KOP VAN EENE TRAVERS EN BEKLEEDING VAN HET BINNENTALUD. JIV!?6 ÏTT °p pla,at G V00r-esteld I,ad aa» den kop en aan de zijden ta uds van gelijke helling. Meermalen komt het voor ~n ll V0° , eenei; t het punt S", waar de verticale projectie A"B" de as snijdt, eene loodlijn op de as, dan za, vo ge verklaring, hel puat S' i. die loedl.J» m»ete„ liggen; bierdoor heeft men eene proef op de nauwkeurige uitvoering van de constructie. 6 Trekken wij in Fig. 36 A"C evenwijdig aan de as en A'D evenwijdig aan AB, dan is niet alleen A'D == AB, maar ook B'D = B"C 2 at» en7B"beiHe T Sr. * bl3kbMr ^ som van aA en éB . Hieruit volgt ook nu eene tweede oplossing van het werkstuk, die geheel overeenkomt met de in Fig. 33 verklaarde; aleen is het verschil ,n hoogte, dat men uit B' op de loodlijn moet uitzetten, hier de som van de lijnen aA" en éB" Nemen wij ook in Fig. 36 ab'= A'B', stellen wij é'E = bB" loodrecht op de as , en trekken wij A"E, dan zal ook A"E de werkelijke engte van (A L , A"B") zijn. Immers, men zal de figuur AA'B'B — wegens de gelijkheid der lijnen A'B' en ab', A'A en aA", B'B en é E en wegens den rechthoekigen stand van de laatstgenoemde fiiuur ee;fger,0eTd? ~ Z0° kunnen ^plaatsen, dat zij de L volkomen hedekt, zoodat A"E = AB is; ook hier heeft men derhalve eene derde oplossing. Hier kan men zich verbeelden, dat d dnehoeken A g,A en ,n pkats yan op ^ hor.zontai, vlak te zijn neergeslagen, om de projecteerende lijn (A', aA") zijn gedraaid, totdat hun vlak evenwijdig aan het verticale was, en dat en Sn - °P Ie.rhCaie Vkk 8cProjecteerd zijn, waarbij dan A"«s en «eE die projectien zijn. De beweging, die de punten S' en B' J dit draaien en projecteeren ondergaan, is in de figuur aanee- rp6Zde as°0r UU beSChreV6n cirkelb°g«' en door een paar loodlijnen Hoewel wij de oplossing van dit werkstuk reeds vrij uitvoerig . aard hebben, meenen wij dat het niet ondienstig is nog op i?6?' ,men t0t het ultvoeren van de constrnctiën hetzelfde gebrmk kan maken van het verticale vlak, als wij boven van het aaTT,; iLJr over""' hebben' °ie UitV°ering CChter late" lij! U *"* *"'>"">""<<< »'««■» - ««e,,,c„ne .JïS AB fg; ,35) de gegevene HJ'U zlJn' dan heeft haar horizontaalprojecteerend vlak vooreerst A'B' tot horizontalen doorgang (zie 3 13) terwijl, omdat dit vlak loodrecht is op het horizontale, zijn verticale dus^B'T' m i °P de 'r Za' Staa" (zie § U)' Verlengen wij dus BA tot aan de as in C, dan is C volgens § 31 een punt van den verticalen doorgang, zoodat eene loodlijn CC,, uit C op de as ge rokken, de verticale doorgang zelf moet wezen. (C,CC,) is der- halve het horizontaal-projecteerend vlak van de gegevene lijn. Evenzoo wordt haar verticaal-projecteerend vlak (L>,I)D2) gevonden door B"A" tot aan de as in D te verlengen, en in D eene loodlijn DD, op de as te trekken. „ , . , Loopen de projectiën der gegevene lijn een van beide ot beide evenwijdig aan de as, dan verkeeren hare projecteerende vlakken een van beide of beide in het geval van slechts éénen doorgang te hebben. Is b. v. de horizontale projectie evenwijdig aan de as, dan is die projectie tevens de horizontale doorgang van het horizontaalprojecteerend vlak, dat geen verticalen doorgang heeft, omdat het evenwijdig is aan het verticale vlak (zie § 25). Naargelang hetzij de horizontale, hetzij de verticale projectie der gegevene lijn een enkel punt mocht wezen, heeft de lijn of geen horizontaal-, óf geen verticaal-projecteerend vlak, terwijl dan haar andere projecteerende vlak loodrecht is op de as (zie g 2 ■). Zijn de beide projectiën van de gegevene lijn loodrecht op de as dan maken hare beide projecteerende vlakken slechts een vlak uit, waarvan de doorgangen langs de projectiën der lijn gelegen zijn. 3 53. Werkstuk. Het horizontaal-projecteerend vlak van eene gegevene 'lijn om zijnen horizontalen doorgang op het horizontale vlak neer te slaan, en daarna weder op te richten. Het genoemde neerslaan, waarvan wij eigenlijk reeds in g bl gebruik maakten, heeft ten doel den waren stand van de lijn in het neergeslagen vlak aan te wijzen; het weder oprichten bestaat daarin, dat men, na in het neergeslagen vlak zekere punten te hebben aangenomen, bepaalt, waar de projectiën van die punten zullen komen, als het neergeslagen vlak in zijnen oorspronkelynen stand gebracht wordt. . „ _, , , . In Fig. 33 hebben wij, op de wijze als in § 51 verklaard is, het horizontaal-projecteerend vlak van de lijn (A'B , A B ) om zijn horizontalen doorgang op het horizontale vlak neergeslagen. Hadden wij eerst het punt S geconstrueerd, waar de gegevene lijn het horizontale vlak ontmoet, zoo zou dit punt bij het neerslaan op zijne plaats zijn gebleven, omdat het inde horizontale projectie der gegevene lijn ligt; het zal dus ook in de neergeslagene lijn moeten liggen. Deze kan dus eenigszins gemakkelijker verkregen worden door, nevens het punt S, slechts één willekeurig punt van de lijn, zooals (A\ A") of (B', B"), te gebruiken. Dien korteren weg volgt men gewoonlijk, tenzij men de lijnen, die tot verkrijging van he ontmoetingspunt S moeten dienen , daartoe te ver zou moeten verlengen. Nemen wij in het neergeslagen vlak willekeurige punten aan hetzij in de neergeslagene lijn (zooals P), hetzij daarbuiten (zooals U en ti) en laten wij uit deze punten loodlijnen PP', QQ' en RR' op de horizontale projectie der gegevene lijn neer, dan zullen deze loodlijnen loodrecht op het horizontale vlak komen, als het neergeslagen vlak in zijnen vorigen stand wordt gebracht. Hierdoor worden dan deze loodlijnen de horizontaal-projecteerende lijnen, en hare voetpunten P , Q en R, de horizontale projectiën van de punten P Q en R terwijl zij voorts aanwijzen, op welke hoogte boven of diepte beneden het horizontale vlak elk punt gelegen is. Wat het punt P betreft, wordt nu de verticale projectie P" gevonden, door uit de horizontale projectie eene loodlijn door de as te trekken, totdat !p» RVn e, P1'^e der 8eBevene lijn ontmoet; hierdoor zal pP =PP worden. Wat de punten Q en R aangaat, worden de verticale projectien Q' en R" gevonden, door op de loodlijnen, uit N r, ï "u? aS getrokken> ?Q" = QQ' en rR" = RR' te nemen. Nadat dus het neergeslagen vlak weder opgericht is, zijn (P', P"), (Q, Q ) en (R, R ) de willekeurig aangenomen punten P, Q en R van dat vlak. ,n'Bii/ïetuneerSlaan hebbe" wiJ ons bediend va" Punten (A', A") en (B, B ) boven het horizontale vlak, en men zal dit gewoonlijk kunnen doen; het ,s echter duidelijk, en het wordt overigens door g opgehelderd, dat men zich bedienen kan van punten, die beide of een van beide onder het horizontale vlak liggen; wij laten dit aan den lezer over. Het zal onnoodig zijn te zeggen, dat men ook het verticaalprojecteerend vlak eener lijn om zijnen verticalen doorgang op het veiticale vlak kan neerslaan en weder oprichten. Had men te doen met een projecteerend vlak dat loodrecht op de as staat, dan is het behandelde werkstuk van geene toepassing omdat al wat men dan in het neergeslagen projecteerend vlak zou' zien, ook onm.ddellijk in een derde projectievlak te zien is, hetgeen dus daarvoor moet worden aangenomen. g 54. Werkstuk. Den hoek te vinden, waaronder eene gegevene lijn het horizontale vlak snijdt. Is AB de gegevene lijn (Fig. 33) dan hebben wij slechts het homontaal-projecteerend vlak der lijn op het horizontale vlak neer te s aan, om onmiddellijk in B'S'B den gevraagden hoek te zien. 7 Tn eel"g pLlnt A' van de horizontale projectie A'B' eene lijn AD, evenwijdig aan de neergeslagen lijn AB, dan is de hoek DA'B' eveneens gelijk aan den begeerden hoek. Hiervan bedient men zich, wanneer men de lijnen, die tot bepaling van het punt S vereischt worden, te ver zou moeten verlengen. De hoek DA'B' heeft echter, als hoek van de lijn met het horizontale vlak, zijn hoekpunt niet op de ware plaats. Men zou het projecteerend vlak, in plaats van het neer te slaan, ook kunnen draaien en projecteeren, op de wijze als bij de derde oplossing van het werkstuk van § 51 verklaard is. Zoo is b. v. EA"6' in Fig. 35 en EA"C in Fig. 33 en 36, de grootte van den hoek, waaronder de aldaar voorgestelde lijn AB het horizontale vlak snijdt. Ligt eene lijn in een vlak dat loodrecht staat op de as, dan is hare derde projectie onmiddellijk voldoende, om den begeerden hoek te vinden. Zoo maakt b. v. de lijn AB van Fig. 34 met het horizontale vlak een hoek gelijk aan D"'C"'0, en met het verticale vlak een hoek gelijk aan C'"D"'0. In dit bijzondere geval zijn deze beide hoeken elkanders complementen, hetgeen in het algemeen niet zoo is. OEFENINGEN. 13. Gegeven de punten A (—4,6, 8) en B (7, —4-, 6). De snijpunten te bepalen van de lijn AB met de drie projectie vlakken. 14. Het horizontaal-projecteerend vlak van de lijn AB, in 13 bedoeld, met alle daarin aanwezige punten om zijn horizontalen doorgang op het horizontale vlak neer te slaan. 15. Het verticaal-projecteerend vlak van de lijn AB, in 13 bedoeld, met alle daarin aanwezige punten om zijn verticalen doorgang op het verticale vlak neer te slaan. 16. Het derde projecteerend vlak van de lijn AB, in 13 bedoeld, met alle daarin aanwezige punten om zijn derden doorgang neer te slaan op het derde projectievlak. 17. Eene gegevene lijn van bepaalde lengte in een gegeven reden te verdeelen. 18. Gegeven de punten A (2, —6, 8) en B (12, 4 — 8Ï Construeer de lengte dezer lijn door het horizontaal-projecteerend vlak der lijn te laten draaien om de horizontaal-projecteerende lijn van A totdat het vlak evenwijdig wordt aan het verticale Laat de snijpunten der lijn met het horizontale en verticale vlak vlak maakt' ^ ^ h°6k ^ d'6n de lij'n raet het horizontale 19. Construeer de lengte der lijn AB, in 18 bedoeld, door eene draaiing van het verticaal-projecteerend vlak, om de verticaal-projecteerende lijn van A. . 20. Construeer den hoek gevormd door de lijn AB, in 18 bedoeld met het derde projectievlak, en wel door eene draaiing van liet derde projecteerend vlak der lijn AB, om de derde projecteerende lijn van het punt A, totdat het vlak evenwijdig wordt aan het verticale. 21 üe verticale projectie van eene lijn te vinden, als, behalve den hoek dien de lijn met het horizontale vlak maakt, ook hare horizontale projectie en daarin haar snijpunt met het horizontale vlak gegeven zijn. 22 Van eene lijn zijn de verticale projectie, haar snijpunt met het horizontale vlak en den hoek met het verticale vlak gegeven Bepaal de horizontale projectie dezer lijn. 23 Van eene lijn zijn de verticale projectie, haar snijpunt met het horizontale vlak en den hoek met dit projectievlak gegeven. Bepaal de horizontale projectie der lijn. 24. Bepaal op de lijn AB, in 18 bedoeld, de punten C en D die op een afstand 5 van het punt B verwijderd zijn. 25. Gegeven een punt A in het verticale en eene lijn BC in het horizontale vlak. Men vraagt de projectiën te construeeren van eene yn ie uit A getrokken, BC snijdt en een gegeven hoek maakt met het horizontale vlak. 26 Gegeven eene lijn AB en een punt C gelegen in een zelfde vlak loodrecht op het horizontale vlak. Men vraagt de projectiën e construeeren van den gelijkzijdigen driehoek, waarvan C een noekpunt is, terwijl de zijde over C in de lijn AB ligt. § 55. Stelling. Wanneer twee lijnen elkander in de ruimte snijden, zullen hare gelijknamige projectiën öf elkander snijden óf in elkander vallen Aangezien twee lijnen in de ruimte elkander snijden wanneer zij één punt met elkander gemeen hebben, zullen dus de projectiën van dit punt, zoowel in de gelijknamige projectiën van de eene, als in die van de andere lijn moeten liggen, m. a. w., de gelijknamige projectiën der lijnen moeten de gelijknamige projectie van het snijpunt gemeen hebben. Dit nu is het geval als deze projectiën öf elkander snijden, óf eene en dezelfde lijn uitmaken, of wel als de projectie der eene lijn een enkel punt is dat in de projectie der andere ligt. Wanneer twee lijnen elkander snijden, zal doorgaans de snijding van hare horizontale projectiën gepaard gaan met de snijding van hare verticale projectiën; de snijpunten van de gelijknamige projectiën zijn dan de gelijknamige projectiën van het snijpunt der lijnen, en moeten dus voldoen aan de voorwaarde van in eene en dezelfde loodlijn op de as te liggen. Hierdoor heeft men een kenmerk om te beoordeelen of twee lijnen, welker gelijknamige projectiën elkander snijden, elkander in de ruimte al of niet snijden. In Fig. 37 b. v. snijden de lijnen AB en CD elkander, omdat het snijpunt S' der horizontale projectiën en het snijpunt S" der verticale projectiën in ééne loodlijn op de as liggen; (S', S") is nu het snijpunt der lijnen. In Fig. 38 daarentegen snijden de lijnen AB en CD elkander niet, omdat de snijpunten der projectiën niet aan de genoemde voorwaarde voldoen. Gaat met de snijding van twee gelijknamige projectiën een in elkander vallen van de twee andere gelijknamige projectiën gepaard, dan zullen de lijnen in de ruimte elkander altijd snijden, en wel in het punt, waarvan de eene projectie onmiddellijk door de elkander snijdende projectiën bepaald wordt. Zoo snijden de lijnen AB en PQ van Fig. 38 elkander in het punt S. Het in elkander vallen van de horizontale projectiën van twee verschillende lijnen kan niet met een in elkander vallen van de verticale projectiën gepaard gaan, tenzij die lijnen mochten liggen in een vlak dat loodrecht staat op de as. In dit geval zullen de lijnen elkander al of niet snijden, naargelang hare projectiën op een derde vlak elkander al of niet snijden. § 56. Stelling. Wanneer twee lijnen in de ruimte evenwijdig zijn zullen hare gelijknamige projectiën [mits geen enkele punten zijnde) öf evenwijdig hopen, öf langs elkander vallen. Twee evenwijdige lijnen in de ruimte kunnen al of niet li^en in een vlak dat loodrecht is op een projectievlak. Liggen zii °niet ui zoodanig vlak, dan hebben zij verschillende projecteerende vlakken en dus ook verschillende projectiën; zoo hebben b. v de evenwijdige lijnen AB en CD, in Fig. 39 voorgesteld, verschillende projectien A B en C D op het projectievlak H. Kiezen wij nu in elke lijn een punt, b. v. de punten A en C, dan zullen omdat hunne projecteerende lijnen AA' en CC' evenwijdig zijn, ook de projecteerende vlakken der lijnen AB en CD, waarvan het eene door AB en AA', het andere door CD en CC' gaat, evenwijdig moeten loopen, waaruit dan weder de evenwijdigheid van de projectien A'B' en CD' volgt. Liggen echter de evenwijdige lijnen in de ruimte in een vlak dat loodrecht is op het projectievlak terwijl zij zelve niet loodrecht op het projectievlak zijn, dan is het genoemde loodrechte vlak te gelijker tijd beider projecteerend vlak zoodat dan hare projectiën langs elkander vallen. Staan de evenwijdige ljjnen in de ruimte loodrecht op het projectievlak, dan zijn hare projectiën enkele punten. Uit de evenwijdigheid van de projectiën op één projectievlak mag men met omgekeerd tot de evenwijdigheid van de lijnen in de ruim te besluiten; uit de evenwijdigheid van de projectiën volgt slechts de evenwijdigheid van de projecteerende vlakken. Wanneer twee lijnen in de ruimte evenwijdig zijn, zal doorgaans de evenwijdigheid van hare horizontale projectiën met die van hare verticale projectiën gepaard gaan. Met uitzondering van het geval dat eene lijn door hare beide projectiën niet bepaald wordt, mae men omgekeerd tot de evenwijdigheid van twee lijnen in de ruimte besluiten, indien de evenwijdigheid van de horizontale projectiën gepaard gaat met die van de verticale; uit de evenwijdigheid van de projectien toch volgt de evenwijdigheid van elk paar gelijknamige projecteerende vlakken en daar de vlakken van het eene paar die van het andere paar volgens een stelsel van vier evenwijdige lijnen snijden, vormen twee van deze vier lijnen de lijnen in de ruimte waartoe de projectiën behooren. Gaat met de evenwijdigheid van twee gelijknamige projectiën een langs elkander vallen van de andere gelijknamige projectiën gepaard dan zijn de lijnen in de ruimte mede evenwijdig, omdat zij dan de dooi sneden zijn van twee evenwijdige vlakken met een derde vlak. Staan de horizontale en de verticale projectiën van twee lijnen alle loodrecht op de as, dan doet zicli de bovengenoemde uitzondering voor, dat de lijnen niet door hare projectiën bepaald worden. De projectiën van de eene lijn kunnen nu met die van de andere óf evenwijdig zijn óf samenvallen, en dus zullen in beide gevallen de lijnen al of niet evenwijdig zijn, naargelang dit het geval is met hare projectiën op een derde vlak. § 57. Uit de beide voorgaande stellingen volgt onmiddellijk, op welke wijze men in eene constructiefiguur kan beoordeelen of twee gegeven lijnen elkander snijden, elkander kruisen, of aan elkandei evenwijdig loopen. Voldoen namelijk de projectiën der lijnen niet aan de kenmerken, die wij voor hare snijding of voor hare evenwijdigheid leerden kennen, dan zullen de lijnen elkander kruisen. § 58. Wekkstuk. Den hoek te construeer en, waaronder twee gegeven lijnen elkander snijden. Laten AB en CD (Fig. 37) de gegeven lijnen zijn, die elkander in het punt S snijden. Indien men dan in elk van die lijnen nog een ander punt aanneemt, b.v. P en Q, en vervolgens do lijn PQ trekt, die deze punten vereenigt, dan zijn P'S'Q' en P"S"Q" de projectiën van een driehoek, waarin de begeerde hoek voorkomt. Construeert men dus volgens § 51 de werkelijke lengten van de zijden van dien driehoek, en stelt men daarmede een driehoek samen, dan wordt de verlangde hoek hierin gevonden tegenover de zijde, die de werkelijke lengte van PQ heeft verkregen. Neemt men de punten P en Q even hoog boven het horizontale vlak, dan bespaart men zich de moeite om de lengte van PQ te construeeren, dewijl die lengte alsdan gelijk is aan de horizontale projectie P'Q'. De uitvoering van deze constructiën aan den lezer overlatende, zullen wij ons bepalen tot het aanwijzen van eene constructie die nog eenvoudiger is. Wij bepalen vooreerst de snijpunten E en F van de lijnen met het horizontale vlak, trekken de lijn E'F', construeeren de werkelijke lengten van de lijnen ES en FS en beschrijven daarna uit E en uit F', met die gevonden lengten tot stralen, cirkelboogjes, die elkander ergens in S zullen snijden. Alsnu is E'SF' de ware gedaante van den driehoek, die E'S'F' en E"S"F" tot projectiën heeft, en derhalve is E'SF' de gevraagde hoek. De geconstrueerde driehoek E'SF' is eigenlijk de stand, dien de driehoek ESF aanneemt, wanneer hij om de lijn E'F'wordt gewenteld, totdat hij op het horizontale vlak komt te liggen. Bij die wenteling blijft de zijde E'F' op hare plaats, terwijl het punt (S', S") een cirkelboog beschrijft gelegen in een vlak loodrecht op de draaiingsas E'F'. De horizontale doorgang van dit vlak zal dus zijn eene lijn SS', loodrecht op E'F'. Denken wij ons den neergeslagen driehoek E'SF' weder om E'F' teruggewenteld tot in zijn oorspronkelijken stand, dus totdat het punt S weder ligt in de loodlijn, die men in S' op het horizontale vlak kan oprichten, dan is het duidelijk dat het punt T — het snijpunt van SS' met E'F' — het middelpunt en TS de straal zal zijn van bovenbedoelden cirkelboog. In dien stand zal ST de hypothenusa zijn van een rechthoekigen driehoek met S'T en S'S tot rechthoekszijden. Daar deze rechthoekszijden bekend zijn is de driehoek te construeeren. Laat men namelijk uit S' de loodlijn S'T op E'F' neer en richt men in S' op S'T eene loodlijn S'S = sS" op, dan is ST de hypothenusa van den driehoek, die wij nu verder slechts op het verlengde van S'T hebben af te zetten — hetgeen in de figuur is geschied door middel van een cirkelboog uit T met TS als straal — om de plaats van het hoekpunt S in den neergeslagen driehoek E'F'S aan te wijzen. Was er gevraagd, den hoek van twee gegeven lijnen in een bepaalde reden te verdeelen, zoo behoeft men slechts eene lijn SG' te trekken die den neergeslagen hoek E'SF' in de gegeven reden verdeelt. Aangezien bij de wenteling van den driehoek elk punt der lijn E'F' (en dus ook G') op zijne plaats blijft, is (G', G") het snijpunt van de verlangde deellijn met het horizontale vlak en dus zijn (S'G', S"G") de projectiën dier lijn. Opmerking. Mochten de snijpunten E en F buiten de grenzen der teekening vallen, zoo kan dezelfde constructie met eene geringe wijziging worden toegepast. Wij kiezen dan in de beide lijnen twee punten — die wij weder E en F zullen noemen — even hoog boven het horizontale vlak gelegen, en denken ons den driehoek SEF gewenteld om EF totdat hij evenwijdig komt aan het horizontale vlak en zich dus in ware grootte op dit vlak projecteert. § 59. Werkstuk. Door een gegeven punt eene lijn, evenivijdig aan eene gegevene lijn, te trekken. De oplossing van dit werkstuk is, in verband met de in § 56 bewezen stelling, zoo eenvoudig, dat wij haar aan den lezer mogen overlaten. Was de gegevene lijn bepaald door de projectiën van twee harer punten, terwijl de projectiën van de lijn zelve loodrecht op de as waren, dan zou men de hulp van een derde projectievlak inroepen. Om b. v. door het punt E van Fig. 34 eene lijn te trekken, evenwijdig aan de aldaar voorkomende lijn AB, zou men eerst de derde projectiën E'" en bepalen en vervolgens door E'" eene lijn evenwijdig aan trekken; uit de hierdoor verkregen derde projectie van de begeerde lijn en hare, door E' en E" loodrecht op de as getrokken horizontale en verticale projectiën kan men dan verder de horizontale en de verticale projectiën bepalen van zoovele punten der lijn als men goedvindt. § 60. Werkstuk. Door een gegeven punt eene lijn te trekken, die gegeven hoeken maakt met hel horizontale en met het verticale projectievlak. Om dit werkstuk uit te voeren, zullen wij eerst door een willekeurig, in de as van projectie gelegen, punt eene lijn construeeren, die de gegeven hoeken maakt met de projectievlakken, om daarna, door toepassing van het voorgaande werkstuk, door het gegeven punt eene lijn evenwijdig aan de geconstrueerde te trekken. Zij A (Fig. 40) het punt in de as van projectie en AB de gevraagde lijn, die met het horizontale vlak H den gegeven hoek BD dan zou geen enkel punt B gevonden worden. Uit de driehoeken ABD en ABC blijkt terstond dat AC = BD naar- > < < mate AB sin /? = AB cos a, dus = 90° — oc of wat hetzelfde is > > naarmate «-)-/? = 90°. > Voor de bestaanbaarheid der gevraagde lijnen wordt dus vereischt dat de gegevens voldoen aan de voorwaarde « + /3 ^ 90°. Alleen als 90°, verkrijgt men twee lijnen die, omdat het boven¬ genoemde raakpunt met A in eene loodlijn op de as valt, gelegen zijn in een vlak loodrecht op de as (vergelijk § 54); wanneer a p < 90°, verkrijgt men steeds vier lijnen die aan de vraag voldoen. I 61. Het was bij de oplossing van het voorgaande werkstuk niet noodig geweest om eerst eene hulplijn te construeeren die de as van projectie snijdt; men had terstond de lijn kunnen vinden die door het punt P gaat. Wij zullen de daarvoor noodige constructie bespreken en de uitvoering aan den lezer overlaten. Zijn Q en R de snijpunten van de gevraagde lijn (Fig. 40) met de beide projectievlakken dan zijn de rechthoekige driehoeken PP'Q en PP"R te construeeren, omdat in beide eene rechthoekszijde met den overstaanden hoek bekend zijn. Hierdoor vindt men derhalve de lengten der beide deelen QP en PR en dus ook de lengte van de geheele lijn QR; maar omdat A PQP' bekend is, is dan ook de lengte QR' van de geheele horizontale projectie of de lengte P'R' van de horizontale projectie van het deel PR te construeeren. Ook op deze wijze zal de lezer het bestaan van vier lijnen in het algemeen inzien. Wanneer het snijpunt Q achter de as valt, zullen de° punten Q en R aan dezelfde zijde van P liggen. Mocht de lengte bij de constructie voor P'R' gevonden kleiner zijn dan P'p, zoo zou het werkstuk onmogelijk zijn. Daar nu P'R' == RP cos «en P p = pp» _ Rp sjn p) zoo moet dus sin /3 ^ cos a zijn; wij komen dus weder tot dezelfde voorwaarde als inde voorgaande paragraaf gevonden is. § 62. Stelling. Wanneer twee vlakken evenwijdig zijn, zullen ook hunne gelijknamige doorgangen evenwijdig loopen. Daar twee evenwijdige vlakken door een derde vlak — dus ook door een projectievlak — gesneden worden volgens evenwijdige lijnen, zullen de gelijknamige doorgangen van twee evenwijdige vlakken evenwijdig moeten zijn. Tot de evenwijdigheid van twee vlakken wordt dus gevorderd, dat zoowel liunne horizontale als hunne verticale doorgangen evenwijdig zijn; zijn dan ook de horizontale doorgangen evenwijdig, maar de verticale niet, of omgekeerd, dan zijn de vlakken niet evenwijdig, zoodat zij elkander moeten snijden. Gaat de evenwijdigheid van de verticale doorgangen met die van de horizontale gepaard en loopen de doorgangen niet evenwijdig aan de as, zoodat de beide doorgangen van hetzelfde vlak een punt met de as gemeen hebben, dan mag men tot de evenwijdigheid van de vlakken besluiten. Immers twee elkander snijdende lijnen in het eene vlak loopen dan evenwijdig aan twee elkander snijdende lijnen in het andere vlak. Loopen echter de doorgangen van twee vlukken alle evenwijdig aan de as, dan kunnen die vlakken evengoed elkander snijden als evenwijdig zijn; de beschouwing van de perspectievische figuren 42 en 43 zal voldoende zijn om dit te doen inzien. In deze gevallen hangt het al of niet evenwijdig zijn van de vlakken blijkbaar af van het al of niet evenwijdig zijn van hunne doorgangen inet een derde projectievlak. 