EERSTE BEGINSELEN VAN DE ARITHMETICA O F REKENKUNST, TEN GEBRUIKE DER SCHOOLEN. EERSTE DEEL. Opgedragen aan 't Genootfchap der Mathematifche Weetenfchappen,onder de Spreuk: EEN ONVERMOEIDE ARBEID KOMT ALLES TE BOVEN. d o o a ARNOLDUS BASTIAAN STRABBE, Lid en Secretaris van het zelfde Genootfchap-, Lid van de Sociëteit der aum-Rekenaars te Homburg , en Leermeefter der Wiskunde te Amjterdam. Te AMSTERDAM,^ J. B. E L W E , Boekverkooper, op de Pypenmarkt by den Dam.   VOORREDEN. Toen ik in den Jaare 1769, ten gebruikt van Comptoir - Bediendens en Liefhebbers der Rekenkunst, een Werk in 't licht gaf onder den Tytel van Vernieuwde Licht des Koophandels, of grondig onderwys in de Kooprnans Rekenkunst, was myn voornaamfte toeleg om hun die, na alvoortns de eerfle beglnfelen der Rekenkunde geleerd te hebben , zich aan den Koophandel, de voornaamfte zenu w van den bloei en welvaart onzer Republiek , hébben toegewyd, in alles wat op de voornaamfte Comptoiren te rekenen voorvalt bekwaam te maaken. Ik behoef niet te zeggen in ho.e verre ik in dat oogmerk geflaagd ben; vermits bet fpoedigvertier van dat Werk, dat, als reeds vóór eenige 'Jaaren geheel uitverkocht zynde, thans door een noodlottig toeval, niet tegenftaande de greetigheid met welke het alsnog wordt gezocht, der vergeetelbeid fchynt overgegeevente zyn , ten klaarften bewyst, dat mytte poogingen met den gewenzchten uit/lag bekroondzyn. Schoon nu , zo als gezegd is , dat Werk niet eigenlyk voor de Schooien gefchikt zvas, heeft het echter V geluk gehad, dat het niet alleen in verfchei.de Collegiè'n der Rekenkunde , maar ook in  VOORREDEN. fommige Schooien tot eene Handleiding gebruikt is; terivyl my van tyd tot tyd door veelen myner Grienden , en daar onder Mannen vsn eene uitfteeken ■ de kundigheid in de Mathematijcbe Weetenfchappen, werdt voorgehouden , dat het IVerk van een nuttiger en algemeener gebruik zou zyn, 'als, behalven de Kooprnans Rekenkunst, ook vooraf de eerfte en eenvoudigfte heginftLn der Rekenkunde duidslyk en bevatbaar daar in voorgedragen werden. Dan de meenigte Rekenboeken welke in onze Taal het licht zien, en wier getal nog van tyd tot tyd met andere (meest de gebreklyke Leerwyzen van Bartjens en van Lintz lolgende) vermeerderd wordt, wederhieldt my, hoe zeer ik de noodzaakelykheid begreep om een verbeterd Rekenboek in onze Schooien in te voeren, daar aan te arbeiden. Ik wil wel bekennen, dat het P r og r a m m a van VEdamsch Genootschap Tot Nut van 'c Algemeen , in Augustus 1786 door de publieke Nieuwspapieren voorgefteld, waar by een Gouden Eerpenning van twintig Dukaaten den Schryver wordt aangeboden, welke een beter dan de tot nog toe bekende Rekenboeken vervaardigt, V welk, voor het Schoolgebruik gefchikt zynde, in yisr  VOORREDEN. vier Deelen zou moeten gefcbeiden, en voor den jiten van Grasmaand 1788 in gekeverd worden; ik wil wel bekennen, zeg ik, dat ^//Programm a myne lust tot het vervaardigen van een beter dan de tot nog toe bekende Rekenboeken op nieuw gaande maakte : doch de volgende bedenkingen fcheenen my onoverkomelyke hinder paaien te zyn, om naar den uitgeloofden Eerpenning te dingen. O Het Genootfchap hadt bet Plan van't Werk voer den Schryver moeten overlaat en, enzichflegts bepaald hebben tut de onderwerpen, welke daar in afgehandeld moesten worden. 2) Daar het eene onloochenbaare waarheid is, dat iemand, die de Rekenkunst niet, zo als men zegt, par routine, maar volgens Wiskunftigegron~ den geleerd heeft, zulks dat hy in ftnat is van alle zyne bewerkingen reden te geeven, en dezelve door bondige bewyzen te ftaaven , dezelve met weinig moeite op zodanig Ambacht, Fabriek of Handwerk , waar toe hy opgeleid wordt , zal weeten toe tepasfen, zo is bet, myns bedunkens, ten hoogften ongerymd {het Genootfcbap vergeeve my deeze uitdrukking') zodanige toepasfing in een Werk over de Rekenkunst te vorderen , alzo de * 3 kun*  VI VOORREDEN. kundigfte Rekenmeesters doorgaans geen Ambachten , Fabrieken of Handwerken verf aan , en dat men in ds gantfche Republiek bezwaarlik één man zou vinden, welke van alle die zaaken kennis hadt. En hoe , ik laat het onpartydigen ter beöordeeling over, kan men de Rekenkunde op onderwerpen toepasfelyk maaken, welke men in 't geheel niet ver [laat? 3) Niets is klaarblyklyker, dan dat hy die in flaat is een goed en wel aanëengefchakeld Plan 'van een Leerboek voor de Jeugd faamen te fel. len, ook in (laat is hetzelve uit te voeren; ik verftaa hier een zodanig Plan, waar in alle de verdeelingen niet fegts aangefiipt ,maar ook door bondige redeneeringen aangetoond worden zoo en niet anders te moeten zyn. Hadt het Genootfchap den Eerpenning voor een zodanig Plan aangeboden, mits dat de Opfteller van het bestgekeurde zich op billyke Voorwaarden verbondt hetzelve ook uit te voeren , niemand zou greetiger geweest zyn dan ik om naar den Eerpenning te dingen. Deeze bedenkingen waren dus oorzaak , dat ik het vervaardigen van een nieuw Rekenboek voor de Schooien toen geheel uit myne gedachten flüde, in  VOORREDEN. vu afwachting wat bet gevog van het bovengemelde Programma zou zyn. Doch de herhaalde inftantien myner Vrienden, en hunne vuurige wenscb om een volkomen faamenflel van alle de takken der gemeene Rekenkunde, ten gebruike der Schooien, door my vervaardigd te zien, hebben my eindelyk doen befluiten de hand aan V werk te /laan, en zodanig Rekenboek in vier Deel en af te handelen, waar van dit eerde thans het licht ziet. V Zal niet noodig zyn te zeggen , dat dit Werkje een nieuw licht over dé Rekenkunde verfpreidt, en niets minder dan eene navolging van onze gewoone Rekenboeken is. Ik heb, in gevolge de begeerte van het Edamsch Genootfchap {en hier in ben ik met hetzelve volmaakt van één gevoelen ,")degronden der Rekenkunde beredeneer'dverhandeld, en alle voorkomende zwaarigheden klaar en duidelyk opgelost; hebbende zelfs, om my naar de vatbaarheid van Kinderen te richten, geoordeeld van geen Wiskunftige tekenen gebruik te moeten maaken, hoe zeer dezelve anders niet weinig toebrengen, om de beredeneeringen der grondbeginfelen in een kort beflek duidelyk voor oogen te feilen. Vnkortingen of voordeden in %t Rekenen hoe nut»  vin VOORREDEN. nuttig dezelve ook zyn, zal men in dit eer/Ie Deel weinig aantref en. Om eene Kunst of Weetenfchap •wel te bevatten, moet men aan geene handgreepen denken, vóór dat men de daar toe noodige vaardigheid m het verëiscbt doorzicht verkreegen heeft. Men moet eerst den langen weg bewandeld hebben, zal men in /laat zyn eenen korter en te vinden:' de meeste Verkortingen worden uit ie eigenfchappen der Getallen, en hunne betrekkingen tot elkander, afgeleid-, dus is het geenzins het werk van Eerstbeginnenden, wien nog de verëischte hedreevenheid ontbreekt, daar aan te denken. Om die reden heb ik die voordeden befpaard voor het naastvolgende Deel, waar in de eigenfchappen der Getallen, en hunne onderlinge betrekkingen,grondig onderzocht, en op de Regelen, welke in dit Deel verhandeld zyn, toepasfelyk gemaakt zullen worden. Voor het overige laat ik de béöordeeling van dit Werk voor kundige Rekenmeesters over; terwyl ik my weinig bekreunen zal aan de laage en laffe vitte» ryen.van hun, welke meer berisplust dan grondige kennis bezitten: als wel verzekerdzynde, datmyne bedoelingen niets berisplyks bevatten, maar eenig en alleen het nut der leer gierige Jeugd tot oogmerk hebh.tt. ARITH.  ARITHMETICA O F REKENKUNST, TEN GEBRUIKE DER ScHOOLEK. De Rekenkunst (Jrithmetica) is efeenlvk eene andere te vinden , van welken eene zekere eieen- Een getal is iets dat eene hoeveelheid uitrirntfnaamelyk eene verzameling van ^rkitiSS,^ foortige dingen die men noemt g * Dus » eene henluid niets anders dan een denk- ^e^HWfr d°°r,wy een diDê van een anderen de zelfde foort onderfcheiden. n NUMERATIO of Telling. De iNWtfw leert de Tekens der getallen be. A nr.o_  a ARITHMETICA noemen , uitfpreeken, en naar eene aangenomene fC De^fkens? waar van men gebruik maakt om de Getallen uit te drukken, zyn deeze: o, i, a, 3, a s 6-7 8 0; en worden in hunnen rang aldus benoemd: nul, éêti, twee, drie, vier, vyf, ZgOm'vSder"S tellen voort te gaan , en alle moceivke Getallen met deeze 1 ekens mt te drukken , moet men dezelve niet alleen op z!ch zeiven beichoüwen, maar ook ten aanzien hunner plaatfelyke waardv BV voorbeeld, als men een getal fchryft dat; uit eeniee van deeze Tekens beftaat, heeft men in de eertte plaats ter rechterhand Eenheden, in de tweede Tienel, in de derde Honderden, m de vierde Duizenden , en zo vervolgens heeft ieder leken S de linkerhand eene tienmaal grooter waardv dan ' het naastvoorgaande, . , . r, Indien 'er in het getal, dat men begeert te fchryven, geen Eenheden, geen Tienen, geen Honderden, zeen Duizenden, enz. gevonden worden, gebru kt men de Nul, die op zich zelve mets beduidt, cm die ledige plaatfen aan te vullen en de overige reken» in hunnen rang te behouden. Om die eden worden Tien, Honderd, Duizend, enz. aldus gefchreeven: ,0, 100, icoo, &c., tenbewyze, dat, volgens de voorgenomen fchikking in «t eerfte geen Eenheden , in 't tweede geen Eenlteden.noch Tienen, in 't derde geen Eenheden, Tienen noch Honderden-, enz. gevonden worden. De verfchillende rangen of plaatfen, van de rechter naar de linkerhand voortgaande, worden aldus De eerfte'rang beftaat in Menen of Ewhcfan. De tweede tri Tienen. De derde in Honderden, ps  of REKENKUNST. 3 De vierde in Duizenden. De vyfde in Tienduizenden. De zesde in Honderdduizenden. De zevende in Duizendduizenden, of Millioenen. En zo voorts, tot in 'toneindige. Verders noemt men, om de '1 elling gcmaklyker te maaken, Duizend maal duizend Millioenen een Billioen. Duizend maal duizend Billioenen een Trillioen. Duizend maal duizend Trillioenen een Quadrillioen, Duizend maal duizend Quadrillioenen een Quintülioen. Duizend maal duizend £Juintillioenen een Sextillioen. Duizend maal duizend Sextillioenen een Septülioen. Duizend maal duizend Septillioenen een O£tillioen. En zo vervolgens. De Numeratio is tweeledig , en beftaat: J. In het uitfpreeken van een met talletters gefchreeven getal. Il.ln het fchry ven met talletters van een uitgefproken getal. I. Om een met talletters gefchreeven getal uit te fpreeken. Regel. Verdeelt het gegeeven getal van de rechter - naaf de linkerhand door Comma's of kleine ftreepjes zodanig in Clasfen, dat elke Clasfe in drie rangen of plaatfen beftaat; terwyl aan het einde ter linkerhand drie of minder plaatfen mogen overig blyven. Stelt vervolgens boven de zevende plaats of letter een punt, boven de dertiende letter tweepunten, boven de negentiende letter drie punten; en zo vervolgens boven ieder volgende zesde letter naar de linkerhand een punt meer, om dehoogere Waardyën aan te wyzen. Alsdan wordt eene enkele Commaofftreepje door Duizend, een punt door Milliotn, twee punten door A 2 BH.  4 ARITHMETICA Billioen, drie punten door Trillioen, enz. uitgefproken. Daarbenevens betekent het eerfte getal aan de Hnkerhand in eene Clasfe Honderden, het nuddelfte Tienen-, en het laatfte Eenheden. Tot opheldering dient het volgende Voorbeeld. Men begeert het getal 796487251362:954^732 uit ^üShlt getal , van de rechter - naar de linkerhand voortgaande, in Claslen af,. volgens den voorgaanden Regel aldus: 796,487,251, 362,795 > 458,732 Dan wordt het getal op de volgende wyze uitge- Ze^eThonderd zes en negentig Trillioenen, vier honderd zeven en tagtig duizend twee honderd één en vyftig Billioenen , drie honderd twee en zestig duizend zevenhonderd vyf en negentig Millioenen vierhonderd agt en vyftig duizend zevenhonderd twee en dertig. Voorbeelden tot Oefening, Hoe worden de volgende getallen uitgefproken ? 31a 409 Ï570 2053 46821 97082 1237*5 820.10043 H. 47200-4680 27146127158 408527CS83241 299733 U703ïa 5001 000081046 912C0OCO00015 9718701020304 9999999999999  of REKENKUNST. 5 II. Om een uitgefproken getal met talletters te Jihryven. Regel. Neemt in aanmerking de grootte van ieder Lid, waar in het getal afgedeeld is, als mede de waarde van het eerfte Lid ; dan is het getal der Leden bekend; waar na men ieder Lid in zyne byzondere CJaslen verdeelt: men plaatst echter de Comma's zo yer van elkander, dat tusfchen elke twee Comma's drie talletters gefchreeven kunnen worden. Schryft dan ieder Lid byzonder elk op zyne plaats, en vult de ledige plaatfen met nullen: dan zal aan een eisch voldaan zyn. Voorbeeld. me fchryft men drie Billioenen, vyf honderd zeventig duizend, ane honderd en vier Millioenen, azthonderd zeven en dertig duizend, twee honderd en veertig? Maakt eerst een ontwerp der plaatfen, en verdeelt die in de behoorlyke Clasfen en Leden, door aanwyzing der Comma's en punten , aldus: "V* * *,••* 4 * •*•#•* *** Dan is 'er verders niets anders te doen , als op elk-e plaats het daar toe behoorende getal te fchryyen, en de openblyvende plaatfen met nullen aan te vulfen, als hier onder te zien is. 3 570 304 837' 240 fchreeven gCtal behoorIvk met ta/le»ers ge. A 3 Foor*  6 ARITHMETICA FoorUelden tot Oefening. Hoe fchryrt men de volgende getallen? i. Vyfduizend zevenhonderd en negentien? 2' Twee en zeventig duizend en zes? ; 3' Zevenhonderd drie en dertig duizend en drie en twintig? ... , , 4. Tweehonderd dertig Millioenen, driehonderd vyf en zestig duizend, agthonderd zeven en < Der&ÏUlioenen, vyfduizend driehonderd elf? 6. Vierhonderd duizend Millioenen, éénduizend 7 Z»ve8n'en zeventig E.illioenen , drie honderd Ivf en zestig duizend twee honderd vyf en vyftig Millioenen, zeshonderd vyf en der- r \feen en twintig Trillioenen , drie duizend Spóèhen , zeventig Millioenen , negenduizend en dtie? ADDITIO of Saamentelling. De ASMXh of Saamentelling leert twee of meer Getallen tot eene fom brengen , die zo groot moet zV als alle de voorgeftelde Getallen te ^Om deeze fom te vinden, moet men acht geeven op den volgenden Regel. 1 Schrvft de gegeevene Getallen zodanig order elka'nderVdat geïyfe onder gelyke , naamelyk  of REKENKUNST. 7 heden onder Eenheden, Tienen orider Timen, Honderden onder Honderden, enz. komen te (taan. a. Trekt alsdan ouder de gefchreevene Getallen een ftreep. 3. Begint alsdan de optelling aan de rechterhand met de Eenheden, en fchryft van het komende getal de Eenheden onder die ry; telt voorts rie Tienenvm dat getal by de volgende ry, die insgelyfcs in Tienen beftaat ; de Honderden van het alsdan komende getal weder by de volgende ry, die in Honderden befia.it , en zo vervolgens ; dan bekomt men de begeerde lom van alle de gegeevene getallen. Voorbeeld. Men begeert de getallen 13,135,7,249 5 865, 85 en I429 faamen te tellen. Stelt de getallen volgens den Regel behoorlyk onder elkander, en trekt onder dezelvcn een ftreep ; dan gefchiedt de bewerking op de volgende wyze. 33 Met de ry der Éenlieden beginnende, telt 135 aldus : 9 en 6 is 15. en 5 is 20, en 9 is 7 en 7 is 36 , en 5 is 41, en 3 is 44; de 249 lom van deeze ry beftaat dus in 4 Tienen 865 tn 4 Eenheden: plaatst dus de laatstgemeli'.ó de 4 onder de ry der Eenheden, en telt de I42s> 4 Tienen by de volgende ry, aldus: 4 en a —— is 6, en 8 is 14, en 6 is 20, en 4 is 24,en 2784 3 is 27, en 1 is 28: de fom van deeze ry beftaat dus in 1 Honderden en 8 Tienen: plaatst dus wederom de laatstgemelde $5 onder dery cier Tienen , en telt de 2 Hwderden by de volgende ry , aldus: a en 4 is 6, en 8 is 14, en 2 is 16, en 1 is 17; de fom van deeze ry beftaat dus in 1 Duizend en 7 Honderden; plaatst dus nogmaals de laatstee. A 4 mei-  8 ARITHMETICA melde 7 onder de ry der Honderden, en telt de 1 Duizend by de volgende ry, aldus: 1 en 1 is 2: plaatst deeze 2 onder de ry der Duizenden, dan is het werk volbragt, en de begeerde fom zal dan zyn 2784. Tot gemak in de Optelling bedient men zich lomtyds van Handgreepen , die eene merkelyke verkorting aanbrengen; naamelyk door twee of drie letters gelyk te neemen, die faamen 10 of 20 uitmaaken; of door een ander getal in gedachten te breeken , om met twee of drie getallen , die niet volkomen 10 of 20 zyn, een zodanig getal te hebben ; doch alzo deeze handgreepen eene bebbelykheid verëifchen , die alleen bedreevene Rekenaars eigen is, achten wy het buiten ons bellek te zyn voor alsnog daar van te fpreeken. Voorbeelden tot Oeffening. 1. Addeert of telt te faamen 7, ia, 19,45,321, en 746, 2. Addeert 714, 890, 465, 59, 815, 907, 5, en 1235. 3. Addeert 495, 314, ?2, 07335798,3167,9325,34, 549 ,9123, 605, ii42,13, en 5970. 5. Addeert 82672,439, 7304,17236,492«i75<5, 3788,48,1748,1672,12, en 4019. 6. Addeert 6234, 71089 ,6,452,1330", 27 ,12347, 999*746,872362,1468,788,14639,050268, en 125. 7. Addeert 77, 80642,152,3337,9208,1472054, 98621,465,3125867,35,057002,6257,8892, 4650389,7286,92712} 436,87650428,16, en 287699713. 8, Ad  of REKENKUNST. 9 8. Addeert 23, 234, 2345,23456,2.34567,2345678, 234S6789, 32, 324. 3542» 42536, 74.265, 5876423, en 98254617. 9. Addeert 203 , 302, 407, 908, 504 ,605, 709, 402 , 307, 609, 903 . iao8 , 405, 27o6. ",09, 5405, 1708, 801 , 1607, 3308, 1309, MC6, 108,2909, en 30';. 10. Addeert 30406,508,20-01,60204,707,80409, I03, 270805 , 602C9 > 2830505, 606, . 40508, 1230109 ,4620702,790209,2130507,7o1, en li 110705. Van alle de Proeven op de Additio, welke men by verfcheide Autheuren vindt, is 'er flegts één , waar op niets te zeggen vak, en welke ons de natuurlykfte fchynt te zyn : naamelyk deeze , dat men eerst van onderen naar Ooven gereld hebbende, zulks by de proefoeeming van boven naar onderen doet; want daar door volgen de letteren in eene andere fchikking op elkander , en het is dus niet wel mogeiyk tweemaal in denzelfden misflag te vallen, dat anders by herhaaling verfcheide maaien kan gebeuren , zoo lang de opvolging van gedachten de zelfde blyft. Een misdag echter kan 'er nog begaan worden, welke het niet mogeiyk is door proefneeming te ontdekken, ten zy een kundig Meester zelfde hand aan 't werk flaa. Zodanig een misdag kan plaats hebben, als een Leerling over de Numetatio te los is heen geflapt, en de door optelling gevondene getallen niet naar behoorën weet te fchryven. iJy voorbeeld, een Leerling telt in de eerde rv aan de rechterhand van verfcheide te addeeren getallen drie en zestig, en fchryft daar voor, in plaats van 63, 36; dan is het klaar, dat hy , de telling in eene omgekeerde orde hervattende , insgelyks 36 za! Ichryven , in plaats van 63; en dus is alsdan de A 5 Proef  io ARITHM.ETICA ■Proef niet toereikende om zynen misflag te ontdekken ; en aan dit gebrek zyn alle andere Proeven onderhevig. Derhalven kan een Meester zyne Leerlingen niet te lang by de Numuatio ophouden , om hun dezelve zo vast in 't geheugen te prenten , dat zy daar in niet kunnen misfen. SÜBSTRACTIO of Aftrekking. De Subftratlio of Aftrekking leert het verfchil tusfchen twee ongelyke Getallen vinden, of wel een kleiner van een grooter Getal aftrekken , ten einde te ontdekken hoe veel het eene grooter dan het andere is. Hier toe plaatst men het mindere onder het meerdere zodanig, dat Eenheden orider Eenheden, Henen onder Tienen, Honderden onder Honderden, enz. komen te daan. Alsdan begint men de aftrekking aan de rechterhand, door eerst de onderfte van de bovenlte Eenlieden af te trekken; vervolgens dc ondcrde van de bovenlte Tienen; verders de onderfte van de hovende Honderden , enz. tot dat de aftrekking van alle de rangen of piaatlën volbragt zy. Voorbeeld. Trekt 472134 van 986547. 986547 Met de ry der Emheden beginnende , 472134 zegt; 4 van 7 rest 3, 3 van 4 rest r, 1 van 5 rest 4, a van 6 rest 4 . 7 van 8 51.1413 rest 1, 4 van 9 rest 5; waar mede het Werk volbragt is, ea het begeerde verfchil zal dan 5M4'3« Maar  of REKENKUNST. it Maar wanneer het gebeurt, zo als meenïgvuldige maaien plaats heeft , dat de onderlte letter grooter is dan de bovenlte letter, waar van dezelve moet afgetrokken worden, moet men by de bovenlte letter een tien uit de naastvolgende plaats ter linkerhand ontleenen ; waar door de letter op de naastvolgende plaats i minder wordt, terwyl de letter, waar by deeze tien gevoegd wordt, daar dcor met 10 vermeerderd is. Voorbeeld. Trekt 2374 van 8192. 8192 Om dit, als vooren, te doen, zou 2374 men moeten zeggen , 4 van 2; dan zulks , ■ niet kunnende gefchiedcn , vermits 4 5818 grooter dan 2 is, zo wordt van de naastvolgende 9 Tienen één Tien ontleend, welke lun by de voornoemde 2 gevoegd, ia maakt; zegt dan 4 van ia rest 8, 7 van 8 (vermits van de 9 Tienen c ontleend is) rest 1; nu zou men wederom moeten zeggen , 3 van 1 ; dan zulks , als vooren , met kunnende gefchieden , wordt van de naastvolgende 8 Duizenden één Duizend ontleend, welke 10 Honde rden maakt; deeze 10 by de gemelde 1 gevoegd , maakt te faamen u; zegt dan 3 van 11 rest 8, en, om dat van de 8 Duizenden 1 ontleend is, 2 van 7 rest 5; waar mede het Werk volbragt is, en het begeerde varfchil zal dan zyn 5818 Wanneer echter in de naaste plaats ter Imkerhanu, of in meerdere naastvolgende plaatfen een o itaat, gaat men verder voort naar de linkerhand , tot dat men een betekenend getal (.zodanige 1, a, 3, 4, 5, 6 7 8, 9 zyn) aantreft, waar van men 1 ont, leent; dan is het even zo veel, als of men male  ïa ARITHMETICA ledige plaatfen 9, en in die, waar van men niet konde aftrekken, io geplaatst hadt. Voorbeeld. Trekt 323,84 van 90002. 90002 Hier zou men 4 van 2 moeten aftrek3^58; ken; dan zulks niet kunnende gefchie- • den , zou men 1 van de naastvolgende 57418 plaats moeten ondeenen; dochdeezeen de twee daar aau volgende plaatfen nullen zynde ontleent men 1 van de vyfde plaats, zynde 9, waar door deeze plaats 8 doet„ en alle de nullen voor negens kunnen gerekend worden, terwyl de plaats der Eenheden, door byvoeging van 10,in 12 verandert«egt dan 4 van 12 rest 8, 8 van 9 rest 1, 5 van 9 •rest 4, 2 van 9 rest ?, 3 van 8 rest 5; waar mede het werk volbragt is, en het gezochte Verfchil zal dan zyn 57418. Voorbeelden tot Oefening. 1. Trekt 3435 van 17648. 2. Trekt 140728 van S623T9. 3. Trekt 50785 van 553942. 4. Trekt 4570629 van 5308164. 5. Trekt 2^0076^54 van 32co72«6r. <5. Trekt 7358621042 van locooocoooo. 7- 1 rekt 40510230460 van i23ï2iooi2r25. $. Trekt 168085019,08597 van 65^00401020^275. Irekt 617901090009104745 van 72580-ioocooo10000. fio. Trekt 4576-8315798 van Tocooormoioiioi. Urn de Proef op de Subftraclio te maaken, moet fret gevonden verfchil by het kleinfte der opgegee- ve-  of REKENKUNST. 13 vene Getallen geteld worden: wanneer dan de komende fom gelyk is aan het grootfle der twee gegeevene Getallen , zo is de Aftrekking wel verricht. Voorbeeld. van 74087205023 trekt 27192031718 / > addeert. rest 46894573905S komt 74087205623 als boven; dus heeft men wel afgetrokken. MULTIPL1CAT10 of Vermeenigvuldioinc. De Multiplicatio of Vermeenigvuldiging leert uit twee gegeevene getallen een derde vinden, dat zoo veel maaien het eerfte bevat, als 'er Eenheden in het andere begreepen zyn. Of wel dezelve leert de fnm vinden van een voorgefteld getal ,eenige maaien genomen, of faarnengeteld. Der hal ven is de Multiplicatio in den grond niets anders d3n eene verkorte Additio; want in plaats van het getal, dat men met een ander getal begeert te multipliceeren, volgens de Additio, zo dikwyls te herhaalen , als 'er in het getal, waar mede men multipliceeren moet, Eenheden gevonden worden, en vervolgens alle die getallen faamen te tellen, ilaat men hier eenen geheel anderen weg in, die in de meeste gevallen oneindig korter is, waar van wy na den grond zullen aanwyzen. In het multipliceeren doen zich drie getallen op„ die door byzondere benaamingen onderfcheiden wor-  14 ARITHMËTICA worden; naamelyk, het getal dat volgens de Additio herhaald zou moeten worden , noemt men het Multiplicandum, of het te vermeenigvuldigen getal. Het getal dat aanwyst hoe veel maaien het Multiplicanüum genomen moet worden, noemt men den Multiplicant, Multiplicator of Vermeenigvuldiger, en het komende getal, dat gevonden wordt, het Faêtum of Produéï. Om in het multipliceeren de verëischte vaardig» heid te verkrygen, is het vooïüf noodzaakelyk alle óeProdutïen van buiten te weeten , welke voortkomen , als men de getallen van i tot 9, op alle mogelyke wyzen, faamen vermeenigvuldigt. Alle deeze ProduSlen worden gevonden in de volgende Tafel van Multiplkatio. f2 i« 4 f4 is 16 f7 is 49 3 —o IS - ac ?maal<; 8-56 (liü l_9 — 18 p5 5s 2<; 9 maa[ 0 is gl (6—30 f3 is 9 jmaal«{7 - 35 OokishetiVo- M- 1 I 8 — 40 du8> datvoort- ^ \\ ,0 ^-9—45 komt als men o 3maal«j6-I8 met een der an- 8-24 1 'S 36 dere tal,etters» ! o - 27 6maaM l~ % als 1,2,3,4 5,6,7, ' ! b — 4» 8,9, vermeenig- L9 — 54Jvuldigt,altooso. Voorts 'wordt in 't multipliceeren van groote getallen met elkander gebruik gemaakt van deezen R E-  of REKENKUNST. xj Regel. Schryft de gegeevene getallen behoorlyk onder elkander, naamelyk den Multiplicant onder hetifMtiplicandum, en trekt daar onder een ftreep. Schryft onder deeze ftreep alle de Produclen van elk deel des Muhiplicants met elk deel van het Multiplicandunt, en we! zodanig, dat altoos de Tienen van het eene Ptodutï by het naastvolgende ProduEt opgeteld worden, en elke ry der ProduSten (in de onderftelling dat men de vermeenigvuldiging aan de rechterhand begint) eene plaats verder naar de linkerhand gefield worde. Indien dan de beide gegeevene getallen aan 't einde nullen hebben , worden dezelve eeniglyk achter het eerfte Produtï geplaatst. Eindelyk , naardien het Geheel gelyk is aan alle zyne deelen faamen genomen , addeert men alle die ProdttBen te faamen , dan is de fom derzelven het P>odutï, dat men begeerde te vinden. Voorbeeld. Men begceit het getal 84653 met 27 te multipliceeren. **4(*27 Hebbende den Multiplicant onder het Multiplicandum genlaatst, zodanig dat 592^71 Eenheden onder Eenheden , en Tienen 169306 onder Tienen komen te ftaan, begint men de vermeenigvuldiging met de Eenheden 2285631 (7) van den Multiplicant, zeggende: 7 maal 3, of3maa)7, is 21 ,zet 1,en behoudt de 2 Tienen, om by de Tienen in te trekken; voorts 7 maal 5 ff of 5 maal 7, is 35, en 2, die behoudenis, is37; zet als vooren 7, en behoudt 3-, wederom 7 maal 6, of 6maal 7, is 42, en 3, die behouden is, "is 45; zet als voo»  10 AR ITHMETICA vooren 5, en behoudt 4; en zo tot den einde toe voortgaande, bekomt men voor het eerüe Producï592571. Verders begint men de Vermeenigvuldiging met de Tienen^*), en men vindt, door als vooren te multipliceeren, voor het tweede Produtï 16930G: daar nu dit tweede ProduEt Tienen zyn, plaatst men hetzelve een letter binnenwaarts, ten dode Eenheden onder Eenheden, Tienen onder Tienen, Honderden onder Honderden , enz. komen te ftaan. Eindelyk telt men deeze twee gevondene Producten, zo als zy onder elkander gefchreeven ftaan, te faamen; dan is de fom 2285631 het ProduEt der beide gegeevene getallen. Dus heeft men in de Multiplicatio voornaamelykop twee zaaken acht te geeven. Ten eerften op de waare plaats der ProduEten van de Talletteren, waar mede gemultipliceerd wordt; want met Eenheden vermeeni?,vuldigende, beftaat het ProduEt in loutere Eenheden, zo dat deszelfs achterfte letter in den rang der Eenheden geplaatst moet worden. Doch met Tienen multipliceerende, is het Produtï tienmaal zo groot, dan wanneer hetzelve in Eenheden hadt beftaan , en derhalven moet deszelfs achterfte letter in den rang der Tienen geplaatst worden. Het zelfde heeft ook plaats ten aanzien der'Honderden, Duizenden, enz. „ Zyn dan de Tienen, honderden, Duizenden, enz. des Muhiplicants nullen, zo komen dezelve in geen aanmerking, als in zo verre de vermeenigvuldiging met de volgende letteren van den Multiplicant daar toe betrekking heeft, naamelyk , dat 'er by de vermeenigvuldiging van een letter des Muhiplicants, die van één of meer nullen is voorafgegaan , by het plaatfen van het Ptodutï ?o veel rangen voorbygegaan worden , als 'er vooraf nullen zyn. * Zie hier daar van een voorbeeld. Om  of REKENKUNST. Om 07804629 met 270042 te multipliceeren, zo ftaat het ■ Wérk als hier nevens: 55609258 111218516 194632403.. 55609258 7508417624418. Ten tweeden m'pet niet) zich verbeelden, dat allé de ledige plaatfen der onderfcheidene ProduEten, uit de vermeenigvuldiging van de Tienen, Honderden, Duizenden, enz, des Multiplicants met het Multiplicandum ontftaande , met nullen aangevuld zyn, en vervolgens in aanmerking nëemen het boven aangehaald Axioma , naamelyk, dat het geheel gelyk is aan alle zyne deelen faamen genomen ; waar uit dah volgt, dat de ProduEten van alle de deelen des Multiplicants faamen zoo groot moeten zyn als het ProduEt des geheels; en dat dus, alle die Produtïen faamen opgeteld zynde, de fom gelyk zal zyn aan het Product der vermeenigvuldiging van de beide gegeevene getallen. Voorbeelden tot Oefening. ï. Multipliceert 35871 met 2. 2. Muitipl. 5,82146 met 3. 3. Muitipl. 9734825 met 4. 4. Muitipl. 368475296 met 5. 5. Muitipl. 47988164752 met 6. 6. Muitipl. 17f962^374269 met 7. 7- Mulupl. 5"793'l462*739i met 8. 8. Muitipl- 992718553466978275 met 0. 9. Mukipl. 742683519 met 25,komti8;-6708»07<. 10. Muitipl. »48o3746854met34,komt5c332737ao3o.  18 ARITHMETICA li. Multipliceert 743040925 met 43» komt 3IOJ°759775- ia. Muitipl. 1098619432met57,komt62621307624. 13 Muitipl. 420721389J24 met 68, komt 2860905* 4^87632. 14. Muliipl. 79;o«6241173236 met 76, komt 60046554329545936 15. Muitipl. 324.8704092654 met 83, komt 26907s2430690j82. 16. Muitipl. met 95, komt 8088- 3Qlfó©3779?l3°- 17. Muitipl. 7812546287132 met 40, komt 31250- i8t 14^5280. • „ , ,(. 18. Muitipl. 78046,-2 met 234 * komt 1826288561$. iy. Muitipl. 980725725 met 5681, komt 5571502- 843725- , so* Muitipl. 71460025846 met 7015, komt 501292081309690. ai. Muitipl. 8^75632689 met 60210, komt 498275- 844204690. 22. Muitipl. 972462180645 met 386245 komt 37560379265030480. < 23. Muitipl. ,67594032 met 721465, komt 1930.0305468880. 24. Muitipl. 862719267 met 8600402, komt 74197* 322509345331- 25. Muitipl. 78114559270426 met 6320o4802ico, komt 49368650171873Ü84512694600. Gm de Proef op de Multiplicatio te maaken,bedient men zich van de Divifio, die wy nu onmiddetok zullen laaten volgen. Men zou ook door de getallen anders op te tellen, naamelyk, door van den Multipicant hVWg tiplicandum, en van het Multipleandum den Multiplicant te maaken, de.gedaanebewerKing kunnen be-  of REKENKUNST. proeven ; doch alzo zulks in veele gevallen, wanneer het Multiplicandum in een veel grooter getal letteren dan de Multiplicant beftaat, al te omflagtig en zeer moeijelyk zou zyn, verdient de proefneeming door Divifio in alle gevallen den voorrang. DIVISIO of Deeling. De Divifio of Deeling leert van twee gegeevene getallen vinden, hoe meenigmaal het eene in het andere begreepen is ; of wel , hoe veel maaien het kieinfte van het grootfte kan afgetrokken worden. JJerha ven is de Dv ifio in de daad niets anders dan eene verkorte SubJlraStio; want in plaats dat men het Kieinfte getal achtervolgens zo veel maaien van het grootfte zou moeten aftrekken, alsmetmogelykheid geichieden kan, zo neemt men nu het gemelde kltinlte getal eenige maaien te gelyk, en trekt de fom daar van in eens van het voorgeftelde getal af Tot deeze handelwyze wordt niet alleen de Tafel van Multiphcatio , maar ook zelfs de weetenfchap om twee getallen met elkander te multipliceeren , volftrekt vereischt. ' *' _ ln het divideeren doen zich, even als in de MulUplicatw , drie getallen op, welke door byzondere benaamingen onderfcheiden worden , naamelyk het grootfte getal, waar van men het kieinfte by herhaahng zou moeten aftrekken , noemt men het Dividendum of Deeltal. Het getal, waar mede gedeeld wordt, in dit tegenwoordig geval het kieinfte getal , noemt men de Divifor of Dee» r\' Het geta'• dac aanwysc meenigmaal de Deeler in het Deeltal begreepen is , wordt het Quotiënt of de Uitkomst genaamd. Voorts moet nog B 2 aan-  20 ARITHMETICA aangemerkt worden, dat het Dividendum of Deeltal zoo meenigmaal den Divifor of Deeler bevat, als m het Quotiënt of de Uitkomst Eenheden zyn* Toe het divideeren van twee getallen moeten de twee volgende Regelen in acht genomen worden. J. Regel. Als de Divifor of Dèeler Jlegts in één letter beftaat. Stelt den Deeler vooraan ter linkerhand , en pn. derfcheidt denzei ven met eene ftreèp van het Dividendum, of het te deelen getal, en vraagt hoe veel maal dezelve in de eerfte Ietter, of, wanneer dezelve kleiner dan de Deeler is, in dê beide eerfte letteren van het Dividendum of Deeltal begreepen is. Plaatst het komende getal, als de eerfte letter van het Quotiënt , achter de ftreep, die ter rechterhand van net Dividendum gemaakt is. Multipliceert vervolgens den Deeler met deeze eerfte letter des Quotients, en trekt het ProduSt van het getal af, waai m gy divideert, en plaatst de rest daar onder. Plaatst alsdan de volgende letter van het Dividendam naast de voorige rest, en vraagt wederom,hos veel maal de' Deeler in het resteereDde en bygevoegde letter begreepen is. En gaat verders op deelen zelfden voet voort; wanneer ten laatften het begeerde Quotiënt gevonden zal zyn. II. R e g e t. Als de Divifor of Deeler uit meer dan éènletter beftaat. Stelt den Deeler vóór het Dividendum, en fcheidt dcnzelven daarvan af door eene recht op en neder- gaan-  of REKENKUNST. I gaande ftreep, en trekt achter hetDividenduminsgeI lyks eene zodanige ftreep. Onderzoekt, met behulp der Tafel vanMuUiplicaI tio, hoe veel maal de eerfte Ietter van den Divifor I in de eerfte letter van het Dividendum, of,wanneer | de gemelde eerfte letter van den Divifor grooter dan I de eerde letter van het Dividendum mogt zyn, inde I beide eerfte letteren begreepen is. Multipliceert den gantfchen Divifor met dit QjioI tient, en ziet alsdan of het komende ProduEt van de 1 getallen , die boven hetzelve ftaan, afgetrokken i kunnen worden. Wanneer zulks gefchieden kan, zo fchryft hèt te j vooren gevonden getal in de plaats van het Quotiënt achter de ftreep, die ter rechterhand gemaakt is, en trekt het ProduEt werkelyk af. De getallen, welke j alsdan overblyven , worden daar onder geplaatst. | Zo het echter niet gefchieden kan, dan neemt men tot het Quotiënt een getal, dat i of meer dan i kleiner is, tot dat het ProduEt afgetrokken kan worden; ! dan zo 'er meer mogt overblyven als de Deeler groot 1 is, toont zulks aan , dat de letter in 't Quotiënt te ; klein genomen is. Plaatst voorts het naaste getal van het Dividendum i onder by de rest, èn vervolgt, als vooren, de be' werking zo lang , tot dat 'er van het Dividendum ; geen ietier meer overig is, om onder by de rest i te plaatlen. Dan is aan het begeerde voldaan. Ba t  ARITHMETICA I. Voorbeeld. Als ie Divifor of Deeler flegts in één letter beftaat. Men begeert het getal 57869343 doer 7 te deelen. 7 /5786934S £ 8167049 De wyze van bewerking / 56 4 in deezen is uit den voor- —— gaanden eerften Regel open- 18 baar. Alleenlyk zullen wy '14 hier nog byvoegen, dat ge- — makshalve onder elke iet. 46 ter van het Dividendum, die 4a men nederwaarts naast een — overblyffel plaatst, een punt 49 gefield wordt, om te ver» 49 hoeden, dat niet tweemaal ——' één en dezelfde letter ge- 34 nomen, of een letter over- 28 geflagen worde. Zodanon- —— der alle de Ietteren na de 63 eerfte deeling punten gevon- 63 den worden , is zulks een — teken, dat de Deeling vol- o komen verricht is. IL Voorbeeld. 'Als dt Divifor of Deeler uit meer dan één letter beftaat. Men legeert bet getal 59062403a door 7563 te deelen. 7563  of REKENKUNST. 23 7563 7590624922£78094 / 52941•••• 61214 • 450504 71092 68067 30252 30252 o Voorbeelden tot Oefening. 1. Divideèrt 748956 door 2, komt 374178. 2. Divid. -3740622 door 3, komt 1246874- o. Divid. 587 24984 door 4» k°mt 14681246. I Divid. G2ooi47*8i5 door5,komt 1240029456^ c Divid. 12806711424 door 6 , komt 2i3445«9C4. 6 Divid. 75400860234 door7,komt 10771551462» 7. Divid. 17208624705640 door 8, komt 215107- 8. D°vid?°446o7i25336a8 door 9, komt 28*89680- 9. Divid.' 670O6I84M75 door 25, komt 26802*7- 10. Divid. 295«838i9«6 door S4», 8^024» 11. Divid. -198758466127 door 4i, komt 9725816247. 11. Divid. 65oo642n6899door67, komt9702451197- 13. Divid. 86411296453572door 86,komtico47825- 14. Dfv?d.26o305368o86304door97^omt6ai704»a" 15. Divid. 46w8i47l96door 164 ,komt t8ii«^  24 ARITHMETICA 16. Divid. 358052817161115 door 2435, komt 1472. 8056329. 17. Divid. 44878359673825 door 5*037, komt 86 2» 431725. 18. Divid. 52864372637109 door 1479683, komt 35726823. Indien de Deeler de Eenheid is, met eenige bygevoegde nullen , als 10, 100, 1000, enz. wordt de Deeling werkelyk volbragt, door met een punt of comma zoo veel letteren aan' de rechterhand van het Dividendum af te fcheiden, als 'er nullen inden Deeler zyn. De aldus afgefcheidene letteren zyn alsdan het overfchot der Deeling, en de overige letteren in het Dividendum zullen het begeerde Quotiënt mtmaaken, als bier onder te zien is. Om 972468 door 1000 te divideeren , Haat het Werk aldus: Quotiënt 972 , 468 Overfchot. Doch als de Deeler grooter dan de Eenheid is .met eenige bygevoegde nullen , fcheidt men eerst zoo ▼eel letteren aan de rechterhand van het Dhidendum af, als 'er nullen in den Deeler zyn ; en men divideert alsdan de overige letters van het Dividendum door de letteren van den Divifor, welke overblyven, als men de nullen daarvan affcheidt. Doch als de Deeliug volbragt is, voegt men de letteren, welke van het Dividendum afgefcheiden zyn, achter het overfchot der Deeling; en deeze aldus faamengevoegde letteren maaken het waare overfchot uit. Zie hier daarvan een Voorbeeld. Om  of REKENKUNST. 95 Om 68972465 door 5400 te divideeren, ftaat het Werk aldus: 54,00 7680724,65$12772 Quotiënt. /54.... c Ï49 log «*? 37» 392 378 i44 108 Rest 36. Dus 3665 het ware overfchot. Om de Proef op de Divifio te maaken, bedient men zich van de Multiplicatio: want het is klaar, dat als men het Quotiënt met den Deeler vermeenigvuldigt, en by het Produtï het Overfchot optelt, de fom gelyk zal zyn aan het Dividendum. Men zou ook het Dividendum andermaal door het eerst gevonden Quotiënt kunnen deelen; als wanneer men den Deeler tot Quotiënt, en het zelfde Over» fchot, als vooren, zou vinden. ' Deeze laatfte Proef kan voornaamelyk van dienst zyn, als men een grooten Deeler heeft, en het ge. vondene Quotiënt in weinig letteren beftaat; want het is veel gemaklyker met weinig letteren te divideeren , dan met veel letteren te multipliceeren. £ j Tos-  9.6 ARITHMETICA Toepassing der vier Hoofdregelen-, A'J01TIO,SÜBSTR AC TIO,MULTJPLl! CA riü e n Dl VISIO, op Gelden, Maa- TEN en GeWIGTEN. Alles wat wy hier vooren van bloote getallen, die geenen naam toegeëigend is , gezegd hebben, heeft ook ten aanzien van benoemde getallen plaats, mits dat de benaamingen voor alle de opgegeevene getallen dezelfde zyn. Indien dus eenige getallen , die men te faamen wil addeeren, Guldens, Ponden of Lasten, enz. zyn, is ook de fom Guldens, Ponden of Lasten, enz,; het zelfde heeft ook omtrent de Subfiraclio , Multiplicatio en Divifio plaats, naamelyk als men de Multiplicatio, zo als hier vooren aangetoond is, als eene verkorte Additio, en de Di\ifio als eene verkorte SubjlraStio aanmerkt; want het is dan klaarblyklyk , dat de toegepaste Multiplicatio in niets anders beftaat, dan in een zeker getal Guldens, Panden, Lasten, enz., eenige maaien genomen, en zo ook de Divifio in niets anders, dan dat men een gegeeven getal Guldens, Ponden of Lasten, enz. van een grooter getal Guldens, Ponden of Las? ten, enz. eenige maaien aftrekt, om te weeten hoe veei maal het kieinfte in het grootfte getal begreepen is. Waar uit dan van zelfs in 'c oog loopt de grove dwaaling van fommige onbedreevene Rekenmeesters, die zich niet al'een verbeelden Guldens met Buldens , maar ook Guldens, Stuivers en Penningen met Guldem, Stuivers en Penningen te kunnen multipliceeren; niettegenftaandezy, de Beginfelen der Rekenkunde grondig verftaande, wel deegelyk moesten begrypen , dat zy door zodanige ftelling het gebouw der. Rekenkunde ondermynen , en hunne eerst geleerde Gronden om verre ftooten: vermits in dat geval de Multiplicatio geen verkorte Additio, u- noch  of REKENKUNST. a? noch de Divifio geen verkorte SubfiraStio zou kunnen zyn. Men zou ons, wel is waar,kunnen tegenwerpen, dat men in de Meetkunde Roeden met Roeden, Vosten met Voeten, Duimen met Duimen, enz. multipliceert ; doch de Meetkunde is van eene geheel andere natuur dan de Rekenkunde, en komt dus hier geheel en al in geen vergelyking; en het moet een flegthoofd zyn, die Meetkundige bewyzen bybrengt,, om Rekenkundige Beginfelen te verklaaren. Trouwens zulks kan best door de Rekenkunde zelve gefchieden, zo als in 't vervolg van dit Werk ge» toond zal worden. Dewyl dan door de vier Hoofdregelen van onbenoemde getallen ook die van benoemde getallen afgehandeld zyn, als men flegts in ieder gevaléón en dezelfde Specie, Maat of Gewigt onderftelt, zoblyft ons niets anders overig, dan de toepasfing der ge« melde Hoofdregelen op getallen van verlchillende benaamingen, waartoe wy nu zullen overgaan; doch alzo de Gelden , Maaten en Gewigren hier by in aanmerking komen, zal het noodig zyn hunnewaardy te kennen; weshalven wy derzeKerverdeelingen hier vervolgens in eene gefchikte orde zullen opgeeven. G E.t D S P ï C I 5 S. Een Gulden is ao Stuivers. Een Stuiver 8 Duiten, of 16 Penningen. Een Gulden is ook 4 Oorten. Een Oort is 5 Stuivers , of 2 Stoters. Een Stoter is 2 Braspenningen. Een Braspenning is 10 Duiren. Een Goudgulden is 28 Stuivers. Een Daalder is 30 Stuivers. Een  aS ARITHMETICA Een Kroon is 2 Guldens, of 40 Stuivers. Een Ryksdaalder is 50 Stuivers. Een Ducaton is 63 Stuiv. of 3 Guld. 3 Stuiv. Een Pond Groot of Pond Vlaams is 6 Guldens, of . greepen zyn. c Het eerlte geval is , zo als wy reeds hier vooren gezegd hebben, niets anders dan de vermeenigvuldiging van onbenoemde getallen. Want aangezien elke Eenheid van eene erootpr*. benaaming gelykwaardig is aan verfcheide Eenheden van eene kleinere gelykfoortige benaaming, zo vols t dat het geta van de grootfte benaaming met die vlr* fcheide Eenheden vermeenigvuldigd zynde, het Pm. duSt aantoont hoe veel Eenheden van de kleinere he naarairg in het getal van de grootfte benaaming begreepen zyn Als men dus een Stuiver als Eenheid aanmerkt, dan bevat een Gulden twintigzulkeS. heden, en 16 Guldens zestien maal so zulke Emhe. den of 320 Stuivers. Waar uk duidelyk blykt dat het eene ongerymdheid is te zeggen; dat men in dit geval Guldens met Stuivers multipliceer . Men herinnere zich , dat de Multiplicatio eene verkorte Mn!Z-S'/n mec°, aaI optuigend zien, dat het Muïuphcandum, of de meenigte Guldens, n dit geva flegts als een onbenoemd getal aangemerkt mltl worden; verm.ts men het getal Stuiven , in eeï C a Gul-  3* ARITHMETICA Gulden begreepen, zo meenigmaal moet fasmentelJen, als 'er Guldens gegeeveu zyn. Het aanbelang deezer ftoffe noodigt ons nog eenige gewigtige aanmerkingen hier by te voegen, om de denkbeelden van Leerlingen, aangaande de Multiplicatio in benoemde getallen { voor dwaaling te behoeden. Wanneer, by voorbeeld, in benoemde getallen de vraag is om 7 Ellen en 5 Guldens met elkander te multipliceeren, zo komen, wel is waar , deeze beide getallen ah benoemd voor; doch echter kan men, volgens den Regel van Multiplicatio, niets anders doen , dan of de 7 EMen 5 maal, of de 5 Guldens 7 maal faamen te neemen , en dus moeten of de 5 Guldens, of de 7 Ellen , eeniglyk als een bloot onbenoemd getal aangezien worden. Daar intusfchen 5 maal 7 zoo veel is als 7 maal 5, zo worden in dit Voorbeeld de bloote getallen 5 en 7 te faamen gemultipliceerd , en men heeft voor het Product het bloot getal 35. Doch welke benaaming dat Product 35 moet gegeeven worden, kan men door de gedaane wyze van rekenen nog niet zeggen ; alzo de omftandigheden, welke by een zodanig Voorbeeld gegeeven worden, ofwel de oorzaak waarom men de 7 Ellen met 5 Guldens moet multipliceeren, eigenlyk alleen te kennen geeven, welke naam men aan het gevondene getal 35 moet toeëigenen. Wanneer, by voorbeeld , gezegd wordt , dat men 1 LUe voor 5 Guldens gekocht heeft, en daar uit begeert te weeten , hoe voel men, tot dien prys ,voor 7 Ellen moet betaalen, dan is het klaar, dat men 7 maal 5 Guldens te betaalen heeft; by gevolg ziet men uit deeze omftandigheid , dat het door rekening gevonden getal 35 den naam van Guldens toekomt. In tegendeel^ wanneer gezegd wordt, dat men voor 7 Ellen 1 Gulden moet befteeden, en daar uit begeert te weeteu, hoe veel Ellen men na rato 0 Toor  of REKENKUNST. 3? voor 5 Guldens kan bekomen, dan is bet wederom klaar, dat men 5 maal 7 Ellen moet vinden, en gevolglyk ziet men hier uit, dat het door rekening gevonden getal 3? den naam van Ellen toekomt. Dus worden in de beide gevallen de bloote getallen s en 7 met elkander vermeenigvuldigd , en flegts het > bloot getal 35 gevonden ; welk gevonden getal nai derhand, naar de gegeevene omftandigheden, den ! aan hetzelve toebehoorende naam gegeeven wordt. Voor het tweede geval, als het gegeevene in verifcheide van elkander3fhanglyke foorten beftaat, enz. volgt men deezen Regel. Vermeenigvuldigt het getal van de grootfte benaaming met zoo veel Eenheden als die grootfte benaa* fming van de naastvolgende foort bevat, en telt by (het Produft de meenigte Eenheden, welke *er van de (naastvolgende foort zyn. Vervolgt de vermeenigivuldiging en bytelling op de zelfde wyze voor de (derde foort, en zo 'er meer foorten zyn ook voor Jde volgende foorten ; dan zal het laatfte beloop aan» jjwyzen, hoe veel Eenheden van de laatfte foort in het gegeeven faamengefteld getal begreepen zyn. Voorbeeld. Men begeert te weeten, hoe veel Penningen in 76 Guld. 12 Stuiv. 8 Penn. begreepen zyn ? C 3 jGuIA  38 ARITHMETICA Guld. Stuiv. Penn. De Guldens , Stuivers en 76 — 12—8 Penningen, als bier nevens, ao opgezet zynde, multipliceert ■ 1- mt n de Guld. mee aotot Stut1532 vers, de ötuivers daar by ad- 16 deerende , of intrekkende ; . — vervolgens multipliceert men 92CO de bekomene Stuiv. rnet tótot 153a Penningen, de 8 Penn. mede ■ ■ intrekkende; dan is 24520 het «4520 gezochte getal Penningen. Voorbeelden tot Oefening. r. Hoe veel Penningen zyn 'er ih 4253 Guld. iSStuiv.? Antw. 136124S Penn. 2. Hoe veel Penningen zyn'er in 3027 Ggl. 25Stui'/. 3 Penn. ? Antw. 1759699 Penn 3. Hoe veel Penningen bedragen 1724 Ducatons 17 Stuiv. 4 Penn.? Antw. 1738068 Penn. 4. 2384 <£yl. 17 tU 9 \ hoe veel % zyn 't? Antw. 620373\ 5. 928 Ducaatcn hoe veel Penningen zyn't? Antw, «5JS>o4o Penn. 6. Hoe veel Mengelen houden 17 Aamen 2 Ankers 13 Stoopen en i Meng. ? Antw. 2267 Meng, 7. Hoe veel Ponden zyn 449 Schip© 17 Lyjfg 6fê? Antw. 134961 f$. 8. Hoe veel Greinen zyn 'er begreepen in 97 Mark 10 Penningen 17 Greinen V Antw. 28193 Greinen. 9. 124 Mark 6 Oneen 14 Engels 27 Aazen hoe veel Aazenzyn't? Antw!639:95Aazen. 10. Iemand oud zynde 46 Jaaren 9 Maanden , begeert men te weeten hoe veel Minuten hy oud is? tiet Jaar gerekend tot 365 Dagen 5 Uuren 49 Mr« auten, en iedere Maand door malkander tot 30 Dagen  of REKENKUNST. 59 een 10 Uuren 29 Minuten. Antw. 24588115 Minuten. NB. één dag is 24 Uuren , één Uur 60 M'nUtIernand heeft in zeven onderfcheidene Termynen telkens aan zynen Crediteur betaald 154 Gu'd. 10 Stuiv. 4 Penn. Hoe veel Penningen is hy'in alles fchuldig geweest? Antw. $46106 Pen* n,n,g9!niloe veel Vellen zyn 'er lp 17 ^alen Papier 7 Kiem 16 Boek 19 Vellen? De Baal mtkend tot 10 Riem, de Riem tot 20 Boek, het Boek tot 35 Vellen. Antw. 88919 Vellen. Saamengesteldb Divisio. Deeze Divifio dient om een getal van eene klei. nere benaaming tot één of meer grootereubrengen, en beftaat dus . even als de Multip.icatio in onbenoemde getallen, in twee onderfche.de e g vallen I. Als men een getal van eene Kleinere SoSming tot een enkeld Ul van eene grotere benaaming moet brengen. VL ^an"^e^^?eide geert te vinden , hoe veel deelen van verlcheide fan elkander af hanglyke foorten ,n een getal van eene mindere foort begreepen zyn. , n Het eerfte geval is even het zelfde als de Ueeling van onbenoemde getallen. In de daad dewyl de Deeling Segts het omgekeerde van de vermeen^vulSe V. 7-0 geldt hier het zelfde , dat wy by de %ame%efte!de Multiplicatio ten deezen opzichte ge- "6e votaSde aanmerkingen achten wy^echter■ njrt IS«menf ten einde zy geene beweThngej. doen, zonder alvoorens de waarom grondig in te "e^^  43 AR ITHMETICA Wanneer men twee getallen van dezelfde foort zodanig tegen elkander in vergelyking brengt, dat men begeert te weeteo, hoe meenigmaal het kieinfte getal in het grootfte begreepen zy, of hoe veel maaien het kieinfte getal genomen moet worden, om aan het grootfte gelyk te zyn, noemt men de betrekking die zy tot elkander hebben, Proportie of Reden. Het getal , 't welk aantoont hoe veel maaien het eene getal in het andere begreepen is, geeft aan die Proportie of Reden den naam. By voorbeeld, wanneer men 7 Guldens tegen 21 Guldensin vergelyking brengt, en dus begeert te weeten, hoe meenigmaal 7 Guld. in ai Guld. begreepen zyn, zo vindt men voor. het Quotiënt 3 maal :derhalven zegt men, dat 7 Guld. tot 21 Guldens in eene drievoudige reden ftaan, en dus is de naam van zodanige Proportie 3. Dus vindt men door deeze Deeling flegts een bloot getal, 't welk aantoont, boe veel maaien de Divifor in het Dividendum begreepen is. Wanneer, men derhalven , als boven , 2t Guldens door 7 Guldens divideert, zo is het Quotiënt geen 3 Guldens, maar eenvoudig het bloot onbenoemd getal 3. Ook zyn 'er Üivifien, waarvan hec Quotiënt eenen naam moet toegeëigend worden: doch deeze naam wordt niet gevonden door rekenen, maar door de omitandigheden, welke by zodanige Deeling gegeeven worden. Wanneer men ,by voorbeeld , begeert te weeten, hoe veel het twaalfde deel van 48 § is, of hoe veel $ tot 12 § in 48 % begreepen zyn, zo bedient men zich, wel is waar, in de beide geval-, len van de zelfde handelwyzq, naamelyk dat men 48 door 12 deelt , waardoor men het bloot getal 4 bekomt. Echter toonen de gegeevene omftandig heden aan, dat de gevondene 4 in 't eerfte geval Greoten, eain't laatfte geval Schellingen zyn. Voor  ofREKENKÜNST. 4£ Voor het tweede ge val, als men begeert te vinden , hoe veel deelen van verfcheide afhanglyke foorten in een getal van eene mindere lbort begreepen zyn, volgt, men deezen Regel. Deelt het getal van de kieinfte benaaming door 2oo veel Eenheden van die benaaming, als de naastvolgende foort bevat. Het overfchot der Deeling zal dan in Eenheden van de kieinfte foort of benaaming beftaan , en het Quotiënt zal Eenheden van de naastvolgende foort zyn. En zo voortgaande tot de begeerde grootfte foort, als 'er meerdere foorten voor handen zyn, zal men eindelykaan het begeerde voldoen. Voorbeeld. Hoe veel Guldens zyn 2978247a Penningen? Dewyl 16 Penn. een Stuiver maaken, deelt men het getal 29782472 door 16, komt voor het Quotiënt 1861404 > en 'er blyft 8 over. Gevolglyk heeft men 1861404 ftuiv. 8 penn. Maar 20 Stuivers maaken een Gulden; dus moet men, om het gevonden getal Stuivers tot Guldens te maaken, het getal 1861404 door 20 deelen , het. welk verricht zynde, vindt men voor het Quotiënt 9^070, en 'er blyft 4 over. Daar nu het laatfte Quotiënt Guldens, en het Overfchot Stuivers is, zo is het klaar, dat het gegeeven getal penningen gelykwaardig is aan 930,-0 Guld. 4 Stuiv. 8 Penn. Wy hebben het overtollig geacht de verdere be-, C 5 wer*  4* ARITHMETICA werking van dit Voordel hier by re voegen, vermits de Divifio hier vooren reeds volkomen is afgehandeld; en wy zullen in het vervolg van dit Werk het zelfde voetfpoor volgen, om niet tot walgens toe geduurig hetzelfde te onderwyzen. Foorheelden tot Oefening. ti Hoe veel Guldens zyn 17536 Stuiv.? Antw. 876 Guld. 16 Stuiv. 2. Hoe veel Guldens zyn 11579086 Penn.? Antw. 42434 Guld. 12 Stuiv. 14 Penn. 3. Hoe veel Goudguld. zyn 2798625 Penn.? Antw. 6246 Ggl. ?6 Stuiv. 1 Penn. 4. Hoe veel dVi. zyn 91078142 §J Antw. 383638 *yi. 18 u 6 %. 5. Hoe veel Ryksd. zyn 71004286 Penn.? Antw. 887*5 Rd. 17 Stuiv. 14 Penn. 6. Hoe veel Dueaaten zyn 8611427 Penn.? Antw. 5» 25 Duc. 8y Stuiv. 3 Penn. 7. Hoe veel Schip© zyn 'er begreepen in 1725862^? Antw. 5751 Schip© 17 Lysd? 7 ©. 8. Hoe veel Mark zyn 843015 Aazen? Antw. 164 Mark 5 Oneen 4 Eng. 17 Aazen. 9. 76247 Greinen fyn Goud hoe veel Mark zyn 't ? Antw. 264 Mark 17 Car. ii Grein. 10. 9 i 204.1 Greinen fyn Zilver hoe veel Mark zyn't? Antw. 3166 Mark 9 Penn. 17 Grein. Toepassing van de Multiplicatio en Divmo op onderscheidene Geldspeciën. Deeze Regel leert om eene gegeevene Geldfpecie tot eene begeerde andere Specie te brengen; wel verftaande dat de beide Speciën tot getallen van dezelfde foort gebragt kunnen worden.  of REKENKUNST. 45 Hier toe moet in acht genomen worden de vol* gende Regel. Reduceert de gegeevene Geldfpecie, benevens de andere Specie, waar toe men de eerfte begeert te brengen, door de Multiplicatio van onbenoemde getallen , beide tot eene zelfde fpecie , en divideerthet eerfte Producï door het laatfte, komt het begeerde. Voorbeeld. Hoe veel Dueaaten zyn 2409 Guld. 15 Stuiv.? Reduceert 2409 Guld, 15 Stuiv. tot Stuivers, komt 48195 Stuiv. Reduceert insgelyks de waarde van een Ducaat (zynde 5 Guld. 5 Stuiv.) tot Stuivers, komt 105 Stuivers. Dewyl dan 105 Stuivers een Ducaat maaken, en men begeert te weeten, hoe veel Dueaaten 1048195 Stuiv. begreepen zyn, zo deelt men hetgetal48i95 door 105, en men vindt voor het Quotiënt 459, dat, zo als uit de omftandigheden der Vraag blykt, den naam van Dueaaten moet toegeëigend worden. Derhalven heeft men 459 Dueaaten voor het begeerde. Voorbeelden tot Oefening. 1. Hoe veel g, zyn 2568 Guld.? Antw, 8560 Q. 3. Hoe veel Ryksdaalders zyn 2448 Goudgl 6 Stuiv. Antw. 1371 Rd. 3. Hoe veel Braspenningen zyn 3156 Daalders 12 Stuiv. 8 Penn.? Antw. 75754 Brasp. 4. Hoe  44 • ARITHMETICA 4. Hoe veel Ducatons zyn 425 i5jj6§?Antw. 8 n Dui-atons, 5-, Hoe veel AVI. zyn 2731 Rd 17 Stuiv. 8 Penn. Antw. 1138 AVI 1 f 3 §. 6. Hoeveel Ducaa;enzym 558 Ducatons en 21 Stuiv. Antw. 935 Dueaaten. 7. Hoe veel llyksd. zyn 999 Dueaaten 2 Guld. 15 Stuiv. ? Antw. 2099 Ryksd. 8. Hoeveel Ducatons zyn 8.6 Dueaaten? Antw. 1460 Ducatons. REGEL van DRIEËN, in geheele en benoemde getallen. Om de gronden van deezen Regel behoorlyk te ontvouwen , zouden wy hier de Lecre der Proportien in haare gantfeheuitaeftrektheid moeten voordragen, en daartoe eenige Wiskundige tekens beezigen; doch in aanmerking neemende, dat dit Werkje in den ftriktften zin een fchoolboek, en dus maar alleen voor kinderen gefchikt is, meenen wy niets anders te moeten doen, dan flegts eenige eenvoudige beginfelen en regelen aan de hand te geeven, die in alle gevallen voor een Eerstbeginnende toereikende zullen zyn. Wat Proportie is hebben wy hier vooreD pag. 40 reeds gezegd; dezelve is eigehlyk de betrekking, die twee getallen het een tot het ander hebben. Zo nu van vier getallen het eerfte in reden is tot het tweede, als het derde tot het vierde, of dat het eerfte zoo meenigmaal in het tweede begreepen is als het derde ia het vierde, dan worden die getallen evenredig genoemd, dat is te zeggen, dat de Proportie of Reden van de twee eerfte getallen gelvk is aan die van de twee Iaatften. By  of REKENKUNST. 45 By voorbeeld 2 Dagen hebben tot 6 Dagen dezelfde Proportie, die 8 Guldens tot 24 Guldens hebben; en men zegt dus, dat a Dagen ftaan tot 6 Dagen, als 8 Guldens tot 24 Guldens; of wel het eerfte Lid tot het tweede, als het derde tot het vierde : en men verhaat daar door , dat het eerfte getal zo veel maal in het tweede, als het derde in het vierde begreepen is; naamelyk in beide gevallen 3 maal. Wanneer nu vier getallen op de voorgemelde wyze geproportioneerd zyn, of eene Evenredigheid bevatten, zo hebben dezelve de eigenfchap, dat zy ook by verwisfelingevenredigzyn; naamelyk:gelyk het eerfte Lid ftaat tot het derde , zoo ftaat ook het tweede tot het vierde. Dewyl dan in het voorgemelde Voorbeeld a Dagen ftaan tot 6 Dagen, als 8 Guldens tot 24 Guldens, zo kan men ook, by verwisfeling der Leden, zeggen: 2 Dagen ftaan tot 8 Guldens, als 6 Dagen tot 24 Guldens; want de Proportie der twee eerfte Leden is dan wederom gelyk aan die der twee laatfte; vermits a even zoo veel maal in 8, als 6 in 24, naamelyk 4 maal, begreepen is. Men moet echter wel in 't oog houden , datdee* ze verwisfelde Proportie alleen ten aanzien derblootfo getallen kan plaats hebben , zorder dat hunne benaiirningen daarby in aanmerking komen. Want, ingevolge de bepaaling, die wy 00 pag. 40 van de Proportie gegeeven hebben, is tusfchen a Dagen en 8 Guldens, of tusfchen 6 Dagen en 24 Guldens, geen de minfte vergelyking. Immers hoe veel maaien men de 2 Dagen of 6 Dagen ook faamen neemt, zo kan men nimmer 8 Guldens of 24 Guldens daar door vinden. Derhalven hebben Dagen geen de minfte betrekking tot Guldens, en dus heeft tusfchen dezelve ook geen proportie plaats, als in zo verre men de bloote getallen in aanmerking neemt. Als  46 ARITHMETICA Als nu van vier Leden eener Evenredigheid de drie eerften bekend gegeeven worden, om daar door het vierde Lid te.vinden, zo is uit het bovengezegde gemaklyk na te gaan, dat men het tweede en derde Lid te faamen moet vermeenigvuldigen, en het komende ProduEt door het eerfte Lid deelen, om in het Quotiënt het nog onbekende vierde Lid te vinden. Naardien dan op die wyze drie getallen bekend gegeeven worden, zo heeft men deezen Regel den naam van Regel van Drieën toegeëigend; fchoon dezelve ook anders, wegens deszelfs groote nuttigheid, zo in 't garneene Leven, als in andere Weetenfchappen, Regula aurea,of'Gulden Regel, genoemd wordt. Hier uit is openbaar, dat de Regel van Drieën nergens toegepast kan worden, dan wanneer men uit de omftandigheid der zaaken te vooren verzekerdis, dat onder dezelven eene Proportie gevonden wordt, even als , by voorbeeld , in de Negotie de prys van Goederen evenredig is tot derzelver Maat, Gewigt of Hoeveelheid. Want als men op gelyke voorwaarde 2 maal zo veel Goederen neemt, zo betaalt men dubbeld; neemt men 3 maal zoveel Goederen, zo betaalt men drievoudig, of 3 maal zo veel. Derhalven kan men uit de gegeevene prys van eene zekere Maat, Gewigt of Hoeveelheid van Goederen de waarde van eene andere Maat, Gewigt of Hoeveelheid van die zelfde Goederen , of ook de Maat, Gewigt of Hoeveelheid der zelfde Goederen van eene andere gegeevene Waarde, door Óen Regel van Drieën vinden. Ingevolge moeten de omftandigheden en de natuur der zaaken by elk Voorbeeld van den Regel van Drieën vooraf te kennen geeven, of onder dezelve eene Proportie te vinden zy; en daar van verzekerd zynde, heeft men verders in de berekening flegts op de groot-  of REKENKUNST. 47 grootheid der getallen acht te geeven, om uit dezelve een vierde evenredig getal te vinden; alzo men door Rekening geenzins de foort en benaaming, maar flegts de grootheid van een gezocht getal kan vinden, zoals hier vooren reeds is aangemerkt: en wanneer men dit vierde evenredig getal gevonden heeft, geeft men het den naam, die aan hetzelve volgens de omftandigheden toekomt. In het gemeen gebruik heeft men de vetwisfelde Evenredigheid, als met de gewoone manier van fpreeken best overéénkomende, ingevoerd; en dus zegt men; Voor 2 Dagen geeft men 8 Guldens, hoe veel voor 6 Dagen? vermits deeze fchikk/ng voor een ieder, voornaamelyk voor de Jeugd , die in de Rekenkunst onderweezen wordt, gemaklyker te bevatten is. Dit vooraf gezegd hebbende, zullen wy nog eenige regelen opgeeven, waar van de drie eertten tot bet opftel, en de beide laatften tot de bewerking als een richtfnoer kunnen dienen. 1. Het geen, waar op de Vraag gevestigd is, of waar toe men het vierde evenredig getal zoekt, moet in het derde Lid van den Regel geplaatst worden. 2. Het geen met de Vraag overëenkomftig is, of kan worden, plaatst men in hetvoorfte of eerfte Lid des Regels. . 3. Het geen van gelyke natuur is, als het begeerde vierde getal behoort te zyn , plaatst men in de midden, of in het tweede Lid des Regels; en men fcheidt alle de Leden door rechte ftreepjes van elkanderen. 4. Wanneer het voorfte en achterfte Lid van meer dan eene benaaming, of wel van eene ongelyke benaaming zyn , zo moeten dezelve gelyk gemaakt , dat is tot eene en de zelfde benaaming gebragt worden. 5. Zo  4S ARITHMETICA 5. Zo nu het middelde Lid in een getal met nog eenige minderdeelen beftaat, brengt men dat getal tot de Kieinfte benaaming die hetzelve is toegevoegd, als in de faamengejtelde Multiplicatio geleerd is. Vervolgens multipliceert men het achterfte en middelfte Lid te faamen, en divideert het Quotiënt door het voorfte Lid. Eindelyk brengt men"; zo het noodig is, de uitkomst des Regels, door de faamengejtelde Divifio, tot de Specie of foort, die men begeert te vinden. De Regel van Drieën onderfcheid zich natuurlyk in vier gevallen, naamelyk: L Als het voorfte Lid 1 is en blyft, zo dat men alleen het middelfte en achterfte Lid te faamen moet vermeenigvuldigen. ■ II, Als het achterfte Lid 1 is en blyft, zo dat men alleen het middelfte Lid door het voorfte moet deelen. III. Als het middelfte Lid 1 is, zo dat men alleen het achterfte Lid door het voorfte moet deelen. IV. Als noch in 't voorfte noch in 't achterfte Lid 1 gevonden wordt; of wanneer in een derzelven 1 ftaande, dezelve wegens de benaaming van het andere Lid in een grooter getal veranderen moet, zodat men, het middelfte met het achterfte Lid gemultipliceerd hebbende, het Produel door het voorfte Lid werkelyk moet di videeren. Voorbeeld op het eerfte Geval. y Als een Schepel Rogge geldt 18 Stuiv. 4 Penn. hoe veel zullen bedragen 5 Lasten ia Mudden 3 Schepels? «Schep.  op REKENKUNST. ^ Schep. Stuiv. Penn. Last. Mudd. Schep, i — i3 : 4 — 5 : ia : 3? ió 17 sQ2 Penn. 147 4 59 i 292 muitipl, 172572 Penn. 16) _ 107815 Stuiv. 12 Penn. Antw. 539 Guld. 5 Stuiv. 12Penn. Voorheelden c/k/iUerste Geval tot oefening. 1. Als 1 © 6 Stuiv. kost, hoe vèel moet men dan belteeden voor 27 f$? Antw. 8 Guld. 2 Stuiv. 2. Als men 1 Elle verkoopt voor 9 Stuiv. 8Penn., jhoe veel zal men dan ontfangen voor 35Ellen? Antw. ii6 Uild. 12 Stuiv 8 Penn. 3- Een Lood Garen verkoopt men Voor 8 Stuiv., hoe jjveel zal men ontfangen voor 3 fjg 18 Lood ? Antw. [45 Guld. 12 Stuiv. 4.Een VatWyn kost 25^/., hoe veel Guld. bedra. !!geni4 Vaten 3Üxhoofden? Antw. 221zGuld.10Sr.uiv. ï ve^ zul,en kosten °7 Schip© Hennip tot 46 Guld 17 Stuiv. 8 Penn. hetSchipÊg? Antw.a<46 ,jüuld. 17 Stuiv. 8 Penn. 6. Als i fg IndigoGuatimalokost 6 Guld. raStuiv. 4 Penn., hoe veel zullen bedragen 1249 fg? Antw. ?8259 Guld. o Stuiv. 4 Penn. 7. Als de prys van een Aam Koorn-Brandewvn D is  5o ARITHMETIC A ïs 27 Guld. j8 Stuiv. 8 Penn., wat zal men dan moeten befteeden voor 31 Aam? Antw. 865 Guld. 13 Stuiv, 8 Penn. 8. Als 1 Mudde Garst verkocht wordt voor 3 Goudgl. a Stuiv., op hoe veel Guld. zullen dan 5 Last. 13 Mudden komen te ftaan ? Antw. 636 Guld. 8 Stuiv. 9. Een Once kost 9 Guld. 16 Stuiv., hoe veel kosten 11 W 13 Oneen? Antw 185a Guld. 4Scuiv. 10. Hoe veel bedragen 7 Honderd 242 Maaten Zout tot 19 Stuiv. 4 Penn. de Maat? Antw. 2954 Guld. 17 Stuiv. 8 Penn. 11. Als een Mengelen Traan kost 5 Stuiv. 8 Penn. hoe veel zullen dan kosten 17 Vaten of Quarteelen 11 Stekan 12 Mengelen? Antw. 949 Guld. 6 Stuiv. 12. Hoe veel zullen kosten 16 Lasten 13 Mudden 2 Schepels Zeeuwfche Tarwe tot 2 Guld. 3Stuiv. 6 Penn. het Schepel? Antw. 3864 Guld. 14 Stuiv. 4 Penn. Voorbeeld op het tweede Geval. Ah 10 Schip® 9 Lysfö 8 & verkocht wordenvoor 510 Guld. 14 Stuiv. 12 Penn., op hoe veel komt dan een fg te ftaan 1 Schipfjg Lysfjg fê Guld. Stuiv. Penn. fS 10 : 9 : 8 — 510 : 14 : ia — 20 20 209 102i4 15 l6 3«43 163436 3143) 5a Penn. ,6) Antw. 3 Stuiv. 4 Penn.  of REKENKUNST. 51 Voorbeelden op dit tweede Geval tot oeffening. 13. Als 54 Ellen kosten 14 Guld. 17 Stuiv., hoe Veeikost dao 1 Elle? Antw. 5 Stuiv. 8 Penn. 14. De 47 fg zyn gekocht voor 2a Guld. 6 Stuiv. 8 Penn., hoe veel kost dan t fg? Antw. 9 Stuiv. 8 Penn. 15. Als too fg Styffel kosten 15 Guld. 12 Stuiv. 8 Penn. hoe veel dan 1 fg? Antw. 3 Stuiv. a Penn» 16. Als voor 0 8? ia Oneen betaaldwordt8gGuld. 4 Stuiv. 4 Penn., op hoe veel komt dan i Once te Itaan ? Antw. op 11 Stuiv. 7 Penn. 17. Voor 9 Lasten 17 Mudden Kogge betaalt men 1727 Guld. 7 Stuiv. 8 Penn., tot hoe veel is het Mudde gerekend? Antw. tot 6 Guld. 12 Stuiv. 14, Penn. 18. Hoe veel kost 1 fg Vlas, als 12 Lysfg 11 {8 gekocht worden voor 32 Guld. 4 Stuiv. 10 Penn. 2 .Antw. 3 Stuiv. 6 Penn. 19. Als men voor 10 Schipfg 14 Lysfg 7 fg Touwwerk befteedt 472 Guld. 9 Stuiv. 15 Penn., tot hoe veel is dan het fg gerekend ? Antw. tot 2 Stuiv. 15 Penn. 20. Op hoe Veel komt een Mengelen Traan te ftaan, als 14 Vaten 9 Stekan 12 Mengelen ingekocht worden voor 7G4 Guld. 6 Stuiv, 8 Penn.? Antw.op 5 Stuiv. 6 Penn. Voorbeeld op het derde Geval. Als 1 Last Haring gekocht wordt voor 260 Guld. 8 Stuiv. thoe veel Lasten zal men dan hebben voor 2585 Guld. 18 Stuiv. 8 Penn.? D a CuW«  5s ARITHMETICA Guld. Stuiv. Last Guld. Stuiv. Penn. 260 : 8 — i — 33ö5 •* i« : 8? 20 20 5208 7i7'8 16 16 83318 83328/ 1147496^3 Lasten. / rest64232 32 §33&8 / 770784 l 9 Toïi» / rest.20832 4 833281 833281 1 Kinnetje. FóorïwMes op dit derde Geval tot oefening. bi. Een Vrouw koopt een ftuk Linnen voor 39 Guld. 3 Stuiv., en betaalt de El tegen 14 Stuiv. 8 Penn. Hoe veel Ellen was het ftuk lang? Antw. 54 Ellen. , , aa. Als 1 fg Koffyboonen gekocht wordt voor 11 Stuiv. 6 Penn. , hoe veel fg zal men dan hebben voor 41 Guld- 10 Stuiv. 6 Penn ? Antw. 73 fg. 23. Als men voor 1 fg Concheailie betaalt 41 $ 4 §, 'hoe veel fg zal men dan hebben voor 1550 Guldens ? Antw. iaj fg. ,,„.... 24. Iemand betaalt voor gekocht Zilverdraad 554 Guld. 1 Stuiv. 4 Penn., en heeft het Mark tot 75 ij bedongen. Vraage hoe veel hy gekocht heeft? Antw. 94 Mark. 5 Oneen. 