ThM2 N=_5 10G6 VEREENIGING TOT HET UITGEVEN VAN BEKNOPTE HANDLEIDINGEN BIJ HETONDER- X Tn er W,JS AAN DE TECHN1- T UO IN= 5 SCHE HOOGESCHOOL 1 H iW ^ ■ theoretische ; MECHANICA SÈKEK BEWERKT DOOR PROF. Dr. G. SCHOUTEN. PRIJS VOOR LEDEN: ING. ƒ 0,65. GEB. ƒ0,85. MET WIT PAPIER DOORSCHOTEN ING. ƒ 0,75. I GEB. ƒ0,95. VOOR NIET- LEDEN WORDEN DEZE PRIJZEN ƒ 0,95, ƒ 1,25, ƒ 1,15, ƒ 1,45. DRUK EN UITGAVE VAN J.WALTMAN Jr. DELFT 1906 I K [ U II VEREENIGING TOT HET UITGEVEN VAN BEKNOPTE HANDLEIDINGEN BIJ HET ONDERWIJS AAN DE TECHNISCHE HOOGESCHOOL. THEORETISCHE MECHANICA gedeelte BEWERKT DOOR PROF. DR. G. SCHOUTEN. DRUK EN UITGAVE VAN J.WALTMAN Jr. DELFT 1Q06 j } INHOUD. HOOFDSTUK IX. Blad/. Dynamica van een punt en van een stelsel punten. 69 De bewegingsvergelijkingen van een punt vrij in zijn beweging. 69 Het beginsel van levende kracht en arbeid 7' Arbeid eener impulsie • • 7 2 Wet der perken 73 De bewegingsvergelijkingen van Lagrange 75 Afleiding van het beginsel van levende kracht en arbeid uit de bewegingsvergelijkingen van Lagrange ...... 77 Het beginsel van levende kracht en arbeid bij de betrekkelijke beweging van 't punt 78 Betrekkelijke beweging van een punt 79 De bewegingsvergelijkingen voor een punt ten opzichte van de wentelende aarde 84 Beweging van een stelsel stoffelijke punten, die elkaar twee aan twee aantrekken niet een kracht volgens hunne verbindingslijn ; evenredig met de massa's der beide punten en met een functie van hunnen onderlingen afstand. ... 85 De wet van de beweging van 't zwaartepunt 86 Wet der perken 86 Het beginsel van behoud van arbeidsvermogen 87 U is de krachtfunctie van 't stelsel krachten 88 Arbeidsvermogen van plaats . . . , 89 Beginsel van behoud van arbeidsvermogen of van energie . 90 Het zwaartepunt van 't zonnestelsel heeft een rechtlijnige eenparige beweging Het vlak van 't resulteerend impulsiekoppel voor een reductiepunt heeft ten allen tijde een onveranderlijken stand . . De totale energie van 't stelsel is standvastig Het onveranderlijke vlak van 't resulteerend impulsiekoppel met het zwaartepunt tot rëductiepunt 91 IV. INHOUD. HOOFDSTUK X. De l»e>vt»Lriny van een punt langs voorgeschreven haan en over een gegeven oppervlak. Bladz. De beweging van een punt langs voorgeschreven baan . . 92 Beginsel van levende kracht en arbeid 93 De mathematische slinger 93 Cycloidale slinger 96 De beweging van een stoffelijk punt met tle massa m in een rechte buis, die 0111 een harer punten als as eenparig rondwentelt in een horizontaal vlak. Het punt wordt naar de as getrokken met een kracht m jj.- r, als r de afstand van 't punt tot de as is 97 Beweging van een punt over een oppervlak 98 Geodetische kromme op een plat vlak 100 Geodetische kromme op een boloppervlak 100 Het punt beweegt onder de werking van zijn gewicht over een plat vlak, dat 0111 een horizontale lijn in dat vlak met een hoeksnelheid u eenparig wordt rondgewenteld . . . 101 De sferische slinger 101 HOOFDSTUK XI. De traagheidsniomenteii. 102 Traagheidsellipsoide van een punt 103 Eigenschappen van de hoofdtraagheidsmomenten en assen . 105 Uitdrukking voor de levende kracht van een lichaam, dat met een hoeksnelheid cc om een as wentelt 108 Uitdrukking voor het moment van de hoeveelheid van beweging van een lichaam ten opzichte van een as, 0111 welke het lichaam met de hoeksnelheid cc wentelt 108 HOOFDSTUK XII. Dynamica van een lichaam of van een stelsel lichamen. Opstelling van de bewegingsvergelijkingen. 109 Het beginsel van d'Alembert, voor eindige krachten . . . 109 De bewegingsvergelijkingen van een lichaam of van een stelsel lichamen ...110 INHOUD. Bladz. Bewegingsvergelijkingen van Lagrange voor eindige krachten. 110 Bewegingsvergelijkingen van Lagrange voor impulsies . . . 111 Het beginsel van d' Alembert voor impulsies 111 Beweging van een lichaam 0111 een vaste as met toepassing op den physischen slinger 114 Gereduceerde slingerlengte van den physischen slinger. . . 115 Reversieslinger 115 Kenmerken voor het maken van volle omwentelingen en van slingeringen 117 Berekening van den weerstand, dien de as biedt, 0111 welke een lichaam vrij kan bewegen 117 Permanente assen van een punt eens lichaams; natuurlijke assen van het zwaartepunt 118 Verandering van den bewegingstoestand van een lichaam, dat om een vaste as wentelt, ten gevolge van de werking van een stelsel impulsies 119 Berekening van den weerstand van de as ten gevolge van de werking van het stelsel impulsies 119 Is het mogelijk een impulsie zóó aan te brengen, dat de as geen weerstand behoeft te bieden? 120 Beweging van een lichaam om een vast punt 121 Bewegingsvergelijkingen voor een lichaam, dat 0111 een vast punt beweegt, in den vorm van die van Lagrange . . . 122 Verandering van den bewegingstoestand van een lichaam, dat om een vast punt wentelt, ten gevolge van een stelsel impulsies. 122 HOOFDSTUK XIII. De beweging van en die 0111 liet zwaartepunt van een lichaam of va» een stelsel lichamen, «lat geheel vrij is. Het beginsel der perken en dat van levende kracht en arbeid. l)e beweging met betrekking tot de wentelende narde. 126 Stelling omtrent de beweging van 't zwaartepunt 128 Eerste beteekenis van de vergelijkingen 128 Stelling van de beweging om het zwaartepunt 129 Uitdrukking voor de levende kracht van een lichaam op zeker oogenblik van zijn beweging 129 Tweede beteekenis van de vergelijkingen 131 INHOUD. Blad/. Een tweede afleiding van de bewegingsvergelijkingen van Kuier. 132 Wet der perken 133 Beginsel van levende kracht en arbeid 134 Voorwaarden, waaronder het beginsel van levende kracht en arbeid alleen geldig is 134 Het beginsel van behoud van arbeidsvermogen 135 Bewegingsvergelijkingen van een lichaam met betrekking tot de wentelende aarde 135 Gyroscoop 137 HOOFDSTUK XIV. Hydrodynamica. 138 De bewegingsvergelijkingen van Euler 138 De continuiteitsvergelijking 140 De bewegingsvergelijkingen voor 't geval, dat de uitwendige krachten een krachtfunctie bezitten 142 Snelheidsfunctie 143 Litteratuuropgaaf 146 Errata 147 HOOFDSTUK IX. Dynamica van een punt en van een stelsel punten. De bewegingsvergelijkingen van een punt vrij in zijn beweging. Laat een punt met de massa m, dat geheel vrij in zijn beweging is, onder de werking zijn van een kracht, die ten tijde/van de beweging X, Y, Z tot ontbondenen heeft volgens drie onderling rechthoekige coordinaatassen, en laten op datzelfde oogen. blik x, j>, z de coordinaten van dat punt zijn, dan zullen, volgens de bepaling van kracht, mx" = X, tny" — K, me' - Z (I) de bewegingsvergelijkingen van het punt zijn. Zij vormen drie simultane differentiaalvergelijkingen van de tweede orde met de drie onbekenden x, y, z. Voorbeelden. 1. De beweegkracht is standvastig in grootte en in richting. De baan is een parabool, waarvan de as in de richting van de beweegkracht valt. 2. De beweging van een punt onder de werking van zijn gewicht met inachtneming van den weerstand van de lucht, die aangenomen wordt evenredig te zijn met de snelheid vau '/ punt. De baan heeft een verticale asymptoot. 