63. Werkstuk. De doorsnede van twee gegeven vlakken te construeer en. Onderstellen wij in de eerste plaats, dat zoowel de horizontale als de verticale doorgangen der gegeven vlakken elkander snijden binnen de grenzen der teekening. Indien dan A en B (Fig. 44 of 45) de gegeven vlakken zijn, is het snijpunt P' van de horizontale doorgangen zoowel als het snijpunt Q" van de verticale doorgangen een punt, dat aan de beide vlakken gemeen is. Deze beide snijpunten zijn derhalve punten van de begeerde doorsnede. De horizontale projectie P'Q' en de verticale projectie P"Q" worden nu gemakkelijk geconstrueerd. De beschouwing van Fig. 46, waar A en B de gegeven vlakken voorstellen, zal toereikend zijn om te doen inzien, dat de bovenstaande constructie geene verandering ondergaat, indien de doorgangen van een der gegeven vlakken evenwijdig aan de as loopen. Onderstellen wij in de tweede plaats, dat van de gegeven vlakken A en L alleen de verticale doorgangen elkander binnen de grenzen der teekening snijden, zooals in Fig. 47 is voorgesteld. In dit geval is het snijpunt P" der verticale doorgangen een punt der doorsnede, waarvan wij verder de richting gemakkelijk kunnen bepalen met behulp van een vlak evenwijdig aan een der vlakken. Nemen wij b. v. het hulpvlak C evenwijdig aan het vlak A zoodanig aan dat de horizontale doorgangen CC, en BB, elkander snijden, dan is de doorsnede MN der vlakken B en C te construeeren, zooals hierboven is aangewezen. Aangezien nu de doorsnede der vlakken A en B evenwijdig moet loopen aan de doorsnede der vlakken C en B, hebben wij slechts uit het punt P eene lijn evenwijdig aan MN te trekken. PQ is derhalve de gevraagde doorsnede. Eene zelfde constructie wordt gevolgd voor het geval de vlakken A en B door een zelfde punt van de as van projectie gaan, zooals Fig. 48 nader aanwijst. (AP', AP") is nu de doorsnede der vlakken. Voor het bijzondere geval dat de horizontale doorgangen evenwijdig zijn (zie Fig. 49) is de doorsnede der vlakken evenwijdig aan die horizontale doorgangen. De horizontale projectie der doorsnede is dus ook evenwijdig aan die doorgangen, terwijl de verticale projectie evenwijdig aan de as is. Men behoeft dus slechts uit P" en P' lijnen te trekken evenwijdig aan de as en aan de horizontale doorgangen der vlakken om onmiddellijk de gevraagde doorsnede PQ te verkrijgen. Het geval dat de horizontale doorgangen elkander snijden, doch de verticale doorgangen geen snijpunt binnen de grenzen der teekeding opleveren, laten wij aan den lezer over. Onderstellen wij in de derde plaats dat noch de horizontale, noch de verticale doorgangen der vlakken elkander binnen de grenzen der teekening snijden, zooals dit het geval is bij de vlakken A en B die in Fig. 50 zijn voorgesteld. Snijden wij thans de vlakken door een vlak dat evenwijdig loopt aan een der projectievlakken, b. v. door het vlak W, dat evenwijdig is aan het horizontale, dan kunnen wij volgens het bovenstaande de doorsnede gemakkelijk construeeren. Het is duidelijk dat de verticale projectiën langs W2W2 vallen, terwijl de horizontale projectiën evenwijdig aan de horizontale doorgangen der vlakken loopen en tevens moeten gaan door M' en N' (de horizontale projectiën van de snijpunten M" en N" der verticale doorgangen). Het snijpunt dezer doorsneden, dat is het punt (P', P"), is een punt dat aan de beide vlakken A en B gemeen is en dus zeker een punt van de gevraagde doorsnede dier vlakken. Door het aanbrengen van een dergelijk tweede hulpvlak kan een tweede punt der doorsnede verkregen worden. In Fig. 50 is zoo het punt Q bepaald door middel van een vlak U dat evenwijdig loopt aan het verticale vlak. De lijn PQ is derhalve de gevraagde doorsnede. Wij hadden ook, nadat P gevonden was, de richting der doorsnede kunnen bepalen door middel van een hulpvlak, evenwijdig aan een der gegeven vlakken, op de wijze als hierboven bij het tweede geval is aangewezen. De laatste constructie was hier zelfs te verkiezen geweest, omdat de punten P en Q dicht bij elkander werden gevonden en dus eene kleine fout in de ligging van een dier punten eene aanmerkelijke fout in de richting der doorsnede kan tengevolge hebben. Voor het bijzondere geval dat de doorgangen der beide gegeven vlakken A en B (Fig. 51) evenwijdig aan de as loopen en dus de doorsnede ook evenwijdig is aan die as, is het voldoende wanneer men een punt dier doorsnede construeert. Als hulpvlak neemt men thans een vlak loodrecht op de as, m.a. w., een derde projectievlak aan. Het snijpunt P'" van de derde doorgangen van de beide vlakken is nu de derde projectie van de gevraaede doorsnede, welker horizontale en verticale projectiën P'Q' en P"Q" daaruit op de bekende wijze worden afgeleid. Mochten bij deze constructie de derde doorgangen evenwijdig worden, dan zou hieruit volgens de voorgaande paragraaf blijken dat de gegeven vlakken evenwijdig waren. Welke onderstelling men ook nopens den stand van de doorgangen moge aannemen, altijd zal, wanneer een der gegeven vlakken loodrecht op het horizontale of het verticale vlak is, dit gegeven vlak zelf het horizontaal- of het verticaal-projecteerend vlak der doorsnede aanwijzen, en zal zijn horizontale of zijn verticale doorgang de horizontale of de verticale projectie der doorsnede wezen. Heeft men dus twee vlakken, zooals C en D in Fig. 35, waarvan het eerste loodrecht op het horizontale, het tweede loodrecht op het verticale vlak staat, dan zijn de horizontale doorgang CC, van het eerste en de verticale doorgang DD2 van het tweede respectievelijk de horizontale en de verticale projectie van de doorsnede dezer vlakken. Dit stemt overeen met de reeds bekende eigenschap, dat eene lijn in de ruimte de doorsnede van hare projecteerende vlakken is. § 64 Werkstuk. Een vlak gegeven zijnde, begeert men eene lijn te vinden, die hetzij in dat vlak ligt, hetzij aan dat vlak evenwijdig Daai de begeerde lijn door de opgaaf niet volkomen bepaald wordt, zal men in het algemeen ééne van hare projectiën willekeurig mogen aannemen. Laat dan A het gegeven vlak zijn (Fig. 52 of T. j Moeten uit meerdere punten loodlijnen op een vlak worden neergelaten, dan neemt men het horizontaal-projecteerend vlak van de loodlijn uit een der punten - of een daaraan evenwijdig vlak, dat dus even als het horizontaal-projecteerend vlak loodrecht staat op den horizontalen doorgang VV, — als nieuw verticaal vlak aan en projecteert daarop de overige punten. De afstanden construeert men dan op gelijke wijze als in Fig. 69. Zoo b. v. is de afstand van het punt M (Fig. 70) tot het vlak V geconstrueerd door dit punt te projecteeren op het horizontaal-projecteerend vlak van de loodlijn uit P of;;; M'"N"' is nu de opvraagde afstand, terwijl M'N' en M"N" de projectiën zijn der loodlijn. Mocht men het gegeven punt (P', P") toevalligerwijze in het vlak V genomen hebben, dan zou dit onmiddellijk blijken 'uit de omstandigheid dat P dan in de doorsnede Q'R zou komen. Bij de constructie zooals die in Fig. G8 is geschied, zou men dit ontdekken, omdat dan de projectie P"Q" juist in het punt P" gesneden zou woiden door de lijn, welker snijding met P"Q" het punt S" moet doen kennen. 5 OEFENINGEN. 38. Een vlak te brengen door twee elkander snijdende lijnen. a. indien een der lijnen evenwijdig is aan de as van projectie; j „ » » » het horizontale vlak; c. » » » » » » » » » » en de andere evenwijdig aan het verticale vlak; d. indien de beide lijnen elkander in de as snijden. NB. Dit laatste werkstuk uit te voeren zoowel met als zonder behulp van een derde projectievlak. 39. Door een gegeven punt een vlak te brengen dat evenwijdig is aan twee gegeven elkander kruisende lijnen. a. wanneer een der lijnen loodrecht staat op het verticale vlak, jj „ » k » de as loodrecht kruist en de andere evenwijdig is aan het verticale vlak. 40. Een vlak door een punt en eene lijn te brengen, indien het gegeven punt in de as ligt en de beide projectiën van de gegevene lijn samenvallen. , 41. Van een vlak zijn gegeven de horizontale doorgang, die echter de as van projectie niet binnen de grenzen der teekening snijdt, en de projectiën van een punt van het vlak. Construeer den verticalen doorgang. 42. Van een vlak zijn gegeven de derde doorgang en de projectien van een punt van het vlak. Bepaal de doorgangen met de beide andere projectievlakken. 43. Door eene gegevene lijn, die de as van projectie loodrecht kruist, een vlak te brengen dat evenwijdig is aan eene andere gegevene lijn, wier projectiën samenvallen. 44. Door toepassing van § 11 de projectiën en de lengte te bepalen van de loodlijn, die men uit een willekeurig gegeven punt kan neerlaten op eene lijn wier projectiën samenvallen. 45. Door een gegeven punt in eene gegevene lijn eene lijn te trekken, die loodrecht staat op de gegevene lijn, en a. evenwijdig is aan het verticale vlak; b. » » » een gegeven vlak; c. eene tweede gegevene lijn snijdt. 46. Van vier gegeven punten liggen er drie in het horizontale vlak, bepaal door toepassing van § 77 de projectiën van het punt dat op gelijke afstanden ligt van de gegeven punten. 47. Door twee gegeven punten een vlak te brengen dat loodrecht staat op een gegeven vlak. 48. Bepaal den afstand van een gegeven punt in de as tot een gegeven vlak. 49. Idem van een punt, welks projectiën samenvallen, tot een vlak dat niet loodrecht op de as staat en welks doorgangen in elkanders verlengde vallen. 50. Bepaal, door toepassing van §82, den afstand van eene lijn tot een daaraan evenwijdig vlak. 51. Evenzoo de afstanden van vier punten, respectievelijk gelegen in de vier ruimtehoeken gevormd door de snijding der projectievlakken , tot een willekeurig gegeven vlak. 52. Den hoek te bepalen waaronder een gegeven vlak gesneden wordt, a. door de as van projectie; b. door eene willekeurig gegevene lijn. 53. Van twee elkander loodrecht snijdende vlakken is de doorsnede gegeven. Zoo nu bovendien een punt van het eene vlak gegeven is, vraagt men de doorgangen van het andere te construeeren. § 83. Werkstuk. Den standhoek te conslrueeren van een gegeven vlak met het horizontale. Dit werkstuk kan slechts te pas komen, indien het gegeven vlak Art, dat wij in Fig. 71 door eene perspectievische schets hebben voorgesteld, een schuinen stand ten opzichte van het horizontale vlak II heeft. Laat P' de horizontale projectie zijn van een punt P, dat in het vlak ka willekeurig is aangenomen, P'B de loodlijn die men uit P' op den horizontalen doorgang AA, neerlaat, en P>P de lijn die haar voetpunt B met P vereenigt, dan zal ook PB loodrecht op AA, staan. Immers het vlak, gaande door de lijnen PP' en P'B, die beide loodrecht staan op AA,, is loodrecht op die lijn en de lijn AA' staat dus loodrecht op elke lijn in dit vlak en derhalve ook op BP. Het vlak P'PB is dus een standvlak en P'BP stelt den bedoelden standhoek voor. Wordt de driehoek P'BP, die in P rechthoekig is, om de zijde P'B gewenteld totdat hij op het horizontale vlak II komt te liggen, dan is, ook in dien neergewentelden driehoek, P'BP de bedoelde standhoek, terwijl de driehoek rechthoekig in P' is gebleven. Deze neergewentelde rechthoekige driehoek, en dus ook de begeerde standhoek, kan nu in eene constructiefiguui onmiddellijk geconstrueerd worden, nadat men een punt P in het gegeven vlak heeft aangenomen; de lijn P'B immers, die loodrecht staat op AA,, ligt reeds in het horizontale vlak, en de lengte van P'P staat op het verticale vlak afgeteekend. Indien dus A het gegeven vlak is (Fig. 72), en daarin volgens § 68 een willekcuiig punt P is aangenomen, zoo trekt men P'B loodrecht op AA,, stelt P'P = pP" loodrecht op P'B, en trekt PB; P'BP is dan de begeerde standhoek. Bij deze constructie is van den verticalen doorgang AA2 alleen gebruik gemaakt tot het aannemen van het punt P. Was dus het vlak alleen door zijnen horizontalen doorgang AA, en door een in het vlak gelegen punt P gegeven, dan zou het, om den standhoek te vinden, overtollig zijn vooraf den verticalen doorgang te construeeren. Zijn echter de beide doorgangen gegeven, dan kan men voor het punt, dat in het vlak moet aangenomen worden, gemakshalve een punt in den verticalen doorgang nemen, waardoor de constructie eenigszins eenvoudiger wordt. Neemt men b. v. in den verticalen doorgang (Fig. 72) het punt Q" aan, waarvan de horizontale projectie Q' in de as ligt, dan moet men, om den aangewezen weg te volgen, Q'G loodrecht op AA, neerlaten, Q'Q = Q'Q" loodrecht op Q'C stellen, en daarna CQ trekken; Q'CQ is dan de begeerde stand- hoek. Deze standhoek staat in C, de eerst geconstrueerde standhoek P'BP staat in B loodrecht op AA,, maar zij verschillen niet in grootte, daar blijkbaar de driehoeken Q'CQ en P'BP gelijkvormig zijn; immers, uit de figuur volgt: P'B : Q'C = AD' : AQ' = D'D" : Q'Q" = P'P : Q'Q. Staat de horizontale doorgang van het gegeven vlak loodrecht op de as, dan is de hoek van den verticalen doorgang met de as de begeerde standhoek. Loopen de beide doorgangen van het vlak evenwijdig aan de as, dan levert het aannemen van een derde projectievlak en het construeeren van den derden doorgang onmiddellijk den begeerden standhoek op; zoo is b. v. in Fig. 60 de hoek A2A30 de standhoek van het vlak (A,A,, A,A,) met het horizontale. In de voorgaande paragraaf is reeds, zooals nu duidelijk zal zijn, van een standvlak gebruik gemaakt. RQ'R' is daar (zie Fig. 70) de standhoek van het vlak V met het horizontale vlak. § 84. Neemt men in Fig. 72 op de as een stuk pb = P'B, en trekt men P"6, dan is ook pbP" de grootte van den standhoek, dien het vlak A met het horizontale maakt; want de rechthoekige driehoeken P'BP en pbV" hebben gelijke rechthoekszijden en zijn dus gelijk en gelijkvormig, zoodat de hoek pbP" gelijk is aan den hoek P'BP. Verbeeldt men zich dat de neergeslagen driehoek P'BP weder opgericht wordt om de zijde P'B, totdat de zijde P'P loodrecht staat op het horizontale vlak en dat daarna die driehoek om de zijde P'P wordt gewenteld, totdat zijn vlak evenwijdig is gekomen aan het verticale, dan zal blijkbaar pbP" de verticale projectie van den driehoek in dien stand zijn. De laatste constructie verschilt dus van de eerst beschrevene eigenlijk daardoor, dat men aan den standdriehoek eene andere beweging heeft gegeven, om hem in de constructiefiguur in zijne ware gedaante te bekomen. § 85. Werkstuk. Den verticalen doorgang van een vlak te cotistrueeren, indien zijn horizontale doorgang en zijn standhoek met het horizontale vlak gegeven zijn. Hoe dit geschieden kan, is uit liet voorgaande werkstuk duidelijk. Is namelijk AA, de gegeven doorgang (Fig. 72), zoo neemt men in de as een willekeurig punt Q' aan, trekt daaruit Q'C loodrecht op AA,, maakt hoek Q'CQ gelijk aan den gegeven standhoek, en stelt in Q' eene loodlijn op Q'C, totdat zij het tweede been van den standhoek in Q ontmoet; trekt men dan verder in Q' eene loodlijn Q'Q" = Q'Q op de as, zoo kan de begeerde verticale doorgang uit A door Q" getrokken worden. Zal echter de vraag bepaald zijn, dan moet er nog gegeven zijn aan welke zijde het vlak den gegeven hoek met het horizontale vlak moet maken. Is dit niet gegeven, dan kan men den gegeven standhoek aan weerszijden van Q'C uitzetten; hiermede stemt dan overeen, dat de loodlijn op de as, die gelijk aan Q'Q genomen wordt, ook aan weerszijden van de as kan opgericht worden, waardoor men twee punten Q" en q" verkrijgt, door welke de begeerde verticale doorgang uit A kan getrokken worden. Het vlak (A,AA2) maakt dan aan den eenen kant, het vlak (Ar\a2) aan den anderen kant, den gegeven standhoek met het horizontale vlak. Het zal wel onnoodig zijn, hier nog over de bijzondere gevallen uit te weiden, dat de gegeven horizontale doorgang loodrecht op of evenwijdig aan de as mocht wezen. g 86. Werkstuk. Door eene gegevene lijn een vlak te brengen, dat met het horizontale vlak een gegeven hoek maakt. Laat CD (Fig. 73) de gegevene lijn zijn, dan zijn vooreerst de punten C' en D", waar deze lijn de projectievlakken ontmoet, respectievelijk punten van den horizontalen en den verticalen doorgang van het gevraagde vlak, zoodat men nog slechts de richting van één dier doorgangen behoeft te vinden. Nemen wij nu in de gegevene lijn een willekeurig punt P aan, dan is dit punt in het begeerde vlak gelegen; was dus het gevraagde vlak reeds gevonden, en wilde men zijnen standhoek met het horizontale vlak kennen, dan zon men, volgens § 84 en Fig. 72, uit p op de as een stuk pb uitzetten, gelijk aan de loodlijn die uit P' op den horizontalen doorgang valt en zoodoende zou P"pb de begeerde standhoek zijn. Hier is echter die standhoek gegeven, en kan men dus een tegengestelden weg volgen. Trekken wij namelijk uit P" de lijn P"b zoodanig, dat zij met de as een hoek P"bp gelijk aan den gegeven standhoek maakt, dan vinden wij de lengte pb van de genoemde loodlijn; hierdoor kennen wij dus den afstand van het punt P' tot den onbekenden horizontalen doorgang. Wij beschrijven alzoo uit P' met pb als straal een cirkel, en trekken uit C' eene raaklijn aan dien cirkel dan is deze lijn AjA de horizontale doorgang van het begeerde vlak, welks verticale doorgang AA2 verder onmiddellijk door D" kan getrokken worden. Vereenigt men P' met het raakpunt B, dan is P'B blijkbaar de horizontale doorgang van het stand vlak door P loodrecht op AAr Daar men uit C' nog eene tweede raaklijn aan denzelfden cirkel kan trekken, verkrijgt men nog een tweede vlak aiaai dat aan de vraag voldoet. Indien men, na pc — P'C' genomen te hebben, P"c trekt, is, blijkens het in § 54 verklaarde, P"cp de hoek dien de lijn CD met het horizontale vlak maakt. Was nu de gegeven standhoek kleiner dan de hoek P"cp, dan zou blijkbaar pb > pc worden en derhalve het punt C' binnen den beschreven cirkel liggen, zoodat het onmogelijk zou zijn, uit C' raaklijnen aan dien cirkel te trekken. Tot de bestaanbaarheid van het gevraagde vlak wordt dus vereischt, dat de gegeven hoek niet kleiner zij dan de hoek, dien de gegevene lijn met het horizontale vluk maakt. Was de gegeven hoek juist gelijk aan den hoek P"cp, dan zou pb = P'C' zijn, en de cirkel, uit P' beschreven, zou door C' gaan; in dit geval zou men door C' ééne raaklijn aan den cirkel kunnen trekken, die hem juist in C' zou raken en loodrecht op C'P' zou staan. Deze raaklijn zou dan de horizontale doorgang zijn van het eenige vlak, dat nu aan de vraag zou kunnen voldoen. Beschouwt men den gebezigden cirkel als het grondvlak, en het punt P als den top van een gewonen kegel, dan zullen alle vlakken die dezen kegel raken, een even grooten hoek P"bp met het horizontale vlak maken. Al die vlakken gaan door het punt P, terwijl hunne horizontale doorgangen den beschreven cirkel raken; onder die vlakken zijn (A,AA,) en (a,aP= P"'p"'. Daar wij blijkens de teekening het vlak A vóórover hebben neergeslagen, waardoor P'" boven en Q'" beneden dat neergeslagen vlak kwam, zoo hebben wij dus ook, wat de as 02X2 betreft, ondersteld dat het bovendeel van het nieuwe verticale vlak naar de zijde van P,", en het benedendeel van dat vlak naar de zijde van Q," op het nieuwe horizontale vlak is neergeslagen. De eenvoudige beschouwing van de figuur is toereikend om in te zien, hoe men omgekeerd uit de nieuwe projectiën van eenig punt, zoo die gegeven waren, de oude projectiën zou kunnen construeeren; wij achten het dus onnoodig hierover in bijzonderheden te treden. § 102. Moest men de nieuwe projectiën van eene gegevene lijn bepalen, dan zou men in die lijn twee punten aannemen, de nieuwe projectiën van elk dier punten construeeren en door deze de begeerde nieuwe projectiën van de lijn trekken. Evenzoo zou men, wanneer een veelhoek of een veelvlakkig lichaam door zijne projectiën gegeven was, dien veelhoek of dat lichaam op de nieuwe projectievlakken kunnen projecteeren, door de nieuwe projectiën van al zijne hoekpunten te construeeren. Wilde men op de nieuwe projectievlakken de doorgangen van een vlak vinden, dan merken wij op dat de doorsnede van het vlak met het vlak dat als nieuw horizontaal vlak moet worden aangenomen, de nieuwe horizontale doorgang van het vlak is. Wij behoeven dus slechts de plaats van deze doorsnede in het neergeslagen vlak te bepalen om onmiddellijk den nieuwen horizontalen doorgang te hebben. Nemen wij in het vlak een punt aan en bepalen wij daarvan de nieuwe projectiën, dan hebben wij in de nieuwe projectievlakken slechts een vlak te construeeren door den gevonden nieuwen horizontalen doorgang en het aangenomen punt om den nieuwen verticalen doorgang te vinden. Men zou ook den nieuwen verticalen doorgang kunnen vinden, als men door den nieuwen horizontalen doorgang een vlak bracht, dat een hoek maakt met het nieuwe horizontale vlak, gelijk aan den standhoek der vlakken, dien men dan volgens het vroeger geleerde vooraf moet construeeren. Deze methode zal echter in den regel omslachtiger zijn dan de eerstgenoemde. In Fig. 84 zijn van het vlak B de nieuwe doorgangen geconstrueerd. Hiertoe is de doorsnede CD der vlakken A en B bepaald en het punt E in het vlak B aangenomen. Bij het neerslaan van het vlak A om zijn horizontalen doorgang op het horizontale vlak, blijft C' op zijne plaats, terwijl het punt D in D„ komt. C'D„ is derhalve de nieuwe horizontale doorgang. Van het punt E zijn verder de nieuwe projectiën E,', E," geconstrueerd en ten slotte is door C'D„ en (E/, E,") een vlak gebracht. B,'B' en B'B2' zijn derhalve de nieuwe doorgangen van het vlak B. Ten slotte merken wij nog op, dat het aannemen van nieuwe projectievlakken voornamelijk dient om de constructiën van werkstukken, die in het algemeen lastig zijn, terug te brengen tot de bijzondere gevallen waarin die constructiën eenvoudiger worden. Voorbeelden hiervan vinden wij in de volgende werkstukken. § 103. Werkstuk. Door eene gegevene lijn buiten een gegeven vlak een ander vlak te brengen dat met het gegeven vlak een gegeven hoek maakt. Daar de ontmoetingspunten van de gegevene lijn met de projectievlakken dadelijk twee punten van de doorgangen van het gevraagde vlak zijn, zal dit vlak geheel gevonden zijn, zoodra men nog slechts één punt van een zijner doorgangen, b. v. van den horizontalen doorgang, kent. Ten einde dit punt