' 0C + r) — d-
Na uitwerking kan men biervoor schrijven:
sin 0! (a cos p' + b cos q + r cos r) -f ros x (a sin p -f b sin q + f sin r) — d.
Stelt men nu
a cos p -f- b cos q c cos r — Q cos (f \ ^ _ . . ((l) a sin p -f- b sin q -f- c sin r —Q sin b
Nu «h — hi
4 ab moeten zijn.
De leerling losse nu op deze wijze eens op de vergelijking 3Uj ,v — 7 cot x = 11.
e. Ook kan men de oplossing van rievkantsvergeljkinc/m door het invoeren van een lmlplioek in een eenvoudigen logarithmischen vorm brengen. Zooals wij nl. spoedig zullen zien, leidt de oplossing van de vergelijking .r2 — px + <7 = 0
tot den vorm
-v = Vs P ± l'x VéJ»* ~ 1'
Onderstellen wij vooreerst p en q beide positie/. Wij schrijven dan verder:
«=V«p(1±|//l-
Zal x reëel zijn, dan moet q • mitsdien
cos U) .4-1
— |Sn ZLJ1_L . „ _ , . COSif — \
*in v ' -''2 — V(1 : ,
n ^ sin
= 1^,
waarbij de toekens weer tegengesteld moeten genomen worden
£ZTT +-? ("e"»i»*«• «—ï
handelde wijl o" "" V°lg0"d° op de be-
3 «2 — 5 x _j_ i __ o 5 .r* + 2 .r — 4 = 0
t Eindelek wi'len wij „og Iaten zic„ |loe ook ecn rf
|Waan,a" «» <** wortels
zijn, y«w,,e,mcl kan worde,, opgelost. Zij do vetgelijkina terugbracht tot den vorm "«eujnng
,ü3 — p.v -|- q = 0.
In de Hoogere Algebra wordt nl. aangetoond, dat men altijd den term met xl op een eenvoudige wijze kan doen verdwijnen.
Opdat de wortels alle bestaanbaar zijn, moet in bovenstaande vergelijking p altijd positief zijn, en verder {xUpf > 0/a nloet wezen> en P positief).
Aan deze vergelijking voldoen de waarden
3 , gaat men uit van de bekende formule
sin (p ± q) = sin p cos q ± cos p sin q.
Is nu
sin p — a ; sin q — b, dan is cosp = \y 1 — cos q — 1-' 1 — b-, en heeft men dus: sin (p ± q) = a l 1 — //2 ± b V 1 —• a!,
d.W.Z. p ± q — By sin [aV^ 1 — b* ± b VI — a'].
Maar daar p = By sin a en q = By sin b, zoo heeft men ten slotte:
B cos p volgt onmiddelijk met sin p = a, cos p — l — a 2 '•
2 Bg sin a = Bg sin 2a V 1 — «2.
Evenzoo volgt uit cos lp = 2 cos9p — 1 de formule 2 Bg cos a — Bg cos (2 «• — 1).
Eu kan men uit tg 2p = ——afleiden:
1 — tg'p
2a
2 Bg tg a — Bg tg —.
1 — a-
2A
Zoo is bv. 2 Bg tq V3 = B de ware grootte van dat complexe getal voor, de amplitude
zoodat simp bij (p = 0 zou naderen tot b/..* i — e .
15.Logarithmen van negatieve getallen. Periodiciteit en veelwaardigheid. Uit de betrekking <■'' — — 1 volgt, dat
zoo heeft 180° dus t radialen. 1 radiaal is derhalve =^- = 57° ruim.
7T
Wanneer wij nu onthouden, dat 180° — t radialen, dan kan men gemakkelijk alle andere voorkomende hoeken, die in graden zijn uitgedrukt, onmiddelijk in radialen uitdrukken. Zoo is 300'' = 2t, 90° = 1/2 n, 45° = i/4 00° -= Vs * radialen, enz. enz.
y*
U—\) = m
is. En derhalve is log (— 1) = A/in:, wanneer AI de modulus is van het BRiGGs'sche stelsel (= 0,4343, zie bl. 73). Hijgevolg zal, omdat
l°9 (— a) = 1°'.) {« X (— 1)} — L°'J a + L°9 (— 1)
is, ook log (— a) = log a -f- Mirt
zijn, waaruit wij zien dat de logarithmen van negatieve getallen imaginair zijn. (zie bl. 53).
Daar
x±2»i'ïr x x . x
e —ee — e (ros (± 2nx) i sin (± 2n.t)) = e (1 -f-0),
zoo hebben wij dus :
x x-\-2niix » = « ,
waarin n alle waarden van 0 tot x hebben kan.
En daar p = el^'\ derhalve ook = exl(P'±2"™ _ e ^ Kp) I is, zoo is algemeen :
2n is.
Kp) 1
Daaruit volgt echter, dat de logarithmen, zijnde de inverse uitdrukkingen van de ex ponen tieele, veelwaardig zullen wezen, evenals de cyclometrische betrekkingen, die het inverse van de goniometrische waren.
Uit
X X -f- 2MlK
a — e — e —
volgt nl. :
*l(a) — x ± 2«/.t ,
wanneer wij door *l(a) de veelwaardige Nep. 1o<ï. van u aanduiden. Derhalve is
*l(a) — l(a) ± 2nin.
wanneer l(a) éen dezer oneindig vele */(«) is.
Evenzoo zal uit
2«rr
X ''
a=p =p
volgen:
2nin 2>tL-r
Derhalve is in liet hriggs'sciic stelsel :
*/w7 n = Z017 ± il/. 2wvr ,
daar '/<(io) — M(= 0,4343) is.
Is n imaginair, dan kunnen wij a altijd herleiden tot den
vorm o (cos en dus
*1\q (cos ) -f~ ^ -/"-"r •
waarin nu 1(q) de gewone reëele Nep. log. van den modulus 9 is, en
= + 1, p — i, etc. is, ook : L *• . , ) , . u a* *5 i
+ • |ï-re+o.M5-eH =
= cos x -f- i sin x.
Door gelijkstelling der reëele en imaginaire gedeelten in beide leden (zie Deel I, blz. 190) verkrijgen wij dus:
X XS X5
i sin x ■=. 1 Pf n
J 1 1.2.3 ^ 1.2.3.4.5
/ i 'v* 1 'v*
I cos x = 1 etc
] 1.2 ^ 1.2.3.4
Deze reeksen convergeeren, evenals de reeks voor/, voor alle mogelijke waarden van x. (de leerling late dit ten overvloede nog eens zien). Zij dienen, 0111 van de opeenvolgende hoeken sin. en cos. te berekenen. Ook voor tg x kan een reeks worden afgeleid, maar deze is veel ingewikkelder, en zullen wij hier niet ontwikkelen. Evenmin de reeksen voor log sin., log cos. en log tg., welke alle in de Hoogere Algebra worden afgeleid ').
') Zie o.a. Seruet, Traité de Trigonometrie, 4ii:'nie edit., p. 2'J'J.
Uil de bovenstaande reeksen blijkt duidelijk, dat I>ij x — 0 .sin. v tot x nadert en co.sx tot 1. \ oor Is ziel men, dat
H'UI ( ,t) — .sin x wordt, daar de reeks voor .sinx niet
dan oneven machten van x bevat. Maar co.s ( x) blijft co.sx vanwege de even machten in de reeks voor cos x.
Moet men nu bv. sin JO' berekenen, bv. in 5 decimalen
.T
nauwkeurig, zoo bedenke men, dat 1° = radialen is, derhalve zal
~10' = Va -1 (fj + TFo (0 - ™
zijn. Nu is ~= 0,1745329, (0 = 0,0053166, (0 =
= 0,0001620, terwijl ^ (j^) reeds minder dan 1 X 10"
is. Wij kunnen dus met slechts drie termen volstaan, en verkrijgen:
sin 10° = 0,1745329 - 0,0008861 -f 0,0000013 = 0,1730481,
derhalve in 5 decimalen nauwkeurig 0,17365.
Daar de reeksen sterk convergeeren, zal men ook voor grootere hoeken nooit veel termen noodig hebben.
17. Reeksen voor Bgtgz en Bgsinz. Uit de reeksen
e>x — cos ,v -)- i siti x f—i* — cos x — i sin x,
waarvan de tweede ontstaat, door in de eerste voor x te schrijven —x, volgt door deeling onmiddelijk :
COS iV i sin x 1 -f- i tg x '' cos x — i sin x 1 — i tg x
Bijgevolg zal
2.„ = i'+''*"•
1 — i tg x
zijn, of tg x = z stellende, zoodat x == Bg tg s wordt:
1 ,14-iz
/
Nu zagen wij op bi. 70, dat
ll±A = 2(s + is. Vervangen wij nu hierin z gtgr>/,2» en 2 Bg tg %2 = Ji en de hieruit voortvloeiende reeks is nog beter dan de voorgaande. De leerling berekene er Jt in 7 decimalen nauwkeurig mede.
Daar de reeks voor Bg t 1, derhalve Bl.
Een reeks voor Bg sin x kan op de volgende wijze worden verkregen. Wij zagen op bl. 107, «lat
n w(»2 —1) . w(n8— l)(w8—9) . ,
= 123 T.2 3.4.5
welke reeks voor geheele waarden van n alleen bruikbaar is, wanneer n oneven is, omdat de reeks dan een eindig aantal termen bevat. Maar de reeks geldt niettemin voor alle. waarden van n; alleen wordt dan evenals bij de binominaalreeks — liet aantal termen = oo. Schrijven wij:
sinv.v , «"—1 . . ("'—!)("" •') . 5 i
- - = «« ,■ - 12 -- «* * + 13 3 4 5 — » - etc"
dan wordt dit l»ij n = O, waarbij sin nx in nx overgaat:
12 12.32 i2.3-2.52 1,2.3™"' * 1.2:3:4.5 ~'*+ iAUSAJ™"T • • •
Stelt men nu sin x = z, dan verkrijgt men ten slotte: 1 1.3 zr> 1.3.5 z' ,
B9 ,;n + y y + 274 y + ïas T tetc"
welke reeks zal convergeeren voor alle waarden van c > — 1 en -f-1, en ook voor z — ± 1. (Zie bl. 43, Vr. 2).
Wordt in de verkregen reeks voor z de waarde 1 gesteld, zoo verkrijgen we, aangezien Bg sin 1 = V2 n (= 90°):
1 1.3 1.3.5
,/2„==i+_ + __ + _r^+...
E11 stellen wij z = '/2, dan ontstaat, daar Bg sm Vg — = '/„*(= 30°): '
1 1 1 ^ 1,3 1 , 1 3-5 1 1
Vb.t — — -"g" +2.4.5 '32 2.4.6.7 '128
welke reeks zal convergeeren voor alle waarden van c > — 1 en <[ 1, en ook voor z — ± 1. (Zie bl. 43, Vr. 2).
Wordt in de verkregen reeks voor z de waarde 1 gesteld, zoo verkrijgen we, aangezien Bg sin 1 = V2 n (= 90°):
waarvan vooral tic laatste reeks tamelijk sterk convergeert, in elk geval veel sterker dan die van Lkii;mtz.
18. Veelwaardigheid der eenheidswortels. Wanneer een complex getal a -f- hi, dat onder den vorm t>{cos(f-{-isineot
11
(—p)e macht verheven, weer een 1/1 oplevert. Dit is over-
« , n , ?j
eenkomstig de eigenschap (l/l)-''' = 1/(1) '' = 1/1. Maar liet volgt ook van zelf uit bovenstaande goniometrische voor-
tl
stelling van l/l.
Neemt men den eersten ne" wortel, den zg. primitieven d.w.z. dien, welke gevonden wordt, door <-3^ + ; (MT + *X360-X
Zoo hebben wij bv.:
1^ - 1 = (90°), (270°) =r ± i.
11 ~ 1 = (60°), (180°), (300°) = i/8 ± '/Qti^3 en - 1.
~ 1 =(45")'(135°);(225c),(315°)=1/al^ 2±'/8ti^-2(450eii31ór)
e" — l/j 1^2 ± i/2t 1^-2 (135° en 225°).
n
Thans geeft elke V—1, tot een oneven macht verheven, weer een anderen 1^—1. Want (l^—lf is alleen dan
11
— wanneer p oneven (positief of negatief) is. Ver¬
heft men V— 1 tot een even macht, dan ontstaat een 1^1. Vermenigvuldiging geeft nu alleen dan een nieuwen wortel, wanneer het aantal factoren oneven is.
Nemen wij weder den primitieven wortel, zoo kunnen uit
dezen wederom al de andere V— 1 worden afgeleid. Zoo heeft men bv. bij de f— 1, dat «2 = «,\ «3 = af, «4 = «,7, «-^«i9. En hieruit volgt, dat bv. et, X «; X «3 = «j9 = «5 is.
Uit het bovenstaande volgt ook, dat V— 1 alleen bij
oneven n i'en reëele waarde heeft, nl. — 1 ; cille «andere wortels zijn wederom imaginair.
Stellen wij de eenheidswortels in een cirkel met den straal 1 meetkundig voor, dan zien wij dat bv. de vijf V ± 1 door de hoekpunten van een regel matigen 5-hoek worden aangegeven, waarvan hij jKl het lc hoekpunt bij
72°=1/5 X360° ligt, terwijl dit bij V— 1 bij 36° = V5X-180° zal liggen. Evenzoo worden de vier ± 1 door de hoekpunten van een regel matigen 4-hoek aangegeven, waarvan bij p 1 het le hoekpunt bij 90° ligt, en bij P^—l bij 45°. Enz. Enz.
Aan de hand van een dusdanige meetkundige voorstelling (de leerling teekene deze telkens) kan men nog velerlei eigenschappen illustreeren.
a. Zoo zullen bij even wortels de eene helft der wortels altijd het tegengestelde zijn van de andere helft, overeen-
2» 2h
komstig de eigenschap, dat Va — ± 1 ya is. De straal, behoorende bij den eenen wortel, zal dan in het verlengde liggen van den straal, welke bij den anderen wortel behoort. Zon liggen b.v. bij t^l (90°) en (270°), (180°) en (360°) in eikaars verlengde. En bij & — 1 (45°) en (225°), (135 )
en (315c).
c
Bij V 1 zal men hebben «4= —omdat«4=aiX«3 en
=—1 is. Evenzoo is dan «3 = a.2 X «s = — "2; ('nz-
G
Bij — 1 beeft men «4 = «17 = «1 X "i'' = — öi> omdat rt!0 =— 1 is; enz.
/>. Verder zullen de imaginaire wortels altijd paarsgewijze eikaars omgekeerde zijn. De correspondeerende hoekpunten van den veelhoek liggen in dat geval vertikaal boven elkaar. Immers daar cos 1p -f- i sin «2 X «4 = «iL0 = 1. (zie boven).
6 6
Hetzelfde bij i/l en \/—1, wat de leerling zal laten zien.
c. Ook toone hij aan, dat overeenkomstig de eigenschap ^—1 = — alle 1Y-I verkregen worden, door het tegengestelde te nemen van de ïKl.
"
d. En dat elke Vl ook een 1 zal zijn; maar een
n )m
\y '1 alleen dan een —1, wanneer p oneven is, anders
p»
weer een 1/ 1.
e. Ook, dat ingeval p en q ondevTnuf ondeelbaar zijn, alle
f-i p
\ ' 1 worden verkregen, door alle V 1 te vermenigvuldigen
1 v) — 0, of x = 0 en x + p = 0, zoodat de wortels zijn x — 0 en x = —p.
Ontbreken eindelijk \> en ± V" l/4 — y.
Deze formule moet uit liet hoofd worden geleerd. De leerling brenge haar onder woorden.
Een vierkantsvergelijking heeft dus altijd twee wortels, d.w.z. waarden van x, die aan de vergelijking voldoen.
De uitdrukking V4 j>z — q noemt men de discriminant der vergelijking.
Van de waarde daarvan hangt liet af, of de wortels reëel, dan wel imaginair zijn.
Is ]/4 ))"* qt dan zijn beide wortels reëel » < q, „ „ „ „ imaginair.
In het geval, dat l/4p-juist =q is, vindt men x=— i/2p ± 0, d.w.z. twee gelijke wortels — 1/i p.
Zoo zal de vergelijking x* — 3x + 2 = 0, waar V4 — q = — J/4 — 2 positief is, twee reëele wortels hebben; daarentegen de vergelijking x3 + x -f- 1 = 0, waar 1lipi — q = = '/4 — 1 negatief is, twee imaginaire wortels. De vergelijking 6.t'-f-9 = 0 eindelijk, waar l/4/r—17 = 9—9=0 is, bezit twee gelijke wortels, nl. — 3.
Is de bekende term q negatief, dan is natuurlijk V4/>«—q altijd positief, en zijn derhalve de wortels in dit geval steeds reëel.
Opmerkingen. 1. Heeft men de vergelijking ax2 -f-bx-\-c= 0 niet tot den vorm x3 p x + — b/a en j = c/« te stellen. De discriminant wordt dan b'2 — 4 ac, en hangt liet van de waarde van dezen vorm af, of de wortels reëel, imaginair of gelijk zijn. Het spreekt van zelf, dat dit op geheel liet zelfde neerkomt als liet bovenstaande,
want h% — 4ac — 4a'21 — --1 = 4«'2 ('/4 p% — q), waarin
4ac altijd positief is.
2. Zijn de wortels imaginair (complex), dan zijn ze altijd ,geconjugeerd'' of „toegevoegd" imaginair, d. w. z. is de eene (i bi, dan is de andere a — bi.
3. Voor de zg. „goniometrische" oplossing, welke echter in de praktijk wel bijna nooit zal voorkomen, zie men bl. 123—124.
Wij willen nu de vraag beantwoorden wat er gebeurt, wanneer de coëfficiënt van x, id. a, hoe langer hoe kleiner wordt, en tot 0 nadert.
Maken wij daartoe gebruik van den vorm (zie boven)
*=k\-h±b\/l-iï\-
Hierin is nu ——' zeer klein t. o. v. 1, derhalve kan geschreven worden:
zoodat de eene wortel .i'i nadert tot
c
x\ — Tl
O
terwijl de tweede wortel ,c2 (met liet — teeken overeenstemmende) nadert tot
b c x — —,
a b
d. w. z. tot oo, wanneer a tot 0 nadert, (-f- oo bij negatieve b, — 00 bij positieve b, wanneer n positief wordt ondersteld).
10
Van de beide wortels wordt dus de eene hoe langer hoe meer gelijk aan dien der + ^ V ■V2 35 — VtP — ^ lu p'2 — 'n graad. Zoo kan men doorgaan, en aantoonen, dat er inderdaad n wortels zijn, en dat de gegeven vorm P deelbaar moet zijn door x — xi, x — x.2, .. x — xn, waarna er een getal, nl. a, overblijft. Voor P„ kan dus geschreven worden :
De boven afgeleide eigenschap \an het eerste lid van een vierkantsvergelijking is dns slechts een bijzonder geval van een zeer algemeene eigenschap.
