PRIJS 75 CENTS. EINDEXAMENS der HOOGERE BURGERSCHOLEN. 1806 19O7. Uitgewerkte draagstukken van het schriftelijk werk. AF LEVE RING 11 WERKTUIGKUNDE bewerkt door J. H. DE HEER en R. J. DIJKER. A. W. SEGBOER, Uitgever - - Den Haag. EINDEXAMENS der HOOQERE BURGERSCHOLEN. 1866-1907. Uitgewerkte Utaalstukken van het schriftelijk werk. AFLEVERING II. WERKTUIGKUNDE bewerkt door J. H. DE HEER en R. J. DIJKER. A. W. SEGBOER, Uitgever - - Den Haag. INLEIDING. Bij de behandeling dezer vraagstukken zijn de vragen vóór de antwoorden afgedrukt. Men heeft zoodoende een afgerond geheel en wij komen hierdoor tegemoet aan een door sommige gebruikers uitgesproken wensch; eenige opgaven van 1866 en 1867 zijn onbeantwoord gelaten; dit is geschied, eensdeels omdat het „theorievragen" zijn, die zich moeilijk voor oplossing in den trant van dit boekje leenen, anderdeels, omdat de vragen, met eene kleine wijziging in de getallen, ook volgende jaren zijn opgegeven. Na 1867 zijn de vraagstukken allen zonder onderscheid opgelost. De formules, bij de oplossing gebruikt, zijn zooveel mogelijk eerst afgeleid, terwijl eenige algemeene beschouwingen der theorie zijn opgenomen, wanneer het vraagstuk daartoe aanleiding gaf. Ten slotte is voor het gemak der gebruikers boven elke oplossing duidelijk aangegeven, op welk onderdeel der Werktuigkunde de vraag betrekking heeft, terwijl voorts een register het naslaan dier onderdeelên gemakkelijk zal maken. J. H. DE HEER. A. J. DIJKER. Beteekenis der boven elk vraagstuk voorkomende letters. K. Krachten. Z. =r Zwaartepunt. B. = Beweging. A. = Arbeid. H. V. = Hellend vlak. W. = Wig. Kb. = Kogelbaan. Tk. — Takel. T. =; Tapwrijving. Bt. — Botsing. C. = Centripetale en Centrifugale kracht Wr. = Wrijving. S. = Schroef. SI. = Slingerbeweging. K.. Zuid-Holland 1866. Ie Ploeg No. 1. Hoe kan men de resultanten van twee krachten P en Q uitdrukken in functie van P en Q, en omgekeerd elke der composanten in functie van de resultanten? R- = P2 -f Q3 — 2 P Q cos (180 — oc) = R'1 = P'J + Q-' + P Q cos oc. Dit leert ons de trigonometrie- Wij krijgen dus ook: R = | pa -|_ Q' 2 PQ cos oc Past men den sinusregel toe op een der driehoeken waarin het parallelogram door de diagonaal wordt verdeeld, dan vindt men verder: P : Q : R — sin oc,: sin oc, : sin (oq oc,) en P : sin oq = Q : sin oc, — R : sin (oq + oc,). Zuid-Holland 1866. Ie Ploeg No. 2. Bepaal het zwaartepunt van een bolvormige schijf (voor een segment 3 (2 R - h)\ IS X - 4 " (3 R - h) ABCD is de holschijf (dus het verschil van 2 segmenten). De theorie leert: moment segment (hi) — moment segment (h,1 = moment schijf, terwijl: moment segment = inhoud segm. X de afstand van het zwaartepunt (ten opzichte van een vlak, gaande door E, loodrecht op EF). Inhoud segment = inhoud sector — inhoud kegel. 3 I 3 I h, (R - h.) (2R - h.) = l3 , h, | 2 R-' - (R - h) (2 R - h) » = 1 3 |h,'(3R — li,). Dus volgens de momentenstelling is: 3 "",(3R-'"'X'<3Rrhhl,,'-l l».'(3R-h,)x'l";W = | ^ *5 «\ lig x!3 |h,»(3R — h.) — l3 | h,s (3 R — h,) J 4 I h'2 (2R -h,)»- ! | h,J (2 R — hj)v X = 1 , *• 3 I h,a (3 R — h.) — 3 |h,s(3R — h,) |R*h.' - iRhi'-f-1 7jh,«-TlR'h,'-| |h,' + R |h.' | R ht2 — ^ ,hl»_ |Rh,"+^ Ra (h'a - M - R Ch,* - hj") + J (h,<- h./) R (ht2 — h3J) — ^ (h,« —h,») *<*'+*)»«—+M + * (hi + hj)(hi+hj) R (hi + h2) (h, ~ hs) - 3 (hi® - ha») (h,* + h% + hs*) R 0,1 + h,) ~ R = ct - ' gts + (c, + c - gt) (C| + c - _ I (c, + c - gM S ' 2 V g ) s + s. = ct - J gt' + (Cl + c ~ gt)"_ 1 (?> + c - gt » g ' 2 \ g ) s ~~ S' = ct - 2 6t' + (C' V" gtf s - S[ = 2 ct - gV + c.» + ca + gV + 2 c,c - 2 c,gt - 2 egt 2 g s - s, = (c ~ 2 ctg + - K*f + 24 gt + 2 egt 2g 2g s - s, = (c ~ C|)ï _ + 2 c, gt 2 g 2 g « W _ 2 Cl, H.V. Zuid-Holland 1866. 3e Ploeg No. 3. Hoeveel kracht is noodig om een lichaam van 300 kilogr. op een helling van 30" in evenwicht te houden en hoeveel om hel er tegen op te trekken? (/ = 0,3). Vergelijk 1902. V " V(i'i De afgelegde weg is: s = want de beweging is eenparig versneld. z a Wij weten verder de waarde van: s — 100; Vo = o, want er is geen 9 812 aanvangssneiheid, en a — O cos 60° = 4.906. Deze waarden in de formule invullende, krijgen wij: va 100 - 9:812 v5 = 981.2 v = | 981.2 = 31.324 Meter. Voor de berekening van den tijd maken wij gebruik van de formule: v - v„ . . 31.324 ' = a > °' t — 4.906 t = 6.4 seconden. Gelderland 1866. Ie Ploeg No. 1. Op eene staaf zonder gewicht werken, op onderlinge gelijke afstanden van 4 palm, zes evenwijdige krachten, respectievelijk groot 8, 10, 12, 20, 17 en 7 pond, terwijl de Ie, 3, en 5e kracht eene lichting hebben tegengesteld aan die van de 2e, 4e en 6e. Men vraagt richting grootte en aangrijpingspunt der resultante te bepalen. Daar de som van de naar boven gerichte krachten „„iki, • som »a» * „aa, beneden gerich.e kr.ehlen, i, e, géfn "esutote "" De momenten vinden wij door van het eenp j gaande van iedere volgende kracht st. en hunne soortelijke gewichten ^ ™°"" *=" moment i.chaam moment bol R + moment bol R, + moment staaf moment bol R _ 4 , r« d (R + } |) moment bol R, J , R|. D[ (Rt + 1 |) moment staaf = | r" ld X o o. Moment lichaam - < , r. D (R + J ,) + 4 , R[, D, (R[ + 1 () Moment lichaam (_ * , R, D + * , R,« D[ + , r, ld) x\ Wij krijgen dus: Z ~ ^ ° (R + '' ° + 3 T' R'* D' W + ' 0 — 3 I R* D + j | R, i d, + | r! ld. z = ~ R' D (R + ~ 1) + R,» p, (R, + ^ |) - R3 D + R,« D, + J r8 ld. Is nu R,a D[ (R, -f ' I) / R' [1 (R 4- ' n j T2 U ' K U (K + 2 dan ''ÊT* het zwaartepunt tusschen staaf en bol R„ anders tusschen staaf en bol R. Zuid-Holland 1867. Ie Ploeg No. 1. Aan het uiteinde A van een hefboom der eerste soort AB, die den vorm heeft van een rechthoekig parallelopipedum en 6 meters lang, 2 centimeters hoog en 3 centimeters breed is, hangt een gewicht van 200 kilo. Het steunpunt C ligt op een afstand AC = 1.5 meter van het uiteinde A. Aan het uiteinde B werkt werkt eene kracht verticaal naar beneden. Hoe groot moet deze kracht zijn, als de toestel in evenwicht is? De hefboom is van ijzer, het soort, gewicht van ijzer bedraagt 7.8. Onder de werking van 3 krachten is de toestel in evenwicht, dus de momentenstelling toepassende, krijgen wij: 200 X 1,5 = P X 1,5 + K X 4,5 200 X 1,5 = 3,0 X 1,5 X 7,8 -f K X 4,5 200 X 1,5 = 42,12 + K X 4 5 K X 4,5 = 300 — 42,12 = 257,88 K = 57,3 K.ü z. Zuid-Holland 1867. 2e Ploeg No. 1. Een cylinder wordt door een vlak, dat evenwijdig is aan het grondvlak, verdeeld in twee deelen van gelijken inhoud. De bovenste helft is van ijzer, de onderste van lood. Hoe hoog ligt het zwaartepunt van den geheelen cylinder boven het grondvlak? De hoogte van den cylinder is gelijk aan 4 meters; soort. gew. ijzer = 7.8; soort. gew. lood = 11.2. cylindcr'0"10"' liC"aa"' ~ n,onicnt binder + moment ,00der I r2 V 4 v ' y + " •- v 2 Xz = I r- X 2 X 7,8 X 3 + |r»X2XH.2Xl ^ X 9.5 z 46.8 + 22.4 69.2 I.82I Meter. B. Zuid-Holland 1867. 2e Ploeg No. 3, Een lichaam hpweept 71V11 mot «« in de seconde; op een gegeven tijdstip gaaf dlfb™^20 '"e,erS eenparig vertraagde, de vertraging bedrn' M m, K °VCr eenc tijd na genoemd tijdstip zal liet itl,aam 'r 111 de seconde. Hoeveel >. -o *.»«., dien het dan £ Cn""E™' - ïo'c' • (a) bedraagt 1 Meter in de seconde De be.Lnn C.WeKlng'de vertraS>'nR seconde. Het lichaam komt geheel tot « ? V" 20 Me,er >lcr Wordt gevraagd „a hoevecS hetSTfV de weg. die het da„ afgelegd 2a| hebben fUS' Z3' s CV,') s 0- - 20- s 2 200 ')us de afgelegde weg is 200 Meter. v Vo -- at 0 20 - t mo t 20 Na 20 seconden zal dus het lichaam in rust zijn z. Zuid-Holland 1867. 3e Ploeg No. 1. Tegen het eene uiteinde van een cylindervormigen stok, die 3 meters lang en 2 centimeters dik is, is een looden kogel bevestigd, waarvan de middellijn gelijk 4 centimeters is; tegen het andere uiteinde van den stok is een ijzeren kogel bevestigd, wiens middellijn gelijk 8 centimeters is. Men vraagt den afstand vau het zwaartepunt van den geheelen toestel tot een der uiteinden van den stok te bepalen. Soort. gew. houtsoort — 0.6; ijzer = 7.8; lood = 11.1. Moment lichaam moment kogel C + moment kogel D + moment AB. Moment kogel C A | X 0.000.008 X 11.1 X 3.02 0.01X1357568 | „ D 3 I I X 0.000.064 X 7.8 X 0.04 0.000026624 | „ staaf AB | X O OI2 X 0.6 X 3 X 1 5 0,00027 | Moment lichaam 0.00600944 | ^ |x 0.000008 x H l + 3 I X 0.000064 X 7.8 + 0.012 X 0.06X3 |Xz 0.000600944 | (0.0001184 | | + 0.0006656 | + 0 00018 |) z 0.000600944 | 0,000600944 „,n„ ,, z 0.0009640 0623 M' W. Zuid-Holland 1867. 3e Ploeg No. 2. Van eene wig is de hoogte gelijk aan tweemaal de breedte. Loodrecht op het bovenvlak der wig wordt eene drukking uitgeoefend van 100 kilo. Men vraagt de drukking loodrecht op de zijvlakken te berekenen. Naar beneden werkt een kracht K 100 K ü Naar boven werken 2 krachten, ieder groot 2 n cos oc. Gegeven is: h b. dus tg oc 4 oc 76° 58'. K wordt alzoo 2 n. cos 76° 58', waaruit volgt" 206.155 K.Q. z. Zuid-Holland 1867. 4e Ploeg No. 1. linder ,s van ljzer, de kegel van hout. Indien nu de hoogte èn van den" cylinder, en van den kegel geliik 5 2 c . l,uuS>e. (.11 van den loort'ge'w.H hout T «r°ndV,ak Va" Gewicht cylinder = V X sg. 8 X | r' X 5.2 Zwaartepunt vanaf het grondvlak 5 — Gewicht kegel = 1 X I r1 x| X 5.2 =4X 52 j 4 Het totale gewicht zal zijn: | r2 X 5-2 X 8 ' Het moment ten opzichte van het grondvlak I r' X 5.2 X 8 3 X x. De som van de momenten der samenstellende deelen «X I r-x 5.2 X '2- x I X 5.2 X ! X f X 5.2 X 8 1 X < 4 X 5.2 X f2 X 5 2 X "X5.2X| 53 X 5.2 0.53 X 5.2 2.756 m.M. * 4 X 25 m Zuid-Holland 1867. 4e Ploeg No. 3. Twee lichamen zijn op een afstand van 500 nieters van elkander verwijderd. Op hetzelfde tijdstip beginnen zij zich naar elkander toe te bewegen, het eene lichaam met eene eenparige snelheid van 5 meters in de seconde, het tweede met eene eenparig versnelde beweging, waarbij de versnelling gelijk 2 meters is. Na hoeveel tijd en op welk punt zullen de lichamen elkaar ontmoeten. Wanneer A en B elkaar ontmoeten, dan heeft A afgelegd: S! vt ót. 15 heeft dan afgelegd: S, J at2 i'. Derhalve: S, + S, 5t + t3 500 5t + t1. V' + 5t — 500 0 , - 5 ± I 25 + 2000 — 5 + 45 2 2 "5+45 t 20 seconden. A is dan 20 X 5 100 M. van zijn uitgangspunt verwijderd. H.V. Noord-Holland 1867. Ie Ploeg No. 1. Een lichaam, dat F kilogram weegt, ligt op een volkomen glad hellend vlak en wordt daar in evenwicht gehouden, doordien er 3 krachten op werken, elk in 't bijzonder = P. Welken hoek maakt dit vlak met het horizontale, als eene der krachten horizontaal, de tweede in eene richting tegenovergesteld aan die van 't gewicht, en de derde loodrecht op het hellend vlak werkt? Werktuigkunde. - We ontbinden de drie krachten en beschouwen de componenten evenwijdig aan het hellend vlak. De som dier componenten moet 0 zijn, dus: ^ P sin oc + P cos cc = P sin cc. sin cc -f- cos cc 3 sin oc 2 sin Cc cos oc 2 tg a 1 tg c< 2 log tg cc 9,69897-lü cc 26° 33' 54 H.V. Noord-Holland 1867. Ie Ploeg No. 2. Een lichaam, dat 62.75 kilogram weegt, ligt op een vlak, dat een hoek van 45" maakt met den horizon: Hoe groot is de kracht, die een hoek van 50" met den horizon makende, het lichaam in evenwicht houdt? (wrijvingscoëff. = 0.35). Z y: N — 62.75 X cos 45° -f K sin 5 0 (1) ^ x: — 62.75 cos 45° + Nf + K cos 5° 0 (2) Uit (I) volgt: N 62.75 X cos 45° K sin 5 Dit gesubstitueerd in (2) geeft: — 62.75 X cos 45" + 0.35 X 62.75 X cos 45" — 0.35 X K sin 5 + K cos 5 = 0. 62,75 X cos 45" (0.35 - 1) = K (0.35 X sin 5" - cos 5°). K _ + 62.75 X cos 45° X 0.65 cos 5° - 0.35 X sin 5 K _ 62.75 X 0.7071 X 065 0.9962 - 0.35 X 0.0872 log 62.75 = 1.79761 „ 0.7071 - 0.84948 - 1 breuk = 29:8653. 0.65 = 0.81291 1 log teller = ï.46000 ^ TV kleinste kracht» cl ie het li- „ 0.96568 = 0.98483 — 1 chaam in evenwicht houdt is dus log breuk = 1.47517 29.866 Kilogram. Noord-Holland 1867. 2e Ploeg No. 3. Twee punten liggen op een afstand van 50 meters boven elkander. Na hoeveel tijd zal een lichaam, dat uit het hoogste punt valt, door een ander ingehaald worden, dat 1 seconde van te voren viel uit het hoogste punt? Komt B in C aan, dan is de afgelegde weg: s = J gt' Komt A in C aan, dan is de afgelegde weg: s + 50 = ^ K <' + ')2 Dus 50 = 1- g (t + 1)> — ]2 gt* 50 = 2 X 9.812 (t» + I + 2 t) - ' X 9.8121' 50 = 4.906 + 9.812 t 9.812 t = 45.094. 45.094 . _ ~ 9 812 ~ SC'C' Jna' z. Zeeland 1867. No. I. Een lichaam is samengesteld uit een rechten cylinder, wiens straal r gegeven is, en uit een halven bol, die hetzelfde grondvlak heeft als de cylinder. Welke hoogte moet de cylinder hebben, opdat het zwaartepunt van het geheele lichaam in het middelpunt van het gemeenschappelijk grondvlak gelegen zij? Moment lichaam = moment cylinder + moment halve bol. ( | r- X * + 3 I r») x = H rs X * X 9 * + 3 I r' (x + ^ r) x2 <"■ 1+3 | x r2 = }2 | xs r2 -f 3 | x rJ + ^ | r4 1 .. .. 1 , 9 x r — 4 r' x2 = 2 r* 1 . x = 2 rl 2 m Utrecht 1867. No 2. Bepaal de plaats, de snelheid en de richting der beweging van een kogel, die met eene aanvangssnelheid c onder een hoek x met den horizon is voortgeschoten, t seconden na het verlaten van het kanon, en bereken den tijd na welken en den afstand waarop de kogel den grond bereikt. I)e hoogte van het kanon boven den grond wordt gelijk 0 aangenomen; de versnelling van de zwaartekracht is g. Afstand boven den grond: De projectie op de Y-as is een beweging met een versnelling gelijk aan de versnelling in de baan, want de Y-as is evenwijdig aan die versnelling en de versnelling projecteert zich dus op de Y-as onveranderd in grootte. Voor den weg OR hebben we dus: OR — v„ sin cc t — ^ gt2 of OR = ct sin x —^ gt2. Afstand tot Q: c cos x is de snelheid van de projectie op de X-as en de weg is dus OQ = c t cos x. Snelheid is dan: v- = c2 cos2 x -)- (c sin x — gt),J = c- cos3 x + c2 sin2 x -f- g2 t2 — 2 c sin x X gt = c2 — 2 egt sin x + g2 t2. v ~ I c2 — 2 egt sin x -f- g212 Richting der beweging: tg cc = X* = c S'n x— Vx c cos x diepte der uitholling 3 palm is? Tijd: Als de kogel den grond bereikt, dan is: gt c sin x t = ^ gt'iof e sin x = ^ gt- _ 2 c sin x g Afstand tot Q op de X-as: In OQ = c cos x t moeten we voor t de uitdrukking " C s'n x substitug eeren en vinden dan: „ „ 2 c sin x OQ = c cos x — g 2 sin x cos x c- sin 2 x ci = g SC z. Utrecht 1867. No. 3. Zie 1903 No. 3a. Men vraagt het zwaartepunt te bepalen van een bolvormig segment, dat h tot hoogte heeft, terwijl de straal van den bol v is, gebruik makende van de formules voor het zwaartepunt van den kegel, en van het gebogen oppervlak van een bolvormig segment. De afstand van 't zwaartepunt tot 't 3 (2 v — h)5 middelpunt van den bol is 4 (3 v z. Overijsel 1867. No. 1. Waar ligt het zwaartepunt van een rechten cirkelvormigen cylinder, die aan eene zijde concentrisch is uitgeboord, wanneer de straal van het grondvlak is 2, die van het cylindrisch gat 1.2, de hoogte des cylinders 8 en de Moment lichaam = moment groote cylinder — moment kleine cylinder. ( | r- h — |r,2h,)z-- |rshX4— | n2 h, X ^h. (4 X 8 — 1.44 X 3) 2 = 4 X 4 X 8— 1.44 X 3X1-5 z _ 128 j— 6.48 _ 121.52 _ 32 - 4.32 ~~ 27.68 ~~ 4 9 Het zwaartepunt ligt dus op een afstand van 8 — 4 39 = 3.61 palm van het grondvlak. Overijsel 1867. No. 3. Een lichaam wordt met eene snelheid van 49 el per sec verticaal opgeworpen. 4 sec. later wordt een tweede lichaam met een snelheid van f , e' per sec" eve"zoo opgeworpen. Na hoeveel tijd zullen zij elkander —e, e" °P WCll •• • ^ kilogr., aan den is = tang „ (J ol Z' ^2,ngSC?Cient V3" de Spil in p- die met P evenwicht maakt. ' grootste en kleinste waarde van Q, We zullen eerst de grootste waarde van Q berekenen, die met P evenwicht maakt; dan valt 't steunpunt D rechts van M. MC is dan c sin u. We zullen de momenten nemen ten opzichte van D. Dus: Q (a -f* c sin u) = P fb c sin tl) b - c sin u p a f c sin u Kleinste waarde van Q. We passen weer de momentenstelling toe ten opzichte van 't steunpunt D, dat nu links valt van M. Dan is Q (a — c sin u) = P (b + c sin u). of b + c sin u a — c sin u T. Limburg 1867. No. 2 Wanneer bij een vliegwiel de druk in eene der tappannen D = 1G000 kilo en de wrijvingscoëfficient f = 0.08 bedraagt, hoe groot is dan de wrijving? Wanneer verder de tapstraal g = 0.075 meter en het getal omwentelingen per minuut n = 6 bedraagt, hoeveel arbeid moet er dan per seconde verricht worden, om deze wrijving te overwinnen? In de figuur zien we, dat f N = T sin w is, of W = T sin w. Bij benadering mogen we sin w door tg tv vervangen, doch tg vi' = f, dus: W = 10.000 X 0.08 = 800 K.Q. Op 't lichaam, dat om de horizontale as draait werkt de totale weerstand T van de tappen tegen de tap, welke weerstand met OQ 2 w vormt. De resultante van de overige krachten moet nu tegengesteld gelijk aan T zijn; 't moment van D is dus ten opzichte van O: Dg sm ii>, als g de tapstraal voorstelt. In O brengen we 2 tegengestelde krachten = D aan, zoodat we kunnen zeggen: er werken 2 koppels met tegengesteld gelijke momenten Dg sin iv. 't Wrijving.skoppel wordt dus M = Dfg en "'eraan is 't moment van 't drijvende koppel , Nu ls blJ' 1 omwenteling de betrekkelijke verplaatsing 2 I g en daar de wriivinr OA ± f'r (4) in welke uitdrukking van P de bovenste teekens in teller en noemer betrekking hebben op het geval in figuur I en de onderste teekens op het geval in fig. II bedoeld. De in het tweede lid der vergelijking (4) voorkomende grootheden zijn directe gegevens van het vraagstuk, behalve de coëfficiënt f', welke echter op indirecte wijze gegeven is. Immers f1 is de sinus van den wrijvingshoek te, van welken hoek de tangens gelijk f is. Door substitutie in de vergelijking (4) der direct gegeven grootheden G 4, L = 25, OC 4, OB 6, OA 2 en r 0.3, komt men tot: 4 X 4 + 25 X 6 + (4 + 25) f1 X 0.3 166 + 8.1 V 2 ± f' X 0.3 2 ± 0.3 f, Nu is tang te f 0.21 of log. tang w 9.32222 — 10 dus tv 11" 511 35ll.2. log. sin w 9.31285 — 10 en f1 sin ie 0.20552, zoodat 166 + 1.788 2 + 0061655 waaruit volgt: P 2.061655 '«®K.a.e„P «g™ 86 563 K.O. Zoolang de kracht P grooter dan 79.650 K.G. en kleiner dan 86.563 K.G. is, blijft de staaf in evenwicht' is P kleiner dan 79,650 K.G. dan begint de staaf in de pan te draaien in de richting van het pijltje in fig. 1, en is P grooter dan 86,560 K.G., dan volgt draaing in de richting van het in fig. II aangegeven pijltje. Opmerkingen■ Bestond er geen wrijving tusschen tap en pan, dan was er slechts eene bepaalde waarde waarbij het evenwicht mogelijk was: deze waarde vindt men uit de momenten-vergelijking: G X OC + L X OB P X OA 0, waaruit P 83 K.G. Dat deze waarde van 83 K.G. moet liggen tusschen de beide hierboven gevonden grenswaarden, welke bij behoud van evenwicht P verkrijgen kan. wanneer er wel wrijving is tusschen tap en pan optreedt, is op zich zelf duidelijk. Bovenstaand vraagstuk is meer uitvoerig behandeld met het doel om er naar te verwijzen bij de oplossingen van volgende vraagstukken, waarin eveneens het verschijnsel van tapwrijving wordt behandeld. 1868. No. 2. Welke snelheid deelt eene kracht van 30 kilogram aan een lichaam mede, dat 600 kilogram weegt, wanneer de kracht 10 seconden werkt? Welken afstand heeft het lichaam na verloop van dien tijd afgelegd? Hoeveel arbeidsvermogen is er in het lichaam opgehoopt, en indien de kracht na 10 seconden ophoudt te werken en vervangen wordt door een weerstand van 12 kilogram, hoe lang blijft het lichaam dan nog in beweging en welken weg legt het af? Van het in het eerste gedeelte van het vraagstuk bedoelde verschijnsel kunnen wij ons een denkbeeld vormen door ons voor te stellen, dat een lichaam, welks gewicht 600 kilogram is, is neergelegd op een horizontaal vlak, waarop het lichaam zonder eenigen wrijvingsweerstand te ondervinden, kan worden voortbewogen. Eene horizontaal gerichte kracht, wier grootte en richting constant blijft, deelt het lichaam eene gelijkmatig (eenparig) versnelde beweging mede, van welke beweging de versnelling evenredig is aan de kracht, die de beweging veroorzaakt. Bij den vrijen val, wanneer op het lichaam alleen zijn gewicht of m. a. w. eene kracht van 600 K.G., welke constant in grootte en richting is, werkt, is de versnelling der beweging van het lichaam g 9.812 meter per seconde. Eene enkele constante kracht van 3J kilogram geeft aan dat zelfde lichaam dus een gelijkmatig versnelde beweging, welker 30 i versnelling is j ggp X g 2Q g- Na 10 seconden is — aangezien het lichaam wordt ondersteld geenc aanvangssnelheid te bezitten — de snelheid v 10 X j . g 'x 9.812 4.906 Meter per seconde en de iii dien tijd doorloopen weg s 2 i r' 2 X 20 g X W 2 g 2 X 9-812 24.53 Meter. De kinetische energie (het arbeidsvermogen) welke 10 seconden na den aanvang der beweging in het lichaam is opgehoopt is m V ^ (6^°) X ( ] g) 75 X g 75 X 9.812 7.35.ff K.G. Af. Houdt, na 10 seconden te hebben gewerkt, de kracht van 30 kilogram op, om plotseling te worden vervangen door een weerstand (d w. z. een kracht wier richting tegengesteld is aan die der beweging) van 12 kilogram dan volgt na die 10 seconden eene gelijkmatig vertraagde beweging. De vertraging is evenredig aan de kracht, welke haar veroorzaakt. Noemen wij .. . \2 | die vertraging j1, dan is dus j' g g en noemen wij t' de tijd welke verloopt vanaf het oogenblik, waarop het lichaam den weerstand van 12 kilogram begint te ondervinden, tot op het oogenblik, waarop het tot stilstand komt of m. a. w. waarop de snelheid nul geworden is, dan is v j't1 0, of 0 g g' gt1, waaruit men vindt t1 25 secunden. De kinetische energie van 735-9 K.G. M. welke het lichaam bij het begin van die t1 seconden bezat, is gebruikt tot het overwinnen van den weerstand, groot 12 K.G. over den afstand, welke het lichaam in die t1 seconden nog heeft afgelegd; die afstand s1 noemende, is de arbeid door dien weerstand verricht 12 X s K.G. M, zoodat men heeft 12 X 3 735.9 waaruit volgt: 735.9 r, . s 01.325 Meter. TK. en H.V. 1869. No 1. Een last, wegende P kilogram, moet tot eene hoogte van h meter worden opgeheven. Men kan daartoe gebruik maken öf van eene vaste katrol, of van een hellend vlak. Van de katrol heeft de schijf een straal van 1 decimeter, de nagel of spil een straal van 1 centimeter; de wrijvingscoëfficient is 0,36. Het hellend vlak niaakt met den grond een hoek van 30°; bij het glijden van den last over dit vlak is de wrijvingshoek 9°. Men onderstelt verder, dat bij het sleepen van den last het touw evenwijdig met het vlak is. Men vraagt de grootte van den in beide gevallen te verrichten arbeid te bepalen. Wij gaan eerst na het opheffen van den last P door middel van de vaste katrol, daarna door middel van het hellend vlak. A. Vaste katrol. Stellen wij ons voor (zie figuur) dat de schijf, welker diameterOA = OB = R = lOcM. is, draaien kan om een vasten nagel, welks diameter OD = r = 1 cM. is. Om die schijf is een touw (een looper) geslagen, aan welks eene uiteinde de last P hangt en welks andere uiteinde met een kracht K naar beneden getrokken wordt. Wanneer er evenwicht is tusschen kracht en last, doch de werking der kracht K op bet punt staat die van den last P te overwinnen, of m a. w. de schijf op het punt staat te gaan draaien in de richting, welke het gebogen pijltje in de figuur aangeeft, heeft men met de in de figuur aangegeven notaties (vergelijk de oplossing van Vraagstuk No. 1 van 1868): W = f N (1) P + K - R = O (2) K X OA — P X OB — R X OE = O (3) Hierin is OE — OD sin ODE = r sin ODE, terwijl tang ODE = = f is. Men heeft dus — wanneer men de wrijvingshoek NDR Q noemt, zoodat tang Q = f is uit de vergelijking (!) R = P + K en door substitutie dezer waarde van R in vergelijking (3) K X R - P X R - (P X K) X r sin Q = O. • . ir R + r sin Q waaruit vo gt: K = /• P. 6 R — r sin Q in welke betrekking Q de boog is, welks tangens gelijk is aan f. Nu is tang Q f_ 0.36 0.36 S"' Q = 1 1 + tang» Q ~~ VT+P ~ 171 + 0.1296 ~ I 1.1296 _ l- _ 10 + 0.33872 D _ 10.3387 __ p - 0.3387., zoodat K 1Q _ Q 33g72 P 9 6613 Wordt de last 1' door die kracht K omhooggetrokken, dan is de door die kracht verrichte arbeid K X h — '-07 Ph. Werktuigkunde. 3 B. Hellend vlak. Is het lichaam, welks gewicht P is, op het hellend vlak (fig. 2), dat een hoek oc = 30° met den grond maakt, in rust, doch op het punt naar boven te worden getrokken door een kracht K, gericht volgens het hellend vlak, dan is het lichaam in evenwicht onder de werking van vier krachten: le de kracht K- 2e de kracht P. gelijk aan het gewicht van het op te heffen lichaam en dus verticaal naar beneden gericht, 3e de normaal op het hellend vlak gerichte composante R der reactie van het hellend vlak op het lichaam en 4e de wrijving W, tegengesteld aan de richting der beweging, welke het lichaam op het punt is aan te nemen, welke wrijving W gelijk is aan het product van den wrijvings-coeffient f of de tangens van den wrijvingshoek Q met den druk van het lichaam, normaal op het hellend vlak. Daar er evenwicht ondersteld wordt, moet de algebraische som der projecties van deze vier krachten op eene willekeurige lijn gelijk nul zijn. Projecteeren wij die vier krachten op het hellend vlak, dan komt men tot de vergelijking K — Psinoc — W = 0 waarin W = f P cos oc is. Men heeft dus: K — P sin oc — f P cos oc = O of K = (sin cc + f cos oc) P = (sin oc + tang, Q cos Oc) p = s'n ( Cc ~f~ p cos Q Stijgt de last P in verticale richting eene hoogte h, dan doorloopt het aangrijpingspunt der kracht K een afstand s, zoodanig dat h = s sin oc is. De arbeid, welke de kracht K moet verrichten- opdat de last P tot eene hoogte h worde opgeheven, is dus Ks = h Sin (Cc + Q) P sin oc cos Q of, daar met de gegevens van ons vraagstuk Q = 9° en Cc = 30° en dus sin oc = ^ js> Ks = 2?^Ph. cos 9° c. 1869. No. 2. Een locomotief doorloopt een boog, waarvan de straal 100 meter Haar zwaartepunt ligt 1,6 meter boven de spoorstaven De buitenkanten der spoorstaven hebben een afstand van 1,5 meter. Bij welke snelheid zou de locomotief door de middelpuntvliedingskracht naar buiten omkantelen? Hoeveel moet de spoorstaaf, die aan den buitenkant der bocht ligt, hooger gelegd worden dan de binnenste, opdat bij eene snelheid van 3 meter de resultante van zwaartekracht en middelpuntvliedingskracht loodrecht zij op het vlak, dat door de bovenkanten der spoorstaven kan gebracht worden, zoodat de flenzen niet zijdelings tegen de spoorstaven gedrukt worden? Wanneer een stottelijk punt, waarvan de massa nl is, met eene constante snelheid v een cirkelboog doorloopt, welks straal r is, is de resultante van alle krachten, welke op dit punt aangrijpen, eene naar het middelpunt van dien cirkelboog gerichte kracht, wier grootte ,"vJ is; deze resultante heet de centripetale kracht. Een kracht gelijk en tegengesteld van richting met die centripetale kracht, maakt dus evenwicht met alle krachten, welke op het stoffelijk punt aangrijpen. Die kracht, gelijk en tegengesteld aan de centripetale kracht, d. w. z. eene kracht gelijk aan '"w en gericht vanaf het middelpunt naar den omtrek van den cirkelboog, noemt men de centrifugale- of middelpuntvliedingskracht. In ons vraagstuk nemen wij aan dat elk punt van de locomotief een cirkelboog beschrijft, hetgeen slechts bij benadering juist is, daar b. v. punten der wielen eene meer samengestelde beweging hebben. Voor elk der stoffelijke punten, waaruit wij ons denken dat de locomotief is opgebouwd, geldt hetgeen hiervoren werd in herinnering gebracht, nl. dat de middelpuntvliedingskracht van elk punt evenwicht maakt met alle op dat punt aangrijpende krachten. Wanneer men dus voor alle stoffelijke punten die locomotief, al die stelsels van krachten, welke elk In het bijzonder betrekking hebben op één stoffelijk punt, bij elkaar neemt, kan men zeggen dat er evenwicht moet bestaan tusschen alle krachten, op elk der stoffelijke punten aangrijpend en de middelpuntvliedingskrachten van elk dier punten. De krachten, welke werkelijk op de stoffelijke punten der locomotief aangrijpen, zijn van tweeërlei aard; zij bestaan uit; le de krachten welke uitgaan van een ander tot de locomotief behoorend stoffelijk punt, welke krachten wij inwendige krachten noemen en 2e de krachten, welke van buiten af op de locomotief werken, die wij uitwendige krachten noemen en welke uitwendige krachten zijn de zwaartekracht en de reacties der spoorstaven; op grond van het beginsel dat actie en reactie gelijk en tegengesteld van richting zijn, is de resultante van alle inwendige krachten gelijk nul. De resultante van de op elk der punten werkende zwaartekracht is eene kracht gelijk aan het gewicht der locomotief, welke in het zwaartepunt aangrijpt en verticaal naar beneden gericht is. De uitwendige krachten zijn dus het gewicht der locomotief en de reacties, welke zij van de spoorstaven ondervindt. Daar de afmetingen van de locomotief gering zijn in vergelijking met den straal van den cirkelboog, welke elk harer punten doorloopt, kunnen wij bij benadering aannemen, dat alle middelpuntvliedingskrachten ™vi, be- hoorende bij elk der punten van de locomotief, dezelfde richting hebben; de resultante dier krachten is dus Bovendien hebben bij benadering de grootheden v en r voor elk der punten dezelfde waarde, zoodat die resultante gelijk m, of ^ M is, wanneer M. de massa van de locomotief voorstelt. Daar zij de resultante is van onderling evenwijdige krachten, welke evenredig zijn aan de massa's van de stoffelijke punten, waaruit het geheel V 3 bestaat, grijpt de resultante r M aan in het zwaartepunt der locomotief. Op grond van het voorafgaande zal het duidelijk zijn dat er evenwicht moet bestaan tusschen: le de kracht ^' M, aangrijpend in het zwaartepunt en horizontaal gericht volgens den straal van den cirkelboog, welken het zwaartepunt doorloopt vanaf het middelpunt van dien boog naar den omtrek en 2e de uitwendige krachten, welke bestaan uit het gewicht der locomotief en de reactie der spoorstaven. Gaan wij nu eerst na het eerste gedeelte van ons vraagstuk. Zij in figuur 1 schematisch de locomotief op hare in een horizontaal vlak liggende spoorstaven voorgesteld. Nemen wij aan dat elk der spoorstaven het beloop heeft van een cirkelomtrek, welks middelpunt recht van de figuur ligt, zoodal A een binnenwiel en B een buitenwie! voorstelt- De locomotief zou op grond van het beginsel der traagheid, uit zich zelve eene rechtlijnige baan doorloopen; zij wordt echter door de spoorstaven gedwongen tot het doorloopen van een cirkelboog. In den toestand waarop de figuur beirekking heeft, dwingt de spoorstaaf b door eene drukking D tegen de flens van het buitenwiel B de locomotief tot het doorloopen van dien cirkelboog. De uitwendige krachten, welke op de locomotief werken zijn dus: le haar gewicht G = Mg, aangrijpende in haar zwaartepunt C, 2de de verticale reactie Rt van de binnenrail a tegen het binnenwiel A, 3e de verticale reactie Ra van de buitenrail B tegen het buitenwiel B en 4e de horizontaal gerichte drukking D van de buitenrail a tegen de flens van het buitenwiel B. Er moet dus evenwicht zijn tusschen de krachten üi Ri, R,, D en de middelpuntvliedingskracht ^r" M. Wij zien dat eene voorwaarde voor het evenwicht is dat: D = ^ M en R, -)- R, = G is. Noemen wij de spoor- wijdte 2a en de hoogte van het zwaartepunt C boven den bovenkant der rails h, dan moet bovendien voldaan worden aan de vergelijking, welke uitdrukt dat de algebraïsche som der momenten van de vijf bovengenoemde krachten ten opzichte van een willekeurig in hun vlak gelegen punt gelijk nu! is. Men heeft dus door de momenten te nemen ten opzichte van het punt K, waar de verticaal door het zwaartepunt C het bovenvlak der spoorstaven snijdt: R, X a - R, X a - y' M X h = 0 of (R, - R,) X a = y M X h (j) of daar: R, = O — Rt is,: (Q - 2 R,) X a = y M X h (2) Uit de vergelijking (1) blijkt, wat ook h priori duidelijk is, dat wanneer v niet gelijk nul is, de reactie R, grooter dan de reactie R, is, terwijl uit (2) blijkt dat, wanneer de snelheid v, waarmede de locomotief over haar rails loopt, toeneemt, de grootte der reactie R, afneemt. Wordt G X a = ** M X h> dan wordt Ri gelijk nul, het binnenwiel ondervindt dan geene reactie meer van de spoorstaaf en dit wiel drukt dus ook niet meer op zijn rail, zoodat bij die snelheid de locomotief om haar buitenrai\ zal omkantelen. Van die kritieke snelheid vindt men de grootte uit: G ar ar V ~ M h - gh of: g = 9.812, a = ^ X 15, r = 100 en h = 16 stellende: v" = 9.812 X X = 459.9375 waaruit: v = 21.446 M. per secunde. Gaan wij nu over tot het tweede deel van het vraagstuk. Onderstel, dat om te voorkomen, dat bij eene snelheid van de locomotief van 3 meter per secunde, de flenzen der wielen zijdelings tegen de spoorstaven gedrukt worden, de buitenrail x M hooger gelegd wordt dan de binnenrail. Noemen wij cc de hoek (zie fig. 2) welke in het vlak loodrecht op de rails de lijn ab getrokken over de bovenkanten van buiten- en binnenrails, maakt met het horizontale vlak ac. In dit geval bepalen zich de uitwendige krachten tot het gewicht G = Mg en de beide reacties der spoorstaven R, en Rj, loodrecht op de lijn ab gericht. Deze drie krachten moeten met de horizontaal gerichte middelpuntvliedingskracht v ' M, aangrij¬ pend in het zwaartepunt C een stelsel krachten, dat in evenwicht is, uitmaken. Projecteeren wij de vier krachten van dit stelsel op de richting ab, dan verkrijgt men door de algebraïsche som der projecties gelijk nul te stellen. v* G sin oc M cos cc 0 r . vl M v' of: tang oc = — = r G rg De gezochte waarde van x is dan ab sin & = 2 a sin oc. Nu is v = 3, r = '00 en g = 9.812, zoodat tang oc kleiner dan 0.01 is. Bij benadering mogen wij dus tang oc vervangen door sin Cc, zoodat wij verkrijgen 2av3 x = rg 1 5 X 3! 135 X = fób' X 9.812 = 98172 0f ongevcer 00,4 M Opmerking. Uit de vergelijking (3) blijkt, dat de gezochte waarde van x onafhankelijk is van de hoogte h van het zwaartepunt der locomotief boven het vlak der rails. Wij merken nog op, dat bij afwezigheid van zijdelingschen druk op de wielen: Ri — Rs = „ (G cos oc -f- M sin oc) = ' (cos oc -)- v sin oc) G. is . . i rg of daar de hoek oc zeer klein is en dus cos oc weinig van de eenheid en sin oc weinig van nul verschilt, R, = R2 bij benadering = \ G. is. A. 1869. No. 3. Een heiblok van 600 kilogram heeft een valhoogte van 1,2 meter slaat op een heipaal, die 420 kilogram weegt, en drijft dezen in de laatste 20 slagen 0.015 meter dieper in den grond. In de onderstelling, le dat de weerstand van den bodem daarbij standvastig is, 2e dat heiblok en paal harde, niet veerkrachtige lichamen zijn, worden gevraagd: a. het draagvermogen des paals; b. het arbeidsvermogen bij één slag verbruikt en de nuttige arbeid daardoor verkregen. De snelheid v, waarmede het heiblok, dat 600 K.G. weegt, bij eene valhoogte h = 1.2 M. op den heipaal neerkomt is v = J/2 gh, waarin k de versnelling van de zwaartekracht voorstelt, zoodat v' = 2 X 1.2 X gi . V3 of — = 2.4 is. g Bij volkomen onveerkrachtige botsing van twee lichamen (het heiblok en den heipaal), waarvan het eene (het heiblok) een massa '» en eene snelheid v bezit, terwijl het andere (de heipaal) eene massa m' heeft en in rust is, of m. a. w. eene snelheid gelijk nul heeft, is de gemeenschappelijke snelheid der beide lichamen na de botsing c= ,. De beide lichamen b m -f m1 (heiblok en heipaal) hebben dus nè de botsing te samen een kinetische energie = ^ (m + m>) c" = v». Deze kinetische energie wordt omgezet in den arbeid, welke voor het in den grond drijven van den heipaal noodig is, of m. a. w. dit arbeidsvermogen van beweging dient tot het overwinning van den weerstand, welken de grond biedt aan het indringen van den paal. Deze „weerstand" en het „draagvermogen van den paal" zijn uitdrukkingen van geheel hetzelfde begrip. In 20 slagen van het blok wordt de paal 0.015 M. dieper den grond ingeslagen; bij eiken slag is, omdat de weerstand van den grond standvastig wordt ondersteld, de indrijving s = 2Q X 0.015 Meter. Noemen wij W de weerstand van den grond in K.Q., dan moet bij eiken slag een arbeid verricht worden gelijk Ws KOM. Wij komen dus tot de gelijkheden: „, m' „ Ws = j vs m + m1 O' V' of Ws = K „ /m . ml\ g U g' In deze laatste vergelijking, substitueerend de waarden s = 1 X 0.015, m = 600, m' = 420 en V - 2.4, vindt men: 20 g g S w = P6 ^ 10' = 564786 K.G.M. Het bij één slag verbruikte arbeidsvermogen is de arbeid, welke verricht moet worden om het 600 K.O-zware heiblok tot eene hoogte van 1.20 M. op te trekken en is dus gelijk aan 600 X l-2 = 720 K.G.M. De bij één slag verrichte nuttige arbeid is de arbeid gebruikt tot het door dien slag in den grond doen indringen van den heipaal over eene diepte S, waarbij de weerstand W wordt overwonnen; die nuttige arbeid wordt uitgedrukt door een der leden van de vergelijking (1) en is dus 72 ^ 10' = 423 5 K.G.M z. 1870. No. 1. Een looden halve bol is tegen een der eindvlakken van een kurken cylinder bevestigd. De stralen van bol en cylinder zijn ge'ijk. Het soortelijk gewicht van lood is U.35, dat van kurk 0.24. Welke is de grootste verhouding tusschen lengte en straal van den cylinder, die nog kan voorkomen, wanneer het lichaam, nedergelegd zijnde, zich weder zal oprichten? Het zwaartepunt S van het geheele lichaam (looden halven bol en kurken cylinder te samen genomen) ligt op de figuuras van het lichaam en tusschen het zwaartepunt S, van den cylinder en het zwaartepunt Sa van den halven bol in. Valt dat algemeen zwaartepunt S aan den kant van het scheidingsvlak van halven bol en cylinder, waar zich de cylinder bevindt, dan zal het lichaam, nedergelegd zijnde, zich niet oprichten, valt dat punt S aan den anderen kant, dan vormt het gewicht van het lichaam met de reactie van het steunvlak een koppel en zal de figuuras van het lichaam een verticalen stand trachten aan te nemen. De verhouding van lengte tot straal van den cylinder, waarbij het algemeen zwaartepunt S in het scheidingspunt A van halven bol en cylinder valt, is dus de grootste waarde, welke die verhouding kan verkrijgen, wanneer wij verlangen dat het lichaam, nedergelegd zijnde, zich weder oprichten zal. Stellen wij den straal van den kurken cylinder r en zijne hoogte li, dan is het volume van den cylinder | r-h cn zijn gewicht 0.24 | r' h. Het moment van het gewicht van den cylinder ten opzichte van het scheidingsvlak A is dan, daar A S,; = ' h is, gelijk 0.24 | r' h X ' li = 0.12 i rsh». ^ 2 Het volume van den looden halven bol is ~ | rs, zijn gewicht is: 11.35Xg I r = g | r3, terwijl omdat AS2 = ^ ris, het moment van zijn gewicht ten opzichte van het scheidingsvlak A is 22'? | r3 X 3 r = 22 7 | r4 is 3 8 8 Het algemeen zwaartepunt valt derhalve in het scheidingsvlak A, als 22 7 0.12 \r*h*="'' | r4. O dus wanneer: ^ = 22|7 0f J1 = = 4.8627. Wanneer eene verhouding van h tot ' kleiner dan 4.8627 voorkomt, zal het lichaam, nedergelegd zijnde, zich weder oprichten; is die verhouding grooter, dan blijft het lichaam liggen in die positie, waarin men het heeft nedergelegd. 