3. De beweging in een plat vlak Zijn r en 8 de poolcoordinaten van het punt ten tijde /, dan zijn volgens (2,3,18) de bewegingsvergelijkingen: 5 m (r" — r j'a) = kracht volgens den voer straal, — —— = kracht loodrecht op den voer straal. (i) r d t 4. De centraalbeweging. Men noemt de beweging een centraalbeweging, als de beweegkracht voortdurend door een vast punt (het centrum) gericht en een functie is van den voerstraal (van den afstand van 't punt tot dat centrum) De beweging zal altijd in een plat vlak geschieden, dat door het centrum gaat. Worden rechthoekige assen aangenomen in het vlak van beweging met het centrum tot oorsprong, dan zijn x y m x" -- m f(r) — , my" — m n* f (r) — de bewegingsvergelijkingen. Hierin is r de lengte van den voerstraal en ƒ (r) de wet volgens welke de beweegkracht werkt terwijl een standvastige factor is. Is ƒ (r) = — r, bijgevolg de kracht naar 't centrum gericht en evenredig met den voerstraal, dan is de baan een ellips met het centrum tot middelpunt. Wordt het punt bepaald door de poolcoordinaten r en 4 met het centrum tot pool, dan zijn volgens (2,3,18) m dr* i' m (r" — H's) = m/*'f(r), — = 0 de bewegingsvergelijkingen, dus ook r" — r)" = r'i' = C, (2) waarin C de integratieconstante is. Wordt uit deze twee 6' geelimineerd, en de komende vergelijking c* " ~ = *'/('> geintegreerd, dan komt er r" + — = 2P* ƒ f(.r)dr, die met = C de beide coordinaten r en Mn functie van den tijd bepalen. Is ƒ (r) _ _ 1 t bijgevolg de kracht omgekeerd-evenredig met het kwadraat van den afstand, dan vindt men door toepassing van (i) voor de vergelijking van de baan : C' I + ]/^ I + COS (fl + «) waarin « de integratieconstante, H = v02 — 2 n* : a, v„ = beginsnelheid, a = lengte van den voerstraal bij 't begin is. De baan is dus een kegelsnede met het centrum tot brandpunt, C : ftot parameter, IA + c> ƒƒ: n* tot excentriciteit. Die kegelsnede is bijgevolg voor H >• o een hyperbool, voor H - 0 een parabool, voor H < o een ellips, of ook : 2 hyperbool. V(t _ parabool. a ellips. Is de baan een ellips, dan is de groote as 2 A = 2 p': — H, kleine as = 2 C:\/ H oppervlak baan = * C: J/— H* > omloopstijd T 2 w . J/ Hieruit volgt T*: A3 = 4^: /»* = standvastig Het punt beweegt zich dus volgens de wetten van Keppler. Het beginsel van levende kracht en arbeid. Uit de bewegingsvergelijkingen (1,69) volgt: m (x" d x + y" dy z" dz) = X d x + Ydy+Zdz, of ook, omdat +ys-f-a'! = v2 = het kwadraat van de snelheid van het punt ten tijde t is, d '/j mv* = X dx -f- Y dy -f- Z dz . (i) Het tweede lid stelt voor : de arbeid door de beweegkracht verricht bij een verplaatsing ds (dx, dy, dz) van het aangrijpingspunt, dus de arbeid verricht in den differentiaaltijd dt, volgende op het tijdstip t en waarin het punt het wegelement ds beschrijft. We zullen dien arbeid de elementaire arbeid van de beweegkracht noemen. Het eerste lid is de differentiaal van '/a m v*- Bepaling. '/, m v" of het halve produkt van de massa en het kwadraat van de snelheid van een punt heet de levende kracht van dat punt. Het eerste lid is dus de differentiaal, of, zooals we liever zullen zeggen, de elementaire vermeerdering van de levende kracht van 't pnnt. De vergelijking (1) drukt dus uit, dat de elementaire vermeerdering van de levende kracht van 't punt gelijk is aan den elementair en arbeid van de beweegkracht. Een integratie van (1) tusschen de tijdstippen ta (v„, x0, y0, za) en t (v, x, y, z) geeft: t '/a m v* — V2 m v° = ƒ" (-^ dx Y dy -f- Z dz) (2) A> uitdrukkende Het beginsel van levende kracht en arbeid. De winst in levende kracht van 't punt gedurende zeker tijdsverloop is gelijk aan den arbeid door de beweegkracht in datzelfde tijdsverloop verricht. De arbeid door een kracht verricht wordt dus gemeten door de winst in levende kracht van het aangrijpingspunt. Arbeid eener impulsie. Aangezien vergelijking (2) geldt voor elk tijdsverloop en voor elke kracht, geldt ze ook voor een impulsie. Ontbinden we va in vn loodrecht op en in va in de richting van de impulsie, en laten z>2 en v de overeenkomstige ontbondenen zijn van v, dan zijn vt en vt onderling gelijk, dus — v* = v* — Vo1. De arbeid door de impulsie verricht is dus gelijk aan w (v — vj. '/, (v + v0): het produkt van de impulsie (= m (v — vo)) met de gemiddelde snelheid (= (v -4- vo) : 2) van 't aangrijpingspunt in de richting van de imptilsie. Wet der perken. Het moment van de beweegkracht (X, Y. Z) ten opzichte van een der assen, b. v. de as OZ is Yx — Xy. Wordt hierin X door m x", Y door my" vervangen, dan gaat deze uitdrukking over in m (jx —y x" ) of m ( xy' — x'y)'. Is nu gedurende de geheele beweging van 't punt het moment van de beweegkracht ten opzichte van de as O Z gelijk nul, m. a. w. snijdt de krachtvector voortdurend de as O Z, dan is xy' — x'y = standvastig = C. (I) Wordt hierin x door r cos 0, y door r sin 6 vervangen, zoodat r de projectie op het vlak X Y is van den voerstraal R van het punt, en l de hoek, dien r met OX maakt, dan gaat (i) over in r"6' = C. (2) Wordt deze vergelijking geintegreerd tusschen de grenzen t0 (rB, «„) en / Cr, 6) dan komt er ) jr'dt = C(/-/0), (3) welke uitdrukt, dat de sector, door r op het X K-vlak beschreven, evenredig is met den tijd, daartoe besteed. C stelt dus het dubbele voor van den sector, die in de eenheid van tijd beschreven wordt. Hiermede is de volgende stelling bewezen, bekend onder den naam van Wet der perken. Snijdt de krachtvector gedurende de beweging voortdurend dezelfde lijn, dan zal de projectie van den voer straal, uit een willekeurig punt der lijn naar het bewegende punt getrokken, op een vlak loodrecht op de lijn, een sector beschrijven, waarvan de inhond evenredig is met den daartoe besteden tijd. Gevolgen, i. Bij de centraalbeweging snijdt de krachtvecter voortdurend alle drie de uit het centrum als oorsprong getrokken assen en geldt dus de wet der perken voor alle drie de coordinaatvlakken, dus ook voor ieder vlak, bijgevolg ook voor het vlak der baan. Van dit laatste heeft C de grootste waarde. Aangezien de centraalbeweging bekend is, als beide coördinaten r en 0 als functies van den tijd bekend zijn, zoo zullen de beide vergelijkingen, die de toepassing zoowel van het beginsel van levende kracht als dat der perken geeft, de centraalbeweging geheel bepalen. Ze zijn r mv2 — '/, m va% = I Mp f(r)dr ro r* 0' = C (I) C1 met ts = r'8 + (r 0')2 — r 2 + ~T > waardoor de vergelijkingen (1,71) teruggevonden zijn 2. Is omgekeerd van een centraalbeweging de baan en de plaats van het centrum bekend, dan kan de wet bepaald worden volgens welke de beweegkracht werkt. Is F de kracht, dan vindt men, omdat F dr = dllt mv2 is: r2 9' = C (2) d I C* , C2 (dr Y \ F= '/, « aï (tt + TT (jj) )• waarin -r als functie van r bepaald moet worden uit de ver- d * . gelijking van de baan: ƒ (r, «> = f, waarbij het centrum in de pool is aangenomen. Is de baan een kegelsnede r = t , i + e cos& dan is F = — m/**: rs met = &'• t De bewegingsvergelijkingen van Lagrange. Worden de coordinaten *, y. z van het bewegende punt ten tijde t vervangen door drie andere (zooals bij ruimtepoolcoordinaten x = r siti 3 cos
■ z — r cos waar r 6
, , y =ƒ,(«,*,*.*> 1 2 = 0) de transformatieformules zijn. We vormen uit de vergelijkingen (1,69) de volgende : / dx , , Sy , „ 32 \ _ h „_3z m f*" jjy + ?' jy + 2 38/ 30 3S 3 * ° Nu is ^ 3^ , dx dx' 3X _ d ( 9x\ _ , __3L. * 3T = dl 3T - 77 V ™ ) dt Uit de transformatieformules (I) volgt: 3 x 0 3^ _ 3* 2U d 3T~ _ 3£) 1 • as a ö' ' ' dt 30 zoodat ,3a: d / , d x'\ , 3 a?' X TV _ ~dt 34') ~~ X ÏT' Evenzoo vindt men: -• ll = JL (y' lï) - y dJL y 3 4 it \y Si') y S 6 3 z d( Sz' \ 3 2' 2 34~ — ~dt (2 3F) — 2 3T * Wordt '/j tnv*= '/j m (x' + e'') — gesteld, dan geeft de som d — d T _ Sx Sy . Sz . rf/ 34 34 + 34 + 34 • ( ' welke een der bewegingsvergelijkingen van Lagrange is. Hierin is 7" uitgedrukt gedacht in 6,
', ïp'. De vergelijking (1) kan dan als volgt geschreven worden: 3 (T+U) - :h - ^ - - «> Uit d{T±U) = 2(T+U) s„ 2(T+U) ^ 2 (T+U) y d t 3 4' 3
+ —*■] - dt La«' 3
* (x cos u t—y smut] = X m[x* sinw t+y" cos « t+2 « (x' cos « / - y' sin u t){x sin t+y cosut] = 7 (2)
= Z
m z
waarin X, Y, Z de ontbondenen volgens de vaste assen zijn van de beweegkracht Zijn X, Y, Z de ontbondenen van de beweegkracht volgens de beweeglijke assen in den stand ten tijde t. zoodat
X = Xcosat+ Ysinut, Y = — X sin <11 + Y cos u t, Z—Z is, en zetten we hierin voor X, Y, Z de waarden in (2), dan geeft dat.
