laatste te scheiden, een bewerking, waaraan men den naam van dialyse geeft. Ook tusschen de snelheden waarmede een opgeloste stof en het oplossingsmiddel zelf door een wand gaan, bestaat dikwijls een groot verschil. § 294. Osmotische druk. Als dit onderscheid zoo ver gaat dat de opgeloste stof in 't geheel niet doorgelaten wordt, zullen wij van een hal/doordringbaren wand spreken. Men heeft dien o. a. verwezenlijkt door een potje van poreus aardewerk, dat vooraf, door verwijdering van de lucht uit de poriën, goed met water gedrenkt was, te plaatsen in een oplossing van geel bloedloogzout, terwijl het gevuld was met een oplossing van kopersulfaat. Elk kanaaltje wordt dan afgesloten door een klein tusschenschot van ferrocyaankoper en dit is het dat de bovengenoemde eigenschap heeft. In de opening van het aldus toebereide potje wordt nu een verticale en aan het boveneinde open glazen buis waterdicht bevestigd, zoodat een hoog vat ontstaat, waarvan het potje het benedenste gedeelte uitmaakt. Omringt men vervolgens het potje met zuiver water en vult men het met een oplossing van deze of gene stof, b.v. van rietsuiker, dan blijkt het dat, terwijl de suiker niet naar buiten kan gaan, het water naar binnen wordt gedreven. De vloeistof stijgt nl. in de buis omhoog, maar daardoor ontstaat een drukverhooging in het vat, die na eenigen tijd evenwicht maakt met de krachten die het water naar binnen drijven. liet drukverschil dat ten slotte tusschen de vloeistoffen aan weerszijden van den half doordringbaren wand bestaat, noemt men den „osmotischen druk" der oplossing. Hoeveel water nu door den wand is heengedrongen, hangt van de omstandigheden af. Was het potje, nadat men het met de suikeroplossing gevuld had, aan de bovenzijde gesloten, dan zou reeds de doorgang van zeer weinig water den druk genoeg verhoogd hebben om het verdere indringen te beletten. Dat ook aan weerszijden van halfdoordringbare wanden van anderen aard, onder dezelfde omstandigheden, een drukverschil ontstaan zal, mag men verwachten en heeft men ook werkelijk waargenomen. Vit het in het begin van § 235 gezegde kan men nu afleiden dat de osmotische druk onafhankelijk is van de bijzondere eigenschappen van den half doordringbaren wand dien men bezigt. Verbeelden wij ons nl. (Fig. 233) een buis B, waarvan de wand geheel ondoordringbaar is, en 233 die door halfdoordringbare platen P ✓-V 7*77 .7 J - M en U van verse nu vennen aara tu- gesloten, met een oplossing gevuld en in horizontalen stand in zuiver water ondergedompeld. Men ziet gemakkelijk in dat, wanneer de osmotische druk voor de plaat P niet even groot was als voor de plaat Q, geen evenwicht zou kunnen ontstaan. Werd b.v. bij P een grooter drukverschil voor het evenwicht vereischt dan bij Q, dan zou de vloeistof aanhoudend door P naar binnen en door Q naar buiten stroomen, en buiten de buis weer naar P terugkeeren. Daar er toch altijd eenige wrijving is, is dit onmogelijk. § 295. Wet van va» 't Holt'. Bij zeer verdunde oplossingen wordt de grootte van den osmotischen druk bepaald door een regel dien men aan Prof. van 'tHokf te danken heeft. Om dien te verstaan moet men terugdenken aan de wet van Avogauro (§ 223), volgens welke bij een bepaalde temperatuur door een bepaald aantal gasmolekulen, in een gegeven ruimte aanwezig, steeds dezelfde druk wordt uitgeoefend, onverschillig met welk gas men te doen heeft. De osmotische druk van een verdunde oplossing nu gelijk aan den druk dien een gas bij dezelfde temperatuur zou uitoefenen, als het in de volume-eenheid zoovele molekulen bevatte, als er molekulen van de opgeloste stof in de volume-eenheid aanwezig zijn. Men heeft