Die eigenschap zegt, dat elke vorm P„ van den ne,t graad
ontbindbaar is in n factoren van don eersten graad. En die factoren zijn bekend, zoodra de wortelt der vergelijking pn = 0 bekend zijn.
Nu kunnen er onder die wortels zeer goed meerdere imaginair zijn, zoodat ook de factoren niet alle reeel behoeven te wezen. (Onder de reëele factoren kunnen er natuurlijk meerdere aan elkaar gelijk zijn). Theoretisch kan dus elke gelieele vorm in factoren worden ontbonden ; practisch niet altijd.
Keeren wij na deze uitweiding tot onzen tweedengraadsvorm terug. Wij zagen, dat indien de wortels bekend zijn, ook de factoren kunnen worden opgeschreven. Maar omgekeerd zullen uit de factoren ook de wortels bekend zijn. Heeft men bv. de vergelijking x~ — 7#-f-12 = 0, dan ziet uien onmiddelijk, dat het lc lid kan ontbonden worden in ix _ 3) _ 4), zoodat de wortels 3 en 4 zullen zijn. Dit komt echter geheel op het zelfde neer of men de wortels op liet oog bepaalt (zie boven) door toepassing der eigenschappen .1'] .t'2 = — l>> x\ + x-i — ?•
Ontbinden wij als toepassing van het bovenstaande den
vorm
2.v2 + S.v — 7
in factoren. Voor de wortels der vergelijking + 5 = 0 vindt men door middel van de formule :
x = % (-3± V9 + 56) = Vé (- 3 ± ^ 65)-
Men heeft mitsdien :
2,r3 + 3a- — 7=2 L'- — Vit— 3 + 1/ 65)] |> —7*(—3 — V65)] = = Ys (4.f + 3 — \/ 65) 3 —(— 1/ 65).
Dat deze uitkomst juist is, kan men hieruit zien, dat (4,i' -f- 3) + V 65, vermenigvuldigd met (4® + 3) — l 65, oplevert (4.<* —(— 3)'- — 65 = 16.i.,J —J— 24.c 56 = 8(2,c~-|-3lf ^).
De gegeven vorm heett alzoo onmeetbare factoren, welke in de praktijk evenmin als factoren worden beschouwd als imaginaire.
4. Vraagstukken. Los nu de volgende vierkants vergel ijkingen op.
1. x2 — 3.v 1/ 2 — — 1 -|- ï/" 6.
2. (2 -f- 1/ 5) ,?;2 + (3 4-21/ 5) x — (ft 4- 31/ 5) = 0. (Deel eerst door 2 —|— \/ 5).
3. x |/5 — 10 1/x — 2 = - 2 1/5. (Zonder 10l/« _ 2 in éen lid af, en verhef daarna in het vierkant; denk aan het invoeren van wortels: gegeven wortel uitdrukkingen worden nl. altijd positief ondersteld).
4. [ — 8 -f x l 2 (xl — 1)| = ,v* + 111. (Antwoord : -f 17
en — 7 i).
o. 1/2.?; 1 + l' 3,r -f 1 — 7. (Breng éen wortel over naar het 2B lid).
G. V h.v - 6 ± \' '.ïv i- 7 = l^ilT+TC (Welke waarden voldoen hij -j-, welke bij —?).
7. 1/20* + 1 ± V/"3^+~4 = 1^7.® — 3. (Id.).
8. V \2x + 1 ± »/ 4.>: + 1 = ± l' 21./+ 22. (Maak 4 teekencombinaties).
9. + 1 ± 1/4»; — 3 = ± 15.i? + 4. (Id.).
10. ax~+7> + caT+d ~: l/px + q.
Voorbeeld van oplossing. Zij gegeven de vergelijking f Tx + 72 ± 1/ 2a + 2 = ± 1/ 6.T+~7.
Verhef beide leden in het vierkant; dit geeft:
9x + 74 ± 2 1/14,r- + 158.» -f- 144 = 6,?; + 7, of ±2 1^ 14.^ + 158.« + 144 z= — (3.»; 4- 07). Nu nogmaals in het kwadraat verheffende, verkrijgt men :
50«2 4- 032,1- 4- 570 = 9x- 4- 402.?; + 4489, of 47.j;- 4- 230,7; — 3913 = 0.
Hieruit vinden wij:
— 115 ± 1^ 13225 + 18391T — 115 =fc 444 47 ~~ 47
derhalve x = 7 en x — — H42/47 .
Door de twee achtereenvolgende kwadraatsverheflingen kunnen wortels zijn ingevoerd. Snbstitueeren wij derhalve de gevonden waarden in de gegeven vergelijking. De waarde 7 geeft:
121 ±i^"l(i = ±i^49, of 11 ± 4 = ± 7.
Deze waarde voldoet derhalve alleen bij 11 — 4 = + 7. De waarde — 11+-/47 geeft:
l/- ll«/*7 ± 21»7/*7 = ± ^-04^7 '
of door — V47 deelende:
1/ 529 ± 1024 = ± 1/ 3025,
derhalve 23 ± 32 = ± 55.
De negatieve waarde voldoet dus alleen bij 23 —)— 32 = — 55. Wij vinden alzoo ten slotte:
1 bij —1—[- voldoet alleen x — — H^/47 ' bij 1- ,, ,, x — 7
I bij + — en bij voldoen geen waarden van .r.
11. «4 — 13#'3 -f- 36 = 0. (Dit is een vierdemachtsvergelijking „van den tweedemachtsvorm"; stel x'2 = y).
12. 2 xy.v -(- Vx = 35. (Stel 1y'x = y, en denk er aan, dat xy.v niet negatief mag zijn, daar deze altijd in een gegeven vorm positief wordt ondersteld).
13. (.r — 3)"' + (7 — ar)5 = 244. [Schrijf voor (7 — x):' in de plaats — (x — 7)5, en stel .v — 5 = y (waarom?)].
14. x — 6K.® — \yx'iz=0. (Voer gebroken exponenten in, en deel door «Vs. Waaraan moet men dan denken?).
15. (x — l-'x)± + (x - V = 20.
16. Sx Vx2 + 15 — 5 +15 = 2.
1 _|_ 2 Vx 2 —
17. —- 1 = 373- (Stel de le breuk —y).
2 — Vx ' 1+21/x 13
18. x4 — 2.u3 -f x = 30. (Stel x3 — x = y).
19. 1* '(« + xf + 10 If(a — xf — 7 v (aï _ x2y
(Stel i a -f x = /?, i' « — ,v — ^ en ontbind daarna liet 1' lid der „op ü herleide" vergelijking, d.w.z. waarvan het 2'" lid = 0 gemaakt is).
20. (.v2 — 10,k -|- 17)--(- 3(.» — 5)2 = 28. (Stel .r9--10.* + \l=y)
21. (« 4)' ■ 5 («3 _ 8,0 = 94.
22. 1' 2xl — 3.v + 4 -f 2,i,'2 = 2 + 3,1'.
23. (x - 1) (6 — .v) (x — 9) (4 - x) z= 21G. (Stel x — 5 = y).
24. Wat is de waarde van V {2 -f- v'[2 -f V 2 -}- i> {2 +.. .}]j?
Oplossing, btel de vorm = x, dan is blijkbaai x — 1-2 + .v. (waarom ?) Hieruit volgt -v = 2. Wat wordt de waarde, wanneer 2 door 6 wordt vervangen?
25. Wat is de waarde van (W2)(V*)y 2)'? (Zie Vr. 24. De oplossing voert tot V.» = i^2, derhalve x = 2).
Dit vraagstuk geeft tot een zeer merkwaardige gevolgtrekking aanleiding. Heeft men nl. algemeen « = an" ,
dan is dus x = a, derhalve Vx = a. Nu is ^1 = 1; |K2 = 1,41; lK3 = 1,44; J^4 = 2 = 1,41; 1^5= 1,38;
10
1 10 = 1,26; enz. Dit nadert dus weer tot 1 (zie bl. 55). (Later zullen wij zien, dat het maximum bereikt wordt bij x — *>). Nu zou men dus kunnen denken, dat
M4 ' =3; 1,41 =4; enz., zoodat men de tegenstrijdigheid zou zien ontstaan, dat 1,411,41 tegelijk 2
X
en 4 zou wezen, naarmate men V x beschouwt als
2 4
1 2 °f als l- 4. Het spreekt van zelf', dat slechts éen uitkomst juist is, en wel x = 2. Men moet nl. altijd
X
bij de oplossing der vergelijking l/x =. a van de twee mogelijke waarden van die daaraan voldoen, de kleinste nemen, d.w.z. die, welke e is.
De grootste waarde, die men aan a kan geven, is 1/ e = 1,445; dan geeft 1,445',44'' tot uitkomst de waarde
X
e = 2,718. Een grootcre waarde, aan a = Vx gegeven, voert onmiddelijk tot een onmogelijke uitkomst voor x. In werkelijkheid is x dan echter — go ; men mag nl. in
dit geval de vergelijking x = aa" niet meer oplossen als x = a . Want is x oneindig, dan is a = oo van een oneindig hoogere orde, en kunnen de beide x onmogelijk de zelfde waarde hebben, wat toch in bovenstaande oplossing werd ondersteld. Alleen dan, wanneer
e
n"" eindig blijft, en dat is zoolang a V e (= 1,445),
mag men stellen x = a. Het komt er dan nl. niet op aan of éen a (de eerste) in de oneindige reeks wordt weggelaten.
X X X ^ X
26. —-—- = . (Deel beide leden door .v -|- 1/ x ;
x—Vx 9
waarom mag men nu #-j-l/x niet = U stellen? E11
x-\-Vx 9
waarom zou men bij de oplossing van —- =
X X X ~~~ X
den vorm x — Vx niet = 00 mogen stellen ?).
De volgende exponentiaalvergelijkingen leiden alle tot vierkantsvergelijkingen.
2-1 2+3
27. V 1296 :1/ 46656 = 6. (Welke machten van 6 zijn de getallen onder de V-teekens ?).
,-1-1 42—'i
28. 625a+2: 15625'">x~4 — 0,04.
29. 4r+2 + 4**~s = 260. (Stel 4* of 41"-1 = y).
4
30. loq x3 — — 1. (BuiGos'sche log.).
lot7 x'z
31 = *. (id.).
32. *b*x-*b*'+l=l. (id.).
/B i 2\^ ^+2)
33' (i+2ji = 0'001' zoo zal noodzakelijk, wanneer axs -f- bx -f c een vierkant is, wl = x2 moeten wezen, (en ook a een vierkant).
Nu is de voorwaarde voor gelijke wortels b2 — 4at.? en dit kenmerk kunnen we dus in het bovenstaande vraagstuk toepassen.
(Ook buiten de gelijke wortels om weet men, dat zal ax* + bx -f <• een vierkant zijn, b = 2Ka.Kc moet wezen, derhalve b2 = 4«c).
Nu kan men voor de gegeven vormen schrijven :
(b2 + q2) x2 -f 2 (ah -f pq) x -f. (rt2 en (c2 -f- r4) x2 -f- 2 (ac -f pr) x -f (a2 -f- p2).
Derhalve zal (ab+Pq)* = (b* + q*)(a*+P\ en eveneens (ar -f pr)2 (c3 + r2) (a2 -f ;>«) zijn. Uit de 1« vergelijking volgt 2abpq=za2q2-\-h2p2, en uit de tweede 2acpr=a2r*+c*p2. Mitsdien is (aq — bP)2 = 0 en (ar — cp)2 = 0, 0f
— — — en — =—, waarvoor men ook kan schrijven b q c r
a:b: c — p: q:r.
Zal nu ook (c2 + r') + 2 (bc -f- qr) x -f- (b2 4- q'2) een vierkant zijn, dan moet (bc + qr)2 — (c3 + r2) (b2 -f- q2) wezen, of 2bcqr = b-r2 c2q~, hetgeen leidt tot br = eg of b:c = q: r, hetgeen met het bovenstaande in overeenstemming is].
5. Vergelijkingen van den tweeden of hoogeren graad met meer dan éen onbekende. Alles komt hier neer op het oordeelkundig' elimineeren van onbekenden, zoodat men ten slotte éen vergelijking in oplosbaaren vorm overhoudt. Wij kunnen niet anders doen dan door eenige Voorbeelden — ieder een bepaald type vertegenwoordigende — laten zien hoe men in de meest voorkomende gevallen handelt. Nog meer dan vroeger zij men thans op zijn hoede niet het invoeren of verduisteren van wortels.
a. S.v — 2y = 4 ; x2 + 2xy — 3y2 - - 5.
In dit geval, wanneer nl. éen vergelijking van den eersten graad, en éen van den tweeden is, lost men een der onbekenden uit de eerste vergelijking op, en substitueert de waarde daarvan in de laatstgenoemde vergelijking, aldus :
y — i/2 (3.« — 4) ; x3 + x {3x — 4) — % (Sx — 4)3 - 5.
De laatste vergelijking geeft, na vermenigvuldiging met 4, en herleiding op 0, de vierkantsvergelijking 11,y2—56,t'+ 68 = 0, waarvan de wortels zijn x=2 en 3Vn* De daarmede overeenstemmende waarden van y zijn y=1 en 213/22, zoodat we ten slotte twee stellen waarden hebben, die aan de gegeven vergelijkingen voldoen, nl. x=2, y = 1 en x = 3'/n, y — 2l3/22.
b. (.«3 + x2y + xy3 + ,ya) (.v + !l) = 1225
— x2y + xir — f') (,l' — y) — 25.
1<= Oplossiny. Men kan de le leden dezer vergelijkingen verder ontbinden, en schrijven :
(x + >/)- (xs + >r) = 1225 ; (
y _ 3, 4, _ 3, - 4 y = 3ï, 4i, - 3i, - 4i |'
evenals hoven. Daar het dubbele teeken van x + y in geenerlei verband staat met het dubbele teeken van x — y (beide door wortel trekking ontstaan), zoo krijgen we door teekencombinatie telkens 4 waarden.
Wij vinden dus acht stellen waarden voor x en y. De beide vergelijkingen waren elk van den vierden graad, dus had men in het gunstigste geval 4x4 = 16 stellen waarden kunnen verwachten. Dat men slechts de helft van dat aantal vindt, komt daardoor, dat de beide vergelijkingen een factor -j. y3 gemeen hebben, welke na deeling wegvalt, (zie de Ie oplossing). Daardoor ontstaat er een vergelijking van den 2U" graad, welke gecombineerd met een der beide gegeven vergelijkingen, 4x2 = 8 oplossingen zal leveren.
Heeft men algemeen een vergelijking P = 0 van den pKn graad, een Q = 0 van den qün graad, een R = 0 van den j,un graad, enz., dan kan men hoogstensp X 'j X '' X • • oplossingen verwachten.
Immers men kan zich het le lid P der eerste vergelijking altijd ontbonden denken in p factoren P\, P$, • • • P,, van den lun graad; evenzoo het 1° lid Q der tweede vergelijking in q factoren Qu Q2, . . . Q,, van den 1™ graad; enz. Wij hebben derhalve ook :
px = 0, P.2 = 0 ... Pp = 0 ; Qi = 0, Qa = 0,... Qq = 0 ;
Rt = 0, R, = 0,... Rr = 0 ;.. .,
en nu ziet men gemakkelijk in, dat elk der eerste [> vergelijkingen, gecombineerd met elk der tweede q vergelijkingen, met elk der derde r vergelijkingen, enz., in het geheel )> X (j X r X • • • stellen oplossingen zal geven, die P, Q, R, enz. = O maken. Heeft men bv.:
t\ = ü, l\2 = U ; Qi — 0, = 0 ; Rx = 0, R2 = 0, A'3 = 0,
zoo zal men achtereenvolgens hebben: P)=0, Ql=0, Ri = 0;
l\=0, Q, =0, Ri=0; P=0, Qi=0, Rs=0; P =0, Q2=0, Rl=0; enz. enz.; in het geheel dus S X 2 X 2 -— ^2 stellen vergelijkingen van den eersten graad, derhalve ook 12 stellen waarden, die P= Px X Pi, Q=QiX Qt, R= Ki X l'zX alle = 0 zullen maken.
C* •'•2 ~ H' = 8/s 'rï! i — .'/ — 2/ri .vy.
Deelintj geeft ojimiddelijk x + y = 4, zoodat de vraag is teruggebracht tot de oplossing van
.V - y = 2/3 ; .1' -f y — 4.
Yeriieft inen die vergelijkingen beide in liet kwadraat, en trekt ze daarna af, zoo vindt men:
ixy— 16 — */g .«V, bijgevolg «2«/2 + 9a7/ — 3ti = 0,
waaruit voortvloeit xy = 3 of — 12.
Daardoor wordt x — y = 2 of — 8, en dit gecombineerd met z'-|-y=4, levert de oplossingen x=3,y=l en x=—2, v/=6.
Er is gedeeld door x — y =; ^1% xy. Daardoor zijn dus die waarden van x en y verduisterd, welke x — y en 2/3 xy gelijktijdig = 0 maken, d.w.z. x — 0, y = 0.
Immers schrijft men voor de eerste vergelijking A f1— BQ, en voor de tweede P = Q, dan voldoen hieraan niet alleen de waarden welke aan A = B, P= Q voldoen, maar ook de waarden, welke aan P= 0, Q = 0 voldoen. Dit wordt nog duidelijker, wanneer men voor de eerste vergelijking schrijft AP —BQ = 0, of daar Q = P, ook AP—BP= 0, of (A B) P = 0. De tweede vergelijking wordt P— Q — 0. Volgens het boven behandelde splitst zich dit stel dus in A—B = 0, P — Q = Q en P=0, P— Q = 0, d.w.z. P= 0, Q = 0.
In voorbeeld b) werden bij de eerste oplossing ook twee vergelijkingen op elkaar gedeeld, maar daar de tweede leden bepaalde getallen waren, kan men die in een dei- vergegelijkingen niet = 0 stellen. Er werden dus daar geen waarden door de deeling verduisterd.
Evenmin werden er bij dit Vraagstuk c) door de kwadraatsverheffingen waarden ingevoerd. Want die dienden alleen om door aftrekking de waarde van xy te vinden. Van de in het kwadraat verheven vergelijkingen zelf is geenerlei gebruik gemaakt. Daar x — y = 2/3 xy van den
tweeden graad is, en x -}- // = 4 van den eersten graad, zoo konden bij de oplossing van dit stel 2 paren waarden voor x en y verwacht worden. Inderdaad vindt men na de kwadraatsverheffing, enz. 2 stellen waarden, en ook daaraan kan men zien, dat geenerlei waarden zijn ingevoerd,
d. x~> + y~' = B3 ; x -|- y = 3.
Deeling geeft:
— xsy -}- .»2//3 — .iv/3 -(- y* — 11.