1870. No. 2 Op een lichaam van 1000 kilogram, dat zich op een horizontalen weg bevindt, werkt gedurende 2.5 minuut eene kracht van 200 kilogram. In de onderstelling, dat de aanvangssnelheid 5 meter en de wrijvingscoëfficient 0.01 is, vraagt men: a. de snelheid na 2,5 minuut; b. den weg in dien tijd afgelegd; c. het arbeidsvermogen alsdan in het lichaam opgehoopt: (I. den weg dien het nog zou kunnen afleggen, als na den tijd van 2.5 minuut de kracht ophoudt te werken. De weerstand door de wrijving teweeg gebracht, moet in rekening gebracht worden als eene kracht, welker richting tegengesteld is aan die der beweging en welker grootle gelijk is aan het product van den wrijvingscoefficiënt met den normalen druk, dien het vlak, waarover de beweging van het lichaam plaats grijpt, ondervindt. Daar dit vlak horizontaal is, isde drukking op dit vlak gelijk aan het gewicht van het lichaam = 1000 K.G.; de wrijvingsweerstand is dus: 0.01 X '0C0 : 10 K.ü. De horizontaal gerichte kracht, welke gedurende 2 5 minuut of 150 seconden op het lichaam aangrijpt, is 20 K.G. Men ziet in dat de invloed van de wrijving buiten rekening gelaten kan worden, wanneer men de kracht van 20 K.G. vermindert met den weerstand van 10 K.G., welke door de wrijving wordt voortgebracht. Wij beschouwen dus het lichaam gedurende een tijd t = 150 seconden onder den invloed van een horizontaal gerichte kracht van 20 — 10 = 10 K.G. Bij den vrijen val d.w.z. wanneer op het lichaam alleen eene kracht, gelijk aan zijn gewicht groot 1000 K.ü. werkt, krijgt het lichaam eene versnelling g — 9.8 Meter per seconde. Aan die zelfde massa geeft eene kracht van 10 K.G. dus eene versnelling j = X g — 0.01 g. Bij eene aanvangssnelheid v0, wier richting samenvalt met de op het lichaam werkende kracht gelijk aan 5 M. per seconde, is dus na t = 150 seconden de snelheid v = v„ + jt = 5 + 0.01 g X 150 = 5 + 0.01 X 9.8 X 150 = 19.7 M. per seconde. De weg in die 150 seconden afgelegd, is s = v" t + l j t5 = 5 X 150 + j X 0.01 g X 1502 = 1852.5 M. Het arbeidsvermogen, hetwelk in het lichaam is opgehoopt, nadat de kracht van 20 K.G. gedurende 150 seconden heeft gewerkt, is daar de massa (»') van het lichaam, door wordt uitgedrukt gelijk aan 1 m v' - 1 ,ü^° X (19.7)'- - 19800.5 K.G.M. 2 2 g Wanneer de kracht van 20 K.G. ophoudt te werken veroorzaakt de weerstand door de wrijving te weeg gebracht eene vertraging van de beweging van het lichaam; de kinetische energie van dit lichaam vermindert dan met eene zelfde hoeveelheid als de arbeid bedraagt, welke door dien weerstand is verricht. Is de snelheid van het lichaam en dus zijne kinetische energie tot op nul verminderd, dan is die kinetische energie in haar geheel omgezet in arbeid door den wrijvingsweerstand verricht. Noemen wij Si de weg welke nog door het lichaam wordt afgelegd, nadat de kracht van 20 K.G. heeft opgehouden te werken, dan is: Wrijvingsweerstand X s, = } mv" = 19800.5 K.G.M., waaruit volgt, omdat de wrijvingsweerstand = 10 K.G. is: s, = 1980.05 Meter. T. 1871. No. I. Een ijzeren staaf, lang 12 decimeter, heeft den vorm van een afgeknotten kegel, welks eindvlakken stralen van 4 en 2 centimeter hebben. Het soortelijk gewicht van het ijzer is 7,6. Aan het dikke einde hangt een gewicht van 200 kilogram, en op 5 decimeter afstand van dit uiteinde is het middelpunt van een tap, welks straal 2 centimeter is. Men vraagt naar de grenswaarden der kracht, welke aan het dunne uiteinde aangebracht, dezen hefboom in evenwicht kan houden, wanneer de wrijvingscoüfficient van tap en pan = 0,08 is. Wanneer het gewicht van de staaf en de ligging van haar zwaartepunt op directe wijze gegeven waren, zou de aard van dit vraagstuk geheel overeenkomen met dien van het vraagstuk van 1868 No. 1. Zij (zie figuren I en II) het gewicht der staaf G, zij c haar zwaartepunt, Q het gewicht (van 200 K.G.) dat aan het dikke eind B der staaf wordt opgehangen, p (gelijk 2 cM.) de straal van den tap en w de wrijvingshoek van de wrijvende oppervlakken van tap en pan (zoodat tang w = f = 0.08 is). Men vindt dan de grenswaarden der verticaal gerichte kracht P, welke den hefboom in eiken stand in evenwicht houdt, uit de momentenvergelijking ten opzichte van het middelpunt Q van den tap, t. w. P X AO - G X CO - Q X BO ± (P + G + Q) P sin w =0 waaruit volgt: , _ , y_ , p _ G X CO + Q X BO ± (G + Q) P sin w ~ AO ± p sin w (1) De ontwikkeling dezer formule kan na de zeer uitgewerkte oplossing van het analoge vraagstuk van 1868 No. I hier achterwege blijven. Van de in het tweede lid der vergelijking (1) voorkomende grootheden zijn ons direct gegeven Q = 200 K G-, BO = 5 dM., AO = AB BO 12—5 = 7 dM. en p = 2 cM. = 0.2 dM.; de grootheden G X CO en G zijn echter niet direct uit de numerieke gegevens van het vraagstuk bekend en moeten dus eerst afzonderlijk berekend worden. Bij de berekening van het gewicht G en de ligging van het zwaartepunt C der staaf, verwaarloozen wij het gewicht van den buiten de staaf uitstekenden tap en beschouwen haar dus als den vorm te hebben van een zuiver omwentelingslichaam, nl. dien van een afgeknotten kegel. Stellen wij de lengte van de staaf AB gelijk 1 dM., den straal van het eindvlak van het dikke uiteinde B gelijk R dM. en den straal van het eindvlak van het dunne einde A gelijk r dM., dan is haar volume gelijk aan 1 Tj (R* + Rr + r') 1 dM.' en — het soortelijk gewicht der staaf door s voorstellende — haar gewicht G = y | s (R3 + Rr + rJ) 1 K.G. (2) De afstand van het zwaartepunt C tot het eindvlak B d. w. z. de afstand BC is ' R'"'+ P pf t l '• Nu is OB - 5 dM. en AB = 1 = 12 dM, 4 R- -+- Kr + r' zoodat OB = 5 1 is; men heeft dus OC = OB - BC = ^ 1 ~ 1 R- + 2 Rr + 3 r- 1 2 R- Rf ^ r | cn jn verband met de 4 R' + Rr + r* 12 Ra + Rr + r2 betrekking (2): O X OC = ^Tl s (2 R' - Rr - 4 r2) V' K.G. dM. (3) Substitueeren wij in de betrekkingen (2) en (3) voor s = 7.6, voor R = 0.4, voor r = 0.2 en voor 1 = 12, dan vinden we G = ^ H X 7.6 X 0.28 X 12 = 8.512 Tl = 26.741 K.G. (4) en G X OC = ~ | X 7.6 X 0.08 X 12' = 2.432 | = 7.64035 K.G. dM. (5) Uit het ieit dat wij voor OC eene positieve waarde vinden, volgt dat onze aanname dat het zwaartepunt C der staaf ten opzichte van het punt O aan denzelfden kant als het eindvlak B ligt, overeenkomstig de werkelijkheid is. » ^ ■ ,a"g w ' Verder vindt men: sin w = ~z— = I 1 + tang2 w \ 1 -(- f* 9 of na substitutie van f = 0.08 = : 25 sin iv - y A = 0.079745 t>29 (6) Nu zijn alle in de formule (I) voorkomende grootheden bekend en vinden wij door substitutie voor de grenswaarden P, en P, van de kracht P, waarbij de staaf in evenwicht is. 1004.024 1 = 7.0159 = 143 107 K Q- „ 1011256 C'1 P2 - — = 14471)4 KG (i.9841 m Is dus P kleiner dan 143.107 KG, dan begint de staaf te draaien in de richting welke het gebogen pijltje in fig. I aangeeft: is P grooter dan 144 794 K.ü., dan volgt eene draaiing als door hei pijltje in fig. II aangegeven, terwijl zoolang P grooter dan 143 107 K.Q. en kleiner dan 144.794 K.Q. is, de staaf in evenwicht blijft. 1871. No. 2 K.to. Welken hoek moet de as van een mortier met den horizon maken, opdat het projectiel, dat den mond met eene snelheid ,v verlaat, op een horizontalen afstand / neerkome? Stellen wij den gevraagden hoek voor door oc (zie figuur) dan is de verticale composante der snelheid van het projectiel, wanneer het den mond van het mortier verlaat, sv = s sin oc en hare horizontale composante sh = S COS oc. In t sec., gerekend vanaf het oogenblik, waarop het projectiel het mortier verlaat, is de afstand van het projectiel boven het horizontale vlak, gaande door den mond van het mortier: syt — !2 gt' - st sin oc — \ gt2 ^ (s sin oc — 1 gt)t. Het projectiel zal weer zijn teruggekeerd in het horizontale vlak, gaande door den mond van liet mortier als s sin oc — ' gt gelijk nul 2 s si 11 oc geworden is, dus t ■ ' " seconden na te zijn opgeworpen. De horizontale afstand I, waarop het projectiel neerkomt, is s^t st cos oc Hierin substitueerend t " s s"' ~, komt men tot de betrekking g I s2 sin oc cos oc s3 sin 2 oc g g waaruit volgt: sin 2 oc g' of Cc }. bg sin R s - s T. 1872. No. l. Eene kraan is op de volgende wijze ingericht: De last L hangt aan eene takel van twee blokken, elk niet twee schijven. Het koord van den takel naar eene spil, welker straal r 0,37 nieter is. Op deze spiI is een getand rad bevest.gd van 60 tanden, grijpende in een rondsel van 6 tanden op welks as een tweede getand rad is geplaatst van 36 tanden, werkende op een rondsel van 6 tanden. Op de as van dit rondsel is de kruk bevesZd raTride krh: werkt; de 'en^ van den krukarm is 0,55 meter E vraagt de verhouding van kracht en last in geva. van evenwicht te bepaïen (De inrichting door een figuur duidelijk te maken.) Wij nemen aan dat geen rekening behoeft te worden gehouden met »an JE ''TT" * "a,endc pa (Z fi t ■ de sPann'"g »• het touw, dat van het vaste blok R (zie figuur) komt en geslagen is om de spil, welker straal BA 0.37 M. is, bedraagt, zooals men gemakkelijk inziet \ L. Het moment dier spanning ten opzichte van de as B van de spil is ] L X BA _ 1 X 3.37 L. D en 'f T fifU"r.S'el'en de drke,s' wier "iidde.pun.cn zijn de punten B. ,de steekcirkels der raderen en rondsels voor; de stralen dier z oda7waleTBrnligvaa" ■* ^ tandcn dlc' radere" -dsels zoodat wanneer BC 60 X °c is, men heeft DC 6 oc, DE 36 « en 6 oc of yC en FE ^ Men ziet verder gemakkelijk in, dat de" I0eS,fnd eve"wicht, wanneer op de kruk eene kracht K werkt voldaan moet worden aan de vergelijking: weriti, K X GF ! L X BA X DC X FE 4 ^ B C X DE' zoodat K 1 BA X DC FE 4 OF x BC DE Nu is BA 0.37 M. en OF 0.55 M.; men heeft dus " 1 x 0 37 X 6 v 6 - 37 L 4 ^ 0.55 X 60 X 36 13200 H.V. 1872. No 2. Een materieel punt valt langs een hellend vlak over eene lengte 7.8 meter. Van dit vlak gaat het punt, zonder snelheid te verliezen m een horizontaal vlak over. De hellingshoek van het hellend vlak is 35°'De "ShTeUu 7' de het.^"end V,ak °"d^aa'' is «*— door'den vingscofiffictent / 0 3 M Wri^vln® op "et horizontale vlak door den wrij- Noem de hoek, dien het hellend vlak AB maakt met het horizontale vlak BC (zie figuur) oc, welke hoek oc gegeven is te zijn 35°. Wanneer A het punt is, waar het materieele punt op het hellend vlak wordt losgelaten, is AB I 78 Meter. Bij de beweging van het materieele punt over het hellende vlak werken op dat punt drie krachten, nl. zijn gewicht mg. (wanneer wij de massa van het punt »> en de versnelling der zwaartekracht R noemen) de wrijvingsweerstand w heeft eene richting, welke tegengesteld is aan die der beweging en eene grootte gelijk aan het product van den druk normaal op het hellend vlak nig cos o< en den wrijvingscoëfficiënt of den tangens van den wrijvingshoek u 7°: de grootte van den wrijvingsweerstand W bij de beweging over het hellend vlak is dus mg cosoc tang u. Noemen wij v de snelheid, welke het materieele punt heeft, wanneer het is aangekomen aan den voet B van het hellend vlak, dan is in dat punt B zijne kinetische energie mv'. Daar in A de snelheid van het punt gelijk nul was, is die kinetische energie mv'' gelijk aan den arbeid van alle krachten, welke bij het doorloopen van den weg AB op dit punt zijn uitgeoefend. De arbeid door de zwaartekracht verricht is + mgl sin oc. en die van den wrijvingsweerstand is gelijk aan — mgl cos oc tang u, terwijl de arbeid van de normale reactie R van het hellend vlak op het materieele punt nul is, omdat die reactie altijd loodrecht gericht is op den weg, welken het punt doorloopt. Men heeft dus: ' mv3 mgl sin oc — mgl cos oc tang u (sin oc cos oc tang u) mgl Sl" ~ mgl (1) cos u Onder de in het vraagstuk gebezigde uitdrukking, dat het punt zonder snelheid te verliezen op een horizontaal vlak overgaat, moet worden verstaan — daar het hier een materieel punt geldt en dus van botsingsverschijnselen geen sprake kan zijn — dat het punt inet de snelheid, welke het heeft aan den voet B van het hellend vlak overgaat op het horizontaal vlakofm.a.w. dat bij den overgang van het hellend vlak op het horizontale vlak de kinetische energie } mv' van het materieele punt geene plotselinge wijziging ondergaat. (Men zou zich kunnen voorstellen, dat de overgang van het hellend op het horizontale vlak geschiedde door eene afronding van den door die twee vlakken gevormden hoek door middel van een c.rkelboogje met zeer kleinen straal) De kinetische energie \ mv= in B wordt gebruikt tot het overwinnen van den wrijvingsweerstand, welken het horizontaal vlak tegen de beweging biedt. De wrijvingsweerstand is gelijk aan het product van den druk normaal op het horizontale vlak (of wel aan het gewicht mg. van het materieele punt) en den wrijvingscoëfficiënt f 0.3; die weerstand is dus fmg. Noemen wij s de lengte BC van den weg, welken het punt nog op het hor.zontaie vlak zal afleggen, dan is de arbeid welke bij het doorloopen van dien weg door de op het punt werkende krachten wordt verricht, gelijk aan fmgs. In verband niet (1) heeft men dus de betrekking: 1 ■■ t sin ^oc + m a I 2 mv fSs cos u R waaruit volgt: sin ( Cc u) I cos u f Nu is gegeven: cc 35",» 7°, 1 7.8 M. en f 0.3, zoodat: 7.8 X sm 28" 12.298 Meter. 0 3 X cos 7° De beweging van het punt over het horizontale vlak is eene geit] matig vertraagde beweging. Stellen wij de vertraging dier beweging voor door j. welke vertraging wordt veroorzaaht door den wrijvingsweerstand fmg. Nu weten wij, dat bij den vrijen val het gewicht mg aan het materieele punt eene versnelling geeft gelijk aan g; eene constante kracht fmg, tegengesteld aan de richting der beweging geeft dus aan hetzelfde punt eene vertraging j fg- Daar BC 1 jt" !, fgtJ is, en voor BC reeds hiervoren gevonden werd 12.298 Meter, heeft men 2 fgt2 12.298, waaruit volgt: | 2 X 12.298 üf> omdat f 0.3 en g 9.8 Meter per seconde is: f X g 1/ 2 X 12-298 | ' 24.596 2 8ü2 seConden. ' Ü.3X 9.8 2.94 1Ö73. No. 1. Tenen een verticalen muur staat op een horizontaal vlak eene ladder, waarvan het zwaartepunt, van onderen af gerekend, op van de lengte / li.t. Welke isjde kleinste hoek, dien de ladder met het horizontale vlak kan maken zonder uit te glijden? De wrijvingscoëfficiënt ƒ en het gewicht O van den ladder worden bekend ondersteld. Noemen wij oc de hoek, welke de ladder maakt met het horizontale vlak, wanneer zij in evenwicht is, doch op het punt staat uit te glijden (Zie figuur). Bij dat uitglijden zou zich het ondereinde A van de ladder bewegen in de richting van A naar D. Om eene dergelijke reden werkt de wrijvingsweerstand in B naar boven. Noemen wij de verticaal gerichte reactie van het horizontale vlak in A, R, dan is de wrijvingsweerstand in A = fR en noemen wij de horizontaal gerichte reactie in B van den verticalen muur R', dan is de wrijvingsweerstand in B fR'. De ladder is nu in evenwicht onder de werking van vijf krachten, te weten: haar gewicht (j, aangrijpende in het zwaartepunt van de ladder C, hetwelk zoodanig is gelegen dat AC — j AB = 2 L is; de twee krachten R en fR', welke beiden verticaal naar boven gericht zijn en de twee krachten R' en fR, welke beide horizontaal, doch aan elkander tegengesteld gericht zijn. De algebraïsche som der projecties dier vijf krachten op eene horizontale lijn gelijk nul stellende, komt men tot R' = fR en de algebraïsche som van de projecties der krachten op eene verticale lijn gelijk nul stellende, vindt men R -|- fR' = G. Uit deze twee vergelijkingen volgt: R , j f2 Q en R' = j | f2 O. Bovendien moet voldaan worden aan de voorwaarde dat de algebraïsche som van de momenten dier vijf krachten ten opzichte van een willekeurig in haar vlak gelegen punt gelijk nul is. Door A te kiezen als het punt, ten opzichte waarvan men de momenten neemt, komt men tot de betrekking: G X AE - R> X DB - fR' X AD = 0 of daar AE = AC cos cc = ^ AB cos oc = ^ L cos oc, DB —- AB sin oc = L sin oc, AD = AB cos cc = L cos cc en R' — j—G. is Q X 3 L cos oc f jj G X L sin oc — — !_ya G X L, cos cc = 0 waaruit volgt: 3 f sin oc = (1 + 2 f'-') cos cc 1 — 2 fa of tang oc - —j-j— 1 — 2 f2 zoodat oc = bg tang —^ --— Werktuigkunde. 4 A. 1873. No. 2. Op een heipaal, die 800 kilogram weegt, valt een blok, zwaar 1200 kilogram, nadat het tot eene hoogte van 2.5 meter opgetrokken was. Indien bekend is, dat de paal door den stoot 0.045 meter daalt, wenscht men hieruit den gemiddelden weerstand van den grond te berekenen, alsmede welk deel van den verrichten arbeid hier nuttig gebruikt wordt. De stoot wordt als volkomen onelastisch beschouwd. Dit vraagstuk vertoont eene groote overeenkomst met dat van 1869 No.3, zoodat met eene minder uitvoerige behandeling er van kan worden volstaan. Noemen wij de massa van het heiblok '» en de versnelling van de zwaartekracht R zoodat mg = 1200 K G. is. Voor de snelheid v waarmede het heiblok op den paal neerkomt, nadat men het blok heeft laten vallen van eene hoogte h = 2.5 Meter, geldt de betrekking v = \/ 2 gh, zoodat men heeft v = | 5 g. Noemen wij m1 de massa van den heipaal, zoodat m'g = 800 K.G. is, dan is, omdat de stoot als volkomen onveerkrachtig wordt beschouwd, na de botsing de gemeenschappelijke snelheid van heiblok en heipaal r = — v en de kinetische energie van heiblok en heipaal, daar hun m + m1 , . 1 ni2 ,5 ma gezamenlijke massa m + m> is, 2 m + mï v - 2 m + m1 g' Noemen wij w de gemiddelde weerstand van den grond in K.G., dan is, omdat de paal door den stoot 0.045 M. daalt, de arbeid, welke het indrijven van den paal vereischt, gelijk W X 0.045 K.G.M. Men heeft dus: 5 m'J 5 (mg? 5 (12C0)' lonn „ n W X 0.045 2 - + m, C = 2 mg + m'g = 2 1200 + 800 = 1800 ,CQ M waaruit volgt: W = 40.000 K.G. De tot het indrijven van den paal vereischte arbeid — de zoogenaamde nuttige arbeid — is W X 0 045 = 1800 K.G.M., terwijl de in totaal verrichte arbeid, welke bestaan heeft in het optrekken van het 1200 K.G. zware heiblok tot eene hoogte van 2.5 Meter, is 1200 X 2 5 = 3000 K.G.M. De verhouding van den nuttigen arbeid tot den totaal verrichten . . , . . 1800 3 arbeid is dus = 5. z. 1874. No. I. !n eene houten kegel is eene uitholling gemaakt, die den vorm heeft van eenen rechten cirkelvormigen cylinder, wiens grondvlak en as met die van den kegel samenvallen, en die met lood wordt gevuld. Welke kracht moet men in het zwaartepunt van het lichaam loodrecht op de as laten aangrijpen om het te doen kantelen, als het op een horizontaal vlak staat- Du straal van het grondvlak van den kegel is R, die van den cylinder r, de hoogte van den kegel h, die van den cylinder 1 3 h, het soortelijk gewicht van hout s, dat van lood s'. Wij gaan eerst na het gewicht en de ligging van het zwaartepunt van het uit hout en lood samengesteld lichaam. Het volume van een kegel, van welks grondvlak de straal R en welks hoogte 11 is, is i R-' X ^ h; het volume van een.cylinder van welks grondvlak de straal r en welks hoogte ' h is, is | r5 X \ Zijn R, r en h uitgedrukt in decimeters, dan weegt het hout, waaruit het samengestelde lichaam bestaat ( | R' X j h - It'X^) X 5 KG. en het lood, waaruit dat lichaam bestaat: | r- X !] X s' K.G.; het totale gewicht G van dat lichaam is dus g | h J (2 R1 - 3 r3) s + 3 r» s1 J K.G. Het zwaartepunt van den nog niet uitgeholden kegel ligt op de as OC op een afstand, gelijk aan ^ h vanaf het punt O; het zwaartepunt van de cylindervormige uitholling ligt eveneens op OC op een afstand \ h vanaf het punt O; hieruit is gemakkelijk op te maken dat het zwaartepunt van den nog niet uitgeholden kegel samenvalt met dat van het uit hout en lood samengestelde lichaam, dat wij op het oog hebben. Is dus S dat zwaartepunt, dan heeft men OS = ' h. 4 Denken wij ons nu hel lichaam geplaatst op een horizontaal vlak EF, hetwelk voorzien is van een cirkelvormigen opstaanden rand, waarin het grondvlak van het lichaam ABC zuiver past. Grijpt nu een horizontaal gerichte kracht P K.G. aan in het punt S, dan kan deze kracht F geene verschuiving van het lichaam ABC over het horizontaal vlak veroorzaken; is echter de kracht F groot genoeg, dan zal zij het lichaam doen kantelen om het punt A van den omtrek van het grondvlak AB, dat gelegen is in het verticale vlak, dat gaat door de as OC van den kegel en de richting van de kracht P. Dit kantelen zal plaats hebben zoodra P X SO grooter is dan G X OA of m. a. w. wanneer PxJh>GXH 4R als dus: P > , G n of wanneer: P > 1 R j (2 R' - 3 r') s + 3 r! s' [ H.V. 1874. No. 2. Een hellend vlak maakt met den horizon een hoek a = 4°30'. Wanneer een lichaam, dat tegen die helling wordt opgetrokken, nadat de kracht ophoudt te werken nog 5 nieter in 3 seconden aflegt voordat zijne snelheid uitgeput is, bereken dan den wrijvingscoëfficient en de snelheid, die het lichaam heeft, ééne seconde voor het stilhoudt. Nadat de kracht, waarmede het lichaam tegen het hellend vlak wordt opgetrokken, ophoudt te werken, wordt de beweging van dat lichaam eene gelijkmatig vertraagde beweging, omdat het lichaam dan nog onderworpen is aan de werking van twee constante krachten, t. w. de zwaartekracht en den wrijvingsweerstand, welke beide de beweging tegenwerken. Noemen wij m de massa van het lichaam en £ de versnelling der zwaartekracht, dan is mK het gewicht van het lichaam. Deze kracht mg ontbinden wij in twee krachten, de eene mg sin oc, gericht volgens het hellend vlak en de andere mg cos oc, loodrecht op het hellend vlak. Noemen wij f de wrijvingscoëfficiënt, dan stelt fmg cos oc de wrijvingsweerstand voor. Zoowel de composante mg sin cc der zwaartekracht als de wrijvingsweerstand fmg cos oc, werkt in de richting van het hellend vlak, tegengesteld aan de opwaartsche beweging van het lichaam. Nadat de kracht waarmede het lichaam tegen het hellend vlak werd opgetrokken, heeft opgehouden te werken, kunnen wij dus het lichaam beschouwen als te zijn onder den invloed van eene enkele kracht mg sin oc -\- fmg cos oc =: nig (sin oc -f- f cos oc), welke zijn opwaartsch gerichte beweging vertraagt. Noemen wij j de grootte dier vertraging dan heeft men, omdat de krachten, welke op een zelfde lichaam werken, evenredig zijn niet de versnellingen, welke door die krachten worden te weeg gebracht: mg: mg (sin oc -f f cos oc) = g : j. Waaruit volgt: j = g (sin oc -f f cos oc). Wordt nu bij die gelijkmatig vertraagde beweging in het algemeen in 1 sec. nog een weg 1 afgelegd, dan heeft men: — i t" = I 2 (1) of: 21 / ■ J = t, = g (sin oc -f f cos oc) waaruit volgt: - ■ f = - r, — tang oc. g cos oc b Is dus t = 3 seconden en 1 = 5 Meter, dan is : f 10 f = „ - —— — tang oc 9 g cos oc of g = 9.812 Meter per seconde stellende en voor oc = 4°3ü' invoerende: f = 0.03489. Eéne seconde vóór het lichaam tot stilstand komt, wordt de snelheid uitgedrukt door hetzelfde getal, dat de vertraging aangeeft; die snelheid is- 2 1 2 V 5 to dus, op grond van de betrekking (1), gelijk aan: ^ = g Meter per seconde. c. 1874. No. 3. Eene stang is met het eene uiteinde door een scharnier aan eene verticale as verbonden en draagt aan het andere uiteinde een zwaren bol. Hoeveel omwentelingen om de verticale as moet de toestel in ééne seconde maken, opdat de stang een hoek van 30° niet die as vornie? Het gewicht van de stang worde verwaarloosd; de afstand van het scharnier tot het midden van den bol bedraagt 6 decimeter. Noemen wij m de massa van den bol, k de versnelling van de zwaartekracht, v de snelheid, waarmede het middelpunt van den bol zijne cirkelvormige baan doorloopt, terwijl de stang AB een hoek van 3D° met de as BC van den toestel blijft maken en r de straal AC van die baan. De bol zou zijne cirkelvormige baan doorloopen, wanneer op hem werkte eene enkele kracht (de middelpuntzoekende kracht) S = gericht van af het middelpunt A van den bol naar het middelpunt C van zijn cirkelvormige baan. De resultante van de beide Werkelijk op den bol aangrijpende krachten, t. w. zijn gewicht G = mg en 2o de reactie R van de stang op den bol, moet dus gelijk zijn in grootte en richting aan de middelpuntzoekende kracht. Men heeft dus: i S = R sin 30° 1 R cos 30° — G = 0 waaruit volgt: S = G tang 30° £ mV" , of = mg tang 30" zoodat v- = rg tang 30°. Nu is de lengte van de stang AB = C decimeter = 0.6 Meter, zoodat r = ^ AB = 0.3 Meter is; verder is tang 30° = ^ 3; stellen wij nog g = 9.81 Meter per seconde, dan is v2 = 0.3 X 9-81 X g 3 = 0.981 \/ 3. Noemen wij N het aantal omwentelingen, dat de bol in ééne seconde maakt, dan is de lengte van den weg, welken het middelpunt A van den bol in ééne seconde aflegt of m.a. w. de snelheid v, gelijk 2 | rN, zoodat N = V . 2 I r Men heeft dus: N — I 0.981 | 3 0-6 X I s. 1875. No. 1. Eene schroef, waarvan de spoed 1.5 centimeter en de straal 3 centimeter is, wordt bezwaard met een last van 1000 kilogram; indien de wrijvingscoüfficient 0.15 is, vraagt men: a. welke horizontaal werkende kracht op een afstand van 3 decimeter, gerekend van het midden der schroef moet werken aan de stang, die door den schroefkop gestoken is, om op het punt te zijn den last omhoog te brengen ? b. hoe groot de kracht zou moeten zijn om te beletten, dat de last de schroef naar beneden doet gaan. In bovenstaande figuur geeft X een aanzicht tegen etn schroef met vierkanten draad (rechtschen draad) en is Y eene doorsnede over de as MM1 van de bij de schroef X behoorende moer. De moer is onv/rikbaar vast en de schroef is belast met een gewicht Q = 1000 KQ.: verder is de spoed der schroef h = 1.5 cM. en haar straal r = 4 cM. Door den schroef- kop is eene stang AB gestoken en op het uiteinde A dier stang, dat R = 3 dM. = 30 cM. van de hartlijn MM1 der schroef verwijderd is, werkt eene horizontale kracht P. Om den last Q omhoog te brengen, moet de kracht P de haar in de figuur aangegeven richting hebben; deze richting nemen wij aan als de positieve. Wanneer f = 0.15 de wrijvingscoëfficiënt voorstelt, worden de grenswaarden van de kracht P, waarbij de schroef in evenwicht is, uitgedrukt door: p _ 0 r h ± 2 | rf R 2 | r + hf d. w. z. P = Q !' r —' hf = ^3-235 K.G., geeft aan de kracht, waarbij de last Q op het punt staat naar boven te worden bewogen, en P — Q R 2 | r +' hf = — 6-959 K.Q. is de kracht, waarbij de kracht Q op het punt staat te gaan dalen. Uit de omstandigheid, dat de laatste grenswaarde negatief is, volgt, dat er geene kracht noodig is om de met den last Q = 1000 K.Q. bezwaarde schroef het naar beneden gaan te beletten; wil men den last Q doen dalen, dan is daartoe eene kracht noodig grooter dan 6.959 K.G., welken moet werken in negatieve richting, d. w.z. tegengesteld aan die, welke in de figuur aan de kracht P is gegeven. A OIX T. 1Ö75. No 2. Een verticaal vliegwiel, bestaande hoofdzakelijk uit een cylindervormigen dunnen ring, waarvan het gewicht P en de straal R is, maakt n omwentelingen in de seconde. Men vraagt: a. hoe groot is het arbeidsvermogen van het vliegwiel? b. na hoeveel omwentelingen zal dit arbeidsvermogen door de tapwrijving zijn uitgeput, indien de tapstraal r en de wrijvingscoëfficient ƒ is? c. in hoeveel seconden zal het vliegwiel door de tapwrijving tot stilstand komen ? Gegeven P = 1000 kilogram, R — 0.4 meter, n — 2, r = 0.015 meter en f — 0.05. Daar gezegd wordt, dat het vliegwiel hoofdzakelijk uit een cylindervormigen dunnen ring bestaat, laten wij de bieedte in radiale richting van de velg, de spaken en de naaf buiten beschouwing en nemen wij aan, dat elk der materieele punten, waaruit het vliegwiel bestaat op denzelfden afstand R, gelijk aan den gegeven straal van het wiel van de draaiings-as verwijderd is. Al die materieele punten hebben denzelfden snelheid v. Stelt dus m voor de massa van één dier materieele punten, dan is het arbeidsvermogen van het vliegwiel S ^ mvr2 = \ v' S "ii of de massa van het geheele wiel door M voorstellende, gelijk M v2. Nu maakt het wiel " omwentelingen per seconde; elk punt van het wiel legt dus in ééne seconde een weg af, welke gelijk is aan den omtrek van het wiel of gelijk aan 2 | Rn, zoodat men heeft de betrekking- v = 2 | Rn. De massa M. van het wiel is ^, wanneer g de versnelling van de zwaartekracht voorstelt. Men verkrijgt dus voor het arbeidsvermogen Mv! van het vliegwiel de uitdrukking: ^ P X (2 | R n)2 = 2 n" p of n = 2, R = 0.4, P 100 en g = 9.812 invoerende: 2 f X 2' X 0.4* X 100 _ 2" X I2 128 |* g g—^ = 9 812' = 128.75 K.Q. M. Daar de tapwrijving de beweging van het wiel tegenwerkt, zal in de onderstelling dat geene andere krachten als de wrijvingsweerstand tusschen pannen en tappen op het wiel werken, het wiel stilstaan, zoodra door den wrijvingsweerstand eene hoeveelheid arbeid is verricht gelijk aan het arbeidsvermogen, dat in het wiel is opgehoopt. De wrijvingsweerstand W heeft eene constante grootte, welke wordt uitgedrukt (zie de oplossing van vraagstuk 1868, No. 1) door W = , f p I 1 + P Bij ééne omwenteling van het wiel is de weg, welken het aangrijpingspunt D van dien weerstand (zie figuur) doorloopt, gelijk aan den omtrek van den tap of gelijk 2 | r; de arbeid, welke door J dien weerstand bij ééne omwenteling van het wiel verricht wordt is dus j ] f+ p P X 2 Tl r. Noemen wij nu N het aantal omwentelingen, welke het wiel nog maakt gerekend vanaf het oogenblik, waarop het eene snelheid van n omwentelingen per seconde heeft, tot op het oogenblik, waarop het tot stilstand zal zijn gekomen, dan is gedurende 1X1 omwentelingen de door den wrijvingsweerstand verrichte arbeid: p i i p p X 2 | r X N. Men heeft dus: | T+p P x 2 1 r x N = " ' g R2 P of N = ' "3 RJ k 1 + V g r f of n — 4, R = 0.4, r = 0.015 en g = 9.812 invoerende, N. = 273.56. Daar, zooals wij hierboven reeds opgemerkt hebben, de wrijvingsweerstand eene constante waarde behoudt, is de beweging van het wiel, gedurende de even bedoelde N omwentelingen, eene gelijkmatig vertraagde! Hij den aanvang dier N omwentelingen maakte het wiel n omwentelingen per seconde, gemiddeld maakt het wiel dus " omwentelingen per seconde. Noemt men • de tijd, waarin de bedoelde N omwentelingen worden volbracht, dan is: 2 X t ~ N. of t = = 2 |n R> V 1 + f» n g r f 2 N Bij de numerieke gegevens van liet vaagstuk is = l: uit t = ^ volgt dan: t = 273.56. SS. 1876. No. l. Aan het grondvlak van een rechten cirkelvortnigen cylinder is een halve bol van dezelfde stof zoodanig bevestigd, dat de middelpunten van grondvlak en bol samenvallen. Uit het aldus samengestelde lichaam is uit de andere zijde weggeboord een gedeelte, gelijkvormig met het geheel, en zoodanig dat de as der holte samenvalt met die van den cylinder. Men wil nu, dat het lichaam, met het bolvormig gedeelte op een horizontaal vlak rustende, in onverschillig evenwicht zij. Hoe groot moet de hoogte van den cylinder genomen worden, indien de straal van den cylinder en van den halven bol R bedraagt en de afmetingen van het geheele lichaam het dubbel bedragen van die der holte? Aan het grondvlak CD van den rechten cirkelvormigen cylinder ABCD (zie figuur) is op de wijze als in de figuur is aangegeven de halve bol MCED van dezelfde stof bevestigd. De straal van het grondvlak van den cylinder en die van den halven bol zijn beiden gelijk R, zoodat MC — ME = MD = R is, terwijl wij de hoogte van den cylinder door H zullen voorstellen, zoodat AC = BD = H is. acedb U,Lhef a,d!'S gfevormde Iichaam ACEnB is weggeboord het lichaam __ waarvan de afmet.ngen de helft zijn van de overeenkomstige afmetingen van het lichaam ACEDB, zoodat ac = bd = 1 H> en ,nc _ me _ I ^ n,d =2 R 'S. Wij gaan nu eerst na de ligging van het zwaartepunt van het uitgeholde lichaam. Gemakkelijk is in te zien de juistheid van de volgende stelling- Van twee gelijkvormige lichamen verhouden zich de volumen en bij gelijke soortelijke gewichten dus ook de gewichten als de derde machten van homologe afmetingen, terwijl hunne momenten ten opzichte van een homo loog v a zic verhouden als de vierde machten van homologe afmetiZn ^ L volume van het niet uitgeholde lichaam ACEDB is | R2 H -|_ 3 | R', het volume van het uitgeholde lichaam is dus (1- 1,) ( , R> H + 2 a 7 ^ 3 I R ) — 24 I R1 P H + 2 R). Het moment van het uitgeholde lichaam ACEDB ten opzichte van het vlak AB is: I RJ H X " + J | R'1 (H + * R); derhal'vé"611' ^ '1Cl "itgcholde lichaatn «en opzichte van het vlak AB is 0 -2ï) i I R" H X2 + 3 |Ra(H + ^R)| ^ |(6RaHs+8RH+3R«). vlak AbV^us^ V3n hCt ZWaartepunt van het ""geholde lichaam tot het I Ra (0 H2 + 8 RH + 3 R2) Ü4 _ IS 6 HJ + 8RH + 3R» — R'(3H + 2R) 56 3 H + 2 R (J) Men ziet nu licht in, dat wanneer men wil dat het lichaam met het bolvormige gedeelte CED op een horizontaal vlak FEQ rustende in onverschillig evenwicht is, er voldaan moet worden aan de voorwaarde, dat het zwaartepunt van het lichaam samenvalt met het middelpunt M van dat bolvormig oppervlak CED. Het zwaartepunt moet zich dus bevinden op den afstand H van het vlak AB. In verband met de betrekking (1) komt men dus tot de voorwaarde: ' _ 15 6 H- -j- 8 RH + 3 R2 "16 3 H + 2 R uit welke betrekking wij opmaken: Hï ~ 39 RH - 78 R2 = ODeze vierkantsvergelijking heeft reëele wortels - een positieven en een negatieven - waarvan de negatieve wortel geene beteekenis voor ons vraagstuk heeft. Door oplossing dezer vergelijking komen wij tot de voorwaarde: ' H «= 4 + \/4\ + 2 x 45 X 78 R = 4J/3526 p _ 0.813 R. 78 78 O. 1876. No. 2. Een stoffelijk punt met een gewicht van 5 kilogram beweegt zich, tegen de werking der zwaartekracht in, van beneden naar boven langs den binnenomtrek van een cirkel, die in een verticaal vlak geplaatst is, en heeft in het punt van zijne baan, dat in de horizontale middellijn gelegen is eene snelheid van 40 meter. Welke drukking zal het in het bovenste punt van den cirkel in de richting van den straal op de baan uitoefenen, wanneer de straal van den cirkel insgelijk 40 meter bedraagt en men g, de versnelling der zwaartekracht, eenvoudigheidshalve op 10 meter stelt? En op welken afstand van de verticale middellijn van den cirkel zal het zich bewegende punt het horizontale vlak ontmoeten, dat 100 meter beneden het middelpunt van den cirkel gelegen is, indien het stoffelijk punt zich van het bovenste punt der baan af verder vrij kan bewegen. In het punt A (zie figuur) van zijne cirkelvormige baan heeft het materieele punt, welks massa wij door m aangeven, eene snelheid van 40 M. per seconde. Wanneer wij ter bekorting deze snelheid v0 noemen, is de kinetische energie, welke het materieele punt in A bezit } mv»1. De snelheid v0 is groot genoeg om het punt te brengen in het bovenste punt B van den verticalen cirkel, waarbinnen het materieele punt zich beweegt. Noemen wij de snelheid, waarmee het bewegende punt in B komt, vu dan is de kinetische energie, welke het materieele punt in B bezit, gelijk ^ mv^. Bij het doorloopen van het cirkelkwadrant AB is de afname van de kinetische energie van het materieele punt m (v02 — V]s). Deze hoeveelheid kinetische energie } m (v* — Vi5) is gelijk aan de arbeid van alle krachten, welke op het materieele punt hebben gewerkt, gedurende zijne beweging van A naar B. Die krachten zijn 1° zijn gewicht Q = mg en 2° de reactie van de baan op het materieele punt. De arbeid van de zwaartekracht is het product van G met de lengte van den doorloopen weg in de richting van de zwaartekracht, dus gelijk O X MB; de arbeid van de reactie der baan op het stoffelijke punt is nul, omdat in elk punt der baan die reactie loodrecht op de baan gericht is. Men heeft dus de betrekking: n ni (vos - v,!) - O X MB of v,a = Vo3 - 2g x MB. Nu is Vo = 40 Meter per secunde, g = 10 Meter per secunde en MB = 40 Meter, zoodat: v,2 = 1600 — 2 X '0 X 40 — 800 of Vi = 20 | 2 Meter per seconde. In het punt B is de centripetale kracht S = mv,! = ]qX^ = 10K.G. Daar in B de reactie R van de baan op het materieele punt en de zwaartekracht G beiden in dezelfde richting op het bewegende punt werken en wel van B naar het middelpunt M der baan is de som dier reactie R en het gewicht G gelijk aan de centripetale kracht S = 5 K.G. De reactie R in het punt B is dus gelijk aan het verschil der centripetale kracht S en het gewicht G, dus gelijk 10 — s - 5 K.G. Daar nu de drukking van het materieele punt op zijne baan gelijk in grootte en tegengesteld in richting is met de reactie van de baan op het punt (beginsel van actie en reactie) is de gevraagde drukking, welke het bewegende punt in B op haar baan uitoefent, ook gelijk aan 5 K.G. In B heeft het materieele punt eene horizontaal gerichte snelheid vo — 20 | 2 Meter per sekonde (zie boven) en kan zich van af dit punt vrij bewegen, d.w.z. het staat nog slechts onder den invloed van de zwaartekracht en ondervindt niet meer — zooals bij de beweging van A naar B het geval was — eene reactie van eene baan, waarop het gedwongen is te blijven. Noemen wij nu 4 de tijd, welken het bewegende punt noodig heeft om van uit B het horizontale vlak CD te bereiken, dan is omdat BC = MC + MB = 100 + 40 = 140 M. is. 2 gtJ = 140 of t = 2 | 7 De afstand CD van af de verticale middellijn van den cirkel MB is dan: v, t = 20 | 2 X 2 | 7 X 40 | 14 149.67 Meter. 