WISKUNSTIGE VERLUSTIGING, IN E E N E AANEENSCHAKELING VAN UITGÊLEE2ENE VOORSTELLEN, met derzelver ONTBINDINGEN. DOOR HET GENOOTSCHAP der MATHEMATISCHE WEETEN SCHAPPEN, ONDER DE SPREUK: k£N ONVERMOEIDE ARBEID KÖMT ALLES TE BOVEN. EERSTE DEEL. feAMSTÈ R Z) AM, Gedrukt voor Rekening van 't Genootschap, cn 2yn te bekomen by P. G. G é y s b e e k , op de hoek van de Prinfegragt en Egelantierftraat. m0c6xciii.   NAAMLYST DER HEEREN t, E D E KT des GENOOTSCHAPS, zo als dezelven van tïd tot tvd zyn verkoren. BESTIERDERS uit de honoraire leden» JOHANNES SCHILLING, Directeur over de Stads Werken » en Stads Landmeeter te Amfterdam; MLINDERT WIARDI, Schepenen Vroedfchap der Stad Haarlem. BESTIERDERS Uit De ordinaire Leden. JOHANNES BERNAUDÜS NOORDINK,- JOANNES van der F AARDT* BAREND KNEGTJES, Altt te Amflerdam* * ft JA-  iv N A A M L Y S T. JACOB de JONG, te Middelie. JOHANNES te VELTRUP , te Haarlem. JACOB KNEPPEJL, te Wormerveer. HA1MANUS RAKERSPietersz., Penningmeester. JEAW CORRECH, Boekhouder. AMOLD. BAST. STRABBE, eerfte Secretaris. ************* Jlj^j- c , tweede Secretaris en algemeen Correfpondent. CORRESPONDENTEN, MARTEN JELLEN ZUIDHOF, voor Groningen en Ommelanden, te Veendam. FEDDER KARSTENS, te Hamburg. JOHANN LANGE, te Bremen. CORNELIS HOKKE, ie Kortgene in NoordBeveland. JACOB CLAUSET, te Brunisfe. DIRK FOLKERS, teEmbden. JOHANN ISAAC BERGHAÜS, te Cleve JOHANNES, te VELTRUP, te Haarlem. JACOB de GELDER, te Rotterdam. GAR-  N A A M L Y S T. v GARRELT JACOBS BOUMAN, te Wener in Oostvriesland. GERRIT VERBOON, te Schiedam. JAN VERSCHOOR H. z., te Gouda. JOHANNES LLNDEMAN Jansz. , te Vlaar- dingen. RYN VISSCHER, te Purmerende. CORNELIS van DIEST, in 'sHage. HENDRIK ROOS, voor geheel Oost-Indien, te Batavia. HONORAIRE LEDEN. JOHANNES SCHILLING, Directeur over de Stads Werken, en Stads Land•meeter te Amfterdam. Johannes de Wilde, Makelaar te Amfterdam. Christiaan Brunings, Infpcdeur generaal van 's Lands Rivieren , op den huize Zwanenburg. cornelius constantinus van VALkenburg, te Haarlem. MEINDERT WIAR.DI, Schepenen Vroedfchap der Stad Haarlem. Henricus Hensuma, Secretaris te Mydrecht. * 3 OR,  vï N A A M L Y S T, ORDINAIRE LEDEN ARIOLDo BAST. STRABBE» Mathematicus en Leermeester in de Wis* en Sterrekunde te Amfterdam , Lid van het Genootfchap ter verbreiding der Mathematifche Wcetenfchappen te Hamburg, Secretaris des Genootfchaps. Jan Bolten, geadmitteerd Landmeeter voor de Ed. Hoven van Gelderland, Holland en Utrecht, &c. Architect, Lid van het Genootfchap ter verbreiding der Mathematifche Weétenfchappen te Hamburg; en Gecommitteerde tot de commisfie der Werktuig- en Scheikunde van den Oeconomifchen tak, Clasfis Amfterdam, HARMANÜS RAKERSPietersz., Leermeester der Wiskunde te Amfterdam, Lid van het Genootfchap ter verbreiding der Ma^ thematifche Weetenlchappen te Hamburg; Pen* ningmeester des Genootfchaps, JOBANNES te VETLTRUP, Leermeester der Wiskunde te Haarlem ; Lid van het Genootfchap ter verbreiding der Mathematifche Weetenfchappen te Hamburg; Correspondent des Genootfchaps, MAR-  NAAMLYST, vit MARTEN JELLEN ZUIDHOF, Mathematicus Schoolmeester en Voorzanger te Veendam; Lid van het Genootfchap ter verbreiding der Mathematifche Weetenfchappen te Hamburg; Correspondent des Genootfchaps. Simon Wildeboer Willemsz., Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Bergen in Kennemerland. Josua Reitsma, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen in de Bedykte Schermeer. Cornelis Breevilt , Mathematicus en Leermeester der Wiskunde te Hoorn; Lid van het Genootfchap ter verbreiding der Mathematifche Weetenfchappen te Hamburg. Johannes Lomans, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Haarlem. FEDDER KARSTENS, Banquier te Hamburg, Lid van het Genootfchap ter verbreiding der Mathematifche Weetenfchappen te Hamburg; Correspondent des Genootfchaps. JacobusAcquoy, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Amfterdam. JEAN COiHLRECH, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Amfterdam; Lid ' van het Genootfchap ter verbreiding der Mathematifche Weetenfchappen te Hamburg; Boekhouder des Genootfchaps. * j Mat-  vin N A A M L. Y S % Matthias von Drateln, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Hamburg; Honorair Lid van het Genootfchap ter verbreiding der Mathematifche Weetenfchappen te Hamburg. JOHANN LANGE, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Bremen; Lid van het Genootfchap ter verbreiding der Mathematifche Weetenfchappen te Hamburg; Correspondent des Genootfchaps. Paulus Romond, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Amfterdam. SiewertBaars, Beminnaar 'der Mathemat*. fche. Weetenfchappen te Amfterdam. Nicolaas Weeber, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Amfterdam. GARRELT JACOBS BOUMAN, Mathematr* cus; Organist en Schoottneefter te Wener m Oostfriesland ; Lid van het Genootfchap ter verbreiding der Mathematifche Weetenfchappen "te Hamburg ; Correspondent des Genoot* fchaps. Johannes Pietër Marchant, Konst-en Kostschoolhouder- te Bodegraaven. Lid van het Genootfchap ter verbreiding der Mathema.-, tifche Weètenfchappën te Hamburg, Aï*.  NAAMLYST. ij- Albe rt Vryer, Leeraar der Doopsgezinden te Wormerveer; Lid van het Genootfchap ter verbreiding der Mathematifche Weetenfchappen te Hamburg. Klaas van Lienen, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Bergen in Kennemerland. Jan Switser de jonge , Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen tePurmerende, JACOB KNEPPE1L , Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Wormerveer. Ary Al b las, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Hoorn; Lid van het Genootfchap ter verbreiding der Mathematifche Weetenfchappen te Hamburg. RYN VISSCHER Adriaansz., Beminnaar der ■ Mathematifche Weetenfchappen te Purmerende; Correspondent des Genootfchaps. Mattheus van Dyk, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Schiedam. DIRK FOLKERS, Leermeester der Wiskunde te Embden; Correspondent des Genootfchaps. Geuke Fólkers, Leermeester der Wiskunde te Leer in Oostfriesland. Jan Witt- Bols, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Enkhuizen, Ger-  x N A A M L Y S T. Gerrit Spyker, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Oostwoud. Jacobus den Dekker Willemsz. , Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen , , enz. te Amfterdam. Jacobus Engelman , geadmitteerd Landmeeter in 's Hage. Coenraad Wïrtz, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Amfterdam ; Lid . van het Genootfchap ter verbreiding derMathe» matifche Weetenfchappen te Hamburg. CORNELIS HOKKE Barendsz. , Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Kort. geene in Noord - Bevelaud ; Correspondent des Genootfchaps. ^ie ter Groot es, Koopman en Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Wormerveer. P ie ter van Brecht, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen, en geadmitteerd Landmeeter der Graaflykheid van Zeeland, te Nieuwerkerk in Duiveland. Jacobus Appel, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Oosterland in Duiveland. Louis Schut, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Monnikendam. JACOB CLAUSET, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Brunisfe; Correspondent des Genootfchaps. An~  N A A M L Y S; T. xt Andreas Grüning, Catechifeer-, Schryf| en Rekenmeester te Altona. Jan Pauw, Beminnaar der Mathematifche Wee* tenfchappen te Oldemerkt. JOHANN ISAAC BERGHAUS, Mathematicus en Leermeester der Wiskunde te Geve; Cor* .respondent des Genootfchaps. JAN VERSCHOOR H. z., fchout van Crimpen op den Ysfel te Gouda; Correspondent des Genootfchaps, Gerrit Schut, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Sloterdyk ; Lid vari het Genootfchap ter verbreiding der Mathematifche Weetenfchappen te Hamburg. CORNELIS van DIEST, Leermeester der Wiskunde in 'sllage ; Correspondent des Genootfchaps. Jacobus Burnur, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Haarlem. Klaas Aker, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Scharwoude. JACOB de GELDER , Mathematicus en Leermeester der Wiskunde te Rotterdam; Correspondent des Genootfchaps. Jacobus Houthuysen, Mr. Timmerman en Makelaar te Amfterdam. Jan van Twisk, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Hoogkavfpel. Ja-  xii N A A M L Y S T. Jacobus Johannes Nood, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen in de Beverwyk. Pieter Scheltes, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Oosterblokker. Boudewyn Peereboom, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Purmerende. Mees Bazendyk, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Leerdam. Thomas Troïh, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Amfterdam. Jan Ruiter, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Vianen. JOANMES van der PAA1DT, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Amfterdam, Lid van het Genootfchap ter verbreiding der Mathematifche Weetenfchappen te Hamburg. Christiaan Friedrich Scharnberg, Leermeester der Wiskunde te Hamburg; Lid van het Genootfchap ter verbreiding der Mathematifche Weetenfchappen te Hamburg. Johann Hermann Grünendahl , gepriviligeerd Schryf- en Rekenmeester in *t Nieuwe Werk vóór Hamburg; Lid van 't Genootfchap ter verbreiding der Mathematifche Weetenfchappen te Hamburg. JOHANNES BERNARBUS NOOIDIWK, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Amfterdam. Cor-  N A A M L Y S T. " Xlix Cornelis db Haas, Beminnaar der Mathei matifche Weetenfchappen te Marken buiten. Jacob de Jong, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Middelie. Jan Visser, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Nieuwendam. JOHANNES LINDEMAN Jansz., Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Vlaardingen; Correspondent des Genootfchaps. Jan Jacob de Meinertzhagen,Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Utrecht. Jan Christiaan Brill, Lieutenant - Ingenieur in dienst van den Staat te Doesburg. * Gerrit van der Paauw, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Haarlem. Cornelis Smeer, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Schiedam. PieT>ïr Smeer, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Schiedam. , Frans Smeer, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Rotterdam. Reemt Feikes Folkers, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen in de Wildervank. Ar ié Roos, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen in de Bedykte Schermeer. Bartholomeus van Heyningen, Beminnaaf der Mathematifche Weetenfchappen te Amiterdam. - Mau-  3£iv N A A M L Y S T. Maüritz Adriaan db Savornin Loh? man , jur. tttr. & Philofop» Stud. te Groningen, Jan Jacob Bduwens, Capitein - Ingenieur irt dienst van den Staat te Groningen» Pieter Houttuyn G. z., Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Hoorn. Abrianik Kamsteeg, Beminnaar der Ma* . thematifche Weetenfchappen te Rotterdam. Jacobus Catharinus Cornblis den Beer Poortugaal, Koopman, mitsgaders Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Schiedam. GERRIT VERBOON , Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Schiedam ; Cor* respondent des Genootfchaps. Jphannes Kuipers, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Zuidlareii. BAREID KÏVEGTJES , Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Amfterdam. Klaas Fredrik Jasper Morrien, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen té Amfterdam. Cornelis Steenhuis, Deurwaarder op hefi Comptoir der befchreevene Middelen te Me» demblik. 'Lucas Koops, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Amfterdam. Laü-  N A A M L Y S T. xv Laurens Bely, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Almelo. Cornelis Otten, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Vianen. Willem Cornelis Bakker, Secretaris in de hooge en vrye Heerlykheid Purmerland en Dpendam te Purmerland. Louis Schut Gerritsz. , Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Purmerland. Klaas Smit, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Amfterdam. A. Croiset, Capitein-Ingenieur in dienst van. den Staat te Arnhem. H. Tiddbns, Lieutenant- Ingenieur in dienst van den Staat te Hasfelt in Overysfel. Christiaan Bkunings Junior , Infpecteur van Rhynland, mitsgaders Schout en Secretaris van Sparendam te Sparendam. Hendrik Ghele, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Haarlem. Pieter Ca lis, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen in de Bedykte Schermeer. Jacob Arnold Hesselin k, Extraordinair Ingenieur in dienst van den Staat te Doesburg. Johannes Kust, Extraordinair Ingenieur ia dienst van den Staat te .Sluis in Vlaanderen. Adrianos Verdam, geadmitteerd Landmeeter voor de Ed. Hoven van Holland en ■ Utrecht te Mydrecht. He*}.  XVï N A A M L Y S T. Hendrik Van Voorst \ Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Thamen aan den Amftel» Daniël BraubacH, Openbaar Leeraar der : Zeevaartkunde te Bremen. Carsten MARTENSj Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Bremen, Willem Lïgthart, Eeminnaar derMathe* fflatifche Weetenfchappen te Gouda. EvERT joannes le FrANCQ VAN Berkheyj Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Abcoude, Gerrit VAN der Plaaï PiRtersz. , Be* minnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Loenen. Pieter van Zonsbéek, Mr. Metóelaaf ■ en Beminnaar der Mathematifche Weetenfchap* pen te Vlaardingen. Willem van Osselen, Mr. Molenmaa* ker en Timmerman, mitsgaders Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Vlaardingeü, HENDRIK ROOS, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Batavia; Correspondent des Genootfchaps, Pieter Koops, Beminnaar der Mathematifche Weetenfchappen te Medemblik. VER-  WISKUNSTIGE VERLUSTIGING, „in e e n e AANEENSCHAKELING van UITGELEEZENE VOORSTELLEN L VOORSTEL. Door A. B. Strabbe. GegeeveD zynde een ftuk houts AB, dat door een ander verticaal ftuk houts gedragen wordt, vraagt men naar de ftelling van een Schoor mny van eene gegeeveDe lengte, die zodanig tuslchea beiden geplaatst worde, dat het ftuk houts AB de mogelyk grootfte onderfteuning nebbe? II. VOORSTEL. Boor H. Dresselhuis. In eenen Cirkel, wiens middellyn doet a, is een Parabtol gefchreevea, zo groot als mogelyk is: A men  2 Mathemgfifche en andere Voordellen, men vraagt naar deszelfs Abfcisfe, Ordinaat, Para. meter en Inhoud ? III. VOORSTEL, Dior C. Bb.eevilt. Men begeert een Driehoek ABC te befchry ven, zodanig, dat indien een lyn BD den tophoek B in twee gelyke deelen , en den Bafis AC in D fnydt, de ^Tr' ™' Semelde lyn fiu , en het deei van den Mn CD gelyk zyn aan drie gegeevene lynen P, *y en K.» IV. VOORSTE L. Door P. van Bsecht. Van eenen rechthoekigen Driehoek is de fom der drie zyden 12 , en de Inhoud tf. Vraagenaar ieder »yde byzonder? 4 •?' V. VOORSTEL, Door G, Sciiux» De Ouderdom vafl twee myner Vrienden is zodanig , dat wanneer men hunne Jaaren te faamen. addeert, de ibm een Qjadraat zy, wiens Wortel her, verfchil van hunne Jam-n is; en zo :rien hunne Jaaren ieder byzonder quadrateert,cn die Quadraaten dan te faamen addeert, zo komt 'er mede eer' Qitadraat welks Wortel 35 i§. Vraa^e naar ieders Ouderdom?' VI,'  Mathematifche en andere Voorfteltent 3 VI» VOORSTEL* Door M. Jellen-. Gegeëven zynde a + b rrrr 12* en a* 4. gJ2a *- 6a*b 15^8. Vraage Daar de Waarden vaü een 6, niet alleen door Teerlings-, meer voornaamelyk door Vierkants-Vergelykinge ? (0) - VII. VOORSTEL* Door Denzelfden. Gegeeven zvnde i8x3 — i%x' — 18* -f-1ZZO. Vraage naa alle derzelvcr Wortelejn ? Vlll. VOORSTEL. Door H. L. Brokius. A heeft van B gekocht eenige Goederen, bedragende te faamen 5000 Guldens , onder Conditie, dat hy dezelve zal betaalen cén Jaar daar na * daü A nu voorzien van gelds en het alsdan benoodigd zynde, biedt hem aan om een gedeelte terftond te betaalen (dus één Jaar vooruit), met beding , dac hy dan het overige 8 maanden laater zal mogerj betaalen. B accordeert deeze Conditie en vraagt, hoe veel hy dan vóór, en hoe veel naden tyd ontfangen moet} op dat geen van beiden fchade kome te lyden? ( XUI. VOORSTEL. Door J. Clauset. Eenige Regenten der OEconomifche Schooien, de Vifitatie doende in een Meisjes-School, vereerden, A 3 tea  6 Mathemaiifehe en andere Voordellen. ten blyke van hun genoegen, aan elk Kind zo veel Stuivers min een halve, als zy Regenten daar walen ; zynde het getal der Meisjes het quadraau getal van de Regenten, en de uitdeeling bedroeg te faamen jf Guldens, Vraage hoe veel Regenten 'er waren? * XIV. VOORSTEL, Door G. Diepenhorst. Van eefien rechthoekigen Driehoek zyn de Qua. draaten der beide rechchoekszyden te faamen 164 ,ta de beide rechrhoeKszyden te faamen vermeenigvuL aigd, maaken f van het grootfte Q'iadraat dier rechthoekszyden uit. Vraage naar iede? zyde byzonder? XV. VOORSTEL. Door H. Rakers. Twee Perfoonen A en B hebben ieder eene zekere fom Guldens. A die het meeste heeft, geeft aan B zo veel als B heeft; B nu het meeste hebbend geeft aan A weder zo veel, als A hadt overgehouden £ A nu weder meer dan B hebbende, geeft weder aan B zo veel als B hadt overgehouden. Nu geeft B weder zo veel aan A, als A hadt overgehouden dan weder A aan B, en eindelyk B weder aan A. Nu bevinden zy dat ieder evenveel Guldens heeft": men vraagt, hoe veel Guldens A en B ieder in den'beginne gehad hebben , en wel in de kleinfte heele getallen, ais mede naar het getal der Antwoorden ? XVL  Mathematifche en andere Foor/lellen. 1 XVI, VOORSTEL. i Door C. Philips Jacohs%. Men vraagt naar den MeetkuDdigen Regel, om aan eenen rechten hoek ABC de geg^evene Hypothenufa EG zodanig te voegen , dat dezelve met de twee rechthoekszyden AB, AC eenen rechthotkigen Driehoek maakt, wiens zyden om den rechten hoek aan elkander gelyk zyn? XVII. VOORSTEL, Door R, Swartwolt. Iemand heeft een ftukje1 Lands, hebbende de gedaante van eenen ftomphoekigen Driehoek ABC, waar van de zyde AB is 20, AC ïo , en BC 12 Roeden. Dewyl nu aan de zyde AC een kleiner ftukje ACD ligt, dat jlegts dooreen Goot van het eerfte is afgefcheiden , in de gedaante van eenen rechthoekigen Driehoek, waar door de ftompe hoek van het eerfte tot eenen rechten hoek gemaakt wordt, zo koopt hy hetzelve de vierkante Roede voor één Gulden. Vraage wat hy daar voor geeven moet? XVIII.  I Mathematifche en andere Voordellen. XVIII. VOORSTEL. Doif H. DRESSELHTJbS. Iemand huurt ettelyke achtereenvolgende dagen eenig Werkvolk: den eerften ;dag i man voor i dag, oen tweeden 2 mannen voor 2 dagen , den derden 3 mannen voor 3 dagen, enz. tot aan het eiDde in dezelfde orde voortgaande : belooft eiken Werkman dageJyks éénen Gulden. By flot van rekening wordt bevonden, dat de man, door elkander gerekend 8f Guldens ontfangen heeft. Men vraagt hoe veel dagen hy uitging , hoe veel Werkvolk hy aannam, en welke de fom der uitgetelde Guldens is? XIX. VOORSTEL. Door M. Jellen. Gegeeven zynde axs - bx* + cx*-i6oxs .+. ïao a;' - dx -;- e _ o ; waar van de Teerüngs - Wortel is 2.x* - sx + t _ o. Men vraagt naar alle de onbekende Coëfficiënten van die Vergelykinge ? XX. VOORSTEL. Door H. Dresselhtjis, jJ^aV-? Driehoek gegeeven zynde de drie zyden AB _ 65, AC - 75 , en BC 3 70 Roeden S te vinder, eene zyde van het grootfte Quadraat, dat in denzelven kan befchreeven worden.^; {&) Zie M. WhkïM!, Gem. Qjust. n. 91. XXL  Mathematifche en andere Voorftelkn. 9 XXI. VOORSTEL» Boor A. Vryër. Zeker Landmeeter heeft te meeten, eene onbegangke'yke 4 en byha ongeflaakbaare , driehoekige Brsfchaadje , waar vari hy met zyn Roeden -ina«e niets meeten, noch van eenigen hoek een anderen hoek befchouwen kan; terwyl zelfs het derde hoekpunt geen plaats voor een baaken toelaat, alleenlyk kan hy zo in AC als AB een ftok planten, vermits de hoekpunten A en B hem, des benoodigd zynde, ftandplaats vergunnen. Vraage , hóe deeze Landmeeter, met het minste Veldwerk , het begeerde kan uitvoeren ? (c) XXH. VOORSTEL. Door H. Dresselhuis. Daar zyn vyf getallen, welkèr fom is 285; de drie eerften ftaan in eene Arithmetifche, de drie middelften in eene Harmonische , en de drie laatften in eene Geometrifche reden. Zo men het laatfte met het quadraat des eerften vermeenigvuldigt, en 't product door het middelde deelt, komt 'er een quadraatgetal, 'twelk tot het 52 vcudige van deszelven Wortel vergaard, gelyk is aan de fom der vyf getallen, die men begeert te vinden? XXIII. (e) Dit is het XV Voorflel des I. Deels der Runst-Oefe. vingen, en wordt om redenen alhier wederom opgegeeven. B  ?b Mathemïifche e% andere Voordellen, XXIII. VOORSTEL. Door j. Bolten. In het voorgaande IX. Voorjhel de.perpendiculaire hoogte vm den Vlieger AG gevonden zynde, is gevolglyk ook bekend deszelfs afftand tot de plaais, daar het Vliegertouw op den grond was vastg. maakt. Wan eer meti nu rnderftelt, dat twee gelyke Lighaamen uit A worden losgelaaten, waar van het eene, door dészelfs zwaarte , perpendiculair den weg A(j afl gt, en het andere langs een hellend vlak ABnaar beneden fnelt, zo vraagt men , hoe ver het eene Lighaam lan.'s het hellend vlak zal gedaald zyn, wanïjeer hst Li haam dat perpendiculair valt in G komt: en hoe veel het eene eerder dan het andere deszelfs Loopbaane heeft afgeloopen? XXIV, VOORSTEL. Boor M. J E L L E N. Vraape naar alle de Octagonaal-Wonden uit deeze Sttlkundi.e grootheden, x7 -na6—91a;5 — 1040a4—* 0741*»—Ï7Ü09*»—J5'S(*-+37«b, veronderlteilende, |!t als men * voor de waarde des Octagomal-Wor. tels' Helt, dezelve a'sdan met deeze gegeeveu * van gelyke grootheid zy ? XXV. VOORSTEL. Boor j. te Vei-trup. Van een Paralhkgram ABCD is de lengte AC=i8, en de breedte AB~8; de zyde IC is verlengd töt m li zonnig dat CEz:«o is. Nu begeert rr.efl m de verlengde AB een punt F te vinden in diervoegen , dat  Mathetnitifche en andere Voorjletlen. ïi dat als men de rechte EF trekt. die de zvde AC in G fnydt; aUdan de ^riehoek AFG gelyk het genoemde Parallelogr-.m zy. XXVI. VOORSTEL. Door R. Swartwolt. Zo men ftelt, dat de Scheemda 4 Duitfche Mylen ten Oosten van Groningen gelegen is; en die beide. Plaatfen liggen op 53 Craaden ïjjMiruten NoorderBreedte of Pools-boogte: dan is de Vraag, hoe veel de üurklokken, naar beider Middaglyn welgaande, van elkander verfchillen moeten ? XXVII. VOORSTEL. Door H. Dresselhuis. Zou het mogelyk zyn den waaren Vierkants-Wortel uit het getal 1 te vinden ? (*) XXVIII. (•) De "Heer J. Watts zegt in zyne Verhandeling over DE OEFFENtNO fe£ b e s cBa At >n g va» 't verstand, Hoofdftuk I. Rfeg. UI. 3« Onderdeel: Arithmo is van kindsbeen af op een Kantoor geween, 'In geloop daarom , d«! hy één der .erfte Mm/tfj^ is. Mair onlangs yverig werkende, om den ^rkants^ Wortel uit het getal 2 te vinden , was al zyn arh d te vergeefs "na langen tyd zich in de Decimaal-Rekeningen S te hebben, bekende hy geen èffc aan zux een onderzoek te zyn. en echter leerde verwarrende Vraa'e hem zo reel neder^jetd, $ # onmagelykheid der OntdMinge <*** **f*' ****** len enz"  12 Mathematifche eii andere Foorjldleju XXVIII. VOORSTEL. Door P. van Br echt. Gegeeven zynde den Vierkants-Wortel uit 1*169 te zyn 3?; hoe zal men hier door den Vierkants-Wor11 uk i6*ir vinden? XXIX. VOORSTEL. Door A. Alblas. Welk is het Heinde getal, dat door 28, io en K achtervolgens gedeeld zvnde , de overblyvende getallen zyn 14, 17 en 2? s & XXX. VOORSTEL. Door. J. KwEppEt, Iemand neemt voor een zekeren tyd on Interen 375 Rd.. af zo veel Pet. des Jaars Interlt, als het getal, der Maanden zyn; na den verloopen tvd kTn hy niet betaalen, verzoekt derhalve om verlenging des tyds : de Crediteur geeft hem nog i zo veel "■«•den tyd als de eerfte maal; voor lezen tyd zoude hy echter 1 Pet. des Jnars Interest van S opgenomene fom meer geeven , dan te vooren; H dit nccorrd bedraagt alzo de geheele betaaling in Capitaal en Interest 4oo Rd. , Vraage hoe veel Maanden er ieder maal bepaald zyn» (d) XXXI. VOORSTEL. Dior M. Jet-len. ; Een langwerpig rechthoekig Vierkant fluks Lands groot «Gre2en, ieder van 40c verkante Roeden, de ROP* de van 12 voeten, wordt door twee rechte fcheidlvnen evenwydig met d^ zyden dts Land?, en malkanderert dus rechthoekigdoorffiydende, in v eronRe!< keftnk^n verde eld, wasrvan bet kleinfte een recb' Öur.draat b Grazen , en het grootfte c Gazen hoüüi ■ met, vraagt raar de grootte der twee andere ftukkec'? O jvï. JhlLen, RekenkundigeByzondei'heden.  Mathematifche en andere Voorftellén* 13 XXXII. VOORSTEL. Boor R. Swartwolt, Drie Smeden koopen eenen Slypfteen, houdende in zyne Middellyn 7 Voeten: met verdrag, dat de eerite, | daarvan afgefleepen hebbende, den zeiven aan den tweeden; en deeze, in&gelyks £ afgefleepen hebbende, het overige \ aan den laacften zal o verhaten, De Vraag is> hoe veel Voeten de Middel Jyn moet houden, na de eerfte, en ook na de tweede afilyping? XXXIII. VOORSTEL. Door J. de Gelder. Van een Driehoek gegeeven zynde den Perimeter &a, de middellyn van den ingefchreeven Cirkel zb en de middellyn van den omgefchreeveD Cirkel c\ Di zyden te vinden? XXXIV. VOORSTEL. Door J. van der Oort. Iemand heeft twee Stukken Laken, het een getekend met A, het ander met li. Dezelve zyn van zodanige grootte, dat zo hy tot de vierkante Ellen van het ftuk A addeert 35800 vierkante Ellen, en de lom met de vierkante Ellen van het Stuk B vermeenigvuldigt , het produSt zy 13311000. Deeze Stuiken iaat hy krimpen , en krimpt A op 5 Ellen lengte 1 KI, en op 2 Ellen breedte f El: en B op 3 Ellen lengte £ El, en op 1 El breedte i El. Na het krimpen bevindt hy de Stukken even groot te zyn, en zo hy dan de Elkn lengte van het Stuk A ad> C deert  ?4 Mathematifche en andere Fxtorjlelkn. deert tot de El}en Breedte van het Stuk B, komt j4öi Ellen , en de Ellen lengte van B tot de Breedte van A geaddeerd , doet 175 Ellen,, Vraage wat ieders lengte voor 't krimpen geweest, en bofc na *t krim» pen gebleeven is? (e) XXXV. VOORSTEL. Door J. Pauw. Iq eenen rechthoekigen Driehoek ABC, welks Inhoud is 60, wordt getrokken een lvn van de opItaande zyde uit D , tot op dèn Eafis in E, maakende eenen anderen Driehoek DBE , waar van de fchuinfche zyde DE doet 13. Zo nu AD en EG ieder doen 3, vraagt men naar de onbekende zyden - der beide Driehoeken (buiten Algebra, en zonder hoelien te berekenen}? XXXVI. VOORSTEL. Dutr C. Hok se. A verkoopt aan B een Paerd voor eene zekere fomme Ponden Vlaams, onder beding, dat B de Karei. Lotery (zynde in Zeeland eene belasting op den verkoop van Paerdèfj a 83 Pcto.) aan den Pagter moest betaalen» B verkoopt direct datzelfde paerd aan C, - en neemt pp zich ook daar van de Karei • Lotery te zullen betaalen; B nu tweemaalen den Impost betaald • hebbende, wint nog daarenboven 7 Ponden Vlaams. 1—r Na eenigen tyd verkoopt C dat zelfde Pgerd , zonder Winst of Verlies, aan D, onder conditie dat D de Karei-Lotery moet betaalen. De; Pagter van . . • geCO Dit ie het 20fte Voorltel vin G. E. Eakkeb, »ch;er Brasjers Algebra*.  Mathematifche en andere Voorstellen. 15 gemelden Impost ontfangt vao deeze drie Verkoopingen, voor zyn gerechtigd aandeel, eene famma van Ponden Vlaams, juist gelyk aan het £ gedeelte van de eerfte Koopfom, door A van B hed-ngen. Vraa- fe naar de eerfte, tweede en derde Koopfom van het aerd, en hoe veel de Pagter voor zyn aandeel öntfangen heeft? Door Arithmetica. XXXVII. VOORSTEL» Door j. Bor.ten. Eender heeft op de hoogte van 53 Graaden 43 Minuten op een effen Horizontaal Bord een Cirkel getrokken , en denzelven zeer naaUwkeurig io 360 Graa. den afgedeeld , de Minuten ook in acht genomen, 't Begin van den eerften Graad was op de Middaglyu; de Styl of Wyzer, die in't middelpunt ftondt, wees naar den Noordpool. Wanneer de fchaduw op aaö Graaden 15 Minuten was» is de Vraag hoe laat hee ttas? (ƒ) XXXVIII. VOORSTEL Door Denzelfden, Op 'c gemelde Bord werdt óp eënén anderen tyd de Styl > die in 't middelpunt ftondt, perpendiculair opgericht, lang zynde ïooo Deelen, en deszelfs fchaduw was 9H7 Deelen , wyzende op 164 Graaden. Men vraagt naar de Zons Declinatie, en 't uur vaa den dag? vg) XXXIX* (ƒ") Halcken's Zinnen-Confett, N. 525, (g) Uid. N. 52$, C a  i6 Mathematifche en andere Voorfiellert. XXXIX. VOORSTEL. Door M. J el lek. Twee getallen te vinden, van die natuur; dat, als men van bun produel; derzelver fom aftrekt, dat de rest i minder dan een Pronik- getal zy; en als merr daar uit den Pronik- Wortel trekt, en van deezen Pronik- Wortel zyn eigen Quadraat- Worrel aftrekt, dat 'er dan nog een Pronik-getal overblyft, wiens Wortel a zy: maar als men de fom der getallen en de fom hunner Vierkanten verzaameJt, dat 'er dan 242 kome? XL. VOORSTEL. Door ]. te Veltrup. Daar zyn drie Scheepen, leggende by malkande* ren in A, op 40 Graaden Noorder Breedte,• dezelve gaan te gelyk onder Zeil, en neemen elk eene byzon» dere koers» die zy zo lang houden, tot dat zy op eene Breedte faamenkomen. Het middelfte Schip fnydt den Koershoek van B en C in twee gelyke dee len, en zeilt zo lang tot dat het in D komt; zo dat het van B 16, en van G 24 Mylen komt te leggen, en de Scheepen B en C hebben te faamen 80 Mylen gezeild. Vraage, hoe veel Mylen elk Schip gezeild heeft? XLJ. VOORSTEL Door P. van Brecht. Men begeert een zyde van eenen gelykzydigen Driehoek, om een Cirkel, wiens Diameter go 1/ % doet, te vinden? XLII.  LMhematifthe en andm Voorflellen. 17 XLI1. VOORSTEL. Boor het Gezelschap te Hoorn, onder de Spreuk: De Wiskunst ons doel. Men begeerr ra getallen te vinden, waar van het eerfte met de s van alle de overigen , het tweede met de 5 van ade de overigen, bet derde met de % van alle de overigen , het vierde met de * van aile de overigen, enz. geduurig a opleevert? 4 XLIII. VOORSTEL. Boor j. Cla 0set. Iemand Erfgenaam geworden zynde in eene Nalaatenfchap van 6| Tonnen Gouas , vraagde aan de Exicuteurs, hoe veel zyne Portie wel bedraagen zoude? Welke antwoordden, wanneer^ van 5I deel aan de andere Erfgenaamen is uitgekeerd, dan is de resc uwe Portie. Vraage, hoe veel Guldens dezelve bedroeg ? XLIV. VOORSTEL. Boor D. Aehmey. In de naastvoorgaande Week ging ik eens wandelen naar één myner Confraters, en zag by die gelegenheid een Haas in zyn Leger zitten; ik ftelde daar op een paal, lang 5 Voeten: 12 Voeten nader gekomen zynde, ftelde ik nog een paal van 3 Voeten, hebbende toen de koppen der paaien en den Haas recht tegen over malkanderen. Zo warneer de Haas opliep, en in f Minuut zo veel wegs aflegt, dat ik, C 3 om  i8 Mathematifche en andere VoorJlelktL om hem langs de koppen der paaien te zien, de eerftë of voorfte paal 22 Duimen (van \i in een Voet) hoog'T moest (lellen, wordt gevraagd, hoe veel Roeden de Haas in een Uur loopt ? XLV. VOORSTEL. Door G. Diepenhorst. Zo twee rechte lynen elkander in een Cirkel rechthoekig doorfnyden, dan zyn de Quadraaten van de vier (lukken faamen even zo groot , ais hét Quadraat op den Diameter. Vraage naar 't Bewys? XLVL VOORSTEL. Door H. L. 3 r o n 1 o s. Iemand heeft gekocht zekere Kodpmanfchappen, te betaalen met Casgeld , doch de Verkooper verzoekt zyne betaaling in Banco, prefenteerende %\ Pcto voor de Agio van 't BaDkgeld, en voor de Tarra te laaten korten lo ten too, dat is; van no zal hy maar 100 betaalen, zo doende, zoude hy dan nog 16 ten 100 's Jaars winnen: maar de andere zegt neen, geeft my voor de Agio 3 Pcto, en voor de Tarra 12 ten 100, 't welk de Verkooper toeftaat. Vraage., hoe veel hy dan nog ten 100 's jaars wint? (ft) XLVIÏ. (k) 7Ae den Aanhang via diverfe Questien door Dirk dé Hollander, achter de Cyfer&enst van Davit Kok van Enk* tiutztti, fom 15,  Mathematifche en andere Foorftellen. ip XLVII. VOORSTEL, Door J. Kneppel. Iemand neemt op Rente O 5° Rd- tcgen □ Pcto ?s Jaars; na 2 Jaaren wil hy het Capitaa! met gemeene Interest afdoen. De Crediteur eischt eehter I' terest op Interest ; derhalve na derzelver accordeeringe moest hy \x nog a Rd. 24 Gr. 2f Zw. byooer, Vraage hoe groot het Capitaal geweest is, en hoe hoog het Pcto. gerekend zy? (j) XLVIII. VOORSTEL. Door P. J. B. C, van der Aa. Een Heer hcefc een Stuk Lands, gereed om be. p'ant te worden, 't welk hy tot een Bosch wil laaien beplanten. De Boer by hem gekomen zynde, om het aan te neemen , zoekt de Heer raar den Opdragtbrief, om de grootte te weeten; doch dezelve was door onachtzaamheid zeer be'-lad; men kon 'er niet van leezen , dan lang 450 Roeden, (de breedte was geheel beklad) groot A 2 Morgen, A 5 □ Vierkante Roeden Rhynlandsch De Boer gaai naar de Stad, om by iemand, die daaröntrent papieren badt. naar den Inhoud te vraagen : de Boer bleef 0 Dagen uit, en conditioneert te zullen hebben 1 □ Stuivers 's daags. De (7 ) M. J eL l e n Rekenkundige Byzor.derheden , N. |»7»  ao Mathematifche en andere Voorfiellen. De mentenen die 'er aan werken gaan voort in eene Arithmetifche Progresfie , waar van de opgang e, en de eerde Term 2 is, zo dat eiken dag 2 man meer er aan werkt , en elk man 's daags 8 Vier. kante Roeden beplant: zy krygen het af, op eenige Roedrn na, in 5 £ Dagen/eiken dag'werS? z? 10 uuren. 0 ' Als men de dagen, die de Boer uitbleef, quadrateert, en er 8 by vergaart, heeft men de breedte- de waarde van A + 3 >s = ©; de waarde van (T is = © - f,en de dagen of Termen der Arithmetifche Progresfie, 5 <£, met 2 vermeenigvuldigd■ mi 'er bygedaao, is gelyk 6 maal de waarde van n, meer 19 maal A , meer y maal maar ©, en 4 maal het gulde getal van 't Jaar na Christi Geboorte i-0o vermenigvuldigd met 50, en B maal den ZonnenCirkel van 'c zelve Jaar meer één 'er afgetrokken, is gelyk aan t Jaargetal, waar in 't gebeurde, en zv beginnen op den zo yeelften van die Maand, als de laatfte Paasch-Volle Maan zal zyn Anno 1790 (NB. dit laatfte Chronologisch berekend). Hoe lang is dan het Land? Hoe breed? Hoegrootf Hoe lang blyft de Boer uit? Hoe veel geeft dieneer 's daags? Hoe veel Lieden werken 'er aln in *tgeheel? Wanneer beginnen zy? Op welk een dag der Week? Wanneer fcheiden zy uit? Welk .een dag der Week? (NB. De Zondagen zyn met in de 5 C dagen begreepen). Hoe veel is 't overfchot? Hoe lang werken degeenen , die in dt laatfte Termen der PrógresR*-** aan gewerkt hebben over % overfchot? Hoe veel kost het dien Heer ? veel XLIX. VOORSTEL. Door A. B. Strabbe. a£a !f Horo!°g{e» ,l,ar °P de Oppervlakte van de Aarde de uuren van den dag naauwkeurig aanwvst, op den top van zekeren Berg gebrast zvnde. daeel»k« ï^ïsW""' - ™- * L.  Mathematifche en andere Voorfiellen. 21 L. VOORSTEL. Door J. de Gelder, tt n—-I n—2 «—3 Eene Vergelyking x -Ax + Ex —Cx H- n—4 n n—i Da: — &C =r O in eene andere y — A'y + n—2 n—3 n 4 Wy — C'y + D'y — &c. = o te veranderen, zolarg, dac de Wortel y der gezochte JEmatie eene FunStie van den Wortel x der gegeevene JEquatie van l - m p q de volgende gedaante zy: — \js + ax + bx + r • . - >.P h cx -;- ) LXII. VOORSTEL. Door P. Romond. Men vindt by J. P. G r a uma n in zyn Licht des Koopmans , II. Deel, pag. 75 , eenen algemeenen Regel, om de goude Crufaden te berekenen. De goude Crufaden worden altoos aangenomen tot 21 Karaat n| Grein (1 Mark fyn doet in het Goudlïsfay Gewist 24 Karaat, 1 Karaat 12 Grein • 1 Grein 24 Klein-Grein), en tot een vasten Prys van ƒ 35 5 het (p) H. Meïszhee's Kunstketen, Aanhang N. lip. D 3  a lifche Progresfie , faamen vermeenigvuldigd, geeven een allerkleinst getal. Vraage naar de Progresfiel' LXXX1V, Jaeob de Nieuwe , Schoolmeester en Voorzanger te Gs« landseog.  Mathematifche en andere Foorfiellen. 35 LXXXIV. VOORSTEL. Dosr Denzelfden. Gegeeven zynde at* — 4x^-!-5x^a — 231' ~o, en #* +1637 ==1584. Vraage hoe veêl x en y doet? LXXXV. VOORSTEL. Door j. de Jongh. Daar zyn twee getallen in proportione fubtripla fub. fesqui altera, waar van de fom der Pronikken, ver'meenigvuldigd mee het kleinfte getal, 35-2* maal her, grootfte getal nitleevert. Vraage naar de getallen? LXXXVI. VOORSTEL. Door.G. Schut. Vier koopen te faamen een Schip, en de fom, die de eerfte daar toe betaalt, met de l der andere drie, is de waarde van het Schip; ook is de fom des tweeden met de f der andere drie, als mede de fom de» derden met de \ der andere drie, en eindelyk de fom des vierden met de \ der andere drie , telkens de waarde van het Schip. Zo nu het Schip kosc ƒ 3600, hoe veel geld heeft dan ieder daar toe petaald ? f>) LXXXV1L VOORSTEL. Door C. Philips Jacobsz. Welke is de Meetkundige Regel, om uit een plat Huk Lood een hollen Kegel te maaken ? LXXXVIIL (r) J. van pek Schuchen, Gewfchaps-Rekening? Ex. 19.  3$ Mathematifche en andere Foorjlellen. Lxxxvin. VOORSTEL. Door Denzelfden. Welke is de Meetkundige Regel, om uit een plat ftuk Lood eene holle vierzydige Piramide te maaken, zodanig dat 'er maar eene faamenvoeging aan gevonden wordt? LXXXIX. VOORSTEL. Door P. Er.echt. Onze Timmerman C. Uil heeft gekocht een party Oeeten , wier getal beftaac uic drie Cyfferletteren. het ftuk voor 16 ftuivers, hy liet het beloop derzelve door my berekenen, doch liet, uit wantrouwen, of myne rekening wel goed was, het nog eens door zynen knegt Maarten doen .- dan deeze ftelde de achterfte letter van 't getal Deelen daar de voorfte, en de voorfte daar de achterfre moest ftaan, behoudende de middelfte zyne eigene plaats, en bekwam door dien weg 79 Guld. 4 Stuiv. meer dan ik, die 't wel gerekend had. De Baas, dit verfchil zien-ie, laat hec wederom doen door zynen knegt Cornelis , deeze plaatst de middelfte letter daar de achterfte en de achterfte daar de middelfte moest ftaan, waar door by 7 Guld. 4 Stuiv. minder kreeg dan ik. Ten iaatften moest door order van den Baas de knegt Johannes hec jiog eens uitrekenen; dan deeze zette net getal d»r Deelen wel goed , maar ftelde ieder Deel op 6r , m plaats van 16 Stuivers, waar door'hy 297 Guld. honger kwam, dan ik. Nu vraag ik den Rekenaaren hoe veel Deelen 'er geweest zyn ? XG,  Mathematifche en andere Voorjle/len. 37 XC. VOORSTE L. Door J. Kneppel. Iemand doet op Rente 550 Rd. tegens zekere P. C. intrest, ontfangt na 8 jaaren aan Capitaal en Intrest te faamen 921 Rd. 50 Groot 4 Vrr&ïï Schwaaren , Intrest op Intrest gerekend zynde. Vraage hoe veel P. G.'s jaars hy gewonnen heeft? (s) NB. Een Rd. is ja Groot, een Groot is j Scliwaaren» XCI. VOORSTEL. Door A. B. Strabbe. Twee Torens, welkers fpitfeu gétekend zyn met BenD, ftaan 600 Voeten ve ftuk is gegeeven nrr a, en van het aDdere ftuk ' i», de RadU tts is = ï. Men vraagt naar de Sinus van den geheelen Boog ? XCV. VOORSTEL, Door J de Jong. Twee Kooplieden koopen te faamen eenige ponden meer dan B: de fom der ponden van A is een Pronik-getal, en die van B is|-maal deszelfs Wortel. iJoe veel heeft ieder gekocht? XCVI' /  Mathematifche en andere Fooijlellen. 39 XCVI. VOORSTEL» Boor H. Dresselhuis» Zo men de zes eerfte getallen eener Arithmetifche Progresfie, met de eenheid beginnende en opklimmende; op alle mogelyke wyzen door zes andere getallen u, v, w, x, y, z vermeenigvuldigt; dezes $rodu£ten van dke vermeenigvuJdiging afzonderlyk vergaart; hun fom trekt vaD n; dan reSceert "'er een getal, 't welk men door p, het overfchot der eerfte deeling door q, der tweede door r, en derde door s deelt; de Quotiënten wyzen naar orde aan, door welke getallen c^r Progresfie men u, v, w en x vermeenigvuldigde; het overichot der laatfte of vierdedeeliDg is het BJultiplicandum van y, waar door dat van z met een openbaar wordt. Men begtert te vinden de klemftc geheele getallen voor de Multiplicanten, het getal waarvan men trok, en de Bmforen? TOEGIFT. Kunstvrienden.' in de proef van 's Embdenaars geduld Vindt men een drietal der vermaakelyke Vraagen» Wier fondament gy hier en meer ontdekken zult: Wen u 't ontbinden van dit Voorftelmogtbehaagen» XCVII. VOORSTEL. Boor j. de Gelder. Het getal a (■=. 12) in drie deelen;te deelen, zodanig: dat de fom van de Quadraaten deezer deelen F 2 è  40 Mathematifche en andere Foorftellen. I (: 50) is, en de fom der Producten van het eerfte en derde, en van het tweede en derde c ( = 35 ) zy? xcviii. voorstel,: Door J. VAN DER OORT, Een Stuurman zeilt van 50 Graaden Noorder Breedte en 3 Graaden Lengte tusfchen 'c Zuid en 't Ooften, tot op 44 Graaden Noorder Breedte. Van daar zeilt hy wederom tusfchen het Oost en *t Noorden , op de zelfde Breedte daar hy eerst afgevaaren was, en 20 Graaden Lengte, zynde omtrent de Sorles. Zo nu zyne gezeilde verheid op de eerfte koers ftaat tot de gezeilde verheid op de tweede koers, als 8 tegen 11; vraage wat koers en verheid hy t'elkens gezeild heeft? xcix. voorstel. Door M. Jellen Zuidhof. Gegeeven zynde ai5 *- bxs 4- cx* — 160 x* 4- 120 xz —*dx 4- e — 0; waar van de Teerliogswortel is ax1 — sx 4- t Z2 o. Vraage naar alle de onbekende Coëfficiënten deezerVer gelykinge? c. (u) J. A. van Dam Navigatie, 50 Befluit. Exemp No. 48,  Mathematifche en andere VoorJtelUn. 41 C. VOORSTEL. Boor J. de Gelder. Van vier grootheden in eene Geometrifche Progret* fie is de fom der Cuben b (=585), en het geduurig vermeenigvuldigde a* (fis 64). Welke zyn die grootheden. Cl. VOORSTEL. Bcor J. Switser,Jansz. Bekend zynde van een Driehoek ABC de zyden AB 13, BC 15, en de Bafis AC 14; nu is de Bafis AC verlengd tot in Q, doende CQ ai; de hoek CQ.E is recht, en Q li doet 10: de lyn ED getrokken zynde, valt D in den Bafis AC, enED fnydt B C in O, ook doet D C 3. Men vraagt naar den Inhoud van den Driehoek DOC? CII. VOORSTEL. Boor C. Philips J.z. Welke is de Meetkundige Regel, om, door faamenvoeging van agt Rukken, eenen cirkelronden Bol voort te brengen ? CIIL F3  42 Mathematifche en andere Fberftellen. CIII. VOORSTEL. Door het Gezelschap te Hoorn,? onder de Spreuk: De Wiskunst ons doel. Eenige rationaale rechthoekige Driehoeken van gelyken Inhoud te vinden. CIV. VOORSTEL. Door H. Dresselhuis. Vaneen Katrolbalk, fleekende uit den Gevel van een Pakhuis, js gegeeven de dikte horizontaal 6 en verticaal 8 duimen, de afftand der katrol van den muur 3 voeten, en 'tgewigt, welk aan den balk kan worden opgehaald, zonder dien tebreeken, 6oo ti&: de vraag is hoe veel men met een foortgelyk katrol, aan eenen anderen balk van even fterk hout, kan ophaalf n; als dezelve is horizontaal 9, verticaal 12 duimen of 1 voet, en de afftand der katrol van den muur 4 voeten? CV. VOORSTEL. Door Denzelfden. Men begeett te weeten, hoedanig men eenKatroIbalk, als 10 't voorgaande Voorftel, verticaal moet ■ verdunnen, als de horizontaale dikte gelyk is; op dat de kracht  Mathematifche en andere Voordellen. 43 kracht des houts in alle deelen evenredig zy aan den last, dien het heeft te draagen? CVI. VOORSTEL. Door Denzelfden» Van eenen vierkanten Balk, in de gedaante eener afgekorte Piramide, lang 40 voeten, is eene zyde op het dikfte einde 18, en op het dunfte e:nde fa duimen , of i voet: deezen begeert men in twee (tukken te zaagen, dusdanig; dat de geheele Balk zy tot hec afgefneeden üuk aan-het duofte emde, als B toe S , of 2 tot 1. De vraag is naar de dikte des houts op de plaa's der doorfryding, en hoe lang het afgefneeden ftuk zal zyn ? CVII. VOORST EL. Door M. Jellen Zuidhof. Men vraagt, hoedanig a, b, c, d moeten geno250 + »8£ -h 63 c + 105*2, men worden, op dat 20 het allerkleinfte getal voorbrengt; alles in heele getallen. CVIII. V OO RSTEL, Door Denzelfden, Gegeeven zynde»4 >— 18x'-— 18 a-2—> 18a; -1-1=0, vraagt  44 Mathematifche en andere Voordellen. vraagt men naar alle de Wortelen van deeze Verse, lykmge? ö CIX. VOORSTEL. Door H. Veen. Iemand doet op Intrest aan A zeker Kapitaal 9maanden lang a zeker P. C. 's jaars. aan B 500 Rd. minder k i P C. 'sjaars meer dan A, eenige maanden lang. Nu betaalt B 7 Rd. 13 Gr. a§ Schwaarenmeer Intrest dan A , en \ product der beide procenten doet 24 0; ook is de Intrest van beide te faamen Ï85 Rd. 22 Gr. 2-§ Schwaaren. Vraage naar ieders Capitaal en P. Cr van ieder; ook hoe lang B het geld heefc gehad? (y) CX. VOORSTEL. Door J. Boeten. Van eenen recbthoekigen Driehoek is gegeeven de fom van de Quadraaten der zyden — 338, en hec verfchil der Cuben van de Hypothénuja en den Balts raP7o2VxxHoe veeldoet elke zyde van deezenDnenoes f Q*j CXI. Cv) M. Je l ï. e n Rekenkundige byzonderheden No. i2 CXXX. VOOR-i (*) iV. 91. Aanhang van H. Méiszners KunstketeHé Xü) A. van DfEPEHBEEK WUl. Rekenk. p. 135. Voorjl, ii.  Mathematifche en andere Voorjiellen^ CXXX. VOORSTEL, Een Edelman ter Jagc zynde , heeft een Haas op ?t fpoor, die vooruit is 246 Hondefprongen; maar de Hond doet 4 fprongen tegen dat de Haas 5 fprongen doet; doch 5 Hondefprongen zyn zo groot als 7 fprongen van den Haas. Vraage, hoe veel fprongen de Hond doen moet, om by den Haas te zyn (zj, CXXXI, VOORSTEL, Gefield zynde dat de Hond in 5000 fprongen een Myl wegs , waar van 'er 15 in een Graad begreepen zyn, aflegt, hoe veel fprongen zal hy dan moe* ten doen, om den gantfehen Aardbol rond te fpringeD ? — en met hoe veel fprongen zou de Haas den omtrek des Aardbols afmeeten ? CXXXII. VOORSTE L, A heeft op Intrest genomen van B een zeker Capitaal tot 41 pCto in 't Jaar: na eenigen tyd wil A niet meer dan 3 pCto in 't Jaar geeven ; zo nu B dit toefiaat, 't welk op het Capitaal ƒ 60 Interest jaarlyks minder bedraagt, vraagt men hoe groot het eerfte Capitaal in 't begin geweest is , en nu zyn moet, om alle Jaaren even zo veel Inkomften als te vooreu te hebbenf CXXXIII. VOORSTEL, A heeft van ƒ 6000, tot 3| pCto in 't Jaar, ia een (?) leid. pag. 230. VttrH. 7.  58 Mathematifche en andere Foorflelleni een zekeren tyd f 168: i ƒ; — Rente ontfangen: B heeft van e.ne fom , die 3 maanden langer uitftaae tot 3} pCto in 't Jaar, ƒ a8: 15:- minder Interest bekomen dan A. Men vraagt naar het Capitaal van B, enden tyd van AP CXXXIV. VOORSTEL. Als eens vier Dorpen aan Contributie moesten opbrengen ƒ 2150: hét Dorp A% meer dan B, en B a meer dan C, en C § meer dan D. Vraagt men hoe veel ieder Dorp daar toe zoude moeten betaalen ? CXXXV. VOORSTEL. Dit en het volgende Foorjlel aoor M. Jelleh Zpidhof. In een voornaame Schans liggen 109 Mannen ter Bezetting waarvan dagelyks 9Manden op Commando uitgaan , en de overige 100 tot bewaaring der Phats blyven. Nu houden zy daar in deeze orde: d t 'er telkens , zo wel by de terugblyvenden als ui gaanden, één Peifoon veranderd wo;dc; *e vraag is, hoe meenigmaal zy, volgens deeze fchikkine. andus op commando kunnen gaan? CXXXVI. VOORSTEL. Gegeeven zynde twee rationaale Quadraaten, uitpeitukt door deeze grootheden: *3 + 27 -h * =3 O, en 3a'= men vraagt naar de Waarde van se en a, CXXXVIL (#) Meiszner's Kunstjpiegel, Appendix N. 9,  Mathematifche en andere Fo&rfteïkh. 