EERSTE BEGINSELEN FLUXIE-REKENING. BEHELZENDE EENE DUIDELYKE VERKLAARING VAN DE GRONDEN DEEZER VOORTREFFELYKE WeETENSCHAP, BENEVENS HAARE TOEPASSING EN GEBRUIK IN ONDERSCHEIDENE dee» LEN DER WISKUNDE. ARNOLDUS BASTIAAN STRABBE, Mathematicus en IVynrocijer te Amflerdam. der n o o r Te AMSTERDAM^ £y P. G. Geysbeek, Boekverkooper op d« Lelygragt, by de Keizersgragt. MDCCXCVIir,   VOORREDEN. Van alle de Mathematifche Weetenfchappen is, buiten alle tegenfpraak, de Leerwyze der Fluxiën de uitgebreidfle en verhevenfte. Zy is eigenlyk een nieuw gedeelte der Wiskunde , in zich fluitende eene Analyfis, welke zich onyergelykelyk verder dan die der Ouden uitftrekt. Veele zwaarigheden, welke door alle andere bekende Leerwyzen byna onöverkomelyk zyn , worden langs dsezen weg met eene ongemeene vaardigheid, fierlykheid en klaarheid opgelost. Na hetgeen ik in het Oeffenfchool der Mathematifche Weetenjchappen, by wyze van eene inleidende Verhandeling, over dit onderwerp heb medegedeeld, en waarover veele hoogfchatters der Wiskunde my hun genoegen betuigd hebben, bleef my eeniglyk den wensch over, om t'eenigen tyde eene voikomener en meer uitgewerkte Verhandeling over dat keurig onderwerp het licht te doen zien. De moeijelykheid om zodanige Werken, waar toe veel kosten verëischt worden, en welke, wel verre van in den algemeenen fmaak te vallen, flegts aan weinigen behaagen, aan den man te helpen, verydelde eenige achterëenvolgende Jaaren het ontwerp , 't welk ik my had voorgefchreeven , om naamlyk eene voikomene Verhandeling over de eerfte beginfelen der Fluxie-Rekening onzen land» genooten mede te deelen; en zekerlyk zouden alle myne poogingen , om eenmaal mynen wensch te vervullen, tot hier toe vruchteloos gebleeven zyn, zo niet het Genootfchap der Mathematifche Weetenfchappen, onder de Spreuk: Een onvermoeide arbeid komt alles te boven, waarvan ik de eer heb, fints deszelfs oprichting in den Jaare 1778, Lid en, * a Se?  ïv VOORREDEN. Secretaris te zyn, my hier in de behulpzaame hand hadt geboden, door op eene edelmoedige wyze alle de kosten der uitvoering op zich te neemèn, waar voor ik hetzelve by deezen openlyk hulde doe. Om nu ook iets van dë famenftelling van dit Werk te zeggen, zal ik kortelyk deszelfs inhoud voordragen. Hetzelve bevat zestien Afdeelingen. In de eerde Afdeeling wordt de natuur en den ooriprong der Fluxiën verklaard , en het onderichefd tusfchen ftandvastige en veranderlyke Groot' heden ten duidelykften aangewezen. In de tweede Afdeeling worden de Fluxiën der Grootheden in 't afgetrokkehe Qn abftraëïa), of zo als dezelve door algemeene Algebraïfche karakters uitgedrukt worden, bcfchouwd; eh de daar uit vloeijende pra&icaale Regelen door toe* pasfelyke voorbeelden verklaard. In de derde Afdeeling wordt van tweede, derde, vierde en andere Fluxiën gehandeld, en daar by aangetoond, dat tweede, derde, vierde en hoogere Fluxiën, met uitzondering van haaren rang en betekenis , eene voiftreKte overeenkomst mee eerfte Fluxiën hebben, en tot de Grootheden* waar van zy onmiddelyï afgeleid worden, in eene gelyke betrekking ftaan. De vierde Afdeeling bevat de Leerwyze, om de Fluxiën der Logarithmen en Exponentiaak Grootheden te vinden. . Om hier toe te geraa* ken, zoeke ik eene Séries, welke den Hyperhlifchen Lagarithmus der Grootheid i+x uitdrukt; van welke Séries de Fluxie, volgens de gegee* vene Regelen, bepaald zynde,, verandere ik die Fluxie in eene eindige Grootheid, welke alsdan aantoont, , dat de Fluxie van eenea Hyper bolt35 fsken Ifigatithmus fteeds uitgedrukt wordt, door  VOORREDEN. v „ de Fluxie van het overëenkomstig getal, ge,, deeld door dat zelfde getal." In de vyfde Afdeeling wordt de omgekeerde Leerwyze der Fluxiën voorgedragen, om naamlyk van voorgeftelde Fluxiën tot de vloeijende Grootheden of de Fluenten , waar van zy de Fluxiën zyn, te rug te gaan, of wel om uit de Fluxiën de Fluenten te vinden, wanneer de laatlten naauwkeurig in Algebraïfche Termen voorgefteld kunnen worden. In de zesde, zevende, agtfte, negende en tiende Afdeelingen worden de voorgedragene grondbeginfelen tot de Oplosfing van Voorltellen, welke in de Wiskunde van een veelvuldig en onöntbeerlyk gebruik zyn , toepasfelyk gemaakt, als: het bepaalen der Maxima en Minima van Grootheden ; het trekken van Raaklynen tot Krommen; het vinden der buigpunten en kromteftraalen van kromme Lynen, en laatftelyk de nafpooring van de natuur der ontwondene Kromme {Èvolutd) van eene gegeevene opgewondene Kromme (lnvoluta). Na deeze toepaslingen, met de meest mogelyke duidelykheid, gemaakt te hebben , kome ik tot de Leerwyze der Fluenten terug, van welke my nog overig was die gevallen te befchouwen, waar in het volftrekt noodzaakelyk is de Fluxiën in onëindige convergeerende Reekfen te kunnen herleiden , om vervolgens van eiken byzonderen Term de Fluent, naar den Regel, te bepaalen. Tot dat einde vindt men in de elfde Afdeeling de handelwyze, om Breuken of irrationaale Grootheden in onëindige Séries of Reekfen te brengen, en in de twaalfde Afdeeling de bepaaling der Fluenten van gegeevene Fluxiën, door middel van onëindige convergeerende Reekfen, * 3 . Einr  Vï VOORREDEN. Eindelyk wordt in de dertiende, veertiende, vyftiende en zestiende Afdeelingen het gebruik der Fluxiën, of wel de Leerwyze der Fluenten, verklaard: i'. In het rectificeeren van kromme Lynen; a9. in het vinden der Inhouden van krom ynige Ruimtens; 30. in het vinden der bultige Oppervlaktens van Lighaamen; en 40, in het vinden der Inhouden van Lighaamen. - Om uit deeze Verhandeling eenig nut te trekken, wordt hoofdzaakelyk verëischt, dat de Leezer genoegzaam bedreeven zy in de Rekenkunst, Meetkunde, Algebra, Driehoeksmeeting, Kegelfneeden, en de natuur der Logarithmen ; terwyl hy tevens de gronden van eiken tak ■ van Wee» tenfehap , op welken hy de Fluxiën zou willen toepasfen, behoort te verdaan. Ik heb voorts hier niets anders by te voegen dan de onbewimpelde erkentenis, dat ik, onder het famenftellen deezer Verhandeling, gebruik gemaakt heb van hetgeen de beroemdfte Engelfche Wiskundigen, Newton, Maclaurin, Hayes, D itt on, Rowe, Saunderson, Simpson en Emerson over deeze ltofFe gèfchreeven hebben; nogthans kan ik voor my zeiven niet ontveinzen, dat veele der voorgedragene Leerwyzen, zo wel als veele der hier en daar ingelaschte ophelderingen , myn wettig eigendom zyh. Zo 'er desniettegenftaande de zulken gevonden mogten worden, welke my de onderwerpen, die my op eene uitfluitende wyze in eigendom toebehooren, zouden willen betwisten , gun ik hun de vryheid hier in naar welgevallen te handelen, als zy my degts de eere laaten van met een goed oogmerk mynen Landgenoocen nuttig te zyn geweest. I N-  INHOUD. I. Afdeeling. Van de Natuur der Fluxiën. ... . Bladz. i II. > Van de Fluxiën der Grootheden in abftraéto befchouwd, of zo als dezelve door algemeene Algebraïfche karakters uitgedrukt worden» 10 III. Van tweede , derde, vierde en andere Fluxiën. • • • 27 IV. Van de Fluxiën der Logarithmen en Ex- ponentiaale Grootheden. • . 34 V. Van de omgekeerde, Leerwyze, of de be- paaiing der Fluenten van gegeevene Fluxiën. 46 VI. Van de toepasfing der Fluxiën in de Op- losfing van Voorjtellen, waarin geëischt wordt de Maxima en Minima yan Grootheden te te» paalen. . . • 9^ VII. Van de toepasfing der Fluxiën in de Op' losfing van Voorflellen, waar in gehucht wordt Raaklynen tot Krommen te trekken. . 187 VIII. Van het gebruik der Fluxiën in de Oplos- fing van Voorjtellen , waar in begeerd wordt de buigpunten van kromme Lynen te vinden. 205 IX, ——— Van het gebruik der Fluxiën in de Oplos fing van Voor/lellen , waar in begeerd wordt de kromtejlraalen van kromme Lynen te vinden. 217 X. Van het gebruik der Fluxiën in de Oplos» Jingvan Voorfiellen, waar in begeerd wordt de natuur der ontwondene Kromme \ Kvoluta) van eene gegevene opgewondene Kromme (lnvoluta) te vinden. . . . 23Ü XI.  viii INHOUD. XI. Afdeeling. Van de handelwyze om Breuken of irmionaale Grootheden in oneindige Séries of Reek/en te brengen. . Bladz. 245 £an de bepaaling der Fluenten van se. geevene Fluxiën, door middel van onëindiee convergeerende Reekfen. . . 6 3I' XIII. —— Van het eehruik der Fluxiën in de Oplosfing van Voorflellen , mar in begeerd wordt kromme Lynen te reëlificeeren, of haare Lenstent te vinden. . . &g XIV* —— Van het gebruik der Fluxiën in de Oplesfing van Voordellen , waar in begeerd wordt de Inhouden van kromlynige Ruimtens te vinden. 313 XV' 7"",— fan kit gebruik der Fluxiën in de Oplosfing van Voorflellen, waar in begeerd wordt de bultige Oppervlahens van Lighaamen te vin. *«• 322 XVI* 7-7— Van het gebruik der Fluxiën in de Op. losfing van Voorflellen, waar in begeerd wordt de Inhouden van Lighaamen te vinden. 327 EER.  EERSTE BEGINSELËK E> E ft FLUXIE-REKENING, EERSTE AFDEELING; Van de Natuur der Flüxien. Om van de Natuur der Fluxiën eén juist en gepast denkbeeld te verkrygeD , is het voorüt uoodzaakelyk den Leezer onder het,ooG; te brengen, hoedanig hy den Öorfprong en de leeling van Wis■kundige Grootheden behoort te befchquwen.. In cé gemeené Meetkunde is men veelal gewoon de Grootheden als eene verzameling of opëenltapeïing van zeer kleine deelen aan te merkenden deeze befchöuwing is ten dien opzichte niet alleen niet arte keuren, maar oök in veele gevalleri, waar in onömbeerlvk is , van de grootlte nuttigheid, gelyk allen dK zich in de beginfeleri der Meetkunde ecnigzins geöcffend hebben, niet onbekend kan zyn. Doch de Leèrwyze, waar övèr ik nu zal handeten, is van eene geheel andere natüur. In dezelve woïden de Grootheden niet aangemerkt als eenè VcrramdiDg van zeer kleine deeltjes maar alft Grootheden , <1ïe dóór eène geduurige onafgebrökerié btwiegtog bcfclireeven worden. Dezelve laat niet toe, dat men zich de Groothedèn verbeelde als dè /iggrtgatin of totaale fommen vaa een oneindig gC-  2 EERSTE BEGINSELEN de& tal faamenftellende deeltjes (elementa)-, neen men moet dezelve befcbouwen als het gevolg of «e wrocht eener regelmaat-ge vloeijing, die, van't eer-" Ite oogenblik van haar begin tot dat van volkomens rust, onóphoudelyk voortgaat. Maar laat ik mv nader vetklaaren. * Alle Grootheden worden aangemerkt als geteeld zynde door de geduurige beweeging van eenige haarer einden of uiterften; als een Lyn door de beweeging van een Punt; een Vlak door de beweegmg van een Lyn; een Lighaam door de beweeging van een Vlak; en een Hoek door de beweeeina van een zyner Beenen om een vast Pont, dat men het Hoekpunt noemt. 1 • , . 2" Pe Grootheden,, welke aldus door eene geduurige beweegir.g van eenige haarer einden of uiTerflen geteeld worden noemt rnen Fluenten of vloeiilnde Grootheden: enje hoeveelheid; welke eenige K jende Grootheid, met de teelende Snelheid in eenen gegeevenen fiand of tydffip (zo dezelve van S af treed onve anderlyk blyft), regelmaatig aangroeit, my&$$ van die Grootheid in dien > £% 3. Om dit nader op te helderen, zo laat begreepen worden dat een Punt b, 't zy met eene eelpZ. A [—— ë , rige of verfnel- o""*'f lende beweegi"g, van A daar door eene rechte Lyn Ab teeltJ uSïJSeï*™ deröeld worden , dat de inelbeid van daYpuntin eenen voorgeftelden ftand zodanig z>, dat (wannéér dezelve van dien ftand af onvefanderlyk bleefTóï zelve genoegzaam zou Zyn, om, in den gegeevenen tyd voor ue Fluxie bepaald, den afflandfis te17fchryven of gt ykmaatig over te loopen : dan zi de gemelde affiand Sf de begeerde-. Fluxie £j vloei.  FLüXlE-REKENING. 3 vloeijende Lyn hbt in dien ftatid, behoorlyk uit» drukken. Dus is, by voorbetld, de beweèging eens Kogels, door het vermogen zyner eigene Zwaartekracht ne. derdaalecde , geduurig verfnellende ; doch om de Fluxie van de doorgevallene ruimte, in eenen gegeevenen ftand desKogels, te verkrygen, moeten wy vinden hoe ver de Kogel, met eene gelykmaat'ge beweeging, van dat • Punt of dien fund" af in eenen gegeevenen tyd zou daa'en, wanneer de Zwaartekracht, of de Aantrekkipg der Aarde , van daar af haare werking ftaakte. Dns zal men door dat middel een zo klaar denkbeeld van de Fluxie en de juiite Maat der fnelheid van den Kogel, in een gegeeven Punt, verkrygen, als in die Gevallen, waar in de beweeging werkelyk gelykmaatig is. 4. Alhoewel, ter verkryging eener juifte en duidelyke bevatting van de Natuur en de Hoegrootheid eener Fluxie , de befchouwing van Tyd, waar op zelfs onze denkbeelden van fnelheid lteunen, volftrekt noodzaakelyk is, moet men echter niet denken, dat 'er altoos eene gemeene Maat van tyd (als een Sccunde , een Minuut, een Uur, enz.-) vereischt wordt, om de voortbrenging van deFluxiën der Grootheden , die onder onze befchouwing vallen, te bepaalen. Een Lyn, door de gelykmaatige of eenpaarige beweeging van een Punt geteeld, zo als boven (§. 3.) aangemerkt is, kan als eene eigen» lyke uitdrukking of maat van den tyd genomen worden : en die tydruimte, welke die ook zy, waar in de aldus geteelde Lvn met eenige lengte of bepaalde Fluxie vermeerderd wordt, kao voor den tyd, in de b°paaling bedoeld, genomen worden; zo als in 't vervolg van dit Werk duidelyk zal blyken. 5. Uit het geen ik in §. 3. gezegd heb, is nu openbaar, dat, warneer de teelende beweegim; gelykmaatig is , de Fluxie en het Increment of aangroeijend deel, dat daadelyk in den gegeevenen tyd A a be-  4, EERSTE BEGINSELEN der befchreeven wordt, ééoe en de zelfde zaak zyndoch zo de fnelheid geduurig aangroeit, of afneemt mo« alsdan de Fluxie of kleiner of grooter dan het gemelde Increment , of de daadelyk befchreevene ruimte, zyn: vermits eene aangroeijing der fnelheid noodzaakelyk eene aangroeijing in den overgeloooën afftand moet te weeg brengen, en zo 'ook m tegen- 6. Daar benevens ïs het klaarblyklyk uit het voorengezegde , dat Grootheden, welke vloeiien, of te gelyk aangroeijen, zulks dat dezelve fteeds in lene ftandvastige Reden blyven , insgelyks haare Fluxiën in dezelfde ftandvastige Reden hebben. Om dit met een byzonder voorbeeld op te helderen, zo onderftele men , dat twee Lynen A b en Bc , door de gelykmaatige beweeging van twee Purl. ten ien e, zodanig geteeld worden, dat de laatfte van dezelven geduurig, of in alle overëeukomftige & iïanden, A' 1 i 0 gelykaan S * het dub- beld van -«[ C deeerffe x>' 1 | zal zyn: T ~tr neemen- c t . an * ? ii ,. de alsdan tliL'rlf'J &lS ^tydige ftanden van de ge§T hPr^iei?UDten'*zal» door de Onderltelüng, A^vn. h;^, v3n as' en Bt liet dubbeld van Af zyn; dienvolgens moet ook Tt, de Fluxie van BT, het dubbeld van Ss, de Fluxie van AS, zyn. Aan den anderen kant is het mede klaarblvklvk dat, wanneer de Reden der Fluenten A J, W verI anderlyk is, die van de Fluxiën insgelvks veranderen moet. Indien dus, terwvl het Punt ft zich ge. lykmaat^ blyft beweegen, naar reden van een Duim, Voet, Roede, enz. in een Secunde tyds, de bewêe ging van het ander Punt c zodanig ger cht wordt dat het getal Duimen, Voeten, Rofdfn, enz. ft vloei-*  FLUXIE-REKENING. 5 vloeijende Lyn Bc, daardoor geteeld, geduurig ge* lyk zy aan het Vierkant van 't getal der Duimen, Voeten, Roeden, enz. in A ft, door het voorgemelde Punt b befchreeven; dan is het in dit Geval openbaar, dat de Reden der Fluenten Kb, Bc eene veranderlyke Reden is,* en dat de Reden der Fluxiën insgelyks veranderlyk is, aangezien de afftanden i, 4, o, 16, 25, enz., door het Punt c in 1, 2, 3,4,5, enz. Secunden tyds befchreeven , in Evenredigheid veel fneller aangroeijen, dan 1,2, 3, 4, y, enz., de overeenkomttige afftanden , die door de eenpaarige beweeging van het ander Punt b overgeloopcn worden. 7. De Fluxiën van Vlakken en Lighaamen worden op de zelfde wyze befchouwd , en men kan zich van dezelven even zo geroaklyk een denkbeeld maa>ken, als van de Fluxie eener rechte Lyn. Men ver» beelde zich, dat eene gegee.venerechte Lyn bc zich, met eene gelykmaatige beweeging, van den Hand AB af evenwydig aan zich zelve beweegt, en daar door den vloeijenden Rechthoek AftcB teelt; laat ins- Brp n gelyksdeaf- 1 : 4 «/ «and Ss (&• 30 de uitdrukking j der Fluxie I o] ....,„„„„ van de Lyn A S * P A b zyn, en de Rechthoek SstT voltooid worden. Dewyl dan deeze Rechthoek de ruimte is, die door de teelende Lyn b c, met eene gelykmaatige beweeging, befchreeven wordt, in den tyd dat A b op gelyke wyze de lengte Sf aangroeit, zal ook die zelfde Rechthoek SjiT de waare Fluxie van den vloeijenden Rechthoek A c in dien ftand zyn, volgens de bepaaling (§.2), ' {?. Een Punt kan begreepen worden zich te verplaatsen met eens tweevoudige foort van beweeging; A 3 Ba*-  6 EERSTE BEGINSELEN der naamelylc, of met eene eenvoudige beweeging, of met eene beweeging , die uit twee anderen is faameDgefteld. Men verbeelde zich , dat de Punten A en B zich rechtftreeks van A naar L , en van B An n tr r naar K bewee- ° . ^ gen; dan zullen 4» Vx^,P ! j dezelve door die beweeging \\ fX;at derechteLynen S ^^^Hfb<; / ALenBKbe- V» ^J^^s* fchryven. In- _é ., ^^L_^^X-.:,C dien de gehee- * tTf^Z le Lyn A B zich _L_ __! r^1-, ^ van B naar K .B Jx G II -K beweegt,endat het punt A in het zelfde tydflip zich van A naar B begint te beweegen, zal het punt A, met deeze beide beweegingen verplaatst wordende, of eene rechte Lyn}of eene Kromme bsfchryveu,na dat deszelfs fnelheden in elke richtftreek tot elkander gefchikt, en geëvenredigd zyn, of zich toe elkander verhouden. Zo dezelve tot elkander in zodanige Heden waren, datderuimtens, welke in den zelfden tyd door het Punt A in de xichtflreek AB, en het Punt B in de rfchtilreekBK, befchreeven worden, geduurig de zelfde Reden tot elkander hadden, zou het fpoor der beweeging van het punt A eene rechte Lyn zyn. Stel, by voorbeeld, dat, terwyl het Punt B zich van B naar G beweegt, het Punt A zxh van A naar s beweegt, en dat, terwyl het Punt fci de Lyn B H befchryft, h"c Punt A de'Lyn A t zal befchry ven ; of wel, dat, als B in Gof H is, het Punt A in de Lynen DG en EH, gelyk en evenwydig aan A B zynde , in k of l zal zyn. Indien dan deeze ruimtens tot elkander evenredig zyn, of wel, zo men deeze Evenredigheid heeft Uk : El i: BG : BH, welke, uit hoofde der parallele Lynen, overeenkomt met deeze : Ar : At :: si : tl; dan zyn de Punten ken l in eene rechte Lyn ; en zo deeze Evenredigheid overal en in alle Randen plaats heeft, zal ook de Lya  FLUXIE.RE KUN ING. 7 Lyn AklKy het fpoor der faamengeftelde beweeging van het punt A, eene rechte Lyn zyn. 9. Indien de ruimtens, door de beide 'beweegende Punten in den zelfden tyd befchreeven, niet aldus tot elkander evenredig zyn, dan is "het fpoor van het Punt A eene kromme Lyn, die tiaar de Lyn AB uitgebogen is , als de Kromme AdfK, of ten opzichte dier zelfde Lyn A B ingebogen is, als de Kromme Apb K. In het laatfte geval worden de Lynen s b en t «, door de beweeging van B naar K, in den zelfden tyd befchreeven,, waar in de Lynen Ar en At, door de beweeging van A naar J3, befchreeven worden : en de Lyn, door de faamengeftelde beweeging van het Punt A befchreeven, is de Kromme ApbK, die ten opzichte der Lyn AB ingebogen is. In het eerfte geval worden deLypen sd en tf, door de beweeging van B naar K, in den zelfden t?d befchreeven, waar in de Lynen A s en At, door de beweeging van A naar B, befchreeven worden; en de Lyn, door de faamengeftelde beweeging van het Punt A befchreeven, is de Kromme Ad/K, die naar de Lyn AB uitgebogen is. 10. Zo nu de Kromme hpbVl door het Punt A in deszelfs faamengeftelde beweeging befchreeven was, zouden de ruimtens, door de beweeging in AB befchreeven, eene kleinere Reden tot elkander heb. ben, dan de ruimtens , welke door de bewecging in BK befchreeven worden: en zo de Kromme Ad/K op gelykewyze befchreeven was . zouden de ruimtens, door de beweeging in A B befchreeven, eene groocere Reden tot elkander hebben, dan de ruimtens, welke door de beweeging in B K befchreeven worden. Om zulks aan te toonen, zo trekke men de Peefen Ai en Ad, fnydende de Lyn t », of derzelver verlengde, in de Punten C en e. Dan heeft men wegens de gelykvormigheid der Driehoeken Asb, AtC, de volgende Even» redigheid: Ar : At :: sb : tC. A 4 Der-  g EERSTE BEGINSELEN der •A x s h Perhrjvén — — — , Dewyl nu tC > tn is, At tC f si? s b s b As zo is ook — > —- ; dat is —- > —'-. Waar. t n t C t n At uit blykt, dat de ruimtens, dpor de beweeging in de rjchtftreek A B befchreeven , eene kléinere Ré« den tot elkander hebben , daq de ruimtens, welke refpeétivelyk in dezelfde tyden, dpor de beweeging in de richtrtreek BK, befchreeven zyn. Aan den apderen kant beeft men ten aanzien van de Kromme Ad/K.', door de gelykvormigheid der Driehoeken AJd» Ate» deeze Evenredigheid: As : At :: sd % te* As s d Derhal ven —■ S — . Dewyl nu te < tf i>, ' "*' At 'te - ■ . -i s d s d sd As zp ijj pok — < ; dat is —- < —r . Dien,-; tf te tf At volgens hebben de ruimtens, door de beweeging in de richtftreek A B befchreeven , eene groenere Re«j den tot elkander, dan de ruimtens, welke refpecïivelyk in de zelfde tyden, door de beweeging in de richtftreek BK, befchreeven zyn, • ir. De Fluxie eener Driehoekige of Kromlyniga ruimte AST wordt op de zelfde wyze verklaard, ëis die van eenen Rechthoek. Want, laat de Krom■ ^ lykmaatig geteeld zou worden met de zelfde fne heid, waar mede dezelve in den aanvaDg geteel wordt, of waar mede de ruimte Abt in dien ftand i; •aangegroeid. 12. Deeze waarheid zal nog duidelyker blyken , door te bewyzen, dat de begeerde Fluxie noch grooter, noch kleiner j dan de gemelde Rechthoek SstT jtan zyn. Onder (lellende dus, dat de „, Lyn 6c, terwyl dezelve zich Z&rh-t. gelykmaatig naar st beweegt, yT^^ in lengte aangroeit, dan zal jr '■■ de daar door geteelde Inhoud f | SfccT klaarblyklyk groote* J L •[> '—f zyn, dan de Inhoud, welke, ^ >•> y met de gegeevene lengte in den eerften ftand ST, inden, zelfden tyd gelykmaatig zou voortkomen; uit hoof-de dat, wanneer de teelende Lyn geduurig langer wordt, de nieuwe deelen , wélke in elk achtervolgend oogeqblikontftaaD, fteeds hoe langer hoe grooter worden. Wederom, onderftellende, dat de Lyn bc, de fluxie teelende, van den gegeevenen ftand ST af geduurig in lengte vermindert, dan is het insgelyks klaarblyklyk , dat de geteelde ruimte Sbc'T kleiner zal zyn dan de gelyktydige ruimte, die, met de ge? geevene lengte in den eerften ftand S T, gelykmaatig zou voortkomen. Aangezien dan de Fluxie, of de ruimte, die uit de teelende fnelheid in den voorgeftelden ftand gelyk-, maatig zou voortkomen , kleiner is dan eenige ruim» ti, die in den gegeevenen tyd befchreeven kan worden, wanneer de Lyn bc aangroeit, en grooter daa h 5 een.i«  io EERSTE BEGINSELEN der eenige ruimte , die in den zelfden tyd befchreeven kan worden, wanneer de gemelde Lyn afneemt - S moet dezelve by gevolg gelyk zyn aan die Znr? welke ontrtaan zal, als men onderfok, dat delïïgtê der geelde Lyn van den gegeevenen ftand af,Toch JS^nW" « "S*"" * dacis' wanneer de ge. teelde ruimte SècT een Rechthoek is. 6 • l1; P£ hetgeen dus verre gezegd is blvkt dar geteeld worden. I„ 't vervolg van dl We kzal hierover m 't breede gehandeld worden. 81 14. Alle Grootheden die geduurig de zelfde waar. de behouden, en dus aan geen vloljing onXS zvn, worden gegeevene, ftandvastige J onvTrHulf cenkomftige Ordinaat y^ü^^Sg^ TWEEDE AFDEELING. Van de Fluxiën der Grootheden in abftracto befchouwd, of zo als dezelve door algemeene Algebraïfche karakters uitgedrukt worden. 1?. Gelyk men in de Algebra gewoon is de eerfte • letteren van het ABC voor bekende ofgïJeSS Groot-  FLUXIE-REKENING. n Grootheden, cn de laatfte letteren voor onbekende of gezochte Grootheden te ftellen, wordt ten aanzien der Fluxiën eene genoegzaam overëenkomftige handelwyze gevolgd. Naamelyk, men fielt in 't algemeen de eerde letteren a, b, c, d, enz. voor ftandvastige, en de laatften u, x, y, z, ei.z. voor veranderlyke of vloeijende Grootheden.. Dus k.;n de Diameter van een gegeeven Cirke! door a . en da Sinus eens Boogs van dien Cirkel, als veianderlyk befchouwd zynde, door x uitgedrukt worden. 16. De Fluxie eener Grootheid, die in eene enkele letter beftaat, wordt gewoonlyk uitgedrukt door de zelfde letter met een punt daar boven.' Warneer das x of y voor eene Flu'ënt of «eraoderlyke Grootheid gefield wordt, zal de zelfde letter met een punt daar boven, als x , y, de Fluxie van a: ofy relpectivelyk aanduiden. Voorts, dewyl de ttandva-tige Grooiheden geen vloeijing onderhevig zyn, zo is de Fluxie van a of b gelyk o. 17. De Fluxie eener Grootheid, welke, in plaats van aan te groeijen, afneemt, moet als negatif befchouwd worden; en de Fluxiën van alle Grouiheden, welke eenige betrekking tot elkander hebben , worden (leeds als ge'.yktydig genomen, of als zodanig, dat ze, met haare refpective fnelheden, in een tn denzelfden tyd te gelyk geteeld kunnen worden. 18. De Fluxiïn der Grootheden , die in eene enkele letter beltaan , nu eens vooral bepaald zynde (% 16) , worden de Fluxiën van alle andere Grootheden, hoe genaamd, gemaklyk gevonden. Ik heb my voorgeftefd hier toe eenen zodanigen weg in te flaan , die ik oordeele de gefchiktfte te zyn, om zodanige Leezers, welke niet zeer gewoon zyn in 'c afgetrokkene te denken, op eene gemaklyke wyze de Fluxiën van alle Grootheden, welke die ook zyn, ie leeren vinden. Tot dat einde zal ik eerst de Fluxtt  12 EERSTE BEGINSELEN der Fluxie van eenen Rechthoek, of het Produiï van twee veranderlyke Grootheden x en y, bepaalen, en vervolgens, door bondige fluitredenen, de Fluxiën van alle andere Grootheden daar uit afleiden. Om nu de Fluxie van eenen Rechthoek , of het ProduSt van twee veranderlyke Grootheden * eo y te bepaalen, zo verbeelde men zich, dat twee rechte Lynen DE en FG, perpendiculair tot elkander, a .p zich van twee i & andere rechte Lynen AB en 0 BC, geduu- naauwkeung uitgedrukt wordt door dén Recht- hoek Dr ( = y x)t en die van de ruimte of Inhoud BSF door den Rechthoek Fr (~xyï r« 12.1 fv°J ^'-at'r.leunnitSJge,vke Grootheden ook ge-* ILI^T ^ehbe.n? ^Fluxie van den voorgeffel- Jyke Grootheden * eny, zynde *7 = BDS-f BSF, behoqrlyk uitgedrukt wordt door y x + x y. Dat 1 j«  FLUXIE'REKENING. 13 is ook i« abfiratto de Fluxie van x y 'és y x + xy: 19. De Fluxie eener veranderlyke AlgebraïfchS Grootheid nu gegeeven zynde, wordt de Fluxie de9 Vierkants van die Grootheid zeer gemaklyk uic de Fluxie eens Rechthoeks van twee veranderlyke Grootheden afgeleid. Want, laat x* het Vierkant der gegeevene verandeïlyke Grootheid zyn; dan zal meh * in aanmerking neemende, dat x* ~ x x x is, en voorts x x x met x y of * x y vergelykende, x — y hebben, en dus öök * ~ j* Maar de Fluxie van x y is =2 y x + x 'y (§•18 )• SteBende derhalven * in plaats van y, en * in plaats van y, zal men voor de Fluxie van x x * °f *2 verkrygen x#-r-a:#—2*x. 20. De Fluxie van een Rechthoek eens bepaald zynde (§. 18), heeft men een open weg, om de Fluxie van het geduurig Produtt van drie, vier, vyf, of meer vloeijende Grootheden daar uit af te leiden- Om dus de Fluxie van xyz, waar van het getal der Faftores 3 is, te vinden , zo ftelle men xyZZ v',da.a is de gegeevene uitdrukking xyzzzvz, en de Fluxtt van vz - z v vz ( §. 18). ,'fL',,. Maar v ry zynde, volgens de onderftelling, zo is derhalven ook v =: 3; x + xy (§. 18). By gevolg z v + v z (de fWie van vz of xyz) =zxy* + * 'y -+xy x a = y z x+ aczy+^ofz". ai, Wederom , wanneer men de Fluxie van wxy 2, waar van het getal der Faftores 4 is» begeert te vinden, zo ftelle men x y z 3 v; dan is de gegeevene uitdrukking wïjz = v«,^d de Fluxie van vv =2 „v' + yo^S. 18). Maai  H EERSTE BEGINSELEN der Maar y p xyz zynde, volgens de onderftelling, (5 i820d)erhalven 00kv* = y%'x + * z y-hxyi Dienvolgens w'v + y w (de Fluxie van vw of wxyz) = w x y z 'x + xzy + xyz + Xyz x w — wyz x + wxzy +wxyz + xyz w. Op gelyke wyze zal blyken , dat de Fluxie van uw xyz zal zyn wxyz'u-\- uxyz'w -huwyz'x -i-uw xzy + uw xyz en zo ook met andere Producten van vloeijende Grootheden. 25. Uit de F/*me eens Rechthoeks. böven henaaM l§H!t;Vkf -r °°ï de eensBreuk• z2 g - maklyk afgeleid worden. ö ' '. . ' • • v • • '*>:'"' ï!' '! ■ : :t: " •/ sï-. - 'i Laat tot dat einde - de voorgeftelde Breuk zyn. x Stel dan - fcö Z; dan is ook * — y z , en der. halven 'x = zj + n (§..8), of y'z ; V _ z y. Deeze laatfle Vergel'ykinge door y deelende, bekomt men 'z . — 11 s 0f 'z -—. f_ y y "^"7 y * . . 2X—. Maar zr —, volgens de onderftelling: der- y y i hal-  FLUXIE.REKENING. 15 . . • • • . ^ X x y x xy yx xy y y y y y* y* y* yx — xy *—* , de waare Fluxie van den voorgeltel- den Breuk. 23. Uit de du bepaalde Fluxiën worden ook de Fluxiën van al'e Magten eentr veranderlyke Groot» heid , wier Exponenten geheele en pojitive getallen zyn, met weinig omflags gevonden. JVlen heeft hier by de gegeevene Magt flegts al$ een PtoduEt re befchouwen, dat uit verfcheide onderling gelyke Faëto- res beftaat. Daar nu de Fluxie van a; yzzz yzx -txzy + xy*z is (§. ao), zo is hetktear, dat Hellende y en z ieder :r x, alsdan ook y en 2 ieder ~ x zullen zyn, en derhal ven de Fluënt of de voorgeftelde Grootheid zal worden x», en derzelver Fluxiexx'x + x x x+xxx~3x'x. 24. Op gelyke wyze zal men bevinden, dat de Fluxie van x* zal zyn Ax* x, die van *5 5*4x-, die van x" ' 6xsx, die van x7 ..... 7a;6 je, En  té EERSTE BEGINSELEN rikS En in 't algemeen zal dë Fluxie van x uitgedruké 772-1 worden door mx x. heeft I»nd* ^ua^ der voorgaan Stellendenü voor y haare Waarde ar * in deeze Vergelykingè, zal dezelve worden 2/J= 3*» ;;en deelende door 3.x , zal men eiudelyk bekomen y rr I * *xtié waare Fluxie der Grootheid x? 9 die gevonden moest worden. fó. Zo  FXUXIE*REKÈNiNG# tf 20. Zo echter iemand mogt denken , dat het voorgaande Bewys niet toereikende is, om daar uit eeü algemeen befluic te maaken, 20 zie hier een alge. m n meen Bewys. Laat x (waar in m en n geheelegetallen verbeelden ) de Grootheid zyn, waar van de m n Fluxie gevonden moet worden. Stel y ^zz x ; dan zal men , door de beide leden deezer Vergelykingè de n m tot de ii Magt te verheffen, bekomen 31 ~x } h—i. m—i. dat is in Fluxiën n y y ~mx x(§.a4> in — 1 . TB X X By gevolg y = — x ti n-i y BI-I . til yx x n n y m y x x = — X —— ——*» 71 573 t . . m,.. ■ • ,„ 71 m— r . y. ,jj SC X X " n m B Dee-  iS EERSTE BEGINSELEN der Deelende nu den Teller en Noemer des laatfteu m i— i Breüks beide door x , zal men hebben m n 72 X ' n 772 v..... * m 72 en eindelyk y ~— xx i, zynde de zelfde 72 i%aie, die gevonden wordt, als men in de alge. m-i . meene Fluxie mx x ( §, 24.) de waarde - voor 772 in plaats Relt. 72 37. De F/axzè» der Magten met negative Exponenten worden msgelyks zeer gemaklyk uit de algemee- 772 ne Fluxie van x (§. 24.) afgeleid. Om zulks te doen blyken, zo laat wederom voorgefteld worden de Grootheid x ^ , ten einde derzelver. Fluxie te bepaalen. Stellende derhalven 3 in plaats van m in de algemeene Fluxie van *"(j.24), — 3 zal men voor de Fluxie van x verkrygen — 4. . ' - " — 3* x. Om  FLUXIE-REKENING. iö Om te bewyzen, dat deeze de waare Fluxie van —3 i x is, zo laat y ^ , de waar Je der gegeeve- x3 ne Magt.A' , zyn; zo men alsdan de beide leden deezer Vergelykingè met x* vermeenigvuldigt, zal men hebben x3y, ~ 1 ; en ftejlende x3 — y, dan is vy t: 1; dat is in Fluxiën jy + vy~o; (§. 16 i * . y v & 18.); derhalven vy~ — j v, en 31 — —— t Aangezien nu , door de Onderftelling, v~x3 is, sro is ook v ss 3 x» x (§. 33 ). By gevolg y ~ «— in — y x 3 x x -3 *-i i- "~ -X X3l .ÏT. .» —4 En eindelyk heeft meh y S-S3* x, de waare1 ■"3 f/ime der negative Magt * , die gevondeu moest worden. a8. Een algemeen Be^s zal toereikende zyri, óm dit betoogde meer klem by te zétten, eh fter- L . > — n ker aan te dringen. Laat x de Croótheïd zyrj, waar van men de Fluxie begeert tê vinden; Stèf B a we.  so EERSTE BEGINSELEN der wederom y C~x * ") =, • wanneer dan de belde Leden van deeze Vergelykingè met * ^ver, n meenigvuldigd worden, zal men hebben * y 1 • » Rellende nu» — v, dan is wederom v y — r, eis in Fluxiën y v -f v y !£±z o (§. 16 eni8.). Waar -~yv door men verkrygt y zz < . v •Dewyl nu wederom, door de Onderftelling, vzz a is, zo is ook vZZnx x (§. 24). ra— 1 . By* gevolg y ZZ . ■ —» n •X Jt.' . & •'- . — I . 55 — yxnx x -n -1 . SS —a; xbk se > -72- I . en eindelyk y ~ — 72 se sr, zynde de zelfde Fluxie, die gevonden wordt, als men in de algeme» TM- 1 . ne Fluxie m x x ( §. 24.) de waarde — 71 voor Tïi ia plaats ftelt. SP. IS  FLUXIE-REKENING. 21 ap. Als de Exponent der gegeevene Magt niet alleen ntgatif, maar ook eene gebrokene Groumeid is , wordt derzelver Fluxie even gemaklyk Êevon- r den. Bv voorbeeld , wanneer ar s de gegeevene Magt is', heeft men in de algemeene Fluxie, §. 28. r gevonden, flegts — in plaats van n te ftellen; waar t r r ~ 7. uitdanzalblyken,dat x «de waare Fluxie s r s van a; is. 30. Misfchien heb ik fommigen myner Leezeren verveeld, en hun geduld te veel gevergd, met deeze ftoffe zo naauw uit te pluizen. Ik beken gaerne, dat ik met minder woorden het zelfde had kunnen zeggen ; doch zulks doende had ik geenszins den zetregel gevolgd, die tot hier toe den grondflag van alle myne uitgegeevene Werken geweest is. Ieder, die gewoon is anderen in Weetenfchappen te onaerwyzen, ondervindt van tyd tot tyd, dat de waare vatbaarheid niet aan alle menfchen, maar llegts aan zeer weinige, eigen is; dat men, om zo te fprecken, den eenen eene zaak met zeer weinig woorden aan 't verftand kan brengen , terwyl men voor eenen anderen eene zeer groote omfchryving en uitbreiding noodig heeft. De zucht, die my altoos bezield heeft, om myne geringe talenten ook anderen deelachtig te maaken, ten welken einde ik my gerustelyk op het getuigenis myner Vrienden, welken ik daarvan blyken getoond heb, durf beroepen, is de eenige beweegreden die my daar toe genoopt heeft. Als men verders in aanmerking neemt , dac dit Werk de eerste Verhandeling is teen kl'Mn, B 3 doch  sa EERSTE BEGINSELEN der doch niet voltooid Fragment, door my in vroeger iche laai over de Fluxie - Rekening het liclr ziet jen , Joor «He myne Leezeren , wie zy ook zvn volkomen goedgekeurd worden. V y » 3»- Uit het geen ik dus verre in deeze Afdfe* ? voorgedragen heb, worden de'volgende PrafliMflte Regelen , om de der XfS Grootheden te bepaalen , tot een vaardS h£ Sik hv dii r C , nU voorgedl-agene te oeffenen, beélden^oêgen?8' CP "°g toeP^ Voo<' I. Om de Fluxie eener gegeevene Magt van eene veranderlyke Grootheid te vinden. * Vermeenigvuldigt de Fluxie dés Wortels met den Exponent der Magt, rn het Produtï me? Hie Ma™ SHdSn£fine grond van deezen Regel is boven fS ,n 1 aangetoond. Dezelve is in gde daad 7JLd!r's] m~l - 7M dBDfn x de F/a«> van * ïn woorden uitgedrukt, u ■ !1 U' ?f// de,S Froduas van verrcheide ver. hPrVpmf^Vu!digt dei5Va™e van elke Grootheid met 5" ^"0<2rtder overiSe Grootheden; dan zal de Sm Dg  FLUXIE-REKENING. 