35. Als 1 m kost j Guld. ia Stuiv, 4 Penn., hoe  of REKENKUNST. 53 veel zal men koopen voor71 Guld. 11 Stuiv.3Penn.? Antw. ti f8 24 Lood. _ 26. Als een Schepel Rogge kost 19 Stuiv. 5 Penn., hoe veel Lasten zal men dan hebben voor I311 Guld. 6 Stuiv. 6 Penn. ? Antw. 12 Lasten 15 Mudden 2 Schepels, 27. Als men voor 37 Guld. t% Stuiv. 8 Penn. een Aam Lyn - Olie koopt, hoe veel Aam zal men dan heb ben voor 297 Guld. 9 Stuiv. g Penn.? Antw. 7 Aam 10% Meng. NB. Een Aam is 120 Mengelen. 28. Als 1 Vat Boom-Olie gekocht wordt voor92 AVI. ia ij 3 %, hoe veel Vaten zal men dan hebben voor 3178 Juld. 5 Stuiv. 8 Penn.? Antw.5 Vaten 516 Mengelen. NB. Een Vat is 7T7 Mengelen. Voorbeeld op het vierde Geval. Als men 4 Vaten 7 Stekan 11 Mengelen Traan gehoekt heeft voor 2.-19 Guld. 9 Stuiv. 2 Penn , hoe veel zal men dan tot gelyken prys moeten betaalen voor 17 Vaten 11 Stekan 9 Mengelen? Vat. Stek. Meng. Guld. Stuiv. Pen. Vat. Stek.Meng. 4 -.7 : 11 — 239 : 9 : a — -7 : " : 9? 12 20 12 55 4789 21y 16 16 16 891 76626 3449 3449 264283074 891) 296614 Penn. 1853I8 Stuiv. 6 Penn. Antw. 926 Guld. 18, Stuiv 6 Penn. D 3 Voor*  54 ARITIIMETICA Voorbeelden op dit vierde G e v a l tot oefening. 29. Als 5 fg kosten 2 Guld. 9 Stuiv. 6 Penn., hoe veel zullen dan kosten 21 fg? Antw. 10 Guld. 7 Stuiv. 6 Penn. 30. Hoe veel zullen 19 fg 7 Oneen bedragen, als de prys van 1 fg is 9 Stuiv.? Antw. 8' Guld. i Daar nu het Geheel zo groot is alle zyne deelen faamen genome» , zo volgt, dat wanneer van een Breuk de Teller gelyk aan den Noemer is, zodanige Breuk een Geheel aanduidt; en dus is een Breuk ook meer dan een Geheel, wanneer de Teller grooter dan de Noemer is. Zodanige Breuk is het die wy hier boven Onëigenlyke Breuk genoemd hebben. Dus is § een Geheel, en 'f meer dan een Geheel, of een Onëigenlyke Breuk. Dewyl men nu uit de betrekking van den Teller tot den Noemer eens Breuks over deszelfs grootheid kan oordeelen, zo blykt van zelfs, datwanneermen beide Teller en Noemer met een derde getal vermeenigvuldigt, of daar door deelt, de waarde des Breuks daar door niet veranderd wordt. Op deeze onloochenbaare waarheid is de volgende Regel gevestigd. Aere-  of REKENKUNST. 5/ Abreviatio of verkleining der Breuken. Het getal, waar door een ander afgemeeten kan worden, of dat een ander getal zonder overfchot deelt, is de Maat eens Getals (Menfura Numeri.) _ Om zodanige Maat van een Getal te vinden, is vooral noodig de kenmerken van deelbaarheid der getallen, zo ver men dezelve kan nagaan, gron. dig te weeten , ten einde in het verkleinen van Breuken vaardig te zyn , en niet met langdraadige beproevingen vruchteloos den tyd te verfpillen. Derhal ven dient vooraf gezegd te worden, dat men de getallen, ten opzichte van hunne deelbaarof ondeelbaarheid , in twee foorten onderfcheidt ; naamelyk in Eerfte of faamengeftelde Getallen. Eerfte Getallen zyn de zodanige, welke geen andere Maat dan de Eenheid hebben , of wel volftrekt ondeelbaar zyn: als 2, 3, 5, 7, 11,13ii7» 19. 23, 29» 3ï» enz; , , . ... Eerfte Getallen tot elkander zyn de zodanige, welke geen andere gemeene Maat dan de Eenheid hebben: als 7 en 13, 9 en 14, 12 en 25, enz. Saamengeftelde Getallen zyn de zodanige , welke hunnen oorfprong ontleenen uit de onderlinge vermeenigvuldiging van eenige eerfte Getallen. Dus is 4 faamengefteld uit 2 maal 2, 6 uit a maal 3, 12 uit 2 maal 2 maal 3, 45 uit 3 maal 3 maal 5, By gevolg zyn alle de faamengeftelde Getallen deelbaar. 'tZou zeker een lastige arbeid zyn, als men de gemeene Maat van twee of meer getallen wydlooviz en langzaam zou moeten zoeken: 't ware dan ^6 D5 be-  58 ARITHMETICA beter aan geen Verkleining te denken , dan eenen arbeid te onderneemen, die , door eene onnutte tydverfpilling, zo duur te ftaan zou komen. Derhalven is het vooral noodzaakeiyk , dat men zich de volgende kenmerken van deelbaarheid vast in 'c geheugen prente , om als met een opflag van het oog te zien, of, en waar door, de getallen verkleind kunnen worden. Het Kenmerk van 2. Alle evene getallen, naamelyk de zulken die aan't einde, of ter rechterhand, 2, 4, 6, 8 of ohebben, kunnen door 2, zouder dat 'er iets overblyft, gedeeld worden. Het Kenmerk van 3. Alle zo evene als onëvene getallen, waar van de fom der Cyfferletteren , zonder op hunne plaatfen acht te geeven , door 3 effen deelbaar is, zyn ook deelbaar door 3. Het Kenmerk van 4. Alle getallen , welker twee laatfte Cyfferletteren tèr rechterhand door 4 effen deelbaar zyn, kunnen ook door 4 zonder overfchot gedeeld worden. Het Kenmerk van 5. Alle getallen, waar van de laatfte Cyfferletter ter rechterhand 5 of o is, moeten ook door 5 opgaan, of verkleind kunnen worden. Het  of REKENKUNST. 59 Het Kenmerk van 6. Alle evene getallen, waar van de fom der Cyffer> letteren, zonder op hunne plaatfen acht te geeven, door 3 effen deelbaar is, kunnen ook door 6, zonder dat 'er iets overblyft, gedeeld worden. Het Kenmerk van 8. Alle getallen, waar van de drie laatfte Cyfferletteren ter rechterhand door 8 deelbaar zyn, zyn ook deelbaar door 8. Het Kenmerk van 9. Alle zo evene als onëvene getallen , waar van de fom der Cyfferletteren , zonder op hunne plaatfen acht te geeven, door 9 effen deelbaar is , zyn ook deelbaar door 9. Het Kenmerk van 10, loo, 1000, cjfc. Alle getallen, welke ter rechterhand een o hebben, kunnen door 10; die twee nullen hebben door 100; die drie nullen hebben door iooo,enz. gedeeld worden. Het Kenmerk van lu Als men van een getal de eerfte, derde, vyfde, enz., als mede de tweede, vierde, zesde, enz. Cyfferletteren, zonder op hunne plaatfelykewaardy acht te ftaan, ieder byzonder faamentelt, zodanig dat men in de optelling, zomeeninmaalals men een grooter getal dan ii bekomt,geduurig 11 wegwerpt, en alsdan het komende uit de evene plaatfen gelyk is aan het komende uit de onëvene plaatfen, dan is zodanig getal door 11 volkomen deelbaar. Hit  6o AR ITHMETICA Het Kenmerk van 12. Alle getallen , welker twee laatfte Cyfferletteren ter rechterhand door 4 , en de fom der Cyfferletteren door 3 effen deelbaar zyn , zyn ook deelbaar door 12. Het Kenmerk van 15. Alle getallen , die aan het einde, of ter rechterhand o of 5 hebben, en waar van de fom der cyfferletteren , zonder op hunne plaatfen acht te geeven , door 3 effen deelbaar is , zyn ook deelbaar door 15. Het Kenmerk van 18. Alle evene getallen , waarvan de fom der cyfferletteren, zonder op hunne plaatfen acht te geeven, door 9 effen deelbaar is, zyn ook deelbaar door 18. Het Kenmerk van 25. Alle getallen , waar van de twee laatfte cyfferletteren ter rechterhand, met 4gemuItipHceerdzynde, een produd; voortbrengen , waar van de twee laatfte cyfferletteren ter rechterhand nullen zyn, of die aan 't einde ter rechterhand 00, 25, 50 of 75 hebben ftaan , kunnen door 25 effen opgaande gedeeld worden. Het Kenmerk van 125. Alle getallen , waar van de drie laatfte cyfferletteren ter rechterhand , met 8 gemultipliceerd zynde , een produSi voortbrengen , waar van de drie laat-  of REKENKUNST. laatfte cyfFerletteren ter rechterhand nullemyn, kunnen door 125 effen opgaande gedeeld worden. Wy maaken voorbedachtelyk geen gewag van andere Kenmerken; by voorbeeld, die van7,131»7» enz om dat dezelve minder eenvoudig dan de voorgaande zyn, en, onzes bedunkens, te veelomflags V°EenreBreuk abrevieeren of verkleinen is, in plaats van eenen gcgeevenen Breuk, een anderen in kleinere getallen te vinden, welke in waarde gelyk is aan den eerften. . , . . Dus beftaat de Abreviatio der Breuken m niets anders , als om tot twee gegeevene faamen meetbaare getallen hunne gemeene Maat te zoeken. Hier toe moet men de gemeene Maat van den Teller en Noemer des Breuks, met behulp der boven opgegeevene Kenmerken, zoeken: vervolgens beide Teller en Noemer door die gemeene Maat deelen waar door men in kleinere getallen eenen anderen'Breuk bekomt, die gelykwaardig aan den eerHen is» Zo nu de bekomene Breuk nog verder verkleind kan worden, ftaat men denzelfden weg in, die wy nu aangeweezen hebben. Doch zo de opgegeevene Kenmerken niet toereikende zyn om den Verkleiner, of de gemeene Maat van Teller en Noemer, te ontdekken, maakt men gebruik van den volgenden Regel. Divideert den Noemer door den Teller, en, zo 'er iets overblyft, den Teller door het overblyffel; vervolgens divideert men de rest wederom in den laatften Divifor , en men gaat op die wyze zo lang voort, toe dat 'er eiadelyk niets overblyft: dit gebeu-  «t arithmetica beurende, zo is de laatfte Divifor de gemeeneMaat. welke tot een Verkleiner des voorgeftelden Breuks moet dienen. In gevallenu bet laatfte overfchot i is, toont zulks aan, dat de voorgeftelde Breuk niet verkleind kan worden. Het volgende Voorbeeld, waar toe de opgegeevene Kenmerken niet toereikende zyn , zal genoegzaam zyn, om de handelwyze, welke men indeezen Kegel volgen moet, te verklaaren. pin den Breuk j$$g§z te abreviëeren, of tot de klemfte en eenvoudigfte benaaming te brengen, zo ftaat het werk aldus: ^§7447 /44<598o<{ a 72095 /t 874474 2 / 374894 / 144190 rest 72095 rest 43257 43257 /72095-} I 28838 ƒ43257 i 1 / 43*57 / 2Ü838 rest 28838 rest 14419 J4419/2 8838 <{z 14419 / 28838 I87447 s—-f . " —— 13 de eenvoudiger rest o 446^89 ïr Breuk welke men begeerde te vinden. Voorbeelden tot Oefening. I. Aörevièert or verkleint \%. Komt s. Abreviëert ff. Komt 3. Abreviëert ïgf. Komt 4. Abreviëert ?|f. Komt 5. Abreviëert T||j. Komt «, Abreviëert Komt I 7. Abreviëert}?»!. Komt 8. Abrev ,54»}. Komt 9. Abrev. Komt 10. Abrev. §|»|. Komt 11. Abrev. rff.|jf. Komt 12. Abrev. |f|-47. Komt *I3- Abrev. Tf$f£. Komt J4.  of REKENKUNST. 63 ja. Abrev. ,ü!fiJ» Komt 117. Abrev. T?Zf^. Komt 15. Abrev. T§§?!*J- Komt 18. Abrev, Komt *i<5. Abrev $H$5. Komt\ Wy hebben in alledeéze Voorbeeldende Antwoorden voorbedachtelyk achtergehouden, om den Leerlingen buiten itaat te (tellen eenig misbruik daarvan te kunnen maaken. De Voorbeelden met fterretjes getekend beduiden iets dat een kundig Rekenmeester gemaklyk kan nagaan; doch door ons om redenen verzweegen moet worden, om het doelwit, dat wy do»r deeze Handleiding trachten te bereiken * niet te misten. Redüctio of Herleiding der Breuken. Deeze Regel leert onderfcheidene Breuken onder eene en de zelfde Benaaming brengen, dat is, in plaats van eenige Breuken, die onderfcheidene Noemers hebben , andere vinden , die een en den zelfden Noemer hebben, en aan de gegeevene Breuken gelyk zyn. Hier by komen drie Gevallen in aanmerking. I. Als de gegeevene grootfte Noemer door alle dè andere Noemers, zonder overfchot, gedeeld kan worden. II. Als de gegeevene grootfte Noemer niet door alle de andere Noemers, zonder overfchot, gedeeld kan worden; doch echter de Noemers tegen elkander verkleinbaar zyn. III. Als alle de gegeevene Noemers tegen elkander onverkleinbaar zyn. Re*  914 U ARITHMETICA Regel op het eerfte Geval. l. Plaatst den grootften Noemer, welke ïn dit Geval ook den gemeenen Noemer, anders generaale i Noemer, genaamd wordt, bezyden en boven de gegeevene Breuken. a. Divideert denzelven door elk der Noemers van | de gegeevene Breuken, en multipliceert de Quotiënten refpeclivelyk met elk der Tellers van die Breu« ken; dan zyn de ProduEten de nieuwe Tellers, wel- , ke alle den grootften of gemeenen Noemer tot naam hebben. Regel pp het tweede Geval. l Plaatst alle de Noemers der gegeevene Bretl. ken, met kleine ftreepjes onderfcheiden, achter mal. kander, en trekt daar onder een ftreep. i. Ziet dan om naar een eerst getal, dat in twee of meer van die Noemers deelbaar is ; zet dit getal als Deeler vóór de ftreep, en divideert daar mede al* Je de Noemers, die door hetzelve gedeeld kunnen worden ; vervolgens plaatst men alle de Quotiënten , zo wel als de ongedeelde Noemers, onder de ftreep, en men trekt onder alle die getallen wederom een Ureep. Dan zoekt men weder een ander eerst getal , dat op de voorz. wyze tot een gemeene Maat van twee of meer getallen kan dienen, en men gaat daar mede zo lang voort, tot dat 'er geen gemeene Maat meer te vinden is. 3. Multipliceert alsdan de nog orde ftaande getallen, en de gebruikte Deelers, alle te faamen; zo is het ProduEt de gemeene of generaale Noemer. Werkt voorts als by het eerfte Geval gezegd is, zo bekomt men het begeerde. Re* j  op REKENKUNST. 65 Regel op het derde Geval, Multipliceert alle de gegeevene Noemers te faamen , zo is het ProduSi de gemeene of generaale Noemer. Werkt voorts als by het eerfte Geval gezegd is zo bekomt men het begeerde. ' Voorbeeld op het eerjle Geval. Brengt onder eenen Noemer de Breuken i. l, 4 t en T5? V *' *' 12 SI Ö T*. I 4 ~ tI. I 9 - *§. - & Voorbeelden op het e e r s t e G e v a l foï oefening ï. Brengt onder eenen Noemer f, J en f|? Antw. r§, jf , {j. 2. Brengt ondereenen Noemer f, ^, T|, en |f? Antw. 4, if, 3. Brengt onder eenen Noemer f, |, T|, Tj, »en ° Antw,.|g, 51, «s, **s 4|# 4. Brengt onder eenen Noemer *,;},'«» #, »-ed tïj- Antw. Tf|, T§°, T», -4, jg. Ë Voo*»  66 AR ITHMETICA Voorbeeld op hst tweede Geval. Brengt onder eenen Noemer de Breuken j rs 7 19 pn 13 9 S6 eu Ï8 • Noemers 34 —16 —30 —18 720 I2_ 8-15- 9 li 33° - fis- 6-4-5-9 II '£_J§I* 2) ■ — —— 30 450 — ?|5. 3- 2-i5_ 9 ^Hjso - 3) 2 — 5— 3 Deeze laatfte Quotiënten a, 5, 3 te faamen met de Deelers2,ü, 2, 3 gemultipliceerd, komt 720 voor den gemeenen of generaalen Noemer., Voorbeelden op het tweede Geval w oefening. 5. Brengt onder eenen Noemer f, f, f , t§, en AntW i-i* 150 I4° 16a 15S 6. Brengt onder eenen Noemer §, f, |, tf,44, en ||? 41 > Tf» IS 17 II pn ig? T5"> tb 9 20 5 c" 23' . I800 945 3310 162? 2^84 2380 AntW. 35-20» a?2öï 233ÖJ 35109 25ÏOÏ 2520? 1386 i.ï.15 3530 J) 2520* Voorbeeld op het derde Geval. Brengt onder eenen Noemer §, f» ïl > ir en Ir ^ I739»Q Dewyl alle de Noemers 11043,16 _ T^ffeer (Ie Getallen tot malkander 144925 zyn. zo multipliceert de- f 449*5 zelve te faamen , komt t? 1004150 — 17^515» 173910 voor den gemeenen |* 4322o _ of generaalen Noemer. a; is'470 Voorbeelden op het derde Geval tot oefening. 9. Brengt onder eenen Noemer |» ^| 9 2|, , en 4f. « , 14014000 HP3Ö02S ISIJ7I04 9a6S4oo AlltW. 35255200 » 25"523"355 9 25223"2oo » 35213*200 > 8467200 aS^lSiOO' 10. Brengt onder eenen Noemer f, |, y» 79 ifj en #P . 61880 69615 74256 6630O 78Ï40 /VntW. 52820J 52820? P2830» 92BSO9 £2820'J 873ÖO E 2 n.  63 ARITHMETICA li. Brengt onder eenen Noemer J > |j 7 f tt j §» j en H? fl_tl„ 615615 084084 ano58o i?9fi880 1578500 iS8iö_8o 2Ï324S5J tï5245o' Additio der Breuken; Deeze Regel leert hoe men eenige Breuken faamen zal optellen; ofwel een Breuk- vinden , die zo grooc is als eenige voorgeftelde Breuken te faamen. Hier toe moeten de twee volgende Regelen in acht genomen worden. I. R e g e l. Als alle de gegeevene Breuken gelyke Noemers hebben. Addeert de Tellers te faamen, en plaatst onder de fom den gelyken Noemer; abreviëert den bekomenen Breuk, zo het doenlyk is; en wanneer de fom een onëigenlyke Breuk is, wiens Teller grooter is dan de Noemer, maakt men dezelve tot geheelen , en men voegt by dezelven den resteetenden Breuk: dan heeft men het begeerde. II. Regel. Als alle of eenige van de gegeevene Breukenverfchillende Noemers hebben. Brengt „ als vooren geleerd is , alle de gegeevene Breuken onder eenen gemeenen of gelyken Noemer; en handelt met de aldus herleide Breuken als m den vooi gaanden eerfien Regel gezegd is: dan heeft men het begeerde. h  of REKENKUNST. 6> I. Voorbeeld. Als alle de gegeevene Breuken gelyke Noemers heiben. Addeert \, {, ! en ?. | Plaatst alle de Breuken, als hier 3 nevens, onder malkander, en trekt | daar onder een ftreep. Telt ver- g volgens alle de Noemers i, 3, 5 7 te faamen, en zet de fom 16, Komt of 2. die insgelyks 8 tot Noemer heeft, Breukswyze onder de ftreep. Dewyl nu hier de Teller grooter dan de Noemeris, divideert men den Teller 16 door den Noemer 8, waar door men bevindt, dat de fom der gegeevene Breuken 2 is. II. Voorbeeld. Als alle of eenige van de gegeevene Breuken verfchillende Noemers hebben. Addeert }, f, \ enT\. 12 f 8 • de Tellers der herleide Breuken, die | 9 f allen 12 tot Noemer hebben. Tfl5> ^ \\ of 2 r* | % Dus is de fom 2}. E 3 Aak.  7o ARITHMET IC A Aanmerkinc; Wanneer men Geheelen en Breuken, of gemengde (onëigenlyke) Breuken te addeeren heeft, zo handelt men met de Breuken, zo als boven geleerd is; en wanneer dezelve meer dan een Geheel uitmaake-a, zo addeert dezelve by de gegeevene Geheelen, en voeg den nog overigen Breuk by de fom van alle de Geheelen» Voorbeeld. Addeert 4f, 7f en 9I? 24 4ï y 91 20 ^ ii of li? 1 \ Dus de fom '2 ï| Voorbeelden tot Oefening. 1. Addeert jen f? Antw. ij. a. Addeert i, I en I? Antw. i£. 3. Addeert f, |, » en |? Antw. 2. 4. Addeert r£, rf, » en f}? Antw. 3rf. 5. Addeert |, |, f, J en T|? Antw. 3K. 6. Addeert f, f, S en 14? Antw. 3f|I. 7. Addeert I, r§ , 4 en ié? Antw. 3IL 8.  of REKENKUNST. 71 8. Addeert §, ï, en «? Antw* 3tÏ5"5' 9. Addeert 3J, ij, rl en 5^? Antw. 10,5. 10. Addeert 7»»fc&>«B' '3x1, en 3ï|? Antw. 34*. substractio der breuken. r>P/»7e Regel leert eenen minderen Breuk van eenen meerderen aftrekken, dat is het verfchil van twee ceeeevene Breuken vinden. 8 Hipr eeldt het zelfde dat wy by de Additio der Kreuken aangemerkt hebben ; naamelyk dat men , w?nneer de gegeevene Breuken ongelyke Noemers hebben, dezelven onder eenerlei Benaaming brengt. V00rts moet in acht genomen worden de volgende Regel. Trekt , wanneer de gegeevene Blaken gelyke NnVmers hebben , of daar toe gebragt zyn , den TeïS des klemftën Breuks van den Teller des groot' ften en fchryft onder de Rest Breukswyze den gemeeÏÏÏNoême Abreviëert alsdan deoverblyvendeBreuk, li het doenlyk is, dan heeft men het begeerde VoORBEELDf Subftraheert Tj van Hf 60 ' illTs? de Tellers der herleide Breuken t}|e»S onder den gemeenen Noemer 60. afget. ReSt'M" E4  19. ARITHMETICA ¥ / Aanmerking. Wanneer men van één of meer Geheelen een Breuk he eft af te trekken, zo moet men van het geheel Getal één Geheel ontleenen , en hetzelve tot eenen Breuk maaken, die den zelfden Noemer heeft als de Breuk die afgetrokken moet worden. Het overige der faetvc-king kan voorts volgens den voorgaanoen Regel verricht worden. Voorbeeld. Subftraheert | van y ? Nu is 7 gelyk aan 6g De nevenftaande onthier van afgetrokken | leeding van dl Geheelen, —■ om dezelve tot de aftrekrest 6| king gefchikt te maaken, ■wordt kortheidshalve nietgevoigd. Men Subftraheert •maar eenvoudig den Teller van den Noemer des isreuks, en plaatst onder de Rest even den zelfden .Noemer; vervolgens vóór den resteerenden Breuk iet getal der Geheelen min i, om dat door de voor. gaande aftrekking r van dezelve ontleend is. _ Want wanneer de '1 eller gelyk a3n den Noemer js, zo is de Breuk gelyk aan een Geheel (ziehetgeen wy boven pag. 56 gezegd hebben); by gevolg onrbreeken aan den Breuk, wiens Teller kleiner dan de Noemer is, om een Geheel uit te maaken, nog zo veel deelen , als de Teller minder eenheden dan de Noemer bevat. Derhalven toont het verfchil tusfchen den Teller en Noemer de resteerende deelen welke aan het Geheel nog ontbreeken. Voor-  of REKENKUNST. 73 Voorbeelden tot Oefening» I. Subftraheert j van % ? Antw. f. a. Subftraheert T| van Antw. §• 3. Subftraheert rf van ||? Antw. §• 4. Subftraheert | van il? Antw. §• 5. Subftraheert « van Antw. T|. 6. Subftraheert s§ van ï|? Antw. T?. 7. Subftraheert 7| van J?? Antw. ||. 8. Subftraheert * van i|? Antw. *!• 9. Subftraheert *| van 9? Anrw. 8ïJ. 10. Subftraheert 4^ van 19^? Antw. Tj^f. II. Subftraheert van I7T|? Antw. 7,. 12. Hoe groot is het verfchil tusfchen 49^ en Antw. 35IÏ. Multiplicatio der Breuken. By de Multiplicatio der Breuken komen vyf onderfcheidene Gevallen in aanmerking, naamelyk : 1. Om Breuken met Breuken te multipliceeren. 2. Om Breuken met Geheelen te multipliceeren. 3. Om gemengde Getallen met Gehetlentemultipliceeren. 4. Om gemengde Getallen met Bretoen te multipliceeren*. Om gemengde Getallen met gemwgde Getallen te multipliceeren. Welke gevallen alle opgelosa worden door den volgenden Algemeenen Regel. W'anneer de beide Faclores, die te faamen eemurtipliceerd moeten worden , -niet flegts Eigenlyte E 5 L'reu-  74 ARITHMETICA Breuken zyn, zo licht men dezelve in ; dat is, men verandert dezelve in Onëigenlyke Braden: waar door dan alle de voorgaande Gevallen tot een enkeld Geval gebragt zyn ; naamelyk om een Breuk met een Breuk te mukipliceeren. Multipliceert voorts de Tellers, als ook in 't byzonder de Noemers, te faamen, zo formeeren de beide Produtlen den Teiler en Noemer eens Breuks, die het begeerde Antwoord uitdrukt. Voorbeelden op de gemelde vyf Gevallen. lm Om ' met .f te multipliceeren* | — .fl"!? het begeerde Produtï. 2. Om met 17 te multipliceeren. S — dat is 7lf het begeerde ProduSt. 3. Om 9§ met 15 te multipliceeren. 91 ?| •f!11!5, dat is 144I het begeerde Prcdutl. 4. Om 13; met i te multipliceeren. 131 'I4 d f\ *\1, dat is 1! ?f het begeerde Frodutl. 5. Om :2f mst 5| te multipliceeren. 12I 5! T =: 'ïi-'II'jdat is 72JI het begeerde Produtï. Aan-  of REKENKUNST. 75 .Aanmerking. Vermits in hec Geval,. als een Breuk met eenen anderen gemultipliceerd wordt, het Antwoord altoos minder dan elk der gegeevene Breuken is, willen fommige Rekenmeesters , die meer pedant dan diepdenkende zyu, dat het woord multipliceeren, dat is veelvoudigen of vetmeerdeien, hier in 't geheel niet te pas komt. YV'y laaten zo ianige Rekenmeesters vryëlyk het genoegen zich te vermaaken met beuzelingen en woordenvitteryen , die het wezen der zaake geen het minfte nadeel toebrengen, en willen liever ons verleed'gen, om de zwaarigheden, die in dit Geval zich opdoen , ten dienfle der Leerlingen volleedig op te losfen, en uit den weg te ruimen. Wy hebben aan het hoofd der Multiplicatio van geheele getallen (pag. 13) uitdruklyk gezegd , dat dezelve uit twee gegeevene Getallen een derde leert vinden, dat zoo veel maaien het eerfte bevat, als'er Eenheden in het andere begreepen zyn. Indien men dus een gegeeven Getal met 2, en in 't byzonder ook met 6 multipliceert, zo moet dan ook, volgens die Bepaaling , het laatfte Produel 3 maal zo groot dan het eerfte , of wel het eerfte 4 van het laatfte zyn. • Dewyl dan nu het ProduEt van een gegeeven Getal met een ander fteeds dies te kleiner wordt, hoe kleiner het ander Getal is, waar mede men het gegeevene multipliceert; en in geheele Getallen zelfs het allerkleinfte, als men zodanig gegeeven Getal met 1 multipliceert; vermits alsdan het gegeeven Getal zelf het ProduEt aanwyt; zo moet noodwendig het ProduEt nog minder dan het gegeeven Getal zelf worden, als het gegeeven Getal met minder dan 1, dat is met deelen of Breuken van 1, gemultipliceerd wordt. Om  f6 ARITHMETICA Oïn dit nog nader op te helderen , zo laat wederom voorgefteld worden» om f met £ te multipliceeren» Dan is het kJaar,datmenhetzevende-deelvan | vyf maal moet neemen. Nu kan men niet weeten wat het zevende-deel van f zy, zomen deezen Break niet met grootere Getallen uitdrukt. Derhalven multipliceert men deszelfs Teller en Noemer beiden met 7, waar door men bevindt , dat f-even zo veel zy als \\. Nu is men in ftaat van f het zevende-deel te vinden; want hetzelve is ontegenzegge]yk ïf • Naardien men echter dit zevende-deel vyf masil moet neemen, zo zal, wanneer men | met f rnufetipliceert, het ProduEt moeten zyn. Daar men nu het zevende-deel van f werkelyk 5 maal genomen heeft, zo is deeze bewerking buiten allen twyffel eerae waare Multiplicatio. Want multipliceeren is, zo als wy mede op pag. 13 aangemerkt hebben, eigenlyk ,ees Getal eenige maaien te neemen. Het zevende-deel vat: f is onwederfpreekelyk een Getal. Waarom dan zoade hy,die dit deel 5 maal genomen hadt,niet gemultipliceerd hebben ? Naardien men echter een ver» geeffchen arbeid zoude doen , als men den Teller des eerften Breuks a met den Noemer des andéren Breuks 7 wilde multipliceeren, en vervolgens weder met die zelfde 7 divideeren: zo laat men dit beide na , en men doet verder niets als hetgeen in onzen algemeenen Regel wordt vonrgefchreeven, en by de Bewerking van het eerfte Voorbeeld te zien is. Voorbeelden tot oefening. X, Multipliceert 3 met |? Antw. |§. U2. Multipliceert | met |? Antw. f. -3. Multipliceert t5 met j|9 Antw. SJ. ,„4.. Multipliceert t% met r| ? Antw. til. 5.  of REKENKUNST. 7? 5. Multipliceert 5 met 32? Antw. 28. 6. Multipliceert 4! met 7? Antw. 33I. 7. Multipliceert 6$ met 9? Antw. 55J, 8. Multipliceert 13&met f? Antw. 9|. 9. Multipliceert 7?- met J? Antw. 4J. 10. Multipliceert ui met r|? Antw. 4||. 11. Multipliceert §1 met 3^? Antw. a 12. Multipliceert i7iJ met 8|f? Antw. i'jo. Yan Breuks-Breüken of Breukek bit Bre ok en. Een Breuks-Breuk, of een Breuk van of uit een Breuk QFratlio Fraftionis) is de Grootheid welke «nfftwr. als men naamelvk eenen Breuk aft een Ge¬ il heel aanmerkt, en dit aldus begreepen Geheel in gej dachten in eenige gelyke deelen verdeelt, om van de laatstgemelde deelen weaerom eenige ie neemtn. Wanneer derhalven iemand f van| Guld. moet ontr„„~Dr. in is ï van of liever uit i. dat is of da. L 'l van 't Geheel een Breuks-Breuk. Dus zyn op aie wyze zoüaui£e uicuss- urcuistn , I: opgelost zynde, eigenlyk die gecallen, welke voortli 'komen , als een Breuk met eenen anderen gemultiii pliceerd wordt. De oplosfing van zodanige Breuks-Breuken in! eenen eigenlyken Breuk heeft daarom ook tor grondflag den algemeenen Regel, die wy voor de Mu/tipliI caïïo der Breuken gegeeven hebben. Want het is , zeer gemaklyk te begrypen, dat de Vraag: Hoe veel 1 is f uit i uit \ ? in het weezen der zaake overeen» i komt met de volgende Vraagen : i.Hot wW is f maal t uit  ?8 ARITHMETICA | uit j? a. Hoe veel is I j maai f? 3. Hoeveel'üf «aai I maai vermits doch alle deeze Vraagen een en het zelfde Antwoord voortbrengen. Voorbeelden tot oefening. 1. Hoe veel is » uit 5? Antw. 3. Hoe veel is | uit rf-? Antw. jf. 3. Hoe veel is f uit»T uit |? Antw. |. 4. Hoe veel is f uit f uit riP Antw. 5|. 5. Hoe veel is | uit J uit r| uit TJ? Antw. 7|. 6. A heeft f Guld. , geeft daarvan aan B het |; B geeft van zyn deel het § aan C, tn C wederom van het zyne het r} aan D. Hoe veel ontfangt dan D van het GeheelV Autw. fl Guld. Divisio der Breuken. By de Divifio der Breuken heeft men, even als in de Multiplicatio der Breuken , vyf onderfcheidene algemeene Gevallen in aanmerking te neemen, naamelyk: 1. Om' Breuken do ,r Breuhn te diviieeren. 2. Om Breiaen doo" Geheelen te divideeren. 3. Om gemengde Getallen door Gelmeien te divideeren. 4. Om geheele oj gemengde Getallen aoor breuken te di~ videeren. 5. Om Geheelen of alleen Breuken of ook gemengde Ge- tallen door gemengde Getallen te divideeren. Welke Gevallen alle insge'yks opgelost worden door den volgenden Al-  of REKENKUNST. 70 Alcemeenen Regel. Keert den Divifor om ; dat is, plaatst het getal van den Teller onder, en dat van den Noemer bo« ven de itreep. Multipliceert vervolgens deezen omgekeerden Breuk met het gegeeven Dividendum, zo als in=de Multiplicatio der Breuken geleerd is; daa is het komenae Product het begeerde Quotiënt. Voor heelden op de gemelde vyf gevallen. 1. Om || deer | te divideeren. Omgek. Divifor 4 ~ of i$ het Quotiënt. Aanmerking. Als in dit Geval de Noemers der gegeevene Breuken gelyk zyn, divideert men flegts den Teller van het Dividendum door den Teller van den Divifor; als wanneer men, zonder de Noemers in aanmerking te neemen, het begeerde Quotiënt vindt. Om dus *ï dooi ié te divideeren, laat men de Noemers vaaren, en men divideert 17 door 4j komt 4J voor het Quotiënt. 2. Om % doar 7 te divideeren. Cmgek. Divifor 7 ~ f UI het. Quotiënt- 3. Cm 5! door 11 te divideeren, Het gemengd Getal Jf ingericht zynde, is 1J. Dus Omgek. Divifor T| — 'flff het Quotiënt. 4. a) Om 23 door | «e divideeren. Off'gek. Z)m/ör % zz Hl"? of 29? het Quotiënt, ¥)  8o ARITHMETICA i") Om 41 door 4 te divideeren. Het gemengd Getal 4J iDgericht zynde, is % Dus Omgek. Divifor 'f ~ 4||dlf of 25Ü het Quotiënt. 5. a) ünt 27 door kj re divideeren. Het gemerjjgd Getal 2J ingericht zynde, is 'f. Dus Omgek. Divifor rf — "1*34 of ioT| het Quotiënt. &) Ü»i ! door 4| te divideeren. Het gemengd Getal 4? ingericht zynde, is 'f. Dus Omgek. Divifor 7| — ïUi| het Quotiënt. c) Om 94ri door 72- te divideeren. De gemengde Getallen 7I en 94^ ingericht zynde, zyn 5-J en Vjtf. Dus. Omgek. Divifor 3l ZZ '"-li5-?! of ialfl het Quotiënt. Aanmerking. De aJgemeene Regel, welke wy nu voor de Divifio gegeeven hebben, is de klaarfte en eenvoudig, fte, ja wy durven zeggen de beste die 'er te vinden is*'als men flegts de oplettendheid heeft om den Divifor van hec Dividendum behoorlyk teonderfcheiden ten einde men niet het Dividendum, in plaats van den Divifor, omkeere, en dus een verkeerd Antwoord vinde. Dezelve heefc nog het b\ zonder voordeel , dat, wanneer de Divifor een Breuks-Breuk is, men volgens denzelven niet noodig heefr dienalvoo» rens tot eenen eigenlyken Breuk te brengen: vermits men alsdan flegts alle de Breuken, waar uit deRreuksBreuk is faamengefteld, heeft om te keeren, en voorts te werken naar den Regel. VOOR-  of REKENKUNST. 8* Voorbeeld. Om | door | uit ÏT- uit || te divideeren^ | «5 Ji tz Tf = f la|?f of 3f|| het Qustienh Voorbeelden tot Oefening. j. Divideert f. door 7 ? Antw. 2*. 2. Divideert T| door §? Antw §£. 3. Divideert ï| door T|? Antw. ij§, 4. Divideert T* door |? Antw. f. 5. Divideert J door 5? Antw. ?J. 6. Divideert f| door 3? Antw. }|. 7. Divideert **; door 4.? Antw. T|. 8- Divideert 37I door 6? Antw. 67. 9, Divideert ij door 11 ? Antw. r|. 10. Divideert 23 door |? Antw. 26?. 11. Divideert 8r|door§? Antw. i2f. 12. Divideert 32 door 2|t Antw. 135. 13. Divideert 5 door 1^? Antw. Tf|. 14. Divideert 423I door 4i? Antw. q4ï7. Oplossing van Erebken. Eenen Breuk refolveereD of oplosfen is uit eenen Breuk van eene grootere foort van Munten , Maaten, Gewichten, enz. , die nog in kleinere foorten verdeeld zyn , te zoeken, hoe veel Eenheden van zodanige kleinere foertin den Breuk begreepen zyn. F Dus  8» ARITHMETICA t Dus is deeze Regel eigenlyk niets anders dan de toepasfing des tweeden Gevals van de Multiplicatio der Breuken op zodanige benoemde Breuken , waar van het Geheel in kleinere foorten verdeeld is. Hier toe maakt men gebruik van den volgenden Regel. ï. Multipliceert den Teller des Breuks met zoveel Eenheden der begeerde kleinere foort, als 'er Eenheden van de kleinere foort in een Geheel van de grootere foort begreepen zyn. a. Divideert het Product door den Noemer des Breuk?; dan toont het Quotiënt de Eenheden der kleinere foort aan, welke in den Breuk begreepen Zy4.' Wanneer 'er dan nog een overfchot blyft, zo plaatst hetzelve met den Noemer als Divifor Breukswyze achter het Quotiënt. Zo echter deeze kleinere foort wederom nog eene kleinere onder zicb heeft, multipliceert men het overfchot met de Eenheden der laatfte kleinere foort, en men divideert het Producl door den voorgemelden Noemer. Eindelyk indien 'er alsdan nog iets overblyft, dat tot geene kleinere foort gebragt kan worden, handelt men daar mede als in 't begin van dit Att. gezegd is: dan heeft men het begeerde. Voor»  of REKENKUNST. 83 Voorbeeld. Men begeert te weeten hoe veel Stuivers en Pennin* gen in 7 Guld. begreepen zyn ? | Guld. è 20 Stuiv. 5 100 7 — 14 Stuiv. en resteert 2» 2 16 4 Penn. en resteert 4.' Dus is het Antwoord 14 Stuiv. 4^ Penn. Voorbeelden tot Oefening. 1. | Guld, hoe veel Stuivers zyn't? Antw. 12 Stuiv. 2. f St uiv. hoe veel Penningen zyn 't? Antw. i» Penn. 3- t! AVI. hoe veel g zyn 't? Antw. 6 g. 4. s6 &VI. hoe veel % zyn 't? Antw. 10 \. 5. Tg Guld. hoe veel Stuiv. en Penn.zyn't? Antw. 11 Stuiv. 4 Penn. 6. \ Goudgl. hoe veel Stuiv. en Penn. zyn 't? Antw. 24 Stuiv. 8 Penn.  »4 ARITHMETICA 8. t| Last hoe veel Mudden en Schepels zyn 't ? Antw. 15 Mudden 3 Schepels. 9. I Schipfg hoe veel Lysfg en zyn 't? Antw. 17 Lv'fg 71 m. 10. | Ryksd. hoe veel Stuiv. en Penn. zyn't? Antw. 33 Stuiv. 5£ Penn. Reductio van gegeevene kleine soorten van Munten, Maaten, Gewichten, enz. tot Deelen of Breuken eener c rooter e soort. Regel. Neemt het getal der Eenheden van de kleinere foort tot Teller, en plaatst daar onder Breukswyze de Eenheden van de kleinere foort, welke in eene Eenheid van de grootere foort begreepen zyn , tot JMoemer. Verkleint verders den Breuk , zo het doenlyk is; dan heeft men het begeerde. Voorbeeld» Wat deel is 16 Stuiv. 10} Penn. vaneen Gulden f ao Stuiv. het Geheel. 16 Stuiv. io| Penn. 16 16 320 Penn. 266 3 3 960 derde-deelen 8o0lj£, — I § Guld. het Antw. 96? | VOOT-  of REKENKUNST. 8y Voorbeelden tot oefening. I. Wat Deel zyn 12 Stuiv. van een Gulden? Antw. | Guld. a. Wat Deel zyn 14 Penn. van een Stuiver? Antw. £ Stuiv. 3. Wat Deel zyn 12Ift van een &.VI.? Antw. § ^^Z. 4. Wat Deel zyn 8|§ van een j)? Antw. £. Wat Deel zyn 15 Stuiv. 8$ Penn. van eenGoudgl.? Antw.f Goudgl. 6. Wat Deel zyn 15 Mudden o\ Schepels van een Last? Antw.T§Last. 7. Wat Deel zyn 5 Lysfg 8| fg van een Schipfg ? Antw. T| Schipfg. 8. Wat Deel zyn 49 Stuiv. 8 Penn. van een Ducaton? Antw. \\ Ducaton. 9. Wat Deel zyn 3Guld. iSStuiv. i2Penn.vaneen Ducaat? Antw. tDucaat. 10. W;at Deel zyn 3 Oneen 13 Engels lof Aazen van een Mark? Antw. \\ Mark. Regel van Drieën in gebrokene en benoemde getallen. De gronden van den R eg el van Dr ie ön in geheele en benoemde getallen, welke wy hier vooren klaar en duidelyk ontvouwd hebben , zyn ook op deezen Regel toepasielyk : derhalven is het in 't geheel niet noodig by deeze gelegenheid verder daar over te handelen; te meer daar wy nu op eene be. F 3 vat-  g6 ARITHMETICA vatbaare wyze getoond hebben , hoedanig de ver». eischte Multiplicatio en Divifio in Breuken verricht moet worden. Doch alzo het byzonder voordeelig is de Rekeningen in Breuken, zo veel mogeiyk, te vermyden, zullen wy by deezen Regel eene zodanige Leerwyze voordragen , welke ons in ftaat fielt de Breuken te doen verdwynen , en voorts de uitrekening in geheele getallen te kunnen verrichten. Uit het geen wy hier vooren wegens de Breuken gezegd hebben blykt duidelyk, dat de Breuken telkens verdwynen , wanneer zy met zo veel als de IMoemer bedraagt gemultipliceerd worden. Dewyl nu de Proportie van twee getallen tot elkander altoos de zelfde blyft, als men die getallen beide met een en het zelfde getal multipliceert, of wel door een en het zelfde getal divideert, zal men, wanneer van twee getallen eener Proportie het eene een Breuk of een gemengd getal is, en beide die getallen met den Noemer des Breuks gemultipliceerd worden, altoos en in alle Gevallen geheele getallen Bekomen , welke dezelfde Proportie tot elkander hebben. Voorbeelden. I. De Proportie van f tot 7 wordt in die van 4 tot 35 veranderd , als men de beide getallen met 5 multipliceert. II. De Proportie van 5! tot 9 wordt in die van 47 tot 7a veraaderd, als men de beide getallen met 8 multipliceert. Op gelyke wyze handelt men, als ook het ander getal een Breuk, of een gemengd getal is, naamelyk: III.  OK REKENKUNST. 87 UI Fe Proportie van | tot f, wordt in die van 3 tot | veranderd, als men de beide getallen met 4 multipliceert; en deeze laatfte Proportie wederom in die van 21 tot 8; als men de beide getallen met 7 multipliceert. IV De Proportie van 5I tot 8J wordt in die van 68 tot 00 veranderd , als men de beidegetallen aerst met 3, en de komende Produtlen wederom met 4, of in eens met 3 maal 4 cf ia multipliceert. In gevolge deeze Voorbeelden kan men nu gemaklyk alle Ptoportien van Breuken of gemengde Getallen in Propcrtien van geheele Getallen veranderen, en dus ook in eenen Regel van Drieën alle Breuken doen verdwynen, om voorts de bewerking in geheele getallen te kunnen doen. Ten welken einde men gebruik maakt van deezen Alcemeenen Regel. t. Vergroot het eerfte en tweede Lid, of ook het eerfte en derde Lid , naar aanwyzing der zo even opgegeevene Voorbeelden , zo lang tot dat alle de gegeevene Breuken verdwynen. 2. Werkt voorts volgens den Regel van Driecnin geheele getallen , zo bekomt men het begeerde Antwoord. _ .... , Want de Regel van Drieën is eigenlyk gegrond op de Proponie, die het eerfte tot het tweede Lid , ot ook, lchoon meesttyds ten aanzien der bloote getallen, het eerfte tot het derde Lid heeft, lntusfchen kunnen zodanige getallen, door vermeenigvuldiging met gelyke getallen , vergroot, of ook, door deeling met gelyke getallen, verkleind worden, zonder hunne Proportie daar door te verande-  88 ARITHMETICA ren. Derhalven is het even veel of men de bewerking met de gegeevene getallen zeiven, of wel met de vergroote, ja zelfs, zo het eenig nut kan aanbrengen, met verkleinde getallen verricht. By ge^ volg kan men op die wyze de Breuken doen verdwynen, en dus den Regel in geheele getallen be« werken. Om dit nog nader op te helderen, zullen wy hief verfcheide Voorbeelden byvoegen. I. fg 7 kosten of Gl. wat fg 21 29 168 H5 Antw. lif Guld. Of fg_7 9f Gl fg l I Of Sr 171 —-*94 Gl. & 20? Werkende fvoorts naar den Regel ian Drieën > komt het begeerde iAntwoord aajff Guld. IV. fi? 4i kosten 5 Gl. wat a? n§? 19 20 194 T71" 3880 171 Antw. 2i{f» Gl. Of 6? 41 5 Gl. — fig srj 19 194 171 776 3880' Antw. s2}7f Gl. Deeze Bewerking komt met de naastvoorgaande overeen , naamelyk men vergroot het eerfte Lid met | 4, en het derde met 9; en vermits op die wyze het j derde Lid 9 maal grooter geworden is, vergroot l men de 19 in het eerfte Lid insgelyks met 9. Dewyl verders het eerfte Lid in den beginne 4 maal j grooter is geworden, zo multipliceert men het twee. i deLid5, of de 594 in het derdeLid insgelyks met4; l dan heeft men de volgende geheele getallen; 171 — 20GI. — ffi 94? I Of© 171 - 5t;L - fg 776? Waaruit men, als vooren, tot Antwoord vindt 22x7? Gl. V.  02 ARITHMETICA V' fg H kosten 3af Gl. wat fg -?? 55 275 1296 3025 9072 3025 Antw. afSff Gl. Of fgj5| . 32» GJ. - fg 2? 55 162 55 975 972 •■ ' - 810 3025 . , 9072 3025 —— Antw. 2f§ff Gl. Men vergroot hier het eerfte Lid 6' met 8, het tweede Lid 32J met j, en het derde Lid T? met 1 1, door flegts den Noemer n door te ftreepen. Daar nu op zodanige wyze het tweede Lid 5 maal grooter is geworden, zo vergroot men de 55 in het eerfte Lid insgelyks met 5. Voorts dewyl het derde Lid 11 maal grooter is geworden, zo vergroot men de 275 in het eerfte Lid insgelyks met 11. Einde]yfc naardien het eerfte Lid in den beginne 8 maal grooter is geworden, zo multipliceert mende 162in 't tweede Lid, of de 7 in 't derde Lid , insgelyks met 8; zo heeft men het Opftel in geheele getallen als volgt: fg 3025 — ïayóGl. — fg 7? Offg3oaj— 162 Gl. — e?56? en men vindt verders voor het Antwoord afgff Gl. VI.  op REKENKUNST. 93 VI. fg si k°sten «S G1- "at 83tI $? 31 14 6 1328 1C0 42 83 ,3a- 6 7 581 480 5 ' IO « Antw. u6± GI. 6 30 S Of fg 31 4! Gl. — 88t§ ffi» 32 14 1328 160 7 g 3934 480 83 48 — t^t a j Antw. n6y GI. Men vergroot hier het eerfte Lid met 9, het tweede Lid met3, en het derde Lid met 15. Daarnuopzodanige wyze het eerfte Lid 9 maal, en het tweede Lid ^ maal grooter is geworden, en het getal3juist o maal in 9 begreepen is , zo vergroot men de ia in net tweede Lid nog met 3. Voorts dewyl het derde Lid if maal grooter is geworden, zo vergroot men de 32 in het eerfte Lid insgelyks met 15 , waar door men den Regel aldus zou Kunnen opftellen: fg 480 - 4« Gl. - 1328 fg? Doch  §4 ARITHMETICA Doch in aanmerking n-emende hetgeen wv in on zen agemeenen Regel gezegd hebben, naamelyk • dat^ alle geproportioneerde getallen, door vermeenislui digmg met geiyke getallen, vergroot,of ook, door der. li sc mes gelyke getallen , verkleind kunnen worden zonder hunne Proportie daar door te veranderen zien V m 1 eJerfte en ,derde Lid van deezen laatften Regel beiden door 16 deelbaar zyn; derhal ven d vï deert men het eerfte en derde Lid beide door iö en men bekomt tot Quotiënten 30 en 83. Nu zie? men wederom , dat de 30 in het eerfte, en de 4» in het tweede Lid beide door 6 deelbaar zvn. Men divideert dus wederom die beide getallen door 6, en men toeft dan het Opftel des Regels in geheele getallen aldus: 0 6 fë 5 —— 7 GI. — 83 fg? Of, zo wanneer men alle de Leden, als vooren gezegd is, vergroot beeft, neemt men, het eerfte met het derde Lid vergelykende, in aanmerkfng dat het eerfte Lid 9 maal, en het derde Lid i, „faï grooter is geworden, als mede dat de Protnie van den Noemer 9 tot den Noemer 15, als m^ beiden door 3 divideert, in die van 3fot5verandert word? derhalven vergroot men de 8 Guld. 15Stuiv., hoe veel Penn0 ??" ®? ADtW' '4Ö Güld' 6 Stuiv' * G 4*  58 ARITHMETICA 4. Voor 80 fg betaalt men 26 TJ Gnld.; hoe veel kosten tot dien prys 33J fg ? Antw. 11 Guld. 3 Stuiv. 14 Penn. , 5. Als 17 fg gekocht worden voor29%Guld.; hoe veel zullen dan bedragen 55! f8 ? Antw. 96 Guld. 9 Stuiv. 6 Penn. 6. Als | W kost 3T£Guld., hoeveel i9fg? Antw. 7* Als e'en Once kost 7 Guld. i5f Stuiv. hoe veel kosten 9 ffi 6 Occen ? Antw. 1167 Guld. 3 Stuiv. 12 Tenn. ., 8. Hoe veel zullen kosten 9 Lasten 11 Mudden 1| Schepel Tarwe tot 2 Guld. 5 Stuiv. 4J Penn. het Schepel? Antw. 2304 Guid 4 Stuiv. i$i Penn. 9. Als voor 9 W i2j Oneen betaald wordt 91 Guld. 5 Stuiv. 4^ Penn. op hoe veel komen dan 3Ti m te ftaan? Antw. op 24 Guld. 2 Stuiv. 13$$$ Penn. 10. Als men voor 5 Schipfg 7 Lvsa? 3ï £§ louwwerk befteedt 238 Guld. 3 Stuiv, 4! Penn., hoe veel zal mendan na rato moeten befteeden voor 4ïïSchip&'? Antw. 218 Guld. 7 Stuiv. Penn. 11. Als 2 fg 4i Lood kosten 11 Guld. 7 Stuiv. if Penn., hoe veel zal men dan koopen voor 107Guld. 17 Stuiv. 7% Penn. ? Antw. 20 fg n-A Lood. 12. Als 4 Mark Oneen Zilverdraad gekocht worden voor 105 Guldens 14 Stuiv., hoe vee! zullen dan bedragen 14 Mark, 6* Oneen? Antw.335Guld. 4 Stuiv. 6J Penn. „ . r , , ^ ,, , 13. Als|Oneen kosten 1 i.fJ4§§, hoe veel Zest hal. ven zal men dan moeten befteeden voor *Ë& ? Antw. 160 Zest'halven. ' ■' _ . . 14. Als | ® kosten % Guld. hoe veel Stuivers zullen dan U Oneen bedragen? Antw. 23! Stuiv. iï. Als i«» fjg kosten 345 Guld., hoe veel dan tf% Lood? Antw. 1 Guld. o Stuiv. 7* Penn. 16.  op REKÉUKUNST. OF il E K E JN K U N S 1. 99 16. Als | uit | maal 6| fg kosten \ uit 50 Guld. hoe veel dan § uit 3$ fg? Antw. 37I» Guld. 17. Als t uit i maal fg kosten | uit 9 maal 24 Guldens, hoe veel dan f uit f maal otJ fg ? Antw. 35sl Guld. 18. Als 4 uit 4 van £ maal 2! T? fg kosten | uit J van | maal maal n|GuIdens, hoe veel fg zal men dan hebben voor 2f Guld? Antw. 253^ fg. Deeze Voorbeelden zyn meer dan genoeg, om den Leerlingen tot oeffening in deezen Regel te die« I ncn, te meer daar dezelve, wat het weezen der 1 zaake belangt, in alle opzichten met den Regel van ; Drieën in geheele getallen overeenkomt. Wy hebben I ons tot hier toe onthouden om over deProeven, zo ji van den Regel van Drieën, als van de Speciën der | Breuken,te fpreeken. In het volgende Deel zullen i wy over de Proeven in 't algemeen, en de voordeeI len, welke eene verftandige en welberedeneerde Verkorting der Rekenkunde in alle haare takken kan l toebrengen, in eene gefchikte orde handelen. AANHANGZEL. De ledige ruimte, welke op het einde van dit ; Deel zou overblyven, als ik hier myn Onderwys jl eindigde, heeft my doen befluiten dit Aanhangzel I ten dienste van hun , welke reeds eenige vordeI ringen in de Rekenkunde gemaakt hebben,'ernog by te voegen; niet om daar door myne bedreeven* I heid in de Rekenkunde te toonen , als wel om gee\ ue gelegenheid, waar in ik nuttig zou kunnen zyn, G a voor*  ARITHMETICA voorby te laaten gaan. De (toffe welke ik hier zal voórdraagen ftrekt meerder tot eene vermaaklyke uitfpanning, 'dan tot een wezentlyk nut. Intusfcheq zal men daar uit zien, welke verbaazendeeïgenfchap" pén in de getallen zyn opgefloten, en wac met een verftandig beleid door dezelven niet al gevonden kan worden. i. Men begeert te vinden , hoe veel maal de JcHkking van een zeker aantal nevens elkander geplaatfle dingen, ten aanzien hunner plaatjen, veranderd kan worden, op dat nooit eene fchikking gelyk zy aan eene andere ? Regel. Multipliceert de achtervolgende getallen , van i beginnende, en met het aantal der nev'ens elkander geplaatfle dingen eindigende, allen te faamen, dan zal het Produtï de meenigte veranderingen omtrent de fchikking aantoonen. By Voorbeeld. Men begeert te weeten, hoe veel maal de fchikking der 24 Letteren van 't ABC, ten aanzien haarer plaatfen, veranderd kan worden? Multipliceert de Getallen 1, a, 3, 4, s,6, enz. tot 24 ingefloten te faamen, komt voor het Produel 620448401733239430360005 zo veel maal de fchikking der gemelde 24 Letteren verSnderd kan worden. Want twee Letteren, als A en B, ondergaan 2 Schikkingen, als A Ben BA. \Vanneer nu hier dé dèrde "Letter, alsC, nog by komt, zo kan elk dér Letteren 2 maalin haare plaats blyven, terwyl de beide anderen in fchikking verwisfelen; by gevolg kunnen drie Letteren 3 maal 2, dat is 6 Schikkingen, ondergaan, als ABC, ACB; BAC, BCA; CAB, CBA. Zo nu nog de vierde Letter , als D , daar by " ' ' komt,  of REKENKUNST. ioï komt , kan elk der Letteren 6 maal in haare plaats blyven, terwyl de overige drie in fchikking veranderen ; by gevolg knnnen vier Letteren 6 maal 4, dat is 24 onderfcheidene fchikkingen ondergaan, als ABCD, ABDC,ACBD, ACDB, ADBC, ADCB , baCD,BADC, BCAÜ, BCOA, BDAC, BüCa! CABD, CADB," CBAÜ, CBDA, CDAB, CDBA: DABC, DACB, DB AC, DBCA, DCAB, DCBa! Op gelyke wyze wordt bevonden , dat vyf Letteren 5 maal 24, dat is 12b maal; zes Letteren 6 maal 120, dat is 720 maal; zeven Letteren 7 maal 720, dat is 5040 maal, in fchikking kunnen veranderen , enz. Nu is 2 het Produtï van 1 en 2; 6 het Produel van 1, 2 en 3; 24 het Produtï van 1, 2, 3 en 4; 150 het Produtï van 1, 2, 3, 4 en 5; 720 het Produel van j, 3, 3, 4, 5 en 6, enz. Derhalven heeft men, om het begeerde te vinden, flegts de natuurlyke getallen, tot het aantal der nevens elkander geplaatfle dingen ingeflooten , in hunnen achtervolgenden rang faamen te multipliceeren. 2. Men begeert een Getal te vinden dat gelyk is aan alle zyne evenmaatige Deelen Partes aIiquotus)/aazwere ginomen , en om die reden genoemd wordt een volmaakt getal? Regel. - Schryf nevens elkander eene Reeks Getallen, waar van het eerlle de Eenheid, en ieder naastvolgend Getal het dubbeld van het naastvoorgaande is. Voorts onder het tweede Getal de fom van het eerfte en tweede; onder het derde de fom van het eerfte, tweede en derde; onder het vierde de fom van het eerfte , tweede, derde en vierde; en zo vervolgens. 7 G 3 On-  joa ARITHMETICA Onderzoek alsdan welke van de komende fommen eerfte of Prim- Getalien zyn, en deezen gevonden hebbende, multipliceert dezelven met de recht daar boven (taande Getallen; dan zullen de komende ProduEten volmaakte getallen zyn. Voorbeeld. i, 2,4,8.16,32,64, 128,enz de Reeks Getallen 3» 7» 15» 31 763» 127,255 enz. de fommen of ColleEten , waar van 3, 7, 31 en 127 eerfte of Prim-Getallen zyn. Deeze derhalven met hunne recht daar boven (taande Getallen gemultipliceerd zynde , bekomt men 6, 28, 496, en 8128, welke allen volmaakte Getallen zyn. Want de evenmaatige Deelen van 6 zyn 1, 4 en 3; van 28 — 1, 2, 4, 7 en 14; van 496 — i,a, 4, 8, 16, 31, 62, 124 en 348 ; van 8128 — 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 50Ü, 1016, 2032 en 4064; wier fommen re* fpecYivelyk de Getallen uitmaaken, welkers evenmaatige Deelen zy zyn. Als men de Reeks verder hadt voortgezet, zou men nog een vyfde volmaakt Getal gevon» den hebben, naamelyk 33550336; doch om meerdere te vinden, zou men eenen lastigen arbeid moeten onderneemen. De plaats laat my niet toe om verder over deeze -ftofFe te handelen, en andere verwonderenswaardige eigenfchappen der Getallen op te fpooren. Einde van bet eerfte Deel,  BLADWYZER; der Regelen, welke in dit Deel voorkomen. Numkratio of Telling. . Pag r. ai) Om een met talletters gefchreeven getal uit te fpreeken. . . 3« b) Om een uitgefproken getal met talletters te fchryven. . • 5* Additio of Saamentelling. 6. Süestractio of Aftrekking. io. Multiplicatio of Vermeenigvuldiging. 13. Divisio of Deeling. • . iy. iToepasfing der vier Hoofdregelen , Additio, Substuactio, MulTli'LicATio en Divisio, op Gelden, Maaten en Gewigten. . 26. !Waardy van Gelden, Maaten en Gewigten. 27. Saamengestelde Additio. . 29. . Multiplicatio. 35. \ f, ' 1 ' Divisio. . 39. Toepasfing van de Mul tiplicatio en, Divisio op onderfcheidene Geldfpecicn 42. Regel van D r. ie ëN, in geheele en benoemde getallen. . 44. ''Van de Breuken. . . 55. AbREVIATIO of verklein ib6 der I B REUK EN. . • V 57- •>  BLAD WYZE R. o) Kenmerken van deelbaarheid der getallen. 58 h\ Alffpmrpnp Rpffpl nnnr Hf» VorL-UinJf,» ^ O" — ' w.n.iciumg, 0j Reductio of Herleiding der breuken. . . . , $2 A Iin TT T n II 17 D p n U n 1. P m Sdbsïiuctio der BkkukeK, , r Multiplicatio dér Breuken. Van Breuks-Breuken of Breuken uit Breuken. . . Divisio der Breuken. ->q / u Oplossing van Breuken. », Reductio van gegeevene Munten , Maa. ten, Gewichticn enz. tot Deelen of Breuken èener irmatere Ihnrt. _ q < Reoee van DRinëN in cebrokene en benoemde getallen. 85 Aanhangzel. . . i §9  EERSTE BEGINSELEN ARITHMETICA O F REKENKUNST, TEN GEBRUIKE DER SCHOOLEN TWEEDE DEEL. Opgedragen aan 't Genootfchap der Mathematifche Weetenfcbappen , onder de Spreuk: BEN ONVERMOEIDE ARBEID KOMT ALLES TE BOFEN. DOOR ARNOLDUS BASTIAAN STRABBE, Lid en Secretaris van het zelfde Genootfchap; Lid van de Sociëteit der Kunst-Rekenaar, te Hamburg, en Leermeefler der Wiskunde te Amfterdam. Te AMSTERDAM, By J. b. e L w e, Bockverkooper, op de Pypenmarkt by den Dam.   VOORREEDEN. Aangemoedigd door de goedkeuring, welke het eerfte Deel van dit Werk by Kenners der Wiskunde en ervarene He. kenmeesters heeft mogen wegdragen, heb ik, zonder my m '* minst te bekreunen aan de laffe en ongegronde bensbmgen van kun , welke meer verwaandheid dan gezond oordeel be. zitten (*), mynen ondernomen taak rustig voortgezet, waar van de uitgave van dit tweede Deel nu weder een blyk is. Indien ik flegts eene Lyst van Voordellen, in fooien geschikt en onderjcbeiden , had willen verzamelen, en van de. zeiven hier en daar één uitwerken, zou ik zekerlyk meer aan den algemeenen fmaak van het gros der Rekenmeesters voldaan hebben; doch myne arbeid was dan volftrekt nutteloos Ttweest, en men hadt zich in zodanig geval Zeer wel met % oude Leerboeken. waar in eenen genoegzaamen overvloed vatt Foor/tellen te vinden is, kunnen behelpen. Myn doelwit bi de onderneeming van dit Werk is niet alleen geweest den J Leer* C*) Ik heb hier voornaamelyk het oog op zekeren Schoolmeester in één onzer Provinciën, dien zich , zo het ichynt, door den glans van het goud, hem by zekere gelegenheid gefchouken (verdiend of onverdiend zulks laate ik daar} heeft laaten verblinden, en zich niet ontzien heeft deezen en geenen diets te maaken, dat myne Arithmetica niet goed was . en hy eerstdaags in Amfterdam een blaadje zou laaten drukken, om myn Werkje en voornaamelyk het daar in verhandelde over de Abrevialta der Breuken, te berispen. Ik heb reeds byna 6 Maanden op dat keurig blaadje gewacht, doch alsnog te vergeefs. Waarfchynlyk heeft hy door zodanig gezegde de onkundige meenigte zyner ftad wat zand in de oogen willen ftrooijen , om zynen op goud gevestigden roem , door de verachting van anderen , tips hooger in top te vyzelen.  jv VOORREDEN. Leerlingen eene gepaste Handleiding, volgens welke zy behooien onderweezen te worden, te bezorgen^ maar ook de zodanigen, die meer dan anderen lust tot de Rekenkunst hebben, de middelen oan de hand te geeven, om in ledige •uuren zich zeiven te kunnen otffenen. Daar benevens is het, helaas! maar al te zeker , dat veeïen van hun, wien het ondcrwys der Jeugd aanvertrouwd is, zo zy al iets meer dan den Regel van x)rieè'n in geheele getallen kunnen onderwyzen, de Rekenkunst niet als par routine, dat is zonder van het hoe of waarom reden te kunnen geeven, verjlaan , en daarom doorgaans zich van een uitgewerkt Rekenboek, als Bartjeus of van Lintz bedie> nen, om de bewerking der fom, waarvoor een Leerling blyft ftaan, daar uit op de Lei te kunnen affchryven, en den Leerling voor grondig onderwys in de handen te floppen. Deezen, zo zy naar billykbeia mogten verkiezen hunne verkeerde manier van onderwys tegens eene betere, die lofiyker voor hun zou zyn, te terwisjelen, zullen, zo ik my durf vleijen, in dit IVerk al datgeen vinden, 't welk hun daar toe behulpzaam kim zyn; als zy flegts de moeite willen neemen om een geieelit van den tyd, aten zy van hunneberoeps, bezigheden overig hebben, daar toe te befteeden. Met één woord, ik heb , zo veel de enge paaien van myn leflek toelieten, beide Meeflers en Leerlingen van dienst willen zyn, en niets verzuimd om dat doelwit te bereiken. Hoe ik daar in geflaagd ben, laat ik anderen ter bc'óordeeling over. Zo dit tweede Deel. even als het eerfte, goedkeuring moge erlangen, zal nog voor het einde van dit 'jaar het derde Deel volgen, waar in de Kooprnans - Rekenkunst volledig afgehanaeld zal worden, en wel zodanig, dat men zich het gemis van het Vernieuwde Licht ses KoophaBdels niet zal hebben te beklagen. AR1TH.  ARITHMETICA REKENKUNST, TEN GEBRUIKE DER ScHOOLEN. ^V^r hebben in het tot hier toe voorgedragene alle verkortingen zorgvuldig vermyd, ten einde da opmerkzaamheid der Leerlingen zo veel mogeiyk aam de Leerregelen te verbinden, en hun niets voor te dragen, waar toe men, by gebrek van het verëischc doorzicht in de eigenfchappen en onderlinge betrekkingen der getallen , geen bekwaamheid in hun heefc kunnen onderftellen. Thans , nu zy eenigzins gemeenzaam met de getallen geworden zyn , zal hec noodig zyn daarvan te fpreeken; om hun door zodanige befchouwingen een beter inzicht in deUekenkun» de in te boezemen , en een middel te leeren vinden » dat hun het voordeel aan de hand geeft , om de begeerde uitrekening met kleinere getallen te verrichten, dan men anders verpligt is te doen. Wy zullen hier toe alle de nu verhandelde Regelen, welke aan zeer voordeelige verkortingen onderhevig zyn , kortelyk doorloopea , en by elke bygebragte verkorting de A ei-  a ARITHMET1CA eigenfchap, waar op dezelve gegrond is, aanmerken. In de gemeene Additio , waar in de gegeevene getallen, zonder eenige orde tiaar in te bepaalen, voorgedragen worden , zulks dat men uit het eene getal geen der andere getallen kan afleiden , maar dezelve alten tnöet Ter üederftetleö, en ieder byïofldeT ia *t Optellen in .aanmerking neemen, kan men geen korte?en weg als^en voorengeleerden vinden. De gemaklyker weg bpftaat voornaamelyk alleen in de vaar. digheid van 't optellen, en zodanige handgreepen, als die wy in het I. Deel pag. 8. hebben opgegeeven , welke alleen door eene vlytige oeffening verkreegen worden. Het zelfde kan ook, ten aanzien der verkortingen, van de gemeene Suhftraftit gezegd worden. Van de voordeelen in de Multiplicatio. Schoon men door eenen korteren weg in 't Kekenen niets anders verf laat, dan een zodanig voordeel, dat ons met de minfte Cyfferletteren te fchryven tot het begeerde antwoord brengt, moet men echter niet denken, dat caartoeeenigzins noodigis de Tafel vdn Multiplicatio verder dan tot 9 maal 9 van buiten te weeten, gelyk fonimige Rekenmeefters hunne Leerlingen voorfchry ven , en zich inbeelden, dat zulks voordeelig is om de Multiplicatio te verkorten , 't welk ook in den eerften opflag waarfchynlyk voor. komt , vermits zy, op die wyze multipliceerende, in gevallen waarin de Multiplicant m meer dan één Cyfferletter beftaat, minder Cyfferletteren behoeven se fchryven , dan zy volgens den Regel, door ons in het I. Deel pag. 15 voorgedragen , noodig zouden hebben; doch als men in aanmerking neemt, dat men •p dit wyze telkens eene meenigte komende Tienen uk  o? REKENKUNST* 3 i Uit de eene plaats in 't geheugen moet houden, om I dezelve by het komende Produtï in de naastvolgende hoogere plaats , dat op die wyze dikwyïs mede een i groot getal is, uit het hoofd 'op te tellen, ziet men : duidelyk , dat zodanige verkorting tot niets anders : dient, als om het geheugen buiten noodzaake te I beewaaren, en den Leerlingen eenen last op re legi gen, die alleen door bedreevene Rekenaars, welke door eene veeljaarige oefFening dat toppunt van vaar* i digheid bereikt hebben , getorst kan worden. Wy I zullen dus den gemeenen weg volgen, en niets anders onderftelleu, dan dat de Leerling de Tafel van I Multiplicatio, die niet verder gaat als tot 9 maal 9, fi (zie I. Deel pag. 14.) vast in 't geheugen heeft, : zo dat hy elke vraag , die men hem uit dezelve kan I doen, vaardig en zonder de minfre bedenking kan bejj antwoorden, als wanneer het hem niet moeijelyk zal zyn de nu volgende voordeelen der Multiplicatio gronr dig te verftaan, en daar het noodig is gebruik daarvan te maaken. Dat echter de Multiplicatio met groote Cyffer'jtIteren, als 9, 8, 7, enz., zo als A. van Diepenbeek {fpisk. Rekenk. pag. 19-) zegt, moeijelyker I valt dan met de kieinfte, kunnen wy niet toeftemmen, } vermits de ondervinding leert, dat elk die de Taf et \van Multiplicatio vast van buiten weet, met degrooti fte Cyfferletteren even zo gemaklyk kan multipliceetreu als met de kieinfte. Alle gevallen by te brengen, waar in men met «voordeel verkortingen zoude kunnen doen , is byna, ij om niet te zeggen voljïrekt, onmogdyk. Wy zullen I derhalven ons vergenoegen met de voornaamfte en | meest voorkomende gevallen door voorbeelden te jverklaaren, en den grond, waar uit de verkortingen Iafgeleid worden» daar by aan te wyzen. A a i. ■ i,  4 ARITHMETICA I. Om een gegeeven Getal met 5 tt multipliceeren» Dewyl 5 de helft van 10 is, en een getal, doortet rechterhand van hetzelve een o te plaatfen, tienmaal grooter wordt, voegt men by gedachten een o achter 't gegeeven getal, of wel men plaatst een punt achter hetzelve, dat in de bewerking als o gerekend \sordt, en men neemt de helft van dit tienvoudig getal, waar door men het begeerde bekomt. By voorbeeld. Om 7854379 met 3 te multipliceeren , ftaat het Werk aldus: 7854370. De helft 39271895 is dan het begeerde Pr»duci van 5. II. Om een gegeeven Getal met 9 te multipliceeren. Met 9 te multipliceeren is even het zelfde als met 10 min 1. By gevolg is het tienvoud van een Getal miD dat getal gelyk aan het Produel dat voortkomt, als men dat Getal met 9 multipliceert. Naardien nu een Getal met 10 gemultipliceerd wordt, als men een o achter hetzdve plaatst, heeft men flegts by gedachten een 0 achter het gegeeven getal te Ïilaatfen, (waar toe men, om het getal zelve behooryk e onderfcheiden , zich van een punt bedient) en vervolgens het gegeeven getal van dit tienvoudige af te trekken. £y voorbeeld. Om 520862 met 9 te multipliceeren, plaatst men een punt, dat nul betekent,achter hetzelve, aldus; 520862» Zegt  o p REKENKUNST. 5 Zegt dan * van o, of door i uit de naastvolgen! de plaats te ontleenen, a van (o is 8; 6 van 2 (die I nu door 't leenen t geworden is, en door i uit de volgende pliats te ontleenen 11 wordt) rest 5; i 8 van 5, of van 15, is 7i o van 7 is 7; a van o, : of van 10, is 855 van t, of van 11, is 6; en dei wyl 'er nu niets verder af te trekken is , wordt de 1 5 door de laatfte ontleening 4. Derhalven zal het I Werk aldus ftaan: 520862, 4687758 het begeerde ProduÏÏ, III. Om een gegeeven Getal met 11 te multipliceeren.' _ Dewyl men, volgens de gewoone wyze de MuU I tiplicatio verrichtende, het gegeeven getal by deszelfs tienvoud moet optellen, ziet men ligtelyk ? dat voor |i de twrote ry van dat Getal, of deszelfs tienvoud, het gegeeven getal de eerfte ry zyode , de eenheden onder de tienen, de tienen onder de honderden, de honderden onder de duizenden , enz. geplaatst I moeten worden, en dat verv Igens de fom dier bei| de ryè'n het begeeide ProduEl zal zyn. Derhalven f is het klaarblyklyk , d-.t men geenszins die beide? | ryén behoeft te fchryven, maar ftegts in gedachten |de evengemelde optelling kan verrichten, als in het I volgende voorbeeld te zien is. Om 024.7518 metit te vermeenigvuldigen,plaatst ij men i> voor de eenheden , vervolgens zegt men 8 1 en 1 is 9 voor de tienen; 1 en 5 is 6 voor de honderden; 5 en 7 is ia,zynde 2 voor de duizenden» I en men behoudt 1; voorts 7 en 4 is 11, en i,die ; gehouden is, is 12, zynde 1 voor de tienduizenden , A 3 «9  é AHITHMETICA •n men behoudt i; 4 en a is r>, en i ,die gehouden is, is 7 voor de honderdduizenden; 2en 9 is 11, zynde t voor de duizend-duizenden of millioenen, en men behoudt r; eindelyk de laatfte eyfferletter 9 met de i, die gehouden is, doet 10, waardoor dan het Werk aldus komt te ftaan; 9247518 1017 29698 IV. Om een gegeeven Getal met een ander te muU tipliceeren , waar in één of meer Eenen gevonden worden. Naardien een Getal altoos het zelfde blyft, als men hetzelve met 1 multipliceert, laat men het ge. geeven Getal ftaan voor het Produel; van een Cyfferletter des Multiplicants , die 1 is , en men plaatst de Produbïtn van de andere Letteren des Multiplicants vóór of achter uit, volgens den rang, die zy in den Multiplicant hebben. Zie hier daarvaneeaige Voorbeelden. 1. Voorts. Multipliceert 4^38 met 31. 4738 Dewyl in den Multiplicant de 3 in 14214 . de plaats der Tienen ftaat, moet ook * deszelfs ProduSt een letter binnen' 146878 waarts geftcld worden. II.  ot REKEKKDN ST.; ? II. Voorb. Multipliceert 84372 met 14. 337488 III. Voorb. Multipliceert 95263 met 412. 95263. 058O3' 381052.. isjo526 190526 Of 3SiQ5S" 3^48356 3924S355 aanmerkin6. Wanneer in den Multiplicant twee Eenen naast elkander ftaan, kan men dezelve voor ï 1 rekenen, en dus, in gevolge het voorgaande derde Geval» ais eene enkelde Cyfferletter gebruiken ; doch men behoort hier by wel in acht te neemen, dat n>en d$ Proiuften behoorlyk onder malkander plaatst. Het volgende Voorbeeld , waar by de naarnen der plaat, len uitgedrukt zyn, zal genoegzaam syn om dit ge* zegde op te helderen. hy Foorhetld, Om 6834 4U* tejaulüplieefrcB,. ftaat het Werk aldus; A 4 6834  k E a:R I T h M E T i C A 6834 g .. 13Ó68 het ...2 voudige 75174» bet o voudige 47336... het 4000 voudige 08101408 het 411a voudige. Of aldus. 0834 27336... het 4000 voudige 75174. het .110 voudige 13668 het ... 2 voudige 28101408 het 4112 voudige. ,V. Om een gegeeven Getal op eene korte wyze met 25, 1*5, en 250 te multipliceeren. Dewyl 25 viermaal in honderd, 125 agtmaal ;'n duizend , en 250 viermaal in duizend begreepen is , moet men in -het eerfte geval twee nullen , en in de beide laatfte gevallen drie nullen by gedachten achter het gegeeven Getal plaatfen , en voorts van de aldus vergroote Getallen het eerfte door 4, het tweede door 8, en het derde, even als het eerfte, door 4 dividee» ïen, om de begeerde ProduQen te bekomen. Tmi  U REKENKUNST. » Voorbeelden. l.ömo874met 2.0mo874met 3.0m9874™ec 25temultipl. I2f te muitipl. 2jote muitipl. ' 9874.. 9874... 9874 ••• I 4 8 1 4- 246850 1234«50 2.1(^500 Op gelyke wyze kan men met 35, 45, 55» "5» 275 , 375 » enz- °P eene k°rW en geroal multipliceeren; doch ons beftxk laat Biet toe d ' te fpreeken. Van de voordeeeen in de Divisio. In de Divifio kan men, volgens de natuur van den Divifor , ook alle de voofdeelfto, welke boven by de Multiplicatio zyn aangeweczen , werk lr II g ma3ken. Wy zullen ons, om kort te zyn 5 vergenoei gen met flegts de voornaamite aan te flippen , en de 1 overige de zorge der Leermeefteren aanbeveelen ,om ! dezelve hunnen Leerlingen in te fcherpen. lil Om een gegeeven Getal door een fuamengefield Getal te divideeren. j Ontleed den Divifor in twee of meer Fattores ,. na i(i dat zulks volgens deomftandigheid raadzaamst fenynt, en divideert vervolgens het gegeeven Dividendum eerst door één der Fa&ores , het Quotiënt weder door één jder nog overige Faftores en zo vervolgens; dan za! men eindelyk het begeerde vinden. A 5 .  n AR ITHMETICA, By voorbeeld. Om 491544. door 71 te divideeren, ontleedt men den Divifor 72 in twee FaBores 8 en 9; en men divideert als dan het gegeeven Getal eerst door S, vervolgens het Quotiënt door 9, of eerst door 9 en dan door 8 ; waar door rnen het gezochte Quotievt verkrygt. Aldus: ^491544 of 49*544 61443 54r,i6 9 ■ ■ ■« ' 8 m "■' Quotiënt 6827 6827 als voorea. Aanmerking. Men bedientzichjn'zenderheid van deeze wyze van divideeren, als de Divifor in zodanige Fatïms ontleed kan worden , welke enkele Cyfferletieren, of ten hoogden niet grooter dan 11 zyn. Zo echter het Dividendum geen al te gKXH Getal»zender bygevoegde minderdeelen of Rreijkön, is, kandq Divifio op de gewoone wyze doprgaans even zo geipaklyk en vaardig, als met ieeze ontleeding van den Divifor, verricht worden, II, Om een gegeeven Getal , door 15» is5» of zodanige Getallen, welke in 100, Iooo, enz. effen opgaan, te divideeren. Dewvl ?5 viermaal in [honderd, en 125 agttnaal in duizend begreepen is, moet men in het éerlte geval het gegeeven Getal met 4 » en in het tweede geval Bigt 8 multipliceeren; vervolgens het ProduB door 10 of 100 divideeren ,• hetgeen met flegts twee of drie CyfFerïetterea voor de nullen^af te fnyden gefchieden kan. „ Foor-  o t REKENKUNST. Voorbeelden. . Om 764575 door as 2. Om 6?47<525 door ia$ te divideeren. te divideeren. 