J. BADON GHIJBEN. GRONDEN DEIt / ACHTSTE DRUK. BEWERKT DOOK N C. GROTENDORST, Hoogleer aar EN J W. C BEELENKAMP, Leeraar aan de K. M. A. TWEEDE DEEL. TEKST. BREDA. DE KONINKLIJKE MILITAIRE ACADEMIE. 1 9 0 2. I J. BADON GHIJBEN. GRONDEN DER BCIIJïlI MEETKUNDE. ACHTSTE DRUK. /agadX (LlJOn.BATj \MB hJ BEWERKT DOOR N. C. GROTENDORST, Iloogleeraar EN J. W. C. BEELENKAMP, Leeraar aan de K. M. A. TWEEDE DEEL. TEKST. BREDA. DE KONINKLIJKE MILITAIRE ACADEMIE. 1 9 0 2. TWEEDE DEEL. Gebogen oppervlakken. Schaduwen. Perspectief. Voorrede bij den Achtsten Druk van het Tweede Deel. Behalve door het aanbrengen van eenige verbeteringen, onderscheidt deze druk zich van den voorgaanden, door het overbrengen van een gedeelte van de algemeene beschouwingen over kromme lijnen en gebogen oppervlakken naar de hoofdstukken, waarin de verschillende hoofdtypen van oppervlakken behandeld zijn. De omwentelings-hyperboloïde met één blad heeft thans eene plaats gevonden in het hoofdstuk over de omwentelingsoppervlakken. De scheeve oppervlakken van den tweeden graad zijn uitvoeriger dan vroeger behandeld. Het hoofdstuk over de axonomelrische perspectief is omgewerkt en vermeerderd met een aantal constructiën in het tafereel, waardoor eene ruimere toepassing van deze perspectief kan gemaakt worden. In de werkstukken tot oefening zijn verschillende vragen opgenomen, welke opgegeven werden bij de Examens B aan de Polytechnische School te Delft. N. C. GROTENDORST. J. W. C. BEELENKAMP. Breda, 1 October 1902. INHOUD. GEBOGEN OPPERVLAKKEN. A. De bol. Bladz. § 145. Alvorens eene algeineene beschouwing over oppervlakken te geven, zal de bol behandeld worden 1. § 140. Bij de werkstukken over den bol, en ook later, moet men herhaaldelijk de projectie van een cirkel bepalen. Deze projectie is in het algemeen eene ellips. ... i. § 147. Wat men verstaat door de assen eener ellips. Constructie van punten eener ellips, wanneer de assen gegeven zijn 2. Opmerkingen, a. Elk punt eener lijn van constante lengte, die zich zoodanig beiveegt dat de tiiteinden blijven in twee loodrecht op elkander staande lijnen, beschrijft eene ellips 3. b. Een kromme lijn, die zich als een cirkel projecteert, zal in het algemeen eene ellips zijn 3. § 148. Wat men verstaat door aan elkander toegevoegde middellijnen. Constructie van de ellips op toegevoegde middellijnen ■ . Opmerking. Eene andere constructie van de ellips op toegevoegde middellijnen 6. § 149. Constructie der assen eener ellips, wanneer twee toegevoegde middellijnen gegeven zijn 6. § 150. Eene eenvoudiger constructie van hetzelfde werkstuk. 7. § 151. Uitvoering der volgende constructiën: 1". In een gegeven punt eener ellips eene raaklijn a^r) deze kromme lijn te trekken. Bladz. 2°. Uit een gegeven punt buiten eene ellips eene raaklijn aan deze kromme lijn te trekken. 3°. Aan eene ellips eene raaklijn te trekken , die evenwijdig is aan eene gegeven lijn. 4°. De snijpunten te bepalen van eene rechte lijn met eene ellips Noot. Deze constructiën kunnen ook verricht worden als tivee toegevoegde middellijnen gegeven zijn. Andere constructie voor eene ellips • Noot. Constructie van het snijpunt eener ellips met eene lijn, die door het middelpunt gaat • ■ $ 152. Werkstuk. De projectiën te bepalen van een cirkel in willekeurigen stand §153. Aanwijzing van de merkwaardige punten in de projectiën van den cirkel § 154. Werkstuk. Een bol op de projectievlakken voor te stellen en een punt op het oppervlak aan te nemen. ... 13. Noot. Over het onjuiste der benaming: projectiën van den bol. 13. § 155. Werkstuk. De doorsnede te construeeren van een bol met een willekeurig plat vlak s 156. Werkstuk. De snijpunten te construeeren van eene willekeurige rechte lijn met het oppervlak van een bol. 17. § 157. Werkstuk. De doorsnede van twee bollen te construeeren. 18. 8 158. Door het voorgaande werkstuk leert men ook: uiteen gegeven punt als middelpunt een bol te beschrijven, die een gegeven bol raakt _• 8 159. Werkstuk. De doorsnede der oppervlakken van drie o 4 O bollen te construeeren §160. Werkstuk. Den bol te construeeren, welks oppervlak door vier gegeven punten gaat. . 8 161. Werkstuk. Aan een bol eene raaklijn te trekken even- O ... yM wijdig aan eene gegeven lijn . . "1- § 162. Werkstuk. Uit een gegeven punt buiten een bol eene raaklijn aan dien bol te trekken. 8 163. Werkstuk. Aan een bol den omhullingscylinder te construeeren , waarvan de beschrijvende lijn evenwijdig is aan eene gegeven lijn en de projectiën te bepalen van den aanrakingscirkel §164. Werkstuk. Aan een bol den omhullingskegel te construeeren , waarvan de top gegeven is, en de projectiën te bepalen van den aanrakingscirkel 2d' Bladz. § 165. Werkstuk. Indien de projectiën van twee bollen gegeven zijn, vraagt men de toppen van hunne gemeenschappelijke omhullingskegels te vinden 24. § 166. Werkstuk. Door een gegeven punt op het oppervlak van een bol een raakvlak aan dien bol te brengen. . 26. § 167. liet construeeren van den verticalen doorgang van een raakvlak aan een bol, wanneer de horizontale doorgang gegeven is 26. §168. Oplossing van het werkstuk: door eene lijn in het horizontale vlak een vlak te brengen, dat een gegeven bol volgens een kleinen cirkel van gegeven grootte snijdt 26. § 169. Het construeeren van een raakvlak aan een bol, evenwijdig aan een gegeven vlak 27. § 170. Werkstuk. Door eene gegeven lijn een vlak te brengen, dat een gegeven bol raakt 27. §171. Verschillende andere wijzen, waarop het voorgaande werkstuk kan opgelost worden. Constructie van Monge. 28. § 172. Eene eenvoudiger constructie voor hetzelfde werkstuk, die ook toegepast kan worden, indien de voorgaande onbruikbaar wordt 30 § 173. Werkstuk. Door een gegeven punt een vlak te brengen, dat twee gegeven bollen raakt 31 § 174. Werkstuk. Een vlak te construeeren, dat drie gegeven bollen raakt § 17o. Werkstuk. In eene gegeven driezijdige pyramide, die met haar grondvlak op het horizontale vlak staat, een bol te construeeren 33 §176. Andere constructiën voor hetzelfde werkstuk. ... 34. Oefeningen 94—111 36 B. Algemeene beschouwingen over kromme lijnen en gebogen oppervlakken. § 177. Onderscheiding der kromme lijnen in die van enkele en van dubbele kromming. De laatste hebben altijd kromlijnige projectiën. Noodige voorzorg om bij gesloten krommen dubbelzinnigheid te vermijden. Bladz. Men verkrijgt de kromme lijnen meestal als doorsneden van oppervlakken of ook bij aanraking van oppervlakken zelden als de meetkundige plaats van een zich bewegend punt 8 178. Wat in het algemeen door eene raaklijn aan eene kromme lijn verstaan wordt. Elk punt eener kromme heeft zijne bijzondere raaklijn, die in het raakpunt een element met haar gemeen heeft. Wanneer eene rechte en eene kromme lijn elkander raken, zullen ook in het algemeen hare gelijknamige projectiën elkander raken en de raakpunten van die projectiën zullen de projectien zijn van het raakpunt in de ruimte. Is de wording eener kromme lijn bekend, dan kan men meestal de raaklijn construeeren , zonder de projectiën der kromme liin te kennen. De constructie der raaklijn kan dan dienen tot het nauwkeuriger teekenen van de projec- ^ tiën der kromme , ' ' ' 8 179. Wat men verstaat door den hoek, waaronder eene kromme eene andere kromme lijn, eene rechte lijn of ^ een vlak snijdt • • §180. Wat men bij eene kromme lijn verstaat door een langentiaal- of osculeerend vlak §181. Het normale vlak, de normalen en de hoofdnormaal van ^ eene kromme lijn in eenig punt §182. Tot de merkwaardigste lijnen van dubbele kromming behooren de gewone schroeflijn en de loxodromische lijn. Tot de belangrijkste vlakke krommen behooren de ^ kegelsneden • ' " ' ' §183. De doorsnede van een recht cirkelvormig kegel vlak me een plat vlak is in het algemeen eene ellips, eene parabool of eene hyperbool 8 184. De ellips heeft de eigenschap, dat de som der afstanden van elk punt der kromme tot twee vaste punten, in het vlak der kromme, constant is. Aan deze punten geeft men den naam van brandpunten. De kromme lijn is dezelfde, die wij bij het projecteeren van een cirkel leerden kennen. Constructie der ellips op grond van bovengenoemde eigenschap. Het is altijd mogelijk een gegeven kegelvlak te snijden volgens eene gegeven ellips • ' ' * " DIadz. § 185. Bij eene hyperbool is het verschil der afstanden van elk punt tot twee vaste punten in het vlak der kromme constant. De twee vaste punten noemt men ook hier brandpunten. Wat men verstaat door de tweede of toegevoegde as. Hoe men een kegelvlak kan snijden volgens eene gegeven hyperbool 44. § 186. De parabool heeft de eigenschap, dat elk punt der kromme even ver verwijderd is van eene lijn als van een punt. De lijn en het punt liggen in het vlak der kromme en worden de richtlijn en hel brandpunt der parabool genoemd. Wat men verstaat door de parameter. Hoe men een gegeven kegelvlak kan snijden volgens eene parabool met gegeven parameter . . . 45. § 187. Wat men verstaat door de richtlijnen eener ellips of hyperbool. De meetkundige plaats van alle punten , wier afstanden tot een gegeven punt en eene gegeven lijn eene standvastige verhouding k hebben, is eene kegelsnede en wel eene ellips, parabool of hyperbool, naarmate k kleiner dan, gelijk aan of grooter dan 1 is ... . 46. § 188. De raaklijn in eenig punt eener kegelsnede. Wat men bij de hyperbool verstaat door hare asymptoten. De parabool bezit geen asymptoten 47. § 189. Het construeeren van eene raaklijn aan eene kegelsnede in een willekeurig punt. Gebruik van den richtcirkel bij ellips en hyperbool . 49. § 190. Het trekken van eene raaklijn aan eene kegelsnede uit een punt buiten de kromme 51. §191. Het construeeren van eene raaklijn aan eene kegelsnede evenwijdig aan eene gegeven lijn 52. § 192. Het construeeren der snijpunten van eene gegeven lijn met eene kegelsnede 53. § 193. Middel om te onderzoeken van welken aard de doorsnede van een recht cirkelvormig kegelvlak met een plat vlak is 53 Oefeningen 112—125 54. § 194. Een gebogen oppervlak van bepaalde wording is de meetkundige plaats van opvolgende standen eener beschrijvende lijn, welker beweging door richtlijnen, richlvlakken, enz. bepaald is. Het kan uit bladen bestaan. Welke oppervlakken tot eenzelfde geslacht behooren . 50. uifiaz. 8 195. De kegelvlakken. Wat een kegelvlak is en hoe het ontstaat. Het heeft een top, eene richtlijn, en bestaat uit twee bladen. Wat in het algemeen een kegel en zijn grondvlak is. De rechte cirkelvormige is de eenvoudigste. Er is ook een scheeve cirkelvormige kegel ..... 8 196. De cylindervlakken. Wat een cylïndervlak is en hoe het ontstaat. Het heeft eene richtlijn. Wat in liet algemeen een cylinder en zijn grond- en bovenvlak zijn. Onderscheiding der cylinders in rechte en scheeve. De rechte cirkelvormige is de eenvoudigste. Er is ook een ^ scheeve cirkelvormige cylinder '' 8 197. Wat men door regelrechte oppervlakken verstaat. Zij worden onderscheiden in ontwikkelbare en scheeve. Tot de eerste soort behooren de kegel- en de cylindervlakken en de algemeen ontwikkelbare oppervlakken 8 198 De omwentelingsoppervlakken. Wat zulk een oppervlak is en hoe het ontstaat. Het heeft eene omwentehngsas, parallelcirkels en meridianen. Elk paar meridianen ligt in een meridiaanvlak; welk paar men hoofdmeridianen noemt. Wat men door een omwentelingslichaam en zijne beschrijvende figuur verstaat. In welk geval zulk ^ een lichaam ringvormig is §199. De oppervlakken van den tweeden graad. 1 °. de ellipsoïde. 2°. de hyperboloïde met één blad. 3°. de hyperboloïde met twee bladen. 4°. de elliptische paraboloïde. 5°. de hyperbolische paraboloïde 8 <900 Het middel om oppervlakken van bepaalde wording op de projectievlakken voor te stellen, bestaat in het projecteeren van verschillende standen der beschrijvende lijn. Onder deze standen zijn dikwijls sommigen, als grenslijnen, bijzonder geschikt tot de voorstelling van ^ het oppervlak .* ' ' ' ' §201. Andere oppervlakken kan men, op projectievlakken, ^ slechts bij benadering voorstellen. . . • • • • / 8 202. Raakvlakken. Wat men door een raakvlak in eenig punt P aan een oppervlak verstaat. Het bevat alle raaklijnen in P aan de kromme lijnen, die op het oppervlak door dit punt kunnen getrokken worden. . Bladz. § 203. Een raakvlak is te beschouwen als het verlengde van een element van het gebogen oppervlak. Een ontwikkelbaar oppervlak wordt geraakt volgens eene beschrijvende lijn , de overige oppervlakken in een enkel punt. Uitzonderingen hierop. Wat men verstaat door eene normaal, een normaal vlak en eene normaalsnede . . 69. § 204. Een raakvlak wordt bepaald door de raaklijnen aan twee doorsneden. Bij de regelrechte oppervlakken ligt de beschrijvende lijn van het raakpunt in het raakvlak, en zij is eene lijn van aanraking of van doorsnijding, naarmate het oppervlak ontwikkelbaar of scheef is. Voor een gegeven raakpunt verkrijgt het raakvlak een bepaalden stand; is er geen raakpunt gegeven , dan kan men het raakvlak aan verschillende voorwaarden laten voldoen. Omhullingskegel- en cylindervlakken ... 70. § 205. In welk geval twee gebogen oppervlakken elkander raken, hetzij in een raakpunt, hetzij volgens eene lijn van aanraking 73_ § 206. bnuding van gebogen oppervlakken. Aanwijzing van twee verschillende wegen tot het construeeren van de doorsnede van een gebogen oppervlak met een plat vlak. 73. § 207. Hulpmiddelen tot het construeeren der doorsnede van twee gebogen oppervlakken. Welke hulpvlakken daarbij bij voorkeur in aanmerking komen 74. C. Kegel- en cylindervlakken. § 208. Werkstuk. Een kegelvlak, waarvan de top en de richtlijn gegeven zijn, op de projectievlakken voor te stellen . 76. § 209. Het aannemen van een punt op het oppervlak ... 77. §210. Werkstuk. Een cylindervlak, waarvan de richtlijn en de richting der beschrijvende lijn gegeven zijn, op de projectievlakken voor te stellen 78. §211. Het aannemen van een punt op het oppervlak ... 79. § 212. Werkstuk. In een gegeven punt van een gegeven kegel- of cylindervlak een raakvlak aan het oppervlak te brengen. 79. § 213. ]\erksluk. Aan een gegeven kegel- of cylindervlak een raakvlak te brengen, dat door een gegeven punt buiten het gebogen oppervlak gaat 80. Bladz. §214. Werkstuk. Aan een gegeven kegel-of cylindervlak een raakvlak te brengen, dat evenwijdig is aan eene gegeven lijn °** §215. Opmerking omtrent de laatste werkstukken. Het zal in het algemeen niet mogelijk zijn, aan een kegel- of cvlindervlak een raakvlak te brengen, dat door eene ... , 09 gegeven lijn gaat 0 §216. Werkstuk. Aan twee kegelvakken met gemeenschappelijken top, of aan twee cylindervlakken met evenwijdige beschrijvende lijnen, een gemeenschappelijk raakvlak te brengen 82. §217. Aan twee willekeurige kegel- en cylindervlakken kan in het algemeen geen gemeenschappelijk raakvlak gebracht worden ^3. §218. Werkstuk. De doorsnede te bepalen van een cylindervlak , waarvan de beschrijvende lijn loodrecht staat op het horizontale vlak, met een vlak dat loodrecht staat op het verticale vlak. De projectiën aan te geven van eene raaklijn in een willekeurig punt der doorsnede. Het cylindervlak met de daarop liggende lijn van doorsnede te ontwikkelen. Buigpunten 83. Noot. Over het construeeren bij benadering van eene lijn, die even lang is als de boog van eene gegeven kromme lijn in hel algemeen en van een cirkel in het bijzonder. . . 84. §219. Werkstuk. De doorsnede te bepalen van een cylindervlak, waarvan de beschrijvende lijn loodrecht staat op het horizontale vlak , met een willekeurig gegeven hellend vlak. De projectiën aan te geven van de raaklijn in eenig punt der doorsnede. Het cylindervlak met de daarop liggende lijn van doorsnede te ontwikkelen .... 86. § 220. Werkstuk. De doorsnede te bepalen van een willekeurig gegeven cylindervlak met een vlak loodrecht op de beschrijvende lijn. Ontwikkeling van het gedeelte van het oppervlak, begrensd door het horizontale en het snijdende vlak 88. § 221. Werkstuk. De doorsnede te bepalen met het horizontale vlak van het omhullingscylindervlak van een gegeven bol, welks beschrijvende lijn een gegeven richting heeft. . 90. § 222. Men maakt van het voorgaande werkstuk gebruik als men een gemeenschappelijk raakvlak wil brengen aan een cylinder en een bol ... 91. Bladz § 223. Werkstuk. De doorsnede te bepalen van een willekeurig gegeven cylindervlak met een gegeven hellend vlak . 91. § 224. Wat men verstaat door eene schroeflijn. Nadere verklaring van de gewone schroeflijn; as, straal, beginpunt, hellingshoek, schroefgang, hoogte van den schroefgang of spoed 92. Noot. Over de ontwindende kromme van den cirkel . . 93. § 225. Werkstuk. Op een gegeven cylindervlak, waarvan de beschrijvende lijn loodrecht staat op het horizontale vlak, eene schroeflijn te construeeren, waarvan de spoed gegeven is. Voorts de projectiën te bepalen van de raaklijn en van de hoofdnormaal in een punt der schroeflijn 93. Opmerking. Hoe men een punt op de schroeflijn kan aannemen, zonder de kromme vooraf te teekenen .... 94. § 220. Werkstuk. Een vlak, loodrecht op het verticale, snijdt een rechten cirkelvormigen kegel, welke met zijn grondvlak op het horizontale vlak staat, volgens eene ellips. Construeer de projectiën der doorsnede en van de raaklijn in eenig punt. Ontwikkel het oppervlak. ... 95 § 227. Werkstuk. Een vlak, loodrecht op het verticale vlak, snijdt een rechten cirkelvormigen kegel, welke met zijn grondvlak op het horizontale vlak staat, volgens eene hyperbool. Construeer de projectiën der doorsnede en die der asymptoten van de hyperbool. Ontwikkel het oppervlak 97. Opmerking. Wanneer de ontwikkelde kromme geene huigpunten heeft , , . 99, § 228. Werkstuk. Indien een bol en een punt buiten den bol gegeven zijn, vraagt men de doorsnede met het horizontale vlak te construeeren van den omhullingskegel aan den bol, welke het gegeven punt tot top heeft . 99. § 229. Men maakt van het voorgaande werkstuk gebruik, als men een gemeenschappelijk raakvlak wil brengen aan een gegeven kegelvlak en een gegeven bol 101. § 230. Werkstuk. Eene gegeven lijn in het horizontale vlak is de beschrijvende lijn waarmede een rechte cirkelvormige kegel van gegeven tophoek op het horizontale vlak rust. Bepaal de projectiën van dien kegel en de projectiën van een willekeurig punt op het oppervlak. 101. Bladz. g 231. Werkstuk. De doorsnede te construeeren van een willekeurig gegeven kegelvlak met een gegeven hellend vlak m' D. Algemeen ontwikkf.lrare oppervlakken. § 232. Wat men door 7.ulk een oppervlak verstaat en hoe het voortgebracht wordt. Het oppervlak bevat eene keet lijn; deze lijn is altijd van dubbele kromming en bepaalt het oppervlak volkomen 8 233 Behandeling van het ontwikkelbaar schroefvlak als voorbeeld • _ i05" 8 234- Constructie van een raakvlak in eenig punt van het ii ... 106. oppervlak . § 235. Constructie van een raakvlak door eenig punt buiten het oppervlak ^1' § 236. Ontwikkeling van het oppervlak Oefeningen 126— ^ E. Omwentelingsoppervlakken. 8 231 Werkstuk. Een omwentelingsoppervlak op de projectie- vlakken voor to stellen en een punt op het oppervlak , ... 112. aan te nemen 8 238. Het raakvlak in eenig punt van een omwentelmgsoppervlak staat loodrecht op het meridiaanvlak van het raakpunt. De normaal van het punt snijdt de omwen- .i- .... 114. telingsas § 239. Werkstuk. In een gegeven punt van een omwentelingsoppervlak een raakvlak aan dit oppervlak te brengen en de normaal te construeeren Opmerking. Wanneer het raakvlak niet bestaat; wanneer het vlak hel oppervlak raakt volgens een cirkel . . .115. 8 240. In verband met voorgaande beschouwingen kunnen gemakkelijk de volgende werkstukken worden verricht. Bladz. 1°. Aan een omwentelingsoppervlak een raakvlak te construeeren, dat evenwijdig is aan een gegeven vlak; 2". Door een gegeven punt een vlak te brengen, dat een gegeven hoek maakt met het horizontale vlak en een gegeven omwentelingsoppervlak raakt . .110. §241. Werkstuk. Aan een gegeven omwentelingsoppervlak een raakvlak te brengen, gaande door een gegeven punt buiten het oppervlak, zoodanig dat het raakpunt op een gegeven parallelcirkel ligt 110. Opmerkingen. Twee, andere oplossingen voor hetzelfde werkstuk § 242. Werkstuk. Aan een gegeven omwentelingsoppervlak een raakvlak te brengen, gaande door een gegeven punt buiten het oppervlak, zoodanig dat het raakpunt op een gegeven meridiaan, ligt , voor de 7de regel v. 0. te plaatsen: § 272 » 295, regel 10 v. 0. staat: Pt=pPn, lees: pt = pP„. GEBOGEN OPPERVLAKKEN. A. DE BOL. § 145. Alvorens eene algeraeene beschouwing te geven over de gebogen oppervlakken, zullen wij den bol behandehfn o,nZ het oppervlak van dit hchaam ook onafhankelijk van die beschouwing k n besproken worden. De eigenschappen van den bol, d77e Stereometrie ons deed kennen, zijn voldoende om de constructiën in t ISlSe" de' die °P "" °PPer,"k ***"•* «»'■ , ,§ ",G' , ,B!'Lde Werkstukken over den bol, en ook later, komt en cirkel 7o T'\ 7 ^ F°jeCti6n te bePalen hebben ™ een cirkel. Zoo komt b. v. het bepalen van de doorsnede van een doorsnede6,1 W f "7 °P het ProJecteere« ™n den cirkel van , ' IJ . zu".en tlaai'om het projecteeren van een cirkel als eerste werkstuk in dit hoofdstuk opnemen. Is het vlak van den cirkel evenwijdig aan een der projectievlakken dan zagen wij reeds in § 15, dat de projectie op dit vlak O !1 en ge ij vormig is met dien cirkel, terwijl de projectie op het weede vlak dat weer loodrecht op het eerste gedacht wordt^eene den cirkel.'"1 'g ^ ^ M 1S' ^ M 'engte heeft de middulliin van vlakken ^daf i! 7" ^1°™ Sta"d ^ °pzichte Van de P-ojectiekromme' Ift ' , °P C,k dezer v,akke» — gesiofene word ' ï' a V 66,16 PS' De genschappen dezer kromme worden ,n de Analytische Meetkunde uitvoerig behandeld. De kennis van enkele dezer is voor de later uit te voeren constructiën onmisbaar en daarom zullen deze hier in bet kort S Ml Zii M (Fis. 124) het middelpunt van den cirkel ADBC, dien wij wenschen te projecteeren, b. v. op het horizontale vlak en V V de doorsnede van het vlak van den cirkel met het horizontale . vlak! Duidelijkheidshalve is dit vlak hier niet geteekend. Trekken wij in den cirkel eene middellijn AB "n V^' 'dus evenwijdig aan het hori«ont«le vlak, en eene middellijn CD 1 recht op v.v" dos nek le.drecht op AB, d,„ al de projec.. AB vun AB gelijk en evenwijdig rij» » AB, terwijl de p,oj<*t.e CD van de middellijn CD loodrecht Ml staan op V,V,, dos ook op A i* ~ den c,kel - het B—« » ABkprojecte'eren ,4 in w.re groot,, in E'F' evenwijdig aan A'B', dus ook loodrecht op C D , en weiden in è' door CrD' middendoor gedeeld. De punten E en F >ggen ft» symmetrisch ten oprichte van CV. Koorden "" CD nroiecteeren zich in G'H evenwijdig aan C D e worden in g door A'B' loodrecht middendoor gedeeld; G' en II liggen enave symmetrisch ten opzichte van ^' m t men de Dp assen van symmetrie Ad en ^ u uli emp i A'R' hpet meer in het bijzonder de groole hoofdassen der kromme; AB heet meer j CD' de - va,, dLe»f . ^e »' iZXM S- heet de Wee 9,,.,e P'M' M'D' = b de halve kleine as der ellips. Zijn~o en b bekend, dan kan men gemakkelijk willekeurige punten G' H' enz. van de projectie construecren. Uit de figuur toch bhjkt, dat G'H' = GH cos denken we JlXUSA'CB' gewenteld om A'B' totdat C verticaal hoven Z.XfiC' dan.de pr0J'ectie van het Pl,nt C van den cirkel terwijl II op de projectie van den cirkel zal liggen, dus op de ellips, indien is aangetoond dat /H'=/HX — Cl Uit de gelijkvormige driehoeken M'KA en Wl\g' volgt: K/c: g'ü = M'K : M'H == M'C': M'C = b: a en derhalve is: U = g'ti'=g'II X — a Door op te merken dat: M k: M'K = My: M'II of Wk : M7 == M'g'; M'B' dus dat m'l door k in dezelfde reden wordt verdeeld als m'b' door a' conXueeren "°g °P 66,16 a"dere *** pUnten H' van de «»ips Hiertoe heschryven wij een kwart cirkel met M'l=b tot straal rf f" * rciïï®";; deelpunten g , verkregen door M'B' (Fi°- 120) in pen n- n i deelen te verdeelen als M7. ° ~ g J aa' mo!lVdaeVLeI!ieSheeH V,°,d06nd PUnte" geco^™eerd, dan worden. 661,6 V'°eiende kr0mme hJ» veree»''gd kennen ^ SUb * ZUlIe" Wij "°g C6ne andere constl'uctie leeren Opmerkingen, a. Trekt men in Fii? 197 nw tl' -jI1M' eene liin H'T a- j g Ult 11 eve"Wijdlg aan Tidt Tan I h'T- PM' ,gl;00te 38 in U en de kleine as in t j , dan is h t _ hm = halve groote as en il'u = km' = halve stante len^ to'P$' u bliJkt dat wanneer eene lijn van con- velofh zich zoodanig beweegt dat de uiteinden blijven in pu H die ,°P ^"'n- St3ande reChte 'Ü™. ee» wi"ekearig langs die val 1" eene)ieIllPs z;>' beschrijven, welker halve assen langs die vaste lijnen vallen en gelijk zijn aan H'T en Il'U met ee"reopie »ier te eeven On dit tpIM i • i g d> Puntei) eener ellips aan f Mi,nP4 afl Sr1 -5 wentelen totdat liet punt B' verticul To.en / komt Te liggen "rf het punt H' zich in het punt K projecteeren. De projectie van de ellips wordt dan een cirkel. Evenals dus de projectie van een cirkel op een vlak in hét algemeen eene ellips is, zal eene vlakke kromme lijn, die zich als een cirkel projecteert, in het algemeen eene ellips zijn. 8 148. Trekt men in den te projecteeren cirkel (Fig. 129) twee loodrecht op elkander staande middellijnen AB en CD zoodanig dat geene dezer lijnen evenwijdig is aan V.V,, dan zullen zg zich wel in A'B' en C'D' als middellijnen van de ellips projecteeren, doch die projectiën zullen niet loodrecht op elkander staan. De projectie.» van een dergelijk stel middellijnen van den cirkel noemt men toegevoegde middellijnen van de ellips. Daar koorden evenwijdig aan C'D' door A'B' worden middendoor gedeeld, is A'B' te beschouwen als de meetkundige plaats van de middens der koorden evenwijdig aan C'D'; evenzoo is C'D' de meetkundige plaats van de middens der koorden evenwijdig aan A'B'. Aangezien nu de eene middellijn de koorden evenwijdig aan de andere getrokken middendoor deelt, noemt men deze middellijnen aan elkander toegevoegd. Het zal duidelijk zijn, dat de raaklijnen in de uiteinden van eene middellijn, b. v. in A' en B' evenwijdig z.jn aan de toegevoegde middellijn. ., . . Het parallelogram a'b'c'd', door de raaklijnen in de uiteinden van twee toegevoegde middellijnen gevormd, heet parallelogram op toegevoegde middellijnen. De hoofdassen der ellips zijn de een.ge toegevoegde middellijnen, die loodrecht op elkander staan. Het hierboven bedoelde parallelogram gaat daarbij over in den rechthoek op de assen, in Fia:. 124 is a'b'c'd' die rechthoek. Door den rechthoek op de assen aan te geven, wordt het teekenen van de ellips uit de hand gemakkelijker. Het gebeurt dikwijls, dat men niet dan langs een zeer omslachtigen weg de middellijnen van den cirkel kan aanwijzen, welke zich projecteeren als de assen der elliptische projectie. In zulk een geval neemt men twee andere loodrecht op elkander staande middellijnen des cirkels, die dan in pro jectie de grootte en richting aanwijzen van twee aan elkander toege- V01Wij6 rallen \u aantoonen, dat men ook met behulp van die middellijnen punten der ellips kan construeeren. De daartoe nood.ge constructie is bekénd onder den naam van constructie der eüips op twee toegevoegde middellijnen, in onderscheiding van de in voorgaande paragraaf behandelde constructie van de ellips op de assen. >ijii AL. en CD' (Fig. 129) de projectiën van de twee loodrecht op elkander staande middellijnen AB en CD van den cirkel en is 1 O de projectie van een halve koorde PQ loodrecht op AB, dan is: p'Qf _ C'M' A'Q' B'Q' A'M' PQ CM en ~T(f ==~Brr=~rr- Uit PQ2 = AQ.QB volgt, in verhand met het voorgaande, P'ö,1 = PQ1'TJr=AQ'QB-—abp C'M'2 CM2 ~ CM2 A'M' ' A'M' ' ' CM» — C'M'2 = A'0'. Q'B'. A'M'1' Men verkrijgt derhalve de volgende constructie: Beschrijf op A'B' (Fig. 130) als middellijn een cirkel, trek daarin de middellijn cd en een willekeurige koorde pr loodrecht op A'B', verbind c met C' en trek vervolgens uit p en r de lijnen p?' en ril' evenwijdig aan cC', dan snijden deze de lijn, door Q' evenwijdig aan CD getioKken, in twee punten P' en R' die op de ellips liggen. Immers uit de constructie volgt: P'Q' = jaQ'. C'M'^ cM' maar pQ'2 = A'Q'. Q'B' en cM'= A'M' dus : P'Q'2 = A'Q'. Q'B'. -^1 v v A'M'1 evenals boven. Aangezien R'Q' = P'Q', behoeft men slechts het punt P' te construeeren om tevens het punt R' te vinden. Trekt men verder '10S lijnen uit P en R door M en zet men op die lijnen stukken MN = P M en M I' = R'M' af, zoo worden nog twee punten N' en T' der ellips gevonden. Wil men een Punt der ellips construeeren, dat op eene bepaalde middellijn is gelegen, b. v. het punt P' als de richting van de middellijn M'P' is gegeven, zoo neemt men een willekeurig punt U' op MP aan, construeert driehoek U'Vn gelijkvormig met driehoek CM c en trekt door M' en u eene lijn die den cirkel in p snijdt. De lijn door p evenwijdig aan cC' getrokken zal dan de gegeven middellijn in het gevraagde punt I'' snijden. Dat dit punt op de ellips is gelegen, toont men aan uit de gelijkvormigheid van den driehoek pP'Q' met driehoek «U'V en dus ook met driehoek cC M , hetgeen onmiddellijk uit de figuur blijkt. Na een voldoend aantal punten van de ellips geconstrueerd te hebben, teekent men nu nog het parallelogram op toegevoegde middellijnen a'b'c'd'. De kromme lijn die door de geconstrueerde punten gaat en raakt aan de zijden van het parallelogram in de punten A', C', B' en D' zal dan de gevraagde ellips zijn. Opmerking. Wanneer in Fig. 130 de lijnen M'B' en MG even groot zijn als de lijnen M'B' en M'G' van Fig. 127, en tevens M'Q' (Fig. 130) = My (Fig. 127), dan zal ook P'Q' gelijk zijn aan II'g'. In Fig. 130 toch is: pQ': P'Q' = cM': C'M' en in Fig. 127: IIg': Hy = CM': C'M' en daar in beide evenredigheden de 1ste, 3de en 4de termen aan elkander gelijk zijn, zoo is ook P Q = Hg . Hieruit blijkt, dat men nog op eene andere wijze de constructie van eene ellips op twee toegevoegde middellijnen kan uitvoeren." Volgens § 147 beschrijft men hiertoe een kwart cirkel met M'G' als straal, bepaalt daarin de lengten van de koorden en brengt deze over in Fig. 130, na vooraf M'B' in dezelfde reden verdeeld te hebben als de straal van den kwart cirkel. Eene toepassing van deze constructie maakten wij reeds op Plaat II van het Aanhangsel behoorende bij het Eerste Deel van dit werk. $ 149. Het is niet moeilijk om in eene aldus geconstrueerde ellips ook de assen aan te wijzen. Uit de constructie toch volgt zonder veel moeite, dat de raaklijnen EF en Gil aan den cirkel, evenwijdig aan de lijn cC' getrokken, tevens de ellips zullen raken (de lijn EF b. v. raakt den cirkel in s en de ellips in S'). Merken wij verder op, dat de lijn rP' evenwijdig loopt aan dC' en men dus het punt P' ook had kunnen beschouwen als het snijpunt der lijnen Q'P' en rp', die respectievelijk evenwijdig zijn getrokken aan M'C' en projecteert zich als kleine as. Voor het construeeren van meerdere punten, ook de merkwaardige punten en raaklijnen aan deze ellips, verwijzen wij naar §152. Om de verticale projectie te vinden, moeten wij dezelfde constructie op het verticale vlak uitvoeren. In elk der projectiën komen, behalve de vroegei in § 15ó aan e wezen merkwaardige punten, nu nog twee punten voor, alwaar e afscheiding plaats heeft van het zichtbare en onz.chtbare gedeelte dei doorsnede. Om die punten in de horizontale projectie aan te geven, denken wij ons een horizontaal vlak W gebracht door het m.dde punt van'den bol; het gedeelte van de doorsnede, dat.hoven,d vlak W ligt, zal dan in horizontale projectie zichtbaar zijn, terwij het andere deel als liggende op de onderzijde des bols, onzichtbaar Ïal wezen Het vlak W snijdt den bol volgens een groeten cirkel en het vlak V volgens eene lijn, die zich op het standvkk X^s in het Dunt K'", L'" projecteert. Hieruit vinden wij dus R en L. als de horizontale projectiën dier snijpunten, zijnde de verlangde ''"op"overeenkornstigè^ wijze zijn in de verticale projectie de punten R Indien w^he't punt P„ bepalen waar het punt P komt, indien het vlak V om zijn horizontalen doorgang wordt neergeslagen, zoo 's de ciikel uit P met PC als straal beschreven, de verlangde doorsnede in ware gedaante. ° Ging het gegeven vlak V door het middelpunt (M', M") van den bol dan zouden de punten M en P één en hetzelfde punt van vV worden; derhalve zou dan CD eene middellijn - en de uit P beschreven cirkel een groote cirkel - va„ den bol wezen zou °oCok beschreven' de 'ü" yV3 niet snijden, dan ook het vlak V den gegeven bol niet snijden. Mocht de Ke- bddoïr'het 1 kV " "V1 raken' d:'n zou in het raakP™t ook de dooi het vlak V geraakt worden zeer wel een bol kan snijden, zonder dat de projectiën van den bol door de doorgangen van het vlak gesneden worden. Voor bijzondere standen van het vlak ondergaat de oplossin" van :rr~ ~ - - Wanneer eene lijn een bol snijdt, zullen ook de projectiën van projectiën de snijding Z £ ZLTg" i»ri'rtr« ihirïr'"tere°d ,iak ™ *»■ »p« geslagen Iiin LA WlJ V°°reerst AB' als de neer- W»«™, I'»e"hfe " 'fk" 'e kU,,~" '»ven het L "I "i, ftTT' T "°°8 11 s iVDp.r r, rf* *5» snijpcnten Q t'?^ j projtclien. Derhalve zi n dan (O' 0"\ p„ m> n"* Zeeïut," JrV'' ll]", ï" ™' W ' uit de lionzontale proiectiën O' pn R' m**i * r »— 0 » R OP de voorste li, «L",* t 2 R" in verticale projectie zichtbare punten zijn. Alleen liet gedeelte Sr van de lijn AB ? dat „innen den bol gelegen is, moe-daarom » verticale projectie gestippeld worden aangegeven. U t de verticale Toect bil dat het punt Q op de bovenste hel ft van den bol Egt daarentegen R op de onderzijde. Hieruit vogt ^t in homon tale projectie het gedeelte Q'D onzichtbaar is, omdat de lijn AB O in den bol gaande, dezen wel bij R verlaat, doch nog door den bol aan het oog onttrokken blijft. Mocht de cirkel, die uit P beschreven wordt de lijn AB niet snijden, dan zou hieruit blijken, dat ook de lijn den bol niet sneed ïïen die cirkel de lijn AC' raakte, .0» » Let niakpnnt ook de linl door dc liin fferaakt worden. , Dc aangewezen constructie blijft Voor alle bijzondere standen de1 lijn toepasselijk, mits slechts de lijn eenprojecteerend vlakhebbe ji dus niet loodrecht op het project,evlak zij. lloe in geva constructie geschiedt, is reeds in § 154 aangewezen. 8 157 Werkstuk. De doorsnede van tivee bollen te construeeren. Reeds' in de Stereometrie U aangetoond, da, de te»*» We, bollen e.n cirkel is welks mWIdelpun gelegen^^ welks vlak loodrecht staat op — de lijn, 1 ZZ vereenigt. Het komt er dus op aan het middelpunt, den straal en het vlak van dien c.rkel te vinden. Te dien einde slaan bet ,%,VÏtrn,Ilk nee, i W- ** £ einden M en N der neergeslagen lijn met de stiaen cirkels kels, welke da» de, in liet n.erg.slage,,vlak liggende,, ^ -rit zittzttrih a. Hjn CD rïït^dt SeTden cirkeu het middelpunt en Ub — UU ac sn, »«* het neergeslagen st and vla k door M D° va" V™ » trokken zijn,0zijn dë pnnL 7 f !" " M'N' gC" de ellips in de horizontale projectie' raakt" a T"8'™66"?' alW3ar M' en N' beschreven. Alleen het iredeeÏ , / boven het horizontale vlak door ,4 l , Va°de doorsnede, dat ligt op het standvlak projecteert volgens «"Vist h" , ^ ^ zichtbaar. L- is in horizontale projectie d«E::^rk;:s^ T:t:r * «*•* *** >— gedeelte e"H'y" zichtbaar is. 6" WlJ 330' dat alleen het dar2jdLdoeorkMgre^broÏneVelï 'd^ ClkandCr S,";iden' elkander, dan heeft e n * ''aken deze ^els bollen plaats. °ok sl^hts raking der I»in: JSi? leC" """ "" WerkS'"k »P' een gegeven bol raakt. ' ^ b°l le heschrij™n, die delpun7?alfde?'gegTlht1XVeniXnt *" (M'' M"} het Inid" evenals in het voorgaande w i Tt 4~!' Z°° heeft men slechts, en uit M den groE c rk , MN tC «""■"eren De punten r en R ' f Z"" gegCVen bo1 te beschrijven. lengde snijdt, doen' dan dé tSJÏÏ * £ M » kennen, die aan de vraao- Vr>M 11 ^ Va" twee 1)01,(3,1 dus onmiddellijk met deze "stralen'uit N' en N" worden. kunnen beschreven K imtem,™hST™' 'pprr,l„ua mn drle to//„ - * «. zullen de' punten" ',li'f„''3) 'le.ln,ddclI"ln'eil der drie bollen, dan M en O, liggen ' d , lï-l, "J° 7 de "»e"htk™ <"er Ml.n DO °P uen omtiek van den cirkel RPSn i ''"'J en evenzoo de punte» gemeen a.» SejrtehlTop'dr.V'«i;» g„„agde punt.., Boe, die punten »l teW™ »»' Je cirkel van de bolle» S tal punten P e» 0 van de vlakken der drie cirke> . S ng § 157) de door- te vinden, construeert me" " 'vlakken bepaalt daarna de projectiën gangen van twee der genoem vlakken elkander snijden en van de lijn, volgens wette die t» waarin deze lijn liet construeert eindelijk volgens § . gevonden snijpunten zullen oppervlak van een der bol en snijd , De uit- dan de begeerde doorsnede der werktuiglijke toe- r d^X vordert, laten wij aan den XTw bijzondere horizontale vlak ls ie , jn pio. 101 de punten (A', A ), zelfde als dat | ^d°, unte„ e»°*dc lijnen A'T, = A'T„ <»• B > ï (C,r.T' Ic-T als stralen der bollen gegeven «.jn, B'T3 = BT, en G T, i bollen, twee aan twee genomen, de vlakken van de doorjieden ^ horizontale vlak staan en ten zullen nu vooreerst en tot horizontale doorandere zullen zij de lijnen 11,, » dus volgens een gangen hebben. Deze dn ^ het llorizontale vlak staat, teren dezelfde lijn, die 1 . t punten snijdt, wijl verder dezelijn de i der bolilen ^ ^ ^ ^ waarvan liet eene ter 0 0n waarVan de projectiën r™Sedrie™«p»e:»ed.r«.- « *—'™- zontaal vlak van projectie aanneemt (§ 101). § 1G0. Werkstuk. Den bol te construeeren, wells oppen lak Vièr gegeven P^tenJ^ . yan den bol op gelijke afstanden van Aangezien liet miaaeipui construeeren van de vier gegeven punten meet ^ „„ dc„ dit middelpunt geen ,,e,eJ,jkbeden « ev,T te„ hei bol wordt aangewezen, door den afstand van 1 gevonden middelpunt te construeeren wel op den Mochten de vier gegeven punten in een plat omtrek van een cirkel gelegen zijn, dan zullen alle punten, die in ffpnnm ^ T C? Iigge"' tot middelP™t kunnen worden aangenomen. Liggen de punten in ééne rechte lijn of wel in één bo3l onbestaanbaar.0" "k610"^ ^™ * d« begeerde De oplossing van het werkstuk wordt zeer eenvoudig, indien drie zssrz deetn in het horizontale v,ak iiggen (Zie 0efening 40 Het algemeene werkstuk kan altijd tot dit bijzondere geval worden teruggebracht, indien men slechts door drie der gegeven punten een vlak brengt en dit als nieuw horizontaal vlak aanneemt. § 161. Werkstuk. Aan een bol eene raaklijn te trekken evenwijdig aan eene gegevene lijn. AB( (,Fig n144), de geSeven llJn en M het middelpunt van den gegeven bol. Daar het aantal raaklijnen, dat men aan den bol kan ekken, evenwijdig aan eene gegevene lijn, oneindig groot is, kunnen ee." der P^Jectien van de raaklijn willekeurig aannemen, mits evenwijdig aan de gelijknamige projectie van AB. Is CD' de horizontale projectie van de gevraagde raaklijn, dan zal de lijn zelve eene raaklijn zijn aan den kleinen cirkel, volgens welken de bol gesneden wordt deer het ,1.1, da. loodr.eht op het h.ri.ontale S- AB moeTTijn. ' ™k'ij° die evenw.jdrg aan Om deze raaklijn te construeeren, slaan wij het horizontaal-projecteerend vlak der lij. Al) „„ A'B' en het Je™, bedoelde vlak ™t den cirkel van doorsnede, om CD' „aar derelfde rijde „eor op het horizontale v'ak en trekken aan dezen cirkel, waarvan P het neergeslagen middelpunt is en welks straal gelijk is aan EP' == FP' raaklijnen evenwijdig aan de lijn AB. Zijn nu Q en R de raakpunten op den cirkel P, dan zijn Q'en R' ZT ,°,r7ntale ProJectlën, terwijl de verticale projectiën verder, dooi middel van de bekende hoogten QQ' en RR' der punten te bepalen zyn. De lijnen, door Q" en R" evenwijdig aan A"B"'gerokken, zijn nu de verticale projectiën van twee raaklijnen aan den !nnt n n h0rrmtal° Pr°j'ectie hebben- Aangezien de beide en ~ ,en 1 °P voorste helft van den bol liggen, zijn beide raaklijnen in de verticale projectie geheel zichtbaar. -Neemt men de horizontale projectie van de raaklijn zoodanig aan dat zi) de horizontale projectie van den bol in K' raakt, dan zal dé e projectie moeten gaan door het punt K", dat met M" in eene lijn ligt evenwijdig aan de as (§ 154). Evenzoo zal van de lijn welker verticale projectie in S" aan de vertica e piojec ie va den' bol raakt, de horizontale projectie eene lijn zijndie dooi let punt S' gaat, dat met M' in eene lijn ligt evenwijdig aan de as en verder evenwijdig aan A'B' is getrokken. Daar bet punt K op de voorste helft van den bol ligt, is de ticale projectie van de raaklijn in K zichtbaar; de horizontale projectie van de raaklijn in S aan den bol moet echter ges ïppe den binnen den grooten cirkel uit M' beschreven, omdat het punt S op de onderste helft van den bol gelegen is. | 162 Werkstuk. Uit een gegeven punt builen een bol eene raak- ^ ££'^tagstuk onbepaald is, mogen wij een der projectiën van eene raaklijn willekeurig aannemen, nuts gaande door de »eliiknamige projectie van het gegeven pun Indien M (Fig 145) het middelpunt is van den gegeven bol, ï het rre(reven punt en T'A' de aangenomen horizontale projectie van eene raaklijn | dan brengt men, om de verticale projectie dezerraaklijn te vinden, evenals bij bet voorgaande werkstuk cT A Jak loodrecht op het horizontale vlak en slaat dit om i f h.Vhorizontale vlak. Na in het neergeslagen vlak bepaald te be nen het horizontale ^ ^ kleinen p> volgens de plaats van het Punt „it t raaklijnen TR en TQ welken de bol gesneden wordt, trektmen uu i j ^ ^ aan dien cirkel en bepaalt de ^ ^ Q„ getrokken, I^l^rS^n der gevraagde raaklijnen, die beide "T,I ZTrV?™*»»«» , loi dan zal de bijbehoorende verticale projectie T K dadelijk te vinden .ij», omdat m.„ de plaats van het punt k kan von F venzoo is T'S' de horizontale projectie van eene ïaaklij d*ëST"S" tot verticale projectie heeft en raakt aan de vertica e PXLX.d™eh,te en on-hth.re van een deel der raaklijnen, raadplege men de figuur. „i's. rri s&vxppsz jan geconstrueerde raaklijn, laat wentelen om eene middellijn van den cirkel, evenwijdig aan die raaklijn getrokken , dan beschrijft de cirkel een bol, die geheel gelegen is binnen het cylindervlak door de raaklijn beschreven, terwijl het raakpunt een cirkel doorloopt, waarvan het vlak door het middelpunt van den bol gaat en dat loodrecht staat op de beschrijvende lijn van den cylinder. De aldus gevormde cylinder heet de omhullingscylinder van den bol, terwijl de door het raakpunt doorloopen cirkel— dat is dus de cirkel dien bol en cylinder gemeen hebben — aanrakingscirkel genoemd wordt. Het is duidelijk, dat de cylinder de meetkundige plaats is van alle raaklijnen aan den bol, die eene richting hebben gelijk aan de richting van de gegeven raaklijn, terwijl de aanrakingscirkel de meetkundige plaats is van alle raakpunten. Is (M S', M"S") (Fig. 146) de lijn waaraan de beschrijvende lijn van den ornhullingscylinder evenwijdig moet zijn en trekt men aan de horizontale projectie van den bol raaklijnen evenwijdig aan M'S', dan zijn deze volgens § 161 te beschouwen als de horizontale projectiën van raaklijnen aan den bol in de punten A en B van den horizontalen grooten cirkel. Deze raaklijnen aan den bol in A' en B' zijn de uiterste, die evenwijdig aan MS' te trekken zijn; de horizontale projectiën van alle andere raaklijnen, evenwijdig aan MS, moeten dus binnen deze liggen en daarom begrenzen zij den cylinder in horizontale projectie. L\enzoo wordt de verticale projectie van den cylinder aangegeven door raaklijnen aan de verticale projectie van den bol, evenwiidi<* aan M"S". J ° De projectiën van den aanrakingscirkel kunnen volgens § 155 worden geconstrueerd, omdat deze cirkel de doorsnede is van den bol met het vlak dat door M loodrecht gebracht is op de as MS van den cylinder. De lezer zal dus de constructie zonder moeite uit de figuur kunnen volgen. ^ 164. Werkstuk. Aan een bolden oinhullingskegel te construeer en, waarvan de top gegeven is en de projectiën 'te bepalen van den aanrakingscirkel. Waneer men de figuur, gevormd door eenen cirkel en eene daaraan getrokken raaklijn, laat wentelen om eene middellijn, die de raaklijn in een punt I snijdt, dan beschrijft de raaklijn het ronde oppervlak van een rechten cirkelvormigen kegel met T tot top en de cirkel een bol, welke geheel binnen den kegel gelegen is, terwijl het raakpunt een ciikel beschrijft, welks vlak loodrecht op de as van den kegel staat en welks straal gelijk is aan den afstand van het raakpunt tot dCDe kegel heet omhullingskegel van den bol, de cirkel door het raakpunt doorloopen en die dus aan beide oppervlakken gemeen is, heet de aanrakingscirkel. Zijn M (Fig. 147) de gegeven bol en 1 de gegeven top en trekt men uit T' en T" raaklijnen aan de horizontale en aan de verticale projectie» van den bol, zoo is het uit het voorgaande duide^k dat deze uiterste raaklijnen de horizontale en de verhcale projechen van den omhullingskegel aan den bol zullen begrenzen. t Om de horizontale projectie van den aanrakingscirkel te cons eeren, slaan we het horizontaal-projecteerend vlak der as 1M neer het horizontale vlak en trekken uit den neergeslagen top 1 raaklijnen aan den neergeslagen grooten cirkel van doorsnede. C en D zijn dan punten van den aanrakingsc.rkel en CD loodrecht op TM, is de doorsnede van het vlak van dien cirkel met het horizontaal-projecteerend vlak van TM. , , , Aangezien de aanrakingscirkel weder de doorsnede is van den bol met het vlak, waarvan nu de stand bekend is, zal de construc der projectiën verder gemakkelijk door den lezer uit de figuur zijn m »P. « * •' «, """""r'tS,6 van zichtbaar en onzichtbaar in de horizontale projectie plaats heeft tevens de raakpunten zijn van de lijnen uit T' aan de hon.ontale projectie van den bol. Hetzelfde geldt voor de verticale project,e van den aanrakingscirkel. 8 165. Werkstuk. Indien de projectiën van twee bollen gegeven z-ijn, vraagt men de toppen van hunne gemeenschappelijke omhullings- aan twee, in één vlak gelegen • «''X'1 schameïiike nit- of inwendig. raaklijn trekt, «al Jeje r.akhjn de lijn die door de middelpunten gaat, in eenig punt snijden, allee wanneer de eirkel. even groet zijn, ..1 de nitwend.ge raak ,j„ e.en- ss -dï * r rs —«™ de omhullingskegels, die door deze zouden beschreven *ordc . Twee gelijke bollen hebben dus altijd een gemeensehappelijken omhulhngscylinder, terwijl twee ongelijke bollen, indien slechts de kleinste niet binnen den grootsten ligt, ten minste één gemeenschappelijken omhullingskegel bezitten, waarin de beide bollen aan denzelfden kant van den top gelegen zijn. Liggen twee ongelijke of gelijke bollen geheel buiten elkander, dan hebben zij bovendien nog een gemeenschappelijken omhullingskegel, waarin de bollen aan weerszijden van den top gelegen zijn. Die top zal dan, tusschen de beide middelpunten, het dichtst bij het middelpunt van den kleinsten bol gelegen zijn of hij zal, indien de bollen even groot zijn, juist in het midden liggen. Zijn M en N (Fig. 148) de middelpunten der gegeven bollen, zoo moeten wij dus de toppen der bedoelde omhullingskegels vinden in de lijn, door de punten M en N getrokken. Indien wij nu verder aan de horizontale projectiën der bollen gemeenschappelijke raaklijnen trekken, zullen deze door hare snijding met M'N'onmiddellijk de gevraagde toppen T en Q aanwijzen. Dat deze raaklijnen de horizontale projectiën kunnen zijn van lijnen die, uit T en Q getrokken, beide bollen gelijktijdig raken, kan, voor zoover dit nog opheldering mocht behoeven, als volgt worden aangetoond. Trekt, men uit een der punten, b. v. uit T, eene raaklijn aan eik van de bollen afzonderlijk, dan kan overeenkomstig § 162 de lijn T'S'R', die de horizontale projectiën van de bollen in S' en li' raakt, als de horizontale projectie der te trekken raaklijnen worden aangenomen; S" en R" zijn dan de verticale projectiën der raakpunten. Maar wegens de evenwijdigheid van lijnen in de figuur, T"M" : T"N" = T'M': T'N' = M'R': N'S' = M"R" ; N"S"; waaruit volgt, dat de drie punten R", S" en T" in een rechte 'Ün 'iopel1- He raaklijn IS, uit het punt T aan den eenen bol getrokken, valt dus langs de raaklijn TR, uit dat zelfde punt aan d°en anderen bol getrokken. Het punt 1 is dus een zoodanig punt van de verlengde lijn MN, dat men daaruit eene gemeenschappelijke raaklijn aan de beide bollen trekken kan, dat is: het punt T is de top van een gemeenschappelijken omhullingskegel. Ten aanzien van het punt Q kan men op dezelfde wijze redeneeren. Het is overigens duidelijk, dat wij ook gemeenschappelijke raaklijnen aan de verticale projectiën der bollen kunnen bezigen - deze zullen dan de lijn M"N" in T" en Q" snijden. § 166. Werkstuk. Door een gegeven punt op het oppeivlalt een bol een raakvlak aan dien bol te brengen. 1 J-eh' °p M" Tik ïïs toisv; rz —"-V L'fe: js do«,« yy, vorder op de bekende wijze gee.nstru.erd wordt. , V"' 'f Xo™"'VV'"Jg^en r 'oTSmeo' ^»kï|k L '"é'rfata, doorgang bepilen' Wij brengen hiertoe een stand»» door bet middelpunt » lde,°l,f»r 5» 1»»'™ 8*8™ 8'~ten Cirkd *>$*% welken bet den bot snijd. TrekkenJ| da.jjjt ; jy^k aan Jen neergeslagen eirk.l, dan zal blijkbaar »*J met het horizontale vlak >,j» van een vlak dat de» , Jon[. en VV, tot horizontalen doorgang heeft. De begeer u vv.» f ïtTp'to:» :^;p ™eT. i ^ *,retk" - rzi" hoogte PP uit te zetten, verkrijgt men de project..» van het raak- P"ïV ta/punt , kan men twee raaklijnen aan den neergeslagen CZ £L, men wilhi" van''de"duidèlijkhdd, hebben wij dit tweede vlak niet in de figuur aangewezen. § 168. Trekken wij in den neergeslagen cirkel van koorde rf ... gegeven 1«„^ besdr.g- «|t M ^ «« CD van ~ Sk8'lC«°Cd« standhoek en VV, ^doorgang met het hori- zontale vlak is, snijdt nu den bol blijkbaar volgens een kleinen cirkel, die GD tot middellijn heeft. Hierdoor is dan de vraag opgelost: (loot eene lijn in het horizontale vlak een vlak te brengen, dat een gegeven bol volgens een kleinen cirkel van gegeven grootte snijdt. § 169. Is W (Fig. 149) een gegeven vlak en moet men aan den bol M een raakvlak brengen evenwijdig aan W, dan zal het standvlak, door M loodrecht op WW, gebracht, den hoek leeren kennen waaronder eene raaklijn Vsv aan den neergeslagen grooten cirkel moet worden getrokken. De constructie kan de lezer uit de figuur gemakkelijk volgen. Dat ook hier twee raakvlakken mogelijk zijn, zal wel geen toelichting behoeven. § 170. Werkstuk. Door eene gegevene lijn een vlak te brengen, dal een gegeven bol raakt. Als M (Fig. 150) het middelpunt van den gegeven bol en AB de gegeven lijn is, zoo bepalen wij de punten B' en C", waar die lijn de projectievlakken ontmoet, waardoor wij reeds een punt B' van den horizontalen en een punt C" van den verticalen doorgang van het gevraagde vlak gevonden hebben. Om dit vlak nu verder te bepalen, komt het er voornamelijk op aan, zijn raakpunt met den bol te vinden. Onder de verschillende wijzen, waarop dit geschieden kan, is een der eenvoudigste, dat wij de constructie terugbrengen tot die van § 107, alwaar het werkstuk reeds opgelost is voor het bijzondere geval dat de gegeven lijn in het horizontale vlak ligt. Hiertoe slaan wij het horizontaal-projecteerend vlak van de gegeven lijn op het horizontale vlak neer en projecteeren het middelpunt van den bol op dat neergeslagen vlak; dit laatste geschiedt door uit M' eene lijn rechthoekig door A'B' te trekken en daarop m M mM te nemen. Beschouwen wij nu het neergeslagen vlak als een nieuw horizontaal vlak, dan is M'" de nieuwe horizontale projectie van het middelpunt van den bol, terwijl dit middelpunt zelf ter hoogte m'W boven dat nieuwe horizontale vlak gelegen is; voorts ligt de gegeven lijn AB' in dat nieuwe horizontale vlak! Volgens § 107 trekken wij dus M'"v rechthoekig op AB', stellen M "M = m'W loodrecht op M'"v en beschrijven uit M met den straal van den bol een cirkel, dan is deze de groote cirkel, volgens welken de bol gesneden wordt door een standvlak, dat in v loodrecht op AL gesteld en om M'"i> op het nieuwe horizontale vlak neergeslagen is. Eene raaklijn, uit v aan dien cirkel getrokken, wijst dus vol- trens § 167 onmiddellijk het raakpunt R van liet begeerde vlak me den bol aan. Door RR'" loodrecht op W"v neer te laten, vinden wij de projectie R'" van het raakpunt op liet nieuwe horizontale ,i. Nemen wij dus eerst ep «ene lijn, uit R™ reehttak.g door A'B' getrokken, r'R' = R"'R en daarna op eene lijn iart K reciuhoekig door OX getrokken, ,R" = r'R"\ dan is (R , R het op d oorspronkelijke projectievlakken geprojecteerde raakpunt n. Zoo wij nu ten slotte uit eenig punt(A', A") van de gegeven hjn eene lijn door (R', R") trekken en haar ontmoetingspunt D met het verticale vlak construeeren, is dit punt D ook een pui den verticalen doorgang van het gevraagde vlak- de doorga:ngeni van dit vlak V kunnen dus nu door de punten D", C en B getrokke W°iktn'zal wel geen opmerking behoeven, dat eene tweede raaklijn, uit v aan den cirkel M getrokken, op gelijke wijze een tweede vlak zal doen vinden, dat aan de vraag voldoet Mocht liet; punt v binnen dien cirkel komen, dan zou het gevraagde vlak onbestaanbaar zijn, omdat de gegeven lijn den bol sneed Overigens kan^ het me de bestaanbaarheid van het vlak zeer wel gepaard gaan, dat hetzij zijne doorgangen, hetzij de oorspronkelijke of later verkregen projec ien vTn de gegeven lijn, de gelijknamige projectiën van den bol snijden. Uil Het in Fig. 150 gebezigde standvlak gaat door het middelpunt 'van den bol en staat in v loodrecht op de gegeven lijn. Men zou dus ook door liet middelpunt van den bol op de gewone wüze een vlak loodrecht op de gegeven lijn kunnen brengen dit als nieuw horizontaal vlak aannemen. Als zoodanig zou men oo kunnen aannemen een vlak, door de gegeven lijn en het midd 1punt van den bol gebracht. In beide gevallen wordt de constructie lot zeer eenvoudige bijzondere toestanden herleid; maar om ec , die nieuwe projectievlakken aan te nemen en daarna de verkreD uitkomst weder op de oorspronkelijke projectievlakken over e brengen zal men gezamenlijk meer arbeid moeten verrichten, dan tot de constructie van Fig. 150 vereischt werd Het werkstuk der voorgaande paragraat kanook.jderhetaa nemen van nieuwe projectievlakken, opgelost worden. De daaitoe vereischte constructie berust op de navolgende stereometnsche op- iossing. ,s ab ^ en ujn en M de gegeven bol. Be¬ schouwen wij nu een willekeurig punt P der hjn als top van een omhullingskegel aan den bol, dan bevat dit kegeloppervlak alle lijnen, die uit P rakende aan den bol kunnen getrokken worden. Hetzelfde geldt voor een tweeden omhullingskegel aan den bol, die een tweede, willekeurig op AB aangenomen, punt Q tot top heeft. De aanrakingscirkels der beide kegeloppervlakken snijden elkander in de punten r en R, die de punten zullen zijn waarin de gevraagde vlakken den bol raken. Verbinden wij toch b. v. R met P en met Q, dan zijn RP en RQ raaklijnen aan den bol in hetzelfde punt R; zij staan dus loodrecht op den straal van het punt R en derhalve zal het vlak door deze lijnen gebracht — dat dus ook de lijn PQ bevat — loodrecht staan op den genoemden straal van den bol en dus een raakvlak in het punt R zijn. De punten R en r vindt men door de doorsnede te bepalen van de vlakken der aanrakingscirkels en daarna de snijpunten R en r van deze lijn met een der bollen. Monge, die het eerste werk over Beschrijvende Meetkunde in het licht gaf, heeft, bij de oplossing van het werkstuk, het punt I' op de lijn AB zoodanig aangenomen, dat het even hoog boven het horizontale vlak ligt als het middelpunt van den bol en het punt Q zoodanig, dat het even ver van het verticale vlak verwijderd is als het middelpunt. In Fig. 152 is de constructie uitgevoerd. AB is de gegeven lijn M het middelpunt van den gegeven bol, P en Q zijn de punten op de lijn AB aangenomen, als zoo juist gezegd is. De lijn PM is nu horizontaal en daar het vlak van den aanrakingscirkèl, bij P behoorende, loodrecht staat op deze lijn, zoo staat dit vlak ook loodrecht op het horizontale vlak. Trekken wij dus uit P raaklijnen aan de horizontale projectie van den bol, zoo is CD de horizontale projectie van den aanrakingscirkel, die bij P behoort. Op gelijke wijze is EF de verticale projectie van den aanrakingscirkel, die bij Q behoort. De punten waarin de beide genoemde aanrakingscirkels elkander op het oppervlak van den bol snijden, hebben dus hunne horizontale projectiën in CD en hunne verticale projectiën in EFdie punten worden dus gevonden door de snijpunten te bepalen van' het oppervlak van den bol met eene rechte lijn, die CD tot horizontale en EF tot verticale projectie heeft; door' uitvoering van deze constructie volgens § 156, leert men de bedoelde punten (R', R") en (?