te vinden, construeert men volgens het voorgaande, de nieuwe projectiën die de gegevene lijn verkrijgt, indien het gegeven vlak, om zijn horizontalen doorgang neergeslagen, als nieuw horizontaal vlak aangenomen wordt. Hierdoor wordt het werkstuk teruggebracht tot dat van § 86; men volgt dus de aldaar aangewezen constructie, om den doorgang van het gevraagde vlak met het nieuw aangenomen horizontale vlak te verkrijgen. Het punt waar deze aldus geconstrueerde doorgang den oorspronkelijken horizontalen doorgang van het gegeven vlak snijdt, is een punt van het gevraagde vlak, en blijft op zijne plaats indien het neergeslagen vlak weder opgericht wordt. Dit punt is dus het begeerde punt van den horizontalen doorgang van het gevraagde vlak, met betrekking tot de oorspronkelijke projectievlakken. Het zij aan den lezer overgelaten, de hier aangewezen constructie uit te voeren. Mochten daarbij de lijnen, door welker snijding het genoemde punt gevonden wordt, evenwijdig loopen, dan zou de horizontale doorgang van het gevraagde vlak evenwijdig aan dien van het gegevene zijn; die doorgang zou dus door het ontmoetingspunt van de gegevene lijn met het horizontale vlak onmiddellijk getrokken kunnen worden. Overigens gelden hier gelijke opmerkingen als in § 86, met betrekking tot het dubbele antwoord en de bestaanbaarheid. § 104. Werkstuk. Den afstand van twee elkander kruisende lijnen te construeer en. Reeds in de Stereometrie hebben wij geleerd dat men door den afstand van twee elkander kruisende lijnen AB en CD verstaat den afstand van de lijn AB tot een vlak door CD evenwijdig aan AB gebracht. In Fig. 85 stelt V dit vlak voor en is derhalve de loodlijn EF, uit een willekeurig punt E van AB op V neergelaten, de bedoelde afstand. Trekt men uit F de lijn FG, evenwijdig aan AB, die CD in G snijdt, en daarna uit G de lijn GH evenwijdig aan FE, dan is G1I = EF eene lijn die de beide kruisende lijnen AB en CD loodrecht snijdt. Wanneer men over den afstand van twee elkander kruisende lijnen spreekt, bedoelt men meestal meer bepaaldelijk deze lijn GH, die loodrecht op de beide kruisende lijnen staat. De hier aangewezen constructiën zijn in Fig. 86 in eene constructiefiguur uitgevoerd, en zullen in verband met Fig. 85 gemakkelijk kunnen gevolgd worden. Het vlak V is geconstrueerd door toepassing van § 74, waarbij hier de lijn DK evenwijdig aan AB is getrokken. De loodlijn EF op het vlak V is verkregen volgens g 82, waarbij het standvlak door D is genomen. Wij vonden langs dien weg tevens de ware lengte E"'F"' van EF en dus tevens van GH. § 105. De constructie van het voorgaande werkstuk wordt zeer eenvoudig, wanneer een van de gegeven lijnen loodrecht op een der projectievlakken is. Laten b. v. AB en CD die lijnen zijn (Fig. 87), waarvan de eerste loodrecht op het horizontale vlak staat, dan is de afstand van die lijnen, omdat hij loodrecht op AB moet zijn, evenwijdig aan het horizontale vlak en dus even lang als zijne horizontale projectie. Deze horizontale projectie, die van A' naar eenig punt van C'D' loopt, zal zoo klein mogelijk moeten zijn, en daarom niet anders kunnen wezen dan eene loodlijn uit A' op C'D' neergelaten; door die loodlijn te trekken, heeft men dus dadelijk de horizontale projectie A'G' van den begeerden afstand, terwijl tevens zijn ontmoetingspunt (G', G") met de lijn CD bekend wordt. Daar de verlangde afstand evenwijdig is aan het horizontale vlak, moet zijne verticale projectie G"ü" evenwijdig aan de as loopen, en kan dus uit het gevonden punt G" onmiddellijk worden getrokken. Hier is dus GH de begeerde afstand die G'H' tot werkelijke lengte heeft. Wanneer een van de gegeven lijnen evenwijdig aan de as loopt of de as zelve is, terwijl de andere lijn geenerlei bijzonderen stand heeft, behoeft men slechts een derde projectievlak aan te nemen, om het construeeren van den afstand tot het beschouwde eenvoudige geval terug te brengen, daar de eerste lijn dan loodrecht op het derde projectievlak staat, en dus een enkel punt tot derde projectie heeft. Was b. v. de vraag: in eene gegevene lijn AB (Fig. 88) het punt te vinden, dat zich het dichtst bij de as bevindt, dan construeere men, na een derde projectievlak YOZ te hebben aangenomen, de derde projectie van de gegevene lijn; daar nu het enkele punt 0 de derde projectie van de as is, zal eene loodlijn OP'", op neergelaten, de derde projectie zijn van den afstand tusschen de gegevene lijn en de as, terwijl het voetpunt P'" de derde projectie is van het punt, waar die afstand de gegevene lijn ontmoet. Uit de derde projectie van dit punt kan men nu onmiddellijk zijne horizontale en zijne verticale projectie P' en P" afleiden, zoodat dan P het gevraagde punt in de lijn AB is. § 10(5. In het algemeen kan het construeeren van den afstand van twee lijnen altijd tot het bijzondere geval van Fig. 87 teruggebracht worden, zoo men slechts een vlak, loodrecht op een der beide lijnen gebracht, volgens § 101 en § 102 tot nieuw horizontaal vlak aanneemt. Hoezeer de constructie in haar geheel hierdoor niet eenvoudiger wordt dan die van Fig. 80, achten wij het niet ondienstig te doen zien, hoe zij ook op die wijze verricht kan worden, en wel bepaaldelijk om een geschikt voorbeeld te geven van het aannemen en gebruiken van nieuwe projectievlakken. Zijn AB en CD (Fig. 89) de beide gegeven lijnen, zoo brengen wij volgens § 76, door een willekeurig punt E van de lijn AB een vlak V loodrecht op deze lijn, en nemen dit aan als nieuw horizontaal projectievlak. Ten einde geene verwarring in de teekening te brengen is, voor het projecteeren van de lijn CD op dit vlak en voor de verdere constructie, een algemeen standvlak 0,X, in v loodrecht op den horizontalen doorgang aangenomen. Door het punt E op dit standvlak te projecteeren en daarna door v en E'" eene rechte lijn te trekken, vindt men in v\3 de doorsnede van het vlak V met het standvlak, terwijl hoek 0,vV3 den standhoek van V met het horizontale vlak voorstelt. Projecteeren wij nu volgens § 101 de punten C en D op het vlak V en slaan wij daarna het vlak om VV, neer op het horizontale vlak, zoo is C/D,' de nieuwe horizontale projectie van de lijn CD, waarvan de nieuwe verticale projectie C/'D," gemakkelijk gevonden wordt, nadat wij een nieuwe as van projectie OjX, hebben aangenomen. Het punt E, waarin de lijn AB loodrecht staat op het vlak V, komt in (E,', E/'), en dus is E,' de nieuwe horizontale projectie der lijn, welker nieuwe verticale projectie in E," loodrecht op OjXj is. Construeeren wij verder volgens § 105 den afstand (E,'G,', II/'G,") der lijnen, zoo behoeven wij nog slechts van de punten (E/, H,") en (G,', G,") de projectiën op de oorspronkelijke projectievlakken te construeeren — of, zooals men dit eenvoudigheidshalve noemt, deze punten terug te brengen — om de projectiën H'G' en H"G" te verkrijgen van de lijn HG, die de beide lijnen AB en CD loodrecht snijdt. Om het punt (G/, G,"), dat in de lijn CD ligt, terug te brengen, behoeven wij slechts door G,' eene lijn loodrecht op VV, te trekken en uit haar snijpunt G' met CD' eene loodlijn op OX neer te laten en deze te verlengen tot zij C"D" in G" snijdt. G' en G" zijn nu de projectiën van het punt G op de oorspronkelijke vlakken. Voor het terugbrengen van het punt (E/, H,"), dat in de lijn AB is gelegen, moeten wij E'"H'" = E,"Hloodrecht op v\3 stellen, daarna H"'H' loodrecht op A'B' neerlaten en eindelijk uit 11' op de bekende wijze 11" vinden. Vereenigen wij nu ten slotte de punten (G', G") en (H', H") dan is Gil de gevraagde lijn, wier werkelijke lengte E,'G,' is. OEFENINGEN. 71. De nieuwe projectiën te construeeren van vierpunten, elk gelegen in een dei' vier ruimteboeken gevormd door de snijding der projectievlakken, wanneer een vlak dat een schuinen stand heeft ten opzichte van de projectievlakken, als nieuw horizontaal en een vlak loodrecht daarop als nieuw verticaal vlak van projectie worden aangenomen. 72. Gegeven de projectiën van een driehoek. Men vraagt eert punt te construeeren dat op gegeven onderling gelijke afstanden verwijderd is van de hoekpunten. 73. De nieuwe doorgangen van een vlak te construeeren, wanneer men een ander vlak, welks horizontale doorgang evenwijdig is aan dien van het eerste vlak, als nieuw horizontaal en een vlak loodrecht daarop als nieuw verticaal vlak van projectie aanneemt. Na in den nieuwen verticalen doorgang een punt te hebben aangenomen, dit punt terug te brengen. 74. Bepaal, zoowel door toepassing van £ 104 als van £ 106, de lengte en de projectiën van de lijn, die twee elkander kruisende lijnen loodrecht snijdt, indien: a. een der lijnen de as van projectie rechthoekig kruist; b. de eene lijn in het horizontale en de andere in het verticale vlak ligt. 75. Een vlak te construeeren dat op gelijke afstanden ligt van twee gegeven elkander kruisende lijnen. 76. Gegeven een vlak en de projectiën van een vierhoek in dit vlak. Indien men den vierhoek om een zijner diagonalen laat wentelen, totdat zijn vlak een gegeven hoek maakt met het gegeven vlak, vraagt men de projectiën van den vierhoek na de wenteling te bepalen. OPLOSSING VAN WERKSTUKKEN MET BETREKKING TOT DEN DRIEVLAKKENHOEK. § 107. In de vlakke Meetkunde leerden wij door constructie de onbekende zijden en hoeken van een driehoek vinden, indien daarvan zooveel andere zijden en hoeken gegeven zijn als tot bepaling van den driehoek vereischt worden. Wij zullen thans doen zien hoe de Beschrijvende Meetkunde die zelfde vraag leert oplossen ten aanzien van een boldriehoek. Hierbij kunnen zes verschillende gevallen voorkomen. Van een boldriehoek kunnen namelijk gegeven zijn: 1°. de drie zijden; 2°. twee zijden met den ingesloten hoek; 3". twee zijden met den hoek over één dier zijden; 4°. de drie hoeken; 5". twee hoeken met de tusschenliggende zijde; 6°. twee hoeken met de zijde over één dier hoeken. Verbindt men het middelpunt van een bol met de hoekpunten van een driehoek op dien bol beschreven, zoo vormen deze lijnen de ribben van een drievlakkenhoek die met den boldriehoek overeenstemt. Beschrijft men omgekeerd uit het hoekpunt van een drievlakkenhoek, met eene willekeurige lengte als straal, een boloppervlak, dan ontstaat daarop een boldriehoek die met den drievlakkenhoek overeenkomt. Drukt men de zijden van den boldriehoek in graden uit — m. a. w., beschouwt men den driehoek onafhankelijk van den straal des bols — dan zijn de zijden en hoeken des driehoeks gelijk aan de zijden en hoeken van den overeenkomenden drievlakkenhoek. Het komt er dus slechts op aan om de onbekende hoeken en zijden van een drievlakkenhoek te construeeren in een der in de voorgaande paragraaf genoemde zes gevallen. Hier bieden zich dus zes verschillende werkstukken ter oplossing aan. Daar echter, zooals uit de Stereometrie bekend is, elke drievlakkenhoek zijnen pooldrievlakkenhoek heeft — d. i. een drievlakkenhoek welks hoeken en zijden de supplementen zijn van de zijden en hoeken van den eersten drievlakkenhoek — kan men deze zes werkstukken onmiddellijk tot een drietal terugbrengen. Zijn b. v. de drie hoeken van een drievlakkenhoek gegeven, dan behoeft men slechts hunne supplementen te nemen, om de zijden van zijnen pooldrievlakkenhoek te bekomen. Weet men nu hieruit de hoeken van den laatstgenoemden te construeeren, dan zijn de supplementen van die hoeken weder de zijden van den oorspronkelijker) drievlakkenhoek. Hierdoor is alzoo het vierde der bovengenoemde gevallen tot het eerste teruggebracht; evenzoo kan men het vijfde tot het tweede, en het zesde tot het derde terugbrengen. Alhoewel wij dus zouden kunnen volstaan met de oplossing te geven van de drie eerstgenoemde gevallen, zullen wij toch — zoowel ter wille van de volledigheid, als ook omdat het terugbrengen van het eene werkstuk tot het andere meestal niet tot vereenvoudiging leidt — de zes werkstukken onafhankelijk van elkander behandelen. Alvorens hiertoe over te gaan, merken wij op dat men voor de uitvoering der constructiën niet altijd twee projectievlakken behoeft te gebruiken, maar dat somtijds een enkel projectievlak, als vlak van teekening gebezigd, voldoende en verkieslijk is. De zijden van den drievlakkenhoek zullen wij steeds aanduiden door a, b en c, de ribben tegenover die zijden door TA, TB en TC en de hoeken op deze ribben door b, zoo valt A binnen den cirkel CB en snijdt dus de lijn AE' dien cirkel altijd in twee punten waarvan echter een b. v. B, achter het verticale vlak ligt. De drievlakkenhoek TAB,G zal nu wel a en b tot zijden hebben, doch de hoek op de ribbe TA is 180 d. i. het supplement van den gegeven hoek, en voldoet dus niet aan de vraag. In dit geval vinden wij dus zeker eene doch ook niet meer dan eene oplossing. Is a stomp gegeven, zoo zal het punt E' boven de as van projectie vallen, doch overigens de constructie geene verandering ondergaan. Is daarbij a b zoo zijn er zeker twee snijpunten, waarvan er een vóór en een achter het verticale vlak valt, en vinden wij derhalve zeker eene maar ook niet meer dan eene oplossing. Zoolang de zijden a en b scherp of stomp gegeven zijn, zal de constructie, zoo noodig met behulp van een nevendrievlakkenhoek, kunnen worden verricht op de wijze als in de figuur is aangegeven. Is eene der gegeven zijden, b. v. BTC = a recht (Fig. 93) dan zal, omdat BT loodrecht op TC staat, BT bij de wenteling horizontaal blijven en dus, in het vlak E'AT komende, evenwijdig moeten zijn aan den horizontalen doorgang E'A. CB' en TB" zijn dus de projectiën dier ribbe. Door verder het vlak E'A T om den verticalen doorgang neer te slaan en TBn evenwijdig te trekken aan den neergeslagen doorgang AE„, vinden wij de derde zijde B„rA. B'CA = y is de hoek op de ribbe TC; de hoek P op de ribbe IB is geconstrueerd op overeenkomstige wijze als in § 92 (Fig. 18) is aangewezen. Zijn de beide gegeven zijden a en b recht, zoo moet ook 90°. Is sin b sin a sin a, zoo voldoet één drievlakkenhoek als a gelegen is tusschen b en 180° — b; valt a buiten die grenzen, zoo zullen er twee drievlakkenhoeken bestaan mits a en a gelijksoortig zijn. In alle andere gevallen bestaat er geen drievlakkenhoek die de gegevens bevat. (1) (1) Men kan deze regels ook afleiden uit de in Fig. 94 aangegevene constructie. Zooals reeds gezegd is, zal de lijn AE' den cirkel CB snijden of raken, wanneer de loodlijn, uit G op AE' neergelaten, kleiner is dan of gelijk aan den straal CB van dien cirkel. Stellen wij nu gemakshalve TC = h, zoo is CD = h sin b, CE' = CE = h sin b tang *, BC = h tang a en CA = h tang b en wordt dus deze voorwaarde aangewezen door: CAXCE'< AE' =CB of tang b sin b tang cl < 1/ (tang1 b -f- sin1 b tang2 cl) = tan° a Drukken wij alle goniometrische verhoudingen in den sinus uit, dan laat zich deze voorwaarde gemakkelijk schrijven in de gedaante: sin b sin et ^ sin a (1) Is sin b sin a. > sin a, zoo zal de lijn AE' buiten den cirkel vallen en er dus geen drievlakkenhoek mogelijk zijn. Nu vonden wij dat er bij scherpe waarden van a en b steeds een drievlakkenhoek zal bestaan als a > b; dat er geen drievlakkenhoek mogelijk is voor a < b en «t > 90°; en dat er geen, een of twee kunnen bestaan, wanneer a < b en ot<90° en dit naar> mate sin b sin a. = sin a. < Nemen wij thans aan dat a scherp en b stomp gegeven zijn, dan wordt door verlenging van de ribbe AT een drievlakkenhoek gevonden met de scherpe zijden a en 180° b en den hoek cl over eerstgenoemde zijde. Volgens het voorgaande vinden wij derhalve: een drievlakkenhoek als a>480° — b ëeen » » a < 180° — b en cl > 90° (a en cl zijn dan ongelijksoortig) wellicht twee ï » a<180° — b en *<90° (a en cc gelijksoortig). Is a stomp en b scherp, zoo ontstaat door verlenging van BT een drievlakkenhoek met de scherpe zijden 180 — a en b en den hoek 480° — ct over eerstgenoemde zijde. Wij vinden derhalve: een drievlakkenhoek als 180° — a>b dus a< 180° b ëeen » » 180° — a < b en 180° — «t > 90° dus a > 180° — b en ct < 90° (a en cl ongelijksoortig) wellicht twee » j 180° — a 180° - b en cl > 90° (a en cl gelijksoortig). Zijn eindelijk beide zijden a en b stomp gegeven, zoo verkrijgen wij door verlenging van CT een drievlakkenhoek met de scherpe zijden 180° —a en 180°—b en den hoek 180° — cl over eerstgenoemde zijde. Wij vinden derhalve: een drievlakkenhoek als 180° — a > 180° — b dus a < b seen » » 180° — a < 180° — b en 180° — cl> 90° dus a> b en«t <90° (a en cl ongelijksoortig) wellicht twee j> » 180° — a< 180° — ben 180° — cl <90° dus a> ben ct> 90° (a en cl gelijksoortig). Alles samenvattende, komen wij zoodoende gemakkelijk tot dezelfde regels als in den tekst gegeven zijn, ^ 112. V^erkstuk. De zijden van een dvievlakkenhoek te constvu- eeren, indien zijne hoeken gegeven zijn. Zij in de perspectievische schets (Fig. 97) TABC de drievlakkenhoek en ABC een vlak loodrecht op de ribbe TB, dan is L ABC = P de gegeven hoek op die ribbe. Brengen wij door het punt B twee vlakken loodrecht op de beide andere ribben TA en TC, dan ontstaan de driehoeken DBE en FBG, die rechthoekig in B zijn. Zij bevatten de andere gegeven standhoeken DEB = « en GFB = y, en hunne vlakken snijden elkander volgens de lijn BP die in P loodrecht staat op het vlak TAC. Aangezien nu de lijn BP met de lijnen BD en BG, die in het horizontale vlak respectievelijk loodrecht zijn op AB en BC, hoeken PBD = « en PBG=-y maakt, kunnen wij de projectiën dezer, lijn BP construeeren. De gevraagde diievlakkenhoek wordt dan verkregen door het brengen van een willekeurig vlak loodrecht op BP, terwijl zijne ontwikkeling in het verticale vlak gemakkelijk volgt. De constructie is in Fig. 98 uitgevoerd. Men heeft eerst den bekenden hoek ABC = ƒ? uitgezet, daarna BD loodrecht op BA en BG loodrecht op BC getrokken en vervolgens de lijnen BP geteekend, zoodanig dat z.PBD = « en Z.PBG = y. Nemen wij op beide lijnen een willekeurig doch gelijk stuk BP, dan zullen de loodlijnen, uit de beide punten P op BD en BG neergelaten, elkander snijden in P' en zoodoende de horizontale projectie aanwijzen van het punt P, welks verticale projectie gevonden wordt in de verticale projectie van den cirkel, dien het punt P bij de wenteling van den driehoek PBD beschrijft. Loodrecht op de lijn (BP', BP") moeten wij nu een vlak aanbrengen. Dit vlak is hier verkregen door PD loodrecht op PB en PG loodrecht op de andere lijn PB te trekken; DG is dan de horizontale doorgang van het vlak dat in P loodrecht staat op PB. De verticale doorgang moet gaan door het snijpunt A met de as en raken aan den cirkel, uit B met BE als straal beschreven. Het hier bsdoelde punt E is het snijpunt van DP met het verticale vlak. De zijde ATB is nu bekend; de zijde BTC is geconstrueerd door haar neer te slaan in het verticale vlak, terwijl de zijde ATC is verkregen door het neerslaan van driehoek ATC om AC op het horizontale vlak. Daar bij bovenstaande constructie geen gebruik is gemaakt van (P', P"), had men die projectiën van P kunnen weglaten; intusschen zijn deze toch nuttig, omdat zij kunnen dienen bij de controle op de juiste uitvoering der teekening; de projectiën toch van BP moeten loodrecht staan op de gelijknamige doorgangen van het vlak TAG, terwijl de verticale doorgang TA van dit vlak moet gaan door het snijpunt E der lijn (DP', BP") met het verticale vlak. Wij merken nog op dat de constructie alleen mogelijk is wanneer voldaan wordt aan de voorwaarden: L DBG < L PBD + L PBG en L PBD -f- L DBG + L GBP < 360° welke voorwaarden , omdat L DBG == 180° — J3, ook te schrijven zijn: « P -f- 7 > 180° en 180° — j3, zou geene enkele oplossing gevonden zijn, omdat de standhoek op de ribbe TA zoowel als die op TA,, het supplement van a zouden zijn. Beschouwen wij thans het geval dat de gegevens a, « en /3 scherp, doch a > /?. In dit geval is de straal van den cirkel C"D kleiner dan C"B en valt dus het punt T altijd buiten dien cirkel. Men verkrijgt nu wel twee raaklijnen TA en Ta maar toch slechts eene oplossing omdat het punt a tusschen de punten B en C" valt en dus de drievlakkenhoek TaBC op de ribbe Ta een hoek bevat die het supplement van a is. Merken wij weder op dat wij volmaakt dezelfde constructie hebben voor het geval dat a. stomp is gegeven en wel zoodanig dat a<180°— /?, dan is het duidelijk dat wij ook in dit geval eene oplossing krijgen, omdat wij weder eene raaklijn moeten laten vervallen, die aanleiding zou geven tot een drievlakkenhoek met een hoek op de ribbe TA, die het supplement van a en dus scherp is. In dit geval ligt a tusschen de grenzen /3 en 180° — P want, daar a stomp is en /? scherp, zal zeker a> /? wezen. Zijn derhalve a en /? scherp gegeven en « scherp of stomp, dan hebben wij alle mogelijke oplossingen nagegaan. Hiermede kunnen wij weder volstaan, zonder aan de algemeenheid te kort te doen, omdat men door het verlengen van een der ribben van eenen drievlakkenhoek, waarin a en /3 beiden of een van beiden stomp gegeven zijn, altijd een drievlakkenhoek kan verkrijgen waarin eene scherpe zijde met een niet daarover gelegen scherpe hoek bekend zijn. §116. In de Bolvormige Driehoeksmeting leert men voor alle waarden van de gegevens a, « en de navolgende regels: Is sin a sin /? = sin a, zoo voldoet een drievlakkenhoek waarin b = 90°, wanneer gelijktijdig a < /? en a < 90° of a > /? en a > 90°. Is sin a sin (3 sin a, zoo voldoet een drievlakkenhoek als a, gelegen is tusschen P en 180° — /?; valt a buiten die grenzen, zoo zullen er twee drievlakkenlioeken bestaan mits a en a gelijksoortig zijn. In alle andere gevallen bestaat er geen drievlakkenhoek die de gegevens bevat. (1) (1) Men kan deze voorwaarden afleiden uit die van § 111 door beschouwing van een pooldrievlakkenhoek, of ook rechtstreeks uit de gegevene constructie. Stellen wij (Fig.95) gemakshalve TB = h, zoo is C'B = CB = htang a, CC" = htang a sin (Z en dus de straal C"D van den meergenoemden cirkel = htang a sin $ cot et, en eindelijk TC" = h |/ (1 -f- tang2a cos* /2). Men zal derhalve uit T een of twee raaklijnen kunnen trekken aan den cirkel als voldaan wordt aan de voorwaarde C"D ~ TG" of tanga sin /Z cot et ~ j/ (1 + tang2a cos1 /Z) Drukken wij alle goniometrische verhoudingen in den sinus uit, dan kan deze voorwaarde gemakkelijk worden geschreven in de gedaante: sin a sin (Z ~ sin et (1) Uit de gegevene constructie is verder gebleken dat voor scherpe waarden van a en {Z zeker eene doch ook niet meer dan eene oplossing wordt gevonden indien et gelegen is tusschen de grenzen $ en 180° — /Z; dat er twee oplossingen kunnen gevonden worden, indien a 180° — $ (dus a en et ongelijksoortig). Is a stomp en @ scherp, zoo ontstaat door verlenging van BT een drievlakkenhoek met de scherpe zijde 180° — a en de hoeken en 180° —et. Wij leiden hieruit af dat er zeker eene oplossing bestaat als 180°— 180° — (a en et gelijksoortig), en dat er geen oplossing kan bestaan indien 180° — et > 180° — $ dus et (Z (a en et ongelijksoortig). Zijn a en /Z beiden stomp, zoo ontstaat door verlenging van CT een drievlakkenhoek met de zijde 180° — a (scherp) en de hoeken 180° - «en 180° —(scherp), en vinden wij dus zeker eene oplossing als 180° — et en dus ook et gelegen is binnen de grenzen (Z en 180° — /3 i wellicht twee oplossingen indien 180° — et < 180° — dus et > /3 (a en et gelijksoortig) en zeker geen oplossing indien 180° — et > $ dus et < 180° — (Z (a en et ongelijksoortig). Alles samenvattende, komen wij zoodoende tot dezelfde regels als in den tekst gegeven zijn. OEFENINGEN, (i) 77. Construeer, zoo mogelijk, de onbekende elementen van een drievlakkenlioek indien gegeven zijn: a. a = 102° b = 96° c = 120° b• a = 150° b = 108° c == 90° c• « = 72° b == 90° y = 144° d. a = 90° b = 42° « = 132° e• a = 42° b = 90° « = 75° t- a = 144° b == 72° n ' Ult T getrokken, die met de ribben gelijke hoeken maakt ■ c. idem, die met de zijden