m (x" — 2 u y' — u* X) = X m (y" + 2 « — 0,8 y) = Y (3)
m z" — Z
Deze vergelijkingen worden onmiddellijk gevonden door toepassing van de bewegingsvergelijkingen van Lagrange, waarin voor T moet
gezet worden '/. * [* ' +y" + 2'* + +■»''> + 2 w (xy'~ * y) 1
2°. Men kan het beweeglijke assenstelsel als vast beschouwen door bij de beweegkracht te voegen twee fictieve krachten : nl. de sleepkracht en tweemaal de kracht van Coriolis, beiden in tegengestelden zin genomen.
In bovenstaand voorbeeld heeft de sleepkracht tot ontbondenen volgens de beweeglijke assen — m x, — mca^y, o, en de kracht van Coriolis — m u y', m ca x'} o , zoodat bij de beweegkracht (X Y2T) moet gevoegd worden (tn^x-\-2tnuy', muzy—2mux', o), zoodat de bewegingsvergelijkingen worden :
m x" = X + m (w4 x + 2 n (y" — 2 f -e' — w2 y) = F+ Y\ (0
m (1" ) = Z Z,
waar (X T Z) de uitwendige kracht- en (X, Y, Z,) de aantrekking van de aarde op het punt voorstellen.
Transformeeren we deze vergelijkingen op een rechthoekig assenstelsel O X Y Z, waarvan de oorsprong vast met de aarde is verbonden in het punt, dat ten opzichte van Ö X Y Z tot coordinaten heeft R cos a, 0, R sin a (a is de noorderbreedte van O, R de afstand van O tot het middelpunt der aarde), O Z de richting heeft van de verticaal naar boven genomen, O Y de richting Oost, OX de richting Noord\ dan is
X Y Z
X — sin a 0 cos a Y 0 — 1 o Z cos a 0 sin a
het tabelletje, dat de richtingscosinussen tusschen dr verschillende coordinaatassen aangeeft Bijgevolg is
x = — x sin a -f- z cos *• -\- R cos a
y = —y
z = x cos a z sin R sin a .
Deze waarden van x, y. z in (i.8i) gesubstitueerd, geeft m [—x" sin A + *" cos*- 2 » y' + z cos * + R cos *) ] = X+ X,
m [ — y" — 2 u (— x' sin * + 2' cos a) + «2 y ] Y Yx
i "2 _(_ ~2
m [ x" cos A + a" «'« a J
of de krachten volgens de beweeglijke assen invoerende, nl X + X, = — (X + -X,) sin a + (Z+ Z,) cos a
Y+ Yx = ~(y+ F,)
z + Z, = (X + X,) «J A -f > Z + z,) sin a
komt er:
m [ x- 2 «1 y' sin a — •>* sin a (x sin A — z cos a) ] = X + X, — m »' R cos * stn a w — 2 a (x'sin *—ï'ffljA)—w'y ] = y+ Y, (0
cos a (asa z cos a) ] = z f Zx + m «' R cosi A .
Aangezien de versnelling van de zwaartekracht, zooals wij die bij de wentelende aarde waarnemen, de resultante is van de versnelling, waarmede het punt door de aarde wordt aangetrokken en de middelpuntvliedende versnelling, zoo is
X, — /» R cos a sin a — o,
Z, + m Rcos2 a =r — mg,
Y\ — o,
en zijn derhalve de bewegingsvergelijkingen:
m [ x" + 2 » y' sin a — »* sin a (x sin a — z cos A) ] = X
„1 [ y" - 2 u {x' sin a - z cos A) — »- y ] = Y <2)
m [z- - 2 <»y'cos a + cos a (x sin a - z cos A) ] = Z-mg.
Hadden wij gebruik gemaakt van de bewegingsvergelijkingen van Lagrange, daarin voor T nemende
= l,m x'4 + y's+ z's + 2 c j.r»»A * ^ +'M' * ] +^!/Vöja| ^ -f- Ws | v1 + (® *** A — (Z + .#) «J A)*
dan zouden wij de vergelijkingen (1.82) teruggevonden hebben.
De vergelijkingen (2,82) kunnen onder den vorm van de Lagrange'sche vergelijkingen geschreven worden, door voor T de uitdrukking (1) te nemen met weglating van de termen in R.
Die waarde van T laat zich dan aldus schrijven:
/ , . . „ [ cos a 0 sin a I cos a 0 sin a i2\
T= \ x y z +»3 v , | y
\ \ x' y' z' I \ /
Deze waarde bestaat uit drie deelen:
a Het deel '/„ m (x'' +y"8 -+- s'8), dat de levende kracht bij de betrekkelijke beweging voorstelt.
I cos a 0 sin a .
b. Het deel — mu , dat gelijk is aan — « maal
x y z
x' y z
het moment van de hoeveelheid van beweging van 't punt ten opzichte van de lijn Z, uit den oorsprong getrokken evenwijdig aan de aardas.
cos a ( j«a 2 .
c. Het deel '/„ ma1 \ „ = '/» m r5 sin2 (R, L),
x jy z
als r de lengte is van den voerstraal R uit den oorsprong naar het punt getrokken en L bovengenoemde lijn. Omdat r sin (R, L) gelijk is aan den afstand van het punt tot de lijn L, stelt m r1 sin1 (R, L) het produkt voor van de massa van 't punt en het kwadraat van zijn afstand tot de lijn L.
Bepaling. Het produkt van de massa van een punt met het kwadraat van zijn afstand tot een rechte lijn heet het traagheidsmoment (I) van het punt ten opzichte van die lijn. (3)
Het deel is dus gelijk aan '/a I-
De bewegingsvergelijkingen voor een punt ten opzichte van de wentelende aarde zijn dus
3Z 3 T 5 y
9x'_3 :T — x ddy _ 9_T — v d **' 3 T U)
dt ' dt dy~ ' dl =
waarin voor T de uitdrukking (2,83) moet genomen worden.
Rij de toepassingen zullen we de verandering van de zwaartekracht in de opvolgende punten van de baan verwaarloozen; evenzoo de termen in omdat
«2 = (2 t : 86164)' = (0,000072 52 x 10-1°
zeer klein is.
We zullen dus bij de toepassingen gebruik maken van de volgende bewegingsvergelijkingen :
m (x" + 2 u y' Sin a) = a' m (y" — 2 u (x'sin a — g' cos a) ) = y (2)
m (z" — 2 u y' cos a) = Z-mg ,
of van de vergelijkingen (1), daarin voor T nemende :
r 0 sin*\\
\ x y z I. (3)
\ I x' y' z' 1 /
In deze onderstelling zal dan tevens het beginsel van levende kracht en arbeid gelden ; uit (2) toch volgt:
m (x"dx -f y' dy -f z" d z) = X dx + Y dy -f (Z-mg) dz.
Toepassingen 1 De vrije val.
Wordt het punt zonder snelheid uit den oorsprong losgelaten, dan zijn de coordinaten van het punt ten tijde t:
x = 0, y = %ncosK gt\ z - —'/tg**-
2. Het punt wordt uit den oorsprong met de snelheid c verticaal naar boven geworpen.
Dan zijn de coordinaten ten tijde t:
x-o, y — u cos *('ltgP — c f), z = c/—,i2gt*.
-
3. De mathematische slinger.
Bepaalt men zich tot slingeringen met zeer kleine amplitudo (van de orde van kleinheid gelijk die van u), dan gaan de bewegingsvergelijkingen (2,84) over in
ir
x" -(- 2 a y' sin A = — / ®
S
y — 2 « x' sin A = — J-y
waarin l de lengte van den slinger voorstelt.
Is ten tijde t — 0 de slinger in rust, x = a, y — 0, dan kunnen de integraalvergelijkingen van deze als volgt geschreven worden :
x cos (« t sin a) + y sin («t sin A) = a cos 1^
x sin («t sin A) — y cos (u t sin A) = a sin t}/"-y- u sin a -y" •
Hieruit volgt de beweging van den slinger, zooals die bij de proef van Foucault wordt waargenomen.
Beweging van een stelsel stoffelijke punten, die elkaar twee aan twee aantrekken met een kracht volgens hunne verbindingslijn ; evenredig met de massa's der beide punten en met een functie van hunnen onderlingen afstand.
