A qu.413. I .26 . Rede Delft J















OVER DE ONTWIKKELINGSWIJZE DER WISKUNDE.



RIJKSUNIV RSITEI U' * CHT^ ^ ^
^ ^ 0331^2:3



A cvy. 4//? /
Over de ontwikkelingswijze der Wiskunde.
REDE
uitgesproken bij de aanvaarding van het Ambt van Hoogleeraar in de Zuivere en Toegepaste Wiskunde en de Mechanica aan de Technische Hoogeschool te DELFT, den 5dcn Mei 1909,
DOOR
D« J. A. BARRAU.
DELFT — J. WALTMAN JR. - 1909.







Ede/grootachtbare Hceren Curatoren, Hooggeleerde Hecren Professoren, Hceren Lectoren cn Privaat-Docenten, Dames en Ileeren Studenten dezer Technische Iloogcschool en verder allen, die clcze plechtigheid met Uwe tegenwoordigheid wilt vcrecren,
Zeer geachte Toehoorders,
Eene goede gewoonte schijnt het mij, als een nieuwbenoemd Hoogleeraar, zijn ambt aanvaardend met bet bonden der gebruikelijke redevoering, zich daarin tot taak stelt niet zoozeer uitkomsten voor te dragen van eigen onderzoek, welke uit den aard der zaak vaak zeer bijzondere onderwerpen betreffen zullen en zoodoende slecbts aan vakgenooten in enge ren zin belang inboezemen, als wel aan den ruimeren kring van hoorders, tot welke bij bij die gelegenheid het woord mag richten, een meer algemeen inzicht te bieden in de beteekenis, in de werkwijzen, in de ontwikkeling zijner wetenschap.
Zulke gewoonte volgend, koos ik tot mijn onderwerp voor heden: over de ontwikkelingswijze der Wiskunde.
Het zou echter evenzeer binnen den beschikbaren tijd ondoenlijk, als voor hot beoogde doel onnoodig zijn, mijne beschouwingen over bet geheele gebied dier wetenschap te willen uitstrekken, ik zal mij, in mijne poging te schetsen hoe eene eenmaal gestelde wiskundige vraag zich noodwendig en zonder afzienbaar einde door algenieener inkleeding heeft te verruimen en te verdiepen, door onderscheiding harer opvolgende bijzondere gevallen te verwikkelen, door zinverwante



wijziging tc vervormen en te verplaatsen, moeten beperken tot een enkel, geschikt gekozen, voorbeeld.
Als zoodanig moge gelden: de oplossing eener stelkundige vergelijking van willekeurigen graad, met ééne onbekende.
Wellicht zal menigeen Uwer, in wiens dagelijkschen gedachtenkring wiskundige vragen alleen ter wille liarer -toepassing op praktijk of techniek gesteld worden en oplossing behoeven, hij het hooien noemen van juist dit voorbeeld eenige verbazing in
zich voelen opkomen.
Niet «lat ik verwacht de belangrijkheid, do fundamenteele en historische beteekenis in twijfel te zien trekken van eeu vraagstuk, dat èn geheel aan den aanvang staat der stelkunde èn tevens nog steeds den hoofdinhoud dier wetenschap uitmaakt, een vraagstuk waaraan, in den loop der eeuwen, \oui ons, Westerlingen, is gearbeid door Arabieren, Grieken, Indiëis, Chineezen en Egyptenaren — de Papyrus Rhind van 1700 v. C. bevat een hoofdstuk over vergelijkingen van den eersten graad met eene onbekende — een vraagstuk waarmede namen als Cardano, Tartaglia en Ferrari, Lagranoe, Gauss, Abel en anderen van nieuweren tijd, straks nader te noemen, onafscheidelijk verbonden zijn, terwijl schier alle wiskundigen van naam
er bijdragen toe leverden.
Maar ik ben voorbereid op tegenwerping van anderen aard.
Immers, zoo zal men zeggen, door de ingespannen samenwerking van zooveel vernuft gedurende zoovele eeuwen heeft dan ook het vraagstuk ten volle zijne oplossing gevonden. En deze bewering heeft een schijn, van het standpunt van den practicus zelfs meer dan een blooton schijn, van waarheid. Gesteld toch, dat eene bepaalde vergelijking van zekeren graad met reëele en meetbare coëfficiënten ter oplossing gegeven zij. Dan leert de naar d'Alembert genoemde, door Gauss voor het



eerst in zijne dissertatie, later nog op een drietal andere wijzen, bewezen stelling, dat in elk geval minstens éen wortel aanwezig is en dus bet aantal wortels met den graad gelijk staat; deze wortels kunnen echter meermalen voorkomen en paarsgewijze toegevoegd complex zijn. Door eene steeds uitvoerbare bewolking kan men nu nieuwe vergelijkingen vormen, waarvan er eene de eenmaal voorkomende wortels bevat, eene tweede de tweemaal voorkomende, eiken slechts eens, en zoo verder. De vraag is daarmede overgebracht op vergelijkingen met uitsluitend verschillende wortels.
Eene volgende reeks bewerkingen stelt in staat deze woitcls te scheiden, dat wil zeggen de aantallen der positief en negatief reëele en der complexe wortels afzonderlijk te bepalen en grenzen aan te geven, waarbinnen hunne bedragen elk afzonderlijk gelegen zijn; bij deze scheiding bewijzen theorema's als die van Descartes en Budan, bovenal dat van Sturm, gewichtige diensten.
En ten slotte kan men eiken der nu individueel aangewezen wortels door rekenwijzen als die van Newton of van IIorner, om slechts de meest bekende te noemen, tot eiken gewenschten graad van nauwkeurigheid benaderen.
Voegen wij nog toe, dat de aan de coëfficiënten opgelegde beperkingen van realiteit en meetbaarheid niet wezenlijk zijn, dat scheiding en benadering, zij bet ook ten koste van meer moeite en omzichtigheid, bij complexe of onmeetbare coëfficiënten e\ enzeer kunnen worden uitgevoerd, dan schijnt dit slechts te klemmender den eenigermate verwonderden uitroep te rechtvaardigen: wat verlangt gij dan nog meer?
Inderdaad — al is de mogelijkheid der ontdekking van verkortende becijferingswijzen nimmer uitgesloten met hit oog op de toepassing bezien schijnt het vraagstuk dooi het zooeven geschetste, in onze leerboeken zoo goed als stereotyp geworden