25 De reden hier van is klaarblyklyk uit hetgeen ïd §. 20. getoond is. III. Om de Fluxie eens Breuks , uit de Deeling eener veranderlyke Grootheid door eene andere ontjlaan. de, te vinden. 1 Vermeenigvuldigt de Fluxie vau den Teller met den Noemer, als mede de Fluxie van den Noemer met den Teller,- trek vervolgens het laatfte Produtï van het eertte af, en deel het Overblyffel door het Vierkant des Noemers. De grond van deezen Regel is boven (§. 2a.) aangeweezen. TOEPASSELYKE VOORBEELDEN op de drie voorgaande Regelen, 1. ) De Fluxie van *5 is 5 x* x. 2. ) De Fluxie van a + x\ is 10. a + x^x. 3. ) De Fluxie van a xs is 3 a x' x. n v n—i . 4. ) De Fluxie van abx is abnx x. <;.) De Fluxie van \/ aa—xx is — . \/ aa—xx ^ I (>.) De Fluxie van i/*-ht/ y is 1 x-t- ty yx ( *T* l x + y 1 » B 4 of  #4 EERSTE BEGINSELEN der i y x -+ f y Of —— . 1/ *jy -+ y * f0 De Fluxie van i/aar-f i/7a ^ xx is.,«,, ,t o \/aax xx . x - x'x 2 \/ a * x a a-r- x x-j-a a - * * j * 8.) De Ftofe van a2-fx*]Tj.s ll!Lt ya'+x* o.) DeF/ttar/evana-'y5 is2xy? x + sx2y*y . io») De fïim'e van bx3y* is Z> x Cs^1^' x- % _ - . 9 « r» wj* ar II. J DeF/zme van j/a ,-s, n m\^Zl. qxat -\- x | q la,) De Fluxie van * y z is " * 2 * __„+-_*. ■ 3? 330  FLUXIE-REKENING. 25 Ï3.) De Fluxie van x x \/ay+ xx is a x x X , I* fllï J + 56Ï Qay+acxl -1 —■' 2 .ay-\-xx\*- x y x - x y 140 De Fluxie van —-is 4" 1 1 "» * x+y x-\-y\ x+y + z J+yXz-zx^+y 15.) De Fluxie van ——— is ; t • x + y x*y* sy* x'x+ix1yyy.z-x*y*z ï6,)Def/wa:/e van— is ' —— *•» z z1 ï+J' 7+aXxi—2aa> 17. ) De Fto/e van —is —— M » » *" I ^ 1 B * 18, ) DeEteij van v/ y V y is — y v «1 — - —^ • m—« A ANMERKING. Waarfchyulyk zal het fommige Leezers vreemd J3 5 voor-  iS EERSTE BEGINSELEN der m h voorkomen, dat j/ yzzy zou zyn. D.ch elk, wien de natuur der Logarithmen bekend is , weet, m dat het trekken des Wortels van de — de Magt uit y juist het zelfde is , als of men den Logarithmus m van.jl door - deelt. Nu is het gemaklyk te bewyzen, dat het deelen eener grootheid door — even n het zelfde is , als of men die grootheid met -, het omgekeerde des voorigen Breuks , vermee. Log. y jj nigvuldigt: derhalven—~ jj Log. y x —, en It m m n n m dus ook 1/ y == y . Indien dus m = i, en nzi a is, zA {/ y zzy' zyn; want de Logarithmus vany door i te deelen is klaarblyklyk,het zelfde, als of men dezeive met 2 vermeenigvuldigt. r ■* q c ■ 19.) De f/zw/e van — 1/* +y is » . p-q b—c P q . b e . -x x+-y y ]/ X + y r m 40.)  FLUXIE. REKENING. 27 n m n p 20.) De Fluxie van z y -^-z is tn » n — 1. m n n — I fc tn » « »;—i . * y Z Z + X z y y-\ y z x x-\-* n fit» 'ZP + galles gedeeld door ^V+"< DERDE AFDEELING. Van tweede, derde, tierde tn andere Fluxiën. 32. Als eene beweeging geduurig verfnellende of vertraagende is, kan men haare fnelheid zelve als eene veranderlyke of vloeijecde Grootheid befchouwen> en dezelve mee eene Lyn verbeelden, aie geduurig aangroeit of afneemt. Wanneer eene fnelheid geduurig aangroet , zo dat dezelve in gelyke tyJen gelyke Incrementen of aangroeijingen verkrygt dan worüt haare Fluxie bepaald door het Increment, dat in eenen gegeevenen tyd wordt voortgebragt. In dit geval wordt de frelheid verbeeld met eene Lyn, d:e met eene gelykmaatige beweeging befchreeven js; en haare Fluxie met de ftandvastige fnelheid van het Punt , 't welk die Lyn befchryft, of met de ruimte, die door dat Punt ic eenen gegeevenen tyd befchreeven werdt. Wanneer eene fnelheid geenen gelykmaatiser! loop houdt, maar in gelyke tyden zodanige Incrementen verkrygt, welke geduurig aangroeijen of afneemen, dan wordt haare F.uxie in elk ivdftjp niet bepaald door het Increment dat zy wer-  f? EERSTE BEGINSELEN DER SL!erkrygt ? Lmaar door het Incnmm dat zy J^kreegen zou hebben, indien haare verfnelling ,11 ' S^uurende eenen gegeevenen tyd, aelvknwatig gebleeven was. En wederom, wanneer eene aezeive m eenen gegeevenen tyd verminderd zou zyn, alb haare vertraagmg van dat tydftip af gelvkmaa^ pïalfn ,enen r ' >3are in dat tyd*P be¬ paalen. Dus komt deeze befchouwing der F'uxièn het\heen8rorangenH V"6 ^h^Xd^SH hedegn gezegï £ ™ by2°Ddere Gr°0t' 31. Laat dus - by voorbeeld, de Lyn AB eene veranderlyke Grootheid verbeelden, welke door 3e beweeging van het Punt B geteeld wordt, en laat derzei vee eerfte a "R Fluxie % of de ruim- ' "■"""""* te, die metdefnel- ~ X) oeid van hec PunE a-* 1 B, in eenen gegee- , venen tyd, gelyk- J£ £ maatig befchreeven zou worden, fteeds C] - H' worden uitgedrukt 'door den afftand des r r, ~ Punts D van een ge¬ geven of vast Punt C: indien dan de fnelheid van het aflhnd rn °Vern dVe,fde ' 20 m°et ook ^ atltand C D , welke de maat van die fnelheid ui' drukt, veranderlyk Zyn , door de beweeging van het Punt D van of naar het Punt C, naar dat de fnelheid van het Punt B aangroeijende of afneemen! Je 's: en de fluxie, cIer aldus veranderende Lyn £?p„^ n rU"?te *F' die met de fneiheid van het Punt D, in den voorgemelden gegeevenen tvd gelykmaat.g befchreeven lou worden f is Se tweede Fluxie van A B. Wederom , indien de beweging van  FLUXIE-REKENING. van hetPunt B zodanig is, dat noch dezelve, noch die van het Punt D, welke daar van af haDgt, gelykmaatig is, dan zal EF , welke de fnelheid van het Punt D uitdrukt, insgelyks haare Fluxie GH hebben; welke de derde Fluxie van AB, en de tweede Fluxie van CD is. Dus moeten de Fluxiën van alle andere rangen befchouwd worden , als de Maaten der /netheden, door welken haare rejpeëtive vloeijende Grootheden, de Fluxiën van den voorgaanden rang, geteeld worden CS' 2.). 34. Hier uit is openbaar, dat een tweede Fluxie niets anders is dan de Maat van den aanwas, of van de vermindering der eerfte Fluxie , als mede dat derde, vierde en hoogere Fluxiën, als men haaren rang en betekenis uitzondert, eene volftrekte overeenkomst met eerfte Fluxiën hebben , vermits dezelve tot de Grootheden, waar van zy onmiddelyk afgekid worden, in eene gelyke betrekking ftaan. Derhalven kunnen de Fluxiën van hoogere rangen door dezelfde algemeene Regelen , welke boven CS* 31, 3 zva voorgeüraagen , bepaald worden. De eerfte Fluxie van x* is dus 4 *s * ( §. 24.). Onderftellende nu x ftandvastig te zyn , dat is te zeggen , dat de Wortel x met eene gelykmaatige fnelheid geteeld wordt, dan zal de Fluxie van 4 *3 x> of 4 x x x» door den eerften Regel (§. 31.) °P nieuw genomen zynde, 4 * x 3 *s * of 12** x* zyn ; en dit gevondene is dan de sweede iLvxse van **• Op  30 EERSTE BEGINSELEN deh Op gelyke wyze zal men voor de Fluxie van tax*x' vinden 24xx', zynde de derde Fluxie van x*. Eindelyk zal mén'voor deFluxie van 24. xx3* of de vierde Fluxie van x* vinden 24 x4; en verdere Fluxiën kunnen in dit geval nier. gevonden worden, vermits hier de laatfte Fluxie 24 i4 eene ftandvastige Grootheid is, 55. Öm dit op een algemeen Geval toepasfelyk te m maaken, zo Iaat x de voorgeftelde Magt zyn, waar m—t 1 , van mx x de eetRe Fluxie is (§. 24.). Wan» neer men dan x als ftandvastig aanmerkt, zal men ~ . w-i. . tn — i Voor ae fluxie van mx x, o( m x x x t hebben mxx m- 1 . x * *4 of m . m - 1 . w-2. . ,„ X . x3, zynde de tweede F/uarfe van * i Op de zelfde wyze voortgaande, zal men voor de volgende rangen der Fluxiën van *** vinden : Derde Fluxie m.m-\ . m—z.x T**& 4 Vierde Fluxie m.m-i. m*-a . m-3'. Vyfde  FLUXIE.REKENING. 31 Vyfde Fluxie m.m - 1 . m - 2 . m — i.m — 4.. f m-5 . V* ,xs. de Eb in 't algemeen heeft men voor de n Fluxie m 1 ï\ m~n ' m van» ,m.m-i. m-2&c.totm—n-i.x .x 36. Wanneer cu in de voorgaande algemeene uitdrukking m is, zat dezelve worden m . m— 1. »i-2 &c. tot m — m— 1. x° . * of m • m — 1 . w — 2 fcftr. tot i x * • Wnar uit blykt, dat, wanneer m een geheel en pcjitif getal is, men ten laatlten tot eene Itandvasti* ge Grootheid zal komen, die geen Fluxie onderhevig is; en dat van elke veranderlyke Magt zo veel rangen van Fluxiën gevonden kunnen worden, als de Exponent dier Magt aanduidt. Dat is te zeggen, m dat de Magt x , m rangen van Fluxiën heeft. 37. Tot dus verre heb ik onderfteld , dat de Wortel x met eene gelykmaatige fnelheid geteeld is; doch wanneer de fnelheid aangroeijende of afneemen- de is, zal x,als derzelver Maat uitdrukkende, veranderlyk, en dus ook eeae Fluxie onderhevig zyrj, welke gewoonlyk aangeweezen wordt door x : op gelyke wyze wordt de Fluxie van x uitgedrukt door x die van * door x , eo zo vervolgens, 38. Pe  & EERSTE BEGINSELEN deü 38. De volgende Voorbeelden, waar in de Wortel x(ofy) onderfteld wordt met eene Veranderlyke fnelheid geteeld te zyn, kunnen tot opheldering van dit gefielde dienen. 6 Daar de eerfte Fktxie van **, zo als boven (§.24.) getoond is, uitgedrukt wordt door 4 *' i, moet thans zo wel * als * veranderlyk onderfteld worden, uit fiootae dat * als mee eene veranderlyke fnelheid geteeld ^zynde wordt aangemerkt. Nu kan men 4*s * als eenen Rechthoek, of als het Prödutï van twee veranderlyke Grootheden 4 #5 en 'x befchou- wen; dan is yan 4 *' de Fluxie 12 x' 'x (§.23.); en dewyl van x de Fluxie 'x' is, zal de Fluxie des Recht- hoeks 4 g x of de tweede Fluxie van in ge* .VOlgeS. 18., zyn & XX lixt x -+ 4 x1 X sf É= ia x* -+4 x3«'. ^??n-ïie óe.rd,e fluxle v™ ** wordt nu, met behulp1 fltr lactfte uitdrukking, even gemaklyk gevonden. Want 12 x' x* -f. 4 x'x = 12 a:3 x x'z -f- 4 x' x $ , en de J/axie van 12 *» =- 24 xx, die van kzZfip CS' 31.), derhalven is de Fluxie van 12 x1 x x*~ lVl8 * X* ~'r 12 X*X 2 ** = 24 * _i" a4a;* * * We-  FLÜXIE-REKENING. 32 Wederom is de Fluxie van 4*' =r i2*»a; fSsO» •n die van x = *(§37), derhal ven is de Fluxie van 4*3Xa; = I2***x* + 4 ** X * = 12X*X x -r-4 *3 * (§ 18). Dewyl dan de Fluxie van ia x* x' is - 24a;*3+24*1 * * *. • • • • • en die van 4 acs x . ZZZZ 12 x' x x + 4 *3 *> zal de Fluxie van iz xax*+ 4 x* x , of de derde ftat'e van ** , zyn 24 a#s ■+- 36 x* » x-JrA,x% x. Voorts worden de hoogere Fluxiën van x* op gelyke wyze uit de voorgaande afgeleid. 40. In 't algemeen, wanneer y = mx *is, . m—i . zal y (of de Fluxie van mx x * ) —m.m—i m—2 . hi— 1 >• . . . .» x zyn ; en z"= xy zyude9 zal2zz=*y-r-yx zyn, ea in zo alle axutefe Gevallen. e VIER!  34 EERSTE BEGINSELEN dkb VIERDE AFDEELING. Van de Fluxiën der Logarithmen en Exponentiaalt Grootheden. Schoon ik reeds eenïgzins breedvoerig overhetvinden der Fluxiën van vloeijendeGrootheden gehandeld heb, is zulks echter op verre na niet toereikende, om in alle voorkomende Gevallen de Fluxiën te bepaalen. Ik heb in de tot hier toe verhandelde Masten van Grootheden Reeds onderfteld, dat haare Exponenten, ltardvastig zyn; doch dit is altoos het geval niet. De Exponenten kunnen even als de Wortelen yeranderlyk zyn; en dus is het gemaklyk na te gaan. dat de Kegelen, welke in het eene Geval van dienst , zyn , te vergeefs op het ander toegepast zouden worden. De Hyperbolifche Logarithmen, of de zulke wier Modulus i is , zyn tot het laatfte volftrekt onontbeerlyk, waarom het noodzaakelyk is de Fluxiën van zodanige Logarithmen te kunnen vinden, en de betrekking te kennen,die tusfchen eiken Logarithmus en deszelfs abfoluut Getal plaats heeft. Hier toe zal de Oplosfing van het yoJgend Problema mv den wee baanen. 3 s TT41' ,P,R,°,BLrEMA* E™e 'Séries te vinden, welke de Hyperbolifche Logarithmus der Grootheid i +x uitdrukt. Laat óeLog. van i -h xzzzzAx + Bx* -f-Ca» ■+> D*4+ &c. zyn. Dan is dóór de eigenfchap der Logarithmen^ Log. i-f-arj ZZZZnAx + zBx' + zCx* -htDx* + &c. Maat n-*j = i+(a*+*'): Stel  FLÜXÏE-REKENING* 3g M, x x x x > JLi » < + n o o ^ n s ii & J !' " F | II ! ! „ + T «4.4.4. 2, Ooo* * T „ Z, & » + + +4- ; o « s*l % » a S tö '44 +j S + + + + & S o +• | ft « ? 'F ^ «| 1 B? * & S" ' £ — < € a Dien-  36 EERSTE BEGINSELEN der Dienvolgens heeft men, door deopzichtelykeCoè'ffi' aenten met elkander te vergelyken , 2 a rzzzz 3 a, 2 B zzzz A + 4 B, 2 C = 4 B -f- 8 C, 2 D = B -f- 12C + 16 D, s E zzzz 6 C -F- 32 D + 32 E. enz. enz. Waar uit men afleidt ~\ r a 2 B = — a j jB = ;. 6 C = —■ 4 B J g | C= >i< 3 a 14 D= — B + iaCj^ D = . i a 4 30 E = — 6C+32D I E =5: —. J L 5 «iz. enz. enz. Stellende nu deeze Waarden van E, C, D, enz. in de aanprenomene uitdrukking voor dfen Logarithmus van 1 -fa:, za! men hebben: aa a A Log. i+x — a*——ac«4.—xs— — ï44.«_*ï _ .. » 3 I 5 *c., eene Séries waar in A het Modulus van den Xt>.  FLUXIE.RE KENING. 37 Logarithmus uitdrukt. Dewyl nu in dit Geval de Hyperbilifche Logarithmus, wiens Modulus 1 is, bedoeld wordt, zo laat A ~ 1 gefteld worden ; dan heeft men voor den Hyper bolifchen Logarithmus van I -f- x x* x* x* x5 x — f- H &c. 2 3 4 5 Dat te vinden was. 42. Om nu de Fluxie van den Hyperbolifchen Logarithmus der Grootheid s+i te vinden , heeft men niets anders te doen, dan, volgens de gegeevene Regelen CS-3'O» de Fluxie van de laatstgevondene Séries te bepaalen, en vervolgens te onderzoeken, of de bekomene Fluxie, die klaarblyklyk eene Séries zal zyn , niet in cece eindige Grootheid veranderd kan worden. xa x9 x* 43. Nu is van de Reeks x \ ■ a 3 4 S — &c. de Fluxie x — xx + xkx —x3x~r x*x— &c.; of wel x x ( 1 — x -i- x* — x* -f- «4 _ &c*) • oiaar 1 -»+*'- xs -f- &c. x x +1 — 1; derhalven 1 — x 1 + *» -x* -i-*4«. &c, en jus de i x +1 . I X van Ze^. 1 -,L acz: x X — ~ . By gevolg wordt x+i x+i G 3 de  $8 EERSTE BEGINSELEN dbr ie Fluxie van eenen Hyperbolifchen Logarithmus Jteecb uitgedrukt door de Fluxie van het overeenkom/lis mal. gedeeld door dat zelfde getal, 44. Hier door kunnen nu de Fluxiën der Logarithmen van alle loorten van IVkgten, als mede de Fluxiën der Magten van Logarithmen gemaklyk gevonden worden. Om dus de Fluxie van Log. xx + yy te vinden, zo heeft men eerftelyk voor de Fluxie van xx+yy de uitdrukking axx + zyy (§. 3U). vervolgens voor de Fluxie van Log. xx+yy, volgens den gevonde- 2 ar ar 4- 2■yy ten Regel (§. 43.), - ±L, Op gelyke wyze is de Fluxie van Log, "ax* -t2 O ar* 4- 3 araar a fl ar -f- 3 x x *r——- - == . - ; en zo ook a x 4- jf» ax+x* in andere Gevallen, waartoe het niet noodig is eene meenigte Voorbeelden by te brengen. Het volgend algemeen Geval kan voor alle andere dienen. Laai begeerd worden de Fluxie vaq den Logarithmus der Grootheid ar +j | te vinden; dan is 1°. de Fluxie m n m—i , n — i van x +y==mx x + ny y (§. 24.); m «I*0 f m-1 . de Fmxie van x + yiZ2\pmx x+y. n-i pny  FLUXIE-REKENING. 30 B-I .\ ~m n\P~l pny y/X. * +} | ; en eindelyk de Fluxie m nf van den Logarithmus der Grootheid * -;- y | ZZ ( rn-i. n-\\ m n^"1 \pmx x-hpny yjxx +y | —— (§. 43.), m n\P x +y \ 45. De Magten der Logarithmen van Grootheden n n worden aldus uitgedrukt: l x, l . a -!- x, dat is, de Logatithmus van x , verheven tot de Magt welkers Exponent n is» eu de Logarithmus van a-j-x, tot de zelfde Magt verheven; en zo ook met andere. Om nu de Fluxiën der Magten van Logarithmen te vinden» heeft men niets anders te doen als den algemeenen Regel voor de Fluxiën der Magten van vlneijendè Grootheden , welke hier vooren (§. 31,) gegeeven is , ftiptelyk op te volgen ; gedachtig zynde dat de gevondene Regel voor de Fluxiën van Hyperlolifche Logarithmen C§ 4lO °°k alleen op zoda. nige Grootheden toegepast kan worden. 46. Laat gefield worden , dat men de Fluxie van m 2 . a -!- n begeert te vinden. Dewyl dan de vloeijende Grootheid, die zich hier ter befchouwing opdoet, de «jde Magt van den Logarithmus van a + xis, zo moet men, volgens den algemeenen Regel ($.31 ),de vloeïjende Grootheid tot eene Magt brengen, welkers Exponent deEenheid minder is dan de Exponent dergegevene C 4 Magt  *o EERSTE BEGINSELEN der m-i ^_ Magt, naamelyk tot l . a + x, vervolgens deeze aldus verlaagde Magt met den Exponent der gegeevene Magt , zynde m , vermeenigvuldigen , waar m-i door men bekent ml .a+x. De Wortel m ; der Magtl . a+x is eindelyk /. a+x, en deszelfs * fluxU —— ($. 43.), welke vermeeöigvuldigdzyn* a+x BI-I d m* . a+x, zal men voor de Fluxie der wde Magt van den Logarithmus van a + x bekomen ffi-1 'x j»/ . a + xx •. a + x w n 47» Dus zal onk de Fluxie van l . a+x\ , of de Ffeie der mde Magt van den Logarithmus der „ . . n m-i » urootheid a + x\ , zyn ml . a + xl X n'x m _ ——. Want de vloeijende Grootheid is J . a + vi a + x * 1 » of de j»de Magt van den Logarithmus van o+^l*deeze derhnlven tot eene Magt gebragt zynde, wel. kers Exponent de Eenheid minder is dan de Exponent der gegeevene Magt, en met de Exponent m vérmee- m— 1 n nigvuldigd, zal 'er komen ml . a+xl : maar de Wortel der voorgeftelde Grootheid is U a+xl", en  FLÜXIE-REKENING. 41. . »-i nxxa + x\ nx en deszelfs Fluxie " ——. n a + x a + x\ m n Dus is het het klaar, dat de Fluxie van l . a-'rx\ Hi-i n nx zal zyn mi • a + x\ x~^+x* 48. Op gelyke wyze zal de Fluxie der — mde Magt n —ni—t van den Logarithmus van a + x I zyn — —ml n nx —m nx a-'rx\ x = X . a + x m-r-l « a + x l . a+x\ «i ra Indien men, in plaats der Fluxie van l . x + a \ , m n die van l . x+a hadt willen vinden, zou de uit- «1—1 drukking der Fluxie in dat geval zyn geweest m l n x x + a x ^; want in deeze onderftelling be- x + a hoort de Exponent n niet tot de geheele tweeledige Grootheid a + x, maar aJleenlyk sot de Grootheid a. 40. Te vergeefs zou ik meerder Voorbeelden te berde breng-n , om te toonen hoe men de Fluxiën van zodanige Uitdrukkingen zal vinden, waarin de Magten van Logarithmen met andere genieene vloei* jende Grootheden vermeenigvuldigd zyn. Elk die in ftaat is om door de gemeene Regelen (§. 31.) de Fluxiën van alle Predu&en van vloeijende Grootheden * Cj te  4* EERSTE BEGINSELEN de* te vinden , en voorts grondig begreepen heeft hetgeen dus verre van de Fluxiën der Magten van Logarithmen gezegd is, is buiten twvffe! ook bekwaam om de hiuxien van zodanige Produden, als boven gezegd is , te vinden. Derhal ven zal ik nu nog onderzoeken , welke Gevolgen uit den Regel, S. 42 gevonden, afgeleid kunnen worden. 1 50. In de eerfte plaats zal, na een naanwkeurig ondersoek, bly I + X 1 +x welke refpectrvelyk de Exponenten der Magten zyn. Dus is dan de Fluxie van den Logarithmus des Wortels i der Fluxie van den Logarithmus des Vierkants, f der Fluxie van den Ltgarithmus des Teerlings, en zo vervolgens. 51. Wederom is hieruit openbaar, dat de Fluxiën der Logarithmen van willekeurige Magten eener zelfde Grootheid tot elkander inreden zyn, als dieLogarithmen zei ven. Want de Logarithmen der Magten zyn tot elkander in reden als haare Exponenten. Maar deeze Exponenten zyn tot elkander in reden als de fluxiën der Magten zei ven, en dus zyn ook de L»« • ga-  FLUXIE-REKENING. 43 farithmen der Magten tot elkander in reden als hunne luxien. 52. Het geen ik dus verre gezegd heb wel begreepen zynde, zal het niet zeer moeijelykzyn deFluxien van Exponentiaale Grootheden ,naaralyk vaa dezulken wier Exponenten onbepaald of vloeijende zyn , te vinden. Deeze foorten van Grootheden zyn van verfcheide Raugen of Trappen ; want wanneer de Exponent eene enkele onbepaalde Grootheid is, noemt men dezelve eene Exponentiaale Grootheid van den eerften of laagften Rang ; wanneer de Exponent zelve eene Exponentiaale Grootheid van den eerden Rang is, noemt men de Grootheid, welke dien Exponent is toegedaan , eene Exponentiaale Grootheid van den tweeden Rang ; en zo de Exponent eene Exponentiaale Grootheid van den tweeden Rang was, zoude Grootheid , verheeven tot eene Magt, door dien Exponent uitgedrukt wordende , eene Exponentiaale Grootheid van den derden Rang zyn, en zo vervolgens. Dus y is, by voorbeeld, de Uitdrukking z eene Exponentiaale Grootheid van den eerften Rang , vermits de Exponent eene enkelde vloeijende grootheid is $ ook x y is 2 eene Exponentiaale Grootheid van den tweeden x Rang , om dat de Exponene y eene Exponentiaale Grootheid van den eerften Rang is; voorts is op ge- ** lyke wyze de Exponentiaale Grootheid van den x derden Rang, uit hoofde dat de Exponent yx van den tweeden Rang is. De volgende drie Voorbeelden zullen genoegzaam zyn, oui deeze foort van Eluxien te verklaaren. 53.  44 EERSTE BEGINSELEN der 53.. Laat begeerd worden de Fluxie der Uitdrukkinx ge a , waar in a eene ftandvastige Grootheid is, X , te vinden. Stel a = y, dan zal y gelyk aandeFtóe * x van 0 zyn. Vermits nu a =7 is, zo is door de ei- x genfchap der Logarithmen La ZZl.y, ofxl. aZZl.y: hier van de Fluxiën neemende, is de Fluxie van" L a ZZxl.a+xx Fluxie l.a(§. 18.cn die vanl.yzz y — (§-43-)' Maar a eene ftandvastige Grootheid zynde, is Fluxie 1. a zz o ( §. 16.), en derhalven 'x L a y • • ZZ — , of y^.xxyl.a. Stellende nu voor -y haare y Waarde a , zal men hebben yzz'xxa l.a voor de x Fluxie vaa a . y 54. Om de Fluxie der Uitdrukkinge x te vinden , y y zo ftel x zzzz z; dan is wederom Lx zz l. z: hier y van de Fluxiën neemende, is de Fluxie van l. % , of yx de Fluxie van 3 f. x, zzyl. x-\ (§. 18.)) ea is die van l. z = - (§.43.). Derhalven — 5 3 L * +  FLÜXIE-REKENING. 4$ -f- Z— , ofz=jX.I.« + ——• Stellende y nu voor z haare Waarde x , zal men hebben z=y y y x y y—1 • xx l. x + ■ zzy x x l, x + y * x x y voor de Fluxie van x . 55. Om de Fluxie van u te vinden , Helt men xy y u ZZ 2, waar door men heeft xl.uZZl.%. HieT y van de Fluxiën neemende, is de Fluxie van x zz y . y — 1 x l. x x y + * y x * CS- 540» dl'e van u z U u zz —, cn die van /. z zz —; dus zal de Fluxie u z y y . 3—'i van * /. u zz l. z zyn * l. * l. u y + * y y u z . /.«*-*- x x — ZZ ~. Derhalven z zz z x u z (y . y-i • y «>. 1 Utiiy+ï y k x + x x —J, of, u S? Hellende voor z haare Waarde u , zal men hebben x^ y . x^ y-i . x^ zzz u x Z. x /. » y + x» x y /. iiijii — 1 y • «.y X « x m voor de Fluxie van w • VYF-  0 EERSTE BEGINSELEN der VYFDE AFDEELING. Van de omgekeerde Leerwyze, of de lepaaling dit Fluenten van gegeevene Fluxiën, $6. Tot hier toe heb ik my tot niets anders ver* ledigd , als tot de direSte Leerwyze der Fluxiën, d friori befcbouwd, naamelyk om van eenige gegeeve* He vloeijende Grootheden derzelver Fluxiën teleerên vinden; thans zal het noodig zyn hier nog by te voe* gen de omgekeerde Leerwyze der Fluxiën , dpofierio* ri befchouwd , naamelyk om van voorgeftelde Fluxie* tot de vloeijende Grootheden, of de Fluenten , waar van zy de Fluxiën zyn, te rug te gaan, dat is uit dei Fluxiën de Fluenten te Ieeren vinden, Deeze Leerwyze, in haare gantfche uïtgeftrektheid befchouwd, is buiten twyffel veel moeijelyker , dan de direclé Leerwyze, waar van in de voorige Afdeelingeu gehandeld is; want 'er is geen algemeene Regel te vin* den , om in alle voorkomende gevallen uit de gegeevene Fluxiën de Fluenten te vinden , zo als uit de gegeë* vene Fluenten, welke die ook zyn, de Fluxün gevonden kunnen. wordeD. De redenen van deeze zwaarigheid zyn beter door Voorbeelden, als door bloote woorden uittedrukken. Om echter deeze zwaarigheid door een paar Voorbeelden duidelyk voor te Rellen, zo laat begeerd worden van de Fluxiën 2 x x en y % de Fluenten te vinden. Wat nu de eerfte van die Fluxiën, naamelyk sax, belangt, het is bekend dat derzelver Fluent x% is , vermits hier vooren (§. 19.) gevonden is, dat 2xx de Fluule van X' is: maar dg Flu.  FLUXIE-REKENING; Fluent van yx is onbekend, alzo 'er nog geene Uitdrukking ontdekt is, welke yx voor derzelver Fluxie voortbrengt. 57. In 't algemeen is het zeker, dat men, om de vloeijende Grootheid van eene Fluxionaale Uitdrukking te vinden , het tegendeel van die bewerking moec doen, welke men gevolgd heeft om de Fluxie zelve te vinden. Zo dat de vermenigvuldiging, het verhagen der Magten van vloeijende Grootheden, en hetpiaatfen van Fluxionaale Letteren in de dire&e Leerwyze, in dit geval eene tegengeftelde bewerking verëifchen; dat is te zeggen, dat men voor ieder byzonder geval • in de directe Leerwyze voorkomende ^ in plaats van te vermeenigvuldigen moet deelen , ifi plaats van de Magten te verlaagtn tot zodanige Magten moet verheffen, en in plaats van Fluxionaale Letteren intevoereu, dezelve moet verwerpen : wel verftaande , dat in zo verre de vermeenigvuidiging en het verhagen van Magten in het eene geval plaats hebben, ook even zo, en niet verder , de Deeling en het vethoogen der Magten in het tegengeftelde geval plaats moeten hebben. 58. Doch wel verre van dat deeze Regel algemeen zou doorgaan , doet zich aanftonds in veele gevallen eene zwaarigheid op, die in 't eerst onöverkomelylc fchynt te zyn, en niet als mee een grondig doorzicht overwonnen kan worden. Men heeft in het vooiverhandelde kunnen zien, dat de vloeijende Grootheid eener voorgeftelde I'luxie niet altoos eene uitdrukking is, die enkel in vloeijende Grootheden beftaat; maar dat dezelve ook dikwyls faamengefteld is uit vloeijende Grootheden, welke door de Tekens -f- of — met andere ftandvastige Grootheden verbonden zyn; en men heeft tevens kunnen opmerken, dat in beide gevallen, hos meenigv uldig of hoe onderfcheiden de ftand vas«  48 EERSTE BEGINSELEN der vastige Grootheden ook zyn, de zelfde Fluxie voortkomt. Nu weet men , dat in de voortbrenging eener Fluxie alle zuiver ftandvastige Grootheden verdwynen, en als niets gerekend worden, vermits haare Fluxiën gelyk aan nul zyn (§. 16). Dewyl zy derhalven aldus verdwynen, zonder eenig teken of voetfpoor achter zich in de Fluxie na te laaten, waar door het mogelyk is te weeten,dat zy weezenlyk in de uitdrukking van de Fluent waren, zo moet tot herftelling van dat verlies, dat ten minften mogelyk is, in de uitdrukking der Fluent eenige voorziening gedaan worden. Want fchoon men in byzondere gevallen, foratyds door zekere gedaane onderftellingen, ten fterkfien overreed kan zyn, dat 'er in zodanig geval geen onveranderlyke of ftandvastige grootheden by het veranderlyk deel der Fluent behoeven gevoegd te worden , is het echter, als men zodanig geval in 't algemeen en op zich zelf befchouwt, "zonder od eenige onderftellingen te letten, ten hoogften noodzaakeJyk eenige voorziening te doen in het geen zelfs mogelyk kan zyn, ten einde de uitdrukkingen , die men gebruikt, zodanig in te richten, dat ze voor alle gévallen gefchikt bevonden worden. Nu is het zeker, dat de uitdrukkingen niet algemeen , noch aan eene zodanige fchikking onderhevig zouden zyn, zo 'er niet eenige onveranderlyke Grootheden met dezelve verbonden waren: waht in dat geval zouden zy flegts vloeijende Grootheden kunnen verbeelden, die enkel en alleen zodanig waren; en geenszins zulke, welke door de Tekens -h en —, met ftandvastige Grootheden verbonden zyn. Daar nu eene voorgeftelde Fluxie zo wel uit de eene als uit de andere van deeze twee foorten van Uitdrukkingen kan voortgebragt worden, moet ook in de Uitdrukking der Fluent daar op behoorlyk acht geflagen worden. 59. Om dit nader optehelderen, zo onderftelle men de Fluxionaaje Uitdrukking a x; dan zegt men , dat de  LUXIE - REKENING. 49 de Fluent van deeze Uitdrukking ax is , en het is ook eene onbetwïstba re waarheid dat zy het is, of ten minlien kan zyn ; doch dan is het ook teh uiterften zeker, dat 'er d.iar benevens nog een oneindig getal uitdrukkingen gevonden worden , van welken iedere uitdrukking de Fluent van de zeilde FliLxie kan zyn. De Grootheid ax kan onmogtlyk iets anders voor haare Fluxie hebben, dan de Uitdrukking ax; doch de Uitdrukking ax kan, behalven ax, nog eene andere Grootheid tot Fluent hebben : want als men b, c, d, e, f, enz. als ftandvastige Grootheden befchouwt, zal de Fluent van de Uitdrukking ax een der volgende Uitdrukkingen kunnen zyn, naamelvk: ax b, ax c, ax _Ld, ax—b^cjZd, enz., of roet één woord ax~^L eene onëindige verfcheidenheid van andete ftandvastige Grpotheden. Dit nu zozyr.de, is het noodzaaklyk, dat de Fluent op zulk eene algemeene wyze uitgedrukt worde, dat dezelve zonder onderfcheid kan verbeelden eene van alle deeze onderfcheidene vloeijende Grootheden, waaruit de zelfde Fluxie ax weder voortgebragt kan worden, en welke of grodter of kleiner dan de Grootheid kan zyn. Om deeze reden wordt de Fluent van ax niet uitgedrukt door ax, maar door ax^q; waar in qbetekent eene ftandvastige Grootheid, van geen bepaalde waarde, doch naar welgevallen genomen, en gelyk kan zyn aan eenige andere Uitdrutdring , hoegenaamd, welke in enkel ftandvastige Grootheden beftaat. Het zelfde heeft insgeljks plaats ten aanzien der uitdrukking van de vloeijende Grootbeden van andere Fluxiën. Indien zy nogthans nu of dan, zonder deeze ltandvastigeGrootheden met dezelveu te verbinden , ter neder gefield mogten worden, zomoet de Wiskundige Leezer dat ombreekende in zyne gedachten vervulkn, behalven d.in als het in eenig voorkomend byzonder geval zeker is , dat 'er getn zodanige Grootheden met dezeiD vea  50 ÉÉRSTE BEGINSELEN DEi ven te verbinden zyn , en gevolglyk' 'er'Sgeen zodanige vervulling noodig is. 6b. Dewyl nu de Regel voor het vinden der Fluxiën van Magten, (§„ 31 ter reder gefteld,en uit 5 alen 24 afgeleid), als de. Hoofd -Regel der diretie Leerwyze kan aangemerkt worden, zo moet ook de algemeenfte regel, welke in de Omgekeerde Leerwvzegegeeven kan worden, uit het omgekeerde van dienHoofdRegel voortvloeijeo. Laat tot dat einde vöorgefteld worm-1 . den de Fluxie mx ' x; dan is het zeker, dat de Fluent m daar van zal zyn * CS. 24). Want gelyk men tot m— 1 . deeze Uitdrukking mx x komt, door de FluXii des Worre's x met m den Exponent der Magt te vér. meenigvuldigen, en het Ptoduft nog met die Magt van den zelfden Wortel, welkers Exponent de Eenheid minder is dan de gegeeven Exponent , naamelyk »-I 1» * CS- 31 )» zo komt men ook weder tot * te rug, als men de voorgeftelde Fluxie door de Fluxionaale Letter* deelt, vervolgens by den Exponent der m—i Magt-* de Eenheid optelt, en het geheel door den Exponent m deelt. 6r. Zo dat de Regel voor de Fluenten van alle Fluxionaale Uitdrukkingen , Welke eenige Magt van eene vloeijende Grootheid ipfluiten , deeze is: Deel door de Fluxionaale Letter, vergaar de Eenheid by den Exponent der vloeijende Grootheid inde Uitdrukking , en deel vervolgens door den aldus met de Eenheid vergrootsn Exponent, m—i. Want , deelende de Fluxie mx x doof de m— 1 Fluxionaale Letter x, bekomt men m x , en vergaarende 1 by m-1 (den Exponent van x in de geg»e- vete  FLUXIE-REKENING. 5^ m vene Uitdrukking), heeft men mx • dit laa'fte nu door m (den met i vergrooten Exponent) deelende , m is het Quotiënt x de begeerde Fluent. Of zo de m — i. m Fluxie x x gegeeven was, zou men x door m moeten deelen, en dus zou de Fluent alsdan zyn .. i m — x . m • . . Deeze Regel is aan eene uitzondering onderhevig in het geval als de Exponent — i is. Wanc volgens -i . x denzelven zou de Flutnt van x x, of — zyn X :T1 + I XO I - —■ —■ — ; eene uitdrukking waar uit — i -h I o o geene berekening der Fluent kan afgeleid worden, en by gevolg blyfc dit Geval van den Regel uitgezonderd; terwyl ten auaerenuie betvoorengeieerde (§.43) x -1, blykt , dat de Fluent van — , cf x x = /. a; is. x ïn 'c vervolg van dit Werk zal over deeze foort van Fluenten nader gehandeld wórden. ToEPASSELYKE VoORBEEiDEK óp deezen Regel. , » ,3 _»j 1. ) De Fluent van 3* * is x . 5** 2. ) De Fluent van 5* * is ——. 3 D 2 3.)  52 EERSTE BEGINSELEN der 30 De Fluent van s*4* is 5 40 De I'/uent van fre"? * is xK J.) De van %x* 'x is 60 De f/amf van 7 ^ ig | ^ 70 De i7««2f van * x is .. JB-f-I *0 De 2%««* van y*j js 2IÜ = V üü-j_r m-rti' n tn—n m 90 De JF/ae»* van — y y is . 10.) De iïaeraï van — «y " *j is y""" = T nO De van ^ , oiV*""*;, is JLllI. «» i-n * «+"^Tm +1 - 12O De Fluent van a + z|mxz is ffl + t 1$.) De Fluent vmx 71 x'is nxn. 140  FLUXIE-REKENING. 53 1- ra 1 I n . n 14.) De Fluent van — * s is x . n mti — i ra • XX I W . 15.) De Fluent van —cf — x x *, p ?k «-!- ro — 1 i j» A mx I is \_ m np -'rtnp —p iff.) De Fluent van *wi/pxxi,ofpTx*nx*I,Xx, Groot"e!d. onder her. Koppelteken vervat. WrJ J° zynAJ/re» kan de Flusm door den algemeenen Regel voor ^fn^f6ö) feevg^eB worden. ■ Indien dus de uitdrukking^* ^ a*-a a of a x- aa\ % Xfl*.gegeeven was,'zou men aanironds'zien, dat de Fluxie der Grootheid onder het Koppelteken fde ^°S?idr t tonevast'S zynde) a 'x is. Zo dat in dit geval de Ftuxte bu.ten het Koppelteken, naam1'yk ax , ook de i^arfe is der Grootheid onder het Kpppdteken vervat, en gevolglyk de Fluent door den gewoonen Regel (§. öoj kan gevonden worden: naamlyk, men moet ^ «x-aa, of aï^aTfr, tot eene Magt verhefiVn, welkers Exponent de Eenheid grooter is, en het komende door den Exponmt der aldus verhoogd^MagtjteeJen. Dus zal dari\ dé Fluent van axV ax - aa.ofaar - a a \1 x a x, Zy n § öT-"^'| Sr of ffl*-aa i/a.v-aa. Want als men i of % by j,' welke de Exponent van is, optelt, bekomt men | voor den Exponent der nieuwe Magt; vervolgen, ax -aJjéó&r | deelende , zal het Quotiënt de buvengemelde Uitdrukking zyn. Km 6i. Andere foortgelyke Voorbeelden zyn de volgende: i l.) De Fluent van x'x-Vax y>x-ra , dat is van x | 3 5 |/jf-h«, of van a-fa) x*9 is f^I'^i1 — ïxx-'rtax + aaa 1 Va-'rx* 5 2.)  