Laten »/,• en nik de massa's van twee der punten zijn, die ten tijde t een afstand ra, van elkaar hebben; zij ƒ(*-,*) de wet van hunne onderlinge aantrekking en ^ een standvastige factor.
Is verder n het aantal stoffelijke punten, dan zijn de bewegingsvergelijkingen van het punt met de massa mi, als zijn coordinaten ten opzichte van een vast rechthoekig assenstelsel door xi, yi, z, worden aangeduid :
mi d\ V- = J*1 m' 2 mk /"('«*) Xk r (')
«* k = i r'k
en nog twee anderen voor de assen 0 Y en 0 Z.
De bewegingsvergelijkingen van het punt met de massa nik zijn
d* xk •'=« Xi—Xk t"k . , ■ — /j* nik i. nii f (ra) (i)
i = /
met nog twee anderen voor de overige assen.
Omdat de krachten twee aan twee gelijk en tegengesteld gericht zijn en volgens dezelfde rechte werken, zal de som der ontbondenen volgens en de som der momenten ten opzichte van elk der coordinaatassen gelijk nul wezen. Dit geeft:
i°. e m x" — o , s my = o , s mz" = o ,
2°. t m (*ƒ'- x" y) — o , s m (y z —y" z) = o, s (2 x"- z" x) = o.
Het eerste drietal als volgt geschreven :
x ei* s my d*T.m z
dt' = °' dë~ = 0' ~dl* = 0'
en geintegreerd met invoering van de geheele massa M en de coordinaten x0,y0, z0 van 't zwaartepunt van 't stelsel:
M x„' — standv., My0 = standv., M zó — standv.
uit welke vergelijkingen volgt
De wet van de beweging van 't zwaartepunt.
Het zwaartepunt van het stelsel heeft een eenparige rechtlijnige beweging.
Het tweede drietal geintegreerd geeft:
E m (xy — x y) = C, ,
s m (y z —y' z) = Ci, (3)
s ni (z x' — z'x) = C2 ,
waarin Ct, Ct, C3 de integratieconstanten voorstellen.
Worden deze behandeld als die in (1,73), dan voeren ze tot de wet der perken voor elk der coordinaatvlakken, dus geldende voor elk vlak Zij luidt in dit geval:
Wet der perken.
De som der produkten van elk der massa's van de punten met den sector, dien de projectie op een willekeurig vlak van den uit
een willekeurig gekozen vast punt als oorsprong naar dat stoffelijk punt getrokken voerstraal beschrijft, is evenredig met den tijd, waarin die sectoren worden beschreven.
Het vlak, voor hetwelk de som een maximum waarde bezit, heeft een bepaalden stand in de ruimte en heet het onveranderlijke vlak van het stelsel ten opzichte van den oorsprong.
Men kan aan de vergelijkingen (3,86) ook de volgende beteekenis toekennen :
Het moment van het impulsiekoppel, dat men verkrijgt, door het stelsel impulsies, dat elk der punten van uit den toestand van rust de snelheid geeft, die het op een willekeurig oogenbhk bezit, tot een willekeurig gekozen reductiepunt te herleiden, is ten allen tijde standvastig in grootte en richting.
Het vlak van dat impulsiekoppel heeft den stand van het onveranderlijke vlak voor dit reductiepunt.
Het beginsel van behoud van arbeidsvermogen.
Wordt de eerste vergelijking van het drietal (1,85) met dXi, de tweede met dyi, de derde met dz, vermenigvuldigd, en evenzoo gehandeld met elk der n drietallen; daarna de som genomen van al deze vergelijkingen, dan komt er in het eerste lid van de nieuwe vergelijking
s m (x" d x -\-y" dy -+- z" d z). (1)
De coëfficiënt van den term in het tweede lid, die munic/i2 tot factor heeft, is
\(xk—xi) dxi-\-(xi—xk) dxk\+Uyk—yi) d yi-\-(yi - yk) d i/*j+j(«A—zi) d zi-\-(zi—Zk) d
/(™) ~ 75" ! J
= — |(**—*») (dxk—dxi) -f- (yk—yi) {d yk-d yi) + (zk—zi) (d zk—dz,')|
= — / (rik) drik,
zoodat het tweede lid van de nieuwe vergelijking zal wezen
— f ' s mi mk f [rik) d rik■ (2)
Het eerste lid (i) stelt voor d s '/g m v*, als v de snelheid is van het punt met de massa m op het beschouwde tijdstip t.
Bepaling, s '/, m v* is de som van de levende krachten van alle punten van 't stelsel en heet de levende kracht van 't stelsel ten tijde t.
Het tweede lid (2) stelt voor, zooals bewezen kan worden, den arbeid, door de krachten van het stelsel verricht gedurende het tijddeel dt, volgende op het beschouwde oogenblik /, en waarbij de afstand r,vt met d rik toeneemt De nieuwe vergelijking
d s '/» = s — nu tuk u- f (rik) drik (i)
zegt dus, dat de elementaire toename van de levende kracht van het stelsel gelijk is aan den elementairen arbeid, door alle krachten samen verricht.
Wordt deze vergelijking geintegreerd tusschen de tijdstippen to (v0, r0) en t (v, r), dan komt er:
r
s — s Va m v0* = — nu nik f (Tik) d rik (2)
ra
en drukt het beginsel van levende kracht en arbeid uit. De onbepaalde integraal
ƒ s — Mi mk r' f (rik) drik, stel = U
is een functie van alle afstanden nk, dus ook van alle coördinaten van de verschillende punten van 't stelsel, immers
rik = V (Xi — Xk)% + 0< — Jk)2 + (*»• — 2*)1' (3)
U is de krachtfunctie van 'tstelsel krachten,
want
3 U 3 U 3 tj\ . 3 U d n2 . . 3 U 3 nH ,
3 xi 3 rn 3 xi 3 ra 3 xi 3 rin 9 xi
. 3 £/ 3«i , . 3f3«,
-p 5" 5 i -f" 5 a + enz
3 ri,i 3 xi ' 3 rkn 3 xi
Alle termen op die in de eerste rij na zijn nul, omdat rn, enz. onafhankelijk van Xi zijn; men heeft dus volgens (3):
3 U
r— — mi m\ p? X— £i — tm m nx f (rn) — enz.
3 x\ ra r,2
= ontbondene volgens de as O X van alle krachten, die op het punt met de massa mi werken.
Wordt de waarde van U voor t = t door U en voor t = t0 door U0 voorgesteld, en s '/, m v' door T, s '/, «n0! door T0, dan gaat de vergelijking (2,88) over in
T— T0 = U— U0. (1)
De arbeid U— U„ door de krachten van het stelsel gedurende het tijdsverloop tot t verricht is dus een functie uitsluitend van de coordinaten der verschillende punten ten tijde t (de coordinaten in de eindconfiguratie) en die ten tijde t0 (de coordinaten in de beginconfignratié); die arbeid is dus onafhankelijk van den weg, dien elk punt volgt om van zijn plaats in de beginconfiguratie op zijn plaats in de eindconfiguratie te komen. Kiezen we dus een willekeurige configuratie van het stelsel, dan kunnen we zeggen :
U— U0 = de arbeid door de krachten verricht bij de beweging van de beginconfiguratie tot de willekeurige configuratie + de arbeid door de krachten verricht bij de beweging van de willekeurige tot de eindconfiguratie; dus ook :
U— U0 = de arbeid, die aan het stelsel gegeven moet worden om het tegen de krachten van 't stelsel in van de willekeurige configuratie te brengen tot de beginconfiguratie — de arbeid, die aan het stelsel gegeven moet worden om het tegen de krachten van het stelsel in van de willekeurige tot de eindconfiguratie te brengen.
Arbeidsvermogen van plaats.
Bepaling. De arbeid, die aan een stelsel gegeven moet worden om het tegen de krachten van 't stelsel in van een zekere vaste configuratie tot een andere configuratie te brengen, heet het arbeidsvermogen van plaats van het stelsel in die andere configuratie.
Voorbeelden.
Wordt een stalen veer opgewonden, dan geeft men haar een arbeidsvermogen van plaats, dat positief is; ontwindt men haar daarna, dan heeft men de veer een arbeidsvermogen van plaats gegeven, die negatief is Wordt een gewicht van / KG. van den grond op een tafel van / M hoogte gezet, dan heeft men het gewicht een arbeidsvermogen van plaats gegeven gelijk aan / KGM. ; zet men het daarna weer van de tafel op den grond, dan heeft men het een arbeidsvermogen van plaats gegeven gelijk aan — / KGM.
Stellen we het arbeidsvermogen van plaats, dat het stelsel in de eindconfiguratie heeft, voor door V en dat in de beginconfiguratie door V„, dan gaat de vergelijking (1,89) over in
T+V=T0+V0, (1)
welke uitdrukt, dat gedurende de beweging de som van de levende kracht en het arbeidsvermogen van plaats van 't stelsel standvastig blijft.
Bepaling.