Verheffen wij nu de tweede der gegeven vergelijkingen tot de 4U macht, zoo wordt deze:
.o* -f~ 4x3y öx2y2 -|- 4xy3 -j- y* = 81.
Derhalve vindt men door aftrekking der heide laatste vergelijkingen:
5 i^y + «V + .Vif) = 70,
Of xy (x2 -f xy + y2) = 14.
Nu is (x -f- ,'/)3 = 9, derhalve x2 XH + H' — 9 — xy, en wij vinden:
xy (9 — ry) =14,
welke vierkantsvergelijking levert: xy ~ 2 of xy = 7.
Daardoor wordt x2 xy y2 = 7 of 2, derhalve zal na aftrekking van 3 xy = 6 of 21 ontstaan {x—,'/)8 = 1 of —19, dus x — y=± 1 of ±/19. Combineert men dit nu met dan vindt men ten slotte:
l.c = 2, 1, Vs(3± tV-'ll»)
\y = 1, 2, Va (3 =F t V19).
Men had de waarden van x en y ook kunnen vinden, door (x -f- y)1 — 9 te verminderen met 4.ry = 8 of 28, gevende (x — ƒ/)- = 1 of — 19; enz.
Zoo zonden wij nog tal van voorbeelden kunnen uitwerken, die alle weer van de voorgaanden verschillen, wat methode van oplossing betreft. Bij alle verschil hebben de oplossingen toch zeer dikwijls dit gemeen, dat men ten slotte de vraag -terugbrengt tot de oplossing van x ± y — a, xy — h.
Dit doet men dan altijd, door de 1° vergelijking in het
11
kwadraat te verheffen, en daarvan 4xy = 4b af te trekken (of op te tellen). Zoodoende krijgt men (x zF y)~, waarna
men door worteltrekking vindt x — y = ± iSa* 4b (of
x y = ± l/a2 -f- 4b).
Heeft men x3 -f- y2 ei' •»y, dan zijn ook onmiddellijk (x -f yf en (x — yf, derhalve x + y en x — y bekend.
En uit x -f- y en x — y vindt men door optelling en aftrekking x en y afzonderlijk.
De leerling zal in de nu volgende Vraagstukken ruimschoots gelegenheid tot oefening vinden. De herhaaldelijk bijgevoegde wenken dienen gedeeltelijk tot vingerwijzing, wanneer de oplossing niet voor de hand ligt, gedeeltelijk ook om een bepaalde oplossing op den voorgrond te stellen.
6. Vraagstukken.
1. x -f y — r>/6 xy ; x — y = >/6 xy. (Elimineer y of xy).
2. x2 + y~ = 10 x = 5 y. (Druk y in x uit).
3. x2— y2 = 40 ; xy — 21. (Verhef de lu vergelijking in het vierkant, enz.).
4. xy -|- x = 12 ; xy — y = 5. (Optellen en aftrekken, xy naar het 2e lid, enz.).
5. x2 — y2 = 48 ; x2 -f" xy -f- y'2 =z 48. (Stel de le leden aan elkaar gelijk).
6. x* y* = 609 ; 3 (x y) — 7 (x — y). (Druk y in x uit).
7. xy = 12 ; xz = 20 ; y» = 15. (Vermenigvuldig de vergelijkingen met elkaar).
8- (* -f »/) (« + y + «) = 42 ; (x -f *) (x + y + z) = 35 ;
(9 + *) (* + y + *) = 21. (Tel de vergelijkingen op). 9. a'3 -f- y3 -)- s3 = 371 ; x -)- 2y ■= 7 ; 4,« — 3y z — 2. (Druk y en z in x uit).
10. # + y*-z* = 3 (x + y) = 3 '/2 (* 4- z) — 41/5 (y + *). (Id.).
11. a-2 -f 3/2 — *2 4- 2 xy = 48 ; ,r2 — y2 — s2 -{- 2 ys = 24 ; x + y + * = 8. (Ontbind de 1" leden der le en 2e ver-
- gelijking).
12. x2 — xy = 21 ; x2 + y2 = 65.
Oplossing, x (x — y) = 21 en (x — y)"3 = 65 — 2 .«y geven xi (65 — 2 .si/) = 441. Maar x2 — 21 -f .«?/, zoodat men de vergelijking (21 + xy) (65 — 2xy) = 441 verkrijgt, d.w.z. een vierkantsvergelijking in xy. Enz.
13. (« + 2)(y+7) = 30; # = 4. (Stel x + 2 = p,y + T=q).
14. a-2 + ,vs — -2 = 22 ; x (y -f- z) = 15 ; x + y + z = 8. (Schrijf •« + (.'/ + •*) = 8, en combineer dit met x(y + s) = l5).
15. x _ y = 1 ; x* + y* = 337. [Verhef de le vergelijking tot de 4e macht, en trek van de 2e vergelijking af; vergelijk daarna met (•« —I-
16. x — 2z = 2 ; 2y + 3^ = 9 ; x2 — xy -f 2y2 = 22.
(Druk y in x uit).
17. xy — x — y = 5 ; ** — v» — * = 11 ; yz — y — z— 1. (Tel bij beide leden telkens 1 op; enz. Zie verder Vr. 7).
?/ *vz y z
18—=18; — = 2; — = 4x/2. (Vermenigvuldigen).
z y x
19. (.«2 + f) (x + y) = 131/3 xy ; {x* — y*) (x2 — y2) = 711/,, x2y". [Deel de vergelijkingen op elkaar, en elimineer daarna xy; dit geeft 2 (x2 + y2) (x + y) = 5 (.e2 — y2) (x — y), of
2 (x2 + y2) = 5 (x — y)s = 5(.«2 + y2) — 10 xy, derhalve
3 _|- y%) = 10 xy. Dit gecombineerd met de le vergelijking, geeft x -f y = 4. Enz. Enz. Denk vooral aan de verduisterde wortels].
20. x2 + xy = 144 ; y2 + xy =112. (Tel op).
21. x3 — y* = 2V3 (x ~ y)3 ; xy = 4. (Deel de beide leden der le verg. door x — y. Enz.).
22. x2 + y V xy = 70 ; y2 + a «y = 105. (Stel x =p,
y = q, ontbind de le leden, en deel; zoodat q in p wordt uitgedrukt).
23. Xiy + xy2 = 108 ; xs + ys = 737. [Bereken (x + y)3].
24. x2 — xy -f y2 = 19 ; loy x + loy y = 1.
25. a,2«/-|-= 36 ; .f2-|-4'+ / = 433 ; .« -f y — 12. (Verhef de 2" vergelijking tot de 3- macht, eu bepaal daarna xy).
28. x-y -f xy* = 30 ; x*y2 + x*y* = 468.
29. x -f- y + z — 9 ; xy = 6 ; xz — 8. (Tel de laatste twee vergelijkingen bij elkaar op, en schrijf voor de i« * + 0/ + z) = 9).
30. x + y = 4 ; (x2 + //2) (.«3 + ,/) — 280. (Deel de 2« vergelijking door de le, en vergelijk de uitkomst met (x -f y)2 ; er komt een vierkantsvergelijking in xy).
31. x2 4- y2 -)- c- = 38 ; x -\- y -\- z =. 10 ; xy = 6. [Verhef de 2e vergelijking tot de 2« macht, trek daarvan de 1® vergelijking af, en maak gebruik van de 3C vergelijking; zie verder Vr. 291.
32. X2 + y2 -f «S _ 54 ; x _j_ y g _ 10 ; (a;-\-y)z= l0\/sxy.
33. x2 y- = x -f y — xy. (Dit is terug te brengen tot x y — 1, x y — xy ; bepaal daarna xy).
34. xs -f y3 = X2 -f- y2 = x -f y. [Dit geeft x2 -- xy -f y2 — 1, dus X2 -f y2 = 1 -f xy. Derhalve is ook x -\-y — \ -f xy.
Verhef dit in het vierkant, en maak daarna weer gebruik
van x2 4- y2 = 1 -f ,cy\.
35. 'd*~l + i"+l = l9; 3c+2-42'/-, = 77. (Stel 3*"1 =p en 4'/_1 = q).
36. Vx~+y -f\ '.v—y = 4 ; 3y-f 1^2,0 — 3,1/= 2l^C. [Na kwadraats verheffing komt er ^ xl—>fl — 8 — x en i 4,v2 — 9»/* =12 — 2x, gevende 16# = 04 -f y2 en 48.7; = 144 + 9:y2. Enz.].
37. x2 (x 3) -f yz (,'/ — 3) = 40 ; x* -4- y2 -f- xy (x -f- y) = 99. (Vermeerder de V vergelijking met 3-maal de tweede).
38. Vx + 3 — V'' y + 1 = 1 ; x — y = 35. (Stel x + 3 = p en Vy + 1 = q)-
39. .r2 + xy + y2 = 7 ; + *z + * = 21 ; y2 + y2 + *2 = 28.
[Aftrekking geeft x (y — s) + (y3 — z2) = — 14 en z{x — y) + (x2 — y2) — — T, of (y—z)(x-\-y-\-z) — —14 en (.v — y) (x -f y + *) = — ?. Stel .« + y + * = p, dan heeft men dus py — pz= — 14 en px—py = — 7, bijgevolg 2py — p (•« -}-«) = — 7 of 2;>?/ _ p (p — y) = — 7, derhalve 3py = p2 — 7. Verder is alzoo 3pr = p2 + 7 en 3p.e — p2 — 28. Substitutie in bv. x2 -f- xy -f- y® = 7 geeft dan een vierkantsvergelijking in p2. Enz.].
40. + y + * = 6 ; .t2 + y2 - ~~2 = 12 ; .*» + f + _ 3Ü. [Verminder de 3e macht der le vergelijking met de 3e vergelijking, de 2e macht der 1K vergelijking met de 2e vergelijking, en deel].
41. x Vx + lyy°- — 4a- ; Vx + l*y = 2/3 «. (Stel V'x — p en y — q, en elimineer q).
42. 2.«2 -f .ry -f 3y2 = 72 ; 3«2 — 2.ey -|- y2 = 59. [Telt men de 2« vergelijking bij 2-maal de le op, dan komt er &-2-f-y8=29. Dit afgetrokken van de 2e, geeft x(x—y) = 15 of (x2 — 2xy -J- y'?) = 225. Daar nu x2 = 15-)- xy en x2 -f y2 = 29 is, zoo komt er ten slotte de vergelijking (15 -f xy) (20 — 2xy) — 225. Enz.].
43. (x2 + y2) (x -y)= 148 ; (.r2 - y2) (x + y) = 288. [Deeling geeft x2 -j- y2i uitgedrukt in (.<■ y)~; hieruit kan men gemakkelijk x* -f- y2 in x — y uitdrukken. Enz. Men kan ook onmiddelijk na deeling y in x uitdrukken, enz.].
44. x:> - f — 31 (x — y); -f y"° = 11 (x + y). [Na vereenvoudiging zal men door aftrekking vinden xy(x9-f y2) = 10, en door optelling x* x2y2 -f yl' = 21. Enz.].
45. (.•3 -f f) (*" - r) = 637' (*3 - f) (*2 + y2) = 925(Aftrekking geeft x2y2 (x — y) = 144. Nu is x3 — y3 = = (x — y):i — 3xy (x — y) en x2 -)- y2 = (x — y'f + 2xy, zoodat men gemakkelijk xy kan bepalen. Enz.).
46. 4- yz + ~*9 = 84 ; « + y + « = 14 ; f _ ,r-. (Door combinatie van (1) en (2) verkrijgt men xy-\-.cz-\-ys = 50. Tengevolge van (3) wordt dit y (x 4- y + g) — 56. Enz.).
47. .*2 +y* -J- r2 = 89 ; x 4- y + 2 = 13 ; y« — xz.
48. A'2 4- y2 4-p* 4- q* — 65 ; ,„4- y — 7 . p -j. q _ 8 ; xy _p(j
49. .r3 4- y3 4-^s 4- qü = 252; x + y = 5 ; p + q = 7 ; xy ~pq. [Bedenk, dat (x + yf — «s 4, y3 4. 3.Fy ^ + ^
50. .t,24-y2-f;)24-ï3==145; a,4_y4.p4_?_.2i; Xy~pq — 20. (Men vindt gemakkelijk (x 4- y) (p 4- q) — 108. Verder is (■" + .'/) 4~ (p + 9) = 21 ; enz.).
51. («3+y8) — (p24-98)=45; «v + ^+i»4-<7=15; xy=pq=8. (Verhef .r + y = 15 — (p 4- ?) tot de 2* macht).
52. .i'3 4" 4" P3 H~ 73== 819; x 4- y -\-p 4- (J=- 21; xy~pq-=24. [Bedenk, dat (.® 4~ .V 4~ P 4" q)3 = (.« -)- ,y)3 4~ (p 4~ q? +
+ 3 (* + y) (p + y)(* + y+p + q) = «8 4- y3 + />3 4- 4- y) 4- enz.].
53. X3 4- y3 4- p3 4- ^3 _ 1820 ; y2 4. ^ 4_ qi _ 170 . « + y 4- /> 4- ? = 20 ; «y = pq. [Combinatie van (1) en (3) in verband met (4) geeft ®y + (* + y)(p + q); van (2) en (3) id. 2«y4-(« + y)(p4-j). Enz.].
54. (*3 4- y3) — (P3 + f) = 868 ; (.v2 4" y2) — (p2 + 3 — 3p) = ?• Optelling geeft 2 (p5 + q3) — 6 (p + q) = p + q of 2(p*—pq+q*) = 7.
Aftrekking geeft 2(/>3 — q3) — 6(p — q) — — (p — q) ot
2(p3+i"7 + < _//"+" _ n_cm_^
•v"= ; y" ~~ 2 ~~ Pm
wanneer a + h + cm door f wordt vervangen. En hieruit volgt:
U = x' p" ; — y" J ™ . n m
Of ~?l p , c =: p ,
7 mn
/"+" ; //" _ '«+« _"•+» . '« _ »+n
•f r » — z p .
Door optelling vinden wij alzoo, daar a'" + />'" _f_ c" weer = pm is:
mn mn mn mn
r,n+" + + ^«+«
hetgeen de verlangde betrekking is.
7. Wederkeerige vergelijkingen. Dit zijn vergelijkingen die de eigenschap bezitten, ,■ een wortel is ook
lx een wortel zal zijn.
Wij zullen bewijzen, dat wanneer de coefficienten der \ ergelijkmg van voren naar liet midden toe dezelfde of liet tegengestelde zijn als die van achteren naar het midden, dat dan de vergelijking een wederkeerige is.
ti- ^ij in de eerste plaats :
+ b.y} -f c.,:3 -f c.i:8 -f />.ff -f a = 0.
^ei\anBt men hierin ,v door i/x, en vermenigvuldigt niet f ' ,n /iet men terstond, dat de oorspronkelijke vergelijking terugkeert. 7* is dus een wortel, wanneer x er een is.
ei gelijkingen \an het bovenstaande type—oneven, graad, coëfficiënt en voor en na het midden gelijk met het zelfde
teeken — zijn altijd deelbaar door -f 1, en hebben dus een wortel jc= — 1.
'"""O" " <'S + >> + + 1 + «' (.,• +1) i» altijd deelbaar door a; -f 1.
6. in de tweede plaats zij gegeven de vergelijking
a.ir' -)- b,r* -)- cx-s — c,,r — b.y — g — 0.
Ook hier ziet men terstond in, dat vervanging van * door jt geen verandering aanbrengt in de vergelijking.
Ook, dal vergelijkingen van deze soort — onam grand, coélheienten vuo,- e„ „a hel midden gelijk „,et te„e„eU
toeken — altijd deelbaar zijn door x — 1, en dus een wortel
x = 1 zullen bezitten.
c. In de derde plaats onderzoeken wij do vergelijking
il.i;* -f- -f- ~f~ I'-'' ~4~" n —- "•
Ook deze is wederkeerig, maar is thans noch door nöcli door —1 deelbaar. \Vant x =— 1 geeft a — b-\-
_j_ c l) -j- a, hetgeen niet — 0 is. En ,i; = 1 maakt het
1-' lid evenmin = 0. Hetzelfde geldt t. o. v. alle dergelijke vergelijkingen, nl. van even graad, met coëfficiënten, die liet zelfde toeken voor en na hot midden hebben.
d. Eindelijk zij in de vierde plaats gegeven :
4- l,.v2 — h.y + a — 0.
Dat hier de middelste term ontbreken moet, opdat de vergelijking wederkeerig zij, is ook onmiddelijk in te zien. Want anders zou men door vervanging van x door '/* niet de zelfde vergelijking kunnen terug krijgen.
Vergelijkingen van dit type — even graad, coëfficiënten met tegengesteld teeken voor en na liet midden — zijn deelbaar zoowel door x -f 1 als door x — 1, hetgeen gemakkelijk is aan te toonen. De vergelijking is derhalve ook deelbaar door
x i en er is een wortel x — — 1 en een x = 1 ■
Wij kunnen dus altijd een willekeurige wederkeerige vergelijking van de 1", '2 en 4'' soort door deeling door x + 1, joor of door x- — 1 (éen keer of meermalen) terug
brengen tot een van de 3" soort. Want eindelijk zal de vergelijking niet verder deelbaar zijn door genoemde factoren, en moet hij dus van de 3« soort worden. Dat de nieuwe vergelijking nog altijd wederkeerig is, volgt hieruit, dat wanneer do oorspronkelijke vergelijking tot wortels heeft bv.
x = \, x = {>, x = %> * = ?. «=V».en 1110,1 deelt door x 1, de nieuwe vergelijking nog altijd de wortels/»,1//-»
(i en 7? bezitten.
Altijd komen wij dus op een vergelijking van de 3" soort,
en we moeten dus thans «Ie verdere oplossing van een dergelijke vergelijking behandelen.
Nemen wij de termen van de bedoelde vergelijking — zii e van den vierden graad — aldus samen:
« (.V* 1) -{_ b (a-3 -(- ,?;) -)- CX1 — ()_
Deelen wij nu door x%, dan komt er:
«(«• + 7*0 + (« + '/*) + c = o.
Wordt dan verder ,t'-f 1/x=y gesteld, dan is,ï?2-4-i/t,==v2__o en verkrijgen wij derhalve :
a (y* — 2) -f by -f c = 0,
waardoor de vergelijking tot een ^«^vergelijking is
teruggebracht die wij op de gewone wijze kunnen oplossen
011 W1J (la» verder de vergelijking x + i/, = v 0„
Avaann nu y bekend is, dan vinden wij * door een nieuwe'
uerkantsvergelyking. De vierde,nachtevergelijking is alzoo
i eze wijze van oplossing teruggebracht tot twee vierKantsvergehjkingen.