F L U S I E - R E K E N I N G. 5? 0 mfs — ?JJ ' i.) DeF/«^/vana^i-3:ImX -vis xa+jcl •3.) DeF/ti(?nf van 2 « V xx ~'r aa >t3at 's vanxx + aa'»* ,3 2XX-j-2fla is | xjc-raa'ir— ' v/x3f + afl» 3 4.) De i?ï«e»i van ƒ>* j£x *r-h fl*' is X En zo, ook met andere Voorbeelden , waar in de Fluxionaale Uitdrukkingen van zodanige natuur zyn, dat zy onder 't bereik van deezen Kegel vallen. 65. Om nu nog duidelyker te toonen, hoe alle fcortgelyke Voorbeelden door den algemeenen Regel voor Magten (§. n-i A Grootheid onder hetzelve vervat snaamlykraar xJ, als 2 tot m, dat eene gegeevene Reden is. Stel I n n dan xm+ al ZZZZZ z; dan is xm + fl?| — z , en %m 4.^1 -—~ s ; dus heeft men voor de m-f. J'iaaie van de eerfte deezerVergelykingen nmx xx In—1 n—i. ' in-i xm + aq\ = z z(S.30: naar I w-i ?r.-1 . n-1 « —r. 5= z ; derhalven nmx xxz ~nz z, n — i ?m— 1. , en deelende door «z , heeft men mx xzzz, z m - 1. of — = x x. Gevolglyk is door fubftitutie Dj *  £8 EERSTE BEGINSELEN der f 2 »\ Zn% s x x x -'raH \ m / ni ' •«-f i z waar van de Fluent is — (§. 60): maar z ZZ tnxn+ 1 ff -f-a* zynde, is 2 5 x n -y $\ ,en der» n + i hal ven -—. x -F a«J ' . 69. Uit het geen boven (%. 58 fif/e^.) wegens het verbeteren der Fluenten van gegeevene Fluxiën gezégd is, blykt, datalleen het veranderlyk deel»'.-, er Fluent door de gcmecne Leerwyze bepaald kan worden ' eh het dus in veele gevallen noodzaakelvk is het ft'andvastig deel, dat men door het Teken -f of — m^t het gemelde veranderlyk deel moet verbinden, uit de .byzondere 'natuur van het Voordel af te leiden f Om zulks te verrichten , moet men uit het voorge". Relde dat tot de berekening aanleiding gegeeven heeft opmaaken , welke de betrekking is , die tu*fchen dé veranderlyke Grootheden plaats heeft; dat is te ze», gen , men moet onderzoeken hoe veel het eerstgevonden veranderlyk deel der Fluent van de waare Fluent verfchilt, en wel in die byzondere omftandig- • heid , als de begeerde Grootheid, welke de geheefe Fluent behoort uit te drukken, gelvk nul is. De volgende Regel , welke men in dit géval moet volgen kan verder tot opheldering van het boven gezegde dienen. , 6 • Re-  FLUXIE-RE KENING. 59 Regel» Stel in plaats der veranderlyke Grootheid in de eerst gevonden Fluent die byzondere waarde , welke zy bevon* den wordt te htbbm , wanneer de geheele Fluent onderfield wordt gelyk nul te 'zyn; indien alsdan de komende Grootheid pcfiuf is , zo trek dezelve van de esrstgevon* den Fluent af; doch n'gaiif zynde , zo tel dezelve daar by : dan zal de Fluent der voorgeftdde Fluxie behoorlyk verbeterd zyn- — Indien de geheele Uitdrukking verdwy rien mogt, heeft de Fluent geen verbetering noodig. Dus is in de Fluxionaale Uitdrukking a-r-yl4xy de a-\-y\s e-rstgevoriden Fluent^ '. Laat nu gefield worden , dit wmneer de geheele Fluent, welke deeze behoort uit te drukken, gelyk nul is, y insgelyksge- a+y\s a5 iyk nul zal zyn; dan zal — worden -1 : hier^ S 5 a+y\s ■ door zal het verfchil , dat ———- grooter dan de 5 «s geheele Fluent is, — zyn. Dit verfchil derhalven van de geheele Fluent afgetrokken zynde, blyft 'erover a-hy\s-as " ■ voor de verbeterde Fluent. Want ftel» 5 lende de geheele Fluent = z, danbehoortdceze Vera + y\s gclykïng zzz—-— in alle de gelyktydige waarden van  eo eerste; beginselen dka van z en y ftand te houden. Maar het is blykbaar. dat wanneer * = o,s, en y iusgelyks r= o geiteld wordt, de Uitdrukking voor de Fluent, ia -laats van te verdwynen, gelyk bjyft aan deeze Grootheid 5 moet derhalven klaarblyklyk of van -t—ZL afgetrokken , of by z opgeteld worden , om de gelykheid te behouden Waar door de zekerheid des Kegels van zelrs ia 't oog loopt. 6 ■ 7°- Tot nadere verklaaring van doezen Regel zal ik hier eenige weit ige Voorbeelden byvoeeen ■ in welken de ve- ancjetlyke Grootheden, door /co y uk gedrukt, veronder fteld worden te gelyk 'haaren oor* worden "Cem?" » of op deü ?elfik«- %4 geteeld te I. Laat y :r~-~: a* x 'x zyn ; dan zal men voor de cerstgevonden Fluent hebben y zzzz --— ; en neemende yr0) dan is ook *~o; waar door dan * * ■ Verdwynt: derhalven heeft de begeerde Fluent indit Ueval geen verbetering noodig. II. Lawyjp a + x 13 x 'x zyn.-. dan heeft men eerfte- iyK y_ —. —j wanneer nu yzzo is, zal — 4 worden -- (vermits dan X) als met y te gelyk haaren oor-  FLUXIE-REKENING. 61 oorfprong neemende, mede zz o is). Derhalven zal a + x\* a* ——— geduurig — grooter dan y zyn; en dus zal 4 4 a + x\*. a* de behoorlyk verbeterde Fluent zya y zz . 4 $a2x* x* Sr: az x -h f- ax3 -1 . 2 4 Deeze zelfde Fluent kan nog op eene andere wyze gevonden wordsn , zander dac zy een'ge de roirfte verbetering noo dig heeft. Want als meu, in de gegeevene Vergeiyl-ïnge yZZa + x\ xx, a + xdaadèlyk tot de derde Magt verheft, zal dezelve veranderen in yz a'x-{-$a* xx + ^ax* x + x3% , waarvan 3«8*2 x* de Fluent is yzza3 x ■+- ——- +ax*-\—, dezelfde a 4 Uitdrukking die boven met verbetering gevonden is. III. Laat y — a* — x" i * x ii zyn; dan vinden wy eerkelyk, volgens de hanuelwyze in §.65 voorgedra- a*—x*l* gen, y - — ; wanneer nu 31 zzzzz o is, zal 3 H»-je,ls a*\* a3 - — worden — —-— = ; derhalven ? 3 3 zal, volgens den Regel §. 69, de verbeterde Fluent a3 a* —-xa|* 3 3 Aan.  6z EERSTE BEGINSELEN BEa Aanmerking. Daar het fommige Leczers vreemd mogt fchynen, as dat de gevorjdene verbeteriDg — — in de verbeterde j?';.. . , T h '.*v**?:'ljf- v, ■ ; ' Fluent pofitif wordt, niettegenftaande de eerstgevonden Fluent xegatif blyfcs zal het niet ondienftig zya deeze zich opdoende zwaarigbeid door eene korte opheldering, welke geen twyffel meer overlaat, uit den weg te ruimen. Laat tot dac einde de verbetering, die by de eerstgevondene Fluent gevoegd moet worden, V zyn; dan heeft men a*— ~x*\* y — - r- V. 3 Wanneer nu y verdwynt, of r=: o wordt, verdwynt ook te gelyk xt en dan zal de voorgaande Ver. gelykmge worden o — — —- + V. 3 fl5 By gevolg V = -, eenepofitive Grootheid , dat 3 getoond moest worden. ~ JTlra ra—*. IV. L; en wanneery—o, en 3 *> E *  66 EERSTE BEGINSELEN der _ . c^'TTx^* "cT^J^i x—a 18» zal •' worden < ■ rjer_ 3 b 3 b halven is de. verbeterde Fluent e3 +è x* I' — 7s + fcaM^ 3* ' waar in flegrs eene veranderlyke Grootheid in S? ian hPt omgekeerde des tweeden en derden algeS uen Regels (§. 3,.j gemayyk gevonden g Dus wordt de Fluent van y'x+Xy uirgearukt d(W *3> (§. i8.); die van yzx +xzy+xyz door *y2 CS- *o, ;; die van ^« + „„^ door wxyz (§. 2i.y; die van door * (§. aa.) ; die van -1- *'J+ y'x door 0x + xy (§.i80; en die van nxy71"1 j+y11'^ naJ^lt X  FLUXIE-REKENING. 6f f P +m n nlm . mx3' I X y x—ax I door : want, p + m deelende , in het laatfte Geval, de gegeevene Uit. n » drukkinge door de Fluxie van den Wortel y x—ax n-i, (§•61.), welke (volgens §. 31.) is nx31 offflat — een geheel getal is, hetgeen plaats heeft, wanneer m een oneven getal i$, dan zal, de Grootheid z-a tot de magt HL verheven 2 zynde, het komende in een eindie eets] 7V»,„ u eiSeerdUS dE Uitdmkki°g van deng??L?Sebfnandige lemen gevonden worden. Maar indien de »« — r ~ een Breuk, of, dat op het zelfde uitkomt, m een even getal is, kan de Fluent niet anders als door eene oneindige Reeks uitgedrukt "oïtri ,heTn derhalven het laatfte hu%mXnf tot hetwelk wy onzen toevlugt kunnen neemen. 3 8o.  FLUXIE-RE KENING. 77 80. Indien het vetanderlyk deel der Grootheid onder het Koppelteken tot eenige raagt verheven is, en de Fluxionaale Uitdrukking buiten het Koppelteken geen raagt van de vloeijende Grootbeid in zich bevat, maar eeniglyk de Fluxie van den Wortel is,zal altoos de Uitdrukking van den Fluent eene oneindige Reeks zyn. Laat, by voorbeeld, gegeeven zyn de Fluxionaale I n Uitdrukking a a -h x x \ xx, waar van het veranderlyk of vloeijend de<-l onder het Koppe'teken eene magt van x, en de Fluxie buiten het Koppelteken flegts de Fluxie des Wortels van die magt is. Stel dan aa + xxZZz, dan is a xx~z (§. 24.),xxzzz-aa9 i . z z en x=z — aa\ ; by gevolg xzz—= , ix * nxz-aal* 1 I n . n z en derhalven aa-hxxl xx-#z x■ ■■■ 1 —— s:■.• 2 x z-aa Is 1 z z m,..... — , of, dat het zelfie is, zzzt .... 2 x z — a al1 _ 1 1 a n . 2X2-aal xx z. Om nu van deeze Uitdrukking den Fluent te vinden , kan in dit geval niets anders gedaan worden , dan de Grootheid z — aa tot de  78 EERSTE BEGINSELEN der de magt, welkers Exponent * is, te verheffen, 2 'twelk eene ODëindige Reeks zal zyn, vervolgens el» i ken Term van die Reeks met az"z te vermeenigvuldigen, en emdelyk door den meergemelden algemeenen Regel (§, 6u ) den Fluent van elk dier Termen te bepaalen ; dan zal de fom van alle die Fluenten de Uitdrukking van den gezochteu Fluent voortbrengen: doch deeze gezochte Fluent zal altoos meer of min gebreklyfc zyn , naar dat men min of meer Termen van de oneindige Reeks genomen heeft. In 't vervolg van die Werk zal ik omflandiger over dit onderwerp handelen ; doch alvoorens de Fluxionaale Uitdrukkingen , m §§. 74, 75, 16, voorgedragen, in oen algemeenflen zin befchouwen. 8i. Laat gegeeven zyn de Fluxionaale Uitdruk- ,. ~n\m rn-i. King a+bx \ x cx X} waar van de Fluent gevonden moet worden. c. i , r n t • , n n z-a btel a + bx zzz; dan is bx zzz—a, x zz b 3 i «-al n x a —i en *= ; by gevolg — = x = i x •«• •.  FLUXIE-REKENING. 79 n—l z — al 11 72—1 n 0 ■ Van de Uitdrukking a + bx zzzz\ z de .F/uatfe ge« nomen, krygt men nbx » = z ( §. 31.)» en » —1 Rellende voor x de Waarde hier boven gevon« » —1 den , zal 'er komen nbx ■ —» x —- z; »—1 b » «—1 n—1 « , « . derhalven 72 i x z —aj x=ri 2, en ï =: 72—1 6 B z 71— I «kXz^Tl W n 82. Boven (§. 81.) is gevonden bx =2 — 0; deeze vergelyking tot de magt r verheven zynde, be-  80 EjERSTE BESINSELEN der! r rn r rn bekomt men i j — z - a\ , waar door x zz z —> a\ *~~mmm zal zyn,- indien men derhalven deeze laat/ i ■ » z — Cl\ fie vergelyking door xzz —— (§. 81.) deelt, •" I *•; :—».•' " ' -i & 1 ■ i - .n 2? zal 'er komen] rn - i rn-i z - al ra k — - , dit met c vermeenig- vuldigd, heeftJmen rn-i rn-i z-a| n Xc ex zz < i » rn-i b T n ' ■ " Dewyl na a + hx zzzgefield is,zo is a-j-£*nL m m z ; waar door nu. alle de faamenftellende deelen , der gegeevene Fluxionaale Uitdrukking in Termen van z_ gevonden zyn: oei halven blyft er niets anders oveïig , dan alle die faamenftellende deelen in Termen van z te faamen te vermeenigvuldigen. Dus  F LU XIË-REKENING. 81 n\m rn—i . Dus is cbn a-hbx I xci a ; r»—t k —i / f» z —al n X c b 71 z \ t% x- ——X— —— =] \ rn-i b-i J b n nb x"s-*ï ° czm'z . — X z-al r~l. " nbr 83. Nu is door het Theorema van Newton, waar r-ï Van boven (§. 77.) gefproken is, z — a\ —^ r-ï — r-2 r- 2 r-3 z — r-i x z a-!-r-1 x ■—— x z a* 2 _— r-2 r-3 r-4 — r- 1 x — x —*— X z a* -i- &c., en der* 2 3 m * cz z r — 1 c ha!ven — X z - al ZZZ~ —— x n b nb Cm + r-i . 7M-!-r-2, z z — r- 1 xaz z + r —1 x r-2 7« + r-3 . r — 2 r — 3 ■— Xfl'z z — r — i x ■ X X 2 23 jb-hr-4. >. tis z z + &c. J, waar van de Fluent, F vol-  82 EERSTE BEGINSELEN der. volgens den Regel (§. 61.), is —1- x (fK+r _,— m+r-1 — JK+r-s 2 r- j - az r-ï . r-2 . a?z m + r m + r-i IT~T__ ^ 2 . 722 + r ■* 2 — . — «2 + r - 3 — _ *— *efcrJ. 6 . 772 4-7" — 3 Indien nu r een geheel />q/ftz/ getal is , zal de Fluent altoos in zo veel Termen beftaan , als door dat getal uitgedrukt worden, behalven in het geval als m+r insgelyks een geheel en pojïiif getal, doch kleiner dan r is; in welke omltandigheid, de Dcelers m+r, m + r-i, m. +'r-i', enz. eerder dan de Multiplkanten r-ï, r-ixr-2, r — i xx r.-3, enz, gelyk nul wordende, de overeenkom (lige Termen der Séries oneindig zullen zyn, en alsdan is de Fluent onvindbaar, vermits niets van dezelve bepaald kan worden. 84. Neemende r = 2, dan is de Fluxionaale Uit., drukking de zelfde "ais die van §. 75, en men heeft dan m-srrzzzm+ 2 ; Hellende dus m+i jn plaats va72 m + r in de algemeene Uitdrukking van den Fluent (.§• 83.) zal dezelve worden 772+ 2 772 + 1 c fZ az —— X f — ; . ) ; zynde nb1 ^ j/2-;-2 ?22 +1 y naauw-  H.UXtË'RËKÈNlNö. 83 haiuwkeung het zelfde, dat in §. 75 op eene ver» Schillende wyze gevonden is. 85. Op de zelfde wyze wordt ook , door de algemeene Ui'dnikking van den Fluent (, de Fluent der Fluxionaale Uitdrukking van *§. 70 gevon» den , door in de geme'de algemeene Uitdrukking Wi + 3 in plaats van m -+- r te (tellen: maar wanneer r een Breuk of negatif getal is , zal de Séries voor den Fluent tot in 't onëjniige voortloopen; ver. mits alsdan geen der Muliiplicanten r—1 , r —2, f*—'?» r-4, enz. gelyk nul kan zyn. Het gebruik der voorgaande algemeene Uitdruk- TTf» m-i . king voor den Fluent van a-l-èx I xcx x (§• #30 Z£U" n°g nader uit de volgende Voorbeelden blyken. 86. Eerstü Voorbeeld. Laai begeerd wor» bxx — i den den Fluent van —— , of a + x\ xixx. 1 a + «j1 Door de vödrgeflelde Fluxionaale Uitdrukking met .in tn-i, a-hbxn\ xcx x te vergslyken, hebben wy* a = a, fc — 1 , x " se , «=t, m = —* , cr=i , rn— 1 , of ^om dat n = 1 is) r—1 ~ 1; dus r — a. Derhalven is a + i»xn = 2 ( §. 81.) = a-'rx , en deeze waaiden gefubltitueerd in de Uitdrukking vao den Fluent, §. 83 gevonden , zal men verkrygen — 1 — \ /a-V-x\ a , a + x\ \ Fa bx  84 EERSTE BEGINSELEN der 3 — 2 *x 2axa + x I ) Zlbxa+x~\* x 3 de begeerde Fluent. mll\°? tS t00DS.n1Jdat deeze Grootheid de waare Jjluent der voorgeftelde Fluxionaale Uitdrukking is, zal ,1c my , ten overvloede, van de handelwyze, in S-S- 74» 7f,.7ö voorgedragen , bedienen , ten ein- nJ,er7Kktlbeld/er ^ovengevondene algemeene ^orWM« ( Si- «3. ) daar door te ftaaven. Laat «+*:=* zyn ; dan is xzz'z, x-z_a, en « + =2 % dienvolgens a + x| \bxxzz bz z-abz Waar van de Fluent, volgens den algemeenen Regel (§. 6i'o, is — — a ajz» 3 of, Rellende a + * in plaats van ' 3 *X  FLUXIE.REKENING. 8$ b . a-j-#| . 2X — 41 1 ■ 1 - , liet geen ook boven (§. 8<5.) gevonden is. 88. Tweede Voorbeeld. Laat de voorgeftel- 5)1-1. de Fluxie zyn , of i> Ar c xn[ * x b-rcxn\!l 2«— t . a x x. Hier heeft men nu, door vergelyking der overeen. komftige Termen , a = b, b—c, x = x, n — n, mzz—\,cz*a, rn—izz2.n-i ; dus rn—in, of r—2. Dienvolgens is a-hbxn = z (§. 81.) ■ b+cx11', en deez; waarden gefubftitueerd in de Uitdrukking van den Fluent ( §. 83.;, bekomt men a ^0 + cxi 0 . £ -!- c x I a ^2 . è + cx J ~r-^ x ( 2bxb-hcxn[ ) zzzzt nc* ^ 3 J X b + cxn\ x f — - a& ) = BC* ^3 "nl f H a . b-h cx [ c x — 46 «e* 3 F 3 ?9»  géi EERSTE BEGINSELEN de& ^ 8p. Derde Voorbeeld. Laat de gegeevene B'lusie bx x —■ — i m IT1T' ofa + dxni *X Hier is nu aZZa, bzzd, x~x, nzzn, ic-i, C—b, r!Tx, en dus m+rr:;!,- voorts is z zz tt a+dx , en deeze Waarden gefubftitueerd in de Uitdrukking van den Fluent ( §. 83.) zal men vér- ^ £ ✓•a + da:"! jj 2a. a + d*xra.! za°xa+dxn\ ) ~—x( . —. 4flXa-Ftf*nr ~;K Jxfl+or*/* —- + aa2xa-hdjc J ) — ———,x 3 ^ nd3 x-2 . a-fda;»! 4a.aH-da;w ^ 5 3 ■/ * . a-!-a*T ———— x .. nd3 s  FLUX1E-RE KENING. 87 Ca. a+dxn[ 4a. a-'rdx11 ^ Z>.« -'- d xn\ _ _-haa» <) = . — X 5.3 a ra 1 a» ifjfl — Zadx +6a x — — — , de begeerde Fluent. 90. Om van de Fluxionaale Uitdrukking a + Jx 1 rra-i. X ca; x (§• 81. )den Fluent re vinden,kan men nog eecen roderen weg inflaan , welke voor Het gebruik gemaklyker is, dan die wy boven(§.83.ÉfSeq.) gevolgd hebben. n~ m + 1 Om dit te toonen, zo lait cxa-tbx t x / p p-v p-'iv P —3v "\ VA* +Bx +Cx +Dx' + &c/ £waar in p, v} A, B, C onbekende., doch bepaalde , Grootheden aanduiden.) voor deti eezochten Fluent aangenomen worden; dan zal men ,door van deeze ardus aa*ngenomene Grootheid dc Fluxie te neemen, verkrygen n — 1 , ~7 m cbnxm+iXx xXaA-bx i x p p — v p—iv p—'$v Aï -hBi +Cx +Dx + &c. f- — 1 m +1 p - 1. cxa + bxn\ x p Ax x + p — v x "^p-V-l '. p—2v-l . B* jp+P-ïvxCï x + p-ivx F 4 D  88 EERSTE BEGINSELEN DE8 x »o , ! ? b i I a alp 2 § + x —-1 = 7 x 3S * 1 x s- H. > B3 X « » j + + > i x* r ü + " 4> * 2 S 8 + ■? 3 •» i I + I 5• * ° \i 91 5: 1 I co ^ 5g . ^h/"-» 3 co ' b M n Sp H I V J * . c O e" I O n 2. w , * 1 * B ^ ^ I \s , ' I o + » I » "3 » o •* I 4- I 8 &- + I* x o ! «3 T1' * § ? V < s. 'Br • CR ^ I Q fï Hf g 1 i Eg a $ \ ïï \ ^ 5 è - < v-^ 00 & H 3 II % % + * «- g f pa . ** O Tl I - » • ' g -t ff % | • §• a P * Ü  F L U X I E-R E K EN ING. 89 P «1 r° ? «S- - +.1 i£ == 2 _ ~s <+ re tra 3 1 5 ~ o. SS • b « 2 T £ 1 "^12 • " ° I a n * Ö H re 1 ö> 01! s- 2.+ 2 3 °- §• ^ + + rag- o °!l 11 li a + 2.e3 li "* I <: ra ro "2. I 1 II 9 3 «< » ' • S II M b ** s S" a re X si ï ifltl a ++5x0 3 3 / a » X - * a n" «, , | Ö re te] Sr» T 1 V i,! lÜ I II S 11 a s n- 3 * Tl I II » f SS S b o -* CL " X 5?. aaraSi« B 3 % P? " a * > 3 P . P, & .1 «• iic § II r F5  S>o EERSTE BEGINSELEN der ^^ i r— i.fl r-i-.r-2.aa $&b ' ' ~~ ' s.s-i.nb' s.s-i.s-2.nbs r-i.r-2.r* 3 . a3 J-.J-I.f-2. S 3*Bè* ^ Subflitueerende vervolgens deeze waarden van A, B, C,D,enz., benevens die van p en v (§. 92, )s in den aangenomea i^/araï (§ 90.;, zal dezelve worden . rn-n rn-3« n,m + l fx r-i.ac c . a + bxi x I — 4. fr N snb s . s-t.nb1 rn-zn r-~t . r—z. a'x \ c,a+bx\ —jzr~sz &c* /-—■ K s.s— i.s-~ 21*1» S1lb rn— n ra—-2b r-i . a x 1 7^i.b s r?2—3» r-l.r—2,a*x ■—;— 1 J &c.9 zynde de waare Fluent s — 1.1—s. b* ■ nTm rn-s. van a+bx xcx ar, die gevonden moest Worden. Deeze Fluent zal , zo wel als de voorgevondene (§• 830» uit z0° V£el Termen beftaan, als 'er eenheden  F L Ü X I E - R E K-E N I N G. 91. den in r zyn , onder die bepaaling nogthans, dat r een geheel en pofitif gc' al zy , behalven in het geval: als s een geheel en pofi:if get"l kleiner dan r is. Zo ook wanneer r een Breuk of negatif getal js, zal, zo als §. 85. reeds is aangemerkt , de 'Séries voor den Fluent tót ifi 't onëindige voortloopen , en derhalven de Fluent flegts in eene oneindige Reeks benaderd kunnen worden. ~~ ~7«* rn-i, 94, Om den Fluent van a-hbx I xcx x te bepaalen , heeft men nog eene andere handelwyze , door welke men in Raat is eene Formule te vinden , die in veele gevallen dienftigis, als da voorgaande onvindbaar wordt, of in eene ocüinüig': Reeks voortloopt. Men heeft gezien, dafrde voorgaande Fluent(S.93.) ~ n~\m'V 1 gevonden wordt door cx a-\- bx \ X..... f p p — v p~zv -\ \Ax +Ex +Cx &c.y voc denzelvcn aan te neemen (<§. 90.), en de tweegrootftü^xpaKenten der daar uit voortkomende Vergelykingè onderling te vergelyken (§. 92 ), doch zo men in plaats p p —V p~2V van Ak + B# +Cx &c. eene afklimmen» p p + v , p-hav de Reeks verkiest, alsAx+Bx +Cx &c. (waar in de Exponenten van x geduurigaargroeijea), en de twee fcleiniie Exponenten van* in de daar uit voortkomende Vergelykingè op gelyke wyze onderling vergelykt, zal de zelfde Fluetü onder eene verfchillende gedaante gestonden worden, welke het gebrek der voorige in veele gevallen vernelpt. 95. Wanneer nu in de laatfte Vergelykingè van § 90. in plaats van p—v, p—-2v, p — '\v, enz. refpeftivelyk gefchreeven worden p + v, p+2V, P + 3V, enz., zal men bekomen hnx  9* EERSTE BEGINSELEN der S + ff t ? + -f . -} . f !?| ssl: > x + + Th 3 ^ I H 4- X ' o g " t X 1 1 ? ss s + 1 % 5* + E. + cc I a T f 55. -j- I , « , (o I re re Sj., ! t . ? X c. i | * X » fr % + P i te «* B t * 1 •* • I ?| R + KJ * I 1 V" -»> ? T x + 1 te a si II ^ S H §. + 2 * <- v., t 9 * 11 I +f * * r sn  FLUXIE-REKENING. 93 tra. I -tttr ra n re o- if 2 "Sa S* I |" > c-^a a i 0 11 <»M 3o 4 al "*■ . a 2+ o «K'g + + S»a B ' ra m 1 tf,» v;- S 3 S X ra^g « * §'I £ 2 • «m CO 1 Dg. X—' o.5r ^ » rt S. «X "3 a _« <% M ca ,^-a k> S ^ s +i 8^ * af 1 - x ' -v- 3 rT -< 11 TT JS- 11 ra o t&co 5'a o cu —• «. crs \ .z -.3d> n= r-*3~ ~~" ' 4 " , • , of, als m;n bei- 15 d* de Teller en Noemer met z5 vermeenigvuldigt, d' + z**. "az' + idj' _ ,7~Z » de begeerde Fluent. 15 »* z* ion  FLUXIE-RE KENING. 97 ïoi. Zesde Voorbeeld. Laat eindelyk de ge- geevene Fluxie zyn a—pz 1 Xz z. Dan is door vergelyking , als vooren , a = a-, b = —p, x—%, m —'i , rn—1~ — in—1 »> by gevolg r~-i, en m4-rr:j~ —3. Devvyl dan r £= — 3 een geheel en negatif getal is , moet hier wederom van de algemeene Uitdrukking des Fiuents ( §. 97.) gebruik gemaakt worden; a~-pz ! xz en men zal bekomen ———■ —■ <—» x ..... — jna / ;^X-^M -2X-Ix/za7^ V —la — lx — iaa / ~ -\naz7'n > + '5fl ' ~ «13 2. n , ,5 !(i a—pz 1 3oa+24a/>z + l6P 2 \n 15a' ■jnaz' n\2 2 , ■ n . ,ji 2« a—pz 1 X 30 a +34flpz +iop z .— voor 7 n i05wa3z= den hegeerden Fluent. 102. Wanneer een Fluent niet naauwkeurig in Algebraïfche Termen voorgeiteld kan worden , drukt inen hem uit door eene convergeerende Reeks , of door eenen reeds bekenden Fluent, die eenvouwdiG ger  pS EERSTE BEGINSELEN der; gei- is. In de Dceüng der gcmsene Algebra , als ook in de tiendeeiige Rekenkunde, is het Quotiënt vesltyds eerp zonnige Reeft*. Doch ora net geduld der Qefrenaars van deeze Theorie-, door verdere atgetrofekene bsfehouwingen , niet re vermreiien , Haaste ik my , om de nuttigheid van. het tot hier toe Voorgedragen. 10 praktikaale Gevallen te doen zien, met oogmerk om den draad van ó*e Leerwyze eer Mue>,ten in eene volgende Afdeeling te hervatten, f*TfeTa 'n al,e haare uitJteRrekt'heid zo kort en üuidelyk ais mogelyk is, te verkiaaren. ZESDE AFDEELING. Van de toepasfing dor Flüxien in de Oplosfin? van y wjidleny. w.aar in geèïsckt wordt de. Maxima en Minima van Grootheden te bepaalen, 103. Als eene Grootheid, door bewee«ing geteeld wordende , .geduureij.de eeuigen tyd aangroei , en dan wederom afneem* , wordt, dezelve "in bet tydmp i als de aw^rnt'iiiïeg/.iihoudi, en de afneeming begirk, eeo ^aximus «gfGroojfte, genoemd. Desgelyks wanneer dezelve, op gelyke wyze geteeld wordende, geduurendc ecnigen tyd, of tot zekeren itana, afneemt , tn daar na wederom aanarocit. wamt oe/olve 1». bet tydftip, als de.-afoeeming op. houdt , cn de aangroeijing begint , een Minimus , or Kleinste, genoemd. 104. Om deeze' Bepaaling eenigzics op te belderen, m Laat geleid worden , dat een punt m zien etnpaang in eene rechte Lyn van A naar B beweegt en dat een ander punt « zich achter hetzelve, met A D C R eene aangroeijende of af- 1 1 j_ , - ' n m reemende fnelheid,. zodanig beweegt, dat de^elfs MWW* m eeneQ zekeren ftand D,gelyk worde aan die  FLUXIE-RE KENING. 99 die van het voorige punt m, dat zich eenpaarig beweegt. Dit vooraf gefield zynde , zo laat de beweeging van het punt n eerst als eene aangroeijende beweeging befenouwd worden ; in welk geval de afftand van n achter m geduurig zal aangroeijen, tot dat de beide punten in de gelyktydige itanden C en D ko^ men ; doch daar na wederom zal afneemen ; want, aangezien de beweeging van het punt n tot d.sar toe traager dan in D is, zal dezelve, door de Onoerltelling, insgelyks traager zyn, dan Öie van bet voorgaan 1e punt m; maar daar na fneller dan die van m wordende, zal de af ftand mn, zo als reeds gezegd is, wederom afneemen. Derhalven is deeze afftand een Maximum , of van alle gelyktydige afftanden de grootue, wanneer de meineden der beide punten aan elkander gelyk zyn. Doch als het punt n met eene afneemende fnelheid in ü komt, zo dat deszelfs beweeging eerst fneller, en daar na .'angzaamer dan die van hst punt mis, zal de afftand mn eerst afneemen, en danaan^roeijen* en is derhalven een Minimum, of de kleinste van allen , in de voorgemelde omftandi^heid. 105. Dewyl dan de afftand mn een Maximum of een Minimum is, wanneer de fnelheden der punten m en n gelyk zyn , of wanneer die afftand door de beweeging van het punt m zo fchielyk aangroeit, als dezelve door de beweeging van het punt n afneemt, is zyne Fluxie in dat tydltip klaarblyklyk gelyk asn nul of niets (§§. 2 en ij. ). A ingezien dus de beweeging der punten m en n zodanig begreepen kan worden , dat hun afftand mn de maat van eenige veranderlyke Grootheid uitdrukt, zo volgt, dat de F.uxie van eenige vfia-iderlyke Grootheid , wannéér de zelve een Maximum óf Minimum is , aan nul of niets gelyk zal zyn. tö6\ Aangezien dan eenige Grootheid een Maximum of Minimum is, wanneer derzelver Fluxie nul is, in G 2 de  <» EERSTE BEGINSELEN der fej*ffi"*. ** veranderlyke Groot- lcu /syn. rjjtr U1[ vJoeu de vojgecde R e a e l. I. Stel de ftandvastige Grootheid m yror Art i*w«- ,welfce veortkomt als men de Fluxie van m ^ÖCherd aan nul gelyk fielt. Om nu te wee. ten welke van dis Wortelen een Maximum , en weiRe een Minimum aanduidt , moet men onderzoeken, of de vaarde der gemelde Fluxie, kort vóór dat dezelve gelyk aai) nul wordt, ptftif of negatif 385 20 dezelve pofitifls, dan geeft de eerstvolgende Wortel een Maximum ; doch negatif zynde , 1 en Mtmmum, De reden hier van is ^eer 'ligt te be. vroeden ; want zo lang als eenige Grootheid aangroeit , zal haape Fiuxie pofitif zyn , doch, wanneer dezelve afneemt is haare Fluxie negatif ( §. i 109. Laat wederom tot een voorbeeld genomen worden de Grootheid 3x*-2Hax*+ Bda'x' - o« ;«3^-i-48^ ( §, 107.), waar van de Fluxie in ver- korte uitdrukkingen is 12iex 7ax' + T4~a*x'Z»a7 = i'txXx—axx—Qaxx—4a. Nu is het klaar te zien , agt vermits de Waarde van die Fluxi» alvoorens dezelve de eprlte maal gelyk aan nul worot, of vóór dat xzza is , negatif. iil zvr, m> fao&P dat het Product van drie negative Fahores negatif is, daarom ook haare eerfte.,Wortel (a ) een M-mmum aanwyst , Waar uit wy , zonder verdere overweging, mogen befluitendat de tweede W0r tel (aa) een Maximum , en de derde f40) een ander Minimum opleven. Daar '. r • aus ^'h-v Voorbeeld, zich twee Minima opdoen, wordt men natuurlyk bewogen te onderhoeken, welke der'beide Wor*  F L U X I E - R E' K E N I N G. 103 Wortelen, de eerRe of derde , de kleinffe Waarde voortbrengt. Tot dat einde fubttitüeert men die beide Wortelen, ieder•afzóindeflyk', in de gegeevene Grootheid, en men za! vinden 48b*—37a4, eri 48&*—64a*, waar van de laatfte uitdrukVmg de kleinfte is; dienvolgens is het ten voIUp. klaarblyklyk , dat de derde Vuortel de mogelyk kleinfte Waarde oplevert, welke de voorgeüelde Grootheid kan toelaaten. ; 110. Wanneer alle de Wortels onmogelyk worden, moet de voorgemelde Grootheid, waarvan de-Fluxie als dan nooit = o k;in zyn , of geduurig aangroeije-n , óf afneemen; en derhalven kan dezelve nimmer een Maximum, n; + l6 fl »»-3*♦ vooraefte d wordendoorden veranderlyken OrdinaatPQ (Fis 2 ï der Kromme AQMNR, weikers Abfcisfe AP jk Si naar gewoonte, g zal noemen. » 's Terwyl dan de Fluxie van den Ordinaat u 'x x a-x x a-x X pofitif blyft, of zo lang tot dat dezelve ==a = AB wordt, zal de Or&Wze1f aangroeijen. Maar m den ftand BM wordt dezelve ftilftaande ; bet zy my vergund deeze Uitdrukkina te bézigen, vermits de Fluxie alsdan =o is. Waar na, de Fluxie wederom pofitif zynde , de CrrfmaJ andermaal zal aangroeijen, tot dat *~2a C~AC \ wordt; wanneer de fïa.ri» ten tweedemaal nul, en naderhand negatif wordt , zal CN een Jf™ü7„ zyn : kort daar na daalt de Kromme beneden haaren As, en blytttotin 't oneindige van denzei ven afwyken. "4»  FLUXIE.REKENING. 105 H4. Nog iets anders is 'er, waar op men in de Oplo.sfing vau deeze foort van Voordellen byzooder acht moet geeven, naamlyk, of de Maxima of Minima, welke gevonden worden door de Fluxie =0 te itellen, binnen de Limieten vallen, welke door de natuur van het Voordel , of van de Figuur , worden voorgefchreeven: dit nu wordt meemgmaal bepaald door Conditiën, welke in de Algebraïfche berekening geen plaats vinden. 115. Laat dus , by voorbeeld, gefield worden, dat men in een gegeeven Ellips ABHD ( Fig. 3.), een zodanig punt F moet vinden, dat onder"alle andere punten van het einde van den tuegevoegden As het verst afïiaat. Trekkende dan FE evenwydig aan den !?ngen As AH, en (lellende AH=a, llD — b, en Bb = a;; dan is DK — b — x, en dus het vermeenigvuldigde der Abfcisfen BE x DE = bx — x*. Nu is door de eigenfchap der Ellips ('loepasjing der Algebra op de hooge Meetk. §. 87.), EFc: — xbx — x2, en door b2 het Pythagorisch Leerltuk is BÊ' + ËF ) 3 a1 x2 J. xbx — x1, eene uitdrukking die , volgens b' den eisch van 'tVoorftei, een Maximum moet zyn. De Fluxie daar van is ixx-\—xbx— ixx , welft1 ke gelyk aan nul gefield, en door x gedeeld zyna2 de, zal voortbrengen 2x-l x*-2x-o, of '.'«•« - » x • bu j : ■ a1 — b1 x *s= i a2 b ; waar uit wy bekomen G 5 x s  106 EERSTE BEGINSELEN der & - \>arb , ai pjjjj r-.-.i ■ X~a^b' Maar d°°r de natUUr der Kromme is de grootfte Waarde>, die- x;(=.BE) met mogelyk. heid kan hebben, b (=BD)j indteii derhalven de * a2 b betrekking van aeni zodanig is, dat a , groo. a2-è2 ter dan 6 zy, dan. is deeze Oplosfing klaarblvklvk •omnogelyk. Om derhalven de Limiet te bepaalen, ia2 6 *° ftd aTZ^ = W3ar Uit dan Sevonden wordt, dat 2&'~a* zal zyn. Dus kan de voorgaande Oplosfing alleenlyk plaats grypen, wanneer aUo'geJyk, of kleiner dan AH'is. 1 Ï1J6- WyJers moet nog in aanmerking genomen worlen, of de Waarde van L , door dl |emeene Leerwyze gevonden, eene kleinere Grootheid voor iet Maximum, en eene grootere voor het Minimum voortbrengt, dan uit de uirerfte paaien zelve, door welke x gelimiteerd is, zal ont liaan. Laat dus begeerd worden de grootfte en kleinfte ■Ordinaten te bepaalen in eene Kromme APR (Fi« A Welkers Vergelyking is y» =6a> x — xjax2 +% EP en welkers grootfte Abfcisfe AD gelyk aan a u ge' geevep is. fcC Dewyl nu y alle de Ordinaten uitdrukt, van welke men de grootfien en kleinften begeert te bepaaWtté ïo iiioet van 6a»x — pa*»+4«i de Fluxie se~ nomen, ca ~o gefteld worden; waar door wy hebBen ^2~3a^-a2, eene Vergelykingè waar uit men vindt xzzia, of xZZ a, Als men nu deeze 2%y™fv* Waarden, benevens die van de grootfte «• •'••',..^ zyndo aa, is de Vergelykingè-der Krom. me -j««w wis, ia uk vcigeiyKinge der Krom  FLÜXIE-REKENING. 107 me ys .t 6 a1 x — o ax* -1-4 x3 voor * in de plaats Helt, zal meü hebben y3zzia3} of y3,. ai,o(yizz 1 8fl3; waar uit afgeleid wordt y —aVl> °f y~a,o£ t yzzza; dat is de Ordinaat BPSai/v^, de Ordinaat CO da, en dc Ordinaat ÜR., zynde de gro >tfte va» 'al-'en, ~ia Hetgeen dus tot het volgend befluit aanleiding geeft. 117. De eerde BP der gevondere Ordinaten is geenszins de grootite van allen, vermits .;e uiterfte t I>R~2a grooter dan a Y % is ; ook i« CQ even zo min de kleinfte, uit hoorde dat de Ordinaat aan het ander einde A geheel verdwynt, ot eigenlyk nul is. 118. Somtyds zullen één of meer der punter. Q, S, enz. ( Fig. 5.) welke de, .Maxima tn Minima bepaalen, beneden ëeri As AF vallen; in itélk geval de overêenkomlHge Waarde der algemeene Uitdrukkinge van den Ordinaat negatif zal zyn : docb in de punten b> e, d, enz., waar in de Kromme den As doorfnydt , zal ddzélv-e gelyk aan nul zyn. Ik zal daarom in 't voorbygaae- nog aanmerkm, dat •de reden klaarblyklyk is, waarom de Wortelen eener , . • 1 n n— 1 , n — 2 Vergelykingè, als x —ax +b-x ..... 4-gn~o, by Paaren onmogelyk zyn. Want, aangez en Aè, Ac, A a\, Ae , enz. de Wortelen van die Vergelykingè, of de verfchillende Waarden van * , zyn, wanneer de Ordinaat xn~.axn'~~I b'**n~2 + qn (MN) gelyk aan nul wordt, is het klaar , dat zo PA, die de gegeeven 7erm qn uitdr .kt. nor Pa aangroeit, zulks *a£ AF , die alsdan op af- valt, de Kromme in S raakt,de aanleggende  los EERSTE BEGINSELEN der de Wortelen Ai en Ae alsdan gelyk zullen worden; en dat, zo qn nog verder aangroeit, zulks dat de As geheel beneden de Kromme valt, niet alleen deeze twee, maar ook alle de andere Wortelen Ai en Ac, onmogelyk zullen worden. _ ïiQ- 1" '£ algemeen beeft men , ten aanzien der Limieten van Vergelykingen , door deeze Maxima en Mmma nepaald , het volgende op te merken. Eene Uitdrukking, welke die ook zy, die, gelyk aan nul gefield zynde, twee afmeer gelyke Wortelen loslaat, heeft, ten zehen tyde, zo veel achtervolgende ordent ■van fc luxien gelyk -aan nul, als door het getal van die Wortelen min één uitgedrukt wordt. pus zal eene Vergelyking, die drie gelvke Wortelen heeft, beide haare eerfte en tweede Fluxicn gelyk aan nul heöben , wanneer de Fluent zelve eelvk aan nul is. ° 1 I20,. Hier door heeft men, behalven den boven .aangewezen weg (§. ni.j , nog eenen anderen , .om te ve ten, of eene Grootheid haare Fluxie gelyk ■aan nul kan hebben , en desniettegenftaande geen maximum noch Minimum zal toelaaten: want vermits deeze; omftandigheid altoos plaats grypt , wan-* neer de V ergelyking, zo als reeds getoond is fS. 111.), een even getal grlyke Wortelen toelaat ,' moer h4 getal/Ier orJens van Fluxiën, die gelyk aan nulzvn. êvefT* 2 tydC' iufluiting der eerfte> insgéilyki Hier door heeft men insgelyks eene gemaklvke leerwyze, om te ontdekken , wanneer ibmmige'der V ortelen van eene Vergelykingè gelyk zyn ; en, in gevalle het zo is, wat zy zyn. ' lal. Laat dus xS — 3ax> -i- 4a" = o'voorgefteld worden, waarvan de Fluxie 3x>x — 6axv 32a3*— 8<\ax*x+ 36a2xx + 27a3x, en de tweede Fluxie 96 x* x*— i68axx* -'r36a2'x*; welke laatfte = o gefteld zynde , zal men door herleiding bekomen 64a1 — 112 axZZZZZ «-24 a»; 7a.!_ 25 aa 3 a a waar uit wy vinden x~— Y . — — , of—. 8 64 2 4 Zo nu de vcorgeftelde Vergelyking drie gelyke Wortelen toelaat, zal één der gevondene Grootheden de 3a Waarde van elk derzelven zyn : en wanneer men — 2 tot dat einde beproeft, zalmen bevinden,datdezel. ve de uitdrukking van elk der gelyke Wortelen is; waar door dan ook", volgens de grondbeginfelen der ge- (28 a 3 a ZZZZ — x 8 2 3~ —a^ gegeeven is. 123. De reden van deeze bewerkingen , zo wel als van hetgeen boven gefield is, kan op de volgende wyze beweezen worden. Laat r-xxr — x tjc. x A + B * -t- Cx2 f}fc. ~ o eenige Vergelyking zyn, hebbende twee of meer gelyke Wortelen , welke ieder door r uitgedrukt wor» een: ftcl jZlr — x , cn laat n het getal der gelyke Woï-  EERSTE BEGINSELEN der Wortel- n zyn; dan hebben wy door fubftitutie y1i % A + Bxr~y+Cxr-y\* £?c. zzq; welke Ver'ge. lykinz dooi de mttr.en vsn r—y aic te drukken, en fl-A + iir + CföV?., &r B + aCr-h 3 Dr2 &fc te Rellen, verders veranderd zal worden in jw x a_by -h Cy*_ ay3 Qfft — 0 : eene Vergelyking waar van de Fluxie nayH~ 1 y—n-f> f .