gelijke hoeken maakt; d. een punt dat op gegeven gelijke afstanden van de zijden verwijderd is. J 79. Van een drievlakkenhoek zijn gegeven: « = 102° b = 72° en ,In de zijyIakken BTG en ATC trekt men uit'het hoek¬ punt i twee lijnen makende met de ribbe TC hoeken van 30° Construeer den hoek welken deze beide lijnen met elkander maken 19AO P , gr00tte van de projectie van een hoek, groot ' °P ®en horizontaal vlak, indien nog bekend is dat de beenen ïsïej - ra° VEELVLAKKIGE LICHAMEN. A. Het projecteeren van veelvlakkige lichamen, het ontwikkelen van hunne oppervlakken en het bepalen hunner doorsneden met een plat vlak. § 117. Door de projectie van een veelvlakkig lichaam op een plat vlak, verstaat men de figuur die verkregen wordt, wanneer men de projectiën van de verschillende hoekpunten en ribben van het lichaam op dit vlak bepaalt (§ 30). Projecteert men een lichaam op twee elkander snijdende vlakken, dan bepalen de beide projectiën samen het lichaam zoo nauwkeurig, dat men in staat zou zijn uit deze projectiën het geheele lichaam op te bouwen. Tot projectievlakken kiest men gewoonlijk weder twee loodrecht op elkander staande vlakken, die wij, evenals in het voorafgaande, horizontaal en verticaal zullen veronderstellen. Meestal plaatst men het te projecteeren lichaam op het horizontale en vóór het verticale vlak, en beschouwt men het lichaam als ondoorzichtig. De horizontale projectiën der ribben van het lichaam, welke niet gezien kunnen worden door een beschouwer, dien men zich op een oneindig grooten afstand boven het lichaam geplaatst denkt, worden door stippellijnen voorgesteld. Evenzoo worden, in de verticale projectie, die ribben gestippeld, welke niet zouden worden gezien door een beschouwer, dien men zich op een oneindig grooten afstand vóór het lichaam geplaatst denkt. Zoo is in Fig. 107 de verticale projectie van de ribbe TD gestippeld, omdat deze ribbe onzichtbaar is voor een persoon, die vóór het lichaam geplaatst is, met het gezicht naar het verticale vlak gekeerd. Projecteert men het lichaam op een verticaal vlak dat het horizontale snijdt volgens de as (^X, (Fig. 107), dan moet de projectie van TB op dit vlak gestippeld worden, omdat nu deze ribbe niet gezien wordt door een beschouwer, dien men zich zoo geplaatst denkt, dat het lichaam tusschen zijn oog en dit verticale vlak gelegen is. De horizontale projectiën van alle ribben zijn getrokken, omdat zij allen gezien worden door een beschouwer, dien men zich boven het lichaam geplaatst denkt met het gezicht naar het horizontale vlak gekeerd. Daar het oppervlak van een veelvlakkig lichaam uit verschillende vlakke veelhoeken bestaat, is men in staat het geheele oppervlak in één plat vlak te teekenen. Hiertoe denken wij ons den samenhang van het oppervlak volgens sommige ribben verbroken, doch zoodanig dat elk zijvlak met eene ribbe vastgehecht blijft aan een aangrenzend zijvlak; wij kunnen dan telkens twee zijvlakken door eene wenteling om de ribbe, waarmede zij aan elkander bevestigd bleven, in hetzelfde vlak brengen. Is door achtereenvolgende wenteling het geheele oppervlak op deze wijze in één vlak gekomen, dan zegt men dat het oppervlak van het lichaam ontivikkeld is. § 118. Kent men de projectiën van een veelvlakkig lichaam, dan kan men verlangen zijn oppervlak te ontwikkelen, of ook de ware gedaante van een bepaald zijvlak of van eene bepaalde doorsnede te construeeren. Is omgekeerd, zooals niet zelden het geval is, het ontwikkeld oppervlak gegeven, dan kan men verlangen daaruit de projectiën van het lichaam te vinden. Een te projecteeren lichaam kan echter op vele andere wijzen door de noodige gegevens bepaald zijn; welken weg men dan tot het projecteeren te volgen heeft, hangt niet alleen van den aard dier gegevens af, maar ook van den stand dien men aan het lichaam met betrekking tot de projectievlakken geven wil. Om een lichaam in een bepaalden stand te projecteeren, zal liet dikwijls verkieslijk zijn dit lichaam aanvankelijk in een anderen stand te projecteeren, en vervolgens na te gaan, welke nieuwe projectiën het verkrijgt, als men het zekere bewegingen of verplaatsingen laat ondergaan. Dit alles zullen wij door eenige werkstukken toelichten en daarna overgaan tot het bepalen van de doorsneden der oppervlakken van veelvlakkige lichamen onderling. § 119. Werkstuk. Eene driezijdige pyramide te projecleeren, indien hare zes ribben gegeven zijn. Stellen wij een driehoek A'B'G' samen (Fig. 101), waarvan de zijden even lang zijn als de ribben van het grondvlak, en be- schrijven wij buitenwaarts op die zijden andere driehoeken B'C'T,, C'A'Tj en A'B'T3, zoodanig dat A'Tj = A'T,, B'T3 = B'T, en G'T, = C'T2 de lengten hebben van de opstaande ribben, die respectievelijk in A', B' en C' aan het grondvlak sluiten, dan verkrijgen wij daardoor het ontwikkeld oppervlak van de pyramide, waarvan de opstaande zijvlakken nu om de ribben van het grondvlak op het verlengde grondvlak zijn neergeslagen. Dit vlak nemen wij als het horizontale projectievlak aan, waarin wij voorts naar welgevallen eene as OX trekken. Worden nu, terwijl het grondvlak A'B'C' op het horizontale vlak blijft liggen, de opstaande zijvlakken in den stand gebracht waarin zij de pyramide vormen, dan komen de punten T,, Tj en T3 in den top der pyramide samen. Laten wij dus uit T, eene loodlijn neer op B'C', en evenzoo uit ï2 eene op C'A' en uit T3 eene op A'B', dan snijden die loodlijnen elkander in de horizontale projectie T' van den top. Nadat deze gevonden is, beschrijven wij op T'D, die loodrecht op A'G' getrokken is, een driehoek, die rechthoekig is in T' en DT = DT2 tot schuine zijde heeft, om TT' — de hoogte van de pyramide — te leeren kennen; de verticale projectie T" van den top is nu te construeeren, door T'tT" rechthoekig door OX te trekken, en tT' — T'T te nemen. Wanneer wij dus ten slotte A'A", B'B" en C'C" loodrecht op OX trekken, het punt T' met elk der punten A', B' en C', en het punt T" met elk der punten A", B" en C" vereenigen, hebben wij de projectiën T'A'B'C' en T"A"B"C" van de pyramide verkregen. De hoek TDT' is hier de standhoek op de ribbe A'C' van het zijvlak ATC en het grondvlak der pyramide. Dit steunt, evenals een gedeelte van de verrichte constructie, op gelijke gronden als wij in § 108 aanvoerden. | 120. Om de projectie te bepalen van een willekeurig punt P, op het oppervlak der pyramide gelegen, trekken wij, door de willekeurig aangenomen horizontale projectie P' van het punt, de lijn T'P'p', die dan de horizontale projectie is van eene lijn op het oppervlak, waarvan de verticale projectie langs T'p" valt. Het snijpunt P" van T'p" met de lijn, door P' loodrecht door de as getrokken, is dan de verticale projectie van het punt P, dat op het oppervlak van de pyramide ligt. In het, om de ribbe B'C op het horizontale vlak neergeslagen, zijvlak BTC vinden wij P door p' met T, te verbinden en uit P' eene lijn P'P loodrecht op B'C te trekken. Construeert men op C'T, een driehoek AC'T, gelijk en gelijk\ormig met driehoek A'C'T2 en op B'T, een driehoek AB'T, geiiik en^ijkyormig met driehoek A'B'T,, dan vormen de driehoeken ,, CBT, en AB I ,, samen het ontwikkeld zijdelingsch oppervlak der pyramide. Men maakt hiervan o. a. gebruik, als men twee punten, gelegen op twee verschillende zijvlakken van het lichaam, wil veieenigen door de kortste lijn die over het oppervlak loopt Wij komen hierop in g 131 terug. § 121. De hierboven geprojecteerde pyramide staat met haar grondvlak op het horizontale vlak. Had men de projectie verlangd op een willekeurig hellend vlak V — waarvan men den horizontalen doorgang altijd loodrecht op OX kan aannemen, daar OX geheel willekeurig is getrokken — dan zou men eerst op de boven beschrevene wijze de projectie op het horizontale vlak bepalen en daarna volgens § 101 de nieuwe projectiën van de hoekpunten der pyramide, wanneer het vlak V, om den horizontalen doorgang VV, neergeslagen, als nieuw horizontaal vlak wordt aangenomen. g 122. Werkstuk. Een kubus in verschillende slanden te projecteer en. Beschrijven wij in het horizontale vlak op de gegevene ribbe A'B' van den kubus (Fig. 102) een vierkant A'B'C'D', dan is dit vierkant, dat wij als grondvlak van den kubus zullen beschouwen, tevens de horizontale projectie E'F'G'H' van het bovenvlak. Wij stellen ons nu voor dien kubus te projecteeren op een vlak, dat het horizontale v a onder een willekeurig gegeven hoek volgens een willekeurig gegeven doorgang V,V, snijdt. Nemen wij in het horizontale vlak eene as OX aan, die ergens in V rechthoekig op den doorgang V,V, staat, en trekken wij VV, zoodanig dat 0VVs gelijk is aan den gegeven hoek, dan is VV, de verticale doorgang van het bedoelde vlak. Trekken wij voorts uit de hoekpunten van het vierkant A'B'C'D' lijnen rechthoekig door ■ , en zetten wij op die lijnen de lengte der ribbe van den kubus >o\en OX uit, dan verkrijgen wij onmiddellijk zijne verticale projectie A"B"C"D"E"F"G"H". Wij laten nu uit de hoekpunten van den kubus loodlijnen op het ] a vallen, en bepalen de plaats waar de voetpunten van die loodlijnen komen te liggen, als het vlak V, om zijnen horizontalen c ooi gang op het horizontale vlak neergeslagen, als nieuw horizontaal vlak aangenomen wordt. Opdat de kubus boven dit nieuwe pro- iectievlak blijve, slaan wij het achterover neer. Volgens § 97 en g lül laten wij te dien einde A"a, E"«. B"b, F"f, enz. loodrecht op VV2 neer, trekken vervolgens uit A'(E'), B'(F'), enz. lijnen rechthoekig door VV,, en nemen op die lijnen stukken gelijk aan Va, Ve, V6, V/1, enz.; de punten A,', E,', B,', F,', enz. zijn dan de projectiën van de hoekpunten van het lichaam op het neergeslagen vlak V. Door dus deze punten naar behooren te vereenigen, verkrijgen wij de nieuwe horizontale projectie A/B/C/D/E.'F/l ,'G, II, van den kubus; daarin zullen dan de projectiën van de evenwijdige ribben volgens § 56 wederom evenwijdig moeten loopen, hetgeen tot eene proef op de nauwkeurige uitvoering vau de constructie kan strekken. Daar hier de loodlijn G"g korter is dan de overige loodlijnen, ligt het hoekpunt G het dichtst bij het vlak V; de in G, samenkomende projectiën der ribben zullen derhalve onzichtbaar zijn. Nemen wij verder in het nieuwe horizontale vlak eene willekeurige as C^X, aan, en zetten wij op lijnen, uit A,', B/, enz. rechthoekig door die nieuwe as getrokken, stukken boven die as uit, die gelijk zijn aan de loodlijnen A"a, B"b, enz., dan verkrijgen wij ook de nieuwe verticale projectie A,"B,"C1"D1"E1"F1"G1"H1' van den kubus. Daar hier het punt B het dichtst bij het nieuwe verticale vlak ligt, zullen blijkbaar de in B," samenkomende projectiën dei- ribben onzichtbaar wezen. In de figuur komen dan nu vier projectiën van den kubus voor en voor elk van deze heeft de kubus een verschillenden stand ten opzichte van het projectievlak. Door de willekeurige richting die men aan V,V, en door de willekeurige grootte die men aan den hoek 0VV2 geven kan, is men in de gelegenheid aan het nieuwe projectievlak V een bepaalden stand met betrekking tot den kubus te geven , d. i. den kubus in een bepaalden stand ten opzichte van het nieuwe projectievlak te plaatsen. § 123. Indien V,V, en OX evenwijdig aan de diagonalen van het vierkant A'B'C'D' genomen waren, zouden de projectiën B"F" en D"11" elkander bedekken; indien dan verder VV2 rechthoekig op A"G" genomen was, zou de diagonaal AG loodrecht op het vlak V zijn (§ 75). In dit geval zullen blijkbaar de punten A,' en G,' m elkander vallen, terwijl de in G/ samenkomende projectiën van ribben in de verlengden zullen vallen van die, welke in A, samenkomen, voorts zullen dan ook G,'G, G/F,' en G/Il/ onderling even lang worden, omdat zij de projectiën zijn van gelijke ribben, die met de genoemde diagonaal, en dus ook met het projectievlak, gelijke hoeken maken. Hieruit volgt dus dat de projectie van een kubus, welks diagonaal loodrecht op het projectievlak is, een regelmatigen zeshoek zal vertoonen, uit welks middelpunt stralen naar de hoekpunten getrokken zijn. In zulk eene projectie zijn C,\ F/ en H.' dan de projectiën van punten die even hoog boven het projectievlak liggen, zoodat eene lijn die twee van deze punten verbindt, b. v. C/II/, niet alleen de projectie maar ook de werkelijke lengte is van de lijn CH, zijnde de diagonaal van een zijvlak van den kubus. Uit de lengte van C.'H.' kan men nu omgekeerd de ribbe van den kubus terugvinden. § 124. Werkstuk. De projectiën le bepalen van de regelmatiqe veelvlakhge lichamen. ült de Stereometrie is ons bekend dat een veelvlakkig lichaam ot veelvlak regelmatig genoemd wordt wanneer zijn oppervlak bestaat uit regelmatige gelijk en gelijkvormige veelhoeken, waarvan er in elk hoekpunt een gelijk aantal samenkomen; verder weten wij dat in zulk een lichaam de drie- of veelvlakkenhoeken in elk hoekpunt ge ijk en gelijkvormig en dus ook de standhoeken op alle ribben gelijk zijn. Tevens leert ons de Stereometrie dat er slechts vijf regelmatige veel vlak ken bestaan en wel: 1°. het regelmatig viervlak (letraeder) begrensd door vier gelijkzijdige driehoeken, waarvan er in elk hoekpunt telkens drie samenkomen ; 2. het regelmatig achtvlak (octaeder) begrensd door acht gelijkzijdige driehoeken, waarvan er in elk hoekpunt telkens vier samenKomen j 3°. het regelmatig twintigvlak (icosaeder) begrensd door twintig gelijkzijdige driehoeken, waarvan er in elk hoekpunt telkens vijf samenkomen; J' 4°. het regelmatig zesvlah (hexaeder of kubus) begrensd door zes vierkanten, waarvan er in elk hoekpunt drie samenkomen; 5 het regelmatig twaalfvlak (dodecaeder) begrensd door twaalf regelmatige vijl hoeken, waarvan er in elk hoekpunt drie samenkomen. Behalve van den kubus, waarvan de projectiën reeds vroeger zijn geconstrueerd, zullen wij thans de projectiën bepalen, op twee onderling loodrechte vlakken, van de overige regelmatige veelvlakken en daarbij onderstellen dat de ribbe van elk lichaam in len-te gegeven is. g 125. Het regelmatig viervlak. Aangezien liet lichaam eene driezijdige pyramide is, waarvan de ribben bekend zijn, kunnen wij de projectiën construeeren zooals in $ 119, Fig. 101 is aangewezen. Daar de ribben gelijk zijn kan men echter de projectiën van den top T (Fig. 103) eenvoudiger bepalen. De horizontale projectie van T is het middelpunt van den driehoek A'B'C', terwijl de hoogte van den top boven het grondvlak gevonden wordt uit den rechthoekigen driehoek A'TT', die rechthoekig is in T en AT = AG = AB = BG tot hvpothenusa heeft. g 126. Het regelmatig achtvlak. Wij zullen onderstellen dat dit lichaam met eene lichaamsdiagonaal ST (Fig. 104) in het punt S loodrecht op het horizontale vlak staat. De vier andere hoekpunten A, B, C en D van het lichaam zijn dan de hoekpunten van een vierkant, dat evenwijdig is aan het horizontale vlak en welks horizontale projectie A'B'C'D' dus onmiddellijk kan geconstrueerd worden. Trekken wij hierin de diagonalen die elkander in T'(S) snijden, dan is de horizontale projectie van den octaeder verkregen. Het punt S ligt, volgens de onderstelling, in het horizontale vlak, het punt T op een afstand gelijk aan de lichaamsdiagonaal, dus op een afstand A'C', en de overige punten op de helft van dien afstand boven het horizontale vlak. Hierdoor wordt dus de verticale projectie van het achtvlak gemakkelijk gevonden. g 127. Het regelmatig twintigvlak. Wij zullen de projectiën van het twintigvlak construeeren, wanneer het met het hoekpunt I' (Fig. 105) in het horizontale vlak ligt en de lichaamsdiagonaal TF loodrecht staat op dit vlak. De vijf zijvlakken, die in het hoekpunt T van het lichaam samenkomen, zijn te beschouwen als het zijdelingsch oppervlak van eene regelmatige vijfzijdige pyramide waarvan alle ribben even lang zijn. In het tegenoverliggende hoekpunt F wordt eene dergelijke pyramide gevormd. Snijdt men de beide pyramiden van het lichaam af, dan houdt men een lichaam over waarvan het zijdelingsch oppervlak gevormd wordt door tien gelijkzijdige driehoeken. Aangezien de grondvlakken GHKLM en ABCDE der genoemde pyramiden horizontaal liggende gelijke regelmatige vijfhoeken zijn, en wel zoodanig gelegen dat de over elkander liggende ribben evenwijdig zijn, zoo kunnen wij de projectiën van deze pyramiden gemakkelijk bepalen, indien slechts de afstand hunner grondvlakken bekend is. In Fig. 105 is de horizontale projectie verkregen door het construeeren van een cirkel met een daarin beschreven regelmatigen tienhoek. Door de hoekpunten om den anderen te verkriJ8en wij de horizontale projectiën G'H'K'L'M' en A B'C'D'E' der beide grondvlakken, terwijl het middelpunt F' de horizontale projectie voorstelt van de beide hoekpunten T en F. Door op de horizontale projectie van een der opstaande ribben, b.v. op F'C', een rechthoekigen driehoek te construeeren met CF, gelijk aan de ribbe, tot hypothenusa, verkrijgen wij de hoogte van elke pyramide. Ten einde nu nog den afstand van de beide grondvlakken te vinden, merken wij op dat de lijnen B'G', G'A', enz. de horizontale projectien zijn van de ribben BG, GA, enz. van het lichaam. Construeeren wij dus op B'G' een rechthoekigen driehoek BB'G', met de ijn BG gelijk aan de gegevene ribbe tot hypothenusa, dan stelt BB' het verschil in hoogte voor van de beide punten B en G boven het horizontale vlak. Met behulp van de gevonden hoogten der pyramiden en den aistand van de beide grondvlakken is nu de verticale projectie van het twintigvlak gemakkelijk te teekenen. § 128. Het regelmatig twaalf vlak. Om de projectiën van dit lichaam (Fig. 106) te bepalen, wanneer het met een zijner zijvlakken op het horizontale vlak ligt, zullen wij beginnen met het aangeven der projectiën van de benedenste helft van het oppervlak, gevormd door den regelmatigen vijfhoek ABCDE en de vijf zijvlakken die S,lulte"' Teekenen wij daartoe den regelmatigen vijfhoek A'RTMF CV£r!re °fvolgende ziJden de regelmatige vijfhoeken ABGMF en AELQF,, dan zijn deze laatste vijfhoeken de neerge- s agen zijvlakken die met de ribben AB en AE aan het grondvlak sluiten, zoodat in A' de ontwikkelde drievlakkenhoek verkregen is die in het hoekpunt A van het lichaam gevormd wordt. De horizontale projectie A'F' van de ribbe AF van het lichaam kan derhalve bepaald worden door toepassing van § 108. Uit de gelijkheid van de beide zijden van den drievlakkenhoek (hoek FA'B' == hoek F A'E') 4 dfit A F,' df h°ek B A E' "iddendoordeelt, en daar de straal AL zulks ook doet, zoo zal F' in eene rechte lijn liggen met de punten A en 0. Beschrijven wij uit O rnet OF' als straal een cirkel, zoo vinden wij hierop in de verlengden der stralen OB', 0C' 0D' en OE' de horizontale projectiën der punten G, II, K en L, die even hoog bóven net horizontale vlak liggen als het punt F. Die hoogte FF' = h wordt, zooals in §108 is geleerd, gevonden uit den neergeslagen rechthoekigen driehoek ƒ F'F. Beschouwen wij dien driehoek als een neergeslagen standvlak, dan zal de vijfhoek ABGMF na de oprichting zich daarop langs de lijn f F projecteeren en dus, f M =mM nemende, M'" de projectie van M op dit standvlak zijn, waaruit dan door M"'M' loodrecht door f F te trekken, de horizontale projectie M' en tevens de hoogte M'"p = II boven het horizontale vlak gevonden worden. Het punt M' zal moeten gelegen zijn op den cirkel, die uit 0 met OF' als straal beschreven is; immers, hadden wij eveneens de horizontale projectiën van de punten N, 0, P en Q geconstrueerd, zoo zou b.v. M'N' de projectie zijn van een diagonaal van een zijvlak, op de bovenste helft van het lichaam gelegen, die zich in ware grootte projecteert, omdat zij horizontaal is. Dit is echter eveneens het geval met de diagonaal FG die op de onderste helft van het lichaam ligt en even lang is als MN; F'G'H'K'L' en M'N'O'P'Q' zijn derhalve gelijk en gelijkvormige regelmatige vijfhoeken, die in denzelfden cirkel beschreven zijn, want uit de constructie van M' bleek reeds dat 0 het middelpunt van den vijfhoek M'N'O'P'Q' moet zijn. Door behoorlijke verbinding der hoekpunten is nu de horizontale projectie A'B'C'D'E'L'Q'F'M'G'N'H'O'K'P' van de benedenste helft van het oppervlak gevonden, waarvan tevens de verticale projectie kan bepaald worden, omdat de hoogten der verschillende hoekpunten boven het horizontale vlak bekend zijn. Merken wij verder op dat de bovenste helft van liet oppervlak gelijk en gelijkvormig is met de onderste en daarop zoodanig moet geplaatst worden, dat de uitstekende hoekpunten van de eene helft sluiten in de inspringende van de andere helft, dan zullen ook de projectiën van die bovenste helft gemakkelijk worden geteekend. De projectiën toch van de hoekpunten van het bovenvlak RSTWV ontbreken slechts. De horizontale projectie van het bovenvlak is een regelmatige vijfhoek, welks zijden evenwijdig zijn aan de overstaande zijden van het benedenvlak, terwijl het vlak op den afstand II + h van het benedenvlak is verwijderd. § 129. Werkstuk. De doorsnede te construeeren van eene gegevene pyramide, die met haar grondvlak op het horizontale vlak staat, met een vlak loodrecht op het verticale projectievlak. Om b. v. de doorsnede te construeeren van de driezijdige pyramide TABC (Fig. 101) met het vlak V, dat loodrecht op het verticale projectievlak staat, bepalen wij volgens § 65 Fig, 56 de snijpunten a, b en c van de opstaande ribben met het vlak V. Door de punten a, b en c te verbinden, vinden wij de horizontale projectie der doorsnede. Slaat men het vlak V op de bekende wijze om VVj op het verticale vlak neer, dan vindt men iii anbncn de ware gedaante der doorsnede. § 130. Werkstuk. De doorsnede te construeeren van eene gegevene pyramide, die met haar grondvlak op het horizontale vlak staat, met een vlak dat een schuinen stand heeft ten opzichte van de beide projectievlakken. Dit werkstuk wordt gemakkelijk teruggebracht tot dat van de voorgaande paragraaf, wanneer men een vlak dat loodrecht staat op den horizontalen doorgang van het gegeven vlak als nieuw verticaal projectievlak aanneemt. Zij b.v. TAB CD (Fig. 107) eene vierzijdige pyramide en V het vlak van doorsnede, dan neemt men eene lijn 0'X'loodrecht op VV tot nieuwe as van projectie aan en construeert, door middel van een punt E van den verticalen doorgang, den doorgang vV, van het vlak V met het nieuwe verticale vlak. Bepaalt men verder de nieuwe verticale projectie T"'A"'B'"C"'D"' van de pyramide, zoo is het werkstuk, ten opzichte van het horizontale en van het nieuwe verticale vlak, hetzelfde als in de voorgaande paragraaf werd behandeld Uit de snijpunten a"\ V", c'" en d'" vinden wij de horizontale projectie a'b'c'd' en door het trekken van loodlijnen uit a' b' c' en d' op de as, totdat zij de projectiën T"A", T"B", T"C" en T"D" der ribben snijden, de verticale projectie a"b"c"d" der doorsnede. Om de ware gedaante anbncjn van de doorsnede te vinden, slaat men het vlak V om VV, op het horizontale vlak neer, waarbij het aangenomen nieuwe verticale vlak als algemeen stand vlak kan gebezigd worden. § 131. Werkstuk. Een scheef prisma, dat met zijn grondvlak op hel horizontale vlak rust, te snijden door een vlak loodrecht op de opstaande ribben; het zjdelingsch oppervlak van het prisma te ontwikkelen en de kortste lijn te trekken die, over het oppervlak loopende twee punten verbindt, welke op twee verschillende zijvlakken zijn aangenomen. Zijn ABCDEF (Fig. 108) het gegeven prisma en V het gegeven vlak, dan construeeren wij de doorsnede door weder een vlak loodrecht op VV,, dus hier evenwijdig aan de opstaande ribben van het prisma, aan te nemen als nieuw verticaal vlak en daarop de projectie A"'B"'C"'D"'E"'F"' van het prisma en den doorgang vV3 aan te geven. Op overeenkomstige wijze als in het voorgaande werkstuk zijn de projectiën a'b'c' en a"b"c" en, door het neerslaan van het vlak V, de