■', ;•") kennen. Brengt men nu door elk dezer beide punten en door de gegeven lijn een vlak, dan zullen de beide aldus verkregen vlakken de begeerde zijn. Het door (R', R"} Cn de lijn AB gebrachte vlak V, tot welks constructie de lijn PR getrokken is is in de figuur alleen aangegeven. Mocht de gegeven lijn den bol snijden, en dus het begeerde vlak onbestaanbaar zijn, dan zouden ook de aanrakingsdrkels eikander niet snijden; dit zou zich in de constructie openbaren doordat de lijn, welker projectiën langs CD en EF gelegen z.jn, het oppervlak van den bol niet sneed. 8 172. De constructie van Monge wordt onbruikbaar, indien de minten P en Q, welke op de lijn gekozen worden op de wijze als is -weven, mochten samenvallen. Men kan echtereen no" eenvoudiger oplossing van het werkstuk geven die ook toe te passen is wanneer de constructie van Monge oubrn,kt,aar.ord. In plaats van twee punten P en Q op de gegeven h,n AB te kiezen neemt men slechts één punt P (Fig. 153) aan en construeert den daarbij behoorenden aanrakingscirkel. Het vlak van dezen cirkel verlengt men daarna tot het AB in S snijdt en trekt uit S raaklijnen aan den aanrakingscirkel. Het vlak door SR en AB gebracht, zal dan een der gevraagde raakvlakken zijn, terwij vlak door Sr en AB het tweede raakvlak aanwijst. In Fig 154 hebben wij de constructie uitgevoerd. Na weer a boven de horizontale projectie CD van den aanrakingsc.rkel by P behoorende, te hebben geconstrueerd, hebben wij het snijpunt (S b ) ïïïd ;an het vlak van den cirkel met AB en daarna dit vlak mèt het punt S neergeslagen om den horizontalen doorgang CDS lp J hoLntole vlak De raaklijnen »i. S. oa„ Jen neerslagen cirkel 0, doen (1e raakpunten li en > kennen, waarvan de projectie. dan weder gemakkelijk worden bepaald. Daar de raaklijn SR het horizontale vlak in H snijdt is dit een punt van den horizontalen doorgang van het vlak V dat den o rraakt en dat dan verder is aan te geven, omdat de snijpunten vLn de gegeven lijn me, de projectie.,akke» in de, regel ookt e bepalen zijn. Snijdt de raaklijn het horizontale vlak niet binnen de grenzen der teeking, z.o.1. Lier de lijn Sr, dan » ™rph gebruik te maken van do projectiën van liet pnnt r. Ook o zu l» het geval als, zooals l.ier bij R, het snijpunt van de gegeven l.jn mèt het horizontale .1 met het verticale vlak niet bmu.n de grenzen ^WafdflfutB zoodanig gegeven, dat A'B' evenwijdig ot nagenoeg evenwiidi- is aan CD, z.odat S niet te bepalen ,s ot bu.ten do grenzen d°er te.kening valt, zoo zon men de »nstruct.e op. overeen; koinstige wiize kunnen uitvoeren, door in plaats van 1 J AB eeT pn.t 8 Ie nemen, dat va» het -ertie.le vlak «venver verw^derd is als het punt M en dan de e.n.truet,. verder al, I»,e, te verrichten op liet verticale vlak. Mocht A"B" ook nu geen snijpunt opleveren binnen de grenzen der teekening, zoo zouden wij een nieuw verticaal vlak kunnen kiezen, waarbij zich deze moeilijkheid niet voordoet. De aangegeven constructie zal derhalve steeds bruikbaar zijn. § 173. Werkstuk. Door een gegeven punt een vlak te brenqen dat livee gegeven bollen raakt. ' Wanneer een vlak twee bollen raakt, zal het ook hunnen «bmeenschappelijken omhullingskegel raken en dus door den top van dien kegel gaan; naargelang men begeert, dat de bollen zich aan denzelfden kant of aan weerskanten van liet raakvlak bevinden zal deze omhullingskegel door eene uitwendige of door eene inwendige gemeenschappelijke raaklijn voortgebracht moeten zijn Construeert men dus volgens § 1G5 den top van den vereischten omhullingskegel en vereenigt men dien top met het gegeven punt clan zal ook de vereenigingslijn in het te vinden vlak liggen en' men heeft dus verder niets anders te doen dan, volgens § 170, S ' $ '72, door die lijn een vlak te brengen dat een der gegeven bollen raakt; dit vlak zal dan tevens den anderen bol raken en dus liet begeerde zijn. Daar men door eene lijn twee raakvlakken aan een bol kan irengen, zal men, door de twee omhullingskegels te gebruiken, in het algemeen vier vlakken kunnen vinden, die aan de vraag voldoen. Wanneer echter een der omhullingskegels mocht ontbreken (zie s 1b.>) of ook wanneer het gegeven punt binnen een der omhullingskegels mocht gelegen zijn, zal het tweetal uit dezen ke-el voortvloeiende raakvlakken ontbreken. Het gevraagde vlak wordt dus onbestaanbaar, indien het gegeven punt binnen elk der bestaande gemeenschappelijke omhullingskegels ligt. Lag het gegeven punt in den top van een dier kegels, dan was het gevraagde vlak blijkbaar onbepaald. Mochten de gegeven bollen even groot zijn, dan zou een der genoemde kegels door een cylinder vervangen worden. In dit geval zou men door liet gegeven punt eene lijn evenwijdig aan de vereenigingslijn der middelpunten trekken en door de aldus getrokken lijn een raakvlak aan een der bollen brengen; alsdan wordt tot de bestaanbaarheid gevorderd, dat het gegeven punt niet binnen den gemeenschappelijken ornliullingscylinder lio-t § 174-. Werkstuk. Een vlak te construeer en, dat drie gegeven MEm'"vlak dat drie bollen raakt, zal ook de gemeenschappelijke omhullingskegels van deze bollen, twee aan twee genomen raken; het gaat dus door de drie toppen van die kegels. Deze drie oppen liggen echter in eene rechte lijn, want, behalve ra het raakvlak, li twen zij ook in het vlak dat door de middelpunten der drie bollen gaat en dat de lijnen bevat, die deze middelpunten twee aan twee vereenigen. De drie genoemde toppen bepalen dus het raakvlak me nader dan twee hunner. Construeert men alzoo de toppen van twee kegels, die, elk in het bijzonder, twee van de drie gegeven bollen omhullen, trekt men daarna door deze beide toppen eene rechte ly en brengt men eindelijk door deze lijn een vlak, dat een der bollen raakt zoo zal dit vlak ook de beide andere bollen raken en dus het begeerde zijn. Naargelang men het raakvlak al of niet tusschen twee van de bollen begeert, zal men ten aanzien van die twee bollen den kegeltop moeten bezigen, die door de inwendige of door de uitwendige gemeenschappelijke raaklijnen bepaald wordt. Li-en de drie bollen geheel buiten elkander, zoo heeft elk tweetal bollen°twee gemeenschappelijke omhullingskegels; de toppen van deze zes kegels liggen dan drie aan drie in vier rechte lijnen en de be.de raakvlakken, door een van deze toplijnen aan een van de drie bollen gebracht, zullen dan de drie bollen rakem Er zijn.dus; in bet algemeen acht zulke raakvlakken mogelijk. Voor elk dei vier genoemde toplijnen, die de bollen mocht snijden, vervalt een tweeta van deze mogelijke raakvlakken, liet kan dus ook gebeuren, da er in het geheel geen raakvlak mogelijk is; dit ™u b. v. het geva zijn als de derde bol binnen de beide gemeenschappelijke omhullingskegels van den eersten en den tweeden bol lag, zonder nochtans door die kegels geraakt te worden. _ Snijden twee van de bollen elkander, zoo vervallen met een van de zes kegeltoppen ook twee van de vier genoemde toplijnen ; hierdoor blijven dan slechts vier raakvlakken mogelijk, waarvan ei nog we li twee onmogelijk zullen worden voor elk van de beide overgebleven toplijnen, die de bollen mocht snijden. ...... , . t •• Snijdt een der bollen de beide andere, zoo blijft er slechts een van de vier toplijnen over en naargelang deze dan de bollen niet ot al snijdt, zijn er twee of in 't geheel geen raakvlakken mogelijk. Mocht een gemeenschappelijke omhullingskegel van twee der gegeven bollen tevens den derden bol omhullen, dan zou het begeerdeRaakvlak onbepaald zijn, dat is: men zou oneindig veel raakvlakken de drie bollen kunnen brengen. Eindelijk merken wij op, dat, zoo twee van de gegeven bollen even groot mochten zijn, hunne gemeenschappelijke omhullingskegel weder door een cylinder zou vervangen worden. Wij moeten aan den lezer overlaten, de constructie, die naar den aangewezen weg geen de minste zwarigheid kan opleveren, op willekeurig in allerlei standen aangenomen bollen uit te voeren. VVi] zullen ons bepalen tot het construeeren van een vlak, rustende op e bolle» M, N en 0 (Fig. 155), die op het horizontale vlak li-en en waarvan dus de verticale projectiën door de as geraakt worden. Uewij de bollen zich aan denzelfden kant van het begeerde vlak moeten bevinden, hebben wij hier kegels noodig, welker toppen door uitwendige gemeenschappelijke raaklijnen bepaald worden; deze toppen liggen in het horizontale vlak, omdat ook dit vlak door de bollen aan denzelfden kant geraakt wordt. Door de snijding van de raaklijnen aan de horizontale projectiën van de bollen getrokken, vinden wij dus dadelijk de in het horizontale vlak liggende toppen P en Q van de twee hier vereischte omhullingskegels. Het begeerde vlak', dat door deze toppen moet gaan, heeft dus eene lijn VV,, door P en O getrokken, tot horizontalen doorgang; er blijft nu slechts over den verticalen doorgang te bepalen uit de voorwaarde dat het vlak een der bollen, b. v. den bol M, moet raken. Verrichten wij hiertoe de reeds vroeger in Fig. 149 toegepaste constructie, dan vinden wij het raakpunt R, de projectiën II' en R» van dit punt, en den verticalen- doorgang VV2 van het raakvlak. Derhalve is dan V het vlak, dat op de drie bollen rust. § 17;>. Werkstuk. In eene gegeven driezijdige pyramide, die mei haar grondvlak op het horizontale vlak staat, een bol te construeeren. Het middelpunt van den bol zal gelegen zijn in het snijpunt der drie vlakken die de tweevlakkenhoeken middendoor deelen welke e opstaande zijvlakken van de pyramide met het grondvlak 'maken, ie dee vlakken vormen dan de opstaande zijvlakken van eene tweede pyramide, die met de gegevene het grondvlak gemeen heeft en welker top het middelpunt is van den gevraagder, bol. Snijden wij deze pyramide door een horizontaalvlak, dan zal de doorsnede gelijkvormig zijn met het grondvlak, terwijl de lijnen, die de hoekpunten van de doorsnede verbinden met de overeenkomstige hoekpunten van het elkandi f.' °pst^nde ribben der inwendige pyramide zijn, welke Om 1 "1 e" ,Sn,1J, , 1,1 het middelP"nt van den gevraagden bol. (Fi,, " .Ce, ?kkcnlioeken, die de zijden ■ der pyramide TABC ( o- 156) met het grondvlak maken, middendoor te doelen, brengen 3 4 r;n TT' standvlakken loodrecht op de ribben A'B', A'C wij door de lijn 1 totdat zii gekomen zijn in « B'C' » dra.ie» tmm 4e V "• " J "Dc ^ „e, ,l»k V,V, "»«!!*« ™ in lm»» ware grootte» projecteeren zich dan op h E„ „ en Snijden en de deelvlakken in de lijnen D , , . .1 zullen de doorsnellen .»» « „ teragdraoiing der standrl.k- projecteeren op het. vert c ^ door d', e en f ken, tot horizont, p ] grondvlak getrokken worden en evenwijdig aan e » ^omig met A'B'C. Door die dan een dnehoek G ^ ^ ^ ^ ^ ^ verlengen tot nu de lijnen AG, men de horizontale projectie M zii elkander in een punt smj( , verticale projectie Van het middelpunt van den tn Liehoek UGK, te vinden, projecteeren wij ee P d;in in het snijpunt b.v. II in U", op het verUcale vlak en vir „ ^ van B"H" met de loodlijn, door M op de g tri bo. he, grondvlak der pjr»^ 'at™' ° V<,r7 eenï0l'.dr °P h6t horizontale vlak rust en construeer staat pn r CZy, 'Se Pyramide ' die °P het horizontale vlak staat en welker opstaande zijvlakken evenwijdig zijn aan die dei- gegeven pyramide en die dus gelijkvormig is met deze. Is t de top dezer pyram.de en S het snijpunt der lijn Tt met het horizontale ak dan kunnen wij S beschouwen als het gelijkvormigheidspunt der beide pyramiden. Het gevraagde middelpunt M zal dus moeten liggen op de lijn Sm en wel zoodanig dat Alhoewe] de geheele constructie niet gemakkelijker is dl een der beide vorige zoo heeft zij echter het voordeel boven deze, dat er nagenoeg -een' consti uctiehjnen in de gegeven pyramide vallen. OEFEN IN GEN. 94. Een cirkel, die in het horizontale vlak ligt ^dt gewenteld om eene liin in dat vlak, totdat een gegeven punt van den omtr i„ een gegeven vlak komt te liggen. Bepaal de project.en van den cirkel in dezeni^stan^ ^ constraeeren van een cirkel, die eene gegeven lijn in een bepaald punt raakt en gaat door een gegeven punt ,n het96ert0peheVt"oppervlak van een bol een punt te vinden, dat zich oi) gegeven afstanden van de projectievlakken bevindt. . 97° Wanneer een bol, welks middelpunt in de as van projec ie lio-t den aardbol voorstelt en zijne doorsnede met liet verticale vlak als eerste meridiaan aangenomen wordt begeer men de prqertum te vinden van een punt, welks geographische lengte en bieedte 8ef8enDtprojectiën te bepalen van de doorsnede van een bol met oen vlak dat evenwijdig loopt aan de as van projectie en waarvan de doorgangen met de beide projectievlakken in de constructiefiguur boven de as vallen. , 99. Wanneer de geographische lengten en breedt punten van den aardbol gegeven zijn den groeten cirkel te constraeeren , die, over het bo ,lvorm>g oppe. vlak der aarde getrokken, deze twee punten vereenigt. 100 Op het oppervlak van een bol de polen te vin e . a van den grooten cirkel, die door twee gegeven punten van het oppervlak gaat; _ b. van den kleinen cirkel, dien men door drie gegeven punten van het oppervlak brengen kan. 101 De lengte te vinden van de koorde, die in een gegeven bol uit zijn hoogste punt evenwijdig aan eene gegeven lijn getrokken ,. 102. De projectiën te construecren van de doorsnede van twee gegeven bollen en van de raaklijn aan die doorsnede evenwijdi" aan een gegeven vlak. ° 103. De snijpunten te construeeren der oppervlakken van drie gegeven bollen: a. door toepassing van § 159 tweede alinea; b. door het vlak der middelpunten van de drie bollen als nieuw horizontaal projectievlak aan te nemen 104. Aan een gegeven bol een raakvlak te brengen: a. dat evenwijdig is aan de as van projectie en met de projectievlakken hoeken van 45° maakt; b. dat de as snijdt en met elk der projectievlakken hoeken van 60° maakt. 105. Den inwendigen omhullingskegel te construeeren van twee gegeven bollen en de projectiën van de aanrakingscirkels 10b. Door eene gegeven lijn een raakvlak te brengen aan een bol: a. door het vlak, dat door het middelpunt loodrecht op i e lijn gebracht kan worden, aan te nemen als nieuw horizontaal projectievlak; b. door het vlak, dat door het middelpunt en de gegeven lijn gebracht kan worden, aan te nemen als nieuw horizontaal projectievlak. 107. Aan twee gegeven bollen een raakvlak te construeeren dat evenwijdig is aan eene gegeven lijn. 108. Een vlak te construeeren , dat raakt aan drie gegeven bollen waarvan een hunner de beide andere snijdt. 109. Men vraagt, door toepassing van dé beide in 8 176 aangegeven methoden, een bol te construeeren in eene gegeven driezijdige PyJCó* met h<7 g[0°d,vlak OP het horizontale vlak staat. 10. Op het horizontale vlak ligt een gegeven bol. Men begeert de projectiën te vinden van eene om dien bol beschreven regelmatige vierzijdige pyramide van gegeven hoogte. ° 111 Van vier gelijke bollen, die elkander twee aan twee raken, odanig dat elke bol elk der drie overige raakt, liggen er drie od iet horizontale vlak, terwijl de vierde op de drie andere rust. Men begeert de projectien van de middelpunten dezer bollen te bepalen. b. algemeene beschouwingen OVER kromme lijnen en gebogen oppervlakken. 8 177 Reeds in de gewone Meetkunde hebben wij geleerd, dat elk begrensd deel der ruimte een lichaam is, terwijl de grenzen van t» Kctam vlakke, genoemd worde». De grenzen d,e, vlakke, noemt men lijnen. Deze laatste kunnen recht of krom zijn. Liggen dl. paoten eener kromme lijn in één plat vlak dan noemt men haar eene vlakke kromme lijn; in het tegenovergestelde geval, spreekt „ie„ van eene lijn van dubbele kromming. Lijnen van dubbele krommm hebben altijd kromlijnige projectiën (vergelijk § 14, 15, IJ, W), de figuren 157, 158 en 159 stellen dergelijke lijnen voor. Zijn d beideDprojectiën gesloten kro.nn.e Ijoen. ,1» is het terJ^dmg van dubbelzinnigheid, noodig dat aangewezen wo.dt «elke dee van deze projee.iën bij elkander betoren; ,n F,g 158 . * aeschied door het aangeven van het punt (. , )• 8- hebben de beide deelen APB en AQB der kromme dezelfde horizontale 'meeste kromme lijnen, waarmede wij in de Beschrijvende Meetkunde te doen krijgen, ontstaan als doorsneden van gebo0en oppervlakken met platte vlakken of als doorsneden van geboDen oppervlakken onderling. Zoo b. v. hebben wij den cirkel vei kregen als doorsnede van een bol met een plat vlak, of als doorsnede van twee bollen onderling. Ook verkrijgen wij wel kromme lijnen j aanraking van oppervlakken, waarvan wij ook reeds een voorbeeld aantroffen bij den" bol, die door een omhullingskegel o^ door ee omhullingscylinder wordt geraakt volgens een cirkel. W ij kunnen eene kromme lijn ook beschouwen als te zijn de meetkundige plaat, van een punt, dat zich beweegt volgens eene bepaalde wet. Als zoodanig komt zij echter zelden in de Beschrijvende Meetkunde voor. § 178. De raaklijn in een punt P eener kromme lijn (Fig. 160) kan men zich ontstaan denken door de beweging van eene snijlijn CD om het punt P, zoodanig dat het snijpunt Q zich langs de kromme verplaatst naar P toe en eindelijk in P komt. Op het oogenblik dat Q met P samenvalt, dus de lijn in den stand EF is gekomen, wordt zij eene raaklijn in het punt P genoemd. Men is gewoon de beide in elkander vallende snijpunten als twee oneindig dicht bij elkander gelegen punten van de kromme lijn te beschouwen en zich dus ook voor te stellen, dat de raaklijn EF in het raakpunt P een oneindig klein gedeelte der kromme lijn inet haar gemeen heeft. Dit oneindig klein gedeelte, dat men een element van de kromme lijn noemt, mag dan als recht beschouwd worden , zoodat het verlengde element als de raaklijn en het element zelf als het raakpunt moet worden aangezien. Elk punt eener kromme lijn heeft dus zijne bijzondere raaklijn. Projecteert men de kromme lijn met de snijlijn op een plat vlak, dan zal te gelijk met de nadering van Q tot P ook de projectie Q' tot P' naderen. Op hetzelfde oogenblik dat de snijlijn CD in de raaklijn EF overgaat, zullen Q' en P' samenvallen. De projectie van EI' is dus ook de raaklijn in P' aan de projectie der kromme. Is de wording van eene kromme lijn bekend, dan zal men, na de projectiën van eenig punt van die kromme lijn bepaald te hebben, meestal in staat zijn ook de projectiën van de tot dat punt behoorendé raaklijn te construeeven. Alsdan is de constructie van zulke raaklijnen zeer geschikt, om de projectiën van de kromme lijn nauwkeuriger te verkrijgen, dan zij zonder het gebruik van die raaklijnen zouden gevonden worden. Van hetgeen in deze paragraaf werd medegedeeld, is reeds bij het projecteeren van den cirkel gebruik gemaakt. § 179. Door den hoek waaronder twee kromme lijnen elkander snijden, verstaat men den hoek gevormd door de raaklijnen, die men in het snijpunt aan de beide kromme lijnen trekken kan. Is die hoek nul, zoo raken de krommen elkander, is hij recht zoo staan de kromme lijnen loodrecht op elkander. Evenzoo verstaat men door den hoek van eene rechte lijn of van een plat vlak met eene kromme lijn, den hoek dien de raaklijn, in het snijpunt aan de kromme getrokken, met de rechte lijn of met het platte vlak mankt Het construeeren van zulke hoeken wordt dus dooi- liet trekken van raaklijnen terug gebracht tot het werkstuk van § 58. Volgens de gegeven bepaling staat verder eene rechte hjn of een plat vlak loodrecht op eene kromme Hjn, indien die lyn of dat vlak in eenig punt der kromme loodrecht op de raaklijn van dat punt staat. 8 180 Elk vlak, dat door de raaklijn in eenig punt P eener kromme lijn gebracht wordt, is een raakvlak aan de kromme hjn Snijdt zulk een vlak de kromme lijn in een naburig punt Q, dan kunnen wij dit vlak om de raaklijn laten draaien, zoodanig dat liet snijpunt Q voortdurend dichter bij P komt en eindelijk met 1 samenvalt. In den stand van het vlak op het oogenbhk dat de muiten P en Q samenvallen, wordt het het tangentiaal of osculeerend vlak der kromme lijn genoemd. Op dezelfde wijze als men aanneem dat eene raaklijn gaat door twee oneindig dicht bij elkander gelegen punten der^kromme, .0. kannen wij he. tangent»,, vl.k besehonw.n als te gaan door drie oneindig dicht bij elkaar genomen punten op de kromme lijn - of wat hetzelfde is - door twee op elkander volgende elementen; het tangentiale vlak in eenig punt eener kromme lijn gaat door de raaklijn van dat punt en door de raaklijn van een oneindig dicht daarbij gelegen punt. Bij eene vlakke kromme lijn is blijkbaar haar eigen vlak het tangentiale vlak van al liare verschillende punten. S 181 Een plat vlak, dat door eenig punt van eene kromme lijn loodrecht op de raaklijn van dat punt gebracht wordt noemt men een normaal vlak van de kromme lijn. Elk punt eener kromme lijn heeft dus zijn bijzonder normaal vlak. Al de lijnen, die men uit eenig punt van eene kromme lijn in het normale vlak van dat punt trekken kan, staan loodrecht op de raaklijn van dat punt en dus ook loodrecht of normaal op de kromme lün Onder al deze loodrechte lijnen, normalen genoemd is er eene, die' tevens in het tangentiale vlak van het beschouwde punt ligt; zij wordt de hoofdnormaal van het punt der kromme lijn genoem en is alzoo de doorsnede van het normale en het tangentiale vlak, tot dat punt behoorende. Bij vlakke kromme lijnen verstaat men echter door de normalen alleen die lijnen, welke uit de verschillende punten van de kromme lijn in haar eigen vlak loodrecht op de raaklijnen van die punten kunnen worden getrokken, alhoewel men ook hier even goed van hoofdnormalen zou moeten spreken. § 182. Onder de kromme lijnen van dubbele kromming, bedoeld m liet slot van § 177, zijn de gewone schroeflijn en de loxodromische yn een paar van de merkwaardigste. Met de eerstgenoemde zullen wij later bij de behandeling van de cylindervlakken kennis maken. De laatstgenoemde, waarmede wij ons echter verder niet zullen bezighouden is eene kromme lijn, die, over het oppervlak der aarde getrokken, al de meridianen onder gelijke hoeken snijdt zoodat zij den weg voorstelt dien een schip volgt, dat altijd in' dezelfde tusschenstreek van het kompas voortgaat; zij is niet de kortste weg om over het oppervlak der aarde uit het eene punt tot het andere te komen, want uit de Stereometrie is bekend dat deze kortste weg wordt aangewezen door den boog van een grooten cirkel die door de punten gaat. Hierbij is de aarde beschouwd als een volkomen bol. Tot de meest belangrijke kromme lijnen echter, waarmede wij in de Beschrijvende Meetkunde zullen te maken krijgen, behooren de kegelsneden. Dit zijn vlakke kromme lijnen, welker vele merkwaardige eigenschappen in de Analytische Meetkunde worden afgeleid. YVij zullen thans alleen die eigenschappen behandelen en stereometnsch afleiden, welke voor de juiste uitvoering der later volgende constructien van belang zijn. § 183. Uit de Stereometrie is het ontstaan van een rechtcirkelvorinig kegel vlak bekend en weten wij dat een plat vlak, dat door de as gaat, het oppervlak zal snijden volgens twee beschrijvende lynen die gelijke hoeken maken met die as en wel elk gelijk aan den halven tophoek van den kegel. In Fig 169 is TO de as en zijn ATA' en BTB' die beschrijvende h!tT f ,\an?,er k' dat door den t0P T gebracht wordt, zal met het keDelv ak alleen dit punt T gemeen hebben of wel het kegelvlak snijden volgens twee beschrijvende lijnen, terwijl elk vlak loodrecht op de as gebracht het oppervlak zal snijden volgens een cirkel. leeit liet snijdend vlak een anderen stand, zoo zullen wij, tot het onderzoeken van den aard der doorsnede, onderstellen dat dit vlak oodrecht staat op het aangenomen vlak van teekening en dit dus om V° fnS r Hjn C?', De"ken Wij °nS dan Verdel'dit vlak draaibaar m eene lijn, die in U loodrecht staat op vlak ATB, zoo zullen wii 0vLd!enWlJr-grakkehj,k,fUnrn nagaan' Welke 8evalien Zich kunne« oordoen bij de verschillende standen van het snijdend vlak. Het * 'J end vlak wordt bepaald door de grootte van den hoek TCD = deelliin in T sniidt, zoo vindt men in de lengten der lijnen TL en TK de elementen, die den stand van het snijdend vlak bepalen. $ 185. Wordt het kegelvlak gesneden volgens ^e byperbool /Fi'o- 168) dan vinden wij door het construeeren van de bollen, lu!"kegelvlak en het snijdend vlak raken, op overeenkomstige w.jze als in § 184 werd aangegeven: PF = PG, PF' = PH en PF' — PF = GH = BD. Maar 1JB _ LB — LD = LF' — LF en DB = CA = CK — KA = KF — KF waaruit volgt: DB = KL en LF = KF' i ■ „kn der hvnerbool: het verschil der afstanden van s tï »r»«- * len"der kromme, L°blijkt gemakkelijk dat de beid. takken de. kromme lijn symmetrisch liggen ten opzichte van eene lijn, die in het midden M loodrecht op de as KL getrokken wordt'. Evenals bij de ellips noemt men ook hier de punten F en F' de brandpunten der hyperbool, de lijnen PF en PF' de voerstralen en FF' = 2c de brandpuntsafstand-, KL = 2a is de hoofdas. Lrengt men een vlak door M loodrecht op de as des kegels, zoo snijdt dit de beschrijvende lijnen TA en TB in de punten c en d. Stellen wij nu Mc. Md — b1, zoo is b de helft van de tweede of toegevoegde as der hyperbool, ook wel de imaginaire as genoemd, in welk geval men aan KL den naam van reëele as toekent. Volmaakt op dezelfde wijze als bij de ellips (het daar gestelde gaat woordelijk door) toont men ook hier aan dat Pp* = — Kp.Lp. , aJ Een vlak, door K loodrecht op de as des kegels gebracht, snijdt ook hier de beschrijvende lijn TB in U, zoodanig dat LU gelijk is aan FF'. Wij laten aan den lezer over hieruit af te leiden, dat men een kegelvlak met gegeven tophoek 2 « altijd zal kunnen snijden volgens een gegeven hyperbool met 2a tot as en 2c tot brandpuntsafstand, wanneer slechts voldaan wordt aan de voorwaarde dat «>ccos nd,c» het ^^«"eTS Jde - e, K de * is; uit de r , hlïïkt dit de as loodrecht op de richtlijn staat, terwijl uit dfgenoemde'eigenschap volgt, dat de top gelegen » .n het m.ddc» dCDetn«tie toont teven,»», dat «ene koorde, door het ta.ndff ""nrtrmïr'door P een vlak loodrecht op de as des kegels, lirtnnt m ... T. to ;n de punten a en b, snijdende de beschrijvende lijnen TA en 1B in l ZOO is Maar en dus Pf = ap .pb ap : Kp = QC : QK pb = QD Kp . QC . QD ap.pb= qk- Eindelijk is n,-> QC . QD = QF2 en QK = KF — 2 Q' dUS Pp1 — 2 QF . Kp RjSft 1^ KT°bPep»uVn de pi,ai van het s^dend vlak. J "I, d°C" Se,« r. d»ld. Qll bepalen van het vlak „n den ao.rakmgsc.rkel OD met het snijdend vlak. Brengen wij in de figuren 165 en 163 door een vlak loodrecht op de as van den kegel, zoo snijdt dit vlak de lijn KL in p'zoodanig dat Pp loodrecht is op KL; pQ = Pq stelt dus den afstand voor van het punt P tot de rechte Hjn 01! U de eigenschappen der evenwijdige lijnen volgt gemakkelijk: ' D* : Qp = DL : QL en dus, als TE evenwijdig aan LK getrokken is, D6 : Qp = TD : TE maar: ... DA = PG= PF en Qp = Vq derhalve: PF: Pg = TD : TE waaruit blijkt, dat bij.de ellips en de hyperbool de afstanden van elk punt tot een vast punt F en eene vaste lijn QR eene standvastig verhouding hebben. In Fig. 165 is TD kleiner dan TE in F,V {«J is daarentegen TD altijd grooter dan TE. Men noemt de lijn QR weder eene richtlijn der ellips of hyperbool om constructie van de snijlijn van het cirkelvlak AB met het OT-'Ï el" d" %■» <*»« ""«le richtltin 0 R die bij het andere brandpunt F' behoort. Op deze wijze leeren wij derhalve dat de meetkundige plaats van 1 6. pU"ten' Wler afsta"den tot een gegeven punt en eene gegeven rechte hjn eene standvastige verhouding k hebben, eene ke-elsncde is en wel eene ellips, parabool of hyperbool naarmate k °kleiner dan, gelijk aan of grooter dan 1 is. ' § 188. Aangezien de raaklijn in eenig punt P der doorsnede van een vlak V met een kegelvlak, de snijlijn is van dit vlak V met het raakvlak aan den kegel volgens de beschrijvende lijn van P _ immers 2 r°lr * 'h Li ';et raakvlak ,iggen ~ zo° kun«en n die raaklijn steeds gemakkelijk construeeren. Het vlak dat den ke el volgens de beschrijvende lijn TP (Fig. 165 167 en 1681 raakt, snijdt het cirkelvlak GGD volgens de raaklijn'GI en dus h!i \. 172 , NS = é= halve tweede as. Men noemt a.b^d. de rechthoek op de assen; de asymptoten vallen langs de diagonalen van dezen rechthoek. ° Wanneer het punt P op de parabool (Fig. 107) zich langs de kromme lyn verplaatst, zoo zal ook het snijpunt N der raaklijn me e as zich verplaatsen. Het oneindig ver verwijderde punt der kromme lyn wordt gevonden op de beschrijvende lijn, die evenwijdig is aan het vlak der kromme, dat is dus op TB. Hieruit lijkt dat het punt N en derhalve ook de raaklijn zelve te gelijk met P in het oneindige zullen verdwijnen en derhalve die raaklijn met in de figuur kan worden aangewezen. De parabool bezit dus geen asymptoten. §189 Uit de voorafgaande beschouwingen kunnen wij nog enkele fJYXX n,ata- die ™"l"m'11 !ij° het tek™» Wanneer de raaküjn in het punt P der ellips of hyperbool (Fig. 105 en 168) de raaklijnen in G en II der parallelcirkels snijdt in PMWU' n CM ' Z0° Zij" de recl)t'10ekige driehoeken PGV en 111W gelijkvormig en dus: PG GV PV PH ~~HW ~ PW Verbindt men V met F en W met F' zoo is: VG = VF en WH = WF' (raaklijnen uit V en W aan de beide bollen getrokken) en evenzoo PG = PF en Pil = PF'. De bovenstaande evenredigheid gaat dus over in PF VF PV PF' ~ WF' FW waaruit blijkt dat de driehoeken PFV en PF'W gelijkvormig zijn en dus de hoeken VPF en WPF' gelijk. Bij beide kromme lijnen maakt derhalve de raaklijn in eenig punt gelyke hoeken met de voerstralen van dit punt. Bij de ellips wordt de hoek der voerstralen middendoor gedeeld door de normaal, bij ' hyperbool daarentegen door de raaklijn. ellini6ibeZittI" Tij derhalVe een middul 0,n in ccnlS punt B eener 1 °f 'W61,1'001 eene raaklijn te construeercn. Men verbindt een der brandpunten b.v. F' (Fig. 171 cn 172) met P en neemt op die lijn een stuk PQ = PF, waardoor dan F'Q = 2a (grooteas der ellips of hoofdas der hyperbool). De lijn, door P en liet midden m van FQ getrokken, is dan de raaklijn. Wij merken nog op dat ^ verpaa sin- van bet punt P langs de kromme h,n, de meetkundige plaats van Q een cirkel is, die uit het punt F' met 2« als straal is beschreven en Richlcirkel genoemd wordt. De meetkundige plaats van m is een cirkel, uit M met a als st beschreven, want Mm = \ F'Q = a (Hoofdcirkel). Deze cirkel is ».j de hyperbool niet geteekend. Trekt men in de ellips door F en F' evenwijdige hjnen Fm en F » tot zij den hoofdcirkel snijden en verbindt men deze snijpunten m en n aan dezelfde zijde der groote as, zoo is deze verbindingslij eene raaklijn aan de kegelsnede. Op deze wijze kan men ellips door ingesloten raaklijnen afteekenen. Uit Fie. 172 volgt nog eene eenvoudige constructie der yper °° , waarbij men tevens in elk punt de raaklijn verkrijgt esciri] ui F' met 2a als straal een cirkel, kies daarop een willekeurig pun , deel FO loodrecht middendoor en bepaal het snijpunt P van deze doellijn mP met de lijn F'Q, dan is P een punt der hyperbool en TOP de raaklijn. Uit deze constructie blijkt terstond,, dat oneindige verdwijnt als FQ eene raaklijn is aan den cirke den stand Fq is gekomen; de raaklijn in het onein ig ver ge g punt der hyperbool loopt dan evenwijdig aan den straal T ? en daar ?£«»»<"<•»•' ™ f? s*at'■" ,ij.dertalïe„ t ST. »,n middelpunt M der kromme moeten gaan. Aangezien Fq den hoofdcirkel raakt, zal men hieruit gemakkelijk tot dezelfde cc,n- structie kunnen geraken als in § 188 is aangegeven ; immers r el, men in £ ««ne lijn U, loodrecht op ML op. snijdende de in 6, zoo zijn de driehoeken MoF en M6L gelijk en dus MF = Mi,. Noemt men de hoofdas 2a, de toegevoeg e s en de brandpuntsafstand 2e zoo is a2 + b1 ==c2. Zoowel uit de beschouwing van § 183 als uit die van § cebleken dat de parabool den overgang daarstelt van eene ellii eene hyperbool. Wij mogen derhalve eene parabool beschouwen als eene ellips of hyperbool waarvan de brandpuntsafstand oneind. groot is, dus het tweede brandpunt in het oneindige is verdwenen. De voerstraal, die bij dit brandpunt behoort is dan evenwyd.g worden aan de as. De raaklijn aan eene parabool, m eemg punt zal derhalve gelijke hoeken maken met den voerstraal » de as. Deze eigenschap is ook rechtstreeks te bewijzen uit 1 ig. • Ts toch E het snijpunt van de raaklijn met de richtlijn QR, zoo volgt uit de gelijk- en gelijkvormigheid der driehoeken r/EP en EGP V—\V n' Maar EG==EF als ''anklijnen aan den bol, derhalve pp r> °aar] WlJ reeds wcten dat ?P = PF, zullen de diagonalen IE en „F van den v.erhoek E?PF loodrecht op elkaar staan en de laakhjn 1 E den hoek ^PF middendoor deelen. Is derhave N (Fig. 174.) het snijpunt van de raaklijn in P aan de parabool met de as, zoo is hoek NPF = hoek PNF dus ook NF = PE. Om eene raaklijn in P te construeeren, behoeven wij dus slechts '1 op de as uit te zetten en wel naar de zijde waar de top ligt en het aldus verkregen punt N met P te verbinden. Ten slotte merken wij nog op, dat NP de lijn F? loodrecht middendoor deelt en dus het midden V dier lijn Fq ook gelegen zal zijn in de UM.khjn d.e men in den top K der parabool kan trekken, immers | V ° 101 lt'^ Jus, dat de raaklijn in den top der parabool de meetkundige plaats is van de voetpunten der loodlijnen, die men uit het brandpunt F op de raaklijnen der parabool kan neerlaten. it geeft een middel aan de hand om eene parabool door middel van raaklijnen af te teekenen (zie Fig. 173). Uit het vorenstaande blijkt getrokken ' ^ PP' lo°drecht °P de as del' Parabool is § \ 90. Ook het construeeren van eene raaklijn aan eene kegelsnede ui een gegeven punt T buiten de kromme gelegen, levert geen moeilijkheden op Daartoe beschrijven wij bij de ellips of hyperbool • u • i , * mt T ee" Cirkel met TF tot straal> die den nchtcirkel, behoorende bij het brandpunt F', snijdt in de punten Q en Q,. De beide lijnen die QF en Q,F loodrecht middendoor deelen en dus door T gaan, zijn de gevraagde raaklijnen, terwijl de raakpunten en V nauwkeurig gevonden worden als snijpunten dier raaklijnen met de lijnen F'Q en F'Q,. Wil de constructie mogelijk zijn,''zoo moet het punt T gelegen Tl" f u ? '°mme Hjn; dit is het Seval biJ de hyperbool als bgt binnen de ruimte begrensd door de bolle zijden der kromme lijn. ij de parabool (Fig. 174) beschrijft men uit T met TF als straal een cirkel, d,e de richtlijn in q en q' snijdt, De lijnen, die qF en 9 loodrecht middendoor deelen en dus door T gaan, zijn de Ke- rSrra iJnen'-S1dende ^ 'ijnen' die in 9 e" 1' loodrecht " p her wÏÏJn Ir"' 1,1 de,raakPunten P e» P- De constructie is ooi, h.er weder alleen mogelijk als het punt T buiten de kromme lijn ligt. > TP en Tp twee uit een zelfde punt T getrokken lijnen ( g- 170)' dle eene Parab°o1 '» P er. p raken en is AB eene andere raaklijn »n die parabool, snijdende de eerelgenoemde lijnen in A e„B, .oois: k? =m TP Tp Wü kunnen deze eigenschap gemakkelijk bewijzen. SjeeZL wij d.°™kP en P en 0 ? * AF = AC' en AF = Aq dus AC' = Aq , waaruit hoek AC C -hoek A^ maar hk. AC'C = hk. CFA enhk. AryP = hk. AFP dus hk.CF. - ^ • Op dezelfde wijze toont men aan, dat hk. BFp-hk. l,k.TFp = hk. PFT is. Door aftrekking volgt hieruit: hk. TFp — hk. BFp = hk. PFT — hk. CFP> ""k. TFB = lik. PFT - hk. BFT _ hk. TFC = hk. CFI> _ hk. BFT 2 hk. TFB = hk. CFP = 2 hk. AFP hk. TFB = hk. AFP Om TVFv kan een cirkel beschreven worden, das is hk. FTB = hk. ¥\v = hk. PNF = hk. APF Op dezelfde wijze kan men aantoonen, dat de hoeken FTN en BpF t driehoeken BTF en APF * derhalve £ gelijkvormig en eveneens is dit liet gev. en TFP, waaruit volgt: = PF TP ' Tp 11 !'•, n-, (rpbruik gemaakt om eene Van deze eigenschap u in Fig. g ^ ^ raaklijnen NP parabool door raaklijnen in e s ui en. genomen) in en NQ (die hier gelijk zijn omdat T in M op de « J! ^ ^ ™n3ke op PN op te richten, vindt men in F het brandpunt van de parabool. §191. Tot het construeer van eene raaklijn aan^ecnej^elsnede, evenwijdig aan eene gegeven lij / ; ^ __ trekken wij door het brandpun^ > bchoorende bij het bij de ellips en liypei >o O en 0 terwijl bij de parabool brandpunt F', snijdt dj pan-ten Q cn Q„ « de richtlijn, door die loodlijn, in een punt - het omwentelingsoppervlak volgens parallelcirkels. list de beschrijvende lijn niet in één en hetzelfde platte v ak met % en betzelfde platte vlak bevinden; alsdan ligt ook de as in dat vlak, terwijl de uiteinden 6, en c, van deze middellijnen in het algemeen in twee vlakke kromme lijnen liggen, die aan weerszijden van de as geplaatst, bij tegenoverstand gelijk en gelijkvormig zijn. Beschouwt men eene dezer beide kromme lijnen als eene nieuwe beschrijvende lijn, die om dezelfde vaste as wentelt, dan doorloopen hare punten als uiteinden van de genoemde middellijnen weder dezelfde parallelcirkels; deze nieuwe beschrijvende lijn beschrijft dan ook weder hetzelfde oppervlak. Elk omwentelingsoppervlak kan dus voortgebracht worden door de wenteling van eene beschrijvende lijn, die met de as in één en hetzelfde platte vlak ligt en die alzoo van enkele kromming is of ook in bijzondere gevallen recht kan wezen. Zulk eene beschrijvende lijn heet in elk harer standen een meridiaan, terwijl men den naam van meridiaanvlak geeft aan elk vlak, dat door de as gaat. Alle meridianen van een omwentelingsoppervlak zijn dus gelijk en gelijkvormig en elk meridiaanvlak snijdt het oppervlak volgens twee bij tegenoverstand geplaatste meridianen. Wanneer een meridiaanvlak tevens een projectievlak is, of ook wanneer het evenwijdig aan een projectievlak mocht zijn, onderscheidt men de in dat vlak gelegen meridianen door de benaming van hoofdmeridianen. Uit het boven aangevoerde blijkt verder ten duidelijkste, dat een omwentelingsoppervlak onveranderd blijft, wanneer men, in plaats van de beschrijvende lijn, eene willekeurige kromme lijn, op dat oppervlak getrokken, als nieuwe beschrijvende lijn aanneemt. Een lichaam dat begrensd wordt, hetzij alleen door een omwentelingsoppervlak , hetzij door een omwentelingsoppervlak en één of meer platte vlakken loodrecht op de as, hetzij door twee of meer omwentelingsoppervlakken met gemeenschappelijke as, wordt een omwentelingslichaam genoemd. De doorsnede van zulke lichamen met hunne meridiaanvlakken zijn figuren, die door de as in twee symmetrische deelen verdeeld worden. Een dezer deelen noemt men de beschrijvende figuur. Ligt de as buiten de beschrijvende figuur, zoo wordt het hierdoor beschreven lichaam ringvormig genoemd. Na op een omwentelingsoppervlak eene geheel willekeurige kromme lijn getiokken te hebben, kan men deze als richtlijn aannemen, en het oppervlak laten ontstaan door tot beschrijvende lijn aan te nemen den omtrek van een veranderlijken cirkel, die zich met zijn middelpunt langs de as beweegt, daarbij met zijn vlak loodrecht blijft op die as en die verder met eenig punt van zijnen omtrek de aangenomen richtlijn volgt. Deze wordingswijze vereenigt alle omwen- telin»soppervlakken tot het zelfde geslacht. Naarmate de richtlijn » eene rechte lijn, eene ellips, eene hyperbool of eene parabool verknipt men een omwentelings kegel-(cylinder-)vlak, een omwenteling» ellipsoïde, -hyperboloïde of -paraboloïde. Deze oppervlakken zyn ook te beschouwen als bijzondere gevallen van de zoogenaamde oppervlakken van den tweeden graad. s 199 De oppervlakken van den tweeden graad. Deze oppervlakken',' waarvan men vijf verschillende soorten kent - behalve de keoel- en cylindervlakken , die eene kegelsnede tot richtlijn bezitten en waarop reeds in § 196 en § 197 werd gewezen - worden zoo genoemd omdat hunne vergelijkingen van den tweeden graa zijn. Zij hebben de eigenschap door evenwijdige platte vlakken gesneden te worden volgens gelijkvormige en gelijkvormig gelegen kegelsneden (1 welke eigenschap bewezen wordt in de Analytische Meetkunde en in enkele bijzondere gevallen ook uit het hieronderstaande volgt. Tot de bedoelde oppervlakken behooren: 1°. De ellipsoïde. .. Dit oppervlak kunnen wij ons op verschillende wijzen ontstaan denken, door de beweging van eene veranderlijke ellips Wordt eene gegeven ellips ACA'C' (Fïg. 176) tot ncM»*. genomen en is DED'E' een tweede ellips, die eene koorde DD dei eerste ellips _ evenwijdig aan AA' getrokken — tot as heeft en gelegen is in een vlak loodrecht op het vlak der richtlij, dan zahet oppervlak worden voortgebracht, wanneer de veranderlijke ellips DED L als beschrijvende lijn zich zoodanig evenwijdig beweegt, dat de assen DD' en EE' eene constante verhouding bewaren en de ellip ^'üe'Tèschrijvfnde ellips is het grootst als haar vlak door 0 gaat en dus in den stand ABA'B' is gekomen Men noemt 0 het middelpunt, AA'= 2a, BB b en . de assen en de ellipsen, die deze lijnen twee aan twee tot assen hebben, de hoofddoorsneden der ellipsoïde. Dat de uiteinden E en E' bij de beweging eene ellips beschrijven, blijkt onmiddellijk, omdat 0'D2 = ~ 0'C.0'C' (§ U8) en qTq=7 dus 0'E* = 0'C • 0'C'. E is dus een punt eener ellips met OC - c en OB = b tot halve assen. " (t) Hierdoor verstaan wij dat rechte ignen in de eeno doorsnede evenwijdig *ijn aan de daarmede gelijkstandige lgnen in de andere doorsnede. dol" duidelijk zij" ' d,at wiJ he^lfde oppervlak kunnen verkrijgen door de beweging — oodreeht nn AA' u welke, assen ïich ,«,I,„„deTlT: c ~ "" e"'PS KLK'L' elliraJ alrr" T '1 °pper,lak 00k on,s'™ d™k™ d«' »I. ellips U,CG, die zoodanig om hare as ff' rimo.'t ,i„* de andere as GG' van grootte verandert en de uiteinden^G en G' gelegen blijven op eene gegeven ellips ARA'B', die met haar middel punt loodrecht op het midden der lijn CC' gegeven is dde'~ a op eze wijze hetzelfde oppervlak ontstaat als bij de eerst aangegeven wordingswijze is gemakkelijk aan te toonen Is toch H een willekeurig punt der beschrijvende ellips , zoo is n0ï = co'' °'G' maar ook D°,:i = C0'" °'C' en dus HO': DO' = GO : AO. Hieruit blijkt dat H ook een punt is der d] ded,e, m. z ":l rr? pende de, een Je, de ellipsoïde „| snijd,'» volgens «né Met de lijn CC' kan men elk paar loodrecht op elkander staande de'r eÏG;alt.drkd' d°" * - ~ Is CC' kleiner dan AA', ontstaat dus het oppervlak door went,. 1'ng van eene ellips om hare kleine as, zoo beslmpelt men 7„ da[ n« Zot TB1-? raeestalde" °,am "" 2-. De „«oZ^zrkn>e' m°"boioppe""k- Wanneer men in de eerst aangegeven wordingswijze der ellinsoïde .fSïcr;:tcd;r T/T1"01 (Fi*- : ® tot Jtïveede as («bed is de rechthoek op de assen) aat door de beweging der ellips DED'E' als beschrijvende 66,1 hyPCrb0l0Ïd' verplaatst en in bet oneindig, laat verdwijn™ 8 A'A kan worden gesneden. P e Parabool o . D, hyperbolische pakaboloïde ^ wij -- schrijvende lijn, welker ™ hSÏL^T' H,™ "'S dezelfde wijze als sul, JL Lrrt P ol U L als richtlijn volgt, op dat nu ,1e bdde parabolen 7^ aan«?w<3cn> alleen dit verschil gericht hebben. ' openinSen naai' verschillende kanten I" plaats van de parabool E'D'F rtf R'A'n h ,erplaa,s™ '"*• CA'C'. k« - ««I affSSg »"zï 5 zelf verplaatsen langs B'A'B. In de figuur zijn een tweetal standen van deze beschrijvende parabool aangegeven. Het oppervlak kan ook ontstaan, door de beweging van eene 3perbool LL' als bei beschrijvende lijn lijnen AA' en BB'. Beschouwen wijl ,daart°e 6 de„ als' zij slechts nV, dnn ,al de.e J. W.Mj-» - OO-J^ £ 1, q dicht genoeg bij A Vj g ™ verkriren wij de lijnen QR, PQ en en R onderling en met P, Jo »u-nen van de kromme PR, die te beschouwen zijn als deelen J J ri;vende lijn lij,,;» DD', BB' e» CC'. Denk.» w,, «O»'^Jsd „nde,1, DD' bewegende over het »PPf"'« • en DD. en A:y samenvallen, clan «uilen, op hot oogenbhk J gonoemde snijlijnen ook de pnuten « en B P„, p J, de kromme lijnen gaan *. »"'» T^n dVtewéging veranderen de lijnon wel AS', BB' en CC . Tijdens = 1>n driehoek, telkens m van richting, doch zij ligger , J ten p Q en R samen- één plat vlak; op het oogenbhk dat de punten , u vallen, liggen zij dus nog in een va ,g genomen, ligt der- Daar de kromme lijn U, gen liet viak gaande halve de raaklijn in P aan die kromme lijn steeds ^ ^ ^ ^ ^ door de raaklijnen van de kromme ^ ^ punt op het raaklijnen in de punten aan . raakvlak in het punt P oppervlak getrokken, liggen m een vlak, aan het oppervlak genoemd. ^ op het oppervlak Bij dit bewijs is ondersteld, < beschrijvende lijn verschillende kromme lijnen en eene bepaald konden worden getrokken. oppervlak bestaan er enkel, «eer bij.ond.re P»»"^ ^ mkvhk in den dan ook uitzonderingen. Zoo b. v. bestaai » top van een kegelvlak. § 203. Evenals men «on oneindig eene kromme, lijn als een reeht l.jntje mag beschonwe verlenging eene raaklijn aan de kromme lijn ontstaat, kan ook een oneindig klein gedeelte of element van een gebogen vlak beschouwd worden als een plat vlakje, dat door zijne verlenging een raakvlak aan het gebogen oppervlak oplevert. De elementen, die de raakvlakken met de gebogen oppervlakken gemeen hebben, zijn zeer onderscheiden, naargelang deze al of niet ontwikkelbaar zijn. Daai namelijk de ontwikkelbare oppervlakken beschreven worden door rechte lijnen, die zich zoodanig bewegen, dat elke twee op elkander volgende standen van de beschrijvende lijn zich in één en hetzelfde platte vlak bevinden (zie § 197), zal men het gedeelte van het oppervlak, dat door twee oneindig dicht bij elkander gelegen beschrijvende lijnen ingesloten wordt, als plat mogen beschouwen. Dit oneindig kleine gedeelte of element van het oppervlak heeft dus in de richting van de beschrijvende lijn eene onbepaalde lengte, terwijl het slechts eene oneindig kleine breedte heeft. Hieruit volgt, dat deze gebogen vlakken, mei name de kegelvlakken, de cylindervlakken en de algemeen ontwikkelbare oppervlakken, door een raakvlak geraakt worden volgens eene beschrijvende lijn; deze lijn van aanraking is dan diegene, langs welke de twee oneindig dicht bij elkander liggende beschrijvende lijnen van het element geacht kunnen worden samen te vallen. Elk punt in deze lijn van aanraking kan dan als een raakpunt van hetzelfde raakvlak met het gebogen oppervlak beschouwd worden. Van de niet-ontwikkelbare oppervlakken daarentegen kan in het algemeen geen gedeelte als plat beschouwd worden, tenzij het in alle richtingen oneindig klein zij; immers bij de scheeve oppervlakken, hoezeer door rechte lijnen beschreven, liggen geen twee opvolgende beschrijvende lijnen in één en hetzelfde platte vlak, terwijl de overige onontwikkelbare oppervlakken zelfs niet door rechte lijnen kunnen beschreven worden. Het element, dat al deze oppervlakken met een raakvlak gemeen hebben, heeft in het algemeen in geenerlei richting eene eindige uitgebreidheid, zoodat dus hieruit volgt, dat de niet-ontwikkelbare oppervlakken door hunne raakvlakken in hel algemeen slechts in één enkel punt geraakt ivorden; dit punt van aanraking of raakpunt is dan datgene, waarin het gemeenschappelijke element wegens zijne oneindige kleinheid geacht kan worden over te gaan. De niet-ontwikkelbare oppervlakken kunnen echter somtijds met enkele bijzondere raakvlakken elementen gemeen hebben, die niet in alle richtingen oneindig klein zijn en uit dien hoofde geacht kunnen worden in rechte of kromme lijnen over te gaan, die dan de lijnen van aanraking zijn. Wij zullen dit b. v later zieni bij de :r:::r;=:' irrr»i b snede van zulk een normaalvlak met het gebogen opperv d men eene novïïicMilsTicdc. g 204 Uit het behandelde in § 202 blijkt, dat elk raakvlak in J," unt van een gebogen oppervlak geheel bepaald woidt door de be^le raakUjnen, die men in dat punt brengt aan twee willekeurige kromme lijnen op het oppervlak door dit punt getrokken. Voor °deze kromme lijnen kan men ook kiezen twee vlakke kromme welke het oppert* gesneden wordt doo, twee wdle- keurige platte vlakken, door dat punt gebracht. Bij^de regelrechte oppervlakken heeft men echter slee s t kromlijnige doorsnede noodig, omdat de rechte beschrijvende lijn, die door het raakpunt gaat, altijd in het raakvlak ligt eni du, de ze lün met de raaklijn aan de doorsnede het raakvlak volkomen bepaalt. Bij de ontwikkelbare oppervlakken raakt het vlak volgens i e celieele beschrijvende lijn; dit is niet het geval bij descheeve opFe vlakken• daar is de beschrijvende lijn, die door het raakpunt getrokken' wordt, een deel der doorsnede van het gebogen oppervlak " Een6 eHndefzal bij de behandeling der regelrechte oppervlakken „ader blijken dat het raakvlak in A' aan de hyper- hothe paraboloïde Vig. 178) het oppervlak snijdt volgens^ rechte lijnen pk'p' en qk'q'; later zullen wij o. a. bij den cuk vormigen ring een voorbeeld aantreffen van een raakvlak, dat liet oppervlak snijdt volgens eene kromme lijn, terwijl de wig va Wallis ons zal doen zien, dat een raakvlak het oppervlak gehjktij 0 kan snijden volgens eene rechte en eene kromme lijn. Wanneer in een gegeven punt van een gegeven öppervlak een raakvlak gebracht moet worden, verkrijgt dit vlak een bepaaldei stand. Is er echter geen raakpunt gegeven, dan kan men he raakvlak nog aan andere voorwaarden laten voldoen. Daar namelijk de stand van een plat vlak, hetzij door eene rechte lijn en een punt, hetzij door drie punten bepaald wordt, zal men het raakvlak door één of door twee buiten liet oppervlak gegeven punten kunnen laten gaan, naargelang het gegeven oppervlak al of niet ontwikkelbaar is. In plaats echter van het raakvlak door zulk een gegeven punt te laten gaan, zal men het evenwijdig aan eene gegeven rechte lijn kunnen laten worden, of ook zal men het nog een ander gegeven onontwikkelbaar oppervlak kunnen laten raken. Neemt men hierbij in aanmerking, dat het brengen vaneen vlak door twee punten overeenkomt met het brengen van een vlak door eene rechte lijn en dat het brengen van een vlak evenwijdig aan twee rechte lijnen overeenkomt met het brengen van een vlak evenwijdig aan een ander vlak, dan ziet men gemakkelijk in, welke verscheidenheid van werkstukken men zich zoo al bij het construeeren van raakvlakken kan voorstellen. Is het oppervlak ontwikkelbaar, dan is het brengen van een raakvlak, door een gegeven punt of evenwijdig aan eene gegeven lijn, een bepaald werkstuk, omdat het slechts neerkomt op het bepalen van de beschrijvende lijn volgens welke het oppervlak geraakt moet worden. Is het oppervlak echter niet ontwikkelbaar, dan is zulk een werkstuk onbepaald en bestaan er oneindig veel vlakken die aan de vraag voldoen; men kan dan nader eischen dat het raakpunt op eene bepaalde kromme of rechte lijn van het oppervlak zal moeten gelegen zijn. Verbindt men het raakpunt met het gegeven punt of wel trekt men door het raakpunt eene lijn evenwijdig aan de gegeven lijn, zoo verkrijgt men eene raaklijn aan het oppervlak. De meetkundige plaats van alle raaklijnen is een kegelvlak met het gegeven punt tot top of wel een cylindervlak, met eene beschrijvende lijn evenwijdig aan de gegeven lijn, dat het oppervlak omhult, in den zelfden geest als wij dit bij den bol reeds in § 164 hebben gezien. Alle raakvlakken aan dit omhullend kegel- of cylindervlak zijn antwoorden op de gestelde vraag. De meetkundige plaats der raakpunten op het oppervlak heet de aanrakingskromme; meestal is deze lijn van dubbele kromming, alleen bij de oppervlakken van den tweeden graad is zij eene vlakke kromme lijn. Wil men door eene gegeven lijn een raakvlak brengen aan een niet-ontwikkelbaar oppervlak, zoo zal men tot het vinden van het onbekende raakpunt den weg kunnen inslaan, die in §171 Fig. 151 ten aanzien van den bol is aangewezen. Neemt men dus in de gegeven lijn twee willekeurige punten aan en beschrijft men uit die punten als toppen twee kegels, die het oppervlak omhullen, dan zullen de snijpunten der gevonden aanrakingskrominen de te vinden raakpunten zijn. Een der kegels is ook te vervangen door een omhullingscylinder, waarvan de beschrijvende lijn evenwijdig aan de gegeven lijn loopt. Wij merken nog op, dat deze methode niet de eenige is. Immers het komt er slechts op aan, op het oppervlak een punt te bepalen zoodanig, dat twee raaklijnen, die men in dit punt aan het oppervlak brengt, de gegeven lijn snijden. Daartoe nu kunnen wij ons twee oppervlakken voorstellen, die voortgebracht worden door eene rechte lijn, welke de gegeven lijn snijdt en steeds rakende blijft aan het gegeven oppervlak. De snijpunten van de beide kromme lijnen, volgens welke deze oppervlakken het gegeven oppervlak aanraken , zijn de gevraagde raakpunten. De wet, volgens welke de beschrijvende lijnen dier beide hulpvlakken zich bewegen, kan willekeurig worden vastgesteld. Laat men deze steeds de gegeven lijn in een vast punt snijden, zoo verkrijgt men een kegelvlak; ligt dit snijpunt in het oneindige dan verkrijgt men een cylindervlak. Men zou b. v. de beschrijvende lijn ook evenwijdig kunnen laten blijven aan een bepaald vlak waardoor het hulpvlak een scheef oppervlak zou worden. In elk geval zal de constructie, die tot oplossing van het werkstuk vereischt wordt, zeer bewerkelijk zijn, tenzij de lijn een bijzonderen stand heeft en ook het oppervlak niet willekeurig is. In enkele gevallen kan men eene bijzondere methode volgen, zooals wij later bij de omwentellingsoppervlakken en bij de scheeve oppervlakken zullen laten zien. Het brengen van een raakvlak aan eenig oppervlak evenwijdig aan een willekeurig gegeven plat vlak — hetgeen uit den aard der zaak slechts mogelijk zal zijn, wanneer het oppervlak niet ontwikkelbaar is 2al in het algemeen neerkomen op het construeeren van de aanrakingskrommen van twee omhullende cylindervlakken, welks beschrijvende lijnen evenwijdig zijn aan twee willekeurig in he gegeven vlak getrokken lijnen. De snijpunten dier kromme lijnen leveren dan de raakpunten der raakvlakken op. Bij bijzondere oppervlakken zal de constructie eenvoudiger kunnen plaats hebben. Wij merken nog op, dat het construeeren van een punt van het oppervlak, waarin de normaal eene gegeven richting heeft — hetgeen o a. toepassing vindt bij het bepalen van de meest verlichte punten van een oppervlak - zie het hoofdstuk over de schaduwen — overeenkomt met het voorgaande werkstuk, omdat het raakvlak dan evenwijdig moet zijn aan een vlak loodrecht op de ge0evtn 11c i inD, § 205. Twee gebogen vlakken raken elkander, wanneer zij in een gemeenschappelijk punt door één en hetzelfde platte vlak geraakt worden; dit punt is dan hun raakpunt. Gebogen vlakken kunnen een reeks van zulke raakpunten gemeen hebben en zij raken elkander dan volgens eene lijn, die zich op elk hunner bevindt. Deze lijn van aanraking kan zoowel recht, als van enkele of van dubbele kromming zijn. Is zij recht, dan is zij bij ontwikkelbareoppervlakken tevens de lijn van aanraking, volgens welke de beide gebogen vlakken gelijktijdig door één en hetzelfde platte vlak geraakt worden. § 206. Snijding van gebogen oppervlakken. Tot het bepalen van de doorsnede van eenig oppervlak met een plat vlak, kan men in liet algemeen twee verschillende wegen inslaan. De eerste, die gewoonlijk bij uitsluiting gevolgd wordt, als het oppervlak door een rechte beschrijvende lijn is voortgebracht, bestaat daarin, dat men voor eene menigte standen van de beschrijvende lijn haar snijpunt met het platte vlak construeert. Ieder zoodanig snijpunt is dan een punt van de begeerde doorsnede, omdat het, als een punt van de beschrijvende lijn, op het gebogen vlak ligt en tevens in het platte vlak gelegen is. Heeft men dus van een genoegzaam aantal dezer snijpunten de projectiën gevonden, zoo zal men door deze onmiddellijk de projectiën van de begeerde doorsnede uit de hand kunnen trekken. De tweede weg, dien men volgen kan, bestaat daarin, dat men een stelsel snijdende vlakken aanneemt en voor elk snijdend vlak zijne doorsnede, zoowel met het gebogen oppervlak als met het platte \lak, bepaalt; de punten, die deze beide doorsneden gemeen hebben, zijn dan punten van de begeerde doorsnede van het gebogen vlak met het platte; op deze wijze zal men derhalve een voldoend aantal punten van de doorsnede kunnen bepalen, indien men slechts een genoegzaam aantal snijdende vlakken bezigt. Het volgen van dezen weg kan echter alleen van veel nut zijn, ingeval men een stelsel van snijdende vlakken weet aan te nemen, welker doorsneden met het gebogen vlak onmiddellijk en zonder eenige constructie kunnen gevonden worden. Tot het behoorlijk construeeren van de projectiën der doorsnede is het noodig, dat men in elk punt in staat is de projectiën aan te geven van de raaklijn aan de doorsnede. Aangezien die raaklijn nu, volgens § 202 en § 204, in het raakvlak ligt, zal zij derhalve de doorsnede zijn van het raakvlak met het snijdend vlak, 8 207 De constructie van de doorsnede van gebogen oppervlakke ,net platte vlakken versehaft onmiddellijk de nood,ge hulpm.ddL ou eek de doorsnede, de«.r opper.Ukken onderhng te kun» » construeeren. Bepaalt men namelijk de kromme of rechte lijnen volgens welke twee gegeven oppervlakken door eemgmeuw aang • „nn tP nemen kan men derhalve zooveel punten van de be0eerae aan te nemen, Ka ,„vli;PC;t Die snijdende vlakken moeten worden, d,t de kromme of r.ehte Ijnen, volgens «elke zij de gegeven gelogen ^uta STt" zrri" - - 0Trkh™inkb^detgeva.len gemakkelijk moebt de p»nbedoelde gebruik ven snijdende vlekken röt, ^ritrnctie, In bet algemeen be-.uwd, £ construeeren, welker snijai g p ianKwiilig worden, om gelijke constructie, hoezeer m e J , zwarigheid ontgaat men haar uitvoerbaar te mogen noemen. D ze ™ ^ i„ de ,„,«ste voorkomerie ge,^«n,vdoor^d.