53 CXXXVII. VOORSTEL. Door het Gezelschap te Hoorn, onder defpreuk'. De Wiskunst ons doel. Een Boog te vinden , wiers Sinus ■„ Tangens etj Secans in eene Arithmetifche Progresfie ltaan ? CXXXVIfl. VOORSTEL Dit en het volgende Voorftel door H. Dsesselhuis. Een Bombardier, Hellende 2yn ftuk op 15 Graaden^ bevindt dat de bombe vliegt i3o Roeden: de Vraag is hoe hoog hy hetzelve moet Hellen, om met gelyke lading 2 Ho Roeden ver te fchieten ? CXXXIX. VOORSTEL. Volgens de Tafelen van den Heer Steénstr a ligt Amjlerdam op ja Graaden 23 Minuten Noorder Breedte, en 21 Graaden 31 Minuten Lengte; Cantaii in China op 23 Graaden 8 Minuten Noorder Breedte, en 129 Graaden 35 Minuten Lengte; men vraagt naaf den afltand dier beide Steeden ? CXLo VOORSTEL. Dit en het volgende Foorfleldoor J.deGeldee. Van drie getallen in eene Harmonifche Progresfie is de fom a (26), en de fom der Quadraaten b (244)4 Welke zyn die getallen? H CXLl.  54 Mathematifche en andere Voorjlellen, CXLI. VOORSTEL. Van zeven getallen in eene Arithmetifche Progres~ fie zyn de lommen der eerfte , tweede en derde mazte° t0'-elkander als p, g, r, fin getallen als i, a8> Welke zyn die getallen? CXLII. VOORSTEL. Door J. Pau w. Iemand is fchuidig aan zynen Vriend eene zekere fom, te betaalen over 4 maanden; nog/ 400 over 5 maanden ; nog het dubbeld van de eerfte fom over 7 maanden, en 4 maal zo veel als de eerfte fom over 8 maanden; doch rekent, als hy dit Capitaal door elkander betaalt in 6| maanden, dat zyn Vriend daar mede voldaan is. Vraage naar de drie onbekende Capicaalen? (door Aiithmetica.) CXLIII. VOORSTEL. Dit en de drie volgende Voordellen door j. A c<£u oï. Een Heer wil een ftuk Lands, dat lang is 85 en breed 40 Roeden, met Boomen beplanten, die van elkander zuilen ftaan 5 voeten , als hy voor eiken Boom moet geeven een Zestehalf, vraage hoe veel Ducaaten van ƒ5: 5: — zal hy hier voor moeten tellen? NB. De Voet is 12 Duim. CXLIV. VOORSTEL. Een Rentenier geeft asn een Koopman zeker getal Guldens tegen één Stuiver Interest per Maand van de Gulden : na6 Maanden bedraagt de Interest J van het Capitaal. Vraage hoe veel de hoofdfom be-, draagt? (bj CXLV. (£) H. Müszne*.'» Rtexcnkrans, het 54 Roosje.  Mathem&tifchi en andere Voorftellen. $$ CXLV. VOORSTEL. Iemand is fchuidig 1200 ftuks Silefiër Sluijers, ge* reed ce becaalen; maar doordien zyn Cas nie» breed voorzien is, zo wordt hem toegedaan om in vyf keeren 3 maanden na elkander te betaalen, naamelyk de eerfte Pay Over 3 maanden , en telkens het £ der hoofdfom met 6| percent Interest 'sJaars; overzulks is daar voor in alles betaald ./6500. Vraage hoe veel Guldens heeft het ftuk contant gekost ? (c) CXLVI. VOORSTEL. Iemand is fchuidig een zeker getal Guldens, contant te betaalen; komt met zyn Crediteur overeen, om hetzelve in 2 Jaaren , naamelyk alle half jaafen J des Capitaals met de verloopen Interest daarvan, ee Voldoen, (welke Interest zo veel percent in't Jaar is, als of men de Guldens der Hoofdfom door 360 divjdeert) en de Interest bedraagt te faamen ƒ aoo. Vraage hoe veel is de Interest de eene reis meer als de andere ? (d) CXLV II. VOORSTEL. Door C. Philips Jacoisz. Van een gelykzydig vierkant ftuk Lands A ËC D A worde één vierdedeel A behouden: het overige worde gefchonken aan vier Perfoonen, zodanig dat hunce deelen niet alleen gelyken Inhoud hebben, maar oofc dat hunne gedaante of figuur onderling aelyk is. Men vraagt, hoedanig (Geometrtcè) de deellynen kunnen ingericht worden, om aan hec oogmerk te voldoen ? CXLVIII. (c) Idem het 56 Roosje. (<0 Idem het 57 Roosje. V H %  5<* Mathematifche en andere Voorjlelhn. CXLVIII. VOORSTEL. Hiten de drie volgende Voorftellen door], de Gelder. Een Kegel te bepaalen, die onder eene eeeeeven Oppervlaktei (de Bafis daar onder begreepen) den mogelyk grootften Kloot iDfluit ? CXLIX. VOORSTEL. De lengte van den Boog eener Ellips te bepaalen? CL. VOORSTEL. Het getal der Deelers van de Grootheid a™ b"cf enz. is gelyk aan (m + x) x (n + i) x p + i j enz Men vraagt naar het bewys hier van? CU. VOORSTEL. Het getal a heeft deeze merkwaardige eigenfchap: dat 1/(3 +,/(a-i-l/ (a + t/(2+enz.^./i?/-)))S = as Men vraagt hier van het bewys? (e) CLU. VOORSTEL. Door het Gezelschap te Hoorn, onder de fpreuk: De Wiskunst ons doel. Twee Boogen te vinden, welkers Sinusfen tot el- CL III. (<) Vide Optra OmHfa BsBHOBittr, Tom. I.  Mathematifche en andere Voorjlellen. 57 CLIII. VOORSTEL. Dit en het volgende Voorjlel door J. Ruiter. Een Arbeider, 40 weeken gewerkt hebbende, hadt overgewonnen 28 Ryksdaalders min het loon van 3 weeken arbeids, en bevondt dat hy verteerd hadt 8 Ryksdaalders m«er dan het geen hy hadt overgewonnen, plus het loon van 11 weeken arbeids. Vraage hoe veel Guldens hy 's weeks verdiende? CLIV. VOORSTEL. Een Koopman koopt 4 Kaazen, weegende te faamen 102 fg, en bevindt dat het | van de eerfte , het | van de tweede , het | van de derde, en het { van de vierde alle aan elkander gelyk zyn. Nu is de vraag hoe veel iedere Kaas gewogen heeft ? CLV. VOORSTEL. Dit en de drie volgende Voorjlellen door a. correspondent. Iemand heeft twee zakjes geld; in 't eene zyn ia ftukken goudgeld, en in 'tander 12 Rukken zilvergeld : zo in 'teene 3 goude ftukken minder, en in c andere 3 zilvere (tukken meerder waren , dan was elk zakje even veel waardig; maar nu is 't eene/23:4:-meer waardig dan 't andere. Nu wordt gevr^a^d niet alleen wat elk ftuk, maar ook wat elk zakje waardig was? CLVI. VOORSTEL. Een Casfier heeft drie zakjes geld, inhoudende M. 1, 100 Daalders, N°. 1 houdt in ir.o Goudguldens , en N°. 3 houdt in 100 Guldens. Nu begeert h 3 hy  58 Mathematifche en andere VootfieXtm. hy, dat zyDBoekhouder ieder N°. even gèlykwaardig zal maaken, mits dat elk zakje i co (lukken hioet inhouden. Vraage noe hy dit verrichten kan op alle mogelyke wyzen? CL VII. VOORSTEL, Een hoog bejaard Man belegt ten Comptoire A icoo Guldens op Lyfrenten tegen 10 ten honderd in t Jaar4 en laat de Renten op dezelve conditie by *t Capitaal (laan , ten voordeele van zyne Erfgenaamen; het Comptoir A dek de 1000 Guldens Capitaal terliond uit tegen 3 ten 100 in 't Jaar Interest op Interest. Zo nu de belegger na 8 Jaaren komt te overiyden, vraage hoe veel Lyfrenten de Erfgenaamen ontfangen? — en wat voordeel heeft het Comptoir «iaat b,y gehad ? * CLVHI. VOORSTEL. Een Boer üaande met drie manden Appelen ter markt, alle {treeken vol en van eenerlei gedaaate, maar ongelyk in grootte ; de mand a is boven wyd 2, onder li en hoog a| voet; de mand B is boven wyd af, onder 2 en hoog 3 voet; de mand C is boven wyd 3, onder ü* en hoog 3* voet : Zo hy de mand A verkoopt voor een Daalder , en de andere manden na rato, vraagt men hoe veel hy voorde manden B en C ieder byzonder ontfangen heeft? CLIX. VOORSTEL, Boor J i>e Geeder- Indien ABC eeu rechthoekige Driehoek is, recht in B, en waar van de rechthoekszyden AB en BC seyn, en men trekt uit B een lyn BD tot aan de Hyfothenufa AC , en uit het punt ü de lyn DE rechthoekig op B Cj dan wordt bi&cen den Driehoek A B C een  Mathematifche en andere Voordellen, $9 een andere rechthoekige Driehoek BDE gevormd. Naardien nu een onëindig aantal zulke Driehoeken op deeze wyze kunnen gevormd worden, en het uit ae eenvoudige infpeöie der Figuur zelve blykt, dat onder alle die Driehoeken een grootfte moet zyn,vraagt men hoe dezelve bepaald kan worden ? CLX. VOORSTEL. Dit tn de twee volgende Voordellen door het G e. zelschap te Hoorn, onder de Spreuk : De Wiskunst ons doel. Een Vader testateert, dat zyne Kinderen zyne Nalaatenfehap in deezer voegen zullen deelen: deoudfte zal hebben \ deel van het geheele Capitaal, en daarenboven b Guldens. De tweede zal hebben i deel van de Rest, en daarenboven b + c Guldens. De derde zal hebben \ deel van de Rest, en daarenboven b + a c + d Guldens; de vierde i deel van de Rest, en daarenboven» + 3 ? +3^ Guldens; de vyfde ~ deel der Rest, en daarenboven b rb 4 c + 6 d Hnldens en zo vervolgens. By het overlyden des vSdeNalaatenfchapdeelendè bevinden^ hun aller Erfportien , van den oudften af, m eene arithmetifche proportie opklimmerrh ^&t^. Kinderen 'er geweest zyn, wat de Vade- heett nage laacen, en hoe groot ieders Erfportie geweest xs? H 4 CLXL  Co Mathematifche en andere Voorfiellen.' CLXI. VOORSTEL, Twee Voerftraalen eens Parabool* met de Pees, die deszelfs einden faamen voegt, gegeeven zynde de waarde des Parameters te bepaalen? CLXII. VOORSTEL. In een ronde Kuip , hoog 16 en wyd over 't kruie 40 duimen, is op het midden van den bodem een ftuk gelds gelegd. Iemand een einde wegs. van de Kuip afftaande, ziet, over de zyde naar hem toegekeerd, juist aan de tegenoverzyde in deszelfs kimmen. Vraage tot welke hoogte de Kuip met water gevuld moet worden , op dat hy in den zelfden ftand het voorn, ltuk gelds zal kunnen zien ? CLXIII. VOORSTEL. Boor Simplex. Gegeeven 17 **+.1 een rationaalQuadraat* vraage naar de waarde van ar in heele getauen ? CLXIV. VOORSTEL. Bit en de twee volgende Voorjlellen door j. Bolten. De vriendfchap wordt ten fterkften op de proef ge. fteld wanneer iemand in nood is, en gebrek aan penningen heeft. Met gebeurde a dat zyne penningen niet toereikende waren, om zyne geaccepteerde Wisfelbneven op den behoorlyken tyd te voldoen. Daar op begeeft hy zich by zyne vrienden B, C, DenE zeggende hem benodigd te zyn ƒ c 27 4. Deeze neemen te faamen raad ; de een kan meer geeven dan de am'er, en fchikkeD het zodanig dat B en C zodanige lommen tcurneeren, wa« van het vermenigvuldigde 2413.  Mathematifche tn andere Foorfeilen* 6t 24131 bedraagt-; ook is het vermeenigvuldigde der door C en D gefourneerde penningen 1066^1, endac der penningen door D en E gefourneerd 75429* W« heeft elk bygebragt? Door Arithmttica. CLXV. VOORSTEL. Deel 11 in twee zodanige rationaale deelen, dat wanneer dezelve de Cathetus en Bafis van eenen rechthoekigen Driehoek zyn , de daar uicontftaane Hypothenu/a ook rationaal zy ? (f) CLXVI. VOORTEL. Deel 11 in twee zodanige rationaale deelen , dat wauneer dezelve de Bafis en de HypQthenufa van eenen rechthoekigen üri-hoek zyn, üe daar uit ontftaane Cathetus ooit rationaal zy? CLXVII. VOORSTEL. Dit en de drie volgende Foorfiellen door j. V1 s s e r» Daar is een Cirkel; wiens Diameter doet 18; nog is 'er een selykzydige Driehoek ABC, waar van iedere zvde" mede doet 18, en de Cirkel begrypt drie zvden van den Driehoek , naamelyk van de eene zvde zo veel lengte als van de andere. Vraage naar ieder zvde des Driehoeks , afgefneeden in den Cirkel, te weeten Gti, IK, LM? (£) CLXVIII. ffl MiiszNEiS Kunilkettn, Aanhang N. 282. (£•) A. B. StraBBE Appendix N. «3* H 5  . fchreeven een Raam of Rechthoek , welks lengte het drievoud is van deszelfs Breedte; in deezen Rechthoek is befchreeven eenen gelykzydigen Driehoek , zoo groot als mogeiyk is. Vraage naar deszelfs lahoud ? , ccvi.  74l Mathemati/the en andere Veorfleïïeni CCVI. VOORSTEL. Door J. Kneppel, en H. Vee», Iemand neemt op Interest zekere fom Ryksd. \ Jaar minder als het Pc. 's Jaars gerekend wierdt; na verloop van deezen tyd geeft hy 8 Grooren Interest meer dan Ryksdaalders, Wanneer men de getallen der Ryksd. en Grooten addeert, en daarvan 4 fubftraheett , de rest dubbeld neemt, zo komt 'er zo veel als het Capitaal was ; en het ProduSt ontftaandc uit het vermeenigvuldigde van de getallen van het Ca. pitaal , Pc. 's Jaars , en der Jaaren , is 3850. Nu vraagt men naar het Capitaü en Interest? (e) CCVIl. VOORSTEL. Door J, Ruiter. In eene belegerde Fhms, waar van de bezetting beftordt in Duitfche , Engelfche , HolLsndfcbe en Spaanfche Troupen , bevindt men, na dat de Stadingenomen was , zoo veel Duitfche , Engelfche en Hollandfche gedood minus 620 Mannen, als Spaanfche ; zoo veel Duitfche, Engelfche en Spaanfche te faamen minus 460 Mannen,als Hollandfche; zoo veel Duitfche, Hollandfche en Spaanfche te faamen minus 380 Mannen, als lingelfche ; eindelyk zoo veel Engelfche, Hollandfche en Spaanfche te faamen minus 500 Mannen , als Duitfche. Men vraagt hoe veel Duitfche , Engeifche , Hollandfche en Spaanfche Manfchappen in die belegering gefneuveld zyn ? NB. Men eischt ook te toonen , dat het Antwoord goed is, en Proef houdt. CCVIIIj (f) M. Jelleh, Rektnk. Bytonderhtden, N. 130.  Mathematifche en Andere Voorjlellen. 75 CCVIII. VOORSTEL. DU en het volgende Voorftel door j. j. B o v w e n s. De Klok twaalf uuren zynde, ftaan de beide Wyzers van een Horlogie vlak boven elkander in eene rechte lyn ; men vraagt hoe laat het zyn zal, wan-, neer de Wyzers na twaalf uuren weder in eens rechte lyn vlak boven elkander zullen ftaan ? CCIX. VOORSTEL. Iemand ziek zynde, zendt 's morgens ten 8 uure/i een Bode, (uur op uur gaande) 12 uuren ver, om den Doctor te haaien ; maar na een paar uuren de ziekte heviger wordende, -zendt hy een ander te paerd naardien Doctor, welke 's avonds ten 8 uuren by den Zieken was. Men is begeerig te weeteu , in welk een korten tyd hy de 24. uuren heeft afgelegd, hoe laat hy by den Doctor was , en wanneer hy de Bode te voet voorby reedt, en in zyne terugkomst weder ontmoette ? CCX. VOORSTEL.Dit en het volgende Voorftel door j. Cr. e ket. Daar is een Regel van Drieën, welke aldus ftaat: A Ellen kosten 8 Guld.; wat kosten B Ellen ? komt C Guldens, hkiien men C verdubbel , zo kamt 'er een Quadraat ten voorfchyn , welkers Wortel het tweevoud is van A ; en als men B door het tweede Lid des Regels deelt, komt'er voor de uitkomst 2. Vraa. ge naar den Regel ? K 2 CCXI.  3i Mathematifche en andere Poorjlelktn CCXI. VOORSTEL. Een Koopman pasfeert door een Stad, vraagt onderweg hoe iaat hec is ; hem wordt geantwoord, dat van der Zonnen opgang 17 uuren zyn ; en zo hy wil weeeer> hoe Iaat het is, dat hy het een-derde van de Voorledene uuren addeert tot de ,f der toekomende , dat hy dan zal bevinden wat uur het geilagen was. Men begeert hier uit te vinden, hoe laat het was toen de Koopman door die Stad pasfeerde ? CCXII. VOORST E L Pit én de drie volgende Voorjlellen door A. Coures« PONDEN X. Zo A aan B eens fchuidig Rond Voor 6 Maanden agthonderd Pond ; En B aan A, voor negen Maanden Net duizend Ponden fchuidig ftaande; Zo A zyn fchuld contant voldoet, 'Jc Vrasg wanneer B betaalen moet ? CCXÏII. VOORSTEL, Als A aan B (*) e<°n zek're fom Op Intrest geeft, mits B weêrom | Som zal wedergeeven; . Met, d'Intrest op den eerften Mey; De (*) Den 1 January 1788.  Mathematifche en andere VoorJUllen. fj De rest als 'tjaar ten einde zy; Zo 13 dan gaf de fom hier neven, (f) En nog ten einde van het Jaar Vierhonderd vyf en twintig Guldens; maar Hoe veel gaf A op winst aan B, En ook hoe veel Percent het deê? CCXIV. VOORSTEL. A is aan B fchuidig een fomme gelds , te betaalen i in 17 , f in .3.6, en } in 55 Maanden; B begeert dat A hem de geheele fomme zal betaalen ten einde van 'tderde Jaar (fchoon hy dan 3ri£ éi Vlaams daar by zoude verliezen;. A zegt, zo gy my de voorsz. fomme , en nog eens zo veel daar by wild kenen , en dat laaten gebruiken ten einde van 't zesde Jaar, zal ik in alles 96555 Vlaams betaalen: B dit accordeerende , vraagt men, hoe veel de tweede Interest ten honderd in 't Jaar gerekend wordt, -als de eerfte Interest is 10 ten honderd in 'tjaar? (ƒ) CCXV. VOORSTEL. Tien Compagnons hebben te faamen ingelegd eene zekere fooi & Vlaams , te weeten: als men addeert de £ des Inlegs van BCDEFGHIK tot den Inleg van A; ook zo men addeert .de ff des Inlegs van ACDEFGHIK tot den Inleg van B; en de %* des (t) 816J Guld. (ƒ) Zie diergelyke by M. vin Dyi , de laatfts ia Winst en Vtrlits. K3  78 Mathematifche en andere Fborjldlen. des Inlegs van ABDEFGHIK tot den Inleg van C; en de $f des Inlegs van ABCEFGHIK tot den Inleg van D; en de ii des Inlegs van ABCDFGH IK tot den Inleg van E ; en de '%% des Inlees van ARCDEGHIK toe den Inleg van F; en de A des Inlegs van ABCDEFHIK lot den Inleg van Ö • en de I* des Inlegs van ABCDEFGIK tot den Inleg van H; en de U des Inlegs van ABCDEFGHK tot den Inleg van I; en de % des Inlegs van ABCDEFGHI tot den Inleg van K , zo komt telkens hurlieder Winst. \ raage wat heeft elk ingeleid- en wat komt elk van de Winst? (g) CCXVI. VOORSTEL. Dit en de drie volgende Voorjtellen door j. d s Gelder. Daar zyn twee getallen; wanneer men by elk één bydoet, en de fommen met elkander vermeenigvuldigt, is het Produel; 20 ; en zo men' by de Cubus van elk de eenheid voege, is het beloop deezer Colletlen 1S20. Welke zyn die getallen? CCXVII. VOORSTEL. Van vier getallen in eene Arithmetifche Progresfie Ss de fom der Vierkanten a (zz 164), en hetgeduurig vermeenigv aldigde b (~ 945)* Welke zyn die getallen? CCXVIII. (g) Zie M. WiLEXH!| Quatliitatn N°. 15.  Mathematifche en andere Voordellen* CCXV1II. VOORSTEL, Van vyf getallen in eene Arithmetifche Progresfie zyn de foramen der eerfte, derde en vyfde magten ais p, q, ea r. Welke zyn die getallen?, CCXIX. VOORSTEL. Het mogeiyk kleinfte heel getal te vinden, dat in m n vier deelen x , y , t, en v gedeeld zynde , x y r s % v een grootfte zy. CCXX. VOORSTEL» Door A. B. S t r a b e e. Van een gegeeven getal begeert men de Cyffers te verfchikken , zo meenigrnaal als 't mogelyk is, en alsdan het eerfte met alle de veranderde getallen te addeeren. Vraage hoe de Formule van die fom te vinden is? (//) CCXXI. VOORSTEL. Door j. Appel. Drie Broeders bebben te faamen II Kinderen; A heeft 'er tweemaal zo veel als C; het getal der Kin. deren van A met dit van B vermeenigvuldigd, bedraagt 10 maal 't getal der Kinderen van C. üoe veel Kinderen heeft elk van hen? CCXXIT (h) Vehema Algebra, Editie van 1783. BefluitN.15.  $d Mathematifche en andere Voorjldlen* CCXXIL VOORSTEL. Door J. Switser Jansz. Daar is een Breuk, wiens Noemer 108 meer doeÈ dan de Teller; als men deeze Breuk verkleint, zo doet de Noemer 6 meer dan de Teller, en zo men de Noemers en Tellers van de verkleinde en onverkleinde Breuken met malkander multipliceert, komc 'er 915^3044. Wat is het voor een Breuk? (é) CCXXIII. VOORSTEL. Door S. G ra af. Iemand koopt een Huis voor een getal Guldens, dat uit twee Quadraaten beftaat , weikers Wortels, te faamen veuueenigvuidigd een Pronik-getal voortbrengen , waar van de Wortel 4§ maal in hetklein. fle Quadraat begreepen is; en als men het Quadraat op het verfchil der Quadraat- Wortelen van het getal Guldens , die het Huis kost , aftrekt, rest 'er | van 't grootfte Quadraat. Vraage naar den Koop? CCXXIV. VOORSTEL. Door J. Visser. A en B zyn van een verfchillende ouderdom, doch A ouder dan B; als men hun beider Jaaren met malkander multipliceert, en het komende verdubbeld, dan is het komende het eerfte Produel 1 en zo men ieders ouderdom quadrateert, zyn die twee Quadraaten het tweede en derde Produel: deeze drie Produc. ten geaddeerd zyn gelyk 1704, en hunne Jaaren liaan toe elkander in reden als 2 tot 1. Vraage naar hun ouderdom? CCXXV. (i) Hal k e«s Zinnen -Cm}'eS, N. 115.  Mathematifche en andere Voorftellen. tl CCXXV. VOORSTEL. Door P. Brecht. Van eenen rechthoekigen Driehoek is de fom der drie zyden 30, en haar vermeenigvuldigde 780. Vraa, ge naar de drie zyden ieder byzonder ? NB. Diergelyk Voorftel is reeds opgegeeven , zyn. de NJ- 77 van dit l. Deel ; doch men verzoekt hier op eene andere bewerking. CCXXVI. VOORSTEL. Door J. de Jong. Van een rechthoekigen Driehoek ABC is AB tweemaal zo veel als AC ; indien men AB multipliceerd met AC, en van 'tProdutï fubftraheert 3068, dan zal zulken rest even zo veel zyn, als of men AC met 480 multipliceerde. Vraage naar den Inhoud des Driehoeks? (è) CCXXVII. VOORSTEL. Dit en het volgende Voorftel door J. te Veltrup. Vind drie getallen wier fom een rationaal Quadraat. en de fom van hunne Quadraaten een rationaal Quadraats - Quadraat zy? ~ CCXXVIIL (k) Gieter ma aker Schatkamer, 17. Boek, N. 32. CO A. B. Sibabbe Meid. tot de Mathem. Weetenfch.t p. 251- N. 23. Zie ook Venema Algebra, Editie vaa 1783, Befluic N. 11. L  8a MaShmatifche en andere Voorjiellef^ CCXXVIII. VOORSTEL, Vier getallen te vinden , wier fom een rationaal Quadraat, en de fom van hunne Quadraaten een rationaal Quadraats-Quadraat, zy? (m) CCXXIX. VOORSTEL. jBit en het volgende Poorjiel door j. de Gelder». Vind drie getallenzodanig ; als men de fom van de twee eerften mee 'het vierkant van het derde vermeenigvuldigt; de fom van het eerfte en laatfte met het vierkant van het middelfte ; en dé fom van de twee laatften met het vierkant va.n het eerfte, de Jpeiïive Producten zyn 80, 54, en 28 ? («) CCXXX. VOORSTEL» Hee getal a ( 31 > in twee Progresfien te verdeelen % elk van drie Têsrwês.,, waar van de eerfte eene Arith* yietifcJie, en de laatfte eene Geometrifche is ;. het verfchil der Arithmetifche is gelyk aan de ratio of reden der Geometrifche; de grootfte Term inde Arithmetifche is gelyk aan dé grootfte in de Geometrifche i inuien men nu alle de Termen van de Arithmetifche door de overëeokomftige van de Geometrifche deelt (dat is, de kleinfte door de kleinlte , de middelde door de middelfte , de grootfte door de grootfte), zyn de Quotiënten in eene Arithmetifche Progresfie. Me». Vraagt welke die Progresfien zyn? CCXXXl. Strabbe Inleid, tot de Mot htm,, ff'eetenfch,. „. pap. 25 r. N. 24. ' ififlbid. psg. 257. $, 25.  Mathematifche en andere Voorjlellen» 83 CCXXXI. VOORSTE!,. Door J. Kneppel en H. Veen. Iemand neemt eenige Ryksd. a. zekere pCt. des Jaars op Interest. Na eenige Jaaren betaalt hy Capitaal en Interest in üucaaten a l zo vee! Ryksd. het ftuk, als pCt. des Jaars Interest gerekend is; dus betaalt hy 127 Stuks co 1 Ryksd. 24 Gr. klein Geld, Indien nvn het zesvoud der Jaaren multipliceert met het Capitaal, komc 4500; maar het drievoud der pCt. des Jaars met het Capitaal gemultipliceerd, komt 4800.. Vraage, hoe veel de Ducaat is waardig geweest , en hoe hoog het pCt. des Jaars Interest gerekend zy ? (0.) CCXXXII. VOORSTEL. Dit en de vier volgende Voorjlellen door A. C o r- sesponde nt. Een Boer vrieg aan een Rekenaar, Zo hy tot tien Percent in 't Jaar Intrest op Intrest had gefteld Zeshonderd Ponden Vlaams in geld; Hoe lang dit wel op Intrest ftond, Pat hy ontfing agthonderd Pond? CCXXXIII. VOORSTEL. Iemand is fchuidig te betaalen over een Jaar voor Capitaal en Interest 355 Guld, 17 Stuiv. 8 Ptnn.j zo hy 't Capitaal gehad heeft 3 Maanden tegen 8, cn 9 Maanden tegen 10 ten honderd in 'tjaar , hoe veel is 't Capitaal geweest? (p) CCXXXIV. (0) M. Jellen Rekenkundige Byzonderheden, N, i2> (?) Zie de laatfte by Mots Arithmttica. L 2  §4 Mathematifche en andere Voorjlellen» CCXXXIV. VOORSTEL. Iemand heefteen vierkante Boomgaard, waar van elke zyde doet 7 Roeden 1 Voet, en is beplant met Aalbesfen- en Kruisbesfen - Boomen , te weeten 2 maal meer witte, en 3 maal meer roode AalbesfenBoomen, dan Kruisbesfen-Boomen, ftaande 5 Voeten van malkanderen, Vraage hoe veel van elke foort daar op Haan? NB. De Roede tot 12Voeten gerekend» CCXXXV. VOORSTEL. Iemand heeft een gelykzydige Driehoekige Boomgaard , waar van iedere zyde lang is 6 Roeden 4 Voeten, en is beplant met Aalbesfen. en Kruisbesfen-Boomen, te weetcn 4 maal meer rcode, 3 maal meer witte, en 2 maal meer zwarte Ailbejfen-Boourn, dan K/uisbesfen- Boomen , Maande 4 Voeten van malkanderen. Vraage hoe veel van elke foorc daar op ftaan? CCXXXV1. VOORSTEL. Een ronde Piramide, Kloot en Cfinder hebben elk eenen gelyken Diameter,cn zyn van eene hoogte. Vraage paar de Proportie van hunne lighaamlyke grootte? (q) CCXXXVII. VOORSTEL. Door J. J. B 0 u w e n s. De Bombe (in Voorstel CXXXVIII.) van deo Heer Dresfelhuis zai op 15 of 75 Graaden 18a Roe- (f) EvEjtsDYK Gecm. Quzstien, N, 2S_.  Mathematifche en andere Voorjlellen. «5 Roeden, en op 15031', of 64°io/, 280 Roeden ver van 't Mortier geworpen worden. Men vraagt noe lang die Bombe in die vier Gevallen onder weg zal zyn? CCXXXVIII. VOORSTEL. Dit en de twee volgende Voorjlellen door J. Pauw. Jnfcriptie tot Leeuwaarden. De Figuur ( hier onder nader befchreeven ) is winkeïrecht 'in A, B en C; A B en A D zyn even lang , zoo ook BC en CE; de Area of vlakke Inhoud is 3822 Tiêl?: AB en BC doen te faamen iia7f; BC gemultipliceerd met 54 ff, zal komen in wut Jaar en op welken Dag het fundament van dit huis gelegd is: en AB gemultipliceerd met 20, zal komen de tyd van 't Jaar en Dag, toen dit huis gemaakt was. Men begeert nu uit deeze Jnfcriptie te vinden , wanneer het fundament van dit huis is gelegd, en wanneer hetzelve is volbouwd geweest? (*) Befchryving der Figuur. Trek eene rechte lyn AB, en ftel op het einde A derzelve een Perpendiculair A B = A D ; voeg de punten B en D te fmmen, en trek uit B, parallel aan A D, de rechte B C, doch niet zo lang als A D. Trek cindelyk uit C , parallel B A , de rechte C E, ontmoetende BD in E; dan is de Figuur genuakt. CCXXXIX. VOORSTEL. Op een waterpas Veld ftaan twee Torens A B en CD; op de eene A B ftaat iemand in B met zyn obg 100 (*) Dit Voorftel, zegt de Opgeever, is my eeBs door zeker Vriend icegezonden, en door my opgelost. M  36 Mathematifche en andere Voorjlellen. ioo Voeten boven den grond, en ziet van daar deo anderen, (op welken een Beeld DE Raat,) van den grond tot aan het Beeld onder eenen hoek van 22 Gr. 50 Mm. , en het Beeld zelf onder eenen hoek van 4 Gr. 16 Min.; indien nu die Toren tot aan het Beeld hoog is 120 Voeten , als CD, vraaqt men naar den atltand AC der beide Torens, als mede naar de lengte van het Beeld Dfi? CCXL. VOORSTEL. Twee Scheepen A en B zyn by malkanderen op s Graaden lengte, en 42 Graaden Zuiderbreedte; zeilen van daar, B lusfchen't Zuiden en Zuid-West, en A tusfchen *t Zuid-West en West , tot dat ze beiden komen op 46 Graaden Noorder-Breedte; doch S Graaden 16 Minuten in Lengte verfchillen: zo rö de Koersboek tusfchen beiden is 4 flreeken, vraagt men wat Koers en Verheid ieder gezeild heeft, tn op wat Lengte zy gekomen zyn? CCXLÏ. VOORSTEL. Door S. Ga aak. Twee getallen te vinden in reden als 1 tot 5: zo men het Quadraat van 't kleinfle trekt van den Cubie des kleinsten , rest 'er een rationaal Quadraat, wiens Wortel met 2 vèrmeenigvuldigd gslyk het grooifte getal + 10 is? CCXLI1. VOORSTEL. - Dit en het volgende Voorftel door j. Visser» Drie Scheepen A, B en C liggen A en C recht Oost en West van malkander 28 Mylen, en B ligt benoorden dezelven van A 30 Mylen, en van C 26" My-  Mathematifche en andere Voorjlellen. 8jr Mylen. Vraage hoe veel Mylen ieder Schip zal moe« ten zeilen, om by malkander in één punt te komen > als ieder evenveel Mylen zeilt? CCXLIII. VOORSTEL. Als de Koers en Vaart van een Schip Zuid-West 36 Mylen is , en de loop van den Stroom in den zelfden tyd N. N. West 26 Mylen. Vraage naar de behouden Koers en Verheid, veranderde Breedte» en afwyking van den Meridiaan? CCXLIV. VOORSTEL. Dit en de twee volgende Voorjlellen door J. Boeten. In een Driehoek ABC doet AB 13, BC 14, AC l CCXLVIII. VOORSTEL. Laat van den Driehoek ABC bekend zyn de hoek A 590 29', de Bafis BC 14, en het verlchil van de opltaande zyden AB en AC, zynde BK, doet 1. Vraage naar de gemelde opftaande zyden AB en ACV CCXLIX. VOORSTEL. Een Boer neemt eèn Knecht aan voor den tyd van 7 Jaaren, mits zullende winnen co ~&VL , en als hy op het einde van het derde Jaar vertrekt zal dan toegeeven 40 c&Vl. aan zyn Baas , vermits zyn dienst verbetert in eene Arithmetifche Progresfie. Zo het nu gebeurt dat ze fcheiden met gefloten beurten , vraagt men op wat tyd zulks gefchiedt, en naar hunne conditie? CCL. VOORSTEL. Twee Perfoonen zyn van eenen verfchillenderj ouderdom. Wanneer men hunne Jaaren te faamen addeert , komt een Quadraat, welks Wortel is her verfchil van hunne Jaaren; en zo men hunne Jaaren ieder byzonder quadrateert, en die Quadraaten faamen addeert , komt 'er mede een Quadraat* welks Wortel is 35, Vraage naar ieders ouJerdora? SLOT-qüESTIE. Door H. Ra kers Pietersz. Eenige Perfoonen hebben eene fom gelds te deelen. De eerile neemt a Guldens, en van de rc-st nog N - het  f)» Mathematifche- en andere Foorftelkn*, i het t deel; de tweede neemt van de rest a-\-b Gul» P i dens, en van dat 'er overblyft ook het — deel; de P derde neemt van het overblyvende a -h 2 b Gul1 dens j en van de rest het — dee!, en zo vervolgens, V ieder telkens b Guldens meer dsn de voorgaande. Zo nu na zodanige deeling bevonden wordt, dat ieder even veel ontfangen heefr,vraagt men i°. hoe veel Perfoonen 'er zyn geweest , en hoe veel ieder voor zyn deel heeft ontfangen ? &°. Zo na eene Wiskundige berev kening van dit Voorftel blykt, dat de fommen,welke de Perfoonen de eerfte maal na zich neemen , alvoorens ieder een gelyk deel van '1 overblyvende te ontfangen , van de eerfte tot de laatfte in eene Arithinetifche Progresfie ftaan, vraagt men naar 't Bewys? £lK DE VAM HET EERSTE DsE^  NAAMLYST DER JL,EDEN van het GENOOTSCHAP, Welke dit I. Deel der Wiskunstige Verlustip ing met nuttige Voostellen begunstigd hebben ; met aanwyzing vat door ieder van hun is voorgefteld. P. J. B. C. van d E R Aa , N. 48. J. Acquot, N. 129-134, 143-«4$« D, Aismeï, N. 44, A. Alblas, N. 29. J. Appel, N. 203, 221, J. j. Berghaus, N. 75, 81, J. Bolten, N. 9 23, 37, 38, 52,53,110,127,138, 164-166,190,197,244-246. ']b. Bolten Jansz., N. 69,70. J. J. Boüwens, N. 208, 299, 237P. van Brecht , N.4,28,41 ,59,64,65> 82,80,225. C. Beeevilt, N. 3, H. L. Bronius, N. 8, 46. J. Cl ause t. N. 13,43,54- A. Correspondent, N. 111-123 • I55-Ï5?i lHt 182,189-191,212-215 ,232-236. Creket, INI. 210, sii. J. den Dekker, W.z., N. 124, 171. G. Diepenhorst, N. 14, 45,66. C. van Die-st, N. 12. H. Dresselhuis. N. 2, 18, 20, £2, 27,74, 79,90, 104-106,138,139. G fi".  ( 2 ) Gezelschap te Hoorn, {Het) N. 42,51.58,63, '03,137,152,160-162,104,195. t« de Geldeh, N. 33, 50.55,56.97 .100,140,141, 148- 151, 159, 178 - 18», 200, 201, 216219,229, 230. S. G saai, N. 93, 223, 241. C. Hokke Barendsz. n. 36, 185, 186. J. de Johgh, N. 72,85,95,173-176,202,226, J. Kneppel, N. 30,47,90,206,231. J. B. Noordink, N. 125. J. van der Oort, n. 34, 93. J. Pauw, N. 35, 57» 80,142,183 ,204,205,238-240. C. Philips J. Z, N. 11,16,87,88,92,102,147,198. h. rakers Pietersz. n. 15 en BeJIuit-Questie, P. romond, n. Ó2- J. Ruiter, N. 78, 153 ,154, 207. G. Schut, N. 5, 73, 77,86,126,248-250. Simplex, N. 68, 163. A. B. Straeee, N. 1 ,49,71,91,172,193 ,193,220. r. Swartwold , Ki. 17,28,32. J. Switseb Jansz. n. ici , 177,184,222. H. Vien, N. 109,206,231. J. te veltrup, n. 10,25,40,60,61,67,227,228. J. Verton , N. 76. J. Visser, N. 167-170,199,224,242,243. A. Vryer, n. 21, 94. M. Jellen Zuidhof, N.6,7, 19,24,31-39, 83,84,99, 107,108,135,136,187. 188,247.  ONTBINDINGEN DER VOORGAANDE VOORSTELLEN.   ONTBINDINGEN DER VOORSTELLEN; Welke in dit Ifte Deel der Wiskunstige Verlustiging van het Genootfchap det Mathematifche Weetenfchappen , onder de Spreuk: Een onvermoeide arbeid komt alles te boven, te vinden zyn. 1. VOORSTEL. Door J. de Gelder. Om dit Voorftel vollédig op te losfen, zal ik da Volgende Lemmata vooraf laaten gaan. I. LEMMA. Mg. 10 Dt Vierkants-Wortels uit de helft der Sinus Verfus, tn uit de helft der Sinus Verfus van het Supplement eens Boogs zyn refpeEtivelyk gelyk aan de Sinus van de helft, en de Sinus der helft van het Supplement deezes Boogs, mits men voor de Radius de eenheid ftelle. BEWYS. Laat BE een Boog naar welgevallen verbeelden, waar van CE het Comtlement, én DË het Supplément zy; Bb de helft der Boogs BE, GE de Sinus, A en  2 ONTBINDINGEN en AG de Cofinus van BE, RU en AH de Sinus eö Cofinus van EF = FB — i BE. Trek dan de lyn DE ; dan is deeze de dünbeide Sinus van de helfc des Supplements ECD. Nu is: Cop = ËÖ-gV~ËB-R^iRx Cof. + Cof.* ËÏÏ'- 3R1 - iCof. x R. jÉfai § R* - i R x Co/. £ EBr |/j R^^lR~x~Q/T= j/l+Tcb/TR-r Rellende. Hst eerfte dat te hewy:en was. R*-G>/.» -"DÉ—~DG ^Trê'-.jV' mn% x Q>f* ~~DE =. 2 R» -+ a R x Co/. IDE == i R* -t- 2 R x Co/. *de == v/fi^^n T~ïrcofT~ vï+~cc~r, als R z: i is. Het tweede dat te bewyzen was» II. LEMMA. Fig. 2. Be fom en het verfchil der Cofefans en Cotangens van een i>oog zyn rej&eüivelyk gelyk aan de Tangens van de h- Ift aetzes Boogs, en van ae helft van het duppiement deszes Boogs. BEWYS. Laat BD een Boog, BW n WO de helfc deezes Boogs verbeeldenCD hec Complement, van denzei-  üër VOORSTELLEN, ènz. 3 zeken , BE en AE de Tangens en Secans van DB, en CF en AF de Cotangens en Cofecans van den Boog DB, CH en AH de Tangens en Secans van CW = de helft van het Supplement des Boogs DBa Dan is: Z.CHA C Z.HAB Maar Z.FAH = Z.HAB Oud. TcëT- LFAÜ Dus AF ~ FH, en derhalve Tang. C W — Cofee. DB + Ctf. DB» Het eerfte dat te bewyzen was. Neem nu MH = a CF; dan is CM — AM — CF, Voorts is 4.CMA = Z.MAB = LC\H Z.MAH zz Z.MAH Z.CAM ~ LGAB DusGB=CM, en dethalve Tang. BG = Cofec. CD - Cot. CD. Het tweede dat te bewyzen wat. OPLOSSING. Laat (Fig. 3) AB de gegeeven balk zyn, BCda verticaale balk , op welken de eerfte AB rusten moet. Men ziet terftond, dat 'er twee byzondere geval* len kunnen p'aats hebben. 1° De balk AB kan horizontaal op CD rusten, of liever met denzelven eene horizontaale fteliing hebben, a° Of hy kan met den Horizon eenen zekeren hoek hebben. Het tweede toeval zullen wy eerst oplosfen; om dat hec algemeen is, en het eerfte daar uit afgeleid kan *olden- A % Om  4 ONTBINDINGEN Om alle mogelyke eenvoudigheid van denkbeelden der oplosfinge toe te brengen, zullen wy den balk AB als een hefboom, beftaande uit eene onbuigbaare lyn zonder gewigt , befchouwen , en (tellen, dat aan de uiteinden deszelven gewigten opgehangen zyn , die op elkander dezelfde werking hebben, welke de deelen BC en AB des balks door hunne natuurlyke zwaarte op eikanderen oefFenen. Dat men nu in de belchouwing, zoo wél als in het werkdaadige, Vraagftukken van die natuur tot het geval van de werking der la&ten op eenen onbuigbaaren Hefboom kan overbrengen, weet elk één. Dan dewyl de hoegrootheid der werking des balks om te daalen op den ftaat van ons vraagltufc geen invloed heeft, gelyk by de oplos* fing zelve blyken zal, zullen wy hier niets meer van zeggen. Laat dan, om ter zaake te komen, (Fig. 4.) CD den verticalen balk verbeelden, AB den Hefboom, op welken de gewigten A en B, om het punt C, als een vast fteunpunt, werken. Stel de werking van het gewigt B op den arm BC des Hefbooms grooter te zyn , dan de werking van het gewigt A op den anderen arm AC deszelven. Het is dan de arm CB , die , door zyne overwinning op AC geneigd zynde te daalen , door een fchoor mn zal moeten onderfleund worden. Het is klaar , dat hoe digter het punt n van de fchoor mn, waar op de arm CB van den Hefboom rust , by het einde B van dien arm CB zich bevindt , het lighaaro of gewigt B minder geneigdheid zal hebben , om zich om het punt n als een rustpunt te bewoegen, en dus ook minder geneigd, zal zyn, om den arm Kn van den Hefboom AB, nu om », als een fteunpunt, beweegbaar befchouwd zynde, van het punt C te doen verwyderen. De onderfteuning van den Hefboom AB zal derhalven grooter worden , naarmaate de werking der kracht van hec lichaam B om te daalen (die volgens de  eer VOORSTELLEN, enz. 5 de Werktuigkunde rr CB x B - AC X A is) op het punt n kleiner of minder wordt : om dat, noe digter n by B geplaatst wordt, de drukking van ü op n minder wordt. Van deeze natuurlyke oorzaak is het alleen niet, daar in ons geval de hoegrootheid der drukking van afhangt: maar hier komt een tweedeornitandigheid in aanmerking : de fchuinsheid der werking van den arm CB des Hefbooms op de fchoor mn. Het gewigt B werkt op het punt n in eene richting; die rechthoekig op Cü is, en met ws de ho^k mnK der fchuinsheid van de werking op n maakt. De volkomen werking van het gewigt B op n is dus gelyk aan de rechte werking, gedeeld dcor de Cofinus van den hoek der fchuinsheid van deeze werking. Deeze volftrekte werking is het, dieeenkleinde moet zyn, op dat de onderfteuning een grootlte zy. De aart en natuur der zaake befchouvvd hebbende, zullen wy tot de berekening zelve overgaan. Stel (Fig. 4 en 5) Sin. Z.BCD zz a, de gegeïvene fchoor mn Z b, AC ~ c, CB~d het gewigt Azzzp, het gewigt B zz q; alle ftandvastige grootheden. Stel Sin. LCnm zz x, eene veranderlyke giootheid. Dit gefield zynde , is volgens de Gronden der Driehoeksmeeting Cnf.L BC D ZZ 1/ 1 — aa, Cof. LCnm zz \/ 1 -xx en Sin. (LBCO + LCnm) - Sin. LCmn zz a \/\ — xx + x \/i — aa (Zie Steenstra Grondbeginfels der Meetkunde 1 gev. 5 frop. 7 boek). Daarenboven is volgens de gronden der Driehoeksmeeting, Sin. LBCD-.Sin. LCmn ::mn:CnoïAnal.Termen, a\ai/7-^+xi/i-m:biCn—b\/i-xx+~a~ i-aa. A 3 Door  6 ONTBINDINGEN Door de gronden der Werktuigskunde is de kracht van her lighaam B om te daalen — dq - cp, eene ftandvastige grootheid. Door deeze zelfde gronden is het bekend , dat de werking van deeze bepaalde kracht op het punt n gelyk aan het produel van die kracht met den arm CB des Hefbooms, en gedeeld door C«, den afitand die dat punt n van het rust* punt C heeft. ddq — cdp en dus — , bx b]/ i-xx +— yi-aa, a a(ddq-cdp) i '~- ■ - x " - - '■' "■ ■■• de rechthoe* b ayi-xx±xyi-aa «ge werking v van den Hef* boom op n. Deeze door de Cof. van den hoek der fchuinsheid deelende, welke Cof. ~ Sin. LCnm zz x is , heeft men de volkomene werking van den Hefboom ops: naamelyk a i — X ddq-cdpX ■ ii ax y1— xx-'rx x y i — aa Deeze uitdrukking moet derhalven een kleinfrezyn, a of, om dat - x (ddp—cdp) eene functie van ftandb vastige grootheden is, ax yi-*xx + xx yi—öa, een grootfte. Hier van de differentiaal neemende , heeft men afxdx-2 xsdx) ix* dx -1 aaxdx Of  der VOORSTELLEN, enz. 7 a. (ï-ix*) Qf., .-r-a*y/i-aq — O. V(i-x2) a x (t-i*1) = — 2* v i-aa. y i—xx. Of, verder herleid zynde , x*—x' ZZ — \aa i — i x* — x* +i zz i-ao xi — j — r^-ji/f — fl« x ~ y/iiztl \/i*-aa) Maat de vierkants-wortel uit de helft der Sinus Verfus, en der Sinus Verfus van her Supplement ieezes 'boogs zyn Tefpedtivelyk aan de Sinus en Cofinus van de helft deezes boogs gelyk, mits men de Radius = 1 ftelle. (Zie Bewys, Lemma i.) Indien men nu in de verkreegene Formule het teken plus gebruikt , zal men bevinden , da'. Sin. LCnm gelyk is aan d vierkants - wortel uit de Sinus Verfus van het Supplement van den LC , en dus LCnm ZZ J Suppl, LC ; waar uit volgt , dat LCnm z. LCmn , of , dat op het zelfde uitkomt, C« ZZ Cm zyn moet. Maar indien men in de verkreegene Formule het teken min gebruikt , dan zal bevonden worden LCnm ZZ ï C, om dat de Vierkants-wortel uit de helft der pyl eens boogs aan de Sinus van de helft des boogs gelyk is. Waar door men ziet, dat de Vraag twee oplosfingen toelaat. A4 TWEE-  | ONTBINDINGEN TWEEDE OPLOSSING, Om de nuttigheid, die de overkümmende Wiskua. de op Natuurkundige Vraa,gftukken heeft, by deeze gelegenheid aan te toonen, zal ik hier nog de navok gende berekening byvoegen. Stel (Fig. 4 en 5) £.C - a, de fchoor mn ZZb, enz. en LCnm zz x, voor het overige dezelfde groothéden als in de voorgaande berekening behoudenden dan is Sin. (LO^xLCnm) zz Sin. LCmn == Sin. a x Cof. x sfe Sin. x x Cof a (1 gev. 5 prop. van ^teewstr'a) "Voorts als in de voorbaande öplotfing te werk gaande-f vindt men, dat Sin. a. Sin x x CqJ 'Xy-h Cof. a x Sin. m 'x een grootfte Bsoet zyn. Hier van de differentiaal neemende, -'eelt men h Sin. a x (Cof.*xdx-r-Sin.*xdx) -f- 2 Cof. a X Sin.x X Cof. xdx ZZ o (f). 1 Cof. a Dus SinSx- CofSxzz -r x Sin, x x Cof x. Sin. a Dat is Sin.*x — CoJ.a-xl2 2 Cot.ax Sin.xx Cof.x. (f) &in,*x Sin.x 1 =1: 2 Cot. a x ——. Cof.*x Cof.x Of (*) Hoe zulke Tranfctndent ■ grootheden gedifferentieerd wor-'en, kan' men onJer anderen aien in J. F as Difftrmiaal- Rekenitg. Ifte Afd. 11de Hoofdft, (f ZL> hier over Steenstra Grtndbegin/eh detMeetk. in de cevoluen op de 3 prop. des YHden Boeks. of de la Lande Stemkunde.  d«r VOORSTELLEN, enz. *> Of Tang *x-~i CSp 2 Cof. a x Tawg. ** Tang.' jc— 2 Cot. a x Tong * = 1 Cot. *a — Cot/a Ta»g.a#*- 2 Cot.a x Tang. x+Cot.'azz t + Cot 2a H Cofec.'a Tang.x — Cot. a ZZ zt Cofte. a Tang.x = Cot.a zt Cofec.a. Maar in het tweede Lemma is beweezen, dat de fom van Cofecans en de Cotangens eens boogs selyk is aan de Tangens van de helft des Supplement* $t -es boogs of hoeks, en dat het verfchil van de Cofecans en Cotang. van een boog gelyk is aan de Tangens van de helft deezes boogs. Indien 'men dan in de verkreegene Formulae het ftellig teeken gebruikt, ziet mm, dat LCnmzZ Cmn zyn moet: maar indien men het ontkennend teken beezigt, ziet men, dat è LC ZZ LCnm, even als door de voorgaande rekening bepaald is, De Helling van de fchoor m n is derhalven hier door bepaald. Dat te vinden was» GEVOLG, Indien Z.C — co° is, zal de fchoor mn maar eene IHling met de gegeevene balken hebben ; want Cotang. azzo, Tang. xzz Cof. azzi zyn zz Tang 45° • Insgelyks ook in de eerfte oplosfing z^l alsdan y/i-aa = o zyn, dus xzzV\. Waar mt dan de waarheid van het gefielde op nieuw blykt. A 5 H. VOOR,  to ONTBINDINGEN II. VOORSTEL. Fig.6. Door G. Bjreevixt", vaar mede de Opgeever overeenkomt. Laatje Diameter des Cirkels AB rz-sa zyn. Stel de AbfcisfeAP ZZ x, en de Ordinaat PM zz y; yy dan is van den Parabool M Am de Parameter P — — x Zie Toepasfing der Algebra op de honge Meetkunde §. 59. en de Inhoud des Parabools MAm=:|xy, ia. s- 64. Ook is door de Vergeiyking des Cirkels yzz 2a»-*1, Derhalve is door het Voorftel . y*~iax—a.% en j xy een Maximum. Gcdiff. is syy zz vax — 2xx en # xy ■+■ f xy zz o. 1111 1 — a:x 31 ZZ f jcy — — I * y 9 4x 3 xy x ax- xx xy Derhalven ■ zz — — y x ■ x* — ax — yy Maar aa* — x* ZZ yy Derhalven Jef — ax zz sax - x* ax* zz %ax. De  der VOORSTELLEN, ENz. tt De Abfcisfe AP zz * ZZ f a Hier door de Ordinaat PM zzyzz\/zax-x* zz y\mzzaa\/\ yy de Parameter p zz — zz § a, ..ar m de Jchoud des Parabeols f zz y 3 a4 ~ «fl 1/3. ANDERS. JRg. 7. Doar J. de Geld er. La3t ABC den halven-Cirkel verbeelden, welkers middenpunt is M , en Middellyn AB~a, ADC de ingefchreeven Parabool in denzelveu , welkers Inhoud een Maximum zyn moet. Sel AD^r, dan is DB~a-*. Volgens de eigenfehap van den Cirkel heeft men AD x DB = CD* of in Analytifche Termen ax — xx = CD xx ■=. AD — ..vri-m. ax*-x* =TCD X AD* Dewyl nu~AD x AU* het quadraat is van ADxCD, dat is het quadraat van den rechthoek orn den\ Paralooi befchreeven, en de Inhoud van een Parabool tot deszelfs omgefchreeven rechthoek altyd eene Randvastige reden heeft, als 3 tot 4; zoo zal, de inhoud van den Parabool een Maximum zynde, ook de recht- " hoek  is ONTBINDINGEN hoek, om dezelve befchreeven, als mede bet quadraat van dien rechthoek, een Maximum zyn. Derhalve sax'x — ^x* x'=s o 3* = 4* a — \ a Dat is, men zal * gelyk drie vierde van de middellyn neemen, ftel in D, en uit D den Ordinaat C D trekken, en op AD als As, met BD als Parameter, den Parabool ADC befchryven, die den omtrek van den Cirkel in C fnyden, en in A raaken zal; waar van ADC binnen den Cirkel zal valleq. ip Hy zal, zeg ik, den Cirkel in C fnyden: want, ftel dat hy den Cirkel in C niet fneedt, dan zou de Ordinaat CD ergens in c fnyden; door de eigenfehap van den Cirkel heeft men AD x BD = CD* en door die van den Parabool AD x P — AD x BD z=~Dc*; dus CD zz De; dat is c zal in C vallen; en dus zal de Parabool den Cirkel in C fnyden. 20. Hy zal den omtrek van binnen in A raaken, en ADC zal binnen den omtrek ligRen: dat dit waar zy, blykt: want trek uit eenig punt E, in den as of middellyn den Ordinaat EG des Cirkels, die de Parabool in F fnydt: dan is door de eigenfehap des Cirkels EC_ AE x £G, en door de eigenfehap des Para• looisÊh' ±AE x P. Nuis AE x EB> AExP,om dat EB> BD of P is, uit de figuur: derhalveËG> EF of EGi> EF; dat is F zal binnen den omtrek vallen. Dewyl nu zulks plaats heeft in alle de punten van AD , behalven in A en D zelve, zal de Parabool den Cirkel in A raaken, en ACD binnen den omtrek liggen. Dit  der VOORSTELLEN, enz. 13 Dit bepaald zynde, zal het 'er nu alleen maar op aankomen, om, volgens den eisch der vraag, den Parameter, Ordinaat (de Abfcisje is reeds bepaald gelyk fa) en den Inhoud te vinden. 10 Nademaal DB - P is, en DB - AB - AD zz a-'la is ook \ a. Dat is de Parameter is gelyk aan * van de Middellyn. a° AD x DB -CD», of \a x \ azz&a: Dus CDr }4 1/3. Dat is, ie Ordinaat is gelyk aan den Parameter ver- meenigvuldigd met 1/3. 30 ADC =|ADxDC=:3?x|axiflv/3 = -ce 4 Maar aa + bb zz cc Derhalve! j| — . —* a 2 P — afget. 2 ac-i-fcc+cc ö+è-r-c 2 2 Hier oiC vloeit deeze OPLOSSING; a+b+c ' is a + b+c 2 ; ^ 2 I Inh. P — 6 ■ ———— afget. a ■+ b -h c — Xc~30 a o+h-c = e j_ . ■■—s—; 8  foER VOORSTELLEN, enz. ï? a + b . ZZT 7 4 P Z saè . ZZZ24 ^ ^ — — s — f -— 1 ? verg. ën afget. a -+ b — 7 i 2» ZZZ 8 , ib ZZZZ 6 2- 8 — 4, è —3 V. VOORSTEL. Door j. Scheffer en J. vAn Twisk , waar wede de Opgeever, j. te Veltrupï P. Brecht, J. Cladset, J. Pauw, C. Diepenhorst, J. Schellinkhout, K. Aker, Hendrik Veen, M. Catênius, en J. de Gelder overeenkomen. Stel de Jaaren s«n 3BJ Dtóis fc+jzzx-y en?** + yy-$s ^ x+yZZ&x-vxy+yy xx + yty'p 1225 Gr7W2xyZZ^yy  I& ONTBINDINGEN Derhalven x -f y + ixyzz 1205 —— verg» Komt * 4- y I +x+y— 2450 , , 0801 +x+y+h\ * 4 V) ■ 99 É 98 _ a + y-— — 49 2 ; ;— verg. en afgec. 2XZZ56, 27~42 2- ——- XZZ 28» 3>~2Ï. VI. VOORSTEL» Door den Opceever. Stel de waarde van a ZE 6—s en die van i 6-\-x. dan is as zz 36 — 12* 4^e*, 03.~2i6—io8x-'r l8«a— _ 36 -f-1 + x*, en i)3z;al6 +108*4-i&ï3 +*». Hier  «er VOORSTELLEN, enz. ij> Hier mede de 2de gegeevene Vergelyking ontleed: a*zz 216—108*4-18* —*3 906* — 19444-324* — 54**- 9X* —6a*b ZZ -1396 + 216* 4- 36** - 6x3 Saamen 8644-432*- 16*' r.1568 16 54+27*-*» 398 ** ^-27*4-44—0 Hier uit de waarde van * gezocht, zo is de Teerl. öplosfing volbragt. En om tot eene vierkants.Vergelykingè te komen, Zo ftel * zz y + 4; en breng deeze nieuwe waarde Sn de voorgaande Vergelyking over, Komt 3i3-t-i2y 4-219—0 y 1 — 31*4-I2y 4-21 ZTO verg. 15 rriy y* 4- iay 4-36 "15 yzz— 6 z V 15 Derh. 'j+^zzxzz—^zïV 15 Deeze 2 Wortelen x 4- a — p* 15 Üo, en * 4-2+i/5—overm. komt «•4-4*-11 — e; deeze uitkomst in dé Hoofd vergel. xi -27*4-441:0 gedeeld, B 2 Kómt  ao ONTBINDINGEN: Komt*—4~o, of*~4, Derhalven 6-!*~ i~a en 6-i-a; — io~ft. VII. VOORSTEL. Door den Opgeever, C. Breevilt, J. van Twisk, J. CE Gelder, en J. Scheffer. x* —18*3 — i8xa — i8*4-i~o verg. joixz . . . mot*2 a>4—18.1c3 + 83X2 — i8*+i:iici*a a; — 9x-+-1 ~ (/ ioI*a 9* — j/ioia;1" — 1 x1 — 9 + ^101.*——1 verg. 4è-:-i/25|l —enz. ioi.x+4i+i/25^| -441+^20455 »—4i "f" f 25i = V 44ï +1/204 jï a- = 4! -h ^ BSÏ+r/44Ï-rVaÖ45ï Of » ~ 4i + f 25^—^44i+i/2o"4Ü De twee waare wortelen. v Om  der VOORSTELLEN, enz. 2t Om nu de twee valfche wortelen, uit den grond, aan te toonen: zoo is kennelyk, dat de uitkomst by de eerfte Worteltrekking , ook op volgende wyze, konde gefield worden: ■y' — gv + t —— — V 10\x* verg. V 25? — 4i f =45^ - l/2in welke ze uitgeleend worden, te bepaalen ? OPLOSSING. Stel dat A aan B leent de volgende Hoofdfommen H. HH", ir, H"'voor de tyden T, T', T", V" V'". Stel de winsten, die hy met deeze Hoofdfom! rnen in de genoemde tyden doen kan, te zvn W W' W", W"\ W"". Stel dat B diar en tegen aan A leent de Hoofdfom* men k, h', h'\ h"', h""> voor de tyden t, t', t'\ï1"s t''", en de winsten, die B met deeze Hoofdfommen in die tyden doen kan, W, W', W", W"1, WJ"' enz. dan zal de overeenkomst van die Hoofdfommen mee' de tyden moeten bepaald worden. Naar-  der VOORSTELLEN, enz. 27 Naardien deeze Hoofdfommen tegen gelyken Interest veronderfteld worden te winnen, is volgens onze 3 de Stelling W: HxTzzTV: H'xT' :: W": H'lX T":: Wm'. H'"XT">::WW:H'"XT"J. Derh. W+FT- +jy" + W" + W"/ « HxT 4H' x T' + H" x T" +H'"xT"'+H/'^x T"" :. W: HxT f». Om dezelfde reden zal men vinden, dat w+w'+ iW+ w "J+w" ":hxt + h 'X«'4-A"x. bwXt"'-'r h""xt"n " w:AX Nu is, volgens de onderftelling, W : H x T :: w: bXt, en derhalven iyjr W-tcW"*-JV"'+rVr" :Hx T + H'x V-h H/;xT/'+H//xT«'-!-H'///xT,/" :: w-rw' + w//-h w v -:- w"n :hxt + h'xt' + h" x t" +h '" x t+ h""x t"'{. Q) Maar volgens de onderfteliing moet W+W-+W'* 4- W" + W"" = w + w1-h y"+ w'" + zyn, en dus is ook, HxT+ H'xT'4- H'x T"-f.H"'xT"'+ H""x T"" = ft X t + A'X + V'xt" 4- ft'" x t'" + fc'"'xt'<"ieene Fergelyking, of liever Rrmule, welke aantoont de overeenkomst, die de Hoofdfommeu mec de tyden, in welke ze uitgeleend zyn , moeten hebben, _ Ln (a) Zie Steenstra, Grondb. der MeePk, 16 frop. 5 boek. (f) IL Prop. s B, Rid,  23 ONTBINDINGEN En dus ziet men in 'c algemeen, dat De fom der produiïen van de Hoofdfommen, welke A aan B leent, met de tyden, die ze uitgeleend worden , gelyk is aan de fom der producten van de Hoofdfommen, welke B aan A leent, met de tyden, die dezelve uitgeleend worden. Dat te vinden was. AANMERKINGEN. i? In de oplosfing van deeze algemeene vraag onderitelde ik, dat hec getal der Hoofdfommen, welke A aan B leent, gelyk is aan het getal der Hoofdfommen, welke B aan A leent: zulks is niet vol (trekt noodzaakelyk, en heeft ook altyd geen plaats: alleen dit moet men onder't oog houden, dat de Hoofdfommen met de tyden de bepaalde overkomst hebben. 