è^y -f-» 4- 2 X g3> O1 &c- klaarblyklvk g lyk aan nul is, wanneer y f— * nu' is , en dac ook n erooter dan de eenbeid zy. ©esgefyfrs js bet klaar,dat d.■ tweedei'^-W n*n-i.ayn 2y* — n + 1.nby11 ~~ ]y' -+- « + ax m+i >cyny* Êfc. in de zelfde omftandigheid ook gelyk aan rul zal zyn, wanneer n f?rooter dan o is Hier uit kan men nu het alaemeen beflyit opmaaKen, dat, hoe groot ook het getal «vangelyke Wortelen zy, dat der ordens van Fluxiën, welke aan nul gelyk zyn, ten zeiven tyde uirgedrWt'zullen worden deor dat getal mm één, zo als'boven «ei oond is De volgende Voorbeelden zullen tot nadere bevestiging en verklaaring, van hetgeen dus verre gezegd is, kunnen dienen. 0 a 124. Voorbeeld l. Een gegeeven rechte Lyn AB m twee deelen AC, BC te deelen, zodanig dat de Rechthoek, of teï/Produél, van die deelen de mogelyk grootJte zy. ....v oh - :. . . - . 'q • ••■•'< Laat de gegeeven Lyn AB~a Ai x jjj zyn, en Rei-bet deel AC. dat door de beweeging van het punt A naar B geteeld wordt, en dus veranderlyk is, — * ; dan iV BCz Derhalven is, volgens den eisen van het Voor.  FLUXIE-REKEN1NG. n* Rel, ACxBCziax—xi: waar van de Fluxie ax — nx'x~o gefield zynde CS- ™5>)i zal men hebben rxx'xziax, en by gevolg *±*a. Derhalven zyn AC en BC, in de begeerde omftandigheid , aan elkander gelyk, zo als ook uit aDdere Grondbeginfelen bekend is (Zie Gronden der Meetkunst XI'. Boek, Theor.. 16.). 125. Voonr.EELD II. Den mogelyk grootfien Recht' hoek te bepaalen, welke in een gegeeven Cirkel kan befchreeven worden. Laat QRST ( Fig. 6. ) den gezochten Rechthoek zyn. Zo men nu de Diameters AB , DE evcnwydig aan de zyden van den Rechthoek trekt, is het klaar, dac daar door de Rechthoek in vier gelyke en gelykvormige Rechthoeken gedeeld zal worden , als CPQN. Derhalven is het viervouwd van CPQN de grootfte Rechthoek , welke in den Cirkel befchreeven kan worden, en dus een Maximum. Nu wordt CPQN bepaald door bet vermeenigvuldigde van CP en PQ, welke de perpendiculaire Coördinaten des Cirkels zyn , de Oorlprong in het middelpunt C genomen zynde. Laat r de firaal, x de Abfcisfe CP zyn , dan zal de Ordinaat PQ ~ yr* — x* zyn ( Toep. der Algebra op de hooge Meetk. §. 10.J. Dus is xfSr* — x*, het vermeenigvuldigde der Coördinaten CP , PQ , de Inhoud van den Rechthoek C P QN , en deszelfs viervouwd 4 x jrr» — de Inhoud van den Rechthoek QRST. Derhalven moet de Grootheid $ x V r* r-%1 een Maximum zyn , of wel men zoekt eene Waards voor x, die \x V r4-'*" ~ een Maximum maakt. Nu  112 EERSTE BEGINSELEN der Nu is van 4x1/1*™™x~* de Fluxie 41x^^1 *— 4^«r3-*=l" % welke =0 gefteld , en alles door 4£ gedeeld zynde, zal men bekomen r^PX r* - x* |~ * -o. Deeze Vergelyking met r7-**! 4 vermcenigvuldigd zynde, zal 'er?komen ttFt* X a; _r»—of **-»•«-*% o? 2%*zzr', en x*z= Dus g-rj^f. Deeze Waarde in '^y^r?* gefubftitueerd zynde, zal men hebben ^rV \x/~ 2 wT,2rST7 ,de"Inh°ud des Racbthoeks QRST. Waar uIt blykc, dat CP~PQ is, en daarom i.sCPQN en dus ook liet viervouwd daar van , naamlvk ORsT een gelykzydig rechthoekig Vierkant. Derhalven is het Quadraat de grootfte Rechthoek, die in een Cirkel befchreeven kan worden. 3.26. Ik achte het niet ondienstig by deeze eele genheid aan te merken, dat de Waarde eener Si heid, wanneer dezelve een Maximum of Minimum is , meemgmaal gemaklyker, en met minder omS bepaald kan worden, door de Fluxie v»n een°g X' veu dee , veelvouwd , of magt te neemen, dan de Fluxie der Grootheid zelvt. Indien dus in hit voorgaande Voorbeeld , waar in de algemeene Ult drujckmg^an_den Inhoud des begeerden Rechthoeks is 4*t/r2-*', de ftandvastige Multiplicant 4 verworpen wordt, zullen wy hebben xYr7^, waar yan de Fluxie x' x r^Pl*-x> x x r7^7?-*  FLUXIE - REKENING. 113 r=o gefteld zynde, zal men bekomen x=rf |, jeu als boven (§. 125..) insgelyks gevonden is. De reden hier van is openbaar ; want wanneer de Grootheid zelve, van wat foort die ook sy, de rao» gelyk grootfte of kleinde is , zal insgelyks eenig gegeeven deel, magt of veelvouwd derzeive de mogelyk groocfte of kleinüe zyn. 127. Voorbeeld III. Den mogelyk grootflen Rechthoek te bepaalen, welke in een gegeeven Driehoek kan befchreeven worden. Laat de Bafis AB (F/g. 7.) van den gegeeven Driehoek = b, en deszelfs hoogte CD=a zyn; ftel vooits de hoogte Dl van den ingefchreeven Rechthoek EG, als veranderlyk befchouwd zynde, =*; dan hebben vvy, uit hoofde der parallele Lynen Aii, FG, deeze Evenredigheid: CD : AD :: Cl i FG. Dat is a : b :: a-x 1 FG. ab—bx Derhalven FG —— , en dus de Inhoud des a Rechthoeks E F G H, ofFGx DI = ab~bx ^ a abx—bx2 x =2 ——— , waar vart de Fluxie, zonder op a den Noemer des Breuks, als flandvastig zynde , acht te geeven , is ab'x— zbx'x , weike = o gefteld zynde , zal men vinden x=s'*oY Derhalven is da grootfte ingefchreeven Pechtboek die , welks hoogte juist de helft der hoogte van den Driehoek is. 128. VocüBÈEj.n IV. Een gegeeven rechte Lyn ' AB in twee deelen AC, BC te deelen, zodanig dat het H Pa.  ir4 EERSTE BEGINSELEN der Parallelepipedum, dat onder het vierkant van het deel AC, en het ander deel BC begreepsn kan worden, of wel AC x BC, het mogelyk grootfte zy. Laac de gegeevene Lyn AB~a zyn, en Rel het deel AC = at ; dan is het C andere deel BC = a-i; Ai———i iB en dus de Inhoud van het Parallelepipedum ACx BC zz, x' Xa — x—ax* —x' = een Maximum. Hier van is de Fluxie zaxx3x3x, welke = o gefield zynde, viodt men «~fa; dienvolgens a—x~1a Derhalven zal, volgens de conditiën van 't Voorftei * 'uit de deelen der gegeevene Lyn het grootfte Parallelepipedum gevormd worden , als het eerfte deel het dubbeld van het laatfte is. (Zie ook Gronden der Meetkunst XI. Boek , Theor. 19.). 112J** Vo°™*f™ V. Op eene gegeevene rechte Lyn* «fr-Hypotbenufa, den mogelyk grootften rechthoekLn Driehoek te formeeren. 5 Laat de Bypolhenufa AC CFig. 8.) ~a, dezyde AB_* en bi,~y Zyn ; dan is, door het Pythago- risch Leerftuk, x'+y' =za>, en dus y ZZya~~xr. Dienvolgens -zz-y'a^? = den lDhoud d 2 2 Driehoeks. Daar nu de Inhoud des Driehoeks een Maximum moet zyn, zal ook deszelfs Quadraat~ x* 4 — — een Maximum zyn (§. 126.). Derhalven moet  FLUX I E - R E K E N I N Q. iis af x x moet de Fluxie van deeze laatfte Grootheid ; 2 — x2xzzo gefteld worden; waar door wy vinden xzzalf i , en y (r^a2-**) zza\/\. Hieruit volgt dus, dat de gezochte gróotlte rechthoekige Driehoek gelykbeenig moet zyn. Indien men derhalven op AC, als Diameter, een hal ven- Cirkel beichryfc, en uit het midden B van dien halveu Cirkel de Chorden BA, BC trekt, zal men den gezochten Driehoek hebben. 130. Op eene andere wyze wordt dit Voorftei aldus opgelost: naardien * * y een Maximum, en x*-Jry1-ai is (§. 129.;, zo laat van deeze beide Grootheden de Fluxiën genomen , en = o gefteld worden, dan zal men hebben f*;y-f-i:yx~o, en axx + zyy =0. Van welke Vergelykingen uit de yx eerfte afgeleid wordt —, en uit de laatfte x xx yx xx 'yZZ- — Derhalven zyn en —— aan elkan. y x y der gelyk, en by gevolg*zy, zoalsboven (§129.) getoond is. 131. Voorbeeld VL Fan alle rechthoekige Driehoeken , den zelfden gegeeven Inhoud bevattende, dien te vinden. waarvan de fom der beide Beenen de mogelyk kleinjle is. Laat de Inhoud van den Driehoek ~ a, en het eene Been AB ( Fig. 8.) ~x zyn; dan is het andeH 2 re  iiö EERSTE BEGINSELEN der aa re Been zz -~; en dus hebben wy voor de fom der beide Beenen CAB + BC) * + -, waar Van de zax Fluxie is * , welke = o gefteld zynde, zal men vinden x~y zazzAB; waar door BC ^-^) ^e 2u isJ Derh,alven zyn de beide Beenen mede aan elkander gelyk. 132. Voorbeeld Vil. In een gegeeven halvenLirkel den mogelyk grootften Driehoek te befckryven. Laat de Diameter AC~a, en het eene Been AB (*ig° 8„ j x zyn : dewyl dan de hoek B, op den Diameter ftaande , recht is, is de Driehoek ABC rechthoekig, en dus BC Q— y~h~C—A~B2^ e=? Ya2~.x2. Derhalven is de Inhoud des Driehoeks ABC (ziABxBC^f^a7^. waar van de Fluxie is *xxa* —x2\2 —■^xixxai—x'\~\ welke z:o gefteld zynde, zal men vinden zx'zza', of a-ar ^5 dus BC {^-^_ - af f. Derhalven zyn in dit geval, als vooren,de beide Beenen aan elkander gelyk, '33.  FLUXIE-RE KENING. 117 i33« Voorbeeld VIII. Door een gegeeven punt P, binnen den rechten hoek ABC geplaatst , de mogelyk kortjie Lyn te trekken. ( Fig. 9. > Trek PM parallel AB, en PNparallel CB. Dewyl dan het punt P gegeeven is , zal men bM en BN bekend hebben. Laat dus BMzza, BN~t', en MC~* zyn; dan zal men hebben PC~MG+ PMzz ^VBNr^ï'-hi', en PCztY x' + b*. Voorts naardien de Driehoeken CMP, en CBA gelykvormig zyn, hebben wy deeze Evenredigheid; CM : CP :: CB : CA. Dat is x : y x*+b* -.: x+a : CA. x + a Dienvolgens CA = —— x Yx2+b' ZZZZ een x ax Minimum. Kier van is de. Fluxie — •— x #' + b' 11 + x+ax x2 + b2|~* x 'x , welke == o gefteld zynde, zal men vinden x*—ab', en x~Y aès. Derhalven heeft men in dit geval niets anders te doen, dan tusfchen b en a twee midden - evenredigen te vinden, waar van de eerfte —x is. Want Hellende, dat x en z de beide midden-evenredigen zyn zal men hebben b : x :: x : %, en b : x :: z : a* derhalven bz~x't en xz~ab. Gevolglyk x3'z=x ab'z, of a-J — ab%, en xnx/ab1 , de uitdrukking welke gecongrueerd moet worden. 134. Om dit te verrichten, zo laat om AP als As (Fig. 10.), met een Parameter ~bt den Parabool H 3 AMR  HS EERSTE BEGINSELEN der AMR befchreeven worden (Toep. der Algebra op ds h hooge Meetk. §. sop,); neem alsdan ADtrek 2 vervolgens DC perpendiculair tot den As AP, en a s=—: befchryf uit het punt C, met CM als Straal, 2 «e«n,^i-rkelboog ANM, welke den halven - Parabool AMR m een punt M zal fnyden ; waar door dan de Ordinaat PM~x zal zyn. Want, volgens de ConJlruStie, is MF (—BM—CD) — Maar 2 dcor de natuur van den Parabool is AP x 6 C~ PM) ~ x* , of AP £ — ; derhalven PD b b x' (r:AD~AP) r . En om dat CF—PD is, 2 b zal men hebben CM*(:z^%-CF) —x~-I 4, a 2| b x" I a* ^4 j* T :="aT+—I—Voorts is CM- 2*1 4 6* 4 - CA, en CA'(=AD + CD*) = £ + -; derhal. 4 4 ** fl* a» #♦ 4* x* ven ~ + — - - a* + -~ + + of = '4 4 4 è» 4 fc»  FLUXIE-REKENING. ir$ fljr> zza, x'zzab*. Derhalven ?M~x~{/ ab1. b* ~ 13?. Voorbeeld IX. Het punt Q in den grooten As eener Ellips ADN gegeeven zynde, te vinden QM cere mogelyk kortflen af (tand tot de Kromme (Fig. 11.). Laat AC = a, CD = & , AQ~/>, QN = g , en QP=# zvn; dan is S.?~p-¥x, en PN~Nu ib door de eigenfchap van de Ellips (.Toep. der AU _a b' gebra op de hooge Meetk. §. 80.) PM ~ — x a' pq+qx-px^x1, en QMS( ~PM-f QP ) - —X a* pq + qx—px—x'+x*— een Maximum. Hier van b* qx —» p x — 2 i* xx is de F/üït'e 1 —- + 2 x x , welke aJ h'xp-q "" " gefteld zyn de, zal men vinden x zz ■ — a.a77*7' — ■ ' - x — — • X CQ. Hier by is nog aan'te a*-b* 2 a1-»1 a'-fc1 m|rken, dat wanneer CQ grooter dan ». is, a ö« of QP, ook grooter dan — , en dus ook grooter a dan QN zal zyn, hetgeen de natuur van het Voorftei met toelaat. . H 4 336,  I» EERSTE BEGINSELEN beu ven Pirl/p) ic — ' • ae Itraa' van den seeee. ven Crkel is, _a 2yn; 1IJdJen dan QQ^gj; . ^^^l0^'60 Wordf» Zl^n wy hebben BQa varnug zyn, bebben wy de^EvS^eWi £Q : OQ :: BD . DC. Bat is „7+^ : a ;:r+a: DC. Derhalven DC } de ,halve ,^fy van den gelyk. beenigen Driehoek, flX* + a Inhoud des Driehoeks ABC (zBDxDCj — axx-\-a\2 •""L^±— ; welke eeo itoaw zynde, moet des- zelfs Vierkant, en by gevolg Ü*"^-- x #-!-a|4 717" * insgelyks een Mhibw zyn; maar a«, als. ayndeeene ftandvastige Grootheid, kan verworpen • WOf.  FLUXIE.REKENING. 111 worden (§. 126.) > dus blyft 'er Dog overig, dat * + al1 ' ■■- een Minimum moet zyn. Hier van is de x — a $x X* + al*xx-a — xxx + al* Fluxie ... , , welke zza x—al' xxx + al3 gefield , en alles door —— —— gedeeld zynde, x — a 1* zal men verkrygen 3 x x-a — x+a ~0, en by ge» volg xzz 2 a. Derhalven is BO — 2 OQ, en vermits de Driehoeken BOQ en BDC gelykvormig zyn, is het klaarblyklyk, dat ook BC~2 DCziAC is. Gevolglyk is de Driehoek ABC,om de mogelyk kleinfte te zyn, gelykzydig. 137. Voorbeeld XI. Den groet/ten Cylinder te bepaalen , welke in een gegeeven Conus of Kegel kan befchreeven worden. Laat azBD ( Fig. 13.) de hoogte van den Kegel zyn; bZZAC de Diameter van deszelfs Fajis; x~efof dg de Diameter van den Cylinder, als" veranderlyk befchouwd zynde; SZZ den Inhoud des Cirkels, wiens Diameter de Eenheid js. Dewyl dan de Inhouden van Cirkelen tot elkander in reden zyn, als de Vierkanten van hunne Diameters, hebben wy, i" : x* :: s : sx', de Inhoud van den Cirkel er fs. Daar benevens hebben wy, door de H 5 ge«  iaa EERSTE BEGINSELEN der gelykvormigbeid der Driehoeken AED en Ade, deeze Evenredigheid: AD : BD :: Ad : de. ab — ax Dat is \b : a :: ib-lx : de ~ . b Derhalven is de Inhoud van den Cylinder (~Cirk. ab- ax sabx'—sax3 erfs x de) ~sx*x — een b b Maximum, waar van de Fluxie, zonder den Noemer flesBreuks, als lïandvastig zynde, in aanmerking te neemen, is asabxx-~ 3 sax2 'x, welke — o gefield, en alles door saxx gedeeld zynde, zal men bekomen a*-».3*-o» en by gevolg x~\b, Derhalven de zz »b — ax\ *—^—J —?a: waar uit blykt, dat de.ingeichree. ven Cylinder de mogelyk grootfte zal zyn, als des. ze;fs hoogte juist f der hoogte van den geheelen Kegel is. 138. Voorbeeld XII. Den Kegel, of Conus, te bepaalen, welke, onder eene gegeevene bultige Opper- S^dnbevat$~P> dm m°êelyk ^tftenlighaamlyken Laat de halve Diameter van den BoJis,HD(Iiz.u ) ~x> en de lengte van de fchuine zydeABzrlzvn Laat ook c ~ den omtrek des Cirkels zyn, wiens Diameter de Eerheid is. ' Dan hebben wy voor den Omtrek van den Bak ac*, en voor den Inhoud van deu Bafu c**; en ver- mee-  FLUXIE-REKENING. 123 meenigvuldigende den Omtrek van den Bafis des Kegels met de halve fchuine zyde AB, zal men voor de bultige Oppervlakte des Kegels hebben cxy. Derhalven is de geheele Oppervlakte des Kegels ~cx2 + p cxyzzp, en dus yzz x. Maar de hoogte BD c x ( — V ad; -v'V-^-V-— , c* x% c deeze vermeenigvuldigd met } van den Inhoud van CX* CX* p* 2p den Bafis zz > zal 'er komen — V — — —■ 3 3 c% x% c voor den lighaamlyken Inhoud des Kegels; welke p'x* een Maximum zynde, moet deszelfs Vierkant 9 npcx* 9 —-—, of, alles met —- vermeenigvujdigende , 9 P px* — 2 c x* insgelyks een Maximum zyn. Hiervan is de Fluxie 2pxx — 8cxz x , welke =0 gefteld, en alles door 2x'x deelende,zal men verkrygen p-qcx* p r p = 0» en by gevolg xzzy—: waar door y Izz—— 4c ^ cx p~cx' qcx'-cx* 3cxs >. Z. -—- -3* ) insgelyks beer Cx cx keod  «4 EERSTE BEGINSELEN der kend zal zyn Waar uit dan openbaar is , dat de grootfte Kegel onder eene gegeevene Oppervlakte, of een gegeeven Kegel onder dl kleinfte Oppervlakte een zodanige zal zyn, waar van de lengte der fchuine zyde rtaat tot den balven-Diametwvan den^a/ixinde Reden van 3 tot 1, of, dat op het zelfde u.tkomt! wanneer het Vierkant der hoogte ftaat tot het Vierkant van den geheelen Diameter, in de Reden van atot 1. 139. Voorbeeld XIII. De afmeetingen van een Cylindnsch Vat, dat boven open is, te bepaalen, zodamg dat hetzelve, onder de mogelyk klein(te inwendige vut7n eeneS^evene hoeveelheid Waters zal be- Laat den Diameter AB (Fig. 15.) zzzzss, en de hoogte AD~y zya ; laat voorts c den Omtrek des Cirkels zya, wiens Diameter de Eenheid is, en Rel de gegeevene hoeveelheid Waters , welke het Cilindrisch vat kan bevatten, zzzzz a. Dan hebben wy 1..: c ::x : cx den Omtrek, van den Bafis; welke, met de hoogte y vermeenigvuldigd zynde , voortbrengtcxj__ de holronde Oppervlakte des Cilinders. Op gelyke wyze, de zelfde uitdrukking met i van den Diameter x vermeenigvuldigende, vinden wy den In. cx' Èoud ;van den Bofis zz —; deeze met de hoogte y ex'y vermeenigvuldigd, heeft men — voor den lighaam4 Jyken Inhoud des Cylinders ; deeze zza gefteld zyn- de, is cr^-4a, en cxy zz-zz de holronde Op. x perylakté des Cylinders; by gevojg is de geheele Op. per-  FLUXIE-REKENING. 135 4 a cx2 pervlakte —T i een Minimum. Hier * 4 —4a* e** van is de fïiw'e i , welke » gefteld *2 a zynde, zal men bekomen —8«-r-cAf»~o, en dert a halven xzziy Voorts, naardien cx3zzBa, en c cx2 y ZZ\a is, zo volgt, dat # ~ 2 7 is; waardoor dan y insgelyks bekend is. Dus is hier door klaarblyklyk , dat de Diameter van den Bafis juist het dubbeid van de hoogte moet zyn. 140. Voorbetld XIV. De Jlelling eener rechte Lyn DE te bepaalen, welke, door een gegeeven punt T gaande, twee rechte Lynen AP en AQ_> welke in /telling gegeeven zyn, zodanig zal fnyden , dat de fom der deelen AD en AE , daar uit ontftaande, de mogelyk kleinfte zy (Fig. 16,). Laat TB, parallel aan AQ, zza, en TC, parallel aan AP, ~b zyn, en flel BD"*: dan hebben wy, uithoofde der parallele Lynen, deeze li venredigheid: BD : TB :: TC : CE. ah Dat is x : a :: b : CE ZZZZ —■• Derhalven AD-i-AE (z BA -f-BD-l- AC+CE) ab ab x 'ZZZZ b-'rx-]—, waarvan de Fluxie is * — , X x' * wel-  iaö EERSTE BEGINSELEN dér welke, in de begeerde omftandigheid ~ o zynde, voort» brengt % -ab~ó, en by gevolg x—}/ab. Waar uit blykt, dat BD (x) een midden-evenredige tus» fchen TB (c), en TC O) zal zyn. Laat derhalven, in AP, BR = TB genomen, cn op AR, als Diameter, den halven-Cirkel ASR befchreeven worden ; trek uit B den Perpendiculair BS, ftootende aen Omtrek des hal ven-Cirkels ia S; dan is BS~ fat. Neem alsdan, m BP, BD~ BS, en trek uit D, door het gegeeven punt T,de rechte DE; deeze zal de begeerde Lyn zyn. 14r. Dit zelfde Voorftei kan, buiten Fluxiën, nog op eene andere wyze opgelost worden, als men hetzelve op eene algemeene wyze befchouwt, door de ftelling der Lyn DE te vinden, wanneer de ffia der deelen AD en AE, in plaats van «en Minimmh, te zyn,. aan eene gegeevene Grootheid gelyk moet zyn. In dit geval hebben wy de volgende Meetkundige ConftruEtie. '"Trek, als voorën, TB (Ftg. 17.) parallel AQ^ én TC parallel AP ; neem , in hét verlengde vari PA, Ac z: AC, eo maak cF gelyk aan de gegeevene. fom der beide deelen AD, AE. '^Befcbrvf op' Bc en BF, als Diameters , twee halve-Cirkelen , en'trek uit A perpendiculair op Bc, de'rechte AG, ftoöïende den Omtrek' van den eerften halven-Cirkel in G; trek insgelyks rGH parallel aan Fc, fhydende den Omtrek'des 'laatften: halven-Cirkels in I; trek ID perpendiculair tot Fc, en uit D door T de rechte DE, wélke aan den eisch van het Voorftei zal voldoes» .T42. Want vermits AB x Ac~1^ rrDIr BD x DF is, hebben wy BD : AB Ac (_-AC): DF; 0k hebben Wv, uit hoofde der parallele Lynen TB , TC; BL) : AB :: AC : CE; en daarom AC : DF AC : CE : by gevolg DFuCE, en dus AD-f- AE  FLUX IE-RE KENING. 127 AE CrAD + AC + CE) ~cF de gegeeven fom der beide deelen (§. 141.) Oat betoogd moest -worden» 143. Om nu te toonen, in hoe verre deeze Oplos, fing tot het onderwérp, waarover ik handele ,'toepasfelyk gemaakt kan worden , zal ik den Leezer vooraf doen opmerken, dat de Oplosfing, volgens de voorgaande ConJtrucUe §. 141 , onmogelyk zal zyn , wanneer de rechte Lyn GH , - in plasts van den halven-Cirkel BIF te fnyden , of te raaken, geheel beneden dien halven-Cirke! valt; by gevolg zal men de mogelyk kleinfte Waarde vaD BF , en dus ook van c F ZZ A D + A E , hebben , waaneer de gemelde rechte Lyn GH den hal ven-Cirkel BIF raakt; dat is, wanneer BD zz Dl — AG — V AB x AC is. 144. Wy kunnen nog tot het zelfde befluit genaken , door het Voorftei dlgebraïcè te befchoaweu. ab Want, laat i+vrH-0-f-— («j. 140.), de Waarde van A D + AE, zzzz s zyn ; dan 'hebben wy ** — i - u j s~a-i> f x^j-fcï2 ■s-a-bix__—ab, endmxzz- - Htf \ - 1 . 2 4 — a b J. Deeze gevondene Waarde nu zal niet Jan- ger mogelyk zyn , dan tot dat ab zza 4 , s—a -b is, als wanneer * zz V a b zal zyn, zo a als  I£»8 EERSTE BEGINSELEN der als boven §. 140 gevonden is, voor het geval waar m de fom der deelen AD, AE een MinimumTzal 145. Om te toonen dat, volgens de laatfte beichouwing, x - V ab. is, zo zy nog , aia vooren . ' ' ab (S.144.)» b+x + aj ZZs; dan is s — a ~b~ x X ab , . fl2r2 4.—» en dus s~a~b\2~ x7 + 2ab 4-_. By gevolg ab zz .— -}-. .—o 4 4 2 4** ' of *4-.flot*9 + aa4»-o; waar uit den Vierkants. Wortel trekkende, heeft men a $ - 0 en H,« a-r^afr, als boven. «»-o, en dus , 146. Op gelyke wyze kunnen de Maxima en Mimma in andere gevallen, buiten ^fwTbepS worden; als men, in de onderftelling dat dé geToch. te Groothe.d gegeeven is , de ftefling 0f digheid na*orscht, waar in het algemeen Voorftei onmogdyk begint te worden. Dan denS ftaande is de bewerking door Fluxiën , in mees V4l'; X°?BBliELI\XV- ^/fcf * het 'voormande ^£ ir(L«4D^frVf" 2^e' Enten de jteiiing der Lyn DE (fig. 16.) te bepaalen, wanneer ge Lyn Oh zelve de mogelyk kleinjtïis! , T Trek  PLU XÏE» REKENING. 129 Trek uit het gegeeven punt (fïg. 16.) de rechte TN perpendiculair op AP. Laat BN=re zyn, en neem, als vooren (§. 140.)» TB = a, TC = &, en BD—tf; dan is , volgens de eerfte beginfelen der Meetkunde, DtV-^Vbt'-^BNx DB) = x' + a2 — icx. Nu hebben wy, door de gelyk» vonnigheid der Driehoeken DBT, DAE, deeza Evenredigheid: BD2 : DT* :: AD* : DE*. Dat is x1 : x* + a2-acx :: b + x\ : DE . , b+x\ xx1+ a2 — 2cx -j Derhalven DE ~: —*-— —— — h + x\ x 0' 'IC # 1^mt iH — —, waar van de Fluxie is 2 # x & + * X X1 X a' 2c , acx za2x H hb+x\ x ', welke = « X2 X X2 X* gefteld, en alles door axxb + x gedeeld zynde, zaï a' 2c c a2 men bekomen 1 +1 -hb-bx x -■—;— =0 j x* x x2 ' x' derhalven x'- I Laa$  130 EERSTE BEGINSELEN der Laat ALrra, AP = *, en l>M=y zvn ; dan is YL = a*-x. J\u hebben wy, door het Pythagorisch Leerftuk, LM <=PL+ PM*) zza^7\'+y', dat een Minimum moet zyn (§. 126.); hier van als mede v.m de Vergelvking dea Paraboois y2 ~px (Toep. der Algebra op de hooge Meetk. §. 21.), de Fluxie neemende, zal men bekomen — 2.ax+2x'x + zyyzzot en 2yy'-px'; deeze laatfte Waarde voor zyy in ds eerfte Vergelykingè fobftitueerep- de, zal men hebben -20*-f 2xx+px = 0. Der. * P nalven x~a , en a~x——s de Formule voor 2 2 een Subnormaal des Paraboois (Toep. der Algebra op de hooge ■Meetk. §. 35O; waar uit volgt, dat de mogelyk kortfte Lyn LM een Normaal is. 149. V ooreeeldXVII. Van een Driehoek ABC mar van gegeeven is de Baüs AC, en de hoogte BD* begeert men den tophoek ABC zodanig te bepaalen dat dezelve de mogelyk grvótjie zy ( Eig. 19. v Deel den Bafis AC in twee gelyke deelen in E* en laat de hoogte BDzza, AE~EC~è, ED=* zyn: dan is DCzzb-x, en BC \z= BD2+DC 7) sza' + b'-zbx + x* ; derhalven BC:r i/ï?-!-i>2 — ibx + x2. Nu hebben wy, door de grondbegïnfelen der platte Driehoeksmeeting , deeze Evenredigheid. BC : Rad. D :: BD : Sin. L C. Dat  f LÜXIE*R.ëkën1ng. 131 Dat is \/a'1 + b*-<2.bx+x* : r :: a : Sin. £.C, als men de Radius r noemt. ar Dienvolgens Sin. L.C— ——. »/a' + b1 — 2 b x-f-x * Wederom AB : Sin. LC :: AC: Sin* L ABC» ar Dat is f aa-H-r-tfl : — :: 20 : Sï«. l/a' + fc — x\2 LABC. zabr Dus is Sin. L ABC = * 2 l/a2-hb + x\ Xl/A14-0 een Maximum» By gevolg moet ook het Quadraat van die Si* 4a26sr2 ftax , naamlyk ■ , een a* 4- ~0 + x\ x a*-i-i>—x\ Maximum zyn (§. 126.> Stel deeze Maximum = m (§. 106, Reg. I. )t dan hebben wy 4aaö2r3 • ■ —rn, en der* 0* _(_ 2 a2 fc2 4- &4 + 2 a2 2 — 2 é 1 tf4 + .r* halven a4-r- 2a2fi24-#4 4- 2a2tf= — zh*x2 +x* ' : 4a26,rI t é *— . Hier van is de Fluxie /^a2 x'x-^h2 xx+ m 1 2 4»' xzzo}  13* EERSTE BEGINSELEN der jx'xZZo , van welke alles door ax'v gedeeld zynde, zal men hebben a'-fr + ^-o, of Ir0'' Welke .^ergelykJng onmogelyk wordt, wanneer a grooter dan b is; maar ai* zynde, is *~o, en dus valt alsdan het punt D in het punt E. A$n .Voo/BEE^07 XVIII. £e« Trapezoïde *L« CF Wertoe^ i dia alleenhk twee overgaande zjaen parallel heeft) van eenen gezeevenen Inhoud a »jaBig ie bepaakn, dat de fom TrtkuitlCLV*8&* k!,einJfeZy («g. aoi . UIi „,?n B 5 perpendiculair op DC de rechten ae, BF. Laat AB=T*, AD-^Bc'-z* €n AE — BF —« zyn. Dan is DE ( = j/a1d -AË*} ==VT — W, en FC (ri/b^-BF*) ^err»Jv^hrtbenwy* + -y + z=mfS.ioö7KJEG.IoI cnu^-a'+oj/F-^+aa,-^. of> door « deelende, t/p-^7 + i/F-T^ + 2 * = lf. Van deeze Vergelykingen de fces neemende, hebben wy i+y+i^ eD 22^+^Z± • — iau — " Volgens de eerfte Vergelykingè is nu xzz—y-z, en daarom oi--a|i-az; fubflitueerende nu deeze laatfte Waarde voor ai m de twee.  FLUXIE-REKENING. 133 yy — uu tweede Vergelykingè, zal dezelve worden zz—uu . . — zau -f — zy—2z~- •. Onderftellende nu i/z' — u2 u u ftandvastig te zyn, dan is uzzo (§. 16.), en dan yy zz wordt de laatfte Vergelyking 1 l/y'-u1 yz2-u2 yy 2*y-2ZZo; waar uit wy afleiden -ay~ot zz en 2zzo. By gevolg sy'zz^u2, en V z2 — u* Sz'~:4u'; derhalven zy2 — 3a2, en y~z. 151. Indien wy nu in de gevondene Uitdrukking yy — uu zz — uu . . -s.au ■__ + ' -ay-azzz -— (§. 150.) y en z ftandvastig onderftellen , zullen jenz ieder = 0 zyn ; en wy zullen dan voor de gemelde Uit- — uu uu -2.au drukking bekomen rz9 V y1 —u2 i/z2—u* ü' 13 en  134 EERSTE BEGINSELEN der u3 u3 en door herleiding -— j ZZaa. Nu is y=~z (§, X5o.)> en derhalven ~Z~ ■„ 1 r,of"~ =fl' Maar3D'1=:4tt1(§. ijoj, tl _ " enby ^olg ^-^'^y^gj «=^^3, ««3 êTVSi dus hebben wy door fubftitutie IZL-L?;- «, or «——r^a: derhalven n* zz - . ^ — m« o" 4 a* 152. Wederom is rF-v+r*'--'s* + a*_s aa a •— (§• ijoOj en derhalven *=—'f^-j^i^-^ W~-^^~ryZu-*ZZÏVsa--. uzzf'l. 3 Dienvolgens is DE tzFC C-VV^T^en daarom AD z aDE ~ 2FC ; AD^A_-3BCt Waar «it, volgens de Beginfelen der Meetkunde ,* open*  FLUXIE.REKENING. 135 openbaar is, dat de Figuur ABGD in eenen hal ven Cirkel, wiens Diameier DC is , befchreeven muet kunnen worden. 153. Lemma. Onderjlellende dat een Lighaam of Punt n C Fig. 21.) zich in eene rechte Lyn nB beweegt , dan zal deszelfs volfirekte fnelheid, in de Richtftreek van die Lyn, in reden zyn tot de betrekkelyke fnelheid , waar door het na of van een gegeeven punt C, ergens buiten de Lyn, poogt te gaan , als de afftand Cn ftaat tot den afftand D», begreepen tusfchen n en den Perpendiculair CD ; of, als Radius tot de Coünus van den hoek van helling DnC- Want, laat CDza , Dh~x , en Cnzzy zyn. Dan hebben wy Cn (nCD + D» ) zza*+x* zzy1, waar van de Fluxie is zxxzzzyy; derhalven hebben wy dêezc Evenredigheid: x : y :: y : x. Dat is^r:^:: C«:D«. Maar, volgens de Grondbeginfelen der platte Driehoeksmeeting , hebben wy in den Driehoek CDn deeze Evenredigheid: Cn: Dn :: Radius : Cofin. LDnC. By gevolg Radius : Cofin. L D«C :: * : y. Aangezien nü de Fluxiën van Grootheden geduurig als de Snelheden zyn , door weike de Grootheden zeiven aangrceijen (§. 13. ), is de waarheid van het Lemma door dit betoogde openbaar. 154. Hier uit volgt, dat de betrekkelyke Snelheden, in twee verfchillende Kichtftreeken «E en nC, rechtftreeks tot elkander zyn , als de Cofinusfen der I 4 over-  ff EERSTE EEGINSELEN oer oyerêenkomltige hoeken D«E en DaC, Wanneep derbal ven n E perpendiculair op Cb, en dqs de hóek DbE gelyk aan den hoek C is, zal de Snelheid in de Richtftreek nE lot de fnelheid in de Richtftreek »C zyn, als de Sinus van den hoek D«c tot djszelfs Cofimsis Waar uit blykt, dat de Snelheden in de C« fc?60 DS ' ,,Cn' eD EB> Perpendiculair op Cb ilaande , tot elkander in reden zyn, als Cs Da, en CO refpeftivelyk. * 5 * 155. Voor nEEld XIX. DeJlelling van een Punt te bepaalen , waar uit drie rechte Lynen tot even zo veel gegeevene Punten A, B, C getrokken zynde, de S Pl? JL )yneU mgÜyk mnJls ml #S Laat DPE den Omtrek eens Cirkels zyn, die uit het punt A, ah Centrum, met eenigen afftand AD, ais Radius, befchreeven is: en laac het Punt P bel greepen worden zich in dien omtrek te bewcegen met eene eenpaange Snelheid, van D naar Ê. De. wy dan de betrekkclykc Snelheid van dat Punt in de verlengde «jchtftreek CP, ftaat tot deszelfs betrek, kelyke Snelheid ,n de verlengde Richtftreek BP als Lktm cf ?» vek CPE l?1 de ^2 rioek üfU C!j. 154o ; en naardien, in het se val alt de Som van CP en BP een Minimum is, deeïe Sne heden gelyk moeten zyn (% a en ,04. L isThe openbaar , dat de gemelde hoeken CPE en flPI» ienyïumS? bUn,Dt °>^usfin, in die omftandigheid aan elkander gelyk worden; en dat by gevole ónS de hoek APC gelyk aan den hoek APBzalfyo? Waï u.t blykt, dat, hoe groot of klein de Radis AD ook genomen worde, de Som der drie Lynen A.P Rp en CP de mogelyk kleinfte niet kan zyn, wanneer da hoeken APB en APC ongdyk zyn/ Ook zal doo? eene gelyke redeneering blyken, dat de gemelde fom de mogelyk kleinfte met kan zyn , wanneer de hoS ken APB en BPC ongelyk zyn. Derhalven zal dé Som der drie Lynen AP, bp en cp de mogelyk Wwtëfi zyn, als alle de drie hoeken cmhetPuüt p  FLUXIE-R.E KENING. 13? aan elkander gelyk zyn ; by gevolg is ieder van die hoeken APB nAPCzBPC zz $ van 4 rechte hoeken. ZH200. Indien echter het geval geen zodanige gelykheid der hoeken toelaat, of wel, als de Driehoek ABC, ftomphoekig zynde, den Hompen hoek gelyk of grooter dan 120" heeft, zal het punt P in den Hompen hoek vallen, en dus het voorgeftelde onmogelyk worden. Derhalven wordt het Voorftei op de volgende wyze geconjlrueerci. 156. Befcbryf op BC het Segment eens Cirkels, dat een hoek van 1205 ka.i bevatten, en voltrek den geheelen Ciikel BCF; trek uit A tot het midden F des Boogs BFC de rechte AF, fnydende den Omtrek des Cirkels in P; 't welk het begeerde Punt zal zyn. Want, vermits de hoeken BPF en CPF op de gelyke Boogen BF en CF Haan , zyn hunne Complementen APB, APC, zo wel als de hoeken zei ven, aan elkander gelyk; en om dat, volgens de Conjiruclie, de hoek BPC — 1200 is, zal ook ieder der gemelde hoeken APB, APC aan iiaö0 gelyk zyn. T57. Op de zelfde wyze zal blyken, dat de Som van alle de Lynen AP, J3P, CP , enz. (Fig. 23.), uit eenig getal van gegeeven Punten A, B, C, enz. tot een ander Punt getrokken , de mogelyk kleinfte zal zyn , wanneer de Cojinusfen der hoeken NPA , NPB , NPC, enz,, welke de gemelde Lynen met eenige andere Lyn NM maaken, die door het Punt van iarnenkomst gaat, elkander vernietigen; hetgeen plaats zal hebben , wanneer alle de hoeken APB, BPC, CPD, enz. gelyk zyn, en we! in alle zodanige gevallen , waar in de .Helling der gegeevene Punten zulk eene gelykheid zal tcelaaten. Doch wanneer de gegeevene Punten vier in getal zyn , zal het begeerde Punt zich bevinden in de doorfnyding van twee rechte Lynen , welke de tegen over elkander flaande Punten lamenvoegen. Want, onderftellende dat APC en BPD geduutjae rechte Lynen zyn, zal de Cifinus van den hoek NPA gelyk aan de Cofinus I 5 van  E3S EERSTE BEGINSELEN der van den hoek NPC , en de Cojïnus van den hoek NPB gelyk aan de Cofinus van den hoek NPD, en in tegendeel, zyn. 158. Voorbeeld XX. Als twee Reizigers op den zelfden tyd uit twee gegeevene; Plaat/en A en B vertrekken , en van daar in gegeevene Richtftreeken AP en BQ gelykmaatig voortgaan, met Snelheden welke in eene gegeevene Reden zyn, begeert men hunnen ftand te vinden, en hoe ver elk van hun gegaan heeft, wanneer zy op het mogelyk naast by elkander zyn (Fig. 24.}. Laat M en N de gelyktydige Standen der Reizigers zyn, wanneer zy zich het naast by elkander bevinden ; trek MN, en laat op A P de Perpendiculairs NE en BD vallen; laat ook Q13 verlengd worden, tot dat dezelve AP in C ontmoet. Laat voorts de Reden der gegeevene Snelheid in BQ tot die in AP, die van» tot m zyn, en neem ACra', BCzzb, CD — c, als ook de veranderlyke afftand CN—Dan zullen wy, uit hoofde derparallele Lynen NE, BD, deeze Evenredigheid hebben BC : CN :: CD : CE. Dat is b : x :: c : CE. cx Derhalven CEz—; en vermits ook de afftanden b BN en AM , welke in den zelfden tyd gegaan worden, als de Snelheden zyn, hebben wy desgelyks BN : AM ::«:?». Dat is x-b : AM :: n : m. mx—mb Derhalven AMzz —, en by gevolg CM » (-AC  FLUXIE-REKENING; I39 mb mx (üAC—AM) ra-i ; of, Rellende «-f. n n mb mx ■—~ d, CMzd . Maar volgens de eerfle n n Beginfelen der Meetkunde is MN zCM'+Cn'-- i mx | CMx2CE, en derhalven MN zzd— — I + #5 — n 1 mx zcx nmdx m*x* 2cdx r. b n n2 b amcx* 4- ———. Dewyl nu MN de mogelyk kleinfte n b moet zyn , moet ook MN de mogelyk kleinfte zyn amdx m* x* (§. 126.), en daarom d* ■— . -| |- #* — tl 8' 2cdx zmcx2 ——- + —— ZZ een Minimum, Hier van is de b nb zmdx 2 m2 xx . acdx Fluxie -m 1 + 2xx .4. n n2 b j^mcxx —- , welke ZZZZ o gefteld , en alles met bn* nb gemultipliceerd, als ook door 2* gedeeld zynde, zul»  *4° EERSTE BEGINSELEN der zullen wy bekomen -mnbd + m2 bx + n2bx~n' cd , . m'nhd+n'cd -t-amncx o; by gevolg . , . »r b+n2 b+ imnc ^_ ndxmb + nc ' ; waar door BN, AM bxm'+n2 -Vimnc en MN insgelyks gegeeven zyn. *. s in aanmerking neemen fat u„ trekkelyke Snelheden der beide Reizigers in M en N (Afc. 240, in de richtftreek der Lyn'MN^fre- fpeöïvelyk uitgedrukt worden door £i_t_^ x flj Co/?«. N 63 laliuT * n CS' 1530; cn vermits d«*e Fve!^ m : n :: Co/?«. N : Ccftn. M. Msar Secans M : &Mfï, N .. ^ N c - M C Driehoeksmeeting §. 35.) ' ^ Jm' 1V1 By gevolg ro : „ :: Secm M . &ffljtf ^ Hier wit volgt deeze CoN -b*—> mx -—|- oz eert Maximum. Hier van is de Fluxiê n xx mx — ' — — 5 welke ZZ o gefteld , en alles doot x gedeeld zynde, zal 'er komen —— — ~ï yU~^b- n , mb derhalven -——en CN (zzVx* — h~-) ** Hl2 — »» nh 1r*m'~n* , mh nb Derhalven BN : CN :: —~ : — » :j p^m'-n' fm*—n" m : n. Maar BN : CN :: Radius : Cofinus N, volgens de Beginlelen der Driehoeksmeeting, en daarom m : n :: Radius : Cofinus N. 16a. Men kan nog op eene andere wyze tot hee zelfde befluit geraaken door de volgende befchouwing. Laat gefteld worden, dat de rechte Lyn BD (Fig. a6.) om het Punt B , als Centrum, draait, met eene beweeging, die zodanig is ingericht, dat het Deel BN van die Lyn , tusfchen het Punt B en de rechte Lyn  ï44 EERSTE BEGINSELEN der Lyn AQ begreepen , mee dé gelyk maatige Snelheid » aangroeit: dewyl dail de Snelheid tnec welke CN is : , ; _ n x Radius » aangegroeid zzzz —— , is (§. 