samenstel van in elkaar grijpende en elkaar aanvullende beschouwingen en bewerkingen opgelost, uitgeput en afgedaan.
En daar liet wiskundig onderwijs aan eene Technische Iloogeschool op de toepassing gericht dient te blijven, zal ik — toekomstige hoorders mijner lessen kunnen dienaangaande gerust zijn — mocht nu of later het doceeren en ... . exaniinceren van dit onderdeel tot mijne taak behooren, ook niet meer willen geven of verlangen, het is zóó, voor hun doel, ook naar mijne meening alleszins voldoende.
Maar dit neemt niet weg, dat de beoefenaar der zuivere wiskunde, wien het te doen is om het doorgronden der geheimen van Getal en Maat, zulk eene oplossing, zoo ze hem met de pretentie eener eindbeslissing zou worden geboden, met een hoffelijk „dankbaar, doch niet voldaan" zal moeten afwijzen. In plaats van zich door eene benaderingsmethode, zelfs de scherpst convergente, bevredigd te gevoelen, antwoordt hij, dat het daarom eigenlijk niet gaat, en wel verre van de debatten, nadat Horner en Sturm het hunne gesproken hebben, voor gesloten te verklaren, leent hij gretig het oor aan eene reeks van volgende sprekers, die hetzelfde onderwerp in velerlei anderen geest opvatten en van velerlei andere zijden belichten. En hij verwerft het inzicht, dat het reeds eeuwenoude probleem nog aan tal van eeuwen stof tot arbeiden en onderzoeken zal bieden en dat komende generaties van denkers kunnen voortgaan ook aan dit probleem ongekende waarheid te openbaren en ongeziene schoonheid te onthullen.
Wat is dan de diepere en eigenlijke bedoeling der vraag naar de oplossing eener hoogere-machtsvergelijking, en waarom meenen wij dat aan deze wel voortdurend zal kunnen worden gewerkt maar zonder dat ze ooit afdoende zal worden verkregen ?
Om het antwoord, iu enkele trekken althans, aan te geven, kan worden aangeknoopt bij iets zeer eenvoudigs en zóó wel-



bekends, dat niemand die enkele jaren doorbracht op de banken eener middelbare school onwetendheid in dezen kan voorwenden — ik bedoel de gewone vierkautsvergelijking. Nu kunnen wij ons niet te binnen brengen in die heerlijke, met meer of minder recht onbezorgd geheeten dagen te hebben omgegaan met grenzen, waartussehen wij de wortels in de engte zouden hebben gedreven, met .Sturmsche functiën, welker teekenwisselingen wij angstvallig zouden hebben nageteld, met het geheele apparaat in één woord, zooeven als de oplossing der hoogere machtsvergelijking beschreven. Maar wat wij ons herinneren, met meer of minder duidelijkheid en genoegen naar de mate van onzen toenmaligen aanleg en lust in de edele mathesis, is eene zekere formule, welke kort en goed de beide wortels in de coefficienten der gegeven vergelijking uitdrukte. In die formule kwam eene worteltrekking voor, welker opgaan ons 1111 en dan bovenmate verblijdde. En als ze niet opging — geen nood! in worteltrekken waren we destijds uitnemend bedreven, en enkele minuten waren voldoende om de verlangde wortels in het plichtmatig aantal decimalen te benaderen.
Welnu, bij het vernemen van zulk eene formule, zulk een recept 0111 do onbekende uit de gegeven coëfficiënten door gewone rekenkundige bewerkingen, worteltrekken inbegrepen, te bepalen, klaart het gelaat van onzen onbevredigden wiskunstenaar reeds op, want hij gaat begrijpen, hoe die onbekende wortel van de bekende coëfficiënten afhangt. En in zijne vreugde hiermede laat hij het werkelijk uitvoeren der becijfering, waarop de practicus nog wacht, gaarne aan dezen over.
Als grootc mannen vereert hij dan ook Cardano en Tartaglia, die een dergelijk, maar dan meer gecompliceerd, recept gaven voor de vergelijking van den derden graad, al was hunne samenwerking geene recht broederlijke, daar ze ontaardde in een heftigen strijd, waarin de bitterste verwijten en de grievendste beschuldigingen weerklonken.



Niet minder dank voelt li ij zich schuldig aan Ferrari, die de vierdemachtsvergelijking oploste, en aan zoovele anderen, die in <len loop der tijden tal van nieuwe methoden vonden — de zeer uitvoerige, maar dan ook, naar de schrijver getuigt, volledige, mouographie van Matthiessen vermeldt er omstreeks tachtig voor den derden, omstreeks honderd voor den vierden graad.
Allicht zal nu deze of gene niet verder wiskundig geschoolde toehoorder — en de reeds der zake kundigen hebben waarschijnlijk, tenzij zij al zeer vroeg een heilzaam wantrouwen tegen al te snelle analogieën koesterden, voorheen evenzoo gedacht — meenen, dat hij den loop van het verhaal wel reeds heeft gevat.
En dien argeloos op zijne wijze vervolgend, zal hij verwachten, dat men is voortgegaan en nog voortgaat met het zoeken en vinden van dergelijke betrekkingen, hoe ingewikkeld en voor de toepassing op den duur ongeschikt ze dan ook mogen worden, voor den vijfden, den zesden en verdere graden ...
Wij weten, dat op al zulke verwachtingen ontgoocheling moet volgen, dat de zaak geheel anders verloopt en eene dreigende en onverwachte wending neemt.
Wel zullen er voor hoogeren graad bijzondere vergelijkingen bestaan, dat zijn zulke, welker coëfficiënten op eene bepaalde wijze afhankelijk van elkander zijn gekozen, die oplossing door eene wortelteekens bevattende formule gedoogen. Wij herinneren in dit verband met een enkel woord aan de beroemde onderzoekingen over cirkeldeeling van Gauss en aan eene geheele klasse van naar Abel genoemde, door hem ontdekte en onderzochte, vergelijkingen van dien aard.
Maar het is de onvergankelijke verdienste van denzelfden Niels Henrik Abel te hebben bewezen, in 1826, dat de algemeene vergelijking van hoogeren dan den vierden graad zulk eene oplossing nimmer bezit.