^ ^ verband met de wor 11 g ken „;jlkn, helilj volgens reehte te nemen, dat zij PP me Ujnetl) welker lijnen, hetzij volgens cirkf :.,hpf °De sniidende vlakken, die nieuwe afteekening men ontwijken ka . 1 die ó{ wijdig en dikwijls tevens evenwijdig aan een P I zijn; ook kunnen er gevallen zijn, waarin men zich met vrucht van snijdende bolvormige oppervlakken kan bedienen. Dit alles zullen wij later door werkstukken nader ophelderen. Na deze algemeene beschouwingen zullen wij thans overgaan tot het aanwijzen van de gebruikelijke methoden om de gebogen opperakken door middel van projectievlakken voor te stellen. Daarbij zullen wij tevens gelegenheid hebben om raakvlakken aan die oppervlakken te construeeren en aan te geven, op welke wijze mende doorsneden bepaa met platte vlakken. Wanneer het oppervlak ont1 tkelbaar is, zullen wij aantoonen hoe die ontwikkeling geschiedt uwij wij an nog ten slotte de doorsneden zullen bepalen van' enkele ffeboiren nnnprvlskto™ : ^ u - wutici HUK. t C. KEGEL- EN CY L1N DERVL AKKEN. § 208. Werkstuk. Een kegelvlak, waarvan de top en de richtlijn gegeven zijn, op de projeclievlakken voor te stellen. „olp(rpn Indien (T' T") de top en ABCD de in het horizontale vlak 0ele0e richtlijn is (Fig. 181), zal elke rechte lijn, door dezen top en een willekeurig punt van de richtlijn getrokken, een stan van tL schrijvende lijn zijn. Trekt men dus uit T' de raak Ujnen TlS er. TU aan de richtlijn, zoo verkrijgt men de beschrijvende lijnen (1 » j en (T'D', T"D"), welker horizontale projectien de uiterste stand zijn, tusschen welke de horizontale projectiën van al de overige ei^vende lijnen ..«en. Trekt men aa» de rich bjn de mkl.jn.n A'A» en CC» Ml op evenzoo de beschrijvende lijnen (T A, I A ) en vi , verticale projectiën uiterste standen zijn. Daar dus de punten van het kegelvlak, wat hunne honzontae /» i i" T'D' T'FY pn wilt hunne verticale projectiën betreft de lijnen T B en 1 U , , projectiën betreft de lijnen T"A" en T"C , tot grenzen hebben zoo maken deze vier lijnen, die men als onbepaald vei lengd . schouwen, met de richtlijn de voorstelling van het k^dvUjk mt, tot welks tweede blad de verlengden ï b, T , hTigt' de horizontale projectie T' van den top buiten de gesloten richtlijn ABCD, zooals in de figuur is aangenomen, dan is een ST™ die richtlijn, hier het ^ W omdat het deel van het kegelvlak, dat tot het deel BA d ™ liin behoort daarover heengaat. Alzoo is ook onzichtbaar de hon zontale projectie T'C' van de beschrijvende lijn, d'e uit.der.top naar een ia; punt G' van B'C'D' loopt. Evenzoo is onzichtbaar de ticale projectie T"B" van de beschrijvende hjn, die tot eenig pun B' van het deel A'B'C' der richtlijn behoort. . T'. ,binnen de ^sloten richtlijn ABCD, dan blijft de eebeelo valt V 'Th- tenVijl llËt mits f Iegen tusschen de grenslijnen B'4' d , trekken wij dan door P evenwijdig aan M'N' eene lijn die de richtlijn ergens ,n E' snijdt, laten wij vervolgens de loodlijn È'E" (K'e' 6 E^V'Tde T iW®,..E"e" evenwijd'g aa" zoo is h\ Vd" besc'lrilvende lp, die bet bedoelde punt bevat 6 PU"!-P j Waan" E"e" ontmoet wordt door eene lijn die uit P' prajïe "8 W0"" 8e'r0kk,in' 'S de verticale Indien de lijn, door P' evenwijdig aan M'N' getrokken de richt ijn meermalen snijdt, is zij ook de horizontale projectie van meerdere beschrijvende lijnen; alsdan vindt men dus ook op bet cyliXvI k meerdere punten die dezelfde horizontale projectie P' hebben n Fig. 82 wordt de richtlijn door EV gesneden in een tweede puit , hierdoor verkrijgen wij nog de beschrijvende lijn (FV F"f"\ waarop het punt (P', va„ het cylindervlak geIege;| Bij het rechte cylindervlak, in Fig. 185 voorgesteld, kan de horizontale piojectie P met anders dan ergens op de richtlijn A'C'D'B' genomen worden; voor de verticale projectie kan dan Tp de 1 ™ntUp» reC 0C g d°°r de as getrokken wordt, een willekeurig punt P aangenomen worden. § 212. Werkstuk. In een gegeven punt van een geneven keaelof cylindervlak een raakvlak aan het oppervlak te brengen. aat op het kegelvlak, voorgesteld in Fig. 181 en op het cylindervlak van Fio- 182 IP' p"i i><^,» , .. h cynn(1,1) het gegeven punt zijn, dan kennen wij dadelijk d. ***** lij". g* »£ nameliik (T'E\ T"E") in Fig. 181 en (E e, E e ) in r,g. 18- . beschrijvende lijn is nu blijkens § 203 de lijn, volgens welke he webogen vlak door bet begeerde vlak geraakt moet worden; bet punt" E' van de richtlijn, dat tevens een punt van deze lijn va aanrakin» is, kan derhalve even goed als raakpunt beschouwd worden. Nu is de richtlijn de kromlijnige doorsnede van het gebogen vla met het horizontale; trekken wij dus in het homontale vlak door het mint E' eene raaklijn aan de richtlijn, dan ligt deze raaklijn R, volgens 8 204 in bet begeerde raakvlak. Die raaklijn is eriavc de horizontale doorgang van dat vlak, waarvan de verticale door p.;,ng RRI dadelijk kan geconstrueerd worden, omdat men een punt P van het vlak kent. . . 1 In Fi» 181 kan men voor de constructie van den verticalen doorgang RU, ook den top T van het kegelvlak als een bekend punt van ^InTelT hÏt 'kegel-' of cylindervlak gegeven was door jnidde' j^ eene richtlijn in de ruimte, zou het ter oplossing van bet „iet noodi- zijn, eene nieuwe in het horizontale vlak liggende richt;; n te construee'ren. Door in het snijpunt van debescbnjven e bjn waarop het gegeven punt ligt, met de richtlijn, eene raaklyn te trekken aan deze kromme lijn, verkrijgt men eene lijn, die in he raakvlak moet liggen. Die raaklijn en de beschrijvende lijn bepalen bet raakvlak dan volkomen. 8 <=>13 Werkstuk. Aan een gegeven kegel- of cylindervlak een raakvlak le brengen, dat door een gegeven punt buiten het geboge ^LlirVt'Eig. 183 en in Fig. 184 bet gegeven punt zijn, dat bet ««even punt P en den top getrokken wordt, n het ralkv" liggen, terwijl dil in Fig. 184 het geval » »J" met eene Sn PO door het gegeven punt P evenwijdig aan do beschrijvende „ getrokken; de SLnUe doorgang van het begeerd, vlak moe frhaW. door he, punt Q' gaan, waarin het homontale vlak door de liin TQ of PQ ontmoet wordt. Trekken wjj dus, na p Q- geconstateerd te hebben, door Q' «en. Ijjn. d» de r,cb%n van het gebogen vlak ergens in E' raakt, >oo ,s de,, raakltjn RR, de dat in dit vlak elk punt P zal liW„ i + '', °P te merken. •ij", die tot het raakpunt E' |£ t '™ d° beschr'jvende nemen. P ^ behoort' naa>' welgevallen kan aan¬ kocht dê richtlijn zóó gegeven ziin Hof j geconstrueerde punt 0' eeen n»Vl" 1 T" daaraan uit het het gegeven punt P ook "een raakvhk °" tl'eJke"' da" 20u door kunnen gebracht worden Ka t™ TV ^ ^ of ^indervlak raaklijnen aan de riehlliin trllï , P"nt Q' twee of me«' zooveel raakvlakken, die allen door 'het*" VCrkr,,gt men ook even Mocht i„ Fis. m n gegeven Punt P gaan. horizontale vlak liggen als de ton T 7 h°°gte boven het getrokken, het holzontale vV^nll t" ^ P e" T in dit geval zou eene raakl" - e6nig pUnt ontmoeten; horizontale projectie TT' gebracht1^ *1 F1Chtlijn' evenwijdig aan de hegeerde raakvlak zijn. § ' 6 honzontaIe <*<« van het Jhk"fc TreZ"!, 1ZSLT" " «**«* - waaraan liet raakvlak evenwijdi» mom i de Wven l'jn »J«, aldaar voorgestelde ke°-el- of cvlinrW I , pe"' dat racn aa" het \A7nf i ii.i ° ^3^'^dGivlak wil brcn^on Wat dan het kegelvlak van Fis lft stukken betrekking mochten hebbeniwege ' ^stukken, merken u. eene -"JJ* «»,*,'TigTT£ „tegelijk - wij voorts op, dat bet in b ]jren,jen, dat door eene ge- een kegel- of cyhndervlak een r slechts door een gtHU ,S»r«. '»»» brengen; een toeval punt van de gegeven li) - iagt hetgeen men zou het wezen indien de ^eJ^ Jn v;ul het vlak gingen door de bemerken zou indien de ^ 8 f de projectievlakken. ontmoetingspunten van de lijn met ae p j w cttik Aan twee kegelvlakken met gemeenschappehjken 'TJZ^Zkke.J een gemeenschappelijk raakvlak te ^ aan de beide in het Trekt «n «ene «■"■■'Mg' d™T»e„ Je beschrijvend, horizontale vlak liggen e J behooren, in één en hetzelfde lijnen, die tot de ^ ^ door den gemeen- vlak liggen: immers op e 8 indervlakken loopen zij evenwijdig, scbappelijken top,, ?n op J gebracht, beeft dan Een vlak, door deze twee bescn j| J en raakt a\zoo de de getrokken raaklijn tot horizon . beschrijvende lijnen. beide kegel- of cylindcrvlakken vo ge ^ ^ gemeenschappelijke Laten de richtlijnen bet ti „eboeen vlakken ook geen mk,ijn niet tee *. ^ richtlijn» gemeenschappelijk raakvlak hebben. meer gemeenschappelijke raaklijnen trekken, dan vindt men ook evenveel gemeenschappelijke raakvlakken. sSaS&'i- maar anders bestaat er zulk een gemeenschappelijk'"ralkvkrnieÏ6"' de, ".l'ZT" 'Z •■'•Usn m een willekeuri, "" * '""V 'm"ie Ujn JLr- V ,1™ 1101 ?->'linde"lak »» V.n bet vlak v,n kennen™ d. loLïiïl ItTTT"!, * *• *«••* projectie 4'C'B'D' der richtlijn de' ™. San',n "!et de l'»™ontalc *>» *m verticalen dCf». V. *"*" ™" Hij een cirkelvormig cylindervhk vnn ,i, ï • aangenomen, is de doorJl n ler 8emakshalve werd is aangetoond, de kleine as w ^ WaaPvan: «*»*> ™ § 184. cylindervlak en de groote as "de dón ^ middelllJn van het vlak met een vlak door dé i« 1 i 's van llet snijdend gebracht. In de figuur is dus j "','\ °P dlt sniJdend vlak aangroote as gelijk aan A"B". Glne 8S 8 J aan G D' en de i»e™ "«sTtt ;n r wilW[en,i« p»»' "■ vlak V met l«t „,k,J f„ t, " >° '«|»l„„ van l„, staat hier lol« i, """ "J'M"»". Dit raakvlak II de verlangde „''kl.j'n ,lak <"• derhalve is (P'H', viakV\d:orrcd:,;:r: mri:6 7- -»* projectievlak neerslaan; i„ °de figollr is V op'M™»!! I i d'4 geslagen. Bepaalt „» ook J ^pfïï neergeslagen vlak komt, dan is PH ook de raaklijn in H aan de neergeslagen doorsnede. Hier is de doorsnede — eene ellips met bekende assen — zeer nauwkeurig te teekenen (zie § 147); bij een willekeurig cylindervlak kan men slechts eenige punten bepalen en moet de kromme lijn door die punten getrokken worden. Het bepalen van de raaklijnen in eenige punten zal dan een middel opleveren om die kromme lijn nauwkeuriger te kunnen teekenen. Om het cylindervlak te ontwikkelen, denken wij ons in de rieilijn een veelhoek beschreven van een oneindig groot aantal oneindig kleine zijden, en deze veelhoek als grondvlak van een recht prisma. Dit prisma is dan in het cylindervlak beschreven. In S 131 hebben wij het zijdelingsch oppervlak van zulk een prisma ontwikkeld; door het cylindervlak te beschouwen als de limiet van het prismatisch oppervlak zal dus ook het cylindervlak kunnen ontwikkeld worden. , ... Snijden wij het cylindervlak door volgens de beschrijvende lijn van B' dan zal het grondvlak bij de ontwikkeling overgaan in eene rechte'lijn B'B' (Fig. 186), die gelijk is aan de lengte van den omtrek van dit grondvlak, dit is dus in ons geval gelijk aan den omtrek van den cirkel A'C'B'D' (1). De beschrijvende lijnen F'F, t L enz. 1,lijven loodrecht op de lijn BB' en hare lengten vindt men uit de verticale projectie. Aangezien eene raaklijn te beschouwen is als eene lijn die twee opvolgende punten met de kromme lijn gemeen heeft (§ 1 '") zal na (!) I„ de Differentiaal, en Integraalrekening wordt geleerd hoe men de lengte van sasssss. 5 xzzxriïS r. rJ L «•»«."»™»"ik«" -™d- keurigheid kan beschouwen als een recht lyntje. , ,„n In °de gewone Meetkunde worden enkele constructiën aangewezen voor het bepalen middelliin in 7 gelijke deelen te verdeelen en op de rechte lijn 22 van die üeeien " zetten Eene Eenvoudiger en nauwkeuriger constructie bestaat hierin dat men een rechthoekigen driehoek construeert waarvan de eene rechtho,3taj.de gel«k ^ en do andere rechthoekszijde gelijk is aan / (3 - tang 30 ), den cirkel voorstelt; de hypothenusa van den driehoek zal dan tartId«amal< keurig de lengte van den ha,ven cirkelomtrek aanwijzen De etie is door^ stippelde lijnen in Fig. 186 aangegeven, alwaar NL _ 3/ en NA = — /• i/ 3 is. 3 de ontwikkeling van liet oppervlak ook de raaklijn in eenig punt, b. v. de raaklijn (P'H', P"H") in het punt (H', II"), overgaan in de raaklijn PH in liet punt 11 van de ontwikkelde doorsnede. Tot het verkrijgen van deze raaklijn hebben wij slechts den in de ruimte gevonnden driehoek P'HH' te beschouwen. Deze driehoek zal bij het ontwikkelen van het cylindervlak — omdat hij gelegen is in het raakvlak der beschrijvende lijn Uil' — niet van grootte veranderen. Wij krijgen derhalve in Fig. 186 de raaklijn P'H door 11'P' gelijk te maken aan II P van Fig. 185 en daarna P' met II te vereenigen. In de punten A en B der doorsnede loopt de raaklijn evenwijdig aan het horizontale vlak; in die punten der ontwikkelde doorsnede loopt de raaklijn dus evenwijdig aan B'B' en vindt men derhalve de laagste en hoogste punten der kromme. Zooals uit de figuur blijkt, keert de ontwikkelde kromme lijn in enkele gedeelten hare holle, in andere deelen hare bolle zijde naar de lijn B'B'. Die punten waarin juist de overgang plaats heeft (in onze figuur de punten C en D) worden buigpunten genoemd; het is van belang de juiste plaats van deze punten te kunnen aanwijzen. Uit eene eenvoudige beschouwing der figuur blijkt, dat de scherpe hoek welke de raaklijn in een zoodanig punt met de lijn B'B' maakt een maximum, en dus de hoek dien de raaklijn met de beschrijvende lijn van den cylinder maakt een minimum is. Daartoe behoeft men zich b. v. slechts een veranderlijk punt te denken op de kromme lijn; is dit punt in II zoo is HP'H' de hoek der raaklijn met B'B'. Beweegt het punt zich naar D toe, dan neemt de hoek in grootte toe, totdat hij, als het punt in D gekomen is, gelijk wordt aan DQ'D'; beweegt het punt zich nu verder in de richting naar G, zoo zal de hoek weder afnemen. Tot het opsporen van de punten der doorsnede, welke bij de ontwikkeling overgaan in buigpunten, hebben wij dus slechts na te gaan, in welke punten de raaklijnen met de beschrijvende lijnen den kleinsten hoek maken. Aangezien de raaklijnen, als verlengden van de elementen der kromme lijn, allen in het vlak V liggen, komt dit dus neer op het zoeken van de richting der lijnen in V die den kleinsten hoek maken met de richting der beschrijvende lijnen, d. i. hier met de verticaal. Daar verder eene lijn met hare projectie op eenig vlak altijd een hoek maakt, die kleiner is dan de hoek waaronder zij elke andere lijn in dit vlak snijdt of kruist, zoo hebben wij slechts een raakvlak aan den cylinder te brengen, dat loodrecht staat op het snijdend vlak V; immers de beschrijvende lijn, volgens welke de cylinder dan geraakt wordt, projecteert zich op het vlak V volgens de doorsnede van het raakvlak met dit vlak, d. 1. volgens de raaklijn aan de kromlijnige doorsnede. De raakvlakken in Fig. 185, welke loodrecht op het vlak V staan, raken den cylinder volgens de beschrijvende lijnen der punten L en D', welke dan ook de buigpunten opleveren. Wij merken nog op dat de raaklijnen in de buigpunten van eene kromme lijn, deze lij,, tevens snijden. In dergelijke punten is de raking inniger dan in gewone punten. Denken wij ons b. v. dat de raaklijn in hetpun D om D draait, dan zal zij overgaan in eene lijn die ter weerszijden van D de kromme lijn snijdt. Bij het terugdraaien bewegen zich die beide snijpunten naar D toe totdat, bij de samenvalling der drie punten, de lijn weder is overgegaan in de raaklijn in het buigpunt ^ Bij eene raaklijn in een willekeurig punt eener kromme lijn ontstond het raakpunt door samenvalling van twee punten; bij eene raaklijn in een buigpunt daarentegen door samenvalling van drie punten. 8 219. Werkstuk. De doorsnede te bepalen van een cylindervlak, waarvan de beschrijvende lijn loodrecht staat op het horizontale vlak, met een willekeurig gegeven hellend vlak. De projectienaan te geven van de raaklijn in eenig punt der doorsnede. Het cyhndervlak met de daarop liggende lijn van doorsnede te ontwikkelen. Zii V (Fi0- 187) het gegeven hellend vlak en de richtlijn van lie cvlindervlak weder een cirkel. Tot het bepalen van de doorsnede, maken wii gebruik van een stel verticale hulpvlakken, die evenwijdig loopen aan den horizontalen doorgang VV,. Zulk een vlak b. v. het vlak W, snijdt den cylinder volgens twee beschrijvende lijnen en het vlak V volgens eene horizontale lyn die dan de beide beschrijvende lijnen in twee punten — hier (A , A ) en (L L ) — der verlangde doorsnede snijdt. Door een genoegzaam aanta punten op die wijze te construeeren, is de verticale projectie der doorsnede te teekenen, terwijl de horizontale projectie langs de richtlijn valt. Onder de verschillende punten der doorsnede zijn enkele merkwaardige punten, die steeds moeten worden geconstrueerd wil men de doorsnede nauwkeurig in projectie aangeven. Deze punten zyti. 1°. de punten (A" en B") welker verticale projectien de afscheidingen doen kennen van het zichtbare en het onzichtbare gedeelte van° de doorsnede in verticale projectie. Aangezien deze punten moeten gevonden worden op de beschrijvende lijnen, welke de grenzen der verticale projectie van den cylinder aanwxjzen zoo moeten wij daartoe de hulpvlakken aanbrengen door de punten A en B'. 2°. de hoogste en laagste punten (F en E) der doorsnede, üit zijn de punten waarin de raaklijnen horizontaal zijn. Men vindt die punten derhalve door raakvlakken aan den cylinder te brengen, evenwijdig aan VV,; E' en F' zijn dus de horizontale projectiën dier punten. 3°. de punten (G en D) die op den kleinsten en den grootsten afstand gelegen zijn van het verticale vlak. Dit zijn de punten waarin de raaklijnen evenwijdig zijn aan den verticalen doorgang. De horizontale projectiën dier raaklijnen zijn evenwijdig aan de as. Tot het bepalen van de raaklijn in eenig punt K der doorsnede, hebben wij een raakvlak in K' aan te brengen en de snijlijn te construeeren van dit raakvlak met het snijdend vlak V. K'S' is de horizontale en dus K"S" de verticale projectie der raaklijn. Om de ware gedaante der doorsnede te leeren kennen, kan men het vlak V om den verticalen doorgang op het verticale vlak neerslaan; de horizontale doorgang komt dan in VVn) bepaald door middel van het punt P', terwijl de snijlijnen der hulpvlakken evenwijdig aan VVn komen. Zetten wij dus b. v. W2A = WA' en WjL=:\VL' uit, dan zijn A en L twee punten der neergeslagen doorsnede. Op dezelfde wijze kan men zooveel punten verkrijgen als noodig zijn, om de neergeslagen doorsnede uit de hand te kunnen trekken. In ons geval is de doorsnede eene ellips, waarvan de groote as' loodrecht staat op den horizontalen doorgang van het vlak V en de kleine as daaraan evenwijdig loopt. Wij hebben derhalve slechts de neergeslagen punten E, F, G en H te bepalen, om daarna op EF en Gil als assen eene ellips te construeeren. De projectiën E"F" en G"H" zijn toegevoegde middellijnen van de ellips, die de verticale projectie der doorsnede aanwijst, zoodat ook die verticale projectie zonder hulpvlakken te construeeren is. Om de raaklijn in het punt K in neergeslagen toestand te teekenen, hebben wij slechts het punt K te verbinden met het punt S, dat op den neergeslagen doorgang VVn zoodanig gelegen is dat VS = VS'. De raaklijnen in de punten C en D zijn mede in de neergeslagen figuur aangegeven en wel om de ellips gemakkelijker uit de hand te kunnen trekken. In Fig. 188 is het ontwikkeld cylindervlak voorgesteld, waarbij het oppervlak volgens de beschrijvende lijn van het punt F' is doorgesneden. Evenals dit in het voorgaande werkstuk uitvoerig is toegelicht, worden de buigpunten H en G in de ontwikkelde doorsnede gevonden in die punten, waarin het raakvlak loodrecht staat op V. De raaklijnen in de punten H en K zijn in de figuur aangegeven. Die in de punten E en F zijn horizontaal. § 220. Werkstuk. De doorsnede te bepalen van een willekeurig gegeven cylindervlak met een vlak loodrecht op de beschrijvende lijn. Ontwikkeling van het gedeelte van het oppervlak, begrensd door het horizontale en het snijdende vlak. Zijn ADBC (Fig. 189) de richtlijn, Ee eene beschrijvende lijn van het gegeven cylindervlak en V het snijdend vlak, dan kunnen de snijpunten van de beschrijvende lijnen met V gemakkelijk worden gevonden door raiddel van de horizontaal-projecteerende vlakken dezer lijnen. Daartoe nu is het weder het gemakkelijkst den cylinder te projecteeren op een standvlak evenwijdig aan de beschrijvende lijn. De constructie zal na deze toelichting gemakkelijk uit de liguur zijn te volgen. Tot de merkwaardige punten behooreti: 1". de punten die de afscheiding van zichtbaar en onzichtbaai aangeven in verticale en in horizontale projectie. De eerstgenoemde (e en f) worden gevonden op de grenslijnen in verticale projectie, dus op de beschrijvende lijnen der punten E en F; de andere (a en b) vindt men op de grenslijnen der horizontale projectie, dat is op de beschrijvende lijnen der punten A en B. 2". de hoogste en laagste punten (c en d), zijnde die punten waarin de raaklijn horizontaal loopt. Zij worden gevonden op de beschrijvende lijnen, waarin de raakvlakken een horizontalen doorgang hebben die evenwijdig is aan VV,, dus op de beschrijvende lijnen van C en D. 3°. de punten {g en h) die het dichtst bij en het verst van het verticale vlak liggen en waarin dus de raaklijn evenwijdig loopt aan het verticale vlak. Daar de raaklijn in V ligt, is zij evenwijdig aan den verticalen doorgang VV,. Men moet dus, om de beschrijvende lijnen te vinden waarop de bedoelde punten zullen gelegen zijn, raakvlakken R aan het cylindervlak brengen evenwijdig aan den verticalen doorgang VV, (zie § 214), dus evenwijdig aan het vlak W,VVj dat gebracht is door VV, en eene lijn Pp die evenwijdig is aan de beschrijvende lijn van den cylinder. 4°. de punten (k en l) waarin de raaklijnen de as van projectie loodrecht kruisen, m. a. w. de punten die het dichtst bij en het verst van een denkbeeldig aangenomen derde projectievlak zijn gelegen. Men construeert nu raakvlakken aan het cylindervlak evenwijdig aan den derden doorgang van het vlak V, dus evenwijdig aan eene lij» 1'Q, die de doorsnede is van V met een willekeurig vlak Y loodrecht op de as. Brengt men dus een vlak U door de lijn PQ en door de lijn Vp, die evenwijdig is aan de beschrijvende lijn van den cylinder, dan moeten de raakvlakken evenwijdig aan U zijn. Zij hebben S,S, tot horizontale doorgangen. De snijpunten t dezer lijnen met VV, zijn punten der raaklijnen. Trekt men door die punten loodlijnen op de as, zoo snijden deze de beschrijvende lijnen van aanraking K en L in de gevraagde punten k en /. Tot het construeeren van de raaklijn in een willekeurig punt (m', m"), moet de snijlijn bepaald worden van het vlak V met het raakvlak in het punt (m', m"). De horizontale doorgang van dit raakvlak snijdt die van V in 0'; 0'm' is dus de horizontale projectieder raaklijn. De raaklijn 0'mn aan de neergeslagen doorsnede is op de bekende wijze verkregen , door het neerslaan van het vlak V om zijn horizontalen doorgang op het horizontale vlak. In 1'ig. 190 is de verlangde ontwikkeling aangegeven; daarbij is het cylindervlak doorgesneden volgens de beschrijvende lijn van het punt D. Denken wij ons het gedeelte van den cylinder, begrensd door het horizontale en het snijdend vlak, om den horizontalen doorgang VV, (Fig. 189) gewenteld, totdat de rechte doorsnede in het horizontale vlak komt, dan is dna„cnbn te beschouwen als het grondvlak van een rechten cylinder, welks bovenvlak gevormd wordt door het grondvlak van den gegeven cylinder. Het ontwikkelen is nu teruggebracht tot het in het voorgaande werkstuk behandelde geval. De lengten der beschrijvende lijnen zijn op het standvlak aangewezen; met behulp hiervan vindt men DFLA. . . . D (Fig. 190) als de ontwikkelde richtlijn van het gegeven cylindervlak. Wil men aan deze kromme in het punt M eene raaklijn trekken, zoo weten wij, dat die raaklijn vóór de ontwikkeling de raaklijn in het punt M aan de richtlijn was en toen het vlak in 0' sneed. Na liet wentelen van den cylinder is M verticaal boven m„ gekomen, terwijl 0' op zijne plaats bleef. In dien stand is M?n„0' een driehoek, rechthoekig in mn, waarvan Mmn de lengte der beschrijvende lijn is en 0'm„ in de iiguur is af te lezen; zet men dus in Fig. 190 uit m„ een stuk mn0 al en verbindt men 0' met M, zoo is de raaklijn in M verkregen. Op gelijke wijze zijn de raaklijnen geconstrueerd in de punten A en L, die hier de buigpunten aanwijzen, omdat in deze punten van den cylinder (zie tig. 189) de raakvlakken loodrecht staan op het snijdend vlak, hier het horizontale vlak. Daar het snijpunt a van de raaklijn in A met de grondlijn buiten de grenzen der teekening valt, is deze raaklijn geconstrueerd door uit A eene lijn te trekken die met de grondlijn een lioek vormt gelijk aan den hoek B(ibn, door de raaklijn in B met die lijn gemaakt. § 221. Werkstuk. De doorsnede te bepalen met het horizontale vlak van het omhullingscylindervlak van een gegeven bol, welks beschrijvende lijn eene gegeven richting heeft. Reeds in § 103 hebben wij gezien, wat men door den omhullingscylinder van een bol verstaat. Deze cylinder is rechtcirkelvormig en de verlangde doorsnede derhalve eene ellips (zie § 218 en 219 waarvan wij slechts het middelpunt en de grootte en richting van elk der assen te construeeren hebben. Daar het middelpunt zal liggen in de as van den cylinder en de groote as der ellips de doorsnede zal zijn van het snijdend vlak met een vlak gaande door de as van den cylinder loodrecht op het snijdend vlak, geschiedt de constructie op de volgende wijze. Men trekt uit het middelpunt (M', M") van den gegeven bol (tig. 191) eene lijn (M'0\ M"0") evenwijdig aan de gegeven richting der beschrijvende lijn van den omhullingscylinder en bepaalt het snijpunt O' dezer lijn met het horizontale vlak. Vervolgens slaan wij het horizontaal-projecteerend vlak van deze lijn op het horizontale vlak neer, waardoor wij MO' als neergeslagen lijn en den uit M beschreven cirkel als doorsnede van den bol verkrijgen; trekken wij dan aan dien cirkel raaklijnen evenwijdig aan MO', zoo bepalen deze raaklijnen door hare snijpunten met M'O' de groote as A'B van de begeerde ellips; het middelpunt dezer kromme valt juist in O , terwijl hare kleine as CD' gelijk is aan de middellijn van den bol en dus dadelijk in hare ware lengte kan getrokken worden. Als merkwaardige punten van de doorsnede komen in aanmerking de punten waarin de raaklijnen loodrecht op of evenwijdig aan de as van projectie zijn. Alhoewel wij deze raaklijnen en raakpunten nauwkeurig zouden kunnen construeeren , door toepassing van het geleerde in § 151 sub 3, zullen wij doen zien hoe wij met behulp van den bol de gevraagde punten kunnen vinden. De punten p' en q' van de ellips, waarin de raaklijnen loodrecht staan op de as, zijn de snijpunten met het horizontale vlak van de beschrijvende lijnen, welker verticale projectien de verticale projectie van den cylinder begrenzen. De horizontale projectien dezer beschrijvende'lijnen worden, door middel van de raakpunten I en O met den bol, gemakkelijk gevonden. De punten der ellips, waarin de raaklijnen evenwijdig aan de as zijn, zijn de snijpunten met het horizontale vlak vau de beschrijvende lijnen, volgens welke de cylinder geraakt wordt door vlakken evenwijdig aan de as van projectie. De horizontale doorgangen dezer vlakken zijn de gevraagde raaklijnen, docli om te vermijden deze aan de ellips te trekken , brengt men raakvlakken aan den bol evenwijdig aan de as van projectie en aan de beschrijvende lijn van den cylinder. Deze vlakken raken dan ook aan den cylinder en wel volgens de beschrijvende lijnen die door de punten gaan waarin de bol geraakt wordt. De constructie van de raakvlakken is hier niet uitgevoerd om de figuur niet onduidelijk te maken. § 222. Van de constructie der voorgaande paragraaf maakt men gebruik als men een vlak moet bepalen, dat gelijktijdig raakt aau een cylinder en aan een bol. Men construeert dan aan den bol een omhullingscylinder, welks beschrijvende lijn evenwijdig is aan die van den gegeven cylinder (§ 103), en brengt aan de beide cylindervlakken een gemeenschappelijk raakvlak (§ 216). § 223. Werkstuk. De doorsnede te bepalen van een willekeurig gegeven cylindervlak met een gegeven hellend vlak. Wij zullen ons tevreden stellen met het aanwijzen van den te volgen weg en de uitvoering der constructie aan den lezer overlaten. Tot het bepalen van de verschillende punten der doorsnede, kan men een vlak loodrecht op den horizontalen doorgang van het gegeven vlak als een nieuw verticaal vlak aannemen, waardoor de constructie van de horizontale projectie der doorsnede teruggebracht wordt tot die welke in § 220 is aangewezen. De verticale projectie vindt men terstond uit de projectiën op het horizontale en op het nieuw aangenomen verticale vlak. De constructie der merkwaardige punten geschiedt op overeenkomstige wijze als vroeger is aangewezen. Men kan tot het bepalen van de doorsnede ook gebruik maken van hulpvlakken evenwijdig aan de beschrijvende lijn van den cylinder en aan den horizontalen doorgang van het snijdend vlak. Deze hulpvlakken snijden het cylindervlak volgens twee of meer beschrijvende lijnen en het gegeven vlak volgens lijnen, die evenwijdig zijn aan den horizontalen doorgang. Tot de ontwikkeling van het oppervlak, maakt men steeds gebruik van eene rechte doorsnede, die bij de ontwikkeling overgaat in eene rechte lijn loodrecht op de beschrijvende lijn. De wijze waarop dan de kromme lijn, waarin de eerstgenoemde doorsnede overgaat, geconstrueerd wordt, zal na liet behandelde in § 220 geen verdere toelichting behoeven. § 224. Eene kromme lijn, die zoodanig op het oppervlak van een cylinder beschreven is, dat zij alle beschrijvende lijnen onder een gelijken hoek snijdt, wordt eene schroeflijn genoemd. Zij gaat bij ontwikkeling van het cylindervlak over in eene rechte lijn en is derhalve de kortste weg die, over het oppervlak van den cylinder loopende, twee punten van dit oppervlak verbindt. Is het cylindervlak rechtcirkelvormig, zoo spreekt men van de gewone schroeflijn, en deze lijn verdient eene afzonderlijke behandeling. In Fig. 192 is de rechthoek a'aee' het ontwikkeld oppervlak van een rechten cylinder, zoodat de beide lijnen ae en a e de beschrijvende lijn voorstellen, volgens welke het oppervlak is doorgesneden en a'a de ontwikkelde omtrek van het grondvlak is. Trekken wij nu in den rechthoek uit a' eene lijn a'bc, die met a'a een scherpen hoek maakt, zoo vormt deze lijn eene schroeilijn a'b'c', wanneer de rechthoek weder om den cylinder gewikkeld wordt. De lijn ae valt dan weder langs a'e', het punt c komt in c' en b in b'. Het punt a', dat de schroeflijn met den omtrek van het grondvlak gemeen heeft, noemt men gewoonlijk haar beginpunt. De hoek ca'a haar hellingshoek. Trekt men uit c' eene tweede lijn ccie evenwijdig aan a'bc, zoo gaat deze eveneens in eene schroeflijn c'd'e' over die bij c' haar beginpunt heeft en daar aansluit aan de reeds verkregene. Elk der deelen a'b'c' en c'd'e' van de geheele schroeflijn noemt men een schroefgang. Den afstand van twee punten eener schroeflijn, gemeten langs eene beschrijvende lijn, zooals a'c', b'd en c'e', noemt men de hoogte van den schroefgang of de spoed. Het is duidelijk, dat eene schroeflijn bepaald is door hare as en haren straal — dat is door de as en den straal van den cylinder waarop zij is aangebracht — en door de hoogte of lengte van den schroefgang, of wel door haren hellingshoek, want dan is driehoek aac geheel bepaald. Verdeelt men den omtrek van het grondvlak van den cylinder in een aantal, b. v. 16, gelijke deelen en evenzoo de lijn a'a en trekt men door de deelpunten de beschrijvende lijnen, dan zal b. v. liet deel PP' van de beschrijvende lijn van P het yv gedeelte van den spoed ac zijn, indien a'P' het -,5f gedeelte van aa is. Door dus op de beschrijvende lijnen, gaande door de deelpunten 1,2,3 enz., welke op den omtrek van het grondvlak des cylinders 9 zijn gelegen, van af die punten achtereenvolgens r1^ , , enz. van den spoed af te zetten, worden gemakkelijk punten van de schroeflijn gevonden. Ontwikkelt men den cylinder in het raakvlak , dat met dit oppervlak de beschrijvende lijn PT gemeen heeft, dan gaat het deel a'PP' van den cylinder over in den rechthoekigen driehoek ;>PP', die gelijk en gelijkvormig moet zijn aan den driehoek a'PP', omdat deze de ontwikkeling is van hetzelfde deel van den cylinder. De raaklijn P'p is dus ook gelijk aan boog a'P' en pV is de raaklijn aan de schroeflijn in P, omdat zij met de beschrijvende lijn van P een hoek maakt gelijk aan den hoek a'PP', dien de schroeflijn met PP' maakt. Het construeeren van eene raaklijn in een punt van de schroeflijn is dus ook gemakkelijk uitvoerbaar. Trekken wij aan het grondvlak van den cylinder meerdere raaklijnen, zooals " projecteert, terwijl a'b' hare horizontale projectie is. Het middelpunt, der ellips is het midden (o', o") dier lijn. De kleine as, die zich op het horizontale vlak in k'l' in ware grootte projecteert, is gevonden door het brengen van een vlak door (o', o") loodrecht op de as van den kegel (§ 184). De horizontale projectie der doorsnede is eene ellips met a'b' en k'l' tot assen. Tot het construeeren van eene raaklijn in het punt (p', p") brengen wij een raakvlak aan den kegel volgens de beschrijvende lijn van dit punt; de horizontale doorgang van dit raakvlak — de raaklijn in P' — snijdt VV, in het punt q, zoodat qp' de horizontale projectie is van de doorsnede van V met dit raakvlak en dus de horizontale projectie der gevraagde raaklijn. De verticale projectie dezer lijn valt langs VV2. Om de doorsnede in ware gedaante te verkrijgen, is het vlak V om den verticalen doorgang op het verticale vlak neergeslagen; ook de raaklijn qp is in neergeslagen toestand geteekend. Daar in ons geval de doorsnede eene ellips met bekende assen is, is het neerslaan van de verschillende punten der doorsnede niet bepaald noodig. In plaats van de gebezigde hulpvlakken hadden wij ook kunnen gebruik maken van horizontale vlakken, die den kegel volgens cirkels en liet vlak V volgens lijnen evenwijdig aan VV, snijden. Op die wijze zijn in de figuur de punten c en d der doorsnede geconstrueerd, die volgens de eerste methode niet te vinden waren. Elk kegelvlak is ontwikkelbaar (§ 197); daartoe denken wij ons in het grondvlak van den kegel een veelhoek beschreven van een oneindig groot aantal oneindig kleine zijden , en dezen veelhoek als het grondvlak van eene pyramide, die met den kegel denzelfden top heeft. Deze pyramide is dan in den kegel beschreven. Beschouwen wij nu liet kegeloppervlak als de limiet van het zijdelingsch oppervlak der pyramide, dan blijkt dat bij de ontwikkeling van het kegelvlak van den rechten cirkelvormigen kegel een cirkelsector ontstaat, waarvan de straal TA is en de boog gelijk aan den omtrek van het grondvlak. Hieruit is dus ook de hoek van den sector te berekenen. In Fig. 195 is het ontwikkeld oppervlak aangegeven, waarin TA de beschrijvende lijn is, volgens welke de samenhang van het kegelvlak verbroken werd. Het zal den lezer duidelijk zijn hoe de verschillende beschrijvende lijnen zijn verkregen en hoe daarop de punten der doorsnede zijn bepaald; deze laatste toch liggen op bekende afstanden van T, af te meten langs T"A of T B . De raaklijn in het punt p der ontwikkelde doorsnede is geconstrueerd door in P eene raaklijn IV/ te trekken en Pq gelijk te inaken aan P'q van Fig. -194; door q met p te verbinden wordt de raaklijn verkregen. Deze constructie zal geen verdere toelichting behoeven, indien men zich slechts voorstelt dat bij de ontwikkeling van het kegelvlak ook het raakvlak, volgens de beschrijvende lijn 1P aan den kegel, in het ontwikkelde vlak komt. De ontwikkelde doorsnede vertoont weder, evenals in § 218, twee buigpunten. Op dezelfde gronden als daar aangegeven, vindt men deze punten a en /? op de beschrijvende lijnen TY en TZ, volgens welke de kegel geraakt wordt door vlakken loodrecht op het snijdend vlak V. Aangezien de lijn uit T, loodrecht op V neergelaten, liet horizontale projectievlak niet binnen de grenzen der teekening snijdt, is gebruik gemaakt van een door 0 gebracht horizontaal vlak, dat de genoemde lijn in t snijdt, om de beschrijvende lijnen TX en 17 te vinden. Door middel van de verticale projectiën dezer lijnen vindt men op VV5 de verticale projectiën «" en /?" en daaruit de horizontale projectiën a' en P' van de punten die na de ontwikkeling de buigpunten opleveren. De afstanden van die punten tot den top zijn weer op T"B" af te meten. In liet punt cc is nog de raaklijn aan de doorsnede geconstrueerd. § 227. Werkstuk. Een vlak, loodrecht op het verticale vlak, snijdt een rechten cirkelvormigen kegel, welke met zijn grondvlak op het horizontale vlak slaat, volgens eene hyperbool. Construeer de projectiën der doorsnede en die der asymptoten van de hyperbool. Ontwikkel het oppervlak. Zij V (Fig. 196) liet snijdend vlak en TAB de gegeven kegel, welks oppervlak door den top heen verlengd is, om ook het tweede blad te kunnen voorstellen. Dit tweede blad is afgesloten door een horizontaal vlak, zoodanig dat de beide bladen dezelfde grootte verkrijgen. Tot het bepalen van punten der doorsnede, maken wij gebruik van horizontale hulpvlakken, die den kegel snijden volgens cirkels en het vlak V volgens lijnen evenwijdig aan VV,. Deze methode verdient hier de voorkeur boven die, welke wij in het voorgaande werkstuk toepasten, omdat de verticale projectiën van vele beschrijvende lijnen den verticalen doorgang VV2 onder een te scherpen hoek zouden snijden om de snijpunten nauwkeurig te kunnen vinden. Het hulpvlak I b. v. snijdt den kegel volgens een cirkel met T'I tot straal en het vlak V volgens de lijn die in 1 (2) loodrecht staat op het verticale vlak. De snijpunten 1 en 2 zijn derhalve punten van de gevraagde doorsnede. Met behulp van den even grooten cirkel II zijn ook de punten 3 en 8 der doorsnede op het tweede blad aan te wijzen, terwijl de cirkels III en IV nog de punten 4,7 en 5,6 doen kennen. De punten G en II zijn de uiteinden van de reëele as der hyperbool, terwijl de snijpunten C' en D', van den horizontalen doorgang VV, met het grondvlak, de uiterste punten van den ondersten tak der kromme aanwijzen; evenzoo zijn de snijpunten E en F van de doorsnede van het vlak V met het bovenvlak ab de uiterste punten van den bovensten tak der hyperbool. Tot het construeeren van de asymptoten brengen wij (§ 188) een vlak W door T evenwijdig aan V, bepalen de beschrijvende lijnen volgens welke dit vlak den kegel snijdt en brengen daarna, volgens die beschrijvende lijnen TK en TL, raakvlakken aan den kegel. De horizontale doorgangen der raakvlakken snijden den horizontalen doorgang VV, in de punten S, welke dus punten der gevraagde asymptoten zijn. Daar die asymptoten evenwijdig loopen aan de lijnen TK en TL zijn dus de projectiën te teekenen. Zij snijden elkander in het midden (0', 0") der reëele as (§ 188), hetwelk dus als controle op de constructie kan dienen. De constructie van de raaklijn (P'p', P"p") in een willekeurig punt P der kromme, zal na het vroeger behandelde geen toelichting 7 behoeven. Evenzoo zal de lezer gemakkelijk inzien dat de raaklijnen 111 Wij6 kun nerT de "asymptoten ook bepalen op de assen te construeeren. ^ JTL vinden, zijnde, behoeven wij daartoe alleen de im g^ ^ ^ loodrecht Hiertoe brengen wij volgens ^ J ,, e raaklijn aan op de as van den kegel en trekken daarna u: 0>**» ™ ^ ^ den cirkel van doorsnede. Deze raaklijn is d g j van de imaginaire as der byperboo. Aangez en deze «ft ^ ^ vviidig loopt aan het horizontale vlak, projecteerj ware gedaante en is zij dus tevens de ™ag'naire ' der mde srtósr; z h—?a»or»s rj - verticaal vlak, de constructie altijd terugbren0en "SÏwei Wij dus bij een rechteirkelvo,™ ig de assen der hyperbool van doorsnede kunue» k,.omme uit dan de asymptoten en verschiltoto pu«to v ^ zelve kunnen vinden, zoo is deeerst aang g ™neden wordt en onmisbaar als het ***«£ ^""„„rtioopende takken heeft volgens eene kromme lijn, die oneinui0 r mff£ "™°d" 'f■» <* aangewezen. ,. fi„nrffesneden volgens de Om het oppervlak te ontwikkelen,^ djj- ^ beschnjvende lijn BT6,^ ^ verlengde Tfc dier schrijvende lijn » op overeenkomstige wijze als in lijn. Op die wijze vei krijgen wij, p ^ he( het voorgaande v00r het bovenste blad. De onderste en den sector lb ( „ ' . •„ DUnt in deontwijze, waarop de hyperboo en e> ra zijn> na lietgeen wikkeling verkregen wordt, zal üen ieze J hierover in het voorgaande werkstuk gezegd . Willen wij ook de asymptoten in de ontwikkelde figuur aanwijzen , zoo merken wij op, dat deze niet op het kegelvlak liggen, evenmin als elke andere raaklijn, doch in de raakvlakken volgens TK en TL. Laten wij dus deze raakvlakken om die beschrijvende lijnen mede wentelen tot zij in het ontwikkelde vlak komen, dan blijven de asymptoten hun stand met betrekking tot die beschrijvende lijnen behouden. De constructie geschiedt dus als volgt: bepaal de beschrijvende lijnen TK en TL in de ontwikkelde figuur (Fig. 197), trek de raaklijnen KS en LS in die punten, maak deze gelijk aan de lengten K'S en L'S van Fig. 196 en trek uit de punten S de lijnen Sy evenwijdig aan KT en LT. Het snijpunt y is niet de plaats die het snijpunt (0', 0") der asymptoten bij de ontwikkeling verkrijgt, omdat bij de ontwikkeling van het kegelvlak de asymptoten ten opzichte van elkander van stand zijn veranderd. Aangezien elke raaklijn aan de kromme, na de ontwikkeling, eene raaklijn aan de ontwikkelde kromme lijn wordt, zullen de lijnen Sy ook asymptoten zijn gebleven aan de ontwikkelde hyperbool. De tak der hyperbool, welke op het bovenblad gelegen is, vertoont bij de ontwikkeling twee afzonderlijke deelen, die elkeen der lijnen Sy tot asymptoot hebben en verder elk een buigpunt bezitten. Deze buigpunten a en /3 worden met behulp van cirkel V, die in horizontale projectie samenvalt met cirkel IV, op overeenkomstige wijze aangewezen als in het voorgaande werkstuk is geschied; alleen liggen de verlangde punten nu op het bovenvlak, dus op het verlengde der beschrijvende lijnen UT en «T, hetgeen eene kleine wijziging medebrengt. De lezer zal echter de constructie gemakkelijk uit de figuur kunnen volgen. Opmerking. Wanneer het punt t' binnen den cirkel V viel, zou het onmogelijk zijn geweest om uit t' raaklijnen aan dien cirkel te trekken. In dit geval zouden er geen buigpunten bestaan. Ook wanneer het punt t' zoover van T' verwijderd was en het vlak een zoodanigen stand had dat de beschrijvende lijnen 1U en lx in horizontale projectie aan de andere zijde van T'E' en I'I vielen s zouden de beide gesplitste deelen HE en HF der ontwikkelde kromme geen buigpunten vertoonen. § 228. Werkstuk. Indien een bol en een punl builen den bol gegeven zijn, vraagt men de doorsnede mei het horizontale vlak te construeeren van den omhullingskegel aan den bol, welke het gegeven punt lot top heeft. Zij (M' M") de gegeven bol en (T', T") liet gegeven punt (Fig. 199), dan hebben wij reeds in 8 164 geleerd hoe men de»i «nh» hngskefel en den aanrakingscirkel kan bepalen. Volgens § 183 zal d doorsnede van het horizontale vlak met het kegeWlak eene e^hps eene parabool of eene hyperbool kunnen zi,n >etgeei zal a^n^ van de ligging van het punt T en van den bol met betrekking h6Det°df kSnede zal daarbij vallen in de doorsnede van het snijdend vlak met een vlak, dat door de as gaat en loodrecht staat op liet snijdend vlak. In onze figuur, alwaar de doorsnede eene ellips is, worden de beide assen dier ellips op de volgent e wijze 8ewfb".p?c» het snijpunt S' van d. lij» TM met het h.mentale vlak'en slaan het horizontaal-projecterend vlak van deze ^ p het horizontale vlak neer, waardoor de punten (I, l ) en (M , 1 in T en M komen; na dan verder uit M met den straal van den bol den cirkel beschreven te hebben, volgens welken het neergesla e vlak den bol snijdt, trekken wij uit T raaklijnen aan dien cirkel. Het deel AB van de verlengde lijn T'M', dat tusschen deze r aklijnen begrepen is, zal dan de groote as njn van de'bedodde ellips welker middelpunt 0 dus ook dadelijk bekend wordt. Trekken mj voorts door dit middelpunt de lijn pp, die in N loodrecht op Tb staat en TB in p ontmoet, beschrijven wij uit N met Npa• een halven cirkel, en trekken wij daarin eene ordinaat Oft loodrech op pp, zoo is deze lijn Oh de grootte van de halve kleine as der ellips (zie 6 184). Door 0C = 0D = 0ft loodrecht op AB te stellen, vinden wij dus ook de kleine as CD van de begeerde ellips, die nu in haar geheel kan beschreven worden. Tot het bepalen van de uiteinden C en D der kleine as zou men ook een vlak door O loodrecht op AB kunnen brengen Projectet men hierop het punt T en den bol M en trekt men uit de project e van T raaklijnen aan de projectie van den bol, dan snijden raaklijnen het"1 horizontale vlak in C en D. Immers de raaklijnen m die punten zijn evenwijdig aan de projecteeien e ïjn van , ook evenwijdig aan de groote as AB. Deze constructie is niet in de 'Tol d'rSrardige punten der ellips, die eene afzonderlijke con- S^»tiedrpurn'Ebeen0rFnwelke het meest links en rechts gelegen zijn m. a. w. de punten waarin de raaklijnen de as van piojectie loodrecht snijden. Zij worden gevonden op eene overeenkomstige wijze als in § 221 is aangegeven; 2 . de punten G en II die het dichtst bij en het verst van de as van projectie liggen. In die punten zijn de raakvlakken aan den kegel evenwijdig aan de as van projectie. Trekken wij door T eene lijn TL evenwijdig aan die as en brengen wij door die lijn raakvlakken aan den bol, zoo zullen deze tevens de bedoelde raakvlakken aan den kegel zijn; de lijn door T en de raakpunten R van den bol getrokken, zijn de beschrijvende lijnen, waarop de gevraagde punten G en II gelegen zijn. Tot het construeeren der raakvlakken aan den bol is door M het vlak V loodrecht op TL gebracht en dit om \ V2 op het verticale vlak neergeslagen. Ten einde de figuur niet onduidelijk te maken, zijn alleen de raaklijn 11 en het raakpunt H geconstrueerd. Het punt G valt zeer dicht bij U. 3 . de punten U en u alwaar de grenslijuen der horizontale projectie van den kegel de ellips raken. Deze punten zijn blijkbaar de snijpunten der beschrijvende lijnen, welke deze grenslijnen tot horizontale projectiën hebben, met het horizontale vlak. § 229. De hierboven gegeven constructie past men toe bij het bepalen van de vlakken, die gelijktijdig moeten raken aan een gegeven kegelvlak en aan een gegeven bol. Men neemt den top van het gegeven kegelvlak dan tot top van een onihullingskegel en brengt raakvlakken aan deze beide kegels (§ 216). § 230. Werkstuk. Eene gegeven lijn in het horizontale vlak is de beschrijvende lijn ivaarmede een rechte cirkelvormige kegel van gegeven tophoek op het horizontale vlak rust. Bepaal de projectiën van dien kegel en de projectiën van een willekeurig punt op het oppervlak. Zij (C'T', C"T") (Fig. 200) de gegeven beschrijvende lijn van den kegel, die T tot top en a. tot tophoek moet hebben, dan zal de horizontale projectie van de as van den kegel langs C'T' moeten vallen, omdat het horizontale vlak, een raakvlak aan den kegel zijnde, loodrecht moet staan op het vlak dat door de as van den kegel en de beschrijvende lijn CT gaat. Hieruit volgt dus, dat de veiticale projectie 1 M" van de as gemakkelijk kan gevonden worden, evenals de projectiën van den omtrek van het grondvlak des kegels' omdat dit grondvlak gelegen is in het vlak G dat door C gaat en loodrecht staat op TM. Door den kegel te beschouwen als een omhullingskegel aan een bol 0, waarbij de omtrek van het grondvlak des kegels de aanrakingscirkel is, kan men, door het trekken van raaklijnen uit 1' en ri" aan de projectiën van dien bol, de grenslijnen der projectiën van den kegel op eene gemakkelijke wijze nauwkeurig construeeren. Door deze methode te volgen, ontwijkt men liet trekken van raaklijnen aan de elliptische projectiën van liet grondvlak van den kegel. De uitvoering der constructiën, in de figuur aangewezen, zal geen verdere toelichting behoeven. Om een punt op het oppervlak aan te nemen kunnen wij een der projectiën, b. v. de horizontale projectie P', willekeurig kiezen; door dit punt met T' te verbinden verkrijgen wij terstond de horizontale projectiën T'Q' en T'R' van twee beschrijvende lijnen, op een van welke het punt moet liggen. De snijpunten Q' en R' met de ellips zouden, volgens §151 sub 4, nauwkeurig kunnen worden geconstrueerd, waarna men met behulp van het standvlak T'C'G3 de verticale projectiën Q" en R" der punten kan bepalen. Men kan echter de punten Q en R ook construeeren zonder van de ellips gebruik te maken, hetgeen hier de voorkeur verdient. Hiertoe merken wij op, dat de beide beschrijvende lijnen gelegen zijn in het vlak, dat volgens T'S loodrecht staat op het horizontale vlak; dit vlak snijdt het vlak G, waarin liet grondvlak des kegels ligt,'volgens eene rechte lijn. De snijpunten van die lijn met den omtrek van het grondvlak wijzen dus twee punten der bedoelde beschrijvende lijnen aan. Tot het construeeren van die snijpunten slaat men het vlak G om den doorgang GG, op het horizontale vlak neer; de cirkel uit M„ met M„C' als straal beschreven is dan het grondvlak, terwijl de neergeslagen lijn is verkregen door het punt S, dat op zijne plaats blijft, te verbinden met een punt U„ waarvan de horizontale projectie U' op T'S willekeurig werd aangenomen en welks hoogte boven het horizontale vlak uit de projectie U'" op het stand- vlak is af te lezen. De verdere constructie is uit de figuur gemakkelijk te volgen. § 231. Werkstuk. De doorsnede te construeeren van een willekeurig gegeven kegelvlak met een gegeven hellend vlak. Wij laten de uitvoering van dit werkstuk aan den lezer over en zullen ons slechts bepalen tot het aangeven der volgende aanwijzingen. Tot het construeeren van punten der doorsnede, kan men gebruik maken van hulpvlakken, die door den top gaan en welker horizontale doorgangen evenwijdig zijn aan den horizontalen doorgang van liet gegeven hellend vlak, op de wijze zooals zulks reeds in § 226 is toegepast. Daar al deze hulpvlakken de lijn bevatten, die door den top° evenwijdig aan den horizontalen doorgang wordt getrokken, zullen de verticale doorgangen dier vlakken allen gaan door liet snijpunt van die lijn met het verticale vlak. liet gemakkelijkst geschiedt het construeeren der verschillende punten, door het aannemen van een nieuw verticaal vlak, loodrecht op den horizontalen doorgang van het snijdend vlak, evenals zulks in §223 voor het cylindervlak werd aangewezen. Voor de constructie der merkwaardige punten verwijzen wij mede naar deze paragraaf. Wij merken nog op, dat het voor de constructie van belang is vooraf te onderzoeken of de doorsnede al dan niet oneindig voortlopende takken zal hebben en zoo ja de raaklijn in de oneindig ver afgelegen punten te construeeren. Men brengt hiertoe — zie § 193 door den top van den kegel een vlak W evenwijdig aan het snijdend vlak V en onderzoekt of de horizontale doorgang van dit vlak al dan niet de richtlijn van den kegel in het horizontale vlak snijdt. Heeft er geen snijding plaats, zoo bestaan er geen beschrijvende lijnen die evenwijdig loopen aan V; alle beschrijvende lijnen van den kegel worden dan gesneden en de doorsnede is derhalve eene gesloten kromme lijn. Snijdt de horizontale doorgang van W de richtlijn in een of meer punten, zoo zijn de beschrijvende lijnen dier punten evenwijdig aan V, of m. a. w. deze lijnen worden in oneindig ver