2° Een deezer grootheden onbekend zynde, kan dezelve uit de gevondene overeenkomst bepaald wor. den: want JJXï+//'xï'+/i,,Xf,,4-enz.-H'xT'-H"xT"-enz. Hi_ 1—. T ^Xi+^'x«'+/?"xJ"+enz.~H'xT'-H,'xT"-enz. T~ ■ ■ -r- H. en op &z zelve wyze met de overigen. Deeze Formulae met voorbeelden in getallen op te helderen, zju te lang zyn ; die maar eefjige gemeenzaamheid met Wiskundige uitdrukkingen gemaakt heeft, zal wel in Haat zyn, zich hierover voorbeelden in getallen voor te ftellen. 3? Men  der VOORSTELLEN, ewz. 29 30 Men zou in gevallen kunnen zyn, alwaar men voor H of T eene negative geootheid verkreeg; en zulks zou ontdaan, om dat de Hoofdfommen met de tyden de vereischte overeenkomst niet hadden, welke wy ftraks bepaald hebben. II. VRAAGSTUK. Iemand, ,uit kracht van eenige voorwaarde, verplicht zynde eenige fommen gelds iri zekere tyden aan een ander te betaalen, begeert men den tyd te bepatlen, in welken hy de geheele fchuld betaalen kan, zonder iemands winst offchade"? OPLOSSING. Laaten de Hoofdfommen, die hy verplicht is te betaalen, verbeeld worden door H, H', H",H'"enz., de tyden in welke dezelve moeten betaald worden, door T, T', T", T'" enz. Stel de winsteD, die hy met elk derzelver in die tyden doen kan , IV, W', W", IV"", W"" enz. Stel den tyd, in welken hy alle deeze Hrofdfommen, te faamen genoomen, betaalen kan , zonder winst of fchade ; x eene onbekende grootheid; dan zal uit kracht van het geen men onderftelt 10 W: HxT::»";H'xT'::?r":H"xT"::^"': H'"xT'" enz. JV+ W'+W» :IIxT+H'xT'+H"xH'"+ H'"X T"*:: W: H x T. 16 Prop. 5 boek, Meetkunde van Steenstra. ao W+ tV'+ fV" + W" : H + H' -1- H" -I- IT" X* :: W ; HxT, SB  go ONTBINDINGEN én derhalveni W + W> + W" -f Wn' : HxT + H'xT 4. H"xT" 4- H^xT" W + W' + W" + WW : H^KtT+H,T+FX x Maar IV+ JP+ W" + = JF'4- EF'4-^'" Derhalven HxT+H'xT'+HHxT"+H"'xT"' = (H 4- H' -f H" 4- HT) X x HxT -H H'xT'4- H"xT" + H"'xT"», en — —— - H + H' 4- H" 4- H'" 4- enz. Het welk deezen regel geeft: Deelde fom der producten van de Hoofdfommen met de tyden door de fom der Hoofdfommen zelve, het quotiënt zal de begeerde tyd zyn, in welken men alle die Hoofdfommen te faamen zal kunnen betaalen. Dat te vinden was. AANMERKING, Indien het gebeurde, dat cén of meer deezef Hoofdfommen contant, dat is tegenwoordig, moes-, ten betaald worden: ftel by voorbeeld H, dan zal ÏSO zyn, en de winsten , die hy met h, h\,h% H -fH' + H" -t- H"' — h — V — h'" in de tyden t, t', t", en* doen kan, w, w\ dan is uit de onderftel- ling, dat alle deeze verfcheidene Hoofdfommen tegen gelyken Interest kunnen winnen W: HxT:: W: H'xT':: W'i H"xT":: TV: f i'"xT" tr+W"-r-W"+W""+ : HxT+H,xT'+H"xT"-fH'"x f"' W : HxT. Steenstra io Prop. 5 b. Meetkunde. 2° w : hxt :: w1 : /j'xi' w" : 7j"xi" :: w'" '•' ^H-r-H,+H"-i-H'" — h-lï-lï') X * w+w,+w,,+w,,'-\- : hx.t+h'x.f-h V Xt"-'r (H+H* +ïl"tl"'-h-h'-h',)xx 1: w 1 hxt :: fP : HxT* Derhalven W+W'-\-W"-\-W"' : HxT-fH'xT'-fH"xT"-h H^'xT" : w-'rw'W+w"' : ftX?+ft\t'+^'xt"+CH-r-H'+H''+H,''--fi-/»,-ft,> Maar W+IV' -V W" + TV" = w + w'+W'+w'" t onderltelling. Daar-  32 ONTBINDINGEN Daarom zal HxT+H'x T-r-H"xT"+H"'xV zzi «Xt+Vxt'+h"xt',-'r ïT-'rü'+W'+Ü^^-V' xx Of (H + f? + H" 4- ri'"-ft-/iWix\x ZZ HxT +H'xT*-r-[l"xT"+H"'xT",-ftxJ-/*'x'f-fe1'xt" HXT + H'xT' -r H"xT" -!- H'"xT'" - .,• hxt- h'xi'—ÏÏ'xi" fW"T Tl+tt'+n',+H'''-h-h,-h'; AANMERKINGEN. id indien men in het geval was, dat een of meef Hoofdfommen door hem terftond betaald werdenftel by voorbeeld H, zou men tzzo hebben, en HxT+H,x'T-!-H,,xT"4.H",xT"'-/2X?-^"'Xf"', H+H'-hH-H-H"' — h-h'-h" op Irjdien het gebeurde ,. dat men voor * efné negative grootheid verkreeg , zou hel een bewys zyn, dat het vraagftuk ongegrond was. 30 In dit laatfte Vraagftuk, gelyk als in het voorgaande , kan men door x bekend te ftellen, en een der overige grootheden onbekend, dezelven uic dé gevondene Formulae bepaalen. By voorbeeld: in de twééde vraag x bekend Hellende, zal men hebben axH+H,^H',+H^H'xT'-H,'xT',-H"'xT'0 H*- T ' *xHxH,-r-H"-r-H','-H'xT'-H"xT".H"'-T,yi T=- . H sa op dezelve wyze met de overigen* Ia  der VOORSTELLEN, bw*, 33, In de Formule voor het derde Vraagftuk x bekend ftellende, zal men hebben. (ET---H,,+H"'-ft-ftr-A") x*-r hxt+h'xf -'r /»"Xt"-H'xT,-H"xT"-H,"xT"* U~ : — -a+T (H+H'+H"+H"' ~h-V-h") x x + hxt + k'x t' A''Xt',-H'xT,-ri,'xT"-H'*'xTM' T ZZ . T en op dezelfde wyze, kan men, door x bekend te Rellen , ook de waarden van h en t vinden. Deeze zyn de voornaamfte gevallen der Tydrekening van betaaling. Veele andere gevallen zouden wy hier kunnen by voegen: dan wie zal eene Leerwyze tot den grond toe uitpucten? eene Leerwyze, die gelyk alle andere Wiskundige Leerwyzen , onuitputbaar is. Myn oogmerk is hier alleen maar geweest de Wiskundige gronden - waar op deeze Leerwyze fteunt, zoo veel my mogelyk geweest is, duidelyk en klaar open te leggen ; en tevens, by deeze gelegenheid, het voordeel tot de Wiskundige Leerwyze, boven die, welke alleen in het geheugen , zonder kennis van het verband en den grond der zaaken beftaac, aan te toonen. Dit Voorftel is ook zeer wel opgelost door den Opgeever, j. Clauset, G. Diepenhorst, j. van Twisk , j. te Veltrup, j. Schepeer, J. Schel linkhout, J. Pauw, K. Aker, en C. van Diest. C IX.  U ONTBINDINGEN IX. VOORSTEL. Fig. 10. Door J. de Gelder, waar mede de Opgeever^ Jan Pauw, en C. van Diest overeenkomen. Laat A de Vlieger verbeelden, die in B op den grond , door de koorde ACB , welke ik onderftel een cirkelboog te zyn (*; , die in H zyn middelpunt heeft, vastgemaakt is' C de helft der koorde, waar van de dunne draad CF tot op den grond in F hangt. Onderftel AE rechthoekig, op den grond getrokken te zyn. Laat men zich wyders verbeelden van het punc C, de helft der koorde ACB, door het middelpunt H des Cirkels ACBL, van welks omtrek ACB een gedeelte is , de middellyn CHL getrokken te zyn. Trek eindelyk de pees AB, die de middellyn CL in D, volgens de Beginfelen der Meetkunde, rechthoekig fuydt, en daarenboven nog de peezen AC en BC. De Figuur dus toegefteld zynde, zal men in de rechthoekige Driehoeken CBF , BCD en ABE alles kunnen vinden, wat noodig is om tot het begeerde te komen. I. In den rechthoekigen Driehoek BCF heeft mén bekend, CF-100, FB:Z230. Men zal dus indezelve kunnen vinden. l° Dep ACBF door deezen Regel FB (*) Deeze Onderflelling, fchoon mede door den Opgéever bedoeld, is geheel ongegrond; want de bogt, die de koord of het touw eens Vliegers, door de natuurlyke zwaarte van alle zyne deelen maakt, is geen Cirkelboog, maar pene Kromme, die men tettinglyn (Catenaria) noerjit. £je Wiskundig Woordenboek.  der VOORSTELLEN, enz. 35 PB : CF :: Rad. : Tang. LCRF Io,0000000 2,0000000 12,0000000 2,3617278 9,6382722 Log. tang. 230 30'- ACBFj deezen van 300 o':z:£.ABF afg» heeft men 9°3o'~^ABC ao Om BC te vinden, hebben wy deezen Regel 'Rad. : BF :: Sec. LCBF : CB 10,0376022 2,36£7278 ?2,39933oo N. Log. van 250,8 Ü CB. II. In den rechthoekigen Driehoek BCD hebben wy bekend Z.CBD:=90 30', BC^2jo, 8S en kunnen daarom berekenen 10 De zyde CD, die de bogt van de Vliegerkoorde genoemd wordt, door deezen Regel Rad. : CB :: Sin. Z.CBD : CD 9,2176092 2,39933oo 7:1,6169392 N.Zog.van4i,39^CD. 4° De zyde BD door deezen Regel Rad. : CB Cof. Z.CBD : BD. 9,9940027 2,3993300 *a>3933327 N. Log. van 247,3ö~BD f" ——i , A^i^'-06 beginzelen der Meeffade bekend Tdat AD—BD is. 3 C * III.  ^6 ONTBINDINGEN III. In een Driehoek ABE hébben wy nu bekend Z.ABE zz 33° uit de Waarneeming, enAB-494,72 door berekening. Men kan dus vinden AÉ door den volgenden Regel. Rad. : AB :: Sin. Z.ABE : AE. 9,7361088 2,6943627 ^2,4304715 N.Zcg.van 269,45= AE,de hoogte die de Vlieger boven den grond, verheven is. Aan twee eifchen der vraag hebben wy nu voldaan ; aan de derde, om de lengte van het Vliegertouw te vinden, moet nu alleen nog voldaan worden. ïp In den Cirkel heeft men deeze eigenfehap CDxLD -liD BDa of DL = 1 '. CD log. BD zz a. 3933327. 2 Log. BD* =: 4.7866654 Log.CD ZZ 1,6169397. 3,1697262 N. Log. van 1478,15 - DL I4,39~CD I5'9» 54= CL 2» J>e middellyn gevonden zynde, kan ook dea omtrek bepaald worden, 22X-5-9.54 7:22:? 1519,34:0;=; vi 1 ■ — 4775»7- 30 Vol-  der VOORSTELLEN, enz. 3-7 30 Volgens de eigenfchappen des Cirkels , AH en BH ge'trokken hebbende, is i Z.BHC-Z.BAC Of Z.BHC=2/1BAC Z.AHC = aZ.CBA Derh. "TaHBWT\L ABC = 38'; om dat Z.BAC=ZCBAis; 38X4775»7 en daarom 360:38":: 4775» 7 '•x —— r: 504.1, 360 de lengte van het Vliegertouw. Wy hebben dus gevonden de bogt van_ het Vliegertouw ~ 4i,3oV. De lengte der Koorde zelve 304, 1 V. En de hoogte die de Vlieger boven den grond verheeven was ' 260, 45 V., Zynde de drie grootheden, die te vinden waren. X. VOORSTEL. Door J. Clauset , C. van Diest, G. Diepenhorst, j. Scheffer, j. Pauw, j. de Gelder, P. Brecht , J. Schellinkhout, J. van Twisk, en K. Aker,waar mede C. Hokke, N. Catenius en de Opgeever everè'enkomen. Stel de Guldens van A=jc , en van B=y. Dan is — 4000, en — » 25° y' « * . ._ y* . ———-——l X' ' ~ 400031* y ZZZZ 250X ..— . -4000 400031* = 1000000* C ,3 Das  §8 ONTBINDINGEN Dus i0oo0o035 X i - ■ 1000000 V —:— 1— * zzr: iooq Guld. A. y'~^\/\oxzz sooGuld.B. XI. VOORSTEL. Fig. i:. Door j. i>e Gelder, waar mede.de Opgeeveb, l]. Scheffer, j. Pauw, C. van Diest, J. vanTwisk, K. Aker , en j. Schel- . ' 'linkhout overeenkomen. Om dit Vraagftuk algemeen op te losfen, laat CD de Toren , EF het glas, dat men uit de omftandigheden der zaaken rechthoekig op den grond moet, onderftellen , verbeelden. Stel het oog van den Waarneemer, dat boven den grond ter hoogte van AD verheeveD is, in D geplaatst te zyn- Trek uit D tot den top C en den voet B van den Toren CB de gezigtlynen DC en DB, die het glas EFin de punten M en l oncmoer.cn; en 'vereenig op het glas deeze punten M en I door de rechte Ml: dan zal deeze rechte MI de afrekening van de lengte des Torens BC, op het glas EF , voor een waarneemer , met zyn oog in D geplaatst, zyn, en waar van de lengte uit de bekende hoogte des Torens BC, den afftand van het oog D van den Toren BC, en het glas EF te bepaalen, hier de vraag is. ' Laat uit D het oog van den Waarneemer, rechthoekig op BC, de rechte DH getrokken worden i dan zal deeze de lyn MI op het glas, of de aftekening des Torens, in G 'ontmoeten , daarenboven rechthoekig f om dat MI evenwydig aan BC is. DH zal dan de afftand van het oog des Waarneemers toe /  der VOORSTÉLLEN, enz. 39 tot den Toren BC_j en GD de afftand van hetzelve tot het glas EF verbeelden. Stel nu BC-a , Rüzzb , DH~c, en DG~d, alle bekende grootheden. Stel Ml:z* : dan zyn, om dat EF evenwydig is aan BC , de Driehoeken DMI, BCD en Dül, DHB gelykvormig; uit welke gelykvormigheid men de volgende proportie afleidt, DB : Dl :: DH : DG :: CB : IM. c : d :: a : x zz — VI" . .. . c In getallen is gegeeven«z:ioo, dzz6, enczzroo* ioox^ derhalven x zz ~ 6, de aftekening des Torens ioo op het glas. Dat te vinden was, AANMERKING. De verheffing van het oog des Waarneemers boven het grondvlak van den Toren , is eene omHandi^heid, die volttrekt van de Vraag onafhanglyk is. la welk punt van AD op deszelfs verlengde het ooê des Waarneemers geplaatst zy, zal MI altyd dezeïfda zyn, om dat CU, CG, CB altyd dezelfde blvven" en DC: DG:: BC : MI is. * ' XII. VOORSTEL. Fig. i2. Door C. Breevilt, waar mede de Opgeever J. Scheffer, J. deGelüer, J. Clait.' SET, P. van BRECHT, G. DlEPE NHOKST. K. Aker, C. Hokke, J. van Twisk J. Pauw, J. Schellinkhoot, e» j, te Ve ltrüp ten deeïe overeenkomen. LEJVJ.  40 ONTBINDINGEN enz. LEMMA. Van ieder Driehoek is het verfchil der Quadraaten van het verfchil der deelen van den Bafis en het verfchil der opjiaande zyden , met het Quadraat van het tweevoud der perpendiculaire hoogte, gelyk aan Itet verfchil der Quadraaten van het verfchil der opjiaande zyden en den mfis. Want, laat ACzza, AB=&, BCtrc, AD~^, CDrze, en 13 D—/zyn. Dan is c: a+b:: a-b: e-f (Meetk,7.II.Cer.I,eno.IV.) aa-bb Derh.e-/=—— c Ook is, volgens de gewoone Leerwyze, het Quadraat van den Inhoud, Hellende a+b-reZ22s, cd'\ "—' — I JXJ-ax z—b xi-c 2 l Of ZZ~—tb c*+iaa 4- \bbxcc-\aa-tyb \ cc—— —- - _■ 1 ' 16 aa-bb \ ^ddzz-c'+ 2ai+2bb —— ——■—( en B heeft — 10*4-2231 B geeft A iix-213» .... 11»—1131 dan heeft A22JC-423) enB behoudt—2ia:-!-43v, Derhalve is 22* — ^lyzz — 21x4-4331 Dus 43* as 8531 en x = 85?gu'dens , in de kleinfte 31 == 43 iheele getallen, en het getal der antwoorden is oneindig; derhalve was bet onnoodig naar 't get«l der antwoorden te vraagen. De doorkundige Heèr van Leeuwen herft ia het II. Deel van het Oeffènfchool der Math. Weet. Vyfde Stukje, ia Voorft, 99. dit Vraagftuk algemeen opgelost. D 3 XVL  46 ONTBINDINGEN XVI. VOORSTEL. Fig. 13, Voor C. BREnviLT , J. ScHELLINKHOUTj j. Sc heffer, en J. de Gelder, v/aar mede de Opgeever, J. te Veltrup, J. van Twisk, en C. van Diest overeenkomen.. CONSTRUCTIE, Neem in AB en BC de punten D en F, zoo dat BD zz BF is; en voeg D, F te faamen. Neem FH in DF ZZ de gegeevene EG; trek HE parallel CB, tot dat dezelve AB ontmoet in E, en EG parallel DF, ontmoetende BC in G, zoo is het begeerde verricht. BEWYS. Door deparallele Lynen DF, EG, HE, FG, is EG ~ HF zz de gegeevene EG, en BE : BG :: BD s BF (Meetk. ii. IV. B.), Maar BD ZZ BF, (Conjlr.) Derhalven ook BE — BG. Dat begeerd werdt. XVII,  der VOORSTELLEN, enz. 4? XVII. VOORSTEL. Fig. 14. Boor j. scheffer, j. pauw, K. aker, j. Schellinkhout , C. van Diest, j. te Veltrup , J. van Twisk , en ]. de Gelder. BC : AB + AC :: AB-AC : BD + CD. Of 12 : (20+10) 30 !:(20—10)10 : BD -f CD Komt BD + CD =: 25 Vierk. Roeden. BC - BD-CD zz 12 ——— ■-' 1 afget. 2CD = 13 CD = 6.5 -.«. v ™l= ^-^lafget. AC ZZ ioj dus AC zz 100 J "AD* ■= 57- 75 AD zz 7. 6 na genoeg. k CD — 3* 25 » 1 verm. Inh. ACD ZZ 24.7Vierk.R0ed. En moet dus voor het klein der ftukje Lands ACD 24 Guldens en 14 Stuivers gegeeven worden. • D 4 XVI1J.  45 ONTBINDINGEN XVIII. VOORSTEL. Door den O poe ever» Dewyl de Arbeiders in eene Arithmetifche rede opklimmen, zo wel als de tyd die zy werken, bedraagt hun loon eene Quadraat-Progresjïe. Stel daarom, dae hy qs dagen uitging om Werkvolk te huuren. Zoo heeft hy gehuurd r, 2, 3,&c, tot «Arbeiders, voor i, 2,3, &c. tot x Dagen, en i, 4,9, &c. tot ** Guid.Loon* De beide Progresfien gefommeerd, komt -{-x 2x*-\-sx*+x ■ Arbeiders, . . Loon. 2 6 Verders is volgens het Voorftel, ^ X*+X Z$Xi-i-2Sx 2X3-\-5X* 2 6 ~ 6 ' DUS 2.X* ... 23a:* 24« ar ———. — 2 4** • 44* 4'd Hl ! ï2i ■ ■ ., - a 4Xa-r-44x+ii I i6"9 v/- ■ Zx — II 1 13  per VOORSTELLEN, enz. 49 a 1 —11 * —• ia Arbeiders. A"2-J-aT Derhalven —— 1 ; 78 aangen.Werküeden, 2 . - ,, ln- - ■- ~~ ÓJoGuId.deUltg.rOm. 6 ANDERS. Door J. de Gelde.r , J. vanTwisk, J, Pauw, C.Hokke, J. te Ver.trup, J. Clauset , C. Breevilt, en J. SCIÏEFFER. Opdeniendagiman voor 1 dag . I Gulden, aen dag 2 mannen voor 2 dagen . 4 » 3endag 3 mannen voor 3 dagen . 9 —— 4en dag 4 mannen voor 4 dagen . 16 — &c. &c. &c. &c. op den «en dag 72 man. voor » dagen nn Guldens. Stellende dus het getal der dagen, die hy uitging, ~ »dan is D 5 i?.  go ONTBINDINGEN ». «-hl i? i + 2 + 3 + 4-f&c + nr:het getal dep 2 geh. Werkl. «.M+I.QB-f-r £o ! + 4+0 _j_l0-+ &Ci+ flB= hec ï» 2. 3 _ tal der uitgegeeven Guldens. Zie Inleiding tot de Mathem, Weet. II. Deel. n.n+i het getal der Werklieden. 9 Bf Guld. ?5.n.»-!-i ».B-M.a»+i 2-3 2. 3 25 3= 2B + 1 2B~ 24 Dus n~ ia, het getal der dagen die hy uitging. n. b +1 — =78 het getal der Werklieden die 2 hy aannam. fl.B-l-I. 20-i-1 -^— = f550't getal der Guldens 1 2' 3 die hy uitgaf. Dat te vinden was. XIX.  ])E& VOORTELLEN, enz. jt XIX, VOORSTEL. Door den Opgeever, C. Breevilt , J. Sc heffer, ]. de Gelder, én eenen Ongenoemde n, De gegeeven Wottel tot de derde magt verheffende, dan is ieder Lid der komende Vergelyking gelyk die der gegeevene. 2*" — sx + t zz o de wortel 2.x* — SX — o ■ verm. 4,x*-4Xx3 +4tX*-'rSrlX2 — 2StX-\-t:t. — O. het vierkant 2XX —sx + tZZo de wortel .———< —.li verm» 2xs-12sxs + iaï-l-öf2.*4 — izst + s* .*s -\-6tz-,r2^'t.x!i — # i — sst°x-[-t3 r=Q De Teerling. Nu is last-r-f r?i6o en6i*-r-3fJ«~iao 12 J ■ t— .... 12x ■■ ■' V *.=3  52 ONTBINDINGEN 95600 — %20S + Sa t*~ ■■- ■ ' I44S» —, , 6 25600-320? + .^ óf'z: : 24Ja l6os-s* 4 —verg. 25600 + 6-os' "Sss .— —120 24*" : -24j« s88or* r 25600+640^3 — 5 ' jö—ja8j3+57^2—5120=0, Komt s zzzzz 4 160—ss Alzoo * Z^Z = 2 Hier mede de coëfficiënten in de nieuwe Vergelyking bekend gemaakt; zoo heeft men: \ïx6—48a;ss + 120X4— io^a;3 + iac*1— 48:1; +8=0, waar vaa de Teerl. wortel is 2x* ~4# + 2==0. XX.  jser VOORSTÊLLEN Etóz- 53 XX. VOORSTEL. Fig. 15. Door den Opgeever, C. Breeviet, J. van Twisk , K. Aker, j. Pauw, en j. Sc heffer. Volgens Theor. 17. XI. B. der Meetkunde Raar het grootfte Vierkant op de zy ie; welKe met den Per. pendiculair het naast overeenkomt; 't geen in dit geval gefchiedt op AB = 65, waar van CE gevonden wordt = 64/y, die ftel = d. Door de gelykvormigheid der Driehoeken ABC en FGC heeft men CD : FG :: CE : AB. Dat is d-x : x :: d : a Componendo d : x :: a-'rd : a Dus a + d.x ad ad a+d Dat is, mén moet het produ£l van defi Bafis en Perpendiculair door derzelyer fom deelen, om eene zyde van 't Vierkant te vinden. Aanmerking. M.WUkens, zegt van 32fT Roeden, dat wel de zyde van het grootfte Vierkant is, 't weifc op BC=7o kan  54 ONTBINDING E N kan befchreeven worden $ doch geenszins het grootfte Vierkant, dat in den Driehoek kan befchreeven worden, gelyk zyn Voorftel fchynt te eiichen. NB. J. te Veltrups J. deGelber, J. Schellinkhout, en C. van Diest thebben ook dit Voorftel opgelost, doch vermits zy allen hei Vierkant op de zyde BC geplaatst hebben , hebben zy wel een Vierkant, in den Drieheek befchreeven, gevonden', doch geenszins het mogelyk grootfte. XXI. VOORSTEL. Door den Opgeever. Wanneer een Landmeeter. eenige Vlakte of eeft fluks Lands moet meeten , zal by, zo hem geen hinderpalen in den weg ftaan , het op die manier tragten uittevoeren. welke hem de beste en gemaklykfte fchynt , maar vind hy eenige hinderpalen» dan moet hy 't werk aanvangen op zulk een wyze, dat die hinderpaalen hem in de uitvoennge niet kun* nen belemmeren; in ons geval worden die beletzelen bepaald , en geene andere of meer , als in 't Voorftel opgegeeven worden, mag men hier toelaaten, of aanmerken den Meeter te verhinderen , of men zou een ander Voorftel verzinnen: ten minften het Voorftel een andere gedaante geeveu. De hinderpaalen welke alhier s volgens 't Voorftel , plaats hebben, en den Landmeeter in den wee ftaan, zyn de volgende: I. 't Bosch , 't welk gemeeten moet worden , is onbeganglyk; de Meeter kan met zyn Roeden - maat nog m het Bosch , nog van deszelfs omtrek, iets meeten. a. Dc  êer VOORSTELLEN, enz. 55 2. De vlakte naby het Bosch , en welke 't zelve omringd, is ten hoogften moeiclyk te gebruiken; wat kan de uitdrukking in het Voorftel, byna ongenaakbaar anders betekenen ? hierom zal de Meeter tragten zyn veldwerk meest, wat ver van t Bosch af, en alwaar hy minder moeielykheid ontmoet, te verrigteo. 2. Uit geene der hoeken kan men eene der andere befchouwen. 4. In het derde hoekpunt, dat is, volgens 't Voorftel, de hoek c, nog ook in de zyde BC, kan door den Landmeeter eenig baken of een ftok geplaatst worden. Deeze zyn de hindernisfen, en deeze misgaande, kan de Meeter voor 't overige ftokken planten, lynen trekken, en hoeken en lengtens bepaalen en afmeeten, waar, en zo hy wil, om dusdoende, op de minst oraflagtige wyze, bet begeerde te volvoeren. NB. De uitdrukking in het Voorftel , aV.emlyk kan hy zo in AC als AB EEN ftok planten, zou ik eigenlyk opvatten in den zin , dat de Meeter in de zyden AC en AB zo veel ftokken kan planten, zigtbaar uit 't punt A of B , als hy meent noodig te hebben ; dog ik zal 'er evenwel geen voordeel mede doen, om my , in 't ontbinden van 't Voorftel , althans niet te veel vryheid te veroorlooven; ik zal in ieder der zyden AC en AB flegts één baken ftellen, en aanmerken, dat, dat in hC uit A, en dat in AB uit B, gezien kan worden. Ik kome nu tot de daadlyke meeting van de onbeganglyke Bosfchaadje ; dezelve heeft eene driehoekige gedaante. Ik zal tragten myne oplosfing algemeen te maaken, en my voordellen, alle mogelyke formen van Driehoeken en gevallen, die 'er zyn kunnen. Ia  $6* ONTBINDINGEN In Fig. 16 A, word door ABG het Bosch verbeeld in de forra van een fclierpboekigen Driehoek, en in Fig. 16 B. heeft het Bosch ABC de gedaante van een Driehoek met een wyden hoek in A; in beide gevallen is het veldwerk eenerlei» men ila het oog op de beide figuuren. Na in de punten A, B, D en \i ftokken gedoken te hebben, plaatst men, opeenwille'^eurigen afftand van B, als in F, mede een ftok, zo dat de hoek DBF regt zy; van F gaat men, evenwydig met BD of regthoekig met BF, tot tl by voorbeeld, en plant'er een ftok, zo ver, dat FH de verlengde van EA fnyd, als in G, en Al ftelt men regthoekig op HF. Vervolgens trekt men van 't punt H, evenwydig met GA, (de verlengde Van de zyde van 't Bosch CA,) een lyn HM , brengende 3t punt M zo ver, dat MN, evenwydig mee HG getrokken, boven het hoekpunt C kome; van den af. ftand HG nu de maat genomen, en zo veel Roeden van M tot N gemeeteh hebbende, trekt men, door N, de lyn NO, evenwydig aan HM, en dan legt NO in de róoijing of de verlengde van AC. Dit volgt, door het Werk, duidelyk* Verlengende nu ON naar het punt C, floot men 'e gemelde punt, en niets in 't Voorftel belet, om van dat punt af de lengte CN te meeten; het hoekpunt C vind men daar, de Landmeerer mag of kan daar geen baken planten, maar hy heeft'er ook geen van nooden, en 't hoekpuct C word in 't Voorftel nog als onnaderbsar üogals oukenbaaropgegeeven, onderftel dat men van C tot N vind a Roeden, dan meet men van M, in de lyn MH, rot L, ook zoveel Roeden, en men plant in L een ftok, en in K, ingelyks in de lyn MH mede een ftuk plantende, zo dat AK evenwydig il met GH, dan is AKLC een Paralklogram, en KL is — de zyde van't Bosch AC (Euclid. I. prop. 34; dus is ook 1F == de zyde AB, en dewyl de L AGF = de l_ CAB is, heeft men, (meetende LK ZZ CA zz q 1F = AB = r Roeden, en L AGF zz L CAB zzg Graa»  der VOORSTELLEN, enz. \ $f Graaden,) van 'c Bosch twee zyden met den hoek tusfchen beiden bekend, waar door men, volgens de bekende regels der Driehoeks - rekening, den Inhoud kan berekenen. Welke te vinden was. Als men zig de figuur en in de andere gevallen voor pogen ftelt , wat gedaante het Bosch ook heboe, 't.zy van een fcherphoekige, van een plomphoekige , of van een regthoekige Driehoek, en't zy ook welken hoek plomp of regt is, ziet men lij>t, dat hec voorflaande Veldwerk toepasfelyk is op alle mogelyke formen en gevallen ; om noodelooze omflag te ihyden heb ik die figuuren weggelaaten. Dus meene ik aan myn oogmerk voldaan te hebben, hébbende een manier van meeting voorgefleld, die men volgen kan, in welken form het driehoekig Bosch ookligge. Eene aanmerking heb ik hier nog te maaken. de uicdrukking in 't Voorftel , met het minste Veldwerk, vatte ik op als of 'er ftond, op eene korte manter, met weinig om lag, of dergelyk; anders, de uitdrukking in den lterkflen zinneemende, zou men zig altoos kunnen bekommeren, of men wel aan den eisch volkomen voldaan had. ANDERS. Fig. 17. Dóór J. de Gelder. Indien 'er niets meer in de Oplosfitig van dit Vraagftuk mag onderfteld worden, dan die omftandigheden , welke, om tot de Oplosfing te komen, in hetzelve opgegeeven zyn , is het Vraagftuk on> moogelyk of liever onbepaald. Het is eene bekende waarheid 4 dat, om een Driehoek optelosfen, drie termen, die van elkander onafhanglyk zyn ^dat is te zeggen waar van geen derzelven uit één alleen of E de  58- .ONT BINDINGEN de beide overige kunnen gevonden worden) bekend gegeeven moeten zyn : maar in ons geval kunnen, zonder iets anders te onderftellen , niet meer dan twee termen bekend worden , die volmaakt van elkander onafhanglyk zyn: men kan naamelyk op het veld een lyn afbakenen, die aan de zyde AB van den Driehoek ABC gelyk zy, ook is het door de onderftelde omftandigheden zeer mogelyk de grootheid van den L. A bekend te krygen. Het punt C laat geen plaats voor een baken tae\ in de zyde BC is het onmogelyk een baken te plaat/en; twee van deeze omftandigheden moeten nochtans Veronderfteld worden plaats te hebben, of door den eenen of anderen omweg mogelyk te worden, zal men tot de twee bekende termen in den Driehoek ABC nog een derde vinden , op dat de Oplosfing mogelyk zy. Ik neem in aanmerking, dat in het Vraagftuk, omtrent de grootte of uitgeftrektheid van het Veld, 't welk de Driehoekige Bosfchaadje omringt, geen bepaaling gemaakt wordt: men mag dus veilig onderBellen, dat elk een der zyden van de Bosfchaadje, in verfchillende ftandplaatfen op het veld, voor een Waarneemer zigtbaar zy. Schoon nu in de Vraag flechts onderfteld wordt, dat in AC en AB baakens kunnen geplaatst worden, fluit die omftandigheid nochtans niet uit, dat men in BC nieteenig voorwerp, dat in verfchillende ftandplaatfen op het Veld zichtbaar is, zou mogen onderftellen geplaatst te zyn, en welk voorwerp men dus als een baken zou kunnen aanmerken. Ik twyffel tiiet, of men zou in het werkdaadige, zo niet altyd, ten minsten in de meeste gevallen , zich met min of meer naauwkeurigheid van zodanig een hulpmiddel kunnen bedienen. Des-  der VOORSTELLEN, enz. 50 Deeze omftandigheid dan onderfteld zynde plaats te hebben , zal men cp deeze wyze tot bet begeerde kunnen komen: men zal vooreerst twee lynen op het Veld kunnen afbakenen, die elk resfpectivelyk even* wydig met de zyden AB en BC des Driehoeks zyn. Hoe dit te werk gefield wordt, is in het 208 Voorftel van het 11. Deel der Kunstoefeningen, van ons Genootfchap aangetoond. Men kan het ook vinden by F. van Schooten in zyne Math. Oef. Aanh. van Simp. Werkft. pag. 167. Voorfl 6. 20 Hier door zal is welke plaats men een ftok of baKeu plaatst. 2.0 Emdeïyk ftelt men in M, alwaar de lynen GI en VB'elkander fnyden, een baken of ftok, en men meet met  oer VOORSTELLEN, enz. 61 met een Ketting, of eenige andere maat, de lynen AV, I V en IM; dan is al het Veldwerk verricht. Door deeze bekendens zal nu AB kunnen gevonden worden; want, om dac 1M evenwydig aan ABis, 1M x AV CConllr.) heeft men IV: IM:: AV: AB - — ; IV en nademaal de hoeken A, B en C door meeting bekend zyn, heeft men Sin. A C : AB :: Sin. L A : BC :: Sin. JL B •• AC, waar door ailes bekend wordt. III. Men kan (Fig. 18) in het verlengde van AC een lyn afbakenen, die aan AB gelyk zy; doch alleen maar als het baken E uit B zichtbaar is , en alsdan kan het Veldwerk op deeze wyze worden ingericht. ip Stek men het Astrolabium in B, en bakenteen hoek af, die aan i LA gelyk is, door een baken, in K naar welgevallen geplaatst. 2» Gaat men in de richting van BK zo lang achteruit, tot men zich in L, in derooijing van AC, bevindt, en meet de rechte AL, die zal dan aan AB gelyk zyn : want L CAB = L ABL -!- L ALB, maar Z.CAB = a L ABL ; dus L ABL ZZ, AL li , en derhalven ALZZZ AB. Deeze bekend zynde , wordt volmaakt op dezelfde wyze AC en BC gevonden, als boven is aangetoond. IV. Men kan AB, (Fig. 19O aan A of B verlengd zynde, nair de oonitandigheid het best toelaat, in deeze verlengde van AB een lyn afbaakenen, die aan deeze zyde A3 zelve gelyk zy. 10 Stel in IG (welke evenwydig aan AB is) drie Rokken, L, I, en K, zodanig dat Ll~IK zy. E 3 Gaat  €2 ONTBINDINGEN 2? Gaat in de rooijing van KB zo lang achteruit» tot men in M in de rooijing van AI gekomen zynde, aldaar een baken ftelt. 30 Gaat men eindelyk in de rooijing van LM zo lang achter uit, tot men in het verlengde van ABinN gekomen zynde, aldaar een baken plaatst: dan zal AN = AB zyn: want AM : AB :: IM 1 IK, AM : AB k LI : AN. dus, LI : IK :: AN : AB', maar LIrrIK, derhalven AN — AB, Nu zal wederom AC en BC op dezelfde wyze kunBen gevonden worden, als boven aangetoond is. Dus ziet men hier vier verfchillende wegen voorge* field , waar door men zyn oogmerk kan bereiken. Het is zeker, dat de eene een zeker voordeel boven de andere fchynt te hebben: dan een geöeffend Wiskundige zou best uit de omftandigheden kunnen afmee* ten, welken weg voor hem het voordeeligfte zou zyn; ja veel béter dan men door veel redeneeringen zou kunnen bellisfen. XXII, VOORSTEL. Boor J. de Gelder, waar mede de Opgeever, J. te Veltkup, C, B ree vilt, J. Paow, J. Scheffer, en J,'van T w 1 s k overeenkomen, x+y. x+2y Stel de vyf getallen x, x+y, x+iy, —-— ' x ac+ay. x+y en —— : dan zyn van deeze getallen de drie XX eer*  der VOORSTELLEN, enz. 'e03 eerfren in eene Arithmetifche, de drie middenfren in. eene Harmonifche, en de drie laatften in een Geometri* fche reden, én voldoen dus aan de tweede, derde en vierde voorwaarden der Vraag. x+zy, x+y\ De laatfte term — metac-, het vierkant van XX den eerften term,vermeenigvuldigd,endoor *+i;y,den middelften, gedeeld, is x+y het Quotiënt: derhalven x+y + 5i.x+y ZZ 085, volgens de vyfde Conditie; waar uit men vindt x-yyzzs', dus ook*~ 5— yt en 3c-}-23iz:5-l-3ï. Eindelyk is, volgens de eerfte voorwaarde der vraag, x+y» x+iy x-'rzy. x+y x xx x+ny x+zy. x + y Of 3 + 1 ZZ 5? X XX x+2y x+2y. x+y r ; r 54- * XX ' Stellende hier in voor x + y» x, en x + zy deszelfs waarden, heeft men 5+3> 5 •" —— X S + ï ~ 54- s-y 5-y E 4. 't welk  '(54 ONTBINDINGEN, 't welk herleid zynde, geefc ii3)--roQ:yH-26o-o, Waar uit 4, j§ï de wortelen zyn , en de gezochte getallen 1,5. 9, 45, 225, of - £?, 5, iof?, 60, 330, Hat te vinden was* ANDERS, Deer M. Jellek. Neem het laatstgenoemde quadraat == aa J dan i*s aa-f ^2 a== 285 Komt a = 5 en aa — 25 Stel nu het eerfte getal ZZ x — 2y, het tweede "ZZ x — $9 . het derde p ar. Zynde eene AHthm. Progr.t wiens opklimming is y. Het tweede en derde met het vierde eene Harmo* vtifche Progr. zullende zyn; zo vermenigv. het tweede met het derde, en deel de uitkomst door het tweede min het verfchil tusfchen het tweede en derde* ' ■ xx—xy komt het vierde = X—iy En terwyl het derde en vierde met het vyfde in Geom. Prcgr. zullep ftaan; zo deel het derde in het x—y vierde, komt de ratio -—— ; x—zy Hieï  der VOORSTELLEN, ekz. 65 Hier mede het vierde vermeenigv., komt het a;3—2x* y+xy* vyfde zz ■ a'£1-4»J-i-43', Gemakshalve, de laatfte Conditie van het Voorftel eerst bewerkendej zo heeft men, het vyfde met het vierkant van het eerfte vermeenigvuldigd zynde, x1 — 2aray+*'j dit door het derde gedeeld, zo heeft men x* — 2xy+y' ZZ 2$ v ■—• x-y zz s %= s+y Deeze gevondene waarde in de eerst geftelde getallen overgebragt zynde , zo verfchynen dezelve aldus: 25+2531 125+253» 5 —y* 5s 5 + 7» —' "■■ ; 5 — y 25—1031+3/31 Doende te faamen óis—^sy+^yy g 25 — ioy-'r yy 5 125 — *5y+2yy • zz 57 25-1031 +soi t^5-57oy-hS7yyzzi2.5^-2sy+2yy Jj^-5457=-1300 5) E 5 n#  6 9> 45> 225. XXIII. VOORSTEL. Fig. 20, Door J. de Gelder, waar mede de Ofgeever overeenkomt. CONSTRUCTIE. Laat AG de hoogte van het hellend vlak AB verbeelden : deel dan deeze hoogte AG in C midden door, en befchryf uit C als middelpunt met AC of CCt, als Raaien, den halven - Cirkel ADG, die het hellend vlak in het punt D fhydt: dan is de Figuur, om tot de oplosfing te komen, bereid. Het punt D, alwaar de Cirkel ADG het hellende vlak AB ontmoet, is het punt, alwaar het lighaam, dat  ber VOORSTELLEN, enz. 6? dat langs het hellend vlak affnelt, zich bevinden zal ten tyde, dat eenlighaam, het welke ter gelyke tyd uit A heeft beginnen te vallen, toen het andere lighaam langs AB heeft beginnen te daalen , door de hoogte AG van het hellend vlak AB gevallen is. Dit punt D is uit de gegeevene lengte AB en hoogte^AG van het hellend vlak bekend : want AD St —-—- Au Dit is klaar: want trekkende de rechte GD, dan zyn de A ADG en ABG gelykvormig • om dat ze beide rechthoekig zyn , en den hoek A gemeen hebben. AGa Derhalven AB : AG :; AG : AD; dus AD zz —, AB of Log. AD ZZ 2 Log, AG — Log. AB. Indien dan AG en AB in getallen opgegeeven zyn , zal door deeze Formula AG bekend worden; en men zal aan den eerften eisch der Vraag voldaan hebben. Uit de bekende hoogte AG van het hellende vlak AB, kan de tyd, dien het liahaam dat door die hoogte valt noodig heeft, berekend worden: want deaAG zelve is gelyk aan V O de ftandvastige ver- li fnellende kracht verbeeldende , die naby de oppervlakte van onzen Aardkloot 30, a Paryfche Voeten of 31,2 Rhynlandfche Voeten bedraagt, en dien men alleen maar als ftandvastig mag aanmerken in zulke gevallen waar de hoogtens, door welke de lighaamen vallen, niet zeer groot zyn. Deeze berekende tyd dient nu toteën grondflag, om den tyd, die het vallende lighaam eer in G dan het daalende in B zich bevindt, te bepaalen. In de Natuurkunde wordt beweezen, dat van da lighaamen,- die langs hellende Vlakken nederdaalen, zo wel als van de vallende, de doorgeloopene ruimten  6% ONTBINDINGEN ten tot elkander als de vierkanten der tyden zyn, die federt het begin van hunne nederdaaling verloopen Noemende dan den tyd , dien het lighaam , dac langs AG, of door de hoogte van het hellende vlak valt, t, en den tyd die een lighaam noodig heeft, om langs hec hellend vlak te daalen, x; dan heeft men deeze evenredigheid. AD : AB ':: f* : x* ABx«- AB Dus x- zz -offf-fxi/ . Ap AD Men ziet , hoe derhalven de tyd, dien het lighaam noodig heeft, om langs het hellende vlak afcefnellen, uic den tyd van den vryen val door deszelfs hoogte bekend wordt: en deeze bekend zynde, wordt ook het tydsverfchil bekend, dat het tweede is, dat te vinden voorgefteld wordt. Injiet o^e Voorftel is gevonden ABr494,7a, en AG — 269, 45. Om dan 1° het punt D te vinden, heeft men door de gevonden Formule, Log. AG — 2.4304715 3 a Log. AG zz 4,8609430 Log. AB — 2,6943627 Log. AD n 1, 1665803, Log. van 166, 75, de p'aats van het punt D, waar zich het lighaam, dat langs het hellende vlak afloopt, zich bevinden zal, ten 'tyde dat het door deszelfs hoogte AG gevallen is. Hel eerfte dat te vinden was. 2 . Om  der VOORSTELLEN, enz. 69 Om nu den tyd van den vryen val door AG te vinden, heeft men Log. AG zzz 2.4304715 Log. 2 ~ 0,3010300 2»73l5oi5 Log. zzz Log. 30,2 rr 1,4800069 1,2514946 1 ■ Log. t — 0,6157473 - Log. 4v/> 2242 tzz den tyd, dien het lighaam befteedt, om door de hoogte AG van liet hellend vlak AB te vallen. «50 Deezen bepaald zynde, kunnen wy den tyd van nedérdaaling langs AB vinden door de derde Formula. Log. AB ZZ 2,6943617 Log. AD - 2,1665803 0,5277824 2) 0,263891a Log.t zz 0,6257473 Log.x zz 0,8896385 = van f756 ~ den tyd, dien het lighaam betreedt om langs AB af te loopen. »o Derhalven zal x - t - 7", 75<5 - 4", = n''4«78-den tyd zyn, dien het vallende hghaara eVr In G7dan het daalende in B zal zyn. Het tweede dat te vinden was. XXV.  70 ONTBINDINGEN XXIV. VOORSTEL. Door den Opgeever, C. Breevilt, J. de Geloer, en J. van Twisk. Stel den begeerden-Agthoekigen wortel == x; en die tot een Agchoek verheffende, zo heeft menx7+e 12XS — 91 xs — 1940*4 — 974 f #3 _ 17*39*»_ 553 r # +tf 3780 = 3a;2 — a*; of herleid, komt. 5529« + 373o = o Hier uit vindt men 1= -1* 1» — 3> — 5> — 7 5 — 9. dat is s; + 1 : o, « + 3 r o, ï + 5 ö, ?e + 7 ^ o, en a: + 9 — o. Deeze vyf negative wortelen tot één produft ge. bracht, zo komt deeze Vergelyking ; xs 4-25*+ +* 230*3+95-0*- +1689* + 945 = 0 Dezelve in de Hoofd-vergelyking xt +12*« enz* gedeeld, komt x* - 13* + 4 =: 0 verg. 38* r 38j -*1 - 13* + 425 g* 38| ■ >, ■ 1/ — *- 6j — 38$ *- 6i + j/38| Of 61-1/385 de 2 waare wortelen. XXV.  der VOORSTELLEN, enz. ft XXV. VOORSTEL. Fig. ai. Door den Opgeever en C. Breeviet, waar mede J. Scheffer, J. Padw, en J. van Twisk overeenkomen. Laat AC ~ a ARzzb en CE ZZ c zynj Stelle BF zz x, Dan is AF ZZ x -f- bt en AF + CE : AC :: AF : AG x-bb + c : a :: x-h&:AG axx-hb . AG = x + 6 |AF = a AAFG ~ - a& O AD 2X*+é+C - . a:* -+■ a&c + bb ZZ ibx -fc 2W + 2ie *ac && + abc V BF  72 ONTBINDINGEN BF zz x zt \/bxb+2c In getallen BF zt {/ 8 X 8~^Tor4 V14 Hier uit hebben wy deeze CONSTRUCTIE. Verleng DB tot BH = AB is, en neem in BD* of deszelfs verlengde, BI ~ DË + CE—AB +2CE5 befchryf op Hl een halven Cirkel, en verleng AB tot in deszelfs omtrek in F; dan is het begeerde ver» richt, gelyk klaar te zien is. ANDERS. Fig. 22. Door J. de Gelder. CONSTRUCTIE. 'Op CE als middellyn den halven-Cirkel CHE be« fchreeven hebbende, maakt HE = DE. C,H te zamen gevoegd zynde, zal, AF=CH gemaakt hebbende , F het begeerde punt zyn. B E W Y S. Want EF, die AC en BD in de punten M en G fnydt, getrokken hebbende, zyn,om de evenwydiffheid der lynen aB en CD, AC en BD, de Driehoe. ken CEM, DEG, BFG en AFM gelykvormig. Der-  der VOORSTELLEN; eïJz. 73 Derhalven A CEM : AEDG :: CÊ* ËD* Dividendo ACEM-AEDG:C]ï*-Ë"D*:: A ECM:CE* dat is COGM TCB* :: A CEM : ~CËF. Maar A AFM : ATtzzCÏF):;ACEM:CE Derhalven CDGM zz A AFM Hier ABGMnABGM by voegende is O ABCD-ABFG. Dus is F het begeerde punt, dat, (EF getrokken zynde) A Bt'G zz Ü ABCD maakt. Dat te bewyzen was. I. G E V O L G. Deeze Meetkundige Oplosfing van het vóorgeftelde flek ons nu in ftaat, om op eene gemakkelyke wyze de lengte van AF of BF te vinden, indien e'én der verlengde zyden van het Parallelogram en het punt E, of liever DE, bekend zyn. In het Vraagftuk is gegeeven AC zz 18, AB — 8, CEmo. Derhalven CKzzCD+ DEzz io-F 8 = 18. DEa — EH4±CHaz:32i —1°° — 224 : dus Cü zz 4 yUZZAF Conftr. of FB zz 8 -!- 41/14- Dat in getallen te vinden was, AANMERKING» Men ziet hier uit, dat het Vraagftuk, op deeze wyze opgelost zynde, het niet noodzaakelyk zy AC in getallen bskend te hebben. F II. GE.  74 ONTBINDINGEN II. GEVOLG. CD naar den anderen kant van E verlengd, en eenige lyn ac evenwydig AC getrokken zynde, is » ABCD : O aBcD :: AB i aB; maar O ABCD ~ A BFG; dus ABFG : O «BcD :: AtS : «B. III. GEVOLG. Uit het tweede Gevolg kan men au zeer gemakkelyk de ConftruEtie van dit algemeen Vraagftuk afleiden. Een Parattelogram ABCD gegeeven zynde, waar van een der zyde/i cD tot in E verlengd is, is de vraag, waar, in het verlengde van de overftaande zvde aB, het punt F moet vallen, op dat de iyn EF, die E en F verëenigt, de zyde BC zodanig fnydt, dat ABFG tot CD aBcD een gegeeven reden heeft: Want Azodanig genomen hebbende, dataB : AB :: Q aBcD: a ABCD zy, zal men A BFG - Q ABuD maaken , gelyk getoond is; derhalven enz. Dit Vraagftuk, waar van het opgegeevene een by. zonder geval is, is het lÖ4fte Voorftel des 7denBoeks ColleBionum Mathematicarum Pappi Alexanirini. Zie ook Fr. van Schouten, Geom. Voor ft.. Voor ft. 49, pag. 105 , wiens Oplosfing ik hier van verre gevolgd heb. Indien men de Algebra op dit Vraagftuk toepast, zal men de grootheid AC als bekend moeten aanmerken : dan dewyl geene der Oplosfingen van de Algebra, die ik beproefd heb, tot eenvoudiger Conftructien en berekeningen aanleiding geeven, zal ik dszelve hier niet laaten volgen. XXVI.  dér VOORSTELLEN, enz. 75 XX VI. VOORSTEL, tig. 23; Dit Voorftel, dat in de Kunst-Oeffeningen II. Dit Er, reeds was opgegeeven^ zynde aldaar Voor ste l CLXXV, waar van de Oplosiing onder oeOntbindingen van dat Deel pag. 244 te vinden is, hebben wy abufivelyk voor de tweedemaal geplaatst. Wy hebben echter geen reden ons daar over te beklaagen, vermits de volgende Öplosfing van den Heer J. de Gelder, ons in alle opzichten beter dan dé eerfte voldoet. Laat C het middelpunt, PLQE den omtrek van de Aarde, of wel den middagscirkel van Groningen verbeelden: P de Noord- en Q de Zuid-Pooi, LE de Linie of den Evennachtscirkel: neem nu op de Noorder Breedte van 530 15'in den cirkel pl.QE het punt G; dat zal dan het pnnt zyn waar zich Groningen, met betrekking tot de Linie, bevindt; trek door het punc G den Parallel-Cirkel AG, neem in denzelven Oostwaards aangerekend, op den afftand van 4 Duitfche mylen van het punt G, het punt S; dit punt S zal dan de plaats zyn , alwaar de Scheemda zich , met betrekking tot Groningen, bevindt: trek nu cindelyk uit den Noord-Pool P door S den middagscirkel PSB van de Scheemda, die den Evennachtcirkel in B fbydt: zo veel graaden als dan de boog GS bevat, even zo veel graaden bevat ook zyn overeenkomftigen boug op de Linie, en zo veel graaden en minuuten deeze bobgen bevatten, zö groot is het verfchil in Lengte van deeze plaatzen , welke graaden in tyd over^ebragt, het verfchil van den waaren tyd doen bekend worden. Nu ftaat de Cofinus van de Breedte tot de Radius, als de boog GS van den Parallel-Cirkel tot zyn «verêenkomftigen boog op de Linie, of, ■'■ F « C. b -f enz. ), of Rellende — zz c; {/a2+b zz a + i b b* r 3 ' 3.5 3.5.7» X i X — X f I - —c + c*~ -c3 s a2 ^ 6 6.8 6.8.10 F 3 +  78 ONTBINDINGEN , 3» 5- 7- 9- 3' 5- 7-9-" ^ '1~ „ e* : cs -\- enz. }: op de- 58.10.12 6.8.10.12.14 J zelfde wyze zal men bevinden, dat y/öf-Tb ZZ „fl 6 6.9 6.9.12 2.5.8.h b -—-. c* „ enz, ), _ 3 c ftellende. 0.9.12.15 J at Wanneer men in de eerfte deezer Series bzza' ftelt, zal */2ffl* - n a - | x ("i- - + 3> 5 _ ^ 6 6. 8 3 5-7 ( 3' 5-7-9 ^ g + TT" enz' )zyn;offi=iftellea- de, ^azii-ïx + 3.5-7-9 6 6'8 6'8-JO -) enz. ) zyn. 6.8.ï©.i2 J Deeze laatfte reeks, die in het byzonder tot ons geval behoort , zou volkomen kunnen gefommeerd worden, indien de tekens der termen alle plus waren; zy zou als dan tot deeze uitdrukkirg behooren m m. m-hp m. m+p. m-h~7p~ s + — + — + + enz. 0 0- 0+p 0. 0 + {3 + 2p __ pi —p ~ ~ Zie A. B. Strabbe , Oeffenfchool der. fö-p-m Maih. Wtet.y in de M&th. Hand/. I. Deel, pag. 236. Jk  ber VOORSTELLEN enz. 73 Ik achte het onnoodig de wegen optegeeven, die men zou kuDnen inflaan , om deeze Series te fommeeren ; dewyl die alle , gelyk flraks blyken zal, vruchteloos moeten zyn: maar gefteld, dat dezelve kon gefommeerd worden, blyft de vraag, hoedanig zal men de bovenftaande Series, uit welke deeze is afgeleid, fommeeren? deeze vraag blyft éven duister als de voorgaande; by nadere overweeging bevond ik, dat indien S zz 1 - Ax 4- Bx* «- Cx* D*4 - enz. ad inf. met S zz 1 - x + x* — x* -+ x* — 1 enz. ZZ '■ vermeenigvuldigt wierdt, dat de Coi-bx efficienten A, B, C, D deeze betrekking onder elkander moeten hebben: m A zz 1 ê m.m+p in /3. /£+p~ B m. m-bp. m-'cip m. m+p 0. 0+p.~0~+ïp 0. 0+p enz. enz. n m- m+p Op dat het produiï sSzZl~'j— x + ————• x2 - 0 0. Tp m.m+p. m + 2p ——= acs 4-enz, zy; waar uit blykt, dat 0. 0+p. 0 + ïp indien men 1 - Ax + Bx* - Cx' + enz. volkomen F 4 fom-  8o ONTBINDINGEN fommeeren konde, ook de fom van i ÜL x enz. bekend zou zyn, en alle redelooze getallen een volkomen wortel zouden hebben. Dan alle deeze befchouwingen geeven ons (gelyk Tc boven aanmerkte,) geen vryheid om te befluiten, de redenlooze getallen geen volkomen wortel hebben-, ten zy men zulks uit andere grondbeginfels ontegenzeggelyk bewyze. De Vierkants-Wortel uit eenig redeloos getal zal een geheel met een gebrooken moeten zyn: want de Vierkants-Wortel uit 2 , by voorbeeld , is grooter dan 1, en kleiner dan twee,- derhalven de eenheid plus eenig gebrooken , en even op dezelfde wyze heeft zulks met alle andere redeloofe getallen plaats. b Laat dan a -J den waaren Vierkants, - Worte c Uit eenig geheel redeloos getal verbeelden. Indien b dan de breuk — tot de kleinfte benaaming gebragt is, zullen b en c eerfte getallen onder elkander moeten zyn: derhalven ook de Teller en Noemer ac + b van den oneigenlyken breuk , die aan het b c gemengde getal a + — gelyk is. c Nu zal het vierkant van den oneigenlyken breuk *c+b • aan het heel getal, wiens wortel zy is, moe- c ten gelyk zyn (20 men namenlyk by de onderftelling blyft, dat zy de juiste waarde van den wortel uit het . j re-  der VOORSTELLEN, pz. gr redeloos getal uitdrukt) : maar het quadraat van deezen oneigenlyken breuk zal nooit aan een geheel getal kunnen gelyk zyn : want ac -;- b en c eerlte getallen onder elkander zynde, zullen (ac + b)* en cc mede eerlte getallen onder elkander zyn ; en derhalven geene der redelooze getallen hebben een volkomen wortel. Dat te bewyxen was» ANDERS. Door den Opgeever, waar mede j. Schepfer, C. Breevilt, K. Aker, £7? j. van Twisk overeenkomen. x Stel den Wortel uit 2 == t-; dit moet meer dan 1, y en minder dan 2 zyn; by gevolg kan * door y niet effen gedeeld worden ; maar vermits x door y niet deelbaar is, zokan**door ƒ ook niet deelbaar z\n, 'c welk echter plaats moest hebben, zou de Wortel u t 2 door eenig gebreken kunnen worden uitgedrukt; derhalven is het ocmogelyk den Wortel uit eenig Surdisch getal in zuivere getallen te vinden. Dat te bewyzen was, XXVIII. VOORSTEL. Door ]. te Veltrup. Laat de Wortelen ZZ a en b zyn; dan zyn hunne Quadraaten = aa, en bb; en aa x bb — aabb ab het vermeenig. vuldigde derWort. F 5 Waar  82 ONTBINDINGEN Waar uïc falykt, dat de Quadraat-Wottel uit het Hier uit volgt deeze I68I 1369 — > verm. 2301089 V- - 1517 deeerfteWort.37 ■ Komt 41 de andere begeerd» Worrel. ANDERS. Door C. Breevilt, K. Aker, J. Schee* èer, J. Pauw, J. van Twisk, enden Opoeever, Laat 37 r a, en de Wortel uit 1681 - a + x zyn. Dan zyn de beide Quadraaten aa 4- lax -f- xx en aa 1 hun Verfchil is sax + xx Indien wy dit Verfchil door aa deelen, zo is het Quotiënt xy cn de Rest xx. Hier door hebben wy deezen R E-  per VOORSTELLEN, enz. REGEL. Deel het verfchil der beide getallen door het tweevoud des gegeeven Wortels , ze zul de Rest even zo veel als het Quadraat van het Quotiënt zyn , indien het Quadraatvan het Quotiënt minder is, dan de dubbele gegeeven Wartel ; doch zo de Rest minder is dan het Quadraat van het Quotiënt, addeert men den DiVifor zo lang by de Rest , terwyl men telkens de eenheid van het Quotiënt afneemt , tot het eene juist het Quadraat van^het andere is; wanneet men , door het hiyvende Quotiënt by den gegeeven Wortel te tellen, het begeerae bekomt. ALDUS. De Quadraaten zyn 1681 en 1369 afget. 312 Dubb. geg, Wort. 74 —— Kt. 4 en rest 16. Dewyl nu 16 juist het Quadraat van 4 is, zo is de begeerde Wortel 37 + 4 = 41. XXIX. VOORSTEL. Door], de Gelder, waar fiede C. Breevilt, J. Pauw, J. te Veltr&4>, j. van Twisk, J. Scheffer, en de Opceever, overeenkomen. Stel het begeerde getal 283 + 14, dit voldoet reeds aan de eerlte voorwaarde der Vraag; van hetzelve 17 af-  .84 [ONTBINDINGEN afgetrokken zynde, heeft men 28*-3 ; dis moet 28^ — 3 -—— een heel getal zyn: Stel het zelvep : dan is l9 28a;—3 9*—3 p ^_ —■, = x _| _ . dit laatfte moet 19 19 wederom een heel getal zyrj. Stel het zelve eelyk a : dan is a j 1 9*~3 9x -194 + 3 ?-r 3 Dus xr^-j ; dit laatfte moet wederom 9 een heel getal zyn: Stel hetzelve = r. dan is 9 Of q ~ yr - 3 Nu kan r op het kleinfte zz 1 zyn, dus •——— 15  der V OORSTELLEN, enz. 85 iy +1 „ y$y + 15 -i —— een heel getal zyn x Stel iy + * __ 15 I5« —t * —i Dan is y zz ——— — 2i + —— jditlaatlte 7 7 moet wederom een geheel getal zyn: Stel het zelve t-I Dan is —-—* zz v. 7 Dus t zz T* + i Nu kan v op het kleinst zz O zyn ; v zz o zynde, is tZZi, yZZi, en 5327 + 378 = 1442, het kleinfte getal, dat door28, igen ijïgedeeld zynde, de refpective overblyfzels zyn 14. 