Is ilan door deze fatale ontknooping, als door den «lood van den held in een treurspel, niet alle verdere bespreking afgesneden en bet verder zoeken gestempeld tot eene redeloosheid, lot eene quadratuur van den cirkel?
Het antwoord is reeds gegeven: neen.
Het door dezen schijnbaar onoverkomelijken hinderpaal slechts tot uitwijken gedrongen, niet tot staan gebrachte, onderzoek breekt zich langs een tweetal wegen opnieuw baan, die ik, hoezeer zo ook met elkander in verband staan en bij grondiger studie kwalijk gescheiden kunnen worden gehouden, om u niet te ver te voeren afzonderlijk wil bespreken, met de bedoeling den eenen slechts vluchtig aan te duiden, den anderen vervolgens iets nader te beschouwen.
Als uitgangspunt voor het aanwijzen dier eerste richting kiezen wij weder een zeer bekend feit. Wij weten toch, dat er voor de graden twee, drie en vier nog eene oplossingswijze bestaat, de goniometrische, welke zelfs, waar het den derden graad betreft, het voordeel biedt, juist als de algebraische methode moeilijkheden medebrengt, in het zoogenaamde onherleidbare geval, de alsdan alle drie bestaanbare wortels rechtstreeks in bestaanbaren vorm op te leveren.
Zoeken wij nu naar den eigenlijken grond, waarom zulk eene oplossing mogelijk is, dan vinden we dien in het samentreffen van twee omstandigheden. Vooreerst hierin, dat de goniometrische functies — gewoonlijk wordt de cosinus gekozen — een multiplicatie-theorema bezitten, dat wil voor ons geval zeggen, dat de cosinus van den drievoudigen boog door eenen gebeden stelkundigen vorm en wel van den derden graad in dien van den enkelen boog kan worden uitgedrukt. Deze laatste is dus op te vatten als wortel der bepaalde derdemachtsvergelijking, welke ontstaat, als men den eersten als bekenden terra gegeven denkt.



Ten tweede echter daarin, dat het gelukt de algemeene vergelijking van den derden graad zoodanige vervorming te doen ondergaan, dat hare coëfficiënten term voor term met die onzer bepaalde vergelijking identiek kunnen worden gesteld.
Toegerust nu met eene in dezen vorm geknede herinnering aan de goniometrische methode, kunnen wij ons door analogie ten minste in de allerruwste trekken een beeld ontwerpen van de door Hermite, Kkonecker, Brioschi ontwikkelde oplossingen der algemeene vijfdemachtsvergelijking door middel van elliptische functies.
Vooreerst dan bezitten ook deze functies transformatie-formules, waaronder wel de eigenlijke multiplicatie-theorema's als bijzondere gevallen kunnen worden ingedeeld, doch die zelf een algemeencr karakter dragen, daar de beide door zulle eene betrekking verbonden elliptische functies, die van hot enkelvoudige en van bet meervoudige argument, ook van modulus verschillen. Tusschen de beide moduli echter bestaat weder een verband, dat door eene stelkundige vergelijking, de modulair-vergelijking genaamd, wordt uitgedrukt. Haar graad is één meer dan een bij de transformatie optredend geheel en positief getal, de orde dier transformatie: zoo komt bijvoorbeeld voor do transformatie der 5« orde eene modulairvergelijking van den Gen graad. Deze bepaalde vergelijking kan men dan, den oenen modulus als bekenden parameter opvattende, den anderen als de onbekende beschouwend, door elliptische functies opgelost noemen op soortgelijke wijze als wij dit zooeven bij de goniometrische methode deden.
Ten tweede echter — en het is juist op dit punt, dat onze kunstmatige scheiding van de tweede, aanstonds te beschrijven onderzoekrichting, ook al zou ze kunnen worden volgehouden, toch historisch onjuist is — bleek, dat die vergelijking van den zesden graad in hare meest wezenlijke karaktertrekken, in hare



groep, als het vergund is deze uitdrukking bij voorbaat te bezigen, overeenstemde met de algemeene van graad vijf, nadat ze aan eene enkele, steeds uitvoerbare bewerking onderworpen is. En inderdaad, aan Hebmitb gelukte het de substituties op te sporen waardoor de modulair vergelijking overgaat in eene van graad vijf en van de naar Brixg en Jerrard genoemde, eveneens slechts ééuen parameter bevattende gedaante, waartoe, zooals door dezen reeds vroeger was aangetoond, anderzijds de algemeene vergelijking van dien graad steeds kan worden gebracht. Eene soortgelijke herleiding verrichtten Kronecker en Brioschi, die daai'bij echter uitgingen van eene andere aan de theorie der elliptische functies ontleende zesdemachts vergel ijking.
Dat geen man der praktijk, mocht hij in de noodzakelijkheid komen eene vijfdemachtsvergelijking op te lossen, zich van deze methoden bedienen zal, wilt Gij wel beamen, dat ze op de roemrijkste bladzijden van het geschiedboek onzer wetenschap staan opgeteekend, zult Gij, hoop ik, niettemin billijken.
Toch zouden deze onderzoekingen, indien ze de eenzijdigheid werkelijk bezeten hadden, welke ik ze in de gekozen voorstellingswijze tijdelijk verleende, eene eenigszins afgezonderde plaats zijn blijven innemen en zich niet gemakkelijk hebben laten inpassen in de ruimere, voor verdere uitbreidingen vatbare, theorie.
Wij hoorden reeds, hoe de modulairvergelijking van den zesden graad door zekere kenmerken van zeei algemeenen aard, door hare groep, hare wezenlijke overeenstemming verried met de algemeene vijfdemachtsvergelijking. Zoo blijkt de modulairvergelijking voor de transformatie dor zevende orde door hare groep overeen te stemmen met eene klasse van bijzondere vergelijkingen van graad acht of zeven en door hare groep te verschillen van de algemeene vergelijking in die graden, voor welke dus eene analoge oplossingswijze niet mogelijk is.