gelegen punten door V gesneden; de doorsnede heeft dan oneindig voortloopende takken. De constructie der asymptoten geschiedt op de wijze als in § 227 is aangegeven. Mocht de horizontale doorgang van W de richtlijn raken, zoo bezit de kromme lijn van doorsnede wel oneindig ver afgelegen punten doch geen asymptoten. Om het kegelvlak te ontwikkelen, zal men in het algemeen de richtlijn moeten verdeelen in een aantal deelen, zoodanig dat elk deel klein genoeg is om als recht te kunnen beschouwd worden. Verbindt men dan de uiteinden dier deeltjes met den top en' ontwikkelt men de aldus verkregen pyramide in een plat vlak, dan vindt men bij benadering het ontwikkeld kegelvlak. D. ALGEMEEN 0NTW1KKELBARE OPPERVLAKKEN. § 232. De algemeen ontwikkelbare oppervlakken. Elk ontwikkelbaar oppervlak, dat niet tot de bijzondere geslachten der kegel- en cylindervlakken behoort, en welks beschrijvende lijnen dus niet door een vast punt gaan en ook niet onderling evenwijdig zijn, noemt men een algemeen onlwikkelbaar oppervlak. Om zich van zulk een oppervlak en zijne wordingswijze een juist denkbeeld te verschaffen, zal men het best doen zich voor te stellen, dat het oppervlak werkelijk ontwikkeld en dus op een plat vlak uitgespreid is. Laat, in dien ontwikkelden toestand van het oppervlak, de lijnen Am, Bb, Cc, Dcl, Ee, enz. (Fig. 201) onmiddellijk op elkander volgende standen van de beschrijvende lijn voorstellen, die elkander achtereenvolgens in de punten a, b, c, d, enz. snijden, dan zijn zoowel de afstanden ab, bc, cd, de, enz. van deze snijpunten als de hoeken AaB, BiC, CcD, DréE, enz. oneindig klein; zulks is noodzakelijk omdat anders de standen Aa, Bi, Cc, Dd, Ee, enz. van de beschrijvende lijn (hoe onvolkomen de figuur dit onvermijdelijk ook moge voorstellen) niet onmiddellijk op elkander zouden volgen. De hoeken AaB, B6C, CcD, DrfE, enz. zijn derhalve de oneindig kleine platte deelen, waarin het oppervlak vóór zijne ontwikkeling kon verdeeld worden door de beschrijvende lijnen Aa, Bfi, Cc, Do?, Ee, enz., terwijl ab, bc, cd, de, enz., de elementen zijn van eene kromme lijn abcde, die de beschrijvende lijnen Bi, Cc, Dd, Ee, enz. als verlengden van die elementen tot raaklijnen heeft. Door nu de genoemde oneindig kleine deelen van het ontwikkeld oppervlak te laten wentelen om de lijnen «B, bC, cü, cJE, enz. volgens welke zij aan elkander sluiten, kan bedoeld oppervlak weder in zijnen niet ontwikkelden toestand teruggebracht worden. Uierbij blijven de beschrijvende lijnen wel de verlengden van de elementen ab, bc, cd, de, enz., maar die elementen blijven niet in één en hetzelfde vlak; zij worden dus elementen van eene lijn van dubbele kromming, die de beschrijvende lijnen van het ontvvikkelbaar oppervlak tot raaklijnen heeft; dit oppervlak is bijgevolg de meetkundige plaats van de raaklijnen, die aan de laatstbedoelde kromme lijn kunnen getrokken worden. Een algemeen ontvvikkelbaar oppervlak wordt dus voortgebracht door eene rechte lijn, die zich zoodanig beweegt, dat zij altijd raaklijn blijft aan eene lijn van dubbele kromming, die als richtlijn is aangenomen. Deze kromme lijn noemt men de keerlijn van het oppervlak. De beschrijvende lijn namelijk strekt zich in elk harer standen aan weerszijden van het raakpunt uit, want de elementen ah, bc, cd, de, enz., kunnen natuurlijk ook naar de andere zijde verlengd worden, zooals in Fig. 201 is voorgesteld. Het oppervlak bestaat derhalve uit twee bladen, die door de keerlijn van elkander worden gescheiden. Wanneer nu een beweeglijk punt zich over het oppervlak van het eene blad naar het andere zou willen begeven, zonder de richting van eene beschrijvende lijn te volgen, zou het, aan de keerlijn gekomen, de richting van zijne beweging plotseling moeten omkeeren. Aan deze omstandigheid heeft de keerlijn haren naam te danken. Door het trekken van kromme lijnen door de uiteinden der beschrijvende lijnen, kunnen wij het oppervlak nog aanschouwelijker maken (zie Fig. 201). De keerlijn kan niet anders dan eene lijn van dubbele kromming zijn; wilde men immers eene vlakke kromme lijn als keerlijn aannemen , dan zou men een plat vlak verkrijgen in plaats van een ontvvikkelbaar gebogen vlak. Liet men de keerlijn in een enkel punt overgaan, of liet men haar in 't oneindige verdwijnen, dan zou het ontvvikkelbaar oppervlak in een kegelvlak of in een cylindervlak overgaan, tot welks bepaling dan nog eene nieuwe richtlijn zou moeten gegeven worden. Uit het voorgaande volgt, dat de algemeen ontwikkelbare oppervlakken door hunne keerlijnen volkomen bepaald worden, en daar men nu deze keerlijnen als richtlijnen van hunne wording kan aannemen, zoo is het tevens duidelijk, dat zij alle tot één en hetzelfde geslacht van gebogen vlakken behooren. § 233. Als voorbeeld van deze oppervlakken zullen wij het onlivikkelbaar schroefvlak behandelen. Dit oppervlak ontstaat door de beweging van eene rechte lijn, die steeds rakende blijit aan eene gewone schroellijn; het heeft dus deze schroeilijn tot keerlijn. Daar zoowel de beschrijvende lijn als de schroellijn onbepaald verlengd kunnen gedacht worden, is ook het schroefvlak onbegrensd. Wij zullen echter alleen het gedeelte beschouwen , dat gelegen is tusschen twee vlakken die loodrecht op de as van de schroeflijn en op een onderlingen afstand gelijk aan den spoed zijn aangebracht; daarbij zullen wij een dier vlakken als horizontaal vlak aannemen. Aangezien alle beschrijvende lijnen een gelijken hoek maken met het horizontale vlak (zie § 224), zijn hare lengten tusschen de grensvlakken even groot en wel gelijk aan de hypothenusa van een rechthoekigen driehoek, waarvan de omtrek van het grondvlak des cylinders, waarop de schroeflijn is beschreven, de eene en de spoed der schroeflijn de tweede rechthoekszijde is. De horizontale projectiën der beschrijvende lijnen zijn dus allen even lang. In Hg. 202 is A'o', de horizontale projectie eener beschrijvende lijn, gelijk gemaakt aan den omtrek van het grondvlak des cylinders (zie § 218), a"driehoeken HGB en CGB gelijk en gelijkvormig zijn, waaruit de gelijkheid volgt van HG en GC. Nu zijn ook de driehoeken HMG en CMG gelijk en gelijkvormig, want daar HC en MG respectievelijk evenwijdig zijn aan BC' en OB en OB loodrecht staat op BC', is ook MG loodrecht op HC. MH is derhalve gelijk aan MC. Er bestaan alzoo op de hyperboloïde twee stelsels van rechte lijnen, waarvan het eene bestaat uit de achtereenvolgende standen die de lijn BC aanneemt, het andere uit de achtereenvolgende standen van de lijn BH. Twee willekeurige beschrijvende lijnen van een zelfde stelsel zullen elkander steeds kruisen. Wij kunnen dit onmiddellijk zien uit de horizontale projectiën dier beschrijvende lijnen, die elkaar snijden in eenig punt S' of wel evenwijdig zijn; in het eerste geval — dat zich o. a. voordoet bij de lijnen ABC en KL — zal echter de lijn, in S' loodrecht op het horizontale vlak getrokken, de eerste lijn ABC beneden en de andere lijn KL boven dit vlak snijden; in het tweede geval liggen de lijnen — zooals ABC en B,N — in evenwijdige verticale vlakken, doch zij zijn zelf niet evenwijdig, omdat de openingen van de gelijke hoeken CBC' en NB,N' naar verschillende kanten gekeerd zijn. Op grond van deze eigenschap :s de omwentelingshyperboloïde met één blad een scheef oppervlak. Het zal nauwlijks behoeven te worden gezegd, dat elke lijn van het eene stelsel alle lijnen behoorende tot het andere stelsel snijdt, met uitzondering van eene waarmede zij dan evenwijdig loopt. Zoo b. v. snijdt de lijn BH de lijn LK in S en zijn BH en B,N evenwijdig. Hieruit blijkt dan tevens, dat er door elk punt van het oppervlak twee rechte lynen op dit oppervlak getrokken kunnen worden, terwijl er er een ander punt zal zijn aan te wijzen, waarin de beide rechte lijnen, die door dit punt gaan, evenwijdig loopen aan de eerstgenoemde lijnen. Kiest men drie willekeurige lijnen van het eene stelsel als richtlijnen, dan zijn de lijnen van het andere stelsel de beschrijvende lijnen, die het oppervlak voortbrengen op de wijze als in het algemeen in § 194 werd besproken en nog nader in § 2G2 en in § 2G4 sub 1 zal worden aangegeven. In het geheel hebben wij dus drie zeer verschillende wordingswijzen voor de omwentelingshyperboloïde leeren kennen. § 255. Werkstuk. Het oppervlak, voortgebracht door de wenteling van eene rechte lijn om eene andere die de eerste kruist, op de piojeclievlakken voor te stellen; een punt op het oppervlak aan te nemen en in dit punt een raakvlak aan het oppervlak te construeeren. Zij OZ (Fig. 218) de gegeven as, welke hier loodrecht op het horizontale vlak wordt aangenomen, en (B'6', B"b") de lijn die om OZ moet gewenteld worden. Op is de lijn die de beide gegeven lijnen loodrecht snijdt en de cirkel, met 0';/ als straal beschreven, is dus de horizontale projectie van den keelcirkel, welks verticale projectie dadelijk is aan te geven. Ofschoon het oppervlak zich onbepaald ver boven en onder den keelcirkel uitstrekt, zullen wij alleen het deel beschouwen, dat gelegen is tusschen het hori- zontale projectievlak en een daaraan evenwijdig gebracht vlak, dat even hoog boven den keelcirkel is gelegen als het horizontale projectievlak er onder ligt. De grond- en bovenvlakken hebben dan tot horizontale projectie den cirkel, uit 0' met 0'B = 0 b als straal beschreven, en tot verticale projectiën de lijnen S"S" en s"s". Om de hoofdmeridianen van het oppervlak te construeeren, bepalen wij de snijpunten van de beschrijvende lijn Bi in hare verschillende standen met het vlak van den hoofdmeridiaan. In den gegeven stand snijdt \ib dit vlak in y, dat dus een punt is van den hoofdmeridiaan. In horizontale projectie is het deel B'jo' van B'ft onzichtbaar, omdat Bp onder den keelcirkel ligt; in verticale projectie wordt B"b" onzichtbaar voor het deel e de hyperboloïde raken volgens de cirkels MC en OB en tevens het snijdend vlak in de punten R en R,. Verbinden wij nu een willekeurig punt I der doorsnede met R en R, en trekken wij door P eene beschrijvende lijn KL, die de bollen in L en K zal raken, dan is PR — IL, PR = PK en derhalve PR + PR, = LK. Daar alle beschrijvende lijnen van het oppervlak, begrepen tusschen twee parallelcirkels, even lang zijn, is derhalve, voor elk punt der doorsnede, de som er afstanden tot twee vaste punten R en R, in het vlak der doorsnede constant en dus die doorsnede eene ellips (§ 184). Wanneer het snijdend vlak V, na evenwijdige verplaatsing tot liet door den top van den asymptotenkegel gaat, dezen kegel snijt volgens twee beschrijvende lijnen of wel dezen kegel raakt zoo za het vlak V de hyperboloïde snijden volgens eene hyperbool of wel volgens eene parabool. In het eerste geval loopt het vlak V even- (\) Om de figuur niet onduidelijk te maken , hebben wij het snijdend vlak zoodanig geteeken™, dat een der bollen juist O tot middelpunt heeft, zonder dat dit echter op den gang van het bewijs eenigen invloed uitoefent. wijdig aan twee verschillende beschrijvende lijnen van één stelsel, in het andere aan een dier beschrijvende lijnen. Wij kunnen een en ander op dezelfde wijze aantoonen als voor de ellips is geschied. De verdere constructiën van raakvlakken, die bij dit oppervlak kunnen worden uitgevoerd, zullen wij :-i het volgende hoofdstuk bespreken. § 257. Werkstuk. De doorsnede te constvueeren van de omwentelingshyperboloïde, welker as loodrecht op het horizontale vlak slaat, met een vlak dat loodrecht is op het verticale vlak. Zij OZ (Fig. 219 en 220) de as, EF de beschrijvende lijn van het oppervlak, die hier evenwijdig aan het verticale vlak is aangenomen , en V het snijdend vlak, dat zoodanig is gekozen dat de doorsnede in Fig. 219 eene ellips en in Fig. 220 eene hyperbool wordt. Wij zullen ons aanvankelijk tot het eerste geval bepalen. Van de beschrijvende lijn, en dus ook van het oppervlak, beschouwen wij alleen het'gedeelte EF dat onder den keelcirkel gelegen is. De hoofdmeridianen zijn niet geconstrueerd, omdat zij niet noodig zijn bij het bepalen van de verlangde doorsnede. Om willekeurige punten der doorsnede te vinden, zijn de horizontale hulpvlakken I, II, III, IV en V aangebracht. Uit eene beschouwing der figuur zal het duidelijk zijn, dat elk vlak telkens twee punten oplevert, die symmetrisch gelegen zijn ten opzichte van de lijn SG, zijnde de doorsnede van het vlak V met het vlak der hoofdmeridianen. Zoo levert het vlak I de punten C en D, het vlak II de beide punten 2 op, enz. De uiteinden der groote as , die — zooals duidelijk is — op SG moeten gelegen zijn, zijn de snijpunten van SG met de hyperboloïde. Om deze te vinden, zou men de lijn EF om OZ moeten laten wentelen totdat zij SG en haar verlengde snijdt; men kan echter ook EF op hare plaats laten en SG laten wentelen totdat zij EF snijdt en daarna bepalen waar de gevonden snijpunten komen, als de lijn SG weder in haren oorspronkelijken stand wordt gebracht. Deze laatste constructie wordt in den regel gevolgd en is ook in de figuur uitgevoerd. De lijn SG beschrijft bij die wenteling een kegelvlak dat S tot top en den cirkel, uit O' met 0'G' als straal beschreven, tot grondvlak heeft. Tot het bepalen der snijpunten van EF met dit kegelvlak, brengen wij een vlak door EF en S, dat dus W,W, tot horizontalen doorgang heeft en het kegelvlak snijdt volgens de beschrijvende lijnen SK en SL. EF snijdt SK in P en het verlengde van SL in Q. Brengen wij nu die snijpunten door horizontale cirkelbogen terug op SG, dan vinden wij A als het laagste en als het hoogste uiteinde van de groote as der ellips. l)e uiteinden C' en D' van de kleine as der horizontale elliptische projectie zijn gevonden door het hulpvlak I, dat gebracht is door het midden van AB. In de figuur is tevens eene raaklijn geconstrueerd in het punt der doorsnede en wel door de snijlijn te bepalen van het vlak V met het raakvlak aan de hyperboloïde in het punt 3. Eindelijk is, 0111 de ware gedaante van de doorsnede aan te geven, het vlak V om den verticalen doorgang op het verticale vlak neergeslagen, waarbij tevens ook de neergeslagen raaklijn in het punt 3 is geteekend. Een en ander zal geen verdere toelichting behoeven. § 258. Wij zullen thans overgaan tot de beschouwing van het tweede geval dat in Fig. 220 is aangegeven. Hier is de beschrijvende lijn FE verlengd en wel zoo, dat het gedeelte dat boven den keelcirkel ligt even lang is als het gedeelte dat tusschen het vlak van den keelcirkel en het horizontale vlak is gelegen. Van de hulpvlakken I tot VI, valt het vlak III samen met dat van den keelcirkel en dit levert dus de beide punten 3 van de doorsnede op, welke op dien keelcirkel gelegen zijn. De overige vlakken geven ook weder telkens twee punten, terwijl de horizontale vlakken, die de hyperboloïde boven en onder begrenzen, nog de punten p, q, > en s opleveren. Al deze punten liggen symmetrisch ten opzichte van de lijn SA, volgens welke het vlak V het vlak van den hoofdmeridiaan snijdt. Langs de lijn SA moet dus een der assen van de hyperbool vallen; dit zal de reëele as zijn , indien de lijn SA het oppervlak in twee punten snijdt, daarentegen de imaginaire as wanneer SA geen snijpunten oplevert. Om dit te onderzoeken, laten wij , evenals in de voorgaande paragraaf, SA om OZ draaien tot zij EF snijdt; daar nu het vlak W door EF en S gebracht hier den kegel SA niet snijdt, besluiten wij derhalve dat de imaginaire as van de hyperbool langs de lijn BSA zal vallen. Tot het construeeren van de asymptoten, d. z. de raaklijnen in de oneindig ver verwijderde punten der doorsnede, moeten wij, evenals voor elke andere raaklijn, de snijlijnen bepalen van het vlak V met de raakvlakken aan het oppervlak in die, hier oneindig ver verwijderde, punten. Tot het bepalen dezer raakvlakken , merken wij verder op dat een vlak U, door den top 0 van den asymptotenkegel evenwijdig aan V gebracht, dit kegelvlak snijdt volgens twee lijnen aO en 60, die — evenwijdig zijnde aan V — dus kunnen geacht worden dit vlak eerst op oneindig grooten afstand te snijden. De beide beschrijvende lijnen van de hyperboloïde, een van elk stelsel, die evenwijdig zijn aan een dezer lijnen, b. v. aan 60, snijden elkander, en dus ook het vlak V, eerst op een oneindigen afstand en zijn derhalve de beschrijvende lijnen waarop een oneindig ver gelegen raakpunt gelegen is, en waarin het raakvlak moet worden gebracht om een der asymptoten te vinden. Nu weten wij dat de horizontale projectiën van alle beschrijvende lijnen moeten raken aan den keelcirkel en daar deze hier ook evenwijdig moeten zijn aan 6'0' zoo zijn gh en kl de horizontale projectiën der bedoelde beschrijvende lijnen van het oppervlak. In gen k, gelegen op het grondvlak der hyperboloïde, snijden deze lijnen het horizontale vlak; de lijn door g en k getrokken is derhalve de horizontale doorgang van het raakvlak in een der oneindig ver gelegen punten van de doorsnede, en het snijpunt m van gk met VVt een punt van de gevraagde asymptoot. Daar nu verder de beschrijvende lijnen gli en kt elk evenwijdig zijn aan het vlak V, ofschoon op verschillende afstanden van V gelegen, zoo zal het vlak door die lijnen gebracht — dat is het raakvlak — het vlak V moeten snijden volgens eene lijn evenwijdig aan gh en kl. Men vindt derhalve de horizontale projectie van een der asymptoten door uit m eene lijn evenwijdig aan gh te trekken. Het snijpunt M' met A B zal de horizontale projectie van het middelpunt der hyperbool zijn, en dus ook een punt van de horizontale projectie der tweede asymptoot. Trekt men door M' eene lijn evenwijdig aan a'0', zoo vindt men dadelijk de horizontale projectie van de tweede asymptoot. Daar de punten h, o' en / op den keelcirkel in ééne lijn liggen en hg, ob en Ik evenwijdige lijnen zijn, zullen g, b' en k ook in eene rechte lijn moeten gelegen zijn. Wij hadden dus den horizontalen doorgang gk van het raakvlak ook kunnen vinden , door in b' eene raaklijn aan het grondvlak van den asymptotenkegel te trekken. Hieruit volgt tevens, dat de asymptoten der doorsnede zullen samenvallen met de asymptoten der hyperbool, volgens welke de asymptotenkegel door het vlak V gesneden wordt. Zooals duidelijk is, vallen de verticale projectiën der asymptoten , evenals de geheele doorsnede, langs VV,. Construeert men op VV2 nog het punt M" en brengt men hierdoor het hulpvlak IV, dan worden de uiteinden G en D van de reëele as gevonden. Om de ware gedaante van de doorsnede te kunnen zien, is het vlak V nog om den verticalen doorgang op het verticale vlak neergeslagen. § 259. Zooals reeds in § 256 gezegd is, kan men ook het vlak V zoodanig aannemen , dat de doorsnede eene parabool wordt. Wanneer men het snijdend vlak dan evenwijdig verplaatst naar den top van den asymptotenkegel, zal het dezen kegel raken volgens eene beschrijvende lijn. Wij zullen het construeeren van de doorsnede in dit geval aan den lezer overlaten. Gemakkelijk zal hij bij de constructie inzien, dat de raaklijn in een oneindig ver gelegen punt der kromme zelve oneindig ver verwijderd is en dus die kromme lijn geen asymptoten bezit. § 260. Werkstuk. Door eene gegeven lijn een vlak te brengen, dal een gegeven omiventelingsoppervlak raakt. Reeds in § 250 werd dit werkstuk besproken , doch het kon toen nog niet op de eenvoudigste wijze worden uitgevoerd. Door gebruik te maken van de omwentelingshyperboloïde, die door de gegeven lijn beschreven wordt, indien zij om de as van het omwentelingsvlak wentelt, zijn wij thans in staat eene andere en betere constructie van het werkstuk te geven. In § 255 Fig. 218 hebben wij opgemerkt, dat de verticale projectie van eene beschrijvende lijn eener omwentelingshyperboloïde raakt aan de verticale projectie van den hoofdmeridiaan en daaruit het besluit getrokken, dat zij samenvalt met den verticalen doorgang van het vlak, dat raakt aan den hoofdmeridiaan in het punt waarin die beschrijvende lijn het vlak van dien meridiaan snijdt. Tevens zagen wij, dat dit raakvlak loodrecht op het verticale vlak staat en de beschrijvende lijn van het punt bevat. Zij nu AB (Fig. 216) de gegeven lijn, waardoor een raakvlak moet gebracht worden aan het omwentelingsoppervlak dat OZ tot as heeft, dan stellen wij ons voor dat een meridiaanvlak, door het nog onbekende raakpunt gebracht, om de as wentelt en daarbij het nog onbekende raakvlak en de hierin liggende gegeven lijn AB met zich voert. De lijn AB zal daarbij alsdan de omwentelingshyperboloïde beschrijven, waarvan men de verticale projectie R"T"S" van den hoofdmeridiaan volgens § 255 kan construeeren. Is nu door deze wenteling het meridiaanvlak evenwijdig aan het verticale vlak geworden, dan is het onbekende raakvlak loodrecht op het vlak van den hoofdmeridiaan gekomen; het zal dus volgens de hierboven herhaalde opmerking een verticalen doorgang verkregen hebben, die de hyperbool R"T"S'' raakt in een punt van de verticale projectie der in haren nieuwen stand gekomen lijn AB. Nu moet echter de verticale doorgang van het verplaatste onbekende raakvlak ook de verticale projectie van den hoofdmeridiaan van het omwentelingsvlak raken; trekken wij dus eene gemeenschappelijke raaklijn aan de beide kromme lijnen, dan is deze raaklijn p"q" de verticale doorgang van het verplaatste raakvlak, dat nu het omwentelingsoppervlak in p raakt. Daar het raakpunt q" een punt is van de verticale projectie der verplaatste lijn AB, zal het punt Q — dat wij vinden door q"Q" evenwijdig aan de as van projectie en Q"Q' loodrecht door die as te trekken — na het terugbrengen van het verplaatste meridiaanvlak in zijn vorigen stand, een in dat meridiaanvlak gelegen punt van de gegeven lijn AB zijn. Trekken wij dus 0'Q', zoo is deze lijn de horizontale doorgang van het teruggebrachte meridiaanvlak, zoodat wij op 0'Q' slechts 0'P' = 0';/ behoeven te nemen, om te vinden, dat het reeds verkregen raakpunt p door de terugbrenging in 1' komt. Het aldus geconstrueerde punt P is dus het begeerde raakpunt. Kan men meer gemeenschappelijke raaklijnen aan de verticale projectiën der hoofdmeridianen van het gegeven omwentelingsoppervlak en van de geconstrueerde omwentelingshyperboloïde trekken, zoo levert elk dezer gemeenschappelijke raaklijnen een antwoord op de gestelde vraag. OEFENINGEN. 147. Gegeven de projectiën van eene lijn van dubbele krom ming en van eene rechte lijn, die loodrecht staat op het horizontale vlak. Men vraagt het oppervlak, dat ontstaat bij wenteling van de kromme lijn om de rechte lijn als as, op de projectievlakken voor te stellen. 148. Men vraagt op het oppervlak, in 147 bedoeld: a. een willekeurig punt aan te nemen; b. in dit punt eene raaklijn aan het oppervlak te construeeren, evenwijdig aan een gegeven vlak. 149. Van een raakvlak aan een gegeven omwentelingsoppervlak is de horizontale doorgang gegeven; men vraagt den verticalen doorgang te construeeren. 150. Van een omwentelingsoppervlak is de meridiaan een cirkel en de as, die loodrecht staat op het horizontale vlak, eene raaklijn aan dien cirkel. Men vraagt door een willekeurig gegeven punt een raakvlak aan het oppervlak te brengen, indien het meridiaanvlak is aangewezen waarop het raakpunt moet gelegen zijn. 151. Op het oppervlak, bedoeld in 150, een willekeurig punt P aan te nemen en te verbinden met een gegeven punt A van de as van projectie. Men vraagt de snijpunten van de lijn AP met het oppervlak te construeeren. 152. Gegeven eene spheroïde die, met hare kleine as verticaal, op het horizontale vlak ligt. Men vraagt eene normaal aan het oppervlak te construeeren, die evenwijdig is aan eene gegeven lijn. 153. Door een gegeven punt een vlak te brengen dat een gegeven hoek maakt met het horizontale vlak en een gegeven omwentelingsoppervlak raakt. 154. Door eene lijn, die de as van een omwentelingsoppervlak loodrecht kruist, een raakvlak aan dit oppervlak te brengen. 155. Door eene gegeven lijn, die de as van een gewonen cirkelvormigen ring snijdt, een raakvlak aan het oppervlak van dien ring te construeeren. 156. Door een gegeven punt een vlak te brengen, dat twee gegeven omwentelingslichamen met verticale assen raakt. 157. Men vraagt de doorsnede te construeeren van het oppervlak, bedoeld in 152, met een gegeven hellend vlrk. Merkwaardige punten. Raaklijn in een willekeurig punt. 158. Door een gegeven punt, buiten een omwentelingsoppervlak gelegen, een raakvlak aan het oppervlak te construeeren, zoodanig dat het raakpunt gelegen is op een gegeven parallelcirkel. a. door de methode te volgen, die aangegeven is in de eerste opmerking van § 24''. b. idem, in de tweede opmerking van § 241. 159. Op het oppervlak, voorgesteld in Fig. 214 een punt aan te nemen en daarin een raakvlak te construeeren. 160. Gegeven de projectiën van twee elkander kruisende lijnen, die twee standen voorstellen der beschrijvende lijn van eene omwentelingshyperboloïde met verticale as. Men vraagt deze as te construeeren. 161. Van eene omwentelingshyperboloïde met verticale as zijn de projectiën van drie parallelcirkels gegeven. Men vraagt de projectiën van den keelcirkel te construeeren. 162. Aan eene omwentelingshyperboloïde, voortgebracht door de wenteling van eene gegeven rechte lijn om eene andere — die loodrecht staat op het horizontale vlak — als as, een raakvlak te construeeren dat door een gegeven punt buiten het oppervlak gaat, zoodanig dat het raakpunt op een gegeven parallelcirkel komt te liggen. N.B. De projectiën van het oppervlak niet aan te geven. 163. Aan het oppervlak, in 162 bedoeld, een raakvlak te construeeren dat evenwijdig is aan eene gegeven lijn, wanneer het raakpunt op een gegeven meridiaan moet vallen. Is dit altijd mogelijk? 164. Aan het oppervlak, in 162 bedoeld, een raakvlak te construeeren dat evenwijdig is aan het vlak, dat den hoek der projectievlakken middendoordeelt en tevens het raakpunt aan te wijzen. 165. Door eene gegeven lijn, die de as der in 162 bedoelde hyperboloïde snijdt, een raakvlak aan het oppervlak te brengen en liet raakpunt aan te wijzen. 166. Door een gegeven punt, buiten het oppervlak in 162 bedoeld, een vlak te brengen dat het oppervlak snijdt volgens eene hyperbool en wel zoodanig dat de horizontale projectien der as) mptoten gegeven richtingen hebben. 167. Door eene gegeven lijn een vlak te brengen, dat het oppervlak, in 162 bedoeld, snijdt volgens eene parabool en daarna de projectien van de as dier parabool te teekenen. 168. De doorsnede te construceren van eene omwentelingshyperboloïde, welker as verticaal is, met een vlak loodrecht op het verticale projectievlak en zoodanig aangenomen dat de doorsnede eene parabool is. Raaklijn aan de doorsnede. 169. De doorsnede te construeeren van eene omwentelingshyperboloïde, welker as verticaal is, met een gegeven hellend vlak, wanneer dit zoodanig is aangenomen: a. dat de doorsnede eene ellips is; b. dat de doorsnede eene hyperbool is. F. SCHEEVE OPPERVLAKKEN. § 261. Zooals reeds in § 197 gezegd werd, verstaat men door de scheeve oppervlakken alle regelrechte oppervlakken, die niet ontwikkelbaar zijn. Wordt dus de beweging van eene rechte beschrijvende lijn door genoegzame voorwaarden bepaald, zoo zal men altijd moeten onderzoeken, of zij al of niet een scheef oppervlak voortbrengt, dat is: of elke twee opvolgende standen van de beschrijvende lijn niet of al in één en hetzelfde platte vlak liggen. Heeft het eerste plaats, dan kan men zich tusschen elke twee van die opvolgende standen het lijntje voorstellen, dat loodrecht op beide is; de meetkundige plaats van de achtereenvolgendevoetpunten van deze loodlijntjes, zijnde de afstanden der achtereenvolgende beschrijvende lijnen, is dan eene rechte of kromme lijn, die men de inlrekkingslijn van het scheeve oppervlak noemt, en wel omdat het oppervlak op het nauwst ingetrokken schijnt te zijn ter plaatse waar deze lijn zich bevindt. Valt de richting van de genoemde loodlijntjes, of afstanden langs de intrekkingslijn, dan is deze gelijk aan hunne som; dit is echter niet altijd het geval. Onder de voorwaarden, waaraan men eene beschrijvende rechte lijn laat voldoen, zijn de meest gewone: dat men haar langs eene richtlijn laat glijden; dat men haar evenwijdig aan een plat richtvlak laat blijven; dat men haar op een gebogen vlak laat rusten; dat men haar steeds een bepaalden hoek met eenige richtlijn of met eenig richtvlak laat maken; dat men haar deel, begrepen tusschen twee richtlijnen, eene standvastige lengte laat behouden; en zoo meer. Om hare beweging volkomen te bepalen, zijn er, zooals in de volgende paragraaf blijken zal, drie zulke voorwaarden noodig, die echter noch onderling afhankelijk, nóch met elkander in strijd mogen wezen, terwijl men bovendien in het oog moet houden, dfit somtijds twee of drie voorwaarden kunnen zijn opgesloten in eene schijnbaar enkele voorwaarde. Eene zoodanige dubbele voorwaarde b. v. is het blijven gaan door een vast punt, als overeenkomende met het blijven rusten op twee richtlijnen, die elkander in dat punt snijden; eveneens het evenwijdig blijven aan eene gegeven richting, als overeenkomende met een evenwijdig blijven aan twee richtvlakken, die elkander volgens de gegeven richting snijden. Eene drievoudige voorwaarde is het steeds raaklijn blijven aan eene gegeven kromme; immers dit vordert ten eerste, dat de bewegende lijn door een punt van deze kromme ga, ten tweede, dat zij zich in het tangentiale vlak van dat punt bevinde, en ten derde, dat zij in dit vlak een bijzonderen stand aanneme. Zoowel de beide genoemde dubbele voorwaarden, gevoegd bij eene derde voorwaarde van het glijden langs eene richtlijn, als de genoemde drievoudige voorwaarde alleen , zijn dan ook, zooals wij vroeger zagen, toereikend om de beweging van de beschrijvende lijn te bepalen, respectievelijk tot het voortbrengen van een kegelvlak, van een cylindervlak en van een algemeen ontwikkelbaar oppervlak. § 262. Om te doen zien, dat drie voorwaarden noodig en voldoende zijn tot het vaststellen van de beweging van eene beschrijvende rechte lijn, zullen wij aantoonen, dat men haar in het algemeen langs drie richtlijnen albtc1, ajbïc1 en a3b3c3 kan doen glijden (Fig. 221) en dat hierdoor hare beweging volkomen bepaald is. Vooraf merken wij op, dat de drie richtlijnen niet allen in één plat vlak mogen liggen en dat dit evenmin met twee van de drie lijnen het geval mag zijn. Immers, indien zij alle drie in één plat vlak lagen, zou de beschrijvende lijn wel altijd in dat vlak blijven, maar overigens zou hare beweging onbepaald zijn, terwijl blijkbaar één der drie richtlijnen overtollig zou wezen; hier zou men dus drie onderling afhankelijke voorwaarden aangenomen hebben. Lagen daarentegen twee richtlijnen in een en hetzelfde platte vlak, en lag de derde daarbuiten, dan zou men drie onderling strijdige voorwaarden hebben aangenomen, want twee van deze voorwaarden vorderen, dat de beschrijvende lijn in het genoemde platte vlak blijft, terwijl de derde vordert, dat zij ook door punten buiten dit vlak zou gaan. Wij zullen dus onderstellen, dat er van de drie aangenomen richtlijnen a,fc,c,, OjijCj en «jfi3c3 geen twee in een zelfde plat vlak liggen. Verbeelden wij ons nu, dat eene rechte lijn, die steeds door een willekeurig punt 6, van aibici blijft gaan, langs aïh,lc1 glijdende, een 10 kegelvlak beschrijft en dat n363c3 door dit kegel vlak in eenig punt 6 gesneden wordt; indien wij dan door de punten , en 3 eene rechte lijn 6,63 trekken, zal deze op het genoemde kegelvlak liggen en dus ook aibict snijden in eenig punt 6,; KK is derhalve eene rechte lijn, die op de drie aangenomen richtlijnen rust en die voor elk punt 6., dat men in 0,6,6, kan aannemen, een bepaalden stand verkrijgt. Hieruit volgt dus, dat in het algemeen de beweging van eene rechte beschrijvende lijn langs drie richtlijnen mogelijk is en dat zij door deze richtlijnen volkomen bepaald wordt. Het is hierbij onverschillig of de richtlijnen rechte lijnen ot wel lijnen van enkele of van dubbele kromming zijn; was echter atbict eene rechte lijn, dan zou het kegelvlak, waarvan wij ons zooeven bedienden en dat door zijne snijding met «363c3 den stand 6,63 de beschrijvende lijn leerde vinden, een plat vlak worden. Mocht dit kegelvlak of dit platte vlak met door a363c3 gesnede worden, waar men ook het punt 6, in <1,6,0, nam, an zou enï e aangenomen richtlijnen tot drie onderling strijdige ^^aarden aanleidino- geven. In zoodanige bijzondere gevallen is het lijden va de beschrijvende lijn langs de drie richtlijnen onmogelijk; ^ gevallen kunnen zich voordoen, ook zonder dat twee richtlijnen in een.0 plat vlak liggen, zij kunnen zich zelfs voordoen wanneer men d.ie lijnen van dubbele kromming tot richtlijnen heeft genomen J Indien men de beweging van eene rechte beschrijvende I jn bepaalt door middel van drie kromme lijnen als richtlijnen, zou het kunne gebeuren, dat deze drie kromme lijnen gelegen waren hetzij op een kegelvlak, hetzij op een cylindervlak, hetzij op een algemeen ontwikkelaar oppervlak; alsdan zal de beschrijvende lijn met anders I» L oppervlakken kun».» voortbrengen. Zondert „,» echter deze bijzondere gevallen uit, dan moet eene rechte lijn, die lanDs drie richtlijnen glijdt, altijd een scheef oppervlak beschrijven. 8 263. Men kan eene rechte lijn ook langs twee richtlynen laten O-lijden terwijl zij steeds evenwijdig blijft aan een als ncl^ ' genomen ^plat vlak. Neemt men hier als richtlijnen twee kromme lijnen die op een cylindervlak gelegen zijn, en als nchtvlak eer vlak 'dat evenwijdig is aan de beschrijvende lijn van dit cylindervlak dan zal de bewegende lijn niet anders dan ït cy in erv a kunnen'beschrijven; met uitzondering van dit bijzondere geval ech zal een e beschrijvende rechte lijn, die langs twee richtlijnen gl?dt en evenwijdig dn een richtvlak blijft, altijd een scheef oppervlak voortbrengen. Een scheef oppervlak, dat op deze wijze ontstaan kan, wordt in het algemeen eene cylindroïde genoemd; het verkrijgt den bijzonderen naam van conoïde, indien ten minste één der richtlijnen eene rechte lijn is, terwijl zulk eene conoïde eene rechte conoïde genoemd wordt, indien het richtvlak loodrecht op de rechte richtlijn staat, ten gevolge waarvan de beschrijvende lijn ook steeds loodrecht op die rechte richtlijn moet blijven. Bij de rechte conoïden is blijkens § 261 de rechte richtlijn tevens eene intrekkingslijn. Het is uit de voorgaande paragraaf duidelijk, dat men nog op andere wijzen drie voorwaarden kan kiezen, om de beweging van eene rechte lijn zoodanig te bepalen, dat zij een scheef oppervlak voortbrengt. Over de keuze van zulke voorwaarden zullen wij echter niet verder uitweiden. § 264. De meest voorkomende scheeve oppervlakken, die hierna ook afzonderlijk zullen worden behandeld, zijn de volgende: 1°. De hyperboloïde met één blad. Dit oppervlak ontstaat wanneer de beschrijvende rechte lijn langs drie rechte richtlijnen glijdt, dieniet evenwijdig aan eenzelfde vlak zijn en elkander twee aan twee kruisen. Dat het oppervlak, voor zekeren stand der richtlijnen, kan overgaan in een omwentelingsoppervlak, hebben wij reeds in § 199 Fig. 177 aangegeven. 2°. De hyperbolische paraboloïde. Dit oppervlak ontstaat wanneer de beschrijvende lijn, steeds evenwijdig aan een plat richtvlak blijvende, langs twee rechte lijnen glijdt, die elkander kruisen en geen van beide evenwijdig aan het richtvlak zijn. Het oppervlak ontstaat ook wanneer de beschrijvende lijn langs drie elkander twee aan twee kruisende rechte lijnen glijdt, die evenwijdig aan eenig plat vlak zijn. Het behoort tot de conoïden, en wordt ook conoïde van den tweeden graad genoemd, omdat, zooals in de Analytische Meetkunde geleerd wordt, de vergelijkingen van andere conoïden tot hoogere graden opklimmen. Het oppervlak is voorgesteld in Fig. 178 en leerden wij ook reeds in § 199 kennen. De hyperboloïde met één blad en de hyperbolische paraboloïde zijn de eenige scheeve oppervlakken, welker vergelijkingen van den tweeden graad zijn. Zij worden daarom te zaïnen de scheeve oppervlakken van den tweeden graad genoemd. De overige oppervlakken van den tweeden graad kunnen niet door eene rechte beschrijvende lijn voortgebracht worden en beliooren dus niet tot de scheeve oppervlakken. 3°. Het ronde oppei'vlak van de kegelvormige wig van Wallis. Indien eene middellijn van een cirkel tevens de zijde is van een rechthoek, welks vlak loodrecht staat op het vlak van den cirkel, en men de bovenzijde van dien rechthoek en den omtrek van dien cirkel tot richtlijnen en een vlak loodrecht op de bovenzijde van den rechthoek tot richtvlak aanneemt, zoo zal eene rechte lijn, die langs deze richtlijnen glijdt en evenwijdig aan het richtvlak blijft, het genoemde oppervlak beschrijven. Dit gebogen vlak, dat volgens § 2G3 tot de rechte conoïden behoort , bestaat blijkbaar uit twee bladen, die volgens de rechte richtlijn aan elkander sluiten, terwijl deze tevens eene intrekkingslijn is. Het lichaam, dat door het eene blad en het vlak van den cirkel wordt ingesloten, is de wig van Wallis; de cirkel is het grondvlak of de rug, de bovenzijde van den rechthoek is de scherpe kant en de afstand tusschen het grondvlak en den scherpen kant is de hoogte van de wig. 4° Het welfvlak van het scheeve tongewelf. vVanneer men twee onderling gelijke halve cirkels - die zoodanig loodrecht op een horizontaal vlak geplaatst zijn, dat hunne in dit vlak liggende middellijnen de overstaande zijden van een scheefhoekig parallelogram zijn - en eene lijn — die door het snijpunt van de diagonalen van dit parallelogram getrokken is en de genoemde middellijnen rechthoekig snijdt — als drie richtlijnen aanneemt, zal eene rechte beschrijvende lijn, die men langs deze richtlijnen laat glijden, het welfvlak van het scheeve tongewelf voortbrengen. 5» Het hellend schroefvlak. Dit oppervlak wordt beschreven door eene rechte lijn, die langs eene gewone schroeflijn glijdt en tevens de as der schroeflijn onder een standvastigen scherpen hoek blijtt ""Iv" Het horizontale schroefvlak. Dit oppervlak ontstaat op gelijke wijze als het vorige, doch met dit onderscheid, dat de beschrijvende lijn de as van de schroeflijn rechthoekig blijft snijden. Het behoort volgens § 2G3 tot de rechte conoïden en heeft de as der schroeflijn tot intrekkingslijn. 8 2C5. De hyperboloïde met één blad. Zijn A, I'> en C (Fig. 222) de gegeven richtlijnen, zoo kan men, op de wijze als in § 2G2 is aangewezen, de beschrijvende lijnen van het oppervlak construeeren Wenscht men b. v. de beschrijvende lijn voor eenig punt I der lijn A te leeren kennen, zoo brengt men een vlak door P en de lijn u en bepaalt het snijpunt b van de lijn G met dit vlak. Pab is dan de beschrijvende lijn van liet punt P. Op gelijke wijze constiueert men de beschrijvende lijnen voor punten Q, B, enz. Deze lijnen zullen elkander twee aan twee kruisen; immers lagen b. v. de lijnen P en Q in één plat vlak, zoo zouden ook de punten a, b, c en d, welke op die lijnen liggen, en derhalve ook de lijnen B en G in één vlak moeten gelegen zijn, wat in strijd is met het gegevene dat B en G twee elkander kruisende lijnen zijn. De beschrijvende lijn voor het punt P wordt ook gevonden als de doorsnede van de beide vlakken die men door P en elk der lijnen B en G kan brengen. Nog op eene andere wijze kunnen wij verschillende beschrijvende lijnen van het oppervlak construeeren. Elk willekeurig vlak, dooide lijn A gebracht, zal de beide lijnen B en G in talgemeen snijden, de lijn die door die snijpunten gaat is eene beschrijvende lijn van het oppervlak. Daar de verschillende beschrijvende lijnen elkander kruisen, zou men drie daarvan, b. v. de lijnen P, Q en II, ook wel als richtlijnen kunnen aannemen en een der lijnen A, B of G als beschrijvende jijn langs deze richtlijnen kunnen laten bewegen. Hetzelfde oppervlak zou dan ontstaan. Uit deze beschouwing over het ontstaan van het oppervlak blijkt, dat door elk punt P van het oppervlak twee rechte lijnen op het oppervlak kunnen getrokken worden, de eene behoorende tot het stelsel beschrijvende lijnen A, B, C en de andere behoorende tot liet stelsel P, Q, B Hiervan maakt men gebruik wanneer men in een punt P het raakvlak aan het oppervlak wil brengen; wij hebben dit reeds toegepast bij de omwentelingshyperboloïde met één blad. Wij merken nog op, dat bij elke beschrijvende lijn van het eene stelsel eene van het andere stelsel kan gevonden worden, die evenwijdig is aan de eerste. Wil men b. v. eene lijn in het stelsel PQB die evenwijdig is aan A, zoo brengt men door elk der lijnen B en C een vlak evenwijdig aan de lijn A; deze vlakken zullen elkander dan snijden volgens eene lijn l, die noodzakelijk evenwijdig moet zijn aan de lijn A. De lijn l snijdt nu de lijnen B en C en tevens de lijn A in het oneindige en is derhalve eene beschrijvende lijn van het stelsel PQB. die evenwijdig aan A loopt. § 266. Werkstuk. Gegeven drie elkander kruisende lijnen als richtlijnen van eene hyperboloïde met één blad; men vraagt beschrijvende lijnen van het oppervlak te construeeren, een punt op dit oppervlak aan te nemen en in dit punt een raakvlak te brengen. Daar wij altijd een der projectievlakken loodrecht op een deigegeven lijnen kunnen stellen, nemen wij A, B en C (Fig. 224) als de gegeven richtlijnen aan, waarvan de eerste loodrecht staat op het horizontale vlak. Tot het construeeren van eenige beschrijvende lijnen brengen wij door A vlakken, bepalen de snijpunten dier vlakken met de lijnen B en C en verbinden deze punten. Zoo b. v. het vlak III dat de lijn B in het punt 3 en de lijn C in het punt c snijdt. De lijn door 3 en c getrokken, snijdt dan de drie richtlijnen en is dus eene beschrijvende lijn van het oppervlak. Op gelijke wijze zijn de lijnen (tl, 62, dA en e5 geconstrueerd. Tot het aannemen van een willekeurig punt 1' op het oppervlak, kiezen wij de horizontale projectie P' willekeurig en trekken de horizontale projectie A'P' van de beschrijvende lijn, waarop dit punt moet gelegen zijn; met behulp van de snijpunten 2 en b kunnen wij dan de verticale projectie dier beschrijvende liju en daarop de verticale projectie P" van het punt P vinden. Om in P een raakvlak aan het oppervlak te kunnen brengen, zullen wij eerst de projectiën moeten bepalen van de beschrijvende lijn, die door P gaat en behoort tot het stelsel ABC. Hiertoe brengen wij'een vlak V door het punt P en de lijn «1 en een vlak W door P en de lijn e5; de doorsnede PQ dier beide vlakken is dan de bedoelde beschrijvende lijn. Het vlak R, door PQ en !/~2 gebracht, zal dan het gevraagde raakvlak zijn, waarvan in de figuur alleen de horizontale doorgang R,R, is aangegeven. § 267. Ofschoon Fig. 224 weinig doet vermoeden, dat het geconstrueerde oppervlak een deel uitmaakt van het oppervlak, dat wij vroeger in Fig. 177 leerden kennen, zoo is het toch aan geen twijfel onderhevig, dat wij hier met identieke oppervlakken te doen hebben. Met behulp van de Analytische Meetkunde toch is het onmiddellijk aan te toonen, dat de vergelijking van het oppervlak, dat ontstaat bij de beweging van eene rechte lijn langs drie rechte richtlijnen, niet hooger kan zijn dan van den tweeden graad. Verder kunnen wij gemakkelijk inzien, dat het oppervlak een middelpunt moet bezitten. ° Uit het aangevoerde in § 265 blijkt toch, dat men bij elk der richtlijnen A, B en C eene beschrijvende lijn kan construeeren, die evenwijdig is aan die richtlijn. Op die wijze ontstaan 6 rechte lijnen, op het oppervlak gelegen, die de ribben vormen van een scheefhoekig parallelopipedum. Het snijpunt 0 der diagonalen van dit parallelopipedum is nu het middelpunt van het oppervlak. Wij kunnen dit als volgt aantoonen. Zij Fig. 223 eene voorstelling van het bedoeld parallelopipedura, waarin P, Q en R de beschrijvende lijnen zijn, die evenwijdig loopen aan A, B en C en a een willekeurig op A gekozen punt, dan is abc — verkregen als doorsnede van twee vlakken, waarvan het eene door a en de lijn B en het andere door a en de lijn G gaat — de beschrijvende lijn, die door dit punt gaat en behoort bij het stelsel PQR. Is 0 het snijpunt der diagonalen van het parallelopipedum en neemt men op de lijnen P, Q en R de punten p, q en r, die ten opzichte van 0 symmetrisch liggen met a, b en c, dan liggen ook die punten p, q en r op êéne lijn en deze lijn pqr is derhalve eene beschrijvende lijn van het oppervlak, behoorende tot het stelsel ABC en daarbij evenwijdig aan de beschrijvende lijn abc van het andere stelsel. Twee dergelijke evenwijdige beschrijvende lijnen van twee stelsels liggen dus steeds in een vlak dat door 0 gaat. Elk willekeurig punt M nu der lijn abc is een punt van het oppervlak, en de lijn MO zal pqr snijden in een ander punt N van het oppervlak, zoodanig dat NO —OM. O is dus het middelpunt. Wanneer wij nu verder nagaan, welke van de vijf bestaande oppervlakken van den tweeden graad een middelpunt hebben en kunnen worden voortgebracht door rechte lijnen, zoo blijkt dat alleen de hyperboloïde met één blad (Fig. 177) aan die gestelde voorwaarde voldoet. Wij kunnen de identiteit der oppervlakken nog op eene meer aanschouwelijke wijze aantoonen. In Fig. 22Ö is het oppervlak in projectie voorgesteld; daarbij is de imaginaire as der hyperboloïde loodrecht op het horizontale vlak aangenomen en het oppervlak afgesloten door een horizontaalvlak, dat even hoog boven de keelellips ligt als deze boven het horizontale projectievlak. De horizontale projectie van het oppervlak wordt dan begrensd door twee ellipsen A'F'B'E' en G'g'Wh'. Teekenen wij verder om die ellipsen de beide hoofdcirkels, dan kunnen wij deze beschouwen als de horizontale projectie van de grenzen eener omwentelingshyperboloïde met één blad, zooals wij dit in § 254 leerden kennen. Is ay/3 eene beschrijvende lijn van dit oppervlak en trekken wij de lijnen a'a, y'c en 0'b loodrecht op de as van projectie, dan snijden deze de ellipsen in de punten A', C' en B' zoodanig, dat deze punten liggen in eene rechte lijn welke in G' raakt aan de horizontale projectie van de keelellips (§ 147). Daar ook de verticale projectiën A", C" en B'' in ééne rechte lijn liggen, omdat zij samenvallen met a", y" en /?", is ACB eene rechte lijn. Evenals dus de omwentelingshyperboloïde kan worden voortgebracht door de beweging van eene rechte lijn «/? langs de drie ricbtcirkels, kan de hyperboloïde met één blad worden voortgebracht door de beweging van eene rechte lijn AB langs drie richtellipsen. Uit de omstandigheid dat de beide lijnen a/3 en AB eene gemeenschappelijke verticale projectie A"B" hebben, terwijl de horizontale projectiën elkaar snijden in D' — gelegen op de horizontale projectie der hoofddoorsnede, die evenwijdig is aan het verticale vlak — blijkt dat ook de verticale projectie der beschrijvende lijn AB in D" raakt aan de verticale projectie der genoemde hoofddoorsnede. De lijn A'C'B' is tevens de horizontale projectie van eene tweede beschrijvende lijn A,G1B, op het oppervlak, die de keelellips in C snijdt en een even grooten hoek maakt met het vlak dezer ellips. Door deze lijn te bewegen langs de drie richtellipsen zou hetzelfde oppervlak ontstaan. Wij vinden derhalve weder twee stelsels van rechte beschrijvende lijnen, die de eigenschap hebben dat alle lijnen van hetzelfde stelsel elkaar kruisen, zoodat het oppervlak scheef is, terwijl elke beschrijvende lijn van het eene stelsel alle beschrijvende lijnen van het andere stelsel snijdt (aan te toonen op overeenkomstige wijze als bij de omwentelingshyperboloïde in § 254 is geschied). Nemen wij thans drie willekeurige beschrijvende lijnen van het eene stelsel als richtlijnen aan, dan zal eene rechte lijn, welke daarlangs glijdt, achtereenvolgens de beschrijvende lijnen van het tweede stelsel aangeven en dus hetzelfde oppervlak voortbrengen als wij vroeger in Fig. m leerden kennen, als ontstaande door de beweging van eene veranderlijke ellips, welker assen eene constante verhouding bewaren, die in haar middelpunt loodrecht blijft op eene lijn en waarvan een punt eene hyperbool als richtlijn volgt. Beschouwen wij ook de asymptotenkegel der omwentelingshyperboloïde, zoo gaat deze over in eene elliptische kegel, waarvan de doorsnede loodrecht op de as weder gelijkvormig is met de richtellipsen (zie Fig. 225). Deze elliptische kegel is nu de asymptotenkegel der hyperboloïde en kan nuttige diensten bewijzen bij het bepalen van de doorsnede van het oppervlak met een plat vlak. Zulk een vlak toch snijdt het oppervlak en den asymptotenkegel volgens gelijkvormige kromme lijnen. Men behoeft derhalve slechts de doorsnede van het vlak te bepalen met het kegelvlak en het snijpunt met een der beschrijvende lijnen van de hyperboloïde, om daarna door dit laatste punt de lijn te teekenen die gelijkvormig is met de eerstgenoemde doorsnede. Het is duidelijk, dat men de doorsnede ook zonder hulp van den asymptotenkegel kan bepalen , door slechts de snijpunten van het vlak met meerdere beschrijvende lijnen te construeeren. Is de doorsnede eene hyperbool, zoo geschiedt de constructie deiasymptoten op gelijke wijze als bij de omwentelingshyperboloïde is aangewezen. In het volgende werkstuk zal die constructie werkelijk uitgevoerd worden. Wij merken nog op, dat het mogelijk is eene hyperboloïde te snijden door evenwijdige vlakken volgens cirkels, hetgeen reeds duidelijk zal zijn omdat dit mogelijk is voor den elliptischen asymptotenkegel. Is in Fig. 177 0A>0B, zoo beschrijven wij uit O als middelpunt met OA als straal een cirkel, die de hyperbool (BB', CC') snijdt in de punten S, S', U en U'. Len vlak gebracht door AA en SS snijdt dan de hyperboloïde volgens een cirkel, even als het vlak dat door AA' en UÜ' gaat. Verder zullen alle vlakken, die evenwijdig zijn aan een dezer geconstrueerde vlakken, met liet oppervlak cirkel- doorsneden geven. Aangezien het raakvlak in eenig punt van het oppervlak weder bepaald wordt door de beide beschrijvende rechte lijnen, die door dit punt op het oppervlak kunnen getrokken worden, zoo kan zulk een raakvlak geconstrueerd worden op dezelfde wijze als dit bij de omwentelingshyperboloïde is aangewezen, liet zal duidelijk zijn, dat men met behulp van zulk een raakvlak tevens in staat is de projectiën te construeeren van de raaklijn in eenig punt aan de doorsnede van het oppervlak met een plat vlak. § 268. Werkstuk. Door een gegeven punt T, gelegen buiten eene hyperboloïde met één blad, een ratikvlnk aan het oppervlak te construeeren en de aanrakingskromtne te bepalen van den omhullingskegel die T lot top heeft. Daar het raakvlak niet bepaald is, kunnen wij het laten gaan door eene willekeurige beschrijvende lijn. Zij T (Fig. 225) het gegeven punt en AB de gekozen beschrijvende lijn, zoo zal het vlak, door T en AB gebracht, het oppervlak nog snijden volgens eene tweede lijn. Immers de horizontale doorgang S'B' snijdt het grondvlak van het oppervlak behalve in B' nog in een punt P'. De raaklijn P'Q', uit P' aan de horizontale projectie der keelellips getrokken, zal de horizontale projectie zijn van eene lijn, die in het vlak ligt en tevens eene beschrijvende lijn is behoorende tot het tweede stelsel. Het snijpunt R van de beide lijnen AB en PQ zal het punt zijn, waarin het vlak dier lijnen het oppervlak raakt. Brengen wij op dezelfde wijze meerdere raakvlakken door T, zoo zal de meetkundige plaats der raakpunten R de gevraagde aanrakingskromme opleveren. Trekken wij uit T' raaklijnen aan de keelellips, zoo zijn die raaklijnen de horizontale doorgangen van verticale raakvlakken aan het oppervlak en dus bepalen de raakpunten a' en b' de horizontale projectiën van punten a en b der aanrakingskromme die op de keelellips gelegen zijn. Evenals bij de ellipsoïde is die aanrakingskromme eene vlakke kroinme lijn, hetgeen in de Analytische Meetkunde wordt aangetoond. Aangezien een vlak door drie punten bepaald wordt, behoeven wij dus slechts door de punten a, b en R het vlak V te construeeren, om het vlak der aanrakingskromme te vinden. Dit vlak V snijdt het oppervlak volgens eene hyperbool, want een vlak W, door 0 evenwijdig aan V gebracht , snijdt den asymptotenkegel volgens twee beschrijvende lijnen Oc en 0d. Construeeren wij nu de vlakken, die den asymptotenkegel raken volgens deze beschrijvende lijnen, zoo zullen deze vlakken het vlak V snijden volgens de lijnen rs en Ut (evenwijdig aan Oc en 0c() die de asymptoten zullen zijn van de hyperbool van doorsnede, terwijl haar snijpunt M het middelpunt der kromme aanwijst (§ 227 en § 258). Door het bepalen van de doorsneden van het vlak V met het grond- en bovenvlak der hyperboloïde, vinden wij vierpunten n, k, g en h der hyperbool en wel als snijpunten dier doorsneden met de ellipsen van grond- en bovenvlak. De hvperbool kan nu gemakkelijk worden geconstrueerd, omdat deze geheel bepaald wordt door hare beide asymptoten en één punt. Is b. v. P (Fig. 229) het geconstrueerde punt en trekt men door P verschillende lijnen pq, rs, enz. die de beide asymptoten snijden, dan zullen daarop punten Q, S, enz. der hyperbool gevonden worden, als men 2 van het raakvlak evenwijdig aan de verticale projectie van (3, 3) getrokken worden. Om van de gedaante van het oppervlak eene meer duidelijke voorstelling te krijgen, is het oppervlak gesneden door een plat vlak V, dat loodrecht staat op het horizontale vlak en welks horizontale doorgang langs B'C' valt; BabcdC is de gevonden doorsnede, liet beschouwde oppervlak wordt met het oog op zijne gedaante ook wel het zadeloppervlak genoemd. Om het oppervlak te snijden volgens eene parabool, moet het snijdend vlak zoodanig worden gekozen, dat het evenwijdig loopt aan de doorsnede der beide richtvlakken, d. i. hier eene lijn die loodrecht staat op het horizontale projectievlak. In de figuur is de lijn B'C' gekozen als de horizontale doorgang van het snijdend vlak V, dat dus loodrecht op het horizontale vlak staat. BabcdC is de doorsnede, verkregen door de snijpunten te bepalen van de verschillende beschrijvende lijnen met het vlak V. Aan het slot van de voorgaande paragraaf wezen wij er reeds op, dat de as van het oppervlak evenwijdig moet zijn aan de doorsnede der richtvlakken, terwijl de top het snijpunt is van twee beschrijvende lijnen loodrecht op die as. In onze figuur is de as verticaal en zullen dus die twee beschrijvende lijnen horizontaal zijn. Om nu eene horizontale beschrijvende lijn te vinden, die tot het stelsel (AB, CD) behoort, zullen wij eene horizontale lijn moeten construeeren die twee willekeurige beschrijvende lijnen van het andere stelsel — b. v. de lijnen AC en (1,1) — snijdt en waarvan de horizontale projectie evenwijdig is aan A'B'. Wij brengen daartoe door AC en door (1,1) vlakken die evenwijdig loopen aan A'B' — dit zijn de vlakken P^P, en Q,QQ2 — en bepalen de doorsnede st dier vlakken. Wij hadden deze lijn sl ook kunnen verkrijgen, door het vlak P,PP2 te construeeren en daarna door het snijpunt van dit vlak met (1,1) eene lijn te trekken evenwijdig aan A'B'. Op deze laatst aangegeven wijze is in de figuur de horizontale