764575 6247615^ Quotiënt 3058310a Quotiënt 49981 Icoo 1 Op gelyke wyze kan men , even zo gemaklyk als wy ten opzichte der Multiplicatio gezegd hebben, door 85> 45, 5S, «5,275,375> enz. divideeren. Doch, 'O-li kort te zyn , zullen wy dit mede ltilzwygende ivoorby gaan. I III. Om een gegeeven Getal door een zodanig Getal te divideeren, welks verfchil met 100,1000, 10000, enz. flegts eene enkele Cjferletter, of ten hoog' fien 11 is. Divideert het gegeeven Dividendum door 100, rooo, ; 10000, enz., dat is door een Getal dat het naast aan ide gegeevene Divifor is, hetgeen gevoeglyk gefchieiden kan , door niet een rechte üreep zo veel letteren ivan het Dividendum aan de rechterhand af te fnyden, ■als 'er nullen in de aaugenomene Divifor gevonden 1 worden. Multipliceert het komende Quotiënt, naamelyk het i'iGetal dat ter linkerzyde van de affnyding ftaat, met jhet verfchil, zo veel de waare Divifor kleiner dan de ( amgenomene Divifor is, en pl3atst het Produtï ord^r 1 het Dividendum zodanig , dat Eenheden onder Eec, : héden, Tienen on4er Tienen, enz, komen te ftaan. In  4» ARITHMETICA In gevalle het gemelde Produtï zo groot is, dat het ovi-r dc- aflnyding aan de linkerhand loopt, zo muitij hcetrt da'geen , wat ter linkerzyde van de affnyding gekomen is, wederom met het gemelde verfchil, er' plaatst het komende Produtï recht onder het voorige. Vervolgt dit voorts zo lang tot dat 'er eindi lyk niets meer ter linkerhand van de affnydinge komt te ftsatr. Addeert e'nde'yk alle de Getallen , zo als zy onder makander (taan, te faamen, zo komt het begeerde Quotiënt aan de linkerhand , en de Rest aan de rechterhand der affnyding. Echter moet hier by in ac^t genomen worden , dar wanneer door de Additio nog. een of mee! Eenheden uit de fom der Resten by de (om der Q^.otienten gekomen zyn, deeze Eenheden alsdan v.cdtrü'ri met fet gemelde verfchil gemultipliceerd, en het komende Produtï by de hier vooren gevondene fom der Resten opgeteld moeten worden. By voorbeeld. Om 2874*29 door 98, zynde 2 minder dan joo, te divideeren. Dan ftaat de bewerking aldus: 28745 29 574 90 ïi 48 | 22 —_____ f! Quotiënt 29331 j 89 Rest 91 Naamelyk fnydt twee letteren aan de rechterhand af, vermits hier de Divijor, op 100 genomen wordt. Ivlultiphceert vervolgens bet gevonden Quotiënt 2874S met het verfchil 2, en plaatst het Frodutï J749o recht  of REKENKUNST. recht daar onder- Multipliceert op gelyke wyze •wederom het Getal 574, dat aan de linkerhand van ide affnyding ftaat, met het gemelde verfchil a, komt , 1148en verder ook de ter linkerhand komende 11 met het verfchil 2, komt 2-. Ëindelyk 1 addeert alles te faamen ; en naardien de fom van , de ter rechterhand van de affnyding ftaande Rest is ; l8y, en dus van dit Getal ééne Eenheid in de derde plaats bygeteld moet worden , welke plaats tot ! de linkerzyde der affnyding behoort, multipliceert I men deeze 1 nogmaals met het verfchil 2, k>mc 2. f Addeert deeze "Tbv de Rest, zo hebtgyeindelykvoor )| het begeerde Quotiënt 29331, en voor de Rest 91. De red- n van detze bewerking is, als men ciezaak I bedaardelyk overdenkt , ten vollen klaarblyklyk, en ] Valt elk , die eenig doorzicht heeft, aanftonds in 't '\ oog. Om hier van overtuigd te worden, beeft men zich f flegts te herinneren , dat in de Divifio de Divifor zo I meenigmaal van het Dividenium wordt afgetrokken, 1 als het Quotiënt Eenheden bevar; hetgeen op hec l zelfde uitkomt, als of men het Quotiënt zo meenig1 maal van het Dividendum aftrekt , als de Divifor Ëen! heden heeft. Wanneer men dus den Divifor grooter, : dan dezelve gegeeven is , aanneemt en de Divifio 1 met zodanige grootere Divifor verricht, zo wordt van 1 het Dividendum meerder afgetrokken, dan volgens de i begeerde Divifio eigf nlyk ve-eischt wordt, en wel I juist zo veel meer als het Produtï is, 't welk ont| ftaat , als men zodanig gevonden Quotiënt met zo 1 veel Eenheden multipliceert, als de Qivifor te groot 1 genomen is. Daar men dus in het vooi gaande VoorI beeli door 100 heeft gedivideerd, en men eigenlyk 1 door 2 minder, dat is door 98, hadt moeten divi* 1 deeren, zo is het klaarblyklyk, dat 'er, ten aanzien I van het eerfte Quotiënt t a maal 28745 te veel van het  14 ARITHMETICA het Dividendum is afgetrokken. Wanneer men dc« hah'en dit Produtï 57490 wederom by het Dividtn* duw, voegt s zo is het gebrek in de Divifio eenigermaate verholpen ; doch evenwel kan men nog niet Zeggen» dat het voor het Quotiënt gevonden Getal 28745 net waare Quotiënt is ; want het is klaar te Zien, dat in de oveïgebleevene Rest 29, en in het weder bygevoegde Ptodutï 57490 , de Divifor rog meerrnaalen begreepen is: dus moet nog onderzocht worden, hoe veel maaien dè Divifor 98 daar in vervat is , en even zo veel Eenheden by het voorige Quotiënt gevoegd worden. Intusfchen kan dit onderzoek nogmaals op de voorgaande wyze gefchieden. Als men verders op deeze wyze voortgaat, tot dac 1 men eéne kleinere Rest dan de Divifor 98 vindt, en : eindelyk alle de gevondene Quotiënten faamen addeert, zo heeft men ontwyffelbaar het waare Quotiënt, dat eigefclyk gezocht is, benevens de Rest, die'er over- 1 blyft. De volgende Voorbeelden kunnen nog tot opheldering dienen. 1. Om 650876 door 95 te divideeren. 65 08 ?ö te divid. door 5 minder dan 100, 325 40 16 2S 80 11- Quotiënt 6851 jai Rest 31 s.  .© * REKENKUNST. ij s. Om 76548952 doof 997 te divideeren. 7674^ 952 te divid, door 1000 min 3, 628 744 684 Quotiënt 76478 I380 I fi Rest 386 3. Om 23645987047a door 993 te divideeren. 9364598701472 te divid. door 1000 min 8. 1891678 I 960 15133(424 121 064 I !;68 guttim238366804 f 888 i 16 Rest 904 4. Om 52683172486 door 9939 te divideeren. 5268317 2;86 te divid. door iooco min ir. 5795 1437 6 3745 | 66 ]gao/to«5274xi8 | 7784 Rest. IJ  t6 ARITHMETICA.; A ANMERKING. Vaa de Additio en Subftraiïio in benoemde Getallen kan , ten aandien der verkorting, even het zelfde gezegd' worden, dat wy over de gemeene Additio en Subliracïio hebben aangemerkt. En vermits de voordoe, len in de Multiplicatio en Divifio in benoemde Getallen zich kortheidshalve, gevoegtyk by ósMultipli. catio en Divifio der Breuken fchikken, en dus te gelyk met dezelve afgehandeld kunnen worden, zullen wy^ wegens den overvloed der ftoiFe, welke wyonsyoorcefteld hebben in dit Deel te verhandelen, onmiddelvk daartoe overgaan ; doch alvoorens de Proeven , welke men gewoon is op de volbragte bewerkingen te maaken, onder een algemeen gezichtpunt befchouwen. Van de Proeven in 't algemeen. Door een Proef verftaat men een zodanig onderzoek, waar door men eene gevondene Uitkomst beproeft , om te' weeten of in de bewerking, die men om dezelve te vinden heeft moeten doen , niet gefeild is. n Fen Proef is derhalven op verre na geen Bewys: men kan goed gerekend hebben , zonder dat men daarom aan de Conditiën van het Voorftel voldaan heeft \ want het is geheel wat anders goed te rekenen of üatgeen te verrichten , dat volgens den aart van het Voordel voldrekt behoort gedaante worden. Men kan dus eenen Regel van Drieën verkeerd opftellen» en evenwel door de Proef tconen, dat men we! ge? werkt heeft; weshalven men zich billyk moet verwon-  otf REKENKUNST. xf wonderen , dat fommige Rekenmeefters zo veel ophefs van de Proeven maaken. Immers als men eene ber kening ten tweeden ihaale met de verè'ischte om» ziehtigheid doet, of, zo de gelegenheid het toelaat, door eenen anderen laat doen , eb de uitkomst met de eerfte in alles overëenftemt, kan men vry zeker vertrouwen, dat de bewerking, wat het rekenen betreft , goed verricht is, doch men bewyst daardoor nog niet , dat dezelve zoo en niet andeis hadt moeten, ingericht worden. Men denke echter niet, dat wy hier mede de Proeven , als van geen dienst zynde , willen verworpen hebben; neen ■— wy willen alleen , dat men dezelven op geen hooger waarde ftelle,dan zy waarlykhebben. De gegrondheid der wyze van bewerking kan alleen door bondige en wel aanééngefchakelde fluitredenen beweezen worden , waar van wy in het eerfte Deel, op meer dan eene plaats, voorbeelden gegeeven hebben. üp de Additio, Subftraclio, Multiplicatio en Divifio hebben wy in het eerfte Deel reeds de Proeven leeren maaken , en getoond dat dezelve flegts het omgekeerde des Regels zyn, die men in de bewerking heeft moeten volgen. En daar de Proeven op de Additio9 SubJtraStio , Multiplicatio en Divifio der Breuken, alleszins met de voorgemelde overéénkomen , zoude het eene overtollige moeite zyn daarvan te fpreeken. Wy zullen ons dus vergenoegen met aan te toonen , hoe de Proef op den Regel van Drieën, zo in geheele als gebrokene Getallen , behoort gemaakt te worden. Naardien men , volgens de eigenfehap eener Proportie of evenredigheid , in den Regel van Drieën hec tweede en derde Lid des Regels te faamen moetvermeenigvuldigen , en het ProduSt door het eerfte Lid deelen , om in het Quotiënt het onbekende of gezochte vierde Lid te viu Jen (1. Deel pag. 4<5.),zou de natuurlyke Proef van den Regel van Drieën eigenB lyk  ig AKITHMETICA. Jyk deeze zyn, dat men door Multiplicatio onderzoekt, of bet Product van het tweede met het derde Lid gemultipliceerd, gelyk zy aan het verrneenigvuliigde van het eerfte met het vierde Lid , dat de gevondene Uitkomst is; doch.gemeenlyk neemt mende gevondene Uitkomst , nevens twee andere der gegeevene Leden , welke men wil , als bekend gegeevene drie Leden aan, en men zoekt tot deeze, volgens den Regel van Drieën , het vierde evenredig Getal ; indien alsdan de gevondene Uitkomst recht is, en dus de vier Getallen behoorlyk geproportioneerd zyn, moet ook in deeze laatfte Evenredigheid de Uitkomst het overige vierde Lid zyn. Dus kan men elk Voorbeeld van den Regel van Drieën zo veel maal als 'er bekend gegeevene Leden zyn, of wel driemaal, omkeeren, om de.gevondene uitkomst te beproeven. By Voorbeeld, Als bekend gegeeven wordt, dat 10 fg 14 Guldens kosten, en men begeert te weeten , hoè veel men dan voor 15 fg zal moeten betaalen? ' vindt men, zo als vooren geleerd is, voorde Uitkomst 31 Guldens. Om nu deeze Uitkomst door de Proef te bevestigen, kan men het Voorttel op de drie volgende wyzen omkeeren. 1. Voor 14 Guldens heeft men iofg,ihoe veel voor ai Guldens? En men vindt tot Antwoord de 15 fg, 2. Als 15 ö? kosten 21 Guldens, hoe veel ro fg? Komt voor het Antwoord de 14 Guldens. 3. 'Voor 21 Guld. heeft men 15 fg, hoe veel voor 14 Guldens? Komt weder voor het Antwoord de 10 fg. Va»  gf REKENKUNST. ,0 | Van de voordeelen in de Möltipiica. tio der Breuken. Wy hebben by de Multiplicatio der Breuken, (U CDEtL,pag 73.) aangemerkt, dat in dezelve vyf Geval» flen voorkomen, welke alle door eenen Regel opgelost 1 kunnen worden, gelyk wy dan ook dien Regel, zonder jde minfte verkortingen in te voeren, ftiptely.kgevolgd 1 hebben. Thans zuilen wy de voordeelen aanwyzen, waarvan men in ieder Geval byzonder gebruik kan jimaaken,om het begeerde ProduSt langs den kortften »'weg te vinden, en voorts de voordeelen aan de hand j: geeven, welke in de faamengeftelde Multiplicatio, die jlin de daad niet anders dan eene Multiplicatio van ge*lmengde Getallen is, plaats kunnen hebben. Voorbeelden op het eerste Geval» 1. Multipliceert \% met |J? Verkleint eerftelyk eenen Teller tegen -éenen Noemer van eenen anderen Breuk, wanneer zy eene gejmeene Maat hebben, en weikt voorts naar den Regel ; aldus: #4 # 5 ■ « — — Komt T»f. U 13 — rÜ 9 2. Multipliceert f met ij? Antw. ff. 3. Mu'tipliceert £ met §|? Antw. §. 4. Multipliceert i$ met ||? Antw, B 2 Voor-  20 ARITHMETICA Voorbeelden op het tweede Geval* 5. Multipliceert'% met 6? 5 — 0 * — — Komt 'f of 3 f. 0 3-i 6. Multipliceert Ts met 15? Antw. roj. 7. Multipliceert t| met 24? Antw. i6J. S. Multipliceert .jj met 21? Antw. 15!» Voorbeelden op /i« derde Geval. 9. Multipliceert 167 met 5? 16* Multipliceert eerst de 5 met 5, 5 komt i| ; plaatst de f onder de Komt 817 ftreep, en behoudt de 1 voor het volgende Produel: der Geheelen. Multipliceert vervolgens ook de Geheelen van het gegeeven gemengd Getal met het gegeeven geheel Getal, en trekt de behouden 1 daar by in; dau heeft men voor het HoofdProdutï 8i|. 10. Multipliceert 2351 met 12? Antw. 28.6f. 11. Multipliceert 624^ met 38? Antw. 2373S*. yt. Multjpliceert9874ièmet3i6? Antw. 312044c.!. Voor»  ' of REKENKUNST. af Voorbeelden op het vierde Geval» 13. Multipliceert 1^ met §? 15I Multipliceert het gemerjgd Getal —3 15! met den Teller 3 des anderen 47| Breuks, naar aanwyzing van bet 4 1 voorgaande Geval; komt voor het Komt n| Produel 47*' Divideert dit Produtï door den Noemer van dien Breuk, zvnde 4; dan vetkrygt men ii| voor het begeerde Hoofd - Produtï. 14. Multipliceert 29J met f ? Antw. 19*5, 15. Multipliceert 91535 met Antw 3,2^. 16. Multipliceert 4527^ met xr? Antw. 329353:. Voorbeelden op het vyfde Geval. 17. Multipliceert 171 met 5J? 17I te multipliceeren met 5|. • 87! het Produel; van 5 maal 17J. 4J het Product van \ maai 17. § hec Product van \ maal Komt 9iT5 voor het begeerde Hoofd * ProduSt. De zekerheid der bewerking is , zonder verdere verklaaring, duidelyk te zien» b s ïi;  fi5 ARITHMETICA 18. Multipliceert 32! met 4I? Antw. 136%, 19. Multipliceert 249J met i2|? Antw. 3144.» ao. Multipliceert 3235^ met i6£? Antw. 53623^?. Voorbeelden op de sa ameng e stelde Multiplicatio. ai. Hoe veel is 5 maal 342 Guld. 18 Stuiv. 8 Perm.? 342Guld. 18Stuiv- 8Penn. Multipliceert eerst T — --. 5 de b Penn. rr.ec 5 , 1714Guld. 12Stuiv. 8 Penn." komt 40 Penn , zynde a Stuiv. 8 Penn.; plaatst de 8 Penn. onder de ftreep, en multipliceert vervolgeLs de 18 Penn. met 5, komt 90' Stuiv. hier by de vooiige 2 Stuiv. genomen, zo heeft men 92 Stuiv., of 4 Guld. 12 Stuiv. Plaatse wf-derom de 12 Stuiv. onder de ftreep, en multipliceert de 342 Guld. met 5 , waar by de voorige 4 Guld. optellende, heeft men 1714 Guld. Derhal. ven is het begeerde Produel; 1714 Guld. 12 Stuiv. 8 Penn. Aanmerking. Paar het fommigen vreemd mogt duDken, dat in éééïè Opgaaf, zo het fchynt, geen breuken voorkomen , niet tegenftaande dezelve onder de Multiplicatio der Breuken geplaatst is, zal hetnooJigzyn, om allen twyffel weg te neemen , de reden hiervan te verklaaren. De Stuivers , by voorbeeld, zyn ia de daad niets anders dan twintigfte-deelen van een G,uMen , de Penningen niets anders dan zestiende-  of REKENKUNST. 23 I deden van een Stuiver, en zo ook in andere Ge- 1 val'en. Derhalven kan rrien de kleinere foorten der ! Mtnten , Maaten en Gewigten, of in 't algemeen J de deelen van een Geheel, op tweeërlei wyze be- I fchDUwen. Naamelyk men kan eeniglyk de geheele Eenheid of de grootere foort in aanmerking nemen, ! en bV gevolg de kleinere foorten of deelen alsbreu. ken befchouwen, of men kan de kleinere foorten of 1 deden van een Geheel, naar hunne eigene Eenheden I wtardeeren, zo als tot hier toe gedaan is ; en dus i zyn, volgens de eerfte hefchouwing, de mindeidee- f lei eener grootere foort niet anders dan als een I Beuk van eene Eenheid dier foort aan te merken. 4 at. Mulriplic. 85 Guld. 17 Stuiv. 4 Penn. met 6 ? Antw. 515 Guld. 3 Stuiv. 8 Penn. i! 2" Muhipiie. 514 Guld. 3 Stuiv. 12 Penn. met ic? i ° Antw. 5144 Guld. 7 Stuiv. 8 Peen. , 24. Hoe veel is 36 maal 425 Guld. 13 Stuiv. 9 Penn ? 4i5Guld.f3St.9Penn. 36met9Penc. 25^0 ° 3*4 Penn. 1275 l6*—_ . 24 20 Stuiv. Antw.i 532 * Guld. 8 St. 4 Penn. 36 met 13 Stuiv. io3 468 Stuiv. so St. van hier li*' boven. 4818 St. li An>  ARITHMETICA j Anders. Dewyl 36 het zelfde is als 6 maal 6, kan men ook het gegeeven getal Guldens , Stuiv. en PenD., in plaats van met 36, met 6, en vervolgens het komende ProduEt weder niet 6 multipliceeren, waar door nen , als vooren, het begeerde Antwoord zal bekonen. Aldus: 425 Guld. 13 Stuiv. 9 Penn. ii .. 1 6 2554. Guld. 1 Stuiv. 6 Penn. —ü! — 6 Antw. 15324 Guld. 8 Stuiv. 4 Penn. 25. Muitipl. 214 Guld. i,i Stuiv. 6 Penn. met 4;? Antw. 9655 Guld. 11 Stuiv. 14 Penn. 30. Muitipl. 176 Guld. 13 Stuiv. 7 Penn. met)3? Antw. 11130 Guld. 6 Stuiv. 9 Penn. 97. Muitipl. 91 Guld. 3 Stuiv. 5 Penn. met 3T? Dewyl 31 even het zelfde is als 5 maal 6 meir 1, Jcan men het werk aldus inrichten: 97 Guld. 3 Stuiv. 5 Penn. 582 Guld. 19 Stuiv. 14 Penn. 3014 Guld. 19 Stuiv. 6 Penn. zynde t» maal het gegevene. 57 Guld. 3 Stuiv. 5 Penn. — 1 naai het gepevene. — verg. AntW.3012 Guld, a Stuiv. 11 Penn. " ' s8.  of REKENKUNST. 25 48. Muitipl. 135 Guld. 4 Stuiv- n Penn. met 43? Antw. 5815 Guld. 1 Stuiv. 9 Peno. 09. Muitipl. 213 Guld. 7 Stuiv. 5 Penn. met 46? Autw. 9814 Guld, 16 Stuiv. 6 Penn. 30. Muitipl. 327 Guld. 17 Stuiv. 6J Penn. met 23? Antw. 75-41 Guld. o Stuiv. 8f Penn. 31. Muitipl. 537 Guld. 19 Stuiv. 2§ Penn. met 27 ? Antw. 14524 Guld. 17 Stuiv. 12J Penn. 32. Muitipl. 475 Guld. 15 Stuiv. 9% Penn. met 45? Antw. 21410 Guld. 2 Stuiv. 6| Penn. ' Nu kunnen 'er nog Gevallen voorkomen, waar in de Multiplicant eenen Breuk is toegedaan; ons bellek iaat niet toe dezelve alsrog aan te roeren: waarom wy die zo lang zullen uitftellen , tot dat wy by gelegenheid der verkortingen, waarvan men in den Regel van Drieën gebruik kan maaken, verpligt zullen zyn daar van te fpreeken. Van de Voordeelen in de Divisio der Breuken, j Dewyl de Divifio der Breuken, door omkeering van den Divifor, eigenlyk in eene Multiplicatio veranderd wordt , zyn de vyf Gevallen van deezen Regel ook alle de Voordeelen onderhevig, waar van wy in den naastvoorgaanden Regel gebruik gemaakt hebben. Weshalven wy ons znllen vergenoegen met flegts de voordeelen aan te wyzen, waarvan men in &efaamen* gefielde Divifio gebruik kan maaken. 8 S ' U  a6 ARITHMETICA i. Divideert 40.7 Guld. 13 Stuiv. 8 Penn. door 8? 427 Guld. is St. 8Penn. Divideert eerst de 427 1 8 — ■—Guld-,door8, komt 53 53 Guld 9 St. 3 Penn. Guld,, welke men on- I der de ftreep plaatst. Het overfchot, zynde 3 Gl., 1 multipliceer^: met 20 tot Stuiv., komt60Stuiv., hier I by de 13 Stuiv. opgeteld, is de fom 73Stuiv.;deeze 1 'wederom door 8 gedivideerd, heeft men 9 Stuiv., welke men, als vooren, onder de ftreep plaatst. Eih- 1 delyk by het overfchot, dat 1 Stuiv, of 1 ö Penn. doet, de nog overige 8 Penn. optellende , heeft men 24 Penn., welke wederom door 8 divideerende, bekomt ! men' 3 Penn. , waar mede het weik verricht is, en het begeerde Quotiënt zal dus zyn 53 Guld. 9 Stuiv. 3 Penn, 2. Divideert 8078 Guld. o Stuiv. 7 Penn. doorn? Antw. 734 Guld. 7 Stuiv. 5 Penn. 3. Divideert 12646 Guld. iéStuiv. isPenn. door23? Antw. 549 Guld. 17 Stuiv. 4 Penn. 4. Divideert 7260 Guld. (4 Stuiv. 3 Penn. door 18? Antw. 403 Guld. 17 Stuiv. 74 Penn. 5. Divideert 8236 Guld. 9 Stuiv. 4 Penn. door 25? Antw. 329 Guld. 9 Stuiv. 2|f Penn. 6. Divideert 9408 Guld. 15 Stuiv. 7 Penn. door 36? Antw. 2Ó1 Guld. 7 Stuiv. i|§ Penn. 7. Divideert 1135 Guld. 5 Stuiv. 6| Penn. door 8 ? Antw. 154 Guld. 8 Stuiv. a#§ Penn. 8. Divideert 4223 Guld. 17 Stuiv. 4! Penn.door 10? Antw. 422 Guld. 7 Stuiv- u|? Penn. 9. Divideert 31946 Guld. 2 Stuiv. «3! Penn. door 35? Antw. 968 Guld. 1 Stuiv. 4jPenn. • ÏO.  of REKEN KUN ST. 27 ïo. Divideert 16893 Guld. 12Stuiv. 5', Penn.door 52? Antw. 32-4 Guld. 17 Stuiv. 8? Penn. 11. Divideert 26412Guld. loStuiv. ic|Penn.door 64? Antw. 412 Guld. 13 Stuiv. 14§ Penn. 12. Divideert 54379 Guld. 19 Stuiv. 6i Penn. door 74? Antw. 734 Guld. 17 Stuiv. 44 Penn. DE PRACTYK. Cf verkorte bewerkingen van den Recel van D RlEeN. De Verkortingen , waar van deeze Regel het on< derwerp is, zyn te meenigvuldig eu in haare natuur i te zeer ondetfcheidetl , om dezelve door algemeene Reg- len voor te Hellen. Wy zullen daarom liever aanltonds tot Voorbeelden overgaan, en hier en daar de noodige ophelderingen by de Ontbindingen voegen. Eci.ter dient vooraf nog aangemerkt te worden, dat, vermits de vraag in deeze practicaalt: Gevallen eeno'^zaam altoos naar Guldens of minderdcclen van Guld'! s is, men in hec Geval als het bekende Geld (de Schellingen en Grooten uitgezonderd; eene andere Specie is, dezelve eerst tot Gu'dens reduceert; öm reden dat een klein Getal veel geraakly^er dan . een grooter te veranderen is : en o 'k om dat de 1 ve'fdeelióg zich beter laat fchikken m mmderdeelen ! van Guldens, dan in die van eeffe andere specie. — Voorts is het niet noodig de Leden in hunnen rang ,1 te fchikkeu, zo als wy in den Regel van Drieën^leerd hebben : men heeft flegts de twee stallen, die te faamen gemultipliceerd moeten worden, onder  28 ARITHMETICA malkander te plaatfen. Meefttyds wordt het achterfte Getal des Rebels boven en bet middelfte daar onder geplaatst; doen in fommige Gevallen doet men het tegendeel, naar dat de omftandigheid zulks gemakshalve vordert , waar van het onderfcheid uit onze te geeven Ontbindingen gemakiyk befpeurdzal worden. Ook. zullen wy in de Antwoorden der Voordellen van deezen Regel , als enkel pra&icaal zynde, de Breuken van Stuivers* als dezelve grooter dan I zyn , voor een geheele Stuiver , en kleiner dan | zynde als niets aanmerken, ten ware een zodanige Breuk zeer na | Stuiv. was, als wanneer wy voor dezelve 8 Penn. .zullen neemen. i. Als i f6 kost 19 Stuiv. 8 Penn., hoe veel zal men dan moeten befteeden voor 6 8? ? ^ Stuiv. 19 : 8 Vermits deeze be. 6f§ werking in de daad niets — ander? is, dan ce 9 St. 11I7 ; — 8 : enn. op eene voordeelige wyze met fi te Guld. 5:17: — multipliceeren, referecren wy ons rot ' etgeen over de voordeelen in de Multiplicatio der Breuken dienaangaande gezegd is. Anders. f 6 In dit Geval multipli- Stuiv. 19:8 ceert men eerstele Pon- ——— den met het Getal, dat 114 de Stuiv. uitdrukt, naa- Penn. 8 is § 3 melyk met 19 ; vervol- -—r— gens onderzoekt men , nl7 wat deel de 8 Penn. van & Guld7f:i7:alsvoorec.een Stuiv. zyn, en dit ' deel  of REKENKUNST. 29 ;deel uit de Ponden genomen, en by de gevondene 114 Stuiv. geaddeerd, heeft mén het begeerde. Of in aanmerking neemende, dat 19 Stuiv. 3 Penn. op 8 Penn. na etn Guld. zyn , kan men elk ^ op een Guld. rekenen , waar door men zo veel maal 8 Penn. of zo veel halve-Stuivers te veel heeft, als 'er Ponden zyn. Derhalven trekt men dit te veel : gerekend getal Stuivers van het eerstgevonden getal Guldens af, en men heeft, als vooren, het begeer; de. Aldus: 6 fg k 1 Guld. zyn Guld. 6 : — : — 6 halve-Stuiv. zyn 3:~ ^ ^ Antw. Guld. 5 : 17 : — als vooren. 2. Als i fg kost 12 Stuiv. 8 Penn., hoe veel zullen dan 9 fg kosten ? Antw. 5 Guld. 12 Stuiv. 8 Penn. 3. Een Ëlle kost 1 Guld. 17 Stuiv. 4 Penn., hoeveel 11 Ellen ? Antw. 20 Guld. 9 Stuiv. 12 Penn. | 4. Als 1 fg kost 17 Stuiv. 10 Penn., hoe veel 45 fg? Om dit Voordel op de voorgaande eerfte manier te ontbinden, dient aangemerkt te worden , dat het getal 45 eenigzins te groot is, om daar mede de Multiplicatio in gedachten te doen. Dus is het best de deelen te neemen, waaruit hec Getal is faamengefteld, als, by voorbeeld, 5 en 9, en daar mede achtervolgens te multipliceeren, als in de volgende Bewerking te zien is. Stuiv.  Eer- 30 arithmetica Stuiv. 17 : 10 158 : ie/ 79l3 : 2 Antw. Guld. 39:13; 2, 5. Als t fg kost 14 Stuiv. 5 Penn., hoe veel 63 fg? Antw. 45 Guld. i Stuiv. 11 Penn. 6. Een fg kost 5 Guld. 11 Stuiv. r4 Penn., hoeveel 5ö f&V Antw. 313 Guld, 5 Stuiv. 7. Als 1 Elle kost 4 Guld. ï8 Stuiv. 9 Penn., hoe veel " zal men dan moeten befteeden voor 41 Ellen ? Dewyl in dit Voorftel het getal Ellen een Eer/st Getal is, en dus in geen faamenftellende deelen gefplitst kan worden , neemt men hetzelve de Eenheid meer of minder, naar dat zulks zich het best fchikt , om hec komende Getal in zodanige deelen te kunnen fplitfen, die voor de bewerking het gemaklykst zyn. Deeze deelen gevonden hebbende, multipliceert men dezelve achtervolgens met de Prys van i Elle, en menaddeerc by het komende, of men trekt 'er van af, de Prys van 1 Elle, dan zal de fom het begeerde zyn.  • of REKENKUNST. 31 Eerfte Manier. 4t is 6 maal 7 min 1. Derh. Guld. 4 : 18 : 9 . 7 34 = 9 ï 15 14aEllen.... Guld. 206" : 19 : 10 i Elle.... 4 : 18 : 9 fubftr. Antw, Guld. ao2 : 1 : 1 Tweede Manier. 41 is 5 maal 8 meer r* Derh. Guld. 4:18:9 * ™ : sTs . , 5 40 Ellen.... Guld. 197 : 2:8 1 'Elle .... 4 '• 18 : 9 _ add. Antw. Guld. 202 : 1:1 8. Een fg kost 3 Guld; io Stuiv. 8 Penn., hoe veel 61 m V Antw. 215 Guld, o Stuiv. 8 Penn. 9. Een fg kost 7 Guld. 16 Stuiv. 4 Penn., hoeveel 73 fg? Antw. 570Guld.6Stuiv. 4Penn. 10. Als 1 fg Indigo kost 3 Guld. ir> Stuiv. 12 Penn., wat zullen dan beloopen 613 fg? 18 623  3i ARITHMETICA m 623 Guld. 3 ! 16 : 12 Stuiv. ao • '-* 1869 10 31 i : 1 o : — 5 l5S : 15 • - 1-16 31 : 3 : -* — 15 : « •• 8 15 7 : 15 : 12 4 Antw. Guld. 2390 : 15 : 4 11. Voor 1 Elle ftof betaalt men 4 Guld. 13 Stuiv. 9 Penrj., hoe veel zal men na rato moeten befteeden voor een ftuk, dat langis 124 Ellen ? Antw. 580 Guld. 1 Stuiv. 12 Penn. 12. AIm gOpiumvoor4Guld.14Stuiv.8Penn.be- dongen wordt, hoe veel zal men dan moeten befteeden voor 97 fg ? Antw. 458 Guld. óSt. 8Penn. 13. Als 1 fg kost 7 Guld. 17 Stuiv. 12 Penn., hoe veel 89 fg? Antw. 701 Guld. 19 Stuiv. 12Penn. 14. Een Vat Candy-Suiker, weegende638fg, wordt gekocht tot 19 § het fg , hoe veel zal men, buiten de gewoone korting, daar voor moeten betaalen ? m 63B  of REKENKUNST. 33 fg 638 Anders. § 10 f8 638 % 19 zyn Stuiv. 91 5742 638 5742 . — i 319 § 1212I2 — 4 . 606' i Guld. 303:1 Stuiv. ■ ■ Guld. 303:1: — 15. Als l ff Candy kost 21 % , hoe veel 529 277 Guld. 14 Stuiv. 8 Peun. 16. Als i fg dito kost I7J § , hoe veel zullen dan bedraagen 7 Potten dito , weegende netto 203 fg? Antw. 88 Guld. 16 Stuiv. NB. De Penningen, als minder dan § Stuiv. zynde, worden, als vooien gezegd is, niet gerekend. 17. Als 1 f8 Foely gekocht wordt voor 2o| .gbanco, hoe veel zullen dan bedraagen 427 ^? Antw. Bancö 2658 Guld. 1 Stuiv. 8 Penn. 18. Een f8 Couchenille kost 39I Q, hoe veel zullen dan beloopen 259 fg ? Antw. 3078 Guld. 17 Stuiv. 19. Als 1 fg Surinaamfche Koffyboonen kost 9% St., hoe veel is dan het beloop van 18 Vaten , weegende netto 5624 ff ? 6 fê5694  34 ARITHMETICA fg 5024 Stuiv. 10 min J zyn Stuiv. o|. 56 2 40 |.......1406 — afgetr. 5483I4 Antw. Guld. 2741;14:— 20. Voor 1 fg wordt 14! Stuiv. betaald , 'hoe veel zal men na rato moeten befteeden voor 725®? Antw. 539 Guld. 4 Stuiv. 2r. Als 1 Elle Linnen kost 14Ü Stuiv», op hoe veel komt dan een ftuk , ang 54 Ellen , te Üaan? Antw. op 40 Guld. 7 Stuiv. 22. Als 10 fg kosten 9 Guld. 14 Stuiv. 8 Penn. 3 hoe veel aan 75 fg ? Guld. 9:14:8 f8715 Volgens de Lee- ■ 7 re der Proporti'ën, fg 10 68: 1:8 die wy aan het J 4:17:4 hoofd van den ■ Regdvan Drieën, Antw. Guld. 72: (8:12, dat is, (I. Deel, pag. HaarKoopm.lryl,Guid.72:i9:— 44 6?/^.) korte, lyk voorgedragen hebben , heeft men in dit Voorftel deeze evenredigheid: 10 ê§ ftaan tot 75 fg, als Guld. 0: 14: 8 tot het begeerde , of, als men de twee voorfte Leden door ic deelt , 1 fg ftaat tot 7T| als Guld. 9:14:8 tot het begeerde. Dus multipliceert men in dit Ge. val jde Guld. 9 : r 4:8 met 7 , en men telt by het ko. mende Tf of de helft Van Guld. 9:14: 8 , waardoor men. j  of REKENKUNST. S5 men bet begeerde verkrygt. Want de vraag wordt, zo als gemaklyk te bevatten is, door de gemelde Reductie in deeze veranderd : AU t [g kost 9 Guld. 14 Stuiv. 8 Penn. . hoe veel dan 9l fft 2 en mpn <»t dat deeze nieuwe vraag alleszins met de opgegeevene overeeuKomc. Anders» ffi 75 Guld. 0:14:8 Stlliv. 20 675 To 37:10:4—64 15: —.•— 8 1:17:8 Guld. 72I9: 7;8 20 18I7 16 Penn. 12I0 a3. Als men voor 100 & betaalt 15 Guld. 7 Stuiv , hoe veel dan voor 950 fg? Antw. 14* Guld. 16 Stuiv. 8 Penn. ^J 24. Als 100 fg kosten 17 Guld. 12 Stuiv. 8 Penn. hoe veel 1275fg? Antw. 224 Guld. 14 Stuiv' 6 Penn. 1;. Eenige Vaten Talk, weegende netto 17520 fl?, worden gekocht voor 24 Guld. 17Stuiv.de 100 fg. Hoe veel beloopt het in alles ? Antw. av>q Guld. 14 Stuiv. 6f Penn. C 2 26,  3ö ar Pt" hm e t i c a o6. Als i fg kost 7 Guld. 16 Stuiv. iaPenn., hoe veel dan 19 fg 14 Oneen? 19 ft? 14 Oneen Aanmerking. WanGuld. 7:16:11 neer by de Ponden ook — ■' -— minde'rdeelen gevon- Stuiv. ao 133 den worden , moet 10 9:10:— men,na alvoorenshet 5 4:15:— Geld uitgedeeld te 1-16 —-.19:— hebben, ook üe min8 —19: 8 derdeelen derPoaden 4 —: 4:12 uitdeelen. Echter is ~ in dit laatfte Geval de Oneen 16 te volgen handelwyze ■ eenigermaate van de 8 3:1": 6 eerfte onderfcheiden: 4 j : 19: 3 want de Stuivers en 2 —:i9: &| Penningen moeten, ——~ 0 als zynde minderdecAntw. Guld. 155:15." 61 len van Guldens, alleen uit de Ponden genomen worden , terwyl men de minderdeelen van 't Gewigt niet alleen uit de Guldens, maar ook uit de bygevoegde Stuivers en Penningen moet neemen. Om dit wel te bevatten, moet men zich de Guldens, ge. ]yk mede de Ponden, benevens haare minderdèèlen $ als twee gemengde of onëigenlyke Breuken voorftellen, die men te faamen moet multipliceeren : dan is het klaar , dat, zo dra men de Guldens met de Pon* den gemultipliceerd heeft, de Geheelen der Breuken vermeenigvuldigd zyn. De Stuivers en Penningen, welken de Breuk der Guldens uitdrukken, by uitdee» ling uit de Ponden neemende, geeven een Produtï, da: zodanig befchouwd kan worden , als of men de Geheelen der Ponden met den Breuk der Guldens hadc  of REKENKUNST. 37 gemultipliceerd; uit hoofde dat zodaniguitdeelen niet anders als ftuksgewys te multipliceeren kan aangemerkt worden. Waar uit dan openbaar is, dat daardoor de Geheelen der Ponden met de Geheelen der Guldens en haaren Breuk zyn gemultipliceerd, en 'er dus, om de vermeenigvuldiging te volmaaken , niets anders ontbreekt , dan dat men nog de deelen der Ponden met de Guldens en haaren Breuk multipliceert, of , dat het zelfde is , dat men de minderdeelen der Ponden niet alleen uit de Guldens , maar ook uit de S:uivers en Penningen moet neemen. Anders. UB 19 is 2 maal 9 m«er 1. Derhalven Guld. 7 : 16 : ia 9 70 : 10 : 12 1 ■ a f8 18 141 '• » 3 fg 1-16 7 : 16 : 12 Oneen 8 3 : 18 : 6 4 1 : 19 : 3 a — mo : 9* Antw. Guld. 155 : 15 : 6§ als vooren. 27. Als 1 f8 Saffraan gekocht wordt voor 25 Guld. 18 Stuiv. 4 Penn., hoe veel zal men dan moeten befteeden voor 32 fl? 13Lood? Antw. 839 Guld. 14 Stuiv. 8| Penn. 28. Als 1 f8 kost 7 Guld. 14 Stuiv. 8 Penn., hoe veel 17 fg Lood? Antw. 137Guld.7Stuiv. 31 Penn, • C 3 xa.  38 AR ITHMETICA. 29. Hoe veel zullen beloopen 28 fg 13* Oneen In* digo , als voor 't bedongen wordt 3 Guld. 17 Stuiv. 8 Penn.? Antw. 111 Guld; 16Stuiv. of Penn. 30. Een Aam Raap-Olie tot 42 Guld. 17 Stuiv. 8 Penn., hoe veel 13 Aam 76 Mengelen: af 1 Pcto.? NB. Een Am W120 Mengelen. Guld. 42:17: 8 -13 Meng. 110 5J7 : 7 : 8 60 21: 8:12 15 5- 7: 3t 1 —: 7: af Guld. 584 :10: 91 De Korting van 1 Pet. wordt aldus gevonden: Guld. 4:10- 8 Dus Gu,d' 584 i° • 8 "| ao Af 1 Pcto... 5^7:- Stuiv. 16I90 Antw. Guld. 578:13:8 31. Een Aam Lyn-Olie kost 35 Guld. ia Stuiv. 8 Penn., hoe veel 15 Aam 112 Mengelen ? Af 1 Pcto. Anrw, 561 Guld. 19 Stuiv. 3ï. Een Aam dito kost 36 Guld. 16 Stuiv. 8 Penn., hoe veel 20 Aam 97 Mengelen? Af 1 Pcto. Antw. 758 Guld. 12 Stuiv. «, Als een Aam Olie kost 40 Guld. 9 Stuiv., hoe veel dan 12 Aam 7i Meng,-? Af 1 Pet. Antw. 483 Guld- 1 Stuiv. 34-  o f REKENK UNS T. 3j> 34. Een Schipfg Hennip wordt verkocht voor 49 Guld. 16 Stuiv. 8 Peen. , wat zullen kosten J35 Schipfg 13 Lysfg 7I fg? Schipfg 13j is 3 maal 5 gemultipliceerd met 9. Derhal verj. Guld. 49 : 16:8 448 : 8 : 89 5 2242 : 2:8 , 3 135Schipfgkosf.enGuld.6726 17:8 1 Sch.fg is L. fg ao 10 24 : 18 : 4 2 4:19:10 ij-£5 2 : 9:13 7£ 1 : 4 : H Antw. Guld. 6760 : — : — 35. Hoe veel zullen beloopen 95 Schipfg 1 a Lysg} 5fg tot48 Guld. 10 Stuiv. het Schipfg?Antw. 4637 Guld 8 Stuiv. 36. Voor 1 Vat Robbetraan wordt betaald 52 Guld; 10 Stuiv., hoe veel zullen dan kosten 17 Vaten 10Stekan8Mengelen? Antw.938Guld.9Stuiv. 37. Als 1 Vat Spektraan kost 49 Guld. ï8 Stuiv. 8 Penn., hoe veel dan 12 Vaten 7 Stekan 13 Mengelen? Af 1 Pcto. Antw. 625- Guld. 6St. 38. Als 1 Vat dito kost 5-2 Guld. 10 Stuiv., hoe veel zullen dan beloopen 17 Vaten 10 Stekan 12 Mengelen? Af 1 Pcto. Antw.930Guld.aStuiv. 8 Penn. C 4 39-  40 ARITHMETICA 39. Hoe veel zullen bedragen 14 Lasten ia Mudden 3 Schepels Brabandfche Rogge, als men het Last koopt voor 87 Goudgl. 18 St. ? Af 1 Pcto. Ggl. 87 l 17: 8:~ i 17: 8:- -:l8: — Guld. 122:14; — 14 Lasten beloopen Guld. 1717:16: — Mnd. 27 9 40:18: — 3—[2Sch. 13:12:11 3 3= 8: 3 Guld. 1775:15: — Af 1 Pcto — 17:15: — Antw. Guld. 1758: — : — NB. Hoe de korting van 1 $cto. gevonden woïdt, is hier vooren Pag, 38 getoond.  of REKENKUNST. Q Anders. Lasten 14: la: 3 Guld. 124:14:- 4*18 122 Stuiv. 20 10 7 4 a:i6r— Mudd. 27 "~~9~ 40:18: — 3—»ia_Sch. 13:12:11 3 3' 8= 3 CöW. 1775:15: — De rest is als vooren. 40. Een Last Tarwe koopt men voor 98 Ggl. 5 St. 4 PenD., wat zullen bedragen 17 Lasten 19 Mudden a Schepels? Af 1 Pcto. Antw. 241*. Guld. 16 Stuiv. 41. Hoe veel zullen kosten 24 Lasten 7 Mudden r Schepel Pruifche Kogge, k 94 Ggl. 12 Stuiv» het Last? Af 1 Pcto. Antw. 3176 Guld. 4 St.. 42. Een Last Garst tot 51 Ggl. 19 Stuiv. 8 Penn., hoe veel 15 Lasten 1 Mudde 1 Schepel ? Af 1 Pcto. Antw. 1078 Guld. 1 Stuiv. 8 Penn. 43. Een Last Haver tot 28 Ggl. 11 Stuiv. , hoe veel 9 Lasten a Schepels ? Af 1 Pcta Antw. 354 Guld. 18 Stuiv. c i u.  4* ARIIHMETICA ' 44. Een Last Haring kost 209 Guld. 10 Stuiv., hoe veel 13 Lasten 5 Tonnen 3 Kinnetjes ? Af 1 - Pcto. Antw. 3506 Guld. 7 Stuiv. 43. Als 1 Vat Bourdeauxe Wyn kost 20} t^Vl,, hoe veel 14 Vaten 3 Oxhoofden? Af 1 Pcto. <£Vl> 2of 6 Guld. 122 ue prys van 1 Vat. Oxhjj_ 488 ~li 61 I 30:10 Guld. 1799:10 Af x Pcto 18 ï — Antw. Guld. 1781 ;io 40. Een Vat Bafadoxe Wyn kost 21J <£Pï.t hoeveel 19 Vaten 1 Oxhoofd? Af 1 Pcto. Antw. 2429 Guld. 16 Stuiv. 8 Penn. 47. Voor 1 Vat roode Graves-Wyn wordt betaald 24I <£Vl., hoe veel zullen cian kosten 15 Vaten 2 Oxhoofden ? Af 1 Pcto. Antw. 2267 Guld. 4 Stuiv. 8 Penn. 48- Als 1 Vat dito kost 24! dVl*, hoe veel beloopen dan 17 Vaten 3Oxhoofden?Af 1 Pcto.? Antw. aöC9 Guld. io Stuiv. 8 Penn. 49. Hoe veel zal men moeten befteeden voor 130 Viertels Brandewyn, als de 30 Viertels tot i\\<£VL gerekend worden ? Af 1 Pcto.  op REKEN KUNST. 4& &VI. \\\ Vis»£. 130 6 30 1 Guld. 70:10 4f maal 30. ' 28a:23: io Guld. 305: io / Af 1 Pet 3: 1 Antw. Guld. 302: 9 Of, in aanmerking neemende , dat zo meenigmaal I men 1 <£ISI. voor 30 Viertels betaalt, zulks 4Stuiv. voor 1 Viertel is, heeft men in 't algemeen flegts de 4 &.VI- met 4, en het Produtï nog met alle de Viertels te multipliceeren, om het begeerde te vinden. Aldus: —— —4 Stuiv. 47 130 Viert. ©ulo Gu!d. 305: io Af 1 Pcto ..3: 1 Antw. Guld. 302: 9 50. Als 30 Viertels Conjacqm Brandewyn kosten r?J öC^.j hoe veel dan 145 Viertels? Afi Pcto. Antw. 502 Guld. 8 Stuiv. 8 Penn. 51. Als 30 Viertels dito kosten 1,8? dC^> ■> hoe veel iö7§ Viertels ? Af 1 Pcto. Antw. 605 Guld. 5 Stuiv. 8 Penn. 52»  44 ARITHMETICA 52. Voor 30 Viertels Languedocfche Brandewyn be¬ taalt men u§ &VI. , hoe veel zal men dan moeten befteeden voor 182J Viertels ? Af 1 Pcto. Antw. 425 Guld. 3 Stuiv. 53. Een Aam Koorn-Brandewyn kost 28 Guld. 12 Stuiv., hoe veel zullen dan kosten 15 Aam 07 Mengelen? Af 1 Pcto. NB. Een Aam Braniewyn is 128 Mengelen. 15 is 3 maal 5. Guld. 28: 12: — *4S:- = — Mefig. ig8 429: —: — 64 14: 6: — 3* 7:3:— st. - 1 -14:8 Guld 45©: 13: 8 Af 1 Pcto 4:10: — Antw. Guld. 44613:8 54. Een Aam dito kost 29 Guld. 7 Stuiv. , hoe veel 18 Aam 87 Mengelen? Af 1 Pcto. Antw. 542 Guld. 15 Stuiv. 55. Hoe veel zullen bedragen 22 Aam 103 Mengelen Koorn-Brandewyn tot 30 Guld. 17 Stuiv. de Aam? Af 1 Pcto. Antw. 096 Guld. 9 Stuiv. 56. Als het Honderd Zout verkocht wordt voor 54$ <&Fl., hoe veel aullen dan kosten 13 Honderd 325 Maaten ? Am*  of REKENKUNST. 4y Aanmirking. Aangezien 404 geen andere Deelers f heeft , aan 2, 2, 101, kan men de Maaten io geen 1 andere Deden dan £ , J, TJr en rói afdeelen, waar van echter de twee laatfte Breuken voor 't gebruik; ; geheel ongefchikt zyn. Daar het nu weinig voordeel ; zou aanbrengen , dat men van de Deelen J en | ge1 bruik maakte, terwyl het overige ondeelbaar zoubly. I ven, zo ftaan wy liever eenen anderen weg in, door I de prys van 1 Maat te bepaïhn ; waar door wy be| vinden, dat van ieder <£.Vl.% die 't Honderd kost, de j' Maat na genoeg c\ Penn. beloopt, zynde flegts ,1*. I Penn. minder dan het waate beloop. Dus zou, als i men de Maat tot 4J Penn. rekende , het gebrek hier 1 in beftaan , dat men by het gevondene nog zo veel i Penningen zou moeten optellen, als hec Honderd I &yi. kost. Dienvolgens multipliceert men de &VI. met 41, \ en men bekomt alsdan de Penningen die een Maac i kost j vervolgens dit Produtï; nog met het getal der 1! Maaten multipliceerende , heeft men het bebop van 1 alle de Maaten ; doch wanneer dit getal Maaten omI trent 404 is , addeert men by dit beloop nog zo veel ■ Penningen, als het HonderddC^- kost; als hetzelve : circa 202 is , half zo veel, enz. Wanneer men dan ! dit beloop der Maaten by bet beloop der Honderd 1 optelt, heeft men het begeerde. Aldus: 54! c&n S4i ——— 6 , 4> Ponu. Guld. 327:15 _j. ai8£ 13 a 27T| Guld. 4260:15 het beloop 1 rgf j der 13 Honderd. Penn. 25^ 16 —— Stuiv. 16 .-3|| Maa-  4$ ARITHMETICA Maaten 325 Stuiv. 16:311 1950 Penn. t6 325 2 40:10 1 ao: 5 ïl is ï 5:1 3 - I 2: 8 j5 - § 1:4 t§ - i — :io_ 32710.- — Guld. 263:10:— het beloop der 3 25 Maaten. — —; 4: — differentie. 4260: 15:*— hetbeloopder 13 Honderd. Antw. Guld. 4524: o-' — 57. Als 1 Honderd St, Ubes Zout kost 52I dlPl., hoe veel zullen beloopen 8 Honderd 199Maaten? Antw. 2675 Guld. 3 Stuiv. 58. Als 1 Honderd Alaviats-Zout verkocht wordt voor 65| <£VU, hoe veel zullen dan kosten 10 Honderd 93 Maaten? Antw. 4037 Guld. 15 Stuiv. 59. Een Honderd Cagliari- Zout kost 64^ £.Vl , hoe veel 15 Honderd 345 Maaten ? Antw. 6135 Guld. 9 Stuiv. 60. Als 3 Schipfg 6 Lysfg f fg kosten is8 Guld. 8 Stuiv., hoe veel 1 Schipfg 1 Lysfg 10 fg? Sch.fg  'of REKENKUNST. & Sch.fg Lys© fff Guld. Stuiv. Seri.® Lysfg fg 3 : 6 : 5 - 158 : 8 — 1 : 1 : i<=? ao fB_3oo_..475^°;-* 20 _ 66715 as-** 39*°:-^ 21 ('5 335 ■ Jlt- j9yj f8 5»U80 . 325 (3 U55 Guld. 51)735 I 20 Stuiv. i4'700 1 70 770 Dat is na genoeg 51 Guld. 15 Stuiv. De grond' van deeze handel wyze is in het lilde GR val der Voordeelen in de Divifio pag. n genoegizaam verklaard: wy achten hec daarom ook onnoo. idig zulks weaerom te neraalen. iöi. Als 9 Lasten 6 Mudden 1 Schepel gekocht wor. den voor 1108 Guld. 16 Stuiv., hoe veel zal men na rato moeten befteeden voor 3 Lasten 12 Mudden3 Schepels? Antw.417 Guld. 1 Stuiv. jL, Als 5 Vaien 2 Stekan 1 Mengelen Traan kos- ï " ten 254 Guld 8 Stuiv'» hoe veel dan 1 Vaten a Stekan 9 Mengelen? Antw.108Guld. 17Stuiv. 163. Als 7 Aam 3 Ankers 3 Stoopen 1 Mengelen I Wyn kosten' 1057 Guld. 12 Stuiv. 8 Penn., hoe veel 4 Aam 3 Ankers 8 Stoopen 1 Mengei ten? Antw, 661 Guld. 13 Stuiv. 8 Penu. 64.  43 ARITHMETICA 64. Voor 1 Last 11 Tonnen 3 Kinnetjes Haring wordt betaald 264 Guld. 10 Stuiv. , hoe veel zullen dan kosten 15 Lasten 1 Ton 1 Kinnetje? Antw. 2018 Guld. 11 Stuiv. Van den verkeerden of omgekeerden Regel van Driecn. De verkeerde Regel van Drieën beftaat in zodanigs Vraagftukken, volgens welke men tot drie gegeevene Getallen een zodanig vierde-evenredig Getal begeert te vinden, dat wederkeerig evenredig is ; dat as te zeggen , dat het derde Lid des Regels ftaat tot het eerfte , als hec tweede tot het vierde. Even als in den rechten Regel van Drieën de oraftandigheden en de natuur der zaaken by elk Voorbeeld vooraf moeten te kennen geeven , of onder dezelve eene Proportie te vinden zy (1. Deel pag. 4.6.), zo moec men ook geen Voaritel door den verkeerden Regel van Drieën trachten op te losfon, ren zy men alvoorens onderzocht en bevonden heeft, dat onder de vejorgeftelde zaaken eene wederkeerige Proportie gevonden wordt. De kenmerken , waar door men in een Voorftel duidelyk kan zien, of in hetzelve eene wederkeerige Proportie plaats heeft , zyn uit de volgende be. fchouwingen gemaklyk af te leiden. t. De tyd in welken eenen zekeren arbeid volbragt wordt, is wederkeerig geproportioneerd tot het getal der Arbeiders, wanneer de een in gelyken tyd even zo veel afdoet als de andere. tVant als men 2 maal zo veel Arbeiders neemt, zo heeft men ftegts half zo reeltyd; noo-  of REKENKUNST: 0 \\ woelig; neemt men 3 maal zo veel Arbeiders, 10 heeft i! men flegts } zo veel tyd noodig, enz. 1. Zo is ook de tyd van uitgezette Capitaalen, welke 1 gelyke Interest opbrengen, wederkeerig geproportioneerd 1 tot de grootte van zodanige Capitaalen, als dezelve tot 1 gelyke Interest ten Honderd zyn uiteezet, of ook tot de 1 grootte der Interest ten Honderd, als de Capitaalen gei lyk zyn. Want als een Capitaal met gelyke Interest i ten Honderd, of de Interest ten Honderd met gelyke Caj pitaalen 1 of 3 maal zo groot is als het] andere CapiI taal, of de andere Interest, zo werdt 'erflegts \of\ maal I zo veel tyds veréischt, om even zo veel Int rest te heb* ! ben. 3. Be zwaarte van een Brood is wederkeerig geprof portioneerd tot den Prys van 't Graan, waar van het \ Brood gebakken wordt. Want als het Last Rogge eens $ zo duur is, heeft men tot den voorigen Prys flegts half j zo veel brood. 4. De lengte van het Laken, of eene andere ftoffe. | waar van een kleed gemaakt zal worden, is wederkeerig i geproportioneerd tot de breedte*. Want als het Laken I eens zo breed is, heeft men flegts de halve-lengte tot het I kleed noodig. 5. Het getal der Maaten of Gewigten , welke in ze* i kere Koopmanfchap begreepen zyn,is wederkeeriggepra1 portioneerd tot de grootte van zodanige Maat of Gewigt. i Want als de Maat of het Gewigt 2 maal zo groot is, heeft i men , om die Koopmanfchap te meeten of te weegen , { flegts half zo veel Maaten of Gewigten noodig. (u De zwaarte eener Muntfpecie is wederkeerig gepro. « portioneerd tot haate fynheid. Want als zodanige Muntfpecie eens zo fyn gemaakt wordt» heeft zy, om gelyke waarde te behouden, flegts de halve - zwaarte noodig. Meer andere Voorbeelden zouden wy als kenmerken van deezen Regel kunnen te berde brengen; doch L> dee«.  flRITHMETICA deeze wel begreepen zynde, zyn alle andere gemakiVfc te beredeneeren. In 't algemeen zyn de Voorftellen, welke tot den Rechten Regel van Drieën behooren, zeer gemaklyk te onderfcheiden van de Voorftellen, welke door den Verkeerden Regel van Drieën opgelost moeten worden. Want in den Rechten Regel volgt men de ftelling x Hoe meer des te meer, en hoe minder des te minder, dat is: Hoe meer of minder het Vraag - Getal is, dat in de derde plaats des Kegels ftaat, ten aanzien van het eerfte Lid, zo veel te meer of minder moet ook de Uitkomst, of het vierde Lid, ten aanzien van het tweede zyn. Daarentegen volgt men in den Verkeerden Regel deeze Helling: Hoe meer des te minder, en hoe minder des te meer, dat is: Hoe meer of minder het Vraag-Getal dan het eerfte Lid des Regels is,zo veel te minder of meer moet ook de Uitkomst, of het vierde Lid, ten aanzien van het tweede zyn. Om deeze laatfte (telling duidelyk te maaken, zullen wy dezelve door een Voorbeeld verklaaren. Voorbeeld. Een Bode, die alle dagen 5 Myien aflegt, komt op zekere Plaats in 12 dagen; hoe veel Myien moet een andere Bode dagelyks afleggen, om in 10 Dagen op de zelfde plaats te komen? Aanmerking. Dit Voordel heeft een myner Boezemvrienden , de Heer Johann Reimer Sen., Leeraar in dc Wiskunde, en Italiaansch Boekhouden te Hambutg , in zyne SJnmeifung ?ur Sïecïjen* ïtttngt, Hamb. 1776, tot een Grondflag van deezen Kegel verkozen: hetzelve fchynt my zo wel uitgedacht te zyn, dat ik geoordeeld heb hetzelve te moeten overneejneD, om toe eene nadere verklaart^  op REKENKUNST. S1 jiring van deezen Regel te dienen. Hetzelve is in de fdaad een Voordel, dat onder de bevatting der traagiifte Verftanden valt. Want zal men in minder dagen i tot de begeerde Plaats komen, zo moet men eiken fdag meerder Myien afleggen, en dus geldt hier de Helling hoe minder des te meer. De volgende Oplosjfing van dit Voordel kan voor alle andere tot een Regel dienen. Neem by het opftel des Regels al datgeen in acht, f waarvan in den rechten Regel va» Driejju gefproken is; doch alleen met dit onderfcheid, dat ] men het eerfte met het derde Lid verwisfeit, en dus \het y raag-getal voor het eerfte Lid des Regels neemt, ïterwyl daarentegen het Getal, dat anders het eerftt I Lid des Regels zou zyn, nu het derde Lid wordt. Werktvoorts naar den rechten Regel van Drieën, zo bekomt men het begeerde. Naar den rechten Regel wordt dit Voorbeeld aldus opgedeld: 12 Dagen — 5 Myien - 10 Dagen? Verwisfelende nu het eerde met het derde Lid," ftaat de Regel aldus: 10 Dagen — 5 Myien - 12 Dagen? En dus vindt men , naar aanleiding van den rechten Regel van Drieën, 6 Myien voor het begeerde. Da foor.  «* ARITHMETICA. Voorbeelden tot Oefening. U Zeker Werk kan, na gemaakte overflag , door 100 Arbeiders in 9 Maanden vervaardigd worden; hoe veel Arbeiders zyn 'er dan noodig om dat Werk in 6 Maanden te vervaardigen? Antw. 150 Arbeiders. 2. Als 100 Arbeiders een Werk in 9 maanden kunnen voltooijen, in hoe veel tyd zouden 1-0 Arbeiders dat zelfde Werk kunnen doen ? Antw. in 6 maanden. 3. A heeft aan B geleend 900 Guldens voor 8 Maan- den, zonder eenige Interest daar voor te genieten, hoelang zal B wederom 1600 Guldens zonder Interest aan A leenen, op dac de gedaane dienst wederzyds gelyk zy? Antw. 41 Maanden, 1 4. Als A zonder Interest 900 Guldens voor 8 Maanden aanBgeleendheeft.hoe veel moetBopgelykeconditie wederom voor 41 Maanden aan A leenen, op dat de gedaane dienst wederzyds gelvk 'zv? Antw. 1600 Guldens. 6 3 y' 5. Hoe lang kunnen 30 Menfchen onderhouden worden van de Proviand, die 50 Menfchen in 15 Weeken noodig hebben ? Antw. 25 Weeken. 6. Iemand heeft tot eenen Mantel, of een ander Kleed, ff Ellen Laken noodig, dat ai Ellen breed is: hoe veel voering van eene ftoffe, die 3£ vierendeel breed is, moechy daartoe hebben? Antw. aif Ellen. 7. Als tot eenen Mantel 7- Ellen Laken, dat ai Ellen breed is, gebruikt wordt ; hoe breed moet dan de ftoffe voor de voering zyn , a's men daar van 2t\Ellen noodig heeft? Antw, J Elle. X  of R E K E N K l h o i. 53 8, Als het Last Rogge geldt i»o Goudgl. a dan weegt een Brood van 6 Stuiv. 9 fff. Hoe veel moet dito Brood weegen, als de Rogge 344 Goad* gl. het Last kost ? Antw. 7i fg. 9. Als het Last Rogge geldt 120 Goudgl., dan weegt een Brood van 6 Stuiv. 9 fg; hoe hoog meet dan de Prys van het Last Rogge zyn, als een Brood van 6 Stuiv. 7* ffi moet weegen ? Antw. 1 44 Goudgl. 10. In eene Stad zyn 1500 Soldaaten vooró Maan¬ den van Proviand voorzien. Hoe veel Soldaaten zullen daar moeten uittrekken, om met dezelfde Proviand 8 Maanden te kunnenïlrekken? Antw. 375 Soldaaten. 11. Als 1500 Soldaaten in eene Stad voor 6 Maanden geproviandeerd zyn, en aanftocds 375 Soldaaten uitmarcheerer., hoe lang zullen dan de overige Soldaaten van zodanige Proviand kunnen fubfifteeren? Antw. 8 Maanden. is. In eene Veiling zyn iooo Soldaaten voor 9 Maanden geproviandeerd: doeh alza zy eene langduurige beleegering te duchten hebben, wordt belloten de bezetting met nog eenige Manfchappen te verfterken , ten einde den Vyand des te beter tegendand te kunnen bieden. Vraage hoe veel Soldaaten zullen zy dan nog moeten inneemen, om met de gemelde Proviand de Veiling 6 Maanden te houden ? Antw. 500 Soldaaten. 13. Sommige Soldaaten in een Fort beleegerd zynde, zyn voor 15 Maanden geproviandeerd, ontfangende ieder Man I3|0ncen Broods,en IfÉKaai 's daags; Zozy nu zich na 10 Maanden 10 Dagen faamen verbinden, om het gemelde Fort nog 7 Maanden te houden- Vraage hoe veel Brood en Kaas zal elk Soldaat dan 's daags moeten hebben? Antw. 9 Oneen Brood ea i fg Kaas. D 3 H.  & ARITHMETICA 14. Eene Vefting is voor 4000 Soldaaten, welke daar in leggen, voor een Jaar van de noodige Proviand voorzien: na 3 Maanden worden om zekere redenen icoo Man uit dezelve genomen: doch 2 Maanden daarna wordt het Garnifoen der Veiling weder met een groot aantal Manfchappen verfterkt, welke zoo veel Proviand medebrengen , dat zy gezamentlyk, van dien tyd af aan, nog 16 Maanden daar mede kunnen ftrekken. Vraage hoe veel Soldaaten zyn de laatfte maal weder in de Vefting gekomen? Antw. 1800 Soldaaten. tij: Iemand heeft voor zekere fom gelds een groot Werk aangenomen, om hetzelve door 72 Per. foonen in 12! Weeken te laaten vervaardigen. In 't eerst kon hy niet meer dan 48 Perfoonen daartoe bekomen, welke dan ook 18 dagen daaraan arbeiden: van dien tyd af bekomt, hy zoo veel Volk, dat 112 Perfoonen 4 Weeken lang daar mede bézig zyn. Na verloop van de laatfte vier weken laat hy weder zoo veel Perfoonen uit het Werk gaan, dat hetzelve evenwel in de gemelde i2s Weeken afgedaan wordt. Hoe veel Perfoonen heeft hy dan de laatfte maal in 't Werk gehouden? Antw. 5$ Perfoonen, gr<5. Een voornaam Officier komt met zynen Corres- . pondent overeen,om hem in 12 Weeken eene Monteering voor een zeker aantal Soldaaten te laaten maaken, en tegens contante betaaling te keveren. Na geflotene conditie maakt de Correspondent een overleg, dac wanneer hy 'er 25 Perfoonen toe aanftelde, die dagelyks ieder een zeker werk vervaardigen, de Monteering in 12 Weeken zoude gereed zyn. Al. dus zet hy het Werk met 25 Perfoonen voort. ' yermits hen: nu, na 3 Weeken, van een goeden Vriend  oï REKENKUNST; & Vriend in vertrouwen bericht werdt, dat de gemelde Officier nog een germmen tyd zoude blyven, zo laat de Correspondent aanftonds io Perfoonen uit het Werk gaan, en vervolgt het Werk met de overigen nog 6 \ Guld.|Intr. U$ Guld. Cap.9 Jaar \' V?" Jaaren fg, 48 Myien wegs, voor 4* Guld. de 100 fg, geeft, na dat hy dezelve 7 Mvlen gevoerd heeft, door de flegtheid van den werj icoo fg aan eenen anderen over. De nog ove rige Ponden wederom 18 Myien vervoerd heb." bende, en de weg beter wordende, laadt hvwe. derom op i8co fg, en komt eindelyk met zyne geheele Vracht op de beueinde plaats. Hoe veel be*  of REKENKUNST. 61 bedraagt dan zyn loon in alles? Antw. 252 Guld. 7 Stuiv. 8 1'eun. lis. Eene zekere Stad laat eene nieuwe Veiling maaken, en gebruikt daar toe 1000 Man, welke, ieder 'sdaags 18 Stuiv. winnende, 18 Weekeri daaraan arbeiden. Zo dan in denzelfden tyd, behalven de Zondagen,nog 5 Feestdagen invallen , vraagt men hoe veel zy gezamentlyk daar aan verdiend hebben? Antw. 92700 Guld. li. A leent aan B, zonder eenige Interest, óco Guld. voor 8 Maanden. B heeft de beleefdheid daar voor aan AeeneVerëering tezendtn,dieiaGuld.waardig is. Eenige tyd daarna leent B wederom aanA 900 Guldens ,voor 10 Maanden zonder daarvoor eenige Interest te vorderen A wil echter deeze dienst insgelyks niet onvergolden laaten, maar zendt B wederom een Gefchenk, naar evenredigheid van dat 't welk hy zelfvan Bgenooten heeft. Hoe veel is dat Gefchenk waardig geweest? Antw. 22 Guld. 10 Stuiv. 14. Eene Stad, die voor eeneoverrasfehing bevreesd is, laat tot haare verzekering 1 200 So^aaten werven. Na dat dezelve 4 Maanden gediend hebben, worden wederom 1500 Man geworven, en 2 Maanden daarna nogmaals 1300 Man. Zo dan de Maandelykfche Soldy van ieder (als de Officiers mede gerekend worden) doormalkander 15 Guld. beloopt, hoe veel zal het onderhoud van alle de Manfclnppen bedragen, als, van den tyd der eerstgeworvene Man'fchappen téVe» kenen, een Jaar verloopen is? Antw. 513000 Guld. 15. Om een zeker Werk te copieëren, worden 5 Perfoonen voor 12 Weeken aangenomen, en hen daarvoor eene zekete fomme gelds toegelegd. Na 10 Weeken ondervinden de gemelde Schry-  ó> ARITHMETICA ^ Schryvers,dathethen bezwaarlyk is het werk in denbeftemden tyd te voltooijen; waarom zy dan nog 2 Perfoonen tehulpneeme n, welken zy van hethun toegelegde geld even zo veel moeten geeven , als ieder van hen naar reden van den bepaalden tyd verdienen kan. Zo nu de laatstgemelden 42 Guld. voor hunnen arbeid genieten, hoe veel is dan de eerstgemelden voor het geheele Werk toegelegd? Antw. 672 Guld. Van den verkeerden Regejl van vyven. Het onderfcheid tusfchen de Voorftellen, welke tot den voorgaanden rechten Regel van Vyven behooren, en die welken het onderwerp van deezen Regel zullen zyn, beftaat alleenlyk hierin, dat, volgens den eerften Regel, alle de gegeevene Proportien tus. fchen het eerfte en dérde Lid recht zyn, en gevolg lyk door den rechten Regel van Drieën opgelost kunnen worden; daar integendeel in deezen Regel ook zodanige getallen voorkomen, welken eene wederkeerige Proportie tot elkander hebben, en dus niet anders als door den verkeerden Regel van Drieën opgelost kunnen wordtn. Om nu te toonen hoe en op wat wyze een Voorfte! waar in het eerfte en derde Lid eenige Proportien bevatten, die of gezamentlyk of ten deele wederkeerig zyn, zo door den Regel van Drieën, het zy recht of verkeerd, als volgens deezen Regel opgelost kan worden, zulleD wy het faamensekoppeld Voorfte!, dat ter verklaaring van den rechten Regel van Vyven (Pag- 57) bygebragt is, omkeeren, en op de volgende wyze voordragen, Ah  of REKENKUNST. 03 41 r mam nnm fl.,1,1 n„*U~„l ."~ „ cv , //«.f. vratui ^ujjtt,i*iAb in i .jciur O Gutó. Interest ontfangt; hoe lam moeten 450 Guld. Capitaal dan uitjtaan, om 324 Gu'd, Interest op te brengen? Alhier beftaan nu wederom het eerfte en derde Lid uit twee Proportien: want de gegeevene tyd, zvnde 7 Flor rv^o. Ann rvD™^«U» ...J __j rt' _ als 100 Guld. Capitaal tot 450 Guld. Capitaal; voorts moet ook de 6 Guld/Intercst in reden zyn tot 324 Guld. Interest, als de tyd van 1 Jaar tot den gezoenten tyd. Dat is als 100 tot 450? , T 1 . en 6 tot 3245alzo 1 Jaar tot het Antwoord. Als men u deeze getallen in de orde van het Opftel eens Regels van Drieën fchryft, volgens welke de gegeevene tvd 1 laar. die met hetpeznchrpAnrn/rwwi van gelyke benaaming is, in het tweede Lid des Regels komt, dan heeft men het volgende Opftel: Guld. Cap. tco. Jaar . 450 Guld. Cap. Guld.Inter. 6» V324 Guld. Inter. Wanneer" men nu behoorlyk acht üaat op de beide Proportien, welke in dit Opftel voorkomen, zal men in den eerften opflag ontdekken, dat de eerfteeene wederkeerige, en de tweede eene rechte Proportie is. Want ten aanzien der laatfte heeft de ftelling plaats:\ Hoe grooter de Interest is, die men begeerc té hebben, zo veel te meer tyd wordt daartoe vereischt, eu derhalven is deeze eene recbteProportie; doch met de eerfte Proportie is het anders gelegen; want hoe grooter het uitgezet Capitaal is, zo veel te  é4 ARITHMETICA te minder tyd behoeft het uit te ftaan, om eenen | alvoorens bepaalden Interest op te brengen, (men zie hier over na onze tweede befchouwing in den verkeerden Regel van Drieën pag. 40). Derhalven j moet men hier den zelfden weg inflaaa, die boven pag. 56 & 57) wy ten opzichte der beide Voorbeelden van den rechten Regel van Fyven gevolgd hebben; allééniyk in acht neemende, dat het eerde Opftel raar den verkeerden, en het andere naar den rechten Regel van Drieën berekend moet worden. Dus j heeft men hier de volgende Oplosfing: Guld. 450 —— 1 Jaar—ie0 Guld. ? naar den 5 - 5 —— verkeerd. 9 2 Regel van ■ . ■ — ■•» Drieën. Antw. I Jaar. Voorts Guld. 6 — Jjaar 324 Guld ? naar den 6 .„ — • 6 rechten 12 54 Regel van j q 1 Drieën. tq8 9 Antw.12 Jaaren het begeerde. Men kan ook eerst den rechten Regel opltellen, en daar op den verkeerden Regel laaten volgen. Aldus: Guld. r> —'• r Jaar — 324 Guld. ? naar den „ . . M ,-«—»—— recht.Reg. Antw. 54 Jaaren. vanDrieën. Voorts  oï REKENKUNST.' js Voorts Guld. 450 — £4 Jaareo — ic0 Guld. ? naar 5 9 ■■ ■ ■ — J ——— den ver- 9 & 2 keerden 9 "" ■*» Regel van i 2 Drieën. Antw. 12 Jaaren. Even zo kan men te werk gaan, wanneer 'er meer dan twee Proportiên gegeeven zyn- Om nu dit Voordel met behulp van den Verkeerden Re» gel van Fyven, in een eenig Cpftel, of flegts door eenea Regel van Drieën, op te losfen, maakt men het Opftel even als in den rechten Regel van Vyven; mits in acht neemende, dat men de getallen in het eerlfe en derde Lid, welke eene wederkeerige PrcporJ/e hebben, zodanig tegen elkander verwisfeit, als ïu den verkeerden Regel van Drieën geleerd j». Vervolgens heeft men niet anders te doen, dan het aldus veranderd Opftel naar aanleiding van den rechten Regel van Fyven te bewerken; waar door men het begeerde Antwoord zal bekomen. Zo als te vooren getoond is, komt het voorgaande Voordel, volgens de fcbikkiDg van den rechten Regel van Fyven, aldus, te Haan: Guld. Cap. ico. Jaar . 450 Guld. Cap. Guld-Inter. 6* ^324 Guld. Inter. Daar nu de Proportie der Capitaalen, zo als wy boven gezegd hebben, wederkeerig is , moeten de Leden derzelve tegen elkander verwisfeld, en dus de 450 Guld. Cap. in het eerfte Lid, en de ico Guld. E Cap.  ARITHMETICA Cap. in het derde Lid des Opftels geplaatst worden, aldus: ' Guld. Cap. 450» Jaar jioo Guld. Cap. Guld. Inter. i* V324 Guld. Inter. De Regel aldus opgefteld zynde, multipliceert men d« 450 met 6, en de 100 met 324» dan heeic men een Opftel van den Regel van Drieën , naamelvk: 2700 geeven 1 Jaar, wat 31400i Dit upttei, zo als vooren geleerd is , behoorlyk uitgewerkt zynde, bekomt men 12 Jaaren voor het begeerde Antwoord. . Doch als men alle mogelyke verkortingen invoert, heeft men de volgende bewerking: ^Guld.Cap.^* Jaar Guld. Cap. * Guld. Inter. «S» ' ~HU Guld. Inter.M* Antw. 12 Jaaren. Hetgeen waar op het in den Verkeerden Regel van Vwen voornaamelyk aankomt, beftaat dus in niets anders, dan dat mende gegeevene getall«n in het eevfte en derde Lid behoorlyk weet te plaatfen; terwv men voorts, wat de uitrekening belangt, de Leerwyze van den rechten Regel van Vyven heeft 7e volgen. Een ander Veorbeeld, waarin drie Proiorr«» voorkomen, zal genoegzaam zyn, om den Wen zin van hetgeen wy dus verre over deezen Regel gezegd hebben, nog duidelyker voor oogea te ftellen. Voor-  o t REKENKUNST. 6? Voor be Ft d. Tot een zeker Werk zyn 15 Arbei. ders voor 12 Weeken, om 's Daags 6 Uuren te arbeiden, aangenomen, en hen daarvoor 800 Guldens toegelegd; hoe veel Weeken moeten naar evenredigheid 27 Arbeiders, die 'sDaags 8 Uuren werken, aan zodanig IVerk bezig zyn, om gezamentlyk 512 Guldens te \er-dienen"} Volgens den rechten Regel van Vyven wordt dit Voordel als volgt opgefteld: Arbeiders 15 % vVeeken f 2? Arbeiders Uuren 6 \ wf,eKen / 8 Uuren Guld. Soo J *" V.5{2 Guld. Als men nu de drie Vroportien, welke in dit Opftel voorkomen, behoorlyk gade Haat, zal meo aanftonds zien, dat de twee eerfte Proportien wederkeerig zyn, en de derde eene reehte Proportie is; want ten aanzien der twee eerfte Proportien redeneert men aldus: j hoe meer Arbeiders aan 't Werk gaan, en hoe meer Uuren zy 's Daags arbeiden , zo veel te minder Weeken hebben zy daar toe noodig,- daar men integendeel over de laarfte Proportie aldus redeneert: hoe f minder t>eld den Arbeideren betaald wordt, zo veel i te minder Weeken zyn zy verplicht te arbeiden. [Derhalven maakt men in het voorgaande Opftel de «noodige verwisfelingen, terwyi men voorts alle ^gelyke verkortingen in acht neemt; waar door bet Werk aldus te ftgan komt: . s6J Arb. Weeken 1 té Arb. $ \ f Uuren ? V # — •[ $ Uuren 2 ,55*5 Guld. fói' 4 l#2 Guld. 16 Antw. 'J Wecken. E 2 Foor-  »* IRITHMETICA Vforbeelden tot Oefening. i i. Als 5 Arbeiders in * Weeken 65 Guld. verdienen, in hoe veel Weeken zullen dan 7 Arbeiders , die op gelyke wyze beloond worden, 819 Guld. verdienen ? Antw. in 18 Weeken. a. Iemand geeft voor 800 Guld. Capitaal in 9 Maanden «4 Guld. Interest, hoe veel geld kan men eot gelykfn Interest in gelyken tyd voor 5 Maanden uitzetten, om 14 Guld. 15- Stuiv. voor Interest te ontvangen ? Antw. 885 Guld. 3. Een Tuin, die aï Morgen groot is, kan door 8 Perfoonen in 6 Dagen omgefpit worden; hoe yeel Perfoonen worden *er na rato verëischt, om eea Tuin die 4! Morgen inhoudt, in 8 Dagen om te fpitten? Antw. ia Perfoonen. 4; Als een Last Rogge kost 125 Goudgl. dan betaalt men voor lOifg Brood 7 Stuiv.; hoe zwaar meet dan een 8 Stuiv. Brood zyn, als voor het Last Rogge iso Goudgl. betaald wordt? Antw. 5. Een Voerman neemt aag te voeren 800 fS Lood 28 Myien wegs, voor 2 Guld. 12 Stuiv. 8 Penn. de 100 Ég: doch na dat hy dezelve 8 Myien ver gebragt heeft, vindt hy zich, uit hoofde der oneffenheid van den weg, genoodzaakt een gedeelte zyner lading aan eênen anderen Voerman over te geeven, om het terbeftemde plaatfe te brengen, mits betaalende naar reden van *c geen voor het geheel bedongen is, en vervolgt zynen weg met de overige Vracht. Zo nu de eerfte voor zyn aandeel 17 Guld. 5 Stuiv, ontfangt, hoe veel Ponden heefc hy dan aan den laatstgemelden overgegeeven ? Antwoord 200 pg. 6.  of REKENKUNST, 69 f. Een Voerman neemt aan te voeren 1*0 SchipfS Hennip 10 Myien wegs , voor g§ Guld, hec Schipfg'. Zo nu naderhand wordt goedgevonden, dat de Voerman eenige Schipfg minder zal oplaadenj doch daarentegen deoverige Schipfg 2 Myien verder brengen, en hy in alles 44c Guld. voor Vracht ontfangt, boe veel Schipff heeft hy dus minder dan volgens de eerfte Conditie gevoerd? Antw. 15 schipfg. 7. Eenige Voerlieden neemen aan te voeren 100 Schip®' Kooprnans • Goederen 11 Myien wegs, voor 3i Guld. het Schipfg:na dat zy de»elve8 Myien ver gebragt hebben, vinden zy zich genoodzaakt andere Voerlieden te hulp te neemen, welken zy zo veel Schipfg oplaaden, datzy de« zeiven van het bedongen geld, na rato, oiGuld. betaalen moeten. Hoe veel Schipfg hebben de eerfte Voerlieden aan de laatstgemelden overgefieeveD ? Antw. 22 Schipfg. 8. Als een Weever tot een ftuk Linnen, dat 144 Ellen lang, en ii Ellen breed is, 36 fg Garen noodig heeft: hoe veel Ellen Linnen, dat « Ellen breed is, zal hy dan van 50 fg Garen van dezelfde foort kunnen weeven? Aatw. iïo Ellen. ' 9. Als 3j Perfoonen een Graft, die ito Voeten lang, 9 Voeten breed, en 8 Voeten diep was, in 5 Dagen gemaakt hadden, werden van dezelve 2% Perfoonen aangenomen, 0111 eena andere Graft van 13c Voeten lang, 15 Voeten breed, en 6 Voeten diep te vervaardigen: hoe veel tyd zullen deselven daar toe noodig hebben, wanneer zy even zo vlytig als aan de eerfte Graft arbeiden? Antw. 5! Oa fren. 10. Len Voerman aangenomen hebb ende'te voeren f6~o fg 48 Myien wegs, voor 4* Gul d. de 100 Hf, ^eeft, nadat hy dezelve 7 Mylebedaau. Hec eerde Geval is in den bovengeraeldeu !Regel afgehandeld, en het tweede is het onderwerp 1 waar over wy thans moeten fpreeken. Om dit nader te verklaaren, zullen wy onmiddsI ]yk tot een Voorbeeld overgaan; het zelve is dit: i Als 6 Ellen te Hamburg gelyk zyn aan 5 Ellen te ! Amderöam . en 0 Ellen te AtnÜerdarn 15 Guld, kos1 ten, hoe veel Guldens zal men dan tot dien Prys voer 18 f Ellen te Hamburg moeten betaalen ? In dit Voorbeeld beltaan nu het eerde en tweede [Lid in twee Proportien. Wanc,"als men flegts de 1 bloote getallen in aanmerking neemt, moet het i Vraag.getal 18 tot het gezochte Antwoord in re* , den daan. als het getal 6 tot 5, en het getal 9 tot 15. Derhalven komt het Opftel naar de ortfe van den > Regel van Drieën, volgens welken het Vraag-getal ; in het derde Lid de* Regels gefchreeven worde, aldus te ft-iao: ■\ ffamb. Ellen 6-5 Amjl. Ellen? wat if? Hamè. :. Amlt. Ellen 0-15 Guld. $ Ellen? Op zodanige wyze komen dikwyls berekeningen l^Sor, waar in hu eerfte en tweede Lid in meer dan twee Proportien beftaan. Om dit duid^lyk te toonen, 1 zullen wy het voorgaande Voorbeeld eenigzins uit1 breiden, en cp de volgende wyze voordragen: Als i 6 Ellen te Hamburg gelyk zyn aan 5 Ellen'te Amfterd: m, en 9 Elsn te Amfterdam 15 'fiuLdens Courant E 5 kas-  74 ARITHMETICA kosten, cp hoe veel Marken \Lubs Courant komendann 18 Ellen Hamburgs te ftaan, als de Wis/el- Cours var Amftferdarn naar Hamburg is 33! Stuiv. Barco, voo 1 Daalder van z Marken Lubs Barco; alsmede iro Guld. Banco te Amfterdsm gelykwaarrfig zyn aan 104 Guld. Courant, en 100 Marken Lubs Banco te Hamburg gelyk [laan met 120 Marken Lubs Courant? Hier zyn nu tusfchen het eerde en tweede Lid des Regels zes Proportien; vermits het Vraag-getal tot het gezochte Antwoord in reden moet zyn , als ' 6 tot 5, 9 tot 15, 104 tot 100, I tOt 90, 331 tot 2, en 100 tot 12c, Volgens d? fchikking van den Regel vm\Drieën wordt nu dit Voorftel aldus opgefteld: Farnb. Ellen 6 - 5 Amli. EIlehTj Amjl. Ellen 9 - 15 Guid. Cour. \ Guid. Cour. I©4 - 100 Guld. Banco J wat 18 Hamb, Guld. Banco 1 — 20 Stuiv. Banco f Ellen? Stuiv. Banco '33! - 2 Mrk.Lubs fl. { Mrk.Lubsfie.ioo - i2oMrk.L.Cowr.J Voorts is het gemaklyk zodanige. Voorftellen op te geeven , in welken tusfchen het eerfte en tweede Lid eene groote meenigte Proportien gevonden worden. Soortgelyke Voorftellen nu kunnen op twee wy« zen opgelost worden: t. door den Regel van Dri ,s weike zo Hieenigmaal opgefteld moet worden, nV  of REKENKUNST. 75 I 'er Proportien tusfchen het eerfte en tweede Lid gegeeven zyn; 2. In een eenig Opftel, zynde het Onderwerp waar over wv in deezen Reg l moeten handelen. Oe overgroot nuttigheid van deezen Ke- - gel in de Koopman? ■ Rekenkunde, en voornaamelyk: in de Wisfel Rekening, heeft ons doen befluiccn denzelven in haaren eerften oorfprong voor te dra. I gen, door eerftelyk aan te todnen, hoe en op wat wyze een Voorftcl, waar in het eerfte en tweede Lid in verfcheide Proportien beftaan , door onder- ! fcheidene Regels van Drieën opgelost kan worden; >■ en voorts daar uit een eeoia Opftel af te leiden, ;i wair in alle die Regels van 'BrieS'n ('samengekoppeld zyn, het geen her. onderwerp is, dat ons ter verhandeling nog overig is. Om nu een voorftel, waar in het e«rfte en tw?eda Lid uit meer dan eene Proportie beftaan, door Regels ' van Drieën op te losfen , zoekt men tot de eerfte gc- i tallen in het eerfte en tweede Lid, en het gegeeven i| Vraag-getal, een vierde - Evenredige, zo bekomt 1 men het Antwoord onder den naam van dit eerlte getal in het tweede Li 1. s Voorts zoekt men wederom, door den Regel van j Drieën, tot andere getallen in hec eerfte en tweede Lid, en het bekomen Antwoord, een vierde-Evenredige, dan heefc men wederom het Antwoord onder den naam van dit andere getal in het tweede Lid. ii Eindelyk, wanneer tusfchen het eerfte en tweede Lid meer dan twee Proportien gevonden worden, brecgt men het laatfte Antwoord onder den mam van bet derde getal in bet tweede Lid, wyders onder l den naam van het vierde en vyfdc getal in het tweede Lid, en zo vervolgens; dan is het laats:gevon. dene het begeerde Antwoord. Het eerfte onzer gegeevene Voorbeelden (pag. 73) wordt  16 ARITHMETICA wordt dus, volgenstden Regel van Drieën, aldus berekend: 6 Hamb. Ell. - sAmft.EU. - iKHamb.Ell.