1877. No 1 HV. Een balk van 200 kilogram rust met één zijner uiteinden op een horizontaal, met het andere op een hellend vlak, waarvan de hellingshoek 45° bedraagt. Men vraagt, welken hoi r de balk met het horizontale vlak moet inaken om in evenwicht te zijn, en hoe groot de drukkingen zijn, die op beide vlakken worden uitgeoefend, als ƒ = 0.325, Wij onderstellen dat de balk AB homogeen en overal even dik is, zoodat zijn zwaartepunt in het midden van zijne lengte ligt en wij nemen verder aan, dat de afmetingen van de dwarsdoorsnede van den balk zeer klein zijn ten opzichte van zijne lengte, zoodat de plaats van zijn zwaartepunt C mag worden aangenomen op het midden der lijn, welke zijn steunpunten A en B verbindt. De kleinste hoek, welken de balk AB met het horizontale vlak AD kan maken, zonder dat de balk uitglijdt, noemen wij oc. Stellen wij nu voor door Q het gewicht van den balk = 200 K.ü. door R de normale reactie van het hellend vlak op het uiteinde B van den balk en door S de normale reactie van het horizontale vlak op het uiteinde A, dan is fR de wrijvingsweerstand in B en fS de wrijvingsweerstand in A, wanneer de balk op het punt staat van naar beneden te glijden. De balk is dus in evenwicht onder de werking van 5 krachten: O, R, fR, S en fS, welke zooals gemakkelijk is in te zien, de richtingen hebben in de figuur aangegeven. Daar deze vijf krachten, welke in een verticaal vlak werken, een stelsel van in evenwicht zijnde krachten vormen, is zoowel de algebraïsche som harer projectiën op een willekeurige lijn als de algebraïsche som harer momenten ten opzichte van een willekeurig in haar vlak gelegen punt gelijk aan nul. F rojcctecrcn wij de krachten op eene horizontale lijn, dan komt men tot de betrekking: fS + fR cos 45o — R cos 45° = 0 waaruit volgt S R Cos 45°. (1) Projecteeren wij de krachten op eene verticale lijn, dan verkrijgt men de betrekking: S + R cos 45° -f fR cos 45° — O 0. of hierin gesubstitueerd de waarde van S, zooals (1) die geeft1 — f f R cos 45° + R cos 45° + fR cos 45° = G of: j (1 - f) + f -f- p | r cos 45» = fG waaruit volgt: R = ƒ 1 q = f fi I ? w r. I + f' cos 45° I -f- f'j l " K Substitueert men hierin f = 0.325 = '3 en G . 200 dan vindt men • R = 83.14 K.G. Door R P 4- 1 cos'450 G tc substitueeren in (1) vindt men S ï'-ff!0 122.10 K.G. Door de algebraïsche som der momenten van de vijf krachten ten opzichte van het punt A gelijk nul te stellen, krijgt men de vergelijking- G X AF - R X AE - fR X EB 0, of wanneer CA CB door I en dus AB door 2 I wordt voorgesteld: G X I cos oc _ R x 2 I sin (45° + a) - f R X 2 I sin (45» - oc) 0 waaruit: G cos oc 2 R [sin (45» -f-x>) — f sin (45° - oc) J of: G cos oc 2 | G V 2 }sin (45° f oc) _ f sin (45o — oc)j ^ Nu is: sin (45° + oc) ' (cos oc + sin oc) [ 2, dus sin (45° + oc) _ f sjn (450 _ ocj ^ ^cog oc -)- sin oc) J/ 2 -)- ' f (cos oc _ sin oc) [/ 2 =-l-j (i + f) cos oc + (_ f) sin oc) j 1/2. Zoodat de vergelijking (2) kan worden geschreven: COS Oc j I 2X2 j(' + 0 cos oc + (1 — f) sin oc | J/ 2 of: (1 + n cos OC = 2 f (1 + f) cos oc + 2 f (1 - f) sin oc ' "t" 2f(l-j-f)-j-2f(l — f) tang oc 2 f (1 — f) tang oc = 1 + f» — 2 f — 2 f- l — 2 f — f» zoodat tang oc = 1 — 2 f — P 2 f (I - f) hierin substitueerende: f = — komt er- 40 ,_2 x 13 - 132 t3ng °C 2 * 13° 247°2 702 = 0 55698 X 40 X 40 waaruit oc = 29°7'. O. 1872. No. 2. Een looden kogel bevindt zich in eene buis, welker as een hoek oc met het horizonlale vlak maakt en die zich eenparig beweegt om eene verticale as, welke door het onderste punt der buis gaat. Hoe groot moet de duur eener geheele omwenteling zijn, opdat de kogel, in een punt P van de buis gelegd, op die plaats in evenwicht blijve, wanneer dat punt P zich op een afstand h boven het horizontale vlak bevindt, dat door het onderste punt der buis gaat? De kogel P doorloopt met eene gelijkmatige snelheid een horizontalen cirkel, welks straal BP gelijk is aan h cotang Cc. Stellen wij dien straal BP voor door de massa van den looden kogel door de versnelling van de zwaartekracht door R (zoodat het gewicht van den kogel mg is) de snelheid, waarmee de kogel zijn baan doorloopt, v en de reactie, welke de kogel ondervindt van de buis R. De kogel zou zijn cirkelvormige baan doorloopen, wanneer op hem werkte de centripetale kracht '"V gericht vanaf P naar het middelpunt B van zijne cirkelvormige baan. In werkelijkheid werken op den kogel twee krachten, nl. zijn eigen gewicht mg en de reactie R, welke de buis op den kogel uitoefent en welke gericht is loodrecht op de buis. De resultante van het gewicht mg en de reactie R moet dus gelijk zijn aan de centrim v2 petale kracht ^ Men heeft dientengevolge de betrekkingen: 1 r> • mv' < R sin oc -I r R cos Cc - - mg waaruit volgt: vs rg tang cc. Omdat r h cotg oc is, is dus v2 hg of v = J' hg. De snelheid v van den kogel, kunnen wij ook uitdrukken in den duur T eener geheele omwenteling der buis om haar draaiingsas AB en den straal l_. Bij eene omwenteling der buis doorloopt immers de kogel een weg 2 Ti r, de weg per eenheid van tijd, of de snelheid v Van den kogel . H .... 2 | r 2 | h cotg oc is dus gelijk —-J— = —li— —e . Men heeft dus: I — 2 | h cotg oc v I hg = t waaruit volgt: T 2- 1 Vh tang oc ' g • z. 1878. No. 1. Uit eene cirkelvormige schijf, welker middellijn 16 decimeter bedraagt, moet eene kleinere schijf worden gestoken, welke eenc middellijn van 8 decimeter heeft, Hoe ver moet het middelpunt van het cirkelvormig grondvlak van de laatstbedoelde schijf verwijderd zijn van dat van eerstgenoemde, opdat het zwaartepunt van het overblijvende gedeelte juist in den omtrek van de kleinere schijf ligge? Is in nevenstaande figuur M het middelpunt van de groote schijf, welks straal R = 2 = 8dM. is. Uit deze schijf wordt gestoken eene kleinere schijf, waarvan M het middelpunt en waarvan de straal r = 8 ■) — 4 dM. is. Het zwaartepunt van het overblijvende deel, welks oppervlakte is I (Ra r'-') ligt op de middellijn M M', van de groote schijf, welke door M'gaat. Moet er nu voldaan worden aan de voorwaarden, dat dit zwaartepunt ligt op den omtrek van de kleinere schijf, dan moet het punt A, waar de middellijn MM, den omtrek van de kleine schijf snijdt, samenvallen met het zwaartepunt van het overblijvende deel der groote schijf. Die voorwaarden kunnen wij uitdrukken door de vergelijking: Moment van het oppervlak der groote schijf ten opzichte van het punt M,, minus liet moment van het oppervlak der kleine schijf ten opzichte van het punt M[ is gelijk aan het moment van het overblijvende gedeelte ten opzichte van dat punt M'. Nu is ten opzichte van dat punt M1 het moment van het oppervlak van de groote schijf gelijk | R2 X MM', het moment van het oppervlak der kleine schijf gelijk nul en het moment van het overblijvend gedeelte gelijk | (R- — i") X AM' = | (R» — Ra) r. Men heeft dus: I R* X MM' = | (Ra - r') r Ra r'j of MM' = K R3 r r of voor R = 8 en voor r — 4 stellende: MM' 3 dm. 1878. No. 2. Een lichaam van 26000 kilogram ontmoet met eene snelheid van 8 meter een ander lichaam, dat zich in tegenovergestelde richting beweegt en een gewicht van 20000 kilogram heeft. Dit laatste had gedurende 10 seconden vóór de botsing een wrijvingsweerstand van 5000 kilogram te overwinnen, en zijne snelheid bedroeg vóór die 10 seconden 8,95 meter. Hoe groot is de levende kracht, die bij de botsing dier lichamen verloren gaat, indien zij als volkomen onveerkrachtig worden beschouwd en de versnelling der zwaartekracht op 9,8 meter gesteld wordt. Het lichaam, dat een gewicht heeft van 200.000 K G. 2X105 K.G. 2 X 10s en welks massa dus ^ is, had 10 secunden vóór de botsing met het tweede lichaam, eene snelheid van 8.95 M. per sec. Gedurende d e 10 secunden had het een wrijvingsweerstand van 5000 K.G. — 5 X 10:' K.G. te overwinnen. Deze weerstand doet de snelheid, welke het lichaam heeft, gelijkmatig minder worden; de vertraging, welke van dien weerstand het 5 V 10» gevolg is, is 2 X 10s ^ ö'8 M' per sec' het 00Senlliik der botsing heeft het 2 X 105 K.G. zware lichaam nog eene snelheid van 8.95 — 10 X 0.245 M, 6,5 Al. per sec. Nu weten wij, dat in het geval van centrale, volkomen onveerkrachtige botsing van twee, zich in tegenovergestelde richtingen bewegende lichamen, wier massa's M en 111 zijn en die op het oogenblik der botsing respectievelijk de snelheden V en v hebben, de gemeenschappelijke snelheid na de botsing bedraagt: C + mv M -|- m De kinetische energie van het lichaam, welks massa M is, bedraagt vóór de botsing ,t MV- en na de botsing MC2, en de kinetische energie van het lichaam is, welks massa m is, bedraagt vóór de botsing — mvJen na de botsing me'-'. Tengevolge der botsing is dus eene kinetische energie gelijk MVJ -f \ mv' ) — ( ' MC" -f } me') omgezet inden arbeid, welke voor de vormverandering van de beide lichamen is gebruikt. Verstaan wij onder levende kracht kinetische energie of het halve product van massa en kwadraat van snelheid, dan is de, bij de botsing verloren gegane, levende kracht: 2 | (MV- + mv") — (M + m) C' [ = ^ J (MV* + mv') - (M + ni) (MV — mv)" , 1 , (MV- -fmv-) (M + m) — (MV — mv)-1 (M -f m)- I ~~ 2 ' M + m j - Mm (V -I- v)s 2(M + m) 1 ^ ' Volgens de gegevens van ors vraagstuk heeft bij de botsing het Werktuigkunde. 5 eene lichaam een gewicht van 26000 K.G. = 26 X 10* K.G., dus eene massa 26 X 104 Van —98 en eene snelheid van 8 M- Per sec-! en het andere lichaam 2 v 10' eene massa van —g-g en eene snelheid van 6.5 M. per sec. Substi- tueeren wij in de gevonden uitdrukking r (V 4- v)2 voor M = i (M -f- m) 26 X 104 2 X 10® g8 . voor m—gg- , voor V 8 M. en voor v 6.5, dan verkrijgen wij voor de bij de botsing verloren gegane levende kracht: 26 X 'O4 w 2 X 10' 9 8 9.8 , 52 Y 10' _ (26X10' 2 X 10' V X (8+M)*- 92X98 X I4S"= 9.8 i" 9.8 ' 1212600 K.G. M. HV. 1879. No. !. Een rechte kegel, waarvan de straal van het grondvlak 2 decimeter en de hoogte 16 decimeter is, rust met zijn grondvlak op een hellend vlak. Als deze kegel op het punt is èn van om te vallen, èn van naar beneden te glijden, vraagt men den hellingshoek en den wrijvingscoëfficient. Het hellend vlak EF, waarop de kegel DBB1 met zijn grondvlak BB' geplaatst is, maakt met het horizontaal vlak een hoek FEK, welken wij door cc zullen voorstellen. Omdat de kegel op het punt staat naar beneden te glijden, is de wrijvingscoëfficiënt f gelijk aan de tangens van den hellingshoek cc, dus f = tang oc. De kegel is tevens op het punt om te kantelen, d.w.z. de verticaal, welke uit het zwaartepunt C van den kegel wordt neergelaten, gaat door het laagste punt B van den omtrek van het grondvlak van den kegel. Nu ligt het zwaartepunt C op de as AD van den kegel op eene hoogte AC" ^"AD 4X 16 4 dM. boven het grondvlak BB', terwijl ook gegeven is, dat AB 2 dM. is; men heeft dus tang cc tang |_ ABC = ^ 0.5, zoodat f tang oc 0.5 en de hellingshoek oc 26° 34' H.V. 1879. No. 2. Op een horizontaal vlak is een lichaam van Q = 100 kilogram geplaatst. Dit lichaam wordt voortgetrokken door eene kracht K = 100 kilogram, welker richting met den horizon een hoek a — 60° maakt. Als de wrijvingscoëfficient ƒ = 0,1 is, vraagt men: a. Welke snelheid het lichaam hebben zal, t = 5 seconden nadat de kracht begon te werken ? b. Welken weg het in dien tijd zal doorloopen hebben? c. Als op het einde der 5de seconde de kracht ophoudt te werken, hoe lang de beweging dan nog duren zal? d. Welken weg het lichaam dan nog zal afleggen? Men stelle g 10 meter. a. Het gewicht van het lichaam is Q 100 K.G. en de versnelling van de zwaartekracht is 10 M. per sec., de massa m van het lichaam is dus 10. Op dit lichaam werken de zwaartekracht Q, de kracht K 100 K.G., welke een hoek van 60° met den horizon maakt en bovendien de wrijvingsweerstand W, d.w.z. eene kracht, tegengesteld aan de richting der beweging wier grootte gelijk is aan het product van den wrijvingscoëfficiënt f 8.1 en den normalen druk, welke het lichaam op het hellend vlak uitoefent. Die normale druk = Q — K sin 60°, de wrijvingsweerstand W is dus f X (Q - K sin 60°). De resultante in de richting der beweging van de op het lichaam aangrijpende krachten is dus K cos 60° — W — K cos 60° — f X (Q — K sin 60°) - 100 X \ —0.1 X (100 - 100 X \ 1/3 ) = 40 + 5 | 3 K.G. Uit de bekende betrekking tusschen de massa van een lichaam, de grootte der kracht, welke op dat lichaam aangrijpt en de versnelling, welke de kracht teweegbrengt, vindt men dat het lichaam eene versnelling i verkrijgt, welke wordt uitgedrukt door —1_ = 4 -(- ^ I 3 = 4.866 M. per sec. Na 5 seconden heeft dan het lichaam, dat geene aanvangssnelheid bezit, eene snelheid v = 5 X 4.866 24.33 Meter per secunde. b. Omdat het lichaam geene aanvangssnelheid bezit, is de weg, die in t = 5 seconden wordt afgelegd ' = \ jt X t = !, X24.33 X 5 = 60.825 M c. Wanneer na 5 seconden de kracht K ophoudt te werken, wordt de beweging van het lichaam vertraagd door de werking van den wrijvingsweerstand. In dit geval, d.w.z. als de kracht K niet langer werkt, is de wrijvingsweerstand W' = f X Q = 0.1 X 100 = 10 K.G., welke, daar de massa van het lichaam 10 is, eene vertraging j, = = 1 tengevolge heeft. Wanneer het lichaam tot rust is gekomen, is de snelheid, welke bij liet ophouden van de werking der kracht K = 24.33 M per sec. was, nul geworden. Noemt men t1 de tijd, gedurende welken het lichaam nog zal voortloopen, gerekend vanaf het oogenblik, waarop de kracht K ophoudt v 24 33 te werken, dan is v — j, t, = o, of ti = . — ' = 24.33 sec. Ji ' d. Toen de kracht K ophield te werken was de kinetische energie van het lichaam ^ mv2 = X X 10 X 24.33'. Deze energie is gelijk aan den arbeid, welken door den wrijvingsweerstand W' = fQ = 10 K.G. verricht is in den tijd t, of gelijk aan het product van dien wrijvingsweerstand Wl en den in dien tijd t, doorloopen weg. Die weg is dus \ mv' 2 X 10 X 24 332 —^fï~ = jö = 2 X 2433' = 296 Meter 25. 1880. No. 1. Van een cirkelsegment bedraagt de koorde 4 centimeter, terwijl de boog 50° bevat. Op welken afstand van het middelpunt is het zwaartepunt gelegen ? Stellen wij den straal MA = r, de koorde AC = K, den hoek AMC = ocu en het oppervlak van het segment ABCUA = O- Wij weten, dat het zwaartepunt van het segment ABCDA ligt op den straal MB, die den hoek AMC midden doordeelt en op een afK" stand x = - vanaf het middelpunt M. Nu is het oppervlak v.'ni het segment O, het verschil der oppervlakten van den sector MABC en den driehoek MAC nf • ° ~ 360° X 1 r' ~ l r'' Sin OC° = f300° 1 ~ 2 Si" OC° ) r'J' Verder is in driehoek MAC: AC" = AM2 CM' — 2 AAI X CM X cos |_ AMC. of K* = 2r2 — 2r3 cos oc = 2 (1 — cos oc°) r* Men heeft dus: u — _ K- _ 2 (1 —cos oc o) r- 1 — cos a° "" 120 — 12 O / a 1 . = K 12 I3ÖP l-2s,n0c ) 3ëÖ° I - 3sind oc° Hierin oc = 68 en K = 4 stellende, vindt men x — 4.467 cM. 1880. No. 2. Een bol wordt van een punt, a nieter vóór een verticalen muur en b meter boven den horizontalen bodem gelegen, opgeworpen met eene snelheid c en onder een hoek oc niet den horizon, in een vlak, loodrecht staande op den muur. Waar, onder welken hoek en met welke snelheid zal hij den muur treffen? Waar zal hij den bodem bereiken, als bol en muur beide volkomen veerkrachtig zijn? De bol wordt opgeworpen uit het punt O (zie figuur), dat zich bevindt op een afstand OE = AB = a van den verticalen muur BK en op eene hoogte OA — EB = b van den horizontalen bodem FABQ, met eene snelheid C en onder een hoek oc met den horizon in een vlak loodrecht op den muur, welk vlak ons vlak van teekening is. Stel dat de bol den muur treft in het punt D en dat de tijd, welke de bol noodig heeft om den paraboolboog AD te doorloopen 1 seconden is. Daar de horizontale en de verticale composanten der snelheid c respectievelijk C cos oc en C sin o< zijn, heeft men: i OE = a C cos oc X t | ED = C sin oc X t - y gt' waarin R de versnelling der zwaartekracht voorstelt. Uit de eerste dezer twee vergelijkingen vindt men t = - C COS c* en deze waarde van ' gesubstitueerd in de tweede vergelijking, komt men tot: ED = a tang oc — ' a 6 2 C' cos' oc De bol zal dus den muur treffen op eene hoogte BD boven den hori- 1 a* g zontalen bodem AB, gelijk aan BE + ED = b + a tang oc _ C' cos' oc Men ziet gemakkelijk in, dat bij gegeven waarden van oc en a, en b de snelheid c niet kleiner dan eene zekere minimum waarde mag zijn. Immers ware c zeer klein, dan zou het kunnen gebeuren, dat de bol den bodem AB bereikte zonder te voren den muur te treffen. De gegevens van ons vraagstuk moeten dus zoodanig zijn, dat BD niet negatief is, m.a.w. er moet voldaan worden aan de voorwaarde dat: b + a tang oc — ' -v a—^ niet negatief is. In het bijzonder geval dat BD = b + a 2 C' cos3 oc 1 cT"' 2 tane cc — —=z ^ gelijk nul is, zal de bol den muur treffen in 2 L cos oc het punt B, waar de muur met den bodem samenkomt. De horizontale composante der snelheid v waarmede de bol den muur in D treft, is dezelfde als de horizontale composante der snelheid C, waarmede de bol van uit het punt O wordt opgeworpen, d.w.z. gelijk aan C cos oc. De ver- ticale composante Vv der snelheid v, waarmede de bol in D den muur treft, is C sin cc _ gt = c sin « _ . Noemen wij B de hoek, met de in D naar beneden gerichte verticaal, waaronder de muur door den bol wordt getroffen, dan is: V C sin oc - - aS cotg. B = - = . _c eos_oc = _ ag Vh C cos Cc B ClcosS De snelheid v_ is gelijk aan I V a 4- V * \r V _ h = sin 01 - c-^-5 )' + c' cos' =* = \ CJ sin' OC _ 2 ag tg =c + -a' g' - + C» cos» oc = LJ COS' Oc I7 r-x i g'J * ^ ~r — 2 ag tang oc. L2 cos*' oc ft & Ook op onderstaande wijze kan men geraken tot de zooeven gevonden uitdrukking van v . De kinetische energie, welke de bol, wiens massa wij door "> voorstellen, bij het opwerpen van uit O wordt medegedeeld is ' me': dle energie neemt af en bedraagt in D: \ mv'. Di# afname van de kinetische energie van deii bol is gelijk aan den arbeid, welke bij het doorloopen van den paraboolboog OU door de zwaartekracht is verricht geworden, welke arbeid gelijk is aan het product van het gewicht mg. van den bol met den weg, in de richting van de zwaartekracht, welken door de bol is afgelegd; die arbeid is dus gelijk mg X DE. Men heeft dus- 1 2 m (Cs - V'J) = mg X ED. of v — \ C' - 2g X ED. Voor ED vonden wij hierboven a tang oc — ^ .zoodat , = ^C" + C- cos' oc - 2 ag ,anS oc" Uit deze waarde van V,, gecombineerd met de betrekking = c cos oc, kunnen wij dan weer komen tot de waarde van den hoek B. Omdat de hoek oc, waaronder de bol uit het punt O wordt opgeworpen, kleiner dan 90" en dus cos oc positief is, daar er anders geen sprake van kan zijn dat de bol den muur zou treffen, is de gevonden waarde van V altijd eene reëele grootheid, d. w. z. is de vorm onder het wortelteeken altijd positief. Immers: C* + oSf". - 2 ai 'ang OC . ; c» - ilL + j + i2cosgoc - 2a* dan heeft men dus: f = mg of v,' = gr. Nu is de kinetische energie van het stoffelijk punt in B, wanneer wij zijne snelheid in B ï. noemen, gelijk mv' en de kinetische energie in G 2 mv,'. De afname der kinetische energie ^ m (v' - v,«) is gelijk aan den arbeid, welken door de zwaartekracht is verricht, terwijl het stoffelijk punt den halven cirkel BFQ doorloopt, of gelijk mg X 2r. Uit ^ (v- — vJ,) = mg X 2r of v' — v,' = 4 gr., vindt men omdat V,3 = gr is: v3 5 gr. of v = J 5^ Is de snelheid van het stoffelijk punt in B grooter dan |/5 gr. en kleiner dan | 5 gr., dan zal in eenig punt E van het cirkelkwadraat FG de draad niet meer gespannen zijn, doch het stoffelijk punt zich vanaf dat punt E bewegen volgens een paraboolboog EK. üaan wij na deze inleidende beschouwingen over tot de eigenlijke oplossing van het vraagstuk. 1°. Uit het punt A, zoodanig gelegen dat < AMB 60° is, wordt het stoffelijk punt losgelaten, terwijl het tegelijkertijd eene snelheid V0 gelijk 4 M. per seconde in de richting van de raaklijn aan boog AB wordt medegedeeld. De kinetische energie van het stoffelijk punt in A = mv0 », in B is zij 2 mv', de toename dier energie ^ m (v3 —v0a) is gelijk aan den door de zwaartekracht verrichten arbeid of gelijk mg X BC = mg X ! r, zoodat men heeft: 1 , 1 2 m (v5 — v0') = 2 mBf waaruit volgt: v = J/ gr -j- V(> 1 of daar met de gegevens van het vraagstuk g - 10, r - I en v = 4, is, js de snelheid, waarmede het stoffelijk punt door de vertica°al gaat I 10+16 = I 26 M. per seconde. 2". Daar met de gegevens van het vraagstuk 1*2 gr. — Vjg) en l 5 gr = K50 is, blijkt dat v_ grooter dan V2 gr. en kleiner dan VT gr. is, zoodat het stoffelijk punt den cirkel zal verlaten in eenig punt E, gelegen boven het horizontale vlak, dat door het ophangpunt M gaat. Noemen wij de hoek GME oc, dan is BD - MB -f MD = (1 -fcos cc) r. Noemen wij verder de snelheid waarmede het stoffelijk punt E bereikt dan is de afname der kinetische energie van het stoffelijk punt bij zijne beweging van B naar E: 1 m (v'—Vl3). Deze hoeveelheid energie is gelijk aan den arbeid door de zwaartekracht verricht, wanneer het stoffelijk punt zich beweegt van B naar E en dus gelijk aan mg X BD (I -f- cos oc) mgr, zoodat men heeft: 2 m (v' ~ v>3) = (1 -(- cos cc) mgr. of Vi' = va — 2 gr (1 -f- cos oc) (I) Wanneer het stoffelijk punt in E is, is de spanning in den draad gelijk nul en dus de composante van de zwaartekracht volgens de richting EM dezelfde als de middelpuntzoekende kracht mVl-, zoodat: mvi' —— - — mg cos oc of V!3 = gr cos oc. (2) Door combinatie der betrekkingen (1) en (2) heeft men dus: v' - 2 gr (I + cos oc) = gr cos oc , v2 — 2 gr v' 2 of COS OC = 2 = — . 3 gr 3 gr 3 Hierin substitueerende voor v = | 26, voor g = 10 en voor r 1, vindt men: 26 2 13 2 1 cos oc 3 ^ )0 3 )5 - 3 5- Derhalve volgt het stoffelijk punt den cirkelomtrek tot op een afstand BD boven zijn laagste plaats B gelijk MB X (1 + cos o<.) = 1 4- 1 5 1.20 M; de snelheid van het stoffelijk punt in E is volgens de betrekking (2) vi = J/gr cos oc } 10 X g V 2 Meter per sec., terwijl in Ede centripetale kracht gelijk aan de radiale composante der zwaartekracht is = °11 X 0.02 K.G. is. In E is de horizontale composante van de snelheid v, van het V 1 1 stoffelijk punt h = v1 cos oc I 2 = l' 0.08 M. per seconde, en de V 1 , - verticale composante dier snelheid = v1 sin oc — v1 I 1 — cos3 oc ' ^ ' 1 ' — ' 2 ' ^ I 3 — 0.8 f 3 Meter per seconde. 5 ü Het stoffelijk punt bereikt dus nog eene hoogte KH boven het horizontale 1 V2 vlak, dat door E gaat, welke gegeven wordt door: KH z= -0.64 X 3 2 X "1 0.096 M., de grootste hoogte, waartoe het stoffelijk punt zich verheft boven de laagste plaats B, is dus DB + KH 1.2 -f- 0.0096 1.296 Meter. In het punt K. zijner baan heeft het stoffelijk punt nog eene kinetische energie gelijk aan ^ ni \i = ^ X 0.01 X 0.08 0.0004 K.Q. M. Opmerking: Stellen wij ons voor, dat het stoffelijk punt door een draad met het vaste punt M verbonden was, doch genoodzaakt was op den cirkelomtrek BFG te blijven, doordat b.v. het punt zich bevindt binnen in eene buis, welke volgens het beloop van den cirkel ABFQ gebogen is, dan zou het punt nog hooger dan E stijgen. Immers wanneer L (fig. II) het hoogste punt van den cirkelomtrek is waartoe het stoffelijk punt zich verheft in de buis en waar dus zijn snelheid gelijk nul wordt, dan is, wanneer men / LMG door oc voorstelt: ^ mv' = mg (1 -f cos cc,) r of cos oc=^ v — 1 = ~ — 1 =0 3 M 2 gr 2 10 VW*- De hoogte van L boven het horizontale vlak door B is dan 1 + 3.3=1.3 Meter. 3e, Noemen wij, wanneer het stoffelijk punt door zijn evenwichtsstand in B gaat, de spanning in den draad S,, dan is: c mv' S — mg = r dusS = mgx"1;'- 0.1 + 001 X 26 0.36 K.Q. Windas, 1882. No. 1. Van een windas is de straal der spil 30 cM., die van de tappen 3 cM. en die van het rad I M. Om de spil is een touw geslagen van 2 cM. dikte, en daaraan hangt een last van 1000 K.G., terwijl het windas zelf 100 K.Q. weegt. Men vraagt: a. de grenswaarden der kracht te bepalen, welke aan den omtrek van het rad in de richting der raaklijn moet werken cm met dien last evenwicht te maken; b. aan te toonen, dat voor het opheffen van den last met eenparige beweging bedoelde kracht niet standvastig kan zijn. De bewegings coëfficiënt wordt 0.08 gesteld. In nevenstaande figuur stelle abcd de spil of den cilindrischen trommel voor, waarvan de straal r 30 cM. is en waarom het touw e f, welks straal rl 1 cM. is, geslagen is. Aan dat touw hangt de last Q 1000 K.G. De straal van elk der tappen van het windas is p 3 cM., de straal van het rad gh, waarmede het windas kan gedraaid worden, R is 100 cM., terwijl het gewicht van het windas, welks zwaartepunt wordt verondersteld te liggen in de hartlijn van het toestel Q = 100 K.G. bedraagt. Bovendien is gegeven, dat de wrijvingscoëfficiënt _f der tappen en pannen gelijk 0.08 is. Is dc aan den omtrek van het rad in de richting der raaklijn werkende kracht P verticaal naar beneden gericht, zooals in de figuur is aangegeven dan worden de grenswaarden van de kracht P, welke evenwicht maakt met den last Q, gegeven door de betrekking: Q (r + r1) - P X R ± (Q + O + P) X P sin Q 0. (Zie de oplossing van vraagstuk 1808 No. 1), waarin Q de boog is, welks tangens gelijk is aan f. Men heeft dus voor die grenswaarden: p Q (r + r') ± Q + (G)P sin Q R + p sin Q ' ' tang Q 0.08 Daar sin Q — ,, — .. — 0.079746 is, mogen wij Vl + tang2 Q V 1.0064 ' zonder aanmerkelijke fout voor sin Q, tang Q ƒ 0.08 stellen. In (1) de waarden Q — 1000, G 100, r 30, r1 1, R 100, p — 3 en sin Q~ 0.08 substitueerende, krijgen wij: p _ 1000 X 31 + 1100 X 3 X 0.08 _ 31000 ± 264 ~ 100 ± 3 x 0.08 " 100+ 0.24" Als de kracht P verticaal naar beneden werkt, moet zij dus kleiner , 31000 + 264 31264 zijn dan ^ ^ 9976 K.G. en grooter zijn dan 31000 264 30736 „ „ , , ^ 100 + 0 24 100T4 306 62 om "iet den last Q 1000 K.G. evenwicht te maken. Is de aan den omtrek van het rad in de richting van de raaklijn werkende kracht P verticaal naar boven gericht, zooals in figuur II wordt aangegeven, dan heeft men voor de grenswaarden dier kracht P de betrekking: Q (r + r') - P X R ± (Q + Q - P) X P sin Q = 0. In dit geval zijn dus de grenswaarden van P gegeven door Q (r + r') + (Q + G) X r sin Q R ± p sin Q Hierin weder substitueerende : Q = 1000; Q = 100; r = 30, r1 = 1; R 100, p 3 en sin Q 0.08, krijgt men: p _ 1000 X 31 ± 1100 X 3 X 0.08 _ 31000 ± 264 100 ± 3 X 0.08 - 100 ±0.24 Als de kracht P verticaal naar boven werkt, moet zij dus kleiner zijn da" 100 94 ~ 3,189 K G- en grooter zijn dan — 308.10 K.G. om met den last Q 1000 K.G. evenwicht te maken. Uit het resultaat der berekening van de grenswaarden der kracht P, welke met den last Q evenwicht maakt in de twee bijzondere gevallen, welke wij hierboven, wat betreft de richting der kracht P ten opzichte van de verticaal hebben beschouwd, volgt reeds dat voor het opheffen van den last Q met eenparige snelheid, de voor dat opheffen vereischte kracht niet standvastig zijn kan. Dit laatste kan ons ook blijken door de volgende beschouwing. Wanneer de last met eene eenparige snelheid opgeheven wordt, moet de algebraïsche som der momenten ten opzichte van de hartlijn van de windas, van alle krachten, welke op het toestel werken, gelijk nul zijn. Noemen wij de hoek, welken de straal van het rad, aan welks uiteinde de kracht P werkt (fig. III), met den horizontalen lijn OA maakt, oc en brengen wij de krachten Q, G en P evenwijdig aan zich zelve naar een punt van de hartlijn van het windas over, dan is de grootte van de resultante dier aldus overgebrachte krachten T r(Q + G)J -(- P'J -f- (2 Q -f- G) Pcos oc welke resultante blijkbaar van de grootte van den hoek oc afhangt. Die resultante is gelijk in grootte en tegengesteld 'n richting aan de reactie, welke de pannen op de tappen uitoefenen en het moment dier reactie ten opzichte van de hartlijn van het toestel is T + p sin Q. De krachten welke op het toestel werken zijn vier in getal t.w. le de last Q; 2<-' het gewicht van het windas O, 3L' de kracht P en 4<-' de reactie T van de pannen op de tappen. Het moment ten opzichte van de hartlijn van het windas van de kracht P is + P X R. van den last Q: - Q X (r 4" f1) van het gewicht G nul, terwijl het moment van de reactie T gelijk — T X P sin Q, dus evenals T van de grootte van oc afhankelijk is. Hieruit volgt, dat ware P constant, de algebraïsche som van alle vier op het toestel aangrijpende krachten: P X R — Q (r + r') — T p sin Q. niet voor elke waarde van oc gelijk nul kan zijn en omgekeerd, dat bij het opheffen van den last Q met eenparige snelheid de kracht I5 geene constante waarde hebben kan. Werktuigkunde. 6 Wr. 1882. No. 2 Een spoortrein van 100000 K.G. gewicht, zich voortbewegende met eene snelheid van 12 M., ontmoet eene helling van 1° naar boven. Wanneer op hetzelfde oogenblik de machine ophoudt te werken en de trein, door den weerstand, na een weg van 300 M. te hebben afgelegd, tot rust komt, hoe groot is dan de wrijvingscoëfficient: (g -- 10 M. te nemen.) Wij onderstellen, dat wij den spoorlrein kunnen assimileeren aan een p stoffelijk punt, waarvan het gewicht G en dus de massa m = is. Noe- g men wij de hoek, welken de helling met het horizontale vlak maakt o<, de snelheid, waarmede de trein zich over het horizontale vlak bewoog, toen de helling bereikt werd v, de wrijvingscoëfficient ' en de lengte van den weg, welken de trein tengevolge van de snelheid ", waarmede hij de helling bereikt nog aflegt I. De kinetische energie, waarmede de trein de helling bereikt is mv', terwijl bij het tot stilstand komen van den trein op de helling de kinetische energie gelijk nul is. Die energie ^ mv5 is dus opgebruikt tot het overwinnen van den weerstand, welken de trein op de helling ondervond, en dus gelijk aan den arbeid door dien weerstand verricht, of gelijk G X 1 sin oc -(- fG cos oc X I - Gl (sin oc -f f cos oc). Men heeft dus de betrekking: 1 G — v* = Gl (sin oc +.f cos oc) * 8 v* waaruit volgt: f = =—i tang oc. 2 gl cos oc " Hierin substitueerende de numerieke gegevens van ons vraagstuk, vindt men: f- 12' ~ 2 X 10 X 300 X cos 1 ° ~ tang cc ( 0.024 . lo 0.024 - sin 1° f = rr tang 1° = cosl0 6 cos 1° of, daar sin 1° = 0.01745 is en cos 1° = 0.99985 bij benadering gelijk 1 gesteld mag worden: f = 0.024 — 0.01745 = 0.00655. 33. en H.V. 1883. No. 1. Een lichaam zwaar 1000 K.G, heeft een beginselsnelheid van 100 M, en legt langs een horizontaal vlak een weg van 500 M. af. De wrijvingscoëfficiënt is y Vervolgens botst het lichaam tegen een ander van 100 K.Q. gewicht, dat ligt aan den voet van een hellend vlak, waarvan de heilingshoek 30° bedraagt, en waarvan de doorsnede met het horizontale vlak loodrecht is op de richting der beweging van dit lichaam. Beide lichamen worden als volkomen veerkrachtig beschouwd- Tot welke hoogte zal het tweede lichaam tegen de helling oploopen ? De wrijvingscoëfficient is ook nu yt. In nevenstaande figuur stelt AB den horizontalen weg ter lengte I = 500 Meter voor, doorloopen door een lichaam, zwaar G = 1000 K.G., dat in A eene beginsnelheid V„ — 100 Meter bezit. Noemen wij R de versnelling van de zwaartekracht, dan wordt de massa M. van dat lichaam Q voorgesteld door en stellen wij door * Voor de snelheid, waarmede 1 I P het lichaam het punt B bereikt, dan is M. (vo 2 — v2) = (vo 2 — v2) - g de afname der kinetische energie van het lichaam bij het doorloopen van den weg AB. Op dien weg ondervond het lichaam een wrijvingsweerstand, welke gelijk is aan het product van den wrijvingscoëfficient f = ^ en zijn gewicht G. De arbeid van dien weerstand is dus fG X I, zoodat men heeft de betrekking: 2 (vo 2 - v2) = fül. waaruit volgt: v2 = v0 2 — 2 fGI. Het punt B is de voet van een hellend vlak BI, dat een hoek oc = 30° met het horizontale vlak AB maakt en aan dien voet ligt een lichaam p 1 waarvan het gewicht G1 = 100 K.G. en dus de massa door wordt g voorgesteld. Zoowel het lichaam, dat van A is uitgegaan, als het lichaam, dat zich oorspronkelijk in B bevindt, zijn volkomen veerkrachtig, terwijl wij veronderstellen, dat tengevolge van de botsing het lichaam dat in B ligt, tegen de helling oploopt, zonder daarbij door stooten tegen het hellend vlak kinetische energie te verliezen. De snelheid v0 welke het lichaam, da oorspronkelijk in B in rust was, verkrijgt onmiddellijk nadat het uit A afkomstige lichaam er tegen aan heeft gebotst, wordt gegeven door: _ 2 M _ 2 G Vl ~~ M + M, V ~ G + G' V ' Zijne kinetische energie is dus op dat oogenblik - M1 v,1 = L G' ( 2 G \s , 1 _ _G_^ ( 2 G \ 3 s _ j 2 g ^G + G'/ 2 g VG+G'/ Bij het doorloopen van den weg BC moet overwonnen worden de werking der zwaartekracht G' en die van den wrijvingsweerstand W = fG1 cos oc. De arbeid van de zwaartekracht is G' X DC = Glx en de arbeid van den wrijvingsweerstand is W X BC = fG' cos oc X .