b.v. gevonden dat de osmotische druk van een l°/0 rietsuikeroplossing bij 15° C. 0,68 atm. bedraagt. In 1 liter dier oplossing komt voor 10 gram rietsuiker en, daar het molekulairgewicht daarvan 342 bedraagt, zou een hoeveelheid waterstof, die evenveel molekulen bevat, gram bedragen. In een ruimte van 1 liter gebracht, zou deze laatste gasmassa bij 15° C. een druk van 0,69 atm. uitoefenen. Wij moeten hierbij vermelden dat er vele afwijkingen van de wet van van 't Hoff zijn waargenomen; wij zullen evenwel in de eerstvolgende § § daarvan afzien. § 296. Molekulaire beweging eener opgeloste stof. Hoe is de merkwaardige gelijkheid te verklaren, die in de wet van van 't Hoff wordt uitgedrukt ? Wij weten dat de druk vau een gas wordt teweeggebracht door de njtsingen der molekulen en dat de wet van Avogadro haar grond heeft in de gelijkheid, bij dezelfde temperatuur, van de gemiddelde kinetische energie der molekulen van verschillende gassen. Alles zou nu begrijpelijk zijn, wanneer mocht worden aangenomen: 1° dat de osmotische druk wordt teweeggebracht door de botsingen van de deeltjes der opgeloste stof tegen den halfdoordringbaren wand, 2° dat de werking dier botsingen op dezelfde wijze als de druk van een gas bepaald wordt door het arbeidsvermogen van beweging der molekulen, en 3° dat de gemiddelde kinetische energie van een molekuul der opgeloste stof even groot is als die van een gasmolekuul bij dezelfde temperatuur. Er is veel dat voor dit laatste pleit. Theoretische beschouwingen die hier achterwege moeten blijven, hebben tot de uitkomst geleid dat de gemiddelde kinetische energie vau een molekuul in den eenen aggregatietoestand even groot is als in den anderen, als zij maar bij dezelfde temperatuur vergeleken worden. Hoewel die beschouwingen nog niet zooveel bewijskracht hebben als men zou kunnen wenschen, geven zij toch een krachtigen steun aan de derde hypothese, wanneer het noodig is, deze ter verklaring van 't bedrag van den osmotischen druk in te voeren. Dat verder deze druk door de botsingen van de deeltjes der opgeloste stof wordt veroorzaakt, kan wel is waar bezwaarlijk in het algemeen worden aangenomen, maar zou toch waar zijn bij een wand van een bijzondere structuur. Men kan zich nl. een uiterst dnnne vaste schijf verbeelden met zoo vele openingen of liever met zoo weinig vaste stof daartusschen, dat hij elk watermolekuul doorlaat, maar aan de deeltjes der opgeloste stof (hetzij omdat die te groot zijn, hetzij omdat de wand ze op een afstand afstoot) den doorgang verspert. Tegen zulk een wand zou het water in het geheel niet drukken. De deeltjes der opgeloste stof daarentegen zouden er tegen botsen en men kan aantoonen dat zij daardoor een druk zouden uitoefenen, die op dezelfde wijze als de spanning van een gas van de kinetische energie der molekulen afhangt. In werkelijk voorkomende gevallen is allicht het mechanisme geheel anders. Het is mogelijk dat de wederkeerige aantrekking tusschen de molekulen van het water en van de opgeloste stof de hoofdrol speelt. Deze kan eensdeels de deeltjes der opgeloste stof uit de grenslaag naar het binnenste trekken en hen aldus beletten bij den vasten wand te komen; aan den anderen kant kan de aantrekking ten gevolge hebben dat het water, aangetrokken door de opgeloste stof, zoo lang naar de zijde o-edreven wordt waar deze zich bevindt, tot een drukverschil o van bepaalde grootte ontstaan is. Onder zekere vereenvoudigende onderstellingen kan men ook nu alles berekenen; men vindt dan weer dat de osmotische druk ten slotte bepaald wordt door de molekulaire snelheid der opgeloste stof. Trouwens, wanneer de stelsels molekulen van dien aard zijn, dat