ï Antw. 15. Amft. Ell. Voorts 9 Amft. Ell. - 15 Guld. - i5 Amft, EU ? Antw. 25 Guld. De^OpIosfiug van het Voordel, dat wy op eene uitgebreidere wyze voorgedragen hebben,komt, volgens deeze fchikking, aldus te (laan: 6 Hamb. Ell. - 5 Amft. Ell. - 18 Hamb. Ell. ? Antw. 15 Amft. E'l. 9 Amft. Ell - ij Guld. Cr.ur. - r$ Amft. Ell? Antw. 25 Guld. Co«r. JO4 Guld. Co«r. -100 Guld.Banco. - 25 Gld. Cour.1 Antw. «4l| Giild. Banco. l Culd./K - 20 stuiv. ^. - ttirfGuld.a«. Antw. 48ojJ Stuiv. S3I Stuiv. Beo. - 2 Mk.Lubs ^O_48o,? Swiy Bco Antw. 28^ï Mark. Lubs Beo. SXomt34r|flVJk.LS.Ce«r. vuorh^See^A^! | Om nu zodanige Voorftellen in een eenig Opftel te brengen , en op eene gemaklyke wyzf op 2 Josfen, volgt men deezen wyze op te Al>  «F REKENKUNST. 77 AtGBMEENEa REGEL. 1. Na het Voorftel wel overwogen te hebben, neemt in acht welke de Specie of Soort is, die in het :Antwoord gevonden moet worden, het zy Guldens, Ellen, Ponden, Lasten, enz., en (lelt die benaaming in eene eerfte Kolom ter neder, met een pent of fterretje daar nevens, om het getal van die foorc, dat men moet vinden, uit te drukken: fchryfe daar inaast in eene tweede Kolom hec Vraag-getal, mei byvoeging van den naam die aan hetzelve toekomt. \ 2. Plaatst alsdan in dc Kolom ter linkerhand, die iwy boven de eerfte genoemd hebben, van de gegeevene Proportien dit Lid , 't welk met het Vraag. : getal in de tweede Kolom in alle opzichten van gelyke foort en benaaming is,- en fchryft het gegeeven gelykwaardige va« dat Lid , of wel het geen in 't Voorltd met zodanig Lid vergeleeken wordt, irecht onder het Vraag-getal ter rechterhand. 3. Gaat op gelyke wyze voort met alle de overige Leden der gegeevene Proportien te befchryven, ; zodanig, dat gy altoos dat Lid ter linkerhand plaatst, 't welk met het naastvoorgaande, dat in de Koloai : ter rechterhand gefchreevca is , in alle opzichten ivan gelyk* foort en benaaming. is, en plaatst daar 1 nevens in de Kolom ter'rechterhand altoos deszelfs jigelykwaardige, tot dat eindelyk een zodanig Lid in jde Kolom ter rechterhand komt te ftaan, dat met ;het gezochte Antwoord, 't welk in de eerfte Kolom iimet een punt of fterretje aangeduid is, in alle op. zichten van gelyke natuur en benaaming is. Op zodanige wyze komen alle de gegeevene Proportien in twee Kolommen nevens elkander te ftaaa, zulks, idat in de Kolom ter linkerhand altoos met die be> naamicg eet» aanvang wordt gemaakt, waar mede mea  ARITHMETICA reen het laatst in de Kolom ter rechterhand geëindigd is. 4. In gevalle in de Leden eerter Proportie L'reuken gevonden worden, doet men dezejve aoor vergrooting verdwynen. zo als in het 1. Deel pag. 86 èf feqq. geleerd is Desgelyk's, wanneer in zodanige Leden een Getal gevonden wordt , dat in verfcheide van elkander afh*Dglyke fooneo beftaat kan men hetzelve volgens de faamengeftelde Multiplicatio (I. Deel pag. 37 ) tot deelen van de kieinfte foort brengen, en onder den nanm van zodanige kieinfte foorc befchryven ; of men kan ook de mindere foorten als deelen of Breuken van de grootfte foort befchouwen, en zodanige Breuken, als boven gezegd is, door vergrooting doen verdwynen. 5. Zo wanneer echter het Vraag-getal eenen Breuk is toegedaan, of in verfcheide van elkander afhaDglyke foorten beftaat, brengt men het altoos onder den naam van deszelfs kieinfte Eenheden, en men maakt alsdan , volgens Art. 2, in de Kolom ter linkerhand weder een aanvang met de zelfd-e benaaming, waar 10e het Vr„ag-geral gebragt is. Indien alsdan het laatfte Lid in de Kolom ter rechterhand van de zelfde foort en benaaming is, a's het eerfte Lid in de Kolom ter lickerhand, dat met een punt of fterretje getekend is, dan is de ketting gellooten, en het Opftel naar behooren gedaan. 6. Wat voorts de uitrekening betreft, zo is, kortheidshalve , vooral noodzaakelyk acht te geeven, of een Lid in de Kolom ter linkerhand met deszelfs gelykwaardige, of wel met een ander Lid in de Kolom ter rechterhand eene gemeene Maat heeft; en wanneer het eenigzins voordeel kan aanbrengen, verkleint men die Leden tegen elkander door hunne gemeene Maat : eindelyk , om in geen '. mis-  eï REKENKUNST. 79 misdagen te vallen, moet men de verkleinde getallen doorhaaleni en de komende kleinere getallen daar nevens plaatfen; zo echter een Lid zelf de gemeene Maat is, heefr men niets anders te doen, dan hetzelve door te haaien. 7. Dit alles verncür zynde, multipliceert men eerftelyk de nog voor handen zynde getallen in de Kolom ter linkerhand te faamen; vervolgens ook de getallen, welke in de tweede Kolom nog voor handen zyn; en vermits het evenveel is in welke orde de getallen te faamen gemultipliceerd worden, neemt men daaromtrent zodanige fchikking in acht, welke voor de bewerking de gemaklykfte is. 8. Eindelyk divideert men het gevonden ProduEt in de kolom ter rechterhand door het gevonden Produet in de Kolom ter linkerhand; dan is het Quotiënt het begeerde Antwoord, dat met het eerfte ud ia de Kolom ter linkerhand, dat wy met een punt of fterretje aanduiden, of met het laatfte Lid in de Kolom ter rechterhand, in alle opzichten van gely. ke foort en benaaming is. Hec laatstgegeeven Voorbeeld wordt, naar deezen Regei, op de volgende wyze opgefteld: Mark. Lubs Cour. * 18 Hamb. EU. Hamb. Ell. 6 5 Jmft. Ell. Amft. Ell. 9 15 Guld. Cour. Guld. Cour. 104 —~ ïoo Guld. Banco Guld. Banco 1 ——— 20 Stuiv. Banco Stuiv. Banco 135 —-— 8 Mark. Lubs Banco MarLLubs Bancoiuo 120 Mark.Lubs Cour. Op  8o ARITHMETICA Op zodanige wyze ftaat de foort of Specie die men vinden moet "vooraan in de Kolom ter linker* hand, en daar nevens in de Kolom ter rechterhand het Vraag-getal 18; en dewyl hetzelve den naam van Hamb, Ellen draagt, begint men in de Kolom ter linkerhand weder met Hamb. Ellen, en fchryfc voorts alle de gegeevene Proportien, volge\ns den Regel, behoorlyk aanëengefchakeld onder malkander, totdat eindelyk in de Kolom ter rechterhand de Soort of Specie komc, waar mede men in de Kolom ter linkerhand begonnen is. Naardien echter in de Proportie der Sruiv. Banco tot Mark.Lubs Banco eenen Breuk gevonden wordt, naamelyk,dat 33I Stuiv. Banco gelyk zyn aan 2 Mark. Lubs Bancol' zo doet men zodanige Breuk door vergrooting verdwynen, en men heeft alsdan de Proportie: 135 Stuiv. Banco zyn gelyk aan 8 Mark. Lubs Banco. De Regel aldus opgefteld zynde, heeft men voorts de volgende bewerking: • — # * 0 5 * — U 13 # tM — 0 t —— 20 9üi —; 8 m —_ tn n 5 117 4000 117 —— ——• Aniw. 34 ttt Mark. Lubs Cour- Aan»  of REKENKUNST. 8x Aanmerkingen. ï. Schoon het verkleinen in deezen Regel merkeI lyke voordeelen aanbrengt, is men 'er echter niet |! aan gebonden ; alzo men evenwel het waare Anti woord zou vinden, als men alles niet op het naanw\. Re, of wel geheel niets, verkleinde: wint de Pro* I portie der Leden van de kolom ter linkerhand tot die I van de kolom ter rechterhand blyft, met of zonder |i verkleining, de zelfde. II. Wy hebben in den voorgaanden algemenen ï Regel, Art. 2 en 3, voorbedachtelyk gezegd, dat *i reen in de kolom ter linkerhand mee zodanig Lid li moet aanvangen, dat met het naastvoorgaande in de li kolom ter rechterhand in alle opzichten van gelyke I foort en benaaming is , en eulks om geen andere re'l den, als om dat fomtyds zodanige Leden voorkomen, 4 welke in den eerden opflag met de naastvoorgaande | Leden in de kolom ter rechterhand eenen zelfden | naam fchynen te hebben, niet tegendaande zy geent zins in alle opzichten van de zelfde foort zyn. Als t men dus in het voorgaande Voorbeeld de Proportie j van 104 Guld. Cour. tot 100 Guld. Banco overgeflagen I hadt, zou men in de Kolom ter rechterhand wel met I Guldens geëindigd, en in de kolom ter rechterhand weder met Guldens begonnen hebben; doch alles wel ! ingezien zynde, zou men ras bemerken, dat, fchoon | de uiterlyke naam Guldens de zelfde is, dezelve nog| thans in foort verfchillen, eu dat dus de ketting nrec Ij behoorlyk aanëen gefchakeld kan worden, ten zy da ij Proportie van Guld. Cour. tot Guld. Banco tusfchen 1 beiden kome. III. Wanneer echter een Voordel zodanig werdt I opgegeeven, dat in de kolom ter linkerhand geen Lid te viaden was, dat met het naastvoorgaande Lid in F de  8» ARITHMETICA. de kolom ter rechterhand in alle opzichten van gelyke foort en benaaming is, zo is znlk3 een blyk, dat'er eene Proportie ontbreekt; waar door dan ook de oplosfing van het Voordel onrnogelyk wordt. IV. Dikwyls gebeurt het, dat in een Voordel eenige Leden der Proportien niet uitdruklyk gegeeven worden :doch zulks beeft alleenlyk plaats by zodanige Leden, die men als bekend aanneemt. Dus is in het voorgaande Voorbeeld niet gezegd, dat i Guld. ao Stuivi heeft,vermits zulks eene bekende zaak is, en ïn de Tafel derGeldfpecien (I. Deel pag, 27)kan nagezien worden. Om die reden noemen wy zodanige Vroportien (by voorbeeld, dat 1 Guld. 20 Stuiv., 1 Last 27 Mudden of 108 Schepels heeft, enz.)heiende Proportien, vermits zy altoos onveranderlyk dezelfde blyven, en gcvolgiyk altoos als bekend aangemerkt kunnen worden. Voorbeelden tot Oeffening. t. Als 25 Lasten Tarwe zo veel gelden als 48 Lasten Rogge, 4 Lasten Rogge zo veel als 5 Lasten Boekweit, 3 Lasten Boekweit zo veel als j Lasten Garst, 7 Lasten Garst zo veel als 10 Lasten Haver, en de Prys van het Last Haver 42 Guld. is, op hoe veel Guld. komt dan het Last Tarwe te daan ? Antw. op 240 Guld, 2. A verruilde 6 Meloenen aan B voor Calebasfen, en bekwam voor a Meloenen I5duks. Deeze gaf hv aan C, en ontfing daarvoor Ganfen-Eijeren, telkens 12 Eijeren voor 5 Calebasfen. D ruilde de Eijeren in, en gaf geduurig voor 4 Ganlen - Eijeren aan A 9 Citroenen. A liet de Citroenen aan E over, en omfing doorgaans voor 3 Cifoenen 8 Appelen. Deeze gaf hv gezamentlyk aan F voor groote Nooten, en nam gedüurig 33 Nooten voor 8 Appelen. Eindelyk verruilde hy de groote Nooten aan G voor lange Aroan- de-  o.f rekenkunst. S2 I delen, en wel 11 Nooten voor 24 Amandelen. Zo l nu A voorneemens is deeze Amandelen zelf te ge: bruiken, naamelyk dagelyks 36 ftuks, Vraagt men I hoe veel dagen hy daar mede zal toekomen? Antw. II 162 Dagen. 3. Op hoe veel Huivers komt het f8 Cubeben te : ftaan, als «9 fg Cubeben zo veel kosten als 24 fg ! Manna, 184 ffi Manna zo veel als 153 f fg Mastis, l 46 fgMastix zo veel als 80 fg witte Feper, 16 fg i witte Peper zoveel als 23 # Sal-Armoniac, 15 fg • SabArmoniac zo veel als 17 fg Senebladen, 77 fg : Senebladen zo veel als 87 fg Sperma-Ceti, 17 ffi ;, Sperma-Ceti zo veel als 49 $ Tamarinde, 16 fg Tamarinde zo veel als n fg Vitriool, ai © Vitriool i zo veel als 3 fg Cardamon, 1 t# Cardamon zo veel t als 5 fg Kreeftsöogen, 9 fg Kreeftsöogen zo veel ala 1 8 fg Orliaan , 7 fg Orliaan zo veel als 9 fg Saffloers, I en de Prys van het fg Saffloers 10 i ftuiv. is? Antw. ;i op 37 i ftuiv. 4. Als 14 fg te Antwerpen gelyk zyn aan 15 qt te I Revai, 25 fg te Reval gelyk aan 18 fg te Siokholm, 1 35 m te Stokholm gelyk aan 47 m te Alikanttn, 36 j| fg te Altkanten gelyk aan 35 fg te Leipzig, 3S ft :! te Leipzig gelyk aan 31 fS te Dublin, 97 B te Dubhn 1| gelyk aan 114 fS te 'Smirna, en t fg te Smirna 48J i ftuiv. kost, op hoe veel komen dan naar deeze Pro-8 I portien 296 f& te Antwerpen le ftaan ? Antw, op 78» ! Guld. n ftuiv. 5. Als 21 fg te 'ƒ Hertogenbosch zyn ao fg te HamI burg, 17 fg te Hamburg 18 fff te London, 3 fg te I London 4 fg te Florence, 15 fg te Florence 17 fS t« I Genua, 11' ® te Genwa 7 W te Frankfort ,15 fg te 1 Frankfort 22 fg te Mesftna, 3 « te JWeJ/zna 2 fg te 1 AmSlerdam; vraagt men hoe veel 540 fg van 'sHefü togenbosch te Amfterdam zullen weegen ? Antwoord i jï2 fg. 6. Als 27 fg te r««e«e» zyn 19 fg te Madrid. 2] Fa »  84 ARITHMETICA {g te Rouaan a.T 1?r te Madrid, 6 fg re Amjlerdam 7l8te Koningsbergen, 35 fg te Koningsbergen 27 fg te Bremen, 7^ fg te /5*r« 64 fg te Rouaan, en 14 fg te Bern ui fg te Bremen, vraagt men hoe veel 9500 Amjierdamfche PoticLn te Venetien zullen weegen ? Antw. 13824 fg, 7.Hoe veel zuilen 3125Varras van Castilien te Amjierd. kosten, als 9 Ellen te Dantzig zyn 8 Ellen te yfat■werpen; 79 Ellen te Antwrpen Ó4 Varras te Castilien, 4 Ellen te Geneve 5 Yards te Dublin, 21 Ellen te Leipzig 20 Ras van Piemont , 8 Ellen te Geneve 1 s Ellen te Dantzig, 5 Yards te Dublin 8 Ellen te Leipzig, 8 Ras van Piemcnt 7 Ellen ie Amjlerdam, en de EI te Amjlerdam op 3 Guld. 4 ftuiv. gefteld wordt ? Antw. 12343 Guld is ftuiv, S, Al» 16 Ellen te Amjierd. zyn i7Elien te Erlangen, 68 Ellen te Flensburg 6? Bracci te Cremona, 19 Var. ras te Gibraltar 13 Aunes te La Rochelle, 73 Bracci te Cremona 68 Ellen te Erlangen, 31 Ellen te F/?»*, èwrg 21 Varras te Gibraltar, en 17 Aunes te La Rochelle 313 Sols kosten, waar van 60 Sols gelyk (laan aan 31 § fterl. te London , hoe veel Marken Lubs zullen dan 32SO Amllerdamfche Ellen te Hamburg bedraagen, zo wanneer 20 § fterlings even veel waardig zyn als 3 § Vlaams, en 8 Q Vlaams tot 3 Marken Lubs in Hamburg zerekend worden? Antw. too,8Mark. j j3 Lubs. NB» Een Mark is 16 $ Lubs. Ueeze Voorbeelden zyn genoeg om zich in deezen Regel te oerTenen, en van denzelven een recht dankbeeld te verkrygen. Wy zullen in de WisfelrekeniD;?., enz., waar in deeze Regel van de grootfte nuttigheid, ja genoegzaam onöntbeerlyk, is, denzelven nog nader leeren kennen , en aantoooen wat men by het Op. ftel eens Ketting - llegels, tot eenen werkelyken Hai del toepasfelyk gemaakt zyude, vooral iu acht behoort te neemen. Even  of REKENKUNST. 85 Even als het by den Regel van Drieën de beste Proefis, dat men van het gevonden Antwoord, en twee tot het Opltel gebruikte getallen of Leden, wederom een nieuw Opftel maakt, en na gedaane berekening het uitgelaaten derde Lid we !er tor Antwoord bekomt; zo is ook by den Ketting Regel deeze de gereedfte Proef, dat men met behulp van het gevonden Antwoord,door een nieuw Opftel, of het Vraaggetal, of anders een Lid der Proportien, welke in het Voordel bekend gegeeven zyn, wederom doorrekening zoekt. Het volgende Voorfte! met deszelfs Oplosfiug en Proeven , zal dit gezegde nader ophelderen. p~ Als ao Tuns te London met 2 j Tonneaux te Bourdeaux, en 1 Tonneau te Bourdeaux met 48 Stekan te Amlterdam gelyk gerehnd worden, als mede 1 Tm te London 25a Gallons bevat: op hoe veel Engelfche Gallons is dan een Amjierdamfche Stekan te tekenen] Gallons * i Stekan. 48 1 T nreau. 21 ■ 20 l uns. 1 ■ 232 Gallons. Dit Opftel, zo als vooren geleerd is , behoorlyk herwerkt zynde, vinut men voor bet Antwoord j Gallons. Om nu de Proef te maaken neemt men het gevonden Antwoord als bekend aan , terwyl men een der ygegeevene Leden als onbekend zynde onderdek, en ]al;dan komen de volgende vier Vraagen in aanmerking, naamelyk. 1 1. Hoe veel Amjierdamfche Sttkan houdt een Tonneau te Bourdeaux? E 3 2. Hoe  tj$ ARITHMETICA 2, Hoe veel Tonneaux te Bourdeaux gaan in a» Tuns te London? 3. Hoe veel Gallons zyn in een Tun te London be« greepen.? Uit deeze Vraagen vloeijen de drie volgende Op. ftellen, welke ieder tot .eene Proef op het bovenllaande Voorftel kunnen dienen. Stekan * - - 1 Tonneau. 21 20 Tuns. 1 252 Gallons. 5 1 Stekan. Antw. 48 Stekan. Tonneaux * 20 Tuns. 1 —— 27a Gallons. 5 " 1 Stekan. 48 —1 Tonneau. Antw. 21 Tonneaux, Gallons * — 1 Tun. 20 ■ . ■ 2r Tonneaux. 1 —— 48 Stekan. 1 —— 5 Gallons, Antw. 252 Gallons. Zodanig kan men, door eenen Ketting.Regel op alle mogelyke wyzen om te keeren, het getal onzer gegeevene Voorbeelden merkelyk vermeerderen, zon. Ier noodig te hebben 'er andere by te voegen, als men  of REKENKUNST. 2? men met Leerlingen te doen heeft welke traag van bevatiing zyn. Door zodanige omkeeringen van een Voordel des Ketting-Regels werkftellig te maaken worde dus niet alleen het Voordel beproefd , of het i gevonden Antwoord hec waareis; maar een Leerling i verkrygt nog daar benevens, door dat middel, eene hebbelykheid, om eenen Ketting-Regel gemaklyk te kunnen opdellen; iets dat in de daadëlyke oeffening, i en vooial inden Koophandel, van de ulterüe nuttig. I, heid is, zo als in 't vervolg van dit Werk zal blyken. Tah a-Rekening. Alhoewel deeze en de volgende Regel eigenlyk be, hooren tot de Kooprnans Rekenkunst, welke wy in het volgende Deel volleedig zullen verhandden, hebi ben wv echter diendig geoordeeld dezelven hier nog 'i bv te voegen; eensdeels om dat zy eene zeer naau^e •i betrekkb'g hebben tot de gronden, welken wv in den i Reëel van Drieën, zo in geheele als m gebrokene getallen etsten aanzien der verkorte bewerkingen, i hebben voorgedragen, en ten anderen om het vol. eende Deel, dat een volkomen faamenflel der Koop,! ,»ans ■ Rekenkunst moet bevatten , niet te ver uit te - breiden , en daar door kosrbaarer te maaken. 't Is een vast gebruik in den Koophandel, dat een ' Koooer van Goederen voor de Vaten, Kisten, Emballage, enz., waar in de Goederen gepakt zyn, ,• cf ook uit hoofde van anders omflandigheden, iets van het gewigt of van het beloop der Goederen afkort. en deeze Korting wordt Tarra genoemd. In deezen zin is zo wel het Rabat, waar van wy 1 in het volgende Deel zullen fpreeken, als de larra eene korting; fchoon het eerde woord alleen wegens  83 A&ITHMETICA vroegere betaaling van Gelden , en het andere ten opzichte des gewigts van Goederen gebruiklyk is. Echter is het voornaamfte onderfcheid van deeze twee woorden, waar op men in de berekening voornaamelyk acht moet flaan, daar in gelegen, dat men, ten aanzien der Tarra , zeggende io P. C. by voorbeeld te korten, altoos daar door ver/laat, dat io van io» «fgekort, en 90 betaald moet worden, en dus de 10 P. C. Tarra in de ico begreepen zyn,- en voorts, dat men, wanneer men wegens Gelden zegt 10 P. C. te rabatteeren of' af te korten , meerendeels daar door verftaat, d-at men 10 van rio moet af korten, en dus 300 ten vollen betaalen voor elke ito Guldens die het beloop, waar van het Rabat gekort moet worden, bevat. Waarom wy meerendeels rn niet altoos zeggen zal in het volgende Deel , als wy over de Rabat-Rekening handelen, nader verklaard worden. Thans zul. leu wy, om eene regelmaatige fchikking te volgen, «ns alleen tot hetgeen het onderwerp van deezen Regel betreft bepaalen. Behalven dat de Tarra wegens de Vaten, Kisten , Emballagie, enz., waar in de Goederen gepakt of peëmballeerd zyn, gekort wordt, heeft dezelve ook dikwyls plaats wegens het onzuivere, dat in de Goederen zelve gevonden wordt. Naardien nu die onzuivere niet gevoeglyk van de Goederen afgefcheiden kan worden, te meer als het GoedereD zyn welke veel (lof bezitten, of door de eene of andere oorzaak befehadigd zyn , en daarenboven de Goederen meesttyds van zodanige qualiteit zyn, r!at men die niet welof ten minden niet zonder veel moeite, kan uitpakken, en alzo de Vaten of Kisten enz. byzonder weegen, is men doorgaans gewoon ■voor de onzuiverheid eene zekere bcgrooting ten honderd te doen, en zo veel P. C. voor Tarra wegens het  or REKENKUNST. 89 het onzuivere te laaten korten; fcioon echter meeren- ideels volgens een oud gebruik bepaald is, hoe veel doorgaans van ieder Vac, Baai, Kist, enz. wegent onzuiverheid zal afgekort worden, of hoe vtel P. C. men daar voor zal rekenen. Zo lang nu als de Tarra van het gewigt der Goederen nog niet afgetrokken is, noemt men het gewigt der Goederen , te faamen met de Vaten, Kisten, Baaien enz., waar in dezelve gepakt zyn, Bruto of [onzuiver; terwyl, na aftrek der Tarra, het overbly vende gewigt der Goederen Netto of zuiver genoemd wordt. In verfcheide Kooplieden heeft ook het gfbruik 1 plaats, dat wanneer de Goederen niet ter Waag, paar ten huize van den Verkooper gewogen worden, de Koöper een zeker P. C. geniet. Die genot worde \Tarra voor goed gewigt genoemd. Ook wordt wegens Goederen , die zeer onzuiver, pf door het water eenigziris befehadigd zvn, behalven de bovengemelde Tarra , rog een zeke>' P. C. voor dat onzuivere of befchadi'-de, dat by de Kooplieden Fusti of RefaStie genoemd wurdt, van het Gejwigt afgetrokken. berhalven cioen zich in de Tarra-Rekening voornaattntlyk zeven Gevallen op. 1. Als de Vaten byzonder gewogen worden. 2. Als voor ieder Baal, ' Tarra 4 f£ van de Baal, a 40 $ Banco het fg? 5327 fg Bruto Tarra 11 maal 5 • is 48 Rest 5279 ff netto, bedragende a 40 & f 5*79 HL  if REKENKUNST. or III. o Vaatjes lange Rofynen, weegendeter Waag Bruto 1840 é, Tarra io P.C., *orden verkocht \tot f u ris:- de 100 fg netto. Roe veel zal het 1% ! alles bedragen ? 1 co (jg Bruto - 10 fg Tarra —1840 «PBrnto? . . Antw. tiUfS Tarra Rest 1656 fg netto, bedragende a/n:is:-de 100 02/194:12:- Wanneer men niet noodig heeft de Tarra afzonder» lyk te weeten, kan men het netto Gewigt door ééns Regelltelling vinden, aldus: 100 ft Bruto — 90 fg netto -1840 ffi Bruto ? Komt netto 1656 « als vooren. Doch zo men alken tot oogmerk heeft het beloop der Goederen te vinden, kan zulks zeer gevoeglyk door den Ketting - Regel verricht worden,- als in hec volgend Opftel blykt: f * —'• 1840 68 Bruto ico —* 90 §3 netto 100 —■ 2}5 Stuiv. ao ƒ 1 Antw. ƒ 194:12:- als vooren/ IV. Als in het Voorbeeld op het eerfte Geval, behalven de Tarra voor de Vaten, nog 1 P.C. voor goed gey/igl gekort moet worden, hoe moet men alsdan de berekening inrichten? Vol'  n ARTTHMBTICA Volgens het even gemelde Voorbeeld heeft mea tp , r, Bruto 1 arra voor de Vaten 2 74 % n „ Rest 3ob2g netto At iP. C voor goed gew. 3Iffi Rest 3051 g, bedragendeaiSjStui*. ƒ 1=812:3:0. Aanmerking. Men ziet ligt dat het evenveel is of de larra voor goed gewigt van de Ponden netto, of wel van het beleop der Ponden netto, tot den op«egeevenen Prys uitgerekend, gekort wordt; waarom dan ook deeze laatfte manier in deHollandfcheKooplieden algemeen in gebruik is. Volgens dit gebruik fiaathet Werk aldus: & T,r„, j xr 335*5 f§ Bruto 1 arra voor de Vaten 274 @ Rest 3p3ag netto ai8§St./285o: 17:At iP.C. voorg.gew. * 28:10:. Rest ƒ 2822 : 7 :- Dit laatstgevonden Antwoord is nu ook veel nader aan de waarheid dan het eerfte, dat circa q Stuiv 8 Penn. te klein is; het geen daar uit voortkomt, dat - , , c- VOOr,Soed gewikt niet juist 31 », maar eigenlyk 3o|f £g bedraagt, waar door dan de overbly vende Ponden, na aftrek van dat 1 P. C , 2 «te groot genomen zyn; en welke % s, ó 1 8£ Stuiv. uitgerekend zynde, hec gemelde verfchil van 3 Stuiv. 8 uitleevert, V.  of REKENKUNST. 93 V. Als in het Voorbeeld op het tweede Geval, behaU ven de Tarra van de Baaien, nogiP.C voor gted gewigt gekort moet worden, heeft men de volgende berekening, 5327«BiUio af 4 {g p. Baal 48 m Rc-sc 5279 fg netto,bedr. a 405/5279: -: a AfiP.C. voorg.gew. » 5-2:16:- ' - '«Mimi II /j2aÓ:4:- VI. Als in het Foorbeeld op het derde Geval, lehaU ven de io P. C. Tarra, no? 1 P. C. vnnr omA nowf„* Igekort moet worden, zo ftaat de bewerking als volgt: 1840 g Bruto 1 Tarra 10 P.C. 184 $ Rest 1656 s netto, bedr.a/ti: i5:-deioofl| f194 :i2:- Af 1 P. C. voor g. gewigt «. 1:19:ƒ 192:«3:- Door den Ketting. Re2el kan mpn Hir inoon/.n;» ©pftel doorgaans naauwkeuriger vintkn, als volgt: ƒ * 1840 ffl Bruto joo —— 90 f§ netto 100 99 (5J g. gewigt s, loo 235 Stuiv. 20 ƒ 1 Antw. ƒ .192:13:-. VIL  94 , ARITHMETICA VII. 50 Vaatjes lange Rofynen, welken op zee hefchaiigd zyn, weegen Bruto 7450 «§; van dezelve is te berekenen 10 P. C. Tarra wegens de Vaten, 2 P. C voor goed gewigt, en 6 P. C. ieor de Refactie wegens hetbe. fchadigde. Zo nu de 100 §3 voor ƒ 10: 8 : - verkocht worden, hoe veel is dan het zuiver beloop? 7450 Bruto. Tarra 10P.C. 745 §3 Rest 0705 e netto, bedr.a/io:8:,deicoa Af , p r ƒ 697 : 6 : - Af 2 P. C. voor g. gew. * 13 :19. . Af 6 P.C. Refaöie {6\Vi - " Antw. ƒ642 : 7 : - .^°Adan,Ke,t!iDg"Reg,el wordt dic Geva!,'in een eecig Opftel, aldus opgelost. ƒ * —- 7450 © Bruto 100 — 90 % Tarra voor de Vaten 100 9Ö % g. gewigt ico 94 m Refa&ie 100 ao8 Stuiv. 20 — ƒ 1 Antw. $43 : 7 : - [Voorbeelden tot Oefening* 1.Z0 11 Vaten Caraques Cacao, weegendeBruto J3" » 14a , 147 .149 > iJ3 » 156, 157, 160, 164, en I75 n , Tarra aS, 27, 30, 35, 30, 38, 42* 48» 4Jj 50» en 55 «, verkocht worden tot xa%  of REKENKUNST. 95 Hf Stuiv. het 8, zonder korting, hoe veel moet dan voor dezelven betaald worden ? Antw. ƒ 9,6:19: - 2. Hoe veel bedragen 5 Vaten Wasch, weegende Bruto 1060, 885, 1064, 972» en 995 (g, Tarra voor de Vaten 65, 63, 67, 61 en72 «, a loJStuiv. het s ? Antw. ƒ 4589 :: 18 : -. 3. Hoe veel bedragen 24 Seroenen Cacao Caraques, weegende te faamen 1954 9, Tarra 8 « van de Seroen, a jaj Stuiv. het g§? Antw. /nw-j:, 4. Als de 100 %Valence Amandelen verkocht worden1 tot ƒ 27: ia:-, hoe veel zullen dan bedragen 1» Calabasfen dito, weegende Bruto 875 8, Tarra 4 8 van iedere Calabas? Aoew. ƒ a«8: 5:-. 5. 7 Vaten Alïkantfche Anys, weegende Bruto 1547 «5 Tarra 8 P. C worden verkocht tot ƒ 17 :i« de 100 8. Hoe veel is 't beloop? Antw. ƒan:7. 6. Als 16 Tonnen Yrfclie Boter, weegende Bruto 4325 »» Tarra ao P. C., verkocht worden voor * lV\5'" de I00«» noe veel zal het in alles bedra. gen? Antw. 614:3;.. 7. Als 20 Vaten Cacao Caraques, weegende Bruto 2516 s, Tarra 3gf verkocht worden tot i65 btuiv. 't 8, met korting van 1 p. C. voor goed se. wigt, hoe veel zal het in alles bedragen? Antw. J 1753-14:-. ö 8. 2 Baaien Surinaamfche Coffvboonen, weegende k -a I'üBïuto 2?° ». N». 2, a6«J 8, Tarra voorde peide Baaien ti 9, worden verkocht tot i|§ Stuiv. t 8, met 1 1. C. korting voor goed gewigt. Hoe veel bedraagt het in alles? Antw? ƒ 29Ï: 18:8. 9. 15 Rollen Varinas Tabak, weegende 1249 8, Tarra 4 «van iedere Rol, worden verkocht het 8 netto »L4i uUlv' me,c 1 R C- kortin« voor goed ge7 gA',.^« veel bedra£^ «et in alles? Antw. J '441 • 19.o.  ARITHMETICA 10. Als? 8 Vaatjes Rofynen , weegende Bruts j6ö4 Tarra io P. c , verkocht worden tot ƒ 11:14:- de 100 met 1 P. C. korting voor goed gewigt, hoe veel zal het in alles bedraden? Antw. ƒ 173 :10:- 11. 20 Vaten Moscovifche Talk, weegende l5ruto 42875 §8, Tarra 16 P. C. worden verkocht a ƒ 14^ de ico $, met 1 P. C. korting voor goed gewigt. Hoe veel bedraagt het in alles? Antw. f 5259: 2:- j2. 12 Vaaten' Surinaamfche Suiker, door het Zeewater befchadigd, weegen Bruto 604, 609» 617, 628, 649, 654, 658, 665, 681, 685, 702, en 708 8, Tarra 20 P. C, wegens de Vaten, 1 P. c. voor goed gewigt, en 5 P. C. voor de Refactie wegens het befchadigde; zo nu het rl netto tot 5! % gerekend wordt, hoe veel is het beloop V Antw. ƒ813:3.-. Cassiers - Rekening, Aangezien alles wat by een Caslier te rekenen voorvalt meerendeels betreklyk is tot Munt. Speciën .welke zo te Atnjïerdam als in andere Holiandfche Koop. fteden cours' hebben, en in de zeven Nederlandfche Provinciën gangbaar zyn, achten wy niet ondieüftig eene korte befch>yving van die Munt-Speciën vooraf te iaateo gaan, ten einde het onderwerp van deezen Regel des te bevatbaarer voor Leerlingen te maaken. De Gargbaare Geldlpecien, zo in Geudals Zilver, zyn de volgende: i. Bede en Halve Goude Ryders van ƒ14 en ƒ 7; ! weegende de Heele Ryder 6 Engels 15 Aazen, en de halve haar advenant.'  öp REKENKUNST. # 5. Goude Dukaaten, waardig als dezelve wigtig zyn, dat is 2 Engels 8§ Aazen het ftuk weegen, f fiS'.-.Dé onwigtige, of die te ligt zyn, worden by de Once verkocht. 3» Dukatons, of Zilvere Ryders, ieder tot 63 ftuiv. gerekend. 4. Drie-Guldens ftukken, doende ƒ3 of 60 ftuiv., als mede j. Halve- Drie ■ Guldens, genaamd Daalders, van 30 Stuivers. 6. Goudguldens of Agt - en twintigen, die geftem- peld zyn , van 28 ftuivers. üe ongeftempelde worden niet hooger dan tot 26 ftuiv. aangenomen. 7. Enkelde Guldens -ftukken van 20 ftuiv. Men vindt ook nog eenige Kroonen a/2, als mede Halve- en Quart-Guldens•ftukken; doch de* zelve 'komeu weinig voor. ,8. RyhdaaldetS van méér dan eene foort, doende | 50 ftuivers; als mede 9. Halve-Ryksdualders of Fyf- en -twintigen, doende 25 ftuivers, en 0. Quart Ryksdaalders of Der tiend'kalven, doende I2J Stuiv. Bjt, Leeuwendaa'ders, doende omtrent 42 Stuiv. !I2. yfgf Stuivers-ftukken, doorgaans ^/en genaamd. |I3. Schellingen zo geftempelde als ongeftempeld^, van 6 ltuiv. het ftuk. Dezelve moeten alle binnen de 2ieven Provinciën gemuut zyn. j]Ï4. Zestehalven of verminderde Schellingen, doende 5! ftuiv. Oeeze zyn volgens Plaeaat van H. H Mog. in dato 10 April 1693, op deezen prys gefield {115. Dubbeltjes of Dubbelde Stuivers, waarvan by betaahngen niemand tegens zynen wil boven G een  9S ARITHMETICA een tiende deel van de te betaalen fom mag op- gedrongen worden. 1(5. Enkelde Stuivers, welke federt den jtare 1738 geheel vernieuwd zyn. In Kopergeld heelt men Duiten, waarvan de8 een Stuiver doen. Het geen waarop het in deezen Regel voornaamelyk aankomt, is dat men eenige der voorgemelde vGeld-Sp: cien , als Dukatons, Daalders , Goudguldens, Rijksdaalders , Halte ■ Ryksdmliers , Quart - Ryksd»aldtrt, Schellingen, Zestehalven, als ook Worpen Zestehahen van 4 en 5 in een Worp, zo kort mgelyk mt Guldens reduceert. Wy zullen dit van ie ler Specie door een u.[gewerkt en duidelyk verklaard Voorbeeld aantocnen, en op ieder van die Voorbeelden eenige toe otffening laaten volgen. U Hoe veel Guldens zyn 449 Dukatons? Aangezien een Dukaton jij Dubbeltjes, en een Gulden 10 Dubbeltj s bevat, multipliceert men het getal Dukatons met 3U, en fnydt van achteren één ïettetafj waardoor dan het getal vóór de afluyding hu gezocht getal Guldens is, en hetgeen achter de affnyding blyft Dubbeltjes zullen zyn, welks twee voud de ftuivers aantoont, welke nog by het gevon. den getal Guldens gevoegd moeten worden. Of Dewyl de waarde van e Ryksdaalders hoeveel Guldens zyn 't? Antw. ƒ 568:15 :-. 16. Hoe veel Guldens zyn 163 Quart-Ryksd. of Dertiend'halven. Aangezien een Gulden 20 Stujv. en een Dertiend'half 1 j| Stuiv doet, zo zyn 20 Dertiend'halven gelykwaardig met l2jGnldens; welke Proportie door 2 divideerende, heeft men 10 Dertiend'halven gelykwaardig met 6J Guldens. Gemaklyker getallen zyn door deeling niet te vinden; wy zullen derhalven beproeven, of wy door vermeenigvuldi ging gef-f- Proportie kunnen vinden, die voor de bewerking gemaklyker getallen opleevert. ao Raau tot iaj Dus hebben wy drie Propor- ,, a tien'gevonden , naamelyk 10 40 25 tot 6\, 16 tot 10, en 8 tot . 4 5, welke allen voor de be- ir50 — —— io0 werkinggemaklyk zyn. Waar- a . ,. . om wy dezelve op dit Voor- K 5 Rel zullen toepasfen. Quart - Rd. 163 6i 163. o . 16 — 078 ƒ lot 117:8 l .40-15 Guld. 101 8:15 163 20 5 Stuiv. 17I5 815 f-rö 8 Penn. 810 ƒ 101:17: 8 •7*  op REKENKUNST. 103 17. Hoe veel Guldens zyn 227 Dertiend'halven? Antw. ƒ 141 ;t7: 8. iH. Idem 346 Dertiend'halven hoe veel Guldens zyn 't? Antw. ƒ 216:5 :-. 19. Hoe veel Guldens zyn 2Ó7 Schellingen ? Aangezien een Schelling 3 en een Gulden 10 Dubbeltjes is , zyn io § gelykwaardig met 3 Guld,, en dus heeft men het getal Schellingen flegts met 3 te multipliceeren, en van het ProduEt aan de rechterhand ééne letter af te fnyden. Aldus: & 267 3 ƒ 8o/i Dubb. of 2 Stuiv. Aanmerking. Aangezien de Schellingen doorgaans by Worpen van 5 uitgeteld worden, en dus ieder Worp een Daalder maakt, zal het onnoodig zyn aan te toonen, hoe men Worpen Schellingen tot Guldons reduceert, vermits zulks niets anders is, dan Dialders tot Guldens te brengen, hetgeen boven geleerd is. 20. 2IS9 Schellingen hoe veel Guldens zyn *t? Antw. ƒ 86: 14:- 21. Hoe veel Guldens zyn 747 Schellingen?Antw. ƒ 224:2:- ai. Hoe veel Guldens zyn 653 Zestehalven? Dewyl een Zestehalf 5! Stuiv., en een Gulden 20 Stuiv. doet, zyn 20 Zestehalven gelykwaardig met 5i Guldens i of, de Proportien met 2 multipliceerende, 40 Zestehalven gelykwaardig met 11 Guldens. Derhalven heeft men flegts het getal Zestehal. ven met 11 te multipliceeren, en het komende ProduEt door 40 te divideeren. Of divideerende de Proportie door a, bevindt men 10 Zestehalven gelykwaardig te zyn met 2| Guldens: maar 2| is gelyk aan 3 min J. Derhalven G 4 heeft  ,04 ARITHMETICA heeft mea flegts het getal Zestehalven met 3 te multipliceeren, en van 't ProduSt £ van 'tgetalZestehalven af te trekken ; dan zal |5 van de rest het begeerde getal Guldens zyn. Hier door heeft men de volgende bewerkingen, Zesteh. 053 Zesteh. 653 653 _ 3_ 7»8|3 ,05° 4 * ÏÖ3: s ƒ 179:11:8 afg. Guld. 179'j : ij I 20 Stuiv. 11I5 I16 Fenn. 8I0. 23. Hoe veel Guldens zyn 735 Zestehalven ? Antw. ƒ 202:a: 8. _ 24. Idem 1067 Zestehalven hoe veel Guldens zyn 't? Antw. ƒ 293:8:8. 25. 028 Worpen van 4 Zestehalven hoe veel Guldens zyn 't? Aangezien een Gulden ao Stuiv., en een Worp van 4 Zestehalven a2 Stuiv. doet, zo zyn 20 Worpen Zestehalven gelykwaardig met 22 Guldens. Deeze Proportie wotdi cp de volgende wyze eenvoudiger gemaakt. f 20 ftaan tot 22 0) Deeze Proportie toont aan, a . dat als men 't getal der a)io———-- 11 Worpen met 11 multipli- JO ceert, eu van 't ProduEt fo\ j _ j|.E één letter ter rechterbsed affnydt, het Quitient Guldens zal zyn. b)  or REKENKUNST. 105 b) Uit deeze Proportie blykt dat irj maal't getal der Worpen het begeerde aantoont. Hier door heeft men de volgende bewerkingen. Worpen 628 Worpen 628 028 »5 62:16:. Guld. 690I8 ƒ 690:16:- [20 Stuiv. i6jo. :26. Hoe veel Guldens bedragen 817 Worpen van 4 Zestehalven ? Antw. f H08 :14 : . |27. 458 Worpen Zestehalven van 5 in een Worp, hoe veel Guldens zyn 't ? 1 Aangezien ao ftaan tot a7§ alsB torn of als 1 tot i| «heeft men de volgende bewerkingen: Worpen 458 Worpen 458 458 § is x4..... 1 i4; 10 8 5038 U'S—._7 5 /629:i5 6ao • ij-. 128. 707 Worpen dito hoe veel Guldens zyn 't* Antw. ƒ 999 : 12 : 8. »«.«•« Deeze zyn de voorqaamfte berekeningen, welke ïnSft Trk0meD',,alS mei> de Gas- tot Bank.eid en van Bank-tot Casgeld hier nog, ESm? biZ° deeze ^aS«» onmiddelvk to? de Wisfel behooren, zallen wy in het volgende Deel dat geheel voor de Kooprnans Rekenkunst |efS.Kt , Plfc.daar °~ eD »*< -»■ ^ Einde van het tweede Deel.  BLADWYZER der Regelen, welke in dit Deel voorhmen. Van de «-ooroeelen in de Multiplicatio. Pag. 2. Van de voorde'len in de divisio. 9- Van de Proeve» in 't Algemeen. . • 16. Van de voordeelen in de Multiplicatio der Breuken . • • • *9. a) Voorbeelden op het eerste Geval. . Ib. b) Voorbeelden op het tweede GE'/al. . 2°' e) Voorbeelden op het derde Ge val. . d) Voorbeelden op het vierde Geval. • **. e) Voorbeelden op het vïfde Geval. . Ib. f 1 Voorbeelden op de saamengestelde Multi- 1 22. plicatio- . Van de voordeelen in de divisio der Breuken. ..«••• ** Practyk of verkorte bewerkingen van den Regel van drieën. . 27* Van den verkeerden of omgekeekden Recel van driecn. ■ . • 48- a) Kenmerken van deezen Regel. . . Ib- Van den Regel van Vyven, of dubbelen Regel. 55. Van den Verkeerden Regel van Vïveh. 62- Regel Multiplex of Kettingregel. . • 72- a) Algemeeoe Regel 77 Tarra-Rekening. . « ■ °7 Cassisrs-Rekenins, • • 95  DRUKFEILEN. EERSTE DEEL. Pag. 4« 98 99 TWEEDE DEEL. Pag.\ Reg. I 17 j 3 van bov. 22 li van r>ov. 23 j 7 van ond. 3*4 !i4 van b >v. 47 12 van ond. ^4 ij van ond. 59 14 van ond. 60 17 van bov. 63 14 van bov. 64 5 van bov. — j é van bov. <5o ! a van ond. 11 5 7 van bov. 6 van bov. t van bov. 9 van ond. 6 van ond. 4 van ond. j 3 van bov. l {laat Quotiënt Gnld. 6' Oneen 5 m 9 maal Lees Product, Guld. r>| Oneen. Ir ffl. j Once. f3 maal. Jiaat berk b nip? 18 Penn. 20 Stuiv. ang. heraalen Broods uren u dia boven wy ten opzichte 4 Guld. 3 berekening. 13 Stuiv. 20 Stuiv. 4 Penn» lang herhaalen. m Brood, uuren. nu. die «vy boven ten opzicht» 4| Guld. 1 3ï  By dan Uitgeever deezes zyn mee'de te bekomen. ^irbïï, Inleiding tot de algemeene Geographie en t Sterrekunde, mee PI. in 410. ƒ 4:15:-" —— Vervolg van de Befchr. der Staartfterren, met PI, in 410. 3:15.'- — Uirrekening der Kanfen in het fpeelen, in 4to. 2: - : - Strabbb, Oeffenfchool der Mathema;ifche Weetenlchappen, 2 Deelen 4 Stukken, met PI. in8vo. 9: :- — Inleiding tot de Mathematifche Weetenfchappen, of gemeenzame Leerwyze der Arithmetica en Aloebra, 2 Deelen in 8vo. . 2:4:- ~ Gronden der Meetkunst, met %. in 8vo. 1:10:* Marci, Uitvoerige Tafelen van de ondeel&aare of Prim-getallen van 1 tot 400000, beuevens eene Verhandeling over de wyze van Vinding en de cuttigheid dier getallen door A. B, Strabbe, in 8vo, . . • - 1: - :- clair.aut, Gronden dei Algebra, in 8vo r:i6:- —- Beginfelen der Geometrie, mat Pl. in 8vo. 1 :i6:~ Phimps, Spiegel• Perfpe&ief, met Pl. in 8vo. 1:16:- _ Over de Zon-en Maan • lichten, met Tl. in 8vo. , . 2:4;. Zeemans Onderwyzer. . . . -:i8:-  EERSTE BEGINSELEN VAN DE ARITHMETICA O F REKENKUNST, TEN GEBRUIKE DER SCHOOLEN. j DERDE DEEL. Opgedragen aan 't Genootfchap der Matbtmatifche Weetenfchappen, onder de Spreuk: EEN ONVERMOEIDE ARBEID KOMT ALLES TE BOVEN. DOOR ARNOLDUS BASTIAAN STRABBE, Lid en Secretaris van het zelfde Genootfchap; Lid van de Sociëteit der Kunst - Rekenaars te Ham* burg, en Leermeester der Wiskunde te Amjterdam. Te AMSTERDAM, By J. B. E L W E , Boekverkooper, op de Pypenmarkt by den Dam.   ÏIÏ VOORREDEN, Ik heb thans het geniegen mynen Landgenooten het derde Deel van myne ARITHMETICA of REKENKUNST, ten gebruike der Schooien, aan te Heden. Men zal in den eer ft en opflag bevinden , dat ik geheel afgeweeken ben van het Plan, dat ik my voor gefield bad in dit derde Deel te zullen volgen; waarom ik niet ondienflig acbte de redenen , welke my daar toe bewogen hebben, mynen Leezeren bekend te maaken. Eene volledige Verhandeling over de KoopmansRekenkunsc was eigenlyk het Onderwerp, waar toe .ik dit derde Deel gefchikt hadt en wel voornaamlyk om het gemis van het Vernieuwde Licht des Koophandels , dat nu reeds verfcheide Jaaren is uitverkocht geweest, daar door zo veel mogeiyk te vergoeden : dan by nadere overweeging heb ik myn voorgenomen Ontwerp geheeloriuitvoer* lyk bevonden. Voor eerst, om dat de Di ukker van * a dit  IV VOORREDEN. dit Werk dit Deel ongaerne volumineufer wilde hebben , dan de twee eerfte Deelen, ieder op zich zelf , zyn y en het dus voor my geheel cnmogeiyk was eenen zo uitgebreiden tak, als de KoopmamRekenkunst is, in een zo kort beftek aftehandelen. Ten anderen , om dat ik begreep, dat zodanige Leerlingen , waar voor dit Werk gefchreeven wordt9 uit eene Verhandeling van die natuurwet' nig voordeel zouden trekken , door dat zy niet gemeenzaam zyn met de Voorvallen des Koophandels , zonder welke te kennen zy van het hoe of waarö n hunner Bewerkingen geen reden zouden weeten te geeven: waarom ik dan raadzaamer oordeelde deezen tak der Rekenkunde in een byzonder Werk af te handelen; om niet genoodzaaktte zyn, door een te naauw beperkt beftek, veele weetens•voaardige Ophelderingen, welke voor de KoopmansRekenkunst onöntherlyk zyn, ftilzwygende voorby te gaan. De voorgemelde redenen hebben my derhalven doen befluiten de Interest - Rekening t zo enkele als faamengeftelde , benevens de daar uit voortfpruitende takken, in dit Deel te verhandelen, en voorts  VOORREDEN. v voorts daar nog by te voegen de Theorie der Decimaal-getallen of tiendeelige Breuken, als een noodzaakelyk deel der gemeene Rekenkunde, dat tot heden door allen , die onze Taal over de Rekenkunde gefcbreeven hebben, flilzwyger.de is voor* by gegaan , en door onze Wiskunflige Scbryvers niet dan zeer gebre-klyk is voorgedragen , als hebbende alles op èènen leest gefchoeid , zonder te bedenken , dat 'er Gevallen zyn , waar in hunne Leerwyze op verre na niet toereikende is. Het zyn de rondgaande of wederkeerende Decimaal - getallen welken ik hier bedoele, en waartoe byzondere Regelen verëischt worden , om de Uitkomst eener Bewerkinge zodanig te vinden, dat dezelve , tot op de laatfte Cyferletter na, naauwkeurig zy , hoe ver men het getal plaatfen ook begeert voort te zetten. Ik wil wel bekennen, dat ik , om hier in alle zwarigheid uit den weg te ruimen, flegts Regelen aan de hand geef, zonder op te klimmen tot den oorfprong* waaruit dezelve zyn afgeleid; doch tevens durf ik ook vry moedig zeggen , dat, behalven dat de vooi dregt van zodanige gronden myn voorgencme tefiek te ver  vi VOORREDEN. ver uitbreid zouden hebben, de Leerlingen voor welken ik /chryf, i„ dezelve eene voor hun geheel onverfiaanbaare Taal zouden kezen ; en daarom oordeelde ik het dienftiger hun allèenlyk Regelen voor te fchryven, wier zekerheid door eene Proeve in getallen gemaklyk geftaafd kan •worden. Dit is alles wat ik , by de uitgave van dit derde Deel, gemeend heb den genegen Leezer onder 't oog te moeten brengen. Ik wensch niets weer -, dan dat myn oogmerk by de Uitgave van dit en de twee voorgaande Deelen myner Arith* inecica zoo moge beoordeeld worden, als dat van een waar Vaderlander, die mets meer ter harte gaat, dan zyne Landgenooten in alle geleger.heden, en in alle opzichten van dienst tè kunnen zyn. BLAD-  BLADWYZER der Regelen, welke in dit Deel voorkomen. Interest- of Rente-Rekening . Pag. r. Aanhang op de Interest-Rekening, tot meerdere Oefening . . za, Saameivgestelde Interest-Rekening . 27. Rabat-Rekeninc, zo van enkelvouwdige als famengejlelde Interest . . 44, Tyd-Rekening van betaaling . 60, Van de Decimaal-getallen of tieej. deelige breuken . . 71, Additio van Decimaal-getallen . 76. a) Voorbeelden op hec eerste geval . 78, b) Voorbeelden op hec tweede geval . 79, c) Voorbeelden op het derde geval . 81. d) Voorbeelden op het vierde geval . 83. substractio van decimaal-getallen . 84. fl) Voorbeelden op het eerste geval . 85. b) Voorbeelden op het tweede geval . 86. c) Voorbeelden op het derde geval . 88. d) Voorbeelden op het vierde geval * 90. Multiplicatio van Decimaal-getallen ibid. a) Voorbeelden op het eerste geval . 91. b) Voorbeelden op het tweede geval . 93. c) Voorbeelden op het derde geval * 96. tl) Voorbeelden op het vierde geval . 98, e) Voorbeelden op het vyfde geval . 99. f) Voorbeelden op het z^sde geval . 101.  BLADWYZER. Divisio van Decimaal-getallen Pag. ior. a) Voorbeelden op het eerste geval , 103. b) Voorbeelden op het tweede geval . 106. c) Voorbeelden op het derde geval . 107. d) Voorbeelden op het vier de geval . 108. «") Voorbeelden op het vyfde geval . 109. ƒ; Voorbeelden op het zesde gevaLj . 111. ARITH-  ARITHMETICA O F \ft'''WtZ'i'ia'. REKENKUNST* TEN GEBRUTKE DER SCHOOIEN. hebben nu de eerfte gronden der Rekenkunde , volgens eene geregelde Theorie, voorgedragen, en de verkortingen aangeweezen , welke in dezelve met voordeel werkftellig gemaakt worden : wy heb. Kar. nr,h rr.vAv Istc »7«r» tint- ol> ftkoil rroHa»lt en de Interest byzonder f 46: 8 : 29. Idem van ƒ 1705 k 4* pCt. 'sjaars ? Antw. Capitaal en Interest f 1781:14:8 , en de Interest byzonder ƒ 76:14:8. 30. Hoe veel bedraagt de Interest van ƒ 2080; 10: In 8 Maanden k 3* pCt, 's Jaars ? Maand. pCt. Maand. Anders, 12 — 31 —_ g? .— ■——— ■ • ƒ2080:10:- Komt af pCti —— 3iPCt» 6241:10:- ƒ2080:10:- 1040: 3:- * — 2fpCe. 41ÖS:— 12 M..ƒ 7281 :i5:- 9 693:10 1 ■ ■■ " ■'■ ■« 6M.. ƒ3640: 17:s ƒ48154:10 s....#iai3: 12: 8 J öo .■ ' - /48l?4:io:- Stuiv. 10I90 de rest is als vooren» Dus de Interest zeer na ƒ 48:11:-. Nog anders door den Regel van F~yven. 100} t Inter. C ƒ 2080:10:- " Maand- ra J 6 8 Maand. Antw. ƒ 48: tt :• circa, als boven.' 31. Idem van ƒ 2778:12:- in 9 Maanden[a.;3f pCt. 'sjaars? Antw. ƒ07:14:9 circa, t  of REKENKUNST. 9 5e. Idem van ƒ 2^14:15:- in 10 Maanden k3 JpCt. 'SgSIdem%In^ 'SÖemv^ 'sjaars? Antw. ƒ44:5'-0 «rC3, . , „ 35. Idem van ƒ2516: i?:- m 5 Maanden a4ipCc. 'sTaars? Antw. ƒ 47:3: n|«. , , _ 36. Idem van 'fstió: 13:8 *n 3 Maanden a 5 pCt. 'sjaars? Antw. ƒ 67:14 :3 . 37. Hoe veel is de Interest van ƒ 1787: 13.' "» 4 Jaaren ioj Maanden h 4i PCc« 'sjaars? ƒ 1787:13:- , -4ipCt. 7150:1*:-! J......893: t6; a 12 M. ot 1 Jaar.... ƒ 8044 ; 8:« 4 Jaaren... ƒ 3"77:i4:- 6M 4022: 4:4 o f 2011: 2 : 2 * 1005: ƒ 392116: Htï I co Stuiv. 3131 JA6— l Penn. 3I03 A 5 ï**  io- ARITHMETICA Anders door dien Regel van Fyven. f 100 » Intar. *ƒ ï 78 7:13 • - nalve-Maand. «V ~~jL~~ J 117 halve-M. 8 9* _— a 3 12*99 Stuiv. 20 I?B7 10 58:10 3 • 11:14 ^ ' " ♦ s;'? ƒ 627465: 33 / 784332:14 Antw, ƒ 3g2i<5:i.i: 7 De rest is als vooren, 38. Hoe veel js de Interest van ƒ 3276 in 3£ Maanden a $^ pCt. 's Jaars ? Autw. ƒ33: 9:. circa- 39. Idem van ƒ 2537:8: - in 4j Maanden UpCt. 'sjaars? Antw. ƒ 38:1:-. H 40. Idem van ƒ 5692:10:. in ji Maanden a 4} pCt. 'sjaars? Antw./117: 8:-. . 4ï- Wem van ƒ2727:4 in 7i Maanden 4 5 pCt. *s Jaars ? Antw. ƒ 85 :4 : «. r 42. Hoe veel is de Interest van ƒ 528: 14:- in < Maanden 18 Dagena 3f pCt. 'sjaaré? De Maand tot 30 Dagen gerekend zynde. ƒ518:14:-  o 0 RE KE N KUNS T. ït ƒ 528:14: • -L~~ 3fpCt. Deelen 8 2:" 4 s64 : 7: • j s 65 : 1: ia """7 777" / 038:16:14 1J30D.'. * 159:14- 4 " 15 * ' 75): '7: 2 3 . * 15: '9: 7 ƒ 8I94: 7'-" I 20 Stuiv. 18187 Dus is de Interest na genoeg ƒ 8:19: — «. Idem van ƒ *3!*1»; i"1 Maanden 12 Daeen k *ïï pCt. 's Jaars ? Antw. ƒ 18: 2: — B 44. Td-m van ƒ 2847 t4 Maanden 0 Da' een a lïpCt. 'sjaars? Antw. ƒ 39 : ng Idem van ƒ ,318:18:- in 7 Maanden 21 Da„en i dj pCt. 's jaars? Antw. ƒ 87 :16: — * 46 Idlrn van /W-*3:- ™ 3 en 0 Mat3ndS!? 10 Dagen a 5 pCt. 's Jaars? Antw. ƒ M9 s^J: 47 Hoe veel is de Interest vau ƒ 2936:18- J0 21 Dagen a j pCt. 's Maands? ƒ2936:18.*-  ** ^RITHMETIGA Dagen 2Zlf?lll8J_ 3° - » « • • .ƒ1408: 9:. ** ƒ 734: 4= 8 ; «44:14:13 1 - 48:18:15 ƒ 10/27:18: 4 I 20 §tuiv. 5158 ~ Dus is de Interest na genoeg ƒ 10: y: 3. 48. Idem van ƒ 1849:13:- jn 26 Dagen k t pCt." 'sMaands? Antw, ƒ 8: —:-. 49. Idem van ƒ2030:14:- in 17 Dagen é 5 pCt. 'sMaandsV Antw. ƒ 5: i5:_. '» Jdem vaD / a583 --i7:- in 11 Dagen a | pCt. sMaands? Antw ƒ4:15;.. » v/' Idf"i vaD / »93i: 14 :8 in 9 Dagen a ; pCt. 'eMaands? Antw. ƒ 2: 18:-. - 52. Hoe veel is de gezamentlyke Interest van ƒ ^co in 4 Jaaren , van ƒ350 in 5 Jaaren , van ƒ 470 in 6 Jaaren, en van / éco in 7 Jaaren , a4pCc. 'sjaars? In gevolge het vooren geleerde zou men dit Voorltel m drie byzondere afdeelingen moeten befchouwen, dat is te zeggen , dat men voor ieder Capitaal, na reden van den daar toe behoorende tyd, de ëitterest a 6 pCc 's Jaars zou moeren berekenen, als wanneer de iom van aPe die blondere Interesten aan de Vraag zal beantwoorden. Doch het is klaar, dat, 3 . als alle de byzondere Capitaalen voor eenen zelfden  of REKENKUNST? <| deo of gelyken tyd , en tot eene"1 gelyke Interest 'sjaars , (zo als hier , ten aanzien van bet laatfte , liet geval is) berekend moesten worden, men niets anders zou hebben te doen, dan alle de byzondere Capitaalen te faamen op te tellen, en van de fom op eennba3l de Interest te berekenen ; aw. dat volgens de tweede befckouwing in den Verkeerden Regel van Drieën (II. D ml, pag. 49) de tyd van uitgezette Capitaalen, welke gelyke Interest opbrengen, wederkeerig geproportioneerd is tot de grootte van zodanige Capitaalen , als dezelve tot gelyke Int^resc ten Honderd zyn uitgezet, en dus, by voorbeeld, een Capitaal van ƒ 400 in $• Jaaren even veel Interest opbrengt, als een Capitaal van 5 maal 400, dat is van / 2o00 in 1 jaar , als de Interest ten Honderd 'sjaars in beide gevallen de zelfde is: weshalvendit Voorftel kortelyk op de volgende wyze berekend kan worden. ƒ 300 maal 4 is ƒ i'oo in 1 Jaar. *> 350 maal 5 is « 1750 in 1 Jaar. p 470 maal 6 is * 2820 in 1 Jaar. f 600 maal 7 is e 4100 in 1 Jaar. Som ƒ 9970 in 1 Jaar,' è 4 pCt. f 39878° I ao Stuiv. i6|oo Dus is de gezamentlyke Interest ƒ 398:16: \  f4 ARITHMETICA. S|. Hoe veel is de gezamentlyke Interesr van/700 in 4 Jaaren, van ƒ 750 in 5 Jaaren , van f 9oQ d « Jaaren, vjn f , oao in 9 Jaaren, en van f i2co in ti Jaaren, a & pCt. 'sjaars? Antw. ƒ.1 266:13 54. Hoe veel is de gezamentlyke Interest van ƒ 403 «1 2é Jaaren, van/óeoin 3 Jaaren, van ƒ6 to >o 5l Jaaren , en van ƒ 875 in 4Jaaren , a 4| pCt. sjaars? Antw. ƒ 385: 17 .7 \ SS- Hoe veelis de gezamentlyke Interest van ƒ82* m 3§ Jaaren, van ƒ995 in 5 faaren, van ƒ 1125 in 6| jaaren, van ƒ 1350 in 8 Jaaren, en van ƒ I77',in 9 Jaaren, ajpCt. 'sjaars? Antw.ƒ 4097:10: . 5<5. Hoe veelis de gezamentlyke Interest van ƒ1800 in 3 Maanden, van ƒ 2000 in 7 Maanden, van ƒ2400 in 10 Maanden, van ƒx850 in 1 Jaar, en van /-5200 in 3 Jaaren, & 4 pGc. 'sjaars? Vermits de Tyden in dit Voorflel onderfcheidene naamen hebben, ;r>oeten dezelve op de volgende wyze onder gelyke naamen gebragt, en berekend worden: ƒ 100 in 12 M geeven zo veel Inter. aIs^2ooin 1 M. ƒ 1800 in 3 Maand. ƒ 5400 in 1 Milnd! » 2°®° « 7 Maand „ I4COo in 1 dito e 2400 m io Maarrd. ..«,.* 24ooo in 1 dito. , q85° in 12 Maand „ 34300 in 1 dito. * 3200 in 36 Maand. . . . . t 115200 in 1 dito. Derhalven is de gezochte Inter. gelyk aan die van f 190800 in 1 Maand. _ Naardien nu, als boven getoond is, van ƒ 1200 in 1 Maand ƒ4 Interest gerekend wordt, vindt men de begeerde Interest door hec volgend Opftel ee.ns Regels van Drieën; ƒ 1200  o 7 REK'E NKÜNST; „15 iDter. ƒ l20O .min il.nr ƒ 4 -.r —. f 119S800? Komt / 64a: jgl de gezamentlyke Inter. 57. 'Hoe veel is de gezamentlyke Interest van ƒ720 in 2t Maanden, van ƒ 850 in 3 Maanden , van ƒ 950 J in 4i Maarden, van / 1075 in 6 Maanden , en van f 1280 in 71 Maanden, & si pCt.'sjaars ? Antw. / 71:19:6. 58. Hoeveelis de gezamentlyke Interest va» ƒ 856 I in 3* Maanden, vanƒ960 in 7i Maanden, van/joao pu jo Maanden, van ƒ k»75 in 11*Maanden, Van ƒ 1465 in 1 Jaar 3 Maanden, en van/1872 in 2 Jaaren 9 Maanden, a 3JpCr.'sjaars? Antw.ƒ367:15: tif. 5;. Hoe veel is de gezamentlyke Interest van/1140 in 5 Maanden, van ƒ1280 in; * Maanden, van ƒ1460 I in 9 Maanden, van/2icoen 1 Jaar4fMaanden, vatt f 2480 in 3 Jaaren9Maanden,van/3«ooin4jaaren3 Maanden, en van ƒ 3000 in 6 Jaaren 7 Maanden,a 5 : pCt. 'sjaars? Antw,/2310:7:8. J 60. Hoe veel Interest zal men in een JaarontfantEen van ƒ f80 aai pCt. van/65o&3pCt. van /720 a 31 pCt. van/ü65a4pCt , van ƒ 930&4i pCt., en van ƒ 1030 èrpCt.? NB. Alle deeze pCt. worden in ditendedrie ■volgende Voorftellen verftaan één Jaar, als naar g& II woonte, te zyn. f$ZG>  91 ARITHMETICA ƒ 580 k aj pCt."| Sj? f*§maal 580,0^1450*^ « 650 4 3 pCt. I n « | 3 maal 650,0^1950 | t» 0 -720 è 3* pCt. 1*5 1 3§maal 7ao5ofs=2520 I e> 865 a 4 pCcs j' " S *t 4 maal 865,0^3460 5»'e „ 930 a 4* pCt | 4imaal y30,of«4185- { Q 4 1030 a 5 pCt. " " J 5 maal 1030,0^5150 • " J wj L Ji f 187115 I 20 Stuiv. 3I00 - Dus de gezochte Interest / 187: 3: -• 6u Hoe veel Interest zal men in een Jaar ontfangen van /480 a spCt., van/54oa3ipCt., van fóóok^^ pCt., van/73,-ê4 pCt., van/840^4|pCt., en van f 100 a 4f pCc? Antw. ƒ 17a: 15:-. 62. Hoe veel Interest zal men in een Jaar ontfangen van f, 850 k s| pCt., van ƒ 1070 a 4ipCt. vau ƒ 1140 a 4£ pCt., van ƒ 1680 a 4! pCt., en van ƒ 1942 & 5 pCt. ? Antw. ƒ 317:18:8. é3. Hoe veel Interest zal men in een jaar ontfangen van ƒ 1S75 k 3 pCt., van ƒ 3048 è4|pCt., '. van ƒ 3025 a^ pCt,, van ƒ3705 k 4gpCt. ,van/5056 è 4|| pCt. , en. van ƒ 6340 a 5 pCt. ? Antw. ƒ ical : 7 .- a. 64. Hoe veel Interest zal men in alles ontfangen van ƒ 300 in 5 Maanden , k 3 pCt. 's Jaars , van f 400 in 6 Maanden, a 3J pCt. 'sjaars, van ƒ480 in 7 Maanden , k 3! pCt. 'sjaars, van 520 in 8 "Maanden, k 33 pCt.'s Jaars, van/óoo in9Maanden, k4pCt. 'sjaars, van ƒ 1032 in 10Maanden , aaipCr. *jsjaars, en van/1200 in 11 Maanden,a 4t PCr- 'sjaars ? ƒ300  I 8F REKENKUNST. 17 I ƒ 300 in 5 Maand, k 3 pCr. geeven zo vee! Inter., als I 300 maal 5 maal 3, of ƒ4500 in 1 Maarda 1 pCt. | * 400 in 6 Maand. a.3§pCt. geeven zo veellnter., als 400 maal 6 maal 3?, of/7Ö'co in i Maand è r pCt. o 480 in 7 Maand. ^3§pCt. geeven zo veel Inter., als 480 maal 7 maal 3i, of/11760 in 1 Maand h 1 pCt. * 520in 8 Maand, k s^pCt- geeven zo veel Inter.. als 520maal8maal 3I, of/15000in 1 Maand ai pCt. , * 600 in 9 Maand. è4 pCt. geeven zo veel Inter., als 600 maal 9 maal 4, of ƒ 21600 in i Maand a 1 pCt. -> 1032 io 10 Maand, k 4 JpCc. geeven zo veel Inter., als 1032maal iomaal4?, of/43860in 1 Maandk 1 pCt. * ï2ooin 11 Maand.&4§pCt. geevenzo veellnter., als iaoomaal 11 maal4$, of/59400 in Maand k l pCt. Derh. is de gezochte Inter. gelyk aan die van/i 6 4520 voor I Maand a 1 pCt. Naardien nu alle de gegeevene Interesfen tot een zeker pCt. 'sjaars, of in 12 Maanden, bepaald zyn, heeft men verders, als by de Oplosfing van het voorgaande 56de Voorlrel getoond is, het volgend Opltel eens Regels van Drieën: Inter. f 1200 —— ƒ 1 —— ƒ 164520? Doch alzo 1 niet multipliceeren kan , deelt men maar aanftonds het Produft 164520 door 1200, komt voor de gezamentlyke Interest ƒ 137 -.2:-. 65. Hoe veel is de gezamentlyke Interest van ƒ360 in 5 Maanden, k 3 pCt.'sjaars , van ƒ 570 in 8 Maanden, 4 3ipCc. 'sjaars, van/600 in 10 MaanB den,  i8 ARITHMETICA den, k 3$pCt. 'sjaars, van ƒ880 in ioi Maanden, k 4 pCt. 'sjaars, en van 1000 in 11 Maanden, k 4% pCc. 'sjaars? Antw. ƒ 108: 12:-, 66. Hoe veel is de gezamentlyke Interest van ƒ 240 in 4 Maanden , & 3lpCt 'sjaars, van ƒ360 in <| vlaanden , k 3I pCt. 'sjaars, van ƒ 560 in 6 Maanden , k 21 pCt. s|aars, van ƒ640 in 8 Maanden, k 44 pCt. 'sjaars, van ƒ 70; in 9 Ma.nden, k 44 pCt. 's Jaars, en van ƒ960 in 10J Maanden , a 4,| pCt. 'sjaars? Antw. 96:13:-. 67. Hoe veel is de gezamentlyke Interest van ƒ512 in 3 Maanden, k 3}*. pGt. 'sjaars , van ƒ 57^ jn 4j Maanden, k 3! pCt. 'sjaars , van ƒ 648 in 5 Maan'»den , k 4 pCt. 'sjaars , van f 620 in 6| Maanden, ;\ 4tfV pCt, 'sjaars, van ƒ 960 in 7 Maanden, k 4t£ pCt. 'sjaars, van ƒ «024 in 8 Maanden, a pCt. 'sjaars , en van ƒ 1248 in 10 Maanden, k 5 pCt. 'sjaars? Antw./ 147. 68. Iemand heeft voor één Jaar op Interest gegeeven aan vyf Perfoonen A, B, C, D, li de volgende Capitaalen , als aan A / 600 k 3 pCt., aan Bf 700 4 3* pCt. , aan C ƒ oco a 4J pCt , aan D ƒ 1000 k 4f pCt., en aan E f 1200 è 5 pCt. Zo by nu alle deeze Capitaalen aan één Perlbon tot een zeker pCt. *s Jaars op Interest hadt gegeeven , hoe veel pCt, zou het zyn ? Soortgelyke Voorftellen als dit worden gevoeglyk opgelost door den volgenden Alcemeenen Regel. 1. Schryft de onderfcheidene Capitaalen recht onder elkander, en nevens ieder zyne Interest ten Honderd. 2. Multipliceert elk deezer Capitaalen met zyne nuuuwu , en pianist ue kuuuiiui; rra duc  op REKENKUNST. 191 dutten daar nevens ter rechterhand insgelyks recht onder elkander. 3. Addeert alle de P>nduBen, als ook in 't byzonder de C 'pitanlen te faamen. 4 Divideert de eerltc fom door de laarfte, zo be! komt men de begeerde Interest ten Honderd. Het laatstgegeeven Voorbeeld wordt, naar deezen Regel, op de volgende wyze opgtfteid : ƒ 000 ■ 3 pCt.i 1800 "» 700 - 1111 gl — ^450 „ g00 4t — p2ï e ICOO 4| — . 4*7$ * I200 ——- 5 — j 6000 44lCO 187I00 44 Antw. n\ pCt, De groni van deezen Regel is noofdzaafcelyk vervat in de Oplosfingen der voorgaande Voontelien N°. 56 en 60 ; want / 600 k 3 pCt. ~) - „ f ƒ1800 k 1 pCt. * 700 h. %i — | | * I 0 24 0 k 1 pCt. 0 900 k 4* - t> § | .* , 3825 k 1 pCt. 0 1000 k 4! - ('||| ' 4615 a 1 pCt. - 1200 a 5 - J "5T (. * öoco a 1 pCu f 4400 ƒ 18.790 Dus moeren de gemelde vyf C?pitsaien, raar hm> he onderfcheidene Interesfen pCt. , te faamen even zo vel nterest opbrengen, als ƒ 187C0 k 1 pCt. Derh dven wordt hier tor de frm ƒ 4400 eene zodanige Interest pCt. gezocht, welke in alles even zo B a veel  aö ARITHMETICA. veel Interest opleevert, als van ƒ 18700 de Interest h 1 pCt. bedraagt. Ais wy nu in aanmerking neemen , hetgeen in de tweede befchouwing V3n den verherden Regel van Drieën (11. Deel, pag. 49) gezegd is , hebben wy het volgend opftel eens omgefceerden Regels van Drieën: ƒ 4400 —— 1 pCt. ƒ 18700? Doch alzo nu het middenrte Lid des Regels op die wyze altoos 1 is, welke niet multipiiceeren kan , zo heeft men flegts de 18700 aanltonds door 4400 te divideeren , waar door men het begeerde Antwoord 41 pCt. bekomt. Uit deeze grondige Oplo«fing volgt, dat men de gegeevene onderfcheidene Capitaalen alle met een zelfde getal mag verkleinen ,• want het is klaarblyklyk , dat verkleinende de gegeevene Capitaalen, ais de Faflores des Producls dat uit de vermeenigvuldiging derzelven moet ontftaan , met een zelfde getal, de ProduEten der nieuwe FaEtores , uit de verkleining voortgekomen, met hunne refpeflive pCt., ook even zo veel kleiner dan de gegeevene Capitaalen zullen zyn; by gevolg wordt op zodanige wyze de fem der Capitaalen en de fom der ProduEten , dat is de Divifor en het Dividendum , of het eerfte en derde Lid eens Regels van Drieën , met een zelfde getal verkleind : waarom dan ook door zodanige verkleining het begeerde Antwoord gevonden kan worden, Aanmerking. Om zich te verzekeren dat het gevonden Antwoord aan den eisch van het Voorftel voldoet, heeft men flegts elk der gegeevene Capitaalen naar zyne Interest pCt., voor eenen naar welgevallen genomen tyd,  of REKENKUNST. If tyd, doch die in ieder geval de zelfde is , te berekenen , en de komende Interesfen te laamen te addee. ren ; vervolgens te onderzoeken, of de fom van alle de Capitaalen , berekend naar de gevondene Interest pCt. , in even den zelfden tyd eene gelyke Interesc voortbrengt. Dit zo bevindende, is de gegrondheid der berekening ten vollen geftaafd , zo oat men aan de zekerheid derzei ve niet'behoeft te twyffelen. Wanneer men dus in het laatfte voorbeeld de Interesfen pCt. alb voor een jaar berekent, vindt men Van/ 6oo:-è3 pCt f j8:—:-") £ 0 70o:-:\35 pCt. ....... 24:10:-|A f 900: — a.4* pCt * 38: 5:~r\S e loco: — 34* pCt -. * 46: 5'--| t" s> 1200: — èj pCr 60: ~-: »j ja Som ƒ187:—:-Inter. in één Jaar. Berekenende voorts de Interest der fom f 4400 a 4} pCt. 'sjaars, viodt men insgelyks/'187:-, waar nit duidelyk te zien is, dat het gevonden Antwoord 4jpCt. aan den eisch van het Voorftel voldoet. Ö9« Iemand heeft vyf Capitaalen op Interest uitgezet, als ƒ 400 a 3 pCr-, ƒ 500 h 3* pCt, f 6co k 4 pCt. , ƒ 700 h 4\ pCt. , en f 800 a 5 pCt., alle voor eenen gelyken tyd. Hoe veel pCt. bedraagt de Interest door elkander in even den zelfden tyd? Antw. 4^ pCr. 70. Iemnnd heeft zes Capitaalen or> Interest uitgezet, als f 350 a 3 pCr., ƒ 420 a 3} pCt.,/54o & 3f PCt., ƒ óao h 4 pCt., f 76a a \\ pCt., en ƒ pi© a 5 pCt., all voor eenen gelykea tyd, Hoe B 3 veel  S2 A.RITHMETICA veel pCc. bedraagt de Interest door elkander in even den zelfden tyd ? Antw 4to pCt. 71. iemand heeft aan de volgende Perfoonen, voor 1 eenen gelvken tyd, op Interest gegeeven, als aan A f iioó a tl pCt. , aan B ƒ 1400 a 3} pCr , aan C f tsoo'a $ pCt., aan D ƒ inoo a «J pCt.» aan| . E ƒ 5400 bwl pCt. , en aan F ƒ 86t57: 10:—. D * 4500 «4640:52: 8. E * 3600 ^3732: — :—. F * 7500 7837:10:—. G* 5400 f J557 :10:— 15. Iemand heeft ƒ 96ó'3: 2: 8 geduurenie rrf 1 Maanden op Interes: gehad , en betaalt daar v«or ƒ 386:10: 8 Interest. Hoe veel pCtJncerest's jaars : heeft hy moeten geeven? Antw. a,\ pCt. 16. Iemand was fchuldig ƒ3267:4:- nevens 7§ I Maanden Interest k 3| pCc. Interest 'sjaars , nog ' ƒ 4500 met 10 Maanden Interest , en betaalde voor i; de beide PestenaanCapuaalenIote:est./8012:10: 8. • Hoe veel pCt. 'sjaars zya voor de laatite Post be« > rekend? Antw. 4* pCc. ; 17. Iemand neemt vooreen Jaar op Interest ƒ 9000, 1 onder conditie van dezelve m driepelykeTermynen, 1 naamlyk alie 4 Mamdeh f van het Capitaal,benevens X de daar op vervallene luteresfen, k 4 pCt. 'sjaars, 1 te zullen a flos f en. Hoe veel moet de Opneemer tellens betaalen? Antw, In de cerlte Termyn ƒ 3040, | in de tweede ƒ 3080, en in de derde ƒ3120. 18. Iémand nee i t op interest ƒ 4800 a 3 pCr. In- terest 'sjaais, onder conditie van dezelve , benevens 1 de vervallen Intercsfen, in vyf Termyoen te betaalen , i! naamlyk: j over 10 Maanden, J over 11 Maanden , | over is Maanden, £ over 21 Maanden, en de Rest ü over 2 Jaaren. Hoe veel Capitaal en Interest moet hy in ieder Termyn beraalen ? Antw. in de eerfte ] Termyn ƒ 1640 , in de tweede ƒ 1233, in de derde ƒ906, in de vierde ƒ 84a , en in de vyfde ƒ254:8:-. B 5 «9.  as ARITHMETICA io. Iemand heeft op Interest genomen ƒ4000 voor g Maanden a4pCt.'sjaars, nog ƒ5000 voor 12 Maande", a ^fpGt.'sjaars. Zo hyna, na da: de beide Posten tot de bovengemelde Interest 3 Maanden geloopert hadden, met den Crediteur is ovefëengekomen, om van dien tyd af niet meer dan 3* pCr. Interest's Jaars te betaalen, vraagt men, hoe veel Rente hy, na dat de beide Termynen zyn afgeloopen , van elke Post zal moeten betaalen? Antw. Van ns eerfte ƒ ito, en van de tweede ƒ 187:10 20. A heeft, op één en den zelfden tyd , van zynen goeden vriend b voor 12 Maanden op Interest genomen de volgende Posten, ais: ƒ3000 : - : - h 3 0 4200 : — : — a 3i 1 „ 5400 : — : — a 4 j> pCt. 'sjaars, , 6000 : — : — a $\ 1- 0 7200 : — : — a 5 J ien betaalt na verloop van 4 Maanden , op afrekening van hec geheele Capitaal, de fomma van ƒ 51Ó0. Men vraagt , hoe veel Interest A op öen Vervald-ag in alles moet betaalen ? Antw. ƒ 038 : 1 ï: -. 21. Iemand neemt op Interest f 28^0 voor «oMaandcn a 3I pCt.'sjaars ; de Vervakwg gtkorcen zynde, betaalc hy een gedeelte van hec opgenomen Capitaal, beoevens de verloopen Interest, bedragende in alles ƒ 1483:2:8. Het overige Capitaal wordt hem, tegen 4 pCt. 's Jaars, voor 12Maanden geprolongeerd. De vraag is, hoe veel hy op den Vervaldag nog moet betaalen? Antw. ƒ 1508. e2. G is fchuldig contant te !v taaten ƒ 7200. Daar het hem nu osdoenlyk is die fom aanltonds te betaalen, wordt hem dezelve op Interest gelaaten, onder de volgende conditiën : | der fom zal hy betaalen , 1 over  aj REKENKUNST. 27 over 6 Maanden, a 1 pCt..'s laars, joverRMnan. , - t „ft 'sla us , i ovflr n M?a den a 4 dr, Wars Aovir 14 MaaBÜbni*$PCt 's|aa.s, S de Ueï over IJ M*an 'en a ypCt-Maafs, Hf veel moet h? in e#c "IVmyn betaalen? Antw. In de ƒ 1492 ƒ 16: -, 1» ^ vierde ƒ «*ÖS , en in de ^Iffemand heeft zo veel Capitaal op Interest ftaïn tegen 44 pCc. 'sjaars, dat hy een dagelyks f, omen "van ƒ 2:1:4 & : na verloop van een lair het Capitaal hem alvoorens opgezegd zynde, beïL't hv daar van dè helft weder tot S|, en deandtre helft tot 4* pCt, 'sjaars. Hoe vee heeft hy dagelyks in te Komen? H»t Jaar gerekend op 365 ^emtnd'te eene Obligatie van f 400000 ten'iaste van een Vorst, waar in uitdrukkelyk bedongen en bepaald is, dat den Houder all* Vierende -ba?' ƒ 5000 Capitaal, benevens de Interest a 6 pCt '«Ja-ars , cU dus het geheele Capitaal m ao tlteten afbetaald zal worden. Men vraagt, hoe vee] ESeby 5 dien tyd vóór en na m alles te ontfangen heelt? Antw. ƒ 243000. SAAMENGESTELDE' INTEREST-REKENING. Saamengeftdae Interest noemc men de vruchten vm een Capifaal, voorkomende, als men geduung rp eiken Vervaltyd de rioofdfotn eo Interest te faamen as eene nieuwe Hoofdfom aanmerkt, waar van as vooren wederom Interest berekend moet worden. Indien men dus f 100 voor eenige Jaaren , a 5 nCt 's laars faamengeftelde Interest, uitzet .zullen &e ten eind, van het eerfte Jaar aan Capitaal ct Interest ƒ 105 uittnaaken. Öeerc ƒ 105 nuala  zs niTHMETlCA Van tSSSS?^ 3a»^erkende,maaktop het einde yasi ha tweedejaar aan Capitaal en Interest fi w • <: •- S' oVheÖr- D/ V°igende k Hóen tot opheldering van dit gezegde dienen. de Faaltkihh/f000* 5 pCt' 'sJaars ui*zec' en van rekent* h'ï .CereSC Wederom * PCt' Intere" be- R E G E L. 1' nSA" Capitaai enInterest des eerftenJaars. «n ïoceCr?n,";nfeDe CapitaaI en ÏDtere« Capitaal aan, en zoekt tot hetzelve ontftau. V P V3n heC tweede Jaaf 3. Vervolgt dit zo veel maaien, als 'er Jaaren vovo?&iAe3j ÏCLSt! *0p,osfins ™ * 5 IO° ~~ !OJ ~~ ^ 6oco? 20 21 Antw. ƒ6300 na het eerfte Jaar. r?° Jj^Vf 6300 ? Antw. ƒ 6515 na hëllweêde Jaar. Jio —-_2ij-— ƒ 6615? Antty. ƒ 6915: i/T^nThet derde Jaar. ao  sf REKENKUNST «9 ao —■ ar —— ƒ 6945:iS:—-S 3 20837: 5.:- 7 7 7 145860:15:20 ■ Antw. ƒ 7293:— : 12 na het vierd* Jaar, zynde het gezochte Antwoord. Naardien nu dit Voorftel, zo als boven te zien is, naar den Regel van Drieën opgelost kan worden . zo is het klaar, dat het ook door den Ketting - Regel, welke alle de onderfcheidene Opftelien des Rebels van Drieën in een eenig Opftel verandert, opgelost k^n worden. Daar nu de Ketting - Regel in het voorgaande lf. Deel reeds grondig \erklaard is , hebben wy thans niet noodig te toonen, hoe bet Voorftel naar denzelven opgefteld moet worden; de Oplosfing van hetzelve komt derhalven aldus te itaan: IS 00 f& — M 21 , . 00 ?00 M 21 20 ^00 ■ f$$ 2l 20 t — tH 21 < 4kw 29172115 4' Antw. ƒ 7293T» ,0^7293:-: 12 als vooren.1 ) Deeze berekening door den Ketting-Regel is ongetwyffeld veel gefchikter, en in dedaadelyke oeffening naauwkeuriger , dan de voorgaande. Om ech« ter het Opftel naar den Ketting-Regel, en de veelvuldige daar uit fpruitende las:ige Vermeenigvuldi» gingen in elke kolom^, voornaimlyk als men voor veel  30 ARITHMET'ICA veel Jaaren moet rekenen, te ontgaan, hebben fommige Au'heurs de volle Betaalingen aan Capitaal en Interest voor een Capitaal van ioopoo of meer tot onderfcheidene pCt. van Jaar tot (aar:berekend , en daar van Tafelen gemaakt. Wy zuilen hier toe dat einde twee zodanige Tafelen Inleen volgen , welke vöor een Capitaal van iooon:ooo, cn tot op 30 jaaren , berekend zyn , de eene a 4, en de andère"a 5 pCt. 'sjaars. Tafel voor een Capitaal van 100000000 & 4 pCt. Ta- Jaaren j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 : 13 h 15 Cap. en lm er. 104000000 108160000 112486400 116985856 121665290 126531902 136856905 143331181 148024428 15394f406 160103222 166507351 173167645 l80094350 | I II 11 II Jaaren 1*6 17 18 19 90 q i 22 53 24 -5 38 '•9 30 Cap. en Inter. 1872)8124 194790049 202581651 210684917 519112314 2«'876807 236991879 2 4^47"554 ?5Ö33C4i6 266583633 277246978 28*336857 29987033a 311865145 324339-51 1 1  of.'REKENXUN S]T> 31 Tafel voor ezn Capitaal van 100000000 h 5 pCt. Met behulp van deeze, en andere op gelyke wyze 1 ingerichte, Tafelen, kunnen alle foortgelyke Voor. ftcl'en als hec voorgaande, enkel door denReqel van , Drieën, opgelost worden, en wel zo naauwkeu;ig, dat in Capitaalen , welke kleiner dan 100000000zyn, ■ het g'-brefe in het gevonden Antwoord onberekenbaar' : of nietsbeduidend is. -J Hec voorgaande Voorliet wordt dus , met behulp van de tweede Tafel, aldus berekend ; IOOOOC000 Jaaren 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 »3 14 IS Cap. en Inter. I 105000000 110250000 115762500 I21550625 127628156 134009564 140710042 , »47745544 | 155132822 j 162889463 ) I7'033936 | I795S5633 I 188564914 \ I97993Ï60 207892818 I 1 [i i I I I Jaaren 16 17 18 19 ao 21 22 23 24 25 26 27 a8 29 30 Cap. en Inter. 