• = fG1 , wanneer wij door x voorstellen de gezochte hoogte CD, waartoe tang oc het lichaam, dat oorspronkelijk aan den voet B van het hellend vlak BC in rust was, tengevolge van de botsing tegen de helliug oploopt. De gezamenlijke arbeid van zwaartekracht en wrijvingsweerstand is dus G'x /l + -—-- ) \ tang oc / Men heeft dus de betrekking: X('+ tang «) =\ g'( GJ+Ü>) ' (v°' " 2^1)' waaruit volgt v0 ' - 2 fgl / 2 G \, X 2 g (1 +fcotg <=>c) VG+G1/ Met de numerieke gegevens van het vraagstuk is Vu = 100,1 — 500, G = 1000, G1 100, f = ' (dus 2f = 1) en oc = 30° (dus cotang oc = I 3 ); bovendien nemen wij aan dat g = 10 is. Substitueeren wij nu evengenoemde waarden in onze vergelijking van x, dan krijgen wij: _ 1002 — 10 X 500 / 2 X 1000 \,_ 5000 ( 20ViX ~ 10 (2 + | 3 ) 1000 -f 100/10 (2+ | 3 ) 11/ 500 (2 - l/D = 2 ^11°S (2 — J/3~) of daar ]/3 = 1.73205 en dus 2 — ]/ 3 = 0.26795 is, x = = 443 Meter. H.V. 1883. No. 2. Een lichaam wordt zoodanig op een hellend vlak geplaatst, dat het er afglijdt en eene versnelling van 2 M. verkrijgt. Op een ander hellend vlak geplaatst, waarvan de helling 12° graden bedraagt, blijft het nog juist in evenwicht. De wrijvingscoëfficient is voor beide vlakken dezelfde. Hoe groot is de helling van het eerste vlak? Noemen wij het gewicht van het lichaam G, de versnelling der zwaartekracht fi en de wrijvingscoëfficient f. Stellen wij de gezochte helling van het eerste vlak oc1, dan is de composante der zwaartekracht, welke de beweging langs het hellend vlak te weeg brengt, G sin oc en de wrijvingsweerstand, welke de beweging tegengaat fG cos oc. In de richting van het eerste hellend vlak werkt dus op het lichaam eene kracht (sin oc — f cos oc) G. De kracht G (het gewicht) geeft aan het lichaam eene versnelling ti (die der zwaartekracht) de kracht (sin oc — f cos oc) G geeft dus aan datzelfde lichaam eene versnelling i , welke gevonden wordt uit de evenredigheid : G : (sin oc — f cos oc) G = g : j waaruit volgt: j = (sin oc f cos oc) g. Daar gegeven is dat j = 2 is en voor g 10 stellende, vindt men dus: sin oc — f cos oc = 0.2 (1) Wanneer het lichaam op het tweede hellend vlak, waarvan de helling 12° bedraagt, wordt geplaatst blijft het nog juist in evenwicht. Hieruit volgt dat f tang 12° is; substitueert men deze waarde van f in de vergelijking (1) dan krijgt men: sin oc — tang 12° cos oc = 0.2 sin oc cos 12° — cos oc sin 12° cos 12° sin (oc — 12° ) = 0.2 cos 12° waaruit men opmaakt: oc = 23° 16' 53", 3. W. en K.. 1884. No. 1. Een ladder van 150 K.G. gewicht, welks zwaartepunt op '/» van het ondereinde ligt, staat onder eene hoek van 30° met den grond tegen een muura. Indien ondersteld wordt dat er geene wrijving is, vraagt men de horizontale kracht, die men tegen het ondereinde moet aanbrengen om het uitglijden te beletten; b. Hoe groot zou die kracht moeten zijn, als er alleen wrijving met den grond was, terwijl daarvan de wrijvingscoëfficient gegeven is 0.5. a. De ladder AB (fig. \) rust met haar ondereinde A op het horizontale vlak AD en steunt met haar boveneinde B tegen den verticalen muur DB. Het zwaartepunt C van de ladder ligt op »/, harer lengte vanaf haar ondereinde, zoodat AC ^ AB is. De ladder is in evenwicht onder de werking van vier in een zelfde vlak gelegen krachten, te weten: 1°. haar gewicht G 150 K.Q., aangrijpende in haar zwaartepunt en loodrecht naar beneden gericht. 2°. de reactie R. van den muur tegen het boveneinde B der ladder, loodrecht op den muur en, als in de figuur aangegeven, gericht. 3". de reactie R1 van den horizontalen bodem legen het ondereinde A der ladder loodrecht naar boven gericht en 4». de gezochte horizontale kracht P, welke men tegen het ondereinde der ladder moet aanbrengen om het uitglijden te beletten. Wanneer er evenwicht is, voldoen de krachten aan de voorwaarde dat zoowel de algebraïsche som harer projecties op een willekeurige lijn als de algebraïsche som harer momenten ten Opzichte van een willekeurig in haar vlak gelegen punt gelijk nul is. Door de algebraïsche som van de projecties der krachten op een horizontale lijn gelijk nul te stellen, vindt men P = R en door de algebraïsche som der momenten ten opzichte van het punt A gelijk nul te stellen, komt men tot R X BD - Q X AE = 0. Nu is in deze laatste betrekking R = P, AE = AC cos 30» = — 1 3 AB cos 30° -= -g ABF3 en BD = AB sin 30 } AB. Men heeft dus: AE 6~AB p = R = BD X O = X G = 2 G ]/ 3. of daar G = 150 K.G. is: P = 50 J/TK.G. b. Bestaat er wrijving tusschen het ondereinde A van de ladder (fig. II) met het horizontale vlak AD, dan werken er in den evenwichts¬ toestand vijf krachten op de ladder, nl.: lu. haar gewicht G — 100 K.Q.; 2°. de reactie Ri van den muur; 3°. de reactie Ru van den horizontalen bodem; 4°. de in horizontale richting op het ondereinde A werkende wrijvingsweerstand, die gelijk is aan het product fR' van den wrijvingscoëfficient 0.5 niet den normalen druk R't en 5'1 de gezochte horizontale kracht P, tegen het ondereinde A van de ladder. Door die vijf krachten te projecteeren op eene verticale lijn verkrijgt men de betrekking: R1 = G = 150 K.G. en door ze te projecteeren op een horizontale lijn, komt men tot de betrekking: Pi + fRi' - R, = 0 waaruit volgt: P, R, - fR' = Ri - 0.5 X 150 = R, - 75 K.G. De algebraïsche som der momenten van de vijf krachten ten opzichte van het punt A gelijk nul stellende, krijgt men: R, X BD - G X AE = 0 Oi R, = BB X °' AF . - Nu vonden wij hierboven (sub a) dat ^ X G = 50 V 3 K.G. is, zoodat Ri = 50 V 3 K.G. en dus P, = R, - 75 = 50 V 3 - 75 K.G. K-. ©IX H.V. 1884. No. 2. Drie volkomen gelijke cylinders, die ieder P. K.G. wegen, zijn zoodanig geplaatst, dat zij elkander raken. De eerste rust op een horizontaal vlak en raakt een hellend vlak; de tweede rust op het hellend vlak en raakt den eersten; de derde rust op den eersten en tweeden. De assen der cylinders kruisen de richting van het hellend vlak rechthoekig. Hoe groot moet de kracht zijn, die deze cylinders zal kunnen tegenhouden, als de richting dier kracht door de middelpunten van de eerstgenoemde cylinders gaat en de hellingshoek van het hellend vlak ais? — (Er wordt ondersteld, dat er geene wrijving is en dat zoowel de vlakken als de cylinders volkomen hard zijn). In nevenstaande figuur geeft AB aan een horizontaal vlak en BC. een hellend vlak, dat een hoek oc me» AB maakt. De eerste cylinder, welks as M, is, rust volgens de beschrijvende lijn D, op het horizontale vlak en raakt volgens zijn beschrijvende lijn E het hellend vlak. De tweede cylinder, welks as Ms is, rust volgens zijne beschrijvende lijn T op het hellend vlak en raakt volgens zijne beschrijvende lijn K den eersten cylinder. De derde cylinder rust volgens zijn beschrijvende lijnen L en N respectievelijk op den eersten en op den tweeden cylinder. Daar de drie cylinders volkomen aan elkander gelijk zijn, is de driehoek M, M2 M, gelijkzijdig. In den evenwichtstoestand werken op den derden cylinder drie krachten nl. 1°. zijn gewicht P in M, verticaal benedenwaarts gericht; 2" de reactie Ru, welke hij van den eersten cylinder ondervindt, gericht van L naar M3 en 3" de reactie R3-, welke de tweede cylinder uitoefent op den derden, gericht van N naar M,. De richtingen dezer drie krachten snijden elkaar in het punt M,. Wanneer de derde cylinder in evenwicht is, heeft men, zooals gemakkelijk is in te zien: I o _ S'1 (30" + OC) ! R"3 ~ sin 60" P' j R,, = sin (30° - «> P. ' sin 60" Daar de reactie R.3, welke de derde van den tweeden cylinder ondervindt, niet gericht kan zijn van N naar M,, kan R,, geen negatieve waarde verkrijgen, of m.a.w. kan oc niet grooter zijn dan 30° . Een eerste voorwaarde waaraan het stelsel voldoen moet, wil er evenwicht mogelijk zijn, is dus dat de hellingshoek oc niet grooter is dan 30° . Dit resultaat is dadelijk uit de figuur op te maken, omdat als L = 30° wordt, de lijn M3 M, eene verticaal wordt. Wordt oc even grooter dan 30° dan rust de derde cylinder niet meer tegen den tweeden, maar rolt hij van den eersten af. Onderstellen wij dus dat o< kleiner dan 30° is. Nemen wij aan dat in den evenwichtsstand de eerste en de tweede cylinder eene drukking R,, tegen elkaar uitoefenen, dan werken op den 2en eylinder vier krachten, nl 1°. zijn gewicht F in M, verticaal benedenwaarts gericht, 2". de drukking, welke de derde eylinder uitoefent in N en die gericht is van N naar Ms, sin (30° oc) welke drukking in grootte gelijk is aan R2 s = _n gQ0 P. 3".dereaclie door het hellend vlak in T uitgeoefend, gericht van T naar M2 en 4". de reactie Ru door den eersten eylinder in K uitgeoefend en gericht van K naar M„. De richtingen dezer vier krachten snijden elkaar in M,. Is de tweede eylinder in evenwicht, dan moet de algebraïsche som van de projecties dier vier krachten op de lijn KM,, die evenwijdig loopt aan het hellend vlak BC gelijk nul zijn. Men heeft dus bij evenwicht de betrekking: R,., — P sin oc + Rj ü cos 60° = 0, of Ri-, = P sin oc — R2.3 cos 60° = . sin (30° — oc) D i . sin (30° — oc) I ' S1" °c sin 60" P C°S 60 * Rl" = I S'n CC ~ tang 60" I 1 I sin (30° — oc) i | . sin 30° cos oc — cos 30"sin oc | = j«taOe- y3 j | ® Oc y3 i ' cos oc-y J/3 sin oc ) P SS | cos OC — —- . 3 j P = *2 (sin oc — - 3 cos oc) p = ? P (9 sin oc — cos oc |/ 3) = ^ P tang oc — ] 3 cos oc 6 ^ 9 Daar oc kleiner dan 30° is, is cos oc positief, Rl, is dus positief, zoolang als tang oc niet kleiner is dan y V3 of als oc niet kleiner is dan 10° 53'36"- Wij zien dus dat zoolang als de hellingshoek oc grooter is dan 10° 53'36n de eerste en de tweede eylinder eene drukking tegen elkander uitoefenen, welker grootte gelijk is aan P. (9 sin oc — cos oc V 3 ). Is de hellingshoek oc kleiner dan 10° 53 36", dan oefenen die cylinders geenerlei drukking tegen elkander uit, doch moet er in de richting MiM, eene van buiten af werkende kracht Q,t op den tweeden eylinder aangrijpen wier grootte gelijk is aan R„ - g 9 sin cc + cos cc ^ 3 om te maken, dat die eylinder in evenwicht blijft of m.a.w. om te verhinderen, dat die eylinder door den derden eylinder tegen het hellend vlak wordt opgeduwd. Onderstellen wij nu dat de hellingshoek oc kleiner is dan 10» 53'36n. De eerste eylinder ondervindt dan geen drukking van den tweeden eylinder, terwijl de drukking door den derden cylindu op den eersten uitgeoefend gelijk is aan Rl3 = ^ P Ware die drukking door den derden 6 J Sin bü° eylinder uitgeoefend niet aanwezig, dan zou uit den aard der zaak de eerste eylinder in evenwicht zijn, omdat alsdan de reactie van het horizontale vlak AB in D vertikaal naar boven werkende, evenwicht zou maken met het g»wicht P van den eylinder. De in L volgens de richting LM, werkende drukking Ri 3 van den derden eylinder tracht evenwel de eerste eylinder van liet punt D te doen wentelen. Deze beweging kan voorkomen worden door eene van buiten af aangebracht kracht Q, werkende in de richting MtM„ wier grootte zoodanig is, dat de resultante van die kracht Q,.„ van de van L naar M gerichte drukking Rt., van den derden cylinder en van het gewicht P van den eersten cylinder gericht is volgens de verticaal MiD. In dat geval werken op den eersten cylinder vier krachten, t.w. 1°. zijn gewicht P in M, verticaal benedenwaarts gericht, 2° de drukking R,., gericht volgens LM., 3° de van buiten aangebrachte kracht Q„, werkende in de richting M,M, en 4". de reactie van het horizontale vlak AB, werkende volgens DM! verticaal naar boven. De algebraïsche som van de projecties van die vier krachten op eene horizontale lijn moet gelijk nul zijn, zoodat aangezien de projecties der zwaartekracht en van de reactie van het horizontale vlak op eene horizontale lijn beiden gelijk nul zijn — men heeft: Q,., cos oc - R,.„ sin (30„ - oc) = o of Q„, = sin 30» - oc) _ COS OC sin (30" — oc) sin (30" +ot) _ 2 ^C0S 2 " C0S 60"^ " 1 + 2 cos':c " 2 ' cosoc sineo- - l_|/3cosoc P- J/ 3 cos oc P = P = è ^ 3 (4cos ^ — 3 sec. oc). 2 \ 3 cos oc 6 Wij merken hierbij het volgende op. Zoolang de richting der resultante van de in de richting M^, werkende kracht Q„, van het gewicht P en van de drukking R:.a valt binnen den hoek DM'E is de eerste cylinder in evenwicht; de gevonden waarde van Q,., = }, P V3-(4 cos oc _ 3 sec b oc), waarbij in E geene drukking op het hellend vlak wordt uitgeoefencT, is echter de kleinste kracht, waarbij dit evenwicht nog bestaat, terwijl de grootste kracht, waarbij dit evenwicht nog voorkomt, gelijk is aan 1 P V3 6 (cos oc + 3 V 3 sin oc. Heeft de in de richting MiM, aangebrachte uitwendige kracht deze grootte, dan wordt er in D geene drukking op het horizontale vlak uitgeoefend. Is de hellingshoek oc grooter dan 10° 53i36It, dan oefent, zooals wij hierboven gezien hebben, de tweede cylinder op den eersten eene drukking uit welker grootte is R„ — | P (9 sin oc — cos oc V3 ). De kleinste b kracht Q1,, werkende in de richting M,M,, welke in staat is in dit geval den eersten cylinder het uitwijken te beletten, is blijkbaar: Q'i-i = Qi-j + Ri « =-g P 3 (4 cosoc — 3 sec.oc) + ^ P (9 sinoc — cosoc J/ 3) = ^ P 3 (cos oc — sec. oc -)- sin oc J/ 3) Gaan wij nu nog na de bizondere gevallen, welke zich kunnen voordoen, wat betreft de grootte van den hellingshoek oc. is oc = 30° dan vindt men Q1,., = ' P, hetgeen, behalve uit de formule Q1,., = 1 P L 3 ^ 2 (cos oc — sec. oc -f sin oc J/ 3) ook uit de figuur dadelijk blijkt, daar alsdan R,., verticaal gericht en gelijk P is, R,.8 gelijk nul is en R,., = } P is. Isoc = bg tang g|/'3 = 10° 53'36", dan is R,„ = 0 en Q,., = Q'i i = ~ P [/ 7 0.252 P. Is oc =0, dan is QV, = Q,.« g P I 3 = 0.289 P, welk resultaat behalve uit onze formules, men gemakkelijk direct uit de figuur had kunnen opmaken. De hiervoren gevonden resultaten kunnen wij als volgt resumeeren: Ons stelsel van de drie cylinders kan niet in evenwicht zijn als de hellingshoek oc grooter is dan 30°. Is oc = 30°, dan is er evenwicht wanneer in de richting M,M, op den eersten cylinder werkt eene uitwendige kracht wier grootte is ^ P- Is 30° ^ oc y bg tang J 3, dan is er evenwicht wanneer in de richting MiM, op den eersten cylinder werkt eene uitwendige kracht wier groote is g P \ 3 (cos oc — sec oc + sin oc |/ 3). Isoc = bg. tang — I 3 = 10" 53'36", dan is er evenwicht, wanneer in de richting M,M, op den eersten cylinder werkt eene uitwendige kracht 2 wier grootte is P ^ 7. Is bg tang I 3 > oc > 0, dan is er evenwicht, wanneer in de richting MiM, op den eersten cylinder werkt eene uitwendige kracht, wier grootte is g P l 3 (4 cos oc — 3 sec oc) en in de richting MjM, op den tweeden cylinder eene uitwendige kracht welker grootte is ^ P (— 9sinoc + cos oc V 3). Is eindelijk oc = 0, dan is er evenwicht, wanneer op den eersten cylinder in de richting M,M, en op den tweeden cylinder in de richting MjM, eene uitwendige kracht aangrijpt, welker grootte gelijk is aan ' P V 3. 6 De zooeven bedoelde uitwendige krachten zijn de kleinste krachten, waarmede het evenwicht kan verkregen worden. 1885. No. l. Een homogene ijzeren plaat van den vorm van een parallelogram moet door drie werklieden gedragen worden, zoodanig dat iedereen evenveel draagt. Eén der werklieden grijpt de plaat aan een hoekpunt. Aan welke punten van den omtrek moeten nu de beide andere werklieden de plaat vasthouden? Zij in nevenstaande figuur ABCD, de homogeene ijzeren plaat, welke den vorm heeft van een parallelogram en waarvan wij het gewicht voorstellen door G. Die plaat wordt gedragen door drie werklieden, welke ieder een gewient ^ G dragen en waarvan één de plaat aangrijpt in het hoekpunt A, terwijl de baide andere werklieden ieder een punt van haar omtrek ondersteunen. Het zwaartepunt der plaat is het snijpunt E van de diagonalen AC en BD van het parallelogram. Het gewicht G der plaat in E aangrijpend, in de resultante van de drie onderling gelijke drukkingen ^ G, welke elk der werklieden ondervindt en kan beschouwd worden als de resultante van de drukking G, welke de werkman ondervindt, die in A de plaat onder- steunt en van eene benedenwaarts gerichte verticale kracht ~ G, welke in het punt F van de diagonaal AC aangrijpt, wanneer dat punt F zoodanig gelegen is, dat: | G X EF = j G X AE of EF = ^ AE = | EC- 2 Deze kracht ^ G aangrijpend in F kan ontbonden worden in twee verticaal benedenwaarts gerichte krachten, welke onderling gelijk en dus ieder ^ G zijn, oangrijpende in de punten H en I der zijden DC en BC van het parallelogram, wanneer die punten H en I zoodanig gelegen zijn dat HF = F1 is. Is echter HF = Fl, dan is ook HC — HD en IC = IB. Men ziet dus in, dat het gewicht G de resultante is van drie krachten ieder gelijk G, welk? aangrijpen respectievelijk in A, H en I. De plaat moet dus behalve in het hoekpunt A worden vastgehouden in de middelpunten H en I der zijden DC en BC, welke gelegen zijn tegenover het hoekpunt A. HV. en B. 1885. No. 2. Een lichaam wordt aan 't boveneind van een hellend vlak losgelaten en glijdt naar beneden. Op 't midden van het hellend vlak wordt door een stoot zijn snelheid plotseling vermeerderd met 3.4 M. Aan het ondereind van een hellend vlak gekomen, zet het tengevolge der verkregen snelheid en onder de werking der zwaartekracht zijne beweging voort, totdat het na drie seconden den horizontalen grond bereikt. Nu wordt gevraagd te berekenen: a■ den duur der beweging; b. hoever het ondereind van het hel'end vlak boven den grond is; c. in welk punt het lichaam den grond bereikt; cl. de eindsnelheid; e. het arbeidsvermogen van beweging, dat het lichaam aan het eind van zijne baan bezit (uitgedrukt in dynamische eenheden). Gegeven zijn: lengte van liet hellend vlak 8.2 M.; hoogte van het hellend vlak 1.8 M.; gewicht van het lichaam 205 K.G.; g = 9.8 M.; wrijvingscoëfficient 1 5. Het lichaam wordt zonder beginsnelheid in B (zie figuur) losgelaten en beweegt zich langs het hellend vlak BA tot het in het midden M van het hellend vlak gekomen is. In dit punt M wordt de snelheid plotseling met 3.4 M. per " vermeerderd, het lichaam beweegt zich verder langs liet hellend vlak van M naar het ondereind A van dat vlak en zet tengevolge van de snelheid, welke het in A bezit, en onder de werking van de zwaartekracht zijne beweging voort, doorloopt in 3 seconden den paraboolboog AE en bereikt in E den horizontalen grond EF. De geheele duur der beweging, d. i. de tijd welken het lichaam noodig heeft om van het beginpunt zijner beweging B te komen iu het punt E, waar het den grond bereikt, is te verdeelen in drieën, nl. Ie den tijd J be- noodigd om van B naar M te glijden, 2e den tijd t1, benoodigd om van M in A te komen en 3e den tijd 1^, welken het lichaam noodig heeft om den paraboolboog AE te doorloopen. welke laatste tijd t" gegeven is te zijn 3 seconden. Voor de berekening der tijden t en t' kunnen wij den hieronder aangegeven weg inslaan. Noemen wij oc de hellingshoek BAC van het hellend vlak, welks hoogte AB = 8.2 M. en welks hoogte BC — 1.8 M. is, zoodat sin oc = gQ J g Q AB ~ 8 2 = 41 en daar AC = ' AB' — BC2 = ' 8-2' ' 182 ** Q „ . AC 8 40 . 8 M. .8 - cos oc = __ = 8 2 = ^ 18. Noemen wij verder P het gegeven gewicht van het bewegende lichaam (dus P — 205 KG.), m de massa van dat lichaam en stellen wij de gegeven wrijvingscoëfficient voor door f (zoodat f = 0.5). De beweging van het lichaam langs het hellend vlak heeft plaats onder de werking der zwaartekracht en wordt tegengegaan door den wrijvingsweerstand. De resultante der ontbondene volgens de richting van het hellend vlak van de zwaartekracht en van den wrijvingsweerstand is p = P (sin oc - f cos oc) = 205 X Qj - y X = 205 X 4', = 5 KG. Daar bij den vrijen val het lichaam tengevolge van zijn gewicht P = 205 K.G. eene versnelling g = 9.8 M. per 11 verkrijgt, zal de versnelling j, welke hetzelfde lichaam tengevolge van de constante kracht p P 5 49 = 5 K.G. aanneemt, zijn: j = £ g = 2Q_ X 9-8 = M. per seconde- Daar het lichaam in B zonder snelheid zijn beweging is begonnen moet ' jta = BM = ' AB = 4.1 M. zijn, zoodat t = 1/^ 8.2 _ M1681 1 1 w 49 9 49 205 41 .6 11 . — 7 7 IS' De snelheid v waarmede het lichaam in het midden M van het 49 6 2 hellend vlak aankomt is v jt 2Q5 X 5? = lg = 2.4 Meter per seconde. In M wordt de snelheid van het lichaam plotseling vermeerderd met ^ M. per sec.; na die vermeerdering is dus zijn snelheid Vi 1.4 + 3.4 = 4 4.8 = 4 M. per sec. De beweging van het lichaam vanaf M naar A, dus over een afstand 2 AB 4.1 M., is eene gelijkmatig versnelde beweging met eene aan- vangssnelheid van 4.8 Meter per sec. en eene versnelling van M. per sec. Men heeft dus de betrekking: vt1 + j jt1' MA 4 1 49 » 1 4 t1 + — t' 4 5 2 205 10 49 t1 + 1968 t1 — 1681 = O 41 waaruit volgt: t1 = ^ seconde. 6 41 ^4 De duur der beweging is dus t + t1 -f- *" = 5 ^ 49 ~ ® 49 sec. of bijna 9.7 sec. De snelheid v,' waarmede het lichaam het ondereind A van het 4Q 41 hellend vlak bereikt, is v, = vt + jt1 = 4.8 + 9Q5 X 4g = 4.8 + 0-2 5 Meter per seconde. Tot deze waarde van v3 had men ook kunnen geraken op meer directe wijze, d. w. z. zonder de grootte van t en t1 uit te rekenen. Immers de kinetische energie, welke het lichaam bezit, wanneer het van B tot in 1 1 P het midden M van het hellend vlak is gekomen, is _ mv' _ v' 205 S 2 9 8 v3' we"ce ener8'e gel'jk 's aan den arbeid, welke op dat lichaam is uitgeoefend bij het doorloopen van den weg BM. Daar deze arbeid is p X BM P (sin oc — f cos oc)XBM 5Xy X 8.2 heeft men: 2 9°8 V' = 5 X { X 8.2 41 waaruit volgt: v' 205 1.96 of v 1.4 Meter per secunde, welke 9.8 uitkomst reeds hierboven is verkregen. Als het lichaam het punt M bereikt, is zijne kinetische energie ^ mv' en nadat zijne snelheid in M plotseling met 3.4 M. per sec- is vermeerderd, is zijne kinetische energie y m (v + 3.4)." De toename der kinetische energie van het lichaam bij zijne beweging van B naar M is ^ mv3 en die bij de beweging van M naar A is ' mv,5 — ' m(v-|-3.4)' Omdat nu BM = MA is, is de arbeid welke de op het lichaam werkende krachten uitoefenen, bij de beweging van B naar M gelijk aan den arbeid uitgeoefend bij de beweging van M naar A; men heeft dus: y mv' — m (v + 3.4)' = ~ mv' v.' = (v + 3.4)' + v' = (1.4 + 3.4)' + 1.4' = 4.8' + 1.4' = 25 of v, = 5 Meter per secunde. Vanaf het ondereinde A van het hellend vlak beweegt zich het lichaam onder den invloed van de zwaartekracht, terwijl in A zijne snelheid va = 5 M. per sec. de richting BA van het hellend vlak heeft. In A is dus de 40 horizontale ontbondene der snelheid van het lichaam v1, = cos oc 5 X 21 200 = -jr M. per secunde en de verticale ontbondene v,11 v, sin oc = . ^ 9 45 5 X 4i = 4l per sec- De afstand AD van het ondereind A van het hellend vlak tot den horizontalen grond EF is dus gelijk aan: v.»t» + 2 gt"' =jjX3 + 2 X 98 X 3' 33 + 441 = 474 Meter. De afstand DE van het punt E waar het lichaam den grond bereikt, tot het voetpunt I) der loodlijn AD neergelaten uit den voet A van het hellend vlak is: __ , ... 200 . , „ 600 ,,Cw , DE = v,' t11 — - X 3 = .. = 14.6 Meter. 41 41 Van de eindsnelheid vs, waarmede het lichaam den grond in E bereikt' is de horizontale composante v,1 en de verticale composante v," + gt", zoodat men heeft: v* \'/ (v,T + (vi11 + Rt") * — 30.9 Meter per secunde. Men kan ook tot die eindsnelheid v;, geraken door op te merken, dat de toename van de kinetische energie van het lichaam bij het doorloopen van den paraboolboog AE is mv3* — ^ mv,! en de arbeid door de zwaartekracht verricht bij de beweging van het lichaam langs dien boog mg X AD, zoodat: „ 111 Vn3 — ' mv2* mg X AD. waaruit volgt: v:1 — J Vi* -j- 2g X AD — | 5* + 2XMXW = 30.9 Meter per secunde. Het arbeidsvermogen van beweging (de kinetische energie) welke het lichaam aan het eind E zijner baan bezit is m v3'J Xq^ X (30.9)' KGM of, daar 1 KQM 9.8 X '07 Ergs is, gelijk 97775 X 10; Erg. B. 1886. No 1. Een lichaam van 49 K.G. valt uit een punt A, dat 176,4 M. boven den bodem is gelegen. Na 3 seconden laat men op dat lichaam gedurende 2 seconden eene horizontale kracht van 10 K.G. werken. Na hoeveel tijd, met welke snelheid en op welken afstand van de verticaal van A zal het lichaam den bodem bereiken ? g 9,8 M. Uit het punt A (zie figuur), dat op een afstand AG 176.5 Mboven den bodem EF ligt, valt een lichaam, dat 49 K.G. weegt en welks 49 massa is, dus bij ons stelsel van eenheden is: 5. Na 3 sec. is het y.o lichaam aangekomen in het verticaal onder A gelegen punt B en begint op het lichaam te werken eene horizontale kracht van 10 K.G. Deze horizontale kracht deelt het lichaam eene versnelling mede in horizontalen zin, doch oefent op de versnelling in verticalen zin, welke het lichaam tengevolge van de zwaartekracht bezit, geenerlei invloed uit, m.a.w. het lichaam bereikt van uit A den bodem in denzelfden tijd of er al dan niet gedurende zijn val eene horizontale kracht op werkt. Noemen wij die tijd t, dan is dus ~ gt2 AGoft = I 2 X AG „ 1' 2 X 176.4 g 9.8 ~ 6 seconden. Deze tijd van 6 seconden is te verdeelen in drie deelen; in de eerste 3 sec. valt het lichaam verticaal van A naar B, in de volgende twee seconden werkt op het lichaam de horizontale krarht nrnot 10 K G. en beweegt zich het lichaam van B naar C, terwijl gedurende de laatste seconde op het lichaam weder alleen de zwaartekracht werkt en het lichaam zich beweegt van C tot het punt 1) waar het den grond treft. De versnelling in horizontale richting i, welke kracht van 10 K.G. aan het lichaam, welks massa 5 is, mededeelt, is l() — 2 Meter per sec 5 1 De snelheid v van het lichaam in horizontalen zin in het punt C, d. w. z. nadat de horizontale kracht van 10 K.G. gedurende 2 sec. op dat lichaam heeft gewerkt, is 2 X 2 4 Meter per secunde. De snelheid in horizontalen zin in het punt D is dezelfde als die in het punt C en dus 4 M. per sec., omdat gedurende het doorloopen van het deel zijner baan CD op het lichaam alleen de verticaal gerichte zwaartekracht aangrijpt. De snelheid in verticale richting, waarmee liet lichaam in D den grond bereikt, dus 6 sec. nadat het van uit A is losgelaten, is 6 X g 6 X 9 8 Ö8.8 Meter per secunde. De snelheid, waarmee het lichaam in Daankomt isdusT 58.8'J + 4" 58.936 of bijna 59 Meter per secunde. Noemen wij t, de tijd, welke het lichaam noodig heeft, om het deel BC zijner baan te doorloopen (zoodat tt 2 is) en t, de tijd. welke het noodig heeft om het deel CD zijner baan af te leggen (zoodat t3 1 is), dan is de afstand CK = , j X li 9 X 2 X 2' 4 M. en de afstand DL v X I, = 4 X 1 = 4 M. De afstand GD van het punt D, waar het lichaam van grond bereikt tot den voet G van de loodlijn uit A neergelaten, is dus DL + CK 4 + 4 8 M. Opmerking. Eene verificatie van de uitkomst verkregen voor de eindsnelheid in D (welke eindsnelheid wij v1 zullen noemen) is de volgende. De kinetische energie in D is 1 mv1,, die energie is de som van de hoeveelheden arbeid verricht door de zwaartekracht en door de horizontale kracht, welke laatste slechts gewerkt heeft toen het lichaam het deel BC van zijne baan doorliep. De arbeid van de zwaartekracht is het product Werktuigkunde. 7 van het gewicht van het lichaam en den weg AG in de richting van de zwaartekracht; de arbeid van de horizontale kracht van 10 K G. islOXCK = 10 X 4 = 40 K.G. M. Men heeft dus: X mv', = 49 X 176.4 -f 40 = 8683-6 K.G. M. Zoodat daar m — 5. v, = ^7^X^683^6 y 3473 44 — bjjna 59 Meter per seconde is. sz. 1886. No. 2. In een ijzeren cylinder (soortelijk gewicht 7.8) wordt eene kegelvormige holte geboord, zoodanig dat de as des kegels samenvalt met die des cylinders- de straal van het grondvlak de helft is van dien des cylinders en de hoogte eveneens gelijk aan de helft van de hoogte des cylinders. Deze holte wordt gevuld met eene stof, wier soortelijk gewicht 12 is. Indien nu de hoogte van den cylinder 600 m.M. bedraagt, waar ligt dan het zwaartepunt van het nieuwe lichaam? Alvorens tot de eigenlijke oplossing van het vraagstuk over te gaan, zullen wij een formule ontwikkelen, welke ons ook bij de oplossing van analoge vraagstukken van veel gemak kan zijn. Een lichaam, waarvan het volume V is, bestaat uit de samenvoeging van twee homogene lichamen Pt en P2, wier soortelijke gewichten verschillen. Het eene lichaam Pt heeft een volume vt, een soortelijk gewicht St, terwijl de afstand vaa zijn zwaartepunt tot een bepaald vlak AB is ut. Van het tweede lichaam P, zijn de grootheden, welke overeenkomen met v, Si en u, van het lichaam Pi, respectievelijk vx, s3 en us. Men heeft dus V = v, + v,. Het gewicht van het lichaam Pt isg, v, S[ en dat van het lichaam P, is g, = v, s2. Het gewicht van het geheele lichaam is G = gt + gi = Vi s, + v, s, = vt s, + v, s, - Vt s, + v, s, = (v, -f v,) s, + vt (s' — s2) = Vs, + vt (si — s,). Het moment van het geheele lichaam ten opzichte van het vlak AB iS g[ Ui + g» "« = Vi S, U! -f V, S, U, = Vi S, U, + V, S, U, + Vi Si ul — V, S, U! = (v, u, + vs u,) s, -f v, (s, — S,) Ut. Nu is vt U[ v, U| het moment van het volume V ten opzichte van het vlak AB; stellen wij dus door u1 — 1 voor den afstand van het zwaartepunt van het volume V tot het vlak AB, dan is het moment ven het geheele lichaam ten opzichte van AB gelijk Vs, u'+ v, (s, — s.) u, De afstand van het zwaartepunt van het geheele lichaam tot het vlak AB is dus: VS, U. + Vi (s, - s3) u, ° Vs, + v, (s, - s7) Gaan wij nu over tot de oplossing van ons vraagstuk. Noemen wij 1 de straal van den cylinder en [> zijne hoogte (zie fieuur II). Het volume V van het samengestelde lichaam is dat van den cylinder zoodat V = j | r5 h is, terwijl wij weten dat de afstand x' van het zwaartepunt van dat volume V van den cylinder tot het grondvlak AB is ^ h. Het nieuwe lichaam bestaat uit twee deelen: le. den kegel P,, waarvan het volume V| = ^ ' 4 2 ~ 24 ' r' '1' het soortelijk gewicht s1 - 12 is en het zwaartepunt ligt op een afstand ll' 4 X 9 h h uit het grondvlak AB. 2e. het lichaam P,, dat er overblijft, nadat de cylinder is uitgehold, van welk lichaam het soortelijk gewicht S2 7.8 is. Op grond van onze hierboven ontwikkelde formule is de afstand van het zwaartepunt van het samengestelde lichaam, dat uit den aard der zaak in de figuuras van het lichaam moet liggen: Vs. u1 + v, (8, — s,) Uj _ Vs, + v, (s, — s,) Ti r' li X 7.8 X \ h + I r» h x (12 7.8) X J h I r' h X 7 8 + | r' h X (12 — 7.8). 4P 39 + ÏTén 24 X 8 1255 u 4 9 n — h. 78 + of daar h 600 m.M. is, u„ — X 600 — 295 m.M. 2552 1887. No 1. Een zware staaf AB is in een verticaal vlak draaibaar op eene gladde horizontale as, die zich aan het uiteinde A bevindt; aan het uiteinde B is een koord bevestigd, dat, gaande over een gladden pen C, loodrecht boven A, een gewicht P draagt. Welken hoek met de verticaal maakt de staaf in den stand van evenwicht? Het koord BC (zie figuur), dat aan het uiteinde B van de staaf AB is bevestigd, is in het punt C dat loodrecht boven het uiteinde A der staaf ligt, om een gladde pen geslagen en draagt een gewicht P. De spanning in dat koord is dus P. Noemen wij oc de hoek BAC, welken de staaf AB in den evenwichtsstand met de verticaal AC maakt. In dezen stand grijpen op de staaf drie krachten aan: le. eene kracht, gelijk aan haar gewicht Q verticaal naar beneden gericht, welke — omdat de staaf homogeen en overal even dik is — in het midden D der staaf aangrijpt, zoodat men heeft AD = DB = ~ AB - a. 2e. de spanning P van het koord BC aangrijpende in.B en gericht van B naar C. en 3e de reactie van de gladde horizontale as op de staaf. In den evenwichtstoestand moet de algebraïsche som der momenten van deze drie krachten, wier richtingen in een zelfde vlak liggen, ten opzichte van een willekeurig punt van dit vlak gelijk nul zijn. Zij AK de loodlijn uit A op BC neergelaten en nemen wij de momenten ten opzichte van het punt A, dan komen wij tot de betrekking: G X AE - P X AK = 0 (1) Nu is AE = AD cos |_ DAE = ^ AB sin I— ^AC = a sin oc en AK = AC sin [_ ACK = b sin [_ ACK. De sinus van h«ek ACK kunnen wij gemakkelijk in de grootheden AB — 2a1, AC = b en hoek BAC = oc uitdrukken. Immers: BC = l AB' + AC3 — 2 AB X AC sin |_ BAC — \' 4 a' + b' - 4 ab cos oc en BC = AB = sin |_ BAC, waaruit volgt: A B 2a -a sin L ACB = BC sin L BAC = gc sin oc = j ^ ^ + ^ _ 4 ab cos 2 ab sin oc zoodat AK = b sin ACB — ■ ,.= . . sin cc. V 4 a' + b1 — 4 ab cos oc Door de voor AE en AK gevonden waarden in de betrekking (I) te substitueeren, krijgt men: 2 ab G X a sin oc — P X i / . . sin oc — o \' 4 a' + b" — 4 ab cos oc / 2 ö i of < G — P . / i a sin oc - o. / | 4 a1 + b! - 4 ab cos ot ) Aan deze vergelijking wordt voldaan, wanneer oc een waarde heeft zoodanig dat sin oc o is, d. w- z. wanneer oc o of 180° is, welke resultaat a priori duidelijk is. Ook wordt aan onze laatst verkregen vergelijking voldaan, wanneer . 2 b oc zoodanige waarde heeft, dat: ü = P > . . 6 | 4 a' + b2 — 4 ab cos oc « G' 4 b2 . „ _ a b / P2\ 0 P! 4 a' + b' — 4 ab cos oc 0 cos b 4 a \ O*/ Deze laatste betrekking geeft alleen dan eene reëele waarde van oc wanneer de grootheden P, G, a en b aan de voorwaarde voldoen, dat de 3 Ö / P'A functie . + — (1 — 4 „J = cos oc grooter is dan — 1 en kleiner b 4 a V uv dan + 1 is, waaruit men vindt, dat het gewicht P moet zijn grooter dan 2a— b „ 2 a + b „ G en kleiner dan . G. b b Om tot de hierboven verkregen uitkomsten te geraken kan men ook als volgt redeneeren: Zooals gemakkelijk is in te zien is de staaf in evenwicht wanneer zij verticaal naar boven of verticaal naar beneden gericht is, of m. a. w. als oc o of oc 180» is. Onderstel nu dat nog bij een anderen stand der staaf er evenwicht mogelijk is (fig 2). In dit geval maken de drie krachten welke op de staaf werken n. I. haar gewicht G, de kracht P in B en de reactie in A van de as op de staaf een stelsel van in evenwicht zijnde krachten uit. De richtingen der beide krachten P en G snijden elkaar in het punt L. de resultante dier beide krachten moet gelijk zijn in grootte en tegengesteld in richting met de derde kracht, d. w. z. met de reactie in A van de as op de staaf. Het punt A moet dus liggen in de richting der resultante van P en G. Daar LE evenwijdig loopt aan CA is LPR gelijkvormig met LCA, dus heeft men: G : P = CA : L.C. Nu is LC = ^ CB = - | 4 a' + b2 — 4 a b cos oc, zoodat G : P = \ I 4 a» + b' - 4 ab cos oc 0f p, = 4 a, + b,^4abc0s oc dus cos oc = £ + ^ (l - 4 g) HV. 1887. No. 2. Tegen een hellend vlak wordt een lichaam, waarvan het gewicht G is, opgetrokken door een gewicht 2 G, dat verticaal daalt. Nadat beide een weg C doorloopen hebben, breekt het koord. Zoo nu na dien tijd het lichaam op het hellend vlak nog een weg C aflegt eer het begint te dalen, hoe groot is dan de helling van het vlak. N.B. De wrijving te verwaarloozen. Wij stellen ons den toestand aldus voor. Oorspronkelijk wordt het lichaam A (zie figuur), waarvan het grwicht gelijk G is, in rust gehouden op eenig punt van het hellend vlak, welke hellingshoek wij door oc zullen aangeven. Aan dit lichaam A is een koord verbonden, dat over den top van het hellend vlak is geslagen en van daar verticaal naar beneden hangt. Dit naar beneden hangend eind van het koord wordt plotseling belast met een lichaam B. welks gewicht gelijk 2 G is, en dat verticaal kan dalen. Door dit aanhangen van het lichaam B aan het vrije eind van het koord wordt het lichaam A tegen het hellend vlak opgetrokken. Nadat beide lichamen een weg C hebben doorloopen, breekt plotseling het koord. Het lichaam A heeft op het oogenblik dat het koord breekt, een zekere snelheid, welke oorzaak is, dat het niet onmiddellijk gaat dalen, zooals het geval zou zijn wanneer het zonder bovenwaarts gerichte snelheid op het hellend vlak werd losgelaten, doch dat het na het breken van het koord nog een weg C op het hellend vlak aflegt vóór dat zijne daling begint. Gaan wij eerst na de beweging der lichamen A en B vanaf het oogenblik dat het lichaam B aan het koord is gehangen tot dat, waarop het koord breekt en noemen wij gedurende dat deel der beweging de spanning van het koord S. Zooals gemakkelijk is in te zien, hebben op elk tijdstip dezer periode beide lichamen eene gelijke snelheid. Bij het breken van het koord is dus de kinetische energie van het lichaam A, omdat de massa van B twee maal die van A is en hunne snelheden dezelfde zijn. Van beide lichamen is de kinetische energie bij het breken van het koord gelijk aan den arbeid, welken is verricht door de krachten, welke gedurende de periode der beweging, die wij thans op het oog 'hebben, op die lichamen hebben gewerkt. Daar beide lichamen denzelfden weg in denzelfden tijd doorloopen, verhouden zich die hoeveelheden arbeid als de projecties 2 G — S en S — G sin oc op de doorloopen wegen van de op de lichamen aangrijpende krachten. Men heeft dus: 2 G — S = 2 (S — G sin oc) ol S = — (l -j- sin oc) G. Men kan tot die uitkomst ook door de volgende redeneering geraken. Omdat de versnellingen van beide lichamen A en B dezelfde zijn, verhouden zich de krachten, welke de beweging veroorzaken, als de massa's of als de gewichten. Daar die krachten zijn 2 G — S en S — G sin oc, . , . . 