17 en 2. Dat te vinden was. ANDERE OPLOSSING, Door j. de Gelder. Stel voor het begeerde getal een van deeze drie uitdrukkingen a8ai +14, iQy+17, of 152 + 2 : dan voldoet elk een van deeze aan de eerlle, tweede en derde voorwaarde van de vraag; en men heeft dus twee Vergelykingen. 28.V  85 ONTBINDINGEN a8x ■+■ 141:10? 4-17 193» zz zBx — 3 19— . 9X-3 y ~ x+ — 9*-S stel x m een heel gejal 19 9* r i9fB + 3 9— 1 ^ = arjji 4. 9 771-!-3 SteI —^* - « een heel getal m zz 98—3 DöS * —. 207J-Ó" 3» = a8«~9 sn m+17 =^ S3a«-154 01  der VOORSTELLEN* Elïz. 8? en 193!+-17 — 152 + 2. Dus 532»—154 irijz-r- a 152 = 532»— 156 15 ■ 771-6 % Zt 35»-io + - 15 7«—6 Stel — - zz r een heel getal. 15 r-l-6 Dan is nzzzr -f- ' 7 r + 6 Stel wederom ■ zz reen heel getal. 7 Dan is rzzys—6. Nu kan s op het kleinst ZZ 1 zyn. Dusrirr, »r3,en532W-i54i:i442, het begeerde getal, even als in de eerfte Oplosfing gevonden is. 00  83 ONTBINDINGEN NOG ANDERS. Door Denzelfden, naar de Formule van Persyn, Dit Vraagftuk, benevens alle andere foorcgelyke, kunnen door eenen Arühmetifchen Ré-^el ontbonden worden. Deeze Régel vindt men opgegeeven, en op tw^e voorbeelden toegepast, by den Hooggeleerden Heer F. van Schoóten, Prof. Math. in de Univerfiteit te Leiden, in zyne Math. Oefeningen VI. Af deeling der gemengde Stoffw , pag. 380 et feq., welke régel de Uocggeieerde öcbryver zegt , hem door Nicol a as Hoeekts van Persyn te zyn medegedeeld. Wy zullen deezen Régel, welke ons zeer fraai en vernuftig voorkomt, alhier in zyn geheel Jaaten volgen , op ons tegenwoordig Vraagftuk toepazen, en naardien by gem. Hooggel. Schryver geen bewys voor dtnzelven is, zullen wy den grond, waar op deezen régel fteunt, trachten aautetoonen. ALGEMEENE REGEL. T. Zoek het kleinfte getal, waar in alle. opgegeevene Deders volkomen kunnen gedeeld worden. II. Dit getal gevonden hebbende, deelt hetzelve door elk één der gegeevene deelen tweemaal, en let op de resten der tweede deelingen. UI. Indien deeze resten der deelingen de eenheid zyn; behoudt men het tweede deeltal , zo niet, onderzoekt mm, met welk kleinst getal'hetzelve moet vermenigvuldigd W0T'  der VOORSTELLEN, enz. 89 worden, op dat het, door zyn overëenkomftig deeltal gedeeld zynde, de éénheid overlaat (*). IV. Deeze getallen (indien het nodig zy~) aldus bepaald zynde, vermeenigvuldigt men elf deeltal (te wee. ten dit , dat in de deeling één overlaat) met de opgegeevene resten der deelingen, die in de vraag tot dien deeler behooren, waar door elk deezer deeltallen gedeeld zyn. V. De fom dier nieuwe producten , door het getal, Art. I. bepaald, gedeeld zynde, zal de rest deezer deeling het bepaalde getal gelyk zyn. DeeZe Régel of Formula zullen wy terftond op ons tegenwoordig Voorbeeld toepasfen; (doch in hec begin der bewerking met weinig verandering van den opgegeeven Régel). Deelers 28 28 19 19 15 ij verm. Ui 42° 285 producten. 15) 19) a8)— 35 22 10 Quotiënten, 1 a «resten der Deeling 13 "o 17 kleinfte gec. 91 2° 85producten 15)——(1 rest. 19) ——(198— (1 6 23 Der- (») Het zal korter zyn dit onderzoek omtrent de rest óet deelïng ie werk te (lellen; om dat het op het zelfde uitkomt, gelyk nader zal aangetoond worden. C7  £o ON TBIN DINGEN Derhalven 532 420 285 13 1 o 17 6016 4200 4845 Dividenda of deeltallen Art. 4. 2 17 14 overeenkom» ftige resten met de gegeeveneDeelers. 13832, 41400, 67830 producten 41400 . . Art. 4» 67830 153062 fomderPrcd. Art, 5» 79S!o) —~—. 10 Quotiënt, en 1442 de rest h"t begeerde getal, gelylc het boven op twee verfchillende wyz; n opgelost is. Dus ziet men hier reeds by de proeven de deugd» zaamheid van deezen Régel, welke trien nog op andere voorbeelden zou kunnen roepasfen; dan wy zullen nu liever aantoonen den Wiskundigen grondwaar op deeze fteunt, na alvoorens twee Hellingen te laaten voorafgaan. I. LEMMA. Eenig heel getal Q door een ander heel getal P gedeeld zynde, en één in de deeling overhalende, zal het eerfte van deeze getallen , met tenige grootheid R. vermeenigvuldigd zynde, en daar na wederom op nieuw door P, het andere heel getal gedeeld R in de deeling Q " 1 overlaaten. Want >—• ~ V H (V een heel P P ge*  her VOORSTELLEN, enz. 01 getal Hellende) maakende, zal ook Q £ PV+ i, en PRV+R derhalven QR = PRV ~h R, of — — RV + P R — zyn. P •Dai ïe hewyzen was. II. L E M M ü. Ee« geiai, rfat aan de voorwaarde van zulk een Vraagftuk als het onze is voldoet, is altyd kleiner dan het kleinfte getal, waar in ook een der gegeevene deelers afzonderlyk kan gedeeld worden: en niet meer dan één getal, dat kleiner dan het getal is , waar in alle de deelers kunnen gedeeld worden , zal men kunnen vinden. BEWYS. Want, ftel dat bet getal, dat aan de voorwaarden der Vraag voldoet , grooter is dan het kleinfte getal, waar in alle de gegeevene deelers afzonderlyk kunnen gedeeld worden: dan zal, van dat eerfte gétal het laatfte afgetrokken zynde , de rest aan de voorwaarden der vraag mede voldoen , zo óeeic vest echter nog grooter is dan het kleinfte getal, waarin alle de Deelers kunnen gedeeld worden, zoo zal men hetzelve nog eens van deeze rest af* trekken, enz. tot zoo lang, dat de rest kleiner Zy, dan dit kleinfte getal. }* 'S derha,vJen klaaf» dat het kleinfte getal, dat zaf zvnVZTh^^ v1°'d0et' ait*d k!ei"" zal zyn , dan het kleinfte getal , hetwelk door ai/e de gegeevene deelers kan gedeeld worden : en dfc men niet meer dan één «taf, dat aan de voorwaar- G 2 deo  p2 ONTBINDINGEN den der vraag voldoet, vinden kan , dat kleiner is dan het kleinfte, waar in alle de deelers kunnen gedeeld worden. Dat te bewyzen was. Gaan wy nu , deeze twee Lemmata onder het oog houdende, tot het Bewys van den Regel zelve over. B E W Y S. Stel drie Deelers , waar door het gezochte getal moet gedeeld worden , x, y en z; de refpective overblyfzels m, » en f Stil het overfchot van yz «z xy de deeling in — gelyk rt in —, ï, en in —, t; x y z de kleinfte getallen , waar mede elk deezer deeltal, len of resten moeten vermeenigvuldigd wordeo, op dat de producten op nieuw door deszelfs overeenkomftige deelers gedeeld zynde , de éénheid in de ayz bxz deeling overlaaten, a, b en c: dan laaten —, ■— cxy x y en — elk één in de deeling over; amyz + bnxz + z cpxy zal nu een getal zyn (de voorwaarde van het kleinfte uitgellooten,) dat aan de voorwaarden der Vraag voldoet: want, deelende i° door xt heeft amyz ayz men bnz + cpy -f- ; maar — laat éin in de X x amyz deeling over (onderft.); zal dus m in de deeling X overlaaten (l. Lemma) Het voldoet dan aan de voorwaarden der Vraag, dewyl men de twee overige conditiën volmaakt op dezelfde wyze betoogt. Wan-  der VOORSTELLEN, enz. 93 Wanneer derhalven deeze uitdrukking door xyz, dat het kleinfte getal is, waar in alle de Deelers af zonderlyk kunnen gedeeld worden , gedeeld is, zal het overblyfzel in de Deeling het kleinfte heel getal zyn, dat aan de voorwaarden der Vraag voldoet (II. Lemma). Dit Bewys is alleen byzonder ; om dat het zich flegts tot drie gegeevene Deelers uitftrekt; en zéker, men mag van het byzondere tot het algemeene niet terftond overgaan , ten zy men zich door een genoegzaam aantal beproevingen volkomen zéker kan houden van de volftrekte algemeenheid eener waarheid, die algemeen beweezen moet worden. Even eens' is het hier mede gelegen. Iemand , die zich verleedigen wil om het bewys op vier, vyf, zes of meer Deelers toe te pasfen , zal de waarheid van den geftelden Régel altyd beweezen zien, en derhalven ziet men , dat in het algemeen deeze regel Wiskundig waarachtig is, en ons altyd tot het begeerde brengen moet. Dat te hewyzen was. XXX. VOORSTEL. Door den Opgeever, J. te Veltrup, C. Breevilt, J. de Gelder, K. Aker, J. Pauw, J. van Twisk, en J. Scheffer. Stel het getal der maanden , die de eerfte maal bepaald zyn, ix; dan is voor den eerften tyd x de Intrest ten 100 's Jaars , en voor den tweeden tyd x + i de Intrest ten ico 's Jaars. G 3 Nu  94 ONTBINDINGEN. Nu zyn de winden in. de famengeftelde reden van de Capitaalen en Tyden: derhalven 7jox* 100 x 12: x ;: 750 x: de verloopen Intrest 1200 in den eerften tyd. 375x3; -f- 375X loox m:x+ 1 i:h5x; , Verloopen In- 1200 trest in den aden tyd. ! -m-, add. 1125.»-!-375X — —-400-375=25 1200 45**+ OF ~ 1 1200 45*£ +15XZZ raoo l5 — 3xx + x zzz 80 3 80 950 3 3» I _ £ 3<5 36 961 xx + ix+^ZZ — 3ö v : 3f * 6 Dus  oer VOORSTELLEN, enz* 95 30 i; Dus XZZ— :S5 den Intrest ten 6 iooindemften tyd. x + I zzz6 die ten iooin den 2:len tyd. 2xzz 10 de eerde bepaalde tyd. xzz 5de tweede bepaalde tyd. Dat te vinden was. XXX'. VOORSTEL. Fig. 24. Door J. de Gelder, waar mede de Opgefver, J. van Twisk, J. Paow, C. Breevilt, en J. Scheffer overeenkomen. Laat ABCD het langwerpig rechthoekig ftukLands verbeelden, AB de lengte, en BC de breedte deszelven. Neem nu in de breedte AD het punt G zoodanig, dat DG< AG is, en in de lengte DC, DEnDG: trek voorts de lynen GH en EP parallel aan AB en AD refpectivè, die elkander in het punt I fnyden: dan zal de Rechthoek ABCD in vier Hukken, het Quadraat DE1G, den Rechtboek AFIG, den Rechthuek ECHI, en den Rechthoek FBHI verdeeld zyn. Van deeze ftukken nu zal □ DEIG het kleinfte, en de CD FBHI het grootfte zyn. Want AG> DG (Conft^ en GI - Gf; derhalven AG x Gl> DG x GI, of □ DEIG < Q AFIG; en on gelyke wyZe betoogt men , dat □ DEIG < O KCHI: AFC FB, derhalven AFxFi l6x zz — 63 64 — 64 *x — 16^ + 64^: 1 v — .r - 8 = ^ 1 Derh. x ZZ 9 of 7, de beide zyden van den Rechthoek ABCD ; dus AG zz 4 , CE = 6 , cn AG x GI = D AGIF = ia graazen, alsmede EI x CE = Q CEIH = 6 x 3 = 18 graazen. Dat te vinden was. XXXII. VOORSTEL. . Door T. Scheffer en C. Breevilt, waarmede de Op geeveR) J • de Gelder, J. te Veltrup, J. van Twisk, J. Visser, 1. Pauw , en J. van der Oort overeenkomen. 14:11 ::^ 7l ) 49-.Inhoud(Meetk. 10B.pag. 182) Komt Inhoud ZZZZZ 38« 5 "*ilnh. • 12.833. na de tweede affly ping. - "2 ?Inh. —' 25.666 na de eerfte afflyping. 11 : 14 :: 25. 666 : vierkant der Middellyn. Komt Middellyn = 5. 702 na de eerfte afflyping. 11 : 14 :: 12.833 : vierkant der Middellyn. Komt Middellyn = 4.046 na de tweede afflyping. G 5 XXXIII.  m ONTBINDINGEN XXXIII. VOORSTEL. Door den Op ge ever. J-l-y™ y tWee der ^5 dan is de derde -fif'hZÈ ^P^^en inhoud, en m*-*' -y x het product der drie zyden. ^ Derhalven is volgens de beginzels der Meetkunde. 10. zaxy ~~_^y zxr V a. a — x. a-y, x+y-a a, a — x. a — y.x+y — a~ a* Stel nu x+yzzp enxyzzq; dan wordt de tweed? Vergelyk. veranderdinl!!!:20^^^^ — Of- fl3 + M.f ^ apl +~~ q=ab, p-a Be  der VOORSTELLEN, enz. go De eerfte Vergelyking wordt veranderd in deeze 20—p.q - — 20, welke, om het l/ (-a++ 2pa3-/> V+ (ap-a*) q worteUeeken weg temaakeD, gequadrateerd zynde, heeft men (la-pyq* ' ■—— ~ 400. —a* -H ïpa% —y-a* + ap~-a*.q Hier in nu de waarde van q, boven in een Funclis van p bepaald, fubftitueerende, heeft men t (air+a3 — spa12 Z<1 P X O-a)1 ———1 ^4 cc. aè'+a'-apa'+p'a —a*-Hpa*-p*a+axp-ax ■ —l— p-a (abi-\-aa—opr+pIay Of (sa-p)2 x a2&* ~ Düs(ia—p')'x(abz-'ra1--2pa:!+p,ayzZ4aabbccxp-a. V _■ 2a-p. «b2-t-a} — 2pa'+p'aZZ labcxp-ïi. 0) • ■ aa-p. b* + a* — ipa + p* ZZ ibe xp-a Deeze uitdrukking ontwikkeld zynde, heeft men p*-$ap'+ ja '-rzbc+b*. p—latf-Vaa*-f-aaèc ZZQ. Eene  ioo ONTBINDINGEN Eene Vergelyking welkers oplosfing de waarde van p zal doen bekend worden; en, indien het VoorHel mogelyk is, drie waare Wortelen heeft; waar van men elk een naar welgevallen zal kunnen gebruiken. De waarde van p bepaald zynde, zal die van q, welke wy in een Funclie vau p met bekende grootheden bepaald hebben, gevonden worden. Deeze waarde van pzzx + y t en^rr^y gevonden zynde, worden * en y bepaald, gelyk bekend is. Dat te vinden was. TOEPASSING in GETALLEN. Gegeeven zynde zazziz, 2i—2, c — s> dan heeft men4az:a4, 5a* + 2l>c+b*zz iyi, en 2abz 1- 2a3 -f3^^—504. Derhalven p* — 2$p* + I9lp— 504—0. In welke Vergelyking de Wortels zyn, 7. 3 en 9. ab1+a* — 2pa* -f-p* a Dus q— — zz 12, indienp 1:7is; p-—a of 15, als pr8 genomen wordt; of 20, zoo pzzg genomen wordt. * + y r: 7 x* -h nxy + y» zz 49 4*y ZZ 48 ^x' — 2xy -h den Driehoek., enaa — x— y — 5J Men ziet, dat men ook dezelfde waarden voor de zyden vcrkrygen zal, door voorp, 8 of o te Itellen. ANDERS. Door J. van Twisk, waar mede C Breevilt en J. Sc heffer overéénkomen. Stel de opftaande zyden van den Driehoek — x en y, den 2?a/ïf ZZ%t en den Inhoud n v; dan is door het Voorftel sc +^ +zxbzz 2v (Meetk. 17.9'Boek. en dus ook aa£ ZZ av LIL : * :: y : c (Meetk: 18. 9 1 2CV je]/ 2 (2 =2f" = iaic Ook  IÖ2 ONTBINDINGEN Ook is door het bekende Theorema (zie Toepas/mg der Algebra op de Meetkunde^ öj), ö axXx~'ry-hz zz (a*-2a*zz) . . -fl* ~ I~ afget. aa x xy + yz -h xz - a x xyz zzvv+a+ 'i Maar vvzzaabh aM X xy +yz + xz - axxyz — aaxbb+a~a~ ~axxyzzz-2aabc ZZT7" afget. ad) J^H^«+_« = ^ xbb + aa + ïbT xy + yz+xzzzzzzbb +aa~+^bc Nu is bekend de fom der a c PM der zyden SSS^tSi' jTerTJ% der drie zyden. ' en net ProdsM Wortelen £ JeSlïcnTfn r™* de dHe Gegeeven 2a — 43, 2^ - 8 , c - iöf. Dan  der VOORSTELLEN enz. 103 Dan is pt -wpp + 441 +■ 16 +13° Xp-2730 ZO />• - vpp + J3 7^ - 2730 "O. Neempzz 112i34l 1.2.3.4.6.7-8.12.13.14. i6enz. pzz 0I2730I i.a.3-5-6-7.10.13- <4- ij pzz~ï i3360.11.2.34-5-6.7.8.10.12.14.15.16. P--2L4080 I.2.3-4-5-6-8.10.12.15.16.17. ^-114896 ï.2.3.4-6.8.9-12. IÖ. 17. 18. ?--4l58i4|i.3'9-»7.i8.19 I-12I-13I-14 U13 -14 -15 -14 -iji-161-17 |_iól_i7 |-i8 j_;7!_18|-i9 p*-42pp-l-587p-2730 En — —j- P— »5-°' "p^l3X/»-»4 Dus de begeerde zyden zz 13, 14 en '5» XXXIV. VOORSTEL. Boor J. te Veltrup , waar mede C. Breevilt, J- scheffer, J. de gelder, n j. van Twisk overeenkomen. In de 12de ree. van die Voorftel ftaat 1481, lees 148. 1b. 14de reg. .——175, lees 18$. Stel het Stuk A lang x, en breed y Ellen; en' het Stuk B lang *, en breed u Ellen j Nu  104 ON TBIN DINGEN Nuis5 : 4 :: * : - lang 1 2 5* >A gekrompen.' a : i— :: ji : —. breed | 3 r ' 6 4 16 50Z ] 3 : 2—:: z : — lang j 17 ci I 4 4ti r^B gekrompen. 1 ; — breed | 5 5 J Verders heeft men 4» 5y 50Z 4u 4.x 4u — x — = —- x — r- + — = 148 5 6 51 s 5J " '-. ... —— s . Of 2^ — 4°UZ 'iX + 4M — 74° 3 51 x -h u = 185 i7a;y = 2owz ■ KZ J7«X;yZ = 20M:!Z!! Ook is zy + 25800 x uz = 1331 tooo Of »^z+ 358002*2= 13311000 17uxyz+438600MZ = 22628700017 Maar i7«*yz = 20W z% Derh. 2ou* z" -f- 438600^2 =s 226387000 20) ..■ «*z* -1- 21930Hz = 11314350 10965* =:130331225 ■ — '» verg. uaza  dêr VOORSTELLEN, skz» ïoj U°Zx-r 219302*2-!- 109651 = 1315-4557? ^ uz + 10965 - V/I3»545S75' =: 1/131545575 — I09<55 z ———— _ 1/13*547575 — 10965; 2 Maar u = 185 — » — 1 —-— vergel. _ V/t3*545575-'c9ü"5 2 ; s 2 * l8jZ~*2 ZZ 1/131545575-10965 502 55 Wederom — -1 zz 185 Of 202-1- i7y ZZ 3774 _ . u 20M2-H i7«yZ3774W Maar aoaz ~~ 17xy boven gevonden —. . vergel. I7*7 + I7«y — 3774« 17— —— *7 +«7^222*^ »7 +«7:11857 (jf+w-185x7) ——■■ vergel. 222« Z1857 Cu zz 57 17* 102WX — 85x7 loouz—85*7 (2CMZ~17*7X5) »■ - vergel.  tt ONTBINDINGEN io2uy zz loöuz 5Ix ZZ $OZ ■•■ z 5" 1X2 ZZ 50Z* xz _ ■ --irn; dit nu in plaats van xz in 5» de boven gevondene Vergelyking , met een * getekend, geltdd, heeft men — — 185Z ZZ 10965 — t/i3iJ4J57ï 5i 50 • 1 51 7 3 23 ZZ — 1Z8 —z — 11184—1/136860016 — IO IO IOO ~\- o 359 94 — - 8901 — 901 400 7 7\ zz—188—z+94 <-] 10 20' 89 23 8=1:20086 Vl 36860016—■ 400 IOO V — 7 7 z—-94 — ZZ V 18207 — 43 — 20 20 z zzV 18207 + 51. Ellen lang !c Stuk B; 50Z x ZZ ~ f17500+ 50 ...... A;  der VOORSTELLEN, enz. tof te ~ i85-xi:i3i'-^ri7500 Ellen breed'tStukB^ 6u enyn — 162-^25200 . . . „ < A, 5 En dc gekrompen (lukken, als Ca» *i 1 lang — — 1/ x 1200 + 40 f Ai ï, I I breed — ~ 135-^17500 | l 6 (.Ellen. f 50^ l j lang — - V17500-1-50 li , breeds- ~ 108 — ^11200 l S J XSXV. V O O R STEL. Fig. &$< Door j. de Gelder, waar mede, met weinig veto anderingy c+Fc"[ 4 propi m MaarAB1—AD*+2 D AD, DB+BD >-Eücl. enon. ZZZZ I derftelling, en BE? =CEi+'? o CE, EB+BE1 J Daarenboven is 2 D AB, BC-4 A ABC Meetk. H a Deffi.  I08 ONTBINDINGEN DerhTATï+BÉï zz* a3=+iADxBD+DË+4 AABC i A*.et 47Prop: lib. 1.1 Prop: lib. 2. Maar 4AD (ZZ2ADX2AD3+2 ADxBD+BÊ- 2AD x~AB + BC 1 Prop. 2 B. en Fig. Derh. AB+FC-2A Dx AS+ÖC+bTi -f- 4 A ABC- 2AD 1 en 9 Aar. 2ADxAB+BCZ2ADxAB+BCBhierafgenoomen. is AB+BCl^2ADxAB+^ = M+4AABC- ÖAD Voeg hier by~AD zz ~AD DanisAB + BCl - aAD x AB +~BC + AD*z> AB + BC —AD? zz DË + 4 A ABC - AL» 3 A*. en 4 Prop. a B. Maar nu is in het Voorftel DE ZZ 13» AD zz CE z 3, en A ABC — 60. DusDE~ 169 , AD~9, en4 AABC —240$ dusis (AB + BC-AD)I=400 AB-t-BC-AD -20 AD zz 3 hier bygevoegd is AB + BC : =23 Dus~AB + 2 AB,BC-f~BC - 529 hier sAB,BC-4ABC- 240 en 4AB,BC-8ABC- 480 afgetrokk. Dan is^+BCa£AC3-289; dus AC-17. en AB-2AB,BC+BC-49. Dus  der VOORSTELLEN, enz. 109 Dus AB — BC r 7. Maar AB + BC - 23 Dus 2AB ~ 30, of AB zz 15 ; dus BD ZZ AB - AD — 15 — 3 ZZ 12. en 2BC ZZ 16, BC - 8 , en BE ~ BC - CE zz 8 - 3 = 5Dat te vinden was. ANDERE OPLOSSING (F/g. 26). Door j. de Gelder. Behalven deeze Oplosfing, waar door wy meenen aan het oogmerk der Components voldaan te hebben, kan men nog een andere geeven, die volmaakt Meetkundig is, door behulp van een Hyperbool en Cirkel. CONSTRUCTIE. 10. Trekt twee onbepaalde rechte lynen CK en CB, die elkander in C rechthoekig ontmoeten. 2o. Op deeze, als Asymptoten, befchryft den Hy. perbool RFV , welks potentia aan 2 maal A ABC (Fig. 25) gelyk zyn. *>. Neemt CA op CB gelyk AD (Fig. 25), en trekt eene onbepaalde rechte lyn AD evenwydig CK; op deeze neemt wederom AEr:AC. 40. Befchryft uit E als middelpunt met DE (Fig. 25) als Radius een Cirkel, welke den Hyperhooi In F en ƒ fnydt. H 3  iio ONTBINDINGEN 50. Trekt door deeze fnyd.punten de onbepaalde lynen fh en FH, onbepaald naar boven verlengd, neemt dan /£ = FG=AC, en trekt de rechte ly. nen AG, Ag, EF en Ef; dan zyn AGH én EHF, of Agh en Efft de begeerde Driehoeken. BEWYS. Want vereenigt de punten C en ƒ: dan is Ag ZZ CF; om dat gf, AC evenwydig en gelyk zyn; maar gh=ef, en Lhgh=zL.Cfe : dus L\Cfe =: &Agh, gelyk den Inhoud van AÖC (Fig. 25 Cbnlt.), Aü = fg zz EC (in Fig. 25) , enöE/ - o% (Fig. 25). Dat te vinden was. ' XXXVI. VOORSTEL. Daar den Osgeever, j. de Gelder, P, Brecht, j. van Twisk, J. van der' Oort, J. te VelTrop, en j. Pauw. In dis Voorftel pag, 15, rag. 3 van boven ftaat 4. ïees f. TS Na den eerften verkoop competeerde den Pachter 8f Per Cento, dat is het ft gedeelte van de Koödfomme. * En na den derden óf laatften verkoop | gedeelte van de eerfte Koopfom , volgens 't Voorftel. Derhalven de fom van alle de Impost-Penningen tot de Impost-Penningen van den eerften verkoop! #J§ f m m dat is? als 4 tot «. CJe.  der VOORSTELLEN, enz. 111 Gevolglyk de fom der Koop-Penningen van de drie verkoopingen, tot de Koop-Penningen van den eerften verkoop, mede als 4 tot i. Maar het Paard is flechts driemaalen verkocht; derhalven moet de tweede en derde Koopfom te faamen zo veel boven Twee eerfte verkoopingen verhoogd zyn, als één eerfte Koopfom bedraagt; En gevolglyk de tweede en derde verkooping ieder in het byzonder, ftaan tot de eerfte verkooping als 3 tot 2. Nu heeft B moeten betaalen "J is van de eerfte Koopfom [ en van de 2de Js-oopfom, zynde z^zcz y aan Impost. |j van de eerfte Koopfom j Dus in alles |? van de eerfte Koopfom j Hier by . . ^7 „-„-winst Komt 7 en |? gedeelte van de eerfte Koopfom , zynde het verfchil tusfchen de eerfte en tweede Koopfom. Of, de helft van de eerfte Koopfom : om dat (zo als beweezen is) de tweede Koopfom, ftaat tot üe eerfte Koopfom als 3 tot 2. DERHALVEN: ifte Koopfom ifte Koopfom of h ===== r 7 " 24 Dus ïfte Koopfom = 24 c£ Is = 2<£ eerfte Impost. H 4 Hier  ïia ONTBINDINGEN Hier by 7 ^ winst B. iï : 12 : : 33 dC : de 2de Koopfom. Dus . 36 oC tweede Koopfom. en ook . 36 d£ 3de Kf-volg.'t Voorftel. hier by de 24 dt eerfte Koopfom Komt 96 dC fom der Kooppenningen. Derhalven . {? d£ aandeel voor den Pachter, van de drie byzondere Verkoopingen. XXXVII. VOORSTEL. Fig. 27; Door j. de Gelder. Laat ab het horizontaale Vlak verbeelden , waar op den Cirkel ZONWZ uit A, als middelpunt, befchreeven en in 360 graaden verdeeld is, ZN zy de Middellyn en AR de Styl, die in een Vlak dat rechthoekig door ab gaat , en met hetzelve de lyn ZN gemeen heeft, ligt, en met AN den ARAN ZZ 53° 43' ZZ de Noorder-Breedte des Waarneemers vormt ; Befchryf dan in het zelfde Vlak , waar in Z.RAN ligt, uit A als middelpunt, met AN^Az~ AP = AQ den Cirkel NPZQ ; verbeel nu deezen Cirkel om PQ als As te worden omgevoerd , dan zal dezelve een Globe befchryven, het punt L, dat 90^ van P en Q afftaat , zal den grooten Cirkel EOLW, die ZONW in O en W fnydt, befchryven. Indien men nii veronderftelt, dat deeze Figuur in het middelpunt der Aarde wordt overgebragt , zodapig , dat de Cirkel ZONW met den waaren Horizon in alle deszelfs deelen overeen ftemme % da.q valt PQ in den As des Hemels , en de x Cir*  der VOORSTELLEN, enz. 113 Cirkel LE ftemt met de Linie der Waereld overBen. Stel nu verders dat de Zon op het oogenblik der Waarneeming de fchaduwe AB door den Styl AR werpt, en ZONZ in B lbydt; brengt dan den beweegenden Cirkel in B over, zoo dat AB in deszelfs vlak valt, en dezelve de Evennachtslyn in G fnydt. Nu merk ik aan, dat in den rechthoekigen kloot* fchen Driehoek OBG , in de eerfte plaats OB bekend is (Ond.), ao. den hoek NOE gelyk het Complement der Noorder-Breedte ; dan kunnen in denzelven de overige hoeken en zyden berekend worden , derhalven ook OG het Complement van den Uurhoek door deezen Regel: Sin. PN : Rad. Cot. OB : Tang. GE. Wy zullen onderftellen , dat de graaden op den Horizontaaien Cirkel van Z af naar W, N , enz. gerekend zyn ; dan is W op 900, N op 1 Ko°, O 6p 2-0». ZWNti-ZWNzrBN— ?.2ö° 25'—180° zz 46°a5,»PN = 53<» 43'. Log.Tang. BN - 10,021485! Log. Rad. — 10 20,0214851 Log. Sin. PN ZZ 9> 9063890 10,1150961 Log. Tang. GE — 52° 30' — Z.BPE , gelyk den Uurhoek na den middag, deeze in tyd, tegen 150 voor één uur, overgebragt, geeven 3 uur 30'. Derhalven was het 3 uur 30' na den middag , toen de Waarneeming gefchiedde. Dat te vinden was. II 5 AN-  314 ONTBINDINGEN ANDERS. Door den Opgeever, en J. Pauw. Om dit Voorftel te ontbinden, dient deeze Regel: Sinus van de Pools hoogte ftaat tot de Radius, als iangcns van de graaden over den middag tot Taneens van de namiddags-Uuren. 2260 25' plaats der fchaduwe. i«o° o' van middernacht tot middag. 46e 25/ over den middag. Derhalven Sin. van 53° 43y:#ad.:: Tang. vanió^': Tang. der namiddags-uuren. I0.0000000 10.0214851 20.0214851 0.9063892 10.1150959 Tang. van 52°30;, deeze. 35» voor een uur rekenende, in uuren overgebragt komt 3 uuren 30 min. na den middag, warneer de lenaduwe op 2260 25' ftondt. XXXV1IL VOORSTEL. Fig. 28. Dotr J. de Gelder, waar mede de Opceever en J. Pauw overeenkomen. Laat Z0NC den Cirkel verbeelden, welke in 360 graaden verdeeld is, en op het Horhontaale Vlak ab bö-  dek VOORSTELLEN, ekz, ii5 befchreeven is, AT den verticaalen Wyzer, en AB de fchaduw; die deeze ftyl werpt,: dan is de hoeü ABF gelyk aan de Zons hoogte ten tyde der Waar reeming. Dus kan uit de gegeevene lengtens des Styls en der fchaduw de Zons hoogte door deezen Regel bepaald worden, AB ; AF :; Rad. : Tang. L3, 10,0000000 3,0000000 13,0000000 2j994317» 10,0056828 Lo£. Tang van 45D22'r:Z.B; dus was de Zons hoogte by de Waarneeming 45" i2*. De fchaduw des verticaalen Styls ftydt den horizontaaien Cirkel in C in 1640 ; dus indien men onderlteh, dat op den horizontaaien Cirkel de graaden ia dezelfde order van Z afgereekend zyn , als in het voorgaande Voorftel, zal ON de Zons Azimuth zyn, en de Wnarneeming zal voor den middag geicnied zyn: want verlengende de fchaduwlyn tot O, zal L ZAO = L BAN zyn , welke L ZAO de Zons Azimuth vóór den middag is , en deeze is gelyk aan den boog ZCN — Boog ZC ~ IH09 — 164° = i6°~dcnboogZO,deZons^zfm«f/j. Derhalven is nu bekend, i°- de JNoorder-Breedte 530 43'(Vsora. Voorftel). 2°. de Zons hoogte 45°22' (gevonden, én 30. de Zons Azimuth van het Zuiden tot het Oosten 16°: dus zal kunnen gevonden worden 10. de Zons Uurhoek, en 20- derzelver Declinatie op den tyd der Waarneeming, waar door aan den eisch der Vraag zal voldaan worden. Laat, om tot dit oogmerk te geraaken, de Cirkel ZTNQ (Fig. 091 den Middag-Cirkel, T het toppunt , ZN den Horizon, PN de Noorder-Breedte des Waar»  H6 ONTBINDINGEN Waarneemers verbeelden. LE zy de Linie, die den Horizon in O hec Ooscen fnydt, en CSD de Zons evenwydige Cirkel, die zy op den dag der Waarneeming befchryft. Stel de Zon ten tyde der Waarneeming in S te zyn, dan van T en P door S, het middelpunt der Zon, de vercicaal- en Declinatie Cirkels TH en PB, die den Horizon in H en de Linie in B fnyden , getrokken hebbende, zyn in den Klootfchen Driehoek PST bekend , i- den hoek P T S het Sup. p/ement van de Zons Azimuth 164°. 20. de zyde TS, het Complement van de Zons hoogte 440 38', en 3°de zyde TP, het Complement van de Noorder Breedte 36° 47*; men zal dus in denzelven kunnen vinden: i°- den Z.SPP den Uurhoek der Zon, en 20. de zyde PS, het Complement der Zons Declinatie, ten tyde der Waarneeming. 10. Zeg ik zal men den hoek P kunnen vinden. Zy PTS de Klootfche Driehoek, waar van P moet gevonden worden. Trek uit S den Perpendiculair AS, die buiten den Driehoek valt, om dat L Tftomp is'j dan heeft men eerst om AT te vinden Cof.LT : Rad. :: Cot. ST : Col. AT 10,0055587 10,0000000 20,0055587. 2,9828416 10,0227171. Cot. 430 30'— AT 36°47'- PT 8o°i71-AP Hier door wordt de L P gevonden , door deezen Régel Sin,  der VOORSTELLEN, enz. 117, Sin. AT : Sin. AP :: Cot. LT : Cot. /LP. 10.5425036 9,9937247 20,5362283 9.8378122 10,6984161 Log. Cot. 11° 19' \ — LP den Uurhoek der Zonne voor den Middag , welke van graaden in tyd overgebragt, geeft 45* voor den Middag, dat is ten 11 uuren 15' Voormiddag dat de Waarneeming gefchiedde. ao. Zal de zyde PS bepaald worden door deezen Régel, Sin. L P : Sin. LT :: Sin. S T : Sin, PS. 9.8466879 9.4403381 19.2870260 9.2927685 9-994»575^g.Sin.van 80° 42'nPS Maar 90° ~ PB Dus de 0 Declin. ten tydeder Waarn. 90 18' Dus hebben wy gevonden de Zons Declinatie te zyn 8° 27', en den tyd der Waarneeming 's morgens ten 11 uur 15'. Die te vinden waren. XXXXIX,  SlS ONTBINDINGEN XXXIX. VOORSTEL. Door den Opceever en J. te Veltrup. Stel het kleinfte getai — * — y en het grootfte . . — x -f- y Alzoo hun fom . . zz ax en hun ProduEt . . zz x* —y*. Derhalven is x* _^2*—2*-^+L een /Vonfogetal, Neem den Pronic- wortel hier van zza*; dan is a* - a zz 6 een Pronk -getal Komt ar: 3, ena* — 9 de Pr, wortel; alzoo 9x9-1-9 — 90 het eerfte Pr. getal. Dat is x* — zx —31" -j- 1 -— 90 Of **. — aa; — j> —- s0 —•* ' Vervolgens is x—y = x'—2xy -f. y* ar+ji = -f aa;y + 31= Som — 2x " verg. Komt 2xa -f» 2» + aya:r; 242 2 ü 1 ■ ... - —— X*+ X + J4^I2I boven *a —» 2» — 31* r: 89 ■ — ■——— verg. a*a — * •—; aio Komt x zzzz 103 Dus  der VOORSTELLEN, enz. tig Dus-v* —y» — 2*= 89* «-31* = 89 of y2 Z7. : t Alzo de getallen s-yen x + yzz loen n. ANDERS. Ztoor j. de Gelder, waar mede J. van der Oort, C. Breevilt, J. Scheffer, J. Pauw, J. van Twisk, en K. Aker. overeenkomen. Stel den Pronik - Wortel , welke één meer moet zyn dan het verfchil van het Produel, en de fom der gezochte getallen , gelyk aan v4-rv»: dan is i>a — v~6 , gelyk het Pronik-getal, wiens wortel 2 is; derhalven v* — VZZ6, en V — v-f £~ 6*, waar uit v — iZZi, of VZT3, en yt-fr-v' ~8i + 9 —90. Stel, na dit bepaald te hebben, voor de gezochte getallen x en y j dan hebben wy deeze Vergelykingen, -r y2 -4- x -1-31 — 242 2*y — 2*-231 ri78z: 2x90-1 (fep.) —— 1 (add, Komt *a -j-2*3-+ya—a;+y =420 Dus x^+zxy+y*—x+y+lZZ 4ao| V —— — Komt « + 31—| =20s Der.  120 ONTBINDINGEN Derhalven *+31:120 en xyzz 178-f-tf + yr: 110: Ook x^+y^zz*^—x—3/~242—21ZZ221 ixy ZZ 220 — (afg. Komt x1 — 2*y -F 31* ~ 1 Dus # —yZZ 1 Maar a;+ 31=21, gevonden Dus 2x ~22, x— 11 of zy _ao , 3>~io de begeerde getallen. Dat te vinden was. XL. VOORSTEL. Fig. 29. Door J. de Gelder , J. van der Oort, C. Breevilt, J. Scheffer, J. van Twist, K. Aker, en den Opgéever. Laat A de plaats zyn, van waar de drie Scheepen, volgens deCourfen AB, AD en AC, zeilen, die mee elkander gelyke hoeken BAD en DAC maaken. Zy BDC een gedeelte van den evenwydigen Cirkel des Aardkloots, waar zy zich weder op gelyke Breedte bevinden. Wy zullen den Driehoek ABC als eenen rechtlynigen befchouwen, dewyl zulks in de rekening weinig verfchil geeven zal. Om  ber VOORSTELLEN, Enz. xhï Om dat AD den hoek A midden door deelt, is BD : DC :: AB : AC Deth. JBD -t-DC : AB +AC:: BD. AB:; DC: AC 16 + a4 ! 80 siicT: AB;: 24 : AC Waar door men verkrygt AB~32, enBC~48. Èindelyk isAD - AB, AC - BD x OC =: 32 x 48 -* 16 x 24 = 1152. Derhalven AD=33.9. Ëndus heeft B, 32, D, 33. 9 en C, 48 Mylen gezeik* Dat te vinden was* XLL VOORSTEL. Fig. 30. Boor C. Breevilt , en J. Scheffers waar mede de Opgeever, J. te Veltrup , ], de Gelder, J. Pauw, J. van der Oort, J. Visser , K. Aker , en Ja van Twisk overéénkomen. LEMMA. De Diameier eens Cirkels, in eenen gelykzydigeri Driehoek befchreeven, ftaat toe een zyde des Drie^ hoeks als 1/3 tot 3. Want AB + BC -h AC of 3AC:BD:: AC: DF. ~Dus 3DF = BD. I Maaf  222 ONTBINDINGEN Maat BTJr'AÏr-AlTz:2^-Xü i^mT Derhalven BDz: AD1/3 Of 3^Fz:ADi/3 3 DE- ACi/3~* No is DE s= f/24300— 901/3 3DE 3= AC1/3 *1CV$ * t/3 —- ~ — ACz:a7o. Dat te vinden was» XLII. VOORSTEL, Door de Opgeevers. Stel de Getallen 'zt x, y, z, u, v, enz. en derzelver fom zz p. Danis x-by+z+u + v-\-enz.zzp x -Ky + |z+ |ö + |v+enz.z:fi TsX-Yy-r iz-'-ïlu-Viv-srQnz.zza , *4x-Ir $y + z + \u■+ \v-f-enz.zza ?x t- iy + f z u -!-f v -!- enz. ~a Indien wy nu ieder volgende Vergelyking van de eerfte aftrekken Dan is f —a en zo vervolgens. Hiei  der VOORSTELLEN, estz. Mf Hier door is y+z + a-{-v-henz.=:2 Xp — a a'+ . : z-l-a + v + eDz.= iixp — a x-t-y+. . « + v + enz.=:ifxp —« ^-I-J + Xt ♦ • v + enz. = iixp —« en zo vervolgens. ' j ' verg. Komt n-ixx + y + z + u + v-'renz. = 2-r- ij-r- If + IJ + enz. xp-a. Of, Rellende 2 -h u + i| + 1$ -f enz. tot n Termen = n—iXx+y+z+u-ï-v+ènz. = bxp—a» bxp—a af+y+z+M+v+enz. r= •—— n—i bxp—a Derh. p '—1 —— n-j • -— k-I n-xxpZZbxp-a bp-n—\xpZZha b-n-l ■ ■ ■——— ia I 2 / Derc,  ï24 ONTBINDINGEN ba Derh.a:+y-!-2:+M + v + eDz.r: ■» b-n-i 2X»-IXS y+z+M-r-v+M=2X/-a'y+z+«+v+enz.= b-n-i ' afg. Z>-2xn-ixa &-B-I fc-riXB-ixa Op'gelyke wyze y . . . ■ b-n-i _J>-ifxn-ixa b-n-i b-iixn-ixa __i-IfXB-IXfl b—n—v en zo vervolgens. Zo nu gegeeven is nzza, danis24- 11=31. 35-2x0 _ 31 __35-ifxa 4a ~~ 3ir'i 5 * 3r»i 5 Gegeeven nZzs, danis bzz2-{-ü+ if=4l« Da?  dbr VOORSTELLEN, enz. 125 4§a—4Xfl 5* 4»a—3X« 1™ Dasx=;i n~ —, y— 1 ——, en 4l—a 17 41—2 17 4|a—2fxa 13a 4? —2 17 Gegeeven «—4; danis6~2+il-hif+ixr:6^; ^ ófsa —6xo_ o . 6T'ra-4|xa 19a 6lr—3 37' 6}z — 3 37 6^—4x3 25a 6Tïfl-3|xa 28a ~* 6ïï-3 37' 6^-3 37 En zo vervolgens. ANDERS. Door J. de Gelder. Stel voor de begeerde getallen p, q, r, s,t enz. tot » getallen, en derzelver fom S : dan is p-'r^xq + r-i-s-rt-r- enz. ~ a q 4- f Xp 4- r 4- s 4-f 4- enz. zz a r+ixp-hq + s + t + enz.zza s 4- ixp +q + r + t + enz.=a 14- \ xp 4- 3 4- r 4- f 4- enz. zza enz. tot n Vergelykingen. 1 3 Der.  X26 ONTBINDINGEN Derhalven is 1S==a—ïp, of S==2^—p(H) , fS = « —f^f, S = 3a — 2q. ?S=a—S=43—3*-. |S=a —S rzr 5a — 4x. |Sr=a—ff, S=6a—jï. enz. enz. Uit deeze Vergelykingen kunnen nu de waarden vanp, q, r enz. in waarden bepaald worden, die alleen in de onbekende S , met bekenden beftaan; want sa-S - ; ■ s 1 _3a-S 2 3 Sa-S 4 6*-S ö £ 5"- . , , e°z« tot zoo veele onbekende groot* beden, als er te vinden zyn; indien dus S bekend wordt, zyn de getallen gevonden. Laaten nu, om S te vinden, de Vergelykingen (A) met b, c, d,e enz. vermeenigvuldigd worden: dan heeft men deeze volgende  der VOORSTELLEN, enz. i2? 1>S zz *ha — bp cS ZZ 3ca — 2 cf dS zz 4,da — %dr eS ZZ %ea — nes fS ZZ 6fa - s/x enz. Nu merk ik aan, dat zoo in deeze Vergelykingen h-2C-3d~ 2X* — X ~ 2il 200 2X3 + 40lX* -'r iOOX — 200** — IOOX — 468 Of 2X* -f-** —468=0 x—-2\- 48011,2,3,4,5,6,8.10.12 enz. f 8 x--\ -460 1,7,37,469enz. h xzz o -468 1,2.3-4.6.9enz. \6deProgresfie xzz 1 -46)- i,3,v,i5-3ienz. 15 xzz 2|-448|i,2,4,8enz. I4 Dus is k=6 , het Capitaal 650 Ryksd., en hec Per Cento 5. Dat te vinden was. XL VIII.  m ONTBINDINGEN XL VIII. VOO R S T E L. Boor den Opgeever, J. te Veltrup, J. van DER ÜORT, c» j. DE GeIDEK, Vermits het getal der Roeden, dat de lengte aan. duidt, met een o eindigt, zo moet volgen, dat het getal der Roeden, die het Land groot is, ook met een nul eindigen zal 5 derhalven O = o. Nu is volgens het Voorftel A + 3 = Q.> €-0—i Of Aj-3-C+i T -f- d. Noem nu R de Radius der Aarde , x de hoogte des Bergs; dan zyn , ( de lengte der flingerroede dezelfde blyvende,) de zwaarte-kracht,- waar door de flinger aangedaan wordt, als het vierkant der iiinfertyd inverfè, maar de zwaarte-kracht is als hec quadraat des alftands van. het Middelpunt, indjen men onderfielt, dat de Aardkloot in al de^zelP; deelen ccneclyke dichtheid -ebbe; (p.r Xewt. Pfinc: Math; prop. 3 libr. 3 de Syftem. Munai); dus zyn de vierkanten den fliDgertyden als dé vierkanten der afitanden van hec middelpunt, of R»:(R+K)*::Ta: (T-l-d)* dus R : R + x ::T : T + d en dhidendo x : d :: K : T waar door x z: —xR de hoogte des Bergs. Q. E. I. Dit is eene algemeene Formula , waar door de hoogte des Bergs bekend wordt; zoo dra T, d en R in getallen gegeeven zyn. Wanneer men, om de deeling der getallen te vermyden, van de Logarithmi wil gebruik maaken, is Log. x = Log. d + Log. R — Log. T,- óf--— 3 maakende Log. x =~ Log. R — Log. q. In ons tegenwoordig geval is gegeeven Rzzt 15685078 Franfche Voeten, T = 24 uuren, één etmaal, of d 1 • 1 1440', en d — 2'; dus — z:— = — j by gevolg T 720 q q = 720; na is m K» - Log,  149 ONTBINDINGEN Log. R = 7, 2941591 Log. q zzzzz 2, 8573325 Log. x ZZZZ 4» 3368266 Leg. van 27341,775 Franfche Roeden voor de hoogte des Bergs; maar eene Myl heeft of houdt 22812 Franfche Voeten naby, dus x zz 1,199 Myl, waar van 'er 15 in eeu Graad gaan , of zeer naby if Hollandfche uurea gaans. Dat te vinden was* L. VOORSTEL. Door den Opgeever. Twee gevallen komen hier in aanmerking, welke wy afzonderlyk zullen verhandelen. i°. Om de gegeevene Equatie te veranderen in eene andere, waar m p q r van de wortel y ZZ x + a x + b x -{-cx + dxs -f enz. + e zy. 2° Dezelve te veranderen in l eene andere, waar in de wortel zy y = — (* -{- p q r s p. ax -\-bx + cx -f- dx +enz.-fe) Het eerfte geval, als het eenvoudigfte, en het tweede daar uit kunnende afgeleid worden, zullen wy in de eerfte plaats behandelen. . - „ Stel ten dien einde in de gegeevene Equatie « — Aa;«—1 + enz. S de fom der Wortelen, S' de fom derzelver Vierkanten, S" de fomderCuben, S"'defomder yierde Magtcnenz.; dan is volgens het Theorema, be« wee^  eer VOORSTELLEN, enz. 141 weezen in de oplosfiog van het 248 Voorftel der Tweede Verzameling van Mathematifche en andere Voor» ftellen. S = A. S* = -2B + AS; S" r= 3C —BS + AS' S"' = -4 D+CS-BS'* AS" S"" = jE-DS-f- CS^BS/'+AS'" S"*"= -6F -j-ES -DS' + CS"-BS,"-f.AS'"V enz. enz. Deeze fommen zullen derhalven uit de Coëfficiënten A, B, C, D, E, enz. van de gegeevene Equatie n » — 1 n — 2 x — Ax ~\-Bx + enz. =0, in getallen opgegeeven zynde , bekend worden. Hec zal noodig zyn de fommen door rekening zoo ver ce zoeken, als het Produel; van n met 1», die ik de hoogde m p Exponent in de gegeevene Funtltie x + ax +enz. onderftelle, eenhéden in zich bevat. Het welk door de volgende redeneering klaar blyken zal. Stel nu P, Q, R, S, T enz., de Wortelen der n n— 1 b — 2 gegeevene Equatie x — Ax -f-Bx + enz,, — o te zvn; dan heeft mm, door voor x in de gegeevene Funclie agtervolgens de waarden te plaat fen, m p q r s i°.P +aP +b? +cP +dP -|-enz. + e(M) m p q r s Q +a£ +*<8, -t"c£ +dQ +enz.+# m p q r s R -f-aR +bR +cR +dR +enz.-{-tf K3  Ï42 ONTBINDINGEN !« p q r x S -j_aS + &S -}-cS + dS 4-enz.4-« m p q r s T -MT + bT +cT +dT +enz, + e enz» Dit voortgezet zynde tot zoo veèl Wortelen, als de gegeevene Equatie in zich Bevat, heeft n rnen de Wortelen der gezochte Equatie y —- tl — l 11-2 fZ-3 A'y + B'y - C'y -r-enz.~o. - »» p ? 2°. Verheffende nu y -f- *• -'r ai -b -1- 2 2» enz. tot de tweede Magt, heeft men y* = % .. -rf P + ? V. 2 a 6 x + enz. -f- e*. In deeze inatfte Vergelvking voor x dészelfs waarden P, Q, R, S, T plaacfende, heeft men. 2 m m+p 2p m-'rq (N; p ,42a? +o*p. /- p-l-fl a ? V.+2a6P + £2P +enz. + e» im m-\-p 2p m + q Q +aaq +aaQ +26Q + .... V2a&Q -f-t'Q rl-enz. + «» SSl W2+p 2p wz-!-? R -!-.2flR +aaR -f-aóR +•••• f p-H *q +**R -fenz.+c2 2e? 8  cer VOORSTELLEN, enz. 143 S -h2tfS +a2S H-2&S rr- • ..• 2a&S -l-i'S -!-euz.4-«l. 2^J m+p ip m+q T -i-2aT + a*T +2^T -h.... z' P + 2 -2 9 V2a6T -l-fc'T + enz. + e*. enz. enz. Dit wederom voortgezet zynde tot zoo veel Wor- telen, als 'er'in de gegeevene Equatie x — ... «—2 n—i A x -f Bi —enz. = 5) zyn, heeft men de tweede mügten der Wortelen in de gezochte Equatie Tl n — 2. «—3 n—\ y —A-'y + By -Cy +enz.^o. m p 3. Verheffende de Equatie yZZx -{-ax + enz. 3?k 4. e tot de derde magt, heeft men y3 =x +.. ♦ 2 m+p m + 7p 3p Sax +3aax + a*x + enz.-!-es; en fubfliiueerende voor x deszelfs waarden P, Q, R, 5, T enz. heeft men, „3»» 2jb + p m + 2p 3p (P). P +3«P +3aaP (+enz. +es» 3 w» K4 Q.  ,44 ONTBINDINGEN 3» ato+p m + ip 3* C+enzt-r-e1» 3?» &m+p m + 2p 3p R -r-3aR +3aaR +asR (+enz. -re', 37» 2jn-f-p m+ap 3p S -HaS +3flflS + a* S (4. enz. 4- e*. 3» 2»n+p m+2p ZP T +3flT +3«flT +a»T (4- enz. -Hs« enz, enz; Deeze uitdrukkingen zyn wederom gelyk de Cu« n ben der Wortelen yan dè gezochte Equatie y -* 72—1 71 — 2 M,"~3 A'y 4- E'y -*Cy ' -r-enz..» o. m Op dezelfde wyze voortgaande, met y ZZ x -f enz» tot de vierde, vyfde, zesde, enz. magten te verheffen, zal men de waarden der vierde , vyfde, #nz. magten van de Wortelen der gezochte Equatie kunnen vinden. Elk ziet ondertusfchen , dat dit zoo ver zal moeten voortgezet worden, als n eenheden in zich bevat. Ik merk nu aan, dat zoo van de gezochte Equatie n n—i n—2 y — A'y 4-B'y — enz. ss o, de fom der Wortelen, de fom van derzelver tweede magten, die van de derde magten enz. konden bepaald wordens de Coëfficiënten A', B', Cf enz. van de gezochte Eqiick  der VOORSTELLEN, enz,' 145 n n—1 Equatie y —A'y enz. =ro door het voo- ren aangehaalde Theorema, bekend kunnen worden, en dus ook de gezochte Equatie zelve. Dit oogmerk zyn wy in Raat te bereiken, door middel van het geen wy flraks bepaalden, üit de Vergelykingen (M) zie ik, dat van de gezochte Equatie de fom der Wortelen gelyk is aan de fom de de der m magten, plus a maal de fom der magten, de plus b maal de fom der q magten, plus c maal de de de fom der r magten , plus d maal de fom der s magten van de gegeevene Equatie, plus n maal hee ledige getal e, dan deeze fommen zyn, gelyk vooren aangetoond is, bekend: de fom der Wortelen in n n—i n—a de gezochte Equatie y -Ayy +B'y enz.=o zyn dan meede bekend. In de Equatien N is de fom der Vierkanten van de n n — i Wortelen der gezochte Equatie y — A'y + . .. 72 — 2 71-3 B'y --Cy + enz, = o, gelyk aan de fom der de , ——de a m magten, plus 2 a maal de fom der m -\- p magten, plus enz. van de Wortelen der gegeevene 71 71 - I Equatie «—Ar + enz. zz o, en dan nog n maal het Quadraat van het ledige getal e. IC 5 &  146 ONTBINDINGEN In de Equatien P is de fora van de derde magten de der gezochte Equatie gelyk aan de fom der 3?» magten -f- enz. van de gegeevene Equatie, plus nog n maai de derde m3gt van het ledige getal e. ■ De redeneering op dezelfde wyze voortzettendeziet men, dat de fom der eerfte, tweede, derde, vierde magten enz. van de Wortelen der gezochte Equatie bekend zyn, en tevens de reden, waarom van ae gegeevene Equatie de fommen der agtervolgende magten vac haare Worels zoo ver moeten bepaald worden , als n x m eenheden in zich bevat. Noemende nu de fommen der ie, ae, 5e, 4e enz. magten van de gezochte Equaties, s', s", s"'.ft enz.: dan is door het hier te vooren aangehaalde Theorema. A' ZZ s ^ A's — s' a B' s - A' -f- s' C zz 3 C' s — B' s' -f. A' s" - s>" 4 enz. waar door dan A', B', C', D', de Coëfficiënten der Termen van de grootfte Equatie , bekend worden , zoo dra men s, s', s" t s™, s"" enz. in getallen bepaald heeft. De  der VOORSTELLEN, enz. i47 De bplosfing van het eerfte geval hu algemeen aangetoond hebbende, zullen wy dezelve op een Voor* beeld toepasfen. VOORBEELD, Gegeeven 'zynde x3 — 3 x* 4- 6 se— 10 = o. Verandert die z§ een andere Cubik-Equatie, doch zonder eenige Radtce dadelyk te ontdekken; de Radice zy y, en zal zyn y — xs + 6 x x -;- 8 x -f. 4. De vraag is hos men de Ontbinding moet inrichten, en welke de begeerd^ Equatie zy ( * ) ? n 72 — 1 De gegeevene Equatie met x -As -}-... 72-a ' n;—2 Ex - Cx + enz rrovergelykende, heeft men 72 —rj, AZ3, BZ6, C~ 10; hier is de gegeevene Fun'Stie y — x3 + 6*1 -f- 8 * 4- 4, en de gezochte 'Equatie y3 — A V + By — C=o. S =A=3. S' ~ AS —2B-3X 3-2X6=: —3. S>' =3C-BS-!-AS'-3x10-6x3-3x3 = 3. S>,W=CS- BS' + AS"= 3 X 10 + 6 -!-3 x 3=57. S""r_CS»-BS"+AS"'=iox 3-6 x 3+3 • • • • (X57 = i23' $11 nj (*) N. 202 Halkests Zinnen-CenfeS.  14* ONTBINDINGEN S*"' = CS"-BSV' + AS"<' = iox 3-6 X 57+3 (x 123=57. S!T = CS- — BST+ASr = iox 57- 6x 1^3 S'-^CS'/^-BS^'-i-ASrr= 10xia3 -65x ^+3 C x 3 = 897. ST^CST-BS'^+ASr^iOXS? -6x3+3 (X 897 =3243. de Dit wordt voortgezet tot de fom der 9 maften om dat het Product van 3, de hoogde Exponent van de gegeevene Vergelyking, met 3, de hoogfte Exponent in de gegeevene Funftie, negen eenheden ia zich bevat. Voorts is y =a;, 4-6*a -!-8#-f-4 j» = **+ ia x'-h 52 x* + 104 **+ 112 »* + 64 * y x9 +18 x8 + 132 »r + 516 X6 + 12Q0 x, A'H (*) Welle uit de waardens van y', y3, even als in de algemeene Oplosikg is aangtroond, afgeleid worden. Eindelyk door het bekende Theorema.  oer VOORSTELLEN, enz. 149 AJ ~j-— ar. A'j — f4' 21x21-4713 4272 2 a 2 c> B'r-AY+f" 3 — 2136 X2i-aiX47I3-!- 3OI34l . -e 52504. 3 en derhalven is de begeerde Equatie ys — 21 y* - 2i3<5y — 52504 = o. Dit voorbeeld, dat het 202 Voorftel van Hae.kens Zinnen - Confetï is, kan ook nog wel anders door eene byzondere Kunstgreep worden opgelost, gelyk in Pansers Mathematifche Rariteitkamer te zien is. Deeze aangehaalde Oplosftng is zeer kunftig; maar mist het algemeene van de voorgaande. Meer voorbeelden zou ik hier kunnen bybrengen, welke door geen byzondere Kunstgreep anders, dan door deeze algemeene Oplosüng, gevonden kunnen werden: Maar de kortheid van myn beftek gebiedc my dezelve agterweeg te laatcn. Ik zal liever in het korte aan toonen, welke byzondere leer wyzen uit deeze algemeene Oplosfing kunnen afgeleid worden. i°. De Wortelen eener gegeevene vergelyking kunnen door dezelve met een zeker getal verhoogd of verlaagd worden: fchoon de gewoone Leerwyze, welke men daar toe te werk fielt, korter en fraaier is. 20. Eene Equatie gegeeven zynde, kan men eere andere Equatie van dezelfde magt vinden, zoodanig , dat de Wortelen der gezogte Equatie de geflagten zyn der Poligonaal- getallen, wier Wortels de Wortelen van de gegeevene Equatie zyn. In  i$o Ö N T B I N D I N G È N - In myne Oplosiingen van Voorftel 243 en 244 van het tweede Deel der Kunstoefeningen heb ik het Genootfchap de navolgende Fornmta voor de oneindige geflagten det'Polygonaalen TrredeBedeeld, Naamelyk m de Wortel vaD een PSlygonaal-getal zynde, 71 de naam des Veelhoeks, dan worden dê achtereenvolgende- geflagten der - Polygonaal - getallen door de volgende Formules uitgedrukt. n—a «-4 . 2 2 'n — 2 '772.772 + 1. 2m-'r 1 «-4»,ji-(-i - - " 2 '1.2.3' " 2 i . 2 ; ( Ti — a m.m + i. m-{-2 B-4 m. 771 + 1.772+2 2 i.2.23 a i.2.3 72—2 772. 77J+ I . 7K + 2 . 772 + 3 . 2 7» + 3 72-4 2 I.2.3. 4. 5 * ^* WJ 772 + ï ., 772 + 1 '. 772 +3 1.2.3.4 «-2. 77J . 772 + I . 772 + 2 ..7?J-r 3 . 772+4 - «—4 5 2 i . 2 . 3.34 . 5 2 ^ 772 . 772 + 1 . 7»+2' . 772 + 3 • ^ + 4 1.2.3. 4-5 en». ad rei-'jiy 77 «o -»• •' - •■• " - • - •'• v 1 ' ' Elk  der VOORSTELLEN, enz, x$t Elk ziet ligt, dat deeze Formules , zoo dra n in getallen is opgegeeven , tot het nu opgeloste gevnl behooren , of daar toe gebragt worden. Om dit met Voorbeelden pptehelderqh is iets , dat ik voor mytien leezeran overlaat. 3. Door deeze algemeene Oplosfing , kan men eene gegeevene Equatie in eene andere van dezelfde magt veranderen ; zoodanig , dat de Wortelen der gezogte Equatie eene zekere magt van de Wortelen der gegeevene Equatie zyn. Het eerfte geval van de voorgeftelde algemeene Vraag opgelost hebbende," volgt het tweedi van zei. ve. Men heeft flegts i°. de Wortelen der gegee„ n n — 1 ra— a 12 — 3 vene Equatie x —Ax +Bx -Cx enz. ~o zoodanig te veranderen , daty, deWorn n — 1 ra - 2 tel der gezóchte Equatie y —A'y + 13'y ra — 3 m p q — Cy +enz. = 0, aan # -\-ax +bx [ r s sx -Ardx + enz. -\-e gelyk zy, gelyk in het eerfle geval aangetoond is: a°. Volgens de derde Leerwy- n ze, uit het eerfte geval afgeleid, de Equatie y - ... n— 1 ra-a n-3 A'y -f-By -C y -h enz. ■+■=0 bekent! n hebbende, dezelve in eene andere Equatie z -..« ra— 1 ra-a «-3 A"z +E''z -C'z -f-enz. =ote verande-