beschrijvende lijn van het stelsel (AC, BD) geconstrueerd. Deze lijn moet ook evenwijdig zijn aan het verticale richtvlak, dus evenwijdig aan de as van projectie. Het vlak door DC evenwijdig aan A'C' heeft tot horizontalen doorgang de lijn W,W,, door het snijpunt r van DC met het horizontale vlak getrokken. Tot het bepalen van het snijpunt van het vlak W met de lijn mn — eene willekeurige tweede beschrijvende lijn van het stelsel (AB, CD) — is de derde doorgang WjWj geconstrueerd met behulp van het punt (1,1), in dit vlak gelegen, en de derde projectie der lijn mn met behulp der punten d en m. Het snijpunt u"'(v'") is dan de derde projectie van de gezochte beschrijvende lijn, waarvan de verticale projectie langs s"t" valt en u'v' de horizontale projectie is. Het snijpunt (T', T") der geconstrueerde lijnen st en uv is nu de top en de lijn, door T loodrecht op het horizontale vlak getrokken, de as van het oppervlak. § 274. Wekkstuk. De doorsnede te bepalen van eene hyperbolische paraboloïde met een vlak loodrecht op de as van het oppervlak en eene raaklijn te construeeren in een willekeurig punt dier doorsnede. In Fig. 230 zijn weder AB en CD de gegeven richtlijnen, terwijl tot richtvlak gekozen is het verticale vlak, dat loodrecht op de diagonaal AD van den scheeven vierhoek ACDB staat. Deze vierhoek projecteert zich op het verticale vlak als twee rechte lijnen B"A" en C"D" en de beschrijvende lijnen der beide stelsels vallen op dat projectievlak twee aan twee langs elkander. Zij zijn raaklijnen aan eene parabool. Dit volgt uit het behandelde in § 190, Fig. 175, maar bovendien is het duidelijk, dat de doorsnede van het vlak V met het oppervlak eene parabool moet zijn, omdat V loodrecht is op het horizontale vlak, dus evenwijdig aan de doorsnede der richtvlakken (het verticale projectievlak en een vlak evenwijdig aan AB en CD). Evenals in de voorgaande paragraaf, is de top T van het oppervlak gevonden door het aanbrengen van een vlak P door AC evenwijdig aan A'B' en een vlak Q door (1,1) evenwijdig aan A'B'; de doorsnede Is is dan een der beschrijvende lijnen die door den top gaat. Op dezelfde wijze zou a/3 als tweede beschrijvende lijn gevonden worden, hetgeen ook uit de symmetrie der figuur blijkt. Het snijpunt T van ts en «/? is de top en eene lijn, door T loodrecht op het horizontale vlak, de as van het oppervlak. Wij snijden nu het oppervlak door een vlak H2H2 loodrecht op die as — dus evenwijdig aan het horizontale vlak — zoodat de doorsnede eene hyperbool moet zijn (§ 272). Verschillende punten der doorsnede abcdef worden gevonden als snijpunten van het vlak II met verschillende beschrijvende lijnen. De asymptoten worden geconstrueerd op de wijze als in genoemde paragraaf is aangegeven. De snijlijnen van H met de beide richtvlakken zijn horizontale lijnen evenwijdig aan A'B' en A'G'; de beschrijvende lijnen van het oppervlak evenwijdig aan die snijlijnen zijn derhalve de reeds geconstrueerde lijnen ts en a/3. De beide vlakken, door die lijnen evenwijdig aan de richtvlakken gebracht, zijn verticale asymptotische vlakken, die het vlak H snijden volgens de asymptoten der hyperbolische doorsnede. Deze asymptoten projecteeren zich dus op het horizontale vlak volgens t's' en omdat de slagschaduw van den cirkel D op het oppervlak BI J lao-er valt- evenmin zal het laagste deel der kromme lijn, gelegen op het van het licht afgekeerde deel van het oppervlak, tot de schaduwlijn behooren. De schaduwlijn thans bekend zijnde, kan men de slagschaduw op het horizontale vlak bepalen, door de snijpunten te construeeren met dit vlak van de lichtstralen door de verschillende punten der schaduwlijn getrokken. Sneller vindt men echter die slagschaduw als omhuilende kromme van cirkels, die de schaduwen op het horizontale vlak van de verschillende parallelcirkels voorstellen Deze 'methode verdient hier nog te meer de voorkeur, omdat deze cirkels It, II., III, en IV, reeds gediend hebben voor de overige constructiën. De omhullende wordt gevormd door de lijnen pp waarvan, zoo als duidelijk is, alleen de deelen gelegen tusschen de slagschaduwen der cirkels B en D op het horizontale vlak de grenzen der slagschaduw vormen. Er blijft ons thans nog over de slagschaduw te bepalen van het hooseer gelegen deel van het oppervlak BGD op het lagere gedeelte van° dit oppervlak. Wil men b.v. de punten bepalen waarin de cirkelomtrek V gesneden wordt door lichtstralen van hooger gelegen punten der schaduwlijn, zoo construeeren wij de snijpunten m van de slagschaduwen pp van de schaduwlijn met de slagschaduw V, van cirkel V op het horizontale vlak, en brengen deze punten teiug naar de punten n' van de horizontale projectie van cirkel V. De punten n' zijn dan de schaduwen van de punten r der schaduwlijn op het lager deel van het oppervlak. Op dezelfde wijze zijn nog meer punten te bepalen. De laagste punten zijn de punten l op den cirkel B, verkregen door middel van de punten q. 8 319. Werkstuk. Een rechte cirkelvormige cylinder is geplaatst op een rechthoekig parallelopipedum, dat op het horizontale vlak ligt. Bepaal de eigen- en de slagschaduwen dezer lichamen bij kaarslicht. In Fig. 259 is L het lichtende punt, ABCD het grond- en übbll het bovenvlak van het parallelopipedum, terwijl (0, oO") de as is van den gegeven cylinder. Wij zullen beginnen met liet construeeren der schaduw van het parallelopipedum, waartoe wij eene schaduwpyramide beschouwen met L tot top; gemakkelijk blijkt dan dat de ribben AE EF, FG, Gil en 11D de schaduwlijn zullen vormen. Construeeren wij derhalve de snijpunten e, f, g, en h van de lichtstralen der punten E, F, G en II, dan zijn A'e, ef, fg, gh en AD' de grenzen der slagschaduw op het horizontale vlak. Aangezien EF, FG en Gli horizontale lijnen zijn, zullen de lijnen ef, fg en gh respectievelijk evenwijdig zijn aan A'B', B'C' en C'D'. In verticale projectie is de eigenschaduw alleen op het zijvlak DCGH zichtbaar. Om de schaduwlijn op den cylinder te bepalen, brengen wij door L raakvlakken aan het ronde oppervlak van dit lichaam; L'Vj en L'W, zijn de horizontale doorgangen dier vlakken ; de beschrijvende lijnen, die zich in P' en Q' projecteeren en volgens welke de vlakken den cylinder raken, vormen met den cirkelboog PSQ van het bovenvlak de bedoelde schaduwlijn. Door uit het punt M' — het snijpunt van den lichtstraal door (0, 0") met het horizontale vlak — een cirkel te beschrijven, die raakt aan de lijnen L'V, en L'W,, vinden wij in genoemde horizontale doorgangen en dezen cirkel de geheele slagschaduw door den cylinder op het horizontale vlak geworpen. Aangezien echter deze cirkel de as OX in m snijdt en ook reeds bleek dat de schaduw van Q achter het verticale vlak valt, zoo wordt de slagschaduw voor een deel opgevangen door het verticale vlak. De schaduw van 0 op dit vlak is het punt l en dus is AV eene grenslijn der schaduw op het verticale vlak. Verder wordt die schaduw begrensd door een gedeelte van eene ellips, zijnde de schaduw geworpen door een deel van den cirkelboog QSP op dit verticale vlak. Om punten dezer ellips te construeeren, kan men de schaduwen op het verticale vlak bepalen van verschillende punten van den cirkelboog, gelegen tusschen de punten Q en S. In t — de schaduw van het punt T — zal de raaklijn aan de ellips evenwijdig zijn aan de as van projectie, omdat zij te beschouwen is als de schaduw van de raaklijn in T aan den cirkel en deze raaklijn is eveneens evenwijdig aan de as van projectie. In de punten r en s zal de ellips moeten raken aan de lichtstralen L"/■ en L"s, omdat deze de uiterste lichtstralen in de verticale projectie zijn. Men kan van de ellips ook twee toegevoegde middellijnen construeeren, om dan met behulp van § 148 meerdere punten van de kromme te bepalen. Boven merkten wij reeds op, dat de raaklijn in t aan de ellips evenwijdig loopt aan de as van projectie; dit zal eveneens het geval zijn met de raaklijn in het punt u — de schaduw van U op het verticale vlak — dat op de bekende wijze is te construeeren, doch buiten de grenzen van de teekening zal vallen. Was dit punt u geconstrueerd, dan zou tu eene middellijn en het midden P" dier lijn het middelpunt der ellips zijn, terwijl de aan tu toegevoegde middellijn zou vallen langs de lijn, die men door P" evenwijdig aan de raaklijn in t d. i. evenwijdig aan de as van projectie trekt. liet punt P" kan gemakkelijk worden gevonden, zonder dat het noodig is het punt u te construeeren, door de schaduw van de lijn TU te bepalen op een vlak, dat evenwijdig is gebracht aan het verticale projectievlak, b. v. op een vlak dat door IJ gaat. (1) \an deze schaduw (1'ü', 1"0") verbinden wij het midden (K',K") met den lichtbron L. De lijn L'K' wijst dan door haar snijpunt met T'U' de horizontale projectie b aan van het punt, welks schaduw op het verticale vlak in P" zal vallen, terwijl de schaduwen van de uiteinden a en c der koorde abc, door b evenwijdig aan de as van projectie getrokken, de uiteinden <*" en y" der middellijn van de ellips zullen aangeven, die toegevoegd is aan lu. Alleen het punt valt hier binnen de grenzen der teekening. Dat de raaklijnen aan de ellips in de punten a" en y" evenwijdig loopen aan lu zal duidelijk zijn. S 320. De voorgaande werkstukken zullen toereikend zijn om te doen zien, hoe men zich bij het construeeren van schaduwen te gedragen heeft. Na behandeling van de leer der perspectiel, zullen wij nog aanwijzen, hoe men ook in perspectievische teekeningen de schaduwen kan construeeren. Tot de schaduwleer kunnen wij ook nog rekenen te behooren, de Gnomonica, d. i. de kunst oin zonnewijzers te vervaardigen. Laat namelijk eene rechte lijn, evenwijdig aan de as der aarde, hetzij door een dunne stift, hetzij door den scherpen kant van eemg lichaam voorgesteld worden. Verbeeldt men zich nu, dat door deze lijn twaalf vlakken gebracht worden, die opvolgend gelijke hoeken met elkander maken en waarvan er één verticaal staat, zoo zijn deze vlakken de uurvlakken, waarin de zon zich bij hare schijnbare dagelijksche beweging bevindt, telkens wanneer er één of meer volle uren na den middag verloopen zijn of vóór den middag nog verloopen moeten. Construeert men dus de doorsneden van deze uurvlakken met een gegeven plat of gebogen vlak, zoo zijn deze doorsneden de rechte m Gemakshalve is hier de naam schaduw behouden, alhoewel slechts bedoeld is het construeeren van de snijpunten der lichtstralen LT en LU met het aangenomen yerticale vlak. of kromme lijnen op dat vlak, langs welke de zonneschaduw der stift op de volle uren valt. Men ziet hieruit, dat de Gnomonica, waarover verschillende omvangrijke werken geschreven zijn, niet anders dan de oplossing van een algemeen werkstuk der Beschrijvende Meetkunde behelst. Hoezeer ons bestek niet toelaat over dit onderwerp uit te weiden, willen wij ten slotte in het kort aanwijzen, hoe men voor eene plaats, welker geographische . breedte gegeven is, een horizontalen zonnewijzer construeert. § 321. Laat de in Fig. 260 voorgestelde rechthoek een horizontaal bord verbeelden, waarop men een zonnewijzer wil vervaardigen voor eene plaats, die op 51°30' noorderbreedte (1) ligt. Men trekt dan vooreerst op dit bord eene lijn NZ juist in de richting van het noorden naar het zuiden, en plaatst in het verticale vlak, dat door NZ gaat, een metalen plantje met een rechtlijnigen scherpen kant; die kant is bestemd om schaduw te werpen en maakt ergens in Q met het deel QN van de lijn NZ den gegeven hoek. In de figuur, waar wij dit plaatje neergeslagen om QR hebben afgebeeld, is dus PQ de genoemde scherpe kant en hoek PQR = 51°30'. Is het plaatje verticaal opgericht, dan is PQ evenwijdig aan de as der aarde, en des middags te 12 uur, als de zon juist in het zuiden is, valt de schaduw PQ langs QN. Nemen wij het vlak van het plaatje als verticaal projectievlak aan en trekken wij door eenig punt E van NZ de lijn E,E, loodrecht op NZ, en de lijn EE2 loodrecht op PQ, dan zijn deze lijnen de doorgangen van een vlak, dat evenwijdig is aan het vlak van den evenachtscirkel en dat de opgerichte lijn PQ in e rechthoekig snijdt. De twaalf uurvlakken, door deze lijn gebracht, worden dan door het vlak (E,EEj) volgens de beenen van hunne standhoeken gesneden, en deze standhoeken bevatten elk het ï1¥5le deel van 300°, dat is 15°. Slaan wij nu het vlak E om den horizontalen doorgang E,E, achterover op het horizontale vlak neer, dan zal de plaats e„ waar liet punt e van de opgerichte lijn PQ komt te vallen, gevonden worden door Ee„ = Ee te nemen. In dit neergeslagen vlak kunnen wij dan uit het punt e„ de beenen der genoemde standhoeken, waarvan er een langs e„E valt, onmiddellijk trekken, door al die hoeken gelijk aan 15° te maken. De punten, waarin de lijn E,E, door de beenen der aldus gecon- (1) Dit is nagenoeg de geographinche breedte van Breda. strueerde standhoeken gesneden wordt, blijven op hunne plaats, wanneer het vlak E weder opgericht wordt; die snijpunten zijn dus punten, zoowel van de uurvlakken als van het horizontale vlak; derhalve zullen lijnen, uit Q door deze punten getrokken, de horizontale doorgangen van de twaalf uurvlakken zijn. Onder die doorgangen is er één, die getrokken moet worden naar een op E,E, oneindig ver afgelegen snijpunt en die dus evenwijdig loopt aan E,E,. Langs deze doorgangen 01, Q2, Q3, enz., die wij volgens den zin, waarin de zon hare schijnbare dagelijksche beweging volbrengt, met' de cijfers 1, 2, 3, enz. tot 12 gemerkt hebben, valt dan de schaduw van den scherpen kant van het opgerichte plaatje HJi, juist wanneer het zoo laat is als door deze cijfers wordt aangeduid. De cijfers op de rechter helft der figuur gelden voor de uren van den voormiddag, die op de linker helft voor de uren van den namiddag. Wij hebben hier derhalve een zonnewijzer verkregen, tot welks nauwkeurige aanwijzing nu echter vereischt wordt, dat het bord volkomen horizontaal geplaatst wordt, dat de lijn NZ noordzuidwaarts gericht is, alsmede dat men dezen zonnewijzer niet anders gebruikt dan op plaatsen, die nagenoeg den hoek PQH tot geographische noorderbreedte hebben. OEFENINGEN. 196. Een kruis bestaat uit twee even groote rechthoekige parallelopipeda, die elkander in het midden rechthoekig snijden. Het ligt zoodanig op het horizontale vlak, dat twee armen tegen het verticale vlak komen. Bepaal de schaduwen, wanneer de richting van het licht zoodanig wordt aangenomen, dat ook schaduw op het verticale vlak valt. 197. Een kruis van den vorm als in 196 is omschreven, rust met twee armen op het horizontale vlak en zóó dat geen zijvlak evenwijdig is aan het verticale vlak. Bepaal de schaduwen , wanneer de richting van het licht zoodanig wordt aangenomen, dat ook schaduw op het verticale vlak valt. 198. Eene vijfzijdige pyramide rust met eene ribbe van het grondvlak op het horizontale vlak en met den top tegen het verticale vlak. Bepaal de eigen- en slagschaduwen van het lichaam. 199. Eene willekeurige vierzijdige pyramide, die op het horizontale vlak staat, werpt schaduw op eene andere vierzijdige pyramide, die met een opstaand zijvlak op het horizontale vlak ligt. Bepaal de schaduwen, daarbij de richting van het licht zoodanig aannemende, dat de lichtstraal gaande door den top der pyramide over de liggende pyramide heengaat. 200. Eene afgeknotte regelmatige vierzijdige pyramide staat op het horizontale vlak. Op het bovenvlak wordt eene driezijdige pyramide geplaatst. De hoekpunten van het grondvlak dezer pyramide komen buiten het bovenvlak van de afgeknotte pyramide. Bepaal de schaduwen. 201. Eene driezijdige pyramide en een kubus staan op het horizontale vlak. Bepaal de schaduwen: a. als de slagschaduw van de pyramide gedeeltelijk op het bovenvlak van den kubus valt; b. als de pyramide gedeeltelijk in de schaduw van den kubus valt. 202. Bepaal de schaduwen bij kaarslicht van de lichamen in 199 bedoeld. 203. Bepaal de schaduwen bij kaarslicht van het kruis in 197 bedoeld. 204. Bepaal de schaduwen van de beide lichamen, in 201 bedoeld, bij kaarslicht, en wel in elk der aldaar aangegeven standen. 205. Een kegel werpt schaduw op het bovenvlak en een zichtbaar zijvlak van een rechthoekig parallelopipedum. Bepaal de schaduwen. 206. Men vraagt de schaduwen te bepalen van een afgeknotten rechten cirkelvormigen kegel, die met zijn grondvlak op het horizontale vlak staat. 207. Een rechte cirkelvormige cylinder staat op het horizontale vlak. Boven op dien cylinder ligt een parallelopipedum, dat buiten den cylinder uitsteekt. Bepaal de schaduwen dezer lichamen. 208. Een rechte cirkelvormige kegel steunt met zijn top tegen het verticale vlak en rust met een punt van het grondvlak op het horizontale vlak, zóó dat de as van den kegel de as van projectie rechthoekig kruist. Bepaal de schaduwen. 209. Een rechte cirkelvormige kegel en eene willekeurige vijfzijdige pyramide staan met hunne grondvlakken op het horizontale vlak. Bepaal de schaduwen dezer lichamen: a. indien de kegel schaduw werpt op drie zijvlakken der pyramide; b. indien de top der pyramide schaduw werpt op het ronde oppervlak van den kegel. 210. Een rechte cirkelvormige kegel staat met zijn grondvlak op het horizontale vlak en werpt schaduw op een rechten cirkelvormigen cylinder, die met een zijner beschrijvende lijnen op het horizontale vlak ligt en met een zijner eindvlakken tegen het verticale vlak. Construeer de schaduwen bij willekeurige richting van het licht. 211. Een bol en een rechte cirkelvormige cylinder liggen op het horizontale vlak. Bepaal de schaduwen der lichamen als de richting van het licht loodrecht is op de beschrijvende lijn van den cylinder, doch overigens zoodanig is aangenomen: a. dat de cylinder schaduw werpt op den bol, zonder dat deze echter geheel in de schaduw van den cylinder valt; b. dat de bol schaduw werpt op den cylinder. 212. Een lichaam, dat begrensd is door het oppervlak van eene omwentelingshyperboloïde, het vlak van den keelcirkel en dat van een parallelcirkel, is met het laatstgenoemde grensvlak geplaatst op het horizontale projectievlak. Bepaal de schaduwen. 213. Eene hyperboloïde met één blad staat met hare imaginaire as loodrecht op het horizontale vlak. Bepaal de schaduwen, indien de richting van het licht zoodanig wordt aangenomen, dat ook schaduw valt op het verticale vlak. 214. Construeer de schaduwen, bij zonlicht, van het hellend schroefvlak, voorgesteld in Fig. 233. 215. Construeer de schaduwen, bij zonlicht, van de schroef met vierkanten draad, voorgesteld in Fig. 235. 216. Een bol, die de beide projectievlakken raakt, heeft M tot middelpunt en wordt verlicht door een lichtbron P. Bepaal de schaduwen, indien PM evenwijdig loopt aan het verticale vlak en een hoek van 45° maakt met het horizontale vlak, terwijl P driemaal zoo hoog ligt boven dit vlak als M. N.B. De punten in de as van projectie nauwkeurig te construeeren. 217. Van een bol, die op het horizontale projectievlak ligt, is (12,6,3) het middelpunt. Bepaal de eigenschaduw van den bol en de schaduwen door dezen op de projectievlakken geworpen, wanneer de lichtbron geplaatst is in het punt (18,15,6). 218. Bepaal de schaduwen, bij kaarslicht, van de lichamen in 194 bedoeld. 219. Bepaal de schaduwen, bij kaarslicht, van den kegel in 197 bedoeld. 220. Bepaal de schaduwen, bij kaarslicht, van de lichamen in 198 bedoeld. 221. Bepaalde schaduwen, bij kaarslicht, van de hyperboloïde in 213 bedoeld. 222. Bepaal de schaduwen, bij kaarslicht, van eene wig van Wallis, die met hare scherpe kant evenwijdig aan het verticale vlak is geplaatst, terwijl de lichtbron in het verticale vlak wordt gedacht, links van en boven de wig. 15 PERSPECTIEF. INLEIDING. § 322. Hoewel men door de leer der projectiën eene zoo nauwkeurige voorstelling van een voorwerp kan verkrijgen, dat liet naaide teekening kan worden vervaardigd, zoo geeft toch die teekening nog niet met eet) enkelen oogopslag een duidelijk beeld van het voorwerp. Niet alleen is een aanhoudend vergelijk van de beide projectiën noodig, maar ook wordt er veel oefening vereischt, om zich uit die projectiën eene juiste voorstelling van het voorwerp te vormen. Daarom laat men de projectieteekening van een voorwerp — b. v. van een gebouw — dikwijls vergezeld gaan van eene perspectievische teekening (§ 1), waarop het voorwerp is afgebeeld zooals het zich, van uit een bepaald standpunt gezien, aan het oog voordoet. Wij merken hierbij dadelijk op, dat men de voorwerpen nimmer in hunne juiste gedaante en afmetingen ziet; plaatst men zich aan den ingang van eene lange laan, zoo schijnt de uitgang veel nauwer dan de ingang; overziet men eene lange straat, zoo schijnt het dat de lijn der daken de grondlijn der huizen nadert; enz. In de perspectievische teekening, die zoo getrouw mogelijk den indruk moet weergeven welken het voorwerp op ons maakt — mits zij gezien worde uit het punt, waar het oog zich bij hare vervaardiging bevond — treffen wij dan ook de juiste afmetingen niet meer aan. Verder zal het duidelijk zijn dat de gegeven voorstelling eerst dan eene volkomen afbeelding zou worden, indien zij in al hare punten gelijke tint, kleur en lichtsterkte verkreeg als in het voorwerp zelf. Aangezien dit onderdeel echter weder behoort tot de luchtperspectief (zie § 304) zoo zal het geen onderwerp van onze beschouwingen uitmaken. Hoezeer men zich tot het vervaardigen van zulke afbeeldingen wel van gebogen vlakken, en zelfs van een stelsel afzonderlijk staande platte oi' gebogen vlakken kan bedienen (1), gebruikt men daartoe meestal slechts één plat vlak. De voorwerpen worden geplaatst op _ of beschouwd in verband met — een horizontaal vlak dat men het grondvlak (2) noemt, terwijl het vlak van teekemng alsdan verticaal wordt aangenomen en bestempeld met den naam van het glas of het tafereel. Aan de doorsnede van glas en grondvlak geeft men den naam van grondlijn, terwijl de project.e van het oog op het glas het oogpunt wordt genoemd. Het snijpunt van eiken naar het oog loopenden lichtstraal met het glas is de perspectief van het punt, waaruit die lichtstraal voortkomt; de aaneenschakeling van die snijpunten voor de lichtstralen van alle punten, die tot eenige rechte of kromme lijn behooren, is de perspectief van die rechte of kromme lijn. Laat b v. in tig. V het qlas en II het horizontale of grondvlak voorstellen, zoo is hunne doorsnede GL de grondlijn. Zijn verder 0 het oog, waaruit de loodlijn 00" op het glas is neergelaten, AB en Ei twee lijnen die zich aan de andere zijde van het glas bevinden, dan zullen op grond van de gegeven bepalingen, 0" het oogpunt, OA eene ooghjn, AOB een oogvlak het snijpunt a der lijn OA met het glas de perspectief van hel 'punt A en de doorsnede ab van het oogvlak AOB met liet glas d.perspectief van de lijn AB zijn. Evenzoo is ef, de> doorsnede van het oogvlak OEF (een kegelvlak dat 0 tot top en EF tot richt y heeftl met het glas, de perspectief der kromme Et. Eene eenvoudige beschouwing der figuur is voldoende om in te zien dat de perspectief van elke lijn, die door het oog gaat, slechts een enkel punt is, dat de perspectieven van verticale lijnen verticaal, en van lijnen evenwijdig aan de grondlijn horizontaal zullen zijn terwijl de perspectieven van twee elkander rakende kromme lijnen elkander in het algemeen ook zullen raken. Het samenstel van de perspectieven der rechte of kromme lijnen, die men in eenig voorwerp onderscheidt, maakt de perspectief van hel voorwerp uit, terwijl eindelijk het construeeren van deze perspectieven op het glas zelf, als vlak van teekemng, genoemd wordt het in perspectief brengen van het voorwerp. rn Zoo kan men b.v. tot het vervaardigen van een panorama het oppervlak van f ™ ovlinder bezigen, in welks verticaal staande as het oog op eene behoor]yke hoogte boven den grond geplaatst is; terwijl men voor tooneeldecoralien van een zeker ^TSr^renC'^t^^W- * dit grondvlak de oppervlakte van den beganen grond. § 323. Door het gedeelte van eenig voorwerp, dat naar het oog gekeerd is, wordt het overige gedeelte voor het gezicht bedekt; de rechte of kromme lijnen, die het zichtbare en het onzichtbare deel van elkander afscheiden, maken den schijnbaren omtrek uit. Wanneer eene ooglijn langs den schijnbaren omtrek glijdt, doorloopt zij, naargelang die schijnbare omtrek uit rechte lijnen bestaat of wel kromlijnig is, het oppervlak van eene pyramide of van een kegel, die het voorwerp omhult. De doorsnede van die pyramide of van dien kegel met het glas is dan de perspectief van den schijnbaren omtrek en tevens de omtrek van het beeld van het voorwerp op het glas. Om eene perspectievische voorstelling duidelijker te maken, worden somtijds ook de onzichtbare lijnen in perspectief gebracht; deze worden dan evenals onzichtbare projectiën door gestipte lijnen aangeduid. in § \ werd reeds opgemerkt, dat eene perspectievische teekening nooit voldoende kan zijn om een voorwerp te bepalen. Dat eene dergelijke teekening toch dikwijls een juist beeld geeft van het voorwerp, moet worden toegeschreven aan de omstandigheid, dat men meestal reeds te voren weet, hoe eenige lijnen van het voorwerp in werkelijkheid gelegen zijn. Verder zagen wij in genoemde paragraaf, dat de perspectief ook opgevat kan worden als eene polaire of centrale projectie. Met deze ruimere opvatting kan men dan ook onderstellen, dat het voorwerp tusschen het oog en het tafereel, of ook dat het oog tusschen het tafereel en het voorwerp geplaatst is. In beide gevallen zullen de lichtstralen, die uit de punten van het voorwerp naar het oog loopen, het tafereel slechts kunnen ontmoeten, nadat zij naar deze of naar gene zijde verlengd zijn. De polaire projectie zal ook dan eene soort van perspectief opleveren; het beeld zal echter in het eerste geval grooter dan het voorwerp zijn, terwijl het in het tweede geval omgekeerd en het onderstboven gekeerd zal wezen. Dit laatste komt o. a. voor bij de photographie; het middelpunt van de lens is dan te beschouwen als het oog, het matglas der camera als het tafereel. Wij zullen ons slechts bezig houden met de gewone perspectief, waarbij het glas of tafereel tusschen het oog en het voorwerp geplaatst is. Van de beide namen, die men aan het vlak van teekening geeft, zullen wij in het vervolg alleen den naam tafereel behouden. GEWONE PERSPECTIEF. § 324. Bij de gewone perspectief valt het volgende op te merken aangaande de betrekkelijke plaatsing van oog, tafereel en voorwerp. Men plaatst het oog zoo ten opzichte van het voorwerp, dat men er dat gedeelte van ziet, hetwelk men op de teekening wil verkrijgen, hetzij omdat dit gedeelte het meest belangrijk is, hetzij omdat van uit die standplaats het voorwerp — b. v. een gebouw — het gunstigst voorkomt. Loodrecht op de hoofdrichting, waarin wij zien, plaatsen wij nu het tafereel tusschen het oog en het voorwerp en wel zoodanig, dat dit tafereel nagenoeg in het midden door die hoofdrichting gesneden wordt. Om dit snijpunt, zijnde dus de projectie van het oog op het tafereel — het oogpunt der teekening moet zich het overige als het ware groepeeren. Verplaatsen wij het tafereel evenwijdig aan zich zelf, zoo zal de teekening gelijkvormig blijven; zij wordt alleen kleiner naai mate het tafereel dichter bij het oog gebracht wordt. In het volgende zullen wij daarom onderstellen, dat het tafereel zeer dicht bij liet voorwerp geplaatst is. Zou hierdoor de teekening te groot worden, zoo behoeft men de projectieteekening van het voorwerp slechts te verkleinen naar zekere schaal alvorens de perspectiefteekemng te maken. Evenzoo kan men de projectiën van een klein voorwerp vergrooten, voordat men overgaat tot het vervaardigen van de perspectivische tcckcnm0'. Wat de afstand van het oog tot het voorwerp betreft, zoo mag men dezen vooreerst niet te klein nemen, wil men «ene behoorlijke teekening verkrijgen. Is b. v. A (Fig. 263) het voorwerp - een rechthoekig parallelopipedum — dat in perspectief moet gebracht worden, GL de grondlijn en O het oog, en zijn a, b en c de projectiën op het grondvlak van de gelijke verticale ribben, dan zullen a', b' en c' de horizontale projectiën zijn van de doorsneden van bet tafereel inet de oogvlakken der ribben, a, b en c, m. a. w. van de perspectieven der ribben. Hoe verder de ribben achter het tafereel liggen, des te kleiner worden hare perspectieven. Terwijl de ribbe b in perspectief slechts weinig kleiner wordt, of — zoo wij het tafereel door b nemen — even lang blijft, zal de ribbe a in perspectief belangrijk worden verkleind, zoodat de bovengrenslij n ab, die in werkelijkheid horizontaal is, in de teekening sterk naar beneden zal hellen, waardoor het beeld van het voorwerp iets onwaarschijnlijks verkrijgt, ofschoon het volkomen nauwkeurig is geconstrueerd. Neemt men het oog verder van het voorwerp, b. v. in Oj, dan verschillen de perspectieven van 9 en J minder in lengte. Toch mag men dien alstand weder niet te groot nemen, omdat anders het eigenaardige der perspectievische teekening verloren zou gaan; immers bij een oneindig grooten afstand van het oog gaat de teekening, zooals reeds werd opgemerkt, over in eene gewone projectie. Hij een te geringen afstand van oog en voorwerp stuit men nog op een ander bezwaar. Wil de perspectievische teekening eene juiste voorstelling der in perspectief gebrachte voorwerpen vertoonen, zoo moet zij uit hetzelfde punt gezien worden, waar men bij hare vervaardiging onderstelde dat het oog geplaatst was. (1) Nu is het echter moeilijk dit punt uit de teekening onmiddellijk af te leiden, zoodat men meestal begint met het oog op eene verkeerde plaats te stellen, en men verkrijgt dan bij eene teekening, die vervaardigd is bij een kleinen afstand van oog en voorwerp, een onjuisten indruk van dit voorwerp. Beziet men b. v. de, op het tafereel voorkomende, teekening a'b'c' van uit Os in plaats van uit O, zoo schijnen de ribben a, b en c van het voorwerp te liggen in de vlakken Ota', Oji' en 02c' en verkrijgen wij dus eene belangrijke afwijking. Bezien wij daarentegen het beeld atbtct uit 03 in plaats van uit O,, dan zien wij de ribben van het parallelopipeduin nagenoeg op hare werkelijke plaatsen. Nog eene andere omstandigheid heeft invloed op de keuze van den afstand. De ondervinding leert dat de ruimte, die men zonder zich te bewegen in haar geheel overzien kan, begrensd wordt door het oppervlak van een gewonen kegel, die een tophoek van 90° heeft, en uit het oog als top om de gezichtsas als as beschreven is; wij weten echter ook, dat de lichtstralen, die binnen deze grens een (1) Dat de teekening dikwijls eene vrij goede voorstelling blijft geven, ook dan wanneer zy uit eenig ander punt gezien wordt, kan slechts uit gewoonte verklaard worden. te grooten hoek met de gezichtsas maken, geen zeer duidelijk gezicht geven op het punt van waar zij uitgingen, en dat alzoo binnen een dergelijken kegel, die slechts een tophoek van 30° heeft, de luiinte begrepen is, waarvan men in eens een duidelijk overzicht kan nemen. Daar nu bij een tophoek van 90° de hoogte van den kegel gelijk is aan de halve middellijn van zijn grondvlak, terwijl bij een tophoek van 30° de hoogte nagenoeg gelijk is aan het dubbel van die middellijn, zoo volgt uit het aangevoerde, dat men eenig voorwerp, b. v. een gebouw, wel eenigszins overzien kan, indien men zich daarvóór plaatst op een afstand half zoo groot als de grootste afmeting (het zij dan de hoogte of de breedte) die het voorwerp vertoont, maar dat men zich op een afstand, die ongeveer het dubbel van deze grootste afmeting is, zal moeten plaatsen, om het geheel als met een enkelen oogopslag duidelijk te kunnen overzien. Hieruit volgt dan verder, dat bij eene perspectievische teekening, die men in eens duidelijk zal kunnen overzien, ook de distantie — dit is de afstand van het oog tot het tafereel, dus tot het perspectievische beeld — ten minste nagenoeg het dubbel moet zijn van de grootste afmeting (het zij hoogte of breedte) die de teekening zal verkrijgen, en dat, zoo men dit duidelijk overzicht aan de bereiking van andere oogmerken mocht willen opofferen, de distantie in geen geval kleiner zal mogen zijn dan de helft van de grootste afmeting der teekening. Daar echter de afstand van duidelijk zien voor een gewoon oog op 2 a 3 dM. kan gesteld worden, is het voor een scherp zien nadeelig, dat de beschouwer van de teekening haar op een kleineren of óp een veel grooteren afstand van zijn oog zou moeten houden. Op grond van een en ander neemt men de distantie voor kleine teekeningen zelden kleiner dan 2 dM., en voor grooteie teekeningen niet grooter dan nagenoeg het dubbel van hare grootste afmeting. § 325. Uit de bepalingen van § 322 volgt terstond, dat de hoogte van het oogpunt boven de grondlijn tevens de hoogte van het oog "boven het grondvlak is. Deze hoogte kan, wanneer het grondvlak een willekeurig horizontaal vlak is, naar welgevallen genomen worden; men neemt haar grooter of kleiner, naargelang men de voorwerpen wil afbeelden uit een hooger of uit een lager standpunt beschouwd. Wa.nneer echter het grondvlak, zooals bij teekeningen van landschappen , gebouwen, enz., de oppervlakte van den beganen grond is, wordt tot de natuurlijkste afbeelding van de voorwerpen vereischt, dat de hoogte van het oog overeenkomt met die van een gewoon mensch als beschouwer. Bij deze teekeniugen wordt dus het oogpunt verkregen door de bedoelde hoogte (+ 1,70 M.) — verkleind volgens dezelfde schaal als die, welke men tot het afmeten van de in perspectief te brengen voorwerpen bezigt — boven de grondlijn uit te zetten. Somtijds echter neemt men het oogpunt veel hooger en onderstelt men dus, dat de beschouwer op eene verhevenheid geplaatst is; de perspectievische afbeelding, die men in dit geval verkrijgt, wordt eene vogelvlucht-perspectief genoemd. § 326. Tot opheldering van het hiervoren medegedeelde, verwijzen wij naar de liguren 287, 288 en 289 waarin eene perspectievische voorstelling gegeven is van een gedeelte van het binnenplein der K. M. Academie. Fig. 289 stelt de plattegrond van het deel voor, dat wij in perspectief wenschen te brengen en wel op ^ van de ware grootte. De beschouwer staat in het uiterste punt 0 der gaanderij. OA is de geziehtsas en de uiterste stralen, die in het oog vallen, worden verondersteld hoeken van 30° met elkander te maken. Het tafereel GL is geplaatst op een afstand van 9 Meter van O en loodrecht op OA. In de perspectievische teekening, die op de schaal van 5'ö vervaardigd is met behulp van Fig. 288, moet de afstand van het oog tot het oogpunt O" dan ook X 9 Meter = 18 cM. zijn. Deze afstand, hoewel grooter dan de grootste afmeting der teekening, is iets kleiner dan den vroeger genoemden afstand van 2 dM. Men had dit kunnen verhelpen, door het tafereel op grooter afstand van 0 te plaatsen; zulks is echter niet geschied, omdat alsdan op de teekening minder van het binnenplein zou gezien worden. Immers de perspectiefteekening wordt dan grooter en aangezien de ruimte, waarin zij moet vervaardigd worden, gegeven is, zou een gedeelte van hetgeen nu gezien wordt niet op de teekening vallen. Plaatst men nu het oog loodrecht boven O" op een afstand gelijk aan 18 cM. — of desnoods iets meer — van de teekening, zoo krijgt men den juisten indruk van het voorgestelde binnenplein. Door in een stuk stijf papier een gaatje te maken en dit op de juiste plaats voor het oog te houden, vergemakkelijkt men de beschouwing. § 327. Tot nog toe spraken wij steeds over het oog en beschouwden het voorwerp en de teekening dus met één oog. In de werkelijkheid echter ziet men het voorwerp door twee oogen en wel door het eene oog anders als door het andere. Plaatst men b. v. de uitgestrekte rechterhand op den afstand van duidelijk zien tusschen de beide oogen, en wel zoodanig dat de buitenzijde der hand naar rechts gekeerd is, dan zal men bij het beurtelings sluiten van het linker en het rechter oog, in het eerste geval alleen de buitenzijde, in het laatste geval alleen de binnenzijde van de hand zien. De verklaring volgt gemakkelijk uit Fig. 262, waar 0, en 0, de beide oogen voorstellen en abcd het voorwerp is. Van uit O, ziet men het deel abc, terwijl de ribbe d onzichtbaar is, daarentegen ziet men uit O, het deel dcb en is de ribbe a onzichtbaar. Zooals reeds in § 324 werd gezegd, is de teekening voor beide punten meer gelijk , naarmate die punten, welke vrij dicht bij elkander liggen, verder van het tafereel genomen worden. Vandaar dan ook, dat in de werkelijkheid het beschouwen van eene teekening met een oog verticaal boven het oogpunt geplaatst een indruk geeft die Mij we overeenkomt met dien welken het voorwerp op ons maakt bij de beschouwing met twee oogen. Volkomen echter zouden wij den indruk verkrijgen, indien wij voor elk der oogen de perspectievische teekening vervaardigden en deze daarna gelijktijdig met beide oogen beschouwden. Zoo b. v. zullen de beide punten bt en bt, gelijktijdig gezien uit O, en 0„ op den beschouwer den indruk maken als of hij slechts een enkel punt ziet, dat in het snijpunt ligt der lijnen Olbi en 0,6j. liet gelijktijdig zien der beide perspectievische teekemngen van hetzelfde voorwerp, wordt door de bekende stereoscoop zeer ver- Het vervaardigen van stereoscopische beelden is blijkbaar niets anders als het maken van eene dubbele perspectievische teekening en wel uit twee verschillende oogpunten. Deze meerdere arbeid is oorzaak dat deze beelden hoogst zelden worden vervaardigd uit de projectieteekening van nog te bouwen voorwerpen; wel maakt men deze langs photographischen weg van bestaande voorwerpen. Wij zullen volledigheidshalve op de vervaardiging van stereoscopische beelden in § 349 terugkomen. 8 328. Tot het vervaardigen van eene perspectievische teekening, kiest men gemakshalve het verticale projectievlak tot tafereel en het horizontale tot grondvlak, zoodat de grondlijn langs de as van projectie valt. Het oog wordt vóór, het in perspectief te brengen voorwerp achter het tafereel geplaatst. Het construeer» van de perspectief van eenig voorwerp komt dus neer op het bepalen van de snijpunten met het verticale vlak van lijnen, uit het oog naar de verschillende punten van het voorwerp getrokken, en het behoorlijk vereenigen dier snijpunten. Zoo b. v. is in Fig. 264, alwaar GL de grondlijn en (0', 0") het oog voorstelt, de perspectief geconstrueerd van de pyramide TABC, die achter het verticale vlak en op het horizontale vlak staat en aldaar in projectiën is voorgesteld. Men vindt t, a en b als de perspectieven der punten T, A en B, terwijl de perspectief van G het punt C zelf is, omdat dit punt gemakshalve in het tafereel was aangenomen. Door de vereeniging dezer punten, vinden wij labC als de perspectief der pyramide. Brengt men ook het voetpunt (T', v") der loodlijn, uit T op ABC neergelaten, in perspectief, zoo vindt men hiervoor het punt v en derhalve tv als de perspectief van de hoogtelijn der pyramide, welke perspectief loodrecht op GL zal moeten zijn. § 329. Hoe eenvoudig nu ook, blijkens het aangevoerde in de voorgaande paragraaf, het construeeren van eene perspectievische teekening is, zoo ziet men toch terstond, dat de gevolgde methode niet goed vatbaar zal zijn voor algemeene toepassing. Het groot aantal constructielijnen, die men noodig heeft, en het door elkander vallen van projectie en perspectief moeten — zelfs bij het maken van eenvoudige teekeningen — ontwijfelbaar aanleiding geven tot verwarring. Men volgt dan ook inderdaad altijd andere wegen, die aan bovenstaande bezwaren te gemoet komen en tevens gemakkelijker tot het doel voeren. Wij zullen deze in de volgende paragrafen leeren kennen en beginnen met de perspectief te beschouwen van eene willekeurige lijn. § 330. Zij AB (Fig. 265) eene willekeurige lijn, welke het tafereel in C ontmoet, en OF eene lijn, uit het oog evenwijdig aan AB getrokken, snijdende het tafereel in het punt F, dan zal de perspectief van de lijn AB de doorsnede zijn van het oogvlak, door die lijn gaande, met het tafereel en deze doorsnede is klaarblijkelijk de lijn CF. Elke lijn, die uit 0 naar eenig punt B van AB getrokken wordt, zal het tafereel in eenig punt van aF tusschen a en F snijden; dit snijpunt, dat dichter bij F zal vallen naargelang het punt B verder achter het tafereel genomen wordt, zal echter nimmer juist in F kunnen komen, tenzij B een punt van AB zij, dat oneindig ver achter het tafereel ligt. Het punt F behoort dus eigenlijk niet tot de perspectief van de als eindig beschouwde lijn AB, maar het kan beschouwd worden als het eindpunt van de perspectief der oneindig ver naar achter verlengde lijn AB. Men noemt dit punt F het vluchtpunt of ook wel het wijkpunt der lijn. Wij verkrijgen derhalve de volgende belangrijke Stelling: De perspectief van eene lijn, die niet evenwijdig loopt aan het tafereel, is de vereenigingslijn van het vluchtpunt der lijn met het snijpunt van de lijn met het tafereel. Uit het bovenstaande volgt verder onmiddellijk: 1°. Van eene lijn, die loodrecht staat op het tafereel, valt hel vluchtpunt samen met het oogpunt. 2°. Eene lijn, die evenwijdig is aan het tafereel, bezit geen vluchtpunt. 3°. Evenwijdige lijnen, die niet evenwijdig zijn aan het tafereel, hebben een gemeenschappelijk vluchtpunt. (Zie b. v. de lijnen AB, A,B,, enz. Fig. 265). § 331. Indien de lijnen AB, A,B1( enz. (Fig. 265) evenwijdig aan het grondvlak waren, zou ook de lijn OF evenwijdig aan het grondvlak loopen, zoodat dan het punt F gelegen zou zijn in eene lijn HZ, door het oogpunt O" evenwijdig aan de grondlijn op het tafereel getrokken. Deze lijn HZ, horizon genoemd, bevat alzoo al de vluchtpunten van horizontale evenwijdige lijnen. Men noemt haar de horizon, omdat zij de perspectieven bevat van alle oneindig ver achter het glas liggende punten van het horizontale vlak. Alle punten van het oogvlak, dat men door HZ kan brengen, liggen op dezelfde hoogte als het oog boven het grondvlak en hebben hunne perspectieven in de lijn HZ. De perspectief van eenig punt valt dus boven, in of beneden den horizon, naargelang dat punt hooger, even hoog of minder hoog dan het oog ligt. Beschrijft men op het tafereel uit O" (Fig. 265) met de distantie als straai een cirkel, zoo is de cirkelomtrek de meetkundige plaats van de vluchtpunten van alle lijnen die hoeken van 45° met het tafereel maken. Deze cirkel noemt men distantiecirkel. Aan de snijpunten D en D' van dien cirkel met den horizon geeft men in het bijzonder den naam van dislanliepunten, en men onderscheidt deze nog van elkander door de benamingen rechter en linker distantiepunt. Horizontale evenwijdige lijnen, die het tafereel onder hoeken van 45° ontmoeten, hebben een der dislanliepunten lot vluchtpunt, en wel het rechter of het linker distantiepunt, naargelang de genoemde hoeken van 45° hunne openingen naar de rechter- of naar de linkerzijde gekeerd hebben. Zijn de stand van het oog en de distantie ' volgens de opmerkingen van § 324 bepaald geworden, dan volgt daaruit, dat de distantiepunten aan weerszijden buiten de grenzen der te verkrijgen teekening zullen vallen. Tot het in perspectief brengen van een punt, maakt men bij voorkeur gebruik van een der distantiepunten; de horizontale projectie van het oog is daartoe dan onnoodig. § 332. Werkstuk. De perspectief te bepalen van een punt dat in het grondvlak gelegen is. Zij in Fig. 266 (P', P") het gegeven punt, dan trekt men uit P' de lijn P'A die met de grondlijn een hoek van 45° maakt en vereenigt het punt A met het linker distantiepunt D; vervolgens vereenigt men P" met het oogpunt O". Het snijpunt p der lijnen DA en 0"P" zal de perspectief van het punt P zijn. Immers volgens § 331 is DA de perspectief van de lijn PA en volgens § 330 is 0"P" de perspectief van eene lijn die in P" loodrecht op het tafereel staat. Het snijpunt der perspectieven DA en 0"P" is dus de perspectief van het snijpunt der lijn PA met de lijn in P" loodrecht op het tafereel, d. i. van het punt P. Hadden wij uit P' de lijn P'B getrokken, die naar de linkerzijde een hoek van 45° met de grondlijn vormt, zoo zou men van het rechter distantiepunt hebben moeten gebruik maken, zooals in de figuur is aangewezen. Het punt A of B wordt gemakkelijker verkregen door uit P" met P"P' als straal een cirkel te beschrijven. § 333. Uit het voorgaande eenvoudige werkstuk blijkt, dat bij het bepalen van de perspectief eener in het horizontale vlak gelegen figuur, deze perspectief gedeeltelijk door de projectie zal vallen, een bezwaar waarop reeds vroeger werd gewezen. Ten einde hieraan te gemoet te komen, denken wij ons dat het horizontale vlak evenwijdig aan zich zelf verplaatst wordt (Fig. 265), zóó dat alle punten verticale lijnen beschrijven en wel over een zoodanigen afstand GG' = a, dat na die verplaatsing, bij het in elkander slaan van het horizontale en het verticale vlak, de projectie valt beneden de oorspronkelijke as of grondlijn. Is b. v. in Fig. 267 GG' = a de afstand waarop men het grondvlak verplaatst, dus G'L' de nieuwe as en (P/, P,") het punt dat in perspectief moet worden gebracht, dan zijn P^P," en P,'A, weder do lijnen welker perspectieven men zal moeten bepalen. Deze lijnen, die thans het verticale vlak in P," en A, snijden, zullen, na het terugbrengen van het grondvlak in zijnen oorspronkelijken stand, het tafereel snijden in P" en A. Men heeft dus die punten slechts te verbinden respectievelijk met 0" en D om de perspectief p van het punt te vinden, zooals in de voorgaande paragraaf is verklaard. § 334. Trekt men door het punt p (Fig. 267) eene lijn qr, die den horizon in q en de grondlijn in r snijdt, zoo is (>" enz-> 1 4 naarmate O"q gelijk genomen is aan — 0"D, — 0"D, enz. § 335. Werkstuk. De perspectief te bepalen van een punt dal niet in het grondvlak gelegen is. Zij Q (Fig. 268) het punt, dan kunnen wij beginnen met liet bepalen" van°de perspectief p van het voetpunt P der loodlijn uit het punt Q op het grondvlak neergelaten, en het komt er dan verder slechts op aan de perspectief van deze loodlijn QP te bepalen. Aangezien de perspectief van eene verticale lijn weder verticaal is, is de richting dus reeds bekend. Verder weten wij, dat het punt Q gelegen is op de lijn QQ", welke in Q" loodrecht op het tafercel staa°, en waarvan de perspectief dus valt langs de lijn die Q" met het oogpunt O" verbindt. Wij vinden dus de perspectief q als snijpunt der verticale lijn, uit p getrokken, met de laatstbedoelde lijn Q"0". Men noemt pq de perspeclievische hoogte van het punt Q. Het zal niet moeilijk zijn in te zien, dat wij de perspectivische hoogte ook hadden kunnen vinden door de punten P" en Q" met een willekeurig punt van den horizon te verbinden, b. v. met E. Trekken wij nu pr evenwijdig aan de grondlijn en rs verticaal tot aan liet snijpunt met Q"E, zoo volgt onmiddellijk uit de figuur: 0"P": 0"p = EP" : Er = P"Q"; pq = p» Q»: r, dus: rs = pq. Ook hadden wij, in plaats van de lijn P"Q", eene willekeurige lijn TU = P"Q" loodrecht op de grondlijn kunnen gebruiken, waarvan wij de uiteinden verbinden met een willekeurig punt E van den horizon. Op die wijze vinden wij tu = rs = pq. Gemakkelijk zal de lezer inzien dat — aangezien Q"0" en P"0" de perspectieven zijn van twee lijnen in Q" en P" loodrecht op het tafereel en UE en TE de perspectieven van twee in één verticaal vlak gelegen evenwijdige horizontale lijnen, terwijl pt de perspectief is van een in het grondvlak liggende lijn evenwijdig aan de grondlijn — pqul de perspectief moet voorstellen van een rechthoek die evenwijdig is aan het tafereel, en evenzoo ook pqsr. Ook op deze wijze kan dus de juistheid der constructie blijken. § 336. Als eene eenvoudige toepassing zullen wij thans de perspectief bepalen van een rechthoekig parallelopipedum, dat zoodanig met een zijvlak op het grondvlak ligt, dat twee zijvlakken evenwijdig zijn aan het tafereel. Zij ABCD (Fig. 269) de horizontale projectie van het parallelopipedum welks hoogte h is, dan begint men met het bepalen van de perspectieven a en b der punten A en B van het grondvlak, op de wijze als in § 332 is verklaard; daar AD en BG evenwijdig aan de grondlijn loopen, zijn de perspectieven d en c van de punten D en C onmiddellijk te vinden als snijpunten van horizontale lijnen uit a en b getrokken, met de perspectief van de loodrecht op het tafereel staande lijn GD. Zetten wij nu verder, ergens op de grondlijn eene loodlijn gelijk aan h af, dan vinden wij gemakkelijk, op de wijze als in de voorgaande paragraaf is aangewezen, de perspectievische hoogten van de hoekpunten van het bovenvlak EFGII, en daarmede dus ook de perspectieven dier punten. Door de gevonden perspectieven naar behooren te vereenigen, vinden wij de perspectieven van alle 16 ribben d. i. de perspectief van het parallelopipedum. In de figuur zijn de' ribben, welke onzichtbaar zijn, gestippeld. 8 337 In de voorgaande toepassing was het in perspectief te brengen lichaam zoo eenvoudig, dat geen verticale projechebenoodi d was Mocht men twee projectiën van het lichaam behoeven, zoo r r —r^!f een lichaam waarvan I en II de beide project.en voorstellen op Ji — der ware grootte. 40 De afstand 0" ~ is gelijk aan T X 20 cM. genomen, zoodat dus de beschouwer ondersteld wordt geplaatst te zijn op een afstand van Vsrjtrï'SzX z op -i-der ware grootte; de teekening wordt dan zoo groot, dat parallelopipeda, waarop eene afgeknotte vierzijdige pyramide die gedekt is door eene vierzijdige pyramide. Men is begonnen, volgens het vroeger verklaarde met bet nerspectief brengen van de hoekpunten van het grondvlak ABCD van Te grootste parallelopipedum en van de horizontale project,en der éx: r £££ £ "^teuSnder maken wij nog opmertaam op de constructie der perspectief « v.» het punt A van het grondvlak, waarb.j gebru.k » - »-r de hoekpunt». van het lichaam ziin gevonden met behulp van de, aan dt hnkemJde teekening gestelde, loodlijn in R op de grondlijn, waarop de hoog der verschillende punten zijn afgezet met behulp der projectie II. Dit is b. v. voor het punt e nog in het bijzonder aangegeven. § 338. Wij hebben pq (Fig. 2G8, § 335) de perspectievische hoogte genoemd van het punt Q, omdat deze lijn in perspectief de hoogte aanwijst van het punt boven het grondvlak. Op dezelfde wijze kunnen wij ook spreken over de perspectievische breedte en de perspectievische diepte van een punt. Beschouwen wij b. v. in Fig. 269 het verticaal boven A gelegen hoekpunt E van het aldaar in perspectief gebrachte rechthoekig parallelopipedum, en denken wij ons dit punt gegeven door zijne afstanden AA2 = A,R,, AAj = AsR, en h, respectievelijk tot een aangenomen derde projectievlak, tot het verticale en tot het horizontale projectievlak, dan zijn die afstanden — de coördinaten van het punt — hier meer eigenaardig de breedte, de diepte en de hoogte van het punt te noemen. Aan de coördinaatassen RL (R,L,), RY (R,Y,) en RZ zullen wij daarom dan ook respectievelijk de namen: de as 'der breedten, de as der diepten en de as der hoogten geven. De lijn RO" zal de perspectief van de as der diepten voorstellen, terwijl de beide andere assen in het tafereel gelegen zijn. Do lijn Rflj is de perspectief van R,A5 en wordt daarom de perspectievische diepte van het punt genoemd; evenzoo is ata de perspectief van A2A en daarom de perspectievische breedte van het punt, terwijl, zooals reeds gezegd is, ae = aie1 de perspectievische hoogte van het punt E is. Om nu de perspectief te bepalen van het punt, door gebruik te maken van zijne breedte, diepte en hoogte, zetten wij de diepte AA van af den oorsprong R langs de grondlijn uit, vereenigen K met D en bepalen het snijpunt a1 van KD met RO" Trekken wij dan verder uit a, eene lijn evenwijdig aan de grondlijn! totdat deze de lijn 0"S in a snijdt, zoo verkrijgen wij a als de perspectief van de horizontale projectie van E. Door nu nog verticaal boven a de perspectievische hoogte ate2 uit te zetten, vinden wijde perspectief e van het gegeven punt E. De afstand RK is hier naar links uitgezet, omdat gebruik is gemaakt van het rechter distantiepunt; bezigt men het andere distantiepunt, zoo moet RK naar rechts op de grondlijn worden uitgezet. Men volgt deze methode bij voorkeur, als men veel punten in perspectief moet brengen, om zoodoende de perspectievische diepten van al deze punten langs de lijn RO" te krijgen, dus buiten de eigenlijke teekening te houden. In de teekening zelve is dan het aantal hulplijnen zoo klein mogelijk. , • Aan den afstand, waarop de lijn aat van de grondlijn gelegen is, geeft men den naam van perspeclievische wijking. Punten, die evenver achter het tafereel en evenhoog boven het grondvlak liggen, hebben blijkbaar dezelfde perspectivische wijking en gelijke perspectievisclie hoogten. 8 339. Men kan de perspectievische breedte, diepte en hoogte van eenig punt, welke volgens het vorenstaande gemakkelijk zyn e construeèren, o^ door berekening vinden, indien men behalve de breedte, diepte en hoogte van het punt ook de distantie en de en c der lijn RO" in getallen (aanwijzende het aantal lengte-eenheden 1 lijnen) gegeven heeft. n»n_„ 0"R = a Laat namelijk in Fig. 269 gegeven zijn: 0 D— p, 0 h RA =& kL=d, RN = ft. Stellen wij nu verder RiL/en a,et = h\ dan geven de gelijkvormige driehoeken RKöj en 0"Da, de evenredigheid: Ra,:0"a, = KR :0"D of d':q-d' = d:p waaruit wij vooreerst vinden: 17 en '° Verder vinden wij uit andere gelijkvormige driehoeken de evenredigheden : 0"R : 0"« j = RS: a« j = RN :aie1 of g. pq - = b:b' = h:h' q• P+d waaruit onmiddellijk de waarden van b' en h' gevonden worden, zoodat wij dan hebben: b'=j+db' 's7+«d en h' = T+*h' Na door deze formules de waarden van b', d' en h' voor eenig punt berekend te hebben, heeft men in het vlak der teekening slechts de grondlijn RL, den oorsprong R en de richting der lijn RO" noodig, om door het naar behooren uitzetten van de lijnen Rat = d', a,a = b' en ae = h' dadelijk de perspectief e van het punt E te verkrijgen. § 340. Wordt eene aangenomen lengte-eenheid, van den oorsprong R af, een aantal malen na elkander op de assen uitgezet, dan gaan die assen in schalen over, zoodat dan RL de schaal der breedten, RY die der diepten en RZ die der hoogten is. In het als vlak van teekening aangenomen tafereel (Fig. 271) blijven de deelpunten op de schalen RL en RZ hunne ware plaats behouden; de deelpunten op de schaal der diepten echter kunnen op het tafereel slechts door hunne perspectieven aangewezen worden. Deze perspectieven worden onmiddellijk door eene bekende constructie gevonden. Na namelijk den oorsprong R met het oogpunt O" vereenigd te hebben, zetten wij de lengte-eenheid eenige malen na elkander van R af op de grondlijn RL uit, en trekken uit de deelpunten ^ . 