153.), zo moeÈ Cofinus N by gevolg deeze Uitdrukking, warmoer MN eea~ Maximum is, gelyk zyn aan m, de Snelheid van het ander Lignaam M Cg. 104.). Derhalven hebben Wy, ' als vooren, m : n :; Radius : Cofinus IN. 163, Voorbeeld XXII. Laaf gefield worden, daf e«7i Scftzp van eene gegeevene Plaats A , in eene gegeevene Richtftreek /iQ_, onrfer zei f gaat t en dat op den zelfden tyd, wm eene andere gegeevene Plaats B, ee« 2?oot vertrekt, »ieJ oogmerk om , ware het mogelyk, het Schip te achterhaalen \ zo nu de Snelheid van het Schip tot die van de Boot in reden is , als m tot nt vraagt men in welke Richtftreek de Boot moet zeilen, om, zo dezel* ve het Schip niet mogt kunnen achterhaalen . nogthans zo naby hetzelve te komen als mogelyk is. ( Fig. 27. ), Men verbeelde zich D en F als de Plaatfen der beide Vaartuigen, wanneer zy hec naast by elkander zyn, en dat, uit B, als Centrum , door F den Om. trek eens Cirkels befchreeven zy. Aangezien dan de afftand DF, volgens de bepaaling van het Voorftei, de mogelyk kleinfte is , moet het Punt F zyn in de rechte Lyn DB, welke het Punt D en het Centrum B faa* menvoegt; vermits, volgens de Bèginfelen der Meet» kunde, geen ander Punt in den geheelen Omtrek, waar in de Boot in den zelfden tyd uit B kan komen zo dicht by D is, als dat waar in de Lyn DB den gemelden Omtrek fnydt- -Om nu, in Algebraïfche Termen,eene Uitdrukking voor DF te bekomen, trekt men BC perpendiculair op AQ, en men ftelle alsdan AC a, BCzzb, en CD ZZx; dan is BD (~BC +CD ) zzb- *f x-y en dus BDzzyb'+x'-, Maar"  FLUXIE-REKENING. 145 Maar volgens het Voorftei is m i n :: AD : BF. Dat is m : n :: a+x : BF. na + nx Derhalven BF ZZ , en by gevolg DF IB na-hnx ( = ÜB-BF) = ï7b'+x'- ■ = een m .xx Minimum. Hier van is de Fluxie — ■■ — X/b'-'-x' —, welke =0 gefteld , én alles door x gedeeld f» x n zynde, zullen wy hebben —— — — zzzz o, y/b1 + x1 m n b en by gevolg x zz ; waar uit blykbaar is, j/' m--n- mb dat BD.den Richtftreek van de Boot, ~—■ -, en dus bekend, zal zyn. Subftituei rende nu de gevondene Waarde vm * in die van DF, boven gevonden, zullen wy hebben b\/ m--n*-na DF — i waar uit dus de ftand van F 01 bekend is. Dewyl nu DF eene wtzenlyke, pofitive K Groot-  146 EERSTE BEGINSELEN der Grootheid, volgens hét Voordel, moet zyn , zo is het klaar , dat, in gevalle de Boot het Schip niet achterhaalen, maar echter zo na rfögelyk by hetzelve komen kan , m grooter dan n , en dus ook bi/m"-n2 grooter dan na zal zyn; vermits in alle andere gevallen de Boot het Schip zal kunnen achterhaalen. 164. Om nog op eene andere wyze tot het begeerde te komen , zo laat de Radius des Cirkels EFH begreepen worden gelykmaatig aan te groeijen, met'de fnelheid n , terwyl het Punt ü zich, met de fnelheid m, gelykmaatig langs beweegt. Dewyl dan de fnelheid in D , in de Richtftreek der m x Cofinus D verlengde BD, ~ is (§. 153.3, zal Radius de betrekkelyke fnelheid , met welke het Punt D van den Omtrek des gemelden veranderlyken Cirkels afwykt, algemeen uitgedrukt worden door .... mx Cofinus D »j welke ro zynde, als DF een Radius Minimum is, hebben wy in dat Geval mx Cofinus D :—' n x Radius, en by gevolg ?»:«:: Radius : Cofinus D. Hier uit vloeit de volgende Constructie. Maakt in C een rechthoekigen Driehoek Cbd, wiens Bafis Cd = n, en Hypothenufa db — m is. Trekt voorts BD parallel bd, deeze zal de begeerde Richtftreek zyn. Eindelyk neemt in BD de vierdeEvenredige BF tot m, n en AD, dan is F de begeerde ftand van de Boot. 165. Voorbeeld XXIII. Aan eenen horizontaalen Balk AB is in A een touw vastgemaakt, hebbende aan  FLÜ XI E- REKEN ING» 147 'aan hst end een katrol c, waar over e°.n to'üf bcp •loopt, 'dat 'aan den Balk in 15 ix vastgemaakt, én SA* 'we/£r frcd een Gewigt P hangt. Zo men nu de"zw'aarte van de touwen en het katrol niet in aanmerking neemt. vraagt men op wat plaats liet katrol C door het Gewikt P zal getrokken worden. ( Fig. q8 ). Uit de Krondbeginfelen der Mechanica, isblykbaar, dat het Gewist P zö laag als rnogelyk is beneden, den horizontaalen Balk AB zaldaalen; waaruit volgt, dac de Londlyn DCP een Maximum moet zyn. Laat ACzia, BCP —bi AB~c, en ADzr* zyrl; danisDB:zc — x. Dcrhalvert CD^-AC-AD*) ZCa2 — x2, en BC\zzCÖ*+DÏ}*) zza*-+c2-2c?. by gévoig CDzzV a2-x2, en BC~'fa2 + c2--~2cT. Derhalven DCP (rCD + CP)zzb-[/a^+~c2~zJi} H- ya2 — x2 zz een Maximum. Kier van is dé Fiiixié cx xx i —— —- , welke ± o gefield j |/a2 -}-t?2 — s.cx [/a2 — x~- en alles door x gedeeld zynde , zal men hebber. c x ■ — —— — ó, of door verplaats \/a2+c2 — 2cx Va~- — x2 r e x fing 1 " — 1 •—-« Zowy hu de beidé j/a2 + e2— ncx \za2 — x2 Leden van deeze Vergelyking tot het Vierkant ver* t2 x2 heffen ; hebben wy ■■ \— zz ——- , én a2-Pc2 — 2cx a3—~x2 * E 2 ioiit  148 EERSTE BEGINSELEN der door herleiding a2 x2 + c5 x2-icx^zza2 c'-c1 x2 ,of ncx'-~2C2x2 — a2 x~- -\-a2 c2z=o. Welke Vergelykingè, om het Geval, waar in AD"AB is, uit te fluiten, door x—c deelende, zal 'er komen acx2— a2x—a2c~o, en by gevolg x ~ 4c waar van de eerfte Waarde alleen het Voorftei oplost, vermits de andere negatif is. 166. Voorbeeld XXIV. Een Reiziger uit de Plaats A vertrekkende , om naar de Plaats E te gaan, moet zynen weg door twee Velden neemen, welke door de Rivier Bi.) van elkander gefcheiden zyn. Aan deeze zyde der Rivier kan hy m Mylen 's daags, en aan de andere zyde n Mylen 's daags afleggen. Men vraagt op wat plaats hy de Rivier moet overvaaren, om in den mogelyk kortjlen tyd van A in E te komen ? Trek AB en ED beide perpendiculair op BD; laat AB —a, ED-i, BD~d, en BCzzx zyn. Dan is COnd-*, AC QzzY A~B'+BC3^)=i/a2+x2y €E C = V ËD + CD0 = Vb* 4- d-~T\ \ No is door het Voorftei, * V a2 -hx* m Mylen : iDsg :: fa' + x2 : —— m Dagen, en TZZZZ~2 \/b2+~- en de Gronden der gemeene Meetkunde, volgt, dat de lnK 4 houd  152 EERSTE BEGINSELEN der houd de grootfte zal zyn, als het Trapezium, door de gegeevene Lynen gevormd , in eenen Cirkel befchreeven kan worden. Doch ik verkies deeze waarheid als onbekend aan te merken, en de eigenfchappen van zodanig Trapezium uit de Theorie der Fluxiën af te leiden. Trek den Diagonaal AC, en laat op CB en AD de Perpendiculairs AE en CF vallen. Men ftelle (Fig. 32.) AB~a, BC~b, CD-c, DArd, BE zzx, en DF=ï; dan is AKzzVa~*~x*, en CF — fc2 — y\ Derhalven Driehoek ABC (*BCxAE) -\bya* — x2, en Driehoek ACD(*ADxCF) ZZ\d\/c2 — y*. Dienvolgens is de Inhoud van het Trapezium ABCD-ibv'aT^x'1 -rï&V^%~—zT een Maximum. Hier van is de Fluxie — l/a2 — x1 Wk -dy'y " _ = o (§. 105.), en derhalven . V^-y1 V~c2~~-y* bxx yar-x2 170. Voorts is volgens de grondbeginfelen der Meetkunde Bc'+ABi+ aBCxBE"AC*; als ook DA -f-CD — 2 DAx DF—AC*. Der-  FLUXIE-REKENING. 153 Derhalven BC + ABVaBCxBEzDAVCD - aDAxDF. Dat is b2 + a2 + ibxzzd* + c*—zdy ; hier van de Fluxie neemende, hebben wy zbxzz — 2dy, of —dyzzbx; dit voor —dy in de voorgaande Vergelykingè (§. 169.) geüeld , zal dezelve worden bxy bxx y • zz — , en daarom ■ — r-7-; —y' ■ \/u2—x2 f^c'—y1 x • —; waar uit vloeit deeze evenredigheid; V a"— x2 V~c2—y* : y :: Vq2—x2 : x. Dat is CF : DF :: AE : BE. 171. Hier uit blykt, dat de Driehoeken DCF ea ABE gelykvormig zyn, en dat derhalven LAÜEzzzzzLD is. Hier by L ABC==Z. ABC opgeteld. Komt ABE -f- A ABC — L. ABC -1- D Maar L ABE-f-Z. ABCrz 2 rechte hoeken. By gevolg Z_ABC-f-Z_Dr: 2 rechte hoeken. Waar uit blykt, dat de Vierhoek, om de mogelyk grootfte te zyn , in eenen Cirkel moet kunnen befchreeven worden. K 5 172.  JS4 EERSTE BEGINSELEN dks 172. Om nu eene uitdrukking in bekende Termen voor den Iöhoud des Vierhoeks ABCD tè vinden, hebben wy door de gelykvormigheid der Driehoeken DCF en ABE, CD : DF :: AB : BE. Dat i$ c : y a : x. cx ] Derhalven yzz—. Deeze waarde gefubflttueerd -■ ■ —■ 3 aa „ — .. in de voor gsvondene Uitdrukking b2-\-a' -j-2bxzz d* -ï-c2 — 2dy (§. 170.), zal 'er komen zcdx b' +a2 + zbxzzd* + c' - - a :7 * ncdx of 2bx + — zz d' -\- c3 — b" — a" 2a£4- 2cd. # a En derhalven — ——.—- » a &ab+2cd 173. Nu is de Inhoud van den Vierhoek ABCD^ Of IWx. AE + |AD x CF> =Z ib -V '-t 'i . . " - ; S'a1 —  FLUXIE-REKENING. 155 C X Va2—x-2 , als men — voor y fiibftitueert, ZZZZZ a ab + cd —— -—Va2 — x7. Derhalven is het Vierkant van 23 ab + c dl ab + c d\ dien Inhoud z: ——* ■ x a2.-rx2 ZZ ■ 1 ; 4 a2 4 a2 ab-\-cd\ x x x ffl -h xX a — x ZZ x 14 x I ■• 4 a a x d2 + c2-b2 -a2 174. Naardien nu — = is(§.i7a.)4 a zab + acd x d2 -'rc~- -b2-a* hebben wy i-i — 1 -f- •— — • . . a aab + ncd 2ab + 2cd+d2+c2-b2-a2 d -1-c\ — è— a\ 2ab-r-2cd AB + AC + BC ^ = AF-f-BH. 2 Daarom AF 4-BH == b BH == V^-J' — 1 ■ • - afgetfé AF .... = £— y ax— x3. 178. Nu is volgens de Beginfelen der Meetkunde Drïeb. DBH : Dfieb. DBÈ :: BD*: Dë\ En Drieh. DBH : Drieh. DBS :: DH : DE • Derhalven BD*: DË?:: DH • DE. Maar BD*: 51°:: AF: aE* By gevolg DH : DE :: AF*: AE* Dat 3s x - a :: b-Yax-x*\ : AE* Dus  FLUXIE-REKENING. 159: _a a -r=M Dus AE ZZ — x b-Y ax—x*\ x 179. Wederom is DE : AE :: AE : EG. of AE-'ïr DE x EG. Dat is — x b-Yax — x\ ZZ a x EG. x Derhalven EG zz b-Vax — x*\ x EH zz 0 — * ■ - ■— ■' -»afgetr. e3 — 2 by ax — x' HG By gevolg is de Inhoud des Driehoeks ABC b~ — ibyax — x* (BHxHG) ZZ x/ax-x* X ZZZZ' x fr/ax — x1 ——— — zab + zbx zz een Maximum. Hier x \ab* x van is de Fluxie 2bx — , welke = o x\/ax~- x1 gefteld, en alles door bx gedeeld zynde , zal men bekomen 2—  ï6o EERSTE BEGINSELEN der lab 2 «— ' ~ o xyax—x* of 2x\/ax—x2 zz \ab V 4a#3-4*4 — \a2lx • 4 i6as3-l5#+ r: a2b* of i.6a;4—\6axl + a*b2ZZo, eene Vergelyking, door welke op te lovfen de zyden van den begeerden Driehoek bepaald worden. 180. Vooreeld XXVIII. Den grootften Parabool te bepaalen , welke door de fnyding van een gegeeven Kegel gevormd kan worden. Laat BTC ( Fig- 34.) den Kegel, AD, parallel TB , den As , en « N den Bafis of dubbelden Ordinaat des Kegels zyn. Stel BCrra, BT-Z>, en CD — *. Dan hebben wv, uit hoofde der parallele Lynen TB, AD, deeze Evenredigheid: BC : BT :: CD : AD. Dat is a : b :: x : AD. bx Derhalven AD zz —• . a Wyders hebben wy door de eigenfchap van den Cirkel «"D*  F LUXiE-RÈ KENING, iét «13 = ÜhCzz AD x BD. Dat is DN zz xxa — xzzax — x2* By gevolg DN zz V ax — x2, en 2DN zz «N— •xV ax — x2 181. Nu is, volgens myne Toepasfing der Algebra bp de hooge Meetkunde , §. 64, ifedt r Parabool de \ van een Paralellogram van gelyke Bafis en hoogte. Der- bx halven is de fnhoüd van den Parabool = f x — x a Afb X u (3t-.t= z: Vax—x'zz een Maximum. Maar /, 3fl 4b *=- is eene ftandvastige Grootheid, dus hebben wy 3a flegts *fa#-.a:J, of het Vierkant dier Grootheid, zynde ax* — x* t in F/waris te Rellen, waar door wy bekomen . 3a*2 x—4X2 x—o x1 x ——. —— —— 3a — 4# = o of 4.t = 3a 3a en * = — ~ CU. 4 3» Derhalven — = — = AD. a 4 L Dien* 2 fa*-*2ZZ Vax-x'zz een Maximum. Maar /, 3fl 4# *=- is eene ftandvastige Grootheid, dus hebben wy 3a flegts xYux — x2, of het Vierkant dier Grootheid, zynde ax* — x*t in Fluxie te Rellen, waar door wy bekomen . 3a*2 x—4X2 x—o x2 x —— —— —— 3a —4* = o of 4.t = 3a  162 EERSTE BEGINSELEN der Dienvolgens is CD ZZ \ x BC, en AD ZZ »xBT. 3 a* 3 a2 Voorts «N (~ 2Vax — x' ) ziiy zzy 16 4 = af |z:BCxf |; en dus is de Inhoud van den grootften Parabool, die uit den Kegel gcfneeden kan worden ( = ÏX ADx »N) ZZj X \ X BT X BC x ^|=;BTx BCx —. 4 182. Voorbeeld XXIX. Den grootften Ellips te bepaalen, we/&e door de fnyding van een gegeeven Kegel gevormd kan worden. Laat AB ( Fig. 35) de groote, en »N de kleine As van den Ellips ANBb zyn, en laat de Ellips als veranderlyk befchouwd worden, door de beweeging van het einde A van den grooten As langs de lyn TC. Laat wydcrs AH parallel mee TD den As des Kegels zyn, ontmoetende den Diameter BC van hec Grondvlak in H, en laat gefteld worden, dat de Diameters AE en GF parallel met BC zyn, en dat de laatfte GF door O, het middelpunt van de Ellips, gaar. Stel nu TD ~ a, DC ~ b, cn DH zr x ; dan is BH:zè+#, en QX\ZZZb — x. Voorts hebben wy, uit hoofde derparallele Lynen, TD, AH, DC : TD :: CH : AH. Dat is b : a :: b-x : AH. axb — x Derhalven AH ~ . . * - b By gevolg AB (zBhiV AH*; T+x\' + ... a'Ab — x\* b*xb + x\* + a*xb—x\3 —= —— , en dus b' b> AB =  F L U X I E-K E K E N I N G; ï&> Vb2Xb-\-x\2 -fa2 xb — x\2 AB ~ • i«3i Aangezien nu de Driehoeken AOG, ABC* als ook de Driehoeken BOF , BAE gelykhoekig zyn, en AO (rzBü) ZZ |ABis, hebben wy desgelyks Oü- \MCZZb, en OF ZZ f AE = OH ZZx; en by gevolg OG x OFziON ("door de eigerfchap van den Cirkel) zzbx; derhalven £inZZ2\/ bx, ert daarom ffb'xb-hxl' + a'Xb — xl'Xdbx X _ — —^ 184. Nu is de Inhoud van eene Èllipi in eene ftahdVastige Rede cot den Rechthoek der beide Asfen* Zie Toepasfing der Algebra 'op de hooge Meetkunde, 1. Deel. tyij. 94, 95. Zal derhalven de Inhoud dé mogelyk groottte zyn ^ moet de laatfte algemeene! Uitdrukking insgelyks een Maximum zyn, Dewyl nu de Noemer van die Uitdrukking eene ftandvastige Grootheid is, blyft 'er niets anders over, dan dat de Teller, of liever deszelfs Quadrdat (§. 126) . . « b'xxb + x]* -i- a' xxb — x\' xb, of wel b'xx •». b+x\2 + a2xx b — x\2 ( ZZ b4 x 4. 2 b3 x2 -i- b2 x> a2 b' x — 2 a2 b x2 -h a2 x') een Maximum moet *yn.; Hier van is de Fluxie b*x + \b*xx -f- $b"x2x-h i I 4 aJ ü2 4 a2 6** +3a2x2 x, welke ~o gefield , eë alles door 'x gedeeld zynde, zal men bekomen 4 L 2 I4 4» i»3i Aangezien nu de Driehoeken AOG, ABC* als ook de Driehoeken BOF , BAE gelykhoekig zyn, en AO (r:Bü) ~1AB is, hebben wy desgelyks Oü-|BC = è, en OF ZZ \ AE Z DH = *j en by gevolg OG x OFziON (door deeigenfehap van den Cirkel) zzbx; derhalven £inZZ2\/ bx, ert daarom  i64 EERSTE BEGINSELEN der b* + ib*x+sb*x*+a2 b' — la'hx + sa* x*-o of 3a2+3&' .i'-a'-li\4hz-flr+Fxl>' Dat is *l :—- _ 3a=+3i>2 3 a' ~ b* X » &| 4«^8a'l'x"iFx6* a2 — b*.4bx a* — b'X2b\ *' + = . . . 3^ + Sb' 3a' + 3A* j i'Xa4- 14a3 b' +b* 3a1+ 3**1* ^ , a'—b'xzb \\-bV aï-ma^b^ + b* Sa'+sb* 3aa+3fca a* — b' x 2 i i b 1/ a4 —14 a1 fc* + a~. Derhalven xzz * 3<*3 + 2b' waar uit nu voorts de Ellips bekend is. 185, Wanneer echter a4—i4a*&4-f-&* eene negative Grootheid is, wordt deeze OpJosfing onmoge'. lyk, vermits de Vierkants - Wortel uit eene negative Groot-  FLUXIE-RE KENING. 165 Grootheid getrokken moet worden. Om derhalven den Limiet te bepaalen, zo ftela4 — i4«ï&i + &4—°» dan hebben wy a4 — 14a*&J = — b* 14904 zrzr 49&4 A4— f4»"*1+49^* - 48b* V a' — 7èJ = 4öV3 Dus a'ZZZZZb'X7 + 4i/$ \/"'• 1" 1 ar— t X 2 + 1/3 Derhalven hebben wy deeze evenredigheid: a : ö :: 2-hf 3 : ï* Indien dus de Rede van TD tot DC niet grooter is, dan die van 2 + 1/3 tot 1; of, dat op het zelfde uitkomt, indien de Hoek CTD niet kleiner can 15 Graaden is, kan de Fluxie van de Ellips nimmer gelyk aan nul worden ; maar de Ellips zelve zal van den Top des Kegels af geduurig grooter worden , tot dat zy op den Bafis des Kegels valt , en dus een Cirkel wordt; derhalven is de Ellips op den Bafis grooter, dan in eenigui anderen ftand. 186. Maar dit Voorftei is nog tusfchen naauwere Limieten befloten. Want de Ellips zal of van den Top des Kegels tot deszelfs Bafis geduurig grooter worden, dat plaats heeft in het geval, als de Hoek CTD grooter dan 15 Graaden is; of wel zy zal geduurig grooter worden , tot dat hec punt S in eenen zekeren ftand A komt, vervolgens kleiner worden tot eenen anderen zekeren Rand a, en einL 3 de-  f66 EERSTE BEGINSELEN der delyk wederom grooter worden, tot dat zy op den Bafis des Kegels vak. Want zo dra het runt S onder den Perpendiculair BP komt , zuilen dc beidè Asfen van de Ellips in den ze:fden tyd grooter worden. 187. Het zelfde blykt insgelyks uit de voorgaande Vergelykingè (§. ) a5 — b2x 7b±Zb\/a* — i^a2b2 +b* * ~ -jwelkers bei* de Waarden de twee Wortelen van x- fof DH >, in de tyden van het Maximum in A, en het daar op volgend Mi-, unsum in a, uitdrukken. Waar uit 'openoaar is, dat de Ellips tusfchen den Top "des Kegels en den Perpendiculair BP een Maximum kan. toelaa'eri, en roogthans dat Maximum kleiner zy dan de Bafis des Kegels, ten zy de voorgemelde Hoek CiD zoveel kleiner zy dan 15 Graaden, als de aangroeijing van ü tot C minder is, dan dc afneeming van A tot a. Om -*ï8 = *■ X 4 - b'x ~ 2 b x'" b2 4*!-Z'**-2i**-.v, en a' = — X —~—' * * b-xr b1 4b* -ï- 3 'bx + x2 Dat is a* zzz — x ~~ • x b x 188. Wyders hebben wy , volgens §. 184, de volgende Vergelykingè: fc * + 4 fc3 x + 3 £2 *2 + a2 b* — 4 a * b x 4- 3 a• *1 - o of -a2b* -\-4a*bx-2a2x2-b2y.b' + waar by yx op- y y tellende, zal men bekomen x'x + y*-0 y . y —x*x-\- y'xzzo of x*x~y*x x ■ — • V ' x-y Dus is de rechthoekige Driehoek ABE gelykbeenig, en daarom Z_ABE~ Z.BAE. Waar uit "blykt, dat, om den Kogel den grootften afftand te doen overlopen, her. ftiikeenen hoek van 45 Graaden met ■het horizontaal Vlak moet maaken» 197.  174 EERSTE BEGINSELEN der 197- Indien het Stuk tot eenen hoek van meer dart 45 Graaden verheven werdt, zou de doorgelopen ruimte des Kogels de zelfde zyn, als of het Stuk tot even zo veel minder dan 45 Graaden verheven was; verAÊ. BE mits de Grootheid >—>—~- in beide Gevallen de f zelfde zal zyn. 198, Voorbeeld XXXIII. De grootfte Waarde van y in de 'Vergelykingè a+x* zzxx -\-y' \3 te vinden. Stellende de geheele Vergelyking in Fluxiën, zul* len wy hebben 2a*xxzz2xx+2yyx$xx' +y*l * Laat nu y onveranderlyk zyn, dan is «ra, ea wy zullen alsdan hebben aa4*x—6xx Xx2 * Dus x* + y2 I" s= — 3 !/ ' ' — a2 x2 + y'zz —. Vi a2 ï99. Dewyl hu x' + y*——- is, zal ook . . . , 1/2 x* + y'\*  FLUXIE-REKENING. 175 **4-jal = Zyn. maar apa_|_rya| = a4*3; 3^3 «ö a2 by gevolg a4*ar; ., derhalven x'zz , en 3^3 3^3 1 a2 aa aa* x-aY . By gevolg y*—■ zz , 3^3 VZ ïV l 3f3 a an dus yzzaY ■• 3Ys aoo. Men kan dit Voorftei nog anders oplosfen op deeze wyze: Naardien *2 -r-y2! ~a+x' gegeeven is, heb.ben wy x'+y'Za x * } en derhalven y*zza x x — *3 = een Maximum. Hier van is de F/wxiV la'x* t*-2jï, welke z: o gefteld, en alles door x gedeeld zynde, zullen wy hebben 4 _ 1 T ï fa x* — ax—o 4 _ i r . •* » of aar—fa x* Y 8*'z:5? a4x*~I Ux'1 x*zz*\a* of  tj6 EERSTE BEGINSELEN dek a4 ,6f x4 - -— 9X3 y a- i x'zz ., en derhalven xzzay< ■ ■ ^ zo ais te vooren (§. 199.) insgelyks gevonden is. sor. Voorbeeld XXXIV. Vind drie zodanigê Waarden van % , y en z, welke de Waarde van b3 — x3xxiz — zsxxy — y' dé mogelyk grootfte 'zal madken. Laat eerftelyk y als veranderlyk, en het overige als ftandvastig befchouvvd worden, dan hebben wy x y-* syy—o (§. 105.); derhalven yzz^x, en xy-y* — lx'; Wanneer z verSnderlyk, en bet overige ftandvastig is, hebban wy x3z — 3zaz-o; derhalven * e xs £ — , en x"-z—z3zz . Subftitueerende nu deeze Waarden van xy— y* en x*z—z' in de gegeevene Ditdrukfcinge, zal oiezeive worden x2, 2 x3 è3 xs ~ x8 — x xi'-i'C . Dewyl nu 4 3/3 6^3 6V 3 eene ftandvastige Grootheid is, zo blyft nog overig, dat Vx* — xs een Maximum moet zyn. De Fluxie hier van is j£3*4— 8x7'x, welke =0 ge^ Reld, en alles door x*x gedeeld zynde, zullen wv heoben . J  PLUXlE-REKENïNG» Qgg 5b3 — 2x>±=o of Sx'zzyb3 ■....... .» . „ ■: . . wr*. • -.„, ... V/— 3 2 * = b y 5 2 - 1 .... m sZZlbV 5 en Z ( =±r j —ïbV\L V f 3/ 202. Voorbeeld XXXV. 'Gegeeven zynde de jlahd van een horizontaal Vlak BD (. Fig. 37.), ew dien van bet verticaal Vlak BA , begeert men döor een gegeeven punt D fee/ Vlak DM te trekken, langs welk een Lighaam M, van het verticaal Vlak BA, tot het gegeeven punt D in den mogelyk kortfien tyd kan komen. Het is klaarblyklyk, dat de tyd der afdaaling van de door te loopen ruimte en de fnelheid van het beWeegend Lighaam afhangt. Zo de ruimte DN kleiner is, zal ook de fnelheid kleiner zyn; zo het Vlak DA langer js, zal de fnelheid, en tevens ook de ruimte, grooter zyn. Het is derhalven openbaar, dat 'er tusfchen beiden een Vlak DM is, langs welk: de tyd de mogelyk kleinlle moet zyn. Laat BD^a, BMr* zyn; dan is DM ZZ\Za" Nu wordt, Volgens de Grondbeginfelen der Mechanica, de dooi' het Lighaam verkreegene fnelheid, als het van M in Ti komt, uitgedrukt door den Vierkants-Wortel uit de hoogte BM van het Vlak DM, dat is, door t/x, en deeze fnelheid zou genoegzaam zyn, om het Lighaam M, met eene gelykmaatige beweéffirtg, eend dubbelde ruimte van MD in den belteeden tyd ter doorlooping van MD te dóen befchry ven; voorts zyrt de ruimcena, welke met eene gelykmaatige beweeging M, door-  l?3 EERSTE BEGINSELEN der doorgdoopen worden, als het vermeenigvuldiadcder fnelheid met den tyd : derhalven wordt de tyd uitgedrukt door het Qjiotient, dat voortkomt, als men°de ruimte door de radheid deelt. Weshalven de tyd . welke befteed wordt om DM door te loopen, zaï *V a2 -'-x2 •ayn . Dewyl nu deeze tyd een Minimum • yx moet zyn, zaï ook zyn Vierkant h4*- een Minimum zyn. Nu is van de Fluxie , * x' welke =o gefteld, alles met *« vermeenigvuldigd, en door 4* gedeeld zynde, zullen wy hebben — a* + x2 — o of x1 — a* V » x = a, of BM=BD, Derhalven is de rechthoekige Driehoek MDB ?elykbeenig, en by gëVolg moet het Vlak MD rher mïakTn? ak GDéenen hoek van « Gr^ea eo3. Maar by aidien de vraag was, om het Vlak MD zodanig te trekken , dat langs het zelve eer* Lighaam uit het gegeeven punt M, in den mogelyk konften tyd tot het horizontaal Vlak BD zal kun. nen komen , zo ftelle men BM =a, en BD-*, da» 2 j/a* -f. x* t* de gezochte tyd r 2yn. Deeze nu ya een  FLUXIE.R'EKENIN G. i79 een Minimum zynde', zal ook het Vierkant - • , a of wel 4 ós2 4-4 , een Minimum moeten zyn. De Fluxie hier Van is 8xx, welke =0 geffeid zynde, zullen wy hebben üxx = o, of *=r BD = o; derhalven zal het punt D op het punt B vallen, en dus zal een Lighaam langs een verticaal Vlak in den kort. ften. tyd uederdaalen ; hetgeen reeds uit andae grondbeginfelcn klaarblyklyk is. 204. Hier mede zal ik de toepasfing der Fluxiën op de bcpaaüng der Maxima en Minima van Grootheden eindigen, als oordelende, dat de bygebragte Voorbeelden toereikende zulleh zyn , om de QefFenaars Vin deeze Leerwyze in (laat te ftellen, alle rnogelyke Gevallen hier toe betreklyk op tefosfen. — Om echter den Otffenaar gelegenheid te geeven, zyne, eigene krachten te kunnen bt proeven , heb ik goed gedscht de volgende onopgeloste Voorltellen , uit verfchéide'Autheuren bygen verzameld, hier nog by te voegen. 1. Een Breuk te vinden , welks Cubic van zyn Fier' kant afgetrokken zynde , het overbhffel een Maximum zy;- IJ. Een gegeven getal in twee deelen te deelen, zo* danig, dat één der deelen met den Teerling van het aradere deel vsrmeemgvuldigd zynde , het Product een Ivlaximum zy. III. Men begeert het mogelyk'kleinfte Getal te vin* den,zodanig dat als men hetzelve in dne deelen verdeelt Vaar van de beide eerften tot elkander in reden Jtaan ' als r tot s, de fom der FroduÖen van die deelen, twee aan twee genomen, gcl\k zy aan een gegeeven Getal a Gegeeven zynde rzza, s = 3, ar475, dan is 38 net begeerde Getal; en de deelen zyn 10, 15 en jn 1 IV. Een gegaven Getal a in drie doelen te deelen vaar van ét beide eerften tot elkandtr in reden fiaan *  i8o EERSTE BEGINSELEN der als r tot s , en de fom der Producten van die deelen» twee dan twee genomen, de mogelyk■grootfte zy. Gegeeven zynde r-3, j-5, 01:49; dan zyn de deelen 12, 00 en 17. V. Men begeert het mogelyk grootfte Getal te vinden* zodanig dat als men hetzelve in drie deelen. verdeelt, waar van de beide eerften tot elkander in reden ftaan, als r tot s , de fom der Onadraaten van die deelen eelyk zy aan een gegeeven Getal a Gegeeven zynde r~i, ca, «=14, dan is 14 net GètM, en de deelen zyn 3, 6 en 5. > VI. Een gegeeven Getal a in drie deelen te deelen % waar van de beide eerften tot elkander in reden ftaan, als r tot s, en de fom der Quadraaten van die deelen de mogelyk kleinfte zy. Ciegeeven zynde r~ 2, j~5, a- 70a; dan zyn de deelen 116, 315 en 261. VII. Be Inhoud van eenen rechthoek/gen Driehoek, gegeeven zynde, de zyden te vinden, wanneer de Perimeter ofjom der zyden de mogelyk kleinfte is. VlfL Twee ongelyke, pofltive, rationaale en geheele Getallen te vinden, weUers fom in de fom van hunne Quadraaten gedeeld zynde , het Quotiënt het kleinfte gelml Getal zy„ IX. De Waardf.van x te vinden, als as —a*x-|-x* de mogelyk kleinfte is. X. Fan eenen gelykieenigen Driehoek di Beenen gegeeven zynde, begeert.men den Bafis te vinden, zodanig; dat de Inhoud de mogelyk grootfte zy, XI. Als 'i, . x~xxyr een Maximum is, tm x + y-hz-_a , vraagt men naar de Waarden van y :en z? , /Gegeeven zynde a=i2; dan is x~6, yzzii en XII Eene rechte Lyn AB , en twee punten C en D , buiten dezelve, in ftelling gegeeven zynde, een punt P in de Lyn AB te vinden, zodanig dm CP-i-DP de n.$%elyk kieinfie zy. XIU, Binnen dtn gegeeven hoek ACB een gegeeven Moud met de mogelyk kortfte Lyn af tefnyden. XIV.  FLUXIE-RE KENING. 181 1 XIV. Men legeert het Getal 8 (al in twee deelen te deelen, zodanig, dat als men het kleinfte tot dc derdt magt verheft, en het gt ootjle quadrateert, de fom der Producten de mogelyk kleinfte zy. Antw. de deeien zyn 2 en 6. XV. Men begeert het Getal 388 zodanig in vyfdeelen te deelen, dat de twee eerfkn tot elkander inreden jtaan als 3 tot 8, en de twee volgende als 7 tot 15; en dat ook de fom der 'leerlingen van de vyf deelen 'de mogelyk kleinfte zy. Welke z>« die deelen? Antw. 39,'104 , 49, 105, 91. XVI. Een gegeeven Grootheids, zodanig in drie deelen te verdeelen, dat het Product der deelen een Maximum 27. XVII. Gegeeven zynde x* + y'-axyzzio. Men vraagt naar de waarde van y, als zy een Maximum is, XVIII. Gegeeven zynde x3 — ax1 H- a x y — y3 zz o, vraagt men naar de waarde van x, indien dezelve een Maximum is. XJX. Als n en m bekende Grootheden, en n grooter dan rn is, begeert men eene Jtellige waarde voor x te vinden; wanneer xm — xn de mogelyk grootfte is. XX. Te vinden de Waarde van x, wanneer xx een Minimum is. XXI. Mtn begeert het mogelyk kleinfle Getal te vinden , zodanig dat als tr.en hetzelve in vier deelen verdeelt , waar van de drie eerjlen tot elkander in reden jlaan, als 1, 2, 3, de fom der Producten van die deelen, drie aan drie genomen, gefyk zy aan een gegeeven Getal 39930. Welke zyn die deelen'? Antw. ti , 22, 33, 24. XXII. Het Getal 315 in vier deelen te verdeelen, waar van de drie eerfttn tot elkander in reden zyn, als 2, 3, 4, zodanig dat de fom der Producten abc, bed, cda, dab, (a, b, c. d de deelen uitdrukkende ), van die deelen, de mogelyk grootfte zy. Welke zyn die deelen'? Antw. 52, "8 . 104» 81. XXIII. Het Getal 1162 in vier deelen te verdeelen, vaar van de beide eerften tot elkander in reden zyn, als M 3 3 tot  182 EEPvSTE BEGINSELEN der 2 tot 3, tn-fc beide laatften, als 3 tot 4, zodanig: dat depm der. zes Producten van die deelen, twee-aan twee genomen, de mogelyk grootfte zy. Welke zyn die dee- ?SA1V, hen Getal zodanig in zés deelen A, B, C, D, L,. b te verdeelen, dai A e« B ïo« elkander in reden zyn als i tot 2, C «>« D als 2 tot 3, en E tot F «« 3 tot |, en daf de fint van de Quadraaten 'der deelen de mogelyk hexnfte zy. Welke zyn die deelen in de kleinfte geheele Getallen? Antw. 003. ,3a6 Sso, 7°o, r 300. 'f ' 'd ' ^' k ' f * ^ zodanig te verdeelen, aai A en ïot elkander in reden zyn als 1 «0J 2, C U air 3 Tfi« 5, en E tor F als 6 f»; 7, en dat de fom van de Quadraaten der deehn de mogelyk kleinfte zy. Welke zyn die deelen in de mogelyk kleinfte geheele Getallen'i . XXVI. i/ef eroo«/ïe Parallelosrram te .vinden dat tn een^gegeeven Driehoek befchreeven kan worden. XXVII. Gegeeven zynde het punt R binnen den rechten hoek ACB, begeert men de lyn A.PB zódanig u lrebm ken, dat AP x F B de mogehk kleinfte zy. XXIX. De /om der Beenen van eenen rechéoekisen Driehoek gegeeven zynde,- de Beenen zodanig te éepaa'eW4™ de^dve den W&W grootften Inhoud inftuüen. XXX. Op eere onbepaalde Lyn PM is uit hei punt P een Perpendiculair PS, en uit S door de Lyn PM da rechte SN getrokken: Zo nu PS en SN beide geseeven zyn, en uit de Lyn NL zodanig getrokken wordt, dat de hoek l.DM gelyk den hoek SCP zy , begeert men CD zodanig te bepaalen, dat dezelve de mogelyk grootfte ■XXXI. Een gegeeven Getal a in drie deelen te deelen, zodanig dat het Product der beide uit erft e deelen, vergaard by het Quadraat van 't middellk deel, 'een Mimmum zy, ' XXXJI.  FLUXIE-REKENING. 183 XXXII. Drie Getallen te vinden, waar van de twee terjitn tot elkander in reden zyn als 2 tot 3 , en dat hun fom ia rneer ;y dan het derde Getal. 'Wanneer men echter van de fom der Quadraaten van de twee eerfte Getallen het Qu&draat des derden aftrekt, dat alsdan de rest een Maximum ,23». Antw. De Getallen zyn 10, fkr XXXL'ï. Het Getal 36 in drie deelen te deelen, waar van de beide eerften tot elkander in reden zyn als 1 tot 2; zodanig dat als men het Quadraat des eerften vermeenigvuldigt met het Product der beide anderen, het Quadraat aes 'weeden met het Product des eerften en derden, en het Quadraat des derden met het Product; der beide eerflen , de fom van deeze drie Producten de mogelyk grootfte zy. Antw. De deelen zyn 8,16,12. XXXiV. Het Getal 75 in yy f deelen te'deelen, waar van a, b, c, d tot elkander in reden zyn, als 1, 1, 3,4; zodanig dat de fom der vyf Producten abc, bed, ede, dea, eab de mogelyk grootfte zy. Antw. De deelen zyn 6, 12,.18, 24, 15. XXXV. Het mogelyk kleinfte geheel Getal te vinden, zodanig dat als men hetzelve in vyf deelen verdeelt, waar van de vier eerfte deelen tot elkander in reden- zyn als 2» 3» 4, 5» de fom der vyf Producten abcd, bede, cdea, deab, eabc de mogelyk grootfte zy. Antw. Het Getal is 407c, en de deelen zyn 402,693,934 ji5s, «3». XXXVI. Een gegeeven Getal a in vier deelen te deelen , waar van de d> ie eerfte* tot elkander in reden zyn, als 1, 2, 3 , en zodanig dat de fom van hunne Cubcn de mogelyk kleinfte zy. Gegeeven zynde au 30; dan zyn de deelen 6-|/6 12 — 3^5, 18 — 3^6% en — 6 + ^6. XXXVII. In den Voorgevel vun een Huis is een Glasraam gemaakt, waar door men het uitzicht op de Straat heeft; de wydte der Glaskozynen van C tot D is ïO Voeten, en van D tot den hoek van het Huis B is een afftand van 8 Voeten. Nu begeert men omtrent E aan den wand een ftoel te Zetten, van waar men het Glasraam op 't breedfte kan zien. Men vraagt, hoe ver M 4 men  184 EERSTE BEGINSELEN beu men het oog des Zieners, die op den floel zit-, van den hoek li zou moeten fiellen , zonder in aanmerking, te neemen, of de hoek B recht, fcherp ofllomp is? Antw. 12 Voeten. * XXXVIII. Te vinden den grootften Ordinaat eener Kromme ANa, welkers Ordinaten CN~z middenevenredig zyn tusfchen de O-dinaten Crazy, en de yvv^-" Vm Ckn lmlven- Cirkel A m a. , AAA1X. Uit een gegeeven punt op den As eens Para- bor]s , de mogelyk korlfte Lyn tot die ICrommete trekken, -L. Uit een gegeeven punt op den groeten As eener MW* de mogelyk kortfte Lyn tot die Kromme te trek- ken. XII. Uit een gegeeven punt op den eerften As eens Hyperboois, de mogelyk kortfte Lyn tot die Kromme te trekken. XLII. Aan een Huis is een Luifel gemaakt, welke 4 Voeten, rechthoekig van den muur af , treed, en 13* Voeten boven den grond hoog is. Men vraagt 'waar er* gens boven de Luifel een Venlier E in deezen muur moet gemaakt worden, om met den kortften Ladder tot aan hetzelve te raaken ? XLIII. Aan de fchutting van een Tuin, hebbende de gedaante van eene Ellips , waar van de beide Asfen tot elkander in reden ftaan als 3 tot 2, is een Pede/ial, 50 Poëten hoog , zodanig geplaatst , dat een Beeld van Hercules, »c> Voeten lang, in het mg eens Aanfchouwers, aie zich op den langften As, 20 Voeten van het middelpunt der Ellips, en vp den mogelyk kortften afftand van den Pedeflal bevindt, hét mogelyk groot'lie fchynt te zyn. Men vraagt, hoe uit deeze bepaalden de Jr.houd van den Tuin gevonden kan worden, en welke die zy? XLIV. in een Sphara of Kloot eenen Cylinder te Mchryven, zodanig dat de bnltige oppervlakte van dien «?y«i der de mogelyk grootfte zy. XLV. Eene rechte Lyn AB in twee deelen in C zodanig te deelen, dat het vermeenigvuldigde van ACm met CBn het mogelyk greatfte. zy. XLVL  FLUXIE-REKENING. 185 XLVI. Eene rechte Lyn in drie deelen A, B , C zodanig te deelen, dat het vermeenigvuldigde der Mag' ten Am , Bn , Cr het mogelyk grootfte zy. XLVII. Als de fom der drie zyden vaneenen ongelykzydigen Driehoek 115Ö , en het verfchil van de eerfte en tweede zyde 84 doet , vraagt men naar iedere zyde hyzonder, wmneer de Inhoud van eenen zodanigen Driehoek de mogelyk grootfte zal zyn? Antw. de zyden zyn 34:, 42*, XL VIII. Gegeeven zynde de reden der deelen van den Bafis eens Driehoeks, welke door eenen Perpendiculair, uit den tophoek vallende, dfgtjnee.len worden, als 5 tot 3, en het lang f te der Beenen ~ 16 , den Driehoek te lepaalen, als deszelfs Inhoud de mogelyk grooffte is. XLïX. Gegeeven zynde een halve-Parabool AM , en een punt Q in den As, een Ordinaat PM zodanig te trekken, dat QP + PM de mogelyk grootfte zy. L. Het zelfde te verrichten, als de Kromme eene Ellips of een Hyperbool is. LI Van alle Driehoeken, welke den zelfden Perimeter hebben, en op den zelfden Bafis ftaan, den mogelyk grootften te bepaalen. LH. Een Parallepipednm te vinden, waar van één der zyden zza, en de Inhoud zzb3 is, zodanig dat deszelfs Oppervlakte de mogelyk kleinfte zy. LI1L Een Parailepfpedum te vinden, welks Inhoud — b3 is, zodanig dat deszelfs Oppervlakte de mogelyk kleinfte zy. LiV. In een gegeeven Cirkel den mogelyk grootften Driehoek te befchryven. LV. Om een gegeeven Cirkel den mogelyk kleinften Driehoek te befchryven. LVI. Alles gegeeven zynde als in Voorstkl XLIX* en L,begeert men den' Jrdinaat PM zodanig te trekken, dat QPx P'Vl de mogelyk grootfte zy. LVH, Een gegeevene rechte Lyn in drie deelen te ■verdeelen, waar van het eerfte tot het tweede in reden is als r tot s, en dat ook het derde deel zodanig zy, dat als men van de gemelde drie deelen eenen Driehoek famenftelt, deszelfs Inhoud de mogelyk grootfte is. Mj. LVIII,  i8ö eerste. beginselen de* LVIII. Fan een Driehoek ABC i hebbende een hoek A_6o Graaden, is de zyde AB_:2o, en de fom der Quadraaten van de drie. zyden de mogelyk kleinfte. Men vraagt naar de beide overige zyden AC en BC? Antw. .ACZT5, en BGzzsV 13. H^l emAn anderen Driehoek ABC, hebbende een hoek A 45 Graaden, w & fom der Quadraaten van de drie zyden -140. Zo nu de Bafis AB de mogelyk grootfte is , vraagt men naar de drie zyden des Driehoeks? Antw AEUZ4 V S, bCzzV 10, en BC~ 5 V*< 4 o Ve bevallen te vinden, waar in de Functie ? 