ER VOORSTELLEN, enz, LL VOORSTEL. Door A. Vrver, waar mede de Opoeevers en j. de Gelder overeenkomen. Steld voor de begeerde, getallen x en y Dan (laat, volgens 't Voorftel, x-by : x*+y* :: p:q q . x + y Zpx^+ys %+y — q-p.zx-xy+yy ~ rzxx~xy+yy -jL. __ > ca ' q 'V xyn— ~xx +yy P enx+ y- xs +ys p:? r.x-ty zz p.X5+yT X+y _ __ ; T—p. X*—x3y+x2y*—Xy*-t-y~* r ~ — x*—x 'y-i-xzy * — xy* +y* p x*y*zz _x2y'__ X'y'+- —X+-X,yi-2x,y*-xys-ry* L je  t54 ONTBINDINGEN. - zzxx -xy + yy - 1 — p px'y'-r-r 3 ü * 5 r — x*yt—xy zz— -. Een vierk, JEquatie. q P ü p_ f q qq r x*y* xyzz — p pp p p - pp x> a lx +iï l-L. T P P PP P V ~zzziz— \q_ + *\qq r p pp p ie-*. ii?f- r xyzz V • P PP P Twee onderfcheidene uitkomften voor 'c vermenig* vuldigde der twee getallen, zullende men 't Voorftel van een dubbeld beïloit vinden. Stel*  fcÈR VOORSTELLEN, enz, 153 gemuit, der getallen, of *y.~r x 3xy ZZ2t 3 q xx —xy+yy zz<- boven gevonden, P - 2 P 1/ — ■ —j _ _ P p xy =s x «a-a^ + yyr * P 1/ 1 . - - 1— q '  156 ONTBINDINGEN i jr+y = l/— + 3* P <1 x—y=V x P -. ~q "1 zxZZf/—h3 * + ✓ 5 P JP_ 4 % zy~\/—h'-V—s v P ~T~~ q V—-'r3 S — V s p p xzz ~— 1—— en . 2 ~q 1 ✓ - + 3 s-V — -s P P ry- de getallen. 2 p — \ >qzz 19, en szz 15, dan zyn de getallen 5en 3. Maar neemt men SZZ4, dan zyn de begeerde getallen V l\ +V 3t e13 V 7| - ^ 3?' De beide antwoorden voldoen aan de proef. LII. VOOR.  der VO.ORSTELLEN, ehz. 157 Lil. VOORSTEL. Fig. 33. Door A. Vryer, J. deGelder, J. van der Oort, C. Breevilt, K. Aker, j. van Twisk, J. Scheffer, en de Opgeever. Uit het Centrum is A B perpend. op D C getrokken , makende DB = BE. Volgens 'c ge volg van 36 t. lil. Euclid. is de D NCZ = O DCE= 216 DC 20 Kt. CE io| CD ao DE 9f 2 1 ergo DB^Bü; 4|. AZ 5 AE 15 O AE 225 □ BE 21 f? □ AB 203|f l/—— ■ AB 1/203 ff. Om de gelykformighéid der Driehoeken ABC en DCH, Raat nu AC : AB :: DC : DH of 21 :i/ac3jj:;ao; DH komt DH ï/i34| ZZ 2f j/ 26. L 3" LUI. VOOR»  IJS ONTBINDINGEN LUI. VOORSTEL. Fig. 33. Door A. Vryer, J. van dru Oort, j. de Gelder, J. Scheffer, J. van Twisk, C Breevilt, K. Aker, en de Op. g e e v e r. Nu is gegeeven CD = 15, CE = 8, en DH = 9, Men moet vinden de Diameter NZ, en het verlengde CZ° BDC 225 __DH 8r □ HC~44~ HC ia HC : DH :: BC : AB Of 12 : 9 :: 11* : AB kt. ~AB™8§ ' lTab'tTS V □ BE 12 | D AE 86|1 ' — . L._ AE = AZ^86§J Dus de Diameter N Z 3 2!/86§£ =|/34<5 DC 15 CE 8 DE? BE  der VOORSTELLEN, enz. 159 BE 3} CE 8 BC nT HC : DC :: BC : AC of 12 : ij :: 11* : AC^ kt. AC 14! AZ t/5i6JJ < — fub. nf-V/5545' rest ZCZZ 14J —i/86^Jzz — 8 LIV. VOORSTEL. Alle de Ontbindingen, naamelyk die van J. d e Gelder , K. Aker , J. van Twisk, en J. V1 ss er , welke ons van dit Voorftel ter hand gekomen zyn, ftemmen daar in overeen , dat hetzelve zuiver Arithmeticè, zonder behulp van eenen uit de Algebra afgeleiden Regel, onmogelyk opgelost kan worden. Daar wy nu met hun in 't zelfde gevoelen ftaan, zal het niet ondienftig zyn de volgende Aanmerking van den Heer J. de Gelder, benevens deszelfs AlgebraVfche Oplosfmg van dit Voorftel, hier nog by te voegen. AANMERKING. Na dat wy dit Voorftel aandachtig onderzocht nebben, is het ons gebleeken, dat hetzelve niet door Arithmetka (onder welke kundigheid ik onderftel gf mcene Rekenkunde verftaan te worden) kan ontbonden worden, zonder toevlugt te neemen tot onderftellingen, die niet uit de natuur der Vraag, L 4 maar  lf*c ONTBIK D INGEN maar wél uit derzelver Jlelkundige Oplosfing afgeleid zyn. Wanneer wy zeggen een Voorftel door Arithmetica te ontbinden,, verftaan wy daar door de gewoone regulen der zuivere Rékenkunde, als Additie. SubJiraSiie, enz. den Regel van Drieën. vanVyven. en de omgekeerde, den Ketting - Regel en ae Leerwyze der valfche Pofiticn optqlositn. —— Indien wy by deeze bepaaling biyven — bepaaling, die wy als natuurlyk en overëenkomftig met het denkbeeld van gemeene, zuivere Rekenkunde befchouwen, zal by weinig onderzoek blyken, dat geene deezer Regelen ons in ftaat ftellen , om da voorgefttlde Vraag optelosfen. — Het laatfte hulpmiddel, dat ons overig zou biyven ■ is de Leerwyze der valfche Pojitien; dan, wien is niet bewust, dat deeze Leerwyze alleen toepasfelyk is op dat foort van Voorrieden , waar in de onbekende of gezochte grootheid in de Helkundige Oplosfing Hechts tpt de éerife magc opklimt Behoorde nu ons Voorftel tot'den rang van die Prob'emata , dan bleef 'er geen' zwarigheid over, om aan den eisch van den Heer Opgeever te voldoen ; maar r,u hetzelve tot dien rang niet kan gebragt worden , dewyl men natuuriyk (hoe men ook de Oplosfing moge inriqnten) tot eene Vergelyking van de cweede magt vervalt 9 maaken wy geen zvvaarigheid , hetzelve op de volgende wyze te ontbinden. OP, (*) Zie hetgeen de Geleerde Heer J. J. Biafiere in zyne Grondbeginz. der Hek nk. pag. 268 in de noot met kprte woorden over die onderwerp zegt : zyn gevosiers daar omtrent is volmaakt hrt myne. —rj- Wy zullen misfchien by eene nadere gelegenheid den grond, waar op de Regel der valfche Pofitten (leunt, met de Kenmerken t&r Vraagen. , die door 'denzelven al of niet kunnen ons gelost worden, het Genootfchap mededeélen,  der VOORSTELLEN, enz. i6i O P L O S S I N G. i Steen : i2Stcen 7Guld. uitverkocht: 7 x 12 = 84 Guldens, waar voor de Vrouw de 12 Steen , Vlas uitverkocht heeft.. Stel nu den inkoop ac Guldens, dan is 36 Daald. ( =* 54 Gl.) : x Guld. :: { x Winst: afï x f zz de Winst, gedaan met de * GuN dens inkoop, xl Derhalven — -+ * in: S4 432 x* -+43a* Z2 36288 46656 — 46656 ac* + 432 x 4- 46656 = 82944 Hier door X+21G 3 288 dus xZZ2ÜÜ — 216 ZZ71 Guldens, de (12 Steen'ingekocht. EMelyk 12 Steen : 1 Steen :: 72 Guld. : ?| = 6 (Guldens, de Steen ingekocht. Hat te vinden was» t 5 LV.VOOR-  162 ONTBINDINGEN LV. VOORSTEL. Fig. 34. Door A. Vryer, waar mede de Opoeever, J. Scheffer, C. Breevilt,en J. van Twi sr overeenkomen. De voorgeftelde Driehoek zy ABC. Wy merken de zyde A B aan als de langde , en A C als de kortfte des Driehoeks, zynde dus L C (het zy fcherp of plomp) meer, en de ^LB min dan 6o°. De halve middenlyn des ingefchreeven ronds gemuit. met de omtrek des Ar of fom der zyden, is gelyk met het vermenigvuldigde van den perpend. CD met de zyde AB; ieder namelyk gelyk de dubbelde inhoud des Driehoeks, dus is CD x ABzzzab. Het deel ACD des gegeevenen Driehoeks kan men aanmerken als de helft eenes gelykzydigen Driehoeks, dewyl L A gegeeven is zz 60°. Hierom is dan AB- i AC. Stel AC zz 2 x, dan is AD =: x. en men vind voor CD \/%. x. CDxABzzzab CD=i/3.ar o.ab *ab komt ABzz——, dusBDzi——-ar. AC~ji 1 ab AB-S-ACr + 2x V3-x BC+AB-f. AC — ia rest  ©er VOORSTELLEN, enz. 163 zab aa^3.a;-.t^3.a;2- restBC-aa-^x .53 - - j 1/3» 1/3.» (-aai V2'x 1/3.X CDrf3.* = — . 1/3* . 2 2 2 Nu is 2aj/3.a;-z|/3.3;E - ca 6 ~ ia.b-v,%.x% -f3x*. Stellende bzz.Y %.c % dan is deeze Equatie aart-ax2—2öc — 20c-x* -f^a;*. Door reductie verkrygt men deeze vierkante Equatie,4 s* — ? fl t 6 ?• x~— 40c. 2 4 x* - aa 6c. x + fa +1J c1—|a'-2f ac + &Ï c' V —— —»« —— . —i *x—\a+i\c = -\L-i/\a* —2f ac+ i\c* of 2x(AC)3ï a -f- li ciyja»—a{ae + 2jc*. O en 6, en dus ook c , nu in getallen gegeeven zynde , dan heeft men x; en men heeft de drie zyden des Driehoeks, naar begeeren , ieder byzonder gevonden. NB. Neemt men in de gevondene waar- dt  ï64 ONTBINDINGEN de van 2.x het dubbeld teken als —, voor de zyde AC, dan is die zelfde algemeene waarde, het dubbeZdteeken als + neemende,'de lengte van de zyde A B, en anders om, zo dat de twee zyden, om den gegeeven hoek van 6o*,alcyd 2 \/\a*--*ïac-\-2\c* verfehillen. Gevonden AC (2*) ZZi a-J- \\c-\/iat — vlac C + 2*r». C2fl b 2ac -v ) =ia-f-iic + .... 1/3.X x ■ C\/i aa-2*flc-;-2^c». Gevolglyk B C = a — 3c AANMERKING. Begeerde men voor de zyden des Driehoeks rationaale getallen , dan bepaale men de gegeevene b grootheid b op een Sur dis ch-getal, zo dat— zz c ^3 ■ rationaal is. (Zyn de zyden eens Driehoeks rationaal, dan ziet een kundige ligt, dat, zo maar één der hoeken 60 gtaaden is, de irjhoud des Driehoeks en dus ook de Middenlyn des ingefchreeven ropds, onmooglyk rationaal kan zyn; b kan dan niet anders, als — V 3 met eenig rationaal getal vermenigvuldigd, bepaald worden.) "Nu a en c zo bèpaalende, dat ia* — 2jfic-r-a|c* een rationaal Quadraat is, dan  der VOORSTELLEN, enz. 165 dan zyn 's Driehoeks zyden , naar begeeren , ratitnaal. steiie \ fl^2iili"Ji_ilzl!ril: Danis Rgfft* * * M c'~-**c+^*~oïa~d~2 i d c = d'c* -ajc' — a^c* - al 4^-9 - Neemende d= 3Ï, dan is = 10, gevolg- 4 a - 10 lyk b=ioc, enrïa»^2ÏflC+.2$c!r^T-^f/ Deeze waardens in de algemeene uitdrukking der zyden overbrengende, vind men alles naar den eisch, de zyde AB is dan=5c, AB= 8c, en BC = ?c Laat gegeeven zyn 0 - 40, dan is de fom der zy— 1/ 't. e "~ tilf 3» of de middenlyn des &^v« (*dan c = 4 i dan zyn de drie. zyden des Driehoeks AC = 5 c = 2°' A B = 8 c 3= 32. BC 7 c ZZZZ2 28. Zynde dus£A öo° , en de Driehoek een fcherphoekige. LVI. VOOR-  165 ONTBINDINGEN LVI. VOORSTEL. Door den Opoeever, C. Breevilt, j. van Twisk, en j. Schepfer. Stel de zydeD x,y> z; dan is x 3 ———«. Stellende,. a xjz P i». ■ = a, a°. ==&, 3. j. . „ ar #-r-y-t-z j-y. *-z =: P», volgens de beginfelen der Meetkunde* p Derhalven xyz=aa?, x+y+zzz , • b *+y+z P 2 aö 4 ~4WV Voorts r. s-x . j_y . j-s — p* ofV-aj+y+z . j3 + *y + a»-r-jteTx«—»». (*===P* deel door sa ^ , 4b* ————— _ #yz J» -* +j + z. x-j- icy-r-^z-f-j z — =4^. maar  cbr. VOORSTELLEN, enz. 167 xyz aaP maar -—=—— — 4a*> * P Tb derh. st-x + y + z.s + xy+xz+yz—4a&Z4&% P4 1 p * s*zz—, en x-\-y->rz,szz~— at1 p. pa derh. +xy-hxz + yzzz4,bi< a+b 4i* ab1 xy + xz+yzzz-—-+i\b+a+b 46* P Nu nebben wy gevonden i°. * -f- y -h z zz — 4& P« a*. %y-\-yz + xzzz — 4&* (+4&xa+& 3*. *yz ~ 3 aP. Derhalven zal de Oplosfing van deeze Equatie P ]F ZZT yi — _ j.» +—--r-4ix a+i.v-2aP^o. * 46' de drie zyden van den Driehoek geeven. Lat te vinden ms* Toe.  168 ONTBINDINGEN Toepasjing in Getallen. Gegeeven zynde azzi6&,'i\bzzi2%i enP 1:21504! Cdan is — ~ 672. b ——r$b.a~rb ZZ 140272, en 2aP nu 382080; derh. 4 ft* -v* -672V1 + i9ü272v-U382o8oz:Oi Uit welke Equatie 208. 224 en 240 de Wortelen zyn, en dus de drie zyden vati den Driehoek. LVIL VOORSTEL. Fig. 35. Door j. de Gelder, waar mede de Opgeever j. van Twisk, C.BreeviLt, K.Akeh, j. schellinkhsut, j. Sc hef per, en j. van der Oort , overeenkomen. CONSTRUCTIE. A B C zv een gerykbeenige Driehoek, waar vari AB de Bafis, en ACzBC- de gelyke zyden zyn. i°. Trekt dan de recht(tandige CD uit den Tophoek C tot den Bafis AB, en befchryft in ABC een Cirkel Öa'Fft, die de zyden AC, BCen AB in a, b en D raakt, en de lyn Cü in F fnydt. 20. Door het punt F trekt de lyn GH evenwydig aan AB: deeze zal den Cirkel DaFb raaken, en van  der VOORSTELLEN, enz. iótf van den A ABC den gelykbeenigen en met ABC gelykvonnigen Driehoek CGH affnyden. 3°. In deezen Driehoek CGH befchryft men als in No. i °. een Cirkel F c K d, die de zyden G H j CG en CH des gelykbeenigen Driehoeks in F, c en d raakt, en de lyn CD in K fnydt. 4". Even als in net eerdé, trekt door K de lyn LM évenwydig aan AB of G H : dan raakt deeze den tweeden Cirkel in K, en fnydt wederom van A CGH een gelykbeenigen eh met CGH gelykvormigen Driehoek C L M af. 5°. In deezen laatflën Driehoek CLM befchryfe msgelyks een Cirkel K. c N/% die de zyden CM; CL rn CM in de punten K , oen /raaken: dan zyh DF, FK en NR Middedynen vah Cirkels, die in den Driehoek ABC boven elkander befchreeven zvn , de zyden en elkander onderling raakende (Cotifï. & Elem. 12. 3.). — Het aantal Cirkels * welke op deeze wyze bdven elkander in een ge. Jykbecnigsn Driehoek befchreeven kunnen worden, is oneindig* De Figuur dus toegefteld, en tot de Oplosfing gefchikt zynde, is de Vraag: De middèllvn van den qrootftert Cirkel;dat is DF, en die Van den kleinften Cirkel; dat is RN, bekend pegeeven zynde, hoe zal men daar uit de zyden des Driehoeks, en de Middellyn van derj middelden Cirkel vinden? Wy zullen hier van twee oriderfcheidene Oplosfingen geeven. i°. Eene Stelkundige, q". Zirüen wy, door de eigenfehappen der Figuur na te fpeuren, de Vraag Meetkundig oplosfen, en uit de ConJtruclte dier Oplosfing aantoonen , boe men (alleen op de gelykvormige Driehoeken en de aangetoonde eigenkhappen acht geevehde) op eene zeer eeavouM di-  170 ONTBINDINGEN dige wyze da zyden en de middellyn des middelften Cirkels berekenen kan. Om tot de eerfte te komen , en die eenigzints in de Rekening te bekorten, zal ik het volgende Lemma laaten voorafgaan. 1. LEMMA. De Figuur toegejleld zynde, als in de voorgaande eonftrudtie geleerd is: zeg ik', dat de Perimeter van eiken volgenden Driehoek CGH, CLM gelyk is aan de fom der opjiaande zyden, min den Bafis van zynen voor gaanden Driehoek ABC, CGH. . DatisinACGHisCG-f-CH+GH = 2AC-AB, en in A C L M is C L + CM + LM = * CG-GH. BEWYS. Want AC= Aa + aC = AD 4-aC (9 Ax. £? Prop. 3<5 Lib $.)•, maar om de zelfde reden isaC^: aG+CG = CG-t-FG: derhalven AC= AD -hFb-f-CG: Hier AD = AD afneemende, is A C -AD^FG + CG: dus2AC -AB = CG + CH + GH (Ax. 6 en Ond.; En om dezelfde reden is in den A CLM, CL+CM + LM = ïCG-GH; en zoo ook met alle de overige Driehoeken, indien 'er meer Cirkels in den A A B C boven elkander befchreeven waren. — Dit beweezen zynde, gaan wy over tot de volgende STELKUNDIGE OPLOSSING. Stel de gegeevene Middellynen DF::a, KN— b, AB = ï, en AC = BC = 7; ftel boven dat den In- houd  der VOORSTELLEN, e»z. i?l houd des Driehoeks gelyk P, eene grootheid, die wv ïn£ ^,makshalye^Q.voeren: Hec is door het bekende Theorema der Driehoeken bekend, dat P = - x Ditgefteld, isCDrr—, D F =± ±L (door het x x+2y 2P bekende Theorema), en CF=rCD—DF = —-j 4P * * -". Nu hebben wy *+4 y - I^^or de gelykvormigheid der Driehoeken ABC" en L- Vj ri , GD* : CF1 :: £ ABC ; L\ CGH* 4PP^aP 4Px 7~\~ rJa;: P-'ACGH = ... « r -\ x P. v zy+xS o»._ Door het beweezene in Lemma I, is CG + CH -rOrl = 2AC—AB = 2y-a:: waar door inden ACGH,FK=i^C^ = ^ïi xp en GH+2CG 1» X ' en 2y + * CK=CF-FK= VJ; 2y-r-# (2y-r-a;)3^/ > M 2 3°.Door  i7z ONTBINDINGEN 3°. Door de gelykvormïgheid der Driehoeken ABC en CLM is. CD* : Cl' :: AABC:ACLM. 4PP 4 16 16 . 2.y-z>. of : ( > >xPP:: P. xx >ï ay-hK (ACLM. Hierdoor A CLM=( — ) xP. ^- 2y+x S 4°. Is door het Lemma ,CL + LM + CMzi CG' 2 j — x\ — CH~ > waar door in A CLM, KN~ x-\riy 4ACLM /iQiy-x)* 5°. Nu hebben wy de drie volgende Vergelykingen, 4P 4Px-2y*|* ■■ — a, zzb, en i6PP = a:^i/4yy-^« *y+x 2T+^|S De twee eerfte cjuadraateerende , 16 PP «SPPx ay—XC ^ j d l 2 31 Ia 2 31 -J- 3; ' ve de waarde van 16 PP overbrengende, heeft men 2y  der VOORSTELLEN, enz. 173 , sy-x ^5 1 ( ) .xx-bb V aj+i-' I de bovenfte door de > CÉ,«N I onderfte deelende, 2v-{-y ^ j Komt ^-23,'—*^ £i> 2y — ar & aa * oy + ar a ^ Rellende. 2y —x 25—a; & In x xxzzaa, voor ■ V - of p ftel- 2 y -h 3; 2 y -f- ar a lende, isp »x rrzaa; dus * = ; by gevolg —— - hier uit 'm~2 VP a "^VP a (P+ O aCi-p)Vp ' Nu is in getallen gegeeven a zz 20, b ZZ 7 j; dus ft a /> = f - =: S, * = — =6! V 15, eny = a ——— = i3f^i5=:BC = AC, en %.\-p>Vp M 3 ein-  s?4 ONTBINDINGEN C2 y— * -y *^ Dat te vinden was* AANMERKING. Het is uit de voorgaande Rekening genoegzaam fcebleeken s dat de Middëllynen der Cirkels, in den Driehoek boven elkander befchreeven , geduurig evenredig zyn, gelyk met een opflag van het oog blyken zal, wanneer men zich de uitdrukkingen, voor DF, FK en NK gevonden, herinnert. — Eene waarheid nochthans, die uit eenvoudiger beginfelen kan worden afgeleid, gelyk wy gaan aantoonen in het volgende II, LEMMA. De Middellonen der Cirkels, die boven elkander in een gelykbeenigen Driehoek befchreeven zyn, zyn se^ duurig evenredig. . Datis- DF, FK, KN enz. BEWYS. Trekt van de punten A, G en L tot de middelpunten E, I en O der Cirkels van DF, FK en KN de lynen AE^GI en LO; dan zyn de Driehoe, /V^' LK0 gelykvormig: want £,G\DrrriL C GF; dus | Z. G A D~ 1 Z_ C GF; m is^DAE - LIQF, en LADE zz LGFlzz  eer VOORSTELLEN, enz. 175 recht: derhalven ook L A E D - L GI F. De A en ADE en GIF zyn dan gelykvormig : en om dezelfde reden ook de Aen GFi en KL O. __Nu is A ABC_i A CGH : iIÖ' : "ÖF :: D~E: WÏÏis DF : FK :; CD : CF* derhalven DF : FK :: CD : CF of CD : DE :: CF : FK. Wederom A CGH : A CLM :: FK* : O:: cT: CKf derhalven FK : KN :.- CF : CK of CF : FK :: CK : KN Hier door CD : DF :: CF ; FK :: CK :KN Dividendo CD : CD- DF :: CF : CF- FK :: CK:CK-KN of CD : CF :: CF : CK::CK:CN of .v CD , CF, CK, CNenz. Dus £ CD-CFï CF-CK, . . . CK-CN enz. Eindelyk ~ DF , TKjKN enz.Q-È.D. M 4 LGE-.  ?7Ö ONTBINDINGEN I. GEVOLG. Dewyl, gelyk wy boven aanmerkten, hec aantal der Cirkels, die boven eikander kunnen belchreeveh worden, oneindig is , zal de fom van alle deeze Middellynen gelyk zyn aan den-Pêrpendkulair CD , en dpor de eigenfphap der Gen-* DF4 metrifche Progresfie is CD r~-—; m , ■ . Hier DF-FK. uit volgt ny deeze MEETKUNDIGE CONSTRUCTIE. Zy M en P de gegeevene eerfte en derde Mid-, dellynen; zoekt dan, i°. Een Meetkundige midden - evenredige N tus* fchen M en P. 2°. Een derde - evenredige tot M—N en N, wel» ke is C D. 3^. Door D eene onbepaalde rechthoekige AB^ en men befchryft uit E (DE ssj M genomen hebbende) met DE een Cirkel. 4°. Op CE als Middellyn eep anderen Cirkel, die den eerften in a en b fnydc. 5°. Van C, door de punten a en k, de lynen AG en BC geleid hebbende, is ABC de begeerde Driehoek, Q_. E. I. De waarheid hier van is uit het heweezene, in Lem* ma II. en Prop. 17. 3 Boek der Beginzelen zo klaarblyklyk ? dat het overtollig ?oude zyn hier van iets rpeer "te'zeggen.  dek. VOORSTELLEN, enz. 177 II. GEVOLG. Indien men van E tot b eene rechte lyn trekt, is CöE een rechthoekige Driehoek met CüB gelykvorrriig ; om dat de laatfte in D rechthoekig is, en met den eerften den AC gemeen heeft. Hier uit, en uit hec eerfte G evolg , volgt eene jseer eenvoudige berekening der lynen > welke ger yraagd worden, in getallen te vinden. In getallen is gegeeven M = DF = 20, en P =3 KN = 7$', nu is iP. N«zM^P = 2ox 7} ZZ 144; dus N=KF^ IzCConft.) '"' DF1 Ma 4C0 2 ' DF-FK~ M-N " 20-12 *" 5°' door C D— DE = ƒ0 — 10 = 40. 30. Is in den rechthoekigen Driehoek CEb, CE r-Eft2— Cb\ of iöco — 100 —ijoo; waardoor Cb = 10 1/ 15. 4°. Geeft ons de gelykvormigheid der A.en CE& en CDB deeze evenredigheden Cb : JE .: eD : DB of iqj/ij:io:: 50 DB-3f 1/15 dus 2DB - AB:=6}y 15. Wederom JE:DB :: CE : CB 10:31/15:: 40 : CD^ACrisJt/ij, Welk overeenkomt met het gsen in de voorgaande Oplosfing gevonden is. M 5 LVm.VOOR-  18? ONTBINDINGEN LVIII. VOORSTEL» ï)eor de Opgeevers (allen Leden van dit Genootfchap, die tot hunne byzondere OefFening faamen in Hoorn een Gezelfchap houden, en by den Secretaris met naamen bekend zyn.) De jaarlyks ftervenden zyn, volgens het voorftel, het |5 deel van het geheele Menschdom. loo : na :: |5 : T§|8 i r»33 Jaarlykfche vermeerdering. Laat nu het geheele aantal der Menfchen — fl. en de jaarlykfche Vermeerdering ,»„ 33 r zyn. iv,?ieLbet ???I£er,,Jaaren» binnen welke het gantfche MenschlykGeflagt verdubbeld wordt. = n. Dan is het aantal der Menfchen, na t Jaar = ax 1 -+ r na 2 Jaar — ax 1 -+- r|• . na 3 Jaar = «xi4 r;a dus na nJaaren- ax 1 -v r * Der-  Per VOORSTELLEN, enz. i79 Perh. ax i r: aa a — ——.— i —f-r I " ZZ 2 In Logarithm. n x Log. i -t- r — Log. 2 Zo£.i-+r , Log' 2 Zog. i-+r Nu is Zog. 2 2 o. 30103 ? ~tt zz • dus Log. 1 -+r r:o. 00130 jooq 1 1 ■ gediv, komt n- 231 — Jaaren. 130 ANDERS, Door J. de Gelder. Stel de reden van het Menschdom tot het getal der Menfchen, die jaarlyk? fterven, p, de reden der gebooren wordende tot die der ftervende q: het aantal van het Menschdom a (eene zekere onbepaalde en van de Vraag onafhaneilyke grootheid , die wy gemaks-en duidelykheidshalven in de Rekening zullen Invoeren,) en ftel den begeerden tyd x. Dit  iBp ONTBINDINGEN Dit gefield zynde, is het aantal Menfchen, die het eerfte Jaar fterven , pa, en die het eerfte Jaar gebooren worden pqa, van dit laatfte het aantal nr„nfchen, die het eerfte jaar fterven, afgenoomen, is p — i . q a het aantal menfchen, waar mede het Menschdom in het eerfte jaar vermeerderd wordt: dus is de grootheid van het Menschdom na het einde van het eerfte Jaar = «+p — i . qa. Hier van fterven in het tweede Jaar ap -+p- i • pqa, en 'er worden dus apq + p— i . pqqa Menfchen gebooren. De eerite deezer grootheden van de tweede afgenoomen, is het getal menfchen, met welk het Menschdom in het tweede Jaar vermeerderd wordt,^- i.pa^q— i . p*a. Na het einde van het tweede Jaar zal dus het Menschdom zyna-t-ag-l. pa -\- q — i. ppa* Van dit aantal Menfchen fterven in het derde Jaar ap -S- 2 , q — i • p'a + q -> 1 . p* a, en 'er worden apq -f- 2 q— i. qp* a + q — i . qp"1 a Menfchen gebooren. Het aaqtal Menfchen, waar mede hec Mensch. dom vermeerderd wordt, is in het derdejaar q-i. pa -+■ S* x|r = 1,003: hier door is Z-fg. 2 0,3010300 * = - T M ~~ =23i»4/aaren zeer naby. Log. 1,003 0,0013009 ' Dus zal het Menschdom in den tyd van 251* Taa ren verdubbeld zyn, in de onderftelling, dat hétV tal der genoorenen en ftervenden tot het Menschdom zich m de voorgeftelde reden verhouden. Dat te vinden was* LIX. VOORSTEL, Door A. V r y e R. Neeme 9088 = 0, en 4928 zzb. En fteld voor't derde getal x, voor  der VOORSTELLEN, enz. 183 b voor 't tweede—, x a—x% ax~-x* voor 't eerfte — ■ ■ -. t h x Dan is .alles naar den eiscb, alleenlyk moet 8ï-ï' b ——1, — en x eene arithmetifche Progressie Zyn» b x ax-x3 ab Derhalven is —— +af ZZ —• b x m 11 .1 b X axx — x* + bxx ZZ 2 bb of x4 — a-'rb. xxzz~ibb JflTji ZZ\aa + lab+\bb xi — a-'-b.xx+la-rïbzzlaa + iab^ ' (i\bb xx-^ïa+ib zz\t\/iaa+~iab-i\bb 1 jmc~| a+ï b—\/\aa-\r\ab~\ bb v T~ """"" Dat is * = 88 of 56 Y 2. Vol-  184. ONTBINDINGEN.' Volgens de eerfte uitkomst x . a— x * 88 X oc88 - 88 * b 4o28 ~ 4teerfte-j 6 4928 , , ïfretah — = !—— zsö'ttweede {.gecau 3: 38 j x ZZ 88 't derde J Volgens de andere waarde van * vind men voor de Progres32 1/ 2, 44 1/2 en ;6 ^ 2. Dus twee proefhoudende uitkomfteri. ANDERS. Door J. de Gelder en J. van Twisk, waar' mede de Opgeever, J. Scheffer, J. de Jongh, C. Breevilt, K. Aker, J. Schellinkhout, J. van der Oort, J. Visser, en H. Veen overeenkomen. Stel de getallen of Arithmetifche Progresfie ar-y, x en x ■+- y : dan is het produët der twee eerfte ter. men xx — xy, v het Quadraat des derden terms xx + zxy+ yy bygev, derhalven 2xx+xy+yy—9082 het  der VOORSTELLEN, enz, i8y het product der 2e en ^eterm.xx+xy =4928 afg. heeft men xx-\- yy 24160 waar uit yy24160— xx. en xxyyzz^iöoxx — x*. maar ry = 4918 —x* dus xxyy = 24285784 — 9% 56 x* + x* derh. 4160 x* — x* r: 24285184 — 9856**-!- x* ofherl. ix*- 14016**:= — 24285184 2 ; ■ _____ *4- 7oo?,xxz=:— 12x42592 12278016=+ 12278016 x4-7008**-+i2278oi6 2 135424 V— x* — 3504 2 z± 368 x*zz 3136 of 3872 1/— ï-Zj6 of _ 44 \/i waar uit y -.32 of 121/2 Derhalven zyn 24 of 44 y/ 2 — ia 1/2 2 32 j/ 2 56 44t/2 =44l/2 88 44i/--;-121/23:561/2 de hegeerde getallen, die in eene Arithmetifche Progresfie zyn. Z)a£ te vinden was. N „aa.  m ONTBINDINGEN Aanmerking. Indien men voor x het téken — ge* bruikt, zal men voor de Progresfien dezelve getallen , maar met een negatief téken aangedaan, vin-» den; die mede aan den eisen der Vraag voldoen. NB. Eenigen tyd na dit Vraagftuk te hebben op-» gelost vond ik, zegt J. ije Gelder, dat hetzelve door den Heer Pr aalder, in het Oefenfchool der Mathem. Weetenfch. in zyn Byvoegzel tot hét Mengelwerk, p. 1B2. byna op gelyke wyze als by my is opgelost, LX. VOORSTEL. Door A. Vrybr, mar mede de Opgeever, C Breevilt, K. Aker, J.Schellinkhout," J. van Twisk, J. de Gelder, J. Visser, en ], Scheefer, overeenkomen. Lees in dit Voorftel, volgens Meiszner , 95, ia plaats van 195. Steld het eerfte lid der Progresfie —X. pe opklimming zry, ?t Getal der leden van de eerfte Progres ZZ n. Dan is 't laatfte lid vandezelve ZZx+n-i.y. Van de uitgezette leden, het eerfte zzx + »y. En 't laatfte -pr-Hi+iy.y. Vol*  eer VOORSTELLEN, enz* 187 Volgens 't Voorftel is nu en 15. y —: 95 * swyj;* 16 31 = 40 16 — 31 = aj de opklimming» " —1 »y ~ 55? vóórydeszelfs waarde gefteid* komt 2* 72 —~ 55 _ 5 " — 5 — HO jn _ 115 ' 5 — n _ 33 leden de eerfte Progres. Eerfte lid * laatfte lid x -f- 55 2* + 55 1 ' "■ ■■ -■ n| halvê getal der leden 23 x+632* fom der eerfte Progres. x eerfte Ijd x -h os laatfte lid 2x + 95 • ' 1 1 ï9Ï halve getal der leden 39* + 1852$ fom der geheele Progres 23 x + 632* Subjl. 16 x + 1220 fom der uitgezette leden 23 x + 63 2i fom der eerfte Progres N a koras  183 ONTBINDINGEN komt 360a;2 + 33180a;+771650 r 992772 771650 — 771*50 3685c3 +38180x zzzzz 221122 92 —1— — —— 38456 43*+ 41 zzzzz 2403!-: 16 415!* 17222j 4 ' 16 4i5|' 21 681 4xa+4ijx-i j zzz —— 4 ? 16 ✓ H—i 415 459 4 4_ 44 2 xzz -II, of xzz si het eerfte lid. 4 Dus 23:5 + 632* — 759 de fom der eerfte Progres. En 16*+1220 — 1308 de fom der uitgezette leden. Dat te vinden was. LXI. VOOR.  der VOORSTELLEN, enz. Hfo LXI. VOORSTEL. Door A. Vryer, waar mede de Opgeever, J van der Oort, J. van Twisk, J. de Gelder, C. Breevilt, K.Aker, J. schelliskhout, J. Sc heffer, en H. Veen overéénkomen. Steld voor de Progresfie »-5yj*-3D'>a?-3'»^-?-3')a:+3y,enen* + 5y, 5 yXtf-332x'-Sxy + isy* X— 3? X* - y=*4-4a;y+33ia rest4xy-12y» * — yXX-hy-X* ry» . . 43Cy_ 43,2 ar + yx*-{-33'=*,-+4a;y+3D'" • • 4xy~ 4yz x-'r$y xx-\r5yzzx'l +8xy+isy* . . ^xy+ iay»' 4*y-i2yx4^3' + i23^ 3 i6x*ji2 —1443/* 4x3.- 4y*x* 1:048. ■ ■■ ' 2 3* 256x4y4r;i296x+ i-gy* — 648 643>* = 324 831* _ 18 ; 4-y>±Q ff * --*— 2I 2y=3_ 2052 _ 45 if* "— -128 31* "648 2$6oys zz 29160 _« jfc* aj6ox-ytf~ 29I60X*» r 108 3>* _ 648 ifiy4 - 81 231* : io| - adj. i8y4 _ pit 1283:* zz 648 23; 4 y8 - 59949. (Pr 256 x* 3>+ — 1296 "-2560 a;1 y6 zz — 39160 ** 2301 J8 - 59049 256 y4 - 2560 x2 3>s +2304 3»8 _ 1296 x* - 391 60 x* ( + 59049=27143424 I206  oer VOORSTELLEN, enz. i9t 1296a;4- 29160** ZZ 27084375 . 61— I6x4- 360 x* ZZ 334375 45 ZZ 2025 16 *4-360** +45 =336400 V —■ 4*1- 45 ZZZZZ 58Q 4 as___625 V , 2X_25» DUSJP = I2| En y is=i|,boven gevonden. Ergo de begeerde Progresfie 5, 8, ii. 14, 17, 20, *%%1L VOORSTEL, Door de Gelder, waar mede de Opceever overeenkomt, Dewyl een Mark Bruto Goud aangenomen wordt tot 2i Karaat n| Grein fyn, cn een Mark fyn tot een vasten prys van 355 Gulden bepaald is, kunnen wy door eene eenvoudige Proportie - rekening de waarde van één Mark' Bruto goud vinden; want 34 Kar. : 21 Kar. n| Grein :: 355 Guld. : 324I Guld.zeer naby, voorde waarde van een Mark Bruto, die flechts ïj5i gulden van de waare verfchilt, eene kleinigheid, die men in de Praktyk veilig mag veiwaarloozec, N 4 Nu  ipa ONTBINDINGEN Nu merken wy aan. i°. Dat wanneer men by 320 guldens i| prCenc voegt, de fom juist aan 324? guldens gelyk is. 20. Dat wanneer men de Marken Bruto Goud met 8 tot Oneen, deeze Oneen met 40 tot halve Penningen maakt , hetzelve even is ais of men de Marken Bruto Goud met 310 hadt vermeenigvuldigd. 30. Dat wanneer men das het voorgedekte getal Marken 13ruto Goud met 8 tot Oneen, met 40 tot halve-Penningen maakt, daar een perCent by voegt, uit de laatfte de helft, de fom deezer deelen zoo veelis, als of men het voórgedelde getal met 324! hadt vermeenigvuldigd, uit kracht van de ïfte en2de Aanmerkingen. Om nu te bepaalen hoe veel Guldens een zeker getal Marken Bruto Goud waardig zyn, wöet 324! Guldens met de Marken vermeenigvuldigd worden: dat is zoo veel maal genomen worden, als 'er Marken zyn: dit met de tierde Aanmerking vergeleeken, behoeft niets meer van de deugdzaamheid des voorgeftelden Regels gezegd te worden. Wil men den Régel zclven door voorbeelden zien opgehelderd, men zie Grauman op dé aangehaalde plaats. LXIII.VOOR.  der VOORSTELLEN, tut. 193 L X III. VOORSTEL, Door de Opgeevers. De Algemeene Formule van een Poligonaal - getal, Welkers Wortel zz a, en getal der hoeken zz n is , fa^P^fHff-i»»- (zie, Oeffenfchool der Mathe- matifcJte Weetenfchappen, Me Deels ifte Stuk. pag- 47*) Stellende nu a, 6, c, &c. achtereenvolgende voor 0; en 3, 10, en 100, voor n$ dan zyn: aa + a bb + b cc + c De Trigoha/en • , -, , enz. 3 3 2 aa-i-bb+cc+tfc, +a+b + c+ &c. hun fom ■ n —. , 5 . De Decagonaalen40a — 3 a, 4 & & — 3 £, 4 c c — 3cgfo hun fom 4«a + ^hh+xcc-f-fifc. — 30 -3 fc — De Cofiogonaalen 49 a a - ^49 a, 49 £ i- 4 8 ö, 49 c c - (48 c, ërV. hun fom 49aa + 49&£+49cc+c>>. — 48 a — (48 48c-fj?f. O Nu  194 ON T BINDINGEN Nu is door het Voorftel aa + bb-\-cc + &c. -!- a-'r b + c + crV. ~p 2 ' -~~ 8 4 «a-f-4 W+4 cc+ £V + j. a+4 b+q. c+fcfc, ZZ 8p 4 aa+4 £i+4 cc+ —3 fl—3 fc-3 c — £fc. — q 7 a -!-7 b-i- 7 c+ Éfc. - 8/>-£ a + ft + c+ffc... , 7 > a%" «a+£è+cc+ j 6p+q aa + 5b+ cc +{$c. . , . , zz -.- 7 . ~ , ___»___. ¥J 4'jaa + /i9bb + 49CC + &C. , =42^ + 75 384/- 48 q 48 a-|-48H.48c+ £?<;._:— , f 7 . — ;afg. Dus 49 aa-f-49 bh-'r^cc -h <5rV. - 48 a-48 6-48 c- fcfc. /" 9?q — 90p i— ;£-a De fooi. der Cojiogonaaien.  der VOORSTELLEN, ènz„ 195 ANDERS. Door j. de Gelder. Wy zullen aan deeze Vraag eene algemeene Oplosfing poogen tegeeven, waarvan hec voorgeftelde Rechts een enkel geval is. Ten deezen einde merk ik aan, dat alle Folygonaal-geta'len in hec algemeen tot deeze uitdrukking of Formula h y* B y behooren , waar in y de Wortel verbeeldt; dat de ondeifcheidene naamen der Folygonaalen alleen afhangen van de veranderingen, die de Coëfficiënten A tn B ondergaan , en dat de naam des Folygonaalpetals gegeeven zynde, daar door de Coëfficiënten A en B bekend worden. Laaten nu ry2 —sy, ty* -uy, gy* —yy drie onderfcheidene Formulae der Folygonaal- getallen verbeelden : de twee eerlte voor oe'/ïo/;)g0«aa/-gecallen, welker fommen gegeeven zyn, de iaatfte voor de Folygonaal-getallen, welker fom gezocht wordt. Indien men nu in elk deezer Formulae voor den Wortel y achtêreenvo'gens de grootheden a, b, c,d, enz. plaatst, zyn de drie Folygonaalen deezer grootheden I". raJ -ja, rb* -sb, rc*-sc, rd*-sdv enz. 5>.<\ raa — ua. tbx — ub, tc*-uc, td* — ud, enz. Ga--ye, ëba-yb, Cc* — yc.enz. Stellende nua-!-fc + c-M + enz» = S, a* + b*-'re* +d' + enz. s' j- dan is hd klaar, dat i6. rS' — M±p. a°. »S* - uS - f, 3°. CS' — yS ~ *• de begeerde fom. O 2 Deeze  i96 ONTBINDINGEN Deeze waarde van x zal uit de bepaaling der waarden van S en S{, die met behulp der twee eerfte Equatien opgelost worden, bekend zyn? Nu hebben wy uit de twee eerfte Equatien S' jS"+P r uS-+q ~~ t sS-+p «S-+9 Derhalven = r t stS -+tpzz ruS-t- rg (ru-st)x S=pt-rq pt—rq Derhalven S = ■ ru—st sS-bp pu-sq r ru—st pu—qs Nu hebben wy *_£S'—yS_-ëx—— — yx ru — st (pt-rq — Q. E I. ru — st Laat ons nu deeze algemeene Oplosfing op twee byzondere gevallen toepasfen. h Gz*  der VOORSTELLEN, enz. 197 I. Geval. Indien gegeeven is de fom der Trigonaa* len en en de fom der Quadraaten: dan zal men met behulp der eigenfchappen van de Polygonaal - getallen door rékening bevinden, datrrz + i, tZZ—k, tZZÏ't _ j 0 pt-rq p-ïq uzzo-y dus S = — — ap-»2,enS'_ ru—st § iq -~z=:q. Nu zyn de waarden van ê en y in deP*n. tagonaalen, Hexagonaalen , FLeptagmaalen y OEtagonaaien enz. ih en s, 2 en 1, 22 en is, 3 en 2, 35 en 2i-, enz. cn de fommen deezer Polygonaalen worden door deeze volgende Formulae uitgedrukt. ii 4 — i'x (a/> — 4) a q — (2 p — 2) 2Ï4 — 12 x (2 p — 4) 3 # — axfüp - 4) 3I 4 —2l X (2p - q) enz. voor de overige. II. Geval. Laaten nu gegeeven zyn de fom der Trigonaalen, en die der Decagonaaleh, en laat geeischt worden de fom der Cofiogonaalen te vinden: dan isr - I, j _ - 5» ( _ 4, b r 3, € ~ 4.9 en y — 48, en men verkrygt voor x, de fom der Cofio- gonaalen, deeze uitdrukking 49 x — 48 x 3 Xi-j-2 4p— iq tp-Vq 8p-q 3Xi-r2 7 7 03 Laa-  198 ONTBINDINGEN Laaten wy dit laatfte geval, dat het onze is, en eïgenlyk in de vraag voorgetteld was , door een voorbeeld in getallen ophelderen. Voorbeeld in Getallen. Laaten van de getallen i, 2, 5, 4, 5. gegeeven zyn de fom der Trigonaalen 35-, die der Decagonaalen 175: dan is in dit geval pzz 35, 6p + q 8p-f 3= 175 en * == 49 x —— — 43 X -—4°X 7 1 6X 35-175 8X35-175 , _ —— -■ 48x rr 1975 — de lom 7 7 öerCoJiogonaalen, dat elk beproeven kan, doordege» tallen 1, 2 , 3, 4 en 5 fuccesfivêlyk tot Trigonaalen, Decagonaalen en Cofiogonaalen te verheffen, en van elk deezer Veelhoeks - getallen afzunderlyk de fom te zeken. L SCHOLION. Het blykt aüerduidelykst uit de Oplosfins; der voorgaande vraag, dac hec aantal n der getallen,a, ï, e, d, enz. volftrekc van den eisch der Vraag onafhangiyk is. — En hieruit leeren wy, dat uit de bepaalde grootheden p en q, welke in de Vraag bekend gegeeven zyD, die getallen zeiven niet kunnen gevonden worden, ten ware hec aantal dier terwen of grootheden flechts twee zy: om dat alsdan de menigte der onbekende grootheden het getal der gegeevene Vergelykingen evenaart. —• Men merite ondertusfehen wel op, dat zulks alléén doorgaa, in de onderftelling;, dat de grootheden a, 2>, c, d, enz, geen de minlte bekende betrekking tot elkan. der  jjer VOORSTELLEN, enz. 190 der hebben, of liever, dat die betrekking niet gegeeven zy: want, zoo men, hy" voorbeeld,-onder ■fielt, dat het getal der groothéden gegeeven is, en dat dezelve ia eene Arithmetifche of Geometrifche Progresfie ftaan ; dan worden , gelyk aangetoond is, de lom , en de fom der Quadraaten van dezelve bek-nd: Hoe nu uit deeze bekendens de Progresfien zelve gevonden worden, weet elk één, die zich de eerfte begirsfelen der Stelkunde heeft eigen gemaakt: derhalven enz. II. SCHOLION. Men heeft in de Oplosfing reeds duidelyk aangetoond, dat indien de lommen van twee onderfcheidene Polygonaalen van eenige getallen gegeeven zyn, de fetn \an eeidg ander Polygonaal dier getallen altyd kan gevonden worden; dbch men zoude uit die bepaaling alléén te vergcefsch de fom van eemg Polygonaal van één hooger geflacht deezer getallen zoeken: want daar toe 'zou vereischt worden , dat men de fom der Cuben , ^Quadraats - Quadraaten, Vyfde, Zesde magten, enz. pekeud kreeg; naar dat de Polygonaalen, welker fom men vinden moet,van het tweede, derde, vierde , enz. peil cht zyo. Indien men dan de fom der Poly°malen van het »ule gedacht bepaalen wil, is het noodig , dat de fommen der eerfte, tweede, derde magten, tot de fom der »i-h 1 nngt, bekend worden : eene war rheid, die een ieder, die op de uitdrukkingen of Por. mulae der Polygonaalen van hoogere gefhcb'en iet, terftond in het 00? loopt; ( Zie Byv. op deöpl, van Voorjl. 544. II. Deel der Kunstoeff. pag. 414.) en dus moeten 'er zoo veele Vergeldingen als o bekende grootheden in de Vraag te vinden zvn; na^ melyk m + 1 Vergelykingen. O4 Dit  aoo ONTBINDINGEN Dit gezegde zal veel licht byzetten tot de Oplosfing van andere Vraagen , die zeer ingewikkeld zyn, en tot het foort van deeze onze opgeloste behooren. Zeer gaerne zouden wy nog het een en ander hier by voegen, indien ons de tyd zulks toe. liet; dan wy zullen in het vervolg gelegenheid genoeg hebben , om over die ftof nog één en ander te zeggen. LXIV. VOO.JTEL, Fig. 36, Door C. Breevtlt, waarmede j. de Gelder,, J. sciieffer , H. V'een, J. van der Oort, j. van Twisk, K. Aker^ en de Opgeever overeenkomen, AD ss AB - BC = 4 —rrrrjz;—"~v ab - BCia==: IÖ...1' AB x BC I &ABC = — = 96 v Verg< 8 4AB x BC =768 J ABT^BC|?= 784 ^ „, ■ . AG + BC = 28 AB^rBC = 4 „ „ ——. Verg.en afg, 2 A B — 32,en 2 B C3:24 * AB ~ i<5, en BC= 12 Der.  der VOORSTELLEN, enz. 20? Derhalven Raat het Land van M tot het Land van N , als BD ? AD 12 : 4 t: 3 : 1 / Dus de Quadr. hunner Kooppenn,;: 9 •* I 9 i af —• Verfchil reden van M 8 —- 41472 9 ? Komt 46656 V De Kooppenn. van M = 216 Guldens. Dus die van N = 7» Guldens. NB- Uit deeze Ontbinding, zeggenC. Breevilt, j. Scheffer, en K. Aker, blykt, dat in het Voorftel eene Conditie te veel is opgegeeven •, alzo wy in 't geheel niet noodig gehad hebhen de laatfte Conditie op één na te gebruiken, LXV. VOORSTEL. Fig. 37. Door J. de Gelder, C. Breevilt, J. Visser, J. Scheffer, H. Veen, J. van Twisk, J. van der Oort, K. Aker, J. Schellinkhout, en de Opoeever. Laat ABC den rechthoekigen Driehoek, BC den Bafis verbeelden. Stel B C - k x* -5-1 x, een TriO 5  ao2 ONTBINDINGK N: gonaal-getal, waar van x de Wortel is; dan is AC BC+AC = » ï' + ' s, en AB = ^m^zzèx'+x: 2 hier uit is AB» zz $ ** + xs 4. ^. daarenboven is AC + B Ca=: (§*« + li 4. 77 x\ + « Dit verfchaft ons nu de volgende Vergelyking: t ö * *4 -!- ars + x* = xs -+- 2 x* of 4 #■* -h xx = 2 i ** = x' * X' ZZx x . i X ZZ l X ZZ 2 Waar uit BC 'zzz 4 . AC = 5 en AB = 4, de zyden des begeerden rechthoekigen Driehoeks ABC gevonden worden, LVI.VOOR-  der VOORSTELLEN, enz. 203 LXVI. VOORSTEL. Door J. de Gelder, J. van der Oort, j Visser, J.Soheffer, H.Veen, J. van Twisk, en de Opgeever. Stel het getal der Maanden x, en het Jaartal y; dan is de datum der loopende Maand 31—*. Van het Quadraat des datums der loopende Maand 061 — 62# + xx dat van het aantal der Maanden af. getrokken xx, heefc men 961 — 61 x ZZ 589 dus 61 x zzz 372 of x zz: 6, het getal der Maanden, dat is de Maand Juny, en 31 — x Z2 25, het aantal der dagen van de loopende Maand, waar uit 5 de Wortel is. Nu moet nog het Jaartal bepaald worden. Volgens het gevondene is de fom der loopende Maand en de radix des datums 6 + 5 - !*• dus 11 y = 5 y + 10350 6y = 10350 6 1 ■ y = 1725° Waast  204 ONTBINDINGEN Waar uit blykt, dat des Component! vriend den »? van Juny Anno 1115 gebooren is. Dat te vinden was. LXVII. VOORSTEL; Door J.de Gelder, C. Breevilt, J. Scheffer, J. van Twisk, J. van der Oort, H. Veen, K. Aker, J. Schellinkhout, en de Opgeever. . Stel e, b + x, b-\- 2x, b -\- 3 x voor de Arithmetifche Progresjte: dan is hec Produel der middelfte Termen bb•+■ 36 x + 2 xx, En het produel der uiterften 65 + 30*. Derhalven is hec verfchil der Producten zxxzza; waar uit blykt, dat het getal a gelyk aan het dubbeld van een Quadraat moet genomen worden. Neem azzz, 8, 18, 32» 50, 71, 98enz. Danis*=i,2, 3, 4, 5, 6, 7 enz. Neem nu 6=3: danis (a —2 neemende) 3,4,5, < de Progresfie, waar in 4 x 5 — 3 x 6 2 2 — a 'is, en oneindig anderen meer. Da? Je vinden was. Lxvni,  dér VOORSTELLEN, enz. ioy LXVIII. VOORSTEL. Door dm Opc eever. Dewyl ia een aangenomen Syftema van telling (welk het ook zy) een getal nimmer gelyk kan zyn aan een ander, dat kleiner of grooter is, ten zy men aan de getallen byzondere hoedanigheden toeëigene , zo volgt van zelfs, dat in dit geval twee verfchillende tellingen bedoeld worden; naamelyk: onze gewoone, die van i tot 10, en eene andere, die flegts van i tot 7 telt. Naar deeze bevatting, die hun, welke der Rekenkunde meer dan gewoonlyk doorgrond hebben, niet vreemd kan zyn, wordt het Voorftel op de volgende wyze zeer gemaklyk opgelost. Dewyl 10 in onze telling zt 7 in de andere is; Zo is 12 ZZZZZ 7x2 ZZZZZ 9 met 9 verm. komt 81 het begeerde Produel; naar onze ge* woone telling. B: E W Y S. 12 x 12 = 144, Maar 144 = 1 honderd ~ 7* ~ 497 riaar de ge4 tienen — 4 X 7— 28 > woone tel4 eenh. zz . . . . 4.} Hng. .1,. - -n *— Dus 144 in de andere teil. zz 81 in de gewoone telling. Q. E. D. LXIX.  200* ONTBINDINGEN LXIX. VOORSTEL. Fig. 38. Dow A. Vryer, J. Pauw, C. Breevilt, K. Aker, J. de Gelder, S Graaf, j. Scheffer, j. van Twisk, en de Opgeever. De Regthoek zy A BED. NB. Gelyk in deeze Figuur moet men de letters plaatfen; dan is, trekkende uit het geeeeven punt H tot de 4 hoeken lynen D AH 4- □ HE = □ BH+ O HD, volgens dit BEWYS. Trekt door *tpunt H de regte lyn CF, evenwvdig met AD. De Ae"'HFD, HFE, HCB en HCA, zyn dus alle regthoekig, daarom □ AC 4- □ CH = O AH □ EF 4- DFH = 0 HE □ A C 4- □ CH + p EF + DFH=rjAH+DHE. Ook is ÖBC+a.CH=;aEF + öCH=öBH □ DF+DFH = DAC + DFH=DHD □ AC4-□ CH4- D EF + DFH ("□BH+QHD. Maar  der VOORSTELLEN, enz. «o? Maar ook is boven gevonden □ AC + □ CH 4- □ EF (+DFH=DAH-:-DHE. Ecrgois □ AH + □ HE = □ BA+ □ HD. Dat te hewyzen was. LXX. VOORSTEL. Fig. 39. Door J. diï Gelder, waar mede de Opgeever, C. Breevilt, J. van Twisk, J. Pauw, J. Scheffer, en J. Visser overéénkomen. De Cirkel, welke in eenen gelykzydigen Driehoek befchreeven'-is, fnydt van eik der rechtjlandige lynen, uit elk een der hoeken tot de overftaande zyden getrokken, een derde gedeelte af, bevat tusfchen dien hoek en den omtrek des ingefchreeven Cirkels, Zy A B C een gelykhoekigen of gelykzydigen Driehoek: befchryf in denzelvcn een Cirkel DEF, 4 Prop. 4 B. Trek de lyn BD uk B rechthoekig op AC, die den omtrek in e- fnydt; dan moet beweezen worden, dat 3Be — BD. BEWYS. Trek uit één der overige hoeken, als C, de lyn CE rechthoekig op de overfiaande zyde AB: deeze ontmoet dan BD in d, bet middelpunt van den Cirkel ; vereenig voorts E en e door de rechte Ee; dan is A BEd rechthoekig, en L BEd = L d Ee -r-L  soS ONTBINDINGEN + L BEe = L BdE 4- LEB d=z recht 31 Prop. iB. en gaat van deeze' L BdE zzz Ld,Ee (die gelyk zyn; om dat L ABC = L\ edE ZZ L dEfi = L deE■ = 6o° is 32 Prop* 1 B.) afgenomen, is en — x — 1386 de inhoud des Cirkels P* Dat te vinden was. P  2io ONTBINDINGEN LXXI. VOORSTEL. Door A. Vryer, en nog anders door C. Breevilt, j. de Gelder, H.Dresselhuis, j. Scheffer, S Graaf, j. vaH Twisk en K. Aker. De begeerde deelen zyn x en y. x-hyzza xx -bzxy + yyzz a* x" -r y* ZZ — 2 xy -f- Q* x3y -J_^3 — _ 2 xt -j.aa xy. De fora der Teerl. is x3 +ys de fom der Quadraaten xx + yy komt as+x3 y2+x2y3-\-yszzh. b ac4 ~x3y -f- 2 x2 y2 - xys +y*zz — a b s4-tï*' y*-\-y*ZZx* y + *y3 -1— a x1 + y' = t/a!y+ïyM—=—2ay+aa a . r o ^ jcSry-j-^s^—r4«;2y1-4fl9yy4-a4 a xly +  der VOORSTELLEN, enz. an **y+x'f zz^tx'y* +a'xy-<\x> y*-4a'xy+a* —_ a b &'•**y''—5a' xy=—a* 6 5 b 1 s*y a'xyz= a*. Een 6 6a 6 C vierk. JEquatig. s r a5 -a« | t=— a* c " f 144 . . 5 5 l" ' h » * 2 a *"H—a" = | a* ^ 6 12 1 na 144 5 + 1 i xy a^-i/--;- — a+ 12 6a 344 *3! = -aa-l/—j a\ 12 ca 144 Maar xy,\ vermenigvuldigde der deelen , kan net meer dan ia' zyn, gevoUlyk kan het duhbeid teken alleenlyk — zvn , en de waarde van xy zz 5 b t — a1 - j/ _ -i a*. Ja ' ca 144 P f* Stel  aia ONTBINDINGEN 5 ~b r~ Stelle a1 — i/--f a4r: en y ^ —« ( de begeerde deelen. Laat het gegeeven getal a =12 zyn. 0 - 34632- 5 ï ï Danis — a -1/—1 a4~c~35. 12 6a 144 Komt a zz zzzzz 7 j * j. de deeleü. a — \/0? — 1 7- ■ = 5 I 2 J Dat yt'nioi w«» AAN-  der VOORSTELLEN, enz. qi3 AANMERKING van den OPGEEVER. Daar veelügt iemand zou kunnen denken, dat ik rny in de Noor. op dit Voorftel eenigzirs te fcherp uitgedrukt nebbe, zo .ds my reeds vóór eenigen tyd door eenen myner Vrienden, en tevers Lid van dit Genootfchap, is voorgehouden, acht ik my verpligc my in dat opzicht te ïecluvaerdigen, door allerduidslykst aan te toonen, dat niet zoo zeer myne driften, als wel de voorbaarige oordeelvelling 'van een zich zo noemend Genootfchap van Liefnebbers der Wiskunde (in hunne uitgewerkte P. V ene ma's Algebra) over eenen Leerregel, de zy toonen zeiven niette ver ftaan, my genoopt hebben voorde • eere van F. Venem a op te komen; en wyders te betoogen, dat zy beter gedaan hadden zich nog eenigen tvd van de lesien eens kundigen Meesters te bedienen , dan eenen last op hunne fchouders te leggen, die zy niet kunnen tpnsfen , en eenen taak over te jueeinui, waar toe zy geete de minde bekwaamheid hebben. Venema zegt in zyne Algebra pag. 28, Voorft. p: De j/ uit -joco, komt by na 83 \&. fclk die eenigzins regelmaacig heefc leeren denken, be. grypt in den eerften opflaff, dat het woord byna eene onvolmaaktheid infiuic, en dat Venema h er te kennen geeft, dat uit 7000 geen volkomen Wortel te vinden is: echter ontziet zich dat Genootfchap niic deezen Autheur in -t openbaar te boonen , door de volgende fchampere aanmerking by gelegenheid van het evengemtlde Voorftel te berde te bitnten (zie hun Werk pag. 48). Onzen autheur fchvnt gemeend te rebben, dat „ 'er geen irrationaale getallen zyn. W;rt hy trekt, „ naar zyn gevoelen , den Wortel in ge eelen en ,, deelen uit allerlei getallen, op deeze wyze : hy ,, trekt den Wortel uit de voorgcftelde grootheid„ blyft 'er iets over, (telt hy, dat dit de teller van' „ een Breuk is, wjtns noemer tw.emaal metr reuu „ hiden bevat, dan het Woitelgeial geneden heef r " F. 3 Voorts  ai4 ONTBINDINGEN Voorts tracht dat Genootfchap, door zyne versere re 'erjcering, de Leezers in dn»en hadt moeten gebruiken. Dat echter de Decimaal-Rekening hier toe een gereeder weg is , behoefde ous fjet gemelde Gencotfchap niet te onderrichten, vermits ik zulks in myne Inleiding tot de Mathematifche Weetenfchappen, vóór eenige Jaaren in druk gegeeven , vry wat duidelyker dan die Liefhebbers, der Vigk/asdë IQ bunne misgeboorte heb aangetoond. vei  der VOORSTELLEN, enz. ai5 Dat hun Werk ren misgeboorte is, blykt onder an* deren duidelvk in hunne Ontbindingen der Voord. 97, 98, go, lOÖC*;, 101, 102, en 103 van de Simpele Vergelykingen, waar in zy één der Onbekenden, die niet als uit eene gegronde beweikins bepaald kan worden, in den beginne hnnner bewetkinge raadender wyze onderftellen; hebbende zy zelfs de domme vrymoedigheid, om aan het einde hunner Ontbindinge van Voorftel 97 tot onderrichting, of liever verwarring, by te voegen: Wanneer in een Voorftsl drie onbekenden gevonden worden, - meet men een der* zeiven Jiellen. Wat mott men al verders van de bekwaamheid dier Liefhebbers denken, als zy . aan het einde van Voorft. 217 der Vierkants - Vergelykingen pag. 269, den Leezer vryheid geeven, om eene valfche ilel. J:ng te doen , als een getal daar door rationaal wordt; terwyl zy niet eens bezeffen, dat de bedoelde ftellicg niets minder dan valsch is , en opcnlyk hunne onkunde aan den dag leggen van niet te weeten, dat elke Vergelykinge zoo veel Wortelen heeft, als de Exponent der hoogde magt van die Vergelykinge uitdrukt ? Andere ongerymde {tellingen en verkeerde begrippen, welke in dat Werk overvloedig voor handen zyn, gaa ik ftilzwygende voorby.- LXXII. VOORSTEL. Dw C. Breevilt, waar mede de Opgeever, J. de Gelder, j. Pauw, K.Aker, J. van Twisk, J. Scheffer , S, Graaf, en j. Visser overeenkomen. Stel het getal = x. Dan (*1 Dit joofte Voorftel is volkomen bepaald, en dus ten onrechte onder de onbepaalde Voorftellen geplaatst. Echter vinden deeze Lief hebbers goed het Voorfte! als onbepaald te befebouwen; zeggende,ais naar gewoonte, ftel 5 = 3. P4  *H5 ONTBINDINGEN xx +x XX xx -'r X 2 20 xx-'rX . .. ■ . ' . ,f 20 IO ~ * * Derhalven 't hegeerde getal = 10. LXXIII. VOORSTEL. Fig. 40. Boor C. Breevilt, en ]. Pauw, waar mede d$ Opgeever , J. Scheefer, j. van Twisk, K, Aker, en S. Graaf overéénkomen. Verleng AB tot in K, zoo dat AK = AC is9 cn voeg CK te faamen; dan is L A +._K -!- LACK sr 180? IA — 59° 19J - af£„ _K + OWk = iao° 31* Z.K ~ Z-ACK == 60° 1^30" Nu is B C : Sinus L K ;; BK.: Si». Z. BCK 14 : 86827 :: 2 : 6'm. Z. BCK komT&'n. Z.BCK = 12404, dus Z.bck — 7°71jO" ? eg» Z-ACKrrióo^is'so''5 1 °' ACB ==53° 8' Wederom iï». L A: A C :: Sin. L A C B: A B 86148 : 14 ïS 8000 : AB Komt A b = 13 AC-AB — 2 4 AN<  per VOORSTELLEN, enz. 2i7 ANDERS, Fig. 41. Door J. de Gelder. Zy ABC als vooren de begeerde Driehoek, maak Sn denzelven AB~AK en trek de rechte lyn B D; can is L ABK ZZ- L AKB 4 Prep. 1 D„enZ. CKBr Z. A + Z.ABKrrZ.A-K %>p, Z. A; dewyl nu LA bekend gegeeven is, is ook deszelfs Supplement, en Z. A -h 2 Suppl. L A bekend gegeeven ; daarenboven zyn CK: AC - AB, en CB , CQinjl. en VoorJL') bekend gegeeven. In den Driehoek BCK zyn dus drie termen bekend , en a'le de overige; dus ook Z. C en A B C zyn bekend; en door deezen , met benulp van Z. A en BC, in L\ A BC de zyden AB en AC. In dit Voorftel is Z. A zz 59° 10', BC ~ 14, C K = 2 ; dus Sap,' L A ;—' 1200 %ïJ en -j S. Z.A ZZZZ 6oü 155'. Nu is BC ; CK :: S. 1 Supp. L A : S. ZLCBK. i>> 9386553 0, 3010300 30, 23968J3 1, i46 i280 9, 0935573 = Zog.S.Z.CBK = 7°7Ï Maar L ABK = 60° 15I Pus _ CBK + LABK = 67^3' = --ABC. P 5 W6,  ei8 ONTBINDINGEN Wede:omisS._.A : S. Z, ABC :: BC : AC 1, 1401280 9, 9652480 !»• UI3760 9» 9352459 i, 1161301 ~ N. Log. 15,0014 = AC hier 2 __CKafn. blyft 13,0014 "AB» LXXIV. VOORSTEL. Door den Opgeever, en J, van Twisk* 1. Zoo de ftof door het Water niet befchadigd wordt, kan men het Lighaam in een vierkante Bal: onder het Water dompelen , en door het opryzen des Waters den Inhoud ligtelyk vinden. Of de Bak vol Waters zynde, kan men het uitgeloopen Water meeten, welks uitgebreidheid met die van het ingedompeld Ughaam zal overeenkomen. 2. Zoo het geen Water lydt, zonder nadeel kan men, in plaats van Water, fyn zand gebruiken. 3. Men zou ook, door eenige kleevende ftof daar aan te hechten, hetzelve tot een gefchikt Lighaam kunnen vormen , den Inhoud daar van berekenen, als mede van de bygevoegde ftoffe , en 't laatfte van het eerlle trekken, de rest zal de Inhoud zyn. I 4- Zoo de foortelyke zwaarte der ftoffe bekend ïs, kan men het Lighaam weegen, en vervolgens, door rekening, den Inhoud ligtelyk vinden. NB. Dt  der VOORSTELLEN enz. ai^ NB. De fraai je Verhandeling van j. de Gelder over dit Voorftel zullen wy voor het Mengelwerk befpaaren. LXXV. VOORSTEL. Fig. 42. Door den Opgeever» Befchryf uic A Terpend. op EF den boog AG, en uit het midden D van den Bajis AB den boog DG. zodanig dat dezelve aan den boog iJ E gelyk zy, Snydt alsdan op den grootlten Cirkel ECF uit F den boog FC : AG af, en vo< g de punun A en B met C door boogen van grootite Cirkelen te faamen, zo is ABC de begeerde Driehoek. B E W rY S. Men Helle EA = a, EB = b} EC z, en den b-a hoek AEC = «, zo is eerftelyk AD = « 1 b -V- a en ED = . In den rechthoekigen Driehoek 2 DAG is Cof. DG 2=2 Cof. ED =22 Cof. AD. Cof. AG; by gevolg b-\-a Cof. Cof. E D 2 Cof. AG = 2 . Dus moet Cof. A Ds . b-a Cof. ■ v.— - - . . -2; ?4 beweezen worden , dat ook Cof. F C .—. Cof.  sta ONTBINDINGE #» rÊHsfl Cof m ï • zal zyn, waaneer de Inhoud des Drie* b — a • hoeks ABC tot een Maximum gemaakt wordt. Wanneer men den Inhoud des Driehoeks EBC door X, en den Inhoud des Driehoeks EAC door Y uitdrukt , zo is de oppervlakte des gezochten Driehoeks ABC tztz: X Y. Deeze moet eea 'Maximum zyn; by gevolg d X — d Y —*~ o. Als men hier den gewoonsn weg wilde inflaan, om.den inhoud der beide Driehoeken door de bekende uitdrukkingen ie zoeken, en de Dfferentiaalen te neemen , zoude men tot Formulen komen, welke den arbeidzaamiten Rekenaar zouden affchrik» ken. De volgende Methode zal ons op eene zeer gemaklyke wyze rot het oogmerk brengen. Trek naar het punt c, oneindig dicht by het punt Q, uit A en B de boogen Ac en Bc, zo verkrygt men twee Elementaire Driehoeken CAc en CBc., welkers Inhoud het Differentiaal des Inhouds van de Driehoeken ECA en ECB is; dus CAc ~— (lY, en Cue ~,~ dX. Nu befchouwen wy eerftelyk den Driehoek CAc, wieDs'Inhoud, als men den hoek CAc = d ca, en den boog A C =rr= p ftelt, uitgedrukt wordt door du ( i — Cof. p. ) Men neeme den hoek RC l\ZZZZZ) by gevolg d\' a= Sin. p. Om  der VOORSTELLEN, enz. at Om den boog p en den hoek