De levende kracht van 't stelsel heet ook wel het arbeidsvermogen van beweging of ook de kinetische energie van 't stelsel; en het arbeidsvermogen van plaats wordt ook wel genoemd de potentieele energie, en de som van beiden op zeker oogenblik heet de totale energie van het stelsel op dat oogenblik.
De vergelijking (1) is dus op de volgende wijze in woorden te brengen en drukt dan uit het
Beginsel van behoud van arbeidsvermogen of van energie:
De totale energie van het stelsel blijft gedurende de geheele beweging dezelfde.
Toepassingen.
1. Worden de punten geconcentreerd gedacht in een vast lichaam, dan zullen de krachten tusschen de verschillende punten geen arbeid verrichten. Overigens is het lichaam aan zich zelf overgelaten en vrij. Dus voor een vast en vrij lichaam, dat aan geen uitwendige kracht is onderworpen, gelden de drie bovengenoemde beginsels van de beweging van 't zwaartepunt, van 't onveranderlijke vlak en van de energie, welk laatste nu, omdat er geen arbeid verricht wordt of ook geen verandering in poten-
tieele energie plaats grijpt, bestaat in het behoud van de kinetische energie.
2. Worden de punten geconcentreerd gedacht in twee of meer vaste lichamen, dan heeft men te doen met een stelsel lichamen, dat bewogen wordt enkel door de krachten, die de punten van 't eene lichaam op de punten van de andere lichamen uitoefenen. In het zonnestelsel vinden we een voorbeeld, ingeval we afzien van de uitwendige krachten (aantrekking der vaste sterren) en het energieverlies ten gevolge van de warmtestraling.
Het zwaartepunt van 't zonnestelsel heeft een rechtlijnige eenparige beweging ;
Het vlak van 't resulteerend impulsiekoppel voor een reductiepunt heeft ten allen tijde een onveranderlijken stand;
De totale energie van 't stelsel is standvastig.
Het onveranderlijke vlak van 't resulteerend impulsiekoppel met het zwaartepunt tot reductiepunt
De vergelijkingen (3,86) gelden ook voor een assenstelsel, dat zijn oorsprong in het zwaartepunt heeft en met dit evenwijdig aan zich zelf meebeweegt.
Hieruit volgt:
Het vlak van 't resulteerend impulsiekoppel ten opzichte van het zwaartepunt als reductiepunt heeft ten allen tijde een onveranderlijken stand
Wordt het vlak van 't resulteerend impulsiekoppel bepaald in de onderstelling, dat de massa van elk der samenstellende lichamen van 't zonnestelsel in diens zwaartepunt geconcentreerd is, dan heet dat vlak het onveranderlijke vlak van Laplace.
Terwijl eerstgenoemd vlak in werkelijkheid onveranderlijk is en onafhankelijk van erupties of onderlinge botsing tusschen de hemellichamen, is dit niet het geval met het laatstgenoemde.
HOOFDSTUK X.
De beweging van een punt langs voorgeschreven baan en over een gegeven oppervlak
De beweging van een punt langs voorgeschreven baan.
L)e beweging langs voorgeschreven baan kan tot een vrije beweging worden teruggebracht door invoering van den weerstand van de baan, ontbonden in Nt volgens de raaklijn («/ pt yt), Nf volgens de hoofdnormaal (xf /3p Xp) en Nb volgens de binormaal (eet Pb yb) van de baan. Laat P (X Y Z) de uitwendige kracht zijn.
De bewegingsvergelijkingen zijn dan :
m x" — X -f- Nt cos zt + Nf cos -}- Nb cos oib m y" = Y -\- Nt cos Pt -)- Nf cos Pf + Nb cos Pb (A)
m z" = Z + Ni cos yt -)- Nf cos yf + Nb cos yb met de voorwaardenvergelijkingen:
* = /. (*■ " i
V = ft (*> / baan, Nt — — f J/Nr -f- Nb* — functie v/d snelheid « =/, («, t) )
waarin f de wrijvingscoefficient is en de functie van de snelheid betrekking heeft op een weerstand van de middenstof (lucht). Er zijn dus 7 vergelijkingen ter bepaling van de 7 onbekenden x, j>, z, 6, Nt, Np, Nb in functie van den tijd.
Men kan ze vervangen door in vele gevallen gemakkelijker te behandelen vergelijkingen, door invoering van
de tangentiale versnelling ^ = x" cos at + y" cos Pt -f- conyt
de normale „ " = x" cos + y" cos pf -j- z" cos yf
de binormale „ o = x" cos <*b y" cos pb + z" cos yb
Men vindt, als P,t Pp, Pb de ontbondenen van de kracht P voorstellen volgens de raaklijn, hoofdnormaal, binormaal:
m d~ = Pt + Nt a t
m V- =PP + Np (I)-
P
O = Pb + Nb
Beginsel van levende kracht en arbeid.
Wordt uit (A,g2) afgeleid
m (x" d x -1-y" dy -\- z" d z) = X d x -j- Y d y Z d z Ni d s
waarvan het eerste lid gelijk is aan d '/8 m °2> en wordt deze vergelijking geintegreerd tusschen de grenzen t0 (x0,y0, z„, v0) en t (x,y,z,v), dan geeft dat
t
'/, tnv* — '/j m v* = f (X d x Y dy Z d z -\- N/ d s). (2) 1»
De vergelijking van Lagrange.
De herleiding van de bewegingsvergelijkingen (^,92) tot den vorm (1,76) is ook hier mogelijk. De transformatieformules zijn hier de vergelijkingen van de baan. Dus
d T
d dd' 3 T dt Ti ~ ^
waarin 0 de arbeid is door de kracht verricht, berekend voor de eenheid van verandering van S.
Toepassingen.
- 1 De mathematische slinger
Hieronder wordt verstaan een stoffelijk punt, dat onder de werking van zijn gewicht in een cirkelvormige baan, gelegen in een verticaal vlak, moet bewegen. De straal van de baan heet de lengte van den slinger.
Wordt er geen wrijving en weerstand van de lucht in acht genomen, dan bestaat de weerstand van de bian enkel in Nf, dien we nu kortheidshalve door N zullen voorstellen. Is ten tijde t de hoek tusschen den straal van 't punt en de naar beneden gerichte middellijn van de baan gelijk 4, dus v = /Sdan geeft (i,93)
t" = — J sin 4 (i)
N= m (/ 4'* + g cos 4) (2)
De vergelijking van Lagrange voert ook tot (1).
De toepassing van 't beginsel van levende kracht (2,93) geeft
=— (I — COS 6) (3)
als c de snelheid van 't punt in 't laagste punt (4 = 0) van de baan is. Deze is de eerste integraal van (i)
Isochrone schommelingen.
Bepaalt men zich tot schommelingen met zeer kleine amplitudo, door sm 4 = 4, cos 6 — 1 — '/« te stellen en dus de hoogere machten van 4 te verwaarloozen, dan gaat (1) over in
4 - + 1. i = 0 (4)
waarvan de algemeene integraal is
4 = A cos t 1/ ~ -)- B sin t |/ ®- (5)
A en B de integratieconstanten zijnde.
Verandert / |/ -y- met 2 t, dan zal 9 weer dezelfde waarde hebben als bij 't begin der verandering, m. a w.
? V 1 = 2» (6)
geeft den slingertijd. Deze is 2 t y±.
Is a de grootste elongatie van den slinger, dan is voor t = o, 4 = «, 6' = 0, en (5) wordt
i = « COS t V J- . (7)
Omdat de slingertijd onafhankelijk van « is, heeten de slingeringen isochroon.
Eindige waarde van i.
Wordt in (3,941 c vervangen door de valhoogte H, waarbij een punt de snelheid c verkrijgt, dan kan ze als volgt worden geschreven
'i2m v* + m g/(/ — cos S) = mg H
waardoor het behoud van arbeidsvermogen bij den slinger wordt uitgedrukt
Wordt v — l V gesteld, dan is ze identiek met
*"= 'f (f ~ 1 + cos O* (,)
Hieruit volgt:
H > 2 l'. het punt maakt volle wentelingen ;
H < 2 l: » » » slingeringen;
H = 2 /: » » komt in rust in 't hoogste punt.
Maar dat hoogste punt wordt nimmer (asymptotisch) bereikt, omdat
ar
(1), die in dit geval overgaat in 6 * = 4 y cos* '/» tot integraal
heeft t — — nep. log tg en dus voor 0 = t geeft t — ' -f. Cz1 — (A — B) sin 2 5. xy = j of, volgens (3,104):
A xi -f- By* -f- C z'1 — (A — B) sin 2 8. xy = 1 ,
waarin A het traagheidsmoment is ten opzichte van de nieuwe O X-as, B dat ten opzichte van de nieuwe O Y-as is.
Is A — B, dan zijn de nieuwe assen nog hoofdtraagheidsassen: de traagheidsellipsoide is van omwenteling met de as O Z tot as.
Is A pré B, dan is de O Z-as de eenige hoofdtraagheidsas, de nieuwe X- en F-assen zijn het niet meer.