7PK ~*~ 723f —24x -f- 12 Wn Maximum «ƒ «en Minimum wordt. LXI. Dè Gevallen te bepaalen, waar in de Functie x — 5x"-f sx34-i era Maximum o/een Minimum word*. LXT/. welke Gevallen wordt yzz iox5 — ï'$x' + I5xt—20xs +20 «?» Maximum of een Minimum? ' x-1 LXI1I. De Gevallen te vinden, waar in yzz — 1 -J- X K een Maximum of een Minimum wordt. XXIV. In welke Gevallen wordt y — ° ',X 2 + 3X-I-xx ees Maximum of een Minimum? LXV. In welke Gevallen wordt y:= alT^Ti * •—x een Maximum of een Minimum? lx vi. De Gevallen te bepaalen , waar in y— faa4-abx + mxx-nx««b Maximum of een Minimum wordt. LXVII. Gegeeven zyv.de de Vergelyking x'-ay1 +. by' V ~~ xx^ay + xxzo, begeert men de Waarden a + y van x eny zodanig te bepaalen, dat die van y de mogelyk grootfte zy. 6 lxvi r.  FLUX1 E-.R E K E N I N G. 187 LXVÏII Een Cirkel AEB en twee puMtsn C, F buiten dien Cirxel in i-ieliing gegeeven- zynde, op d?szetfsomirpk liet punt & te MtfSeH, zodanig 'dat de fom doti rechte Lynen, uit de punten C, .i' tot E getnikhn, de mogelyk kleinfte zy, LX X. Een gegeeven Boog AE in twee deelen AGr CB te deelen, zó dat het -Product van eenige gegeevene Magten AFn x BQ,n hunner Sinusfen M en BQ. het mogelyk grootfte zv. LXX. Etn gègeeven-Boog AO in .drie deelen AB» BC, CD te deelen, zo dat het Product vun eenige gegeevene Magten BEm x Cln x DÖr 'tonner Sinuslen BE, Ci, e» DO het mogelyk'gtobtfte zy. ZEVENDE AFDEELING. Fan de toepasfing der Fluxiën in de Opksfing van Foorftellen , waar in geè'ischt wordt Raaklynen tot Krommen te trekken. •w. Laat AMB (Fig. 3S.) eenige Kromme, en de rechte TMC een Raaklyn tot dezelve, in eenig punt M,-zyn, ontmoetende deö As'; AD, verlengd zynde, zo hot noqdig is-, in X: ftel.wyd-'rs dat .een punt m zich langs dc ivromme, van A ;na^v B , be* weegt, en laat.de volfhekte fnelheid van hrtzeKve in M, in de Richtftreek van de Ka}klyn MC, of de Fluxie van de aldus geteelde Lyn A w'<(§■§• 2, 6, ), uit-edniivt worden door MS, eenig deel van de gemelde Raaklyn: indien men dan AF, Pm en pS perpendiculair op den As AD, en Emn parallel met AD' trekt, zullen de betrckkelyke fnelhedtn van dat puntj in de Riciitftreeken Mn en PM , waar door Ewt (r:AP_)'en Pm in dien ftand aangroéijen, behoor, lyk uitgedrukt worden door Mn en nS C§- *53«)ï maar de fnelheden, wair door de Grootheden aangroéijen, zyn als ée Fluxiën van die Grootheden. Naar-  188 EERSTE BEGINSELEN der Naardien derhalven MS de Fluxie der Kromme Am acö. Stellende dus de Abfcisfe APzzx" , en den Ordinaat PM-y; dan is M.«-*,en Snry. Dus hoeken" Myn'ï W^ d,£ ^'y^Wbeid der Drie, noesen M»5>, TPM, deeze evenredigheid: S» : Mn :: PM : TP. Dat is y : x :: y . jP, Dienvolgens TP zzzz —. y Dus kunnen wy, met behulp van deeze ateemep. ÉfeM^ Vergelyking, SfdeT trekking tusfchen x en y uitdrukt , de Reden der 255 ofOn^rr^?3^ ^ V3D de «an^nx ot Underraaklyn vinden, zo als wv in Hp volgende Voorbeelden zullen doen zien. Y ^Sm'T J' EeHe 'rw*M Ljin TM fFig. 39-j te trekken, die een Pepeeven Cirb,l Hwnu > ë gegemn />«nr M raakt. g g ïM AMB MB troKKen worden, en laar. AB=a, üp-, pmgjg dan hebben wy door de èg^j ™$> PM*— AP x BP. Dat  F L U X I E . R E K E N I N G. r8j> Dat is y* •—~" x X a —x of ya ' ax — x* , Neemende nu hier van de Fluxie (§. 3i«J» ten einde de Reden van * en y te bepaalen > hebben wy tyy=:ax—axx iyy By gevolg * = a— ix j_ — 'x ly y a—ax y • y verm. y'x _ y' \a—x y Hier uit vloeit deeze evenredigheid: ia—* : 3> :: 3/ : —. 1 . ../« f ^.jus - j . '•■--3' ■> " Dat is CP : PM :: PM : TP. ao8. Voorbeeld II. Eene rechte Lyn TM (Fig. 40.) te trekken, die een gegeeven Parabool AMB in ten gegeeven punt M raakt. Laac  ipb EERSTE BEGINSELEN deü Laat de Parameter - der Kromme , als .naar ?e. woonte door p, de Ordinaat PM door v, en zvne overeenkomftige Abfcisfe'AP door * uitgedrukt worden; dewyl dan de bekende Vergelyking y'zztx lp deeze Kromme de betrekking van x en /te kenren geeft, zullen wy, door de Fluxie daar van te neemen, hebben Zyj __ p * x zy • By gevolg — ss — . p — ss - i mi " ' " iy verro» r yx1:. zy1 ■ apx y P T P -2X^TP- lvPerahanVh\iHÏI,f^m TP nauwkeurig ge. Èrcisre AI>eMüb,bel.d vaD biare dvérëenkomstfe Ab/cisje AP, zo als in myne Toepasfing der AhebVa 2c9. Indien mén de Subtangent voor eene andn^ Der-  FLUXIE-REKEN ING. ïgt Derhalven —ZZZZ** »o t» > • rn n— \ y na x • m 1 ■ ■ -——111 • y verm» y'x m+n~xym + n • m n — i y na x Stellende nu in plaats van ym Jln zyne waarde am x1, zal men verkrygen yx m + nxam xn m + nx xn y ' " namxn-1 n m + n of x x s= de gezochte Waarde van de n Subtangens. Derhalven flaat de Subtangens tot de Abfcisje in de ftandvastige Reden van m + n tot n. aio. Voorbbeld III. Tot een gegeeven punt M ( Fig. 4t ), in eene gegeevene Ellips AMB , esn üaaA:lyn MT ie trekken. Indien PM een Ordinaat tot den 'eerften As AB is, en voorts, als naar gewoonte, gefield wordt. APzzx, PMzzy, AB —2a, en de'tweede of kleine As ïb i dan zuilen Wy door de eigenfchap der Kromme ( Toepasfing der Algebra op de hooge Meetkunde. §. Üö.) hebben a2 : b2 :: APxBP : PM, Dat is a2 : b2 :: sx'a-* : y2 Derhalven fl'j'z^xia*-*' Hier  ïj>2 EERSTE BEGINSELEN DEft Hier van de Fluxie neemende, hebben wy afl'yjri'xïfl*-ixx x aa'y en — zz • y b1 xia—itx —;—;—; ' 3 yx aa'y' a'y* y b'Xza-zx b'Xd—* En (tellende voor a*y* zyne waarde b* x zax- x* f. zal de voorgaande uitdrukking worden yx' b*X2ax—x* . aa* — v* ' i. ' ü — x y b'xa — x . . kirig van de Subtangèns TP , die in myne Toepasfing der Algebra op de hooge Meetkunde §. ni uit andere gronden is afgeleid. 211. Indien men in eene andere foort van Ellipi eene uitdrukking voor de Subtangens wil vinden s a fs-r-n neemt men van de Vergelykingè — x y ==» f xm x a—x\n, de algemeene uitdrukking van alle foorten van ElUpftnt de Fluxie; dan hebben wy a m + n — i. m-i. n — xm+nxy yzzm* xxa~x\ -**nx ? , . . t . . v. . - . X a — *■!n 1 x en derhalven y  FLÜXIE-REKÈN1NG. 192 a -. m-vn-i l -xm+nxy * _ P _ , 7""te^"Ixa^i"-nxa'^rln-,x;rW1 ^ - - : ■ S a ~xm+«x:y 3>* _ _ P - ï ~~ mxm'Ixa~x\n^nxa^x\n'1xxm a m + « m En (tellende voor ^-xy 2yhe Waarde * x ? ï^-*In, zullen wy hebbeti y'x m + nx™ x a — *!* 1" m^-'xa^-wx^l""^*"1 ra+BXiXa-* ■ . . ,. „ „ . . ~ . —— , als men ded Bretfx door i»X a-x— nx —ï ' verkleint. Derhalven is de bei m + nxxxa — x geerde Subtangens PT = —— ■■ — • i»xa-ï — nx 212. Voopbeeld IV. Tot een gegeeven punt M (Fig. 40, in een gegeeven Hyperbool AMB , «en Raaien MX te trekken. N Al$  154 EERSTE BEGINSELEN der Ah a en b de halve-Asfen van den Hyperbool uitdrukken, zal de VergelykiDg der Kromme zyn b1 x 2.ax-rX*-a* y\ Hier van de Fluxie neemende, hebben wy b'x zax + 2 xx~za2y y x a'y Derhalven — — y b2xa+x ■ 1 y verm. yx a2y* y b'x a+x Stellende nu in plaats van a* y2 zyne Waarde b2 x 2 a x+x2, zal de voorgaande uitdrukking worden, y,x b2 xzax-r-x2 &ax. y l*xa-l-x a''rX Dienvolgens is AT (z:TP-AP) = — inSge- lyks bekend ; en derhalven, het punt T gegeeven zynde, kan de Raaklyn MT getrokken worden. Deeze uitdrukking van de Sub angens wnrdt in myne Toe a*jing der Algebra op de hooge Meetkunde %. 173 uit andere gronden afgeleid. 213. De wyze om tot alle foorten van Hyperbo. Jfn, in 'r. algemeen, Raaklynen ie trekken , is de zelf*  FLUX lE'RËKEN'lftG. 195 delfde als die van de Ellips; vermits ds Vergelykingen der twee foorten van Krommen in niets anders, als in haare tekens, verfchillen. 4ï4. Voorbeeld V. Tot een gegeeven punt M fFig. 47) in de Cisfoïde van Dioclt-s, waar van de Vergelyking is ays—xy'lix», een R.;aklyn Mï te trekken. Van de gegeevene Vergelykingè de Fluxie neemende, hebben wy uayy^zxyj" y'xzz,$x' x of 3 3r2 x + y* x ZZ 1 ay y — txxy y x aay*-<2xy ayx a — x Derhalven — zz — — ■ • sx'-i-y* 2x"+y* " ' • ' • " "*•1 y verm. y* ay'xa—x 015. Nu is de Vergelyking der Kromme o)'- *y* zzxs (§. 214) , en derhalven y'zz , en a — x ay'zz —; Hellende dus deezè Waarden van y* a—x en a y* in de boven gevondene uitdrukking van den Subtangtns, ?,al men hebben y'* Na — 3  iq6 EERSTE BEGINSELEN der ü*5 ■ X a—x yx a—x ax* Z *» x» J 3rs-i 3^ a—x a—x ix sax — sxx x 3fl — 2X 3 + — a—x ax Dienvolgens AT zz ; waar door dan, het 3a—ax punt T gegeeven zynde, de Raaklyn MT getrokken kan worden. ai6. Voorbeeld VI. Een Raaklyn MT (Fig. 44) tot een pegeeven punt M in de Cocchoïde van Nicomedes te trekken, welke van zodanige natuur is dat, trekkende uit een vast punt P, als Pool, eeniee rechte Lynen PA, PM,.PM, enz. de deelen van die Lynen FA, eM, EM, enz. tusfchen de Kromme en ha tren As FT begreepen, alle aan malkander eelik zyn. b J Onderflellende AF en MQ perpendiculair op , en MN parallel aan de Direttrix FT te zyn. Laat PF=a, Me = AF) —b, PQ = x> en MQ —y zyn; dan hebben wy door de geiykvormigheid des Driehoeken PMN, MeQ, PA : MN :: MQ : Qe. Dat is y+a : x :: y : Qe. xy Derhalven Qe = . y + a 31?»  FLUXIE-REKENING. 197 •217. Wederom is door het Pythagwisch Leerftuk qZ-Tm' — MQ*, dat is Qf'- b'—y2 , of Qe Deihalven ~ frb%-~y" y + a of xyzzy+atf b2—y2 —zzz—^ Dus is x> y*—y + a\'xb2 — y' de algemeene Vergelyking der Kromme. •218. Van de voorgaande Vergelykingè der Krom. me nu de Fluxie neemende, hebben wy ax2 y y 4- zy' x x zz 2 y xy+a x b2 —y2 — 2 y y x y+a 11 —zyxy+axb1 -y2 — yxy+a zzayxy+axb' — ay—2y'. Deihalven zy2 xxzzzyxy+ax b'—ay-ay yy gj's ■ ■ "■ ■ — - yxy+axb*-ay~7y'-x2yy xzz ——— —-—————— xy2 x y+axb2— ay-zy1 — x2y en dus — — . y* y+axyxb2-ay-vy' — x2yi By gevolg — r —— . , ■■■ n y y**y N 3 ai9.  se8 EERSTE BEGINSELEN oer 219. Aangezien nu stsy* — y+ai* x b'-^y~* j8 f§• 21?) s zo hebben wy, door uit de beide Leden deezer Vergelykingè den Vierkants.Wortel te trekken^*y ~y + ax Yb^y*; derhalven yxxy pyxy-r-a xfb*—y'. Stellende nu deeze waarde m plaats van den Noemer des Breuks, die gelyk is yx aan -- (§. 218), zullen wy bekomes y yx y-r-axyx^-ay-zy^—x'y» Verders voor x*y' in den Teller deezes iaatften Breuks de waarde van *># ( §. 317 ; flellende, zal de laatfte uitdrukking worden '* — y+ax;y x ~a^-sr —y+al * x V—y* yxy + axVb^^f — ~~y3~aP y3-r-ab* yt/è* — y* Dewyl nu deeze; uitdrukking negatif is, zal de Raaklyn, ten aanzien van den top der Kromme, aan de andere zyde vaq den Ordinaat vallen \ en dus zal  FLUXIE.REKENING. 199 , ü3 . y'-r-ab* zal men, door het teken te veranderen, , yi/b'-y* voor de Subtangens in dit geval hebben. 220. Voorbeeld VII. Tot een gegeeven punt M (Fig. 45) der Cycloïde een Raaklyn Ml te trekken. Laat de Kromme BMD een Cycloïde zyn, wHkers Abjcisfe hier, volgens onderftelling, de halve-Cirkel DFC is, en trek tot dien halven-Cirkel de Raaklvn FH ( §. 207) Laat voorts wjMT een Raaklyn tot de Cycloïde , in het overeenkomstig punt M, en GMp parallel aan HFy zyn. Stellende ra den Boog, of de Abjcisje , l)Fc=z» zynen Ordinaat FM =31, CB = Z>, en DFC = c; dan zullen wy, door dè eigenfchap der Kromme, hebben DFC : CB :: Boog DF : FM. Dat is c : b :: z : y bz Derhalven y = —, cn y = — _ wi^>» Nu is door de gelykvormigheid der Driehoeken Mmp, TM F, mp : Mp C-Fq) :; FM : FT. Dat is y : z :: y : FT. fcz . bz of - : a :: - : FT. c c Dienvolgens hebben wy FT^z. N 4 Itf-  aoq EERSTE BEGINSELEN der' Indien derhalven in de rechte Lyn FH een deeï FT gelyk aan den Boog DF genomen wordt , zal ?c^Ktsr'waar door de ^ asr. Voorbeeld VIII. &» Raaklyn te trekken M een gegeeven punt M (Fig. 46) is AMB, ^vm de Vergelykingè is- ax~-y, ^«i, GC=x, mwdani™* ê 7 tene gegeevene grootheid, die? V-eiA*n d? typerbolifche Logarithmus van a, en J^J.tWrM}fche Logarithmus van y; dan is door de natuur der Logarühmen x A zz Y ; en jD Fluxiën f'A-t. Maar Y = - 43). derhalven. xz~ — x ^ Ay y* y ï en daarom — .zz --^ - —, Waar uit blykt, dat de i y A Subtangent eene; onveranderlyke grootheid is; der, halyen is AMB de Logarithmifche Kromme, welkers jifymptote GD is. - • " ■" - y m s22, Tot hier toe hebben wy van geen andere Krommen gefproken, als van de zodanige, welkers Ordinaten aan elkander parallel zyn ; thaDS zullen wy toonen , welken weg men. moet inflaan , om Rnaklynen te trekken tot Spiralen of zodanige Krom,, men, welkers Ordinaten uit één en het zelfde vast punt getrokken worden ; waar by men wel in aanrnerking behoort te neemen , dat de Ordinaat en Subtangens altoos perpendiculair tot elkander zyn. 223. De volgende befchouwing zal hetgeen wv over deeze foort van Krommen zullen voordragen, in een helder daglicht Hellen. ' ^Tlne °"teaé ïechte Lyn CR (Fig. 47), & de ftj-aai eens Cirkels, met eene gelykmaatige'  FLUXIE-REKENING. sei beweeging om het vast punt of Centrum C draaijen ; en in den zelfden tyd een ander punt zich langs die zelfde Lyn CB. met eenen zodanigen ttap van fnelheid beweegen , dat door de beide famengevoegde beweegingen de Kromme CMS geteeld wordt, waar van TD een Raaklyn in het punt M is; laat desgelyks Mp een Raaklyn zyn tot den Cirkelboog AM^, die met den Qrdinaat CM als ftraal befchreeven wordt. Wanneer du het punt, dat de Kromme CMS teelt, in M komt, zou het, met eene gelykmaatige beweeging, en den zelfden trap van fnelheid, waar mede het daar toe komt, langs de verlengde Raaklyn TM , of de rechte Lyn MD, voortgaan ; welke reebte Lyn fteeds qls de Fluxie des Spiraals in het punt M zou zyn. Op gelyke w\ze onder [tellende, dat een punt zich van M, in de zelfde richtftreek, en met de zelfde gelykmaatige beweeging, beweegt, dan zóu het punt, dat den Cirkel» boog AM q teelt, in M gekomen zynde, zich langs de Raaklyn of rechte Lyn Mp, perpendiculair tot den Ordinaat of ftraal CM, beweegen; welke rechte Lyn fteeds als de Fluxie van den gemeldcn Boog in het punt M zou zyn. En naardien de rightftreek van het punt, dat zich van C naar R beweegt, fteeds perpendiculair is op de richtftreek van het punt, dat den Cirkelboog AMq teelt, zal derhalven, wanneer het punt, dat zich van M Daar D beweegt, in D komt, Dp parallel aan RC zynde, het punt, dat zich langs Mp beweegt, in p gekomen zyn; en derhalven zal Dp als de Fluxie des Ordinaat: in het punt M zyn. Dewyl nu de Driehoeken DpM en MCT gelykvormig zyn, hebben wy deeze evenredigheid : Dp : Mp :: MC : CT. Dnt is, de fluxie van den Ordinaat CM ftaat tot de Fluxie van den Boog AM, als de Ordinaat CM ioi de Subtangens CT. N 5. Of  2c2 FERSTE BEGINSELEN der niïf-l fte!]ende dfn B»og AM-i, en den Ordinaat um_jj dan hebben wy: yx y : .r :: y : — — CT , zynde de zelfde y algemeene uitdrukking voor de Subtangens, die wy boven ( §. ac6 ) gevonden hebben voor Krommen, welke tot eenen As bepaald zyn. 224. Voorbeeld IX, Tot een gegeeven 'punt M (fig. 48) in de Spiraal van Archimedes een Raaklyn te trekken. Stel den omtrek des teelenden Cirkels AEBArra, en deszelfs ftraal CArrè; den Ordinaat CM —y, den BoogAEB — 2; en laat mee den Ordinaat ( M, als ftraal, den Cirkelboog Ms befchreeven worden, welke ftel zzx. Nu is door de eigenfehap der Kromme CM : CA :: BoogAEB : Omtr. AEBA. Dat is y : b :: z : a. In Fluxiën y : b :: % : a. ay Derhalven 2 = —. Voorts is het klaarblyklyk, dat de fnelheid van het punt, 't welk den Cirkel teelt, ftaat tot de fnelheid met welke het punt M den Boog Mre teelt, als CB ftaat tot CM; dat is z : x :: b : y; derhalven z = lx '—. Hier door hebben wy y bx y  FLUXIE.REKENING. 303 bx ay y b ■i 1 " by verin» b1 x ~ ayy b> — Dus x =s —. Deeze Waarde voor ^ . b* y'x in de algemeene uitdrukking van den Subtangens — y (§• "3) gefubflitueerd, heeft men den Subtangens ay% CT = —— , en om dat, door de eigenfchap der b> | Kromme, y : b :: z : a, of ayzzbz is, zal de eigeolyke waarde der Subtangens CT zyn — = — • e* & 225. Men befchryve dus met den Ordinaat CM, als Straal, den Cirkelboog MD, en trekke de rechte Lyn CT perpendiculair op de Straal CB, en gelyk aan den Boog DM ; dan zal T bet punt zyn, wasr uit de Raaklyn tot het punt M getrokken moet worden. Want de Sectors CB£A enCMD zyn gelykvormig; en dienvolgens CB : AEB :: CM : DM. Dat is b : z :: y : DM ZZ CT. yz By gevolg CT =—, zo als boven gevondea b is (§. 224). 620.  5C4 EERSTE BEGINSELEN der 826. Voorbspld X. Tot een gegeeven punt M ("Fig. 49.) in de Logarithraifche Spiraal een Raaklyn te trekken. Stel de Kromme Ca"M —z, en haaren overeenKomstigen Ordinaat CMry. Laat de hoeken is R het huigpunt, waar in de Raaklyn 1RC de Kromme fnydt. 229- Nu is hec klaarblyklyk, dat, om in eenige Kromme te bepaalen of de Abfcisfe of de Ordinaat met eeoe vermelde of vertraagde beweegiüg vloeit, of om de waarde der tweede Fluxie daar van te vin. den, het noodzaakelyk is, dat één van beiden, met eene gegeevene of eeDpaarige beweeging, aangroeijende of afneemende gemaakt worde , waar roede dan de fnelheid of de vermindering van de andere alïoos vergeleek en kan wörden, Laat derhalven gefteld worden, dat de Abfcisfe,. als zyjjde zulks het natuurlykfte , fteeds gelykelyk vloeit, of dat gelyke deelen van dezelve in gelyke tyden befchreeven worden; dewyl dan de&ichtftreek der Kromme van A Daar R (Fig* 50.), of van R naar S (Fig. 51.) geduurig nader tot eenen eveüwytbgen ftand met den As komt, zo is het klaar* biyklyk, dat de Ordinaat tusSchen deeze punten met eene geduurig vertraagde beweeging moet vloeijen: en naardien de Richtftreek der Kromme van R naar S (tig, 50.), of van A naar R (Fig. ji.) geduurig nader tot eenen Perpendiculair op den As komt; moet derhalven, tusfchen deeze punten, de Ordinaat, met eene geduurig verfnelde beweeging yioeijen of toeneemen. By gevolg zal de Ordinaat m het buigpunt noch met eene verfoeide, noch met eere vertraagde , maar met eene gelykmaatige beweeging vioeijen: derhalven zullen in het buigpnnc R de tweede Fluxiën van de Abfcisfe en den Ordinaat = 0 zya. 230»  FLUXIE.REKENING, as? 530. Om dit nog anders te bewyzen, zo Iaat R « eene gegeevene richte Lyn parallel aan den Bafis, R m een Raaklyn tot de Kromme , en nm een rechte Lyn evenwydig aan den Ordinaat zyn. Dan is hec klaar, dat, alvoorens de Ordinaat in het buigpunt komt , de rechte Lyn nm, in Fig jo, geduurig verminderende, en tiaar na geduurig vermeerderende zal zynj of, in Fig. 51, geduurig vermeerderende, cn a^arnageduurig verminderende zal zyn: derhalven zal dezelve in het buigpunt noch vermeerderende, noch verminderende, maar in Fig 50 een Minimum, of in Fig. 51 een Maximum zyn; en dienvolgens zal, in ieder geval, derzelver Fluxie zz o zyn. Maar de rechte Lynen Rit, nm., en R rn zyn als de Flux';efi van d' Abfcisfe , den Ordinaat en de Kromme refpectivelyk f §. aoy ); derhalven volgt hier uit, dat de tweede Fluxiën van de Abfcisfe en den Ordinaat, ia het buigpunt, zzo zyn, zoals boven (S«22i0 reeds getoond is. 031. Om dus het buigpunt R te vinden , zo (lel de Vergelykingè der Kromme, waar in de Abfcisfe ABr* , of a + t , en de Ordinaat BRny is , in Fluxiën, en zoek daar door, of door andere tigen. fchappen der Kromme, de waarde van x of y; neem van deeze x of y en derzelver waarde wederom de Fluxiën, Hellende beide i' en 'yzzo; dan zal men, door het overige der Fluxionaale grootheden te verdry ven, x of y, in het gezochte buigpunt, behoorlyk bepaald hebben. 1 232. Voorbeeld I. Laat de natuur der Kromme bepaald worden door de Vergehkinge ax'rx'y + a'v, waar in, als naar gewoonte, 'de Abfcisfe door x, en dl Oidinaac door. j uitgedrukt wordt. De gegeevene Vergelyking in Fluxiën gefteld zynde, hebben wy zaxxzzzzzayx'x + x*^ -'ra*y, V20  ao8 EERSTE BEGINSELEN der. Van deeze Vergelykingè wederom de tweedé Fluxkn neemende, zal 'er komen ($. 34): zax' ZZZZiyx' + 2xxy-{- axxy of 2a*2 'ZZZZ ayx' —f-4x*j) 333. Dewyl nu zaxx zz 2.yxx -h x'y -f- a- y is (!§• aSO» z0 is ook x*y + a'yzzaaxx*-zyxxi en . 2ax—2yx . derhalven y — - x x, Deeze waarde van y x2+a' in de laatst gevondene Vergelyking fubfiitueeren4 de, zal dezelve worden . . 2dx—&yx zax'zz 2yx' +4*jfx xx x* + a' g . tirrn ■■n_ ■ — . aax—zyx . a#':r,y*a 4-3jr*x j x* x1 -f- aa 234. Daar nu de Vergelyking der Kromme is axi ZZx'y+a'y (§. 23a), zo hebben wy door hertelax' ding yzz . Deeze waarde in de naast voor* xd -ha' gaande Vergelykingè ($. 233) fübftitueerënde j zul* len wy hebben ax' . iax—ayx . ax' zz *J-f-2Jrx—: x** x'+a' x'+a' ax' aax—zyx a zz — \- ax x -—; x'+a' x'+a* )' ii.In-in- 1 1 vj_,x'+d* ax' -h  FLUXIE -REKENING. 209 ax' + a3 zz ax'—+- lax* — 49** ■ - -- ax* of a» zz 4«*» — 4** x ■ jr' + a1 » a . .ii. «• a1 = 4 *s — 4** x ■■ x'+a* _ *' -ha1 as** -y a+zz$x* + 4a* x2 — 4** Dac is 3 a2*1 = a* 3«' ** — fa' V x = ai/|. « Waar door y ~—, en dus ook de plaats van het 4 punt R (Fig. 50 of 51) gegeeven is. 335. Voorbeeld II. Laat de natuur der Kromme bepaald worden door de Fergelykinge ayzza^x2 -h xx. De Vergelyking der Kromme in Fluxiën geiteid zynde, nebben wy . , . - aj zz ia3 * 2x -4- 2 xx. Hiervan wederom de tweede Fluxiën neemende, hebben wy (§. 34): 3 _ 1 • . , — ■ifO^X aX' + 2X*Z~0 g' i i, *"~s+ 3 = 0 O of  aio EERSTE BEGINSELEN der of £as# 2 =r a ~3 4 a3* 5 — 8 , . »* s a* ~ 8** •/—- — a* r= a^ * ±= 6*i* aa . **—ili a 237. De«  F L U X r E.R E K E N I N G* 211 237. Dewyl nu zayy —aa*—3*!izro is, zo is ook zay'y-a'x-hsx'x, of ,,„ Derhalven y'~ . Maar y* = & 535). By gevolg . — a 42*3»* : 11 4a* Derhalven ï2a*y4 ~ a'+sx^l' 238. Daar nu wyders ay' — a' x — *» **** 0 is O* 236), zo is ook aya-ak* + xs 12 * en I2a*yj — 12a1 x' + iax+ Maat xsaxyzza' + ^x1Y Dienvolgens iaaa*a + i2t*ra^+3*a|1 O a Dat  mt ÉÉRSTE BEGINSELEN der Dat is iaa'x* + i2x*—a*+6a'x*+ ijx* of sx* + 6a*x1 — a* " 3 q*4+i8aa*1z:3a4 9*4-|-i8aJ x* + 3a'\' zzJ2a* V Sx' + Sa'zra'i/ia 3 of x'zzd* (.t/i-i) ,/ ■ 239. Men kan anders bet Werk ook op deeze wyze inrichten. Naardien ay'zza'x+x* is, 20 hebben wy y*zz a'x + x' a3~7+x*\* —— v en y zz — ■-. Derhalven y ZZZZ a y/a jra'x + ïx'x x a'x + x~3\~% Van deeze laatfte uitdrukking de Fluxie genomen > en ro gefteld zynde, zullen wy hebben 3**» x a*x+x3 2 + %a' + £x* x . • . . — £a'*J — %x*x' x a,*+*sl~* =0; of $xxa' x+x3]"2 +ia,+ix'x-ia2-ix'x a' k+x' I" * — o. Deeze laatfte Vergelykingè ver-  F L ü X I E-RE K E N I N G. 213 vermeenigvuldigd met a1 zal 'er komen 3*+|?:hJPx--è«a — iJf'xa'ï + ï'l"'^ Deeze Vergelyking wederom met a*jr + *s vermeenigvuldigende, zullen wy Jiebben 2xxa'x+x3 -V ïa* + lx* x-%a* — lx' =0. ■ 2> 6xxa*x+x> + a' + Sx' x-jra* -|*' =0 of 6a'** -b6*4-<--|a4—3a1*' — %x+—o iaa'ar' + iax* — a* — 6 a* x'—~ gx*z:o Derhalven 3*4 —\-6a* x* zza*. Zynde de zelfde Vergelyking, die wy boven ( §. «38 ) op eene andere wyze gevonden hebben. 240. Voorbeeld IV. Laat de voorgijlelde Kromme de Conchoïde van Nicomedes zyn> waar van de Vergelyking is x'y'zzy+al' x b'-y1 (§. aI7J» y-t-a|Jx b*-y' Of *'r 1 ' r y+a\'xb*-y* Neemende van de Vergelykingè x1 — r de Fluxie, zullen wy hebben **= . . . . , yxy+a x b'-y'-yy x a+y 1 * x y*-yy xy+a\'x b'-y* ZT^ZZT" y— y+axab'+y* . -a'b' ab' zz — ——- xy- a-yxy. j. y* y. O 3 Van  #ï4 EERSTE BEGINSELEN Dg* Van deezjs laatfte uitdrukking de tweede Fluxia neemende (5. 38), y onveranderlyk blyvende. heeft men: 3 a5 b1 aab' ~~" x' + xx^ —■ {• 1—— — 1 x 3f'. y f Dewyl nu x—q is (§. 219), zo is de voorgaande uitdrukking: •!_3fl,^a zab* . Wb'+iab'y-y* * -—°"+—— ix3>3~ xy« r y y* y y+axab*+y* 241. Aangezien nu xx zz-— - xy is y* . y+lixab'~+~y (§. 240), zo is ook — xy en xy3 ' dus hebben wy, door de beide leden deeze'r laatfte Vergelykingè tot de tweede magt te verheffen, 3> + ar xab' + y'l' , ** = — rxj' $a*b- + 2ab* y-y* Maar **- xy (§. 340). 3öai2 + <ïflö23!-y» y+.a|2x7II~+^I|3 Derh. — zz y* XZy6 By gevoIgsa'Ê'+zaö^-j^*^'-y+a~l *xaT*+y\* 242, Daar  FLUXIE-REKENING. ais 442. Daar nu, door de Vergelykingè der Kromme, x'y^—y+al** b2— y* is (§.240), hebben wy deeze waarde van x-y1 flegts in de laatstgevondene uitdrukkinge ( §. 241) te fubftitueeren , waar door dezelve zal worden: 2a2b* + 2ab2y-y*xy+a\:ixb2-y*—y+a\2x al)~+~y~\ 2. Deelende du deeze Vergelykingè door y-f-ai', zullen wy verkrygen: 3 a*b:i-l-'iabty-y*xb2-y2—ab*-l- y' |2 of 3as^4+ a.ab+y-$a2b*y*~ 2abs-yi-b*y+ + y6~ a- b* + 2 a b* y3 +y° Door herl. b2y*+\aF-y3+ %a2b2y2-2ab*y-2a2b*zzo \>* , , y* -!- 4 a y3 + 3 a2 y*—2 a b2y — 2 a2 fi2 — o. 543. De Iaatstgevondene Vergelyking wordt ru deelbaar bevonden door y + a; welke deeling werkelyk verricht zynde, zal 'er komen y' + $ay2—aao2r:o, eene Vergelyking waar door de waarde van y bepaald kan worden • 944. Wanneer in de laatfte Vergelykingè b~a ge. nomen wordt, dan hebben wy y1 -r-3ay2-2a2~ot eene Vergelykingè, die wederom door y + a deelbaar is. Derhalven hebben wy na verrichte deeling y2 + aay — aa'zo, en by gevolg yzzay^ — a. 945. Voorbeeld V. Laat de natuur der Kromme bepaald worden door de Vergelykingè a+y~itioa3x2 — noa2*3 +3oa*+—3*5. De gegeevene Vergelykiog in Fluxie» gefteld zynde, hebben wy O 4 a*yzz  ai6 EERSTE BEGINSELEN deh apzz^oa' **-330 a' *2 i + I2oa *3 *-15 x* x. Van deeze Vergelykingè wederom de tweede Fluxiën neemende, zal 'er komen (§. 34): fl* y zz 360 a5 x1-660 a2 x'x2- + 360a*2*2 - 6ox2'x-. Z6oat-66oa2x+ 3<;-cax2 -6o*3-o ($. 229) 60' — n a4* -i- 6a*5-— *»-o. Dewyl mi deeze Vergelyking deelbaar is door a-x, 2a-*, ol 3a-*, zo* heeft dezelve drie Wortelen, naarmyk a, sa en 3a; dienvolgens heeft de Krom. me, wier natuur door de gegeevene Vergelykingè bepaald wordt, even zo veel buigpunten. 24*. Om nu te weeten, of een deel der Kromme tusichen twee nabuunge punten gelegen, welke op yoorige wyze gevonden zyn, naar den As uit- of ingebogen is, onderzoekt men of de waarde der Uitdrukking voor de tweede Fluxie des Ordinaats* tusfchen 4e twee overëenkomftige WorteleD, pofitif of negatif zy. Is dezelve pofitif dan is de Kromme uiigebegen en negatif zynde, ingebogen, mits dat de geheele Kromme aan de zelfde zyde van den As iigt. * 247. Wanneer'men nu in dat opzicht het voorhanden zynde Voordel nagaat, is het zeer gemaklvk te zien, in welke gevallen de Kromme, ten opzichte van den As, uit- of ingebogen is. Dewyl dan y, de tweede Fluxie van den Ordinaat, geduurig als, <5a«-ua*x + 6ax*-x' (zza~^~xxaa~xxja~x^ is, zien wy, dat, Hellende x kleiner dan de eerfte W ortel a, de waarde van deeze uitdrukking pofitif zal zyn; derhalven zal de Kromme in 'teerst uicgebogen tot haaren As zyn. Vervolgens * grooter dan a ftellende, wordt de waarde der gemelde uitdrukkingnegatif, en de Kromme zal alsdan tot den As ingebogen zyn, en zodanige kromte behouden, tot. dat  FLUXIE-REKENING. "317 dat x gelyk aan den tweeden Wortel ia is; waar na de Fluxie wederom pofitif wordt; dienvolgens zal de Kromme andermaal uitgebogen zyn , tot dat xzz^a zy, en deeze Wortel de uiterfle Limiet zynde, zal de Kromte voortaan fteeds naar den zelfden weg ftrekken. 348. Hier by behoort nog in aanmerking genomen te worden , dat 'er gevallen kunnen voorkomen, waar in de tweede Fluxie des Ordinaats gelyk aan nul wordt, zonder dat nogthans haare waarde van pofitif in negatif , of van negatif in pofitif, verandert. Deeze gevallen hebben altoos plaats, wanneer de Vergelyking een even getal gelyke Wortelen toelaat; want alstian is het punt, dat als boven gevon» den wordt, geen buigpunt, dewyl.alsdan de kromte aan ieder zyde van hetzelve naar den zelfden weg ftrekt. NEGENDE AFDEELING. Van liet gebruik der Fluxiën in de Oplosfing van Voordellen , waar in begeert wordt de kromte' Jtraalen van kromme Lynen te vinden. 349. Naardien de kromte, of uitgebogenbeid van alle kromme Lynen, behalven die van Cirkelen, in ieder punt verandert, heeft men flegts Cirkelen te befchryven, welke met eene gegeevene Kromme in eenig getal punten overeenkomen; dewyl dan de ftraalen van deeze Cirkelen, zo als gemaklyk te zien is , niet alle even groot kunnen zyn , en dezelve nogthans den trap van kromte bepaalen, zal de vinding van die ftraalen het onderwerp van deeze Afdeeling zyn. 950. En naardien alle kromme Lynen, behalven Cirkelen, gevormd of geteeld worden , of begreepen kunnen worden gevormd of geteeld te zyn, door de ontvouwing (evolutie), of afwinding. van eenige O 5 au-  3i8 EERSTE BEGINSELEN der andere kromme Lynen, zullen derhalven de middelpunten der Cirkelen, welke famenloopen of gelyke graaden van kromte hebben met de verfcbillende punten of liever aangroeijingen (incrementa) der dus gevormde of geteelde Krommen, fteeds in de te ontwindene Krommen zyn ; welke kromme Lynen genoemd worden de Ontwondene (Eveiar«) , en de andere , welke door haare omwinding gevormd of geteeld worden, of begreepen worden gevormd of geteeld te zyn, worden Opgewondene Clnvolute) genoemd. 251. Laat dusDEF (Fie. 52) eenige Kromme zyn, die eene Ontwondene (Evoluta) genoemd wordt; men verbeelde zich rondom dezelve een draad geWonden, en buiten de Kromme van D in eene rechte Lyn tot A uitgeftrekt te zyn; en laat deeze draad van de Kromme DE losgemaakt of afgewonden worden, zulks dat dezelve, van de Kromme afgaande, geduurig in zyne geheele leDgte uitgeftrekt zy: dan zal het punt A de opgewondene Kromme ABY teelen of befchryven; en de rechte Lynen AD, BE, YF zullen refpetlivelyk de Kromteftraalen in de punten A, B, Y zyn. 232, Hier uit vloeijen deeze Gevolgen: I. De Kromteftraal BE zal altoos gelyk zyn aan de leDgte der Kromme ED en de rechte Lyn DA. Indien derhalven de afftand DA van den top D der Kromme verdwynt; dat is, wanneer de ftraal in A nul wordt, zal de opgewondene Kromme in D be. ginnen; en de Kromme DE zal gelyk zyn aan de Kromteftraal in het punt B. II. Aangezien, volgens de Beginfelen der Meetkunde , de ftraal eens Cirkels perpendiculair op de Raaklyn ftaat, zo is ook de Kromteftraal in eem'g punt B altoos perpendiculair op een Raaklyn in dat punt. III. De ftraal BE, die pcrp$ndiculair op de opge- won-  FLUXIE-REKENING. gig wondene Kromme in bet punt B ftaat, is een Raak» lyn tot de Ontwondene in het punt E. 2*3. Om nu voor BE, de Kromteftraal in een punt B der opgewoüdene Kromme ABY, waar van AX de As, en DE de Ontwondene is, eene algemeene Uitdrukking te vinden , zo laat de Abfcisfe ACzzx% en de Ördittaat CB — y zyn. Onderftel bE oneindig dicht by BE , bc oneindig dicht by, en parallel aan BC ; als. ook Bm parallel aan AX te zyn; dat is, laat Ce of Bnzzx', en nbzzy' zyn. Dewyl dan Bb als eene kleine rechte Lyn be» fchouwd wordt, die met een Raaklyn in het punt B famenloopt, zullen de rechthoekige Driehoeken Bnb en BCH gelykvormig zyn. Want LEBb=zLCBn (§. 252) £EBn=£EBn gemeen ■ - —» afgetr. LnBb = LCBH Voorts dewyl jLBbm een rechte hoek is , zo volgt hier uit de gelykvormigheid der Driehoeken mnb en Bnb. 2j4. Derhalven hebben wy, door de Beginfelen der Meetkunde, deeze evenredigheid: Bn : nb :: BC : CH. Dat is *' : y' :: y : CH. yy' By gevolg CH ïiz: —. *' Wederom is, volgens de eigenfchap van den rechthoekigen Driehoek, BH2- tJcT-f- CÏÏ" Dat  zso EERSTE BEGINSELEN der —* •yav/* Dat is BH - y* + —-. ■i i Derhalven BH—31* H ——x *'s-f-y'al?i eo desgelyks AH ( —AC + CH) r 055. Wederom hebben wy deere evenredigheid i Bn : bn :: bn : nm. Dat is x' : y :: y : Bm. ?** By gevolg bm zzzz —- ar' Bn = *' verg*- ys Derhalven Bmzzx'-{ . *' 256. Dewyl nu de Richtftreek der Kromme ABY geduurig nader tot eenen evenwydigen ftand met deD As AX komt, zo laat ons derhalven onderftellen, dat de Abfcisfe AC (-*) met eene gelyke of «enpaarige beweeging vloeit; of wel, laat ons on- derftellen dat *' of x onveranderlyk, of fteeds van de zelfde waarde zy; dan moet de aangroeijinff (Increment) van den Ordinaat CB(ry ), of de fnelheid der Fluxie, met welke hy vloeit, geduurig afneemen; of liever het tweede Moment of de tweede Fluxie van y zal negatif zyn. Derhalven zal HA, de aangroeijing van AH, of wel het Increment van  FLUXIE-REKENINO. a«| yyl yl* _»YJl" #• H- — — + ■■ ... i i zyn. Nu is het voorts klaarblyklyk, dat de Driehoeken EBm en EHk gelykvormig zyn; derhalven zullen wy hebben Bt» : HA :: BE : HE. Dividendo. Bro-HA : Bib :: BE —HE : BE. Of, om dat BE-HE-BH is, Bm —HA : Bm :: BH : BE. ytz y1* mm yy '1 Dewyl nu Brnrx'-i , en üh~x'-\ • ,~ ' x' x' yy" is, zo is ook Bm—HA =—. Derhalven is de *' evenredigheid deeze • . yy" , y y -—,—A 1 :: x X'a + y»( : be. x' x' x' Dienvolgens BE= . x'y» Of, vermits de Incrementen als de Fluxiën zyn (§• 5)» beeft men . . I 2 X* + y*\ BE c= —. xj 157. Deeze waarde van BE wordt nog anders op de volgende wyze gevonden. Befchryf met EB (Fig. 53) als ftraal den Cirkelboog BK; welke Boog derhalven den zeliden graad van kromte met de opgewondene Kromme AB in het punc B zal hebben. Trek de ftraal EK parallel aan den  238 EERSTE BEGINSELEN »ER den As AX; verleng den OrdinaatBC tot Li eft trek AN param Bh. • . : • Stel de Abfcisfe ACzzx, den Ordinaat CBzz y laat de ftraal EB of EKrr, KN^ra , en NArfc zyn; dan is LE—r—a —Indienwy nu onderftellen dat de Abfcisfe x gelykmaatig aangroeit, en B m een Raaklyn in het punt B zy; zo laat mn parallel aanBC, en Bn parallel aan AX getrokken worden, dan zullen Bn, nm en mB refpe&ivelyk als de Fluxiën van de Abfcisfe, den Ordinaat en de Kromme zyn} dat is, B« zal zyn als *, nm als3/, en om dat Bm—Bk -i-»m I is, zal Bm als ir1 —(-yl^zyn. pf.358. Nu zyn de Driehoeken. B»m en BLE gelyk* vormig; derhalven hebben wy deeze evenredigheid', Bn : nm :: BL ;LE. Dat is x : 31 i:y+p\. r—a-mx., Derhalven rx—ax—xx—y'y+b'y. Wanneer nuials onveranderlyk befchóuwd wordt« in de onderftelling dat de richtftreek der Kromme AB fteeds meer en meer eene evenwydigheid met haaren As verkrygt,'de Fluxie van y negatif zynde ; dan i« de Fluxie der voorgaande Vergelykingè -*'-ya-yj'—by. By gevolg ir'-r-y — J+jxjl 2£9« Wederom hebben wy deeze evenredigheid? LB : BE :: Bn : Bm, < . , . — Tl* Dat is b+y : r :: * : x'+y*! . Der*  FLUXIE.REKENING. at3 r x Derhalven b+y zz • ——. Stellende nu deeze Waarde voor b+y in deeze boven gevondene uitdrukking (§. 