2, 3, 4, enz. hierdoor in de grondlijn verkregen, lijnen naar het distantiepunt D, die nu RO" in overeenkomstige punten 1,2, 3, 4, enz. snijden; deze snijpunten zijn dan de perspectieven van de deelpunten op de schaal der diepten. Nadat deze punten in de lijn RO" aangewezen zijn, is dan RO" de in perspectief gebrachte schaal der diepten; zij draagt als zoodanig den naam van de wijkende schaal omdat zij onmiddellijk voor elk getal lengte-eenheden, waarop eenig punt zich achter het tafereel bevindt, de perspectievische diepte en wijking van dat punt aanwijst. Zetten wij de lengte-eenheid van af R achtereenvolgens ook op RZ uit, zoo is de lijn RZ met de daarin verkregen deelpunten 1,2, 3, 4, enz. de schaal der hoogten, terwijl RL met de daarin reeds aanwezige deelpunten de schaal der breedten is. Trekken wij nu uit O" lijnen naar al de deelpunten van RL en RZ, en trekken wij vervolgens uit al de deelpunten der wijkende schaal zoowel horizontale als verticale lijnen, dan worden deze door de uit 0" getrokken lijnen zoodanig verdeeld, dat zij voor elk deelpunt van de wijkende schaal bijzondere schalen van perspectievische breedte en hoogte opleveren. Na voor eene aangenomen eenheid een dergelijk perspeclievisch net vervaardigd te hebben, kan men onmiddellijk de perspectief aanwijzen van elk punt, waarvan de werkelijke breedte, diepte en hoogte in getallen gegeven zijn. Laat b. v. van zulk een punt de breedte 4, de diepte 2 en de hoogte 6 zijn, dan is lm, de perspec- tievische breedte, 11/ de perspectievische diepte en In de perspectivische hoogte van dit punt, welks perspectief a alzoo gevonden wordt door ma = In loodrecht op lm te stellen. Door de hiervoren verklaarde leerwijze toe te passen, wordt de teekening geheel bevrijd van de projectiën van het voorwerp, dat men in perspectief wil brengen. Hoe wenschelijk dit nu ook in éen opzicht zijn moge, zoo moet men echter in het oog houden, dat de afstanden van de in perspectief te brengen punten tot de drie projectievlakken in allen gevalle gegeven moeten zijn, en dat deze afstanden juist door de projectiën van die punten op de gemakkelijkste wijze kunnen verkregen worden, liet voordeel van de hierboven aangewezen methode bestaat dan ook eigenlijk daarin, dat de perspectiefteekening geheel los wordt van de projectieteekemng. Dit laatste is somtijds van veel nut, vooral bij het vervaardigen van groote teekeningen, zooals b. v. tooneelschermen, waar constructien met passer en liniaal moeilijk uitvoerbaar zijn. In dergelijke gevallen is het maken van een perspectievisch net en de berekening van de perspectievische breedten, diepten en hoogten der punten aan te bevelen. In plaats daarvan maakt men ook wel de perspectievische teekening op eene kleinere schaal, om die later te vergrooten. 8 341. In de beide voorbeelden van § 336 en § 337 waren de voornaamste ribben der in perspectief te brengen lichamen loodrecht op het tafereel en evenwijdig aan de grondlijn en hebben wij de perspectief gevonden door de perspectieven der verschillende punten naar behooren te verbinden. Men zou deze methode ook kunnen toepassen, wanneer het lichaam in een willekeurigen stand geplaatst is doch het is meestal te verkiezen om de ribben van het lichaam in' perspectief te brengen. Van elk dezer lijnen toch kan men het snijpunt met het tafereel en tevens het vluchtpunt bepalen; de vereeniging dier punten levert dan de perspectief op van die lijn of ribbe, waarvan men nu de richting der perspectief nauwkeuriger heeft gevonden, als het geval zou zijn geweest, indien men twee punten der lijn welke dicht bij elkander zijn gelegen in perspectief had gebracht en met elkander verbonden. _ Juist omdat men bij het vervaardigen van teekeningen altijd kleine fouten maakt en het oog veel gevoeliger schijnt te zijn voor de gemaakte fouten in de richting der lijnen als voor fouten in de afmetingen dier lijnen, zoo bepaalt men in de praktijk meestal de perspectieven der ribben van een lichaam en vindt dan de hoekpunten als snijpunten dier ribben. Alvorens dit door een.ge voor- beelden toe te lichten, zullen wij eerst de perspectief bepalen van eene horizontale lijn en daarna van eene lijn in hellenden stand. § 342. Werkstuk. De perspectief te bepalen van eene in het grondvlak gelegen ivillekeurige lijn. liet vluchtpunt F (Fig. 272) der gegeven lijn AB valt in den horizon en wordt gevonden door uit het oog 0 eene lijn OF evenwijdig aan AB te trekken. Denken wij ons nu het horizontale vlak, door O gebracht , om de doorsnede HZ met het tafereel — d. i. om den horizon — op het tafereel neergeslagen , en wel in de richting van het pijltje, zoo zal — na het neerslaan — die lijn 0,F evenwijdig zijn aan de horizontale projectie AB' der lijn AB, aangezien bij het vormen der constructieliguur ook het horizontale vlak in de richting van het aangegeven pijltje op het tafereel wordt neergeslagen. AF is nu de perspectief der lijn AB. Is dus in Fig. 273 A'B' de projectie der gegeven lijn, O" het oogpunt en 0"D de distantie, zoo geschiedt de constructie als volgt: Bepaal het snijpunt A der lijn met de grondlijn, dan is A een punt der perspectief; stel in 0" eene lijn 0"0 = 0"D loodrecht op den horizon en trek uit 0 eene lijn OF evenwijdig aan A'B', dan is het snijpunt F dier lijn met den horizon het vluchtpunt van A'B' en derhalve AF de perspectief der gegeven lijn. Wil men de perspectief P van een bepaald punt P' op die lijn bepalen, dan teekenen wij de perspectief van de lijn die uit P' loodrecht op de grondlijn getrokken wordt en dus naar 0" gericht is; deze snijdt dan AF in P. § 343. Het gebeurt dikwijls, dat het vluchtpunt F der lijn buiten de grenzen der teekening valt. Men kan alsdan echter de richting AF toch gemakkelijk bepalen. Nemen wij b.v. op 0"0 een punt o 1 F zoodanig dat 0"o ——0"D , trekken wij daarna uit o eene lijn o— n J J n F evenwijdig aan A'B' en verbinden wij — met het punt a, dat op 1 een afstand 0"a = — 0"A op de lijn 0"A van het punt 0" gelegen F is, zoo zal a — evenwijdig loopen aan de lijn AF, zooals terstond uit gelijkvormige driehoeken kan blijken. Is dus van eene lijn de perspectief van een punt bekend, zoo kan men de geheele perspectief vinden, door uit het punt eene lijn evenwijdig aan de gevonden richting der perspectief te trekken. § 344. Is AF (Fig. 273) de perspectief der in het grondvlak gelegen lijn A'B', die het tafereel in A snijdt, dan kunnen wij nog op eene andere wijze als in § 342 is aangegeven, gemakkelijk de perspectief bepalen van een punt B' der lijn, dat op een gegeven afstand A'B' van A' verwijderd is; zetten wij daartoe dien afstand A'b' = A'B' op G'L' uit, dan behoeven wij slechts B'b' in perspectief te brengen. Tot het construeeren van het vluchtpunt der lijn Wh', merken wij op, dat deze lijn loodrecht staat op de deellijn van hoek B'A'b' en dus uit O eene lijn moet worden getrokken, die loodrecht staat op de deellijn van hoek OFO"; het snijpunt 0„ dier lijn met HZ vinden wij echter gemakkelijker, door uit F, met OF als straal, een cirkelboog te beschrijven, die den horizon snijdt. De perspectief van de lijn 6'B' wordt nu aangewezen door de lijn J0„ en dus is het snijpunt van bOn met AF het gevraagde punt. Wil men verder een derde punt P op die lijn bepalen, dat op een werkelijken afstand P'B' = <2 van B' verwijderd is, zoo zet men bp = d op GL uit en verbindt p met 0n; de lijn pO„ snijdt alsdan AF in het gevraagde punt P. Aan het punt 0„ geeft men den naam van deelpunt, omdat 0„ het vluchtpunt is van alle horizontale lijnen evenwijdig aan B b , welker perspectieven de perspectievische lijn AF verdeelen in stukken, waarvan de ware grootten langs de lijn AL zijn aangegeven. § 345. Werkstuk. De perspectief te bepalen van eene lijn, die evenwijdig loopt aan het grondvlak. Van eene dergelijke lijn moet, behalve de horizontale projectie A'B', ook de hoogte h gegeven zijn waarop zij boven het grondvlak gelegen is. Het snijpunt S (Fig. 273) der lijn met het tafereel wordt nu gevonden door uit A' eene lijn loodrecht door GL te trekken en daarop den afstand AS = h af te zetten. Het vluchtpunt F der lijn wordt gevonden zooals in de beide voorgaande paragrafen is gezegd. SF is derhalve de perspectief der lijn, terwijl AF de perspectief zal aanwijzen van de projectie der lijn op het grondvlak. Wil men de perspectief Q van een bepaald punt, dat b. v. P tot horizontale projectie heeft, in die lijn aanwijzen, dan kan men eeist de perspectief P van het punt P' bepalen en daarna in P eene lijn PQ loodrecht op GL trekken. Het snijpunt Q dezer loodlijn met SF is dan de perspectief van het bedoelde punt. Ook kan men uit het gegeven punt zelf eene loodlijn op het tafereel neerlaten; deze loodlijn, die het tafereel in 1 snijdt, zal 10 tot perspectief hebben; liet snijpunt Q van TO" met SF is dan weder de gevraagde perspectief. § 340. Als eene toepassing van het geleerde over de perspectief van horizontale lijnen, is in Fig. 270 eene perspectiefteekening vervaardigd van het buitenwachthuis der Koninklijke Militaire Academie, gezien van de zijde der Academie, op eene schaal van 1 :100. Het gebouw heeft de gedaante van een rechthoekig parallelopipedum met een vierkant grondvlak (zijde bijna 7 M.), en is gedekt door een dak in de gedaante van eene regelmatige vierzijdige pyramide, waarvan de top is afgesneden door een vierkanten schoorsteen. Tegen de voorzijde van het gebouw sluit de buitenpoort zich aan. De horizon is gekozen op 1,70 M. boven het maaiveld, dat op + O is aangenomen. De opstaande ribbe B van het gebouw ligt in het tafereel en tevens in het vlak door O loodrecht op het tafereel aangebracht. De beschouwer is geplaatst op ruim 10 M. van het gebouw. Hierdoor wordt de distantie 00" = X 10 M. = 1 dM. en dus wel te klein (§ 324), doch wegens de geringe beschikbare ruimte is hieraan de voorkeur gegeven boven de vervaardiging der teekening op de schaal van 1 :50, of het meer naar achteren brengen van den beschouwer. liet vluchtpunt F behoort bij de horizontale lijnen die evenwijdig zijn aan AB; het vluchtpunt f der lijnen , evenwijdig aan BC, valt buiten de grenzen der teekening; daarom zal voor het in perspectief brengen dier f lijnen gebruik worden gemaakt van het punt verkregen door uit = eene lijn evenwijdig aan BC te trekken. De perspectief van de in het maaiveld gelegen lijn BA is de lijn ba, waarop het punt a bepaald is door middel van eene loodlijn, uit A op het tafereel neergelaten. De ribbe B vertoont zich op het tafereel in ware grootte; hierop zijn de hoogten van de verschillende, in de zijvlakken AB en BC aanwezige, horizontale lijnen op de schaal van 1 : 100 aangegeven. Door de deelpunten op deze lijn te verbinden met F, vindt men de perspectieven dier lijnen in het zijvlak AB, terwijl verder ook gemakkelijk de verticale grenslijnen der raam- en deuropeningen worden gevonden door middel* van loodlijnen op het tafereel, getrokken uit de voetpunten der verlengde zijkanten van die openingen. Zoo b. v. is d de perspectief van D en de loodlijn in d op de grondlijn is de grens van de raamopening in de perspectievische teekening. Aangezien de plattegrond van het gebouw een vierkant is, zijn de halve diagonalen AT' en BT' te construeeren. Met behulp van de perspectief van BT' (vluchtpunt e en , vraag! ,nen dan ahtand dier pnnlen .„„Lee,en. I spadfef C™Uo'!p™]2'feief geee,°n' toe,eM dc I"- "aakTjMS'r,!™^,"^1''''' fe"°iken,' die "" m"'°" l"",k gegeven hoek inaakt met het (:,f 1 " C„ horizontale projectie een niet het tafereel, het vluchtpunt erwten h ?" die hJ" het sni.iPu,lt °>St PV™ ' , - " den hoek met het tafereel. (0" d) van W, i j --«"7 ? d° ™ ^ tale vlak h'gt Gonlfr! ;egel'na,lg vervlak, dat op het horizon- ™ z- & Jon' J " ll,et traPezium willekeurig gegeven zijn? grifndvlak gelegen f ET t "" 1 r" ~ ~ r™r:5: r^l'JlZrï 1'nUC°'Q" 7" b°' "™" perspeetief v,„ «ne „STi T ' !°°g"! cn 1,0 9-k Va„ i evenwijdig aan de grondlijn. (0" d) benevens de ** ^ ^ het horizontale vlak lil m" v , ^ het gr°ndvIak> 'lk' »' : te voltooien: ° ' 8 de PersPectief van het lichaam «. wanneer het met zijn grondvlak op het horizontale vlak staat. uanneer het met een zijvlak op het horizontale vlak ligt (0" d) en woi-dt 'e ^ matlge ZCSZ,Jd,'ge P>'ramide op het grondvlak wen leid, tifdetp in'£ ^ van het lichaam in dien stand (0" d) ' ' ° perspectlef '» eenelijn, die in een gegeven Daar in dit geval sin « = sin P = sin y, volgt uit sin2xsin* ft -J_}-sj«Jy = 2, dat voor alle lijnen, evenwijdig aan de oorspronkelijke assen, de verkortingsverhouding t/f is. Hoewel op deze wijze zeer vlug ecne voorstelling van eenig voorwerp te verkrijgen is, zoo is deze toch minder fraai en levendig dan bij eene andere op oordeelkundige wijze gekozen plaatsing van het vlak van teekening verkregen wordt. Het is daarom beter twee der getallen m, # en p aan elkander gelijk te nemen. Men verkrijgt dan eene zoogenaamde dimetrische perspectief, terwijl men eindelijk kan spreken van eene trimetrische perspectief, wanneer m, n en p verschillend zijn (1). Door de getallen m, n en p naar behooren te kiezen, heeft men het in zijne macht om de lengte-, de breedte- of wel de hoogterichting der lichamen meer in de teekening te doen uitkomen. De meest gebruikte verhoudingen zijn bij het dimetrische stelsel (2, i, 2) en bij het trimetrische (9, 5, 10). Ook bezigt men de stelsels (7, 5, 6) en (6, 4, 5). Gewoonlijk is de verkorting langs de Y as het sterkst en dus n het kleinste der drie getallen. § 379. Werkstuk. De axonometrische perspectief te bepalen van een punt P, welks coördinaten (3, 1,4-) ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel gegeven zijn. Stelsel (7,5, 6). Wij beginnen het assenkruis te construeeren op de wijze als in § 377 werd aangegeven. Daartoe is eerst in Fig. 309 een cirkel geteekend, welks middellijn 7 eenheden bedraagt, en daarin zijn de koorden AC = 5 en AD = 6 getrokken. Is nu BA (Fig. 308) de basis van den tafereeldriehoek, dan is deze in de reden 25, 36 en 49 verdeeld met behulp van de willekeurig getrokken lijn AL, waarop van uit A drie stukken zijn afgezet, die gelijk zijn aanAB, AD' en AC' van Fig. 309. liet punt ü', de tafereeldriehoek en het assenkruis worden dan gevonden als in § 377 reeds gezegd is. Om nu het punt P in perspectief te brengen, slaan wij eerst het vlak XOY om de lijn BA neer in het tafereel; de oorsprong komt dan in O, terwijl OA de neergeslagen X as en OB de neergeslagen Y as is. Zetten wij op deze neergeslagen assen de afstanden 03 en 01 (respectievelijk gelijk aan driemaal en eenmaal de aangenomen lengteeenheid) uit, zoo is p de neergeslagen horizontale projectie van het punt P. Trekken wij verder door p de lijn 0q, zoo is O'q de axonometrische perspectief der lijn 0q en daarop wordt de axono- (1) In plaats van dimetrische en trimetrische spreekt men ook wel van monodimetrische en anisometrische perspectief. metrische perspectief p' van liet punt p gevonden, door uit p eene lijn loodrecht op BA te trekken. Valt het punt q dicht bij C', zoodat de snijding van O'q met de loodlijn uit p onder een te scherpen hoek plaats vindt, zoo kunnen wij ook uit p de lijn ps evenwijdig aan BA trekken; s' is dan de perspectief van s en eene lijn door s' evenwijdig aan AB getrokken zal dan 0'q snijden in p'. Nu wij de perspectief van het punt p gevonden hebben, kunnen wy die van liet punt P bepalen door met behulp van den driehoek ' waar'n U4 gelijk is gemaakt aan viermaal de lengteeenlieid de lengte 0 r te zoeken van de axonometrische z van het punt P. e lijnen rP en p'P', respectievelijk evenwijdig aan 0'q en 0'Z getrokken, leveren als snijpunt de perspectief P' van het punt P op. Opmerkingen. 1». In de opgave waren de coördinaten van het punt allen positief; dientengevolge viel p' binnen driehoek ABO' en het punt P' boven p\ De lezer zal begrijpen, dat dit niet het geval is, wanneer de coördinaten negatief waren gegeven. 2°. Bij de vervaardiging van grootere teekeningen zal het veelal aanbeveling verdienen, de horizontale projectie van het voorwerp afgescheiden te houden van de perspectiefteekening en evenzoo de verkortingsschalen buiten de teekening aan te nemen, een en ander om verwarring van lijnen te voorkomen. § 380. Om de axonometrische perspectief van een veelvlakkig lichaam te bekomen, behoeft men slechts de perspectief van elk hoekpunt te construeeren. Door behoorlijke vereeniging der gevonden punten, zal men dan de perspectieven van de ribben en dus ook die van het lichaam verkrijgen. Moet men eene kromme lijn in perspectief brengen, zoo zullen wij slechts de perspectieven moeten bepalen van een voldoend aantal harer punten, om deze uit de hand door eene vloeiende kromme lijn te kunnen vereenigen. In het bijzondere geval dat de kromme lijn een cirkel is, zal de perspectief in het algemeen eene ellips zijn. De assen dezer ellips zijn gemakkelijk te construeeren; immers uit § 147 (Fig. 124) weten wij, dat de groote as de perspectief zal zijn van de middellijn van den cirkel, die evenwijdig loopt aan het vlak van teekening, terwijl de kleine as dan de perspectief is van de loodrecht daarop staande middellijn des cirkels. Is liet vlak van den cirkel gegeven door zijne doorgangen met de projectievlakken, dan wordt derhalve de richting van de eerst bedoelde middellijn gevonden, als wij slechts de doorsnede construeeren van liet cirkelvlak met een vlak, evenwijdig aan het vlak van teekening gebracht. De doorgangen van dit laatste vlak zijn onmiddellijk aan tc wijzen, omdat men bij dc constructie van de axonometrische assen en schalen (§ 375, Fig. 307) de stukken heeft gevonden, welke van de oorspronkelijke assen worden afgesneden door het vlak van teekening ABC. Tot nader toelichting verwijzen wij naar § 384. Van lichamen, die geheel of gedeeltelijk door gebogen vlakken begrensd worden, wordt de perspectief gevonden door een omhullend cylindervlak te construeeren, welks beschrijvende lijn loodrecht staat op het vlak van teekening; de doorsnede van dit cylindervlak met het vlak van teekening is dan de gevraagde perspectief. De axonometrische perspectief van een bol is een cirkel, welke de perspectief van het middelpunt des bols tot middelpunt heeft, en welks straal gelijk is aan den straal des bols. Tot het bepalen van de perspectief van een omwentelingsoppervlak , maakt men gebruik van ingeschreven bollen, op de wijze als in § 251 is verklaard; dit zal geen nadere toelichting behoeven, omdat de axonometrische perspectief niet anders is dan eene gewone projectie. Tot nadere toelichting van het bovenstaande volgen nog cenige werkstukken. § 381. Weiikstük. De axonomeli ische perspectief te bepalen van twee over elkander liggende balken, welke in Fig. 311 in gewone projectie zijn voorgesteld. Stelsel (5, 6, 7). In Fig. 310 zijn 0'X, 0'Y en 0'Z de axonometrische assen en is BAC een driehoek, evenwijdig aan het vlak van teekening, met behulp waarvan men in Fig. 312, op de wijze als vroeger gezegd is, de axonometrische schalen heeft geconstrueerd. De cijfers, welke bij de verschillende coördinaten geplaatst zijn, zullen den lezer, die het voorgaande begrepen heeft, nu gemakkelijk den weg wijzen welke hier gevolgd is tot het bepalen van de perspectief der gegeven lichamen. Aanvankelijk heeft men de horizontale projectie van den op het XY vlak liggenden balk in perspectief gebracht; door middel van de hoogte van het punt q is dan een hoekpunt van het bovenvlak te vinden en daarna door het trekken van evenwijdige lijnen, de perspectief van dezen balk te voltooien. Van den hellenden balk zijn drie punten van het grondvlak (die G, 7 en r tot XY projecticn hebben) en één punt van het bovenvlak (dat p tot XY projectie heeft) in perspectief gebracht, om daarna, door het trekken van evenwijdige lijnen, ook deze perspectief te kunnen voltooien. Het zal onnoodig zijn aan te wijzen, welke ribben der lichamen geheel of gedeeltelijk onzichtbaar zijn en daarom gestippeld in de figuur zijn getcekcnd. Ook zal liet den lezer niet moeilijk vallen, de ware grootte te vinden van de eene of andere lijn, welke in de perspectiefteekcning voorkomt. S 3(s2. Werkstuk. De axonometrische perspectief te bepalen van een rechten cirkelvormigen cylinder, die met zijn grondvlak op het vlak XOY is geplaatst. Wij zullen veronderstellen dat het assenkruis gegeven is door hoek ZO Y 120 en hoek ^0X = 135° (Fig. 314). Voorts zijn gegeven de coördinaten van het middelpunt van het grondvlak, de straal en de hoogte van den cylinder. Uit het middelpunt m van het grondvlak is — op de nu bekende wijze de perspectief M bepaald. De middellijn cd evenwijdig aan DA dus evenwijdig aan het tafereel — is eene onverkorte lijn en projecteert zich als groote as van de ellips op het tafercel; de perspectief van ef — loodrecht op ab — is de kleine as der ellips. Ook willekeurige punten van den omtrek van het grondvlak zouden in perspectief te brengen zijn, op de wijze als in § 379 is aangegeven. /et men nu boven M de axonometrische hoogte van den cylinder uit en construeert men eene ellips gelijk-en gelijkvormig met de ellips CEDF, zoo is liet bovenvlak voltooid, terwijl dc lijnen door C cnD, evenwijdig aan O'Z getrokken, de uiterste beschrijvende lijnen des cylinders zullen aangeven. § 383. Werkstuk. De axonometrische perspectief te bepalen van een rechten cirkelvormigen kegel, die met zijn grondvlak op hel vlak XOY is geplaatst. Wij nemen (Fig. 315) het assenkruis als in § 382 en brengen het grondvlak van den kegel in perspectief, zooals daar bij den cylinder is aangegeven. De perspectief 1 van den top is gevonden, door de axonometrische hoogte des kegels boven M uittezetten. De uiterste beschrijvende lijnen van den kegel worden verkregen door uit T raaklijnen aan de ellips te trekken (§ 151). Deze beschrijvende lijnen kunnen echter ook geconstrueerd worden als doorsneden van het tafereel met de raakvlakken aan den kegel, loodrecht op het tafereel. Hiertoe moeten wij uit T eene loodlijn neerlaten op het tafereel, het snijpunt bepalen van deze lijn met het vlak XOY, door dit punt raaklijnen trekken aan het grondvlak des kegels en uit deze XY doorgangen der raakvlakken de doorsneden dier vlakken met het tafereel afleiden. Om het snijpunt S van de loodlijn — uit den top op het tafereel neergelaten — met het XY vlak te bepalen, merken wij op, dat elk punt der lijn zijn perspectief in T heeft en dus T ook te beschouwen is als de perspectief van S; de lijn TO' is derhalve de perspectief van de lijn SO in het XY vlak gelegen. Het snijpunt p van TO' met BA is een punt der lijn SO en wij vinden dus S als snijpunt van pO met TM. De raaklijnen SV aan den cirkel m zijn nu de XY doorgangen der raakvlakken, terwijl de lijnen TV — daar deze raakvlakken op het tafereel door T moeten gaan — de doorsneden dezer vlakken met het tafereel, d. w. z. de perspectieven der uiterste beschrijvende lijnen, zullen zijn. De raakpunten tl zijn op de lijnen TV te vinden, door middel van de loodlijnen uit r op BA neergelaten. § 384, Werkstuk. De isometrische perspectief te bepalen van een rechten cirkelvormigen cylinder, die met een zijner beschrijvende lijnen op het horizontale vlak ligt. De horizontale projectie van den cylinder is in Fig. 316 geteekend. Een der eindvlakken is om den verticalen doorgang P'P" op het verticale vlak ZOX neergeslagen, nadat daarin de doorsnede PQ was bepaald met een vlak W, dat evenwijdig is gebracht aan het vlak waarop de perspectief moet worden geteekend, en dat dus gelijke stukken OW, = OW = OW,, van de assen afsnijdt. Daar PQ nu evenwijdig loopt aan het vlak van teekening, zal elke lijn evenwijdig aan PQ zich in ware grootte op dit vlak projecteeren. PQ is derhalve de richting der onverkorte lijnen in het eindvlak van den cylinder of in daaraan evenwijdige vlakken gelegen. Tot het vervaardigen van de perspectievische teekening (Fig. 317) zijn de isometrische assen geconstrueerd, welke hier hoeken van 120° met elkander maken (§ 378). Langs deze assen zullen nu de afstanden moeten worden afgezet, welke in Fig. 316 op de overeenkomstige assen voorkomen, nadat zij verkort zijn in reden van 1/2:^3. Bij de isometrische perspectief wordt die verkorting dikwijls achterwege gelaten en worden de afstanden onverandeid langs de isometrische assen overgebracht, hetgeen bij teekeningen, die veel lijnen bevatten, eene niet onbelangrijke tijdsbesparing oplevert. Het gerolg hiervan is echter, dat de isometrische perspectief dan eigenlijk j/2 maa' 'e ëroot W0l'dt en men dus indachtig moet zijn om nu juist de onverkorte lijnen te vergrooten in reden van j/3 • j/2 Dit vergrooten geschiedt gemakkelijk met behulp van eene isometrische schaal d,e ,n Fig. 313 is geconstrueerd, op overeenkomstige wijze als geZngp' üier iS °'G'=^'C genomen, waardoor 00 — OCj/2 en OC = 0'CVO WOrdt en derhalve 0'C : OC = = 2 : j/6 = ^2 : j/3. De lezer zal nu gemakkelijk uit Fig. 317 kunnen volgen, op welke wijze aanvankelijk de perspectief is bepaald van de lijn PQ en het punt M. Daarna is door M de lijn AB evenwijdig aan PO getrokken en AM = BM gelijk genomen aan OA van Fig. 313. In deze figuur toch is 0'a gelijk gemaakt aan den straal AM van den cylinder, welks lengte in Fig. 316 kan worden afgelezen. AB stelt dan de perspectief voor van de onverkorte middellijn van het eindvlak M en is derhalve de groote as der elliptische perspectief van dit eindvlak. De kleine as staat in M loodrecht op AB (§ 380) en hare lengte wordt gevonden door de perspectief te bepalen van een der uiteinden D der middellijn CD van Fig. 316. Met behulp der beide assen is nu verder de ellips ACBD te con- strueeren. In de figuur is, behalve de assen, nog aangegeven de perspectief van het om den cirkel M beschreven vierkant met de daarin getrokken horizontale en verticale middellijnen. Op deze wijze kent men van de ellips nog vier punten met de raaklijnen in die punten. J Op overeenkomstige wijze is het eindvlak N in perspectief gebracht; de gemeenschappelijke uitwendige raaklijnen aan de beide ellipsen' voltooien dan de gevraagde perspectief. Deze raaklijnen zijn hier de lijnen, welke de uiteinden van de groote assen der ellipsen verbinden. § 385. Constructen in het tafereel. Evenals bij de gewone perspectief, zullen wij het hoofdstuk over de axonometriscbe perspectief eindigen met liet uitvoeren van eenige constructiën in het tafereel. Meer dan bij de gewone perspectief zijn deze constructiën dikwijls van practisch nut, zooals zal blijken uit de toepassing op een drietal voorbeelden. Alvorens echter hiertoe overtegaan, herinneren wij er nog eens aan dat de axonometrische perspectief eene gewone loodrechte projectie 19 den horizontalen doorgang V, te nemen, omdat dan de doorsnede SL ook evenwijdig is aan V,. § 390. Werkstuk. Door een gegeven punt een vlak te brengen, evenwijdig aan een gegeven vlak. Is (V,, Vj) het gegeven vlak en (P, P') het gegeven punt (Fig. 321), zoo trekken wij uit P eene lijn PS evenwijdig aan den horizontalen doorgang V,. Deze lijn, die in het te construeeren vlak moet liggen, snijdt het verticale vlak in S, welk punt met behulp van de horizontale projectie P'S' gemakkelijk is te construeeren. liet punt S is nu een punt van den verticalen doorgang van het gevraagde vlak W, welks doorgangen evenwijdig loopen aan de doorgangen van het vlitk V. De constructie had men ook kunnen verrichten door eene lijn PR evenwijdig aan te trekken. S 391. Werkstuk. Uit een gegeven punt P' in hel horizontale vlak eene loodlijn neer te laten op eene in dit vlak gelegen lijn l'. Men kan dit werkstuk op verschillende wijzen uitvoeren. 1°. De gevraagde lijn zal ook loodrecht staan op het vlak dooi / loodrecht op het horizontale vlak gebracht. Wij zullen nu gebruik maken van de bekende stelling (§ 75): «Staat eene lijn a loodrecht op een vlak A, zoo zal de projectie a' dier lijn op eenig vlak V ook loodrecht staan op de doorsnede A, der vlakken A en V. Tot het uitvoeren der constructie kiezen wij nu een vlak V (Fig. 322) evenwijdig aan het tafereel en bepalen de doorsnede RS van V met het vlak door l' loodrecht op het horizontale vlak gebracht; de lijn P'q, uit P' loodrecht op RS getrokken, zal dan de perspectief zijn deigevraagde loodlijn, terwijl Q' de perspectief is van het voetpunt. 2° Breng door P' een vlak W evenwijdig aan het tafereel en trek door P' de lijn P'A loodrecht op I', die W3 in A snijdt, dan is P'A' de perspectief der gevraagde loodlijn en haar snijpunt Q' met l' de perspectief van het voetpunt. De juistheid dezer constructie blijkt uit de volgende beschouwing. De in het vlak W liggende lijn AP' staat loodrecht op het vlak, dat door l' — gelegen in het tafereel — loodrecht op het tafereel is gebracht, dus ook loodrecht op de in dat vlak liggende lijn l; maar deze lijn l, die in het horizontale vlak XOY ligt, is loodrecht op de Z as dus ook op AA in het oorspronkelijke ZOY vlak. De lijn / is derhalve loodrecht op het vlak door de lijnen AP' en AA' gebracht en op iedere andere lijn in dit vlak, dus loodrecht op A'P', in het horizontale vlak gelegen. 3°. Zij C' (Fig. 323) het snijpunt van de verlengde as ZO' met l' e" B' llet snijpunt der lyn met O'X, dan is O'B'C' de perspectief van een in liet horizontale vlak gelegen driehoek. De lijn CD', evenwijdig aan YO', is de perspectief van eene loodlijn uit C op OB neergelaten, evenzoo is B'E', loodrecht op 0'Z, de perspectief van de lijn uit B loodrecht op OC' getrokken. Hieruit volgt dat 0'S'F' de perspectief zal zijn van eene loodlijn uit 0 op CB. De lijn P'O' evenwijdig aan F'0' getrokken, is derhalve de gevraagde perspectief! Opmerking. Wij zouden het werkstuk ook hebben kunnen verrichten door een bepaalden tafereeldriehoek aan te nemen, het vlak XOY met daarin gelegen lijn en punt, op de wijze als in § 379 is aangegeven, in liet tafereel neer te slaan, in dit neergeslagen vlak de loodlijn uit P op l neer te laten en de perspectief Q' te bepalen van het voetpunt Q. De lijn, door P' en O' getrokken, is dan de gevraagde perspectief. Op die wijze is het werkstuk echter niet te beschouwen als eene constructie in het tafereel. § 392. Werkstuk. Door een gegeven punt eene lijn te trekken, die loodrecht is op een gegeven vlak. Zij (P, P') het gegeven punt en (V^Vj) het gegeven vlak (Fig. 324). Van de gevraagde loodlijn zullen wij nu moeten construeeren, zoowel de perspectief van deze loodlijn zelve als die van hare horizontale projectie. Kiezen wij een willekeurigen tafereeldriehoek BAC, dan is DE de doorsnede van het vlak V met het tafereel en dus PF, uit 1' loodrecht op DE getrokken , de perspectief der loodlijn zelve (op giond der in de voorgaande paragraaf genoemde eigenschap van & 75). Aangezien de horizontale projectie der loodlijn ook loodrecht staat op den horizontalen doorgang V,, construeeren wij de perspectief dezer projectie op de wijze als in § 391 is aangegeven. Volgen wij daartoe den sub 3 aangegeven weg en trekken wij dus P'G' evenwijdig aan f'0', zoo is P'G' die perspectief. (FP, P'G') is derhalve de perspectief der gevraagde loodlijn. Het snijpunt dezer loodlijn met het vlak V, dus het voetpunt der loodlijn, vinden wij als snijpunt der lijn PF met de doorsnede III van het horizontaalprojecteerend vlak der loodlijn met het vlak V. Q is dus de perspectief van het voetpunt; die van de horizontale projectie van het punt wordt in Q' op P'G' gevonden. Het punt S is de perspectief van het snijpunt der lijn met het derde vlak. Om het snijpunt der loodlijn met het tafereel BAC te vinden, bepalen wij het snijpunt T van FP met de doorsnede KG van het horizontaal-projecteerend vlak der loodlijn met het tafereel. Uit de figuur blijkt , dat het voetpunt Q, zoowel alsSenP, vóqrhet tafereel gelegen zijn. § 393. Werkstuk. UU een gegeven punt eene loodlijn neer le lalen op eene gegeven lijn. Hiertoe brengen wij door liet gegeven punt een vlak loodrecht op de gegeven lijn en vereenigen het snijpunt van hjn en vlak me het gegeven punt. Tot het construeeren van het vlak, brengen wij eerst een willekeurig vlak loodrecht op de lijn en daarna door het gegeven punt een vlak evenwijdig aan het eerste. Daar de doorgangen van het loodrechte vlak ook loodrecht staan op de gelijknamige projectiën van de lijn en wij in § 391 geleerd hebben om uit een willekeurig punt, in een der projectievlakken gelegen, eene loodlijn neer te laten op eene lijn in dit vlak, kunnen wij derhalve nu de geheele constructie wel aan den lezer overlaten. (Zie ook de toepassing in § 398). § 394. Werkstuk. Den werkelijken afstand te bepalen van twee gegeven punten. 1". Laat (P, P') en (Q, Q') de gegeven punten en ISAL eene willekeurig aangenomen tafereeldriehoek zijn (Fig. 325), dan snijdt het horizontaal-projecteerend vlak der lijn PQ het tafereel volgens de lijn DE. Slaan wij nu het projecteerend vlak om de lijn DL op het tafereel neer, dan blijft het punt F, alwaar PQ de lijn DE dus het tafereel snijdt, bij deze wenteling op zijne plaats; het hoekpunt E' van den rechthoekigen driehoek DEE' beschrijft een cirkel, waarvan het vlak loodrecht op het tafereel staat, en komt dus in E' het snijpunt van den halven cirkel, op DE als middellijn beschreven, met de lijn E'E'„ loodrecht op DE getrokken. De lijn EE'komt dus neergeslagen in EE'„, het punt G dezer lijn m G„. FG is nu de neergeslagen lijn FG, waarin I'„ en Q„ de plaatsen zijn die de punten P en Q verkrijgen , zoodat P„Q„ de gevraagde afstand is. .. .. 2°. Eene andere oplossing van het werkstuk verkrijgen wij door het aanbrengen van twee tafereeldriehoeken door de beide punten (F[,y_ 327). Laten wij uit P eene loodlijn neer op het tafereelvlak BAC dat door Q gaat, dan is P de perspectief dier loodlijn. Er wordt nu een rechthoekige driehoek gevormd, waarvan de werkelijke afstand PQ de liypothenusa is en die tot rechthoekszijden heeft de zoo even bedoelde loodlijn en de perspectief PQ. Deze driehoek, neergeslagen om PQ op het tafereel, is de rechthoekige driehoek P„PQ, welke eenvoudig te construeeren is, daar P„P gelijk moet zijn aan den afstand der tafereeldriehoeken. Uit de tiguur volgt, in verband met § 375, gemakkelijk dat OjO dezen afstand aanwijst. P„Q is de werkelijke grootte der lijn PO, terwijl hoek P„QP tevens aangeeft den hoek gevormd door de lijn met het tafereel. Opmerking. Het zal duidelijk zijn, dat men ook de werkelijke lengte van I'Q verkrijgt door constructie van het rechthoekig trapezium PQQ'P'. Voor dit trapezium behoeven wij slechts de werkelijke lengten te bepalen van de horizontale lijn P'Q' en van de verticale lijnen PP' en QQ'. § 395. Werkstuk. Een gegeven vlak in het tafereel neer te slaan. 1°. Zij (V,, V,) het gegeven vlak en BAC een willekeurig aangenomen tafereeldriehoek (Fig. 326), dan zullen wij het vlak V om de doorsnede DE met het tafereel, in het tafereel moeten neerslaan. Daartoe zullen wij de plaats Pn moeten bepalen, waar een punt P van het vlak terecht komt. Dit punt P kiezen wij nu zoodanig in den verticalen doorgang V„ dat de lijn DP in werkelijkheid loodrecht staat op dien doorgang V„ dus hoek DPE recht is. Om dit punt P te vinden, brengen wij door D een vlak loodrecht op den verticalen doorgang V2; van dit vlak is de horizontale doorgang loodrecht op de horizontale projectie van V,, dus loodrecht op de X as; DF, evenwijdig aan \0' getrokken, is de perspectief van dien doorgang. Het vlak snijdt het tafereel volgens eene lijn DG, loodrecht op V2 getrokken, zoodat I* G de perspectief is van den verticalen doorgang. De lijn FG snijdt nu V2 in P, de perspectief van het bovenbedoelde punt; immers V2 is loodrecht op het vlak DFG dus ook loodrecht op de lijn DP, die in dit vlak ligt. De plaats van het punt P„, na het neerslaan van den rechthoekigen driehoek, is, met behulp van een halven cirkel op DE en eene lijn PP„ loodrecht op DE getrokken, onmiddellijk te bepalen. Richt men in P eene loodlijn Pt op en maakt men Pt=pPn, zoo geeft tpP den hoek aan dien het vlak V met het tafereel maakt. Als toepassing zullen wij ookjden hoek construeeren waaronder twee lijnen KL en MN, die in dit vlak gelegen zijn, elkander snijden. Vooreerst merken wij op, dat het snijpunt T van MN met DE bij het neerslaan op zijn plaats blijft. De beide punten N en L, die op de lijn PE liggen, komen in de lijn PnE en derhalve in de snijpunten N„ en L„ dezer lijn met loodlijnen uit N en L op DE neergelaten, terwijl S„ op TNn gevonden wordt. Verbinden wij eindelijk S„ met L„, zoo is L„SnN„ de gevraagde hoek. 2». Wij kunnen nog een anderen weg inslaan om het werkstuk uit te voeren. Zij (V,, V,) (Fig. 328) het vlak, dat het aangenomen tafereel BAC volgens de lijn DE snijdt, dan zal elke lijn, in liet tafereel in eenig punt M loodrecht op DE getrokken, de perspectief voorstellen van een vlak dat loodrecht staat op DE, dus ook de perspectief van eene in het vlak V gelegen lijn, die tevens ligt in het loodrechte vlak en derhalve loodrecht staat op DE. Van deze lijn is FM' de horizontale projectie en dus (P, P') een willekeurig puit- Brengen wij door dit punt (P, P') een vlak B,A ,C, evenwijdig aan het tafereel BAG, zoo is 0,0 de afstand der beide tafereelvlakken en dus tevens de afstand waarop het punt P van het tafereel BAC verwijderd is. Stellen wij dus PQ = 0,0 loodrecht op MP en beschrijven wij uit M als middelpunt met MQ als straal een cirkelboog, dan snijdt deze MP in P„, aangevende de plaats waar het punt P, na het neerslaan van het vlak V in het tafereel, komt. Door deze constructie is tevens gevonden de hoek QMP, dien het vlak V met het tafereel maakt. § 390. Werkstuk. Van eene hyperbolische paraboloide (Fig. 329) zijn als richtlijnen gegeven de lijn AB in het verticale vlak en evenwijdig aan de Z as en eene lijn CD in het derde vlak, terwijl hel vlak ] ÜE richtvlak is. Men vraagt de beschrijvende lijnen van het oppervlak te construeeren, die evenwijdig loopen aan een gegeven vlak (V,, Vs), en hel punt te bepalen waarin het oppervlak door het verticale vlak geraakt ivordt. Onmiddellijk is CF als beschrijvende lijn van het oppervlak aan te wijzen; eene tweede lijn GH, tot hetzelfde stelsel behoorende, vinden wij door het aanbrengen van een willekeurig vlak even^ ijdig aan YOE. Beschouwen wij CF en Gil als richtlijnen, dan is een vlak door CD evenwijdig aan AB , d. i. het derde projectievlak, het bij deze richtlijnen behoorende richtvlak. Construeeren wij nu de doorsnede IK van V met het vlak YOE, dan zullen de beide gevraagde beschrijvende lijnen evenwijdig moeten loopen aan IK en Vs (want V3 is de doorsnede van V met het tweede richtvlak). Om de beschrijvende lijn van het eerste stelsel te vinden die evenwijdig is aan IK, trekken wij uit een willekeurig punt 1' van AB de lijn FL evenwijdig aan KI. Het vlak door Ali en FL snijdt het derde projectievlak volgens de lijn LM evenwijdig aan 0 Z. 1 rekken wij nu nog MN evenwijdig aan LF, zoo is MN de gevraagde beschrijvende lijn. J Trekken wij GP evenwijdig aan V3) dan snijdt liet vlak dat door de lijnen Gil en GP gebracht wordt, het vlak YOE volgens de lijn I Q evenwijdig aan Gil en dus de in dit vlak gelegen beschrijvende lyn CF van het eerste stelsel in Q. Eene lijn Q?, door Q evenwijdig aan V3 getrokken, is de gevraagde beschrijvende lijn van het tweede stelsel. Tot het construeeren van het punt waarin het verticale vlak het oppervlak raakt, hebben wij slechts de in het verticale vlak gelegen beschrijvende lijnen van het oppervlak te bepalen. Een dezer lijnen is Al!; de andere is de lijn DU evenwijdig aan 0'E getrokken, zoodat R het gevraagde raakpunt zal zijn. § 397. Werkstuk. Door eene gegeven lijn een vlak te brengen, waarop twee gegeven elkander kruisende lijnen zich als evenwijdige lijnen zullen projecteeren. Wij kunnen, zonder aan de algemeenheid te kort te doen, de beide gegeven elkander kruisende lijnen a en b (Fig. 330) aannemen in twee projectievlakken. Zij verder (/, l') de eerstbedoelde lijn. Wij brengen door de in het derde vlak gegeven lijn a een vlak P evenwijdig aan de in het horizontale vlak gegeven lijn b. Het gevraagde vlak zal moeten gaan door (/, l') en tevens Ioodïeclit moeten staan op P. Om dit vlak te construeeren, trekken wij door een punt (G, G'), op (/, l') gelegen, eene lijn (GH, G'11') loodrecht op het vlak P. De horizontale projectie G'H' dezer lijn is geconstrueerd volgens § 391 sub 3, terwijl Gil loodrecht is op de doorsnede KN van het vlak P met het tafereel. Het vlak V,vV3 door de lijnen (/, /') en (GH, G'H') gebracht — waarvan dus' de horizontale doorgang door t en s gaat en de derde doorgang door v en G — zal het gevraagde vlak zijn. De doorsnede d der vlakken V en P zal de projectie zijn der lijn a op het vlak V. Brengt men door de lijn b een vlak Q evenwijdig aan I', zoo zal de doorsnede e van Q met V de projectie aangeven van de lijn b op het vlak V. Deze beide lijnen d en e moeten nu evenwijdig zijn. § 398. Werkstuk. Gegeven de perspectief (T, T') van den top en de perspectief (M, M') van het middelpunt van het grondvlak van een rechten cirkelvormigen kegel, benevens de straal van dit grondvlak. Bepaal de perspectief van den kegel, Construeer een vlak V (Fig. 331) loodrecht op MT en breng daarna door M een vlak W evenwijdig aan V (hiertoe zijn door M en M de lijnen MD en M'D getrokken, evenwijdig aan den doorgang V van het vlak met het tafereel en aan de horizontale projectie van dezen doorgang, en door het snijpunt D de horizontale doorgang W, evenwijdig aan V, en uit het snijpunt d van W, met BA de doorgang W met het tafereel evenwijdig aan V). Het vlak W wordt vervolgens op het tafereel neergeslagen. Hiertoe is eerst door M een vlak C.B.A, gebracht, evenwijdig aan het tafercel CBA, en de afstand 00m dezer vlakken bepaald; daarna is ME = 00m loodrecht op TM gesteld en uit het snijpunt F der lijnen TM en d, W als middelpunt met FE als straal een cirkelboog beschreven, die TM jn j\jn — het neergeslagen middelpunt — snijdt. Door op 1'E at te zetten EG = EH = straal grondvlak, zijn de uiteinden G' en H' der kleine as gevonden, terwijl de groote as der ellips gelijk is aan de middellijn van den cirkel. De raaklijnen uit T aan de ellips voltooien de perspectief. Men kan de raakpunten R ook construeeren door het snijpunt S te bepalen van de loodlijn, in T op het tafereel opgericht, met het verlengde grondvlak van den kegel en uit dit punt S raaklijnen aan den cirkel te trekken. Deze cirkel, die men uit Mn met den gegeven straal moet beschrijven, is niet in de figuur aangegeven om deze niet onduidelijk te maken. Tot het verkrijgen van het punt S moeten wij in het standvlak u;t t — snijpunt van de lijnen El en T<, die loodrecht op GH en FT zijn getrokken — eene loodlijn op TM neerlaten en het snijpunt dezer lijn bepalen met het verlengde der lijn FE. Daar dit snijpunt buiten 'de grenzen der teekening zou vallen, is uit u (Eu = | Ei) eene lijn loodrecht op TM getrokken, die FE in I snijdt, en daarna Fs gelijk aan FI gemaakt. Door verder M„S gelijk aan tweemaal Mns te nemen, vinden wij S. Valt, zooals hier, ook S buiten de grenzen der teekening, zoo kan men uit s raaklijnen trekken aan een cirkel, die uit Mn met een straal J EG beschreven is. Door t met G en 11 te verbinden, vinden wij Gfll als de doorsnede van het standvlak met den kegel. In dit standvlak is l' 1 de doorsnede met het tafereel. Uit de figuur blijkt dat hier het tafereel den kegel volgens eene hyperbool zal snijden. liet XY vlak tot richt vlak is aangenomen. Teeken de axonometrische perspectief eener beschrijvende lijn van het oppervlak, evenwijdig aan eene gegeven lijn in het XY vlak gelegen, en daarna een raakvlak m een willekeurig punt dezer beschrijvende lijn. Het assenkruis is gegeven (hoek Y0'X = 135°, hoek Z0'Y = 120o). 2G8. Van eene hyperbolische paraboloïde, die XOZ en YOZ tot richtvlakken heeft, zijn gegeven de perspectieven der beide rechte lijnen AL en BC die in deze vlakken gelegen zijn en elkander snijden in het punt C. der Z as, benevens een punt P. 0'A = 6 , 0'B = 4 = ^ > axonometrische coördinaten van P (9, 6, 14). Construeer den top der paraboloïde. Het assenkruis is gegeven (hoek Z0Y = 120°, hoek Y0'X = 135°), 269. Van een gegeven wig van Wallis is het grondvlak een cirkel in het vlak \0Z gelegen met 0 tot middelpunt en 3 tot straal. De scherpe kant is eene gegeven lijn in het vlak XOZ evenwijdig aan OZ getrokken op den afstand 7 van 0. Construeer de axonometrische perspectief van een punt van het oppervlak met positieve coördinaten, dat op een afstand U boven het,XY Wak ligt, en tevens het raakvlak in dit punt aan het oppervlak. Stelsel (2, 1, 2). ^ 270. Van een regelrecht oppervlak zijn gegeven als richtlijnen: 1 . een cirkel in het vlak XOY, straal =5, middelpunt M (8 7 O)- ?CJij" 1" ï l0°dreCht °P 1,et vlak X0Y: 3'. de lijn die'uit' hei punt (8, 12 0) evenwijdig aan het vlak ZOX is getrokken, een hoek van 45 maakt met het vlak XOY en het vlak ZOY beneden de as OY snijdt. Teeken eene willekeurige lijn van het oppervlak en een raakvlak Selse^ °PlPer2)ak 660 Wi"ekeurig aangen°men punt dezer lijn. 271. De isometrische perspectief te bepalen van een rechten cirkelvorm,gen kegel, die met een zijner beschrijvende lijnen op het X\ \lak ligt, niet evenwijdig aan een der assen. 272 Drie elkander rakende gelijke bollen liggen'op het horizontale vlak en dragen een vierden bol van denzelfden straal. Bepaal de axonometrische perspectief, wanneer de lijn die de middelpunten van twee der onderste bollen verbindt, evenwijdig is aan de \ as en deze bollen het dichtst bij het XZ vlak liggen. (Stelsel (9, 5 10) -73. Gegeven de perspectieven (C, C') en (E, E') van twee overstaande hoekpunten van het grondvlak van eene regelmatige vierzijdige pyramidc. Het grondvlak maakt een gegeven hoek * met het tafereel, terwijl de hoogte van de pyramide gegeven is. Bepaal de perspectief van de pyramide en die van hare horizontale projectie. Het assenkruis is gegeven. 274. Ue perspectief (M, M') van het middelpunt van een bol is gegeven, evenals de straal van den bol. Bepaal de peispectief van de doorsnede van dezen bol met een vlak dat door eene gegeven lijn (l, /') gaat en een gegeven hoek a met het tafereel maakt. Het assenkruis is gegeven. CAVALIÈRE PERSPECTIEF. § 309. Rij de cavalière perspectief hebben de projecteerende lijnen (§ 373) een schuinen stand ten opzichte van het projectievlak. Eene eenvoudige beschouwing van Fig. 332 is voldoende om in te zien, dat eene lijn van bepaalde lengte AB, en evenwijdig aan het projectievlak V, tot projectie zal hebben eene lijn ab, die gelijk en evenwijdig is aan AB, waaruit dan gemakkelijk wordt afgeleid, dat de scheeve projectiën van alle vlakke figuren, evenwijdig aan V, gelijk en gelijkvormig met die figuren zullen zijn. Eene lijn BG, die niet evenwijdig is aan het projectievlak, zal eene rechte lijn bc tot projectie hebben, welker lengte afhankelijk is niet alleen van de grootte van BC, maar tevens van de richting der projecteerende lijnen; bc kan even goed kleiner als grooter dan BC zijn en zelfs ook gelijk aan BC. Is eene andere lijn EF evenwijdig aan BC, zoo is echter: bc _ &D _ eF BC ~ BD ~~ EF ' Alle evenwijdige lijnen worden dus door de scheeve projectie in dezelfde verhouding verkort of verlengd. Beschouwen wij in het bijzonder eene lijn AG, die in G loodrecht op het piojectievlak staat, dan zal de projectie nG dezer lijn worden aangewezen door: aG = AG col a. wanneer men den hoek AnG, welken de richting der projecteerende lijnen maakt met V, gelijk aan « stelt. Alle lijnen, loodrecht op het vlak V, worden dus verkort of ver- lengd in de verhouding * = cola. — n. AG Daar n meestal kleiner dan 1 wordt genomen, noemt men n de verkortingsverhouding. Is de richting van projectie «G gegeven — zooals veelal liet geval js en tevens de verkortingsverliouding bekend, dan kan men de richting Aft der projecteerendc lijnen uit driehoek AftG bepalen. § 400. Wil men nu eenig voorwerp in perspectief brengen, zoo trekken wij in het vlak van teekening— dat wij weder het tafereel zullen noemen en ons verticaal kunnen denken —twee loodrecht op elkander staande assen 0X en OZ (Fig. 336), waarvan OX horizontaal, en door het punt 0 eene derde as 0Y, die dan de richting aangeeft van dc projectiën van lijnen, loodrecht op het tafereel. De beide assen OX en OZ en die, waarvan OY de projectie is, zijn dan weder te beschouwen als de doorsneden van drie loodrecht op elkander staande vlakken, ten opzichte waarvan het voorwerp gegeven is, hetzij door zijn gewone projectiën, of wel door de coördinaten der verschillende punten. Geeft men nu nog de verkortingsverhouding w = coJa, dan zijn wij in staat de scheeve projectie van een voorwerp op het tafereel te vervaardigen. Zijn b. v. van eenig punt P de coördinaten x, y en z gegeven, dan verkrijgt men de scheeve projectie van dit punt door OA = x, AP' (evenwijdig aan OY) =- nij en P'P (evenwijdig aan OZ) = z te nemen. Denken wij ons door het punt P drie vlakken evenwijdig aan de coördinaatvlakken gebracht, zoo sluiten deze met de laatstgenoemde vlakken een rechthoekig parallelopipedum in , welks scheeve projectie in de figuur is aangegeven. De hoekpunten P , P en P zijn nu de scheeve projectiën vau de voetpunten der loodlijnen, uit P op de coördinaatvlakken neergelaten. Trekt men uit O cene lijn loodrecht op OY en neemt men daarop 0D gelijk aan den onverkorten afstand van het punt P tot het tafereel, zoo is DB de richting der projecteerendc lijnen, als men zich den driehoek DOB om OB opgericht denkt, totdat hij loodrecht op het tafereel staat. Een en ander zal, na het in de voorgaande paragraaf verklaarde, geen toelichting behoeven. Wat de richting der geprojecteerde as OY betreft, zoo is men gewoon deze zoodanig aan te nemen, dat zij den hoek der assen OX en OZ middendoor deelt. Voor n neemt men veelal 1 , m. a. w. de projecteerei.de lijnen zoodanig, dat zij een hoek van 45° maken met het tafereel. Alle afstanden der punten van eenig in cavalière perspectief gebracht voorwerp tot de coördinaatvlakken — en dns ook de grootten van alle lijnen evenwijdig aan die assen — worden dan onmiddellijk uit de teekening door eenvoudige meting gevonden. Jok gebruikt men n = \ of n=\, waardoor dus alle lijnen, evenwijdig aan 0\, in de perspectiefteekening eene lengte verkrijgen, die gelijk is aan de helft of een derde gedeelte van de werkelijke lengte. Alhoewel men een in perspectief te brengen voorwerp steeds Zoodanig plaatst, dat alle coördinaten positief zijn, zoo kan liet toch, bij het uitvoeren van constructiën, wel voorkómen dat men te doen krijgt met punten welker coördinaten negatief zijn. Hiervan zullen wij in § 405 een voorbeeld krijgen. § 401. Werkstuk. De cavalière perspectief te bepalen van eene tafel, waarop een lessenaar in schuinen stand geplaatst is. (w = i). In Fig. 334 is de tafel voorgesteld door haren plattegrond OA'B'C' n"pM?"r' lengte"d°°rSnede • de lessenaar door hare horizontale projectie ltM'U en een der neergeslagen zijvlakken E'EFF', alles geteekend op de schaal van 1 : 20. De assen OX en OY zijn genomen langs de horizontale projectiën van twee zijkanten van het tafelblad, terwijl de as 0/ in 0 loodrecht staat op het horizontale vlak. /ï"TOoQo?t, Ve/Vaardigen van de sdieeve projectie der lichamen 'g.' 333> lleeft men eerst de perspectief bepaald van de horizontale projectie, en wel door de verschillende afstanden, gemeten lano-s de assen 0X en OY in Fig. 334, onverkort op de overeenkomstige assen van Fig 333 af te zetten. Eene vergelijking van de beide figuren zal voldoende zijn om dit duidelijk te maken, en ook om te doen zien hoe de horizontale projectie van den lessenaar in perspectief is gebracht. Door verder in de verschillende punten van de perspectief der horizontale projectie loodlijnen op te richten — dwz lijnen te trekken evenwijdig aan 0Z - en deze gelijk te maken aan de hoogten der verschillende punten boven het horizontale vlak, wordt na behoorlijke verbinding der eindpunten, de cavalière perspectief icr lichamen gemakkelijk verkregen. Deze hoogten zijn uit Fig. 334 'C„V"',n' wanneer men daarbij nog weet, dat het tafelblad op , boven het horizontale vlak gelegen is. Zoo b.v. zijn de lijnen AA', BB' en CC' gelijk aan «V X 0,75 M. genomen, A met B en B met C vereenigd, en daarna uit A en C hjnen evenwijdig aan BC en BA getrokken. Evenzoo zijn de lijnen >ƒ , G # en F'/-gelijk aan ,V X 0,75 M. gemaakt en is met behulp lier van het grondvlak van den lessenaar in perspectief gebracht. Door verder [V en gG gelijk te nemen aan FF' (Fig. 334) en evenzoo f/D gelijk aan EE' (Fig. 334), wordt de perspectief van het schuine 20 SCHADUWEN IN PERSPECTIVISCHE TEEKENINGEN. § 409. Wanneer men van eenig voorwerp eene goede voorstelling in perspectief wil geven, is het noodig om ook de eigen- en slagschaduwen te bepalen. Hoewel men nu, volgens liet vroeger geleerde, deze schaduwen kan construeeren in de projectieteekeningen van het voorwerp en daarna die schaduwen te gelijk met het voorwerp in perspectief kan brengen, zoo volgt men zelden dezen weg. Bij de gewone perspectief toch hebben wij reeds opgemerkt, dat men de teekcnmg zooveel mogelijk los maakt van de projectieteekening, terwijl wij ook reeds zagen , dat niet altijd eene volledige projectieteekening noodig is. Wij zullen daarom thans aanwijzen, hoe wij de schaduwbepaling rechtstreeks op liet tafereel kunnen uitvoeren, en daarbij aanvankelijk slechts de gewone perspectief beschouwen. Woidt liet voorwerp verlicht door de zon, dan nemen wij aan dat de lichtstralen evenwijdige lijnen zijn (vergelijk § 304). De perspectieven dezer lijnen hebben als vluchtpunt het snijpunt van het tafereel met de lijn, die uit het oog naar de zon getrokken is. Dit vluchtpunt is derhalve de perspectief van de zon en in Fig. 340 door F aangewezen. AA' is eene lijn die in het punt A' loodrecht op het horizontale vlak staat en Aa de lichtstraal van het punt A, die liet horizontale vlak in a snijdt. A'a is dus de richting van de horizontale projectie der lichtstralen; de perspectieven dezer horizontale projectiën hebben een vluchtpunt / in den horizon verticaal beneden F gelegen (§ 347). De stand van de zon en dus ook de richting der lichtstralen wordt bepaald door den hoek 0"0f=