Het was dan ook eerst door de toepassing van de leer deigroepen op die der vergelijkingen, door de dusgenaamde theorie van Galois, dat de breede en hechte grondslag gelegd werd, waarop niet alleen de zooeven geschetste onderzoekingen konden rusten, maar die èn ruimte èn draagkracht bood voor een werk van veel uitgestrekter omvang en monumentalen bouw, waarvoor het plan kon worden ontworpen, doch waarvan nog slechts enkele gedeelten konden worden uitgevoerd.
Ik noemde den naam van Galois . . .
Anders dan in de politieke geschiedenis en dan in die van letteren en kunst, waarin zich het spel van mensehelijkc neigingen en hartstochten, zoo goede als booze, voortdurend weerspiegelt, gaat in de geschiedenis der zuivere wetenschap, der wiskunde bovenal, het tijdelijke en toevallige zoozeer onder in het zakelijke en abstracte, is de geleverde arbeid zoo scherp en zuiver uitgekristallizeord uit de persoon van den arbeider, zoo geklaard en gekoeld, dat ook de doorluchtigste namen, welke die historie heeft opgeteekend, waar niet eene traditioneel geworden anecdote of onze toevallige bekendheid met eene biografie den weg wijzen, voor ons wel het beeld van een vernuft, van een geest — niet van een wezen van vleesch en bloed, van gemoed en hart doen oprijzen. En daar wij bij het hooren van een naam toch even, hoe vaag ook, de voorstelling van een medemensch moeten hebben, vormt zich deze, ingepast in de omlijsting van landaard en eeuw, gemakshalve naar een onbestemd en gemiddeld type van een geleerde, waaraan wij geneigd zijn eenige voor normaal doorgaande predicaten te hechten: ernstig, plechtstatig, in gedachten verzonken, ietwat zonderling en verstrooid, vervreemd van het wereldrumoer ....
Evariste Galois stierf den 31 Mei 1832, op 21-jarigen leeftijd in het hospitaal ('och in te Parijs aan eene kogelwond,



den dag te voren opgedaan in een duel, waarvan niet alle omstandigheden zijn opgehelderd, doch hijzelf in een afscheid „a tous les répuhlicains" zegt: „Je meurs victime d'une infame coquette. C'est dans un misérable cancan que s'éteint ma vie." Eenige weken voor zijn dood was hij om gezondsredenen op parool tijdelijk ontslagen uit de gevangenis Sainte-Pélagie, waar hij een straftijd van zes maanden had uit te dienen wegens het vergrijp, op een feestmaal van republikeinen een provoceerenden, en inderdaad luguberen toast op den koning te hebben uitgebracht door in dezelfde hand als zijn glas een geopend mes op te heffen met de woorden „a Louis-Philippe!"
Zijne reputatie als heethoofd en raddraaier was zoo wel gevestigd, dat de prefect van politie het noodig vond eene macht van agenten te zenden om ongeregeldheden naar aanleiding zijner begrafenis te voorkomen, en dat deze reputatie wel verdiend was, moge blijken uit de snoevende uitlating van CIalois zelf, dat hij bij alle Parijsche straatoproeren van de laatste zes maanden 'voor zijne gevangenneming was tegenwoordig geweest.
Hoe zulk eene mate van verbittering, van geëxalteerden haat tegen alles wat macht eu positie bezat, ontstaan kon in een jongen, die toen hij op 15-jarigen leeftijd plaats nam op de banken van het Collége Louis-le-Grand, nog door zijne leeraren beoordeeld werd als „trés doux, rempli d'innocence et de bonnes qualités", echter met de bijvoeging „quoiqu'un peu bizarre dans ses manières", wordt door zijnen jongsten biograaf Dupuy, in de Annales de l'école normale supérieure van 1890, op aangrijpende, sympathieke en onpartijdige wijze geteekend; het moge hier volstaan te vermelden dat in zijne rapporten al spoedig opmerkingen verschijnen als „conduite trés mauvaise", „caractère bizarre, et il affecte plus de bizarrerie qu'il 11'en a réellement" en dergelijke, welke lijst in December 1830 wordt afgebroken door eene schandaalmakende wegzending, wegens het publiceeren



van een insinueerend, tegen zijn directeur gericht, anoniem artikel, dat door zijne medeleerlingen, gedeeltelijk met verontwaardiging, werd gewraakt. Een van hen oordeelt zelfs over hem, in een bewaard gebleven vertrouwelijk schrijven, dat echter wel in ietwat hoogdravenden stijl is gehouden, als een „mauvais sujet du caractère le plus profondément pervers et sournois." Van Dec. 1830 tot Mei 1831 worden dan besteed aan liet bijwonen van straatoproeren, daarna gevangenis, langen tijd preventief, eene korte voorwaardelijke vrijheid en de dood. \\ aar vinden wij in zulk een leven den tijd voor het scheppen der theorie van Galois?
Laten wij behalve de kolom „conduite" zijner rapporten, ook de kolom „progrès" even inzien.
Hier treffen vooral de klachten over eigenzinnigheid, grilligheid en gebrek aan methode bij erkenden goeden aanleg — „jamais il ne sait mal une legon, ou il ne 1'a pas apprise du tout ou il la sait bien" —• en is weder het einde het slechtste. In het jaar 182S—29, classe des Mathématiques spéciales, terwijl de leeraar voor natuur- en scheikunde doorloopend „travail nul" constateert, had Galois als wiskundeleeraar Richard, een man in staat het talent van Galois te waardeeren, die de verdienstelijke en origineele oplossingen van zijn leerling met gerechten lof voor de geheele klasse verklaarde, die achtereenvolgens inschrijft: „eet élève a une supériorité marquée sur tous ses condisciples", dan: „eet élève ne travaille qu' aux parties supérieures des Mathématiques" .... en ook deze eindigt met een kort „conduite bonne, travail satisfaisant", dat zoo koel klinkt na de voorafgaande getuigenissen, dat ook daarachter wel iets onuitgesproken, maar zeker niet gunstig voor Galois, verscholen zal liggen.
Wat bezielde dezen dan?
Gekrenkte eerzucht, bet bewustzijn van liet eigen onbegrepen