Is dus één der coordinaatassen b. v. de as O Z slechts hoofdtraagheidsas, dan ontbreken in de vergelijking van de traagheidsellipsoide de traagheidsprodukten s m x z, z my z.
Ontbreken omgekeerd de traagheidsprodukten s my z
in de vergelijking van de traagheidsellipsoide, dan is de as OZ hoofdtraagheidsas, omdat door een wenteling om OZ het assenstelsel in een stand kan gebracht worden, waarin ook zm xy wegvalt, zoodat in dien stand alle drie de assen hoofdtraagheidsassen zijn. Bijgevolg:
Stelling. De voorwaarde, dat de as OZ een hoofdtraagheidsas is van het punt in den oorsprong, is, dat de traagheidsprodukten z m x z, zmyz beiden nul zijn. (1)
Eigenschappen van de hoofdtraagheidsmomenten en
assen.
Gaan we uit van de vergelijking (1,104) der traagheidsellipsoide van een willekeurige punt, dan is
a. A B C = 2 z m (x2 -\-y't -f- z2) = 2 z m r2, (2) als r de afstand is van het massapunt m tot den oorsprong.
Bepaling: z m r"- — som der produkteu van elk der massadeeltjes van V lichaam met het kwadraat van zijn afstand tot een punt, heet het polaire traagheidsmoment van 't lichaam ten opzichte van dat punt.
b. A -f- B — C = 2 £ m z* > o.
Bepaling. £ m z- = som der prodnkten van elk der massadeeltjes van t lichaam met het kwadraat van zijn afstand tot een plat vlak heet het traagheidsmoment van 't lichaam ten opzichte van dat vlak.
c. Stellingen, die volgen uit de beantwoording van de vraag :
Bevindt zich op een willekeurige rechte lijn een punt,voor hetwelk zij hoofdtraagheidsas is; en als er zoo'n punt bestaat, hoe vindt men dan de beide andere hoofdtraagheidsassen van dat punt ?
\\ e kiezen die lijn tot Z-as van een rechthoekig assenstelsel, dat een punt O van die lijn tot oorsprong heeft, zoodat in 't algemeen (1,104) de vergelijking van de traagheidsellepsoide zal wezen. Laat F het punt op de lijn wezen, voor hetwelk zij
hoofdtraagheidsas is, en laten PX en P Y de beide andere hoofdtraagheidsassen zijn.
Is PO — h en S de hoek tusschen OX en PX, dan zijn de transformatieformules
x = x cos i -f- y sin 6 , y = — x sin 1 + y cos $, ~z = z — k.
Zullen de assen PX, P Y, P Z, de hoofdtraagheidsassen van F zijn, dan moeten t m xj% s „ty z, x mxy alle drie nul zijn. Dit geeft de volgende voorwaardenvergelijkingen :
e mxz = cos S s m x z + sin $ s myz
h (cos S s m x -f- sin S s my) = 0 £ my z = — sin i £ m x z -f- cos S £ my z
— h (— sin 3 £ mx -cos 3 £ my) = 0 £ m xy = ( li — A) sin S cos 6 -|- cos 2 6 £ m xy — o.
In de onderstelling, dat de lijn door het zwaartepunt gaat, en dit tot oorsprong genomen wordt van de drie hoofdassen van traagheid O X, 0 Y, O Z (de gegeven lijn), dan wordt aan deze voorwaardevergelijkingen onafhankelijk van h voldaan door ) = « en — . Dus
2
Worden de hoofdtraagheidsassen van het zwaartepunt evenwijdig aan zich zelf verplaatst met den oorsprong langs een dier assen, dan blijven ze in iederen stand hoofdtraagheidsassen.
Waaruit dan verder volgt:
Een hoof(/traagheidsas van het zwaartepunt is hoofdtraagheidsas voor elk harer punten.
In de onderstelling, dat de rechte niet door 't zwaartepunt gaat, maar hoofdtraagheidsas is van het punt O, dan kan r.an de eerste twee voorwaardevergelijkingen alleen voldaan worden door h - o.
Bijgevolg :
Een hoofdtraagheidsas van een punt, die niet door het zwaartepunt gaat, is slechts voor dat punt hoofdtraagheidsas.
Is de lijn geheel willekeurig, dan geeft de eliminatie van h uit de beide eerste voorwaardevergelijkingen
2 m x z 2 my s
2 m x 2 my ^
als voorwaarde, dat de rechte lijn een hoofdtraagheidsas zal wezen voor het punt, op een afstand h van 0, bepaald door
2 mxz 2 myz
h — = — • (2)
2 m x 2 my v '
De laatste van de voorwaardenvergelijkingen geeft
2 2 m xy
'* 2 ' = ■ (J)
Hieruit blijkt, dat niet iedere rechte beschouwd mag worden als hoofdtraagheidsas voor een harer punten. (4)
Uit (2) blijkt, dat elke rechte door het zwaartepunt, die geen hoofdtraagheidsas is van dat punt, hoofdtraagheidsas is van het punt. dat oneindig ver op die lijn gelegen is.
Waarde van eenige traagheidsmomenten.
1. Homogene bol, straal r, massa tn
1'middellijn a/5 mr~.
2. Homogene omwentelingscylinder, straal r, hoogte h, massa m
las = Va m r*
1lijn door 'i zwaartepunt loodrecht op d e as = 7» * (*' + 3 O-
3. Homogene omwentelingskegel, straal r, hoogte h, massa m
las = m r2
Ilijndoor't zwaartepunt loodrecht op de as = s/ao m (h' -(- 4 rs) dus /middellijn grondvlak ~ V20 m t2 h1 -|- 3 r2).
Opmerking -, Omdat / altijd van den vorm M is, als M de massa van 't lichaam is, noemt men, als / = M f gesteld wordt. t de traagheidsstraal van het lichaam ten opzichte van de as, om welke I genomen is.
We kunnen dan zeggen, dat de traagheidsstraal ten opzichte van een voer straal der traagheidsellipsoide omgekeerd — evenredig is met dien voerstraal.
Uitdrukking voor de levende kracht van een lichaam, dat met een hoeksnelheid u om een as wentelt.
Is / het traagheidsmoment van 't lichaam ten opzichte van die as, dan is de levende kracht T bepaald door
T ='/,/„« . (!)
Brengt men in een willekeurig punt van die lijn de drie hoofdtraagheidsassen van dat punt aan, waarmede de as de hoeken a, y maakt; zijn A, B, C de hoofdtraagheidsmomenten van dat punt en p = « cos «, q = « cos (2, r = u cos y de ontbondenenvan de hoeksnelheid volgens die assen, dan is volgens (3,104):
2 T — A p* ■+- B q* -f Cr1. (2)
Opmerking. Had men door het punt drie willekeurige rechthoekige coordinaatassen getrokken, dan zou men uit (2,103) gevonden hebben :
2 D q r
2 T — A p*B q'C r* — 2 Erp (31
2 F p q .
Uitdrukking voor het moment van de hoeveelheid van beweging van een lichaam ten opzichte van een as, om welke het lichaam met de hoeksnelheid u wentelt.
Omdat een massadeeltje op den afstand r van de as een snelheid ra heeft in een richting, die de as rechthoekig kruist op den afstand r, is het moment van de hoeveelheid mv van beweging van dit deeltje mv r — mr*a, dus de som der momenten van alle massadeeltjes of het gevraagde moment gelijk
Ju.
Wordt ook hier het stelsel hoofdtraagheidsassen van een punt der as als coordinaatassen aangenomen, en dezelfde notatie ingevoerd als in 't vorige vraagstuk, dan vindt men
101 — Ap cos « -(- B q cos /3 -|-Cr cos y. (i)
Had men willekeurige lijnen tot coordinaatassen genomen, dan zou men gevonden hebben
ƒ« = (Ap — Er — Fq) cos « (Bq — Dr — F p) cos (3 +
-f- (Cr — Dq — Ep) cos y . (2)
HOOFDSTUK XII.
Dynamica van een lichaam of van een stelsel lichamen.
Opstelling van de bewegingsvergelijkingen.
Wij denken ons een lichaam of een stelsel lichamen in beweging.
Laat P een punt van dat stelsel zijn met de massa m, dat ten tijde t van de beweging x, j>, z tot coordinaten heeft op een vast assenkruis.
Wanneer dit punt beschouwd wordt losgemaakt te zijn van 't lichaam, dan zou op dit vrijgemaakt punt een kracht moeten werken gelijk aan de resultante van m x", ttty' m z', om het dezelfde versnelling te geven, als die, welke het als deel van 't stelsel heeft.
Bepaling. Deze kracht, nl. de resultante van mx", mjr'\ m z", zullen we de effectieve kracht van het punt ten tijde t noemen: en het stelsel krachten, gevormd door de effectieve krachten van alle punten van 't bewegend lichaam het stelsel effectieve krachten ten tijde t.
Nu zegt
Het beginsel van d' Alembert, voor eindige krachten :
Denkt men op een willekeurig oogenblik van de beweging van een lichaam of stelsel lichamen in ieder punt van dit stelsel de effectieve kracht in tegengestelden zin aangebracht, dan is er op dat oogenblik evenwicht tusschen de beweegkrachten en het in tegengestelden zin genomen stelsel effectieve krachten.