= gegeven hoogte van de zon is, dan is het punt F in die lijn, hetwelk met f in eene loodlijn op den horizon ligt, het vluchtpunt van de perspectieven der lichtstralen. Als in de beide figuren AA' de perspectief is van eene lijn, die in A' loodrecht op het horizontale vlak staat, zoo is de schaduw van die lijn op dit vlak gemakkelijk te bepalen. Immers de lijn Al' zal de perspectief zijn van den lichtstraal van het punt A, terwijl A'f de perspectief voorstelt van de horizontale projectie van dezen lichtstraal; het snijpunt a dezer lijnen is dus de perspectief van het snijpunt van den lichtstraal met het horizontale vlak en derhalve van de schaduw van het punt A op dit vlak. A u is de schaduw van de lijn AA'. Aangezien men bij het in perspectief brengen van punten meestal begint met het bepalen der perspectieven van hunne horizontale projectiën, en anders deze toch gemakkelijk kan vinden, zal het vorenstaande voldoende zijn om reeds de schaduwen te kunnen bepalen, die op het horizontale vlak geworpen worden. Het bepalen van de eigenschaduwen en ook van de slagschaduwen op verschillende vlakken geschiedt volgens de regels, die wij in de hoofdstukken Schaduwen en Gewone perspectief leerden. Wij zullen dit door de volgende werkstukken nog nader toelichten. S -ill. Werkstuk. Eene op hel horizontale vlak staande driezijdige pyratnide werpt schaduw op het horizontale vlak en op een rechthoekig parallelopipedum dat op dit vlak ligt. Bepaal de eigen-en slagschaduwen dezer lichamen. In Fig. 345 stelt TABG de perspectief van de pyramide en GD' de perspectief van liet parallelopipedum voor; F is liet vluchtpunt van de perspectieven der lichtstralen en dus is f het vluchtpunt van de horizontale projectiën dezer lichtstralen. Wij beginnen met het construeeren van de slagschaduw door het parallelopipedum geworpen op het horizontale vlak. Wanneer wij de horizontale projectiën D', I' en G' met f verbinden en de snijpunten dezer verbindingslijnen bepalen met de lijnen DF, 1F en GF, vinden wij de schaduwen d, i en g der hoekpunten D, I en G van het parallelopipedum. De grens der slagschaduw zou dus aangewezen worden door de gebroken lijn D'digG'. Aangezien de punten 1', i en g onttrokken worden aan het gezicht door het parallelopipedum, zoo zijn zij in de figuur niet aangegeven. Bepalen wij het snijpunt t der lijnen Tf en TF en verbinden wij t met 1! en met C, zoo zijn die verbindingslijnen de grenzen van de slagschaduw der pyramide op het horizontale vlak. Van deze schaduw zijn slechts de gedeelten Bacb en lb1ci zichtbaar. Om verder de slagschaduw van de pyramide op het parallelopipedum te vinden, beschouwen wij het vlak door de lijn TT' evenwijdig aan de richting van het licht gebracht. Dit verticale vlak snijdt° het zijvlak TBC der pyramide volgens TK en het zijvlak EGG'E' van het parallelopipedum volgens de verticale lijn LL', die door het snijpunt van Vf met E'G' getrokken kan worden. Verbinden wij nu het snijpunt L van LL' en GE met /', zoo is Lf de perspectief van eene lijn, die zoowel in het schaduwvlak van TT' als in het bovenvlak van het parallelopipedum gelegen is. Trekken wij derhalve door het snijpunt K, van IK en /L eene lijn MN, welker vluchtpunt met dat \an BC in den horizon samenvalt, zoo is MN de perspectief van de doorsnede van het verlengde bovenvlak EDIG met het zijvlak TBC der pyramide. Door eindelijk het snijpunt tt, van Lf en TF met M en N te verbinden, vinden wij de grenzen der slagschaduw van de pyramide op het verlengde bovenvlak van het parallelopipedum; van deze schaduw valt slechts het gedeelte mmtntn op het lichaam. Wij hebben nu nog de lijnen bm en cn te trekken, welke de schaduw op het zijvlak EGG'E' begrenzen. De eigenscliaduwen van de lichamen wörden gevormd door de zijvlakken TBC, IGG'1', IDDT en de grondvlakken; deze zijn echter allen onzichtbaar. § 412. Werkstuk. Op een rechthoekig parallelopipedum, dat op het horizontale vlak ligt, staat eene afgeknotte regelmatige vierzijdige pyramide en hierop weder een rechte cirkelvormige cylinder, die gedekt wordt door een rechten cirkelvormigen kegel. De assen der lichamen vallen samen. Men vraagt de schaduwen te construeeren, indien een gedeelte der slagschaduwen wordt opgevangen door een gegeven hellend vlak. In Fig. 347 zijn de lichamen in perspectief voorgesteld, terwijl als hellend vlak is gekozen een der schuine zijvlakken 1KML van een driezijdig prisma, dat ook in perspectief is aangegeven. F is het vluchtpunt van de perspectieven der lichtstralen, f dat van de horizontale projectiën. De schaduwen A'a en ab van de ribben AA en AB van het parallelopipedum en de schaduw cd van de bovenribbe CD der pyramide zijn op overeenkomstige wijze bepaald als in het voorgaande werkstuk. Daar de opstaande ribbe CE der pyramide juist in A het grondvlak zou ontmoeten, is A'c de schaduw der ribbe A C. liet snijpunt u van ab en A'c is nu het punt, waarin zoowel het punt U der ribbe AB als het punt V der ribbe CE hunne schaduwen op het horizontale vlak werpen. EU is derhalve de schaduw van het gedeelte EV der ribbe EC op het bovenvlak van het parallelopipedum, uc is de schaduw van het deel YG der ribbe EG op het horizontale vlak. De schaduwen van de overige schaduw werpende ribben van het parallelopipedum en van de pyramide zijn onzichtbaar of vallen geheel binnen die van den cylinder, welke op de pyramide is geplaatst, en zijn daarom in de figuur niet aangegeven. De schaduwwerpende beschrijvende lijnen van den cylinder HG en QP worden gevonden door middel van de raakpunten G en 1' der lijnen fo' en fo, welke door /', rakende aan de perspectief van de horizontale projectie des cylinders, zijn getrokken. Deze ïaaklijiicn zijn te beschouwen als de horizontale doorgangen van raakvlakken aan den cylinder evenwijdig aan de richting van liet licht gebracht; de gedeelten no' en mo dezer lijnen zijn de zichtbare grenzen van de schaduw door den cylinder op het horizontale vlak geworpen. Van af o en o' valt nu verder de schaduw van cylinder en kegel op het hellende vlak 1KML. Om deze schaduwen te voltooien, moeten wij in de eerste plaats de schaduwwerpende besclirijvende lijnen van den kegel bepalen. Hiertoe zoeken wij het snijpunt van den lichtstraal door 1 met het, grondvlak van den kegel, d. i. liet bovenvlak van den cylinder, om daarna uit dit snijpunt raaklijnen te kunnen trekken aan het grondvlak van den kegel. Wij volgen hiertoe den in § 387 aangegeven weg. Nemen wij aan, dat de grondlijn langs A'B' valt, zoo is SS' de snijlijn van het tafereel met het verlengde grondvlak des kegels, terwijl fO"D de vluchtlijn is van het vlak. Van den lichtstraal, die door T gaat, is s het snijpunt met het tafereel. Om nu het snijpunt der lijn met, het vlak te bepalen, brengen wij door de lijn Fs een vlak, en wel gemakshalve een verticaal vlak, dat dus 'het tafereel volgens qs snijdt en fF tot vluchtlijn heeft. Dit vlak snijdt het grondvlak des kegels volgens de lijn fq en derhalve is «, waarin Fs en fq elkander snijden, de perspectief van het punt, waaruit raaklijnen aan den omtrek van het grondvlak des kegels moeten worden getrokken. De perspectieven dezer raaklijnen zijn de raaklijnen, uit « aan de elliptische perspectief van het grondvlak getrokken; door de raakpunten (3 en y met T te verbinden, verkrijgen wij de perspectieven der schaduwwerpende beschrijvende lijnen van den kegel. Het behoeft geen betoog, dat wij ook door het neerslaan van het grondvlak des kegels — met het daarin gelegen punt a — in het tafereel, de constructie hadden kunnen verrichten en wel nauwkeuriger als hier is geschied. Wij hebben dien weg niet gevolgd wegens gebrek aan plaatsruimte in de teekening. Ten einde de schaduwen van cylinder en kegel op het prisma te bepalen, trekken wij eene lijn fR — gaande door T' — als horizontale doorgang van het vlak, dat door TT' gaat en evenwijdig is aan de richting van het licht. Dit vlak snijdt het verticale vlak L'LMM' volgens de lijn YY' en dus het vlak ILMK volgens de lijn RY. liet snijpunt t van den lichtstraal FT met RY is derhalve de schaduw van den top 1 op liet hellende vlak. Op overeenkomstige wijze zijn ook op het hellende vlak de schaduwen g, p, 0 en y van de punten lï, F, (i en y gelegen op het grondvlak van den kegel — bepaald. De kromlijnige schaduwgrenzen tusschen de punten p en y en tusschen g en P zijn, door het aannemen van enkele tusschengelegen punten, voldoende nauwkeurig te vinden. De geheele schaduw van cylinder en kegel op liet vlak ILMK is nu opytfao'. Merken wij op, dat liet punt n zoowel de schaduw is van het punt N der ribbe GD als van het punt W der beschrijvende lijn I1G zoo blijkt dat IIN de schaduw is door het deel HW dezer beschrijvende lijn op het bovenvlak der pyramide geworpen, terwijl het deel WG dan verder schaduw werpt op het horizontale grondvlak en op het hellende vlak. De lijn ftlN zal in II raken aan het grondvlak 'des cylinders; de tweede raaklijn fQz geeft de tweede grens aan der slagschaduw van den cylinder op het bovenvlak der pyramide. In de figuur zijn nog de eigenschaduwen der lichamen, voor zoover zij zichtbaar zijn, aangegeven. De slagschaduw van het prisma op het horizontale vlak is niet geteekend, omdat de daarvoor noodige constructielijnen buiten de grenzen der teekening vallen. 8 413. Wij zullen thans enkele voorbeelden geven van het bepalen dei- schaduwen in axonometrische en in cavalière perspectiefteekeningen. Zoo zijn in Fig. 348 de schaduwen geteekend van de balken, die reeds in § 381 in axonometrische perspectief zijn gebracht. De richting van het licht is gegeven door de perspectieven L' en L" van de projectiën dezer richting op het X\ en op het XZ vlak, waardoor dus ook de axonometrische perspectief L van de lichtrichting zelve bekend is. De schaduw van het punt 11 op het horizontale vlak is gevonden door het trekken van lijnen uit 1 en 11, respectievelijk evenwijdig aan L' en L; het snijpunt S dier lijnen is dan de verlangde schaduw. Door dit punt met r te verbinden, wordt de schaduw der ribbe llr op het horizontale vlak gevonden; de schaduw van die ribbe op het bovenvlak loopt evenwijdig aan de schaduw op het horizontale vlak en is derhalve ook onmiddellijk aan te wijzen. De constructie der overige schaduwgrenzen zal uit de figuur duidelijk kunnen gevolgd worden en geen verdere toelichting behoeven. In de figuren 314 en 315 zijn nog de schaduwen geconstrueerd van een cylinder en vaneen kegel, die in axonometrische perspectief zijn voorgesteld, de eerste bij zonlicht, de tweede bij kaarslicht. In Fig. 314 is de richting van het licht gegeven door de perspectieven L en L' van een lichtstraal en van zijne projectie op het XY vlak. Na het neerslaan van het laatste vlak in het tafereel is sm de richting van de horizontale projectiën der lichtstralen. Trekken wij evenwijdig aan sm raaklijnen aan het grondvlak, zoo vinden wij de projectiën r der schaduwwerpende beschrijvende lijnen, welker perspectieven daardoor ook bekend worden. Verder zijn de schaduwen — op het verticale vlak ZOX — dezer beschrijvende lijnen en ook die der loodrecht op elkander staande middellijnen RR en PP bepaald; de schaduwen van deze middellijnen zijn dan twee toegevoegde middellijnen van de elliptische schaduw van het bovenvlak des cylinders. Het aangeven van de eigen- en slagschaduw is verder uit de figuur duidelijk. In Fig. 315 stelt (L, L') de perspectief voor van een in het derde vlak geplaatste lichtbron. De lichtstraal door den top T treft het horizontale vlak 111 s', welk punt, na het neerslaan van dit vlak in het tafereel, in s komt. De raaklijnen, uit dit punt aan den cirkel m getrokken, doen ons de schaduwwerpende beschrijvende lijnen des kegels kennen, welker perspectieven op de bekende wijze worden geconstrueerd. De eigen- en slagschaduwen zijn daardoor bepaald zooals in de figuur is aangegeven. S 414. In Fig. 34G zijn de schaduwen geteekend van de tafel met den daarop geplaatsten lessenaar, die in § 401 in cavalière perspectief werd gebracht. De richting van het licht is bepaald door de cavalière perspectief van de projectiën van het licht op de XY en XZ vlakken. Het construeeren van de schaduw van eenig punt, b. v. van het punt B van het tafelblad, geschiedt door het trekken van lijnen uit ! en B evenwijdig aan L' en L; het snijpunt b is dan de schaduw van het bedoelde punt op het horizontale vlak. Op dezelfde wijze is de schaduw bt geconstrueerd van het verticaal onder B gelegen punt, zoodat dus btb de schaduw is van de verticale ribbe B van het tafelblad; door verder uit b de lijn ba gelijk en evenwijdig aan BA en uit b, de lijn i,c, gelijk en evenwijdig aan BG te trekken en daarna uit c' en a lijnen evenwijdig aan YO en OX te teekenen wordt de schaduw van het tafelblad voltooid. Wij merken hierbij op, dat uit de teekening blijkt, dat de bovenranden AB en AD, de onderranden BC en CD en de ribben B en D van het tafelblad de schaduwwerpende ribben zijn. Het construeeren van de schaduwen der pooten en van de schaduw van den lessenaar op het blad van de tafel en op het horizontale v ak zal geen toelichting behoeven. Alleen zij hier opgemerkt, dat het XZ vlak doorzichtig beschouwd is en het horizontale vlak daarbij verlengd is gedacht. Tot het aanwijzen van de schaduw, door het tafelblad op de pooten geworpen, is het snijpunt S geconstrueerd van den lichtstraal uit het laagste punt C getrokken met het voorvlak van de linkerpoot (de poot bij C); eene lijn, uit S evenwijdig aan OX getrokken, wijst dan de grens der schaduw op de poot bij B aan. Wij hadden deze schaduw ook onafhankelijk van S kunnen vinden, door op te merken, dat l zoowel de schaduw is van het punt T der poot als van het punt K van het tafelblad; door dus uit t eene lijn evenwijdig aan L te trekken, vinden wij T op de schaduwwerpende ribbe van de poot. De lijn, door T evenwijdig aan BG getrokken, is dan de grens der slagschaduw. Om de schaduwgrens op de poot bij G te voltooien, merken wij op, dat het snijpunt q de schaduw is van het punt Q van den onderrand van het tafelblad; door verder uit R' eene lijn evenwijdig aan L' te trekken blijkt verder, dat p de schaduw is zoowel van het punt P van den onderrand als van het punt R der poot. Van den onderrand zal dus het gedeelte QP schaduw werpen op het zijvlak van de poot dat evenwijdig loopt aan CD, terwijl het gedeelte PC schaduw zal werpen op het voorvlak, welke schaduw dus verkregen wordt door R te verbinden met het reeds vroeger gevonden punt S. Aangezien de schaduw geworpen op het horizontale vlak door den regel, die onder het tafelblad is aangebracht, geheel binnen de schaduw van dit blad valt, ligt deze regel geheel in de schaduw. § 415. Bij het vervaardigen eener perspectievische teekening kan het voorkomen, dat men daarop ook moet aangeven het beeld door een voorwerp op een spiegelend oppervlak geworpen. Gewoonlijk is dit oppervlak het horizontale watervlak. Het spiegelbeeld is dan zeer eenvoudig te construeeren, zooals b. v. voor de gewone perspectief uit Fig. 342 is te zien. Zij O het oog, V het tafereel en II het horizontale spiegelend vlak. Zij verder A een boven dit vlak gelegen punt, dan zal een lichtstraal AG zoodanig in C worden teruggekaatst naar O, dat de hoeken ACB en OCD even groot zijn, terwijl AC en OC in één verticaal vlak liggen met AB. Verlengen wij nu OC tot in A', dan volgt uit de gelijk- en gelijkvormigheid van de driehoeken ABC en A'BC, dat A'B = AB. De teruggekaatste lichtstraal heeft dus eene zoodanige richting, dat zij schijnt te komen van het punt A, dat even ver onder II ligt als A er boven is. De perspectief a, van A, ligt dus ook even ver onder de perspectief b van het voetpunt B als a er boven ligt en is dus onmiddellijk op het tafereel te construeeren als a en b bekend zijn. Het construeeren van spiegelbeelden, ook al is liet spiegelend oppervlak niet horizontaal, kan na het hiervoren opgemerkte geen moeilijkheden opleveren en wij zullen daarom hiervan geen voorbeelden geven in de verschillende soorten van perspectief. OEFENINGEN. 284 Eene vierkante kist zonder deksel is met een der zijvlakken en de «3™° ^ Teeken de 6ewone, de axonometrische en de eavaliore perspectieven van het lichaam met de schaduwen die geworpen worden in de opening en op het horizontale vlak ' - •>■ Eene afgeknotte regelmatige zeszijdige pyramide die met tar grootste grondvlak op h.H,o„ta,o vl.k Z, wordt „verd!k verlengden 'ST/? "A * * « '» r-° ' en de gewone, de axonometrische en de cavahere perspectieven der lichamen, benevens de schaduwen bij willekeurig gegeven lichtrichting. van'8 bot Ere ,re.ge'mati-e vierzijdige pyramide rust met eene ribbe hoHzoIle® xtvhk eVe7ijd;g ^ 38 Pr°Jectie' °P >-t vhk Teeken 1 ,C met den toP tegen het verticale (XZ) . leeken de gewone, de axonometrische en de cavalière persnec- SoZg1'6' llcl"1am - *sc"*™ '•» *££ holte' ,™°temende Ir"* ,a" is Joor ™ m. Men vroyt'LwRt'Zl^'X™^ "" " ** J. Ue schaduwen te construeeren bij gegeven lichtrichting in de teekening bedoeld in 280. Iltlng> doe2ki°;n %TVe SCh1UWen in de PersPec',ievische teekening, been hoogte"(PL lSO^isoo) Va" dC Z°n SCgeVen is d0°r azimuth vlafen C*linder staat °P ^ horizontale draagt een rechten cirkelvormige,! kegel, zóó geplaatst dat de assen samenvallen. Teeken de gewone en de axonometrische perspectieven dezer lichamen, benevens de schaduwen: a als de straal van het grondvlak des kegels kleiner ,s dan de straal van den cylinder, en de schaduw ook gedeeltelijk op een gegeven verticaal vlak valt; . • j a* b als de straal van het grondvlak des kegels grooter is dan de straal van den cylinder, en dit laatste lichaam niet geheel de schaduw valt. 292. Bepaal de eigen- en slagschaduwen op de coordinaatvlakken in 2G4, als de lichtstralen evenwijdig zijn aan de lijn die het mi - delpunt van het grondvlak des kegels verbindt met den oorsprong ^293°°'Bepaal de eigen- en slagschaduw op het horizontale vlak van het"lichaam in 263 bedoeld, wanneer het afgesneden deel weggenomen is. De lichtstralen maken een hoek van 45° met het horizontale vlak en in horizontale projectie een hoek van 4a° met de X as. 294. Bepaal de eigen- en slagschaduwen van de lichamen .bedoeld in 202, wanneer de lichtbron in het derde va' gep>as en wel zoodanig, dat de top van den kegel schaduw werpt op het verticale vlak, terwijl de schaduw van den kubus geheel op horizontale vlak valt. werkstukken tot oefening. punt"''de 'ZT. ,C,rke'-Ziin gegeVen de Pr°jectiën van het middel- el ie hetvakvl 1 ^ ^ wi,Iekeurig P™t en de hoeken, kLÏi / * Cirkel met de beide projectievlakken maakt Bepaal de projectien van dien cirkel. 127. Men vraagt door de beide punten (10, 5, 7) en (12 1 SI z+züztr-- - - 128 °p een gegeven bol de punten te bepalen, die op gelijke hellend^IalT: ^ ^ ^ h°ri'ZOntale en va" <*n gegeven a. waarin de raaklijn evenwijdig is aan het verticale vlak; vlak ° of van gegeVe" afSta,"d Verwijderd ZÜn van een gegeven i 29 Een hnM f**™ llJ" °f Va" een gegeve" P™t ! ten bol te constrneeren, welks oppervlak door drie ge-even punten gaat en die raakt aan: fee0even a. een gegeven vlak; b. een gegeven bol. 130. Met een gegeven straal een bol te beschrijven, welks onnerv door twee gegeven punten gaat en die raakt aan PP a. een gegeven vlak; b. een gegeven bol. gegeven kTd7 *7' ™k (° brengcn aa" ee" geceven bol, dat een gegeven hoek maakt met: a. het horizontale of het verticale vlak; b. de as van projectie. wiiderd ziin v!^" * COnstrueeren • die °P gegeven afstanden verijdel d zijn van twee gegeven punten en: ii. evenwijdig zijn aan eene gegeven lijn; • een gegeven hoek maken met een willekeurig gegeven vlak. 133 Ge-even een bol, een vlak dat dien bol volgens een kleinen cirkel snijdt en eene rechte lijn. Construeer het vlak door deze lijn, dat den bol snijdt volgens een cirkel, die den eerstgenoemden arkeljaaktgeven ^ y cn W en een punt P Bepaal in W de punten, die op gegeven gelijke afstanden van V en verwiiderd zijn. 135 In een gegeven vlak de lijnen te construeeren, die. a. óp gegeven afstanden verwijderd zijn van twee gegeven punten die buiten het vlak zijn gelegen; b op een gegeven afstand verwijderd zijn van een buiten het vlak gelegen punt en tevens evenwijdig zijn aan een tweede gegeven vlak. . ,. 136 Met een gegeven straal een cirkel te beschrijven, die eene gegeven gewone schroeflijn in een gegeven punt raakt en ,n het tangentiale vlak gelegen is. , , , 137. Een scheeve cirkelvormige kegel staat met zijn grom . op het horizontale vlak. Construeer de projectiën van dien kegel, wanneer hij om eene raaklijn aan het grondvlak die loodrecht op de as van projectie staat, gewenteld wordt, totdat de top in het horizontale vlak is gekomen. _ . , 138. Een gegeven scheeve cirkelvormige cylinder staat op liet horizontale vlak. Bepaal de projectie van dien cylinder op een gegeven hellend vlak. . 139. Ge-even de projectiën van twee evenwi|dige lijnen. Bepaal den rechten cirkelvormigen cylinder, waarvan de straal gegeven is en die beide gegeven lijnen tot beschrijvende l.jnen heeft 140 Gegeven eene rechte lijn AB en dnc punten P Q en R. Men brengt vlakken door AB en P en door AB en Q. Construeer het recht cirkelvormig cylindervlak, dat beide vlakken raakt en dooi 141. Men vraagt de projectiën te construeeren van den rechten cirkelvormigen kegel, die bepaald is door: a. de projectiën van twee beschrijvende lijnen en de grootte van den tophoek. b. de proiectiën van drie beschrijvende lijnen, waarvan de eerste twee in het horizontale vlak zijn gelegen en de derde evenwijdig loopt aan het verticale vlak. 142 Van een rechten cirkelvormigen cylinder (kegel), welks hoogte gegeven is, ligt het grondvlak in een gegeven hellend vlak zóó dat het de drie projectievlakken raakt. Men vraagt: tiekt uit D de raaklijnen DE en DF aan het grondvlak, om eindelijk door die raaklijnen twee vlakken te brengen die tevens door C gaan. Bepaal de projectiën van het lichaam dat gemeen is aan den kegel en het viervlak begrensd door het horizontale vlak en de drie aangebrachte vlakken. 191. Van drie lijnen staat de eerste in het punt (16, 8, 0) loodrecht op het horizontale vlak, de tweede ligt in dit vlak en gaat door de punten (0, 8, 0) en (16, 0, 0), de derde ligt in het verticale vlak en gaat door de punten (16, 0, 8) en (20, 0, 0). Construeer de punten die van elk dezer lijnen op een afstand 6 verwijderd zijn. 192. Gegeven de projectiën van een cirkel C, gelegen in een vlak evenwijdig aan het horizontale projectievlak, en een punt T in de as van projectie. Construeer de projectiën der doorsnede van een kegelvlak, dat T tot top en C tot richtlijn heeft, met een bol, die door den cirkelomtrek C gaat en het horizontale vlak raakt. 193. In het horizontale vlak zijn twee punten A en B gegeven, bepaal een derde punt C in het verticale vlak zoodanig, dat de lijnen CA en CB gegeven gelijke hoeken maken met het horizontale vlak. 194. Een rechte cirkelvormige cylinder ligt met eene beschrijvende lijn op het horizontale vlak, loodrecht op het verticale. Een rechte cirkelvormige kegel ligt eveneens inet eene beschrijvende lijn op het horizontale vlak, de as evenwijdig aan liet verticale vlak. Construeer de doorsnede en eene raaklijn in een willekeurig punt. Alle beschrijvende lijnen van den kegel snijden den cylinder. 195. De doorsnede te bepalen van een scheef cirkelvormig cylindervlak, welks cirkelvormige richtlijn in het horizontale vlak ligt, met een recht cirkelvormig kegelvlak, welks as verticaal staat. Het cylindervlak snijdt de beide bladen van het kegelvlak. Construeer de raaklijn in een willekeurig punt der doorsnede, gelegen op het bovenste blad van het kegelvlak. 196. De doorsnede te bepalen van het oppervlak vaneen gegeven scheeven cirkelvormigen kegel, die op het horizontale vlak staat, met een recht cirkelvormig kegelvlak, welks as verticaal is. De beschrijvende lijnen van den scheeven kegel snijden de beide bladen van het andere kegelvlak. Construeer de raaklijn in een willekeurig punt der doorsnede, gelegen op het bovenste kegelblad. 1.^7. Een rechthoek ABLD', met het punt B' in de as gelegen zoodanig, dat A'B' een hoek van 30° met die as maakt, stelt de horizontale projectie voor van een op het horizontale vlak liggenden cylinder. Van dien cylinder is A'B' = 8 eM. de hoogte, terwijl B'C' = 4 cM. de middellijn van het grondvlak is. Indien A'B' tevens de projectie voorstelt eener horizontale middellijn van het grondvlak en het midden van CD' de top is van een op het horizontale vlak liggenden rechten cirkelvormigen kegel, vraagt men de doorsnede dezer beide lichamen te bepalen. 108. De doorsnede te bepalen van een rechten cirkelvormigen keel, die op het horizontale vlak staat met een bol, welks middelpunt gelegen is in eene beschrijvende lijn van den kegel evenwijdig aan het verticale vlak. Gegeven van den kegel: hoogte = 12 cM., straal grondvlak = 4 cM.; van den bol: straal = 4 cM. en dat hij het horizontale vlak raakt. 199. Construeer een punt P van de doorsnede van een recht cirkelvormig kegelvlak en een bol benevens de raaklijn in dit punt. Ontwikkel daarna het kegelvlak en wijs het punt P aan van de ontwikkelde doorsnede, benevens de raaklijn. Halve tophoek des kegels 30°. Het middelpunt van den bol ligt op eene beschrijvende lijn des kegels die evenwijdig is aan het verticale projectievlak (P.S. Examen B. 1877.) 200. In een vlak, evenwijdig aan het verticale vlak, zijn gegeven: een cirkel en twee rechte lijnen a en b, die resp. hoeken van 00° en 45° maken met het horizontale vlak. Door wenteling van den cirkel zoowel om a, als om b ontstaan twee ringoppervlakken. Bepaal een punt van de doorsnede dezer oppervlakken en de raaklijn in dat punt. (P.S. Examen B. 1895.) 201. De doorsnede te construeeren van een cirkelvormigen ring met een rechten cirkelvormigen cylinder, die een der meridianen van den ring tot rechte doorsnede heeft. Raaklijn aan de doorsnede. 202. Een cirkelvormige ring met verticale as rust op het horizontale projectievlak en wordt gesneden door een rechten cirkelvormigen kegel. Deze kegel ligt met eene beschrijvende lijn op het horizontale vlak, met zijn top in het meest naar links gekeerde punt van den cirkel volgens welken de ring op het horizontale vlak rust, terwijl de as van den kegel door het middelpunt van den ring gaat. Bepaal een willekeurig punt van de doorsnede der oppervlakken en eene raaklijn in dat punt. (P.S. Examen B. 1889.) 203. Eene gewone wig van Wallis staat met haren rug op het horizontale vlak, terwijl de scherpe kant loodrecht op (evenwijdig aan) het verticale vlak is. Bepaal de doorsnede, en eene raaklijn in een willekeurig punt dier doorsnede, van het oppervlak met: a. een bol, welks middelpunt in een der uiteinden van den scherpen kant ligt, en die het horizontale vlak raakt.; b. een recht cirkelvormig cylindervlak, welks' as evenwijdig is aan den scherpen kant. i f04' (!r f" recht cirkelvormig kegelvlak is de top gelegen in het punt (o, 4, 5) en is de richtlijn een cirkel uit het punt (5 4 0) met een straal = 3 in het horizontale vlak beschreven De lijn, die den top verbindt met het punt (11, 4 0) is de as eener omwentehngshyperboloïde met één blad, waarvan de as van project,e eene beschrijvende lijn is. Bepaal een willekeurig punt van de doorsnede van beide oppervlakken en de raaklijn in dat punt. 205 Van eene omwentelingshyperboloïde met één blad staat de 7 i" ap PUnt i10' 7' 0) loodrecht °P het horizontale vlak en is de lijn AB eene beschrijvende lijn. A (3, 9, 0), B (10 9 7) Van eene conoide zijn de cirkel, in het verticale vlak uit 'het' punt 7,0 4) met 3 cM. straal beschreven, en de lijn AB de richtlijnen terwijl het horizontale vlak het richtvlak is. Bepaal een punt van' tpl'Zl a opper"akken en eene »»"'• <1«27 rCCli| ,dl;kel™™« 'egelvl.k met verticale «s ligt de top 7 cM. boven het horizontale en 8 cM. vóór het verticale projechevlak, terwijl de straal van den in het horizontale vlak gelegen nchtcirke 5 cM bedraagt. Eene paraboloïde, die het horizontale vlak tot richtvlak bezit, heeft als richtlijnen: 1». eene lijn, door het mide punt van den cirkel, die evenwijdig is aan het verticale vlak en een hoek van 45° maakt met het horizontale vlak en 2°. eene lijn in het vertole vlak loodrecht op de as van projectie op een afstand rJLi WS .Va" de V6rticale Pr°Jectie va" den kegeltop. Bepaal een willekeurig punt van de doorsnede der beide oppervlakken en eene raaklijn in dit punt. Tevens vraagt men een'der asymptoten van de doorsnede te vinden. (P.S. Examen D. 1893) 1 ? reCht clrkelvormig kegelvlak met verticale as ligt de top 10 cM. boven het horizontale en 8 cM. vóór het verticale project,evlak, terwijl de straal van den in het horizontale vlak gelegen richten kei 7 cM. is. Eene hyperboloïde heeft tot beschrijvende lijnen • 1 . de as van projectie, 2°. de vertisale lijn getrokken door het punt van den r.chtc.rkel van het kegelvlak, dat den grootsten afstand tot de as van projectie heeft en 3". eene beschrijvende lijn van het eg ' «e'ker horizontale projectie een hoek van 45° met de as van projectie maakt. (Deze lijn ligt op de voorste helft van liet onderste kegelblad). Men vraagt een punt der doorsnede van deze beide oppervlakken en de raaklijn aan de doorsnede in dat punt te bepalen. (P.S. Examen B. 1887.) 208. Drie op het horizontale vlak staande gelijk en gelijkvormige pyramiden dragen eene plaat, die de gedaante heeft van een regelmatig zeszijdig prisma. De middelpunten A, B en C van de grondvlakken der pyramiden vormen de hoekpunten van een gelijkzijdigen driehoek, beschreven in een cirkel met M tot middelpunt, terwijl van elk dier grondvlakken een hoekpunt respectievelijk op de stralen MA.MBen MC gelegen is. De horizontale projectie van het middelpunt van de plaat valt in M en die van een der hoekpunten in D, gelegen op het verlengde van MA, in de ribbe van het grondvlak der pyramide A. Construeer de schaduwen dezer lichamen bij zonlicht. Gegevens: A (6, 2, 0), M (6, 6 , 0), ribbe van het grondvlak eener pyramide = 2 , hoogte = 6; dikte der plaat = 2. 209. Op het bovenvlak van een rechthoekig parallelopipedum, dat op liet horizontale vlak rust, staat eene vierzijdige pyramide, waarvan het grondvlak kleiner is dan het genoemde bovenvlak. Op beide lichamen wordt schaduw geworpen door eene driezijdige pyramide , die op het horizontale vlak is geplaatst. Construeer de schaduwen bij zonlicht. Het licht zoodanig aan te nemen, dat de vierzijdige pyramide niet geheel in de schaduw valt. 210. In een bak, die de gedaante heeft van de onderste helft van een regelmatig twaalfvlak, staat eene regelmatige vijfzijdige pyramide, waarvan het grondvlak samenvalt met dat van het twaalfvlak, en welker opstaande ribben dubbel zoo lang zijn als die van het grondvlak. Men vraagt de schaduwen dezer lichamen te construeeren bij zonlicht. 211. Een gegeven cirkel, die evenwijdig is aan het verticale vink en het horizontale in een punt raakt, werpt schaduw op dit vlak en op een gegeven hellend vlak. Men vraagt deze schaduwen te construeeren bij zonlicht. 212. Een cirkel raakt aan de doorgangen van zijn vlak met de drie projectievlakken. Bepaal de schaduwen bij zonlicht op deze drie vlakken, indien nog gegeven is dat de schaduw van het middelpunt in het snijpunt der projectievlakken valt. 213. Een holle halve cyliuder ligt met een zijner beschrijvende lijnen op het horizontale vlak en wordt aan beide einden begrensd door een hollen kwartbol van gelijken straal als dien van den Ponst '' TVlJ ,°°Ik de Stralen der "''hollingen even groot zijn "p"" — gfgzzsi. z ~ ( ij e 4 cM ) op het horizontale vlak staat. Het middelpunt van s«sf*""* ™hct vraagt men de schaduwen te bepalen: P™ject.e maken, a. hjj zonlicht, onder 45° evenwijdig aan het verticale vlak- ' 30 CM" ('O"cMderl'kl'",rM11' seplsi,t!' op *'" vcrtick Z H, 'h ,7 "1 liCh,"n 0,1 M ™ («vlaktn ' S°",dUW °"rpt "" de b'M« «iin '»!-»nd™,kWon Zt'\" d'k*0™«e «J1""1™ de ceno met cirkl,o™LtaS™"?1" VM M •* !ij" Sron.als de kubus schaduw werpt op den kegel.' middeUiin ffll k ' !l 0!erdekt door ee» halven bol waarvan de «Me »„k eo m,akt een ^ ^£„1 JdkEe; tfris\,:r=i8e t r„ ■* gedeeltelijk in deTchld^uv Z17™ ^ r°nde °PPCrVlak Sl<3ChtS 22 219. Uit den top van een rechten cirkelvormigen kegel, die met zijn grondvlak op liet horizontale vlak staat, als middelpunt, is een bol beschreven, welks straal gelijk is aan de helft van de hoogte des kegels. Construeer de schaduwen bij zonlicht. 220. Een cirkelvormige ring ligt op het horizontale -slak. Construeer de schaduwen bij kaarslicht; de lichtbron ligt in het hoofdmeridiaanvlak op eene hoogte gelijk aan driemaal de hoogte van den rin" boven het hoogste punt van een der hoofdmeridianen. 221. In de nis, voorgesteld in Fig. 257, is een rechthoekig parallelopipedum zoodanig geplaatst, dat eene ribbe van zijn vierkant grondvlak langs A'B' valt en het middelpunt van dit vlak in C M komt. Midden op dit parallelopipedum staat een rechte cirkelvormige cylinder, overdekt door een halven bol van gelijken straal, welks middelpunt valt in het uiteinde der as van den cylinder. Construeer bii zonlicht de schaduw van dit lichaam geworpen binnen de nis. Gegevens: ribbe van het grondvlak = |CM' en hoogte van het parallelopipedum = 1 C'M'; middellijn van den cylinder = *C'M' en hoogte = $ AA". -ii 222. Een op het horizontale vlak liggende cylinder projecteert zich op het horizontale vlak als een rechthoek ABCD. A ligt in de as van projectie, AB is de projectie eener beschrijvende lijn. AB is 15 cM lang en maakt met de as van projectie een hoek van 4o . AD = 6 cM. Uit B wordt BE loodrecht op de as van projectie getrokken ; op BE ligt, tusschen B en E, liet middelpunt M van een cirkel met ME als straal beschreven. (ME = 4-1 cM.) De cirkel is liet grondvlak van een op het horizontale vlak staanden rechtcirkelvormigen kegel, die 20 cM. hoog is. De richting der lichtstralen is evenwijdig aan het verticale vlak, de lichtstraal uit den top des kegels snijdt het oppervlak van den cylinder in de meest van het horizontale vlak verwijderde beschrijvende lijn. Construeer de eigen- en slagschaduwen. (P.S. Examen D. 1897.) 223. Op het horizontale vlak staat een cylinder (r 4 clu., A = l'cM.); zijn bovenvlak is tevens liet grondvlak vim een even hooien kegel. Deze lichamen worden uit een punt L van het verticale vlak verlicht. Bepaal: 1°. hun eigen schaduw; 2°. hun slagschaduw op het horizontale vlak; 3°. de horizontale projectie van hun slagschaduw op een vlak P, dat loodrecht staat op het verticale vlak en een hoek van 00° maakt met het horizontale vlak. Afstand dei hoogtelijn tot het verticale vlak = 8 cM.; afstand van L tot verticale projectie der hoogtelijn = 8 cM.; hoogte van L boven het horizontale vlak — 20 cM.; afstand van den horizontalen doorgang van P tot middelpunt grondvlak = 5 cM. (P.S. Examen B. 1895.) I n if4 "r6" »T/!ak P' loodrucllt °P het verticale en onder een va" 'mt het horizontale vlak. Loodrecht op P staat de as a van een omwentelingsellipsoïde, die uit een punt L wordt verlicht -opaal 1 . de punten der eigenschaduw, gelegen in een vlak ft lood.echt op a; 2. de horizontale projectie van de punten der slagschaduw op P, die afgeleid worden uit de onder 1». genoemde punten. Afstand van « tot het verticale vlak = 6 cM.; snijpunt van a met P Len P°-l \ !lmta[GA Vlak; afstand middelpunt der ellipsoïde Doven _ 7,5 cM ; assen der meridiaanellips 7 en 12 cM • grootste-is S * ï '?*"•*?,?•J «"•vlak, amÏÏZ het honzontale vlak); ft l,gt 10 cM. boven P. (P.S. Examen B. 1895.) . en ie e matig zeszijdig prisma staat op het horizontale vlak met een der ribben van het grondvlak evenwijdig aan de as van p.ojectie en wordt om deze ribbe gewenteld, tot het tegen het tafereel steunt. Construeer de perspectief van het lichaam in dezen stand en de schaduw in de perspectivische teekening, indien de stand der zon gegeven is door

tenvijl de Straal van het wen l , ;' h00« e = 2 cM is- De eigen- en slagschaduvl k t^°"StrUeeren' aJs de lichtstralen evenwijdig zijn aan het vlak \0Z en een hoek van 45° maken met het vlak XOZ {P.S. Examen B. 1885.) 239. Een regelmatig acht-, twaalf- of twintigvlak ligt met een zijner zyvlakken op het horizontale vlak en werpt schaduw op dit schaduw FUeer CaVahóre PersPectief van het lichaam met zijne -40. De in Fig 118, (§ 138) bedoelde lichamen in perspectief te jrengen en daarna de schaduwen te construeeren, indien de stand van de zon gegeven is door

1 aangegeven. 242. Construeer de axonometrische perspectief (stelsel 2, 1, 2) van de lichamen, in Fig. 250 door hunne projectiën gegeven, en de schaduw in de perspectievische teekening, indien de richting van het licht dezelfde is als in genoemde figuur. 243. Een rechte cirkelvormige cylinder staat op het horizontale vlak en een regelmatig zeszijdig prisma steunt in hellenden stand tegen het ronde oppervlak van dien cylinder. Bepaal: a. de perspectieven dezer lichamen; b. de schaduwen, als het prisma schaduw werpt op den cylinder; c. de schaduwen , als de cylinder schaduw werpt op het prisma. 244. Zes bollen van gelijken straal zijn geregen aan een koord, welks einden aan elkander bevestigd zijn, en daarna gelegd overeen gegeven rechten cirkelvormigen kegel, die met zijn grondvlak op het horizontale vlak staat De bollen, welks middelpunten nu in één horizontaal vlak liggen, raken elkander twee aan twee en tevens het kegelvak. Men vraagt de lichamen in axonometrische perspectief te brengen, wanneer men het horizontale vlak tot XY vlak kiest en het XZ vlak evenwijdig wordt genomen aan de lijn, welke de middelpunten van twee naast elkander liggende bollen verbindt. (Stelsel 2, 1, 2). 245. Een regelmatig zeszijdig prisma staat op het vlak XOY; het middelpunt van het grondvlak valt in den oorsprong, terwijl twee zijden (lengte = 4 cM.) van het grondvlak evenwijdig zijn aan de as OX. Dit prisma wordt gesneden door een vlak dat van de coördinaatassen stukken gelijk 10 cM. afsnijdt. Bepaal de eigenschaduw van het aldus verkregen afgeknot prisma, benevens de slagschaduwen op het vlak XOY en op een vlak dat van de coördinaatassen stukken gelijk -f6, —10 en—lOcM. afsnijdt. De lichtstralen maken een hoek van 45° met het vlak XOY, de horizontale projectiën deilichtstralen een hoek van 30° met de as OX. Axonometrische perspectief (stelsel 9,5,10). (P.S. Examen D. 1893.) 246. De axonometrische perspectief (stelsel 2,1 , 2) te bepalen van een kubus en een daarop geplaatsten rechten cirkelvormigen kegel. Gegeven: de perspectief ab van de diagonaal van het zijvlak, waarmede de kubus op het vlak XOY rust; de hoogte van den kegel gelijk aan de ribbe van den kubus; het grondvlak van den kegel is een cirkel beschreven in het bovenvlak van den kubus, 247. De cavalière perspectief te bepalén van een rechten cirkelvormigen kegel welks hoogte en tophoek gegeven zijn. De top van den kegel hgt in den oorsprong, de as maakt gehjke hoeken" met de drie assen OX OY en OZ. De perspectief van de Y as maak een hoek van 120° met de X as. (n = \). 248. ïceken in axonometrische perspectief (stelsel 2, i, 2) een cirkel uit 0 als middelpunt in het vlak YOZ beschreven, en eene rechte lijn, ,n het vlak ZOX loodrecht op de X as getrokk™. Deze jei c ynen zijn de richtlijnen van eene gewone wig van Wallis Construeer een willekeurig punt van de wig en een vlak, dat de' wig in dit punt raakt. ' van 4L EZ Thte CirkelV°''mige ke-el steunt met een der punten den omtrek van zyn grondvlak op het horizontale en met een ander punt van dien omtrek tegen het verticale vlak. Bepaal • a. de projectien van het lichaam; I). de schaduwen, zoowel bij zon- als bij kaarslicht; c de axonometrische perspectief in het stelsel (2 1 2) vlot w f" .rechtfn cirkelvormigen cylinder, die met zijn grondvlak op het horizontale vlak staat, is eene uitholling gemaakt in de gedaante van een halven bol, welks middelpunt samenvalt met het middelpunt van het bovenvlak. In deze uitholling is een cylinder\oinuge s aaf geplaatst, die met het ondereinde op het bolvormig oppervlak rust en overigens steunt tegen den rand der uitholling Gegevens: hoogte van den cylinder = 6 cM.; straal » » » __ g „ straal # de uitholling = 5 # lengte » » staaf =12 » dikte »» j) — \ „ De staaf maakt een hoek van 30° met het horizontale vlak en is evenwijdig aan het verticale vlak. Men vraagt: de axonometrische perspectief; 1 hetTiehtUWCn !n de teeke"ing' biJ willekeurige richting van palen , door te eischen, dat het raakpunt op eene bepaalde beschrijvende lijn van het oppervlak zal liggen. Brengt men dan door die beschrijvende lijn en het punt T een vlak, zoo zal dit het oppervlak raken en wel in een punt R, dat gevonden wordt als snijpunt der gegeven beschrijvende lijn met de beschrijvende lijn van het andere stelsel, die ook in dit vlak ligt. De lijn TR is de gevraagde raaklijn. Door verschillende beschrijvende lijnen te kiezen, verkrijgen wij verschillende raaklijnen. De meetkundige plaats der raakpunten R is de gevraagde aanrakingskromme die, omdat het oppervlak van den tweeden graad is, eene vlakke kromme lijn zal zijn. In plaats van een groot aantal punten te construeeren op boven aangegeven wijze, kan men derhalve ook volstaan met het construeeren van drie punten, het brengen van een vlak door die punten en het bepalen der doorsnede van dit vlak met het oppervlak. § 276. Werkstuk. Evenwijdig aan eene gegeven lijn eene raaklijn (een raakvlak) aan eene hyperbolische paraboloïde te brengen en de aanrakingskromme te bepalen van een omhullingscylinder, welks beschrijvende lijn evenwijdig aan de gegeven lijn is. Evenals in het voorgaande werkstuk, is het aantal raaklijnen weder oneindig groot. Om het raakpunt op eene bepaalde beschrijvende lijn van het oppervlak te verkrijgen, brengt men door die lijn een vlak evenwijdig aan de gegeven lijn /. Dit vlak snijdt het oppervlak volgens eene beschrijvende lijn van het tweede stelsel, de beide beschrijvende lijnen snijden elkaar in het raakpunt R. De lijn, door R evenwijdig aan l getrokken, is de gevraagde raaklijn. De meetkundige plaats van R is de aanrakingskromme, eene vlakke kromme lijn, die weder het gemakkelijkst wordt gevonden door, volgens de bovenstaande constructie, nog twee punten der kromme te bepalen en daarna de doorsnede te construeeren van het oppervlak met een vlak gaande door de drie gevonden punten. § 277. Werkstuk. Aan eene hyperbolische paraboloïde een raakvlak te brengen evenwijdig aan een gegeven vlak. Het is duidelijk, dat het gevraagde raakvlak zal moeten gaan door twee beschrijvende lijnen — een van elk stelsel — die evenwijdig zijn aan het gegeven vlak V. Men construeert derhalve de doorsneden l en lt van V met de beide richtvlakken en daarna de beide beschrijvende lijnen L en L, van het oppervlak die evenwijdig zijn aan l en /,. Het vlak VV door punt der doorsnede gelegen is op eene beschrijvende lijn van elk der kegelvlakken, zal die doorsnede geen oneindig ver gelegen punten kunnen bezitten, tenzij op die kegelvlakken twee evenwijdige beschrijvende lijnen zijn aan te wijzen. Alhoewel de daartoe noodige constructiën niet zijn uitgevoerd, ten einde de figuur niet onduidelijk te maken , zoo zullen wij toch aanwijzen op welke wijze wij hier het onderzoek zouden kunnen instellen. Men begint dan den kegel S zoodanig evenwijdig aan zich zeiven te verplaatsen dat de top S, zich langs ST bewegende, in T komt en construeert nu de nieuwe richtlijn van dien kegel in het horizontale vlak. Daartoe trekken wij uit T lijnen evenwijdig aan de beschrijvende lijnen van den kegel S en bepalen hare snijpunten met het horizontale vlak. De aldus geconstrueerde richtlijn zal gelijkvormig zijn met EaF/i. Wanneer nu de richtlijn van den kegel 1 en de nieuw geconstrueerde richtlijn van den verplaatsten kegel S elkander snijden, zoo is dit een bewijs dat de oorspronkelijke kegels evenwijdige beschrijvende lijnen zullen hebben. Noemen wij, om de gedachten te bepalen, a en /3 de beide snijpunten, zoo zijn Tot en 1/? de beschrijvende lijnen op den kegel T, die evenwijdig zullen loopen aan twee beschrijvende lijnen van den kegel S. Construeeren wij verder raakvlakken aan de kegels volgens die beschrijvende lijnen, zoo zullen de snijpunten van de horizontale doorgangen dier vlakken telkens een punt van eene asymptoot opleveren , die verder volkomen bepaald is, daar zij evenwijdig aan de beschrijvende lijn loopt. Immers de asymptoot is de doorsnede der raakvlakken en zij moet dus, omdat de vlakken gaan door twee evenwijdige lijnen (hier de beschrijvende lijnen), evenwijdig aan die lijnen zijn. Wanneer de richtlijn van den kegel T die van den verplaatsten kegel S mocht raken, zoo zouden de kegels T en S wel twee evenwijdige beschrijvende lijnen , en dus de doorsnede een oneindig voortloopende tak hebben, maar die tak zou toch geen asymptoot bezitten; immers de raakvlakken worden in dit geval evenwijdig aan elkander en dus zal hunne snijlijn, dat is de raaklijn in het oneindig ver gelegen punt der doorsnede, zich in het oneindige bevinden. § 295. Werkstuk. De doorsnede te construeeren van twee gegeven cylindervlakken. Deze doorsnede kan op overeenkomstige wijze als die van twee kegelvlakken geconstrueerd worden, mits men snijdende platte vlakken bezige, die de beide gegeven cylindervlakken volgens beschrijvende lijnen snijden. Deze vlakken moeten daarom evenwijdig genomen worden aan de richtingen der beschrijvende lijnen van beide cylindervlakken. In fig. 237 zijn ABGD en EFG11 de, in het horizontale vlak gelegen, richtlijnen der cylindervlakken. Om de richting der hulpvlakken te vinden , is uit het punt P, gelegen op de beschrijvende lijn EP van het eene cylindervlak, eene lijn PS getrokken, evenwijdig aan de beschrijvende lijn van het andere cylindervlak, en is daarna een vlak door PE en PS gebracht. Dit vlak, datW,W, tot horizontalen doorgang heeft, kan dienen als hulpvlak, terwijl de overige hulpvlakken I tot IX daaraan evenwijdig zijn. De hulpvlakken III en VII geven ons de punten 3, 18, 10 en 13, gelegen op de uiterste beschrijvende lijnen in horizontale projectie van den cylinder ABCD; het hulpvlak VIII geeft de punten 1 en 11, gelegen op een der beschrijvende lijnen, welke den cylinder EFGH in horizontale projectie begrenzen. De tweede beschrijvende lijn F snijdt den anderen cylinder niet. De hulpvlakken V en VI geven de punten 2, 20, 9 en 14, de hulpvlakken W en IV de punten 3, 8, 15 en 19. Het eerste viertal is gelegen op de uiterste beschrijvende lijnen in verticale projectie van den cylinder ABCD, het tweede viertal op de overeenkomstige van den tweeden cylinder. Behalve deze punten zijn nog merkwaardig de punten 6, 17, 12 en 22, welke met de grensvlakken I en IX gevonden zijn. Aan de doorsnede is in het punt 7 eene raaklijn 07 getrokken; zij is de snijlijn der raakvlakken aan beide cylinders in het punt 7 , welke Q'R' en 0'T' tot horizontale doorgangen hebben. Uit de figuur blijkt, dat alleen de beschrijvende lijnen van den cylinder ABCD, welke tusschen de vlakken I en IX gelegen zijn, den anderen cylinder zullen snijden en dus dat de beide gegeven cylindervlakken elkander snijden volgens ééne samenhangende kromme lijn. Mocht het onmogelijk zijn evenwijdig aan WjW, lijnen te trekken, die de beide richtlijnen gelijktijdig snijden, dan zou hieruit blijken, dat ook de cylindervlakken elkander niet sneden. Waren de cylindervlakken zoodanig gegeven, dat de horizontale doorgangen der grensvlakken LjLt en NjN, (Fig. 238) raakten aan de richtlijn van het eene cylindervlak en die van het andere cylindervlak sneden, zoo zou de eerste cylinder de n anderen doorboren. Het is van belang steeds vooraf na te gaan of men te doen heeft met een geval van doorboring dan wel van eenvoudige snijding, met het oog op eene juiste vereeniging der gevonden doorsnedepunten. Het zal onnoodig zijn uitvoerig' aan te wijzen, hoe de punten der doorsnede hier vereenigd zijn en welke deelen in horizontale of in verticale projectie onzichtbaar zijn. Ook hier geldt het beginsel dat een punt der projectie alleen dan zichtbaar is, indien het gelegen is op twee beschrijvende lijnen, die beiden op het beschouwde projectievlak zichtbaar zijn. Opmerking. In de figuur zijn twee cylindervlakken aangenomen, welker richtlijnen in het horizontale vlak gelegen zijn ; is van een der cylindervlakken of wel zijn van beide de beschrijvende lijnen evenwijdig aan het horizontale vlak gegeven, zoo kan men voor zulke cylindervlakken geen in het horizontale vlak liggende richtlijnen kiezen. Zooals reeds in § 190 gezegd is, neemt men deze dan in eenig verticaal vlak, liefst loodrecht op de beschrijvende lijn, aan. Tot het construeeren van de doorsnede van beide cylindervlakken maakt men weder gebruik van vlakken, evenwijdig aan de richting der beschrijvende lijnen. § 296. Twee cylindervlakken met gesloten richtlijnen zullen elkander niet kunnen snijden volgens eene kromme lijn met oneindig voortloopende takken, omdat op het eene cylindervlak geen beschrijvende lijn te trekken is, die evenwijdig is aan eene beschrijvende lijn van het tweede cylindervlak. Ware dit toch het geval, zoo zouden alle beschrijvende lijnen der beide cylindervlakken evenwijdig zijn, maar dan zouden die oppervlakken elkander snijden volgens twee rechte lijnen. Hebben de beide cylindervlakken richtlijnen met oneindig voortloopende takken, of is dit met een der cylindervlakken het geval, zoo kan ook de doorsnede oneindig voortloopende takken bezitten. Sj 297. Wekkstuk. De doorsnede te construeeren van een kegelvlak met een cylindervlak. Trekt men door den top van het kegelvlak eene lijn, die evenwijdig is aan de beschrijvende lijn van het cylindervlak, en brengt men door die lijn vlakken, welke de beide gebogen vlakken snijden, dan zullen deze snijdingen plaats hebben volgens beschrijvende lijnen, die zeer gemakkelijk te construeeren zijn, en welker snijpunten punten van de begeerde doorsnede zullen geven. In Fig. 239 is de doorsnede geconstrueerd van het oppervlak van den kegel TEFGH met het cylindervlak ABCD. Alle hulpvlakken I tot VIII gaan liier door het puilt S', d. i. het ontmoetingspunt inet het horizontale vlak van de lijn, door den kegeltop evenwijdig aan de beschrijvende lijn van den cylinder getrokken. De grensvlakken I en VIII doen terstond zien, dat hier geen doorboring zal plaats hebben. Daar het vlak I toevallig gaat door de beschrijvende lijn TG, die een der grenzen vormt van de horizontale projectie des kegels, is het punt 11 der doorsnede in dubbel opzicht een merkwaardig punt. Uit de figuur is de constructie der overige punten van de kromme lijn van doorsnede, die hier loopt van 1 tot 17, gemakkelijk te volgen. De punten 1 en 17 zijn de snijpunten van de richtlijnen in het horizontale vlak en dus ook punten der doorsnede. Na de voorafgaande werkstukken, zal geen verdere toelichting meer noodig zijn, terwijl ook de constructie der raaklijn in liet willekeurig punt 15 geen verklaring zal behoeven. liet onderzoek der gevallen in welke een kegel- en cylindervlak eene doorsnede met oneindig voortloopende takken zal opleveren, laten wij aan den lezer over. § 298. Werkstuk. De doorsnede te construeeren van een bol met een willekeurig scheef cylindervlak. Men kan deze doorsnede bepalen, door de snijpunten te zoeken van de verschillende beschrijvende lijnen van het cylindervlak met den bol. In Fig. 240 zijn O de gegeven bol en ABCD de, in het horizontale vlak gelegen, richtlijn van het cylindervlak, welks beschrijvende lijn evenwijdig loopt aan het verticale projectievlak. Alhoewel een cirkel als richtlijn is aangenomen, zoo zal toch hiervan geen gebruik worden gemaakt. De horizontaal-projecteerende vlakken der beschrijvende lijnen zijn hier als hulpvlakken te beschouwen; zij snijden den bol volgens cirkels, die zich op het verticale vlak in ware grootte projecteeren met 0" als middelpunt; de stralen dezer cirkels zijn in het horizontale vlak af te meten. Van de punten 3 en 9, gelegen op de beschrijvende lijn B, welke in horizontale projectie eene grenslijn van den cylinder is, is het eerste in horizontale projectie zichtbaar, omdat het op de bovenste helft van den bol ligt, het andere is daarentegen onzichtbaar, als liggende op de onderste helft van dit oppervlak. In verticale projectie zijn beide punten onzichtbaar, daar zij liggen op eene op dit projectievlak onzichtbare beschrijvende lijn van den cylinder. De punten 5 en 7, gelegen op de beschrijvende lijn G, welke eene grenslijn is van den cylinder in verticale projectie, vormen den overgang tusschen het zichtbare en het onzichtbare deel van de verticale projectie der doorsnede. Dat beide punten in horizontale projectie onzichtbaar zijn, zal geen toelichting behoeven. Als merkwaardige punten der doorsnede komen nog 111 aanmerking, de punten welke gelegen zijn op den grooten cirkel van den bol evenwijdig aan het horizontale vlak. Deze punten vindt men door de doorsnede te construeeren van het vlak 11 van dien cirkel met het cylindervlak en de snijpunten te bepalen van die doorsnede met deu genoemden grooten cirkel. Om het teekenen van die doorsnede, welke gelijk en gelijkvormig is met de horizontale richtlijn, — een tijdroovend werk, wanneer de richtlijn eene willekeurige kromme is — te ontwijken, kan men als volgt te werk gaan. Verbeeldt men zich, dat het snijdend vlak H2H2 evenwijdig aan zich zelf naar het horizontale vlak verschoven wordt, zoodat alle punten van het vlak zich evenwijdig aan de richting van de beschrijvende lijn van den cylinder bewegen, dan zal zijne doorsnede met den cylinder juist de richtlijn ABCD gaan bedekken. Bij deze beweging van het vlak volgt het punt O ook eene lijn, die evenwijdig is aan de cylinderlijnen; indien men dus slechts het ontmoetingspunt m' van deze lijn met het horizontale vlak bepaalt., en uit dat punt m' met eene lijn m'M', gelijk aan den straal van den bol, als straal een cirkel beschrijft, zal die cirkel de doorsnede van het vlqk II met den bol zijn, nadat dit vlak door bovengenoemde beweging op het horizontale vlak is gekomen. In dat verplaatste vlak zijn derhalve de snijpunten p en q van den laatstgenoemden cirkel met de richtlijn ABCD punten van de begeerde doorsnede. Wordt verder dit verplaatste vlak in zijnen vorigen stand teruggebracht, dan volgen de punten p en q weder lijnen, die evenwijdig aan de cylinderlijnen loopen, en wij behoeven dus slechts uit pc n q lijnen evenwijdig aan de as te trekken, om door hare ontmoeting met den cirkel 0' de horizontale projectiën te verkrijgen van de verlangde punten der doorsnede. In de figuur is alleen het punt 10 aangewezen, omdat het tweede snijpunt zeer dicht bij 0 zou gelegen zijn. Om de gevonden punten der doorsnede naar behooren te kunnen vereenigen, is het van belang vooraf na te gaan of de cylinder den bol al dan niet zal doorboren. In onze figuur waar een deel der beschrijvende lijnen van den cylinder, blijkens de horizontale pro- \ jectie, geheel buiten den bol ligt, is het duidelijk, dat er van geen doorboring sprake kan zijn; indien echter de horizontale projectiën van alle beschrijvende lijnen, de horizontale projectie van den bol snijden, zoo is het toch volstrekt niet zeker, dat alle beschrijvende lijnen daarom nog den bol zullen snijden. Zekerheid daaromtrent verkrijgt men door de doorsnede EFGH te bepalen van het horizontale vlak met den omhullingscylinder aan den bol, welks beschrijvende lijn evenwijdig is aan die van den gegeven cylinder. Ligt de gegeven richtlijn geheel binnen die kromme lijn EFGII, zoo wordt de bol doorboord. In onze figuur snijden de lijnen elkander in v en s en heeft er dus eene eenvoudige snijding der oppervlakken plaats, hetgeen zonder onderzoek reeds bekend was. Alle beschrijvende lijnen van den cylinder, die het horizontale vlak snijden in het gedeelte ?'ADs van de richtlijn, liggen buiten den bol. De beschrijvende lijnen die door r en s gaan hebben slechts een enkel punt, respectievelijk 1 en 6, met den bol gemeen. Deze punten, waarin dus de doorsnede, zoowel in horizontale