ware gedaante anbnc„ der doorsnede bepaald. Alvorens het zijdelingsch oppervlak van het prisma te ontwikkelen, merken wij op dat die ontwikkeling zeer eenvoudig plaats heeft indien het prisma, zooals in Fig. 109 is aangegeven, een afgeknot recht prisma is. Elk zijner zijvlakken is in dit geval een rechthoekig trapezium, waarvan de hoogte gelijk is aan een der ribben van het grondvlak, en welks evenwijdige zijden in ware grootte op het verticale vlak staan afgeteekend. Door dus de ribben van het grondvlak naast elkander op eene rechte lijn af te zetten, in de deelpunten loodlijnen op te richten gelijk aan de opstaande ribben van het prisma en de uiteinden dier loodlijnen te vereenigen, verkrijgt men het ontwikkeld zijdelingsch oppervlak van het prisma. Tot dit eenvoudige geval nu is de ontwikkeling van elk prisma terug te brengen, als men het slechts snijdt door een vlak loodrecht op de opstaande ribben. Neemt men toch dit vlak als nieuw horizontaal vlak aan, dan liggen ter weerszijden van dit vlak de beide deelen waarin het prisma verdeeld is, zijnde twee afgeknotte rechte prisma's die ontwikkeld kunnen worden op de wijze als zooeven is aangewezen. In Fig. 108 is V het vlak loodrecht op de ribben van het prisma; nemen wij dus dit vlak als nieuw horizontaal vlak aan, zoo is anbncn de nieuwe horizontale projectie. De ribben van het prisma staan in die punten on, bn en e„ loodrecht op dit vlak en wel zoodanig dat de hoekpunten van het grondvlak ABC boven en die van het bovenvlak DEF beneden dit vlak liggen. De lengten der opstaande ribben van de beide deelen, waarin het prisma verdeeld is, zijn bekend omdat zij in ware grootte staan afgeteekend op het standvlak, dat hier evenwijdig is aan de opstaande ribben van het prisma. Zetten wij dus (Fig. 110) de zijden van den driehoek anbncn naast elkander op eene rechte lijn af, richten wij in de deelpunten loodlijnen op en maken wij deze gelijk aan de ribben die in die pnnten het horizontale vlak snijden, dan verkrijgen wij, na verbinding van de uiteinden, het ontwikkeld zijdelingsch oppervlak. De lezer zal de constructie gemakkelijk kunnen volgen; zoo b. v. zijn A„B en b„E van Fig. 110 respectievelijk gelijk aan b'"B'" en b'"E'" van Fig. 108, enz. Aangezien grond- en bovenvlak van het gegeven prisma even- wijdig zijn aan liet horizontale vlak, projecteeren zij zich in ware gedaante op dit vlak. Wij moeten dus, als de constructie juist is uitgevoerd, b. v. AB in Fig. 110 gelijk vinden aan A'B' in Fig. 108, enz. waardoor dus eene controle op de constructie verkregen wordt. Deze opmerking is ook van belang voor het bepalen van de plaats op het ontwikkeld oppervlak van eenig punt, dat men op het oppervlak van het lichaam heeft aangenomen. Is P' de horizontale projectie van een punt, dat op het zijvlak ABED is gelegen, dan vinden wij de verticale projectie, door uit P', evenwijdig aan de horizontale projectie der opstaande ribbe, eene lijn te trekken die het grondvlak van het prisma in p' snijdt, daarna uit de verticale projectie p" van dit punt eene lijn evenwijdig aan de verticale projectie der ribbe te trekkeii en hierop het punt P" verticaal boven P te bepalen. Door de lijn pP ook op het nieuwe verticale vlak te projecteeren, vinden wij p"'P"' als de ware lengte der lijn. Om nu het punt P op het ontwikkeld oppervlak te bepalen, zetten wij A'p' (Fig. 108) van af A (Fig. 110) op AB uit en trekken door p eene lijn pP=/"P'" evenwijdig aan AD. Is op dezelfde wijze een tweede punt Q aangenomen en in de ontwikkelde figuur verkregen, zoo zal de rechte lijn PQ de kortste verbindingslijn zijn van deze punten, over het zijdelingsch oppervlak van het prisma gaande. Ten einde verder de projectiën van die verbindingslijn te vinden, behoeft men slechts de projectiën S' en S" te bepalen van het punt S op de ribbe AD, en wel door de omgekeerde constructie toe te passen als voor het punt P is aangegeven. 1' S Q en P S Q zijn dan de projectiën van den kortsten weg tusschen P en Q over het oppervlak. Wij zijn hier van P naar Q gegaan over de ribbe AD; de vraag zou kunnen rijzen of de weg van P naar Q over de ribben BE en CF niet nog korter zou zijn. Wij kunnen dit alleen beslissen in het ontwikkeld oppervlak. Plaatst men daartoe de zijvlakken van het prisma zoodanig naast elkander, dat het zyvlak BEtC gelegen is tusschen de zijvlakken ABED en ACFD, en dus de ribben BE en CF tusschen de punten P en Q — zooals in Fig. 110 is voorgesteld — zoo moet onderzocht worden of de in de figuur gelrokken lijn PQ al dan niet korter is dan de gestippelde lijn PQ. Ware dit laatste het geval, dan zou men de projectiën der punten T en R met die der punten P en Q moeten verbinden om den kortsten weg over het oppervlak in projectie te verkrijgen, § 132. Werkstuk. Eene vierzijdige pyrarnide, die met haar grondvlak op het horizontale vlak slaat, wordt gesneden door een horizontaal vlak. Het bovenste afgesneden stuk wordt daarna gewenteld om een van de ribben van doorsnede, als scharnier, lot de top in een gegeven vlak ligt. Men vraagt de projectiën van de afgeknotte pyrarnide en van het afgesneden stuk in dezen stand. Zij TABCD (Fig. 111) de gegevene pyrarnide en H,Hj het horizontale snijvlak en dus abcd de doorsnede, dan moeten hier de lijnen a'b', b'c', enz. evenwijdig aan A'B', B'C', enz. gevonden worden, omdat het snijdend vlak evenwijdig aan het grondvlak is. Zij verder ad de ribbe der doorsnede waarom het bovenste deel der pyrarnide moet wentelen, en V het vlak waarin de top na de wenteling moet komen. Daar T zich bij de wenteling beweegt in een vlak loodrecht op ad en in het vlak V moet komen, zal T na de wenteling moeten gelegen zijn in de doorsnede der beide vlakken. De lijn T'T„', uit T' loodrecht op a'd' getrokken, is de horizontale doorgang van het eerste vlak, en dus haar snijpunt S' met VV, een punt van de doorsnede, waarvan verder — daar S'T' de as niet binnen de grenzen der teekening snijdt — de richting geconstrueerd is, door de doorsnede MN te bepalen van het vlak V met een hulpvlak W evenwijdig aan het eerste vlak. Slaan wij het horizontaal-projecteerend vlak dezer doorsnede MN neer op het horizontale vlak, zoo is NM'N' de hoek dien MN — en dus ook de verlangde doorsnede, door S' gaande — met het horizontale vlak maakt. Om nu de plaats te bepalen van het punt T, na de wenteling — en tevens om de horizontale projectie van het lichaam niet met constructielijnen te overladen en daardoor onduidelijk te maken — projecteeren wij de pyrarnide en de zooeven genoemde doorsnede op een standvlak, dat loodrecht op de draaiingsas is aangebracht. Die as ad projecteert zich op dit vlak in het enkele punt a'" i terwijl de projectie der doorsnede op dit vlak gevonden wordt door uit S'" eene lijn S'"T„'" evenwijdig aan NM' te trekken. Op dit nieuwe verticale vlak projecteert zich de weg, dien het punt T bij de wenteling doorloopt, in ware gedaante. Beschrijven wij derhalve uit a'" met a"'V" als straal een cirkelboog totdat deze de projectie der doorsnede in T„"' ontmoet, zoo is T„"' de projectie van het punt T, wanneer het in de doorsnede, dus in het vlak V, is aangekomen, terwijl T„'"a'"T"" den hoek aanwijst, welken het punt T en dus alle punten van het wentelende lichaam doorloopen. Hierdoor zal men gemakkelijk de plaats der punten b'" en c"' na de wenteling kunnen aangeven, indien men slechts hoek c"'a"'cn"' gelijk maakt aan hoek T"V"T„"' en de punten b'" en c'" op het been a"'cn"' overbrengt door middel van cirkelbogen uit a'" beschreven. Het punt d"', als projectie van het punt d op de draaiingsas, blijft op zijne plaats. Tn"'a"'bn"'cn"'d"' is nu de projectie op het standvlak van het afgesneden deel der pyramide in den nieuwen stand, waaruit wij de projcctiën op de oorspronkelijke projectievlakken op de bekende wijze kunnen vinden. § 133. Werkstuk. Een gegeven driezijdig prisma, dat op het horizontale vlak staat, ivordt om een der ribben van zijn grondvlak gewenteld, totdat een zijner opstaande zijvlakken tegen den top van eene gegevene pyramide rust. Men vraagt de projectiën van het prisma in dezen stand. In Fig. 112 is (T', T") de top van de gegevene pyramide— die, om de figuur niet noodeloos onduidelijk te maken, niet verder is aangegeven — en ABCDEF het gegeven prisma, dat wentelen moet om de ribbe AB van het grondvlak. Ten einde den hoek a te construeeren, dien elk punt van het prisma moet doorloopen om dit met een zijner zijvlakken te doen rusten tegen T, bepalen wij het punt P op het oppervlak van het prisma, dat na de wenteling in T komt. Hiertoe merken wij op dat het punt P een cirkelboog PT beschrijft, die gelegen is in een vlak loodrecht op de draaiingsas, dus in het vlak ¥ door T loodrecht op AB gebracht. Daar verder P ook moet liggen op het zijvlak ADFC — zooals hierna duidelijk zal blijken — zoo zal dit punt moeten gevonden worden in de doorsnede van dit zijvlak met het vlak V. Het punt S' is, als snijpunt der horizontale doorgangen van beide vlakken, een punt der doorsnede, terwijl verder de snijpunten Q' en L' van VV, met de horizontale projectiën A'D' en D'F' tevens de horizontale projectiën van punten der doorsnede opleveren, welker verticale projectiën in A"D" en D"F" gevonden worden. Al viel dus S' buiten de grenzen der teekening, zoo kon toch de doorsnede gemakkelijk bepaald worden. Projecteeren wij nu, op de bekende wijze, het prisma, den top der pyramide en de doorsnede LS op een standvlak 0,X, loodrecht op de draaiingsas A'B', dus evenwijdig aan V, dan is T"'A"' de straal van den cirkelboog dien P doorloopen moet om in T te komen, terwijl T"'A"'P"' = « den hoek van wenteling aangeeft. Met behulp van dezen hoek « is de projectie op het standvlak A"'B"'C„"'Dn"'En"'Fn"' van het prisma, na de wenteling, gemakkelijk te construeeren, en zijn hieruit de horizontale en verticale projectiën van het prisma in den nieuwen stand verder op de bekende wijze af te leiden. Dat P op het zijvlak ADFC moet liggen en niet op het zijvlak ABED, dat daarvoor ook in aanmerking zou kunnen komen, is op het standvlak vooraf te zien. Immers was ABED het zijvlak dat bij de wenteling op T kwam, zoo zou men de projectiën der doorsnede van het vlak V met dit zijvlak moeten bepalen. De horizontale projectie van deze doorsnede is R'Q', terwijl de projectie op het standvlak langs A'"Q'" valt. Beschrijven wij nu uit A'" den cirkelboog met A'"ï"' als straal, zoo snijdt deze het verlengde van A'"Q'" in N'" en zelfs eerder dan de lijn S"'L"'. Daar het punt N, bepaald door zijne projectiën N'" en N', op het verlengde der doorsnede (R'Q', A'"Q"') valt, dus buiten het zijvlak ABED ligt, zal bij wenteling van het lichaam tot N in T komt, ook het punt T buiten de grenzen van het zijvlak moeten liggen, zoodat er bij dezen stand van het lichaam geen sprake kan zijn van steunen in T. Het lichaam moet dus verder worden gewenteld tot het zijvlak ADFC door T gaat. Viel T ook buiten de grenzen van dit zijvlak, zoo zou het werkstuk onmogelijk zijn. § 134. Werkstuk. Op het horizontale vlak ligt een parallelopipedum en daarnaast staat eene driezijdige pyramide, die gewenteld wordt om eene lijn in het horizontale vlak, gaande door het hoekpunt dat het dichtst bij het parallelopipedum gelegen is, totdat de opslaande ribbe, die door dit hoekpunt gaat, rust tegen een der ribben van het eerste lichaam. Bepaal de projectiën der lichamen na de wenteling. Zij DEFG (Fig. 113) het bovenvlak van het parallelopipedum en PQ de lijn in het horizontale vlak gaande door A', waarom de pyramide (T'A'B'C', T"A"B"C") moet wentelen totdat de ribbe AT rust tegen de ribbe DE van het parallelopipedum. Elk punt der pyramide, en dus ook T, beschrijft een cirkelboog in een vlak loodrecht op de draaiingsas. De lijn H,H,, door T' loodrecht op PQ getrokken, is derhalve de horizontale doorgang van het vlak waarin T zich beweegt. De ribbe AT der pyramide moet na de wenteling rusten tegen DE, derhalve moet AT en dus ook T liggen in het vlak V door DE en A' gebracht. Daar DE horizontaal is, zal de horizontale doorgang VjV, van dit vlak eene lijn zijn door A' evenwijdig aan D'E' getrokken. Na de wenteling zal het punt T liggen op de doorsnede van de beide vlakken H en V. Het snijpunt L' der horizontale doorgangen is een punt van die doorsnede, terwijl het snijpunt van de ribbe DE met liet vlak H ons onmiddellijk een tweede punt aangeeft. M' is de horizontale projectie van dit tweede punt der doorsnede, waarvan de verticale projectie op D"E" kan worden aangegeven. Projecteeren wij nu weder de pyramide en de doorsnede LM op een standvlak, loodrecht op de draaiingsas PQ, en beschrijven wij op dit standvlak uit A'" een cirkelboog, met A"'T"' tot straal tot hij de projectie L"'M"' in T„"' ontmoet, zoo is T„'" de projectie op T»/A^Tn»ylak T den f0p der pyramide na de wenteling, terwijl 1 a ln =« den hoek van wenteling aangeeft. Op overeenkomstige wijze als bij de voorgaande werkstukken vindt men nu de projectiën op het standvlak en daaruit die op dé oorspronkelijke projectievlakken, van de pyramide na de wenteling. Als controle op de juiste uitvoering der constructie zal het snijpunt b van A T„ met D"E" gevonden moeten worden in eene loodlijn op de as met het snijpunt S' van AT1' en D'E'. B. Doorsneden der oppervlakken van twee veel- vlakkigf, lichamen. § 13o. Door de doorsnede der oppervlakken van twee veelvlakkige lichamen verstaat men de gebroken lijn of lijnen, die gelijktijd!» op de oppervlakken van beide lichamen kunnen getrokken worden° He doorsneden zijn in het algemeen scheeve veelhoeken, d. w. z. veelhoeken waarvan de hoekpunten niet alle in één plat vlak liggen. Indien alle ribben van het eene lichaam het oppervlak van het andere in twee punten snijden, dus een punt van ingang en een punt van uitgang op dit lichaam hebben, vormen de vereeniging van de punten van ingang, zoowel als die van uitgang, afzonderlijke veelhoeken, veelhoek van ingang en veelhoek van uitgang genaamd. Men zegt in dit geval dat het eerste lichaam het tweede doorboort. Snijden sommige ribben van het eene lichaam het oppervlak van het andere in twee punten, en liggen de overige ribben geheel buiten dit andere lichaam, dan bestaat de doorsnede uit slechts een veelhoek. Men spreekt dan van eenvoudige snijding der oppervlakken. Snijden alle ribben van het eene lichaam het oppervlak van het andere in twee punten, op ééne ribbe na, die slechts één snijpunt met het tweede lichaam gemeen heeft en dus eene ribbe van het lichaam snijdt, dan hebben de veelhoeken van in- en van uitgang dat ééne snijpunt der ribben gemeen. Dit geval vormt dus den overgang tusschen doorboring en eenvoudige snijding Bij deze beschouwing is alleen gedacht aan lichamen zonder inspringende tweevlakkenhoeken. De gevallen waarin een der lichamen of wel beide lichamen inspringende tweevlakkenhoeken hebben zullen wij buiten beschouwing laten. § 136. Om de doorsnede der oppervlakken van twee veelvlakkige lichamen te bepalen, moeten wij vooreerst punten van de bovengenoemde veelhoeken of veelhoek construeeren en deze daarna op behoorlijke wijze vereenigen. Deze laatste bewerking, schijnbaar zoo eenvoudig, vereischt echter in werkelijkheid groote oplettendheid. Met het oog hierop vooral is het van veel belang, bij constructiën van doorsneden altijd vooraf na te gaan, of men eene doorboring, eene eenvoudige snijding of een overgang tusschen deze beide zal verkrijgen. Tot het construeeren van punten der doorsnede maakt men meestal gebruik van hulpvlakken, die de beide oppervlakken snijden. De punten waarin de doorsneden van zulk een hulpvlak met de beide oppervlakken elkander snijden, zijn dan punten gemeen aan beide oppervlakken en dus punten der gevraagde doorsnede. De hulpvlakken kiest men in elk bijzonder geval zoo eenvoudig mogelijk. Zoo zal men bij het bepalen der doorsnede van twee pyramiden (Fig. 117) alle hulpvlakken doen gaan door de lijn TSP, die de toppen der pyramiden verbindt — alle horizontale doorgangen gaan dus door het punt P' — om daardoor het voordeel te verkrijgen, dat elke pyramide steeds gesneden wordt volgens lijnen, die dooiden top gaan. De snijpunten dezer in hetzelfde vlak gelegen lijnen zijn dan punten van de gevraagde doorsnede. In het algemeen snijdt zulk een hulpvlak elk der pyramiden volgens twee lijnen; deze vier lijnen geven dan telkens vier punten der doorsnede. Bij de doorsnede van eene pyramide met een prisma (Fig. 120) brengt inen hulpvlakken aan die door den top van de pyramide gaan en evenwijdig zijn aan de opstaande ribben van het prisma. De horizontale doorgang van elk hulpvlak moet dan gaan door het snijpunt P, met het horizontale vlak, van de lijn TP, door den top 1 evenwijdig aan de opstaande ribbe van het prisma getrokken. De pyramide wordt door een zoodanig vlak gesneden volgens twee lijnen die door den top gaan, en het prisma volgens twee lijnen evenwijdig aan de opstaande ribben. In het algemeen vindt men op deze wijze weder telkens vier punten der doorsnede. Moet men de doorsnede bepalen van twee prisma's (Fig. 121), dan brengt men hulpvlakken aan, die evenwijdig zijn aan de opslaande ribben van de beide prisma's en dus de oppervlakken snijden volgens daaraan evenwijdige lijnen. Ook hier vindt men derhalve in het algemeen telkens vier punten der doorsnede. Van de hulpvlakken, die evenwijdig zijn, heeft men in dit geval slechts de horizontale doorgangen noodig. Zoo b. v. is (Fig. 121) eerst de horizontale doorgang V,V, geconstrueerd van een vfak dat evenwijdig is aan de opstaande ribben der aldaar voorgestelde prisma's. De horizontale doorgangen der hulpvlakken J, II en III zijn dan verder evenwijdig aan VjV, te nemen. Deze methode vindt o. a. toepassing bij constructiën in de Versterkingskunst. Daar gebruikt men, b. v. om de doorsnede van twee borstweringen te vinden, horizontale hulpvlakken, omdat de ribben dei piismas hier de beide borstweringen — evenwijdig zijn aan het horizontale vlak. Dikwijls zal men ook punten der doorsnede van de oppervlakken van twee veelvlakkige lichamen moeten bepalen door toepassing van het geleerde in de paragrafen 65 en 66. Eigenlijk gebruikt men dan ook hier hulpvlakken en wel de projecteerende vlakken der ribben. Omtrent het vereenigen der gevonden punten van de doorsnede van twee oppervlakken geldt het volgende. Snijden twee opvolgende ribben AB en CD (Fig. 114) van het eene lichaam een zelfde zijvlak P van het andere, dan vormt de vereeniging dier snijpunten B en C de doorsnede van P met het vlak der ribben AB en CD. Snijden twee opvolgende ribben AB en CD (Fig. 115) van het eene lichaam twee naast elkander gelegen zijvlakkeu P en Q van het andere, dan zal de verbindingslijn der snijpunten B en C, niet op maar binnen het tweede lichaam liggen. In dit geval moet men dan ook de beide punten B en C verbinden met het snijpunt E van de ribbe — volgens welke de zijvlakken P en Q aan elkander sluiten — met het zijvlak der ribben AB en CD. Snijden twee opvolgende ribben AB en CD (Fig. 116) van bet eene lichaam twee niet naast elkander gelegen zijvlakken P en R van het andere, en is b. v. Q het zijvlak tusschen P en R, dan moeten de snijpunten B en C verbonden worden met de snijpunten E en F der ribben, tusschen P en Q en tusschen Q en R, met het vlak van AB en CD, terwijl ook nog E en F moeten vereenigd worden. Tot voorkoming van verwarring, vooral bij ingewikkelde teekeningen, verdient het in de praktijk aanbeveling de gevonden doorsnedepunten in een tafeltje te vereenigen. In de hoofden der verticale kolommen van zulk een tafeltje (zie § 140) plaatst men de namen of nummers van de zijvlakken van het eene lichaam terwijl men aan de ingangen der horizontale kolommen de namen of nummers van de zijvlakken van het andere lichaam stelt. Elk geconstrueerd punt der doorsnede geeft men nu aan in het vak dat gemeen is aan de beide kolommen die de namen dragen van de beide zijvlakken — van elk lichaam een — waarop het punt gelegen is. Is het geconstrueerde punt een snijpunt van eene ribbe van het eene lichaam met een zijvlak van het andere, zoo moet het tweemaal in het tafeltje worden opgenomen, omdat het op twee zijvlakken van het eerste lichaam ligt. Zoodra in een zelfde vak twee doorsnedepunten zijn geplaatst, is de doorsnede der bijbehoorende zijvlakken bepaald. Ten slotte merken wij nog op dat de zijden der doorsnede, welke gelegen zijn op onzichtbare zijvlakken van het eene of van het andere lichaam, onzichtbaar zullen zijn en dus moeten worden gestippeld. Evenzoo zullen die gedeelten van de ribben van elk der lichamen, welke binnen bet andere lichaam liggen of door dit lichaam bedekt worden, onzichtbaar zijn. §137. Men kan de doorsnede van twee veelvlakkige lichamen ook nog langs een anderen weg construeeren, die wel is waar meestal iets langwijliger is, doch aanleiding geeft tot bewerkingen welke voor eerstbeginnende!! gemakkelijker zijn uit te voeren, omdat men op die wijze de moeilijkheid ontloopt — waarop in de voorgaande paragraaf gewezen is — van het vereenigen der gevonden punten van doorsnede. Men begint dan met het construeeren van het snijpunt van een der ribben van het eene lichaam met een zijvlak van het andere (3 65 en § 66). Daarna bepaalt men de doorsnede van een der zijvlakken van bet eerste lichaam, die door genoemde ribbe gaan, met het zooeven genoemde zijvlak van het andere lichaam; deze doorsnede die door het eerst gevonden snijpunt gaat, wijst nu op de volgende ribbe van het lichaam een nieuw hoekpunt van den veelhoek van doorsnede aan. Op deze wijze is eene zijde van dien veelhoek verkregen, terwijl de tweede en alle volgende zijden verder op overeenkomstige wijze kunnen geconstrueerd worden. Tot nadere opheldering van al het hiervoren aangevoerde zullen de volgende werkstukken kunnen dienen. § 138. Werkstuk. De doorsnede te construeeren van de oppervlakken van een kubus en van eene driezijdige pyramide, beiden op het horizontale vlak geplaatst. In Fig. 118 stelt TABC de gegevene pyramide, DEFGHKLM de gegeven kubus voor. Trekt men door T eene lijn evenwijdig aan de opstaande ribben van den kubus, dus hier eene verticale lijn, an is T het punt waardoor de horizonlale doorgangen moeten gebracht worden van de hulpvlakken, welke in § 136 zijn bedoeld. Laat men die horizontale doorgangen achtereenvolgens gaan door de punten A', C', B' en G', dan zullen van de hulpvlakken, die ook allen door de lijn TT' gaan, de drie eerste hier niet anders zijn dan de honzontaal-projecteerende vlakken van de ribben der pyramide en het laatste een vlak dat gaat door de opstaande ribbe GM van den kubus, zoodat wij, tot het bepalen van punten der doorsnede, slechts op de gewone wijze de snijpunten te construeeren hebben van lijnen met vlakken. Zoo vinden wij onmiddellijk in de snijpunten 1,1 van A'T' met G'D' en D'E', de horizontale projectiën der S"1JP"" Te,n Va" de nbbe AT der Pyramide met de zijvlakken GDHM en DEIvll van den kubus, terwijl de verticale projectiën dezer punten gemakkelijk op A'1" kunnen aangegeven worden De ribbe CT snijdt het zijvlak GDHM in punt 2, de ribbe BT het zijvlak GFLM m punt 4. Bepaalden wij het. snijpunt van CT met het zijvlak DEKH dan zouden wij het punt (p', p") vinden boven den kubus, dus op he verlengde van het zijvlak DEKH, waaruit volgt, dat de ribbe CT P?,T„)0venvl®k van den kubus snijden moet. Het snijpunt 3 van L 1 me de verticale projectie H"K"L"M" van dit bovenvlak zal de verticale projectie van het tweede snijpunt van CT met den kubus zijn waarvan de horizontale projectie 3 gemakkelijk op CT'gevonden wordt. Op gelijke wijze is het snijpunt 4 van BT met het bovenvlak van den kubus geconstrueerd. Daar elk der drie ribben van de pyramide twee punten met het oppervlak van den kubus gemeen heeft, zal de pyramide den kubus 9 doorboren. Aangezien