Was de herleide wederkeerige vergelijking van den zesden f gexveest, dan zouden wij deze hebben kunnen teruglengen tot een gewone vergelijking van den derden graad Maar aangezien de oplossing daarvan tot de Hoogere Algebra behoort, zullen wij deze vergelijkingen niet behandelen, evenmin als d,e van nog hoogeren graad. Alleen vermelden wij,
|B sdai, zo» geworden zijn, zooals de
lezer gemakkelijk zal kunnen controleeren.
Er bestaat een algemeene formule voor af + uitgerukt ,n + i/x = y, maar de afleiding daarvan behoort e\eneens tot de Hoogere Algebra1).
van de 'tl61111? kaU tr°UWenS °°k gemakk(,|Ük geschieden door middel z-co'lTXl 7".™"*' °P bL 107 W». Stelt men „1.
Even- 1 »1,'/ '* = C0S * ~ *' P, ™ dus 0 + 1/, = 2 COS f.
Evenzoo zal z + l/z» = 2 cos n 2n~5cos"'* -..., derhalve na vermenigvuldiging met 2, en z + y, —y stellende:
Geven wij nu ccn enkel voorbeeld van oplossing.
20.i,•5 — x1 — 421iC3 + 421.tr8 -f- iV — ^0 =
Deze vergelijking is van het tvpe ft). Deelen wij door x — 1, dan komt er:
20.S4, -f 19.t-3 — 402.«2 + 19.7,- + 20 = 0,
welke vergelijking van liet type r) is. Deze wordt dus verder opgelost. Zij leidt tot
20 (.t-2 -f 7*0 + 19 (.« + '/*) - 402 = °' of 20 (y2 - 2) + 19y - 402 = 0,
gevende 20/ + 19y - 442 = 0,
waaruit .V — 5l/s
Hieruit x oplossende, zoo vindt men ten slotte:
x — 5 of V5, — 4 of — V4*
Hierbij behoort dan nog de waarde x = 1, daardoor
x — 1 is gedeeld.
De leerling losse nu de volgende wederkeerige vergelijkingen op.
1. 6.t5 + 41«* -|- 97.«3 97.r® + ^,v + 6 = 0.
2. 450.b5 — 555.** — 1069.W3 + 1069.«8 + 555.;; — 4o0 = 0.
3. 72.«* -f- 306.!.'3 + 4G9.?;2 4- 300.?; + 72 = 0.
4. G.rfi — 35,i;5 -(- 56.W4- — 56.);2 -|- 35.» 0 = 0.
5. X1 _ 4.);« -)- 2.i;5 — 5«* + 5.«3 — 2.»;2 -{- 4.e — 1 = 0.
8. Binominaalvergelijkingen. Dit zijn vergelijkingen \an
" a
den vorm ox ± ft = 0. Men kan ze altijd, dooi ^ .'/ te stellen, terugbrengen tot den vorm
- 1 . " «-2 , »(»—8) „ -4 w(M 4)(n—5) n—6,
'+?=»"» +-T2"-' " 1-2-3 *
De oplossing geschiedde hier wel is waar onder aanname van een zeer speciale, imaginaire, waarde van 3, maar de formule geldt toch geheel algemeen, zooals men gemakkelijk zal kunnen controleeren.
//" ±1=0.
feitelijk komt de oplossing van die vergelijkingen dus
neer op die van ?/ = |/=Fl, d.w.z. 0p het bepalen der eenheid,wortel* (zie bl. 138 e. v.)
Men kan echter ook voor kleine waarden van n het eerste lid in factoren ontbinden, en zóo tot de oplossing geraken \ oor ƒ ±1 = 0, y» ± 1 = o, y ± i = o en f £ 1 = 0 laten wij dit aan den leerling over. [Wij wijzen er op, dat y + 1 ontbonden wordt, door te schrijven (y* + l)2 — 2u- =
2 ^ ^ ,yl 2 ^ï- Men zal i" a,l die gevallen de op bl. 139 en 140 berekende waarden zien terugkomen. Alleen bij ^ ±1==Q wjJIen ^ ^
oplossing ingaan. Nemen wij *»-l = 0, dan leidt dit tot
(,; _ 1) (,A + a.3 + ,?.2 +,, + 1) _ 0,
.v\.z. tot .i 1 o ot x=l, en de wederkeeriqe vergelijking van den vierden graad x* -f- ,?;3 -f- x- -j- x 4- 1 = 0 Lost men deze laatste op, zooals in § 7 'is uitgelegd, dan verkrijgt men voor ,?• de waarden
x ~ '/+(— 1 -f V5) ± l^lö _j_ 2 1^5 ] = ~ V* (1 + 1^5) ± i/4 / I/lo _ 2 1/5 I' geheel in overeenstemming met het op bl. 139 gevondene.
Op geheel dezelfde wijze zou de oplossing van x~ ±1=0 tot een wederkeerige vergelijking van den zesden graad geleid hebben, welke tot een vergelijking van den derden graad is e'"g te brengen. Hier is dus de goniometriselie methode \an bl. 138 e.v. te prefereeren. En dit geldt in nog sterker
mate voor a-11 ±1=0 r13 ± 1 o «r.- w
...... u' x ^ 1 — "> enz. enz. Want verge-
U vingen van den 5™ en hoogeren graad zijn in het al^emeen (,°01' algebraische hulpmiddelen niet meer oplosbaar.
De goniometriselie methode geeft ons ook het middel aan
de hand vormen van de gedaante x" ± 1 jn reëele tweedem etc hts fa c toren te ontbinden.
Is n oneven, dan komt bovendien nog een reëele eerstemachts-
factor voor, nl. ,t ± 1; en is n even, dan zal bij x 1 nop de reëele ttoeedemachtsfactor x*— 1 voorkomen.
Wat nu de bedoelde reëele tweedemachtsfactoren betreft, deze vindt men op de volgende wijze. Wij zagen op bl. 141, dat de imaginaire wortels van ± 1 steeds paarsgeioijze voorkomen. Hij cos(p-\-isinif behoort nl. altijd den „(jeconjageerden" (toegevoegden) wortel cos — i sin 'ƒ), dan komt er voor den verlangden reëelen tweedemachtsfactor :
(.t; — cox (/)• + f — — -1''cos y ~t~
Stelt men nu hierin voor
X -f" c- ('c Analytische Meetkunde wordt aangetoond, dat de kromme, die dat verloop weergeeft, een parabool is, waarvan de as in P — midden tnsschen de beide wortels xy en x2, waar ;/=0 wordt — loodrecht op de .Y-as staat.
Voor de waarden x = ± cc
wordt y = + ; voor x = xx en x — x3 wordt y — 0. Schrijft men voor den gegeven vorm (zie blz. 147) :
y = a (x — .«]) (x — x2), zoo ziet men duidelijk, dat voor waarden van x, die kleiner dan xi, of grooier dan x2 zijn, y positief uitvalt. Immers is ®Oi, dan is ook x < x.2, en zijn derhalve de factoren
x Xl en x — j!.2 beide negatief. En is x > x2, dan is ook
x^>Xi, en zijn de factoren beide positie!.
Is echter x> xu maar , zoo vinden wij reeds :
12
x = — oo y = 2
a- = 0 y — %
x — -f- x y = 2
Hieruit ziet men, dat de kromme, welke het verloop der breuk weergeeft, bij x — — oo en -f cc asymptotisch (zie Deel I, blz. 146) zal loopen aan de lijn, welke op een afstand = 2 evenwijdig loopt aan de A*-as. Immers voor waarden van x in de nabijheid van — oo en -f- 30 is y
2,4.2
steeds uiterst weinig van —- = 2 verwijderd.
De vraag doet zich nu voor, waar een maximum o( minimum zal optreden. Lossen wij daartoe x op nit de vergelijking
y (x°- + 2) = 2.»;2 + + 1,
gevende
(2 - y) x* + x + (i- 2y) = 0,
derhalve
m _ ~1 ±^l —4(2—y)(l — 2y) __ — 1 ±V — 8//2-f 20 y—7 2(2 -- y) ~~ 2(2—y)
De waarde van x wordt dus imaginair, zoodra de vorm — %2 + 20// — 7 negatief wordt, d.w.z. zoodra 8y2—20//-(-7 positief wordt. Is deze vorm nog juist = 0, dan is x nog juist reëel, zoodat de waarden van y, opgelost uit de ver-» gelijking
8>/'2 ~ 20// -f 7 = 0, de grenzen aangeven, waarbuiten y niet gaan mag. Met ''esp. grootere of kleinere waarden van y correspondeert geen reëele waarde van x meer. De wortels van bovengenoemde vergelijking geven dus de maximum- en minimumwaarden van y aan. Daar boven, of daar beneden zijn geen punten der kromme. Nu zijn de bedoelde wortels :
y = Vg(10=bl^ 100—56) = V4(5±1^11) = circa 2,08 en 0,42-
En daar 8y-—20//-f- 7 negatief moet blijven, opdat x reëel zij, zoo moet y tusschen de wortels inliggen (zie § 1). y moet dus grooter zijn dan de kleinste wortel V+ (5—VI1), en kleiner blijven dan de grootste wortel V4( 5-f-Vil). Do eerste waarde is dus een minimumwaarde, de tweede een jmm»mmwaarde voor y.
De bijbehoorende waarden van x worden gevonden uit de vergelijking (zie boven)
1 _ 1
~~ ~~ 2(2-7) ~ 2(7^2)'
Want V—8^ + 20//—7 is nu =0. Bij y='/4(5—Vil) behoort dus :
1 2 « = = — =8—Vll= circa —0,32.
J /2 (5—V 11)— 4 —3—Vil
En bij y = 1/4 (5 -f- V 11) behoort :
1 2 ,r = —-— = —— = 3 V11 = circa 6,32.
V,(5+V 11)—4 -3 + V11
Het bovenstaand lijstje van waarden moet dus nog worden aangevuld met
x — — 0,32 y = 0,42 (minimum) x = 6,32 y = 2,08 (maximum).
In figuur 21 is het behandelde verloop in beeld gebracht. Duidelijker dan vele woorden — wij merkten liet in Deel I, blz. 146 reeds op — geeft een dusdanige meetkundige voorstelling het geheele verloop der breuk weer.
De leerling behandele nu op geheel dezelfde wijze als boven is geschied, de breuken
_ 3,„ 2 x — 3
+ .« + ï~ e" 3.,-2 - x 4- l'
en brenge het verloop in teekening. Bij de eerste breuk is de teller een vorm van den tweeden graad met reëele wortels; bij de tweede een vorm van den eersten graad. Het verloop is geheel gelijksoortig — met maximum en minimum — als dat van de boven behandelde breuk. Alléén
12*
x = — = —— = 3 -f V 11 = circa 6,32.
V2(ó + Vll)-4 _3 + Vll
Het bovenstaand lijstje van waarden moet dus nog worden aangevuld met
x — — 0,32 y = 0,42 (minimum) x = 6,32 y = 2,08 (maximum).
In figuur 21 is het behandelde verloop in beeld gebracht. Duidelijker dan vele woorden — wij merkten liet in Deel I, blz. 146 reeds op — geeft een dusdanige meetkundige voorstelling het geheele verloop der breuk weer.
De leerling behandele nu op geheel dezelfde wijze als boven is geschied, de breuken
_ 3,„ 4 2 x — 3
wordt nu de A-as twee- of eenmaal gesneden, en zal bij de laatste breuk de A-as asymptoot zijn. (waarom?)
b. Als tweede voorbeeld beschouwen wij de breuk
2.e + 1 " ~ 2a« - x — 6'
waarvan de noemer nu een vorm van den tweeden graad is met reëele wortels, terwijl de teller wederom geheel willekeurig is. Wij kozen een vorm van den eersten graad. De noemer, die blijkbaar = (x — 2) (2.r -f 3) is, wordt 0 \oor x =z ■ l]/2 en x = 2. Voor die waarden van x wordt de breuk dus =p oo, en in de meetkundige voorstelling zullen twee discontinuïteiten voorkomen (zie deel I, bl. 142) met vertikale asymptoten bij x = — l>/2 en x = 2. Voor 'v= Va wordt de teller, en dus ook de breuk = 0.
Voor x = ± oo wordt de breuk =^ = 1 = 0, zoodat
de A-as asymptoot zal wezen. Voor x=0 verkrijgt men de waarde — %. Wij hebben derhalve reeds:
uvniunt ICCUÖ.
•v = — co y — 0 x — — 11/8 y — zp oo
* = — Vs V — 0
* = 0 y - - 7«
•v — 2 y = oc
x — oo y — 0
Een maximum en minimum zijn niet aanwezig, omdat in ons voorbeeld de waarde van x, waarvoor de teller = 0 wordt,
nl. x = — i/j, inügt tusschen
de waarden van x, waarvoor de noemer =0 wordt, nl. •v = ~ 1 '/a en x=2. Dit is uit het verloop der breuk (zie tig. 22) onmiddelijk intezien, wanneer men nl. deteekens nagaat, die de breuk achtereenvolgens zal aannemen, en welke men gemakkelijk kan afleiden uit de eigenschap, dat de noemer positief zal zijn buiten de wortels, negatief
daartussehen. Wij kunnen daarvan het volgende schema opschrijven.
* —iy» — v» 2
teller — — — 0 -(- -4" + noemer -j- 0 — — — 0 ~l~ breuk — =poo-j- Ö — =pa>-|-
Had men de breuk -5 -—„ gehad, waarvan de teller
X1 OX -f- O
= ü wordt bij x = 4, de noemer bij x = 2 en x — 3, zoodat de eerste waarde 1111 buiten de beide anderen ligt, zoo zou men weer een maximum en minimum gevonden hebben.
-f- -}- 7
Hetzelfde is het geval met de breuk 2ar vvaar
de teller van den tweeden graad is met imaginaire wortels.
Is de teller een vorm van den tweeden graad met reëele wortels, zoo zal alleen in het geval, dat éen dezer wortels inligt tusschen de beiden van den noemer, terwijl de andere er buiten ligt, het maximum en minimum weer ontbreken, evenals in lig. 22. Maar in de gevallen, dat de wortels van den teller beide binnen die van den noemer vallen, of beide er buiten (aan éen zijde of aan weerszijden), zal er weeleen maximum en een minimum zijn.
De leerling ga al die verschillende gevallen bij de genoemde
en de nu volgende breuken eens uitvoerig na, en brenge het verloop weer in teekening.
,vl _ a; _ 2 .r3 — 4*-f 3 — 3.g + 2 _ a' —3* — 4 _j_ x _2 ' ,}•- — 4.r — 5 ' x'1 + ó.v -f- G •®2 — 3.t- + 2
(Bij al deze breuken is er een horizontale asymptoot).
C. In de derde plaats zij gegeven de breuk
3#2 — 2# -f- 5
y = 7^2 *
Hier is de noemer van den eersten graad, en er is dus altijd bij éene waarde van x, 11I. x — 2, een discontinuïteit met vertihilen asymptoot. De teller is hier een vorm van den tweeden graad met imaginaire wortels.
Bij x — ifc oc nadert thans y tot -- = 3.r, d.w.ü. hij
'l' = — « ~ 0°' en bij x = + qd tot -f oo. De kromme heeft dus niet a!s in de boven behandelde gevallen een horizontalen asymptoot, maar begint en eindigt met een z°\ oneindigen tak. Voor .« = 0 wordt y = 2l/0.
Zoeken wij nu de plaats van maximum en minimum.
Uit y (x — 2) = 3a-8 — 2x + 5 volgt: 3.b2 — (2 + y) x + (5 -f 2y) — 0, waaruit
•v = Va (- + y =*= yl — 20y — 56).
Stelt men nu hierin weer y2 — 20y — 56 = 0, zoo wordt 10 ±21/39. Daar y-— 20^—56 positief moet blijven, derhalve y buiten de wortels moet liggen, zoo correspondeert*/=10—2l/39=r =—2,49 met het maximum. w=104- —
— 22,49 met het minimum. De bijbehoorende waarden van x vindt men blijkbaar uit x = i/B (2 + y) — '/3 (1 + ï/^), en zijn dus resp. =l/s(6—V39)=—0,08 en =V3(6+1/39)=4,08.
Was de teller van den tweeden graad geweest met reëele wortels, dan kan zich óf het geval voordoen, dat de kromme zonder maximum en minimum verloopt — wanneer nl. de waarde van x, waarvoor de noemer = 0 wordt, weer inligt tusnehen de wortels van den teller — óf het geval, dat er een maximum en minimum is — wanneer de genoemde waarde van x buiten die wortels ligt.
De leerling onderzoeke en teekene nu de volgende breuken, die van bovengenoemde gevallen voorbeelden zijn.
x2-j-2x—8 _ x"1—2.v—3
—(— 3 3x —11
3. Maxima en minima van producten.
a. Neemt men telkens het product van twee getallen, waarvan de som hetzelfde blijft, bv. = 12, dan zal dat product
zijn hoogste waarde verkrijgen, wanneer de getallen aan
elkaar gelijk worden.
Zoo is = 2 X 10 — 20, 3X9 = 27, 4x8 = 32,
5 x 7 = 35, 6 X 6 = 36. Het laatste product is derhalve
het grootste.
Het bewijs is gemakkelijk te leveren. Stel de beide getallen
n x en a -f- x, waarbij alleen x verandert, zoodat de som
steeds = 2a blijft. Het product is dan = a% — x", en dit is blijkbaar maximum als x = 0 is.
Het omgekeerde van deze eigenschap luidt: Neemt men telkens de som van twee getallen, waarvan het product onveranderd blijft, dan zal die som zijn laagste waarde verkrijgen, wanneer de getallen gelijk zijn.
Immers, was bij het standvastige product a2 de som van a en a niet de kleinste van alle sommen, dan zou bv. de som van ax en % kleiner zijn, bv. 2a — 2rf. Het product van twee getallen, waarvan de som =2a 2rf is, zou dan — nï zijii. Maar volgens het bovenstaande kan dat product hoogstens ia — d)2 zijn, en dus nooit de waarde a~ bereiken, zoodat de zooeven gemaakte onderstelling tot een valsch resultaat zou voeren.
b. Nemen wij nu het product van meer dan twee getallen, waarvan de som konstant blijft, bv. = 12. Dan zal dat product weer maximum zijn, wanneer de factoren aan elkaar gelijk worden.
Zoo is bv. bij 3 getallen: 1x1X10=10,2x3x7=42, enz. Maar 4 X 4 X 4 is = 64, en deze waarde wordt door geen enkel der voorgaande producten overtroffen.
Want zoolang er van de factoren nog twee ongelijk zijn, kan men met behoud van de andere factoren die ongelijke aan elkaar gelijk maken, zonder dat men hun som, en dus ook de som van alle factoren verandert. Volgens het voorgaande zal dan echter het product van die twee ongelijke nog vergroot worden, dus ook het geheele product.
Hoe luidt nu de omgekeerde eigenschap, en hoe bewijst men die ?