258) zullen wy hebben ï'+ï'~ . k—r« x'-by** — ~ - j£ Derhalven i*+j'Xï'+r = r Je y of ar*-f»3i"J ~ r xy x*+y') en daarom r = — — BE , als vooren. * y aöo. Aanmerking. Wanneer de Abfcisfe x met eene gelykmaatige beweeging vloeit, zo volgt (§. 229}, dat de Ordinaat y met eene vertraagde beweeging vloeit, wanneer hy aangroeit, en de Kromme ingebogeD is ten aanzien van den As, of Wanneer hy afneemt, en de Kromme als vooren uitgebogen is. Wanneer nu y roet eene verfr-elde.be» weeging aangroeit, of haare tweede Fluxie ftellig is, zal de algemeene uitdrukking voor de Kromteftraal j.-!-y*l* — ■ ' zyn; waar in het negativt teken haa- ... — x y re Helling aanwyst. 961.  224 EERSTE BEGINSELEN ds* 261. Om de bewerking minder lastig te maaken, kan men voor eene onverSnderlyke Fluxie de eenheid , of 1, in plaats Hellen, ten einde daar door de andere Fluxiën met 1 te kunnen vergelyken. Stellende derhalven x zz i, dan zal de algemeene 1 -1- yi uitdrukking voor de Kromteftraal zyn —*—— , y wanneer y met eene vertraagde beweeging aangroeit, ™7.il of haare tweede Fluxie negatif is ; en zz—————, -y wanneer y met eene verfnelde beweeging aangroeit, of haare tweede Fluxie ftcllig is. Het eerfte heeft plaats wanneer de Kromme naar den As holrond, en het laatfte wannscr dezelve ten dien opzichte uitgebogen is. 262. Indien wy derhalven de Vergelyking der ge* geevene Kromme , welke de betrekking tusfchen de Abfcisfe x en den Ordinaat y uitdrukt, in Fluxiën ftellen, neemende xzzi; of uit de natuur der Kromme de waarde van * zz 1 in Termen van x, y én y vinden, en alsdan deeze Fluxionaale Vergelyking wederom in Fluxiën ftellen , fubftitueerende fteeds 1 voor x , en maakende de Fluxie van y negatif, Wanneer de Kromme naar den As holrond , en pofitif, wanneer zy ten dien opzichte uitgebogen is 5 dan zullen daar uit de Waardens van de tweede, en het vierkant van de eerfte Fluxiën van y bepaald kunnen Wv rden: welke voor dezelve gefubftitueerd zynde in ééne van deeze twee algemeene uitdrukkingen, naamlyk in de eerfte wanneer de Fluxie van y negatif  FLUXIE-RE KENING. az$ fcdtif is , en in de laatfte wanneer dezelve pofitif is , zullen wy eene bepaalde uitdrukking , of eene Zodanige^ie van Fluxiën vry is, voor BE, de begeerde Kromteftraal verkrygen. 263. Voorbeeld I. Ve Kromteftraal in eenig punt 1* (ë'g. 54) van den gemeenen Parabool , té vinden. Laat de Parameter zza zyn. Stel de Abfcisfe AC zzx , en den Ordinaat CB~v. Dan is ;io t dé eigenfchap der Kromme axzzy2, waar van de Fluxie neemende, zullen wy hebben axzZïyy, of, ftelien- . . . a de xzzi , azziyyf, en by gevolg yzz—Maar 2 y yzzax zynde,: is ook yzzaxf-, en derhalvèn yzz d ■ . Van deeze Vergelyking is wederom dé ax ah* 1 -a2 n a* Fluxie —yzz ; by gevolg yzz j—, en 4Xa*|2 4X<»*ï* é „, a2 óm dat 3;=:— is, 20 is bok y2 == — =d ■—. Subftitueerende nu voor yy en y2 ha'are waari 4* den in dë algemeene uitdrukking voor de Kromte»' .• ify'* i ftraal ——-• (§. 261), zullen wy hebbèn 5 P BE  226 EERSTE BEGINSELEN der H—r X45c.il1 a2 2a= 264. Subftitueerende voor ^ haare Waarde — 2y a in 3131 (§. 263) , hebben wy - of ^ ar:AD den verticaalen afftand. Deeze zelfde waarheid kan ook afgeleid worden uit de Uitdrukking voor de Radius of Straal Bé ; want , wanneer de gemelde Straal den verticaalen afftand. wordt , dat is wanneer het punt B in het punt A valt , dan verdwynt * , en dus valt 40* uit de gevondene Uitdrukking (§. aé3> — 3 weg, en wy hebben alsdan — \a, als vooren» saa 265. Voorbeeld \\. De Kromteftraal in eenig punt B (Fig. 55 ) van de Cycloide ABD te vinden. Laat de Straal OF of OD~ a, de Abfcisfe AC=ï, de Ordinaat CBzzy, de Boog FG —z, en deszelfs Sinus iGzzs zyn;' dan is, volgens de Grondbegin- felen der Meetkunde, IGz: DIxIF, of IG = DIxlFl^, dat is szzzay — y2]^. van welke Ver. ay—yy gelyking de Fluxie is szz -». ïay-y1]? 266. Maar door de natuur der Cycloïde ( Toepasfing der Algebra op de Hooge Meetkunde, II. Deel §• 55)  FLÜXIË-REKENING. Sa? «. 55) is Boog DG-GBj en derhalven Boog FGr GI+AC, of AC- Boog FG-GI, dat is*~z—x. Stellende nu voor x haare Waarde, hier boven geVonden C §♦ 265 ) , zullen wy hebben * = z-# lay-^yl*. Bier van deFluxie neemende, en xzzi ftellende, zal 'er komen < i i yy—ay i = z + ■ •> aay — yl"2 Ö67. Voorts z - J».if (§. 256), en flellendé voor X haare Waarde als boven (§. 265), zal de Vergelyking worden a'y-y'y\ . \ z tb +r| 2ay—y- » of z = ■ ■ -. zay—yA* Deeze Waarde gefubftitueerd voor z in de boven gevondene Vergelyking (§. 266;, zal men hebben ay yy — ay x+ J aay — y-\z zay—y2\^ yy dat is 1 — <•* aay—y*\* P a Der-  228 EERSTE BEGINSELEN öer , zay — y-\~ Derhalven y== • van welke Vergely. * y King de Fluxie is (de Fluxie van y negatif zyn de) „ ayy — y2y . — ± —y - aay-y^l 2- .. aay—y'l2- -y= -* s* — ay of — y 3= — . Subftitueerende nu ia' y. 2ay— aay-yzl5 deeze Vergelykingè voor 31 haare Waarde . 3» hier boven gevonden , zullen wy hebben — y =s — — ; dat is yzz—. y* y* 268. Nü is de algemeene uitdrukking voor de ■ 3 i-t-yi2 Kiomteftraal > (§. 261) > Subftitueerende 'y' aay—y* hier in voor y' haare Waarde —— ■ (§. 267), y' en voor y haare Waarde —, zullen wy hebben r < *J® rT+y i_ 5 — — ; dat is yzz—•  F L'UXIE-RE KENING. 229 "~~r|l n 1 xf i+yi £_ I a y y1 + 2.ay— y?|* — ïL a s.ay\* yz I _ zayl* x y1 a axyi* i 3 i I aay\* X y" 2031! = — = BE, de be. ay* ay geerde Kromteftraal. 269. Voorbeeld III. De Kromteftraal in eenig punt B (Fig. 5Ó) der Logarithmifche Kromme, waar van de Subtangens CT eene ftandvastige grootheid, gelyk aan eene gegeevene Lyn a is , te vinden. y'x Laat GC zz x , en CB zz y zyn ; dan is — zza \ ' y (§. 206); dat ïs, wanneer xzz 1 gefteld wordt, -«- y . y . y2 zza\ derhalven yzz— , en y2zz —, en naardien y a a' P 3 niet  eso EERSTE BEGINSELEN der met eene verfnelde beweging vloeit, of dst haare tweede Fluxie eene ftellige grootheid is, hebben wy ••3' • *y y- —; en fijbltitueerende voor y haare Waarde a zal deeze uitdrukking veranderen in yzz—. a2 270. Subftitueerende nu in de uitdrukking voor T\i 1 + y* | de Kromteftraal 261) voor y3 en y -y haare Waardens, hebben wy i-b —1 x a2 ■ ■" = -— , de gezochte — y -ay Kromteftraal; waar in het negatif teken alleenlyk aantoont, dat de Ontwondene en Kromteftraal , ten aanzien van x en y, aan de andere zyde van de Kromme üggen. 071. Voorbeeld IV. Be Kromteftraal in eenig punt B (Fig, 57) der Kromme AD te vinden, welkers Raaklyn BT overal gelyk is aan eene gegeevene Lyn a. Laat GC~a; en CBrry zyn, dan is, volgens het Pyihagorisch Leerftuk, TB*— BcH 2 - Cr; dat is 1 yx 3*1* -CTz— (§. 206); of ftellende X- 3 zz 1,  F L U X I E-R E K E N I N G. 331 — 1 y , . y —Jj0"-J212 — — '■> derhalven ;y ~ , én dus y tf-yH* y* y1 — . Voorts, naardien de Fluxie van y ftel- a'— y* lig is, hebben wy . T y'y y X ar— -r ■ ^ y — — ■ j dat is, fubfti- a'—y* tueerende voor y haare boveD gevondene Waarde, y* y + a* — y' a*y y = • 272. Wanneer wy nu in de uitdrukking voor de Kromteftraal C§. 261) voor en y haare -y Waardens lchryven , zullen wy hebben 7\l 1 + — X a*-y*\> 1 -!- y*1 a*-y"- — asy -y fl^xa2-.?112 a 1 — x fl'-jia|a voor de begeer» —a*y y P 4 de  s33 EERSTE BEGINSELEN der de Kromteftraal : in welke Uitdrukking het negatif fceketi de ftelling der Kromteftraal aanwyst. a7v De algemeene Uitdrukking voor de Kromteftraal, die wy §. 206 gevonden hebben, is alleen betrèklyk'tot zodanige Krommen , waar in de Ordinaten onderling parallel zyn ; doch wanneer de Ordinaten zich allen tot één en het zelfde centraal Punt bepaalen, zal men een ander Theorema noodig hebben , dat op de volgeride wyze gevonden wordt. 374. Laat CBY (Fig. 58) de Kromme zyn, C het centraal punt, waar uit alle de Ordinaten voortkomen, en Bü de Kromteftraal in hét punt B; dat is, laat het punt E onderfteld worden in de ontwondene Kromme te'zyn; men verbeelde zich Cb en Eb oneind:g dicht by CB en EB te zyn ; dat is laat gefteld worden, dat de punten B en b onbepaald dicht by elkanöei zyn ; laat voorts CF perpendiculair op ÉB, en Cf perpendiculair, op Eb zyn: dan zpllen de punten F en r ten naasre by op eikander vallen; en dienvolgens kan BrzBF, en Cr~CF genomen worden. Befchryvende nu met den Ordinaat CB , als ftraal. aeh kleinen Cirkelboog Bn, en' befchöuwende dit Boogje als een kleine rechte Lyn perpendi' culair op ,; voorts onderftellende dat hec Increment 'Cb met een ftaaklyn in het punt B lamenlooptj dan hebben wy Z.CBn rr LEBb LE&n - LILBn ""lCBFrl»BJ afget'* en L E — Lnzz recht zynde, is Z.BCF zt LBbn. Derhalven is het klein rechthoekig Driehoekje Bnb gelykvormig aan den rechthoekigen Driehoek #FC. en daarom - ' • bB  FLUXIE-R É 'K E N I N G. 333 JB : Bn :: CB : BF. 275. Stellende nu den Ordinaat CB— y, Bnzzx', «n nbzzy1; dan zal, volgens het Pythagorisch Leer? £tuk, Bbzzx" +y"\~s zyn, en daarom ?*~+~yTl^ : *' y : BF (§. 274). *'y Derhalven BF of Br zz * 876. Wederom is Bb : bn :: BC : CF. Dat is x^+y7]* : ƒ :: 3 r CF. Derhalven CF of Cr —. Onderflellende nu *' eene onveranderlyke Grootheid te zyn, dan is het Inctement rfzz . . . . 1 y'y"xyy' y" -i-yy" x *'*+y'1[* ~ - ' ' " x'' +y".Ii x'ay" +y'++yx''y" J x'2 ■+ y~\53 2">7. Voorts is door de gelykvormigheid der Driehoeken EBb en Erf Bb : rf :: BE : rE. pividendo Bb-rf : Bb :: BE —rE : BE. 1 */a y'2 +y'* +y*'' y" r-ï Datis*"i-yal5~— ^^-r-v'1!2:: x'* -r-y»i* P5 BE  234 EERSTE BEGINSELEN der BE —rE C=rB) : BE.' *'f + x'2 y'"-—v & y" f —izzzrr— •" */2+^5|S:: : BE. x'2-\-y'*\* y x x'* y'z I 2 Dienvolgens BEz--^ -,ofC§.5> * + —yx y" yxx2+y4' ■ * — ■—■« zynde eene a'gcrneene Uitdruk- X' + xy2 —yx y king voor de Kromteftraal van alle kromme Lynen, welke tot een vast of C€«ïraa/-Punt bepaald zyn, wanneer *'of x onveranderiyk is. 278. Hier door zal, ftellende x~i, de algemeene yxi+y2\ uitdrukking voor de Kromteftraal ~- zyn. i+y2~ y'y Indien wy derhalven de Vergelyking van de gegeevene Spiraal in Fluxiën ftellen , (neemende vervolgens deeze Fluxionaale Vergelvking wederom in Fluxiën brengen ; en daar uit, of uit de natuur der Kromme,'de Waarden van 'y2 en y vinden : indien wy dan eindelyk voor y2 en 'y' deeze haare Waar. den in de bovenftaande algemeene Uitdrukking fub» ftitueeren, zullen wy de begeerde Kromteftraal BB bekomen, als in de volgende Voorbeelden te zien is. 279«  FLUXTE-REKENING. 235 279. Vortjerlo I. De Kromteftraal in' eenig punt B C Fig! 59) der Spiraal van Archimedes CB <&c. te vinden. Laat de Omtrek van den teelenden Cirkel AF &c. ZZa, deszelfs Straal CA~fe, de Ordinaat CB ryi en de Boog AFirzzyo- LaatCƒ verönderfteld worden onbepaald dicht by CF te zyn , dat is , laat de L FC/ onbepaald klein verönderfteld worden; belcbryf voorts met den Ordinaat CB, als Straal, de kleine Cirkelboog Bn, en ftel denzelven =x', als mede Ff z:z'; dan is door de natuur der Krooime y : b :: z : a ( Toepasfing der Algebra op de Hooge ay Meetkunde, II. Deel §. 127), of zZZ —, waar b . «y van de Fluxie is z:^—. b Voorts hebben wy door de gelykvormigheid der SeStors CB» en CFf, 31 : x':: b : z'; derhalven bx' . bx ay bx z'zz —, of zzz—. By gevolg —~ —; dat is, y y b y ay b flellende xzzi , —zz—; uit welke Vergelyking b y . b' b* wy hebben y zz — ; derhalven 31' — , en y zz ay a*y' — ab'y . b' > ; dewyl nu y zz— is, hebben wy door fub. a'y' ay -*♦ flitutie yzz—. Stellende nu deeze Waarden van a'y2 r  Q35 EERSTE BEGINSELEN der 9* en y in de Uitdrukking voor de Kromteftraal CS' z78)> zullen wy hebben TTl yxn 1 , ;xi+/l a2y2\ aJj>f + 64l5 I+y>-yy- ~i+^^""^r^~" a'y4 a'y* BE, de gezochte Kromteftraal. 280. Voorbeeld II. De Kromteftraal in eenig punt B (Fig, 60) van de Logarkhmifche Spiraal CBY" te vinden ; waar van de Vergelyking (Jlellende den Crdinaat CB~y, de Kromme CBziz , en neemende a en b voor twee gegeevene Grootheden) is az~by. De Fluxie van de Vergelyking der Kromme is as ZZby', derhalven zzz—. Laat de hoek BCh als a onbepaald klein genomen, en met den Ordinaat CB, als Straal , het klein Cirkelboogje B n befchreeven worden. Indien wy nu Bn als een kleine rechte Lyt , perpendiculair op CB , befchouwen, en B b als een kleine rechte Lyn, die met een Raaklyn in het punt B famer.loopt; dan hebben wy door het Pytha- — 2 —31 "2 gcrisch Leerftuk, Bh zz Bb +nb ' , dat is, (lellende Bn~nbzzy', enBbzzz', %'zzx'%+y'2\*, of door de Fluxie voor het Increment in plaats te ftellen, z-*" ■+-;)!* 1% dat is, Hellende*— r, 2 — —II |-bjal *  FLUXIE-REKEN1NG. atf- " Tli * &3' Tli 14- I . Hier door —- zz i 4- 31' I ; quadmeeréna de nu de beide leden van deeze Vergelykingè, zullen b%y wy hebben — zzi+y', of b*y* zza' + a'y*, eri a2 . a» a j* — -—. Derhalven 31 — :» en om dit deeze Waarde van y eene ftandvastige Grootheid ii, zo is y zz ó. 281. Wanneer wy nu de Waarden van 3»* en 31 ($. 2.80) in de Uitdrukking van de Kromteftraal CS* 27y5 ftellen, zal dezelve worden s —Til yxi4~,J 1 31X I +y*i b*—a*\ ■ i • ■———> zt i • « • 4 i -f-3»J—y y I+ 0 bl — d* j?X = yx ZZ BE^ de begeerde Kromteftraal* TIEN»  438 EERSTE BEGINSELEN der T I E ND E AFDEELING, Fan het gebruik der Fluxiën in de Oplosfing „aft Voor ftellen, waar in begeert wwdt-de natuur der -ontwondene Kromme (EvolucaJ van eene gegeevene opgewondene Kromme(InvolutaJ te vinden, z & " Naardien het den Leezer volffrekt nooclzaakejyïc js met het verhandelde in de vocrige Afdeeling wei bekend te zyn, eer en alvoorens hy tot dit onderwerp overgaa, zullen wy thans niet weder herhaalen wat men door Evoluta en Involuta. te verftaan hebbe , alzo het daar ter plaatfe 250; genoegzaam verklaard is. 282, Laat BE (Fig, 61) de Straal van Ontwin, ding of kromte zyn, in eenig punt B van de opae-wondene Kromme (Involuta} AB, weikers Abfcisfe zy hQzzx, en den Ordinaat CBzzy. Trek liN parallel HA ; vei leng BC tot L ; en trek uit den top der ontwondene DE , de rechte DN gelyk en evenwydig aan CL. Dan zullen de 'Driehoeken BHC en BEL gelykvormig zyn; en derhalven BH f HC :: BE : EL. n)tW( „ y 1 ~\i yy *'+^r Dat is (§. 254) — xx* + y*I : — : t -— ■ x x sy (§• 256) : EL. . x*+y* Derhalven EL~yx . *y We-  FLUXIE-RE KE NI N G. 23$ Wederom HC : CB :: EL : LB. yy . Dat is — : y :: yx '• LB. x x y x'+y1 Derhalven LBr: . y Deeze nu zyn algemeene Uitdrukkingen voor EL en LB, wanneer * als onver3nderIyk , en de Fluxis van y als negatif befchouwd wordt. 283. Wanneer xzz 1, en de Fluxie van y negatif is, t + y2 zal de algemeene Uitdrukking voor.BL~ zyn, 'y' . . i+y* en deeze vermeenigvuldigd met y, is yx ——— zzde y algemeene Uitdrukking voor LE. Wanneer wy-nu, met behulp der Vergelykingè van de gegeevene op. gewondene Kromme, y, y' en y, als in de voorgaande Afdeeling, uit deeze Uitdrukkingen verdryven» en door §. 163 den afftand van den top AD vinden; vervolgens de Abfcisfe van de ontwondene DJM~«, en haaren Ordinaat NEzzv.ftellen, kunnen wy, met behulp van deeze twee Vergelykingen, uzzBL—BC, en vzz AC— AD-(- LE , de natuur der begeerde ontwondene Kromme DE vinden. 284.  *4° EERSTE BEGINSELEN de* 284. Aanmerking. Wanneer de gegeevene opge°" Wor.dene Kromme (Involuta) ten aanzien van haaren As uitgebogen is . en * en y te famen aangroeijen, of dat de Fluxiën van x en y beide ftellig zyn; dan zullen de "algemeene Uitdrukkingen voorBL en LE l+yi . x + 'y* zyn , en y x refpeóïivelyk. Waar in' het negaii/ teken aantoont, dat de punten L en E aan de holle zyde der opgewondene Kromme, dat is, ten aanzien van xeny, aan de andere zyde derzelve geinomen moeten worden. 585. Voorbeeld I. Dè natuur der Kromme, door •welkers ontwinding den Parabool AB (Fig. 61) be~ Jchreéven wordt, te vinden. .Laat ACr*, CB-y; als ook DNnu, NEzzv a . a zyn. Nu is (§. 263; yzz—-—-, y*zz—, en yzz 2xa*l2 4* ■i———. Subftitueerende nu deeze Waarden van' 4x0*1* y, y* en y in de algemeene Uitdrukking voor BLj naaailyk C§-a83)» zal men bekomen' y ~~a~ H X4.ails ; J + T _ ** _ 4x + a x fl*!" y a * """" ~ a Golf  F L ü X I E-R E K E N I N G. 341 Ook zal de. Uitdrukking voor LE , naamlyk y X .., ', = y x BL , door fubftitutie worden ...» a 4*+aXfl*ls ■ ■ —x — 2*-f-£a. Hier door zxax\s 4i+aXfl^l3 hebben wy a( = BL-BC) zz y% a 4X+axax\^ , 4*xa*|* of — ax\°-ZZ . a a 4*xa*l3 Derhalven — u a < a 4xxax\s — au ✓ 16a*3 ~ a'u" 16a — —— » a u* _ 16 " 086. Wederom hebben wy NErrAC —AD + LÊ ZZx—^a-r- nx-'r-^azz3XZZY ; derhalven 27 a," =2 v% au* v*. en x* zz—. Hier door hebben wy -— ==s 27 16 Q ^> *7  H* [EERSTE BEGINSELEN der v* _ 27a«a 27' eü VS~~^6~; Zy"de de VerSeIvkiDS van de STdSfn ^6,ke d? ^trekking tusfchen de ^fr. Sin* f Ordinaat uitdrukt; en naardien de Vergelyking van den Halven - Gifa/cAe» Parabool, wiens Paraar -~ is, even de zelfde is , zo dien- HaWe,SrA?nrpndere(Kromme ^«-O DE een ttalve-Cubifche Parabool, welks top D is. . J?8?- VooRUErLT) II. rza^ar a>r AVomme AEP Spa m^l r ,Wtóes - door mlkers ^winding de Cycloïae AH' befchreeven wordt. Laat AC = *, efrrry, Boog FG-Z, en OD of np- ^ ■ • 2fl3--2*1^ . lay-y* ub _a zyn ; dan is 31— , y* — 3> ■ ■ j- a en 31- — (§. *o?).' derhalven f§. 283) BL = zay-y* H , xyi 1+y' _ . y' — — 2 y, en LE — y x a 003»—v315 . BL- x 23» - a..ay —y>\*. Stellende ös ** . tiMfi, . : : n , v.-.: 0 ■ ... derhalven de Abfcisfe AN — u , en den Ordinaat ISF. — v, zullen wy bebftert: u~ ( BL — CB=} 2^, —.7 — 31 en vzz ( AC + Li£ ~) .... a.aay—jiM5. Maar 2a3>-3)a 1' (§. 266); der-  F'LUXIE.REKENING. 243. derhalven hebben wy door fubftitutie , vZZZ -h zny—y'^. Nu Is boven gevonden «—31,[ derhal. ven hebben wy, door voor y haare waarde u in plaats te ftellen , vzzz-Vaau — u' I5. Waar hit blykt, dat 'de ontwondene Kromme AËP e ne Cycloïde is, gelyk aan de gegeevene Cycloïde. ABD. 288. Want, laat ASnSVra zyn 5 dan hebben wy, AN — FI zynde , AT zz FG zz z, en ls'1' 3* a~aM~MM3 - IG ; derhalven AT + TN = * + ZêftrU'l^ dar is AT+TKrNE, zyrde de eigenfchap der CycloïJe ( Toepasfing der /'Iget-ra op dé Hooge Meetkunde, ft. Den. y. S^') • dienvolgens fs' de Eyo/uta AAiJ eeneC'clnïde-, en naardien AV~ FD is, zo *tkg\ dat de Cycloïden AiiP en AbD aan elkander gelyk zyn. 289. Voorbeflu HI« De natuur der Ontwondene ( Evoluta ) van de Kromme A ' > ( Fig. 63 ) te vinden, welkers RaaLyn B i overal gelyk u aan eene gegeeytns^ Lyn a. Laat BF de Kromteftraal in het punt B zyn; indien dan uk het punt F ( §. zój ) een Perpendiculair getrokken wordt, zal dezelve door het punt F gaan ; wanneer derhalven het punt T op her punt F valt, dat is wanneer de Raaklyn en Ordinaat aan elkander gelyk wonlen , of de punten B <.'n O -op elkander, vallen, zal het punt E desgelyks op het punt D val* len: by gevolg valt de top van de ontwondene op dien van de opgewondene. Laat GF = £, GC = *, CB zz y, DN zzu, en y . y* NE~v zyn.; dan is yzz-—'- , y' zz , q a en  244 EERSTE BEGINSELEN der a2y Cn ^TZTZT ^S* a6p^: derhalven (§. 284) a*-y*] 3 bl=!±z!=x _ ïEEl=, -y a'-r a'y ~~ -y . >v aa—n2 en LE=txBL=--£:--x -zz-a~y\*; en naardien het negatif teken alleenlyk aantoont, dat de punten L en F aan de holle zyde der opgewondene Kroaime DA moeten genomen worden , zo is _a'-y2 T BL — , en LEzza'-y'W Hier door heb- y a2 — y ben wy «- (XB + BC-DF:z) — + y—a} 9 of uyzza2-y2+y2-ayy dat is wy-hayrra', en °' ^ , , • a'« yzz . Derhalven y = ; zo ook u4-a -7—,. vzz (GF-GC + CT-) b-x + a*— yH*, en yy derhalven v zz — x — — ■—. Maar CT :—: a2 —y21B yx jf , . y r — - a2—of «r-xa'-j'l1; by gevolg y y , heb*  FLUXIE-REKENING. 245 ü d fl+ 3** +— + — a a* -~ ■. 4*3 3 ar4 a aa 4#3 8*+ 4t5 a a* a3 ^5X* 4*5 a* a' Nu is uit deeze vier Term*» der Séries gemaklyfc te zien , hoe en op wat wyze de overige Termen gevonden kunnen worden , zonderde Deeling verder voort te zetten; want de Tellers zyn de Magten van x, en frönne Exponenten zya i minder dan het getal Termen, waar toe zy refpedivelyk behooren , vermeenigvuldigd met de gemelde getallen. Voorts zyn de Noemers de Magten van a , welkers Exponenten met die van x in de Tellers overéénkomenden de tekens der Termen wisfelen beurtelings af in -i- en -. Dus is de vyfde Teim 5** 6xs + —-, de zesde Term — —; en zo vervolgens. a *5 296%  FLUX I E - R E K E N I N G. 251 296. Voorbeeld IV. De gegeevene Grootheid I -h X2 — 3 X* ——— in eene oneindige Reeks te herleiden. I — x — xz Bewerking. 1 — x-x2 + ?af" -h*J — 2x+ H-3xa-3a-'-sa:* + 4*3 + ** + 4ï3-4_;4-4a;3 5 a:* — 5 a:5 — S»s ■ +9X5 + 5X6 In deeze uitkomst , of Séries , 1 4- x -t- 3 x' + &c is nu' de Wet , om dezelve verder voort te zetten, openbaar; vermks de Coëffi:ient van eiken naastvolgenien Term fteeds aan Ue lom der Ccè'ffi' cienten van de twee onmidd-lyk voorgaande Termen gelyk is. Ook is de Exponent van x , de eerfte Term, welke 1 is, niet in aanmerking neemende, fteeds geiyk aan het getal der Termen aan die plaats. 297. Voorbeeld V. De Radicaale Grootheid fa* -i-4*' in eene onëindige Reeks te herleiden. Be-  2$- EERSTE BEGINSELEN der Bewer ring» „> , 5' a*a zx* 4x6 a? + 4*,<« + + &c. L a a* a5 fl* a«) + 4*1 j + 4 j7S-J , az -) -Lv a / fl= 4*4 8a:6 4*» 4** 4*4\ 8a;6 4"^" aa+ V _j. 1__ a «'/ a* a6 8ac« lo-*» l6j_l0 _6j_IS a* a6 a8 +"aIO~ 20a;8 16*10 i6xn a6 a8 ato ÉrV. Want, trekkende den Vierkants-Wortel uit a2 komt 'er a voor den eerften Term der Séries: vervolgens na denzelven gequadrateerd te hebben , trek bet komende van a2 + 4*2, dan is het overblyffeJ Sn4 dVn tl °verbl^el doora. , het dubbeld van den eerften Term , dan zal het £atóm zyn  FLUXIE-REKENING. 353 2ac* -\ voor den tweeden Term der Séries, welke ge- a voegd zynde by 2 a , het dubbeld van den eerften IX* Term, en alles met —— vermeenigvuldigd, voort zal a 4 x4 brengen 4*'+' , en dit afgetrokken van 4 a;2 a2 blyft 'er over , hetwelk gedeeld zynde door a2 4 »* 2 a + —, het dubbeld der beide eerfte Termen van a ax* de .SVrier , voor den derden Term der Séries a3 zal voortbrengen , welke gevoegd zynde by 2 a ■+• 4jc2 ——, het dubbeld der beide eerfte Termen, en alles a met - —— vermeenigvuldigende , zal het Produti a3 4a4 8x6 43c8 41* zyn 1 ; dit Produel van '— —— a2 a4 a6 a* Sx6 afgetrokken , zal het overblyffel zyn —\ — a4 , *t welk gedeeld door het dubbeld der drie a6 reeds gevondene Termen van de Séries, naamlyk door  254 EERSTE BEGINSELEN der door 2a-I , voortbrengt -I , voor tf a» fl5 den vierden Term der Séries. Op de zelfde wvze voortgaande , kan men van de Séries zo veel Termen vinden als men begeerc; zo odL wanneer men de wet van voortgang der Séries ontdekt beeft kan men , zonder de Bewerkin? verder voort te zetten . van de Séries zo veel Termen vinden , als men begeert. 298. VooBBPELi) VI. Men begeert de Radicaale Uitdrukking i-x-x,Jr in eene oneindige Reeks te' veranderen. Bewerking. ^ X ÏX* 5X3 L 2 8 16 1 2) — x — x* x' -x+- 4 5*' a - x") 1 *7T - f 14 rr~ ... hys 4 8 64 a - at 1 —— 4 ✓ 8 64  FLUX IE-REKEN ING. &55 5x1' 5** 2'*5 25 a:6 8 16 64 256 &zx* ï5xs 25X6 64 64 256 fik _. 4 x 5»' 5a:3 Deihalven i-*-aM =1 ■ — &c> 2 ,8 .-©, 999. Naardien de Wet om .Seritf , uit radicaale GrOOiheden voortkomende, door middel vaa eenige op voorgaande wyzs gevondene Termen te vervolgen , riet zeer gemaklyk te ontdekken is , zal ik hier nog eene andere handelwyze by voegen, door middel van. welke het begeerde in zo veel Termen als men ' verkiest 'itet weinig omflags gevonden .wordt. Men ftelle naamtyk de' waarde der voorgeftelde radicaale Grootheid gelyk aan eene Séries met onbekende Coëfficiënten; en deeze aldus aangenomene Séries verheven zynde tot de tweede , derde, vierde magt enz. , naar dat de Wortel , die uit de Grootheid getrokken moet worden, van dé tweede , derde, vierde magt , enz. is , zal men eene Vergelyking, van Surden ontbeyen, bekomen, waar uit, door vergelyking.' der overgenkomftige Termen, de aangenomene Coëfficiënten, 'eh dienvolgens' de gezochte Séries, b paald zuilen worden; zo als nu vervolgens getoond zal worden. 2 n . n 1 ^ 300. Voorbeeld VIï. T>e Grootheid a -hx I in eene oneindige Reeks te herleiden. Laat \+Kxzn+Cx*n+Dx6n + EXPn+ &c de begeeMe Séries zyn. Deeze tot de tweede magt verheffende, hebben wy Aa-h  «5« EERSTE BEGINSELEN der AH2AB*2B+2AC*4n+2AD*6B + 2AEl . 8» CM II X (JC. + B2x4n+_BC/,B+2BDJ>+a en by gevolg A^ + aAB^" -r-aAC«4B + 9AD/w-i-^ aAEx8" £rV. -fl2" _. „»» + B**4« + aBCa;6n+.}»p aBD*8" + C*x8n £f?ff. TVrhilven hebben wy, door vergelyking der Coëfficiënten, A'-a'B_o; of A'_a3B, en Azzan; 2AB —1=0; of Bzz (— z~\ —- ^2 A S n aa «I j _AC4/BJ=o; of 2a X C-! _o,enC_ 4«2B i_3« n i 2AD + aBC„oj of aa x D + a x x • . . • « a a i 8a3«~°' dat  F L ü X I E-R E K E N I N G. 257 M 1 1 1 dat is anx D + — x - —*± « xD ZZO, 1 en D _ ; 2AE + 2BD + C'ZZO; of 2aBxE + 2X — X n 2a 11 5 1 = 0; of 2a"xEH ro; i6*SB 64a6n 64a6n en E — -—. 128 cJn Dienvolgens A + B*2 * + C*4 n+ D *6B + E ar8n aa" 8a3" l6flS» ,a8a7n Welke Séries, Hellende » —1, zal worden a-| 1 2 a 1 £fo zynde het zelfde dat 8a» 16a5 128a7 gevonden wordt , als men de radicaale Grootheid l a3 + *2|2, naar de eerst voorgedragene Leerwyze jn eene Séries herleidt. 301. Voorbeeld VIII. De Grootheid a-r-bxnl* in eene oneindige Reeks te veranderen. R Laat  ?58 EERSTE BEGINSELEN! der Laat a+bxn\* zz A+Bxn 4-C*2B + D*3B~p, firV. zyn. Dan hebben wy, door deeze Vergelyking tot de derde magt te verheffen , A* + 3A*Bxn+3A>Cxn-n+3A*DxSn+&c.! II I ö + 3 A B»x2n + 6 ABC x^n + &e. > t H-B9*3B-h6?f.Ji* en by gevolg A* + 3 A* B xn + 3 A'*C *2 B+ 3 A2 D *3 8+öO a— 4,»-(-3 AB2 *a a + 6 ABCP « + gv. J. If i ? B**3B -h ö-ftj Derhalven hebben wy, door vergelvking der Coëfficiënten, J ° A3 —fl-o; of A3_a, en AzzJ; 3AaB-^-0} 3AaB-a;of B- /JL _L. B1 3A*C-h3ABs_o;of ACzr-B1; CzzQ-^zz^ b' 9 a3 3A'D+6ABC+B.=ojofD-r~C-i!!->i Sb3 81 a3 Dien-  F L Ü X I Ë - R Ë K Ë ÏSf 1 N G, 2ft Dienvolgens A -f- B xh -V C *" -i- D xn+£f«r. — a^-f* 1 1 h &c. i 5 8 3a3 oa3 81 a3 302. Stellende in^de boven gevondene Séries (§•300* a~1 , bzzi , bz:3; dan zal dezelve x* se6 5x'J worden i-1 i ÖV. zynde de zelf- 3 9 81 de Uitdrukking, welke gevonden wordt, als men, volgens de eerst opgegeevene Leerwyze (§. 297), uit i — x* den Cubic - Wortel trekr. Deeze zelfde handelwyze kan ook toepasfelyk gemaakt worden op zodanige Radicaale Grootheaen , welke negative Exponenten hebben, zo als in het volgende Voorbecid te zien is. 303* Voorbeeld IX. Be Grootheid —in eene ... ,. a-x oneindige Reeks te herleiden. 1 Laat -A-r-B*-r-C*2+Dxs + E** &c. dé a-x begeerde Séries zyn. Deeze Vergelyking met a-x vermeenigvuldigd, heeft men i:=aA+aB* + aC*J-r-ADa;s-i--aEx+ Êfc — Ax — Bx' — Ca;3 — Dx* &c. Weshalven de overeen komltige magten van x té famen vergelykende , zullen wy hebben aA=i, ab-Ar;o,aC-Br;o, «D-Czo, aE—Drro, Êfcé Dienvolgens Azz-, Bzzf — - —, C~ Ra Va J  *6o EERSTE BEGINSELEN der /-B -v i -v t JO ^ i Xa-^a» ^a-^a* ^-a -'a5 i 1 x n* x3 x* Derhalven ~—| j 1 1 J- QV. a-x a a' a3 a* as 504. Alle foorten van gebroken en Surdifche Grootheden kunnen in onëindige Reekfen herleid worden, door het beroemd Binomisch Theorema van den Ridder Izaak Newton, en wel ten aanzien der verheffing tot Magten, of de uittrekking van Wortelen, op eene veel gemaklyker en vaardiger wyze, dan door eenige andere Leerwyze. Ik heb elders (*) getoond, boe dit Theorema uit de Beginfelen der Algebra kan afgeleid worden; thans verëischt myn tegenwoordig onderwerp, dat ik doe zien, hoe men door de grondbeginfelen der Fluxiën tot het zelfde befluit geraakt. 305. Laat i-fy een Binomium zyn, welks eerfre Term de een beid , en tweede Term eenige voorgeftelde Grootheid y zy, en laat de Grootheid, welke ontwikkeld, of in eene Séries herleid moet worden, i-r-;ylvzyn; van welke uitdrukking de Exponent v verönderfteld wordt eenig getal hoe genaamd, het zy geheel of gebroken, pofitif of negatif. aan te duiden. Nu is bet klaarblyklyk , dat de eerfte Term der begeerde Séries de eenheid moet zyn ; om reden dat, wanneer y~o is, alle de andere Termen vet' dwynen; en, in dit geval, 1-1-^1v gelyk aan de eenheid is. Laat derhalven i+Ay^-r-B^-f-C^-f- D>« (*) Inleidt n ge tot de Mat hem. Weetenfch. II. Deel, Bladz. 94.  FLUXIE.REKENING. aöi D.y* fcfc. begreepen worden de waare Waarde der gemelde Séries uit te drukken, of, dat het ze'fde is, laat T+y\v zz i + Ayw + ByB + Cy? + Dy*-r&c. zyn, waarin A, B, C, D, ÖV. m, n,p, q, £fc. onbekende, maar bepaalde Grootheden uitdrukken. Indien wy alsdan , y veranderlyk onderftellende, de geheele Vergelyking in Fluxiën brengen,zullen wy hebben v'yx I +y\V_1 ZZ my' Aym~I + «y BjB-I+/>yC/~I + fljDy?~1-|- fifff. 306. Wanneer wy nu de laatstgevondene Vergelykingè met de Vergelykingè 1+Aym-r-By"+ Cy? -r-D/+Éfe. zz i+y\v (§. 305) vermeenigvuldi- gen, en tevens door yx 1 +ylV~"1 deelen, zal 'er komen V + vAym + vByn-'rvCyP-r-vDyq -'r&CZZ T+yxmAym~l+nByn"I+pCyp"~1+ . . . gF>yq~l &c Dat is v+vAym + vB;y'I-i-yC/-f-vD.y?+ £f<;.— mAyB,~1H-nO/"I-F/,c/"I + öDj?~Iö,c.+ mAym -hnBy1 —t-pCyP-hq Dyq &c. Derhalven hebben wy door herleiding wAjm"I+nByB-1+^C,'"I + ?D/-1 &c'l + mAym + nByn +pCyP &c. \» 'J — V — vAym—yByn—vCyP &c. J R 3 3°7«  m EERSTE BEGINSELEN der 307. Nademaal het ons nu vry Maat de Exponenten van y, naar welgevallen , zodanig te neemen, dat dezelve aan de Conditiën der Vergelykingè vol' deen , of we , dat alle de hier ter nedergeftelde Termen tegen elkander verdwynen; zo laat dezelve zodanig genomen worden, dat de Termen zelve van gelykejoort zyn ; dat is, laat m-izzo, n-i~o r~-rnjJTxrf Z*'D ' enz* Dan ^bben wy Tri ' \-C^+t=)2, p=(n+122)3, « = CP+izz) 4, enz. yj' * Stellende nu deeze Waarden in de boven gevondene Verge'yxinge ($, 30Ö j , zal dezelve worden A —r-aBy—f-3Cy—(-4Df + ^c.! —r-Aji—r-2B;y2—h 3Cj3 -+- &C. V =0. —v—y/i v — vBji1—^-vCy3 — öV.J Derhalven hebben wy, door vergelyking der Coëfficiënten, o «■ a A-v-o, ofA=v; aB-l-A-vAzro, of B f'± vA-A Axv-i\ vxv^i —7^ = \- J 3C+2B,yB-ot 2 a / a * S 3 3 a * v — 2 - V p — o p —; 4D+3C-vCz:o, of D f r ~JZ - 3 ^ 4 " Cxv-3\ _ v—1 V—2 v—3 T ) — V J< —— X —- X ■ , en zo ver* 4 2 3 4 Volgens* 308. Subflitueerende nu de gevondene Waardeiï VOQï As, B? Cj O, enz. benevens die van wt, n,  FLÜXIE-REKENING. 253 p, q, enz. (§. 307) in de eerst gecomene Séries I-r-Aym + nyn + CyP-'rDyq ffc. (§. 305;, zullen wy eindeiyk vinden 1 + y |v — i-h yy + . . . v X v—i v X v—1 x v—2 y> -| , . j» . . . . 1.2 1.2.3 VXV — IX V— 2 X v — 3 -i . y* + fj>c. 1-2.3.4 309. Oh deeze aldus vcortgebragte Séries kan eeniee Magt of Wortel van eene andere famengefteN de Grootheid, het zy dezelve in twee, drie, of meer leden beitaat,gemaklyk afgeleid worden. Want, als men onderftelt, dat P den eerften Term van eene zodanige Grootheid, en Q het Quotiënt der overige Termen, gedeeld door den eerften, verbeeldt, zat de Grootheid zelve uitgedrukt worden door P+PQ, of Pxi+Q, en derzelver v^. magt door Pv x i + OjV, welke derhalven gelyk is san Pv x . . . V X V-l V X V- l X V-2 I-<-yQ + Q.+ Q3+.. 1.2 I.2.3 v . v—¥ . i>—2 . v—3 Q4+'&e.9 in gevolge hetgeen 1.2.3.4 wy boven (§, 308) getoond hebben. 310. Doch wanneer v een Breuk is, zo als in dit geval by de Worteltrekking plaats heeft, kan dit Theorema, voor de daadelyke oeflening eenigermaate gemakiyk gemaakt worden, door in plaats van v een B. 4 Breuk,  264 EERSTE BEGINSELEN der m Breuk, als —, te fuMitueeren; waar door dan het n Theorema in het volgende zal veranderen: m mm n« ' ~n ~-l mm m — n P xi+QIb = p°xi + -Q+-x q' + n n 7. n m m — n m — an m m—n m — in — x x • Q' -1 x x x B 2« 3»j n a» 3» Q4+ &c Het gebruik van deeze Theoremata, 4« zal uit de volgende Voorbeelden blyken. 3U. Voorbeeld X. De Grootheid a^-t-x2!^ in eene onëindige Reeks uit te drukken. Naardien de Grootheid a* + x-\* - a2 I"2 x H—; is, zullen wy, door deeze laatfte Uitdruka2l king met het algemeene Theorema (§. 310) te ver. x2 gelyken, hebben P~aa, Q — —, mzz 1, en nzza. a2 Stellende derhalven deeze Waarden in de laatfte al* gemeene Vergelykingè, zal men bekomen a2-t-*Ms x2 x4 = ax i+ix —+ ix—ix—+ix-ix-|x a2 a* xb - + a6  F L U X I E-R E K E N I N G. 265 - , - — - + £ x - i x - l x - I x - + &c. = a + a" a8 x* x* x6 5*8 + tfc. aa 8a3 lótf5 l?.8a7 Warjneer men de handelwyze van §. 297 gevolgd hadt, zou men, fchoon door een grooceren omweg, tot het zelfde befluit gekomen zyn. 312. Voorkeeld XI. De Grootheid a3 —x3'.s in eene onëindige Reeks te herleiden. Daar in dit geval de gegeevene Grootheid uicge. j 1 *s|* drukt kan worden door a3|3 x 1 —— 1 , zal men, o3| door vergelyking van deeze Uitdrukking met het m m algemeene Theorema Pn x 1 + qln(v.3io), heb. x» ben,Pra»,Q = , rnzzi, en «-3. Derhal. a» ven verkrygen wy door Subftitutie £>j3 a?—*»)* ^-axi :| J=axi + lx- 7. 76 x9 -+!x-fx — H-fx- f x — § x - — + f x - f x - l x - t! x — + &c. a11 R S -a  265 EERSTE BEGINSELEN dsr *3 x6 5X9 iox1" 3a1 9a5 8ia8 243a11 ^ * 1 313. Voorbeeld XII. De Groutlieid . , _ , 32 - dat is a2 — y"{~2, in eene oneindige Reeks te lierleiden. Hier is a1 — y> |""* - 7>'r^ x 1-— | ; der- a2l y' halven Pzza1, Q= , rnzz-i, en sraj dus a' hebben wy door Subflkutie a* — ys|"~"^ . • . 1 1 "Hy1 f=-x I--I J = -x i-ix ix V a as| < a a' 54 " " y" -lx~-ix--ix-lx-~-ix-ix-i y8 I y2 3ji* cvs x- |x — + - -4._ + li.u- ±L_+ a8 a 2a3 8a5 i6a7 35y8 ■—- fifff. 138 a9 314. Voorbeeld XIII. Z«? Grootheid - a2-j-xfl|2' datis a^x'l""5, in eene onëindige Reeks te herUidan. Hier  FLUXIE-REKENING. a6? i . | x-i"? i Hier is a'+ x2\"'s zza-^ - x i +—) ~-X a°| a #J ' x1 H—' ; derhalven Pzza", Qzz—, mzz—l, cn a*! a1 «~?; en fubfHtuëorende deeze Waarden in het al« gemeene Theorema £§. 