218287459 229201831 240661923 252695019 2S5329770 2785962J9 295526072 307152375 322509994 238635494 3555G7269 373345632 392012914 411613559 432194037  3a A Ril THMETICA 100000000 121550625 6000? ó f 7293I03750 20 Stuiv. 0173000 L50000 Tenn. 12100000 e. Hoe veel wordt een Capitaal van ƒ 5000 , k 4 pCt. 'sjaars, na 2 Jaaren, als men Interest op Interest rekent? Antw. ƒ 5408. 3. Iemand doet op interest f 4280 k 3ipCt."sjaars faamengeftelde interest. Hoe veel Caphaai en Interest zal hy ten einde van % Jaaren ontfangen ? Antw. ƒ 4745:6: &zh, 4. Wac bedragen ƒ 3600 in 7 Jaaren, als Jaarlyks 5pCt. faamengeitelde Interest daarvan ber-ekend wordt? Antw. ƒ 5065:11:3 nagenoeg. 5. Hoe veel zal men na 8 Jaaren voor Capitaal en Inrerest betaalen van ƒ5600 k a pCt. 'sjaars, rekenende Jaarlyks Interest op Interest ? Antw. ƒ 7663:19:12 eirca. 5. Hoe veel zal men voor Capitaal en Interest van ƒ 7200 in 4 Jaaren betaalen , a's men faamengeftelde Interest rekent tegen 3f pCt. 's Jaars ? Antw, ƒ 8209:1: 8. 6. Van een Capitaal, dat a Jaaren k 4 pCt. 's Jaars Interest op Interest heeft uitgeftaan, bedraagt alleen de Interest ƒ 367 :4:-. Hoe groot is het Capitaal geweest? iet»  op REKENKUNST. S3 IOO —— 104 joo 104 iooco 10816 lOOOO ■ Cap. Inter. Inter. 8iö 10000 —ƒ367:4'.-? Antw. ƒ 4500. 7. Een ander Capitaal heeft in 3 Jaaren aan Interest op Interest opgebragt ƒ819:13:-. Hoe groot is het Capitaal geweest, als de Interest tegen 5 pCr. 's 'aars berekend is? Antw. ƒ 5200. 8. Vaneen Capitaal, dat 4 Jaaren k 4 pCt.'sjaars Intcest op Interest heeft uitgeftaan , bedraagt alleen de Interest ƒ1036; 14:11. Hoe groot is het Capitaal geweest? Antw. ƒ 6103 :10; j. 9. Een Capitaal h erft in 4jaaren aan Interest op Interest opgebragt ƒ 8Sï:-:8. Hoe groot is het Capitaal geweest, als de Interest berekend is tegen 5 pCt. 's Jaa.s ? Antw. ƒ 4000. to. Iemand is fchuldig te betaalen ƒ6000, naamlyk over 1 Jaar ƒ1500, over 2 Jaaren ƒ2000, en rie Rest over 3 Jaaren. Zo hy nu den Crediteur verzoekt hem "het geheele Capitaal tot den Vervaldag van den iaatften Termyn , tegens 4 pCt. Interest oi> Interest 's Jaars, te laaten behouden, en deeze zulks accordeert, vraagt men, hoa veel hy alsdan te betaalen heeft ? C 100  3* ARLTHMETICA ioo ■ i 104 ƒ 1500eerfte Termyn ? Komt ƒ1560 =» 2C00 tweede Termyn. 100 —— 104 ƒ 3560? Komt ƒ 3702:8:- * 2500 : -: - laatfteTermyn. j Antw. ƒ 6202: 8: 11. Een ander is fchuldig te betaalen over 1 Jaar | ƒ1800; over a Jaaren ƒ1558; over 3 Jaaren ƒ 1602, en over 4 Jaaren ƒ 1800. Zo hy nu alle deeze fommen tot den Vervaldag des laatften Termyns onder zich houdt, tegens 3I pCt. Interest op Interest j 3s Jaars, is de Vraag, hoe veel hy dan in alles zal moeten betaalen? Antw. ƒ6457: Io:-. 12. P is fchuldig te betaalen, over 1 Jaar ƒ ioco, over 2 Jaaren ƒ 2003, over 3 Jaaren ƒ3000, en over 4 Jaaren ƒ4000. Zo hem nu deeze Gelden tot den Vervaldag des laatften Termycs gelaaten worden, tegens 4J pCt. Interest op Interest 's Jaars, is de I Vraag, hoe veel alsdan de geheele betaaling beloopt? Antw. ƒ10460:4:-, de Penningen niet gerekend. 13. M is aan N fchuldig ƒ 6000, om in 3 Jaaren te betaalen, ieder Jaar ƒ 2000. Zo nu N aan M vergunt, om het geld tot het einde van gemelde 3 Jaaren onder zich te houden, tegens 4 pCt. Interest op Interest 's Jaars, is de Vraag, hoe veel M alsdan zal moeten uitkeeren? Antw. ƒ6243:4: . ! 14. P is aan Q fchuldig ƒ4800, om in 4 Jaaren i te betaalen, naamlyk ieder Jaar ƒ ïaoo. Zo nu P, , door :  of REKENKUNST. door zeker Confaót, vergund worde de geheele fchuld tot het einde van gemelde 4 jaaren onder zich te houden, tegens 4 pCt. 's Jaars Interest op Inte« rest, en alsdan de geheele fcliuld in een Post af tg doen, is de vraag, hoe veel hy zal moeten betaa* len ? Antw. f 5095:15: - zeer na. 15. Van ƒ8000 moet jaarlyks ƒ 1600 afgedaan, en dus de gantfche Schuld in 5 Jaaren betaald worden. Zo nu de Crediteur te vreden is, dat de betaaling na verloop der 5 Jaaren in eene Post gefchiedt; echter 1 onder voorwaarde, dat voor zodanige nabetaaling jj jaarlyks 5 pCt. Interest op Interest gerekend zal worden. Hoe veel bedraagt zodanige betaaling ? Antw. I ƒ8841. jó. Iemand neemt op Interest ƒ4000 voor 10 Maan» ; den, è 3 pCt. 'sjaars. Op den Vervaltyd verzoeke i hy uitftël met de betaaling zo van Capitaal als Inte» j rest, voor nog één Jaar, è 3f pCt., met belofte» om na verloop van dien tyd het Capitaal met de daar op verloopene Interest te gelyk af te doen. Zo hy nti op den bepaalden tyd niet meer dan ƒ743:10:- kam betaalen, en dus de Crediteur hem vergunt, het ove: rige nog a Jaaren, a 4 pCt. Interest op Interest 's Jaars, te mogen gebruiken, is de vraag, hoe veel ': hy eindelyk, zo aan Capitaal als Interest, nog heeft il moeten betaalen? Antw! ƒ3785: ia:-. AANMERKING. By de Berekening van Interest op Interest kan msa zich van de Logarithrni- Tafelen met voordeel bediea nen , voornaamlyk als het getal Jaaren ongemeen i! groot is; doch in 't oog houdende, dat dit Werk: je voor Eerstbeginnenden gefchikt is , welke , by '| gebrek aan voorloopige kundigheden , buiten ftaa« : zyn om zich van de Logarithrni-getallen een juisc C 2 denk-  3$ A R I THMETICA denkbeeld te vormen, hebben wy raadzaam geoordeeld deeze Stoffe voor eene andere Verhandeling te fpaaren. Intusfchen kunnen wy niet voorbygaan, om voor Leerlingen van een meer dan gemeen doorzicht in de behandeling der getallen hier nog eenen zeer byzonderen Regel te laaten volgen, welke by •en groot getal Jaaren insgelyks ongemeen nuttig en voordeelig is. Eer wy echter daar toe overgaan, zal het noodig zyn de volgende befchouwingen vooraf te Hellen. De Interest van een Capitaal ftaat tot het Capitaal zeifin reden, als de gegeevene pCt. Interest tot 100, zo lang in de tyden geen verandering is. Derhalven vindt men de Interest, als men het Capitaal met den Breuk multipliceert, welke gevormd wordt, wanneer men de pCt. Interest als Teller, en 100 als Noemer aanneemt: uit hoofdedatheteen en hetzelfde is, of men, by voorbeeld, wanneer de Interest van ƒ450 Capitaal k 4 pCt. gezocht wordt, volgens onzen hier vóór gegeevenen Regel, het Capitaal fayo met 4 multipliceert, en het Product door roo divideert; dan of men het Capitaal ƒ450 met den Breuk ïls, of, verkleind zynde, met sf multipliceert; vermits deeze laatlle handelwyze in geenen deele van de eerfte onderfcheiden is, maar volftrekt op het zelfde uitloopt. Den gemelden Breuk of rh of ,ï noemen wy den gegeevenen Breuk , vermits dezelve de eigedyke Proportie van de Interest tot het Capitaal uitdrukt, en om die reden altoos gegeeven moet zyn. Zo 'er echter in de tyden eenige veiandering gevonden wordt, vindt men de gemeene Interest van een Capitaal, als men den gemelden gegeevenen Breuk met de grootheid des tyds , en den daar uit voortkomenden Breuk verders met het Capitaal multipliceert. By voorbeeld. Wanneer men de gemeene In-  or REKENKUNST, $ Interest van ƒ450 a 4 pCt. 's Jaars voor 5 Jaaren begeert te vinden, multipliceert men r^ met 5, en de komende Tf° of f- verders met 450, komt ƒ90 de gezochte Inïerest. Deeze handelwyze is, gelyk wy zo even gezegd hebben, niets anders dan eene beknopte toepasüng van den Regel, welke wy voor de gemeene Interest-Rekening gegeeven hebben. Aangezien nu by de Interest op Interest de tanwasfende Interest alle Jaaren op nieuw als een Capitaal wordt aangemerkt, vindt men de Interest van de Interest van ieder voorgaande Jaar, wanneer men deeze laatfte, als een nieuw Capitaal, met den gegeevenen Breuk multipliceert. By voorbeeld. De Interest van /Steoo, h 5 pCt. 's Jaars, wordt voor 1 Jaar gevonden, door de vermeenigvuldiging der /"8000 met den Breuk r|s of zi, zynde alsdan het Product /400. Zo men ° nu oeze ƒ400 wederom met r%s of 5i multipliceert, bekomt men de Interest van de voorige Interest, naamlyk ƒ20. VVydcrs zo men deeze Interest van Interest, zynde/ 20, wederom met T|5 of j| multipliceert, komt 'er/i; zynde de Interest van de naastvoorgaande Interest, en zo vervolgens. Om het geen wy vervolgens hier van te zeggen hebben verftaanbaar te maaken, zullen wy de Interest, welke ieder Jaar van het Capitaal, dat in den beginne is uitgezet, gegeeven wordt, de eerfte Interest noemen. De Interest, welke van deeze cerfie Interest gegeeven wordt, noemen wy de tweede Intetest; de Interest, die voorts van deeze tweede Interest gegeeven wordt, de derde Interest , en zo vervolgens, de vierde , vyfde, zesde Interest enz. Dus zyn in het voorgaande V oorbeeld de ƒ400 de ëerfte, de/ao de tweede, en de ƒ 1 de derde Interest. Om niet al te wydloopig te zyn, zullen wy c 3 na  ARITHMETICA nu voortaan ook, daar het noodig is, van het teken van Additio -f-, dat plus , meer of en genoemd wordt, als ook van het teken van SubftraBio, dat minus of min genoemd wordt, en van het multipliceer-teken x, gebruik marken. Wanneer men dienvolgens by eenen tyd van eejjige of veele Jaaren in acht neemt, hoe veel eer. fte, tweede, derde, vierde, enz. Interesfen in ieder Jaar te betaalen zyn, zal men bevinden, dat dezelve in zodanige orde voorkomen, als in het volgend Ontwerp te zien is. Na i Jaar i eerfte Interest, a .... i +i tweede Inter. 3 .... i -1- 2 -;- i derde Inter. 4 .... t + 3 + i vierde Inter. 5 .... 1 + 4-1- 6 + 4 + 3+1 vyfdelnter. 6 .... i + 5 + io 4- 5+i zesde Inter. "7 .... i + 6 + 15+20 + if + 6+izev.Int. 8 .... I + 7 + 21 + 35 + 35 + 2i + 7 + i agtfte Int. 9 .... 1 +8 + 28 + $6 + 70 + 56 + 28 + 8 + 1 negende Int. Naamlyk na het eerfte Jaar heeft men flegts de Interest van het Capitaal zelf, dat is de eerfte Interest, te betaalen. Na a Jaaren heeft men eene Interest van het Capitaal zelf, als in het vooiige eerfte Jaar, benevers eene Interest van de Interest des voorigen Jaars, dat is te faamen eene eerfte en eene tweede Interest, te betaalen. Na 3 jaaren heeft men eene Interest van het Capitaal zelf, en twee Interesten van Interesten, raamlyk één van de Interest des eerften Jaars, en één van de eerfte Interest des tweeden Jaars, en nog boven dien eene Interest van de  of REKENKUNST. $ : de Interest van Interest des tweeden Jaars; dat is te I faamen i eerfte + 2 tweede + 1 derde Interest te betaalen, en zo vervolgens. Op zodanige wyze kan , men, met eenig nadenken, alle de hier boven ter .1 neder gefielde getallen der overige Jaaren vinden. Docli alzo het ligt te zien is, dat in deReeks der 3aaren eene beftendige orde heerscbt, zulks dat de Interest van ieder Jaar uit het naastvoorgaande, door eeneblooteoptelling, kan afgeleid worden, heeft men flegts drie h vier Jaaren, als boven, door overweel ging op te ftellen, om alle de andere, zonder verder nadenken, gemaklyk te vinden. By voorbeeld, hebbende voor de uitdrukking der Interest van bet derde Jaar gevonden 1 + a + 1, ' vindt men die van het vierde Jaar aldus: het ifte j Lid van ieder Jaar is altoos en onveranderlyk 1; deei ze ter neder gefield hebbende, addeert men het i ifte by het tweede Lid des derden Jaars . komt 3 , I zynde bet tweede Lid des vierden Jaars; dan we* I derom addeert men het 2de by het 3de Lid des der* 1: den Jaars, komt nogmaals 3, zynde het derde Lid I des vierden Jaars, dewyl nu in dit peval geen verdere bytelling kan plaats hebben, voegt men by de ! gevondene Leden voor het vierde Jaar nog het laat1 fte Lid, dat in alle Jaaren onveranderlyk 1 is; dan 1 heeft men de uitdrukking voor het vierde Jaar J.i 4- 3 + 3 + !• Op gelyke wyze wordt de uitI drukking van het vyfde Jaar uit die van het vier.,] de, die van het zesde uit die van het vyfde, die 1 van het zevende uit die van het zesde Jaar enz. afgeleid. Wanneer men nu de gevondene Interesten voor j ieder Jaar alle te faamen addaert, dat is te zeg; gen, dat men de fom zoekt van alle eerfte, alle ; tweede, alle derde Interesten enz. ieder byzonder, 1 zal men uit de fommen zier], hoe veel eerfte , C 4 twee-  'éf A IM-THMETICA tweede, derde, vierde Interesten enz. in de gezochte gezamentlyke Interest van alle de Jaaren begreepen zyn. Wanneer men dus de getallen, welke in het voorig-Ontwerp van 9 Jaaren gevonden worden, volgens hunnen rang. addeert, zal 'er komen 9 4- 36 4-' 84 + 126 4- 126 -f- 84 + 36 -}9+1. Deeze fommen wyzen aan, dat in de gezamentlyke Interest van 9 Jaaren begreepen zyn 9 eerfte, 36 tweede, 84 de;de, 126 vierde, 126 vyfde, 84 zesde, 36 zevende,'9 agtfte Interesten, benevens nog 1 tiende of faatftè Interest. Laat ons nu eens zien , welke verdere Orde in ons Ontwerp gevonden wordt. Zonder veel over- • weeging ziet men aanllonds, dat de eerfte kolom ter linkerhand uit zo veel Leden beftaat als hec getal der Jaaren is, en dat de volgende kolommen naar de rechterhand fteéds, van kolom tot kolom, één Lid afneemen. Dus beftaat de eerft? kolom van ons Ontwerp, dat foc 9 Jaaren vervolgd is, uit even zo veel Leden ais 'er Jaaren zyn, naamlyk 9; de naastvolgende tweede kolo' .* v ■ Hoe veel zalmen voor Capitaal en Interest van ƒ 16224 %n 5 Jaaren betaalen, als men Interest op Interest rekent tegens 5 pCt. 's Jaars ? De  or REKENKUNST. 43 De Ry Breuken. 5 PCt. is - , Jaaren *§, jS, si, ris t|5 of 55 — - ■—• r —r or verkleind ts» is« pi tbs Het gegeeven Capitaal is ƒ10224: —, h;er uit | 6 to komt « 40^6: —, hier uit T§ komt * 405: 12, hier uit 3§ komt e 20: 5^, hier uit ?J komt s : ioTj,hier uit komt * : Té na genoeg- Antw. ƒ20706 ; 7I5 De grond van deezen Regel wordt door de Algebra eemaklyk beweezen; doch alzo wy ons van den beginne af bepaald hebben, alle voorkomende gevallen in dit Werk zuiver Arithmetisch te verklaaren, hebben wy ons liever willen vergenoegen met zodardge befchouwingen vooraf te treilen, welke de geerondheid des Regels duidelyk genoeg aantoonen , vermits daar door de natuur der Interesten op Interesten in haar geheel, zo als zy van Jaar tct jaaraangroeijen ontleed, en klaar voor oogen geïteld wor- dCDe voegende Voorbeelden kunnen tot verdere oeffening van deezen Regel dienen. . 17 Hoe veel zal men voor Capitaal en Interest van Aooo in 10 Jaa»en betaalen, als men Interest op Interest rekent ajpCt. 'sjaars? Antw, ƒ5864:-• na genoeg. . i 3. Hoe veel zal rrien na 20 Jaaren voor Capitaal en Interest betaalen vin ƒ6000 a 4 pCt. 'sjaars, rekenende alle Jaaren Interest op Interest? Antw, ƒ10146: 15:- ')a genoeg. . io Hoe veel zal men voor Capitaal en Interest r van  .4* ARITHMETICA van ƒ10000 in 36 Jaaren betaalen, als men Interest op Interest rekenth 3 pCt. 'sjaars? Antw. ƒ28982:16:ïii genoeg. 20. Hoe veel zal men na 100 Jaaren voor Cepitaal en Iriterest betaalen van ƒ60000 h i\ pCt. Jaars, rekende alle Jaaren Interest op Interest? Ant.ƒ 708823 na genoeg. R a bat-Re ken ing , zo van enkelvouwdige als famengeftelde Interest. ■ Even als de gemeene of enkelvouwdige InterestRekening leert, hoe men de op'oopende Interesten van opgegeevene Capitaalen behoorlyk zal berekenen, cm te kunnen weeten, hoe veel Interest men in 't byzonder van zodanige Capitaalen , na rato van zekeren tyd, bekomt; of ook hoe veel men naderhard aan Capitaal en Interesten, in eene fom weder moet ontfangen, zo leert daarentegen de R abat-Rkkeninc van enkelvouwdige Interest, hoe men de Interesten, welke by een Capitaal gevoegd zyn, weder van hetzelve kan affcheiden, en dus het gereed uitgezet Capitaal alleen, of ook de dsar op berekende Interesten afzonderlyk, door zekere Regel ftelling, zal vinden. Dus is de gemeene Rabat Rekening het omgekeerde der gemeene Interest-Rekening, gelyk dan ook de gemeene Rabat Rekening eene zekere Proeve der gemeene Interest-Rekening oplevert. Het Rabat is derhalven, in den bovengemelden zin, niets anders als het verfchil tusfchen de gantfche Schuld en de gereede Betaaling; en dus eigenlyk eene Interest, welke de Crediteur ofdiegeene, weifee het Geld na eenigen tyd te vorderen heeft, den Debiteur of eenen anderen, wélke de betaaling vóór den  of: REKENKUNST. 45 den tyd doet, wegens zodanige vroegere cf gereede Betaalmg geeft. Het Rabat van faamengeltelde Interest is op ge- ]vke wyze het omgekeerde der faamengeftelde Interest\ Rekening, en verftrekt mede tot eene zekere Proeve der laatstgemelde Rekening. Uit hetgeen wy dus verre gezegd hebben blykt allerduidelykst, dat het Rabat in beide Gevallen op ! en niet in 100 berekend moet worden. Want even «als by de Interest ■Rekening de Debiteur de Interest I pCt. op elke 100 , die hy ontfangt, betaalt, zo | moet ook by de Rabat-Rekening, als het omgekeer| de der voorgemelde, het Rabat op ieder 100, welke i! de Debiteur gereed ontfangt, geiekend worden. By i voorbeeld, wanneer men 5 pCt. rabatteeren moet, ji en men zodanige 5 van elke 100 wi'de aftrekken, I zou de Crediteur van elke 100 flegts 95 bekomen, H en by gevolg alleenlyk het voordeel van 95 kunnen genieten; daar nogthans de geaccordeerde 5 , wegens f het voordeel, niet van 95, maar van 100 te verftaan zyn. Derhalven moet 5 pCt. Rabat op elke 100, \ welke de Crediteur gereed ontfangt , verftaan wor( den, en hem dus voor elke 105, ïoo betaald, dat is •j 5 gekort worden. Men kan ook de vroegere of gereede Beraaling als I eene nieuwe Schuld, aan de zyde van den Crediteur, I befchouwen, en aanmerken, dat den Crediteur nu ii| weder zo veel Capitaal op Interest gegeeven wordt, \ ten einde zodanig Capitaal , benevens de Interest, i na den zelfden tyd, wanneer de gantfche Schuld» 1 die by te vorderen heeft, vervalt, gelyk worde aart j deezen gantfehen Schuld , en gevolglyk de beide I vorderingen eikanderen opweegen , of gelyk worI den. , . Om nu in de gemeene Raèat-Rekemng de gereede  46 ARITHMETICA Betaaling, of ook het Rabat, van eene gegeevene Schuld te vinden, volgt men deezen s^-veue Regel. li Maakt een Opftel van eenen Regel van Drieën, en plaaist in hec eerfte Lid ter linkerhand ico! benevens zo veel als het Rabat ten 100 bedraagt. 2. 1 laats* in het volgende tweede Lid in 't eerfte seva ioo; doch in 't andere het Rabat op ;00. 3. Phatst eindelyk in het derde Lid de gegeevene geheele Schuld, en werkt met deeze drie Leden voorts mar den Regel van Drieën; dan zal de Uit. komst het begeerde Antwoord zyn. De volgende Voorbeelden kunnen tot oefFenintr van dit eerfte geval der Rabat-Rekening dienen 1. iemand is Ichuldig/t4oo, om over één Jaar te betaalen; doch komt met zynen Crediteur over een om de becaahng aanftonds te doen , mits rabatteeren' de 5P.Ct. s jaars. Men vraagt, hoe veel de gereede Betaaling zal zyn, en wat het Rabat bedraagt? I. Om de gereede Betaaling te vinden. 3S ^ 105 ^ IO° gereeci f I400? 3 40 , 5 40 4000 3 ■ Antw, ƒ 1333$ de gereede Betaaling. II. Om  of REKENKUNST, $7 II. Om het Rabat te vinden. ƒ 105 ƒ 5 Rabac —— ƒ 1400. 3 40 40 203 Antw! f661 net Rabat. a. Iemand koopt een Wisfelbrief van ƒ 1340, die eerst over één Maand vervalt, en bedingt, wegens vroegere betaaling, | pCt. te rabatteeren. Hoe veel moet hy contant betaalen, en wat bedraagt het Kabat? Antw. De contante Betaaling is ƒ13331, en het Rabat f6r 3. Iemand is fchuldig ƒ2700, om over 2 jaaren te betaalen, ea komt met zynen Crediteur overeen, om met 4 pCt. 's Jaars de betaaliog aanllonds te doen, Hoe veel bedraagt de contante betaaling , als mede het Rabat? Antw. De contante Betaaling \$f 2500. en het Rabat ƒ200. 4. Iemand koopt een Handfchrift van ƒ1445• 10: , vervallende over 9§ Maanden. Hoe veel bedraagt daar van de gereede Betaaling, als mede het Rabat, &4 pCt. 's Jaars ? Antw. De gereede Betaaling is ƒ1400, en het Rabat ƒ45:ïo:-. 5. Iemand verkoopt eene Obligatie van f1938:15:., vervallende over 18 Maanden, k spCt. difconto 'sjaars. Hoe veel bedraagt de gereede Beraaling, als mede het Rabat? Antw. De gereeae Betaaling is fi8w + en het Rabat ƒ138 : iy:-. , 6. Als eene Schuid van ƒ3735•^o-, die over 10 Maanden vervalt, met 4 pCt- 's Jaars Rabat gereed betaald wordt, hoe veel bedraagt dan de gereede Be*  $ ARITHMETICA. Betaaling, ais rrede het Rabat? Antw. De gereede Betaaling is ƒ 3615, en het Rabat /120:10:-. 7. A kocht eens eene dulieufe Obligatie van ƒ5432:10:-, nee 6 pCt. 's Jaats difconto voor 12 Maanden precies; doch bedingc daar by uitdruklyk, dat hy van 't contant Beiocp daarentegen een ander eigenhandig Schrift zal geeven, onder conditie van hetzelve, zonder eenige Interest, nog 12Maanden onbetaald te laaten ftaan, of ook, zo hy het goedvindt, gereed'te betaalen, en alsdan nogmaals, voor den nog overigen tyd, 5 pCt. 's jaars te disconteeren- Zo hy nu na 6 Maanden betaalt, is de vraag, hoe veel hy heeft moeten uitgeeven? Antw. ƒ5000. 8. Het Rabat van eene Obligatie, k 5 pCr* 's Jaars, is voor 71 Maanden fg%: 4: Hoe groot is de Obligatie geweest? Antw. ƒ3141:12:-. O. Iemand koopt eene Schuld van ƒ4007:10:- met 6 pCt. 's Jaars Rabat, en betaalt daar voor gereed ƒ4000. Men vraagt, over hoe veel Maanden deeze Obligatie vervalt? Antw. Over ó,\ Maanden. ïo. Een Schuldbrief vanƒ878:16:- wordt, k 3 pCt. 'sjaars, voor eenige Maanden gerabatteerd, en beloopt zodanig Rabat ƒ54:18: 8. Hoe veel Maanden heeft deeze Obligatie tot op den Vervaldag nog moeten loopen? Antw. 10 Maanden, it. A is aan B fchuldig, om over 12Maanden te betaalen, ƒ4714:: 10:-; leevert deswegens aan B, na 4| Maanden, op afkorting der Rekening eene Obligatie groot ƒ 4604:15: -, vervallende over 13 Maanden, Zo zy nu aanftonds de Rekening willen vereffenen met 8 pCt. Difconto 's Jaars, vraagt men, hoe veel A nog gereed betaalen moet? Antw, ƒ 252:10:-. 15. Twee Obligatien, beiden even groot in Capitaal, bedragen te faamen aan Capitaal en Inte. rest  op REKENKUNST* 49 test ƒ 1857 :15: -de eerfte hreft 8 Maagden k i, en de tweede 9 Maanden a 5 pC'. Interest s laars te loopen. Hoe veel is het Capitaal van elke Udügatie ? Antw. ƒ 000. Aanmerking. Om de gemeene Rabat-Rekening volkomen teontleeden, en dus het gez >chte uit zyne eerfte grondbe.ginCelen , door enkel bekende grootheden, at te lelden , zullen wy hier nog by voegen de handelwyze van den beroemden Heer van Leibmtz, die bet Kabat volgens zynen ecrften oorf > ong in een helder daglicht ftelt, na alvoorens als onloochenbaare waarheden ^g«nomen te hebben: f. Dat i< mand, Geld vóór den Vervaltyd brtaalende, de interest van den tyd, welken hy te vroeg betaak, met recht kan voraeren. ■ II. Dat eene Afrekening in Rechten even zo veel is, als eene werkelyke Betaaling. Hl. :>at de Credireur en Debiteur, wegens het Gdld , dat de laatfte eerst na zekeren tyd fchulug is te betaalen. een v/erge'yk kunnen aangaan , om de g 'heele Negotie thans op één maal, zonder nadeel voor een van beiden , te eindigen. Waaruit dan verder het befluit wordt opgemaakt. , , • IV. Ö3t wanneer de Interest, zo als zy in Hechten veroorloofd wordt, jaarlyks het aolte. deel van. 't Cipitaa! ( naamlyk 5 pCr.J is, alsdan de tegenwoordige Waarde eener Eenheid, die over één Jaar eerst vervalt, zal zyn: i — is "+- +53 — -sis* + tsIösh ~~ ïïölfös &c» Om dit te betoogen, onderftelt hy, dat de Crediteur op de volgende wyze den Debiteur aanfpreekt. D „ Ten  5© ARIT HMETICA Ten einde van een Jaar zyt gy my fchuldig te betaalen eene Eenheid of i (By voorbeeld i Gulden, of i Honderd, of i Duizend enz;. Wanneer gymy nu die Eenheid of dat Capitaal op heden, naamlyk i Jaar vóóruit, betaalt, zo ben ik u over één Jaar fchuldig te betaalen, in gevolge Art. I., ia Interest, Naardien wy echter thans van onze Negotie in eens een einde willen maaken (Art. UI.) zo vordert gy wederom van my, dat ik u thans het ^5 zal vóór uit betaalen. Deeze Betaaling nu kan door eene Af'rekening gefchieden, als ik u vergun zo veel te korten aan de fom, welke ik thans van u moet ontfangen (Art. II.): derhalven ontfang ik i — Daar gy nu onder tusfchen de fom die eerst over een Jaar vervalt, vóór uit ontfangt, zult gymy des wegens over één Jaar de Interest, naamlyk i, van *s., dat is ,£„ fchuldig zyn (Art. I.). En daar wy thans onze Negotie op éénmaal willen eindigen (Are. III.j, zo moet gy my, boven de voorige lom i — *s, nog geeven. Doeh daar gy my deeze ^|_, welke eerst over een Jaar vervalt, thans vóór uit geeft, zo zal ik u na verloop van een Jaar de Interest (Art. I.) , naamiyk f3 van dat is »J53, fchuldig zyn. Én daar onze Negotie thans in eens afgedaaa moet worden ( Art. III.) , zo wil ik u die ook heden, en wel (volgens Art. II.), door eene Afrekening betaalen. Dus ontfang ik i ~— U -+- ?§a i— Tas». Waar uit dus duidelyk blykt, wanneer men zich verbeeldt, dat deeze Rekening tot in 'toneindige wordt voortgezet, en d?ar mede de Negotie thans een einde neemt, ieder telkens de Interest vóór uit betaalt, doch echter zich by zodanige vooruitbetaaling niets te kort doet, dat gy my voor de Eenheid, welke ik van u over een Jaar moet ontfan. gen, thans eene zodanige oneindige Reeks van Breuken moet geeven, welke alle de Eenheid tot Teller heb-  op REKENKUNST. 5r j hebben, en waar van de Noemers in eene 20 vouw» Idipe reden opklimmen , terwyl de Tekens -f- en — geduuiïg afwisfelen.'' fber uit volgt, dat de oneindige Reeks t —• fe + 4j5 «ft* &c, in de daad gelyk is aan \\. Want het 20 vouwd derzeive is ÜO - i + 5ö - ?§3 + -Azn &C. en de Reeks zelve 1 — J8 4- ,§3 — ^ &c. Dus het 21 vouwd 20. Derhalven is de Reeks niets anders dan de Breuk !" of waar uit dn onweaerfpreekelykblyki ,dat :|het Rabat inden volftrcktften zin., op en niet in honderd berekend moet worden Wy hebben dit, tot lueculafie van meer gevorder* iden , niet ondienliig »eacht hier by te voegen, e^nsiideels om de gegrondheid van onzen gegeevenen Regel hier door duidelyk aan te too< en , en uit de naItuur van het onderwerp zelf te bewyzen , en (enan: deren om dat het ons oer moeite waardig fcheen , het : denkbeeld van den beroemden Heer Leibnitzover het ; Rabat den weetgierigen beoeffenaar der Rekenkunde : voor te dragen. Wy gaan nu over tot het tweede Lid van deezen Regel, naamlyk de Rabat - Rekening van jaamengt' \fteide Interest. Wy hebben ree.'s rgezegd wat hetonIderwerp derzei ve is, en zullen-dus aanitonds ons be•'paaien tot de opgave van den volgenden D * R b*  gfc A'RITH MET I € A Regel. ,. - i. Zoekt de gereede Eetaaüng voor i Jaar vroe- I ger, zo als hier vooren, ten aanzien der gemeene Rabat - Rekening, geleerd is. 2. Zoekt tot deeze komende gereede Betaaling j nogmaals de gereeoe Betaaling voor i Jaar vroeger, j zo als in Art.- i. gezegd is. 3. Vervolgt dit zo veel maaien , als 'er Jaaren gegeeven zyn; -als wanneer eindelyk, naar den eisch van het Voorftel, de gereede Betaaling gevon- I den zal worden. By Foorbeeld. Iemand is fchuldig over 4 Jaaren 'te betaalen ƒ 14586:1:8; doch komt met den Crediteur overeen, om de gemelde fchuld aanlloods, dat is 4 Jaaren vóór den tyd, af te doen, mus rabatteerende $ pCt. *s Jaars; en wel zodanig, dat -de gereede Betaaling, waneeer dezelve voor'4' Jaaren & 5 pCt. 's Jaars Interest op Interest berekend j wordt, insgelyks de gegeevene fom ƒ 14586: i :8 voortbrengt. De vraag is, hoe veel de gereede Betaaling mom zyn ? 105 ■ ' ■ 100 >■ ' ƒ 14586 : 1 : 3? 21 20 Komt ƒ 13891: io: — zo veel 1 Jaar vroeger dan den bepaalden tyd betaald zou moeten worden. si .  of REKENKUNST* 53 m —— ao —— ƒ 13801 :io:-? Komt ƒ 13230:— zo veel 2 Jaar vroe* ger dan den bepaalden tyd be« taald zou moeten worden. 21 20 f I3230:-? Komt f 12600: — zo veel 3 Jiar vroe» ger dan den bepaalden tyd betaald zou moeten worden. 21 20.-—ƒ 12600: — ? Komt ƒ 120co de gezochte gereede Betaalirjg. Door den Ketting-Regel wordt dit Voorftel op de volgende wyze opgelost: ƒ 14586;, ■■ —- 40 503*43 % 'n. 40 — l\ 21 —— ao 21 —— 20 21 —■ ao 21 — ao Komt ƒ 12000 als vooren. Niet minder komt hier te pas hetgeen, waarvan wy in de faamengeftelde Interest• Rekening pag. 30 gefproken liebbec; naamlyk, dat men hier op de zelfde wyze van eene Tafel met Proportionaal-Getallen gebruik kan maaken. Sommtge verkiezen D 3 daar  5& ARITHMETICA. daar toe de zelfde Taf Jen, doch omgekeerd, welke op pag. 30 en 31 te vinden zyn. Dus wordt otis gegeeven Voorbeeld door dezelve op de volgende wyze opgelost; j21550625 — iccocoooo — ƒ 14586:1; 8? 14536 St. 20 1458600000000 i —- 16 P. 5000000 8^.. 2500000 1458^07500000 -MI 5506 25 Komt ƒ 12000 als voorerj. f Om echter de moeite der Divifie in zulke groote getallen te befpaaren, is men gewoon de Tafelen eodanig in te richten, dat dezelve van Jaar tot Jaar de gereede BetBaling eener Schuld van iooococoo aanwyzen; ten welken einde wy hier twee zodanige TafeleD, de eene k 4, en de andere a 5 pCr 's Jaars berekend, voor 30 Jaaren zullen laaten volgen. Ta.  ©f REKENKUNST. 55 Tafel voor een Schuld van iooooocoo, gerabatteerd a 4 pCt. D + Ta, Jaaren 1 2 3 4 5 I 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Gereede Betaal. 96153845 91455621 88899636 85480419 82192711 79031452 75991781 73069020 70:158673 j 67556417 I 649*8093 62459704 60057409 577475o8 55526450 I I | Jaaren ' ■ 16 17 18 iö ao 22 23 24 25 26 37 28 29 30 Gereede Betaal. 533';o8i7 513373H 493628T2 4746424a 45638695 43883360 4*195539 40572633 39012147 37511680 36068923 34681657 33347747 065141 30831867 I  36 ARITHMET-ICA Tafel voor een Schuld van hooooouoo, gerabatteerd a 5 pCt. Het Jaaren i 2 3 4 | 7 8 9 id 11 «2 13 f I s I! Ij i i ! I I Gereede Hetaal. 9523895 00792948 863H3760 81170247 783-,2617 746 :vp 710 >tfi33 67683936 6446-892 ; 61591325 : 53467929 . 55003742 5'3032r,35 50506795 48101710 Jaaren ló 17 18 19 20 21 22 23 24 |1 26 I '7 I £ I 29 I 3O Gereede Betaal.! 45811152 | 43629669 41552065 39573397 37688949 35^94*37 34'849^8 I 32557I3I 31006792 ! 2953Q?78 28124 71 26784832 25509364 24194633 2313774?  of REKENKUNST. S7 Het voorgaande Voorb'eld wordt nu door de laatfte Tafel zeer gemaklyk aldus opgelost: loooooooo — 8227*247 - ƒ 14580:1:8? *43*°" 493611481 658!609/6 4H35!23J' 32908 v.8 8 Stuiv. qo 82270247 1 t6 P. 411351* ■% ■& 20^675') : 3 • 8 ƒ H999j90.09SoX°-J lQ : 8 Dus is het Antwoord weinig minder dan ƒ12000, 20 als vooren gevonden is. De voUende v oorftellen kunnen tot oeffening van dit Geval der Rabat' Rekening dienen. 1. Wat bedragen ƒ 2704 contant, als van dezelve de interest van Interest voor 2 Jaaren, k 4pCt. 'sjaa s, gerabatteerd wórdt? Antw. f 2500. 2. A heeft van B re vorderen ƒ4030: 10:-, om over 3 Jaaren te betaalen; doch alzo A zich in omHandigheden bevindt, welke hem niet toelaaten zo lanï naar de Betaalinï te wachten, verzoekt hy B zynen Oebiteur hem de Betaaling contant te doeo, mus rabatteerende len ƒ 16704:4: , naamlyk ieder Jaar f 4176: 1:-. Hoe veel zal hy daar voor contant betaalen, als de Crediteur hen»6J pCt. 's jaars Interest van Interest ,iIaat korten? Antw. ƒ 14388. 9. Eene zekere fchuld, welke over 3 Jaaren betaald jmoet worden, wordt, met korting van 7J pCt. 's Jaars Interest van Interest, contant betaald. Zo inu het Rabat ƒ387:13:8 bedraagt, vraagt men, hoe groot de fchuld is geweest? 1073 — loo 1 - 1 2 215 2co 5 43 40 43 — 4o 43 4° mmm — muit. 79507 - 04' 00 64000 15507 - 79507 —/387:13 :8? Antw. ƒ 1987:13:3. Ja  m arjthmetica to. Eene andere fchuld, welke over 4 Jaaren• betaald moet worden, wordt, met korting van ofpCr/ 5s laars interest van interest, contant betaald, en bedraagt dus het Rabat ƒ 372 : 15: 8. Men vraagt,, hoe groot_ de Schuld is geweest ?' Antw. ƒ 1638:8:-. • 11. A is aan B fchuldig eene zekere fom, om over e Jaaren te betaalen; zo zy nu te faamen overeenkomen, dat A contant zal betaalen, mits kortende 6§pCc, 'sjaars Interest van Interest, en da. uus bet Rabat ƒ 0900:12: io| bedraa^c, vraagt men, hoe veel A is fchuldig geweest? Antw. ƒ 1 logmnizi. ii. Iemand fchuldig zynde zekere fom Gelds, om" over 4 Jaaren te betaalen, betaalt dezelve contant, met kr» ring van 3I pCc. *s Jaars, en rabatteert dus in alles f 114$; 10:134. hoe groot is zyne ichuid geweest? Antw, f 9 82:13:8. Deeze Vcorbeelctn zvn génóeg tot' oeffenirig^Jet Rabat - Rekening ra» Jaamengeitelle Interes:. vV.y hadden her nogf-kunnen by voegen, hoe de verkorte Regel ten aanzien der Rekening van Interest op interest, hier vóór pag. 4 * voorgedraagt !!, by omkee-, ring q:k hier zou kunnen toegepast worden ; doch voorziende, dat de byzonderbeden , waar ?n wy als- j dan zouden moeten treedeD, boven het bereik van den fchranderften Leerling zouden gaan . hebben wy goedgedscht dit Huk vooreerst onaangeroerd te laaten, en tot eeue bekwaamere gelegenheid uit te fttllen. «*- TYD-REKENING VAN BETAALING. De Tyd - Rel.ening, anders genaami Reiuclio Terminorum^ leert van eenige, pp onderfcheidene tyden vervallende, Geld-Posten eenen eenigen en'zekeren Verval- of Betaal-Dag te vinden, in welke dever- fehei-  of' REKENKUNST. 61 fcheidene Posten op éénmaal zonder nadeel betaald kunnen wot 'en ■ ■ By toorbeeld. De een is den anderen Jchuldig f 4°° over 3 Maanden, en f 600 ovsr 8 Maanden, tot ge. lyke ïnte>est ten Honderd 'sjaars. D& vraag is. op wt t tyd die beide Capitaalen te gelyk betaald moeit n werden, op dat de Interest even zo veel zy, als de gezamentlyke Interest zal zyn, wanneer ieder Capitaal op zynen byzonder en tyd facaald wordt ? Regel. 1. Schryfc de gegeevene onderfcheidene Capitaalen recht onder elkander, en by ieder zynen tyd-, mits in acht neemende, dat zodanige Tyden gelyke naamen hebben; doch dit zo niet zynde,brengt dan dezelve onder gelyke naamen. 2. Multipliceert ieder van deeze Capitaalen met zynen daar nevens gefchreeven tyd, en plaatst de ProduEten daar nevens ter rechterhand, insgelyks recht onder elkander. - 3. Addeert alle de gevondene ProduEten, als ook in 't byzonder de Capitaalen, te faamen. 4. Divideert de eerfte fom. door de laatfte ; dan toont het Qu. tient den geloctiten tyd onder den zelfden naam, welke de gegeevene tydea (of na gedaane hei leiding tot ëëfleh lelven naam,zOzulks is noodig geweest,; hebben. ƒ 400 in 3 Maand.*} geevenf" als f 1230 in 1 M. Czo veel? - 600 in 8 Maand, (inter. £als * 4800 in t M. f icoo f 6000 [Dus  62 AR ITHMETICA Dus moet hier tot bet Capitaal ƒ 1000 eenen zo. danieen tyd gezocht worden, in welken de Interest even zo veel zal zyn, els de Interest van f 6000 in 1 Miand is, By gevóls moet men naac den Verkeerden Regel van Drieën ttellen : ƒ 1000 — 1 Jaar — ƒ Cooo ? Doch daar het midden fte Lid fjagts 1 Is heeft men alleenlyk de ƒ 6000, als de fom van alle de Producten, aanftonds door de fom van alle de Capitaalen, naamlyk door ƒ ioöo, te divideeren, wanneer het begeerde Antwoord 6 zal zyn : dr eze 6 betekent nu Maanden, vermits de gemultipliceerde t\ den den naam van Maanden hebben. Door verkorting ftaat het Werk aldus : ƒ 4 MaaBden, ƒ i#oo over 9 Maanden , ei ƒ 260c over il 5 Maanden, begeert de geheele Schuld in eene Post 'af te doen; men vraagt, wanneer zulks gefchieden imoet? Antw. Over 10 Maanden 24 Dagen. De Maand gerekend op 30 Dagen. 4. Van  A[K 1T H WETICA ' 4. Van ƒ qoco moet betaald worden: ƒ 240©ovér 6 Maanden ƒ 3000 over 9 Maanden, en/póoo over 11 Maanden Zi nu de Debiteur deeze Posten op éénen tyd verkiest te betaalen, is de vraag, wanneer zulks gefchieden moet? Antw. Over 9 Maanden. 5. Van ƒ 5000 moet betaald worden: ƒ2400 over 7 Maanden, ƒ 1.co over ïo Ma;nden, en de rest uver 13 Maanden. Zo nu de Debiteur de geheele Schuld in één Termyn begeert te betaalen, vraagt men, . wanneer hy betaalen moet ? Antw. Over 9 Maai den 12 Dagen. 6. Van een zeker Capitaal moet betaald worder*: | over 3 Maander , \ over 7 Maanden, en de Kest j over 9 "Maarden. Zo pü de Debiteur in éér Ter- ! myn kan betaalen , is de vraag,hoe veel tyd hyüaar toe moet hebben? : \ 0 3 §4X3 12, J 13 X ? 2t 7 y afget. 5X9 45 1 78 Antw. 6| Maanden. 5 7 Iemand is fchuldig te betaalen zekere fom Gelds, naamlyk § ever 4 Maanden, J over Ü Mannen n:  of REKENKUNST, fff den, cn de Rest over ri Maanden. ' Zo hy nu ver» kiest in één Termyn te betaalen , vraagt men, wan» neer hy dan betaalen moet? AntWiDver 8 Maanden6 Dagen. 8. Iemand is fchuldig f der geheele fom in 3, £ W 4 , en de Kest in 6 Maanden. Wanneer vervallen die Posten te gelyk, als dezelve in één Termyn betaald zullen worden? Antw. Over 4 Maanden. 9. Een ander is fchuldig i der geheele fom in 5, | in 7 , rl in 9» en de Rest in 13 Maanden. Zo hy nu de geheele Schuld in één Termyn kan betaalen , is de vraag , hoe veel tyd hy daar toe moet hebben? Antw. 8 Maanden 25 Dagen. to. Iemand koopt eenige Goederen voor ƒ 8000^ onder conditie dat hy zal betaalen f 2400 contant,; ƒ aoco over 6 Maanden , ƒ 1200 over 10 Maanden, ƒ 800 over 1 Jaar, en de overige ƒ ióco over i| Jaar. Wanneer hy nu genegen is het geheel Beloop, naamlyk ƒ 8000, op éénmaal te betaalen , vraagt men, op wat tyd zulks moet gefchieden,om nie ttegen de eerfte conditie te handelen? i 4 ' ƒ 24001 0 contant, dat is o Maand. * 2O00 15 X 6 Maand, | 30 O 1200 1 3 X io . . . j 30 * 800 2X12... I24 * I<500j4 X 18 ... I 72 20 156 20 5 Antw. 7 Maanden 24 Dag; E rt. Ie-  g$ A R I T H M E T I C A H. Iemand is fchuldig te betaalen ƒ iooo contant, ƒ aooo over 3 Maanden, f 4000 over 6 Maanden, en ƒ 600b over 8 Maanden. Men vraagt wanneer alle die Posten te gelyk betaald zouden kunnen worden? Antw. Over 6 Maanden. 12. Iemand is fchuldig te betaalen ƒ750 contant^ f, 100O over 4 Maanden, f 15:00 over 6 Maanden, en 2750 over 8 Maanden. Vraage naar den tyd, -wanneer alle die Posten te gelyk betaald kunnen worden? Antw. Over 5 Maanden &5 Dagen. 13. Iemand moet betaalen f- 315 contant, ƒ 675 over 10 Maanden, en/540over 13 Maanden, verzoekt zynen Crediteur, dat hy hem deeze drie Pos* ten zo lang wil laaten behouden, tot dat hy verpligt is dezelve in eens af te doen. Zo de Crediteur in dit verzoek bewilligt, is de vraag, na hoe veel tyd, de geheele Schuld betaald moet worden? Antw. Over 9 Maanden. 14. Iemand geeft op Interest ƒ 4000 voor 18 Maanden; na verloop van H Maanden komt hem eene omftandigheid voor, waar toe hy ƒ1200 noodig heeft, welke hem de Debiteur van het opgenomen Capitaal reftitueert, onder conditie, dat hy het overige dies te langer zal behouden. Men vraagt, wanneer hy de Rest moet betaalen. / qo$éfio x 18 Maand.1180 ï 3 x 71 .-. I 32| 7 I571 Antw. ssi^Maand. 15» If>  6F REKENKUNST. 4} 15, Iemand fchuldig zynde over 8 Maanden ƒ2000, : betaalt op verzoek van den Crediteur ƒ400 contant, i De vraag is, wanneer de Rest vervalt ? Antw. Over 10 Maanden. .16. Iemand fchuldig zynde ƒ 1400 om over 3 Jaaren 2 Maanden te betaalen, betaalt, op verzoek van i den Crediteur, / aco contant, ƒ 300 over 2 Jaaren i 4 Maanden, en ƒ400 over 3 jaaren 6 Maanden. ! Men vraagt, wanneer de Rest vervalt?Antw. Over 4 Jaaren 8 Maanden.. i7._Iemand fchuldig zynde te betaalen ƒ2800 over 15 Maanden, doet op rekening af: na 5 Maanden ƒ800, na 7 Maanden ƒ 1200, en na 12 Maanden I ƒ 300. De vraag is, wanneer de refteerende ƒ500 betaald moet worden? Antw. Over 4 Jaaren 4 { 'Maanden. 1 18. Als iemand ƒ 3600 over 8 Maanden, en ƒ2400 ,1 over 10 Maanden moet betaalen, en daarentegen 1 over 5 Maanden f 4000 op rekening betaald heeft; hoe veel tyd heeft hy dan nog na de gemelde 5 I Maanden,eer hy de Rest behoeft te betaalen? Antw. i 11 Maanden 12 Dagen. 19. Iemand fchuldig zynde te betaalen ƒ 800 conI tant, ƒ 1600 over '8 Maanden , en ƒ 2400 over 10 I Maanden, geeft op Tekening contant ƒ1300, en | over 6 Maanden nog ƒ 1500. Men vraagt, wanneer I de Rest moet betaald worden? Antw.Over 13Maan1 den 27 Dagen. 20. Als iemand moet betalen ƒ 957 : 10 : — over i 6 Maanden, ƒ 214.2 : 10 : — over 10 Maanden, en ƒ 2500 over l-r{ Maanden; en daarentegen op re; kening betaald heeft over 5* Maanden ƒ aooo, over i 8 Maanden ƒ i^oo, cn over icj Maanden ƒ 900, is de vraag, hoe lang hy nü niet de Rest nog tyd heeft? Antw. 17 Maanden. E 3 at. Ie:  ARITHMETICAV ai. Iémand was fchuldig te betaalen ƒ6000 over 14. Maanden, en betaalde daar op vóór den Vervaldag ƒ 4000, Zo hy nu met de betaaling der Rest nog 10 Maanden na den bovecgemelden tyd van 14 Maanden kan wachten, is de vraag, na hoe veel Maanden hy de f 4000 heeft betaald. ƒ 6080 x 14 Maand. | 84000 af - 4000 by 10 .... I ƒ aooo x Maand. | 48000 36000 4000 1 Antw. 9 Maanden. 2a. Iemand was fchuldig ƒ 42 ƒ o over ia Maanden, en betaalde na eenigen tyd daarop ƒ 1750» zo dat hy toen, wegens de Rest, nog 2j Maanden met de betaaling konde wachten. De vraag is, na hoe veel Maanden hy de ƒ 1750 heeft betaald? Antw. na 8 Maanden. 23. Iemand fchuldig zynde ƒ 1200 over 8 Maanden, betaalt na verloop van 4 Maanden zo veel, dat de Rest nog t Jaar 1 Maand 18 Dagen kan uitftaan. De vraag is, hoe veel hy ten einde van 4 Maanden betaald heeft? Antw. ƒ 700. 24. Iemand moet betaalen over io Maanden ƒ1800; doch doet na 6 Maanden zo veel op rekening af, dat . de rest nog 15 Maanden kan uitftaan. Men vraagt, hoe veel hy ten einde van 6 Maanden op rekening betaald heeft? Antw. ƒ ioco. 25. Iemand is fchuldig te betaalen ƒ i6co over 4 Maanden, met 31 pCt. Interest,'s Jaars," nogƒ2600 gver 9 Maanden» met 4 pCt. Interest 's Jaars. Zo nu  m REKENKUNST; nu de beide Posten op éénen tyd betaald zullen worden, vraagt men, wanneer het moet gefchieden? pCt. Maand. ƒ i600 31 56 41 224 • a<5f)0 —- — 4 104 —-—. 91935 160 1160 Antw. 71 Maanden. De grond van deeze Bewerking wordt klaar voor oogen geileld, als men de gegeevene Capitaalen ieder naar zynen Tyd en Interest pCt. 's Jaars bere. kent, en de komende Interesten te faamen addeert; vervolgens in 't byzonder berekent, hoe veel Interest de beide Capitaalen, ieder naar zyne bepaalde Interest pCt. 'sjaars, in den gevondenen Tyd, op. brengen, als wanneer in de beide Berekeningeneven veel Interest moet voortkomen, zo als blykt in de volgende P» o e v e. pCt. Maand, f 3i | j- 4 Maand.? 1$ pQt; l 4 J " " Lp.... ? 3 .... 100 i» ƒ 1600? ƒ18f pCt. 100 . $ ƒ2600? - 78 . .. fi j Maand.  r JRITHMETICA, ., Maand, f 32 'fa"! la—.<{ V— 71 Maand.? Kómt 4' U J L 2" looa f — / 1600? ƒ33! t 100 2ri — ƒ 2600 ? - 6V Antw. ƒ96! a!s boven. 26. " A heeft op Interest gegeeven f 1200 voor 7 Maanden, a 5 pCt. 'sjaars; en ƒ 1800 voor 8 Maanden, k 4. pCt. 'sjaars. Zo hy nu verkiest, dat deeze Posten te gelyk betaald worden, zulks dat de Interest dezelfde blyft, vraagt men, wanneer het zal zyn? Antw. Over 7Tf' Maanden. 27. Iemand heeft op Interest gegeeven f\600 voor 4tMaanden , a 5 pCt. 'sjaars ; ƒ1800 voor 6 Maanden, a 4* pCt. 's Jaars; en ƒ 2000 voor 1.2 Maand n , ii 4 pCt. 's Jaars. Wanneer vervallen deeze Posten in éênen Termyn? Antw. Over 7^ Maanden, dat is na genoeg over 7 Maanden 12 Dagen. 28. Iemand moet betaalen ƒ 285-0 over 4 Maanden , met 4 pCt. Interest 'sjaars; ƒ 3000 over 6 Maanden, met 4* pCt. Interest 'sjaars; en ƒ 4050 over 8 Maanden, met 5 pCt. Interest: Vjaars. Zo hem nu door den Crediteur vergund wordt de getnelde drie Posten zo lang. te mogen houden , tot dat zy te gelyk vervallen , vraagt men , wanneer het zal zyn? Antw. Over 6f Maanden-na genoeg. 29. Iemand is fchuldia; te betaalen ƒ 1200 over 7 Maanden, h 4* pOt.-'s Jaars; f 1600 over 9 Maanden, h 45 pCt. 'sjaars ; ƒ 2400 over 10Maanden, a 4| pCt. 'sjaars; en ƒ 1500 over 5 Maan-  Kt REKENKUNST. den a 5pCt. 'sjaars. Men vraagt, wanneer alle deeze Posten te gelyk vervallen? Antw. Over 9\l Maanden. 30. Iemand heeft op Interest gegeeven ƒ1400 voor 5 Maanden, a 3 pCt. 'sjaars; ƒ1600 voor 8 Maanden, k 3! pCt. 's Taars; ƒ1.800 voor 0 Maanden, a 4 pCt. 's Jaars; en / 2400 voor 11 Maan den, k 4£ pCt. 's Jaars. Wanneer vervallen deeze Posten in'éénen Termyn? Antw. Over 8£§| Maanden , dat is na genoeg over 8 Maanden 29 Dagen. Van de decimaal-getallen of tiekdeelige Breuken. Decimaal ■ getallen of tiendeelige Breuken zyn van zodanige natuur, dat ze de Deelen eener gehele Grootheid, het zy Munt, Gewicht, Maat, of Tyd,. enz., in eene tienvouwdige Proportie verdeeld,, voordellen. By voorbeeld , wanneer eene geheele Grootheid ia. 10, 100, 1000, 10000 &c. Deelen verdeeld wordt,, worden de Getallen, welke eenige van die Deelen uitdrukken, wegens de tienvouwdige Proportie, die onder de deelende Getallen heerscht, Decimaal-ge' tallen of tiendeelige Breuken genoemd. Stellende dus, dat men eenige geheele Grootheid in 10 Deelen deelt, en van dezeben 3 neemt; dan worden deeze 3 Deelen Decimaal-getallen of tiende Deelen van dat Geheel genoemd. Het zelfde heeft plaats, wanneer de geheele Grootheid in ico, 1000^ iocoo, icccoo &c. Deelen gedeeld worde. Derhalven zyn ?„, T|3, T§32 f 89. 602oi j 365- 97201854 I > w I 365. 97202 40. 00910768 (_ J 40. 00911 732. 186338227 732. 18634 In dit Voorbeeld zyn nu 4 Plaatfen van Decimaa< len in beide Bewerkingen de zelfde; terwyl in de verkorte Bewerking de laatfte Cyfferletter'minder dan eene Eenheid aan die Plaats, en dus minder dan153555 van de waarheid verfchilt. Voorbeelden op dit tweede Geval tot Oeffening. ' 4. Addeert of telt te faamen 12. 4685236824; 117. 627399; 25. 14782364; 1015. 00689324738; 28. 47268432; 9. 0007862; en 46. 176804, zulks dat de fom flegts 5 of 6 Plaatfen van Decimaalen bevat. 5. Addeert 29. 37685; 122. 1645280372; 2. 714589641; 1428.693254126832; 35.08; 11672. 152897»; . 00038; en 49. 718452339, zulks dat de fom, als vooren, flegts j of 6 Plaatfen van Decimaalen bevat. Ad*  W ARITHMETICA 6, Addeett 1666.0568126347; 6.4728214; 19» 40271; 147. 238146325; 345« 00081372; 2048 142768214 ; 36. 00821 ; 4.71821471263 ; en 195-75- III. Geval- Ah de te addeeren Getallen zuivere of gemengde enkelvouwdige wederkeerende Decimaal -getallen zyn. III. R e g f l: 1. Schikt de Getallen zodanig, dat alle de Repelen* den te gelyk eindigen, en óns deDecimaalen in even veel Plaatfen beftaan. 2. Addeert dan de Getallen, als vooren, en telt by de laatfte Plaats der Decimaalen, aan de rechterhand , zo veel Eenheden, als 'er negens in die kolom begreepen zyn; dan zal de laatfte Cyfferletter ter rechterhand de Repelend zyn, 3. Of men kan ook de Repetenden twee of drie Plaatfen vervolgen, en als vooren addeeren; in acht neemende, dat men de overtollige Cyfferletteren ter rechterhand van den Repetend verwaarloost. Voorbeeld. Mn begeert de Decimaal- Getallen 36, 6f\0.23^; 1.6 ; 7. 3; 49* 505 ™7> U°t > en 3f- 6 Iamen tff tellen. 36.  or REKENKUNST. Sr 36 . 688? 36 . 688? 88 9 • 2344: 9 . 2344 44 1 . 6000 i . 6oc0 00 J • 333| of 7 . 33 3 33 127 . 740;* la7 . 74c?; lr 35 » 666ff 35 . 6666 66 Som 267 . 830^ 26? ^ (jgojü (o8 Voorbeelden op ,fff derde Geval at 7. Addeert of telt te faamen 147 . 9c>; 1* ,, ep 13.214. F 2 18.  g4 ARITHMETICA 18. 'Addeert Ti-ét', 4- ti 23.40/; 9-24. e*; en 3.8Ï. 19. Addeert 5.6^7?; 12.4!; 8.I621; 3-0/7/; 2. 4$; en IA.8i*. 20. Addeert 94.4; 18.4; 8.i?#; ll.ocj58; 26. 8/; .0i4; 37'^; en 67.?8/. SUBSTRACTIO van Decimaai - getallen. I. Geval. Als de Decimaalen volkomen zyn, en niet verder voortgezet kunnen worden. I. Regel. 1. Schryft de Getallen op die wyze onder malkander, als in de Subjlraclio van geheele Getallen geleerd is; alleenlyk ten aanzien der Decimaalen in 'toog houdende het geen in den I. Regel der Additio van Decimaal-getallen gezegd is. 2. Verbeeld u 'alsdan , dat alle de ledige Plaatfen met nullen zyn aangevuld ; trekt verbolgens de Getallen van malkander, even als of het Geheelen waren , en fnydt van de fom aan de rechterhand zo veel Cyfferlerteren voor Decimaalen af, als het grootfte getal Decimaal-Deelen van een der gegeevene Getallen bevat. Voor*  ©f. REKENKUNST. 85 voorbee. ld. Men begeert 392.4354 van 471 • 07 af te trekken. 472 • 07** NB. Daar een irerretje 392 . 4354 geplaatst is , moet men ■ —1 zich verbeelden een nul Verfchil 79 . 6346 te ftaan. Voorbeelden op dit eerste Geval tot Oeffening. 1. Trekt 436.203125 van 841.625. 2. Trekt 97-6875 van 327.8828125. 3. Trekt 56.875 van 137,8125. 4. Trekt 97.7248 van 892. II. Geval. Als de Decimaalen in een groot getal : Cyfferletteren beftaan, en men flegts 4 o/5,often loog. Jten 6 Plaat/en noodig heeft. ö II. Regel. Handelt met de Decimaalen als in den II. Recel 3 der Additio van Decimaal - getallen gezegd is, en ver1 richt de aftrekking als in 't voorgaande Geval. Voorbeeld. Men begeert 1.4769^7679 van 2.752804624 ofte Fj tl  85 ' 4RITHMETICA a. 752805 1. 476938 Verfchil 1.275867 Voorbeelden op dit tweede Geval tot Oeffening. 5. Trekt i<.728,-46939 van 39.148672350, zulks dat het Verfchil flegts 5 of 6 Plaatfen van Decimaalen bevat. 6. Trekt9.764i258p3720van 34.6-597814625na, zulks dat het Verfchil, als vooren,flegts5of6Plaatfen van Decimaalen bevat. 7. Trekt 24. ö 158217962 van 99 • 123456- III. Geval. Als de Getallen zuivere of gemengde enkelvouwdige wederkeerende Decimaal - getallen zyn. III. Regel. 1. Schikt de Getallen zodanig, dat s[\e Se Repeten» den te gelyk eindigen, en dus de Decimaalen in even Veel Plaatfen beftaan. a. Verricht vervolgens de aftrekking a's in gemeene getallen ; dan zal de laatfte Cyfferletter ter rechterband de Repetend zyn. 3. Zo «du-er -de Repelend van het Getal, dat afgetrokken moet worden, grooter is dan die van het Getal, waar van de aftrekking gefchieden moet,addeert dan flegts 9, in plaats van !0, by den kleinften Re. feteni, en verricht de aftrekking als vooren. _ 4. Gf jnen kan ook de Repetenden nog tweeofdne Plaacfen vervolgen , en als vooren aftrekken; vëA volghes de overtollige Cyfferletteren ter rechterhand van  of REKENKUNST. 8? van de plaats, alwaar de Repetenden te gelyk eindigen, verwaarloozen. I. Voorbeeld. Van 68.95416"! f Van 68.95410 j- of \ Trek 36.73! J LTrek 36.73333 Rest 32.22082 JI. Voorbeeld. Van 71.4*1 f Van 71.4* \ of  AStrTHMETlUA 7. Multipliceert 29.43.615 met 7.0178, zo dat'er flegts 3 Decimaal- Plaatfen io 'tProduct blyven; komt a33.364. 8- Multipliceert 137.3*7^52 met 33.8264, zo ''at 'er flegts 4 Decimaal-Plaatfen in t Produtï blyven ; komt 233.364. 9. Multipliceert 257.356 met 76.48, zo dat'er geen Decimaal-Plaatfen io 't Product blyven ; komt 1968a. III. Geval. Als een Fadlor volkomen, en de andere een zuiver wederkeerend Decimaal-gf/ai is. III. Regel. 1. Multipliceert de beide FaEtores , naamlyk het Multiplicandum en den Multiplicant, te faamen. 2. Brengt het Decimaal-punt zo veel Plaatfen n3ar de rechterhand, als 'er Cyfferletteren in den Repetend zyn, en divideert het ProduEt door een getal, dat uit even zo veel negens beftaat, als het Multiplicandum en den Multiplicant te faamen Decimaal - plaatfen bevatten. 3. Vervolgt de Deeling zo lang, tot dat de Decimaalen wederkeeren, of niet verder voortgezet kunren worden, als met by voeging van nullen, dan zal het Quotiënt het waare ProduEt zyn, Voörbeelden. 6) Als een enkelvouwdig eindigend getal, met een zuiver enkelvouwdig wederkeerend Decimaalgetal vermeenigvuldigd moet worden. Als men dus . £ met 7 moet multipliceeren, doet iüen dus: . 8  of REKENKUNST. sj . 8 7 9/ 56. ^ 6. 22&c. of 6.*. b ) >?/ƒ f?n eindigend getal, w«'ï verfcheide Cyfferletteren bejtaande, met een zuiver enkelvouwdig wederkeerend Decimaal .getal vermeenigvuldigd moet worden. Dar. is, als men 37.4 mee .t moet buliipL 37. 4 • 7 99/2ch.8 <{ Q'.4. c ) Als een enkelvouwdig eindigend getal en een zuiver veeïvouwdig wederkeerend' Decimaalgetal te faamen vermeenigvuldigd moeten worden. Dat is, als men 3.4/ met . j moet muitipl. 3-41 • 4 S)99/t364- •! 1.30,-365 Steil) Ah een eindigend getal, in verfcheide Cyfferletteren hefiaande, eu een zuiver veeïvouwdig Decimaal-getal te faamen vermeenigvuldigd moeten worden. 0 Dat is, als men 48.76 met p - Af moet muitipl. 48  96 ARITHMETICA 48.76 32-41 0099/15803116. <{ ij8o.4690. Voorbeelden op dit derde Geval tot Oeffening. 10. Multipliceert. 6 met a ; .$ met 4; met 5; . 8 met 6 ; .of met . 04 ; .003 met 60; .00^ mee 400; tn . ooc6 met 20. 11. Muitipl. 21 met .3"; 643 roet -f; .278 met .06; .2S1 met en 4.ooi met .004. ia. Muitipl. $-t met 8; .f;4 met.6; U.f met .01; 4<5.8 met .004; .004* met .4; en. f% met.oi. 13. Muitipl. 276 met £.jf ; a.68 met .04; .071 met 4-84 ; *3.4 met ai ; .$04 met 10b; en 4.* met . ooó« IV. Geval. Als een Faftor een volkomen , e» de andere ten gemengd wederkeer end Decimaal ■ getal is. IV. Regel. 1. Multipliceert bet wederkeerend Decimaal ■ getal met eene Eenheid, gevolgd van zo veel nullen, als de Repetend plaatfen heeft. 2 Trekt van het komende Product het eindigend deel van het gemelde wederkeerend Decimaal- Multipliceert de Rest met het gegeeven volkolmen aetal , en divideert het Product door zo veel negens als het wederkeerend Decimaal■ getal herhaaiende Cyfferletteren heeft. Wy  of REKENKUNST.- 97 Wy zullen hier niet, als by het voorgaande Geval, den Regel pp onderfcheidene Voorvallen toebasfen* maar, om kort te zyn , ons vergenoegen met den* zeiven tot twee Voorbeelden toepasfelyk te maaken. I. Voorbeeld; 19.23f met 8 te multipliceeren. 19.23 10 192.3 19. a 173-i 8 1384•8 9/- 153-80 II. Voorbeeld. Öm 9.204 met . 7 te multipliceeren. 9.264 100 926.4 9-2 917.2 «7 642.04 99/ ■ Komt 6.48$*  $ ARITHMET1CA Voorbeelden op dit vierde Geval tot Oefening. 14. Multipliceert 8 met 7 % 29. 6 met. 3; . 10? met .04; 17.* met .1 } .277? met .G05; en .9 met 15. Muitipl. 7.4:16 met 7; .8# met.3; .014$ met .7; 2 met .4$; en .008 met 31.87;*. 16. Muitipl. 59.^ met 874; 7.83! met .ai; 48.* j met .084; 48.76 met 27.*; en .016 met .oo8jf. 17. Muitipl. 271.4 met 4.8^; 271.6 met 1.4$; .487 met .2^6; 27.14 met 4-8410; .007:9 met 2.14; en met 4.876. V. Geval, Als een Factor een zuiver, en de andere een gemengd wederkeerend Decimaal-getal is. V. R e g e l. 1. Zet den 'Repetend van het gemengd wederkeerend Decimaal-getal eenige plaatfen voort. 2. Multipliceert dan hetzelve met het zuiver wederkeerend Decimaal -getal, mits het Decimaal ■ punt eene plaats verder naar de rechterhand brengende. 3. Divideert het komende Produtï door zo veel negens , als 'er Cyfferletteren in den Repetend des Multiplicants zyn, en vervolgt de Deeling zo lang, tot dat de Cyfferletteren in 'uQuotient wederkeeren; dan is het begeerde Product gevonden. I,  of REKENKUNST. 99 I. Voorbeeld, Om 2.3 met ,f te multipliceeren. 2 • 3333 &c. 7 «5-3333 9 Komt ï. 814,3 &c, JI. V o o r b e e l d. Om . 04*3 wet . 03* te multipliceeren. .04232323 •38 . 1(50828274 99/ Komt .001634528 &c. Voorbeelden op dit vyfde Geval. tot Oeffening» 18. Multipliceert .4 met 2.0; 1.8" met .014!; 48.# met .4', 4.6* met .9; .246 met .5.*; en 48. f met . 04, 19. Multipliceert metr .03; 4.2^6 met .6; 4*-5* met 7.144 met .0*; 5.6* met .pt .of. met 2.467I; en .0(5 met 4.002'. G 2 »0.  I00 JRITHMETI C A 20. Multipliceert #5.8 met .ai6; ,46$metA.i; met 6.8/; .fot met .0046; .40 met en .27* met 4.6. 21. Multipliceert met 6.U \ $%»t met 40.*; ?i.8* met 4.6*; 6*2.?: met en 2.^ met. 416. VI. Geval. Wanneer de beide Faflores zuivere wederkerende Decimaal - getallen zyn. VI. Regel. 1. Zet den Repetend van het Multiplicandum eenige plaatfen voort, 2. Multipliceert dan hetzelve met den Multiplicant , en brengt in 't Produtï h^ Decitfiaal-Vnni zo veel plaatfen naar de rechterhand, als er Cyfferletteren in de beide Repetenden zyn. %. Divideert het komende Product.ioox-zo veel negens, als de Repetend des Multiplicants Cyfferletteren heeft; dan is het begeerde Produtï gevonden. Voorbeeld. Om met . 4 te multipliceeren. Of aldus t .888888 &c. 8 -4 ^ , 2-S55555 J* 9"95061 &c! 3 - 555555555 &c. 9 .3650617:18 &c. Voon-  op REKENKUNST. Ióï ! Voorbeelden tp dit zesde Geval tot Oeffening. 22. Multipliceert .8 met . ojf; .of met .ci: .4 met ,C0 met .f; en .004 met .g. 23. Multipliceert 08. * met . s; *7 £ met 8•tt? met .04; .08 met .o-0; en .o/mfc 0s/' 24. Multipliceert .87* met l,ti (58. 2 met | .^ojé met .0(^1 en .4* met * OlVlslO van Decimaal-getallen. J2f„DlV,S1° *an Dec™dal-getalten wordt op de £2£ TJ>e Verr,Cbt a'S de -Dtw> van geheele Ge- De yoornaamfte zwaarigheid, in 't algemeen is S^iT V?arde de; Cytóeren va? hetO, 1 |w« te bepaalen , of om dezelve naauwkeuriy in ;&Si?rren Decimlale? ««ooderfcheidpn. OmVer £t d^,-gaanf,i?ee,fta,.en fle^ts inachtteneemeo, S« ,iro ?aflZ"DfeIe,ï in dt'n £)fw>r en bf t £ao- !£^2Sa?efa' gdyk m0eten ^DaaQ d» vaa e/heYS£/^ geheel Geul zyn. g * Y ' het £a£*2É»' een ■batferf 7vneer in h-et ?ividend™ meer BkW. riaatlen zyn , dan in den /Jivifcr, rroet het Quo- G 3 tünt  I02 ARITHMETICA s tient zo veel Decimaal-Plaatfen hebben , als 'er in den Divifor minder dan in het Dividendum zyn. III. Als in den Divifor meer Decimaal - Plaatfen zyn dan in het Dividendum, zo voegt by het laatfte zo veel nullen, dat de Decimaal-Plaatfen van beiden gelyk zyn; dan is het Quotiënt een geheel Getal. IV. Als 'er, na geëindigde Deeling, niet zo veel Cyfferletteren in het Quotiënt zyn, als 'er, volgens de voorgaande aanwyzing , Decimaal-Deelen in behooten te zyn , moet men vóór de Cyfferletteren van het Quotiënt zo veel nullen plaatfen, als'er Deci. maal?Deelen aan óntbreeken. Om zo kort mogeiyk te zyn, en de paaien van ons beftek niette overtreeden, zullen wy het gebruik en de nuttigheid van deeze Regelen in eenige weinige Gevallen aanwyzen, zonder ons te verbinden om alle mogelyke onderfcheidingen in acht te neemen. I, Geval. Jh de Decimaalen volkomen zyn, of voortgezet %ynde, Jpoedig ophouden, I. Regel. i. Werkt met de Decimaalen als of zy geheele Getallen waren. a. Snydt van het Quotiënt, ter rechterhand beginnende , zo veel plaatfen voor Decimaalen af, als vol- j gens één der voorgaande Regelen geleerd wordt. Voor-  of REKENKUNST. 103 Voorbeeld. Om .4884 door .0074 te divideeren. .0074/. 4884•{ 66 444 444 444 o Dus is het Antwoord een geheel Getal, naamlyk 66, volgens Reg. I. Voorbeelden op dit eerste Geval tot Oeffening. 1. Divideert 295.7f door 1.69. 3. Divideert 780.516 door 48.6. 3. Divideert . 39f3 door .0007. 4. Divideert 192.1 door 7.684. 5. Divideert 441 door . 7^75» 6. Divideert 7. 25406 door 957. 7. Divideert .0007475- door .575. G 4 lL  104 ARITHMETICA II. Gev^l. Als de Divifor in verfcheide Decimaal . Deelen beftaat, en men dus de Bewerking zo hert mogeiyk begeert te verrichten. II. Regel. Hebbende de waarde der Cyfferletteren van het Quotiënt bepaald , multipliceert men , als naar gewoonte , den Divifor met de eerfte Cyfferletter in het Quotiënt', mits in 't oog houdende, dat men in 't multipliceeren van den Divifor met ieder volgende Cyfferletter in 't Quotiënt, één Cyfferletter ter rechterhand*van den Divifor overflaat, en daar by behoorlyk acht geeft op de vermeerdering > welke het Product uit deeze aldus overgeflagene Cyfferlet» ter of Cyfferletteren ondergaat. Voorbeeld. Om 165 .6995001296 door 3.141592 te divideeren. 3»  of REKENKUNST. iqs 3.141592/'65.6995 ooiac6«< 53. 7438 157 0796 . 86199 . . 62831 . . 33368 . . . 21991 . . . 1377 .... 1256 .... 121 94 ..... 27 I 2jr| Hier by ftaat nu aan te merken, dat van tien Deetmaal-Plaatfen in het Dividendum flegts viergehruikr zyn; daar nogthans het Quotiënt tot vier DecimaalFlaatlen naauwkeurig is. Waar uit blykt, dat alle de .Cyfferletteren, welke voor de aangetekende punten in plaats moesten komen, als de Bewerking breed, voeng was voortgezet geworden, overtollig zyn; en het is gemaklyk te zieq, dat deeze CyfferleWrea de helft van het Werk uitmaaken. G s Vooa-  J06 AUTHMETICA Voorbeelden op dit tweede Genval tot Oefening. 8. Divideert 70.23 door 7.9803. 9. Divideert 48.267 door 5.62478. 10. Divideert 249.362 door 7 • 810024. III Geval. Als het Dividendum een zuiver of gemengd wederkeerend Decimaal. getal, en de Divifor een eindigend Getal is. III. Regel. SStaT nonSS"o tag ï* te ha S«« »• derkeert, of eindigt. Voorbeeld. Om.fati door 8 te divideeren. 8/.4274274 l .053428,4 &c' Voor<  of REKENKUNST. 107 Voorbeelden op dit derde Geval tot Oeffening. 11. Divideert 2.1684: door 68.7. 12. Divideert 6.8f door 25. 13. Divideert . 2# door 48. IV. Geval. ^ het Dividendum een eindigend Getal , en de Divifor <«n zuiver wederkeerend Decimaal-getal is. IV. Regel. 1. Multipliceert het eindigend Getal met zo'veel „ezens, als 'er herhaalende Cyfferletteren m het wederkeerend Dlcimaal■ getal zyn voor een nieuw ESyideudum. a. Brengt het DewW-punt in het wederkeerend Decimaal- Getal even zo veel plaatfen naar de rechterhand, voor eenen nieuwen Divijor, o# Werkt voorts als in de gemeene Divifio , en vervolgt het Quotiënt , als het hoodig is, zolang, tot dat het wederkeert of eindigt. Vooit"  i©8 ARITHMETICA Voorbeeld. Om 79 door .0 te divideeren. 79 9 6/thJ, riS.j Voorbeelden op dit vier de Geval tot Oeffening. 14. Divideert 47. 2 door . 6, J5- Divideert .8 door 4.2". 16. Divideert .007 door .21. 17. Divideert 764 door .3. 18. Divideert 8 door 2.3;*. 19. Divideert 3871 door 46.?. V. Geval. Als het Dividendum een eindigend Getal, en de Divifor een gemengd wederkeerend Decimaalgetal is. V. Regel. 1. Multipliceert het eindigend Getal met zo veel negens, als 'er plaatfen in den Repetend zyn, voor een nieuw Dividendum. 2.  of REKENKÜNST. 100 2. Brengt het Decimaal-punt in het wederkeerend . Decimaal-Getal even zo veel plaatfen naar de rechterhand. 3. Trekt van dit laatfte het gegeeven wederkeerend Decimaal -Getal, en het overblyflèl zal denieuwe Di- ' vifor zyn , met welken men even als in de gemeene I Divifio moet handelen. Voorbeeld, f Om 7 door 48.# te divideeren. 487.7 7 48-7 9 439 °3 439/ Komt . 143507 Voorbeelden opdis vïfde Geval tot Oeffening. |-1' n'-U^q;h tin 20. Divideert 8 door 3. if. 21. Divideert .4 door 48.2? 02. Divideert .6 door 3.2^4. 23. Divideert 4.56 door 3.14. 24.  iio ARITHMETICA 24. Divideert 768 door 2 .14, 25. Divideert 13.271 door 4/.684!. VI. Geval. Als het Dividendum een zuiver, en f de Divifor een gemengd wederkeerend Decimaal-Getal is. Tl. R e g e l. 1. Brengt het Decimaal-pmt van het Dividendum zo veel plaatfen naar de rechterhand , als 'er herhaalende Cyfferletteren in de beide getallen zyn. Trekt hier van af het gemelde Dividendum, gepuntteerd volgens d'szelfs plaats, dan zal het overige een nieuw Dividendum zyn. 2t Multipliceert den Divifor door eene eenheid met zo veel bygevoegde nullen, als deszelfs Repetend plaatfen heeft. 3. Trekt van het laatfte Produel deszelfs eindigend deel af; vervolgens het Decimaal -punt naar de rechterhand brengende, volgens de plaatfen van het eer-, fte Dividendum , trekt men weder het laatfte Overblyffel daar van af , dan is het komende de nieuwe Divifor, met welke men even als in de gemeene Diyijïo moet handeleD. VOOR-  of REKENKUNST. m ■ V o o k b e e l d. Om . 6 door i. % te divideeren. 2.3 .0 10 60 2 af 54 nieuw Dividendum. 2Ï 210 21 af 189/54^ -285714 &c. ibp nieuwe Divifor. het Quotiënt. Voorbeelden op dit zesde Geval tot Oeffening. 26. Divideert . 8 door 46.8. 27. Divideert.c8 door .68/. i 28. Divideert 7./ door .487^. 29. Divideert 1[door 4. 8j8/. ; 30. Divideert. 48/ door 68.0. Uier  na ARITHMETICA Hier mede zullen wy van dit Onderwerp afftap. pen; alzo de enge paafen van ons bellek niet toe laaten deeze voortreffelyke Theorie tot meerdere Gevallen uit te breiden, en daar by den weezenlyken grondflag der gegeevene Regelen aan te toonen. Misfcbien zou deeze fchets de ftoffe tot een uitgebreider en volkomener Verhandeling over de Deciwaal-Rekening kunnen opleeveren ; voor de eerst, beginnende Jeugd zal, onzes bednnkens; dit weinige genoeg zyn. Einde van het derde Deel.  EERSTE BEGINSELEN VAN DE ARITHMETICA O F REKENKUNST» TEN GEBRUIK E DER SCHOOLEN. VIERDE DEEL. Opgedragen aan 't Genootfcbap der Matbe* matifche Weetenfchappen, onder de Spreuk: EEN ONVERMOEIDE ARBEID KOMT ALLES TE BOPEN. DOOR ARNOLDUS BASTIAAN STRABBE, Lid en Secretaris van het zelfde Genootfchap; Lid van de Sociëteit der Kunst - Rtkenaars te Ham burg, en Leermeejter der Wiskunde te Amjlerdam. Te AMSTERDAM, "Ry J. B. E L W E , Boekverkooper, op de Pypenmarkc by den Dam.   