'zz Sin p. en dienvolgens wordt d z Sin. a Sin » { i — Ccf. p ) _Y 2 —. Sin. p* dz Sin. aSin. * s + Cofp dz Sin aSin. * i .j- Cof. a Cof. z + Sin. a Sin. z Cof. * Daar nu in deeze uitdrukking flegts de boogen a en z, nevens den hoek « voorkomen , en de t>riehoeK E B C ZZ X van den Driehoek EAC ^ Y eenig en alleen in den Bajts onderl'cheiden is, zo is het klaar dat men dX bekomt, als men in dY, in plaats van a , b fchryft. Diensvolgens is het onnoodig de zelfde rekening voor den Driehoek CBc te herhsilen, vermits dz Sin. b. Sin. * dX = • i + Cof. b, Cof. z + Sin.b Sin. z. Cof * Ingevolge de Conditie van den grootften Inhoud, moet nudX — dY — o zyn. Hier uit ontftaat de volgende Vergelyking, als men naamelyk door dz Sin « gedeeld heeft: o —  22a ONTBINDINGEN Sin. b I + Cof. b Cof. z -f Sin. b tin. z. Cof : * * Sin. a 14- Cof a Cof. z+Sin. a.Sin.z. Cof.»' Sin b + Cof. a, Cof. z. Sin. b + Sin. a. Si», b. Sin. z. — Sm. a-Sm. a. Co/, z. Cof. b - Sin. a. Sm. b. Sin. z. f Cof. « ■> V. Cof. • i = o. . Wel,ke Vergelyking geraaklyk tot de volgende min ingewikkelder Vergelykinge herleid wordt: Sin. b - Sin. a - Cof. z. Sin. (a - b ) — o, en uit 'welke voor Cof. z de volgende Waarde gevonden wordt: Sin. b — Sin a Cofz ZZ . Sin. {a — b~) b — a Eindelyk, naardien Sin. b^-Sin. a zz i-Sin. Z. I a rrb + a «,. ; b — <* Cof -—* , en Stn. (a_ zz — 2 Sin. . b — a Coj. ——— is, zo wordt 2 b+a Cof. , 2 Cof zzz Cof. ECzz — , en by gevolg b— a Cof—_, 2 CpJ.  der VOORSTELLEN, e»/. «23 b + a Cof. Cof? C~-Cof. ECZZ + . b — a Cof. . 2 Dat te bewyzen was, I. SCHOLIUM. b + a Cof.- 2 i-Co/.FC Vermits Cof. FC ~ is,zo wordt ■. ■—r:, b—a G»/.—- 1 + C«/.FC 2 5—a b+a Cof Cof. i 2 2 ■ , cf Tang. £ F C = * b—a b+a Cof. + Cof. —- 2 2 ^ b—a ^ b + a 2 2 V — ————— — v/ Tang. i a. Tang ik, b—a b+a Cof. +Cof. 2 2 of Cot. § EC = y Tang. i E A. Tang. f EB. Dus is de Cotangens des halven - Boogs E C een Midden - evenredige tusfchen de halve-Boogen EA en EB. II. SCHO»  Süa ONTBINDINGEN II. S C H O L I U M. Wanneer de punten A en B even ver verwyderd zyn van de doorfnydingspuntcn der beide grootfte; Cirkelen E en F , zo cat E D en F D Ouadrdnten worden . zo is Cof lf C - Cof. F C ~"o, en dus EC2 FC - eo°. Dus zal de gezochte Driehoek in dit geval gelykbeenig zyn. I. AANMERKING. Het is merkwaardig , dat de grootte des Boogs EC of FC in 'c geheel niet afhangt van de neiging der beide grootfte Cirkelen , maar enkel en alleen door dè Boogen EA en EB bepaald wordt. II. AANMERKING. Op eene .der te vooren aangemerkte overeenkom, ftige wyze , doch veel gefnaklyker, laat zich het punt C zodanig bepaalen, dat de fom der beide zyden AC + BC een Maximum of een Minimum wordt; in welk geval echter de neiging der beide grootfte Cirkelen in aanmerking genomen moes worden. LXXVI. VOORSTEL. 'Door C. Breevilt, j. de Gelder, j. Visser, J. Scheffer, J. Pauw, J. Swit- SER JANSZ., J. RüYTER, K. AKER, j. van Twisk, en de Opgeever. Aantal Potten fi Aan»  ber VOORSTELLEN, enz. Aantal Koopen 35 min 1 is 35 geduurige opklimming.. 2 Penn. Verfchil tusfchen de eerfte en laatfte 70 Penn. dc eerfte 1 0 de laatfte . . • 71 a de eerfte .... 1 * te faamen . . 72 * I meénigte ... 18 e bedraagt iao6 Penn. is 81 Stuiv. bovendien 15 * geheele Inkoop , ... 96 Stuiv. de Verkoop van 72 Potten a 2 St... 144 „ Wint dus 48 Stuiv. LXXVII. VOORSTEL. Door J. de Gelder, j. Pauw, J. Switsêr Jansz., C. Breevilt, j. Rutter, J. Visser, J. Scheffer, S. Graaf, K.Aker, en de Opgeever. Stel voor de Rechthoekszyden des begeerden Driehoeks x en y, voor de fchuinfe z; dan is * + y -f- z = 12 Dus 1+ ]i- 12 — z Q **+  asó ONTBINDINGEN se* + 2xy+y'=z 144—242 + 22 Maar*»....... + 31*= .. zz Derhal ven 2 xy..,.. ==144 — 24 % «' ' '— 2 ^JCyz... 2=1442-2422=120. of 24x2—144 z-; —120 w-6«r— 5 9=9 ■ ■ ——4 22—62 + 9 ; 4 ■ > g — 3 = * Dus 3 S ZZZZZxx+.yy — 2ƒ 2a;y = 24 ^-144-9-242^ ■■ afgetr. xx*-2xy + yy— 1 V- • ■ * * —- y = t * -!- y zzz 7^—12 ^ Dus 8, 251 =;6 x = 4.» y = 3 Derh, 3, 4, 5 de zyden des Driehoeks. Dat te vinden was. LXXVHI.  ber VOORSTELLEN, erx." aa7 LXXVIIL VOORSTEL. Door l Scheffer, J. Pauw , K. Aker, S. Graaf, J. Visser, J. van 'Iwisic, j. Switser Jansz. , J. d e Gelder, C. Breevilt, en de Op. ge ever. Stel het getal der Jaaren na Christi Geboorte ra,; het getal van de Jaaren des Ouderdoms _2 y. rA • / J49 \ 641489 Dan is^4-y=(o78—= J-H-L, en iXj > 73° '730 =717159 . 26645 a 4"508r37m Dus**+ a+ en 4^— 532°oo (73155351300 532930 641489 Derhalven * + y= 73° 411508137121 a'4- 2xy+y*=: 532900 73-5535'366 4*D> =— — 532900 1 1 ■ afgetr. 338352785761 x* — 2xy+ya — . 532900 / ,, Q » x  128 ONTBINDINGEN 581681 "| 730 [ 641489 fVerg- en afgetf. 730 j 122317 42 Komt zxZZ - ■ ' ZZ 1675 — 73 73 598o8 en iyzz —r-— 73o 29904 352 3 ~ . ZZ 40 Jaar; weshal- 730 36S ven hy 40 Jaaren en 352 Dagen oud was. AANMERKING. Schoon de getallen voor de Uitkomst in alle de Ontbindingen de zelfde zyn, komen echter alle de Ontbinders in de bepaaling des tyds , toen K. L. Fop ma geftorvenis, niet overëen. De meesten van hun bepaalen dien tyd op den 29 July 1675 , een ander op den 3 Augustus 1675 ; en de Opgeever fielt daarvoor (doch ten aanzien zyner Opgave abuflvelyk ) den II Auev 1634. Wy voor.ons verklaaren ons voor de volgende Aanmerking van J. Pauw. ,, Indien meu den Breuk, die over' is, in het Jaar zëïf (naamelyk 1675).laat vallen , zo komt de „ Sterfdag op den 20 'july 1675: doch zulks dunkt „ my niet waarfchynlyk té zyn; om dat, het Jaar reeds vol zynde, de Breuk in hetzelve niet val„ len'kan, maar noodza'akelyk tot het volgende fc s, Jaar  der VOORSTELLEN, enz. 22$ 3, Jaar gebragc moet worden; en zo is dan het waa„ re Antwoord overleeden op den 28 Jtj„ ly 1676, om dat dit Jaar een S€hïikkeljaar is, „ waar in February 29 dagen heeft." LX XIX. VOORSTEL. Eg. 43. Door J. de Gelder, waar mede de Os geever en C. Breevilt overeenkomen. Laat A C D de gegeeven Parabool zyn, A B de As, A P de Parameter » C D de grootfte Applicaat of Bafis , M het middelpunt van den ingefchreeven Cirkel, die den Parabool in F en G raakt. Trek dan de Normaals MF, MG uit M , het middelpUDt des ingefchreeven Ci kcls ; dan zyn deeze rechthoekig en op den Parabool en op den Cirkel {1'oepasfing der Algebra op de Hooge Meetkunde , Kegelt'. §. 30); dus vallen zy in de punten F eri G, waar de Cirkel den Parabool raakt. FM 1= GM~ de Normaal van F of G; dus FG verëeni&ende, tot dat zy AB in N fnydt, is FN fa±C KG de Applicaat tot de Abjcisje AN,.en MN is de Subnormaal van FofG. Noem nu AP, den Parameter, ZZ />, AB r «, C B — d, en B M — x; dan is A M ZZ a—x, en A N = A M - M N ~ a — x — 2 p, om dat de Subnormaal M N altyd gelyk is aan den halven Pa. rameter {Toep. der Alg. op de Hooge Meetk., Kegelf. §. 2S)' Maar door de eigenfehap des Para- bools is FN*— AN, AP {Ib. §, 21), zzzzz p x (a _| p — jc) ZZ ap — ipp — px. Hier MN zz~- \pp bygedaan, is FM*- ap — % pp—px. Q 3 Der'  e3o ONTBINDINGEN Derhalven ap-^pp —px = xx of xx-ypx-r-ipp-ap V x -f j p-j/ap Eindelyk x = — lp + d (om dat j/ ap == d is). Waar uit blykt, dat de Parameter, Abfcisfe en •gfoctfte Applicaat of Bafis van een Parabool tot de middellyn des ingefchreeven Cirkels zyn , als p, a. d tot - 5 p + d. Q. £. I. I. GEVOLG. Om dan in een Parabool een Cirkel te befchryvenj CD — Param. tnaakt men MB = aan —— , en men befchryft uit M als middelpunt met M B als Radius een Cirkel; dan is deeze de begeerde Cirkel, die in den Parabool befchreeven is. Want de midd l!yn van den ingefchreeven Cirkel hebben wy gevonden te zyn = C B — è Parami. of —< sp -{- d. Derh. enz. II. GEVOLG. Dewyl de Ordinaaten naar het toppunt des Parabools geduurig afneemen, tot dat zy in het toppunt zelve r : o worden , is het klaar te zien, dat de middellyn of po(ïtif of negatif kan zyn. Laat <">ns, om hier van de Limiet te bepaalen, C B — | Param. = o ftellen , dan is C B ~ k Param., en "dit heeft plaats als CD door het Brandpunt aaat; maar AB is dan de Radius curvatura van het toppunt A (Zie j. A. Fas Differentiaal - Rekening pag. noen tri). Dus zal in dit geval en in alle overige gevallen, waar  der VOORSTELLEN, enz; *3'i waar in CBzl Param., CB <; * Param., en CB = Param, is, de ingefchreeven Cirkel alleen het toppunt in A en den Bafis in B raaken ; maar in twee; punten F en G, wanneer CB > Param. is. LXXX. VOORSTEL. Poer J. de Gelder, waarmede de Opgeever en C. Breevilt overéénkomen. Dewyl 'er geen bepaaling gemaakt wordt, welke Posten na verloop van een vierendeel Jaars het eerst, één uur na den eerften, drie uuren na den laatstgenoemden arfiveeren, moeten 'er zes onderfcheidene beproevingen plaats hebben: wy moeten naamelyk, door de drie Posten in alle mngelyke ordens achter den anderen te onderdeden te arriveeren, de tyden bepaalen , waar in de Posten in die orde, de tweede één uur na den eerften, de derde drie uuren na den tweeden, kunnen aankomen. Wanneer wy dit in de zes mogelyke onderftellingen beproefd zullen hebben, zal door de uitkomften blyken in welke orde de Pos» ten aangekomen zyn. De Post uit A kan het eerst, u;t B de tweede, uit C de derde arriveeren; dan A, C, B; dan B, A, C; dan B, C, A; dan C, A, B; en eindelyk C,B,A in orde. Laat ons nu in elk één deezer onderftellingen den tyd bepaalen,- waar in de Posten in die orde en met het gegeeven tydverfchil kunnen aankomen. Wy onderftellen dan vooreerst, dat eerst de Post uit A, dan de Post uit B, en eindelyk de Post uit C aankomt, noemen het getal van uuren, waar in A aangekomen zynde, B één uur, C vier uuren daar na aankomt, P, eri merken aan, dat uit de bepaaliug van het Voorfte! volgt, dat P één veelvoud {multiplex) van 28, P + ! een veelvoud van 19,, en P + 4 een veelvoud van 1 <; zyn moet: weshalven P als zodanig moet bepaald worden. Stel  231 ONTBINDINGEN ! ■ ■ >.. JL'1 ü X. Si p vJ v H 'i . Stel dao P~28; dan isP 4- i zz 28» 4- i; dus moet 98 x 4- 1 gx+i — — een heel getal zyn, of *H ; dus .19 s 19 i; x Z2 \%p—i 13P—1 p+ ££j— ; dus-—;— nog een heel getal; ftél — i 25-Pi «——■ ~$;dusi3pr;i5gH- i:düspz'j4i-* '* 15 '3 2g-r-i r-i r —i * zz r, 2^= igf - 1, gr6M ; ^—- 13 22 r-i tooet dan nog een heel getal zyn; ftel ent >i', ±zs$ a f;=9tt-4 j9 R *  234 ONTBINDINGEN u — r u-1 «-1 + —; dus —— een heel getal. Stel —— = j.-j 2 2 2 dan is « = 2 v + i. Nu kan v op het kleinfte —o zyn; dus u= i, s~5> 15*^:420* 4- 195 r; 2295 uuren of 95 dagen 15 uuren. Deeze tyd, met ruim een vierendeel jaars overeenkomende, bewyst, dac eerst de Post uit C, daar na de Post uit A, en na de .laatfte de Post uit B aankomt. Nu verloopen van den 14 Maart *s avonds ten 6 uuren, tot den ■17 van Juny daar aan volgende 95 dagen, dus toe den 18 Juny 's morgens 9 uuren 95 dageD 15 uuren. Dus komt de eerfte Post aan den 18 Juny in '} jaar 1777 » 's morgens ten 9 uuren, de tweede ten 10 uuren , en de derde 's namiddags ten 1 uuren; en hier door is aan het eerfte gedeelte der Vraage vol,daan. Nu moeten wy nog de Herbergen bepaalen, waar in elk der Posten by de aankomst zynen intrek neemt. 2295 Nu is ■—-Ri; dus heeft de Pest uit A in 28 den tyd van 95 dagen 81 reizen ; de Post uit B, 2295 2295 — = 120; de Post uit C, = 153 re5zen 19 15 gedaan , dus is 'er 81 + I20 + 153 = 354 maal in de Stad d een Post aangekomen; maar dewyl in het geval, als 'er twee Posten te gelyk aankomen, zy beide hun intrek in de Herberg neemen, die alsdan aan de beurt ligt, moet 'er vooraf nog bepaald worden hoe dikwyls dit voorvalt. \Nu kunnen A en B, A en G, en Ben Cte gelyk aankomen; om datAenB refpe£tive ail en 19 uuren noqjig hebben om te reizen ; en orn de 28 en 19 uuren afgaan, is 28 X 19 =j^a uuren: dus komen A en B om de 532 uuren te jjelyk aan ,' en dat valt dan in de 2295 uuren -4 maal voor. Op dezelfde wyze komen a en C orn de 28 x 15 = 420 uwen te gelyk aan; dit valt in 229J  der VOORSTELLEN, enz. £3$ 2295 uuren - 2= 5 maal voor. B en C komên 420 iusgelyks om de 19 x 15 — 285 uuren te gelyk aan, 2295 en dit gefchiedt in de 2295 uuren «——* Smaalj 28f dus gebeurt het in den tyd van 2295 uuren 4 + 5 + ü ZZ 17 maal, dat 'er twee Posten te gelyk aankomen $ dus zyn 'er ia de Herbergen 354 — 17 ZZ 337 maal Posten aangekomen,- dit door vier deelende, is de uitkomst 84 , en 1 de rest: dus zyn de vier Herbergen 84 maal rond geweest, en de eerstaankomende Post neemt zyn intrek in de Herberg E, de volgende in F, en de laatfte in G. Dat U vinden was. LXXXI. VOORSTEL. Door den Opgeever. Als het Capitaal tot 5 ten too wordt uitgezet» £0 neem in acht den volgenden REGEL. Men veelvoudige 21 zo veel maal met zich Zelve, als het getal der Jaaren bedraagt, in welken, vol;:ens het Voorftel, het Capitaal met de jaarlykfche en Weder uitgezette Interesfen geheel vernietigd zullen 7\n. Verricht zulks ook met 20, ett zoek het verfchil deezer beide Produtïen. Men veelvoudige het eerfte met het aolte deel des gegeevencn Capitaals, en deele bet komende door het verfchil, dat in 't eerfte geval gevonden hi, dan zal het Quotiënt de begeerde fom aantoonen, welke jaarlyks afgelost moet worden. BEWYS. Vermits het Capitaal tot 5 ten 100 Interesfen uitRa ge-  nyS. ONTBINDINGEN geleend wordt, zo Zal daar door by 't eerfte Jaif rnec de Interesfen 100 Guldens Capit. ~ ioyGuld. Capitaal en Interesfen zyn. Uit deeze Proportie de kkinfte in geheele getallen gezocht, zo is uo— 21: naardien dus de Interesfen jaarlyks by het Capitaal gevoegd, en mede uitgezet worden, als ook de tyd, dat het Capitaal met het Interest op Intere t gerekend Vermogen na 20 Jaaren vernietigd zal zyn, voor deeze Periode bekend is; zo moet het kleinfte der gevondene Proportien "ao, als het uitgeleend Capitaal van ioo; desgelyks het grootfte=:.2i; als het Capitaal van ico, Waartoe reeds de Interesfen voor 't eerfte Jaar toegeteld worden, naar het getal der gegeevene Jaaren "— 20 , ook 20 maal ieder rfiet zich zelve verveelvuldigd worden, wyl de jaarlyks daarby komende Interesfen het Capitaal daat door nelpen vermeerderen, vergrooten, of verveelvuldigen. Het verfchil toont alsdan de fommarifehe Interesfen voor alle Jaaren. VerveelVuldigt men hec eerfte Produft, 't welk het Geheel des Capitaals en Interesten voorftelt, met het 20de deel van het in den beginne gegeeven Capitaal ( wyl 5 perCt. Interesfen het aolte deel eens Capitaals van 100 Guld. maakt:) zo ontftaat daar door de totaale fom des fommarifchen Capitaals met alle Interest van Inte» rest van gemelde Jaaren, die alsdan door het eerstgevonden verfchil, als de bloote fommarifehe Interest op Interest, afgedeeld wordt , en de aflosfing eens Capitaals te kennen geeft, dat jaarlyks uitgekeerd moet worden. Als: so10 r= ióiB576ooocoöoococoóoóoooOo eerfte Pre* du& van het na 20 Jaaren verveelvuldigd Capitaal. aiao =278018420446051548637196401 tweede Pro* duSl van het na 20 Jaaren verveelvuldigd Capitaal en Interest van Interest. De beide Ptodutten naar den regel afgetrokken, komt voor 't verfchil 1733608*9446951548637196401, zynde de Interest van Interest na 20 Jaaren van joo Guld,  der VOORSTELLEN enz. «37 Guld., en de Deeler rot het volgende Produel; van het geheele Capitaal met den Interest van Interest. Als ide Prod. 278218429446951548(537106401 , met het 1?, deel des gegeevenen Capitaals ad ƒ 1000 5=500 vermeenigvuldigd, komc U3oie9ai472'?475 7743»8598200500 ; dit Produel nu door het tnvenftaande Verfchil gedeeld zynde , zal men eindelyk verkrygen f 802: 8 : 8, welke de Eigenaar jaarlyks moet verteeren, op dat zyn vermogen met alle Interesfen van Interesfen na 20 Jaaren geheel vernietigd zy. ' LXXXII. VOORSTEL. Fig. 44. Door de Opgeever, C. Br e evilt, J, Sch efFEa, S.Graaf, K. Aker, J. de Jokgh, J. Switser Jansz. en J. van Twisk, A B ~ : 43 AC ZZZZ 17—I/24 + 1/T95 BC rrr 27 + 1/24 — 1/195 AB+AC + BC—-97 ' * ' VCrg' a—— — f fom der zyden ....—48i i fom — AB 5! | fom AC .... = 2U4-i/24-i/i9r ■ fom —— BC .... —2'§ — j/24-1-1/195 «—-- — verm. Komt 64 8-iö$jj + i/ 1332032130 V Inh. des Drieh. ABC 1/64886\% + 1/1332032130 Dit Voorftel is te vinden in A. B« Strabdb 'Appendix pag. 88., Voorft. 244. R 3 LXXXIII.  «38 ONTBINDINGEN LXXXIH. VOORSTEE, Door J. de Gelder, C. Breevilt, J. VAi« Twisk en den Opgeever. Stel voor de opgaande Arithmetifche Progresfie de Termen x-?ï, xen*-b3J dan is hun Produft x3 —92 een Minimum. In .FiuxtV 3»'x-'Pa: rrrr o. Dus x3rr*3, waar door x zzzzz. y 3, en/^3 —3, 1/3, 1/3-^3 de begeerde Progresfie i&. LXXXIV. VOORSTEL. Door den Opgeever, J.deGelder,J. PaüWj J. van Twisk, en G. Breevilt. De gegeevene Vergelykingen xi>% &%* y -h- 5 x y* =. 27* en re4 -r ió xy 1584. zynde, deel de eerste 1 a doorx-l-yl , dan is het Qtwtient jc —2y—oj dus 2y, of y —5*. Deeze Waardein a?44- |ö#£ 5; 1584 gefubfiituëerd, heeft men x* + 8^ = 1584 16— i<5__ ^4_j_ g x12 -,-16 :z 1600 ~ jcg +■ 4— 4Q ~ " jcs t.z 36 Dus 5 = **= 3 I de begeerde getallea. LXXXV.  der VOORSTELLEN, enz. 239 LXXXV. VOORSTEL. Door J. de Gelder, J.Schefker, C. Breevilt, T. Switser Jansz., S. Graaf, J. van Twisk, J. Pauw, en den Op geever, Stel voor de begeerde getallen 2 * en 7 ar; dan zyn deeze in ratione fubtripla fubfesqui altera, naar den eisch des Voorftels. De Proniken zyn 4*1: -f- 2* en 49XX + 7* hun fom 53 # x + gx Nu is door het Voorftel en verder herleid io6x' -\- 18 x tz 1768 - 106 Ioól'a^-r-ioöx i8x=l874°8 j>V_£—li . ioö| x*+io6xi8*+9 i* — 187480 V 106 x + 0 = 433 ^ 106 * 1 424 106 •■- ———1 x = 4 waar door 2 x = 8, en 7*^ 28 de begeerde getallen zyn. R 4 LXXXVI.  ?4a ONTBINDINGEN LXXXVI. VOORSTEL, Door C. Breevilt en j. Scheffer» Stel dat de eerste *, de tweede y, de derde z, en. de vierde u Guldens betaalt. Dan moet x + y + z-h «=3600 zyn. Maar x + ly+jz+luzz3600 volgens hetVooift.. Derhalven x+y-\- z+ uZZx+ïy+*z-'rlu Of y-i-z + u.zziy + iz + ïü 1 y-r-z-i-0 ■ -4« By gevolg 1 ~\ *t welkonmogelyk is» Dus is het Voorftel ongerymd, zo lang men oik derftelt j dat de gefourneerde PenningeQ en de Waar* de van het Schip gelyk zyn... ANDERS. Door J. de Gelder, waar mede S. Graaf^ J. Pauw-, J. van Twisk, J. Switser Jansz.., K\ Aker, J. V 1 sser, en de, Opoeever overeenkomen. Stel de fom die de eerfte, tweede, derde en vierde der Koopers betaalen — x, y, z en u, ftel 300a Gulden S at x + y + z -f « — a -!-/>; dan is * -\rly-r\ z + iu, — a Ixdr y -i-iz-hiuzza ix-'rly+ z-\-\uzza f* + fy-f-fz-r- u — a Deeze Vergelykingen van de bovenflaande * 4* S + 1. + u-Q+p afgetrokken en herleid j heeft men  Pïr VOORSTELLEN enz. a4j y+z + u- 2p (A) x + Z-huZZl if> x+y + uzzi\p x+y+z-iip Deeze Vergelykingen by elkander voegende, is de fom 3 (*-r-y+z + «) zz. 3p + 3«;=6ijp dus 3{2p = 3 36 a en p = — 37 73« 37. 72« S4a 48 a 45a apzz—, iipzz en \%pzz—-. 37 37 37 37 Trekkende nu de Vergelykinge (A) van de Ver73» gelyking * + y-r-s-rj-«= — , ieder afzonderlykj 37 a 19a dan zyn de refpetsive resten x zz ——, y — ——, z =5 37 37 25a 28a 3.7 " 37* 3000 Nu is 0 = 3600, duss~ 'ZZZZ91 37» y 37 l9X3^oo 25x3600 ——*s 1848 «y-, 2 = rr 2433 $$> en 37 37 28x3600 K*3 =s 2794 ff. 37 Daf- t« vinden was, R 5 AAN»  942 ONTBINDINGEN AANMERKING. Men ziet uit deeze bewerking, dat dit Voorftel Hechts een byzonder geval van Voorftel 42 is, het welk men op twee onderfcheidene wyzen pag. 122 & feqq. vindt opgelost. tXXXVII. VOORSTEL. Èg.fè Door den Opgeever en C. Breevilt. Laat A B de fchuine hoogte des Kegels zyn: uit het punt B met de wydte B A befchryf een Cirkel AECDA; dan is AB de halve Diameter; verleng dus AB tot C. Uit A deel den Cirkel in vier gelyke deelen door de deelpunten E, C, D, A; dan heeft men vier Quadranten, waar vaD één, als ABDFA; het Vlak tot den begeerden Kegel is; dus deszelfs kanten AB en DB tot elkander gebragt zynde, is de Kegel gemaakt. ANDERS. Door J. de Gelder. Dit Vraagftuk, in het afgetrokkene befchouwd zyn. de , korüt hoofdzaarkelyk hier op uit: om op een vlak de gebo^gene oppervlakte van een Kégel te befchryven. Wy zullen in de onderftelling, dat de Heer Opgeever de Kégel als gegeeven aanmerke (f), onderfcheidene Oplosfingen van het Vraagftuk opgeeven. I. OP- ( f ) Wanneer wy een Kèzel onderzeilen gegeeven te zyn, dan is de Bafis en opftaande zyde in grootheid gegeeven, ook den üchaamlyken tophtSak; maar deeze wordt niei wel dan door de Hooge Meetkunde bepaald, - - gelyk «it het beloop van onze volgende redeneeringen, duidelyk genoeg blyken zai.  s»er VOORSTELLEN, enz. 043 I. O P L O S S I N G. . Zy A B C ( Fig. 46. a.) de gegeevene gelykzydigè Kégel, A B de middellyn van den Bafit; AC,enCB de opllaande zyden, CD de As. Ikfchryf dan op eenig vlak , uit een willekeurig middelpunt M met AM (Fig. 46. b, ) = AC (in Fig. a.) als Radius een Cirkel, verlens A M tot in E, en maak AEz: AB (Fig. a.) de Bafis des Kérels; deel AE in N midden door, en befchryf uit N, met de tiisfchenruiirue AN, eenen kleinen Cirkel AGKH. Laat dan dee«en kleinen Cirkel A GE H, met zynen omtrek ,langs den grooten Cirkel ACBD zodanig ontrold worden, dat alle de deelen van den omtrek A G E H achtereenvolgend op de deelen van den omtrek AEBD van den anderen Cirkel geappliceerd worden; dan befchrvft eenig vast punt A aan den omtrek.dts kleinen Cirkels de kromme AGF bekend onder den naam van Cyclois ( * ), waar van A C B" de Bafis aan den omtrek des teelenden Cirkels gelyk is. Trekt dan uit M tot de uiteinden A en B van den Bafis de Radien AM en BM, dan is de Sector ACBMA zzz aan de oppervlakte van den gegeeven Kégel j^wsnt (*) Deeze lyn bezit zeer fraaije eigenfehappen, onder anderen is zy die kromme lyn, welke de natuur door de faamenkorast der lichtftraalen vormt, die alle evenwydig aan elkander, binnen den omtrek van een Cirkel vallende, te rugge gekaatst worden, met een hoek gelyk aan den hoek van invalling, waar van men de proef nsemen kan, door een glazen Vaas met Water gevuld aan het licht der zonne bloot te Hellen. Wy zullen in het ver volg gelegenheid vinden, om den Vaderlanderen, dieeeen Uitbeemfche Taaien machtig zyn, veele aanmerkensvvaar dige eigenfchapDen van deeze en andere kromme lynen te ieeren. Zie le' Marquis de l'Hcpital Mdyfe des Inüniment- petits p,ig. 142. 6? feqq. Newton Princ Math, prop, 49, Tom. I. cum Comm. a jfaquier et ie Seur..  34* ONTBINDINGEN ACB = AGEH door de teeling,en AE, AM zyn refpetïivè aan de middellyn van den Bafis en opftaande zyde van den Ké^el gelyk. Derhal venenz, II. OPLOSSING. Behalven de voorgaande Oplosfing, die zuiver Meetkundig, maar in de pradlyk niec zeer applicabel is; om dat de kromme lynen van die natuur, niet dan met zeer veel moeite naauwkeurig kunnen befchreeven worden, zullen wy , orti dit gebrek eenigzins te vergoeden, aantoonen hoe men in de praftyk, zich met eenen enkelen régel van Proportie en den Transpor» teur vergenoegende, de voorgeftelde vraag oplos» fen kan. Maak (Fig. 46. b.) den SeEtor NQHAN gelykvormig aan den SeEtor M A tJ C M. ; dan is Sect. MACBM: Cirk. AGEH ;: Boog ACB x AM ; Omt. AGEH x AN. derh. SeSt. MACBM: Cirk. AGEH:: AM : ANj maar Cirk. AGEH : SeEl. NQHAN :: 3600: derh. Sect. MACBM ; Se&. NQHAN :: AM X 360" : A N x L A M B maar SecJ. MACBM: SeSt. NQHAN:: AM2; AN* derh. AM': AN":: AM X3600 : ANx Z-AMB, . . AN of AM : AN :: 360° : L AMB~ x 360* r AM Nu is L, A M Pj , gelyk de lichaamlyke tophoek des Kégels ANrrde halve middellyn der Bafis AM, de opftaande zyde. Waar uit blykt, dat de lichaamelyke tophoek esnes Kérels tot vier rechte hoeken ftaal, als de halve miadeilyn der Bafis tot de opjiaande zyde. Men zonde dus 'ien lichaamlyken tophoek zeer wél door de (~hiadrutri"c Dinoflratii kunnen vinden, indien het niet ie veel moeite koste om deeze kromme  der VOORSTELLEN, enz, 24$ me lyn te befchryven; — dan wy liaan eenen an*1 deren weg in. Onderltel, dat (Fig. a.) AC =18, AD-5 is* dan is de lichaamlyke tophoek des Kegels zz /* X 360° — igo°. Maak dan met behulp van een Transporteur een hoek AMB (tig. e•) = ioo° , en befchryf uit M als tophoek, met de opftaande zyde des Kégels als Radius, een Cirkel, dan is de Setïof ■AM15 de begeerde oppervlakte. AANMERKING. Indien (F/g.a.) AC een twee-, drie-,vier-, vyf»; zes-, agt-, tien-,twaalfvoud enz. van A D is, zal de hoegrootheid van den lichaamlyken tophoek des Kégels, volgens de gemeene Meeckunde, door de inlchryving eenes veelhoeks in een Cirkel kunnen bepaald worden. LXXXVIII. VOORSTEL. Door C. Breevilt, waar mede J. de Gelder. ett de Opgeever overeenkomen. De Oppervlakte eener vierzydige Piramide beflaat in vier gvlykbeenige Driehoeken, van welktn de2?afes de zyden van het Grondvlak der Piramide, en de Beenen de Hoeklynen der Piramide zyn. Om derhalven het beseerde te verrichten, heeft men het Looc» flegts tot vier zulke Driehoeken te fnyden, welkers toppunten allm in één punt te faamen kernen , en welkers aanëenpaalende zyden aan elkander gevoegd biyven. Deeze aan elkander gevoegd, zo dat de Bajes eenen Vierhoek vormen, en de buitenfte zyden 'tot elkander komen, zal hec begeerde verricht zyn. LXXX1X.  »$M ONTBINDINGEN. *fi LXXXIX. VOORSTEL. $oor J. Scheffer, waar mede J. van Twisk^ S. Graaf, K. Aker, J. Switser Jansz. era de Opoeever overéénkomen. Stel de Cyfferletters - ar, y, en z. Dan is volgens de eerfte Voorwaarde. Ooo^ioy+z2xj6^CiTOZ+ 'oy+aOx 16-158* dat isi6oox+,6oy + afjaag i6oo2~Pröay-f-i6x-ij84 *- Z ZZ-l * = i Volgens de tweede Voorwaarde is: (ioos-floy+sQx i6-(iooj:-i- l0 2+y)X!6-f 144 datisi6ooy+t6oy-i- söz^ióoóa; + i6oz+16^+144 14431 — 144 —z 144 I44— y— z zz 1 • aj .■■..,,',.'1.-1 nayiBfjioK »»() Eindelyk is, volgens de derde Voorwaarde: Ooo x+ 'oy+^)xi6rOoc s+l cy+z)x61-5940 dat is 1.6O0 *-f s6o y-hidz— 6 ico#-h 61 o y +612^5940 4fOO x.+ 450 y H- 45 2 = 5940 *""' ioojc + 10 y -!- z — 132 ioo*—100 z.,.. — — ioo r_„— ,—^ ____ afget4 • - loy-h ioï2 sr «32 105  der VOORSTELLEN, enz. 4jjgg loy -» io 2 = to —__, afget. iii z = 222 iii— 1 — z = 2 . Dus ioo x + io y + z ~ 132» het begeerde getal Deelen. AANMERKI NG. Uit deeze Ontbinding blykt, dat de laatst gegeevene voorwaarde alleen genoeg geweest zoude zyn , om het begeerde getal Deelen te vinden. Wanneer de Opgeever niet bedoeld heeft , om iedere Letter van dit Getal in 'c byzonder te vinden. ANDERS. Door J. de Gelder, waar mede C. Breevilt, J. Pauw, en J. Ruyter overeenkomen. Stel voor het begeerde getal van Deelen * ; dan is, volgens de rekening van den Her Opgeever, het beloop der Deelen in gelde 16 x Stuivers , en volgens de rekening van den Knegt j'oannes , die het tegen 61 Stuiv. per abuis berekent, 61a;: dus 61 x — 16 x ZZ 45 x — 5940. Waar door x ZZZZZ 132 Deelen. Dat te vinden was. Men ziet uit deeze Oplosfing, dat 'er in de opga» ve twee overtollige voorwaarden zyn. X C. VOORSTEL. Door J. van Twisk, waar mede J. Visser., J. de Jongh, en de Opgeever over* eenkomen. Stel de Intrest van 1 Guld. in één tyd ZZ x. Laat het aantal tyden = tt Ut  849 ONTBINDINGEN het uitgezette Capitaal s= a, Capitaal en Interest ten einde van t tyden ~ *zyfi< Dan is door het Voorftel '3L : i+* a : a . i + x t Capitaal oVef i tyd* k : i+a; :: a . i-\-x :a.i + * , over a tyden- x t i+* :: a • i-f x*ia.i over 3 tyden* Dus is het Capitaal over t tyden^a. 1 + »l Derh. a . 1 -!- x\ ZZ2Z2 b a 1 ■ — , t & j t a 1 + * zz V — a ' T'b " # ~ 1/ — — 1 a 47534<* 921:50:4 -fiiü * ^ « s 2278125 in Getallen a? = y " ""' ' ; * 8 75591454409°' . •10 1 550.72.5.2278125 15 15 Dus is dé Interest van 100 Ryksd. in een jaai 1 2 15 3 &CI*  d8r VOORSTELLEN» KH2. a# XCI. VOORSTEL. Mg. 47, Dvor M. j» Zuidhof. I80 — o • I08 — o L BA D 72 — 0 %6 — o Z. BAC ö £ DAE 90 — o L C-L. E 54 - O L. ABC ex L ADE. Vari 36 en 54 graaden zyn de refpeélive Sinïii/hn l/f*-lv/5en4t/ 5 4-5ï waar over men, onder anderen, de nieuwe Driehoeksmeeting van den Hee. re Strabbe, met zeer groot verlangen, in uefi licht verwacht. Stel nu de hoogte DE ~ * + iö en BC ZZZZ x — 10. Daar mede dan de twee rechthoekige Driehoeken byzonder bewerkt: Sin. L A : DE : ; Sin. L D t AE. *+io — $ y/ t-t- $ — '"" 4 —— 4 V/1O-2VS !/5-M ~ —^ 1/ IO—21/5 6 + 21/5 io+ai/f Teggndeel . • ♦. 10-h 21/5 ?0 deeler 80 + 32*/ 5* ft- ' Derhalven a -h 10x V 1 -I-11/5"AE, en «- iox j/" 1 4-f s AC. cm dat de hoeken wederzyds gelyk zyn. S Hiet  65o ONTBINDINGEN Hier van doet de fom 2*|/ i -f-li/5 — 6co CE 2 —— aV i + ? V 5 tz 300 . . 1 + I1/5X** — eooco x 3; ~ 450000 - rgoooo V 5. * — i/45oocc _ iüooos f5 Dus x +10—1/450000-180000 ^5 + 10 DË. ena; — 10 — V 450000- 180000f 5 — 10B C. ieder byzonder met f i ■+• f V 5 vermenïgv. komt x + \oa V 5 rrsoo+f 100+40^5 AE. en *—iox/"x+i^ 5—300-/ ioc-Hc/5 AC. ANDERS. Door j. van Twisk, w aar mede j. Pauw oyerëenkomt. Laat (in de Figuur) BC de kleinfte, en DE de grootfte Toren verbeelden. Nu is L C A B H~ L B A D + L D A E -1800: o ABAO Sio8°:o' ZLCAB Z. DAE~^"74ü:o^fg' Maar Z.C A B - Z. D A h.; dus ieder— 36^: o' en Z-CB A —ADErCyo"-36°^z; 540 :o' De Si«j/i van 360 is (als de Rad. — iis) = ys gs^ en de Sinus van 540 = f | + V sai - Nu is door de gelyKvormigheid der Driehoeken CBA,AOE AE ! AG :: DE : BC divid-  dür VOORSTELLEN, enz. z$i tiivul. AE -AC : AC :: DE-BC : BC AmW.BG : AC :: DE-BC : AE-^AC Maar Sin. L BAC ? Sin. L B :: BC : AC: Dus ook 5'm.Z.BAC:6'jfj.Z.B::DE-BC:AS-AÖ of Vf^V'Ü-VrT+V~h:: ao: A E - AC Komt AE-AC = ao xVi +PT \ A E + AC ZZ 300 2 A E zz 300 -1-20 ^ 1 -1- V |; a ACzz300-20. V i+f^i a —. , .. 1 „L , Alïnjo + icxf i+Vï, AC r 150-50^1^^1. Wederom A E : A C :: D E : B C. £)iv/J. en Comp. AE — AG: AE + AC :: DE- BC : (DE + BC ao : Vi+V~i : 300 :: 20: DE-r-BC DE 4- BC a 300 x V 5X^5 DE - BC ± ao ——■ — verg. en afg. 2 DE\ZZZ 302 XV 5-2^5 + 20■; 2 BC ~ 3C0 x V 5 ~ 5- coi 2 — ■ <~ " ■ " ' ■ ■ — — DE-i5cx^5-^J— lö.BCz: i5°xV XCII. VOORSTEL. Fig. 48. Door den Opgeever. Verleng den Bafis A B ter wederzydsn , als tot E en F; boven en parallel met denze'ven trek (naar goedv jnden wat hoogte) de Horizon? Lyn H 0. — Bepaal op den Bafis den Rand van het Oogpunt , S 2 site.  452 ONTBINDINGEN als,by'voorbeeld, inG,en uit dat punt trek opwaarts tot de Horizon - Lyn H 0 denPe//>e»£i.G 0; dan is © hetOogpunt. ■ Voorts van het punt O bepaal op den Bafis de lengte van den afftand des Zieners Oog, als, by voorbeeld, in E; uit dat punt tot de Horizon .Lyn richt op den Perpendiculair EH; dan is de afftand van des Zieners oog tot het Glas of Tafereel gelyk aan H0. Voorts uit de punten A en B tot het Oogpunt 0 trek de Straalen A 0, B 0. — In B zet denPasfer, en met de wydte BD(, als de lengte of diepte der gegeevene grondvlakte,' befchryf tot op den Bafis den Cirkelboog DKF; dan is BF~BA, en uit de punten A, B, F tot het afftandpunt H trek de Straalen FA en BH; deeze doorfnyden de Straalen A0, B0 in L en M. Derhalven getrokken de Lyn LM; dan is het Vierkant ABC DA Perfpeftivisch overgebragt in het Vierkant ALMBA.— Dat begeerd was. XCI1I. VOORSTEL. Door J. van Twisk, J. Pauw,J. V|tssER,J, de Jongh, en de Opgeever. Stel de eerfte Letter zz *, en de laatfte Letter zz y; dan is zyn ouderdom zz ia x -r y. En door 't Voorftel is : _3 y — 2 x zz 25 . 2 a: zz 3 y — 25 2»— 3 y - 35 i a - iüm <. - \M We-  der VOORSTELLEN, enz. 253 Wederom is yy + 31 — 101:10 xy-* 10 * zz—y y + 0 y + 10 Dus 5 x 3y—~*5——yy+ 9y + «o Dcor herleid, yy + 6y zz 135 3 ^= 9 yy + 6y + 3 \'zz 144 V y + 3 zzz it 3) zz 9 ~~ * = (-—;r = )'' eniox + y zz 19. XCIV. V OORSTEL. 49. jDoor den Opgeever, waar mede M. J. Zuidhof e» J. van Twisk overeenkomen. Ik zal in drie gevallen van dit Voorftel 'c begeerde bepaalen. I. Als de geheele Boog minder dan 90 Graaden is. II. Als die meer is dan 90 Graaden, maar deszelfs deelen ieder byzonder minder dan 90 Graaden. III. Als een deezer deelen (de geheele boog een * rond te boven gaande) meer dan 90 Graaden is. Op 't I, Geval. De voorgeftelde Boos is BDC, DE Sinus van 't eene ftuk ZZ a, CF Sinus van 't ander ftuk _ &, Radius zz i; wy moeten vinden C H Sinus des geheelen boogs. Uit F is getrokken, perpend. op AB, de lyn FG; en op CH, FI. S 3 □  KB ONTBINDINGEN □ 4Crt AD:DE::AF:FG EL?£El__ I : a ::r^T:FG □ AF3I-&' — -. ■ Z_AFC = Z.IFG beide regc zynde. Z- AFÏ = L AFI —: • , fubjl, dus Z. C FI zz L A FG - Z. A DE, hierom zyn de rechthoekige uriehoeken CIF en AED gelyk» formig, weshalven ftaat AD: AE:: CF: Cl maar A E is — V □ AD- QDlT—>/ i -a* ergo i: i — a' :: ö : Cl Cl zz b Vi — a' IH ~~ a 1/ 1 — 6* te vooren gevonden. EomtCH zza-yi — i'-f 61/1-a% Oj) '| II. Geval. Laat nu K C B de ongedeelde boog zyn , Simt van het eene ftu^ C H zz a, en van 't andere ftuk KL ZZ b, is te vinden KO, Sinutvm dengeheelen boog of van 't yervulfel tot het halfrond; LM js pp AB, en LN op KO perpend. gefteld. Men. vind als vooren ALzj/i-i1 enAH-|/i-/il. O^k dat de Driehoeken N K L en A C H gelykvorrnig *yn, AC  per VOORSTELLEN, «N*. *55 AC ; CH :: A_L_: LM ï : a :'.V i-6':LM LM - ON = a^T-"F . AC : AHj:_KL : NK i : fi-a7;; 4 : NK NK r 6 ^TwF ON 'ZZ a ffT^b* lom KOZfl V~ï^b* + i^~aT. Op 'tIII. Geval, Laat in dit Geval PKCB de geheele boog, PK en KCB de.zelfs deelen zyn, de Sinus KO is gegeeven — a, en de Sinus PQ _ b, men moet vinden de Sinus PT. QR is loodregt op AT, en QS op de verlengde TP getrokken. A O vind men - V~— a1, en A Q ~Y i-ba, als ook de Driehoeken AKO en FSQ gelykvormig. AK : KO :: AQ_j_ QR i : a -fc':QR QR - ST^ai/T^i1AlC: AOj_s_PQ, : PS i : yi-rt*:: ft : PS PS = by/T^a* ST = ax/i^-V ~—~ ^1 Rest PT a ai/i-èa-6t/i-a*. De begeerde Sinus. S 4 Wan-  sj5 ONTBINDINGEN Wanneer dus de beide deelen van den voorgeftelden boog ieder minder zyn dan 90 graaden, wier Sitiusfen zyn gegeeven sr a en b, dan is evenveel of de geheele boog meer of minder is als een J rond, de algemeene uitdrukking (Radius 1 zynde) van de Sinus des geheelen boogs of van deszelfs ver» vulfel tot het halfrond; = a\/ 1 -&2+&i/l -a». Maar is een der deelen des boogs meer als 90 graaden, waar van de Sinus gegeeven is = a, en Sinus van het ander deel is 3* &., dan is a V i—b*-b\/\—a% de algemeene uitdrukking van de Sinus des geheelen boogs of van deszelfs vervulfel tot het halfrond. NB. Nog andere gevallen , welke men zou kunnen denken door dit Voorftel vervat te worden, vallen niet in ons oogmerk, en zyn van eenen anderen aart. XCV. VOORSTEL. Door}. Pauw , waar mede de Opgeever, J.vAN Twisk, en S. Graaf overeenkomen. In het begin van dit Voorftel iets uitgelaaten zynde, zullen wy het Voorftel zelf, zoals het ons van den Opgeever is toegekomen, hier laaten volgen. Twee Kooplieden koopen te faamen eenige Ponden Speceryen, doch A 20 fg meer dan B: de fom dar Ponden van A is een Pronik-getal, en die van P> 15^ maal deszelfs Wortel. Hoe veel heeft ieder gekocht ? OPLOSSING. Stel de Ponden van A d x* -+ x Zo zyn die van Br... 15 I» - : afgetr. ■x* — 14? x — 10 - 64 f4  ber VOORSTELLEN, inz. 25^ 64 9441^:1280 ""59T —348t 13 64** — 944 x + S9l =4761 v/ i 8*— 59 = <59 8 X zzzzz 16 Dus x' + x zzzzz 27afi?A, en 15 * x 252 fig B gekocht* XCVI. VOORSTEL. Door den Opoeever. Stel de getallen der gegeevene Progresfie 152,3, 4, 5, 6 gelyk a, b, c, d, e, ƒ. De Muliiplicancen u zz z — p, v ZZ z — q, V! ZZZ — X, X ZZ Z — S , y — z — 1, Dan is z~Z.~p x a = az — aP z^- q x b zzzzz bz — &rbz+c z+dz-l-e z-\-f z—ap—b q—c r-d s—e of a + b + c+d-fë+fx z-ap-bq-cr—ds-e. S 5 Zo  458 ONTBINDINGEN» Zomen nu a-^b-\-c-\-d-'re+f x z ftelt ssb, en hier van de gevondene fom aftrekt, - refleert ap + bq -^cr-h ds + e 'a p - 1. bq -hcr-'rds+e 6 c r + d s + e ' c r ' , ds + e \d f———-\ ' t I Örri na te bepaalen wélke getallen voor de gêfleli de letteren moeten genomen worden, op dat zy de' kleiniten zyn met welken men, in alle mogelyke gevallen , zeker gaa; moet men aanmerken, dat de Diïiforen altyd 1 grooter moeten zyfi dan het mogelyk grootfte overfchot; derhalven moet s ZZ e -+- i zyn; nuar e is op 't groorst =3 6; dus s zz 6 i OÏ 7. Voorts moet r zz ds +e +1 zyn, of r — 0x7+5 + 1 - 48. g_tr+dr+e+i, of q =6x48-r-5X?4-4 + i = 328'. pZZbq + cr+ds+e-'r 1, óf p ZZ 6x328 + 5x48 + 4X 7 + 3+" I-&24ÓO Dewyl nu z — p, om den naam van Multiplieant te kunnen dragen, grooter dan 1 moet zyn, zo is op het kleinst 2; — p zz 2, of z = p + 2 zz 2242. Derhalven z - p = a ,1 z — 2 == I9H> I * P'r § f de MuluplicaDten, z — i = 2241, | Z zx 2242.J a-h  der VOORSTELLEN inz. 259 a-'rb+c + d+e-r-f xzzz n— 4708a, 't getal waar ■van men trok. p = 2240,") * 2 *%\ \ de Diviforen. en f = 7 '.j AANMERKING. I. Zo men in plaats van 6 maar 5 getallen begeerde , heeft men e op 't grootst := 5. Dat is s — e + I -5 5 + i = 6, en r = ((; + e + 1, of r =r 5 x ö + 4 + r ~ 3j-, q = er + ds -j- e + 1, of 3 = 3j x 5 + 6 x 4 + 3 + 1 — 203 i dewyl 't getal 1 verminderd is, komt p niet in aanmerking. Voorts is z-gZZZi, ofs~ q -f- jr 205. t + c-rd+e+Zx z= 15x205=307; a«. en 2 - q zzz % ~) z - r = 170 t 2 - j - 199 ^ de Multiplicanten. z - 1 - 20+ I z ..zz: 205 j n zzzzz 3°75 't getal waar van men trok. q ZZZ. 203 "1 r — 35" 1» de Diviforen. * = 6 j 2. Zo men 4 getallen begeert, is * op 't grootst = 4, en f = * + 1 ~ 5. rzz  £60 ONTBINDINGEN r ZZ2Z ds + e 4- i of r zzzz 4x5+3 + 1. Hier is ook f omioodig» z —r~2, of zzzr + 2~ ao". e+d + e + ƒ x srio x 26-260. dat is s z — r m 2 ") 35 mi j ——■ 2j 1 2—i £~ 25 de Multiplicanten* s—..r—26 j c + d+e -f ƒ X a of » — 260, het getal waarvan men trok, , 4 r ZZZZZ 24 ^ de Diviforen, zynde de zelfde ge» £ tallen, als by M. Wilkem Émbs ZZZZ 5 J deftaar in de 106de, zyner Vermaak' lyke Questien. 3. Zomen drie getallen begeert, is e zz 3, f— # + 1Z4. Hier heeft men ook r niet noodig. 2~f +'a ZZZ 6, d+e+ZX 2l~6x6zzl36rz: re. Dus z — r ZZZ 2~1 2 — i zzzzz * j* de kleinfte Multiplicantecs s... zzz 6J « z: 36, 't getal waar van men moet trekken^ en fZ 4 de Divifor. Zo men neemt s r e+5 — 8, is 2=:j+2~ 10. en z— szz 1") z —in deMultiplieantefl; z... =ioj ■ «22  t>ër VOORSTËLLËNj eh2» mS9 »ird + e+/xz=6o, 't getal waar van men trok, en r = 8 de Divifor. 4* Dus kunnen wy niet alleen zien, hoe de Diviforen in de 104 , 105 en 106 der Vermaaklyke Quertieti van M. Wilkens kunnen gevonden zyn; maar ook hoe die voor vyf , zes of meer getallen kunnen gevonden worden. XCVtL VOORSTEL; Deor den Opgeever, waar mede J* Visser., S. Graaf, J. Pauw, en J. van Twisk ever e" enkomen. Stel voor de twee eerfte deelen * en y: dan is Bet derde deel a-at-y. De Quadraaten der deelen zyu xx ax-xx-xy\_ yy ay-yy—xyj aa—nax+xx—zay+zxy-hy* aa—2ax -1-2 xx—2 ay +2xy + Uya=8 -i-2<*# — 2xx+ aay—4xy—* (y'zzze aa............ —axy f ZZb-hic 2xyzzaa — è-<2ct xyzziaa — ib — czzz (p Rellende. X Voorts  *öo ONTBINDI N^G E Ni Voorts is axx+y —— x+y = e of a-i-yl — axx + y——c haa ZZ\aa x + y\ — axx + y+i aazziaa—e x+y—ziazZ + \/iaa — c x + yzz + ka+if haa — cZZq flell» Nu is xx-'raxy+yyZZqq 4*y zznp - afgetr; xx — zxy + yyzz qq — &,p x—y-y/qq — 4p x+yZZq 2XZZ q+VW — W ay= q — Vqi—AP x- $q + s\/ qq—4p~) de twee eer_ , . f fte deelen. Nu is in getallen gegeeven azz ia, b - 50, c=3$ï dus p =5fla — si—c~72— 25 — 35=12, g = ia4- l/4tfa-f==6 + i/3ó-35 = 7of5»env/ï2--4P== !/49^48 of V~5~^48, dat isiof^-23; delaatite grootheid , als ingebeeld zynde, verwerpen wy, en maaken van de eerfte alleen gebruik, en dan is x = 3è-K=4, tu y~2i-i-3; eaa-x-j== 5, zynde de deelen van het getal ia, die de begeerde eigenfehap hebben. Dat ti vinden was, XCVIII'  bER VOORSTELLEN, enz* «6ï XCVIII. VOORSTEL. Fig. £o. Door j. Visser, waar mede ]. Pa ow , j. van Twisk, j. van der Oort, c»S.Graaf, overeenkomen. Deel AB in de gegeevene reden als 8 tot n aldus: Neem DK rrr AD; uit E als Centrum, met de wydte ED, befchryf een halven- Cirkel $ trek, uit L, LM == OP 6 graaden perpendiculair nederwaarts, en trek MP evenwydig met LB, dezelve floot den Cirkel in P; trek voorts EP, AP én BP , die zul* len 't begeerde zyn» AD 8 BD il A op 3° Lengte BD B...co AB 19 11 — ....17 AÊ Komt 90 5i' = BD tja óo' == AB 7° 9' = AD 3 DK, 9° 51' ±» BD a° 42' ZS BK BK : DK :: AD : AE. 20 42'—709/ —70 9'? Komt 18° s6' — AE 7 "9' S AD Ta »6»  sOa ONTBINDINGEN 26° 5' = ED = EP. 60 i565 —v a 2449225 zz EP 279524 ZZ OP 2160701 ~ EO . , —. Na genoeg 1473 — EO 1136 — AE 337TaO Vergr. Br. O op 500 NBr....3474* 5 P op 44 2945» 8 OP ZZ 6 OP ~ 528. 7 „ y AB ZT 17* OP — 279523. 69 ~ I020' AO ~ 337 Om de ijle Koers te vinden. BO ZZ 683 OP: Rad.:: AO: Tang. L apo. 528.7 — 100000—337.0 Komt 63741 Tang. van 32°3i'- L\ APO van 90°oo' 57°ao'r:Z.OAP bezuiden 't Oost. ZO J Z 56 15 Das I°14' zuidelykei danZOrZ, Om  BEa "VOORSTELLEN, esz» ö53 Om de tweede Koers te vinden* OP : Rad. :: BO : Tang. L OPB. 528.7—100000 — 683.0 Komt 129185 Tang. van 5a015*ZZLOPB beoosten 't Noord. NO t O 56 15 Dus 4° Noordelyker dan NO t O. Cm de Verheden te vinden* Rad. : OP :: Sec. L APO : AP. icooco — 360' — 118591 Komt 427' 8 —li4—io6| Mylen AP de V3ZZi, enyZTl. en de begeerde getallen *3, xty, enz. zyn 0, 4, 2 •en 1. . Dat te vinden was. CL VOORSTEL. Fig. 51. Door], Pauw, J. van Twisk, J. Visser^ S. Graaf, en de Opgeever. Van den Driehoek DQE verleng uit Q den Bafis DQ tot in G , en getrokken EG parallel UC of OC; dan is de Driehoek DËG gelykvormig den Driehoek Nu is^Zi69].afgetr> ■BC ~ 225 j ACz:i4-iL 4 dit by T4 AC  454 ONTBINDINGEN AC-14 18 FC z 9 BFZ144 BF- ïa Nu hebben wy deeze evenredigheid? BF : FC :: EQ : QG. Of 12 : 9 ••: 10 : QG. es»— —■—-» Dus QG r= 7i DG==3,* Wederom DG: QE:: DC: OH. of 31}: 10:: 3 : OH 11 'u Dus OH = §_ I DC 1=1* Kpmt ij yoor den Inh. des Drie, hoeks DOC, CIJ,  der VOORSTELLEN, enz. $67 CH. VOORSTEL. Geen andere Oplosfing van dit Voorftel is ons ter hand gekomen , dan die van den Opgeever. Doch alzoo deeze laatfte ons zeer duister , om niet te zeg- fen onmogelyk in de uitvoering, voorkomt, en daar enevens het Bewys der Conftruótie, dat aan alle Wiskundige redeneeringen het zegel moet hechten, daar aan ontbreekt, hebben wy, om aan het doelwit van 't Genootfchap , dat zonder Bewys niets voor waar of valsch kan aanneemen, te voldoen , van dezelve geen gebruik kunnen maaken. Waarom wy by deeze onzen geëerde Medeleden vriendelyk verzoeken, dit Voorftel in ernftige overweeging te neemen, en hunne gedachten over deszelfs mogelyk- of onmogelykheid , gefterkt door Wiskundige betoogingen, ons gunstig mede te deelen, om in een volgend Stukje daarvan gebruik te kunnen maaken. CIII. VOORSTEL. Door de Opgeevers en S. Graaf. Stel de Rechthoekszyden van den eerften Driehoek s=b en c en de fchuinfche zyde zz h. De rechthoekszyden van den tweeden Driehoek — b — en cx, 9 en de fchuinfche = V- + ccxx=Ylb_ + ccx~r xx Xx ' dan is de Inhoud van ieder s: L ic. 2 T S SteJ  aó& ONTBINDINGEN Stel den Wortel van bb + ccx*zzcxx — d dan is bb+ccx*~ccx*— icdxx-hdd zcdxx — dd—bb dd—bb zcd Stel zcdzz^oxee dan is d~icee 4cce* — bb Derhalven xxzz ^ 4 cc ee Stel 4cce+—bb~f— aceei* 4.cfeg—ff + bb 4cf ——- _ff~'rbb 4 cf Stel 4c/=4ccgg 4C f-cgg ccg + bb Dus ee ZZ — - Neem jri, . _ cc + iö _ hh ^ cc ^cc v h e : "~ . —-ZZZZ—* ƒ_<■  der VOORSTELLEN, rnz. atfo f — 2cee zcc—hh en x zz - ZZ • • ■ - zee ach acc — hh ~\ Dus cx zz " i •xh I detweeRechtb abch j hoekszyden. x ncc — hh ) bb ih*-cc-bb\* en V xxcc-ï zz '• de fchuinfche. xx zhxcc-bb Neem bzz?,, en 4, en hzz$ 2x16 — 25 7 dan is cxzz — —• 2X5 1° b _2X3X4X5_l2-° ac 2x16-25 7 bb 2X5l*-i6-9la 1201 y xxcc-\—— • —•—~ xx 2x5x16-9 70 Nu zyn 'er twee rechthoekige Driehoeken gevonden , van welke ieders Inhoud ZZ 6 is. Om nu een derde rechthoekige Driehoek te bepaalen , welkers 7 Inhoud ook ~ 6 is, zo neem bzz-— 10 120 7 cc  *70 ONTBINDINGEN h 1201 ^ j i __2X I20]a iaoi I* 49 70 '437599 I2©I I63l40 2X —— m 1 tf»u- 70 4 7 ïao 1201 aX — X—-X — 2» _ 10 7 70 2017680 C *437599 I4375P9' 4900 bb 1431599 2017680* ca V cc xx-]—zz 1/——.(-;-——_| — I61840 14377599 (3°9535S4Q48or '43 7599X70 1437599 2017680 Indien rnennu wederom bzz——, c~ — 168140 J437599 3°P53554048oi en h — • —— neemt, dan zal'er op nieuw 1437599X70 een rechthoekige Driehoek voortkomen , wiens In» houd ook zz 6 is; en hier uit blykt dus, dat, indiende getallen niet te groot wierden, men deeze Reke* ring tot» rechthoekige Driehoeken zou kunnen vervolgen. CIV.  der V0ORSTELLEN,ENz. 471 CIV. VOORSTEL. Door den Opgeeveh en J. van Twjsk, Volgens de Beginfelen der Natuurkunde van den Heer Mussc henbroek zyn de krachten van even lange Balken in reden, als de produElen der horizontaal le met de vierkanten der verticaale dikte. De krach' ten der zwaarte verminderen, en die der Balken moe. ten gevolglyk verminderen , in reden van de afftand der gewigten van het rustpunt. Dus heeft men beg. lengte : geg. lengte:: geg. gewigt: beg. gewigt. 4:3 J5 600 : x 4* S 1800 4 ZZZZZ 450 fë welke aan den gegeeven Balk op den begeerden afftand van 4 voeten kunnen worden opgebyst. Verders is 8a X6 : 12*XP :: 430 : y of 4 ; 27 :: 225 : y Komt 1518I ffi zz y, welke men aan des begeerden Balk zou kuanen ophaalen. CV.  t7i ONTBINDINGEN C V. VOORSTEL, Fig. ja. Door den Opgeever. Laat AB de Muur zyn; BC de Katrolbalk, welks lengte BC zz a, en de verticaale dikte aan den Muur BG ZZ b gefield wordt; D zy een punt willekeurig genemen , op eenen afftand van het draagpunt der Katrol C zz x, en de verticaale dikte des houts tet zeiver plaatfe zy DF — y. Dan is, om dat he£ hout horizontaal eene gelyke dikte heeft, y' b' x a b" x ZZZ ay* Dat is x : a :: ya : b'. Of DC : BC ::~DF : BG,1 de Vergelyking op den Parabool, welks gedaante dus aan ds verticaale zyde moet gegeeven worden. CVI. VOORSTEL; Fig. 53. Door den Opgeever, waar mede J. van Twis# en S. Graaf overeenkomen. Laat ABC DA een Balk zyn, en tot eene Piratuide verlengd worden in G. Stel  der VOORSTELLEN, ïnz*. «73 Stel het dikfte einde AB zz a, een zyde der doorfneede EF — », dezydevanhetdunneeinde DC ZZ b, den Inhoud des Balks ' . . zz B, die van 't afgefn. ftuk EFCDE zz S , en die der Piramide DCGD iz P. Dan is a» : b* :: B + P : P Dividendo a3 — b3 :b3 1: B : P Alternando a3 - b3: B :: b3 : P Wederom *' : b' :: S-fP : P Dividendo x3~b3 : b3 ;: S : P Alternando x3—b3 : S :: b3 : P By gevolg a3-£3:B :: x3-b3:St vólaensMeetk. B.IV.^f*. 7» Sa3-SPz:B3;3-Bi3 BJt3ZlB^-i-Sa3-S^3 ü3-i3xS 3 *~ +~ * - + a3-i3x-, dat is zoo; B men moet den Inhoud des fluks door den Balk deelen , of wel derzelver verkorte reden met óft Duo- tïent,  m ONTBINDINGEN tient, het verfchil der teerlingen op de beide einden des Balks , vermeenigvuldigen, en 'tPrtóaStotden kleiDfteii, teerling vergaaren , om den teerling der doorfneede te vinden: of gelyk de Balk is tot het afgefneedea ftuk, alzo het verfchil der teerlingen van deszelfs einden tot het verfchil des teerlings van eene zyde der doorfneede en van bet dunfte einde; want B ; S :: o» - b3 *' - b3* Dewyl gegeeven is o ZZ i8, b — 12, B : S :: 2 : i, Zo ïs x ZZ V 378o ZZ 3V I4°» Hier door vindt men ligtelyk de plaats der door* fneedej want - AB — DC : AD :: EF — DC : ED. s Dat is 6 : — 12 4- 3 V 14° :! 4° "* *° ao y 140, de afftand der doorfneede van het dan, fie einde. CVII.  der VOORSTELLEN, enz. «75 CVII. VOORSTEL. Door den Opgeever en j. van Twisk. Deel den Teller door den Noemer, zal komen « + 6 + 3C+5d-i-— i !