2 G — S 2 G komt men weer tot: s~—. — — —2. S — G sin oc g 2 Uit de uitkomst S = - (1 + sin oc) G ziet men, wat è priori duidelijk was, dat de grootte van S ligt tusschen G sin oc en 2 G in Gaan wij nu over tot de tweede periode der beweging van het lichaam A, dat voor de beweging vanaf het breken van het koord tot het oogenblik, dat de bovenwaarts gerichte snelheid van het lichaam A en dus zijne kinetische energie nul geworden is. Bij het breken van het koord is de kinetische energie van het lichaam A gelijk aan den arbeid welke de op dat lichaam aangrijpende krachten gedurende de eerste periode hebben verricht, dus gelijk (S — G sin oc) C = | (I + sin oc) G — G sin oc | C = ^ (2 — sin oc) G C. Deze energie doet het lichaam A in de tweede periode nog een weg C doorloopen. |n die tweede periode werkt op A slechts zijn gewicht G, welke in dien tijd een arbeid verricht gelijk aan G sin oc X C. Men heeft dus: GC sin oc = -i- (2 — sin oc) GC. 3 sin oc = 2 — sin oc 1 sin oc = — of oc 30». HV. 1888. No. 1. Twee hellende vlakken staan met de hoogte tegen elkander, de helling van het eene is 10°, die van het andere 6°. Op het eerste ligt een last van 500 kilo; hoe groot is de last die op het andere hellend vlak moet liggen, opdat er evenwicht zij, als de beide lasten verbonden zijn dooreen volkomen buigzaam touw, die over een katrol loopt, op het hoogste punt der helling geplaatst. De wrijvingscoëfficient op de hellingen is Vi»o. de wrijving der katrol op hare as wordt verwaarloosd. Noemen wij oc en B de hellingshoeken van twee hellende vlakken, die mei de hoogte tegen elkaar staan (zie figuur). Op het hellend vlak,' waarvan de hellingshoek oc is, ligt een last P en op het andere een last, Q, welke beide lasten verbonden zijn door een volkomen buigzaam touw', dat over een katrol loopt, dat op het hoogste punt der helling geplaatst is, terwijl de last Q eene zoodanige grootte heeft, dat hij met den last P evenwicht maakt. De wrijvingscoëfficiënt op de hellingen is f, terwijl de wrijving van de katrol op hare as verwaarloosd wordt. Is er evenwicht doch is de last P op het punt van naar beneden te glijden, dan is de spanning in het touw; S, P sin oc fP cos oc Qi s'n B 4" f Qi c°s B, omdat in dit geval de wrijvingsweerstand eene benedenwaarts gerichte beweging van den last P en eene bovenwaarts gerichte beweging van Q tracht te verhinderen. Men heeft dus: Q, sin oc - f cos oc sin B + f cos B Is er evenwicht doch is de last P op het punt door den last Q tegen het hellend vlak te worden opgetrokken, dan is de spanning in het touw: S, P sin oc -(- fP cos oc Q, sin B — fQ, cos B omdat in dit geval de wrijvingsweerstand een bovenwaarts gerichte beweging van den last P en eene benedenwaarts gerichte beweging van Q tegengaat. Men heeft dus: sin oc -f f cos oc 1 sin B — f cos B Dr bestaat dus evenwicht, wanneer de grootte van den last Q tot grenswaarden heeft: sin oc — f cos oc I sin B -f f cos B ' " sin oc + f cos oc !sin B - f cos B ' Met de numerieke gegevens van ons vraagstuk is oc 10°, B 6° ' 2ÖÖ Cn ^ 500 KG. In een tafel der natuurlijke trigonometrische getallen vindt men: sin oc sin 10o 0.17365, cos oc cos 10° 0 98481, zoodat f cos oc cos 10» 0.00492, verder sin B sin 6° 0.10453, cos B cos 6° 0.99452, zoodat f cos B — cos 6° = 0.00497. Men heeft dus: _ sin oc - f cos a p _ 0.16873 Ql "" sin B + f sin B 0.10950 X „ n _ sin oc + f cos oc _ 0.17857 w _ en Ql - sin B -f «iiiB P ~ 009956 X 500 ~ ' Zoolang dus Q niet kleiner is dan 770 K.G. en niet grooter dan 897 K.G. maakt ae iast Q evenwicht met den last P. KL. en Wr. 1888. No. 2. Een homogene over zijne geheele lengte even dikke balk rust niet het eene eind op een horizontaal vlak, met het andere eind tegen een hellend vlak, dat met het horizontale een hoek van 60° maakt. Men vraagt den kleinsten hoek te vinden, dien de balk met het horizontale vlak maken kan, om in evenwicht te zijn. Op het hellend vlak is geen wrijving; de wrijvingscoëfficient op het horizontale vlak is '/» ' 3. Noemen wij oc den kleinsten hoek, dien de balk AB (zie figuur) met het horizontale vlak maken kan, zonder dat het evenwicht verstoord is. Bij dien stand van den balk zij de reactie van het hellend vlak tegen het eind B van den balk R en de verticale reactie van het horizontale vlak tegen het eind A van den balk R'. De wrijvingsweerstand, welken dit eind A van den balk ondervindt, is dan, omdat de balk op het punt staat uit te glijden, gelijk fR1, wanneer wij door f den wrijvingscoëfficient voorstellen. In den door ons beschouwden evenwichtstoestand, werken op den balk de volgende vier krachten: le. zijn gewicht, dat wij door G zullen voorstellen, aangrijpende in het zwaartepuni M van den balk, welk punt, omdat de balk homogeen en over zijn geheele lengte even, dit is, in het midden zijner lengte ligt, zoodat, wanneer wij de lengte van den balk _> noemen, MA — MB = ^ is. 2e. de reactie R van het hellend vlak, aangrijpende in B en gericht loodrecht op het hellend vlak van B naar E. 3e. de reactie R' van het horizontale vlak, aangrijpende in A en verticaal opwaarts gericht en 4e. de wrijvingsweerstand fR1, aangrijpende in A en werkende in de richting van A naar C, d. w. z. tegengesteld aan de richting waarin het uiteinde A zou kunnen uitglijden. Omdat er evenwicht bestaat, moet zoowel de algebraïsche som der projecties van die vier krachten op eene willekeurige lijn, als de algebraïsche som van hare momenten ten opzichte van een willekeurig punt gelijk nul zijn. Door de krachten te projecteeren op eene verticale en op eene horizontale lijn en de algebraïsche som dier projecties gelijk nul te stellen, komt men respectievelijk tot de betrekkingen: l G — R' — R cos 60° = 0 ( fR' — R sin 60° = 0 In aanmerking nemende dat f = V3 is, vindt men uit deze twee betrekkingen door eliminatie van R1, Rc ^ O- De algebraïsche som van de momenten der vier krachten ten opzichte van het punt A gelijk nul stellende, komt men, wanneer AE de loodlijn is uit A op de richting van R neergelaten, zoodat AE evenwijdig met CB loopt, tot de betrekking: G X AD - R X AE = 0. Hierin R = ^ G, AD = AM cos |_ MAD = ^ 1 cos oc en AE = AB cos |_ BAE = I cos (60° — >0) substitueerende, verkrijgt men: G X j ' cos 01 = \ G X I cos (6O0 — oc) of cos oc = cos (60° — oc) = cos 60° cos oc + sin 60° sin oc = 2 cos oc + 2' sin ^ dus cos oc = [/ 3 sin oc en tang oc = |"l^3 Zoodat: oc = bg tang (j J/ 3 ) of gelijk 30° is. z. 1889. No. 1. Een halven bol van marmer is tegen het grondvlak van een houten kegel zoodanig bevestigd, dat het middelpunt van den bol en het middelpunt van het grondvlak des kegels samenvallen, terwijl de straal van den bol en van het grondvlak des kegels gelijk zijn. Het specifiek gewicht van marmer is 2.5 en van dit hout */,. Hoe groot moet de hoogte des kegels zijn opdat het zwaartepunt van het geheele lichaam in het gemeenschappelijk cirkelvlak valle? De straal van den bol wordt als gegeven beschouwd. Daar dit vraagstuk eene groote overeenkomst heeft met Vraagstuk 1870 No. 1 is eene uitvoerige behandelingervan overbodig. Noemen wij de gemeenschappelijken straal van den bol en het grondvlak van den kegel r en de hoogte van den kegel 11 (zie figuur. Het volume van den kegel is ^ I l"lh en zijn gewicht Q, is, omdat het specifiek gewicht van den kegel */, is, gelijk '/< X 3 I r2h = \ I r'h. 2 Het volume van den halven bol is ~ 11 r' en zijn gewicht G, is, omdat het specifiek gewicht van den halven bol 2is, gelijk 22 X 3 I r' = 3 I r'. Vanaf het scheidingsvlak van kegel en halven bol ligt het zwaartepunt van den kegel op een afstand AS! = ' h en het zwaartepunt van 3 den halven bol op een afstand ASi = ^ r. Het zwaartepunt van het geheele lichaam zal dus in het scheidingsvlak van de beide samenstellende deelen (kegel en hal ven bol) vallen, als: O, X AS, =G,X ASa o» j Tl r» h X | h = | Tl r3 X g r. d. w. z. als h = r ly 10 is. HZ. V. en Bt. 1889. No. 2. Uit het hoogste punt van een hellend vlak, waarvan de hellingshoek 45" is, wordt in horizontale richting in een verticaal vlak, dat loodrecht op het hellend vlak staat, een stoffelijk punt voortgeworpen met een aanvangssnelheid van 10 M. per sec. Het punt en het vlak worden als volkomen veerkrachtig bij botsing aangemerkt. Als de tweede botsing van het punt op het vlak plaats heeft in het laagste punt van het vlak, vraagt men, hoe lang het vlak is. Men stelle g gelijk 10 M. per sec. Uit het hoogste punt A (zie figuur) van het hellend vlak AC, dat een hoek van 45° maakt met het horizontale vlak CD, wordt in horizontale richting ih een vlak dat loodrecht op het hellend vlak AC staat, een stoffelijk pnnt voortgeworpen met eene aanvangssnelheid v = 10 M. per seconde. Dit stoffelijk punt doorloopt een paraboolboog AB en treft het hellend vlak in het punt B. Stel den tijd, welken het stoffelijk punt noodig heeft om den boog AB te doorloopen gelijk t seconden. Daar ACD = 45° is, is AE = EB en heeft het stoffelijk punt dus in verticale richting denzelfden afstand afgelegd als in horizontale richting, zoodat ' gt2 = vt of t = 2V is. g Daar gegeven is dat v = 10 M. per secunde en g = 10 M. per secunde is, is dus t = 2 per secunde. Bij aankomst in het punt B is de horizontale composante van de snelheid van het stoffelijk punt dezelfde als zijne horizontale gerichte aanvangssnelheid in A, d. w. z. v = 10 M. per secunde, terwijl haar verticale composante is v, = gt = 10 X 2 = 20 Meter per secunde. In B heeft eene scheeve, volkomen veerkrachtige botsing plaats tusschen het stoffelijk punt en het hellend vlak. De grootte der snelheid van het stoffelijk punt onmiddellijk vóór de botsing is dus dezelfde als die onmiddellijk na de botsing, terwijl de hoeken van inval en uitval aan elkaar gelijk zijn. Stelt FB in richting en grootte de snelheid van het stoffelijke punt voor onmiddellijk vóór de botsing en BH zijne snelheid onmiddellijk na de botsing en zij BN de loodlijn in B op het hellend vlak opgericht, dan moet men hebben: FB = BH en | FBN = | NBH of| FBA — | HBC. Door bij elk der leden dozer laatste gelijkheid respectievelijk op te tellen de gelijke hoeken ABG en CBI, die ieder 45° zijn, vindt men [_ FBO = |_ HBI. De rechthoekige driehoeken FBü en HBI zijn dus gelijk en gelijkvormig, zoodat BI = GB — v = 10 Meter per secunde en BL = FG = v, = 20 Meter per secunde is. Onmiddellijk na de botsing is dus de horizontale composante van de snelheid van het stoffelijk punt v, = 20 Meter per secunde en hare verticale composante v = 10 Meter per secunde. Na de botsing doorloopt het stoffelijk punt den paraboolboog BC en treft het hellend vlak voor de tweede maal in het punt C, dat het laagste punt van dit vlak is. Noemen wij ti den tijd, welken het stoffelijk punt noodig heeft om den paraboolboog BC te doorloopen. Daar de hellingshoek 45° is, is ook 1111 weder de afstand BK in verticale richting doorloopen gelijk aan den afstand KC in horizontale richting afgelegd, dus: vtt + ' gtis — v, t, v + 2 gti = v, t, = 2 V' " V of, daar Vi = 20, v = 10 en g = 10 is „ 20 - 10 „ . t, = 2 jq = 2 seconden. De basis van het hellend vlak DC is gelijk EB + KC en dus gelijk vt + v, tt = 10 X 2 + 20 X 2 = 60 M., zoodat de lengte van het hellend vlak AC — DC 1/ 2 - 60 1/ 2 Meter is. 1890. No. I. Een homogene staaf is rechthoekig omgebogen en daarna aan een der uiteinden opgehangen. Lengte der beenen: a en b. Men vraagt in den stand van evenwicht de helling van een der beenen met de verticaal te berekenen. De rechthoekig omgebogen staaf ABC (zie figuur) waarvan de beenen — a en BC — b zijn, is opgehangen aan het uiteinde A van het been wi] onderstellen dat de doorsnede dezer homogene staaf overal dezelfde is en dat de afmetingen dier dwarsdoorsnede zoo gering zijn ten opzichte van de lengte van elk der beide beenen, dat die staaf geassimileerd kan worden aan eene lijn zonder dikte. In den evenwichtstoestand moet het zwaartepunt der omgebogen staaf ABC liggen in de verticaal uit het ophangpunt A neergelaten. Noem bij dezen stand der staaf x den hoek BAC, welken het been AB der staaf maakt met de uit A neergelaten verticaal AE. De gewichten der beenen AB en BC zijn evenredig aan hunne lengten a en b en de zwaartepunten G' en G" der beenen AB en BC liggen in het midden dier beenen, zoodat G'A = G B 2 a en G 'B — G"C -yb is. Het zwaartepunt der omgebogen staaf moet liggen in de lijn CG" en in den evenwichtstand tevens in de verticaal AE. In dien stand nioet dus het snijpunt D van G'G" en AE het zwaartepunt der omgebogen staaf zijn. Omdat dus D zich bevindt in de richting der resultante van de gewichten der beenen AB en BC heelt men: Gewicht been AB a G"D G"E Gewicht been BC — b — G'D — G'F Nu is G"E = C"H — HE — G'H - BK - G"B cos |_ BG" H - AB sin L BAK = - b cos u — a sin u, terwijl G'F = AG' sin |_ G'A F - - a sin u is. Men heeft dus: 2 1 . ~2 b cos u — a sin u b ~ 1 2 a sin u a'1 sin u bs cos u — 2 ab sin u 4- 2 ab) sin u — b2 cos u b' of tang u = a3 + 2 ab Tot dit resultaat kunnen wij ook geraken door de volgende redeneering. Onderstellen wij dat de rechthoekig omgebogen staaf ABC, welke draaibaar is om het vaste punt A een geheel willekeurigen stand inneemt. Noemen wij den hoek welken bij bij dien stand der staaf het been AB met de uit A neergelaten verticaal maakt ƒ, dan wordt zooals gemakkelijk is in te zien, de afstand van het zwaartepunt der staaf tot een horizontaal vlak, dat door het draaipunt A gaat. uitgedrukt door: a X FA + b X EA _ I1' CM f + M» CO» ƒ j b sil /) a + b a + b b2 . , (a' + 2 ab) cos ƒ + b! sin ƒ cos ƒ + a> + 2 ab Sm 1 2 (a + b) 2 a -f b a' -f 2ab In den evenwichtsstand van dc staaf zal haar zwaartepunt den laagst mogelijken stand innemen (vergelijk Vraagstuk 1881 No. 1) of m. a. w. zal de gevonden afstand van het zwaartepunt der staaf tot het horizontale vlak dat door A gaat, zoo groot mogelijk zijn. In dien evenwichtsstand zal dus de waarde van ƒ zoodanig zijn, dat de uitdrukking cos ƒ + a.r+b22 ab sin ƒ 2 a + b a' + 2 ab zoo groot mogelijk is. Daar de noemer ^ s'n -f onafhankelijk is van ƒ, zal dus cos fX 0 sin ƒ zoo groot mogelijk moeten zijn. Stel 3 -p J3D 52 nu de constante grootheid -z- , „ gelijk aan tang x, dan is cos ƒ + b3 a> . 2 ab sin / = cos ƒ + tang u sin ƒ = cos ƒ cos u + sin f sin u cos (tl — f) cos u cos u Deze uitdrukking wordt daar cos u constant is — zoo groot mogelijk als f — u is, omdat dan cos (u 1 is- In den evenwichtstoe¬ stand der staaf is dus: tang ƒ = tang u = a> +b'2ab 1890. No. 2. Een lichaam valt vrij van eene hoogte van 142 M. Nadat het 25 M. heeft afgelegd, werpt men van dezelfde hoogte een tweede lichaam verticaal naar beneden- Welke aanvangssnelheid moet aan dat lichaam gegeven worden, opdat beide lichamen gelijktijdig den grond bereiken? Stellen wij de versnelling van de zwaartekracht g = 10 M. per secunde. Noemen wij 't den tijd, waarin het eerste lichaam van af het punt, waar het werd losgelaten, 25 M. gedaald is en t, den tijd, waarin dat lichaam den grond bereikt, d. vv. z. waarin het vanaf het punt, waar het werd losgelaten 142 M. is gedaald. Men heeft dan: 2 gt,a = 25 en ^ gV = 142 dus t, = J/ 2 X 25 = }/ 5 secunden en t1 - (/ 2 X 142 = J/ 28.4 sec. g g Het tweede lichaam moet door zijne aanvangssnelheid, welke wij v zulien noemen, en onder de werking der zwaartekracht in den tijd ta = t, — ti = 1/28.4 — | 5 = 3.093 secunden, een afstand van 142 M. dalen. Men heeft dus de betrekking: vt, X 2 g**5 ;= 142- waaruit volgt: 142 — gt,J _ 2 142 5 X 3.0932 v = -j = 3u(i3 ~ 30.44 M. per seconde. li. 1891. No. 1. Een stuk marmer heeft de gedaante van een afgeknot prisma. De zijden van het driehoekig grondvlak zijn AH = BC = 13 d.M. en AC — 10 d.M. De opstaande ribben, die loodrecht staan op het grondvlak ABC, zijn AD = CF = 2 d.M. en BE = 5 d.M. Als dit lichaam in de drie hoekpunten zoo ondersteund wordt, dat het vlak ABC horizontaal ligt, hoe groot zijn dan de drukkingen in de steunpunten? Soortelijk gewicht marmer = 2,8. Het stuk marmer heeft den vorm van een afgeknot prisma ABCDEF. (Zie figuur), waarvan het grondvlak ABC een gelijkbeenige driehoek is van welken driehoek de onderling gelijke zijden AB en BC ieder 13 d.M. en de derde zijde AC = '0 d.M. is. Van de opstaande ribben AD, BE en CF van het prisma, die loodrecht staan op het grondvlak ABC, zijn AD en CF aan elkaar gelijk en wel ieder 2 d.M., terwijl de ribbe BE = 5 d.M. is. Brengen wij door de ribbe DF van het afgeknotte prisma een vlak DFG evenwijdig aan het grondvlak ABC, zoodat BQ = Aü = CF = 2dM. en EG = EB — BG = 5—2 = 3 d.M. is, dan verdeelen wij zoodoende het geheele lichaam in twee deelen, nl. het prisma ABCDGF en de pyramide DGFE. Het volume van elk dier deelen is gemakkelijk te berekenen. Immers zij I het midden van AC, zoodat IA = IC = 5 d.M. is, dan is BI = l 'AB' - Al2 = 1/Ï3' - 5" - 12 d.M. Het oppervlak van het grondvlak ABC is dus J AC X BI = ' X 10 X 12 = 60 dM3. Wij vinden dus dat: Inh. prisma ABCDGF = Oppervl. /\ ABC X AD = 60 X 2 = 120 d.M» en Inh. pyramide DGFE - Oppervl. ABC X ^ GE = 60 X ^ X 3 = 60 d.M:', zoodat de inhoud van het afgeknotte prisma ABCDEF = 120 + 60 = 180 d.M" en zijn gewicht 180 X 2,8 = 504 KG. is. Brengen wij ook een vlak door de opstaande ribbe BE in het midden I van de ribbe AC van het grondvlak ABC, dan zijn ten opzichte van dit vlak IBE het prisma ABCDGF, de pyramide DGFE en het afgeknotte prisma ABCDEF alle drie symetrisch. Het zwaartepunt van elk dezer drie lichamen moet dus in dat vlak IBE liggen. Het zwaartepunt S. van het prisma ABCDGF ligt op een afstand 2 2 S, M = g BI = -g X 12 = 8 d.M. van de ribbe BE verwijderd, terwijl wanneer L het zwaartepunt van den driehoek DGF is en dus GL = ^ 2 2 GM = ^ BI = ~ X '2 = 8 d.M. is, de afstand S2 N van het zwaartepunt S„ der pyramide DGFE tot de lijn BE = ^ X GL = ^ X S = 6 d.M. is. De afstand van het zwaartepunt van het afgeknotte prisma ABCDEF tot de lijn BE is dus 120 X 8 + 60 X 6 ,1 180 = 7 3 d M' Ontbinden wij het gewicht van het afgeknotte marmeren prisma d. i. de verticaal benedenwaarts gerichte kracht van 504 KG. in twee eveneens verticaal gerichte krachten, wier richtingen gaan door de punten 504 X 7 ' B en I, dan ziet men dat de kracht in I gelijk is aan ——- = 308 KG. en die in B = 504 — 308 - 196 KG. De kracht in I is, omdat IA = IC is. te ontbinden in twee gelijke verticale krachten, wier richtingen door de punten A en C gaan en die elk gelijk zijn aan ' X 308 = 154 KG. De drukkingen in A en C zijn dus ieder 154 KG en die in B is 196 KG. Werktuigkunde. 8 K.1) en Bt. 1891. No. 2. Een volkomen veerkrachtig lichaam wordt uit een punt, dat 20 M. boven een horizontaal vlak gelegen is, in horizontale richting voortgeworpen met eene snelheid van 50 M. Waar, wanneer en onder welken hoek komt het den tweeden keer op het horizontale vlak? g = 10 M. Uit het punt A (zie figuur) dat op een afstand AB = 20 M. boven het horizontale vlak CE ligt, wordt een volkomen veerkrachtig lichaam in horizontale richting met eene snelheid Vi = 50 Meter per seconde voortgeworpen. Noemen wij 1 den tijd, welke verloopt tusschen het oogenblik, waarop het lichaam uit A wordt voortgeworpen tot dat, waarop het voor de eerste maal het horizontale vlak BE in het punt C. treft. Men heeft dan de betrekking: AB — 20 M. ' gt', zoodat t = 1/2 X 20 2 seconden is. 2 s 10 De afstand BC is dan v,t = 50 X 2 = 100 Meter. De horizontale composante der snelheid, waarmede het lichaam in het punt C aankomt, is v, — 50 Meter per seconde en de verticale composante dier snelheid is Vi ■= gt = 10 X 2 = 20 Meter per seconde. De hoek oc, waaronder het lichaam het horizontale vlak BE in C treft, is zoodanig dat tang °c ^ 0.4, zoodat oc 21° 48' is. Daar in het punt C zich een verschijnsel van scheeve, volkomen veerkrachtige botsing voordoet, is de horizontale composante van de snelheid van het lichaam onmiddellijk vóór en onmiddellijk na de botsing in grootte en in richting dezelfde, terwijl de verticale composante dier snelheid onmiddellijk vóór en onmiddellijk na de botsing dezelfde grootte doch tegengestelde richting heeft. Onmiddellijk na de botsing is dus de van C naar E gerichte horizontale composante der snelheid van het lichaam Vi = 50 Meter per seconde en de verticale opwaarts gerichte composante dier snelheid Vj = 20 Meter per seconde. Van uit het punt C doorloopt het lichaam een tweeden paraboolboog CFE. Noemen wij t.. den tijd, welken het lichaam noodig heeft om van uit C het hoogste punt F van dien boog CFE te bereiken, dan is v, — gt, — 0 of t, = = jq — 2 sec., dus t, t. Verder is CD = v"i11 = 50 X 2 = 100 M. en FD = v, t, - ~ gt,' = 20 X 2 - ^ X 10 X 25 = 20 Meter. In het punt F zijner baan bevindt zich het lichaam op dezelfde hoogte van 20 Meter boven het horizontale vlak BE als in het punt A, waaruit het oorspronkelijk is voortgeworpen en heeft het ook dezelfde snelheid als in het punt A nl. een horizontaal gerichte snelheid gelijk aan 50 Meter per seconde. De paraboolboog FE is dus dezelfde en wordt onder geheel dezelfde omstandigheden doorloopen als de boog AC, zoodat de grootte en de richting en de richting der snelheid, waarmede het lichaam in E voor de tweede maal het horizontale vlak BE treft, dezelfde zijn als die, waarmede het lichaam voor de eerste maal in C dat vlak heeft getroffen. De afstand BE van het voetpunt B der loodlijn AB uit het beginpunt A der beweging op het horizontale vlak BE neergelaten, tot het punt E, waar het lichaam voor de tweede maal het horizontale vlak BE treft, is dus 3 X BC 3 X 100 = 300 Meter. De tijd, waarin het lichaam van A tot E komt is 3 t 3X2 = 6 secunden en de hoek, waaronder het lichaam in E het horizontale vlak treft is dezelfde als die, waaronder het voor de eerste maal in C tegen dat vlak botst, nl. 21" 48'. K.. 1892. No. l. Eene homogene staaf lang 6 dM. rust met het onderuiteinde op een horizontaal vlak en wordt op 1van hare lengte, van het bovenuiteinde gerekend, gesteund door eene horizontale pen. Hoe hoog moet deze pen boven het horizontale vlak liggen, opdat de staaf op het punt zij van uit te glijden? De wrijvingscoëfficient is, voor beide puuten, waar de staaf steun vindt, ƒ = 0.2. De staaf AB (zie figuur) welker lengte 6 d.M. is, steunt met haar ondereinde A op een horizontaal vlak FO en is in het punt C, dat zich op een derde van de lengte der staaf van haar uiteinde B bevindt (zoodat dus BC = AB is) ondersteund door eene horizontale pen. Wanneer de staaf in evenwicht is, doch op het punt staat van uit te glijden, werken op de staaf de volgende vijf krachten: le haar gewicht G aangrijpende in haar zwaartepunt D, welk punt, aangezien de staaf homogeen en overal even dik wordt verondersteld, in het midden van de lengte der staaf ligt, 2e de normale reactie N van het horizontale vlak FO tegen het ondereinde A der staaf 3e den wrijvingsweersfand welken het ondereinde A der staaf van het horizontale steunvlak ondervindt, welke weerstand gelijk fN = ' N en gericht is van A naar O, 4e de normale reactie R van de pen, aangrijpende in C en loodrecht op AB gericht en 3e de wrijvingsweerstand fR = ^ R, gericht van C naar B, welke de staaf van de pen ondervindt. Noemen wij oc den hoek dien de staaf in den bovenbedoelden evenwichtsstand met de verticaal maakt, dan komen wij door uit te drukken dat de algebraïsche som der projecties der vijf krachten, welke op de staaf werken, zoowel op eene horizontale als eene verticale lijn gelijk nul zijn, tot deze twee betrekkingen: ^ N + i- R sin oc _ R cos oc = o (1) N + R sin oc -(- - R cos oc — G = 0 (2) Uit de betrekking (1) volgt: N + R sin oc — 5 R cos oc — G = 0. zoodat in verband met (2), men heeft: 5 j R cos oc ^ G. (3) Door uit te drukken, dat de algebraïsche som van de momenten der vijf krachten ten opzichte van het punt A gelijk nul moet zijn, komt men tot de betrekking: 1 O ^ G X 2 AB sin oc — R X 3 AB = o of R = - G sin oc (4) Door combinatie der betrekkingen (3) en (4) krijgt men: -1 4 0_ COS oc = - . o 3 sin oc 20 of 2 sin oc cos oc = sin 2 oc = - 39 Uit sin 2 oc = ^ volgt, daar oc kleiner dan 90° moet zijn: 2 oc = 30° 51' 6", 8 of 2 oc - 180° — 30° 51' 6", 8 dus oc — 15° 25' 33", 4, of oc = 90° — 15° 25' 33", 4. De hoogte CE van de pen boven het horizontale vlak FO, waarbij de staaf in evenwicht is, doch op het punt is uit te glijden is AC cos oc = 2 2 3 cos oc — 3 X 6 X cos oc — 4 cos oc d.M. Die hoogte is dus; 4 cos 15° 25' 33", 4 = 3.856 d.M. of 4 cos (90° - 15° 25' 33", 4) = 4 sin 15° 25' 33", 4 = 1.064 d.M. Z. en JS-. 1892. No. 2. Een ijzeren afgeknotte piramide, waarvan grond- en bovenvlak vierkanten zijn, staat op een horizontaal vlak. Hoeveel arbeid is er noodig, om haar om eene der ribben van het grondvlak zóó ver te kantelen, dat zij juist in onstandvastig evenwicht komt? Gaan wij eerst na het gewicht en de ligging van het zwaartepunt van het bedoelde lichaam. Van de afgeknotte pyramide ABCD A'B'C'D' (zie figuur) zijn het grondvlak ABCD en het bovenvlak A'B'C'D' vierkanten. Zij S de top van de pyramide, waaruit de afgeknotte pyramide is gevormd, en zij SE de loodlijn uit den top S op grond- en bovenvlak neergelaten, welke loodlijn het grondvlak in E en het bovenvlak in E' snijdt. Noemen wij de zijde van het grondvlak •», de zijde van het bovenvlak b, de hoogte EE' van de afgeknotte pyramide 11 en het soortelijk gewicht van het ijzer, waaruit de afgeknotte pyramide vervaardigd is S. Omdat: SE: SE' = AB: A'B' is: SE — SE': AB — A'B' = SE:AB = AE'; A'B' of h: a — b = SE: a = SE': b, zoodat SE = =- h en a — b SE' = — -r h. a — b De inhoud van de pyramide SABCD is gelijk aan het oppervlak van het vierkant ABCD X g hoogte SE = a' X ï 3 . h — öt— M h' 3 a — b 3(a — b) De inhoud van de pyramide SA'B'C'D' is gelijk aan het oppervlak 1 1 b b3 van het vierkant A'B'C'D'X 3 hoogte SE' = b' Xja _ b 11 ~ b) h' De inhoud van de afgeknotte pyramide ABCD A'B'C'D is dus a' ~ b h = ' (as + ab + b') h en het gewicht P dier afgeknotte j (a — U) ó pyramide ^ hs (a3 + ab + b'). De afstand ZE van het zwaartepunt Z der afgeknotte pyramide tot het grondvlak ABCD door u voorstellende, heeft men: Inh. pyram. S.ABCDX 1 SE — Inh. pyram. SA'B'C'D' X ( 1 SE' -f E'E) U = _ Inh. afgeknotte pyramide ABCD A'B'C'D' _ 3 (a -b)hXa-bh-3 (a^ b) h X Ü a - b h + h) a' + ab + b3 . 3 h 1 a< _ b' b -(- 4a — 4b 4 (a — b)* a — b 4 (a — b) . _ a« - b' (4a - 3b) l' + ah + b» 4 (a - b)' (a3 + ab + b») 1 a3 + 2 ab + 3b3 4 1 a' + ab + b3 welke formule men ook direct uit de algemeene formule voor de ligging van het zwaartepunt van eene afgeknotte pyramide had kunnen afleiden. Laten wij nu de afgeknotte pyramide ABCD A'B'C'D', die oorspronkelijk met haar grondvlak ABCD op een horizontaal vlak staat, kantelen om de ribbe AD. Het vlak, dat door EE' en het midden F van de ribbe AD gebracht wordt, staat loodrecht op de ribbe. Daar het zwaartepunt Z in de lijn EE' ligt, zal bij het kantelen van het lichaam om AE het zwaartepunt in het vlak E'EF blijven en in dat vlak een cirkelboog doorloopen, waarvan het middelpunt in F ligt en waarvan de straal FZ is. Is het lichaam zoo ver om AD gekanteld (zie figuur) dat de lijn FZ een verticalen stand inneemt, dan verkeert het lichaam in onstandvastig evenwicht. Het zwaartepunt is dan over een afstand GZi gerezen, de arbeid bij het kantelen verricht is dus P X GZ' = 1' X (Z, F - GF) = P X (ZF - ZE) of daar ZT = \/ ZE3 + FE3 = J/u3 + 1 a3 is, is die arbeid gelijk aan 4 p (|/u3 +1 a3 - uj 55. 1893. No. ï. In een bolsegment van hout waarvan het soortgelijk gewicht 0,8 is, heeft men een cilindervormig gat geboord en dit vervolgens met lood> waarvan het soortelijk gewicht gelijk 12 wordt gesteld, gevuld. Als de as van den cilinder met de pijl van het segment en het grondvlak van den cilinder met het platte grensvlak van het segment samenvalt, vraagt men den afstand van het zwaartepunt van het aldus gevormde lichaam tot dit grensvlak te berekenen. De straal van den bol, waartoe het segment behoort, is 10 cM., de lengte van den pijl is 6 c.M., de straal van den cilinder is 4 c.M. en de hoogte eveneens 4 c.M. In het houten bolsegment ABC (zie figuur) heeft men een cylindervormig gat EHIK geboord, en dit gat vervolgens met lood gevuld. De as DF van den cylinder EHIK valt samen met den pijl DC van het segment ABC en het grondvlak KE van den cylinder valt samen met het platte grensvlak BA van het segment. De straal MA = MC = MB = MG van den bol, waartoe het segment ABC behoort, is 10 C.M., de lengte van den pijl DC = 6 c.M. en de straal van den cylinder DE = EK is, evenals de hoogte DF van den cylinder, 4 c.M. Bovendien is gegeven, dat het soortelijk gewicht van het hout Ss = 0.8 is. De inhoud van den bolsector MACB is MC X ronde oppervlak van het bolsegment MACB = 2 | X MC X DC is, gelijk ^ MC X 2 | MC X DC = | 1| MC3 X DC = | Tl X 103 X 6 = 400 T"l c.M'. De inhoud van den kegel MAB = ^ DM X I BD' = DC X (CG - CD) — DC = (2 MC - CD) = 6 X (2 X 10 - 6) = 84 cM3, zoodat de inhoud van den kegel MBA is ^ X 4 X I X 84 =112 jcM'. De inhoud V van het bolsegment ACB is gelijk aan den inhoud van den bolsector MBCA minus den inhoud van den kegel MAB of 400 | — 112 | = 288 | c-M®. Verder is de inhoud V, van den cylinder EHIK = | DE3 X DF = | X 43 X 4 = 64 | c.M". Volgens eene bekende formule, die hier niet behoeft te worden ontwikkeld is de afstand van het zwaartepunt van het bolsegment ACB 3 (2 MC - CD)3 3 (2 X 10 - 6)1 _ tot het middelpunt M gelijk 4 3 MC _ CD - 4 3 x i0 — 6 3 14' _ 49 _ 1 M zoocjat de afstand xl van dat zwaartepunt tot 4 24 8 8 het grondvlak AB is 6g c.M. — DM = 2-g cM. 1 De afstand x, van den cylinder EHIK tot zijn grondvlak AB is ' DF = 1 2 2 X 4 = 2 d.M. Op grond van de formule (b) bij de oplossing van vraagstuk 1880 N". 2 ontwikkeld, is dus de afstand van het zwaartepunt van het uit hout en lood samengestelde lichaam tot het grondvlak AB: V s, u' + v, fs, - s,) u, = 288 1X0.8 X 2^+64 |X(12-0.8)Xt V sa + v (s, - ss) ' 288 | | X 0.8 + 64 | | X (12 - 0.8) 19232 , 288 9 947.2 " 2 9472 2 296 c M' K.. en "Wr. 1893. No. 2. Een staaf steunt met het ondereinde tegen een verticalen muur en is in het midden aan eene koord bevestigd dat aan den muur is vastgemaakt, in een punt verticaal boven het steunpunt van de staaf gelegen, op een afstand gelijk aan de lengte van de staaf. Aan het vrije uiteinde is een gewicht gehangen dat 7 maal zoo groot is als het gewicht van de staaf, waardoor deze op het punt staat van uit te glijden. Zoo in dezen stand het koord een hoek van 90° met de staaf maakt, en het zwaartepunt van deze laatste in het midden is gelegen, vraagt men naar de wrijvingscoëfficient tusschen staaf en muur. De staaf AB (zie figuur) steunt met haar ondereinde A tegen den verticalen muur DE. Aan het midden C der staaf is een koord bevestigd, welk koord ook is vastgemaakt in een punt D van den muur, dat gelegen is verticaal boven A op een afstand AD gelijk aan de lengte AB van de staaf. Het zwaartepunt der staaf ligt in het midden harer lengte en valt dus samen met het bevestigingspunt C van het koord. Het vrije uiteinde B der staaf is belast met een gewicht, dat 7 maal zoo groot is als het gewicht der staaf. Noemen wij het gewicht der staaf Q, dan is dus het gewicht, dat aan het uiteinde B der staaf is opgehangen, gelijk 7 Q. De belasting in B tracht de staaf in B te doen dalen en in A langs den muur naar boven te doen glijden. De staaf is echter in evenwicht, doch staat op het punt uit te glijden, terwijl bekend is dat in dien evenwichtstoestand liet koord CD een hoek van 90" met de staaf maakt, zoodat het koord met den muur DE een hoek van 30° maakt. Noemen wij in dien evenwichtstoestand de spanning in het koord S, de normale reactie van den muur tegen het ondereinde A der staaf R, dan is, wanneer f de wrijvingscoëfficient tusschen staaf en muur voorstelt, de wrijvingsweerstand welke de staaf in A ondervindt, gelijk fR en gericht van A naar E. De staaf is dus in evenwicht onder de werking van de volgende vijf krachten: le. haar gewicht G aangrijpende in het midden C der staaf, 2e. het aan het uiteinde B opgehangen gewicht 7 O, 3e. de spanning van het koord S in C loodrecht op AB gericht, 4e. de reactie R van den muur DE, in A loodrecht op den muur gericht en 5e. den wrijvingsweerstand fR werkende in A volgens de richting AE. Door uit te drukken, dat de algebraïsche som van de projecties dier vijf krachten op eene horizontale, zoowel als op eene verticale lijn, gelijk nul is, verkrijgt men de beide betrekkingen: R - S sin 30o 0 (1) O + 7 G + fR — S cos 30° 0 (2) Door uit te drukken, dat de algebraïsche som van de momenten dier vijf krachten ten opzichte van het punt A gelijk nul is, komt men tot: G X AK + 7 G X AL - S X AC 0 of G X AC cos 30» + 7 G X AB cos 30" - S X AC 0. Omdat AC := AB, kan deze laatste vergelijking geschreven worden: 7 j G cos 30° = y S of S = 15 G cos 30° De vergelijking (2) geeft: 8 G + fR S cos 30° = 15 G cos 30o 1 15 of daar ingevolge vergelijking (1) R S sin 30° — 2 ^ ~ 2 ^ C0S 30° is 8 G = fG cos 30° = 15 G cosJ 30o zoodat: 8 + f cos 30° = '5 cos5 30° 30 cos' 30" — 16 en dus t — 15 cos 30" Hierin voor cos 30" ! | 3 substiteerende, komt er 30 X 't - 16 22 * - 16 6n f= f =-? = 2 = 3 = 0.50037. tsxjyr fi/T £1 3 45 K.to. en Bt. 1894. No. i. Een kogel wordt onder een hoek van 60° met den horizon voortgeworpen en botst in het hoogste punt van zijne baan tegen een verticalen wand. Indien bij die botsing e — 0.8 is, vraagt men waar, wanneer en onder welken hoek de kogel op den grond zal komen, indien gegeven is, dat de kogel 10 seconden besteed heeft om in het hoogste punt zijner baan te komen. Neem g = 10 M. Stellen wij de snelheid, waarmede de kogel uit A (zie figuur) onder een hoek van 60° met de horizontale lijn AB wordt voortgeworpen, om den paraboolboog AC te gaan doorloopen, voor door V, dan is de horizontale composante dier snelheid V cos 60° = ^ V en hare verticale compo- sante V sin 60° = — V |/ 3# Zij verder de tijd, welken de kogel besteed heeft om in C, het hoogste punt zijner baan AC, waar dus zijne snelheid eene horizontale richting heeft, te komen en zij & de versnelling der zwaartekracht, dan heeft men de betrekking: -- V j/ J = gt, waaruit volgt: „ V = of daar g = 10 en t = 10 is, \ V X t = rv^ M. V 3 i \/ 3 terwijl BC = 2 gt5 = ^ X 10 X 10' = 500 Meter is. Onder de in het vraagstuk gegeven grootheid l moet verstaan worden de verhonding der snelheden, waarmede de kogel den wand treft en door dezen teruggeworpen wordt. De snelheid, waarmede nè de botsing tegen den wand, de kogel wordt teruggeworpen is dus Vi = e X ' V = „, w 100 80 |/~3 — \/% e*er Per secur,de en heeft eene horizontale richting omdat de snelheid, waarmede de kogel den wand treft, die richting had. Noemen wij nu ti den tijd, welken de kogel besteedt om van uit C in het punt D den grond te bereiken, d. w. z. om den paraboolboog CD te door- 1 2 X 500 loopen, dan heeft men de betrekking: gtis — CB = 500oft,5 = = 100, dus ti = 10 seconden. Tien seconden nè de botsing van den kogel tegen den wand bereikt 80 hij dus weer den grond. Daar men heeft BD = V, X 'i _ j 800 ,. , . An 1000 800 200 _ 200 . , Meter, is AD = AB — BD = , — ,-y -- -ry~ — -> 3 |/3 V 3 1/ 3 K 3 3 ' 200 De kogel bereikt dus den grond in een punt D, dat ligt 3 Meter vóór het punt A, waaruit de kogel werd voortgeworpen. De horizontale ~ „ 80 composante der snelheid van den kogel, in het punt D is Vi = 3 Per secunde en de verticale composante dier snelheid is Vt' = gti = 10X 10 = 100 Meter per secunde. De hoek oc, waaronder de kogel den grond treft, is dus zoodanig, dat tang oc = = 4 V 3, waaruit volgt: j/~3 OC = 65o 12' 31". B. en Wr. 1894. No. 2. Een cirkelboog BCD wordt in een verticaal vlak geplaatst zoodanig dat het punt C zich verticaal onder het middelpunt M bevindt, terwijl BMC -= 45° en |_ CMD = 60° is. In B is de raaklijn BA getrokken. Een liehaam wordt in A losgelaten. Het glijdt eerst langs AB naar beneden, zet in B gekomen zijne beweging langs den cirkelboog BCD voort en verlaat dien in het punt D. Men vraagt waar het lichaam zal neerkomen op het horizontale vlak door C. gaande? Het lichaam ondervindt bij zijne beweging langs AB eene wrijving, waarvoor de wrijvingscoëfficient :/< (/ 2 is, daarentegen geschiedt de beweging langs cirkelboog BCD zonder wrijving. AB = MC = 5 M. g = 10 M. De cirkelboog BCD (zie figuur) beschreven met een straal van 5M„ is in ee;i verticaal vlak geplaatst, zoodanig dat C zich verticaal onder het middelpunt M bevindt. De raaklijn OL aan den cirkelboog in C, is dan horizontaal. In B is de raaklijn BA getrokken en de lengte AB is evenals de straal van den cirkelboog 5 M. Omdat de hoek BMC = 45" en BM = BA is, bevindt zich het punt A op denzelfden afstand AO van de horizontale lijn OL als M, terwijl omdat de hoek CMD = 60" is, de afstand DF, van het punt D boven de horizontale lijn OL gelijk is aan de helft van den straal van den cirkelboog. Het verschil van de hoogten AO en DF, waarop de punten A en D zich boven de horizontale lijn OL bevinden is dus gelijk aan de helft van den straal of gelijk 2^- M. In A wordt een lichaam losgelaten, welks massa wij door '» zullen voorstellen. Dit lichaam ondervindt bij zijne beweging langs AB een wrijvingsweerstand, waarvan de bijbehoorende wrijvingscoëfficiënt is '/, I, 2 in B gekomen zet het zijne beweging langs den cirkelboog BCD voort en komt in D aan met eene snelheid, welke wij door v zullen voorstellen. In het punt D heeft het lichaam dus eene kinetische energie mvs. Die kinetische energie is gelijk aan den arbeid, dien de zwaartekracht heeft verricht minus den arbeid van den wrijvingsweerstand. Omdat de massa van het lichaam "> is, is zijn gewicht mg; de arbeid van de zwaartekracht bij de beweging van A naar D is dus mg X (AO — DF) = 1 mg X MC. 2 Daar de normale drukking op het hellend vlak AB bij de beweging van A naar B mg cos 45" is, is de wrijvingsweerstand f X mg cos 45° of daar f ^ 2 en cos 45" — J/ 2 ls> gelijk -j- mg, de arbeid door dien wrijvingsweerstand verricht is dus ^ mg X AB. Zoo komen wij tot de betrekking: '2 mv' = J mg X MC - j mg X AB. of V = - g (2 MC - AB) of daar g = 10 en MC = AB = 5 is, is v2 = 25, dus v = 5 M per sec. De snelheid v = 5 Meter per seconde, welke het lichaam in het punt D bezit, heeft de richting van de raaklijn, welke in D aan den cirkelboog CD kan worden getrokken. De horizontale composante v, dier snelheid is dus v cos 60" - 5 X 2 = 2 2 M' per secunde> en de verticale snelheid composante v, dier snelheid is v sin 60° = 5 X l [/ 3 = ~ (/ 3 Meter per secunde. Noemen wij nu ± den tijd, welken het lichaam besteedt om van uit D in L op het horizontale vlak, dat door C gaat, neer te komen, of m. a. w. om den paraboolboog DL te doorloopen, dan is. wanneer de °od n u't het punt D neergelaten, de horizontale lijn OL in F snijdt: FL = v,t = 2-1 t en DF y gtJ — v, t 5 ta — ^ t [/ 3 Nu is DF KC 2^ M, zoodat ® '1/3 -4 of fJ - 2 t 1/ 3 ~ 2 0 dus » 4 1/ 3 + 1/ 3 + 2 4 (k 3 + k ll), daar de nega16 tieve wortel der verkregen vierkantsvergelijking geene beteekenis voor ons vraagstuk heeft. 