ö s van het product a" b" c'... do der grondtallen
standvastig, dan is dat product maximum, wanneer de grond-
tallen resp. evenredig zijn aan de gegeven exponenten
Zoo is bv. van alle producten aH\ wanneer a + b steeds
-10 is, het product 63 X 4* = 3456 het grootste van allen en wel omdat % =r */g is. '
Men bewijst die eigenschap op de volgende wijze. Het
pi o uc c ... zal tegelijk zijn hoogste waarde verkrijgen
me, het produc, onidnl p, q en r onveran¬
derlijke getallen zijn. De laatste producten ,Jn eenvoudig
W itj W g,00,ci' dn" dc eerste.
Nu is (-)"(bY'(c \ ,(l' h \
W W vv "'~UXy x-jx(»xjx-)x
Derhalve heeft men een gedurig product, waarvan do som dor grondtallen = ?Xp + i x,+ 1Xr + ...=„ + 4 + c +...
is Maar dit is volgons de onderstelling standvastig, zoodat liet product maximum zal 2ij„, wanneer alle (actoren gelijk
Zijn. Derhalve moet -p = i = t = ... zij„ E„ (]ai, js
ook het oorspronkelijke product maximum.
Welke is de omgekeerde eigenschap?
d Hoe nu tal van Vraagstukken door middel van de bovenbehandelde eigenschappen kunnen worden opgelost zullen we aan een.ge Voorbeelden laten zien.
1®. Welke driehoek heeft van alle driehoeken met gelijke basis en gelijken omtrek het grootste oppervlak?
Wij weten, da, 0> = ,(»-a)(,
dan zijn dus * en a standvastig, derhalve ook * - a (fi en dus ook 0 is alzoo tegelijk maximum met (s-b)(,—c). De som van deze factoren is echter = 2s — (b ~L c) — n derhalve standvastig. Het product is mitsdien maxi ~,n' wanneer s b = s c, d.w.z. wanneer b = c. De <,el2 beenige driehoek is alzoo de grootste.
2l'. Welke kegel zal onder alle kegels met standvastig oppervlak den grootsten inhoud hebben?
Het oppervlak is gegeven door de formule 0=nrn-\-nrs, wanneer r de straal van liet grondvlak, en s de schuine zijde is. De uitdrukking r- + rs is dus standvastig.
De inhoud / is = V3 -trVi, wanneer h de hoogte van den kegel is. I is derhalve tegelijk maximum niet r2/i, of met r*h2, d.w.z. met >A(s2— r2). Maar omdat ?•(?' + .*) standvastig is (zie boven), zoo is iA (sq — r-) ook tegelijk maximum met r-? (,s. _ r); dus ook met 2r> (.« — r) of met 2r® (rs —
Nu is i*s + r3 konstant, bijgevolg ook (rs — r") -f 2r?. Het product 2r2(rs —r") is derhalve maximum, wanneer rs—r!=2r? is, d.w.z. wanneer ■< — 3/-.
De schuine zijde van den kegel moet dus driemaal zoo lang zijn als de straal van het grondvlak.
Uit dit vraagstuk ziet de leerling, dat er dikwijls allerlei vernuftige kunstgrepen noodig zijn, om liet ten slotte daartoe te brengen, dat men twee factoren krijgt, waarvan de som konstant is.
3e. Wat weet gij van een gelijkbeenig trapezium, waarvan do kleinste der evenwijdige zijden = a is, en de beenen = h zijn, wanneer het oppervlak zoo groot mogelijk moet wezen .
Stel de grootste der evenwijkige zijden =.x, dan is liet oppervlak gegeven door de uitdrukking
O — i/2 (a + x) Vtfi — ]/4 (•'• — «)'2. waarin de worteluitdrukking de hoogte voorstelt. Wij kunnen dus ook nagaan, wanneer 16 O1, d.w.z.
(„ 4. [ 4I/2 — (x - «)•] =(« + xf (2b + x — a) (2b - x -j- «)
maximum is. Zijn p en q nader te bepalen getallen, dan is deze laatste vorm tegelijk maximum met
(a + A")2 'P(%b — a x) . q (2b -f « — <»)•
Dit nu is maximum, wanneer [zie c)]
1/2 (a + x) — p (2b — a -(- x) — <] (2b -\- a — .«), . . (), zoo komt er:
1 + »/. a + * _ _ v " + •« _ _ n •2 b — a + x ' 2 2 b+a—*~ '
of 2<4!>■ — (.V — a)3}-f (a-f-«)(2Z>-f-«—.r) — (a-j-«)(2i —« + .i) = 0,
of wel 8//2 _ 2 (« - rt)2 -f 2 (a°- - *«) = 0,
gevende : lV» _ aA. _ 2j2 — 0,
waarvoor men ook kan schrijven :
a) ~
Alleen dan derhalve, wanneer aan deze voorwaarde is voldaan, is liet mogelijk de onbepaalde factoren zóo te bepalen dat aan de voorwaarden (a) en (h) gelijktijdig kan woren voldaan Men kan nl. door oplossing der vergelijking x- ax — 2b = 0, en substitutie van de daaruit gevonden waarde van .v in de uit (a) opgeloste uitdrukkingen voor p en e laatst gevonden betrekking voor * nu zegt niets anders, dan dat * de middellijn moet wezen van den cirkel, om het trapezium beschreven. Dan is liet oppervlak bij gegeven a en b zoo groot mogelijk.
4. Vraagstukken. Ten slotte geven wij hier nog eenige Oefeningen, betrekking hebbende op liet geleerde in de $$ 1 en 3. 1. Hoe moet men p nemen in de vergelijking
8«* — (2p -f 1) x -f (óp — 26) =r 0,
opdat de eene wortel > 4 zij, de andere < 1 ?
[De getallen 1 en 4 moeten dus tusschen de wortels inliggen, en zoowel voor x = 1 als voor x = 4 zal liet eerste lid der gegeven vergelijking negatief moeien worden. Dit geeft de voorwaarden p < 8 en p > 6. Bijgevolg zal voor alle waarden van p, welke > 6 en < 8 zijn, aan de vraag voldaan worden.
Het spreekt van zelf, dat men bij andere vergelijkingen voor j> evengoed een oneindig aantal waarden, o! geen enkele waarde had kunnen vinden (wanneer?)].
Hoever kunnen in de bovenstaande vergelijking de wortels uiterlijk komen?
2. Ga nu eens na hoe p moet genomen worden, opdat de wortels van de vergelijking (•* — 3) (,e 4) + (p — p — 2) het getal 3 insluiten.
3. Voor welke waarden van x is V'V4, -\- 10.®* — 39 reëel? En -j- 3''; +5?
4. En voor welke waarden van x zal de uitdrukking
7^ ^- lo — — 11* •+■ 24 reëel zijn? En wanneer zuiver-iinaginair of complex?
5. Wanneer wordt gelijktijdig voldaan aan de ongelijkheden
ie* __ 17,«a -|_ 70 > 0 en .c'! — 6.«'J — 16 < 0.
6. Ga eens na wanneer de vorm (ax + l>): + {px + ?/8 een zoo klein mogelijke waarde aanneemt.
7. Voor welke waarde van x wordt — 2 + V8 — x maximum? En wanneer minimum? [Stel x - 5 = y, en verhef in het kwadraat].
8. Welke cilinder met gegeven oppervlak heeft den yrootsten inhoud?
9. En welke cilinder, die in een gegeven bol beschreven is ?
10. Hoever moet de top van een kegel van het oppervlak
vn.ii oen gegeven bol, toaarom li ij beschreven is, verwijderd liggen, opdat de inhoud van den kegel zoo klein mogelijk zij?
[Is r de straal van het grondvlak, h de hoogte, dan moet dus l/:..ns/i of ook r2h minimum zijn. Drukken wij nu r in li en h uit (li — straal bol) door middel van een paar gelijkvormige driehoeken, dan vindt men
Jiz h ..... . i .
gemakkelijk = -——. Wij moeten dus zorgen, dat ö h—2 li
l>2/2 ]t i
0f wel ——minimum wordt. Dit zal blijkbaar
h—2R h—IE
liet geval zijn, wanneer —L(i 2/i\
h- ~ h\ T) maximum wordtMaw deselaatete „itdntkking is logelijl( malimum
mol - (1 — - J, waarvan de soni dei- factoren stand-
"" I1;'"0*1"®' is de'l'»lve maximum, wanneer
1S" t0P '« dan op een afstand 2R van den bol verwijderd].
11. Bewijs, dat van alle rechthoekige parallelopipedums met gegeven oppervlak de kubus den grooteten h,hond heeft. Hoe luidt de omgekeerde stelling?
12. Welke verhouding zal er tusschen de afmetingen van een rechthoekig parallelopipedum moeten bestaan, opdat by gegeven mhoud het buitenoppervlak zoo klein mogeJk zij, indien een zijvlak ontbreekt?
13. Welke rechthoek, i„ een gegeven driehoek beschreven heeff het grootste oppervlak?
14. «lp de eeno van twee.!««), lijnen is een vast stak gegeven, terwijl langs de tweede een ander stuk van
«Ir f""'0, 'l™1 0,1 ,veOT k»" glijden. De uiteinden au d e twee stukken vormen een viervlak Nu vraagt
men de hggutg van het bewegelijke stuk te bepalen, zoo dat bet vtervlak een z„o Mn mogelijk beeft
uit nevenstaande figuur ziet men onmiddelijk, dat het opper\lak der zijvlakken AC!) eu JU'/) niet verandert, wanneer CD langs de lijn q glijdt.
ij hebben er dus slechts voor te zorgen, dat Opp. ABC+ + Opp. ABD minimum zij; derhalve CG -f DH minimum, wanneer dit loodlijnen
nn a 7) XT
l.*t «i-b- /-/-/ i at, 1 1>Ll »i wanneer
- /1/7 n . - h staat' 0,1 VLUABis, ook LG//en DH' Derhalve zal in L GCL - waarvan de basis
CL konstan t is bij liet, verschuiven van CD, en waarvan ook de hoogte GK niet verandert (daar AB // vlak CDL loopt, en GK X °l> dat vlak slaal) ~ de som der opstaande zijden CG-\- LG minimum moeten wezen. Wij zagen echter in § 3 [bij d), Vr. 1], dat van alle driehoeken met gelijke basis en gelijken omtrek de gelijkbeenige het (/rookte oppervlak heeft. Omgekeerd zal dus bij gegeven basis en oppervlak ook de gelijkbeenige driehoek den kleinsten omtrek hebben ')■ CG-\-LG is dus minimum, wanneer CG= LG is, en mitsdien zal het voetpunt K der hoogtelijn GK in het midden van ( L vallen.
Is nu KF 1/ LD, en FE in het vlak KGB // GK getrokken, dan zal EF zoowel J_ staan op de lijn CD als op de lijn AB, en dus de afstand der beide kruisende lijnen voorstellen. En daar /v op het midden ligt van CL, zoo zal ook F op liet midden van CD liggen. Wij hebben dus ten slotte gevonden, dat — opdat het oppervlak van het viervlak ABCD zoo klein mogelijk zij — het verschuifbare stuk zoodanig op de lijn q moet liggen, dat de uiteinden C en D even ver van dat punt F der lijn q liggen, hetwelk den kortsten afstand tot de lijn /> bezit.
Het bepalen van maxima en minima van verschillende uitdrukkingen kan in zeer vele gevallen niet meer met de min of meer eenvoudige hulpmiddelen, die in deze les werden behandeld, geschieden. Men zal dan zijn toevlucht moeten nemen tot de hulpmiddelen, welke de Differentiaalrekening biedt.
i) Immers, behoort bij een gelijkbeenigen driehoek met basis u en omtrek p het oppervlak 0, dan zou de onderstelling, dat bij gegeven a en 0 de omtrek van een ongelijkbeenigen driehoek 0 zou zijn. Want het oppervlak van den gelijkbeenigen driehoek met omtrek p zou dan a fortiori > 0 zijn, hetgeen strijdt met de aanname, dat dit oppervlak = 0 is.
Men kan de stelling evenwel ook eenvoudig langs meetkundigen weg bewijzen, (rechte lijn < gebroken lijn).
ZESDE LES.
ONBEPAALDE VERGELIJKINGEN.
A. Vergelijkingen van den eersten graad.
1. Eén vergelijking met twee onbekenden. Wanneer minder vergelijkingen gegeven zijn dan niet liet aantal onbekenden overeenstemt, dan zal de oplossing van die vergelijkingen noodzakelijk onbepaald moeten blijven. Immers, men kan bv. bij één vergelijking met twee onbekenden aan de eene onbekende alle mogelijke waarden geven, en telkens de daarbij behoorende waarde van de andere onbekende bepalen. Er zal dus een oneindig aantal stellen waarden der onbekenden zijn, die aan de gegeven vergelijking voldoen.
Voegt men echter aan de oplossing de een of andere beperkende voorwaarde toe, bv. dat de onbekenden slechts geheele, positieve waarden mogen bezitten, dan zullen aan de gegeven vergelijking slechts een einclü/ aantal waarden paren voldoen, of wel een zeer bepaalde serie waardenparen, wanneer het aantal oneindig groot is.
Wij zullen m het volgende zeer in 't kort aangeven, op welke wijze men die geheele, positieve waarden vindt. Lang zullen wij er niet bij stilstaan, omdat de de oplossing deionbepaalde of diophantische vergelijkingen [zoo genoemd"naar Diophantcs, den Alexandrijnschen wiskundige, die er zich het eerst mede bezighield (300 n. Chr.)] weinig praktisch nut heeft, en ook uit een theoretisch oogpunt niet zeer belangrijk is. Zij gegeven de vergelijking
-j- Oy zm 193.
Men lost nu die onbekende op. welke den kleinsten coëfficiënt bezit ; dat is hier x:
, _ 193~9-'/ = _ 2y + .
5 5
[Men schrijft nl. niet 38 — y -f Va (3 — 4^)> omdat de coëfficiënt van y in de breuk van het 2e lid de eenheid moet worden. Men kan dit doel niet altijd op deze wijze bereiken, maar dan zorge men, dat de rest der deeling van den bekenden term een veelvoud wordt van den coëfficiënt van y, of er aan gelijk wordt. Had men bv. de vergelijking 5,r+7?/=83, dan zou men dit doel zelfs op twee wijzen kunnen bereiken, of
, .. 83-7y 17 2+2y 1+y
door te schrnven .«=—-—=17—y ——y — & r- t
° 5 o o
3 + 3 y , 1 + .V~
of door te schrijven « = 16 — 2y —- =16 — 2y-\-o — .
" O O
Nu stelle men, omdat x geheel moet worden, en 38 — 2y reeds geheel is, wanneer y een geheel getal is, de breuk Va (3 + y) = p- Dit geeft dus :
y = 5p — 3.
[Had men in de uitdrukking voor x den coëfficiënt van y in de breuk niet = 1 gemaakt; had men bv. V5(3—4y)=p gesteld, dan zou men gekregen hebben 4y = 3 — 5p, en zou men nogmaals door 4 hebben moeten deelen, waardoor een nieuwe hulponbekende q zou noodig geweest zijn].
Substitutie van deze waarde in de bovenstaande uitdrukking voor x geeft dan verder:
x = 38 — 2 (hp — 3) + p, of .r = 44 — 9P.
Het getal p — dat dus altijd geheel moet wezen — is derhalve de hulponbekende, waarin de onbekenden x en y zijn uitgedrukt. De bovenstaande twee vergelijkingen, nl. x = 44 — 9p, y — 5/> — 3, vormen de oplossing der onbepaalde vergelijking 5x + 9y= 193.
Nu geve men aan p zoodanige geheele waarden — positieve of negatieve — dat zoowel x als y niet alleen geheel
zijn, maar ook positief. Men heeft alzoo slechts op te lossen de ongelijkheden
44 — 9/> > 0 ; hp — 3 > 0,
gevende:
P 4 % en > 3/5.
p kan dus slechts de waaiden 1, 2, 3 en 4 hebben, waarmede de volgende waarden voor x en y correspondeeren.
P = 1 2 3 4
Tv = 35 26 17 8 y = 2 7 12 17
Alleen deze vier paren geheele en positieve waarden voor .1' en y zidlen aan de gegeven vergelijking voldoen. Men ziet gemakkelijk in, dat x niet lager dan 8 kan komen, want er gaat telkens 9 af; en y niet lager dan 2, omdat er telkens 5 afgaat.
Opmerkingen. Had men de vergelijking 3x + 7y — 45 gehad, dan kan men de oplossing bekorten, door onmiddelijk y = Sp te stellen, omdat 3 en 15 beide door 3 deelbaar zijn, en 7 niet. Men krijgt dan na deeling door 3 de vergelijking x-f- lp = 15, waaruit x = 15 — 7p. Deze vergelijking, gecombineerd met y = 3p, geeft dan de oplossing van het vraagstuk.
Is de vergelijking 6^ + 12^=217, dan ziet men onmiddelijk in, dat geen enkel stel geheele waarden van x en y daaraan kan voldoen. Immers 6 en 12 zijn beide door 6 deelbaar, terwijl de bekende term 217 dit niet is.
De leerling losse nu de volgende vergelijkingen op.
11.»+ 17»/=1130; 4.»— 19»/= 7; 5.» + 13^=265; 6,»+35y=800.
2. Aantal oplossingen van de vergelijking ax+by = c.
Bij het bovenstaande voorbeeld, nl. 5x + 9y = 193; vonden wij vier stellen waarden voor de beide onbekenden. Dat dit aantal eindig is, wanneer «, b en c alle positief zijn, is gemakkelijk in te zien. Ook dat het aantal waarden bij vergelijkingen als bv. 3.r — 11//=2 oneindig groot zal zijn. Want dan zijn de beide ongelijkheden, die de hulponbekende
p bepalen, niet in overeenkomstigen, maar in tegengestelden zin. Zoo leidt de laatste vergelijking bv. tot x — Wp — 3, y = 3y> — 1, en hieruit volgt p 3/n en P Vs- Voor 2> kan men dus 1, 2, 3, 4 ... tot in het oneindige nemen, warrmede voor x de waarden 8, 19, 30, 41, enz., en voor y de waarden 2, 5, 8, 11, enz. overeenstemmen.
Eén ding is verder onmiddelijk duidelijk: dat in beide gevallen de waarden van x en y rekenkundige reeksen vormen. En men kan gemakkelijk bewijzen, dat van de algemeene vergelijking cue by = c de oplossing in het algemeen de gedaante heeft:
x — .rn ± bp ; y " !/o =F ap,
zoodat de coëfficiënt van p in de uitdrukking voor x gelijk is aan den coëfficiënt van y in de vergelijking, en vice versa. Daardoor vormt de serie waarden voor x een rekenkundige reeks, waarvan de reden is ± b, wanneer p met 1 opklimt; en die voor y een rekenkundige reeks met de reden a.