UI , VOORREDEN. I* heb in het Voorbericht, geplaatst vóór bet eerfte Deel van dit Werk, de redenen voorgedragen, welke my bewogen hebben een Rekenboek voor de Schooien te ontwerpen, dat den Leermeefteren tot een richt/hoer konde dienen, om hunnen Leerlingen op eene grondige wyze in die allernuttig/ie én in de Samenleeving onöntbeerlyke WeetenJchap te onderwyzen. Hoedanig ik myn ontwerp heb uitgevoerd, laat ik aan hei oordeel van kundige Rekenmeefters over. Zy mogen myn Werk vergelyken met alles wat vóór en federt den aanvang myner onderneeming het licbt heeft gezien; en dan verwacht ik van hunne billyke uitfpraak, dat myn Werk voor het oogmerk, waar toe hetzelve moet dienen , niet onder de minfte gerekend zal worden. . *' 2 Ik  ïv VOORREDEN. Ik heb g"enzins, naar bet voorhe'd van den grGoteu Mewton, eene Arithmetica univerfalis willen fchryven, om dat ik alsdan met Algebraïfche karakters en uitdrukkirt' gen ,een aanvang zou hebben motten maaken., en dus geen Schoolboek, maar een Werk voor Geleerden gejchreeven zou hebben. Intusfchen zou my bet laatfte oneindig gemaklyker geweest zyn, dan het fchryven van een Schoolboek, waar in men zich in alles naar de vatbaarheid van Kinderen 'tncet richten; en zo eene veeljaarige onder' vinding my niet geleerd hadt, volgens welken leiddraad Kinderen onderweezen moeten worden , zou ik, hoe fterk ook daar toe aangezocht, altoos af keer ig gezveest 'zyn aan een zodanig werk de hand te ftaan. Naar myne denk wyze meet een Leer meefier van Kinderen zich voer naamlyk daar pp toeleggen, dat hy eene vaardigheid ver hygt, om Kinderen in een aangenaam en onderhoudend Gefprek zwaare dingen tigt 'te ' maaken, in welk geval by in 't begin fleeds toevlugt moet neemen tot voorwerpen, welke ouder het bereik der zinnen vallen. Een zodanig Leetmeefler inoet zich , zo in zyne uitdrukkingen als in de zaak zelve, naar de vatbaarheid zyner Leerlingen weeten te richten, en ik zou hem zeer beklagen,  VOORREDEN. v gen, als hy ziek juist van myne eigene woorden moest bedienen. of zynen Leerlingen tot hetgeen ik in myn Werk van deeze ofgeene zaak gezegd heb , wilde wyzen, fchon zulks voor Leerlingen, die eenigzins tot jaaren gekomen zyn, zeer wel zou kunnen gefchieden. My is het genoeg de zaaken op zich zeiven zo naauwkeurig en grondig als mogeiyk is verklaard te hebben; het ftaat nu aan den Leermeefler, boe hy zynen Leerlingen het zelfde in uitdrukkingen, naar ieders vatbaarheid gefchikt, zal voordragen. Ik heb reeds in de Voorreden vóór het tweede Deel van dit Werk gezegd, dat ik niet flegts Leerlingen maar ook Meefters met deeze Verhandeling van dienst heb willen zyn, en hier in was myne bedoeling, dat een Meefier niet flegts moest kunnen rekenen, maar ook de gronden der Rekenkunst zodanig behoorde te verftaan, dat hy zelf van alles duidelyke begrippen heeft, en nergens zwaarigheden vindt. Maar ik zal my hieromtrent nader verklaar en. Een Leermeefler, die van dit Werk een nuttig gebruik wit maaken, moet niet traag en verdrietig zyn, noch bet geduld verliezen, wanneer het niet aanlionds gaat, zo als hy wel wensebte; hy moet de waarlyk zeldzaame gave bezitten* dat hy zyne denkbeelden zynen Leerlingen weet mede te deelen, en zicb, als V ware, hunne wyze van bevatting kan vertegenwoor* 3 ti'  yi VOORREDEN. digeti, % moet zich voor Kinderen van onderfcbeidenen ouderdom en vatbaarheden ook van verfchillende wyzen van voordragt, van verfchillende uitdrukkingen, en veel byzonder van verfcheidene ftofen bedienen, die hy •wil voordragen. Eindelyk moet hy fieeds aan zich zeiven denken, en zich zeiven vraagen: heeft uw Leerling u in ditoogenblik wel verftaan? was de wyze van voordragt niet te zwaar voor hem? is het niet noodzakelyk gemaklyker uitdrukkingen te kiezen? enz. Doch bier zal men misfchien zeggen: dat is alles zeer goed! maar de Kinderen zyn veel te onvatbaar, om zodanige zwaare verklaaringen te begrypenwant men heeft werk genoeg, hun het Rekenen tiaar de gewoone wyze , volgens welke men bun fieeds aan voorgefchreevene Regelen verbindt, in 't geheugen te prenten. Dit is eene ongegronde ontfchuldiging' van hun, die by het onderwys hun hoofdniet willen breeken, en geduurende den gantfchen Leer tydop den toon eens Pedants, onöphoudelyk zeggen: Dat wordt zo gemaakt, en dat wederom zo; dit echter wordt niet zo, maar anders gemaakt, enz. Zo wordt de arme Leerling eenen geheelen Leertyd met zo en niet zo maaken geplaagd; en wanneer die tyd y;orby is, is het met hem even als of hy uit den droom ontwaakte. Hy weet niet wat hy ge•makt bseft; want hy heeft werkelyk niets fe-  VOORREDEN. vu gemaakt, wyl men zyn verft'and niet bezig gehouden beeft. Ieder Kind beeft verftand, veel of weinig, daar op komt het niet aan, wanneer flegts de Leermeefler zich naar de meer of mindere maat deszelven weet te fchikhen. Men neeme ""er flegts eene proef van, en boude, tenminfienby den aanvang, meer zo het verftand dan het geheugen werkzaam, zal men bevinden, dit de Leerling lust in Rekenen krygt. PVant hy is daar over ver» blyd, dat by hetgeen hy geleerd heeft ook ver* ftaat, en in volgende uuren nog meer doorzicht in de zaaken zal verkrygen. Deeze Leerwyze heeft in de daad eene uitfleekend nuttigheid. Vooreerst fcberpt xy het verftand der Kinderen, en gewent hun over alles wat zy doen na te denken. Zy leeren over alles vóór en na verft andig oor deelen, en bet waa~ re van bet valfcbe onderfcheiden; voorts de redenen inzien, waarom iets waar of valsch is. Zy worden voorzichtig, en gelooven niet alles wat hun voorgehouden wordt', want zy vorderen Bewyzen9 waarom iets zo, en niet anders is. Met één woord, zy worden door een verftandig onderwys in de Rekenkunst verftandige menfchen» Dan leeren zy op deeze wyze veel gemaklyker rekenen, wyl zy datgeen verftaan en begrypen, wat zy leeren, en het gevolglyk of geheel niet, of ten min ft en zelden weder vergeet en. Ja men brengt bet dikwyls zo ver, dat men bun dei Re*  vin VOORREDEN. Regelen niet byzonder behoeft voor te houden, wyl zy langs deezen voeg dezelve geviaklyk, zonder dat zy bet weeten, uit bet grondig onderwys van zelfs kunnen afleiden en toepasfelyk maaken. Dit is alles wat ik by het voleindigen van mynen ondernomen taak te zeggen heb. De greetigbeid met welke de voorige Deelen gezocht zyn, doet my hoopen en vertrouwen, dat het tegenwoordige niet minder aangenaam aan bet Publiek zal zyn. Vind 'er iemand iels berispelyks iny hy toont my zulks mei be/cheidenbeid aan; ik zal zyne onderrichting in dank aanneemen". docb ongezoutene, kwaaddartige vitteryen en aanmerkingen, die doorgaans meer tegen den Autheur, dan tegen zyn Werk gericht zyn, zal ik met eene koele onver]chilligheid onbeantwoord laaten, en my in geeven deele aantrekken; maar zodanige Berispers aanbeveelen te denken aan de van ouds bekende Spreuk: Berisplusr. heeft noch eind noch maat; Maar beter doen is beter daad.  ARITHMETICA O F REKENKUNST, JD)e byzondere Rekenkunst bevat in zich verfcheide foorten van Rekeningen, welke of tot den Koophandel, Fabrieken en Handwerken nuttig en dienstig zyn , of ook, om van haare nuttigheid in alle de deelen der Wiskunde niet te fpreeken , als eene kunstige fpeeling met Getallen den weetgierige Liefhebberen der Rekenkunde tot eene vermaaklyke uitfpanning verftrekken. Van het eerfte, naamlyk d* Kekenkunst op den Koophandel toegepast, hebben wy in het voorgaande derde Deel zoo veel voorgedragen, als wy tot ons beftek noodzaakelyfc geoordeeld hebben; kunnende de Oeffenaars van dit Werk, welke daar in verdere vorderingen wenfchen te maaken, zich bedienen van onze tot dat einde uitgegeevene Werken, welke dien tak der Rekenkunde m alle noodige uitgeftrektheid bevatten. Thans zullen wy de noodzaakeiyklte der cog overigs Poorten van Rekeningen afhandelen, en daar toe :en aanvang maaken met de Involutio, of A Ver¬ ten gebruike der schoolen. A Ver-  9 ARITHMETICA Verheffing tot Macten. Wanneer eene Eenheid met een zelfde Getai ge» duurig vermeenigvuldigd wordt, noemt men de verfcheidene ProduEten Magten van dat Getal. Dus zyn de Getallen 2,4,8,16,32,64,1^8, 256, enz., voortkomende als men de Kenheid met 2, het ProduEt wederom met 2, en voorts ieder volgend ProduEt geduurig met 2, vermeenigvuldigt, Magten van het Getal 2. De Magten worden onderfcheiden in eerfte, tweede, derde, vierde Magten, en zo vervolgens, en deeze getallen, waar door de Magten van elkander onderfcheiden worden , zyn eigenlyk hetgeen men in eene algemeenere Rekenkunde Exponenten noemt. Nog worden fommige Magten door verfchillende henaamingen van elkander onderfcheiden; dus wordt de tweede Magt het Quadraat of Vierkant, de derde Magt de Cubus of Teerling, de vierde Magt het Miguadraat, enz. genoemd. Twee vsn die Magten, naamlyk het Quadraat en de Cubus, ontleenen haare naamen van Meetkundigs Uitgebreidheden of Figuren. Dus wordt de eerite Magt van eene Grootheid in de Meetkunde ver- : beeld door eene rechte Lyn, hebbende flegts ééne afmeeting, nsamlyk Lengte, zonder Breedte of Dikte, Zo ook is het Quadraat een Vlak of Figuur van twee afmeetingeu , hebbende gelyke Lengte en Breedte, De Cubus is een vast Lighaam van drie afmeetingen , hebbende gelyke Lengte, Breedte en Dikte. Doch buiten deeze drie foorten van Uitgebreidheden laat de Natuur geen andere toe; dat is te zeggen, dat de natuur van Plaats of Ruimte geen andere foorten van Uitgebreidheid, dan Lengte, Breedte en Dikte, kan toelaaten, en het dus niet mo-  of REKENKUNST. 3 mogeiyk is eenige andere gedaante faamen te ftellen, die meer dan drie rfnieetingen zou hebben. Daar nu alle de hoogere Magten boven den Culus of derde M3gt, als het Biquadraat of de vierde Magt, het Swfolidus of de vyfde Magt, enz. cp het best verklaard en veiftaan kunnen worden door eene Reeks Getallen in Geometrifche Proportie, zullen wy de verklaaring van die Magten zoo lang uitftelleii, tot dat wy over de Geometrifche Progrssjiè'n en haare eigenfchappen handelen. Om een Getal tot eene Magt te verheffen, vermeenigvuldi.it men dat Getal geduurig met zich zelf, tot dat rer zo veel ProduEten zyn, als 'et Eenheden in den Exponent der Magt gevonden worden min é*a', dan is het laatfte Product de begeerde Magt; en het Getal, dat men tot zodanige Magt verheven heeft, noemt men de Raaix of Wortel van die Nlagt. Thans zullen wy overgaan tot de Evolutio of Worteltrekkiog, welke leèrt om uit eene gegeevene Magt haaren Wortel te vinden. Gelyk men nu, om met de verëischte vaardigheid te multipliceeren, vooraf alle de ProduEten van buiten behoort te weeten, welke voortkomen, als men de getallen van 1 tot 9, op alle mogelyke wyzen, faamen vermeenigvuldia;t (I. Deel pag. 14,)» evenzo heeft men hier noodig te weeten dè Quadraat' en Cubic. getallen aller Wortelen van 1 tot 9; doch alzo deeze kennisfe bv de Worteltrekking uit hoogere Magten niet toereikende is, hebben wy hier de volgende Tafel van Magten bygevoegd, van welken de Wortel flegts in ééne Cyfferletter beftaat, en die tot alle Magten, zo ver men begeert, op de wyze, die boven geleerd is, voortgezet kan worden. a 3 Wor-  4 ARITHMETICA _ Wanneer voorgefteld wordt den Wortel; van eenige Magt uit een gegeeven Getal te trekken, irioet dat Getal* aan de rechterband beginnende en naar de linkerhand voortgaande, in Clasfen van twee of meer Cyfl>rietteren afgedeeld worden, na dat de gegeeven iVïagt , weikeis Wortel gezocht wordt ,j 5. i 'Si Sb e, I 1 "^3 1 U 1) o es ei > O « k. "53 Ij? 2j O a -"3 tt  ARITHMETICA nu verder voort te gaan, verdubbelt men wederom ■de Som der beide gevondene Uitkomften 5000 + 3001 of 5300» en men heeft voor het Produtï 10600. Dus onderzoekt men, als vooren, hoe meenigmaal cleeze 10600 in het naastvoorgaande Overblyffel 254976 begreepen is, en men vindt tot Quotiënt 20. Dit Quotiënt nu weder met denvoorgaanden tweeden Divifor 10600 vermeenigvuldigd, en by het Produel Siet Quadraat van 20, of 20 x 20, opgeteld zynde, zal 'er komen 212400 voor het derde af te trekken Getal. Trekkende derhalven 212400 van het naastvoorgaande Overblyffel 254976 af, zal men voor het derde Overblyffel bekomen 42570'. Eindelyk verdubbelt men de Som der nu gevondene Uitkomften 5000 4- 300 -1- 20, of 5320, en men heeft voor het Product 10640, Onderzoekende nu wederom hoe meenigmaal deeze 10640 in het derde Overblyffel 42576 begreepen is, vindt men voor het Quotiënt 4. Dit Quotiënt met den voorgaanden derekn Divifor 10640 vermeenigvuldigende , en by het Produtï het Quadraat van 4, of 4 x 4, optellende, zal men hebben 42576 voor het vierde of laatfte af te trekJcen Getal. Trekkende derhalven 42576 van het voorgaande derde Overblyffel 42576 af, zal 'er o of niets overblyven; en derhalven is 5000 -t- 300 -f- ' 50+ 4, of 5324, de gezochte Wortel. Als wy nu de voorgaande Bewerking zo veel mogeiyk verkorten, door alle de overtollige nullen weg te laaten, en geen der Clasfen te herhaalen, vóór jij dat zulks noodig is, zal dezelve aldus komen te liaan: • 1  of REKENKUNST. ïi r 28 3449 76^ 532425 _ C A. 3 34 , 3 °9__ B.I25 49 bi [24 C l1^ 76 4 25 /ö A. 2 x 5 of eerfte Z)tvt"/ör; Quotiënt 3. Dus naast 10, ter rechterhand, 3 gefteld, is 105» en 103 x 3 of 309 tweede af te trekken Getal. B. 53 X 2 of 106 tweede Divifor; Quotiënt 1. *Dus naast 106, ter rechterhand ,2 gefteld , is 1062* en 1062 x 2, of 2i24derde af te trekken Getal. C. 532 X 2 of 1064 derde Divifor; Quotiënt 4. Dus naast 1064, ter rechterhand, 4^eft., is 10644, en 10644 X 4, of 42576 vierde of laatfte af te trekken Getal. Nu is het ook gemaklyk te zien, als men deeze verkorte Bewerking met de voorgaande vergelykt, dat men den eerften Divifor 10 niet in 334 > maat in 33; den tweeden Divifor 106 niet in 2549, maar in 254; en den dertien Divifor 1064 niet in, 42576, maar in 4257, moet deelen; dat is te zeggen, dat men, om geduurig één Cvfferletter in het Quotiënt te vinden , de Icatlle Cyfferletter van ie-  tt ARITHMETICA der Dividendum, ter rechterhand ffaande, niet in aanmerking behoort t<» neemen. Om derhalven den Quadraats-of Vi-rkants -Wortel uit een gegeeven Getal te trekken, wordt uit de nu voorgedragene grondbeginfelen afgeleid deeze Alcemeene Regel. I. Verdeelt het gegeeven Getal, van de rechterhand beginnende, in Clasfen, ieder van twee Cvfferletteren; ia welk geval het kan gebeuren , dat in de laatfte Clasfe ter linkerhand flegts één Cyfferletter komt te ftaan. TI. Zoekt, met behulp der voorgaande Tafel van Magten, den naaften Vierkants - Wortel uit de eerite Clasfe ter linkerhand, en trekt het Vierkant diens Wortels van de gemelde eerfte Clasfe af. Schryft voorts den gevonden Wortel , als een Cyfferletter van het Quotiënt, ter rechterhand achtereen ftreep, of ander teken van affcheiding. III. Plaatst naast het Overblyffel'de naastvolgen, de Clasfe ter rechterhand, cn verdubbelt den gevonden Wortel; onderzoekt vervolgens, hoe mee-' rjigmaal dit dubbeld begreepen is in het laatfte met de naastvolgende Clasfe vergroot Overblyffel, als men de laatfte plaats ter rechterhand daar van wegneemt, en fchryft het komende Quotiënt nevens den eerstgevonden Wortel ter rechterhand. -IV. Stelt het dubbeld des eerstgevonden Wortels ter zyden, en voegt daar naast de laastaevonden Cyfferletter van het Ouotient. Vermeenigvuldigt voorts het komende Getal met de gemelde laatsteevonden Cyfferletter van het Quotiënt en plaatst het ProduEt onder het laatfte met de naastvolgende Clasfe vergroot Overblyffel; trekt vervolgens het «eilte van het laatfte af, en plaatst naast het Over. blyf-  of REKENKUNST» 13 blyffel weder , als vooren, de nanuvolgende Clasfe ter rechterhand. V. Befchouwt wyders de twee in het Quotiënt gevondene Cyfferletteren als eeneenig getal; verdubbelt hetzelve als vooren, en handelt daar mede als boven gezegd is, zo bekomt gy een derde Cyffer- | letter in her Quotiënt, en zo vervolgens, van Clas. fe tot Clasfe, voortgaande, tot dat de geheele Be- ji werking ten einde geloonen is . zal het Quotiënt den begeerden Vierkants-Wortel zyn. Voorbeeld. Men begeert uit 776.47494409 den Vierkants-Wortelte tukken. * ' 1 r —1 7 76 47 49 44:09^ 378653. 47 4 l 3-9 3 *9__ 47 47 27 43 84 27S6 548 ■ 3 63!4V 557*5 4384 2953 44 278635 . ■ 27 86 2t 27865 278 1 >7 i9 09 ■———3 2 1 67119 09 5573°3 5566 ~1 q 3 6 ■— 1 » — 1671909 I - 3339* Vtvr  14 ARITHMETICA Voorbeelden tot oeffening. ï. Welk is de Vierkants - Wortel uit 7921 ? Antw. 89. 3. Idem uit 42849? Antw. 207. 3. Trekt den Vierkants-Wortel uit 628I49, Antw.793. 4. Zo een vierkante Matmerfteen 729 O Duimen plaats befiaat, hoe lang en breed is deaelve dan? Antw. 27 Duimen. N B Een □ of vierkante Duim is eene vierkante ruimte, die 1 Duim lang, en 1 Duim breed is. 5. Een recht vierkant Ituk Lands is groot 103 Morgen 304 □ Roeden; hoe veel Roeden is hetzelve lang en breed? De Morgen tot 600 Q Roeden gerekend. Antw. 248 Roeden. 6. Op eene vierkante Plaats zyn door een Metzelaar 6561 fteeneu gelegd, ieder groot 1 Voet vierkant. Hoe veel fteenen is die Plaats lang en breed? Antw. 81 Steenen. 7. Een Generaal of Veldoverfte heeft eén Leger van 6604a Soldaaten, en begeert dezelve in eene vierkante^ölagorde te ftellen. Hoe veel Soldaaten zullen 'er in ieder Gelid komen te ftaan? Antw. 257 Soldaaten. 8. Een ander Veldheer heeft onder zich 75843 Soldaaten, en wil dezelve in eene vierkante Slagorde ftellen , die 3 maal zo lang als breed is. Hoe veel Soldaaten zullen dan in ieder Gelid komen te ftaan? Antw. 159 Soldaaten in de Breedte, en 477 So1" daaten in de Lengte. , . n „ _ 9. Welk is de Vierkants - Wortel uit 1138480? Antw. 1067." 10. Idem uit 4Ï57531 ? Antw' 20^9- 11. Idem uit 97970404? Antw. 9898. 13. Idem uit 13841882139024? Antw. 372046». Wanneer men den Vierkants-Wortel uit eenen Breuk wil trekken , moet zulks uit den Teller en Moe*  op REKENKUNST. 15 iNoemer i^der bvzonder gefchieden. Want, verimits het Quadraat, of Vierkant eens Breuks voortkomt , ai» men den Teller en Noemer des Woriitels ieder byzonder met zich zelf multipliceert (I. Deel, algemeens Regel, pag. 73 en 74.) ; zo moec look noodzaakelyk, 111 de tegengeftelde Bewerking, luit den Teller en Noemer ieder byzonder derï i Vierkants. Wortel getrokken worden. Voo-rbeeld. Welk is de Vierkants-Wortel uit \§? Zegt: de Vierkants-Wortel uit den Teller 36 is 1 6; en uit den Noemer 49 is dezelve 7; derhalven i is j de begeerde Wortel. Wanneer men derhalven den Vierkants-Wortel ij uit een gemengd Getal wil trekken, zo richt men I hetzelve in , of wel men verandert hetzelve in eei nen onëigenlyken Breuk. Voorts trekt men wederI om, als boven, den Vierkants-Wortel uit den TelI Ier en Noemer ieder byzonder; dan zal het ko: mende de begeerde Wortel zyn. Voorbeeld. Men begeert uit 6\% den Vierkants- Wortel te trekken. hier uit is de Wortel *J of2f; het begeerde, I. Aanmerking. I Wanneer men een gemengd Getal met zich zelf multipliceert, kan het komende ProduSt onmogelyk een geheel Getal zyn. Want  J.6 ARITHMETICA Want een gemengd Getal beftaat, volgens de vóórgeleerde grondbêginfelen, eïgenlyk. in een geheel Getal met eenen bygevoegden eigenlyken Breuk , waar van de Teller kleiner dan de Noemer is. Dewyl nu een Getal geen grooter Maat dan zich zelf kan hebben', kan ook een gemengd Getal, na dat hetzelve ingericht is, onmogelyk zonder overfchot door den Noemer gedeeld worden. Wanneer verders een onëigenlyke Breuk met eenen onëigenlyken Breuk gemultipliceerd wordt, zo ontftaat. het Produtï , volgens den algemesnen Regel, 1. Deel, pag. 73-, en de voordeelen in de Multiplicatio der Breuken, II. Deel, pag. 19, wanneer men des eenen Teller tegen des anderen Noemer, naar mogelykheid, verkleint, en de Uit-, komsten, zo in de Tellers als Noemers, ieder byzoader, te faamen multipliceert. By gevolg kan in het Producïop geene andere wyze een geheel Getal komen, dan wanneer de Noemer des eenen Breuks in den Teller des anderen naauwkeurig, zonder eenig overfchot te laaten , begreepen is, zo als het laatfte Voorftel van onze Multiplicatio der Breuken, (I. Deel, pag. 77) daar van een Voorbeeld oplevert. Wanneer derhalven een gemengd Getal met zich zelf gemultipliceerd wordt, zo kan de ingerichte Teller door den Noemer des anderen Fadors, uit hoofde dat dezelve niet anders dan zyn eigen Noemer is, onmogelyk naauwkeurig, zonder eenig overfchot te laaten, gedeeld worden ; by gevolg kunnen zodanige Noemers niet wegvallen, or In het Frodutï verdwynen. Derhalven moet het Produtï niet ee» geheel, maar een gemengd Getal zyn. II. Aanmerking. Wanneer een Getal geen volkomen Quadraat of Vier-  of REKENKUNST; 17 [ Vierkant is, als 2,3,5,6*7,8,10, enz. zo kan. uit hetzelve onmogelyk de naauwkeurige Wortel gevonden worden. Want, als men, by voorbeeld, den VierkantsWortel uit 8 begeert te trekken , zo weet men vooraf* dat zodanige Wortel grooter dan 2, en kleiner dan 3 is. Derhalven moet de gezochte Wortel tusfchen 2 en 3 begreeren, en dus 2 meteenen bygevoegden eigenlyken Breuk, of wel een gemengd Getal zyn. By aldien het nu mogeiyk ware, uit het Getal 8 eenen naauwkeurigen Wortel te vinden, zou zodanig gemengd Getal met zich zelf gemultipliceerd het Quadraat 8 moeten voortbrengen. Daar echter, uit kracht der voorgaande eerfis Aanmerking, deeze Vermeenigvuldiging onmogelyk een geheel Getal, als 8, kan opleeveren, zo volgt ook onwe» derfpreekelyk , dat uit een onvolkomen Quadraat onmogelyk een naauwkeurige Wortel gevonden kan worden. In de Algebra is men gewoon foortgelyke Getallen Surdifchs of PVortellooze Getallen te noemen, en men onderfeheidt alsdan dezelve van de volkomeri Quadraat-Getallen met dit teken \/; dus betekent 1/ 8 den Vierkants-Wortel uit 8. Of, om dat hec Getal 8 uit twee Faèïcrer 4 en 2 beftaat, waar van de eerfte een volkomen Quadraat is, kan \/ 8 ook aldus uitgedrukt worden 21/2, dat is 2 maal dert Vierkants - Wortel uit 2. In de Praktyk is men anderszins gewoon den Wortel in Decimaal - Deelen, zo na als men begeert , te zoeken. Wanneer men dus den Wortel ïn tiende-Deelen begeert, vergroot men het gegeeven Quadraat-Getal ine: ico, door by hetzelve ter' rectucihand twee nullen te voegen , orri reden dat urao het Quadraat van 10 is. Desgelyks wanneer men den Wortel in h'nnderdfle Deelen begeert ^ B voegt  iS ARITHMETIC A voegt men vier nullen by het gegeeven Quadraat' Getal, en zo vervolgens. VOORBEELD. Men legeert den Vierkants - Wortel uit 379 te trekken 1 en den eigenleken Breuk, die by de Geheelenvan het komend gemengd Getal des iVortels gevoegd moes trorden, tot in duizendjte Deelen te bepaahn. Mij" A 1 3 7900'oooc^ 19. 407. 2 1 I L 29 1 9 2 79 —— 2 61 261 — 1946 1800 . 2 i> .536 38927 ——3 —I 7 384 2IÖ4 00 ■ 4 233 [6 272489 153Ó 30 84 00 27 24 89 Rest 359x1 dat niet gerekend ocZ worde. Dus is uit 379 de Vier- 3ÖÜ^ kants-Wortel 19Uïs nagenoeg, en wei zo Da, dat dezelve geen K duizendlb Deel te klein is. 233.6 Voorhelden op dit Geval tot oeffening. 13. Welk is ten naafre by de Vierkants-Wortel uit 35? Antw. 5. 916 &'c. 14.  of REKENKUNST. 10 14. Idem uit 39? Antw. 6. 24499 £fc. 15. Idem uit 91 ? Antw. 9. 539 Êfa 16. Idem uit 95? Antw. 9. 74679 &c. 17. Idem uit 115? Antw. 10. 7238 &rc. 18. Idem uit 385? Antw. 19. 6214 c?£. 19. Idem uit'1 ooi P Antw, 31. 638 &c. 20. Idem uit 3553? Antw. 59. 607 &fc. 21. Idem uit 4514? Antw. 67. 1863 öV. 22. Idem uit 15811? Antw. 125. 74*7 Ö^» 23. Idem uit 52817? Antw. 229. 819 t$c* 24. Idem uit 275257? Antw. 524. 6494 (j?c» [35 idem uit 1439231? Antw. 1199. 6795 &c. 126. Idem uit «336149563? Antw. 18334. 3» Êfc. Wanneer het onvolkomen Quadraat■ Getal in een geheel Getal met eenige bygevoegde Decimaalen, of ü ook alben in Decimaalen, beftaat, moet men het getal der Decimaalen , wanneer hetzelve oneven is, ) tot een even getal brengen, door één of meer nul; len ter rechterhand by té voegen. Alsdan zal men , volgens den voorgaanden Regel de noodige verdeeling van het gegeeven Getal in Clasfen van twee Cyfïenetteien' mankende , bevinden, dat één der 1 ftreepen van atfeheiding in het Decimaal - punt, I naast de plaats der Eenheden van het geheel Getal, I valt. Voorbeelden tot oeffening* I 27. Wat is ten naaste by de Vierkants-Wortel uit | 3271. 4207? Antw. 57. 19 Êfff- il s8. Idem uit 4795-. 25731? Antw. 69. 247' &c. 10 Idem uit 4. 372594V Antw. 2. 091 &fc. 30. Idem uit 2. 2710957? Antw. 1. 50701 &c. 3'. Idem uit . 00032754? Antw. , 01809 fcfe. ; 32. Idem uit 1. 270054? Antw. 1. 1269 &c. Ii 3 1H-  £0 ARITHMETICA III. Aanmerking. I. Als men de Tafel der Magten (pag. 4.) met de verëischte opmerking befchouwt, ziet men, dat alle de Quadraaten, waar van de Wortel in eene enkelde Cyfferletter beftaat, in de plaats ter rechterhand, of die der Eenheden, altoos één van deeze vyfCytferletterèn 1,4,5,6,9 hebben: by gevolg moeien ook de Quadraaten van alle grootere Getallen geen andere, uan één van deeze gemelde Cyfferletteren, ter rechterhand hebben. In gevalle dezelve nog. thans met een o eindigen, moeten 'er altoos 2,4, 6,8, of in 't algemeen een even Getal nullen ter rechterhand van zodanig Quadraat gevonden worden , en dan nog moeten alle die nullen door één der opgegeevene Cvfferletteren voorgegaan worden. Waar uit dus klaarblyklyk is, dat alle Getallen, welke in de plaats ter rechterhand één van deeze vier Cyfferletteren 2,3,7,8, of ook ter rechterhand een oi;ëven getal nullen hebben, geen volkomen Quadraaten zyn. II. Men moet echter niet denken, dat alle Getallen welke, als boven gezegd is, in 1,4,5,6,9, of een even getal nullen, voorgegaan van één rier gemelde Cyfferletteren , eindigen , daarom volko. men Quadraaten zyn. Want, in aanmerking neemendc, dat alle eerfte Getallen in 1,3,7, of 9 eindigen, ziet men, dat twee van de boven opgegeevene vyf Cyfferletreren (Art. I.), naamlyk 1 en 9, zo wel het kenmerk van een eerst Getal, als van een volkomen Quadraat zyn en dus kan men alleen maar zeggen, üac alle Getallen, welke in 1,4,5,6 of 9 eindigeu , of die ter rechterhand een even getal ruilen, vóórgega-m van één der gemelde vyf Cyfferktteren, hebben, volkomen Quadraaten kunnen ;-,yii, te meer daar verfcheide, faamengeftelde Getallen,  of REKENKUNST. ar Ien, fchoon geen volkomen Quadraaten zynde, ook in één van die Cyfferletteren Kannen eindigen. III. Uit dit alles volgt dan, dat alleen de Cyfferletteren 2,3,7, ^> wanneer één derzelven in de 1 plaats der Eenheden van een Getal gevonden ! wordt, volftrekt te kennen geeven, dat uit zodai) nig Getal geen naauwkeurigen Wortel te vinden lis; of wel, dat een zodanig Getal geen volkomen, maar een onvolkomen Quadraat is. IV. Aanmerking. Het verfchil van twee Quadraaten, waar van des : eenen Wortel de Eenheid grooter dan die des anderen is, is altoos 1 meer dan het dubbeld van J den kleinften Wortel, of, dat op het zelfde uit4 komt, dan de Som der beide Wortelen Want, wanneer de Wortelen 3 en 4 zyn, is het Verfchil hunnrr Quadraaten gelyk aan 2x3 ■ + 1, of gelyk aan 3+4. Zo ook, wanneer de Wortelen 8 ei 9 zyn, is het Verfchil hunner Quadraaten 17 gelyk aan 2 X 8 -s- 1, of gelyk aan 8 + 9. En zo vervolgens. Hier uit volgt, dat men de Ouadraaten van alle Getallen, volgens de nauurlyke orde, door eene bloote Opteliing kan vinden; want men heefc by het voorgaande Quadraat geduurig flegts deszelfs dub- j belden Woriel, met de Eenheid vergroot, of des1 zelfs Wortel met den naastvolgendeu Wortel, op te tellen, om het naastvolgend Quadraat te bekomen. V, Aanmerking. [ Men vindt ook de achtervolgende QuadraatGetallen nit de geduurige faanaentelling der twee B 3 eer-  23 ARITHMETICA eerfte, drie eerfte, vier eerfte, enz, van de onëvene Getallen i, 3 ■> 5 , 7 ■>9> *,* » &c.; als i, 1 + 3 of 4, i -1-3 + 5 of 9> 1 + 3 + 0-'- 7 of ió, en zo vervolgens. UITTREKKING van den TEERLINGSWOtlTIiL. Om den Cubic- of Teerlings-Wortel uit een eegeeven Getal te trekken , dient ook noodzanke'yk vooraf geweeten ta worden, hoedanig ieder CubicGetal, welks Wortel in twee Deelen beftaat, is faamengefteld. Hier toe heeft men wederom, als by den Vierkants- Wortel, aan te merken, dat ie» der zodanige Cubus in zich bevat: 1. Het Cubic-Getal van het eerde Dee', 2. Het vermeenigvuldigde van 3 maal het Quadraat des eerften Deels met het andere. Deel. 3. Het vermeenigvuldigde van 3 maal net Qjiadraat des tweeden Deels met het eertte Deel. 4. Het Cubic-Getal van het tweede Deel. Wanneer men dus wederom het Getal 35 in twee Deelen 30 en 5 cnderfcheidt, zal men, om den Cubus of Teerling van dat Getal faamen te 'ftellen, de volgende byzondere Deelen hebben, naamlyk: 30 x 3° X 30 of 27000 de Cubic van^het^eerfte 3 X 3° X 3° X 5 °f 13500 net Pr«I. van 3 maal ■ ■ het Quadr. des eetften met het andere Deel. 5 x  of REKENKUNST. 23 3 X 5 X 5 X 30 of 2250 hec Prod. van 3 maal het Qjidr. des tw< edeu met het cerlte Deel. 5 X 5 X 5 of 125 de Cubic van het twee- . de Deel. Dus 35 X 35 x 35 of 4^8/5 h<=t Cubic ■ Getal van den gegeeven Wortel. Nu kan, even zo als wy van het Quadraat of Vierkant gezegd hebben, bet zelfde dat bier van den Cubic* Wortel, welke uit twee Deelen beftaat, getoond is, desgelyks van alle andere Wortelen, fchoon meer dan twee Deelen of Cyfferletteren bevattende, verftaan worden. Want als men de eerfte twee ot' meer Cyfferletteren als een enkeld Deel befehouwt, blyft alles inde zelfde fchikking, als boven verklaard is. Derhalven zal men, om den Cubus of leerling van 5324 faamen te ftellen , de volgende byzondere Deeltii hebben, naamlyk: 5000 x 500° x 5000 of 125COOOOOOCO 3 X 5000 x 5000 X 300 cf 22500000000 3 X 300 x 300 X 5°°° of 1350000000 300 x 300 x 300 of 27000000 5300 x 5300 x 5300 of 148877000000 3 X 5300 x 5300 x 20 of 1685400000 3 x 20 x 20 x 5300 of 6360000 20 x 20 x 20 nf 8000 5320 x 5320 x 5320 of 150568768000 3 x 5320 x 5320 x 4 339Ó2^oo 3MMH 532° of 2553»? 4 x 4 x 4 of 64 5324 x 5324 x 5324 of i53938652224 £ 4 Wy  24 ARITHMETICA Wy hebben dus nu weder een open weg, om uit een gegeeven Cubic-Getal den Wortel te vinden, door flegts hec omgekeerde der bovendaande Bewerkinge te volden. Hebbende dijs het gegeeven CubicGetal 150908652224, in gevolge hetgeen wy boven pag. 5 getoond hebben, van de linker - naar de rechterhand in Gatfen, ieder van drie Cyfferlétterren, afgedeeld, bevindt men, dat de Wortel van hetzelve, en dus ook het eerde deel van dien Wo tel, in 4 Cyfferletteren zal bedaan , en dat ieder volgend Deel één Cyfferletter minder dan deszelfs naastvoorgaande Deel zal hebben. Wy zullen wederom , als by den Vierkants - Wortel, de geheele Bewerking hier ter neder dellen , en de noodige verklaaring daar op laaten volgen. r 150 908 652 224^ 5000 + 300 + 20 + 4, 125 000 000 000 l A. 25 908 652224 23 877 000 000 B. 2 031 652 224 1 691 768 000 C. 339 884 224 339 884 224 o 3 * 5°o? x 5°oo of 75000000 eerfte Divifor; Quot. 300. 300 225Q0000000 S X  of REKENKUNST. 25 3x3oox 300 x 5000 of 1350000000 300x300* 300 cf 27000000 23877000000 tweede af te trekken Getal. j£. 3 a 55°° * 53°° of 84270000 tweede Diviforj QuOt.lQ. 20 16854OOOOO 3 x 20 x 20 x 5300 of 6360000 20 x 20 x 20 of 8000 1691768000 derde af te trekk. Getal. 3 x 5320 x 5320 of 84907200 derde Divifor, Qjiot.4, 4 339628800 3 X 4 x 4 x 532° of 255360 4 x 4 x 4 of 64 339S84224 vierde of laatfte af te trekk. Get. Verklaaring van deeze Bewer&inge. li. De naafte Wortel uit de eerfte Clasfe terlinkerihand is, volgens de voorgaande Tafel van Magten :i(pag. 4.), 5, en om dat 'er, behalven de eerfte ÏClasfe, nog drie Clasfen, ieder van drie Cyfferlette:ren, volgen, ziet men daar uit, dat de naafte Wor|tel in Duizenden uit het gegeeven Getal 5000 is: (trekkende derhalven 5000 x 5000 x 5000, of B5 i*  ARITHMETICA 135000000000, van het gegeeven Getal 15090865. 2224, zal 'er overblyven 25908652224. 2. 41s wy nu., naar aanleiding der voorgaande faamenftelhng van de derde Magt, her .Quadraat deezer eerfte uitkomst 5Q00, of wei 25000000, met 3 vermeenigvuldigen , zal het Produê zyn 75000000. Onderzoekende dus, hoe meenigmaal deeze 75000000 in het laat He Overblyffel 2590865224 begreepen is, zal men, in acht neemende, dat het Quotiënt in enkelde Honderden , zonder byvoeeing van Tienen of Eenheden, moet beftaan, tot Quotiënt vinden 300. Vermeetiigvuldigt derhalven den voorgaanden eerften Divifor 75000000 met het laatfte Qjiotient 300, en telt by het ProduEt 3 maal het Quadraat van de tweede Uitkomst 300 vermeenigvuluigd met de eerfte Uiikomst 5000, met nog den Cubus van vdie tweed" Uitkomst, dan zal de Som 23877000000 het tweede af te trekken Getal zyn. Trekkende derhalven van het laatst gevonden Overblyffel 25908652224 de voorgaande Som 23877000000 af, zal men voor het tweede Overblyffel hebben «2031652224. 3. Daar tot hier toe de Uitkomst 5000 -f 300 of 5300 is , venneenigvuldigt men hec Quadraat van dit Getal 5300, of wel 28090000, met 3; dan is het ProduEt 84270000, Onderzoekende nu wederom, hoe meenigmaal deeze 84270000 in het naastvoorgaande tweede Overblyffel 2031652224 begreepen is, zal men tot Quotiënt vinden 20. Vermeenigvuldigt daarom den voorgaanden tweeden Diva Jbr 84270000 met het voorgaande Quotiënt 20 , en telt by het ProduEt 3 maal het Quadraat van de derde Uitkomst 20 vermeenigvuldigd met de tweede Uitkomst 5300, met nog den Cubus van de derde: Uitkomst, dan zal de Som 1691768000 het derde: 3f te trekken Getal zyn. Trekkende dus 1691768000 van  of REKENKUNST. *7 van het voorgaande Overblyffel 2031652224 af» bekomt men voor het derde Overblyffel 339884224. 4. De Uitkomst is dan tot hier 5000 -1- 300 -1- 20 of 532c; dns vermeenigvuldigt men wederom het Ouadraat van dit Getal 5320, of wel 28302400, nTet 3 ; dan bekomt men tot Produtï 84907200. Onderzoekende nu ten laatften, hoe meenigmaal deeze 84907200 in het naastvoorgaande derde Overblyffel 339884224 begreepen is, zal men tot Quotiënt vinden 4. Vermeenigvuldigt dus eindelyk den voorpaanden derden Divifor 84907200 met het laatfte Quotiënt 4, en telt by het Product 3 mnal het Quaüfaat van de vierde Uitkomst 4 vermeenigvulrttgd met de derde Uitkomst 5320, met nog den Cubus van de vierde Uitkomst, dan zal de Som 33988^224 het vierde af te trekken Getal zyn. Trekkende derhalven 339884224 van het voorgaande derde Overblyffel 339884224 af, zal 'er o of niets overblyven, en derhalven is 5000 -f- 300 -f- 2-0 + 4, ot 5324, de begeerde Wortel. Als wy nu wederom de voorgaande Bewerking zo veel mogelvk verkorten, door alle de overtollige nullen weg te laaten, en geen der CLisfen te herhaaien, vóór dat zulks noodig is, zal dezelve zich aldus vertoonen; 150  2# ARITHMETICA i ! i r 15090805- 224-^ 5324, A.fi5i 90S E. 2 031 652 1 691 768 "c7 339 884 224" 330 884 224 o A. 3 x 5 X 5 of 75 eerfte Divifir; Quotiënt 3, 3 225 3x3x3x5 of... 135 3x3x3 of..... 27 23877 tweede af te trekk. Get. 3 X 53 x 53 of 8427 tweede Divifor; Quot, 2. 16854 3 X 2 X 2 x 53 of.. 636 2X 2 X 3 of. 8 1691768 derde af te trekk. Get. j C, 3 x 532 x 532 of 849072 derde Divifor\ Quot.^J, ■ 4 I396288 3 X^  of REKENKUNST. 64 339884224 vierde of Iaatftè af te trekken Getal. Uit deeze verkorte Bewerking wordt dus zeer natuurlyk afgeleid de volgende AtcEMEENE Regel. I. Verdeelt het gegeeven Getal, van de rechterhand beginnende, in Clasfen , ieder van drie Cyf. ferletteren ; kunnende bet alsdan gebeuren , dat in de laatfle Clasfe ter linkerhand flegts één of twee Cyfferletteren gevonden worden. II. Zoekt, met behulp der voorgaande Tafel van Magten, den naaften Cubic. Wortel uit de eerfte Clasfe ter linkerhand, en trekt den Cubum van zodanigen Wortel van de gemelde eerfte Clasfe af. Schr;yft voorts den gevonden Wortel, als een Cyf. ferlctter van het Quotiënt, ter rechterhand achter een ftreep, of ander' teken va>i affcheiding. Kil. Plaatst naast het Overblyffel de daaraan vol» igende Clasfe ter rechterhand ; vermeenigvuldigt het Wduadraat van den gevonden Wortel met 3, en on■erzoekt, hoe meenigmaal dat drievouwdig Qtta-> drae.t begreepen is in het laatfte met de daar aan volgende Clasfe vergroot Overblyffel, als men de twee laatfte plaatfen ter rechterhand niet in aanmerking .neemt. Schryft vervolgens het komende Quotiënt nevens den eerstgevonden Wortel ter rechterhand. IV. Vermeenigvuldigt 1.) den voorgaanden Divifor met het laastgevonden Quotiënt, en fchryft het [Product ter zyden; 2.) vermeenigvuldigt het Qua. I Vraat vnn het iaatstgevonden Quotiënt, 3 maal gekomen, met het bovencevonaen eerfte Deel des Wor-  3a AR1THMETICA Wortels, eu fchryft het komende ProduB onder het voorige, doch eene plaats verder naar de rechterhand ; 3.) bchryft hier onder nog den Cubum van het Iaatstgevonden Quotiënt,' cn wel andermaal eene plaats verder naar de rechterhand. Teit alsdan de drie laatstgemeïde Getallen te faamen , en plaatst de Som onder het laatfte met de naastvolgende Clasfe vergroot Overblyffel; trekt vervol, gens het eerfte van het laatfte af, én plaatst naast het Overblyffel weder, als vooren, de naastvolgende Clasfe ter rechterhand. Zo echter de aftrekking niet mogt kunnen gefchieden, door dat zodanige af te trekken Som te groot is, moet men het laatfte Quotiënt de Eenheid, of, zo het coodig is» eenige Eenheden kleiner neemen, en daar mede, zo als boven gezegd is, handelen. V. Befchouwt verders de twee in het Quotiënt gevondene Cyfferletteren als een eenig Getal; ver. meenigvuldjgt deszelfs Quadraat met 3, en handelt daar mede als in Art. ÏV. gezegd is, zo bekomt gy een derde Cyfferletter in het Quotiënt, en zo vervolgens, van Clnsfe tot Clasfe, voortgaande, tot dat de geheele bewerking ten einde geloopen is, en 'er ten laatften niets overblyft, zal het Quotiënt den begeerden Cubic- Wortel zyn. Voorbeeld. Men begeert uit 22041261512879939 den Cubictf Teirlings Wortel te trekken. 22  of REKENKUNST» 31 i r 22 041 261 512 3?y 939 4 280379. • 8 L 14041 I *? 95a 89 261 512 70 635 625 Ti 025 885 879 16 503419653 «122 4Ó6 22Ó 939 2 122'466 22Ó 939 O 2 283 2 280 4 78400 , 3 3, 12 235200 3 3 96 705ÓOO 3*8 x3 * 2...3H4 3 X 3x3 x 280.. .7560 8x8xiJ.... 511 3 x 3 x 3 27' 1395* 706356272808  33 ARITHMETIGA 2803 28037' 2803 28037 7856809 786°7S3°9i 235704273 2358220107° 7 9 164992989 21223980963 3x7X7x2803 ... 412041 3x9x9*28037..6812991 • 7X7X7 . — - .343^ 9X9^9 739 KS5034I-9653 2122466226939 Voorbeelden tot oeffening, 1. Welk is de Cubic- Wortel uit 50653? Antw. 37., 2. Idem uit 11852352? Antw. 228. 9. Idem uit 485744756? Antw. 786. 4. Trekt den Cubic-Wortel uit 15160921875. Antw. «flên Steenbouwer beeft gekocht 9 Blokken Mar* ineriïeen.waarvan de gezamentlyke Iniioua 1S2000370 Cubic-Duimen. Zo by nu dezelve tot één ftuk wil faamenvoegen , waar van de Lengte, breedte en Hoogte aan malkander gelyk zyn, hoe groot is dan iedere afmeeting van zodanig ftuk? Antw. 120 S In «"n Turffchuur z?n 15814*51 T of Ven zodanig op malkander geftapeld, dat in de Lengte, Breedte en Hoogte even veel Turven liggen, tioz veel Turven worden 'er dan in iedere afmeetinggevonden? Antw. 251 Turven. 7. Wat is de Cubic-Wortel uit 48228544? Antw. ^04. 8 Wat is de 'Gubie-Wortel uit a^d^Mps* Antw. 1298. ,,7 „ J 9. Wat  of REKENKUNST; 33 9. Wat is de Cubic-Wortel uit 517975093791 ? Antw. 8031. 10. Wat is deCubic-Wortel uit 399145080096076041? Antw. 736281. Hetgeen boven ("pag. 15.) van het trekken des Vierkants-Wortels uit eenen Breuk, en voorts in. onze daar op volgende eerfte en tweede Aanmerking, gezegd is, heeft niet minder ten aauzien-der Cubic» Getallen plaats; waarom het dan ook geheel te vergeefs zou zyn, alle die dingen hier wederom te herhaaien. Wanneer men derhalven den Wortel uit een onvolkomen Cubic - Getal in tiende - Deelen begeert, vergroot men het gegeeven Cubic-Getal mee 1000, door by hetzelve ter rechterhand drie nullen te voegen, vermits 1000 den Cubo van 10 is. Zo ook, wanneer men den Wortel in honderdfte-Deelen begeert, voegt men zes nullen by het gegeeven Cwiic-Getal, en zo vervolgens. Voorbeeld. Men begeert den Cubic - Wortel uit 2279 te trekken, en den eigenleken Breuk, die by de Grheelen van het komend Getal des Wortels gevoegd moet worden, tot in duizend/te Deelen te bepaalen. C  *4 aHITHMETICA- 1 2 379 000 oco óool" 13« 159» i L I ... b i 279 . i 197 o2 OOG . 51001 n | 30 909 OOO 25y39875 5381 i 5 oóc, 135 OQO '»N 4 672 103 679 - • Rest 397021321 dat niet gerekend wordt. 3x1x1 of 3 eerfte Dirifor; Quotiënt 3. U JL " - 1 V f'M m ■ ■<-9- - - ;::;,;,.v,.: si 3x3x3x1...27 3x3x3.....27 1197 tweede af te trekken Getal. 3x13x13 of 507 tweede Divifor; Quotiënt 1. 1 5°7 3x1x1x13. ...39 Ix.ixi...... r 51091 derde af te trekken Getal. 3X  of'REKENKUNST. gf* 3x131x131 of5*483 derde Divifor; Qpotjent 5. 257415 3><5x5>ti3i"«''.«-9825 5x5x5 I25 25839875 vierde af te trekk. Gefj.; 5x1315x1315 of 5187Ó75 vierde Divifor',Quot. 9. 9 j .... ' 46689Q75 ■ •3X9X9X1315319545 . 9X9X9• •■739 . .ït£, di ,7ï ■vnflt. V 4* " - * • " ; " Dus is-ött 2379 de naaste Cubic- WortelI i3t"J'S na genoeg, en wel zo na, dat dezelve geeftduizendite Deel te klein is. Voorbeelden op dit Geval tot oeffening* mi Wat is ten naaste by de Cuiie-Wortel uit 651 :iAntw. 4. 02 QV, {12. idem uit 119V Antw. 4. 918 gfc. I13. Idem uit 869? Antw, 9, 542 fcfe. 14. idem uit 4559? Aritw. ió. 581 £fc, 15; Idem uit 78203?' Antw. 42- 763 Sfc :i6. kern uit 121107? 'Autw. 49. 475 erft :J7. Idem uit22ÓÓ2i? Antw. 60. 967 erc^ !i8. Idem uit 2498221? Antw. 135, 688 8V. jip. Idem uit 3862519? Antw. 156. 9&c . ,20. Idem uit'22797821? Antw. 283. 54 tje C a W«n<  35>7» Obk fchryft mea eene zodanige Geometrifche  of REKEN KUN ST. 43 trifche Proportie , als 3 f 6" :: 6 : 12 , aldus 3 Voorts"'noemt men het middenfte Lid van zulk eene Proportie het Medium proportionale , pf Midden-evenredige , en wel in k eerfte Geval het Arithmetisch, en in 't ander het Geometrisch Mf ^'"wanneer eene Rei van Grootheden in geduurige Proportie voortgaat, als, by voorbeeld, in drithmeiï* fche Proportie ~ 2, 6, 10, 14, 18,22 8V., of in Geometrifche Proportie ~r 2, 6, 18, 54, 162, 486 &c.t wordt zodanige Rei van Grootheden eene Progresfie, en wel in 't eerfte Geval eene Arithmetifche, en in 't tweede eene Geometrifch* Progresfie genoemd. Van de Arithmetische Progressie. In eene Arithmetifche Progresfie bevat het tweede Lid de eerfte Grootheid en één maal het Verfchil ; het derde Lid de eerfte Grootheid en twee maal het Verfchil; het vierde Lid de eerfte Grootheid en drie maal het Verfchil, enz By gevolg bevat het laatfte Lid altoos de eerfte Grootheid met nog zoo veel maal het Verfchil, als het getal der Leden min één bedraagt. Dus is van de Arithmetifche Progresfie 3, 5, 7, 9, n> 13» I5 * *7> 19 éfc. het. honderdfte Lid 3 99 X 2 ot 201. Op gelyke wyze is van de Arithmetifche Pro* gresfu 1, i*, 1*, i|, 2, 2j, 2ï, 2}, 3 &<• het 493fte. Lid 1 + 492 x \ of 124. Zo is ook het ProduO, dat voortkomt, als men het getal der Leden min 1 met het gemeen Verfchil der Leden multipliceert, altoos het Verfchil tusfchen het eerfte en laatfte Lid Wanneer dus van de uiterfte Leden eener Arithmetifciie Progres-  44 ARITHMETICA He het kieinfte bekend is, heeft men hetzelve flegts by het gemelde Produel; op te tellen, om het grootfte Lid te vinden. Desgetyks wanneer het grootfte Lid bekend is, heeft men flegts het gemelde Produel; daar van af te trekken, om het kieinfte Lid te vinden. Wanneer vier Getallen in Arithmetifche Proportie ftaan, is de Som der beide uiterfte Leden gelyk de Som der beide middenfte. Dus is, van de Arithmetifche Proportie 3 : 9 v 7 : jq q-t-ia - 9 + 7 ~ ió. 3 * Merkt. Wy zullen ons voortaan van het Te- ken _ bedienen, om te kennen te geeven , dat de Grootheden aan iedere zyde van dat Teken fiaande gelyk zyn. y Uit het laatfte vo'gt nu ook, dat wanneer het tweede Lid te gelyk helderde uitdrukt, alsdan de Som der beide uiterfte Leden gelyk het dubbeld wan het middenfte Lid is. Dus is, in de geduuge Arithmetifche Proportie ~ 3,7,11,3+11. 2 x 7- De reden hier 'van is geraaklyk na te gaan; vermits deeze Proportie niets'anders i$ dan deeze 3 : 7 v 7': 11. By gevolg moet 3 + n — 7. + 7 of — 2 x 7 zyn. Hier uit is nu blykbaar, hoe men het Arithme, ttsch Medium tusfchen twee Getallen kan vinden. Want, vermits de Som der beide uiterfte Leden gelyk het dubbeld van het middenfte Lid is, zo moet noodwendig de helft van zodanige Som gelyk het middenfte Lid zvn. Derhalven addeert men de beide gegeevene Getallen te faamen, en neemt van de Som de helft, dan is het komende het begeerde Arithmetisch Medium. In eene Arithmetifche Progresfie is de Som der beide uiterfte Leden altoos gelyk aan de Som van twee andere Leden, welke ieder van cén der uiterften evea  of REKENKUNST. 45 even ver afftaan ; en by gevolg ook gelyk aan de Som der beide middenften; of, als het Getal der Leden oneven is, gelyk aan het dubbeld van het middenfte Lid. Dus is , by voorbeeld , van de Progresfie 5, 8, 11, 14, 17, ao, 23, 26 de Som van 5 26 ~ de Som van 8 + 23, van 11 4- 20, en van 14 -t~ 17. Lu zo ook is van de Progresfie 2, 4, 6,8, 10, 12, 14, 16, 18 de Som van 2 + 18 ~ de Som van 4 -!- 16, van 6+14, vnn 8 -r 12 ~ 2 x 20. Om dit te bewyzen heeft men flegts in aanmerking te neemen, dat, in het boventbande eerfte Voorbeeld , het agtfte Lid in zich bevat het eerfte Lid en 7 maal het Verfchil; by gevolg bevat de Som van het eerfte en agtlte Lid in zich 2 maal het eerfte Lid en 7 maal het Verfchil. Wanneer men nu aaii den eenen kant, in plaats van het agtfte» het zevende Lid neemt, dat één Verfchil minder, in zich bevat ; en daarentegen aan den anderen kant, in plaats van het eerfte , het tweede Lid neemt, dat één Verfchil meer in zich bevat, vervolgens deeze laatst genomene Leden te faamen addeert, zal de Som desgelyks 2 maal het eerfte Lid en 7 maal het Verfchil in zich bevatten: want even zo ved als aan de eene zyde te min is genomen , worde daarentegen aan de andere zyde meer genomen. Derhalven moeten de Sommen van elke twee Leden , welke van de uiterften even ver afftaan, altoos aart elkander gelyk zyn: ook wanneer het getal der Leden onëven, en "er dus maar één middenfte Lid is, dat op zich zelf even ver van de beide uiterfte Leden afftaat , moet het dubbeld -van dat middenfte Lid insgelyks aan ieder der gemelde Sommen van twee Leden gelyk zyn. Dewyl dan altoos twee Leden eener Arithmetifche Progresfie, op zodanige wyze, als boven gezegd is,  46 ARÏTHMÈTICA faamen genomen, even zo vee! üitmaaken als heé eerfte en laatfte Lid; of, het Getal der Leden oneven zynde, het middenfte Lid juist half zo veel is als het eerfte en laatfte Lid, heeft men, om de Scm van zodanige Progresfie te vinden, de'Som van het eerfte en laatfte Lid flegts zo veel maaien te neemen, als het Getal 2 in het getal der Leden begreepen is , ofi dat op het zelfde uitkomt, met de helft van 't getal der Leden te multipliceeren. Dus is, by voorbeeld , de Som der agt Leden 5 4. 8 4- 11 t- 14 4- 17 + 20 4- 23 4- 26 — 4 x 31 of 124. Want 5 4- 36 ~ 8 4- 23 z: 11 4- 20 — 14 4- 17, zo als boven getoond is, en derhalven heeft men 5 4- 26, of 31, flegts 4 maal te neemen, om de Som van alle de Leden 124 te bekomen. Even zo is ook de Som der negen Leden 24-4464-84- 10 + 12 4- 14 4- 16 4- 18 — 4! x 20 of 90. Want 24-181:44- i6~64-141:84-12 r 2 X 10, zo als boven gezegd is, en derhalven heeft men 2 x 10 flegts 9 maal, of 10, de Som van twee Leden, die van de uiterften even ver afftaan, | of 41 maal te neemen, om de Som van alle de Leden 90 te bekomen. Uit het geen wy dus verre hebben voorgedragen kan men als volftrekte Gevolgen afleiden : i« Dat als men het Verfchil tusfchen het eerfte en laatfte Lid door het getal der Leden min 1 deelt, 'er het Verfchil der Progresfie tot,Quotiënt zal komen, 2. Dat als men het Verfchil tusfchen het eerfte en laatfle Lid door het Verfchil der Progresfie deelt, en by het Quotiënt 1 optelt, de Sum gelyk aan het getal der Lvden zal zyn. Als nu de Le< rüng de eigenfchappen der Arith> metifehe Progresfie, zo als wy dezelve uit haaren corfprong hebben voorlgebragt, wel ingezien, en be-  of REKENKUNST. 47 begreepen heeft, zal bet hem niet moeijelyk zyn d$ volgende Voorftellen op te losfen. Voorbeelden tot oeffening. t. Vind het Arithmetisch Medium tusfchen 13 en fló? Antw. 19. a. Vind een derde Arithmttisch evenredige tot 9 ert 17? Antw. 25. 3. Vind een derde Arithmetisch evenredige tot 19 en 11? Antw.3. NB. In dit Voorbeeld moet het dubbeld van de middenfte gelyk of grooter dan de gegeevene uiterfte zyn; vermits anders het Voorftel Rekenkunftig onoplosbaar is. 4. Vind een vierde Arithmetisch evenredige tot 9^ 13, 14 P Antw. 17. 5. Viud een vierde Arithmetisch evenredige tot ijt 39, 163? Antw. 175. 6. Wat is de Som van eene Arithmetifche Progresfie van 100 Leden, waar van de uiterfte Leden 2 en 299 zyn? Antw. 15050. 7. Wat is de Som van eene Arithmetifche Progres- jle y wadi van uc uiitjin. ucvlii 3 i^y, cu het getal der Leden 40 is? Antw. 3240. 8. Iemand heeft aangenomen eene Put 60 Voeten diep re graaven , de eerfte Voet voor 4, de tweede voor 10 Duiten, en 2.0 voor eiken volgenden Voetj dien hy dieper graaft, 6 Duiten meer dan voor den naastvoorgaanden. Men vraagt, hoe veel hy irt alles, het werk verricht zynde, zal ontfangen? Antw. f 67 : 17 ; 8. 9. Gefteld zynde dat 100 Turven in eene reche lyn zodanig geplaatst worden , dat 'er tusfchen elke twte Turven één Roede afftands is , en dat de eerfte Turf 1 Roede van een Mand ligt; vraagt men hoe veel Roeden iemand , van de Mand beginnendet moet  4B AR.ITHMETICA moet gaan, om deeze Turven één voor één op ter raapen, en in de Mand te brengen ? Antw. ioioo Roeden. 10. Gefteld zynde dat iooo Turven op de zelfde wyze, als vooren, geplaatst waren, hoe veeiUuren zou iemand dan moeten befteeden, om deeze Turven één voor één op te raapen, en in de Mand te brengen, als hy ï6oo Roeden in een Uur aflegt? Antw. 625! Uuren, of 26 Dagen, 1 Uur, 37 Minuten, 30 Steunden. _ 11. Iemand heeft 11 Kinderen, wier refpeEtive Ou« derdommen geduurig een gelyk getal Jaaren verfchillen. Zo du de jongste den Ouderdom van 8 jaaren, en de oudfte dien van 48 jaaren bereikt heeft, vraag* men naar het gemeen Verfchil van hunne Ouderdommen, en den Ouderdom van ieder byzonder? Aruw, Het gemeen Verfchil van hunne Jaaren is 4; waar uit het overige openbaar is. 12. Een Man heeft 12 Kinderen, waar van het jongfte 3 Jaaren oud is. Zo nu het gemeen Verfehii van hunne refpeclive Ouderdommen 4 Jaaren is, vraagt men naar den Ouderdom van het oudfte Kind? Antw. 47 Jaaren. 13. Een zekere Schuld moet in verfcheide Termynen betaald worden, zulks dat de betaalingen, van de eerfte tot de laatfte in eene Arithmetifche Progresfie opklimmen. Zo nu de eerfte Termen 100, en de laatfte 700 Guldens beloopt,- en dat ook het gemeen Verfchil der Termynen 50 Guldens is, vraagt men naar de geheele Schuld , en in hoe veel Termy» %en dezelve betaald moet worden ? Antw. de geheele Schuld is ƒ 5200, en het getal der Termynen 13. Van de Geometrische Progressie. In tene Geometrifche Progresfie ontftaat het tweede Lid, als men het eerfte Lid 2 maal achtervolgens  of REKENKUNST* 4* gens met de Ratio multipliceert; het vierde Lid, als men het eerfte Lid 3 maal achtervolgens met de Ratio multipliceert, enz. Dy gevolg ontftaat het laatfte Lid altoos, als men het eerfte Lid zoo veel maal met de Ratio multipliceert, als het getal der Leden min één bedraagt. Wanneer vier Grootheden in Geometrifche Pro* portie ftaan , is het vermeenigvuldigde der beide middenfte Leden gelyk aan het vermeenigvuldigde der beide uiterften. Dus is, van de Geometrifche Proportie 2 : 6 :: 5 : 15, 6 x 5' — '5 X 2, ~ 30. Hier uit volgt, dat wanneer het tweede Lid te gelyk het derde uitdrukt, ahdan het vermeenigvuldigde der uiterfte Leden gelyk het Vierkant van het middenfte Lid is. Dus is, in de geduurige l Geometrifche Proportie 7$ 2, 6, 18, 2 x 18 ~ 6 X 'ó. De reden hier van is even de zelfde als die van vier Getallen in Geometrifche Proportie; men behoeft flegts in ?t oog te houden, dat het middenfte Lid de plaats van twee Leden uitdrukt, naamlyk die van het tweede en derde Lid. Waar uit dus openbaar is , hoe men het Geome* trisch Midden- evenredige tusfchen twee gegeevene Getallen kan vinden. Want, vermits het Produtï der uiterfte Leden gelyk het Vierkant van het middenfte Lid is, zo moet noodwendig de Vierkants-Wortel uit zodanig : Product eelvk het middenfte Lid zvn. Derhalven '. multipliceert men de beide gegeevene Getallen te ' faamen, en trekt uit het Product den VierkantsWortel , dan is het komende het Geometrisch Mid1 den-evenredige. Als vier Getallen evenredig zyn, by voorbeeld a : 6 :: 5 : 15, dan is I. Omgekeerd 6:2:: 15 : 5. II. Verwisfeld 2 : 5 :: 6 : 15. D Hl.  5 of2x 2x8-2X4X4;by gevolg 2x2: 4x4-2:8. Op de zelfde wyze wordt getoond, dat van vier geduurig evenredige Getallen de Cubus van het eerfte ftaat tot de Cubus van het tweede, als bet eerfte tot het vierde. In eene Geometrifche Progresfie is het Produtï der beide uiterfte Leden altoos gelyk aan het Produët van twee andere Leden, welke ieder van één der uiterftert even ver afftaan; en by gevolg ook gelyk aan het Produtï der beide middenften, of, als het getal der Leden oneven is, gelyk aan het Vierkant van het middenfte Lid. Dus is, by voorbeeld, van de Progresfie 1, 3, 9, 27, 81 , 243, 729, 2187, het Produtï van 1 x 2187 ~ het Produtï van 3 x 729, van 9 x 243 , fcn van 27 x 81. Op gelyke wyze is van de Progresfie 3 , 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768 het Produtï van 3 x 768 ~ het' Produtï van 6 x 384, van 12 x 192, van 24 x 96 ~ 48 x 48. Om dit te bewyzen, redeneert men byna op de zelfde wyze als by een foortgelyk geval der Arithmetifche Progresfie (zie hier vooren Pag. 45). Want in het bovenltaande eerfte Voorbeeld beftaat het a^t- fte  of REKENKUNST. St fte Lid uit het eerfte Lid 7 maal achtervolgens met de Ratio gemultipliceerd; by gevolg beftaat het Produet van het eerfte en agtfte Lid in het Vierkant van het eerlte Lid, 7 maal achtervolgens met de Ratio gemultipliceerd. Wanneer men nu aan den eenen kant, in plaats van het agtfte, het zevende Lid neemt, dat één maal minder met de Ratio gemultipliceerd is; en daarentegen, in plaats van het eerfte, het tweede Lid neemt, dat één maal meerder met de Ratio gemultipliceerd is, zal het Produtï van deeze laatstgenomene Leden desgelyks beftaan in het Vierkant van het eerfte Lid, 7 maal achtervolgens met de Ratio gemultipliceerd; want even zo veel als het getal maaien de Ratio aan de eene zyde te klein is, is het aan de andere zyde te groot, Derhalven moeten de Producten van elke twee Leden, welke van de uiterften even ver afftaan, altoos aan elkander gelyk zyn: ook wanneer het getal der Leden oneven, en 'er dus maar één middenfte Lid is, oat op zich zelf even ver van de beide uiterfte Leden afftaat, moet het Vierkant van dat middenfte Lui insgelyks aan ieder der gemelde Producten van twee J-.CUC1I ticiyix 1# - ln eenig getal van Geometrifche Evenredigen ftaat ieder Antecedent tot deszelfs Confequens, als de Som van alle de Antecedens tot de Som van alb de Confequens. ■ '• ,,, Want vermits de Getallen evenredig zyn, welK deel of veelvouwd één der Antecedens van deezelts Confequens ook zy, zal ook hec zeilde deel of veel* vouwd, dat ieder Antecedens van deszelfs Con/equens is, de Som der Antecedens van de Som der Co»/*- ^"dus^s",' by voorbeeld, van de Evenredigen a: 8 »-"-i3::^:flode Antecedent 2 tot deszelfs Confe" 0 " 3 Da qwnt  5» ARITHMETICA quens 8, als de Som der Antecedens 2 + 3 + 5Z iov toe de Som der Confequens 8 + 12 + ao z: 40. Aangezien nu in eene Geometrifche Progresfie ieder • Lid, behalven het laatfte, een Antecedens, en ieder Lid, behalven het eerfte, een Confequens is; 20 ftaat derhalven het eerfte Lid tot het tweede, als de Som van alle de Leden, behalven het laatfte, tot de Som van alle de Leden, behalven het eerfte. Maar, volgens de eigenfehap der Geomstrifclie Proportie, ftaat ieder Antecedens tot deszelfs Confequens, als de Eenheid töt de Ratio. By gevolg ftaat de Eenheid tot de Ratio, als de Som der Progresfie min het laatfte Lid, tot de Som der Progreslie min het eerfte Lid- Derhalven ftaat, door Deeling, de Ratio min 1 toe. 1 , als het Verfchil der uiterfte Leden tot de Som van alle de Leden, behalven het grootfte Lid. Om dus de Som van eene Reeks Getallen in Geo- . metrifche Progresfie te vinden, als de uiterfte Leden en de gemeene Ratio gegeeven zyn , heeft men flegts het eerfte van het laatfte Lid af te trekken , net uverDiyvenae.aoor de Kaïio min 1 te diviöeeren , en by het Quotiënt het laatfte Lid op te tellen. Of,, als men de Progresfie nog één Lid voortzet, door het grootfte Lid met de gemeene Ratio te multipliceeren, vindt men de Som der Progresfie met influiting van het grootfte Lid; waar door dan de voorgaande Regel in deezen veranderd wordt; Multipliceert het grootfte Lid met de Ratio, trekt van het Product: het kieinfte Lid af, en ceelt het Overblyffel door de gemeene Ratio min 1; dan is het Quotiënt de begeerde Som der Progresfie. Om tusfchen twee gegeevene Getallen verfcheide Midden-evenredigen te vinden, volgt men deezen Re-  o i REKENKUNST. £3 Regel. t. Divideert van de gegeevene Getallen het groo»ite door het kieinfte, en trekt uit het Quotiënt den Wortel van zodanige Magt, die één grooter is dan het begeerd getal Midden-evenredigen. 2. Multipliceert het kieinfte der gegeevene Getallen met deezen Wortel; dan is het ProduSl de eerfte Midden-evenredige, die op dat kieinfte Getal volgt. 3. Multipliceert voorts deeze eerfte Midden-evenrediue met den gemelden Wortel; dan is het komende de tweede Midden-evenredige; en vervolgt op die wyze de bewerkinge zo lang, tot dat alle de beseerde Midden. evenredigen gevonden zyn. Urn deezen Regel te betoogen, heeft men flegts in aanmerking te neemen , dat de Geometrifche Midden-evenredigen de middenfte, en de beide gegeevene Getallen de twee uiterfte Leden van eene Geometrifche Progresfie zyn. Dewyl nu het laatfte of grootfte Lid van eene Geometrifche Progresfie ontftiat, als men het eerfte Lid zo veel maa! met de R&tio multipliceert, als het getal der Leden min ■ééi bedraagt, is het openbaar, dat als men het laat(te door het eerfte Lid divideert, tot Quotiënt zM komen de Ratio tot eene Magt verheven, die één minder dan het getal der Leden is; en by gevolg zal het komende, als men den Wortel van zodanige Magt uit dat Quotiënt trekt, de Ratio zyn. Intusfchen is het getal der Midden-evenredigen 2 min. der dan het getal der Leden van de Progresfie. Derïialven moet ook de Ratio der Progresfie ten voorfehyn komen, als mtn uit het gemelde Quotiënt den Wortel eener Magt trekt, die één meer dan het getal der Midden-evenredigen is. Wanneer nu deeze Ratio eerst gevonden is, zo volgc van zelfs, dat de eerfte Midden - evenredige gevonden zal worden. D 3 a!ö  54 ARITHMETICA als men het eerfte Getal met de Ratio multipliceert, enz. Aanmerking. Wy hebben in 't begin van dit Deel (Pag. 3.) ? toen wy van de Magten fpraken, gezegd, dat dezelve, en wel byzonder de hoogere Magten dan de Cubus, welke in de Natuur geen beftaan hebben, liet best verklaard en verftaan kunnen worden door eene Reeks Getallen in Geometrifche Proportie: dus verëischt thans de orde, dat wy hier aantoonen, hoedanig de Magten in eenen Arithmetifcèen zin, afge. zonderd van alle uitgebreidheid, verftaan en begreepen moeten worden. Uit hetgeen tot hier toe van de geduurige Geome* trifche Proportie, en dus ook van iedere Geometrifche Progresfie, gezegd is, volgt, dat in de laatfte het eerfte Lid ftaat tot het tweede in gelyke Reden als het tweede tot het derde, het derde tot het vierde, het vierde tot het vyfde, enz. Wanneer dus van zodanige Progresfie het eerfte Lid de Eenheid is, dan is het tweede Lid gelyk aan het eerfte vermeenigvuldigd met de Ratio, hit derde Lid een derde Evenredige tot het eerfte en twee. de Lid, het vierde Lid een vierde Evenredige tot het eerfte, tweede en derde Lid , het vyfde Lid een Vierde Evénredige tot het eerfte, tweede en vierde Lid, het zesde Lid een vierde Evenredige tot het eerfte, tweede en vyfde Lid,t en zo vervolgens. Waar uit openbaar is, dat, tiêt tweede Lid van zodanige Progresfie den Wortel uitdrukkende, het derde Lid de tweede Magt van dien Wortel zal zyn, en zo ook het vierde Lid de derde, het vyfde Lid de vierde^ het zesde Lid de vyfde , het zevende Lid de zesde Magt, en7„; ai hetwelk in de Progresfie ï, 3, 9, 27,81, '243 £f;, gemaklyk te zien is. W*ar  of REKENKUNST. 55 Waar uit derhalven onwederfpreekelyk volgt, dat het Vierkant, of de eerfte Magt, niets anders is, Sa de Eenheid met den Wortel vermeeu.gvulAi«A de tweede Magt niets anders dan een derde Efenred g tot de Eenheid en den Woitel, en zo nnl de derde Magt een vierde Evenredige tot de Eenheid den Wortel en de tweede Magt van dien Wortel, de vierde Magt een vierde EvenreS tot de Eenheid , den Wortel en de derde Magt van dien Wortel, enz. Voorbeelden tot oefening. % Vind een derde Evenredige tot 15 en 45 ? ffyiod3^ derde Evenredige tot 51 en 17? VincVeeS Midden-evenredige tusfchen ió en 64? 4.DCVimfeen Midden-evenredige tusfchen 18 en 56v\n^een5Milden-evenredige tusfchen 119 en »7? Antw. 66. 355. f o 6, ' Vind een vierde Evenredige tot 18, 3°» a9' 7.nVind58èen vierde Evenredige tot 35, 4°, 63? ê° Watt de Som van eene Geemtrifehe ProgresRe welkers uiterfte Leden zyn a en 4374, de idkeïs meerite Leden zyn 3 « 729' <" P™"" ï°', Vdèn i en 2048, en de gemeene Ratio is a; men Sap iVS van die^W^? lg£  & ARITHMETICA JNJB. TFanneer de gemeene Ratio 2 is, wordt de Som der Progresfie gevonden, door het grootfte- der uiterfte Leden te verdubbelen, en van 't Product het kieinfte der uiterfte Leden af te trekken; vermits in dit geval de gemeene Ratio min i ~ i niet divideeren kan. 11. Wat is de Som van eene Geometrifche Progresfie , welkers uiterfte Leden zyn § en i82if de gemeene Ratio 3 zynde ? Antw. 2731. 12. Van eene Geometrifche Progresfie het grootfte Lid 768, de gemeene Ratio 2,, en het getal der Leden 8 zynde, vraagt men naar het kieinfte Lid? Antw. 6. 13. Van eene Geometrifche Progresfie de uiterfte Leden 6 en 768, en de gemeene Ratio 2 zynde, begeert men het getal der Leden te vinden 1 Antw. 8. 14. Als van eene Geometrifche Progresfie van 4 Leden de beide uiterften 6 en 162 zyn, vraagt men naar de gemeene Ratio? Antw. 3. 15. Vind twee Midden-evenredigen tusfchen 16 en 432 ? Antw. 48 en 144. 16. Vind twee Midden-evenredigen tusfchen 40 ërt 79? Ancw. 57. 4525 en 67. 363. 17. Een Vleeschhouwer koopt 'van een Boer 12 Schaapen, onder conditie, dac hy hem voor 't eerfte Schaap zal geeven a Penningen, voor 't tweede 6 Penningen, voor 't derde 18 Penningen, en zo vervolgens, in eene Geometrifche Progresfie opklimmende, voor ieder volgend Schaap 3 maal zo veel , dan voor het naastvoorgaande. ivïen vraagt, hoe veel de Vleeschhouwer in alles moet betaalen, en tot wat Prvs hem ieder Schaap door 1 malkander te ftaan komt'? Antw. Alle de Schaapen kosten den Vleeschhouwer ƒ 1660 : 15 : —, zo dat hem ieder Schaap door malkander op weinig minder d«n ƒ 138 : 6 : — komt te ftaan. 18.  of REKENKUNST. 57 18. Iemand koopt een Paerd, dat in ieder Hoefyzer 6 Nagels heeft, bedingt den eerden Nagel voor 1 Penning, den tweeden voor 2, denderden voor 4, den vierden voor 8 Penningen, enz., geduurig in' dubbelde Proportie, tot den 24 Nagel ingefloten, en verbeelde zich daar door eenen voordetligen Koop gedaan te hebben. Men vraagt op hoe veel hem het Paerd te ftaan komt? Antw. op édn Penring minder dan ƒ 52428 : 16 : —, dat waarlyk duur genoeg is. 19. Men onderfielt, dat een graantje Koorn 50 an» dere graantjes in het eerfte jaar voorbrengt ; dat men ten einde van het eerfte Jaar deeze 50 graantjes zaait, en dat zy ieder 50 graantjes het tweede jaar voortbrenaen , en zo vervolgens. Wanneer nu van dat Koorn 800 Oraantjes in een Lood gaan, en de Prys eens Schepels van dat Koorn. weegende 4°É8« 18 Stuivers is, vraagt men, hoe veel het Koorn waardig is, dat, op bovengemelde wyze, geduurende 12 Jaaren voortgebragt zal worden? Antw. ƒ 4379116759008 : 5 : 13 na genoeg. 20. Een Roskammer koopt eeni ;e Paerden, onder conditie, dat hy voor 't eerlte Paerd zal geeven 1 Guld. , voor 't tweede 3 Guldens, voor 't derde 9 Gu'dens , enz. in Geometrifche Proportie. Zo hy nu voor't laadt e Paerd 2187 Guldens moet betaalen , vraagt men, hoe veel Paerden hy gekocht heeft, als mede op hoe veel hem ieder Paerd door malkander komt te ftaan? Antw. Hy heeft gekocht 8 Paerden, waar van hem ieder door malkander op 410 Guldens komt te ftaan. GOUD- en ZILVER - REKENING. Om Goud en Zilver te weegen, bedient men zich van Trots Gtwicht, waar van het Mark in 8 ■ D 5 °Q*  58 ARITHMETICA Oneen, of 16 Lood, de Once in 20 Engels, en de Engels in 32 Aazen afgedeeld is. Om hec zuiver Goud te proeven, verdeelt men het Mark in 24 Caraaten, en de Caraat in 12 Greb .oen. Ter beproeving, of tot de Esfai, van het zuiver Zilver, verdeelt men het Mark in 12 Penningen , en de Penning in 24 Greinen ,• gelyk reeds van het een en ander in't begin van dit Werk cl. D., P. 29) gezegd is. Wanneer dus eene Masfa Goud of Zilver geheel zuiver en onvermengd is, noemt men het fyn Goud of Zilver, en in dat geval zegt men het Goud van 24 Caraaten, en het Zilver van 12 Penningen fyn te zyn. Zo 'er echter minder fyn Goud of Zilver in zodanige Masfa gevonden wordt , wordt dezelve naar de Caraaten fyn Goud , of Penningen fyn Zilver, die in dezelve onthouden zyn , benoemd. Men is echter gewoon het Zilver met Koper te vermengen ,en men benoemt alsdan het Zilver naar de Penningen fyn, die in een Mark van zodanige Vermenging onthouden zyn. Even als het Zilver met Koper vermengd wordt, voegt men by het fyn Goud fyn of flegt zilver, dat uit fyn Zilver en Koper is laamengefmolten , en men benoemt dan ook het Goud naar de Caraaten fyn, die in een Mark van zodanige Vermenging vervat zyn. De Berekeningen, welke tot dit onderwerp behooren, bevatten in zich veele onderfcheidene Gevallen, weike of door den Regel van Drieën, of door den Ketting-Regel, of ook door eenen geheel byzonderen Kegel, dien men Regula Alligationis, of Regel van Menging, noemt, opgelost worden. Wy zullen daarom alle de Gevallen van de eerfte foort in deezen Regel afhandelen, en door een genoegzaam aantal Voorbeelden ophelderen, en de Gevallen der j  o» REKENKUNST. 59 Lr andere foort vervolgens onder den byzonderen •Tvtel van Regel van Menging voordragen, i Zo een Masfa Goud , weegende,90 Marken, fer "caraaten 9 Greinen de Mark fyn, hoe PefMafken fyn Goud houdt dan zodanige Masfa? Mark Car. Gr. Mark. 1 19 : 9 ~ 3° * Car. 34 - ia '5 6 7 : Ia 1 — ia Gr- 1 : 6 6 — : 15 „ 3_ -■■7-6 Antw. Mark. 24 : 16 : 6 Om op deeze Bewerkinge de Proef te maaken, ■ heeft men flegts het Bymeugfel in zodanige Masfa te bekkenen , welke dan, zal de Bewerking recht , zvn met he gevonden fyn Goud wederom de i zwaarte der geh&le Masfa moet uitmaaken Na*rdien nu ieder Mark der opgegeevene Masfa 19 Gar aten 9 Greinen fyn houdt, en, de geheele Masfa zuiver Goud zynde, 24 Caiaateti1 fyn zou houden zo volgt, dat ieder Mark der Masfa 4 Cara*. I ten'3 Greinen Bymengfel bevat. Derhalven ftrekt . de volgende Bewerking tot eene Proeve. Mark  fe ARITHMETICA Mark Car. Gr. Mafk. 1 ~ 4 : 3 ■ 30 ? Car. 24 _____ 4~— 48 Gr 5 3 — : / •• 6 Antw. Mark. 5:7:6 Bym. ; >> 24 : 16:6 fyn G. Dus Mark. 30 : —: —ü.geh.M. Eei] • Goüdfmit heeft eene Masfa ruw Goud, weegenae 16 Marken 5 Oneen 4 Engels, van 18 ^araaten fyn het Mark : hoe veel zuiver Goud bevat de geheele Masfa? Antw. 12 Marken ir Caraaten ■o. 4 (jreinen. 3- Zo een Klomp Goud, weegende 12 Marken 3 wncen 16 Engels 14 Aazen , houdt 22 Caraaten 3 Greinen het Mark fyn, hoe veel fyn Goud houdt dan zodanige Masfa? Antw. 11 Marken 14 Caraaten 2. 34 Greinen. 4. Een Zilverfmit heefteen Stuk ruw Zilver, weegende 13 Marken 5 Oneen, van 9 Penningen fyn net Mark; men vraagt, hoe veel Marken fyn het ötuk inhoudt? Antw. io Marken 2, Penningen 1* Greinen. & o 5- Zo een Masfa Zilver, weegende 18 Marken 7 Oneen, houdt 8 Penningen fyn het Mark ; hoe veel yn Zilver is dan in de geheele Masfa? Antw. 12 Marken 7 Penningen. 