Ï0 en flel deeze resteerende breuk sj+n^c+sJ _ £ een geheel getal 20 _ ao 5a+Hb-h jc-{-5 dzzzzzzoe 5Q=aoe — 86 —3c —5d 5 3& + 3* 5 3£-'r*3C « „ * Stel- -=ƒ Stel = ff 5 S . 5 —T—3 3 V S«*l  S'jff ONTBINDINGEN g . Neem op het allerklein- St" — ZZ b fle, alle letteren die zich, 2 op het eerfte aanzien, zo- • 2 danig laaten bepaalen. gZZah ƒ— 3^ Als Zf— i, c=i, d~r, b-sh-c komt /=c, £—45 a =4e —S/; + c—d Voorts komt a ~ 4e — 8 Neem e nu op het allerkleinfle zrr 3, komt a—4, Derhalven is de gegeevene Breuk ZZZZ 19. CVIII. VOORSTEL. tiP? Yoorftel' zynde N°. 7 van dit eerfte Deel der *fl«> ^«r/wïzgi»g, abufivelyk ren tweeden maalegeplaatst zynde, refereeren wy ons tot de oplosfing van netzelve, welke hier voor op pag. 20 der Ontbindingen te vinden is. CIX. VOORSTEL. Door den Opgeever, j. van Twisk, J. Visser, J. Pauw, en j. de Jongh. Stel de percento die A betaald zz y dan is die van B zz y + s Ni  der VOOR-STELLEN, Enz. [%77 Nu is door 't Voorftel — 2 yy + ïy + k\ -25 V y - 41 7, + i ~ 5* Volgens 't voorftel betaalen Rd. Groot Schwar.' A en B te faamen aan Intrest ƒ185:22 : 2* en B betaald meer als A ... * 7 : 13 ; zl 178 : 0 : o derb. betaald A — ƒ 89: 4 *• 2i 2 192 :36 : o enBn . ■ ■ ' "'ZZ* 96 : 18 ; o 2 Maand. Intr. Ma^nd. 12 4J 9 kómt 3t§ Intr. Cap. Ryksd, 3t% — 100 — 89:4:2, Komt *5oo Ryksd. 't Capt. van A; A heeft meer als B 500 — 1 dus heeft B 2000 Ryksd. op Intr. genomen V 2 Cap*  §78 ONTBINDINGEN Cap. Intr. Cap. ICO — 5| — 2000 Komt 105 Intr. Maand. Intr. 105 — 12 — 961 - — ——- Komt 11 Maanden dat B het Geld op Interest gehad heeft. CX. VOORSTEL. Dw j. van Twisk, j. Visser , J. Pauw, ƒ. de Jongh, en de Opgeever. Stel den bafis ZZ x de cathetus ZZ y en de hypotenufa zz z dan is door de natuur der rechthoekige Driehoeken scjc+aryzzz en door 't Voorftel xx + yy+zz zz 338 derhalven zz 4- zz Z2zz zz 338 zz zz 169 v zzz 13 Ook is z* - x? ZZ 207» »-» 131  »ER VOORSTELLEN, EKZ. ' 2jr^ I3|3— ac5 ZZ 2072 ac3 zt 125 v xzz s __— 3; = (Vzz - ** ZZV131* - 51"= ) t2 CXI. VOORSTEL. Door C. HokkeBarendsz., J.Pauw, J.van Twisk, J. Visser, J.Appel, J.B.Noor* dink, J. Ruiter, en de Opgeever. tï af Rest "2 zzzz ƒ233 : 6 : 12 —— —— 30 Portie 1 zzzz f 7000 : 2 : 8 3 ƒ 21000 : 7 : 8 nagelaaten fom. De bepaaling dat 'er voor den loden, ïyden, en 2often Penning te faamen ƒ1516:13:14 (niet4Penn.) betaald is , is in dit Voorftel ( blykens bovengem. Ontbinding) volftrekt onnoodig. V3 CXIL  gfo ONTBINDINGEN CXII. VOORSTEL. Dm C. Hokke Barendsz., J. van Twisk, J. B, Noordink, j. Appel, en Ji Pauw. _ Dit Voorftel bepaalt niets, als het geece overtollig is; want dat de iode Penning van f der Erfportie <5 maal meerder is , dan de 2ofte Penning van % der Erfportie, is eene waarheid, die inden aart der zaaken Jigt opgefloten, en blyft eene waarheid, of'er (per exempel) 40 Duiten, dan of'er 40,000 Guld. door N. N. nagelaaten zyn. Dit Voorftel laat derhalven zo veele voldoende Oplosfingen toe, als 'er Geldfommen bedacht of geooemd kunnen worden. CXIII. VOORSTEL. Dm J. Appel, S. Graaf, J.B.Noordink, J. Visser, J. van Twisk, J. Pauw, J. Ruiter, en de Opgeever, Koop. 4of!e Penning a§. — 100 — 140» Komt ƒ 5980 2 —— 400Q  »ER V O O R S T E L L E N, ENz. agi io Gl. by en af. Komt f 3000 waarde van 't Land. ƒ ao8o waarde van 't Huis, ƒ 5980 CXI V. VOORSTEL; Boor J. Appel, J. Pauw, j. Visser, J. Ruiter, J. B. Nooroink, S. Graaf, J, van Twisk, en de Opgeever. Capit, Softe Penn. iï iCO f ^ Komt ƒ 3600. '■é 80 — 100 — j 3600 Antw. ƒ 4500. V4 cxv.  *Ss ONTBINDINGEN CXV. VOORSTEL. J}Qt)r J. van Twisk, J. Appel, J. Pauw, S» raaf, J. Ruiter, en J. Visser. Noordholland Raat de ordinaire Verponding tot Je I extraoidinaire Verponding van de Huizen als 2 tot i, van de Landen als 4 tot i, en van de Heerlyke Goéderen als 4 tot 3, Derhalven, als 't van Huizen betaald is , dan is de | extraordinaire Verponding /i39:ï7.-8 ;—■ . ZZZZ ƒ 46 : ia ,: 8, 3 de ordin. Verponding - 93 ; 5 •* -» van Landeryen de £ extraordinaire Verponding ƒ139:17:8 SES —: ƒ 27 : 17 : 8, 5 de ordinaire Verponding zzzz . 112 : — : -, en van Heerlyke Goederen, dan is de i extraordinaire Verponding ƒ 139: 17:8 r~ X 3 - ƒ 59' 18 :15 da genoeg. 7 en de ordinaire Verponding ƒ 79 : 8 : 9» CXVI,  der. VOORSTELLEN, enz. 583. CXVI. VOORSTEL. Door J. Appel, J. Visser, J. Pauw,J. Ruiter, J. B. Nooroink, S. Graaf, en j. van Twisk. In de op één na laatfte regel van dit Voorftel ftaat/56:10: —, lees/56:5: — ; dan heeft men de volgende bewerking: ƒ440 4 ƒ 1760 88 —— 100 ■ ƒ 1760 ƒ 2000 de ifte Prys. 8 ƒ «O 00 - -' 100 —— ƒ 00 ƒ 100 de 2de Prys. ƒ yo-i 16 ƒ936 00 —— 100 —— ƒ 936 ƒ 1040 de 3de Prys. V 5 <"XVII.  «84 ONTBINDINGEN CXV1I. VOORSTEL. Poor $. Graaf, J. B. Noordisk, J. Ruiter, J. van Twisk, J. Pauw, J. Visser, en de Opgeever. tZPl. 500 zyn ƒ 3000. 'oo ~ — ƒ 3000 ? Komt ƒ 750 af de loofte Penn.... _ 7* ƒ15000 ƒ 74s£ 100? Antw. 4i§ ten 100 nieuw Capitaal. CXVIII. VOORSTEL. Door]. Pauw, J. van Twisk, en S. Graaf. Capit. üitd. Capit. 100 —- 5 —• 33000 1650 uitdeeling. 600 onkosten.. ƒ1050 Jaarlykfche uitdeeling. 150 ,—- 7 Perfoonen, dit van  der VOORSTELLEN , enz. 285 van 208 Perfoonen 201 ieder Jaar vermindert 6 na 33^ Jaaren ieder der over. blyvendq ieder 150 Guldens. CXIX. VOORSTEL; Door J. Visser, J. Paüw, J. van Twisk, J. Ruiter, J. B. Noordink, J. Appel, en S. Graaf. I00 —1 ƒ3:11:5 — 10.000000 Komt ƒ 356562 : 10 : — Contrib. Contrib. 108000 / 356562 : 10 : -— — 1? Antw. ƒ3:6: bjf. CXX.  s8S ONTBINDINGEN CXX. VOORSTEL. Door j. Pauw, j. Appel, s. Graaf, j. van Twisk, j, Visser, j. Ruiter, en j. B. Noordink. i Dertiend'half 121 ft. I Zesthalf.... 51 ft. —' van e^s Guld. Komt 10 Dertiend'halven A. en 10 Zesthalven B. CXXI. VOORSTEL. Door Jacobus Appel, waarmede J. van Twisk, s. Graaf, J. Visser, J. b. Noorbink, J. Pauw, en J. Ruiter ovetè'enkomen* Dewyl de Zest'halven tot de Dertiend'halven ftaan als 11 tot 25, zo volgt dat, om A en B even ryk te doen zyn , A 11 Dertiend'halven moet hebben tegen B 25 Zest'halven, 't geen het minst is in geheele getallen. CXXII.  der VOORSTELLEN, enz. 287 CXXIL VOORSTEL Door J. Visser , J. Ruiter , J. Appel , J. Pauw, J. B. Noordink, S. Graaf, en J. van Twisk. A 14 Guld. .•-<- ƒ 60 verfchil. Antw. ƒ 4000;- het eerfte Capitaal. 4*  ser VOORSTELLEN, enz. sgj i 4* Percent Cap, — Perc. 3 — ioo - f 180 Winst? en ƒ 6000;— Cap; moet het nu zyn, ofii dezelve Interest te hebben. CXXXI1I. VOORSTEL. Door j. van Twisk, den Opgeever, j. Ap* pel, S. Graaf, j. Pauw, en j. Vissir. i«o — 3* ■ f 6000 Maand. 225 —— 12 —— f 168:15*— Komt 9 Maanden tyd van A> ƒ168 : 15 : <* 28 i 15 : ~ 111 afgetr, 3I ——- 100 ƒ 140 : — : — Komt ƒ 4000 Capitaal van B. CXXXIV  ïfjg ONTBINDINGEN. cxxxiv. voorstel; Door den Opgeever, J. Pauw, J. Visser, j« Appejl, en J. van Twisk. d ï c ii B i| A2JI (V3ï I f 75ohetDorp A. -6ÏT-/.ISO-v.i Sr u 1/3*° D. CXXXV. VOORSTEL. Door den Opgeever , J- Pauw, m J. van T w i s k. Hier by kan men aanmerken: Dat, als 'er maar i man uitging, 109 veranderingen mogelyk zyn. Ais *er a Perfoonen uitgingen , zoo is bet getal der veranderingen, de fom eener Jrithm. Progr.^van 108 Termen, wiens begin en opklimming 1 is, en as fom een Trigonaal-getal- Drie  bEk voorstellen, enz. ity Drie mannen uitgaande, zo is bet getal der veran* 'deririgen etnPyramiddal.gèial uit Trigonaal -getallen ton het eerfte Iighaamiyke geflacht, wiens Wortel io? is. Hier uit volgt: dat, sis 'er telkens9Perfoonen uitgaan , zoo is bet getal der veranderingen een Pyra"midaal- getal uic Trigonaal getallen van *t zevende iighaamiyke geftacht, wiens Wortel 101 is. En wordt aldus gevonden: De Wortel iox — 1 x 1 verfchil r±Z ico , looi- i de eerfte Term ioi extremum majus, lot 102 103 104 105 10S iol + 8= 109X X X— X — X-—X—— 2 3 4 5 <5 7 107 ic8 \ x —x } 8 9 / Komt: 4263421511271 maaien. NotA. Deze 'Oplosfing is dfkomjlig vón Wylen B. GüNTHER. cxxxvi. voorstel». Door den Opgeever., en j, van Twisk. Stel deii Wortel van het eerfte ~ 5 i dan is *° 4- 27 x + x =: 25 jc x ■ 1 X +ill + t ZZZZZ O v— —" g~-h 1 zz~rz o * Der-  5o3 ONTBINDINGEN Derhalven x3+ 2?- xa+ x — 25 het Quadraat s v/aar van + 5 de Wortel is. Voorts ftel den Wortel uit het tweede = 255 dan is 3 a^-'r i\ zr~~. 650! 3 a3 -— 648 3' ' —— a3 ZZZZZ 216 ir—-~~ a ZZZZZ 6 C XXXVII. VOORSTEL. Fig. 54. Door de Opgeevers en J. J. Bouwens. Stel de Sinus des Boogs BD = ar, dan is: Cof. CD = ^"CB - BÖa= ^~T^lx En Cof CD : Sin. BD :; Rad. CA : Tang AE of v/"~xx : x :: 1 ; Tang AE x Komt Tcw/g. AE = rZZZZZZT V X —XX Wrederom Cof. CD : Rad. CB :: Rad. CB : Sec. CE of v/ 1 —xx : 1 :: 1 : Sec. CE t Komt Sec. CE = # Der*  der VOORSTELLEN, enz. 301 Derhalven is door het Voorftel*, 1 ■: en —~—■ * l— XX *i™jCX eene Arithmetifche Progresfie. ^ 1 zx Gevolglyk * + p = 77 ¥ 1—xX * l—XX ■ ]/ I —xx X V 1— XX -\- \ — —1.424= 1.c68 ï » 6.84  3oa ONTBINDINGEN 6.84 y zzzz 0.356 6.84 y zzzz 0.06 Hierdoor ar = 0.8 — y zz 0.74, . Stel wederom * zz 0.74 4- y, Das is x^zz 0.29986576 + 1.6208965+ 3.2856 yy + &c.) 3** 5; 1.6428 +444 y + 3 yy — 4XZZ — 2.96 —4 y — I 01733424 + 2.0608965 + 6.28563131 — — I 6.2856 yy + 2.060890 y ZZZZ 0.01733424 6.2856 y\ + 2.060896x6.2856^=0.108956098944 1.0304481 =1.061823080704 6728563/1*+ 2.060896 X 6.2856374 1.030448!*=: 1.170779179648; v 6.2856 y + 1.030448 = 1.082025 6.2856 y zz 0.051577 6.2856—— 3» = 0.00825 Derh. x =0.74 + 3-3^0,74815, de Sinus des begeerden Boogs, zynde 48° 26', CXXXVIII.  ©er VOORSTELLEN, enz. 303 CXXXVIII. VOORSTEL. Boor den Opgeever , j. j. Boüwens, j. van Twisk, en K. Aker. Dewyl een Bombe, by verfchillende elevatiën van 't Mortier, met gelyke laading Paraboolen befchryft, welker wydten tot elkander in reden zyn als de Sinus van den dubbelen hoek der verheffing, (Zie Belidor Nouveau Cours de Mathematique 1746, 747), zoo heeft men; gegeev. verh.: beg. verh.:: Sin. 2x15° (of Sin. 30'): de gezochte elevatie. Dat is 180 : 280 :: 50CC0 ; x 20 9 : 14:: 50000 : x Komt 77778 Sin. van 5i°4/ voor den dubbelen heek der elevatie; hier van de helft, komt 25°32' de begeerde verheffing. Dit gevondene van 900 afgetrokken , rest 64°28', met welke men tot dezelfde verheid zal fchieten: dewyl de verheden, de verheffing zoo veel boven als beneden de yo° gefield zynde, gelyk zyn. CXXXIX. VOORSTEL. Fig. 55. Boor den Opgeever. Laat P de Noord - en Z de Zuid - Pool zyn. C 2y Canton in China, en A Amfterdam ; MO_ de Equi» noStiaal-, dan is PAZ de Meridiaan van Amfterdam, en PCQZ die van Canton; de Z.APC is s iq6° J Y 3 het  3Q4 ONTBINDINGEN het verfchil der Lengte tusfchen de heide Steeden, Voorts zyn AP — 37037" en PC = de Com- plementen der N. Breedte Dewyl c.e hoek AFC Homp is, zal de Perpendiculair AB op de verlengde PC vallen. Derhalven is Rad, B : Cof. AP :: Tang. AP : Tang. BP. 9.8868105 9.49i534y ^9-3783450 Log. Tang. van 13* (26/ 24" = BP, PC - 66° 52' 00" BP = 130 aó'24" « verg. BC zz 8o° m<2&." Cof. BP : Cof, AP :;: Cof. BC ; Cof. AC, 9.2262769 9.8987067 19.1250636 9.9879405 9.1371231 Log. Cof van 82* ry^'rAC, Dewyl nu ieder Graad 15 Duitfche Mylen bevat, heeft men 1231 , 775 of zeer ca 1232 Duicfche Mylen voor den gezochten afftand der beide Steeden. Dit Voorftel is mede ontbonden door J. Visser, ]. Pauw, K. Aker , en J. van Twisk; doch alzo dezelve van de vergrootende Breedte gebruik gemaakt hebben , is hun gevonden antwoord minder naauwkeurig; alzo de Tafelen van vergrootende Breed» te niet ingericht zyn voor eenen zoo grooren afftand , als hier gevonden moet worden. Zy vinden, de een min de ander meer, 13254 DuitfcheMylen voorden afftand der beide SieedeQ, CXL»  der VOORSTELLEN, enz. 305 CXL. VOORSTEL. Door den Opgeever, waar mede K. Aker, J. van Twisk, en A. Roos overeenkomen. Stel de getallen *, en y; dan zyn dezelve x-\-y reeds in eene Harmonifche Progresfie: hunne QuadraaA-Xxyy ten zyn xx, en yy; en door het Voorftel is {x-t-yy a * y 4 xx yy 3c+y+ — a, cnx* -hy1 -\ ~ b x+y ——yl' of#+yl -l-axyzza'x + y), enjca -r-$*.ï*4-y|*r= (4 yy = Z» (*- +y;> Stel nu * + y ~/>, xy = q: dan is x*+y'ZZ pp — aq. _ Deeze waarden in elk der twee gevondene Vergelykingen overbrengende , worden zy veranderd : de eerlte in p* + ?q ZZap, waar door 2 q zz ap — p'sza—p.p, en 4 qq - 4xxyyzz(a-pypp. ' De tweede in pp — - q pp+ 4 qq~bpp , waar in de Waarden van vq in 430, zoo even bepaald, overge. bragt, heeft men app-ap pj> + a—p\txpp = bpp; Y 4 en  $o6 ONTBINDINGEN. en door pp deeleDde: s.pp — ap + aa — aap +ppzzb% °f 3PP — sapzzb — aa pp- ap~$b-jaa \aaZZ \ aa'bydoende, heeft mtn pp—ap + \aazzzz\b-x\aa hier door/>~£ a + \/ \ b- T\aa bekend, en a q ZZ (a-p)p insgelyks bekend^ Nu moeten alleen nog maar x en y gevonden wor. den, waar van de fom èn het f roducl bekend gegee-; ven zyn- Een byzonder Voorftel, meer dan eens, behandeld. x.zz\p + \V PP — 4 21 bet eerfte getal ^ yZZ\p — \^ pp — 42» net derde, a x y 2 q en == ~5 bet tweede Q, E, I. x+y P Toepasfing. In getallen is gegeeven aZZaê, b — 844i bier door is p — 18 of 8. Beide Wortels geeven q " 72: dan wy maaken alleen gebruik van pzz k8: oevvyl de andere waarde voor x en y imaginaria gae- nxy ven: en dan vindt men x zz 12, y z 6 en —— — S\ x + y Weshalven 6, 8, 12 de begeerde getallen in eene ^Jarmonifche Progres fit zyn. Bat te vinden was.  jpER VOORSTELLEN, ï»z, 307 CXLI. VOORSTEL. Door den Opgeever, J. van Twisk, J, Pauw, A. Roos, en K. Aker. Stel voor de Progresfie x — 3y, x—zy, x—y,x9 X+y> 37 + 23;, en x + 3 y; danis 7 x derzei ver fom, êu de Quadraaten der 'lemen zyn? xa—6xy+ 97* *» — 4*y + 4.y* »2«—2a;y-}- 9* a?3 4-2 a; y-f- y* x*-rtxy + ^yx* + 6 #y + 9y5 waar van 7xi4- 28 y* de fora is, De Cubi der ÏVrme» zyn x'-r-p^y+avary—27 y» »3 — 6 #2 y +12 x y' — 8 y3 x3—3 y + 3*ya— 5* a' a-' + 3*1y+ 3*^+ 3»' jc3 + 6x^ + 12 + 8y' X3 + y x' y + 27 ac y' + 27 y3 van deeze is de fom 7 x3 + 84 * y% Y . pi q qx x'+ 4y> = — P . (3 32* 3**-i- 1231» = — P r at1 4- 12 >• = — afgetrokken. P _i3tf» r P P 32* — * P P ■ 32* r ip ap 934 9 22 16 pp 16 /p " af*  per VOORSTELLEN, enz. 509 ZqX + 9ql - 9qq * , - 21 = + vJjïZ'- 4p — 1(5 pp *p 3a r en * 4- - + , ftel sa *; 4f — 16 pp 2p r dan is in ** + 1231* z: — P r 12 y2 zz — — ss P 1 r >l = — x — — SS 12 p r 1 gr» = v ss, lip 12 Nu is in getallen pzz 1, 3=5, r = 28, welfre op de Formulae toegepast zynde, geeven x>zZ4 of 3j, en de overeenkom ftige waarden van yzzi of £1/7. Dus zyn 1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7» of 31 - 4 V 7» 3§ - 4 P 7 > 3* - * !/ 7 » 35» 3* + * V 7, 3* Hh * V 7 en 3§ 4- I f 7, de begeerde getallen. Dat te vinden was. CXLII*  «|Io ONTBINDINGEN CXLIL VOORSTEL. Door], van Twisk, waar mede de Opgeever» tn K, Aker, overeenkomen. 4x1=4 7x2 = 14 8 X 4 == 32 6f X ï = 6$ ©f x 2 = i3f Mgetrokk, 6# X 4 = 371 ... verg...47f J 20 £ n 400 Guld., CXLV. VOORSTEL* Jbmt den Opgeever, J. Paüw, K. Aker$ en j. van Twisk, Maanden 3 6 9 ia 4* f)— Maand.' Perc. Maand. 12 6f —— 9; Komt 5 Winst ioo  der VOORSTELLEN, e*& 31J IOO 105 1 IOO *f ' fó^CO? Stukken 1200 —— ƒ 6000 — 1 Stuk? Antw, ƒ5:- het.Stuk Contant* CXLVI. VOORSTEL. Door J Pauw, waar mede de O p g e e v er , ƒ«, vam Twisk, en K. Aker. overeenkomen. Stel den Intrest ten honderd in 'tjaar ~ y, en het Capitaal ~ 4*$ Zo betaalt hy Intcr. van 4* over ; Jaar van 3* over 1 Jaar van 2 ï over n Jaar van * over 2 Jaar IOO — |J — 101? ,5 xy ■ cc xx c -s 4 V cxx / 8V Yi /1 16V \ ccxx c S \ Indien men nu onderfok, dat deeze gelykbeeniee Driehoek met zyn ingdchreeven Cirkel om de loodlyn (dat is de lyn v„n den tophoek op den Bafis getrokken) wordt omgevoerd, teelt hy den Kegel, en de ingefchreeven Cirkel den Kloot in den Kegel geplaatst; nu wordt de Inhoud deezes Kloocs aldus he2 paald:  5lfJ ONTBINDINGEN paald : de middellyn vermeenigvuldigd met c geeft r cx* i voor den omtrek c ( «a ) ; de Inhoud van r cx* ■>§ den Kloot vindt men ZZ h c f x — — 1 : V iV y deeze moet een maximum zyn. Hier van is de Differentiaal' cx*^{\ - 4.cx3dx~ *c(?-ivV xt2xdx—rrv-0 cx' of I —- o cx* = V V V xs = — of X zz V —♦ c a*y* of ar* — iax = — ■ ; by beide aa voegende, b% a* b* — a* y1 zal xx — 1 ax + aa — —— —, en dus x — a= b' a — "ff bb — yy zyn. b De Equatie (A) geiifferenueerd, geeft zxdx — aa2ydy a'ydy zadx ss ,• waar uit dr ~ — b' b' — O) ay dy — —— (voor x <— a deszelfs waarde £>!/(&£— yy) a aa yy dy* - V {bb — yy) ftellende:) dus is dx*zz , b b* (b*-y*2) en dx* -h dy* — dz (= de Differentiaal des Boogs) dy* x ( 1 H ), en dz ZZ dy zz ^ b*Qb— yyys ^ r t + „ \ ^ bb{bb-yy)S aa yy Brengt nu . door divifie tot eene on« bb (b b —yy) eindige Séries, aldus: c 3 ^ p -h enz. ad «jjfa, Z 2 a»  3I8 ONTBINDINGEN a'y* méer-jz """"" — + b' a'y* a'y" + b' b" ai ys * H b* f «• V Hier door verkrygt men dzzzdyxv f i + ——- > 6* a*y* «* y* *n j. + + enz. ). ba fc8 J Om nu den Quadraat ■ wortel uit dit Multinomium te trekken , zo itel dezelve aan deeze Reeks ï -+- Ay2 + By4 + Cy6 + Dy8 + Eyl° + enz, ge]yk te zyn. Deeze Reeks tot het Quadraat gebragt zynde, heeft men i + aAy2-r.2By4 + 2Cy6+2Dy« + 2Ey10+ enz. AV-r-2AB/'-r-aACy8+2ADyIO-T- enz. B2y8+ aBCyIO + m. enz. Welke Reeks gelyk moet zyn aan de voorgeftelde: vergelykende dan de Coëfficiënten van de gelyke afmeetingen, heeft men  eer VOORSTELLEN, enz. 319 a* a« 2 A~ — hier uit Azz—• b* 2 b* „ aa a* a* 2B + A =- B = V 2b< 86a a" a a* as 2C + 2ABZ— Cr -I . b' *bs 4^'° 16b'" a* aa 3 a4 3 a5 5 a8 2D + 2AC + B5- —D = 1 b*a 2b'0 8b'* 16b1* i28£«ö enz, enz. Deihalveaisa'z:: dy aa 4 y3dy ab* 4- f )y*dy Ca1 a* a6 ^ — 1 ) y6dy 2b9 4&'° a* 3a* ^ 3a6 5a8>. ^2&,e 8£,a 16b1* nzb16' (y* dy enz. En hier van de Integraal neemende, verkrygtmen: z = y o» y* + X ab* 3 Z 3 4-  32o ONTBINDINGEN + C ) 4- - Kzbs %b*J 5 + r — +— j x - ^2È8 4&10 ic&12^ 7 S«* 3"a 5°B * £ ^ ^-2i>10 Sè^^ ióè'4 i28&,6'9 enz. öfi? infinitüm. Dat te vinden was. Gevolg. Indien a ZZ b — \ gefield wordt, verkrygt men; y3- 3ys 3-SO7 3-5«73ig Z 2.3 2.4.5 2.4.0.7 2.4.6.8.9 4- enz zynde de' bekende oneindige Séries voor de' waarde êens Cirkeiboogs, waar van de Radiuszz 1 is. CL. VOORSTEL. Doer den Opgeevek ts J, vah Twise. De deelers, waar in de voorgeftelde grootheid kan ontleedi£?d worden, zyn 1° am, bn en fVSÖ. - pe eerüe wordt in 1, a, «», a3 enz., tot w ieraen ineeflooten, entlëedigd; dé tweede in b, b7, b3 enz. tot n Termen ; de derde in r(a+^(a + «*fl<* = fc q. E. D. CLII.  der VOORSTELLEN, enz. 3*3 CLII. VOORSTEL. Door de Opgeevers. Stel de Sinus/en der begeerde Boe-gen = x en y. x y Dan zyn hunne Tangenten ZZ—' ' en —-—- y i-xx 1/1-yy Derhalven x : y :: p : q qx qx zzzzz py en y zzzzz ■ P y ' qqxx = pp yy ., . 1. , ss qq ss xx = pp ss yy x y ~m Wederom ——— : :: r : *Cge;j V 1—xx yy \. X : y :: p : q V 1 — xx : y 1 —yy — : — r s Dat is i/i—xx: yi — yy 1: ps : gr — r i — xx : l-yy ;: ppss : qqrr qqrr — qqrrxx zzzz ppss-ppssyy qqrr xx zz qqrr - ppsst-ppssyy-i^etr. qq ss xx zz pp ss xx $ bo v. gev. r — 3» en* = 53 4X 25 — 9x9 Dan is x zz f x V —— - °'3Ó324» 25 — 9 4X25~9X9 en y rr s X ————— zz o.r44b<5, 25 — 9 Zynde de Sinus/en van 210 j 8', en 330 i'. CLI1L VOORSTEL. Door den Opseever, J. Pauw, A. Roos, K. Aker, J. van Twisk, P. Brecjht, S. Graaf, en J. Visser. Lees in den op één na laatften regel van dit Voorftel, in plaats van 11 Weeken, 14 Weeken. Dan hadt hy overgewonnen 28 - 35c en verteerd 36 + ui ■ ■— verg. «4  öer VOORSTELLEN, *nz. s«5 64 -h 8* = 40a; 32 a; ~ 64 32 x 2 Ryksd. of 5 GI. 's Weeks verdiend. CLIV. VOORSTEL. Boor]. Pauw, waar mede de Opgeever, ƒ. van Twisk, S. Graaf, K. Aker, A. Roos, en J. Visser overeenkomen. 6 generaale Teller, waarin alle de Tellers deezer Breuken gedeeld kunnen worden. !| 8 l 10 —— fS £ 8| 16 fê de eerfte, *t — Tr>9 110U0 f8 de tweede, 5 0 Ji5\3° ffi de derde, £ 18136 (ft de vierde Kaas. CLV. VOORSTEL. Boor J. van Twisk, de» Opgeever, S. Graaf, K. Aker, J. Pauw, en P. Bre cht. Stel de waarde van ieder ftuk Goudgeld zzzx Guld., en van iederftukZilvergeldzzy Guld. Dan  3s6 ONTBINDINGEN Dan is 9 *= en — lzy — 25* 3* - sy iy ZZZZ 6T| 2 ■ y = 3ï|GuId.iederftuk 59 Zilver, en x ZZ — ~ 5| Guld. ieder ftuk 3 Goud. Dus zyn in 't eene Zakje i a Ducaaten of 63 Guld. en in 't ander Zakje 1 a Ducatocs of 37 Guld. 16 St. CLVI. VOORSTEL. Door J. van Twisk, K. Aker , en den Opgeeveu. N°. 1. 100 Daalders a 30 Stuiv. ƒ 150 N°. 2:. ioo Gguld. a 28 Stuiv. ƒ 140 N°. 3. 100 Guldens .... ƒ 100 ƒ 39o 3 Dus de waarde van elk Zakje ƒ 130 Stel nu dat in ieder Zak gaan x Daald., y Ggl., en z Guldens. Dan is sc + y+zznioo, eniix-f i|y + 3~i3o i5*+i 53+152—1500 153+1431+1021:5300 150+143+102:11300 j +  bër VOORSTELLEN* snz* 327 y+ 5zZZ aoo 5Z=IZ2bo — y 5" 2rrr4o — ^, derh.moetydoorj-deelbaarzjrtiè Wederom x+y 4- z ±r 100 in —16 " 3ox-{- loy + icz— iooo\ 15* +143/+roz-1300{ afgetn r 1 5*+ 431 . i . 300 5* = 300 — 4-y ■5• • a; = 60 —-. —— 5 Uit deeze bepaaltogen blykt, dat y op 'tkleinst é=s 5 > en op 't grootst = 70 kan zyn ; en dus zyn opt 70 dit Voorftel -7— = 14 Antwoorden. 5 Neemende mi J—5-> 10» ij» 20, 2$, 30, enz, tót 70* Dan fe xzz$6, 52, 48, 44, 40, 36, enz. 1.0144 ga 2=39, 38, 37, 36, 35, 34, enzt tot 2tf. Aa GLVJi*  328 ONTBINDINGEN CLVII. VOORSTEL. Door], Pauw, J. van Twisk, K. Aker, en den OpgeeveR. 100 — 115* t y looooo$zi0 — 21435881 f vj*$ Komt ƒ2143 : 11 : 12 Lyfr.Capt. en Inter. ƒ iooij : — : — 't Capitaal.J - — afgetr,. ƒ 1143 : 11 : 12 Lyfr. die de Erfgenaamen kunnen trekken. ico — 103 8 _ .—. —— ——— y 10000000000000000 — ia6'677C08l3876lÓI — ƒ 1000 Komt ƒ 1266 : 15 : 6 Capt. en Inter. ƒ iï43 : 11 : 12 de Lyfrenten. —■—. —- afgetr. Rest/ 123 : 3 :10 welke het Comp. toir 'er voordeel by gehad heeft. CLVIII. VOORSTEL. Door K. Aker, waar mede j. Pauw en J. van Twisk overeenkomen. Diam. 2 V 14 — ii — 4? Kt. 3j bovenvlak. Diam.  cËft. VOORSTELLEN, enz. 329 Diam. )| — V H — 11 2\? Kü. f§ ondervlak. —————— verin. ^ || middenvlak. s| bovenvlak;1 §g ondervlak. . ;—verg; § de § hoogte. ' < — verrfi. 3f|| Inh. van de Mand A; Óp gelyke wvze vindt men voor dtil Inhoud van dé Mand B 6|èi en voor den Inhoud van de Mand C 'u*. Derhalven Stuiv. jefJ?Kt. ƒ2:19:6 de Mand B; èH§ — 30 V$S*?Kt./j: 3:5 deMandC. CLIX. VOORSTEL* Door den Opgeever, j. van Twisk, en j. j. Bouwen s, Onderftel de Vriag opgelost te zyn; noem ABra, BC~b, P E zzx: dan is C E— b-~ x, en orn legelykvormigheid der Driehoeken ABC en CD E is Aa 2 EÖ  S3o ONTBINDINGEN BC : CE :: AB : DE a(b-x) of 6 : b — * :: a : DE — . b Nu is de Inhoud des Driehoeks BDEZjBEx abx-* axx £)E rr — • deeze moet een grootfte zyn. tb Deszelfs differentiaal — =oHellende, Verkrygt men & = 2 ac, of a; = § &. Deel derhalven BC in E midden door, trek DE rechthoekig doer B G , welke de Hypotbenufa in D fnydt; trek eiodelyk de lyn BD; dan is BDE de begeerde Driehoek, die de grootfte is. Dat te vinden was. CLX. VOORSTEL. Daor de Opgee ver-s» Stel de geheele Nalaatenfchap ZZ z Guldens, z Daa is het deel des Oudften rr — + b ... ftelrr* . a Z — X des T weeden rr j-i-J-c ftelrr.r + 3 a des  der VOORSTELLEN, enz. s3r t - a x -f-y desDerdenr: [-fc+ac+d, ftel-3c + 2>* a z ~ 3 x + 3 y des Vierden ~ — f- b + 3 e + 3 d,ftel ~ 33, a Z— 4X+ÖJ des Vyfden =: 1 + & + 4c+eV,Ctel — x+4y a en zo vervolgens. Indien wy nu iedere Vergelyking van zyn vo'gende fubfiraheeren, dan rest 'er. x — {- c — y a x—y j. c + i = j 1 1 *+y + c + j d = a ar+ay — 1- c + 3 d zz y, «iz. a Subftraheerende van deze weder iedere Vergelyking van zyn volgende. y Zo heeft men — — + d zz o a J h d ~ O a Aa 3 *w  33a ONTBINDINGEN y — Ir d ZZ, Ot a y derh. — - + d zt o a a »■ IT q en _y = a d Maar l-crj x derh. — —h c zz ad a , ' ■ - re - « <2 » iy-\-^ x—\y\ '-{-ayz -x-l y + ^x-\y\ +iyz n— —i-r—— ———— Gegeeven 0=20, èzz tfoo, czz 1500» en dZZ50. dan is z zz — 20X 4600 +400X 1500—8000 x sozz 108000 Guldens. Ieders aandeel -v~aox 1500—400x50 looco Guldens. x-V yZZ 20x 1500+ 20x 50 — 400x 50ZZ ïiooo Guldens. x + ayzz2ox 15C0 + 40X 50—400x 12000 Guldens, enz. En de meenigte der Kinderen 95004- V 9S 0012 4-2O0°X 108000 3 == -ttt • • j ZZ 8. iqoq CL XI. VOORS TEL. Fig. 58,. jDoor de Opg^evers. Laat deVoerfiraalenMF =2 a, N F = i, de Pees MN = c, en de Parameter == p zyn; trek de Of (fJ/«at«»MP, NQ, en MR parallellen As des pan  pER VOORSTELLEN , enz. 335 Dan is AP = MF — * p = a — \p AQ = NF - \p ~ b - * p. Hierdoor MR — PQ. r: AQ -APri-a, NyisMP=i)x AP=i>X«-ip"MP = QR .= v «^Tpx/i NQ=pxAQ=pxI^ïp''. . . NQ rrz: Oj^Jpxp Gevolglyk NR ~ N Q — QR =.Vb-~^\pxp a—Lpxp a ■ ■ j_ ir ■ ' ■im— — v NRzzbp + ap-}pp-2p^b-ipx^-ÏP Nu is door de eigenfehap der rechthoekige Drie, hpeken, MN = MR + NR* dat is ccZZb — a\' + b + a — 2^b-^pxa-lp"lpp ipp-b + axp + cc-b-a] ~-**pV'b-i\pxa-\p %te\cc — b~a\*zzddu Ipp—h + axp-Vdd =:— 2p (ƒ'b-ipxa-ip - r-r—, Y Aa 5 %  $3/6 2 ONTBINDINGEN * p 4 _ b 4- fl x p j 6 - a 11 -;- d d X i> ƒ> - & 4- * X a d dp + 04=4a&ƒ>/>■ — &4-oX/>3 4-Jp 4- ddxpp-'b 4- axiddpZZ-d* Maar J-ah + ^r ce derh. ccpp-b + axiddp ZZZZ— de hegeerde ee Waaide des Parameters. Wy zouden hier by kunnen voegen, hoe hetzelve Geometrisi.h te conitrucereru dan dewyl dit byMAtrdutt, Inleiding tot de Kegelfneeden , geleerd wordt, dunkt ons zuIks hier overtollig te zyn," CLXII.  der VOORSTELLEN, enz. 337 CLXI1. VOORSTEL. Flg^g. Door de O p g e b.v § fdr Laat FGHI de vfskie dnorfnèêde'der Kuip, in C het ftuk Geld, en KB L de bovenkant van het water zvn' Dan is AB ds invallende-, en BC de gebrooken ftraal. Nu is GF : Rad. :: OH : Tang. Z.GFH, óf 16 : 100000 :: 48 : Tang. zlCFH. Komt Tang. £GFH ~ 250000 Dus de hoek der invalling L G F H zz Z.E B H = L ABD zzó'ó0 12'. Wederom 4:3:: Sin.Z.ABD : Sin. L CBE, of 4 : 3 :: 02849 : Sin. i_ CBS. Fomt Sin. £ CBE "60637. Dus de hoek der breeking L CBE = 44° 8'. "Eindelyk is Tang. L ERH - tang.L EBC: GH:s {Rad. : BE, 250000 <■» 97020 ; 20 :: ( 100000 : B E. Komt Bti = 13 duim, nagenoeg, de hoogte dts Waters. CLXIII.  g|g ONTBINDINGEN. CLXIII. VOORSTEL. Hoor den Opgeever, waar mede], van Twisk, J, Pauw, J. J. Bouwens, K. Aker, en S. Graaf overéénkomen. Dewyl 17 +1 ï: Q moet zyn, zo ftel den Wortel ZZax+i. Dan is 17 ** + izza*xi + 2 ax+1 Of 17 - a\ x1 — sax 17 — a\ x — 2 a 23 17 — a* Neemende nu 0^=4, dnn is *=8 het begeerde. CLX1V.  dïr VOORSTELLEN, enz. 33$ CLXIV. VOORSTEL. Doir J. van Twi sk, en den Opgeever.' Volgens het Voorftel zo Js BxC - 24231 j 1,3, 41,123, 107,501,8077 &c CxD- 106641 1*1.3,9,17,41,51,123,153,289, ■j (369,697,867 &c. DxE= 75429j i,3>9,17>29,51*87 ,261,289, (493*867 &c Uit deeze gevondene Deelers is zeer ligt te zied, iat C = 123 is. Dan is B zzzzz 197 D zzzzz 867 E zzzzz 87 .— verg.' B + C + D-hE zz 1274. CLXV. VOORSTEL. Door J. van Twisk, J. Pauw, K. Aker, J. J. Bquwens, den Opgeever, eneen ong enoe m den. Stel den Bafis ZZZZ x, dan is de Cathetur ZZ n —» %i cn de Hypothenufa ZZ f 121 ^223; 4-2» r. Stel  340 ONT-BINDINGEN Stel Y 121 — 22 oC -f- 2 XX ZZ II — pX . — V 121 — 21X-\-1XX ZZ 121 — 22pX -V ppX X 22X/»— I pp-2 Wp.p-2 PP' 2 Nu kan men p neemen haar believen; alleen mee deeze be'paaling , datp grooter dan 2 zy; want anders wordt li— xzzo of negatief'. Neemt men p = 3. / 22x2 \ Dan is x e f —— r: ) 4|, V 9-2 s tn ii-.tr; *#, en 11 -par ~ 55. CLXV. VOORSTEL. Dcor J. van Twisk, den Opgeever, A.Roös f IC. Aker, J. J, Bou wens, en J* Pauw. Stel den Bajis*—* Sfc-j dan is de Ilypotkenufa ~~" ii en n-rria - af zz 121-22e moet e:n ratio■ naai 'Ouadraat zyn. Stel  der VOORSTELLEN, enz* 34t Stel 121 - 22X ZZ pp 21 ï - 121 - pp 22 ———i—— ——i 121 - pp x ZZ '" " 22 Nu kan men p neemen naar believen, alleen met deeze bepaaling, dat pp* kleinder zy dan 121 v * p kieinder dan 11. i2ï-1DO 21 Neem pzzio, dan is x zz — 22 22 221 en 11 - x — — 22 121-81 40 Neem pZZ9> dan is x ZZ zz -—, 22 22 202 en n - a; z ———; en zo ver* 22 volgens; en als men voorp gebrooken getallen neemt, dan vindt men oneindig veel Antwoorden. CLXVII,  842 ONTBINDINGEN CLX VII. VOORSTEL, fig. 6to Dtor den Opgeever, S. Graaf, j. j. Bodwens, K. Aker, es J. van Twisk* AC 18 't □ is 324 AE 9 't Q is 81 CE* z: 243 r- CEZZff 243 of 3i/27 DE^27'tDis DH- 9'tDis8r HE*rr54 ir . HE-i/yV HG^ef^s^ ofi/2i6r:IK of LM Vóór 'c begeerde* CLXVIII.  der VOORSTELLEN, iNz. 343 clxviii. Voorstel. Dcor J, van Twisk, den Opgeever, J.Pauw*; L J. Bouwens, K. Aker, S. Graaf, en P. B recht. De Emfncr is boven wyd 14 Duim. onder 9 "126 14 fi= 196 9 == 81 403 tj Diam. ^Inh. j. de f hoogte. l4 — 11 —- 1612 Komt i25ö| Inh. van den Emmeh CLX1X. VOORSTEL. Fig. 61. Door J. van Twisk, den Opgèever, én j. Ji Bouwens. Laat AB de boven, en CD de onderfte Diameter, AC, BD de fchuine, en LC, GD de pervemhcwfaire hoogte zVn. Neem in CL r _ DG ) C £ — DH ± 10 Duim , en trek door KH den Diameter E b'. Nu is Bb Afi  344 ONTBINDINGEN. AB = 14 CD - 9 — afgetr. AL+GB-5 2GB = AL - 2f. Nu is DG : BG :: DH : H F of m : 'af ":: 10 : HF H F zz 2~[. Dus ook EK = 2,i E.H = 9 Ë~F~ i3i CD~9 C DaZ2 81 ■1 - — verg, de | hoogte «§ ~— verm. 14 -1 ijzJLjïL Cub.D. Drag. Grein. 1' ,5 : 20 - 97Cff§; ; Komt 40 fg 11 Oneen o Drachm. 13^ Grein. Nota. Een Pond is 16 Oneen, een Once is 8 Drachm,, een Drachma 60 Greinen.  üèr VOORSTELLEN, enz. 357 CLXX. VOORSTEL. Fig. 62. Door J. Paüw, J. van Twisk, S. Graaf, den Opgeever, A. Roos, J. J. Bouwens, en K. Aker. De Driehoek rechthoekig zynde, {laat BD tot DC als AD tot BD. Dus DC x AD = □ BD. Hier uit volgt deeze bewerking. DC 647 mn,. Cl BD ="2304 BD = 48 de Mylen die het Schip B gezeild heeft. CLXXI. VOORSTEL. Door den Opgeever, J. van Twisk, en J. J. boüwehs, De Bak is lang 2* Voet, breed 1* IS 4 Bb 2 hoog  346 ONTBINDINGEN hoog i Voet. «5, I de Cake-Voet is 17a? Duim, Komt 6480 Ca&ic-Duimen, Inhoud van de Bak , en zo veel kogels van een Duim Diameter gaan 'er ook in de Bak. □ Diam, Inhoud □ Diam, 14 : 11 :: 1 1 : |J :: 6480 kogels. Komt voor den Inhoud van alle de Kogels 539i*. de Inhoud van den Bak 6480 Rest voor de ledige Ruimte 13887= Cubic- Duimen. CLXXII. VOORSTEL. Door den Opgeever, en J. van Twisk. De gegeevene Vergelykingen zyn x + y n x+y m x = y , en y = x n x+y v v ~ x + y ~n x + y x " = y y —x J Der.  der VOORSTELLEN, enz. 347 Derhalven is door vergelyking der Exponenten x + y m n x-Vy Dus x-hyl = m n V — — — x + y = t/mn , ftel dit— p\ P l n n n p x + y x + x dan is yzzx , y zz x , en x zzx x -f-y n Maar x = y zynde» hebben wy andermaal door vergelyking der Exponenten. P n x + x =2 p. n Stel nu xzzz ; dan hebben wy n p z +2 — p, eene Vergelykinge, waar door de waarde van 2, en dus ook al het overige, b'.kentl wordt. Laat, by voorbeeld , mzzii, «"3 zyn; dan is ymn — pzz 6, en dus de Vergelykinge za + z3 = 6 n Waar uit z3 — 2 ZZ z ZZ x. P n Derhalven y zz x zz x* zz 4. Bb 3 CLXXHI.  S48 ONTBINDINGEN CLXXIII. VOORSTEL. Door J. van Twisk, J. Visser, den Opgeever, J. Pauw, K. Aker, en A. Roos. Stel de Termen der Harmomfche Progresfie ZZ x, y en. 2. Dan is door *t voorftel x -■- y + zzz 69 xy zz 280 280 x ' 4»7> &c. —17 ac* — 69 a;3 -!- 280 x x -J- 9660 x — 39200 ss o ^„14 —~ * x3 - 55 x2 — 490 x 4- 2800 ss o Derh. x — 14 r: o x z~ ~. 14 C280 — = J 20 14 -/ z zzz (69-144-20=) 35 Bb 4 CLXXIV,  35o ONTBINDINGEN CLXXIV. VOORSTEL. Fig. 63. Door den Opgeever, K. Aker, J. Visser, J. J, Bouwens, J. van Twisk, J. Pauw, S.Graaf, P. Brecht, en A. Roos. Volgens 't Voorftel zoo is AC ; AB :: 8 : 15 ■ Dividendo AB-^AC : AB :: 7 : iy AB ~ AC = ,| AB. ABxAC Ook is — 34r AB-AC ABxAC "ÏIb ~~ 34y' ,S AC = i6 A B = Q x 16 r ^30 CLXXV.  der VOORSTELLEN, ehz. $51 CLXXV. VOORSTEL. Door J. van Twisk, den Opgeever, P. Brecht, J. Visser, A.Roos,S.Graaf, K. Aker, en j. Pauw. Stel de eerfte Letter zzzzz x. dan is de tweede Letter zz x + 2. xx + 5 x + 6 xa: + *-r-2l* Nu is xx+ x w —— z: —— * 5 — x x -!- 3 X + 6 ax JC+4X+4 2 S —r . IO — 5#ic + ISff + 30 = 4xx-!-8;c+8 9 XX — •] X - 12 - 49 *' 36 — 841 9xx -- 7x+5ia r: ——. 96 V 29 6 6 Bb5 3*  35a ONTBINDINGEN x — — — 6 3 — —- x ZZZZ'i x+ a ■-— 4 Dus de begeerde ouderdom 24* CLXXVI. VOORSTEL. 4 63s />oor J. van Twisk, J. Visser, den Opgee* ver, J. J. B o uw e n s, en j. Pauw» Stel A B zzzz x, en AC zzzz y. Dan is xzz 2 y -t- 3 en ary^s + f'" löoo »rn ■ .- , -i rr 1» " 1 ' 1 8 x-2y~3 8x5—344+24°^ 2 — -—~y xx-n xy-i-^yy ~9 2xy =34,1+240^2 xx + ^xy + nyy — 353 + 240^2 x + sy =: 15 + 8 fa *w-2j = 3 — —-— verg. en afg. a*=>8 + 8^2 4y = i2 + Sj/'2 x— 9 + 4(^2 * yss 3 + 2f/2 clxxvii.  der VOORSTELLEN, enz. 353 CLXXVII. VOORSTEL. Fig. 64. Door J. van Twisk, den Opgeever, en K. Aker. Constructie. Verleng BA, tot dat AF = DH is, cn trek AC parallel de faamengevoegde F D ; dan is C het begeerde punt. Bewys. Voeg (in de Fig.) CH te faamen. Nu is door de gelykvormigfaeid der Driehoeken BFD, ABC. BF : AB :: BD : BC. Divid. BF — AB(DH):AB::BD-BC (CD):BC Derh. Z. ACB = ZlHCD, en dus C het punt, dat begeerd wierdt. In Getallen BF (24+16=40): AB (24) ::BD(iö) :BC Komt B C = 18 DC = (30-18 = ) 1* CLXXVIII.  ONTBINDINGEN CLXXXVIII. VOORSTEL. Door den Opgeever, en J. van Twisk. x , y dit is in Logarithmi x x Zog. azzy x log. &, hier uit bg.b . .. j^jix '—— — c — y '■> om dat a; + y = c ïSj log. a Dit herleidende, is / Jog* 6 \ 3>X { ; +i ) = c V log. a ■ S c c x /og> a 611 3'~ logTt" " Zog. & + /og.e Zog. a c x Zog. • ©f eindelyk 31 5 » Zog. a b c x Zog. b en x zz ———— de begeerde getallen. log. a b 6 Q. E. I. . Laat in getallen gegeeven zy n 0 :: 2, =: 8, en czz8$ 8x0,30103 2,40824 _ dan is y z: — =2, en*_c — y 1,20412 1,00412 ±8-236, de begeerde getallen. cLXXIXj  der VOORSTELLEN, enz. 355 CLXXIX, VOORSTEL. Door den Opgeever. Om een gewonne Breuk tot een Decimaale te herleiden , moeten 'er eenige nullen achter den Teller van den gewoonen Breuk gevoegd worden, en dit ProduEt moet door den Noemer des. Breuks gedeeld worden ; het Quotiënt is de Decimaale Breuk , waar in de gegeevene herleid is. Indien men dan den gegeevenen Breuk — noemt b (zynde tot de kleinfte benaaming gebragt), moet fl » — x lol een heel getal zyn, in het geval, waar b a in - volkomen in eenen Decimaal-Breuk kan her» b leid worden* n is hier onbepaald. Nu merk ik aan: I. Naardien a en b eerfte getallen onder elkander a n zyn , kan - x iol geen heel getal zyn , ten zy b het getal 10 door b deelbaar zy. _ i°. Nu zyn de getallen, waar door 10 evenmaatig kan gedeeld worden, 2 en 5, om dat 2X 5 =r 10 is; wanneer dus h — i of 5 is , zal ax lo door a of door 5 deelbaar zyn, Derhalven alle Breuken, C c waar  35$ ONTBINDINGEN waar van de Noemer i of 5 is , kunnen volkomen in eene Decimaale herleid worden. 2°. Maar io|B is ook deelbaar door 2|" of ~\ns en door 2lr x 5lf, r en s onbepaald zynde; waar uit dan in het algemeen, volgt , dat alle Breuken, welkers Noemers 2 of 5, of eenige magt van a of j zyn, altyd in eenen Decimaal- Breuk kunnen wor» den uitgedrukt; maar geen andere; want II. Indien 10 niet door b deelbaar is, zal geen magt van het getal 10 , hoe groot .ook deszelfs Exponent zyn mooge , en dus ook geen veelvoud dier magt, door bs en even min door éénige mags van b, deelbaar zyn. CLXXX. VOORSTEL. Fig. 65. Door J. van Twi sic, en den Opgeeveh. Laat DE r: « , D n zz Fm zz &c. zz b, en de breedte van eer. Glas = x zyn. Dan is DF = GE = 2& + c -j- 2», en F G r= 2 b + 5 c -!- 6 x. Als men nu (in de Figuur) FI en GK perpendiculair op DE trekt, \ dan is Z.DFI ~ Z.I DF:r£KGE = Z.KEGj dus is ook Dl = IF = KE = KG. Nu  öêr VOORSTELLEN, enz. 357 Nu is DE = a FG =s ib + 5c4- 6* afg. Rest Dl -1- KE =z a —2b+Jc~+6~x DI 5 K E s f a - ï+|7+7* Laat fa-fe + lc=^, en ai-hc^u zyn, dan is Dl = d — 3* . v/ ——. a Dl = dd—6dx +gxx —— a IF = dd — 6dx -\-gxx ■ " —— verg. DF = 2dd—i2dx-\- \8xxzz2e-!r2x\t' dd—6dx + 9xxZZ2ee-r^ex + 2xx 7xx-6d-\r4exx—2ee — dd " ~l~i~z~ :—17 49 xx—td+iexixzz 14.ee —-jdd 3d-r- ie\" zzq.ee +12 ed+$dd 49 xx — 54 -r 4e x IX 4- 30" 4- 2e |»— 18 ee-{- 12 i?^4-2di 7^-3^4-2e = '!t^r' i8ee4-i2ed + 2rfd 7«i;3d4-2e!t Y i8ee4- t2ed~\-2dd 7 2 Cc 2 2 xzz  358 ONTBINDINGEN ód-r-qe'tzf i%ee + ned + add 7 ieZZ ae 6d-iri9e1U2.y' i8e«-r- i aed+ idd 2* + 2*_ y Stel d-f-3e=g; 6g"l2i/2g£ dan is D F = 2 a; 4- 2 « = ——— • 7 Hier door hebben wy deeze evenredigheid -j- 7 : 2 :: 3g _ f Bgg : 2x -f 2 e. Constructie. Fig, 66. 1. Maak, in DE, DL zz d, DM rr e, en in de verlengde Dn, DN = Stel N O gelyk en perpendiculair op D N , dan zal dezelve DE in O ontmoeten. 2. Maak in DE, D P en D Q in proportie tot elkander als 2 tot 7 , en neem , in de verlengde DN, DR s 3DN = DO; trek PF parallel de t'faamengevoegde Q.R. Nu EG zz DF, met een hoek DEG zz L E DF, getrokken, GF te faameugevoegd; dan is 't begeerde verricht. D e-  der VOORSTELLEN , enz. 350 Demonstratie. DN3= J+Jë\azz gg Nb'r: d-r$e\*ZZ gg DÖ'— a gg V DO zz Y 2gg DR rr 3DN-DOzz^g-f 2g£, en door de parallele lynen Q R, P F is DQ : DP :: DR : DF. 7:2:: 3g-p2gg:2a; + a<-. Q. E. D. CLXXXI. VOORSTEL. Door M. Boelhouwer, J. van Twisk, J. van oer Paardt, J. Pauw, J. Visser, S. Graaf, J. Ruiter, en den Opgeever. Stellende bet aantal Guldens voor de 80 fig Boter ~~ x. Dan is 80 : x :: x : 5 xx ZZZZ 400 V * = 20 Guldens. Cc 3 CLxxxir.  360 ONTBIND IN G E N CLXXXII. VOORSTEL. Door den Opgeever, j. van Twisk, M« Boelhouwer, j. Pauw, j. Visser, en S. Graaf. Stel de Jaaren van B = », en van C==y. y.y — i y.y-i Dan is x*==- ■ -, en — x #-42875 2 * m . x K3—ZlZlL x* a y.y—-i 42875==—xx 3 > .... ■ ——— vergel, s ** = 42875 x -~—' 35 de Jaaren van B. Derhalven is door fubftitutie y.y-l X 35 = 42875 3j _ m  der VOORSTELLEN, enz. 36r y.y-i = 1225 . g 4y4—4y rr 9^00 l ZZ7.... I ——■ • verg. 47 — 43'+I r: 9801 t/ • j 23! — 1 = 99 2y ~ 100 2 . y = jo de Jaaren van C. CLXXXIII. VOORSTEL. Fig. 67. Door J. van Twisk. Trek in de Figuur CE en B F perpendiculair op AB. Nu is AE rr C^AC-CË'rO ^AC-144 EF rr (CD rr) AC en FB rr ^DB-ÖF"= ^A~C-i4a' ' —■ verg. Komt AB =rn AC-Hax^AC-144. Cc 4 Derh.  3öa ONTBINDINGEN Derh. AC-hax^AC- 144 2 Sa y——» ax AC - 144 rr 52—AC i _ ,4^. v 4 x AC-5-76 = 2704-104AC-i- AC* 3X AC+104 AC = 3280 r— ~~ 3 9]x A C + 3 x 104 A C rr 9840 — * 521 rr 2704 9XAC + 3Xio4AC+52rri 2544 v ^'—:— 3 AC + J2 —— 112 3 _ . /•ii2-52 \ AC = ^ rrJ 20 voeten. Vat te vinden was. Aanmerking. Deeze Oplosfing, door ons aldus ter nedcrgefteld, fcheen ons by de eerde oppervlakkige befchouwing aan den eisch van het Vooifiel te voldoen, naamlyk dat het behulp der Algebra daar by zorgvuldig verroyd was; waarom wy ook de Figuur, tot dezelve be-  der VOORSTELLEN, enz. 363 behoorende , by voorraad in Plaat V. geplaatst hebben; doch thans het Voorftel nader onderzoekende, bevinden wy de Oplosfing riet aan den eisch te voldoen , vermits in dezelve eene Algebraïfche Vierkants-Vergelyking , waar in AC de.onbekende ac uitdrukt, opgelost wordt, niet door eene Meetkundige handelwyze , maar eenig en alleen door het vierkant volkomen te maaken. De Leezer zal dus onze overyling hier in gelieven te verfchoonen, gedachtig zynde, dat het feilen menschlyk is. De Oplosfing van den Opgeever hebben wy , om dat dezelve meer Lynen in de Figuur verëischt, nu niet kunnen mededeelen : wy moeten echter, om den Opgeever recht te doen, berichten , dat zyne Oplosfing alleszins aan den eisch voldoet, vermits dezelve door de Regelen der platte Driehoeksmeeting het begeerde leert vinden. CLXXXIV. VOORSTEL. Door den Opgeever, M. Boelhouwer, en J. van Twisk. Stel de getallen ~ a, b, c en x. Dan is abcxZza + b + c + x + 6 abcx — xZZa^- b + c + 6 a + b + c + 6 f a b c — 1 Neemende nu a , b en c naar welgevallen , als dzz 1 , bZZi , czz 3; dan is xzz2f; dus zyn de getallen 1, 2, 3 en q§ , en zo kan mm, door a, b en c anders te nèemen , ontelbaare andere vinden. Ces CLXXXV.  3*>4 ONTBINDINGEN CLXXXV. VOORSTEL. . Door den Opgeever, M. Boelhouwer, J. vam Twisk, en Jan Pauw. a°-I-?|ï5 20- 1-1/3* io-i -tl,5 io - 1 - }t;s So . So ! ■ 'ti.» s- ■ - ara 1 T» 4J — IOO — I ƒ4000 de geh. Nalaatenfchap. Dus de Broeder ƒ 1000 en de Vreemden ƒ 3000. CLXXXVI. VOORSTEL. Door den Opgeever, J. Pauw, J. van Twisk, M. Boelhouwer, S. Graaf, en J. Ruiter. Stel ieders aantal Duiten = x. Dan is 28 x — 192 = xx af* — 28 x — — 192 — a 141 = 196 XX  per VOORSTELLEN, enz. 365 xx — 28x + '41 zz: 4 . - * 16 of 12 ieders aantal Duiten. CLXXXVII. VOORST E L. Door den Opgeever, waar mede j. van Twisk overeenkomt. Stel den Enneagonaal. wortel SS *; dan is zyne Enneag, - Formule zz —■• 2 Hier door de wortelen der gegeevene Enneag,-getallen op de volgende wyze gezocht: 7 xx — 5x 2 . 2 « 7 ï' - Jï zzz 92 ZZZ 48 |....I...7.--7 __ «— verm. x* - sx = 644 = 336 _ jil_*= 6|== 6j v^ ï' — 5 x + 6| = OjOf ZZ 342i f * - 2| = ~ 25J = - I8J 7  3<56 ONTBINDINGEN 7 x rr a8-of - 23 of rr 21 of 16 . - f ~"23 f ~ of ~ 16 7 7 Om dat de gegeevene Enneag. - getallen zonder Breuken zyn: zoo volgt, dat 4 en 3 de eenvoudigfte wortels in heele getallen daar uit zyn. » Om nu twee zulke getallen te vinden, zoo kan men ftellen, dat de wortels daar van, of grooter of Kleiner zyn moeten: derhalven muit. de gegeevene wortels 4 en 3 met eene onbepaalde grootheid Neem dan de 2 begeerde wortels = 4 a en 3 a j wiens Enneagonaalen zyn / 56 aa — 10 a 31J aa - 7i a -" " * afgetr. rest 24ï aa — 2§ a rr 22 het verfchil »' ■ ' —— —— 2 49 aa — 5 a = 44 ... I ... 49 . . —. —— verm. aa — 5 a = 2156 ai- I *= 6| —— —— verg. aa — 5 0 + 6£ rr a - «i = £ 46* 49 a rr 49 of-44 49 ■ -44 a zz 1 of — de vermeerder. 49 De-  der VOORSTELLEN, enz. 367- Dewyl 1 Biet vermeenigvuldigen kan , zoo moet -44 men —■ neemen. 49 18568^ Dan komt 56 aa - 10 a zz ■ j 343 [deaEmeag. H022 J getallen. en <$\\aa - i\a — — 1 343J 7546 Verfchillende . — — zz 22 343 Anders, zonder de getallen van het Voorftel tot een grondflag te leggen. Stel de 2 begeerde Enneag, wort. ~ x en y; 7/xx-j* lyy-sy dan zyn de 2 Formulen ~ — — en ,'. 2 2 <ïeeait men x grooter dan y, zoo is •JXX-5X 7yy-sy -1 2 2 r' —— ' a 7*a;-j* = 7yy-5y-i~44 7 ' • • 1 • . 7 —5» = 49y3»-35y + 3°8 2^l*z: 6J •— , ■ verg. xx  368 * ONTBINDINGEN xx—5x+6{j =,49yy — 35y + 3i4l ✓ ~ V 49yy-35y + 3i4* 7x-2\-W 49yy~ 353> + 3»4|_ 7 —' '— **+V 49yy-35y-f-3UI ~* . . ; 7 '■ ■ Stel den wortel van dit Surdifche zz T3\a _ V dan is 49yy — 35y * 3I4| = 493'3'+ Hay+aa i4ay + 353'~3I4l—aa I4Ö + 35 1257-40,1 ^ y6rt + i40 857 2107 Neem a= 105 komt y- — en xzz . 700 700 7xx~5X 3385949^ Dus —— I 2 I4OOOO I ^ de 2 Enneag. getal!. iyy-5y _ 3°5949 j 2 140000J 3080000 VerfchilleDde, =r 22 140000  der VOORSTELLEN, enz. 30*9 Anders. Stel de wortels zz x'+y en #-2, Dan zyn óeFormulen 3i*a + 7 xy^-aix+ 3Jyy-2i*j> en 3i«a — 7 ^-3?^- ajrc-}-3§3?^2§ y Verfchillende . . . 14x3/ —5yrrrr:2i idxyzzzzsy+ii 5^ + 22 I4D- Neem y rr f, komt straf; *4-y — 3^., en x-y ZZ üti; komen de Enneag. getallen en "0, verfchillende *g* = 2a. Neem y ZZ ii, komt * Zr f ?; *+yrr ifj'éh jy— }? ; alzoo de £»BMg. gè. =_*j|i^ «7 , die >~ door den Autheur bygevoegd zyn. Dit Voorftel is N°. 276 in Halkens ZinnenConject. CLXXXVIII. VOORSTEL. Door de» Opgeever, watr mede M. Boelhouwer en J. van Twisk overeenkomen. Stel den wortel van het eene ZZZZZ x Dan is 4 x' — 3 * hec eene Decag. getal; van 52 afgetrokken, . rest 52 -{- 3 * — 4 xm het andere. Stel  370 ONTBINDINGEN Stel den wortel uit dit laatfte rr 4 — ax, en daar uit een Decag. getal gemaakt;; Komt 52 — 29ax+4,aaxxZ252.-\-3x- 4** 4aaxx + 4.XXZZ 29ax + 3 x 4 a a ac + 4 « rr 29a-i- 3 4aa + 4 — — i _ 293+3 40a+ 4 Neemorr3, komtxr:2|jen 4-0*1:—2§ alzoo 4 xx — 3* rr 1357 f de 2 Decag. getallen.' en 52 + 33c-4a;3 =38^3 52 de fom. of arr-, komt ac —2 —; en de 2 Decag. getallen 3 2° 2394 2806 - en ■ , door den Autheur 'er by gevoegd. 100 100 CLXXXIX.  der VOORSTELLEN, enz* 3?* CLXXXIX. VOORSTEL. Door M. Boeehóuv^er, j. van der Paardt J. vam Twisk, j. Pauw, j. Ruiter,tn den Opgeever. Stel het aantal Officieren = *, en de troup Franfchen onder Bachus = y. Dan is y - x == 3 Xf y - x~+~ïï = x~~i x 2, y = 4* y zzzzz 3*4-9 y — * 4- 21 — x—3 y 2x4-18 Derh. 3 * + 9 = s 1 + iü * = 9 Officieréni Hier door yzZ4x±SQ Franfch. onder Bachus. uZe 9PIosfinS dat één der conditiën van het Voorftel overtollig isk Dd CXC,  3J* ONTBINDINGEN . CXC, VOOR STEL. Door ]. Pauw, S. Graaf, J. van Twisk, M. Boelhóuwer, en']. Visser. Wyd 8 Duim V i84| , y v 64 1-3 hoog. 18 hoog . m 332 —■ 20 —— 3328? " Komt 80 Ég Inhoud. CXGI. V O O R S TE L. Door J. van Twisk, M. Boelhoüwer, S. Graaf, J. Pauw, en den Opoeever. Stelden Diameter — x. Daa is 21 : H : : x3 : 1527! x. 11 x3 == 320715 * 11a; -—-—- 1 — arïïfeÈ 29 ie? V—- x zz 54 de Diameter. Dus 1527! x = 82481I de Inhoud des Kloots. CXCI1.  der VOORSTELLEN, enz. 373 CXCTI* VOORSTEL. Door den Opgeever, f» ]. var Twu?. Laat 2 = a zyn , dan heeft men voor de Pro- ducten het ïfte =: a1, het 2de X a4, het derde - a8, het 4de r alS, het 5de — a'4, het éde - ««« , het 7de ~ alis, het 8de £ a,sr<ï, enz. Dus het 10de ZZat02*, en het 32^0 2Za*"^s7'!>e. Nu is van a~2 de Log. o.3O!o20QQ566398 1 2jó" Derh. is van a2ïöde Log. 77.CÓ367888997888 Op gelyke wyze vindt men van aIoa4 de Log. 308.25471555991552, en van a*"45""5 de Log, 1292913986.4918159.&c. Dienvolgens befhat-het 8fre Product uit 78,. het 10de Product uit 309 ., en het 32fte Product öic j2.9501 ^9^7 Cyfhrs. CXCIII. VOORSTEL. Door ifêw Opgeever, wa»r «ede J. van Twisk, en J. Pauw overeenkomen. Stel vóór de begeerde CmZiék y? , en ys; ! Dim is v* =zs een rationaaie c^f> Dd 2 Der*  3?4 ONTBINDINGEN Derhalven x»+ys =zs — v', ftelrzw; dan is "V3 — M — *3 7 C weike ration.Cuben moeten zyn. enzJr:«4-v3S Stel den Wortel van w—xs = t — *, en dien van «+v* = x-r-v. Dan is eerftelyk u—x3 = t* — 3«* * 3 * *a — P* Dus» = /»-3«,a; + 3«*2Ten tweeden Dus nrri' + S^^i-S^" « = t3-3iJ*4-3f*a ^ t*-3t«ï + 3^JZia+ 3^^ + 3^v' " Of"3t*a-3«as~'3 + 3''v + 3^'-*5 „ _„ . . 12/ Of36t'a:l-36ïs* = 36^y'-!-36^»'+J'-t3X,2S qï*= nmiLÜL S61. - 361» *+9 *4 = 36 st V + 3^a tv + lV*-3l>Xt V ' 6  der VOORSTELLEN, enz. 375 Of 6txzz\3t2^36x1 v»--f- 36 x* cv+ 1213-3 x* ét , , , _ , «r . ~ ZZ '- ~ 3«*Zr ^stv' + 3(>s!1tv + i2f3-3«*xj « r= . ■ — Om dit Surdifche rationaal te maaken, zo laat 36 jff* + 36x!,tv+iaj3 —3t3x^ = D = ^i —6rv|' zyn; dan is 36xrvJ + 3<5xaty-r-12 x3 — 3t> xtzzq't* — isqr tv-rjér1 v'. Stel 36JIV2 — sör'v'i danis 36xstv+i2x'- 3ts xtz:?1 *" — 13 qrtv; waar door wy vinden x es ■—, en v 1= —— —— 3J' + ?rx 12 1 Neem nu r — 1, t zz a, q zz 1; dan is x zz -, 2 _ 14 j. _ 17 _ 73 _ 7 _ 20 12 12 24. j2 Ia' als wy v, x, y, met 12 vermeenigvuldigen, zal 'er komen vz= 14, * = 17, en y = 7. Dd 3 Der*  376 ONTBINDINGEN Derhalven v* == 27441 de begeef de. Gttkn, waar 3 __ n <■> L van ^e ^0öa %Z ~ 8000 * —49 jj r mede een rationaale CMie > 33 == 34-3^ 1S' Byvoegsee, Hier door is N°. 263 uit Halken's Zinnen- Confect insgelyks opgelost; want als v' + x3 + y* rrz3 is, ko isook-^+f = »?■*= 5256, of v'.-h.j» *K3a3 = 30S7, en y3^*3 :r:?3-y3 =76 J7« Nog andere Oplesfingen ven dit Voorfl -l zyn' te vinden th myne Weïdhïge tbt de MathematifthlWeèten> Jchappen, II. Deed, pag. 70 ' ;v .is. £i — "i S;v- "j«x CXCIV. VOORSTE L. fig. 6^ Door de Ofgee vees.' i s De beneffenairs der Proefonderviudelyke Wysbegeferte bêweeren, dat een Lighaam, hetwelk vaneen ander gerfegeld voortgaand' Lighaam .OpgöWoïpe» .ot néder&aten wordt, eene tweevoudige beweeging ontftnet, als, eene die het door de kracht der yoortflunwine van den worp, óf door zyn zwaartekracht vtrkrvRt , en eene die het, door den indruk' van het voortgaande Lighaam , reeds voor "den worp of val gekreegen heeft. üe gevallen Steen ?al derhilven vol&snsjayB zwaartekracht nederdaalen langs de richting CE, met eene toe-  der VOORSTELLEN,.ek. sn toeneemende fnelheid van 15, 45, 75 &c. voeten in eene fecunde, en te gelyk door de te vooren verkreegen indruk voorrgedreevèn word£n;fn de richting van E tot D , parallel de fchuinfe richting van den -weg des Luchtbals AC, met eene eenparige fnelheid van s voeten, in een fecunde, en dus in LI nederkomen, ter zélver tyd als hy, door zyn zwaartekracht alleen gedreeven , in E zoude nedergekomen zyn. De persfing der Lucht, die hier nogal eenige verandering zoude maken, niet gerekend zynde. Nu is Rad. : Sec. L BDE (LA) :: BD : DE. iqcooo : 124995 :: 24 : DE» Komt D E —zz 30 Vaeter. Voet Secunde Vost Tyd der rrederdaaling 6 Secunden. " ^ 15 Voet. —— —— verm. _, TT*. 