Dit zagen wij boven dan ook bewaarheid. Van de vergelijking 5,i' -(- 9// = 193 was de oplossing x — 44 — 9p, y — — 3 -f- 5p ; van de vergelijking 3x — 11// = 2 was deze x = — 3 -j- 11 p, y — — 1 -J- 3p. Hierin hebben wij dan ook een gemakkelijk middel, om wanneer een stel waarden bekend is, al de anderen zonder verdere oplossing neer te schrijven.
Dat het zooeven beweerde juist is, volgt natuurlijk hieruit, dat a.v by het getal c moet opleveren. En nu valt de hulponbekende p alleen dan weg, wanneer deze de bovengenoemde coëfficiënten bezit.
Wat nu het aantal waarden N~ betreft, dat men voor x en y vindt, w anneer a, b en c alle positief zijn, dit is gegeven door de eenvoudige formule
'v=fe) + ''
wanneer de geheelen van het quotiënt c : ab aanduidt.
Er bestaat dus een onzekerheid van een eenheid. Zoo kon
13
men bij de vergelijking 5x -f- 9y = i93 van tevoren verwachten, dat het aantal oplossingen zou bedragen =
of een meer. Wij vonden vier.
Het bewijs van bovenstaande formule wordt als volgt geleverd. Door behoorlijke keuze van de hulponbekende /t kan men de oplossing van ax-\-by—c altijd terugbrengen tot
— ■'-'o 4~ l'P ; .'/ — >jo — "p i
waarin x0 en ;/0 positief zijn. Heeft men bv. zooals bij de oplossing van 5x -f9y = l 93 gevonden x = 44 — 9/;, y = — 3 + 5p, dan kan men door substitutie van p — 1—q de uitkomsten onmiddelijk tot de verlangde gedaante terugbrengen. Men krijgt dan nl. x = 35 9q, y = 2 — 5q. In het algemeen zal men dus p slechts te vervangen hebben door / ± q. Nu heeft men verder de ongelijkheden
•vo + bP > 0 ? .'/o — ap > 0,
• ï v Va
waaruit volgt p > ; ƒ> — 3% < 2V5) dan ziet men dadelijk, dat p de waarden —3, —2, —1, 0, 1 en 2 kan hebben; dat wil dus zeggen: het aantal waai den voor p, en dus ook voor x en y is gelijk aan de geheelen van 32/s -f- de geheelen van 2*/b + de eenheid (voor de waarde 0). In het algemeen zal men dus hebben :
»=(?) +(?)+!.
Nu volgt uit ax0 %o — c onmiddelijk :
Ü2 + ^9 — 1
b a ah'
d.w.z., de breuken 1, welke bij de geheelen behooren, a, p en y noemende :
(5) + (?) + <- + » = (i) + r.
Wij kunnen dus ook schrijven :
^=Q) + (r-«-» + 1.
en wij hebben nog slechts de waaide van y —« — $ te bepalen. Natuurlijk moet deze laatste uitdrukking geheel zijn, terwijl de grenzen blijkbaar — 2 en 1 zullen wezen. De eene grens is nl. die, waarbij y = 0, « en ^ = 1; de andere, waarbij y = 1, « en = 0. Daar evenwel dio grenzen zelf nooit bereikt kunnen worden zoo blijft er voor y — « — $ slechts de waarde —1 of 0 over. Wij verkrijgen derhalve ten slotte :
'v=(£)+(~ö')+1'
en hieruit volgt liet gestelde onmiddelijk.
Opmerking. Men zal gemakkelijk inzien, dat het bovenstaande alleen geldig is voor die gevallen, waarin «, en y alle echte breuken zijn, d.w.z. wanneer a, b en c onder/int/ ondeelbaar zijn. (de leerling toone dit eens aan). Heeft men nu bv. de vergelijking 3.e -j- 7y = 69, dan stelle men eerst y — 3y>, en passé daarna den regel toe op de nieuwe vergelijking x -f- 7p — 23. Enz. Enz.
3. Onbepaalde vergelijkingen met drie en meer onbekenden.
a. Twee vergelijkingen met drie onbekenden. Zij
gegeven de vergelijkingen
3« + 5/y — Iz — 58 ; 4.6' -f- 3y -f- 5z = 73. Elimineeren wij een der onbekenden, bv. x, dan komt er: 11 y — 43z= 13, d.w.z. éen vergelijking met 2 onbekenden. Lost men deze op de boven behandelde wijze op, dan verkrijgen wij, daar y = 1 -f 4s -f Vu (2 — 2) is, 2 = 2 — lip, y = 9 — 43/>.
Nu moet men ook x in /> uitdrukken. Daartoe worden de zooeven gevonden waarden van y en 2 in een der beide gegeven vergelijkingen gesubstitueerd, bv. in de eerste. Men ver-
13*
krijgt alsdan 3.i* = 27 138 p. Toevalligerwijze is nu liet tweede lid dezer vergelijking door 3 deelbaar; was dit niet het geval geweest, dan zou men p in een nieuwe hulponbekende q hebben moeten uitdrukken, teneinde x geheel te maken, en zouden y en z eveneens in q moeten worden uitgedrukt. Thans is dit niet noodig, en heeft men als eindoplossing :
x — 9 -f- 46jt> ; y — 9 — 43 p ; z — 2 — 11 p.
Er ontstaan derhalve drie ongelijkheden, waaruit volgt:
P> — 9Ue > P < V43 5 P < s/in
en hieraan wordt alleen voldaan door de waardep = 0. De eenige oplossing der beide gegeven vergelijkingen in geheele positieve getallen is alzoo:
,v — 9, y = 9, z — 2.
Het spreekt van zelf, dat men ook een oneindig aantal oplossingen kan hebben, en dat er gevallen zijn, waarin geen enkele oplossing bestaat. Alles hangt daarbij van den zin der ongelijkheden af.
Geheel op dezelfde wijze behandelt men drie vergelijkingen met vier onbekenden, enz.
De leerling losse ter oefening nu nog eens op het stel
5a' -j- 6y -f- = 67 ; 2.v -f- 7y -f- 9s = 83.
Opmerking. Men kan gemakkelijk aantoonen, dat in het geval van twee vergelijkingen met drie onbekenden, nl.
aix + b\y + cis = Pi ; "i-v + % + ciz = Pu de oplossing de algemeene gedaante zal hebben:
x — Xq ± (ij c2 — b.2 c})p ; y = y0 ± (cl a2 — c.2 «j) p
z = z0± («1 h — ai bl) P-
Voor het geval van drie vergelijkingen met vier onbekenden, enz. worden de coëfficiënten van p hoe langer hoe ingewikkelder. Niettemin laten deze zich met behulp van de theorie der determinanten onder een zeer overzichtelijken vorm brengen. Maar dit behoort tot de Hoogere Algebra.
b. Eén vergelijking met drie onbekenden. Anders wordt de zaak, wanneer men twee (of meer) vergelijkingen te weinig heeft, zooals in liet geval van éen vergelijking met drie onbekenden. Men handelt dan als volgt. Zij gegeven de vergelijking
4.v + 7y + 9z = 79, dan lost men weer de onbekende niet den kleinsten coëfficiënt op:
7 9 — 7 v — 9z 1 — y z
x — " = 20 — 2y — 2z —-,
4 4
en stelle nu l/4 (1 — V + ~) = !'■ [Men drage wederom zorg, dat één der beide onbekenden in de laatste breuk de eenheid tot coëfficiënt verkrijgt (zie § 1)]. Wij verkrijgen dus verder (het is onverschillig of men hier y of z oplost: beide hebben 1 tot coëfficiënt):
y ~ 1 -j- z — 4p \ = 18 — 4s -|- lp ; z — z, waarbij nu 2 en /> als hulponbekenden fungeeren.
Thans moet of z, of p worden geëlimineerd, maar altijd zóo, dat nooit twee vergelijkingen van elkaar worden afgetrokken, maar altijd worden samengeteld. Wij kunnen dus bv. z alleen elimineeren, door de le en ook de 3e vergelijking 4 keer bij de op te tellen. Alsdan verkrijgt men: x -|- 4y ■=. 22 — 9/> ; ai 4z = 18 -f- lp.
Nu moet ,v 4// minstens 5 zijn, en ook x + 4c minstens 5. [Hadden wij bij de eliminatie vergelijkingen a/getrokken, dan zou men een dergelijke conclusie niet kunnen maken]. Derhalve zal p bepaald wezen door de ongelijkheden
22 — 9/)>4 ; 18-f7p>5, waaruit volgt j» 2 en p — '1 c'/j. p kan dus alleen — — 1, 0 en 1 zijn. Wij hebben alzoo het volgende schema.
p= — l | p = o ^ | f>= i
,= ll-4*>6)| =lt—4»>6k >#>_,| = 25-4;>0>
c i+SS <* i = | r3+;j:i <-'•
3=1, 2 z = 1, 2, 3, 4 Ï = 4, 5, 6
*=7,3 I Z=14, 10, 6, 2 x = 9, 5, l
y — 6, 7 | 'J = 2, 3, 4, 5 y — 1, 2, 3
Dit zijn dus in liet geheel 9 oplossingen, welke aan de gegeven vergelijking voldoen.
Men kan nu ook 2 vergelijkingen met 4 onbekenden oplossen, enz.
En op de zelfde wijze zou men het geval van 1 vergelijking met 4 onbekenden, 2 vergelijkingen met 5 onbekenden, enz. kunnen behandelen, maar alles wordt dan ingewikkelder, en wij zullen er ons niet mede bezig houden.
Alleen merken wij nog op, dat ingeval p zeer groot is, en a, b en c alle positief zijn, het aantal waarden der ver-
gelijking ax -f- by -j- cz = p zal naderen tot J¥ = J~~.
2 abc
Want uit ax -\-by = p— cz volgt, dat ax-\-by achtereenvolgens — p—c, =p — 2t', = p — 3c, enz. kan zijn. Dit geeft dus aanleiding tot (p/c) vergelijkingen (het tweede lid der laatste zal dan nl. — p — (i>/c) c, dus —0 of iets >0 zijn), en het aantal oplossingen zal resp. zijn:
|Wv ('-£).<**■
\ ab J y ab J ^ ab J
Vervangen wij nu de geheelen door de volledige quotiënten (hoe grooter p is, hoe geringer fout zal daardoor gemaakt worden), dan wordt het totale aantal oplossingen :
P—e , V—2c , P—3c . (p . \
—— H 1 f- enz. - termen ,
au ab ab \c J
hetgeen bij groote p (sommeer de rekenkundige reeks, door
pi
de tellers gevormd) tot —— zal naderen.
2 abc
Passen wij dit op de bovenstaande vergelijking 4c-)- 7y-\- 9^=79 toe, dan vindt men benaderd 6241 : 504, dus hoogstens 12 waarden. Wij vonden er iets minder, nl. 9.
De leerling losse nu ter oefening op :
2.v -j- óy 4- Is 43 ; en ook 4a — % -)- \\z = 5. B. Vergelijkingen van den tweeden graad.
Werden bij onbepaalde vergelijkingen van den eersten
graad slechts geheele, positieve waarden der onbekenden verlangd, bij vergelijkingen van den ticeeden (en hoogeren) graad wordt alleen naar de meetbare (rationale) waarden gevraagd.
4. Alleen dan, wanneer een der onbekenden slechts tot de eerste macht voorkomt, worden evenals boven slechts geheele positieve waarden gezocht. Zoo leidt de vergelijking
3.r2 — hxy 2x — 7y — 29
tot
3a.2_l_2.if—29 75A-2+50.C— 725
v — —r~rï—" of 2"°y — '
OtV -|- 7 5A' -{- 7
gevende :
648
25?/ = 15.b — 11 —— .
y 5.»+7
Wij vermenigvuldigden beide leden nl. met 25, ten einde bij de deeling door ö.c -f- 7 breuken te vermijden. Daar nu ?/ en dus ook 25// geheel moet wezen, zoo zal 5.r-)- 7 noodzakelijk een deeler van 648 moeten zijn. Nu zijn de deelers van 648 de getallen 1, 2, 4, 8 ; 3, 6, 12, 24 ; 9,18, 36, 72 ; 27, 54, 108, 216; 81, 162, 324, 648 (alle zoowel + als—). Behoudt men alleen die waarden, welke voor x geheele positieve waarden geven, zoo vindt men :
5x + 7 = 12, 72, 27, 162 x = 1, 13, 4, 31,
terwijl blijkbaar de negatieve waarden niet voldoen. Hieruit vindt men:
25y — — 50, 175, 25, 450,
zoodat de eerste waarde moet verworpen worden. Wij behouden dus ten slotte :
x == 13, 4, 31 y= 7, 1, 18,
en dit zijn de eenige geheele, positieve waarden, welke aan de gegeven vergelijking voldoen.
5. Thans gaan wij over tot de oplossing van vergelijkingen als
y2 4.c2 — 5x -f- 7,
d.w.z. tot het beantwoorden der vraag naar het meetbaar maken van y = V 4&-2 — hx -j- 7.
a. Is zooals in dit voorbeeld de coëfficiënt van x* een volkomen vierkant, dan stelle men y = ± (2x p), waardoor men verkrijgt :
4x2 -f 4p.v -f — 4,.2 _ 7)
7 ~2
derhalve « = .
5+4/J
Dit is dan de oplossing van liet vraagstuk. Welke meetbare waarden men ook aan p geeft, altijd zullen nu x en y meetbaar worden. Voor p = — 1 vindt men bv. x = 6, y — ± 11; voor p = — 2 wordt x = — l, y=± 4; voor p — 0 is x — l2/5, y =z ± 2*/s ; enz. enz.
Wilde men in zulke gevallen alleen de gelieele waarden bepalen, zoo zou de oplossing zeer moeilijk worden. Dit meer bijzondere vraagstuk wordt dan ook slechts in de hoogere deelen der z.g. getallenleer behandeld.
b. Is de bekende term een volkomen vierkant, bv. in de vergelijking
y2 = 3.1-2 + * + 25,
zoo stelle men y — ± (px -[- 5), en handele als boven, (de leerling werke verder uit).
c. Kan men het tweede lid in (reëele, meetbare) factoren ontbinden, is m.a.w. in de vergelijking y'2 = ax2 -f- bx -j- c de discriminant b- — 4ac een volkomen vierkant, zooals bv. in de vergelijking
V* — — 13,z; — 5 = (3* -f 1) (2a- — 5), zoo stelle men y=±p (frc-j-1). iAIen verkrijgt dan: p3 (3.V -f- 1)2 — (3.v _|_ 1) (2.V — 5), of 2x — 5 = p* (3.f -f 1).
Men had ook van deze laatste gelijkheid kunnen uitgaan, want zal het product -f-1) (2x — 5) een vierkant zijn, dan moet de eene factor, bv. '2x—5, gelijk zijn aan den anderen, vermenigvuldigd met een vierkant p1.
Uit de gevonden vergelijking kan men nu weer x oplossen, enz., wat aan den leerling wordt overgelaten.
d. Ook in het geval, dat een meetbaar stel waarden voor x en y bekend is, kan de vergelijking worden opgelost. Zoo ziet men bv. terstond, dat in de vergelijking f — 2x2 + \x + 3
de waarde x=1 het tweede lid = 9 maakt, zoodat y—± 3 is. Men stelle in dit geval x — 1 4- p , y = ± (3 -f- mp). Er komt dan :
9 -(- 6mp ~1" '"7'" — 9 -f- 8p -)- 2p2, waaruit na deeling door p ontstaat:
6//t m-p — 8 -j- 2p,
derhalve
8—6»i
P = -^=2'
Substitueert men nu voor m willekeurige meetbare waarden, dan vindt men de bijbehoorende voor p, en zijn ook x en y bekend. Zoo geeft bv. m= 2 voor p de waarde—2, en wordt x = — 1, y — ± 1. Enz. Enz.
Is geen der boven behandelde voorwaarden vervuld, zoo kan de oplossing der vergelijking y- = ax'1 + bx -f- c tot groote moeilijkheden aanleiding geven. Hierop gaan wij niet verder in. Alleen wijzen wij er op, dat het vraagstuk somtijds onmogelijk is. Heeft men bv. y2 = 3,t-2— 12a; +12, zoo kan men voor het tweede lid schrijven 3 {x2 — 4« -f- 4) = = 3 (,t. — 2)2. En nu is (.v — 2)2 een volkomen vierkant, terwijl de factor 3 dit niet is. Derhalve kan y2 onmogelijk voor meetbare waarden van x een volkomen vierkant worden.
Heeft men een volledige vergelijking van den tweeden graad met twee onbekenden, bv.
3.r2 — y2 + 2 ,ry -f 5,ï — Gy = 11, zoo schrijve men:
yi + (6 - 2.v) y - 4- hx - 11) = 0, losse hieruit y op :
y — $ — 3 ± V 4,/r- — x — 2,
en make alsnu f4e* — x—2 meetbaar. Daardoor is de vraag tot het boven behandelde teruggebracht.
De leerling losse thans de volgende vergelijkingen op. ,r2 — XV + 5.» = 17 ; 2x~ -J- 4xy — 9y =. 35.
2. 5.«3 — 3.» — Ty = 2 ; xy — x + 2y = 27.
3. A'" -j- ll,»;y = 12 ; 3a-2 — óy — 7 ; — öjr = 4.
4. 2y — 3xy =11 ; 6a-3-f-5.«y = 4x — 13y.
5. r/2 = 9.*2 + «__!; = 5«2 _ 4j. _|_ 3(J>
6. y3 15 a-2 -f 2« — 8 ; yï = 7.c3 -f 4.® — 2.
7. 3.®3 -(- 2xy — 5y- -)- x — 4y = 13.
6. Meetkundige toepassingen.
a. Wij zagen in Deel I, blz. 117, dat wanneer volgens de Stelling van Pvth^goras cs = u2 -(- b- moet zijn, daaraan door meetbare waren van a, b en c voldaan wordt, door te stellen a=pi — qi en b=2pq- c wordt dan = p* -(Dit is volgens de identiteit
(P2 + 8 — 7')2 4- (2p<])2, de z.g. Pi/thayoreïnche vergelijking.
Hoe zou men nu die identiteit door middel van het bovengeleerde kunnen vinden ?
Stellen wij daartoe c = «-}-/, dan wordt a22al1* = = a- -\-b2, ot 2al-\-l2 = b*. Hieruit volgt a=J' ^Verder •o ïi , , b*+P ,
is t> — o, en c — a -(- t — ———. Vermenigvuldiging met 21
geeft dus voor a, b en c waarden, die zich verhouden als l'1 2bi en Ir -)- l1, of met andere letters als — q3J
2pq en p- -f- qi.
b. Op de zeltde wijze kan men de vergelijking a — b, of r^>q
moeten wezen. Verder moet a+b>a—b zijn> mi(sdien
p > q. En ook c -f- d > c — .y. Er moet alzoo nog worden voldaan aan de ongelijkheden
«2 (r* — q*) -f W2 (?'2 — (/•) _ /2
a >■>■ é2—<-
waaruit voortvloeit «2 > <" ^
r'2 - c-d, d.w.z. p>.?. Voor n kunnen wij dus slechts een bepaald aantal waarden nemen, wanneer q, r en l willekeurig worden aangenomen.