1 5 Uit deze waarde van • vindt men FL 2t - (J/ 3 + |/ 11) M., zoodat de afstand van L tot C is FL + CF - FL + KD FL + MD sin 60" FL + 5X2 1/3 J()/3 + k H) + ^'3 = ! (5 3 + 1/ ll) Meter- 1895. No. 1. Men denke zich een verticaal geplaatsten cirkel (straal — 1.6 M.), waarvan het punt B het hoogste punt is. AB is de raaklijn uit B aan den cirkel getrokken (AB = 8 M.) Een materieel punt beweegt zich van A naar B langs de lijn AB (wrijvings-coëfficient = */s). Bij B gekomen vervolgt het puilt zijne beweging langs den buitenomtrek des cirkels. Waar zal het dien cirkel verlaten, indien de beginsnelheid in A = 6 M. was? De versnelling van de zwaartekracht zij 10 M. B is het hoogste punt van den met een straal r = 1.6 M. beschreven, verticaal geplaatsten cirkel MBC (zie figuur). In B is de raaklijn BA aan den cirkel getrokken en op die raaklijn eene lengte BA = 8 M. genomen. Uit A beweegt zich langs AB naar B met eene beginsnelheid v0 = 6 Meter per secunde een materieel punt, welks massa wij door m zullen voorstellen Bij die beweging ondervindt het materieel punt een wrijvingsweerstand. Noemen wij de versnelling der zwaartekracht g, dan is het gewicht van het materieel punt mg en stellen wij den wrijvingscoëfficient hij de beweging over AB voor door f, dan is de wrijvingsweerstand fmg. Noemen wij verder de snelheid, waarmede het materieel punt in B aankomt V,, dan is de vermindering van kinetisci|e energie van het materieel punt bij zijne beweging van A naar B \ mv«" — ' mv,2 = m (v„' — V!2). Deze vermindering van kinetische energie is, omdat de lijn AB horizontaal is en de zwaartekracht dus geen arbeid verricht, gelijk aan den arbeid van den wrijvingsweerstand. Wij komen dus tot de betrekking: 2 111 (v» — v,s) = fmg X AB Vü' - v," = 2 fg X AB v,2 = v„2 - 2fg X AB of voor v", f, g en AB, respectievelijk 6, ^ , 10 en 8 substitueerend v,2 = 36 - 2 X J X 10 X 8 - 4 waaruit blijkt, dat V| = 2 Meter per seconde is. Onderstel dat het materieel punt den cirkelomtrek verlaat in het punt C en dat het in C eene snelheid v, bezit. In het punt C oefent het materieele punt geene drukking meer op den cirkelomtrek uit en moet dus de centripetale kracht * identiek zijn met de projectie van het gewicht van het materieele punt op den straal MC. Noemen wij den hoek BMC oc, dan is die projectie mg cos oc, zoodat wij de betrekking hebben: mvj' —— — mg cos oc of v,- = gr cos oc (i) In B was de kinetische energie van het materieele punt ] mv,2enin C is die kinetische energie ' mv,2. De toename van de kinetische energie bij de beweging van B naar C is dus \ mv,' - ' mv,2 = — m (v,» - ^22 V[ ). Deze toename van energie is, daar bij de beweging langs den cirkelboog BC zich geen wrijvingsweerstand voordoet, gelijk aan den arbeid der zwaartekracht of gelijk mg X BD = mg X (1 - cos ra) r. Wij hebben dus dat: 2 m (vj1 — v,*) = mg (1 — cos oc) r. of v,2 — v,2 = 2g (1 - cos oc) r. En daar volgens vergelijking (1) v,2 = gr cos oc is. vinden wij: gr cos oc — v,2 = 2g (1 — cos oc) r ( 2 . V!2 of COS oc = 4- —-—. 3 3 gr Nu is Vt = 2, g = 10 en r = 1.6; dus hebben wij: cos oc = 3 3~X 10 X 1-6 = 3 + 12 = 4 zoodat BL) = (> — cos oc) r - ( 1 — ]) x 16 = 0.4 Meter. Het materieele punt verlaat dus den cirkelomtrek 0.4 M. beneden het punt B. H.V. en Wr. 1895. No. 2. Een rechte cirkelcylinder (straal van het grondvlak = 12 cM., hoogte = 32 cM.) is met zijn grondvlak op een ruw hellend vlak geplaatst; aan het bovenvlak van den cvlinder is een halve bol van dezelfde stof bevestigd, zoodat de middelpunten van het bovenvlak van den cylinder en van den halven bol samenvallen, (de straal van den halven bol is 12 c.M.) Het aldus samengestelde lichaam is op het punt èn van om te vallen èn van naar beneden te glijden. Men vraagt den hellingshoek van het vlak en den wrijvingscoëfficient tusschen het hellend vlak en den cylinder te bepalen. Dit vraagstuk vertoont een groote overeenkomst met dat van 1879 No. 1, zoodat wij met de behandeling ervan beknopt kunnen zijn. Stel de straal van het grondvlak van den cylinder = r en de hoogte van den cylinder = h. Daar de afstand van het zwaartepunt van een halven bol 3 tot het middelpunt gelijk is aan Q van den straal, is de afstand ZA van O het zwaartepunt Z van het uit cylinder en halven bol samengestelde lichaam tot het grondvlak AB van den cylinder ï r'hX^h+ | | r» X (| r + h) ^ , 3 r, + g rh + 6 V AZ 2 4 r r j- 3 h |r'h+ 3 Ir» Substitueeren wij hierin de gegeven waarden van r en h, nl. r =12 en h = 32, dan vinden wij AZ = 20.1 c.M. Wij hebben dus f tang cc ^ = ^2, fi7 en oc bg tang 40 cc " 30o 50' 16". 07 ^ÊLJÊm 1896. No 1 Een vlakke figuur bestaat uit de som van een rechthoekigen driehoek en een halven cirkel, die op de schuine zijde van den driehoek als middellijn beschreven is. Als de rechthoekszijden a en b c.M. lang zijn, vraagt men te berekenen, hoever het zwaartepunt van het oppervlak der figuur van elk der rechthoekszijden verwijderd is. Stel in de uitkomst b — a. Van den rechthoekigen driehoek ABC (zie figuur) noemen wij de rechthoekzijden BC en AC respectievelijk a en b. Op de hypothenusa AB =| a'J + b2 als middellijn is een halve cirkel AFB beschreven. De inhoud van den driehoek ABC is ^ ab en die van den halven cirkel AFB is J | AB> = i 1 (a' + b'); de inhoud van de figuur ACBFA is dus ' ab + g Tl (as + b") = 4 ab + Tl (a' + b') Q Het zwaartepunt Si van den driehoek ABC ligt op een afstand gelijk aan AC = 3 b van de rechthoekzijde BC en op een afstand gelijk aan ^ BC = ^ a van de rechthoekzijde AC. Het zwaartepunt S, van den halven cirkel AFB ligt in de lijn MF, welke in het middelpunt M loodrecht op AB staat en op een afstand S2 M van de middellijn AB gelijk aan X AM — g _ X AB, zoodat = 3 2—-• Laten wij uit S, de loodlijn S,E op de rechthoekzijde CB neer en uit M eene loodlijn MD op de lijn S,E, dan krijgen wij den rechthoekigen driehoek MS,D, die blijkbaar gelijkvormig is met den driehoek ABC, zoodat wij hebben: S, D _ MD _ S, M _ 2 BC ~~ "AC ~~ AB ~~ 3 | waaruit volgt: S3 D = X BC = 2 a. 3 I 3 | e"MD = 321XAC=32|b. Hieruit blijkt dat: S,E = S,D + DE = S,D + MK = 32 | a + b en DG = DM + MO = DM + KC = 32 | b + ^ a. De afstand van het zwaartepunt der figuur ACBFA tot de rechthoekzijde CB is dus: ^ ab X 3 b -f ^ | (a3 + b3) (3 2 a-f ^ b) 4 ab + | (a3 + b') 8 J ab3 + *2 a (a3 -f b3) -f ^ Tl (a3 + b') b 4 ab T I (a* f b'J) 8 12 a" + 4 ab' + ,g II (a' + bJ) b 4 ab + i (a3 -|- b") 8 12 a* + 16 J 4 ab -h I (a' + b3) j b 4 ab -f- | ia3 + b3) 8 1 b 4- 2 a' 2 12 ab + 3 | (a3 + b3)' Evenzoo vindt men voor den afstand van het zwaartepunt der figuur ACBFA tot de rechthoekzijde CA ' a + , , 2 h . , , ... . 2 12 ab + 3 | (a' b') Voor b = a worden, zooals op grond van de alsdan bestaande symetrie der figuur ten opzichte van de lijn, welke den rechten hoek middendoor deelt, a priori duidelijk is, de afstanden van het zwaartepunt der figuur t t elk der beide rechthoekszijden aan elkaar gelijk en wel ge- .... 1 , a ',]k 2 3 + 6 + 3 ,• Werktuigkunde. 9 HV. 1896. No. 2. Op een hellend vlak (hellingshoek 30°) glijdt een lichaam naar beneden van A naar B en van B naar C. In A is de snelheid 0, AB is 1 M. lang, van A tot B is de wrijvingscoëfficient '/, |/ 3 en van B tot C >/i \ 3. Indien het lichaam in C weder tot rust komt, vraagt men de lengte van BC te berekenen. Op het hellend vlak AC (zie figuur), waarvan de hellingshoek d 30° is, wordt in het punt A een lichaam, welks gewicht wij door Q zullen voorstellen, losgelaten. Dit lichaam ondervindt van het hellingsvlak een wrijvingsweerstand, waarvan de wrijvingscoëfficient fi = 4 I 3 is. Omdat f, = ^ [/ 3 kleiner is dan tang oc = tang 30° = 3 1/ 3 glijdt het lichaam van uit het punt A, waar het losgelaten wordt, met ecne gelijkmatig versnelde beweging naar beneden. Er is nu gegeven, dat het glijdt over eene lengte AB = 1 Meter. Van B glijdt het verder, doch ondervindt vanaf B een wrijvingsweerstand, waarvan de wrijvingscoëfficient f, = 2 \/ 3 is. Omdat tang oc = tang 30° - 3 |/3 kleiner is dan f, zal het lichaam op zijn weg naar beneden een gelijkmatig vertraagde beweging hebben. Het lichaam moet dus ergens in eenig punt C tot rust komen. Stel den weg BC gelijk x. In A was de kinetische energie van het lichaam nul, omdat het zonder beginsnelheid zijne beweging aanvangt, van A tot B neemt zijne kinetische energie voortdurend toe en van B tot C voortdurend af tot in C die kinetische energie wederom nul wordt. De algebraïsche som der hoeveelheden arbeid door alle op het lichaam aangrijpende krachten bij de beweging van A tot C verricht is dus nul. De arbeid van de zwaartekracht is G X AD = G X AC sin 30° = J ü X AC = ^ (AB + BC) X G = ' (1 + x) X G. Omdat de normale druk op het hellend vlak G cos 30° is, is de wrijvingsweerstand bij het doorloopen van den weg AB fi G cos 30° en bij het doorloopen van den weg BC fi G cos 30°. De numerieke waarde van den arbeid van den wrijvingsweerstand bij het doorloopen van den weg AC verricht, is dus fi G cos oc X AB -|- fs Q cos oc X BC — fi X AB + f, X BC X G cos oc of daar f, = — j 4 V 3, f, = 2 1/ 3, cos oc = cos 30° = 2 1/3, AB = 1 en BC = u, is gelijk: (i |/3Xl+y|/3X«)XjQK3={(l+2 «) G. Deze arbeid moet als negatief in rekening gebracht worden daar de richting van den wrijvingsweerstand tegengesteld is aan de richting der beweging. Men heeft dus: 2 0 + ") X G ~ g (1 + 2 u) X G o of 4 (1 + u) — 3 (1 | 2 «) = o of z/ = BC = ^ Meter. 1897. No. 1. Aan twee vaste in eene horizontale lijn gelegen punten A en B zijn twee gelijke cylinders, van straal R en gewicht G, opgehangen door middel vnn vier even lange koorden. Deze zijn bevestigd aan de uiteinden van de assen der cylinders, wier lengten gelijk AB zijn. (De assen liggen dus in eenzelfde horizontaal vlak en zijn evenwijdig met AB). Op deze cylinders rust een andere even lange cylinder van straal '/ K. wiens as dus ook evenwijdig met AB is. Hoe groot moet het gewicht van den cylinder zijn, als de twee groote cylinders tengevolge zijner drukking juist op het punt. zijn uit elkaar te wijken, dus geen druk meer tegen elkander uitoefenen ? De koorden vormen bij ieder ophangpunt een hoek van 60°. In figuur I stellen A en B twee vaste punten voor, welke in eene horizontale lijn AB liggen. In A zijn vastgemaakt de twee even lange koorden AM en AM,, waarvan de uiteinden M en M, zijn bevestigd aan de uiteinden der assen van twee gelijke cylinders, wier straal R en gewicht G is. Ook in B zijn twee even lange koorden BM1 en BM\ vastgemaakt, de uiteinden M1 en M1, dier koorden zijn bevestigd aan de andere uiteinden der assen van de beide bovenbedoelde cylinders. Daar gegeven is dat de koorden MA en M,A gelijk zijn aan de koorden M,B en M\B, liggen de assen der cylinders horizontaal, en daar de hoek MAM,, welken de koorden MA en MA, met elkaar maken, evenals de hoek M'BM', welken de koorden M'B en M'B, met elkaar maken, gelijk 60° is, zijn de driehoeken MM,A en M,M\B gelijkzijdig. Legt men nu een derden cylinder, welke eene zelfde lengte heeft als de twee bovenbedoelde en welks straal ^ R is, op de beide andere, zoodanig dat de eindvlakken van alle drie de cylinders in dezelfde vlakken AMM, en BM'M,1 vallen, dan tracht de derde cylinder de beide groote cylinders van elkaar te drukken, en wel met te grooter kraeht, naar mate het gewicht van dien derden cylinder aanzienlijker is. Is de derde cylinder genoegzaam zwaar, dan zal hij beide groote cylinders van elkaar drukken, zoodat zij niet langer elkaar b'ijven aanraken. De vraag is nu te bepalen het gewicht O1, dat de derde cylinder hebben moet, opdat de twee groote cylinders juist op het punt zijn uit te wijken en dus geene drukking meer op elkaar uitoefenen. De drie cylinders worden ondersteld homogeen te zijn, zoodat hunne zwaartepunten liggen in de middens hunner assen. Fig- II stelle nu voor eene dwarsdoorsnede loodrecht op de middens der assen: deze doorsnede is dus een verticaal vlak, dat de assen der beide groote cylinders snijdt in de punten M en M, en dat de as van den kleinen cylinder snijdt in C. De kleine cylinder C oefent op elk der beide groote cylinders M en M, een zelfden druk CF = CF, uit. De druk CF, welke op den cylinder M uitoefend wordt, is gericht van D naar M, de verticale composante CL van dien druk is ~ O1; de horizontale composante CK is CL tang L LCF ~ G X Nu blijkt uit figuur II, dat CO = | CD X CE =| CD X (CD +DE) = | CD X (CD + 2 MD) - R x 6 R + 2 R) = 1 R V II zoodat = , -i = = = 5 1 1 5 V !I is; de horizontale composanle CK is derhalve G1 X (| V* U " = *2 Q1 V l'- De onderling gelijke spanningen der koorden MA en M'B (fig. I) zijn samen te stellen tot eene kracht S welke in het vlak van fig. I van M naar A gericht is en wier horizontale composante is S sin 30° = 2 S en wier verticale composante is S cos 30° ^ S |/ 3. Daar wij het geval beschouwen, waarin het gewicht G' van den kleinen cylinder juist zoo groot is, dat de beide groote cylinders geenerlei drukking op elkaar uitoefenen, is de cylinder M in evenwicht onder de werking der drie volgende krachten: le. zijn gewichf G, werkende in M verticaal benedenwaarts, 2e. de kracht S en 3e. de drukking, welke de kleine cylinder uitoefent. Van de laatste twee krachten hebben wij zooeven de horizontale en verticale composante nagegaan. Door uit te drukken dat de algebraïsche som der projecties van die drie elkander snijdende krachten op eene horizontale, zoowel als op eene verticale lijn gelijk nul moet zijn, komen wij tot de volgende betrekkingen: ( 252 G|/ n - \ s = ° (i) I ü + J 2 S l/ 3 = o. (2) Vermenigvuldigt men (1) met 1 3 en trekt men (2) daarvan af, dan komt er: G - 2 ( ,°, V 33 - l) G' = o waaruit volgt: G1 —. ^ G = 22 (5 1/ 33 ll) q _ 5 V 33 11 5' X 33 - ll2 22 (5 I 33 + ll) G _ 11 + 5 V 33 Q 704 ' 32 Bt. 1897. No. 2. Een veêrkrachtige kogel met een gewicht van 1 K.G. wordt met eene aanvangssnelheid van 6 M. onder eene hellingshoek van 45° opgeworpen en botst in het hoogste punt der baan tegen een anderen veêr- krachtigen kogel, die 2 K.G. weegt en aan een draad, lang 2 M. hangt. Welke afwijking uit den evenwichtsstand zal die laatste kogel ondergaan? In A (zie figuur) wordt een veerkrachtige kogel, die 1 K.G. weegt, met een aanvangssnelheid van 6 M. per secunde onder een hellingshoek van 115° opgeworpen. De horizontale composante dier aanvangssnelheid is 6 X cos 45° 3 1/2 M. per secunde. In het hoogste punt zijner baan B heeft die kogel eene horizontaal gerichte snelheid v» welke gelijk is aan de horizontale composante zijner snelheid in A, dus v, = 3 1/ 2 M. per secunde. In B treft die kogel een anderen veerkrachtigen kogel, die 2 K.Q. weegt en die hangt aan den draad OB 2 M. Noemen wij de massa van den eersten kogel m, en die van den tweeden kogel m„ dan heeft men, omdat de massa's dier kogels zich verhouden als hunne gewichten, "lj 2. De snelheid van den tweeden mi 2 mi kogel onmiddelijk na de veerkrachtige botsing is v, = m ^ v, = 2 . 2, v, 2 v, 1 X 3 1/ 2 == 2[/2 M. per secunde. m, 1+2 3 i m' Onderstel dat de tweede kogel, die oorspronkelijk in B in rust is, tengevolge van de door de botsing verkregen snelheid den cirkelboog BC doorloopt en stellen wij den hoek BOC voor door oc. De massa m, van den tweeden kogel is, wanneer wij de versnelling van de zwaartekracht door g voorstellen 2 daar die kogel 2 K.ü. weegt. De kinetische energie 1 1 2 / \ 8 van dien kogel onmiddelijk na de botsing is 2 m, vsJ = 2 X g X (2 V 2)' = g In het punt C gekomen is de kinetische energie nul geworden, de kinetische energie onmiddelijk na de botsing is dus gelijk aan den arbeid, welke door de zwaartekracht verricht wordt, wanneer de kogel stijgt van het punt B tot het punt C of gelijk aan zijn gewicht van 2 K.G. maal den weg BD. 8 4 Uit de betrekking 2 X BD vindt men BD = ^ De tweede kogel 4 „ _ OD _ zal dus over eene hoogte van —- Meter stijgen. Daar cos oc. — q^, 2 — 4 9 OB — BD _ g — 1 — is blijkt dat de cosinus van den hoek OB 2 g 2 . COB, dien de draad OC met de verticaal OB zal maken gelijk 1 — is. K.. en Wr. 1898. No. 1. Twee gelijke homogene staven AB en AC (lengte 12 c.M., gewicht 20 G.) zijn in een verticaal vlak beweegbaar om het vaste punt A, en maken met elkander een hoek van 60°. Hare bovenste uiteinden, in èén horizontaal vlak gelegen, worden door gelijke horizontale krachten naar elkander gebracht. Zoo nu een bol (straal 3 c.M, gewicht 10 G) tusschen die beide staven gelegd wordt, hoe groot moeten de horizontale krachten dan zijn, als de bol op het punt is naar boven gedrukt te worden. De wrijvingscoëfficient voor bol en staven is ƒ tg 10». De beide staven AB en AC (zie figuur) zijn om het vaste punt A draaibaar. De boveneinden B en C dezer staven liggen in een horizontaal vlak en worden door gelijke horizontale krachten, die wij door S zullen voorstellen, naar elkaar toe getrokken, terwijl die krachten S zoo groot zijn, dat de staven AB en AC een hoek BAC van 60° maken. Een bol M wordt tusschen de beide staven gelegd en tracht blijkbaar door zijn gewicht den hoek, welken de staven met elkaar maken, te verprooten- Men ziet in dat om, ook nadat de bol op zijn plaats gelegd is, den hoek BAC gelijk aan 60°' te doen blijven, de krachten S grooter moeten zijn dan te voren, toen de staven AB en AC. alleen tengevolge van haar eigen gewichten de nei- ging hadden uit elkaar te wijken. De vraag is nu om bij een wrijvingscoëfficient van bol en staven f = tang 10°, de grootte der krachten S te bepalen, waarbij de bol op het punt staat naar boven te glijden. Noemen wij G1 = 10 gram het gewicht van den bol D de normale reactie wHke elk der staven AB en AC op den bol uitoefenen. In den bij het vraagstuk bedoelden evenwichtsstand werken op den bol vijf krachten, n.1.: le. zijn gewicht G1, 2e. twee krachten, ieder gelijk D en gericht van elk der punten E en F, waar de staven AC en AB den bol raken, naar het middelpunt M en 3e. de wrijvingsweerstanden, gelijk fD, werkende in elk der punten E en F, welke, omdat zij het naar boven drukken van den bol trachten tegen te gaan, benedenwaarts gericht zijn dus van E en van F naar het vaste punt A. Door uit te drukken, dat de algebraïsche som van de projecties van deze vijf krachten op eene verticale lijn gelijk nul is, komt men, zooals licht is in te zien, tot de betrekking: G' + 2 fD cos 30° — 2 D sin 30° o of G1 + fD V 3 = D G1 zoodat D = j _ f | 3 (1) De staaf AC is in evenwicht onder de werking van de navolgende krachten: le. haar gewicht G 20 gram, aangrijpende in haar zwaartepunt L, welk punt, omdat de staaf homogeen is, gelegen is in het midden van de lengte der staaf, 2e. de kracht S, welke in C aangrijpt en horizontaal gericht is, 3e. de drukking D van den bol in E aangrijpend en gericht van M naar E, 4e de wrijvingsweerstand fD eveneens in E aangrijpend en gericht van E naar C, en 5e. de reactie, welke de staaf in zijn draaipunt A ondervindt. Door uit te drukken, dat de algebraïsche som der momenten van al deze op de staaf AC aangrijpende krachten ten opzichte van het punt A gelijk nul is, komt men, wanneer AP de loodlijn is uit A op BC neergelaten en CK de loodlijn is uit het midden L van AC neergelaten op eene horizontale lijn AK, die door A gaat, tot de betrekking: S X AP - G X AK - D X AE - o. Hierin is AP = ^ AC l/l - 6 J/3 c.M„ AK \ AL = J AC — ' X 12 3 c.M., AE ME cotg. 30° 3 J/ 3 c.M , terwijl vol4 Gl gens form. (1) D = . Men heeft dus: 1 - f V 3. S X 6 V3 = GX3 + — ^r3 X 3 V3. of voor G 20 en G1 10 substitueerende zoodat Si = y ^ -f- f gram, of hierin voor f zijn waarde tang 10° stellende S 12.972 gram. c. 1898. No. 2. Een enkelvoudige slinger, lang 1 meter, gewicht 1 K.G., wordt bij een uitwijkingshoek van 90" zonder aanvangssnelheid losgelaten. Gegeven is: dat de draad zal breken, als de spanning gedurende de beweging aangegroeid is tot 2 K.G. Men vraagt, waar het materieele punt van den slinger, na den draad gebroken te hebben, den verticaal van het ophangpunt zal ontmoeten. Zij O (zie figuur) het bevestigingspunt van den draad voor den enkelvoudigen slinger en OE de verticaal, gaande door O. De lengte r van den draad van den slinger is 1 meter en het gewicht G van het materieele punt; dat aan dien draad bevestigd is, is 1 K.G. Uit het punt A, dat met O in hetzelfde horizontaal vlak ligt, wordt het materieele punt van den slinger zonder aanvangssnelheid losgelaten. Stel, dat het materieele punt van den slinger een cirkelboog AB heeft doorloopen, en noemen wij den hoek AOB oc, de snelheid, waarmee het materieele punt in B aankomt v en de spanning van den draad op het oogenblik dat die draad de positie ÜB inneemt, S. Noemen wij verder d_massa van het materieele punt m, dan is de centripetale kracht in B = mV . Deze centripeta'e kracht is gelijk aan de spanning S, verminderd met de projectie G sin oc van het gewicht van het materieele punt op de richting OB van den draad, zoodat: c r> ■ , mv' ,,s S = G sin oc -(- (1) Verder is de kinetische energie van het materieele punt in B ^ niv2; deze kinetische energie is gelijk aan den arbeid door de zwaartekracht verricht, terwijl het materieele punt den cirkelboog AB heeft doorloopen of gelijk G X OC = G X r sin oc. Hieruit volgt de betrekking: Gr sin oc =: ^ mv' (2) Uit de betrekkingen (1) en (2) vindt men: 3 G sin oc — S. Is nu B het punt, waar het materieele punt zich bevindt als de draad van den slinger breekt, d w z. is B het punt, waar de spanning S van den draad gelijk 2 KG. is, dan heeft men, daar G = 1 K.G. is, 3 sin oc = 2 2 of sin oc = - (3) In het punt B heeft het materieele punt eene snelheid v, welke gericht is volgens de raaklijn in B aan den boog AB en beweegt dat materieele punt zich verder onder de werking van de zwaartekracht, zoodat het vanaf B een paraboolboog BE doorloopt. Uit de betrekking (r) vinden wij de grootte van die snelheid v nl: v' = 2 r sin oc = 2 gr sin >o (4). m waarin e = ° de versnelling van de zwaartekracht voorstelt. Daar de m richting van v loodrecht slaat op OB is de horizontale composante V,van de snelheid v, gelijk aan v sin oc en hare verticale composante v, gelijk v cos oc. Stel dat het materieele punt van den slinger, nadat in den stand OB de draad gebroken is, in t seconden de verticaal OE uit het ophangpunt Q in het punt E ontmoet en dat BD de loodlijn is uit B op de horizontale lijn ED neergelaten, zoodat BC = DE is. Nu is BC = r cos oc en DE = Vj t = vt sin oc, zoodat men heeft vt = r ~S 0£ of t = rC0S — . Verder is BD = CE = v,t + \ ft'- vt sin oc v sin oc £ cos oc + 1 gt' = r C0S' + ' gr, C°Si =C of omdat volgens (4) v' 2 sin oc 2 x' sin' oc = gr sin oc is. „ r cos» oc , 1 r2 cos oc / 1 . 1 \ BD = \- g „ r = r COS' OC (— H-j—. I . sin oc ' 2 s 2 gr. sin oc Vsin oc 4 sin8 oc-' 2 8 Nu is r — 1 en volgens (3) sin oc = ^ of sin' oc =27en cos' 0(1 = 1 4 5 - sin,J oc = 1 — -g-= -g-, zoodat: Hieruit vindt men OE = OC + CE = OB sin [_ BOC 4* BD — g + 1 ^ ~ 1 39 M' Het gezoch,e Punt E dus °P een afstand OE = 1 ^ Meter onder het ophangpunt O van den slinger en op een afstand oq BD = 1 Meter onder het punt B, waar het materieele punt van den 96 slinger zich bevindt bij het breken van den draad. HV. 1899. No. 1. Een stoffelijk punt, langs een hellend vlak naar boven geworpen, stijgt gedurende /i secunden en daalt vervolgens /, secunden; het is dan in het punt van uitgang teruggekeerd. Als de hellingshoek van het hellend vlak door oc en de wrijvingshoek door w wordt voorgesteld, vraagt men te bewijzen: (h\' __ sin (oc — w) t-,) sin (oc + w)' Het stoffelijk punt, welks gewicht wij door O zullen voorstellen, heeft gedurende de ti seconden waarin het stijgt, eene gelijkmatig vertraagde beweging, waarvan wij de vertraging p noemen. De weg S, welke het stoffelijk punt langs het hellend vlak aflegt, is dan 2 j, t,". of Ci)*= r o) / ji Bij de opwaartsche beweging van het stoffelijk punt, werkt in de richting van het hellend vlak op dat punt eene de beweging vertragende kracht G sin oc + fQ cos oc wanneer f de wrijvingscoëfficient, gelijk tang Q is. De waarde van die vertragende kracht kan ook geschreven worden „ , . , sin (G sin oc + G cos oc tang w = G (sin oc + cos oc ^ w) r sin oc + cos oc sin >v _ sin (oc + u>) ~ cos W COS IV Bij de dalende beweging van het stoffelijk punt werkt in de richting van het hellend vlak op dat punt eene de beweging versnellende kracht: sin iv\ sinoc cosiv—cosu'sinif G sin oc — fG cos oc = G (sin oc — cos oc ^ - G cog w sin (oc — iv) = G cos w Daar de krachten welke op een zelfde stoffelijk punt werken, evenredig zijn aan de versnellingen, welke zij te weeg brengen, hebben wij: „ sin (oc + iv) „ (sin oc — w) j' 1 cos w cos w o{ j! _ sin (oc+ w) j, sin (oc — w)' Op grond van de betrekking (1) komen wij dus tot de te bewijzen . . ... /ti\2 _ sin (oc — w) betrekking: (J - gin (oc + ^ 55. 1899. No. 2. Twee raaklijnen aan een cirkel vormen een hoek van 60o. Op welken afstand van het middelpunt van den cirkel ligt het zwaartepunt der figuur, begrensd door deze raaklijnen en den kleinsten boog tusschen de raakpunten begrepen? De straal van cirkel is r centimeter. De beide raaklijnen DB en DC (zie figuur), welke uit het punt D getrokken zijn aan den cirkel, welks middelpunt A en welks straal AB = r c.M. is, maken een hoek van 60°. De oppervlakte van de figuur BDCF, begrensd door de beide raaklijnen DB en den kleinsten boog BFC, tusschen de raakpunten B en C begrepen, is gelijk aan de oppervlakte van den vierhoek ABDC, verminderd met de oppervlakte van den cirkelsector ABFC- Nu is |_ ADB = |_ ADE = 30o, dus AD = 2 AB = 2 r en BE = EC = |/ 3 zoodat oppervlakte vierhoek ABCD = 2 X oppervlakte driehoek ABD = 2x \ AD X BE = r' V 3. Verder heeft men, omdat |_ BAC — 180° — |_ BDC = 180° — 60° = 120°, dat de oppervlakte van den cirkelsector ABFC is één derde van de oppervlakte van den cirkel, waartoe die sector behoort, dus gelijk j Ti r*. De oppervlakte van de figuur BDCF is dus r" J/ 3 — - ~j~~j r" = 3 U t r3. 3 3 De oppervlakte van driehoek ABC = ' BC X AE of daar BC = 2 BE = r V 3en AE = J AB = ± r is, gelijk J r ^3 X Jr = ^ r» 1/ 3. De afstand van het zwaartepunt van driehoek ABC tot A — ? AE _ 2 v 1 1 '3 - 3 X 2 r = 3 r. De oppervlakte van 1^, DBC = ï, X ED of daar ED — AD — AE = 2 r — ~ r = ~ r is, gelijk k 3X 3 r = 4 3' 1 1 3 De afstand van het zwaartepunt van driehoek BDC tot E is ^ DE = — X ^ r — r cn de afstand van dat zwaartepunt tot A is ' r + EA = 2. & 1 , 1 2 r + 2r' = r De oppervlakte van den sector ABFC is, zooals hierboven reeds aangetoond werd ^ | f' en de afstand van zijn zwaartepunt tot A is "> AC V knnrr1i> KC ** X A—of — omdat boog BC gelijk is aan een derde van 3 boog BC 1 2 ... 2 den cirkelomtrek, dus gelijk X 2 | r = ^ | r is gelijk aan ^ r X r V 3 l 3 f 2 — ~ I 3 |r De gevraagde afstand van het zwaartepunt der figuur BDCF tot Ais: Oppervl. jQ ABC X ó r + Oppervl. BDC X r — opp. sect. ABFC X ^ -i r. ^ I I Oppervlakte figuur BDCF. Hierin de boven gevonden waarden van de oppervlakten der driehoeken ABC en BDC, van den sector ABFC en van de figuur BDCF substitueerende, vindt men voor den gevraagden afstand: J r' \/ 3 X ^ r + ^ r21/ 3 X r - J | r' X ^ 3 r 3 PI ~ Tl r, 3 6 IX 3 12 3 1/3 ... r = r centimeter. 3 i 3 — j 2 3 IX 3 _ | 3 Tot dezelfde uitkomst geraken wij ook door de toepassing van een der regels van Guldin. Daar de figuur BDCF symmetriek is ten opzichte van de lijn AB is de gevraagde afstand x van het zwaartepunt der figuur BDCF tot het punt A gelijk aan den afstand van het zwaartepunt der figuur BDF tot de lijn AK (figuur II), welke in A loodrecht op DA staat. Volgens een der regels van Guldin is het product van het oppervlak der fieuur BDF 3 ^ 3 — I r' en den omtrek 2 | x van den cirkel, wel6 ken het zwaartepunt dier figuur BDF beschrijft, wanneer die figuur om AM wentelt, gelijk aan den inhoud van het wentelingslichaam, dat door die wenteling der figuur BDF om AK ontstaat. De inhoud van evenbedoeld omwentelingslichaam is gelijk aan den inhoud van den afgeknotten kegel DBB'D', verminderd met den inhoud van het bolsegment FBB'F'. De inhoud van een afgeknotten kegel is h (Q + B + [/ 0b), wanneer 11 de hoogte, Q het grondvlak en B het bovenvlak van den afgeknotten kegel voorstellen. In ons geval is h = AB = ^ r | 3, G - | AD' = 4 | r2, B = | KB- = J | r' en dus |/ GB I r'» zoodat men voor den inhoud van den afgeknotten kegel DBB'D' krijgt: ^ X \ r | 3 X ( 4 I r' + ] I r 'J + I rJ) = ^ | 3 | r'. De inhoud van een bolsegment is gelijk aan den inhoud van een cylinder, welke de zelfde hoogte heeft als het segment en waarvan de basis gelijk is aan de halve som der platte grensvlakken van het bolsegment, vermeerderd met den inhoud van een bol op de hoogte van het segment als middellijn beschreven. De inhoud van het bolsegment AFBB'T' is dus ^ I (AT2 + KB2) X AK + 6' AK» = J | (r2 + J r2) X \ r 1/3 + (X 3 I r" — (X 3 I r*- inhoud van het omwentelingslichaam, dat ontstaat door figuur BDF om AK te laten wentelen, is derhalve y | 7 3 I r" ~ $ \ 3 I r' = \ I 3 1 r*Ê Wij hebben dus: I I r' X 2 | | x = ^ |/ 3 | | r\ 3 I 3 waaruit volgt; x = 0 " r centimeter. 2 31 3 — 11 K.. en Wr. 1899. No. 3. Een draadvierkant ABCD wordt, in het midden E der zijde AB, gedragen door een horizontale pen. Gegeven zijn: het gewicht van het vierkant gelijk P gram en de wrijvingscoëfficient f. Hoeveel bedraagt het grootste gewicht dat in het hoekpunt 1) aan het vierkant kan worden opgehangen, zonder dat dit over de pen begint te glijden ? P = 40 gram; ƒ — 0.25. Met draadvierkant ABCD (zie figuur), waarvan wij de zijde door zullen voorstellen, wordt in het midden E zijner zijde AB gedragen door een horizontale pen. Omdat er wrijving bestaat tusschen de zijde t A, dat in rust hangt aan een koord van 72 centimeter lengte, botst iu horizontale richting een ander stoffelijk punt B, dat de drievoudige massa heeft van A. De botsing is volmaakt veerkrachtig, het koord volkomen buigzaam, de massa van het koord wordl verwaarloosd. Hoe groot moet de snelheid, die B bij het begin der botsing heeft, minstens zijn, opdat A het hoogste punt van den cirkel, waarin het zich kan bewegen, zal bereiken? De versnellingen der zwaartekracht worde gelijk 10 meter gesteld. Noemen wij de massa der stoffelijke punten A en B respectievelijk m en M, zoodat M - 3 m is, de horizontaal gerichte snelheid, waarmede het stoffelijk punt B tegen het stoffelijk punt A botst, V, dan is de snelheid v, welke het stoffelijk punt A onmiddellijk na de veerkrachtige botsing heeft » = MJ+"n| V = l V, zoodal: V = l v. (I) Noemen wij de lengte OA van den draad, waaraan, vóór dat de botsing plaats had, het stoffelijk punt A in rust hing r, de snelheid, waarmede A tengevolge van zijne door de botsing verkregen snelheid aankomt in het hoogste punt C van den cirkel OA, waarin het zich bewegen kan, Vu dan is de afname van de kinetische energie van A bij zijne bewegingen langs den cirkelboog AC = ^ mv' — ^ mVl' = 2 m — Vl^ en de arbeid, welke door de op het punt A werkende krachten is verricht, gelijk aan het gewicht van het stoffelijk punt maal de middellijn AC of wanneer wij de versnelling der zwaartekracht door g voorstellen, gelijk aan mg X 27 = 2 mgr. Wij hebben dus de betrekking: 2 m (vs — v,2) = 2 mgr. waaruit volgt: vs = v,2 + 4 gr. (2) Wanneer nu de snelheid v, en dientengevolge ook de snelheid y, maar juist groot genoeg is om het stoffelijk punt A het hoogste punt C van den cirkel te doen bereiken, dan is in C de spanning van het koord gelijk nul en dus de centripetale kracht in C gelijk aan het gewicht van het stoffelijk punt A. I11 deze veronderstelling heeft men dus: mv,2 , , /o\ = mg of v,2 = gr. (3) Uit de betrekkingen (2) en (3) vinden wij v2 = 5 gr. zoodat uit de betrekking (1) volgt: V = |/ 5 gr. Nu is gegeven dat g = 10 M. per seconde en r = 72 c.M. = 0.72 M. is: men heeft dus voor de getallenwaarde van de horizontale snelheid V, waarmede het stoffelijk punt B tegen het stoffelijk punt A moet botsen, opdat A het hoogste punt C van den cirkel, waarin het zich bewegen kan, nog juist bereiken zal: 2 V 5 X 10 X 0.72 = ~ I' 36 = 4 Meter per seconde. 3 zs. 1901. No. 1. Een homogene afgeknotte omwentelingskege! ligt met het ronde oppervlak op een horizontaal vlak en is op het punt van om te kantelen. De straal van het bovenvlak is r, die van het grondvlak is 3r. Gevraagd: de hoogte van den afgeknotten kegel. De homogene afgeknotte kegel CDD'C1 (zie figuur) wordt met het ronde oppervlak op een horizontaal vlak PQ neergelegd. Het zwaartepunt van dien afgeknotten kegel ligt in eenig punt zijner as AB. Ligt het voetpunt van de loodlijn uit het zwaartepunt op het horizontale vlak PQ neergelalen tussclien de uiteinden C en D van de beschrijvende!! lijn van den afgeknotten kegel volgens welke het ronde oppervlak het horizontale vlak PQ raakt, dan is er evenwicht; snijdt echter die loodlijn uit het zwaartepunt neergelaten het horizontale vlak PQ in het verlengde van CD, dan zal de afgeknotte kegel om het punt D kantelen. De afgeknotte kegel CDD'C' is dus op het puilt om te kantelen, als de loodlijn GD uit het zwaartepunt G neergelaten, het horizontale vlak PQ in D snijdt. De straal AD van het bovenvlak is r: noemen wij R = 3 r, den straal BC van het grondvlak en de hoogte AB H, dan is de afstand GA van het zwaartepunt G tot het bovenvlak (vergelijk Vraagstuk 1905 No lila) 1 ,, r' -(- 2r R -|- 3 R2 c , „ 1 34 rs 17 4 H r- + r IT+-R— °f da3r R = 3 * is. ^ GA = I H f| L = g H. Laten wij uit het punt D eene loodlijn DE op CB neer, dan heeft men: CE = 2r en DE H. Uit de gelijkvormigheid der driehoeken EDC en ADG volgt: CE : ED = GA : AD of 2r:H= H:r 26 of H2 = I« waaruit volgt: H = vr V 13 = 2' r V~ÖÖV 17 17 1901. No. 2. Eene homogene, over hare geheele lengte even dikke staaf AB, lang 3 Meter en wegende 30 K.G., rust met het uiteinde A op een horizontaal vlak. Aan het uiteinde B van de staaf is een koord van 5 M. lengte bevestigd, waarvan het andere uiteinde is vastgemaakt in een punt C, dat 5 M. verticaal boven A gelegen is. Hoe groot is de kracht, die in horizontale richting op het punt A moet werken, om het uitglijden Van de staaf te beletten? Hoe groot is de spanning in het koord en de drukking op het horizontale vlak? De wrijvings-coëfficient is 0,2. Het gewicht van het koord wordt verwaarloosd. Er wordt ondersteld dat de staaf AB (zie figuur) in evenwicht is onder de werking van vijf krachten, deze zijn: le. het gewicht G der staaf, aangrijpende in het midden L der staaf. 