verder de ribbe A'B' van het grondvlak der pyramide, de ribben G'D' en G'F' van liet grondvlak van den kubus in 6 en 5 snijdt, zijn deze punten ook punten der doorsnede. Om verwarring te voorkomen is het wenschelijk nu reeds zooveel mogelijk de gevonden punten der doorsneden te verbinden. Daar AT en CT hetzelfde zijvlak GDHM van den kubus snijden, is de lijn 1, 2 op dit zijvlak de doorsnede van de vlakken ATC en GDHM. De verticale projectie dezer lijn is onzichtbaar, omdat zij gelegen is op zijvlakken van den kubus en van de pyramide die in verticale projectie onzichtbaar zijn. De ribben CT en BT der pyramide snijden de twee opvolgende zijvlakken GDHM en GFLM van den kubus in 2 en 4. Deze punten zullen dus niet onderling moeten verbonden worden, doch met het snijpunt van de verticale ribbe G van den kubus met het zijvlak BTC van de pyramide. Om dit snijpunt te vinden kunnen wij het zijvlak GFLM, waarin de ribbe G ligt, verlengen tot het de ribbe CT in (q', q") snijdt. De lijn van q naar het reeds bekende punt 4 op GFLM getrokken, is dan de doorsnede van het zijvlak CTB der pyramide met het zijvlak GFLM van den kubus, en derhalve is het punt 3, alwaar de lijn q, 4 de ribbe GM snijdt, het bedoelde snijpunt; verbinden wij nu 2 met 3 en 3 met 4, daarna nog 4 met 5, als doorsnede van de zijvlakken ATB en GFLM, en 6 met 1, als doorsnede van de zijvlakken ATB en GDHM, zoo is de gebroken lijn 1,2,3,4,5,6,1 de veelhoek van ingang van de pyramide in den kubus. In verticale projectie moeten, behalve 1, 2 ook nog de lijnen 2, 3 en 1, 6 als onzichtbaar worden aangegeven. De lijnen 3, 4 en 4, 5 zijn in verticale projectie zichtbaar te teekenen, omdat zij liggen op zijvlakken van pyramide en kubus, die in verticale projectie zichtbaar zijn. Van den veelhoek van uitgang construeerden wij reeds de punten 1, 3 en 4. Daar AT en CT respectievelijk het zijvlak DEKH en het bovenvlak van den kubus snijden, moeten de punten 1 en 3 verbonden worden met het nog onbekende snijpunt van de ribbe HK. met het vlak ATC. Evenzoo moeten de punten 1 en 4 verbonden worden met het nog te construeeren snijpunt 5 van HK met het vlak ATB. Aangezien 3, 2 de doorsnede is van het zijvlak ATC met het bovenvlak van den kubus, en dit bovenvlak evenwijdig is aan het horizontale vlak, zoo zullen wij het punt 2 gemakkelijk kunnen vinden door uit 3 de lijn 3, 2 evenwijdig aan C'A' te trekken (methode in § 137 bedoeld). Trekken wij evenzoo de lijn 4, 5 evenwijdig aan B'A', zoo vinden wij het nog ontbrekende punt 5 op de ribbe HK. De veelhoek van uitgang is nu 1, 2, 3, 4, 5, 1. In verticale projectie zijn de zijden 1, 2 en 1, 5 van dezen veelhoek onzichtbaar, omdat zij gelegen zijn op het'in verticale projectie onzichtbare zijvlak DEKH van den kubus. I 139. Ten einde den lezer eene nog duidelijker voorstelling te geven van de in projectiën aangewezen doorsnede, hebben wij in Fig. 11 SI het oppervlak van den kubus ontwikkeld op het horizontale vlak D'E'F'G', en in de ontwikkelde zijvlakken door arceeringen aangegeven de deelen, die men uit die vlakken zou moeten snijden, om, na den kubus weder samengesteld te hebben, de openingen daarin te verkrijgen noodig voor de plaatsing van de pyramide. De opening G', 5, 4, 3 op het neergeslagen zijvlak G'F'LM is verkregen door de afstanden G'3 en G'5 gelijk te nemen aan de lijnen G 3 en G'5 van Fig. 118; evenzoo maakten wij G7 gelijk aan G'4, en li gelijk aan den afstand van het punt 4 boven het horizontale vlak. Op gelijke wijze zijn de andere openingen geconstrueerd. § 140. Werkstuk. De doorsnede le conslrueeren van twee gegeven pyramiden. Zijn 1ABCD en SEFG (Fig. 117) de beide pyramiden, dan trekken wij dooi de toppen T en S de lijn TSP, die het horizontale vlak in I snijdt; de hulpvlakken I, II en III allen gaande door TP en respectievelijk gebracht door de punten E', G' en D', zullen P'E', P G en P D tot horizontale doorgangen hebben. Het vlak I snijdt de pyramide S volgens de ribbe SE en de pyramide T volgens de lijnen T« en Ti. De snijpunten 1 en 5 van SE met Ta en Té zijn punten der doorsnede. Evenzoo zijn de punten 2 en 4 op de ribbe SG geconstrueerd met behulp van het vlak II. Een hulpvlak door TP en F' zou de pyiamide 1 niet snijden, omdat de horizontale doorgang P'F' het grondvlak A B CD' niet snijdt. Van de drie ribben der pyramide S snijden dus de ribben SE en SG de pyramide T elk in twee punten, terwijl de ribbe SF geheel buiten de pyramide T ligt. Er is dus geen sprake van doorboring, de gegeven oppervlakken zullen elkander eenvoudig snijden. Aangezien de ribben SE en SG dezelfde zijvlakken TAD en TDC snijden, kunnen de zijden 1, 2 en 4, 5 van den veelhoek van dooi snede onmiddellijk getrokken worden. In horizontale projectie zijn deze lijnen zichtbaar, in verticale projectie onzichtbaar. Daar de punten 2 en 4 op verschillende zijvlakken liggen, moeten wij eerst het snijpunt van de ribbe TD met het vlak GSF construeeren. 13-2 Hiertoe is het hulpvlak III aangebracht; dit snijdt de pyramide T volgens de ribbe TD en de pyramide S volgens de lijnen Sc en Sd, en levert dus, als snijpunten dier lijnen, de punten 3 en 6 der doorsnede op. Bij 3 snijdt de ribbe TD het zijvlak GSF, bij 6 het zijvlak ESF. Tusschen 3 en 6 ligt derhalve de ribbe TD binnen de pyramide S. Verbinden wij nu 2 met 3, 3 met 4, 1 met 6 (als doorsnede van vlak ESF met vlak ATD) en 6 met 5 (als doorsnede van vlak ESF met vlak TDC), dan is 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1 de doorsnede der pyramiden. De verticale projectiën der doorsnedepunten zijn, omdat zij op de verticale projectiën der overeenkomstige ribben moeten gelegen zijn, onmiddellijk uit de horizontale projectiën te construeeren. In horizontale projectie zijn de zijden 1, 6 en 6, 5 onzichtbaar, omdat zij op het in horizontale projectie onzichtbare zijvlak ESF liggen. In verticale projectie zijn alleen de zijden 2, 3 en 3, 4 zichtbaar, omdat deze de eenige zijden van den veelhoek zijn, die liggen op zijvlakken van de beide pyramiden, die gelijktijdig in verticale projectie zichtbaar zijn. Hadden wij de gevonden doorsnedepunten in een tafeltje (zie \ 136) vereenigd, zoo zou zich dit aldus - AB BC CD DA l i EF 6, 5 6, 1 FG 3, 4 3, 2 GE 5, 4 1, 2 vertoonen; de namen der zijvlakken zijn hierin aangewezen door middel van hunne doorsneden met het horizontale vlak. Door de punten, die in elk vak voorkomen, twee aan twee te vereenigen wordt de doorsnede geconstrueerd. Aangezien wij vooraf wisten dat de ribben TA, TB en TC van de eene pyramide de andere pyramide niet snijden, hadden wij de kolommen AB en BC kunnen weglaten. Hoewel een dergelijk tafeltje in de praktijk zeer nuttig kan zijn moeten wij toch den lezer aanraden er bij de beoefening van dé Beschrijvende Meetkunde slechts een spaarzaam gebruik van te maken, omdat het voorstellingsvermogen er niet door ontwikkeld wordt. Wij zullen bij de volgende werkstukken dan ook geen verder gebruik van een tafeltje maken. Ten slotte willen wij nog, tot nadere opheldering van het aangevoerde in § 137, in het kort aanwijzen hoe wij ook op eene andere wijze de doorsnede zouden hebben kunnen bepalen. Wij construeeren aanvankelijk het snijpunt 1 van de ribbe ES met het zijvlak TAD op de wijze als in § 66 is aangegeven, en bepalen daarna het snijpunt K der horizontale doorgangen van de vlakken TAD en SGE. De lijn door K en 1 getrokken is dan de doorsnede dezer vlakken en bepaalt in 2 op de ribbe SG een punt gemeen aan TAD en SGF, terwijl het deel 1, 2 van de lijn K 1 eene zijde van den veelhoek van doorsnede doet kennen. Daar verder de horizontale doorgangen van de zijvlakken SGF en TAD elkander snijden in L, zal de lijn L2 op de ribbe TD het punt 3 aanwijzen als derde hoekpunt van de doorsnede. Om het punt 4 te vinden op de ribbe SG, bepalen wij het sniipunt M van G'F' en CD' en trekken wij vervolgens de lijn M3 Op deze wijze voortgaande, zouden wij de doorsnede, waarvan wij reeds het deel 1, 2, 3, 4 bepaalden, kunnen voltooien. Om de figuur met met lijnen te overladen laten wij zulks echter na. § 141. Werkstuk. De doorsnede te construeeren van eene gegevene pyiamiae met een gegeven prisma. Door den top T van de gegevene pyramide TABC (Fis; 120ï DFFrHKW1J' Tl? .ran, 06 °PStaande ribben van het Prisma DEFGHK, eene lijn TP, die het horizontale vlak in P' snijdt Een vlak gebracht door TP en het hoekpunt E' van het grondvlak , heL„pnsma' ,Zal dlt °PPervlak snijden volgens de ribbe EH — omdat EH evenwijdig aan TP is - en de pyramide volgens twee lijnen Ta en Tb. De snijpunten 1, 1 van HE met Ta en Tb zijn E"ATC™?', T' \ (? \ To) ""Jd' de riM* »E het zijvlak ATC bij 1 (op de lijn Té) gaat deze ribbe door het zijvlak ATB van de pyramide. Aangezien door het aanbrengen van de hulp vlakken II en III DG "enfkudten "ü F' gaa"de' Seina^ehjk blijkt dat de ribben DG en FK eveneens de pyramide in twee punten snijden, zoo zal het prisma de pyramide doorboren. Het vlak II geeft de punten 3 en 5 op GD /het vlak III de punten 2 en 3 op KF. Daar de ribben GD en KF twee opvolgende zijvlakken ATC en CTB der pyramide snijden, moeten de punten 3 en 5, op die zijvlakken gelegen, verbonden worden met het snijpunt 4 van de ribbe CT met het zijvlak FKGD van het prisma. Om dit punt 4 te construeeren, is het hulpvlak IV door het punt C' aangebracht; de pyramide wordt dan gesneden volgens de ribbe CT en het prisma volgens twee lijnen, die evenwijdig zijn aan de opstaande ribben van het prisma. Wij vinden op deze wijze het punt 4 en tevens, op het zijvlak EHKF, het punt 2 dat met 1 en 3 moet verbonden worden, 'l, 2, 3, 4, 5, 1 is nu de doorsnede van het prisma met de zijvlakken ATC en BTC, 1 , 2, 3 de doorsnede met het zijvlak ATB der pyramide. De verticale projectiën van de hoekpunten dezer doorsneden zijn weder gemakkelijk met behulp van de horizontale projectiën aan te geven. De lezer zal, na het voorafgaande, zich zeiven gemakkelijk rekenschap geven omtrent het al of niet zichtbaar zijn van de zijden der veelhoeken van doorsnede in horizontale en in verticale projectie. £ 142. Werkstuk. De doorsnede te construeeren van twee gegeven prisma's. Zij ABC (Fig. 121) het grondvlak van het eene en DEF dat van het andere prisma. Tot constructie der hulpvlakken nemen wij een willekeurig punt P in de ruimte en trekken daaruit lijnen PQ en PR, evenwijdig aan de opstaande ribben der beide prisma's, die het horizontale vlak in Q' en R' snijden. Het vlak door die lijnen gebracht heeft V,V, tot horizontalen doorgang en is evenwijdig aan de opstaande ribben der prisma's. Brengen wij nu, evenwijdig aan dit vlak, het hulpvlak I aan dat gaat door de opstaande ribbe D van het eene prisma, dan zal dit vlak het andere prisma moeten snijden volgens twee lijnen, die in a en fi.het grondvlak van dit prisma ontmoeten en evenwijdig zijn aan de opstaande ribben van dit lichaam. De snijpunten 1 en 4 der ribbe D met de genoemde lijnen a en b zijn dan punten der doorsnede. ' Een hulpvlak door de ribbe B van het prisma ABC evenwijdig aan V gebracht, zou het prisma DEF niet snijden, omdat de horizontale doorgang het grondvlak D'E'F' niet zou snijden; de hulpvlakken II en III, respectievelijk door de ribben A en C gaande, snijden het prisma DEF en wel elk volgens twee evenwijdige lijnen. De beide oppervlakken zullen dus elkander eenvoudig snijden. Het vlak II geeft de doorsnedepunten 3 en 5 op de ribbe A, het vlak III de punten 2 en 6 op de ribbe C. Het zal den lezer, na al het nervoien behandelde, niet moeielijk vallen zich rekenschap te geven van de wijze waarop de punten vereenigd zijn, en evenzoo van het zichtbare en onzichtbare deel van den veelhoek van doorsnede, zoowel in horizontale als in verticale projectie. § 143. Werkstuk. De doorsnede te construeeren van een gegeven prisma met een gegeven regelmatig achtvlak, dat met een zijner diagonalen loodrecht staat op het horizontale vlak. TJ" ' 'S'. 122 1S ABC het grondvlak van het gegeven prisma en rbö het regelmatig achtvlak, dat volgens de opgave met een zijner diagonalen loodrecht op het horizontale vlak is geplaatst. Bepaalt men de doorsnede abc van het horizontale deelvlak DEFG van den octaeder met het prisma, dan is deze doorsnede gelijk en ge ïjkvormig met het grondvlak ABC en dus gemakkelijk te construeeren, indien men een punt der doorsnede kent. Hiertoe verlengt men E"G" tot in c" en bepaalt e' op de horizontale projectie va°n de ribbe van het prisma die door C gaat, en die wij kortweg de ribbe C zullen noemen. Trekt men dan verder c'a' evenwijdig aan C A', c'b' evenwijdig aan C'B' en verbindt men c' met b', zoo is a'b'c' de horizontale projectie van de bedoelde doorsnede, die dus op het prisma ligt en tevens in het deelvlak DEFG van den octaeder. De punten 2 en 9, waarin abc den omtrek van het deelvlak snijdt, zijn punten van de doorsnede der gegeven oppervlakken. Daar ac op het zijvlak AC van het prisma ligt, is 2 blijkbaar het punt waar de ribbe DG in het vlak AC van het prisma gaat; evenzoo is 9 het punt waar de ribbe GF het zijvlak AB van het prisma snijdt. Om de punten 1 en 6 der doorsnede te vinden, welke gelegen zijn op de ribbe A van het prisma, hebben wij, volgens het geleerde in §66, de doorsneden de en fg bepaald van het ^ horizontaal-projecteerend vlak der ribbe A met de zijvlakken SDG en TDE van den octaeder. De verticale projectiën van de lijnen de en fg snijden de verticale projectie van de ribbe A in de punten 1 en 6. Dat de ribbe A eerst het zijvlak SDG, onder het deelvlak gelegen, zou snijden, was vooraf te zien, omdat de ribbe DG, blijkens de verticale projectie van het punt d daar hooger ligt dan de ribbe A. Evenzoo konden wij ook vooraf weten dat de ribbe A het zijvlak TDE zou snijden, want, blijkens de verticale projectie van g, ligt de ribbe DE daar lager dan de ribbe A, die dus op het deel van den octaeder, boven het deelvlak, dit lichaam moest verlaten. De ribbe C van het prisma ligt, zooals uit de verticale projectie blijkt, geheel buiten den octaeder; hetzelfde is het geval met de ribbe B, want van de twee punten h en k, die dezelfde horizontale projectie h' hebben, ligt het punt ft, op de ribbe B, hooger dan het punt k op de ribbe TF. Het zijvlak BC van het prisma ligt derhalve geheel boven den octaeder. Alleen de zijvlakken AC en AB zullen dus den octaeder snijden. Voltooien wij eerst de doorsnede van zijvlak AC met den octaeder, waarvan wij reeds de zijde 1, 2 en het punt 6 hebben gevonden. Het punt 3 op de ribbe TG is geconstrueerd als snijpunt van die ribbe met de doorsnede lm, van het horizontaal-projecteerend vlak van TG en het zijvlak AC van het prisma. Door gebruik te maken van de nu reeds bekende punten der doorsnede 1, 2, 3, 6 en 9 en van den vroeger reeds bepaalden driehoek abc, kannen wij verder de geheele doorsnede voltooien Zoo is het punt 3, gelegen op de ribbe TG, een punt der doorsnede van het zijvlak GTF met het zijvlak AC, waarvan in het snijpunt n van de ribbe FG met c'a' een tweede punt gevonden wordt. De lijn n, 3, 4 is dus de doorsnede van beide vlakken, waarvan alleen 3, 4 te gebruiken is, daar », 3 op het verlengde van TGF ligt. Tevens is nu 4 het snijpunt van de ribbe TF met het zijvlak AC. Op overeenkomstige wijze is de doorsnede 6, 5 van TDE met het zijvlak AC bepaald; 6 was reeds gevonden, terwijl het snijpunt o van de ribbe ED met de zijde ca van driehoek abc een tweede punt is. In 5 vinden wij tevens het snijpunt van de ribbe TE met het zijvlak AC. Vereenigen wij nu 4 met 5, zoo is 1, 2, 3, 4, 5, 6 de doorsnede van den octaeder met het zijvlak AC van het prisma. Van de doorsnede van het zijvlak AB met den octaeder kennen wij reeds de punten 1, 6 en 9. Om de doorsnede met SDG te construeeren, waarvan 1 reeds een punt is, hebben wij het snijpunt p bepaald van de lijn ba (op het zijvlak AB liggende) met de ribbe DG, en de lijn p, 1 getrokken, totdat zij de ribbe SG in 10 snijdt. Daar 10 en 9 nu zoowel op het zijvlak AB van het prisma als op het zijvlak SGF van den octaeder liggen, zal de lijn 10, 9 de doorsnede van genoemde vlakken zijn. De doorsnede 6, 7 van het zijvlak AB met het zijvlak TDE is gevonden met behulp van het snijpunt q der lijnen ED en ba; de doorsnede 7, 8 werd bepaald door het zooeven gevonden punt 7 op TE te verbinden met het snijpunt r van EF en ab. Vereenigt men nu nog ten slotte 8 en 9, zoo is 1, 10, 9, 8, 7, 6 de doorsnede van het zijvlak AB met den octaeder en hiervan ligt het deel 1, 10, 9 onder, het deel 9,8,7,6 boven het horizontale vlak DEFG. De geheele doorsnede van de oppervlakken der gegeven lichamen is nu 1, 2, 3 10, 1. Uit de gevonden horizontale projectiën der punten van die doorsnede kunnen wij, op de verticale projectiën der overeenkomstige ribben, gemakkelijk de verticale projectiën bepalen. Wij behoeven deze dan slechts in dezelfde volgorde te verbinden als in de horizontale projectie, om de verticale projectie van de doorsnede te verkrijgen. Deze projectie is geheel onzichtbaar, omdat de doorsnede geheel achter het zijvlak BG gelegen is. In horizontale projectie is alleen het deel 2, 3, 4, 5, 6 der doorsnede zichtbaar aan te geven. §144. Aangezien door de vele hulplijnen de figuur minder duidelijk is geworden, hebben wij in Fig. 123 den octaeder nogmaals in projectiën voorgesteld, en wel zooals hij zich voordoet wanneer het prisma is weggenomen. De gestippelde lijnen 2G', G'3 en G'9 in de horizontale projectie en 3G , G'2, G"10 en 5, 7 in de verticale projectie moeten nog weggedacht worden; zij zijn hier slechts aangebracht om de oorspronkelijke grenzen van het lichaam aan te geven. Om uit de projectieteekeningen de lichamen te vervaardigen en deze zoo te kunnen plaatsen, dat hunne oppervlakken elkander volgens de geconstrueerde gebroken lijn zullen snijden, moeten wij een der oppervlakken, b. v. dat van den octaeder, ontwikkelen met de daarop liggende doorsnede, het oppervlak tusschen de doorsnedelijnen uitsnijden en daarna het lichaam weder samenstellen. In den octaeder zou dan de opening aanwezig zijn waarin het prisma kon geschoven worden. Om op het prisma, dat niet behoeft te worden uitgesneden, de doorsnedelijn te verkrijgen, moet men het oppervlak op dezelfde wijze ontwikkelen en daarna op dit ontwikkeld oppervlak de doorsnedelijn aangeven. Plaatst men nu het weder gevormde prisma in de daarvoor bestemde opening van den octaeder, en wel zóó dat de overeenkomstige doorsnedelijnen op octaeder en prisma samenvallen, dan hebben wij de lichamen verkregen zooals zij zich in de werkelijkheid snijden. Den lezer wordt de uitvoering van het bovenstaande aanbevolen, zoowel als eene nuttige oefening in het ontwikkelen van oppervlakken als om zich eene duidelijke voorstelling der uitgevoerde coustructiën te maken. OEFENINGEN. 81. Eene gegevene regelmatige vijfzijdige pyramide te projecteeren , indien zij met haar grondvlak op een gegeven hellend vlak staat. 82. De projectiën te bepalen a. van een regelmatig viervlak, b. van een regelmatig twaalfvlak, indien het eerste lichaam met een zijner ribben en het andere met een zijner hoofddiagonalen loodrecht staat op het horizontale vlak. 83. De projectiën te bepalen a. van een regelmatig achtvlak, b. van een regelmatig twintigvlak, indien het lichaam met een zijner zijvlakken op het horizontale vlak ligt. 84. Op twee over elkander gelegen opstaande zijvlakken eener vierzijdige pyramide, die met haar grondvlak op het horizontale vlak staat, zijn twee punten gegeven. Men vraagt de projectiën van den kortsten weg tusschen deze beide punten over het oppervlak van het lichaam. 85. Een gegeven regelmatig viervlak ligt met een zijner zijvlakken op het horizontale vlak. Op de drie overige zijvlakken, als grondvlak, worden rechte prisma's beschreven, welker hoogten gelijk zijn aan de ribben van het viervlak. Teeken de projectiën van het aldus verkregen lichaam en bepaal de doorsnede met een vlak, loodrecht op het verticale vlak, dat zoodanig is aangenomen dat de drie prisma's gesneden worden. 86. Eene willekeurig gegevene driezijdige pyramide TABC, die met haar grondvlak ABC op het horizontale vlak staat, te snijden door een vlak, evenwijdig aan de ribben AB en TG, en daarna het deel dat den top T bevat, om de doorsnede ab met het zijvlak TAB, als scharnier, te wentelen, totdat de top tegen het zijvlak kabB steunt. 87. Een scheef vijfzijdig prisma, met een der beide eindvlakken op het horizontale vlak staande, te wentelen om een der ribben van dit eindvlak, tot het lichaam komt te steunen tegen een willekeurig aangenomen verticaal vlak, 88. Een driehoek, die in het verticale vlak gelegen is, wordt gewenteld om eene lijn in het horizontale vlak tot zijn vlak door een willekeurig gegeven punt gaat. Bepaal de projectiën van den driehoek in dezen stand. 89. Eene lijn AB, die het horizontale vlak in A snijdt, wentelt om eene in dit vlak gelegene lijn die door A gaat, tot zij rust tegen eene willekeurig gegevene lijn CD. Bepaal de projectiën van AB in dezen stand en tevens de projectiën van het steunpunt op CD. 90. Eene afgeknotte vierzijdige pyramide, die met haar grondvlak op het horizontale vlak staat, wordt gesneden door eene rechte lijn. Bepaal de projectiën der snijpunten, indien de gegevene lijn a. evenwijdig is aan de as van projectie; b. de as van projectie rechthoekig kruist; c. een willekeurigen stand heeft. 91. Twee naast elkander gelegen zijvlakken van een gegeven prisma worden gesneden door twee lijnen, die elkander buiten het prisma ontmoeten. Bepaal de doorsnede van het prisma met het vlak der gegeven lijnen. NB. Men denkt zich dit vlak door de beide lijnen begrensd. 92. Twee gegeven prisma's, die beiden met een hunner zijvlakken op het horizontale vlak liggen, snijden elkander onder een hoek van 60°; geen der ribben is evenwijdig aan het verticale vlak. De rechte doorsnede van het eene prisma is een willekeurige vierhoek, die van het andere een gelijkbeenige driehoek, met de basis in het horizontale vlak. De ribbe door den top van den gelijkbeenigen driehoek gaande, snijdt het eerste prisma in het zijvlak der ribben die boven het horizontale vlak zijn gelegen. Bepaal de projectiën der doorsnede. 93. De doorsnede te construeeren van eene vierzijdige met eene vijfzijdige pyramide; beide lichamen rusten met het grondvlak op het horizontale vlak, en wel zoodanig dat twee hoekpunten van den vijfhoek binnen den vierhoek vallen en een hoekpunt van den vierhoek binnen den vijfhoek is gelegen. WERKSTUKKEN TOT OEFENING. 1. In eene gegevene lijn een punt te bepalen, zoodanig dat de afstanden van dit punt tot het horizontale en tot het verticale vlak zich verhouden als twee gegeven lijnen a en b. 2. In de as van projectie een punt te bepalen, dat op een gegeven afstand verwijderd is van een gegeven punt buiten de as. (Ex. M. 0. K I.) 3. Gegeven twee vlakken en een punt A in liet verticale vlak. Men vraagt een punt P zoodanig te bepalen, dat de lijn AP eene gegevene lengte bezit en evenwijdig loopt aan de beide gegeven vlakken. 4. Door een gegeven punt een vlak te brengen, dat een gegeven hoek maakt met het horizontale vlak en evenwijdig is aan eene gegevene lijn. 5. Gegeven een vlak, eene lijn in dat vlak en een punt in die lijn. Men vraagt door die lijn een vlak te brengen loodrecht op het gegeven vlak en door het gegeven punt een derde vlak loodrecht op de beide eerste. (Ex. M. 0. K. I.) 6. Door een gegeven punt eene lijn te trekken, die twee gegeven elkander kruisende lijnen rechthoekig kruist. 7. Gegeven eene lijn en een daaraan evenwijdig vlak; in dit vlak de lijnen te construeeren, die evenwijdig zijn aan de gegevene lijn en op een gegeven afstand daarvan verwijderd. (Ex. M. 0. K. I.) 8. In een gegeven vlak eene lijn te trekken die eene gegevene lijn snijdt en evenwijdig is aan een tweede gegeven vlak. 9. Door een gegeven punt eene rechte lijn te trekken, die eene gegevene rechte lijn snijdt en evenwijdig is aan een gegeven vlak. (Ex. M. ü. K. I.) 10. Door het punt waarin een gegeven vlak de as van projectie snijdt, eene lijn in dat vlak te trekken, die met het verticale vlak een gegeven hoek maakt. 