6. Wanneer in eene Masfa van 25 Marken Goud onthouden zyn 19 Marken 12 Caraaten 9 Greinen tyn GoudI, van hoe veel Caraaten fyn is dan zodanig Goua? Mark,  of REKENKUNST. or Mark. Mark. Car. Grein, Mafk. 25 — 19 : 12 ; 9 1 ? , 25 468 25 ^t. 18 Caraaten ,1| Rest 18 : 9 Gr. | 12 i> het beg. 225 25- Kr. 9 Greinen. J 7. Zo eene Masfa ruw Goud , wegende 16 Marken 5 öhcen, in zich fyn hetft 13 Marken 9 Caraaten 5 Greinen , van hce veel Caraaten fyn is dan zodanig Goud? Amw. 19 Car.iaten 4 Greinen. 8. Zo een Klomp Goud, weegende 19 Marken 4 Oneen 16 Engels, houdt 14 Marken 7 Caraaten fyn Goud, van hce veel Caraaten fvn is dan zodanig Goud? Antw 17 Caraaten 6 Greinen. 9. Zo een Stuk ruw Zilver, weegende 17 M_rken 3 Oneen 4 Engels , houdt 14 Marken 10 Penningen fyn Zilver, van hoe veel Penningen fyn is dan zodanig Zilver ? Antw. 10 Penningen. ïo. Wanneer in eene Masfa Zilver van 17 Marken 5 Oneen 12 Engels onthouden zyn 13 Marken 6 Penningen 6 Greinen fyn Zilver, hoe veel Penningen f\n houdt dan het Mark? Antw. 9 Penningen 4 Greinen. 11. Als het Mark fyn Zilver te Amfterdam kost Banco f 25 : 10 : —, hoe hoog komt dan het M.irk van 8 Penningen fyn te ftaan? Antw. 17 Guldens Banco. 12. En hoe veel zal een Mark Zilver van 10 PenDingen fyn kosten , wanneer voor het Mark fyn Zilver Banco f 2j : 16 : - betaald wordt? Antw» Bandyf 21 : io :  6*2 ARITHMETIC A 13, Een Muntmeester heeft een Stuk Goud, weëgende 36 Marken , van 17I Caraaten fyn het Mark, rafineert dit Goud zodanig, dat-het gemelde Stuk flegts 28 Marken weegt. Hoe veel Caraaten fyn is nu in dit gerafineerd Goud onthouden? Mark Car. Mark. 1 17- 36? antw 630 Caraaten. Mark. Caraaten Mark. 28 • 630 1 ? Antw. 2i\ Car. Gemakijker wordt dit Voorftel door den Ketting. Regei aldus opgelost. Car. * 1 Mark geraf. 28 36 Mark, ongeraf. 2 35 Car. fyn. Antw. 22J Caraaten. Of, dewyl de zwaarte eener Muntfpecie, en dus ook van Goud of Zilver , wederkeerig geproportioneerd i? tot haare fynheid (11. Deel, Pag. 49), kan men dit Voorftel-naar den Verkeerden Kegel van DRii.èN aldus opftellen: Mark. Car. Mark. n8 -_ l?' 36 ? en men vindt dan als vooren 22j Caraaten. 14. Iemand beeft eene Klomp ruw Goud , weegende 5 Marken 2 Oneen, van 15 Caraaten fyn hetMark; welk Goud , gerafineerd zynde, hy bevindt 4 Marken 4 Oneen te weegen. Vraage hoe veel Caraaten de Mark fyn dan houdt? Antw. Ï7I Caraaten. 15.  op R.EKENKUNST. 63 15. Een Masfa Zilver weegende 18 Marken 6 Oneen, van 6 Penningen fyn het Mark, wordt gerafine'rd tot 12 Marken 4 Oneen: wat houdt dan de Mark fyn van het gerafineerd Zilver? Antw. 9 Penningen. 16. Ken Muntmeester, hebbende een Klomp Zilver van 31 Marken 2 Oneen, houdende 8 Penningen fyn het Mark, begeert die zodanig te rafineeren, dat het Mark van het gerafineerde 10 Penningen fyn houdt; Tot hoe veel Marken moet hy dan de gemelde Klomp rafineeren? Antw. tot 25 Marken. 17. Zo men eene Masfa Goud van 15 Marken 6 Oneenj inhoudende 16 Caraaten fyn het Mark, zodanig wil rafineeren, dat het Mark houdt 21 Caraaten fyn : op boe veel zwaarte moet dan de gemelde Masfa gebragt worden? Antw. op 12 Marken. 18. Ietakd koopt eene Masfa Goud, weegende 37 Marken 6 Oneen 10 Engels, en houdende 22 Caraaten 8 Greinen fyn het Mark, a 15 Guld. de Caraat fyn. Hoe veel moet hy daar voor betaalen f Antw. ƒ 12856 : 5 : — urn 19. Hoe veel is t beloop van eene Masfa Goud , weegende 13 Marken 3 Oneen 11 Engels 8 Aazen, I en houdende 21 Caraaten 4 Greinen fyn het Mark , ' {1/14: 14:— deCaraatfyn? Antw. ƒ 4216: 9:-. I 20. Van eene Masfa van fyn Goud en Zilver, door , elkander gemengd, houdt het Mark 8 Caraaten fyn ' Goud, en het ovÊrige is fyn Zilver. Zo nu de ' Prys van de Caraat fyn Goud ƒ 14 : 16 : —, en van de Mark fyn Zilver ƒ 25 : 12 : — is, vraagt men naar de Waarde van deeze Masfa ? Antw. 1 ƒ4470 : 8 : —. - RE-  64 ARITHMETICA REGEL van MENGING, anders genaamd Regula Allic-ationis. Door den naam Alligatio verftaat men eene Aan» Unding of SaamenfteUing van twee of meer foorten Goud' of Zilver , van onderfcheidene Waarde of Aloy', en onder deeze benaaming worden hoofdzaakelyk twee Gevallen van Vermenging verftaan. Volgens het eerfte Geval onderzoekt men, op wat wyze men uit de gegeevene Waarde of het Aloy van verfcheide foorten Goud ofZilver, benevens de hoeveelheid vato ieder, de Waarde of het Aloy van de Masfa, uit zodanige vermenging ontItaande , zal vinden. . Omtrent het tweede Geval van Vermenging wordt onderzocht, hoe men uit de gegeevene Waarde of hst Aloy van verfcheide foorten Goud of Zilver, de hoeveelheid zal vinden, welke van elke foort tot zodanig mengfel genomen moet worden op dat het gemengde van eene begeerde Waarde of Aloy zy. ,Tot het eerfte Geval volgt men deezen Regel. i. Multipliceert de hoeveelheid van elke foort met: haar Aloy. . , . . , , j st. Addeert de Produftnn, als ook in 't byzonder de gegeevene hoeveelheden ,te faa*en. g. Divideert de Som der Produüen door de Som oer hoeveelheden, dan is het komende het begeerd Aloy. Voorbeelden op hel eebste GevaL tot oeffening. i Een Muntmeester fmelt te faamen 20 Marken Zilver vau 8, ia Marken van 9, en 24 Mar^  of- REKENKUNST. 65 van 11 Penningen fyn het Mark. Men vraagt hoe veel Penningen fyn ieder Mark der gemengd» Masfa zal houden ? * 8 Mark. Penn. I Penn. ao 8 | 160 I2 o I 108 24 ir I 264 Mark. 56 53a Penn. 56 Antw. oi Penningen fyn. 2. Iemand fmelt te faamen 20 Marken Zilver Van 6, 30 Marken van 8, en 40 Marken van 10 Penningen fyn het Mark; voegt daar nog by 6 Marken Koper, welke ten aanzien van het Zilver als mets gerekend worden. Hoe veel Penningen fyn houdt het Mark der gemengde Masfa? Antw 7 Penningen 22 Greinen. 3. Iemand wil eenig" Zilver, ter zwaarte van 30 Marken, faamen fmelten, zodanig dat het gemengd Mark 9 Penningen fyn houdr. Zo hy nu daar toe 12 Marken Zilver van 6 Penningen fyn heeft vraagt men, van hoe veel Penningen fyn dé overige 18 Marken moeten zyn? Antw. van 11 Penningen fyn. 4- ten Muntmeester een Masfa Zilver, weegende 40 Marken, moetende faamerfmelten , om Zilver van'io Penningen fyn het Mark re hebben, neemt daar toe 8 Marken Zilver van 6 Penningen fvn het Mark; van hoe veel Penningen fyn moeten de nog by re voegen 32 Marken zyn? Antw. als vooren. 5. Een Muntmeester fmelt te faamen 12 Marken Zilver van 5, 18 Marken van 6, en 28 Marken E van  m ARITHMETICA 9 van 9 Penningen fyn bet Mark. Zo hy nu nog' a Marken Koper daar by voegt, hoe veel Penningen fyn zal dan het Mark der gemengde Masfa houden? Antw. 7 Penningen fyn. 6. iemand laat fyn Zilver, hem kostende ƒ 25 : a : het Mark, op Zyde fpinnen, waar van het £g ƒ 8 : 16 : — kosc. Zo nu tot ieder Mark fyn Zilver 20 Lood Zyde genomen wordt , is de vraag, hoe hoog het Lood van 't gefponnen Zilver, zonder het Arbeidsloon te rekenen, komt te ftaan. Zoekt eerltelyk het beloop der ao Lood Zyde, aldus : fg Lood 1 ƒ 8 16 : » ao ? Lood 32 > Ï6~ ƒ4:8:4 0 1 : a : — Antw. ƒ 5 : io : —• Werkt voorts, naar den Regel, op volgende wyze: 1 Mark of 16 Lood Zilver... ..ƒ 25 a ao L ood Zyde 5 : 10: — %6 Lood ƒ 30 : ia : ■— 20 , 612 Stuiv. 36 — Antw. 17 muiv. 't Loodhetl begeerde. 7.  of REKENKUNST. 6? P Als tot een Mark fyn Zilver 20 Lood Zyde , waar van het fjg ƒ 8 : 16: - kost, verfponnen is, en de Prys van het Löod van zodanig gelponnen Zilver op 17 Stuiv. gefteld wordt, hoe veel heeft dan het Mark fyn Zilver gekost ? het Arbeidsloon , ale vooren , niet mede gerekend. Antw. ƒ25 2:— 8. Iemand heefc 6 Marken Goud a 12 Caraaten 6 Greinen fyn, 8 Marken dito & 10 Caraaten 9 Greinen fyn, en 11 Marken a 9 Caraaten fyn hei Mark. Zo hy deeze drie Klompen tot eene Masfa wil faamenfmelten, hoe veel Caraaten fyn zal dan de gemengde Masfa houden? Aniw. 10 Caraaten 4* Gr. fyn. 9. ICen Brouwer doet by 50 Tonnen Bier van ƒ 8 de Ton , 18 Tonnen van ƒ4, en \i Tonnen vanƒ3 de Ton, op hoeveel komt de Ton gemengd te ftaan? Antw. op ƒ 6 : 7: — 10. Zo die Brouwer by de voorgemelde gemengde Tonnen Uier doet 78! Tonnen Water, hoe veel is dan de gemengde Tnn waardig- ? Antw. ƒ 3 : 4 : —. ir. ten Wynkooper heeft 4 Oxhoofden Bourdeauxe Wyn a 4Ï dC VI., 6 Oxhoofden a 5 c£ VI., 16 Oxhoofden a 5I c£ VI. , en 10 Oxhoofden a 6 &.Vl.\ wil dezelve faamen vermengen, en begeert dus te weeten, hoe veel het gemengd Oxhoofd waardig is? [Antw. 5| dC VI. 112. Als men , om 20 Lasten Rogge a 99 Ggl. te ihebben, te faamen vermengt 8 Lasten a 90 Ggl.', I en 7 Lasten a 120 Ggl., van wat Prys moeten de , nog overige 5 Lasten zyn , om het begeerde te be; komen? Antw. van 84 Ggl. 13. Als men om 19 r# Tabak van 10 Stuiv. te heb1 ben, te faamen virmengt 5 8r van 7 Stuiv., 4 fjg i van 8 Stuiv.. en 7 f van 12 Stuiv., van wat Prys i moeten de nog overige 3 fg zyn, om het oogmerk te r bereiken? Antw. van 13 Stuiv. _ 3 14.  <$i ; ARITHMETiCA 14. Zo men by 10 Lasten Tarwe van 80 Ggl. , 30; 'Lasten van 60 Ggl,, en 50 Lasten van 72 Ggl., wil mengen 20 Lasten van eecen anderen Prys,, vraagt men welke die Prys moet zyn, op dat het gemengde Last 70 Ggl. waardig zy? Antw. 75 Ggl. Tot een duidelyk begrip des tweeden Gevals van het onderwerp, waar over wy thans handelen, zal, het niet ondienstig zyn hier vooraf,te ftellen de vol-, gccde ,; ^ g j n ;; „yfrM 1 1 ; ; ra -_.*; 1' 9 _la:!^"3r±j icj totsmoiA sïio *sv>b yrl < Aanmerkingen. .ï;,- t 01 .." :iA ?nsbu(.n ej* ' '/ _) Wanneer twee of meer Stukken Zilver, van gelyk Aloy , te faamen vermengd worden, zo behoudt de gemengde Masfa (Mixtum) onveranderlyk het voorig Aloy, £- k) Wanneer derhalven eene hoeveelheid a met eene hoeveelheid b in haare; Vermenging een zeker Aloy c hebben, en men, tot zodanige Vermenging, 3, 3 of 4 maal enz. zo veel neemt, zo is het klaarblyklyk , dat het Aloy c onveranderd blyft. Want elke hoeveelheid amet eene hoeveelheid b, beeft het Aloy c; by gevolg moet ook de boeveelheid a, ee* nige'maaien genomen, vermengd met de hoeveel» heid b, even zo veel maaien genomen, het Aloy c be« houden. c) Wanneer men echtereen fyner Zilver met eeni geringer, of wel met Koper, vermengt, zo wordt het flegter, dan het te vooren was. In tegendeel, wanneer men flegt Zilver met een ander, dat beter van Aloy , of wel geheel fyn is , vermengt, zo: wordt het beter, dan het te vooren was. * dj Derhalven kan men door eene Vermenging vani vericheidene foorten van Zilver niet ancers een be-: geerd Aloy bekomen, ten zy een zodanig gemengd; Zilver dééls van een beter, en anderdeels van een: fJe^-  of REKENKCJNST, 69 ■flegter Aloy zy", en by gevolg moét het Aloy der gemengde Masfa minder dan dat van het beste, en meer dan dat van het flegtlte der foorten Zilver zyn, welke men tot de Vermenging gebruikt heeft. e) Wanneer men dus, by voorbeeld, van eene foort Zilver, van 10 Penningen fyn, van ieder Mark eene Penning afneemt, en in plaats derzelve 1 Penning Koper byvoegt , wordt het Zilver 1 Penning flegter, en houdt dus flegts 9 Penningen fyn. In tegendeel , wanneer men van die foort Zilver ï Penning Koper aifcheidt, en daar voor 1 Penning fyn Zilver in plaats brengt , wordt het Zilver 1 Penning beter, naamlyk van n Penningen fyn. : Hier uit is openbaar, hoe men tweeërlei Zilver van onderfcheiden Aloy zodanig kan vermengen, dat het gemengde een begeerd Midden-Aloy hebbe. Hier toe zullen wy gebruik maaken vsn den volgenden Regel. 1. Schryft hèt gegeeven beter en flegter Aloy onder malkander; en het begeerd Midden.Aloy ter zyde aan de linkerhand. 2. Trekt het Midden - Aloy van het betere af, en fchryft het komend Verlchil nevens het flegtere, achter eene ftreep van affcheiding, ter rechterhand. 3. Trekt het flegrst Aloy van het Midden -Aloy af, en fchryft het Verfchil nevens het best Aloy. dan toonen de Verfcliillen aan , hoe veel Marken of Deelen van ieder foort Zilver genomen moeten worden. I. Voorbeeld. Iemand heeft tot zeker Werk Zilver van 9 Penningen fyn noodig; nu heeft hy daar toe geen ander Zilver dan _ 3 van  AR.ITHMETICA van 6 en n Penningen fyn , en begeert *derhalven te weeten , Ao? v«l Marken hy van dat /letter en beter Zilver moet faamenfmelten , om het begeerde te bekomen? Volgens den naastvoorgaanden Regel komt dit Voorbeeld aldus te ftaan: i ■» j . TaMark.vanó") -».„_ 6Penn. a\dus moer j LPenn. V' 9 u |3rhyneem.^3 vaQ „ j fyn. Of ook, zo dikwyls als men van het 6 Pennings Zilver a Marken neemt, moet van het n Pennings Zilver 3 Marken genomen worden. Want, wanneer men van het eerfte Zilver, dat in ieder Mark. 3 Penningen fyn te weinig heeft, a Marken neemt, dan is het Ontbreekende a maal 3 of 6 Penningen fyn: waar uit volgt, dat als men van die a Marken 6 Penningen Koper afneemt, en daar voor 6 Penningen fyn in plaats brengt, het veranderd Zilver alsdan, volgens den eisch, Q Penningen fyn zal houden (Aanmerk, e, Pag.69 ). Zo ook, wanneer men van het ander Zilver, dat in ieder Mark a Penn. fyn te ryk is, 3 Marken neemt, dan is het Overblyvende 3 maal 2 ot 6 leuningen fyn: wanneer men derhalven van de-laarstgemelde 3 Marken 6 Penningen fyn afneemt, en daar voor 6 Penningen Koper in plaats brengt, wordt het Zilver desgelyks, naar den eisch, van 9 Penningen fyn (Ibid Aanm. e.). lntusfchen is het produtï van a maal 3 gelyk aan dat van 3 maal 3, naamlyk 6; waar uit derhalven duidelyk blykt, dat.afo men zo veel fyn Zilver, welke de 3 Marken è n Penn. fvn te veel houden, by de a Marken der eerfte foort a 6 Penn. fyn voegt; daarentegen van de laatfte foort even zo veel Koper afneemt, en by de  of REKENKUNST, 71 Éerstgemelde 3 Marken voegt , alsaan de beide fobrten Zilver, engevolglyk ook de gemengde Klomp YMixtum) (Aanmerk, a, Pag. 68), naar den eisch, fcan 9 Penningen fyn zullen worden. Aangezien nu ftiier uit openbaar is, dat uit 2 Mark. van het eerfte biet 3 Mark. van het andere Zilver, te faamen ver(mengd, eene Masfa van 9 Penningen fyn ontftaat, zo volgt, dat ook 2, 3 of 4 maal a Marken van het eerfte, met a, 3 of 4 maal 3 Marken van het laatlte Zilver in de Vermenging insgelyks een y Pennings Zilver uitleeveren (Md Aanmerk, b.), en dat derhalven in 't algemeen tot elke begeerde Masfa, die ld Penningen fyn zal houden , a Deelen van het eerfte, en 3 Deelen van het ander Zilver moeten genomen worden. , . , Wanneer dus de Deelen, welke van ieder genomen moeten worden , gevonden zyn, kan men voorts uit de gegeevene Hoeveelheid des eenen Zilvers, dat men begeert te vermengen , de Hoeveelheid van het | andere door den Regel van Drieën vinden. II. Voorbeeld. Een Muntmeester heeft ao Marken Zilver van 10 1 Penningen ia Greinen fyn het u Mark. 8 Oneen van 15, en 6 Marken van 21 Car. fyn het Mark. 23. Iemand heeft 18 Marken Zilver van ir Penningen fvn het Mark, en begeert hetzelve, door byvoeging van Koper, tot 8 Penningen fyn het Mark te brengen Hoe veel Mailcen Koper moet hy daar toe neemt-n? Antw. 6 Marken 6 Oneen. 24. Iemand hebbende Zilver van io Penningen fyn het Mark , begeert hetzelve zodanig met Koper te vermengen , dat de gemengde Masfa 25 Marken weege , eti 8 Penningen fyn het Mark houde. Hoe veel moet hy van elks neemen? Antw. 20 Marken Zilver , en 5 Marken Koper. De Regel, dien wy hier boven (Pag. 69) op dit 'Geval toepasfelyk gemaakt hebben, was, zo als gezegd is , aüeenlyk van dienst, als men tweeërlei Zilver van onderfcheiden Aloy begeert te v.rmengen, zulks dat het gemengde een begeerd MiddenAloy hebbe; doch als meer dan tweeërlei Zilver van onderfcheiden Aloy op de zelfde wyze met malkander vermengd moeten worden, is die Regel niet genoegzaam, door dat dezelve alsdan eenige uitbreiding en nadere verklaaring vereischt. Wy verkiezen daarom dien Regel, met eenige verandering, nog eens te herbaalen, om voor de ingewikkelder gevallen, waar in meerdere foorten voorkomen, te kunnen dienen. R e o e l. 1. Schryft de Getallen , welke van iedere foort het Aloy uitdrukken, op die wyze, als in Art. 1 van den naastvoorgaanden Kegel gezegd is. 2. Neemt in acht, welk Aloy beter en welk flegter dan het begeerd Aloy is {Aanmerk, d, pag. 68); zoekt voorts  of REKENKUNST. 75 voorts de beseerde Deelen of Verfchillen eerstelylc tot een beter en flegter Aloy, daar na wederom tot een beter en flegter Aloy, telkens op de zelfde wyze, als in den voorgaanden Regel Art. 2 en 3 , is aangetoond, tot dat gy alle de noodige Verfchillen achter de ftreep van affcheiding gevonden hebt. 3. Addeert de gevondene Verfchillen, welke by ééne foort Zilver meer dan eens voorkomen, te faamen, dan heeft men de gezochte Deelen. IV. Voorbeeld. Iemand heeft drie foorten 7Aher, ah A vantf, B van 7 , en C van 11 Penningen fyn, begeert echter dezelve te faamen te mengen, en van ieder foort Zilver iets daar toe te neemen (alzo hy anders met A en B , of A en C alleen zyn oogm rk zou kunnen bereiken), zodanig dat, hst gemengd Zilver 9 Penningen fyn houde. De \raag is, hoe veel hy van ieder moet neemen? 4i Penn. | 2 | 2 | 4 9 7 | 2 | 2 | 4 11 | 4|. 2 | 61 j 13 Deeze Bewerking moet aldus verftaan worden: wanneer men A met C vermengt, heeft men voor de eerfte 2, en voor de andere 4I. Wanneer men voorts B met C vermengt, heeft men voor de eerfte 2 , en voor de andere insgelyks 2. Derhalven addeert men a* en de daar nevens ftaande 2 te faamen , dan is de Som 61. By gevolg zyn de gezochte Deelen 2. 2, 6i, of in geheele GetalJen 4, 4, 13. Want, als men van A 2, en van C 4! Marken; ,|ls ook in 't byzonder vaa B 2, en van C a Mar-  76 ARITHMETICA Marken faamenmengt, zo komt in beide geval!*n, jn gevolge hetgeen wy boven (Pag. 70) betoogd hebben, het begeerd 9 Pennirgs Zilver. Wanneer men intusfchen deeze twee gevondene Mengfelen andermaal faamenvoegt, moet het voorig Aloy, naamlyk 9 Penningen fyn, onve;anderd blyven (Aanmerk, a, Pag. 68). Derhalven moet buiten alle tegenfpraak het begeerd Aloy voortkomen, als men van A 2, van B 2, en van C4* -f 2 Marken, of 65 Marken faamenfmelt. Voorts is het mede klaarblyklyk, dat, wanneer men de gevondene Deelen des Mengfels van A en C, of Ben C,naar welgevallen 2, 3 of 4 maal enz. zo groot neemt, en deeze aldus vergroote Deelen by de gevondene Deelen des anderen Mengfels voegt, nogthans in alle opzichten het begeerd Aloy moet voortkomen. Want wanneer de Deelen der gemelde twee Mengfelen eens gevonden zyn , kan noch de gemelde vergrooting der Deelen, noch de verdere faamenvoeging der beide Mengfelen , voorts geen de minfte verandering in het Aloy maaken (Aanmerk, a en b, Pag. 68). Wanneer dus, in bet voorgaande Voorbeeld, de Deelen 2 en 4I tot het Mengfel van A en C, als ook de Deelen 2 én 2 tot het Mengfel van B en C gevonden zyn; kan men de 2 en 45 met een willekeurig Getal Vergrooten of verkleinen , en de komende grootere of kleinere Deelen by de andere Deelen 2 en 2 voegen: of men kan de Deelen 2 en 2 met een willekeurig Getal vergrooten cf verkleinen, en de komende Deelen by de Deelen 2 en 4? voegen: of eindelyk kan men zo wel de Deelen 2 tn 4I, als de andere Deelen 2 en 2, ieder byzonder met een willekeurig Getal vergrooten of verkleinen , en de komende Deelen faamenvoegen.  or REKENKUNST. 77 By voorbeeld. Als men de Deelen 2 en 4* met 4 vergroot, bekomt men voor A 8, en voor C 10 Deden. Deeze gevoegd by de Deelen van liet andere Mengfel, waar toe van li 2, en van C % Deelen moeten genomen worden, heeft men van A 8, van B 2, en van C 18 + 2, of 20 Deelen. Zo ook wanneer men de Deelen 2 en 2 door 3 verkleint, zal men 1 voor B, 'en 1 voor C bekotnen. Deeze gevoegd by de Deelen 2 en 45, heeft men van A 2, van B 1, en van C 4> + 11 ot 5i Deelen. Eindelyk wanneer men de Deelen 3 en 4* met 2 en de Deelen 2 en 2 met 3 vergroot, heeft men in 't eerfte geval 4 en 9, en in 't tweede 6 en 6; welke te karnen gevoegd zynde, heeft men van A 4, van B 6, en van C 9 + 6 of 15 Deel. Dat deeze aldus gevondene Antwoorden volkomen aan den eisch voldoen, kan, naar aanleiding van het eerfte Geval deezes Regels, zeer gemaklyk door Proeven geftaafd worden. ... Even als onze laatst gegeevene Regel in het voorgaande Voorbeeld op drie foorten van Zilver is toegepast, kan dezelve ook by meerdere foorten van Zilver toepaslelyk gemaakt worden. V. Voorbeeld. Iemand heeft vier foorten Zilver, als A van 3, B van 6, C van 10, en D van n Penningen fyn, begeert dezelve faamen te mengen, en van ieder foort Ztl%er iets daar toe te neemen, zoaanig dat het gemengd, Zilver 9 Penningen fyn houde. Hoe veel moet dan van ieder genomen worden? Mtr.  7$ A R I T H M E T I C A Eerfte Oplosjing. 3 Penn i . 2 3 1 * 6 1 . 2 3 1 . 9 ,0 6 .393 n 6 .393 In deeze Bewerkinge is 3 met 10 en 11, en 6 desgelyks met 10 en 11 vermengd. Tweede Oplosjing. 3 Penn. H 6 2 ! In deeze Bewerkinge is 3 9 10 6 r met 10, en 6 met 11 verm. 11 3j Derde Oplosjing. 3 Penn. 2"^ ó —:— 1 i In deeze Bewerkinge is 3 " 10— 3 r met 11, en 6 met 10 verm. 11 6 J Vierde Oplosjing. \ ^e".n 1 " 2 il In deeze Bewerkinge $ < 9 1Q - 6.5 0 r ■*? 3,met Ioen m 1en n ,_ 0 ■ gJ.o alleen metio verm. *V*e Oplosfing. 3 Penn. 1 . 2 -f] ^ deeze Bewerk, is 9 IO 6 .5 r* 3 met 10 en 1, , en 6 XI ó . 3 9 j met 11 alleen verm. Zes-  of REKENKUNST. 79 Zesde Oplosjing. I 1 P In deeze Bewerk, i* q 6 5 * , ■? r% met io, en 6 met 1U • i . ioen ii vermengd, li 3 3j Hetgeen wy by de Cyiosfiog van het voorgaande vierde Voorbeeld gezegd hebben, vindt nu hiei insgelyks plaats, n amlyk, dat men de Deelen van ieder Mengfel in 't by.onJer, nat*r welgevallen, kau vergroocen of verkleinen. Dus kan men, by voorbeeld, by de laatfte Vermenging de deelen des Mengfels van A en C, als r en 6, met 7 vergrooten, komt 7 en 42. ^ Deeze gevoegd by de Deelen des Mengfels van B , C en l) , weike , als in de zesde Oplosjing van het laatfte Voorbeeld te zien is, [ -f- 2 01 3, 3 en 3 zyn, zal men hebben van A 7, van B 3, van C 42 -t- 3 of 45, en van D 3 Deelen, Op zodanige wyze kunnen by de Vermengingen, welke uit meer dan twee foorten van onderfcheideir Zilver beftaan , voornaamlek door Vergrooting en Verkleining, een oneindig getal Antwoorden gevonden worden, welke alle Proef houden, en aan den I eisch voldoen. Om duidelyk te zyn, en tot grootere algemeen1 heid, kan men de Voorftellen, waar by meer dan | twee foorten van Zilver voorkomen , op de volgende I wyze op!oslën. I. Reduceert men de verfcheide foorten van Zilver 1 flegts tot tweeërlei, dat is, men neemt eenige van ) die foorten , en wel gevoeglykerwyze van ieder juist ' iMark, of ook , naar de omftanttigheid, zo veel Marken als men goedvindt te faamen, en men zoekt alsdan, volgens het eerfte Geval, het Aloy van dit Meng-  So ARITHMETICA Mengfel, mits in acht neemende, dat van zodanig tweeërlei Zilver het eene vaneen beter en het ander ■van een flegter Aloy dan het begeerde moet zyn. n. VVyders vermengt men dit tweeërlei Zilver op, die wyze, als in het eerfte Voorbeeld Pag. 69 geleerd wordt; dan vindt men de Deelen, welke van iedere foort genomen moeten worden. 3. Vinrft men door deeling, of, zo in de voorgaan, de ReduSiie van iedere foort niet even veel genomen mogt zyn, uit de Proportie der genomene Deelen, zeer gemaklyk hoe veel van ieder foort Zilver geno men moet worden. Het voorgaande IV. Voorbeeld komt dus naar deeze befchouwing aldus te ftaan: 4i Penn 7 , „ , . . Q jl pl 2 8, datis4van A, en 4 van B. 11 3i 13 van C. 10 £ 4 it ij r,w ,; 8 nav i\ At .. ,n En het voorgaande V. Voorbeeld ftaat dan aldus: fS^i *f 3> dat is if van A, en 1* van B. 9 10? . n510* 4* 9j dac is 4J van C, en 41 van D. 2? ' * ■ . iD at Of in geheele Getallen 3 van A, 3 van B , 9 van C, en 9 van D; of, door 3 verkleind, 1 van A, 1 van B, 3 van C, en 3 van D. Men  of REKENKUNST. U Men kan het laatfte Voorbeeld ook aldus bewerken. 3") I 6 >6\\ 263, datis vanA i,vanB r, en van C 1. I y 10J 11 |af 8 4 van D. Of anders op de volgende wyze: . $ ijóf 1J3, datisvanAi, vanBi, «nvanCi. 10 2|]7 van D. Meerdere veranderingen kunnen hier geenszias : plaats hebben; want aangezien een 3 Pennings Zilver flegter dan een 9 Pennings Zilver is, zomoet de eerfte foort Zilver met eene betere foort dan van l 9 Penningen vermengd worden. Daar nu de foorten B, C, D, of 6, 10, 11, te faamen vermengd zynde, eene foort opleeveren, die 9 Penningen fyn houdt, (want 6 -+- 10 -f- 11 door 3 gedivideerd, geeft 9), geeft zulks te kennen, dat men van de foorten B, C, D niet van ieder evenveel kan neemen. Nog minder kan men de foorten A, C, D, t of , 10, 11, op zodanige wyze te faamen vermen gen; want als men 3 + 10+ 11 door 3 deelt, is het Quotiënt 8, en dus minder dan 9. Om die zelf- i de reden worden in de naastvoorgaande Oplosfing van het IV. Voorbeeld niet de 7 en 11, en nog minder de a\ en 11 te faamen genomen. De reden van deeze Bewerkinge is uit het eerfte Geval, en het voorgaandeI. Voorbeeld, gemak- , lyk op te maaken. De veelerlei Antwoorden, welke by dergelyke Voorbeelden kunnen gevonden worden, zyn voorF - naam  fa ARITHMETICA naamlyk daartoe dienstig, dat men uit dezelven altoos diegeenen kan kiezen, welke het best te (lade komen; als men naamlyk van de eene foort Zilver gaeróe meerder, of zelfs 2> 3 of 4 maal zo veel, dan van de andere wil neemen. Wanneer men dus in het voorgaande IV. Voorbeeld van de foort A , die 4! Penningen fyn houdt, om redenen gaerne tweemaal zo veel als van de foort B, die 7 Penningen fyn houdt, wil neemen, ftaat de Bewerking aldus: >5l 2§- 6, dat is 4 van A, én 2 van B. 9 7 X 1J , 11 33 11 van C. Want al»s men 2 Marken van A, en 1 Mark van B faamenfmelt, en dus de Som van n maal 4S en 1 maal 7 door 3 divideert, komt het Aloy 5}, dat is een zodanig Zilver, waar in f van A, en f van B begreepen is. Nu hebben wij ten laatften gevonden , dat van de beide foorten A en B te faamen 6 Marken genomen moeten worden; eu om dat de Marken van A het dubbeld van die van B moeten zyn vindt men iedere foort byzonder op de volgende wyze: A 2 B 1 - Mark. f2? Antw. 4 Mafk. van A. s 6 { Li ? Antw. 2 Mark. van B. Om de nuttigheid van deeze manier van Rekenen duidelvk te doen zien , zullen wy nog de volgende Voorbeelden tot opheldering hier by voegen. 25'  of REKENKUNST. 83 25. Iemand heeft Wyn van 7,9, 11, 12, en 15 Stuivers de Kan, hoe veel Kannen kan hy van iedere foort neemen, op dat de Kan gemengde Wyn hem op 10 Stuiv. kome te ftaan? Antw. van A'7, van B 7, van C 7, van D 3, en van H 3 Kannen; of van A 8, van B 2, van C 3, van D 4, en van Ë 3 Kannen; enz, 26. Zo de voorfz, foortenxWyn van 8, 9, io, 14 en 15 Stuiv. de Kan waren, hoe veel Kannen zou hy dan van iedere foort kunnen neemen , op dat hy in alles hebbe 66 Kannen, die hem op 12 St. de Kan komen te ftaan? Antw. 10 van A , 10 van B, 10 van C, 18 van D, en 18 van Ü ; of 71 van A, 7| van B, 17$ van C, 175 van D, en 171 van E; enz. 27. Een Muntmeester heeft Goud van 12, 15, 19 en 22 Caraaten fyn het Mark , waar van hy 6 Marken wil faamenfmelten, zulks dat de gemeng- j de Masfa 20 Caraaten fyn het Mark houde. Hoe veel kan hy vtn iedere foort daar toeneemen ?Antw. 4 Oneen, 16 Eng. van A, 4 Oneen 16 Eng. van B , 4 Oneen 16 Eng. van C, en 4 Marken 1 Once 13 j Eng. van D ; enz. 3 28. Een Koornkooper heeft vier foorten van Rog| ge, kostende hem het Last van A 64 Gguld., van j B 72 Gguld., van C 85 Gguld., en van D 93 Ggl ; van deeze foorten wil hy 56 Lasten vermengen, zulks dat het gemengde Last op 80 Gguld. kome te ftaan. Hoe veel Lasten moet hy van iedere foort neemen? Antw. 12 Lasten van A, 12 Lasten van : B, 16 Lasten van C, en 16 Lasten van D; enz. 29. Iemand heeft drie foorten van Garst, kostende hem het Last van A 48 Gguld., van B 52 Gguld., en vau C 56 Gguld.; van deeze foorten wil hy faamenmengen 30 Lasten, zulks dat hem het gemengde Last op 50 Gguld. kome te fta^n, Hoe veel F 2 Las-  84 ARITHMBTICA Lasten kan hy van iedere foort neemen? Antw. 20 Lasten van A, 5 Lasten van B, en 5 Lasten van C; en langs eenen anderen weg, dan dien wy hier geleerd hebben , weet men, dat op dit Voorftel niet meer dan 7 Antwoorden in geheele Getallen te vin- J den zyn. 30. Een Brouwer heeft vier foorten van Bier, te weeten, van 15, 12, 8, en 4 Guldens de Ton, en begeert van deeze foorten in alles 105 Tonnen faamen te vermengen, zulks dat de gemengde Ton 14 Guldens waardig zy. Hoe veel Tonnen kan hy van iedere foort neemen? Antw. 90 Tonnen van A, 5 van B, 5 van C , en 5 van D. 31. Een Zilverfmit heeft drie foorten van Zilver, van 7i, 9 en 12 Penningen fyn het Mark; waarvan hy een Stuk Werks begeert te maaken, dat 20 Marken zal weegen, van 10* Penningen fyn het Mark. Men vraaat, hoe veel hy daar toe van iedere foort moet neemen ? Antw. 4 Marken van de eerfte, 4 Marken van de tweede, en 12 Marken van de derde foort. 32. Een Muntmeester heeft vter foorten van Zilver, van 8, ia, nen 12 Penningen fyn het Mark; waar van hy eene Masfa, weegende 54 Marken, wil faamenfmelten , van 9 Penningen fyn het Mark. Hoe veel Marken kan hy van iedere foort neemen? Antw. 36 Marken van de eerfte foort, en van de overige foorten 6 van ieder. 33. Iemand heeft Goud van 15, 17» 1°, 20 en 23 Caraaten fyn het Mark, waar van hy eene Masfi, weegende 36 Marken, wil vermengen, en welke 19 Caraaten fyn het Mark zal houden. Men vraagt , hoe veel hy daar toe van iedere foort kan neemei? Antw. 7i'Marken van de eerfte, 7! Mirken van de tweede, "is Marken vin de derde, 10* Marken van de vierde, en 9 Marken van de vyfde foort, 34'  of REKENKUNST.' 34. Iemand heeft 15 Marken Zilvervan 7*, 24 Marken van 9!, en 40 Marken van ioj Penningen fyn het Mark, begeert daarvan zo veel, als ten hoogften mogeiyk is , faamen te fmelten, op dat het gemengde Zilver <4 Penningen fyn het Mark houde. Nu is de vraag, of hy al dit Zilver noodig heeft, zo neen, hoe veel hy te rug moet houden? Antw. 2 Marken van io? Penningen fyn het Mark. 35. Iemand heeft 2 Marken Goud van n, 3 Marken van 21, en 4 Marken van 22 Caraaten fyn het Mark , wil daarvan eene Masfa faamenfraelten, zo zwaarals mogeiyk is,die 18 Caraaten fyn het Markzal houden. Zo hy nu al dit Goud daartoe niet noodig heeft, is de vraag, hoe veel Goud hy op 't minst ibuiten de Smeltkroes moet houden? Antw. 2| Marken van 22 Caraaten fyn het Mark. 36. Iemand heeft vier foorten Zilver, als 12 Marken van 7, 20 Marken van 8, 24 Marken van 10, en 28 Marken van 11 Penningen fyn het Mark, wil daar uit het mogeiyk grootfte Werk, van o| Penningen fyn het Mark, vervaardigen. Nu is de vraag, boe veel hy van iedere foort moet neemen? Antw. Hy moet 2 Marken 3 Oneen 4 Engels Zilver van 7 Penningen fyn het Mark buiten de Smeltkroes houden , dan zal het overige Zilver, ter bereiking van zyn oogmerk, juist genoegzaam zyn. REGEL COEC1S of VIRGINUM. Deeze Regel heeft met den Regel van Alligatio, voornaamlyk ten aanzien der tweede foort van Vermenging , zeer veel overeenkomst , vermits men daar door even dezelfde Voordellen oplost, welke door den laatften Kegel opgelost kunnen worden, niet tegenftaande men echter in veele gevallen het gezochte gemaklyker door den Regel van AUigatio , dan door den Regel Coecis, kan vinden. F 3 Daar  86 ARITHMETICA Daar intusfchen volgens deezen Regel even zo wel, als te vooren in den Regel van Alligatto , wanneer 'er meer dan twee Mengttoffen (Mifcibilta) zvn, dikwyls zeerveele, en zelfs, naar omltandigheid van zaaken, een onëindig getal .Antwoorden gevonden kunnen worden, en men even daar door lich buiten ftaat bevindt, om juist op het Antwoord te vallen, dat de Opgeever van een Voorftel begeert wèeten, ren w«e zulks blindlings en als by den ra te deelen , dat wanneer men elk derzelven met Z^b zondten r-aöor multipliceert, en de beide Pro" öen te faamen addeert, de torn aan een ander frèTuge^etÊett op de gemelde wyze, in meer dan twee onderfcheidene Deelen te deelen. Het eerfte deezer Gevallen wordt opgelost doer den volgenden Regel. 1. Multipliceert het opgegeeven Getal, dat gedeeld moet worden, met den kleinften itatior. 2. Trekt het Produtï van het gegeeven Getal af. 3 Deelt de Rest door het verfchil der beide FaSto- & TG* $  ei REKENKUNST. 87 res ' dan is het Quotiënt het deel, dat met den arootften Factor gemultipliceerd wordt. Eindelyk i. Trekt dit gevonden Deel van het gegeeven Getal, dat gedeeld moet worden, af; dan toont de Eest het begeerd ander Deel. Voorbeeld. Het Getal 20 in twee onderfcheidene Deelen zodani* te deelen, dat als men het eent nvt ia, en het andere met 16 multipliceert, de Som der beide Produften aga zy. . , Het Opftel der Berekening is nu, volgens den Regel, als volgt: Faftores J Verfch. a0 ia 16 j 4 29a Som der Pro* 340 12» a4@ af Kest 5a dit door het Verfch. 4 gedfv. Komt 13 één der begeerde Deelen. Deeze gevondene 13 van 20 afgetrokken, is het Overblvffel 7. Derhalven zyn de gezochte twee Deelen 13 en 7, welke juist de begeerde eigenrchap hebben. Want 13 X 16 = 2c& 7 X 13 "4 n Som 30 Som 393 de gegeevene Get. Zo dra de Leerling den gegeevenen1 Iftgel in dit en andere Voorbeelden weet te gebruiken, k»Q F 4 *  83 ARITHMETICA hy zich nog van het voordeel bedienen.' om da gegeevene Fatïores. en de Som, welke ter rechterhand ftaat, aanftonds, zo het doenlyk is, door Ha en het zelfde Getal te verkleinen; waar door de Uitrekening 0p de volgende wyze komt te ftaan. 4 go 161411 Verfch. 292 60 12I3I 4 73 60 af 13 dit door het Verf. 1 gediv. Komt 13, als vooren. >■■ Want, als men het Deel, dat met den grootfte» Faftor 16 gemultipliceerd moet worden, even zo wel als het andere Deel, flegts met den kleinften Fatlor ia multipliceert, dan onthoudt het komende Produtï, in plaats van het 16 vouwdige, flegts het 12 vouwdige, en dus het viervouwdige minder. Derhalven moet het Produtï van 20, de bom der beide Deelen, met den kleinften Fatïor 12 gemultipliceerd, even zo veel kleiner zyn, dan de gegeevene Som 292 der beide Produtïen, als het gemelde viervouwdige bedraagt. Waar uit volgt, dat als men dit Beloop door 4 divideert, het komend Quotiënt ontwyffelbaar het Deel zal voortbrengen, dat met 16 gemultipliceerd moet worden. Wanneer nu dit Deel gevonden, en van 20 afgetrokken is, zo is het van zelfs blykbaar, dat het overblyffel het begeerd andere Deel zal zyn. Wat voorts het verkleinen aangaat, de reden daar voor is niet ver te zoeken, als zynde uit  of REKENKUNST. 89 aft onze gelegde gronden openbaar. Want, in gevolge hetgeen wy in ons 11. Deel wegens de Verkleining geleerd hebben , wordt een Product dies te kleiner, naar maate één van deszelfs Factores kleiner genomen wordt. . Wanner men dienvolgens de twee (aamengeftelde Producten 292 zo wel, als een Factor van iedere Vermeenigvuldiging, waar uit die Produtïen ontftaan zyn, naamlyk 16 en 12, door een zelfde Getal 4 verkleint, zo blyven hunne andere twee FaStores, naamlyk de gezochte Deelen 13 en 7, in alle opzichten onveiënderlyk de zelfde. Hier uit is derhalven openbaar, dat men de gegeevene Fuclores, en de Som, die ter rechterhand ftaat, ook met het zelfde Getal mag vergrooten, ten einde daar door de Breuken, welke in het Opftel mogten worden gevonden , te doen verdwynen. Het tweede der bedoelde Gevallen wordt opgelost door deezen Regel. 1. Gaat eerst even zo te werk , als in de twee eerfte Artikelen des voorgaanden Repels geleerd is. 2. Trekt den gegeeven kleinften Factor van elk der grootfte Fa&oret af; waar door men twee of meer Verfchillen bekomt. 3. Deelt de Rest, in Art. 3 des voorgaanden Re. gels gemeld, in even zo veel Deelen, als 'er Verfchillen zyn; ten einde dezelve achtervolgens door de gevondene Verfchillm te divideeren, en de Quotiënten zullen alsdan de Deelen aanwyzen, welke met ieder der gegeevene Faclores gemultipliceerd moeten worden. F 5 4-  §o ARITHMETICA 4. Addeert deeze Quotiënten, of gevondene Deelen , te faamen, en trekt de Som van het gegeeven Getal, dat gedeeld moet worden, af j dan is déRest her begeerd overige Deel, dat met den kleinften Faïïor gemultipliceerd moet worden. Derhalven heeft men hierby nog op te merken 5. Dat alhoewel de Deelen, waarvan in Art. 3 deezes Regels gefproken is, willekeurig gefteld kunnen worden, men dezelveu echter zodanig behoort te neemen, dat de Som van hunne Quotiënten, of de begeerde eerfte Deelen, van het ie deelen gegeeven Getal afgetrokken zynde, voor het te vinden overig Deel nog iets overblyft. Als ook 6. Wanneer de gezochte Deelen eeniglyk in geheele Getallen begeerd worden, men alsdan de gemelde Deelen , zo het flegts mogeiyk is, zodanig moet neemen, dat de Quotiënten geheele Getallen zyn. Voorts kan men, 7. li.ven als in den voorgaanden Regel geleerd Is, hier, zo het doenlyk is, dea weg van verkleining volgen. Voorbeeld. Het Getal 20 in drie onderfcheidene Deelen zodanig te deelen, dat 10 maal het eerfte. 12 maal het tweede, en 15 maal het derde Deel te faamen 264 uitmaaken. Het Opftel der berekening is nu, volgens deezen Regel, weder als volgt: Verfch. 20 : 10 15 5 ^4 200 12 2 200 af 10 ■ Rest 64 . DeezeÓ4moetnu in twe« Deelen gefcheiden worden, by voorbeeld in  ofREKENKüNST. 91 in ko en 14, en men deelt vervolgens het Deel ïo door het Verfchil 5, en het Deel 14, door het Verfchil 2; dan vindt men in het eerlte Quatknt 10 voor het begeerd Deel dat met 15 ge. multipliceerd moet worden,en in het tweede QuaS 7 voor het tweede Deel, dat met 12 geu.ulpücee/d moet worden Derhalven trekt met.10 \_H 2— l? van 20 af, dan is het Overblytfel 3 het dêrdë Deel, dat met 10 gemultipliceerd moet worden. Want 10 x 15 ==: I§° 7 X 12 zhzz °4 3 x 10 = 3° Som ao Som 264 de gegeevene Getall. Het Bewys van deezen Regel komt in alle op, zichten met dat des voorgaanden overeen. Od zodanige wyze kan men in dit Voorbeeld het , overblyvend Getal 64 nog op een oneindig getal andere wyzen verdeelen, als men flegts daar by des voorgaanden Regels in acht neemt. , Men itelle, by voorbeeld, voor de Deelen van 64 de Getallen 61 en 3; ™ men dan 61 ^ *\ea ; q door t divideert, bekomt men tot Quotiënten ïii en li. By gevolg kunnen de begeerde dr«s \ Deelen zyn U en 6§5, welke aan den eisen voldoen, als blykt uit de volgende PROEVE. 12| X 15= l83 \\ X 12 = lö te deelen. J»te deelen. 4 door aj 14 door 2J 40 door 5, en 34 door 2 te deelen, kan men daarom niet neemen , om dat de Som der Quotiënten 8 •+- 13 20, van 20 afgetrokken zynde, voor bet begeerd derde Deel niets overlaat. Derhalven kunnen by dit Voorbeeld ook niet meer dan twee Antwoorden in geheele Getallen mogeiyk zyn. Want de gezochte Deelen van 20 moeten of 13, s, 6; of 10, 7, 3, zyn. De grootfte zwaarigheid, hier by voorkomende, is daar in gelegen, dat men, in de gemelde fcheiding, de Deelen, welke in hunne Quotiënten loutere geheele Getallen opleeveren , meenigmaal door het bloot geheugen niet zo vaardig kan ter neder ftellen j echter kunnen dezelve door bondige fluitredenen, op Rekenkundige gronden fteunende, altoos uitgevonden , en alle mogelyke Antwoorden daargefteld worden, of, zo zulks, wegens de groote meenigte Aniwoorden te moeijelvk mogt zyn, is men ten minften evenwel in ftaat, het getal der Antwoorden, welke met mogelykheid gevonden kunnen worden , geheel naauwkeurig te bepaalen. Zo noodig als nu zodanige aanwyzing i«, om naamlyk , in de gemelde fcheidirjg, de Deelen van zodanige eigenfchap, zonder blindelings te zoeken , maar door eene gegreinde berekening, te vinden; wordt echter in alle onze Rekenboeken in 't gemeen,  foF REKENKUNST. 93 f meen , onder het opfchrift van deezen Regel, niet* 1 het minde daarvan aangeroerd. Om die reden heb 1 ik niet willen nalaaten deeze handelwyze hier te i verklaaren, en by ieder Voorbeeld, zo ver het nooij die is, te gelyk aan te toonen, hoedanig, in de 1 meer gedachte fcheiding, de Deelen gevonden kun| nen worden. i I De by het laatfte Voorbeeld aangetoonde Deelen tl worden dus op de volgende wyze gevonden: waiiI neer men overweegt, dat van het Getal 64 een I Deel begeerd wordt, dat door 3 effen deelbaar is, I en 64 zelf, als de Hom der beide StukkeninsgeI lyks door 2 deelbaar is , zo moet noodwendig ook I het begéérd andere Deel door 2 effen deelbaar zyn. ] Doch dit andere Deel moet ook door 5 deelbaar I zyn; derhalven moer hetzelve, vermits 1 en 5 geen I gemeene Maat hebben, ook door 10 deelbaar zyn. \ fiy gevolg kan dit laatfte Deel hier ^ten ander Getal 1 dan 50 of óo zyn, zo als boven te zien is. Deeze beide hier vooren gegeevene Regelen, welke wy door Getallen verklaard hebben , is de eigenlyke Regtl Coeds, die verders op zekere zaakenen voorvallen toegepast kan worden. Wy zullen dezelve daarom aanftonds op een Voorbeeld van den Regel van Alligatio , waar van wy 2 het laatst gehandeld hebben, toepasfen, «1 hetzel1 ve aldus voordragen : Een Muntmeester hebbende tweeërlei Zilver van o en 10 Penningen fyn het Mark, wil daar van eene J Masfa, van 32 Marken zwaar, faamenfmeiten, zulks I dat het gemengde 9 Penningen fyn het Mark houde. Men vraagt, hoe veel hy van iedere foort kan neemen? Aangezien iedere Masfa Zilver zo veele Pennini gen fyn in zich bevat, als het Produtï. 't welk > voortkomt, wanneer men het getal der Marken met I de Penningen fyn, welk in ieder Mark onthouden zyn,  94 ARITHM ET IC A zyn, multipliceert, zo moet de begeerde gemengde Masfa van 32 Marken noodwendig 200 veele Pennin«en fyn houden, als de Som is der beide Producten, welke ontdaan, wanneer het getal der Marken van bet 6 Pennings Zilver met 6, en het getal der Marken van het 10 Pennings Zilver met 10 gemultipliceerd wordt. Intusfchen*moeten de gemengde 32 Marken van 9 Penningen fyn het Mark zyn, en by gevolg 32 maal 9, of 288 Penningen fyn bevatten. Om aie reden moeten de opgegeevene 32 Marken zodanig in twee Deelen verdeeld worden, dat als men het eerfte Deel met 6, en het andere met 10 multipliceert, en de jbeide Producten, te faamen addeert, de Som 288 zy. Dienvolgens komt dit Voordel in alle opzichten overeen met het Voorbeeld op onzen eerfteu Regel pag 87, en men vindt, op die wyze, 8 Marken van 6, en 24 Marken van 10 Penningen fyn het Mark. Op gelyke wyze kan ook het Voorbeeld van onzen tweeden Kegel pag. 90 op de vermenging van Zilver, of ook op andere voorwerpen toepasfelyk gemaakt worden. Kn men zal van alle de Voorftellen, welke men gewoon is door den Re-el Caecis op te loslen, indien dezelve, zo als boven getoond is, beoordeeld worden, altoos bevinden, dat in dezelve niets anders gezocht wordt, dan hetgeen wy in de beide aangehaalde Voorbeelden va:i onze gegeevene Regelen verklaard hebben. Het lust ons dit nog door andere Voorbeelden op te helderen, en nader te verklaaren. a) In een Giethuis heeft men aan fyn Metaal in voorraad, het Centenaar A tot 40, B tot 30, en C tot 24 Ryksdaalders; hier uit moet een Werk van 60 Centenaars gegooten worden, dat echter , buiten. Arbeidsloon, niet hooger dan op 2000 Ryksd. zal komen te ftaan.  of REKENKUNST. 95 ftaan. Men vraagt, hoe veel van ieder Metaal daartoe genomen moet worden ? f De Oplosfing van dit Voorftel komt naar den iRegel Coecis aldus te ftaan: 2 60 Cent. 40 20 8 Rd ia 3° tS 3 a 720 24 12 IQOO 720 af Rest 280, welke in twee Deelen , by voorbeeld in 200 en 80, gelcheiden moet worden. Divideert nu de 200 door 8, komt 25 van A, en de 80 door 3, komt a6| van B, en 60 — 25 — 265 of 8$ van C. P R O E V E. Cent. 25 x 40 Rd. zrm 1000 Rd. s> 2Ó| X 30 * 800 *= o 8f X 24 * ~~ZZ 200 => Som Cent. 60 Som 2000 Rd. het beg. ï, Aanmerking. Op zodanige wyze kunnen in dit Voorbeeld, zo 1 als wy boven by het Voorbeeld des tweeden Rei gels reeds aangemerkt hebben, oneindig veel Ant, woorden gevonden wordsn. Wanneer mea echter de  $6 ARITHMETICA de Antwoorden volftrekt in geheele Getallen begeert, kunnen hier niet meer dan 4 Antwoorden plaats hebben. Want het overblyvend Getal 280 kan dan niet anders, als op de volgende vier wyzen, in tweeën gelcheiden worden, naamlyk: 356 door 8 r 232 door 8 » 208 door 8 " 24 door 3 48 door 3 or 72 door 3 184 door 8"ï of Me deelen. 96 door 3 j 160 door 8, en 120 door 3 te deelen kunnen daarom niet genomen worden, om dat de Som hunnen Quotiënten 20 •+■ 40 ~ 60 van 60 afgetrokken zyn-. de , voor C niets overlaat. Derhalven kunnen by dit Voorftel geen andere Antwoorden in geheele: Getallen, dan de vier volgende, mogeiyk zyn. Van A 32 29126123") B 8 r6 24 32 ?• Centenaars. C 20 15) io| 5J II. Aanmerking. De Deelen in deeze fcheidicg worden op de zelfde wyze gevonden, als boven Pag. 93 gezegd is.; Want aangezien 280 door 8 deelbaar is, moeien dei beide Deelen van dat Getal, en dus ook het ander Deel, waar in 3 naauwkeurig begreepen moet zyn , door 8 deelbaar zyn ; dewyl nu 3 en 8 geen gemeenei Maat hebben, zo moet dit laatfte ook door 24 ge* deeld kunnen worden. Derhalven. kan hetzelve bier niet anders zyn, als 24, 48, 72 of 96, zo als boven te zien is. III,  of REKENKUNST. n III, Aanmerking. Nademaal, in de fcheiding, gemaklyker van klei* ne dan van groote Getallen de Deelen gevonden kunnen worden , moet men zich hier dies re meer daar op toeleggen, om de gegeevene faSores tegen de Som, die ter rechterhand ftaat, naar moge» lykheid te verkleinen. b) Iemand heeft drie foorten Goud, als A van 20, B van 12, en C van 5 Caraaten fyn het Mark; zo hy nu een Werk van 50 Marken, houdende 16 Caraaten fyn het Mark, uit deeze drie foorten wil vervaar di» gen, doch van ieder foort geheele Marken daar toe ver. kiest te neemen: vraagt men, hoe veel Marken van itde. re foort genomen moeten worden ? Verfch. 50 Mark. 20 15 5° Mark. j 12 7 a 16 Car. 250 5 800 Car. fyn 250 «» af Rest 550 Car. fyn. Dit Overblyffel moet nu in twee Deden zodanig gefcheiden worden, dat het eerfte door 15, en het andere door 7 deelbaar zy, om reden dat het Antw. tfolftrekt in geheele Getallen begeerd wordt. Deeze Deelen kunnen hier geen andere zyn, als 40a en 70. Dus 480 door 15I fkomt 32 van A* S> gedeeld < 70 door 7J tkomt 10 van o*. By gevolg 50 — (3* + 10) of 8 van C. g Zyn?:  9o~ ARITHMETICA Zynde het eenïgfte Antwoord, dat in geheele Gé* tallen gevonden kan worden. Men zou het Overblyffel 550 nog in twee ande» re Deelen kunnen feheiden, naamlyk 375 en 175 ; doch vermits men alsdan 25 vóór A, en 25 voor B vindt, waar door 'er voor C niets zou overblyven, kan deeze fcheiding geen Antwoord opleveren. ÏV. Aanmerking. De Deelen, in deeze fcheiding voorkomende, worden aldus gevonden: aangezien het Getal 550 noch door 15, noch door 7 deelbaar is, zo zoekt het Getal, dat overblyft, als men 550 door één van beiden, by voorbeeld door 15, deelt; deeze Rest is dan 10. Wil men dan nu het Deel van 550 hebben, dat door 15 naauwkeurig deelbaar is, zo moet het ander overige Deel een zodanig Getal zyn, dat door 15 gedivideerd zynde, 10 overlaat. Maar dit ander Deel moet door 7 effen deelbaar zyn; derhalven moet een zodanig Getal onder 550 gezocht worden, dat door 7 naauwkeurig deelbaar is, en door 15 gedeeld zynde, 10 overlaat. Dus is dit Deel of 70, of 175, of 280, of 385, of 490. Nu kan hier, in gevolge Art. 5 van den naastvoorgaanden tweeden Reeë! pag. 90, niet hetDeel 175,èn nog minder 280, 385,of 490, genomen worden ; derhalven kan het ander Deel riet anders als 70, en by gevolg het eerfte Deel niet anders als 480 zyn. Er blyft, wel ik waar, hier nog eene groote zwaarigheid ""over , naamlyk om door gefchikte .Rekening een Getal te vinden , dat door 7 naauwkeurig deelbaar is, en door 15 gedeeld zynde, 10 overlaat. Doch wy zullen op het einde van deezen  of REKENKUNST. $d men Regel hier toe genoegzaam aanleiding geeven» jtn over dat onderwerp in t byzonder handelen. e) twintig Perfoonen, Mannen, Vrouweni enjongé f Dochters verteer en te faamen 72 Guldens\ daartoe heeft ieder Man 8 Guld. . iedere Vrouw 4 Gtófd., efi efe jongs Dochter 2 GuW gegeeven. Men fraagt + hoe 'veel annen, Vrouwen en jonge Dochters 'er gtiveest zyn ? Werkt aldus: 3 814 3 72 Guld. 20 Perf. 41a 1 3— » 2|i 36 20 af Rest ió Dit Getal 16 moet, vermits de bepaaling van dit Voorftel geen Antw. in Breuken toelaat (alzo het ongerymd zou zyn van i Man, | Vrouw enz. te fpreeken), zodanig gefcheiden worden, dat het Antwoord in geheele Getallen, zonder Breuken, komt. Scheidt derhalven deeze 16 in 15 en 1, en divideert de 15 door 3, komt 5 Mannert, en de 1 door 1 , komt een Vrouw. By gevolg 20 — (5 + 1) of 14 jonge Dochters» PROEVE. 5 Mannen a 8 Guld ƒ40 1 Vrouw a 4 * " % 14 jonge D.i 2 * *% Som 30 Perfoonen. Som ƒ 72hetbeg* G ü Het  too ARITHMETICA Het gemeld getal 16 kan ook noggefcheiden wordec in 12 , of 9 , of 6 , of 3 , en 4 , 7 , 10 , 13. Zo dat dit Voorftel 5 Antwoorden in geheele Getallen toelaat, naamlyk: 5 4 31 2 1 Mannen. 1 4 7 10 13 Vrouwen. 14 12 iOt 8 6 jonge Dochters. <0 Iemand koopt 100 Stuks Vee, als Os/en, Koeijen, Aalveren en Schaapen, waar voor hy in alles bekleedt 600 Guldens; naamlyk een Os voor 60 Guld., een Koe voor 30 Guld., een Kalf voer 12 Guld., en een Schaap voor 3 Guld. Hoe veel Osfen, Koei'jen, Kalveren en Schaapen zyn 'er geweest ? 3 00 20 19 * 100 Stuks. 30 10 9 600 Guld, 12 4 3 3 > 3 1 200 100 af Rest 100 . Dit Getal moet, vermits dit Voordel, even zo min als hec naastvoorgaande , Breuken toelaat, zodanig in 3 Deelen gefchciden worden, dat het Antwoord in geheele Getallen, zonder Breuken, komt. Scheidt derhalven de bovenltaande 100 in 19, 72, en 9, en divideert de 19 door 19, komt 1 Os, de 72 door 9, komt 8 Koeijen, en de 9 door 3, komt 3 Kalveren By gevolg 100 — (1 +8-1-3) of 88 Schaapen. ' P R O E-  o 9 REKENKUNST. PROEVE. i Os ft 60 Guld ƒ 60 8 Koeijen ft 30 * * 240 ,j 3 Kalver. ft 12 * * 36 88 Schaap, è 3 * '264 100 Stuks Vee. ( Som ƒ 600. Men kan hier echter in de fcheiding, wanneer men voor het eerfte Deel 19 neemt, de overige 100 19, of 81, op 8 onderfcheidene wyzen verdee» len; want 81 door 9 gedivideerd, komt tot Qw tient 8, en blyft nog 9 overig voor het derde Deel. Zo men echter voor het eerfte Deel 76 neemt, kunnen de ovcige 24 op 2 onderfcheidene wyzen verdeeld worden; want 24 door 9 gedivideerd, komt tot Quotiënt 2, en blyft nog 6 overig voor het derde Deel. Dus kan men hier in 't algemeen 8 -J- 3 , dat is 10> Antwoorden vinden, naamlyk: ilili 1 1 1 1 144 Osfen. 1 1 8765432121 Koeijen. ] 3 6 912 15 18 21 24 1 5 Kalveren. 88 86[84l8a 80 78 76 74 93 90 Schaapen. e) Iemand hopt voor 600 Guldens vier foorten Tabak» van A het fg voor 1 Guld., van B het & voor 2 Guld. , van C het fg voor 3 Guld., en van O het fg voor 4 Guld., ontfangt van iedere foort geheele Ponden, en in alles 300 fg. Men vraagt, hoe veel Ponden hy van iedere foort gekocht heeft, en wel voornaamlyk het veel Antwoorden in gebttle Getallen hierop te vinden zjn? G 4 Verfch»  ffti ARITHMETICA Verfch. 4 3 3 a 300 (S 3 x 600 Guld, 1 500 af Rest 300. Deeze 300 moeten nu zodanig in 3 Deelen gefcheiden worden, dat het eerfte Deel door 3, het tweede door 3, en bet derde door 1 deelbaar is. Als men r,u voor het eer. fte Deel 3 neemt, kan het overblyvend Getal 297 op 148 onderfcheidene wyzen verdeeld worden ; want 297 door 3 gedivideerd, komt 148, en 'er blyft nog 1 voor hjt derde Deel overig. Zo men echter voor het eerfte Deel 6 neemt, kan het overblyvend Ge. tal 294 op 146 onderfcheidene wyzen verdeeld wor. den; want 394 door 3 gedeeld, komt 146, en 'er blyft Dog a voor het derde Deel overig. Neemende verders 9 voor het eerfte Deel, kan het overblyvend Getal 291 op 145 onderfcheidene wyzen verdeeld worden; want 291 door 2 gedeeld, komt 145, en 'er blyft nog » voor bet derde Deel overig Neemende wederom 13 voor het eerfte Deel, kan het overblyvend Getal 288 op 143 onderfcheidene wyzen verdeeld worden; want 288door 2 gedivideerd , (tornt 14 - en 'er blyft nog 2 voor het derde Deel overig, "üp zodanige wyze kan men verder voorrgaan, tor dar men voor het eerfte Deel 297, en yopr de beide overige Deelen 3 ftek, welke flegts op éére w\ze verdeeld kunnen worden; want 3 door 2 gedjvidecrd, komt 1, en 'er blyft nog 1 voor hef derde Deel overig. Derhalven kunnen hier in 'ta'gemeen zo veel Antwoorden gevonden worden, als de S^m van 148 + 146 -f- 145 -b 143 -h 142 -f14? °b ^c. -}- 1 bedraagt. Wanneer men nu de orde van "iee?e Reeks gadeflaat, ziet men aanftonds, dat de Leden, by verwisfeling s dan met 3, en dan we-  of REKENKUNST. J03 Jweder met 1 , geduurig afneemeD. Des halven kan amen deeze Reeks als twee byzondere Arithmttifche Wrogresfien befchouwen, van welken de eene 148 , 14a &c. en de andere 14Ó , 143» M° 18» |en welke beide met het Verfchil 3 afklimmen. Dejwyl nogthans het kieinfte Lid 1 is, zo moet de eer*ite Progresfie, behalven het kieinfte Lid, nog zo ijveel Leden hebben, als het Verfchil 3 in 148 be* vgreepen is, en de tweede insgelyks, behalven hec .ildeinfte Lid, nog zo veel Leden, als het verfchil 3 in 146 begreepen is. Derhalven divideert men 148, als ook 146, elk door 3, zo bekomt men 49 Leden ivoor de eerfte Progresfie, en 'er blyft nog 1 voor ihet kieinfte Lid over; en 48 Leden voor de andere ïProzresfie, en 'er blyft nog 2 voor het kieinfte Lid Ever. Dus beftaat de eerfte Progresfie uit 50 Ledea, ivan welken de beide uiterften 148 en 1 zyn ; als mede de andere Progresfie uit 49 Leden , van welken 'de beide uiterften 146 en 2 zyn. In gevolge vindt fcen, door de eigenfchap der Arithmetifche Progresfie, het getal Antwoorden aldus: 148 gr ~) 146 grA ' 1 klj 2 kl.J 149 l$ 2————-* f f X 50 - 25 74 . muit; 49 Leden. 3735 Som der eer- 1 f fte Progresfie. 3616 Som der and. Progresfie. Derhalven zyn op dit Voorftel 3725 + 3óaö =:| 7351 Antwoorden te vinden.  J©4 ARITHMETICA Wy zullen van deeze Antwoorden twee ter neder (tellen , welke ontftaau , wanneer het derde Deel, in de fcheiding, het mogeiyk grootfte, of ook wanneer hetzelve het mogeiyk kieinfte Getal is. Het eerfte Antwoord wordt gevonden , als men de overhlyvende 300 in 3, 2 en 295 fcheidt; doch hec laatfte, wanneer zodanige 300 in 297, 2 eu 1 afgedeeld wordt. De eerfte fcheiding geeft het volgende Antwoord. 1 $ van D, 1 fg van C, 295 fg van B, en •> fg van A. Door de tweede fcheiding bekomen wy het volgende Antwoord . 99 fg van D, 1 fg van C, 1 fg van B, en 199 fè van A. PROEVE. \ 1 f8 van D a f\ ƒ 4 1 * " Ca/3 3 395 * e B a ƒ 2 * 590 3 * * A kf 1 * 3 Som 300 fg ƒ 600 het beg. Wyders 99 fë van D & ƒ 4 ƒ396 1 fs van C è f 3 3 1 fg van B i ƒ 2 # 2 . < 199 fg van A k ƒ 1 f 199 Som 300 fg ƒ 600 het beg. Daar nu deeze beide Antwoorden, in welke B eens fcel mogeiyk grootfte, en een* het mogeiyk kieinfte Ge-  of REKENKUNST. tos Getal is, aan den eisch voldoen, zo moeten ook, buiten twyffel, alle andere Antwoorden , welke tusfchen deeze gevonden worden , hec Voorftel oplosfen. Voorbeelden tot oeffening. i. Zestien Perfoonen, als Mannen en Vrouwen, hebben te faamen verteerd 57 Stuivers, waar toe 5eder Man moet betaalen 4 Stuiv., en elke Vrouw 3 Stuiv. De vraag is, hoe veel Mannen en Vrouwen 'er geweest zyn? Antw. 9 Mannen, en 7 Vrouwen. 2i Vyf - en twintig Perfoonen , als Mannen en Vrouwen, hebben te deelen 255 Guldens, waar van ieder Man moet hebben 7, en iedere Vrouw 12 Guldens. De vraag is, hoe veel Mannen en Vrouwen 'er geweest "zyn? Antw. 9 Mannen en 16 Vrouwen. 3. Zo 24 Perfoonen, Mannen, Vrouwen en Kinderen, te faamen verteerd hebben 43 Stuivers: een Man 3 Stuiv. , een Vrouw 2 Stuiv., en een Kind 8 Penningen. Men vraagt, hoe veel Mannen , Vrouwen en Kinderen 'er geweest zyn? Antw. 1 Man, 19 Vrouwen, 4 Kinderen; of 4 Mannen, 14 Vrouwen, 6 Kinderen; of 7 Mannen, 9 Vrouwen, 8 Kinderen; of 10 Mannen, 4 Vrouwen , 10 Kinderen. 4. Een Zilverfrait heeft drie foorten Zilver, van 7, 9 en 11 Penningen fyn het Mark; wil daar van een Werk maaken van 20 Marken, dat 10 Penningen fyn het Mark zal houden. Men vraagt hoe veel hy van iedere foort moet neemen ? Antw. van A 1, B 8, C 11; of A 2, B 6, C 12; o£ A 3, B 4, C 13; of A 4, B 2, C 14 Marken. G $ 5*  ARITHMETICA 5, Iemand koopt 20 Stuks Vogelen, van drie onderfcheidene foorten, voor 6 Guldens, als naamlyk Kuikens, Duiven , en Snippen. De Kuikens kosten hem 12 Stuiv., de Duiven 4 Stuiv. , en de Snippen 1 Stuiver 't Stuk. Hoe veel (tuks heeft hy van elke foort gekocht? Antw. 8Kuikens, 4 Duiven, en8Snippen. 6. Zo 22 Perfoonen, Mannen, Vrouwen, en Kinderen , te faamen 20 Guldens verteerd hebben, te weeten, een Man 3 Guldens, een Vrouw 15 Stuivers, en een Kind 4 Stuivers, vraagt men, hoe veel Mannen, Vrouwen, en Kinderen'er geweest zyn? Antw. 4 Mannen, 8 Vrouwen, en 10 Kind. 7, Iemand koopt 40 Vogelen van drie onderfcheidene foorten, te weeten Patryfen , Leeuwerikken en Kwakkels, voor 4 Guld. 18 Stuiv., en betaalt 3 Stuiv. voor een Patrys, een halve Stuiver voor een Leeuwerik, en 4 Stuiv. voor een Kwakkel. Men vraagt hoe veel Vogelen 'er van iedere foort kunnen geweest zyn? Antw. 27 Patryfen, 10 Leeuwerikken, 3 Kwakkels; of 20 Patryfen , 12 Leeuwerikken, 8 Kwakkels; of 13 Patryfen, 14 Leeuwerikken, 13 Kwakkels; of 6 Patryfen, ió Leeuwerikken, 18 Kwakkels. 8. Iemand koopt 36 Stuks Vee voor ƒ 780, te weeten Osfen, Kalveren, Schaapen, en Varkens; be« fteedende voor een Os f 50, voor een Kalf ƒ 16, voor een Schaap ƒ 10, en voor een Varken/14, Men vraagt , hoe veel Stuks 'er van iedere foort kunnen geweest zyn? Antw. Men kan hier 18 onderfcheidene uitkomften vinden, als; Osfen 7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8, Ka'veren 14,16, 18,20.22,2,4,6,8,10,12,14,16, Schapen 1,2,3,4,5, 4,5, 6,7, 8,9,10, n , Varkens 14,11,8,5,2,22,19,16,13,10,7,4» 1, Osfen  of REKENKUNST». fejfr Osfen 9, 9, 9, 9, 10. Kalveren 2, 4, 6, 8, 2. Schappen 13, 14, 15, 16, 22. Vaikens 12, 9, 6, 3, 2. 9. Op een vrolyk Gastmaal zyn 100 Perfoonen, als Mannen, Vryers , Vrouwen, en Vrysters, welke te faamen verteerd hebben 60 Guldens, Daartoe betaalt een Man 16 Stuiv , een Vryer 10 Stuiv., een Vrouw 8 Stuiv., en een Vryster 6 Stuiv. Hoe veel Perfoonen zyn 'er van ieder geweest? Antw. 59 Mannen. 2 Vryers, 1 Vrouw, en 38 Vrysters; (&c. In alles kan men hier 31a Antwoorden vinden, io Iemand koopt 200 lillen Lint voor 20 Guldens, als Blaauw a 1 Stuiv., Geel k if Stuiv., Rood k 2 Stuiv., en Wit h ai Stuiv. de Él Men vraagt, hoe veel Ellen hy van iedere foort kan gekocht hebben, en hoe veel Antwoorden in geheele Ge. tallen hierop te vinden zyn? Antw. 30 Ellen Blaauw, 40 Ellen Geel, 30 Ellen Rood, 100 Ellen wit L,int; &c. In alles kunnen hier 3234 Antwoorden in geheele Getallen gevonden worden. 11. Een Heer geeft uit liefdaadigheid 100 Daalders aan 50 noodlydende Perfoonen, naamlyk een Man 3 Daalders, een Vrouw 2 Daalders, een Jongman 1 Daalder, en een Jonge Dochter * Daalder Oe vraag is, hoe veel 'ervan ieder geweest zyn? Antw. 04 Mannen , 3 Vrouwen , 21 Jongmans , 2 Joiïge Dochters , êrV. Kunnende hier in 't geheel 106. 'Antwoorden gevonden worden, 12. Een Zilverfmit heeft viererlei Zilver , houdende de eerfte foort of A het Mark 15, B 14, C 10, en D 9 Lood fyn, begeert; daarvan een Werk faamen te fmelten, 't welk 30 Marken weegt , en waar van het Mark 12 Lood fyn inhoudt. Men vraagt, hoe yeel hy van elke foort van Zilver hier toe moet neemen ?  le^ ARITHMETICA men? Antw. van A io, van B 3, van C r5, ea van ü 2 Marken; enz. in ailes 106 Antwoorden in geheele Getallen. Wy hebben hier vooren (pag. 98) gezegd, dat wy aan het einde van deezen Kegel zouden toonen, hoe men Arithmeticb een Getal kan vinden , dat door een gegeeven Getal effen deelbaar is, en door een ander gegeeven Getal gedeeld wordende , een gegeeven Rest overlaat. Thans zullen wy daar toe overgaan; dan het moeit ons alvooiens de vernederende belydenis te moeten doen, dat onze te geevene^ Leerwyze van eenen hoogeren afkomst dan de Arithmttica is, en 'er een meer dan gemeen doorzicrit vereischt wordt, om den grond onzer Leerwy. ze wel te bevatten. Wy zullen daarom aanftonds tot een Voorbeeld overgaan, waar in men het mogeiyk kieinfte Getal leert vinden, dat door een gegeeven Getal deelbaar is , en door een ander gegeeven Getal, dat met den eerften Deeler geen gemeene Maat heeft, gedeeld zynde, 1 tot Rest overlaat. Als, om een Getal te vinden, dat door 342 deelbaar is, en door 221 gedeeld zynde, 1 overlaat. Alvoorens tot de bewerking over te gaan, zullen wy aanmerken, dat men by het divideeren van Getallen, welke niet volkomen deelbaar zyn, of het weezenlyk Quotiënt in een geheel Getal kan ter nederzetten, en zeggen daar blyft een Rest, of dat men het Quotiënt 1 grooter kan neemen , dan het weezenlyk is, en zeggen, daar komt nog zo veel te kort , als het Verfchil tusfchen de voorgaande Mest en den Deeler is. Wanneer men ondertusfchen van een ondeelbaar Getal zo veel afneemt, ais in de Deeiing overblyftj of zo veel, als het Verfchil tusfchen zodanige Rest en den Deeler is, daar by veegt, zo moet alsdan de Deeling even op. gaan. En in dien zin noemen wy het gemeld Verfchil: bet Complement of de Aanvulling, Eer-  of REKENKUNST. 109 Eerste Manier. Divideert 221 in 342, tornt tot Quotiënt 1, dat niet gerekend wordt, en men heeft tot Rest 121. Wederom divideert 221 door 121, komt tot Quo* tient 2, en men heeft tot Om* plement 21. Divideert 221 door 21, komt tot Quotiënt 11, en men heeft tot Complement 10. Divideert 221 door ro, komt tot Quotiënt 23, cn men heeft tot Complement 9. Divideert 221 door 9, komt tot Quotiënt 25 , era men heeft tot Complement 4. Divideert 221 door 4, komt tot Quotiënt 56, en men heeft tot Complement 3. Divideert 221 door 3, komt tot Quotiënt 74, en men heeft tot Complement 1. Daar wy nu eindelyk 1 tot Complement verkreegeni hebben, zo multipliceert de gevondene Quotiënten 2, 11, 23» 25, 56, 74 te faamen, komr 52421600. Dit Produtï door 22r gedivideerd zynde, zal de Rest 179 zyn. Hetwelk aantoont, dat als men 342, de naauwkeurige Deeler van het gezocht Getal, met 179 multipliceert, het daar uit voortkomend Product 61218 aan den eisch zal voldoen. Tweede Manier. Divideert 221 in 342, komt tot Quotiënt 1, en men heeft tot Rest 121. Divideert 221 door 121, komt tot Quotiënt 1, en men heeft tot Rest 100. Divideert 121 door 100, komt tot Quotiënt l, es men heeft tot Rest 21. Divideert 100 door 21, komt tot Quotiënt 4, en men heef; tot Rest 16,  ïïo ARITHMETICA Divideert 21 door 16, komt tot Quotiënt r, en inert .heeft tot Rest 5. Divideert 16 door 5, komt tot Quotiënt 3, en men heeft tot Rest 1. Daar nu de Rest 1 is, zo multipliceert voorts alle Quotiënten, naar hunne orde , met malkander, en addeert tot ieder Produtï geduurig het naast daar boven gefchreeven Getal. Aldus; Het eerfte Quotiënt' 1 Met 1, het tweede Quotiënt, gemuit. . 1 Meti, het derde Quot., gemuit., +1. 2 Met 4, het 40e. Quot. gemuit., -f- 1. . . 9 Met 1, het 5de. Quot., gemuit., + 2. . n Met 3, het 6de. Quot., gemuit., + 9. 42 Naardien 'er nu zes Quotiënten zyn , en dus het getal der verrichte DivUien even is, moet men Ce laatstgevondene 42 van 221 aftrekker^, als wanneer 'er, zo als by de voonge manier getoond is, 179 overblyft. In tegendeel, zo het kwam te gebeuren, dat het getal der Deelen oneven was, zou de gevonden 42 zelf het Getal zyn , dat, met 34a gemultipliceerd zynde, aan den eisch zal voldoen. Iemand die het vermogen bezit, om eene zaak, na weinig overdenking, grondig door te zien, (welke voorwerpen , zo onze ondervinding ons niet bedriegt, op het gantfche Mensen dom gerekend , m ar zeer weinig in getal zyn), zai niet alleen in Haar zyn den grond van deezt Bewerkingen te kunnen navorfchen , maar ook meeaigmaal bevinden, dat;  o F REKENKUNST. lil dat de eerde Manier eene merkelyke verkorting toegevoegd kan worden, als men in fommige gevallen hcr Quotiënt meer dan i groorer dan het waare Quotiënt neemt, en zich van de hier toe behoorenue Complementen in het vervolg der Bewerkinge bedienr, waar door men dikwyls dies te eerder het Complement i bekomt. ïndïeh het Voordel omgekeerd wordt, naamlyk als men een Getal begeert te vinden, dat door 221 deelbaar is, en door 342 gedeeld wordende 1 overlaat, kan men nog op de zelfde wyze tewerk gaan; en wanneer het Getal 179 gevonden ïs, trekt men hetzelve van "t kieinfte (ietal 221 af, als wanneer 'er 42 overblyft» Deeze Rest met het grootfte Getal 342 gemultipliceerd, en tot het Produtï altoos 1 geaddeerd, bekomt men in dit geval 14365, voor het begeerd Getal, dat door 221 deelbaar is, en door 342 gedeeld zynde, 1 overlaat. Hebbende nu getoond , hoe men Getallen kan vinden, welke door een gegeeven Getal deelbaar zyn, endoor een ander getal gedeeldzynde, 1 overlaaten, is het voorts gemaklyk uit twee gegeevene Deelers, van welke natuur die ook mögen zyn, als zy flegts geen gemeene Maat hebben , en' hunne Overfchotten, het gedeeld of verborgen Getal bekend te maaken. Wy zullen dit aanftonds door een Voorbeeld verklaaren. Voorbeeld. Alle de Getallen onder 750 te vinden , welke door 7 deelbaar zyn, endoor 22 gedeeld zynde , 10 overlaateh - Men ziet, volgenséénder boven getoonde manieren, zeer fchielyk, dat 133 het Jcleiofte Getal is. dat door 7 deelbaar is, en door 22 gedeeld zynde 1 overlaat. Multipliceert derhalven' de gegeevene Rest io nvt 133; dan is hec Produtï 1330. Dit Pro>  lis A R I T H M E T I C A ProduEt moet nu altoos door het Produtï der beide gegeevene Deelers 7 en 22, zvnde 154, gedivideerd worden; dan is de Rest 98 het kieinfte Getal, dat door 7 deelbaar is, en dat, door 32 gedeeld zyn. de, 10 overlaat. Aangezien nu hier niet alleen het kieinfte Getal, maar ook alle andere Getallen van zodanige eigenfchap, die kleiner dan 750 zyn, beseerd worden, addeert men by het gevonden Getal 98 het gemelde Produtï 154 zo meenigmaal, als zulks onder 600 doenlyk is; als: 98 + 154 ~ 252, 252 + 154 —~ 406, 406 4- 154 56o , 560 + 154 714. Derhalven zyn de begeerde Getallen 98, 253, 4.06, 560, en 714. Wv zullen dit nog door Voorftel van den Regel Cascis opbel deren, en verkiezen hier toe No. 29 uit het Arithmetisch Zinnen ■ Confett van P. Halke, vermits hetzelve maar weinig Antwoorden oplevert. Zie hier hetzelve. Gekocht zynde drie foorten van Sreceryen te faamen Aoooo fg voorf 120000; van de eerJle foort kost het tg #7.4:-, van de tweede f 5 ■ 8 : van de derd* 10 St. l Penning. De vraag is, hoe veel Antwoorden m geheele Getallen hier op kunnen gevonden worden, en wel- Ae Naaien Regel Cmcis wordt dit Voorftel aldus opgefteld: fg 40000 A2304P. 2143 f 12000 Ü1_i6i b 1728- 1507 — 32® Penn. ,440000 C *6i- 38450000 —■■ afgetr. Rest 319Ó0000 1 Der<  o t REKENKUNST. 