Neemt men n = \, dan wordt p* — s* = r* — q* (zie boven), of (0 + £)2-(c-rf)*=(c+ bijgevolg «2 + b2 = r- -f d1. De koordenvierhoek is dan echter een zeer bijzondere, en wel een met twee rechte hoeken, resp. tusschen de zijden a en b, en c en d.
Nemen wij q = 8, r = 12,1= 10, n = 2 (n > »/4 < 41/ \ dan wordt p — 21, .->•:= 11, en verkrijgen wij:
a = 20, b — 13, c = 23, <ƒ — 1, Q — i60)
wanneer nog, teneinde de breuken te verdrijven, met 2 wordt vermenigvuldigd. (O dus met 4).
Nemen wij 7 = 6, ,=26, /=!(), « = 1/2C»>Vs2<31/32), dan wordt p = 13, ,v = 3, en vinden wij (wederom na vermenigvuldiging met 2, resp. 4):
a ■=■ 19, // — 7, c = 29, cl — 23, Q = 320
e. Beantwoorden wij thans de vraag een der zicaartelimen, bv. die naar de zijde c getrokken, rationaal te maken Het is bekend, dat men heeft:
4~c® = 2a2 -f 2b2 — c2, en aan deze betrekking wordt voldaan door de identiteit 4 (p2 ~ q2 — r2)2 = 2 (p2 — g2 4. rl 4. 2(??.)2 4. + 2 (p2 — q2 + r2 — 2?>-)g — (4/)r~>2.
waarvan de waarheid duidelijk wordt, wanneer men voor de eerste twee termen van liet tweede lid schrijft : 4 (p2 __ _J_ ry -I- 16gV.
Aan de noodzakelijke voorwaarde c^> a — b <^a b wordt blijkbaar voldaan, wanneer men {p, q en r alle positief onderstellende) )) g -f- r neemt.
Zoo geeft bv. p = 7, q = 2, r = 3 de waarden a = 66, b — 42, c = 84, zc =■ 36. Na deeling door 6 verkrijgt men dus a = 11, b= 7, c — 14, — 6.
f. Om de deellijn {bisectricë) naar de zijde c meetbaar te maken, gaan wij uit van de formule db
dc2 = -——— (a b -\- c) (a -\- b — c).
( a — b wordt ondersteld.
Neemt men a — 5, b = 3, n = 6, dan wordt c = ',6/i7, J = 6u/j7. Na vermenigvuldiging met '17 krijgt men bijgevolg « == 85, 6 = 51, c — 56, -- 60.
7. Nog eenige andere vergelijkingen.
a. Er zij gevraagd welke meetbare waarden van x en y voldoen aan de voorwaarde
• + y — + y3Hiertoe heeft men slechts op te lossen de vergelijking x* — xy //2 = 1, of
(•« + yf + 3 («*— y)~ = 4-
Stelt men nu x-\-y—p, x— y = q, dan wordt dus
pi _|_ 3^2 — 4 0f p* = 4 — 3g-4. Met p = 2 — geeft dit
4« 2(3—w2) „ n — ., derhalve p — ' , . . Voor x en y verkrijgen
3+71* O-f-ft*
wij alzoo:
_ 3—w2-f 2n 3—n2—2n
3+"~ ' 'J ~ ~3+m»"~'
De leerling controleere of nu inderdaad x+y=:«3-f ys is Met n = 0 vindt men .v= l, ,, = ] ; met „ = i/g komt er
■e = lj/l3, y — 7/|!{j Enz.
Men losse nu ook de vergelijking x*--y*=j*—y3 op
b. Welke meetbare waarden van x en y maken tegelijk x -f- y en x- -(- y'2 tot vierkanten ?
\\ ij hebben alzoo de oplossing te zoeken van de vergelijkingen
■'! + // ' p- ; ** + y2 = q2.
Die der tweede vergelijking is bekend, nl.
■g = a* — b2 ; y — 2 ah.
Er moet dus nog gezorgd worden, dat a2 + 2ab~b* een vierkant wordt, nl. = p*. Stellen wij daartoe p = a + n dan verkrijgen wij : '
62+«-
a — .
2 (b—n)
Jsemen wij bv. b = 2, n = 1, dan wordt a = s/8. Met a = 5, b = 4 vinden wij dan verder x = 9, y = 40. En nu
zijn inderdaad 9-(-40=49=73 en 81 -f 1600=1681=412 beide vierkanten. Enz.
c. Op te lossen de vergelijking
O!3 -f ff3 = V2.
Daar dus [x -f- y) (,v — xy _f_ y2) een vierkant moet wezen
s T» f ~Xy + y* = n* (x + V)- Daardoor wordt x ~(n + y)x+ (ƒ—n*y)—0, derhalve
x=l/i t("2 + y) ± ^ n* + Qn*y — 3^2].
Stel nu de worteluitdrukking =n* + ty, dan verkrijgen wij:
v=2na-^i : „s i 8 9~2<+*2 . , 03 + 6< — t*
: i+f ' i+y-w~3+7~ ; n +^=wS-3q^-»
bijgevolg
„ , c „(3 0(1 0
' =2" 3+i^ °f * = "' 3+1» ■
Zoo geeft n = 7, t — — 2 de waarden ,r = 14 of 105, y = 70. Bij n = l, £ = — 1 behooren de waarden x = 1 of 2, y = 2. Enz.
De leerling beproeve nu eens de oplossing te vinden van de volgende combinaties van voorwaarden.
1. .t3+!/3=j'2 ; 72- 2- «3+y8=/>® ; •^+,y2='/2-
d. Geven wij ten slotte als laatste voorbeeld nog de oplossing der vergelijking
y x x = y .
Stelt men y = px, dan wordt afx — {px)', of ./ = px, dus P—*
x=i^p. Daar p in het algemeen een breuk zal wezen, zoostellen
f/b — l a — b ^
wij p = n/b- Alsdan wordt x — \/ "/j, of x — 1/ (a/b) . Nu moet dit rationaal gemaakt worden. Daartoe moet nood-
a n -|-1 .
zakelijk b = n(a — b) zijn, waaruit volgt - = ——. Wij verkrijgen alzoo :
-=(^)" -
a n-\-1
daar y =px = - x — x is.
b n
Nemen wij n — 1, dan wordt x = 2, y == 4. (2+ = 4*). Met n = 2 vinden wij x = %, y =- 27/8. Inderdaad is (9/4),r/8 — (iV8),/«, want beide leden zijn = (Va)'7 4-
Zoo geeft 11 = 1, t = — 2 de waarden ,r = 14 of 105, yz=z 70. Bij ft = 1, £ = — 1 behooren de waarden x = 1 of 2, y = 2. Enz.
De leerling beproeve nu eens de oplossing te vinden van de volgende combinaties van voorwaarden.
i. '?2- 2. .w3+y3=7»2 ; «a+y8=?8-
d. Geven wij ten slotte als laatste voorbeeld nog de oplossing der vergelijking
y x x = ij .
ZEVENDE LES.
PERMUTATIËN EN COMBINATIËN. KANSREKENING.
1. Permutatiën.
a. Men verstaat onder variatie (verandering) een bepaalde groepeering eu rangschikking van een of meer van eenige gege\en „elementen . Zoo zijn bv. van de gegeven elementen
a, b, c, (l de samenvoegingen a, />, c, ab, ba, ac, ca,
abc, acb, acd. . . . alle variatiën. Neemt men alle elementen, dan spreekt men altijd van permutatie (verschikking). Zoo' noemt men van de drie elementen a, b en c de samenvoegingen abc, acb, cba, enz. permutatiën dezer elementen. Het is echter beter slechts een naam te gebruiken, en in de bovengenoemde gevallen altijd van permutatiën te spreken; wanneer alle elementen genomen worden, kan men van onderlinge permutatiën spreken.
Het aantal permutatiën van eenige, bv. n gegeven elementen bepaalt men als volgt.
Het aantal een aan een is blijkbaar =n. Men heeft dus l\ =n. Het aantal twee aan twee zal =n(n—1) zijn. Want achter elk der n elementen kan men de n—1 overigen schrijven. Dan zal P*=n{n—1) zijn. Evenzoo is het aantal drie aan drie gegeven door IV = n (n — 1) (n — 2), want achter elk der n(n — 1) permutatiën twee aan twee kan men de n — 2 overige elementen schrijven. Enz. Enz.
In liet algemeen heeft men dus :
P„p — n (n — 1) (H — 2) . . . (w — (/> — 1) ).
Woidt p — n, dan vindt men dus voor het aantal onderlinge permutatiën:
pH" g: B (n — 1) (n — 2) ■ . . 3 ■ 2 . 1 = n ! ,
wanneer men liet faetorenproduct n (n — 1)... 1 door n ! (lees ii-faculteit) voorstelt. (Zoo is 1 ! = 1, 2 ! = 2, 3 1 = 6, 4 ! = 24, 5 ! = 120, 6 ! = 720 !, enz.).
b. Worden in de perinntatiën de elementen ook herhaald, dan spi-eekt men van permutatiën met herhalingen.
Hun aantal 1 &an 1, nl. P*, is weer = n. Het aantal
2 aan 2 verkrijgt men, door achter elk der n gegeven elementen alle n elementen te schrijven. Heeft men bv. de elementen a, b en c, zoo verkrijgt men op die wijze de permutatiën
na, ab, ac; ba, bb, bc; ca, cb, cc. Men heeft dus Pn = Evenzoo vindt men P„3=n3, enz., zoodat men in het algemeen heeft:
P/ = n".
Thans kan p zeer goed n zijn. Zoo zal bv. van de 2 elementen a en b het aantal permutaties met herhalingen
3 aan 3 = 2:! zijn, nl.
aaa aba baa bba
aab abb bab bbb .
c. Komen onder de gegeven elementen gelijke voor, dan vinden wij minder bv. onderlinge permutatiën dan door de formule voor Pn wordt aangegeven.
Denkt men zich nl. de gelijke elementen eerst ongelijk, dan is liet duidelijk, dat wanneer deze nu gelijk worden, er gedeeld moet worden door het aantal onderlinge permutatiën dezer gelijke elementen. Worden bv. de elementen a, b en c gelijk genomen, dan zullen alle permutaties, die alleen in de volgorde dezer 3 elementen verschillen, gelijk worden. En het aantal daarvan is blijkbaar P3J = 6. Immers abc, acb, bac, bca, cab, cba worden thans alle gelijk, nl. = aaa.
Heeft men derhalve onder de n elementen p, q, r. .. gelijke, dan zal het aantal onderlinge permutaties worden :
„ n!
i> —
" — iii
piqlr5..,
14
d. Geven wij nu van liet hoven behandelde eenige Voorbeelden.
1. Op hoeveel manieren kunnen 3 personen plaats nemen in een zaal, waarin nog 8 plaatsen onbezet zijn?
Het antwoord is klaarblijkelijk I\3 = 8x7x0, d.vv.z. op 336 manieren.
2. Op hoeveel manieren kunnen 4 personen op een bank plaats nemen?
Dit aantal is gegeven door de uitdrukking I\*=4! = 24.
3. 6 personen dineeren in een besloten kring. Op hoeveel verschillende wijzen kunnen deze aan een ronde tafel zitten?
Ook hier is het antwoord P6Ü = 6 ! Maai daar de tafel rond is, zoo zal de volgorde a,b,c,(l,e,f wel op het zelfde neerkomen als b, c, d, e,f, a; c, d, e,f, a, b; enz. enz., zoodat nog door 6 moet worden gedeeld. Op 5! = 120 verschillende manieren kan dit derhalve geschieden, zoodat eerst na 4 maanden de oorspronkelijke plaatsing terugkeert.
De leerling zal nu eens nagaan hoeveel 4-hoeken er kunnen gevormd worden, door 4 gegeven punten op alle mogelijke manieren te verbinden. (Waaraan moet hier tevens worden gedacht?)
4. Hoeveel getallen kunnen gevormd worden met de cijfers 2,4, 4, 5, 5, 5,6?
Dit zijn dus 7 elementen, waaronder resp. 2 en 3 gelijke voorkomen. Het gevraagde aantal is mitsdien
= ÏTÏÏ = «*
5. Op hoeveel manieren kan men de elementen a, a, b, c, d aan weerszijden van een streep plaatsen ?
Denkt men zich de streep weg, dan is het gevraagde aantal 5!
= iT, — 60. Maar daar nu bij elk dezer permutaties de
«J I
streep op 4 verschillende plaatsen kan staan, zoo is het gevraagde aantal = 60 X 4 = 240.
t
6. Hoeveel cirkels raken aan drie gegeven cirkels?
Let men zoowel op uitwendige (u) als op inwendige (i)
raking, dan heeft men blijkbaar de volgende gevallen van raking: u u n, i u u, u i u, u u i, u i i, ' i u i, i i u en iii. Tezamen alzoo 8 cirkels. Men vindt dit aantal nn ook door de formule 1\ = 23 = 8. Want het gevraagde aantal is blijkbaar dat van hel aantal permutaties met herhalingen drie aan drie van twee gegeven elementen, (m en i).
Hoeveel bollen raken er nu aan vier gegeven bollen ?
2. Combinatiën.
a. Let men bij liet samennemen van eenige elementen alleen op groepeering en niet op rangschikking, dan spreekt men van combinatie (verbinding). De samenvoeging- ba is thans geheel hetzelfde als ab-, ac en ah zijn daarentegen verschillend, want hier komen in de beide samenvoegingen andere elementen voor.
Het aantal combinatiën van n elementen 1 aan 1 is weer — n, dus C'„ = n. Het aantal 2 aan 2, 3 aan 3, enz., in het algemeen /> aan /> wordt uit dat der permutatiën verkregen, door te deelen door p ! Immers bij combinaties 3 aan 3 bv. zulle» de permutaties abc, bac, enz. alle gelijk worden, zoodat door het aantal onderlinge permutaties dezer elementen moet worden gedeeld. Wij hebben dus :
CP _ ]'»' _ »("- !)("—2)-(w—(j» — 1))
" 1.2.3. .p " '
Dit zijn alzoo niet anders dan de binominaalcoefficienten der ne macht. (Wij komen hierop spoedig terug). Zoo vindt men bij 5 elementen achtereenvolgens :
„i 5 2 5.4 3 5.4.3
5 r -0; 65 = n = ; 5 = r^3= 10
C 1 = 5-4'3-2 _ - . r 5 _ 5-4-3-2-1 _
5 1.2.3.4 ° ' 5 — 1.2.3.4.5 — '
Het spreekt van zelf, dat alle eigenschappen der binominaalcoëfficienten, vroeger in Deel I (bl. 105—J 11) behandeld, onveranderd gelden voor de verschillende combinatie-aantallen. Zoo is in het bijzonder de eigenschap
14*
Cf = Cnn~r
te vermelden.
b. Ook hier kan het voorkomen, dat in de combinatiën de elementen herhaald voorkomen. Men spreekt dan van combinatiën met herhalingen, of herhalings-combinatiën.
Wij kunnen gemakkelijk bewijzen, dat liet aantal daarvan wordt voorgesteld door de formule
?-rp w(M+l)(w + 2)..(n-|-(p-|-l))
1.2.3 p
waarin wederom p n kan zijn.
Plaatst men nl. achter elk der n elementen alle n elementen, en nog eens het voorop geplaatste element, dan is het duidelijk, dat alle combinaties nu 2-keer voorkomen. Niet alleen zal men nu a\b naast b\a vinden, maar ook a\a naast a\a, bh naast b\b, enz. (de leerling schrijve het maar eens uit voor de 4 elementen a, b, c en d).
Wij hebben alzoo C„ = ^. Om het aantal 3 aan 3
te vinden, schrijve men achter elk der herhalingscombinaties 2 aan 2 alle n elementen en nog eens de beide vooraangeplaatste elementen. Alsdan zal bv. niet alleen ab\c naast ac h en bc\a voorkomen, maar ook aa\b naast ab\a en nog eens ab\a ; en zal ook aa\a drie keer voorkomen (en wel in de zelfde kolom). De voorgaande uitkomst is dus te vermenigvuldigen met ^2, en we verkrijgen Cn =
t, 3 1-2.3
Enz. Enz.
Opmerking. Bij het bewijs van de formule voor 6'„2 moest door 2^ worden gedeeld, bij dat der formule voor Cf door 3, bij Cn zal door 4 moeten worden gedeeld, enz. enz. De getallen 2, 3, 4, enz. zijn hierbij niet anders dan het aantal combinaties van resp. 2 elementen 1 aan 1, 3 elementen 2 aan 2,
4 elementen 3 aan 3, enz., d.w.z. resn = - = 2 — — 3
t" 1 ' 1 o —
4.3.2 ,){x-\-c)=ri-\-(a-\-b-\-c)x'i-\-(ab-{-ac-\-bc)x-\-abc.
Op dezelfde wijze vinden wij (x-f a) (x+b) (x+c) (x+d) —
=.c* + (a -f b -f- c-f- (/).r3 -f (ah -j- ac -f ad-f bc -f bd-f- cd)x9- 4-
+ (abc -f- abd -f acd -f bcd)x -f- abcd. Enz. Enz.
Wij zien dus — en dit is ook van zelf duidelijk — dat
in dit laatste voorbeeld de coëfficiënt van x'1 de som is van
alle mogelijke combinaties van de 4 getallen a, b, c en d
1 aan 1; dat die van x2 de som is van de combinaties dezer
getallen 2 aan 2; die van x de som der combinaties 3 aan 3;
en eindelijk de term zonder x de som der combinaties 4 aan 4.
Immers bij de vermenigvuldiging der 4 factoren x + a,
x + h' z + c en x + d zal bv. een term met x* ontstaan'
door bet gedurig product te nemen van den term a van
den 1™ factor, den term b van den 2™, den term «van den
' en den tenn x van den 4™ factor, gevende abx\ Evenzoo zal ontstaan acx2, adx"2, enz. enz.
Wordt nu a = b = c == d genomen, dan komt er: (« + af = ** + Cil x*a + C42 ,««« -f .ra» + C4± «*, omdat dan a -f b -f- c -f- (/ overgaat in 4 a, waarin 4 = C4*
is; ab -j- ac -J- ad -(- bc -f- bd -j- cd in 6a'2, waarin ft — (J 2 is; enz. enz. 4
Bij n gelijke factoren komt er dus:
(■c + a) = Xn + Cn x"—1 a -f Cn .K"-g gï -f ... -\+ C„" 2 afla«-2 4. Cn"~l x a"-l 4- c„" q".