11. Indien gegeven zijn de projectiën van eene willekeurige lijn en van eene lijn loodrecht op het verticale vlak, vraagt men eene lijn te construeeren die, evenwijdig loopende aan het horizontale vlak, de gegeven lijnen en het verticale vlak zoodanig snijdt dat zij in twee gelijke stukken verdeeld wordt. 12. In de as van projectie een punt te bepalen dat op gelijke afstanden ligt van eene willekeurig gegevene lijn in het horizontale vlak en van een willekeurig vlak. 13. Door een gegeven punt gelegen in een gegeven vlak eene lijn in dit vlak te trekken, die de projectievlakken snijdt in punten die even ver van de as van projectie verwijderd zijn. 14. Van twee vlakken, die elkander rechthoekig snijden, is de doorsnede door hare projectiën gegeven. Zoo nu een dier vlakken een gegeven hoek met het verticale projectievlak maakt, vraagt men de doorgangen dier vlakken te construeeren. 15. De doorgangen van een vlak kunnen beschouwd worden als de projectiën van eene lijn. Construeer den hoek dien de lijn met het vlak maakt. (Ex. M. 0. K. I.) 16. Van eene lijn, die eene gegevene lijn rechthoekig snijdt, is de horizontale projectie gegeven. Construeer de verticale projectie der lijn. 17. Door een gegeven punt eene lijn te trekken, die met het verticale vlak een gegeven hoek maakt, en evenwijdig is aan een willekeurig gegeven vlak. (Toel. Ex. Art. Cursus 1886.) 18. Een gelijkbeenige driehoek is gegeven als de horizontale projectie van een gelijkzijdigen. Als bovendien de verticale projectie van een der hoekpunten bekend is, vraagt men de verticale projectie van den gelijkzijdigen driehoek te construeeren. 19. Van een gelijkzijdigen driehoek zijn gegeven de beide projectiën van twee hoekpunten en de hoek, dien zijn vlak met het verticale projectievlak maakt. De projectiën van den driehoek te bepalen. (Ex. M. 0. K. I.) 20. Gegeven een vlak V en een punt A in dit vlak. Trek door A eene lijn BC, die van de beide doorgangen gelijke stukken afsnijdt , en breng daarna door BC een vlak dat met V een gegeven hoek maakt. (Toel. Ex. K. M. A. 1895.) 21. Gegeven de punten A (8, 2, 8), B(1, 0, 4), C (7, 4, 0) en D (4, 5, 3). Men vraagt door het punt A een vlak te brengen dat evenwijdig is aan de lijn BC en dat op een afstand 2 verwijderd is van het punt D. 22. Bepaal in eene gegevene rechte lijn een punt dat op gelijke afstanden verwijderd is van twee gegeven elkander snijdende lijnen. 23. Construeer de meetkundige plaats der punten, welker afstanden tot drie gegeven vlakken gegeven verhoudingen bezitten. (Ex. M. 0. K. ƒ.) 24. Gegeven eene lijn loodrecht op liet horizontale vlak, eene even groote lijn loodrecht op het verticale vlak en een willekeurig punt. Gevraagd door dit punt een vlak te brengen, waarop de lijnen even groote en onderling evenwijdige projectiën zullen hebben. (Toel. Ex. Art. Cursus 1887.) 25. Gegeven een vlak V, twee elkander kruisende lijnen a en b en een punt P buiten die lijnen. Men vraagt twee vlakken, evenwijdig aan V, te construeeren, die van de lijnen a en b twee gelijke stukken van gegevene lengte afsnijden en waarvan een dier vlakken door P gaat. (Ex. M. 0. K. I.) 26. Gegeven vier, niet in één vlak gelegen, punten A, B, C en D. Door een vijfde gegeven punt P een vlak te brengen, zoodanig dat de projectiën van AB en CD op dit vlak gelijk en evenwijdig zijn. (Ex. M. 0. K. 1.) 27. Gegeven twee evenwijdige en twee willekeurige lijnen; men vraagt eene lijn te construeeren die de vier gegeven lijnen snijdt. 28. Twee punten A en B zijn in projectie gegeven. AB is de basis van een gelijkbeenigen driehoek ABC welks top C moet komen te liggen in eene gegevene lijn, welke de lijn AB kruist. Bepaal de projectiën van C en de ware gedaante van den driehoek. (Toel. Ex. K. M. A. 1895.) 29. Gegeven twee punten A en B en eene lijn l. Men vraagt in l een punt C te bepalen, zoodanig dat driehoek ABC a. rechthoekig is in A; b. gelijkbeenig is met C tot top; c. # » # A » ». 30. Door een gegeven punt eene lijn te trekken die twee gegeven elkander kruisende lijnen snijdt. 31. Gegeven eene lijn AB en twee punten P en Q. Men vraagt door P eene lijn CD te trekken, die AB zoodanig kruist, dat de lijn, die AB en CD loodrecht snijdt, door Q gaat. (Ex. M. 0. K. 1.) 32. Gegeven drie elkander kruisende lijnen en een punt buiten die lijnen. Gevraagd een gelijkbeenigen driehoek te construeeren waarvan de hoekpunten elk op eene der gegeven lijnen liggen, terwijl de basis des driehoeks door het gegeven punt gaat. 33. Eene lijn te construeeren die twee gegeven elkander kruisende lijnen snijdt en evenwijdig is aan twee gegeven vlakken. (Ex. M. 0. k. 1.) 34. Van twee gegeven elkander kruisende lijnen ligt de eene in een vlak loodrecht op de as van projectie, terwijl van de andere de beide projectiën in de constructiefiguur langs elkander vallen. Men vraagt door een gegeven punt eene lijn te trekken die de eerste snijdt en de tweede rechthoekig kruist. 35. Gegeven twee elkander kruisende lijnen van bepaalde lengte en een punt. Door dit punt een vlak te brengen waarop de gegeven lijnen projectiën hebben die elkander wederkeerig middendoor deelen. 36. Door eene gegevene lijn een vlak te brengen, waarop twee teren6" 6 kruisende lijnen zich als evenwijdige lijnen projec- 37 In een gegeven vlak een punt aan te wijzen dat op gegeven afstanden verwijderd is van zijne doorgangen met het verticale en met een derde projectievlak. 38 In een gegeven vlak eene lijn te trekken, die de as van projectie onder een gegeven hoek snijdt. 39 Twee lijnen snijden elkander in een punt van de as. Men vraagt het middelpunt te vinden van een cirkel die, met gegeven straal beschreven, aan deze lijnen raakt. 40 In de as van projectie een punt te bepalen dat op gelijke tievkk 6gen 1S Va" een SeSeven vlak en van het derde projee- 41 Door een gegeven punt een vlak te brengen, dat de as van projectie ln een gegeven punt onder een hoek van 45° snijdt 42. Door een gegeven punt eene lijn te trekken die twee gegeven ! - °ndf g:Ujke h°eken SniJdt en de doorsnede dier vlakken rechthoekig kruist. 43. Door een gegeven punt eene lijn te trekken die eene gegevene vhk.Sn e" ee" gegeVe" h°ek mSakt met het horizont*le projectie- 44. Door een punt, gelegen in een gegeven vlak eene liin te trekken die een hoek van 30° maakt met den verticalen doorgang. 45. Een vlak te construeeren dat door een gegeven punt gaat en een gegeven afstand heeft van eene gegevene lijn P g 4b. Door een gegeven punt, gelegen in een gegeven vlak eene t bet *l - 47. Door het snijpunt van eene gegevene lijn met een willekeurig gegeven vlak in dit vlak eene lijn te trekken, die met de gegevene lijn een gegeven scherpen hoek maakt. (Toel. Ex. Art. Cursus 1893) ƒ n Gegeven een driehoek ABC in het horizontale vlak en een vlak evenwijdig aan de as van projectie. Men vraagt dien driehoek om de zijde AB te wentelen, totdat de loodlijn uit C op AB neergelaten, evenwijdig loopt aan het gegeven vlak. 49. Den horizontalen doorgang van een vlak te construeeren, wanneer gegeven is de verticale doorgang evenwijdig aan de as van projectie en de hoek dien het met een gegeven hellend vlak maakt. 50. Door een gegeven punt eene lijn te trekken, evenwijdig aan het horizontale vlak, zoodanig dat zij een gegeven vlak onder een gegeven hoek snijdt. (Toel. Ex. K. M. A. 1873.) 51. Eene lijn gegeven zijnde, vraagt men eene daaraan evenwijdige lijn te construeeren, waarvan de horizontale projectie benevens de afstand tot de eerste lijn gegeven zijn. (Toel. Ex. K. M. A. 1874.) 52. Gegeven een willekeurig vlak V en een ander vlak W evenwijdig aan de as van projectie. In het vlak W, door een daarin gegeven punt, de lijnen te trekken die gemeten van dat punt tot hun snijpunt met V eene bepaalde lengte hebben. 53. Gegeven twee evenwijdige lijnen die de as van projectie niet snijden; gevraagd eene lijn te construeeren die de beide evenwijdige lijnen en de as van projectie zoodanig snijdt, dat het stuk tusschen de snijpunten met de evenwijdige lijnen eene gegevene lengte heeft. 54. Gegeven een punt A en twee evenwijdige lijnen, die de as van projectie niet snijden. Men vraagt de projectiën te construeeren van een driehoek ABC waarvan de hoekpunten B en C zoodanig op die lijnen gelegen zijn dat BC (of het verlengde van BC) de as van projectie snijdt en welks vlak een gegeven hoek maakt met het vlak dier evenwijdige lijnen. 55. Er zijn vier punten willekeurig gegeven. Men vraagt door een dezer punten een vlak te brengen, waarop de diie andere zich in eene rechte lijn zullen projecteeren, en wel zoodanig, dat deze lijn door de projectiën der punten in twee gelijke stukken verdeeld wordt. (Toel. Ex. Art. Cursus 1886.) 56. Gegeven twee lijnen die elkander kruisen en waarvan de eerste loodrecht staat op het horizontale vlak en de tweede willekeurig is. De tweede lijn wentelt om de eerste tot zij evenwijdig is aan het verticale vlak. Gevraagd de lijn te construeeren, die zoowel den afstand als den hoek der lijnen in dien stand middendoordeelt. (Toel. Ex. Art. Cursus 1891.) 57. Twee punten in het horizontale vlak gegeven zijnde, vraagt men op de lijn, welke die punten vereenigt, een gelijkzijdigen driehoek te beschrijven, welks derde hoekpunt ergens in een gegeven vlak ligt. (Toel. Ex. K. M. A. 1873.) 58. In een gegeven vlak worden twee punten aangenomen als c ïoekpunten der basis van een gelijkbeenigen driehoek. Indien iet vlak van den driehoek loodrecht staat op het gegeven vlak en de hoogte des driehoeks gegeven is, vraagt men de projectiën van dien driehoek te construeeren. 50. Een driehoek ligt in liet horizontale projectievlak en wordt gewenteld om eene lijn in dit vlak, totdat een der hoekpunten van den driehoek in een gegeven vlak ligt. Construeer de projectiën van den driehoek in dezen stand. 00. Men vraagt een gelijkzijdigen driehoek te construeeren, wanneer gegeven zijn de projectiën van een hoekpunt, de straal des ingeschreven cirkels en een willekeurig vlak, waarin de zijde over iet gegeven hoekpunt gelegen moet zijn, terwijl men bovendien weet dat deze zijde de doorgangen van het gemelde vlak onder gelijke hoeken moet snijden. (Toel. Ex. Art. Cursus 1892.) 61 Gegeven een vlak en twee punten aan verschillende zijden van dit vlak gelegen. In het vlak een punt te vinden dat met de gegeven punten een gelijkzijdigen driehoek vormt. 02. De projectiën te construeeren van eene lijn van gegevene i iiPtc, die in een gegeven punt loodrecht staat op eene gegevene i)n, en met het andere uiteinde in een gegeven vlak ligt, dat door de as van projectie gaat. 03 Eene lijn van bepaalde lengte is door hare projectiën gegeven en stelt voor de loodlijn, die uit een hoekpunt van een gelijkzijdigen' driehoek op de overstaande zijde is neergelaten. Men vraagt de projectiën van den geheelen driehoek te bepalen, indien een der hoekpunten in het horizontale vlak moet liggen. (Toel. Ex. Art. Cursus 1889 ) 04. Gegeven in liet verticale vlak eene lijn van bepaalde lengte als basis van een driehoek, welks top in het horizontale vlak ligt en waarvan de twee andere zijden hoeken van 45° en 60° met het horizontale vlak maken. Gevraagd de beide projectiën van den driehoek. 05. Door een gegeven punt eene lijn te trekken, die eene gegevene lijn op een gegeven afstand rechthoekig kruist. {Ex. M. 0. K. I.) 60. Door eene gegevene lijn een vlak te brengen dat op een gegeven afstand verwijderd is van een gegeven punt. 67. Gegeven twee punten P en Q en eene lijn AB. Men vraagt door P eene lijn te trekken, die AB rechthoekig kruist en op ee°n gegeven afstand verwijderd is van Q. (Ex. M. O. K. I.) 08. Door een gegeven punt eene rechte lijn te trekken, die de as van projectie onder een hoek van 30° kruist en waarvan de afstand tot die as gegeven is. (Ex. M. O. K.. I.) 10 69. Er zijn twee elkander kruisende lijnen gegeven. Men vraagt eene lijn van bepaalde lengte zoodanig te plaatsen, dat zij met hare uiteinden op de gegeven lijnen rust en loodrecht staat op een dezer. (Ex. M. 0. I(. /.) 70. Een vlak te construeeren dat op gelijke afstanden ligt van twee gegeven elkander kruisende lijnen. 71. De lijn te construeeren, die zoowel den hoek als den afstand van twee gegeven elkander kruisende lijnen middendoordeelt. (Ex. M. 0. K. I.) 72. In de as van projectie een punt te bepalen waarvoor de som der afstanden tot twee gegeven punten zoo klein mogelijk is. 73. Gegeven een vlak V en twee punten A en B aan dezelfde zijde van liet vlak gelegen. Bepaal in V een punt P zoodanig, dat PA -|- PB zoo klein mogelijk is. 74. Gegeven een vlak V en twee punten A en B aan verschillende zijden van het vlak gelegen. Bepaal in V een punt P zoodanig, dat PA — PB of PB — PA zoo groot mogelijk is. 75. Gegeven een vlak, waarvan de doorgangen in elkanders verlengde vallen, en eene lijn die de as van projectie rechthoekig kruist. Men vraagt door die lijn een vlak te brengen, dat met het eerste een hoek van 60° maakt. 76. Gegeven twee punten, elk in een der projectievlakken, en een vlak. Men vraagt de projectiën van den kortsten weg om van het eene punt naar het andere punt te komen, indien men zich niet buiten de drie genoemde vlakken bewegen kan. 77. Gegeven twee niet evenwijdige lijnen in het horizontale vlak en twee punten in de ruimte. Gevraagd de kortst mogelijke gebroken lijn te construeeren, gaande van het eene punt over de beide lijnen naar het andere punt. (Ex. M. 0. K. I.) 78. Den afstand te construeeren van twee elkander kruisende lijnen, van welke de eene evenwijdig aan de as van projectie en de andere willekeurig gegeven is. 79. Door eene lijn een vlak te brengen, dat met eene andere gegeven lijn een gegeven hoek maakt. 80. Door eene lijn, die loodrecht staat op het horizontale vlak, een vlak te brengen dat een gegeven hoek maakt met een gegeven vlak. (Ex. M. 0. K. I.) 81. Door een gegeven punt eene lijn te trekken, die eene gegevene lijn snijdt en met een gegeven vlak een gegeven hoek maakt. (Ex. M. O. K. I.) 82. Van een driehoek ABC zijn gegeven de projectiën der punten A en C en de lengte, der AC en BC. Men de oroiec z z ZnS:;K indien he' '""p"1"c -w™ u Men%m« T iS !iJde in vc"»l« 'l«k TO=™>. een der hwknimt w T ™rk™' t,! h.Uien M. C„r„„ 1885 )" ™e> 'i®en' gegeven punt A in het horizontale vlak is het hoekpunt van een kubus waarvan een der andere hoekpunten in het verticale vlak valt. De lichaamsdiagonaal, die door A gaat, is evenwijdig aan het verticale vlak en maakt een hoek van 60° met het horizontale Bepaal de projectiën van dezen kubus, indien de lengte van de ribbe gegeven is. 109 Teeken de projectiën van een regelmatig zeszijdig prisma, dat me eene ribbe van het grondvlak op het horizontale vlak steunt teiwijl het aan die ribben grenzende zijvlak rust tegen een der hoek- punten van het bovenvlak eener, op het horizontale vlak staande, afgeknotte driezijdige pyramide. De op het horizontale vlak steunende ribbe van het prisma staat niet loodrecht op de as van projectie. 110. Van eene vierzijdige pyramide TABCD is het grondvlak een rechthoekig trapezium, waarvan de evenwijdige zijden AB = 3 en CL) — 4 CM. en de rechthoekszijde BC=2 cM. gegeven zijn. De projectie van den top T op het grondvlak valt in het snijpunt der diagonalen. De hoogte van de pyramide is 6 cM. Bepaal de projectiën van die pyramide, als zij met het zijvlak TAB op het horizontale vlak ligt. 111. Op het oppervlak van een gegeven scheef driezijdig prisma, dat met zijn grondvlak op het horizontale vlak rust, eene gebrokene lijn te construeeren, die van een der hoekpunten van het grondvlak uitgaande gelijke hoeken maakt met de opstaande ribben 112. Bepaal de nieuwe projectiën van een scheef afgeknot vierzijdig prisma, staande met het grondvlak op het horizontale vlak, indien een willekeurig hellend vlak tot nieuw horizontaal projectievlak wordt aangenomen en een vlak loodrecht daarop tot nieuw verticaal vlak. 113. Een scheef vijfzijdig prisma, waarvan geen der ribben van het grondvlak loodrecht op de as van projectie staat, rust met dit grondvlak op het horizontale vlak. Het wordt op ongeveer \ der hoogte, van onder af gerekend, gesneden door een vlak evenwijdig aan het horizontale vlak, waarna het bovenste afgesneden deel om eene der zijden van de doorsnede gewenteld wordt, totdat het tegen het horizontale vlak steunt. Men vraagt de projectiën van dit deel na de wenteling. 114. De projectiën te bepalen van een afgeknot parallelopipedum dat met zijn grondvlak op het horizontale vlak staat, indien de rechte doorsnede een rechthoek met gegeven zijden is, de opstaande ribben gegeven hoeken maken met de beide projectievlakken, en de lengten van drie dezer ribben gegeven zijn. 115. Gegeven eene lijn a loodrecht op het horizontale vlak, eene lijn b evenwijdig aan de as van projectie en eene lijn c welke die as in een punt P snijdt onder een hoek van 45° en gelegen is in het vlak dat den eersten ruimteboek middendoordeelt. Teeken de projectiën van het parallelopipedum, waarvan drie ribben langs de lijnen a, b en c vallen. (Ex. M. 0. K. I) 116. Bepaal de doorsnede van een recht prisma, dat met zijn (of eene willekeurige pyramide, die met haar) grondvlak op het horizontale vlak staat met een plat vlak, dat gegeven is door middel van drie punten, en zulks zonder de doorgangen van het vlak te gebruiken. 117. Een regelmatig viervlak te snijden door een vlak, dat evenwijdig is aan twee over elkander staande ribben en deze ribben aan weerszijden op gelijke afstanden van zich heeft; voorts de ware gedaante van de doorsnede te construeeren. 118. Van eene vierzijdige pyramide, die met haar grondvlak op het horizontale vlak staat, zijn de projectiën gegeven. Men vraagt door een gegeven punt een vlak te brengen, dat deze pyramide zal snijden volgens een parallelogram, en de projectiën der doorsnede te bepalen. 119. Teeken de projectiën van eene afgeknotte vierzijdige pyramide, die met een opstaand zijvlak op het horizontale vlak ligt, en bepaal vervolgens de ware grootte en gedaante der doorsnede 'van het lichaam met een willekeurig plat vlak. (Ex. M. 0. K. I.) 120. Gevraagd de projectiën en de ware gedaante der doorsnede van een regelmatig achtvlak, dat met een zijvlak op het'horizontale vlak ligt, met een vlak waarvan de horizontale doorgang en het snijpunt met eene der ribben gegeven zijn. 121. De doorsnede te construeeren van eene driezijdige pyramide, die met haar grondvlak op het horizontale projectievlak staat en een recht prisma waarvan de opstaande ribben evenwijdig loopen aan de as van projectie. De loodrechte doorsnede van het prisma is een gelijkbeenige driehoek waarvan de basis evenwijdig aan het horizontale projectievlak is. Hut prisma doorboort de pyramide, slechts één van de opstaande ribben van de pyramide snijdt het prisma. 122. Gevraagd de projectiën van de doorsnede te construeeren van een regelmatig zeszijdig prisma, met een opstaand zijvlak op het horizontale vlak liggende, en eene driezijdige pyramide met haar grondvlak op het horizontale vlak staande. Twee der hoekpunten van het grondvlak der pyramide liggen binnen de horizontale projectie van het prisma, terwijl de ribbe door het derde hoekpunt gaande het prisma niet snijdt. De ribben van het prisma zijn niet evenwijdig aan het verticale projectievlak. 123 Bepaal de doorsnede van een recht vijfzijdig prisma met eene driezijdige pyramide welker top in het horizontale vlak buiten het prisma ligt, terwijl de horizontale projectie van één hoekpunt van haar grondvlak binnen de horizontale projectie van het prisma valt. I wee der opstaande ribben van de pyramide snijden het zijdelingsch oppervlak van het prisma, terwijl de derde ribbe geheel buiten het prisma ligt. Een der hoekpunten van het grondvlak der pyramide ligt boven het bovenvlak van het prisma, de beide andere onder dit vlak. 124. Teeken de projectiën van een regelmatig zeszijdig prisma, dat met zijn grondvlak zoodanig op het horizontale vlak staat dat geen der opstaande zijvlakken evenwijdig is aan of loodrecht op het verticale vlak. De hoogte is gelijk aan het viervoud, en de afstand van het middelpunt van het grondvlak tot het verticale projectievlak is gelijk aan het tweevoud van de ribbe van het grondvlak. Men vraagt: a. de projectiën en de ware gedaante der doorsnede van het prisma met een vlak, gaande door de as van projectie en het midden van de as van het lichaam; b. idem, met een vlak dat door een hoekpunt van het bovenvlak gaat en het grondvlak volgens eene willekeurig gegevene lijn snijdt; c. de doorsnede te bepalen van het prisma met een kubus welks middelpunt gelegen is in de as van het prisma en waarvan eene ribbe valt langs eene der grootste diagonalen van het grondvlak van het prisma en daaraan tevens gelijk is. 125. Een in het horizontale vlak gelegen vierkant A'B'C'D' met de daarin getrokken diagonalen, die hoeken van 30° en 60° met de as van projectie maken, is de horizontale projectie van een regelmatig achtvlak EABCDF, dat met het hoekpunt E op het horizontale vlak is geplaatst. Men vraagt: a. de projectiën en de ware gedaante te bepalen van de doorsnede van dit lichaam met een vlak, dat door het middelpunt van het lichaam en de middens van de ribben EA. en BF gaat; b. de doorsnede van dit achtvlak te bepalen met eene vierzijdige pyramide, die met haar grondvlak op het verticale vlak staat, indien E"A"F"C" dit grondvlak is en het middelpunt van het achtvlak gelegen is in het midden van de hoogte der pyramide; c. het oppervlak van het achtvlak te ontwikkelen en daarop de doorsneden, in a en b bedoeld, aan te geven. AANHANGSEL. TOEPASSING VAN DE BESCHRIJVENDE MEETKUNDE OP EENIGE EENVOUDIGE CONSTRUCTIËN UIT DE VERSTERKINGSKUNST. INLEIDING. g 1. De aarden borstweringen, welke in de Versterkingskunst voorkomen, kunnen beschouwd worden als prisma's, die met een deizijvlakken op het horizontale vlak zijn neergelegd. Dit horizontale vlak wordt het maaiveld genoemd. Een zoodanig prisma wordt voorgesteld door zijne horizontale projectie (plattegrond) en door eene doorsnede met een vlak loodrecht op de ribben (profiel). Bij de hoekpunten van zulk eene doorsnede plaatst men meestal in de teekening een cijfer, aangevende de hoogte van het punt boven een aangenomen vlak, gewoonlijk het maaiveld, dat dan met + 0 wordt aangeduid. Evenals eene borstweiing wordt ook eene gracht bepaald door hare horizontale projectie en door haar profiel. Bij de hoekpunten van het profiel der boistwering plaatst men, zoo het maaiveld op + 0 is aangenomen, vóór de hoogtecijfers het teeken -f, bij die der gracht het teeken —! Is b. v. het cijfer -f- 1,4 bij een punt geplaatst, dan ligt de ribbe van het prisma, die het profiel in dat punt snijdt, op 1,40 M. boven het aangenomen horizontale vlak. Evenzoo zal het cijfer — 1 aanwijzen dat de ribbe 1 M. onder dit horizontale vlak gelegen is. In het profiel worden voorts de horizontale afstanden tusschen de hoekpunten in Meters aangegeven. Door de hoogteligging der punten ten opzichte van het aangenomen horizontale vlak en hunne zooeven genoemde afstanden, zijn de hellingen der zijden van het profiel — d. i. van de zijvlakken van het prisma — bepaald. Toch wordt gemakshalve bij de meest belangrijke niet horizontale lijnen van het profiel in den regel de helling aangegeven. De helling van een vlak ten opzichte van het horizontale vlak of maaiveld, wordt somtijds uitgedrukt door het aantal graden van den standhoek der beide vlakken, maar gewoonlijk door den tangens van dezen hoek. Spreekt men over een vlak dat