54o Voeten. De weg CE, die het vallend Ligfnam volgens deszelfs zwaartekracht doorloopen zoude hebben. Ook is Raa\.: Tang. L BDE :: BD : BE 100000 : 74991 24 : BE Komt BE = 18 Voet.1 c CE_= 540 Rest BC = 522 Voet. dëbegèêrdehoogte. Dd 4 CXCV.  3j* .ONTBINDINGEN CXCV. VOORSTEL. Stel het getal der Temen van ieder der Progresfien en Reekfen zz n, en de Progresfien N°. i =x, x+p, x + *p, x + 2p» &c. tot n.Termen. Verfchillen . . , p, p, p, &c. tot» -1 Temen* N°. a=:y,D'+^,2'+2^D' + 3?. tot n Termen, N°. 3 »z+ 2r} K + 3r, &c. tot n Termen. Dan zyn de Reekfen, die door het vermeenigvuldigen der overeenkomftige Termen van twee derzelven voortkomen N°. AZZxy , x-'-p x y + q, f 8-af ^ jy + a q, x 4- lp X y ~'r 3 q &c. tot 72 Termen. of ary, xy+ x^4-yp-)-p xy-faxö-l-aji/»-}4f5'»*D! + 3*3-l-3D'/,+yp?ï tot 7. Termen. Eerfte Verfchil jen xq+yp + pq , + + 3/>£» ^? + yJ)_r-5?2> &cr c°t ffirol Termen. Tweedp Verfchillen spg, zpq, &c. tot «-2 Termen. N". 5 = KZ,*+pxzH-r>;K + 2PXz'.+ ïrsX + 3?X zT-h 3 r, &c, tot 7. T*ram. N°. 6 = 312,y+qxz+r, y + 2qX2+2r^y+2qX z-r~$r, &c. tot « Termen. En  der VOORSTELLEN, enz, 379 En de Reeks, die door het vermeenigvuldigen der pveröenkomftige Termen van alle de Progresfien voortkomt , N0'7-xyz,x+pxy + qxz-rr, x-\-2pxy+ïq Xz+2r)x+3pxy + 2. «.«-i van N^rrBz-t- ■ xrre; ; c b-i dus z rr x r. » 0 2 n. »- r De fom van N°. 4 rr « * y +• ■ x 1.2 b.b-l.b-2 «f+'ïP+j^-i- X2pqZZd, 1.2.3 b.b-i of » ï 31 ■ ■ i. X i . 2 „ n.n-i. 272-1 *4 + yp-i~ xpq zz d. 1 • a:»/3 »i n.n-1 En op gelyke wyze van N*. 5 rr » * z ■ ■ x 1 .2 72. 72-1 . 2 72-1 arr + Zj>-i-' 1 Xpr ZZ e. i.2.3 Van  per VOORSTELLEN, snz, 381 n.n-i Van N°. 6 = » y z + X 1.2 M.M-I.2JM yr + 2fl+ — X gr = ƒ. i . a . 3 n . n — i En de fom van N°. 7 E « x y x + — — X k • I . a Hl",,.1*" a xss?r + 2ypr + 2zpg+6/)gr-t« 1 . a . 3 ».fi-2. n-3 x c> per ZZ g. 1 . 2 . 3 n.n-i of nxyz-r- X xyr + xzg+y[zp + i-2 ».n-i.2»-i - 1 ——— X xqr + ypr-\-zpq + 1.2.3 — X/>?r = g. 2 . u . Door het vermeenigvuldignr van twee der drie eerfte Vergelykinge* verkrygen wy n  382 ONTBINDINGEN nn.n-t . , nn.n-i\* tinxy-, xxq+yp+ xpqZZab, l • a 4 bb.b-i ^ ran.ra-il* nnxz-t 'Xxr-bzp-r ———xprzzac, l .2 4 «n.n-l ,- _ . ««.s-il* n_ny% + " \ xyr-t-zg + —— X?r= te. -1.2 4 Deeze gefubfitabeerd van het n voud der vierde, vyfde .en zesde Vergelyking, b*~Bb Rest ~——. x pq ZZ dn — eb, 12 ^ ïzdn-iiab dus pq ZZ , flel ZZh n* —nn n*-nn ■" ■ X pr ZZ en — ac 12 l2«b-roac dus pr —' , ftel =:* b* — B ra ra4—bb e&, . x qr zz fn — ic, 12 12/« - ilbC dus gr ZZZ , ftel zz /. n4 — »n PP  der. VOORSTELLEN, enz, 583 ppqqrr hkl v——~ 1—: 1 pqr ZZZZ {/UH qrzzl \/hkl p —- t/hkl op gelyke wyze q ZZZZ — k l/hki h Door het vermeenigvuldigên der drie eerfte Vergelykingen , hebben wy «' .«-i 2—* ns.#-i|* «' xyz-\ -hxyr + xzq + yzp-r < x> 1.2 4 m3 .71 — i |» Xxqr-'.-ypr + zpq-h" Xpqrzzabe, s wn.nn-i ■ '• 12 . n.n-i \1nng-\2abc nxxqr+ypr+zpq-l -xpqrzz — 2 n4-nn Indien wy nu de eerfte Vergelyking met qr = —; de  s84 ONTBINDINGEN ie en— teaê de tweede Vergelykisgmetpr ss —""* b4 — mtj ïidn-12 aft en de dèrde Vergelyking mttpqsz— — «4 — n n vermeenigvuldigên, n.n-ï izafn-izabc Veitany «*?r+ — x^=—— «ypr + ■ XPV- — :— > verg. I . 4 n4 — nn I n.n-t I5rrffz*i2ök I tapg + x zz — — j 1.2 w* —«n J _ . w.n-i n X awr + 3/w++ * 3 W — 1.2 «. iTfl/+"i 2 ^ e -h i 2 cJ- 36 36e , llll - ■ ■ —— «*-«« T2««g - 12abc Hier door is —— ■ w4 — nn 77X i2ö/-r-12 276-!- \2Cd—^Cabc n* — nn I a  der VOORSTELLEN j finz. 33$ ia < .1 ui «+- nn mg-abc zz nxaf+be + cd-$aic nng - n X «ƒ+ be + cd zz-iabc, of"'ftel]. af+be+cd — i nng — ni ZZ — zabc ~ g ng\* - nl zz—iabcg !ïi' = \a ng\3 -ngxi+lil* ZZ $ü-aabcg ng •— | i ZZ V \ii — iabcg ng ZZ } i -h y \ii.iabcg g . ,j i i+V\M-aabcg g Gegeeven a ~2t,ir48,^=57,dr:203,er252. /=56t, eng-2716. Derh. t zz 41784 -f-12096 4-11571 = 35648. 17824-*' lt*5^*3«Sïooooa 2716 14616.12096 18144-14364 Hier door ft r; ———.«_ zz 2, ft— . 1.260 1260 = 3»  3S6 ONTBINDINGEN 4039a » 32832 zz 3, / s =: 1260 6 Gevolglyk p zz — zz i* 6 6 q % 6 in t zz — zz 2» Q ai é [Waardoor eindelyk * zz xi-i 6 2 48 5 3> = X2 — 3 6 2 57 5 énsZ — - - x 3 — fl* 6 2 Dus de begeerde Pfogresfien, ï, 2j 3j 4» 5» ö, 3» 5> 7» 9, *** 13» a, J» 8,11,14, 17. f Aan-  öer VOORSTELLEN, enz. A A N M E R K I N zo3 Cub. Duim,endeop- 4 3>Hi59 pervlakte b x a-b. = 12 x 56-12 = 528 vierkante Duimen. CCII. VOORSTEL. Fig, 63* Door M. Boelbouwer , Graaf, J. Visser , J. van Twisk, J. Pauw, enden Opgeever. : Stel A B rrr *» A C zzzz y» Da»  der VOORSTELLEN, enz. 395 Dan is |y + ar~ao en yy+xxzz^oo y + 2xzz6o yy —400-*» y-00-3* _ . - * yZZ]/$oo~xx Derh. 60 — 3*=r»/ 400— ** V 3000 - 360 * -f- 9 x * z: 400 - xx io**-3öox=:—3200 10— 11. **-36 * =—320 181*— 324 ■ "■ verg. **— 36 ac-h 181* = 4 1/ _j ■ H —. SC—18 = + 2 x ZZZZ 16 hierdooryr:60-48 ;— ia » ■ verm. 192 Inhoud des Drieh. =: — zz 96. a Ee 5 CCIII,  396 ONTBINDINGEN JCCIIL VOORSTEL. Door den Opgeever, J. J. Bouwens, R/F. Folkërs, L. Bely, C. Steenhuis, B. Kneutjes, K. Aker., L. Koops, J. van Twisk, J. Verschoor , J. Visser, O. Otten, J. Pauw, J. db Jongh, J. Ruvter, en, M. Boelhouwer. Stel de Jaaren van Bzzx, 'van C — y, zo zyn dié van Azzv ■+■ «. y 31-J-ii X + ay+iizz 105 2y+ii of 39+15:7 105 " - ■ 5 3y zzzs 90 ay+ii-* 3) —— + 4 y zzzz 30 de Jaa- r— -< ren van C. 2y4-+ y + irrrp de Jaa- fr——■ —-———- ten van A. y+ 4 = « * ZZZZ 34 de Jaaren van B. CCIV.  der voorstellen, enz. 397 CCIV. VOORSTEL. Door J. van Twisk, watr mede de Opgeever, M. Boel houwer, K. Aker, enj. Visser overeenkomen. i. Als de Planter? rond aangelegd wordt. Inb. QDiam. Dan is ii — 14 — 616 Komt 784 het vierkant des Diam. Diam. Omtr. 1/ 7 —22 —28 Komt 88 Roeden omtrek. II. Als het agthoekig aangelegd wordt. Dan is , volgens de grondbeginfelen der Meetkunde, de Inhoud van een reguliere Agthoek, tot bet Quadraat van een van deszelfs zyden, als 1 tot zynde na genoeg gelyk 10000 toe 3071. derhalven : 10000 — 2071—616 i 127,5736 V , 11,29 één der zyden des Agthoeks. Komt 90,32 Roeden omtrek. hl  39» ONTBINDINGEN III. Als het vierkant aangelegd wordt, SifJ n*82 a ■ «——•——(4v Komt ppi38 Rpeden omtrek. IV. Als het driehakig aangelegd wordt. is»PvoI?ens de grondbeginfelen der Trigono- Sde'n'dthalvenf t0t V3Q 'der 86602 — IOfinnn — ClÓX^ Komt 1422.18 . 37-72 ^ Komt 113.16 Roeden omtrek. Derhalven, volgens de eerfte conditie , de minfte omtuininge. ' CCV. VOORSTEL. ■Door J. J. Bouwens, waar mede de Opgee. ▼er , J. Visser , J. van Twisk , M. Boelhouwer , en C. Steenhuis overeenkomen. ' Vk de natuur van een Cirkel is de Diameter Óen /hfigowal ym den Rechthoek", die in den Cirkel op aen Diameter gelyk de Quadraaten op öe Breedte  der VOORSTELLEN, ENz. 399- te en Lengte van den Rechthoek. Als men dan de Breedte = x ftelt, zal de Lengte , volgens d» Opgaaf, = 3 a; zyn. Derhalven x' + gx* zzzz: ïox1 zzzzz 900 10 . x2zzzzz 90 x' =31/10. Voorts kan de Perpendiculair, die uit den top» de« gelykzydigen Driehoeks moet getrokken worden , niet grooter dan de Breedte van den Rechthoek zyn ; ook deelt die Perpendiculair den Bafis in twee gelyke deelen. By gevolg is het Quadraat van den Perpendiculair gelvk aan het drievoudig Quadraat van den halvenBafis , en op het grootst rr 90. Derhalven is de halve- Bafis — 1/ 30 , en dus de Inhoud des Driehoeks rr 3 ff 10 xY 30 = 3° ^ 3> of yi>96i na genoeg. CCVI. VOORSTEL. Door ƒ. van Twisk, waar mede de Opgee vers, J. Pauw , R. F. Folkeks , en K, Aker overeenkomen. Stel de Ryksdaalders , diehy aan Interest betaalt . =rr: x; dan betaalt hy nog x+S Grooten, en dan is het Capitaal rra «+8-4x2=4* + 8, , , x+S 73* + 8 de Interest. .... rrat+ —— rr ——-—. 72 7* ' Cap.  4oo ONTBINDINGEN Cap. Interest. 73*-!- 8 , 4#+8 : ——— :: ioo : — 72 1825 x + 200 Komt -» . ' . ProduEt der Jaaren , en de 72 x + 144 pCt. 's Jaars. 4*+ 8 Capitaal ■ 1 ——- muit. 1825*-}- 200 Komt — = 3850 18 25 ■ — 18 73 x + B z. 2052 73*=2044 73 ; — x zzzzz 28 Dus 4* + 8= (4x28+ 8) = 120 Ryksd. Capt. 73*-i-8 - ZZ 28 Ryksd. 36 Grooten Inter. 7» Dat te vinden wat. CCVII.  der VOORSTELLEN, enz. 4oi CCVIL VOORSTEL. Door L Pauw , J. van Twisk, K. Aker, J. J. Bouwens, L. Koops, M. Boelhou. wer, C Steenhuis, B. Knegtjes, J. Verschoor, e» de»Opgeever, Stel de Duitfche Troupen zzz x , de Engelfche rs y, de Hollandfche rr z, en de Spaanfche rr; v. Dan is door hèt Voorftel x -i- y 4. x — 620 rr v. * -1- y + v ~" 46° = z. x + z + v — 380 s y. y + z + v — 500 — x. Of i + j + z- vr Cao sc + y + z-r-v^ 460 * — y + z-r-vrr 380 — i+3i + «+ V T.Z '500 ' 1 — verg, aar+ay + 2z + 2vz: 1960 a — — , —. x + y + z + v rrrr: 980. Hier van ieder der eerstgevocdene Vergelykingen afgetrokken, rest zx zz 480, en je — 240 Duitfche 2y _ 600, y rr s°° Engelfche az rr 520, z rr 260 Hollandfche 2v r; 360, v zz ibo SpaaDfche. Deeze Bewerking bewyst zich zelve, zonder dat 'er eene Proef toe noodig is, cc vul  409 ONTBINDINGEN CCVIII. VOORSTEL. -'iJoör" L van. Twisk , J. Verschoor, J.. Visser, M. Boel houwer, J. Pauw, L. Koops, K. Aker, C. Steenh deezer heeft in dien zelfden tyd 5-y lengte door. gerend. Weshaiven men deeze Proportie krygt: 12 : 5 :: 5— y : y i2y zz 25 — 5y »7y = 25 y^ïfziif Uurrr iUur28Miö. i4T|Sec. Ff dit  404 ONTBINDINGEN dit gevoegd by 3 Uuren , geeft 4 Uuren 28 Min. I4T| Sec. voor het oogenblik hunner ontmoeting , op de te rug reis van de Bode te paerd. CCX. VOORSTEL. Door ]. Visser , J. Ruiter , M. Boelhoüwer , J. Verschoor , J. Pauw , J. van Twisk , L. Koops, K. Aker, C. Steenhuis, L. Bely, J. de Jongh, J. J. Bouwens, en den Opgeever. Ellen Guld. Ellen. A 8 B? 8B Komt — rr C A C 2A '■' B Dus 2 C rrrrr 4 A A B C rrrr 2AA 8 _ g 8B B rr i6 Derh. 2 A A = —- A : 128 of 2AA = A f A aAs  der VOORSTELLEN, enz. 405 aA» SS 128 , a» = TT" —T en dus is de Regel: Ellen Guld. Eüert 4 8 16? het begeerde. CCXl. VOORSTEL. Door J. Visser , J. Pauw , M. Bóelhou» wer, J. deJongh, C. Steenhuis, J. Ruiter , L. Koops, K. Aker, B. Knegtjes, j. van Twisk, en den" Opgeever. In het Voorftel ftaat, dat van der Zonnen opgang 17 uuren zyn; maar ik ben van gedachten, dat het moet zyn van der Zonnen opgang tot haaren ondergang, en op die gedachten fteunt de volgende bewerking: Stel x voor de voorledene Uuren van Zons opgang ; dan zyn 17 x de toekomende uuren tot Zons ondergang. 7 — 17— x*Z 110 — 71 — -< — \r l XZZ X 15 — I l 15 — — 15 Ff 2 119  406 ONTBINDINGEN > 119—7^ + 5»= 15* # = 7 uuren na den opgang der Zon, en als de Zon 17 uuren fchynt, komt ze op 's morgens ten half vier uuren , en dus z ude het 's morgens ten half elf uuren geweest zyn, dat de Koopman door de Stad pasfetrde. Dit Voorftel, zegt J. van Twisk, is te vinden in de Arithmetica van B. Stokman , het laatfte Voorftel in de Regula Faifi pag. 327. Amit. 1648. CCXII. VOORSTEL, Door den Opgeever, L. Koops,J. Pauw, M. Boelhouwer, J. vaw Twisk , }. Ruiter, C. Steenhuis, Ct Otten, en K. Aker. A c£ 800x6 Md. = 4800 B c£ 1000/ Kt. 4| Maand» vroeger bet. van 9 Maand, betaaltyd. Dus moet B over 4$ Maanden betaalen. CCXIII. VOORSTEL. Door den Opoeever, M. Boelhouwer, J. Pauw, K. Aker, J. Ruiter, L.Koops, en J. van Twisk. Som Cap. en Int. Som | — 8i6§ — i V Kt. 4o8f over 4 Maand. 425  der VOORSTELLEN, enz, 40% , 415 over 12 Maand. 4081 over 4 Maand. Maand. Maand. 8 ■ • ióf Inter. 12? Komt Intu-. van 425 Cap. en Int. afgetr» | 4co Cap. ——— 1 ? Komt 1200 Guld op Interest gezet. Cap. Inter. Cap, En 400 «— 25 —— ioo? Komt ten honderd. CCXIV. VOORSTEL. > Door den Opgeeve*. Jaar P.C. Jaar i — 10 — iT£? Kt. 14J 1 — 10 — 3 ? Kt. 30 1 - 10 - 4t-? Kt. -njf. Stel nu het Capitaal = x -gFl. Dan heeft men 1146 — ioo — \ x? Kt. Tff * 130 — 100 — | x? Kt. |§ * i4j§ — 100 — f jc? Kt. || x —— verg. MSI!* ~. Ff 3 13e  408 ONTBINDINGEN 13® — ico — ac? Kt. -jf % Verfch. x Derh. ^ x 3^J dS^Ï. Komt * = 411 c^F/. het Capit. en 137 <&Vl. ieder Pay. Verders om de tweede Interest ten 100 te vinden. Ten ifte 't gel. Capit. zz^n^Vl. en 411 — Ia fom 822 <£.V\. ten einde van ójaar 6 " ■ te bet. Dus 137 d^7. Jaarl. ieder Pay. Stel de Interest — y pCt. in 't Jaar. 13700+1373 ico - ioc+ y » 137? Kt. . ■ — 100 13700+2743) 100 • 100 + 231 - 137? Kt. —'■ ■ IOO 13700-4-411 y 100 - 100 + 35 - 137? Kt. — IOO 13700-1-5485 100 - 100 + 49 » 137 ? Kt. — 100 13700 + 685 y ico « 100 + 59 . »2? ? Kt. 1 '* ICO 100  der VOORSTELLEN, enz. 409 13700 + 82-29 100 - 100+09 - 137? Kt. ' — • ' 100 84200+28779 De fom is <■ zz 9Ö5§I dC^f» 100 ■■" — 100 82200+28779 zzz: 96585 28779 m 14385 2877 — ■ 9 5 ten honderd. CCXV. VOORSTEL. Door J. Visser en den Opgeever , 'wdèr mede j. van Twisk en K. Aker overeenkomen. 4-5 '44 43 4» 4t 40 39 33 3 T ZC ï"?5 ïj") Ï2) ïï> fï) 45 » 4ÜJ 47» $ 4J-J io 10 10 10 to 10 10 10 10 10 9999 9, 99999 888888888 8 i i i i i i 1 I i i Hier ziet men , dat de eerfte Noemer met de twee. de Teller verfchilt ie, m ieder Teller met zyn Noemer verfchilt 9: ook verfchilt de eerfte Teller met de tweede' Noemer 8 : eindelyk verfchilt ieder Noemer met zyn volgende, ah ook ieder Teller met,zyn volgende, r: waar uit men ziet, dat hunne Capitaalen ftaan in eene Arithmetifche Progresfie , als 1, 2, 3 , 4> 5» 6, 7, 8, s>, io. F f 4 en  4io ONTBINDINGEN en dus i de eerfte Term. 10 de laatfte Term. 11 , 5 de i der Termen, Derh. Ar:$5, en dus B— üo, CmS?, Drr220, E rr 275, Fr 330» Gr:385, H-440, 1=: 495, en KrT55Q hunne Capitaalen of ieders inleg. B rr 110 C rr 165 p rr 220 E rr 275 F rr 330 G rr 3S5 H rr 440 1 = 495 k-550 2970 2475 de § van B»Cj D, EjF,G,HtI,K. 55 == A Dus 2530 hunne geheele Winst. 1 46 — A Winst 2 92 rr 2 - 3 r38 5 C - 4 184 rr D - Capit. Winst f komt ^° 5 j 2 55_a52o_ P ^ Eg" 8 368 ~ lï - O 4«4 = I ~ io,,. 460 rr K — CCXVÏ»  der VOORSTELLEN, enz. 411 CCXVI. VOORSTEL. Door den Opgeever, M. J. Zuidhof, J. Pauw, j. van Twisk, K. Aker, J. J. Bouwens, M. Boelhouwer, en L. Koops» Stel de getallen = * en y, dan is a; -1- 1 x 7 + i = 20 of x y -+- x + y + 1 ~ 20 xy + xzz 19 — y y 4-1 19-y xzz ' ' y+i En x3 -h 1 x y* +1 = 1820 door ï+i x J-l-i = 20 gedeeld Komt «-ï-M xyy — y + i = 91. Hier uit de bovcnftaande waarde van a; verwisfeld, komt 3*3-54? +33» 9 — xyy—y-i-i ca 91 ry j j_ 2 y 4- I Ff 5 32*-!  4i2 ONTBINDINGEN S5*-5?3's + 4Ó03i,-307y + 343 yy + 2y -b i 35* -57 ys +400 9*-397 y + 343~ 9'29 + X 1823/-I-91. 3 y4°-5?y3 + 3C9 9' - 579 y+252=o Komt, yzz 4 en «"3. Anders door M. J. Zuidhof. Stel de getallen ~ x— 1 en 31— 1. . dan is x x y — 20 3, r r 20 Insgelyks ars-3xa + 3x X3?3-^y3 -J- 3 3; =^1820, door x x 3» as 20 gedeeld, komt , xx - 3X + 3x yy-3 y +7 = 91» hier uit de bovenfiaande waarde van ac verwisfeld, komt 3jy-6oy+40 —*■ xyj-35 + 3 z£± 91 yy . 32*-  der VOORSTELLEN, enz. 413 '- -— j 168 en xarrrr: 41 —f -— 36 Der-  d-er VOORSTELLEN, enz. 415 Derhalven xZZ6„enyzzi, en de Progresfie 3, 5, 7, 9. CCX VIII. VOORSTEL. Door den Opgeever , J. van Twisk, en K. Aker. Stel voor de Getallen * -4y, x-2j, x,x + 2y en * -h 4 y j dan zyn dezelve in eene Arithmetifche Progresfie, en de fom 5 x. De Cubi zyn a! — 12 x2 y 4-48xy* — 64y2 x3 — 6xayH-nxy2— 831* *' x3 + 6x2y-\- i2xy+ 8y3 *3+ i2x2y + 48 xy' + óty3 Dus is $x* + 120 * 311 de fom der derde magten. De vyfde magten zyn f' — 20 x* y160 x* y* -~640*2y3+ ia8o*y * — C 10243/5 ï!-M0*4yJ- 40*'y1— 8ox=y3-;- Moxy* — '( 'ó^T X* xs + iox4y-, q en r: waar uit wy deeze twee Vergelykingen hebben. i<\ : 5** + 400*8y* + 272t>jry« : : ^. ^ ■ of 1 : x44- 80**31" 4- 544 y4 i:p: r» r Derhalven *4 + 80je2 y" 4-544 y4Z2-, P 2°. $x : 5a;3-!- iaoacy* :: p : q, of 1 : «"4- 24,31" :: p : 3. ' 9 Waar door ** 4- 249' z: - P en i6y*~ 1631* by voegende ■ . . ll q is #"4-4031* _—\~16y- p qq 323 x*+%3x2y" 4- i6ooy4r: —l y2 + 2j,ó y* ' PP P r en *■♦+8o*=y*4- 544y4~- hier afgetrokken P qq r 329 is 105631*1: 1- — y* 4- 25631'' 800  der VOORSTELLEN, e b z. y.q g'-pr 8 oo y4 • y-zzzzz P ?a ïCq q*-pr tqq ; 4qq 25/? 25pp i6q 4qq 66qq-$opr 4003/* y2 + —— ZZ p • Q5pp loopp lop • 4ql~_y 66qq-$Opr 10 y1 ~ ... . - - lop 9' —. . . 200 ƒ> y zz \/ s, y* zz s Hellende, 1 x2 zz — — 04 s P • 5 \ dus x Z2 V ^ — — 24 J ^ Laat nu in getallen gegeeven zyn/>rri, grfty, rü295; dan zal men vinden: y* zz| of\j,' dus y — f of ysl: voorts = 15-6=:9,of J5-8| =6|; dus 3  418 ONTBINDINGEN xzz$ of j/6f, (wel verftaande, *r 3, wanneer men yzzi, enx — fó^, zoo men y 7. fttlt. ) Derhalven zyn 1, 2, 3, 4 en 5, of i/6|-4 i/?5»l/ö|21/l/ö|,j/ó|-r-2j/^, en i/óf + 4^^ de begeerde Getallen. CCXIX. VOORSTEL. Boor den Opgeever, en J. van Twisk. Door het Voorftel is x+y -'-z + v — a. In Fluxie x + y-\- z-\-vtzo. Laat nu x en y flandvastig genomen worden ; dan is jc en yzzo. daarom z-!-v~o, vzz-z. Stel wederom 9 en 2 flandvastig; dan zyn'y enz beide zz o, derhalven ï-|-vr:o, waar dcor'v zz-x Eindelyk x en z als flandvastig befchouwende, zyn i en z beide r: o. en y-r-v~o, waar door v—-y*. m n r s Nu moet door het Voorftel * j z v een maximum zyn. Stei  der VOORSTELLEN, ïnz. 413 Stel daarom derzelver Fluxie gelyk niets, of «j-i n r s. n-i m r s. r-i m n s% mx y x v x+ny * z v y + rz x y v s-i m n r . -HjV x y z V = Oé Stel nu wederom x en y flandvastig, dan « r-iranf. ;>i 1» « r. fz x y v z + sv x y z vnoj maar dan is vzi—z boven bepaald* r-\ m n s. i-ï m n f 4 derhalven rz x y y z^sv x y z zzzdi waar door rvz= sz ... ■ ' ' .V, ën vé=-z. r Wederom y en z flandvastig Rellende, w-1 « r r . j-i ïb « r, ileefc men mx y z v x+sv x y z vzzoi maar dan is ook v~ — x (zie bdveh.) m-ï n r s . r.i m n r. Derhalven mx y z v x.— sv x y z x~o- f waar door mvzzsx, en vzz—x* m Stellende eindelyk x en z flandvastig, ri-i m r f. i'i m n f; daö hèeu méri tfy se zvy + sv x y % tizz&i Gg fflaff  420 ONTBINDINGEN maar dan is ook vrr-y (zie boven.) «-i m r s, s-i m nr. Derhalven ny x z v y—sv x y z y r: o. Waar door nv — sy, en v = — y. n s s s Nu hebben wy gevonden vrr-zr:—*rr-y,waar r m n Uit wy 'deeze twee Vergelykingen kunnen formeeren. * * ss -zzz — x t en - z r: - y, r m r n Hier door smzzzrsx , en snzzzsry r r ZZZ — X zZZ-y. m n r r Derhalven — * zz - y, m n rnx — rmy n en y = — m Brengende nu de waarden van y, z en v in de Vergelyking x + y + z + vZZ a over; dan hebben wy X-'r  öer VOORSTELLEN, enz. 43* ■■> ' n r s x -\ *H 31 + - x ~ a, m m m of mx -\- nx + rx -f- r* = am am waar door * — .., tn-t-n + r + s an y ~ -_. m-j-n -|- r -1- s ar V 2 , ff» + » + r-r*j ar Indien nu a = m -h n + r + s, dan is a op bet mogelyk kleinfte genomen ,1 en de deelen zyn m, n, r en s. Q. E. L CCXX. VOORSTEL. Door den Opgeever, watr mede J. van TwtsK en M. Roeehouwer overeenkomen. Als de Cyfferletferen a en b zyn, en dus bet getal plaatfen 2 is, dan heeft men twee veranderingen ab, Z>a. Als de Cyfferletteren fc, en c zyn , en dus hec getal plaatfen 3 is, dan heeft men zes veranderingen abc, acb'y bac, bca; cab, cba, Og 2 Als  422 ONTBINDINGEN Als de CyfFerletteren a, bt c, en d zyn, en da» het getal plaatfen 4 is, dan heeft men 24 veranderic gen, naamfyk: abcd, abdc, acbd, acdb, adch, adbcy bacd% badc, beadt bcda, bdac, bdca; cabd, 'eadb, cbadt cbda, cda b, cdba\ dabc, dacb, dbac, dbca„ dcaby dcba. Maar a~ 1 X 2; G= ix 2x3; 24=1x2x3X4» Derhalven kunnen P Cyfferletteren 1x2x3x4 &c tot P maaien, verplanst worden. Ah wy nu de plaatfen behoorlyk gade flaan, door dezelven , volgens de Telling, in Eenheden, Tienen , Honderden, Duizenden, enz. te onderfcheiden, zien wy: 1. Dat , als bet getal plaatfen 2 is, in elke verticaale Ry , zo van de Eenheden als Tieren, ieder letter maar één maal gevonden wordt, dat is zo veel maaien als het getal der veianderingen gedeeld door het getal plaatfen. n Dat , als het getal plaatfen 3 is, in elke verti. eaale Ry, zo van de Eenheden, Tienen, als Honderden , ieder letter 2 maal gevonden wordt, dat is | maal, of zo vetl maaien als het getal der verande. ringen gedeeld door het getal plaatfen. 3. Dat, als het getal plaatfen 4 is , in elke verti» caale Ry , zo van de Eenheden» Tienen, Honderden , als Duizenden, ieder letter 6 of *| maaien Re. vonden worde, dat is zo veel maaien als het getal éer veranderingen gedeeld door het getal plaatfen. En zo vervolgens. Waar uit wy eindelyk dit algemeen befluit op« maaken. Als ht4 getal plaatfen P, en het getal der veranderingen C is, dan wordt in elke verticaale Ky, zo van de Enheden, Tienen, Honderden, Duizenden^ C enz. iedere letter — maal gevonden, P Wan.  DER VOORSTELLEN, enz. 423 Wanneer nu de fom der Cyfferleueren a + b + c + d + &c. = A getteld wordt, dan is de fom vin elke verticaale Ry , zonder op haare plaatilyke waardy AC acht te geeven, = —. P AC Gevolglyk is de Ry der Eenheden = —, P 10 AC de Ry der Tienen = , P ico .AC de Ry der Honderden = ————■» P &c. &c. AC 10AC 100AC En dus de fom — + - + -1 &c. P P P Q. E. I. CCXXI. VOORSTEL. Door L. Koops , K. Akfk, C Otten , L van Twisk, j. Verschoor, L. Bi-ly, j. Vikser, 1VJ. Boelhouwer, j. j. Uouweins, j. Kuiter, R. f. folkfrs, j. !>e Joi^gh, j. Pauw , en den Opgeever. Stel het getal der Kinderen van C zz x A zz a * en B zz 11-3* Gg 3 Dan  434 ONTBINDINGEN Dan is 2*x u - 3 x — 10a; of 22 x — 6 x x zz iox Cxx ZZZZZ 12X 6x—>— x zz 2 Kinderen C. 2 x zz 4 . —— A. En 11-3 x zz 5 ... . B. CCXXII. VOORSTEL. Door J. Pauw , J. van Twisk, K. Akek, J. J. Bouwens, M. Boelhouwer, L. Koops, R, F. Folk e r s, en den Opgeever. Het verfchil tusfchen den Noemer en Teller des onverkleinden Brèuks is I08, en het verfchil tusfchen den Noemer en Teller des verseinden Breuks is 6. Derhalven 'g3 = 18, het getal waar door de Breuk verkleind is, x Laat dus de verkleinde Breuk zyn -; dan is de on» 31 i8x verkleinde Breuk ———, en derhalven i8y l8*X*X I8yxy= it^x'^ZZZZ 268^044 1/ —-— 18 xy zzz: 1638. 18-- —I xy zzzz 91 —«—1 4 > 4*? — 3H M Maar  oer VOORSTELLEN, enz. 425 Maar volgens het Voorftel is v — * = 6 1 . 1/ y* — 2 3; y + x' = 36 4 ^ y.... =364 ■ verg. y* + 2xy+x* rr 400 «/ '• y + x 20 y — x zzzz 6 ■ ; verg. en afgetr. Komt vyzzió, en 2r—14 2 . —- Dus 31-13, en x rr 7. DerhaTven Tf de verkleinde Breuk , en dienvoL gens J*5 de onverkleinde Breuk. CCXXIII. V O O R S T-E L. Door J. van Twisk, J. Pauw, L. Koops, M. Boelhouwer, en den Opgeever. Stel de koop van het Huis zz x, en de Quadraaten zz rr en ss. Dan is volgens de eerfte conditie van het Voorftel * rrrrr rr + ss °f *-rT+7sZZZ=o ? afg> en volg, de 3e. cond.x— r — i!2rrrz{rr S zrsZZZZZ^rr r 3 fis : r Gg 4 Ein.  4aÖ ONTBINDINGEN Eindelyk is volgens de tweede conditie P tlv'rszzzzzss »5——- ——,6 P 6ss * ~S p $6s* 6ss 625 ay Maar rs~6ss 36 *4 6ss Ö2S 25 6jj ■■■ , ,n„.,,, 11,635 6SS + 25ZZ 625 Csszzóoo 6 .-^ ff ~36jtj — 3600 [Pus «ïïff+ïi^^oo Guld,. dekp,opvan"tHuis, ccxxiv*  öe* VOORSTELLEN, enz. 447 CCXXIV. VOORSTEL. Door J. Verschoor, j. van Twisk, J, Pauw.J. deJonoh, C. Steenhuis, L. Bely , K. Aker , J. Ruiter , L. Koops, M.Boelhouwer, C. Otten , en den Opoeever, 1764 f1? Kt. 28 Jaaren A oud. ■ V ' S 1 ? Kt. I4\faaren B oud. 3 42 L * CCXXV. VOORSTEL. Door ***, waar mede de Opgeever, J. van Twisk, L. Koops, en C.-Steenhuis overeenkomen. Stel de rechthoekszyden = » + y en x — vj dan is de Hypothenufa = 30 — 2 x. Derh. * + 311*4-» — y!» = 3o— 2*|» volgens de eigenfehap van den rechthoekigen Driehoek. Datis2*, + 2y1 — 900 — 120x4-4** of 2*' —2y4z;iao* —900 a — x——L x'm-y*— 6ox—45or:*+y x*-y Nu is door de tweede conditie van het Voorftel * + 3f X x-y X 30-a* = 78o Gg 5 ~ Dat  4*8 ONTBINDINGEN Dat is 60X-450X 3o-2tf=:7So of — iaox14-2700 x — i! 500 rr 780 I20X4—2700* = — 14280 IJ— 2 lóx' — 360XZ; —1904 45l*= 2015 lö*a—36oa;4-45!ï=: 121 4*—45 = +xr Dus 4* = j6 of 34 4 x = 14 of 8r cn yrri/x1-6oy4-45or:i/-i94, of 3», waar van de laatfte waarde alleen inógelyk is. Derhalven x — y— 5— *+y= 12 v, de drie zyden des Drieh. en 30 — 2*rri3-J CCXXVI. VOORSTEL. Door den Opgeever, L. Koop s , J. v aw Twisk, VV. C. Bakker , J. Roi ter, C. Steenhdis, C Otten, J. Visser, sn R. F. Folkers. Te vergeefs wordt in dit Voorftel een rechthoeki* ge Driehoek op twéé onbekende getallen toegepast vermits de eigenfehap van zodanigen Driehoek daar  der VOORSTELLEN, inz. 409 by in *t geheel niet te pas komt, en dus de Figuur, waar van men hier zou moeten gebruik maaken, niet hooger te achten zou zyn dan een Printje, om Kinderen en Onkundigen té diverteeren. Wy zullen dus AC en AB als twee gezochte getallen aanmerken, en het kleinfte derzei ven — * Hellen ; dan is het grootfte zz 2x. Dan is door de tweede conditie van het Voorftel 5ïï-39681: 480a: of 2xx-480«7:3968 2 — " ' " xx— 2^0 xZZ 19% 1201*er 14400 XX — 24ox+ 120 |a3:16384 V x — 120 zz 128 Dus x 248 en 2X ZZZZZ 4S/6. By gevolg het ha\ve-Produtï der getallen zzój^o^ CCXXVII. VOORSTEL. Door den Opoeever, j. van Twisk, L. Koops, tn A. B. Straube, naar het denkbeeld van vylen den Heer C, Kroeze. Stel den Quadraat - Quadraats- Wortel zz x -1- y; dan is de fom vao de Quadraaten der Getallen x* + axsy + 6xxyy + 4.xyi+y*i en ftellende  43» ONTBINDINGEN «4-4*,J + 6**3F3f-.4*y«+y4 = 3c"I^|4 het n van 'c eene Getal. 8**5...... Hr 8*j«=«+7yx8»y, de lom der Quadraaten van de beide overige Getallen. hJ^ITr DU *r*y-B is 5 da« zyn deeze Grootï=?v*;/d.mnï? tWCC «M*a«'-- Stel daarom ** +y* X 8*y=4**y»+y«xi6-y-3,* = 6-4V«y« 4-ióv'v* de fom van twee Quadraaten, weshalve het eene Quadraat zó4y*y4, en het andere S 16 gdd Getallen?0 ^ ™ *Vy' 'Wee vande be" Maar * -y I was het Quadraat van het andere Getal; dus is het Get. zelf rr^—yl * zz a v^-ïï|* x y*zzz" 4 v*-4j>3 + i xy» hier by vergaard ... tv* .... x y4 en 4vxy» Som 4V4-r-8>'s —4V°4-4v-hixy4rzp, Stel den Wortel zz sv*-|-2y—2; Dan is 4v4+8v*-4t-a + 4v+i : • 4V4 + 8v'-4V. — 8v-i-4 '11 1 \ i i— i i i Pus ia v ZZ 3 ja ■ ui vzz i En  dzvl VOORSTELLEN, enz. 43,. Ed aV-^iVx y' zz %% T I 8 v9 x y' zz | y* 4 v x y' zz y* Neem nu y zz 8 ; dan zyn de Getallen 49 , 8t en 64. CC XX VIII. VOORSTEL. Door den Opgeever, j. van Twfsic, en L. Koops. Neemende bet antwoord des voorgaanden Voor» ftels als bekend aan, zo laat voor de vier begeerde Getallen gefteld worden x ") dan is hun fom (rai) een rationaal- o . j Quadraat; derhalven blyft 'er nog ove- \. )ig„ dat de fom hunner Quadraaten een 49-r-3X j rationaal Quadraats- Quadraat ZZ 6j6l Ö4+*J Zy* Nu is act* ~ .....** 8 +atl =: 64 16 x -f- x* 49 — 3*1 ~ 2401 — 294 x -f- 9*" ó4-f-*| =r 4096 + 118 1 + *« verg. 6561 — ifos + ii x" zz6$6t. 12 x% ZZZZZ 150 * 12 X ■ * ' »ï Dui  432 ONTBINDINGEN Dus zyn de Getallen { deeze met 4, een Quadraat, ver- S + xZZ 4| : meenigvuJdigd, dan heeft men ge- AQ->. ■ 2g«3~8i « + 27^:0 Waar uit wy vinden n zzz ij 97»-i4»i m zz ■ ' ' - ■ ~—' 2 14 »*" — 27 28 Dus x3 ~ —— zz 8 ft+m l/„ sa^i «. — « — de begeerde G& 2 . w x —- 4 j CCXXK.  ban VOORSTELLEN, enz. 4.3$ CCXXX. VOORSTEL. Door den Opgeever, W. C. Bakker,, Ü. VAN HeYNIncen, j. van TwiSIt,èB A. Roos. Stel de Arithmetifche x~zy; de Geometrifche z *-y zy x zy2 Dan voldoen dezelve reeds aan één der voorwaarden van de vraag. Deèlende nü de Termen van de Arithmetifche Pro^ gres/ie door de overeenkomflige van de Geometrifche4 , x x — y x—zy zyn de Quotiënten —~, ^—, _ in eene Arithzy' zy z meiifche Progresfie. x x—iy 25c-2y derhalven — + . — ,. zy1 z zy met z vermenigvuldigd * zx-7y - *-ay=_ bf x -h y" f>-3y) Er »3»xit3J i* + xy* - 2ys = 2xy - -y) -4 2 Ci + y-f-y1) = a Hier in de waarden van x en z, boven bepaald, fubjittuèerende, heeft men 3y' + sv 2 1—f x Ci+y-'f-y*; = a y—1 y-i 33»*-^35+ 2 O'-i-y + y') = ay-a. of 5y4 + 5y + 2=ay —0 5ys-!-5-a.y = — a-h2 253,a + 25-5a.yz: — 5a+ior:~l-ll 4 j-al3 | 25 —■ 10a -f- aa 2x2 4 f5-a;2_- iJ — 30 a -1- aa 25y, + 25**5ö'y-l—~—~ ——. . 4 4, . ■ 5 —fl 4. |/(aa—30a-15) 5y-f,_i-, — z ——-: —— 2 2  6ÈR VOORSTELLEN, enz. *3? 5-aZi/(aa-3oa-i5) io .nsiwT hat. J : sawa 3 O tb Wl 5-3i-i/f3TX3i-S0X3r-i5) ==3ofü| IO (ar: 31 in getallen gegeeven zynde. ... 2 Hier uit zrr— rr i of if, bvereetikomftig met j en 2|; 2 yy * =r 9 0f 8xi. j-i Neemende dus de eerfte waarde voor y, zyn dé Progresfien 3, 6, 9 de Arithmetifche4 i > 3 5 9 de Geometrifche; deelende nu' de Termen van de eerfte aoor de laatfte, komt |, gelyk 3, 2j 1 in een Arithmetifche; bf neemende de tweede waarde voor y : naamlyk a|, zyn de Progresfien 3t|» Jt|» 8Tf. de Arithmetifche, It?i 3ï|i !,t? de Geometrifche', deelende rtü van deeze Progresfien de eerfte door de laatite i komen 2J, if, 1 in een Arithmetifche Progresfie. Dat te vinden was. Hh 2 CCXXXi;  438 ONTBINDINGEN CCXXXI. VOORSTEL. Door de Opceevers, J. van Twisk, vv. C. Bakker, en R. F. Folkers. Stel het Cap. ZZZZ x Rd. het pCt. zzzz: y de Jaaren zrz: z. 6z, 'tzesv. der Jaaren 3 7 drievoud der pCt. x Cap. ~ Cap. 6 x z rrrc 4500 , en 3 x y :—- 4800 6 3. * » 750 x y rzz: 1600 x 75o ^ 750 y ^ z 2 jO 1.1 |„„ z iSy zzzz 32Z 15 322 J = pCt. 15 322 100 Rd. Cap. 7 —' Inter. 1 Jaar ij 2 Jaaren 750 o Interest C — Rd. % Komt  der, VOORSTELLEN, «nz. 43y Komt ï6z Rd. Inter. 75o è — Rd. Cap. z I6zz-h750 « , Rd. Capt. en Inter. z Dit is voldaan met Ducaten, als volgt: 137 Ducaten i6z a — Rd. 15 203a Z l6zz-\-7<0 + 1} Rd. = 11 Rd. 15 2 ao32»z+2oz zrz; 24022 + 11250 I792Z2+202 ZZZZZ ii250 s — . 89622+103 crrc 5625 tl* 1 896 zz + ioz"nr 10080000 5 □ » ■ ■ • 25 10080025 2245 Sub. 5 ^ ^ 8962 m 2240 * zzz. 2| Jaaren. Hh 3 2o  4,4a ONTBINDINGEN _ . 750 Zo is — rrz: * zzzz 300 Rd. Cap>» z . 322 — = 5 =25 5} pCt. is 16 z en ■— rzz a Rd. 48 Gr. de Duo. v GCXXXII. VOORSTEL. .©oor J. Visser, L. Koops, C. Steenhüis. J. Ruiter, C3 Otten, W. C. Bakke-r, J. yan Twisk, en den Opgeever. ioo — iio — 600 100 — 110 — 060 't ifte Jaar. 100 — 110 — 726 't 2de Jaar. \oq — 110 - 798I 't 3de Jaar. — c&Vl. 873||'c 4deJaar. 800 79^i 'f 3de Jaar. 798| — Maand. ■ verfchil 70^ — ■ 12 ■ i| verfchil? Komt orfff Maand hier by 3 Jaaren o Maanden. Komt 3 Jaaren orff ? Maand. CCXXXHI.  der VOORST ELLEN, enz. 441 CCXXXIJI. VOORSTEL. Door de laatstge melden. \ Maand. Inter. M. ,2 — 8 — 3 \ 2 la — io — 9/ 7; 9i 100 Capit. Cap. en Inter. iooi — ioo — 355? Komt 325 Guld. Capitaal. CCXXXIV. VOORSTEL. D00l/]> van TwiSK, J. RtUTER, A. Roos, Steenhuis, L. Koops, W. C. Bakker, C. Otten , J. Visser, en den Opoeever. Voet Boom Roed. Voet 5 1 7 : 1? Komt 17 Boomen, 1 Boom op den wal of kant. 18 324 Boomen in 't geheel. Hh4 i  d4ta ONTBINDINGEN; 1 Kruisbesfen. 3 roode Aalbesfeboomen. 2 witte Aalbesfeboomen. r-rr .verg. Cr 54 Kruisbesfen 7■» 6 —i——»" ; 324. —< t 162 roodeAalb. Ja j O* 108 witte Aaib. 3g J, Ruiter voegt hier by de volgende Aanmerking» Zo men dit Voorftel wil oplosfen op die manier, als het I43fte Voorftel deezes Deels is opgelost, zal men maar 289 Boomen op het ftuk Lacds kunnen plaatfen, naamlyk 17 in de Lengte, en even zo veel. in dé Breedte; dan zodoende kan ik, wegens deon» derfcheidene foorten , aan den eisch van den Opgeever niet voldoen, wyl men geen gedeeltens maar geheele Boomen plant. Ook vind i.k het niet tegenftrydig, om' 18 Boomen in de Lengteen Breedte te plaatfen ; want aan den eenen kant beginnende, en aan den anderen kant eindigende, kan men zulks gevoeglyk doen , en évenwei aan de voorwaarde van 3 voeten van elkander voldoen, CCXXXV» VOORSTEL. Dm L. Koofs, C. Steenhpis, en dejk • Opgeever. Roed. Voet. 6 —■ 4 ieder zyda 12 "76 - Voet 4 ——»  P»r VOORSTELLEN, SNa. 443 19 Boomen I aan 't einde, ao in de eerfte \ D , 1 in de laatfte I ^ 9)1 10 de 5 fom der Reyen. 210 Boomen in 't geheel. Stel nu x Kruisbesfen-Boomen 2 x zwarte Aalbesfen 3 x witte —— en 4 at roode Boomen r x I 21 Kruisbesfen 10* om 3 «ac 42 zwarte Aalbesfbn 10* 2io _ < 33C 63 wjtte djt(> C 43? I 84 roode dito. CCXXXVI. VOORSTEL, Door J. van Twisk. Vermits in een Kloot de Diameter en de hoogte gelyk zyn, zo is, als men den Diameter zzt a ftelt, de Inhoud van de Piramide, volgens de proportie van Archimedes ....... ü a* van den Kloot ...... \\ a* èn van den Cylinder \\ a* Derhalven is de begeerde Proportie als iis ll, H, of als 1, 2, 3. Dit zelfde Voordel (Theorema) vindt men beweezen in de Gronden der Meetkunst, XI Theor. 8Boek. Hh 5 CCX.XXVII.  ONTBINDINGEN CCXXXVII. VOORSTEL. Fig. 74. Door den Opgeever, waar mede], van Twisk overeenkomt. Laat AB de doelwits-Iyn zyn, AC de lyn van werping , en C B de lyn van den val. Dan is DE de As van den Parabool, zodat, met eene vertraageude beweeging, de Bombe ter hoogce van DE opklimt, en met eene verfoeide beweeging D E weder nederdaalt, In 't eerfte geval is de hoek EAF~ 15% in t tweede i: 750, in 't derde — 25°3i', en in't laatfte ge. val ZZ 64p 29'. In 'f eer{le geval. Voeten 2tóo Sin. 750 : ** :; Sin. 15° : EF. 3 3 • 0334237 y . 41299:5a 12 . 4464199 9 • 984943« 3 . 4614761 ss 289. Voeten, In ,t tweede geval. Voeten !in. 150 : 1080 :: Sin. 750 : EF, 3 • 0334239 9 • 9^49438 ES  p** VOORSTELLEN, ekz. 44$ 13 . 0183675 y . 4129962 3 • 6053713 =4030 Voeten, I»'/ derde geval, Veeten 64? 29'.: 1680 :: Sin. 2j03l' : ER. 3 • 2253093 JL'JL3!2401 12 . 8595784 9 . 9554280 2 . 9041304 — 802 Voeten, in 't laatfte geval. Voeten 25?31' : 1680 :: Sin. 64029' : EF. 3 . 2253093 9 ♦ 9554280 13 • 1807373 9 » 6343491 3 . 5464882 zz 3519 Voeten, Maar om dat DE, de hoogte tot welke de Bom FC - y opklimt, is gelyk —, daarom moet ik 289, 4030, 2 802, én 3519 Voeten ieder byzonder door 2 deelen; zynde dan 144!» 2015, 401, en 1759* Voeten. Ook is, oin dat de doorgeloopene ruimteus tot elkander als de Quadraaten der tyden zyn, 15  #46" ONTBINDINGEN IJ I i4 T44f > : :: 401 . " x * » '7Jöi3 Dat is 9,63, of- ï34 »33»of =: 26,73, of = "7^3- Dus*r3,i,ofrii,6,of-5,i,of:2io,8, De Bombe heeft ook weder zo veel tyd noodig om te daalen , als te klimmen ; derhalven is de tyd in *t eerfte geval 6, 2, in 't tweede 23, 2, in 't derde 10, 2, en in 't laatfte geval 21,6 Secunden, welke de Bombe noodig heeft, om die vier Parabookn te befchryven. CCXXXVÏII. VOORSTEL. Fig. 75, Boor den Opgeever, W. C. Bakker, en J. van Twisk. Lees in de Befchryving der Figuur, ïfte Regel, ia plaats van AB, A O. Scel ABzz AD5 *; dan is EC zz EC =: uo7$ - x, ABxAD BCXEC Nu is — -^jRg. ABCDA 2 a * ar* na7§-*|* of + zz 382aT;§i§ 2 a  dbr VOORSTELLEN, enz. 447 of 06994225-11950101+ 10(558**340736125 of i0(558xx —1195010*;:— 25258100 21316 xx — 2390020x^ — 52516200 818518 = 615994225 213163c* - 2390020x-:-818511 ZZ 14178025 146K - 8185 z: + 3805 146* r: 11990 of zz 4380 146 — — •,. x ZZ 827| of ZZ 30 dus is 'BC Z (li27?-827f-; 30, en 54f| BC = ió^aif, 20 AB = 164^. Derhalven is het fondament gelegd den 11 Maart en het was voltooid den 19 Juny A°. 1643. CCXXXIX. VOORSTEL. Fig. 76. Dm den Opgeever en J. van Twisk. Befchryving der Figuur. f 1. Befchryf op CD het Segment van. een Cirkel, in t welke een hoek van 22° 30' Kan befcnröeven worden (Zie Meeik. 15, V. Ü.) 2.  44$ ONTBINDINGEN 2. Neem in DC, DF r 20, ftel FB perpendiculair op dezelve , welke den omtrek des Cirkels in B ontmoet; vGeg BD en BC te faamen. 3. Trek tot het Centrum des Cirkels O óeRadieh BO, DO. CO; en op BF en CD de Perpendiculairs OG en OH. 4. Nu met een hoek DBE r= 4016' de Lyn BE getrokken, welke de verlengde CD in E ontmoet, dan is het begeerde verricht. Oplossi n g. Door het voorgaande is L. DDH — L. DBC (Meetk. 5- UI.) Gevolglyk LDOH= 2a03o', ■ £Ö DH ZZ CttZZ*i°ZZ60é Derh. Rüi. : Cotang. DOH :: DH : OA 1 : 2.41421 ;; 60 : OH OH - FG ~ J44.85 Wederom is Rad. : Cofec. DOH :: DH ; 00 1 : 2.61312 60 : OD 1 <■ -. Komt OD zzz OB s t56. 8 Oli = 24586.24 FH =r Ö"G*== 1600 BG = 22986.24 V—^——•-—■ BG ss 151.6  oer VOORSTEL L'Ë N» 449 FG == 144-85 "11 vergT Komt A C = BF = 296. 5 de begeerde afftand der twee Torens. Wederom is DF : BF :: Rad.: Cotang. L BDF. 20 : 396. 5:: 1 : Cotang.LBDF, Komt 1482500 Cotang. van L BDF=ZjDBF=30 51'$ £.EBD=4° 16' ——uw AEBF=8'07|' Eindelyk Rad. : Tang Z.EBF :: BF : EF 1 : o. 14276 :: 396.5 : EF Komt EF = 42.3 DF = 20 -— afg. DE rs 22.0 de grootte des Beelds. CCXL. VOORSTEL. Fig. 77. Door de laatstge melden. In den Driehoek'D B E is D E = \ A B , om dat L DEB 45 Gr. is; dus DE 4 Gr. 38 Min. Om B E te vinden. Rad. D : DE Secans LE : BE. 109000  t \ 4ló ÖNTEINDINGÈN icoooo — 248.0 Min, - 141441 Komt 3.50.7 Min, BE zz EC. 4.2 Gr. afgev. Br» 2781,7 vergr. Br. 46 Gr. bekomen Br. 3115.V5 — Verf. der vergr. Br. CG 333^ DE = GF 248.0 ibden ACEE 85,9 z^n ö is 7378.81 VEC350.7 zyn O is 122990.49 115611,68 EF = 340.0 BD == 248.0 BG = 92.0 1 Gr. 32 Min; AB = 8 Gr. 16 Min. Verfch. der Lengte AG == 9 Gr. 48 Min. AfgevaarenLengte.... 362 Gr. o Min. Dus de bekomen Lengte A 352 Gr. ia MmT~* en de bekomen Lengte B 0 Gr. 28 Min. Oni  ser VOORSTELLEN, enz. 45l Om de Koer/en te vinden. GC :Rad. G :: BG : Tang. ABCG 333-9 — iüoooo — 92.0 Komt 27553 Tang, van 15 Gr. 25 Min. de Koers van B bewesten 't Zuiden. ( Dus is de Koers van A bewesten »c Zuiden óóGr. 25 Min. Om de Verheden BC en AC te vinden. Rad. G : GC :: Sec. üLBCG : BC. ïoooco — 240 Min. — 103732 Komt BC =02.23 Mylen de gezeilde Verheid van B. Rad. G : GC :: Ste. LACG : AG. ïoooco — 240 MiD, — 202 "j7 Komt AC == i2i,j3My!endegezeildeVerheid van A.. CCXLI. VOORSTEL. Doorden Opgeever, L. Koops, j.van Twisk, A. Roos, C. Steenüüis, en W. C. Bakker. Stel voor de getallen * en 53;. 11 Dan  454 ONTBINDINGEN (5*+io|a \25*a + ioojf + ioo ——I rr J——— Dus 43c3 — 43; 3; = 25*3;-,"- iOoa;+ 100 of 4»»-a93;a;-ioo3;-ioo—o 4.v.v-i»iix+io 1 n • X-10 = 0 x = 107 % de getallen. en 5 * == '5° j CCXLII. VOORSTEL. Fig. 78. Door J. van Twisk, W. C. Bakker, C. Steenhois, en den Opgeever. Befchryf om den gegeeven Driehoek ABC een Cirkel .( zie Meetk. 16. V. B.), en trek uit B op AC den 'Perpendiculair BD, en Diameter BE. Nu is AC : AB-I-BC :: AB-BC : AD-DC of 28 : 30+26(56) :: 30-26(4) AD-DC AD - DC = 8 AD + DC - 28 2 AD = 36 AD  oer VOORSTELLEN. 453 AD = 18 AD = 3247 A B — 900 j BD = 576" ' ) V B D = 24. Wederom is ED : AB :: BC : BE of 24 : 30 :: 26 ; BE BE = 32| BO ±= \(>\ Mylen de begeerde Verbeid. CCXLIII. V D O R S T E L. Fig. 79. Boor J. van Twisic, C. Steenhuis , en den Opgeever. In de Figuur verbeeldt A de afgevaaren plaats, AB de koers en verheid van het Schip ZW 36 Mylen; dus is de L Z A B~ A B n zz 4 ftreeken, of 45°o', en B C de koers en verheid van den ifroom N. N. W 26 Mylen; en dus L C Bn ZZi ftreeken , of22°2o7* jNu uit A recht Zuiden A M getrokken , en uit C 00 AM den Perpendiculair CM. t 1. Om den Koers te vinden, L ABra 3? 45°o' li a Z.CB»  454 . ONTBINDINGEN L CBn = 22°30' ———r— verg. L. ABC = 670 30' £C+Z-BAC + £ABC E i8o°o' Z.C-r-ABAC= h2°3o' LC + LBAC _ = 56» 15' AC+ABAC Nu is AB + BC : AB-BC Taag. 2 (ZX-Z.BAC Tang. : . 36+26(62) : 36—26 (10) :: 1.49661 : (Z.C-ABAC Tang. 1 2 Z.C-Z.BAC Komt Tang. ■ ZZ 0.24139 2 Tang. van i3°34'j . Z.C+Z.BAC en — = 56° 15* 2 Z.BAC = 42°4i' L BAZ ZZ 45' °' LOAZ  oer VOORSTELLEN, enz. 455 Z.CAZ = 87°4i' de Koers be. westen 't Zuiden, of 20 19' bezuiden 'c West. a. Om de verheid AC te vinden. Sin. L BAC : Sin. L CBA :: BC : AC 0.(57794 : o.92388 :: 26 : AC Komt AC = 35.45 Mylen. 3. Om de veranderde Lengte te vinden. . Rad. : Sin. LCAM :: AC : CM. 1 : 0.99918 : : 35-45: CM. CM zz 35.20 zz n° 21' na genoeg de veranderde Lengte* 4. Om de veranderde Breedte te vinden. Rad. : Cofin. Z.CAM :: AC : AM. 1 : 0.04042 ::35«4y: AM. Komt AM = 1.43 M!nf0°5!? veranderde Breedte. li 3 CCXLIV  456 ONTBINDINGEN CCXLIV. VOORSTEL. Fig. 80. Door J. van Twisk, en den Opgeever. Trek (in de Figuur) op BC den Perpendiculair AD, èn volgens de grondbeginfelen der Meetkunde vindt men AD ZZ 12, en gevolglyk den Inhoud ABC384. Indien men nu EE=# ftelt; dan is EG~a*, of ZZ 4x, en EHzzax, of zzz x. Maar als men EFzzo.x(lelt, dan is EG =3;, of = 4*, en EH— ix, of—a;. Dus is hier uit ligt te zien , dat in het Voorftel zes onderfcheiden Gevallen zich opdoen , zynde het begeerde getal Antwoorden. I. Geval. ABXEF+BCxEG-l-ACxEH=2AABC of 13* -f- 14x21 -4- 15x43e ZZ 168 101* = 163 * ZZ iTB? Ax ZZ 6Tgf II. Geval. 13*4-14x4*+ 15x2a; ~ 168 * 99* — 168 99 — x zz  der VOORSTELLEN, enz. 457 2* = 3sl ax ~ 6ff III. Geval. 13X 2*+ 14*+ 15 X4*~i6§ 100a; ~ 168 x ZZ Ui 2* ZZ 3ir 4x ~ 6JI IV. G E V A Li 13X2X4- 14x4*-:- 15X1* — 168 97 x ~ 168 x zz i|| 4* - 6£7 V. Geval. i3X4*-*-i4X*+i5X2x — 168 06 x ZZ 168 * ZZ Ij 2* — 3* 41 s 7 li 4 VI.  458 ^ONTBINDINGEN VI. Geval, i 3 X 4 x + t 4 x 2 a; -i-15 x a;=168 ov* =: 168 95 ■ * = m *x - sii 4* - 7si CCXLV. VOORSTEL. Dow J. van Twisk, L. Koops , W. C Bakker, en den Opgeever. Stel den Cathetus ZZ x; dan is de Hypothenufa zz y^+xx. Stel nu 1/49-hxx zzz a — * . v 49 + «=aa-2 aar + xx aax — aa—49 ga ~_ . aa—.49 2a Nu kan men a neemen na believen, alleen met deeze 1 epaaüng, üat aa grooter is als 49: dus ook a grooter als 7. Neeme  der VOORSTELLEN, ene, 459 Neemt men. a = 8 ; dan. is x = ff, en i/49 + a;K=7Tff. Neemt men a = 21 j dan is ar = of, en ^49+«lTiif. enz. CCXLVI. VOORSTEL. Boor A. B. Strabbe. Met recht zegt de kundige Mhisz ner (in zyne Kunst -Kette pag. 100) , dat de Oplosfing van die Voorftel eene flegte, dac is niets beduidende , zaak is; want volgens Evcl. Prop. 31. III. Boek zynde Rechthoeken der deelen. van twee Lynen, die malkander in een Cirkel doorfrjyden, aan elkander gelyk: dat is , als de deelen van de eene Lyn zyn A en B en van de andere C en D; dan is AxB^CxD nf A : C :: B : D. ' Naardien nu, volgens de bepaaling van het Voor. ftel, de deelen niet alleen rationaal, maar ook rationaale Quadraat-getallen moeten zyn , hebben wy voor A , B , C flegts drie Quadraaten te neemen , . BC waar door dan het deel D = — insgelyks een QuaA ~ draat zal zyn. Neem A = i, B=9, C=4; danis D=3d. Dus is de eene Lyn — A + Brio, en de andere =C-!-D = 4o. I HS CCXLVII.  440, en 7a" 60 25^-6^3-40 azK% 6b = 6ss7 30=255 6 Nu CCXLIX. VOORSTEL. Boor A. Vryer , C, Hokke, J. van Twisk, en den Op gee ver. Stelt dat de dienst des Knegts ieder Jaar verbeterd b&Vl.» en dat zyn winning, in elk der 7 laaren, door de volgende Arithm. Prog. word uitgedrukt, namelyk door: 1, 2, 3, 4, 5, 6", 7 Jaar. a-3è,a-2i, a-b, a, a+b, a+2b,a + $T> fom der Progres. De fom der 3 eerfte leden is 33-603-40, en 7a" 60 251-6^3—40 azK%  4öV ONTBINDINGEN Nu moeten n voorfte leden der Progres in fom == o zyn, en dan is de waarde van n 't getal der Jaaren, t welk de Knegc in dienst blyft. a-36 eerfte lid n-i.b+a — 3 & 't laatfte van n leden ' ' add. bn-hza — 7b < §n fom§^»ï + a»-3|6B = o » ... Ibn zz 3sè — a 2a i7« n-7 zzi- —— zz5§s Jaaren. b ïoï? Aanmerking. 't Voorftel, zegt de Eerw. Heer Vryer,levert myns bedunkens geen ander denkbeeld op, als dat de dienst van den Knegt geduurig gelykelyk verbeterd , en dat van hier zyn loon , ieder Jaar , elke .Maand , ja elke even lange kleine tyd , even veel of /irithmetisck verhoogd , „ vermits zyn dienst verbetert in eene Arithmetifche Progresfie." Op dit denkbeeld is de voorftaande Oplosfing gegrond, volgens welke de Knegt van zyn Baas met gefloten beurfen fcheid , na 5Ü Jaaren, dat is, na 5 Jaaren en niet wei 23 weeken. CCL.  der VOORSTELLEN, enz. 463 CCL. VOORSTEL. Door M. J. Zuidhof, L. Koops, J. Visser* A. Roos, C. Hokke, H. Ghele, en den Opgeever. Stel hunne Jaaren x+y en x — y dan zyn de Quadr. zzzz xx + zxy+yy en XX—-2Xy + yy en de Vergelykingen aldus: y 2xZZZZ2y en 2xx + 2yyzzzz 1225 v ■> ' iyy ac——;ayy maal 2*33Z4yy a*ac33:8y4 -!-2yy33:i225 ^....l....S y4-Hay 9339800 verg. 1 1 y4 -ï- ay2 ■+- 133: 980! y , y*+133190 Sy*  AÓ4 ONTBINDINGEN ^ ■-y = 3* 2 y 3/ =: 241 x+y = 28 x—y zzzz 21 Jaaren. Dit Voorftel is ons pok tweemaal gezonden , zynde Voorstel V. van dit Deel, waar van de Untbindmg gevonden worde op pag. 17. SLOT.QUES.TfE. Door den Opgeever, j. van T-wisk, en C. Hokke Barenösz. Om de bedoeling van den Opgeever wel te rat ten, moet men de beide Leden van dit Voorftel als onafhanglyk van elkander befendnwen; dat is, fchoon in bet eerfte Lid onderfteld wordt,, dat de fomme , welke de Perfoonen de eerftamaalna zich neemen van den eerften tot den laatften , in eene Arithmetifche Progresfie ftaan, znlks echter geen den minften invloed op het tweede Lid kan noch mag hebben Het tweede Lid » dus eenig en alleen gefchikt om té toonen , dat men m het. eerfte Lid.de(bewustefomTl ae^Zund^ redeP in eeneArithmetifche Proeres"Êilveld- heeS eD dat'in §evalie ™" dTefoSn Tou zyn.ng W 6 Deemen' het^ftelonöploto Op-  der VOORSTELLEN, emzV &G$ Oplossing van het I. Lid. Stel het getal der Perfoonen zz x, en ieders deel 3 y i dan is de geheele fom z: xy. xy De ifte neemt a ~77y~ xy+p^t.a = ^ P — _ , scy — a , —— xy+p-i.a=py P . — aby ^ ■— .. . -- r xyr=py — p-i.a xy + p— 1 . « ■ het deel des iflen, f .' . ..:; 1.:.... van x y afgetr. />-1 . xy — p—i . a rest « ■■ ■ »' P De 2de neemt a + b p—i . xy — ap —1 . a — bp rest . .. . P 1 . p — ï . xy-ap-i .a-bp - -p; ' a-fr-  466 ONTBINDINGEN, f a+J by* IP-*'xy+p-i\*.a +p^j .bp . het deel dei 2dea. afg. "J *y + p-i . a — fz\. ip p% Dus xy - p^i . -p~t , a Maar xy H py-p-i. a. Derhalvenpy zzfl.bp^_ ^^-^7,^,—,a y—p-i .b . a *-. ƒ>■—••"• het getal M _ . , der perfoonen. Neema=-39,&izi3,pr7. t-, • _ u . t j **y gevolg moeten Danisa;=: 4 het getal der a en b altoos zodanig pefloonen. gegeeven worcen,dac ... , , a door i deelbaar zy; y=78 ieders deel» ook naoet p grooter ----- a . .. * 9=312 de geheele fora. dan — zyn. Op-  der VOORSTELLEN, enz. 467 Oplossing van het II. Lid. Om te bewyzej), dat de fommen welke de Perfooaen het eerst na zich neemen, van den eerften tot den laatften , in eene Arithmetifche Progresfie moeten opklimmen , zo laat gefteld worden, dat a} b, c, &c. die fommen uitdrukken ; dan hebben wy, door de p — 1 . xy —p— i . a voorgaande bewerking, - ■ —— m t r * H'.■ t 2 " p- \ .xy—p'i .a ■ — ■ , voor de rest, na dat de /> ifte zyn aandeel ontfangen heefr. Hier af neemt de 2de... b ——zz p-i. xy-p-i .a-bp rest —— . • m b B3(JtV38-9ltc i r*Hid**>V ob lp gloVM VS I — '" 1 P . p-i .xy-p- 1 .a-bp g * by p-i .xy -p-i.a-'rbp.p — i ES ■" het deel des p' "den. KIc  468 ONTBINDINGEN pxy+p*-p . g ' 1,1 1 j als in de voorigebewerkias;» Derhalven xy~èp.p-i~a.p*^7 Maar xy=py -p -1. a, ais }n voorige be« • werking. Bygevolg py—bp.p-i -a.pï-Jp p -i .__ , y = è.p-i-a.p-i:=p-i . 'b-%. 7 Derhalven is ieders deelnp-r, vermeem'gvuldigd met het verfchil van twee elkander volgende fommen die zy voor af genieten. Maar p-iTs flandvastig, en ieders deel altoos even groot, derhalven moet ook b—a eene ftand. vasu'ge grootheid zyn. By gevolg zyn de verfehillen in alle gevallen de zelfde, en dus ftaan a, b, c &c. in eene Jritïïmetifche Progresfie/ Hergm wy~bêwyzefrfnwn^,~ Verders vloeit ook uit deeze bewerking het geen in de voorgaanile getoond is, naamlyk, dat de Termen der Progresfie allerr-door het gemeen verfchil -moeten deelbaar zyn. want xyz=bp.p — x r=^./»s - i yzzp-i>b-a :——-— — j.1  der VOORSTELLEN , enz. 469 bp-a.p+i a b—a b—a a Maar '—— moet een heel getal, en derhalven « b—a door b—a deelbaar zyn , zal x als een heel getal bepaald worden; en dus is het geftelde openbaar. Einde der ONTniNDiNSEN tan het tweede deee.   Wisk. Verlustiging. Pl.I. i. deel.  AvTSK. VERLUSTIGING . PL.II.  Wisk. Verlustiging . p3, ni.  Wi.s'k. Verlitstigina Pr TF .DEEL  WliSK . Ve rlxj STIGIN Ó. PLK,  W is k . Ve 1L e U S ti GING. PI. VI. I DERLr