De bewegingsvergelijkingen van een lichaam of van een stelsel lichamen.
Is dus K(X, Y, Z) de beweegkracht, die ten tijde t aangrijpt in het punt P met de massa m, dan is het stelsel krachten [X — m x', Y— «/, Z — mg"] op dat oogenblik t in evenwicht. Volgens het beginsel van virtueele verplaatsingen moet
s [ (X— in x ) $ x ( Y— my") $j/ (Z — m s") } g] = o (i)
wezen, waarin (S r, S j>, S g) een der virtueele verplaatsingen is van het stelsel lichamen ten tijde t.
Bewegingsvergelijkingen van Lagrange voor eindige krachten.
Worden x, jy, g uitgedrukt in de coordinaten van het lichaam (l,6o), dan geeft (I) aanleiding tot evenveel vergelijkingen als er coordinaten zijn. Is S een coordinaat, dan geldt voor deze de vergelijking
Sm (x" ~ 4-/' dJL + ,» — 2 (x*JL 4- V dy-U7d'\ , x V ds ^y 36 + * diJ— Ts +¥Ts+zu) ■ (2)
Volgens (.,76) is m (*" ~+y" +z" ~) te herleiden tot
d 3 V» m p'
3 4' 3 '/2 m v2
dt ai '
zoodat, wanneer T = x '/2 mvl — de kinetische energie van 't stelsel lichamen ten tijde t wordt ingevoerd, de vergelijking (2) overgaat in
d - T
—— - d~ - X ( X — 4- Y dy 4-7dz\ ,\
dt 34 ~ * \Xdi +Y TT + 2 sr) (3)
de bewegingsvergelijking van Lagrange voor de coordinaat 6.
De overige bewegingsvergelijkingen ontstaan uit deze, door de differentiaties naar 6 en S' te vervangen door die naar elk der overige coordinaten van 't lichaam of stelsel van lichamen.
Het spreekt van zelf, dat T ondersteld wordt uitgedrukt te zijn in de coordinaten van het stelsel. Daartoe moeten de transformatieformules (1,60) naar t gedifferentieerd en de waarden daarbij voor x', y', z' gevonden in z '/2 m (x'1 -\-y'1 + z'1) gesubstitueerd worden. T zal de afgeleiden 9'. . . van de coordinaten van 't stelsel in de tweede macht bevatten, zelfs homogeen zijn van den tweeden graad in 4', tp'.... als de transformatieformules (1,60) den tijd niet expliciet bevatten, en alleen in dat geval.
Het tweede lid van (i) stelt voor (1,61) den arbeid, door de beweegkt achten verricht, als alleen 0 verandert, en berekend voor de eenheid van verandering. Rijgevolg (2,61):
Is i een lijn-coordinaat, dan stelt dit tweede lid de som der ontbondenen van de beweegkrachten voor volgens die lijn.
Is i een hoekcoordinaat, dan de som der momenten van de beweegkrachten ten opzichte van de as, op welke 3 betrekking heeft.
Bewegingsvergelijkingen van Lagrange voor impulsies.
\\ ij onderstellen dat een lichaam of stelsel lichamen op zeker oogenblik van zijn beweging getroffen wordt door een stelsel impulsies.
Is P een punt van t stelsel met de massa m, dat op dat oogenblik x, y, z tot coordinaten heeft: stellen we de ontbondenen van de snelheid van dat punt op dat oogenblik voor door x o, y 0) z 0) en dat die door de werking van het stelsel impulsies overgegaan zijn in x', y', z. Wanneer we ook dit punt losgemaakt denken van het lichaam, dan zou een impulsie, die de resultante is van m (x' - x 0). m (y -y0), m (z - e'0\ aan het vrije punt dezelfde vermeerdering in snelheid geven als welke ze nu als punt van 't lichaam ontvangt.
Bepaling. Deze impulsie, nl. de resultante van m (x — x\), m(y J' o)] w (z z „) zullen we de effectieve impulsie van het punt en het stelsel impulsies gevormd door de effectieve impulsies van alle punten van 't lichaam het stelsel ejfectieve impulsies van 't lichaam noemen.
Nu zegt
Het beginsel van d' Alembert voor impulsies:
Denkt men op t oogenblik, dat het stelsel itnpulsies gaat werken, in ieder punt van V lichaam of 't stelsel lichamen de effectieve impulsie in tegengestelden zin aangebracht, dan is er evenwicht tnsschen het stelsel impulsies en dit in tegengestelden zin genomen stelsel effectieve impulsies.
Is dus / (/x, Iy, Iz) de impulsie, die in het punt P (x, y, z) aangrijpt, dan is het stelsel impulsies
[Ix m (x — x 0), Ir — m(J —y0), Iz — m (z — z'a) J in evenwicht.
Volgens het beginsel van virtueele verplaatsingen moet
£ l(/x — m(x —xB)) Sx -f — Sy -f-
+ (I, — m (z — zo)) Sz] = o (I)
wezen, waarin {3 x, S y S z) een der virtueele verplaatsingen is van het lichaam of het stelsel lichamen.
Worden x, y, z uitgedrukt in de coordinaten van het lichaam dan geeft (I) aanleiding tot evenveel vergelijkingen als er coordinaten zijn. Is 9 een coordinaat, dan geldt voor deze de vergelijking :
Hf —uVr +"■->■•> \\ ('-Ti +'>¥, + '4',} <*>
Omdat x onmiddellijk vóór en na de werking van de impulsie
dx
dezelfde is, zal -gy dat ook zijn, evenals de daarmede gelijk-
9 x'
waardige uitdrukking .
o S
Duiden we deze afgeleide onmiddellijk vóór de werking van de impulsie aan door en onmiddellijk na die werking
3 3?'
gewoon door , dan gaat (2) over in
• - j (- 'é+%+*' K) - ('. O-a + * (&),+'4r),)!=
= £ IJ + J' ff + '• w)
of door invoering van de uitdrukkingen van de kinetische energie van 't lichaam voor die twee tijdstippen :
T = £ '/, mvl, T„ = £ •/, m v0'
3 T (dT\ — ^(/■dxJ^r ~"y^rdz\ / \
3 4' W/0 ~ \/x 3 4 + /,37 + /z jj) (,)
de bewegingsvergelijking van Lagrange voor impulsies met betrekking tot de coordinaat 4.
Het tweede lid van (i) stelt voor de som, die men verkrijgt, als men de projectie van elk der impulsies volgens de richting waarin haar aangrijpingspunt bij de virtueele verplaatsing ten gevolge van de verandering van 4 alleen beweegt, te vermenigvuldigen met den weg, door dit aangrijpingspunt afgelegd, berekend voor de eenheid van verandering van 4.
Is dus 4 een lijncoordinaat, dan stelt het tweede lid van (i) voor de som der ontbondenen van de impulsies volgens die lijn.
Is 4 een hoekcoordinaat, dan de som van de momenten van de impulsies ten opzichte van de as, om welke 4 gerekend wordt.
Uit den aard der zaak kunnen de bewegingsvergelijkingen onder den vorm, dien Lagrange er aan gegeven heeft, niets leeren omtrent de weerstanden, die het lichaam of het stelsel lichaam beletten zich vrij te bewegen, en ze zijn zelfs onbruikbaar, als die weerstanden arbeid verrichten, zooals dit 't geval is bij sleepende wrijving, bij uitrekking van koorden enz.
In dat geval vervangt men de weerstanden door krachten, die voorloopig dus onbekend zijn, zoodat het lichaam of elk der lichamen van 't stelsel als geheel vrij kan beschouwd worden.
Op elk dier lichamen past men het beginsel van d' Alembert toe, waardoor de bewegingsvergelijkingen onder den volgenden vorm komen :
Voor eindige krachten:
£ m x" = E X lm. yz" y — y" z) — S (Z y — Y z) stel = L
S my" = £ F Zm(x"z-z"x)= 2 (Xz — Zm) „ =M (2)
E mz"=ZZ Zm(y" x—x" y)= X(Yx — Xy) » = N.
Voor impulsies :
£ m (x' — x'0) = £ ƒ*; y _ y t) -zm(z' y — y' ï), = £ (/, y - lyz)— L
£#»(ƒ — y0) =1/,; £ w (®'z — jca') _ £ m(X'z - i' x). =£(/,. _ ƒ, x) = M (ij
£ « (2' — 2'u) = £ /, ; Zm(y'.X — X'y) ~-Zm(y'x —yx')„=Ixy) = jV.
geldende voor elk der vrijgemaakte deelen van 't stelsel.
Worden deze vergelijkingen herleid tot twee groepen vergelijkingen, waarvan de eerste alleen de bekende beweegkrachten, de andere de onbekende ingevoerde krachten bevat, dan geeft de oplossing van de eerste groep vergelijkingen de beweging van 't stelsel, terwijl de tweede groep de onbekende weerstanden bepaalt, of, als dit niet mogelijk is, betrekkingen tusschen die weerstanden. In 't eerste geval heeft men te doen met een dynamisch bepaald, in 't tweede geval met een dynamisch onbepaald vraagstuk.