310), zullen wy hebben _j_ / 1 *2|""^\ 1 x' a'+ï'l"2 (=-XH )=-xi— £x — Va a3! / a a* " *♦ ~ x6 ~ix-4x ix-#x—|x ix—4x — a4 a6 x8 1 *a 3x4 5 xö a8 a 2a3 8a5 16 a7 35*8 + ÖPC 128a9 a 315. Voorbeeld XIV. De Grootheid —— —-—, ax — x*is 1 t <2aï w a x —— , of a x ax —x'i 5 in eene ax — x*l2 onèïncüge iJfefo te herleiden. ,-.4 1 I.JL — , 1 *j Naardien ax~-x-\ ax| *xi—■- is, «I iq hebben wy voor de gegeevene Grootheid a x «Tf *  268 EERSTE BEGINSELEN der ■axi 2 x i — - ; 0f, om dat ax ax\~~% ^ 1 _ fl _ i1 y a* a*l5 a*!« a**V *2 1— • ai *h * Vergelykende nui-! met ï+QÏ71 .... al CS- 3io), zullen wy hebben Qn--, mzz-i, en a 1 f» *l s / ~ «=T2. Derhalven 1 1 +Tq|w :=:- "» m — n ^ _ r s+-Q+-x Q'+fifc. )-i + — x « n as ^ a -1-3 ** -1 -3 -s -*3 T o ~TX~T+ — x — x—x—- öv. a 2 4 a* 246a' = —F_—■ + aa 8a2 i6as l28a+ Dienvolgens — x I — - / = , x  FLUXIE-REKENING. 269- x r? X i + ) na^r^x ' -3 x* ^2" -5 x* -2 -5 -8 H X 1 X X 1 X X X 3 a2 3 6 a4 3 6 9 ZJó Zl ^1 _n x8 1- X —: X X X h &c. = a6 3 6 9 12 a8 " 2X* 5 X* 40 X6 IIO*g a2|~3 X 1 + 1 + 8V. 3a2 9a* 8iac 243a8 Vermeenigvuldigende nu deeze laatfte Vergelyking met a*p (na3)» zullen wy hebben : _ T 2x' <;x* 40*6 110*8 •■f* x I +• - 1 1- &c' 3a2 9a4 8iafi 243a8 321. Voorbeeld XIX. De drieledige Grootheid x3 + ax4 + 3X5P in eene onëindige Reeks te herleiden. S Aan»  274 EERSTE BEGINSELEN der Aangezien x3+.2x4+ zxs\%—7^xi+ax+yï*|* is, zullen wy , door deeze laaifte Uitdrukking te m m ▼ergelyken met PBxï"TQ|B (§. 310), hebben P-*s, Qra*+3*2» m~it en «=3. Derhalven X3+ 2X*+ 3*5i^-*XI+fX 2x+3*»4-1 x ~X 6 2*4-3**1 +|X X — X2T"-|-3Taj3 + | x 6 9 —2 —5 —8 ,4 2*a — x — x — X2* + 3**| (tfc.-x+ 6 9 12 3 f*X3* + 3*,r+ ïlxxaT+3*1! 3-4f* - ,*C 2*1 3*3 4*3 X 2ï+ 3*1 i efo = *+ + 3 3 9 12 *♦ 9*5 40** 60 *5 löo*s 9 9 81 27 243 ^ ' 3 9 «x 243 322. Wanneer de voorgeftelde Uitdrukking in twee of meer ftmengeftelde irrationaale Grootheden beftaat, welke met hei teken van vermeenigvuldiging te famen gekoppeld zyn, rroet men iedere Grootheid afzonderlyk in eene Séries herleiden, en dezelye alsdan famen vermeenigvuldigen; mits geduurig in acht neemende, dat men alle zodanige Termen verwaarloost, waar van de Exponenten die van den laat- ften xs+ nx*-\r 3*5j3~*XI+fX 2x + 3*«4-|x — x 6  FLÜXIE-REKENING. 275 ften of hoogften Term*tot welken men voorneemens is, de gezochte Séries te vervolgen, te boven zouden gaan. Het volgende Voorbeeld kan tot opheldering hier van dienen. a2 — x2 j"2* 323. Voorbeeld XX. De Grootheid —•, 0/aa—x'i^x bJ — xM""2» i» t?e«e onëindige Reeks te herleiden. De eerfle te herleiden Séries is as—acM^ . . . J ^=ö"l^Xi—-j J = a X1 -| • Wanneer a 1 m x*\z ^ - wy nu 1 - — j met i+Ql (§. 3103 vergelyaJI *a ken, zullen wy hebben Q~ , m~ 1, en n~2. I - at *' —1 Derhalven 1 ( = i+sX + ÏX — X a2l ■ a2 4 x* -1—3 *6 —1 —3 — + i X— X —X r- £ X — X — X 0* 46 a6 46 — 5 *B *?s *♦ *s 8 X a8 + . .** 1 aa* 8a4 ióV 5*8 . ÖV, S a DieD' wy nu 1 - —j met i+Q| n (§. 310) vergelyaJI  t76 EERSTE BEGINSELEN der X1 X* X6 Dienvolgens fl x i 1 — a —. a'l 3a 8a» i6as 5*8 6fc. 138 o7 324. De tweede te herleiden Séries is — *a |""^ *XI— j r1 x 1 —r* Vergelykende nu , als vooren , 1 — — met H n in «* (§• 3">)» zullen wy hebben Q b' « ~ —1, eö ?j —a. Derhalven 1 — —1 —\ + — 1 -**s —1 —3 x* —1 <-3 X + X X 1 x — x 2 6* 3 4 b* 2 4 — 5 -*6 —1 -3 —5 —7 *8 — X 1 X X X X — +&C, 6 b6 346 8 b9 x* 3** 5*s 35*8 — 1H 1 1 1 &c» Dienvolgen» ab» Sb* 16b6 128b* 1 _ t ?r* 1 *a 3** rCi'jxi— + — + — + * Z>°I & 2£3 8as 5*6 35*' —" + ■ &c, 16 i7 128 i» 335.  F L ü X I E-R E K E N I N G. 477 325. Wanneer wy nu de beide gevondene Séries <§§• 333> 3H3» te famen vermeenigvuldigen, zullen wy hebben aai 3a I 1 - + X*'+ x*4 + b 1b3 .»_ 3. + ,,+ '•2 I.2.3 i.2.3.4 y*+sv. «. n — 1 334. Stel nu, kortheidshalve,» ~A, ——-—B, 1.2 ».«—!.» —2 ».»—I —2. b —3 ' -C, -- d tJc, '•2.3 ï.2.3.4 dan zal,naSubftitutie van axq + bx2^+cx^q + &C. in plaats van y, de gevondene Uitdrukking <"§. 333) worden xpn + Aaxpn + U-AT+~ÏÏa~*Xxpn+* wordt dan zal het Vierkant van * vermeerderd /li tit worden tot * + x\ — x'+zxx + xx; derhalven i i t i zal het Increment van #J zyn 2* * + * t welk derhalven tot x, het Increment van ±, ftaat, als ï 4 2^4-Jstot 1. Hoe kleiner derhalven x genomen wordt, hoe nader deeze Ratio by die van ix tot 1, welke haare Limiet is, zal komen , en derhalven zal de Ratio der Fluxiën uitgedrukt wordendoor die van sx tot 1, of, dat het zelfde is, door die van 2** tOt * (§. 19). jj 20. Lcaï c?e iRaJio der Fluxiën van x en x begeerd worden. ' , n Indien dan x Vermeerderd wordt tot x-\-x7 zal * vermeerderd Worden tot x-l-x\ —X -mx x -f* ».« — r , b.b —i.n—2 «._„ / Z1"2^ + —^- 3 *3 &ci.t 1.2 12.3 (§.308). Derhalven zullen de Incrementen van * en xn tot elkander in reden zyn, als 1 tot nxn~ -f* «1 0/ B.a-i.«-2 , , . . *w-2*.f *B 3*Hcé 1.2 1.2.3 kleiner derhalven x genomen wordt, hoe nader de' Ratio by die van I tot nxn~ 1, Welke, zo als b!ykts haare Limiet is, zal komen* Derhalven is deeze T laa:*  soo EERSTE BEGINSELEN oer laatfte Ratio, of die van x tot nx91"1 'x, de Ratio der begeerde Fluxiën (§. 24 ). 344. 3°. Laat voorgejteld wtirden de Reden der Fluxiën van de zyden AC en BC (Fig, 67), eens rechthoekigen platten Driehoeks ABC, te bepaalen-, in de onderftelling, dat de Perpendiculair AB onveranderlyk blyft. Onderftellende dat Cd eenig Increment van BC, en Dd het overeenkomstig Increment van AD (zz AC) verbeeldt, dan hebben wy, volgens myne Grondbeginselen der Driehoeksmeeting (§, 96), in den kleinen Driehoek CDd deeze evenredigheid: Cd : Dd :: Sin.LCDd : Sin. L. DCd, Ey gevolg zal de Ratio der Incrementen van BC en AC in 't algemeen uitgedrukt worden door die van de Sinus des hoeks CDd tot de Sinus des hoeks DCd. Hoe kleiner nu de Incrementen verönderfteld worden te zyn, hoe nader de hoek CDd gelyk zal worden aan eenen rechten hoek , of aan den hoek B, welke deszelfs Limiet is, en hoe nader ook, ter zeiver tyd, de hoek DCd gelyk zal worden aan den hoek BAC. Derhalven is hier de Ratio, welke tot een Limiet van die der Incrementen verftrekt, die van de Sinus des hoeks B (of Radius) tot de Sinus van den hoek BAC. Welke Ratio desgelyks die van de begeerde Fluxiën uitdrukt (§. 153). 345» Op de zelfde wyze kan de reden der Fluxiën van andere foorten van Algebraïfche en Meetkundige Grootheden nagefpoord worden; doch het zou vergeeffehe moeite zyn ons by dit onderwerp langer op te houden. Ik zal dus alleen bier nog eene aanmerking byvoegen , betrekkelyk tot de waarden vau eenen Algebraïfchen Breuk , in die byzondere om- v ftao. iigheid, waar in beide deszelfs Teller en Noemer gelyk ain nul worden, of ter zelfcfer tyd verdwynen. Welks Waarde, zo als uit het boven ge- leer-  FLUXIE-REKENING. 291 leerde volgt, gevonden zal worden, als men de Fluxie van den Teller door die van den Noemer deelt. Want, nademaal de Waarde eens Breuks, in die omftandigheid , befchouwd moet worden als de miteerende R.atio , tot welke deszelfs twee Leden, Telleren Noemer, alvoorens te verdwynen, moeten fametiloopen: en aangezien de Fluxiën fteeds door die Ratio uitgedrukt worden, is de waarheid van den Regel, of ftelling , hier door openbaar. — Wy zullen dit door een Voorbeeld nader ophelderen. ** — aJ 346. Laat derhalven de Breuk voorgefteld af—a worden, ten einde deszelfs Waarde te vinden, wan» neer xzza is, en dus de Breuk in § verandert. Indien wy den Teller door deu Noemer deelen, is het Quotiënt x + a; en Hellende xzza, zo is de Waarde des Breuks zzza. De Fluxie van den Teller is tt iedere Term onbepaald grooter zyn, dan de volgende. Ên wanneer ar—o is, dan is in de Reeks è, 0°, o1, o2, &c. £ eene onëind'ge Grr otheid, en o is niets, zo als boven (§. 346) getoond is. Derhalven is o° eene eindige Grootheid, Stel o°zzk, dan is J : b :: b : o, en by gevolg §xo _ 1x0 —b', dat is zz zzi •> waar uit wederöm tén. o klaarften blykt, dat b of o° zz 1 is. 34&  FLUXIE-REKENING. 293 a a 35°- Laat , of de Breuk , die daar 1 —1 aan gelyk is, eeue onëindige Grootheid zyn. dan ztillen wy, door de deeling daadelyk te venichten, j. uu a a a hebben, — o-!-«-J-a H -, en — 1 —1 I —I + 1 a a — a — a—a -4- — . Deihalven ■ a -1+1 1—1 o a -i- a ~ • a — a — a ifc, waar uit volgt. 1 —1 dat eene onëindige Grootheid door eindige Grootheden nimmer vermeerderd, noch verminderd worüt. 351. Uit het nu voorgedragene, wegens de eigenkhappen van o of niecs, worden natuurlyk deeze onloochenbaare Gevolgen afgeleid. I. Als o met eene eindige Grootheid vermeenigvuldigd wordt, zal het Produit o zyn. IL Als o met eene onëindige Grootheid vermeenigvuldigd wordt, zal het Product eene eindige Grootheid zyn. Of eene eindige Grootheid is een midien-evenredige tusfchen nul en oneindig Want o x oneindig ~b (§. 347). IIF. Als eene eindige Grootheid door o gedeeld wordt, zal het Quotiënt eene onëindige Grootheid zyn. Want b - - oneindig (§. 347). o *V*. 0 door 0 gedeeld wordt, zal het Quotiënt eene eindige Grootheid van eenige foort zyn- vVant, door Gevolg I., is bx<.~o, eu derhalven eene eindige Grootheid, of niets. V. Daarom ook o°—i, of de oneindig kleine Magt van eene oneindig kleine Grootheid, is oneindig nahy 1. VJ. Als men eindige Grootheden, welke die ook zyn, T 3 by  294 EERSTE BEGINSELEN nsa by eene oneindige Grootheid optelt, of daar van af , maakt zulks geen verandering, VII. Wanneer dus in eenige- Vergelykingè, waar i» fommige Grootheden voorkomen, welke oneindig kleiner dan andere zyn, kunnen dezelve, uit de Vergelykingè verworpen worden. VIII. Eene oneindige Grootheid kan tweezins be* fchouwd worden, naamlyk als pofitif, of als negatif» b b Want , of — oneindig. + o —o 352. Men kan niet ontkennen , dat in de Leere der oneindigen en nieten, zaaken voorkomen , welke buitengemeen fpitsvindig en moeijelyk te bevatten zyn. Schoon echter de voorwerpen zeiven boven onze bevatting zyn, is het evenwel buiten onze rnaet de kracht van betooging, belangende hunne Magten, eigenfchappen en gewrochten , te weder, ftaan; welke eigenfchappen wy, zo wy durven vertrouwen, cu naar behooren, en op eene voldoende wyze , verklaard hebben. Metaphyfifche denkbeelden, welke buiten deeze Wiskundige bewerkingen gaan, behooren niet tot den kring , binnen welken een Wiskundige zyne navorfchingen beperkt. Genoeg zy het ons te zeggen, dat o, in eenen Wiskundigen zin , Dimmer een volftrekt niets betekent; doch evenwel altoos niets in betrekking tot het voorwerp, dat men voor heeft te befchouwen. Om dit op te helderen, zo laat onderfteld worden , dat wy den • Inhoud befchouwen, welke tusfchen den Bafis van een Parallelogram en een Lyn, evenwydig aan den Bafis getrokken, befloten is. Immers is het klaar, dat hoe nader deeze Lyn by den Bafis getrokken wordt, hoe mëer de Inhoud zal verminderen; tot dat ten laatften, wanneer die Lyn op den Bafis valt, de Inhoud niets wordt. Dus verëndert hier door de Inhoud in eene Lyn, welke niets, of geen deel van den Inhoud, is. Maar dezelve blyft Reeds een Lyn , en  FLUXIE-REKENING. 295 en kan met andere Lynen,doch geenszins met Vlakken, vergeleeken worden. 353. Om deeze Leerwyze nog in een klaarder daglicht te ftellen, zullen wy trachten eenige tegenwerpingen , welke daar tegen ingebragt kunnen worden, met klem van bondige lluitredenen, die alle ervarene Wiskundigen , wy houden ons des verzekerd, mer hunne toeftemming zullen begunstigen, ut den weg te ruimen. Voorëerst zou men kunnen zeggen , dat, wanneer men, in plaats van den Inhoud eens Vlaks te befcliouwen, de lengte van eene Lyn in aanmerking neemt, alsdan natuurlyk zal volgen, dat, wanneer haare lengte verdwynt , dezelve een Wiskundig Punt, of wel niets, zal worden. Doch zy, die zulke tegenwerpingen mogten doen, weeten zekerlyk niet wat zy zeggen; alzo hunne eigene lluitredenen genoegzaam zyn , om hen te wederleggen. Want wanneer de lengte van de Lyn verdweentn is, dan wordt dezelve een Wiskundig Punt, of niets; dat is, dezelve wordt niers, wanneer zy met eene Lyn vergeleeken wordt. Wil men nu zeggen, dat een Meetkundig Punt volftrekt niets is , dan beweeren wy, dat het voor Meetkundigen onnrogelvk zou zyn, van een Punt, als eene Meetkundige uitdrukking, eene bepaaling te geeven , naardien een volftrekt niets geene wyze van beftaan heefc, en in geene Weetenfchap eene bepaaling kan zyn. Ik zeg, dat eene Lyn niets is, wanneer dezelve met een vlak vergeleeken wordt, fchoon zy in zich zelve iets is. En ©m de zelfde reden, is een Punt mers, wanneer het snet eene Lyn vergeleeken wordt, fchoon het een ding is, dat op zich zelf beftaat, en geenszins volftrekt niets is. 354. De tweede tegenwerping komt hier op neder, dat wy geen Wiskundige Punten te famen kunnen vergelyken , uit hoofde dat zy feenemaal van deelen beroofd zyn; en dat 'er buiten deelen geene vergelyking kan plaats hebben. Men zou niisfchien kunnen denT 4 ken,  sg6 EERSTE BEGINSELEN bes ken, dat dingen op de gemaklykfte wyze te famen vergeleeken kunnen worden, wanneer zy onder gelyke omftandigheden , en van de zelfde foort zyn. Want pnnten moeten of onderling gelyk, of ongelyk zyn ; en zal 'er eene vergelyking' plaats hebben, moet 'er ook eene gelykheid zyn. Maar indien één der dingen van deelen ontbloot is , en het andere deelen heeft, kan tusfchen dezelve, als onderscheidene foorten van dingen zynde, geene vergelyking gemaakt worden. Intusfchen is het gemis van deelen geenszins de reden , waarom dingen niet te famen vergeleeken kunnen worden. By voorbeeld, gefteld zynde, dat iemand mogt beproeven eene Lyn met een Vlak te vergelyken, en tot reden gaf, dat zy niet te famen vergeleeken kunnen worden, om dat zy beiden van deelen ontbloot zyn , zou men zekerlyk om zyne dwaaze en onzinnige rede. neerirg moeten lachen , naardien de waare reden is, dat zy yau onderfcheidene foorten zyn , en 'er om die reden geene vergelyking gemaakt kan worden. 35£. Eene derde tegenwerping is deeze , dat de Ntd flegts de Limiet of fcheidspaal tusfchen negative en pojïtive Grootheden is, of wel het punt, van waar zy beide beginnen, en waar door zy moeten gaan, ten einde haare benaaming te veranderen. Dit te onderltellen, verraadt men zyne onkunde , wegens het groot en meenigvuldig gebruik van de nul in alle Arithme'.ifche bewerkingen. Ook zou men in de Oplosfing 'van Voorflellen weinig bedreeven moeten zyn, om niet te weeten , 't geen nogthans dikwerf gebeurt, dat o één der Wortelen van eene Vergelyking kan zyn ; en aisdan heeft o eene zo wezenlyke, verftaanbaare en bepaalde Waarde, als i, 3, 3, 4, enz., en dit is in de daad iets meer, d" zullen wy hebben , % S±Z .... . _i es* xl + 43* ar1 +4**xa| a's-i-a*"* a* a2 Fluxie van de Kromme AB, welkers Fluent is z — ffls x +■ | *3 2 ** ' ($' 61) zz x H z de Lengte van a2 3a= de begeerde Kromme AB.  FLUXIE-REKENING. soj 358. Voorbeeld II. De Lengte van eenen Para. bool te vinden. . n Laat de Parameter =:p zyn. Stel de Abfctsje (Fis. 60) zz x, den Ordinaat CB-y, en de Kromme A Br z. Oe Vergelyking van den Parabool is y'zzpx (Toepasfing der Algebra op de hooge Meetkunde §. 21). De Fluxie hiervan is ayyrp*. By . syy . 4y23>a „ , gevolg * zz , en derhalven x* zz — ^ ■•• öuD* P fiitueerende nu deeze Waarde van ** in de drukkinge van 'zzz'x' -h>l CS- 337)» zal 'er ko* Ay* 'y2 . * y « ,i men,z=: + y3| =-xp2 + 43',l • p» ' P Wanneer wy nu de Magt + in eene Séries zy* 2y* herleiden , zullen wy hebben : p -\ —- p P3 é?c. Derhalven z ( = - XpM- 4yM! ) 2 P_ 'y l~y' "ay4 4y6 . . c:xp+ 1 &c, dat is zzzy p p P3 P5 i fi«»« fl;y4« 45/631 4. JLi - -f- II— — &c. En de F/mj«ï p» p* p6 ay9 ay5 4y7 van deeze óVriw is srj -1 1 ~ 3P* SP* 7P6 359»  sgo EERSTE BEGINSELEN der 350.. Voordeelt) III. De Lengte van den Halven* Cubilchen Parabool, welks Vergelykingè is px'-^ te vinaen, ■ ■ J ' De Vergelykingè px'zzy* herleid zynde, is y3 iyï ** — —, en x~ —, waar van de Fluxie is x = ? ^ _L • ■ ~ 1 . 9y'y' ■ —. Dienvolgens x* zz , en z' . . , ZT,"^-",« » 9y'y' • y2x4p-i-^y *2-f-ysl (§.337; = -hy'zz -. . yx4P+Tyi5 Derhalven hebben wy z zz — t zp2 360. Om van de laatstgevondene Fluxie (§. 359) de Fluent te vinden, zo ftelle men, naar aanleiding van §. 65, 4P+9yl^ = v; dan is 4Jö + py~ va, en . l . 2VV yyzzzvv (§» 31): derhalven y zz ♦ Waar uit 9 , 2 VV SVV volgt, dat y X 4P + 9yi ^ xvzz is. De 9 9 2V* FluenJ hier van is — (§. 61): maar v '~—m. . . , 27 4?+9^'i^; dus vs zz 4P + 9jl^./ DaarÖm — — *7  FLUXIË'REKENING. 3W 1* 42?.tfgl!,t de toï van y X 47+9>li By: 37 . . / jx 4j>+9y'2\ gevolg is de Fluent van z ^— ———— J — om deeze^«t te verbeteren , zo ftel dezelve ro; dan is ook yro '4»4-i9jig t (§* 69) ; waar door wy hebben ;— _8p" r Derhalven is de verbeterde Fluem 27 P 4p"+">yt* 8P _ i 27 36i, Voorbefxd IV. De Lengte eens Boogs van een Cirkel te vinden. . , Laat de Radius OA (Fig. 70) ra St£l de Abfcisfe AC = *. den Ordinaat CBry, en den boog ABzz; dan is COra-*. Mu is, volgens de gronden der Meetkunst, AC x CD = CB*. Dat is * X na — x = y* of 2a*—*" = ya Van  Sol EERSTE BEGINSELEN de& Van deeze laatfte Vergelykingè de Fluxie neemende, zullen wy hebben, na*—zxx— 2yy; dat • . . yy is ax—xxzzyy, en* — —. a—x 363. Wederom is, in gevolge het Pythagorisch Leerftuk, ö CO + cb'= öb\ Dat is a—ya — aa. of a—x\' • a* — 31» Dus a —* : a3—y'1^. 1 Subftitueerende nu de laatstgevondene Waarde van a—x in de fta van *, §. 301 gevonden, . yy zullen wy hebben * = — ; derhalven *2 = a*Sy~»\v y"yJ a« Deeze laatfte waarde van i2 gefubftitu. eerd in de üitdrukkinge van zzz'x'+y* |i ^g, 337^ zal dezelve worden, z = ■ . --r j»| = # - a'—y* 1 ! ~, = oyxa'-^pi"*2, de algemeene Uit- ._ ,w druk-  FLUXIE-REKENING. 303 drukking voor de Fluxie van de Lengte der Kromme. 363. Wanneer men nu a'—y']"11 (§, 363) in eene onëindige Reeks herleidt (§, 314 J, zal'et 1 y2 3J* sy6 35j8 63J10 komen: —1 1 1- ■ 1- —— + - a 2a3 8as 16a7 128a9 256a11 23IJ12 Aïgy1* -1 1 + &c. 1024 a13 2048 a15 By gevolg izzayx a' —^f"* (§. 362) ZZZZ . 1 y' ~~ ?>y* 5y6 35y9 t 63 j10 Uy a 2a3 8a5 16a7 128a9 256a11 231j13 429^'* . 4> y2y 1024a13 2048a15 ^ 2a3 3y*'y 5y6y $5y*'y ^.y10'y a3jyia'y H + + + + 8a4 iöaa ia3a8 256a10 1024a13 429^ I4y 4- —— + gfc. En de Fluent van deeze .Sfrifff 2048 a1* y3 3ys 5y7 35y9 (§. 61) is zzzy H f + + 6aa 40a* 112a6 1152a* 63711 2313»13 I43J15 2816a'10 13312a13 10240a14 de Lengte van den Boog AB. 3C4.  3ö4 EERSTE BEGINSELEN bëü 364. Om dit Voorbeeld eenigetmaate op getallen toe te pasfen, als het beste er gefchiktfte middel 4 om de Proportie van den Divmeter to: den Omtrek eens Cirkels, zo na als men begeert , te vinden, zo ftelle men de Radius OA zz a (§. 361) zz 11 en den Boog AB ~ 30 Graaden. Dewyl dan de Sinus eens Boogs gelyk aan de halve-Pees van den dubbelden Boog, en de Pees van 60Graaden gelyk aan de Radius is (zie myne Grondbeginselen der Drie* hoeksmeeting §. 14 >, zal de Sinus of Ordinaat CB ~J (§• 36I ) ZZ 5 zyn ; en derhalven zullen de Termen van de bovefi gevonden Fluent, in Decimad' le Breuken herleid, en onder malkander geplaats« zynde, aldus ftaan: , 500000000 &Ct , 020833333 , 002343750 , 000348772 , 000059339 , 000010923 , 000002118 , 000000426 &e. Hier van is de Som ,5235987 &e. zz de Lengte van den Boog AB» Naardien nu de Boog van 30 Graaden, welke wy boven tot een maatftaf aangenomen hebben, het twaalfde-deel van den Omtrek eens Cirkels is. ao vermeenigvuldige men de nu gevondene Lengte van den Boog AB, naam'yk ,5235087 fcfc, met 12; dan zal 'er komen 6,283185 &c. voor den Omtrek eens Cirkels, wiens Radius I is. Derhafven 3,141592 £ife. — den Omtrek eens Cirkels4 wiens Diameter 1 is. 36$.  HUX.lE-REKENiNG. 305 365. De nuttig! eid, welke in dit Voorbeeld ligt ópgeilaten , en waar door de thaffebe arbeid van onzen met recht verdieDstelyken Landgenoot Ludolf van Keulkn, in zyn Boek over den Cirkel, ten toon gefpreid, in eene zeer eenvouJige en gemaklyke berekening veranderd wordt, noopt ons deeze (toffe nog verder te vervolgen , en in een algemeener daglicht te ftellen, Wy zullen daar ipe den gronten Engelichen Wiskunstenaar Thomas Sijipson op her voetrpoor volden, om, naam]ykj de Sinus, Sinus Verfus, Tangens, of Secans van eenen Cirkelboog als bekend aan te me;ken, ten einde daar uit de Lengte van den Boog zeiven, ih Termen daarvan, te vinden* • 366. Stel de Sinus Verpus AC (Fig. 7°) -*» de Sinus CB, als vödren (§. 3órO -3*» de Tangent ATnr, de Secans O'Tzzs, den Boog A3~z, en de Radius OA , of OB, zza (§. 361). ^ jes- gelyks Bfizzx, nbzzy, en Birz' zyn. Nademaal dan de hoek ^nB ( — eenen rechten hoek) _OC8, en bBn (zz eenen rechten hrek — iL»»Bfö) == L.OHC is, zyn dienvolgens de Driehoeken ban en O8C gelykhoekig, en daaröm, ook gelykvormig* Derhalven hebben wy, CB : OB Bn : Bè* Dat is y : a :: * : z» . aa; Derhalven z ~± -—•. Dewyl nu da*—x'zzy* is y (§• 20 's sa* — *sl5 zzy. eii daaróm, ax door Sübftituüe, % ± : aax — **'^  3o6 EERSTE BEGINSELEN der 367. Wederöm hebben wy \deeze evenredigheid, OC : OB :: nb : Bb. Dat is aa —ya|^ : a :: y : z. ay Derhalven 2 zz , de zelfde Uitdrukking, a~^y~2\è die boven (§. 36a), langs eenen anderen weg, gevonden is, 368. De nu gevondene twee Waarden z ax ® ay L t CS» 3<56), en i zz ■——^ (§. 367) 2ax — *a|s a2—j»|2 vertonnen de Fluxie van den Boog in Termen van de óïfflttf Verjus en A'nar refpe&ivelyk. Doch oro de zelfde Waarden iu Termen van de Tangens en Secans te verkrygen , hebben wy, door gejykvor» mige Driehoeken: OT : OA :: OB : OC. Dat is f — a' + t2\* : a :: a : OC. a2 a2 By gevolg OC zz — . s aM-7ll* a' a3 Hier door is AC zz a — — "— a — ■ Derhalven heeft men voor de Fluxie der laatstge» a2s a2tt vondene Uitdrukking (§.31) = . 369.  FLUXIE-REKENING. $bf 569. De gelykvormigheid der Driehoeken bBtt ëfi CAT verlchaft ons wyders de volgende even* redigheid: AT : OT :: Bn : Bb. , fl2f Dat is sa — a*\ £-i : x=aa + tala :: — == . . < '* a* tt • — : z. By gevolg z = — == :• 370. Uit ééné der vier nu gevondene Fluxieftj ax aj haamlyk — (§. S°6.)j (§.367); aa*-*1!* o'-y1!* aJt a's i , (§. 369), zal de Waarde" + f iXéï~7>ii van den Boog zeiven, door de Fluent in eene oneindige Reeks te benaderen , desgelyks bekend worden. Doch de derde van deeze Fluxiën, in Termen van de Tangens uitgedrukt, waar in geen radicaale Grootheid gevonden worat, is de gemaklykfte voor't gebruik; niettegenftaande de eerfte van deeze Fluxiën" het ïpoeriigst afloopt. a' i 371* indien derhalven in eene ónëindtgd a*-f-e* V a i Ree&  308 EERSTE! BEGINSELEN der Reeks veranderd wordt, zullen wy hebben z :—- . t'i tH t6i t*i tI0t tln-t t + + + a1 a* a6 a8 a10 o14 t^i t3 ts h {fc., en by gevolg z ~ t 1 — a14 3a* 5a* t7 t9 f11 t13 tls 7a0 9a8 11 a10 13a13 15a1*"1" ~~ den Boog AB. 372. Wanneer nu wederom, als boven (§. 364) AB voor een Boog van 30 Graaden genomen , en OA —1 gefteld wordt, zullen wy deeze evenredigbeid hebben: OC : CB : OA : AT. Dat is ii/3 :%(*):: 1 : u By gevolg t (— — ) = j/f = ,5773503. Derhalven t3 (zztxt*~txV - ,1924500 ts (=zï*x.a = — - ,0641500 V 3^ (*) Naardien, in dit geval, OC de Sinus van 60 Graaden, en CB haare Cofinus verbeeldt, zo is, volgens de Grondbeglnfelen der Driehoeksmeetkunde, de Straal ~I zynde, de Sinus van 6o«~fj/3, en de Cofinus, ofwel de Sinus van 30?, ZZ%.  fluxie-rekening. 309 >V (zzt^xt zz—^) - ,0213833 v 3 y t9 CzzPxv-— } zz ,0071277 3 ï11 Czzt'xv— — ^) rr,0023759 3 y f13 ("ut11 x»* ——^ — ,0007919 ^ 3 j tis r~tj3 xt%——*, c002639 ,1924500 ,0641500 Dus ABr,5773502 1 , , 3 5 ,0213833^,0071277 ,0023759 ,0007919 7 9 11 13 ,0002639 ,0000879 ,0000293 ,0000097 + 1 j 15 '7 19 21 ,0CO0O32 ——— ZZ ,5235987: dit met 12 vermeenigvul23 digd, heeft men 6,283184 &c. voor den Omtrek eens Cirkels, wiens Diameter 2 is; derhalven is de Proportie van den Diameter ee™ Cirkels tot deszelfs Omtrek, als 1 tot 3,141592 fcfc. 373- Voorspeld V. De lengte van de gemene Qt* cMde te vinden» V 3 Laat j5235987 : dit met 12 vermeenigvul-  gio EERSTE BEGINSELEN Dia Laat de Radius OA (Mg? 71) van d,?n teelenden. Halven-Cirkel zza zyn * Stel de Abfcisfe AC zzx s den Ordinaat CB~j, en den Boog AB_z ; dan is, GF-2a —*. Nu is, volgens de gronden der Meetkunst, AC X CF = CG \ Datisjsx2a—* = CG . 4- , —— , 1 Derhalven CG sa* —*3|3* Hier va» & Etaxie neemende, heeft men Fluxie . a#—xx CG ~ ;■ _ . 374. Door de natuur der Kromme is CB — CG-fBoog AG; en dus ook Fluxie C8 — Fluxie CG + FluXie Boog AG, Ltewyl nu Fluxie Boog AG = Cl x fl 3c t—1 % x m:.n (§. 366), en Fluxie CG */iax—x2 ' ■ y 2qx— CS* 313) is» zullen wy hebben: ax — xx ax Ftyxie CB ZZ -? + —->, |/2a* —4'' l/2fl*--ac9 zax-xx xx. a—x Of JPÏwrie CB = tt—r— ZZ — -. ■ zz yzax—x2 *3x2« —*J2 * ' 1 fc—■ x 2a—«J*, zynde de waare Fluxie van den ffeftffflaf CB der QyUitb* •/zax — xz~ 374. Door de natuur der Kromme is CB~ CG-fBoog AG; en dus ook Fluxie CB — Fluxie CG + FluXie Boog AG, Ltewyl nu Fluxie Boog AG = Cl x fl x "nm c§-366^9 en %ffcCG = -» |/2a*— x2 ' \/2qx — Jf? (S* 3?33 is» zullen wy hebben: ax — xx ax Ftyxie CB ZZ —f + —->, |/2a*—i/2a*—*-» -ïuVaiaas • :. ü 3 art  FLUXIE-REKENING. 3U 375. Hier door is dan nu zrrfV+y1 (§- 337) =— ^ *a -! — ZZ aa\zXx ~x; x x ert by gevolg zullen wy, door de Fluent van deeze r ' x* ■ — li * uitdrukking te neemen, verkrygen zzz*a\s x (§. 6i ) — 2|/2a*r den Boog AB der Cycloïde. 376. Waar uit volgt, dat, als men in de laatst- gevondene uitdrukking (§. 375) za voor x in plaats heit, de lengte der Halve-Cycloïde \D gelyk zal zyn aan tweemaal den Diameter AF van haaren teelenden Cirkel. 377. VooaBEFxn VI. De lengte eens Boogs van de Spiraal van ArcHmedes te vinden. Laat CA iFig> 72), de Radius van den teelenden Cirkel, zzb, en AR, deszelfs Omtrek, zza zyn." Stel den Ordinaat CBzz5, de lengte van den begeerden Boog CPBrzz, en een Cirkelboog met den Ordinaat CB , als Radius, befchreeven ~ x ; dan is, zo als wy boven (§• 224 J gevonden hebben, oyy . a*y'y* 'v — .9 en derhalven *a zz . Deeze waarli* &+ de van i* gefubftitueerd in de algemeene uitdrukking der Fluxie van de Kromme % zz Y *2 "+" y* 7 1£ (§• 337)» zuIlen wy hebben z ZZ —— t-ja[ V 4 = • •  $12 EERSTE BEGINSELEN dek tf Z^aa7r+*4i* a*y*y + l>*yy . a2 ys y + ïb*yy «——i—< > = r —T" -"* + • • * !£4j' ï e . -— p= —Xflay4+è43fa| 7 x . • «* 313i+5**^5" + — * ^ ■1 « 378. Volgens de hier boven gelegde grondenvfcdt men , voor de Fluent des eerften Terms van de bovengevöndene uitdrukking voor z , •— x 2b2 • a»y4+b*y* j*, en voor die. des tweeden Terms X Hyp, Log. van ay -h a2y2 + b*V- ; derhaN aa 1 . . , b> ven z — — x a2y* + b4y*\2 H x Hyp. Log, 2èa aa van ay + asy2 + ^*|^. Wanneet nu het punt B op het punt C valt, waar door de Boog CPB en d§ Ordinaat CB beide verdwynen , en dus z en yzz\o zyn.j zal deeze Vergelykingè worden o —3 »-i x H#>. Log. van £». Pien«  FLUXIE.REKENING. 313 Dienvolgens zal, door de verbetering der Fluent, 1 de elgenlyke waarde van z gelyk zyn aan — x ai* a'y*+b*y*fi + —- X Hyp. Log. van .... aa rréisbs ** ay-t-a'y* + i4r X Hyp. Lo£. van b\ Daar . 2a 1 t P

n~ x' ftellen, zal fcfet Moment of Increment der Ruimte CPBC ~ lyx', of derzelver Fluxie rr | j"*-zyn, „. 382-  FiUXïE.REKENlNG, 315 •182. Of wel, laat de kromlynige Ruimte CPIC geteeld worden eoor oe veranderlyke rechte Lyn CF, die rondom het Centrum C draait4 en laat m den zelfden tyd de Seiïor CDCC door den Straal CD befchreeven worden; dan is het klaar, dat vóór en alëer de Lyn CF in den ftand CB komt , de giraal-Ruimte langzaamer aa'.groeijen, of rnet eenen minderen trap -van -fne'be d vtoeijen zal, dan de Cirkelvormige R.uimte of Seclor CDGC; en naderhand fpoediger , of met eenen grooteren trap van fnelheid. Zy zullen derhalven aan den eindpaal CB met eenen gelyken trap van fnelheid aanwen of vloeiien. Nu is het klaarblyklyk, dat de in-lheid, met welke de Settor vergroot, gelyk u aan zyne halve Radius, vermeenigvuldigd met de fnelheid , • waar mede zyn Boog befchreeven wordt; derhalven is de fnelheid, waar mede de kromlynige Ruimte CPBC vergroot wordt, aan den eindpaal CB, gelyk aan i CB vermeenigvuldigd met de fnelheid van het punt D of B, dat zich langs deïi Boog DG tot in het punt B beweegt; dat is , de Fluxie der gemelde kromlynige Ruimte is gelyk aan J-CB, vermeenigvuldigd met de Fluxie des Cirkelbooes DB. Of, ftellerde den Ordinaat CB_y, va den Bpog DB"*; dan is de Fluxie v?n do kromlynige Ruimte CPBC-£y*, zo als boven (§. 380J reeds gevonden is. 383. Hier uit volgt, dat, in het geval als alle de Ordinaten der Kromme in een vast of centraal punt famenloopen^de Inhoud der begeerde;Ruimte bepaald aal worden, als men , uu de eigenfchappen der gegeevene Kromme, de Waarde van * in Termen van j vindt , vervolgens de Waarde van * met i y vermenigvuldigt, en van het komende de Fluent neemt. 384. Voorbeeld U I>en Inhoud eens Driehoeks te  Sifi EERSTE BEGINSELEN dei lair BIJ_b, Bd_*, en ac, evenwydig aan AC heid der Driehoeken ABC, a B c, 8 BD : AC :: Bd : ac. Dat is £> : a :: * : y. ax Derhalven y — ——. b By gevolg yx, de van den Inhoud (§. 379), , , ax* ~ ax x x = ——; en dus de Fluent zz — ( — ■ x ) b ab ^- b a-S xy = —. Wanneer nu ac op AC valt, dan is xzzb, 2 . . j | »» [ , — en y—a. Derhalven is de Inhoud des Driehoeks Cxy^ ab zz — ) zz —. Dat is, de Inhoud ABC zal ge* ACxBD lyk zyn aan ■ — , zo als mede uit de eerfte ■ lod C - . . u | beginfelen der Meetkunde blykbaar is. 385, Voorbeeld II. Den Inhoud van de Ruimte ABCA (Fig. 69; te vinden, wanneer de Kromme AB een Parabool is, Laat de Abfcisfe ACzzx, de Ordinaat CB-y, en de Parameter _p zyn. Dan is, door de natuur der Kromme, pxzzy', of pMry. Derhalven is yx, de Fluxie van den Inhoud (§, 379), zzp^x^'x, en dus  FLUXIE.REKENING. 317 dus de Fluent rfpM (rzfp'^X*) -%xy, door y, in plaats van pix* te ftellen, =f x ACx CB, üen begeerden Inhoud. „ 386. De Inhoud, die hier in Termen van x gevonden is , kan in fommige gevallen , om radicaale Grootheden te vermyden, gemaklyker in Termen van y bepaald worden. Dit op ons tegenwoordig geval toepasfende, hebben wy px_y*t en * — ""** 2jy Derhalven * zz , en by gevolg de Fluxie van t Hy* y den Inhoud (—yx) zz j waar van de Fluent P is !lY-r —x-) = -x*:=txACxCB, 3P ^ 3 Py 3 de zelfde Uitdrukking, die wy boven ( y. 385 ) gevonden hebben. * 387. Hier uit volgt, dat de Inhoud van eenige Parabolifche Ruimte gelyk is aan twee-derde-deelen van deszelfs omgefcnreeven Parailelogram. «88. Voorbeeld III. Den Inhoud der Ruimte ABCG f Fig. 'O ie vinden, wanneer de eigenfchap der Kromme A"> zodanig is, dat haare Subia»,gens of Onderraaklyn CT onveranderlyk is ; óf wel, in ulle gevallen, de zelfde waarde hee+t. _ Laat ue gegeeven Subtangens C'f_a, GA_fr, yX GC-*, en CBrzy zyn ; dan is ar — ($. ao6), y en  318 EERSTE BEGINSELEN fis* en derhalven * — —. By gevolg de Fluxie van deö 9 i è Inhoud (—yx) ZZ ay, waar van de Fluent is ay* Doch Wanneer de ïnöoud der Ruimte zz o, of yzzb is, dan wordt deeze uitdrukking voor de Fluent zz ab; derhalven is de verbeterde Fluent ay — ab (§.69) zz y—b x azz den Inhoud der begéérde Ruimte ABCG. 389. VooREBEtD IV*. Den Inhoud der Kromme ADB (Fig. 76), waar van de Vergelyking is x4 — tax! + a' y* zzo, te vinden. De gegeevene Vergelyking der Kromme herleid zynde, heeft men a'y' zza1 x1 — x*, of a2y'zzzzz ? — x2xx*. Derhalven ay zza* — x2\~* x * , en uxte van het Lighaam AIV, aan den eindpaal Bfi, gelyk aan den Inhoud eens Cirkels, welks Straal de Ordinaat CB is, vermeenigvuldigd met de Fluxie van de Abfcisfe AC. 404. Stellende derhalven'de Abfcisfe AC-*, den, Ordinaat Cözzy, en c-3.14*59 &c, zz den haivenOmtrefc eens Cirkels , welks Straal de eenheid is, dan zal de algemeene uitdrukking voor de Fluxie des lighaamlyken. Inhouds c.y2* zyh: uit welke uitdrukking, met behulp van de Vergelykingè der ge* geevene Kromme, xof y' verdreeven kan worden; en alsdan zullen wy, door de Fluent van de daar uit voortkomende Fluxionaale uitdrukking te vindeD, den begeerden Inhoud van het Lighaam ABH hebben. 405. Voorbeeld I. Den Inhoud van eenen Kloot, of eenig Segment deszelven , te vinden. Laat de Diameter AD (Fig. «4) zza zyn. Stel ACrr#, CBrrj; dan is CD~a~x, Nu is, volgens Meetkunstige Grondheginfelen,, ax—-x3 zzy'; en,,(tellende in plaats van y% in de alge- raeene-uitdrukking voor de Fluxie van den lighaarn- jyfeen Inhoud, naamlyk cy*-x (§. 404 ^ zal dezelve wori  F L ü X 1 E-R E K E N I N G. 329 worden cicxax — x* zz caxx — cx*x. Hier van is cax* cx3 scax'-'zcx* de Fluent (§. 61) zz zz 23 6 den Inhoud van het Segment ABH. Stellende nu a in plaats van x, zal de voorgaan3ca' —aca3 de uitdrukking veranderen in — f™3 — 6 den Inhoud van den geheelen Kloot ABDH. 406. Nademaal viermaal den Inhoud eens grooten Cirkels van den Kloot ZZ ca*, en de Inhoud eens Cylinders, om den Kloot befchreeven, zzj-va- is, zo volgt, dat de Inhoud eens Kloots gelyk is aan viermaal den Inhoud van zynen grootften Cirkel, vermeenigvuldigd met \de deel van zyuen As, of gelyk aan twee-derde-deelen van zynen omge. ichreeven Cylinder, 407. Voorbeeld II. Den Inhoud te vinden van de Parabolifche Conoïde ABH ( Fig. 82 ) voortkomende uit de omwenteling der Parabolifche ruimte ABC rondom den As AC. Laar. den Parameter zzp zyn. Stel AC_*, en CoZZy* Dan is, door de natunr der Kromme, px ZZy*. Subftitueerende nu px voor y* in de algemeene uitdrukking voor de Fluxie van den ligchaamlyIcen Inhoud, naamlyk cy*x (§,404), zullen wy hebben caxx. Hiervan is de Fluent (§. ói ) == s cax*, of, door y' voor ax in plaats te Hellen, zz icxy'zz den begeerden Inhoud der Parabolifche Conoïde ABH. "X 408. Men kan nog op eane andere wyze in deezer yoegen te werk gaan. De Fluxie van de Vergelykingè der Kromme, naamlyk van pxzzy2, is px - x 5 ayy;  330 EERSTE BEGINSELEN der zyyi derhalveD x zz—. Subftitueereode nu deeze P waarde van * ia de algemeene uitdrukking voor de Fluxie van den lighaamlyken Inhoud, naamlyk cy'x zyy 2cj)3j C§ 4°0> zullen wy hebben