113 D«rhalven moet deeze Rest in twee Deelen gefcheiden word«n, zodanig dat het eene door 2143, en het andere door 1567. naauwkeurig deelbaar zy. Nu worden de Deelen in deeze fcheiding, zo als vooren geleerd is, op de volgende; wyze gevonden. Want vermits het Getal 31960000 noch door 2143, noch door 1567 deelbaar is, zoekt men één van de beide Kesten, naamlyk van 2143; deeze Rest is 1441. Wanneer men derhalven het Des3 van 31960000 begeert te vinden, dat door 2143 naauwkeurig deelbaar is, zo moet het overige of andere Deel een zodanig Getal zyn, dat, door 2143 gedeeld zynde, 1441 overlaat. Intusfchen moet dit andere Deel ook door 1567 deelbaar xyn. Derhalven moeteen zodanig Getai ouder 31960000 gezocht worden, dat door 1567 naauwkeurig deelbaar is, eo, door 2,43 gedeeld zynde, t^.41 overlaat. Om bier toe te geraaken, moeten wy eerst hec kieinfte Getal vinden, dat door 1567 naauwkeurig deelbaar is , en, door 3143 gedeeld zynde , 1 overlaat , aldus : Divideert 2143 door 1567, komt tot Qjiotient I, en men heeft tot Rest 57Ó. Divideert 1567 door 576, komt tot Quotiënt a, en men heeft tot Rest 415. Divideert 576 door 415, komt tot Quotiënt 1, en men heeft tot Rest 161. Divideert 415 door 161, komt tot Quotiënt a, en men heeft tot Rest 93. Divideert 161 door 93, komt tot Quotiënt 1, en men heeft tot Rest 68. Divideert 93 door 68, komt tot Quotiënt 1, en men heeft tot Rest 25. Divideert 68 door 25, komt tot Quotiënt a, en men heeft tot Rest j8. h Di-  ii4 ARITHMETICA Divideert 35 door 18, komt tot Quotiënt 1, en men heeft tot Rest 7 Divideert 18 door 7, komt tot Quotiënt 3, en men heelt tot Rest 4. Divideert- 7 door 4, komt tot/Quotiënt 1 , en men heeft tot Rest 3. Divideert 4 door 3 , komt tot Quotiënt 1, en men heeft tot Rest I* Dus is het getal der verrichte Divifiën oneven. Derhalven Het eerüe Quotiënt 1 Met 3, het tweede Quotiënt gemuit. . . a Met 1, het 3e. Qiiot., gemuit. + 1 . . 3 Met 2, het 4e. Quot., gemuit. + 2 . . 8 Met 1, het 5e. Qjiot., gemuit. + 3 . . u Met 1, het 6' Quot., gemuit. + 8 . . 19 Jvïet 2, het 7e. Quot,, gemulr. + n . 49 Met i , het 8e. Quot,, gemuit. + 19 . 68 Met 2, het 9e. Quot., gemuit, -f- 49 . 185 Met 1, het ioe. Quot., gemuit. +68. 353 Met 1, het ne. Quot,, gemuit,-1-185 ..438 dit van het kieinfte Getal 1567 afgetrokken, rest 1129. Dienvolgens 2143 x 1129 + 1 — 3419448, het kieinfte Getal dat door 1567 naauwkeurig deelbaar is; en, door 3143 gedeeld zynde , 1 overlaat. Om  of REKENKUNST. 115 Om nü het kieinfte Getal te vinden, dat door 1567 naauwkeurig deelbaar is, en, door 2143 gedeeld zynde, 1441 overlaat, moeten wy 2419448 X 1441 ~ 348642568 door 15Ó7 x 2143 — 3358°8x divideeren, dan is de Rest, die ua de Deeling overblyft, naamlyk 736490, het begeerde getal. Maat wv moeten alle de Getallen van die eigen» fchap vinden, welke kleiner dan 319Ó0000 zyn. Derhalven 736490 -|- 3358081 " 4094571 s 4094571 -:- 3358081 ~zr 74^653, 7452652+ 3358081 10810733, 10810733 -+- 3358081 —— 14168814^ 14168814 4- 3358081 — ~ 17526895, 17526895 *t- 3358081 — — 20004970, 2088497Ó -+- 3358081 " 24243057, 24243057 -h 3358081 n— 27601138, 37Ó01138 -r- 3358081 -= 30959219, Waar uit blykt, dat ds begeerde Deelen op 10 onderfcheidene wyzen genomen kunnen worden , naamlyk: 1) A 31223510 of 2) A 27865429 B 736490 B 409^571 of3)A 24507348 of 4") A 21:49267 B 7452653 > B 10810733 0f5)A 14168814" of 6) A 14433105 B 14168814 B 170-6895 of 7)A 11075034 of 8) Pi 7716943 B 20884976 B 24243057 öf 9ÏA 4358062 ofio)A 1000781 B 27601138 li 30959219 By gevolg zyn op dit Voorftel 10 onderfcheide* ne Antwoorden te vinden , welke in het NederH % duuscn  n6 ARITHMETICA duitsch Zinnen-MConfe£t 'van P. Halcke zyn c^gegecven. REGEL FA LSI of RE GEL van VALSCliE POSITIEN. Deeze Regel wordt falfi cf van valfche pofitien genoemd, om dat men in 't begin, in plaats van het gezochte Antwoord , een Getal naar welgevallen neemt, en evenwel naderhand uit zodanig vahch Getal het waare Antwoord afleidt. Hier by komen twee Gevallen voor: in 't eerfte wordt het waars Antwoord door het ftellen van een enkeld valsch Getal gevonden; doch in 't andere vindt men hetzelve door twee geftelde valfche Getallen. Om die reden noemt men het eerfte Geval de enkelde Regel van valfche pofitien QRegulam Falfi fimplicis pofinonis); en het tweede Geval de dubbelde < f faamengeftelde Regel van valfche pofitien (Regulam Falfi duplicïs p'fitionis. Het eerfte Geval, waar in maar eene Pofirie voorkomt , wordt gevoeglyk opgelost door den volgenden Algemeenen Regel. 1. Stelt, in plaats van het gezochte, een naar wel. gevallen genomen Getal, en wel een zodanig, dat, om aan de Conditiën van het Voorftel te voldoen, voor de bewerking gemaklyk is. 2. Handelt met hetzelve naar aanleiding van het Voorftel, en zo dan eindelyk niet het Getal ten voorfehyn komt, dat 'er, volgens het Voorftel, moesr komen, maakt men gebruik van de volgende Evenredigheid : 3.  or REKENKUNST. 117 f'3. Het Getal, dat men eindelyk gevonden heeft, j ftaat tot het valsch Getal, dat in den beginne gefteld is, als het Getal, dat men, volgens het Voorftel, moest vinden, tot het begeerde waare Getal. Her gevonden Antwoord zal alsdan aan het begeerde voldoen. Voorbeeld. Ik heb een Getal met 4 gemultipliceerd, het Pro. dutl door 3 gedivideerd, het Quotiënt voorts met § gemultipliceerd, en hier uit \ \ genumen; waarna ik het Getal 440bekwam. Ik vr::ag , wat myn Getalgeweest is? Stel dat het begeerde Getal 75 zy. Handelt dan met dit Getal volgens het Voorftel, naamlyk, multipliceert het met 4, komt 300. Dit ProdutT: door 3 gedivideerd, vindt men tot Quotiënt 100. Dit met f gemultipliceerd, komt 'er 60. Hier uit eindelyk {L genomen, bekomt men het Getal 44, dat, volgens het Voorftel, 440 zou moeten zyn. Derhalven werkt men, volgens den Regel van Drieën, alaus; 44. u . . 75 440? Antw. 750 het begeerde Getal. Voorbeelden op dit eerste Geval tot oefening. 1. Van een mand Appelen wordt verkocht de ~, en van de Rest nog de en men bevindt nog 35 Appelen in de mand te zyn. Vraage, hoe veel Appelen in de mand zyn geweest? Anrw. 84 Appelen. 2. Ik heb een Getal, wanneer ik de * en xe van hetzelve daar by addeere; en J, 5 en §5 uit het komende van herzei ve fubstraheere, dat de Rest 400 zy, Vraage, hoe groot myn Getal zy? Antw. 480. H 3 3  u8 ARITHMETICA 3. Pythagoras gevraagd zynde naar 't getal zyner Leerlingen, antwoordde: de helft van dezelve ftudeeren in de Wiskunde, het vierendeel iade Muziek, het zevende'deel leeren zwysen, en bovendien zyn 'er nog drie Vrouwen. De vraag is hoe veel Leerlingen 'er in alles geweest zyn? Antw. 08. 3. Iemand gevraagd zynde naar zyn ouderdom, antwoordde: ware ik nog éénmaal zo oud, nog f en J maal zo oud, met nog 1 Jaar, zou ik juist 100 jaaren oud zyn. Hoe oud is hy geweest? Antw. 36 Jaaren. 5. Drie Perfoonen A. R, en C hebben te faamen' 1000 Guldens te deelen, zodanig: dat B ij maal zo veel ais C, en C ^ maal zo veel als A en B te faamen, en nog daarenboven de resteerenrie 40 Guldens zal hebben. Hoe veel moet elk hebben? Antw. A 320 , B 480, en C aoo Guldens. 6. Vier Perfoonen hebben te faamen 3520 Guldens te deelen ; waar van B tweemaal zo veel moet hebben als A ,• C even zo veel als A en B, en D even zo veel als B en C te faamen. Hoe veel zal ieder van hun ontfangen? Antw. A 320, B; 640, C 960, en D 1600 Guldens. 7. Drie Perioonen hebben met malkanderen, -p een Gastmaal, 22 Guldens verteerd; waar toe u e Guld. meer dan A; en C even zo veel als A en B te faamen betaalt. Hoe veel heeft elk v:rteerd? Antw. A 3, B 8, enCn Guldens. 8. Het Getal 100 in drie Deelen te deelen, zodanig dat het tweede 2 meer zy dan het dubbeld van het eerfte , en dat ook het derde 2 meer zy dan driemaal het tweede? Antw. de Deelen zyn 10, 22 en óo. o. Altxa.nd.ir de Groote eens met den Philofooph Calisthenui van zynen en zyner Vrierden ouderdom fpreekende, zeide: ik beu 3 Jaaren ouder  op REKENKUNST. dan EPhestion, en Clitus is 4 Ja»™ ouder, daa wv beiden te faamen; waarop Calisthenus antwoordde: uwe Majefteit maakt my h.er door indachtiz, dut myn Vader, die 96 Jaaren heeft geleefd bv zyn overlyden even zo oud was , als KV nu alle drie te faamen zyt. Men vraagt, hoe oud Alexander en zyne Vrienden, in dien tyd, ieder byzonder geweest zyn? Antw. Akxander 24, Fthestion 22, en Clitus 50 Jaaren. 10. Zo gy, geachte Leerling, het voorgaande,wel begreepen'hebt, verklaart my dan het Öraffchnft van den beroemden Diophantus dat in de volgende bewoordingen vervat is: Diophantus heeft het zesde deel van zyn leven in de kindsheid doorgebg, een twaalfde deel in de jongelingfchap; na dat een zevende deel van zynen ouderdom, en daarenboven vyf jaaren, in een onvruchtbaar hutelyk verlopen waren/kreeg hy een zoon, die, na dat hy de helft des ouderdoms van zynen VaSer bereikt hadt, iüerf, en zynen Vader• flegts 4 Taaren overleefde. In 't byzonder begeer ik te weeten, hoe oud Diophantus was, toen hy iherf? AHet twééde'Geval van deezen Regel, waar in twee Pofitien voorkomen, wordt opgelost door den volgenden Algemeenen Regel. 1. Neem twee ongelyke Getallen voor de beide Pofitien, en handelt met ieaer van dezelve, naar aanleiding van het Voorftel. , "onderzoekt welke de Verfchil en zyn tnjTc hen het komende van deeze onderftelde GetaHen, en Eet Getal, dat men, vo gens het Voorftel moest vindeBi fteHende het teken + by het Getal dat  |*> ARITHMETICA gfeSe^ hC£GetaI' d" hec Getal heeft voortÏÏ ragt enbe,^Td VDderfleId derftelde GetaHen*met ^et veïch 1^5^ ^ r ke tekenen ^7^^\SS^£f4 +» en vóór het andere --— ftaat £De men het Verlcbil der gemelde ,"«. S' J5" hec verfchil der beide Bevonden" 5,2£ d?T Laat het Getal zyn 80 Df I24 7-3 ■ a É^bv 60 hy a° 28 '5 af 15 af ' v — % komt ii« komt s8.* Dech  or REKENKUNST: ïii Doch de uitkomst moet, volgens het Voorftel, 6y elk deezer onderttellingen 100 zyn, en daarom zyn de onderftelde Getallen 80 en 124 valfche Getallen. Naardien echter 28J meer dan 1 if, alsmede 124 meer dan 80 is, ziet men, dat het waare Getal, 't welk gevenden moet worden, en waar door men eene uitkomst moet vinden, die grooter dan 28I (naamlyk ioo_)is, ook grooter dan 124 moet zyn. Derhalven heeft men, volgeas Art. 3 tu 5 des Regels , deeze bewerkinge. 100 — nj geeft 88» te klein. loo — 28J ... 71 §. te klein. Derhalven — 88J x 124 zzz 110224 - 71J x 80 -~ 5688I afgetr. Verfch. 175 5333! I?r rintw. 300het beg. Getal. Tweede Manier. ■ Ah de beide onderjlelde Getallen tt groot gemmett vorden. Stel \oor de Getallen 410 of 520 2 ■ 2 820 1040 60 by 60 by 880 IIOO II — II 1 80 100 i_5_af 15 af Rest 65 Rest 85 2| 2£ H 5 Waar  J32 ARITHMETICA Waar uit wederom blykt, dat het waare Getal t welk men moet vinden , en dat eene uitkomst moet voortbrengen, die kleiner dan 1444 is, ook kleiner dan 410 moet zyn. Derhalven 1441 — 100 geeft 44^ te groot. i8o£ — 100 geeft 88J te groot. + 88| x 410 — 36444* + 44l X 520 — 331 lij — afgetr. Verfch. 445 13333! 44p -T-r Antw. 300 let begeerde Getal, als vooren. Derde Manier. Als van de onderjtelde Getallen het eene te groot, en het andere te klein genomen wordt. Stel voor de Getallen 102 of 399 204 798 60 by 60 by 264 858" ii ! ii 24 78 15 af 15 af Rest 9 Rest 63 30 140 De zelfde reden, waarvan by de voorgaande bewerkingen gefproken is, doet ook in dit geval zien, dat  of REKENKUNST. ïüS dat het waare Getal, 't welk men mort vinden, en dat meer dan ao, en minder dan 140.moet voortbrengen, ook grooter dan 80, en kleiner dan 399 zal moeten zyn. Derhalven IC0 _ 20 geeft 80 te klein. 140 — 100 geeft 40 te groot. Daarom — 80 x 399 — j- 40 x ioa: : 4000 f ' . . verg. Som 120 36oo° Antw. 330 het beg. Getal. tweede Voorbeeld, 1 In eene vrolyks Byëenkomst hebben 35 Perfoonen, Mannen en Vrouwen, te faamen 100 Ryksdaalders verteerd; daar toe heeft ieder Man 8, en iedere Vrouw 6 Guldens betaald. Men vraagt, hoe veel Mannen en Vrouwen ieder in 't byzonder daar geweest zyn? Het getal der Mannen zy 10 a ƒ 8 . . . ƒ 80 By gevolg dat der Vrouw. 25 a1/6 . . .-150 Som ƒ 230, die volgens het Voorftel ƒ 250 zou moeten zyn; dus is de gevonden Som 20 te klein. U Wederom ftel voor het get. der M. lóhfS . .ƒ128 By gevolg is dat der Vrouw. 19a/6 . .0114 Som ƒ242, die, zo als boven gezegd is, ƒ 250 zou moeten zyn j dus is de laatfte Som 8 te klein. Waar  XH ARITHMETICA Si ri ► me5 dan 10 is' het gezochte waar Wni2 " "leer dan243 Cnaamlyk 250) moet voo brengen , ook grooter dan 16 moet zyn. Derhah-en hebben wy, volgens denRegel, deezeBewStag« — 20 X 16 ' 330' — 8 x 10 —~ 80 VerfcnTTT 13 Antw. 20 Mannen. By gevolg 15 Vrouwen. Indien men de eerfte Onderftelling laat blyven, en W de tweede het getal der Mannen te groo? neemt kan men aldus te werk gaan: neemt, Stel voor het getal der Mannen 243/8 . fia» Dan is dat der Vronwen 11 a/Ó . . ; 66 dienvolgens het Voorftel, ƒ 250 zou mo£e( zvn • dus is de gevondene Sotn 8 te groot. y * t*lE^-y™ieij*Wen' dat het gez'ochte waar Ge- tóïï ft sx — 20 k 24 rzz 480 + ^ x 10 zz: 80 Som 28 Som 560 V"S' 28 Antw. 20 Mannen. By gevolg 15 Vrouwen. 'la,  of REKENKUNST. 135 Indien men aanftonds het getal der Vrouwen begeerde te vinden, om het getal der Mannen daar uit af te'leiden, zou men den volgendea weginflaan. Stel voor het getal der Vrouwen zokfó . . / 130 Dan is dat der Mannen 15 a/" 8 . . * 130 Som ƒ 240, die, volgens het Voordel, ƒ 350 zou moeten zyn; is de gevondene Som 10 te klein. Stel wederom voor ket get. der V. 9a/6 . ƒ 54 Dan is dat der Mannen 36 kf 8 . » 308 Som/363, die, volgens het Voordel ƒ 350 zou moeten zyn ; dus is de gevondene Som 13 te groot. Derhalven + 13 x 20 ~n 340 — 10 x 9 —~ 90 verg. Som 23 330 22 Antw. 15 Vrouwen. By gevolg 20 Mannen Voorbeelden op dit tweede G e v a t ioï oeffening. 11. Van een Stuk Linnen wordt verkocht de*, en daarenboven nog 6 Ellen; voorts van het overblyvende de f min 5 Ellen; van het toen overblyvende weder de en nog daarenboven 4 Ellen. Zo 'er nu nog 10 Ellen aan het Stuk zyn overgebleeven, vraagt men, hoe lang het Stuk in den beginiie geweest is ? Antw. 60 Ellen. 12. Als men van een Stuk Laken verkoopt f en 8 Ellen, nog van het overblyvende * en 3 Ellen, en ein.  Iü6 ARITHMETICA eindelyk van het toen overblyvende | en 5 Ellen, en er toen nog 5 Ellen van het Stuk overig waren vraagt men , hoe lang dit Stuk Laken is geweest? Antw. 35 Ellen. 13. Drie Perlöonen van hunnen Ouderdom fpreeiende, zegt A, ik ben 30 Jaaren oud;- B zegt ik ben zo oud als A, met nog | der Jaaren van C; eindelyk zegt C, ik ben zo oud als p,.y beiden te faamen. Hoe oud was ieder Perfoon? Antw. A 30. B 50, en.C 3o Jaaren. 14. Een Jongnwi uit een Tuin komende, waar hy appelen geplukt hadt, ontmoet drie jonge Dochters, die van zyne appelen begderen te hebben: dus geeft hy de eerfte i van alle zyne appelen, en ontfangt van haar uit beleefdheid 3 appelen te rug; de tweede Dochter geeft hy f van de appelen, die by nog overig hadt, en ontfangt *an haar 2appelen te rug; ten laatften geeft hy de eerde f van zyne toen overgehouden appelen, en bekomt 1 appel van haar te rug, waar na hy bevindt nog 13 appelen overgehouden te hefeben. Hoe veel appelen heeft hy in den beginne gehad? Antw, 20 appelen. 15. Een Huisvader beveelt by testament , dat van zyne cablyvende kinderen, hei eene kind zoveel van hem erven zal als het andere. Nu ontfangt na Zyn' dood het eerfte kind 100 Guld., en van de rest het i; het tweede ontfangt aoo Guld., en het f deel des overblyvenden gelds ; het derde ontfangt 300 Guld., met nog i deel des overblyvenden gelds, en zo vervolgens, aan ieder kind telkens 100 Guld. meer dan hec naastvoorgaande, en •§ van de rest, waar doorgaan het testament des Vaders voldaan is. De vraag is, hoe veel geld de Vader heeft nagelaaten, hoe veel kinderen 'er geweest zyn , en wat elk tot zyn deel gekreegen heeft ? rtntw. De geheele nalaatenfchap is 4900 Guid,, en wordt onder 7 kin-  of REKENKUNST. 127 kinderen verdeeld, waar van ieder 700 Guld. voor zvd deel ontfangt. 16 A ?e I 3 B5e'  134' ARITHMETICA neemer meer of minder Geld, dan by bedongen heeft* toekomt? Antw. De Aanneemer moet, boven het bedongen Geld, nog 9 Guld, hebben. 15. Zo een Kabeltouw," lang 1200 Voeten, en dik 5 üuimen, weegt 9000 Ponden: hce zwaar zal dan een ander Kabeltouw weegen, dat 900 Voeten iang, en 8 Duimen dik is? Men moet hier wel in '« oog houden, dat alhoewel, so het fchynt, in dit Voorftel flegts twee afmeetingen, naamlyk Lengte en Dikte, gegeeven zyn, 'er echter drie afmeetingen plaats hebben; want alle Meetkunfti' ge Grootheden. die flegts iwee afmeetingen hebben, zyn Vlakken, en het 'ïouw, in dit Voorftel, is geen Vlak, maar een Lighaam, Men moet derhalven, om niet tot de Begirftlen der Meetkunde teevlugt te neemen, het touw als vierkant zynde befchouwen; dat is dat het even zolreed als dik is. Deeze aanmerking zal nog ia fommige andere Voorftellen te pas komen, waar in van ronde Lighaamen gefproken wordt. De volgende Bewerking zal dit gezegde meerder licht byzetten. lang 1200 V. lang 900 V. breed 5 D. breed 8 D. dik' 5 D. dik 8 D. 1— m 30000 90c o 57600? Antw. 17280 Aanmerking. Men zou nu kunnen vraagen, welken naam men aan de getallen 30000 en 57600 welke in deeze Bewerkinge voorkomen, behoort te geeven. Zy zyn zekerlyk Grootheden van drie afmeetingen, en ecb. ter geen Cubic»Voeten , noch Cubic»Duimen. Want wa.  o r REKENKUNST. 135 | waren zy Cubic-Voeten, zouden alle de afmeetin1 gen, als Lengte, Breedte en Dikte, Voeten moeten } zvn; (n waren zy Cubic Duimen, zouden ook alle 1 dé afmeednüen Duimen moeten zyn. Wat zyn zy 1 dan? zal men waarichynlyk vraagen; wy antwo^rI den, de Breedte en Uikte, die beide Duimen zyn, I te fi'men gemultipliceerd , gseven Qmdraat-Duimen , 3* weiKe men, om tot Quadraat- Voeten te maaken, door 144 moet divid..-cren ; om dat ieder QuairaatI Voer 144' Quadraat- Duimen bevat: en vermits men de ui het T'roauSt der Breedte en Dikte voortkomen1 ' de Quadraat wuimen met de Voeten der Lengre moet multipliceren, zyn de ge-illen 30000 en 5-600 in de daad 144(16 deelen van Quadraat-Voeten , die, om dat ze gelyidcortig zyn, te famen vergeleeken roogtn worden. i ••; • 16 Een Steenkooper heeft eenen vierkanten hoop Steenen, die 27 Voeten lang, 21 Voeten breed, en 8 Voeten hoog is; zo Cu ;eder Staen is lang if Voet, breed f Voet, en nik | Voet, vraagt men, hoe veel Steenen in dien hoop zyn ? Antw. 4608 Steenen. • „ 17. Zo tot een Muur, lang 15 en hoog 10 Voeten, dl- één Steen dk h, 2400 Steenen noodig zyn; hoe veel Steenen w.-rdeh dan veicjischt tot een if Steens Muur, lang 26 en hoog 17 Voeten? Antw. io6c« S.teei.en. 18. Zo in een Regenbak, lang 13, breed 8 en diep o Voeten , aaan'156 Tonnen Water, wat zal dan een ander Bak houden, die 7 Voeten lang, 3 Voeten breed en 8 Voeten diep is ? Antw. 28 Tonnen. 19. Een Kuiper, heeft twee Vaten gemaakt, waar van bet kieinfte, welks grootfte wydte des bodems 4, en hoogte 6 Voeten is, houdt iaj Tonnen Water: zo dan het grootfte, dat 8 Voeten hoog is, eenen bodem heeft, die op het grootst 6 Voi'en I 4 wyd  136 ARITHMETICA wyd is, vraagt men hos veel Tonnen Water het zal kunnen bevatten? Antw. 381 Tonnen. 20. Een Kuiper heefc een Vat gemaakt, houdende 38| J onnen V\ ater, welks hoogte is 8 en de grootfte wydte va,o zynen bodem 6 Voeten. Zo hy nu een ander moet maaken, dat 6 Voeten hoog is en I2| Tonnen Water kan bevatten, is ór TJ5 -f- r5|3 + T5|S3 &c., ; welke Hy van Breuken otiëindig voortgezet kan wor. I denken men weet d priori, dat haare Som £ een ] bepaaid getal of Breuk is. Men begryptnu ligt, dat als deeze Ry van Preu- ; ken, waar van ieder vo'gend1 lid £ des naastvoor-J gaanden is, oneindig wordt voortgezet, men eindelyk tot een Lid zal komen, dat, uit hoofde zyner-i oneindige kleinheid, ten aanzien van het eerfte als :j niets of o geacht kan worden. En naardien dus de afklimmende Ratio der Progresfie is, zo is het omgekeerde -1? erf jo de opklimmenae Ratio- Derhalven hebben wy van eene Geometrifche Progresfie bekend, bet grootfte-Éid T|, de Ratio 10, en de Som f, waar uk onwfderfpreeklyk volgt, dat het kieinfte Lid o is (Zie Oeffrnschoql krk Mathem, Wee» 1 tenschapp. I. Deel, Mathem. Handl. pag. 73.1l Prob. 8). 4 1 Mer» ziet dus, dat de kieinfte Term der Reeks van I zelfs op niet uitloopt, zonder dat men noodig beeft'i in het oneindige te dringen; en hadt de Heer A- F. I Marei, een afders niet onbedreeven Wiskunsre- J naar, de zaak insgelyks van vooren befchouwd, hy I zou I  o? REKENKUNST. *39 zou' zekerlyk van zvne annihilatio ulHmi termini zn veel ophef's niet gemaakt hebben: doch dit in st ■orbygian, | .- Om derhalven de Som van eene oi;ëiodïge afklimmende Geometrifche Progresfie te vinden, heeft men deezen Regel. I. Vermeenigvuldigt het eerde of grontffe Lid met de opklimmende Ratio der Progresfie, zo heeft men het Lid, dat het grootfte hei i.aast vooraart, II. Deelt dit gevonden Lid door de gemdde Ratio der Progresfie min i; zo bekomt men de begcer.d£ Som. Deeze Regel is niets anders a's die, we'ke wy hier vooren (Pag. 52) voor de Geometrifche Prégresfin gegeeven hebben, behalven d:i h het kieinfte Lid, als zynde o, niet van het gemelde naast grootere dan het grootfte Lid behoeft afgetrokken te worden, • Drie Gevallen komen hier hoofdzaakeiyk voor : 1. Eene Rei Breuken te fominceren, v'ah wefkért de Noemets in eene Geometrifche Progresfie voortgaan , en de Tellers geduurig t zyn. 2. Wanneer de Tellers meer dan 1, doch echter aan elkander gel^k zyn. 3. Wanneer zodanige gemeene Teller eene gepee» vene hoeveelheid kleiner is, dan de Noemer "des eer/ten Breuk?. Nogthans liggen alle deeze Gevallen in den veorgaanden Kegel opgefloten. La3t a htt eerfte Lid der Reeks zyn, het zy dat hetzelve een gehed Getal of een Breuk is. De afklimmende Ratio djr Progresfie is, om dat dezelve afklimmende is, altoos een eigenlyke Breuk, in  140 ARITHMETICA in welken de Teller kleiner dan de Noemer is. Wy zullen derhalven deezen Breuk door uitdruk- m + n ken. Derhalven heeft de Reeks de volgende gedaante: ma vi' a m* a 1 m + nJ~- m + nJ3 Aangezien nu de afklimmende Ratio der Progresfie _™_ is, zo moet de opklimmende Ratio ^Li-_d3 zyn. Derhalven multipliceert men a met üïdtüjkomt I» ^dlüü-^., zynde het Lid, dat in de opklimming Hl het naast op het grootfte Lid volgt. Divideert dit door de Ratio der Progresfie -ü*jh? min i, dat is door m ——■ i r: ^.; dan heeft men voor de begeer- «l 7» de Som nI±^i. n Deeze algemeene Formule drukt de Som van alle orëindige Progresfien uit, welke in eene Geometrifche Progresfie opKlimmen. Wy zullen du door: «enige Voorbeelden nader verklaaren. E E KI  or rekenkunst: 141 Eerste Voorbeeld.' De Som eener oneindige Reeks van Breuken , van welke de afklimmende Ratio gelyk aan liet eerfte Lid is, en alle de feller* i zyn, als i -+* |*.-f- f -f- t& &c. te vinden. in dit Geval is nu a ~ f, en vermits de afklimmende Ratio de Breuk f is, in welken de Noemer I meer is dan de Teller, en deeze laatlte insgelyks 1 is, zo heeft men i» ~ i, en ra + »I 2; dus ra-f-w n ~ 1. By gevolg is de opklimmende Ratio > m z; {; en derhalven de begeerde Som m + nxa,— 1. n Op gelyke wyze is de Som der nnëindige Reeks van Breuken f + J -h ,f + T{ &c. ~ Want a is — §, en de opklimmeude Ratio der Progresfie m + n ——— ~ f« Dienvolgens is de begeerde }Som 771 m + nxa _ & n Zo is ook de Som der Reeks » + A -|- ■ 4, E, &C!, 4 *4 ^ van f 4- rf + T-T + y!r £rV. - ■, en van < + + ^s + ^ - Tweede Voorbeel»; De Som eener onëindige Reeks van Breuken, van welken de Telers, als vooren, giduurig 1 zyn, ooch waarvan de afklimmende Ratio niet gelvk aan  I43 ARITHMETICA In dit Geval is a ~f, en vermits de afklimmende Ratio de Breuk f is, m welken de Noemer 3 meer is dan de Teller, zo heeft men m ~ i, m -F n zz 3; dus » ~ 3. Das is de opklimmende Ratio m-'rfl " > ~ I, en gevolglyk de gezochte Som 'ÜZ'-H*— ftt n Derde. Voorbeeld, De Som eener onëindige Reeks van Breuken, van welKen de Tellers grooter dan i, doch allf? aan eikander aelyk zyn , het zy dat voorts de afklimmende Ritio gelyk of ongelyk aan het eerfte Lid zy, als | + r! + 4 + ?f ■> 'e vinden. Tn dit Geval is a ~ f, en vermits de afklimmende Ratio i is, heeft men m~i, en m + nzz 2; dus. JJ2 + 8. ~ 1. Dus is de opklimmende Ratio ■ — *j ■ [ ■« m by gevolg de begeerde Som ÜLÏ^ilf — if. « Vierde Voorbeeld. De Som eener onëindige Reeks van Breuken, van welken de algemeene Teller eene gegeevene hoeveelheid kleiner is , dan de Noemer des eerften Brmks , als 4 + j| + Tfs -b *|s &Pc, te vinden. In dit Geval is a ~ §, en vermits de afklimmenRatio % is, heeft mes m~i, en m 4- « ~ 4; dus  oi REKENKUNST. 145 oi + n n ~ 3. Derhalven is de opklimmende Ratio & m t I, en dienvolgens de begeerde Som mJ^LnJi^ n z- r r1 r' m a m*a m3a r r* r' m a lS--xS. „ r,J, ... of  of REKENKÜNST. 14$ r — m . S of ~~ a r a r By gevolg S ~~~ . r — m Thans zullen wy overgaan, om ook de Somman van andere Reekfen van Breuken te vinden, waar van de Noemers, als vooren, in eene Geometrifche Progresfie voortgaan, doch de Tellers, ongelyk zynde, aan eene andere orde van voortgang onderhevig zyn. Wy zullen, daar zich hier eene meemate Gevallen opdoen, flegts drie der eenvoudigllen voordragen. Eerste Geval. Eene onëindige Ry Breuken, waar van de Tellers de natuurlyke Getallen 1, 2, 3, 4, 5, enz. zyn, en de Noemers in eene Geometrifche Progresfie voortgaan, te fommeeren. Regel. I. Multipliceert de opklimmende Ratio van de Progresfie der Noemers met zich zelve; dan is het komende Quadraat den Teller der begeerde Som. 31. Multipliceert de gemelde Ratio min 1 insgelyks met zich zelve, en het komend Quadraat wyders met den Noemer des eerften Breuks, zo bekomt men den Noemer tot de begeerde Som, die alsdan gevonden is. K Eer-  146 ARIT HMETIC A Eerste Voorbeeld, He Breuken § + 5f + „h + rrh &c- te fommeeren. In dit Geval is de opklimmende Ratio van de Progresfie der Noemers 7. Derhalven deeze 7 met zich zelf vermeenigvuldigd , komt 49, voor den Teller der begeerde Som. Vermeenigvuldigt 7 — 1 — 6 met zich zelf, komt 56, en dit Produtï verders met 5, den Noemer des eerften Breuks, komt 180, voor den Noemer die tot den voorgevonden Teller behoort, en derhalven is de begeerde Som Tjjg. Tweede Voorbeeld. De Breuken | -h 7§ + «} + *U tjfe. te fommeeren. Nu is de opklimmende Ratio van de Progresfie der Noemers 4. Derhalven deeze 4 met zich zelf vermeenigvuldigd , komt 16; voorts 4 — 1 ~ 3 met zich zelf, komt 9, Deeze 9 nog gemultipliceerd met 3, den Noemer des eerften Breuks, komt aj. Dienvolgens is de begeerde Som i§. Derde Voorbeeld. De Breuken f + 7f + ,jy 4- „«y &c. te fommeeren. De opklimmende Ratio van de Progresfie der Noemers is 11. Derhalven 11 x n — 121; voorts 11 — iX 11 — 1 rio x 10 - 100; en 100 x 7 ~ 700. Derhalven is de begeerde Som Om nu de gegrondheid van den gegeeven Regel te  of REKENKUNST. Ï4? 1 2 te bewyzen, zo laat de Reeks zyn ! 'r aar n 4 J .j fcfc.; dan kan men dezelve in de vol- ar' ar3 gende Ryen afdeelen: 1 i 1 1 1 _ + — + + + &c. a ar ar1 ar3 ar* 1 1 t 1 j. + 1 &c ar ar' ar ar* 1 1 1 . 1 + 6V. ar1 ar% ar* 1 1 + &c. ar1 ar* + — &c. ar* Som _ + __ + — + -- + -- s*. 0 ar ara ar3 ar4 Na is volgeas den Regel pag. 139. & Som *J eerde Ry Breuken - i de Som der twee- r-ixa K a 1  148 ARITHMETICA i ï de _ —— ; de Som der derde ~ ; r — ixa r_Ixar de Som der vierde = — ; de Som der vyf- r—i x ar1 i de — -—_ , enz. Derhalven worde de Som r— ixars der gegeevene Reeks uitgedrukt door de volgende: r * i i rrr— —+ ~~—+rrr— r—ixa r-ixa r-ixar r-ixar1 _In deeze Progresfie is nu de opklimmende Ratio — r, en dus de Som, volgens den laatstgenoemden Regel, - ■ - Welke Formule be- r—tl- x a paaldelyk den Regel uitdrukt, dien wy voor dit Geval gegeeven hebben. Indien de Teller des eerften Breuks niet eigen- I ^,»tta" een grooter Getal "s, zo dat echter de lellers in eene Arithmetifche Progresfie blvven voortgaan, blyft de Regel als vooren de zelfde, behalven dat de komende Som met den Teller des den Breuks D0S vermeenigvuldigd moet wor- By voorbeeld, wanneer gegeeven was de Rv van Breuken | + 4 + „• + ff» &e deelt mcJ de geheele Reeks door 3, den Teller des eerften Breuks, en men bekomt de Reeks i-f-l + ,| + ,4 sv.,  of 'REKENKUNST. 149 &e ; waarvan, als vooren, de Som is % ; deeze no» met *ï den Teller des eerften Breuks, vermeenigvuldigd , komt f ~ if , de Som der gegeevene Ky van Breuken. Tweede Geval. Een onëindige Ry van Breuken, van welken de Tellers de achtervolgende driehoekige Getallen 1, q, 6, 10, 15, enz. (*) zyn, en de Noemers m eene Geometrifche Progresfie voortgaan, te fommeeren. R e g e l. I Verheft de opklimmende Ratio van de Progresfie d'er Noemsrs tot de derde Magt; dan is de Teller der begeerde Som gevonden. II. Verheft de gemelde Ratio min 1 insgelyks tot de' derde Magt, en vermeenigvuldigt voorts het Produtï met den Noemer des eerften Breuks; dan is het komende den Noemer der begeerde Som. Eerste Voorbeeld. De Breuken f, sl, As, „i? Éfc te fommeeren. met (*) Driehoekige Getallen zyn de zulke, welke uit da eeduuriee famentelling der Reeks van da natuurlyke Geial- i len x 2, 3, '4, 5, 6, 7 &c. vcortkoman. Djs is 1 het eerfte Driehoekig Geul; 1 + 2 ~ 3 het tweede; 1 + 2 4- 3 - 6 het derde; 1 + * + 3 + 4 - ™ vierde; 1 + a -r 3 + 4 + 5 - IS het vyfde, en Z9 vervolgens. ! , K 3  i$ê 'ARÏTHMETICA. ) '' Hier is nu de opklimmende Ratio van de ProgreS'S fte der Noemers 5. Dit getal tot de derde Magt verheven, komt 125; en v.in 5 — 1 ~ 4 is de derde Magt 64. Deeze 64 met 5, den Noemer des eerften Breuks, vermeenigvuldigd, komt 320. Dienvolgens is de begeerde Som §|t ~ %\. Tweed e Voorbeeld. De Breuken *, T§, ?f» w &e. te fommeeren. De opklimmende Ratio van de Progresfie der Noemers is nu 7. Derhalven 7 x 7 X 7 — 343 » voorts 7 . 1 — o, en 6 x 6 x 6 1 216. Deeze 216 met a, den Noemer des eerften Breuks, vermeenigvuldigd, heeft men 43a. Dus is de begeerde Som ifi. Derde Voorbeeld. De Breuken j , ,|, 7§f Ërè, te fommeeren. Nu is de opklimmende Ratio van de Progresfie der Noemers 4. Daarom 4 x 4 X 4 = 645 voorts 4 — 1 ± 3, en 3 x 3 X 3 - *7; eindelyk 37 x 11 z; 297. Dienvolgens de begeerde Som Laat, tot bewys van deezen Regel, de Keeks 1 3 6 10 zyn — -j- + -i &c. Dan heeft men a ar ar1 ar* de volgende Ryen. i a 3 4 s I — + — +— + — &c> a ar ar* ar3 _i_ ft ■■ 5 ar  o »j REKENKUNST. i£l i 2 3 ^ ^ (- — Ö>c. ar ar1 or3 i a ! &?« «r* ar3 i SrV. ar3 i 3 6 10 Som — 4- + + — fifc.' o ar ar1 ar' Nu is volgens den Regel pag. 145» de Som der eerfte Ry Breuken ~ i de Som der tweede r - ifx a — .-* de Som der derde _ fffff —» r-Tlaxa f-il"x« de Som der vierde- - «*• Derhalven r — i]'xflr heeft men de volgende Progresfie: r-iTxa+r"-Trxa+^rxa 7-^fxar In deeze Progresfe is nu de opkUmmende Ratio en dus de Som, volgens den Regel pag. 139» K 4  t$3' ; ARITHMETICA — -.' "Uit welke Formule onzen laatst r —1| x a gegeeven Regel, voortvloeit. indien de Tellers der gegeevene Breuken niet bepaaldelyk de Trigonaal, gerallen i, 3, 6, 10, 15, 21, enz., maar een zeker getal maaien dezelve zyn, heeft men nogthans flegts den naastvoorgaancien Kegel te volgen, en de komende Som met zodanig veelvoud te multipliceeren. By voorbeeld, gegeeven zynde de Ry van Breuken f + II -b tl| -r- ï|| Q?c., deelt men de geheele Reeks door 5, den Teller des eerften Breuks, en men bekomt de Ry van Breuken f + s| + r?x + ?§? &c», waarvan, als' vooreD, de Som is Tf£; deeze nog met 5, den Teller des eerften Breuks, vermenigvuldigd , komt |$g - 1 £||, de Som der ge, geevene Ry van Breuken, Derde Geval. Eene onëindige Ry Breuken, van welken de Tellers de achtervolgende Quadraat• getallen 1, 4. 9, 25> 3° enz. zyn, en de Noemers in eene Geometrifche Progresfie voortgaan, te fommeeren. Regel. I. Verheft de opklimmende Ratio van de Progresfie der Noemers tot de tweede, als ook tot de derde Magt, en addeert deeze twee Magtén te faamen, dan heeft men den Teller der begeerde Som. TI. Verheft de gemelde Ratio min 1 tot de derde Magt, en vermeenigvuldigt het ProduEt met den Noe-  of REKENKUNST." 153 Noemer des eerften Breuks, dart is het komende den Noemer der begeerde Som. Eerste Voorbeeld. De Breuken Tf, 7§, 57£ &c. te fommeeren. Hier is nu de opklimmende Ratio van de Progresfie der Noemers 5, waar van de tweede Magt Z! 25, en de derde Magt ~ 125 is. Voorts is de derde Magt van 4 (zynde gemelde Ratio min 1) ~ 64. Deeze 64 nog met 3, den Noemer des eerften Breuks, vermeenigvuldigd, heeft men 193. I2S + 3< Derhalven is de gezochte Som IO>a— — 'SS Tweede Voorbeeld. De Breuken |, £$, ,1, &ê fjff. te fommeeren. In dit Voorbeeld is nu de opklimmende Ratio van de Progresfie der Noemers 4, waar van de tweede Magt ~ 16, en de derde Magt ~ 64 is. Vervolgens is van 4 min I, óf 3, de derde Magt 27. Deeze 27 nog met 5, den'Noemer des eerften Breuks, vermeenigvuldigd, komt voor het Produel 135. Dienvolgens Is de gezochte Som 6±±jé ao - n 135 ~ T3Ï - 27' Derde Voorbeeld. De Breuken Tj, ffj tQ, ÖV. te fommeeren. Hier is r>u de opklimmende /iaJio van de Propresfie der Noemers 7, waar van de tweede Magt 6 K 5 49,  154 A R i t BtóETIC A 49, en de derde Magt 343 is. Voorts is van 7 min 1 , of 6, de derde Magt 216. Deeze 216 nog met 11, den Noemer des eerften Breuks, vermeenigvuldigd , komt voor het Product 2376. Derhalven is de gezochte Som 343 + 49 „.^—^ 2376 Om als vooren eene algemeene Formule te vinden, waar uit den voorgaanden Regel is afgeleid, zo laat de algemeene uitdrukking der Reeks zya 1 4 9 16 . i 1 j £?c. Dan is het klaar, a ar ar* ar3 dat dezelve gedeeld kan worden in de twee onder* ftaande Ryen: 136 10 , }- 1 1 tjc. a ar ar* ar* 136 1 1 fcrV. ar ar* ar* 14 9 16 Som — + i -| ev. a ar ar* ar* Nu is volgens den Regel pag. 149, de Som der eerfte Ry Breuken - 5 en de Som der .s r—-11 x a r* tweede Derhalven is de begeerde r—1) xfl Som  of REKENKUNST. 15$ r9 -'r r* Som ~ ———; waar uit de zekerheid des Rer —il xa gels openbaar is. Indien de Tellers der gegeevene Breuken niet bepaaldelyk de achtervolgende Quadraat-getallen I, 4, 9, 16, 25, enz., maar een zeker getal maaien dezelve zyn, heeft men hier in acht te neemen, hetgean wy dienaangaande by de twee voorige Gevallen gezegd hebben. Wv hehben hier vooren (Pag. 138) doen zien, dat de Decimaalen niets anders zyn, dan Byën. van Breuken, wier Noemers in eene GeometrifcheProgresfie voortgaan. Daar echter de Progresfie der Noemers ondericheiden is, naar maate 'er één of meer Cyfferletteren in ieder der Tellers, die in dit geval altoos gelyk zyn, gevonden worden; dat is, naar maate de Reeks uit een enkelvouwdig of veeïvouwdig wederkeereud Decimaal • Getal voortkomt, zullen wy flegts zodanige Gevallen voordra-, gen , waar in de Tellers der Breu':en van de Reeks alle gelyk zyn, of, door verandering der Noefners, 'gelyk gemaakt kunnen v/orden. Wy zullen alleen van zuivere Decimaal-Getallen deezer twee foorten fpreeken, en vervolgens aan^ toonen, hoe de Gemengde Decimaal - Getallen, in welken de wederkeering in de Geheelen een aan'vang neemt, tot deeze overgebragt kunnen worden» Voorbeelden van Breufcn , die in en* kelvouwdige wederkeerende Decimaal - Getallen veranderd kunnen worden. L Y-. 5 — • t-^P — TÜ55 ' Ioooooö5 ~ TSo5SSo555 fifff. enz. Om nu eene Formule voor de Som van alle zodanige Ryën van Decimaal-Breuken te vinden, zo zy a a a a de Reeks + + -\ 6?f., ion ios» ios» IO1" dan is de Som , volgens den Regel Pag. 139, ~ .... a a . Stellende nunu, dan is de Som — —; jo«-i 9 a 71 ~ a, dan is de Som ~ ; b~3, dan is de 99 a Som ~ , en zo vervolgens. Waar uit blykt, 999 dat n ~ 1, 2, 3, 4, enz. zal zyn, naar dat de Re-  op REKENKUNST. 157 Repetend, of het herhaalend Getal, 1, a, 3,4, enz. plaatfen heeft. Dus kan men alle wederkeerende Decimaal -Ge. tallen in gemeene Breuken veranderen, naar aanlei* ding der voorgaande Formule, volgens deezen Regel. 1 I. Breng het Decimaal ■ punt zo veel plaatfen naar de rechterhand, als het herhaalend Getal plaatfen heeft, dan is het komende den Teller des begeerden Breuks. II. Verkiest tot Noemer een Getal, dat in zoveel negens beftaat, als 'er plaatfen in het herhaalend Getal zyn ; dan is het gezochte gevonden. Voorbeeld. Men begeert den Decimaal -Breuk >t$& in eenen gemeenen Breuk te veranderen. Volgens den voorgaanden Regel is de gemeene Breuk Doch, fchoon wy ons hier mede kon¬ den vergenoegen, lust het ons nogthans, deeze waarheid, langs eenen anderen weg, overtuigend te doen blyken. Laat de herhaalende Cyfferletteren . 736~r, en de geheele Decimaal-Breuk, tot in 't oneindige ver. volgd t~c zyn. Dan is . 73^736 fjfe. —: e c en . 000736 fóc, ~~ 'J 1000 ■ . .. ~) afgetr. Rest . 736 .. . . — c - —-— - - 1000 ~ c  158 ARITHMETICA ~ C X I — Töis ICOO 1 c x I0OO ~- c x tIII ~ r. . , _ iooo r __ iooo x . 736 _ 73lj Derhalven c _ _ — sss- 999 999 De voorgaande Regel is nu algemeen voor alle wederkeerende Decimaal- Getallen , zelfs dan wanneer de wederkeering in de Geheelen een aanvang neemt: doch alzo de toepasfjng op dit laatfte geval fotnmïgen duister zou kunnen fchynen , zullen wy, zo als boven gezegd is, hetzelve door een Voorbeeld nader verklaaren. Laat, by voorbeeld, o1 . c0 de Decimaal zyn* die men iu eénen onëigenlyken gemeenen Breuk begeert te veranderen. Stel, om hec geheel Getal te doen verdwynen, ? . có ~ 10 a; dan is a - . 206 - #}|, volgens den voorgaanden Regel. Derhalven ioa: - 2 ■> ?f ? • °?' , Op de zelfde wyze worden zodanige DecimaalBreuken, waar in de herhaaling niet aanftonds in de eerfte plaats begint, in gemeene Breuken veranderd. ■ By voorbeeld , om . 52^ in eenen gemeenen a Breuk te veranderen, ftelt men . 52^ — > a dan is a ~ 5* . t - 5*1 - i bY SevoJ§ ~ - m - ii, of .^52^.- VoOR-  © f REKENKÜN ST. ^59 Voorbeelden tot oeffening. i« Men begeert den Decimaal-Breuk . # in eenen gemeenen Breulc te veranderen V Antw. %. 2. Verandert den Decimaal - Breuk . % in eenen gemeenen Breuk? Antw. {. 3. Idem . 674? Antw. 4. Idem . #23800 ? Antw. \\> 5. Idem . #1428$? Antw. f. 6. Idem . 478^ ? Antw. 7. Idem . 063;? Antw. 8. Idem . 08943"? Antw. T||» 9. Idem . 0o84? Antw. ^ff^ 10. Idem . 0033;? Antw. 11. Idem 3! Antw. sl° 0f o Z* 12. Idem ? . c0? Antw. of ^g». 13. Idem 4a. 63? Antw. 4j? Antw. -oJ, ^ efT|5. ao. Idem . oof? Antw. • % of p|5. 21. Idem . 000;$? Antw. ■§£, 55§|5 of ?^|5. *2. Idem . 000&? Antw. • °5|, _|4_ of Tj3g> 33. Idem . eo^o(S? Antw. ^ ^ of __,s^ a4. Idem. 00**» Antw. ^ 0f éh- 35.  t6o ARITHMETICA 25. Idem . oo^? Antw.|£$ , Mfoo^ éilU Uit het voorgaande kunnen wy nu als een ontwyfielbaar gevolg afleiden, dat wanneer men eenig Getal multipliceert met eene eenheid, gevolgd van zo veel nullen, als dat Getal plaatfen heelt, en het Produtï door even zo veel negens divideert, hetzelve een wederkeerend Decimaal • Getal wordt; dar, volgens de plaatièn in het gegeeven Getal enkel-of veeïvouwdig, en zuiver of gemengd zal zyn, naar dat wy het geheele Getal, of een Deel van hetzelve tot Repetend neemen. De volgende Voorbeelden zullen dit gefielde tot opheldering dienen. Eerfte Voorbeeld. 6x io ~ 60, en ff| ~ 6 . 666 &c. of 8 x 10 - 80, en s| - 8 . 888 &c. tweede Voorbeeld. .6x ïozrö, en f ~ ~ . 666 é?c. of. 8 x 10 - 8, en § -. 888 &c. Derde Voorbeeld. 28 x 100 z 2800, en a££°z: 28 . 28 of 36 x 100 — 3600, en 3f|° ± 36 . 36 &c. Vierde Voorbeeld. . 234 x 1000 ~ 234, en |J| ± . . 054234 &c. of . 345 x 100 ~ 345 » en |}| • 345345 &c' Vyfde Voorbeeld. 7 . 28 x 10 - 72 . 8, en 7y* - 8 . 0888 &c of 8 . 34 x ie=83 .4, en 8!'* = 9.2666 &c. Naardien voorts § ~ % ~. 666 cjfe- j en JJ| ~ • 357357 &c' 's> z0 's net klaarblyklyk, dat . 666 &e. x 9- 6, en . 357357 &c> * 999-, 357 is; Waar uit blykt, dat zo men een wederkeerend De-  of REKENKUNST. iöi Decimaal-getal, met fco veel negens multipliceert. sis de Repetend plaatfen bevat, het ProduEt een eindigend Getal zal zyn, dat gelyk aan dei> Repetend is. Aangezien nu vertier . Q~i — .1,. 90, — i — .01,. 999 — 1 — • ooi is , enz., zo volgt, dat, ais men een wederkeereid Decin.ail Getal door 10, 100, enz., volgens de plaatfen van den Repelend, divideert, eh bet Quotiënt van het gegeeven wederkeerend Decimaal-G<;tal aftrekt, de kesr een eindigend Getal zal zyn , dat gelyk aan den Repelend is. Eerste Voorbeeld. Als men . 7247124 &c. door 1000 divideert, is het Quotiënt. 000724724 £rV Dan van . 724724724 fcfc. afgetrokken . 000724724 6rV. Rest . 724 de geheele Repetend. Tweede, Voorbeeld. Als men. 4 . 545 &c- door 100 divideert, is het Quotiënt. 04545 &c. , Derhnlven van 4 . 54545 &c. afgetrokken . . 04545 &c. Rest 4 . 5 de geheele Repetend., Derde Voorbeeld. Als men . 00888 &c. door 10 divideert, is het Quotiënt. 00088 c5"c. L Der-  m ARITHMETICA Derhalven van . 00888 &c. afgetrokken • 00088 £fc. -Rest . 008 Als de Teller van eenen gemeenen Breuk in volkomene Repetenden beftaat, en de Noemer zo veel negens bevat, als 'er Cyfferletteren in den Teller 'zyn, dan is eene Periode der herbaalende Cyfferletteren gelykwaardig aan den geheelen Breuk. Want ~ • 282828, dat is - . 2%. En UslU - • 34*342-, dat is ~ . Als een gemeene Breuk eenen herhaalenden., of -wederkeerenden, Teller heeft , en de Noemer in zo veel negens beftaat, a's 'er Cyfferletteren (de nul uitgefloten) in den Repetend zyn, dan is die Breuk gelyk aan de Som van twee of meer andere Breuken, welken in wederkeerende 'Decimaal-getallen veranderd kunnen worden. V* Ö O R B È 'E L D E N. - 'stt° -1- =56-& + . U ~ "SS" -!- 3g zz 3434 • U + 3 . 4- 72ir - Tn + 7hi -j .? + . o#. Voorts dient nog aangemerkt te worden, dat ' als men een Getal met eene Eenheid, gevolgd van eenige rullen , multipliceert, eh van "t 'Produtï het Getal zelf aftrekt, zulks het zelfde is, als of men ■het Getal met zo veel negens multipliceert, als Cyfferletteren in hetzelve gevonden worden. Want  of REKENKUNST. K*& Want io a - « = 9 fl» 10311 -* = 99 «> iooo a '— a ZZ 999 a- ,. , Fen ffemen^d eukelvouwdiq; of veeïvouwdig wederkeerend Decimaal-Getal is gelyk aan eenen genieeKtt Breuk, wkm« Teller is het gegeeven Getal, vermeenigvuldiftd met io, ico. iooo, &f. f volgens het getal der herhaalende Cyfferletteren), min deszelfs eindigend deel, in zyneplaatslyke waarde befchouwd zynde, en wiens Noemer in zo veel negens beftaat, als \r herhaalende Cyfferletteren zyn. Eerste Voorbeeld. 4.3:== % Want uit het voorengeleerde volgt, dat 4 . % ZZ 4x9 + 3 4j — is; maar 4 x 9 + 3 ~ 4 • t X ro 9 — 4 .3 = 43 • ï — 4 • 5 = 43 - 4 - 39- Der. hal ven 3£ _ 4 . i> Tweede Voorbeeld. 5.243' = s,l>r- Want 5 . a$ - 5 • 2 + • °tit - 5 • 3 ™ 5-2X99 + 4-3 : , _^ -, -en 5. 2 x 99 + 4 • 3 - 5 • 3$ 99 X 99 — 5 • Hi X 100 — 5 • Ht ~ 5M • 3 — 5 • 3 — 519, .1. Derhalven 5 . 24$ - , ,Of 5 • ^ X io = 52 • 43 - '»l.5 en wedeJ: om door 10 divideerende 3 Jiebben wy 5 • 24* La Der.  ió4 ARITHMETICA Derde Voorbeeld, 23f5 • t - "«r. , . 235.735x1000—235 Want 23(5 .7 - 235. tii 999 235 • 7 x 1000 — 200 235500 999 999 Of 235 . f gedeeld door 100 b '2 . 35^ ZZ "11; dit weder met 100 multipliceerende, riebben wy *%5 • t zz "||r. Vierde Voorbeeld, • 23$ — 'Is'» Want . 23$ ~ . 2 -I- . 03$ ~ . 2 f'| — . 2 x 99 -!- 3 . 5 . 2^ x 100 — . 23^ 99 9° 23! • £ — . 2 _ 23 . 3 99 99 Of ". nSxioza'.gr "Jj eD wederóm door 10 divideerende, hebben wy "j.^3 — . 23$, Vyfde-Voorbeeld. . 02/4- ët Want  I of REKENKUNST. 165 Want . ozf4 -H . 02 + • ooft — . a 'U — . 0274 x 100 - • 02 _ 2 " 74 -_^_2_ a ' 7^ 99 99 99 Of . co/74 xiooia.«l 20ï dit w«derom door 100 gedivideerd, heeft men V/, als vooren. Wanneer een wederkeerend Decimaal-Getal met een gegeven Getal gemultipliceerd wordt, zal het ProduEt een wederkeerend Decimaal - Getal_ zyn, waar van de Repetend even zo veel plaatten als vooren zal hebben. Want ieder /ïe/w*si, gelyke]yk gemultipliceerd zynde; moet gelyke Producten voortbrengen. Eerste Voorbeeld.' , 3 x 3 — • 6» daarom 6 6 . 666 fcfr. =: . (S. Doch zo het ProduEt uit meer plaatfen, dan het gegeeven Getal beitaat.moet hetgeen er te veel is by de eerfte plaats van den naastvolgenden Repelend gevoegd worden; blykens het volgende Tweede Voorbeeld. .%x7 — 5.6, daarom 56 56 _ 6216 6 6.222 £?c, — 6 . L 3 D E R'  i66 ARITHMETICA Derde Voorbeeld. . $16 x 17 n 3.. 978, derhalven 3978 3078 3»978 3 3.98/981981 r 3.^. Een gemeene Breuk, van welken de Teller en Noemer eerfte getallen tot elkander zyn (behalven sof 5), tot eenen Decimaal-Breuk herleid zynde, zal een wederkeerend Decimaal- Getal zyn, en de plaatfen van den Repetend zul'en fteeds kleiner zyn, dan het getal der eenheden in den Noemer. Eerste Voorbeeld. Laat de gemeene Breuk f voorgemeld worden. 7/3 • °{. 42357ij 4 ÖV. s 8 * 20 Hier kunnen nu alle de 14 Overfchotten zyn 1, 2, 3, — ~ 4, 5, 6; van welken één , 60 naamlyk 4, in de zevende 56 plaats wederkeert: derhal- - ven beftaat de Repetend ia 40 zes plaatfen, _35_ 50 49 ïo  op REKENKUNST. $| io 7 3 &c. Tweede Voorbeeld. Laat de gemeene Breuk T? voorgefteld worden. 11/9 . o {.81,81 &c. ' 3 g Hier kunnen nu alle de Over* . fchotten zyn 1, 3, 3, 4» 5» 20 6, 7, 8, 9, ïo; en.vermits één li derzelven in de derde plaats we- derkeert, heeft de Repetend flegts 9 &c. twee plaatfen. Derde Voorbeeld. Laat de gemeene Breuk TJ voorgefteld worden. 13/7 • °{- 538461, 538461 &e. 6 5 5o Hier kunnen nu alle de Over¬ ig fchotten zyn 1, 3, 3, 4> 5» —- 6,7,8,9,10, 11, is,waar uo van één in de zevende plaats 104 wederkeert. Derhalven heeft 1 , de Repetend zes plaatfen. 60 L4 8c  168 ARITHMETICA 80 20 7 Een gemeene Breuk, van welken de Noemer een eerst Getal is, behalven 2 en 5, jn eenen DecimaalBreuk veranderd zynde, zal zo veele wedtrkperende Cyfferletteren hebben, a's het getal negens bedraagt, dat men tot Dividendum zou moeten verkiezen, om 'er den Noemer effen in te doen opgaan. VVant als men 1000 enz., door eenig getal zó lang divideerr, dat 'er ten laatften 1 overblyft, zal het Quotiënt klaarblyklyk beginnen te herhaalen; maar 9yo (SC. is flegts 1 minder dan 1000 &c., derhalven moet 'er niets overblyven, wanneer de Cyfferletteren eens zyn rood gegaan. Eerste Voorbeeld. Laat de gemeene Breuk T| voorgefteld worden. 11 / 99) 9 Hier zyn tot het Dividendum twee negers noodig geweest, om de ' —Deeling effen te doen opgaan, Derq ha!ven heeft de Repetend twee plaatfen , zo als hier onder blyk:. 11/8 . o £. 7072 Sfc - . ft 7 7 3° 32 Twee.  of REKENKUNST. 169 Tweede Voorbeeld. Laat de gemeene Ure uk zyn \. 7/999999/142857 Hier worden tot het / v Dividendum zes negens verëisot Dei hal ven heeft de Repetend zes plaatfen, zo als hier onder blykt. 7/3 • o{- 42857*5 428 &e. ZZ . ^2857^. 2 8_ 20 / T4 00 • 56 40 35 50 49 10 _7_ 3 esc. Derde Voorbeeld. Laat sl7t voorgefteld worden. 41/09999 J2459 Hier zyn tot het Dividen' v dum vyf negens noodig ge¬ weest. Derhalven heeft de Repetend vyf piaaifen, zo als hier onder blykt. h 5 41  17a ARITBMETTCA 41/587 . o GrV. {14.31707 ,317=^4-afrro/. 41 1 177 164. 130 123 70 41 290 330 287 i3 tyc Vierde Voorbeeld. Laat s|| voorgefteld worden. 37/999137 Hier worden tot het Divt- * v dendum drie negens verëischr. Derhalven heeft de Repetend drie plaatfen. 37/595 • 0 {16.081, 081 &c. - 16 . jaSjc". 37 225 222 300 296 40 37 4 Als  of REKENKUNST. 171 Als de Noemer eer,? Breuks uit twee of meer ver fchillende eerfte Getailen , behalven 2 of 5, is famengefteld , zal her. kieinfte gemeene Dividendum van alle de Get&Uen der piaarfcn , voor ieder eerst Getal byzonder. het getal van wederkeerende Cyfferletteren uitdrukken. Eerste Voorbeeld. Laat de gemeene Breuk 7| voorgefteld worden. Dan is ,1 ZZ —- Als men nu 7 in eenige 7 7 X M negens divideert, zyn 'er zes negens noodig, ooi de Deeling effen te doen opgaan; en op gelyke wyze, 11 in eenige negens divideerende, zyn er flegts twee negens noodig. Wanneer dus de Breuk f is, heeft de Repetend zes plaatfen; en als dezelve t! is, zal de Repetend twee plaatfen hebben Nu is 6 het kieinfte getal, dat door 6 en 2 deelbaar is : derhalven heeft de Repetend van den Decimaal- Breuk, die gelyk aan 7f is, zes plaatfen, zo als hier onder blykt. 77 j 999999 {12987 77 229 154 Hier zyn nu zes negens ge. 759 bruikt, eer de Deeling ein-« 693 digt. Derhalven heeft de . • Repetend, naar voorgaande 669 Leering, zes plaatfen. 616 539  *72 AR ITHMETICA 539 5r'9 Tweede Voorbeeld. Laat de gemeene Breuk n,y voorgefteld worden. Dan is „?5 ± 3 Nu heeft 7 als 1 X ii x 37 Divj/cr een Dividendum van 6; ir als D/w/ër een Dividendum van 2; en 37 als Divifor een Dividendum van 3 negens noodig. Nu is 6 het kieinfte Getal, dat door 6, 2 en 3 deelbaar is: derhalven heeft de Repetend van den Decimaal. Breuk, die gelyk aan„i5 is, zes plaatfen. 2840/999999^351 i4529 Hier zyn nu zes ne- 14245 eens gebruikt, eer de de Deeiing eindigt. 2849 Derhalven ' heeft de 2849 Repelend zes plaatfen. Derde Voorbeeld. Laat de gemeene Breuk y|f, voorgefteld worden. DanisV&± Nu heeft, als 7 X II X IOi voo-  OF REKENKUNST. 173 vooren, 7 a'.s Divifor een Dividendum van 6; 11 als Divifor een Dividendum van 2; en 101 als Divifor een Dividendum van 4 negens noodig, zal 'er in de Deeling niets overblyven. Nu is het kieinfte Getal, dat door 6,2 en 4 effen deelbaar is, 12 : Dienvolgens heeft de Repetend van den Decimaal-Bieuk, die gelyk aan 7ffT is, 12 plaatfen 7777/999999999999 {128584287. 7777 22229 15554 g 66759 62316 45439 38i'.85 Hier zyn nu 12 ne- 65-.19 gens gebruikt, om de 62aÓ6 Deeling te doen eindi- gen. Derhalven beefc "1108 Repetend 12 plaatfen. X22319 15554 67659 62216 54439 54439 Hier mede zullen wy van dit onderwerp afftatjpen, en den doorzienden Leezer overiaaten deeze Stofte verder uittebreiden. VOOR-  174 ARITHMETICA VOORSTELLEN tot BESLUIT. 1. Een Landman heeft eenen Tuin, welke hy met vyf Perfoonen in 12 Dagen kan omfpitten; naardien hy echter, wegens onbeftendigheid van het Weêr, gaerne wat vroeger daar mede gereed wilde zyn, gaat hy met 8 Perfoonen aan 't werk. Nu is de vraag s zo alle de Perfoonen ieder even veel werk afdoen, in hoe veel tyd zy den Tuin omgefpit zuilen hebben ? Antw. in 8 Dagen. 2. Een Boer heeft eenen Tuin, welke hy met 5 Perfoonen in 12 Dagen kan omfpitten; na dat hy met dezelve 9 Dagen lang daar aan gearbeid heeft, en bemerkt, dat op het Weêr weinig ftaat te maaken is, vindt hy goed by de voorige nog zo vee» le Arbeiders te neemen, dat hy in de naastvolgende 2 Dagen met het Werk gereed kan worden. De vraag ïs^ hoe veel Perfoonen hy de laatfte maal tot ihuip heeft moeten neemen? Antw. 3 Perfoonen. 3. Een Heer neemt eenen Schaapherder aan, om 250 Schaapen voor hem te hoeden, onder conditie dat hy 'sMaands voor 50 Schaapen één Daalder Loon zal genieten. Na dat hy dezelve 5 Maanden gehoed heeft, worden 4hem nog too Schaapen gebragt, en 9 Maanden laater weder 150 weggenomen; van deezen tvd af over 7 Maarniet) bekomt hy weder ■300 Schaapen by de voorige. en 3 Maanden laater worden wederom 200 Schaapen weggenomen. De overige Schaapen nog 4 Maanden gehoed hebbende, bekomt de Schaapherder zyn afleheid. De vraag is hoe veel Loon hem in alles toekomt ? Antw. 255 Guld. ,4. In eene Stad zvn icoo Soldaaten met Spyze en Drank voor 12 Maanden lang voorzien. Na 2 Maanden wordt het Garnizoen nog met 200 Sol- , daa  of REKENKUNST. 175 idaaten verfterkt; voorts trekken na 3 Maanden weder 400 Soldaaten uit, en 4 Maanden laater komen by de overige weder 800 Man in de Stad. Hier op wordt gevraagd , boe lang de Soldaaten, die zich ten laatüen in de Stad bevinden, met de nog overige Spyze en Drank kunnen toekomen? Antw. 2 Maanden. ■5. Een Landman neemt eenen Schaapherder aan, : om 400 Schaapen, voor zeker Loon, 13 Maanden lang te hoeden, met uitdruklyk beding: dat-, ragevalle, door Koop, Verkoop als anderzins, het (getal van gemelde Schaapen vermeerderd of verminderd mogt worden , zulks tot vermeerdering of vermindering van den bepaalden tyd zal ftrekken. Na 4 Maanden koopt gemelde Landman , by de voorige, nog 50 Schaapen, en van toen af na 3 Maanden verkoopt hy wederom 150 Schaapen; eindelyk bakomt hy if Maanden na den laatstgemelden Verioop wederom 180 Schaapen by de laatst overgehoudene. Nu is de vraag, hoe lang de Schaapherder de nog overige Schaapen, volgens beding, nog rnioet hoeden? Antw. 3J Maanden. i>. A leent aan B 2600 Guld, voor 80 Weeken, onder conditie, dat B voor dien gantfchen tyd 5 per ■ Cent. Interest van Jt opgenomen Capitaal zal be. 1 -taaien. Na verloop van 16 Weeken betaalt B op ■ tekening van 't Capitaal 600 Guld.; doch ontfangt 14 Wecken daar na nogmaals van A eenige Guld. i op voorige Conditie. Zo nu B ten einde der be' paalde 80 Weeken in alles 118 Guld. 10 Stuiv. voor Interest moet betaalen , is de vraag, hoe groot het Capitaal is, dat hy naderhand nog van A ontfangen heeft? Antw. 400 Guld. 7. Een Heert huurt een Knecht, onder conditie, dat hy hem jaarlyks zal geeven 80 Guldens Loon en een nieuw Kleed. Na verloop van 24 Weeken neemt  176 ARITHMETICA neemt de Knecht zyn affcheid, en ontfangt, voor hergeen hem naar verdiende toekomt, het Kleed, benevens nog io Guldens Men vraagt op hoe veel het Kleed gerekend is? Antw op 50 Guld. 8. iien Heer huurt een Knecht, wien hy jaarlyks zal geeven zeker Loon, en daar by een Kleed "ter waarde van -70 Guldens: na verloop van 24 Weeken bekomt de Knecht zyn affcheid, en ontfangt, na rato zyne jaariykfche VerdienPte, het Kleed en 10 Guldens, üe vraag is , b >e veel Loon de Knecht bedongen hadt? Antw 80 Guldens 9. Een Rechtsgeleerde wil eenige ASten, te faamen J50 Vellen uitmaakende , laaien copiëeren, en neemt dasr toe drie Scnryvers aan, van welken A dezelve alleen in 4 Weeken 1 Dag, B alleen in 3 Weeken 2 Dagen, en C alleen in 2 Weeken 3 Dagen kan affchryven. Daar nu het Werk fyoed vordert, zet hy hun alle drie te gelyk aan 't Wf-rk, en begeert dus vooiaf te weeten, in hoe veel Dagen zy hetzelve te ('amen kunnen verrichten? Arit'w. in 60 Dagen 10. Drie Schryvers kunnen eenige Acten , te famen 150 Vellen uitmaakende, in 6\\ üagen copiëeren. A kan het alleen doen 1114 Weekend Dag, B in 3 Weeken 2 Dagen. De vraag is, hoe veel tyd G noodig heeft, om het alleen te doen? Antw. 15 Dagen. 11. Drie Schryvers kunnen in t>l\ Dagen 150 Vellen Papier copiëeeren. A en C kunnen het te fainen ïn 1 Week 3§ Dagen doen. Men vraagt. hoe véél tyd B alleen daar toe noodig heeft? Antw. 20 Dagen. 12. Een Koopman neemt een Comptoirbediende voor 7 Jaaren aan, onder conditie, dat hy in 't eerfte Jaar hem voor Salaris zal geeven 100 Guld., in het tweedejaar 150 Guld., en zo voorts, ieder vol.  «r REKENKUNST. *7? volgend jaar 50 Guld. meer, n*vens eên nieuwjaarsGefchenk, dat insgelyks van jaar tot jaar met a Guld. vermeerderd zal worden. Na verloop der 7 Jaaren, heeft de Bediende, op rekening van zyn Salaris, en beloofde nieuwjaars-Gift, reeds 130a Guld. ontfangen, en wordt hem door den Komman nog 513 Guld. tot flot van rekening betaald. Men vraagt, op hoe veel de nieuwjaars - Gift in 't eerfte jaar gerekend is? Antw. op 3 Guld. 13. Iemand bedingt by een Lakenkooper een zeker Werk in 35 Weeken te vervaardigen voor 150 Guld. Na dat hy met den arbeid een begin heeft gemaakr, fpreekt hy den Lakenkooper aan om u Ellen Laken, tot een Kleed en Mantel, die hy ook op Rekening ontfangt. Teen hy nu 2* Weeken over I de helft des tyds daar aan gearbeid hadt, kwam hy 'te fterven, en zyne Weduwe ontfing tot flot van Rekening nog 21 Guld. 5 Stuiv. Hoe hoog is de El Laken gerekend? Antw. 6 Guld. 5 Stuiv. 14 Een Kunftenaar heeft in een Huis 5 Vierendeel1 jaars lang te arbeiden: bedingt met den Eigenaar en Bewooner, dat, wanneer hy op Werkdag in ; zyn Huis blyft fpyzen, hy dagelyks 20 Stuivers, I en wanneer hy te huis gaat eeten, alsdan 38 Stuiv. I tot Dagloon zal hebben. Na verloop van den beI paalden tyd wordt de Rekening opgemaakt, en beI vonden, dat de Kunftenaar reeds 100 Kyksdaalders ij op Rekening ontfangen heeft, en hem per Saldo M nog 356 Guldens toekomt. Men vraagt, boe veel I Dagen hy by den Eigenaar gefpysd heeft? De Week \ op 6 Werkdagen gerekend, Antw. 100 Dagen. 15. Iemand heeft, onder Hypotheek van een Huis ! en Erve, eene zekere Som op Interest gegeeven, I tegen 4 per Cent jaarlykfche Interest. Toen dit U Geld 51 Jaaren hadt uitgeftaan , werdt op rekening 1 der Interesten betaald 824 Guld.; zo dat toen nog ! M 25°  ï78 ARITHMETICA 250 Ryksdaalders aan Interest ter betaaïing overbleef. Hoe groot is het Capitaal geweest? Antw. 6300 Guld. ió. Iemand laat eenige Juweelen beleenen, en ontfangt daarop 6000 Guld., onder conditie, dat hy dezelve over een Jaar, met f per Cent Interest 's Maands, weder zal Ics'en,- d>ch , in geval de betaaiing langer dan een Jaar mogt uitgefteid worden, zal hy telkens voor ieder Vierendeeljaars J per Cent meer Interest dan voor het naastvoorgaande geeven. Zo nu gemelde Juweelen op die conditie 2 Jaaren blyven liaan, eer de aflosfing gefchiedt, is de vraag, hoe veel Interest voor die 2 Jaaren betaald moet worden ? Antw. 870 Guld. 17. Iemand verzet by een Makelaar eenige Baaien Koffybooneii, en ontfangt daar op 1000 Guldens, die hy belooft over io£ Maanden, met 4 per Cent jaarlykfche Interest, weder te zullen voldoen: doch wordt daar by wel uitdruklyk bedongen, dat zo de geheele voldoening niet ep den'bepaalden tyd gefchiedt, hy alsdan voor iedere Maand, na dien tyi, § per Cent Interest meer dan volgens beding zal geeven. Zo nu de betaaliRg van Capitaal en In erest over 195 Maanden gefchiedt, is de vraag , hoe veel de Opaeemer in alles betaald beeft? Antw. 1296 Guld. 18. A Weeft voor eenigen tyd uitgezet 4000 Guld. a 3 per Cent 'sjaars, en ontfangt ten einde van dien fyd 90 Guldens Interest. B zet een Capitaal uit, I Maand langer dan A , rt |f per Cent Interest 's Jaars, cn ontfangt 66 Guld. Interest minder, dan G van 5400 Guld. Capitaal voor 11 Maanden':a 4 rer Cent 'sjaars ontfangen heeft. Voor hoe lang heeft A de 4000 Guld , en hoe veel Capitaal B uitgezet? Antw. De tyd van A is 9 Maanden, en het Cepitaal van B 4800 Guld, 19.  of REKENKUNST. 179 iq Vier Perfoonen hebben op Interest uitgezet, naamlyk: a 2400 Guld. voor 12 Maanden a — per Cent; B 3000 Guld. voor — Maanden a 5 per Cent 'n laars- C — Guld. voor 10 Maanden h 4}. per Cent 'sjaars; D 45°° S«üd. voor 8 Maanden a 4 per Cent 'sjaars- Zo zy nu alle vier even veel Interest ontfangen, is de vraag: (1) Hoe veel per Cent heeft A genoten? ',2) Voor hoe veel Maanden heeft B zyn Capitaal uitgezet? (3) Hoe groot is het Capitaal van C geweest? Antw. r^i) 5 per Cent. (2) o« Maanden. (3) C 3200 Guld. 00. Als too 0? Styffel verkocht worden voor 15 Guld. 8 Stuiv., bevindt men 23 per Cent verloren te hebben. Men vraagt, hoe duur de 100 m ingekocht zyn ? Antw voor 20 Guld. 21. Iemand heeft uit een Vat Koffyboonen verkocht 120 fg tot 7 Stuiv., en verliest daaraan I2i per Cent; de Rest moet hy insgelyks met 10 per Cent fchade verkoopen, waar door hy aan de geheele Party 21 Guld. 4 Stuiv. verliest. Hoe veel Ponden heeft het Vat gewogen? Antw. 500 fg. 22. Een Hond vervolgt een Haas, die 60 fprongen vóór hem is: de Haas doet 5 tegen den Hond 4 fprongen. Zo nu 2 Hondefprongen gelyk zyn aan 3 Hazefprongen, is de vraag, hoe veel fprongen de Hond moet doen, om den Haas te achterhaalen ? Antw. 240 fprongen. , .'• ... 23. Zo, als vooren, de Haas doet 9tegen den Hond, 7'fprongen, en 3 Hondefprongen gelyk zyn aan 5 Hazefprongen, hoe veel fprongen moet dan de Haas vooruit zyn , om in- 126 iprongen van den Hond achterhaald te worden? Antw. 60 fprongen. 24. Een rechthoekig Stuk Lands houdt in de lengte 127 . 6, en in de breedte 86 . t Roeden,- de vraag i is hoe veel vierkante Roeden hetzelve zal influiten? 1 Antw. 11078.^2^ vierkante Roeden. M 2 35.  fêo ARITHMËTÏCA 25. Vind door Dtcimaal-Rekeoing het vermeenig. vuldigde van 14 Voeten 8 Duimen met 11 Voeten 10 Duimen? (De Voet tot 12 Duimen gerekend.') Antw. 173 Vierk. Voeten 80 Vierk. Duimen. 26". Iemand koopteen Stuk Land, van 27. 3" Roeden lang, onder 11. 25, en boven 12.75 Roeden breed, voor 19a Guld.; hoe veel zal na rato een ander Stuk Land kosten, dat 52, 83" Roeden lang, onder 16, en boven 25 Voeten breed is? Antw. 634 Guldens. 27. Een voornaam Burger wil de Vloer van een Vertrek, dat 40.3 Voeten lang, en 24 Voeten breed is, laaten beleggen met Zweedfche Steenen, die ieder 2 Voeten lang en breed zyn, en 131 Stuiv. kosten. Men vraagt hoe veel hy in alles Zal moeten betaalen? Antw. 163 Guld. 7 Stuiv. 28. De gemelde Burger heeft naar de maat der voorige Steenen zyn overfJag gemaakt, dat ieder 2 Voeten lang en breed zal zyn. Zo hy nu by de levering bevindt, dat ieder Steen flegts 1. 83} Voeten lang en breed is, en daar voor 1 Stuiv. op ieder Steen afdingt , is de vraag , hoe veel gemelde Steenen hem alsdan zullen kosten? Antw. 180 Guld. 29. Een Muur is lang 36 Voeten 6 Duimen, boog 76 Voeten 9 Duimen, en dik 4 Voeten 3 Duimen. Zo nu deeze Muur met gebakken Steenen, die ieder 9 Duimen lang, 4 Duimen breed en li Daim dik zyn, gemetfeld is, vraagt men, hoe veel zodanige Steenen tot den Muur zyn noodig geweest ? De ruimte voor de Kalk niet in aanmerking neemende. Antw 83147 Steenen. 30. Arletto, ten Koopman der Stad Florence, was in 't byzonder aan vier Kooplieden ieder eenige duizend Dueaaten fchuldig, en om die reden in de Domkerk gevlugt. Aldaar kwam by hem 'één zyner goede Vrienden , zynde een Domiwer, die hem  of REKENKUNST. 181 hem vraagde: Wat hy aan die Plaats te doen hadt, en waarom hy zo droevig was? Arletto verhaalde zynen toeftand , en hoe fmertelyk het voor hem was, dat de Crediteuren, fchoon zy hem alle zyne Goederen hadden afgenomen, hem nog daar by op eene onverdragelyke wyze fcholden , en zelfs uaar zyn leven ftonden; dat hy onder zodanige drukkende omftandigheden zou moeten bezwyken, zo niet een Boekje, dat hy in handen hadt, 't welk óver het geduld handelde, hem eenigermaate troost mededeelde. De Domheer vraagde: Hoe veel hy dan aan ieder van hun fchuldig was ? Arletto wilde niet duidelyk antwoorden, maar ztide: Ik ben den'eerften , tweeden en derden te faamen 900 Dueaaten minder fchuldig , dan twee maal zo veel als den vierden. Als ook den tweeden , derden en vierden te faamen 900 Dueaaten minder, dan drie maal zo veel als den eerften. Voorts den derden, vierden en eerften te faamen 930 Dueaaten minder, dan vier maal zo veel als den tweeden, en eindelyk: den vierden, eerften en tweeden te faamen 900 Dueaaten minder, dan vyf maal zo veel als den derden.. De Domheer vraagde verders: Hoe veel de Crediteuren dan ontfangen hadden? Arletto antwoordde? Te faamen 2361 Dueaaten, en wel de eerfte zo me» nigmaal *, als de tweede | , en de tweede zo me» nigmaal * , als de derde |, en de derde zo meenigmaal è> a's de vierde voor iedere 100 Dueaaten van de Schuld. De Domheer zeide hier opï, Myn Arletto, is de zaak zo gelegen, zo zou, mynsbedunkens , zodanig Troostboekje nuttiger en dienftiger zyn voor uwe Crediteuren, wyl zy de fchade hebben, dan voor u, om daar uit geduld te leeren. Arletto hernam: Wie rampfpoed heeft r dien helpe Godt, 'f Ontbreekt hem niet aan hoon en Spot. M 3 Ui*.  l8a ARITHMETICA Uit dit vsrhaal ontftaa? nu de vraag, hoe veel zodanig verlies voor ieder der vier Kooplieden bedraagt? Antw. voor A 3555, B 3096, C 2664, en D 5424 Dueaaten. Einde van het vierde of laatfte Deel. DRUKFEILEN. Derde Deel. Pag. Reg. ftaat lees 8 3 van bov. / 46 : 8 : - ƒ 46 : 18: — 10 10 V3n ond. 3TJ pCt. 3! pCt. 11 9 van ond. 3ff pCt. 3\h pCt. 16 17 van ond. ƒ 100 ƒ 1000 — 3 van ond. 33 pCt. 3| pCt. 23 16 van bov. /§ 7i 38 15 van bov. 3 + 1 3 + 3 + 1 — 16 van bov. 4+3+1 4 + 1 — 17 van bov. 5+10+5 5 + 10+10 + 5 64 1 van ond. 8 Maanden 8^ Maanden. 66 6 van ond. w v*. 70 1 van ond. 15 Maanden n Maanden. 94 moet voor het tweede Lid des 111. Regels geleezen worden. Breng het Decimaal- punt zo veel Plaatfen naar de rechterhand, als 'er CyfFerlettfren in den Repe. tend zyn. en divideert het Product door een getal, dat uit even zo veel negens beftaat, als 'er Plaatfen in den Repetend zyn. Vierde Deel. Pag. Reg. ftaat » lees 7 2 van ond- linkerhand j rechterhand. —- 1 van ond. rechterhand } linkerhand.  BLADWYZER der Regelen, welks in dit Deel voorkomen. Verheffing tot Magten . Pag. 3; EvoLUTIO Of W ORTELTREKKING. 3* a.) Tafel V3n Magten. . • 4b ) Hi>e de Getallen voor iedere Magt afgedeeld moeten worden. . 5* Uittrekking van den Vierkants-Wortel. . . 6". a. ) Algemeene Regel. . • i3- b. ) Om den Vierkants-Wortel uit eenen Breuk of gemengd Getal te trekken. 15. r.) Om uit een Getal, dat geen volkomen Quadraat is, den VierkantsWortel ten naaste by te trékken. iS. Uittrekking van den Teer- l in gs - vvo r te l. . . 22: fl.) Algemeene Regel. . . 29. b.) Om den Teerlings - Wortel uit een Getal, dat geen volkomen Cubic ' is, te trekken. -. . . 33. Algemeene Rucst, om de W o r t e- len van alle Magten te trekken. 38. Van de Proportie in 'r gemeen. 40. Van dg Ari t hm eti sche Processie. - . . . 43. Van de Geojiktrische P r o g r f s- 51 e. . . . 48. «0  BLADWFZER. a,) Regel om tusrchen twee gegeevene Getallen verfcheide Middenevenredigen te vinden. . «53» Goud- en Zilver-Rekening. . 57. | Regel van Mengi n,g, anders genaamd Recüla Alligahonis. . 64. a.) Regel op het eerste Geval. lbid. fc.) Regel op het tweede Geval. 69. I Regel coecis of Virginum. . 85. a.) Regel op het eeui st e Geval. 86. b ) Regel op het tweede Geval, 89. e.) Om Arithmmce een Getal te vinden, dat door een gegeeven Getal effen deelbaar is, eo door een ander gegeeven Getal gedeeld wordende, een gegeeven Rest overlaat. 108. Regel Falsi of Regel van val- sche positien- • . ho. a. ) Regel op het eerste Geval. lbid. b. ~) Regel op het tweede Geval. 119. Rekenkönst1 ge Voorstellen, waar in Meetkundige eigenfchappen voorkomen. • • • • 113°* , Aanhangsel- . • • • I37« aO Over ie Sommeering der oNëiNDioE Reeksen, of RvëN van Breukbw. 138. JO Van Z)*c/j«aai-Reekfen, en Voorbeelden van Breuken , die in enkelvouwdige wederkeerende DecimaalGetallen veründerd kunnen worden. 155. Voorstellen tot besluit. . l74>