Worden nu voor de verschillende combinaties hunne waarden in de plaats gesteld, d.w.z. C'J door C„2 door
n (n — 1) *
12 vei vangen, enz., dan ontstaat onmiddelijk de bekende binominaalformule.
b. Wat zal de algemeene uitkomst nu zijn, wanneer (a-hb4-c)n wordt bepaald?
Blijkbaar komen er dan drie soorten van termen. In de
eerste plaats termen, waarin slechts een der letters n, b en c voorkomt. Dit kunnen dus alleen a", b" en c"^zijn. Deze termen kunnen wij vereenigen in het teeken 2£a".
In de tweede plaats komen er termen met twee letters. Die termen bevatten alle mogelijke producten av bq, a" cv, b c , waarbij p q = n. Hiervan zullen de coëfficiënten
n\ ^ f
blijkbaar = ——- zijn. Want cl' li' bv. ontstaat uit het product p\ q\ 1
van n getallen, waarbij p gelijke getallen a, en q gelijke getallen b voorkomen. Het aantal permutaties daarvan is echter de genoemde uitdrukking, (zie bl. 209). Voor bepaalde waarden
71!
van p en q heeft men dus ——- 2 ar />'. En sommeert men
p\q\
nu weer over alle termen, waarbij p en q telkens andere waarden hebben, dan komt er ^ ("T~! ~ ^
Zoo heeft men bv. bij (a -J- b -f- c)a slechts termen, waar
p = 2, q = 1 is, nl. a-b, abz, a3c, ac', b2c en bc*. Het aan-
3!
tal van elk bedraagt — = 3. De bovenstaande uitdrukking
Li .
wordt dus eenvoudig 3 a'b.
Bij (« + b + c)+ heeft men termen met aV>, enz., en termen
met a-b'2, enz. Het aantal van de eerste soort is — = 4 •
3!
4'
dat der tweede soort zal —- = 6 bedragen. De boven afgeleide uitdrukking wordt dus hier 4 2 a3b + 6 2 a*b*.
Eindelijk zullen er in de derde plaats termen komen, waarin alle drie letters a, b en c voorkomen. Al die termen bevatten af bq c, waarbij thans p -f q -j- /• — n is. Na het boven gezegde zal men inzien, dat al die termen begrepen
/ n\ \
zijn in de uitdrukking V* [ ; - 2 aplqc\
ypl qlrl J
Zoo is bv. bij (a -f- b -f- c)3 slechts p = 1, q — 1, r —1,
en heeft men alleen 3! abc = Gabc.
^ Bij ta + 6 + c)4, kan p = 2, q=1, r=z 1 zijn, en heeft men — 2 a-bc = 12 2 a%c.
Wij hebben dus ten sloffe:
(„+> + ,)- = JE* + **') + X^V).
Voorbeelden.
(a b -f- c)3 = 2-a3 -f- 3 2a-b -f- 6 abc.
= (a3+b3 -}- c3) -f- 3(a?ö -f ab2 + a*c-\- acn- -)-isc -f ie2) + 6abc. (a -\-b-\-cf= Sai -f- (4 StPb -f 6 2W) + 12 2a*bc, waarin 2£ a3b — a3b -|- ab8 -f- a3c -f- nc3 -}- b3c -f- bc3 ie, v"d'b3 — id., en Sa9bc — a9bc -f- alflc -j- abc9.
(a -f- /<-M5= -V' + (ó 2a*b -f 10 2W)-f (20.5'a86c-f-30.2,a»fc4c).
5 t
Hier wordt de coëfficiënt van 2 n*b gevonden uit — = 5,
4!
(j | w |
die van 2 a3b~ uit ———10, die van 2 a3bc uit -—' = 20,
O . êm • 3 .
en die van — asb9c uit -—— = 30.
2! 2!
Opmerking. De coëfficiënten der termen, waarin slechts 2 letters voorkomen, zijn blijkbaar altijd binominaalcoëffi-
denton. Want -f!- =
P' ?! p(p-l)... I X q(q-l)... 1 '
omdat ii (/> 1) — verschillende letters daarin in alle denkbare combinaties, herhaald en niet herhaald, voor.
Van (a -f- b c)5 zal bv. het aantal termen = C3° = 3.4.5.6.7
— —21 bedragen. Inderdaad bestaat 2£a-' uit 3 ter1. J.0.4.0
men, ^ a^b uit 6, (fib1 uit 6, a3bc uit 3, en ook a2b*c uit 3 termen.
Van den vorm (« -f- b -j- c -f- d -f- éf zal het aantal = C\G =
5.G.7.8 9.10
— —„ , „ „ = 210 zijn.
1.2 3.4.5.6 J
4. Kansrekening. In nauw verband met het in § 1 en 2 behandelde staat de zg. kans- of ivaarschijnlijkheidsrekeniny. Werpen wij met éen dobbelsteen, op welks G zijvlakken resp. 1,2... 6 oogen voorkomen. Wat is 1111 de „kans" dat men bv. met den eersten worp 3 werpt P Daar men slechts G verschillende worpen kan doen, en het nummer 3 daaronder slechts éen keer voorkomt, zoo zegt men, dat de kans om 3 te werpen — '/« is- D.w.z. van de zes keer dat men werpt, zal het gemiddeld éen kejdr gebeuren. Hierbij /* mag wel gelet worden op de bijvoeging „gemiddeld", want het kan toch zeer goed gebeuren, dat men bv. 10 keer achtereen een ander nummer werpt, en eerst de lle keer het nummer 3. Alleen dan, wanneer men een zeer groot aantal keeren achtereen werpt, zal — wanneer de dobbelsteen nl. gelijkmatig is afgewerkt — het aantal keeren, dat men 3 werpt, hoe langer hoe meer tot '/o van het totale aantal worpen naderen. Eerst wanneer het aantal worpen =r oo werd, zou men nauwkeurig 1/ö vinden.
Onder (wiskundige) kans of waarschijnlijkheid wordt alsnu verstaan de verhouding van het aantal gevallen, waarin een gebeurtenis kan plaats vinden tot het aantal der mogelijke gevallen.
Zoo was in ons bovenstaande voorbeeld liet aantal mogelijke gevallen - 6, en het aantal gevallen daaronder, waarin 3 kan geworpen worden, = i ; de kans oni 3 te werpen is derhalve — %.
Wij zien dus, dat de kans altijd wordt uitgedrukt door een getal 1. Noemt men de kans of waarschijnlijkheid W, dan zal blijkbaar bij W = 0 de gebeurtenis onmogelijk zijn, terwijl bij W = 1 liet intreden daarvan zeker is. Bij W=1/j noemt men de gebeurtenis onzeker-, er is evenveel kans, dat ze niet plaats vindt, dan dat ze wel intreedt. Verder zal de gebeurtenis bij II 1 /a waarschijnlijk genoemd worden, en bij Hr< l/2 onwaarschijnlijk-, in dit laatste geval is er meer kans dat ze niet intreedt, dan dat ze wel plaats heeft.
Geven wij nu eenige Voorbeelden van het berekenen van verschillende kansen.
a. Hoe groot is de kans met twee dobbelsteenen 9 te gooien ?
Het aantal mogelijke worpen is blijkbaar = ÏV=62=36. (Men kan nl. ook 4,4; 2,2; enz. werpen). Verder kan 9 gegooid worden bij 6,3 ; 5,4; 4,5 ; 3,6 ; in het geheel dus 4 keeren. De gevraagde kans is derhalve 4/3B = i/9.
Schrijft men alle mogelijke worpen op, dan blijkt, dat men kan werpen :
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 oogen 12345654 3 2 1 keer
zooals gemakkelijk is te controleeren. Hieruit ziet men, dat men de meeste kans heeft met éen worp 7 te gooien : de kans daarvoor is '/„. I)e kans een aantal oogen te werpen bv. boven 8 is = (4 + 3 + 2 + 1): 36 = 5/ls. Enz. Enz.
Hoe groot is nu de kans met drie dobbelsteenen 10 te werpen ? Welk aantal oogen heeft thans de grootste waarschijnlijkheid ?
b. Hoe groot is de kans dat men met éen dobbelsteen drie maal achtereen 5 werpt ?
De kans dat men het éen keer doet, is = Vo- Dat men de tweede keer nogmaals 5 werpt, is alzoo = V8 X V0, en dat
men het de dercle keer wederom doet, zal =VaX1/oX Vo =
= (Ve)3 = Vaie zijn.
Immers, het totale aantal combinaties, dat men maken kan van de oogen van den eersten worp met die van den tweeden en derden worp, zal = 6 X 6 X 6 = 63 bedragen. [Want elke der 6 mogelijke worpen van den eersten worp kan gecombineerd worden met elk der 6 mogelijke worpen van den tweeden en met elk der 6 van den derden worp. (Men heeft trouwens ook 7JC'! = 63)]. Eén dier combinaties slechts zal = 5, 5, 5 zijn. Derhalve is de kans = Yo» — Vaie-
Evenzoo zal de kans met twee dobbelsteenen de eerste keer 5, en de tweede keer 11 te gooien, = 4/3g X 2/ze, = = Vo X Vis = V162 bedragen.
En de kans uit een spel van 32 kaarten eerst harten-aas, daarna schoppen-boer, en eindelijk ruiten-zeven te trekken, = V32 X V31 X V30 zijn- Want is de eerste kaart getrokken, dan blijven er nog slechts 31 over, enz.
Men kan bij dit laatste vraagstuk ook aldus redeneeren. Het geheele aantal permutaties drie aan drie van 32 kaarten bedraagt jP3a'! — 32 X 31 X 30. Eén dezer permutaties is de gegevene, alzoo is de kans = Va2X3iX30.
Hoe groot is nu de kans uit twee vazen, waarvan de eene 4 witte en 8 zwarte kogeltjes bevat, de andere 6 witte en 6 zwarte, 2 witte kogels te trekken ?
c. Hoe groot is de kans met twee dobbelsteenen de eerste keer 8 te werpen, en indien dit niet geschiedt, de tweede keer 8 te gooien ?
De kans dat men de eerste keer 8 werpt, is = 5/3ö (zie boven). De kans dat dit niet geschiedt, is dus 1—5/56 = 31/3GDaarvan is weer de kans voor de 2U keer 8 te werpen, = V36» zoodat die kans 31/38 X V36 = 155/im bedraagt. De gevraagde kans is derhalve = 5/30 + 155/i296 = 333/i290-
Bereken nu eens de kans met twee dobbelsteenen de eerste keer 7 te gooien ; en indien dit niet gebeurt, de tweede keer; en indien ook dit niet geschiedt, de derde keer.
d. Welke is de kans met twee dobbelsteenen in twee worpen minstens éen keer 10 te gooien?
De kans dat de eerste keer JO geworpen wordt, is —3/JC— (zie boven). De kans, dat dit niet geschiedt, is derhalve 1 — V12 = '/12- De kans dat het ook de 2-' keer niet geschiedt, is weer u/12, en dus de kans dat het geen van beide keeren gebeurt, =(u/12)-. Blijven over de kansen dat het beide keeren ot éen van beide keeren gebeurt, d.w.z. minstens 1 keer. De gevraagde kans is mitsdien 1 — C1/^)"3 = S3/144.
Wat is nu de kans uit een spel van 32 kaarten bij drie trekken minstens éen keer een aas te trekken ? (Onderstel, dat het spel telkens weer uit 32 kaarten bestaat).
Reeapi tuleeren wij het in de vier bovenstaande Voorbeelden behandelde, dan kunnen wij dus het volgende opschrijven. ie. De kans dat van eenige elkaar uitsluitende gebeurte. nissen met waarschijnlijkheden wu ivg, w3, enz. minstens eén plaats vindt, is gegeven door
w = wi + «'2 + 'C-6 + • • •
[Zie bij «): de kans om bij twee dobbelsteenen bv. boven 8 oogen te werpen],
2'. Dat van eenige onafhankelijke gebeurtenissen meerdere samentreffen :
W = Wj x w2 x tt>3 x • • •
[Zie Voorbeeld b)\.
Alle andere gevallen, die bij de kansrekening kunnen optreden [zie o. a. de Voorbeelden c) en (/)], zijn combinaties van deze twee hoofdregels.
Ziehier ten slotte nog twee Voorbeelden. a. Twee spelers A en B houden op met spelen, wanneer de eerste nog 3-keer zou moeten winnen, teneinde het geheele spel te winnen, de tweede nog 2-keer. Nu vraagt men in welke verhouding de inleg moet worden verdeeld.
Na 4-keer spelen is het spel in elk geval beslist. Want dan zou A of 4 of 3 keer gewonnen hebben, in welk geval A het spel wint; óf A zou 2, 1 of 0 keer hebben gewonnen, in welk geval B het spel wint. Nu zijn er bij die 4 spelen blijkbaar /'2 =2' mogelijkheden (aantal permutaties met
herhalingen van de (wee elementen A en B 4 aan 4). Daaronder zijn echter slechts 5 mogelijkheden dat A wint, nl. AAAA, AAAB, AABA, ABAA en BAAA. De overige 11 mogelijkheden zijn alle ten voordeele van B. A moet derhalve 3/j6 van den inleg hebben, en B 1 '/ic-
b. Wanneer inen uit een zak met 5 kogeltjes blindelings een willekeurig aantal grijpt (ondersteld, dat de kans om er bv. 5 te grijpen even groot is als om er 1 te grijpen, en dat men er minstens éen grijpt), dan vraagt men welk aantal de grootste kans heeft, een even. ot' een oneven aantal.
Op het eerste oog zou men zeggen, dat de kans voor oneven grooter is. (bij een even aantal kogeltjes even groot). Maar dat is niet zoo. De kans nl. om 1 te treffen, is Cj1 = 5; die om 2 te treffen, C'5 =10; enz., zoodat de verschillende kansen 5, 10, 10, 5, 1 zijn. Voor even is derhalve de kans 10 4-5 = 15, terwijl die voor oneven = 5 -f 10 -j- 1 = 10 is. De laatste kans is derhalve de grootste.
Dit komt daar van daan, dat (zie Deel 1, bl. 110) de som der binominaalcoëfïicienten van even rang gelijk is aan die van oneven rang, en wel beide — 2"—1. Maar daar bij ons vraagstuk de le coëfficiënt, betrekking hebbende op 0 voorwerpen, wegvalt, zoo zal de som van de oneven kansen = 2n_l, maar die van de even kansen = 2"~1 — 1 zijn. Er is dus altijd 1/2» meer kans om oneven te treffen.
INHOUD.
Bladz.
Voorwoord v
EERSTE LES.
Reeksen.
§ 1. Bepalingen, enz 1
2. Rekenkundige reeksen ' 2
3. Vraagstukken 5
4. Harmonische reeksen 6
5. Meetkundige reeksen 7
6. Vraagstukken 10
7. Sommeeren van oneindig-voortloopende afdalende meetkundige reeksen 12
8. Vraagstukken 15
9. Andere gemakkelijk te sommeeren reeksen 17
10. Rekenkundige reeksen van hoogere orde 20
11. Vraagstukken 30
12. Convergentie en Divergentie van reeksen 33
TWEEDE LES.
Logarithmen.
§ 1. Bepalingen, enz 50
2. Eigenschappen 52
3. Vraagstukken 55
4. Logarithmentafels 57
5. Het rekenen met logarithmen 62
6. NEPEB'sche logarithmen 67
7. Herleiding der NEPER'sche logarithmen tot BRiGGs'sche, en omgekeerd 71
DERDE LES.
Goniometrische betrekkingen.
§ 1. Inleiding
2. De vier hoofdbetrekkingen 75
3. Betrekkingen tusschen de goniometrische verhoudingen
van een hoek 76
4. Goniometrische betrekkingen van eenige bekende hoeken. 78
5. Goniometrische betrekkingen van hoeken grooter dan 90°. 80
6. Negatieve hoeken 8g
7. Herleidingsformules voor hoeken >90° 89
8. Oplossing van de eenvoudigste goniometrische vergelijkingen
9. Tafels van goniometrische betrekkingen 95
10. Betrekkingen tusschen de goniometrische verhoudingen van twee en meer hoeken
a. Formules voor u±b 201
b. Formules voor den dubbelen hoek 104
c. Formules voor 3a, enz 105
d. Formules voor den halven hoek 108
e. Formules voor sinp±süiq, enz 109
f. Formules bij a -f b -f c = 180°, enz m
11. Vraagstukken 114
12. Het invoeren van hulphoeken
13. Cyclometrische betrekkingen 126
14. Het theorema van Moivre 12g
15. Logarithmen van negatieve getallen. Periodiciteit en veelwaardigheid
16. Reeksen voor sinx en cos x 134
17. Reeksen voor Bg tg z en Bg sim ! 135
18. "Veelwaardigheid der eenheidswortels 138
VIERDE LES.
Vierkantsvergelykingen.
§ 1. Oplossing 143
2. Eigenschappen der wortels 140
3. Ontbinding in factoren van een willekeurigen vorm van
den tweeden graad ^
4. Vraagstukken 150
Bladz.
§ 5. Vergelijkingen van den tweeden of hoogeren graad met
meer dan éen onbekende 157
6. Vraagstukken 162
7. Wederkeerige vergelijkingen 168
8. Binominaalvergelijkingen 171
VIJFDE LES.
Over het verloop van vormen van den tweeden graad. Maxima en minima.
§ 1. Verloop van den vorm ax2 + è.c-f c 175
2. Verloop van breuken, waarin vormen van den tweeden graad voorkomen
3. Maxima en minima van producten 182
4. Vraagstukken
ZESDE LES.
Onbepaalde vergelijkingen.
A. Vergelijkingen van den eersten graad.
§ 1. Eén vergelijking met twee onbekenden 190
2. Aantal oplossingen van de vergelijking ax-\-by — c . . 192
3. Onbepaalde vergelijkingen met drie en meer onbekenden. 195
B. Vergelijkingen van den tweeden graad.
4. Een der onbekenden komt slechts tot de eerste macht voor. 199
5. Oplossing der vergelijking y- = ax2 + bx + c 199
6. Meetkundige toepassingen 202
7. Nog eenige andere vergelijkingen 205
ZEVENDE LES.
Permutatiön en combinatiën. Kansrekening.
§ 1. Permutatiën 208
2. Combinatiën 211
3. Bewijs van de binominaalformule van Newton voor geheele waarden van den exponent. Machten van drietermen, enz. 215
4. Kansrekening . 219
ERRATA.
De lezer gelieve de volgende verbeteringen aantebrengen.
Blz. 49. Regel 8 v. o. staat: 1,7183, lees 2,7183.
„ 57. „ 16 „ „ grenswaarden, lees grenswaarde.
„ 67. » 4 „ „ (1 + 3)'/, lees (1 + 3)
„ 85. „ 10 v. b. „ 1, lees 11.
93. „ 12 v. o. zet onder tg x— — p of cotx— — p een streep.
„ 110. „ 5 „ staat: 2 sin 9, lees 2sin9x.
„ 166. „ 4 v. b. „ x2+y2-z2 = 89, lees x2-89.