2e. de spanning S in het koord BC. 3e. de normale bovenwaarts gerichte reactie D van het horizontale vlak MN, waarop het ondereinde A der staaf rust. 4e. de wrijvingsweerstand, welke het uiteinde A der staaf ondervindt voor het horizontale vlak, waarop dit uiteinde rust, welke weerstand gelijk is aan het product fD, wan¬ neer f de wrijvings-coëfficient voorstelt en 5e. de horizontaal gerichte kracht P, welke in het uiteinde A op de staaf moet werken om het uitglijden er van te voorkomen. Omdat de staaf in evenwicht is onder de werking dezer vijf krachten moet zoowel de algebraïsehe som harer momenten ten opzichte van een willekeurig punt, als de algebraïsche som harer projecties op eene willekeurige lijn gelijk nul zijn. Zij F het punt, waar de loodlijn uit L neergelaten, het horizontale vlak MN snijdt en AK de loodlijn uit A op BC neergelaten, dan heeft men dat de algebraïsche som van de momenten der vijf krachten ten opzichte van het punt A d. w. z. G X AF — S X AK gelijk nul moet zijn. Daar BC = AC = 5 Meter is, is driehoek ABC gelijkbeenig en deelt dus CL den tophoek ACB van dezen driehoek middendoor, zoodat |_ BCL = |_ ACL is. Omdat de beenen van de hoeken BAK en BCL elkaar rechthoekig snijden, zijn die hoeken aan elkaar gelijk; om dezelfde reden is ook[_LAF = ACL, waaruit volgt dat ook |_ BAK is. Driehoek LAF is dus gelijkvormig met driehoek BAK en daar AL = ^ AB is, is ook AF = ^ AK. Uit de betrekking G X AF — S X AK = 0 volgt dus S = ' O. De spanning S in het koord BC is derhalve, omdat G = 30 K.G. is, gelijk 15 K.G. Ontbinden wij nu S in zijn twee Composanten, de eene S, verticaal, en de andere S, horizontaal gericht. Omdat van de rechthoekige driehoeken Sa BC en KCA de hoeken S, BS cd KCA aan elkaar gelijk zijn als verwisselende binnenhoeken, en die driehoeken dus gelijknamig zijn, heeft CK A K S' = ^ X S en Ss — ^ X S. Nu is, omdat driehoek BAC gelijkbeenig is, |_ CBA = |_ CAB en zijn dus de rechthoekige driehoeken BKA en ALC 3 gelijkvormig, zoodat: BK ; AB AL: CA of BK : 3 = : 5, waaruit volgt: BK = 0.9 M., CK = BC — BK = 5-0.9 - 4.1 Meter en AK = J/ ABa - BK* = 1/ 9—0.81 — |X 8.09 = 2862 Meter. Men vindt dus: S, = ^ X S = 4 1 A K 9 Qfio 5 X 15 = 12.3 K.G. en S, ™ X S = °° X 15 - 8.580 K.G. De algebraïsche som der projecties van de vijf krachten op eene verticale lijn gelijk nul stellende, komt men tot de betrekking: D -f- Si G — 0, of D — G — S, =30 — 12.3 = 17.7 K G. De drukking, welke het uiteinde A der staaf op het horizontale vlak MN uitoefent, is gelijk in grootte, doch tegengesteld in richting met de reactie D; de grootte van die drukking is dus 17.7 K.G. De algebraïsche som van de projecties der vijf krachten op eene horizontale lijn gelijk nul stellende, vindt men P + fD — Sa = 0, of 1' S, — fD. Hierin is S, = 8.586 K.G. en, daar f = 0.2 is, fD = 0.2 X 17.7 = 3.54 K.G-, zoodat de kracht P, die in horizontale richting op het uiteinde A der staaf moet werken om het uitglijden er van te beletten is: 8.586 — 3.54 = 5046 K.G. ü. 1901. No. 3 Over eene gladde horizontale pen hangt een koord. Aan het eene uiteinde van dit koord wordt een gewicht van 15 K.G. aan het andere uiteinde een gewicht van 10 K.G. opgehangen, beide op eene hoogte van 3 M. boven een horizontaal vlak. Moe groot is, gedurende de beweging, de spanning van het koord? Als 1 secunde na den aanvang der beweging het koord breekt, met welke snelheden vallen dan de gewichten op het horizontale vlak? De versnelling der zwaartekracht worde op 10 M. gesteld. Wij stellen ons voor, dat om de glade horizontale pen C een koord geslagen is, dat volkomen buigbaar en niet rekbaar is, en waarvan wij de massa mogen verwaarloozen (zie fig). Aan de uiteinden van dat koord zijn bevestigd de lichamen A en B, wier gewichten respectievelijk G 15 K G. en G1 = 10 K.G. zijn. In den aanvang worden — door b.v. het lichaam A voldoende te ondersteunen — de beide lichamen A en B in een zelfde horizontaal vlak MN gehouden, welk vlak 3 meter boven het vaste horizontale vlak PQ ligt. Laten wij nu plotseling de beide lichamen aan zich zelf over m.a.w. ondersteunen wij niet langer, zooals wij hierboven onderstelden, het ncnaam A — dan is, omdat A zwaarder is dan B, het evenwicht verbroken; de beide lichamen A en B geraken in beweging; A daalt en B. rijst. Beschouwen wij nn de beweging der lichamen A en 15, terwijl zij nog door het koord verbonden zijn door de beweging die plaats grijpt vóór dat het koord breekt. Daar er geen wrijving bestaat tusschen liet koord en de pen C, is de spanning in de beide deelen AC en BC van het koord dezelfde. Die spanning stellen wij voor door S. Wij kunnen reeds dadelijk opmerken, dat die spanning S kleiner moet zijn dan 15 K G. en grooter dan \2 K.G.; immers ware zulks niet het geval, dan zou het lichaam A niet dalen en het lichaam 15 niet rijzen. Bovendien merken wij op, dat aangezien het koord onrekbaar wordt ondersteld, in elk willekeurig tijdsverloop A evenveel daalt als B rijst, op elk willekeurig tijdsstip is dus de benedenwaarts gerichte snelheid van A dezelfde als de opwaarts gerichte snelheid van B. (Gedurende de beweging blijft dus de spanning S van liet koord constant en hebben de beide lichamen een gelijkmatig versnelde beweging. De resultante van de beide verticaal gerichte krachten, welke op A werken, is G — S K.G., en benedenwaarts gericht; de resultante der beide eveneens verticaal gerichte krachten, welke op B werken is S—G' K.G. en opwaarts gericht. Stellen wij de gemeenschappelijke versnelling der beide lichamen A en 15 voor door i en de versnelling der zwaartekracht door «, zoodat de massa van het lichaam G Qi A en die van het lichaam B f is, dan komen wij op grond van betrek- o O king: „kracht gelijk massa maal versnelling" tot de beide formules: S = X j cn S—G1 = ^ X j, waaruit volgt: G-S S-G' .. J = G X 8 = G, X 0) Hieruit blijkt °~S = S'~Gl of S = Daar G = 15 K.G. en G1 = 10 K.G. is, ziet men dat de spanning van het koord gedurende de *ewee,„E „ ^ X ...X ,0 . m. |2 ,Q 0mda, Q-S = S-O-_ , „ en g = 10 M. per seconde gesteld wordt, is de versnelling j = ' X 10 = 2 Meter per seconde. In ééne seconde is dus het lichaam A \ X 2 X i'J 1 Meter gedaald en B 1 Meter gerezen. Als dus ééne seconde na den aanvang der beweging het koord breekt, bevindt zich A3-I = 2 Meter boven het horizontale vlak P Q en B 3 + 1 = 4 Meter boven dat vlak, terwijl de gemeenschappelijke snelheid v dier beide lichamen op dat oogenblik is j X 1 = 2 Meter per seconde. Beschouwen wij nu de beweging van elk der beide lichamen na het breken van het koord in de periode, waarin zij zich onafhankelijk van elkaar bewegen en alleen de zwaartekracht op hen werkt. Noemen wij M de massa van het lichaam A XM = G) en vA de snelheid, waarmede het lichaam A op het horizontale vlak P Q neerkomt. De toename van de kinetische energie gedurende den vrijen val van dat lichaam is dan 2 M. ( yA a _ va) en (je art,ej(j j00r de zwaartekracht verricht is G X 2 K.Q.M. Men heeft dus de betrekking: , M ( vA a _ v*) = Q X 2 of vA a - V2 _|_ 4 O - v3 + 4 g z M i s Nu vonden wij hierboven v = 2 M. per seconde, zoodat het lichaam A het horizontale vlak P Q bereikt met eene snelheid vA = (/ va + 4g = I ■! + •) X 1U |44 — 2 | 11 Meter per seconde- Noemen wij M' de massa van het lichaam B (Ml = ° ) en v„ de g / snelheid, waarmede dat lichaam het horizontale vlak PQ bereikt, dan is: !2 M1 ( v„ a V') = G' X 4 of v„ a = v» _|_ 8 ^ _ y, 8g zoodat het lichaam B op het horizontale vlak P Q neerkomt met eene snelheid vB = va _J_ 8g - | 4 + 8 x 10 _ | 84 - 2 J/ 2, Meter per seconde. Zonder gebruik te maken van het beginsel van behoud van energie, kunnen wij ook als volgt de waarden van v,\ en vh vinden: Stel den tijd, welke verloopt tusschen het oogenblik, waarop het koord breekt, en dat waarop A het horizontale vlak P Q bereikt, gelijk ti seconden, dan is: vt, = ^ gt,2 = 2 Meter, zoodat daar v = 2 en g — 10 is, 5 t.' + 2 t, - 2 = 0 of t, = ~ 1 11 5 Hieruit volgt VA = v -f gt = 2 -f 10 X ~~ —- = 21/11 Meter per secunde. ^ Noemen wij verder t, den tijd, welke er verloopt tusschen het oogenblik, waarop het koord breekt, en dat, waarop het lichaam B hef horizontale vlak PQ bereikt, dan is: - vt, + ^ gt,2 = 4Meter of 5 t," - 21, - 4 = 0, zoodat t, = ' Hieruit volgt: vb = — v + gt,=—2+10x'~^ 3 O — 2 [/ 21 Meter per seconde. Opmerking: Noemen wij x den weg, welken liet lichaam B ni liet breken van het koord nog in opwaarlscbe richting aflegt, dan is blijkbaar X = 2g = 2 X 10 = = °'2 Me,er' De pen C moet dus minstens 4.2 Meter boven het vlak P Q zijn aangebracht, om de beweging, zooals wij die hebben voorgesteld, mogelijk te doen zijn. K. 1902. No. l. Een massieve bol hangt aan een koord en steunt met het bolvormige oppervlak tegen een verticalen muur. Het koord is aan een punt van den omtrek van het platte grondvlak en aan den muur bevestigd; de richting van het koord maakt een hoek van 30o met den muur. Hoe groot is de hoek, welken het platte grondvlak, in den evenwichtsstand, maakt met den muur? Wrijving wordt buiten rekening gelaten. De massieve halve bol, waarvan wij den straal door r zullen aangeven, steunt tegen den verticalen muur I' Q (zie figuur) en is opgehangen aan het koord AB' dat in A aan een punt van den omtrek van het platte grensvlak van den halven bol en in B aan den verticalen muur PQ is bevestigd. De hoek ABQ, welken het koord AB met den muur PQ maakt, is 30°. Noemen wij de spanning van het koord AB S en de reactie, welke de halve bol in zijn aanrakingspunt met den muur ondervindt R. dan zijn de drie krachten, welke op den halven bol werken: le zijn gewicht Q, aangrijpende in zijn zwaartepunt Z, dat ligt in zijn figuuras OZ op een afstand OZ van het middelpunt O 3 gelijk r, 2e de loodrecht op den muur O gerichte reactie R, werkende in het aan¬ rakingspunt van halven bol en muur en 3e de spanning s van het koord, aangrijpende in A en gericht van A naar B. In den evenwichtstoestand is zoowel de algebraïsche som der projecties van die drie krachten op eene willekeurige lijn, als de algebaïsche som harer momenten ten opzichte van een willekeurig punt gelijk nul. Noemen wij de projectie van S op eene verticale lijn S, en hare projectie op eene horizontale lijn S,, dan vindt men door uit te drukken, dat de algebraïsche som der projecties van de drie krachten G, S en R op eene verticale, zoowel als op eene horizontale lijn gelijk nul is, de twee betrekkingen : G — Si = 0 (1) en R — S, = 0 (2). Uit (1) volgt S, = G en uit (2) R = S, Nu is |_ S A S, — 30° en dus Sa = S! tang 30°, zoodat men heeft: R — S, tang 30° — G tang 30° (3). Door uit te drukken dat de algebraïsche som der momenten van de drie krachten G, S en R ten opzichte van het punt A gelijk nul is, krijgt men de betrekking: G X CD - R X AC = 0 (4). wanneer C en D de punten zijn, waar de verticalen door A en Z, de horizontale, door het middelpunt O gaande, richting van R snijden. Noemen wij den gezochten hoek OAC, dien het platte grensvlak van den halven bol niet de verticale richting AC maakt, ck dan is OC = r sin oc. Verder is hoek ZOD gelijk aan hoek OAC, omdat de beenen van den eenen hoek loodrecht staan op die van den anderen, zoodat OD = 3 o OZ cos oc = r cos oc, waaruit volgt CD = OC — OD = rsin oc — 8 • 3 r cos oc = (sin öc — cos oc) r. Ook is AC — OA cos |_ OAC = r cos oc, zoodat, in verband met (3) de betrekking (4) wordt: G X (sin oc — ■ cos oc) r — G tang 30° X r cos oc = 0 of sin oc — cos oc — tang 30° cosoc = 0 O dus tang oc = ^ -f tang 30° = * + ^ V '~3 — 0.375 + 0.57735 = 0.95235, waaruit volgt: oc = 43° 36'. HV. 1902. No. 2. De kleinste kracht, die een lichaam, geplaatst op een ruw hellend vlak, met een hellingshoek van 40°, naar boven kan bewegen, is 1'/, maal zoo groot als de kleinste kracht, die dat lichaam het dalen kan beletten. Hoe groot is de wrijvingshoek ? Plaatst men dit lichaam aan den voet van het hellend vlak en deelt men het eene snelheid mede van 20 M. in de richting van de helling, dan bereikt dit lichaam het hoogste punt van het hellend vlak, juist als de snelheid gelijk nul is geworden. Hoe lang is het hellend vlak? De versnelling der zwaartekracht wordt gelijk 10 M. gesteld. Eerste gedeelte. Nemen wij aan, zooals vermoedelijk in de bedoeling ligt dat de richting van de in liet eersie gedeelte van het vraagstuk genoemde kleinste krachten evenwijdig aan het hellend vlak loopt. Noemen wij het gewicht van het lichaam O- dan zijn de ontbondenen van het gewicht volgens en loodrecht op het hellend vlak respectievelijk G sin 40° en O cos 40° (zie figuur I) Is het lichaam op het punt door cene kracht P evenwijdig aan het hellend vlak naar boven te worden getrokken, en werkt dus de wrijvingsweerstand W in benedenwaartsche richting, dan is de kracht P gelijk aan de som van de projectie G sin 40° van G op dit hellend vlak en de wrijvingsweerstand W. Deze wrijvingsweerstand VV is, wanneer wij den gezochten wrijvingshoek door tv voorstellen, gelijk G cos 40° tang tv, zoodat men heeft; P = G sin 40Q -)- G cos 40° tang oc = (sin 40° + cos 40° tang tv) G = Si" 40° cos H' + Cüs sin Q _ COS IV sin (40° + iv) cos IV J' Wanneer het lichaam op het punt staat te dalen, werkt de wrijvingsweerstand W in cene richting, tegengesteld aan die, waarin het lichaam op het punt staat, zich te gaan bewegen, dus bovenwaarts (fig. II). De kleinste Kictiiu r » wem*, iili uaicii van iiei lichaam kan beletten, is dus: P, = G sin 40° — W = ((sin 40° — cos tang w) G = sin 40° cos tv — cos tv sin tv „ G cos tv sin (40° - tv) Q 0mdat p= i cos tv 2 . sin (40° + tv) is, is G = cos tv sin (40° — tv) ,, t . . G of sin (40" + tv) cos tv VI/ = sin (40" — iv) of tang iv = 0.2 t.inor Jflo. waaruit volut: iv = Qo3i' ^5"4 of bij minder nauwkeurige berekening tv 9"32'. Tweede gedeelte. Aan den voet van het hellend vlak wordt aan het lichaam welks gewicht door G wordt voorgesteld en welks massa dus = 1(j = 0.1 G is, eene snelheid v = 20 M. per seconde medegedeeld in de richting van het hellend vlak. Wanneer hei lichaam het hoogste punt van het hellend vlak heeft bereikt, is zijn snelheid en dus zijn kinetische energie nul geworden. Vanaf het oogenblik, waarop het lichaam zich begint te bewegen tot het oogenblik, waarop het het hoogste punt van het hellend vlak heeft bereikt, is zijne kinetische energie afgenomen met } mva = X 0-1 Q X 20- = 20 G. In dien tijd hebben op dat lichaam gewerkt de zwaartekracht en de wrijvingsweerstand. De arbeid in dien tijd door de zwaartekracht verricht, is wanneer wij de lengte van het hellend vlak L noemen, G X L sin 40°: de arbeid door den wrijvingsweerstand in dien zelfden tijd verricht, is W X L = G cos 40» tang w X L. Men heeft dus de betrekking: G (sin 40° + cos 40° tang w) = 20 G of L „ ^ sin 40° + cos 40° tang w 20 cos w — sj n (40° -(- w) Daar V00r 9"31 35''4 gevonden werd, heeft men: . _ 20 cos 9°31' 35",4 20 cos 9°31' 35",4 sin (40° -f 9031' 35",4) ~ sin 49°31' 35",4 ~ 25.929 Meter. Opmerking. Wij hebben hierboven, bij de oplossing van het eerste gedeelte van het vraagstuk, ondersteld dat de richting der krachten P en P, evenwijdig loopt aan het hellend vlak. Echter valt op te merken dat P en P, niet in absoluten zin de kleinste krachten zijn, welke het lichaam respectievelijk naar boven doet bewegen en het dalen kan beletten. Immers onderstellen wij dat de kracht P1 met de bovenwaartsche richting van het hellend vlak een hoek cc maakt (figuur lil), welke hoek blijkbaar kleiner is dan 90o en als positief beschouwd worde als hij den stand ten opzichte van het hellend vlak heeft, welke hem in de figuur III is toegekend. Is Pi de kleinste kracht, welke het lichaam naar boven kan doen brengen, dan heeft men de betrekking: P1 cos oc = G sin 40° + (G cos 40° P1 sin oc) tang ii1 of: p _ s'n 40° + eos 40° tang w q cos cc -)- sin oc tang w sin 40" COS ii' + cos 40" sin w „ cos cc cos W -f- sin o< sin if sin (40° + w) cos (cc — w) Daar w en G constant zijn, is P' zoo klein mogelijk, als cos (oc u>) zoo groot mogelijk is, d. w. z. als cos (oc — n>) 1, dus oc — w — 0, of oc = tv is, I11 dat geval is P1 = G sin (40" + w). Onderstelt men de kracht P,1 met de bovenwaartsche richting van het hellend vlak een hoek li maakt, welke hoek B blijkbaar kleiner dan 90° is en ais positief beschouwd wordt als hij ten opzichte van het hellend vlak den stand heeft, welke hem in figuur IV is toegekend en voorts dat P,1 de kleinste kracht is, welke het lichaam het dalen kan beletten, dan heeft men debetrekking: P,1 cos B — G sin 40° — (G sin 40° + P,1 sin B) tang w of P 1 = sin 40° ~ cos 40° tanK w Q — sin (40° ~ r cos B — sin B tang w — cos (fi — w) 1 Deze kracht P,1 is zoo klein mogelijk, als B — w is, in welk geval P,1 = O sin (40° — h>). Door Pl = 1 } P,' te stellen, komen wij weer tot de voorwaarde sin (40° + w) — 1.5 sin (40° — w) of tot iv = 9°31' 35",4 Zoowel het antwoord op het eerste als op het tweede gedeelte van het vraagstuk blijft dus hetzelfde of wij onder de in het vraagstuk genoemde kleinste krarhten verstaan de krachten Pi en P,welke absoluut de kleinste zijn, dan wel de kleinste krachten P en IV wier richtingen evenwijdig aan Pl f> 1 het hellend vlak zijn. Men ziet echter dat aangezien = 1 = cos w — ■ Pi cos 9°31' 35",4 = 0.98622 = 1 - 0.01378 is, P' en P,> respectievelijk + l.4°/o kleiner zijn dan P en P,. B. cn Bt. 1902. No. 3. Een lichaam P van 20 K G. wordt uit een punt A, in het oppervlak der aarde gelegen, verticaal naar boven geworpen met eene aanvangssnelheid van 40 M. Twee seconden te voren had men uit een punt B, dat ligt in de verticaal, die door A gaat, op een afstand van 200 M. boven A, een lichaam Q van 10 K.G. vrij laten vallen, zoodat beide lichamen in rechte centrale botsing komen. Als de lichamen als volkomen veerkrachtig worden beschouwd, vraagt men, na hoeveel lijd en met welke snelheden P en Q den grond bereiken ? De versnelling der zwaartekracht wordt gelijk 10 M. gesteld. Noemen wij • het aantal seconden, welke verloopen vanaf het oogenblik, waarop het lichaam P uit het punt A, dat in het oppervlak der aarde gelegen is (zie figuur) wordt opgeworpen met eene aanvangssnelheid v„ = 40 M. per sec tot aan het oogenblik, waarop in het punt C de botsing plaats heeft van P niet het lichaam Q, dat men uit het punt B (gelegen in de verticaal, die door A gaat, op een afstand van 200 M. boven A) vrij heeft laten vallen, twee seconden vóór dat P werd opgeworpen. De weg BC. dien het lichaam Q heeft doorloopen vanaf het oogenblik, waarop men het in B vrij heeft laten vallen tot het oogenblik der botsing wordt uitgedrukt door lg (t + 2)' en de weg AC, dien het lichaam P heeft doorloopen vanaf het oogenblik, waarop het uit A is opgeworpen tot het oogenblik der botsing is Vot-i-gt', wanneer wij door R de versnelling der zwaartekracht voorstellen. Men heeft dus: j J- g (t + 2!)' | + j v„t - \ gt« [ = BC + AC — AB. Hierin g = 10, v„ = 40 en AB = 200 stellende, vindt men t = 3 sec. De lichamen P en Q botsen dus 3 sec, nadat P is opgeworpen. De hoogte AC = Vot —Igt' is dus 40X 3 - 10 X 3' = 75 Meter. He' Tl. ^ W3ar de liChamCn P en Q botsen- du* 75 M. boven de oppervlakte der aarde. Wanneer het lichaam P het punt C bereikt, is zijne van W , „= VJ? = 40 ~ 10 X 3 = 10 M. per sec.; de snelheid v van het lichaam Q bij het bereiken van het punt C is g (t -f 2) = 10 X (3 + 2) = 50 Meter per seconde. Wanneer een lichaam P, dat eene massa en eene snelheid _V bezit, in rechte centrale, volkomen veerkrachtige botsing komt met een ander lichaam Q, dat eene massa - heeft en welks snelheid v eene richting heeft tegengesteld aan die der snelheid V dan verkrijgt tengevolge der botsing het lichaam P eene snelheid U = 2'c - V en het lichaam Q eene snelheid u = 2c + v, wanneer C = MV ~ mv is en wij de richting der snelheid V als positief aanmerken. massa's der lichamen P en Q verhouden zich als hunne gewichten, zoodat in ons vraagstuk — = -- = 2 en dientengevolge C = — mv _ M v _ v M + 01 JL * 2 X 10 — 50 _ in . ^ 4 .. M — 2 + i ,s' Z00(lat W1J vinden: m 1 ^ ~ ^ ~ 2 X 10 — 10 — — 30 M. per sec. en u = 2c4-v — ~ 2 X 10 + 50 = -(- 30 Meter per secunde. Onmiddellijk na de botsing in C heeft dus het lichaam P eene benedenwaarts gerichte snelheid en het lichaam Q eene opwaarts gerichte seconde' Rrootte van elk dier twee snelheden U en u is 30 Meter per Noemen wij t, den tijd, welke verloopt van het oogenblik der botsing in C tot het oogenblik, waarop het lichaam P den grond bereikt, dan is: U X ti -(- ^ gtt» = CA of daar U = 30, g = 10 en CA = 75 is: ^ 5 V-* + 30 t, - 75 = 0; t, + 61, - 15 = 0, dus t, = - 3 + + 15 ~ ~ 3 +1 24> daar de negatieve wortel der vierkantsvergelijking geene beteekcnis voor ons vraagstuk heeft. Daar de tijd, waarin oor et lichaam P den weg AC in bovenwaartsche richting doorloopen wordt, 3 sec. bedraagt, bereikt dat lichaam weder den grond 3 -)- ( 3 _j_ 1/ 24 = |/ 24 - 2 | 6 sec- nadat het uit het punt A is opgeworpen. Werktuigkunde. 11 De snelheid waarmede het lichaam den grond bereikt, is V + gt = 30 + 10 (— 3 -)- [/ 24) — 10 1/ 24 — 20 ) 6 Meter per seconde. Onmiddellijk na de botsing heeft het lichaam Q eene bovenwaarts gerichte snelheid u van 30 M. per sec. Die snelheid wordt nul in het hoogste punt zijner baan ; nadat dit punt bereikt is, begint het lichaam te dalen. Bij die daling weer in C teruggekomen, heeft het lichaam eene benedenwaarts gerichte snelheid van 30 M. per sec. Deze snelheid is in grootte en richting gelijk aan de snelheid, welke het lichaam P onmiddellijk na de botsing bezat; het blijkt ons dus, dat ook het lichaam Q met eene snelheid van 20 | 6 Meter per seconde den grond bereikt. Noemen wij t, den tijd, gedurende welken het lichaam Q zich, nadat de botsing heeft plaats gehad, nog in opwaartsche richting beweegt, dan is u — gt3 = 0, of daar u 30 en g 10 is, 30 — 10 X t, 0, dus t, = 3 seconden. Om na in het hoogste punt zijner baan te zijn gekomen, weder tot C te dalen, zijn nogmaals 3 sec. noodig; het lichaam Q komt dus op den grond neer 3+3 6 sec, later dan F1, en met dezelfde snelheid van 20 [/ 6 Meter per sec., waarmede P den grond bereikt heeft. HV. 1903. No. l. Een bolsegment ligt met het platte grensvlak op een ruw hellend vlak, en is zoowel op het punt om te kantelen als om af te glijden. Als de straal van den bol R centimeters en de hoogte van het segment h centimeters is. vraagt men den hellingshoek en den wrijvingscoëfficient te berekenen voor h — \*U R. (Let op de derde vraag). De gedachtengang, welke tot de oplossing van dit vraagstuk leidt, is geheel dezelfde als die, welke tot de oplossing der vraagstukken 1879 No. 1 en 1895 No. II brengt. De figuur stelt voor de doorsnede van het bolsegment met een verticaal vlak, loodrecht op het hellend vlak, gaande door het middelpunt O van den bol, waartoe het segment behoort. In deze doorsnede ligt het zwaartepunt G van het bolsegment; de verticaal uit dat zwaartepunt O neergelaten moet gaan door het laagste punt B van het platte grens¬ vlak BB1 van het bolsegment..Noemeti wij de hellingshoek van het hellend vlak oc, dan is die hoek oc gelijk aan hoek AQB, omdat de beenenvanden eenen hoek loodrecht staan op dien van den anderen. De wrijvingscoëfficient f, gelijk aan de tangens van den hellingshoek oc. is dus ook gelijk aan de tangens van den hoek AGB. w h F'-t'T6 ,G^ Va" hCt zwaar,ePunt 0 van het bolsegment DB'ABD tot het middelpunt O van den bol is, wanneer de straal OD = OC = RcM. en de pijl gelijk aan ~ ^ ^ ^ centimeter. Omdat gegeven is dat 1 (RV AC — 2 R-h = R is, is 3 R-h = 1 ! R en dus GO = 1 -il = 1 R 5 4 6 R 40 ' 5 waaruit volgt AG = GO -f OA = 1 R -l 4 u _ 33 u 40 5 40 Daar verder AB = VAC X AD = V\ RX1 \ R = 3 Ris.heeft 3 R 11160 tangcx tang L AGB = « = « ofoc bg tang 8 ^ 2, 40 R Men ziet dus, dat de hellingshoek van het hellend vlak 36° 2' en de wrijvingscoefficiënt ^ is. H. V. era. Bt. 1903. No. 2. Op een hellend vlak met een hellingshoek van 30° rust een lichaam A, dat 2 F kilogram weegt. De afstand van het lichaam A tot den top van het hellend vlak bedraagt 140 Meters. Aan dit lichaam geeft men, in de richting der helling naar boven, eene aanvangssnelheid van 50 Meters Nadat het een weg van 80 Meters heeft afgelegd komt het in rechte centrale volkomen veerkrachtige botsing met een lichaam B, dat P kilogram weegt en dat op het hellend vlak in rust is. Dit lichaam B beweegt zich vervolgens in de richting van de helling, verlaat den top van het hellend vlak en treft een horizontaal vlak dat 75 Meters beneden dien top ligt De wrijvingscoëfficient van elk der lichamen A en B met het hellend vlak bedraagt "3 |/ 3; de versnelling der zwaartekracht wordt gelijk 10 Meters gesteld. Gevraagd wordt: a. de aanvangssnelheid, die het lichaam B tengevolge van de botsine verkrijgt; s b. hoeveel seconden, na het verlaten van het hellend vlak, het horizontale vlak getroffen wordt; c. hoe groot de afstand is, dien het lichaam B, na het verlaten van het hellend vlak, dan in horizontale richting heeft afgelegd. (Let op de derde vraag). Het gewicht Q van het lichaam A is 2 P Kilogram; zijne massa stellen wij voor door M, zoodat M ° is, wanneer g de versnelling van de zwaartekracht voorstelt. Aan dit lichaam A, dat op een hellend vlak, waarvan de hellingshoek 30" bedraagt, in rust is, wordt in de richting der helling naar boven eene aanvangssnelheid V„ 50 Meter per seconde medegedeeld, m. a. w. het verkrijgt eene kinetische energie ^ M V„\ Wanneer wij de snelheid, welke het lichaam A uog bezit, nadat het eene weg 1 80 M. heeft afgelegd, V noemen, is zijne kinetische energie aan het eind van dien weg MV3 en dus de vermindering zijner kinetische energie aan het eind van dien weg 1 M Vï en dus dc vermindering zijner kinetische energie bij het doorloopen van dien weg l M (V„3 - V'J). Deze vermindering van kinetische energie is gelijk aan de som van de hoeveelheden arbeid, verricht door alle krachten, welke op het lichaam hebben gewerkt. Die krachten bepalen zich tot de zwaartekracht, de wrijvingsweerstand en de normale reactie van het hellend vlak. De arbeid door de zwaartekracht verricht is omdat de hellingshoek van het hellend vlak 30° is, gelijk G X ' sin 30o; daar de wrijvingsweerstand fü cos 30° is, wanneer f de wrijvingscoefficient voorstelt, is de arbeid door den wrijvingsweerstand verricht fO cos 3Co X 1, terwijl de arbeid van de normale reactie van het hellend vlak gelijk nul is. Men heeft dus de betrekking — M. (W — V3) = Q 1 sin 30« -f- fGl cos 30°. — M (Vo1 — V2) (sin 30° + fcos 30") G1 Q of, voor M = stellende: — V02 — 2 (sin 30° + f cos 30°) gl. Nu is gegeven dat V° = 50, f — ^ I 3, g = 10 en 1 = 80 is, terwijl sin 30° = \ en cos 30° = |/ 3 is, zoodat men heeft: v. = 50, _ 2 ({ + 3 V 3 X 2 ^3 ) X 10 X 80 = 900 of V = 30. Nadat het lichaam A een weg van 80 M. heeft doorloopen is derhalve zijn snelheid V — 30 Meter per seconde geworden. Met die snelheid komt het lichaam A in rechte centrale, volkomen veerkrachtige botsing met een lichaam B, dat G, = P kilogram weegt en op het hellend vlak in rust is Daar het gewicht van B de helft van dat van A is, is ook de massa m M van B de helft van die van A, zoodat m = 2 is- De snelheid u, welke het lichaam B onmiddellijk na de botsing bezit, is 2 M 2 M v _ m v Hierin = 2 en V = 30 stellende, vindt men M + m M , j m m 2X2 u 2 +1 X 30 40' De aanvangssnelheid, die het lichaam B tengevolge van de botsing verkrijgt, en dus 4U Meter per seconde. Stellen wij de snelheid waarmede liet lichaam B den top van het hellend vlak bereikt, u. De afname zijner kinetische energie, gedurende zijne beweging over het hellend vlak is dan ^ m u' - ' m u," = ] m(u*_ui') terwijl de weg I, in dit deel zijner beweging doorloopen is 140 - 80 60 M Door op de wijze als hierboven voor de beweging van het lichaam A werd aangegeven, de afname der kinetische energie van B gelijk te stellen aan den som der hoeveelheden arbeid, welke verricht wordt door elk der krachten welke op het lichaam B werken, vindt men: 2 1,1 ~~ u'2) Gl X li sin 30° + fö, cos 30°X li of, daar m G' is- g Ui2 U" 2 (sin 30o -|- f cos 30°) glt. In deze laatste betrekking voor u 40, f •' |/ 3 , g 1 ) en 1, 60 invoerende, krijgt men: u,2 40» — 2 (y -f- 1 JX 3 x ' |X"3) X 10 X 60 400 dus Ut = 20. De snelheid u, waarmede het lichaam B den top van het hellend vlak bereikt, is dus 20 Meter per seconde. Vanaf den top van het hellend vlak doorloopt het lichaam B een paraboolboog, 0111 na een tijd, welken wij door 1 seconden zullen aangeven, een horizontaal vlak te treffen dat 75 Meter beneden dien top ligt. Ontbinden wij de snelheid u, 20 Meter per seconde, gericht volgens het hellend vlak, in hare horizontale en verticale composanten; de horizontale composante »h is u, cos 30o 20 X ' [/ 3 10 J/ 3 Meter per seconde en de verticale composante "v is u, sin 30" 20 X 2 '0 Meter per seconde. Wij hebben nu de betrekking: Y st' — uv t = 1, of: 2 X 10 X t1 - 10 X t = 75 dus 5t'J — 10 t — 75 = 0, of t2 — 21 — 15 0 en (t 5) (t — 3) = 0. Daar de negatieve wortel t 3 geenerlei beteekenis voor ons vraagstuk heeft, vindt men dat de tijd, welke verloopt tusschen het oogenblik, waarop het lichaam B het hellend vlak verlaat tot dat, waarop B het horizontale vlak treft 5 seconden is. De afstand, welken het lichaam B 11a het verlaten van het hellend vlak in horizontale richting aflegt is «h X t 10 JX 3 X 5 50 1/ 3 Meter- Z. en Bt. 1903. No. 3. Gevraagd wordt af te leiden: a. de formule voor het zwaartepunt van een bolsegment, als de formules voor de zwaartepunten van een bolsector en een kegel bekend ondersteld worden: b. de formule van de botsing, in het vorige vraagstuk toegepast. a. Gaan wij i>erst na het geval, dat het bolsegment kleiner is dan de halve bol. Stel de straal van den bol R, de hoogte AB van het bolsegment ACBC'A h. en de straal BC. van het platte grensvlak van het bolsegment r. De inhoud van den bolsector AD OC'A is gelijk aan het product van het bolle oppervlak van het bolsegment ACBC'A en het een derde deel van den straal van den bol of daar dit bolle oppervlak 2 | RX AB 2 | Rh is, gelijk aan ~ i R'-h. De inhoud van den kegel OCBC'O is Ti BC2 x -3 BO 1 r' x 3 (R — h) ^ I (R ~ ^ r'' 'n'louc' ' van 'let bolsegment ACBC'A is dus 23 | R2 h - y | (R - h) r2. Nu is BC2 BD X AB of r2 (2 R — h) h, zoodat men vindt voor den inhoud I van het bolsegment ACBC'A : I = | R2h - 3 711 (R — h) (2 R — h) h y | | 2 R2 - (R - h) (2 R - h) J h = y Tl (3 R - h) h2 . . . . (1) De afstand van het zwaartepunt van den bolsector ACOC'A tot het middelpunt O is ^ ( R — jj) en de afstand van het zwaartepunt van den kegel OCBC'O tot het middelpunt O is ^ OB ^ (R — h). Het moment van het bolsegment ACBC'A tot het vlak door het middelpunt O evenwijdig aan liet platte grensvlak van het bolsegment gebracht, is: Inhoud bolsector ACOC'A X ^ (R — y) — Inhoud kegel OCBC1 X 4 (R _ h) = IR'h X 4 ( R - 2) ~ (R~h)r2xJ(R- h). = \ | J R2 (2 R — h) h — (R — h)2 r2 | of, daar r' = (2 R - h) h is, \ | | Ra (2 R - h) h - (R - h)2 (2 R - h) h | J I jR' (H - h)2 j (2 R - h) h = | | (2 R — h)! h5. Voor den afstand x van het zwaartepunt van het bolsegment ACBC'A tot het middelpunt O heeft men dus- 1 1 x = 4 I <2R h)2h'2 _ 4 | (2R — h)2!)3 _ 3 (2 R - h)2 ' 1 | (2 R - h) h2 ~ 4 3 R — h ' ' '(2)' 3 Gaan wij nu na het geval, dat het bolsegment grooter is dan de helft van den bol. De inhoud l> van het bolsegment DCBC'D is gelijk aan het verschil van den geheelen bol en het bolsegment ACBC'A dus is I' 3 I R' ~ ' = 3 I R' ~ 3 | (3 R — h)h'= ^ | | 4 R» — (3 R — h) h2. J Stellen wij nu de hoogte BD van het bolsegment DCBC'D door h' voor, zoodat h + h' 2 R of h = 2 R - h' is, dan heeft men: '' = J Tl (4 R2 — [3 R — (2 R — h')j (2 R - h>)2) 3 ij4 R' - (R ~ h') (r R - h>)s | = l3 , (3 R — h') h' '• Het tweede lid dezer betrekking komt geheel overeen met dat van (1), wanneer men in (I) voor h = h> stelt. Noemen wij x> de afstand van het zwaartepunt van het bolsegment DCBC'D tot het middelpunt O dan is, omdat hel middelpunt van den bol zijn zwaartepunt is: Inhoud bolsegment DCBC'D X x' = Inhoud bolsegment ACBC'A 1 X x dus x> - 1 x 3 H3 R -h>h,w 3 (2 R - h)' 3 I' 1 |(3R-h')hrjX 4 3 R -h ~ 4 3 (2 R - h)2 h» (3 R — h') hj* of daar 2 R - h = h' en h = 2 R - h' is- x' = 3 (2 R ~ h')* ,d) 4 3 R — h' ' 1 " K' ' Het tweede lid dezer betrekking komt geheel overeen met dat van (2) wanneer men in (2) voor h = h' stelt. Zooals van zelf spreekt, kan men de betrekkingen (3) en (4) ook op meer directe wijze — zooals hierboven met (IJ en (2) geschied is — afleiden. Opmerking. Wordt in (2) h = R, en dus in (4) ook h' = R, dan worden beide bolsegmenten halve bollen en krijgt men x x1 = 3 R. Wordt h (of h') gelijk 2 R en daarna h' (of h) gelijk nul, dan wordt x 0 en x1 R (of x R en x1 = 0), welke uitkomsten ook a priori duidelijk zijn. b. Stellen wij ons voor twee omwentelingslichamen A en B wier assen in eikaars verlengden vallen, en verder dat het lichaam B in rust is, doch het lichaam A eene translatie beweging heeft volgens zijne asrichting, tengevolge van welke beweging A tot B nadert. Op zeker oogenblik, waarop wij de snelheid van A door V zullen voorstellen komt A met B in aanraking of m.a.w. doet er zich een verschijnsel van reclitc centrale botsing voor tusschen de lichamen A en B. Tengevolge van de botsing zal het lichaam B zich in beweging zetten en wordt de beweging van A vertraagd; immers A oefent in de richting zijner snelheid V een zekeren druk op B uit en B een druk van dezelfde grootte doch tegengesteld van richting op A. Zij op zeker oogenblik van het eindige, hoewel zeer korte tijdsverloop, gedurende hetwelk de beide lichamen A en B met elkaar in contact zijn, de intensiteit van de drukking, welke de lichamen op elkander uitoefenen, gelijk K, de vertraging welke de kracht K in de beweging van A veroorzaakt, P en de versnelling, welke zij aan B mededeelt, gelijk g, dan is wanneer wij de massa's van A K K en B respectievelijk door M en m voorstellen: p en , zoo- Al m dat p : g ^ : . Deze evenredigheid geldt gedurende het geheele tijdsverloop der botsing, zoodat de vermindering der snelheid van A vanaf het begin der botsing tot op zeker oogenblik gedurende het contact der lichamen en de snelheid welke B verkregen gedurende dat zelfde tijdsverloop, omgekeerd evenredig is met de massa's M. en m. Is derhalve op zeker oogenblik gedurende de botsing de snelheid V van A afgenomen tot V'en heeft B eene snelheid v' verkregen, dan heeft men : V — V': v' — : 1 ..