Alvorens de vergelijkingen (1) en (2,113) nader te bespreken, volgen hier eenige eenvoudige toepassingen.
1. Beweging van een lichaam om een vaste as met toepassing op den physischen slinger.
a. Is 3 de hoek tusschen twee vlakken door de vaste as, het eene vast in de ruimte, het andere vast met het lichaam verbonden, dan is de levende kracht T van het lichaam, als C het traagheidsmoment is van 't lichaam ten opzichte van de vaste as :
T = '/g CS'2.
De bewegingsvergelijking van Lagrange geeft nu
CS" = ^ (,)
als N voorstelt het moment van de beweegkrachten ten opzichte van de vaste as.
b. Omdat de voorwaarde van evenwicht van een stelsel krachten op een lichaam met een vaste as is, dat de som der momenten ten opzichte van die as nul is, vinden we voor de bewegingsvergelijking de laatste van het stelsel (2,113), als de vaste as tot ^-as wordt genomen, of
■y- Zm (/ x — x'y) = N, d l
nu is x' =— i'y , y' - 4' x, waardoor de vergelijking overgaat in (i). Toepassing op den physischen slinger.
Een lichaam, dat vrij om een horizontale as kan wentelen alleen onder de werking van zijn gewicht, heet physische slinger.
Wordt het verticale vlak door de ophangas als het vaste vlak in de ruimte, en het vlak door de as en het zwaartepunt van 't lichaam als het vaste vlak met het lichaam verbonden aangenomen, zoodat 5 = 0 den standvastigen evenwichtsstand van 't lichaam aangeeft, dus is volgens (i,114)
mg S sin i , .
r=- (0
als m de massa van 't lichaam is en 5 de afstand van 't zwaartepunt tot de as.
Gereduceerde slingerlengte van den physischen slinger.
Wordt deze uitdrukking voor de hoekversnelling vergeleken met die in (i,94) voor de hoekversnelling van den mathematischen slinger, dan blijkt, dat voor
/ = £. (2)
m o
beide slingers dezelfde schommelingen zullen maken, als de begintoestand voor beiden dezelfde is.
r
Bepaling. De lengte —r heet de gereduceerde slingerlengte van den m o
physischen slinger.
Hieruit volgt, dat de isochrone sehommelingen geschieden in den
tijd 7=2*- y . (3)
mg S
Reversieslinger.
Is Cz het traagheidsmoment van 't lichaam ten opzichte van de as door het zwaartepunt evenwijdig aan de ophangas, dan is
C = Cz 4- m l-
en
' = £ + '• «>
Z^ZL°" "" »*"«"»• OP*
'o°d"j„- *■>».»ue„ z:xzz«:i:u' ™te ',u", °" ji«
het voetpunt op genoemde loodlijn is «L °P een afstand / van den phvsischen slinger noemen ëelegen, het slingerpunt van
r ■*—. -
» en /- i van die punten. g °P °n«e,9ke afsta"den resp
Verder blijkt, dat S en /_ « ■> zoodat de slinger, met de as door tT Verwisseld m°gen «orden ophangas, als ophangas dezelfde gereduce'eSr^
-et het vroegere ophangpunt hebbCn-
™, 'X S7r?i8e —• ■"«»«' **
die om beide assen tUSSChe" die asse"< en
reversieslinger. S°Chr°ne sch°""nelingen maakt, heet
De onderlinge afstand l der assen is «.liii,
ge,IJk aan de gereduceerde s inger engte, de tijd voor zulke slingeringen is 2 t \/j_
snelling van de zuTartekra'cht te^eTen.^113011 midd6' °m de Ver"
rrr °p I
T"'"r
geschieden de isochrone schomm r Ve"S. een "'•""""m^aardt en
natuurlijk voor "^7» » «» *<"•««" tijd, „tl)d
Teven, „ boven °P»»S».
en he' ™««epunt op
shnger is gelegen, op de liin .li„ ^ k " reversie-
bindt, ter voorkoming van foutieve r P .angP.unt en s,ingeipunt ver-
Het blijkt uit (4,115) dat 2ke al die Ct,e,S reversie*"ngers.
vende lijnen van twee'cytders di^ ITh" "" der bes<*'«-
wijdig aan de eerste aan^nomen lh "" ' ïwaarteP™ even-
stralen hebben, als ophangas "J "" ^ ' 6" 3 tot
met dezelfde gereduceerde slingerlenze^/" Pj/s,scjlen slinger geeft
gemeenschappelijk, asdoorsnede van dfe cyUnderT / """* * '**
afstanden en aan verschillende kanten van het zwl Ï7 °/ °ngelijke van den reversieslinger. zwaartepunt zijn assen
Kenmerken voor het maken van volle omwentelingen en van slingeringen.
De eerste integraal van (i,115) is
r* = »u* ~ 4"'cgi sin! fl, (,)
waarin de hoeksnelheid voorstelt, waarmede de slinger door zijn standvastigen evenwichtsstand gaat.
Hieruit volgt, dat de slinger voor
w•-> i
" c
volle omwentelingen zal maken ; voor
« * <
" C
slingeringen met de amplitudo a, als »„» = 5 sin3 '/, « is; voor
■i 4 mgi
-n» =
eindelijk zal de slinger den wankelbaren evenwichtsstand asymptotisch naderen.
Berekening van den weerstand, dien de as biedt, om welke een lichaam vrij kan bewegen.
Om den weerstand, dien de vaste as biedt, te bepalen, maken we het lichaam vrij door in twee punten O en O, van die as krachten aan te brengen, in O (U, V, W), in O, (£/,. F„ IV,). Kiezen we O tot oorsprong van een assenkruis, dat O O, tot ,2-as heelt, dan gaan hier de bewegingsvergelijkingen (2,113), in aanmerking nemende dat voor elk punt z' = z" — o is, over in
V + U, -I- £ X = E m x" — K, c + L = 2 — m y" z v + Vy -f s F = s my" £/, c + M — Z m x" z W + W, + s Z — o N = Z m (y" x — x" y),
als c = 0 0,.
Wordt hierin x —— j'y, y' — j'x gesteld, dan vindt men, M de massa van 't lichaam noemende :
8
&+«/, + U= -^ (j" y, -|- »* x0) \
V + («" .•) =
waarin c de afstand O O, is.
Worden de coordinaten .r„, y„, r„ van het zwaartepunt ingevoerd, en S m (-ra —)— y') = het traagheidsmoment van het lichaam ten opzichte van de as gelijk C gesteld, dan gaan ze in den volgende over:
(1) I'x + /'x +X/x = -M(V-r0)y„ (4) (i> - }'0) E m xz = - L + f'y c
(2)(s )(6'-i'u)Zmyz = - M-t'xc (2)
(3) /', + l\ + S Tz — 0 (6) C(i' — «'„) = N.
De laatste van dit zestal vergelijkingen is de eenige, waarin de ingevoerde impulsies niet voorkomen; ze vormt de eenige bewegingsvergelijking.
rx wor(lt door (5), l"r door (4), Vx door (1), 1 ■ y door (2), /'. + l"t door (3) bepaald. Het vraagstuk is dus dynamisch onbepaald.
Is het mogelijk een impulsie zóó aan te brengen, dat de as geen weerstand behoeft te bieden ?
Zal dat mogelijk zijn, dan moet aan het zestal vergelijkingen (2,1X9) voldaan kunnen worden voor /', = Iv = fz = f 'x = Iy -1\ = 0 dus aan
ƒ*= — — i\)y„ (4mxz = — L
/,= M()'— (!' _ J'0)£ myz = — M
lz= o C( 3' — }'„) = N
of, als de impulsie I {lx, ly, /*) in het punt (a, b, c) aangrijpt, zoodat
L = /* b — Iy c = — M(i'-rn)cx„ = ~(i< - t'a)smctc, M = JzC- Jza = ~ - t'u)cyu = - («' - J'u\ E c y, N = Iy a — lx b — M (0' — 5',) (a xu + by«) wordt:
(0 — Mifi' — 9 o) y„ , (4) (4' — i'u) Z?n x (z — c) = o,
(2)/y= M 0' — (sul'— l'0)2my(z — c) = o,
(3) /, = 0, ,6) a ./•„ + £ = C: jl/.
Hieraan wordt voldaan onder de volgende voorwaarden :
i°. I moet loodrecht gericht wezen op het vlak bepaald door de as en het zwaartepunt (volgens 1, 2, 3).
2". De as moet hoofdtraagheidsas wezen voor het punt, waarin de as gesneden wordt door het vlak, gebracht door den impulsievector loodrecht op de as, of ook, loor de voet van de gemeenschappelijke loodlijn van as en impulsievector (volgens 4 en 5).
3". De afstand, waarop de impulsievector de as rechthoekig kruist, moet gelijk wezen aan de gereduceerde slingerlengte van het lichaam als physischen slinger gedacht