en miskend genie, dat hij later, geprikkeld door eene reeks van teleurstellingen, door de officiëele vertegenwoordigers der wetenschap tegengewerkt en onderdrukt waande. En deze teleurstellingen waren inderdaad grievend genoeg. Tot tweemaal toe zakte hij voor het toelatingsexamen der Ecole Polytechnique, waar hij meende, dat zijn aanleg tot erkenning zou komen. Zijne eerste mededeeling aan de Académie des Sciences — hij was toen zeventien — zou door Cauchy worden ingediend, deze vergat het, het stuk raakte zoek en werd door den schrijver te vergeefs terug gevraagd. Het volgend jaar zond Galois eene verhandeling in aan de Académie om mede te dingen in den concours du grand prix de Mathématiques. Het manuscript werd aan den secrétaire perpétuel Fourrier ter hand gesteld, die het mede naar huis nam en kwam te overlijden voor hij het had ingezien — het werd niet onder zijne papieren teruggevonden.
In dit alles zag Galois geen toeval, maar toeleg en hij zette alle bitterheid, die hij gevoelde, om in verzet, verzet tegen de schoolorde, dan tegen de maatschappelijke orde.
Slechts van een vijftal kleinere studies heeft Galois de voldoening gehad ze gedrukt te zien, zijn belangrijkste werk is in zijne nagelaten papieren gevonden en eerst in 1846 door Liouville gepubliceerd, terwijl bekend is hoe hij den dag voor zijn dood in een brief aan zijn vriend Auguste Chevalier in groote haast eenige nog niet aan het papier toevertrouwde gedachten neerschreef, eindigende met:
„Tu prieras publiquement Jacobi et Gauss de donner leur avis, non sur la vérité" — deze wist hij namelijk, „malgrê ce qu' en a dit Poisson", die zijn werk incompréhensible oordeelde, boven alle bedenking verheven — „rnais sur 1'importance des théorèmes."
„Après cela, il y aura, j'espère, des gens qui trouveront Teur profit a déchifFrer tout ce gachis."



Die lieden zijn gekomen en hebben hem gehuldigd doorzijn werk voort te zetten.
In wetenschappelijken zin kan men Galois den opvolger en voltooier van Lagrange noemen, wiens verhandelingen hij als zestienjarige knaap met gretigheid verslond. Eu om voor het begrijpen der beteekenis van dezen, wat ons vraagstuk aangaat, een eenvoudig en aan ieder bekend punt van uitgang te kiezen, zal het goed zijn nog iets verder terug te gaan, namelijk tot de theorie der symmetrische functies, zooals die door Girard, Newton en Cramer was ontwikkeld. Deze functies van eenige veranderlijken hebben de eigenschap, niet van vorm, dus a fortiori niet van waarde, te veranderen, als men die veranderlijken op alle mogelijke wijzen onderling verwisselt.
Zulke verwisselingen zijn er zooveel als het gedurig product bedraagt van de termen der natuurlijke getallenreeks tot en met het aantal der veranderlijken ; in welke volgorde men ook eenige van zulke verwisselingen na elkander uitvoert, het resultaat zou steetls rechtstreeks door eene enkele ervan te verkrijgen zijn geweest. Het is om deze eigenschap dat ze gezegd worden gezamenlijk eene groep te vormen en wel de totale of symmetrische groep van het gekozen aantal veranderlijken. De symmetrische functies zijn dus gekenmerkt door de eigenschap, dat ze voor de verwisselingen der symmetrische groep slechts ééne waarde aannemen.
Onder deze functies noemt men „elementair" die, welke bestaan uit de som der producten aller combinaties van een aantal geringer dan of gelijk aan het totale, te beginnen met de som der enkele veranderlijken zelf; de belangrijkheid dezer elementaire functiën blijkt uit de stelling, dat elke geheele symmetrische functie als geheele functie dezer elementaire kan worden uitgedrukt.



Bedenken wij nu, dat als men voor de veranderlijken de waarden kiest van de wortels eener hoogere machtsvergelijking — we zullen steeds de wortels onderling verschillend onderstellen —, deze elementaire functies juist de coëfficiënten zijn, dan zien wij, dat alle rationale symmetrische functies der wortels rationaal in de coëfficiënten der vergelijking kunnen worden uitgedrukt.
De vraag is nu of ze de eenige zijn, waarvan dit kan worden gezegd en het antwoord luidt in het algemeen bevestigend. Dat er echter bijzondere gevallen zijn, is duidelijk als men het alleruiterste daarvan noemt, namelijk dat alle rationale functies der wortels ook rationaal in de coëfficiënten zijn, hetgeen natuurlijk voorkomt als de wortels zelve meetbaar zijn.
Het is tevens duidelijk, dat die functies in het algemeen geene enkele verwisseling der wortels onderling gedoogen zullen en dus voor de symmetrische groep evenveel waarden kunnen aannemen als bet aantal verwisselingen dier groep, de identiteit inbegrepen, bedraagt, men noemt dit aantal de orde der groep.
Tusschen deze uitersten ligt eene geheele, grootendeels aan Lagrange verschuldigde, theorie van functies, welke voor de verwisselingen der symmetrische groep een beperkter aantal waarden aannemen; als hare hoofdresultaten mogen worden genoemd: dat dit aantal steeds op de orde der symmetrische groep deelbaar is en dat de verschillende waarden van zulk eene functie juist de wortels zijn eener hoogere machtsvergelijking, welker coëfficiënten rationaal in de veranderlijken kunnen worden uitgedrukt. Tevens bezit het stelsel der verwisselingen waarvoor eene waarde onveranderd blijft, weder de eigenschap, dat het resultaat van eenige dier verwisselingen na elkander ook door eene enkele van het stel verkrijgbaar is, ze vormen dus te zamen opnieuw eene groep, eene ondergroep van de totale.
Op deze resultaten voortbouwend kwam Galois tot het inzicht, dat elke vergelijking eene bepaalde groep bezit, zoodanig