er van zelf een evenwichtstoestand ontstaat, moet de grootte van den osmotischen druk bij eiken half-doordringbaren wand dezelfde zijn (§ 294"). Alles samengenomen mogen wij wel in de wet van van 't Hoff het bewijs zien dat de gemiddelde kinetische energie van een deeltje eener opgeloste stof even groot is als die van een gasmolekuul bij dezelfde temperatuur. Het wordt op deze wijze mogelijk, voor elke opgeloste stof de gemiddelde snelheid der molekulen te berekenen en verschijnselen te bestudeeren, die daarmede samenhangen. Als voorbeeld daarvan noemen wij hier de diffusie. Is een oplossing op de eene plaats meer geconcentreerd dan op de andere, dan zal de molekulaire beweging dit verschil doen verdwijnen; zelfs zou dit zeer snel gebeuren, als niet de molekulen der opgeloste stof telkens door een watermolekuul werden tegengehouden. De snelheid der diffusie hangt af van de molekulaire snelheden en de engte van den weg dien een molekuul doorloopen kan vóór het tegen een waterdeeltje botst (verg. § 224); uit de waarnemingen kan men omtrent die lengte een schatting afleiden, die in bevredigende overeenstemming is met hutgeen wij omtrent de grootte en den afstand der molekulen weten (§ 282). § 297. Isotonische oplossingen. Twee oplossingen van verschillende stoffen die, bij gelijke temperatuur, denzelfden osmotischeii druk hebben, worden isotonisch genoemd; volgens de wet van van 't Hoff bevatten zij, als zij genoegzaam verdund zijn, in gelijke volumina evenveel molekulen der opgeloste stoffen. Om deze gevolgtrekking op de proef te stellen is het niet noodig, werkelijk osmotische drukkingen te meten; men kan zich van een eenvoudiger hulpmiddel bedienen. Wanneer, gescheiden door een half-doordringbaren wand, een oplossing van een stof A in evenwicht is met zuiver water, ontstaat aan de zijde van A een hoogere druk dan in het water. Lossen wij nu in dit laatste een zeer kleine hoeveelheid van een tweede stof B op, dan kan natuurlijk niet aanstonds het geheele drukverschil verdwijnen; het moet dus nog bestaan wanneer tegenover een oplossing van A een veel meer verdunde van B staat. Een drukverschil in omgekeerde richting zal er zijn, als de oplossing van B die van A zeer in sterkte overtreft. Zoo wordt het begrijpelijk dat er oplossingen van A en B gevonden hunnen worden van zoodanige sterkte, dat zij tegenover elkander in evenwicht hunnen zijn, zonder dat er een drukverschil bestaat. Dergelijke oplossingen vu zijn isotonisch. Om dit in te zien verbeelden wij ons een vat (Fig. 234) dat door de halfdoordringbare tusschenschotten P, Q en R in drie afdeelingen verdeeld is. In C bevindt zich water, in A een oplossing der stof A en in B een oplossing van B. Ten slotte is alles in evenwicht (§ 235). Noemen wij nu de drukkingen in de drie afdeelingen pa, pb, en pc, dan zijn de verschillen p„ — p,. en ph — pc de osmotische drukkingen. Deze zijn even groot wanneer p„=ph is, waarmede de stelling is bewezen. Fig. 234. waarin T het vriespunt van liet zuivere oplossingsmiddel is (absolute temperatuur), v het volume in c.M3 van 1 gram van het oplossingsmiddel, en r de smeltingswarmte in calorieën voor 1 gram. Voor water is v = 1, r = 79. Heeft men verder met een verdunde oplossing te doen, die op 100 gram water, dus in 100 c.M zooveel gram der opgeloste stof bevat als door c maal het molekulairgewicht wordt aangegeven, dan is e = 0,01c', en dus volgens (15) ^g^,. Den coëfficiënt 18,5 noemt men de moleculaire vriespuntsverlaging. Het verdient vooral opmerking dat blijkens de medegedeelde formule de vriespuntsverlaging alleen van het aantal molekulen der opgeloste stof afhangt, en dat dus isotonische