als in verticale projectie, moet raken aan de projectiën dier beschrijvende lijnen, zijn derhalve merkwaardige punten, welke eene afzonderlijke constructie verdienden. § 209. Wanneer de richtlijn ABCD eene zoodanige gedaante heeft, dat zij de doorsnede EFGH van den omhullingscylinder in vier punten snijdt, zoo zal de cylinder den bol in drie stukken verdeelen, waarvan er een binnen den cylinder valt, terwijl de beide andere stukken zich als bolvormige segmenten met gebogen grondvlakken, buiten den cylinder zullen bevinden. De doorsnede der oppervlakken zal dan, evenals in het geval eener doorboring, uit twee afzonderlijke gesloten kromme lijnen bestaan. In het punt 11 der doorsnede is nog eene raaklijn aan de kromme geconstrueerd. Het raakvlak V aan den bol is verkregen door in het punt 11 een vlak te brengen loodrecht op den straal van dit punt. S, 11 is de bedoelde raaklijn. Ten slotte merken wij nog op, dat de aangegeven methode om het punt 10 te vinden op den grooten cirkel van den bol, ook kan worden gevolgd tot het construeeren van punten der doorsnede, die op andere horizontale cirkels van den bol gelegen zijn. Deze methode is vooral nuttig wanneer in plaats van een bol een omwentelingsvlak gegeven is, welks as loodrecht op het horizontale vlak staat. In het volgende werkstuk zullen wij dan ook van die methode gebruik maken. § 300. Werkstuk. De doorsnede te construeeren van een omwen- lelingsoppervlak met een kegelvlak. In Fig. 241 is OZ de as van liet aldaar voorgestelde omwentehngsoppervlak, welke, zooals wij zien, loodrecht op liet horizontale vlak is aangenomen en TABCD een kegel waarvan de richtlijn ABCD in het horizontale vlak is gelegen. Men is begonnen met het construeeren van de doorsnede van het horizontale vlak met den omhullingskegel aan liet omwentelingsoppervlak , die T tot top heeft. Aangezien deze doorsnede — waarvan alleen het vereischte gedeelte EFG bepaald is — de richtlijn ABCD geheel omgeeft, mag men besluiten dat de kegel het omwentelingslichaam zal doorboren. Tot het bepalen van punten der doorsnede van de gegeven oppervlakken, maken wij gebruik van horizontale vlakken. Zulk een vlak I b.v. snijdt liet omwentelingsoppervlak volgens een cirkel, met (0', M") tot middelpunt en M"L" tot straal, en het kegelvlak volgens eene kromme lijn, die gelijkvormig is met de richtlijn ABCD. In plaats van die kromme lijn te construeeren — hetgeen in het algemeen weder zeer tijdroovend zou zijn denken wij ons een kegelvlak, met T tot top en den zooeven genoemden cirkel tot richtlijn. Deze kegel zal het horizontale vlak snijden volgens een cirkel', die het punt (m', m") — het snijpunt van TM met het horizontale vlak — tot middelpunt en m"l" tot straal heeft, en die ABCD snijdt in de punten p en q. Beschrijft men verder uit 0', met M"L" als straal, een cirkel en bepaalt men de snijpunten 12 en 0 van dien tweeden cirkel met de lijnen T'^ en T'^, zoo zullen die punten, welker verticale projectiën onmiddellijk op I zijn aan te wijzen, de horizontale projectiën zijn van de punten, die gemeen zijn aan de beide gegeven oppervlakken. Dit zal na het vooralgaande werkstuk geen verdere toelichting behoeven. De, op den grootsten parallelcirkel gelegen, merkwaardige punten 2 en 7 zijn op dezelfde wijze geconstrueerd. In die punten raakt de horizontale projectie der doorsnede aan den schijnbaren omtrek van liet omwentelingsoppervlak. De merkwaardige punten der doorsnede, welke gelegen zijn op de beschrijvende lijnen van den kegel, die de schijnbare omtrekken vormen op het horizontale en liet verticale vlak, kunnen worden gevonden door op de gewone wijze de snijpunten dier lijnen met het omwentelingsoppervlak te bepalen. De daartoe vereischte constructiën vereischen veel tijd. In ons geval, waarin liet oppervlak eene omwentelingsellipsoïde is, kan de constructie volkomen nauwkeurig plaats hebben. Zoo b. v. snijdt het horizontaal-projecteerend vlak van de lijn TB het oppervlak volgens eene ellips, die zich op het horizontale vlak projecteert in de koorde, die door T'B' van de horizontale projectie van het omwentelingsoppervlak wordt afgesneden. Het voetpunt (K',K") der loodlijn, uit O op het horizontaal-projecteerend vlak van TB neergelaten, is het middelpunt der ellips. De groote as valt langs de doorsnede van het zoo juist genoemde vlak met het meridiaanvlak OK en hare lengte kan gemakkelijk bepaald worden, indien men dit vlak om OZ laat draaien, tot het evenwijdig is aan het verticale projectievlak. De snijpunten k" van den hoofdmeridiaan met de lijn, die door het gewentelde punt k' loodrecht op de as van projectie getrokken wordt, zijn dan de.verticale projectiën van de uiteinden der groote as van de ellips en komen, na terugdraaiing van het meridiaanvlak, in II" en P" loodrecht boven K'. De kleine as van de projectie der ellips op het verticale vlak, valt langs de lijn 0"K" en hare uiteinden kunnen gemakkelijk uit de horizontale projectiën worden overgebracht. Aangezien nu de assen bekend zijn, kan men verder volgens het geleerde in § 151 sub 4 de snijpunten I en o van de lijn T"B" met de verticale projectie der ellips nauwkeurig bepalen — en daaruit verder de horizontale projectiën — ook zonder dat het noodig was de kromme te teekenen. In de figuur is deze echter duidelijkheidshalve gedeeltelijk aangegeven. Op dezelfde wijze zijn de punten 3 en b op de lijn TA, de punten 6 en e op de lijn TD en het punt 8 op de lijn TC geconstrueerd. Nog zijn op die wijze de punten 11 en g gevonden, die eveneens gelegen zijn in het horizontaal-projecteerend vlak van TA, doch op de tweede beschrijvende lijn van het kegelvlak, welker horizontale projectie langs T'A' valt. Om de figuur niet onduidelijk te maken, zijn een deel der gebezigde constructielijnen uit de teekening weggelaten. Ten slotte zijn nog geconstrueerd de punten 4, 10, c en f, die gelegen zijn in het verticale vlak dat door T en de as van het oinwentelingsoppervlak gaat. Hiertoe heeft men dit vlak om OZ gedraaid, tot het evenwijdig werd aan het verticale projectievlak, daarna de projectiën bepaald van de beide in dit vlak gelegen beschrijvende lijnen na de wenteling, verder hare snijpunten gezocht met de hoofdmeridianen en eindelijk hieruit de projectiën dier snijpunten gevonden, wanneer het vlak weder in zijnen oorspron- onmiddellijk zijn aan te geven. Bovendien zou men nog liet verticale projectievlak evenwijdig aan de beide assen kunnen nemen. Indien echter de omwentelingsassen elkander in de ruimte kruisen, kan men wel weder een horizontaal vlak loodrecht op één der assen, en een verticaal vlak evenwijdig aan beide assen aannemen, maar nu is er geen stelsel van snijdende vlakken te vinden, die de beide omwentelingsoppervlakken volgens cirkels zouden snijden. In dit geval zullen horizontale hulpvlakken het eene oppervlak weder volgens cirkels, doch het andere oppervlak volgens kromme lijnen snijden, die men door eene aaneenschakeling van punten zal behooren te construeeren; elk tweetal punten van de begeerde doorsnede vordert dus de constructie van zulk eene kromme lijn. Hierdoor zal echter, zooals wij reeds in § 207 opmerkten, het construeeren van de doorsnede der omwentelingsoppervlakken, hoezeer mogelijk, te langwijlig zijn, om als uitvoerbaar beschouwd te kunnen worden. § 303. Het zal nauwlijks gezegd behoeven te worden, dat men, bij het bepalen der doorsnede van een scheef oppervlak met een ander oppervlak, bij voorkeur gebruik zal maken van hulpvlakken , die het eerste oppervlak snijden volgens rechte beschrijvende lijnen. Indien elk der elkander snijdende oppervlakken een scheef oppervlak van den tweeden graad is (zie § 264), zoo kan men de hulpvlakken zoodanig aannemen, dat zij het eene oppervlak snijden volgens twee elkander snijdende beschrijvende lijnen, een van elk stelsel. Elk hulpvlak snijdt dan het andere oppervlak volgens eene kegelsnede. De snijpunten der beide beschrijvende lijnen met die kegelsnede geven telkens vier punten van de doorsnede en deze punten zijn volgens §192 volkomen nauwkeurig te construeeren, wanneer men de assen der kegelsnede kent. Hebben de beide elkander snijdende scheeve oppervlakken van den tweeden graad eene beschrijvende lijn gemeen, zoo wordt de constructie veel eenvoudiger. Brengt men dan alle hulpvlakken door deze gemeenschappelijke beschrijvende lijn, zoo wordt elk oppervlak gesneden volgens eene rechte beschrijvende lijn van een ander stelsel en deze beide lijnen zullen door hare snijding een punt van de doorsnede der oppervlakken doen kennen. De doorsnede zal in dit geval bestaan uit eene kromme lijn en de gemeenschappelijke rechte beschrijvende lijn. Hebben twee hyperbolische paraboloïden een gemeenschappelijk richtvlak, zoo wordt hunne doorsnede zeer eenvoudig gevonden door het aannemen van hulpvlakken die evenwijdig zijn aan liet richt vlak. Hierdoor toch wordt elk oppervlak gesneden volgens eene rechte beschrijvende lijn. Dat men ook in elk der hierboven beschouwde gevallen de raaklijn in eenig punt der doorsnede verkrijgt, door de snijlijn te bepalen van de raakvlakken, in dit punt aan elk der oppervlakken gebracht, zal duidelijk zijn. OEFENINGEN. 185. Een rechte cirkelvormige cylinder ligt met eene beschrijvende lijn op het horizontale vlak en wordt gesneden door een bol, die eveneens op dit vlak rust. Construeer de doorsnede en de raaklijn in een willekeurig punt. 180. Twee rechte cirkelvormige cylinders, welker assen elkander loodrecht kruisen, liggen inet hunne beschrijvende lijnen op het horizontale vlak. De middellijnen der cylinders verhouden zich als 1 tot 3. Construeer de doorsnede en de raaklijn in een willekeurig punt. 187. Een kegel- en een cylindervlak, die eene zelfde gesloten kromme lijn, in het horizontale vlak gelegen, tot richtlijn hebben, snijden elkander. Construeer de doorsnede en de raaklijn in een willekeurig punt. 188. Eene omwentelingshyperboloïde en een bol snijden elkander. De as van het eerste oppervlak, loodrecht op het horizontale vlak, ligt dichter bij het verticale dan het middelpunt van den bol en op een afstand van dit middelpunt, kleiner dan de som der stralen van keelcirkel en bol. Het vlak, door die as en dat middelpunt gebracht, is niet loodrecht op de as van projectie. Construeer de doorsnede en de raaklijn in een willekeurig punt. 189. Eene omwentelingshyperboloïde met verticaal geplaatste omwentelingsas, wordt doorboord door een scheef cirkelvormig cylindervlak, waarvan de richtlijn in het horizontale vlak gelegen is. Construeer de doorsnede en de raaklijn in een willekeurig punt. 190. Een gewone wig van Wallis staat met het grondvlak op het horizontale vlak, de scherpe kant loodrecht op het verticale vlak. Uit het midden van de scherpe kant als middelpunt beschrijft men een bol. Construeer de doorsnede en de raaklijn in een willekeurig punt. N.B. De straal van het grondvlak, de hoogte van de wig en de straal van den bol verhouden zich als 2, 4 en 3. 191. Een horizontaal schroefvlak wordt gesneden door het oppervlak van een rechten cirkelvormigen kegel, waarvan de as samenvalt met die van het schroefvlak. De schroeflijn , die dit vlak tot richtlijn dient, heeft slechts ééne omwinding op een cylinder die hetzelfde grondvlak heeft als de kegel. De hoogte van den kegel is gelijk aan den spoed der schroeflijn. Construeer de doorsnede en de raaklijn in een willekeurig punt. 192. De doorsnede te construeeren van twee omwentelingsoppervlakken met verticaal staande assen, benevens de raaklijn in eenig punt. 193. Eene omwentelingsparaboloïde en eene omwentelingshyperboloïde met één blad snijden elkander. Van elk dezer oppervlakken is de omwentelingsas evenwijdig aan de as van projectie, de eene ligt in het horizontale, de andere in het verticale projectievlak. Construeer een punt van de doorsnede dezer oppervlakken en de raaklijn in dit punt aan de doorsnede. 194. Gegeven twee verticale lijnen A en B en eene lijn /, die beide lijnen kruist. Deze lijn brengt bij wenteling om A en evenzoo bij wenteling om B een oppervlak voort. Construeer een punt van de doorsnede dezer oppervlakken, benevens de raaklijn in dit punt der doorsnede. 195. Eene omwentelingshyperboloïde met één blad, welker as loodrecht staat op het horizontale vlak, heeft eene rechte lijn l — evenwijdig aan het verticale vlak — gemeen met eene hyperbolische paraboloïde. Van deze paraboloïde is nog eene lijn, loodrecht op het horizontale vlak, als tweede richtlijn gegeven, terwijl zij het horizontale vlak tot richtvlak heeft. Construeer een punt van de doorsnede der beide oppervlakken, benevens de raaklijn in dit punt aan de doorsnede. SCHADUWEN. SCHADUWEN. § 304. Ten einde de voorstelling van lichamen door hunne projectiën beter te doen uitkomen, doet men die voorstelling dikwijls gepaard gaan van eene aanwijzing van de deelen der lichamen, die uit eene aangenomen lichtbron niet verlicht worden, en van de deelen der projectievlakken of andere oppervlakken, die zij door hunne aanwezigheid van licht berooven, in de onderstelling namelijk dat zij ondoorschijnend zijn. Deze niet verlichte en van licht beroofde deelen noemt men schaduwen. Het licht verspreidt zich in eene gelijkslachtige middenstof (die hier steeds ondersteld wordt) volgens rechte lijnen en naar alle zijden. Indien dus de lichtbron een bepaald lichtgevend punt L (Fig. 243) is, worden al de lichtstralen, die op eenig lichaam P vallen, begrensd door het oppervlak van eene pyramide of van een kegel, die uit de lichtbron als top het lichaam omhult. De gebroken of de kromme lijn, die het oppervlak van deze pyramide of van dien kegel met het lichaam gemeen heeft, wordt de schaduwlijn genoemd. Zij geeft de afscheiding aan tusschen het verlichte (liet naar de lichtbron toegekeerde) en het donkere (het van de lichtbron afgewende) deel van het lichaam. Dit laatste gedeelte noemt men de eigen schaduiv van het lichaam. Het verlengde omhullingsoppervlak omvat, aan die zijde van het lichaam welke van de lichtbron afgewend is, het geheele deel der ruimte, dat door de aanwezigheid van het lichaam van licht beroofd wordt, en draagt uit dien hoofde den naam van schaduwkegel. De doorsnede van dezen schaduwkegel met eenig plat vlak V heet de slagschaduw, door het lichaam op het vlak geworpen. Is het lichaam door platte vlakken begrensd, dan is deze slagschaduw een veelhoek en zouden wij eigenlijk moeten spreken van eene schaduw pyramide. Door het enkele woord schaduiv verstaat men somtijds dezen schaduwkegel (pyramide). Zoo zegt men b. v. dat een lichaam in de schaduw van een ander lichaam komt, zoodra het binnen den schaduwkegel treedt, die door dat andere lichaam ontstaat. De eigen- en de slagschaduwen zullen wij in de teekeningen door arceeringen aangeven en wel, ten einde ze gemakkelijk van elkander te kunnen onderscheiden, de laatste door eene meer dichte arceering dan de eerste. Aangezien in den regel van eene teekening, waarop de schaduwen op deze wijze zijn aangebracht, groote deelen eene gelijkmatige donkere tint verkrijgen, zoo wordt de duidelijkheid der voorstelling veelal niet bevorderd. Eerst wanneer men in de schaduwen de lichtere en donkerder partijen door verschillende zacht in elkander overgaande tinten aangeeft en tevens in de verlichte deelen van het lichaam onderscheid maakt tusschen de meerder en de minder verlichte gedeelten, m. a. w. eerst wanneer men in de teekening de lichtschakeering weergeeft, welke zich in de werkelijkheid aan ons oog voordoet, is het doel dat wij beoogen met de schaduwbepahng geheel bereikt. De Beschrijvende Meetkunde houdt zich echter alleen bezig met de constructie van den omtrek der schaduwen. Het onderzoek naai de zwaarte der tinten behoort niet tot haar gebied, maar tot dat dei luchtperspectief of verlichtingsleer. (1) Bij de meetkundige teekeningen neemt men alleen zonlicht in aanmerking. De lichtstralen zijn dan, wegens den grooten afstand tusschen zon en aarde, te beschouwen als evenwijdige lijnen en de hiervoren genoemde schaduwkegel of pyramide gaat dan o\ei in een schaduwcylinder of prisma. Men spreekt dan ook van schaduw bij zonlicht of bij parallelverlichting, in tegenstelling van die gevallen waarbij de lichtbron op een korten afstand van liet voorwei p geplaatst is en eene zoogenaamde schaduw bij kaarslicht of bij centrale verlichting verkregen wordt. § 305. Men geeft in elke teekening de richting der evenwijdige stralen aan door de beide projectiën te teekenen van eene rechte lijn; deze projectiën worden op de bekende wijze door een enkel en dubbel accent onderscheiden en tevens voorzien van een pijltje, om aan te wijzen naar welke zijde zich het licht beweegt (zie Hg. 244). Veelal wordt alleen volstaan met het plaatsen van een pijltje in elk (1) De lezer vindt hieromtrent aanwijzingen in «Handleiding bij het lijnteekenen door M. H. A. J. van Meurs en L. J. Scheltema". Voor eene grondiger behandeling wordt o. a. verwezen naar iC. F. A. Leroy, Traité de Stéréotomie". der projectiën van een lichtstraal, gaande door een der punten van het lichaam (zie Fig. 248 en volgende). Wat de keuze der lichtrichting betreft, zoo neemt men deze zoodanig, dat de schaduwen daar vallen, waar zij het geschiktst zijn om de projectiën goed te doen uitkomen. Het is een aangenomen regel, dat het licht van de linkerzijde invalt. Kiest men de richting evenwijdig aan het verticale vlak en zoodanig dat de lichtstraal een hoek van 45° met het horizontale vlak maakt (Fig. 245), zoo wordt de constructie der schaduwen iets gemakkelijker. Wil men echter ook schaduw op het verticale projectievlak verkrijgen, zoo moet het licht naar het verticale vlak gericht zijn; in dit geval zal het, bij het construeeren der schaduwen, eenig gemak opleveren, indien men de beide projectiën van de lichtrichting hoeken van 45° laat maken met de as (Fig. 244). Deze richting wordt dan aangewezen door de diagonaal BX (Fig. 246) van een kubus, welks zijvlakken XY en XZ respectievelijk evenwijdig zijn aan het horizontale en aan het verticale projectievlak. Somtijds gebruikt men, tot het schaduwen van de verticale projectiën, andere lichtstralen dan men tot het schaduwen van de horizontale projectiën gebezigd heeft. (1) Wij zullen in elk der volgende werkstukken steeds de richting van het licht in willekeurige richting gegeven denken, maar dan ook die richting aannemen voor het bepalen der schaduwen op beide projectievlakken. § 306. Uit het aangevoerde blijkt, dat het bepalen van schaduwen bij zonlicht neerkomt op het construeeren van omhullingsprisma's of cylinders en van hunne doorsneden met platte en met gebogen vlakken. Trekt men uit een gegeven punt P (Fig. 244) eene lijn, die in de richting van het licht voortgaat, dan is het snijpunt S van die lijn met het horizontale vlak de schaduw van het punt op dit vlak. Evenzoo is R (Fig. 245) de schaduw van Q op het horizontale vlak. Daar een punt geen afmetingen heeft, kan men eigenlijk niet van de schaduw van een punt op eenig oppervlak spreken; waar dit echter kortheidshalve gedaan wordt, moet men daaronder verstaan (1) Zoo b. v. denkt men zich bij het opwerken van teekeningen door zwaardere lijnen (zie de in de voorgaande noot bedoelde ^Handleiding"), bij elk der projectiën onafhankelijk van elkander, het licht te komen van de linker bovenzijde der teekening onder een hoek van 45°. Bij de horizontale projectie is dan ZA, bij de verticale projectie BX de richting der lichtstralen (zie Fig. 246). het snijpunt van den lichtstraal, die door het punt gaat, met het vlak waarop de schaduw geworpen wordt. Op dezelfde wijze moet men door de schaduw van eene rechte lijn op eenig vlak verstaan, de doorsnede van het platte vlak, door die lijn evenwijdig aan de richting van het licht gebracht, met het vlak waarop de schaduw geworpen wordt. Is de lijn krom, zoo moet men door die lijn een cylindervlak gebracht denken, welks beschrijvende lijn evenwijdig is aan de richting van het licht; de doorsnede van dit cylindervlak met eenig vlak is dan weder de schaduw van de gegeven kromme lijn op dat vlak. De schaduwen van rechte of van kromme lijnen hebben in het algemeen de volgende eigenschappen: De schaduw, door eene rechte of kromme lijn op een gebogen vlak en door eene kromme lijn op een plat vlak geworpen, is in het algemeen kromlijnig. De schaduw van eene rechte lijn op een plat vlak is eene rechte lijn, die dus volkomen bepaald is door de schaduwen van twee harer punten. Heeft de rechte lijn eene bepaalde lengte, dan zijn de schaduwen van hare uiteinden ook de uiteinden van hare schaduw. Is zij evenwijdig aan het vlak, dan is ook hare schaduw evenwijdig aan de lijn zelve. Het ontmoetingspunt van eene lijn met een vlak is een punt van de schaduw, door deze lijn op dat vlak geworpen. De schaduwen, door eene rechte lijn op onderling evenwijdige platte vlakken geworpen, zijn evenwijdig. De schaduwen, door evenwijdige lijnen op een plat vlak of op evenwijdige vlakken geworpen, zijn insgelijks evenwijdige lijnen. De schaduw van eene vlakke figuur op een vlak, dat evenwijdig is aan het vlak van die figuur, is gelijk en gelijkvormig met die figuur zelve. Na al het tot dusver voorgedragene, zal het wel onnoodig zijn dit een en ander nader toe te lichten, of ook de bestaande uitzonderingen op de genoemde algemeene eigenschappen aan te wijzen, zooals b. v. dat eene kromme lijn eene rechte lijn tot schaduw kan hebben, dat de schaduw eener rechte lijn een enkel punt kan zijn, dat de schaduwen van evenwijdige lijnen elkander kunnen bedekken , enz. Er blijft ons thans nog slechts over, door het behandelen van een aantal werkstukken, te doen zien, hoe men de aangewezen gronden tot het construeeren van schaduwen in toepassing brengt. Alvorens hiertoe over te gaan, merken wij nog op, dat de schaduwen in het algemeen slechts door hare projectiën worden aangegeven, zoodat eene aanwijzing van de schaduwen zelve slechts verkregen wordt ten aanzien van slagschaduwen op de projectievlakken geworpen. § 307. Werkstuk. De slagschaduiv van eene rechte lijn op de projectievlakken te construeeren. Beschouwen wij eene lijn AB (Fig. 247), die een punt A van het horizontale met een punt B van het verticale vlak vereenigt, dan weten wij reeds dadelijk, dat A een punt van hare schaduw op het horizontale vlak en B een punt van hare schaduw op het verticale is. Nemen wij nu in de lijn een willekeurig punt P aan, en bepalen wij het punt C', waar het horizontale vlak ontmoet wordt door eene lijn, uit P evenwijdig aan de gegeven richting van het licht getrokken, dan is C' de schaduw van P op het horizontale vlak. Trekken wij dus uit A' door C' eene lijn, die de as in D snijdt, dan is A'D de begeerde schaduw, voor zoover zij op het horizontale vlak valt. De lichtstraal, die het punt D dezer schaduw voortbrengt, treft in I) zoowel het verticale als het horizontale vlak en derhalve zal eene lijn, van B" naar D getrokken, de begeerde schaduw aangeven, voor zoover die op het verticale vlak valt. Door uit D eene lijn evenwijdig aan CP te trekken, vinden wij in de gegeven lijn het punt Q, welks schaduw D op elk der projectie^ vlakken juist in de as valt. Het snijpunt van den lichtstraal van het punt 1' met het verticale vlak, zou ook hier voor de schaduwbepaling hebben kunnen dienen. § 308. Werkstuk. De schaduw te bepalen van een rechthoekig parallelopipedum, dat op het horizontale vlak geplaatst is. Zij AB 11 (Fig. 248) het gegeven parallelopipedum en de richting van het licht zoodanig gekozen, dat zoowel op het horizontale als op het verticale projectievlak schaduw geworpen wordt. Uit de liguur blijkt terstond dat Dll, HG, GF en FB de schaduwwerpende ribben zijn. Aangezien de schaduwen van de ribben DII en FB op het verticale vlak verticale lijnen zullen zijn, zoo kunnen wij volstaan met het construeeren der schaduwen h en f, door de punten 11 en F op het verticale vlak geworpen. De schaduvv van de eerste ribbe is dan D'dh en die van de tweede ribbe Ü'bf. Construeeren wij verder de schaduw g van het punt G op het verticale vlak , zoo behoeven wij slechts dit punt met h en met ƒ te verbinden, om de schaduwen der ribben HG en GF op het verticale vlak te verkrijgen. Hierdoor is de geheele omtrek van de slagschaduw op het horizontale en het verticale projectievlak verkregen; een gedeelte der schaduw op het verticale vlak is door het lichaam onzichtbaar. Aangezien het zijvlak BFGC in de schaduw ligt (§ 304), zoo hebben wij dit in' verticale projectie zichtbare zijvlak, als behoorende tot de eigenschaduw van het lichaam, lichter gearceerd. Indien het parallelopipedum verder van het verticale vlak ware geplaatst geweest, zoodat b. v. de schaduw van de ribbe FG geheel op het horizontale vlak ware gevallen, zoo zou die schaduw gelijk zijn geweest en evenwijdig hebben geloopen aan B C en dus het construeeren van de schaduw van een der punten F of G op het horizontale vlak voldoende zijn geweest om met behulp van h de grenzen der schaduw te vinden; immers ook de schaduw van de ribbe GH zou, voor zooverre deze dan nog op het horizontale vlak viel, evenwijdig loopen aan C'D'. 309. Werkstuk. De schaduiv te construeeren van eene vierzijdige pyramide, die met haar grondvlak op het horizontale vlak slaat, indien de slagschaduw ten deele op hel horizontale vlak en ten deele up een achter het lichaam geplaatst hellend vlak valt. Zij TABCD de bedoelde pyramide (Fig. 249) en V het daarachter geplaatste hellend vlak. Trekken wij uit den top T eene lijn evenwijdig aan de richting van het licht, dan zou het ontmoetingspunt S' van die lijn met het horizontale vlak de schaduw van den top op dit vlak zijn, indien de lichtstraal uit T niet reeds door het vlak V was opgevangen. De uiterste lijnen S'B en SC, die wij uit S' naar de hoekpunten van het grondvlak der pyramide kunnen trekken, wijzen TB en TC als schaduwwerpende ribben aan, terwijl van die lijnen slechts de deelen B'b en Cc, begrepen tusschen het grondvlak en den doorgang VV,, met het deel bc van dezen door-1 gang de schaduw B'C'cftB' begrenzen, die door de pyramide op het horizontale vlak geworpen wordt. Construeeren wij verder door middel van het verticaal-projecteercnd vlak T"S"R' het snijpunt (<', t") van de lijn TS met het vlak V, dan is dit snijpunt de schaduw van den top der pyramide op het laatstgenoemde vlak; door dus t' met b en met c te vereenigen, verkrijgen wij den driehoek t'bc als, de horizontale projectie van de schaduw der pyramide op het vlak V. Door bb" en cc" loodrecht op de as te trekken , vinden wij den driehoek t"b"c" als de verticale projectie dier schaduw. Aangezien hierboven reeds TB en TC als de schaduwwerpende opstaande ribben verkregen zijn, is TBC het eenige van licht beroofde opstaande zijvlak. In beide projectien ia daarom dit zijvlak gearceerd. Het kan eenige opheldering vereischen, dat het zijvlak TAB ve licht wordt. Men zou namelijk allicht kunnen vermoeden dat eene lijn uit A' evenwijdig aan de horizontale projectie van de richting van'het licht getrokken , juist het tegendeel aanwees; dit vermoeden zou echter ongegrond zijn , want de genoemde lijn, uit A getrokken, toont alleen aan dat een vlak, volgens A'B' loodrecht op het horizontale vlak -esteld, niet verlicht wordt; het genoemde zijvlak der pyramide helt "echter achterover en ontvangt uitdien hoofde liet licht da. niet zou knnne» ontvangen, indien hel *>» £ Bovendien zou de schaduw van T A vallen langs A S en binnen B'S'. 8 310 Werkstuk. Een recht prisma, dat met Jjn grondvlak op het horizontale vlak en met een zijner opstaande zijvlaltollegen het verticale vlak staat, wordt overdekt door een rechthoekig paiallelopipedum, dat eveneens tegen het verticale vlak aansluit. Men begeert de schaduwen van deze lichamen te construeeren. , SVa», (B', SB»), (C-, eC") en D'D» ,Fig 250) de opstaand. ritten zijn van hel bedoelde prisma, dal het trapezium ABC , met A'D' en B'C' als evenwijdige zijden, tot grondvlak heeft ,i i • i m nr'F'ï'K' F/'F"G"H ) overdekt wordt, dat door het parallelopipedum (bl 1 K , L 1 b n j ov zoodat zijn grondvlak A'B'C'D' onzichtbaar is. Volgens § 300 CW de schaduw door de ribbe (C', cC") op de projectievlakken geworpen Hieruit volgt, dat de driehoek C'D'm, waarvan slechts Sr klein'gedeelte bij m zichtbaar is, de schaduw van het prisma op het horizontale vlak is, voorts dat het prisma op het verticale^ vlak schaduw werpt van D'D" tot ml en verder dat het zijvlak (C D , cD'D"C") van het prisma niet verlicht wordt, zoodat op dit zijvlak door bet narallelopipedum geen schaduw kan geworpen worden. Bepalen wij verder de ^hadaweif ƒ en g op het verticale vlak van * punten F en G vereenigen wij daarna G met g, en g f Wii ook no» fn evenwijdig aan F"E", zoo vinden wij dat op het verticale vlak G"g de schtduw van de ribbe van de ribbe FG, en fn de schaduw van een deel der ribbe El van narallelopipedum is. Alzoo is dan D'D"F"G"tfnmD' de omtrek van TsdiXw door de beide lichamen op het verticale vlak geworpe. Hoor »C' tot in 0' te verlengen en B'P e.e,„,,jd,g aan COto trekken vinden wij in de ribbe EF de punten P en Q , weikei schaduwen V en q op het voorvlak van liet prisma juist in de op- staande ribben (B' JB"'1 en IC" rC"\ ,,„n .. , , uu ) cn (L< , cL ) vallen: zoo wri dus onk nnrr hót dZ rSTTVrrf ":j,l,k h met D' te verbinden, uit B' »-v r r?d ,,ii xirrz % rij; iiL« * 'i'"» " 're"enP,ve„44 ™ T* 2: d-i°„Td: tT « -EJte IK en TM, omdat evenwijdige vlakken een derde vlak altijd volgens evenwijdige lijnen snijden. Zij snijden de grenzen der slagschaduw van het parallelopipedum in q en p Deze punten moeten dus de schaduwen zijn zoowel van punten der schaduwwerkende ribben van de pyramide als van punten der schaduw werpende ribben van het parallelopipedum. Zoo b. v. is het punt p de schaduw van het punt m der ribbe GH en tevens de schaduw van het punt P dei ribbe TM. De punten P, m en p liggen in ééne rechte lijn evenwijdig aan de horizontale projectie van het licht; hetzelfde is he geval met de punten Q, k en q. De deelen MP en KQ der ribben van de pyramide werpen schaduw op het bovenvlak van het parallelopipedum ; de andere deelen werpen schaduw op het horizontale vlak en op het prisma. Het construeeren van de slagschaduw van het prisma op het horizontale vlak zal wel geen toelichting behoeven. Alleen merken wii op dat de omtrekken der slagschaduwen van pyramide en prisma elkander in de punten * snijden. Deze punten zijn derhalve weder de schaduwen zoowel van de punten V der ribbe 0R van het prisma als van de punten W der opstaande ribben TK en TM der pyramide. Zij lio-o-en in rechte lijnen evenwijdig aan de horizontale projectie van het licht en daar de punten V tevens te beschouwen zijn als de schaduwen van de punten W der pyramide op het prisma, zoo zijn hiermede reeds twee punten der slagschaduw op dit prisma gevonden. Tot het voltooien dier slagschaduw , zullen wij eerstens de snijlijn bepalen van het zijvlak NOP van het prisma met het schaduwvlak der ribbe TM van de pyramide. Deze vlakken hebben de lijnen N'P' en t'p tot horizontale doorgangen en derhalve zal (a,a ) een punt dier doorsnede zijn. Tot het bepalen van een tweede punt der doorsnede, trekken wij uit een willekeur,g punt der lijn TM, b v uit T eene lijn evenwijdig aan de richting van het licht en constiueeren het snijpunt (c', c") di'er lijn met het verlengde zijvlak NOP. Immers die lijn ligt in het schaduwvlak der ribbe TM en dus is het snijpunt c zeker een°punt van de verlangde doorsnede De lijn ta'c',a"c") is nu de bovenbedoelde snijlijn; zij snijdt UiN in het punt (V, b"), hetwelk dus een punt van de schaduw is deiribbe TM op het prisma. Door dit punt met a en met V te verbinden, hebben wij ab\ als de slagschaduw van TM op het prisma Ook6van de slagschaduw van TK op het prisma, waarvan reeds een punt (het tweede punt V) bekend is, moeten wij nog een punt construeeren. Hiervoor nemen wij het puntd, alwaar de horizontale doorgang van het vlak NORQ den horizontalen doorgang lq van bet schaduwvlak der ribbe TK snijdt. V<2 is dus de slagschaduw van TK op het prisma. Zooals hierboven reeds werd opgemerkt, werpt van de ribbe FG het deel, dat zich op het horizontale vlak in B'A projecteert, schaduw op het horizontale vlak en wel volgens de lijn fq. Aangezien echter fq de lijn N'Q' in e snijdt, zal een gedeelte dier schaduw van af e worden opgevangen door het prisma, en wel volgens de lijn el. Dit punt l wordt gevonden als snijpunt van den lichtstraal Qkq met het zijvlak NORQ van het prisma, dus als snijpunt der in een zeilde vlak gelegen lijnen en c op het vlak ABC of tafereel te projecteeren, in 0'A 0'B en 0'C de projectiën der assen en in OY, 07/ en 0'c' de projectiën der coordinaten van P. Uit deze projectiën (Fig. 305) is het punt P als de axonometrisclie perspectief van het punt P (Fig. 304) onmiddellijk af te leiden, aangezien die lijnen voldoende zijn om de projectie te teekenen van het tegenover 0 gelegen hoekpunt P van liet parallelopipedum OP. De projectiën 0'X, 0'Y en 0'Z der coördinaatassen worden de axonometrisclie assen genoemd, terwijl men ze gezamenlijk meestal aanduidt met de benaming het assen/cruis. 0V, 0'b' en 0'c' zijnde axonometrische coördinaten van het punt P. De stand van het tafereel ABC wordt bepaald door de hoeken P en y welke de lijn 00' — die loodrecht op ABC staat — maakt met de coordinaatassen. Deze hoeken zijn niet onafhankelijk van elkander. Denken wij ons door het punt 0' drie vlakken evenwijdig aan de coordmaatvlakken gebracht, zoo sluiten deze met de laatstgenoemden een rechthoekig parallelopipedum in, welks ribben voorgesteld worden door 00'eosa, 00'cos/3 en 00'cosy, terwijl 00' de diagonaal is. Uit de Stereometrie weten wij, dat het vierkant der diagonaal gelijk is aan de som der vierkanten van de drie ribben; wij hebben dus: of oc'! = 00 '«co»1* -f 00'icosi/3 + 00'Wy cosJot-f-cosJ/3 4-cosJy = 1: dus ook: siu2x -J- sin*/3 -J- sitiify = 2 . . . Deze betrekking doet ons zien, dat uit twee der hoeken a, P en y de derde gemakkelijk kan worden berekend. Daar uit de figuur verder blijkt dat O'A 0'B . „ 0'C — =siw, -Qg- — smP en zoo zijn sin», sinP en siny tevens de verhoudingen waarin de assen OA, 015 en OC bij hare projectie op het vlak ABC verkort worden. Alle lijnen, die langs deze assen vallen of wel evenwijdig aan deze assen loopen, worden mede in dezelfde verhoudingen verkort, terwijl daarentegen lijnen, die evenwijdig aan het tafereel loopen, zich in hare ware lengten projecteeren en daarom onverkorte lijnen genoemd worden. In plaats van de verkorlingsverhoudingen sin», sinP en siny geelt men in de toepassingen meestal drie getallen m, n en p, die zich verhouden als sin», sinP en siny. Uit m:n:p = sin •). ' P - VV* + 4- f) py"ï en siny — met behulp waarvan wij dus zoo noodig », P en y kunnen berekenen, wanneer m, n en p gegeven zijn. § 375. Ook de hoeken AO'B, BO'C en CO'A, welke de axonometrische assen met elkander maken, zijn afhankelijk van de hoeken «, P en y. Wij kunnen derhalve het assenkruis gemakkelijk construeeren wanneer twee der grootheden », P en y of wel de getallen m, n en p gegeven zijn. Hiertoe merken wij op, dat de axonometrisclie assen vallen langs de hoogtelijnen AA , BB en tb (fier. 306) van den tafereeldriehoek ABC. Immers 00', die loodrecht staat op het vlak ABC, zal ook loodrecht zijn op de lijn AB, terwijl AB — die in het XY vlak ligt — ook loodrecht is op de lijn OC. AB staat derhalve loodrecht op het vlak COC', door de lijnen OC en 00' gebracht, dus ook loodrecht op CC'. Evenzoo toont men aan, dat AA' en ' BB' de andere hoogtelijnen zijn van den driehoek ABC. . ... ^ J * .1 1, f'/W" /-vrv» ,\a nn 1,1, UI IIP. Ti Denken wij ons nu aen anuiiuen. uvu um ^ — neergeslagen, zoo is de vorm van dien driehoek — waarin hoek CC'0 = boek C00' = y gegeven is — bekend, terwijl de absolute grootte ons onverschillig is, daar bet assenkruis niet verandert bij evenwijdige verplaatsing van bet tafereel. Wij beginnen derhalve met het teekenen van den rechthoekigen driehoek C00' (Fig. 307) waarin CO' eene willekeurige lengte heeft en de gewilde richting— meestal evenwijdig aan eene zijde van het vel teekenpapier — terwijl hoek C00' = y; de lijn in O loodrecht op CO getrokken snijdt dan het verlengde van CÖ' in het punt C'. De basis BA van den tafereeldriehoek staat in C' loodrecht op CC', terwijl het punt A op die lijn gevonden wordt, door het construeeren van de rechthoekszijde 0'A van den rechthoekigen driehoek 00'A (Fig. 30G) waarvan wij de rechthoekszijde 00' reeds kennen, terwijl de hoek O'OA = oc gegeven is. Deze driehoek 00'a is in Fig. 307 geconstrueerd en het punt A is daarna verkregen door uit 0' met 0'a als straal een cirkelboog te beschrijven. Verbindt men verder A met C en trekt men door 0' eene lijn 0'B loodrecht op AC, zoo is het assenkruis geconstrueerd met behulp deihoeken y en a. De hoek B wordt gevonden, door 0'é = 0'B te nemen en het punt b met 0 te verbinden. Het is duidelijk, dat de driehoeken aOO', 400' en C00' ons in staat stellen de coördinaten van eenig gegeven punt in de gewenschte verhoudingen te verkorten. Zet men langs de lijnen Oa, 06 enOC, de coördinaten 0/), Oq en 0/' van het punt uit, zoo zijn de projeetiën Oy, 0'g' en 0'r' de axonometrische coördinaten. De bovengenoemde driehoeken vormen samen de axonometrische schalen. § 376. In de voorgaande paragraaf werd het assenkruis geconstrueerd uit de hoeken «, /? en y. Is omgekeerd het assenkruis gegeven, zoo kunnen wij daaruit de hoeken tx, g en y en dus ook de axonometrische schalen construeeren. Hiertoe trekken wij in een willekeurig punt C', op de verlengde as ZO' gelegen, de lijn BA loodrecht op ZO', laten uit A eene loodlijn neer op BO'en vereenigen C met B. De tafereeldriehoek is dan bekend en dus zijn de axonometrische schalen te teekenen na een halven cirkel te hebben geconstrueerd, op CC' als middellijn, en daarop liet punt 0 te hebben bepaald, zóó dat 00' loodrecht op 0'C staat. § 377. Wij zeiden reeds, dat men in de praktijk meestal de verhoudingsgetallen m, n en p geeft en alhoewel daaruit de hoeken «, B en y zijn te bepalen (§ 374) en dus ook de constructie va^ § 375 te volgen is, zoo bestaat er echter eene eenvoudiger constructie voor liet assenkruis, ilic wij thans zullen leeren kennen. Het snijpunt O' (Fig. 306) der hoogtelijnen in driehoek ABC is tevens het 'middelpunt van den cirkel beschreven in den voetpuntsdriehoek A'B'C'. Om deze eigenschap aan te toonen, denken wij ons om de vierhoeken A'CB'0' en A'BC'O' cirkels beschreven, dan zullen de hoeken 0'A'B' en 0'CB', als staande op denzelfden cirkelboog, even groot zijn en eveneens ook de hoeken 0'A C en O eene zelfde grootte bezitten; daar verder de hoeken 0'CB' en 0'BC' even groot zijn, als complementen van den hoek BAC, zullen ook de hoeken 0'A'B' en 0'A'C' gelijk zijn en dus 0'A' eene deellijn zijn van den hoek B'A'C'. Op dezelfde wijze toonen wij aan, dat ook de andere hoeken van den driehoek A'B'C' worden middendoor gedeeld. Stellen wij nu de zijden des driehoeks ABC voor door a, b en c en de overstaande hoeken door A, B en C, zoo is: OC'2 = BC'. CA = ab cos A cos B terwijl uit de gelijkvormigheid der driehoeken A'CB' en ABC volgt: A'C: A'B' = AC : AB of b cos C : A'B' = b : c waaruit A'B' = c cos C en dus OC'2 . A'B' = abc cos A cos B cos C. 00' Verder volgt uit sin y = , in verband met het voorgaande: A'B' abc cos A cos B cos C siuiy 00'2 Geheel op dezelfde wijze vinden wij: B'C' CA' abc cos A cos B cos C sin'oc sin* (3 00'2 dus B'C' C'A' A'B' sirfex. sin1 (3 sin'y of B'C': C'A': A'B' = sin1 « : sin2 P: sin2 y = m2 : »2 : p\ Trekken wij nu de lijnen 0'M en 0'N zoodanig, dat hoek BO'M = hoek 0'BM en hoek AO'N - hoek 0'AN, dan zijn de driehoeken 0'MN en C'A'B'gelijkhoekig, dus gelijkvormig, en vinden wij: 0'N : 0'M : MN = m2: n2: p* welke evenredigheid, omdat 0'M = BM en 0'N = AN, ook te schrijven is BM : MN: NA = n* : />2 :m\ De constructie van het assenkruis wordt derhalve (zie Fig. 308): Zet op eene willekeurige lijn, loodrecht getrokken op de verlangde richting der Z as, drie stukken BM, MN en NA uit, die zich verhouden als n1, p2 en m2 en beschrijf uit M met MB en uit iV met NA als stralen cirkelbogen, die elkander snijden in O', dan zullen de lijnen 0'A en 0'B respectievelijk de X en V as zijn, terwijl de Z as door O' loodrecht op BA getrokken wordt. Opmerking. Voor het geval dat ra2, p1 en m1 groote getallen zijn, kan het uitzetten der drie stukken BM, MN en NA toch vrij eenvoudig geschieden, door gebruik te maken van de meetkundige eigenschap dat de vierkanten van koorden, uit een punt in een cirkel getrokken, zich verhouden als de projectiëu dier koorden op de middellijn van dit punt. Is b. v. m het grootst en neemt men in Fig. 309, AB = m, AC = n en AD=^j, zoo hebben wij AC2 = AC'. AB en AD2 = AD'. AB dus n2: p2 : m2 = AC': AD': AB. De drie uit te zetten stukken moeten zich dus verhouden als de lijnen AC', AD' en AB. § 378. De getallen m, n en p, waardoor de richtingen der axonometrische assen bepaald zijn, worden steeds op de teekening aangewezen; men spreekt dan van eene axonometrische perspectief volgens het stelsel (m, n, p). Voor het geval dat m = n=p, m. a. w. dat het vlak van teekening gelijke hoeken maakt met de drie oorspronkelijke coördinaatassen, maken de axonometrische assen hoeken van 120° met elkander. Men spreekt dan van isometrische perspectief en isomelrische assen, is en dus een punt of eene lijn door deze perspectief alleen onbepaald zijn. Is P (Fig. 305) de perspectief van een punt en zijn P', P" en P'" de perspectieven van de projectiën van dit punt op de coördinaatvlakken, zoo zijn twee dezer vier perspectieven voldoende om het punt in de ruimte volkomen te bepalen. Zijn b. v. P en P gegeven, dan ligt de projectie van het punt op het vlak XOY (het horizontale vlak) in het snijpunt van dit vlak met de loodlijn in op het tafereel, terwijl het punt P zelf het snijpunt is van de horizon taal-projecteerende lijn van het punt met de loodlijn in P op het tafereel. Wij zullen spreken over een punt(P, P'), als de perspectieven P en P' van het punt gegeven zijn. ^ ^ f Is AB de perspectief van eene lijn en zijn A'B', A B en A B de perspectieven van hare projectiën op de coördinaatvlakken, zoo zal het duidelijk zijn, dat men uit twee dezer perspectieven de beide andere kan afleiden. De lijn (AB, A'B') stelt in het vervolg eene lijn voor waarvan AB de perspectief is, terwijl A'B' de perspectief is van hare projectie op het XY vlak. Een vlak is'volkomen bepaald, zoodra men de perspectieven van twee zijner doorgangen kent. Zijn V, en V2 (Fig. 318) de perspectieven der doorgangen met het XY en met het XZ vlak — welke vlakken wij in het vervolg meestal het horizontale en het verticale vlak zullen noemen — zoo is daaruit ook de perspectief V 3 van den doorgang met het XZ vlak (derde vlak) bekend. Loopt het vlak evenwijdig aan het tafereel, zoo zijn de perspectieven der doorgangen evenwijdig aan de zijden van den tafereeldriehoek Met het vlak (V,, V2) zullen wij in het vervolg bedoelen het vlak, welks horizontale en verticale doorgang respectievelijk V, en \\ tot perspectief hebben. § 386. Werkstuk. De doorsnede te conslrueeren van twee gegeven vlakken. Zijn (V,, V,) en (W„ W,) de gegeven vlakken (Fig. 318), welker derde doorgangen V3 en W3 onmiddellijk te construeeren zijn, zoo behoeven wij slechts de snijpunten van de gelijknamige doorgangen te verbinden om de verlangde doorsnede te verkrijgen. De derde doorgangen snijden elkaar in P, de verticale doorgangen hebben liet punt Q gemeen; PQ is dus de gevraagde doorsnede, die tevens zal o-aan door het snijpunt S van de horizontale doorgangen. Wij noemden hier PQ de doorsnede, V3 en W3 de doorgangen der vlakken, alhoewel wij hadden moeten spreken over de perspectieven dezer lijnen; waar het geen aanleiding tot misverstand kan geven, zullen wij ons meermalen van die eenvoudiger uitdrukking bedienen'. S) 38/. Werkstuk. Het snijpunt te bepalen van eene rechte lijn met een vlak. ZÜ (l, l') de gegeven lijn en (V,, V,) het gegeven vlak (Fig. 310). Construeeren wij het horizonlaal-projecteerend vlak der lijn, dan zal dit vlak — dat /' tot horizontalen doorgang heeft, terwijl de derde doorgang evenwijdig loopt aan de Z as - het gegeven vlak snijden volgens de lijn PQ. Het snijpunt S van PQ en l is het gevraagde punt, dat door S en door de perspectief S' van zijne horizontale projectie volkomen bepaald is. In plaats van het horizontaal-projecteerend vlak, hadden wij elk ander vlak door l gaande kunnen gebruiken. § 388. Werkstuk. Een vlak te construeeren door eene lijn en een punt builen die lijn. Zij (A, A') de gegeven lijn en (P, P') het gegeven punt (Fig. 320). Wij trekken door het punt eene willekeurige lijn (B, 13'), die(A, A'} in het punt (S, S') snijdt. Door de punten Q en R, waarin de beide lijnen het horizontale vlak snijden, te verbinden, verkrijgen wij den horizontalen doorgang V, van het gevraagde vlak. De verticale doorgang moet gaan door v en door het snijpunt T van de lijn A met het verticale vlak, of ook door het snijpunt U der liin B met dit vlak. In plaats van de lijn (B, B'), hadden wij ook eene lijn (G C') evenwijdig aan (A, A') kunnen gebruiken. Hierdoor is tevens'het werkstuk opgelost, om door twee evenwijdige of twee elkander snijdende lijnen een vlak te construeeren. Ook zal de lezer gemakkelijk inzien op welke wijze men kan onderzoeken of twee lijnen elkander al dan niet kruisen. § 389. Werkstuk. In een gegeven vlak een willekeurig punt aan te nemen. Daar het punt niet bepaald is, kunnen wij b. v. de perspectief S' der horizontale projectie willekeurig kiezen (Fig. 320). Het punt is dan bepaald als liet snijpunt van het vlak met de lijn die in S' loodrecht op liet horizontnle vlak wordt opgericht. Daartoe behoeven wij slechts door de lijn SS' een willekeurig vlak te brengen en de doorsnede RT van dit vlak met het vlak (V V ) te bepalen. Het eenvoudigste is het vlak door SS' evenwijdig' aan OEFENINGEN. 2o3. Van eene lijti zijn de perspectief AB en de perspectief A'B' van hare projectie op liet XY vlak gegeven. Stelsel (2, I , 2). Bepaal de hoeken waaronder die lijn het XY vlak en liet tafereel snijdt. 254. Teeken de axonometrische perspectieven van twee elkander kmisende lijnen en die van hare projectiën op een der coördiuaatvlakken, en construeer de perspectief van de lijn die de beide lijnen loodrecht snijdt en den afstand der beide snijpunten. 255. Wanneer de axonometrische perspectieven van twee elkander snijdende lijnen en die harer horizontale projectiën gegeven zijn vraagt men den hoek te construeeren, waaronder die lijnen elkander snijden. 256. Een punt is gegeven door zijn perspectief P en die van zijne projectie op het XY vlak, terwijl van eene lijn evenwijdig aan liet tafereel de perspectief AB bekend is. Bepaal de perspectief van de projectie dezer lijn op het XY vlak, indien de afstand van het punt tot de lijn gegeven is. Stelsel (2,1, 2). 257. Twee loodrecht op elkander staande lijnen AB en AC zijn gegeven als de axonometrische perspectieven van twee elkander kruisende lijnen, terwijl de perspectieven A'B' en A,'C' van hare projectiën op het XY vlak evenwijdig gegeven zijn. Stelsel (2, 1,2). Construeer den hoek waaronder die lijnen elkander kruisen. 258. Construeer de axonometrische perspectief van de regelmatige veelvlakkige lichamen, met een zijvlak op het horizontale vlak geplaatst. 259. Op het bovenvlak van een rechthoekig parallelopipedum, dat op het horizontale vlak rust, staat eene driezijdige pyramide. Wanneer de lichamen door hunne projectiën gegeven zijn, vraagt men de axonometrische perspectief dezer lichamen. Stelsel (9, 5, 10). 260. De projectiën van een driezijdig prisma, dat met een zijner opstaande zijvlakken op het horizontale vlak ligt, gegeven zijnde, vraagt men de axonometrische perspectief te construeeren. Stelsel . , ... 261. De axonometrische perspectief AB van de zijde van een in het horizontale vlak gelegen vierkant is gegeven. Men vraagt de perspectief te construeeren van het regelmatig achtvlak, waarvan het vierkant de diagonaaldoorsnede is. Het assenkruis is gegeven. 262. Teeken in axonometrische perspectief een kubus die op het horizontale vlak staat en een kegel, die op den kubus staat en den cirkel, in het bovenvlak van den kubus beschreven, tot grondvlak heeft. De perspectief van eene in het horizontale vlak gelegen ribbe is gegeven, terwijl de hoogte van den kegel gelijk is aan de ribbe van den kubus. Stelsel (2, 1 , 2). 263. Een regelmatig zeszijdig prisma ligt met een rechthoekig zijvlak op het horizontale en met het grondvlak tegen het derde vlak. liet hoekpunt in de Y as, dat het dichtst bij O ligt, is op een afstand 5 daarvan verwijderd, de ribbe van het grondvlak is 4, de hoogte van het prisma is 10. Construeer de doorsnede van het prisma met een vlak dat van de assen OX, OY en OZ stukken ter lengte van 4, 10 en —8 afsnijdt. Stelsel (2, 1, 2). 264. Teeken in axonometrische perspectief een rechten cirkelvormigen kegel, die met zijn top op het horizontale vlak geplaatst is en waarvan het grondvlak evenwijdig aan dit vlak loopt. De coördinaten van het middelpunt van het grondvlak zijn (8, 4, 6), de straal van het grondvlak is 3. Stelsel (9, 5, 10). 265. De axonometrische perspectief te bepalen van een rechten cirkelvormige!) cylinder, die met een zijner beschrijvende lijnen op het XY vlak ligt, niet evenwijdig aan een der assen. Stelsel (2, 1 , 2). 266. Van eene hyperboloïde met één blad zijn de richtlijnen de as OX, eene gegeven lijn in het vlak ZOY evenwijdig aan OZ en eene gegeven lijn loodrecht op het XOZ vlak getrokken. Neem een punt aan op het oppervlak, op eene beschrijvende lijn welker horizontale projectie een hoek van 30° maakt met 0X, en gelegen tusschen de tweede en derde richtlijn, en teeken de axonometrische perspectief van het raakvlak in dit punt. Stelsel (7 , 6, 8). 267. Van eene hyperbolische paraboloïde zijn de richtlijnen de as OZ en eene gegeven lijn evenwijdig aan het vlak YOZ, terwijl bovenvlak des lessenaars verkregen, als men de punten D en F met G verbindt en uit D en F lijnen evenwijdig aan GF en GD trekt. liet zal wel onnoodig zijn aan te wijzen, hoe men omgekeerd uit eene cavalière perspectieftekening de werkelijke afmetingen van de verschillende onderdeelen van een lichaam kan vinden. ^ 402. Werkstuk. De cavalière perspectief te bepalen van een rechten cirkelvormigen cylinder, die op het horizontale vlak staat (n == Zooals in Fig. 338 is aangegeven, raakt de cylinder aan de beide vlakken XOZ en YOZ. Wij beginnen met het bepalen van de perspectief van het grondvlak des cylinders, d. i. van een in liet horizontale vlak gelegen cirkel. Daartoe beschrijven wij om dien cirke een vierkant OA'B'C', welks zijden evenwijdig aan de assen UX en OY zijn, en brengen dit vierkant met de daarin getrokken middellijnen D'E' en F'G' op de bekende wijze in perspectief. Daar n — , gegeven is, zullen alle lijnen evenwijdig aan de X as gelijk moeten worden genomen aan de helft der ware lengten dier lijnen. De op deze wijze verkregen perspectieven DE en F G zullen toegevoegde middellijnen zijn van de ellips, die de perspectief van den cirkel voorstelt, terwijl de zijden van het verkregen parallelogram OABC raaklijnen zullen zijn aan die ellips. Het bewijs hiervan la en wij, onder verwijzing naar § 148, aan den lezer over. Tot het bepalen van verschillende punten der ellips, kunnen wij gebruik maken van de constructie op toegevoegde middellijnen, in 8 148 geleerd, of wel verschillende punten van den cirkel in peispectief brengen, zooals b. v. in de figuur is aangewezen voor de punten H cn K. Men heeft H'K' in een willekeuig punt L bodreclit op F'G' getrokken, daarna FL = F'L' genomen en eindelijk LH = LK = \ H'L' evenwijdig aan OY geteekend. De perspectief van het bovenvlak van den cylinder is eene ellips die gelijk en gelijkvormig is met de eerstverkregene en daarvan verwijderd op een afstand gelijk aan de gegeven hoogte van den cylinder Tot het voltooien van de perspectief van den cylinder, moeten nu aan de beide ellipsen de uitwendige gemeenschappelijke raaklijnen worden getrokken. De raakpunten R en S zijn nauwkeurig te construeren. Trekken wij toch DP loodrecht op FG en maken w,j M'P' = MP, zoo is D'P' de richting van alle horizontale lijnen wier perspectieven evenwijdig loopen aan 0Z. Trekken wij derhalve aan den cirkel M' twee raaklijnen evenwijdig aan D'P', zoo behoeven wij slechts de perspectieven te bepalen der raakpunten R' en S , om onmiddellijk de verlangde raakpunten R en S te verkrijgen. . i ,' . :t in perspectief brengen van een cylinder komt, zooals van ppn 'S V ?°r"ar"elf neer °P.het bepalen van de perspectief vink \07°" C ' i Z0 C"keI 10 6en V,ak evenwijdig aan het vlak XÜZ, zoo is de perspectief weder een cirkel van gelijken straal punfLplTd t J tC ^ Pel'SpeCtief Van hetmiddel" Ligt de cirkel in een vlak evenwijdig aan het vlak YOZ, dan is perspectief eene ellips, waarvan weder onmiddellijk twee toegelegde middellijnen gevonden worden, door de perspectieven te bepalen van twee middellijnen des cirkels evenwijdig aan de assen OY en OZ getrokken, op overeenkomstige wijze als in de voorgaande paragraaf is aangewezen. 8 V0°' 'le j °CNa' de C"^e' een willekeurig gegeven vlak a" "'en' het bepalen van de perspectief van twee loodi op elkander staande middellijnen des cirkels, twee toegevoegde min e™T ?!'ïSChe PersPectief vi"den. Gemakshalve neemt en dezer middellijnen evenwijdig aan het vlak ZOX, dus even- riü ar.i"en 7rÜCalen doorgang van het vlak des cirkels aan Deze middellijn zal zich dan in ware lengte projecteeren. § 404. De beschouwing van eene ellips als de scheeve projectie n een cirkel geeft aanleiding tot de zeer eenvoudige constructie indien wnaeener,t P,S' ^ ^ ^ in § U9 leerden k<™, grootte g^even zijn " t0egeV°egde » Sta"d het'vkk X0AYC:?' (F'g', !30) de CaValière PersPectief ^n een in het vlak XOY gelegen cirkel, welks middelpunt M' in OX valt dan r-n* H n"»n cL' gelrokken, ook de ellips „lerl_ "'""'J'1'» Wy zouden l,et punt C' van de ellips ook kunnen beschouw™ ™ nis de ee„,e m„,| op „et tafe„e, is komt dan overeen met het punt r en ,1e lijn PV is evenwijdig aan Cd Men zal op die wijze gemakkelijk inzien, dat ook de beide raaklijnen aan Ten cirJ, die evenwijdig aan Ci getrokken zijn, dC"gemeenschappelijke raaklijnen aan de ellips en den cirkel wijzen ons dan, zooals in § 149 werd gezegd, den weg tot construeeren van de assen der ellips. van een O *r\r WT^w^rrcfjitr Da onVllIrP.rP. 7)P,V sneclief te bepalen 4Uu. vv r^rvivöi ui\. i i • i ï ' i 1 rechten cirkelvormigen kegel, die met zijn grondvlak op het horizontale Vl' wfzdlt^annemen, dat de kegel bepaald is door de coördinaten van liet middelpunt M' (Fig. 337) van zijn grondvlak den straal van dit grondvlak en de hoogte. Zijn 0\, 0\ en 0Z de as.e dan kunnen wij, op de wijze als in § 400 verklaard is, de perspectief h°rB™