dat voor hare verwisselingen alle rationale functies der wortels, welker getallenwaarde tevens rationaal in de coëfficiënten deivergelijking kan worden uitgedrukt, deze getalwaarde onveranderd laten, terwijl ook omgekeerd van elke rationale functie der wortels, welker getallenwaarde door de groep van < iAr,ois niet verandert, deze waarde rationaal in de coëfficiënten uitdrukbaar is, of, om de door Kronecker later ingevoerde uitdrukking te bezigen, tot het rationaliteitsgebied dier coëfficiënten behoort.
Volgens het zooeven gezegde is dus de groep der algemeene vergelijking de symmetrische; die eener vergelijking met meetbare wortels, of, scherper gezegd, waarvan de wortels tot het meetbaarheidsgebied der coëfficiënten beliooren, bestaat alleen uit de identiteit zelf.
Deze groep der vergelijking, met de eigenschappen of bijzonderbeden, welke ze als zoodanig kan vertoonen, doordringt en beheersclit nu zoozeer al wat men van de vergelijking en hare wortels, bare oplossing en transformatie kan zeggen, dat er een, door Galois reeds in hoofdtrekken aangegeven, door zijne voortzetters uitgewerkt, parallelisme bestaat tusschen groep en vergelijking, waarin dezeltde waarheden door de eerste op korte en principiëele, maar abstracte, door de tweede op meer concrete, maar door herleidingen en ontwikkelingen van toenemenden en eindelijk onrustbarenden omvang onoverzichtelijk en ten slotte schier onuitvoerbaar wordende wijze tot uiting komen.
Iloe ver dit parallelisme gaat moge blijken uit een enkel voorbeeld. Het meeste is zeker tot de uitwerking en de \eispreiding der denkbeelden van Galois bijgedragen door het standaardwerk van Camille Jordan, Traité des substitutions et des équatious algébriques, te Parijs in 1870 verschenen. In dit boek is het laatste gedeelte gewijd aan het, ook reeds door Galois aangevangen, hoofdstuk: de la résolution par radicaux, dat de



begrenzing en classificatie bespreekt van alle door worteltrekking oplosbare vergelijkingen. Welnu, in de 277 hieraan bestede bladzijden quarto formaat komt geene enkele vergelijking opgeschreven voor, geen enkele stelkundige berekening of herleiding in den gewonen zin van 't woord, terwijl toch de lezer overtuigd is, dat het aangekondigde onderwerp op rake en afdoende wijze wordt behandeld, daar hem bij de alleen over groepen loopende besprekingen doorloopend het beeld der daarmede correspondeerende vergelijkingen voor den geest staat.
Van de velerlei eigenschappen, welke aan groepen kunnen toekomen, moeten nu een tweetal voor ons vraagstuk van het meeste belang worden geacht: isamorphisme en samenstellingsreeks.
Om de eerste te begrijpen, moeten wij de operaties eener groep, die we leerden kennen als verwisselingen van een zeker aantal grootheden, welk aantal de graad der groep genoemd wordt, zelve opvatten als elementen, welker samenhang gegeven wordt door de wijze, waarop uit de opvolging van elk tweetal een bepaald derde element ontstaat. Zulk eene combinatie wordt symbolisch een product genoemd, deze vermenigvuldiging gedoogt echter in 't algemeen geene omruiling der factoren.
Het is nu mogelijk, dat eene tweede groep van verwisselingen, zelfs van geheel anderen graad, uit hetzelfde aantal elementen in denzelfden samenhang bestaat, de beide groepen zijn dan enkelvoudig isomorph. Bezit nu eene vergelijking van zekeren graad eene bepaalde groep, welke isomorph is met eene groep van anderen graad, dan zal het kunnen gelukken eene tweede vergelijking op te stellen van dien anderen graad, zoodanig, dat de wortels der eerste vergelijking rationaal in die der tweede, welke dus eene resolvente der eerste is, kunnen worden uitgedrukt; gij zult reeds hebben opgemerkt, dat het juist zulke omzettingen zijn, die dooide methoden vanHERMiTE,KR0XECKER,BiU0SCin werden verkregen.



Het uiterste wordt hierbij bereikt wanneer, zooals dat steeds mogelijk is, de graad der tweede groep gelijk aan hare orde wordt gekozen, de tweede vergelijking heet dan resolventc van Galois der eerste, ze is eene normaal-vergelijking, d. w. z. ze bezit de eigenschap, dat al hare wortels, en daarmede ook do wortels der oorspronkelijke, nationaal in een enkelen uitdrukbaar zijn. Het opstellen van zulk eene normale resolvente voor eene vergelijking is blijkbaar een belangrijke stap tot hare oplossing.
Om tot het begrip der samenstelliugsreeks eener groep te geraken, hebben wij eerst kennis te nemen van dat van invariante ondergroep, dat is zulk eene, die onveranderd blijft als men al hare elementen met de overige elementen der geheele groep transformeert. Hieronder echter verstaat men het vormen van het gedurig product der drie factoren: het tegengestelde transformeerende, het te transformeeren en het transformeerende element. Indien eene groep geene invariante ondergroep bezit, buiten zichzelf en de indentiteit, heet ze eenvoudig, anders samengesteld. In het laatste geval kan men hare elementen afdeelen in die der invariante ondergroep en de andere systemen, welke daaruit ontstaan door telkens met een nieuw element te vermenigvuldigen. Door al de verwisselingen der geheele groep verwisselen deze systemen onderling volgens eene nieuwe groep, de quotiënt-groep genaamd. Deze kan men wellicht verder ontbinden en zoo voortgaan tot alle samenstellende groepen eenvoudig zijn geworden.
Voor deze samenstellingsreeks geldt nu de aan de elementaire ontbinding in factoren herinnerende stolling van JordanHölder, dat als men de ontbinding op andere wijzen verricht, toch met de vorige stuk voor stuk isomorphe factorgroepen worden verkregen, waarvan alleen de volgorde anders kan uitvallen. Is nu de groep eener vergelijking samengesteld, dan kan men zulk eene samenstellingsreeks uitkiezen en eene hulpver-



gelijking, eene gedeeltelijke resolvente, vormen, welker groep isomorph is met de eerste factorgroep; deze hulpvergelijking heeft men dan op te lossen of opgelost te deuken.
Als men nu toestaat hare wortels als rationaal bekende getallen te beschouwen, ze toevoegt of adjungeert aan het aanvankelijke rationaliteitsgebied, dat door de coëfficiënten der oorspronkelijke vergelijking gevormd werd, zal de groep van Galois van deze worden gereduceerd en wel juist tot de eerste quotientgroep. Zoo kan men voortgaan met het opstellen van hulpvergelijkingen voor de volgende factorgroepen, zoodat ten slotte de verlangde wortels in die dezer serie van partiëele resolventen bekend zijn.
Kiest men in plaats van elke hulpvergelijking eene normale resolvente daarvan, dan behoeven die uitdrukkingen van elke resolvente slechts één wortel te bevatten en wij kunnen in ruimeren zin zeggen, dat onder oplossen eener vergelijking moet worden verstaan: het opstellen van eene serie zoo eenvoudig mogelijk gekozen normaalvergelijkingen en van de uitdrukkingen der gevraagde wortels in die van deze laatste. Het is dan theoretisch zelfs te verkiezen een wortel van zulk eene normaalvergelijking slechts bekend te denken, als eene niet nader uit te werken irrationale functie harer coëfficiënten te beschouwen, waarvan het gebruik is toegestaan op dezelfde wijze als het vierkantswortelteeken getolereerd wordt in de formule der gewone vierkants vergelijking.
Zijn de groepen aller gebezigde normaalvergelijkingen in 't bijzonder cyclisch, dan valt dit ruimere begrip van „oplossen" terug in het engere „door wortel trekking"; in dezen enge ren zin is dus eene vergelijking alleen oplosbaar als hare groep uit cyclische factoren is samengesteld, het predicaat „oplosbaar" wordt dan ook op die groepen overgedragen en aan de studie van zulke groepen is het straks genoemde hoofdstuk in het werk van Jordan gewijd.