(1) M m Laten wij nu het tijdsverloop der botsing d.w.z. den tijd, gedurende welken de lichamen met elkaar in contact zijn, onderscheiden in twee periodes. De eerste periode begint bij den aanvang der botsing en eindigt op het oogenblik, waarop de beide lichamen eene zelfde snelheid c gekregen hebben. De grootte van c vinden wij blijkbaar door in de betrekking (1) M V1 v1 C te stellen, waaruit volgt, dat C , V is. In die eerste b M + m periode hebben beide lichamen tengevolge van de door hen ondervonden drukkingen eene min of meer belangrijke vormverandering ondergaan, beiden zijn zij eenigszins samengedrukt. De in de natuur voorkomende lichamen trachten, tengevolge van hunne veerkracht, in mindere of meerdere mate tot hun oorspronkelijken vorm terug te keeren. In het grensgeval, dat de neiging om tot hun oorspronkelijke vorm terug te keeren, niet bestaat, d.w.z. de beide lichamen A en B volkomen onveerkrachtig zijn, is de botsing bij het einde der door ons besproken eerste periode geëindigd en bewegen die lichamen zich naast elkaar zonder eenigen druk op elkaar uit te oefenen, met de aan beiden gemeenschap- M pelijke snelheid C M + m 'n 'le' tweec*e grensgeval, waarin de beide lichamen na de ondergane vormverandering geheel tot hun oorspronkelijken vorm terugkeeren, d.w.z. in het geval van volkomen veerkrachtige botsing volgt er op de boven besproken eerste periode een tweede, die geheel symetrisch is met de eerste, m.a.w. de kracht, welke op elk der beide lichamen werkt op het tijdstip van a tijdseenheden vóór den afloop der eerste periode en juist gelijk aan de kracht, welke op die lichamen werkt a tijdseenheden nft den afloop der eerste periode. De wijze waarop de lichamen in de 2e periode hun oorspronkelijken vorm hernemen, is juist tegengesteld aan die waarop zij in de eerste periode dien vorm hebben verloren. Het lichaam A ondergaat dus in de tweede periode dezelfde vermindering van snelheid V — c. als in de eerste periode en de snelheid van B is na afloop der 2e periode twee maal zoo groot als zij was na afloop der le periode. Na afloop der botsing is dus de snelheid van A : V — 2 (V — c) 2 c — V o M ,, ,, M — m ,, , 2 M M + m M + m snelhe,d van B is 2 e = M + m V- 1904. No 1. "K"" Eene homogene overal even dikke staaf AB, lang 4/ meter steunt, onder een hoek van 60° met een horizontaal vlak BC, tegen een cylinder, die met eene beschrijvende lijn op het horizontale vlak rust. Die staaf is draaibaar om eene as B, die evenwijdig is aan de as van den cylinder en die loodrecht gericht is op het verticale vlak ABC- Van den cylinder is de straal 1»/ (x 3 meter en het gewicht, evenals dat van de staaf, G kilogram. Om te beletten dat de cylinder verplaatst wordt, laat men eene horizontale kracht in het vlak ABC, hetwelk ook het zwaartepunt van den cylinder bevat, op den cylinder werken in eene richting, die de as van den cylinder snijdt. Men vraagt: «. de grootte van deze horizontale kracht: />• de grootte van de drukking door de as B op de staaf uitgeoefend en de grootte van de hoeken waarin de richting dezer drukking hoek ABC verdeelt. Wrijvingsweerstand wordt buiten rekening gelaten. Zij O het punt waar de as van cylinder het vlak ABC snijdt (2ïe figuur) zoodat O tevens hel zwaartepunt van den cylinder is. Omdat de hoek ABC, welken de staaf AB met het horizontale vlak BC maakt 6Üo is, is |_ OBA |_ OBC 30°. Laten wij uit het uit het punt O de loodlijnen OD en OF respectievelijk op het horizontale vlak BC en op de staaf AB neer, dan zijn de door die loodlijnen met BO gevormde hoeken BOE en BOD ieder 60°, zoodat BF = BD — OF tang 60°. Nu is de straal OF van den cylinder ^1/3 Meter en tang 60° = |/ 3 , waaruit volgt dat BF BD -— 1 Meter is. Verlengen wij de verticaal DO bovenwaarts tot zij de staaf AB in E snijdt, dan is BE 2 BD = 1 Meter, zoodat — daar AB = 4 1 Meter is, E in het midden van de lengten der staaf AB ligt. Wanneer de horizontale kracht P, welke belet dat dc cylinder door den druk, welke de staaf AB in F uitoefent, verplaatst wordt, is aangebracht, verkeert zoowel de staaf als de cylinder in evenwicht. De krachten, welke op de staaf werken, zijn : le. haar gewicht O kilogram, aangrijpende in haar zwaartepunt. 2e. de reactie R, welke de staaf van den cylinder ondervindt en 3e. de reactie van de as, waarom de staaf in B draaibaar is. Omdat de staaf AB homogeen en overal even dik is, ligt haar zwaartepunt in het midden E harer lengte ; de reactie R grijpt aan in het punt F, waar de staaf op den cylinder rust, haar richting is loodrecht op de staaf AB en valt samen met de richting van O naar F, terwijl de reactie van de as waarom de staaf in B draaibaar is, aangrijpt in het uiteinde B der staaf. Daar de drie genoemde krachten met elkaar evenwicht maken moet de algebraïsche som van hare momenten ten opzichte van een willekeurig punt en dus ook ten opzichte van het punt B, gelijk nul zijn, zoodat men heeft: G X BD - R X BF = 0 zoodat, omdat BD = BF is, R = G is. In den evenwichtsstand is dus de reactie, welke de staaf van den cylinder ondervindt en derhalve ook de drukking welke de staaf op den cylinder uitoefent, gelijk aan het gewicht der staaf. De cylinder is in evenwicht onder de werking van 4 krachten te weten: le. zijn gewicht, aangrijpende in zijn zwaartepunt O. 2e. de drukking, welke de cylinder van de staaf AB ondervindt, welke drukking gelijk is aan O. kilogram, aangrijpt in F en gericht is van F naar O. 3e. de reactie welke de cylinder ondervindt van het horizontale vlak BC, welke reactie werkt in D en loodrecht bovenwaarts gericht is, en 4e. de horizontale kracht P, wier richting door het punt O gaat en wier grootte wij te berekenen hebben. Daar deze vier krachten met elkaar evenwicht maken, is de algebraïsche som van hare projecties op een willekeurige lijn en dus ook op een horizontale lijn, gelijk nul. Men heeft dus: P — O cos 30o = 0, of P = G cos 30o - ^ G (/ 3 kilogram. Om de grootte van de drukking door de as B op de staaf uitgeoefend en de grootte van de hoeken, waarin de richting dezer drukking hoek ABC verdeelt, na te gaan, kunnen wij redeneeren als volgt. De staaf AB is in evenwicht onder de werking van drie krachten; deze zijn: le. haar gewicht, d.w.z. een kracht, groot G kilogram, welke in E verticaal benedenwaarts werkt; 2e. de reactie van den cylinder d.i. een kracht, wier grootte eveneens G kilogram is en die in F werkt in de richting van O naar F en 3e. de drukking, welke de as in B op de staaf uitoefent. Deze laatste kracht moet gelijk in grootte en tegengesteld in richting zijn aan de resultante van het eerste tweetal krachten. Daar de richtingen van die eerste twee krachten elkaar in O snijden, gaat de richting harer resultante ook door O, terwijl, zooals gemakkelijk is in te zien de grootte dier resultante evenals die van elk harer composanten. Q. kilogram is. De grootte van de drukking door de as B op de staaf uitgeoefend, is dus gelijk aan het gewicht G KO. der staaf en de richting der drukking is die van B naar O, m.a.w. de hoeken waarin die richting den hoek ABC verdeelt zijn ieder 30o. Opmerking. Zooals men gemakkelijk inziet is het gewicht van den cylinder van geen invloed op de waarde der grootheden, wier berekening in het vraagstuk wordt verlangd. Dit gewicht influenceert alleen op de grootte van de drukking, welke de cylinder uitoefent op het horizontale vlak, waarop hij rust. c. 1904. No. 2. Van een rechten hoek ABC heeft het been AB een horizontalen stand, het been BC een verticalen stand. Op BC als middellijn is een halve cirkel BDC beschreven, die met hoek ABC in hetzelfde verticale vlak gelegen is. De punten A en D liggen aan verschillende kanten van de verticale middellijn BC. Een stoffelijk punt beweegt zich van A naar B met een aanvangssnelheid in A van 3 J/ 3 + J/ 6 meter. Dc wrijvingscoëfficieiit bij de beweging langs AB is de lengte van AB is 1.2 meter. In B gekomen vervolgt het punt zijne beweging langs den volkomen gladden binnenwand der cirkelvormige baan, welks straal eene lengte heeft van '/l0 J/ 2 meter. Gevraagd wordt het aantal graden te berekenen van den boog, dien het stoffelijk punt doorloopt, voor dat het den cirkel verlaat. De versnelling der zwaartekracht worde gelijk 10 meter gesteld. Noemen wij de massa van het stoffelijk punt zoodat. wanneer wij de versnelling der zwaartekracht door k aanduiden, zijn gewicht G = mg is. Dit stoffelijk punt begint zijne beweging van uit A met eene snelheid vo = 3 I/-3 + (/ 5 Meter per seconde; zijne kinetische energie bij het begin zijner beweging is dan ' m v„J. Noemen wij de snelheid, waarmede het stoffelijk punt in B aankomt v,, dan is bij het doorloopen van den weg AB zijne kinetische energie vermindert met ' m v„2 — ' m v,a = 1 m 2. 2. 2 (v„2 — v,2). De arbeid van de op het stoffelijk punt bij het doorloopen van den weg AB werkende krachten is de arbeid van den wrijvingsweerstand; deze arbeid is — wanneer wij de wrijvingscoëfficient door f voorstellen, gelijk aan fQ X AB = fmg X AB. Men heeft dus de betrekking: ) m (v,,2 — v,s) = fmg X AB of v,'= v„5 — 2 fg X AB. Nu is v„ = 3 |/ 3 -f- J/ 6 dus v„' = 33+18 2; verder is f — , g = 10 en AB = 1.2, zoodat men komt tot v,5 = 33 +18[/ 2 — 2 X ^ X 10 X 1.2 = 27 + 18 |/~2. In B gekomen, vervolgt het stoffelijk punt zijne beweging langs den volkomen gladden binnenwand van g de cirkelvormige baan BDC wier straal r = * \/ 2 Meter is. Het is duidelijk, dat het stoffelijk punt alleen dan de cirkelvormige baan BDC zal kunnen verlaten, als het opstijgt tot een punt E dier baan, gelegen boven het punt D, dat in hetzelfde horizontale vlak ligt als het middelpunt Q. Noemen wij v2 de snelheid, waarmede het stoffelijk punt den cirkelboog verlaat, is de afname zijner kinetische energie bij het doorloopen van den boog BE 9 m (vi'J — v,2). De arbeid door de zwaartekracht verricht bij het doorloopen van dien boog is het product van het gewicht O = mg van het stoffelijk punt met den weg in de richting van de zwaartekracht doorloopen, dus gelijk mg X BF, wanneer F het voetpunt is der loodlijn uit E op de verticale middellijn BC neergelaten. Nu is BF = BO + OF = r -f- r cos | EOC, of | EOC = oc stellende, gelijk r (1 -j- cos oc). Wij hebben dus de betrekking: m (vt2 — v,2) — mgr (1 + cos oc) of v,' = v,1 — 2 gr. (1 + cos oc) (1) Wanneer het stoffelijk punt den cirkelboog in E verlaat, is in dat punt de reactie, welke het van zijn baan ondervindt, gelijk nul; de centripetale kracht in dat punt is dus gelijk aan de projectie van het gewicht mg van het stoffelijk punt op den straal OE. Daar deze projectie is mg X cos |_ EOF = mg cos oc, heeft men de betrekking: = mg cos oc of v,2 = gr cos oc (2) Uit de betrekkingen (I) en (2) vindt men: Vi3 — 2 gr (1 + cos oc) = gr. cos oc r Vi' — 2 gr of cos oc = - 3 gr Nu is v.' = 27 + 18 \/ 2, g = 10 en r = ^ J 2 (zoodat gr = 9 y, 2 is) men heeft dus 27 + 18 2 - '8 I 9 i COS OC = . 1 = I 27 |/ 2 2 ^ 2 De hoek oc of hoek EOF is dus 45°, waaruit volgt dat ook |_ DOE = 45° is. Het aantal graden van den boog BME, welke het stoffelijk punt doorloopt voor dat het den cirkel verlaat, is de som van de hoeken BOD en DOC of 90° -f 45° = 135°. Balans en SI. 1904. No. 3. Te behandelen één der twee volgende onderwerpen, ter keuze van den candidaat: a. de formule voor den doorslag van eene gewone balans af te leiden en de voorwaarden voor de gevoeligheid der balans te bepalen; b. de formule af te leiden voor den slingertijd van den enkelvoudigen (matliematischen) slinger. Om met groote nauwkeurigheid massaas met elkander te vergelijken, gebruikt men de gelijkarmige balans. In het midden van het juk, aan welks uiteinde de schalen zijn opgehangen (zie figuur) is een stalen prisma aangebracht, met welks scherpen kant het juk op een agaatsteenen plaat rust. Deze naar beneden gekeerde scherpe kant, in de figuur door O voorgesteld, is alzoo de draaiïngsas, waarom het juk zich met enkel rollende wrijving kan bewegen. De punten A en B stellen de ophangingassen der schalen voor, eveneens scherpe naar boven gekeerde stalen prismaas, waarop de beugels rusten, aan welke de schalen zijn gehangen. De scherpe kanten der drie prismaas zijn evenwijdig met elkander, terwijl de armen AO en OB der balans aan elkander gelijk zijn; bovendien ligt het zwaartepunt Z van het juk in den horizontalen evenwichtsstand AB beneden het steunpunt O, terwijl OZ _L AB. Verder veronderstellen wij, zooals gewoonlijk het geval is, dat de punten A, B en O op eene rechte lijn liggen. Bezitten nu de in A en B aangehangen schalen met toebehooren en de daarop geplaatste voorwerpen elk een gewicht P, dan zal de horizontale evenwichtsstand niet worden verstoord, daar AO = BO, en er dus op het juk twee gelijke krachtsmomenten P.A.O en P.B.0 werken. Bevat een der schalen daarentegen nog een overwicht q, dan zal het juk doorslaan, waarbij het zwaaatepunt Z van het juk in T.x komt. Zal er nu in dezen stand A,Bi opnieuw evenwicht zijn, dan moet, ten opzichte van het punt O. het moment van P, in A, werkende, plus het moment der zwaarte G van het juk, gelijk zijn aan het moment van P + q. Nu is de arm der in Ai werkende kracht P gelijk geworden aan den afstand A, D der door A, en O gaande verticalen; de arm van het gewicht G is evenzoo gelijk den afstand ZiF der verticalen door Zi en O; de arm van P -)- q is gelijk aan B'E. Alzoo is er evenwicht, wanneer P Ai D + G Zi F = (P -f- q) Bt E; en daar in verband met de vergelijking AO = BO tevens volgt, dat A(D = B,E, zoo wordt de evenwichtsvergelijking GZ, F = q B, E (1) d.i. het moment der zwaarte van het juk is gelijk aan dat van het overwicht. Daar de rechthoekige driehoeken Z, F O en O E B, nog een hoek gelijk hebben, n.l. l_FOZ[ — |_ B O Bi = | E Bt O en alzoo gelijkvormig zijn, zoo is Z,0 : OF = B,0 : BlE, of d ; OF = a : B,E (2) wanneer wij de lengte der armen van de balans a en de afstand van het zwaartepunt tot z het steunpunt d noemen. Uit de vergelijkingen (1) en (2) volgt: GZ,F X d:OF — gXa of FZ, ga OF Gd Deze verhouding Z,F : OF bepaalt blijkbaar de grootte van den hoek FOZ, — S! d.i. den doorslag der balans, die grooter of kleiner is, al naar dit het geval is met die verhouding. Bij een bepaald overwicht g zal dus de doorslag des te grooter zijn naarmate de armslengte a grooter, het gewicht G en de afstand d kleiner zijn. Hoe grooter bij zeker overwicht de doorslag is, des te grooter heet de gevoeligheid der balans, die alzoo door de waarde van a: Gd wordt bepaald. Om ter wille der gevoeligheid een betrekkelijk groote waarde van a te vereenigen met een kleine waarde van het gewicht G kan men uit het juk de binnenste deelen wegnemen zonder de stevigheid te zeer te schaden. Tweede gedeelte. Onder een enkelvoudigen slinger verstaat men een stoffelijk punt, dat slingert onder de werking eener kracht, terwijl het op denzelfden afstand van een vast punt verwijderd blijft. Beschouwen wij zulk een slinger, die onder de werking der zwaarte in een verticaal vlak schommelt; een voorbeeld hiervan levert een klein zwaar voorwerp, dat aan een dunnen en zeer lichten draad is opgehangen. Op dit stoffelijk punt werken nu twee krachten: de zwaartekracht en de spanning van het koord, dat het aan liet ophangpunt verbindt; de spanning staat rechthoekig op de bewegingsrichting; zij heeft geen invloed op de grootte der snelheid, die, evenals bij het hellend vlak, door de ontbondene der zwaarte volgens de bewegingsrichting wordt gewijzigd. De waarde der snelheid v jn eenig punt der baan hangt af van het hoogteverschil '1 tusschen de uiterste standen, die het slingerende punt telkens inneemt, en de plaats, waar het zich op het oogenblik bevindt, dat het de snelheid v heeft; deze snelheid is (afgezien van den luchtweerstand) v = 1/ 2 gh. De tijd, dien de slinger noodig heeft, om van den eenen uitersten stand in den anderen te komen alzoo den boog AB af te leggen, (zie figuur) heet de slingertijd; de boog AB is de slingerwijdte of amplitude. Wij zullen nu den slingertijd berekenen voor kleine slineerwiidten. en fpvpns de grenswaarde bepalen, waartoe de slingertijd nadert, naarmate wij de amplitude kleiner nemen. Noemen wij de koorde van den halven slingerboog AD = C; zij het punt op het oogenblik in den stand P, en de koerde van den boog PC, die het tot zijn laagsten stand nog doorloopen moet = x, terwijl 1 den strraal van den doorloopen cirkel of de lengte van het slingerkoord voorstelt. Nu is, volgens eene meetkundige stelling, het vierkant der koorde = het product der middellijn met de projectie der koorde daarop. Alzoo is: (koorde AC)a = C'J = DC X 2 I (koorde PC)3 = x' - EC X 2 I, waaruit DC — EC = (c'J — xs): 2 I = de hoogte DE of h. De snelheid v van het punt P is dus gelijk aan: v = ]/ 2 gh = |Xg (c2 - x3): 1. (1) Nemen wij de slingerwijdte zeer klein, zoodat wij den boog AB bij benadering als een rechte lijn kunnen beschouwen, en projecteeren wij den boog AB op eene horizontale lijn A'B'. Verder beschrijven wij een cirkel met die projectie tot middellijn, en stellen wij ons voor, dat een punt Q zich eenparig, in den zin van een pijl, langs dien cirkel beweegt met een snelheid u. Dan kan men deze snelheid u zoo kiezen, dat de projectie P van het punt Q zich over A'B1 juist op dezelfde wijze heen en weer beweegt als het slingerend punt P over de lijn AB; zoodat wanneer P en Pi zich op zeker oogenblik juist boven elkander bevinden, en zich in dezelfde richting bewegen, zij verder steeds boven elkander blijven. Wanneer dit het geval is, moeten in den laagsten stand C van den slinger de snelheid van het punt P gelijk zijn aan die van het punt Q, n.l. u, in den stand H, daar alsdan beide punten gelijke bewegingsrichting hebben. In het punt C is de snelheid van P, volgens vergelijking (1) = c V K • I» omdat voor dezen stand x = o is. Nemen wij nu de snelheid u van het punt Q = c |/ g : 1, en berekenen wij de snelheid der projectie P\ waarbij, volgens de genoemde veronderstelling omtrent de slingerwijdte PC1 — x wordt genomen. Hiertoe ontbinden wij de snelheid u in eene verticale ontbondene en eene horizontale v', welke laatste tevens de snelheid der projectie P1 van Q is; verder is bij dezelfde onderstelling de straal van den door Q beschreven cirkel = c, zoodat uit gelijkvormigheid van den driehoek der snelheden met [7 Q P'C' volgt: v1 : u — QP':QC> = - x :c; alzoo: V = u V* ~ *'= c V g: 1 = \ f(C»-«*):! (II) welke waarde gelijk is aan (I). De snelheid v1 der projectie P' van het punt y is dus gelijk aan de snelheid van het punt P, terwijl de punten Pl en Q, zich in dezelfde verticaal bevinden; deze gelijkheid zal in alle volgende standen van P en P1 blijven bestaan, zoodat P ook voortaan boven Q blijft. Hierdoor is de slingertijd van P bekend bekend, want deze blijkt nu gelijk aan den tijd, waarin het eenparig loopend punt Q den halven omtrek AH'B' doorloopt; deze tijd — den boog AH'B1, gedeeld door desnelheid u, of | c: c | g: 1. De slingertijd is alzoo = I V I :g- Dit is de eigenlijke waarde, waartoe de slingertijd nadert, naarmate men de schommeling kleiner neemt; zooals genoegzaam uit de afleiding volgt. K.. 1905. No l. Een rechte cilinder, die G gram weegt, ligt op een hellend vlak en steunt tegen een vast verticaal vlak zóó, dat de as van den cilinder evenwijdig is aan de horizontale snijlijn S dier vlakken. De straal van het grond\ lak van den cilinder is R centimeter. Het hellend vlak is draaibaar om de lijn S en wurdt in zijn evenwichtsstand, waarbij de hoek met den horizont oc is, gehouden door een horizontaal gespannen koord, waarvan de lengte 1 centimeter bedraagt. Dit koord, dat een punt van het hellend vlak met een punt van het verticale vlak verbindt, bevindt zich in het standvlak, door het zwaartepunt van den cilinder gebracht op de lijn S, zoodat het koord deze lijn en dus ook de as van den cilinder rechthoekig kruist. Hoe groot is de spanning in het koord? Het gewicht van het hellend vlak en de wrijvingsweerstand worden buiten rekening gelaten. Spanning in het koord = S,. Drukking, welke eylinder en hellend vlak op elkander uitoefenen = f. S X OC = D X BO s,boxd b CO A (1) L MOB =~LCOA = ' (90° - °c) = 45° - MB O B tang L MOB OB — MB cotg |_ MOB = R cotg (45° — L CAO - L AOE - oc OC = AC tang CAO = 1 tang oc (3) D cos L BMG G D cos oc = G n - G cos oc (4) Door substitutie van (2), (3) en (4) in (1): g R cotg (45° - °c G _ R cotg (45° — ~ ) q _ —;—r COS cc 1 1 tang oc sin oc 2 R 1 + sin oc . . „ G gram. 1 sin 2 oc 6 Werktuigkunde. 12 1905. No. 2. Een lichaam, dat een een gewicht heef! van 500 kilogram, beweegt zich niet eenparige beweging over een horizontaal vlak. Hoe groot is de kleinste kracht, die het lichaam in eenparige beweging houdt, en hoe groot is de hoek, dien deze kracht met het horizontale vlak maakt, als de wrijvingscoëfficient '/» |X 3 is? Verder wordt gevraagd: Indien in dezelfde richting eene kracht van de dubbele grootte gedurende 10 seconden op het lichaam werkt, als de aanvangssnelheid nul is: a. Hoe groot is het arbeidsvermogen van beweging, dat het lichaam dan heeft verkregen ? b. Hoe groot is de weg, dien het in 13 seconden heeft afgelegd? c. Hoe groot is de weg, dien het na die 10 seconden nog zal afleggen, als de kracht op dat oogenblik ophoudt te werken? De versnelling der zwaartekracht wordt gelijk 10 meter gesteld. Ie Gedeelte. F cos cc = f (G — p sin oc), dus P = f(i q _ tang Q cos cc -|-fsincc cos oc tangQsin oc p sin Q _ cos cc -j- sin cc sin Q ~~ sin Q (cos oc — Q) is het kleinst, wanneer cos (cc — Q) zijn grootste waarde verkrijgt, dus als cos (oc — Q) = i of oc - Q = 0, of oc = Q is, dan is P = G sin Q. Daar dan f = tang Q = ^ 1/ 3, is oc = Q = 30o en P = G sin Q = 500 X sin 30" — 250 K.G. 2e Gedeelte. Gegeven: oc 30», P — 2 X -50 = 500 KG. I cos oc 500 X 2 1/ 3 = 250 (/' 3 KG.; wrijvingsweerstand = f (G - P sin oc) = ^ l 3 (500 - 500 X \ ) = 2J° V 3 KG. P cos oc - Wrijving = * X "3° I 3 K.G. = 5^° \ 3 KG. 500 : g = V 3 : versnelling versnelling — ^ I 3 = ^ JX 3 Meter per seconde; v = gt — [X 3 10 = -g 1/ 3 Meter persec. .. 2 = 2 ™ f™ 3)■ = 50x JS" = | X 10- KaM. b. s = ^ jt'J = 2 X 3° V 3 X 10J = 5^°|/ 3 Meter.. c. fG X li = 2 n,v'J! y K 3 X 500 X li = g X 105 '' = 6 X 1°* X 1/ 3 = 'gV 3 = -KT Meter. z. en Tls.. 1905. No. 3. Te behandelen één der twee volgende onderwerpen, ter keuze van den candidaat: a. De formule af te leiden voor de bepaling van het zwaartepunt van eene afgeknotte piramide. b. De formule af te leiden voor het evenwicht van een den candidaat bekend takeltuig met inachtneming der wrijving. Een afgeknotte pyramide kunnen wij beschouwen als het verschil tusschen de oorspronkelijke, geheele pyramide en een kleinere, die van de oorspronkelijke is afgesneden door een vlak evenwijdig aan het grondvlak. Noemen wij de hoogte van de afgeknotte pyramide h, die van de toppyramide h, en de oppervlakken van grond- en bovenvlak respectievelijk G en B. Wij hebben dan: (h[ -)- h)'J : hi = G: B, dus h, =. ^ h en h + hi = \ G-l/B I G [/ G-|/B 1 l/Tï Het volume van de geheele pyramide is dan: . hXG- 3 I G-l/B De afstand van het zwaartepunt tot G is ' (h -f- hi) = ' 4 4 (/ G i r~y ■ /— h en dus het moment van de geheele pyramide = _ h3 V G — | B 12 X QJ (1/ G-l/ B)5 Het volume van de toppyramide is ' B X hi = ' h X 1/ B 3 3 l/G - F B X B; het zwaartepunt tot het grondvlak van de afgeknotte pyramide heeft een afstand van h + j h, = ± h 4 ! ° 3/ B' Moment = — 4 4 J/ G — 1/ B 12 . 24 BFBCT- 3 B' n —... —— (FG-FBT De inhoud van de afgeknotte pyramide is gelijk aan het verschil van de inhouden der beide anderen, dus gelijk aan: 1- h F-° v g - 1 h Dl v r 1 h 3 FG_FB X ° - 3 h VG^VÏÏ x = 3 h Q VG — B Vb I , Vg— VB 3 h (G + 1/BG + B>De afstand van het zwaartepunt van de afgeknotte pyramide tot het grondvlak noemen wij Z; dan hebben wij, volgens de momenten stelling: 1 h. J_ 4 B l/BQ - 3 B- 1 12 , V G - V g r 12 1 ( 1/ G _ V B y + 3 h (O + KBG+ B)Z. of Zh (G + V BG + B) = 1 h- QJ ~ 4 B V BG ~~ 3 B' 4 (KG- KB)' De laatste breuk wordt: G" — 4B KBG + B2 „ , .. (VG- V B )J ~G+2 ^BG + 3 B en dus b) Z = ' h. °+2t^+3 B O + yQB + B Behandelen wij de machtstakel. De theorie leert: W=m" Ki = K + W = K(l = - III m w,= K*. K, =K, + W, - K (1 + 1 y. III m Wa = m • 1 = Ks + W, = K (1 + 1 )'. ui ' m Dus bij n katrollen: L = K (1 4- 1 ni > Is s de weg van het aangrijpingspunt van den last L, dan is de weg, door het aangrijpingspunt van de kracht afgelegd, 2ns. Het nuttig effect wordt dan i®-- — nl ^ Bij het strijken van den last behoeft men, om L te berekenen, slechts in de voorlaatste formule — door m te vervangen en vindt men op deze wijze: L = K (1 + m)n. iyuo. No. 1. In een halven bol wordt eene kegelvormige holte gemaakt, zoodanig dat het grondvlak van den kegel samenvalt met en gelijk is aan het platte grensvlak van den halven bol, terwijl de kegel den straal van den bol tot hoogte heeft. Het uitgeholde lichaam rust met het boloppervlak op een plat vlak, dat met een horizontaal vlak een hoek van 26°34' maakt en dat juist ruw genoeg is, om het afglijden te verhinderen. Hoe groot is, in den evenwichtsstand, de hoek, dien de figuuras van het lichaam met de verticaal maakt? Hoe groot is de wrijvingscoëfficient? Beginnen wij met op te sporen de plaats van liet zwaartepunt, hetwelk loodrecht hoven het steunpunt gelegen is. Wij redeneern daarloe als volgt: Moment figuur = moment ' bol - moment kegel. 2 bol = ~ | r' X % r. kegel = J |r'XrX'/< r. figuur = ( ^ I - 3 I r» ) X x. Derhalve r | ^ _ > , r.) „ = 2 |r-><3 , l ^ , ( 3 1 r' + x = \ ' r' - ,'2 I = J I r4. x = K I r4 X 3 — ' r 6 1 ^ i r» ■) Het zwaartepunt van het lichaam ligt dus op de helft van den straal, Noemen wij verder de waarde van den gedaagden hoek CMD = x en beschouwen wij |\ AM.Z., dan zien wij dat: 1 2 r:r — sin Q: sin x of 1:2 = sin Q:sin x, dus: 2 sin Q = sin x of log sin x = log 2 + log sin Q. log 2 = 0.30103 log sin 26o34' = 0.65054 — 1 log sin x = 0.95157 — 1 en x = 63o26'30". Bt. en K.T3. 1906. No. 2. Een lichaam valt vrij uit een punt A en treft in B een hellend vlak, waarvan de hellingshoek 30° is. Na de botsing, die volkomen veerkrachtig wordt ondersteld, treft het een horizontaal vlak in het punt C. Gevraagd wordt: a. hoe groot is de horizontale afstand van A tot C? h. met welke snelheid en onder welken hoek treft het lichaam het horizontale vlak? Gegeven is: AB = 45 meter; het punt P. ligt 8.75 meter boven het bedoelde horizontale vlak. De versnelling der zwaartekracht wordt gelijk 10 meter gesteld. K AB = 45 M. De snelheid v, waarmede het lichaam in B het hellend vlak treft, vindt men uit: v = I 2 g X AB — 1/ 2 X X 45 30 Meter per sec. De botsing met liet hellend vlak in B is volkomen elastisch. Is dus BE de loodlijn op het hellend vlak in B en dus |_ ABE = 30°, dan is de invalshoek ABE gelijk aan den hoek van uitval EBF = 30°. Het lichaam heeft dus na de botsing eene snelheid van 30 M. per sec., volgens de richting BF. Die eindsnelheid ontbinden wij in eene verticale compo- sante V = 15 en eene horizontale composante V — \5 V3. Nu is BD v n = 8 75 = 83 M. Noemen wij t de tijd, waarin het lichaam van B tot C 4 komt, dan is: ^ gt2 — ^v t = BD of 5 ts — 15 tJ = 8 ^ of (2 t — 7) (2 t + 1) = o, dus t = 3 ^ daar de negatieve wortel geen beteekenis v wr- v, O 1 voor ons vraagstuk heeft. DC = h X t = 15 ' 3 /s 2 — 52.5 V 3 Meter. Noemen wij de snelheid, waarmede het lichaam in r i de horizontale composante dier snelheid V- ™ df^rtLe ToTZ^ dier snelheid V' Men heeft dus: V' V — li I't m v h ~ h ~ Per See' en V v — 10 X 3 2 — 15 — 20 Meter per seconde; dan is V = J \ -f V; = l/675 + 400 = 5 V 43 = 32.787 Meter per seconde. De gevraagde hoek oc (zie figuur) vindt men uit tang oc - ^ _ 15 V 3__ 3 v ~ 20— ~ T 3 ^ — S2o24'40". Tli. 1906. No. 3. den candidaatfnde'e" "* °nderweriwii. ke„e „„ "• t """ k""0'' ^™CV."ndic in lwcc e,ka»d" De spanning S in het vaste touwK einde is - en de last wordt feitelijk gedragen door de beide krachten K en S, dus L = K + K 0f L — m X-L k m m Legt 't aangrijpingspunt van den last een weg S af, dan beweegt zich t aangrijpingspunt van de kracht over een weg 2s. De nuttige weerstandsarbeid is dus Ls en de arbeid van de beweegkracht 2 Ks. De verhouding tusschen den arbeid van den nuttigen weerstand en dien der beweegkracht noemt men 't nuttig effect van een toestel of werktuig. Het nuttige effect van een losse katrol is dus- li» T 0 + IJ K.. en Wr. 1907. No. i. Op den halven hol werken de krachten P en Q, (zie figuur) zijnde respectievelijk het gewicht van den halven bol, aangrijpende in het zwaartepunt Z. en liet gewicht van het lichaam D. Deze krachten zijn beide loodrecht benedenwaarts gericht; daar de halve bol in evenwicht moet zijn is de kracht N, die de reactie van het horizontale vlak voorstelt, gelijk aan de som der krachten P en Q- Passen wij de momentenstelling toe ten opzichte van het punt M, dan is P X ZF = Q X DE. Met behulp der gegevens van ons vraagstuk vinden wij hiervoor: 50 X o X 2 X sin oc = 7.5 X 0.5 cos oc of 37.5 sin oc = 3.75 cos oc O Dus 10 sin oc — cos oc, of tg oc = Met behulp van den logarithmentafel vinden wij voor oc 5o 42' 20". Verder wordt gevraagd de wrijvingscoefficiënt te berekenen, wanneer wij weten, dat het lichaam juist op het punt is, langs het platte grensvlak af te glijden. In dit geval zal de uitwendig werkende kracht Q met den normaal op het aanrakingsoppervlak de wrijvingshoek Q maken, welke hoek wij voorstellen door |_ GDÖ- Zooals gemakkelijk is in te zien is deze hoek gelijk aan den reeds gevonden hoek oc, dus is de tangens van hoek Q = tg oc 0.1. Wij hebben dus voor den wrijvingscoefficiënt f = tg Q, eene waarde van 0.1, zijnde dit de kleinste wrijvingscoefficiënt, die kan beletten dat het lichaam D van het vlak afglijdt, wanneer het op den in het vraagstuk aangegeven afstand van 0.5 d.M. van het middelpunt verwijderd, is geplaatst. Wil men dat het lichaam, waar ook op het platte grensvlak geplaatst niet zal afglijden, dan moet de wrijvingscoefficiënt iets grooter dan 0,1 genomen worden, daar dan Q grooter is dan oc, dus tg tg oc. HV. 1907. No. 2. Omdat het lichaam P bij de beweging over het hellend vlak eene wrijving ondervindt, waarvan de wrijvingscoefficiënt I *3 is, en de helling van het hellend vlak 30o is, zal - daar tang 30» = ^ V 3 is - wanneer op P geene andere krachten werken dan de zwaartekracht en de reactie van het hellend vlak, dit lichaam in evenwicht zijn. Wij kunnen dus al dadelijk besluiten, dat na het breken van het koord, d.w.z. nadat het lichaam P 2 seconden lang is meegesleept door het lichaam Q, de beweging van P eene gelijkmatige (eenparige) beweging zal zijn, wier snelheid wij nog te berekenen hebben. Daar 3 V 3 / tang 30» is, zal het lichaam Q, wanneer het geheel los op het hellend vlak wordt geplaatst, naar beneden glijden. Is dit lichaam verbonden aan P, dan neemt het dit lichaam mede en ontstaat er gedurende die beweging eene spanning in het koord, dat de beide lichamen verbindt, welke spanning wij S noemen. Bij die beweging hebben P en Q dezelfde beweging, hunne versnelling is gelijk zoodat de in de richting van het hellend vlak werkende krachten zich verhouden als hunne massa's of als hun gewichten; en daar, zooals boven werd aangetoond, de kracht in de richting van het hellend vlak welke op P werkt, zich bepaalt tot de spanning S, heeft men de betrekking: S _ Q sin 30°- |-V3 Q cos 30°—S 1 s p _ 5 = sin 30o — ^3 cos 30o— ? Q 5 Q - 1 _ J_y, w 1 i/.. S _ 1 3 S 2 5 2 Q -~2~ 10" Q s _ I P Q 1 15 X 25 7 5P + Q5 15 + 25 Ktj' De spanning in het koord gedurende den tijd van 2 sec. is dus 7 f 1 8 K.G. Noemen wij de versnelling van de zwaartekracht g. Meter per sec., dan is de versnelling j der beweging van de lichamen over het hel- 7 'end vlak j = g = 1 8 g = ' g. Na 2 sec. is de snelheid der 15 lichamen dus 2 j = 2 X 4® ^eter Per seconde. Na het breken van het koord heeft het lichaam dus eene gelijkmatige beweging, waarvan de snelheid 8- Meter per seconde. K.. en 33. 1907. No. 3. De grootte eener kracht is evenredig aan de versnelling, die zij aan een zelfde lichaam mededeelt. De massa van een lichaam is evenredig met de verhouding tusschen eene daarop werkende kracht en de hierdoor aan het lichaam gegeven versnelling, m.a.w. om eene bepaalde versnelling mede te deelen aan een voorwerp, dat twee- of driemaal zoo groote massa heeft als een ander, is eene twee- of driemaal zoo groote kracht noodig als voor het laatstgenoemde. De kracht is alzoo evenredig aan de massa m van het lichaam en aan de versnelling a, die zij daaraan mededeelt. Als krachtseenheid geldt de kracht, die aan de massa-eenheid de eenheid van versnelling geeft. Om eene versnelling van a eenheden te geven aan de eenheid van massa is eene a maal zoo groote kracht noodig dus eene kracht = a X 1; om deze versnelling a mede te deelen aan eene massa van /;/ eenheden is eene m maal zoo groote kracht noodig als de laatstgenoemde, alzoo m X a krachtseenheden; stellen wij deze kracht voor door Ar, dan is: k = m X a- Deze vergelijking dient tot grondslag voor het meten van krachten. In het dagelijksch leven geldt het gewicht van een kilogram als krachts-eenheid; dit gewicht en de onderdeelen ervan kunnen, zooals wij zien zullen, door een krachtmeter of een weegwerktuig gemakkelijk worden bepaald. Het gewicht van een kilogram is echter niet overal even groot; om de daarmede vergeleken kracht nauwkeurig te bepalen, moet men weten hoe groot op de plaats der meting de versnelling der zwaartekracht is. Voor het gewone gebruik in het dagelijksch leven is de daaruit volgende onzekerheid niet hinderlijk. Bij nauwkeurige onderzoekingen kan deze onbepaaldheid echter niet worden gedoogd. Daarom worden hierbij de krachten gemeten naar de hoeveelheden beweging, die zij in de tijdseenheid volbrengen. Als eenheid van kracht is hierbij aangenomen de kracht, die in de secunde aan de massa van een gram eene snelheid van een centimeter in de secunde mededeelt. Deze krachtseenheid wordt de dyne genoemd. De eerstgenoemde wijze van meting, die berust op een verschijnsel van evenwicht wordt de statische, de tweede de dynamische genoemd. De krachtseenheden zelve bij de statische en de dynamische metingswijze gebruikt, kunnen worden aangeduid door de namen: zwaarte-eenlieid voor de eerste, en bewegings-eenheid voor de tweede. Om de verhouding der zwaarte- en bewegingseenheden op eene gegevene plaats te bepalen, moet de versnelling van dan vrijen val voor die plaats bekend zijn. Zij is in Nederland, ter hoogte van het oppervlak der zee 9.812 meter. De zwaarte van een kilogram geeft dus in de secunde aan eene massa van 1000 gram eene snelheid van 9.811 centimeter, dat is 981.2 zoo groote versnelling als aan de massa van 1 gram wordt gegeven door de kracht van 1 dyne. De zwaarte van een kilogram is dus 981-2 X 1000 dynen. Het millioenvoud eener dyne wordt een megadyne genoemd. b. Een lichaam beweegt zich, gedurende zekeren tijd, zonder wrij- vmgsweerstand te ondervinden, over een horizontaal vlak, onder de werking van een standvastige kracht, waarvan de richting samenvalt met de S „f der beweging. De betrekking te vinden, die er bestaa, tulhen den d"of ie rac 1 verrichten arbeid en het arbeidsvermogen van beweging dat het lichaam b,j het begin en bij het einde van dien tijd bezit al^ ds fanvln, snelheid gelijk vu en de eindsnelheid gelijk v wordt gesteld onder d 'wu " S,0ftü,ijk punt beschouwen, dat zich rechtlijnig beweegt onder de werking van een kracht K, die dezelfde richting heeft als de be ssaTïsrjr* - * -- wint K - lTnnn "ll d*versnclll'nK in de ricl,,inR der beweging bepalen Weg' die afgelegd wordt in den tijd t, a|s we dezen tijd zeer klein denken, is: S = v' ~ v°a ni| is 2a K X s ma X V' ~ V"2 - m- mv»! 2a ~ 2 ~ 2 Dtic k'<; — mv3 171 vu* 2 2 He' ,e lid stelt den arbeid, door K verricht rr.;,ÏcitocZ™' r" k °""" C" aan d.. tn,.na . " Wegl,lg' 200dat de .verrichte arbeid gelijk is ame van het arbeidsvermogen van beweging." REGISTER. K. Zuid Holland 1866, le pl. No. 1; Gelderland 1866, le pl- No. 1; Zuid Holland 1167, le pl. No. 1; Groningen 1867, le pl. No. 1; idem 2e pl. No. 1; 1881 No. 1; 1881 No. 2; 1884 No. 1; 1884 No. 2; 1887 No. 1 : 1888 No. 2; 1891 No. 1; 1892 No. 1; 1893 No. 2; 1897 No. 1 ; 1898 No. 1; 1899 No. 3; 1901 No. 2; 1901 No. 3; 1902 No. 1 ; 1904 No. 1; 1905 No. 1; 1905 No. 2; 1907 No. 1: 190/ No. 3; Z. Zuid Holland 1886, le pl. No. 2; Gelderland 1866, 2e pl. No. 1 ; Zuid Holland 1867. 2e pl. No. 1; idem 3e pl. No. 1; idem 4e pl. No. 1; Zeeland 1867, No. I; Utrecht 1867, No. 3: Overijsel 1867, No. 1: 1870 No. 1; 1874 No. 1; 1876 No. 1; 1878 No. 1; 1880 No. 1 ; 1881 No. 1 : 1885 No. 1 ; 1886 No. 2; 1889 No. 1 : 1890 No. 1 ; 1892 No. 2; 1893 No. 1 ; 1896 No. 1; 1899 No. 2; 1900 No. 1; 1901 No. 1: 1903 No. 3; 1905 No. 3; 1906 No. 1. B. Zuid-Holland 1886, le pl. No. 3; idem 1867, 2e pl. No. 3 ; idem 3e pl. No. 3; Noord Holland 1867, 2e pl. No. 3 ; Overijsel 1867, No. 3; 1868 No. 2; 1870 No. 2; 1878 No. 2; 1880 No. 2; 1883 No. 1; 1886 No. 1; 1890 No. 2; 1894 No. 2; 1902 No. 3; 1906 No. 2; 1907 No. 3. A. Zuid-Holland 1866, 2e pl. No. 3'. Groningen 1867, No. 4; 1869 No. 3, 1873 No. 2; 1875 No. 3; 1892 No. 2; H. V. Zuid-Holland 1866, 3e pl. No. 3; Gelderland 1866, le pl. No. 2; Noord-Holland, 1867, le pl. No. 1; idem No. 2; 1869 No. 1 ; 1872 No. 2; 1874 No. 2; 1877 No. 1; 1879 No. 1; 1879 No. 2; 1883 No. 1; 1883 No. 2; 1884 No. 2; 1885 No. 2; 1887 No. 2; 1888 No. 1; 1889 No. 2 ; 1895 No. 2: 1896 No. 2; 1899 No. 1; 1902 No. 2; 1903 No. 1; 1903 No. 2; 1907 No. 2. W. Zuid-Holland 1867, 3e pl. No. 2; Kb. Utrecht 1867, No. 2; 1871 No. 2; 1891 No. 2; 1894 No. 1; 1906 No. 2. Tk. Groningen 1867, le pl. No. 2; 1869 No. 1; 1905 No. 3; 1906'No. 3. T. Groningen 1867. 2e pl. No. 2; Limburg 1867, No. 2; 1868 No. 1; 1871 No. 1; 1872 No. 1; 1875 No. 2.' Bt. Limburg 1867 No. 4; 1889 No. 2; 1891 No. 2; 1894 No. 1 ; 1897 No. 2; 1900 No. 3; 1901 No. 3; 1903 No. 2; 1903 No. 3.' C. 1869 No. 2; 1874 No. 3; 1876 No. 2; 1877 No. 2; 1895 No. 1; 1898 No. 2; 1900 No. 3; 1904 No. 2. Wr. 1873 No. 1; 1882 No. 2; 1884 No. 1; 1885 No. 2; 1888 No. 2; 1893 No. 2; 1894 No. 2; 1895 No. 2; 1898 No. 1; 1899 No. 3; 1907 No. 1. S. 1875 No. I. SI. 1881 No. 2 . 1904 No. 3. Windas. 1882 No. 1. Kp. 1900 No. 2. Balans. 1904 No. 3.