oplossingen hetzelfde vriespunt hebben. Hoe men, door de vriespuntsverlaging te meten, met behulp van (15) c kan leeren kennen en dus, als men de concentratie kent, het molekulairgewicht der opgeloste stof kan bepalen, zal duidelijk zijn. Ook voor andere oplossingsmiddelen dan water geldt de formule (15). Door een opgeloste stof wordt altijd het smeltpunt verlaagd, onverschillig of het oplossingsmiddel zich bij het vast- worden samentrekt of uitzet. Zij (Fig. 236) R een ringvormige buis van overal gelijke doorsnede, die Fig. 236. met zijn vlak verticaal staat en waarin zich by A een halfdoordringbaar tussckenschot en van B tot C een stuk ijs bevindt. De ruimte tusschen A en B zij met een oplossing, die tusschen A en C met zuiver water gevuld. Terwijl wij aannemen dat het tusschenschot aan den wand der buis is bevestigd, onderstellen wij dat het stuk ijs zich bewegen kan. Dit wordt niet belet door de aanwezigheid der vloeistof in het overige deel der buis; immers, de wand A kan het water doorlaten. Wij houden nu dit stelsel op de standvastige temperatuur T (natuurlijk in de nabijheid van het gewone vriespunt) en toonen vooreerst aan dat er, bij een zekeren stand van het stuk ijs, mechanisch evenwicht mogelijk is. Te dien einde verstaan wij onder » het soortelijk gewicht van het water, onder »' het. gemiddelde soortelijk gewicht der oplossing tusschen A en B, onder r het soortelijk gewicht van het ijs, eindelijk onder A„, Ai en A, de verticale hoogten van de middelpunten der zeer kleine vlakken A, B en O boven het laagste punt der buis. Is nu nog p de druk in de oplossing bij B, P de osmotische druk, dan is — als er evenwicht bestaat — de druk aan de bovenzijde van A: p -j- (hb — ha) s', die aan de benedenzijde van A J) -|- {Jlb — ha) 3 P* en die in het punt C p (Jia — hc) S 4" (hb — ha) s' F. De druk in C overtreft dien in B dus met het bedrag (An — hc) s (Aê — ha) s en wij moeten onderzoeken, wanneer dit drukverschil evenwicht zal maken met het gewicht van het ijs. .... n ,„„j Het eenvoudigst is het, te bedenken dat het stuk ijs in eiken stand in evenwicht zou zijn, als het tusschenschot A er niet was en de geheele ruimte beneden het ijs gevuld was met een vloeistof, even zwaar als dl laatste, dus van hel soortelijk gewicht ff. Dan zou het drukverschil tusschen C en B zijn: J (Ai — hc) ff. De evenwichtsvoorwaarde is derhalve: (h„ — hc)« + (A* — ha) s' — P = (Ai hc) ff. ... . (16) Den tweeden term kan men zeer klein maken door A dicht bij B te plaatsen. Dan kan men in dien term s door s vervangen, zoodat (h — hc) (i — ff) = 0?) wordt. Daar nu i — ff positief is, is werkelijk een evenwicht mogelijk, waarbij het punt B, zooals in de figuur is voorgesteld, hooger ligt dan C. Onderstellen wij nu dat de in B bestaande druk p juist die is, welke bij de gekozen temperatuur T, noodig is voor het molekulair evenwicht tusschen de oplossing en het ijs. Zal dan de druk in C, die de waarde p -\- (hb — Ar) ff heeft, ook voldoende zijn om hier bij diezelfde temperatuur evenwicht te verzekeren? Of, m. a. w„ zal de temperatuur T juist het vriespunt van water onder den druk (18) zijn? , Was T hooger dan dit vriespunt, dan zou in C eemg ijs smelten; daar dit met een volumevermindering gepaard gaat, zou de druk kleiner worden en deze drukvermindering zou zich overal in het deel CAB der buis doen gevoelen. Dan zou dus in B het smeltpunt hooger worden dan de werkelijk bestaande temperatuur; daar zou dus eenig water bevriezen. Maar ook t evenwicht van het stuk ijs zou verbroken worden. Immers, het punt ü zou hooger komen, het punt B lager, en het verschil Ai — hc zou afnemen. Dientengevolge zou b (ii — hc)(s — ff)