En daar de samenstellingsreeks der symmetrische groep gemakkelijk kan worden onderzocht, cn blijkt te bestaan uit eene factorgroep van orde twee, welker quotientgroep, de alterneerende aller even omwisselingen, voor hooger dan den vierden graad steeds eenvoudig is en dus den tweeden factor vormt, is de onoplosbaarheid (in den engeren zin) der algeniecne vergelijking van overeenkomstigen graad een direct gevolg.
Door het voorgaande is nu een programma der behandeling van ons vraagstuk voorgeteekend, maar blijkt tevens het eindelooze van de taak het te volbrengen, zoodat wij ons met gestadig voortwerken zullen hebben tevreden te stellen.
Vooreerst dan zullen de eenvoudige groepen van opvolgende orden moeten worden bepaald. Behalve de cyclische groepen van priem orde en de alterneerende, zijn, voornamelijk door den arbeid van Dickson, acht oneindige seriën van zulke groepen vastgesteld, welke voor orden (niet priem) beneden het millioen 53 groepen leveren; beneden duizend valt het vijftal GO, 108, 360, 504 en 660, elk in éen type — voor 20160 bijv. komen twee niet isomorphe typen voor — de eerste en derde hiervan zijn resp. de alterneerende groepen van vijf en zes elementen.
Ten tweede echter zouden de bijbehoorende normaal vergelijkingen in zoo eeuvoudig mogelijken vorm en met het tot het minimum teruggebrachte aantal parameters moeten worden opgesteld, de herleiding uit haar willekeurigen vorm uitgevoerd, de door haar gedefinieerde irrationaliteit onderzocht, de wortels der vergelijkingen van lageren graad waarvoor ze resolvente zijn daarin uitgedrukt worden.
Als klassiek voorbeeld hiervan dient de behandeling deiorde 60, door Kleix gegeven in zijne Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungcn vom filnften Grade. Als normaalvergelijking bezigt hij de vergelijking, welker wortels



door éene complexe coördinaat de plaats in het platte vlak aanwijzen van de stereographische projecties der zestig punten op een hoi, die uit een enkel ervan ontstaan, wanneer de bol de bewegingen uitvoert, waardoor een ingeschreven regelmatig twintigvlak op alle mogelijke wijzen weder met zichzelf tot samenvalling komt.
Aan dit voorbeeld zien wij tevens, hoe liet vraagstuk, door isomorphisme der groep met eene bewegingsgroep, op meetkundig terrein wordt overgebracht, een terrein dat door Jordax, Klein, Valentiner, Loevvy, Wimax verruimd is door het stellen en een eind weegs beantwoorden der algemeene vraag: welke eindige en eenvoudige groepen van collineaties zijn mogelijk in de ruimte van een, twee, drie en meer afmetingen? Wij willen van deze onderzoekingen alleen het resultaat van W iman vermelden, dat, terwijl voor ?i = 5, 6 en 7 de alterneerende groep met eene collineatiegroep in minder dan (n — 2) afmetingen isomorph is, dit voor hoogere waarden van n verder onmogelijk blijft.
liet zou te ver voeren nog uiteen te zetten, hoe dan uit zulk eene collineatiegroep een algebraisch probleem, het vormciiproblcan kan worden afgeleid, waarvan de groep van Galois weder met de groep van uitgang isomorph is, zoodat nu omgekeerd het meetkundig vraagstuk in het stelkundige is •overgevoerd.
Liever wil ik U nog doen zien, dat de wijze waarop het vraagstuk gesteld werd nog te eng is, nog eene aanvulling behoeft, welke opnieuw een uitgebreid veld van onderzoek opent
Immers, wij dachten ons eene vergelijking, waarvan de coëfficiënten getallen waren in den gewonen zin van het woord, wij kunnen ze gemakshalve weder meetbaar denken, en spraken van het rationaliteitsgebied dezer coëfficiënten. Dat gebied is echter noodzakelijk oneindig, daar toch reeds de eenheid alleen door optelling en aftrekking alle geheele getallen levert, waarna



door deeling alle rationale breuken ontstaan. Er laten zich echter rationaliteitsgebieden ontwerpen, die slechts ccn eindig aantal getallen bevatten. Als eenvoudigste voorbeelden daarvan noemen wij die getalsystemen, waarin twee waarden voor gelijk doorgaan, als ze dezelfde rest laten bij deeling door een vast, zelf ondeelbaar getal, als ze congruent zijn naar een priem-modulus. liet aantal getallen, de orde, van zulk een Galois-gebied (Körper, corps, field) is gelijk aan dezen modulus. Hiermede zijn nog al zulke gebieden niet uitgeput, in 18'.»3 is echter door Moore bewezen, dat de orde van een GALOis-gebied steeds eene macht van een priemgetal zijn moet en het gebied door zijne orde ondubbelzinnig is bepaald. Welnu, in zulk een gebied kan even goed eene vergelijking van willekeurigen graad Ier oplossing worden gegeven, en kan het voorkomen, dat in liet gebied zelf geene waarden te vinden zijn, die aan haar voldoen. En ook hier kan het voorkomen, dat een ruimer gebied, waartoe ook de getallen van het eerste beliooren en dat daaruit dus door adjunctie eene nieuwe, „irrationale" grootheid kan worden verkregen, de verlangde wortels kan leveren, zoodat de vraag kan worden gesteld, of, en zoo ja welke, opvolgende adjuncties de oplossing kunnen verschaffen.
Ook op dit terrein, ofschoon zich beperkend tot congruenties naar een modulus, heeft Galois zich bewogen, de, als wortels van binnen het «ïebied onoplosbare vergelijkingen ingevoerde, geadjungeerde grootheden worden naar hem imaginairen van Galois genoemd.
In die richting kan echter, en is dan ook nog verder gegaan.
Men kan toch, evengoed als in het natuurlijk getalgebied, eene vereeniging met inaehtname der volgorde van een aantal getallen, die dan als coördinaten, bijvoorbeeld homogene, worden opgevat, als een punt beschouwen; er ontstaat zoo eene ruimte van ééne afmeting minder dan het aantal vereenigde coördi-