onder 2 op 3 helt, zoo bedoelt men daarmede dat de tangens van den hoek, dien het vlak met het maaiveld maakt, gelijk aan f is. Op PI. A is in Fig. 1 de horizontale projectie of plattegrond van eene borstwering geteekend, terwijl de doorsnede over AB, het profiel, in Fig. 2 is aangegeven. De breuk |, bij de schuine zijde CD geplaatst, beteekent nu dat de tangens van hoek DCD' gelijk aan f is. Is derhalve DD'= 1 M., zoo is CD' = fX* = = 1,50 M.; DD' heet de hoogte, CD' de aanleg van de helling CD. Aan het profiel kan men in de teekening eene willekeurige plaats geven, zooals op PI. A is geschied. Waar de ruimte het toelaat is het echter aan te bevelen het profiel zoodanig in den plattegrond te plaatsen dat de loodlijnen, uit de hoekpunten op de grondlijn van het profiel neergelaten, samenvallen met de horizontale projectiën der ribben van het prisma. In Fig. 1 is zulks aan de onderzijde der teekening uitgevoerd. Somtijds wordt het profiel geheel weggelaten, maar dan moeten in den plattegrond de hoogtecijfers bij de ribben worden geplaatst en tevens de horizontale afstanden dezer ribben en de hellingen der taluds worden aangewezen. Een en ander is ook in Fig. 1 geschied. Uit deze verschillende cijfers is het profiel dan desgewenscht te teekenen. Eindelijk merken wij nog op dat men in de practijk gewoon is alle doorsneden door arceeringen te onderscheiden van de overige deelen der teekening. Bij grondwerken, zooals die in de Versterkingskunst voorkomen, wordt die arceering meestal slechts aangebracht langs den buitensten rand van het profiel en langs de doorsnede met het maaiveld. De doorsnede over maaiveld en ingraving wordt in den regel door eene andere arceering aangeduid dan die waardoor de ophooging is aangegeven. In het profiel worden ook geteekend, doch niet gearceerd, de verticale projectiën (slandgezichl) van alle deelen van het werk die men van uit de plaats, alwaar de doorsnede is genomen, zien kan. Zoo 1». v. is op PI. G Fig. 2 in de doorsnede over AB een standgezicht aangegeven van barbet en oprit, omdat men deze van uit AB zien kan. Verder zij nog vermeld dat het gebruikelijk is in de teekening de vuurlijnen aan te geven door dikke lijnen en de doorsneden van sommige flauw hellende vlakken weg te laten, wanneer deze gelijke helling hebben. Zoo b. v. teekent men niet de doorsneden van plongées, grachtsbodems, enz. § 2. Eene der eenvoudigste constructiën in de Versterkingskunst is het bepalen van de doorsnede van eene borstwering met een plat vlak. Het vlak van doorsnede kan, behalve door zijne helling, bepaald zijn door zijne doorsnede met het maaiveld, m. a. w. door zijnen horizontalen doorgang. ^'j V,V, (PI. A, Fig. 1) de horizontale doorgang van het snijdend vlak V, dat onder 2 op 3 op het maaiveld helt, dan kunnen wij de doorsnede met de borstwering bepalen, door achtereenvolgens de snijpunten te zoeken van de ribben van het prisma met het vlak V en deze snijpunten te verbinden. Tot het construeeren van deze snijpunten denken wij ons door de ribben van het prisma horizontale vlakken gebracht, die het gegeven vlak V zullen snijden volgens lijnen die evenwijdig zijn aan den horizontalen doorgang V,V,. De snijpunten dezer lijnen met de even hoog liggende ribben geven dan de gevraagde punten der doorsnede. (Vergelijk Beschrijvende Meetkunde § 136). Om b. v. het snijpunt L te bepalen van de ribbe E, op -f- 1,4 gelegen, met het vlak V, moeten wij in dit vlak eene horizontale lijn op —J— 1,4 construeeren. Daar de hoogte van elk punt dezer lijn 1,4 M. is, moet hare horizontale projectie op f X M = 2,1 M. van V,V, verwijderd zijn. Richt men dus in een willekeurig punt P van V,V, eene loodlijn op en neemt men hierop een stuk PQ = = 2,1 M., zoo zal de lijn, door Q evenwijdig aan V,V, getrokken, de projectie van de bedoelde lijn zijn. Het snijpunt L dezer lijn met de ribbe E is derhalve de projectie van het snijpunt der ribbe E met het vlak V. Op gelijke wijze is het punt K geconstrueerd, terwijl MN gevonden is als doorsnede met het armsteunvlak. De punten I en O, waarin de ribben C en II door VjV, gesneden worden, zijn eveneens punten der doorsnede, zoodat IKLMNO de horizontale projectie voorstelt van de doorsnede der borstwering met het vlak V. Indien de snijpunten met meerdere lijnen moeten bepaald worden, maakt men bij voorkeur gebruik van een standvlak op den horizontalen doorgang. Men is hierdoor in staat de horizontale lijnen in het vlak te construeeren, zonder voorafgaande berekening zooals bo\en is geschied. Zulk een standvlak RPS is in de figuur aan- gebracht; hierin is dus ~pR~ = Wij hebben nu de verschillende hoogten der ribben, hier -f- 1, -f 1,1 en + 1,4, slechts uittezetten op de lijn PV, en lijnen te trekken evenwijdig aan PR tot zij PS snijden, om de verschillende punten te verkrijgen waaruit de lijnen evenwijdig aan V,V, moeten getrokken worden. § 3. Uit liet bovenstaande blijkt dat de constructie geheel geschiedt — en zoo is het ook met alle volgende constructiën — volgens de gewone regels der Beschrijvende Meetkunde. Het eenig kenmerkende onderscheid is dat men slechts de projectiën teekent op één bepaald aangewezen vlak, hier het horizontale. Het verticale projectievlak bestaat wel, maar treedt niet zoo op den voorgrond als vroeger, en dient meer als hulpmiddel bij deconstructie van de horizontale projectie. Het profiel toch is eigenlijk niets anders dan eene projectie op een vlak dat loodrecht staat op de ribben van het prisma, dus op een verticaal vlak; de doorsnede van dit vlak met het horizontale — d. i. de grondlijn van het profiel — is te beschouwen als de lijn die wij vroeger de as van projectie noemden. Bovendien zijn voor de constructie van de horizontale projectie dikwijls nog een of meer andere vlakken (standvlakken) noodig, die men daar plaatst waar men ze noodig heeft. De horizontale projectie is hoofdzaak, al het overige is slechts te beschouwen als hulpmiddel voor de constructie van deze projectie, en kan desnoods gemist worden, indien men, zooals hierboven is aangegeven, zijne toevlucht neemt tot berekening, wat echter in den regel omslachtiger is. COUPURE IN EENE BORSTWERING. ^ 4. Op PI. B zijn het profiel en de plattegrond aangegeven van eene borstwering met binnen- en buitengracht. Wij zullen nu in die borstwering eene coupure maken, in eene gegevene schuine richting en van 3 M. breedte; de afsnijding heeft met het eene deel der borstwering plaats onder eene helling van 2 op 3, en met het andere deel onder eene helling van 1 op 1. De zijwanden der grachten zijn aan de eene zijde onder eene helling van 3 op 2 en aan de andere zijde onder eene helling van 1 op 1 aan te brengen. Aangezien hier de snijpunten van vele ribben te construeeren zijn, hebben wij een standvlak aangebracht, op de wijze als in § 2 is aangewezen. Met behulp van dit standvlak zijn nu de snijpunten bepaald met de ribben, die op + 0,5, + 0,7, + 1,4 en -f 1,1 zijn gelegen. Op overeenkomstige wijze is voor het construeeren van de eindtaluds der grachten een standvlak aangebracht onder f, en dit is naar de andere zijde geteekend, omdat die zijvlakken in tegenovergestelden zin hellen als liet zijvlak der borstwering. De constructie der snijpunten geschiedt overigens op geheel overeenkomstige wijze. Bij de hellingen 1 op 1 zijn de standvlakken weggelaten en heeft men de snijpunten van de ribben met het snijdend vlak bepaald door eenvoudig op afstanden, gelijk aan de uit het profiel bekende hoogten of diepten, lijnen evenwijdig aan de richting der coupure — d. i. de richting van den doorgang van het snijdend vlak — aan te brengen. BARBET ACHTER EENE RECHTE BORSTWERING. § 5. Op PI. C. zijn de plattegrond en het profiel gegeven van een gedeelte eener borstwering en van eene binnengracht met hellenden bodem. Wij wenschen achter de borstwering eene barbet te construeeren, waarvan het bovenvlak, ter breedte van 4 en ter lengte van 5 M., gelegen is op 0,90 M. beneden de vuurlijn, met een oprit, van af het maaiveld, van 2,50 M. breedte onder de helling 1 op 4. De zijtaluds moeten hellen onder 1 op 1, behalve die welke de ingraving van de barbet in de borstwering begrenzen; deze taluds krijgen in aansluiting met het binnentalud der borstwering eene helling van 3 op 1. Rechts moet het zijvlak van de barbet doorloopen tot in de gracht, doch aan de linkerzijde moet op het maaiveld een berm van 0,50 M. breedte langs de barbet en den oprit blijven staan. Wij beginnen met in het profiel (Fig. 2) eene horizontale lijn ah te trekken op een afstand van 0,90 M. beneden de vuurlijn, dus op -j- 1,10 gelegen, en maken deze, gemeten van af het snijpunt a met het verlengde binnentalud van het armsteunvlak, 5 M. lang. \erder trekken wij uit het uiteinde b eene lijn bf onder de helling 1 op 4, waardoor eigenlijk de verticale projectie abf van het bovenvlak der barbet en van den oprit verkregen is. Met behulp van deze projectie en van de gegeven breedten van barbet en oprit kan men dan de horizontale projectie abefghcd onmiddellijk construeeren. Door de lijnen Sb, be, ef, gh, hc en cS van barbet en oprit moeten nu vlakken gebracht worden die naar beneden eene helling van 1 op 1 hebben, terwijl door de lijnen aS en dS van de barbet vlakken moeten gaan met eene helling naar boven van 3 op 1. Be- ginnen wij met de constructie van een dezer laatste vlakken, zoo vinden wij als doorsnede van het vlak door aS met het armsteunvlak de lijn AA evenwijdig aan aS en op een afstand van|(l,70— 1,10) = 0,20 M. daarvan verwijderd, terwijl A« en ?-S de doorsneden vormen van het bedoelde vlak met de binnentaluds van barbet en borstwering. Het vlak, door Sb onder de helling 1 op 1 naar beneden, snijdt het banket volgens de lijn ik evenwijdig aan ab getrokken en op een afstand van 1,10 — 0,60 = 0,50 M. daarvan verwijderd; iS is de doorsnede van het vlak met het binnentalud der borstwering. Op overeenkomstige wijze zijn de doorsneden geconstrueerd van het vlak, door Sb gebracht, met de verschillende trappen en wel met behulp van lijnen op -}- 0,30, + 0, —0,33 en —0,67 in dat vlak gelegen. De doorsnede jl met den grachtsbodem is bepaald door lijnen op —1 en —1,25 in het vlak te trekken en de snijpunten j en / dezer lijnen, met de op diezelfde diepten liggende grenslijnen van den bodem, met elkander te verbinden. Het vlak, door be onder de helling 1 op 1 aangebracht, projecteert zich in Fig. 2 blijkbaar langs de lijn btn, die uit b onder 45° met de grondlijn getrokken is. Daaruit blijkt dat dit vlak niet den bodem maar het achtertalud van de gracht snijdt, en wel volgens eenc lijn, die zich in m projecteert en dus — zooals bij meting in het profiel blijkt — op een afstand van 0,75 M. beneden het maaiveld gelegen is. De horizontale projectie dezer lijn (Fig. 1) is uit de verticale gemakkelijk aan te geven en loopt evenwijdig aan be. 1 rekt men nu ook in het zijvlak van Sb eene horizontale lijn op — 0,75, zoo is het snijpunt m dezer lijnen een punt dat zoowel op het zijvlak van Sb als op het zijvlak van be gelegen is; bm is derhalve de doorsnede van beide taluds. Verbindt men nu nog de punten l en m die beide liggen op het achtertalud der gracht en op het zijvlak van Sb, zoo is lm de doorsnede van deze taluds. Tot het construeeren van het rechtertalud van den oprit, merken wij op dat dit vlak moet gaan door de hellende lijn ef en een hoek van 45° moet maken met het horizontale vlak. Op grond van het geleerde in de Beschrijvende Meetkunde § 85, beschrijven wij derhalve uit e met eene lijn lang 1,10 M. (de hoogte van e boven het maaiveld) als straal een cirkel en trekken daaraan uit f eene raaklijn fp; deze lijn stelt dan de doorgang van het talud met het horizontale vlak voor. Een deel van dit talud strekt zich onder het horizontale vlak uit en snijdt het achtertalud van de gracht en het talud van be. Om de doorsnede met het eerstgenoemde talud te bepalen, construeeren wij in het talud van ef eene horizontale lijn op —0,75, waartoe wij slechts, op den afstand van 0,75 M. van de hierboven geconstrueerde raaklijn fp, eene lijn evenwijdig aan fp behoeven te trekken. Het punt n, waarin deze lijn de lijn mn van het grachtstalud snijdt, is dan een punt gemeen aan beide taluds, en daar zulks ook inet o het geval is, zoo is no de doorsnede. Het punt n is als punt der lijn mn ook een punt van het talud van be, zoodat en de doorsnede zal zijn van dit talud met het talud van ef. Somtijds kan met vrucht gebruik worden gemaakt van de eigenschap dat de horizontale projectie der doorsnede van twee vlakken, die een gelijken hoek maken met het horizontale vlak, den hoek ge\ormd door de horizontale doorgangen dier vlakken middendoor deelt. Zoo b. v. deelt bm den hoek a/?y en en den hoek Hyo middendoor. De constructiën, uitgevoerd tot begrenzing van de barbet aan de linkerzijde, zullen na bovenstaande uitvoerige beschrijving wel niet nader behoeven te worden toegelicht. Wat betreft de begrenzing der gracht links van de barbet, zoo wordt de lijn qrst geconstrueerd door op een afstand van 0,5 M. lijnen te trekken evenwijdig aan de gevonden grenslijnen op het maaiveld van barbet en oprit. De doorsneden van het talud van qr met de trappen en met den grachtsbodem worden geconstrueerd op dezelfde wijze als hiervoren is aangegeven voor de constructie der lijnen Si, ik en jl. Tot het bepalen van de doorsnede uv van het talud van rs met het achtertalud van de gracht, trekken wij in Fig. 2 uit s, onder een hoek van 45° met de grondlijn, de lijn su die het achtertalud der gracht in u snijdt en wel, zooals bij meting in de teekening blijkt, op een afstand van 0,5 M. beneden het maaiveld. De horizontale projectie uv (Fig. 1) van de onbepaald verlengd gedachte doorsnede van het vlak van rs met het achtertalud der gracht is hieruit dus bekend, 'rekken wij verder in het vlak van st op een afstand van 0,5 M. eene lijn evenwijdig aan st, zoo snijdt deze de lijn uv in u. Trekken wij evenzoo in het vlak door qr gaande eene lijn op —0,5, zoo snijdt deze de lijn uv in v. Door nu u met s en t, cn v mét 'r en het reeds gevonden punt w te verbinden is de horizontale projectie voltooid. J Opmerking. In de practijk wordt de gracht ter plaatse van de barbet veelal verbreed en valt de lijn fg dan gewoonlijk samen met den bovenkant van het achtertalud der gracht. In onze figuur is de verbreeding met opzet weggelaten omdat daardoor de constructie iets ingewikkelder wordt en meer leerrijk voor ons doel. 11 ONDIEPE SCHIETGATEN. g 6. Op plaat D zijn gedeeltelijk aangegeven de plattegrond en het profiel van eene borstwering, waarin wij ondiepe schietgaten zullen snijden, en wel een met afloopende en een met oploopende zool. Wij zullen eerst dat met afloopende zool behandelen. Als gegevens nemen wij aan dat de kniehoogte 1 M. zal moeten bedragen; de zool van het schietgat zal moeten hellen onder 1 op 6 en elke zijwang onder 1 op 1 ; verder wordt gegeven dat de binnenwijdte van het schietgat 0,60 M. moet zijn en het schootsveld 20° zal moeten bedragen. Aangezien het emplacement op -)- 10,80 ligt, en de kniehoogte 1 M. is, trekken wij in het profiel (Fig. 2) op -f- 11,80 eene horizontale lijn die het binnentalud in a snijdt. Hierdoor is de horizontale projectie ab (Fig. 1) van de bovenzijde van het kniestuk te teekenen, indien de as AB van het schietgat gegeven is. Trekken wij verder in Fig. 2 uit a eene lijn ac onder de helling 1 op 6 zoo zal het snijpunt c dier lijn met het buitentalud ons in staat stellen tot het construeeren in Fig. 1 van de horizontale projectie cd van de snijlijn der zool van het schietgat met het buitentalud. De uiteinden c en d liggen ook op de lijnen ac en bd die, omdat het schootsveld 20° moet bedragen, zoodanig uit a en b zijn getrokken dat zij met de as AB hoeken van 10° maken. De zool van het schietgat heeft derhalve bacd tot projectie. De rechter zijwang is een vlak dat door de hellende lijn ac gaat en een hoek van 45° maakt met een horizontaal vlak. Denken wij ons dit horizontale vlak gebracht door het punt a, zoo hebben wij — op grond van § 85 der Beschrijvende Meetkunde — uit c een cirkel te teekenen met een straal gelijk aan het verschil in hoogte der punten a en c dus van 0,90 M., en daaraan uit a eene raaklijn te trekken, om den horizontalen doorgang van den zijwang te verkrijgen. De lezer zal gemakkelijk inzien dat, zoo men den getrokken cirkel beschouwt als het grondvlak van den kegel waarvan in § 85 sprake is, de top van dien kegel beneden dit grondvlak ligt. Trekken wij nu in het vlak van den zijwang en evenwijdig aan den geconstrueerden horizontalen doorgang lijnen op afstanden van 12 — 11,80 = 0,20 M. en van 12,50 — 11,80 = 0,70 M., zoo snijden deze lijnen de projectiën van de buitenkruin en van de vuurlijn in de punten e en f. De rechter zijwang heeft dus afec tot projectie. De linker zijwang is op dezelfde wijze geconstrueerd. Afzonderlijk is in Fig. 3 nog een „standgezicht op het buitentalud" aangegeven, zijnde niet anders dan eene nieuwe verticale projectie kc met behulp van de gevondene horizontale projectie en dé LtSgTrfX Iijk mtit scenc § 7. liet tweede in Fig. 1 geteekende schietgat heeft eene onroopende zool, d,e in de buitenkruin uitkomt en ag (Fig 2) tot verticale projectie heeft. De horizontale projectie ba h van'de zoo "»«<*«,gat „ „rfer teKtond in Fig de as, de bmnenwijdte en het schootsveld gegeven zijn. De rechter z.jwang van het schietgat is een vlak, gaande door aa dat een hoek van 45° met eenig horizontaal vlak maakt. enken wij ons dus een horizontaal vlak door het punt q gebracht en beschrijven wij uit a met eene lijn gelijk 12 — 11 80 — 0 20 M* als straal een cirkel, „ „I de »it , J dï.n drlel i' orizon a en doorgang van den zijwang voorstellen. Trekken wii verder in het vlak van den zij wang, evenwijdig aan dien doorgan» en daarvan op een afstand 12,50-12 = 0,50 M. verwijderd eene pralecfo™ den ? T'!" is d"s ""< * Swl jwan8' De "nker 'ijwan« «p «'■> Met M„lp van plattegrond en profiel kan nu verder gemakkelijk 2;,.i °™Se,°ld """ "" -1' W ondiépe ONTMOETING VAN TWEE BORSTWERINGEN. g 8. Om de doorsnede te construeeren van de twee borst tarêTlieta' aTT-!' 0P/'-E TO»e» J»»r are piohelen A en B en den scherpen hoek waaronder zii elkander moeten ontmoeten, beginnen wij in het buitentalud van borstwering B horizontale hjnen te trekken - met bel,„lp profiel B™ die gelegen q„ „p + U c„ + De ^ , e/ ™ B d» S/71™ 7 d' d™r d' eVe" 1,008 V"*™ 'M'" talud van' R *T"" ribben ' llM buiten- » puni l',n ' 'er,TwiW1 aTTf 'en tszs, rg,:htrij"'dcz Door middel van het standvlak RPS loodrecht op V/V, zijn op de b,!I™ld ,a"de ribb™ der i*1W W ], ; °;,d,!r * "el sll,"1,li,k TOM loodrecht op W^v dient tot constructie van de snijpunten der ribben van de gracht» met het vlak da. v,„ W,W, g,„ « den loodrcch.^w.w" s."m/qi- mede van het eïndt-.lnVl i' g f, bepalen van de doorsnede die gracht 8 Proflel A met ^n bodem van achter Se trïmeenschal3 tusschen de standplaatsen der schutters chter beide borstweringen gemakkelijk te maken, is daartusschen een trap aangelegd hoog 0,30 M„ door de trap op + 0 30va profiel A rechthoekig om te buigen tot aan de lij,, 0p i 0 30 in het binnentalud der borstwering B getrokken. Evenzoo is tt bankeï ontmtet.' °Se"' 6t de HJn °P + °>60 getrokken Tusschen de grachtsbodems van B en A is pph ™ 11 geven _ tot zij de lijnen op —1 en —1,18 evenwijdig aan de lengterichting der gracht getrokken, snijdt in de punten a en b. Om de hellingen der verschillende taluds nog duidelijker te maken, zijn daarin pijltjes geteekend wijzende van boven naar beneden. TRAVERS OP EENE BORSTWERING EN OPRITTEN. § 10. Op de borstwering, waarvan het profiel op PI. G in Fig. 2 gedeeltelijk is aangegeven en die in Fig. 1 in plattegrond is voorgesteld, is tusschen twee emplacementen eene travers gelegd, welker as loodrecht staat op de vuurlijn. Het achtertalud dezer travers valt in het verlengde van het emplacementstalud, hare kruinsbreedte is 4 M., terwijl al hare taluds hellen onder 1 op 1. Het talud van den kop is met de zijtaluds vereenigd door middel van deelen van grondkegels, welker beschrijvende lijnen hoeken van 45° maken met een horizontaal vlak. Op dezelfde wijze wordt ook het achtertalud met het linker zijtalud vereenigd. De travers ligt 1,50 M. boven de vuurlijn en steekt 1 M. voorbij deze lijn uit. Van het terreplein komen wij langs een oprit van 3 M. breedte, die onder de helling 1 op 6 tegen het waltalud is aangelegd, naar den walgang. Rechts van de travers is een oprit van 2,50 M. breedte onder de helling 1 op 4 aangebracht om het geschut te brengen van den walgang naar het emplacement, dat daartoe aldaar verlengd is, terwijl een oprit voor manschappen, ter breedte van minstens 1,50 M., onder de helling 1 op 2 den walgang in verbinding brengt met het emplacement links van de travers. Tot het uitvoeren van de constructiën beginnen wij met in Fig. 2 de verticale projectie van de travers aan te geven. Hiertoe verlengen wij het emplacementstalud met eene lijn dc tot deze de horizontale lijn bc, op -j- 9,50 getrokken, in c snijdt; het punt b ligt 1 M. voorbij de vuurlijn. Door nu nog ba onder 45° met de grondlijn te trekken is de verticale projectie verkregen. Met behulp van deze projectie kunnen wij in Fig. 1 de kruin bede van de travers en de voet af van het voortalud construeeren. De hellende vlakken onder 1 op 1 door bc en ed van de travers gebracht, snijden de plongée, het binnentalud en het emplacement volgens de gebroken lijnen ghkl en mnop, die op de bekende wijze zijn bepaald. Het rechter zijtalud en het achtertalud snijden elkander volgens de lijn cl, terwijl dq en dp de lijnen zijn volgens welke liet achter- en het linker zijtalud raken aan den grondkegel, die d tot top heeft. Om de doorsnede te bepalen van den grondkegel dpq met den oprit, onder de helling 1 op 2 links van de travers aangebracht zullen wij dezen oprit eerst construeeren. Hiertoe trekken wij in Fig. 2 uit e de lijn ef onder eene helling van 1 op 2 en bepalen uit het nu bekende punt f de doorsnede rs (tig 1) van oprit en emplacement. Het punt r van deze lijn ligt ook op den uit d met dp als straal beschreven cirkelboog, die de doorsnede voorstelt van het gebogen oppervlak van den grondkegel met het emplacement. Op die lijn r« is het punt , zoodanig gekozen, dat de bovenbreedte rs van den oprit 1,50 M. bedraagt. oor nu nog door s de lijn st loodrecht op de vuurlijn te trekken en door de hellende lijn st op de bekende wijze een vlak té brengen onder 1 op 1, dat het emplacement en het emplacementstalud snijdt volgens de gebroken lijn sul, is de oprit aan de linkerzijde begrensd. Aan de rechterzijde wordt de oprit begrensd door de doorsnede van den grondkegel d met het vlak van den oprit. Deze doorsnede is een gedeelte van eene ellips, evenals hare horizontale projectie waarvan wij op de volgende wijze meerdere punten «, (3 en y construeeren. Zooals wij in g 136 van de Beschrijvende Meetkunde aangaven, maken wij ook hier gebruik van hulpvlakken, die in dit geval horizontaal zijn en dus den kegel zullen snijden volgens cirkels, welke zich in ware gedaante op het horizontale vlak proiecteeren, en den oprit volgens rechte lijnen. Deze hulpvlakken zijn in Fig. 2 door I, II en III aangewezen, de stralen der cirkels van doorsnede zijn rr, r1r1 en r,r,, terwijl de rechte lijnen zich projecteren in de punten 1, 2 en 3. In horizontale projectie zijn de doorsnede met den kegel cirkels die uit d (Fig. 1) met rr, rr en ?•ƒ, als stralen beschreven zijn en de doorsneden met den oprit de lijnen (1, 1) (2 2) en (3, 3). De punten «, (3 en y, waarin de cirkels door deze lijnen worden gesneden, zijn horizontale projectiën van punten der doorsnede van kegel en oprit. Wanneer wij nu eene vloeiende kromme lijn brengen door de punten r,