luiten, doch die door de eindigheid van liet gebied slechts een eindig aantal punten bevat. En deze ruimte bezit evenzeer hare eollineaties, welke door lineaire substituties met coëfficiënten uit liet getalgebied, op de coördinaten uitgevoerd, worden gedefinieerd, en hare groepen van zulke eollineaties. Het zijn juist deze, welke, voor liet algemeene GALOis-gebied, het onderwerp uitmaken van bet werk van Dickson over Linear Groups ivith au cxposition oj' the Golois Field Thcorij, in 1901 verschenen, en welke de klassen van oneindig vele eindige eenvoudige groepen leveren, waarvan sprake was.
Tegenwoordig is de theorie der groepen van eindige orde, beoefend om haar zelfs wil en buiten verband met de stelkundige toepassingen, geworden tot een omvangrijk onderdeel der wiskunde, dat echter nog steeds op vele punten meer vraagt dan biedt en, eenige belangrijke stellingen van verdere strekking uitgezonderd, ten koste van veel tijdroovenden arbeid slechts met resultaten, die weinig ouderlingen samenhang bieden, schijnt te kunnen worden verrijkt.
Zouden wij hieruit moeten besluiten, dat de rechte wijze van behandelen, de machtige, lichtbrengende methode nog niet gevonden is, die voor het vraagstuk der groep zal zijn wat het begrip der groep was voor het vraagstuk der vergelijking?
Of moeten wij reeds aannemen dat naar deze zijde de wiskunde hare grens begint te bereiken, die daar valt, waar al hare algemeene methoden, hare afleidingen en vervormingen zijn aangewend en uitgeput en niets overblijft dan eene eindelooze reeks van afzonderlijke discrete vraagstukken met liet karakter van even zoovele puzzles?
Hoe dit zij, het moge voor heden genoeg zijn, U door mijne oppervlakkige schets iets van de groeiwijze der wiskunde te hebben medegedeeld.



Edelgrootachtbare ITeere 11 Curatoren der Technische Hoogescliool,
Waar het op Uwe aanbeveling was, dat mij het ambt, dat ik lieden aanvaard, werd opgedragen, past liet mij een woord van dank tot U te richten voor het in mij gesteld vertrouwen, doch niet minder eene openlijke betuiging van mijn voornemen, dit ambt naar mijne beste krachten te vervullen. Wilt dan beide, dien dank en deze betuiging, aanvaarden
Hooggeleerde Heeren Professoren dezer Hoogescliool,
Gij zult het wel zeer natuurlijk en verschoonbaar oordeelen, als ik, bij bet plaats nemen als jongste in Uwen kring, een gevoel van eerbiedigen schroom niet dadelijk zal kunnen overwinnen. Ik hoop te mogen rekenen op Uwe wenken of raadgevingen, waar Gij zoudt meenen, dat ik die toon te behoeven. In het bijzonder beveel ik mij aan in de welwillendheid van (J, Ambtgenooten van do afdeeling der Al^emeene Wetenschappen, bovenal van U, Hoogleeraren in de Wiskunde en de Mechanica, als wier ambtgenoot in engeren zin ik bestemd ben op te treden.
Hooggeleerde Schuh, hooggeachte voorganger, Wie U en mij, Uw werk en het mijne, kent, zal het niet dan van zelf sprekend vinden, wanneer ik uiting geef aan mijne onmacht eene plaats, welke Gij openlaat, op gelijke wijze te vervullen. Eene gelofte, welke men dan althans zou verwachten, hiernaar toch zooveel mogelijk te streven, wil ik — en ik ben daarmede van Uwe instemming overtuigd — niet in dien vorm uitspreken; het schijnt mij immers beter toe, dat elke boom vruchten draagt naar zijnen eigenen aard, boe deze dan wezen moge. Wel echter wil ik mij, bij de poging tot ontwikkeling van eigen aanleg, Uwe werkkracht en Uwe veelzijdigheid tot voorbeeld stellen.



Hooggeleerde Korteweg, hooggeschatte leermeester,
Dat Gij mij de eer wilt aandoen, U thans ouder mijne hoorders te bevinden, beschouw ik als een nieuw bewijs der welwillende belangstelling, welke Gij in Uwe oud-leerlingen blijft behouden. Ik grijp deze gelegenheid gaarne aan om U de verzekering te geven van de hartelijke erkentelijkheid, waarmede deze belangstelling door mij wordt beantwoord.
Dames en Heeren Studenten der Technische Hoogescliool, Het is mijne ervaring, dat reeds het geven van onderwijs in wiskunde aan leerlingen onzer Hoogere Burgerscholen een dankbaar en aangenaam werk mag worden genoemd. Als ik dan bedenk, dat van die jonge lieden alleen zij, die eenige voorliefde en aanleg — althans geen afkeer — voor de wiskunde in zich voelen, eene opleiding aan deze Hoogescliool zullen begeeren, en bedenk hoe daarbij mag worden gerekend op het juist op dezen leeftijd snel tot rijping komend zelfstandig oordeel en het gevoel van verantwoordelijkheid voor eigen denken, weten en kunnen, zoo moet ik wel verwachten, dat het aangename en voldoening gevende mijner nieuwe taak dat der vroegere slechts kan overtreffen. Het is dan ook met een onvermengd en naar ik meen niet ongegrond optimisme, dat ik haar aanvaard, ik hoop hartelijk, dat ik dit optimisme bij voortduring zal mogen behouden.
Ik li eb gezegd.











c^c/zrt^